ОИСИФ	&И1СШ0И$	Mr
MMWMX V^H1VWJOO>HH МНЕМ HHXOWMUJHV ЗИ
WSO bHd!3WO3J ИИИИХ ОДИЕИФ ЭОЯЕИ 1£ИЗ<Э
ШОШ9 ЛШУШОШ >VdJQ3J ЖЯО V
VXMEMe Ж&И ИИХЗЭЛИ КИ4010И ЫИЛОИОИЗ J*
$ИН¥Н€<ЙХЭ31П£0 ШаКМЗИ ЛЖИ
Л.Д. Лаппо, А.Н. Филонов, Т.А. Корешкова,
Ю.А. Глазков, В.В. Мирошин,
Н.В. Шевелева
МАТЕМАТИКА
11 класс
ЭКСПРЕСС-КУРС
ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ
----------------
ШПАРГАЛКА
СБОРНИК ФОРМУЛ
Издание шестое, стереотипное
Издательство
«ЭКЗАМЕН»
МОСКВА
2008
удк i/tio/i.?’
I.I.K /1’62.21
J124
Авторы:
Лаппо Л.Д., Филонов А.Н. — теоретическая часть
Корешкова Т.А., Глазков Ю.А., Мирошин В.В., Шевелева Н.В. —
тестовое задание с разбором
Лаппо, Л.Д.
Л24 Математика. 11 класс: экспресс-курс подготовки к ЕГЭ:
учебное пособие / Л.Д. Лаппо, А.Н. Филонов, Т.А. Корешко-
ва, Ю.А. Глазков, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелева. — 6-е изд.,
стереотип. — М.: Издательство «Экзамен», 2008. — 94, [2] с.
(Серия «24 часа до экзамена»)
ISBN 978-5-377-01142-2
Материалы, содержащиеся в данном пособии, позволяют подгото-
виться в кратчайшие сроки (24 часа) к Единому государственному эк-
замену по математике.
В конце книги представлен сборник всех формул, необходимых
для сдачи Единого государственного экзамена.
Для простого и эффективного использования шпаргалки разрежь-
те каждую страницу' на четыре части по пунктирной линии. Сложите
полученные листы по порядку номеров — верхний левый, верхний
правый, нижний левый, нижний правый. Дтя удобства использования
можно скрепить получившуюся стопку степлером или скрепкой в
верхнем левом углу.
Пособие полностью удовлетворяет требованиям, предъявляемым в
школах, и поможет школьникам быстро и эффективно подготовиться
к экзаменам, систематизирова ть и укрепить свои знания.
УДК 373.167.1:54
ББК 74.262.21
Подписано в печать с диапозитивов 10.08.2007. Формат 84x108/32.
Гарнтпура «Таймс». Бумага типографская. Уч.-изд. л. 6,84.
Усл. печ. л. 6,72. Тираж 150 000 (3-й завод— 35000) экз. Заказ № 3638(4)
ISBN 978-5-377-01142-2	© Лаппо Л.Д., Филонов А.Н.
(теоретическая часть), 2008
© Корешкова Т.А., Глазков Ю.А.,
Мирошин В.В., Шевелева Н.В.
(тестовое задание с разбором). 2008
© Издательство «ЭКЗАМЕН», 2008
Содержание
Ответы на экзаменационные билеты
(краткий теоретический курс).................................6
1.	Натуральные, рациональные и действительные числа.........6
2.	Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10.................6
3.	Свойства числовых неравенств............................8
4.	Формулы сокращенного умножения..........................9
5.	Свойства линейной функции и ее график...................9
6.	Формула корней квадратного уравнения...................10
7.	Разложение квадратного трехчлена на линейные
множители.................................................11
8.	Теорема Виета..........................................12
9.	Свойства квадратичной	функции..........................12
к
10. Свойства функции у = —..................................14
х
11.	Неравенство, связывающее среднее арифметическое
и среднее геометрическое двух чисел.......................15
12.	Арифметическая прогрессия и ее свойства...............16
13.	Геометрическая прогрессия и ее свойства...............16
14.	Модуль действительного числа..........................17
15.	Свойства степеней с натуральными и целыми
показателями..............................................18
16.	Свойства арифметических корней и-й степени............19
17.	Свойства степеней с рациональными показателями........19
18.	Свойства степенной функции с целым показателем
и ее график...............................................20
19.	Свойства показательной функции и ее график............22
20.	Свойства логарифмов...................................23
21.	Свойства логарифмической функции и ее график..........24
22.	Свойства функции у = sirix и ее график................24
23.	Свойства функции у = cost и ее график.................25
24.	Свойства функции у = tgx и ее график..................26
25.	Свойства функции у - ctgx и ее график.................27
26.	Основное тригонометрическое тождество.................28
27.	Зависимости между тригонометрическими
функциями одного угла................;..................  28
28.	Формулы приведения....................................29
29.	Тригонометрические функции суммы и разности
двух углов................................................30
30.	Тригонометрические функции двойного угла............. 31
31.	Тригонометрические функции половинного угла...........31
32.	Выражение тригонометрических функций через
тангенс половинного угла..................................31
3
33.	Преобразование произведения тригонометрических функций
в сумму.....................................................32
34.	Преобразование суммы и разности
тригонометрических функций в произведение...................33
35.	Преобразование выражения a sin а + 6 cos а с помощью
дополнительного аргумента..................................33
36.	Решение простейших тригонометрических уравнений........34
37.	Понятие производной функции.
Основные соотношения.......................................35
38.	Уравнение касательной к графику функции................36
39.	Первообразная и неопределенный интеграл................36
Первообразные элементарных функций.........................37
1 [сопрсделенпые интегралы элементарных функций............37
40.	Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.......38
41.	Свойства вертикш ьчых и смежных углов.................39
42.	Свойства равнобедренного треугольника..................39
43.	Признаки равенства треугольников......................40
44.	Внешний угол треугольника и его свойства..............40
45.	Признаки равенства прямоугольных треугольников........41
46.	Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.........41
47.	Свойство биссектрисы угла.............................42
48.	Теоремы о параллельных прямых на плоскости............42
49.	Теорема о сумме внутренних углов треугольника..........43
50.	Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника... 44
51.	Свойства и признаки параллелограмма....................44
52.	Теорема Фалеса.........................................45
53.	Свойство средней линии треугольника....................45
54.	Свойства средней линии трапеции........................45
55.	Окружность. Свойство касательной к окружности..........46
56.	Теоремы о вписанных } глах.............................46
57.	Теорема об угле, образованном касательной и хордой....48
58.	Теорема об окружности, описанной около треугольника....48
59.	Теорема об окружности, вписанной в треугольник.........48
60.	Свойства четырехугольника, вписанного в окружность....49
61.	Свойство четырехугольника, описанного около
окружности.................................................49
62.	Четыре замечательные точки треугольника. Теоремы
о пересечении медиан и высот треугольника................  50
63.	Преобразования фигур. Виды симметрии.
Преобразования подобия и их свойства.......................51
64.	Признаки подобия треугольников......................  53
65.	Признаки подобия прямоугольных треугольников........  53
66.	Свойство биссектрисы угла треугольника.................54
67.	Равенство произведений отрезков двух
пересекающихся хорд....................................... 54
68.	Равенство квадрата касательной произведению
секушей на ее внешнюю часть...............................54
69.	Пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольнике . .. 55
70.	Теорема Пифагора..................................... 55
71.	Формула расстояния на координатной плоскости.
Уравнение окружности......................................55
72.	Формулы площадей параллелограмма, треугольника
и трапеции................................................56
73.	Теоремы синусов и косинусов для треугольника..........57
74.	Длина окружности......................................57
75.	Площадь круга.........................................58
76.	Аксиомы о взаимном расположении точек, прямых
и плоскостей в пространстве ............................. 59
77.	Теоремы о параллельных прямых в пространстве..........59
78.	Параллельность прямой и плоскости.....................59
79.	Параллельность плоскостей. Признак параллельности
плоскостей................................................60
80.	Теоремы о скрещивающихся прямых.......................61
81.	Перпендикулярность прямой и плоскости.................61
82.	Перпендикуляр и наклонные. Теорема о трех перпендикулярах .. 62
83.	Признак перпендикулярности плоскостей.................63
84.	Теорема об общем перпендикуляре к скрещивающимся
прямым....................................................64
85.	Двугранный угол...................................... 64
86.	Многогранник. Выпуклый многогранник...................65
87.	Призма................................................65
88.	Параллелепипед........................................66
89.	Пирамида..............................................67
90.	Конус.................................................68
91.	Шар.................................................  68
92.	Объем шарового сегмента и сектора.....................69
93.	Цилиндр...............................................69
94.	Объемы и свойства объемов.............................70
Разбор типового теста ЕГЭ...................................71
Часть 1...................................................71
Часть II................................................  73
Часть Ill.................................................78
Сборник формул (шпаргалка)..................................82
Ответы па жзамснациопные билеты
(кра I кий теоретический курс)
1. Натуральные, рациональные и действительные числа
Числа 1,2, 3,4,... называются натуральными.
Числа вида — и, где п — натуральное, называются отрица-
тельными целыми числами.
Множество чисел, состоящее из натуральных, отрицательных
целых и нуля, называется множеством целых чисел.
Рациональные числа — такие, которые можно представить в
виде , где т — целое, а и — на туральное.
Действия с рациональными числами:
« с _ ad+ Ьс	а с ас а с ad
’~b+~d~ bd ’2 Г~d~lbd'i} ~b’~d~to?
Рациональные числа представляются в виде конечной десятич-
ной иди бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональными называются числа, которые не могут быть
представлены в виде , где и — натуральное, т — целое, и за-
писываются в виде десятичной бесконечной непериодической
дроби.
Множество действительных чисел — множество всех беско-
нечных десятичных дробей с заданными на нем понятиями ра-
венства, операциями сложения и умножения.
Каждая бесконечная десятичная дробь, не оканчивающаяся бес-
конечной последовательностью девяток, называется действитель-
ным числом.
а + b - b + а
(а+Ь)+с=а+(Ь+с)
ab = Ьа
(ab)c = а\Ьс)
(а + Ь)с = ас + Ьс
коммутативность
ассоциативность сложения
коммутативность умножения
ассоциативность умножения
дистрибутивность сложения
2. Признаки делимости на 2,3,4,5,9,10
Разделить натуральное число а на натуральное Ь, это значит
представить а в виде а=Ь  с, где с — целое, b и с — делители
числа а.
Натуральное число называется простым, если не существует
делителей кроме него самого и единицы, составным, если суще-
ствуют другие делители.
6
Т. 1. Если число с является делителем чисел а и Ь, то оно яв-
ляется делителем суммы (а + Ь).
Док, Т.к. с — делитель, то а = с • а\, b — с • Ь\, сложим эти ра-
венства: а+Ь=с-а\+с-Ьх~с{а\ + Ь{), следовательно, число а + b де-
лится на с.
Т. 2. Если в произведении хотя бы один множитель делится на
натуральное число п, то и все произведение делится на и.
Пусть а делится на n=>a=a\-rr, a-b=ai-n b=n (afb). Ч.т.д.
Ноль и натуральные числа, делящиеся на 2, называются чет-
ными числами.
Т. 3. Натуральное число делится на 2 о когда его последняя
цифра четная.
Док, Представим число в виде:
A=a„10"+an.i10”-1 + ... + аг10 + 2а0 =
=10(«и10" ' + ... + Д[) + 2а0 — 2(5(йи10" +...+п])+оо).
Это число делится на 2 по Т. 2. ч.т.д.
Т. 4, Натуральное число делится на 3 когда сумма цифр в
его записи делится на 3.
Док, Представим число в виде:
•4=10"nn+...+10ai + а0= (99... 9 + 1)«„ +...+ (9 + 1)«| + а0 =
и раз
= (99... 9 ап +... + 9я,) +a„+...+ai+a0 =
и раз
= 9( 99...9 ап +. + ) +(«„+...+n0) -9В + С.
и-1 раз
Первое слагаемое делится на 3 (по Т. 2), чтобы вся сумма де-
лилась на 3, необходимо, чтобы число («„+... + до) делилось на 3
(по Т. I), но это и есть сумма цифр числа А.
Обратно, если А делится на 3, то так как оно представимо в
виде 9В + С, то 9В+С = 3(3B + D), где D = 3 • С. Ч.т.д.
Т. 5. Натуральное число делится на 4 О когда делится на 4
число, составленное из двух последних цифр в десятичной записи
числа.
Док. Представим число в виде: А=( 10и<я„ + ... + 102а2) J-
+ 10</| +ад— 100(10"“2«и + ... + д2) + lOflj + ад.
Первое слагаемое делится на 4, т.к. на 4 делится 100. Следова-
тельно, по Т. 1, чтобы число А делилось на 4, необходимо, чтобы
10«1 + а0 делилось на 4 Ч.т.д.
Т. 6. Натуральное число дели гея на 5 о когда его последняя
цифра 5 или О
Док Как и Г. 3, предсганим Л=10(а„10'' ' + ...+ щ) + ад.
I lepiioe слагаемое делится на 5, очевидно, что <т(] делится на 5
<х> когда а0 - 5 или а0 = 0.
С другой стороны, если А делится на 5, то на 5 делится и чис-
ло А = 10(а„10" 1 + ... + а\) = а0, следовательно, ас = 5 или а0 - 0.
Ч.т.д.
Т. 7. Натуральное число делится на 9 когда сумма цифр в
его записи делится на 9.
Доказательство аналогично Т. 4.
3.	Свойства числовых неравенств
Из чисел а и b меньшим считается лежащее левее на коорди-
натной прямой.
Т. 1, а > b <-> (а - Ь) > О', а < Ь <=> (”. - b) < G.
Док. Пусть а > Ь, следовательно, а лежит правее. Перемеще-
нию от b к а соответствует прибавление к b N положительного
числа, т.е. а=Ь + с, где с > 0, следовательно, а - b = с, т.е. а - b > 0
и наоборот, если а~Ь>0, то а=Ь + с, где с = а - b > 0. Ч.т.д.
Свойство 1. Если а<ЬкЬ<с, то а < с.
Док. ИзТ. 1: a<b=>b-a>0, b < с^ с- Ь> 0, тогда (с-Ь) +
4 (Ь - а) > 0 => с - а > 0 по Т. 1, ч.т.д.
Свойство 2. Для любого с, если а>Ь, то а+с > Ь + с.
Док. Рассмотрим разность (а + с) - (Ь + с) =
= a-b>G=>a + c>b + c, ч.т.д.
Свойство 3. Для любого с>0: если а > Ь, то ас > Ьс.
Док. ас-Ьс-= с(а - Ь), т.к. с>0и«-4>0,
то с(а - £>) > 0 и ас > Ьс. Ч.т.д.
Свойство 4. Если а> b и с > d, то а + с> b + d.
Док. a-b> 0,c-d>G;
(а + с) - (b + d) =- (а - b) + (с - d) >0. Ч.т.д.
Свойство 5. Если а > 0, то — < —.
а b
т.	1	1	а-b	,
Док.----=-------; а - b > 0,
Ь	a ab
ab> 0 => ——— > 0	— > — Ч.т.д.
ab	b	а
Свойство 6, Если а> b> G а с> d> 0, то ас> bd.
8
Док, a-b > 0; с - J> 0;
ас - bd=ac- be + be- bd= с(а- b) + b(c- d)>0, ч.т.д.
4.	Формулы сокращенного умножения
(a + b)2 = a2±2ab + b2-
(а ± b)3 = а3 ± За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3;
a3±b3=(a + b)(a2+ab + b2y,
а2 - b2 = (а + b)(a - b).
5.	Свойства линейной функции и ее график
Функция вида у = ах + Ь, где а и b — некоторые числа, назы-
вается линейной.
Область определения — R. Область значений:
при а = 0, Е = Ь; при с& 0, Е = R.
Функция непериодическая.
Свойство 1. Функция четна только при а = 0.
Док. По определения четной функции:
fix^fk-x) Для любого х; ах + b = а(-х) + Ьоа-0. Ч.т.д.
Свойство 2, Функция нечетна только при Ь = 0.
Дек. По определению нечетной функции:
fl.-x)~fix) для любого х; a(-x)+b=-ax-b oi = 0. Ч.т.д.
Пересечения с осями координат:
х = 0; у = а 0 + Ь; у = Ь; (0; Ь)
ь	( ь
у = 0; ах + b = 0; х = — при а* 0 —;0
а	V а
при а > 0 график совпадает с осью Ох при b-О или не имеет с
ней общих точек при b 0.
Асимптота функции совпадает с самой функцией:
у = ах + Ь.
График линейной функции — прямая с углом наклона <р к оси
Ох таким, что tg<p = а.
9
а~0
b>0
рис. 5.3
6.	Формула корней квадратного уравнения
Уравнение ах2 + Ьх + с = О называется квадратным, а, Ь, с е Л,
а # 0.
Число х0 называется корнем уравнсиия/х) = g(x), если при его
подстановке в уравнение получается верное числовое равенство
Ж)=я(*о)-
Вывод формулы корней квадратного уравнения:
ах2+ Ьх + с = О', х2+—х+— = 0;
а а
выделим полный квадрат:
Выражение Ь2 - Лас называется дискриминантом и обознача-
ется D.
Получаем ах2+Ьх + с =т х + — j-- = 0	(*)
k	4д2
Рассмотрим три возможных случая:
1) D > 0 и, значит, существует Vo : запишем (*) в виде:
2) D = 0. Тогда (*) имеет вид:
10
2 b	с (	b\2	b
x ч—x+—= x+— =0 => x =-------------.
a	a \	2a)	2a
Говорят, что уравнение имеет корень кратности два или два
совпадающих корня.
3) D < 0. Запишем (*) в виде:
2 ь	с	(	b У	(-£>)	Л
х +—х+—= х+— +-—^ = 0,
а	а	\	2а)	4а
( b У
т.к. D < 0, то ; хз------2:0, следовательно, их сумма не
V	2д)
может равняться нулю, значит, уравнение не имеет действитель-
ных корней.
7.	Разложение квадратного трехчлена
на линейные множители
Т.__L Пусть Xi и х2 — корни квадратного уравнения
ах2+Ьх+с=0. Тогда справедливо тождество ах2+ bx + с= а(х - xjx
х(х - х2). Если уравнение имеет один корень, то справедливо ах2 +
+ Ьх + с = а(х - Х|)2.
Если корней нет, то квадратный трехчлен на множители не
разлагается.
Док. Пусть уравнение имеет два различных корня.
В вопросе 6 было доказано тождество х2+—х+— =
а а
( —Ь+(	—Ь—-\Td	х
= х---------х------------и найдены корни квадратного урав-
2а Д 2а )
-Ь + у/75	2 b с , v .
нения х., =--------, следовательно, х +—х+— = (х - Х|Хх - х2)
‘2 2а	а а
=> ах2 + Ьх + с = а(х - х0(х - х2). Аналогично, при D = 0 имеем:
Х| = х2 и ах2 + Ьх + с — а(х — Х])2.
Если D < 0, то квадратный трехчлен не разлагается на линей-
ные множители, т.к. в этом случае он имел бы корни, а при D<0
их нет.
II
8. 1'еорсмн Виета
1. 1 (Виета). Если х1 и х2 — корни квадратного трехчлена
b
ax2+bx+c, то справедливы соотношения •
а
Док. Пусть л, и х2 — корни квадратного трехчлена. Используя
।	к	кг г -b + \lb2 -Лас
формулы для корней m вопроса № 6: х =---------------- непо-
2 2а
b	с
средствепным вычислением получаем xi + х2 =—; Xi  х2 =—.
а	а
нено
Ч.т.д.
Т. 2 (обратная теореме Виета). Если для чисел Х| и х2 выпол-
X +х = -р
_	, то Х| и х2 являются корнями квадратного
Х| • х2 - q
трехчлена х2 +рх + q = 0.
Док. Подставим данные соотношения в квадратный трехчлен:
х'+px+q ~x2-x(xt + х2) + *i • х2= (х - xi)(x - х2). Очевидно, что
уравнение (х - Х])(х - х2) = 0 имеет корни х( и х2. Ч.т.д.
Замечание. Обратная теорема сформулирована только для
приведенного трехчлена, т.к. зная два корня, невозможно опреде-
лить все три коэффициента а, Ь, с, поэтому для определенности
считают а =1.
9. Свойства квадратичной функции
Функция у = ах2 + Ьх + с, где a, b, с е R, а 0, называется
квадратичной.
Область определения: D(y) = R.
Область значений. Выделим полный квадрат:
2 й2-4ас
у = ах2 + Ьх + с = а
b
2а
= а(х-хь)2 +уь,
b Ь2—Лас
где х. =---, у, ---------.
ь 2а	ь Ла
Слагаемое а(х — хь)2 принимает все неотрицательные значения
в зависимости от х. Поэтому областью значений является [yfc; +оо)
при а > 0 или (~оо; уь] при а < 0.
12
Функция непериодическая, т.к. свое значение у = уь она при-
нимает в единственной точке х = хь.
Свойство 1. Функция чэгна тогда и только тогда, когда b - 0.
Док. Необходимость. Должно выполняться ‘у(х) = Х~х) для
любого х, т.е. у(х) - у(—х) = 0, ах2+Ьх + с - «(-х)2 + £>х - с = 0; 2fex =
=0 о Ь = 0.
Достаточность. Пусть b = 0. Х~х) ~ а(~х)? + с = ах2 + с = у(х).
Ч.т.д.
Точки пересечения графика с осями координат.
При х=0, точка пересечения с осью Оу: (0; с).
Точки пересечения с осью Ох — корни уравнения
ах2 + Ьх + с = 0.
Если D = Ь2 — 4ас < 0, то точек пересечения нет.
Если D = 0, то точка пересечения одна: х =-; (0; xt).
2а
Если Z»0, то точек пересечения две:
-Ь + 4Б х ч
х = —--------; (0; х0 и (0, х2).
2а
Промежутки знакслостоянства.
Если D < 0 и а < 0, то Xх) < 0 для любого х.
Если D < 0 и а > 0, то Xх)> для любых х.
Если D > 0 и а > 0, то Xх) > 0
при х <= (-оо; xi)u(x2; +оо), Xх) < 0 при х е (хь х2).
Если D > 0 и а < 0, то у(х) < 0 при
х е (—оо; Xj)<Xx2; +а>), Xх) > 0 при х е (хь х2).
Пусть а > 0. При D < 0, Xх) > 0, т.к. нет точек пересечения с
Ох. При D > 0 Хх)=Хх~х1Хх ~ хг)-
При х е (-оо; X]) и (х2; +оо) множители (х -х0 и (х -х2) имеют
одинаковые знаки, следовательно, Xх) >0; при х е (х,; х2) множи-
тели имеют разные знаки и Xх)< 0-
Случай а < 0 рассматривается аналогично.
Наибольшее и наименьшее значения.
При а > 0 наибольшего значения нет, наименьшее при
Ъ	( Ь\	Ь2 — Аас
х =----; j------=-----------.
2а	\ 2а) 4а
При а < 0 наименьшего значения нет, наибольшее при
b ( b А Ь“ -Аас
х =----: у------=-----------.
2а V 2а) 4а
13
Интервалы возрастания и убывания.
При а > 0 функция возрастает при х > хь и убывает при х < хь.
При а < 0 возрастает при х < хь, убывает при х > хь.
Я*1) -Я*2) = «((Х| - хь)2 + уь) -
- а{(х2 - хь)2 +уь) = «(х, - х2)((х| - хь) + (х2 - х6)).
При а > 0 и х( > х2 > xfc. Тогда все три
сомножителя положительны и y(xt) -у{х^) > 0, т.е. при а > О
функция возрастает на [xfc; +оо).
рис. 9.1
При а > 0 и Xj < х2 < хь последний сомно-
житель отрицателен и у(х,) - у(х2) < 0, т.е.
при а > С функция убывает на (-ао; xj. Ана-
логично, рассматривается а < 0.
График функций асимптот не имеет.
Графиком является парабола.
Точка (хь,уь) — вершина параболы.
График функции у = а(х-хь)2 + уь получа-
ется из графика у = х2 путем преобразований:
1)	Перенос графика у = х2 вдоль оси Ох на
хь вправо при хЛ>0, влево при хь < 0, получим график функции
у = (х-хь)2.
2) Растяжение графика у = (х - х*)2 вдоль оси Оу в |«| раз; если
а < 0, то симметричное отражение относительно оси Ох. Получим
график функции у = п(х - xfc)2.
3) Перенос графика у = а(х -хЛ)2 вдоль оси Оу на |>7,| вверх при
Уь > 0, вниз при уь < 0.
10.	Свойст ва функции у = —
X
Будем рассматривать только случай к * 0.
Область определения (-со; 0)и(0; +<»).
( к\
Область значений Е — = (—оо; 0)и(0; т оо).
VxJ
Функция непериодическая, т.к. каждое свое значение она
принимает один раз.
Функция нечетна, т.к. для любого х 0:
к	к
у{-х) =— = —= -у(х).
-х	X
i4
„	к п	„
Так как уравнение — = 0 не имеет корней, то функция не имс-
х
ет пересечений с осью Ох, точка ноль не принадлежит области
определения, поэтому точек пересечения с осью Оу нет.
Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений.
Свойство 1. При к < 0 функция возрастает на промежутках
(-да; 0) и (0; +да).
При к > 0 функция убывает на (-да; 0) и (0; -да)
Док, Пусть к > 0 и X] > х2 > 0.
к к к(х.-х.)
X*l) - Х*2)	=	2 1
Т.К. MYt-Xi) < О и
Xj * х2 XjX2
Xi-x2>0, поэтому y(xi)<y(x2), т.е. функция убывает на (О;+да).
Аналогично рассматриваются случаи к < 0 и интервал (-да; 0).
Ч.т.д.
График данной функции имеет две асимптоты:
х = 0 иу= 0.
График данной функции называется гиперболой.
11.	Неравенство, связывающее среднее арифметическое
и среднее геометрическое двух чисел
_ . ' . ° +
Среднее арифметическое чисел а и о:-.
2
Среднее геометрическое неотрицательных чисел а и Ь:
Т. 1. Для любых неотрицательных чисел а и b среднее арифме-
тическое больше или равно среднего геометрического, равенство
имеет место при а = Ь.
Док. a + b-Jab = -(a-2jab + b\=.
ab .
2
г-\2
П + 6I—7 .
--Zy/a b ;
2
15
=0<=> a = b ^-~- = 4ab ,
при a = b. Ч.т.д.
12.	Арифметическая прогрессия и ее свойства
Арифметическая прогрессия (АП) — числовая последова-
тельность, такая, что каждый ее член равен предыдущему, сло-
женному с постоянным для всех членов числом, называемым
разностью АП. АП задается первым членом и разностью.
Формула и-ого члена АП: а„ = а, + (и - 1)</, где аг — первый
член АП, d — разность АП.
По определению: АП a„=a^i+d=a^.2+2d	= Я|(и - 1 )d.
Если каждый член АП больше предыдущего, то прогрессия
возрастающая, если меньше предыдущего, то убывающая. У
возрастающей АП: d> 0, у убывающей d < 0.
Т. 1. Числовая последовательность является АП тогда и толь-
ко тогда, когда любой ее член выражается через последующий и
а , + а .
предыдущий по формуле ап = ———-—, п > 2.
Док. Необходимость.
Из определения АП:
а„ J + ап+1
di ~ ^л-1 ” @н+1 — d —~~	'
Эти же греобразования можно проделать в обратную сторону
для доказательства достаточности. Ч.т.д.
(а. +а )п
Т. 2. Сумма п первых членов ПА равна S  -----—.
"	2
Док. 2S„ = (я, + а„) + (а2 + а„ 0 + ... + (а„ + «0.
В каждой скобке — сумма вида + «1+0,
где к = 0, 1,..., п-1;
(«,+*• + «1+0 = («„ - kd + «t + kd) = («i + «„).
Таких скобок п штук, т.е.
(а, +а )п
2S„ = («, + «„) • п => Sn = 1-п--. Ч.т.д.
13.	Геометрическая прогрессия и ее свойства
Геометрическая прогрессия (ГП) — числовая последователь-
ность, у которой первый член отличен от нуля и каждый член,
начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на посто-
янное для всех членов число, называется знаменателем q ГП. ГП
задается своим первым членом и знаменателем.
16
Формула и-го члена ГП: Ьп - Ь} • с/''1.
По определению ГП: Ь„=ЬпА-с^Ьп_гдг = Ь\  q"'
Если каждый член ГП больше предыдущего, то прогрессия
возрастающая, если меньше, то убывающая.
Т, 1, Числовая последовательность является ГП тогда и только
тогда, когда любой ее член выражается по формуле
h = Г > п- 2> Ь„ > 0.
п у п-1	и+1 ’	’ п
b ь . г
Док. Необходимость. Из определения ГП: —— = -2±i- => bn =
b i b
л-1 л
= b„-\  bni\, т.к. все члены ГП положительны, то b = Jb ,-ЬГ .
Эти же преобразования можно проделать в обратную сторону
для доказательства достаточности. Ч.т.д.
b q-b.
Т. 2. Сумма п первых членов ГП равна S ------------- при
"	9 —1
9*1-
S„=bi + b2+... + Ь„ (*); qSn=qbx + ... qb,rb2 + b3 + ... F b„q.
Вычтем полученное равенство из (*):
(1 - q)Sn = bi + (Z>2 - b2) + ... + (b„ - b„) -b„-q.
Отсюда следует, что (1 - q)Sn = b}-b„q=>
b, ~b q
S = —-----— при 9*1. Ч.т.д.
”	1-9
й,(9"-1)
Следствие. Sn = —-----— при 9*1.
ГП называется бесконечно убывающей, если |9|< 1.
Суммой бесконечно убывающей ГП называется число, к кото-
Ь.
рому стремится сумма первых п членов ГП и равно S = ——.
1-9
14.	Модуль действительного числа
И( а, при а>0
= •{	. Рассмотрим функцию у=|*| 
[-«, при а<0
Область определения Z>(|x|) - R.
Область значений £(|х|) = [0; +оо).
Функция не является периодической, т.к. значение J она при-
нимает только в одной точке.
Функция четна, т.к. для любого х: |-х| = |х|.
17
2-3638
3) |a-i>| > ||a|-|Z>||;
График пересекает оси координат в точке (0,0)
Функция не имеет наибольшего зна-
чения. Наименьшее значение 0 достига-
ется при х = 0.
Функция возрастает на промежутке [0,
+оо) и убывает на (~<ю; 0].
График имеет асимптоты у = х и у = -х
Свойства модуля:
1)|а + й < |а| + |fe|;	2) |afe| = |а| • |й|;
^т, а * 0 .
4) - =
15.	Свойства степеней с натуральными
и целыми показателями
Произведение вида qa-a-...qi где п — натуральное, назы-
я раз
вают степенью числа а и обозначают cf. а1 = а, а° = 1 при а * 0
1
а =— приа^О.
ап
Т. 1, Пусть a, b е R, b э* 0; т, п — целые, тогда верны равенст-
ва:
1) cf • <Г = гГ”;
з)
п П
I _ a
I ~ bn ’
[ок. I) if • d’=za-...-a-a-...-a= a ... a =
P43 m+n раз
4) (ab)" = (fbn;
5)
a
~b
2) если m> w.
раз л раз	
а	•...•а
а	а
	
	п раз
	т раз
	-Л»
m
= <Fn, если m = n, to — = 1 = a° = тЛй;
’ n
a
a-...-a	1
если m < n, to-----------
a-...-a
проз	n-m раз
m раз
3) (am)n =
приз	проз
a-...-a
—= сГп-,
a-m
m раз
18
4) (ab)" = ab-...ab = a-...-a  b-...-h = d'b"
п раз	n раз	n раз
проз
праз	проз
16. Свойства арифметических корней и-й степени
Арифметический корень числа а и-й степени такое число Ь,
что Ь" = а, причем а, b > 0, п g N.
Т. 1. Пусть а, Ь, с е R, а, Ь,>0, с> 0; т,к,п^ N, тогда верны
равенства:
4)C'"r = V^’; 5)V^ = (^)m;
W (иЛ)" b’
z	\fc
3>(^"* =[(<)”] -(№)*=<.;
4) "&* = #,"*	;
5)	.(®f -{(<£)*}’ =«-. 4«.
17. Свойства степеней с рациональными показателями
т
Пусть т — целое, п — натуральное, а > 0, тогда а" = у[а™ ,
т
если а = 0, то а п = 0.
Т, 1. Пусть a, b е R, а, b > 0; р, q — рациональные числа, тогда
верны равенства:
1)^ = 0^’;	2) (</)»»(/*;	3)(oZ>)p = opfep;
2
19
Док. 1) Пусть р = —L , q = —1.
«. л2
т.п	т->п.
Их можно записать в виде: р = ——— , q = —а-Ц т.е. можем
Л1Л2	п\пг
считать, что у них одинаковые знаменатели
т.т	w. т,
Пусть р - —L и q = —±-, тогда:
п	п
т* _______ ___  т +т2
п а ~п п PI Pl п1	„ р+а
era1 = а п ап ~\а 1\а 2 =\а ’ 2 = а п =а* 4
2) По свойствам 3 и 5 из вопроса 16 получим:
m -------- -------- т т
3)(аЬУ’=(аЬ)п =Ц(аЬ)т = ЧатЬт =а”Ьп = арЬр
4) Следует из 1) и того, что — = а п.
а
5) Используя 2) и 3):	= арЬ~р =	.
18. Свойства степенной функции
с целым показателем и ее график
Функция вида у = х", где п — целое, называется степенной
функцией с целым показателем.
В зависимости от п рассмотрим 4 случая.
1) и — положительное, четное.
Функция имеет виду = х2т, где т е N.
Область определения D(x2m) = R.
Область значений Е(х2т) = [0; +оо).
Функция непериодическая, т.к. значение ноль она принимает
только в точке х = 0.
Функция четная, т.к. у(-х) = (~xfm = ((-х)2)" = (^)“ = х2" = у(х).
Функция имеет одну точку пересечения с осями координат: (0; 0).
Функция неотрицательна на R.
Функция не имеет наибольшего значения; наименьшее — при
х = 0, Х°) = 0.
20
Свойство, Функция убывает на (-оо; 0] и возрастает на [0; +оо).
Док. Пусть Xi > хг > 0;
2к '
I ;
y(Xi)-y(X2)=X^ -х™
2к
2
X,
2k
X.
2к "
-1 >0,
следовательно, Xxi) > У(хг)- Аналогично доказывается для про-
межутка (-оо; 0]. Ч.т.д.
-10 -8 -6 -4 -2 с 2 4 6 8 10
рис. 18.1
График функции асимптот не имеет.
2) п — положительное, нечетное.
Функция имеет виду а х2т+|.
D(y) = Л; £(у) = R; функция непериоди-
ческая , нечетная.
Функция пересекает оси координат в
точке (0; 0).
у(х) > 0 при х е [0; +оо), у(х) < 0 при х е (-оо; 0].
Л 2
X
Функция возрастает на R и не имеет
наибольшего и наименьшего значений.
Асимптот нет.
3) и — отрицательное, нечетное.
1
2m-l ’
£)(у) = (-°°; 0)v>(0; +со); Е(у) -
= (-оо; 0)и(0; +оо).
Функция непериодическая, нечетная.
Функция не пересекает оси координат.
у(х) < 0 при х < 0 иу(х) > 0 прих > 0
Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.
Функция убывает на (-оо; 0) и (0; +оо).
Асимптоты: х = 0, у = 0.
4) и — отрицательное, четное.
^;£)(у) = (-оо;0М0; +оо);
рис. 18.3
=	+оо).
Функция непериодическая, четная, с осями
координат не пересекается.
21
у(х) > 0 на всей области определения
рис 18.4
Функция не имеет наименьшего и наи-
большего значений
Убывает на (0; +оо), возрастает на (-^с; 0)
Асимптоты: х = 0, у = 0.
19.	Свойства показательной функции и ее график
Пусть а е R, а > 0, х е R.
Если а = 1, то я* = 1 для любого х.
Пусть a4l. Для любого х е R можно найти рациональные р и
q такие, что q<x<p. Тогда числом г/ будем считать такое, что
а4 < у = ах < ар , при а > 1
ар <у = ах <ач , при 0 < а < 1
для всехpwqтаких, чтоq<x<p.
Т. 1, Если а> 0, а? 1, то й* > 0 для любого х.
Док. Пусть а > 1, тогда из определения: (?> а9 >0.
Аналогично и для 0 < а < 1. Ч.т.д.
Следствие: если у < 0, то уравнение с? = у не имеет корней.
Функция у = а называется показательной, а — основание.
D(d) = R, Eld) = (0; +оо)
Функция непериодическая, любое из своих значений она при-
нимает ровно в одной точке.
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Пересечений с осью Ох нет; при х = 0, у= а° = 1, пересечение с
осью 0у в точке (0; 1).
Функция положительна при всех х, не имеет наибольшего и
наименьшего значений.
Функция монотонна; при а > 1 возрастает, при 0 <- а.< 1 убы-
вает.
Пусть а > 1, р и q — рациональные.
Тогда с? - а4 = «’((Л-!); г/Ь-0; следовательно, знак разности
определяется знаком - 1.
Пустьp-q =— >0, тогда а > 1 => а > 1 =>
п
=> (ап )" > 1 => ап >1, т.е. гЛ* > 1 => cf >
22
Из определения степени числа с действительным показате-
лем следует, что с? > а4 для p,q е R.
Равенства быть не может, т.к. уравнение d = у всегда имеет
единственный корень (без доказательства). Асимптота графи-
ка^ = d — ось Ох.
20.	Свойства логарифмов
Пусть а > 0, « * 1, /> > 0, тогда уравнение d = b имеет единст-
венный корень. Он называется логарифмом числа b по основанию
а и обозначается logj>.
log^1
Основное логарифмическое тождество: а ° =Ь .
Т. 1. Пусть а > 0, Ь> 0, с>0, а* 1.
Тогда верно равенство log^ + log^c = log^r.
Док, legate существует, т.к. а > 0, а * 1 и 6 • с > 0,
log*+log‘ log* log' , log*'
a °	" = a ° -a ° = bc = a ° .
Из равенства оснований следует равенство показателей, т.е.
logjl + logaC = logabc. Ч.Т.Д.
Т. 2. Пусть а > 0, b > 0, а * 1.
Тогда для любого с существует \ogabc и верно равенство
clog^ = log,#.
Док. log# существует, т.к. Ьс > 0;
clog* , log* . С log*'
а	=Ь =а " . Ч.т.д.
Т. 3. Пусть а> 0, b > 0, с > 0, а Ф 1, тогда верно
log^ - 1о&,с = log -.
с
„	. b	b	п
Док, log — существует, т.к. — > 0.
а с	с
log*-log'	а1оед b ,ое«| „
а °	° =-----= — - а . Ч.т.д.
п,ое» с
23
Т. 4. Пусть существует log„6 Тогда для любого с > 0, с * I вег-
log b
ю равенство log„/? =-----—.
log^ а
Док. logc6 и Iogt.zz существуют, т.к. а>0, Ь>0. с > 0, с 1
logtzz 0, т.к. а Л 1 (т.к. существует log<,M.
Докажем равенство (logt.a)(logafe) = logc6:
log o log b log a log b log b	log b
c “ -{c ‘ )	= a " -b = c ‘ . Ч.т.д.
21.	Свойства логарифмической функции и ее график
Функция вида у = log^x, а > 0, а Ф 1, х > 0, называется лога-
рифмической.
7D(log£A) = (0; +оо); £(log„x) = R.
Функция не является периодической, четной или нечетной,
т.к. определена только для х > 0.
Пересечение с осью Ox: log,pc = 0 => х = 1, точка (1; 0).
При п>1 у(х)>0 при л > 1, у(х)< 0 при х е (0; О-
При 0< а < 1, у(х) > 0 на (0; 1), Хх)<0 на (1; +со).
Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений.
Свойство. При 0 < а < 1 функция убывает на всей области оп-
ределения, при о>1 — возрастает.
Док. Пусть X] > х2 > 0 и а > 0. я*08"*' = X] > х2 = a'0811 *2.
Т.к. основание показательной функции а > 1, то log^i > log^i.
Случай 0 < а < 1 доказывается аналогично. Ч т.д.
Асимптота графика функции — ось ординат х - 0.
22.	Свойства функции у = sinx и ее график
Рассмотрим круг с центром в (0; 0) и радиусом 1.
Для любого х е R можно провести радиус 0А так, что радиан-
ная мера угла между 0А и осью Ох равна а. Положительным счи-
тается направление против часовой стрелки. Пусть конец радиуса
24
А имеет координаты («; Ь). Число, равное ординате конца еди-
ничного радиуса, построенного описанным способом, называется
синусом угла а. и обозначается since.
Рассмотрим функцию у = sinx. Область определения D(sinx) = R.
Область значений E(sinr) = [-1; 1] (из построения).
Наименьший период Т = 2л.
Т.к. центральный угол, соогветствующий полной окружности,
рис. 22.1
рис. 22.2
равен 2л, то точки, соответствующие углам а,
(а+ 2л), (а+4л) и т.д., совпадают.
Т.к. круг симметричен относительно сво-
его диаметра, и равные углы при симметрии
переходят в равные, то ординаты углов а и
(-а) противоположны, т.е. sin(-x) = -sinx, т.е.
функция sinx нечетна.
Точки пересечения с осями. Из sinx = 0 по-
лучаем х = ли — точки пересечения с осью Ох; из sinO = у получа-
ем у = 0 — точка пересечения с осью Оу.
sinx > 0 при х е (2 л А; л + 2лА), к е Z;
sinx < 0 при х е (л + 2лА, 2л + 2лА), к е Z.
Наибольшее значение: sinx=l при х = — + 2лА , к е Z.
Наименьшее значение: sinx=-l при
л „
х = — + 2ли, и е Z.
2
Функция возрастает на промежут ках
л „ л „ 1
хе — + 2ли;—+ 2ли , и е Z,
2	2
убывает при х е - + 2лл; —+2ли
.2	2
График функции асимптот не имеет.
,neZ,
23.	Свойства функции^ = cosx и ее график
Рассмотрим единичную окружность и построения на ней, ана-
логичные вопросу № 22.
Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, задающего
угол а, называется косинусом угла а и обозначается cosa.
D(cosx) = R, E(cosx) = [-1; 1].
Наименьший период Т- 2л.
Построим на единичной окружности точки А и А', соответст-
вующие углам а и (-а). Т.к. круг симметричен относительно Ох, а
25
равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы,
ю точки А и А' симметричны относительно Ох, следовательно, их
абсциссы равны, т.е. cos(-x) = cosx, т.е. cosx — нечетная функция.
Л
Пересечение с Ох: найдем из уравнения cosx=0, т.е. х = — + тгп,
neZ. Пересечение с Оу: cosO =у => у = 1.
Промежутки знакопостоянства:
cosx > 0 при х е I _~+ 2л£; у + 2л& 1, к е Z;
5п Y
4п
Зл
2п
рис. 23.1
cosx < 0 при х е	+ 2пк\	+ 2пк I, к е Z.
Наибольшее значение: cosx = 1 при
х = 2ли, и е Z.
Наименьшее значение: cosx = -I при
х = л + 2ли, п е Z.
Функция возрастает на промежутках
х е [л + 2ли; 2л + 2ли], п е Z, убывает при
х е [2ли; л + 2ли], п е Z. График функции
асимптот не имеет.
24.	Свойства функции у = tgx и ее график
.	sin х	л , ,	„
Функция tgx- =------ при х * — + пк, к е Z, называется танген-
сов х--------------2
сом угла х.
Область определения — все действительные числа кроме то-
п
чек х = —ь пи , и е Z.
2
Область значений £(tgx) = (-оо; +оо). Наименьший положи-
тельный период Т- л. Для любого х е £>(tgx) справедливо
, sintx + л) -sinx
tg(x+n)=------— =--------=tgx, следовательно, л — период
cos(x+n) -cosx
функции.
_r . г. (sin х = 0	т
Пусть tgx = 0 <=> <	<=> х = ли, и е Z, т.е. л — наимень-
J	(cos х О
, , sin(-x) -sinx
шии период, tg(-x) =-----=-------= -tgx, функция нечетна.
cos(-x) cos X
26
Пересечение с осью абсцисс найдем из уравнения tgx = О,
х = ли, п е Z; с осью ординат из tgO = у => у = 0.
f , л i
tg х > 0 при х е I нк; — + nkl,keZ;
tgx < 0 при х е + лк; txaQ, к e Z.
Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений
Свойство Функция возрастает на каждом из интервалов
( п . л .V _
хе — + пк:— +пк к е Z.
12	2	)
Док. Рассмотрим интервал I 0; — I. Пусть 0<Х|< х2 < —.
Здесь sinx возрастает, a cosx убывает, по-
этому 0<sinxi<sinx2<l; 0 < cosx2 < cosx't < 1.
Поделив почленно неравенства одного
sin х	sin х
знака, получим -------<------— \ аналогично
COSXj cosx2
( 7U
рис. 24.1 доказывается возрастание на I-у;0 - Ч.т.д.
7Т
Г рафик имеет вертикальные асимптоты х = — + лк, к е Z.
25.	Свойства функции у = ctgx и ее график
Функция ctgx =---- при х лк, к е Z называется котангенсом
sinx
угла х. Область определения — все действительные числа кроме
точек х = тгк, к е Z, £(ctgx) = R, доказывается аналогично tgx.
Наименьший положительный период Т = л, доказывается ана-
логично tgx. Функция нечетна, аналогично tgx.
Пересечение с осью абсцисс найдем из
„л	-
ctgx = 0=? х = — + пп, п е Z.
2
Точек пересечения с Оу нет, т.к. при х = 0 функция не опреде-
лена, ctgx > 0 при х е I лЛ; — + пк I ,к е Z;
ctgx<0 при хе +лА; лА 1, к s Z.
27
рис 25.1
Функция не имеет наибольшего и наи-
меньшего значений.
Функция убывает на каждом из интер-
валов х е (ли; я+ пи), и е Z, доказательст-
во аналогично tgx.
График функции имеет вертикальные
асимптоты х = ли. и е Z.
26.	Основное тригонометрическое тождество
Т, 1. Для любого угла а справедливо sin2a + cos2a = 1.
Док, Координаты конца радиуса, составляющего угол а с
осью Ох — (cosa; sina).
Квадрат расстояния от точки (0; 0) до (cosa; sina):
(cosa - О)2 + (sina - О)2 = I2, т.к. окружность единичная.
Получаем sin2a + cos2a = 1. Ч.т.д.
Т. 2. Числа х и у является косинусом и синусом одного и того
же угла а о х2 +у2 = 1.
Док. Необходимость. Если х = cosa, у = sina, то по Т. 1.
х2+/=1.
Достаточность. Рассмотрим точку А(х; у).
Так как х2 + у2 = 1, то это означает, что т. А лежит на единич-
ной окружности. Следовательно, по определению х = cosa, у =
sina, где a — угол между осью Ох и вектором 0А. Ч.т.д.
27.	Зависимости между тригонометрическими
функциями одного угла
1) sin2 a + cos2a = 1;
2) tga 'ctga =
sma cosa
cosa sina
3)	cosa = ±Vl-sin2a ; sina = ±Vl-cos2 a , отсюда
sina	л	_	ж
tga ~±~ i -	, при a Ф — + nn, n e Z; «+» если a в I или
•yl-sin2 a
IV четверти; «-» если a в II или III четверти.
Vi-cos2 a	л	_ ,	.
tga = +---------, при a —+ли, n g Z; «+» если a в I или
cosa	2
II четверти; «-» если a в III или IV четверти.
28
4)	Разделив почленно 1 на sin2a или cos2a получим:
. 2 1
sin a =------— при a * пп, и е Z;
l	+ ctg2a
. 2
. 2 tg a	п	„
sin a =—-° , для a * — + т, п е Z.
1	+ tg a	2
2
2	ctg a	_
cos a =—-...... при a nn, n e Z;
l	+ ctgza
2	_	1	Я	v
cos a =------— при a * — + m,n e Z.
1 + tg a	2
28.	Формулы приведения
1)	sin(-a) = -sina; cos(-a) = cosa;
tg(-a) = -tga; ctg(-a) = -ctga,
позволяют избавляться от отрицательных углов.
2)	sin(a + 2т) = sina; cos(a + 2m) = cosa;
tg(a + 2яи) = tga; ctg(a + 2m) = ctga;
ие Z. Формулы позволяют избавиться от рас-
puc. 28.1 смотрения углов, больших 2я.
3)	sin(a + я) = -sina; cos(a + я) = -cosa;
tg(a + я) = tga; ctg(a + я) = ctga.
4)	sin —±a = cosa; cos —±a =Tsina :
<2 J	V J
. I Я .	1 _ .	I Я ,	) _
tg — ± a = Tctga ;	ctg — ± a = Ttga .
Док, Пусть углу a соответствует радиус ОМ, а а + у — ОР.
Дуги AM и АР равны => LOMM = ЬОРР', следовательно:
1)	ордината т. Р совпадает с абсциссой т. М, не отличается
. (я А
знаком, т.е. sm —+a =cosa;
U )
2)	абсцисса т. Р по модулю равна ординате т. М, но отличается
знаком, т.е. cosla + —1= -sina. Остальные равенства доказыва-
ются аналогично.
29
29.	Тригонометрические функции суммы
и разности двух углов
.. у	Т. 1, cos(a ± Р) = cosacosp т sinasinP;
S" ~ILB sin(a т Р) = sinacosp ± cosasinp.
//Д« Док. Пусть углу а соответствует радиус ОМ,
----- 5tx7,yL»x р —	(а~Р) — ОВ, т. А лежит на пересече-
. J нии окружности и Ох.
Z.MON - Z.BOA = |a - р| — по построению,
рис 291 ом = OB = ON = ОА => hOMN = ЛОВЛ =>
MN = AB.
Найдем длины этих отрезков через координаты их концов.
Л В2 = (cos(a-P) - I)2 - (sin(a - Р) - О)2 = 2 - 2cos(a - Р);
MN2 - (cosa - cosp)2 + (sina - sinP)2 =
= 2- 2(cosacosP + sinasinP);
AB - MN => cos(a - P) = cosacosp + sinasinp.
Если угол (a - P) кратен n, то получим:
cos(tw) = cos(P + nw)cosp + sin(P + 7tn)sinp, n e Z.
Откуда(-1)" = (-l)"cos2p + (~l)"sin2p — это основное тригоно-
метрическое тождество.
Случай cos(a + Р) сводится к доказанному путем представле-
ния (a + Р) = (а - (-Р)).
В случае sin(a ± Р) необходимо воспользоваться формулами
приведения:
sin(a + р) = cos
--al-p
2 J
и т.д. Ч.т.д.
Т. 2. tg(a ± Р) =
tga ± tgp
I + tgatgP
л , „ л
, a * —I- л« • Р* — + ли;
2	2
Я
(а ± Р) — + пт , к, п, т е Z.
Док. tg(a + Р) =
sin a cos р +cosasinp
cos a cos р - sin a sin р
sin a cos р + cos a sin Р
_____cosacosp________ tga + tgP
cos a cosp-sinasinp 1-tgatgP
cosacosp
Hi ctg^a ± P) =
ctgactgp T1
ctgP ± ctga
30
(a ± Р) пп, a * пк, Р ф пт, к,п,те Z.
Доказывается аналогично Т. 2.
30.	Тригонометрические функции двойного угла
sin2a = 2sinacosa;
cos2a = cos2a - sin2a= 1 - sin2a = 2cos2a - 1;
„ 2tga n , n ,	„
tg2a =---—, a	+ nk, a *—+nn, k, n e Z;
l-tg2a 2	4
_ ctg2a-l	nk ,
ctg2a =-------, a * — ,k&Z.
2ctga	2
Выводятся из формул вопроса № 29, если положить р = а.
31.	Тригонометрические функции
половинного угла
„ . 2 a l-cos2a 2« 1 + cosa	a sina
T.sin — =-------; cos — =-------;tg— =-------,
2	2	2	2	2 1+cosa
а Ф n + 2nk, к e Z.
Док. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и ос-
новным тригонометрическим тождеством.
. 2 а ,
sin — = 1 - cos
2
с„-------2 «
2
2 а
2 ’
• 2 а
2 a . 2 a „	2d,	2 a	I + cos a
cosa = cos-sin — = 2 cos-1 cos — =------
2	2	2
2
2d .	.2d
cos — = 1—sin —;
2	2
f, -2d
cosa =1-sin —
I 2
. 2 a
-sin —
2
. ;а 1-cosa
sin — = ——
2	2
.a _ . a a
sin- 2 sin—cos—
tg«=2-	2	2
2 a -	2 a
cos—	2 cos —
2	2
sina
I + cos a
32.	Выражение тригонометрических функций
через тангенс половинного угла
Т. При а ч* п + 2пп, п е Z, справедливы тождества:
31
Л сс
2tgy
Если дополнительно
„	2 СС	,	2 а
!-tg -	1-tg -
sin а =------— ; cos а =-----—; ctga =-------— .
, х 2 а	, , 2 а	а
1	+ tg -	1 + tg -	2tg-
выполнено а * — + пк. к е Z, то
2
„ а
2tgy
,ва=г^
2
„	.	„ . а
Док, sin а =2siny
а „
cos—= 2
2
. а а
sin —cos —
2	2
2	Ct . 2 а
cos —+ sin —
2	2
2tgf
. а а
sm—cos—
2	2
cos2“
= 2-------—
2 а . 2 а , . 2 а
cos —+ sin — 1 + tg —
2	2	2
2 а
cos —
2
Аналогично для остальных формул. Ч.т.д.
Выражение функций через тангенс половинного угла называ-
ется универсальной тригонометрической подстановкой.
33. Преобразование произведения
тригонометрических функций в сумму
„ costa -В)-costa + В)
Т. sin a sm В = —----------*--—;
—	2
„ cos(a - В) + costa + В)
cos a cos р =---------------;
sinacosp=sitl(<;t ^)+s‘nta + ^\
P	2
Док. sin(a + P) = sinacosp + cosasinP;
sin(a - P) = sinacosp - cosasinp.
Сложим эти два равенства и поделим на 2:
sinta + Р) + sinta - Р)	_
—i----—----------— = sin a cos P .
2
32
Остальные формулы выводятся аналогично, используя фор-
мулы для cos(a ± Р). Ч.т.д.
34. Преобразование суммы и разности
тригонометрических функций в произведение
Т. 1. sina + sinp =2sin a + ^cos——&;
--	2	2
. _ _ a+p . a-P
sma - smp = 2 cos —sin —~;
a+p a-P
cosa + cosp =2 cos--cos--:
2	2
. a + p . a-P
cosa - cosp = -2 sm —sm —.
Док. Используем формулу из вопроса № 33:
cos(x - у) - cos(x + у)
smxsmy=---------—1——.
„	a+Pa-P
Обозначим a = x + j, р=х-у=> х = —, у - —полу-
. „ „ . a + Р а-р
чим sma + smp =2sm—1—cos----.
2	2
Остальные формулы доказываются аналогично.
~ ~ n sin(a+P)
Т. 2, tga ± tgP =—i
cos a cosр
а Ф — + Ttk, [3	+ я/?, n. к g z.
2	2
ctga ± ctgP ~	~ a) a * nk, P ли, и, к e Z.
sin a sin p
Док, tga + tgP =
sina sinp _ sin a cos P + sin P cos a _ sin(a +P)
cosa cosp cos a cosp cos a cosp
Остальные формулы доказываются аналогично.
35.	Преобразование выражения «sina + Фсоьа
с помощью дополнительного аргумента
Пусть а, b не равны нулю одновременно. Обозначим
-------- Z х2 /,и
/ 2 , , 2 „	( а ]	(Ь 1
с-\'а + b	Заметим, что I— + — =1, это значит, что
< с J	\с J
3-3638
33
— = cos<p, — = sin<p, где <p — некоторый угол. Можно выбрать
<p = -arccos
при b > О
Получим:
asina + fecosa = c(sinacos<p + cosasinrp) = csin(<p + a).
36.	Решение простейших
тригонометрических уравнений
1.	Решение уравнения sinx = а. Арксину-
сом числа а, а е [-1; 1], называется число из
п п
I /а/<1 отрезка —такое, что его синус равен
L 2 2
' Х	ч
а. Исходя из определения синуса, сведем
решение уравнения к поиску точек пересе-
чения прямой у = а и единичной окружно-
рис. 36.1
сти.
Если |а| > 1, то пересечений нет и уравнение не имеет реше-
ний.
Если |а| = 1, то прямая имеет с окружностью одну общую точ-
ку.
Если |a| < 1, то есть две различных точки пересечения.
Каждой найденной точке соответствует бесконечное множе-
ство точек вида х + 2лл, п е Z.
Решения уравнения:
х = arcsina + 2тги, п е Z — соответствует точке А.
х = л - arcsina + 2ли, п е Z — соответствует точке В.
Эти решения можно объединить:
х = (~l)”arcsina + Tin, и е Z.
2.	Решение уравнения соях = а.
Арккосинусом числа а, а е [-1; 1], называется число из отрез-
ка [0; л] такое, что его косинус равен а.
Исходя из определения косинуса, сведем решение уравнения к
поиску точек пересечения единичной окружности и прямой х = а.
Рассуждения аналогичны поиску решений для уравнения
х = sina.
Решения:
х = arccos а + 2ли, п е Z — соответствует точке А.
х = -arccosa + 2лп, п е Z — соответствует точке В.
34
Решения можно объединить в одну запись:
х = iarccosa + пп, п g Z.
3. Решение уравнения tgx = а.
Арктангенсом числа а называется число из
( п
интервала I — I такое, что его тангенс ра-
вен а. Так как тангенс угла — это отношение
ординаты конца соответствующего единично-
го радиуса к его абсциссе, то для решения
рис. 36.2 уравнения необходимо найти все точки пере-
сечения прямой = ах с единичной окружностью.
По теореме о взаимном расположении прямой и окружности
на плоскости при любых а существует две точки пересечения,
расположенные симметрично относительно начала координат
Учитывая периодичность тангенса, запишем решение:
х — arctga + пп, п е Z.
4.	Решение уравнения ctgx = а.
Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала
(0; я), что его котангенс равен а.
Рассуждения аналогичны поиску решений для уравнения tgx=«.
Решения: х = arcctga + пп, п е Z.
37.	Понятие производной функции.
Основные соотношения
Пусть/(х) определена на некотором интервале (а, Ь), х0 е (а, Ь).
Приращение аргумента в точке х0: Ах = х - х0, х, х0 е {а, Ь).
Приращение функции в точке х0, соответствующее Ах:
4/(хс) =/х0 + Ах) -/(хс).
Производной функцииДх) в точке х называется предел отно-
шения А/" к Ах при стремлении Ах к нулю, если такой предел су-
ществует и конечен:
г, \ г /(х + Лх)-/(х)
у (х) = 11ГП —--- 	’ .
Дх->0	Дх
Таблица 1
Производные элементарных функций
fix)	/(*)	fix)	f{x)
у=с	У = 0	у~ ах+ Ь	У'^а
у = х2	У = 2х	у = х3	У = Зх2
3
35
fix)		/w	fix)	
у=± X	, -1	y = Jx	у ’ 2Vx
у = х°	У = ох^	y = (f	У = й*1п«
у = 1пх	, 1 у=т	у = 1о&д	у'-	 ’ xlna
у — sinx	у' = cosx	у = cosx	У - -sina
y = tgx		у = Ctgx	/=-4- sin’x
у = arcsinx	y=-JL- /ьх2	у = arccosx	y=--JL- /ь7
у = arctgx	у,=т^	у - arcctgx	/--—г 1 + х2
Если в т. х существуют производные функций к(х), v(x), то
справедливы соотношения:
(и ± v)' = и' + v'; (и • v)' = w'y + лу'; I =-----------; у * 0.
38.	Уравнение касательной к графику функции
Касательной к графику функции Дх) в точке
VY / Л/0(х0; fix0)) называется предельное положение
/ секущей Л/уИ (если оно существует и единст-
2 \ х венно) при стремлении точки М к точке Л/о.
4 Запишем уравнение секущей, проходящей
через М(адЛ^о)) и M^o+^;/xo+Ax)):
ИС. 38.1	„ . f(x + Дх)-Дх )
У -Л*о) =--у  ----—— (х - х ),
Аг
при Ах ->0 уравнение секущей становится уравнением каса-
тельной: у =f(x0)(x - х0) +fix0).
Если производная в т. х0 не существует, то к ней нельзя провес-
ти касательную, например, в т. х0 - 0 дляДх) ~ И-
39.	Первообразна» и неопределенный интеграл
Пусть на некотором промежутке выполняется /^(х) =fix), то-
гда функция у - F(x) называется первообразной для функции
У =fix).
L-L Пусть F(x) — первообразная для/(х) на некотором про-
межутке, тогда функция F(x) + С тоже является первообразной
для/(х) на том же промежутке, где С— произвольная константа.
36
Док. По формуле производной суммы получим:
(F(x) + Q' = F(x) + С Ч.т.д.
Т. 2. Пусть F(x) — первообразная дляДх), G(x) — для g(x), то-
гда F(x) + (fix) — первообразная для/(х) + g(x).
Пусть F(x) — первообразная для fix), к — константа, тогда
kF(x) — первообразная для kfix).
Пусть F(x) — первообразная для fix), к, b — константы, к*0,
тогда — F(kx + b) — первообразная juixfikx + b)
к
Таблица 2
Первообразные элементарных функций
Ах)		F(x)
0	C
1	x + C
X	(x2/2) + C
х”, п ^-1	И+1 X 	+ c И + 1
1/х,х-> 0	Inx + C
1/х2	~(l/x) + C
1 Тх	2-Vx + c
ех	ex + C
sinx	-cosx + C
cosx	sinx + C
1 sin2 х	-ctgx+ C
	1 2 COS X	tgx + C
Если у функции Дх) на некотором промежутке существует
первообразная F(x), то множество всех функций вида F(x) + С
называется неопределенным интегралом от функции fix} и обо-
значается J./'(x)Jx.
Неопределенные интегралы элементарных функций
Формулы интегрирования:
1.	[1<А = х + С;	2. [x”<&= ——+ С,и*1;
J	J и+1
_ rdx .	_	„	, rdx 1
3. I— = lnx + C,x>0;	4. I—— =—+C ;
J x	Jx x
5. J-^ = 2>/x+C;	6. ^ex dx = e* + C •,
7. jsinxtfr =-cosx + C;	8. Jcosxffr = sinx + C;
9. [	= -ctgx+C; 10. [—= tgx+C.
Jsin x	•'cos x
Правила интегрирования:
КЯ*) + g(x))(& = [fix)dx + lg(x)dx, если {/(x)t& и \g(x)dx сущест-
вуют. jkfix)dx = k)fix)dx
Если [fix)dx = F(x)+C, to {/(Ax+/?)=i F(kx + b), при к & 0.
40.	Определенный интеграл.
Формула Ныотона-Ленбница
Пусть нам необходимо рассчитать площадь фигуры, ограни-
ченной графиком у = fix), и прямыми у - 0, х = а, х = Ь. Для про-
стоты предполагаем, что_Дх) > 0 на [а; Ь].
Разобьем отрезок [о; £] на п равных частей точками
х0 = а0 < Xi < ... < х„ = Ь. На каждом из отрезков [х*_(, х*] построим
прямоугольник высотыДх^]). Сумма площадей всех прямоуголь-
ников:
При неограниченном увеличении п существует предел
S = lim который является искомой площадью. Этот пре-
Л-4ОО
58
дел называется определенным интегралом J(x) от а до b и обозна-
ь .
чается jf(x)dx.
а
Теорема из курса математического анализа (без доказательства).
Т. 1. Если функцияу =fix) непрерывна на [a; />], то справедли-
ь ‘
ва формула: J f (x)dx = F(b) - F(a), где F(x) — первообразная для
а
fix). Это формула Ньютона—Лейбница.
41.	Свойства вертикальных и смежных углов
Точка А, лежащая на прямой, разбивает ее на два множества
точек, лежащих по одну сторону от А, называемых полупрямыми.
Полупрямая вместе с точкой А — луч. Различные лучи на од-
ной прямой, имеющие общие начало, называются дополнитель-
ными.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона об-
щая, а две другие являются дополнительными лучами.
Сумма смежных углов равна 180°.
Углы, смежные с равными, равны.
Два угла, не имеющие общих точек, кроме вершины, называ-
ются вертикальными, если стороны одного составляют продол-
жение сторон другого.
Т. 1. Вертикальные углы равны.
Каждый из вертикальных углов являются смежными с одним
и тем же углом, следовательно, они равны (из свойства смежных
углов). Ч.т.д.
42.	Свойства равнобедренного треугольника
в	Т, 1. Пусть АВС — равнобедренный треуголь-
/ ник, АВ = ВС, тогда:
/ \ биссектриса угла В одновременно и медиана, и
Г \ высота, углы при основании ЛА и АС равны.
L----j----X Док. «Повернем» txABD вокруг биссектрисы
ис 42 1 Так’ чт°бы сторона АВ совпала с ВС. Они сов-
падут, т.к. AABD = ADBC и АВ = ВС, и значит,
отрезок AD совпадет с отрезком DC, следовательно, BD ме-
диана. Из того, что совпавшие углы ABDC и ABDA образуют
развернутый угол и равны, следует, что они прямые и значит.
BD — высота. Ч.т.д.
39
43.	Признаки равенства треугольников
Два треугольника называются равными, если их можно нало-
жить друг на друга так, чтобы они совпали.
Т.	1. (Первый признак равенства треугольников - по двум
сторонам и углу между ними).
Если в ДАВС и	/ВАС = ZB^iCj, АВ = AtBx,
AC = AjCi, то ДАВС = A/liB|Cj.
Док. Наложим Zl41BjC1 на ДАВС так, чтобы А совпала с At и
С] лежала на прямой АС с той стороны от А, что и С. Тогда С
совпадет с С] (т.к. АС = АРх), прямая АВ совпадет с прямой A<Bt
(т.к. /ВАС = ZBiAiCi) и АВ совпадет с AtBx (т.к. АВ = AxBt). То-
гда совпадают и стороны ВС и Вр, значит, ДАВС = ДАхВхСх.
Ч.т.д.
Т.	2. (Второй признак равенства треугольников - по стороне и
прилежащим к ней углам).
Если в ДАВС и	ВС = BxCt, /АСВ = Z/^CiBj,
/АВС =/АхВхСх, то ДАВС = ДАхВхСх. 
Док. Наложим ЛЛ^С] на ДАВС так, чтобы С совпала с Cj и
Bi лежала на прямой СВ с той же стороны от С, что и В. Тогда В
совпадет с В] (т.к. ВС = BjC,) и совпадут прямые АС, АВ-и/ЦСх,
AiB1 соответственно (т.к. Z.4CB = /АРРх и А А ВС = ZJjBiCi).
Тогда совпадут и вершины А и At, значит, ДАВС= ДАхВРх.Ч.т.я.
Т.	3. (Третий признак равенства треугольников - по трем сто-
ронам).
Еслив ДАВС и AAiBtCt АВ = AtBt,
\ АС= AiCi, ВС = Врь то ДАВС = A^BjCp
\ Док. Приложим ДА\ВРх к ДАВС так, чтобы
~~/с В, С и Вь Ci, соответственно, совпали и верши-
/ ны А и At лежали по разные стороны от прямой
А' ВС (рис. 43.1). Тогда ДАВАх и ДАСАх — равно-
рис. 43.1 бедренные и /ВААХ — /ВАхА, /СААХ — /СА\А
=> /ВАС = /ВА\С => ДАВС = ДАхВС (по первому признаку) =>
ДАВС = ДАхВхСх.Чл.я.
44.	Внешний угол треугольника и его свойства
Угол, смежный углу треугольника, называется внешним уг-
лом этого треугольника.
Т. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего,
не смежного с ним.
40
Док, Докажем, что в ДАВС (рис. 44.1)
внешний угол ABCD больше ААВС и ABAC.
Пусть AM— медиана ДАВС (т.е. ВМ= СМ),
ВЕ лежит на прямой AM и AM = ME. Тогда
ДАВМ = ДМЕС (по первому признаку) =>
F ААВС - АЕСВ. Но так как АВСЕ есть часть
ABCD, то ААВС меньше ABCD. Продолжим
ВС за точку С => AACF = ABCD. Далее аналогичным описанному
выше построению (проводя медиану из вершины В) получим, что
АВА С также меньше ABCD. Ч.т.д.
Из теоремы следует, что если АВСА — прямой или тупой,
то ААВС и ABAC — острые (поскольку угол, смежный к пря-
мому — прямой, а к тупому — острый).
45.	Признаки равенства прямоугольных треугольников
Т, 1. Треугольники ДАВС и ДАiBiCb где АС и АС\ — прямые,
равные, если:
l)/iC = ^iCi nBC = BiC};
2)BC = BiCinAB = ABi.
Признак 1 — частный случай первого признака «равенства
треугольников», признак 2 — частный случай второго признака
«равенства треугольников».
Т. 2. Треугольники ДАВС и	где АС и АС\ — прямые,
равны, если:
1) АВ = А{В\ и ВС = B,Ci;
2) АВ = AiBi и ААВС = AAiBiCt.
ЁР^ 1) Наложим ДЛ151С1 на ДАВС так, чтобы В, С и Вь Сь
соответственно, совпали. Тогда лучи АС и AiCt совпадут (т.к.
AC JL ВС и А-С\ X В\С\) н совпадут вершины Ai и А (поскольку
иначе BA #BAt)=> ДАВС = ДА
2) Наложим ATjBiCi на ДАВС так, чтобы А, В и Alt Bh соот-
ветственно, совпали. Тогда совпадут лучи ВС и BtC\ (т.к.
ААВС = AAiBxCi). Тогда и точки С и Q также совпадут (т.к.
АС ± ВС и ACi JL ВСь а из точки на прямую перпендикуляр мож-
но опустить единственным образом) => ДАВС = ДА}В{СЛ. Ч.т.д.
46. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку
Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпен-
дикуч„рная отрезку и проходящая через его середину.
41
11	T. 1. Пусть/ — серединный перпендикуляр
L, к отрезку АВ. Тогда для любой точки М е I,
7Т\	AM = ВМ(рис. 46.1).
/ I	Док. В прямоугольнике NAMO и l^BMO
----------^в катет МО — общий и АО = ОВ => NAMO =
рис. 46.1-= NBMO => АМ= ВМ. Ч.т.д.
Т. 2. Если AM = ВМ, то М е I (I — сере-
динный перпендикуляр к АВ).
Док. Проведем через Мпрямую Г ± АВ, Г о 4В = О.
Тогда в прямоугольных NAMO и NBMO AM = МВ — гипоте-
нузы и катет ОМ— общий => NAMO = NBMO =>
=> АО = ОВ Г -1—серединный перпендикуляр к
АВ^>Ме. /.Ч.т.д.
47. Свойство биссектрисы угла
Т. 1, Пусть ОМ — биссектриса /А ОВ
(т.е. /АОМ- /ВОМ). Тогда для любой точ-
ЧИ К е ОМ, КС = KD, где КС 1 ОА, KD 1 ОВ
(рис. 47.1).
в Док, В прямоугольных NOCK и NODK
рис. 47.1	ОК— общая гипотенуза и /COK-/DOK
КОС К = NODK => КС = KD. Ч.т.д.
Т. 2, Пусть точка К лежит внутри /АОВ и КС = KD
(КС 1ОА,КО1 ОВ). Тогда К е ОМ.
Док. В прямоугольных NOKC и NOKD СК = DK — катеты,
ОК — общая гипотенуза => NOKC = NOKD => /СОК = /DOK =>
=> К е ОМ. Ч.т.д.
48. Теоремы о параллельных прямых на плоскости
Две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и
не имеют общих точек или совпадают.
Аксиома параллельных прямых. Пусть I — прямая. Тогда че-
рез точку А £ I можно провести единственную прямую /' || /.
Следствие 1. Если а || Ь и с пересекает а, то с пере ;екает Ь.
Следствие 2. Если а || b и а || с, то b || с.
Пусть прямые а и b пересечены прямой с. Тогда получается 8
углов, имеющих названия (рис. 48.1):
накрест лежащие: Z3 и Z5, Z4 и Z6 — внутренние;
Z1 и Z7, Z2 и Z8 — внешние;
42
односторонние: Z4 и Z5, Z3 и Z6 — внут-
'— ренние; Z1 и Z86 Z2 и Z7 — внешние; соответ-
7"	ственные: Z1 и Z5, Z4 и Z8, Z2 и Z6, Z3 и Z7
5/	Т. 1, (признаки параллельности двух пря-
мых),
'	Пусть прямые а и Ь пересечены прямой с и:
рис. 48.1	]) какие-либо соответственные углы равны,
или
2) какие-либо накрест лежащие углы равны, или
3) сумма каких-либо двух внутренних или каких-либо двух
внешних односторонних углов равна 180°, то а || Ь.
Док. Пусть Z2 = Z 6. Пусть а п Ь = К, К лежит справа от с.
Тогда получим треугольник, в котором Z2 — внешний, Z6 —
внутренний, не смежный с Z2 => Z2 > Z6 — противоречие. Если
К лежит слеза от с, то по аналогичным соображениям имеем:
Z6 > Z4 = Z2 — противоречие. Все остальные случаи легко сво-
дятся к рассматриваемому. Ч.т.д.
Т. 2. (обратная к Т. 1.). Пусть а || b и прямые а и Ъ пересечены
с. Тогда:
1)	соответственные углы равны;
2)	накрест лежащие углы равны;
3)	сумма внутренних односторонних углов равна 18С°;
с а* 4) сумма внешних односторонних углов
в-___,с№-~—' равна 180°.
/	' Док. Докажем, что Zl = Z2. Пусть
ь /2	Zl > Z2, а г\ с = О (рис. 48.2). Построим
7	прямую а', проходящую через О', образую-
рис. 48.2 щую с с угол Z3 = Z2. Ио тогда а * d, а || Ь,
a(~\d = О — противоречие.
Остальные утверждения доказываются аналогично. Ч.т.д.
49.	Теорема о сумме внутренних
углэв треу г» льячка
в	в Т. Сумма углов треугольника равна 180°.
Док. Пусть CD — продолжение АС (рис.
49.1)	, С£||ЛВ=>
=> ABAC = AECD, ААВС = АВСЕ и ААСВ 4
с D	+ АВСЕ + AECD= ’.80° => и в ЛА ВС: АЛ т
рис. 49.1 тАВ+АС= 180°. Ч.1.д.
43
50.	Теорема о сумме внутренних
углов выпуклого многоугольника
Многоугольник М называется выпуклым, если для любых А, В
е Л/ отрезок АВ с М.
Т. Сумма углов выпуклого «-угольника равна (и - 2) • 180°.
Док. Возьмем внутри многоугольника точку О и соединим со
всеми вершинами Аи ..., А„ «-угольника. Получим п треугольни-
ков. Тогда сумма углов «-угольника будет равна 180° • п~
(ААХОА2+АА2ОА3 +...+ ЛА„ОА () «
= 180° • л - 360° = 180°•(н - 2). Ч.т.д.
51.	Свойства и признаки параллелограмма
Параллелограмм — 4-угольник, в котором противоположные
стороны попарно параллельны.
------------j с Т. 1. (свойство сторон и углов паралле-
/	/ лограмма).
/ X. /	Пусть Л BCD— параллелограмм.
/	Тогда ЛВ = СО, ЛС = ВО, ZZ = ZC,
л 1----------- D ZB = Z.D и ZA + Z.B = 180° (рис. 51.1).
рис' 51А	Док, Zl = Z4, Z2 = Z3 (как накрест ле-
жащие при параллельных прямых) => &ABD = t^BCD => АВ- CD,
АС = BD, АА = ZC, ZB =Z1 + Z2 = Z3 + Z4 = ZC.
Z.A + Z.B = 180°, т.к. ZT и ZB — внутренние односторонние
при параллельных прямых ADu ВС и секущей АВ. Ч.т.д.
Т. 2. (признаки параллелограмма).
Если в выпуклом 4-угольнике A BCD'.
или 1) АВ = CD и AC- BD,
или 2) АВ = CD и АВ || CD, то ABCD — параллелограмм.
Док. 1) &ABD = \BDC (по третьему npjnHaKy)=>Zl = Z4, Z2 =
= Z3 => АВ || CD, AD || ВС => ABCD — параллелограмм.
2) &ABD - DB DC (по первому- признаку) => ABCD — паралле-
лограмм. Ч.т.д.
в ------------- с т. 3. (свойство диагоналей).
/ \0	/ Пусть ABCD — параллелограмм, АС г\
/ / BD=O-
Зх/	Тогда АО = ОС и в0 “ OD <РИС- 51 -2)-
*	с,-,	°	Док. ДЛОО = двое (т.к. АР = В, Z1 =
3/ 2	- Z2, Z3 - Z4) = ЛО - ОС, ВО - OD.
Ч.т.д.
44
Т. 4. (признак параллелограмма). Пусть ABCD — 4-угольник,
AC, BD — его диагонали, AC п BD - О, АО = ОС, ВО = OD. То-
гда ABCD — параллелограмм.
Док. AAOD = ЕВОС (по первому признаку) Zl = Z2, Z3 = Z4
AD = ВС, т.е. AD || ВС и AD = ВС => ABCD — параллелограмм.
Ч.т.д.
52.	Теорема Фалеса
рис. 52.1
Т. (Фалеса). Пусть имеется угол АОВ,
А\, А2, ... £ ОА, А]Аз ~ Я2Я3 ~	~	1
А\В2 У..., В], В2, ... G ОВ. Тогда В\В2 ~ Д?Дз
= ... (рис. 52.1).
Док. Пусть А ,С, || ОВ, ЛгС2 || ОВ.
Тогда AAiA2Ci = /\А2А3С2 (по второму
признаку) =>AlCi=A2C2 => Д1В2 = В2В3 (т.к.
AiCiB1Bl и А2С2В3В1 — параллелограммы).
53.	Свойство средней линии треугольника
в	Средняя линия треугольника — это отрезок,
соединяющий середины двух его сторон.
/	\ Т. Пусть DE — средняя линия ЕАВС (рис.
53.1)	. Тогда Д>Д ||ЛСи ОД = 1/2ЛС.
/	/ \ Док. Проведем через О прямую /1| АС
------Тогда 1 пересечет ВС в Д (по т. Фалеса), т.е.
рис. 53.1 DE\\AC.
Проведем EF || АВ. Тогда AF = FC (по т.
Фалеса) и ОД = AF (т.к. ADEF — параллелограмм) ОД ='/г АС.
Ч.т.д.
54.	Свойства средней линии трапеции
Трапеция — это 4-угольник, в котором 2 противоположные
стороны параллельны (основания трапеции), а 2 другие — нет
(боковые стороны трапеции).
Средняя линия трапеции •— это отрезок, соединяющий сере-
дины ее боковых сторон.
Т. Пусть PQ — средняя линия трапеции
ABCD.
Тогда PQ || AD, PQ || ВС, PQ =±(AD + ВС)
(рис 54.1).
рис. 54. /	Док, Пусть прямая BQ пересекает прямую
AD в точке Д. Тогда EBCQ = EEDQ {по второму признаку, г.к
45
CQ = QD, ABQC = ZEQD, Z.BCQ = Z.EDQ) =5 DE = BC, BQ = QE,
т.е. PQ — средняя линия EABE, причем AE=AD+BC=>PQ || AD,
PQ\\BC, PQ=^(AD + BQ. Ч.т.д.
55.	Окружность. Свойство касательной к окружности
Окружность — множество всех точек, равноудаленных от
данной точки (центра окружности). Радиус окружности — отре-
зок, соединяющий точку окружности с ее центром. Секущая —
прямая, проходящая через 2 точки окружности. Хорда — отрезок,
соединяющий 2 точки окруж юсти. Диаметр — хорда, проходя-
щая через центр. Касательная — прямая, лежащая в одной плос-
кости с окружностью и имеющая с ней только одну общую точку
(точку касания).
_______а	в	Т. 1. (свойство касательной). Пусть прямая
I	а касается окружное! и с центром в О в точке А
( и ] (рис. 55.1). Тогда ОА ± а.
\	0	J	Док. Для всякой В е а ОВ > ОА => ОА ± а.
У Ч.т.д.
ркс j	Т. 2. Пусть А лежит вне окружности, АВ и
АС — касательные. Тогда АВ = АС и Z.BAO =
в	Z.OAC (рис. 55.2).
f	Л Д°к- Д^® = ДОЛ С (т.к. они прямоуголь-
( °\l/ ные, ОВ = ОС — радиусы окружности, ОА —
\	общая гипотенуза) => АВ = AC, Z.BAO -
4 = АО АС. Ч.т.д.
рис. 55.2	Т. 3. (обратная к Т. 1). Пусть О А — радиус
окружности, а ± ОА, А е а. Тогда а — касательная.
Док. Т.к. для любой В е а ОА < ОВ, то окружность имеет с
прямой а одну общую точку А^> а — касательная. Ч.т.д.
56. Теоремы о вписанных углах
в	Центральный угол — угол, образованный двумя
У"7 X радиусами окружности. Вписанный угол — угол,
/	\ образованный двумя хордами, проведенными из
/ s ° I одной точки окружности.
J Т. 1. Пусть ААВС — вписанный в окружности с
с центром О. Тогда ААВС=—AC иАС.
рис. 56.1	2
Док. 1) О е ВС (рис. 56.1).
46
в
D
Тогда иАС = ZAOC = ZBAO + ZABO = 2ZABC (т.к. в MOB,
AO = ВО и ZAOC — внешний);
2) О внутри ZABC (рис. 56.2).
Тогда ZABOZABD+ZDBC = -Л£> + — DC =
2	2
= — AC.
2
рис. 56.2
3) О вне ZABC (рис. 56.3).
(/ о	А Тогда ZABOZABD - ZCBD =-AD -—CD =
\/ I	2	2
KJL/ =1jc.
°	2
рис. 56.3
Т. 2. Пусть АЕ и DC — хорды, пересекающиеся
внутри круга (рис. 56.4). Тогда ZABC = ~(^С +
----Z DE).
рис. 56.4
Док. ZABC = ZCDA + ZDAE как внешний для MDB.
ZCDA= - АС, ZDAE= - DE =>ZABC= — (AC + DE).
2	2	2
T, 3. Пусть АЕ и CD — хорды, пересекающиеся вне круга
Док. ZADC = ZABC + ZEAD как внешний для MBD.
ZADC^AC, ZEAD^DE =>ZABC= ^(ЯС + DE). Ч.т.д.
47
57.	Теорема об угле, образованном касательной и хордой
Т. Угол между касательной и хордой равен половине заклю-
ченной внутри него дуги.
Док. Если хорда является диаметром, то ут-
верждение очевидно (угол между касательной
и хордой равен 90°).
Пусть теперь этот угол острый (рис. 57.1).
Тогда Z.ACD = ЛАСЕ - Z.DCE (СЕ — диа-
вметр), т.е. Z.ACD = —CDE - -DE = —АС.
	2	2	2
Аналогично доказывается для случая тупого угла. Ч.т.д.
58.	Теорема об окружности,
описанной около треугольника
Описанная около треугольника окружность — окружность, на
которой лежат все его вершины.
Т. Около любого треугольника можно описать единственную
окружность.
Док. Пусть р и q — серединные перпендикуляры к сторонам
АВ и А С, соответственно, ДЛВС, pc\q- О. Тогда АО = ВО и АО =
СО, т.е. АО = ВО = СО => А, В, С лежат на окружности с центром
О радиуса АО. Эта окружность единственна, т.к. р и q могут пе-
ресекаться только в одной точке.
Точка О также принадлежит серединному перпендикуляру г
к АС, т.е. серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке. Ч.т.д.
59.	Теорема об окружности, вписанной в треугольник
Вписанная в треугольник окружность — окружность, которой
касаются все его стороны.
Т. В любой треугольник можно вписать единственную окруж-
ность.
Док. Пусть ри q — биссектрисы Z.A и ZC, соответственно,
Z.ABC, р r>q- О. Тогда, опустив перпендикуляры OR, OP, OQ на
стороны АВ, ВС, АС, соответственно, получим OP = OR = OQ, т.е.
окружность с центром в О радиуса OR — вписанная в ДЛВС.
Единственность следует из того, что р и q могут пересекаться
только в одной точке.
Точка О также принадлежит биссектрисе г угла Z.B, т.е. бис-
сектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Ч.т.д.
48
60.	Свойства четырехугольника,
вписанного в окружность
в	4-угольник вписан в окружность, если все его
©вершины лежат на этой окружности.
Т. 1. Пусть 4-угольник ABCD вписан в ок-
ружность
(рис. 60.1). Тогда ZA + ZC =АВ + ZD = 180°.
' 1 и 1 и
ZB = -ADC, AD = — АВС	ZB + ZD =
и	1	2
рис. 60.1	и и
= -(ADC+ABC) =	• 360°= 180°.
Аналогично АА + ZC= 180°. Ч.т.д.
Т. 2, (обратная к Т. 1). Пусть в выпуклом 4-угольнике ABCD
ZT + ZC = ZB + ZD = 180°. Тогда вокруг него можно описать
окружность.
Док. Проведем через точки А, В, С окружность. Тогда имеем: D
лежит внутри этой окружности^ ZBiZD> 180°; D лежит снаружи
этой окружности АВ + ZD < 180°. Значит, D лежит на этой ок-
ружности. Ч.т.д.
61.	Свойство четырехугольника,
описанного около окружности
Описанный около окружности 4-угольник — 4-угольник, все
стороны которого касаются этой окружности.
Т. 1. Пусть 4-угольник ABCD описан около окружности (рис.
61.1)	. Тогда АВ + DC = AD + ВС.
рис. 61.1
Док. Пусть М, N, Р, Q — точки касания сторон АВ, ВС, CD,
АС, соответственно, с окружностью.
Тогда AM = AQ, ВМ = BN, CN = СР, DP = DQ^> АВ + DC =
= АМ + ВМ + DP 4- СР = A Q + DQ +- BN + CN = AD + ВС. Ч.т.д.
49
Т. 2. (обратная к Т. 1).
Если в 4-угольнике ABCD АВ + DC = AD + ВС, то в него мож-
но вписать окружность.
Док. Точка О пересечения биссектрис углов Z4 и ZB равно-
удалена от сторон АВ, ВС, AD. Проведем окружность с центром в
О, касающуюся этих сторон. Пусть CD вне этой окружности.
Проведем касательную CD' || CD (рис. 61.2).
Тогда 4-угольник ABCD' — описанный и АВ + CD' =
= ВС + AD' CD' + С С + D'D = ВС + AD - АВ - CD (т.к.
AD' = AD-D'D, ВС = ВС- CQ.
Таким образом, в 4-угольнике CCDD''. CD'+CC + D'D=
= CD — противоречие.
Аналогично опровергается случай, когда CD — секущая. Зна-
чит, CD касается окружности и 4-угольник ABCD — описанный.
Ч.т.д.
62.	Четыре замечательные точки треугольника.
Теоремы о пересечении медиан и высот треугольника
Замечательные точки треугольника — это точки пересечения:
— биссектрис (центр вписанной окружности);
—	серединных перпендикуляров (центр описанной окружности);
—	медиан (центр тяжести);
—	высот (ортоцентр).
S._______в_____ л, Т. 1, Высоты треугольника пересекают-
\	/ ся в одной точке.
\ /S>-\ / Док. Проведем через точку С AtBt || АВ,
через точку А В^С\ || ВС, через точку В AtCt ||
\	/ ЯС (рис. 62.1).
\ /	Тогда ACiBC и ABAiC — параллелограм-
му	мы и CiB = BAi~ АС. Аналогично С [А = ABt
рис 62 1 яА\С- СВЬ т.е. высоты ДЛВС — серединные
перпендикуляры ЛА }BjCt => они пересекают-
ся в одной точке (см. вопрос 58). Ч.т.д.
Т.	2, Медианы AAt, ВВЬ СС\ треугольника ЛАВС пересекают-
ся в одной точке О и АО : OAi = ВО: ОВ\ = СО: ОС\ = 2:1.
Док. Пусть АА\ г\ ВВ\ = О (рис. 62.2.).
Проведем A XN || ВВЪ PM || ВВ{ (Р — середина АО). Тогда по т.
Фалеса АМ=МВ\ и BtN = NC, то т.к. ABt= BiC, то АМ= MBi = BtN
и по т. Фалеса АР = РО = ОА„ т.е. АО: ОА। = 2 : 1.
50
рис. 62.2
Аналогично ВО : ОВХ = 2:1.
Пусть СС] п ЛЛ, = О| О и CCi n BBt = О2^О.
Тогда СО]: О]С]= СО2 : О2С] = 2:1, чего не может быть. Зна-
чит, О е СС\, т.е. медианы Х4ВС пересекаются в одной точке.
Ч.т.д.
63. Преобразования фигур. Виды симметрии.
Преобразования подобия и их свойства
Преобразование фигур — это взаимно-однозначное соответ-
ствие между их точками (т.е. каждой точке Л 1-й фигуры ставится
в соответствие точка X другой фигуры (обозначается X н> А7) и
наоборот).
Движение — это преобразование, сохраняющее расстояние
(т.е. еслиXн^А7 и Ун> Г, toXY=XY).
Симметрия относительно точки О — это преобразование, ко-
торое каждой точке X фигуры ставит в соответствие точку X та-
кую, что X, О, X лежат на одной прямой и ОХ= ОХ.
Т. 1. Симметрия относительно точки — движение.
Док, Пусть преобразованием симметрии относительно точки
О Ан X, Y н> У. В случае, если X, Y, О лежат на одной прямой
(тогда и А, и У также лежат на этой прямой) утверждение теоре-
мы очевидно.
Если X, У, О не лежат на одно прямой, то тогда &XOY =
= ДРОГ (т.к. ОХ= OX, OY = ОГ и ZXOY = ХХОГ) => ХУ=ХГ.
Ч.т.д.
Симметрия относительно прямой т — это преобразование,
которое каждой точке А фигуры ставит в соответствие точку X
такую, что XX 1т и АХ=АХ (здесь А -XX п т).
Т. 2. Симметрия относительно прямой — движение.
Док. Пусть преобразованием симметрии относительно прямой
тХ-*Х, У^Г,ХХ nm-B,YY пт=А (рис. 63.1).
51
r &r Тогда AZ>K4 = ABYA (они прямоугольны, АВ —
/V” ~Д общий катет, A Y = А К)	BY = BY, AABY = /.АBY
I \ / \ => XXBY = XXBY => ДЛВГ = bXBY (по первому
J-—J g—-J* признаку) => XY=X Y.
m Поворот относительно точки О на угол а — это
рис. 63.1 преобразование, которое каждой точке X фигуры
ставит в соответствие точку X такую, что ОХ=ОХ и
ZXOX = а, при этом Он О. Угол поворота положительный, ес-
ли поворот производится против часовой стрелки, если по часо-
вой стрелке, то угол отрицательный.
Т, 3. Поворот — движение.
Пусть поворотом относительно точки О на угол а Xt-> X, Y н>
Y. Тогда ЛУО У = AXOY (по первому признаку) => XY = XY.
Ч.т.д.
Введем на плоскости декартовы координаты (х; у). Парал-
лельный перенос — это преобразование, которое каждой точке X
•= (*5 У) ставит в соответствие точку X = (х'; у') такую, что х'=х+а,
у' -у + Ь, где а и b — некоторые фиксированные числа.
Т. 4 Параллельный перенос — движение.
Пусть параллельным переносом Xi —>Xt’,
Х2 Х2', Xi = (хь У1), Х2 = (х2; у2), X,' = (xi + a; yt + />),
Х2 = (х2 + а; у2 + Ь). Тогда XiX22 = (х2 - xj2 + (у2-ух)2 =
= ((*2 + «И*! + а))2 + ((у2 + Ь) - (у, + 6))2 = Х,'У2'2. Ч.т.д.
Преобразование фигуры называется подобием, если для всех
точек X, Y, X н> X, Y н> Y, имеем: XY = к  ХУ, где к > 0 — фик-
сированное число.
Гомотетия с коэффициентом к > 0 и центром О — это преоб-
разование, которое каждой точке X фигуры сопоставляет точку X
такую, что X лежит на луче ОХ и ОЛ7 = к • ОХ.
Гомотетия с коэффициентом к < 0 и центром О — это компо-
зиция гомотетии с коэффициентом - к > 0 и центром О и симмет-
рии относительно точки О.
Т. 5. Подобие с коэффициентом к является композицией гомо-
тетии с коэффициентом к и движения.
Док. Пусть преобразованием подобия с коэффициентом к фи-
гуре F сопоставляется фигура F. Примени гомотетию с коэффи-
циентом к к фигуре F получим фигуру Ft, равную фигуре F, т.е.
F\ и F можно перевести друг в друга некоторым движением.
Ч.т.д.
Свойства подобия.
52
1)	Отрезок переводит в отрезок, луч в луч, прямую в прямую.
2)	Сохраняет величины углов.
3)	Всякий ААВС подобием с коэффициентом к переводится в
Лв’ В'С'
АВ ~ ВС
А'С’
АС
АА'В'С, причем
АА = АА’, АВ = АВ', АС = АС.
4)	Преобразование подобия с коэффициентом к изменяет
площадь фигуры в А2 раз.
5)	Композиция подобий с коэффициентами кх и к2 есть подо-
бие с коэффициентом кхк2.
6)	Обратное преобразование к подобию с коэффициентом к
есть подобие с коэффициентом \/к.
64.	Признаки подобия треугольников
Две фигуры подобны, если одну из них можно перевести в
другую преобразованием подобия.
Т.	1. (первый признак подобия треугольников - по двум уг-
лам). Если в ААВС и AAtBtCi АА = АА;, АВ =АВХ, то ААВС ~
ААХВХСХ.
АВ
Док. Преобразованием подобия с коэффициентом к =----
АА
АА ХВХСХ переведем в АА2В2С2.
Тогда АА2В2С2 = ААВС (по второму признаку т.к. А2В2 = АВ,
АА2 = AAt = АА, АВ2 = ZB, = АВ) => ААВС ~ААХВХСХ. Ч.т.д.
Т.	2. (второй признак подобия треугольников - по двум сто-
ронам и углу между ними). Если в ААВС и ATiBjCi = АЛХ, АВ
- кАхВх, АС= кАхСх, то ААВС ~ ААХВХСХ.
Т.	3. (третий признак подобия треугольников - по трем сторо-
нам). Если в ААВС иААхВхСх: АВ = кАхВх, ВС - кВхСх, АС — кАхСх,
то ААВС ~ АА ХВХСХ.
Док. Преобразованием подобия с коэффициентом к переведем
ААХВХСХ и АА2В2С2. Тогда АА2В2С2 = ААВС (по третьему признаку
т.к. А2В2 = АВ, В2С2 = ВС, А2С2 = АС)=> ААВС ~ ААХВХСХ. Ч.т.д.
65.	Признаки подобия прямоугольных
треугольников
Т. 1. (частный случай первого признака). Если в ААВС и
ААХВХСХ: АС и АСХ — прямые и АА = АЛХ, то ААВС ~ ААХВХСХ.
53
Т. 2, (частный случай второго признака). Если в АЛбС и
AAiBlCl АС и ZCi — прямые и СВ = кС\В\, АС = кА{С\, то Д.1ВС
-ДЛ^С,.
Т. 3. Если в ЛАВС и ДЛ^С, ZC и ZQ — прямые, АВ = кА\Въ
АС = кА,Сь то ЛАВС-ЛА
Док. Преобразованием подобия с коэффициентом к переведем
A^BjCi И А 12^2^2*
Тогда А12В2С2 = ЛА ВС (по первому признаку, т.к.
ZC2 — прямой, А2В2=АВ, А2С2=АС) => ЛАВС ~ ЛА {В|СЬ
66.	Свойство биссектрисы угла треугольника
AD АВ
Т. Пусть в ЛАВС: BD — биссектриса. Тогда -— =--.
DC ВС
е Док. Проведем СЕ || BD и BF || АС (рис. 66.1)
Имеем: AABD = ADBC = АВСЕ, АВлС = AEBF =?
ЛАВЕ - ЛВЕЕ (по первому признаку) и ЛСВЕ рав-
АВ AD
нобедренный. Тогда---=-----, а т.к. BE = ВС и BF
BE BF
= DC (поскольку DBFC — параллелограмм), то
рис. 66.1
AD АВ „
----=-----. Ч.т.д.
DC ВС
67.	Равенство произведений отрезков
двух пересекающихся хорд
л	Т. Пусть АВ и CD — хорды окружности, АВ п
/7\?Х CD = Е (рис. 67.1). Тогда АЕ  BE = СЕ • DE.
( 17 V Док. ADAE = ADCB = -BD, AAED = АСЕВ =>
'С 7 6
рис. 67.1 ЛАЕО ~ ЛСЕЕ =>	=> АЕ  BE = СЕ DE.
СЕ BE
Ч.т.д.
68.	Равенство квадрата касательной произведению се-
кущей на ее внешнюю часть
Т. Пусть точка М вне круга, МА — касательная, МС —- секу-
щая (рис. 68.1). Тогда МА2 = МВ  МС.
54
Док. ЛМАВ ~ ЛМАС (по первому призна-
ку, т.к. АМАВ - АМСА = ~<иАВ, AM — об-
МС МА . .
щий) =>---=---—> МА = МВ  МС.
МА МВ
69.	Пропорциональность отрезков
в прямоугольном треугольнике
Если х2 = аЬ, то х называется средним пропорциональным ме-
жду а и Ь.
с	т. Пусть в ЛАВС АС = 90°, CD — высота (рис.
У	69.1). Тогда:
/ X	1) CD2 = AD • DB',
° в 2) СВ2 = АВ  DB;
рис. 69.1	3) AC2 = АВ-AD.
Док. Пусть АА - а. Тогда AACD = ACBD=90° - a, ADCB = а.
1)	\ACD~\CBD (по первому признаку) =>	=>
CD2=AD-DB.
АВ СВ
2)	&ABC~&CBD (по первому признаку) =>-=- —>
СВ DB
cb2 = abdb.
АВ АС
3)	AABC~AACD (по первому признаку) =>--=- =>
AC AD
AC2 = AB AD. Ч.т.д.
70.	Теорема Пифагора
Т. (Пифагора). Пусть в ЛАВС АС = 90°.
Тогда АВ2=АС2 + ВС1.
Док, Имеем: АС1 = АВ  AD, ВС1 = АВ  DB (вопрос 69,
рис. 69.1) => АС2 + BC^AB AD + AB DB=AB  (AD + DB) = AB1.
Ч.т.д.
71.	Формула расстояния иа координатной
плоскости. Уравнение окружности
Пусть на координатной плоскости хОу имеются точки
А = (хь Ji), В = (х2-, у2) (рис. 71.1).
55
рис. 71.1
Пусть Xi & х2, yi * у2. Проведем через А и В
прямые, параллельные Ох и Оу. В получившим-
ся при этом ЛАВС (рис. 71.1) АС = |х2 - xj, ВС =
1X2 - Jil ==> по т. Пифагора АВ? =АС2+ВС2=(х2 -
\xt)2 + (Й2-У1)2;
ЛВ = ^(х2-х1)2+(у2-у1)2 .
Окружность — это множество точек, равноудаленных от дан-
ной.
Пусть имеется окружность с центром в точке О=(х0', у0) радиу-
са г. Тогда для всякой точки Л/=(х; у), принадлежащей окружно-
сти, имеем:
г2^(х-х0)2+(у-у0)2 . (*)
Обратно, всякая точка с координатами (х; у), удовлетворяю-
щими (*), лежит на данной окружности => (*) — уравнение ок-
ружности радиуса г с центром (х0; у0).
72. Формулы площадей параллелограмма,
треугольника и трапеции
Т. 1, Пусть в параллелограмме ABCD АВ =
CD = a, AD = ВС = b, BH1AD, ВН = Л. KBAD = а
(рис. 72.1). Тогда SABCD - bh = a i-sina.
Док. Проведем СК ± AD. Тогда КлВН =
= KDCK => Sabcd = SnBCK = bh (т.к. НВСК —
= b, НК = HD + DK = HD+ АН =
рис. 72.2
рис. 72.1
квадрат, НВ
= AD -Ь). Т.к. h = a-sina, то SABCp ~ a-b sina. Ч.т.д.
Т. 2. Пусть в КАВС BH 1 АС, АВ = а,АС = Ь,
КВАС = а (рис. 72.2). Тогда S^c ~-^b-h
=-a-frsina.
2
Док. Проведем CD || АВ и BD || АС => ABCD —
параллелограмм и S^cd=bh = a b-sina.
Но т.к. ДАВС = BBDC, то SABCD = SA3C + SBDC 25^, откуда
SAbc =~b h =— a-fe sina. Ч.т.д.
2	2
Т. 3, Пусть в трапеции ABCD AD и ВС — основания, BH ± AD
(рис. 72.3). ТогдаSABCd =~^BH-{AD + ВС).
56
С__Е
АН	О
рис. 72.3
Док. Проведем DE ± ВС. Очевидно, DE - ВН.
Sabcd=Sa1}D+SBcd=^AD-BH+ 1BCDE~ | BH(AD+BC). Ч.т.д.
73.	Теоремы синусов и косинусов для треугольника
Т. 1. (синусов). Пусть в ЕАВС ВС = а, АС = Ь,
. АВ = с.
\	а b с
I Тогда---------=-----=------= 2R, где R — ради-
/	sin A sin В sin С
ус описанной около ЕАВС окружности.
Док. Проведем диаметр ВА описанной около
М.ВС окружности. Возможно 2 случая: ZBA^C =
ZA (рис. 73.1),
ZBHiC=180°-ZJ (рис. 73.2). Но т.к. sin/1 =
// " 'V sin( 180° - Л), то в обоих случаях ВС = а = ВА1г
3\~о-------7Л’	sirv4 1 ~ 2RsinA => —— = 2R.
\	/	sin А
Ь	с
Аналогично,-------= 2R,------- 2R. Ч.т.д.
sin В	sin С
2. (косинусов). Пусть в АЛ ВС: ВС - а, АС = Ь,
рис. 73.2
АВ = с. Тогда а2 = />2 + с2 - 2bc cosA.
Док. Введел систему координат (рис. 73.3).
Тогда Л(0; 0), В(с; 0), С = (bcosA; BsirU) => а2 =
= ВС1 .= (fecosZ - с)2+ Z?2sin2Z = b2 + с2 - 2Bc-co&4.
Ч.т.д.
74.	Длина окружности
Рассмотрим две произвольные окружности радиусов R и R' с
центрами в точках Он О'. Пусть длины этих окружностей равны /
и Впишем в каждую из них по правильному «-угольнику с пе-
риметрами Р„ и Р„.
57
Рассмотрим н-угольник А\А2...Ап, вписанный в
первую окружность (рис. 74.1). Рп = nAxA2. Пусть
АН к AiA2. Тогда ХАхОН = ХА2ОН =	=
2 п
180°	, „ ™ • 180° п „„ . 180°
-------А\А2 = 2/^sin------- Р„ = 2/tosin------.
п	п	п
Аналогично Р„' = 25'wsin- =>-£- = —-.
п Р 2R
п
При п —> да: Рп -» I, Р„' —> Г =>
2_=2Л	I !'
I' 2R' 2R ~ 2R'
л— по-
стоянная величина для всех окружностей. Таким образом,
l = 2nR.
75.	Площадь круга
Круг с центром в точке О радиуса г — это множество таких
точек X, что ОХ 5 г.
Рассмотрим правильные и-угольники AiA2..An — вписанный в
окружность, ВхВ2...Вп — описанный около окружности (рис. 75.1)
и пусть 51 = SAlAn, S2 = 5Я1...Вв. Тогда площадь круга 5: 5i< 5 < S2.
Пусть Х41ОВ1 = сс„, ТогдаS| = и AtA2  R • cosa„ = ^p^?cosa„,
vnep„ = n-AiA2 = PAtAn.
S2 n  A \A2 • R •
При n —> 00 an -* 0, cosa„ -♦ 1, pn —»l0 => 5( —» —,
c	lR о IR ,
*2	— => о = — (здесь I — длина окружности).
Т.к. I - 2nR, то S = nR1.
58
76.	Аксиомы о взаимном расположении точек,
прямых и плоскостей в пространстве
Аксиомы:
1)	Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости,
то прямая лежит в этой плоскости.
2)	Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют об-
щую прямую, проходя дую через эту плоскость.
3)	Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно про-
вести единственную плоскость.
Следствия:
1) Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, можно
провести единственную плоскость.
2) Через две пересекающихся прямые можно провести един-
ственную плоскость.
77.	Теоремы о параллельных прямых
в пространстве
Параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плос-
кости и не имеющие общих точек.
Т. 1. Пусть а — прямая, точка М £ а. Тогда существует единст-
венная прямая b || а, проходящая через точку М.
Док. Проведем через а и М плоскость. Как известно из плани-
метрии, в эюй плоскости существует единственная прямая b || а.
Ч.т.д.
Лемма. Пусть а и b — прямые, а — плоскость, а || b и а пере-
секает а Тогда и b пересекает а.
Док. Пусть Р — плоскость, ч которой лежат а и b, а п а = А.
Тогда существует прямая с такая, что с с: а, с а. Р, А е с. В плос-
кости Р имеем: а || Ь, с пересекает а => с пересекает Ъ в некоторой
точке В. Но с а. а => => В е а, т.е. b пересекает а. Ч.т.д.
Т. 2, Пусть а,Ь,с — прямые, а || с, b || с. Тогда а || Ь.
Док. Пусть точка А е а. Проведем плоскость а через b и А
Тогда аса (иначе по лемме с пересекает а и b пересекает а) =>
а и b лежат в одной плоскости.
Пусть a n b - В. Но тогда через точку В проходит две прямые,
параллельные с, чего не может быть => а не пересекает Ь. Ч.т.д.
78.	Параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих
точек.
59
Т. 1. (признак параллельности прямой и плоскости). Пусть а
— плоскость, прямая аса, прямая b а а, а || Ь. Тогдаb || а.
Док. Пусть b пересекает а, тогда по лемме а пересекает а —
противоречие. Ч.т.д.
Т. 2, Пусть а — плоскость, прямая а || а, 0 — плоскость, а с
0, а п р = Ь. Тогда а || Ь.
Док. Прямые а и b лежат в одной плоскости 0 и не имеют об-
щих точек => а || Ь. Ч.т.д.
79.	Параллельность плоскостей.
Признак параллельности плоскостей
Плоскости называются параллельными, если они не имеют
общих точек.
Т,	1, (признак параллельности плоскостей). Пусть а, 0 —
плоскости, а с a, b с 0, bt с 0, а пересекает b, at пересекает bt. а
|| аи b || bi. Тогда а || 0.
Док. Пусть а п р = с. а || а => а и с не пересекаются => а || с.
Аналогично, b || с — противоречие (т.к. а и b пересекаются).
Ч.т.д.
Т,	2, Пусть а, Р, у — плоскости, а || 0, а п у = а,
Р у = Ь. Тогда a |6.
Док, а и b лежат в одной плоскости у и не имеют общих точек
(иначе а пересекает 0) => а || Ь. Ч.т.д.
Т.	3. Пусть а, р — плоскости, а || р, а, b — прямые, а || Ь, а и b
пересекают а и 0 в точках А, В, С, D (рис. 79.1). Тогда АВ = CD.
Док. АВ || CD по условию теоремы, AC\\BD по т. 2 => ABCD —
параллелограмм => АВ = CD. Ч.т.д.
60
80.	Теоремы о скрещивающихся прямых
Прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещи-
вающимися.
Т. 1. (признак скрещивающихся прямых). Пусть а и Ъ — пря-
мые, а — плоскость, а с а, b п а = Л/, М g а.
Тогда а и b скрещиваются.
Док. Пусть а и b лежат в одной плоскости. Эта плоскость про-
ходит через прямую а в точку М, т.е. это плоскость а. Но b пере-
секает а — противоречие.
Т. 2, Пусть прямые а и b скрещиваются. Тогда существует
единственная плоскость а такая, что b с а и а || а.
Док. Возьмем точку В е b и проведем через нее прямую с || а.
Через b и с проведем плоскость а.
Тогда а || а (т.к. а || с и с с а), а — единственна, т.к. любая
другая плоскость, проходящая через Ь, пересекает с, г.е. пересе-
кает и а. Ч.т.д.
81.	Перпендикулярность прямой и плоскости
Угол между пересекающимся прямыми а и b — это меньший
из углов, образующихся при их пересечении.
Угол между прямыми а и b, а || b равен О.
Угол между скрещивающимися прямыми а и b — это угол
между пересекающимися прям! ши с и d такими, что с || а и d ||Z>.
Прямые а и b называются перпендикулярными (а ± Ь), если
угол между ними равен 90°.
Лемма. Пусть а,Ь,с — прямые, а || Ь, а ± с.
Тогда b ± с.
Дох Через произвольную точку А е с проведем а’ || а. Тогда а'
_L с, а' пересекается ссио'||£=>£±с. Ч.т.д.
Прямая а перпендикулярна плоскости а, если для любой пря-
мой b с: а, а ± Ь.
Т. I. Лусп а,Ь — прямые, а — плоскость, а |[ Ь. а ± а. Тогда
b ± а.
Док. Пусть прямая с с а. Тогда а ± с, но т.к. а || Ь, то по лемме
b А с => b А а. Ч.т.д.
Т. 2. (обратная к т. 1). Пусть а, b — прямые, а — плоскость, а
.L а, b А. а. Тогда а || Ь.
Док. Пусть а -Ц- Ь. Через произвольную точку А е b проведем
Ь' || а (рис. 81.1). Тогда Ь' ± а.
61
Проведем через ЬпЬ' плоскость
Р и пусть а п р = с. Но тогда в
плоскость р из точки А на прямую
с опущено два различных перпен-
дикуляра — противоречие. Ч.т.д.
Т. 3. (признак перпендикулярно-
сти прямой и плоскости).
рис. 811	Пусть а, Ь, с - прямая, а —
плоскость, прямые b и с лежат в а
1 пересекаются, а ± Ь, а ± с. Тогда а ± а.
рис. 81.2
Док. Пусть Ь г\ с = О (рис. 81.2).
Для доказательства теоремы доста-
точно доказать, что в случае О е а лю-
бая прямая I с а, проходящая через О,
перпендикулярна а.
Пусть Л/ е a, N е а, ОМ = ON. В
плоскости а проведем прямую ВС, пе-
ресекающую Ь, с, I в точках В, С, L со-
ответственно.
Имеем: ВМ= BN, СМ= CN => \МВС= NNBC =>
=> Z.MBC = ZNBC => &MBL = BNBL => LM= LN =>
=> LO ± MN, т.е. I La.
Если Ola или О g Г, проводим соответственно а' || а, О е o'
тли Г || I, О е Г. Тогда о* ± Г => а ± I. Ч.т.д.
82.	Перпендикуляр и наклонные.
Теорема о трех перпендикулярах
Пусть имеется плоскость а и точка A g а. Перпендикуляр из
Л на а — это отрезок АВ1 а, В е а. Пусть С е а, С * В. Тогда АС
называется наклонной из А на а, ВС — проекцией наклонной АС
на плоскость а.
Т. 1. (о трех перпендикулярах). Пусть а — плоскость, точка А
g а, АВ — перпендикуляр из А на а, АС — наклонная из А на а,
ВС — ее проекция на плоскость а, прямая а а а, а ± ВС. Тогда а
± АС (рис. 82.1).
Док. Проведем через точки А, В, С плоскость р. Тогда alb
(т.к. а ± АВ, а ± ВС) => а 1 АС. Ч.т.д.
62
Т. 2, (обратная кт. 1).
Пусть а — плоскость, точка Л £ а, АВ и АС — перпендикуляр
и наклонная из Л на а соответственно, ВС — проекция наклонной
АС на плоскость а, прямая а с: а, а ± АС. Тогда а ± ВС
(рис. 82.1).
Док, а 1 р (т.е. а ± АВ, а ± АС) => а ± ВС. Ч.т.д.
83.	Признак перпендикулярности плоскостей
Двугранный угол — это фигура, образованная прямой а (реб-
ро угла) и двумя полуплоскостями с общей границей а (его гра-
нями). Отметив на а точку и проведя в каждой грани лучи из этой
точки, перпендикулярные к а, получим линейный угол двугран-
ного угла. Величина двугранного угла — это величина его ли-
нейного утла.
Угол между пересекающимися плоскостями — это меньший
из двугранных углов, получаемых при их пересечении.
Плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен 90°
Угол между параллельными плоскостями равен 0°.
Т. (признак параллельности плоскостей). Пусть сс, Р — плос-
кости, прямая а с: Р, а X а. Тогда Р X а.
Док. Пусть апа = Л, Рпа = с (рис. 83.1).
Проведем в плоскости а через точку А прямую b X с. Т.к. а ±
с и а X Ь, то а X р. Ч.т.д.
63
84.	Теорема об общем перпендикуляре
к скрещивающимся прямым
Общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым а и b —
это такой отрезок АВ, что А е а, В е Ь, АВ ± а, АВ ± Ь. Длина АВ
называется расстоянием между прямыми а и Ь.
Т. Пусть прямые а и Ь скрещи-
ваются. Тогда существует единст-
венный перпендикуляр АВ к этим
прямым.
Док. Проведем через произволь-
ную точку М е b прямую d || а и
через прямые Ь и а' проведем плос-
рис. 84.1
кость а (рис. 84.1). .
Из произвольной точки N е а опустим перпендикуляр NP на
плоскость а и проведем через прямую а и точку с плоскость 0.
Пусть 0 а = с, b гу с — В. Восстановим из В в плоскости 0 пер-
пендикуляр АВ 1 с. Т.к. NP 1 а и АВ || NP, то АВ ± а => АВ 1 Ь.
Т.к. с || а и АВ ± с, то АВ ± а, т.е. АВ — общий перпендикуляр к
прямым а и Ь.
рис. 84.2
тиворечие. Ч.т.д.
Пусть существует два общих перпендикуля-
ра АВ и CD к прямым а и Ь. Проведем через С
прямую /1| Ь, через А т || Ь. Тогда прямые а, I, т
лежат в одной плоскости а (рис. 84.2). Имеем:
АВ 1 а, CD ± а (т.к. АВ 1 а, АВ ± т, CDJca,
CDU)=$AB || CD => точки А, В, С, D лежат в
одной плоскости они скрещиваются — про-
85.	Двугранный угол
Опр. Двугранным углом называется фигура, обра-
зованная двумя плоскостями с общей ограничиваю-
щей их прямой. Полуплоскости называются гранями,
а прямая - ребром фигурного угла.
Плоскость перпендикулярная ребру двугранного
угла пересекает его грани по двум углам. Получен-
ный угол называется линейным углом двугранного
угла.
Мера двугранного угла - это мера его линейного
угла.
64
Трехгранным углом (а, Ь, с) называется фигура составленная
из трех плоских углов (а, Ь) (Ь, с) {а, с). Их общая вершина -
вершина трехгранного угла.
Аналогично определяется многогранный угол.
86.	Многогранник. Выпуклый многогранник
Опр. Многогранник - тело, поверхность которого состоит из
конечного числа плоских многоугольников.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по
одну сторону от плоскостей ограничивающих его поверхность.
Общая часть таких плоскостей и поверхности - ребро многогран-
ника, а вершины - вершинами многогранника.
87.	Призма
Опр. Призмой называется многогранник, состоящий из двух пло-
ских многоугольников, лежащих в разных плоскостях, и совмещаемых
параллельным переносом и из отрезков, соединяющих соответствую-
щие точки этих многоугольников. Многоугольники называются осно-
ваниями призмы, а отрезки, их соединяющие - боковыми ребрами.
Свойство 1. Основание призмы равны.
Док-во. Т.к. параллельный перенос - движение.
Свойство 2, У призмы основания лежат в параллельных плос-
костях.
Свойство 3. Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Док-во 2, 3. Также следует из того, что паралл. Перенос -
движение.
Определение, Высотой призмы называется расстояние между
основаниям.
в, Теорема 1, Объем призмы равен произведе-
нию площади основания на высоту. V=S  Н.
Док-во: Рассмотрим треугольную призму.
Дополним ее до параллелограмма, симмет-
ричного относительно точки 0. Объем призмы
равен половине объема параллелепипеда ра-
вен произведению площади основания на высоту.
K = SU7 + SJ7+ ...	+ ... S„).
Разобьем произвольную призму на треугольные и возьмем
сумму их площадей получим условие теоремы.
Теорема 2. Площадь поверхности призмы равна сумме двух
площадей основания и площади боковой поверхности.
S — 2.SOCU + SgoK. + ... а
65
Определение. Прямой призмой называется призма
основания которой перпендикулярны боковым реб-
рам.
Теорема. Площадь боковой поверхности прямой
призмы равна произведению периметра основания на
высоту V= Ржи  Р.
Док-во. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники =>
V= aiH + а2Н+ ... апН = (щ + ... ап)Н = Росн  Н.
88.	Параллелепипед
A	D
Параллелепипедом зазывается призма, основа-
ние которой есть параллелограмм.
Свойство. У параллелепипеда противолежащие
боковые грани параллельны и равны.
Док-во. Поскольку параллельный перенос —
движение, то ААХ 11 ВВХ и AD 11 ВС => (ADDXA{~) и
(DDiCiQ параллельны и равны.
Свойство. Диагонали параллелепипеда пере-
секаются в одной точке и точкой пересечения
делятся пополам.
Док-во. Рассмотри например диагонали DB2 и
АС]. Т.к. DABC и BBiCiC - параллелограммы с
общей стороной ВС, то их стороны AD и ВС па-
раллельны => четырехугольник DAB(Ci - параллелограмм. DB! и
ACi его диагонали, значит они пересекаются и точкой пересече-
ния делятся пополам. Аналогично, остальные диагонали пересе-
каются в точке О и делятся ей пополам. Отсюда следует св-во.
Свойство. Точка пересечения параллелепипеда является его
центром симметрии.
Определение. Прямоугольный параллелепипед - прямой па-
раллелепипед, основания которого являются прямоугольниками.
Прямоугольный параллелепипед все грани которого равны,
называется кубом.
Теорема. В прямоугольном параллелепипеде
квадрат любой диагонали равен сумме квадратов
°’ трех его измерений.
Док-во. Из прямоугольного треугольника
в ACtC: АС2 = AC2+СС2.
Из прямоугольного треугольника АСВ:
АС2 = АВ2 + ВС2 => АС2 = СС2 + 4В2+ВС2.
66
s	Симметрия прямоугольного параллелепипеда.
1. Как и у всякого параллелепипеда О - центр
симметрии.
/ !•'? \	2- Плоскости симметрии - плоскости прохо-
Ki 5 \ А дящие чеРез Центр параллельно граням их 3 шту-
* \/ ки. Например такая.
а, а, Свойство. Объем любого параллелепипеда равен
произведению площади основания на его высоту.
89.	Пирамида
s	Определение. Пирамида - многогранник, со-
уйк стоящий из плоского многоугольника - основа-
//•V\ ния пирамиды, точки, не лежащие в плоскости
/ /Дучк основания - вершины пирамиды и всех отрезков,
А’Т s \ \ соединяющих вершину пирамиды с вершинами
I х \/ * основания. Отрезки соединяющие вершину пира-
; У миды с вершинами основания называются боко-
выми ребрами.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр опущенный из
вершины пирамиды на плоскость основания.
Правильная пирамида - пирамида, основанием которой, явля-
ется правильный многоугольник. Треугольная пирамида называ-
ется тетраэдром.
А Теорема. Плоскость; пересекающая пирамиду и па-
/яраллельная основанию, отсекает подобную пирамиду.
Док-во. Подвергнем пирамиду преобразованию
Z*'/ гомотетии относительно вершины S с коэффициен-
SA г,	„
том К = —. При этом пирамида перейдет в отсе-
каемую пирамиду. Т.к. гомотетия - преобразование подобия, то
отсекаемая часть подобна данной.
Определение. Часть пирамиды без ее отсечения части называ-
ется усеченной пирамидой.
Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения
площади основания на высоту V = —SH .
Теорема. Объем усеченной пирамиды равен
+ С2) где Л - высота усеченной пирамиды.
Сь О.г ~ площади ее оснований.
67
90.	Конус
Определение. Конусом называется тело, которое состоит из
круга, основания конуса, точки не лежащей в плоскости этого
круга - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих точки
основания с вершиной.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая верши-
ну с центром основания перпендикулярна основанию.
Высота конуса - перпендикуляр опущенный из вершины на
плоскость основания.
Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержа-
щая его высоту.
Проведем сечение конуса плоскостью параллельной основа-
нию
а Верхняя часть конуса подобна самому конусу, а
г-/ V—-j нижняя называется усеченным конусом.
/fZ. Z\/	Теорема. Объем конуса равен 1/3 произведения
уГ---X площади основания на высоту
"А V ~	+ яЯК+лг2), h - высота усеченного
----S конуса, a vb v-i - радиусы оснований.
91.	Шар
Определение. Шаром называется тело, которое состоит из
всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не боль-
шем данного, от данной точки. Эта точка - центр шара а расстоя-
ние - радиус.
S'	Определение. Граница шара называется
шаровой поверхностью или сферой.
/	• 2Й / Определение, Отрезок, соединяющий две
А ~7 точки сферы, проходящий через центр назы-
S вается диаметром.
Свойство 1, Всякое сечение шара плоскостью есть круг.
Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного
из центра шара на секущую плоскость.
Определение. Плоскость, проходящая через центр шара, на-
зывается диаметральной плоскостью. Сечение - большим кругом,
а сечение сферы - большой окружностью.
Теорема, Любая диаметральная плоскость шара является его
плоскостью симметрии. Центр шара является его центром сим-
метрии.
68
метрии.
Док-во. Пусть а - диаметральная плоскость, х -
а любая точка шара. Проведем диаметр хх , х -
симметричная точке х относительно О (т.к.
ХО = ОХ' = /?)=> т.к. х - любая, то О - центр сим-
Плоскость а перпендикулярна отрезку хх' и пересекается с
ним в его середине ( х' - искомая точка, симметричная х относи-
тельно плоскости а). Треугольники ОАХ и ОАХ прямоугольные
и равны => ОХ' = ОХ. Т.к. ОХ < R, то и ОХ' < R, т.е. принад-
лежит шару. Значит а - плоскость симметрии, ч.т.д.
Определение. Плоскость, проходящая через точку R сферы и
перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку называется,
касательной плоскостью. Точка R называется точкой касания.
Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром единственную
точку пересечения - точку касания.
Теорема. Линия пересечения двух сфер есть окружность.
4 з
Теорема. Объем шара равен —л/?
92.	Объем шарового сегмента и сектора
Определение. Шаровым сегментом называется
часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Свойство. Объем шарового сегмента равен
2 Н
нН (R-----), где Я - высота шарового сегмента.
Определение. Шаровым сектором называется тело, которое
получается из шарового сегмента и конуса, основанием которого
является сечение плоскостью.
Свойство, Объем шарового сектора равен
И.,±И„ =—л/?2Я±-лЯ7/?2-Я2 , «+» если сегмент
Сеч КОН ^3
меньше полусферы,«-» в случае, когда сегмент больше
полусферы.
93.	Цилиндр
Определение. Цилиндром (круговым цилиндром) называется
тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плос-
кости, и совмещаемых параллельным переносом и всех отрезков,
69
соединяющих соответствующие точки кругов. Круги называются
основаниями, отрезки соединяющие соответствующие точки ок-
ружностей кругов, - образующими цилиндра.
Свойство 1, Основания цилиндра равны.
Свойство 2. У цилиндра основания лежат в параллельных
плоскостях.
Свойство 3. У цилиндра образующие параллельны и равны.
Определение. Цилиндр называется прямым, если его обра-
зующие перпендикулярны основаниям.
Свойство 4. Плоскость, параллельная плос-
кости основания цилиндра, пересекает его бо-
ковую поверхность по окружности, равной ок-
ружности основания.
Теорема 1. Объем цилиндра равен л А2 h,
где h — высота цилиндра.
Теорема 2. Площадь поверхности прямого
2
кругового цилиндра равна 2nR + 2nR-l, где I - длина обра-
зующей.
94.	Объемы и свойства объемов
Определение. Объем это положительная величина, численное
значение которой подчиняется условиям:
I)	Равные тела имеют равные объемы.
2)	Если тело разбито на части, являющиеся простыми телами,
то объем этого тела равен сумме объемов его частей.
3)	Объем куба, ребро которого равно единице, равен единице
Пример. Две треугольные пирамиды с равными площадями
оснований и равными высотами равновелики.
Теорема: Объемы двух подобных тел относятся как кубы их
соответствующих линейных размеров.
Доказательство. Пусть Гиг два простых подобных тела,
существует преобразование переводящие тело Т в тело Т'
Пусть к - коэффициент подобия. Если Р\, Р2, , Рп - треугольные
пирамиды составляющие Т, то они переходят в Рг, ... , Рп.
Объем Т' равен сумме объемов ... , Р„. Поскольку пирамиды
подобны, то отношение их высот равно к а отношение площадей
к2 Значит отношение объемов равно к3, ч.т.д.
70
Разбор типового теста ЕГЭ
Часть I
1) 1	2)3	3)1,5	4)0,5
Решение. Разложим на множители подкоренное выражение:
4/243=4Gl=4/E=3=15
V 48 V3-24 Ъ4 2 ’ •
Ответ: 3 (номер верного ответа),
7	1
А2. Представьте в виде степени выражение З4 -З4 .
7	7
1)92	2) З2	3) 916	4) З16
Решение. Используя свойства степени положительного числа.
7 X 7+Х
получим З4 -З4 = З4 4 = З2.
Ответ: 2.
АЗ. Найдите значение выражения
цуо^З’)
\7/
1) |	2)27	3)3	4)W
Решение. Используя основное логарифмическое тождество
/1 \,0Е1(3’)
а = Ь, а > О, а * 1, b > 0, найдем I — I ’ = З3 = 27 .
Ответ: 2
А4. На рисунке изображен график
функции у = /(х), заданной на про-
межутке [-5; 5] Каким из перечис-
ленных ниже свойств эта функция не
обладает?
1)	Наименьшее значение функции
равно -3
2)	Функция не является ни четной, ни
3)	х = 1 - точка максимума функции
4)	Функция убывает на множестве [-5; - 3]U{1; 5]
нечетной
Решение.
Не выполняется четвертое свойство. Данная функция убывает на
каждом из промежутков [—5; -3] и [1;5], но на множестве [-5; -3]U
U требование «для любых х1 и хг из данного множества таких.
чтох|>х2, выполняется/fri) <Дх2)» нарушено. Например, 2>-4, но
//2)>Д-4).
Ответ: 4
А5. Найдите область определения функции f (х) = lg(7x - х2).
1)(-<»;0)U (7;+оо)	2) [0;7]	3) (-°о;0] U[7;+«) 4) (0;7)
Решение. Функция у = Iogf, t (а > 0, а * 1) определена только для
положительных значений ар1умента. Следовательно, область опреде- '
ления функции y = lg7x-x задается неравенством 7х-х >0.
Решим неравенство. 7х - х2 > 0 <=> х(7-х)>0 о 0<х<7.
Ответ: 4
А6. Укажите наибольшее целочисленное значение функции
у = 1,2 ~3sin-£.
1)4	2)-1	3)-2	4)5
Решение. Поскольку - l<sin^<l, то —3<-3sin^-<3 и
-1.8 < 1,2 —3sin—< 4,2
2
Следовательно, наибольшее целочисленное значение функции
y = l,2-3sin-| равно4.
Ответ: 1.
А7. На рисунке изображен гра-
фик функции у = fix), заданной на
промежутке |-6: 6]. Укажите множе-
ство всех значений х, для которых
выполняется неравенствоДх) < 3.
1)[-6;4] 3)[-2;4]
2)[-1;3] 4) [-6;-4] U [-2; 4]
Решение. Условие fix)<3, означает, что все точки графика
функции v - fix) должны быть ниже прямой у = 3 или лежать на ней.
Это выполняется при всех хе [ 6; -4] :J [-2; 4]
Ответ: 4
72
Л8. Решите уравнение cos(x-~) =
1
2 ’
1) у-± — + 2тг, не Z	3) ~+— + 2пн, п е Z
6 6	6 6
2) -£±£ + 2ян, ncZ 4) ^±^ + 2ш7, hgZ
6 3	6 3
Решение, cos |х-^| =4-о х-^-= ±arccos —+ 2лп, neZ .
\	6) 2	6	2
-г	1
Так как arccos —
Ответ: 4
п
3 ’
то получим, ЧТО Л’ = +у + 2пи, п с 7. .
1
81 ‘
Л9. Укажите множество всех решений неравенства (л/з)
1)(—2; +оо)	2) [-2; wo) 3)(-<о;-2)	4)(-оо;-2]
Решение. Приведем исходное неравенство (л/з)	<к виду
'	'	81
1 У* 2	2,_|
З2 <34или32 <3'4.
Отсюда, в силу монотонного возрастания функции у = 3', полу-
чим ух -1 < -4 или х < -2 .
Ответ: 3.
А10. Укажите абсциссу точки графика функции/(х) = 14х - 45 -х2,
в которой угловой коэффициент касательной равен 2.
1)6	2)-8	3)8	4)-6
Решение. Вычисляя производную данной функции, получим
/(х)= 14-2х.
Угловой коэффициент касательной к графику функции равен
значению производной в абсциссе х0 точки касания. По условию уг-
ловой коэффициент равен 2, то есть 14 - 2х0 = 2. Таким образом,
абсцисса точки касания х0 - 6.
Ответ: 1.
Част ь II
BI.	Вычислите: sin(-i^) + sin-^cosy^.
Решение. Используя нечетность и периодичност ь функции у = sin х,
запишем: sin(-i^) + sin-^-cos-^- = -sinQn + y-J + sin-^-cos-^- =
6	12	12	6	12	12
= - sin( л + -|) + sin -ру cos —•
73
Применив формулы приведения и синуса двойного аргумента,
получим: -sin(n+-^) + sin-^cos-^ = sin^• + ^(2sincos=
= sin7 + |(2sin-^ cos-^)=l + |sin-^ = | + | = | = O,75.
62	12	12	22	6244
Ответ: 0,75.
B2.	Решите уравнение Vl + 3x = 1 - х.
Решение. Vl + 3х = 1 -х <=>
Г1-х>0,
[1 + Зх = 1-2х + х2
fx < 1
[х2-5х = 0<=>
х < I,
х = 0 х = 0.
х = 5
Ответ: 0.
ВЗ.	Решите уравнение log03(7x + 5)-log033 = log0 34 .
Решение. log0 3 (7х + 5) - log0 33 = Iog0 34 <=>
о log03(7x + 5) = 1og0312 <^>7х + 5 = 12<=>х = 1
Ответ: 1.
В4.	Найдите значение выражения 27 110,6 •
___.-18
5^9-9|^9?3) 5
Решение. Запишем выражение в виде рациональной степени не-
которого положительного числа.
= 27-|у(10,6-9,6) | 5 =3’-|ЗЧ ’ =3’-3“’ =3° =1.
Ответ: 1,
В5.	Функция у=/(х) задана на
промежутке (-4; 7). График ее про-
ззводной у =f'(x) изображен на ри-
сунке. Сколько экстремумов имеет
функция у =flx) на промежутке
(-4; 7)?
Решение. Производная у=/'(х)
заданной функции определена и не-
прерывна в каждой точке промежутка
<- 4; 7), и ее график пересекает ось
абсцисс в трех точках, т.е. производная у принимает в этих точ-
ках значение 0 и при переходе через каждую из них меняет знак. Сле-
довательно, в этих трех точках функция у =J(x) имеет экстремумы.
Ответ: 3.
В6.	Найдите наибольшее значение функции у = (х2 + 2х + 1)е* 4е
на отрезке [-1; 1].
Решение. Функция, непрерывная на отрезке, принимает наи-
большее значение в критических точках, являющихся внутренними
точками отрезка, или на концах этого отрезка.
Вычислим производную данной функции:
у' = ((х2 + 2х + 1)е* -4е) = (2х + 2)е* +(х2 + 2х + 1)е*
Найдем критические точки, решив уравнение у' = О
(2х + 2)е*+(х2+2х + 1)е* = 0 <=> х2+4х + 3 = О, поскольку е> *0
Отсюда х = -1 или х = -1.
Вычисляя значения функции в критических точках и на концах
данного отрезка, получим
у(-3) = 4е~3 -4е < 0; v(-1) = — 4е <0; у(1) = 0•
Следовательно, наибольшее значение функции
у = (х2 + 2х + 1)е* - 4е
на данном отрезке [-1; 1] равно 0.
Ответ: 0
В7. Решите уравнение
= -J2+X • В ответе запишите ко
рень уравнения или сумму корней, если их несколько.
Решение. Корни уравнения будем искать на промежутке (—2:
на котором определены обе функции, представленные в уравнении
Функция у - ^3—
тонне убывает на рассматриваемом промежутке, поскольку основа-
у/2
ние степени 0 < —— < 1.
2
Функция у = у/2 + х , стоящая в правой части уравнения , моно-
, стоящая в левой части уравнения , моно-
тонно возрастает на промежутке. Поэтому уравнение не может
иметь более одного корня.
Заметим, что х = -1 является корнем данного уравнения (корень
в данном случае надо угадать).
Таким образом, уравнение имеет единственное решение х = -1
Ответ: I.
В8. Нечетная функция y — f(x) определена на всей числовой
прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х зна-
чение этой функции совпадает со значением функции
g(x) = х(2х + 1)(х-3)(х + 2). Найдите значение /?(—1) функции
2/(x)+g(x)
f(x) + 2g(x) ‘
Решение. Для вычисления Л(.-1) найдем значения/(-1) и g(-l).
По условию нечетная функция у = Дх) определена на всей чи-
словой прямой, и при этом для любого значения х выполняется ра-
венство f (-х) = -Дх). Следовательно,/(-1) = -/(1).
По условию для всякого неотрицательного значения переменной
х значение функции у = Дх) совпадает со значением функции
g(x) = х(2х + 1)(х - 3)(х + 2), поэтому /(1) = g(l) = -18.
Отсюда Д-1) = - (-18) = 18.
Поскольку g(-l) = -4, то 2Д-1) + g(-l) = 36 - 4 = 32 и
Д-1) + 2g(-l) =18 - 8 =10.
Таким образом, значение функции ых) -	при
/(x) + 2g(x)
х = -1 равно h(-\) =	+	= 3 2 .
( } ' /(-l) + 2g(-l)	’
Ответ: 3,2.
В9*. Цену товара дважды повышали: первый раз на ;?%, затем но-
вую цену повысили на 2р°/о. После этого цену товара снизили на 15%.
В итоге окончательная цена оказалась выше первоначальной на 12,2%.
На сколько процентов была повышена цена товара в первый раз?
Решение. Пусть исходная цена товара была равна So, а последо-
вательные повышения составилир% и 2р°/а. После первого повыше-
ния цена товара стала равной 5', = So + So = So I 1 + j, a по-
сле второго повышения
иян
52=Ц1
После понижения на 15% цена товара стала равной
О,85.5о ^1	И П° Условию оказалась равной 1,122S0 .
Составим уравнение: O,85So| I+7757 ][ 1+-^-1 = l,122S0.
76,
O.855o
1
= 1,122Я0 <=>
. 3Р , 2р2
ЮО юо
= 1.32<=>
/ X1 / X	-£-=±
2[ Я +3|_£_|—32	»	100 10
liooj UooJ 10° Р ...  /
.100 “ ’
Условию задачи удовлетворяет первый корень уравнения
Р
100
1
10
Следовательно, в первый раз цена товара была повышена на 10%.
Ответ: 10.
В10*. Высота прямой призмы АВСА\В£{
равна 12. Основание призмы - треугольник
АВС, в котором АВ - АС, ВС = 18, tgC = 0,4.
Найдите тангенс угла между прямой ACt и
плоскостью Z?Z?|C|.
Решение.
Пусть А К J. ВС . Поскольку в прямой приз-
ме боковая грань ВВ^С перпендикулярна
плоскости АВС основания, то АК ± ВВ^ . Поэтому искомый угол
равен углу ЛС^ЛГ.Т.к. АВ = АС и ЯС = 18, то ВК = СК = 9. Сле-
довательно, в треугольнике АКС АК = KC tgC = 9-0,4 = 3,6. В
треугольнике ССХК С\К = ^СС2 +СК2 = 15.
Значит, tgAC]K = АК:С,К = 3,6:15 = 0,24.
Ответ: 0,24.
Bl 1 *. Прямоугольная трапеция
описана около окружности. Точка
касания делит боковую сторону
трапеции на отрезки длиной 2 и 8.
Найдите периметр трапеции.
Решение. Центр О окружно-
сти, вписанной в трапецию ABCD
с прямыми углами А и В, является
точкой пересечения биссектрис
углов трапеции. Т.к. в трапеции
ZC + Z£> = 180°, то ACOD = 90°.
Пусть окружность касается боковой стороны CD в точке К, тогда
OK1CD.
П
В прямоугольном треугольнике COD радиус ОК равен
\СК KD = л/2-8 = 4. Поскольку, СМ = СК = 2, где точки М и Т-
точки касания окружности и оснований трапеции, получаем:
=2(2 + 8) + 4-4 = 36.
Ответ: 36.
Часть III
С1. Решите уравнение cos2 3x-2cos2xcos3x + l = 0
Решение. Первый способ.
Применим основное тригонометрическое тождество, представив
единицу в виде суммы 1 = cos2 2x + sin2 2х .
Тогда уравнение запишется в виде:
cos2 3x-2cos2xcos3x + l = 0 <=>
<=> cos2 3x-2cos2xcos3x + cos2 2x + sin2 2x = 0 .
Первые три слагаемые образуют квадрат суммы двух выраже-
зий, поэтому уравнение запишется так:
(cos Зх - cos 2х)2 + sin2 2х = 0 .
Сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только то-
'ца. когда каждое из выражений равно нулю.
{cos3x = cos2x,
sin2x = 0.
Решая ее, получим:
'cos3x = cos2x,
4in 2x = 0
3x-2x = 2nk,
3x + 2x = 2 ли <=>
2x = itm
х = 2лА,
х = ~-п
х=^т
2
k,n,m <= Z
Ответ. 2кк, к eZ.
Второй способ. Так как приведенный дискриминант уравнения
cos2 3x-2cos2xcos3x + l =0, в котором в качестве неизвестной
рассматривается cos3x, равен = cos2 2х-1, то:
cos2 3x-2cos2xcos3x +1 = 0 <r>
cos 2х = 1,
cos3x = 1
cos2x = — 1,
cos3x = -1
cos 2х = I
|cos3x = I
[ ^cos Зх = -1
2х = 2лА,
Зх = 2л//
2х = л + 2лА,
Зх = л + 2дн
Получим:
х = л/с,
*’Т”
_	<^>х=2лА,Ле7-
x = — + nk,
2
x = —+ — n
3	3
Ответ: 2 лк, к e Z.
C2. Найдите все значения переменной х, при которых сумма соот-
ветствующих им значений функций fix) - log2(x- 3) и g(x) = log2(3x 4)
не больше 3.
Решение. Составим неравенство, отвечающее условию задачи
Имеем:	iog2(x-3) + log2(3x-4)<3o
{х>3,	fx>3,
!og2 ((* - 3)(3х - 4)) log28	{.(* - 3)(3* - 4) < 8
(х>3,	|х>3,
[Зх2 - 13х-| 4 < 0	((Зх-1)(х-4)<0<;> <Х~
Ответ: (3; 4].
СЗ. Расстояние от центра основания конуса до образующей рав-
но 2л/з . Найдите наименьший возможный объем такого конуса.
Решение. Обозначим угол наклона образующей конуса к плос
кости его основания, радиус основания и высоту конуса буквами а
h	h
R Н соответственно. Тогда R - ——, а Н =-----.
sina	cosa
Вычислим объем конуса: V = ^nR2H = ^-nh3-—------
J J sin2 a cosa
Рассмотрим функцию F(a) = sin2 acosa, где 0 < a .
Исследуем функцию на наличие экстремумов.
Вычислим производную функции:
F'(a) = 2 sin a cos2 a - sin3 a = sin a cos2 a(2 - tg2 a).
Так как о < a < —, то F '(a) = 0, толь-
2
ко если tg a = ^/2, т.е. если a = arctg V2 .
a = arctgV2 - точка максимума
л
Г’ 0	+ arctgV2 _ 2 о
О----- о——О—*
F	——*
функции F(a), так как при переходе через указанную точку произ-
водная функции меняет знак с плюса на минус.
Так как на интервале (0 ; -j) экстремум единственен и он - мак-
симум, то при a = arctgV2 функция F(a) = sin2acosa принимает
наибольшее значение, откуда следует, что при a = arctg V2 объем ко-
нуса оказывается наименьшим из возможных. Вычислим этот объем.
Если tga - у2 , то sin a =
, cosa -

= 36л-
одной трети произведения
Ответ: 36л .
С4*. В правильной треугольной
пирамиде SABC точки К, N принад-
лежат ребру SA, точка М- ребру SB,
а точка L принадлежит ребру SC,
причем АК = Л7/ = NS, SM : МВ =
= 1:3, SL : LC = 2:1. Найдите отно-
шение объема пирамиды KLMN к
объему пирамиды SABC.
Решение. Объем пирамиды равен
площади ее основания на высоту пирамиды, проведенную к этом)
основанию. Выберем в качестве основания пирамиды MKLN тре-
угольник KLN, расположенный в плоскости грани ASC.
Площадь этого треугольника будет равна SKIN = — KN-h}, где
- длина перпендикуляра, проведенного из точки L на прямую AS
Поскольку SL : LC = 2 :1, то LS :CS = 2:3 и h =—h, где h-
1 3
длина перпендикуляра, проведенного из точки С на прямую AS.
Следовагельно, =	----=	.2. = 1.2. -2..
lAS.h AS 3 3 3 9
Высотой И, пирамиды MKLN является перпендикуляр МР, прове-
денный из точки М на плоскость грани ASC, а высотой Н пирамиды
BACS — перпендикуляр ВТ, проведенный из точки В на плоскость
той же грани ASC. Из подобия треугольников SMP и SBT следует:
__ MS 1
И BS 4'
.2 1 = JL
9 4 18

Наконец 'А'л'
Ответ: 1:18
80
С5. Найдите все значения параметра и, при каждом из которых
неравенство logQ^(log,। (|2х2 + 2ах- 7| + 2jj < О
верно при всех
значениях переменной х, принадлежащих отрезку |4; 2J.
Решение. Оценим значение основания внешнего логарифма. Так
как л/5 > -^4 . то -5/4) > 0. Сравним 9^л/5-V?) и 1. Для это-
го преобразуем выражение 9^д/5--У?) :
Так как основание внешнего логарифма больше 1, то исходное
неравенство равносильно неравенству вида:
О < log,, (12х2 + 2ах - 71 +2) < 1,
которое должно быть верным при всех х е [—4; 2].
Решим это неравенство: 0 < log,,(| 2х2 + 2ах- 71 +2) < 1 <=>
о!<|2х2 +2ях-7|+2<11 «-1 <| 2х2+2ах-7| <9 <=>
/(2)^0 '
-8<0,	[4а >8,
о <^>а = 2.
8<0	12а <4
|х + ах + 1^0
Рассмотрим функцию/(х) =х2 + ах - 8. Первое неравенство будет
выполнено для всех значений х е [-4; 2] тогда и только тогда, когда
f/(-4)<0,
будет верна система !
л	[ 16 — 4а
Получим: j^ + 2a
Осталось проверить, будет ли при а = 2 второе неравенство системы
также верно для всех значений х е [-4; 2]. Подставив, получим: х“ ♦
- 2х + 1 > 0 <=> (х t- I)2 > 0, что является верным неравенством для лю-
бых значений переменной, в том числе и для всех значений х е |-4; 2].
Ответ: 2.
81
Сборник формул
1.	Формулы сокращенного умножения ...	1
2.	Формула корней квадратного уравнения	1
3.	Разложение квадратного трехчлена
на линейные множители........................ 1
4.	Теорема Виета и обратная теорема Виета .	1
5.	Неравенство, связывающее среднее
арифметическое и среднее геометрическое
двух чисел................................... 1
6.	Арифметическая прогрессия и ее свойства.....2
7.	Геометрическая прогрессия и ее свойства.....2
8.	Модуль действительного числа.......-	3
9	Свойства степеней с натуральными
и Целыми показателями.........................3
10.	Свойства арифметических корней п-it степени.3
11.	Свойства степеней с рациональными
показателями..............................    3
12.	Свойства логарифмов.........................3
13.	Зависимости между тригонометрическими
функциями одного угла.......................  4
14.	Формулы приведения....................   4
15	Тригонометрические функции суммы
и разности двух углов.......................  4
16.	Тригонометрические функции двойного
угла......................................... 5
17.	Тригонометрические функции половинного
угла..........................................5
18.	Выражение тригонометрических функций
через тангенс половинного угла............... 5
19.	Преобразование произведения
тригонометрических функций в сумму............5
20.	Преобразование суммы н разности
тригонометрических функций в произг-едение......6
21.	Преобразование выражения osinct + fccosa с
помощью дополнительного аргумента...............6
22.	Решение простейших тригонометрических
уравнений.................................... 7
23.	Уравнение касательной к графику функции....7
24.	Понятие производной функции. Основные
соотношения...............................    8
25.	Первообразная и неопределенный интеграл ...... 9
26.	Определенный интеграл. Формула
Ньютона-Лейбница............................. 10
27.	Свойства вертикальных и смежных углов......... 10
.	28. Свойства равнобедренного треугольника.10
29.	Признаки равенства треугольников........11
30.	Внешний угол треугольника н его свойства...11
31.	Теоремы о параллельных прямых
на плоскости.................................11
32.	Теорема о сумме внутренних углов
треугольника...............................  12
33.	Теорема о сумме внутренних углов
выпуклого многоугольника.................... 12
34.	Свойство биссектрисы угла.............  12
35.	Свойства и признаки параллелограмма.....12
36.	Теорема Фалеса..........................13
37.	Свойство средней линии треугольника.... 13
38.	Свойства средней линии трапеции........ 13
39.	Теорема об окружности, описанной около
треугольника............................... 13
40.	Теорема об окружности, вписанной
в треугольник.............................. J3
41.	Окружность. Свойство касательной
к окружности............................... 14
42.	Теоремы о вписанных углах..	14
43.	Теорема об угле, образованном
касательной и хордой................. .	14
44.	Свойства четырехугольника, вписанного
в окружность............................... 15
45.	Свойство четырехугольника, описанного
около окружности..........................  15
46.	Четыре замечательные точки треугольника
Теоремы о пересечении медиан и высот
треугольника.............................   15
47.	Признаки подобия треугольников..	....	15
48.	Свойство биссектрисы угла треугольника	15
49.	Равенство произведений отрезков двух
пересекающихся хорд ....................... 16
50.	Равенство квадрата касательной
произведению секущей на ее внешнюю
часть.......................................16
51.	Пропорциональность отрезков
в прямоугольном треугольнике................16
52.	Теорема Пифагора...................... 16
53.	Формула расстояния на координатной
плоскости Уравнение окружности............. 16
54.	Формулы площадей параллелограмма,
треугольника и трапеции...................  17
55.	Теоремы синусов и косинусов для
треугольника...........................   ..17
56.	Длина окружности...................... 17
57.	Площадь круга..........................17
58.	Аксиомы о взаимном расположении точек,
прямых н плоскостей в пространстве.... .... 17
59.	Теоремы о параллельных прямых
в пространстве............................. 18
60.	Параллельность прямой и плоскости......18
61.	Параллельность плоскостей. Признак
параллельности плоскостей...................18
62.	Теоремы о скрещивающихся прямых.........18
63.	Перпендикулярность прямой и плоскости,,. 18
64.	Перпендикуляр и наклонные. Теорема
о трех перпендикулярах..................... 19
65.	Признак перпендикулярности плоскостей...19
66.	Теорема об общем перпендикуляре
к скрещивающимся прямым.....................19
67.	Двугранный угол........................20
68.	Многогранник. Вып.	многогранник........20
69.	Призма ................................20
70.	Параллелепипед.......................  20
71,	Пирамида...............................21
72.	Конус..................................22
73.	Шар..................................  22
74.	Объем шарового сегмента н сектора	23
75.	Цилиндр.................. ......... 23
82
1	.Формулы сокращенного
умножения
(а ± b)2 = а2 ± 2аЬ + Ь2;
(а ± Ь)2 = а3 ± За2/) + ЗаЬ2 ± Ь3;
а3 ± Ь2 = (а ± Ь)(а2±аЬ + Ь2),
а3 - Ь2 = (а + Ь)(а - Ь).
2	. Формула корней квадратного
уравнения
ах2 + Ьх + с * О;
D= Ь2 - Аас
-b-jD
X = -----
2 2а
2.	D=0:x=~
2а
3 D<D: действительных корней нет
3.	Разложение квадратного
трехчлена на линейные
множители
Пусть Xt и х2 — корни квадратного уравнения
ах2+Ьх+с=0. Тогда справедливо тождество ах2* Ьх
+ с= а(х - х,)(х - х2). Если уравнение имеет один
корень, то справедливо ах2 + Ьх + с = а{х - х,)2
ЕСли корней нет, то кведратный трехчлен ив
множители не разлагается.
I
I
I
I
1
I
I
I
I
r
1
I
I
1
I
I
t
I
i
i


i

i
i
i
i
8.	Модуль действительного числа
Свойства модуля:
1) |а + Ь| < |а| + |Ь|;
3
2) |ай| = |а|  |Ь|;
3)|а-Ъ|г||а|-|Ь||;	4)	=	а#0
9.	Свойстве степеней с натуральными и
целыми показателями
Произведение вида а-а-а-...-а , где л — натураль-
n 6ig
ное, называют степенью числа а и обозначают а*’, а1 =
а, а° = 1 при а * 0.
а'л = -j- при е* 0.
а
Пусть а, b е R, Ь* 0;
т.п— целые, тогда верны равенства:
1) а'”  а" = а'""1; 2} а"1: а" - а””: 3) («О’ *tT;
g)”=£
10.	Свойства арифметических корней л-й
степени
Арифметический корень числа а п-й степени такое
число Ь. что Ь"= а. причем а. b 2: 0. П е N.
Пусть а. Ь, с е R. а, Ь, £ 0. с > 0; т, к, n е N. тогда
верны равенсгва:
1) <йь=<й<Уь :2) Л)	:
4)	,5)	=(%)":
cos2a =------—
1 + lg a
при а#—+кп ,neZ.
6. Арифметическая прогрессия	л
и ее свойства	«
Арифметическая прогрессия (АП) — числоввя
последовательность, такая, что каждый ее
член рввен предыдущему, сложенному с
постоянным для всех членов числом, назы-
ваемым разностью АП.
АП задается первым членом и рвзностью.
Формуле лого члена
АП: ап = а1 + (л - 1)cf,
где а; — первый член АП, d — разность АП.
По определению:
АП afl-an.i+d=an_2+2d =. = аи(л - 1)d
Если каждый член АП больше предыдущего,
то прогрессия возрастающая, если меньше
предыдущего, то убывающая. У возрастаю-
щей АП:
d > О. у убывающей d < О.
Т. 1. Числовая последовательность является
АП тогда и только тогдв, когдв любой
ее член выражается чероз последующий
и предьщущий по формуле ап = ——	,
m2.
I__2, Суммв л первых членов ПА рав-
_	(а, + а„ )л
на $д =g 
13. Зависимости между	«
тригонометрическими функциями
одного угла
1) Sin2a
_ sina cosa _ .
2)	tga  ctga =------= 1;
cosa sina
3)	cosa B ±71 - sin2 a ; sina = ±7l -C0S2a , отсюда
, sina	я	_
фа с ± 	, цри a * — ± ял , П e ? «+> если а в i
71-sin2 a	2
или IV четверти; «-» если а в U или III четверги, tga
, 71 - COS2 а	я	_
= ±----------- ,при a* —+ nn ,Пе?«+»еслиав1илиИ
cosa	2
четверги;«-» если а в Sil или IV четверти.
4)	sln’a =---- при a * itn. n e Z;
1 + ctg'a
sin2a = - — для a* — + лП , П e Z.
1 + lga	2
2 cte a	_
cos a = —•— при a * пл. n e Z;
l+aj a
83
7. Геометрическая прогрессия
и ее свойства
Геометрическая прогрессия (ГП) — числовая
последовательность, у которой первый член
отличен от нуля и каждый член, начиная со
второго, равен предыдущему, умноженному
на постоянное для всех членов число, назы-
вается знаменателем q ГП. ГП задается
своим первым членом и знаменателем.
Формуле л-го члена ГП: Ьп •- bi 
По определению ГП: b^b^ q^bn^ tf =  (f~'
Если каждый член ГП больше предыдущего,
то прогрессия возрастающая, если меньше,
то убывающая. *
Т- 1, Числовая последовательность является
ГП тогда и только тогда, когда любой ее член
выражается по формугю ®	• Ьп+| ,
2, Ьп > О.
Т, 2, Сумма п первых членов ГП равна
npnq^l
<7-1
4. Теорема Вивта и обратная теорема
Виета
LJ_ (Виета). Если х, и х2 — корни квадратного
трехчлена ex’+fcx+c, то справедливы соотношения
Ь
х1*х2“ -
1 x a
L_2 (Обратная теореме Виета). Если для чисел х, и ха
выполнено
, ТО X» И Хд являются корнями
квадратного трехчлена х2 + рх + д- 0.
5. Неравенство, связывающее средние
арифметическое и среднее геометриче-
ское двум чисел
b,(qn -1)
Следствие. Sn =	— ПРИ Я *1-
ГП называется бесконечно убыееющей, если
l«7H I-
Суммой бесконечно убывающей ГП наэьнза-
€гся число, к которому стремится сумма
первых п членов ГП и равно S = —
i-q
flf ♦ fe
Среднее арифметическое чисел а и Ь: ---
2
Среднее геометрическое неотрицательных
чисел а и Ь: \^ Ь .
Для любых неотрицательных чисел а л b
среднее арифметическое больше или раано
среднего геометрического, равенство имеет
место при а = Ь,
14. Формулы приведения
1)	sin(-a) = -sina; cos(-a)« cosa;
tg(- -a) = -tga; ctg(-a) ® -ctga;
2)	sirifa + 2яп) = Sfna; cos(a + 2nn) = coSa;
tg(a + 2nn) = tga; ctg(a ♦ 2яп) » ctga;
ncZ.
3)	sin(a + n) = -sina; cos(a + я) = -cosa;
tg(a + n) = tg«; ctg(a + л) = ctga.
11. Свойства степе й с рациональными
показателями
Пусть т—целое, л — натуральное, а > 0,
4) sinj
= C0Sa ; cos
?stBa ;
го да еп . если а «0, то еп =0 .
Пусть а. ft с Я, а, b > О; р, q — рациональные числа,
тогда черны равенства:
1)^0'
2)(^ = ew:
3) (н&у = ё’Ьп,
4
Tctga , dg
♦tga ,
15. Тригонометрические функции суммы и
разности двух углов
1) C0S(a ± Р) = cosacosp Т sinaslnp;
sin(a т Р) - Sinacosp ± COSasinp.
а >3(a ± Р) - --;И" *8 д . af^+ifk.
1Т tgatgp	2
It
2
(a ± p) * — + nm ,k,n,mcZ
21ctg(a±₽) = ^£&i‘,
crgpictga
(a + p) * пл, a * я/г, p * кт, k,n, me Z
'ft'
12. Свойства логарифмов
Пусть а » С. а * 1. b > 0, тогда уравнение а" » b имеет
единственный корень. Он называется логарифмом числа b
по основанию а и обозначается log«to. Основное лсгариф-
<оу й .
мическое г тздество: а а «= b
Т, 1, Пусть а> О, Ь> 0, о 0, а* 1.
Тогда верно равенство logj> + logeoe 1од<Фс.
Т, 2. Пусть а > 0. b > 0, а * 1. Тогда для любого С
существует logj!)' и верно равенство ciog«to = legato’
Т, 3, Пусть а> О. b > 0, с > О, а * 1, тогда верно
log,to - log«c= k>g - .
 с
У, 4, Пусть существует logjb. Тогда для любого с > О,
log b
с* 1 верно равенство log*b  -—.
tog. в
84
1S. Тригонометрические функции	»»
двойного угла	w
sin2a = 2sinacosa;
cos2a = cos2a - sin2a= 1 - sin2a = 2cos2a -1
tgZg- 7’а* , и.^ + як ,
I-IS a	2
ux— i 7in , к, n c Z;
ctS2a = ^-^
2ctga
а* — ,к е Z.
2
17. Тригонометрические функции
половинного угла
. ? a = 1-cos2a
2 “	2 ’ ’
2 a 1 + cos a a sin a
cos — ---------; щ— =------— ,
2	2	’*21 rcosa ’
a * n + 2nk, к <= 2.
20. Преобразование суммы
и разности тригонометрических
функций в произведение
. _	. <х + В аВ
sina + sin 6 = 2 sin——cos-- ,
2	2
sina - sinp = 2 cos sin ;
2	2
a + B	a--В
cosa + cosp = 2cos--- cos-- ;
2	2
cosa - cosp = -2sin~— Ein——-
2	2
.	. _ sin(a±B)
tga ± tgp =-----4- ,
cosacosp
6
а * --+пк , В * — + кл ,п,ке2
2	2
, „ sin(B±a)
ctga ± ctg-3 =-----,
sin a sin р
a * пк, р * пп, п, к е 2.
22. Решение простейших	-w
тригонометрических уравнений	В
1. Решение уравнения sinx = а. Арксинусом
числа а, а е [-1; 1], называется число из отрез-
24. Понятие производной функции. г*
Основные соотношения О
ка
такое, что его синус равен а.
х = (-1 )"arcsina + пп, п е 2.
2. Решение уравнения cosx = а.
Арккосинусом числа а, а е [-1; 1J, называется
число из отрезка [О; к] такое, что его косинус
равен а.
х = ±arccosa + пп, п е 2.
3. Решение уравнения tgx = а.
Арктангенсом числа а называется число из
п я'
2'2,
Пусть f{x) определена не некотором интерва-
ле (а, Ь), х0 е (а, Ь). Приращение аргумента в
точке х0: Дх = х - х0, х, х0 е (а, Ь). Приращение
функции в точке хо, соответствующее Ах:
&Ы ® Кхо + Дх) - f{xQ). Производной функции
f{x) в точке х называется предел отношения
Дг к Дх при стремлении Дх к нулю, если такой
предел существует и конечен:
х f(x + Ax)-f(x)
у(х) = hm —---------—~
дх—>0	Дх
интервала
такое, что его тангенс
равен а.
х = arctga + пп, п € 2.
4. Решение уравнения ctgx = а.
Арккотангенсом числа а нвзывается такое
число из интервала (О; п), что его котангенс
равен а.
Решения: х = arcctga + пп, п g Z.
Таблица 1
Производные элементарных функций
KO	f(*)		f(x)
y^c	y* = 0	у = ax + b	✓ = a
y=)T	/ = 2*		у = з№
1 y= — X	, -1 y	y = 4x	
>-*«	у » PX^'	v~ a*	У = як1па
у «In*	/=- X		xlna
ski*	у = cosx	у = cosx	/ = -УПО
y = lgx	/=—T“ COS X	y«ctg*	У’ = -~- sin’x
y»arcs?n*	Ji-s’	у и ШССО5*	У"*7Г7
85
21. Преобразование выражения asina*
teosa с помощью дополнительного аргу-
мента
Пусть а, b не равны нулю
одновременно.
18. Выражение тригонометрических функ-
ций через тангенс половинного угла
При a * л + 2ял, п е Z, справедливы тождест-
ва:
Обозначим с = уа2 + Ь'
/=\2
Заметим, что
это значит,
ЧТО — =СОЗф,
sin a --------; cos a = — - <* ;
— = эшф , где ф — некоторый угол. Можно
с
выбрать ф = -агссоз
при b < 0, или
Ф = arccos
при b s 0. Получим:
Если дополнительно выполнено a * — + пк
2
asina + bcosa = c(smaco6<p + cosasirxp) =
csinfcp + а)
2tsf
к е Z, TO tea = - п
19. Преобразование произведения триго-
нометрических функций в сумму
3.naslnp=-c°?(?-P>2COS<ai£>
cosacosp = «??<«-P)^c°s<«.
Пх)	г<«)	ФО	Г(х)
у- ardgx		ус arcctgx	'-7^
Если в т. х существуют производные функций и(х), Цх),
то справедливы соотношения:
(и ± v)’ = if ± V; (о  0’ = tfv+ w";
u'v - uv'
----5— ; v*0.
sinacosp = ^.(?-P)^in(a + P)
23. Уравнение касательной
к графику функции
Касательной к графику функции f(x) в точке
Mq{xq, /(хо)) называется предельное положе-
ние секущей М0М (если оно существует и
единственно) при стремлении точки М к точке
Мо.
puc. 24.1
Запишем уравнение секущей, проходящей
через Ма{х0-, /(хь)) и М(х0+Дх; фСо+Дх)):
при Дх ->0 уравнение секущей становится
уравнением касательной: у = Г(х0Х* - х0) *
К*о).
Если производная в т. Хо не существует, то к
ней нельзя провести касательную, например, в
т хв«0дляДх)«|х|.
86
25. Первообразная	л
и неопределенный интеграл	У
Пусть на некотором промежутке выполняется ।
F(x) = f(x), тогда функция у = F(x) называется ।
первообразной для функции у = Цх).
1)Пусть F(x) — первообразная для f(x) на 1
некотором промежутке, тогда функция Р(х) + *
С тоже является первообразной для f{x) на i
том же промежутке, где С — произвольная ।
константа.	।
2}Пусть F(x) — первообразная для ^х),
G(x) — для р(х), тогда F(x) + G(x) — первооб-
разная для ^х) + р(х).
3)Пусть F(x) — первообразная для f(x), к — •
константа, тогда kF(x) — первообразная дпя I
ад.	I
4)Пусть F(x) — первообразная для f(x), к, b — .
1	1
константы, Л*0, тогда —-F(kx + b) —пэрвооб- I
"	I
разная для f(kx + Ь).
Таблица 2
Первообразные элементарных функций
	F(x)
0	С
1	х + С
X	(х’/2)+С
Xя, П * -1	ХЯИ —- + С л + 1
1/х ,х>0	lnx+ С
1/х2	-а/х)+с
1/Л	2-Jx +С
29. Признаки равенства д А
треугольников
Два треугольника называются равными, если их
можно наложить друг на друга так, чтобы они
совпали.
1) (Первый признак равенства треугольников - по
двум сторонам и углу между ними).
Если в ДАВС и ЛАуВуСу ЛВАС = ЛВуАуСу,
АВ = АуВу, АС = А,С,. то ЛАВС я AAjfi.C,.
2)(Второй признак реве яства треугольников - по
стороне и прилежащим к ней углам).
Если в ЛАВС и AA^Ci ВС - ВуСу,
ЛАСВ- ЛАуСуВу, ЛАВС = ЛАуВуСу.
то ЛАВС = AA^fCi-
3)(Третий признак равенства треугольников - по
трем сторонам).
Если в ЛАВС и ЛА-.ВуСу АВ = АуВу,
АС= АуСь ВС = ВуСг. то ЛАВС = ЛАуВуСу.
30. Внешний угол треугольника
и его свойства
Угол, смежный углу треугольника, называется
внешним углом этого треугольника.
Jf внешний угол треугольника больше любого
1 внутреннего, не смежного с ним.
Из теоремы следует, что если Z8CA — пря-
мой или тупой, то ЛАВС и ЛВАС — острые
(поскольку угол, смежный к прямому — пря-
мой, а к тупому — острый).
10
26. Определенный интеграл.
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть нам необходимо рассчитать площадь фигуры,
ограниченной графиком у = t[x), и прямыми у = О. х • а,
X » Ь. Для простоты предполагаем, что Цзф > 0 на [а; Ь].
Разобьем отрезок [а; Ь] на п равных частей точками х0
» &о < Xi < ... < хя = Ь. На каждом из отрезков [Хы, X*]
построим прямоугольник высоты Сумма площа-
дей всех прямоугольников:
VW ♦ 'Ы *  '<*. ,»•
Л
ч
		КА
в*к. *1	*/	‘ ‘ к,..	«-Х.
рис. 26.1
При неограниченном увеличении л существует предел
S = Игл У (а;Ь) • который является искомой ллощадыо
Этот предел называется определенным интегралом
ГДО от а до b и обозначается
Т1, Если функция у  fpQ непрерывна на [а; б], то
справедлива формула: р,*= F{6) - F{a), где F(x) —
первообразная для Их). Это формула Ньютона-
Лейбница.
32.	Теорема с сумме внутренних	л
углов треугольника	I &
Сумма углов треугольника равна 160°.
33.	Теорема о сумме внутренних углов
выпуклого многоугольника
Многоугольник М называется выпуклым, если
для любых А, В е М отрезок АВ с М.
Т, Сумма углов выпуклого n-угольника равна
(п-2)-180°.
34.	Свойство биссектрисы угла
Т, 1 Пусть ОМ — биссектриса ЛАОВ
(т.е. ЛАОМ = ЛБОМ). То>да для любой точки
К в ОМ, КС = KD, где КС 1 ОА, KD 1 08.
Т- 2, Пусть точке К лежит внутри ЛАОВ и
KC=KD (КС ± ОА, KD 1 ОВ). Тогда К с ОМ.
87
I
I
I
I
!
I
I
I
I
I
I
I
I
I
t
i
I
I
------------_____-------------------V-
27. Свойства вертикальных	r ।4
и смежных углов	।
Точка А, лежащая на прямой, разбивает ее на I
два множества точек, лежащих по одну сто- j
рону от А, называемых полупрямыми.	।
Полупрямая вместе с точкой А — луч. Раэлич- ।
нью лучи на одной прямой, имеющие общие .
начало, называются дополнительными.
Два угла называются смежными, если у них 1
одна сторона общая, а две другие являются 1
дополнительными лучами.	*
Сумма смежных углов равна 180°.	I
Углы, смежные с разными, равны.	I
Два угла, не имеющие общих точек, кроме ।
вершины, называются вертикальными, если ।
стороны одного составляют продолжение t
сторон другого.
Вертикальные углы равны.
28. Свойства равнобедренного	I
I	треугольника
Е Пусть АЭС — равнобедренный треугольник,
t АЗ = ВС, тогда: биссектриса угла В одновре-
I менно и медиана, и высота, углы при основа-
I нии ZA и ZC равны.
Параллелограмм — 4-|
угольник, в котором ।
противоположные {
стороны попарно(
параллельны.
1 Т- 1- (свойство сторон и углов ларалле.по-
-* грамма).	*
8 Пусть ABCD—параллелограмм.	•
I Тогда АЗ = CD, АС = ВО, ZA « ZC, ZB = ZD •
8 и ZA + ZB = 180°.	I
I Т. ?. (лоизнаки параллелограмма).	|
I Если в выпуклом 4-угольнике ABCD.	g
t или 1) АВ = CD и AC-BD,	I
। или 2) AB ~ CD и AS J| CD, to ABCD — парад- s
। лелсграмм.
T, 3- (свойство диагоналей)
Пусть ABCD — переллелограмм, AC n BD =
’ O.	1
e Тогда AO = ОС и BO c CD .	B
I	----_^c	1
I	/ >4.	i	1
8	/	/	1
1 /\ / 1
।	д AcX-------DsJd	i
I IA (признак параллелограмма). Пусть ABCD ।
 — 4-угольник, AC, BD — его диагонали, AC r\ ।
i bd=o,
AO - ОС, BO = OD. Тогда ABCD — паралле-
। лсграмм.
4х)	F(x)
е*	& + C
sinx	-cosx + 0
cosx	sinx+ C
l/sln2 х	—clflx + C
|/(cos2x)	tgx + C
Если у функции tyr) на некотором промежутке
существует первообразная Е(х), то множество
всех функций вида F{x) + С называется
неопределенным инте|ралом от функции ^х)
и обоз?чачается Jf(x)dx .
Неопределенные интегралы элементарных
функций
Формулы интегрирования:
„»+1
1. |Шх=х+С; 2. Jxfldx=~—+С,П#1;
3. [— Члх+С ,х>0;	4. f~«-i+C ;
1 х	J х1 х
1 7. |sfnxdx = -CG«x+С ;	8. Jcosxdx = sinx + C ;
I 9. J—=-etgx+c ; 10. f -tgx+c ,
! 6ln X	' CO8 X
Правила интегрирования:
7Ф0 + g(x))rfx = 7(x)dx + ^(x)dx, если 7(x)dx и
 *&(x)dx существуют. *3<f(x)dx = W(x)dx
। Если ?fr)<t< = F(x)*C, to 7(kx+b)- ± F(kx + b),
31. Теоремы о параллельных
прямых на плоскости
с Две прямые параллельны,
/ если они лежат в ©дней
-— плоскости п не имеют общих
___ --	точек или совпадают.
ь /	Аксиома _ параллельных
/	ВйЗМк^
/	Пусть / — прямая. Тогда через
точ^у Де/ можно провести
/	единственную прямую
Следствие 1. Если а || b и с пересекает а, то с пересе-
кает ь.
Сл9аугвиэ Z Если а || Ь и s || с, тз b || с.
Пусть прямые а и b пересечены прямей с.
Тогда получается 6 у гл оз, имеющих названия (рис.
48.1):
накрест лежащие: Z3 и Z5, Z4 и Z6 — внутренние;
Z1 и Z?, Z2 м z8 — внешние:
односторонние: z4 n z5, Z3 и ze — внутренние:
Z1 И Z86 Z2 и Z7— внешние;
соответственные: Z1 к Z5, Z4 и ZB. Z2 и Z6, Z3 и Z7.
Т. V (признаки параллельности двух прямых).
Пусть прямые а и b пересечены прямой си:
1)	какие-либо соответственные углы раены, или
2)	какие-либо накроет лежащие у ты раины, или
3)	сумма каких-либо двух внутренних мпи каких-либо
двух внешних односторонних углов равна 180’,
то а Я Ь.
Xi-i (обратная к Т. 1.). Пусть е || b и прямые е и i>
перосечены с. Тогда:
1)	соответственные углы равны;
2)	накрест лежащие углы раены;
3)	сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
4)	сумма внешних односторонних углов равна 180°
&
88
ЗБ. Теорема Фалеса	л
Т. (Фалеса). Пусть имеется угол АОВ, ®
А, А^, ... е ОА Л(Лз =
Wb = ...,= АВ, II АуВг II ....
В,, В2. ... 6 ОВ.
Тогда В,Вг = В-зВа
41. Окружность. Свойство	л
касательной к окружности к Ч
Окружность — множество всех точек, равно-
удаленных от данной точки (центра окружно-
сти). Радиус окружности — отрезок, соеди-
няющий точку окружности с ее центром.
Секущая — прямая, проходящая через 2
точки окружности. Хорда — отрезок, соеди-
няющий 2 точки окружности,
хорда, проходящая через центр.
“ прямая, лежащая в одной
окружностью и имеющая с ней
общую точку (точку касания).
Т 1 (свойство касатель-
ной) Пусть прямая а
касается окружности с
центром в О в точка А .
Тогда ОА X а.
Диаметр —
Касательная
плоскости с
только одну
37. Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника — это отрезок,
соединяющий середины двух его сторон.
Т. Пусть DE — средняя линия ДАВС . Тогда
D£|| АС и DE= ~ АС.
окружности, АВ и АС —
касательные. Тогда АВ -
АС и 'BAO = ZOAC.
Т 3 (обратная к Т. 1).
Пусть ОД — рздиус
окружности, а ± ОД, А е а. Тогда а ч— каса-
тельная.
44. Свойства четырехугольника,	я g"
вписанного в окружность	й О
4-угольник вписан в окруж-
ность, если все его вершины
лежат на этой окружности.
IT. 1. Пусть 4-угольник ABCD
вписан в окружность.
‘•’Тогда ZA + ЕС - ЕВ + ED =
180°.
Т. 2. (обратная к Т. 1).
Пусть в выпуклом 4-угольнике
ABCD ЕА ЕС = ЕВ + ED ~ 180’. Тогда
вокруг него можно описать окружность.
49. t членство произведений отрез- л жъ
ков двух пересекающихся хорд в v
Т, Пусть АВ и CD — хорды ок-
ружности, АВ r\ CD ~ Е. Тогда АЕ
BE-CEDE.
45. Свойство четырехугольника, описан-
ного около окружности
Описанный около окружности 4-угольник — 4-
уголькик, все стороны которого касаются этой
окружности.
Т, 1 Пусть 4-угольник ABCD описан около
окружное ги. Тогда АВ + DC - AD + ВС.
50. Равенство квадрата касательной
произведению секущей
на ее внешнюю часть
5—— Т, Пусть точка М вне круга,
J\ МА — касательная, МС —
\ ) секущая. Тогда МА2 = МВ
у МС.
51. Пропорциональность отрезков
в прямоугольном треугольнике
Если х2 = аЬ, то х называется
средним пропорциональным
между а и b
Т Пусть в &АВС ЕС = 90°, CD
* — высота. "Тогда:
' V)CD' = AO DB;2)CB1 = AB DB;
| 3)ДС2 = ДВ АО
52. Теорема Пифагора
I Т. (Пифагора). Пусть е Л4ВС ZC = 90°
। Тогда АЛ2 = АС2 + ВС2.
Т. 2. (обратная к Т. 1).
Если в 4-угольнике ABCD АВ + DC = AD + ВС,
то в него можно вписать окружность.
89
--------------------------V--------------------------------
42. Теоремы о вписанных углах О 38. Свойства средней линии трапеции
Центральный угол — угол,
образованный двумя радиусами
окружности. Вписанный угол —
угол, образованный двумя
хордами, проведенными из
одной точки окружности.
Т 1. Пусть ЛАВС — вписанный в
окружности с центром О.
Тогда ZABC = -AC <jAC
2
Трапеция — это 4-угольник, в котором 2 противо-
положные стороны параллельны (основания
трапеции), а 2 другие — нет (боковые стороны
трапеции).
Средняя линия трапеции — это отрезок, соеди-
няющий середины ее боковых сторон.
Т, Пусть PQ — средняя линия трапеции ABCD.
Тогда PQ || AD, PQ || ВС, PQ = у (AD + ВС)
Т. 2. Пусть АЕ и DC — хорды,
пересекающиеся внутри круга.
Тогда ZABC = j ( АС + DE ).
и Т. 3, Пусть АЕ и CD —
хорды, пересекающиеся
внв круга. Тогда ЛАВС
= 1(АС -DE).
43. Теорема об угле, образованном
касательной и хордой
Т, Угол между касательной и хордой равен
половине заключенной внутри него дуги.
53. Формула расстояния на координаггной
плоскости. Уравнение окружности
Пусть на координатной
плоскости хОу имеются
точки А = (xt; у,), В = (х2; у2).
Пусть Xi * х2, У1 * Уг- Прове-
дем через А и В прямые,
параллельные Ох и Оу В
получившимся при этом ДАВС АС = |х2 - Xj |,
ВС = |y2-yi|=> ПОТ.
Пифагора АВ2 =АС2+ВС2=(х2 - *i)2 + (Уг - ЯЛ
АВо^-хУ+^-у,)* .
Окружность — это множество точек, равно-
удаленных от данной.
Пусть имеется окружность с центром в точке
О-(х0; у0) радиуса г. Тогда для всякой точки
М=(х; у), принадлежвщвй окружности, имеем:
- Г)
Обратно, всякая точка с координатами (х; у),
удовлетворяющими (*), лежит на данной
окружности => (*) — уравнение окружности
радиуса г с центром (х0; у0).
L .
90
39. Теорема об окружности, описанной
около
треугольника
Описанная около треугольника окружность —
окружность, на которой лежат все его верши-
ны
Т, Около любого треугольника можно описать
единственную окружность.
40. Теорема об окружности, вписанной
в треугольник
Вписанная в треугольник окружность —
окружность, которой касаются все его сторо-
ны.
Т, В любой треугольник можно вписать един-
ственную окружность.
46. Четырэ замечательные точки треугольни-
ка. Теоремы о пересечении медиан и высот
треугольника
Замечательные точки тре-
угольника — это точки пересе-
чения:
— биссектрис (центр вписан-
ной окружности):
— серединных перпендикуля-
ров (центр описанной окруж-
ности);
— медиан (центр тяжести):
— высот (ортоцентр).
Т, 1, Высоты треугольника пересекаются в одной
точке.
Т, 2, Медианы AAt, BBlf CCt треугольника ДАВС
пересекаются в одной точке О и АО : ОА,  ВО : OBi =
СО: ОС, = 2:1.
47. Признаки подобия треугольников
Две фигуры подобны, если одну из них можно пере-
вести а другую преобразованием подобия.
Т- 1. (первый прязнак подобия треугольников — по двум
углам). Если в ДАВС и AA,B,Ci ZA - ZA«. ZB =ZBi, 1JD
ЛАВС ~ AA,B,C,.
T, 2, (второй признак подобия треугольников - по двум
сторонам и углу между ними). Если в ЛАВС и AA^Ci
ZA - ZAi, АВ = |tA»Bi, AC » Mfa, то ЛАВС- ДА.В.Сь
Т, 3, (третий признак подобия треугольников - по трем
сторонам). Если в ЛАВС и AAtBiC,: АВ = fcAiBi, ВС «
KBiCu АС  КА.С,, то ДАВС ~ AAiBiCi.
48. Свойство биссектрисы угла треугольника
г Т, Пусть в ДАВС: ВО — биссектриса.
AD АВ
тоиа ОС = ВС
17
64. Формулы площадей
параллелограмма^ треугольника
и трапеции
Т 1. Пусть в параллелограмме
ABCD АВ = CD = a, AD = ВС -
b, BHLAD, BH - Й. /.BAD = а.
Тогда Sabcd = b h = а-b sina.
T. 2, Пусть в ДАВС BH 1 АС,
АВ = a,AC~ bt г.ВАС = a
Тогда Sabc = ^bb-
= — afcsina
2
Т. 3, Пусть в трапеции ABCD AD
и ВС — основания, ВН 1 AD.
Тогда 8Ю «= j ВЩАО + ВС)
55. Теоремы синусов и косинусов
для треугольника
Т 1, (синусов). Пусть в ДАВС ВС - в, АС « Ь,
АВ = с.
Тогда —-— » —-— = ——— = 2R, где R —
sinA sinB smC
радиус описанной около ДАВС окружности.
Т, 2, (косинусов). Пусть в ДАВС: ВС а.
АС = ^,АВхс. Тогда а2 = Ь2 + с? - 2Ьс соаА.
64. Перпендикуляр и наклонные. л л
Теорема о трех перпендикулярах I
Пусть имеется плоскость а и точка А « о.
Перпендикуляр из А на a — ото отрезок АВ1
а, В е а. Пусть С е а, С * В. Тогда АС назы-
вается наклонной из А на а, ВС — проекцией
наклонной АС на плоскость а.
Т 1, (о трех пврпецдикугофах)
Пусть a — плоскость, точка A t а, АВ —
перпетедисуляр из А на о, АС — на- клоняая
из А на а, ВС — ©е проекция на плоскость а,
прямая ее а, а 1 ВС.
Тогда а 1 АС
Т, 2, (обратная кт. 1),
Пусть a — плоскость, точка Д к a, АВ и АС —
перпендюсупяр и наклонят из А на а соот-
ветственно, ВС — проеядо наклонной АС на
плоскость а. прямая ас о. а 1 АС. Тогда а А
ВС
L
59.	Теоремы о параллельных . о
прямых в пространстве	 О
Параллельные прямые — это прямые, лежащие в
одной плоскости и не имеющие общих точек.
Т. 1, Пусть в — прямая, точка М е а. Тогда существует
единственная прямая ft || а. проходящая через точку М.
Лемма, Пусть в и б — прямые, a — плоскость.
Т 2, Пусть а, Ь, о— прямые, а |[ с, b || с. Тогда а || Ь.
60.	Параллельность прямой и плоскости
Прямая п плоскость параллельны, если они не имеют
общих точек.
Т, 1, (признак параллельности прямой и плоскости).
Пусть a — плоскость, прямая аса. прямая b а а, в ||
Ь. Тогда b }| а.
Т, 2, Пусть а — плоскость, прямая а || а, р — плос-
кость, е с р. a ri р ® Ь. Тогда а || Ь.
61.	Параллельность плоскостей. Признак
параллельности плоскостей
Плоскости называются
параллельными, если они
не имеют общих точек.
Т, 1, (признак параллель-
ности плоскостей). Пусть
a, р — плоскости, а с a, ft
с 0, th с р, а пересекает
Ь, Si пересекает К а Ц аь
b Н th- Тогда а И 0.
Т, 2, Пусть а, р, у —
плоскости, а Ц Р,
а у» а, рпу» ft. Тогда а |Ь.
Т, 3, Пусть а, р — плоскости, а Ц р, в, b — прямые, в Ц
ft, а м ft пересекают аира точках-А, В, С, D.
। Тогда AS- CD.
67.	Двугранный угол ОЛ
Опр, Двугранным углом
называется фигура, образован-
ная двумя плоскостями с общей
i ограничивающей их прямой.
Полуплоскости называются
гранями, а прямая - ребром
фигурного угла.
Плоскость перпендикулярная ребру двугран-
ного угла пересекает его грани по двум углам.
Полученный угол называется линейным
углом двугранного угла
Мера двугроеюго угла - его
мера его линейного угла
Трехгранным углом (а. b, С)
называется фигура составлен-
ная из трех плоских угле® (в, £>)
(й, с) (а, с). Их общая вершине
- вершина трехгра нота угла.
Аналогично определяется
многогранный угол.
Многогранник. Выл. многогран ник
Отю- Многогранник - тело, поверхность
которого состоит из конечного числа плоских
г кхоуггпьниког
Многогранник называется эыпуклым если он
расположен по одну сторону от плоскостей
ограничивающих его поверхность. Общая
часть таких плоскостей и поверхности -
ребро многогранника , а аершжы - вершина-
.ми многогранника.
91
-------------------------------х_--------------------------
62. Теоремы о скрещивающихся прямых |	56. Длина окружности
Прямые. не лежащие в одной плоскости, называ- I
ются скрещивающимися.	I
Т 1, (признак скрещивающихся прямых). Пусть а (
И b — прямыо, а — плоскость, а <= а, Ьг\а,= М, М
е в
Тогда а и b скрещиваются.	*
Т, 2. Пусть прямые а и b скрещиваются. Тогда I
существует единственная плоскость а такая, что I
b с а и а || a.	।
63. Перпендикулярность прямой
и плоскости
Угол между пересекающимся прямыми а и b —
это меньший из углов, образующихся при их 1
пересечении.	I
Угол между прямыми а и Ь, а || b равен О.	I
Угол между скрещивающимися прямыми а и b — ।
это угол мезеду пересекающимися прямыми си d .
такими, что с || а и d ||Ь.
Прямые а и b называются перпендикулярными (а *
1 Ь), если угол между ними равен S0“.	<
Лемма- Пусть а, Ь. с~ прямые, е || Ь, а х с. Тогда 1
ЬХС.	|
Прямая а перпендикулярна плоскости а, если для ।
любой прямой b а а, а X Ь.
Т, 1- Пусть а, b — прямые, а — плоскость, а || Ь, а X
а. Тогда Ы а.
L2* (обратная к т. 1). Пусть а, b — прямые, а — 1
плоскость, в! а, Ыа Тогда а || Ь.	>
Тг 3, (признак перпендикулярности прямой и плос- I
кости).	।
Пусть а. b с- прямая а — плоскость, прямые b и । провести единственную плоскость.
с лежат в а и пересекаются, а X Ь, а 1 с. Тогда а X а.
69. Призма
Опр, Пршмсй называется многогранник, состоящий из двух
плоских глюгоугальникоэ, нежащих в разных плоскостях, и
совмещаемьх параллельным переносом и из отрезков,
соединяющих соответствующие точки этих многоугольни-
ков. Многоугольники называются основаниями призмы, а
отрезки, их соединяющие - боковыми ребрами.
Свойство 1, Основание призмы равны.
Свойство 2- У призмы основании лежат с параллель-
ных плоскостях.
Свойство 3, Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Опоздоление, Высотой призмы называется расстояние
между основаниям.
Теореме 1. Объем призмы равен произведению
площади основания на высоту. Vе S • Н.
ТйСййй&^.Площадь поверхности призмы равна сумме
двух площадей основания и площади боковой поверх-
ности.
S = 2£с«н + Б** » •
Определение. Прямой призмой называется призма
основания которой перпендикулярны боковым ребрам.
Теорема, Площадь боковой поверхности прямой призмы
равна произведению периметра основания на высоту
V-P«h Р.
70. Параллелепипед
Параллелепипедом называется призма, основание
которой есть параллелограмм.
Свойств, У параллелепипеда противолежащие
боковые грани параллельны и равны.
Свойство, Диагонали параллелепипеда пересекаются
в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Свой стар. Объем любого параллелепипеда равен
произведению площади основания на его высоту,
I = 2nR, где I - длина окружности, a R - её
радиус.
67. Площадь круга
Круг с центром в точке О радиуса г — это
множество таких точек X, что OX s г
S = nF?2, где S - площадь круга, a R - его
радиус.
53. Аксиомы о взаимном расположении
точек, прямых и плоскостей
в пространстве
Аксиомы:
1)	Если дае точки прямой принадлежат неко-
торой плоскости, то прямая лежит в этой
плоскости.
2)	Если две плоскости имеют общую точку, то
они имеют общую прямую, проходящую через
эту плоскость.
3)	Через три точки, не лежащие на одной
прямой, можно провести единственную плос-
кость.
Следствия:
1) Через прямую и точку, не лежащую на этой
прямой, можно провести единственную плос-
косгь.
2) Через -две пересекающихся прямые можно
65. Признак перпендикулярности
плоскостей
Двугранный угол — это фигура, образованная
прямой а (ребро угла) и двумя полуплоско-
стями с общей границей а (его гранями).
Отметив на а точку и проведя в каждой грани
лучи из этой точки, перпендикулярные к а,
получим линейный угол двугранного угла.
Величина двугранного угла — это величина
его линейного угла.
Угол между пересекающимися плоскостя-
ми— это меньший из двугранных углов,
получаемых при их пересечении. Плоскости
перпендикулярны, если угол между ними
равен 90°.
Угол между параллельными плоскостями
равен 0е.
Т, (признак параллельности плоскостей).
Пусть а, р — плоскости, прямая а с р, а 1 а
Тогда р ±а.
66. Теорама об общем перпендикуляре
к скрещивающимся прямым
Общий перпендикуляр к скрещивающимся
прямым а и b — это такой отрезок АВ, что А е
а, В е Ь. АЗ ± а, АВ X Ь. Длина АВ называется
расстоянием между прямыми а и Ь.
Т, Пусть прямые а и b скрещиваются. Тогда
существует единственный перпендикуляр АВ
к этим прямым.
92
71. Пирамида
Определение. Пирамида - многогран- А 
ник, состоящий из плоского многоугольника -
основания пирамиды, точки, не лежащие в
плоскости основания - вершины пирамиды и
всех отрезков, соединяющих вершину пира-
миды с вершинами основания. Отрезки
соединяющие вершину пирамиды с верши-
нами основания называются боковыми реб-
рами.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр
опущенный из вершины пирамиды на плос-
кость основания.
Правильная пирамида - пирамида, основани-
ем которой, является правильный много-
угольник. Трвугольнея пирамида называется
тетраэдром.
72. Конус	О О
Определение- Конусом называется
тело, которое состоит из круга, основания
конуса, точки не лежащей в плоскости этого
круга - вершины конуса и всех отрезков,
соединяющих точки основания с вершиной.
Конус называется прямым, если прямая,
соединяющая вершину с центром основания
перпендикулярна основанию.
Высота конуса - перпендикуляр опущенный
из вершины на плоскость основания,
Осью прямого кругового конуса называется
прямая, содержащая его высоту.
Проведем сечение конуса плоскостью парал-
лельной ОСНОЬМНИЮ.
Верхняя часть конуса подобна самому конусу,
а нижняя называется усеченным конусом.
Теорема. Объем конуса равен 1/Зпроизве-
дения площади основания на высоту
V = ~h(^R2 + nRV+яг2), h - высота усечен-
ного конуса, а ц, ъ - радиусы оснований.
74. Объем шарового сегмента	0^2
и сектора	АчЭ
Определение. Шаровым сегментом называ-
ется часть шара, отсекаемая от него плоско-
стью.
Свойство. Объем шарового сегмента равен
xH2(R-^), где Н — высота шарового сег-
мента.
Определение. Шаровым сектором называет-
ся толе, которое получается из шарового
сегмента и конуса, основанием которого
является сечение плоскостью.
Свойство. Объем шарового сектора равен
Vc04 ±V№N =~тгЯ2Н ± jn7-/V/?2 ~Н2 , «+» если
сегмент меньше полусферы, «-» в случае,
когда сегмент больше полусферы.
93
-----------------------------------------------х
73. Шар
Определение. Шэром называется тело, которое
состоит мэ всех точек пространства, находящихся на
расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта
точка - центр шара а расстояние - радиус.
Определение. Граница шара называется шаровой
поверхностью ИЛИ Сферой,
Определение, Отрезок, соединяющий две точки
сферы, проходящий чераз центр называется диа-
метром.
Свойство 1, Всякое сечение шара плоскостью есть
круг. Центр этого круга есть основание перпендику-
ляра, опущенного из центра шара ца секущую
плоскость.
Определение- Плоскость, проходящая через центр
шара, называется диаметральной плоскостью. Сече-
ние - большим кругом, а сечение сферы — большой
окружностью.
• Определение. Плоскость, проходящая через точку R
сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в
эту точку называется, касательной плоскостью. Точка
R называется точкой касания-
Теорема, Касательная плоскость имеет с шаром
единственную точку пересечения - точку касания.
Теорема Линия пересечения двух сфер есть окруж-
ность.
Теорема,
Объем шара равен —лЯ*
Теорама.
Любая диаметральная
плоскость шара является его
плоскостью симметрии.
Центр шара является его центром симметрии.
ж-
Теорема. Плоскость, пересекающая пирами-
ду и параллельная основанию, отсекает
подобную пирамиду.
Определение, Часть пирамиды без ее отсе-
ченной части называется усеченной пирами-
дой.
Теорема. Объем пирамиды равен одной
трети произведения площади основания на
высоту V = jSH
Теорема.
Объем усеченной пирвмиды равен
l/ = lh(Q1+A/Q^ + Q2)
где h - высота усеченной пирамиды. Qb О2 -
площади ее основвний.
75. Цилиндр
Определение. Цилиндром (круговым цилин-
дром) нвзывается тело, которое состоит из
двух кругов, не лежащих в одной плоскости, и
совмещаемых параллельным переносом и
всех отрезков, соединяющих соответствую-
щие точки кругов. Круги называются основа-
ниями, отрезки соединяющие соответствую-
щие точки окружностей кругов, - образующи-
ми цилиндре.
Свойство 1, Основания цилиндра равны.
Свойство 2, У цилиндра основания лежат в
параллельных плоскостях.
Свойство 3. У цилиндра образующие парал-
лельны и равны.
Определение. Цилиндр называется прямым,
если его образующие перпендикулярны
основаниям.
ность по окружности, равной
окружности основания.
Свойство 4,
параллельная
основания цилиндра, пера-,
Плоскость,
плоскости
Теорема 1. Объем цилиндра равен лЯ2  h
где h - высоте цилиндра.
Теорема 2, Площадь поверхности прямого
кругового цилиндра равна 2nR* + 2nRI , где
/—длина образующей.
94
Учебное издание
Лаппо Лев Дмитриевич
Филонов Андрей Николаевич
Корешкова Татьяна Александровна
Глазков Юрий Александрович
Мирошин Владимир Васильевич
Шевелева Наталья Васильевна
МАТЕМАТИКА
Экспресс-курс подготовки к ЕГЭ
11 класс
Издательство «ЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат
№ 77 99.02 953.Д.008330.09.06 от 14.09.2006 г.
Корректор А.В. Полякова
Дизайн обложки Л.В. Демьянова
Компьютерная верстка Е.Ю. Лысова, О.В. Попова
105066, Москва, ул. Нижняя Красносельская, д. 35, стр. 1.
www.examen.biz
E-mail: по общим вопросам: info@examen.biz;
по вопросам реализации: sale@examen.biz
тел./факс 641-00-30 (многоканальный)
Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, том 2, 953005 — книги, брошюры, литература учебная
Текст отпечатан с диапозитивов
в ОАО «Владимирская книжная типография»
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7
Качество печати соответствует
качеству предоставленных диапозитивов
По вопросам реализации обращаться по тел.:
641-00-30 (многоканальный)
УК УК. 1ЕУ1ЫЕ ПОКУПА ТЕЛИ!
Книги издательства «ЭКЗАМЕН» можно приобрести
оптом и в розницу в следующих книготорговый организациях.
Москва
ГД «Ьиблио-iлобус»	I ел (195) 928-43-51
Детский мир центр Тел (495) 781-09-75
ДК Медведково	Ге.  (495) 476-16-90
ООО «Библиосфера» - Тел. (495) 670-52-17
«Молодая гвардия» Тел (495) 780-33-70
<lliai к пятерке» Гел. (495) 411 -08-29
Сеть нагашнов «Мир школьника»
Архангельск
АВФ-книга Гел (8182)65-41-34
Бла» овещеиск
Ч11 Калу тин - Гел. (1162) 35-25-43
Волгоград
Нрсдггринимле.чь Граждаикин П.Н. —
I ел (8442)95-54-11
ООО «Кассандра» - 'Гел (8442) 97-55-55
Владивосток
ОАО «11риморский аортовый дом книги» —
Гел (4232)63-73-18
Воронеж
ООО «Амнталь» Те i (4732)23-00-02
ООО «Риокса» Гел. (1732) 21-08-66
Книжный мир семьи Тел. (4732) 51-28-90
Екатерпнбу рг
ООО «Валео Книга» - Гел (343) 374-54-59
1К ) «Кримн»	Гел (343) 369-29-25,369-22-22
(>О() «Фолианг»	Тел (3432) 74-45-33
ООО «Алис» Тил (3432)55-10-06
Eccchivkh
ЧП Зинченко - Гел. (87961) 5-11-28
Иваново
(«Мысль» Гел. (1932130-00-65
Ижевск
О0О«УМК»- Гел (3412)78-35-04
Иркутск
«11родл чтп Ь» — Гел (3952) 24-17-77
«Анген книга» Гел (3952)24-20-95
Ка ишь
( К )О «Аист-пресс» I ел (8432) 43-12-20
(X )О « 1 аис» - Ге 1 (8432) 72-34-55
Кирон
«Книги тетям» Гел (8332)51-30-90
Краснодар
О( )О «Б\к1 ipccc» i ел. (8612) 62-55-48
ООО «Koi орта» Тел (8612) 62-54-97
11е|»спекгивы обра «мания Гел. (8612) 54-25-67
Красноярск
0О() «1 |МД1.»	1 ел (3912) 59-11 -52
. leiiiiHCK-KvTiieiiKiin
Маг а шн X- 85	Гел. (38156) 7-30-07
Мурманск
‘ Х)() «1 ечем»	Гел (8152) 13-63-75
Новосибирск
ООО «I оп-кннга» Гел (3832) 36-10-28
ООО «Мп 1\с-2» Гел. (3832) 44-34-44
Нижний Новгород
«Учебная киш а» Тел. (8312)46-38-66
Дом книги - Гел (8312)77-52-07
Омск
<• ’меккнша» - Тел (3812)23-52-08
Оренбург
«Фолиант» — Тел. (3532) 77-46-92
Пермь
ЧП Нежданов — Тел. (3422) 45-24-37
«Лира-2» —- Тел. (3422) 26-66-91
Петропавловск-Камчатский
ЧП Кожан — Тел. (4152) 11-12-60
Прокопьевск
Книжный дом — Тел (38466) 3-25-30
Псков
ООО «Гелиос» - Тел. (8112) 44-09-89
Пятигорск
ПБОЮЛ Бердникова — Тел. (87933) 3-05-86
Ростов-на-Дону
«Фаэтон-пресс» — Тел. (8632) 65-61-64
«Магистр» — Тел. (8632) 99-98-96
Ря вань
ТД «Просвещение» — Тел (4912) 44-67-75
ООО «Барс» — Тел. (4912) 93-29-54
Самара
«Реал т» — Тел. (8462) 41 -87-30
«Чакоиа» — Тел. (8462) 42-96-30
Санкт-Петербург
«Санкт-Петербургский дом книги» —
Тел.(812)318-64-38
ООО «Буквоед» — Тел. (812) 346-33-27
Сара i ов
Читающий Саратов — Тел. (8452) 51-87-62
Полиграфист Гел. (8452) 29-43-96
ООО «Стрелец и К°» — Тел (8452) 52-25-24
«Гемера» — Тел. (8452) 64-37-37
Смоленск
ООО «Кругозор» — Тел. (4812) 65-86-65
ООО «Родник» — Тел. (4812) 55-71-05
ООО «Книжный мир» — Гел. (4812) 29*16-02
«Эрудит» — Тел (4812) 65-62-94
Тверь
«Книжная лавка» — Тел (4822) 33-93-03
Гула
«Галатея» — Тел. (4872) 35-60-87
«Система +» — Тел. (4872) 31-29-23
Тюмень
ООО «друг» — Тел. (3452) 21-34-39
ООО «Знание» - Тел. (3452) 25-23-72
ЗАО «Фолиант» — Тел (3452) 27-36-06
Уфа
ООО «Эдвис» — Тел. (3472) 25-83-92
Хабаровск
ООО «Мирс» — Тел. (4212) 29-25-65
Челябинск
Интерсервис ЛТД — Тел (3512) 21 -34-53
Чита
«Экслибрис» — Тел. (3022) 32-59-64
Якутск
ЧП Аксенчук — Тел. (4112) 42-89-60
«Якутский книжный дом» —
Тел. (4112) 34-10-12
Ярославль
Академия — Тел. (4852) 31-43-26
По вопросам прямых оптовых закупок обращайтесь
но тел. (495) 641-00-30 (многоканальный), sale@examen.biz
www.examen.biz