Text
                    В. СМАИТ
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
и
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Перевод со второго американского издания
А. В. ГАПОНОВА и М. А. МИЛЛЕРА
и * л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИДСЩТРАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1954
Библиотеке
профессора Саеочкнна Ю,В.


STATIC AND DYNAMIC ELECTRICITY by WILLIAM R. SMYTHE SECOND EDITION NEW YORK TORONTO LONDON 1 9 50
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ Предлагаемая вниманию советского читателя книга Смайта «Элек- «Электростатика и электродинамика» содержит изложение основ классической макроскопической теории электромагнитного поля. В отличие от большин- большинства подобных курсов в книге наряду с последовательным освещением обще- общетеоретических вопросов значительное место отводится изложению основных методов решения электродинамических задач, а также приводятся вспомо- вспомогательные математические сведения, необходимые для овладения этими методами. С этой точки зрения книга Смайта занимает промежуточное по- положение между учебником, где задачи, как правило, приводятся лишь для иллюстрации отдельных теоретических положений, и сборником задач, в котором если и сообщаются некоторые результаты теории, то только в весьма конспективной форме. Систематическое изложение теоретического материала и, что особенно существенно, большое количество задач, рассмотренных непосредственно в тексте, а также задач, помещенных вместе с ответами в конце каждой из глав, составляют несомненное достоинство книги и де- делают ее не только ценным пособием для студентов и аспирантов, изучающих теорию электромагнитного поля, но и полезным справочником для специа- специалистов, работающих в смежных областях. Перевод этой книги на русский язык был осуществлен благодаря ини- инициативе покойного академика А. А. Андронова, считавшего издание такого пособия по теории электромагнитного поля весьма целесообразным. Вместе стем А. А. Андронов отметил и некоторые присущие книге Смайта существенные недостатки, в частности: отсутствие теории электромеханических систем, имеющих большое значение в приложениях (электромашины), теории рас- распространения радиоволн, а также до некоторой степени утилитарное изло- изложение основ специальной теории относительности. Не менее важным недостатком книги является также игнорирование автором достижений советских ученых, что приводит, естественно, к неко- некоторому снижению общего уровня книги и особенно глав, относящихся к применению теории быстропеременных полей в современной радиотехнике. В этой области нашим физикам и инженерам принадлежит ряд фундамен- фундаментальных результатов, позволяющих подойти к рассматриваемым вопросам с несколько иных и в научном и в педагогическом отношении позиций. Подробное комментирование соответствующих мест настолько бы отвлекло от оригинального текста, что мы сочли целесообразным оставить их вообще
Предисловие переводчиков без примечаний, отсылая читателя к оригинальной литературе, список которой помещен в конце книги. Сделанные нами примечания относятся лишь к некоторым допущенным автором фактическим ошибкам и неточно- неточностям. Ряд явных опечаток, замеченных при переводе, был исправлен без оговорок. Всюду, где математические преобразования не носят принципиального характера, в книге практикуются ссылки на соответствующие формулы из математических справочников Двайта (Dwight, Tables of Integrals and Other Mathematical Data, Macmillan, 1934) и Пайерса (Р e i г с е, A Short Table of Integrals, Ginn, 1929), первый из которых имеется на русском языке (Г. Б. Д в а й т, Таблицы интегралов и другие математические фор- формулы). При переводе ссылки на справочник Пайерса сохранены только в тех немногих местах, где ссылки на справочник Двайта отсутствуют. А. В. Гапонов. М. А. Миллер.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Широкое распространение практической рационализированной системы единиц, а также возросшее значение высокочастотных колебаний заставило в корне пересмотреть первое издание книги. Во втором издании прежде всего всюду изменена система единиц. К главам, посвященным электростатическим полям, добавлено еще 40 за-, дач по трудности выше средней. Они охватывают главным образом при- примеры на такие граничные условия, которые не рассматривались в первом издании. Более подробное изложение вопросов, связанных с электромаг- электромагнитными волнами, заставило переписать заново некоторые части пятой главы, касающиеся функций Бесселя, и привело к введению векторных по- поверхностных гармоник, что сильно упрощает ряд вычислений. Пере- Переписана также большая часть гл. XI о вихревых токах. Электромагнитным волнам посвящены три главы, из которых две совершенно вовые. И в самом тексте и в 150 задачах к этим главам содержатся некоторые впервые публи- публикуемые результаты и методы. Для приобретения навыка в решении задач на волновые поля по этой книге обучались две группы аспирантов. Мвогие задачи оказались чересчур трудными для аспирантов первого года обучения, но любая задача была решена, по крайней мере, хотя бы одним аспирантом старшего курса. Путь решения той или иной задачи либо непосредственно вытекает из содержания книги, либо требует некоторого почти очевидного его обобщения. Поскольку в задачах приводится ряд весьма полезных све- сведений, о них упоминается и в'лпредметном указателе—это должно облег- облегчить пользование книгой в качестве справок при решении задач. Во втором издании опущена гл. XV первого издания, так как приведение ее содер- содержания в соответствие с современными воззрениями потребовало бы слишком много места. Ни одна из новых тем второго издания ие требует от читателя допол- дополнительной математической подготовки по сравнению с предполагавшейся в первом издании. Опыт работы автора с первым изданием книги показал, что успешное решение электрических задач определяется в большей сте- степени физической интуицией, чем математической. Поэтому студенты, спе- специализировавшиеся при окончании в области математики, сильно уступают в этом отношении тем, кто кончал по физике или электротехнике. 375 студентов Калифорнийского технологического института внима- внимательно изучили первое издание книги. Можно надеяться поэтому, что оста- осталось незамеченным лишь незначительное число ошибок, неясностей или сомнительных утверждений. Вильям Р. Смайт. ИЮЛЬ 1950
Предисловие автора к первому изданию ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Средний специалист, окончивший высшее учебное заведение, даже если он достаточно близко знаком с современной теорией электромагнетизма, в большинстве случаев не в состоянии решать встречающиеся ему задачи, требующие некоторых отступлений от стандарта и некоторой разработки основных известных ему положений. Настоящая книга появилась в ре- результате двенадцатилетней работы автора по обучению аспирантов первого курса—физиков, электротехников, геофизиков и математиков, которые должны были обладать в области приложений основных принципов электри- электричества и магнетизма знаниями в объеме требований, необходимых для полу- получения кандидатского звания. Книга может служить для справок о методах решения достаточно обширного класса задач, не решаемых путем простого применения формул из справочников. Предполагается, что читатель обла- обладает математическими познаниями в размере обычвых требований по курсу математической физики, читаемому в высших учебных заведениях, а именно, что он знаком с векторным анализом, дифференциальным и интегральным исчислениями и с элементарными дифференциальными уравнениями. Все математические вычисления, выходящие за пределы указанного курса, проводились таким образом, чтобы читатель, имеющий требуемую подго- подготовку, мог проследить за ними. Несмотря на некоторые трудности, автору удалось избежать применения контурных интегралов на комплексной пло- плоскости, однако он уверен, что при более глубоком изучении предмета нужно овладеть этим могучим математическим инструментом. Как уже было упомянуто, эта книга написана скорее для физиков-экспе- физиков-экспериментаторов и инженеров, чем для теоретиков". Поэтому в нее включены лишь те разделы теории, которые имеют непосредственное применение, а изложение их сделано кратким и доступным читателю с указанной выше подготовкой. В книге нет ни одной темы, представляющей лишь чисто исто- исторический интерес. В самом тексте разобрано много задач—больше, чем это принято обычно. При их отборе принималась во внимание степень важности результата задачи в приложениях или то, насколько задача поясняет теорию, доказывает полезность тех или иных положений теории. Помимо этого, обширное собрание задач имеется в конце каждой главы. Ohpi охватывают почти все положения теории, приведенные в тексте. Многие из этих задач взяты из Кэмбриджских экзаменационных вопросов и опубликованы в книге Джинса [Jeans J. H., The Mathematical Theory of Electricity and Mag- Magnetism, Cambridge, 1925]. Наиболее способные аспиранты решили все за- задачи, однако средний аспирант это сделать был не в состоянии. Читатель, занимающийся самостоятельно, может, очевидно, проверить себя на этих задачах. Многие важпые результаты помещены, за недостатком места, не в тексте, а в задачах, поэтому они также перечислены в предметном указателе. Порядок расположения материала и само изложение несколько отли- отличаются от общепринятых. Прежде всего все рассуждения основываются непосредственно на макроскопических экспериментальных фактах, а не на представлениях о микроскопической структуре проводников и диэлектриков. Это вызвано двумя причинами: во-первых, хотя микроскопическая теория и выдержала основпую проверку, а именно, дала (в пределах точности экспериментов) наблюдаемые макроскопические законы,—это еще не говорит за то, что она является единственной теорией, или за то, что верны и все другие выводы и.ч нее; во-вторых, изложение наиболее удовлетворительной теории, опирающейся на'квантовую механику, требует такой математической
Предисловие автора.к первому изданию техники, наличие котором не предполагается у читателя в начале изучения книги, но которой он должен обладать по прохождении двух третей ее мате- материала. Поэтому изложение этой теории, краткое в силу необходимости, приводится лишь в последней главе. Второе отступление от общепринятого состоит в рассмотрении теории магнетизма на основе взаимодействия элек- электрических токов и движущихся зарядов и в отказе пользоваться понятием одиночного магнитпого полюса. Это логически неизбежно приводит к при- применению не скалярного магнитного потенциала, как обычно, а магнитного вектор-потенциала, широко (хотя и не исключительно) используемого во всей теории магнетизма и электромагнетизма. Для многих читателей может показаться удивительным, что это иногда значительно упрощает выкладки, особенно при вычислении коэффициентов самоиндукции и взаимной индук- индукции, а также при изложении теории вихревых токов и электромагнитного излучения. Другие незначительные отклонения от обычпых курсов заключаются в более широком использовании функций Бесселя, конформных пре- преобразований, а также методов специальной теории относительности при нахождении, например, силы взаимодействия двух движущихся зарядов. Последнее позволяет, опираясь на надежное экспериментальное подтвер- подтверждение, освободиться от необходимости делать те или иные гипотезы о форме и размерах электрических зарядов и отчетливо понимать пределы примени- применимости обычных формул без привлечения этих гипотез./ Некоторые разделы, обычно включаемые в книги по электричеству и магнетизму, просто опущены. Так, совершенно не затрагиваются пи элек- электролитическая проводимость, ни фотоэлектрические и термоэлектрические эффекты и т. д., хотя в общем и предполагаются у читателя элементарные познания в этих вопросах. Трактовка же их на том уровне, на котором на- написана остальная часть книги, потребовала бы знаний основ физиче- физической химии, термодинамики и квантовой теории. Также опущена теория электрических машин и приборов, включая и вакуумные лампы, так как представляется наиболее целесообразным излагать эти разделы в непос- непосредственной связи с лабораторными курсами. За недостатком места мы не касались операторного метода Хевисайда и динамического метода анализа контуров. Перед тем, как приступить к чтению книги, читатель должен ознако- ознакомиться со всеми употребляемыми системами электрических единиц и отдать предпочтение той или иной системе. Совершенно несущественно, какая система используется в действительности, если только об этом ясно указано. В каждом разделе курса автор выбирал ту систему единиц, с которой легче всего было работать. Так, в гл. I—V употреблялась электростатическая система CGSE, в гл. VII—XII—электромагнитная система CGSM, а в гл. XIII—XV—гауссова система. Во избежание недоразумений внизу каж- каждой страницы указана употребляемая па ней система единиц. Кроме того, в приложении даны достаточно полные таблицы перевода величин из одной си- системы в другую, позволяющие результаты любых вычислений представлять в любых единицах. Чтобы увидеть, насколько употребление рационализи- рационализированных единиц упрощает вычисления, были тщательно исследованы все занумерованные формулы предварительного литографического изда- издания. При этом обнаружилось, что сложность 169 формул уменьшилась, 123—возросла, а 1 196 формул по сложности остались неизменными. Таким образом, существует очень мало данных в пользу рационализированных или нерационализированных единиц. Ответы задач с этой точки зрения не исследовались. . При взятии интегралов или производстве математических преобразо- преобразований всюду практиковались ссылки (при помощи номера) на соответствующие
Предисловие автора к первому ивданию формулы у Пайерса [Р е i г с е, A Short Table of Integrals, Ginn, 1929] или у Двайта [D w i g h t, Table of Integrals and Other Mathematical Data, Macmillan, 1934 (см. перевод: Д в а й т, Таблица интегралов и другие математические формулы, М.—Л., 1948)]. Поэтому желательно, чтобы чита- читатель запасся хотя бы одной из этих книг. Библиография, помещенная в конце каждой главы, ни в коей мере не является полной, но включает в себя почти все те книги, которые, по мнению автора, содержат полезный дополни- дополнительный материал или поучительное изложение вопроса. Автор принял все меры, какие только знал, чтобы исключить ошибки, однако он совершенно уверен, что они еще остались, поэтому он будет благодарен всякому, указавшему их. Вильям Р. Смайт. АВГУСТ 1939
ОБОЗНАЧЕНИЯ Символы, напечатанные жирным шрифтом, применяются для обозначе- обозначения векторов (v, и, <р, ...) всюду, за исключением гл. X, где жирным шрифтом обозначены комплексные амплитуды (I, 8, ...) или сопряженные- им величины (I*, fe*, ...). В последующих главах знаком ~ отмечаются Ч> V V v v комплексные амплитуды (/, Щ, ...) и комплексные векторы (Е, В, П, ...), а знаком <~ — комплексно-сопряженные амплитуды (/, Щч ...) и комплексно- сопряженные векторы (Е, В, П, ...). Величины векторов и скаля- скаляры как зависящие, так и не зависящие от времени не отмечаются никак. А, Ач, Ах и т. д.—вектор-потенциал. А0 -нормированный вектор-потенциал. alf ах и т. д.—квазивектор-потенциал. В, By, Вх и т. д.—магнитная индукция. В—реактивная проводимость. В0—нормированная или относительная реактивная проводимость, BZh. С—емкость. Постоянная величина. С0—нормированная или относительная емкость. с—скорость света. Длина. спп—собственная емкость. В § 8 гл. IX—оператор. стп—взаимная емкость. В § 8 гл. IX—оператор. D, ?)9, Dx и т. д.—электрическая индукция. ds—дифференциальный элемент длины вдоль s. dr—дифференциальное изменение г. Е, Е, Е, Е и т. д.—напряженность электрического поля. Е {к)—полный эллиптический интеграл. е—заряд электрона; основание натурального лога-^ рифма 2,71828. 8, Ш, 8, Ш и т. д.—электродвижущая сила. Ше—эффективное значение электродвижущей силы. F, Fx—сила. G—активная проводимость, Y — G-\- JB. g—ускорение силы тяжести. Н, Н, Н, Н и т. д.—напряженность магнитного поля. {р), Н{п\Н™(v)—функции Ханкеля. h—постоянная Планка. hlt h2, h3—применяются в ортогональных криволинейных, координатах. Элементы длины при этом равньь hsdua, hadu3.
10 Обозначения n\ hn\v), An2), h'n\v)—сферические функции Ханкеля. 1,1, 1,1 и т. д.—электрический ток. 1е—эффективное значение силы тока. ie—эффективное значение плотности тока. i, i, i, ix и т. д.—плотность тока. Ток. i, j, k—единичные векторы по осям х, у, z. Jn, Jn(v)—функции Бесселя. /=(-1I/2. in' jn(v)—сферические функции Бесселя. К—относительная диэлектрическая проницаемость, К (к)—полный эллиптический интеграл. Кт-—относительная магнитная цроницаемость [л/[л„. Кп, Кп (р)—модифицированные функции Бесселя. кп, кп («)—модифицированные сферические функции Бесселя. к—постоянная Больтцмана. L, Lnn, Ln-—самоиндукция. Lmn—взаимная индукция. LP—нормированная или относительная самоиндук- самоиндукция. I, т, п—направляющие косинусы (с осями х, у, z). М, М—намагниченность. М—взаимоиндукция. шх, ш, ю, т, т и т. д.—момент диполя или петли. т', т'—классический магнитный дипольный момент (гл. XII). т—масса. Число (обычно целое). N—поток электрической или магнитной индукции. п—единичный вектор в направлении нормали. п—показатель преломления. Число. пп, nn{v)~~сферическая функция Бесселя. 2!! = 2-4.6...2п. ) = 1-3-5 ...Bп+1). Р—поляризация. Р, Р—м ощност ь. Р—средняя мощность. Рп, Р™ ([>•)—присоединенная функция Лежандра. р, р—импульс. Количество движения. р-—число. шр,-у. ш. Q—электрический заряд. Добротность полого резо- резонатора. Q—квадрупольный момент. Q™, Qn {&)—присоединенная функция Лежандра. q—точечный или переменный заряд. Я, Rr, Rnn, Rmn—активное сопротивление. R, R (г)—функция только г. Rn, Rn(v)—решение уравнения Бесселя. ¦ i?? Rn, («)—решение модифицированного уравнения Бесселя. R, i?—расстояние между двумя точками. г, г—расстояние от начала координат. S—площадь поверхности. < Sc, So—поперечное сечение полости. S, Sn, S™— поверхностная Гармоника.
Обозначения 11 S, Sn, Smn, Snn—потенциальный коэффициент. snn—собственный потенциальный коэффициент. smn—взаимный потенциальный коэффициент. s—расстояние вдоль кривой. Число. Т, Т—механический момент. Т—абсолютная температура. Период. t—время. ТЕ—поперечно-электрическое ноле. ТМ—поперечно-магнитное поле. te — индекс для величин, относящихся к полям ТЕ. tm—индекс для величин, относящихся к полям ТМ. U—фувкция потока, или потенциальная функция. [U]—ф dU по кривой постоянного значения V. и, и—скорость. и =¦ cos Ь. м1? м2, м3—ортогональпые криволинейные координаты. V—потенциальная фувкция, или функция потоки. [V]—ф dV по кривой постоянного значения U. v—объем. v, v—скорость. W, W, W, W—решения скалярного волнового уравнения. W— энергия. U + j'V ¦ Wte-—решения, описывающие волны ТЕ. Wtm—решения, описывающие волны ТМ. X—реактивное сопротивление. х, у, z—прямоугольвые координаты. Yn, Yn(i)—функции Бесселя. Y, Y—полная проводимость, G-\-j'B. Y°—нормированная или относительная полная про- проводимость, YZk. Z, Z—вектор Герца. Z, Z, Z, Znn, Zn—полное сопротивление. Zh—характеристическое или волновое полное сопро- сопротивление. Z0—нормированное или относительное полное сопро- тивление, Z/Zh. Z, Z(z)—функция только z. z—комплексная переменная, х -f- /у. а' с ^' ' ff—часто используются для обозначения углов. Р—отношение у/с. Отношение (ц — ^в)/(^ + ^„). Р—волновое число для плоской волны, w(pisI/2. pm«— волновое число в волноводе, (р2 — РтпI/2. Ртп—критическое волновое число. Pmnp—собственное волновое число полого резонатора. Г, Г—комплексная постоянная распространения. Y—электрическая проводимость. А, Дгч—детерминант. Малая часть чего-либо. 8—толщина скин-слоя. Разность фаз. 8—малая величина. Малая часть чего-либо.
12 Обозначения 8™—символ Кронекера, равный нулю при тФп, и единице при т = п. е—диэлектрическая проницаемость. Малая величнна. ev~диэлектрическая проницаемость вакуума. е, еп—фазовый угол. 0, 0F)—функция только б. 6—полярный угол. 6—единичный вектор в направлении б. 6, 6', б"—углы падения, отражения и преломления. %—магнитная восприимчивость, A — р2)/2. X—длина волны. Хпп—критическая длина волны. \—длина волны в волноводе. Xmnp—резонансная длина волны в полом резонаторе. [J.—магнитная проницаемость, cos б. ;1„—магнитная проницаемость вакуума, 4тг-10~7. v—частота в периодах в секунду. vmn—критическая частота. vm«p—резонансная частота полости. Е, S (I)—функция только 5. ?, С, ср—сплюснутые сфероидальные координаты. 5, Ъ 9—вытянутые сфероидальные координаты. П, П, П—вектор Умова—Пойнтинга. П—эффективное значение вектораУмова—Пойнтинга. р—расстояние от осей z или б. Плотность заряда. Рх—единичный вектор в направлении р. о—поверхностная плотность электрического заряда. ?—площадь или удельное поверхностное сопротив- сопротивление. 1—удельное объемное сопротивление. Плотность. Время. Ф(9)—функция только ср. 9—единичный вектор в направлении ср. ср—азимутальный угол. Фазовый угол. Ф—скалярный потенциал. Q—магнитодвижущая сила. Телесный угол, ы—частота в радианах в секунду. V—векторный оператор, \д/дх-{- jd/dy + kdjdz. ^2—двухмерный векторный оператор. а-Ь—скалярное произведение а и Ь. а X Ь—векторное произведение а и Ь. V8—оператор Лапласа. [v]—запаздывающее значение v.
Глава I ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ § 1. Электризация. Проводники и изоляторы. Слово «электричество» происходит от греческого слова, означающего янтарь. Около 600-х годов до нашей эры Фалес Милетский, невидимому;* первый открыл, что янтарь, если его потереть, притягивает к себе легкие тела. В настоящее время изве- известно, что этим свойством в той или иной степени обладает большинство веществ. Если потереть куском шелка стеклянную палочку или металлическую па- палочку со стеклянной ручкой, то обнаружится, что они притягивают к себе маленькие кусочки бумаги. Поэтому их называют наэлектризованными. В случае металлической палочки состояние электризации может быть уничто- уничтожено прикосновением пальца. Далее, держа в руках куски различных ве- веществ и дотрагиваясь ими до наэлектризованной металлической палочки, можно обнаружить, что металлы и влажные предметы уничтожают электри- электризацию, а такие вещества, как стекло и шелк,—не уничтожают. Вещества, снимающие электризацию, называются проводниками, а вещества, не сни- снимающие ее,—изоляторами. Существуют, однако, и такие вещества, которые снимают электризацию очень медленно и поэтому с одинаковым правом могут быть названы плохими проводниками или плохими изолято- изоляторами. Таким образом, нет определенной границы между этими двумя груп- группами веществ. * § 2. Положительное и отрицательное электричество. Потрем стеклянную палочку шелком и коснемся этой палочкой или этим шелком какого-нибудь лег- легкого проводящего тела, например позолоченного шарика, подвешенного на шелковой нитке,—он окажется наэлектризованным. Два шарика притяги- притягиваются, если один из них наэлектризован стеклом, а другой шелком, и оттал- отталкиваются, если оба наэлектризованы стеклом или шелком. Отсюда следует, что существуют два рода электричества и что тела, одинаково наэлектризо- наэлектризованные, отталкиваются, а противоположно наэлектризованные—притяги- наэлектризованные—притягиваются. Проводя опыты со многими веществами, мы приходим к выводу, что существуют только два рода электричества. Электричество на стеклянной палочке принято называть положительным, а на шелке—отрицательным. § За. Закон Кулона, единица заряда, диэлектрики. Далее оказывается, что сила, действующая между шариками, быстро уменьшается при удалении их друг от друга. Кулон при помощи крутильных весов исследовал эти силы и нашел, что сила взаимодействия двух наэлектризованных тел пропорцио- пропорциональна произведению их зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль линии, соединяющей эти тела. Этот закон известен под названием закона Кулона. Его форму- формулировка содержит в себе определение количества электричества или электрического заряда: электростатической единицей заряда является та- такое количество электричества, которое отталкивает равное ему количество
14 Глава I электричества, находящееся в вакууме на расстоянии одного сантиметра, с силой в одну дину. Практической единицей электричества является кулон, равный 0,3 • 1010 электростатических единиц. Этот закон обратных квадратов остается справедливым и в однородных изотропных непроводящих средах, но там сила, действующая между оди- одинаковыми зарядами, меньше по величине, и ее в единицах MKS можно записать в виде где F—сила, действующая на заряд q' кулонов со стороны заряда д, г— вектор, направленный от q к q', г—его величина (в метрах), rt—единичный вектор вдоль г, е—диэлектрическая проницаемость, являющаяся постоян- постоянной характеристикой среды. Для вакуума эта величина (обозначим ее е„) численно равна 8,85 ¦ 10~12 фарад 1м. Относительная диэлектрическая проницае- проницаемость К, равная отношению е/ев, является величиной безразмерной и не зависящей от выбора системы единиц. § 36. Пределы применимости закона Кулона. Точность измерений Кулона значительно превзойдена современными методами, и, как недавно было под- подтверждено, величина показателя у г в формуле A.1) равна 2 с точностью до 10~9. Однако нужно помнить, что закон Кулона можно применять с уверен- уверенностью лишь в пределах тех размеров, при которых он подтверждается. Закон строго применим только к заряженным телам, размеры которых значительно меньше расстояния между ними. Форма же и состав этих тел несущественны. На протяжении всей книги мы постараемся избежать построе- построения какой бы то ни было макроскопической теории, основанной на предполо- предположении применимости закона Кулона для атомных расстояний. § 4. Электростатическая индукция. Электрические заряды в проводни- проводниках могут свободно перемещаться. Поэтому при поднесении электрического заряда к незаряженному проводнику заряды противоположного знака пере- переместятся в нем ближе к поднесенному заряду, а одинакового знака—дальше от него, хотя в целом проводник останется, конечно, незаряженным. Так как по закону Кулона сила взаимодействия тем больше, чем меньше расстояние между зарядами, то в результате незаряженный проводник будет притяги- притягиваться к заряду. Появляющиеся при этом на проводнике заряды называются индуцированными. Если заряд, индуцированный на удаленных частях про- проводника, не снят (например, прикосновением руки), то при удалении инду- индуцирующего заряда проводник возвращается в нейтральное состояние. Если же, оставляя индуцирующий заряд на месте, отделить друг от друга ближние и дальние части проводника, следя за тем, чтобы они оставались изолированными, то обнаружится, как и следовало ожидать, что обе части несут на себе заряды противоположного знака. Приншга действия многих «электростатических машин» заключается в автоматическом повторении этой операции и накапливании разделенных зарядов. Используя значительно более чувствительные методы, можно обнаружить, что заряд обладает небольшой притягивающей силой также и по отношению к незаряженным изоляторам1). Это показывает, что даже в изоляторах при- г) Нетрудно видеть, что для обваружения силы взаимодействия между электриче- электрическим зарядом и везаряженным изолятором нет необходимости в более чувствительных методах. При относительной диэлектрической проницаемости К, не слишком близкой к единице, эта сила того же порядка, что и сила взаимодействия заряда с металлом. См., в частности, задачу, приведенную в § 5 гл. IV. —Прим. перев.
Основные положения электростатики 15 сутствуют электрические заряды и что они не являются абсолютно неподвиж- неподвижными, а могут испытывать некоторые смещения. Мы не будем здесь обсуждать гипотез, относящихся к действительному поведению зарядов в проводниках и изоляторах. Теории этих явлений еще несовершенны, хотя и значительно продвинуты по сравнению с 1930 г. § 5. Элементарные электрические заряды. Как было обнаружено, элек- электрический заряд не может быть бесконечно делимым. Наименьшим извест- известным нам отрицательным зарядом обладают отрицательный электрон и мезон. Впервые этот заряд с большой точностью был определен Миллике- ном. Принятое в настоящее время его значение равно 1,60-10~19 кулонам. Наименьшим известным нам положительным зарядом обладают позитрон (или положительный электрон) мезон и протон. С очень высокой степенью точности все элементарные заряды равны по величине. Масса электрона, а также, повидимому, и позитрона равняется 9,1 • 10~31 кг. Масса протона при- приблизительно в 1850 раз больше массы электрона. При рассмотрении электрических задач мы будем считать электриче- электрические заряды бесконечно делимыми и пользоваться понятием плотности за- заряда. Ясно, что это справедливо лишь в том случае, если приходится иметь дело с величинами зарядов, значительно превышающими 1,60-10~19 кулон. В пределах же атомных размеров, например, подобное рассмотрение, ко- конечно, становится бесполезным. Как мы уже видели, электрические заряды могут свободно перемещаться в проводнике, и, поскольку они обладают инерцией, естественно ожидать, что при ускорении тела заряды будут отста- отставать от него, создавая тем самым электрический ток, который можно обна- обнаружить по магнитному полю. Этот эффект, оказавшийся очень незна- незначительным, был предсказан еще Максвеллом, но обнаружен и измерен лишь вскоре после его смерти Толменом, Барнетом и другими. Результаты опытов показали, что подвижное электричество в проводнике—отрицательное и что отношение электрического заряда к его массе совпадает, в пределах погреш- погрешности эксперимента, с соответствующим отношением у электрона. Почти все явления, с которыми нам придется иметь дело в этой книге, связаны с распределением или движением электронов, а положительные заряды проявляются лишь как недостаток электронов, хотя с математиче- математической точки зрения совершенно безразлично, осуществляется ли перенос электричества отрицательными зарядами или положительными или зарядами обоих знаков одновременно. § 6. Напряженность электрического поля. Если на бесконечно малый электрический заряд, помещенный в некоторую область пространства, действует сила, то говорят, что в этой области существует электрическое поле. Напряженность электрического поля в некоторой точке определяется век- вектором, равным силе, отнесенной к единице заряда и действующей на поло- положительный заряд, расположенный в данной точке. Этот заряд должен быть достаточно мал, чтобы его присутствие не вызывало перераспределения дру- других зарядов. Последнее ограничение необходимо из-за явления электроста- электростатической индукции. Подобно тому, как действие на тело нескольких механических сил может быть сведено к действию одной результирующей силы, являющейся их векторной суммой, результирующая напряженность электрического поля, созданного некоторым распределением зарядов, может быть получена как векторная сумма напряженности полей, созданных отдельными элементами этого распределения. Таким образом, напряженность электрического поля в точке Р, созданного п зарядами, находящимися в бесконечной однородной
16 Глава I среде с диэлектрической проницаемостью е, равна A.2) где Ер — напряженность электрического поля (в вольтах ва метр), rt — вектор, равный по модулю rt и направленный из точки Р к заряду qt. § 7. Электростатический потенциал. При перемещении заряда в элек- электрическом поле совершается работа. Потенциалом (в вольтах) точки Р электро- электростатического поля называется работа (в джоулях на кулон) по перемещению заряда из точки нулевого потенциала в точку Р. Выбор точки нулевого потенциала — дело удобства. Очень часто, хотя и не всегда, она выбирается на бесконечности. Величина заряда долж- должна быть достаточно малой, чтобы не выз- вызвать перераспределения электричества. Во избежание явлений неэлектростатического характера перемещать заряд нужно очень медленно. Вычислим потенциал поля точечного заряда q. Работа dV, необходимая для пе- перемещения единичного заряда на расстояние ds в поле Е, равна — Е ¦ ds или — Eds cos 6, где б —угол между Е и ds. В случае поля точечного заряда она равна где г — вектор, направленный от заряда q к элементу пути ds, и б — угол между г и ds, как показано на фиг. 1. Очевидно, что dr = ds cos 6, поэтому для потенциала (в вольтах) имеем ? О г0 Если выбрать г0 бесконечным, то (L4) Электростатический потенциал является скалярной функцией точки и не зависит от пути, по которому заряд приносится в эту точку. Потенциал в любой точке электростатического поля может быть получен путем сложения потенциалов отдельных зарядов, создающих поле; таким образом, п Fp = J_2-fr-, A.5) где jv — расстояние между Р и qt (в метрах). Поскольку скалярная сумма значительно проще вокторной, то ясно, почему при вычислениях предпочитают иметь дело с выражением A.5), а не с A.2). Напряженность поля в точке Р можно найти из выражения A.5) Е= -gradF= -W. A.6) В прямоугольных координатах компопенты напряженности поля равны Е = —— Е = , Е = • A-^) х дх ' v ду z dz
Основные положения электростатики 17 Компоненты градиента в любой другой фиксированной координатной системе можно получить, если выразить V, х, у и z через координаты этой системы. Методы перехода от одной системы координат к другой приведены в § 4 и 5 гл. Ш. Если расстояние между элементарными зарядами мало по сравнению со всеми остальными рассматриваемыми размерами (что обычно и имеет место на практике), то распределение зарядов можно считать непрерывным и можно говорить об их объемной плотности р (заряд на единицу объема) и о поверх- поверхностной плотности а (заряд па единицу поверхности). Сумма A.5) переходит в этом случае в пптеграл i С*!* C?, A.8) 1 4гаг J r ^ 4та v S где dv — элемент объема, dS — элемент поверхности. Необходимо заметить, что эти формулы применимы только тогда, когда все окружающее простран- пространство, а также находящиеся в нем материальные тела имеют диэлектрическую проницаемость е. В противном случае нужно применять методы, развитые в гл. IV и V. § 8а. Электрические диполи и мультиполи. Сложим потенциалы поля, создаваемого зарядом — q, находящимся в точке х0, у0, z0, и поля, создава- создаваемого зарядом -\-q, ваходящимся в точке xo + dxo, у0, z0. Тогда в некоторой точке Р с координатами х, у, z результирующий потенциал будет равен V или 4тау = -1-+ * f-S-W-—= - qdx° дðР-gdXa{x-Xa) - gdx° дг°р op " ¦ op " op op ° op op Если устремить dx0 —> 0, a q —> oo так, чтобы их произведевие q dx0 оста- оставалось конечным, то получится система, известная под названием электри- электрического диполя. Мощность или момент этого диполя определяется векторной величиной m = q dx0, направленной от отрицательного заряда к положи- положительному. В полярных координатах потенциал, в точке г, б, созданный ди- диполем, помещенным в начале координат, раве.н у_ nifos6 ^ m-r A g. Очевидно, это выражение может быть обобщено, так что, если потенциал Vp в точке Р, созданный системой п зарядов, дается выражением A.5), где /v — радиус-вектор из q- в Р, то потенциал V'p, созданный системой п ди- диполей, таких же по знаку и по величине и расположенных в тех же точках пространства с осями, параллельными оси х, будет равен Путем дифференцирования выражения для потенциала единичного элек- электрического диполя, представленвого в прямоугольвых" координатах, можно получить потенциал единичного квадруполя, размерность которого QL2. Таким образом, выражения дхду И Т. Д. представляют потовциалы линейного квадруполя (фиг. 2, а) и поверхност ного квадруполя (фиг. 2,6). Дальнейшее дифференцирование приведет к по 2 в. Смайт Библиотека профессора Саночкина Ю.В.
18 Глава I тонциа'ам более сложных мультгшольных систем, суммарный заряд которых всегда равен нулю. Другие случаи будут рассмотрены в § 13. Сила, действующая на диполь m в поле Е, равна векторной сумме сил, действующих па каждый из зарядов, образующих диполь. Так как заряды равны и противоположны, она сводится а векторной разности напряжеп- ностой полей (ds • V)E на двух концах диполя, умноженной на q', таким образом, F = #(ds ¦ V)E = (m- V) Е. A.11) В однородном поле эта сила равна нулю. У ах dx Фиг. 2. В однородном поле заряды находятся под действием сил -f- gE и — gE, приложенных на расстоянии efcsinO F —угол между ds и Е). Поэтому на диполь действует механический момент ) = юхЕ, A.12) где t — единичный вектор, нормальный к m и Е, § 86. Взаимодействие диполей. Потенциальная энергия диполя в про- произвольном поле с потенциалом V равна суммарной работе, совершаемой при внесении в это поле каждого из зарядов в отдельности. Если потенциал поля в точке Pv где расположен заряд +<7> равен F1? а в точке Р2, где расположен заряд — у, равен F2, то ¦ • &V dV ' S7 " m л7 ' (^ • ^) ндесь m — дшгольный момент, a s отсчитыкаетея в направлении оси диполя. В задкторных обозначениях это можно записать в виде W = (m-V)F. A.14) Пусть mt и т2 — моменты двух диполей А и В, а г—вектор, направленный из Л в В. Тогда потенциал в точке В, созданный диполем А, согласно A.9), равен i^ ^ (i) A.15) Подстановка этого выражения для V в A.14) дает A-ksW = + m2 • V (тх • ry~s) = m2 ¦ (rVm1 • г + хщ = m2 • (m^" — nij ¦ r3ir) = m1 ¦ m2r~3 — ?m1 ¦ rm2 • rr'&. Если mt и m2 образуют с г углы б и б', а ср —угол между ними, то — 3 cos 6 cos 0'). (l.W) Обозначим через ф угол между плоскостями, содержащими nij и m2 и uepe секающимися вдоль г; тогда, беря г в направлении -х, a mt — лежащим в
Основные положении электростатики 19 плоскости ху, для направляющих косинусов получим Z1=cosft, /2 = cos&', ml = sin 6, m2 = sin 6' cos ф, тгх = 0. Таким образом, cos cp = Zj/2 -f- TOj/Wg -f и^ = cos б cos 6' -f sin 6 sin 0' cos ф, ose'). A.17) Сила, действующая между двумя диполями, получается путем дифферен- дифференцирования ^ |^. A.18) Она имеет максимум при ф = 0, 6 = 6' = О. Аналогично определяется момент, стремящийся повернуть диполь в направлении а, Т=-^-. A.19) да v ' § 9. Силовые линии. Одним из наиболее полезных способов наглядно- наглядного представления электрического поля является изображение его при по- помощи «силовых линий» или «эквипотенциальных поверхностей». Силовая ливия электрического поля —это такая ваправленная кривая, касательная к которой в любой точке совпадает по направлению с напряженностью электрического поля в этой точке. Отсюда следует, что если ds—элемент дуги этой кривой, го ds = XE, A.20) где X — скалярный множитель. Выразив векторы через их компоненты в прямоугольной системе координат и исключив X, мы получим дифферен- дифференциальное уравнение силовых линий их dy dz .. «.. Аналогичные уравнения можно ваписать е в других координатных систе- системах, если воспользоваться результатами § 3 и 5 гл. III. Существуют более простые методы получения уравневий силовых линий, не требующие интег- интегрирования этих уравнений. Однако один пример на их непосредственное интегрирование мы все же приведем здесь. Рассмотрим поле, созданное двумя зарядами: + q в точке х = а и ± g в точке ж=—а. Поскольку в силу симметрии поле одинаково в любом сечении, содержащем ось х, то, в частности, за это сечение можно принять плоскость ху. Сумма ж-со- ставляющих напряженности электрических нолей, созданных двумя этими зарядами в любой точке пространства, равна Ех, где Или, произведя замену и » = ^. A-22) получим qv . qu \2 у2/1_|_м2|°/2 Аналогично
20 Глава I Уравнение A.21) примет вид d-L — ^" = dx ~~ Ex ~ \ Фиг. 3. Поле двух равных зарядов противоположного знака. Силовые линии изображены сплошными кривыми, а эквипотенциальные линии—пунктирными Решив A.22) относительно у и х и взяв отношение их дифференциалов, получим dy dv— du dx ' udv—vdu ' Сравнивая эти два выражения для dyjdx, мы видим, что du _ /1 -1-м2 у/2 Разделяя переменные и интегрируя, находим в A + »2)-1/f ± »A + v2)'1'2 = С •
Основные положения электростатики 21 Или, возвращаясь к х и у, -Ч* = С. A.23) На фиг. 3 и 4 показаны силовые линии, описываемые этим уравнением; на каждой из них указаны соответствующие значения величин С. Более простой метод получения этого уравнения при помощи теоремы Гаусса о потоке электрической индукции приводится в § 116. Фиг. 4. Поле двух равных зарядов одного знака. Силовые'линии изображены сплошными кривыми, а эквипотенциальные линии—пунктирными Левую часть уравнения A.23) можно переписать в виде (ж + а) г-* A + 2ахгг2 + о8/--2)-1/* - (ж- о) г A - 2ахг~2 4- а2 л-2)-1'*, здесь г2 = ж24-?/2. Если устремить о—>0 и представить радикалы в виде рядов но степеням а (см. Двайт, 9.03), а затем пренебречь членами поряд- порядка я2 и выше, то, введя новую постоянную С вместо С/Bа), мы получим уравнение ^С'^:^-0 A.24) < , г3 г ' ' являющееся уравнением силовых линий электрического диполя, показанных на фиг. 5. § 10. Эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальной поверх- поверхностью называется такая поверхность в электрическом поле, все точки ко- которой имеют одинаковый потенциал. Следовательно, эквипотенциальная
22 Глава I поверхность описывается уравнением A.25) где С — постоянная. В последующих главах будут приведены картины раз- различных электрических полей с нанесенными на них эквипотенциальными п силовыми линиями. Заметим, что поскольку при движении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не затрачивается никакой работы, силовые линии должны быть к ним ортогональны. В качестве примера использова- использования уравнения A.25) возьмем только что рассмотренный случай. Точки, потенциал которых равен С, определяются уравнением Это уравнение эквипотенциальных поверхностей, сечение которых показано Фиг. 5. Силовые линии электрического диполя. на фиг. 3 и 4 при помощи пунктирных линий. Значения С даны для величины заряда q = 4тс. В электростатическом поле часто можно отыскать такие точки или линии, где эквипотенциальные поверхности имеют по крайней мере двойное пересечение и где, следовательно, VF становится равным нулю. Их назы- называют нейтральными, равновесными или сингулярными (особыми) точками или линиями. Такой точкой является, например, начало координат на фиг. 4. В § 24е гл. V будут рассмотрены некоторые свойства этих точек. § 11а. Теорема Гаусса о потоке электрической индукции1). Мы будем доказывать эту теорему, исходя из закона обратных квадратов и предполагая, что все' пространство заполнено однородным диэлектриком. Последнее предположение будет в дальнейшем снято. Рассмотрим малый элемент dS замкнутой поверхности (фиг. 6), внешняя нормаль к которой образует угол а с радиус-вектором из точки Р, в кото- которой расположен точечный заряд д. Каждую точку границы элемента dS соединим прямой линией с точкой Р, так чтобы образовался малый конус. Этот конус имеет сечение d^ со сферической поверхностью, проходящей через точку Q и имеющей центр в точке Р; поэтому d^]=dS cos а. Нормаль- Нормальная составляющая напряженности поля, созданного в точке Q зарядом q, *) Определение вектора электрической индукции будет дано с § 14. В оригинале а"втор пользуется понятием электрического потока (electric flux).—Прим. перец.
Основные положения электростатики 23 находящимся в точке Р, равна Р qr-n q COS a п = 4nir3 = 4тсег2 " Нормальная компонента потока сквозь площадку dS определяется, как Телесный угол, под которым В1чдна площадка dS та точки Р, равен Q ^]2, так что Если точка находится внутри замкнутой поверхности, то конус пересекает а. Фиг. 6. поверхность п раз, причем и —число нечетное; угол а оказывается 1 I у(п~|-1) раз острым и у (и — 1) раз тупым, так что суммарная величина потока в конусе равна (q/ir.)dQ. Если же точка находится вне поверх- поверхности, то и —число четное, и количество отрицательных и положительных значений dQ одинаково; поэтому их суммарный вклад равен нулю. Чтобы получить полный поток сквозь поверхность, окружающую заряд, нужно проинтегрировать по ней нормальную компоненту Еп, что дает i я 4тг \ dN = q \ dQ или N = q. S О Добавляя сюда поток, обусловленный всеми зарядами, находящимися внутри S, мы получаем теорему Гаусса, гласящую, что если на произволь- произвольной замкнутой поверхности задана напряженность электрического поля Е, то е \ F,-ndS = < S A.27)
24 Глава I где n — единичный вектор внешней нормали к поверхности, а интегрирова- интегрирование производится ио всей поверхности, охватывающей заряд q. Если пространство вне рассматриваемой 1юверхности является неодно- неоднородным и содержит различные диэлектрические и проводящие тела, то необходимо ввести определенные предположения относительно электрических свойств веществ в электростатических полях. Поэтому при рассмотрении таких полей мы будем считать, что природа всех тел чисто электрическая и что они состоят из положительных и отрицательных зарядов, ноля кото- которых подчиняются закону обратных кяадратов. Ята гипотеза позволяет объяснить электростатические явления в любом материальном теле путем сложения полей всех составляющих его зарядов. Следовательно, уравнение A.27) остается в силе независимо от природы диэлектрических или прово- проводящих веществ, находящихся вне рассматриваемой поверхности, так как оно учитывает поля, созданные внешними зарядами. Принятая нами гипотеза содержится в явном или неявном виде в большинстве курсов по электро- электростатике. § 116. Силовые линии системы коллинеарных зарядов. Для иллю- иллюстрации применения этой теоремы воспользуемся ею при нахождении урав нения силовых линий систе- мы коллинеарных электриче- электрических зарядов <7ц <7г> Яз' ¦ ¦ •> расположенных в точках хх, х2, х3, ... оси х. Из симмет- симметрии системы ясно, что ни од- одна силовая линии не может пересечь поверхность, образо- образованную вращением вокруг оси х силовой линии, лежащей в плоскости ху. Применяя теорему Гаусса к объему, ог- ограниченному этой поверх- поверхностью вращения и плоско- плоскостями ж = 4 и ж - В (фиг. 7), мы получим, что полный ноток N, входящий через сечение А, равен полному потоку N, выходящему через сечение В, так как поток сквозь боковые стенки равен пулю. Для получения уравнения поверхности необходимо, таким образом, приравнять N постоянной величине. Как следует из A.2), N равняется сумме потоков от каждого из зарядов в отдельности, поэтому, по только что доказанной теореме Гаусса, получаем Фиг. 7. здесь Q1% 62, 63, ...—телесные углы, иод которыми видно сечение из ху, х„, xs, . . . Переходя к углам аг, сс2, а3, . . . (см. фиг. 7), получим > = С"—-^ У о. COS a.. Объединив постоянные в левой части уравнения и выразив косинусы чере;$ координаты х, у плоскости ху, мы приходим к уравнению силовых лилий п C^^q.ix-x^Kx-x^ + y^lK A.28) Уравнение A.23) является его частным случаем.
Основные положения электростатики 2S § Ив. Силовые линии на бесконечности. Введем г = [(ж — жJ + у2]1!* и будем пренебрегать значениями [(ж— ж;)/г]п при ж — ж; <С J" и тг>>2, тогда можно написать п п п vi /— \ ^ — ж" VI , л пгч 2 ^ (*¦-*<)=-=--2 ?» (-1-29) i=l i=j где ж — координата «центра тяжести» зарядов. Таким образом, поле на бесконечности совпадает с полем заряда, помещенного в центре тяжести зарядов и равного их алгебраической сумме. Это положение можно распро- распространить и нк неколлинеарные заряды. Действительно, разбивая произволь- произвольную систему зарядов на пары п применяя в каждой паре формулу A.29), а затем группируя попарно центры тяжести предыдущих пар и т. д., мы придем в конце концов к центру тяжести всей системы. § 12. Максимумы и минимумы потенциала. Теорема Ирншоу. Рас- Рассмотрим маленькую сферическую поверхность, охватывающую точку Р электрического поля. Среднее значение потенциала на этой поверхности равно ] я о о Беря производную и применяя теорему Гаусса, получим dV I С c'dV . Л ,n , 1 Г dV ,c q -т- = г- \ \ т-sin " db d® = -.—s \ -г- dS — — —г— , dr in J J dr ~ Anr2 ) dr 4uer2 S 0 0 где q -заряд внутри сферы. После интегрирования приходим к результату В случае q = 0 среднее значение потенциала на малой сфере, охватывающей точку Р, такое же, как и в точке Р. Отсюда вытекает теорема о том, что- потенциал не может иметь ни максимума, ни минимума в тех точках про- пространства, где отсутствуют электрические заряды. IIз определения потен- потенциала следует, что для устойчивого равновесия положительный заряд должен находиться в точке минимума потенциала, а отрицательный—в точке, где потенциал максимален; при атом потенциал самого заряда, очевидно, исклю- исключается из рассмотрения. Поскольку по доказанному выше в электростати- электростатическом иоле нет ни максимумов, ни минимумов потенциала, то отсюда следует также теорема Ирншоу, утверждающая, что заряд в электрическом поле не может удерживаться в равновесии одними электрическими сплами. Следовательно, если мы считаем природу вещества чисто электрической, т. е. все тела состоящими из положительных и отрицательных зарядов, между которыми действуют электрические силы, то эти силы взаимодействия должны быть отличны от электростатических. § 13. Потенциал двойпого электрического слоя. В § 8а мы видели, что потенциал диполя можно получить из потенциала одиночного заряда путем дифференцирования в ваправлеиии оси диполя. Подобным же образом мы получаем, что если потенциал точки Р, созданный элементом поверхности. dS с плотностью заряда с, равен dV^-г^- dS,
26 Глава I где ;—расстояние от dS до Р, то -.— dS -рг- ( — 4пг дп\г является потенциалом точки Р, созданным диполем с моментом adS, направ- направленным вдоль п. Итак, потенциал двойного электрического слоя с моментом Ф (на единицу плошали) равен 4л.е ) дп S Но n-rr3dS = dQ, где dQ — телесный угол, под которым виден элемент поверхности dS из точки Р (см. § 11а). Поэтому F = —V'ErfQ. A.31) 4ле J v ' В случае двойного слоя с постоянным моментом W это дает 4ие v ' где Q — полный телесный угол, под которым виден двойной слой из Р. § 14. Вектор электрической индукции и силовые трубки. Очень часто приходится иметь дело с произведением диэлектрической проницаемости на напряженность электрического поля. В слу- случае изотропных диэлектриков это произведе- D2 ние называют вектором электрической индук- индукции D или вектором электрического смещения; таким образом, D==eE. A.33) В системе единиц MKS индукция D измеряется в кулонах на квадратный метр, а напряжение электрического поля Е —в вольтах на метр. Линии электрической индукцки аналогичны Фиг. 8. линиям напряженности электрического поля; в изотропных диэлектриках они совпадают по направлению, но в силу того, что е больше е„, линии электрической индукции расположены плотнее. Взяв малый элемент площади, нормальный к линии индукции, и яроведя линии индукции через псе точки его границы, мы выделим в пространстве некоторую область, называемую силовой трубкой (см. фиг. 8). Применим теорему Гаусса о потоке вектора еЕ, т. е. о потоке электрической индукции, к свободному от зарядов пространству, ограни- ограниченному двумя нормальными сечениями такой силовой трубки. Поскольку интеграл по боковой поверхности равен нулю, поток, входящий в один конец трубки, равен потоку, выходящему из другого конца, так что если ¦«Sj и S2 — площади поперечных сечений, то поток в трубке равен В последующих главах будет приведено много фигур, на которых показаны силовые трубки. Единичной силовой трубкой называется трубка, ноток сквозь любое сечение которой равен единице. Сфера единичного радиуса., окружающая заряд q, имеет площадь 4xjk2, поэтому на ней D = qj^kr.. Следовательно, из заряда q выходит q единичных силовых трубок. Таким •образом, заряд на конце единичной мшовой трубки равен одному кулону.
Основные положения электростатики 27 § 15. Натяжения в электрическом поле1). Понятие о силовых линиях и силовых трубках было введено нами лишь для более наглядного пред- представления электрического поля. Возможно, однако, следуя Фарадсяо, пойти значительно дальше в развитии этих идей, а именно — рассматривать трубки как средство передачи электрических сил. Поскольку при решении ряда задач такая точка зрения может быть чрезвычайно полезной, посмотрим, какую систему натяжений надо постулировать для получения наблюдаемых электриче- электрических сил. Выясним, как должно зависеть иатяшение вдоль силовой трубки от на- напряженности электрического ноля для того, чтобы сила взаимодействия между двумя равными зарядами противополож- ного знака, расположенными на расстоя- расстоянии 2о друг от друга, выражалась бы законом Кулона. Обозначим эту зависимость через Ф(Е). Из формулы A.2) напряженность поля в плоскости «симметрии (см. фиг. 9) равна р, 2nq _ q COS3 6 (Tins* О кольцевой элемент площади cos8 В m Выписав силу Кулона в левой части, а натяжения в плоскости yz в пра- правой части уравнения и разделив обе части на 2-ка2, получим т. 12 32кЧа* ~ 2ла2 A.34) Положим x = qlBnsa2) и представим Ф п виде степенного ряда по Е; тогда со -Г./2 1Г = ^5 2 cnEnds=^cn^ \ cos3(-Desinerfo. n=0 ii=0 0 Это равенство должно иметь место для любых значений qua и, следова- следовательно, для любых значений х. Поэтому все Сп = 0, за Х1склгочентгем и = 2. Сокращая на ж2, получаем Итак, A.35) ¦Это и есть то натяжоние"вдоль силовой линии, которое требуется для со- создания в соответствии с законом Кулона гилы притяжения двух зарядов противоположного знака. х) В английской литературе различаются два термина: stress—напряжение и ten- tension—натяжение. Во избежание путаницы с напряжением электрического поля оба «лова всюду переведены как натяжение. — Прим. перев.
28 Глава I Очевидно, что если бы в исследованном нами случае имели место только силы натяжения, действующие вдоль силовых трубок, то эти трубки стремились бы, по возможности, укоротиться и расположились бы в конце концов вдоль линии, соединяющей заряды. Однако мы знаем, что ири равновесии силовые линии заполпяют все пространство вокруг зарядов, следовательно, между ними должны существовать пекоторые силы отталки- отталкивания, препятствующие их стягиванию. Для определения этого давления Чг (Е) рассмотрим силу, действующую между двумя зарядами одного знака. Этот случай отличен от только что рассмотренного, потому что теперь силовые линии оканчиваются на бесконечности. Натяжение, приходящееся на единичную площадку сферы большого радиуса, убывает с расстоянием обратно пропорционально четвертой степени радиуса, как это ясно из выра- выражения A.35) и из закона обратных квадратов. Площадь поверхности сферы возрастает пропорционально квадрату радиуса, так что по этому направле- направлению не передастся никаких сил. Поэтому полную силу можно рассматри- рассматривать как результат отталкивания силовых линий в плоскости симметрии. Из выражения A.2) для напряженности поля в этой плоскости имеем 2qy ~=?c°s2flfn0. A.36) Выполняя действия, аналогичные предыдущим, вместо выражения A.34) получим L J 2зш2 На том же основании, что и раньше, _" (Е) можно представить в виде С2Е2 и тот же самый путь вычисления С2 приводит к эт/2 Таким образом, -~. A.38) Эта величина представляет собой силу отталкивания (на единицу площади) между двумя соседними силовыми линиями, необходимую для получения закона Кулона в случае двух зарядов одинакового знака. Эти результаты можни записать в следующих эквивалентных друг другу формах: еЕ* ED Л» . чч Так как Ф и W являются функциями только е и Е, то они имеют одина ковый вид для любых полей независимо от их источников. § 16. Теорема Гаусса о потоке электрической индукции для неод- неоднородных сред1). Теперь мы уже подготовлены для обобщения теоремы Гаусса о потоке электрической индукции па случай изотропной среды с мс- « г) Оставаясь п рамках макроскопической электродинамики, невозможно доказать тсорому Гаусса о потоке электрической индукции для неоднородной среды, исходя только из закола Кулона. В частности, нрмлодешшй здесь вывод непоследователен, так как при применении теоремы Гаусса к енлешом трубке с переменной диэлектри- диэлектрической проницаемостью е автор уже предполагает, что для незаряженного диэлектрика V-D = O. Вывод теоремы Гаусса о потоке электрической индукции можно найти в книге- И. Е. Та мм а, Основы теории электричества, 1940. — Прим. перев.
Основные положения электростатики 29 няющейся от точки к точке диэлектрической проницаемостью. Предположим, что в такой среде, внутри замкнутой поверхности S, в точке Р расположен точечный заряд q. Окружим точку Р столь малой сферой S', чтобы внутри ¦ее величину е' можно было бы считать постоянной. Затем на поверхности S выделим элемент dS тоже настолько малый, чтобы величина е на нем оставалась постоянной, и рассмотрим силовую трубку, имеющую своими сечениями элементы dS на S и dS' на S' и оканчивающуюся на заряде q. Применил! теорему Гаусса к свободному от зарядов диэлектрику внутри трубки между dS и dS'. Так как нормальная составляю- составляющая D на стенках равна нулю, то единст- единственный вклад в поверхностный интеграл дадут dS и dS', поятому S Интегрируя по двум поверхностям, мы имеем »' dS' — \ еЕ • n dS, 8 Фиг. 10. так как е' одинакова для всех элементов ¦dS'. Но в § 11а было доказано, что интеграл, стоящий и левой части, равен q, так что ^eE-ndS=q, A.40) s где и е и Е являются функциями координат. Это выражение, как и раньше, нетрудно обобщить на тот случай, когда q включает в себя все заряды янутри S. Сложные поля могут быть суммой полей простых источников. Приме- Применение выражения A.40) в таких случаях упрощается, если сначала вычис- вычислить потоки от отдельных источников, а затем просуммировать их: E2-ndS+... Иногда этого бывает достаточно для решения задачи. A.41) § 17. Граничные условия и натяжения на поверхности проводников. Если заряд находится на проводнике в статическом равновесии, то ни внутри проводника, ни вдоль его поверхности не существует никаких полей: в про- противном случае, поскольку по определению заряды в проводнике могут свободно перемещаться, возникло бы движение зарядов, что противоречило бы постулированному состоянию равновесия. Отсюда следует, что проводник целиком находится под одним потенциалом и что силовые линии подходят нормально к его поверхности и оканчиваются на ней. Пусть а — плотность поверхностного заряда (в кулонах на квадратный метр). На' каждую единицу заряда приходится одна единичная силовая трубка, выходящая при положительном значении а из поверхности. Поэтому D = eE=--a. A.42) Поскольку силовые линии выходят из проводящей поверхности нормально к ней, то они могут взатшно пересекаться только на бесконечно острых краях или остриях. Мы видели, что это происходит в математических точках
30 Глава I или ребрах. Ясно, что имеет место и обратное утверждение. На дне V-об- разного желобка или конической впадины- Duo равны нулю. Из § 45 следует, что вдоль силовых линий существует натяжение,, равное по величине F =?.= ?-. A.43) Очевидно, это есть сила, действующая на квадратный метр заряженной 'проводящей поверхности. Она направлена всегда в сторону внешней норма- нормали, независимо от знака поверхностного заряда. Следует заметить, что мы не рассматривали гидростатических сил,. могущих присутствовать в диэлектрике благодаря его способности расши- расширяться или сжиматься в электрических полях. Выражение учитывающее- такие силы, будет получено позже в § 10 гл. П. § 18. Граничные условия и натяжения на поверхности диэлектрика. Применим теорему Гаусса о потоке электрической индукции к малому дискообразному объел.у, плоские поверхности которого имеют площадь dS и расположены с двух противоположных сторон границы раз- раздела двух диэлектриков е' и е" (фиг. 11). Этот диск настолько сплюснут, что площадь его боковой поверхности исчезающе мала по сравнению с площадью оснований. Если на поверхности границы раздела двух сред сво- свободные заряды отсутствуют, то, обозначив нормальные компоненты электрической индукции через D'n и D"n, из § 16 найдем D'ndS = D'n dS или D'n = D'n ¦ A.44) Натяжение на границе, созданное нормальными компонентами индукции* должно равняться разности натяжения по обе стороны от границы; поэтому, пользуясь выражением A.39), получаем _ D'n2 D^_ _ _ Р'„*(г' — г") _ _ Щ? К'—К" . «~ ~2Р ~ ~5Р ~~ W^' 2еи К'К" ¦ { Рассмотрим работу, совершаемую при перемещении единичного заряда вдоль пути, показанного на фиг. 12; участки этого пути, перпендикуляр- перпендикулярные к границе, г радиол агаются исчезают»- малыми. Поскольку энергия сохраняется, то работа, совершаемая при перемещении единичного заряда вдоль этого пути, рав- равна нулю, и, следовательно, E[ds = E'[d& или Фиг. 12. Е\ = Е\. A.46) Давление па границу равно разности да- давлений по обе стороны от нее; поэтому из выражения A.38) имеем Фиг. 11. Рп =~*'Е?-У"Е? = ~Е? A.47) Таким образом, можно сформулировать следующее положение: на неза- незаряженной границе раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора электрической индукции и тангенциальная составляющая напря^
Основные поломсения электростатики 31 женности, электрического поля непрерывны. Эти граничные условия можно- записать при помощи потенциалов дп =- В dV" дп Т7, SV TS., 0V" ИЛИ Л —— = К -х— , дп дп V =V", A.48) A.49) где V и V" — потенциалы в средах в' и в". нуль потенциала в обеих сгедах выбран так, чтобы в некоторой точке границы со- соблюдалось равенство V — V". Далее, пу- путем интегрирования соотношения A.46) убеж- убеждаемся в справедливости условия A.49) для всех точек границы раздела. Пользуясь соотношениями A.45) и A.47), можно выразить нормальные натяжения, воз- возникающие на границе раздела двух диэлек- диэлектриков и направленные из в' в в", в виде Условие A.49) означает, что Фиг. 13. F =Т —Р = — n -*n l п v I)'2 к. Л'2 21 2е' При выводе этой формулы не было принято во внимание, что некото- некоторые диэлектрики обладают способностью сжгшаться или расширяться в при- присутствии электрического поля. В таких средах на границу раздела будут действовать дополнительные силы гидростатического происхождения. Выра- Выражение, учитывающее эти силы, будет получено в § 10 гл. II. На границе раздела двух изотропных диэлектриков силовые линии и линии электрической индукции преломляются одинаковым образом. В сре- среде с ех обозначим угол между Ех (или DJ и нормалью к границе через а1г а соответствующий угол в среде е2 — через <х2 (фиг. 13). Тогда из соотно- соотношений A.44) и A.46) получим D1 cos ax = s1i?1 cos ах = D2 cos а2 == ?2E2 cos <x2, D^e~J sin a, = Ex sin ax = D2e^1 sin a2 = E2 sin a2. Разделил первое уравнение на второе, найдем ejClga^tjdg^. A-51) Это и есть закон преломления векторон D и Е на границе раздела двух изотропных сред с различными диэлектрическими проницаемостями. § 19. Электрическая индукция и напряженность поля в твердых диэлектриках. Диэлектрическая проницаемость была впервые введена нами при формулировке закона Кулопа A.1) в качестве множителя, характери- характеризующего среду, в которой, измеряются электрические силы. На первый взгляд трудно представить себе, каким образом могут быть выполнены эти гипотетические измерения в твердых диэлектриках. Однако, используя только что полученные граничные условия, можно предложить метод опре- определения электрической индукции п напряженности поля, а следовательно, и диэлектрической проницаемости в таких средах. Для определения электрической индукции и напряженности поля в твердом диэлектрике сделаем в нем маленькую безвоздушную дискооб- дискообразную полость, толщина которой несоизмеримо мала по сравнению с ради- радиусом. Напряженность поля внутри полости вдали от ее краев полностью
Глава I определяется граничными условиями на плоской границе раздела, как по- показано на фиг. 14, а. Для определения индукции ориентируем полость так, чтобы напря- напряженность полн внутри нее была нормальна к плоскости основания <(c\i. фиг. 14, а). Из § 18 известно, что электрическая индукция в диэлек- диэлектрике и в полости в этом случае одинаковы; поэтому, измеряя напряжен- напряженность поля в полости и умножая ее на sv, можно найти электрическую индукцию в диэлектрике. Для определения напряженности поля в твердом диэлектрике надо •ориентировать длинную тонкую цилиндрическую полость так, чтобы вектор напряженности поля внутри нее был параллелен оси (см. фиг. 14, б). Но из равенства A.46) следует, что напряженность поля внутри полости такая же, как и в твердом диэлектрике. Отношение индукции к напряжен- Фиг. 14. ности. поля дает диэлектрическую проницаемость; ири этом необходимо, •чтобы размеры полости были значительно меньше размеров окружающего диэлектрика и чтобы внешнее поле оставалось постоянным. . Найденные таким путем величины электрической индукции и напря- напряженности поля, конечно, не представляют собой истинных молекулярных полей внутри диэлектрика, а являются результатом их усреднения. Всякие другие значения средних величин будут находиться в противоречии с резуль- результатами макроскопических наблюдений. § 20. Кристаллические диэлектрики. Применим теперь эксперимен- экспериментальный метод § 19 к нахождению отношения электрической индукции D и напряженности поля Е в однородном кристаллическом диэлектрике. От граней большого диэлектрического куба, плоскости которого перпенди- перпендикулярны к осям х, у и z, отрежем три плоскопараллельные пластинки толщиной d. На поверхности этих пластинок нанесем проводящий слой "и приложим к каждой из пластинок разность потенциалов V. Рассмотрим участки пластинок, достаточно далекие от краев. Граничные условия для потенциалов на всех таких участках для всех пластинок одинаковы, следовательно, одинаково и распределение потенциалов на центральных участках всех пластинок. Таким образом, эквипотенциальные поверхности вблизи центра пластинок параллельны проводящим плоскостям, и напряжен- напряженность электрического поля Е, согласно формуле A.6), равна V/d. Проводя далее опыты с дискообразной полостью, размеры которой несоизмеримо малы по сравнению с d (во избежание нарушения распределения зарядов на проводящих поверхностях), находим, что D пропорционально Е, но направ- направления их различны. Поэтому для х, у и z пластинок соответственно имеем (Dx)x - впЕх, (Dy)x = haEf, (Dz)x = в13Ех, = ЧзЕу,- A.52) (Dx)z = b31Ez, (Dy)z = B3iEz, (Dz)z = b33Ez. Даже если напряженность Е одинакова во всех пластинках, нормальная ¦составляющая D, вообще говоря, может быть различной. Однако, как пока-
Основные положения электростатики 33 зывает эксперимент, в любом случае имеет место (Dx)yEx = (Dy)xEy, (DX)ZEX = (DXEZ, (Dy),Ey = (Dz)yEz. A.53) Из выражения A.52) следует Ac = hiEx + 4iEv + b31Ez, Dv = в12Ех + в22Еу + ЧгЕг, A.54) Dz = 4sEx + 4zEv + bssEz. Сравнивая соотношения A.53) и A.52), мы видим, что S12=e2U el3=E31> е23 = Е32- A.55) Таким образом, если в изотропной среде величины D и Е связаны простым множителем е, то в кристаллах вместо него появляется величина, известная под названием симметричного тензора, имеющего девять компонент, шесть из которых различны между собой. Посмотрим, нельзя ли так ориентировать оси, чтобы по возможности упростить вид соотношений A.54). Произведение E-D, будучи величиной скалярной, не должно зависеть от выбора осей координат. Представляя его через значения компонент Е и используя соотношения A.54) и A.55), имеем Е D = впЕ% + в22Е1 + в33Е% + 2в12ЕхЕу + 2е13ВД + &23ЕуЕг. A.56) Это уравнение поверхности второго порядка относительно Ех, Еу и Ez. Поворотом осей координат можно менять величины Ех, Еу, Еъ, сохраняя постоянным Е% + Еу -\- El. В частности, будем ориентировать оси так, чтобы исчезли все смешанные произведения ЕхЕу, EXEZ и EyEz. Уравнение квадратичной формы относительно новых осей можно записать в виде Ъ-Ъ^^ЕЬ + г^ + ъЕХ, A.57) а компоненты электрической индукции относительно этих осей будут соот- соответственно равны Г>х = вгЕх, Dy = e2Ey, DZ = 4EZ. A.58) Направления координатных осей в соотношениях A.58) совпадают с направ- направлениями электрических осей кристалла. Если величины въ в2 и е3 одинаковы, то среда изотропная. В случае равенства только двух величин кристалл называется одноосным. Если же все три величины различны, мы имеем дело с двухосным кристаллом. ЗАДАЧИ 1) 1. Два топких параллельных коаксиальных проводящих кольца одинакового радиуса а находятся па расстоянии Ъ друг от друга. Работа, которую необходимо затратить при внесении точечного заряда q в центр каждого из колец, равна соответ- соответственно FKj и W2- Показать, что величины зарядов на кольцах равны 2. Четыре одинакопых параллельных линейных наряда расположены вдоль ребер квадратной призмы, причем заряды, лежащие па копцах одной диагонали, положи- х) Здесь и в дальнейшем задачи, отмеченные авездочкой (*), заимствованы, как указывает автор, из экзаменационных вопросов Кэмбриджского увисерситета в том виде, о каком они были приведены в книге Джинса (J. H. Jeans, The Mathemati- Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge, 1925). При переводе этих задач мы пользовались современной терминологией и практической системой единиц (JVIKS).— Прим. перео. в. Смайт
34 Глава I тельные, а на концах другой—отрицательные. Найти чагть полного потока индукции, входящую внутрь призмы. 3. Заряд q находится в точке ж = а, j/ = 0, z = 0. Найти величину заряда, который нужно поместить в точку т.= —a, i/ = 0, 2 = 0 для того, чтобы поток индукции, прохо- проходящий в положительном направлении сквозь круг х = 0, у2 + z2 = a2, был равен N. 4. Два тонких концентрических кольпа лежат в одной плоскости. Радиусы колец равны 1 и 2, а заряды соответственно ¦—Q и +B7I'2Q. Покпзать, что единственные нейтральные точки (точки равновесия) в поле находятся в sc = O и =(Г2"'2. 5. Показать, что уравнение силовых линий двух параллельных линейных заря- зарядов q и —q (па единицу длины), расположенных в a- = e n sc= —а, можно записать через поток индукции (на единицу длины) N между силовой линией к осью х в виде 6*. Заряды -\-iq, —q находятся в точках А та. В, точка же С является точкой равновесия. Доказать, что гиловая линия, проходящая через точку С, пересекает линию АВ в точке А под углом 60°, а в точке С под прямым углом. Найти угол в точке А между линией АВ и той силовой линией, которая выходит из точки В под прямым углом к АВ. (Выписать выражение для потенциала в полярных координатах с цептром в С для малой окрестности точки С.) 7*. Два положительных заряда q1 и д2 расположены соответственно в точках А и В. Показать, что касательная на бесконечности к той силовой линии, которая выхо- выходит из 9, под углом а к ВА, образует с линией ВА угол 2 arc sin ( q\'2 (gi + q2) -1'2 sin ^ и пересекает ее в точке С такой, что AC:CB = q2: ди 8*. В точках А к В находятся точечные заряды -\-q, —q. Силовая линия, выхо- выходящая из А под углом а к АВ, пересекает плоскость, проходящую через середину отрезка АВ, перпендикулярно к нему, под прямым углом в точке Р. Показать, что sin4=21/2sin4-^ PAB. 9*. Показать, что на произвольной замкнутой поверхности S, не содержащей внутри себя заряженных тел, существует замкнутая линия, в каждой точке которой S пересекается под прямым утлом с эквипотенциальной поверхностью, проходящей череа эту точку. 10*. Заряды о?, —q, —q расположены соответственно в точках А, В и С, причем В находится в середине АС. Нарисовать примерную картину силовых линий. Пока- Показать, что сплоная линия, выходящая из точки А под углом а к АВ, большим, чем arc cos (— 1/з), не может достигнуть ни точки В, ни точки С. Показать, что асимптота силовой линии, соответствую цей углу а = arc cos (— 2/3), перпендикулярна к АС. 11*. [1а прямой линии имеются три заряженные точки А, В, С причем AC=f, BC = a2lj\ заряды в этих точках равны соответственно q, —qa/f, insVa. Показать, что в поле этих зарядов всегда существует сферическая эквипотенциальная поверхность. Найти положение точки равновесия на линии ABC в случае 4яе1/ = <7 (f + a)/(f — аK и н случае 4-neF = q (/ — а)/(/ faJ. 12*. Сферические проводники А и С несут па себе заряды, равные соответственно (? + ?') и —Ч- Показать, что ¦ зависимости от относительных размеров и расположе- расположения сфер, а также от отношения q'/q (уществует либо точка, либо линия равновесия. Нари ¦опять для каждого случая картину силовых линий и сечений эквипотенциальных поверхностей пло. костью, проходящей через центры сферы. J3*. Заряженное тело расположено вблизи проводпика, поверхность которого имеет непрерывную кривизну. Показать, что на любой силовой линии, проходящей от тела к проводнику, и точке, где сила минимальна, главные радиусы кривизны соот- ветстпующей эквипотенциальной поверхности равны по величине и противоположны по знаку. 14*. Если две заряженные концентрические проводящие сферы соединить проводом, то внутревпяя сфера полностью разрядит!я. Доказать, что если бы сила взаимодей- взаимодействия зарядов была пропорциональна r~'¦i"P'>t т0 На внутреннем проводнике остался бы варяд В такой, что приближенно
Основные положения электростатики 35 где А—заряд на внешнем проводнике, а / и g— соответственно сумма и разность радиусов сфер. 15*. Три бесконечных параллельных провода, несущих заряды (па единицу длины) 1, 2> ~ч' 1 пересекают перпендикулярную к ним плоскость в точках А, В. С, явля- являющихся вершинами равностороннего треугольника. Доказать, что крайняя силовая линия, идущая из А в С, образует с линией АС углы если только q' }> 2q. 16*. Отрицательный точечный заряд —52 лежит на линии, соединяющей два положительных точечных заряда §i и <7з> на расстоянии а и fl от каждого из этих зарядов соответственно. Показать, что если величины зарядов удовлетворяют соотно- соотношению причем то в поле существует такая окружность, в каждой точке которой сила равна нулю. Найти (в общем виде) эквипотенциальную поверхность, на которой находится эта окружность. 17*. Электрические заряды qv —qz, 53 (?з > ?i) расположены на одной прямой; отрицательный заряд—на середине отрезка между положительными. Показать, что если то число единичных силовых трубок, приходящих из J] в q2, равно ( 18*. Точка .Р находится на расстоянии 1 см от бесконечной плоскости, поверх- поверхностная плотность заряда которой равна с Показать, что половина полной напряжен- напряженности поля 2тоз в точке Р обусловлена зарядами, расположенными в пределах 2 см от точки Р, а половина—всеми остальными. 19*. Эбонитовый (непроводящий) диск радиусом 10 см заряжеп при помощи тре- трения равномерно распределенным поверхностным зарядом. Найти напряженность элек- электрического поля на оси диска на расстояниях 2, 6, 10, 14 см от его поверхности. 20. Два параллельных коаксиальных кольца радиусами о и Ъ несут на себе рав- равномерно распределенные заряды Q, и Q2. Расстояние между плоскостями колец равно с. Показать, что между кольцами действует сила «и* (ей)8'» Ч-*" >> ' " 1~с^ + (в и ?—полный эллиптический интеграл модуля к. 21. Показать, что на больших расстояниях поле кольцевого заряда —Q радиуса Ь в концентрического, конланарного с ним другого кольпевого заряда Q радиуса с сов- совпадает с полем линейного квадруполя, у которого крайние йаряды —Q отстоят от центрального 2Q на расстоянии а; при этом б2 — с2 = 4а2. ЛИТЕРАТУР IA Abraham M., Becker R., Klassische Electrizitat und Magnetismus, Berlin, 1932, (См. перевод: Абрагам М., Беккер Р., Теория электричества, 2-е изд., М.—Л., 1939.) Geiger-Scheel, Handbuch der Physik, Bd. XII, Berlin, 1927. Jeans J. H., The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge, 1925, Mason M., Weaver W., The Electromagnetic Field, University of Chicago Press, 192&. Maxwell J. C, Electricity and Magnetism, v. I, Oxford, 1881. Poor V. C, Electricity and Magnetism, Wiley, 1931. Ramsey A. S., Electricity and Magnetism, Cambridge, 1937. Stratton J. A., Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, 1941. (См. перевод: С т р э т- тон Дж. А., Теория электромагнетизма, М.—Л., 1948.) Thomson J. J., Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge, 1921. Thomson W., Papers on Electrostatics and Magnetism, Macmillan, 1884. Webster A. G., Electricity and Magnetism, Macmillan, 1897. Wien-H arms, Handbuch der Experimentalphysik, Bd. X, Leipzig, 1930. 3»
Глава II КОНДЕНСАТОРЫ, ДИЭЛЕКТРИКИ, СИСТЕМЫ ПРОВОДНИКОВ § 1. Теорема единственности. Прежде чем решать задачу о нахож- нахождении потенциалов в системе проводников с заданными зарядами или обрат- обратную задачу о нахождении зарядов по заданным потенциалам, полезно убе- убедиться в том, что обе они имеют единственное правильное решение. Предположим сначала, что двум различным распределениям поверх- поверхностной плотности заряда на проводниках о и а' соответствуют одинаковые потенциалы. Тогда потенциал точки Р на поверхности одного из провод- проводников, обусловленный разностной плотностью поверхностных зарядов а — а'. окажется, согласно формуле A.8), равным т. С с—с' ,„ 1 Г а ,о i f о' JO VP = \ —. dS = — \ - dS — -г- \ — dS, S S S где г —расстояние от Р до элемента поверхности dS и интегрирование производится по поверхности всех проводников. Ток как стоящие в правой части интегралы по условию равны между собой, то Fp=0, т. е. все про- проводники имеют нулевой потенциал. Но это означает, что в такой системе вообще не существует электрического поля и а — а' — 0. Следовательно, а = а' и распределение одинаковое. Заданное распределение является, таким образом, единственным. Предположим теперь, что одной и той же величине полного заряда Q на проводниках могут соответствовать различные плотности распределения ana'. В этом случае при разностной плотности а — а' полный заряд любого проводника будет равен нулю, а поэтому плотность заряда а —а' может или равняться нулю всюду, или же на одной части поверхности провод- проводника быть положительной, а на другой отрицательной. Последнее, однако, невозможно, потому что при этом силовые трубки, оканчивающиеся на отри- отрицательно заряженных участках, должны были бы исходить из точек с более высоким потенциалом, а оканчивающиеся на положительно заряженных участках — из точек с более низким потенциалом. Это рассуждение приме- применимо к любому находящемуся в поле проводнику. Поэтому ни один из про- проводников с поверхностной плотностью заряда а —о' не может быть рас- расположен в точке максимума или минимума потепциала. Следовательно, их потенциалы просто равны, что опять приводит к исчезновению поля и к равенству а = а'. Итак, если па каждом проводнике задан полный заряд, то соответствующее ему распределение плотности поверхностного заряда единственно. § 2. Емкость. Вследствие того, что электрические натяжения в среде зависят (§ 15 гл. I) от напряженности поля всюду одинаковым образом, равновесие системы не нарушается при изменении напряженности поля всюду в одно и то же число раз. Так, при удвоении поверхностной плот-
Конденсаторы, диэлектрики, системы проводников 37 ности заряда в каждой точке системы заряженных проводников конфигу- конфигурация поля остается неизменной, а напряженность увеличивается вдвое, и, следовательно, возрастает в два раза работа, совершаемая при переме- перемещении малого заряда от одного проводника к другому. Это постоянное отношение заряда изолированного проводника к его потенциалу называется емкостным коэффициентом или емкостью, а обратное ему отношение назы- называется потенциальным коэффициентом. Если в поле находятся другие про- проводники, то эти термины становятся неточными, за исключением того случая, когда все эти другие проводники заземлены и незаряшены. Пусть С — емкость (в фарадах), «S1 — потенциальный коэффициент (в фарадах), V— потенциал (в вольтах), a Q — заряд (в кулонах), тогда, по определению, = CV, V^SQ. B.1) Два близко расположенных изолированных проводника образуют про- простейший конденсатор. Пусть они несут на себе равные по величине и про- противоположные по знаку заряды, тогда емкость конденсатора есть отношение заряда на одном из проводников к разности потенциалов между ними. (Отношение берется всегда таким, чтобы емкость была положительной.) Таким образом, для конденсатора имеем = C(V1-V2), B.2) § 3. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов. Возьмем п простых незаряженных конденсаторов; одну из пластин каж- каждого из них подсоединим к клемме А, а другие соединим с клеммой В, как А А° ! -<?4 a Фиг. 16. это показано на фиг. 15. Приложим теперь между А и В разность потенциалов V, тогда где Cv Ct, ..., Cn — емкости конденсаторов, a Qlt Q2, -••, Qn—заряды на них. Полный заряд, очевидно, равен Таким образом, эти конденсаторы (их принято называть соединенными параллельно) ведут себя подобно одиночному конденсатору, имеющему емкость С = С1 + С2+...+Сп. B.3) Рассмотрим теперь п простых незаряженных конденсаторов, соединен- соединенных так, как показано на фиг. 16; одна пластина конденсатора 1 подклю- подключена к А, а другая соединена с первой пластиной конденсатора 2, вторая пластина конденсатора 2 соединена с первой пластиной конденсатора 3 и т. д. и наконец, вторая пластина n-го конденсатора подключена к В. Такое соединение конденсаторов называется последовательным. Прикладывая
38 Глава II разность потенциалов между А и В, имеем Здесь F,- — разность потенциалов между пластинами г'-го коиденсатора. Поскольку любая пара соединенных проводпиков остается изолированной, ее суммарный заряд равен нулю. По если все силовые трубки, выходящие из одной пластины конденсатора, оканчиваются на другой пластине того же конденсатора, то <?i = <?2= ...=Qn = Q и величину Q, являющуюся общим множителем, можно вынести за скобки в правой части равенства. Таким образом, конденсаторы, соединенные последовательно, ведут себя подобно одному конденсатору, имеющему емкость С и потенциальный коэффициент S, соответственно равные i-k + ?+-+h S = S1 + S2+...+Sn. B.4) Полученная формула является приближенной, так как в общем случае нельзя ограничиться рассмотрением только полей подобного рода. Однако ©ели пластины конденсатора расположены близко друг к другу и если диэлектрическая проницаемость между пластинами значительно превышает проницаемость окружающего пространства, то дополнительной «распреде- «распределенной» емкостью, обусловленной полями рассеявия, можно пренебречь. Формула B.4), в частности, теряет смысл в случае воздушного конденсатора с далеко разведенными пластинами. § 4. Сферический конденсатор. Рассмотрим две концентрические про- водящио сферы: внутреннюю -радиуса а, несущую на себе заряд +Q, и внешнюю — радиуса Ъ, несущую заряд — Q. Пространство между ними будем считать заполненным однородным изотроивым диэлектриком с про- проницаемостью е. В силу симметрии вектор электрической индукции должен быть направлен по радиусу, а его величина может зависеть только от г. Следовательно, применяя теорему Гаусса о потоке электрической индукции к концентрической сферической поверхности радиуса г (Ь > г > а), получим eE-n dS=4™-zeE= s откуда 9V Q Поэтому разность потенциалов между сферами окажется равной у _v = _о_\& = JL(' 1 1>)^ь~а п а ^ 4тг? j г2 4тге \ fl Ь J Aizzab ' ¦что приводит к следующему значению для емкости сферического конден- конденсатора С = р^. B.5) Устремляя Ь—>оо, можно получить из формулы B.5) емкость одиночной сферы радиуса а, помещенной в среду с диэлектрической проницаемостью е: B.6)
Конденсаторы, диэлектрики, системы проводников 39 Следует заметить, что при выводе формулы B.5) предполагалось, что пне радиуса Ь нет никаких зарядов. Это было необходимо для того, чтобы сфера с г =Ь была под нулевым потенциалом. В противном случае необхо- необходимо учитывать дополнительную емкость между внешней поверхностью сферы радиуса Ъ и бесконечностью, вычисленную по формуле B.6)а). § 5. Цилиндрический конденсатор. Рассмотрим теперь ива круглых концентрических проводящих цилиндра бесконечной длины: внешний — радиуса Ъ с зарядом — Q (на единицу длины) и внутренний — радиуса а с зарядом -\-Q (на единицу длины). Обозначим через е диэлектрическую проницаемость однородной изотропвой среды между цилиндрами. В силу симметрии вектор электрической индукции должен быть направлен по радиусу (в направлении внешней нормали) и лежать в плоскости, перпендикулярной к оси, причем величина его должна зависеть только-от г. Применяя теорему Гаусса к объему, ограниченному концевтрическим круглым цилиндром радиуса г, b > г > а, и двумя перпендикулярными к оси плоскостями, расположенными на расстоянии одного метра друг от друга, и учитывая, что последние не дадут никакого вклада в поверхностный интеграл, получим eE • n dS = откуда E= — — ¦ а разность потенциалов между цилиндрами равна ?=_j2_ln.?. B.8) ь Таким образом, для емкости (на единицу длипы) длинного цилиндрического конденсатора имеем С = . 2Z , ¦ B.9) In (Ь/а) v ' Если теперь устремить Ь —ь со, то С —* 0. Следовательно, конечный заряд (на единицу • дливы) на круговом цилиндре конечного радиуса и бесконеч- бесконечной длины создает бесконечную разность потенциала между поверхностью этого цилиндра и бесконечностью. Так как в действительности мы имеем дело только с цилиндрами конечной длины, то эта трудность и не возникает; однако это свидетельствует о том, что результаты настоящего параграфа применимы лишь в тех случаях, когда расстояние до поверхности цилиндра мало по сравнению с расстоянием до его оснований. § 6. Плоский конденсатор. Пусть две бесконечные параллельные про- проводящие плоскости, несущие на себе заряды + Q и — Q, расположены па расстоянии а друг от друга, а пространство между ними заполнено одно- однородным изотропным диэлектриком. Тогда из соображений симметрии поле внутри должно быть однородным и нормальным к проводящим плоскостям. х) С общем определении емкости B.2) предполагается, что два проводника, из ко- которых состоит конденсатор, имеют равные по величине и противоположные по знаку заряды. В противном случае введение емкости, вообще говоря, ве имеет смысла, и сле- следует пользоваться емкостными или потенциальными коэффициентами (см. § 16—18). Однако если один из проводников полностью охватывает другой, как это имеет место в случае сферического конденсатора, то емкость, определенная как отношение заряда иа внутреннем проводнике к разности потенциалов между проводниками, не зависит, очевидно, от наличия зарядов во внешнем пространстве.—Прим. перев.
40 Глава II Обозначим через а заряд, приходящийся на 1 м2. Тогда, как следует из § 14 гл. I, с каждого квадратного метра проводящей поверхности должно выходить а единичных силовых трубок. Таким образом, для электрической индукции и напряженности поля между плоскостями мы получаем а для разности потенциалов между плоскостями B.10) Поэтому емкость (на единицу площади) равна г/а, а емкость, соответствующая площади А, На практике поле может быть однородно только вдали от краев конден- конденсатора. Поэтому формула B.11) представляет лишь приближение к дей- действительности и том лучшее, чем меньше а по сравнению со всеми разме- размерами плоской поверхности и чем больше проницаемость диэлектрика между плоскостями по сравнению с проницаемостью внешнего пространства. § 7. Защитные кольца. При получении формулы B.9) для емкости на единицу длины цилиндрического конденсатора, а также формулы B.11) для емкости плоского конден- конденсатора размеры проводников предполагались бесконечными. Чтобы эти формулы можно бы- было бы применить к реальным конденсаторам, используется WJ 'Фиг. 17. Фиг. 18. приспособление, известное под названием защитного кольпа. В цилиндриче- цилиндрических конденсаторах, как показано на фиг. 17, крайние участки одной ив пластин отделены от центральной части узким зазором, но поддерживают- поддерживаются под одним и том же потенциалом. Искаженное поле вблизи краев, та- таким образом, не оказывает влияния на поле в центральной части, за исклю- исключением очень незначительного искажения вблизи зазора, поэтому отноше- отношение заряда центральной части конденсатора к разности потенциалов будет определяться формулой B.8). Аналогичное устройство применяется и в случае плоского конденсатора: в поверхности одной из пластин прорезается узкая щель, отделяющая, как показано на фиг. 18, центральную часть пластины от ее краев, причем по обе стороны от щели поддерживается один и тот же потенциал. Поле между центральными участками является однородным, если не учитывать незна-
Конденсаторы, диэлектрики, системы проводников 41 чительного влияния узкой щели, поэтому отношение заряда ва централь- центральном участке к разности потенциалов можно определять по формуле B.10). § 8. Энергия заряженного конденсатора. Взаимную энергию любой системы зарядов можно вычислить непосредственно из определения потен- потенциала. Работа (в джоулях), требуемая для помещения /-го заряда на его место, согласно формуле A.5), равна Полная работа, необходимая для того, чтобы все заряды разместились по их местам, будет Введение множителя х/2 обусловлено тем, что при суммировании учить - вается ве только работа, совершаемая при помещении z'-ro заряда на его место в поле /-го заряда, но и работа, совершаемая при помещении /-го заряда на его место в поле z'-ro заряда, что, очевидво, есть одно и то же. Если через Vi обозначить потенциал в точке, где расположен z'-й заряд,, то, согласно формуле A.5), выражение B.12) можно записать в виде Когда все заряды расположены на одном и том же проводнике а, они находятся под одним потенциалом. Поэтому, обозначив их сумму через Qa, получим W« = T 2 <^=1Г 2 4i =4<?Х,- B-14) no a no a Введя емкость проводника С и пользуясь соотношениями B.1), мы придем к следующим эквивалентным друг другу выражениям для энергии заря- заряженного проводника ii-? = icv*. B.15) В конденсаторе, пластины которого несут на себе заряды Q и — Q и имеют потенциалы Vx и V2 соответственно, эта энеггия равна \j^-V2). B.16) что можно, учитывая формулы B.2), записать и в форме, аналогичной B.15). § 9а. Энергия электрического поля. Выше было показано, что законы электростатики согласуются с наглядными представлениями о передаче электрических сил посредством натяжений, имеющихся всюду, где есть поле. Но где существуют натяжения, там должна быть запасена потенциальная энергия, плотность которой мы сейчас и вычислим. Для этого рассмотрим бесконечно малый дискообразный элемент объема с основаниями, совпадаю- совпадающими с эквипотенциальными поверхностями. В силу достаточней малости объема эти основания можно считать плоскими и параллельными друг другу, а поле между ними — однородным полем бесковечно малого плоского кон- конденсатора. Пусть ds — толщина диска, п — единичный вектор нормали к era
42 Глава II поверхности (Е = Еп). Тогда разность потенциалов между основаниями будет равна (dV/ds)ds = —Eds, а зэряд на основании, имеющем площадь dS, равен Учитывая, что объем конденсатора dv = dsdS, из формулы B.15) для энер- энергии получим И для плотности энергии электрического поля окончательно имеем dv 2 N ' В изотропном диэлектрике D-E = 1)Е и dW еЕ2 DE D2 ,о „ о\ В кристаллическом диэлектрике, согласно соотношению A.56), ~ = \ {вУ1Е\ + в22Е22 + в33Е23 + 2*12ЕгЕ2 + Тв^Е, + 2e23E2Es), B.19) или, если оси координат совпадают с направлением электрических осей кристалла [см. выражение A.57)], ^ = i &E* + г,Е1 + ЧЕ1). B.20) § 96. Плоский конденсатор с кристаллическим диэлектриком. Вьс- "числим емкость плоского конденсатора, приходящуюся на 1 ж2 площади пластин; в качестве диэлектрика в конденсаторе служит кристаллическая пластинка толщиной d. Диэлектрические проницаемости в направлении осей кристалла х, у и z обозначим соответственно через в1г е2 и е3, а направля- направляющие косинусы углов, образуемых нормалью к пластинам конденсатора и этими осями,—через I, m и п. Так как с электрической точки зрения один участок конденсатора ничем не отличается от пругого, то эквипотенциаль- эквипотенциальные поверхности должны быть параллельны плоскостям конденсатора и располагаться' на одинаковом расстоянии друг от друга, а напряженность электрического поля должна быть направлена вдоль нормали. Таким образом, где V — разность потенциалов, приложенная к конденсатору. Отсюда х—— у—— 7-nV aiw Подставив эти выражения в формулу B.20), умножив на d объем конден- конденсатора, приходящийся на 1 м2 поверхности пластины, и воспользовавшись соотношениями B.15), находим Откуда емкость, приходящаяся на 1 м2 равна 2?2 + п2в3 ,9 9„. 2 \&&ь) § 10. Натяжения в случае зависимости диэлектрической проницае- -мости от плотности среды. До сих пор при рассмотрении натяжений
Конденсаторы, диэлектрики, системы проводников 43 в диэлектрике (§ 17 и 18 гл. I) мы не учитывали того, что диэлектриче- диэлектрическая проницаемость может в действительности меняться при изменении плотности вещества т, т. е. что в среде могут существовать еще и натяже- натяжения гидростатического происхождения, стремящиеся сжать или растянуть диэлектрик. Оперируя с элементом объема точно такой формы и ориен- ориентации, что и в § 9а, мы можем упростить наши исследования, сведя их к изучению маленького плоского конденсатора с зазором 8 и площадью пла- пластин AS. Комбинируя формулы B.15) и B.11) и предполагая, что диэлек- диэлектрик изотропный (проницаемость равна е), для энергии конденсатора будем иметь AW — 5 /72 _ т п2 _ тГ>2 д е где через т обозначена масса диэлектрика, приходящаяся на единицу пло- площади между пластинами конденсатора, так что т = т8. Если предположить, что масса т постоянна, а проницаемость е является функцией плотности т, то сила, действующая на площадь пластины конденсатора AS, определится следующим образом: дЬ "" di дЬ ~~ ~2& ~Ы~ * Итак, натяжение или сила, действующая на единицу площади и стремя- стремящаяся растянуть поверхность диэлектрика, равна AF D2 д (st) (9 ?оч Произведя дифференцирование и сравнив с выражением A.43), мы опре- определим дополнительное гидростатическое натяжение D2 дг Е2 де в^Е2 дК ,о о/\ На границе между двумя диэлектриками наряду с теми натяжениями, которые уже были рассмотрены нами, необходимо учитывать разность гидростатических давлений, что вместо соотношения A.50) даст нам «следующее выражение для полного натяжения, направленного от К' к К": р _ 1 К--К» (D't2 , Р'п2\ Д'V дК' , Р"Ч" дК" 1 ,„«.. Гп-~2Г„\ к1 \1ГЛ"к7') Т* аТ"+ "Т7^ д%" J • {¦*°> На границе диэлектрика с пустотой, положив К" = 1 и dK"fdx" — 0, получим _ 1 rJT'-l/ДУ . п-2\ Р'Ч 8К'1 n^2eBL К' УК' + Un ) К'2 дъ' \ — ^f^^^'-^-x'l^l-iHp!^'-!J, B.26) где Знак дК'/дх' может быть либо положительным, либо отрицательным; поэтому в тех случаях, когда этот член является преобладающим в выра- выражении B.26), диэлектрик под действием поля может сжиматься или растя- растягиваться. Это явление известно под названием электрострикции, его наблю- наблюдал Квинке и другие. § 11. Электрострикция в жидких диэлектриках. Существует соот- соотношение, известное под названием формулы Клазиуса —Мозотти, свя- связывающее плотность жидкости с ее относительной диэлектрической
44 Глава II проницаемостью Ы=с*> B-27) где С — некоторая постоянная, характеризующая жидкость. Хотя теоретический вывод этой формулы основан на некоторых неточ- неточных утверждениях, тем не менее во многих случаях ова очень хороню под- подтверждается экспериментально 1). Дифференцируя ее, получим дК _(К + 2)*_ (g + 2)(JT-l) 5т 3 Зт Подставляя в соотношение B.24), мы находим гидростатическое давление, стремящееся сжать жидкость р = (Заметим, что мы всюду жидкость считали почти несжимаемой, т. е. т — по- почти постоянной.) Таким образом, при погружении, например, заряженной сферы в большой но объему жидкий диэлектрик давление, определяемое по формуле B.28), будет меняться обратно пропорционально четвертой сте- степени расстояния от центра сферы. В частности, если диэлектрик слегка сжимаем, то он будет иметь наибольшую плотность около поверхности сферы (конечно, без учета других явлений, таких, например, как грави- гравитация). § 12. Силы, действующие на проводник в диэлектрике. При нахо- нахождении силы, действующей на заряженную границу раздела диэлектрика и проводника, предполагалось, что заряд расположен на диэлектрической сто- стороне границы, поэтому все поле находилось внутри ииэлектрика и сила (па единицу площади), без учета электростршщии, согласно формуле A.43), равнялась D2/{2e). Рассмотрение энергии заряженного конденсатора под- подтверждает правильность этого результата. Исследуем теперь силу при пред- предположении, что заряд расположен на проводящей стороне границы. Если диэлектрическую проницаемость проводника обозначить через е', то эта сила будет равна ZJ/Be'). Но поверхность диэлектрика должна считаться теперь находящейся в электрическом поло, поэтому на ней существует натяжение, определяемое формулой B.25), которое стремится сжать проводвик. Пре- Пренебрегая электрострикцией и помня, что поле всюду направлено нормальт к поверхности, мы получаем суммарную силу "натяжения в виде Р .— К —К' j~,2 е е' „2 2 ~~ 2evKK' ~ 2ге' U ' Тогда полная сила, действующая на проводник, будет равна Итак, различные предположения относительно места нахождения заряда приводят к одним и тем же результатам. Если относительная диэлектрическая проницаемость не претерпевает скачка, а непрерывно, хотя и быстро, меняется в некотором пограничном участке, то натяжения должны быть определены путем интегрирования. Полное результирующее натяжение получится таким же, как и раньше, однако распределение патяжения вблизи границы может быть, вообще го- говоря, различным. Geiger-Scheel, Handbuch der Physik, Bd. XII, 1927, S. 518.
Конденсаторы, диэлектрики, системы проводников 45 § 13. Теорема взаимности Грина. Докажем, что если проводники при зарядах на них QL, Qs, ... , Qn имеют потенциалы Vlt V2, ... , Vn, а при зарядах Q[, Q'2, ... , (^ — потенциалы V[, V'2, ... , Vn, то справедливо сле- следующее соотношение: п п 'ZQiV'i = 'ZQ'iVi. B.30) i = l i=l Рассмотрим систему точечных зарядов и напишем для нее матрицу, со- состоящую из п2 членов, каждый из которых представляет собой произведе- произведение величины одного точечного заряда на потенциал другого точечного заряда. Воспользовавшись формулой A.5), запишем сумму каждого столбца в нижнем ряду, а сумму каждой горизонтальной строки—в крайнем правом столбце. Тогда Г) ^7+ 4таг 0 ^ 4лег2 gign . g2gn , qsqn . + о =< QlVl qkV* q'3Vs ¦¦¦ q'nVn ' Так как порядок суммирования произволен, то, складывая все члены в нижнем ряду или складывая все члены в крайнем правом столбце, мы должны получить одинаковые результаты Следует заметить, что величина Vs является потенциалом, создаваемым в точке расположения заряда gs всеми нештрихованными зарядами, за исключением самого gs. Все заряды, расположенные иа одном проводнике, должны быть умножены на один га тот же потенциал, что позволяет про- просуммировать эти заряды откуда и следует формула B.30). Рассмотрим один важный частный слу- случай этой теоремы. Если в формуле B.30) положить Q[, Q's, ... , (>n = 0, ф2, Q3, ... , Qn = Q, a Q1—Q'%, то V[ = Vt. При помещении заряда <^ на про- проводник В потенциал незаряженного проводника А меняется точно на такую же величину, на какую изменился бы потенциал незаряженного про- проводника В при помещении заряда Q на проводник А. Как будет доказано в § 8 гл. III, эта теорема остается в силе и при наличии границ раздела двух или нескольких диэлектриков с различными проницаемостями. §™14ДСуперпозиция полей. Прибавим к обеим частям формулы B.30) Y.QiVi ИЛИ ^Q'iV'i и сравним результаты с первоначальным соотношением B.30). Мы видим, что если заряды Qlt Q2, ... , Qn создают потенциалы VltV2, ... , Vn и т. д., то заряды Q1 + Q'^ Q2 + Q'2, ¦¦¦ , Qn+Q'n создают потенциалы Vx + V[, V2 + V'2, ... , Vn + V'n- Путем такого сложения уже
46 Глава II известных решений можно решить большое количество новых задач. Рас- Рассмотрим в качестве примера п концентрических проводящих сфер радиусов /-,, г2, . .. , гп с зарядами Qlt Q2, ... , Qn. Пусть требуется найти потен- потенциал какой-нибудь, скажем, s-й сферы. Для этого можно сложить потен- потенциалы, создаваемые на s-й сфере каждой из сфер в отдельности, 4таГя = (<?х f <?2 + •'• ¦ + Q,)гГ1 + <?s+i гТ+i + • - ¦ + Qnrn', B.32) где учтено, что внутри заряженной проводящей сферы радиуса а потен- потенциал равен Q (iizea)-1, а снаружи он не зависит от а и равен Q Dиег)-1 (г — расстояние до центра). § 15. Индуцированные заряды на заземленных проводниках. При помещении точечного заряда q в некоторую точку Р, находящуюся вблизи системы заземленных проводников, на последних появляются индуциро- индуцированные заряды. Величину заряда Q, индуцированного на одном из провод- проводников, можно определить из формулы B.30), если известен потенциал V'p точки Р в том случае, когда заряд в ней отсутствует, а потенциал этого проводника равен V. Действительно, из формулы B.30) имеем ... = Q'-O + 0-VP + ^-0+ q'2-0 + ... , откуда Q=-^4- B.33) Например, пусть единственным проводником в поле является проводящая сфера, а точка Р находится на расстоянии г от ее центра. Тогда из фор- формулы B.6) находим V = qx Dnea)—1 и Vp = g1(ii^er)~1, и величина заряда, индуцированного на сфере точечным зарядом q, расположенным в точке Р, будет равна <?=-^. B.34) Если теперь точка Р находится между двумя проводниками, один из которых расположен внутри другого, и известен ее потенциал V'p в том случае, когда потенциалы проводников равны V[ и V'2, то при заземлении этих провод ников заряды Q1 и Q2, индуцированные на них точечным заря- зарядом q, помещенным в точку Р, можно найти по формуле B.30) Q1V1 + Q2V2 + qVP = 0. Но так как все силовые трубки, исходящие из q, должны кончаться на проводниках, между зарядами имеет место соотношение G, + Qz = — q. Раз- Разрешая относительно Ql и Q2, получим Q*=w=nq и Q*-n=nq- B-35) Так, папример, если точка Р находится между двумя заземленными сферами (см. § 4), заряды, индуцированные на внутреннем и внешнем про- проводниках, соответственно равны Vl г{г2—Г1L V2 r(r2— гг) ч к ' Здесь г — расстояние ст точки Р до центра (гх< г < г2). Если же точка Р находится между двумя заземленными цилиндрами (см. § 5), то заряды, индуцированные на внутреннем и внешнем провод- проводниках, соответственно равны „ In jr2/r) n In (г,/г)
Конденсаторы, диэлектрики, системы проводников 47 И, наконец, если точка Р находится между двумя заземленными плоско- плоскостями (см. § 6) на расстоянии а от одной и на расстоянии Ъ от другой, то а + Ь И &=-- B.38) § 16. Потенциальные коэффициенты. Рассмотрим п заряженных про- проводников, форма и расположение которых неизменны. Мы знаем, что заряд, помещенный на один из проводников, определенным образом изменяет потенциалы всех других проводников и что это изменение зависит только от геометрической конфигурации системы и от ее диэлектрической прони- проницаемости. Отношение изменения потенциала Vr г-го проводника к заряду Qs, помещенному на s-й проводник и вызвавшему это изменение, называется потенциальным коэффициентом sJr. Из теоремы взаимности Грина (§ 13) следует, что ssr = srs. Суперпозиция решений для зарядов Qr, Qs, Qt и т. д., расположенных на проводниках г, s, t, дает V2 = B.39) Vn = SinQt snnQn- Таким образом, ssr является потенциалом, приобретаемым г-м проводником при помещении единичного заряда на s-й проводник, если заряды на всех других проводниках при этом равны нулю. Помещение положительного заряда на проводник всегда повышает потенциал соседних изолированных проводников, поэтому коэффициент srs всегда положителен. Коэффициент srT называется собственным потенциальным коэффициентом. § 17. Собственная и взаимная емкости. Решив систему уравнений B.39), мы получим выражение для зарядов на проводниках через их потенциалы. Эти решения будут иметь вид где Qn = CinV1 + C2nV2 + H S22S32 • • ' ¦ ¦ ¦ Sn S21S3 '2SS33 21 .41 B.40) • • «пЗ Д = B.41) гак что cri является минором srs в А, деленным на Д. Величина сгг называется собственным емкостным коэффициентом, или собственной емкостью, и определяется как отношение заряда к потенциалу на г-м проводнике при условии, что все другие проводники заземлены. Знаки потенциалов и зарядов всегда совпадают, поэтому коэффициент crt веегда положителен.
48 Глава II Величина счг называется емкостным коэффициентом, коэффициентом индукции, или взаимной емкостью, и определяется как отношение индуци- индуцированного заряда на г-м проводнике к потенциалу s-го проводника при условии, что все проводники, кроме .9-го, заземлены. Знаки индуцирующего и индуцированного зарядов всегда противоположны, поэтому коэффициент crs либо отрицателен, либо равен нулю. , § 18. Электростатическая экранировка. Предположим, что проводник 1 окружен, как это показано на фиг. 1У, проводником .2. Все силовые трубки, исходящие из проводника 1, оканчиваются на проводнике 2, поэтому если потенциал V2 = 0, то заряд на проводнике 1 зависит только от его собствен- собственного потенциала. Это означает, что в уравнениях B.40) с31 = с41=...=Сщ=0. B.42) Таким образом, между проводником 1 и любым проводником вне 2 не суще- существует никакого взаимодействия. Эти проводники, как говорят в таком случае, экранированы, т. е. защищены от проводника 1. Заметим также, что по- поскольку Qz= — <?j и все проводники, кроме проводника 1, заземлены, то Ввиду полной однотипности уравне- уравнений B.39) и B.40) потенциальные коэф- коэффициенты можно выразить через емко- емкостные простой заменой s на с в форму- 19. лах B.41). В интересующем нас случае экранирования проводника 1 проводником .2, учитывая соотношение B.42), получим sir = «2r, Кг. B.43)* Заменяя в первом уравнении B.39) Sir на $2Г и вычитая из него второе, находим Vi-Vt = (sJ1sVi)Q1. Если Vx > V2, то силовые трубки идут от Vt к V 2 и заряд Q1 положителен, но тогда su— s12 > 0. Из соотношения B.43) следует s12=s22, поэтому *u">*ia и *ц>*22- B.44) § 19. Потенциальные и емкостные коэффициенты в случае двух ¦отдаленных проводников. Пусть одиночный проводник 1 имеет емкость СЛ, а другой одиночный проводник 2 — емкость С2. Считая проводник 1 незаря- женпым, поднесем к нему проводник 2, несущий на себе заряд Q2, на неко- некоторое расстояние г, значительно провосходящез линейные размеры (порядка а) каждого из проводников. При этом потенциал проводника 1 увеличится па величину <?2Dттзг)~1 [если пренебречь незначительным (порядка а/Акег2) изменением потенциала па участке, занимаемым самим проводником 1]. Сопоставив это с первым уравнением B.39), получим s21 = (Aizer)—1. На ближ- ближней части проводника 1 будет индуцироваться заряд, противоположный по знаку заряду Q2 и равный по порядку величины Q2a Dтгег)~1. Такой же заряд, но только того же знака, что и Qo, будет находиться на отдаленной части проводника 1. На больших расстояниях г поле этих двух одинаковых по величине и противоположных по знаку зарядов, отстоящих друг от друга не дальше, чем на а(а< г), по существу является полем диполя, потенциал которого на проводнике 2 [см. формулу A.9)] по крайней мере имеет порядок величины Q2a2 Dтсг3)~'. Следовательно, с точностью до членов
Конденсаторы, дия^ьектрики, системы проводников 49 этого порядка присутствие незаряженного проводника 1 не оказывает влияния на величину потенциала проводника 2, так что из второго уравнения B.39) мы имеем s22 = V2Q^1 = C^~l и аналогично su = C^1. Таким образом, и первом приближении Решив детерминант B.41) и опустив члены порядка )—3, дль собственных и взаимных емкостей будем иметь 1_ 2—C,C2 ' § 20. Энергия системы зарядов. Если известны напряженность поля и электрическая индукция во всех точках вокруг заряженных проводников, то энергию всей системы можно получить путем интегрирования выраже- выражения B.17), а именно: ^ B.47) где интегрирование распространяется на всю область вне проводников. Часто, однако, известными являются не поля во всех точках, а заряды и потенциалы проводников, а также их собственные и взаимные емкости. Для нахождения энергии в этом случае предположим, что заряды Qxa, Q2a, ..., Qna доставляются на проводники бесконечно малыми порциями Qtda, Q2da, ..., Qnda, начиная от того состояния, когда проводники не заряжены, т. е. <х = 0, и кончая значением а = 1. При зарядах (?j<x, Q2a, . .., Qna потенциалы проводников равны FjGc, F2a, . . ., Vna, поэтому работа, совершаемая при внесении очередной порции заряда, равна dW = F^jGc da + V2Qsa da -f . .. + VnQna da. А энергия системы в конечном состоянии будет п 1 п W = 2 VrQ, \ a da = 1 V V.Q.. B.48) i=i о i=i Или, заменяя Qt в соответствии с соотношением B.40), имеем Wv = \ (cuVl + 2cl2VLV2 + c22V\ +-..). B.49) Аналогично, заменяя Vi в соответствии с соотношением B,39), получим | s22Ql +...). B.50) § 21. Силы и моменты сил, действующие на заряженные проводники. Если известны напряженность поля и электрическая индукция в каждой точке поверхности проводника, то суммарную результирующую силу, дей- действующую на проводник в направлении единичного вектора р, можно получить путем интегрирования выражения B.29) по всей поверхности про- проводника, что дает \^v.ndS, B.51) где п— единичный вектор нормали к элементу поверхности dS. Если известны заряды и потенциальные коэффициенты системы провод- проводников, то ее потенциальная энергия определяется по формуле B.50), где su, s12 и т. д. зависят от конфигурации системы. Точно так же, как и в меха- в. Смайт
50 Глава II нике, мы определим силу или момент, стремящиеся произвести изменения какого-либо параметра, характеризующего эту конфигурацию как производ- производную потенциальной энергии по этому параметру, взятую со знаком минус: т-=—тг( 4йQ\ + 2-4^ОлО? +•••]• B.52) В зависимости от того, является ли т\ длиной или углом, это выражение определяет соответствующую компоненту силы или момента, стремящихся увеличить значения •»). В рассматриваемом случае заряды остаются неизмен- неизменными и изменение электрической энергии равно совершаемой механической работе. Если же пользоваться выражением B.49), поддерживая при помощи батареи или каким-нибудь другим путем потенциалы постоянными, то энер- энергия системы увеличится. Сила же в обоих случаях должна быть одинаковой, так как она зависит только от начального состояния системы, которое можно описать и при помощи зарядов, и при помощи потенциалов. Чтобы выразить силу череа потевциалы, объединим формулы B.48) — B.50) в следующее равенство: W^Wq + Wv-J] V& = 0, B.53) дифференцируя которое получим rf4T = у. тгр- dO. 4- у. -— (IV- + У гт- dt), = 0. B.54) Но из соотношений B.53), B.50) и B.39) и из соотношений B.53), B.49) и B.40) ^_^1_л -уе V Подстановка в соотношение B.54) дает Поскольку сумма равна нулю для совершенно произвольных значений d\, то каждый из членов этой суммы в отдельности должен равняться нулю. Поэтому, заменив W через соответствующее выражение B.53), получим f^ ^ ^ a <255> Но нам известно, что — 5FFq/5tjs есть сила (или момент), стремящаяся уве- увеличить tjs, так что она выразится через потенциалы следующим образом: Итак, при постоянных зарядах работа, совершаемая при малых перемеще- перемещениях, дается выражением B.52), а при постоянных потенциалах — выраже- выражением B.56). Разность этих выражений составляет работу, совершаемую тем прибором, который поддерживает потенциал постоянным: 0Wv dwn \ dWv ^^)^ч = 2-—-diis. B.57)
^____^ Задачи ^^ 51 ЗАДАЧИ 1. Центры трех одинаковых сфер радиуса а расположены па одной прямой на рас- расстояниях Г] и г2 друг от друга. Сначала только центральная сфера 2 имела заряд Q. Затем ее соединили со сферой 1, а потом, отсоединив от сферы 1, подсоединили к сфере 3. Показать, что если расстояния между сферами значительно больше а, то заряд на сфере 3 ранен 0з=-т- [ ¦ —— И 1 • 2. Четыре одинаковые незаряженные проводящие сферы расположены по углам кнадрата. Заряд Q сообщается проноднику 1, затем при помощи тонкой пронолочки проводник 1 соединяется на мгновение по очереди с проводниками 2, 3 и 4 (нумерация проводников циклическая). Показать, что в результате „ Q SU—S24 п Q SU— 8 Sj] slt 8 sxl — S]4 3. Пусть сферы 1 a 2 (см. предыдущую задачу) сначала несут на себе ааряды, соответственно ранные +Q и — Q, и пусть, как и раньше, сфера 1 подключается па мгновение по очереди к сферам 3 и 4. Показать, что если сторона кнадрата г значи- значительно больше радиуса сфер а, то сфера 4 окажется заряженной зарядом Q4, прибли- приближенно равным 2~S/2Q Г21'2/4 B*'г 3) а\ Найти также заряды Q3 и Qt. 4. Три одинаковые сферы расположены по углам равностороннего треугольника на очень большом расстоянии друг от друга. Сначала каждая сфера имела наряд Q. Затем по очереди сферы на мгнонение заземлялись. Показать, что после этого заряд на сфере 3 стал равен ' ¦?) [[ найти также заряды на сферах 1 -а 2. 5. Четыре одинаконых проводника расположены по углам правильного тетраэдра, причем каждый из пронодников совершенно симметричен по отношению к трем другим. Первоначально нее они не были заряжены. Затем один из проводников приобрел зарнд Q от батареи с напряжением V, которую от него тотчас же отключили. После этого его на мгнонение по очереди подключали к каждому из трех пронодников, а потом зазем- заземлили. На проводнике остался заряд —Oi- Показать, что все нзаимные емкости равны 2i-7Q)I, кроме того, найти потенциальные коэффициенты. 6. Два проводника, янляющиеся зеркальными изображениями друг друга, перво- первоначально незаряжены. Сфера с зарядом Q сначала соединяется с некоторой точкой на одном из проводвикон, а затем с ее зеркальным отображением на другом. В каждом из этих случаев заряд поровну распределяется между сферой и проводником. Показать, что после большого числа таких попеременных подключений заряд равномерно рас- распределяется между тремя проводниками. 7. Три одинаковых изолированных проводника расположены так, что любой из них совершенно симметричен относительно двух других. Проволочкой, подключенной к ба- батарее, напряжение которой неизвество, по очереди касаются каждого проводника. Заряды на вервых двух оказываются после этого равными Qt и Q2. Найти заряд на третьем. 8. Из трех концентрических проводящих сферических оболочек радиусоп а, Ъ и с внутренняя и внешвяя заземлены, а средняя разрезана на дне половины и заряжена. Найти, сколь велик должен быть радиус а (а < b < с), чтобы воспрепятствовать отде- отделению друг от друга этих половин. 9. Три проводника соединены тонкой проволокой и заряжены. Определить, как распределяются между ними заряды, если известно, что SJ1 =523 Ф S22> S12 ~ S2i Ф S13i 5 10. Два концентрических сферических проводника, радиусы которых равны в ¦ Ъ, соединены проволокой. От внутреннего проводника отделяется точечный заряд q и дви- движется радиально во направлению к внешнему с постоянной скоростью V. Показать, что скорость перемещения индуцированного заряда с внутреиней сферы на внешнюю равна ^-= — gab (b—a)-1 v (с-И0~2- 4*
52 Глава II . 11. Кольцо радиуса а, несущее ва себе полвый заряд Q, расположено ннутри заземлевной сферы радиуса Ь, так что ось кольца совпадает с диаметром сферы, а его плоскость отстоит от цевтра сферы иа расстоявии с. Найти потенциал в центре. 12. Точечвый заряд д, ломещенвый ва оси тонкого зазсмлеввого проводящего кольца радиуса а на расстоявии Ъ от его певтра, индуцирует па кольце заряд — Q. Показать, что емкость кольца равва AneQg-1 (a2-^- fc2I'2. 13. Проводящая сфера радиуса а находится внутри концентрического с ней ди- диэлектрического шара радиуса Ъ, относительная диэлектрическая проницаемость которого равна К. Показать, что емкость проводящей сферы равна b — a)-1. 14. Пусть (см. предыдущую задачу) проводящая сфера заземлена, а на расстоянии г от ее центра (г > Ъ > а) находится точечный заряд д. Показать, что на сфере будет индуцирован заряд КаЬд ~7 15. Сферический ковденсатор, радиус ввутреннего проводника которого а, а ввега- иего Ъ, заполпен двумя концентрическими сферическими слоями диэлектрика с нрови- цаемостямп ег и в2. Радиус г их границы раздела равен -п- (а + Ь). Найти отношение ej/-2> если изнестно, что точечный заряд, расположенный на этой границе, ивдуцирует одинаковые заряды на внутренней и пиешвей проводящих сферах, когда они обе за- зсмлевы. 16. Незаряжевная проводящая сфера массы М плавает в диэлектрической жид- жидкости с проницаемостью е, погрузившись в нее па одну четверть своего объема. До какого потевциала нужно зарядить сферу, чтобы она плавала ногруженвой наполовиву? 17*. Показать, что если алгебраическая сумма зарядов системы проводников положительва, то поверхностная плотность заряда, но крайней мере на одном из них, пеюду положительна. 18*. Пусть имеется несколько изолированных проводвиков, положение которых задано и неизмевво. Собственные емкости двух каких-вибудь проводников в этой системе равны Сх и С2, а взаимная емкость равна В. Доказать, что если эти лроипдвшш соединить тонкой проволокой, то емкость объединенного проводника будет равна 19*. В системе изолировавных проводников заряжеивых произвольным образом, заряды переносятся с одного проводника иа другой до тех пор, пока все проводники не окажутся под одним и тем же потенциалом V. Показать, что F = Z?/(s1 + 2s2), где st u ?2—алгебраические суммы соответственно собствевных и взаимвых емкостей (коэффп- лпеитон нвдукции), а Е—сумма всех зарядов. 20*. Доказать, что в результате операции, опксашюй в предыдущей задаче, электростатическая энергия системы уменьшается иа величину, равную уменьшению энергии при понюкевии потевциала каждого проводника на V. 21*. Два одинаковых сферических ковдевсатора, радиусы внутревних и внешних проводников которых равны а и Ь, изолированы и находятся иа большом расстоянии г друг от друга. Внутренним сферам сообщаются заряды е и е', а затем ввешвие сферы соединяются проволокой. Показать, что убыль эвергии при этом приближенно будет равна • A6 7is)-'(e—e'Y(b-i — г-1). 22*. Конденсатор образован двумя товкими концевтрическими оболочкзми радиу- радиусов а и Ь. Во ввсшней оболочке имеется веболыпое отверстие, сквозь которое проходит нзолироваввый провод, соединяющий ввутреннюю сферу с третьим проводником, распо- расположенным на большом "расстоянии г от конденсатора и имеющим емкость с. Внешняя оболочка конденсатора подключева к земле, а суммарный заряд соединенных провод- проводников равен Е. Доказать, что сила, действующая иа третий проводник, нриближевно равва r3)-1 [ineab (й —uj-^c]. 23*. Замквутая эквипотенциальная поперхвость потенциала Vx содержит ннутрп себя другую замкнутую поверхность потенциала Fo. Потевциал некоторой точки Р, лежащей между этими поверхвостямп, равен Vp. Если в точку Р поместить заряд Е, а обе эквипотенциальные поверхности заменить проводящими сферами, соединенными с землей, то заряды Ег и EQ, нвдуцированные на них, будут удовлетворять соот- соотношению
Задачи 53 24*. Проводник заряжается от электрофора путем повторяющихся подсоединений к пластинке, которая после каждого подсоединения снова заряжается от электрофора до заряда Е. Пусть е-—заряд на проноднике после первой операции. Доказать, что конечный зарнд равен Ее(Е-е)-1. 25*. Четыре одинаковых незаряженных заземленных пронодника расположены симметрично по углам правильного тетраэдра. При помощи подвижного заряженного сферического проводника касаются по очереди каждого из них, дотрагиваясь лишь до наиболее близко расположенных к центру тетраэдра точек. Показать, что получаемые при этом проводниками величины зарядовelt е2, е3, е4 образуют геометрическую прогрессии». 26*. Заменив в задаче 25* тетраэдр на квадрат, доказать, что (ei—ег) (е1ез—e|) = ei(e2e3 — «A)- 27*. Два неподвижных изолированных проводника несут на себе заряды Е1 и Е2 и имеют некоторые заданные значения потенциалов. Их потенциальные коэффициенты равны su, S]2, s22- Еслп эти проводники окружить сферическим пронодником, имего- щим очень большой радиус R и центр вблизи них и находящимся под нулевым по- потенциалом, то для сохранения на проводниках тех же значений потенциалов их пужно зарядить зарядами Е[ п Е2. Доказать, пренебрегая величиной Вт2, что (Е[ — Е1){Е'2 — Е2)-1 =(s22 — Si2)(?ii — s^)-1. 28*. Показать, что геометрическое место точек, из которых единичный заряд индуцирует ва некотором заземленном проводнике постоянный заряд, совнчдает с экви- эквипотенциальной поверхностью поля этого проводника в отсутствие точечного заряда. 29*. Показать 1) что если изолированный проводник, находящийся п свободном пространстве и имеющий единичный потенциал, создает в какой-нибудь точке Р потен- потенциал (Р), то единичный заряд, помещенный в точку Р, будет индуцировать на этом проводнике (теперь заземленном) заряд —(Р); 2) что если (PQ) — потенциал, созданный л точке Q индуцированным зарядом, то (PQ) является симметричной функцией поло- положения Р и <?. 30*. Две маленькие заземленпые сферы расположены рядом друг о другом между двумя большими параллельными пластинами, одна из которых заряжена, а другая соединена с землей. Представить графически характер возмущений, вносимых сферами в однородное поле в случае, когда линия их центров 1) перпендикулярна к пластинам, 2) параллельна пластинам. 31*. Полый проводник А находится под нулевым потенциалом и содержит внутри себя еще два других изолированных проводника В и С — один внутри другого. Про- Проводник В положительно заряжен, а проводник С не заряжен. Проанализировать раз- различные типы силовых линий, которые могут существовать внутри полости, классифи- классифицируя их согласно тому, на каком проводнике они начиваются и па каком оканчи- оканчиваются. Доказать невозможность существования тех типов линий, которые хотя гео- геометрически и допустимы, но почему-либо отвергаются. Доказать, что потенциалы про- проводников В п С положительны и что потенциал С меньше В. 32*. От проводника, емкость которого равна С, отделена некоторая часть Р. 11а большом расстоявпи от всех других ироводников емкость этой отделевной части равна с. Сам проводпик остается изолированным, а часть его Р на большом расстоянии от него заряжается зарядом е, и ей предоставляется возможность свободно двигаться под действием сил взаимного притяжевия вплоть до достижения проводника. Описать и объяснить изменения, которые произойдут в электрической энергии системы. 33*. Проводник, несущий на себе заряд Qt, окружен проводящей оболочки! с зарядом Q2. Внутренний проводник при помощи проволоки соединяется с очень далеким незаряженным проводником. Затем проволока отсоединяется от внутреннего проводника и присоединяется к впешней оболочке. Показать, что заряды Q[ n Q^ ста- станут равными q, ^ mQt—nQz _ (m + п) Q2-f mnQ[ 41 m-t-n+mn' V2 m + n где С, С A + m)-—собственные емкостные коэффициенты близких проводников, а Сп — удаленного проводника. 34*. Показать, что еслп из общего числа и + 1 проводников один проводник содер- содержит внутри себя п других, то существует п соотношений между потенциальными или емкостными коэффициентами. Показать также, что если потенциал самого большого проводника равен Vo, a потенциалы остальных равны F,, V2, ..., Vn, то наиболее общее выражение для энергии будет равняться сумме -^-CVjj и некоторой
54 Глава II кнадратичной функции F,— Fo, F2—Fo, ..., Vn—Vo, где С—постоянная, не занисящая от положения внутренних проводников. 35*. Вяутренвяя обкладка сферического конденсатора (радиусы а, Ь) несет на себе постоянный заряд Е, а ннешняя ваходится под нулевым потенциалом. Под дейстнием ннутренвих сил ннешний проводник сжимается от радиуса b до радиуса Ь1. Доказать, что сонершаемая электрическими силами работа раина — Ьх)/(8квфЬх). 36*. Пусть (см. предыдущую задачу) потевциал V нвутреннего пронодника под- деряшнается постоянным, а заряд может меняться. Показать, что совершаемая работа раина 2jisF2a2F — Ь1)/[(Ь1 — а) (Ь — а)]. Найти неличиву энергии, затраченной батареей. 37*. Пользуясь обычными обозначениями, доказать, что SuSiS > S12Sl3. 38*. Показать, что если после ввссения в систему проводников нового проводника нотенциальвые коэффициенты sTr, srs, sss становятся ранными s'rr, s'rs, s'ss, то (srrSss — SrrSssX (Srs — SrsJ. 39*. Система состоит из p-\-g-\-2 пронодников Ax, Аг, ..., Ap, Bx, B2, ¦¦¦, Bq, C, D. Доказать, что при известных зарядах на нсех пронодниках А и С н при изнест- ных потенциалах на всех проводниках В и С не может существовать более одного ранновесиого распределения зарядов, если только проводник С не экранирован электри- электрически от пронодника D. 40*. Имеются четыре проводника А, В, С и D, причем пронодпик В окружает проводник А, а пронодник D окружает пронодник С. Найти собственные и взаимные емкостные коэффициенты 1) для А и В, если С и D удалены; 2) для С и D, если А и В удалены; 3) для В и D, если А и С удалены, и, наконец, определить эти коэффициенты для полной системы из четырех проводникон. 41*. Два одинаковых проводвика А и В одинаково заряжены и расположены сим- симметрично по отношению друг к другу; третий, подвижный пронодник С последовательно занимает дна положения: одно паходится практически целиком ннутри пронодвика А, другое—в пределах пронодника В. Оба положения симметричвы относительно друг друга, и н любом из них потевциальные коэффициенты для С, расположенные в по- порядке возрастания, ранны р, д, г. В каждом из этих положений С по очереди соеди- соединяется сначала с окружающим его пронодвпком, потом заземляется и, ваконец, изо- изолируется. Определить заряды на пронодниках н результате произвольного числа таких операций и показать, что конечные неличины зарядон будут ваходиться н отношении 1 : — fi:fJ2—1, где р — положительный корень уравнения гх2—дх-\-р — г = 0. 42*. Собствевная емкость одного нронодника раина СЛ, а другого С2. Они нахо- находятся на большом расстоянии друг от друга и имеют потенциалы Ft и F2. Доказать, что сила отталкинания между ними определится выражением С точностью до какой степени г спранедлино это выражение? 43*. Дна одинаковых изолированных пронодвика расположены симметрично отно- относительно друг друга, причем один из вих не заряжен. При помощи третьего изолиро- нанного проводника симметричным образом попеременно касаются каждого из этих двух пронодникон, начиная с заряженного. Пусть е, и е2—заряды на нроподвиках после перного касания каждого из них. Показать, что после того, как произойдет г касаний, эти заряды будут ранны J (Для задач 43* и 44* см. разностные ураннения § 96 гл. V.) 44*. Имеются три проводника AL, A2 и .43, причем пронодник Аь практически находится внутри проноднпка А2. Пронодник Ах при помощи тонкой пронолоки попере- попеременно соединяется с проводниками А2 и А3, начиная с As. Первоначально проводник Лх имел заряд Е, а А2 и А3 были ве заряжены. Показать, что заряд на проноднике Аг после п соединений с А3 будет ранен где через а, р, f обозначены соотнетстненво su—s12, s22—s12, sss—s12.
Задачи 55 45*. Пространство между обкладками сферического конденсатора радиусон а и Ь наполнено воздухом. На внутревнюю сферу наносится слой краски постоянной тол- щипы t и диэлектрической проницаемости К. Найти происшедшее при этом изменение емкости конденсатора. 46*. Заряд проводника равен е, a F, и F2—потенциалы двух полностью окру- окружающих его эквипотенциальных иоверхвостей (F, > FjT' Пространство между этими двумя поверхностями заполняется диэлектриком с относительной проницаемостью К. Показать, что изменение энергии системы равно (FF)(tf 47*. Воздушный конденсатор образован двумя концентрическими сферами. Поло- Половина пространства между сферами заполнена твердым диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью К. Граница раздела между ним и воздухом есть плоскость, проходящая через центр сфер. Показать, что емкость такого конденсатора будет равна емкости конденсатора, псе пространство между сферами которого запол- иено диэлектриком, имеющим относительную проницаемость — A+.ЙГ). 48*. Радиусы внутренних и внешних оболочек двух одинаковых сферических конденсаторов, удаленных один от другого и помещенных в бесконечную диэлектри- диэлектрическую среду проницаемости К, равны соответственно а и Ь, а относительная прони- проницаемость диэлектрика внутри конденсаторов рапна Кх и К2. Обе поверхности первого конденсатора изолированы и зарнжены, а второго—не заряжены. Внутренняя поперх- иость второго конденсатора заземляется, а внешняя при помощи проволоки с превебре- жимо малой емкостью соединяется с пнешней поверхностью первого конденсатора. Показать, что убыль энергии будет рапна Q2[2(b — a) где Q—количество электричества, протекшего по проводу. 49*. Внешняя обкладка длинного цилиндрического конденсатора представляет собой тонкую оболочку радиуса а; диэлектрик между цилиндрами по одну сторону от плоскости, проходнщей через ось, имеет проницаемость К, а по другую — прони- проницаемость К'. Показать, что если внутренний цилиндр заземлен, а внешний имеет на единицу длины заряд д, результирующая сила, действующая на внешний цилиидр, равна д2(К — К') , J (Ha 50*. Неоднородная диэлектрическая среда состоит из п концентрических сфери- сферических слоен с относительными диэлектрическими проницаемостями Кл, К2, ..., Кп. Первый слой имеет форму шара, а внешний, п-й, простирается до бесконечности. Радиусы границ раздела диэлектриков равны соответственно а,, а2, ..., an_j. Доказать, что потенциал, создаваемый зарядом Q, расположенным л центре, будет на расстоянии г от него (в среде с провнцаемостыо Ks) рапен 51*. Конденсатор образован двумя прямоугольными параллельными проводящими пластинами, ширипа которых Ь, а площадь А п которые расположены на расстоянии d друг от друга. Между пластинами параллельно им помещена плитка из диэлектрика толщиной t, площадь которой равна площади пластины. Эта нлитка выдвигается ив конденсатора, так что между пластинами остается только часть ее, имеющая длину, равную х. Доказать, что сила, стремящаяся возвратить плитку в первоиачальное положение, определяется по формуле d— t') где t'=t (К — i)/K, К — относительная диэлектрическая проницаемость плитки, Е— заряд конденсатора. При решении пренебречь влиянием краев. 52*. Три замкнутые поверхности 1, 2, 3 являются эквипотенциальными поверх- поверхностями электрического поля. Пространство между поверхностями 1 и 2 заполнено диэлектриком с проницаемостью е, а между поверхностями 2 и 3—диэлектриком с проницаемостью г'. Показать, что емкость конденсатора, образованиого поверхностями 1 и 3, раина величине С, определяемой выражением UC=sv/{sA)+sv/(s'B),
56 Глава II где А и В—емкости воздушных конденсаторов, образованных соотпетственпо поверх- поверхностями 1, 2 и 2, 3. 53*. Граница раздела двух диэлектриков (Кг, К2) имеет плотность заряда а (на единицу площади). Напряженности электрического поля по разные стороны от границы равны Flt F2 и образуют с общей нормалью к границе углы с,, с2. Указать, как определить величину F2, и доказать, что 54*. Пространство между двумя концентрическими сферами радиусов а и Ь, потенциалы которых поддерживаются равными А и В, заполнено неоднородным дп- электриком. Его диэлектрическая проницаемость меняется, как п-я степень расстояния от общего центра сфер. Показать, что потенциал в любой точке между поверхностями равен АаР*1 — Bbnhl /ab-\n г А—В on+i__ftnn \~7) orm__fcnn • 55*. Конденсатор образован двумя параллельными пластинами, находящимися на расстоянии h друг от друга. Одна из пластин имеет нулевой потенциал. Простран- Пространство между пластинами заполпепо диэлектриком, проницаемость которого линейно возрастает от одной пластины к другой. Показать, что емкость на единицу площади равна где A"i и К2—значения диэлектрических пронидае.мостеы на поверхности пластин. Искажения в распределении поля на краях пластин не учитываются. 56*. Сферический проводник радиуса а окружен концентрической с пнм сфери- сферической проводящей оболочкой, внутренний радиус, которой 6. Пространство между ними заполнено диэлектриком с проницаемостью, меняющейся но закону (с + г)/г, где г—расстояние от центра. Доказать, что если внутренняя сфера изолирована и имеет заряд Е, а внешняя заземлена, то потенциал в диэлектрике на расстоянии г от центра будет равеи 47tsc V г с-\-Ъ J 57*. Сферический проподпик радиуса а окружен концентрической с пнм сфери- сферической оболочкой радиуса Ь. Пространство между ними заполнено диэлектриком, про- 2 ницаемость которого на расстоянии г от центра равна \>.e~v р~3, где р — га-1. Доказать, что емкость такого конденсатора будет 1а -е). 58*. Показать, что емкость конденсатора, состоящего из двух проводящих сфер г = а и г = Ь, между которыми находится неоднородный диэлектрик с проницаемостью К = /@, <j>). равна znab (Ь — a)-1 \\ f @, 9) sin С d() dy. 53*. Пусть в некоторой воображаемой кристаллической среде молекулы имеют форму дисков, расположенных параллельно плоскости ху. Показать, что компоненты напряженности поля и электрической индушши связаны между собой уравнениям™ вида 1У, ir.g =sJ2 60*. Плитка из диэлектрика проницаемости К и толщины .-с помещена внутрь плоского конденсатора, параллельно его пластинам. Показать, что натяжение на поверх- поверхности диэлектрика равно 61*. Для газа /С = 1-{-6р, где р—плотность, а 0 — малая величина. В газ помещен проводник. Пренебрегая членами порядка О2, показать, что механическая сила, дей ствующая на единицу поверхности пронодинка, равпа — as/ev. Дать физическую интер- интерпретацию этого результата. 62*. При вращении кривой 1 9а ( - а-\-х а — х \ 1_ (ж2 + ^2I/2"6<\[(а. + оJ + 2/2]3/2 + [(а._оJ + 2/2]3/2^ а
Литература 57 вокруг осп х образуется замкнутая поверхность, которую принимают за границу проводника. Показать, что его емкость равна ineva, а поверхностная плотность заряда на конце оси равна е/Cтш2), где е—полный заряд. 63. Отношения потенциалов Prs системы п проводников можно определить выра- выражениями F2+ ... + PinVn, Vn = PniV, + Pn2V2 Показать, что Р^ выражаются через потенциальные п емкостные коэффициенты следую- следующим образом: ~ • • • 4~^rs^sr4~ • • • 'r srnCnr' ЛИТЕРАТУРА Abraham M., Becker R., Klassische Electrizitat und Magnetismus, Berlin, 1932. (См. перевод: А б р а г а м М., Б е к к е р Р., Теория электричества, 2-е изд., M.—Л., 1939.) Geiger-Scheel, Handbuch der Pbysik, Bd. XII, Berlin, 1927. Gray A., Absolute Measurements in Electricity and Magnetism, Macmillan, 1888. Jeans J. H., The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge, 1925. Mason M., Weaver W., The Electromagnetic Field, University of Chicago Press, 1929. Maxwell J. C, Electricity and Magnetism, v. I, Oxford, 1881. Planck M. К. Е. L., Theorie der Electrizitat und Magnetismus, Berlin, 1932. Ramsey A. S., Electricity and Magnetism, Cambridge, 1937. Russell A., Alternating Currents, Cambridge, 1914. Thomson J.J., Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge, 1921. Thomson W., Papers on Electrostatics and Magnetism, Macmillan, 1884. Webster A. G., Electricity and Magnetism, Macmillan, 1897. Wien-Harms, Handbuch der Experimentalpliysik, Bd. X, Leipzig, 1УЗО.
Глава III ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ § 1. Теорема Остроградского —Гаусса. Приступим теперь к нахожде- нахождению связи между интегралом от нормальной компоненты некоторого непре- непрерывного в пространстве вектора А, взятым по замкнутой поверхности S и по (т—1) замкнутым поверхностям, лежащим внутри S, и интегралом от дивергенции вектора А, взятым по объему v между этими поверхностями. Пусть компоненты вектора А в прямоугольных координатах равны Ах, ^ ¦ -.,_ ^ч Ау, Аг, тогда дивергенцию -х» А, которую мы будем обоз- обозначать V - А, можно пред- представить в виде V . \— ^Лх | dAJL I дАг дх *~ ду dz Фиг. 20. C.1) Предположим, что объем v разделен на тонкие призмы с прямоугольным попереч- поперечным сечением dydz. Одна из них (см. фиг. 20) вырезает из поверх- поверхности Sj элементы dS'h dS", координаты которых равны соответственно х$ и х'/, а единичные векторы нормали п] и п" направлены наружу. В по- поверхностном интеграле элементам dS'j и dS'/ будут соответствовать значения подинтегральной функции, равные По из фиг. 20 следует, что i • п'} dS'f = — i • ri/ dS'/ = dy dz, поэтому общий вклад всех сечений призмы, составляющей часть объема v и пересекающей (Я — Р) поверхностей, равен Q q ж)' 2 dy dz (AX', — Ах>/) =2 dy dz\ -4^- dx. х. Теперь просуммируем но всем призмам, на которые разделен объем v. Составляя подобные выражения для',4,, и Аг и складывая их, после под- подстановки V • А из соотношения C.1)лмы получим окончательно /= i s. = J C.2)
Общие теоремы 59 где dv = dzdydz. Эта формула известна под названием теоремы Остроград- Остроградского — Гаусса § 2. Теорема Стокса. Непосредственно из теоремы Остроградского — Гаусса можно получить другую важную теорему. Применим формулу C.2) к бесконечно малому прямому цилиндру, имеющему высоту h, площадь основания S, периметр основания s и площадь боковой поверхности S'. Обозначим через кип, единичные векторы нормали к основанию и к боко- боковой поверхности, а через F некоторую векторную функцию и заменим А на п X F. Поскольку п — постоянный вектор, то в выражении VnxF = FVxn-nVxF F ¦ V X п — 0, но на плоских поверхностях и [п X F] • п = 0, поэтому поверх- поверхностный интеграл от этого выражения по S исчезает и формула C.2) при- принимает вид ^ п X F • п, dS' = С F • пх X ndS' = — \ п ¦ V X ?dv. S' S' v В силу того, что dv = h dS и dS' = h ds, поверхностный и объемный инте- интегралы превращаются соответственно в линейный и поверхностный &F nt X nds= - { п ¦ V X FdS. Далее, nxn,= — ^хп является единичным вектором, направленным вдоль границы, поэтому, выбрав его положительным для положительного направ- направления s, мы получим nt X nrfs= —ds и после суммирования по всем бес- бесконечно малым цилиндрам, охватываемым поверхностью, будем иметь 5 s При суммировании линейных интегралов обход всех внутренних контуров совершается дважды в противоположных направлениях, и, следовательно, интегралы по ним взаимно уничтожаются. Остается только интеграл по наружному контуру всей области. Сумма поверхностных интегралов равна, естественно, интегралу по всей поверхности, так что F ds=^n- V xFdS. C.3) Это и"*Ъсть теорема Стокса. Она может быть сформулирована следующим образом: линейный интеграл от вектора F по некоторому замкнутому кон- контуру равен поверхностному интегралу от ротора вектора F по поверхности, опирающейся на этот контур. § 3. Уравнения Пуассона и Лапласа. Пусть в теореме Остроградского — Гаусса вектор А будет вектором электрической индукции D = eE. Если к поверхностному интегралу применить теорему Гаусса о потоке индукции A.40), то где р — плотность электрического заряда. Таким образом, для исчезающе малого объема dv будем иметь =V-D=4g=P. C.4)
вО Глава III Обозначим D = eE= — sgradF = — b\V, тогда div(egradF) = V-FVF)=-P. C.5) Мы получили уравнение Пуассона для неоднородного диэлектрика. В случае однородного диэлектрика е — постоянная величина и ее можно вынести нз- под знака дифференцирования, что дает divgradF = V • VF = ^2F= -±. C.6) При р = 0 это уравнение называется уравнением Лапласа. Для неоднород- неоднородного, но изотропного диэлектрика уравнение Лапласа можно записать в прямоугольных координатах следующим образом: т-( е^г- ) + т-( е -=г- )+v-( s —- ) = 0. C.0 дх\ дх J ' ду\ ду J ' dz\ dz J v ' Если диэлектрик однородный, но не изотропный, и если координатные оси направлены вдоль главных осей кристалла [см. соотношение A.58)], то а^^ & 0- (о.8) Если ?ке диэлектрик и изотропный и однородный, уравнение принимает вид § 4. Ортогональные криволинейные координаты. В большинстве элек- электростатических задач заданными величинами являются: заряды или потен- потенциалы всех проводников системы, величины остальных зарядов и их рас- расположение, а также диэлектрическая проницаемость среды как функция точки. Задача считается решенной, если определен потенциал во всех точ- точках. Для этого необходимо найти решение уравнения Пуассона, удовлетво- удовлетворяющее заданным граничным условиям. Обычно существует такая система координат, в которой эти условия можно выразить наиболее просто и кото- которой естественно поэтому пользоваться при решении уравнения. Наиболее употребительными являются криволинейные ортогональные системы координат. Рассмотрим три семейства взаимно ортогональных поверхностей таких, что через каждую точку данной области проходит одна из поверхностей каждого семейства. Любая из поверхностей первого семейства характеризует- характеризуется определенным численвым значением величины их, а второго и третьего семейств — численными значениями величин и2 и и3. Бесконечно малый прямоугольный параллелепипед образуется шестью поверхностями ult ut + + dult u2, щ + du2, u3, u3 + du3. Поскольку лишь в немногих случаях величины uv u2, и3 непосредственно выражают расстояния, для получения истинных длин ребер параллелепипеда необходимо, вообще говоря, умножить duJ, dtu и du3 соответственно на множители hl7 h2, h3lK Последние могут меняться от точки к точке, т. е. являться функциями их, и2 и щ. Таким образом, длины ребер параллелепипедов (см. фиг. 21) равны ds1 = h1du1, ds2 = h2du2, ds3 = h3du3. C.10) J) Эти обозначения совпадают с обозначениями, приводимыми в книгах: II о u s- ton, Principles of Mathematical Physics, Abraham M., Becker R., Klassischc Electrizitat und Magnetismus, Berlin, 1932. (См. перевод: А брагам М., Беккер Р., Теория электричества, 2-е изд., М. — Л., 1939.) В справочниках Peirce и Smithsonian Tables, а также в книге Jeans J. H., The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge, 1925, через Л,, Л2, hs, обозначены обратные величины.
Общие теоремы 61 Если V есть некоторая скалярная функция, то, по определению, ком- компонентами ее градиента будут дУ дУ ht ди1 ' дУ ds2 дУ h2 ди2 дУ ds3 дУ h3 ди3 ' C 11) Для вычисления дивергенции в этих координатах нужно применить теорему Остроградского — Гаусса C.2) к бесконечно малому объему, пока- показанному на фиг. 21. Нормальная составляющая потока вектора А, выходящего через грани OCGB и ADFE, равна (А ds d) d (/г/4) ddd \ — (А1 ds2 ds3) dst = 4) duxdu%dus = Добавляя соответствующие два слагаемые для четырех других граней и сравнивая полученное выражение с формулой C.2), находим divA=V • А = ^- [^ hxh2h3 C-12) Далее, замевяя A = eVF и подставляя в уравнение Пуассона C.5), имеем д ( hJl**~ dV Л д МАЕ дУЛ д / h,h2z дУ\1 __ __ du\ hx дих)^~ди2\ h2 дщ) +~дп~3 \ h3 ~дп3) J "~ ~"Р> V-(eVF)=-p. C.13) При p = U соотношение C.13) дает уравнение Лапласа для неоднородного изотропного диэлектрика. Если диэлектрик однородный и изотропный, то в —постоянная величина и ее можно вынести из-под знака дифференциро- дифференцирования. § 5. Представление ротора в ортогональных криволинейных коор- координатах. Применим теорему Стокса к грани О ABC элементарного криволи- криволинейного куба, изображенного на фиг. 21. Пусть Fv F% и F3 являются ком- компонентами вектора F вдоль и1г и2 и и3. Тогда из соотношения C.11) линей- линейный интеграл вдоль ОА и DC окажется равным \h1 (&j, u%) Ft (w1 а вдоль AD и СО [h2(u1 + du1, u2) ) — hx (иг, и2 + du2) Ft (и1г u2 + du2)] dux = "' ~ P, (ЫЛ-\ CtlZam Su2 J z ux, u2)]du2 = u1, u2) — h2 Суммирование этих выражений дает линейный интеграл вдоль OADCO, кото- который по теореме Стокса равен интегралу от нормальной компоненты ротора F по площади h1h2du1du2 этой грани. Сокращая на duxdu2, получим (V X F)8 * C.14)
62 Глава 111 Аналогично и для других граней § 6. Представление оператора V • (eV) в различных системах коор- координат. В сферических координатах, где г = иг — расстояние до начала коор- координат, 6 = и2 — полярный угол и <р = м3 — азимутальный угол (см. фиг. 22,а), мы имеем ds1 = h1 dut = dr, hx= 1, Согласно соотношению C.13), уравнение Лапласа принимает следующий вид: 1 д В цилиндрических координатах, где р = ггг— расстояние от оси 2, Ф=ы2 —азимутальный угол, z = u3 — расстояние до плоскости я?/ (см. фиг. 22, б), имеем dsx = hx dUj =dp, кг = 1, ds3 = h3 du3 = dz, h3=i. Уравнение Лапласа, согласно формуле C.13), в этих координатах можно записать в виде Позже, в связи со специальными задачами, мы встретимся с некоторыми другими системами координат, например с эллипсоидальной. § 7. Теорема Грина. Положим в выражении C.2) А = (еgrad Ф) Ф = = ?еуФ, где W и Ф — скалярные функции, конечные и непрерывные в об- области интегрирования и дважды дифференцируемые, а е — дифференцируемая скалярная неличина, которая может иметь разрывы на некоторых границах внутри области. Исключим эти границы, окружив их узкими областями,
Общие теоремы 63 тесно примыкающими к ним с двух сторон. Пусть п'р и пр' — единичные векторы нормали с двух сторон р-ш границы, a AJ, и Ар' — значения А по обе стороны от нее. Если имеются q таких областей, включающих q разрывов непрерывности, то интеграл по ним равен я p=i S где dSp — элемент поверхности разрыва. Прибавив эти члены к формуле C.2) и подставив А = *Ре^Ф, получим т Ч 2 S? ^ C.19) V V Напишем теперь подобное же выражение, поменяв местами W и Ф, и вычтем одно нэ другого. Тогда Если е—жостоянна и непрерывна, то выражение C.19) принимает вид j = ^ (V4r-^Ф + ЧТ2Ф) dv. C.21) v И яэ выражения C.20) имеем )$ C-22) j=l S,- Стрэттоном был предложен следующий полезный векторный аналог этих формул. Заменим в выражении C.2) А на 4*X(VX<J>), где Ч* и Ф — конечные, непрерывные в области интегрирования и дважды дифферен- дифференцируемые векторы. Тогда ^ ^ V-[4*X(VX<I>)]dv, ^ . C.23) S,- v Вычитая из выражения C.23) аналогичное выражение с переставленными Ч* и Ф, нолучим C.24)
64 Глава III § 8. Теорема взаимности Грина для диэлектрических сред. Пусть имеется два распределения электрических зарядов. Обозначим в выраже- выражении C.20) через VP = F потенциал одного из них, через Ф = V — потенциал другого, а через е — диэлектрическую проницаемость среды. Если поверхность раздела двух сред с разными е незаряжена, то на ней, согласно ¦ усло- условию A.48), , дФ' _ ,, дФ" _ „ дФ" опр опр дпр а из условия A.49) Подобное же соотношение можно написать и для W, так что интегралы по поверхностям разрыва исчезают. При отсутствии объемпых зарядов, т. е. при V-(eV4P"][=0 и V-(eV<I)) = 0, исчезает и объемный интеграл, поэтому ИЛИ или m m Таким образом, теорема взаимности Грина B.30) остается в силе п в при- присутствии диэлектриков. § 9. Функция Грина. Пусть ЧГ— потенциал, создаваемый единичным зарядом, находящимся в точке Р, а Ф — потенциал, создаваемый индуци- индуцированным поверхностным зарядом плотности р, расположенным на некоторой замкнутой заземленной поверхности S, окружающей точку Р. Единичный заряд в точке Р можно рассматривать как заряд, объемная плотность кото- которого всюду равна нулю, за исключением бесконечно малого объема dv «близи Р, в котором Ф можно считать величиной постоянной и равной Фр. Учитывая, что W = Dиег), где г — расстояние от Р, и что У2Ф = 0 всюду внутри v, a V24?"= —р/е внутри dv, а вне dv равно нулю, и принимая во внимание, что Ч?'= —Ф на поверхности S, из выражения C.22) получим где, как и в § 1 и 7, за положительное направление п принято направле- направление из объема v. Обозначим Ф + Dтгет-)'1 через G. Тогда -^-[-dS. C.26) Мы будем называть функцию G функцией Грина, хотя многие авторы именуют функцией Грина функцию Ф. Очевидно, что G является решением уравнения Лапласа, равным нулю на границе S и имеющим простой полюс в точке Р. С электрической точки зрения это решение представляет потен- потенциал, создаваемый единичным зарядом, находящимся в некоторой точке Р
Общие теоремы 65 внутри заземленной проводящей поверхности S. Как правило, по формуле C.26), совпадающей с формулой A.8), нельзя определить G, так как очень редко плотность заряда па проводнике о оказывается известной. В после- последующих главах будет приведено много методов определения фупкции G для систем с различными формами границ. Силу Flt действующую вдоль направления гг1 на заряд д, находящийся в точке с координатами и[, гг'2, и'3 (см. § 4), можно выразить через функцию G(ult и2, и3) по формуле J l о ,. ( Г dGfu-,, и'о, и',)~] . l-lim { v ,'_ -—— + / II П fill \ t Первое выражение имеет место в силу того, что при малых о создаваемые индуцированными зарядами поля в точках и[ + 8 и и\ — 8 одинаковы, в то время как поля, создаваемые самим зарядом, равны по величине и проти- противоположны по направлению и, таким образом, уничтожаются. Второе выра- выражение следует из формулы B.13), так как изменение и[ не вызывает изме- изменения энергии самого заряда, а влияет только на энергию индуцированных зарядов. § 10. Решение уравнения Пуассона. Потенциал точки Р, созданный в вакууме зарядом плотности р, находящимся в объеме dv, согласно фор- формуле A.4), равен </F = pDit?7-)~1c?v, где г — расстояние от объема dv до точки Р. Таким образом, потенциал в точке Р, созданный всеми зарядами, будет равен C.28) Но из формулы C.6) следует, что этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона Г2у=_-1. C.29) Таким образом, выражение C.28) является решением уравнения C.29). Однако уравнение C.29) можно решить непосредственно при помощи теоремы Гаусса. Применим ее к области v, заключенной между двумя концептричпыми сферами с центрами в точке Р, одна из которых мала и имеет поверхность о, а другая, большая, имеет поверхность 2 и радиус/?. Пусть функция lF в соотпошешш C.22) равна г'1, а Ф = У, тогда у I дп дп = \ [ т ^w - FV2 (т) ] Рассмотрим первый из этих интегралов. На малой сфере д/дп^=—д/дг и телесный угол, под которым виден элемент dS из точки Р, равен dQ = r~2dS. Поэтому в силу конечности oVjdr _ г \ ~ dQ - \ VdQ -> - Ы'р. C.31) Если весь заряд Q, создающий потенциал V, расположен в коночном области, то при R—>¦ оо V—>Q Dт:е/?)'1 и на поверхности 2 °^а члена в подинтегральном выражении стремятся к Q (^eR3)^1, n то время как площадь поверхности равна 4т:/?2. Слсдоватольво, второй интеграл стре- 5 в. Смайт
66 Глава III мится к нулю как Q (&R) '. Поскольку г г является решением уравпспия Лапласа (^2т-~1 = 0), то, учитывая уравнение C.29), выражение C.30) можно переписать в виде $^i$f dv, C.32) откуда опять следует решение C.28) уравнения C.29). § 11. Теорема единственности при наличии диэлектрических сред. Если уравнение Лапласа имело бы несколько решений, удовлетворяющих одипаковым граничным условиям, то нужное решение пришлось бы выби- выбирать путем эксперимента и от всей теории потенциала было бы очень мало пользы. Пусть в некоторой области заданы величины и положения всех фиксированных зарядов и известен также потенциал по всей границе обла- области, за исключением, может быть, некоторых замкнутых проводящих по- поверхностей, на которых заданы полные заряды. Докажем, что в этом слу- случае потенциал V определен однозначно. Предположим, что существуют два значения V и V', удовлетворяющие граничным условиям и уравнепиго Лап- Лапласа. Тогда и разность их также должна удовлетворить уравнению Лапла- Лапласа, т. е., согласно формуле C.5), что справедливо, так как фиксированные заряды выпадают. Положим в со- соотношении C.19) Ф = 47 = V — V. Согласно § 8, интегралы но границе раз- раздела двух диэлектриков исчезают, если на границах нет поверхностных за- зарядов. Подстановка дает 2 C.33) Те поверхностные интегралы в левой части, которые соответствуют 'грани- 'границам с заданным потенциалом, исчезают в силу того, что F = F' в каждой точке. Поверхности же с заданным зарядом являются, по условию, прово- проводящими, т. е. па них V и V постоянны я могут быть вынесены за знак интегрирования. Поэтому для s-й поверхности имеем ik{V*- v's} dS° =(F* ~ v's) ®' ~ По предположению, полный заряд на этой поверхности фиксирован, так что Qs — Q's — O и вся левая часть выражения C.33) обращается в нуль. Поскольку подинтегралыюе выражение справа всегда положительно, 'то величина V(V —F') всюду должна быть равпа нулю. Таким образом, раз- разность V — V должна быть постоянной, но на границе она равна нулю, значит она равна нулю во всей области. Теорема доказана. § 12. Внесение нового проводника. Докажем, что если при внесении незаряженного или заземленного проводника в электрическое поле, создан- созданное некоторой системой заряженных проводников, величины зарядов всех проводников остаются неизменными, то энергия системы умсч1ьшается. Обо- Обозначим энергию поля в начальном состоянии через W, напряженность поля через Е, а объем через v. Те же величины после внесений проводника
Общие теоремы 67 обозначим через гг" , Е', V. Тогда имеем W - W = \ ^ Е2 dx - у ^ Е'* dv J \ [(E-E'J-2E'-(E'-E)]dv. C.34) Подставляя теперь в соотношение C.21) W = V' и Ф = Г — V и помня, что во всем объеме У2Ф = 0, получим 5 m m. так как Q'j — Qj- Таким образом, второй член в последнем интеграле C.34) равен нулю и, следовательно, W—W' является величиной положительной. Поскольку при заземлении никакой работы не совершается, то любое возни- возникающее при этом перераспределение зарядов должно происходить за счет электрического поля и вызывать уменьшение его энергии. § 13. Эквивалентный слой Грина. Обозначим через Vp потенциал в точке Р. находящейся вне замкнутой поверхности S, созданный зарядом, распределенным с плотностью р (х, у, z) в объеме v, ограниченном этой по- шзрхпостьк S. Положим в соотношении C.22) W = r г иФ = Р, так что, согласно формуле C.6), V2iI'=—р/е. Используя формулу A.8), получаем \±.dSvidS= = _Wp, C.35) S S v где г — расстояние от точки Р до объема d\. Отсюда видно, что нотен- циал Vp в точке Р можно выразить либо в впде объемного интеграла от плотности заряда в объеме v, либо в виде двух интегралов по поверхности S, ограничивающей объем v. Сравнение соотношения C.35) с A.6) и A.30) показывает, что Vp не изменится, если убрать объемный заряд р и заме- заменить его поверхностным слоем, совпадающим с S и несущим заряд — e(dVjcin) (на единицу поверхности) и, кроме того, некоторое распределение диполей с моментом eV (на единицу площади), ориентированных вдоль внешней нормали к S. Пусть -5" совпадает с, эквипотенциальной поверхностью. Тогда в соот- соответствии с формулой C.2), вынося V за знак интеграла, второму интегра- интегралу можно придать вид G) ^^) C.36) S v Так как !.//• является потенциалом точечного заряда 4тс, находящегося в точке Р, то интеграл C.36) равен нулю, и, следовательно, внутри v V2(l//-) = 0. В этом случае двойного (дипольного) слоя не требуется. Следо- Следовательно, любой участок эквипотенциальной поверхности в электрическом поле можно заменить очень тонким незаряженным проводящим листом, так как последний можно рассматривать как две бесконечно близкие эквипотен- эквипотенциальные поверхности. Чтобы потепцпал Vp остался неизменным, эти 5*'
68 Глава III поверхности, как видно из соотношения C.35), должны иметь па внешних своих сторонах равные по величине и противоположные по знаку плотности зарядов. § 14. Энергия диэлектрического тела в электрическом поле. Из пре- предыдущего параграфа следует, что силы, действующие на неподвижные внешние заряды со стороны заданного объемного распределения или экви- эквивалентного ему поверхностного слоя, одинаковы. По закону Ньютона спра- справедливо и обратное утверждение. Это упрощает вычисление работы, совер- совершаемой при перемещении незаряженного диэлектрического тела в поле, созданном неподвижными источниками в среде с проницаемостью е0. Если слой вносится в уже полностью сформированное поле, то энергия элемен- элемента поверхности dS л этом поле определяется выражением A.14) с учетом результатов § 7 гл. I, а именно: dW=[oV + {m-V)V]dS, C:37) где о — плотность заряда, m — плотность дипольного момента, а V — потен- потенциал, создапный внешними неподвижными зарядами. Поляризация диэлек- диэлектрика, а следовательно, и величины о и m эквивалентного слоя пропор- пропорциональны в этом случае напряженности внешнего поля; они создаются этим полем и равны нулю при его отсутствии. Поэтому полная работа со- составляет половину той, которая дается выражением C.37). Подставляя зна- значения о и т, приведенные в § 13, и интегрируя по поверхности слоя, по- получим ^ W)dS. C.38) где Vo — результирующий потенциал на внешней стороне эквивалентного слоя или поверхности диэлектрика. Согласно условиям A.48) и A.49), по- потенциал на внутренней стороне слоя связан с Fo соотношениями V^V, и B^-VV^en-VV,, C.39) где е — диэлектрическая проницаемость тела. Подставляя соотношения C.39) в C.38) и применяя теорему Остроградского — Гаусса C.2), получим ибо Ч2У = Ч2Уг~0. Пусть напряженность электрического поля, создаваемого некоторым фиксированным распределением зарядов в объеме v однородной изотропной среды с проницаемостью е0, равна Е, а Е;—напряженность поля в этом же объеме, заполненном однородным изотропным диэлектриком е. Тогда разность энергий равна W = 4" 5 (ео - Е)Е • Ei rfv- C.^1) V Момент или сила, действующие на тело в направлении 0, равны § 15. Изменение электрической энергии системы при увеличении диэлектрической проницаемости. Если заряды на проводниках, создаю- создающие электрическое поле, сохраняются постоянными, то при увеличении
Общие теоремы 69 диэлектрической проницаемости п какой-либо точке среды энергия всей системы уменьшается. Чтобы доказать это, введем следующие обозначения; W — энергия системы, Qj — заряд па /-м проводнике, р — объемная плотность заряда, V — потенциал произвольной точки не — диэлектрическая проницае- проницаемость. Предположим, что при изменении в Q. и р остаются постоянными, а V и W меняются. Тогда W = у ^ s?2 rfv = у ^ е (Wf d\, V Заменим n соотношении C.19) W на bV и Ф на F, подставим V- (EV^0= —P и предположим, что границы раздела различных диэлектриков незаряшены (соответствующие им поверхностные интегралы обращаются в нуль) =2 \ bVBW-dSi+ \ J1S П} J=1S,- потому что j=l V Подставляя результат в соотношение C.43) и перенося 28ТУ о левую часть, находим bW = —^Д 8е (\'VJdv. C.44) V Таким образом, bW — отрицательно при положительном os. § 16. Потенциал аксиально-симметричного поля. Путем непосред- непосредственной подстановки в уравнение C.18) и проведения соответствующего интегрирования по частям можно убедиться, что если е — постоянная вели чипа и потенциал V не зависит от угла ф, уравнение Лапласа имеет сле- следующее решение: )dO, C.45) где Ф (z) — действительная функция z. Разложение этой функции в ряд Тейлора (см. Двайт, 39) имеет вид Ф (г, р) = Ф (г) + Ф' (z) /p sin 6 + B!)-1 Ф" (z) (/psin G)s + ... C.46) Подставляя ряд C.46) в выражение C.45) и интегрируя от 0 до 2т, полу- чпм n=0
70 Глава III Отсюда видно, что V (z, 0) совпадает с Ф (z). При отсутствии зарядов на оси решение C.47) лает значение V, однозначное во всех точках, не отделенных от оси заряженной поверхностью. ЗАДАЧИ !. Показать, что компопспты ротора в цилиндрической системе координат равны i дАг дАу rot. А = — ~х ¦ -^— , Р р O'-f OZ .дАР дАг lA 2. Показать, что компоненты ротора в сферической системе координат равпы > (sin вач) эа6 dti да 3. Показать, что для эллипсоидальной системы координат (см. § 2 гл. V) коэф- коэффициенты hu h2, h3 в выражении C.10) можно записать в виде 'i/if = (u1 — и2) (щ — Из)^'!. 4й| = (н2 — и3) (н2—h1)B2i ^з = (мз — ui) (мз — м2) В3, где Di, 2, 3 = [(ffi2 + Ml, 2, 3) (Ь2 + «,, 2, 3) (с2 + м1, 2, 3)ГХ- причем О Ь> а, —Ъ2 < и2 <—а2, — а2 < г*, < оо. О частных случаях сплюснутого и вытянутого сфероидов см. § 28 и 29 гл. V. 4. Пусть три семейства ортогональных поверхностей заданы концентрическими сфе- сферами u\ = x2-\-yz-\-z2 и двумя семействами конусов: х2и~\-\-у2 (м| — Ь2)~1 + г2(м| — с2)~1 = 0 и х2щ2-\-у* (ui — fc^-i+z2^2 — c2)-1 = 0. Показать, что 5. Три семейства ортогональных поверхностей выражаются уравнениями: х2 с~2и~2-\- у2с~2(и2 —1)-1 = 1, х2с~2щ2 — j/2c-2(l_м|)-!=1 и z = m3. Показать, что и Л3 = 1. 6. Показать, что если ортогональные поверхности заданы уравнениями у2 ='icul x - 2и2, у2=—• 4си2 х + 4с2к| и z = m3, то 7. Показать, что если семейство ортогопальпых поверхностей задало уравнениями ( ) 2\2 i22 и 3/ = a;tgM3> то 8. Доказать, что в случае, когда ортогональные поверхности заданы уравнениями -2/2I'2 = csh ul (ch uv — cos u2)~l, j/ = a;tgM3 и z = c sin м2 (ch Mt — cos u2)~1, коэффп-
Литература 71 циенты равны Эта система координат известна под названием Тороидальной. Ортогональные поверх- поверхности представляют собой тороиды, сферы и плоскости. 9. Доказать, что для ортогональных поверхностей, заданных уравнениями (a:2-f-?/2I/2 = esin и2 (ch Mt — cos мг)~г, y^xigua, г = сяЬм1(сЬм1 — cos иг)~\ коэффи- коэффициенты равны h1 = c(cbu1 — cos мг)~г, /:2^=hl и ks = esinu2 {chul — cos u2)~1. Это—биполярные координаты, так как если rj и гг—векторы, направленные из точки Р в точки z=+e и z=—с, то M]=ln(r2rj1) и cos м2 = (Г1-1"г) ГГ1 Г21- 10*. Пусть относительная диэлектрическая проницаемость среды меняется по за- закону е~г'а, где г—расстояние от некоторой фиксированной точки. Требуется убедиться в том, что решением дифференциального уравнения для потенциала будет функция а2г-2 [е~г1а__ , _ ra_i _ гг Ba2)-l] cos 6 . Найти потенциал впутри диэлектрического тара, помещенного в однородное ноле при условии, что диэлектрическая проницаемость шара является вышеуказанной функцией расстояния от центра. И*. Пусть в электрическом поле, созданном системой проводников с заданными потенциалами, диэлектрическая проницаемость среды е произвольным образом измени- изменилась! но так, что в любой точке среды величина е по крайней мере не уменьшилась, и ее изменения были всюду малы. Доказать, что энергия поля при этом возросла. 12. Найти условие, при котором из семейства двухмерных эквипотенциальных линий F2 = / (z, у) можно путем вращения вокруг оси z образовать семейство экви- эквипотенциальных поверхностей. Показать, что если это возможно, выражение для потен- потенциала будет иметь вид 'y(\vt)* ду- ЛИТЕРАТУРА Abraham M., Becker R., Klassische Elcktrizitat and Magnelismus, Berlin, 1932. (См. перевод: А б р а г а м М., Б е к к е р Р., Теория электричества, 2-е изд., М.—Л., 1939.) Gciger-Scheel, Handbuch der Physik, Bd. Ill and XIJ, Berlin, 1927, 1928. Jeans J. H., The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge, 1925. Mason M., Weaver W., The Electromagnetic Field, University of Chicago Press, 1929. Maxwell J. C, Electricity and Magnetism, v. I, Oxford, 1881. Peirce В. О., Newtonian "Potential Function, Ginn, 1902. Planck M. K. E. L., Theorie der Electrizitat und Magnetismus, Berlin, 1932. Ramsey A. S., Electricity and Magnetism, Cambridge, 1937. Stratton J. A., Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, 1941. (См. перевод: С т р э т- тон Дж. А., Теория электромагнетизма, М.—Л., 1948.) Webster A. G., Electricity and Magnetism, Macmillan, 1897. Wien-Harms, Handbuch der Experimentalphysik, Bd. X, Leipzig, 1930.
Глава IV ДВУХМЕРНОЕРАСПРЕДЕЛ EUL1E П0ТЕ11Ц НАЛА § 1. Двухмерные поля и потепциалы. Задача о нахождении потенциала называется двухмерной тогда, когда все эквипотенциальные поверхности в поле цилиндрические, т. е. все они могут быть образованы пугем пере- перемещения бесконечной прямой линии параллельно некоторой фиксированной линии. Под единичным зарядом в этом случае мы будем понимать линей- линейный заряд, равномерно распределенный вдоль некоторой оси и равный по величине одному кулону на метр. Как уже было показано [см. формулу B.7)], напряженность поля, созданного линейным зарядом на расстоянии г от него, в однородном изотропном диэлектрике имеет лишь радиальную со- составляющую, равную Отсюда, интегрируя, получаем выражение для потенциала Ясно, что теперь ужо нельзя положить потенциал равным нулю на беско- бесконечности, так как это приведет к бесконечному значению постоянной С. Как правило, мы будем выбирать значения С так, чтобы по возможности упростить вычисления. Строго говоря, задача о двухмерных электростатических полях не мо- может возникнуть в действительности, так как все проводники имеют конеч- конечные размеры. Однако существует очень много важных задач о нахождении поля в системе параллельных цилиндрических проводников, длина которых значительно превышает расстояния между ними, так что вдали от краев, где краевые эффекты сказываются несущественно, такую задачу можно трактовать как двухмерную. § 2. Круговые гармоники. Термин «гармоника» в наиболее общем смысле этого слова употребляется по отношению к любому решению урав- уравнения Лапласа. Обычно, однако, его применяют к более узкому классу решений, именно к таким решениям, которые можно в определенных коор- координатных системах записать в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты. Решение задачи, удовле- удовлетворяющее заданным граничным условиям, образуется путем суммирования некоторого числа таких гармоник, взятых с надлежащими коэффициентами. В обычных цилиндрических координатах, описанных в § 6 гл. III, ци- цилиндрические гармоники записываются в виде . D.3) В частном случае, когда функция Z (z) — постоянная величина, задача сво- сводится к двухмерной и гармоники называются круговыми. В дальнейшем
Двухмерное распределение потенциала 73 мы будем вместо р употреблять г, а вместо <р употреблять 6. В этих обозначе- обозначениях уравнение Лапласа C.18) для однородной изотропной диэлеЕ^трической среды, если его умножить на г2, примет вид Будем искать его решения в виде У = Д(г)вF). D.5) Подставляя решение D.5) в уравнение D.4), получим —-о Очевидно, что этому уравнению удовлетворяют решения следующих урав- уравнений: ^=-иЭД, D.6) 5? + 1^ = п«4. D.7> dr2 ' г dr r2 v ' Уравнение D.6) является уравнением гармонического осциллятора; его ре- решением будет Q = Acosne + BsmnG. D.8) Легко убедиться, что решением уравнения D.7) при п Ф 0 является функ- функция R = Crn + Dr-n, D.9) а при п= О D.10) D.11) Число /г называется показателем гармоники. Круговые гармоника бывают с показателем, равным нулю, V = (AO+B)(Clnr + D), D.12) и с показателем, отличным от нуля, + Drn). D.13) Сумма таких гармоник, взятых с различными множителями для каждого п, иди интеграл но п тоже, очевидпо, являются решением уравнения D.4) У = 2впЯи или V = \f{n)HnRndn. D.14) и Следует замешть, что мы не накладывали никаких ограничений па значе- значение п. Если для любых значений 0 при п— целых числах, имеет место равенстло ^(АпсоБпв + Вт^тпВ)=,у_ (CncosnO + Dnsin nO), D.15) то из него вытекает, что Ап = Сп и Bn = Dn D.16)
74 Глава IV Чтобы доказать это утверждение, необходимо помножить правую и левую части равенства D.15) на cosmG, а затем проинтегрировать в пределах от 0 .до 2т., что даст 2-к 2-к 2 ( Ап \ cos пВ cos rnO dO + Bn\, sin яб cos mOdQ) = о • б 2-к 2т. cos nO cos mO dd + Dn 6 о Бее члены, для которых т ф п, равны нулю (см. Двайт, стр. 445 и 465). При т = п (см. Двайт, 450.11 и 858.4) мы имеем 1 1 При помощи аналогичной процедуры, используя только sinmG, легко дока- доказать, что Bn = Dn. § 3. Представлрние потенциала поля липейного заряда в виде ряда «о гармоникам. При использовании круговых гармоник часто бывает необходимо иметь разложение потенциала поля линейного заряда, координаты которого мы " обозначим через г0, б0. Пусть Я— расстояние /1 между линейным зарядом q и точкой Р (фиг. 23). 1° Тогда, полагая в выражении D.2) постоянную С равной нулю, для потенциала V в точке Р Фиг. 23. имеем '= ~2qlnR = -gln[r2 + ^-2/Tocos@-0o)] = = -2qlnr-qln [ 1 --? е»(в-вв) ] [ 1 --^ e~i<е-во)] . При г0 < г (Двайт, 601) получаем 2qlnr-\-q I — Г0 (в—6o)-j_g—У (в—во)] -[_ _ ( 1л. ) ("е?2 (б—6o)_i_g—j2 (9—60)j i _ I __ Перепишем это в виде суммы, разложив cos/г (б — 0о) (см. Двайт, 401.04), тогда D.17) Это справедливо для г > г0. Соответствующее выражение для ?• <* г0 можно получить из D.17), если в нем поменять местами г и г0, а именно: 1пг0] . D.18) и есть искомые нами разложения. § 4. Проводящий или диэлектрический цилиндр в однородном поле. J3 качестве примера, в котором используются граничные условия на поверх- поверхности металла и на границе раздела двух диэлектриков, рассмотрим задачу •о бесконечном проводящем цилиндре радиуса а, покрытом слоем диэлектрика
Двухмерное распределение потенциала 75 а •< г < Ъ с относительной проницаемостью К и помещенном в однородное электрическое поле Е, перпендикулярное к оси цилиндра. Потенциал этого первоначального поля вне цилиндра можно представить в виде Потенциал, обусловленный индуцированными зарядами в цилиндре, должен исчезать на бесконечности, поэтому выражение для него не может содержать членов типа гп. Кроме того, поскольку этот потенциал должен быть сим- симметричным относительно оси х, в выражении отсутствуют члены, содержа- содержащие sin/гб. Таким образом, окончательное выражение для потенциала вне цилиндра должно иметь вид со yo = ?rcose+ 2 Anr'nccsn0. D.19) Потенциал поля внутри диэлектрического слоя также не может содержать членов вида sin nb, но члены гп и г'п могут в него входить, так как зна- значения г — 0 и г = оо находятся вне пределов этого слоя со Vo = S {Bnrn + Crrn) cos nO. D.20; • л=1 Если начало координат выбрано на оси цилиндра, то потенциал проводпика V = 0. Таким образом, мы нашли решения уравнения Лапласа, удовлетво- удовлетворяющие условиям на бесконечности и обладающие симметрией относительно оси х. Теперь необходимо удовлетворить граничным условиям на поверх- поверхности металла и на границе раздела двух диэлектриков, что позволит опре- определить коэффициенты Ап, Вп и Сп. Граничными условиями при г= Ъ, согласно соотношениям A.48) и A.49), будут е„-^- = е~1Г- или ~1Г^ = К ~- и Vn=V-. D.21) " dr dr dr dr « i v / Подстановка выражений D.19) и D.20) в уравнение D.21) дает Е cos б — 2 nAJr"-1 cos nO = К 2 п{ВпЬп'г — CJf1^1) cos «6, ЕЬ cos 0 + 2 AJfn cos nO = ^ (ВпЪп + CJfn) cos пв. Для п Ф 1 из соотношений D.16) мы имеем _ Аф-^1 = KBJf'x - KCJfn'\ D.22) Anb^ = Bnbn + Cnb-n. D.23) На поверхности проводника r = a, V{ = 0, поэтому 0 = В„ап + Сп<Гп. D.24) Умножая уравнение D.22) на b и складывая с D.23), получаем (К+1)Вп = (К-1)СпЬ-^. D.25) Системе уравнений D.24) и D.25) можно удовлетворить, либо полагая Вп = Сп 0, либо (К + 1)/'(К— 1)= —(а/ЬJП. Последнее, однако, невозможно в силу независимости величин К и а. Поэтому, учитывая первое соотно- соотношение и подставляя его в уравнение D.23), имеем Ап = Вп = Сп = 0. D.26)
76 Глава IV Для я=1 вместо уравнений D.22) — D.24) получаем Е - АХЪ~* = ЯБ, - КСХЪ-*, Решая эти уравнения относительно Av В1 и Сг, имеем — 1)Ь2 Следоштельно, потенциалы D.19) и D.20) соответственно равны На фиг. 24,я показаны линии электрической индукции. а Фиг. 24. D.27) D.28) Полагая в соотношениях D.27) К=\, мы получим решение для метал- металлического цилиндра радиуса а D.29) Поле для этого случая показано на фиг. 24,6. Решение для диэлектрического цилиндра радиуса b получим, если положим в соотношениях D.27) а = 0 а 1 — АГ+1 г IE K+l г cosS. D.30) Заметим, что внутри диэлектрического цилиндра поле однородно. Линии индукции изображены на фиг. 25 для К = 5. § 5. Диэлектрический цилиндр. Метод изображений. Рассмотрим теперь, как влияет диэлектрический цилиндр радиуса а на поле линейного
Двухмерное распределение потенциала 77 заряда q, расположенного в точке r = b, 6=0 (см. фиг. 26). Потенциал, обусловленный самим линейным зарядом, определяется по формуле D.18), в которой нужно положить ro — b, б,, = 0. К нему необходимо добавить потенциал, обусловленный поляризацией диэлектрика. Этот потенциал должен исчезать на бесконечности и быть симметричным относительно осп х. Таким Фиг. 25. Фиг. 26. образом, полный потенциал в области а < г < b ранен и=1 Так как потенциал внутри цилиндра остается конечным при г = 0 и сим- симметричным относительно оси х, его можно представить в виде D.32) Полагая Vo = V{ при г = а. получим и c^- D.33) Кроме того, ev (dVJdr) = е (dVJdr) при г = а или (dVoldr) = K(dVJdr), что дает ^-^4 = л-4- D.34) Решим уравнения D.33) и D.34) относительно Ап и ^,г: 2 ш. Вп = Итак, для потенциала вне цилиндра имеем пЪп' п=1 и внутри цилиндра — ,} , D.35, Если теперь положить
78 Глава IV _^___ то выражение D.35) в точности совпадает с формулами разложения потен- потенциала D.17) и D.18), создаваемого тремя линейными зарядами, расположен- расположенными на оси х: зарядом q' в точке х = а2/Ь, зарядом — д' в точке х = 0 и зарядом q в точке х = Ъ. Точно так же потенциал D.36) совпадает с потен- потенциалом линейного заряда q", расположенного в точке х = Ъ, причем Таким образом, незаряженный диэлектрический цилиндр радиуса а, помещенный на расстоянии Ъ от параллельного его оси линейного заряда q, по своему действию на поле вне цилиндра эквивалентен двум параллельным оси линейным зарядам, один из которых (— q') распределен вдоль оси цилиндра, а другой (q') находится между линейным зарядом q и осью цилиндра па расстоянии а2/Ь от последней. Этот заряд q' можно рассма- рассматривать как «изображение» заряда q в цилиндре радиуса а. Потенциал внутри цилиндра с точностью до постоянной совпадает с потенциалом поли в отсутствие цилиндра при замене линейного заряда q на q". Некоторые авторы в числителе выражения для q" вместо 2 ставят 2К. Тогда потен- потенциал внутри цилиндра нужно вычислять как потенциал линейного заряда q" в однородном пространстве, заполненном диэлектриком с проницаемостью А". Отсюда следует, что при внесении диэлектрического цилиндра в любое электрическое поле, созданное любым двухмерным распределением линей- линейных зарядов, параллельных оси цилиндра, структура этого поля внутри цилпндра не меняется, а напряженность поля умепыиается в 2/GT-j- 1) раз. § 6. Изображение в проводящем цилиндре. Из соотношения A.51) следует, что при К —^ со силовые линии подходят нормально к понерх- ности диэлектрика, что является граничным условием на поверхности проводника. По- Поэтому закон изображения в проводящем пена ряженном цилиндре можно получить, поло- положив в формуле D.37) К—->ос; это дает д' = —q. Таким образом, если линейный за- заряд q расположен параллельно оси неза- ряженного проводящего цилиндра радиуса а па расстоянии Ь от нее, то дополнитель- дополнительный потенциал вне цилиндра, обусловлен- обусловленный присутствием цилиндра, совпадает с потенциалом поля, создаваемого двумя параллельными линейными зарядами, один из которых равен q и распределен вдоль оси, а другой равен — q и находится между линейным зарядом q и осью на расстоянии a-jb от последней. Как это показано на фиг. 27, для определения положения изображе- изображения необходимо из точки q провести касательную к диэлектрическому или проводящему цилиндру. Тогда перпендикуляр, опущенный из точки каса- касания на линию — qq', пересечет последвюю в искомой точке q'. § 7. Изображение в плоской поверхности проводника или диэлек- диэлектрика. Пересекающиеся проводящие плоскости. Устремим радиус цилпн- цилпндра к бесконечности, сохраняя постоянным расстояние d=b— а между линейным зарядом и поверхностью цилиндра. Тогда расстояние между изо- изображением q' и этой поверхностью будет a-a2b-l = ab~l (b-a)-^d. Таким образом, полученный пами закон изображения можно распро- распространить и на случай линейного заряда, расположенного параллельно
Двухмерное распределение потенциала 79- плоской поверхности полубесконечной диэлектрической среды или проводя- проводящей пластинки. Изображенный заряд располагается на таком же расстоя- расстоянии от поверхности, что и действительный, но только по другую сторону от нее. Для проводника q' = — q, для диэлек- диэлектрика q' и q" определяются из выражения D.37). Из фиг. 28 очевидно, что две плоскости, пересекающиеся в начале координат под углом ¦к/т, где то — целое число, будут являться экви- эквипотенциальными плоскостями в поле линейных зарядов, параллельных линии пересечения пло- плоскостей и расположенных на поверхности цилин- цилиндра г — г„ под углами б0, 2vnrx -f б(), 4тгто~1 ¦+- + 60, ..., 2(то— ^г.тг1-^ б0 (заряды + q) и 2-ютг1 — б0, 4-п:то~1 — б0, ..., 2т. — б0 (заряды — q). § 8. Задача о диэлектрическом клине. Уравнение D.4) имеет еще- одво решение, соответствующее значениям я ф 0. Для получения его необхо- необходимо в соотношениях D.6) —D.9) постоянную п замолить па /я. Тогда О, D.38) n lnr = C cos (л In r) + Dsin (n In r). D.39) Это решение периодично не по б, а по In г, поэтому в интеграле и в ряде D.14) взаимно ортогональными будут теперь функции Rn, а не в„. Эти гармоники можно использовать при реше- аии задачи о диэлектрическом клине, огра- ограниченном двумя плоскостями 6 = — а и О —а, имеющем диэлектрическую прони- проницаемость е2 и находящемся в поле линей- линейного заряда q, распределенного вдоль линии б --- -у, г = а в среде с диэлектриче- диэлектрической проницаемостью е1 (см. фиг. 29). По- Поскольку в такой системе отсутствуют ци- цилиндрические границы, на которых долж- должны исчезать члены, содержащие синусы или косинусы в решепии D.39), нельзя ограничиваться дискретными значениями я, а следует считать я меняющимся непрерывно, искать по форме интеграла D.14). Обозпачнм через Р и запишем потенциалы в виде V, Фиг. 29. п поэтому решение задачи величину (sj — e24'/(ei ~\~ ег) V1 = A + р) ^ [А (к) в*» + В (A) r-h«] cos [ * In (? ) ] dk + CD, D.4U) о У2 = \ [С (к) еы + D {k) e-"G] cos [ ft In (¦?-) ] dk + Co, D.41) о CO Vs = ^ [E (ft) e^ + F (k) e-**] cos [ ft In ( ~ ) ] dh-\ Co, D.42) о где Vt относятся к области — а < 0 < a, V2 — к области а<б<Г^ н V3 — к области -с < 6 < 2г. - а. Постоянную С„ можно выбрать так, чтобы потен- потенциал V равнялся нулю в любой заданной точке. Если в качестве такой
?0 Глава IV точки оыбрать точку г — а, б = 0, то постоянная Со будет равна величине Окружность /• = а проходит через точку q и является силовой линией, потому что всюду вдоль нее dV/dr = O. Отсюда следует, что половина пол- полного потока индукции приходится на долю силовых линий, уходящих в бес- бесконечность, другая же половина связана с силовыми линиями, оканчиваю- щимися в точке г = 0, где, таким образом, находится заряд — -^q. По тео- теореме об интегралах Фурье, если два из интегралов вида D.40) —D.42) равны между собой при любых значениях In (г/а), то равны между собой и их подиптегральные функции. Используя граничные условия A.48) и A.49) при 0 = а, после некоторых преобразований подинтегральных выражений для Vx и F2 получим С = А + $е~2'<°В, D = [ie2haA + B. D.43) Аналогичная процедура для Vx при 6= —а и для V3 при 6 = 2- — а дает Е = (А + $Ве2ы) е-2'™. F = фАе-2ка + В) e2f™. D.44) Теперь остается удовлетворить еще одному условию при 6 = f. Для этого напишем выражение для плотности потока индукции сквозь плоскость 0 — f оо о о Умножим обе части на cos [tin (г/а)] dr и проинтегрируем в пределах от г=0 до г=оо. Тогда выражение, стоящее слева, по теореме Гаусса равно q, так как интегральная функция отлична от нуля только вблизи г = а; правая же часть находится по теореме о разложении в интеграл Фурье. В результате получим Кроме того, Vz равно V® при 6 = f, поэтому (С- Е) #1 =—(D-F) e-^. Исключив D и F или С и Е из этих уравнений, получим Из выражении D.43) — D.45) для А и В имеем sh к А Я - q [eT* (T*} yh 7;K-e±k '"^ sh к (д ' 2n?tA:[sh2fti:— [з2 sh2 А (тг—2а)] где иерхиие злаки относятся к ^4, а пижние — кВ. В частном случае, когда система симметрична относительно плоскости ~{ = т., потенциал внутри ди- диэлектрического клпна равен 2a)]
Двухмерное распределение потенциала 81 Подинтегральное выражение остается конечным при к = 0 и экспоненциально убывает с ростом к. Построив график этой функции в зависимости от к, можно вычислить интеграл D.47) при помощи планиметра. Если существует только один заряд в точке r = a, S = -j-, то члены, обусловленные заря- зарядом— у q, расположенным в начале координат, и входящие в решение D.40) — D.42), можно исключить из него путем добавления к Vt, V2 и V3 члена ¦igln-lla^-g-^]-'. D.48) Если на некотором цилиндре r—h потенциал поддерживается равным нулю, то решение находится в виде суммы двух решений: одного для линейного заряда q, расположенного в точке г —a, 6 = f, а другого —для линейного заряда —q, расположенного в точке г=Ь2/а, 6 = ^. Если же нулевой потен- потенциал имеют два цилиндра г = b и г — с, то необходимо применять дискрет- дискретный набор величин п в соотношении D.39) и искать решение для потен- потенциальной функции не в виде интеграла, а в виде ряда. § 9. Комплексные величины. Прежде чем переходить к сопряженным функциям и конформным преобразованиям, напомним вкратце некоторые наиболее важные свойства комплексных величин. Если z = x-\-jy, то очевидно, что каждой точке плоскости ху, называемой в связи с этим z-roio- скостыо, соответствует одно значение z. В поляр- полярных координатах (см. фиг. 30) величина z записы- записывается в виде (Двайт, 408.04) z = x + /у = r cos S + jr sin 6 = reJ'e. D.49) Фиг. 30. Длина вектора г называется модулем z и обозначается через |z|. Угол б называют аргументом, амплитудой1), фазой или углом z. При возведении комплексного числа z в степень h получается zn=.rnel-nB> D.50) т. е. модуль величины z" равен п-й степени модуля z, а аргумент zn равен аргументу z, помноженному на п. Аналогично и для произведения двух комплексных чисел D.51) т. е. модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме их аргументов. Заменив теперь в формуле D.51) zx на Zj1, получаем, что модуль частного от деле- деления двух комплексных чисел равен частному от деления их модулей, а аргумент равен разности их аргументов. Пусть z1 = z1 + jy1 = f(z) = f(x + jy), тогда величина z* = хг — ]УХ = = /(х — /у) называется комплексно-сопряженной z. Последнее соотношение, имеющее место для аналитических функций, могкно доказать путем разло- разложения функции / (х ± /у) в степенной ряд с действительными коэффициен- коэффициентами: всюду, где ;Ь/ возводится в четную степень, соответствующий член г) Этот термин широко употребляется математиками для обозначения угла (L Однако амплитудой называют также максимальное отклонение некоторой переменной неличины, например н теории переменных токов. В этом случае при использовании комплексных обозначений амплитуда практически совпадает с модулем соответствующей комплексной величины. 6 в. Смяйт
82 Глава IV ряда будет действительным и одинаковым при любом знаке перед ], там же, где ± / возводится в нечетную степень, соответствующий член ряда будет чисто мнимым, а знак перед / остается прежним. Для | zx |2 имеем I ч I2=А + у\ = чА = / (*+fy) f & - fy) ¦ Таким образом, для получения модуля функции комплексной переменной необходимо помножить эту функцию на комплексно-сопряженную ей и извлечь квадратный корень. § 10. Сопряженные функции. Напишем двухмерное уравнение Лапласа в прямоугольных координатах -&г-+^г = °- D-52) Это уравнение второго порядка в частных производных. Его общее решение должно содержать две произвольные функции и, как легко убедиться путем дифференцирования, может быть записано в виде U = Ф (х + jy) + «" {х- jy). Заметим, что для того, чтобы Ф и W были решениями уравнения D.52), они должны иметь конечные производные в той области, где справедливо это уравнение, и, следовательно, должны являться аналитическими функ- функциями, т. е. функциями, разлагаемыми в степенной ряд1). Величина U, являющаяся электростатическим потенциалом, должна быть действительной, что возможно только, если мнимая часть Ф равна по величине и противо- противоположна по знаку мнимой части W, т. е. если Ф (x + jy) = u-\- ft, а ЧГ (ж — fy) = w—jv, где и, v, w — действительные величины. Аналити- Аналитические функции Ф и I разлагаются в степенной ряд во оо со Ф(х+ jy) = Ф (ге*) = 2 AnrneW = 2 Лпгп cos габ + / 2 A/1 sin nO, п=0 , п=0 тг=О со оэ со W (х - fy) = W (ге-Я) = 2 Впгпе-™» = 2 A/1 cos габ - / 2 Bj» sin nb. п=0 тг=О я=0 В силу того, что мнимые части Ф н 47 равны по величине и противоположны по знаку при любых б, мы получаем, что Ап — Вп [см. соотношение D.16)], и, следовательно, реальные части этих функций в точности равны между собой, т. е. u — w. Поэтому U = 2u. Пусть V — другая действительная величина, такая, что V = 2v, тогда U + fV = 2 (и + jv) = 2Ф (х + jy) = / (х + fy). D.53) Функция V также удовлетворяет уравнению Лапласа, что можно показать, либо воспользовавшись написанным выше разложением, являющимся разложе- разложением в ряд по круговым гармоникам, либо путем умножения выражения D.53) па —/: V - fU = - jf {x + fy) = F(x + jy). Отсюда ясно, что V равна реальной части функции F\x-\-jy), точно так же как Ь является реальной частью функции f(x-hjy)- В дальнейшем мы будем U + jV обозначать через W, а х 4- jy через z, т. е. W = f(z). D.54) Функции U (х, у) и V (х, у) называются сопряженными. х) Whit la k с г, Watson, Modern Analysis, Ch. V. (См. перевод Уиттекер, В а тс он, Курс современного анализа, 1933, ч. I, гл. V.)
Двухмерное распределение потенциала 8? § 11. Функции потока. Продифференцируем выражение D.54) по х и у: dW _ви_. ¦ 9V _ ,, . dz _ ., dx ~~ dx + ' dx ~ I W дх ~' ™L ?Е+ j dV f (z) ± j/ L + j f (z) ± j/ (z) Умножим второе соотношение на / и прибавим к ному первое, тогда из равенства нулю реальной и мнимой частей суммы получим dV dU dV _ dU . ,.r и ~ду~-~д~- V4-'^ дх~~1)у Но это есть условие взаимной ортогональности семейств кривых U (х, у) — = const и V (х, у) = const. Как мы уже видели, любое из этих семейств можно выбрать в качестве эквипотенциальных линий; тогда функция, описы- описывающая это семейство, называется потенциальной. Другое же семейство кривых, ортогонально пересекающееся с первым, будет представлять в этом случае силовые линии. Функция, соответствующая этому семейству, назы- называется функцией потока. § 12. Напряженность электрического поля. Поток электрической индукции. Рассмотрим производную dW _ dU + jdV _(dU/dx) dx+(dUjdy) dy + /'[(dV/dx)dx-\-(dV/dy) dy] dz dx + / dy dx -j- / dy В соответствии с соотношениями D.55) заменим bUjdx и dUjdy, тогда dW _ (dVldy) (dx + j dy) + / (dV/дх) (dx + /dy)_ dV . dV _ dU . dU /Л rfix dz dx+jdy ~ dy +1 dx ~~ dx 1 dy ' \q:-i)K>) Таким образом, если в качестве потенциальной функции выбрана V, то мнимая часть выражения dW/dz равна ^-составляющей напряженности электрического поля, а реальная часть dW /dz равна его ^-составляющей. Независимо от того, выбрана ли в качестве потенциальной функции U или Vг амплитуда вектора Е в данной точке определяется модулем функции dW/dz в этой точке. Обозначим через dn элемент длины в направлении макси- максимального увеличения потенциала, а через ds — элемент длины в направлении, полученном при повороте dn на угол и/2 против часовой стрелки, тогда из соотношений D.56) получим dW dz dU _ dV dn ds ИЛИ dW dz dV__ dU dn ds D.57) в зависимости от того, являются ли потенциальными функциями U или V. Пусть, например, V — потенциальная функция. Найдем поток индукции сквозь произвольный участок эквипотенциальной поверхности, ограничен- ограниченный кривыми Uу и f/2. Для этого воспользуемся формулой A.27): 1/2 U2 Поток = - е J ¦§? ds = е С Щ-ds = е (Г/2- U,). D.58) i/i i/i Таким образом, подобно тому как разность потенциалов между любыми двумя точками определяется разностью значений потенциальных функций в этих двух точках, так и полный поток индукции, проходящий сквозь линию, соединяющую две произвольные точки в поле, равен произведению диэлектрической проницаемости е на разность значений функции потока в этих двух точках. С*
У4 Глава IV Если поверхности V1 и F2 являются замкнутыми и если при этом псе заряды расположены на одной стороне одной из поверхностей и на про- противоположной стороне другой поверхности, то в области между V1 и V'г исо силовые линии проходят от одной поверхности к другой и, следова- следовательно, дакая система, как это следует из § 2 гл. II, образует конден- конденсатор. Заряд Q на любой из поверхностей равен полному потоку сквозь нее (на единицу длины). Из выражении D.58) этот поток определяется как произведение е на приращение U за один оборот вдоль кривой V (обозна- (обозначим это приращение через [U]). Поскольку разность потенциалов равна \V2~ Fj|, то емкость в случае вакуума будет § 13. Функции U и V для поля линейного заряда. Прежде чем при- приступать к описанию общих методов нахождения функции /{х-\- fy), рас- рассмотрим один из наиболее простых примеров, когда вид этой функции почти очевиден. В поляр- полярных, координатах (Двайт, 408.04) для величины z мы имеем z = х + fy = r cos 6 + jr sin S = гё*. D.60) По формуле D.2) потенциал линейного заряда, расположенного в начале координат, равен Z7 = Фиг. 31. i = — у <7 (та) х In г. Ясно, что это выражение яв- является реальной частью — — <7(та)-11п Zj поэтому искомую нами функцию можно записать в виде W — U+ jV — 9lnZ — gin r fqb _ __ _ gln(x + /y) _ q In(x24-y2I/2 jg arctg (yjx\ //сл\ ¦Для проверки будем менять угол 6 от 0 до —2тг (см. фиг. 31). Тогда функция eV будет пробегать значения от 0 до q и, следовательно, полный поток индукции, создаваемый линейным зарядом д, равен д, как это и тре- требуется в § 12 настоящей главы. Нетрудно теперь написать выражение для /(z) в случае линейного заряда, расположенного в произвольной точке г0, 60 или z0. Потенциал такого заряда равен U = - 4 <7 W11п^ = -т ^ (таГ ln I''2 + г20 - 2rr0 cos F - 0о)] 4 4"9 ACS^1 ln ^г CCS ° "" Г" C0S 6оJ + (r Sin б — ro sin °nJ] = Но из формулы D.61), заменив в ной х на А а. у на В, мы видим, что 1п(А2-\- В2I'2 является реальной частью 1п(А + /.В), поэтому искомая функ- ¦цин имеет вид W= -j?ln(A+/fi)= --^ln (|-^-гоеЛо)= -^ln(z -z0). D.62)
Двухмерное распределение потенциала 85 В случае п линейных зарядов, расположенных в точках zlf z2, .. ., zrt, функция W будет равна D-63) s=i § 14. Емкость между двумя круглыми цилиндрами. В § 6 мы видели, что эквипотенциальные поверхности в поле двух одинаковых по величине, но противоположных по знаку линейных зарядов представляют собой круг- круглые цилиндры. Рассмотрим поле, создаваемое двумя линейными зарядами: заря- зарядом 2та, расположенным в точке у = а, и зарядом —2та, расположенным в точке у— —а. Такой выбор величины q упрощает коэффициенты. Выра- Выражение D.63) для W можно несколько видоизменить, а именно (Двайт, 601.2 и 505.1): W = ln^±Zj = 2/ arctg iL = 2/arcctg -J-. D.64) Решая это уравнение относительно z (Двайт, 408.19), имеем — U + /V _ -asin(U//) + asmV z-actg 2/ - t-os(t///)-fosF • Выделим теперь отдельно действительные и мнимые части: я sin V a sh U ,. „ri Исключив из этих уравнений V, получим x2+y2 — 2aycihU+a2 = 0, D.66) что можно записать следующим образом: = a2 cosech2 U. D.67) Как и следовало ожидать, эквипотенциальные линии образуют семейство окружностей с центрами на оси у. При у > 0 значения потенциала поло- положительны, а при у < 0 значения потенциала отрицательны. Если из урагаю ний D.65) исключить U, то получим уравнение х2 — 2ах ctg V + у2 — а2 = 0, которое можно переписать в виде (х — a ctg VJ ±у2 = а2 cosec2 F. D.158; Итак, силовые линии тоже образуют семейство окружностей, проходящих через точки оси У(У— +а и у= —а). Для определения емкости (на единицу длины) между двумя цилиндрами U —¦U1 и U=U2 необходимо, как это следует из формулы D.59), разделить заряд 2тс на разность потенциалов U2 — Ux. Пусть нам заданы радиусы этих двух цилиндров Дх и R2 н расстояние I) между их осями. Сначала нужно выразить через них величины а, иг и U2. Из уравнения D.67) имеем //j = = а | cosech Ut\, R2 = а | cosech Uz\ и D — a (| cth U1 \ ± (cth f/21), причем ниж- нижний знак относится к случаю положительных значений и Ux и Uz, т. с. когда один цилиндр находится внутри другого, а верхний знак со(^вотствуот случаю отрицательного значения f/1; т. е. когда ни один тгз цилиндров не охватывает другого. Руководствуясь далее этим правилом выбора знака, можно написать (Двайт, 651.02) c-h (Ut — Ux) = ch U2 ch Ux ± | sh U2 sh Ux | = (| cth f/a cth Ut | ± 1) | sh f/2 sh
86 Глава IV 1 1 Подставляя вместо ~Ь 1 равное ей выражение 4:у ±у (Дсайт> 650.08), нолучим ch (U2 ~ иг) = [ | clh l\ cth ГУ21 ± у (clh2 U2 - cosoch2 U2) ± ± у (cth2 f/, - cosoch2 C/x) ] | sh Lrx sh t/?. | = + (cth C/2 + cth Uxf -q= гoscch2 t/, T coscrh2 t/2 4 \ If^l 1 Фиг. 32. Подставим сюда значения D, Яг и Л2, что даст Таким образом, емкость (на единицу длины) между двумя цилиндрами равна С = 2тге arch(±—^~ 1 ~ 2 j | , D.69) где ишкний знак относится к случаю, когда одтга цилиндр находится внутри другого, а верхний знак — к случаю, когда ни один из цилиндров не охваты- ваит другого. Оба эти случая показаны па фиг. 32, а и б. § 15. Емкость монаду цилиндром и плоскостью. Емкость между двумя одинаковыми цилиндрами. Устремим величину R1~ D-\-h, показанную на фиг. 32, а, к бесконечности, тогда окружность внешнего цилиндра совпа- совпадает, по крайней море, в некоторой конечной области с осью х. Пренебрегая RI ио сравнению с R\ и IJ и h по сравнению с 2Rlt получим R1 + D = = 2R1 — h ^ 2R±. Поэтому -D* . (Д,-Д)(Д,+Д) ^ h
Двухмерное распределение потенциала 87 Таким образом, емкость (на единицу длины) между проводящим цилиндром радиуса 11 и бесконечной проводящей плоскостью, расположенной парал- параллельно оси цилиндра на расстоянии h от нее, равна C = 2«e arch-jj-) . D.70) Два одинаковых цилиндра, расстояние между центрами которых I) = 2h, имеют емкость (на единицу длины) в два раза меньшую, чем емкость, опре- определяемая по формуле D.70), так как их можно рассматривать как два таких конденсатора, соединенных последовательно. Окончательное выражение для емкости двух одинаковых цилиндров можно получить п непосредственно из формулы D.69), полагая Д1 = Я.2 и D = 2h: Х . D.71) § 16. Конформные преобразования. Очевидно, что метод сопряженных функций является могучим средством решения двухмерных задач о распре- распределении потенциала. Но для того чтобы им пользоваться, надо уметь на- находить нужные функции. Прежде чем излагать общие методы пх отыскания, мы сейчас изучим некоторые специфические свойства функций комплексных переменных. Нанесем на одну из плоскостей значения z = x-\-jy, а на дру- другую— значения z, = ж, +/г/, н предположим, что z является аналитической функцией zx, так что каждой толке на плоскости z1 соответствует по крайней море одна точка на плоскости z. Если функция z =/(гх)—непрерывная, то при перемещении точки по плоскости zx вдоль некоторой кривой соот- соответствующая ей точка па плоскости z тоже опишет некоторую кривую. Если же функция /(z,) не является непрерывной функцией, то точка на плоскости z будет перескакивать при этом с одного места в другое. Пусть, когда точка на плоскости z,, описав замкнутую кривую, возвращается в первоначальное положение, соответствующая точка на плоскости z также возвращается в первоначальное положение; тогда в той области плоскости z, где это имеет место, функцию /(z,) называют однозначной. По правилу деления двух комплексных чисел (см. § 9) имеем dz dz. IdzI ds | dz, D.72) где ds —длина элемента dz дуги кривой в плоскости z, a ds,—длина соот- соответствующего элемента dz1 соответствующей дуги кривой в плоскости zt. Таким образом, модуль dz / dzy служит мерин изменения элемента длины вблизи некоторой точки плоскости z при преобразовании этой точки в соот- соответствующую точку плоскости г,. Построим теперь боскопочио малый треугольник, образованный пере- пересечением трех кривых па плоскости z,, и обозначим длины сторон этого тре- треугольника через dsl7 ds[, dk\. Тогда длины сторон треугольника, трансфор- трансформированного на плоскость z, будут ds=hdslt ds' = hds'1, ds" = hds, откуда ds1:ds[:dsl = ds:ds':ds", т. е. эти треугольники оказываются подобными. Отсюда ясно, что углы, образованные при пересечении соответствующих кривых, при таких преобразованиях не меняются. Эти преобразования назы- называются конформными. При делении двух комплексных чисел их аргументы вычитаются, по- поэтому аргумент отношения dz / dzx равен углу, па который поворачивается при преобразовании элемент кривой. § 17. Уравнение границы в параметрической форме. Пусть f (х, у) = 0 является уравнением одной из интересующих пас эквипотенциальных поверх-
88 Глава IV ностой, причем х и у могут быть представлены в виде действительных аи а литических функций некоторого действительного параметра t, который ме- меняется в таких пределах, что х и у описывают всю поверхность проводника. Тогда существует очень простой метод получения решения уравнения Лаиласа, удовлетворяющего граничному условию V — 0 на зтой поверхности. Действи- Действительно, если * = /i@. У = М), D.73) то искомым решением будет На поверхности проводника V = 0, потому что при подстановке этого зна- значения в соотношение D.74) получаем параметрическое уравнение поверхности, в котором только вместо параметра t используется bU. К сожалению, число задач, при решении которых можно применять этот метод, чрезвычайно ограниченно. Среди них следует упомянуть задачи о нахождении поля в системе конфокальных конусов или в системе провод- проводников с различными циклоидальными поверхностями. В качестве примера определим, насколько исказится однородное электрическое поле при внесении и него волнистой металлической поверхности, образующая которой описывает- описывается уравнением циклоиды ж = аF —sin6), ?/ = аA — cos<2). D 75) Отсюда z = a(bW — smhW) + aj{l—w^bW) = a{bW + j — ]'е-'ш), что дает x = a{bV— ehY smbU), y — a(bV + 1 — ebVcos hU). При больших отрицатель- отрицательных значениях потенциала x = abU, y~- + abV, так что мы действительно по- получаем однородное поле, направленное вдоль у, его напряженность равна Е — = + dV j ду = аГ1 Ь'1. Отсюда находится постоянная Ь, и выражение для z принимает вид Для определения поля в любой точке продифференцируем это выражение в результате получим Е dz Е dz dW ~~dz = E A - 2ev/«E cos ~ На поверхности проводника F = 0 и y = a[i—cos(UfaE)], поэтому для плотности заряда на ней имеем = е dW dz v=o V 2У — [ n~ ) SE. Этот результат отпогится к полю с той стороны поверхности, на которой имеются острые края. С другой стороны поверхности поле отсутствует, так чго на поверхности происходит разрыл непрерывности. § 18. Нахождение сопряженных функций. В большинстве случаев по- поиски функции W, удовлетворяющей заданным граничным условиям в пло- плоскости z, начинаются с поисков такого преобразования, которое упростило бы формы границ. Если и новые граничные условия окажутся незнакомыми, нужно искать второе преобразование, еще более упрощающее граничные условия. В конце концов можно прийти к такой системе, в которой решение написать сравнительно просто. После этого необходимо проделать обратный
Двухмерное распределение потенциала путь — к решению исходной задачи. Часто, однако, возможно, опуская промежуточные этапы, написать сразу функцию f(W, z) = 0 путем исключе- исключения промежуточных комплексных переменных. Но даже если это и невоз- невозможно, промежуточные переменные служат в качестве параметров, связываю- связывающих между собой W и z. При совершении таких преобразований часто очень полезно представлять себе рассматриваемую область плоскости zx в виде упругой мембраны, обла- обладающей свойством сохранять углы между любыми нанесенными на ней ли- линиями при любых деформациях ее границ. При этом мембрана не может отрываться от границ, но может скользить вдоль них, а также бесконечно растягиваться и сжиматься. Предположим, например, что в интересующей нас задаче границы про- проводника представляют собой две неконцентричные и непересекающиеся окружности, или две пересекающиеся окружности, или же, наконец, две окружности одного типа и одну или две другого типа, пересекающиеся ортогонально. При помощи соотношения D.64) любую из этих областей можно преобразовать п прямоугольную: ±^ D.7E) i ^ 1 z—/a Мы употребляем здесь z1 = х1 + fy1 вместо W = U + /V, чтобы подчеркнуть чисто геометрический характер этого преобразования. Из уравнений D.67) и D.68) следует, что когда х и у принимают значения - со < х < оо, — оэ < у < со, хг и у1 меняются в пределах —0 < yt < 2тг и — со < хх < оо. Таким образом, функция D.76) преобразует горизонтальную полоску шири- шириной 2тг плоскости zx во всю плоскость z. Вертикальные линии внутри этой полоски превращаются, согласно уравнению D.67), в окружвости, описы- описываемые уравнением х2 + {у — а cth хгJ = a2 cosech2 хг, D.77) а горизонтальные линии превращаются в окружности, проходящие через точки у=±а, х = 0 и описываемые уравнением D.68) (х - a ctg г/jJ + у2 = a2 cosec2 yt. D.78) Это преобразовагие можно представить себе, вообразив бесконечную горизон- горизонтальную полоску упругой мембраны ширияой 2тг, вращаемую в направлении против часовой стрелки вплоть до достижения ею вертикального положения в плоскости г'. При этом точки х1 — 0, уг = 0 и ,гх = 0, уг = 2тг превращаются соответственно в линии А А' и ВВ'. Сожмем теперь эту полоску около точек у' — — со (С) и у' = + с° (О и начнем сближать точки С и С", пере- перемещая их вдоль оси у, при этом центральная часть полоски будет растяги- растягиваться в горизонтальном направлении. Линии СА, СВ и С А', С'В' подобно вееру развертываются соответственно около точек С и С до тех пор, пока СА не совпадет с СВ, а С А' с С В'. В результате мембрана оказывается растянутой на всю плоскость z, а ее бесконечно малые дуги АА' и ВВ' становятся бесконечно удаленными дугами, разделяемыми осью х на две равные части. Все эти преобразовании, за исключением первого поворота, показаны на фиг. 33. Если вдоль линий соединения СА с СВ и С А' с" СВ' нет никаких нарушений непрерывности, то потенциал в горизонтальных полосках на плоскости z1 должен быть периодичным по уг с периодом 2тс. Задачи, в которых рассматриваются линейные заряды и прямоугольные границы с проводником или отдельные участки таких границ, находящиеся под разными потенциалами, можно решить методом изображепий. В других
'90 Глава TV случаях может представиться необходимость развернуть эти прямоугольные границы 13 полуплоскость, что осуществляется посредством преобразования ЗЦварца, в котором в общем случае используются эллиптические функции. оэ • оо • Rf О ¦> -* У' 7 -¦А'Х Изменение: от у'= I от * Изменение: у'= со I доу=а х'=-п *? отх'=п от со'--п ^W, cmx'=it у = -°° Р у'=-оо | оту у до у--а -оо -оо Фиг. S3. § 19. Преобразование Шварца. Одним из наиболее употребительных является преобразование, при котором верхняя полуплоскость zx, ограничен- ограниченная снизу действительной осью, переходит во внутреннюю область некоторого многоугольника па плоскости z или наоборот. Если эта область конечна, то граница ее может быть целиком образована при помощи деформации действительной оси ^! = 0 плоскости zx. Если же внутренняя область про- простирается в бесконечность, то соответствующая часть границы образуется путем растягивания или сжатия бесконечно удаленной дуги верхней полу- полуплоскости Zy. Чтобы nail™ преобразование, сгибающее действительную ось плоскости Zj в границу заданного многоугольника на плоскости z, рассмотрим ком- комплексную производную /J^T 1 V 1 1/ V 1 2/ \ 1 71/ f y^tm у где и,у, и.,, ..., ип и р\, Р2, ..., j3n — некоторые донствптельные числа, а Су — комнлексмая постоянная, причем ип > м„_1 > ... > п„ > их. Как из- иестио, аргумент произведения нескольких комплексных чисел, возведенных в какую-нибудь степень, равен сумме произведений аргументов этих чисел на соответствующий показатель степени. Поэтому = ar p\ arg (Z ... +18narg(z1 — un). D.80) Пусть dz1^=dxl, т. е. является элементом длины вдоль действительной оси плоскости Zj, тогда аргумент dz dr-\-idy . rf?/ .. .... arg = arg ——- = arc tg —— D.81) .равен углу, который образует элемент dz, полученный при преобразовании ¦dzy, с действительной осью у = 0 плоскости z. Если zx является действитель- действительным числом, находящимся между иг и ur+i, то (zt — иу), (zy — и2), ..., (zt — иг)—
Двухмерное распределение потенциала 91 дейстайтельные положительные числа, аргумент которых равен 0, a {z1 — wr+i), (z1— ur+2), • ¦ ¦, (z1 — Mn) —действительные, но отрицательные числа, аргумент которых равен тт. Поэтому на основании соотношений D.80) и D.81) найдем бг = arc tg -g = arg С, D.82) Итак, все элементы оси хг, лежащие между точками иг и urtl (фиг. 34), после преобразования сохраияют свое направление и остаются прямолиней- прямолинейными; их наклон к оси х определяется формулой D.82). Аналогично, те Плоскость z, dx, Ur+2 Фиг. 34. элементы, которые лежат между иг+1 и wr+2, также остаются прямолиней- выми, но имеют другой наклон бг+1 = arc tg -g- = arg С, + (Pr+2 + pm + ... + pn) те. Угол между этими линиями равен D.83) Мы построили две стороны многоугольника. Подобным же образом, подби- подбирая значения C и и, можно построить и весь многоугольник, имеющий нуж- нужные длины сторон и нужные углы при вершинах. Предположим, что требуется найти поле пад ломаной линией в пло- плоскости z, показанной на фиг. 34. Любой угол, например <хг+1, измеренный между двумя прилегающими сторонами многоугольника в области, где ищется поле, называется внутренним углом многоугольника. Так как т. — аг+1= —1Г?,+]7 то Для определения этого угла мы имеем Подставим соотношение D.84) в D.79) ~ =C1(Z1-B1)"~iBl D.84) D.85) ,. D.86) Подбирая для Сл тот или иной аргумент, можно, как это видно из соотношения D.82), произвольным образом ориентировать многоугольник Интегрируя это выражение, приходим к искомому преобразованию
92 Глава IV на плоскости z. Размеры многоугольника определяются модулем постоянной С1. Помимо этого, многоугольник можно без всякого вращения, меняя лишь постоянную С2, располагать в любом требуемом направлении. Чтобы убедиться в правильности выбора стороны границы при отсчете а,., положим zx = W, тогда действительная ось у1 = V = О совпадет с экви- эквипотенциальной линией. При аг < тг напряженность поля dW/dz = dz1/dz должна в вершинах обращаться в нуль, а при аг > тг — становиться там бесконечной. Полагая в соотношении D.85) x1=U— ur, легко убедиться в правильности наших результатов. § 20. Многоугольники с одним положительным углом. Если действи тельная ось в ходе преобразования претерпевает излом только в одной точке, то без ограничения общности эту точку можно принять за начало координат; тогда, положив в выражении D.86) ul — 0 и считая а > 0, получим C^ C D.87) Пусть С2 = 0, а Сг равна некоторой действительной постоянной. Тогда вершина полученного многоугольника будет совпадать с началом координат, а его стороны с лучами 6 = 0, 6 = а. Третья сторона многоугольника бес- бесконечно удалена. Модуль zn равен п-м степени модуля z (см. § 9), по- поэтому круг радиуса г1 = аг на плоскости zl переходит в круг радиуса г = а на плоскости z. В частности, задачи, рассматривающие область, ограни- ограниченную дугой окружности и двумя ее радиусами, можно при помощи пре- преобразования D.87) свести к задачам, рассматривающим область в виде полукруга. При а = 2тг верхняя полуплоскость % преобразуется во всю плоскость г. Разделение действительных и мвимых частей дает у — 2С1х1у1 и х — Сх {х\ — у\). Исключив по очереди ух и xlt мы получим уравнения двух взаимно орто- ортогональных семейств конфокальных парабол г/2 = — ^Схх\ (х — Схх1) и ?/2 = — 1кС{у\ (х +0^1). Таким образом, однородное поле И/ = г1 на плоскости z5 преобразуется на плоскости z в поле полубескопечной заряженной прово- проводящей плоскости. Поле линейного заряда па плоскости z1? расположенного над заземленной горизонтальной проводящей плоскостью, проходящей через начало координат, преобразуется на плоскости z в поле линейного заряда вблизи полубескопечной проводящей плоскости, край которой параллелен линейному заряду. При <х = Зтг/2, положив W = zlt мы получим в плоскости z поле заря- заряженного проводящего прямоугольного клина, образующие которого совпа: дают с положительной частью оси х и отрицательной частью оси у. Таким же путем, как и для а = 2тг, можно найти поле линейного заряда, распо- расположенного вблизи прямоугольного клпна. При а = тг плоскость zt не претерпевает, очевидно, никаких изменений, не считая изменений в масштабе за счет множителя Сх. 4 При а=у7Г7 положив W = %, получаем на плоскости z поле внутри проводящего прямоугольного уголка, образованного положительными полу- полуосями х и у. В этом случае СЦУ — х2—у2 и C\V=2xy, т. о. эквипотен- эквипотенциальные и силовые линии образуют два взаимно ортогональпых семейства равнобочных гипербол. Поле линейного заряда, параллельного краю такого уголка, находится так же, как и в случае а~2тг. § 21. Многоугольник с углом, равным нулю. В этом очень важном случае ось хг складывается до тех пор, пока обе стороны угла а не ста- станут параллельными друг другу и, следовательно, верхняя часть полупло-
Двухмерное распределение потенциала 93 скости не окажется сжатой между ними. Две параллельные, но пересека- пересекающиеся линии, могут находиться на конечном расстоянии друг от друга, если их точка пересечения бесконечно удалена. Тогда вместо преобразо- преобразования D.87) имеем z-C^lnz^C.,. D.88) Как и раньше, будем считать Сх действительной величиной, а Гг = 0. Начало координат zx = 0 преобразуется в z= — оо, а новое начало коор- координат соответствует точке zx ¦¦= 1. Запишем zx в виде zx = rxe>ul и положим 01 = 0, тогда z = C1lnr1, что соответствует действительной оси плоскости z. Если же положить дх = те, то х = Сг In r1 и у -- Сх те, что соответствует линии, расположенной над действительной осью на расстоянии Схк от нее. Таким образом, верхняя полуплоскость zx преобразуется на плоскости z в гори- горизонтальную полоску. При этом радиальные линии бх = const становятся горизонтальными линиями у = const, а полуокружности rx = const переходят в вертикальные линии, имеющие длину Схк. Часто приходится встречаться с задачами, в которых конфигурация системы периодична; это означает, что и поле в системе можно разбить па одинаковые полоски. Оказывается, что при решении таких задач большую пользу может оказать преобразова- преобразование D.88). Для примера найдем поле в системе, состоящей из заряженной нити, находящейся между двумя параллельными проводящими заземленными плоскостями. Возвращаясь к плоскости zx, мы получаем задачу о поле нити над параллельной проводящей, заземленной плоскостью. При помощи метода изображений, рассматриваемого в § 7. и формулы D.63) легко папиеать требуемую функцию Пусть при zx= + 1 W — 0, т. е. С= — In ( — е>ь°), тогда W = - 4~ Ь -'~СС° . D.89) Преобразуем это поле на плоскость z, положив С2 — 0, Схъ—--а и СгЬь = Ь и подставив в выражение D.89) zx из формулы D.88), в результате получим wz/a_е;яЬ/о т. (г-}ЪI2а_е— я (z—jb)/2o Т/Т/ __- J . 1 v» ". ?_ 1J-. " 2ле ln(z+;b)/a 2tcs . _ J 2ле l_en(z+;b)/a 2tcs ,.-¦п (г+/Ь)/2о_(?п (z+,'b)/2o ' Используя (Двайт, 654.1, 655.1 и 702), мы получим 1 —/th (J^ м/a ^ ctg (^ 1 = _ IJL arc tg [ th A ^/e ) clg ( -1*m) ] . D.90)
Глава IV После разделения действительных и мнимых частей придем к следующем}': fiT2msF_ — sin (nb/a)sh (та/а) D 91> D.92) sin (r.b/a) sin (ny/a) -cos (тсЬ/а) cos сЬ (та/а)" На фиг. 35 показаны плоскости zx и z. Если разность потенциалов пластин равна Uo, то к полученному решению нужно добавить однородное Плоскость z Фиг. 35.^ Линейный заряд между заземленными пластинами. пертикальное поле, описываемое функцией W = —jUozja. Окончательное решение тогда можно записать в виде )D?)]/^, D.93) где U — потенциальная функция. Пусть теперь в однородное поле помещена плоская решетка, состоящая из параллельных проводов, отстоящих на рас- расстоянии а друг от друга. Для решения такой задачи нужно поместить заряды -f q в точку z1 = / и в точку z1== —/и проделать преобразования Т аналогичные предыдущим. На плоскости z получится участок интересу- интересующего нас поля решетки, содержащий один проводник и ограниченный силовыми линиями, простирающимися от этого проводника до ж= + оо. В заключение заметим, что если построить на плоскости z силовые линии однородного^ электрического поля, а затем проделать обратное пре- преобразование на плоскость zlf то получится поле линейного заряда, уже- рассмотренное в § 13. § 22а. Многоугольники с одним отрицательным углом. Двухмерный диполь. Инверсия. Теперь естественно выяснить смысл преобразований Плоскость z Плоскость Z Плоскость Z + Z.-0 -*—z =0 У CL>0 a=0 Фиг. 36. CL<0 Шварца с отрицательным углом. Переход от положительных значений а к отрицательным ясно показан на фиг. 36. Если в соотношении D.87) С2 — 0, то действительные полуоси плоскости гг будут выходить из начала
Двухмерное распределение потенциала 95- координат на плоскости z, образуя между собой угол а. На этой же фигуре показан примерный вид кривых у1 = const на плоскости z. Наиболее интересным случаем, относящимся к этой категории, является случай а= —it. Будем исходить из однородного поля W = г1г считая функ- функцию U потенциальной. Это однородное поле можно представить себе со- созданным бесконечно большим положительным зарядом, расположенным в точке ж1=+оо, и бесконечно большим отрицательным зарядом, распо- расположенным в точке х1 = — оо. Из рассмотрения фиг. 36 следует, что при интересующем нас преобразовании эти два заряда бесконечно близко под- подходят друг к другу, оставаясь все же по разные стороны осп .у плоскости z. По определению, двухмерным диполем называется система, состоящая из двух бесконечно больших, одинаковых по величине и противоположных по знаку линейных зарядов, расположенных бесконечно близко друг к другу, так что произведение величины зарядов (на единицу длины) на расстояние между ними остается конечным. Оно называется дипольным моментом (па единицу длины) и обозначается через т. Упомянутое преобра- преобразование можно получить непосредственно из соотношения D.64), заменив )а на а и устремив а—» О (Двайт, 601.2), а W——^-ln — >-^L = -HL_> D.94V кг.г а а->0 mz 2tcez v ' ' z Отсюда jj m cos 6 _. m sin 0 ~ 2mr ' 2тс-г ' а также :0. D.95)' Эквипотенциальные линии представляют собой окружности, касающиеся оси у в начале координат; силовые линии, тоже являющиеся окружностями,, касаются в начале координат оси х. Другим важным примером, относящимся к случаю а = — it, является преобразование, получаемое из соотношения D.87) при С1 = аг, В полярных координатах, разделяя действительные и мнимые части, имеем ггг = а2 и G=— Oj. Каждой точке вне круга радиуса f1 = a на плоскости z1 поставлена в соот- соответствие определенная точка внутри круга радиуса /- = а на плоскости z. Если W = / (Zj) есть решение уравнения Лапласа, то W = f (zjj1), где z* — вели- величина, комплексно-сопряженная с Zj, —тоже будет решением, причем опи- описываемое им поле является зеркальным изображением первого, т.е. гг = г* и б1=—б*. Сравнивая плоскость z с плоскостью z*, мы видим, что rr; = a* и 6 = в;. D.97)- Точки, удовлетворяющие этому соотрошенгао, называются инвертироши- ными, а величина а называется радиусом ипверсии. Если суммарный заряд на плоскости z отличен от пуля, то это значит, что на бесконеч- бесконечности должен находиться заряд, равный ему по величине и противоположный по знаку, на котором бы оканчивались простирающиеся в бесконечность.
•96 Глава IV «иловые линии. Иа плоскостях zt или z* эти линии окажутся вблизи начала координат. Таким образом, мы приходим к следующему правилу инверсии is цнух измерениях. Если в поле зарядов д' и д" и т. д., находящихся в точках z\ z" 11 т. д., поверхность S является эквипотенциальной, то инвертированная поверхность будет эквипотенциальной в поле зарядов д', д" и т. д., нахо- находящихся в точках z'*, z'l* и т. д., и заряда — 2<7> расположенного в на- начале координат. Этот метод позволяет, исходя из известного решения задачи, рассматривающей плоские пересекающиеся границы, получать реше- решения задач, в которых рассматриваются границы в виде пересекающихся цилиндров. В полярных координатах уравнение окружности на плоскости z можно записать в виде г2 — 2urcos(G~a) = R2-и2, D.98) где R — радиус окружности, а и и а — координаты ее центра. Умножим уравнение D.98) на г*2 и подставим, согласно соотношениям D.97), 6* вместо в и а* вместо а; тогда (/г,"J - 2rrlur{ cos F* - а*) = (R2 - гг2) г*Л2. Учтя, что ?т* = а'г, получим или .г*2 - 2ivJ cos F* - а*) = R\ - и\, D.99) где и - °2м и р _ °2-» // 100^ Таким образом, при инверсии окружность преобразуется в окружность. Если же первоначальная окружность проходит через начало координат, то |w|=7? и \иг\—>R1 = co, т. е. после инверсии получается окружность бесконечного радиуса с центром на бесконечности, или, другими словами, прямая линия. Кратчайшее расстояние от этой линии до начала координат равно а уравнение перпендикулярного к ней радиуса-вектора будет в* = а*. Справедливо и обратное, а именно — прямая линия в результате инверсии преобразуется в окружность, проходящую через начало координат. § 226. Изображения при двухмерной инверсии. Оставим на некоторое иремя в стороне обсуждение преобразований Шварца и приведем пример на применение метода инверсии к двухмерным системам. Используя только что сформулированное правило, найдем выражение для поля бесконечно большого линейного заряда + q (на единицу длины), расположенного параллельно бесконечному цилиндрическому проводнику, внешняя поверх- поверхность которого образована в результате ортогонального пересечения двух круговых цилиндров и заряжена зарядом —д (на единицу длины). Пло- Плоскость z показана на фиг. 37, я, линейный заряд находится в точке Р, а контур поверхности проводника обведен сплошной линией. Из пре- предыдущего параграфа известно, что если произвести инверсию относительно точки О, то обе проходящие через нее окружности превратятся в прямые лилии, пересекающиеся в силу конформности отображения ортогонально.
Двухмерное распределение потенциала 97 Для простоты в качестве круга инверсии выберем круг, ограниченный показанной на фиг. 37 пунктирной окружностью, которая является каса- касательной окружностью к цилиндру с наибольшим диаметром. На фиг. 37, б приведена система, получаемая в результате инверсии, на плоскости z*. Задача о нахождении поля линейного заряда, параллельного линии пере- пересечения двух ортогональных проводящих плоскостей, уже рассматривалась в § 7, где было показано-, что поле внутри такого прямоугольного уголка совпадает с полем в этой области, когда все проводники удалены и когда,. Плоскость z Фиг. 37. Двухмерная инверсия. кроме заряла, в точке Р' имеются еще линейные заряды — q, -f q и — q в точках Р[, Р'2 и Р'3 соответственно. Из п ранил а инверсии следует, что поверхность цилиндрического про- проводника на плоскости z, соответствующая диум проводящим плоскостям на плоскости z*, совпадает с эквипотенциальной поверхностью в поле зарядов + <7> —<7> +? и —Ч< расположенных соответственно в точках Р, Рх, Р2 и Ps, являющихся инвертированными но отношению к Р', Р[, Р'2 и P's. Пусть СР = гс и ВР — гь, тогда точка Р1 на линии ВР будет находиться на расстоянии b2jrh от В, точка Ря на линии СР — на расстоя- расстоянии c2jrc от С н, наконец, Р2 — н точке пересечения BPsuCPx. Поскольку точки Р', Р[, Р'2 и P's на плоскости z* лежат на окружности, пересекаю- пересекающейся под прямым углом с лилиями Q'Q\ и Q'Q'z, то и точки Р, Рг, Р2 и Р3 на плоскости z будут находиться на окружности, пересекающейся под прямым углом с окружностями, образующими поверхность проводвиков. § 23. Многоугольник с двумя углами. Среди большого числа различ- различных примеров, относящихся к этому случаю, выберем лишь одив, а именно, преобразование действительной оси в прямоугольник шириной 2а. Поло- Положим в соотношении D.85) а1 — а2 — -^-, щ= + а1( и2 = — аг; тогда dz IT, А D.1U1) Интегрирование этого выражения (Двайт, 260.01 или 320.01) дает z = A ar ch ( J- ^ + Сх = /A arc sin f -J-) + C2. 7 В. Смайт
98 Глава IV Пусть С2 = О (используется вторая форма записи) и пусть z тоже равно ну- нулю при z1 = 0. Кроме того, выберем а равным — /Arc, или /Л==2й/тг; тогда нри z, = ± flj, z = ± а. Итак, 2а . г, z — — arc sin —, тс а. или z,=a,sinK-z. 1 ' 2а D.102) Наиболее употребительным является применение преобразования D.102) к однородному полто на плоскости z. Взяв а равным -у те и заменив z на W. получим z1 = «1sinVy. D.103) Вертикальные полоски плоскости z при отображении на плоскость zx ока зываготся развернутыми в стороны, как .что показано на фиг. 38. Если у Плоскость Z Плоскость г, п U- -1—I- U= i i i i i i 0 ! I I i i ¦91- и-Ц U-2a,-*\ Фиг. SS. Преобразование полубесконечной вертикальной полосы н верхнюю полуплоскость. в качестве потенциальной функции взять V, то на плоскости zl будет изо бражена верхняя половина поля заряженной полоски ширины 2аг; если же за потенциальную функцию взять U, то получается верхняя половина поля двух полубесконечных копланарных листов, которые отстоят друг от друга на расстоянии 2а1 и разность потенциалов между которыми равна те. Отделяя в соотношении D.103) действительную и мнимую части (Двайт, 408.16), получаем x1 = «1sinf/chF, yl=al cos U sh V. Разделим первое выражение на «jc дем их в квадрат и сложим + второе на nlshV, а затом возве- возвеy\ а? eh2 V + а\ sh2 V D.104) К'риные V = coiist являются, таким образом, конфокальными :иитпсами, большие и малью оси которых соответственно равны 2«1chF и 2«1shF. Аналогично, разделив первое выражение на a1sii\U, а второе на OjCosT/, а затем возведя их в квадрат и вычтя одно из другого, получим У\ U a\ cos2f 1. D.105) Кривые J7 = cons1 нвлнются конфокальными гиперболами. Заметим, что если V принимает значения от 0 до то, а U от —те до —,у те и от тс до •у тс в нижней полуплоскости, то получается картина коля заряженвон
Двухмерное распределение потенциала полоски во всей плоскости. При пересечении с этой полоской гиперболиче- гиперболические силовые линии терпят разрыв. Если U принимает .чначения от ~-n-,it До jx, а К от 0 до га в нижней полуплоскости, то получается полная картина поля двух плоскостей. Эллиптические силопыо линии терпят разрыв при прохождении через проводящие плоскости. Плоскость z, Плоскость z Фиг. 39. Преобразование поля одной заряженной плоской полосы в участок поля заряженной решетки, состоящей из копланарных параллельных плоских полос. Предположим теперь, что мы имеем дело не с одиночной заряженной полоской, а с большим числом таких параллельных полосок, расположен- расположенных в одной плоскости на одинаковых расстояниях друг от друга. Ясно, что поле в такой системе будет периодично вдоль оси х и что можно рас- рассматривать только отдельный типичный участок его, для чего нужно, как это показано на фиг. 39, перегнуть ось х1 в точках ul= +^i, uz= —blt fcj > av и применить преобразование D.102) к D.103), заменив в нем Oj па 6, и о на b, ; = ai = o, sin где 2b—период решетки. Поло показано на фиг. 39. Так как х = -]-а, г/ = 0, когда V = U, U= i -х к. то нужно положить at — bt sin ( -^ najb J, я интересующее нас преобразование можно записать в виде ,t W = arc sin sin ( -zr nz/b J sin ( — Tzajb ) D.106) Хотя мы нашли поле только в верхней полуплоскости, однако полученная форма решения одинаково хорошо описывает поле и при 0 > у >¦ — со. причем дл» того чтобы V принимало только положительные значения, нужно менять х 1 1 * и U в пределах 0<ж<Ь, у!г<?/<тг и О > ж > — Ь, — к < J7 < - у г.. При у—-со напряженность ноля равна — у к/b, поэтому для получения преобразования для поля Е' необходимо умножить формулу D.106) на 2ЬЕ'/п. Если над решеткой простирается (до у— + оо) однородное попе,Е? а под решеткой однородное поле 'отсутствует, то к полученному решению 7*
100 Глава IV нужно прибавить Е' = -т> Е, что даёт W = ~ { z + — arc sin sin ( у nz/b J sin ( -у тга/b \ При этом величина напряженности поля в любой точке равна dW Е 1± cos ( -7т- nz/b Г сор2 ( у тсг/г- ^ — cos2fу ла/Ь D.107) D.108) § 24. Щель, прорезанная в бесконечной плоскости. Для получения поля вблизи плоского проводящего экрана, в котором прорезана щель У G\ гС^Х Фиг. 40. Плоскость со щелью, имеющая одну границу с однородным полем. шириной 2я, можно отогнуть участок действительной оси, лежащий между точками ж = +я и х= —я, и растянуть его так, чтобы он охватил всю нижнюю полуплоскость z, поверхность которой на плоскости zx протяги- протягивается сквозь разрыв в начале координат. Из фиг. 40 видно, что а, = 2тг, а2 =—it, а3 = 2it, ю1=+,в1, и2 = 0, us= — ях, поэтому из соотношения D.85) получаем dz „ л? —«Г 13 результате интегрирования имеем Необходимо, чтобы при zl=-^a1 z=-^a. Это выполняется при Са = 0 и 2а1С1 = а, так что окончательно имеем D.109) I \ax z, Если исходить из однородного вертикального ноля W = — Ezl на плоскости z1 и положить 2ях — а, то такое преобразование оставляет па плоскости z без изменений поле на бесконечности и искажает его вблизи экрана со щелью; при этом часть поля проникает еккозь щель. Из соотно- соотношения D.109), взяв в качестве потенциальной функции V, находим W = - Ez1=-4r D.110) Если мнимую часть корня всегда брать положительной, то, чгобы л верх- верхней полуплоскости поля складывались, а i: нижней— вычитались, нужно в выражении D.110) выбрать знак плюс.
Двухмерное распределение потенциала 101 Плотность погерхностного заряда на экраье дается выражением dW dz ¦)• y=0 Z V -(^-a2I/* J ' D.111) & знак выбирается так, чтобы в верхней полуплоскости оба члена скла дывались, а в нижней — вычитались. Пользуясь преобразованием D.109). легко получить на плоскости г поле заряженной нити, расположенной вблизи заземленной металлической плоскости с прорезанной в ней щелью, исходя из поля заряженной нити над заземленной плоскостью на плоскости zl. Запишем правую часть соотношения D.109) в полярных координатах и решим полученные уравнения относительно х и у: -^-^=-^—стЬ1г D.112) J.1 „2 г1 — а1 -sin I Возведем оба ураш ения в квадрат и сложим D.113) D.114) Таким образом, если г1 > аг, то полуокружности рачиуса rt и радиуса а\/г1 преобразуются на плоскости z соответственно в верхвгою и пижпюю половины элллиса. описываемого уравнением D.114). Полуок]>ужности радиуса rl=a1 распрямляется, превращаясь в отрезок действительной оси — а<ж< -\-а. § 25. Рямановы поверхности. Для более отчетливого представлений всех возможностей, заключающихся в том или ином преобразовании, часто Фиг. 41. Риманова поверхность. бывает полезно пользоваться понятием римановой поверхности, что можно показать на примере предыдущего параграфа. Хотя все точки плоскости г уже были использованы нами для представления положительных значений Ух, соотношение D.109) дает также значения z и при отрицательных уу, для которых — тг < fej < 0. Из уравнения D.113) следует, что область' 0<т>1<я1и — Tt<6j<0 соответствует верхней полуплоскости z, а область аг < /•( < со и —-п < 6j < 0 — нижней полуплоскости. Таким образом, каж дои точке на плоскости z соответствуют две точки на плоскости zt. Однако эту двухзначность можно исключить, сделав плоскость z из двух листов.- Соединяя эти листы между собой, нужно проявлять крайнюю осторожность, следи за тем, чтобы - при прохождении некоторой точкой непрерывного
102 Глава IV контура на одной из плоскостей соответствующая ей точка на другой плоско- плоскости описывала также непрерывный контур. На фиг. 41, справа, изображен цен- центральный участок такой поверхности, .называемой римановой поверхностью. Линии, относящиеся к нижнему листу, сделаны пунктирными; кроме того, для большей наглядности оба листа показаны разнесенными. Из А в В и из С в В можно перейти только через участок х2 < я2, а из Л в С и из В a D через участки х2 > я2. Окружность радиуса гх — гх при st—>0 становится на плоскости z бесконечно удаленной окружностью, лежащей на поверхности АС. Римановы поверхности можно построить для большого числа различных преобразований. § 26. Задача о круглом цилиндре, расположенном внутри эллипти- эллиптического. Из двух последних параграфов следует, что область плоскости z,, внешняя по отношению к кругу rl = ai, при помощи преобразования D.115) может быть превращена во внешнюю (по отношению к участку действитель- действительной оси — я<ж<я) область поверхности BD плоскости z. Поскольку на плоскости z1 мы ограничились областью вне круга радиуса гх~-=ах, то, Следовательно, нельзя пересекать ось хх на отрезке —я1<з;1<+я1. Поэтому и на плоскости z нельзя пересекать ось х на отрезке —я < х < + я. Линия, соединяющая точки + я и - а, называется линией разреза плос- плоскости z. С точки зрения электростатики зто позволяет преобразовывать любое поле на плоскости z,, имеющее в качестве эквипотенциальной или силовой линии окружность радиуса г1 = ах, в поле на плоскости z, имеющее в ка- качестве эквипотенциальной или силовой линии линию соединения точек ж=+я и х== — а. В более общем случае можно получить решение задачи, рассматривающей конфокальные эллиптические границы, исходя из решения задачи с границами в виде концентричных круговых цилиндров, так как преобразование D.114) превращает любую окружность радиуса rl = b1, где 6j > ах, в эллипс на плоскости z. Если же эти окружности на плоскости zi взять эксцентричными по отношению к окружности радиуса гх = ах, то после преобразования получится профиль самолетного крыла. Поэтому это преоб- преобразование используется в аэродинамике и называется «преобразованием крыла». § 27а. Условия на границе раздела двух диэлектриков. При помощи соотношенийA.48), A.49)иD.55) определим j раничные условия, которым удо влетворяют потенциальные функции и функции потока. Пусть функции Wt = Ux + /Vx — fl (z) и W2 — U2 + /V2 = /2 (z) описывают электростатиче- электростатические поля по разные стороны от границы раздела двух диэлектриков с про- ницаемостями ех и е2. Обозначим через д/дп и d/ds соответственно производ- производные вдоль нормали и вдоль касательной к границе. Тогда из соотношений A.48) и D.55), приняв U за потенциальную функцию, находим ас/, ас/2 svx ev2 ,, ..„. s1-iri = s2 з-5 или s. —-1 = е, -~^ . D.116) Если принять, что в некоторой точке границы соединяются между собой линии нулевого потока, описываемые функциями Wx и W2, то соотношения D.116) можно проинтегрировать в пределах от этой точки до точки Vx или цо V2 и, следовательно, получить или KXVX = K2V2, D.117)
Двухмерное распределение потенциала 103 где ЛГ,, А^ —относительные диэлектрические проницаемости. Из условия A.49) имеем Пх = иг. D.118) Таковы граничные условия для V и U в случае, если последняя выбрана в качестве потенциальной функции. Если же за потенциальную функцию взять V, то граничными условиями будут Vx = Va и ?1C/i = s2t/2 или KlU1 = KtUt. D.119) § 276. Эллиптический диэлектрический цилиндр. Конформные пре образования могут применяться не только для решения задач, рассматрива ющих границы, совпадающие с эквипотенциальными или силовыми линиями поля, но и при решении многих других задач,, в которых нужно удонлетво рить условиям на границе раздела диэлектрических сред. Так как при таких преобразованиях углы сохраняются, то закон преломления силовых линий A.51) бу-дет удовлетворен. Предположим, например, что нужно решить задачу о нахождении сопряженных функций, описынающпх поле, в случае эллиптического цилиндра, помещенного в однородное поле, направ- направление которого составляет угол а <; большой осью эллипса. Уравнение диэлектрической границы запишем и виде Преобразование, описанное в § 26, позволяет получить эту эллиптическую границу на плоскости z, исходя пз окружности радиуса r1 = b на плоско- плоскости Zj. Для простоты положим в § 24 и 26 aj = l, так что вся плоскость z будет соответствовать той области плоскости zl, которая расположена вне единичного круга. Запишем уравнение D.114) в форме D.120) и прирав- приравняем соответствующие коэффициенты, в результате получим и Ь* = '"-^-. D.121) т — п ч ' В системах с эллиптическими границами удобнее пользоваться не прямо- прямоугольными координатами х и у, а эллгттическими (конфокальными) коор- координатами и и v, показанными на фиг. 38 и 39. Соотношения между пря- прямоугольными и эллиптическими координатами можно получить из выраже- выражения D.103): z—asinw, x = a sin и chw, у = а cos u she. D.122) Тогда преобразование D.115) запишется и виде или Zy = /е ->™ = ]<г->и+* = ~ [z -г- (z2 — a2I^] =a[z~(z'z- a2I'*]-*. D.123) Отсюда видно, что на больших расстояниях от начала координат (л,—^оо) 1 1 z= Y"flzi- T- °- однородное поле W^ — aEzy преобразуется в однородное иоле W = Ez. Мнтересутоп(ее нас поле может быть, очевидно, представле- представлено в виде суммы двухполен: вертикального Esina и горизонтального Ecosa. Эти составляющие поля показавы на фиг. 42, а и б. Ось, проходящая ,через фокусы, совпадает в случае «ав с эквипотенциальной линией, а в случае «бв— с силовой линией. Поэтому на плоскости zx картины силовых линий будут такими, какими они изображены на фиг. 42, в и г.
Плоскость z Плоскость z Плоскость z, Плоскость z, Фае. 42. а, б—эллиптический цилиндр (К =9, т п- 3) соответственно л поле иертика ьной и горизонтальной состав- составляющих однородного ноля 2~Va К. Преоб- Преобразование^!.123) преобразовывает случаи а и б в в и г, где границы диэлектрика имеют вид круглых цилиндров. Супсрпо1- 8иция а и б дает д, где оси эллипса o6t разуют с полем Е угон 45°.
Двухмерное распределение потенциала 105 Но поле, изображенное на фив. 42, в, уже было вычислено нами п § 4. Примем V за потенциальную функцию и положим U[ = О на единич- единичной окружности, тогда E'(-zi + A'z'i'i)' D.124) W'i-= --^faB'EsmaiZi+z-*), D.125) где с учетом D.121.) обозначено а, = (/С—1) + (АГ+1N2 (те — п)(Кт + п) jn±n (.ЙГ— 1) + (К + 1)Ь*~~ Кт + п ' Для случая, изображенного на фиг. 42, е, можно использовать те же гармо- гармоники. При z1 = e;'fl Vi=O, поэтому решение должно иметь вид +A"z-i), D.128) W'i = ±-аВ'Е cos a (Zl+z-4). D.129) Согласно § 27а, при г =6 и^ — Щ и УЦ = .КУ?, поэтому 62 + Л" = В"(^2 + 1) и б2-Л" = /?•?"(б2-1). Решая относительно А" и В", получим А„_ ЪЦ(К + 1)-(К-1)Ъ2] (m-; i»)(m-gn) ., Ь2(/Т + 1) — (/С— 1) (m — n)(m + ATn)' К — = т + п D.131) 1) — (АГ — 1) т+Кп " ^ ' Беря суперпозицию этих полей н применяя преобразование D.123), для области вне цилиндра находим Wo = i- «jE1 [е-/« zx + (Л'' cos a + /А' sin а) zf1 ] = 2 = -j afE [e-> <a+№> - {A" cos a + /A' sin a) e>w] = = Y E {e~i" [z + (z2 - a2I'*] + (A" cos a -f /A' sin a) [z - (z2 — я2I/*]}. D.132) Аналогично и для области внутри цилиндра 1 . —1 Wi = -п- я-Ё" (/?" cos a — /о sin a)(z1-{- zi ) = n / i \ /" COS a . sin a \ .. ,о„, — ? (m + и) ( :— / -p—i— ) z. D.133) V ' ' \m -\- Kn ' Km + n J v Заметим, что внутри цилиндра ноле остается однородным. На фиг. 42, О показаны линии электрической индукции для того случая, когда внешнее поле наклонено на угол 45° по отношению к осям эллипса. " § 27в. Момент, действующий на диэлектрический цилиндр. Момент Т, действующий на единицу длины бесконечного диэлектрического цилиндра, находящегося в однородном электрическом поле, ориентированном перпенди-
106 , . Глава IV кулярно к оси цилиндра и под углом а к главной оси эллипса, можно найти, исходя из результатов предыдущего параграфа и из формул C.41) и C.42). Таким образом, •• я? т^ — 4-'\ 4-ЕЛ1—к где <? — угол между внешним полем Е и однородным полем внутри цилин- цилиндра _?";. Величины Е, Е. и cos<p постоянны внутри v, поэтому их можнр вынести из-под интеграла, после чего интеграл будет равен \ dv = nmn (на единицу длины). Относительные иаправлепия и величины векторов Е и Ei даются выражением D.133), в котором при определении Е надо положить ЛГ1 Oz t=\E\ D.135) Подстанлян прсизнеденио этих величин в D.134), получим | Е || Е, | cos (в - в.) = Re ЕЕ\ = | .Е(г)#?г) | +1 E(i) E? \ , D.136) ,., 1 ZP9 / ts л\ I i \ d / COS2 a sill2 a "\ I — тг,Е (К — i) vmn (m -\- n) тг( ^— + ^—;— ) = 2< v ' v ' ' da.\m-\- Kn ' Km -\-n J w== пг„Е2 (К — IJ mn (n^—nfi) sin 2a ., ..„, Этот момент стремится повернуть главную ш;ь эллипса вдоль поля. § 28. Многоугольник с закругленным углом. Существует несколько методов, позволяющих заменить острые углы в преобразовании Шварца на .округленные. Один из них состоит в замене множителя Zj ^~ в выражении . на [Zj + >• (zi - lyi'Y'M-i, где | ип | > | и?,_, | > ... | «я | > 1 и /. < 1. Другой метод заключается в замене множителя zia/1t)~' на {z1 + l)(a^)-' + >• (z, - 1 )W«)-i. И обоих случаях аргумент нового множителя равен нулю при z1 > 1 и равен a — ix при Zj<< - 1, так что стороны многоугольника, соответствующие обла- области вне — 1 < Zj < +1, образуют между собой те же углы, как и в случае применения множителя z'/^ . Между точками zx = + 1 и z1 — — 1 полу- получается теперь некоторая кривая, форму которой можно менять при помощи множителя д. § 29. Плоская решетка из цилиндрических проводов большого диаметра. В § 21 мы пришли к выводу, что задача о нахождении поля около плоской решетки, образованной из цилиндрических проводов малого радиуса, может быть сведена к задаче, в которой вместо цилиндрических поверхностей проводов рассматриваются эквипотенциальные поверхности ре- решетки, состоящей из линейных зарядов. Если же диаметры проводов, обра- образующих решетку, соизмеримы с расстояниями между ними, то использован- использованное приближение совершенно несправедливо. Однако в этом случае можно воспользоваться методом, изложенным в предыдущем параграфе. Возьмем в качестве типичного участка поля решетки область, отмеченную сплошной
Двухмерное распределение потенциала Щ линией на фиг, 43, я. Из этой фигуры следует, что z и z, должны быть свя, з^ны между собой следующим дифференциальным выражением: 1С, D.138) Приведем теперь один из способов определения постоянной Сг, до сих пор У> „ Плоскость г 2Ь I —._». __ еще не упоминавшийся. Если л, - постоянная величина, то, так как dzx = /r1el6ldb1 = fz1d61. Если т-j—> со и 6Х меняется от 0 до тг, то z проходит значения от у = 0 до j/=6. Подставляя в соотношение D.138) dz1 = fz1d61 и устремляя z1—> со , будем иметь Wz = /С1! A + X) { dO1 или /6 == /CjTt A + X), о о .С|=_Ь__ D.139) Таким методом пользуются довольно часто; действительно, для опре- определения постоянной не обязательно проводить интегрирование в общем виде, а" достаточно проинтегрировать какой-нибудь простой частный случай, обычно /•1—^-0 или г1—»оо. Интегрирование выражения D.138) [сделаем замену z1 = («1u2 ± 1) A — и2) и применим формулу A40.02) из справочника Двайта] дает ,. D.140) Если z = с, Zj = + 1 то С2 не является действительной величиной и с = Если z — fc, zt= —1, то С2 не является чисто мнимой величиной и к A+1) или , —1 V . 2
108 [у Вычитая одно из другого, получим г I cosec = cth -Ч 26л Чтобы выразить X через & и с, построим график отношения левой части этого уравнения к правой части как функцию X и найдем то значения X, при которых это отношение равно единице. Определив значения X и ело- жшз выражение D.141) и D.142), по ф О -* -/-* __ -2-* ^ -3 -* -1"""^ *~0 •*-1 __ 9-2 11 () () лУчим формулу, определяющую ах: D.143) 0»-— -a, -3 — -4*-~ -5»»- 6 +0 —3 —5 -a, —*-0 i''Vs?Sz?^\ i <''>-- ??—"ZZZZZ^.jo Плоскость z (приближенно) Фие. 44. Ричмонд1' исследовал вопрос, на- насколько точно эта кривая может быть анпоксимнрована окружностью г = с, и показал, что расстояние оо от па- чала координат отличается от с не более чем на 2% при 2с < Ъ. Для получения решения в слу чае, когла решетка образует одну из границ однородного поля (фиг. 44,в), нужно наложить поле, изображенное на фиг. 44,а, на ноле, изображенное на фиг. 44,6 (на этих фигурах эквипотенциальные линии сплошные, а силовые линии пунк- пунктирные). Н случае «с» интересующая нас функция па плоскости Zj. со- согласно соотношению D.ЮЗ), равва W — A arc sin zlf лось где V — потенциальная функция. Что- Чтобы в одной полоске фиг. 38 помеща -гг-ЕЬ, а не тг силовых линий, необходимо положить А =— ЕЬ/п, тогда Z & W = garcsmz,. D.144) Аналогично в случае «б» участок оси x,j между точками — аг и +1 следует считать находящимся под нулевым потенциалом. Поэтому, смещая начало координат, получим W^^-arcsin^-^-. D.145) При наложении обоих полей приходим к случаю «в», т. е. к случаю одно- однородного поли Е при х— + оо и поля, равного нулю, при х= — оо. Как Richmond, Proc. London Math. Soc, Ser. 2, 22, 389 A923).
Задачи 109 и в соотношении D.103), за потенциальную функцию выбрана V. В упомя- упомянутой выше работе можно найти аккуратно выполненные графики полей в таких системах. § 30. Случай углов, нецелократных л/2. Задачи, н которых углы многоугольника не составляют целого кратного тс/2 или в которых имеется несимметричный многоугольник с более чем двумя прямыми углами, или в которых два или более проводника прямоугольного сеченля находятся под различными потенциалами на конечном расстоянии друг от друга и т. д., также могут быть решены при помощи преобразования Шварца, но интегри- интегрирование в этих случаях приводит к эллиптическим функциям Якоби. С этими функциями можно манипулировать таким же образом как, напри- например, с тригонометрическими или гипорболичоскими функциями, но все опе- операции значительно осложняются. Мы не приводим здесь примеров, требую- требующих применения эллиптических функций. ЗАДАЧИ i. Пусть полоска у = 0, О-^аг^а имеет потенциал VB, а остальная часть полу- полуплоскости xz а < х < ее, а также вся плоскость yz находятся под нулевым потенциа- потенциалом. Показать, что потенциал в любой точке х > 0, у > 0 определяется) выражением arc tg —^ 2arc tg — + arc tg ь х — а ь x ^ b 2arc tg + arc tg а ь x ^ bx-\-a 2. Полуплоскости x = 0, у^О и у = 0, ж^-0 представляют собой проводящие экраны, поверхности которых заземлены всюду, кроме участка, расположенного вблизи линии пересечения полуплоскостей и ограниченного линиями х=а и у - -Ь. Этот участок изолирован и находится - под потенциалом F. Найти плотность поверхностного заряда на экранах. 3. Используя метод иннерсии, установить закон отображения линейного заряда и расположенном параллельно ему круглом проводящем цилиндре. 4. Поверхность проводника имеет форму лнешней поверхности тела, нолученвого при ортогональном пересечении двух одинаковых круглых цилиндров радиуса а. Пока- Показать, что плотность поверхностного заряда на таком нроноднике равна qBr2 — a2) (iitar2)-1, где q—-заряд на единицу длины, а т—расстояние от оси. 5. Показать, что отпошопие максимальной плотности поверхностного заряда к минимальной в случае заряженного проводящего эллиптического цилиндра равно отношению большей оси эллппса и меньшей. 6. Провод, несущий на себе заряд q (на единицу длины), протянут вертикально внутри вертикальной цилиндрической полости радиуса а, находящейся в среде с относи- относительной диэлектрической проницаемостью К. Показать, что если провод расположен на расстоянии с от центра полости, то на него действует сила, стремящаяся переме- переместить провод еще ближе к стенке полости и равная (на единицу длины) [2эте„(а2— с2) | 7. Две тонкие фибровые нити натянуты вертикально внутри заземленного про- проводящего круглого цилиндра радиуса а. Показать, что если расстояние между нитями равно 2E1'2—>2I'2 а и если они заряжены до равных по величине п противоположных но знаку потенциалов, то действующая на нити сила будет равна нулю. 8. Бесконечная проиодящяя цилиндрическая оболочка радиуса а разрезана вдоль на четыре одинаковых части. Одна из них имеет потенциал -\-V\, другая, диаметрально противоположная,—потенциал —F,, а две остальных—заземлены. Показать, что потен- потенциал внутри оболочки }>авен il Vx Г 2ау 2ах 9. Рассмотрим область пространства, ограниченную с. одной сторопы плоскостью xz, а с другой—поверхностью 'цилипдря в-2-{-у2 — Ъ2. Поверхность цилиндра и часть
110 _. Глава IV плоскости, проходящая через папосу а < ] х | < Ъ, ваходятся под потенциалом, равным нулю. Часть плоскости, лежащая в полосе ¦—а < a; <-f-a, имеет потенциал Fo. По'Кй- зать. что уравнение силовых линий при а-^г^Ь имеет вид "гг. it "^о V а где суммирование происходит по нечетным п. 10*. Три д;шнных тонких одинаково заряжевных параллельных провода располо- расположены на одинаковом расстоянии 31'2с друг от друга. Показать, что уравнение экви- эквипотенциальных поверхностей такой системы в полярных координатах запишется в виде с6 — 2r3c3 cos 36 = const, где за начало координат взята точка, равноудаленная от всех трех нронодов, и в каче- качестве нулевой поверхности взята поверхность, проходящая через один из проводов. 11*. Полый цилиндрический проводник большой длины разделен на две части плоскостью, проходящей через его ось; эти части отдалепы друг от друга на небольшое расстояние и поддерживаются под потенциалами V, и V2. Потенциал в любой точке внутри цилиндра радиуса а равен 1 .гг , ., . , V, — F2 2arcos6 где /—расстояние от оси, а 0—угол между плоскостью, проходящей через ось перпен- перпендикулярно к плоскости разделения, и плоскостью, проходящей через точку, где ищется поле, и ось. 12*. Заряженная линия, имеющая им единицу ^лииы заряд е, расположена парал лельно диэлектрическому цилиндру с относительиой проницаемостью К н радиусом о. Показать, что если с—расстояние между линией и осью цилиндра, то сила, дейст- действующая на единицу длины прогюда, равна К—1 а2е2 13*. Бесконечно длинный цилиндрический проводник, поперечное сечение которого представляет собой внешнюю границу трех одинаковых ортогонально пересекающихся окружностей радиуса а, имеет на единицу длины заряд е. Доказать, что плотность заряда на расстоянии г от оси рапна е (Зга + а2) C/-2--а2—01/2 аг) (Зг2--а2 + 61/2 аг) бяа г2 (9г4 — За2 г2 + «") 14. Край горизонтальной плоскости, имеющей нулевой потенциал, расположен на расстоянии с от параллельной ему вертикальной плоскости, нотепциал которой равен — п. Показать, что плотность заряда на вертикальной плоскости равна г (?/2 + с2)~ '3, а на горизонтальной она равна —е (ж2 — с2)—1'2, где хну отсчитываются от той линии в вертикальной плоскости, которая расположена ближе всего к краю горизонтальной плоскости. 15. Показать, что емкость на единицу длины между плоской полоской шириной 2с и эллиптическим цилиндром, фокусы которого совпадают г краями полоски, равна ( аг сп — ) , где а,—большая полуось эллипса. 16. Показать, что сила притяжения (на единицу длины) между двумя одинако- одинаковыми параллельными проводами радиуса а. несущими на себе заряды, равные соответ- соответственно -\-q и —q (па единицу длины), равна где с—расстояние между центрами проводов. ¦ 17. Плоская решетка состоит из плоских конланарных параллельных полосок шириной 2а, расстояние между центрами которых равно 2Ъ. Считая решетку заряжен- заряженной, показать, что эквипотевциальвая поверхность, расположенная в среднем на рас- расстоянии 6 от решетки, отличается от плоской поверхности приблизительпо на величину 0,028Ъ cos2 i-«./*).
Задачи Ш "' 18. Найти приближенное выражение для поля решетки, составленной из парал- цельных проводов радиуса а, отстоящих друг от друга на расстоянии 2л, считая, что эта решетка имеет потенциал Uo и находится на расстоянии Ь (расстояние измеряется от центров проводов) от параллельной ей заземленной плоскости и что а < b и а < 2л, т. е. получить — Е/о e^-^cosy + c* С/, " с2е2х — 2сех tos у + 1 ' где ¦fo - _ e2b —2ceb cos a '~~ cV* и с = ch b cos a -; (ch2 b cos2 a — Здесь мы приняли, что 2а— максимальная толщина слоя, содержащего замкнутые экви- эквипотенциальные линии вокруг линейных зарядов, а Ъ—расстояние между этим слоем и заземленной плоскостью. 19. Используя результаты § А и § 26, найти преобразование, дающее поле около проводящей заземленной полоски шириной 2с, ввесенной в однородное поле, параллель- параллельное плоскости полоски. Если за потенциальную функцию принять U, то W = ±li(z2—с2I'2. 20. Добавляя однородное иоле к решению, полученному в задаче 19, найти пре- преобразование, дающее поле плоской проводящей полосы шириной 2с, помещенной в однородное электрическое поло, ориентированное перпендикулярно к оси полосы и под углом а к ее плоскости. Найти также вращающий момент (на единицу длины), действующий нн полосу W —Е[± (г2 — «2I/2со.ча — /г sin а], Г = ~ uec2 E2 sin 2o. 21. При помощи обратного преобразования Шварца найти поле, создаваемое двумя полубесконечными копланарными плоскостями, потенциалы которых равны +^о и —Uo, а параллельные края отстоят на расстоянии 2с друг от друга. Показать, что если U- потенциальная функция, то г = с sin —j-j— . 22. Повервув преобразование, используемое и задаче 21, на 90е и применив преобразование Шварца, найти ноле свободно заряженной горизонтальной ренгетки, образованной из одинаковых параллельных вертикальных полос шириной 2а, располо- расположенных на расстоянии 2Ъ одна от другой. Пусть V—потенциальная функция, а еС/„—за ряд отдельной полосы (на единицу длины), тогда 23. Сместив начало координат в задаче 21 и применив логарифмическое преобра- преобразование, найти преобразование, дающее поле в том случае, когда решетка, описанная в задаче 22, образует одну из границ -однородного поля. Пусть V—потенциальная функ- функция, а е?/0—заряд' полосы, тогда Ч = —- arc si n 1 2я sh (rra/fc) 24. Положив в задаче 21 с = 1 н взяп V я качестве потенциальной функции, при- применим логарифмическое преобразование и получим ноле в системе, состоящей из набо- набора полубесконечных пронодящих параллельных плоскостей, расстояние между которыми равно Ь. Края этих плоскостей расположены на оси у. а потенциалы их попеременно равны -f Uо и ~и„. "'*• з. - — In sin Т-Г7- . 25. Показать, что можно так видоизменить форму краев пластин во многонластин- чатом конденсаторе, состоящем из параллельных пластин, что попе вдоль вгей его по-
Глава IV верхности, включая и края, будет постоянным. Показать, что такой поверхностью является в задаче 24 поверхность U=U0/2, уравнение которой будет / Ь . х——— In 2 о 2т/Л 2 cos-— ) b J верх / 26. Воздушный конденсатор переменной емкости состоит из тонких плоских пла- пластин, перемещающихся между неподвижными пластинами. Используя решение за- задачи 24, показать, что дополнительная емкость, обусловленная изгибом силовых линий на краях пластин, экгшлалентна добавлению к краям пластин полосок шириной (fc/тс) 1п2, где Ь — расстояние между соседними неподвижными пластинами. 27. Найти поле линейного заряда +— Q, расположенного и начале координат, в центре кривизны цилиндрического желоба единичного радиуса, если секториальный угол желоба ранен 2а, а заряд на единиицу длины равен—Q. W = т^- arc sin /me / (r-1) cos (-1 0 )-(г+1) singl 2,1'2 si sin При решении следует использовать преобразование, приводимое в § 23, положив в нем Ь-=п, повернув его на WP н применил к нему логарифмическое преобразование. 28. Добавляя к полю, полученному в последней задаче, поле линейного заряда — — <5, находящегося в начале координат, получить выражение для потепциала сво- свободно заряженного цилиндрического желоба единичного рмдиуса, центр кривизны ко- которого совпадает с началом координат, а образующий угол равен 2а: 4ШЗ 2 arc sin /(r-l)eos (l- / , - i- / In r- 20. Показать, что в предыдущей задаче отношение заряда на выпуклой стороне поверхности желоба к заряду на вогнутой стороне равно (t+a)/(n — а). 30. Показать, что плотность поверхностного заряда в задаче 29 равна 1-де плюс, относится к выпуклой стороне. 31. Края двух полубесконечных тонких проводящих плоских экранов представ- представляют собой прямые, параллельные между собой. Эти экраны находятся под пулевым потенциалом и образуют одну из границ электростатического поля, располагаясь всег- всегда так, что один из них является отображением другого в плоскости у. Найти преоб- преобразования для следующих случаев: а) экраны параллельны: поле снаружи: г= —Y ^Л (/W2a-2_2/ In И- —п —/ + 2/ In a), б) угол между экранами 90°; поле снаружи; п) угол между экранами 9U"; поле внутри: 2 = A + /) ~ V a2) — /60. 32. Найти преобразование, дающее поле бесконечной нити, несущей заряд д (на единицу длины) и расположенной над центром щели, прорезанной в плоском зазем- заземленном проводящем экране, если ширина щели раина 2fc, а расстояние от ее центра до нити d: («*¦ -fc«I/g-/ Id j
Задачи ИЗ 33. Электроскоп Вольфа состоит ив двух одинаково заряженных фибровых нитей радиуса с, расположенных на расстоянии 2d одна от другой. Эти нити протянуты внутри заземленного цилиндра радиуса Ъ симметрично относительно его оси и парал- параллельно ей. Показать, что емкость на единицу длины между этими двумя нитями и за- заземленным цилиндром находится в пределах Г Здесь пренебрегли величинами с* и d4 no сравнению с Ь4. 34. Два одинаковых параллельных проводящих цилиндра, несущих полный за- заряд g (на единицу длины), касаются между собой. Показать, что емкость (на едини- единицу длины) между этими цилиндрами и третьим большим цилиндром, ось которого совпадает с линией касания двух малых, приближенно равна 1пBЬ/таг) ' где Ъ> а. 35. Пластина (толщиной 2А) переменного воздушного конденсатора перемещается вдоль середины зазора (шириной 2В) между двумя другими пластинами. Показать, что преобразование для поля вблизи края подвижной пластины дается выражением ^th(^) (Д-Л) ah D- z = A — arch тг + / — -arch 1* тг + / — -arch —Tl—<- . [ABB—A)I** * ABB—A)fl2 Показать также, что кажущееся увеличение ширины пластины, обусловленное краевым эффектом, приближенно равно 2 Г 2В—А .. [АBВ—А)I'2 1 36. В тонкой бесконечной пластинке, находящейся под потенциалом V—1, проре- прорезана бесконечно длинная щель шириной 2К. На расстоянии h от этой пластинки рас- положена другая, параллельная ей, потенциал которой равен нулю. Показать, что поле в произвольной точке х, у определяете.и из выражений Г 2g2 shrcE/ "I ~ L«(i — a2) chnU + cosnV + J ' _ Г 2а2 ~ L где U — функция потока, а величина а определяется уравнением 37. Требуется найти поле вблизи плоской заряженной пластины толщиной 2Л, имеющей закругленный край радиуса h. Показать, что подходящим преобразованием для этого случая будет 2tc-4V (W2—1I/2 +2/тх-1агс sin W), где F = 0 на поверхности, описываемой при 0 < х < Л уравнением 2й fV а- у/а /\ х~\Чг . / ж у/г и при х > h урашшнием y=±h. Показать, что эта кривая отклоняется от окружности радиуса h меньше чем на 0,14ft. 38. Поперечное сечение проводящего цилиндра представляет собой гипоциклоиду с п точками возврата. Цилиндр имеет потенциал V—0 и несет на себе заряд Q (на сдивицу длины). Показать, что потенциал поля снаружи нилиндра дается преобразо- преобразованием z= ?. где а-— расстояние от оси до точки возврата. 8 В. Смаит
114 Глава IV 39. Показать, что правильная призма, каждая из п сторон которой имеет ширину может быть вписана в эквипотенциальную поверхность 2тсеп ноля, полученного в предыдущей задаче, таким образом, что каждая сторона будет касаться поверхности вдоль двух линий, расположенных одна от другой на расстоянии 1/п Показать, что с увеличением п поверхность призмы приближается к эквипотенциальной поверхности и, в частности, уже при п = 5 разница в максимальных расстояниях от оси не превышает 6%, а в минимапьных расстояниях она менее 1%. 40*. Поперечное сечение цилиндра, потенциал которого поддерживается равным нулю, представляет собой одну из ветвей равнобочной гиперболы. С вогнутой стороны гиперболы параллельно ее оси расположен линейный заряд. Доказать, что изображение зтого заряда в гиперболе будет состоять из трех таких зарядов. Найти распределение индуцированных зарядов на цилиндре. 41*. Даны некоторая цилиндрическая область, ограниченная двумя коаксиальными, конфокальными параболическими цилиндрами, фокальные параметры которых равны 2а и 2Ь, и равномерно заряженная линия, параллельная образующим цилиндра. Эта ли- линия пересекает оси парабол на расстоянии с от их фокусов (а > с > Ъ). Показать, что потенциал поля внутри такой цилиндрической области равен сп _2 Ala а1/г —Ь cos —¦ ч ^ ' г с 1 п 1Л> Л -^-6 —с /2 \ ¦кг '* cos -~- В тс ch ТТ. Т7- + cos - где г, в—полярные координаты в поперечном сечении, начало которых выбрано в фо- фокусе. Выразить А через заряд на единицу длины линии. 42*. Бесконечно длинный эллиптический диэлектрический цилиндр с проницае- проницаемостью К, поверхность которого описывается уравнением 5=а, гдеж + /у=с chE + /v)), помещен в однородное поле Р, параллельное большой оси эллипса. Показать, что по- потенциал внутри цилиндра равен —Рх A + cth a)/(K-{- cth a). 43*. Два изолированных незаряженных круглых цилиндра, расположенных один вне другого, поверхности которых описываются уравнениями rj=a и rj=—р, где x-\-jy=c tg — (? + /rj), помещены в однородное поле с потенциалом Fx. Показать, что потенциал, обусловленный распределением зарядов на цилиндрах, равен ,. V/ л e1 sh np + e shna sh n (a 44*. Поверхности двух заземленных круглых цилиндров, расположенных один 1 вне другого, описываются уравнениями rj=a и rj= — C, где ж+/^=с tg— (? + />]). Цилиндры помещены в поле лпнейного заряда д (линия х=0, у = 0). Показать, что по- потенциал, обусловленный индуцированными зарядами, снаружи цилиндров равен д v I e~™ sh n (tj + P) +e~^ sh n (a-rj) ~-^2jTT sh«(a+fi) Суммирование производится по всем нечетным положительным целым значениям п.
Задами 115 45*. Поперечные сечения двух бесконечно длинных металлических цилиндрор пред- представляют собой кривые где Ь> а > с. Доказать, что если потенциалы цилиндров поддерживаются соответствен- соответственно равными Ул и F2, а пространство между ними заполнено воздухом, то плотности поверхностных зарядов (на единицу длины) на двух противолежащих сторонах поверх- поверхности соответственно равны a2In(Ъ/а) Ь2In{b/a) 46*. Какие задачи можно решить при помощи преобразования где а > 1? 47*. Какую электростатическую задачу можно решить при помощи преобразо- преобразования где W взята в качестве потенциальной функции, а Ф — в качестве функции, сопряжен- сопряженной ей? 48. Однородное поле Ео ограничено верхней поверхностью (у = 0) бесконечной проводящей пластинки толщиной 6. Часть этой пластинки, расположенная между х=а и х-~=—а, удаляется, и в пластинке образуется бесконечная щель. Показать, что если за потенциальную функцию принять U, то преобразование, дающее поле, можно записать в одпом из следующих видов: IE f arc sin— , m j+C^^,, )F [arc si c sin -2E [ arc sin Q^y12 , A- -m2I'2] +faE0, где F(p, q) и E (p, g) — эллиптические интегралы первого и второго рода модуля </. Постоянпые Clt C2 и т удовлетворяют уравнениям ЪЕ0=— ( где Е и К—полные эллиптические интегралы модуля т. 49. Бесконечный проводящий лист, находящийся под нулевым потенциалом, сов- совпадает с плоскостью ж = 0 всюду, за исключением выступа или выема, сечение кото- которого представляет собой окружность радиуса Ъ с центром в точке х = с. Эта поверх- поверхность образует одну из границ поля Е, простирающегося до х=со и являющегося неоднородным только вблизи выема или ныступа. Показать, что потенциал является мнимой частью следующей функции: (Ь2 — с2I'2^ [z-j-f (Ь2 — с2I/2]"/" + [S — / (Ь2 —с2I/2]д/" "" a [z + /(b2—c2I^]^ —[z—/(Ь2 —с2I'2]"/"' где cos а = с/6 для выступа 0 < а < тс и для выема тс < а < 2те.
116 Глава IV 50. Показать, что решение двухмерного уравнения Лапласа в прямоугольных гар- гармонических функциях будет V = (A sin тх-\-В cos тх) (Сshmy + D chmy), если тфО и V = (A + Bx)(C + Dy) при т = 0. 51. Грани бесконечно длинной проводящей прямоугольной призмы задаются урав- уравнениями х = 0, х = а и 2/= 0, у = Ъ Линейный заряд д (на единицу длины) расположен в точке а; = с, y = d, где 0 < с < а и 0 < d < Ь. Показать, что потенциал внутри приз- призмы равен: для 0 < у < d 1 , m-nb , ттс , m=l V =— У. — cosech sh—(Ъ -rf)sh—-sin sin , us +—* m a a a a (i для d < у < b \т« 2о vn I nmb mr.d ттс , тле ткх У =— >, — cosech sh sh — (о — у) sin sin . ¦us ZJ m a a a v J! a a m=--l Показать также, пользуясь формулой C.27), что спла, действующая на едппнцу длины заряда, равна о2 vi Г i , тка ткBс — а) . „innd j mr.b , mr.Bd — b) . „ mnc "I — >, -г- cosech —— sh —. '- sm! — ^— cosech sh i ^-sin2 . e ^J |_ fc b b b a a a a J m=l Заметим, что всюду, за исключением малых с и d, эти ряды сходятся очень быстро. 52. Показать, что поле системы, состоящей из трех линейных зарядов: д в г10, q в zYo и —9 n начале координат плоскости Zj (см. § 276), преобразуется в невозму- q Yo д рд t ( § ), рру щенное поле одиночного линейного заряда д в z0 на плоскости z, где Zg =^ 53. Используя вакон изображения, сформулированный в § 5 для случая круглого диэлектрического цилиндра, и закон изображения, установленный в предыдущей задаче для единичной окружности, найти сопряженные функции, дающие поле линейного за- заряда д, расположенного параллельно оси эллиптического диэлектрического цилиндра с проницаемостью К. Заряд находится на линии и0, v0 вне цилиндра, поверхность кото- которого определяется уравнением » = »1 (используются эллиптические координаты § 276). Получить следующие результаты: в области внутри цилиндра со 2 (f^)n n=0 в области вне цилиндра для поля, обусловленного только поляризацией диэлектрика, где верхний знак для п четных, а нижний —для п нечетных. '"¦ 54. Линейный заряд д расположен параллельно образующим диэлектрического па- параболического цилиндра. В параболических координатах у = 2$-(\, ос = Ч2—т,2, где -^о5'<'5 < +оо и 0 < ~t\ < оо, координаты заряда равны Чо н т\0, а поверхность ци- цилиндра определяется уравнением тг] == тг]1. Показать, что внутри диэлектрика преобразо- ваппс, дающее поле, будет иметь вид In v я + i у п=0
Задачи 117 а снаружи для поля, обусловленного только поляризацией диэлектрика, получим (АГ+1J 2 (fri У ln где верхний знак для и четных, а нижний для п нечетных. 55. Цилиндр (х/аJп + C//6J" = 1 несет на себе заряд —Q (на единицу длины). Применив теорему Гаусса для поверхности Т/ = 0, показать, что Применяя затем теорему Гаусса к цилиндру г = сс, показать, что заряд, содержащийся инутри, равен nQ (на единицу длины). Следовательно, окружающее цилиндр простран- пространство может быть свободным от зарядов только при п=1. 56. Проводник, границы которого заданы уравнениями 0 = а, 6=—а и г=\, несет на себе заряд тсе (на единицу длины). Показать, что потенциальная функция V опре- определяется из преобразования , „ { . тс sin W тс —а (тс — а) sin И' \ In s = — 2/ ) arc sin =7- -| arc i.g ' т-г- > . \ [аBтс — а)]1^ ^ - [аBт= — а)-тс2 sin2 W]1'2 j 57. Бес.конечиая проводящая призма квадратного сечения со стороной шириной а имеет на единицу длины заряд Q. Показать, что плотность поверхностного заряда на призме определяется следующими уравнениями н параметрической форме: 4 D где а: — расстояние от центра призмы до точки на поверхности, a F и ?—эллиптиче- ?—эллиптические интегралы первого и второго рода. 58.. Две проводящие ленты лежат в плоскости i/ = 0 и занимают области а < х < Ъ и —а > х > — 6. Показать, что емкость (на единицу длины) между ними раина гК{т) К(п) ' где К (к) — полный эллиптический интеграл модуля к, т = (Ь2 — а2I'2^, а п=а/Ъ. 59. Показать, что емкость на единицу длины между двумя проводящими поло- полосками, лежащими соответственно в плоскостях ж = Ь и х= ¦— Ъ и ограниченными пло- плоскостями у = а и у=—а, равна еК(к')/К(к), где К{к') и К(к) — полные эллиптические интегралы, модули которых к' и fc = (l — A-'2I'2 удовлетворяют уравнению а _ К (к1) Е {aiccos[E (к')/К (к1)], А'} — ?'(*') F {are cos [У? (*')/# (к1)], к'} Ъ~ Е{к')К(к) — (к/к')*Е{к)К{к') Значение А, близкое к действительному, можно найти из грубой оценки емкости С. 60. Поверхность Т/ = тс состоит из двух координатных полуплоскостей х = 0, у < О к j/=0, х < 0, а поверхность Т/=0 определяется уравнениями x = h при у < к и у = к ври х < h. Показать, что преобразование, определяющее поле и такой системе, будет иметь нвд у пг = Л arc tg [A(ew + II/2 (h*e№'— A2)~1/2] — A ar th [A (e^ + lI'2 (Л2еН/ —A2)" 1/2]. Показать, что дополнительная емкорть (на единицу длины) по сравнению с той, кото- которая была бы, если в области х < 0 и у < 0 между F = 0 и F = tc существовало только однородное поле, равна 2г Г, Л2 + А АЛ Л А ~| 4ЛА h g A A h \ '
118 Глава IV ЛИТЕРАТУРА 13 а 1 о m a n П., Partial Differential Equations. Cambridge, 1932. G e i g e r-S с h e e 1, Handbuch der Physik, Bd. XII, Berlin, 1927. Jeans J. H., Tho Mathematical Theory of Electricity and Magnetism. Cambridge 1925. Maxwell J. C, Electricity and Magnetism, v. I, Oxford, 1881. Moullin E. В., Principles of Electroinagnetism, Oxford, 1932. Rot he R., OllendorffF., Pohlhausen K., Theory of Functions, Technology Press, 1933. Russell A., Alternating Currents, Cambridge, 1914. Sokolnikoff I. S., So к о 1 n i к о f f E. S., Higher Mathematics for Engineers and Physicists, McGraw-Hill, 1934. Thomson i. J., Recent Researches in Electricity and Magnetism, Oxford, 1893. Walker M., Conjugate Functions for Engineers, Oxford, 1933. Webster A. G., Electricity and Magnetism, Macniillan, 1897. Wion-Harms, Handbuch 5er Experimentalphysik, Fd. X, Leipzig, 1930.
Глава V ТРЕХМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА § 1. При каких условиях поверхности некоторого семейства могут быть эквипотенциальными? На первый взгляд кажется, что трехмерное распределение потенциала, обладающее аксиальной симметрией, можно по- получить путем такого вращения поперечного сечения двухмерного распреде- распределения потенциала, при котором границы трехмерной области образуются из границ поперечного сечения соответствующей двухмерной области. В общем случае, однако, это оказывается несправедливым. Найдем условие, которому должно удовлетворять семейство непересекающихся поверхностей, чтобы оно могло быть семейством поверхностей равного потенциала. Пусть уравнение поверхностей имеет вид F{x,y,z) = C. E.1) Поскольку каждому значению С соответствует одна из поверхностей семей- семейства, то, если эта поверхность эквипотенциальная, каждому значению С должен соответствовать определенный потенциал удовлетворяющий уравнению Лапласа. Дифференцирование дает т. д. Подставляя в уравнение Лапласа, получим w=?+w + S=r {C) (VCJ+r откуда (VCJ Г Таким образом, поверхность F (х, у, z) — C может быть эквипотенциальной только в том случае, если отношение V2C/(VCJ является функцией только С. Путем интегрирования уравнения E.2) можно найти действительное значение потенциала. Поскольку /" (С)//' (С) = d [In /' (C)]fdC, мы имеем J Ф {С) dC = -In [/' (С)] + А', или Повторное интегрирование дает ^$*<C)dC E.3)
120 Глава V Постоянные А и В можно определить, если задано значение потенциала на двух поверхностях, принадлежащих семейству E.1). § 2. Потенциал поверхностей второго порядка, определяемых уравне- уравнением ж2/(а2 + 6) + у2\{Ь% + G) + «2/(с2 + в) = 1. В качестве примера примене- применения полученной выше формулы покажем, что любое из трех семейств не- непересекающихся поверхностей второго порядка, определяемых уравнением где с>й>а и —с2 < © < со , можно рассматривать, как семейство экви- эквипотенциальных поверхностей. Чтобы представить себе эти поверхности, будем менять б в указанных пределах. В интервале — а2 < б < оо каждый член уравнения E.4) положителен, так что соответствующие поверхности суть эллипсоиды. При 6 = оо мы имеем сферу с бесконечным радиусом, а при 6 = — а2 эллипсоид сплющивается в эллиптический диск, лежащий в пло- плоскости yz. Изменению 6 в пределах от — а2 + 8 до — а2 — 3 соответствует переход на плоскости yz из области, лежащей внутри диска, во внешнюю область. Последняя представляет собой предельный случай однополоетиого гипер- гиперболоида, описываемого уравнением E.4) при — Ъ2 < 6 < — а2. Когда б = — Ь2, однополостный гиперболоид сплющивается в участок плоскости xz, вклю- включающий ось х и лежащий между гиперболами, пересекающими ось z в точках z=±(cs — Изменения) © в пределах от — W + о до — Ь2 — В соответствует переход на плоскости xz в область, лежащую по другую сторону этих гипербол. Эта область есть предельный случай двухполостного гиперболоида, описывае- описываемого уравнением E.4) при —с2 < 6<—Ъ2, сплющенного в плоскость xz. При в — — с2 получается другой предельный случай: два «листа» этого гиперболоида сливаются друг с другом в плоскости ху. Таким образом, через каждую точку пространства проходит одна поверхность каждого семейства. Нетрудно показать, что ати три семейства являются взаимно ортогональными, и, следовательно, к ним можво применить теорию, изло- изложенную в § 5 гл. III, приводящую к эллипсоидальным гармоникам. Ввиду сложности последних мы не будем здесь рассматривать их в общем виде и ограничимся, несколько позднее, исследованием лишь частного случая сфероидальных гармоник. Возвращаясь к нашей задаче, положим Л/ —_^ L У. L. (са+0)п В этих обозначениях уравнение E.4) сведется к Мг=1, и после дифферен- дифференцирования будем иметь 2х Л/Г дЬ п ав 2х +?-м*^=0' или Ш = м{а* так что
Трехмерное распределение потенциала 121 Повторное дифференцирование дает дЧ 22х86 2х J Г 2х [ дх* ~Af2(o2 + 0) Af2(a2 + BJ9a: a2 + (j Af| [ (a2 + BJ 3 4а;2 * Прибавляя аналогичные выражения для у и z, получим Т72й _ 27V 8Мз 8Д?2М3 _ 27V Л/2 М| + Ml ~ М2 - Подставляя полученные выражения в уравнение E.2), находим У20 _ 27V Ж2 _ N (VB? ~ Щ ~4~ ~ ~2 и, следовательно, + ^в). E-6) Таким образом, поверхности рассматриваемого семейства могут быть эквипо- эквипотенциальными, а их потенциал определяется по формуле E.3): G V = A i\j.[(a2 + b)(b2 + O)(c2 + B))-1^dd + B. E.7) Эллиптический интеграл вида E.7) можно найти в книге Пайерса [формулы E42) —E49) при х= —6]. Постоянные А и В могут быть выбраны действи- действительными пли мнимыми, лишь бы потенциал V был действительным. § 3. Заряженный проводящий эллипсоид. Если выбрать V = 0 при б=оо, то формула E.7) примет вид V= - А ^ [(a2 + 6)F2 + e)(c2+6)]-1/2d0. E.8) Полагая Tr=F0 при 0 = 0 и подставляя в формулу E.8), получим со - А = Vo J ^ [(а2 + 6) {V + 6) (с2 + 6)]-V. dO у1 . E.9) п Если полный заряд эллипсоида равен Q, то поле, созданное им на беско- бесконечности, должно быть равно Qj^-кгг2). Согласно уравнению E.4), при б—*оо х2 + у- + z2 = г2—>0, и, следовательно, 96/9/-—>2г. Поэтому SV _ &V дЬ _-±2 = — дг г^> дЬ dr~~"rs г2 ' так что 8tzbA=-Q. E.10) Согласно формуле E.9), емкость эллипсоида равна [(а2 + G) (^ + 6) (С2 + e)]-i/2 а поверхностная плотность заряда определяется выражением Из формулы E.8) следует, что (дУ1дВ)ъ=о = A (abc)'1, а из уравнения E.5),— что | V6| = 2A/71/a> откуда Q
122 Глава V § 4. Эллиптический и круглый диски. Емкость эллиптического диска, получаемая из формулы E.11) при а = 0, выражается при помощи эллип- эллиптического интеграла. Чтобы найти плотность поверхностного заряда, запишем формулу E.12) в виде - ¦ ' aV ^ 9 ТГ 1.Л ~Т~ Пусть теперь а—>0 и членами, содержащими у и г, можно пренебречь. Поскольку и х и а равны нулю, первое слагаемое необходимо преобразо- преобразовать при помощи уравнения E.4), положив в нем 6 = 0. Для плотности заряда будем иметь Полагая в формуле E.11) а = 0 и 6 = с, получим выражение для емкости круглого диска (см. Двайт, 186.11): СО С = 8tts ^ 6-V2 (Ь2 + б)'1 dep = 8таг (-|- | arc tg 6-^ "V1 = 8efc. E.14) о # Если положить ^2 + z2 = p2 и с=Ь, то из из формулы E.13) следует, что ллотность заряда на каждой из сторон круглого диска равна а= Я. E.15) 4тсЬF2 — р2I'2 ч ' Потенциал, созданный таким диском, дается формулой E.8), если положить в ней о = 0 и Ь=с: ,т 2Vr.r тс е1/2^ 2F0 Ь У = —°( -s— arc tg -г- ) = —- arc tg -rr . 71 V2 Ъ Ь J ТС Ь g!/2 Подставляя сюда значение 6, полученное из соотношения E.4) при а —О, Ъ=с и ж2 + ^2 + 22 = г2, находим от/ F = ^-° arc tg B1/2 6 {г2 - b2 + [(r2 - b2J +4i2x2]1/-' }~^). E.16) Эту задачу можно также решить при помощи гармоник сплюснутого сфероида (см. § 28а настоящей главы). § 5. Метод изображений. Проводящие плоскости. Применение кри- критерия, выведенного в § 1, показывает, что для систем, содержащих более одного точечного заряда, потенциал нельзя получить при помощи двухмерной аналогии. Тем не менее два метода, используемые для решения двухмерных задач, можно использовать в трехмерном случае. Одним из них является метод изображений. В любом случае, когда уравнение замкнутой проводя- проводящей поверхности, находящейся в поле точечного заряда q, записывается в виде п (где г—расстояние от q до точки Р на поверхности, rs — расстояние от неко- некоторой точки s, находящейся по другую сторону поверхности, до Р), задачу можно решить методом изображений. Мы рассмотрим только простейшие поверхности — сферу и плоскость. Из симметрии очевидно, что для решения задачи о точечном заряде, расположенном в плоскости ху вблизи бесконечг-
Трехмерное распределение потенциала 123 ной проводящей плоскости или вблизи двух таких плоскостей, пересека- пересекающихся вдоль оси z под углом -к/т, следует поместить его изображения в плоскости ху в тех же точках, что и в двухмерном случае (фиг. 28). Сложение потенциалов точечного заряда q и его изображений дает в области, заключенной между пересекающимися плоскостями, точно такой же потен- потенциал V, какой создается зарядом q и равным ему по величине индуциро- индуцированным зарядом противоположного знака, распределенным по плоскостям. Поверхностную плотность этого индуцированного заряда о можно найти, вычислив —sdV/dn на поверхности металла. В случае точечного заряда q, помещенного на расстоянии а от заземлевной проводящей плоскости, плотность индуцированного заряда в точке Р, согласно § 15 гл. I и фор- формуле A.42), равна где г—расстояние от q до Р. Из § 18 гл. II известно, что никакое рас- распределение истинных зарядов в пространстве, отделенном от q заземленной проводящей плоскостью, не может повлиять на величину плотности зарядов а, индуцированную на стороне, обретенной к q. § 6. Плоская граница двух диэлектриков. Однородный линейный заряд, расположенный параллельно плоской границе раздела двух диэлект- диэлектриков, можно рассматривать состоящим из равномерно распределенных вдоль линии одинаковых точечных зарядов, для которых изображения строятся так же, как для линейного заряда. Естественно поэтому пред- предположить, что для точечных зарядов справедлив тот же закон изображений, что и для линейных. Пусть относительные диэлектрические проницаемости областей, соот- соответствующих положитатьным и отрицательным значениям z, равны соот- соответственно Кг и К2. Рассмотрим систему зарядов, расположенных в ди- диэлектрике Кг; пусть потенциал системы я отсутствие диэлектрика равен Fvac = / (Ж, У, г), так что в том случае, когда все пространство заполнено однородным ди- диэлектриком Кг, потенциал, в соответствии с формулой A.5), имеет вид Потенциал изображения в плоскости г = 0 будет Закон изображений, изложенный в § 5 гл. IV, говорит, что в присутствии диэлектрика К2 поля в областях Кх и К2 записываются в виде **i=jt / (:';- У'z) + CJ &' у' -z) E-18) V2 = C2f(x,y,z). E.19) При z = 0 V1 = V2 и [см. условия A.48)] K1(dV1jdz) = K2(dV2ldz); поэтому 1+К1С1 = КгС2 и 1 - К1С1 = К2С2. Разрешая эти уравнения и подставляя результат в выражение E.18) и E.19), получим i[i ] E-20)
124 Глава V Пусть заряд q расположен в диэлектрике Кх в точке Рх; принимая во вни- внимание формулу A.5), мы видим, что поле в области Кх такое, как будто все пространство заполнено диэлектриком Klt а в отраженной точке Р2 находится добавочный заряд q'. Поле в области К2 совпадает с полем заряда q", находящегося в точке Рг; оно вычислено в предположении, что все пространство заполнено диэлектриком Кп. При этом if %- E-22) Для «ычисления поля выбор пеличииы Кп несущественен, но обычно ее при- принимают равной Кг, 1 или К2. Здесь принято Kn = Kv § 7. Изображение в сферическом проводнике. В § 6 гл. IV было показано, что цилиндр радиуса р = а является эквипотенциальной поверх- поверхностью в поле двух лилейных зарядов — заряда q при р = ?> и заряда — q при р= -\-a2jb. Покажем теперь, что сфера радиуса г = а имеет нулевой по- потенциал в ноле двух точечных зарядов: q в точке г = b и </' в точке r = a2jb, причем последний, как будет показано ниже, уже не равен — q. Потенциал V, созданный зарядом q' на сфере радиуса г = а, Фиг. 4о. как это видн0 цз фиг 45, равен 4tteF' = q' (а*Ь-2 + а2 — 2ФЬ^ cos 6)-V-2 = = ha-^q (а2 +№ — 2ab cos 6)-x/2 = ha^R^q'. Потенциал, созданный на этой сфере зарядом q, равен qj^t-KER). Для того чтобы результирующий потенциал был равен нулю, эти потенциалы должны быть равны по величине и противоположны по знаку, т. е. <7'=-Т?. E-23) Следовательно, потенциал в произвольной точке определится выражением V = (ii:e)-lq [(г2 + Ъ2 — 2Ьг cos 6)-х/2 _ а (b2r2 +а*- 2аЧг cos Ь)~^\, E.24) а плотвость поверхностного заряда на сфере будет равна (<W\ ¦ 9 Г а~ bcosb Ъ(Ъ — о cos 6) a2 — b2 /t- о-\ а = — е ( ,— ) =/- — -^ — ' = -—— q. E.2o) Потенциал сферы можно, очевидно, сделать равным любой заданной вели- величине V, если прибавить к полученному решению потенциал точечного заряда q = fomV, E.26) помещенного в центр сферы. Если требуется найти поле, созданное точеч- точечным зарядом q и проводящей сферой, несущей заряд Q. достаточно при- прибавить к формуле E.24) потенциал заряда Q + aq/b, находящегося в центре. Можно показать, что, в противоположность аналогичному двухмерному случаю, простым изображением нельзя построить решение для диэлектри-
Трехмерное распределение потенциала 125 ческого шара в поле точечного заряда. Для решения этой задачи требуется применение сферических гармоник. § 8. Пример применения метода изображений для нахождения поля точечного заряда. В качестве примера, иллюстрирующего содержание последних трех параграфов, построим изображения в случае заземленного ме- металлического листа, лежащего в пло- плоскости yz и имеющего сферическую вы- выпуклость радиуса а с центром в начале координат; пространство, лежащее ниже плоскости xz, заполнено диэлектриком с относительной диэлектрической про- проницаемостью К. Точечный заряд q на- находится в точке хс, у0, z0 и х\ -\- у\ -\- -f-Zp = i2. Чтобы найти требуемые изо- изображения, дополним границы пунктир- пунктирными 'пиниями, как это показано на фиг. 46. Потенциал над плоскостью xz можно найти как сумму потенциа- потенциалов самого заряда q и его семи изо- изображений, расположенных следующим образом: ф Фиг. 46. q в точке х0, ?/0, г0, q в точке — ?;с, - q в точке ~х0, у0, z0, - </' а точке — хь, - у0, z0, ag (a\2 ( а у ( а \" ад' ( а \2 I а \2 ( а \2 -тв точке [Т)х0, [Т)уь, [T)z0, -т в точке [т)х0, -(т)уь, (т)г0, ад (а\2 (а\2 (а\* ад' (а\- { а\2 (а'\1 тп точке -{T)X(l,{T)y0,{T)z,, -^ 1. точке (-)з-0, ~(т)у0. (T)z0, где, согласно соотношению E.22), 1—А' Потенциал в диэлектрике, ниже плоскости xz, можно получить, используя только изображения выше плоскости xz п подставляя, н соответствии с выражением E.18), вместо q заряд Сечение проводника плоскостью ху и проекция изображении на эту пло- плоскость показаны на фиг. 40. § 9а. Бесконечная система изображений. Задача о двух сферах. Часто оказывается-, что при помощи конечного числа точечных зарядок нельзя получить эквипотенциальные поверхности нужной формы. В неко- некоторых случаях, однако, можно сначала сделать эквипотенциальной одну поверхность, располагая внутри нее точечные заряды, а затем при помощи подходящей системы изображений сделать эквипотенциальными и другие поверхности. При этом, однако, первая поверхность искажается. Тогда при помощи третьей системы изображений ей можно придать опять первона- первоначальную форму, но за счет искажения других поверхностей, и т- д. Если
126 Глава V эффект каждой последующей группы изображений стремится к нулю либо в силу уменьшения величины зарядов, либо из-за их удаления,, либо за счет тенденции к взаимной компенсации, то при достаточном числе изображений получается сколь угодно близкая апроксимация точного решения1). Воспользуемся этим методом для вычисления собственных и взаимных емкостей двух сфер. Пусть радиусы сфер 1 и 2 суть а и Ъ, а расстояние между их центрами равно с. В соответствии с § 17 гл. II коэффициент си есть заряд на сфере 1, а с12 —на сфере 2, когда сфера 2 заземлена, а сфера 1 имеет потенциал, равный единице. Коэффициент е22 можно полу- получить, поменяв местами а и Ъ в с11. На фиг. 47,а и б приведены соот- соответственно случаи с<(Ь — а) и с>(Ь-\-а) при значениях а/с = т, bjc = n- Фиг. 47. Создадим сначала на сфере 1 потенциал, равный единице, поместив- в ее центр О' заряд q = iTzea. Затем, поместив изображение д' = —4-ктЬ/с = = — ккта на расстоянии Ь2/с=пЬ влево от точки О [см. формулу E.23)], добьемся равенства нулю потенциала сферы 2. Потенциал сферы 1 можно опять сделать равным единице при помощи изображения q" — i (c—nb) A — п2) расположенного на расстоянии а2/(с— nb)^=maj{l — /г2) вправо от точки О' и опять привести потенциал сферы 2 к нулю, поместив изображение 1 ~ c—ma/(i — n2) ~~ 1 —/и2—п2 на соответствующем расстоянии от точки О и т. д. Величина каждого после- последующего изображения уменьшается, а соответствующее решение прибли- приближается к точному. Складывая заряды на сфере 1, получим т2п2 где верхний знак относится к случаю «б». Складывая заряды на сфере 2, для случая «б» будем иметь -па- t_n2^ffl2- • • • J ¦ (-28) !) \втор выражается неточно: недостаточно, чтобы вклад каждой послед^щей группы изображений стремился к нулю, —необходима сходимость соответствующего ряда.—Прим. перев.
Трехмерное распределение потенциала 127 Б случае «о», согласно § 18 гл. II, с12 = — сп. В силу симметрии для случая «б» можно написать mzn2 , ~) гг- оп, + ] E.29) В случае «о» емкость с22 не представляет интереса. Сила притяжения между двумя сферами при F2=0, согласно соотно- соотношению B.56), равна p_Vl дси_ WFf Г mn m»wM2(t-w»)-m»] , ^-""а^- Г~ i A=^M + [A2J2]2 +•• Чтобы получить потенциал в некоторой точке Р, следует сложить потен- потенциалы, созданные в этой точке всеми изображениями. Если потенциалы сфер равны Vx и V2, причем V2 фО, то в случае «б» появится вторая си- система изображений, для получения которой нужно начинать с зарядок qt= 4-KmV-L и q2-= tiTzzbVо, расположенных соответственно в центре сфер 1 и 2. Величины зарядов этой системы и их расположение получаются при перестановке О ш О' ш а и b в соответствующих выражениях для первой системы изображений. § 96. Уравнения в конечных разностях. Задача о двух сферах. Для точных расчетов формулы последнего параграфа не очень удобны, если только m и вне малы. Установив общее соотношение между после- последовательными изображениями и решая полученное разностное уравнение, можно найти более компактные выражения, содержащие гиперболические функции. Обозначим п-е изображение в сфере 1 через qn, так что перво- первоначальный заряд в ее центре равен д1 = 47гео; изображение qn в сфере 2 обозначим через рп. Расстояние от точки О' до qn равно sn, а от точки О до рп равно гп (фиг. 47). Тогда P = t Г = E31) где нижний знак относится к случаю «о», а верхний — к случаю «б». Исключая с ^f sn из соотношений E.32) и E.33), получим n+1 в так что Исключив sn из соотношений E.32) и E.34), приведем результат к виду J L *-''-*!. E.35) gn-i Это есть, очевидно, уравнение в конечных разностях иторого порядка с постоянными коэффициентами. Согласно общему методу решения таких уравнений, следует подставить в уравнение E.35) 1/д„ = и", разделить результат
128 Глава V на ип~1 и решить полученное квадратное уравнение для и алгебраически. Если два его решения суть и1 и м2, то решение разностного уравнения имеет вид — = Au?i-Bu2, E.36) где А а В определяются начальными условиями. Рассматриваемый случай особенно прост, поскольку коэффициенты при l/gn+j и l/^n_i одинаковы. Пользуясь формулами F51.03) и F51.04) из справочника Двайта, согласно которым sh (и + 1) 6 + sh (и — 1) 6 = 2 eh 6 sh иб, ch (п + 1) в + eh (п ¦*-1) 6 = 2 ch О oh nO, получаем, что решение уравнения E.35) можно записать к виде — = Achm + Bshna, E.37) Чп •если выбрать Чтобы вычислить А и /?, напишем для первых двух изображений А= JL=:^clia-f-^sha, — = ± ^-^-2^-1- = f 2cha ±-|Л г^- = J ch2a -f B»h2a. q2 йЬ 4лга \_ о J -mui Умножая первое из этих ураввений на 2cha и записывая его члены через ch2a и sh2<x, найдем величины А и В. 4 = тАг, В = Ь.±а,с1а. E.39) 4jtso wzab sh a ч ' Если подставить значепия Л и i? в решение E.37), то, используя (Двант, 651.1I), получим — = s "а — a,s . — E.40) Складывая заряды на сфере 1, находим со cu = 4~sabsha 3 [bshna ± ash(?t —1) я] ], E.41) п 1 где нижний знак относится к случаю «а» (фиг. 47, а), а верхний —к слу- случаю «б» (фиг. 47, б). В случае «а», согласно § 18 гл. II, ci2= — cu. Чтобы найти с12 в случае «б», следует определить /?„. Взяв верхний знак и исключив из соотношений E.31) и E.32) c—sn, получим 1 __ а 1 Ъ 1 Подставим значения l/r/n+i и 1/^„ из ссотношения E.40) п воспользуемся формулами E.38) и (Двайт, 651.06); тогда А-кгаЪ ph a '
Трехмерное распределение потенциала 129 гак что сложение зарядов на сфере 2 дает » оо с12= J>j cosech/га. .E.43) гг=1 Емкость с22 в случае «б» в силу симметрии и соотношения E.41) равна ^ [ ( — l)a]^. E.44) § 9в. Сфера над плоскостью и две одинаковые сферы. Представляет интерес частный случай рассмотренной задачи—задача о сфере над про- проводящей плоскостью. Этот случай можно получить, положив d-\-c=b—>со в случае «о» или с — d=b—> со в случае «б», если d— расстояние от центра сферы 1 до плоскости. При этом /г —¦* 1, т—^0, т/\ 1 — п| = a/d, так что » то сп = 4тао ( 1 + т^ + / °_ а + • • • ) = 4тео sh a ^ cosech na, E.45) n=l где d = flcha и а—^бесконечво малая величина по сравневию с Ъ. В обоих случаях («о» и <<б») Л12= —Cjj. Сила, действующая между сферой и пло- плоскостью, будет равна /,__F|9?ll 2 2 2 fj_ _8ad_ I CO = 2ireFj J [cosech/га (cth a — n oth /га)]. E.46) я = 1 Для двух одинаковых сфер радиуса а, расположенных на расстоянии с Друг от друга, формулы § 96 несколько упрощаются, если ввести пара- параметр р = 1/2а; тогда при а — Ъ имеем (см. Двайт, 652.6) 2=J. E.47) В этих обозначениях, полагая в соотношении E.41) a-=bf имеем оо cu = c22 = 4ireashp Y cosechBn-l)P E.48) n=l и из соотношения E.43) получаем оо с1О = — 4тао sh p 5j cosech 2/гр. E.49) 1! = 1 § 10. Инверсия в пространстве трех измерений. Геометрические свойства. Если на плоскости проведена окружность радиуса К с центром в начале координат и пересекающая ее радиальная прямая, то две точки на этой прямой, расположенные на расстояниях г и г' от центра, называются, согласно § 22а гл. IV, инвертированными точками в том случае, когда rr' = IP. E.50) 8 § 22а гл. IV окружность представляла собой сечение цилиндра, но ее с равным основанием можно рассматривать как главное сечение сферы. Таким образом, каждой точке некоторой поверхности соответствует в про- 9 В. Смайт
130 Глава V странстве инвертированная точка; поверхность, образованная инвертирован- инвертированными точками, носит название инвертированной поверхности. Если уравнение исходной поверхности в сферических координатах было /(г, 0, ср) =0, то уравнение инвертированной поверхности имеет вид f(Ks/r, 6, ср)=О. В § 22а гл. IV было показано, что прямые линии инвертируются (преобрази - готся) в окружности, лежащие в той же плоскости и проходящие через центр инверсии, и наоборот, тогда как окружности, не проходящие чере;'. центр, инвертируются также в окружности. Следовательно, в трехмерном случае пЛоскостп инвертируются в сферы, проходящие через цептр ппверсмгг, а сферы, не проходящие через центр, инвертируются в сферы. Поскольку в § 22а гл. IV законы инверсии были получены при помощи конформных преобразований, углы при инверсии не изменяются. Отсюда, очевидно, сле- следует, что если малый конус с телесным углом dQ n вершиной в начале коордипат вырезает на поверхности S н инвертированной ей поверхности Л" элементы площади dS и dS', а угол 6 между осью конуса и элементами площади один и тот же, то dS _ г2 dQ cos 6 _ г2 E 51} dS7 ~~ r'2'dU cos 6 " У2 ' V • ) § 11а. Инверсия потенциала и зарядов-изображений. Покажем, что законы инверсии можно сформулировать для электрических величин таким образом, что из решения одной задачи можно получить решение другой, в кото- которой границы раздела являются поверх- поверхностями, инвертированными по отношению к соответствующим поверхностям первой задачи. Рассмотрим фиг. 48, на которой точки/', R' и Q' — инвертированные по отношению к точкам Р, R и Q, а О — центр инверсии. Заряд q в точке Р создает потен- потенциал V = ql(tfne.PQ) в точке Q, а заряд q' в точке Р' создает потенциал V = q' j{At.&P'Q') в точке Q'. Треугольники OQ'P' и OPQ подобны, поскольку К2 = ОРОР' = OQOQ' и угол а —общий. Искомое соотношение между потенциалом V в точке Q до инверсии и потен- потенциалом V в точке Q' после инверсии имеет, следовательно, вид у _g'PQ _ д' ОР V ~~ q P'Q' ~~ qOQ' ' Чтобы использовать это соотношение, следует установить подходящий закон инверсии зарядов. В § 7 было показано, что сфера радиуса К имеет нуле- нулевой потенциал в поле заряда q, расположенного в точке г=Ъ, и заряда |<?'|— +-^|*?|/^> расположенного в инвертированной точке г'=К21Ъ. Если потенциал сферы после инверсии относительно самой себя (т. е. меняющей местами заряды) остается равным нулю, то закон инверсии зарядов должен быть К ь к ' ОР ОР' '' к E.52) Отношению приписан положительным знак, поскольку мы потребовали, чтобы инверсия сохраняла знаки зарядов неизменными. Подставляя эти величины в уравнение для инверсии потенциала, получим соотношение V _ К ОР __ К _OQ V ~ OP CQ' ~~ OQ' ~~ К E.53) Формула E.53) показывает, что если при конечном расстоянии OQ потенциал V = 0, то V' — 0. Это означает, что если некоторая поверхность имеет пулевой
Трехмерное распределение потенциала потенциал в поло точечных зарядов ql7 q2, . .., qn, находящихся в точках Pv Р2, ...,Рп, расположенных па коночных, отличных от нуля расстоя- расстояниях от центра инворспи, то инвертированная поверхность будет иметь нулевой потенциал в иоле инвертированных зарядов q[, q\, ....q'n, находя- находящихся в точках Р[, Р'2, ..., Р'п. Уиомян}"юо выше ограничение необходимо,, поскольку соотношение E.52) не имеет места, когда ОР равно нулю пли бесконечности. Из сказанного выше следует также, что и тех случаях, когда некоторая задача решается при помощи изображений, «шшертироватшан» задача также решается при помощи, изображений. • § 116. Пример инверсии изображении. Вычислим (.илу, делелнующую на точечный заряд q, находящийся в плоскости симметрии двух соприкасаю- соприкасающихся заземленных сфер радиуса а; заряд расположен в точке Р на рас* стоянии b от точки соприкосновения сфер. Очевидно, что две сферы можно -я' -я' *ч' Инвертированная система а Фиг. 49. получить инверсией системы плоскостей, изображенной на фиг. 49, а. Вычис- Вычисления упрощаются, если в качестве сферы инверсии выбрать сферу, касаю- касающуюся обеих плоскостей (изображенную на фиг. 49, а пунктиром). Потенциал в точке Р', созданной изображениями до инверсии, равен ¦1н2. 2tis Точка Р' является точкой равновесия (нейтральной точкой) поля изобра- изображений, так что величина потенциала V внутри сферы радиуса 3' с центром в точке Р' (V'p) постоянна, если пренебречь членами порядка 8 при п > 1. Закон инверсии E.53) дает для потенциалов, созданных изображениями в точке Р и на расстоянии 8 над точкой Р (изображения лежат на окруж- окружности, проходящей через Р и точку касания), следующие выражения: лт 2а лт, т/ 2а тг, тг 2аЬ тг, Vb — -7-Vp, Кь+8« Согласно соотношению E.52), заряд q' при инверсии преобразуется в заряд 2aq/b, так что сила, действующая на q, оказывается равной § llrs. Инверсия заряженной проводящей поверхности. Рассмотрим^ проводящую поверхность S, заряженную до потенциала 1/К и несущую у*
132 Глава V поверхностный заряд плотности о; пусть Q — некоторая точка на этой по- поверхности. Согласно закону E.53), потенциал в соответствующей точке Q' на инвертированной поверхности S' равен V'q = 1 jOQ'. Поскольку потенциал в точке Q', созданный отрицательпым зарядом 4те, находящимся в точке О, равен —ijOQ', то очевидно, что при наложении потенциала такого заряда потенциал инвертированной поверхности обращается в нуль. Обращение этой операции дает важное правило, согласно которому, зная решение задачи для проводника с нулевым потенциалом в поле положительного заряда 4тс, можно при помощи инверсии с центром в той точке, где находится этот заряд, получить решение задачи для инвертированной про- проводящей поверхности, заряженной до потенциала — К'1. Для инверсии поверхностной плотности заряда в точке Р будем, согласно соотношениям .E.50) -E.52), иметь ? _ ML Ё? _ JL (°рJ _ (°р? _ 1{3 т «\ о dS' д ОР (ОР'J К3 (ОР'K " v ; § 11г. Преобразование емкости при инверсии. В качестве примера применения метода, изложенного в § Ив, найдем емкость проводника, у Инвертированная система а а Фиг. 50. образованного двумя сферами радиусов а и Ь, пересекающимися под прямым углом. Очевидно, что инвертированная система имеет вид, изображенный на фиг. 50,а: две заземленные плоскости, пересекающиеся под прямым углом, находятся в поле точечного заряда q' = 4та. Это поло совпадает с полем, созданным зарядами-изображениями, показанными на фигуре. Про- Проводник требуемой формы, полученный прп помощи инверсии, будет иметь потенциал F=— \\К =—1/2о. Согласно формуле A.27), заряд па этой поверхности равен сумме зарядов-изображений qv q2 и qs, т. е., в соот- соответствии с соотношением E.52), _ . Г —а аЪ ^ 1 ^-<7l + <72 + <73— "е1~2а~ 2а(а* + Ъ2I12 2а]' а емкость равна E.56) Потенциал в пространстве, окружающем проводпик, можно найти непосред- непосредственно по зарядам-изображениям qu q2 и q3 или при помощи инверсии
Трехмерное распределение потенциала 133 потенциала, создаваемого зарядами-изображениями внутри угла, образо- ванпого плоскостями. § 12а. Пространственные гармоники. В § 1 было показано, что враще- вращением семейства ортогональных кривых, представляющего поперечное сечение двухмерного поля, нельзя, вообще говоря, получить семейство трехмерных эквипотенциальных поверхностей. Однако таким образом можно получить семейство поверхностей, которые вместе с плоскостями, пересекающимися вдоль оси вращения и характеризуемыми азимутальным углом, образуют систему ортогопальных криволинейных координат; последнюю можно изучить при помощи метода, изложенного в § 4 гл. III. Если меридианалыюе сече- сечение поставленной трехмерной краевой задачи образует двухмерную границу, для которой решение можно получить при помощи конформного преобразо- преобразования, то существует метод, позволяющий построить такую систему коор- координат, в которой первоначальные краевые условия имеют весьма простой лид. Задача, таким образом, заключается в нахождении общего решения уравнения Лапласа в такой системе координат. Пусть иг = fx (х, у) и и2 = /2 (х, у) — сопряженные функции в плоскости z, определяемые соотношением z = х + /у = / К + }и2) = /(и). E.57) Тогда, согласно выражению D.56), — =/'(м), или dx+jdy = f'{u) (du-L + fdiiz). Умножая это равенство на комплексно-сопряженное, получим dsl = dx2 + dy2 = | ^ \\dul 4- du\). Если эта система вращается относительно оси у, то для элемента длины будем иметь ds2 = (du\ + dul) + x2 №J- E-58) Сравнение с соотношением C.10), где dy = du3, дает h —h — — 1 2 du И Л3 = Ж. так что уравнение Лапласа, согласно соотношению C.13), имеет вид dz |-2 г э г av ~\ a f sv\~\ 'aw „ ,к cn. -г т—(ж^г- )+т—(Жт— L--т-? = 0. E.59) х Последний член здесь без труда отделяется, если, как было указано в § 2 гл. IV, искать решение в виде V = U(ult к2)Ф(ф). E.60) Разделив уравнение E.59) на V и полагая последний член равным —т2, получим, как и в решении D.8), функцию Ф в виде Ф = А^™* + ВЛ e~3mv = A cos mw + В sin my. E.61) Для U(к., и2) получается уравнепие в частных производных 1 a f аи ( ж ж аи \ , 1 a f аи л тг ди = 0. Трудности, связанные с интегрированием этого уравнения, определяются видом функции х(щ,и2) и \dz/du\. Во многих важнейших системах координат,
\'М Глава V в частности во всех системах, рассмотренных в настоящем главе, х имеет вид ^^ЮйгЫ. E.63) откуда, используя соотношение D.56), имеем dz 2 дос . дх 2 / дх\% f дх. Л2 л •> •> ,2 /г „.. — = 7 =( ) +( ) = s 1 й + Я Я'9 • » E.64) йи диу ди2 \ди1 / \ди2 J 0102 0102 \ Положим и подставим выражения E.63) —E.65) в уравнение E.62). Разделив резуль- результат на U1 (ггх) U2(u2), получим, что каждый член уравнения содержит только одну переменную. Приравнивая члены с щ постоянной +(s + m2c), а члены с и2 постоянной —(s-)-m2c), будем иметь дифференциальные уравнения в полных производных -n* ГГISV-Л + s = 0. E.67) Весь остальной материал настоящей главы посвящен решению этих урав- уравнений и примепению их решений [а также решения E.61)] к задачам о на- нахождении потенциала. Из соотношения D.61) заменой х на у л наоборот получаются сфери- сферические координаты, так что g1 = e=7- и g2 = sin гг2 = sin 6. E.68) Если положить с= — 1 и s — и(и+ 1) в уравнениях E.66) и E.67) и восполь- воспользоваться переменными г и 6, то эти уравнения переходят в уравнения E.836) и E.102). Из преобразования D. 03) получаются гармоники сплюснутого сферо- сфероида, если положить ^. E.69) IIpii (;=-{-! Ti .s- = —п (п -(- 1) уравнения E.66) и E.67) совпадают в пере- переменных I и С с уравнениями E.244). Гармоники вытянутого сфероида получаются из преобразования D. ЮЗ) заменой х на у и наоборот при ^ = 0,008^ = ^A-^2 и g2 = shK2 = G12-lI-'2. E.70) Если в уравнениях E.66) и E.67) положить с= +1 н s= —и (и +1), го и переменных 5 и t] получится уравнение Лапласа в обычной для «иытянутых» сфероидальных координат форме, рассмотренное в § 29а. Цилиндрические координаты получаются вращением преобразования z = a, так что для них g1 = u1 = p = k~lv и g2 = l. Полагая п уравнении E.66) с = 0, s= —к2, т=п и разделив уравнение на к2, получим уравне- уравнение Бесселя E.302). Аналогичная подстановка в уравнение E.67) дает уравнение E.301). § 126. Задача о клипе, ортогонально пересекающемся с поверх- поверхностью вращения. В частном случае, когда т f= 0 и соотношение E.63) удовлетворено, решение уравнений E.66) и E.67) можно получить в весьма простой форме. Пусть w1 = f1(x, у) и w2=-f2(x, у) — сопряженные функции, которые должны быть подвергнуты вращению. Выберем новые ортогональные
Трехмерное распределение потенциала 135 координаты и1 и и2 так, что gl (и,) = (A, e»i + В, e-«i) = F1 К), E.71) g2 (и2) = (-4, cos гг2 + Z?2 sin м2) = /^ (ш2). E.72) Обозначая через р радиуг вращения некоторой точки, будем, согласно соотношению E.63), иметь Р = gi Ю 82 Ю = Fi (Щ) Fz (Щ)- E-73) Если положить тс=1 и s = 0 u уравнениях E.66) и E.67), "то, как нетрудно убедиться посредством подстановки, решениями этих уравнений будут Ux = C,gT E-74) Ua = Cagf. E.75) Соответствующие дифференциальные уравнения — уравнения второго порядка, поэтому каждое из них должно иметь еще одно решение. Поскольку метод нахождения второго решения по одному известному решению может ока- оказаться полезным не только в рассматриваемом случае, выведем его здесь в общем виде. Предположим, что y = v есть частное решение уравнения g + M% + Ny = 0, E.76) где М и N — функции х. Подставляй y — cz в это уравнение, обозначая z' = dzjdx и исключая v при помощи уравнения E.76), получаем " dx ' V dx Умножая на dxjvz' и интегрируя, будем иметь In %' + In ъ~ + [ М dx = С, или Z'^ dx ^ BV~2 e ' Х- Интегрирование дает так что у = с(А + в\ к-2 е~$ м dxdA . E.77) Б рассматриваемом случае, выполнив дифференцирование и умножив на l/i,2, можно привести уравнения E.66) и E.67) к виду E.76), тогда Mi,2 будет равно М ==S'i'2 _z=dll>Sl,2 1>2 ~^1,2 ~ d"l,2 Принимая v равным выраженшо E.74) или E.75), получаем при помощи формулы E.77) при Л = 0 вторые решения
136 Глава V Следовательно, решение уравнения Лапласа можно записать в виде V = 8Т[С, + D, J ^)g™ {С, + ?2 Jф^ cos{тщ + Р). E.80) Решение в такой форме удобно, в частности, когда поверхность заряжен- заряженного проводника образована поверхностью вращения и клином, ребро кото- которого лежит на оси вращения. Применение полученного решения можно проиллюстрировать простым примером. Пусть бесконечный проводящий заряженный клин, внешний угол которого равен а, имеет сферическую выпуклость радиуса о, пересекающую обе его стороны под прямым углом. Тогда, взяв цептр сферы за начало коор- , 1 г динат и расположив стороны клина под углами <p = i~ai будем иметь p = rsinO, gl = eui = r, g2 = sinu2 — sin0. Бое граничные условия выпол- выполняются, если выбрать Таким образом, получаем [(^I+B7C/tt)]os^. E.81) Эта формула дает V = 0 на поверхности клпна и сферы, а вдали от начала координат совпадет с решением § 2U гл. IV. § 13. Сферические гармоники. Когда граничные условия электростати- электростатической задачи имеют простой вид в сферической системе координат, целесо- целесообразно воспользоваться общим решением уравнения Лапласа в этой системе. Это решение можно получить точно таким же путем, что и в § 2 гл. IV. Пусть г —расстояние от начала координат, 6 —полярный угол, отсчиты- отсчитываемый от оси z, ср — азимутальный угол, отсчитываемый вокруг оси z от плоскости zx\ в этих переменных уравнение Лапласа имеет, согласно C.17), вид д( oOV\ , ir>/. ndV\ 1 ff'-V ,e сип 7Г( r -я- I + ^—fi 5« ( sm^^77 ) + -^V7iT-?- = f'- E.82) dr\ dr J ' sin 0 d% \ di) J ' sm! 0 dy2 v ' Будем искать решение в виде -RS, E.83а) где Д — функция только г, в — функция только 0, а A> — функция только <р Функция S = Ф© называется поверхностной сферической гармоникой, а функ- функция в (при Ф = const) —зональной гармоникой. Подставив V — RS в урав- уравнение E.82) и разделив на RS, будем иметь ) + ) + Л1 sinО вО ^БШ дЬ J Н dr \! dr ) + Л1 sin.О вО ^БШ дЬ J + S sin2 (J ду* — J- Первый член этого уравнения зависит только от г, другие содержат только угловые координаты. Уравнение удовлетворяется, следовательно, в любой точке только в том случае, если К dr
Трехмерное распределение потенциала 137 Нетрудно видеть, что решением последнего уравнения является \ E.84) где п(п +1) = К. Подставляя это значение К в первое уравнение и умножая на S, получим ST^V+"(" + 1)lS = 0- E-85) Решение E.83а) приобретает, таким образом, вид n~l )Sn. E.86) Очевидно, что V будет решением уравнепия Лапласа только в том случае, если величины п в обоих членах одинаковы и равны индексу функции Sn. Сумма (или интеграл) по п, состоящая из членов типа E.86), также будет решением. В частном случае при п = О уравнение E.85) принимает вид ^=u- E-87) В § 21 гл. VI будет показано, что или U, пли V удовлетворяют этому уравнению, если ^ '\ E-88) Таким образом, каждая сопряженная функция предыдущей главы даст два решения уравнения Лапласа в трехмерном пространстве после замены х * 1 1 на coscptg-g-^, У на smcptg-^-S и умножения на (А + Br-1). Особенно важ- важные решения, получающиеся при W = z±m и W = In z, имеют вид V = {А +Вг-1) (С ctgm4"e +#tgmie) cos(mT + 8J, E.89) V = (А+Вг-')(СIn tg~Ь + D^ . E.90) § 14a. Общие свойства поверхностных гармоник. Прежде чем решать уравнение E.85), выведем при помощи теоремы Грина важное свойство функ- функций Sn. Вывишом еще раз формулу C.22) С (ПЛ/2Ф - ФЧ*ЧГ) dv = \ ( W д~ - Ф^Л dS. E.91) V S Положим W—rmSm и Ф = гп5„, так что V2tD = V24? = 0 и объемный интеграл равен нулю. В качестве поверхности интегрирования выберем сферу единич- единичного радиуса; обозначив через dQ элемент телесного угла, будем иметь и, аналогично, дФ/дп = nSn. Подстановка в формулу E.91) дает (nSnSn - mSnSm) dQ = (п - т) J SnSm dQ = 0, т. е. при п i= m JnSmdQ = O. E.92)
138 Глава Г § 146. Потенциал гармонического распределения заряда. Пусть на поверхности сферы задана конечная непрорывная плотность электри- электрического заряда ап, такая, что в любом месте поверхности можно выбрать настолько малую площадку AS, что па ной можно пренебречь величииой (ап — оп) по сравпению со средним значением ап плотности заряда ап на пло- площадке AS. Этот заряд создает потенциал Fo вне сферы и потенциал V. внутри нее. Применяя теорему Гаусса о потоке электрической индукции A.27) к маленькому объему, охватывающему элемент оболочки AS, будем иметь E.93) Рассмотрим плотность ап такую, что Тогда, поскольку F0=F; при г —а, должно иметь место равенство Подстановка выражений E.94) и E.95) в уравнение E.93) дает °» = Sn. E.96) Впоследствии будет показано, что если 0 входит в функции Sv через Р™ (cosO), то эти функции удовлетворяют условиям, наложенным на on d начале настоящего параграфа. Используя найденные выше формулы, а также формулу A.8), можно получить два весьма полезных интеграла: s Углы, сходящие в функцпго Sn, суть координаты концов Rt или Ro. В силу принципа суперпозиции потенциал, обусловленный некоторым поверхност- поверхностным распределением заряда, которое можно представить в виде o = S0 + S1 + S2+..., E.98) дается формулами ЧПЧI*] -<¦¦ при г>а- § 15. Дифференциальные уравнения поверхностных гармоник. Пере- Переменные 0 и ср в дифференциальном уравнении понерхностных гармоник tS" = («)Ф E.85) можно разделить обычным методом. Подставив fcMfc вместо 5 в уравнение E.85) и разделив уравнепно на e<i>/sin2G, получаем sinfl d -e-do Dio уравнение удовлетворяется для любых значений б и ср только гз том случае, если 1 ?/2Ф ^
Грехмррнор распределение потенциала 139 Если положить Кг = тп2, то решение второго уравнения имеет, очевидно, вид U> = Ccosm's> + Dsinmy, E.100) за исключением случая m =0, когда Ф^Му+N. E.101) Полагая К1 = тп2 в первом уравнении и умножая его на 6/sin2 6, будем иметь е = °> <5-102> т. с. дифференциальное уравнение для функции в. § 16а. Зональные гармоники. Уравнение Лежандра. Прежде чем исследовать общее решение уравнения E.102), рассмотрим наиболее важный частный случай, когда V не зависит от ер, Ф — постоянная и, согласно решению E.100), тп = 0. Если обозначить cos Ь через [х, то уравнение E.102) примет вид [^]в(» + 1)в- = 0- E.103) Это уравнение называется уравнением Лежапдра, а его решения — зональ- зональными гармониками. § 166. Решение уравнения Лежандра при помощи рядов. Чтобы получить решение уравнения E.103) в виде ряда, положим вге = 2>у. E.104) Подстановка выражения E.104) в уравнение E.103) дает S (> (г - 1) о^-2 + I и (и + 1) - г (г + 1)] aAS} = 0. Чтобы это равенство удовлетворялось при любых значениях [х, коэффи- коэффициенты при различных степенях [х должны порознь равняться нулю, т. е. Г) «г .-а = (п_г)(л + ,. + 1) Ог+2. E-105) Отметим, что если ог = 0, то ог_2 = аг— 4 = ... = 0 и, согласно соотноше- соотношению E.105), o_i и о_2 равны нулю при коночных а0 и ох; таким образом, иго отрицательные степени [х в решении отсутствуют. Следовательно, если выбрать о0 = 1 и сохранить четные степени jj., решение можно записать в виде рп = 1 __ Л^1 ц + _ ^ _ _ _ ( Кгли 1!ыбрать Oj^^-1 и сохранить нечетные степени ;х, то решение будет Общее решение уравнения E.103) в интервале — 1 < |а < + 1 имеет вид независимо от того, является ли п целым числом или дробью, действитоль- пым или комплексным; необходимо лишь, чтобы ряды были сходящимися.
140 Глава V Рекуррентные формулы для рп и qn можно получить вычитанием p-n+i из /?n_i: т, п - Г(» + 1)(» + 2)и(п-1) g Pn-i ~ Рп+1 — [ 2! ¦ Iх (n-I)(n + 2) 4 "I _ 3! I* +•¦¦ J ~ E.108) Аналогично получаем {п + IJ <7n+i - n*qn-i = Bл + 1) [хрп. E.109) Дифференцируя ряд E.107) и прибавляя п dqTI-i[dp и (n+ будем иметь ' ¦ / ¦ л\ ' Го л (п — 2-\-п-\-'д) п (n + i) „ "9«-i + (и + 1) ?«+i = [2и + 1 —v ^ (n-4 + n+5)nfn — 2)fn + l + ^ и, аналогично, (и + 1)/?;_! + пК+1 = - п (п+ 1) Bп + 1) 9п. E.111) § 16в. Полиномы Лежандра. Формула Родрига. Если п — четное положительное целое число, то ряд E.1U6) имеет, очевидно, конечное число членов, равное -у (п + 2), и может быть записан в виде n (и + 2г)! Zj v ~ I П r=0 2n^2(n2 В этом случае полиномы Рп (р.) определяются как P(F)= ~} ^n- E-112) Если /г — положительное нечетное целое число, то ряд E.107) имеет конеч- конечное число членов, равное -^-(я+ 1), и его можно записать в виде- В этом случае полиномы Рп(\>-) определяются следующим образом:
Трехмерное распределение потенциала 141 При целом положительном п полиномы Лежандра .Р„([х), представленные в виде E.112) и E.113) по возрастающим степеням [х, можно записать 1 1 в обратном порядке, если подставить s = —и —г в E.112) и s = —(и—1)—г в E.113); подстановка в обоих случаях дает EЛ14) s=0 1 1 . .. где т равно -^ п или -^(п—1) в зависимости от того, которое из этих чисел целое. Из выражения E.114) для .Рп([х) можно получить формулу, известную под названием формулы Родрига: т = _1_ _^1 V ^ _ 1 V4 "! .. 2п-28 s=0 Последняя сумма есть разложение бинома ((J-2—-1)", так что Формулы E.114) и E.115) дают решение уравнения Лежандра* E.103) независимо от величины переменной [х. Для гармоник вытянутого сферо- сфероида 0 < р. < оо. При очень больших значениях р. член с высшей степенью [х много больше остальных, поэтому § 16г. Коэффициенты Лежандра. Обратное расстояние. Полиномы, рассмотренные в § 16в, известны также под названием коэффициентов Лежандра; чем обусловлено это название, будет ясно из дальнейшего. Если две точки расположены на расстояниях а и b от начала координат F > а), а угол между а и Ъ равен G([x = cosO), то величину, обратную расстоянию между этими точками, можно записать в виде -L = (а- -Ь 6»- 2аЬ^Ь = а 3|а2— 1/nV , V — За ( а Нетрудно видеть, что коэффициент при (а/fc)" совпадает с выражением E.114) для /^((х), так что можно записать В последующем это разложение будет неоднократно использовано при реше- решении задач.
142 Глава V § 16д. Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра. Если п — нечетное целое число, то, подставив в формулу E.10b) pn—t, Pn^i " Цп из формул E.112) и E.113) и разделив полученное равенство на оудем иметь Точно такое же выражение получается для четных п из формулы E.109). Аргумент полиномов в тех случаях, когда это не может привести к недо- недоразумению, не выписывается. Если «—четное целое число, то, подставив в форму ту E.110) рп, G«-ь q'n-ui из формул E.112) и E.113) и разделив па 2пBи + 1 получаем р;+1-р;_, = Bи+1)р„. E.П9) Такое же выражение можно получить при нечетном п из формулы E.111). Интегрированием формулы E.119) можно получить выражение для интеграла от Рп(\>-)'- Производную полинома Рп(\>-) можно получить путем сложения последова- последовательности уравнений типа E.119) />;(|*) = Bп-1)Л1_, + Bп-5)Д1_3+... E.121) Если продифференцировать выражение E.118) и исключить из результата P'n—i при помощи выражения E.119), то получится другая важная формула для производной P'n+i=V-P'n+(n + i)Pn или Кг =[*/>;_!+ «Лг-1. E.122) Исключая отсюда P'n-i и P'n+i при помощи выражения E.119) и исполь- используя выражения E.118), E.119) или E.120), будем иметь следующие эквивалентные друг другу формулы: р, С + 1) №nPn+i) _ (!У, 71 ~ 1 —(X2 1—[ -п(га § 16е. Интеграл от произведения полиномов Лежандра. В приложе- приложениях полиномов Лежандра весьма важен интеграл от их произведения, вычисленный в пределах от 6 = 0 до б = к или от [х=—1 до [х=+1. Согласно формуле E.92), [ />n(l*)/>m(l*)rf|i = 0 при тФп. E.124) —1
Трехмерное распределение потенциала 143 При т.— п можно подставить значение одного из 1>п по формуле E.115) +1 -И \ —i Проинтегрируем правую чаек, раненстла по частям п ра:;, выбирая каждый раз (горный член за и, а второй за сГс. Поскольку сГ (;х2—l)n/d\).r содержит всегда множитель (;х2 — \IМ', v всегда обращается в нуль пргг подстановке пределов, так что произведение иг выпадает; окончательно получаем —1 Согласно формуле E.114), так что )_ Bп)\п\ _ Bи)! 2 п\ п\ 2 п\ л \ • и интегрирование (см. Двайт, 854.1) дает —-1 § 16ж. Разложение функций по полиномам Лежандра. Функцию, которую можно разложить в ряд Фурье в интервале —1 < jj. <-(-!, можно аналогичвым методом разложить в ряд и по полиномам Лежандра в этом же интервале. Запишем этот ряд в виде /W = ^oW + «AW+-.+^nW+-- E-128) Умножим это равенство на /^„(р.) и проинтегрируем от[х=— 1 до ji= +1; в результате, согласно формуле E.92), все члены, кроме т-го, исчезают. При помощи формулы E.127) получаем +1 E.129) Отметим, что при /(р-) = 0 в интервале—1<[х<: +1, am = 0. Это означает, что если ряд по полиномам Лежандра равен нулю, то должны равняться нулю коэффициенты при каждом из его членов. Как и в случае рядов Фурье, в точках разрыва сумма ряда равна полусумме звачений /(р.) по обе сто- стороны точки разрыва. Посредством подстановки формулы Родрига E.115) в формулу E.129) можно получить другое, часто более удобное, чем E.129), выражение для ат. Подстановка дает $ Иптегрируя это соотношение несколько раз по частям, принимая каждый раз первый член за и, а второй за dv, находим, что | uv |*j равно пулю и
144 Глава V + 1 \ и do меняет знак; в результате остается 2m Y E.130) Если производные / (р.) имеют простой вид, то обычно интегрирование в соот- соотношении E.130) не представляет труда. § 16з. Таблица полиномов Лежандра. Таблицу величин /'„(р.) можно составить при помощи формул E.114) или E.115). При п < 9 имеем C5 [л4— B31 [х6 _ D29 tx7—693 [л* + 315 |л3—35 p.) _F435[л8—12012 ^ + 5930 [л4 —1260 [Л2 +35) ITS ^г—5) Фиг. 51. Полиномы Лежандра от первого порядка до седьмого. Принедом некоторые наиболее важные частные значения Рп{^)'- если п — нечетное Рп @) = 0, » «-четное » п — лгобое » «-любое » и —любое » и —любое Величины для @) [из формулы E.116)], уравне 7 приведены на фиг. 51. ^п@)= — (и+ Р'п (I) = — п (п + 1) [из уравнения E.103)].
Трехмерное распределение потенциала 145 § 16и. Полиномы Лежандра мнимого аргумента. При изучении гар- гармоник сплюснутого сфероида приходится иметь дело с Рп{]Х), где / = (—II'2 и 0<С< оо. Подставляя /С вместо р, в формулу E.114), получаем Рп (/Г) = ( - Bn-2s)\ V ' 1 1 где m = Yn или иг = у(и —1) в зависимости оттого, которое из этих чисел целое. Аналогичная подстановка в формулу E.116) дает BвI 2" (n!J E.132) § 17. Потенциал заряженного кольца. Допустим, что потенциал V симметричен относительно оси х и его величина в каждой точке этой оси известна и может быть представлена в виде конечного или бесконечного (но сходящегося) ряда, содержащего только целые степени х. Тогда потенциал it любой точке пространства можно получить умножением п-го члена на />n(cos6) и заменой х на г. Полученное выра- выражение справедливо, пока г меняется в тех же пределах, что и ж в исходном разло- разложении. Воспользуемся этим методом для вычисле- вычисления потенциала кольца,- полный заряд которого равен Q (фпг. 52). В этом случае 4таУд = О (с2 -f х2 — 2сх cos а)—1!*. Разлагая Va в ряд, согласно формуле E.117), получаем при ж>с -;&2 (fT*.<—>. при х V А — Потенциал в любой точке Р с координатами г, б оказывается равным при г > с или 0 Фа, г = с при /• < с или 6 ^= а, /• = с у= E.133) гг=О С тУ р« ( cos а) Другие примеры приме1:ения изложенного метода будут даны в конпе настоящей и в последующих главах. № В. Смайт
146 Глава V § 18. Заряженное кольцо в проводящей сфере. Если в некоторой области известен потенциал, обусловленный заданным фиксированным рас- распределением заряда, то можно найти и потенциал, обусловленный этим распределением в присутствии проводящей сферической оболочки. Разложим первоначальный потенциал по сферическим гармоникам и прибавим к нему второй потенциал, обусловленный индуцированным зарядом и разложенный по тем же гармоникам. Последвий должен быть таким, чтобы сумма потен- потенциалов обращалась в нуль на сфере; он стремится к нулю на бесконеч- бесконечности, если первоначальный заряд находится вне сферы, и конечен в центре сферы, если заряд расположен внутри. В качестве примера найдем потенциал в произвольной точке, находя- находящейся внутри сферической ионизационной камеры радиуса Ь, если коллектор представляет собой тонкое круглое концентрическое кольцо радиуса о. В рассмотренной в предыдущем параграфе задаче полоишм а = -гт-7г и г > а, подставим значение Рп @) из § 16 з и заменим п на 2п, поскольку в реше- решении сохраняются только четные степени; для потенциала, обусловленного только кольцом, находим Потенциал индуцированного заряда должен быть конечным в начале коор- координат, поэтому он имеет вид со Но Vi + Vr = 0 при г = Ъ, поэтому, согласно формуле E.129), можно порознь приравнять нулю коэффициенты при каждом .Pn(cos6), так что А2п— К Ч 2-4-6... 'in Ъг и, если a<r<cb или г = а, б Ф — it, потенциал ранен Если г < а или г = а, б Ф-zr к, то При применении этого метода к полям, созданным некоторым распределе- распределением заряда на проводниках, следует соблюдать осторожность. В действи- действительности поле индуцированных зарядов влияет, вообще говоря, на инду- индуцирующие заряды и вызывает их перераспределение; по этой причине результат может оказаться ошибочным. § 19. Сферическая диэлектрическая оболочка в однородном поле. Вычислим поле внутри диэлектрической оболочки, внутренний и внешний радиусы которой равны о и b и которая помещена в однородное электро-
Трехмерное распределение потенциала 147 статическое поле напряженности Е. Как и в последней задаче потенциал снаружи можно рассматривать как потенциал первоначального поля i?rcos6 плюс потенциал, обусловленный поляризацией диэлектрика. Послед- Последний должен стремиться к нулю на бесконечности и, следовательно, содер- содержать только обратные степени г. Кроме того, граничные условия на бес- бесконечности содержат только одну поверхностную гармоническую функцию Рг (|а) = cos 6, так что потенциал снаружи должен иметь вид В диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью К ввиду того, что г не обращается ни в нуль, ни в бесконечность, сохраняются оба члена V» = (Вг + ~Л cos6. В полости потенциал должен быть конечным, так что единственно возможное решение есть Vs = Dr cos 6. Четыре граничных условия, необходимые для определения А, В, С и D, имеют вид r=b, IV-=F2, или Eb+^ = Bb + -?r, E.136) -t± = K~ , или Е—-гт==КВ jv-, E.137) of or о о r-—a, V^ — Vz, или Ba-\—j = JPa, E.138) K-~=-~ , или KB ^- = D. E.139) or or a Решая эти уравнения, получаем D== 9?? . Из выражения для Vs видно, что формула E.140) представляет собой на- напряженность электрического поля внутри оболочки. § 20. Сферический конденсатор с малым расстоянием между цен- центрами внутренней и внешней обкладок. В качестве примера граничных условий, содержащих поверхностные гармонические функции, вычислим приближенно распределение заряда на внутренней обкладке сферического конденсатора, предполагая, что расстояние между центрами внутренней и внешней обкладок невелико. (Если внутренний радиус а почти равен внешнему Ь, то для получения удовлетворительной точности приходится учитывать очень много членов в формулах, найденных в § 9а методом изображений.) Выберем начало координат в центре внутренней сферы; тогда приближенное уравнение внешней поверхности будет r=b + cP1(v.)t E.141) где с —расстояние между центрами и [x = cos6. Это соотношение вытекает из формулы E.117), так как, если пренебречь членами порядка еп при п>1, формула E.117) даст Ъ = г [1 + сг-^ ([х)Г = г - сРг О»). 10*
148 ¦ Глава V Поскольку граничные условия содержат и Ро (р.) и Рг (р.) и поскольку точки /• = 0 и г = оо находятся вне поля, потенциал должен иметь вид 1(p). E.142) где С и D — малые поправки порядка с. Граничные условия записываются <'ледующим образом: при г = а 1фЦ Г = Ь + С/5! ([Д.) (произведениями Сс и /)с пренебрегаем). Коэффициенты при Ро(\>.) и Р1(\>.) следует, согласно формуле E.129), порознь приравнять нулю, откуда находим —Vz = O, - Решая уравнения, получим д в* (Г,-Г,) г_ 6 — a ' F — a)(bs — a3) ' (b — a) (b3 — a3) ' Можно вычислить также плотность поверхностного заряда / dV\ sab(Vi — V2)/l Зс ,.\ О = — Ё ( -5— = 4г — —5 — Г5 5 cos о (членами порядка с" пренебрегаем). Отметим, что при интегрировании о но поверхности сферы поправочный член выпадает, так что с точностью до члепов порядка с емкость конденсатора получается такой же, как и в случае концентричных сфер. § 21. Задачи с простой конической границей. В§ 146 было показано, что потенциал заряда, распределенного по поверхности сферы, можно вы- выразить через сферические гармонические функции. Можно также показать, что если потенциал V на поверхности круглого конуса, описываемой урав- уравнением 6 = а, можно представить в виде где п — целое число, то потенциал в любой точке простравства будет рп (сов 0) V = V (АпГп+ВпГ-"-1) рп (сов 0) : ¦ ^-1 Рп (сова) ' \ • / Нетрудно проверить, что это решение удовлетворяет уравнению Лапласа ¦и граничным условиям. « ч ,г § 22а. Зональные гармоники второго рода. Второе решение уравнения Лежандра, определяемое бесконечными рядами E.106) или E.107), назы- называется зональной гармоникой второго рода и обозначается Qn(\>-). Эти гар- гармоники определяются п©..формулам, аналогичным формулам E.112) и E.113):
Трехмерное распределение потенциала если п — нечетное число, Qn Ы = (- 1I/2(Г1+1) — ^ Рп. E-144) если п — четное число, Определение пригодно при — 1 < р, < -|- 1. Хотя в рассмотренных выше решениях уравнения Лежандра [x = cos6. впоследствии при использовании сфероидальных гармоник потребуются рошопия, в которых будет р.'2 > 1. Поэтому необходимо распространить ряд E.104) на отрицательные степени г. Формулу E.105) можно записать в виде Мы видим, что если аг+2 = 0, то ari.i — al.^6= ... =0, а если а.г+1= 0, то a_r+3 = a_r+s-=° . .. =0. lio an+2 равно пулю, если ап конечно, и а_п+1 равно нулю, если aJn_1 конечно. Если выбрать а,1 = 2п!/[2н(и!J], то мы получим формулу E.114) для полинома Рп (р.); но если принять а_„_1 = 2п (n\JjBn+ 1)!, то, полагая в формуле E.146) /•=—п — 3, г=—п — 5 и т. д., получим коэффициенты ряда Vn VP-^ — B» + 1>I L [л'1 "г 2 Bn-f3) (л"*3 ' ' ' J 2»("'J VI (»+г)!(и+2/-)! Bга+ 1)! n-2r-i Заменив, согласно обозначениям формулы E.114), г на s, будем иметь оо П /„\ _ 2п У (» + *)'(гс + 2s)! п_28.г /5 Ряд, очевидно, сходится при [х2 > 1 и определяет в этой области Qn(v)-t При очень больших р. член с наименьшим отрицательным показателем степени в формуле E.147) превышает все остальные, так что § 226. Рекуррентные формулы для функций Лежандра второго рода. Посредством подстановки в формулы E.108) и E.109) величин рп и qn, определенных из формул E.144) и E.145), можно получить точно таким же образом, как и формулы E.118) — E.128), следующие соотношения, связи ваюшие Qn{y.) различных порядков: (и 1 + B«-5)<?„^+ ... +[хA-[х2I, E.152) л' _ (rc + l)(^Qn—Qn-,) E
150 • Глава V _ ^ § 22в. Выражение функций Лежандра второго рода через полиномы Лежандра. Полезное выражение для Qn(\>.) можно получить из уравнения Лежандра, если известно, что Рп(\>-) является его решением. Из уравнений E.76) и E.77) следует, что если v является одним из решений дифферен- дифференциального уравнения -g + M-g+M/ = 0, E.154) где М и ^V —функции х, то второе его решение будет У = v С А + В С гГ2е~! Шх dsA . E.155) Для уравнения Лежандра E.103) v = Pn(\>.) и Ж= — 2[хA —р.2), так что \ Md\). = In (I — р.2), или е J ^ = A — р.2), и формула E.155) принимает вид Чтобы определить постоянные А и В, положим п = 0 и п=1. Интегрируя при помощи формул A40) и A52.1) справочника Двайта и используя при- приведенное там же разложение F01.2), получим Из формул E.144) и E.145) следует, что #0 (р.) = qb и Qx (р.) = — р{, исполь- используя для величин q0 и рг выражения E.106) и E.107), будем иметь Л = 0 и ?=1. Таким образом, общая формула для @п([х) имеет вид в частности 0О (,,,)=.*. 1„ 1±? E.157) и • (?i (Iх)= ~2 V- ^п 1—~ — ^- E.158) Используя формулу E.149), получим E.159) Повторное применение формулы E.149) дает Это выражение справедливо при р,2 < 1. Общее решение уравнения Лежандра будет
Трехмерное распределение потенциала 151 Если положить А'—А—п- В1п( —1) и подставить в решение E.160), то nnF-JVi М- • ¦ • ] ¦ Следовательно, при [х2 > 1 в качестве формулы, определяющей (?„([х), можно принять Полагая и = 0 и п = 1 и используя разложение (Двайт, 601.3), получаем, что определенные таким образом выражения для величин Qb ([х) и Q1 ([х) сов- совпадают с E.147). § 22г. Некоторые значения функций Лежандра второго рода. При немощи формул E.160) и E.161) нетрудно найти численные значения функций (?п([х); для удобства приведем некоторые важные частные значения этих функций при действительном аргументе: если п — четное число, ?„@) = 0, E.162) если и —нечетное число, если п — любое число, ^(-riH-r^W, E 164) <?n(l) = co, Qn{co) = 0. E.165) § 22д. Функции Лежандра второго рода мнимого аргумента. При- Применение гармоник сплюснутого сфероида связано с использованием функций (?n(/Qi где /--( — II'2 и 0<С< оо. При С> 1 выражение для Qn (/?) полу- получается просто подстановкой /X вместо [х в формулу E.147): s=0 Аналогичная подстановка в формулу E.161) не приводит к однозначному результату, поскольку логарифмический член в формуле E.161) много- многозначен. Применяя формулы F01.2) и E06.2) из справочника Двайта, не- нетрудно получить Dii )=-2/ Если представить коэффициенты в формуле E.161) в виде E.131) и ис- использовать приведенный выше ряд для логарифма, то получится выраже- выражение, совпадающее с выражением E.166). Таким образом, имеет место сле- следующее соотношение: <?п(/9= -/^саЕ^РА/ч-^Рп-ЛГч-^Е^РпАГч----, E-167) где arcctg меняется в пределах от 0 до и. Это выражение можно исполь- использовать для определения Qn{J4 Б0 всем интервале —оо < С < со, по- поскольку оно не имеет особенности при С=1. Отметим, что при конечных С функция Qn(fQ конечна и что, если п — четное число, f ^le"??^ ' <5-168)
152 Глава V если и —нечетное число, E-169) При больших С член с наименьшим отрицательным показателем степени в формуле E.166) много больше всех остальных, так что Ц(- >)пп ^ • EЛ70) Весьма полезную формулу можно получить, если продифференцировать выражение E.156), а интегралы, содержащиеся в найденном соотношении, исключить при помощи выражения E.156). Подстанлян /1 вместо [х, будем иметь К (/С) Qn (/С) - Р'п (/С) Qn (/С) = A + С2)- E.171) § 22е. Применение функций Лежандра второго рода в теории по- потенциала. Наиболее важные применения зональных гармовик второго рода связаны с использованием сфероидальных гармоник. Поскольку функции Qn (jj.) обращаются в бесконечность при ц = 1, ови используются в качестве сфериче- сферических гармоник главным образом в тех задачах, в которых коническая гра- граница исключает ось (jx=l) из области, где ищется электростатическое поле. Рассмотрим, например, случай двух коаксиальных конусов. Пусть потенциал равен нулю па конусе 6 = р и равен Va = V (Лпгп + Впг~п~а) на конусе б = а. Тогда в пространстве между конусами потенциал будет v _ -у wlTl. -r^w'^lQr, (cos 6) Pn(v) — Pn(ros$)Qr, где [j, = cos б. Проверка показывает, что это решение удовлетворяет гра- граничным условиям. Интересен тот частный случай, когда один конус имеет потепциал, равный нулю, а другой — потевциал, равный Vx. Поскольку Р0([х) = 1, то в этом случае V __ A Qo(fOSp) —QoffOS-») _ . v- ло<?0(,-ов М-Qo (cos a)-Не- a)-Несогласно формуле D06.2) из справочника Дваата, Qv (cos б) =А In [A + cos 6) / A - cos 0)] = - In tg @/2) и выражение для потенциала между конусами имеет вид V = Vl ln-f- / In-f- . E.173) § 23. Зональные гармоники нецелого порядка. Во многих случаях, когда область, н которой ищется потепциал, имеет конические границы, применение гармоник только с целыми значениями п оказывается недоста- недостаточным. В этих случаях необходимо обобщить выражения для гармоник па значения п, определяемые таким образом, чтобы Рп(\у) или Qn(\>.) об- обращались в нуль на соответствующих конусах. Многие из приведенных выше соотношевий [например, рекуррентные формулы для Рп([>-) и (?п(р.)] справедливы и при нецелых значениях п; однако основные определения нуждаются в соответствующей модификации. Так, выражением для Рп(\>.),
Трехмерное распределение потенциала 153 пригодным для любых значений п, будет ряд у (nA-\)(nA-2)...(n-\-r)(-n)(\ — n)...(r — \-n) () Этот ряд сходится при любых [j. = cos 6, за исключением б = ir. Пример гар- гармоник такого рода можно найти в § 27а — 27в настоящей главы, если при нять, что заряд расположен на оси полости и, следовательно, ж = 0. Если v не является целым числом, то Ру (jj.) и /\ (— jj.) будут незави- независимыми решениями уравнения Лежандра и будут связаны с <Qy (jj.) cootho шением Если п — цслоо число, то функция (?„([а), определенная п § 22а, яиляетс.я пределом Qv (u.) при v —> п. § 24а. Присоединенные функции Лежапдра. В § 13 и 15 настоящей главы было показано, что решением урашюпия Лапласа в сферических координатах является произведение ДЙФ, где R^A^+Br-"-1, E.176) Ф = С cos mtp + D sin mtp, E.177) «I а в является решением уравнения E.102), которое, если ввести [х вместо cos G, принимает нпд При накождеттпи решения этого уравнения мы исходили из уравнении Ле- гкаидра, соответствующего /п = 0. Выполняя дифференцирование произведе- пия в первом члене уравнения Лежандра, можно привести последнее к виду Решениями этого уравнения являются у = Рч(^) и l/ = Qn([>-)- Диффореици- руя уравнение Лежапдра т раз и обозначая dmy/d[>.m через V, получаем A-р*)$-2р{т+1)^+(п-т)(п4-т + 1)» = 0. E.179) Вводя ш = A — [х2I/27Пу, или v=-'-{i—^Y^mw, получим уравнение E.179) в виде ^^[ ^] = U. E.I80) Это уравнение совпадает с уравнением E.178), в чем нетрудно убедиться, выполнив дифференцирование в первом члене E.178); следовательно, ре- решения уравнения E.178) имеют вид Поскольку у является решением уравнения Лежапдра, то общее решение- уравнения E.178) записывается следующим образом:
154 Глава V где Р™([>) и (?™([х) при — 1 < [х< +1 определяются по формулам К (I*) = A - №>*m~jP- , E-182) ^- E-183) Для — 1 < [х < +1 Гобсон вводит в правые части множитель (— I). В тех случаях, когда [х, будучи действительной или мнимой величиной, по мо- модулю больше единицы, функции Р™{[>.) и Q™(jx) определяются следующим образом^: E.184) E.185) Эти функции известны как присоединенные функции Лежандра первого и второго рода. Их можно получить при помощи формул E.182) и E.183) из уже известных выражений для Рп(\>.) и Qn([>-). Для действительных значений [х, меньших единицы, формулы E.182) и E.183) дают Р\ (V) = A - ^2I/2. Р% Ы РЪ(р) = 3 A - Ц«) V. [X, Р\ ([Х) = А A _ - 1), Р\ М = Ю5 A - [х2K/2 [х, [хгJ. E.186) Для больших значений т и /г используются рекуррентные формулы § 24г. При действительных значениях [х, больших единицы, формулы для функций Р™ ([х) и $?([а)> определяемых согласно выражениям E.184) и E.185), можно получить заменой в приведенных выше выражениях E.186) •множителя A —[х2I^ на ([х2— lI^ и, кроме того, заменой 1 — [х на [х-1 в логарифмическом члене функции Q™ (jx). Для больших значений тип используются рекуррентные формулы § 24г.
Трехмерное распределение потенциала 155 Для мнимых значений аргумента, согласно § 16з, § 22д и формулам E.184) и E.185), будем иметь = С arc ctgC-1, E-187) В формулах для (C(/Q-arcctg изменяется от 0 до тс при значении С, изме- изменяющемся от + °° Д° — °° • Если [х—»оо, то, подставляя формулы E.116) и E.148) в E.184) и E.185), получаем ЯМ^шЩ^*"' EЛ88> • E-189) В случае т = п при подстановке формулы E.114) в E.182) сохраняется только член, соответствующий s = 0; в результате получается решение, найденное в § 126 [формула E.81)]: P?(cose) = Bm-l)!!sinm6. E.190) Для Р^(х) можно дать интегральное представление; пригодное при любых п и ж>1: riff (*) = (» + !) (и+ 2) .- Т. ...(п + т){ [x + (x2 — lI^cos<f]ncosm(fd(f. E.191) Подстановка в уравнение E.178) и двукратное интегрирование по частям показывает, что выражение E.191) удовлетворяет уравнению Лежандра. Постоянный множитель нетрудно проверить, если устремить ж—» оо (инте- (интеграл при этом вычисляется) и сравнить результат с формулой E.188). § 246. Интегралы от произведений присоединенных функции. Урав- Уравнение E.92) показывает, что при п -/= п' + 1 2-я [ \ [рп М Рп- ((J-) (A cos my -Ь В sin mep) (A' cos iw'<p -f- Bdd . E.192) Благодаря наличию произведения тригонометрических функций этот инте- интеграл равен нулю и в том случае, если т — целое число и т фт' незави- независимо от значений п и п' (см. Двайт, 435, 445 и 465). Чтобы определить значение интеграла E.192) при /г = /г' и т = т', необходимо вычислить интеграл от квадрата Р™^) по поверхности сферы единичного радиуса.
156 Глава V Используя для Р™{[>.) выражения E.182) и E.115), получим при помо- помощи интегрирования по частям 2[х= \ udv = —i —1 *>2tt / \\9~ \ I Vr* / ^7 n+m \Г* *) I " I j r>4.?n— 1 \Г* 1J I ^^ -1 + 1 Повторим интегрирование ш> чистим, полагая кайчдый раа Произведение г<« обращается в пуль на граштцах интервала, поскольку и содержит множитель (J.2 — l при m^s, а г — при m <' s. Поэтому поело (т + и)-кратного интегрирования по частим получим = \ -gj^jjl- {^ [(^ 1Г|-_^(^_1)«] j f/[x. E.193) 1 — i . ¦—1 Так как степень [х при дифференцировании понижается, второй множитель в подинтегральном выражении оказывается, очевидно, постоянным. Поэтому, сохраняя лишь наивысшую степень \х и заменив ;х2—1 па ;х2, получим, что этот множитель равей [2nBn-l)Bn-2).. (n- ^Ч*0' Весь интеграл с учетом формул E.126) и E.127) оказыпается равнг^м -1 —1 +1 2 ) l n\rn i 2 При w ф= п' из формулы E.192) следует +1 (п — т)\ ) l n\rn i 2п + 1 (п — т)! ч ' \ Р?ЫР1?МФ = 0. E.195) —1 В случае m =/= т' весьма полезным является следующее интегральное соот- соотношение: t1 F М Рт' (и.) ^ 1Ц^ AЛ) ф = 0. E.196) -1 Для доказательства этой формулы запишем уравнение E.178), обозначив сначала в = г/ и т = т, а потом в=г/' и т = т'; умножим первое уравне- уравнение на у', второе—на у, вычтем и проинтегрируем от —1 до +1. Для интегрирования в случае т = т' перенесем средний член уравнения E.205)
Трехмерное распределение потенциала 157 в правую часть, возведем в квадрат, заменим исюду п на п — 1, умножим на п + т и исключим из результата Ф^/в™"/ при помощи уравнения E.208), возведенного в квадрат и умноженного на п — т. При интегрировании от — 1 до -t-1 все члены, не содержащие 1—;х2, интегрируются согласно формуле E.194) и взаимно уничтожаются; в результате остается J —[л.2 п — т J 1 — (J.2 Bт)! (п — т)! ^ 1—[а2 " Подставляя Н^ по формуле E.190) и интегрируя (см. Двайт, 854.1), на- находим (^ !^Mi i^ E.197) m (n — m)\ -1 0 При применении вектор-иоте.пциала нам придется пользоваться свойствами ортогональности поверхностных векторных функций cos6, определяемых соотношением Р™М= I A-^I/2РГ Ы ± I тA-».*)-*» Kb). E.198) Интегрирование скалярного произведения двух таких функций дает -1 +1 Г г,л 2\ pW / N Dm' / \ i 2 (Л 2\-1 Рт / N Рт I — 1 Заменяя второй член при помоши уравнения E.178) и группируя члены, находим +1 - +1 ЙЙ d\x = { [A - V-2) Рп'] Pf +1 [A - !-2) Рп'} K + i п'Рр]1\ + п(п + 1) J ЙЙф = я(п —1 —1 —1 Согласно формулам E.192) и E.194), результат равен нулю при п Ф р и равен +1 С 2 (n-m)! ( при n = p. § 24в. Присоединенные функции от мнимого аргумента. Применение гармоншг сплюснутого сфероида приводит к появлению функций Р™ (/С) и ^5Г(/С) <>т мнимого аргумента, где С изменяется от 0 до оо. Представление этих функций в виде рядов можно получить, применяя формулы E.184) и E.185) к E.131) и E.166). Следует отметить, что окончательные ряды для Р™ (/С) содержат только пулевые или положительные степени ",, так
158 Глава V что Pn(f-O) конечны, а Р™ (j ¦ ее) бесконечны. Ряды для (С (/С) содер- содержат только отрицательные степени С, так что Q™ (j ¦ оо) обращается в нуль. Получим теперь для этих функций важное соотношение, аналогичное соотношению E.171). Согласно выражению E.155), Продифференцируем это равенство и исключим при помощи полученной формулы интеграл из правой части; в результате (после замены [х на /С) будем иметь ? • E-200> Полагая С —» оо и учитывая формулы E.188) и E.189), находим B = (-l)m&±!!&. E.201) § 24г. Рекуррентные формулы для присоединенных функций Лежандра. Как было показано в § 16д и 226, рекуррентные формулы для функций Рп ([х) и Qn ([>.) одинаковы. Знак в соответствующих формулах для функций в™ = АР™ ([>.) + BQ™ ([х) зависит от того, изменяется ли [х в интервале — 1 < [х < +1 или [х > 1 или же [х является величиной мнимой. Ниже будут получены эти формулы, причем верхний знак будет относиться к слу- случаю [x = cos6. Продифференцируем выражение E.122) т раз, умвожим на sinm+1 6 или на ([х2—l)V2(w+i)j B результате, согласно формулам E.182) и E.183) или E.184) и E.185), будем иметь в^+11 = (т + п + 1)[±A-^)]1^е^ + [хеГ+1. E.202) Теперь продифференцируем выражение E.119) т раз и умножим на [± A— [i,2)ji/2(m+i)- принимая во внимание формулы E.182) и E.183) или E.184) и E.185), получим е^,1 - ей1=Bп+1) [± A - (х2)]1^ е™. E.203) Вычтем выражение E.203) из E.202), в результате найдем E.204> Заменим в формуле E.202) и на и—1 и исключим @™-f и в|Г_ь исполь- используя для этого соотношение E.204) и соотношение, получающееся из E.204) заменой т на т — 1. Если разделим результат на — A — jx2), то получим формулу A-[х2)Г1/2 @т±(т + п)(п-т+ 1)вГ"' =0, E.205) являющуюся рекуррентной относительно т. Если умножим формулу E.202) на т— п и формулу E.204) на т + п+ 1, вычтем одну из другой и заменим в результате т + 1 на т, то получим рекуррентную формулу относительно п: (т - л - 1) е?+1 + Bи + 1) [хв™ - (т + п) K-i = 0. E.206)
Трехмерное распределение потенциала 159' Дифференцируя выражения E.182) и E.183) или E.184) и E.185) и поль- пользуясь приведенными выше формулами, нетрудно получить = rp I (m + и) (и - ттг + 1) в™ + J-<C+1 = = Т Щ. [± A - (х2)]-1'2 в™ Т (т + п)(п- т +1) eJT1 • E.207) Иногда желательно выразить [± A — jj.2)]'2 в™ через функции Лежапдра. Для этого заменим в формуле E.202) /и на т — 1, разделим на [±A — у-2)]1'2, подставим [а[± A — [А2)]~1/2в™ из формулы E.205) и заменим в окончатель- окончательном выражении п на п—1; в результате будем иметь 2т[±A-[х2)Г1/2е^ = ±еЙ1-1-(п+т-1)(т + и)е^Г11. E.208) Замена т на т — 1 в формуле E.203) и подстановка в последнее из выра- выражений E.207) дает A-[х2)е^'= ± т[хв^=Р (m + и) (и-т + 1)Bи+1Г1 (©-+!-©«-О- Преобразуя, согласно формуле E.206), последний, первый и средний члены этого равенства, получим соответственно = ± Bи+ I) [{т-п- 1) в™+1 +(п + l)(m + n) = Т и[а©™ ± (/и + п) Qt-i • E.209) § 24д. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра. При помощи рекуррентных формул предыдущего параграфа, а именно E.205) и E.207), совместно с результатами § 16з и §22г, получаются следующие соотношения: если п + т — четное число, Рт (Q\ = ,' _ 1W2 (п-т) 1-3-5...(n + m — 1) n ^ ; V ; 2-4.'о... (и —mj ' если п-\-т — нечетное число, если п + т — нечетное число, 2-4-6 1.3-5...(n—m) если п + тп — четное число,
160 Глава V § 24е. Равновесные (нейтральные) точки и линии. Чтобы исследовать характер точки равновесия, выберем начало координат в этой точке и вос- воспользуемся разложением потенциала но сферическим гармоникам. Внутри сферы достаточно малого радиуса (настолько малого, что внутри нее не содержится зарядов) потенциал должен быть конечным и, следовательно, иметь вид со п V = 2 2 AnnrnP™(cos 0) cos (икр + 8m). E.210) В точке равновесия VF равен нулю, так что oVjdr—^O при /• —^0 и коэф- коэффициенты Ат1 равны нулю. В основу классификации точек равновесия можно положить соответствующее данной точке наибольшее значение р, такое, что псе Атп (п < р) обращаются в нуль при г—»0. Таким образом, для точки равновесия р-ro порядка р есть наибольшее целое число, для которого при любых значениях 6 и » дУ 3^F dPV В достаточно малой окрестности точки (или линии) равновесия р-то порядка V = Ло + /-р+1 2 А». р+1 ^р+1 (cos 6) cos (пщ + Bm). E.212) Потенциал в точке равновесия равен Аы,. Уравнение эквипотенциальных поверхностей, пересекающихся в этой точке, получается для малых г путем приравнивания нулю суммы, в выражении E.212). Для аксиально-симме- аксиально-симметричного поля m равно нулю, и эквипотенциальные поверхности имеют вид конусов, угол раствора которых 2а определяется уравнением Pp+i (cos a) = 0. Согласно § 16з, для точек первого порядка угол а равен 54°44' и 125°36'; для течек второго порядка угол а равен 39°!4', 90° и 140°46' и т. д. Простейшая линия равновесия соответствует тому случаю, когда все члены, кроме тп = р -{-1, равны нулю. На этой линии равновесия пересекаются р + 1 эквипотенциальных поверхностей, являющихся плоскостями, образую- образующими менту собой угол и/(/? + 1). § 25. Биаксиальные гармоники. Б некоторых случаях может потребо- потребоваться представить зональную поверхностную гармонику Рп (cos б') через поверхностные гармоники Sn F, ср), отнесенные к другой оси. Пусть две оси пересекаются в начале координат и координаты оси 6' в системе б, ср равны 0 = 0 и ср = 0. Требуется найти коэффициенты разложения т~п ¦ Рп (cos б') = У| АтР™ (cos 6) cos /иср. E.213) тп=0 Умножим правую и левую части этого равенства на Р"п (cos 6) cos (scp) и про- проинтегрируем по поверхности единичной сферы. В правой части все члены, согласно" § 246, обращаются в нуль, за исключением одного, содержа- содержащего Sn; с учетом выражения E.194) он равен Am ) [PZ Ы В)}* cos* rn^dS-^V^^ An. E.214) s Интеграл, стоящий в левой стороне, имеет «ид
Трехмерное распределение потенциала 161 Точно такой же интеграл появляется в качестве коэффициента при Ъп в вы- выражении для потенциала Vp, создаваемого в точке 6' = 0, r==b зарядом, распределенным но поверхности единичной сферы с плотностью ?„F, ср). ;)та задача была решена в § 146, и, следовательно, искомый интеграл можно приравнять коэффициенту при Ьп в соответствующем решении, пригодном при любых Ь ¦< 1. Таким образом, Используя разложевпе E.117) и принимая во внимание, что интегралы от произведений типа Pr(casb')SnF, <р) обращаются, согласно формуле E.92), в нуль, получаем ь правой части один член: faeVp = Ьп \ Pn (COS 6') Sn F, cp) dS. s Но потенциал Vp был вычислен п § 146 [формула E.97)]: i\ нашем случае координаты точки Р относительно оси О равны 6 = 0 и ср = О, так что Sn (G, ср) = Р™ (cos в), и равенство коэффициентов при Ьп в двух различных выражениях для Vp означает \ Рп (cos в') Рп (cos G) cos гщ dS = 5^-т К (cos в). E.215) s Приравнивая интегралы E.214) и E.215), определяем Ат Если нг = О, то интегралы E.214) и E.215) вычисляются при помощи фор- формул E.127) и E.97): s s Подстановка в соотношение E.213) дает т=0 где 8$п=1 ири т — 0 я 8^=0 при т ф 0. Этот символ носит название символа Кронекера и в более общем виде записывается 8™, причем 8™ = 1 при ю=и и 3™ = 0 при т ф п. § 26. Конические границы. Потенциал, созданный внутри конуса за- зарядом, распределенным произвольным образом по его поверхности, можно найти, если постоянные разделения в уравнении E.82-) выбраны так, что функции R и Ф оказываются ортогональными. Так, если п равно jp — 1/2> го К равно - /?2 + 1/4i H К> согласно выражению E.84), имеет вид Rv = А'г'р-1'* + В'г-™-1!* = г-J/2 A cos (p In /• + 8Р). E.218) Произведение RvRV'dr оказывается равным cos(/?^ + 8p)cos(/>'^ + V)^ (где ф = 1пг), что приводит к ряду или интегралу Фурье по In г. В. Смайт
162 Глава V В множителе в появляются функции Лежандра порядка jp - г/2. Эти функ- функции носят название конических функций; они были рассмотрены Гобсоном,, Гейне и др. Гобсон приводит для них такой ряд: Решение, соответствующее верхнему знаку и обращающееся в бесконечность при [а=1, следует использовать для области, лежащей вне конуса; нижний знак соответствует решению для внутренней области. Эта функция не является периодической. Формула E.182) была получена без специальных предположений относительно п, поэтому dmPi±lX) E-220) § 27а. Присоединенные функции Лежандра нецелого порядка. Как уже было указано в предыдущем параграфе, при наличии конических границ приходится пользоваться функциями -Р™([*) или (?™(;л,), у которых ипдекс п не является целым числом. В частности, приходится пользоваться разложением в ряд по функциям Лежандра, порядок которых п таков, что 8™ (fj,0) = 0. Для этого необходимо иметь формулы, аналогичные фор- формулам E.92) и E.194). Пусть 6™([х) = г/ и в™ (\х) = у' — решения уравнения; E.178), такие, что е?Ы = вяЫ = 0. E.221) Тогда Умножая первое уравнение на у', второе — на у и вычитая одно из дру- другого, находим Интегрируя от {а0 до 1, будем иметь 1 }>¦(, (п—п')(п+п'-\-\) Откуда при п ф п', согласно соотношению E.221), следует 1 E.222) E.223) Для п=п' поступим следующим образом. Пусть п—п'~&п'. Подставив. у = у' -\-(ду'}дп')Ьп' в выражение E.222), найдем di/ , dy , ду' , дч' ду' . , , ду' , д2у' . , * rf(j " ф " dfx ' др дп " ду. J ( ф f р дп " ду. J д\>.дп' Поскольку при [а = {х0 у' = 0, то при п^-п' получим
Трехмерное распределение потенциала Для вычисления значений йв™/5п можно воспользоваться представлением функции 6™ в виде ряда [например, ряда E.104)] или в виде определев ного интеграла (последнее можно найти в работах, список которых при- приведен в конце настоящей главы). § 276. Функция Грина для конуса. Рассмотрим задачу о точечном заряде q, расположенном внутри заземленного конуса б = а в точке г = а, б = р, <р = <р0. Под точечным зарядом мы будем понимать такой заряд, раз- размеры которого достаточно малы, но все-таки отличны от нуля, так что напряженность поля и потенциал в математическом смысле являются функ- функциями ограниченнымиг). Граничные условия (F = 0 на конусе) автомати- автоматически удовлетворяются, если пользоваться разложением по функциям Лежанд- ра, порядок которых п подобран таким образом, что Р™ (\i0) = 0, где [а0 = cos a. Из формул E.176), E.177) и E.182) следует~что при таком выборе п ре- решение уравнения Лапласа, конечное при г = 0 и г= оо, непрерывное при г = а и имеющее должную симметрию относительно ср0, имеет вид при г < а ^i=2 2 А^(~У Рп Ы cos m (cp-To), E.225) при г > а ^ СО ^0 = 2 2 A™(y)n+1^Mcosm(cp-To). E.226) п т=0 Чтобы определить коэффициенты Атп, введем новую переменную tp' = <р — tp0, составим, как в § 8 гл. IV, разность dVJdr — dVojdr, умножим правую и левую части на Р^ (fj,)cos/?cp' d\xdy' п проинтегрируем от ср' = 0 до ср' = 2-п и от [а = {а0 до jj.= 1. Тогда (см. Двайт, 445) все члены в правой части обращаются в нуль, кроме членов т=р; последние, согласно формуле E.223), также обращаются в нуль, за исключением членов n = s. После умножения на а2 получаем 27С+1 + 1 2г. [Р* (р)]Ыр \ cosVcp'rfcp'. E.227) b Интегралы в правой части вычисляются при помощи формулы E.224) и формулы (Двайт, 440.20), кроме случая, когда р — 0. Для вычисления левой части заметим, что a2 dp efcp' = — a2 sin 6 d6 dy' = — dS. Поле непре- непрерывно на сфере радиуса г = а, за исключением бесконечно малого участка поверхности AS около точки б = р, ср = ср0 (или ср' = 0), где сосредоточен заряд. Поэтому dVijdr = dVoldr и подиитегралъное выражение обращается в]нуль везде, кроме площадки AS, которая выбирается настолько малой, что под интегралом Р^ ([i) можно заменить на Ps([>-i) (tAi = cosP)i а cos/ко' — на 1. Поскольку на внутренней стороне AS dVJdr= —dV/dn, а на внеш- внешней стороне AS dVoldr = dV/dn, левая часть уравнения E.227), согласно Ч Здесь и в дальнейшем (§ 28е, ЗОи и т. д.) автор фактически рассматривает точеч- точечный заряд, плотность которого описывается В-фупкцией Дирака. Вопрос о сходимости соответствующих рядов ие затрагивается.—Прим. перев.: И*
1E4 Гдава V теореме Гаусса о потоке электрической индукпии A.27), оказывается равной n e s vrl/ v ' Разрешая уравнение ^5.227) относительно Aps и изменяя р на то и s на w п соответствии с обозначениями в формулах E.225) и E.226), получаем где 8т = 1 при т — 0 и 8т = 0 при т ф О. § 27в. Функция Грина для конической полости. Предположим, что заряд д находится между заземлеивыми сферами r = d иг = си внутри заземленного конуса 0 = а, так что с < а < d и 0 < р < а. В этом случае к функции Грина для конуса надо прибавить потенпиал, обращающийся в нуль на самом конусе и дающий при /¦ = d и /¦ = с суммарный потенциал, равный нулю. Поскольку точки г=0 и г—со исключены из области, в которой ищется поле, этот потенциал должен иметь вид E.225) или E.226), где (г/а)п или (a//-)n+I заменены на Су* + Dvr~n~l. Если прибавить полу- полученное выражевие к выражению E.225) и положить г = с, то суммарный потенциал должен обратиться в нуль, откуда ?1=0- E-23°) Приравнивая к нулю суммарный потенциал при r = d, получаем ^=0. E.231) Определив Сп и 1)п из соотношения E.230) и E.231) и прибавив новый потенциал к потенциалу E.225), найдем для г < а i cos то (<f — <р0) • E.232) п m=0 Аналогично, для /• ^> а, согласно формуле E.226), находим <р0). E.233) Если, кроме того, плоскости ф = + ~( и ср = 0 (-(¦ > срп > 0) имеют нулевой потенциал и если -(= iz/s (s — целое число), то решение можно получить при помощи метода изображений в виде суммы потенциалов типа E.232) м E.233). Если -(-f=- тс/s, следует использовать гармоники нецелочисленных порядков вида sin (ттсср/-^). Благодаря этому в коэффициенте Атп появляет- появляется множитель 2г./-(, а в выражениях E.232) и E.233) cosm(<p — cpn) заменяет- заменяется на sin (m-n:cpo/-c)sm(mir.f/Y). § 28а. «Сплюснутые» сфероидальные координаты. Обычными геомет- геометрическими объектами, встречающимися в электрической аппаратуре, являются тонкий круглый диск и тонкий лист с круглым отверстием. Ни одна из изученных до сих пор координатных систем не образует таких естествен- естественных границ, за исключением конфокальной системы, описанной в § 2 и 3. В этой системе, фиксируя значение одной из координат и не ограничивая
Трехмерное распределение потенциала 16Й пределов изменения остальных, можно получить поверхность требуемой формы. Наличие аксиальной симметрии, когда трехосные эллипсоиды превращаются в сплюснутые сфероиды, сильно упрощает задачу. Ниже рассматривается решение уравнения Лапласа в такой системе координат; оно содержит функции, известные под названием гармоник сплюснутого сфероида. Положим в уравнении E.4) большие полуоси Ь и с равными друг другу и обозначим у = р cos <р и z = p sin <p. Тогда уравнение можно записать в виде х2 , Р2 „4 / Положим в этом уравнении а2 + 0 = (Ь2 — а2) ®\ = с\ Ь\. Тогда при — а* < 0 < со или 0 < ?2 < со (где 6^ = I?) мы получаем конфокальные сплюснутые сфе- сфероиды, а при — Ъ2 < 6 < — а2 или 0 < I2 < 1 (где — ti\ = ?2) — конфокальные однополостные гиперболоиды. Третьей координатой является, очевидно, азимутальный угол <р. Уравнение сфероидов имеет вид а уравнение гиперболоидов — _?L^+ р!__=1. E.236) fiZ^Z 1 учи /Л t I * Исключив р из этих уравнений, получим а исключив х — E.238) Координата р всегда положительна, а х принимает значения от — со до + со. Поэтому если выбрать 0 < С < со, то следует принять — 1 < \ < + \ (см. фиг. 54), а если выбрать —со<С< + со, то следует принять O<L<1 (см. фиг. 53). Чтобы написать уравнение Лапласа в такой системе координат, необ- необходимо вычислить коэффициенты hl7 h2 и h3 в уравнении C.13). Согласно выражениям C.10), 1 as . ао, \ э'с дь, кг дп ' дп h2 дп дп При помощи формулы E.5) получаем ае, 1 ае \\U\ i an 2c|(J, ci Записывая координаты в порядке Е, 'С, ч. \\ подставляя вместо х и р их значения E.237) и E-238), находим E-241)
166 Глава V Уравнение Лапласа C.13) можно записать и виде § 286. Гармоники сплюснутого сфероида. Решение уравнения E.242), имеющее вид F=EZ<I>(rfle В, Z и Ф — соответственно функции только f Д и <р), называется гармоникой сплюснутого сфероида. Умножая урав- уравнение E.242) на A + С2) A — S2) [аЯФ($2 + С2)], получаем, что последний член зависит только от ср. Чтобы найти решение уравнения, как и в § 13, приравняем этот член —т2, а остальные члены -4-и?2, тогда Последнее уравнение удовлетворяется, если E.244) Полагая С = /С, приводим второе из этих уравнений к виду 0. E.245) Решение уравнения E.243), согласно выражению E.177), будет Фт = С cosm?+ D sin тр. E.246) Уравнения E.244) и E.245) совпадают с, E.178), поэтому их решение имеет вид E.181) E.247) E.248) it, следовательно, общее решевие будет 2тпФт. E.249) Поскольку сфера есть частный случай сфероида, естественно ожидать, что сферические гармоники — частный случай сфероидальных. Проследим, как решение, определяемое выражениями E.246) —E.249), переходит в решение E.177), E.181) и E.176) при стремлении эксцентриситета эллипсоида к нулю. При сх —*¦ 0 ¦ диск, соответствующий С = 0, стягивается в точку = 0. Из выражения E.237) вытекает, что С—»оо при сх—а-0 (так как ?0), ив выражении E.238) можно пренебречь 1 по сравнению с С2 P1()( ci->0 c ¦ Из этого выражения находим 5: S-»a;(a;2 + P2)-1/2==coso = (x. E.250) ci->-0 Таким образом, решение E.247) переходит в решение E.181).
Трехмерное распределение потенциала 167 Из выражения E.237) получаем, чтп „ х г Используя формулы E.188) и E.189), находим A2rn и E.251) E.252) Откуда следует, что решение E.248) переходит в решение E.176). Формулы E.250) и E.252) во многих случаях позволяют сразу найти гармоники сплюснутого сфероида, требуемые для решения данной задачи, «ели известен вид решения соответствующей задачи в сферических гармо- гармониках. § 28в. Проводящий лист с круглым отверстием. Рассмотрим беско- бесконечный тонкий плоский металлический лист с круглым отверстием, кото- который либо сам заряжен, либо является границей внешвего однородного поля. Фиг. 53. Чтобы координаты были непрерывными во всем пространстве, где существует электрическое поле, выберем 0<?<!l и —оо< С< + °о; при этом С имеет тот же знак, что и х. Как показано на фиг. 53, уравнение листа имеет вид ? = 0. Рассмотрим случай, когда такой лист, имеющий потенциал, равный нулю, является границей однородного внешнего поля. При ж=со поле должно совпадать с невозмущенным однородным полем, а при х= — со оно должно быть равно нулю. Поскольку при С2—>оо можно пренебречь 1 по сравнению с С, выражения E.237) и E.238) дают т. е. С—>±г/с1 и ? = х/(с^)—>| ж|/г = | cos б |. Уравнение однородного поля при ж=оо имеет вид V = Er cosO, т. е. S входит в него только через cos б; иными словами, решение содержит только Рг(Ч) и, следовательно, соот- соответствует т — 0, п—\. Поэтому с учетом E.249), E.247) и E.248)
168 ' Глава V потенциал равен V = P, (?) [А'Р1 (/С) + B'Q, (/С)]. E.253) Подставив сюда значения Р1 и Q1 ич формул E.187), получаем F=c[M'C + fi'(CarcctgC-l)]. E.254) Чтобы вычислить А' и i?', рассмотрим C=rfc °°- При С= + со коэффи- коэффициент при В' обращается п нуль и ^, откуда Ес1 = /А'. E.255) При ? = —оо постоянным членом можно пренебречь, поэтому 0=cosg(^ + ^). откуда «В'= /А', E.256) пли В'=-^ E.257) Ксли край отверстия соответствует р — а, то, поскольку С и ? равны при этом нулю, из выражения E.238) следует, что (^ = 0. Для потенциала, таким образом, получаем F = a_7E [;-i-(Carcctg;- 1I . E.258) Плотность заряда на поверхности листа дается формулой 0= ~ eS~>=Fsr ¦ E.259) Из выражения E.238) вытекает, что аС=±(р2 - а2I/з при Ё = 0; поэтов и, согласно формулам E.258) и E.259), го cos—Ь —гг~ > , (^ 9(Ч)\ где знак плюс соответствует верхней стороне поверхности, а минус — нижней. § 28г. Момент, действующий на диск в однородном ноле. Если незаря: женный проводящий диск радиуса а расположен такпм образом, что нормаль к нему образует угол а с электрическим полем Е (однородным до внесения диска), то внешнее поле Е можно рассматривать как суперпозицию двух одно- однородных полей: поля Z?cosa, перпендикулярного к плоскости диска, и поля Е' = Е sin a, параллельного плоскости диска. Для решения задачи во втором случае можно воспользоваться гармониками сплюснутого сфероида. Непре- Непрерывность координат достигается тогда при 0<С<°° и — l<l<-fl: такая система координат изображена на фиг. 54. Как и в предыдущем параграфе, при г=оо С—> г fa и Z—^-^cosB, причем знак ? совпадает со знаком х. В бесконечности, где сохраняется невозмущенвое поле, ~Vco = b р costp = b, а [A ^ ?2) A + lj)] '2 costs. E.261) Поскольку tp «ходит в решение только в виде cos^, в решениях E.246) E.249) т должно быть равно единице. Но н>т, поэтому наименьшее воз-
Трехмерное распределение потенциала 16!» можное значение п есть п = 1. Далее, при г = оо .зависимость F^ от ? и С E.261) соответствует множителю A — [л,2I^™ в формулах E.182) и E.183). Следовательно, значение п > 1 невозможно, так как г. этом случае» при Фиг. 54, дифференцировании в формулах E.182) и E.183) ? и С появились бы в кн честве множителей. Согласно формулам E.187), а из формул E.186) следует Ввиду конечности потенциала при k = i 1 множителя (^ (I) быть не может и потенциал должен иметь вид V = Р1 (?) И/3! (/С) + В# (/С)] cos 9 cos «р. E.262) При С = 0 потенциал V = 0, поэтому /Л = —^ ir/?. Если же С = оо, то послед ние два члена в выражении E.262) малы по сравнению с первым; поэтому . приравнивая выражения E.262) и E.261), находим „, 1 р ,> 2Е'а Еа= -тгъВ, пли «= . Z тс После этого для потенциала получаем окончательное иыражриие V = 2И ?'а 1A - 52) A 4-С2)]1^ Qirc tgc + ^i^) cos<p. E.263) Подставляя значения р из формулы E.238), запишем это выражение в виде V = 2^! ^'Р (^ arc tg С + j-^ cos ср. ' E.264>
170 Глава V Внесение незаряженного диска не возмущает компоненту поля i?cosa, перпендикулярную к плоскости диска; поэтому состветствующии потенциал имеет вид V" — Ex cos a, а решение в общем случае V=V +F" можно за- записать п виде [^( ^^) ] E.265) где С связана с р и х соотношениями E.237) и E.238). Пользуясь формулой E.265), нетрудно вычислить момент, действующий на диск: определив плотность поверхностного заряда о, мы найдем силу, действующую на единицу поверхности, равную -^ °2 / е. Чтобы упростить расчет, заметим, что действие поля Е sin а на поверхностный заряд, индуци- индуцированный полем Ecosa, не создает момевта, так как плечо соответствующей силы равно нулю. Следовательно, весь момент обусловлен действием поля .Ecosa на поверхностный заряде', индуцированный полем Esma. Согласно выражению E.264), dV> 1 _ 2sE'p J ~ sE'p f Г Но из выражения E.237) С = ж/(а?), так что дС j дат = (йЁ) . При С = 0 а2?2 = й2—р2 [см. формулу E.236)], поэтому Q,= _4^iDa pCoS9 m (а2 — р2) /2 Для силы, действующей на элемент площади рс?рс?ср, плечо равно pcostp, откуда выражение для полного момента, учитывая действие поля Ecosa на заряд на обеих сторонах диска, имеет вид „, 8eZ?2 Sill a COS ol f р3 COS m J j (а2 — p1 Принимая во внимание, что 2 sin a cos a = sin 2а, и интегрируя по формуле (Дкайт, 858.3), находим Инте]рируя еще раз (Двайт, 323.01), получаем для момента Т = - 4е?? sin 2a [4" («2 - Р2)8/2 - «2 («2 - Р2I/2 ] ° = - 8ea'/?'sin2g . E.267) § 28д. Потенциал заряда, распределенного по поверхности сфероида. Допустим, что на поверхности сплюснутого сфероида С = Со задана плотность 'поверхностного заряда ап) удовлетворяющая условиям, сформулированным в § 146 гл. V. Этот заряд создает потенциал Vo вне сфероида и Vi внутри него. Применение теоремы Гаусса о потоке электрической индукции A.27) к маленькому объему, охватывающему элемент поверхности сфероида, дает е ~\ f)n дп /S" L^A К ЭК .Пусть ап такова, что g^| E.269) cos m(T-TJ. E.270)
Трехмерное распределение потенциала 171 Благодаря такому выбору потенциал Fo конечен при С=°°. Чтобы i был бы конечным при С = 0, Е = 0 и чтобы Vi = Vo при С == Со, F, должен иметь вид gg />™ (/X) .С. E.271) Подставляя выражения E.269) и E.271) в уравнение E.268) и используя выражение E.200), получаем Полагая ^^A+ф, E-273) можно при помощи выражений E.269), E.271), E.272) и A.8) получить два весьма важных интеграла: 2_ л,с _ л рт (,г \ пт S = Атп Q™ (/Со) К 0D Sn. E.274) Рассмотрим теперь плотность поверхностного заряда, являющуюся суммой плотностей вида csr, так что потенциалы будут суммой потенциалов вида E.274). Таким образом, \1 \! j —1 riS \l \1 j — 1 /-f 7^S / f.\ / \ °=ZjZj^2 <Jr = 2jZj«2 Csrt>r{k)COSS((f — cp,). Для определения коэффициентов Стп умножим с на fC (i) cos m (cp — cpm) hxhs dk dtp и проинтегрируем по поверхности сфероида. При этом все члены обратятся в нуль, кроме тех, для которых m = s и п = г. Для них, используя фор- формулу E.214) при т Ф 0, получаем + 1 2-к *°— 1 О Потенциал, создаваемый зарядом, распределенным по полерхности с плот- плотностью с, будет равен при С < Со со п V. = 2 2 Af™,Р™(/С)/*"(?) сов т(<р-фт), E.276) при С> Со m=0 Qn (/Q ^ (?) cos m (cp - cpm), E.277) где, согласно формулам E.275) и E.271), X \ \ оРп (?) cos wi (ю - срт) Л^ЛдОс аср, (О.Z/o) -1 ^
172 '__ ^ Глава V здесь &m — I при т = 0 и &m = 0 при т Ф 0. Из формулы E.271) вытекает ' E-279> Множитель 2 - 8'™ появляется потому, что в случае нг = О интегрирование по ср при выводе формулы E.275) дает множитель 2т: вместо ъ. § 28е. Представление потенциала точечного заряда через гармоники силюснутого сфероида. Результатом предыдущего параграфа можно восполь- воспользоваться для вычисления потенциала, создаваемого точечным зарядом, рас положенным в точке ?0, Со, ср0. Под точечным зарядом подразумевается заряд, размеры которого слишком малы, чтобы их можно было измерить физически, но математически они отличны от пуля, благодаря чему напряженность поля н потепциал являются всюду ограниченными функциями. Допустим, что плотность заряда с равна нулю везде, за исключением площадки S, находящейся в точке ср = <р0, ? = ?0. Площадка 5 предполагается настолько малой, что на ней функция Р™ (?) постоянна и равна Р™ (?0) и cos т (ср — <рт) = = cosm(cp — сро) = 1. При этом интеграл в формуле E.278) вычисляется следующим образом: Р™ (У \ [ оА A dh d<p = К (|0) \adS = qP™ F0) и коэффициенты, определяемые по формуле E.278), оказываются равным» Д/тп = /B С)д(-1Г^ [{^]2<2№о)^п (?0). E.280) Из формулы E.279) находим ^±1 [^3]2(У- E-281) Потенциал точечного заряда q имеет вид при С < Со V, = S 3 А^™, ^« (/О Кг F) cos m (ср ?0). E.282) при С > Сп СО ?7 П= S 2^„п<?п(/С)^E)сс6т(ср-ср0). E.283) При помощи этих формул можно (используя те же методы, что и в случае сферических гармоник) построить функцию Грина для областей, границы которых образованы координатными поверхностями сплюснутой сфероидаль- сфероидальной системы координат. § 29а. Гармоники вытянутого сфероида. Закругленные концы двух коаксиальных стержней (электродов), образующих искровой промежуток, обычно хорошо апроксимируются поверхностями двухполостного гиперболой да вращения. В некоторых устройствах встречаются также удлиненные про- проводники, похожие по форме на вытянутые сфероиды. Поверхности ил яиляются естественными границами в «вытянутой» сфероидальной системе координат, так как определенному значению одной координаты соответствует одна, и только одна, из поверхностей для всего ивтервала изменения осталь- остальных координат. Решение уравнения Лапласа в этих координатах приводит
Трехмерное распределение потенциала 173 к появлению функций, известных под названием гармоник вытянутого сфе- сфероида. Допустим, что в уравнении E.4) две короткие полуоси а и Ъ равны ДРУГ другу, и положим a; = psincp и ?/ = pcoscp. Тогда уравнение примет вид E.284) Положим с2 + 0 = (с2 - Ь~) Ь\ = с\ 6*. Тогда при - Ь1 < 6 < оо или 1 < tj2 < оо (где Ъ\ -= tj2) получаются конфокальные вытянутые сфероиды, а при — с2 < б < — Ь2 или 0 < S2 < 1 (где 6| — ?2) получаются конфокальные двухполостные гиперболоиды. На фиг. 55 изображено сечение этой Фиг. 55. -системы плоскостью, проходящей через ось (третья координата азимуталь- азимутальный угол ср). Уравнение сфероидов имеет вид 72 =1, E.285) а уравнение гиперболоидов — + —=1 Исключая из этих уравнений р, получаем а исключая s, имеем Если принять J < г; < ее, то, как и в § 28а, нужно взять E.286) E.287) E.288) давать -ц отрицательные значения не имеет теперь смысла, поскольку коор- координаты всюду непрерывны. Располагая кооюдинаты в порядке Ё, г\ и ср
174 Глава V и вычисляя так же, как и в § 28а, коэффициенты кг, hs и h3, находим =Ру"', E.290) E.291) Уравнение Лапласа в этом случае имеет вид E.242), если в последнем заменить 1+^2 на tf — 1 и ?2 + ?,2 на yf — ?2. Полагая, что решение равно ЕНФ, и повторяя рассуждения § 286, получаем для S и Н то же самое уравнение E.244). Уравнение для Ф имеет, как и прежде, вид E.246). Та- Таким образом, ™ $ E.292) Hmn = A'P^(ii) + B'Q^(ii), E.293) Фт = С cos m® + D sin my, E.294) а общее решение имеет вид y = 2 2SmB#,A- E.295) т п § 296. Вытянутый сфероид в однородном поле. В качестве примера применения результатов предыдущего параграфа вычислим поле заземлен- заземленной плоскости, имеющей проводящую сфероидальную выпуклость высо- высотой с и основанием радиуса Ъ, при наличии внешнего однородного поля. Такая ситуация имеет, например, место d том случае, когда наэлектри- наэлектризованная плоская грозовая туча оказывается над находящимся на земле мокрым стогом сена или над елью. Пусть при z = со потенциал равен Er cos б. Как и раньше, при тп —> со т —> — и 5 —> — = cos о. с2 г Принимая во внимание формулу E.188), мы видим, что ? мошет входить в решение только через Рхф). Поэтому потенциал, согласно выражению E.161), имеет вид При z=co tj = co, -q—1 = 0 и arcthnj = O, так что E или Сфероид с полуосями cub можно получить, если в уравнении E.284) положить 6 = 0, или с?2г^ = с2. Следовательно, О = с2Е -f В ( аг cth tj0 \ или # =— c2i? ( ar cth 7j0 — — J Окончательное выражение для потенциала имеет вид / ar clh ij \ V = Ezll 1 , E.296) \ ar cth т0- ' ¦<1о
Трехмерное распределение потенциала 175- E.297) и т], ?, z связаны соотношениями E.287) и E.288). § 30а. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Б тех случаях, когда граничные условия выражаются наиболее просто в ци- цилиндрической системе координат, для нахождения потенциала следует пользоваться решением уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. В этой системе координат уравнение Лапласа имеет вид ~^г + 7 W + ~f Щ*+~Ы?=0' E.298) г;ге ? = pcoscp и г/ = р sin ср. Частный случай, когда потенциал V не зави- зависит от z, был уже рассмитрен в § 2 гл. IV; в связи с этой задачей были сведены круговые гармоники. Будем искать теперь решение в виде V = БФ2, где Б, Ф и Z — суть соответственно функции только р, ср и z. Это решение мы будем называть цилиндрической гармоникой. Подставив значение V в уравнение E.298) и разделив на ЯФЕр~2, получим =0. E.29») § 306. Уравнение Бесселя и функции Бесселя. Положим в уравне- уравнении E.299) *^=-пя E.300) и — d2Z — к2 ( Тогда функция R должна удовлетворять уравнению Если положить кр — с, то это уравнение примет вид ^ + С1^д = 0. E.302) dv ' V. v%J ч ' Общие решения уравнений E.300) и E.301) будут Ф = Ае1пч + Бе-* = A' cos nw + В' sin щ, E.303) Z = Cefez + De-h* = С ch kz + D' sh kz. E.304) Решение уравнении E.302) —уравнения Бесселя — носит название функции Бесселя и-го порядка. Цилиндрическая гармоника, таким образом, запи- записывается в впде , E.305) за исключением случая А==0, когда, согласно уравнению D.7) и выраже- выражению D.39), Fo = (Mpn + Nfn) {Cz + D) (A cos wp + В sin щ), E.306) V0=[M cos (и In p) + N sin {n In p)] (Cz + D) (Л ch мер + Б sh ncp). E.307) Если и к и и равны нулю, то Vm = (М In р + N) (Cz + D) (Лср + Б). E.308)
17C Глава V § ЗОв. Модифицированное уравнение Бесселя и модифицированные функции Бесселя. Несколько иной результат получается при замене к ira /к в уравнении E.301). Вместо уравнения E.302) тогда получаем уравнение которое носит название модифицированного уравнения Бесселя, а его ре- решения—модифицированных бесселевых функций. Вместо решения E.304) будем иметь Z = Ce>hi* + De~№ = С ros kxz + D' sin kxz. E.310) Цилиндрические гармоники теперь можно записать в виде V = Л ° (&lP) с*'"* e±*iz. E.311) Решения такого типа будут рассмотрены в § 33—37. § 30г. Решение уравнения Еесселя. Положим в уравнении E.302) «n= Ъ«**>™\ тогда оп2 [в Bга + s) asis-2 + аьия] = 0 E.312) п, следовательно, as=-\s{2n + s)]-*a_a. E.313) Кслн коэффициент а0 конечен, то коэффициенты а_2, о_4 и т. д. равны нулю. Пусть о0= [2'Т (n+1)], что сводится к B"и!)~1 при целых п. Тогда, применяя последовательно формулу E.313) и заменив Rn(v) на Jn {b), получим Г ( \— vn Г1 г?2гг»п г=0 Функция /п («) носит название функции Бесселя первого рода n-го по- порядка. Очевидно, что при пфО /п@) = 0 и, как будет показано в § 31г, /„{оо)=--0. Поскольку дифференциальное уравнение E.302) второго% порядка, оно должно иметь еще второе решение. В случае, когда п — не целое число, jthm решением будет J_n(i), но когда и —целое число, решения ./„(у) и J_n(t) не являются независимыми. Чтобы показать это, заменим п на —га в выражении E.314); тогда, так как [Г (-—и)]'1 = 0, ряды для J_n(v) и (— 1)" /„(г>) совпадают. Когда п — не целое число, второе решение дается формулой ¦7v(,)Cosv.-7_vW_ V V ' Sill V7t N ' Ксли v — целое число, то формула C.315) дает 0/0. Для раскрытия неопреде- юнности заменим в выражении E.314) п на —v, разобьем сумму по г от О до со на две суммы - от п до со и от 0 до /г—1, заменим в первой г на n + s м во второй {Г [1 — (v — г)]} на тГ1 Г (v — г) sin vn (Двайт, 850.3).
Трехмерное распределение потенциала 177 Если подставить полученное выражение в формулу E.315) вместо /_v(t>) и заменить cos^v на (— 1)", то будем иметь 2r— v Согласно выражению E.314), скобка обращается в нуль при v = n, так что первый член опять дает 0/0. Чтобы раскрыть неопределенность, про- продифференцируем каждый множитель по v и подставим п вместо v. Вос- Воспользовавшись справочником Янке и Эмде (стр. 108), находим _r ' \ dz L Г (z) J Г (z) dz Г (z) 7M=1 где С = 0,5772157 —постоянная Эйлера. При помощи этой формулы, а также формулы E63.3) из справочника Двайта неопределенность 0/0 рас- раскрывается; если обозначить С — In 2 через In а, то . / i \ 2r—n r=0 \n+2r A \n . -. Zj nrl I r=0 Общее решение уравнения Бесселя, когда п — целое число, имеет, таким образом, вид Bn(v):=A>Jn(v) + B'Yn(v). E.317) Отметим, что функция Yn @) обращается в бесконечность; в § 31г будет показано, что функция Уп(оз) обращается в нуль. Для функции, определяемой формулой E.316), существует много обозначений. В книге ВатСона и British Association Tables используется Yn(v), Янке и Эмде, Щелкунов и Стрэт- тон пользуются Nn(v), Грэй, Метьгоз и Макроберт —К„(и). Подстановка М = 1/е и N == 1 -- (njvJ в уравнение E.76) приводит к урав- уравнению E.302), так что, если Jn (v) — известное решение, формула E.77) дает E.318) Дифференцируя это равенство- и опуская аргумент, получаем Согласно рекуррентным формулам,"-величина В не зависит ни от п, ни от v и, следовательно, может быть вычислена для простейшего случая и=0 и малых у. В зтом случае в выражении E.316) существенен только лога- логарифмический член; этим членом и его производной можно заменить Yn(v) и Y'n (v) в уравнении E.319). При подстановке логарифмический член сокращается, и величина В оказывается равной 2/тс, так что уравнение E.319) принимает вид 'n(e) Jn{v)-Jn(v)Xn(с) =~ ¦ E.320) 12 в. Смайт
178 Глава V Для цилиндрических электромагнитных волн пользуются функциями Ханкеля H^{v) = Jn(V) + jYn(v), Ei2)(v) = Jn(v)-jYn(v), E.321) которые в комбинации с е'ф1 лают бегущие волны. § ЗОд. Рекуррентные формулы для функций Бесселя. Если умножим выражение E.314) на vn и продифференцируем, то найдем [v)\ _ v2™-1 Г - г'2 v* dv ' = 2»-*Г(гс) I ~'lM~l Выделив в правой части множитель ьп и сравнив с выражением E.314), получим Выполнив дифференцирование в левой части, разделив на vn и обозначив дифференцирование по v штрихами, наймем Jn = J^~Jn. E.322) Повторяя ту же операцию с умножением на гГп вместо ип, будем иметь J'n= —Jn+i + —Jn= -^(Jn-i—Jn+i)- E.323) Подстановка выражения E.322) в E.323) дает ^/п = /п_1 + /и+1. E.324) Замена в выражениях E.322) — E.324) Jn (v) на (— 1)" /_п(у) приводит к рекуррентным формулам для /_m(t). Дифференцируя формулу E.315) и подставляя /v{^) из выражения E.322) и Jl_v (v) из аналогичного выраже- выражения, получаем, что при v—»/г [когда cos yr —» — cos (v—l)-к и sinw—> —»• — sin(v—1) тс] J'_^ 7v_j cos(v — 1)те—/_v+i v GV cos w—7_v) sin vie v-ж sin (v—1) те vsinwt Аналогичную операцию можно применить и к выражению E.323), так что F' у , п у /к чос;\ „ — in-i—— * п> ^o.ozo; После вычитания одной из этих формул из другой получим ^п у У _1_ V /t; 497V ~~-in— in—lT-'n+l" V°" °^'/ Полезные интегральные формулы получаются путем интегрирования равен- равенства, послужившего для вывода выражения E.322), и аналогичного ему равенства, связанного с формулой E.325), юп/„_1 (о) do = »"/„(»), E.328) vnYn_x (v) dv = tn Fn (e). E.329)
Трехмерное распределение потенциала 179 Такое же интегрирование выражений E.323) и E.326) дает « Jn+t (v) dv=- v-nJn (с), E.330)' nYn+l {v)dv = -v-nYn(v). E.331 > § ЗОе. Значения функций Бесселя на бесконечности. Для решения задач, в которых возможны значения р= со, необходимо знать, как ведут себя при этом функции /п(Лр) и Yn(kp). Чтобы найти предельные значения функ- функций, мы воспользуемся приемом, который часто употреблялся Зоммерфельдом. В качестве первого приближения при v —*• со пренебрежем в уравневии E.302) членами, содержащими гГ1 и гГ2. Получим приближенное дифференциаль- дифференциальное уравнение решение которого имеет вид R = R'e±>v. E.333) Подставим теперь это «пробное» решение в уравнение Бесселя E.302) и предположим, что R' меняется с изменением V, но настолько медленно, что членами d2R'/dv2, v^dR'/dv и v'2R' можно пренебречь по сравнению» с членами dR'/dv и гг1/?'. Тогда 2-^1 + — = 0, или Я' = С«-1/2. Асимптотическое решение, таким образом, будет R = Cv-^e^. E.334) Отсюда видно, что наибольший из членов, которым мы пренебрегли, оказы- оказывается порядка v~*l2. Функции Jn(v) и Yn(v) должны быть действительг ными линейными комбинациями двух решений, соответствующих знаку плюс или минус в выражении E.334), т. е. должны иметь вид cos (у + а), E.335) ^ Bv-1'* cos (у + р). E.336) Чтобы найти зависимость А и а от п, подставим выражение E.335) в фор- формулы E.322) и E.323), которые при v—*• со дают соответственно J'n = Jn—i и /п=—Jn+x- Подстановка приводит к уравнению аэт± i = ап Ц1 -^-, кото- рое удовлетворяется при ап= —^"/гтс + Т и показывает, что А не зависит от п. Поскольку п не обязательно целое число, положим в выражении E.335) n=-i? и сравним результат с формулой E.394). Сравнение показывает, 1 что ^= —тп' и ¦иает где членом v~ml2 следует пренебречь, если т>3 и п — действительное чиело. Чтобы получить Yn(v), подставим выражение E.337) в E.315), заме- заменив предварительно п ва v и на — v. При целом v получаем в резуль- результате 0/0, однако, заменив и числитель и знаменатель их производными 12*
Ш Глава V no v, находим для v = п V I \ f 2V/2 • f t 1 \ /г ППО\ У« (у) * ( — ) sin c-tbi:-tt: . E.338) Таким образом, обе бесселевы функции обращаются в нуль на бесконеч- бесконечности. На основании выражения E.337), E.338) и E.321) для функций Хапкеля будем иметь _2у'2 >{v-2nT—v 7V0 / . E.339) § 30:к. Интегралы от бесселевых функций. 15 § 276 настоящей главы был получен ряд по сферическим гармовикам, удовлетворяющий на конусе 6 = а условию V — 0. Для этого порядок п гармоник в™ (cos б) был подобран таким образом, чтобы в™ (cos a) = 0. Для определении коэффициентов раз- разложения необходимо было (см. § 27а) вычислить интеграл по б в пределах от 0 до а от произведения двух гармоник. Точно так же для получения ряда по бесселевым функциям, удовлетворяющего условию V = 0 и Е = 0 на цилиндре р = а, необходимо вычислить интеграл от произведения Rn(kpp) и Rn(kQp), где кр и kQ подобраны так, чтобы удовлетворить граничным условиям. Пусть u = Rn(kpp) и v == Rn(kqp) — два решения уравнения Бесселя. Тогда, согласно § 306, 1 Умножая первое уравнение на pv, второе — иа ри, вычитая одно из другого и интегрируя, находим оо При интегрировании по частям интегралы сокращаются и остается -\' ¦¦ /.12 121 С t f du dv \o 1 - (к„ — kn) \ put dp^= — pw-з- — PM-^— ) = 4 *^ j V яр яр у о = - a L V4 (V) я» (M - ЛА (V) R'n (Ml • ch'O «ыражение обращается в пуль, если Rn(kpa) = Rn(kqa) = Q, E.340) или если R'n(kpa)=R'n(kQa) = 0, E.341) или если , 0. - Поэтому при кр Ф kq имеем а [ PRn (kpP)Rn (kQp) dp = 0. E.343)
Трехмерное распределение потенциала 18! Когда Rn{kpa) = Rn поскольку = O, имеет место E.344) Ь а f{x)dx=^ С f{x)dx— С f{x)dx. Для вычисления интеграла в случае кр = кд умножим уравнение Бесселя E.302) на v2{dRJdv)dv; это даст dv \ dv J dv dv + v dv dv Проинтегрируем это выражение от 0 до а и применим интегрирование по частям в первом и третьем членах. В результате получим следующее выражение, которое равно нулю: о J о 2 o" Второй и третий члены в нем сокращаются; разрешая это уравнение отно- относительно пятого члена, имеем E.345) Подстановка производных из выражения E.323) дает v [Rn (г;)]2 dv = 1 a* {[Rn (a)]2 + [Rn+i (о)]»} - паДп (а) /?эт+1 (а) = 4 «(°I2 + lfl«-i (a)]2} ~ ™Rn (а) Д„-1 (а). E.346) При применении вектор-потенциала нам представится случай воспользо- воспользоваться ортогональными свойствами векторных функций Интеграл от нуля до а от скалярного произведения этих функций равен ?- E-348)
182 * Глава V ^ При помощи формул E.322) — E.327) это выражение можно записать в виде суммы двух интегралов типа E.343) а i (кдР) р dp + 1 $ Я„_, {крР) Rn^ (kgp) p dp. E.349) Вычислим каждый из интегралов по приведенной выше формуле для \ puv dp, сложим результаты и затем исключим производные посредством формул E.322) и E.323). В полученном выражении члены, не содержащие функций л-го порядка, исчезают; группируя в оставшихся членах функции (п—1)-го и (и+1)-го порядков, применим к ним те же формулы E.322) и E.323). В результате описанной выше операции, считая v — kva и v>'_ = kqa, будем иметь Rn (ftpP) ¦ Rn {kQp) p dP = (ft* - ft*)-* [vRn (»') R'n (») - v'Rn (v) R'n (v')]. E.350) При kv Ф kq интеграл обращается в нуль, если выполнено одно из усло- условий E.340) — E.342). В случае kp — kq сумма интегралов, входящих в выра- выражение E.349) и вычисленных при помощи формулы E.346), равна И °2 - ( i У ] [Rn <V)]2+т Таким образом, поверхностную векторную функцию р и ер, одна из компо- компонент которой обращается в нуль при р = а, можно представить в виде суммы членов вида § ЗОз. Разложение в ряд по функциям Бесселя. Рассмотрим функ- функцию f{v), удовлетворяющую в интервале от гз = О до v = a условиям, необ- необходимым для разложения в ряд Фурье, и одному из следующих гранич- граничных условий: а) /(о) = 0. Этот случай имеет место, если f(v) является потенциаль- потенциальной функцией, а потенциал границы равен нулю. б) /'(о) = 0. Этот случай имеет место, если границей области является поверхность, касательная всюду силовым линиям. в) af (а) 4 Bf (а) = 0. Этот случай сводится к случаю «а» при В — оо и к случаю «б» при В = 0. Пример такого условия приводится в § 9 гл. XI. Функцию f(v) можно разложить в ряд /(г>)=1МЛ(М. E-352) прячем величины [аг выбираются таким образом, чтобы в случае «а» Jn (|iro) = 0, в случае «б» J'n (p-ra) = 0 и в случае «в» praJ'n (р-га) 4- BJn (|х?.а) = 0. Для определения Аг умножим выражение E.352) на к/„(р.,г;) и проинте- проинтегрируем от v = 0 до v = а. Все члены в правой части, согласно формуле E.343), исчезают, за исключением Д. \ v[Jn{[i.sv)]2dv, так что а I Vf (V) Jn (l^s*) dv . . A. = ±- ¦ • ; E.353)
Трехмерное распределение потенциала 183 Интеграл в знаменателе этой функции можно вычислить при помощи соот- соотношения E.346) V-sO. $°bUiv>)]2<fo = |i72 $ x[Jn{x)]*dx = О О { М]2}-^4(^аL±1 foe). E-354) случае «а» подстановка выражения E.354) в формулу E.353) дает В случае «б» подстановка выражения E.354) в формулу E.353) дает а А = -—5 j—„. ,, .—775- \ vf(v)Jn(u,«v)dv. E.356) 0 Б случае «в» подстановка выражения E.354) в формулу E.353) дает § ЗОи. Функция Грина для цилиндра. Обратное расстояние. На основе материала, изложенного в последних параграфах, можно решить задачу ¦о потенциале точечного заряла q, расположенного в точке z = 0, р = Ь, <р = ср0 внутри заземленного проводящего цилиндра. Под точечным зарядом мы будем подразумевать такой заряд, размеры которого хотя и слишком малы, чтобы их можно было бы измерить физически, однако отличны от .нуля, благодаря чему напряженность поля и потенциал — функции всюду ограниченные. Из выражения E.305) вытекает, что решение, обращающееся в нуль при z = оо, симметричное относительно плоскости ср = ср0, дающее У — О при р = а и справедливое для положительных значений z, имеет вид = 2 2 Arse~^Js (W) cos s (cp - cpc), E.358) r i s0 2 где значения p.r выбраны так, что /s(|xra) = 0. Функции Ys (p.rp) отсутствуют, поскольку они бесконечны на оси. В силу симметрии вся плоскость z = 0 состоит из силовых линий, за исключением той точки, где находится точечный заряд. Чтобы сфор- сформулировать граничные условия на этой плоскости, примем, что (dV/dzH равно нулю всюду, кроме маленькой площадки AS в точке ср = ср0, р = Ь. Дифференцируя выражение E.358) и подставляя z = 0, получим ,\ vrrs,(w)coss(? - r=ls=0 Коэффициенты Ars этого разложения определяются, как и в § ЗОж и ЗОз настоящей главы, посредством умножения на р/р (р-чр) cos р (ср — срп) и инте- интегрирования от р = 0 flti р—а и от ср = О до cp = 2tc. Согласно формуле E.343) и (858.2) из справочника Двайта, все члены в правой части выражевия, за исключением p = s и q=r, исчезают. В последнем случае, как видно из формулы (858.4) справочника Двайта, интегрирование по ср дает множи-
184 Глава V тель ж при s > 0 и 2тс при « = О, поэтому, согласно формуле E.355), S S где &s = 1 при s =¦- О и 8° = 0 при s ф 0. Область Л61 в плоскости z = 0, в которой (&V /dzH Ф 0, выбирается настолько малой, что в ней /s (jJ-rp) имеет постоянное значение Js (jj,rb) и cos s (<р — (р 0) = 1. Используя теорему Гаусса о потоке электрической индукции A.27) и учитывая, что рассматриваемый интеграл дает половину полного потока, находим Подставляя л формулу E.359), получаем. Для потенциала, таким образом, будем иметь |-?„). E.361) Это есть функция Грина (см. § 9 гл. III) для круглого цилиндра. Если координаты заряда q суть р= b, z = z0 и <р = <р0, то в выражении E.361) следует заменить | z| на \z — zo\. Если заряд расположен на оси, то все члены суммы по s, кроме первого, исчезают, а /с ([лгЬ) = 1. При а—> оо выражение E.361) дает потенциал точечного заряда q n свободном пространстве. При [ira —> оо функция /n([i.ra) меняется, согласно выражению E.337), синусоидально, так что ее нули отличаются друг от A \ —1/г •у ^ra J .когда /„ ([i.ra) = 0. Вырангение для потенциала E.361) принимает вид V = о_.„а ^1 B — 8") cos s (<p — <p0) V е~гЛ^ I z~zo I Js (Mfxb) X Если M[i. = ft, то при Д[л,—^-0 и г—*¦ оо это выражение записывается ь инте- интегральной форме: оо оо У = "dhr = h S B - 8") cos s (? ~ %) J e~*' -« ' Js (kb) /. (AP) dft, E.362) 8 = 0 0 где fl2=(z —zoJ + p2 +62~2pbcos(<p —<pc). При 6 = zo = 0 получаем ft. E.363) Положим z, z0, <p0 равными нулю и заменим в выражении E.363) р на R; тогда после сравнения выражений E.362) и E.363) найдем _ Л, [(Р2 + б2 - 2рЬ cos T)V2] = 2 B - 8») /s (p) /s F) cos («p). E.364) 8=0
Трехмерное распределение потенциала 185. § ЗОк. Функция Грина для цилиндрической полости. Используя супер- суперпозицию решений вида E.361), можно при^ помощи метода изображений (§ 8 и § 116) получить потенциал, обращающийся в нуль не только на по- поверхности цилиндра р — а, но и на плоскостях z = 0 и z = L. Если коорди- координаты положительного заряда q суть z = c, p=b и <р = <р0, то положитель- положительные изображения следует поместить в точках z = 2nL + с, а отрицатель- отрицательные—в точках z — 2nL — с, где п — целое число, принимающее значения от —оо до +°°- В результирующем потенциале множитель, зависящий от z, при z < с оказывается равным V е~^г BrlL+c-z> _J_ V e~V-r B«L-c+z) _ VI g-nr BnL~c-z) __ VI e~V-r BnL+c+z) _ 2 n=0 n=i ^ ¦= 2 [(e-^c - e+11r«=) 2 e-2"^1" + e^0 ] sh M. Суммируя ряды (Двайт, 9.04), умножая числитель и знаменатель суммы на е^г и приводя к общему знаменателю, получаем 2 sh fxr (? — г) gh u,.z Подстановка этой величины в выражение E.361) дает при z<c выражение для потенциала ( _ } E365); r=l s=0 В случае z > с в этом выражении следует заменить z на L — 2 и с на L — с. Если заряд находится на оси цилиндрической полости, то сумма по s исчезает и остается лишь член, соответствующий s = 0. Если потенциал должен обращаться в нуль не только на перечислен- перечисленных выше поверхностях, но и на плоскостях <р = 0 и ср = <рх (где 0 < <р0 < fj) и если <р1 = тс/тг (где п — целое число), то функцию Грина, согласно методу изображений (см. § 8), можно построить, как суперпозицию 2/г решений типа E.365). § 31а. Функции Бесселя нулевого порядка. В важном случае полей, симметричных относительно оси z, потенциал не зависит от <р и уравнение Бесселя E.302) принимает вид dИ , 1 dR , п г\ /с оппх -j-5-Ч—-T-+R — 0. E.366) dv2 v dv v ' Его решение E.314) можно записать в виде Этот ряд сходится, очевидно, для любых г;. Так же как и Jn(v), У0(оо)==0; однако /с@) = 1. Формула E.316) при п — 0 дает 1 ^)щ^ 2C!) -...]. E-368) где In и равен —0,11593.
186 Глава V § 316. Корни и численные значения бесселевых функций нулевого лорядка. Если построить функции /0(г;) и Y0(v), определяемые по форму- формулам E.367) и E.368), то получаются кривые, изображенные на фиг. 56 и 57. W Q5 -Q5 Л / Л \ У J0(X) Л J0(X) 5 Ю Фиг. 56. Как видно из фигур, эти функции осциллируют относительно оси v. Можно показать, что и /0 (v) и Yo (v) имеют бесконечное число действитель- действительных положительных корней. То же самое имеет место и для /„(&) и для Yn{b). При построении функции Грина для цилиндра мы уже убе- убедились, что это обстоятельство весьма существенно, так как позволяет най- найти бесконечное число значений к, для которых функции Jn{kp) и Yn{kp) обращаются в нуль при некотором определенном значении р. Существует большое число прекрасных таблиц, дающих численные значения, гра- графики, корни и т. п. для бесселевых функций. Следует иметь в виду, что обозначения у разных авторов раз- .личные. Значение функции Бесселя при больших аргументах нетрудно •вычислить при помощи асимптотических представлений. § 31в. Производные и интегралы от бесселевых функций нулевого порядка. Полагая в формулах E.323) и E.326) п = 0, находим Д \Y0(x) 1 \У Q5 V=* О -°-5о 5 Фиг. 57. 10 /о (е) = - Л (v) и У5 (») = - У, (»), .а из формул E.328) и E.329) имеем E.369) и E.370) Приведем несколько полезных определенных интегралов, содержащих /0 (v). Из выражения„E.367), пользуясь формулой (854.1) из справочника Двайта, получаем
Трехмерное распределение потенциала 187 ( —1)«2«;2п п 1 . 3 ... Bп —1) : ^-1 Bn)! 2 г- It ...In n=0 Изменив порядок суммирования и интегрирования и воспользовавшись фор- формулой (Двайт, 415.02), будем иметь oW-vS 2 (-^"^щГ^^Т^ cos (e cos 0 Л, 0 n=-0 - 0 откуда ic т: Jo (ftp) == — \ cos (ft p cos t) dt=z — \ cos (ftp sin t) dt. E.371) о о Применяя известные тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и интегрируя по частям, нетрудно показать, что выражения, удовлетворяющие рекуррентным формулам E.322) — E.324), имеют вид 1С /n (V) = — \ cos (nt — v sin t) dt. E.372) о При п = 0 выражение E.372) сводится, очевидно, к выражению E.371). Непосредственная подстановка в уравнение E.302) и интегрирование по частям показывает, что выражение Ce . E.373) удовлетворяет уравнению Бесселя при и > — у - Постоянная определяется путем сравнения значений ( -гг v j /n (у) при г; —> 0, определяемых соот- соответственно по формулам E.373) и E.314). Нетрудно показать, что соотношение E.363) сохраняется при замене z на /z; таким образом, ^ е-**/0 (ftp) dft - (р2 - z*)-1/.. о Откуда, разделяя действительную и мнимую части, находим, что при р2 > z2 cos ftz /0 (ftp) dft = (р2 - z2)-V2, E.374) sinftz/o(ftp)rfft = 0. E.375) () !
188 Глава V При р2 < z2 будем иметь С \ cos kz Jn (Ар) dk =-- 0, E.376) sin kz Jo (kp) dk = (z2 - P2)-x/2. E.377) § 31г. Поле точечного заряда, расположенного над диэлектрической пластинкой. Применим результаты двух последних параграфов к вычисле- вычислению потенциала, создаваемого по одну сторону от бесконечной диэлектри- диэлектрической пластинки толщиной с и относительной диэлектрической проница- проницаемостью К точечным зарядом q, расположенным с противоположной сторовы. Примем, что точечный заряд находится в начале координат, а ось z перпов- дикулярва к пластинке. Уравнения поверхностей, ограничивающих пластинку, будут z = a и z = Ь, причем Ь — а = с. Согласно соотношению E.363), по- потенциал, обусловлевный одним лишь точечным зарядом, равен V = -r^ = 72-Xj0(kp)e-*Wdk. E.378) Поскольку это выражение представляет собой решение уравнения Лапласа, зависящее только от z и р, очевидно, что в результате внесения под знак интеграла произвольной функции к мы также получим решение. Обозначим через Vl потенциал в области — оо < z < а и запишем V1 = Dга,,)-1? [ J /0 (кр) е-* И dk + J Ф (к) /n (k9) e+k* dk I . E.379) оо -" Последний член представляет собой потенциал в области ниже пластинки, обусловленный ее поляризацией и, следовательно, конечный в указанвой области. Потенциал внутри пластинки можно представить в виде ^ W (к) Jo (кр) г** dk+^в (к) Jo (kp) e+te dk ] . E.380) о о Это выражение остается, разумеется, конечвым при а < z <Cb. Потенциал над пластинкой, т. е. в области 6<z< +oo, должен обращаться в нуль при z = оо и, следовательно, имеет вид оо ^з = ^%ГЧ \ 2 {Щ /о (кр) е-** dk. E.381) о Определим теперь Ф(к), Ч?(/с), в (к) и Q(k) так, чтобы граничные условия удовлетворялись для любых значевий р от 0 до оо. Для этого необходимо, чтобы тем же условиям удовлетворяли соответствующие подинтегралыше выражения. Последнее утверждение можно доказать, если воспользоваться интегралом Фурье — Бесселя / («) = \ tJn (tX) [ \ Uf (U) Jn (Ш) du ] dt 0 0 (некоторые ограничения, налагаемые на п, и нид функции f(x) предпола-
Трехмерное распределение потенциала 189 гаются выполненными). Таким образом, из равенства "о о после умножеппя обепх частей па р/0 (тр) dp, интегрирования от О до со и последующего умножения па т получаем Л ("О = Mm). Применительно к рассматриваемой задаче это означает, что условие V1=Vi при z = а после исключения /0 (кр) дает e-fta + ф (?) ека_ ЦТ (?) e-fta __ Q (&) gfea = 0) E.382) а условие dVJdz = AT dVJdz после исключения /с (&р) сводится к — (r~ha + Ф (к) eha+KW (к) е~Ьа - А'Н (ft) efea = 0. E.383) Точно так же при z = Ь условие V2 — V3 дает 47 (к) е~кЬ + в (к) еы - Q (к) е~ feb = 0, E.384) а из условия KdV2/dz = dVs/dz находим - KW (к) e~hb + Кв (к) <*ь + Q (к) ег™ = 0. E.385) Разрешая соотношения E.382)— E.385) относительно Q(k), получаем • Q(k)= — ... . м . E.386) Положим, для простоты, Ь — а —с и (К — l)/(it + 1) = р, так что 1— Р2 = 4^(АГ1J; тогда Подстановка в выражение E.381) приводит к следующей формуле для F8: у flj-Wf/.W^a. E.387) Для представления полученной формулы в виде ряда разложим к ряд ее знаменатель (см. Двайт, 9.04): СО 5 ^*г^ + Р2 ^ Jo №) е~к (z+2c) d* о о Подставляя значения интегралов из соотношения E.363), будем иметь 3 4ТОЦ, 1(z2+p2)l/2 ^[(Z+2cJ+[2]1/2 [(Z + 4CJ + P2]1/2 или V = g С*'?2) у ! . E.388) Этот же результат можно получить более длинным путем при помощи метода изображений. Потенциал в других областях можно найти, разрешив
190 Глава V __ соотношения E.382) —E.385) относительно Ф(/с), W (к) и в (ft) и подста- подставив полученные выражения в формулы E.379) и E.380). Этот метод Применим и в случае любого числа диэлектрических пластинок. § 31д. Потенциал внутри полого цилиндрического кольца. В качестве другого примера вычислим потенциал в каждой точке области, ограни- ограниченной двумя цилиндрами р = а и р = Ь, потенциал которых равен нулю, и двумя плоскостями — плоскостью z = 0 с нулевым потенциалом и z = с с потенциалом F = /(p). Поскольку значения р = 0 и р=оо исключены из рассматриваемой области, в решении будут и /0 (ftp) и Yo (ftp). Очевидно, что, в соответствии с формулами E.304) и E.317), решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям при z = 0 и р= Ь, имеет вид Vh = Л sh (М [ /о (М - f^f Yo (M ] • E.389> Условию Fft = 0 при р = а можно удовлетворить, если выбрать значения так, чтобы Следовательно, всем граничным условиям, кроме условия при z = c, удо- удовлетворяет и сумма таких решений со F= S Vk. E.390) Последнее граничное условие V = / (р) при z = с удовлетворяется, если ]выбрать Ар так, чтобы оо / (р) = 2 A sh (^kC) [ /0 Так как выражение в скобках удовлетворяет уравнению Бесселя, обозна- обозначим его через Ro (^ftp). Далее умножим правую и левую части равенства на р-йо(|*«Р) [где ^0([i.8a) = i?0(|Asb) = 0] и проинтегрируем от а до Ъ. Бла- Благодаря тому, что Ro ([i.ftc) = Ro ((xftb) = 0, все члены в правой части, согласно формуле E.344), обращаются в нуль, за исключением одного, для кото- которого k = s. Для этого члена, в силу выражения E.345), мы имеем ь 2 ( dR0 Л2 2 f dB0 "Л2 1 АЬ Sh |lfcC f а Дифференцируя i?0([j,ftp) по формуле E.369), находим К (М = - {Л (М - ^у ^1 (М } • Для Ah, таким образом, получаем ь 2 I р/ (р) Ro (w) Подстановка выражения E.391) в E.389) и затем E.389) в E.390) дает иско- искомое решение. Чтобы получить потенциал внутри заземленного цилиндра р = а в по- потенциалом У = 0 при z = 0 и V — / (р) при z = c, следует опустить член
Трехмерное распределение потенциала 1JH" с Yo в формуле E.389); тогда выражение E.391) примет вид Ah = 2°, г i 412 ь—• E.392)' § 32. Функция Бесселя нецелого порядка. Сферические функции Бесселя. Если п — нецелое число, то общее решение уравнения Бесселя имеет вид Hn(v) = AJn(v) + BJ_n(v). E.393) Функция Yn{v) в этом случае не нужна, поскольку она является линей- линейной комбинацией Jn(v) и /_„(&). Формулы § ЗОд справедливы и для функ- функций Бессепя нецелого порядка. Особенно простой вид имеют функщиг / . _1\(г>), где и —целое число; так, например, если подставить в выра- выражение E.314) п — 1/^ и п = — х/2 и сравнить полученный результат с ря- рядами для синуса и косинуса (см. Двайт, 415.01 и 415.02), то получим E.394)- Подстановка и = 1/г и n~ —V2 B Ф°РмУлУ E.324) дает А*(°) = (JiI'2 (lTsinv~~cosy) ' E.395) ¦J-»/2(«)= (^)I/2(~ siny— ^C0S^}- E.396) В случае п — 8/2 и n = — 3/2 получаем 04] E-397> E.398> Таким же путем можно получить, очевидно, выражение I^-i (— I)8 (п Ь Bs)l(n —2 8=0 8=0 E 399) где верхним пределом каждой из сумм является целое число, наиболее бливкое к указанному в формуле. Заметим, что, согласно формуле E.315), Y , (в) = ( —!)»+«/ , (у), E.400) поскольку cos ( n -f- у J -я равен нулю. Заменяя п на (и+у)в формуле- E.314), получаем, что при v —» 0
192 Глава V Сферические бесселевы функции /„ («) и пп (v) определяются следующими выражениями: . , -. ( 71 \ ХЫ -г , . 1 4 , . „+f- где/п(гз) и iVn (г) —функции, используемые Шелкуновым. Последние появ- появляются при изучении сферических электромагнитных волн и недавно были затабулированы. Из выражений E.402), E.320), E.322) и E.323) следует, что п'п (о) /п (о) - *„ (о) /{, (о) = «-2, E.403) Bя +1)у-1 /п = /„_! + /„, 1, /; = ± /„J:i ^ ^и + у ± -f )°"! /п- E-404) Аналогичные формулы имеют место и для nn(v). Дифференцирование формул E.404) и исключение /„_! (о) дает дифференциальное уравнение для функции fn(v) или nn(^): ] [i ]n{v) = 0. E.405) § 33а. Модифицированные бесселевы функции. Решение модифици- модифицированного уравнения Бесселя E.309) f^W E.406) dv2 v dv можно получить подстановкой /v вместо v в формулу E.314). При этом выражение в скобках оказывается действительным, но появляется общий коэффициент ]'п. Искомое действительное решение дается, таким образом, выражением со I l \v+2r /v («) = /-/v (/«) = S ri ?(* + , + !) • ¦ Г5-407) r=0 Если v —нецелое число, то вторым решением уравнения будет - E.408) Если v является целым числом, то ^(v + r-j-l) можно заменить на ( и убедиться, что функция In(v) совпадает с /_„(?;). Поэтому второе реше- решение можно определить следующим образом: Кп (v) = 4 «/¦"+' [/„ (/о) + /У„ (/о)] - E.409) При помощи выражений E.314), E.316) и E.407) это решение можно привести к виду П~1 (-Iff jr Ч (n-i—1I 2^^+ г=0 Г У [у V E.410) \m=l
Трехмерное распределение потенциала 193 где 1па=—0,11593. Общее решение уравнения E.406), когда п — целое число, имеет вид B°n(v) = AIn(») + BKn(v). E.411) Согласно выражениям E.407), E.409) и E.320), имеет место равенство =»-». E.412) Из выражений E.409), E.321) и E.407) следует, что ?) Кп (в) = ДИ //?> (/„) = (- /)«+i Н<? (- /Ъ), ( Таблицы этих функций приведены в книге Янке и Эмде. § 336. Рекуррентные формулы для модифицированных бесселевых функций. Выражение E.322) можно записать в виде Подставив в него ]п1п{ь) вместо Jn(jc) и разделив на ]п~1, получим /; = /„_!-?/„. E.414) Аналогично из выражения E.323) будем иметь /; = /„+!+ ¦?/„. E.415) Вычтя выражение E.414) из E.415), получим ^/п = /„_! -/„+1. E.416) Преобразуя решение E.409) при помощи рекуррентных формул § ЗОд, по- получаем -K'n = Kn_i+^Kn, E.417) -#; = #„+!--?#„, E.418) -2~Кп = Кп„1 Kn+i. E.419) Здесь использованы обозначения, принятые у Ватсона и у Грэя, Метыоза и Макроберта. Некоторые авторы опускают множитель ( — 1)" в формуле E.410), благодари чему рекуррентные формулы для /п и Кп оказываются одинаковыми. Путем интегрирования выражений E.4i4) и E.417) можно получить (как это было сделано в § ЗОд) две полезные интегральные формулы: J »"/„_! (e)de = »"/„(»), E.420) J ьпКп^ (г-) dv = - ьпКп (е). E.421) Аналогичное интегрирование выраяюыий E.415) и E.418) дает: ¦¦^/„+1 (е) Аз = в-*/„(»), E.422) " Kn+i (е) Аз = - »-"/?„ (»). E.423) 13 в. Смайт
194 Глава V § ЗЗв. Значение модифицированных бесселевых функций на бесконеч- бесконечности. Значения 1п{ь) и Kn(i.) при ь-^-со можно получить из соответству- соответствующих значений функций /п(г) (см. § ЗОе) путем замены ь на /Ъ. Точность полученных выражений та же: они пригодны, если величиной с~~3/2 можно пренебречь по сравнению с v~~112. Заменим в выражении E.337) ь на jt>, запишем /—'/г в виде e~~ll4i7Z и представим тригонометрические функции через экспоненциальные (см. Двайт, 408.02); тогда, пренебрегая членом e'v, по- получим Если и—целое число, то, вычислив последний множитель (см. Двайт, 409.04 и 409.05), будем иметь i1 Из соотношений E.413) и E.339) получим Хотя приведенные выше формулы были получены в предположении, что и —целое число, подставляя их в уравнение E.406), убеждаемся, что они справедливы при любых п1). § 33г. Интеграл от произведения модифицированных бесселевых функций комплексного аргумента. В гл. XI для определения мощности, рассеиваемой в проводнике при протекании в нем вихревых токов,- по- потребуется вычислить интеграл от произведения модифицированных бесселевых функций Вп [(/рI/2 х] и соответствующих комплексно-сопряженных функций ПпК-jpI'**], где (/I/2 = 2-1/2A+/) и (_/у/2==2-1/2A_/). в задачах с цилиндрической симметрией число п обычно целое, а в задачах со сфери- сферической симметрией п равно половине нечетного числа. Используя формулы § ЗОж, можно вычислить этот интеграл для любых значений п. Обозначим К = - / UpI" = (- fp)lh и кд = / (- jpfi* = и = Д„ [ - / UpI'* А = (- /Г Д» К/»1/2«] е = Rn[f (- /р)Ч*х] = /"RI [( - /»»/2х], Подставив эти величины в уравнения § ЗОж, предшествующие условию E.340), и изменив р на х, получим xR°n [(jpL* х]Я°п[{- /рI" x]dx=^ xR°n (kqx) R°n (kpx) dx = ¦ 0 = 1 at1 P-1'* [I1* m (kpa) Д»' (kqa) - ( - /)VS ^ (kqa) /?»' (ftpfl)] = [ Vя" (^Pfl) Д«-1 (А9а) + Vя" (V) Д"-« (V)l = [A;pa^n-2 (Лра) Лп-i (V) + Л5«Д«-2 (V) Л"-1 (V) - - 4 (п - 1) Д»_! (Арв) Д»_, (ftga)]. E.426) Точнее, не для любых п, а только для п <?v. — Прим. перев.
Трехмерное распределение потенциала 195 § ЗЗд. Функция Грина для кольцевой цилиндрической полости. В качестве примера использования модифицированных бесселевых функций вычислим потенциал, обусловленный маленьким зарядом q, расположенным в точке г = с, р = b и <р = »0, внутри цилиндрической кольцевой полости с проводящими стенками, уравнения которых суть z = О, z — L, р = d и р = с (a>d). Частвый случай, d = 0 соответствует цилиндрической полости, для которой в § ЗОк было получено решение, содержащее бесселевы функции. Поскольку ни /т(г), ни Кт{с) не имеют действительных корней, для получения функции, обращающейся в нуль при заданном значении р, по- потребуется, очевидно, их комбинация. Ясно, что искомая функция имеет вид R°m (k, s, t) = Km (ks) Im (to) - Im (ks) Km {kt). E.427) Так как эта функция обращается в нуль, вообще говоря, лишь при одном значении t(t = s), то в областях вблизи внутренней и вблизи ввешвей гра ниц необходимо пользоваться различными функциями, которые должны, конечно, совпадать при р = Ь. Нетрудно написать две такие функции, обра- обращающиеся к нуль на поверхности проводников и совпадающие друг с другом при р = Ъ. Они имеют вид при с?< р < b или р = Ь, со Ф ср0 E.428) при b < p <; а или p = b, cp Ф cp0 n=l m=0 E.429) Эти решения имеют должную симметрию относительно ср = ср0. Для определе- определения коэффициентов Стп можно воспользоваться теоремой Гаусса о потоке электрической индукции, применив ее к области, окружающей заряд. Доиустим, что заряд q сосредоточен в маленькой области на поверхности цилиндра р = 6 в окрестности точки z = c, у = у0. Эта область принимается настолько малой, что физически ее невозможно измерить, однако математи- математически она не является точкой, благодаря чему потенциал и напряженность поля всюду конечны. Согласно формуле A.27), интеграл по дпум сторонам поверхности цилиндра S2 равен s2 s Из выражений E.428) и E.429) следует со со OV dV" VI V\ л ПТ dp dp Z_l ZJ ' 71=1 771=0 -j- , d, b ) I sin -j— cos m (cp — cp(!). При помощи решения E.409) это выражение можно записать следующим образом: со со dV SV^__ y у„ ±r>of]}]i_ d Л- s^_ I _ ч /5 431 \ П = 1 771=0 13*'
?96 Глава V Положим теперь ср — ф0 = сР'> умножим правую и левую части иа sin (pr.z I L) cos qy' b dy' dz я проинтегрируем по поверхности цилиндра p = b. Все члены в правой части, за исключением тех, для которых р = п и q = m, обращаются в нуль (см. Двайт, 858.1 и 858.2). Оставшиеся интегралы, кроме q=m = O, вычисляются по формуле (Двайт, 858.4). Для вычисления интеграла в левой части заметим, что если размеры заряда достаточно малы, то cos дар' и sin {nr.z I L) имеют постоянные значения, равные соответственно единице и sin (пт.с / L), и могут быть вынесены из-под знака интеграла. Поэтому, учитывая, что dS = b <icp' dz, я левой части получаем интеграл E.430). При то Ф 0 имеем | sin ^ = - i Cmn LkRI ( i?L, d, e) . E.432) При то = 0 коэффициент х/2 в правой части отсутствует, поскольку \ tZcp = 2ти. о Определяя Стп из соотношения E.432) и подставляя в выражения E.428) м E.429), находим » - B-С) 24 (~ , a, b) tf^J. X sm-j-sm-^-cosTO(cp —cp0), E.433) ZJ ZJ „ / пъ \ n=l m=0 i»ml —j-,a, a) TITZC . tlTlZ , % /г/од X sin — sin -=r- cos m (cp - cp0), E.434) где oj, = U при т Ф1) и 8^ = 1 прп m = 0. Для цилиндрической полости (случай, рассмотренный в § ЗОк с при- применением бесселевых функций) следует положить d = 0, так что приведен- пые выше выражения для потенциала примут вид у у. ^А- /—kAsin^Sin^ E.435) (C) F'=^f2 S , ГппаЛ ^ E.436) Как видно из выражения для потенциала V, последний удовлетворяет всем граничным условиям, конечен, но не обращается в нуль на оси. Когда заряд расположен на оси, следует пользоваться формулой E.436), опустив суммирование по то и положив то = 0.
Трехмерное распределение потенциала § 34а. Модифицированные бесселевы функции нулевого порядка. При п=0 формула E.407) дает Д(»)=1+|- + ~ + ~^+... E.437) Таким образом, функция /0 (v) действительная (но не имеет действительные корней) и /0@).= 1 и /0(оо)=оо. E.438) Формула E.410) при и = 0 принимает вид V2 ЗУ --- E.439) Производные от /0(г) и K0(v) определяются выражениями E.415) и E.418) и равны Гй = 1х и К'^-К,. E.440) Из формул E.420) и E.421) получаем /0(e)dc =»/,(»), E.441) 5 о v ^ vK,t (e) dv=- vK1 (»). E.442) о § 346. Интегральное представление модифицированных бесселевых функций второго рода. Значение на бесконечности. Подстановка со = \ е~" ch 'f d<? в левую часть уравнения E.406) дает при и = 0 о 7?° о [ ch2 сре~" ch'* cZcp — — { ch ере-" ch "> dep — \ e~s ch " d<?. 0 0 0 Объединяя первый и третий члены (Двайт, 650.01) и интегрируя по ча- частям, будем иметь ОО ОО ОЭ (sh ср) [е-*сЬ5? d (ch ср)] = С м dfc = 1 ^-^ е""с11 ? + \ \ ch cpe-"ch ? rfo, 0 0 Полученное выражение совпадает со вторым членом, и, следовательно, рассматриваемый интеграл удовлетворяет уравнению E.406). Поскольку любое решение уравнения E.4U6) должно иметь вид R° = Alo(v) + BKo(v) и поскольку интеграл обращается в нуль при гз=^оо, /0(в) не входит в ре- решение и № = ВК0{ь). В § 36а будет показано, что в соответствии с выра- выражением E.439) следует принять В=1, так что К, (с) = \ е-" ch f da = 4 /«#}>} (/») = - 4 /™^о ' (- /»)• E.443) о Выражение ОО «m dnK°fjj) = (_ 1)" ^ tm chn сре~" ch ip dep о
?lS8 Глава V также обращается в нуль при в=оо, поскольку v входит в иодинтеграль- ное выражение в виде vme~av, где а > 1. Из рекуррентных формул E.418) и E.419) следует, что К1=—К'о, откуда Я,(оо) = 0. Из формулы E.419) тогда получим где р = 1 при и нечетном и р = 0 при п четном. Формула E.417) показы- показывает, что Кп(сс) = 0 и т. д. Другое интегральное представление для Ku(v) имеет вид со K0(v) = [ cos(?;shtp)rftp. E.444) о Еейтман выводит это соотношение следующим образом. Рассмотрим функцию со W = \ е~х ch v cos (у sh cp) dq, где x = r cos д и у = r sin б. Дифференцирование ее даст ой оу ^ ох оо = — V е~х cU *р [х sh cp sin (?/ sh cp) — у ch cp cos (у sh cp)] do = о = ^ ^- [е-ж ch f sin о e-50 ch * sin (y sh cp) = 0. Таким образом W не зависит от в. Полагая 0 = 0, получаем х = ?-, г/ = 0, так что, согласно формуле E.443), W =^К0(г). Подстановка Ь—-^~ дает х = 0, y = r; W совпадает в этом случае с интегралом E.444), что и доказывает (.праведлнвость формулы E.444). Для вывода интегральной формулы, применяемой при исследовании диффракции на щели, подставим формулу E.443) в формулу E.442), заме- иим интеграл от 0 до оо половиной интеграла от — оо до оо и изменим порядок интегрирования. В результате получим (см. Двайт, 567.1) со 2vK1(v) = kvH?)( — /Ъ)= \ e-™hlP(l + fcchcp)sech2cpd'f. E.445) —ОО § 35. Интегральное представление бесселевых функций нулевого порядка. Подстановка v/j вместо ь в формулу E.443) дает Ко CV\ — [ e>v ch ¦" d<? = ^ cos (c ch cp) dtp + / ^ sin (г; ch cp) dcp. 0 0 0 Сделав аналогичную замену в выражешги E.409) и приравняв действитель- действительные it мнимые части, получим (в обозначениях, принятых Ватсоиом;
Трехмерное распределение потенциала i99 см. § ЗОг) для функций J0(v) и Y0(ij) следующие формулы: E.446) со уо (г;) = _ 1 ^ cos (v ch cp) dcp. E.447) о § 36a. Представление обратного расстояния через модифицирован- модифицированные бесселевы функции. Найдем выражение для обратного расстояния ме- между двумя точками с координатами р0, ср0, z0 и р, cp, z в цилиндрической системе координат. Для этого можно воспользоваться методом, изложен- вым в § 31д; однако проще исходить из выражения для потенциала точеч- точечного заряда, находящегося посередине между двумя плоскостями, распо- расположенными па расстоянии L друг от друга. Потенциал такого заряда можно получить из выражения E.435), если положить а=оо и сдвинуть начало координат на L/2. Поскольку при этом сохраняются только нечетные зна- значения п, для р < р0 будем иметь со со где N=Bn+ l)n/L. Полагая 2mz[L —-un и 2n/L = Au, получим i „ m=0 Допустим теперь, что L—» со и, следовательно, Ди—*0. При этом сумми- суммирование по п в пределах 0 <! п < со переходит, по определению, в интегри- интегрирование по и в пределах 0^и< оо. Следовательно, + ^p] cos [(«,+?)*] Да. = „ 2 2 B — §т) \ Кт (ир0) /т (up) cos uz du cos m (cp — cp0). E.449) m-0 0 При p > р„ в выражении E.449) следует поменять местами р и р0. Если оо = 0, то суммирование исчезает и со cos kz Ke (kp) dk. E.450) В случае z — О и ср0 = 0 заменим в выражении E.450) р на Д и сравним с выражением E.449). Из сравнения следует, что при р < р0 Ко [(Р2 + Рае - 2РРо cos tfi* ] = 2 B - 8°m) KM Im (P) cos m<p. E.451) Для проверки выбора произвольной постоянной в выражении E.443) под- подставим определяемое этой формулой значение Ке(кр) в выражение E.450). Интегрируя сначала по к (см. Двайт, 577.2), а затем по ср (см. Двайт, 120.01), убеждаемся, что равенство E.450) удовлетворяется.
200 Глава V § 366. Цилиндрические границы раздела двух диэлектрических сред. Полученное выше выражение для обратного расстояния можно попользовать для решения задач при наличии в системе цилиндрических границ, допу- скающих распространение электрического поля до бесконечности. В таких Задачах разложение в ряд по функциям Бесссля невозможно, поскольку, как нетрудно видеть из асимптотических представлений § ЗОе, интегралы п § ЗОз обращаются в бесконечность при а=оо. Решение в этих случаях получается обычно в виде определенного интеграла, численную величину которого можно найти графически. В качестве примера найдем поле точечного заряда q, расположенного на оси бесконечной цилиндрической полости радиуса а, прорезанной в бес- бесконечной диэлектрической среде с относительной диэлектрической прони- проницаемостью К. Пусть потенциал внутри полости будет F, а вне полости Vk- Воспользуемся методом, аналогичным изложенному в § 31д. Будем рассматривать У как сумму потенциалов, первый из которых обу- обусловлен одним лишь точечным зарядом и имеет вид E.450), а второй обу- обусловлен поляризацией диэлектрика и должен быть конечным на оси поло- полости. Таким образом, потенциал V имеет вид v=ikv\ №»№>) + w(*O*(ftp)lcoskzdk- E-452) Потенциал в диэлектрике должеп быть конечным на больших расстояниях и, следонательно, должен иметь вид со ук = у4- \ Ф (*) Ко (*Р) cos kz dk. E.453) Согласно грапичному условию V = V& при р = а, необходимо, чтобы Ко(ка) + W (к) /„ (ко) = Ф (к) Ко (ка). E.454) Граничное условие dV/dp = КдУк/др при р = а дает К'о (ка) + W (к) Го (ка) = К® (к) К'о (ка). E.-455) Исключай W (к) из соотношений E.454) и E.455) и упрощая полученное выражение при помощи соотношения E.412), получим Ф М = l-ka(K-l)Jo{ka)K-(ka) ' Подставляя выражение E.456) н соотношение E.454), находим ка(К-\)Кй(ка)К'й(ка) \-ka(K-\)lu{ka)K'v(ka) ' ( На фиг. 58 изображено поле, вычисленное но формулам E.452) и E.453) с использованием E.456) и E.457); интегрирование было выполнено для случая /*Г = 5 при помощи планиметра. § 37. Потенциал внутри кольцевой цилиндрической полости. Из электродинамических задач, для решения которых применяются модифици- модифицированные функции Бесселя, наиболее важными являются задачи о пере- переменных токах в цилиндрических проводниках. Однако и при решении не- некоторых электростатических задач также применяются модифицированные бесселевы функции. Рассмотрим, например, потенциал в области, ограни- ограниченной поверхностями р = а, р = 6, z = 0 и z = c, потенциал которых, за
Трехмерное распределение потенциала 201 исключением первой, равен нулю. Потенциал поверхности р = а пусть будет V = f(z). Разложим функцию f(z) в ряд Фурье в интервале 0 < z < с. v=aio Фиг. 58. Эквипотенциальные линии точечного заряда, находящегося на оси цилиндрического отверстия в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ЛГ=5. Вычисления выполнены А. Е. Гарисоном по формулам E.452) и E.453). Поскольку / (z) = 0 при z = 0 или z —- с, полз'чается известное разложение (см. Пайерс, 815) cos cos Из выражений E.310) и E.311) и E.411) вытекает, что решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее всем граничным условиям, имеет вид ю А совАЬгаЛ Г/о _ V sin у с / I /0 (fatp/c) (кпЪ/с) ^0 (ЫЬ/с) /0 (kna/c) То (knb/c) Ko (kna/c) Ko (knb/c) E.459)
202 Глава V Для потенциала в области, лежащей внутри цилиндра p = ft, на поверхно- поверхности которого задан потенциал F = /(z), и ограниченной двумя заземлен- заземленными плоскостями z=0 и z=c, выражение E.459) дает V = y,Ah sin ^ 7; (,У°\ . E.460) Для потенциала в области, лежащей вне цилиндра р = а, на поверхности которого задан потенциал V — f (z), и ограниченной заземленными плоско- плоскостями z = 0 и z = c, будем иметь E.461) § 38. Модифицированные бесселевы функции нецелого порядка. Об- Общее решение модифицированного уравнения Бесселя в том случае, когда п не является целым числом, молено получить в результате замены в выра- выражении E.393) j-nJn(jv) на In(v) R°(о) = Aln (») + 2?/_n («). E.462) Функция Kn{v) является линейной комбинацией /„(у) и /_и(и). Для этих функций справедливы полученные выше рекуррентные формулы. Формулы E.394)-E.398) дают E.463) ' E.464) E.465) = (|I/S (sh»--i-ch«) , E.466) E.467) E.468) Общая формула принимает наиболее простой вид, если воспользоваться экспоненциальными функциями 8=0 где в обеих частях нужпо выбрать либо верхний, либо нижний знак. Как / 1 (г;) так и / i (v) обращаются в бесконечность при у=со. Решением, обращающимся в нуль при v—>оо, является функция К П+2 определяемая соотношением E.409), в котором следует заменить п на п -f--j . Исключим из этого соотношения функцию У i (/Ъ) при помощи формулы {5.400), введем, согласно выражению E.407), функции / / i\(v) и иред-
Трехмерное распределение потенциала 203 ставим их в виде E.4G9). В результате экспоненциальные функции с поло- положительными показателями степени сокращаются и мы получаем S\(n-S)\Bvf ¦ 0 (ОЛЮ) В простейших случаях С1 +4 , . . / 2 Л г/2 r, . 1 xn (n4-s)le-v К (V) = ( — ) К 1 iP) = — > 1/ ч|/ч >s • n ч ' ^тгоу n+4 ю •<--' s! (n — •?)! (Ivf При » = 0 основную роль в сумме E.470) играет член n — s, так что К i{v) у Г ny-HBn-i)\\ E.472) Сферические бесселевы функции Лп(«) можно определить следующим ¦образом: п E.473) E.474) Отсюда, принимая во впиманпе соотношение E.403), получим kn (jv) jn (v) — /7^ (jv) /„ (v) = — /-"+' v'2. E.475) Рассматриваемые функции связаны с функциями Kn(v) Шелкунова и "ri) (v) Стрэттона следующим образом: — — / Un\]v') +]nn\!v)]- (о.47b) с § 336 и выражением E.473), При помощи выражений E.409) и E.400) находим Рекуррентные имеют вид фо^ мулы, — Bга- в -f' соответствии - ft n+,, ± (n+4 ± I E77) § 39. Приближенные решения. Электростатические линзы. Для пе- лого ряда практических задач, точные решения которых получить невоз- невозможно или затруднительно, можно найти прибли- приближенные решения, достаточно (с точки зрения экспе- эксперимента) близкие к точным. Один, часто весьма эф- эффективный, приближенный метод заключается в том, что при решении задачи добиваются выполнения гра- граничных условий не всюду, а лишь в конечном числе точек. Рамо и Виннери рассматривают в качестве примера аксиально симметричную электростатиче- электростатическую электронную линзу (фиг. 59). Линза состоит из плоской проводящей пластинки толщиной 2Ъ с отверстием радиуса а; пластинка имеет потенциал Уо и'^помещается посередине между параллельными заземленными плоскостями, расположенными на рас- расстоянии 2с друг от друга. Фокусирующие свойства такой лиизы выражаются обычно через поле на оси симметрии. искомой величиной является в данном случае поле на оси. •<— /¦ / /' Уу У ¦'¦•'//////, 'у '/ —2с- >- \о V s у / Фиг. 59. Поэтому у В соответствии с выражением E.311) и § 34а решение, обладающее соответствующей симметрией
204 Глава V и обращающееся в нуль на заземленных плоскостях, имеет вид sin p±i>^] . E.478) и=0 Если пренебречь в этом выражения всеми членами, для которых п > 4, то можно добиться, чтобы потенциал E.478) был равен Т7„ в четырех точках границы. Пусть эт