Text
УДК 512 @75.8)
ББК 22.143
К 71
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные
структуры: Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. —
272 с. - ISBN 5-9221-0489-6.
Алгебраические структуры, известные из первых двух частей учебника
(группы, кольца, модули), изучаются на несколько более высоком уровне.
Идеи и результаты теории представлений, подкрепленные многочисленными
примерами, придают всему изложению общематематическое звучание. Осо-
Особое место занимают конечно порожденные абелевы группы, теоремы Силова,
представления и характеры конечных групп, алгебры над классическими
полями. Имеются теоретико-числовые приложения. В заключительной главе
изложены основы теории Галуа.
Второе издание — 2001 г.
Для студентов младших курсов университетов и вузов с повышенными
требованиями по математике.
Ил. 6.
© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001, 2004
ISBN 5-9221-0489-6 © А. И. Кострикин, 2000, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
ГЛАВА 1
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
§ 1. Классические группы малых размерностей 9
1. Общие определения (9). 2. Параметризация групп SUB),
SOC) A0). 3. Эпиморфизм SUB) —> SOC) A2). 4. Геометри-
Геометрическое изображение группы SOC) A4). 5. Кватернионы A4).
Упражнения A8).
§ 2. Смежные классы по подгруппе 19
1. Элементарные свойства A9). 2. Строение циклических
групп B2). Упражнения B3).
§ 3. Действие групп на множествах 23
1. Гомоморфизмы G —> S(?l) B3). 2. Орбиты и стационарные
подгруппы точек B4). 3. Примеры действий групп на множес-
множествах B6). 4. Однородные пространства C0). Упражнения C1).
§ 4. Факторгруппы и гомоморфизмы 32
1. Понятие о факторгруппе C2). 2. Теоремы о гомоморфизмах
групп C3). 3. Коммутант C7). 4. Произведения групп C9).
5. Образующие и определяющие соотношения D1). Упражне-
Упражнения D5).
ГЛАВА 2
СТРОЕНИЕ ГРУПП
§ 1. Разрешимые и простые группы 48
1. Разрешимые группы D8). 2. Простые группы E0). Упраж-
Упражнения E4).
§ 2. Теоремы Силова 54
Упражнения E9).
§ 3. Конечно порождённые абелевы группы 60
1. Примеры и предварительные результаты F0). 2. Абелевы
группы без кручения F1). 3. Свободные абелевы группы конеч-
конечного ранга F4). 4. Строение конечно порождённых абелевых
групп F6). 5. Другие подходы к проблеме классификации F7).
6. Основная теорема о конечных абелевых группах G1). Упраж-
Упражнения G4).
Оглавление
4. Линейные группы Ли 74
1. Определения и примеры G4). 2. Кривые в матричных груп-
группах G6). 3. Дифференциал гомоморфизма G8). 4. Алгебра Ли
группы Ли G9). 5. Логарифм (81). Упражнения (82).
ГЛАВА 3
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
1. Определения и примеры линейных представлений 86
1. Основные понятия (86). 2. Примеры линейных представле-
представлений (91). Упражнения (95).
2. Унитарность и приводимость 96
1. Унитарные представления (96). 2. Полная приводимость (99).
Упражнения A02).
3. Конечные группы вращений 102
1. Порядки конечных подгрупп в SOC) A03). 2. Группы пра-
правильных многогранников A05). Упражнения A08).
4. Характеры линейных представлений 109
1. Лемма Шура и её следствие A09). 2. Характеры представле-
представлений A11). Упражнения A16).
5. Неприводимые представления конечных групп 117
1. Число неприводимых представлений A17). 2. Степени не-
неприводимых представлений A19). 3. Представления абеле-
вых групп A21). 4. Представления некоторых специальных
групп A23). Упражнения A25).
6. Представления групп SUB) и SOC) 127
Упражнения A30).
7. Тензорное произведение представлений 131
1. Контрагредиентное представление A31). 2. Тензорное произ-
произведение представлений A32). 3. Кольцо характеров A33). 4. Ин-
Инварианты линейных групп A36). Упражнения A40).
ГЛАВА 4
КОЛЬЦА И МОДУЛИ
1. Теоретико-кольцевые конструкции 142
1. Идеалы колец и факторкольца A42). 2. Поле разложения мно-
многочлена A44). 3. Теоремы об изоморфизме колец A47). Упраж-
Упражнения A49).
2. Отдельные результаты о кольцах 150
1. Целые гауссовы числа A50). 2. Каноническое разложение
суммы двух квадратов A52). 3. Полиномиальные расширения
факториальных колец A53). 4. Строение мультипликативной
группы U(Zn) A54). Упражнения A58).
Оглавление
3. Модули 159
1. Первоначальные сведения о модулях A59). 2. Свободные мо-
модули A63). 3. Целые элементы кольца A66). Упражнения A67).
4. Алгебры над полем 168
1. Определения и примеры алгебр A68). 2. Алгебры с делением
(тела) A70). 3. Групповые алгебры и модули над ними A74).
Упражнения A83).
5. Неприводимые модули над алгеброй Ли si(z) 184
1. Исходный материал A84). 2. Веса и кратности A86). 3. Стар-
Старший вектор A86). 4. Классификационный результат A87).
Упражнения A88).
ГЛАВА 5
НАЧАЛА ТЕОРИИ ГАЛУА
1. Конечные расширения полей 190
1. Примитивные элементы и степени расширений A90). 2. Изо-
Изоморфизм полей разложения A94). 3. Существование примитив-
примитивного элемента A96). Упражнения A98).
2. Конечные поля 198
1. Существование и единственность A98). 2. Подполя и авто-
автоморфизмы конечного поля B00). 3. Формула обращения Мёбиу-
Мёбиуса и её применения B01). Упражнения B06).
3. Соответствие Галуа 207
1. Предварительные результаты B07). 2. Фундаментальное со-
соответствие Галуа B10). 3. Иллюстрации к соответствию Га-
Галуа B11). Упражнения B15).
4. Вычисление группы Галуа 215
1. Действие группы Gal(f) на корнях многочлена / B15).
2. Многочлены и группы простой степени B17). 3. Метод при-
приведения по модулю р B19). 4. Нормальный базис B24). Упраж-
Упражнения B27).
5. Расширения Галуа и смежные вопросы 228
1. Простые числа в арифметической прогрессии B28). 2. Рас-
Расширения с абелевой группой Галуа B29). 3. Норма и след B30).
4. Циклические расширения B33). 5. Критерий разрешимости
уравнений в радикалах B35). Упражнения B38).
6. Жёсткость и рациональность в конечных группах 238
1. Определения и формулировка основной теоремы B39).
2. Подсчёт решений B40). 3. Примеры жёсткости B43). Упраж-
Упражнения B45).
7. Эпилог 245
Оглавление
ПРИЛОЖЕНИЕ
НЕРЕШЁННЫЕ ЗАДАЧИ
1. Классификация конечных простых групп 248
2. Регулярный автоморфизм 249
3. Странная алгебра Ли 249
4. Проблема Бернсайда 249
5. Конечные группы полиномиальных автоморфизмов 250
6. Просто приводимые группы 250
7. Обратная задача Галуа 251
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ 254
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 263
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 268
Последнее время всё более распространённой
становится точка зрения, что многие области
математики являются не чем иным, как тео-
теорией инвариантов специальных групп.
Софус Ли
ПРЕДИСЛОВИЕ
Содержание третьей части учебника "Введение в алгебру" можно
квалифицировать как весьма серьёзное, но, надо надеяться, не слиш-
слишком абстрактное продолжение первых двух частей. Новых понятий
будет сравнительно немного, по крайней мере в первых четырёх гла-
главах. Читатель встретит своих старых "знакомых" по [ВА I, гл. 4] и
[ВА II, гл. 7], которые введут его в область гораздо более содержа-
содержательных понятий. Самое пристальное внимание рекомендуется уде-
уделить изучению примеров, которым отведена добрая четверть текста
(скажем, материал § 1 гл. 1 и § 3 гл. 3 естественно отнести к при-
примерам). Помимо всего прочего, подбор примеров рассчитан на то,
чтобы перебросить мостик между алгеброй и другими разделами
математики. Если в результате у читателя окрепнет чувство един-
единства математики, то цель, поставленную автором в третьей части
книги, следует считать достигнутой. Той же цели служит заключи-
заключительная гл. 5, занимающая изолированное место и предназначенная
почти целиком для освоения в рамках спецкурса.
Нет необходимости подчёркивать, что "Введение в алгебру" —
учебник, рассчитанный на всех университетских студентов-матема-
студентов-математиков, а не только на будущих алгебраистов. Поэтому на подзаголо-
подзаголовок "Основные структуры" надо смотреть снисходительно: это всё
те же группы, кольца, поля, расширенные по ассортименту (с гео-
геометрическим уклоном), а главное — обогащенные важным понятием
линейного представления. Именно модули и линейные представления
дают те реализации алгебр и групп, которые постоянно возникают
в анализе и геометрии.
А.И. Кострикин
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Адаме Дж. Лекции по группам Ли. — М.: Наука, 1979.
2. Атъл М., Макдоналъд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир,
1972.
3. Барти Т., Биркгоф Г. Современная прикладная алгебра. — М.: Мир, 1976.
4. Белоногое В.А., Фомин А.Н. Матричные представления в теории конечных
групп. — М.: Наука, 1976.
5. Борееич З.И., Шафарееич И.Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1972.
Предисловие
6. Бурбаки Н. Алгебра (модули, кольца, формы). — М.: Наука, 1966.
7. Вейлъ Г. Классические группы, их инварианты и представления. — М.: ИЛ,
1947.
8. Вейлъ Г. Симметрия. — М.: Наука, 1968.
9. Вейлъ А. Основы теории чисел. — М.: Мир, 1972.
10. Випберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: Факториал, 1999.
11. Джекобсон Н. Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.
12. Дъедонне Ж., Мамфорд Д., Керрол Дж. Геометрическая теория инвариан-
инвариантов. — М.: Мир, 1974,
13. Инфелъд Л. Эварист Галуа. Избранник богов. — М.: Мол. гвардия, 1958.
14. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1972.
15. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: ГИТТЛ,
1937.
16. Клячко А. А. Теория Галуа: Уч. пособие. — Куйбышев: КГУ, 1982.
17. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1972.
18. Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1968.
19. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I. Основы алгебры. — М.: Физмат-
лит, 2000.
20. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. П. Линейная алгебра. — М.: Физ-
матлит, 2000.
21. Сборник задач по алгебре/ Под ред. А.И. Кострикина. — М.: Физматлит,
2000.
22. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука, 1975.
23. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
24. Лидл Р., Пилъц Г. Прикладная абстрактная алгебра. — Изд-во Уральск,
ун-та, 1996.
25. Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970.
26. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973.
27. Постников М.М. Теория Галуа. — М.: Физматгиз, 1963.
28. Сергеев Э.А. Элементы теории Галуа: Уч. пособие. — Краснодар: КГУ, 1987.
29. Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир,
30. Серр Ж.-П. Курс арифметики. — М.: Мир, 1972.
31. Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
32. Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962.
33. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. — М.: ВИНИТИ, 1986.
34. Шевалле К. Теория групп Ли. — М.: ИЛ, 1948.
35. Edwards H.M. Galois Theory. — N.Y., В.: Springer-Verlag, 1984.
36. Jacobson N. Basic Algebra. I. — San Francisco: Freeman, 1974.
37. Malle G., Matzat B.H. Inverse Galois Theory. — N.Y., В.: Springer-Verlag, 1999.
38. Recent Developments in the Inverse Galois Problem, AMS, Contemporary
Mathematics No. 186, 1995.
39. Serve J.-P. Topics in Galois Theory. — Boston: Jones and Bartlett, 1992.
40. Tignol J.-P. Galois7 Theory of Algebraic Equations. — Avon: The Bath Press,
1987.
41. Volklein H. Groups as Galois Groups. An Introduction. — Cambridge University
Press, 1996.
Ссылки на [19], [20] ниже в тексте заменены для наглядности эквивалентными
ссылками на [ВА I], [ВА II] .
Глава 1
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ
КОНСТРУКЦИИ
Настоящая глава развивает понятие группы, введённое в [ВА I,
гл. 4]. В первую очередь акцент делается не на абстрактных группах,
коим посвящено много специальных руководств, а на изучении раз-
разного рода естественных "действий" групп. Именно конкретные реа-
реализации групп послужили толчком к развитию общей теории групп
и создали ей репутацию полезного инструмента математического ис-
исследования. На фоне частных (но, заметим, важных) примеров ещё
настоятельнее становится идея рассмотрения (гомо-, эпи-, изо-) мор-
физмов групп, равно как теоретико-групповых конструкций, позво-
позволяющих сводить изучение сложных объектов к более простым.
§ 1. Классические группы малых размерностей
1. Общие определения. Курс линейной алгебры и геометрии
снабжает нас новыми образцами групп, которые заслуживают того,
чтобы остановиться на них чуть подробнее. Выделение в группах
преобразований аффинных, евклидовых, эрмитовых и симплектичес-
ких пространств подгрупп, оставляющих на месте фиксированную
точку (например, начало координат), приводит к так называемым
классическим группам GL(n), SL(n), O(n), SO(n), U(n), SU(n), Sp(n).
Отметим, что их истинное место — среди групп Ли, о которых мы
упоминали в [ВА II] и о которых вкратце речь будет идти в гл. 2.
Мы не ставим своей целью сколько-нибудь полное описание свойств
классических групп; это делается в других книгах. При небольших
п говорят о классических группах малых размерностей. С группами
GL(n), SL(n) мы имели случай встречаться ранее (см. [ВА I]). Желая
избежать большой зависимости от геометрии, напомним, что выбор
ортонормированного базиса в пространстве приводит к эквивалент-
эквивалентному матричному определению ортогональной и унитарной групп:
О(п) = {А е Мп(Ж) \*А-А = А-ЬА = Е},
SO(n) = {А е О(п) | det A = 1},
U(n) = {A е МП(С) | А* • А = А • А* = Е},
SU(n) = {A e U(n) | detA = l}.
Здесь А* = ^4 — матрица, получающаяся из А = (а^) транспони-
транспонированием и заменой коэффициентов а^ комплексно сопряжёнными
10
Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
числами ctij. Группы SL(n), SO(n), SU(n) носят название специаль-
специальных (линейных, ортогональных и унитарных). В частности,
0A) = {±1},
= {eiv\
SOA) = 1 := {1},
SUA) =
S0B) = C0S^ -Sm^
4 J \\ smcp cos(^
Изоморфизм между группами SOB) и U(l) задаётся естественным
соответствием
cos cp — sin cp
sin cp cos cp
Так как геометрическим изображением комплексных чисел elLp, 0 ^
^ ср < 2тт, является окружность S1 единичного радиуса в М2, то
говорят ещё, что группа SOB) и окружность S1 топологически эк-
эквивалентны. Точный смысл этой терминологии разъясняется в курсе
геометрии.
Замечательная и гораздо менее очевидная связь существует меж-
между группами SUB) и SOC). Остановимся предварительно на геомет-
геометрическом изображении группы SUB), которое приведёт нас впослед-
впоследствии к геометрическому изображению группы SOC).
2. Параметризация групп SUB), SOC). По известной тео-
теореме Эйлера каждый элемент группы SOC) собственных вращений
трёхмерного евклидова пространства М3 является вращением вокруг
некоторой неподвижной оси. Скажем, матрицы
cos ср — sin cp 0
sin cp cos cp 0
О 0 1
1 О О
О cos в — sin в
О sin в cos в
A)
отвечают вращениям вокруг осей Oz и Ох соответственно на углы
ср и в. Используя параметризацию вращений углами Эйлера ср, 0, ф
(О ^ ср, гр < 2тг, 0 ^ в < тг), геометрический смысл которых нас пока
не интересует, любую матрицу A G SOC) можно записать в виде
B)
где Вер, Со, Вф — указанные выше матрицы A).
Пусть, далее,
а /3
Имеем
9 =
а
7 S
G SUB).
6 -/?
—7 ol
1. Классические группы малых размерностей
11
Так как д е UB) ^=> д* = д \ то S =
любая матрица д из SUB) имеет вид
р
а
= —/?• Таким образом,
II (
9=\\ 0 а
-0
= 1.
C)
Обратно, если д — матрица вида C), то, очевидно, д Е SUB). Зна-
Значит, каждый элемент группы SUB) однозначно определяется парой
комплексных чисел а, /3 таких, что \а\2 + \C\2 = 1. Если положить
а = ai + ш2, ft = Pi + ifo с аЛ, ^ G /Т 2
+ |^|2 = 1, переписанное в виде
г = л/~Т, то условие \а\2 +
а\ + а\ + Pl + /322 = 1,
даёт основание говорить, что группа SUB) топологически эквива-
эквивалентна (гомеоморфна) сфере S3 в четырёхмерном вещественном
пространстве М4.
Обратим внимание на унитарные матрицы
О
D)
О _ cos@/2) isin(<9/2)
г***/2 ' Се ~ isin(<9/2) cos(<9/2)
Как доказывается в курсе линейной алгебры (а в данном случае
проверяется непосредственно), для унитарной матрицы д вида C)
существует унитарная матрица и такая, что
д = иЪ^уГ1 E)
с ip, определяемым из уравнения а\ = cos (ip/2). Отметим также, что
любой матрице C) при а/3 ф 0 можно придать вид
cos 1
, (в)
где
i)
0 ^ if < 2тг,
Достаточно положить
0 ^ в < тг, -2тг ^ <ф < 2тг.
\а\ =cos-,
Arga =
+
1/»1=8Ш-,
используя то обстоятельство, что каждое комплексное число z за-
задаётся двумя вещественными параметрами, \z\ и argz (Argz — глав-
главное значение аргумента argz).
*) Из дальнейшего будет видно, что (р, в, ф — те же углы Эйлера. Унитарным
матрицам ±д ставится в соответствие одно и то же вращение в М2, поэтому
область изменения ф сжимается до полуинтервала [0,2тг).
12
Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
Теперь мы готовы приступить к решению основной задачи этого
параграфа.
3. Эпиморфизм SUB) —> SOC). Поставим в соответствие
каждому вектору х = x±ei + ?2^2 + з?зез трёхмерного евклидова
пространства Ж3 с нормой (х|х) = х\ \ \
рицу второго порядка
з р
х\ + х\ комплексную мат-
матгх2
Х\ —
G)
Пространство М^ матриц вида G) состоит из всех эрмитовых мат-
матриц с нулевым следом (^Ях = Ях, tri?x = 0), причём соответствие
между векторами xGl3 и матрицами Ях Е М^ является, очевидно,
взаимно однозначным. В частности, базисным векторам е1,в2,ез G
Е М3 соответствуют базисные матрицы hk = HGk, k = 1,2,3:
0
1
1
0
Л2 =
0
—i
i
0
1
0
0
-1
(8)
Ях =
+ x2h2
Заметим, что каждому линейному оператору Л+ : Ях н->- Ну на
М^ с матрицей А в базисе (8) будет отвечать вполне определённый
линейный оператор Л : х и у на I3 с той же матрицей А в базисе
еъ е2, ез, поскольку Яах = аНх, Ях+Х/ = Ях + Ях/. Так как никакие
другие базисы в дальнейшем не используются, то мы будем иногда
отождествлять операторы и соответствующие им матрицы.
Пусть теперь д — фиксированный элемент группы SUB). Рас-
Рассмотрим отображение
Ф+: Ях
.-1
Так как следы подобных матриц совпадают, то 1гФ+(Ях) = tr Ях =
= 0. Кроме того, д* = *д = д~1, поэтому
\ + гу2
~Уз
и, следовательно, Ф+(ЯХ) G
2/3
У\ - i
где у = B/i,2/2?2/з) ? ^3- Из определяющих равенств G) и (9) видно,
что
Ф+(Яах+а,х,) = аФ+(Ях) + а'Ф+(Ях<).
Стало быть, отображение Ф^~ (соответственно Ф^) — линейный опе-
оператор на М-2 (соответственно на
§ 1. Классические группы малых размерностей 13
Покажем, что Фд : Ж3 —у Ж3 — ортогональный оператор. В самом
деле,
(Ф,(х)|Ф,(х)) = (у|у) = -detffy = -det<I>+(tfx) =
= -det gH^1 = -det#x = x\ + x\ + x\ = (x|x),
т. е. Фд сохраняет норму, а следовательно, и скалярное произведение.
Пока не ясно, меняет ли Ф^ ориентацию пространства М3, что зави-
зависит от знака detФp. Мы знаем лишь, что det Фд = =Ы. Как следует
из определения,
Ф+(Ф3-ЯХ) =д(д'Нхд'-1)д-1 = (дд'ЩМу1 = Ф+,(ЯХ),
причём Ф^ — единичная ортогональная матрица порядка 3 для Е =
Р . G SUB). Значит, соответствие
Ф : д \-> Фд (или Ф+ : д \-> Ф+)
является гомоморфизмом SUB) в 0C). Ядро состоит из унитарных
матриц д, для которых Ф+ = Ф^. Другими словами,
Кег Ф = {д G SUB) | дН = Нд V Н е М+} =
= {^GSUB)| ghj = hjg, j = 1,2,3},
где /ii,/i2,^3 — базис (8) пространства М?. Прямая проверка пока-
показывает, что
а /3
д= -р а
=> д = ±Е => КегФ = {±?}.
Посмотрим теперь на образы унитарных матриц D) при гомо-
гомоморфизме Ф. Проведём вычисления для Ф+ в базисе (8):
b^hib^1 = (cos cp) hi + (simp)h2,
b(ph2b~1 = (—simp) hi + (cosip)h2,
b(phsb~ = /13.
Значит (здесь мы свободно переходим от Ф+ к Ф и от матриц — к
операторам), Ф^ = В^ (см. A)) — вращение трёхмерного евклидова
пространства М3 на угол ip вокруг оси Охз (или h%). Если ip и и
выбрать такими, чтобы выполнялось соотношение E), то поскольку
Ф — гомоморфизм, будем иметь
— ф d)i ф Hpf Ф — Hpf Ф • 1 • fHpt Ф ^ — 1
д U^- Ош^- U 1 U.CL ^- д U.CL М:ад J- \^UCt ^- U) *- '
14 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
Это показывает, что на самом деле Ф — гомоморфизм SUB) в
SOC). Аналогичным образом проверяется, что ФСв — вращение на
угол в вокруг оси Ох\. Теперь для любой матрицы A Е SOC) имеем
А = В^СеВф = Ф6срФс,Ф6я/; = ФЬ<рсвЬф = Фа(<р,в,г1>)-
Стало быть, образ Im Ф содержит всю группу SOC), и нами доказана
Теорема 1. Группа SOC) является гомоморфным образом
группы SUB) при гомоморфизме Ф : д \-у Фд с ядром КегФ =
= {±Е}. Каждое вращение из SOC) отвечает ровно двум унитар-
унитарным операторам g и —д из SUB).
4. Геометрическое изображение группы SOC). Из теоре-
теоремы 1 непосредственно вытекает
Следствие. Группа SOC) топологически эквивалентна (го-
меоморфна) трёхмерному проективному вещественному прост-
пространству ШР3.
В самом деле, мы видели в п. 2, что элементы из SUB) нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с точками сферы S3 в
четырёхмерном вещественном пространстве Ж4. Линейным операто-
операторам ±д Е SUB) отвечают диаметрально противоположные точки на
53, которые при гомоморфизме Ф склеиваются (отождествляются).
Получается одна из моделей проективного пространства МР3. ?
В курсе линейной алгебры и геометрии (см. [ВА II, гл. 5, § 3])
проективное пространство МРП определяется как множество прямых
пространства Mn+1, проходящих через начало координат О. Каждая
такая прямая пересекает единичную сферу Sn с центром в О ровно
в двух диаметрально противоположных точках. Заданием одной из
этих точек прямая однозначно восстанавливается. Это и значит, что
пространство МРП может быть определено как факторпространство
единичной сферы Sn из Mn+1 по отношению, устанавливающему эк-
эквивалентность диаметрально противоположных точек сферы Sn. В
нашу задачу сейчас не входит задание топологии на МРП.
Мы пришли к довольно неожиданному результату. На сфере S3
и на проективном пространстве МР3 устанавливаются структуры
группы: в первом случае — SUB), во втором — SOC). Всякая попыт-
попытка задать структуру непрерывной группы на S или на МР окончит-
окончится неудачей (результат, не относящийся к нашей теме).
Согласно теореме 1 и её следствию группа SOC) "в два раза
меньше", чем группа SUB). Существование эпиморфизма SUB) —У
SOC) делает естественным вопрос о существовании мономорфизма
SOC) —У SUB). Мы увидим в гл. 3, что ответ на этот вопрос ока-
оказывается отрицательным.
5. Кватернионы. Реализация SUB) становится ещё более на-
наглядной, если под М4 мы будем понимать специальное четырёхмер-
четырёхмерное вещественное пространство, снабжённое структурой тела — ас-
1. Классические группы малых размерностей
15
социативной, хотя и некоммутативной алгебры с делением над Ж
(все отличные от нуля элементы обратимы). Имеется в виду зна-
знаменитая алгебра кватернионов, построенная в 1848 г. Гамильтоном
(W. Hamilton, 1805-1865) и в его честь обозначаемая буквой Ш. По
традиции для её базисных элементов используются символы 1 (еди-
(единица), i (мнимая единица), j и к. Так как в Ш должен выполняться
закон дистрибутивности, то закон умножения целиком определяется
"таблицей умножения":
1
i
j
к
1
h-i
i
j
к
i
i
-1
-k
j
j
j
к
-1
— i
к
к
-j
i
-1
Из этой таблицы сразу видно, что Ш — ассоциативная (но некомму-
некоммутативная ) алгебра с центром Z(H) =1и1 — её единичный элемент.
Каждый элемент алгебры Ш однозначно записывается в виде
q = a + f3i + jj + Sk:=al + f3i + >yj + Sk A0)
с вещественными коэффициентами а,
так что
Между прочим, умножение в Ш служит непосредственным про-
продолжением умножения в поле комплексных чисел С, покрываемом
кватернионами а + /?i A отождествляется с вещественной единицей
1, a i — с г = у/—1). Фактически Ш можно рассматривать как дву-
двумерную алгебру над С. Действительно, для с, с' ЕС, q, q' G 1Ы имеем
c(q + q;) = cq + cq;, (c + c;)q = cq + c'q,
(cc')q = c(c'q) = c'(cq).
Так как
al + /?i + 7j + Ek = (a + /V3!) 1 + G + ^v/3T)j,
то dimcIHI = 2.
Аналогия с С просматривается и дальше. Так, сопряжённым с q
называется кватернион
q* =а — fii — jj — 5k
— аналог сопряжённого комплексного числа. Если q — "чистый
кватернион", т.е. а = 0, то q* = —q. Величина
7V(q):=q-q*=a2+/?2+72+?2, (И)
вычисляемая посредством приведённой выше таблицы, называется
нормой кватерниона q. Очевидно, что q ф 0 ^=> iV(q) ф 0, а поэтому
16
Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
всякий ненулевой кватернион обратим:
qq-^^q-'q.
A2)
Стало быть, множество Н* := 1Ы\ {0} является группой {мультипли-
{мультипликативная группа алгебры кватернионов).
Элементарно проверяется, что
^ ()* = 02 е!*;
Таким образом, отображение q 4 q* суть антиавтоморфизм (пе-
(переставляющий множители) алгебры Н, а отображение q 1—у iV(q) —
гомоморфизм мультипликативной группы I* в I* с ядром
Sp(l) := KeiN = {q G H| 7V(q) = 1}. A3)
Группа Sp(l) называется симплектическощ она имеет прямое от-
отношение к линейным симплектическим группам SpBn,^), кратко
рассмотренным в [ВА II], но мы на этом останавливаться не будем.
Из A0), A1) и A3) видно, что группа Sp(l) топологически эк-
эквивалентна сфере в специальном четырёхмерном пространстве Ш. С
аналогичным свойством, касающемся группы SUB), мы встречались
в п. 2. Соединить эти два свойства совсем несложно. Рассмотрим ото-
отображение Г : Ш —у М2(С), которое каждому кватерниону q = c+jc'
вида A0) ставит в соответствие комплексную матрицу
С
-с'
с1
с
A4)
¦№Я2) =
а + ifi 7 + Ш
-(j-iS) a — if3
Очевидно,
12),
= E
— свойства, присущие линейному представлению над С в том общем
смысле, который будет придан этому понятию позднее. Вспомним
попутно, что в [ВА I, гл. 5] первоначальным алгебраическим изобра-
а Ъ
—Ъ а
жением комплексных чисел были матрицы
Из A4) следует, что
r(Sp(l)) =
с
-с'
2 = 1 = SUB),
т.е. Г реализует изоморфизм групп SUB) и Sp(l). К искомому эпи-
эпиморфизму Sp(l) —У SOC) мы придём следующим образом. Каждому
кватерниону q с единичной нормой поставим в соответствие отобра-
отображение Ф
q-
Н, полагая
= qpq
-1
A5)
§ 1. Классические группы малых размерностей 17
Так как q = q* (см. A2)), то
ФЧ(Р*) = qp*q-X = (q-^Vq* = (*ч(р)Г
Если р* = —р — чистый кватернион, то (Фч(р))* = Фч(р*) =
= — Фч(р), и, значит, подпространство Ш~ чистых кватернионов ин-
инвариантно относительно Фч. Мы пришли к линейному оператору
Фч: ШГ —> ШГ .
Как непосредственно вытекает из A5), Фч q = Фч Фч , т.е. элемен-
элементы группы Sp(l) "представляются" матрицами третьего порядка:
з
Фч(ж1 i + х2 j + х3 к) = ух i + у2 j + уз к; у^ = ^ а^ж*,.
Отождествим трёхмерное евклидово пространство Ж3 с простран-
пространством чисто мнимых кватернионов:
М3 = {р G М- | |р|2 := N(p)}.
С таким определением квадрата длины |р| имеем
|Фч(р)|2 = JV(*q(p)) = ^(qJIppJVCq-1) = |р
2,
поскольку по условию iV(q) = 1. Значит, Фч — линейный оператор,
сохраняющий длину, и мы имеем гомоморфизм Ф : Sp(l) —У 0C).
Стоит отметить ещё раз, что Фч = Е в точности при q = =Ы, и
поэтому КегФ = {±1} .
Вспомним теперь, что Sp(l) ~ S3. Так как любую точку q G
G S3 можно соединить с точкой 1 гладкой кривой г(?), то Фг(г) яв-
является кривой, соединяющей Фч с тождественным оператором Фц.
Определитель det — непрерывная функция оператора, зависящего
от параметра ?, и так как det Ф1 = 1, то det Фг(*) = 1- В частности,
detФq = 1. Стало быть, ФзРA) С S0C).
Осталось убедиться, что Ф — сюръективное отображение. С этой
целью предъявим в качестве образов известные нам матрицы A).
Й й
a) q = cos и 1 + sin Й i =^ Фч (i) = i, т.е. ось i в Ж3 остаётся при
этом преобразовании инвариантной. Так как
О 0 \ / 0 0 \
- 1 + sin- iJjf cos - 1 - sin - ij = cos#j + sin#k,
Фч(к) = - sin в j + cos в к,
то Фч отвечает матрице Се- Аналогично, если q = cos — 1 + sin — к,
то Фч отвечает матрице В^ поворота вокруг оси к.
Таким образом, справедлива
Теорема V. Отображение Ф (соответственно ФГ) являет-
является гомоморфизмом группы Sp(l) (соответственно SUB)) на группу
S0C) с ядром {±1} (соответственно {±Е}).
2 А.И.Кострикин
18
Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
УПРАЖНЕНИЯ
1. Используя геометрическое изображение группы SUB), показать, что
@,1,0,0)* @, 0,1,0) = @,0,0,1) ф @, 0,1,0)* @,1,0,0)
(произведение точек на S3). Те же точки @,1, 0, 0), @, 0,1, 0), рассматриваемые
на МР3, перестановочны.
2. Показать, что если коэффициенты унитарных матриц
Ki(t) =
K2(t) =
ei*/2
О
0
— it/2
продифференцировать по t и положить затем t = 0, то получатся матрицы
0 1
1 0
0 г
-г 0
1 О
О -1
составляющие базис пространства М2 косоэрмитовых матриц
К =
/с 2
с нулевым следом: К* = —К, tr К = 0.
3. Кватернионные единицы i, j, k порождают в Sp(l) интересную подгруп-
подгруппу — группу кватернионов Qs порядка 8, играющую заметную роль в разного
рода вопросах. Какое отношение к Qs имеют матрицы
1 О
О 1
г 0
0 -г
0 1
-1 0
0 г
г 0
4. Можно ли построить ассоциативную алгебру с делением А над Ж размер-
размерности 3, содержащую С в качестве подалгебры?
5. Эйфория, возникшая в связи с открытием кватернионов, привела к соз-
созданию общества сторонников кватернионных функций — аналога функций
комплексного переменного. Хотя больших достижений на этом пути не было
достигнуто, нельзя отрицать, что кватернионы имеют прямое отношение к ма-
математической физике. В какой-то мере это можно усмотреть, введя дифферен-
дифференциальный оператор
тг, • д • д 1 д
V = 1— +J— +к —
дх ду dz
на трёхмерном функциональном пространстве с базисом {i,j,k}. Справедливы
следующие соотношения:
dt
dt
градиент скаляра ?;
ду2
dz2
2. Смежные классы по подгруппе 19
— выражение из теории потенциала;
/ ди dv dw \
kw) = -( _ + _ + _
' v ox oy oz '
дивергенция поля
dw dv\ .(ди dw\ 1 ( dv ди
^ ~ т)+ J U ~ ^)+ к U ~ Ту
вихрь (ротор) поля
Предлагается провести все необходимые вычисления, опираясь на правила
умножения в алгебре кватернионов.
§ 2. Смежные классы по подгруппе
1. Элементарные свойства. Пусть G, G' — две произволь-
произвольные группы с нейтральными элементами е, е'. Из определения гомо-
гомоморфизма / : G —У G' и из рассмотренных нами в [ВА I; BA II]
многочисленных примеров видно, Кег/ — подгруппа в /, причём
x(Ker/) = (Ker/)x, x G G.
Определение. Подгруппа К С G называется нормальной в G,
если
хКх'1 = К Уж е G.
Таким образом, ядра гомоморфизмов всегда являются нормаль-
нормальными подгруппами. Значение этого факта мы оценим в должной ме-
мере несколько позднее. Заметим пока, что далеко не всякая подгруппа
нормальна в G. Например, в 5з циклическая подгруппа (A23)) = А%
нормальна, а (A2)) = {е, A2)} таковой не является (не рекомендуется
называть (A2)) "ненормальной подгруппой").
Обратим внимание на то обстоятельство, что все элементы мно-
множества
а Кег / = {ah \ be Ker /}, aeG,
отображаются в один и тот же элемент /(а) группы G'\ f(ab) =
= f(a)f(b) = /(а)е' = /(а). В свою очередь, если f(g) = /(а), то
fia-ig) = f{a-1)f(g) = f(a)-lf(g) = е', откуда a^g = b e Ker/
и g = ab G a Ker/. Этот факт указывает на целесообразность раз-
разбиения G на подмножества вида а Кег/. Изучим такое разбиение в
общем случае независимо от гомоморфизмов.
Определение. Пусть Н — подгруппа группы G. Левым смеж-
смежным классом группы G по подгруппе Н (коротко: G по Н) называется
множество дН элементов вида gh, где д — фиксированный элемент из
G, a h пробегает все элементы подгруппы Н. Элемент д называется
представителем смежного класса дН.
2*
20 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
Аналогично определяются правые смежные классы Нд. Иногда
левые смежные классы в нашем смысле называются правыми, а пра-
правые — левыми. Важно придерживаться лишь одной какой-нибудь
терминологии. Если Н = Кег / — ядро гомоморфизма, то дН = Нд
ввиду нормальности Н в G. Заметим, что одним из смежных классов
является сама подгруппа Н = Не = еН. Никакой другой смежный
класс подгруппой не является. Действительно, если дН — подгруппа,
то е Е дН, откуда е = gh, д = h~l и дН = h~1H = Н.
Теорема 1. Два левых смежных класса G по Н совпадают или
не имеют общих элементов. Разбиение G на левые смежные классы
по Н определяет на G отношение эквивалентности.
Доказательство. Пусть классы д\Н и д^Н имеют общий эле-
элемент а = g\h\ — gihi- Тогда д<± — gihih^1, а любой элемент g^h
класса д^Н имеет вид gihih^h = д\Ы', где Ы — hih^h Е Н. Значит,
д^Н С д\Н. Аналогично доказывается, что всякий элемент из класса
д\Н содержится в д^Н и, стало быть, д\Н — д^Н.
Так как любой наперёд заданный элемент д G G содержится в
дН, то проведённое рассуждение показывает, что G представляется
в виде объединения непересекающихся левых смежных классов по
подгруппе Н:
G = {JgiH.
i
Согласно общему принципу, изложенному в [ВА I, гл. 1, § 6], это раз-
разбиение индуцирует на G отношение эквивалентности, которое опре-
определяется очевидным образом:
а ~ Ь <(=> а~1Ь G Н.
Если угодно, в рефлексивности, симметричности и транзитивнос-
транзитивности этого отношения можно убедиться непосредственно: а ~ а, по-
поскольку а~ха — е G Н; а ~ Ъ <^=> а~хЪ = h <^=> Ъ~ха = h~x G
G Н ^==> Ь ~ а; а ~ Ь, Ь ~ с => Ь~ха = /ii, c~1b = h2 => с~1а =
= c~1bhi = /12^1 G H =^ a ~ с ?
Аналогичное утверждение имеет место для правых смежных клас-
классов.
Разложение на смежные классы возникает естественным образом
в группах перестановок. Пусть, например, G = Sn — симметричес-
симметрическая группа, действующая на множестве п = {1, 2,... ,п}. Если рас-
рассмотреть совокупность Н элементов тг G Sn таких, что тг(п) = п,
то, как нетрудно убедиться, Н — подгруппа в 5П, которую мож-
можно отождествить с Sn-i. Пусть то = е, Т{ — (г,п) — транспозиция,
переводящая п в i (i = 1, 2,..., п — 1). Ясно, что
Sn = U
k=0
§ 2. Смежные классы по подгруппе 21
Рассмотрим разложение 5з в левые и правые смежные классы по
подгруппе (A2)) = 52:
53 = {е, A2)} U {A3), A23)} U {B3), A32)},
53 = {е, A2)} U {A3), A32)} U {B3), A23)}.
Мы видим, что множество левых смежных классов gS2 не сов-
совпадает с множеством правых смежных классов Бэд'• Тем не менее
между множествами {дН} и {Нд'} всегда имеется биективное соот-
соответствие, при котором
x = ghegH <=^> х~х = h^g'1 е Нд'1.
Действительно, если, например, hig^1 = h^g^1 •> т0 9\ — Я^Щ1^!
и д\Н = giH- В частности, если {е,х,у, z,...} — множество пред-
представителей левых (соответственно правых) смежных классов, то
{е,х~1,у~1,г~1,...} — множество представителей правых (соот-
(соответственно левых) смежных классов. Мощности этих множеств
совпадают. ?
Множество всех левых смежных классов G по Н условимся обо-
обозначать символом G/H (или (G/H)i, если возникает необходимость
рассматривать одновременно множество (G/H)r правых смежных
классов G по Н). Для мощности Card G/H этого множества исполь-
используется название ^индекс подгруппы Н в G" и вводится специальное
обозначение (G : Я), хорошо согласующееся с обозначением (G : е)
порядка \G\ группы G (число смежных классов по единичной под-
подгруппе) . Так как отображение Н —у дН взаимно однозначно (вспом-
(вспомните доказательство теоремы Кэли и отображение Lg), то Card дН =
= (Н : е). Таким образом, имеет место легко запоминающаяся фор-
формула
(G : е) = (G : Н)(Н : е),
из которой вытекает классическая
Теорема 2 (Лагранж). Порядок конечной группы делится на
порядок каждой своей подгруппы.
Следствие. Порядок любого элемента делит порядок группы.
Группа простого порядка р всегда циклическая и с точностью до
изоморфизма единственная.
Действительно, порядок любого элемента g G G совпадает с по-
порядком порождённой им циклической подгруппы (д) [ВА I, гл. 4, § 2,
теорема 2]. Если, далее, \G\ = р — простое число, а Н — нееди-
неединичная подгруппа, то делимость р на \Н\ означает, что \Н\ = р,
откуда Н = G. Стало быть, G совпадает с циклической подгруппой,
порождённой любым элементом д ф е. Все циклические группы дан-
данного порядка изоморфны [ВА I, гл. 4, § 2, теорема 3]. Это даёт право
говорить об единственности. ?
22 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
В связи с теоремой Лагранжа возникает "искушение" для каждо-
каждого делителя т порядка п группы G искать в G подгруппу порядка
т. Но для этого в общем-то нет оснований. Желающие могут про-
проверить (а остальные должны подтвердить это на экзамене), что в
знакопеременной группе А^ порядка 12 нет подгрупп порядка 6. Тем
не менее, как мы сейчас убедимся, в некоторых группах "обращение
теоремы Лагранжа" справедливо.
2. Строение циклических групп. Из [ВА I] нам уже известно,
что все циклические группы одинакового порядка изоморфны, а по-
порядок элемента в любой группе совпадает с порядком порождённой
им циклической подгруппы. На самом деле справедлива
Теорема 3. Всякая подгруппа циклической группы есть сно-
снова циклическая группа. Подгруппы бесконечной циклической груп-
группы (Z,+) исчерпываются (бесконечными) группами (mZ,+), m Е N,
а подгруппы циклической группы порядка q находятся во взаим-
взаимно однозначном соответствии с (положительными) делителями d
числа q.
Доказательство. Будем для разнообразия рассматривать
произвольную циклическую группу А = (а) в аддитивной записи.
Каждый её элемент, стало быть, имеет вид ка, где к Е Ъ или же
к — 0,1,... ,q — 1, если А — конечная группа порядка q. Пусть В —
ненулевая подгруппа в А. Если ка Е В для какого-то к ф 0, то и
—ка Е В. Среди всех элементов ка Е В с положительными к выберем
элемент та, где т наименьшее.
Записав любое к > 0 в виде к = 1т + г, 0 ^ г < т, мы видим, что
из ка Е В следует га = ка — l(ma) G В, т.е. г = 0. Значит, В = (а) —
циклическая группа.
Все бесконечные циклические группы изоморфны группе (Z,+).
В данном случае образующими служат 1 или —1, так что по доказан-
доказанному любая подгруппа в (Z, +) определяется натуральным числом т
и имеет вид
тЪ = (т • 1) = {0, ±т, ±2т,... }.
Очевидно, что все эти подгруппы бесконечны.
Пусть теперь (а) = {0,а, ...,(# — 1)а}, qa = 0. Мы знаем, что
В = {0, та, 2та,...}, где т G N, причём sa G В, s G N =^ s = mt.
Утверждается, что т делит q. Действительно, пусть q = dm + г, 0 ^
^ г < т. Тогда
0 = qa = d(ma) + ra,
откуда га = —d(ma) G В. Минимальность т влечёт г = 0, и мы
имеем q = dm. Таким образом,
В = {0, та, 2та, ..., (d — l)ma} = mA
§ 3. Действие групп на множествах 23
— подгруппа в А порядка d. Когда т пробегает по всем положитель-
положительным делителям числа q, то же самое делает d, и мы получаем ровно
по одной подгруппе каждого порядка d, делящего q. ?
Следствие . В циклической группе (а) порядка q подгруппа по-
порядка d, d | q, совпадает с множеством элементов Ъ Е (а) таких,
что db = 0.
Доказательство. Если dm = q, то Ъ Е В = тА и db = 0.
Обратно: пусть Ъ = la Е (а) и db = 0. Из условия dla = 0 следует,
что dl = qk = dmk, откуда I = mk и b = la = k{ma) G mA). ?
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что в любой группе подгруппа индекса 2 обязательно нор-
нормальна.
2. При помощи упр. 1 попробуйте доказать, что с точностью до изоморфизма
5з — единственная неабелева группа порядка 6.
§ 3. Действие групп на множествах
1. Гомоморфизмы G —У S(Q). Теория групп началась для нас
в [ВА I, гл. 4], с примеров групп преобразований — подгрупп группы
S(Q) всех взаимно однозначных отображений множества П на себя.
Этот подход соответствует как историческому пути развития тео-
теории групп, так и значению групп преобразований в других областях
математики. Так называемая абстрактная теория групп, являющая-
являющаяся порождением более поздней эпохи (первая половина XX столетия),
далеко отошла от групп преобразований, но многие её понятия не-
несут на себе отпечаток старого времени. Именно, источник этих поня-
понятий чаще всего покоится на идее реализации (представления) данной
группы G в S(Q), где П — подходящим образом выбранное множест-
множество. Под реализацией G в S(Q,) удобно понимать любой гомоморфизм
Ф : G —У S(Q). Если Фд — преобразование из S(Q), отвечающее
элементу д G G, то Фе = е^ — единичное преобразование П —у Q
и $gh = Фд о Ф^; g,h e G. Образ Фд(х) точки (элемента) х е п от-
относительно преобразования Фд часто обозначается просто символом
дх, что даёт право говорить об отображении (д, х) \-у дх декарто-
декартова произведения G х 1) в 1]. Правильнее было бы писать дох или
д * ж, чтобы не получалось путаницы с умножением в G, но боль-
большей частью в этом нет необходимости. Отмеченные выше свойства
преобразования Фд записываются в виде:
i) ex = ж, х G п;
ii) (gh)x = g(hx), g,heil.
Всякий раз, когда имеется отображение (д, х) \-у дх декартова
произведения G х (] в О, удовлетворяющее свойствам i), ii), гово-
говорят, что группа действует (слева) на множестве П, а П является
24 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
G-множеством. С другой стороны, имея G-множество П, мы посред-
посредством формулы
Фд(х) = дх, х е П,
для каждого д Е G определим отображение Фд : п —У П, причём
из i), И) следует, что Ф : д н-» Фд будет гомоморфизмом G в S(Q).
Говорят ещё (в особенности, когда \Q\ < оо), что с действием G на
П ассоциировано представление (Ф,П) группы G в группу переста-
перестановок. Ядро КегФ называют ядром действия группы G. Если Ф —
мономорфизм (иначе: если дх = х \/х Е П => д = е), то говорят,
что группа G действует эффективно на множестве П.
Замечание. Каждое действие G на (] индуцирует действие G
на 0^ = п х ... х п по очевидному правилу g(xi,..., ж^) = (gxi,...
... ,gxk). Кроме того, имеется индуцированное действие G на мно-
множестве всех подмножеств У(П) (см. [ВА I, гл. 1, § 5, упр. 4]). Полагаем
д0 = 05 а если Т — непустое подмножество в П, то дТ = {gt \ t G Т}.
Свойства i), И) проверяются непосредственно. Легко понять, что Т
и дТ имеют одинаковую мощность, так что G индуцирует действие
на подмножествах одинаковой мощности.
2. Орбиты и стационарные подгруппы точек. Две точ-
точки х,х' G 11 называются эквивалентными относительно группы G,
действующей на П, если х' = дх для некоторого элемента д G G.
Свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, лег-
легко получающиеся при помощи i), И) (см. п. 1), показывают, что мы
имеем дело с истинным отношением эквивалентности, разбивающим
П на непересекающиеся классы эквивалентности. Эти классы экви-
эквивалентности принято называть G-орбитами. Орбиту, содержащую
элемент жо G О, естественно обозначать символом G(xq); таким об-
образом, G(xo) = {дхо | д Е G}. Используются, однако, и другие обо-
обозначения, подчёркивающие особенности того или иного действия G
на П. Понятие орбиты пришло из геометрии. Если, например, G =
= SOB) — группа вращений на плоскости вокруг начальной точки
О, то орбитой точки Р будет служить окружность с центром в О,
проходящая через Р, а множество П = М2 будет объединением кон-
концентрических окружностей, включая окружность нулевого радиуса
(точка О). Для нас понятие орбиты также не является новым. Мы
им пользовались в [ВА I, гл. 4] при разложении перестановки тг G Sn
в произведение независимых циклов. В качестве G бралась цикличес-
циклическая группа (тг).
Пусть хо — фиксированная точка в П. Рассмотрим множество
St(x0) = {д е G\ gxo = х0} С G.
Так как ехо = жо, а д, h G St(xo) =^ gh~x G St(xo), то St(xo) — под-
подгруппа в G. Она называется стационарной подгруппой (или стабили-
стабилизатором) в G точки xq G П и часто обозначается символом GXo. Для
§ 3. Действие групп на множествах 25
рассмотренного выше действия группы SOB) на М2 имеем St(O) =
= S0B) и St(P) = е, если Р ф О. В общем случае
дх0 = д'х0 <=^> д~гдг е St(x0) <^> д' е gSt(x0).
Стало быть, левые смежные классы д St(#o) группы G по стационар-
стационарной подгруппе St(xo) находятся во взаимно однозначном соответ-
соответствии с точками орбиты G(xq). В частности,
CardG(xo) = Card(G/St(x0)) = (G : St(x0)). A)
Здесь, как и раньше, G/St(xo) — фактормножество G по St(xo), a
(G : St(#o)) — индекс подгруппы St(xo) в G. Мощность CardG(xo)
часто называется длиной G-орбиты точки xq. Из A) и из теоремы
Лагранжа следует, что длина любой орбиты относительно конечной
группы G является делителем порядка группы.
Обратим ещё внимание на то обстоятельство, что точку xq в пра-
правой части соотношения A) можно заменить на любую точку xf0 G
G G(xo). Действительно,
CardGOo) = CardGD) = (G : StD)).
Более сильное утверждение о стационарных подгруппах заклю-
заключается в следующем. Пусть х'о = дхо. Тогда
St(x'0)gx0 = St(x'o)x'o = х'о =
откуда g^StOo) = хо, т.е.
д'^Цх'^д С St(x0).
Аналогично,
поскольку
St(xo)g~1x'o = St(xo)xo = х0 = д~гх'о.
Значит, имеет место равенство
StD) = ^St(xo)^ = {ghg-1 \ h e St(x0)}.
В духе примера 1, рассматриваемого ниже, две подгруппы
Я, Я' С G называются сопряжёнными, если Н' = дНд~1 для некото-
некоторого д G G. Сформулируем полученные результаты в виде теоремы.
Теорема 1. Пусть группа G действует на множестве П. Если
две точки хо,х'о G О, лежат в одной орбите, то их стационарные
подгруппы сопряжены:
xf0 = gx0 => StOo) = gSt(xo)g~1.
Если, далее, G — конечная группа и
п = fii U п2 U ... U пг
26 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
— разбиение ft на конечное число орбит с представителями х\,
ж2,... ,жг, то
г
Щ = ?(G : St(Xi)). B)
г=1
Формула B) лежит в основе многих применений "метода орбит"
к конечным группам.
3. Примеры действии групп на множествах. Мы остано-
остановимся лишь на примерах, относящихся собственно к теории групп.
Пример 1 (действие сопряжением). На п = G определяется
действие любого элемента g Е G посредством формулы
х и-» Ig(x) = gxg~x Vx e G.
Можно было бы писать g о х = gxg~x, но мы предпочли восполь-
воспользоваться старым нашим обозначением из [ВА I, гл. 4, § 2, п. 4] для
внутреннего автоморфизма Ig, отвечающего элементу g Е G.
Действие элемента д, отождествлённое с действием Inn (G), назы-
называется сопряжением (или трансформированием). Его ядром служит
центр группы G:
Z(G) = {z G G\ Ig(z) = z VgGG} = {zGG\ zg = gz Уд G G}.
Орбита элемента x G G = П, обозначаемая здесь символом xG, на-
называется классом сопряжённых элементов, классом сопряжённости
или просто сопряжённым классом, содержащим х. Если a,6GxG, то
иногда пишут а ~ Ъ. Для стационарной подгруппы St(x), называе-
называемой в этом случае централизатором элемента ж, чаще используется
обозначение С(х) (или Cg(%), если нужно выделить группу G).
Действие сопряжением, согласно замечанию в конце п. 1, перено-
переносится на подмножества и подгруппы в G. Два подмножества Я,Тс
С G сопряжены, если Т = дНд~г при некотором д G G.
Пусть Н — подгруппа в G. Принято говорить, что
N(H) := NG(H) := St(H) = {g G G\ gHg-1 = Я}
— нормализатор подгруппы Н в G. В частности, Н <\ G (Н — нор-
нормальная подгруппа в G), если N(H) = G, что согласуется с определе-
определениями в § 2, п. 1. В соответствии с соотношением A) длина орбиты
HG (число сопряжённых с Н подгрупп) совпадает с индексом нор-
нормализатора N(H) в G.
Пусть, далее, G — конечная группа и xf, ..., xG — её сопряжён-
сопряжённые классы, причём первые q из них одноэлементные:
xf = {xi}, i = l,...,q (x!=e).
Тогда Z(G) = {х\,Х2,... ,xq}, а соотношения A) и B) переписыва-
переписываются в виде
\xf\ = (G:C(xi)), i = l,...,q,q + l,..., (V)
§ 3. Действие групп на множествах 27
г
\G\ = \Z(G)\ + E (G : C(Xi)). B')
i=q+l
Пусть, скажем, G = Ss- Тогда г = 3, q = 1 (т.е. Z(Ss) = е) и
S3 = {e} U {A2), A3), B3)} U {A23), A32)}
— разбиение 5з на сопряжённые классы. Размеры этих классов (дли-
(длины орбит) делят |5з| = б, как и предписывается соотношением A').
Соотношение B') приводит немедленно к следующему интересно-
интересному утверждению.
Теорема 2. Всякая конечная р-группа G (группа порядка рп >
> 1, р — простое число) обладает центром Z(G) ф е.
Доказательство. Если G — абелева группа, то G = Z(G),
и доказывать нечего. В противном случае г > g, (G : C(xi)) = рп\
П{ ^ 1 при i > g, и соотношение B), переписанное в виде
pn = \Z(G)\+ J2 Vn\
i=q+l
показывает, что |^(б?)| делится нар. ?
Существование неабелевой р-группы установить легко. Достаточ-
Достаточно рассмотреть группу верхних треугольных матриц
Р =
с коэффициентами в конечном поле из р элементов.
Пример 2 (сдвиг). Определённое формулой La(g) = ag отобра-
отображение La : G —У G, которое мы использовали при доказательстве
теоремы Кэли (см. [ВА I, гл. 4, § 3]), обычно называют левым сдви-
сдвигом на а. Так как eg = g и (ab)g = a(bg), то левые сдвиги задают
действие G на себе, которое индуцирует действие на подмножествах
группы G. Пусть, в частности, Н — подгруппа и G/H — множество
левых смежных классов gH, g G G.
Ясно, что отображение
(х,дН) н- х(дН) = (хд)Н
определяет действие LH группы G на G/H. Ядром Ker LH этого
действия является множество
{х G G\ L?(gH) =дН Уд е G} = {х G G \ хдН = дН Уде G}.
1
0
0
а
1
0
с
Ъ
1
28 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
Другими словами, х Е Ker LH <^=> g~xxg Е Н для всех д Е G, или,
что эквивалентно, х Е дНд~г \/д Е G. Таким образом,
KeiLH= ^gHg-1
gEG
— наибольшая нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в Н.
Эффективность действия G на G/H равносильна отсутствию под-
подгруппы К С Н, К/е, нормальной в G.
Во всяком случае, любую подгруппу Н индекса п в G можно ис-
использовать для представления (LH\G/H) группы G перестановками
L^ на смежных классах G по Н. Это представление (возможно, не-
неточное) гораздо более экономно, чем то, которое получается посред-
посредством применения теоремы Кэли.
Пример 3 (транзитивные группы). Группу перестановок G С
С Sn, действующую на множестве П = {1,2,...,п}, называют тран-
транзитивной, если орбита Gi некоторой (а следовательно, и любой) точ-
точки г Е О, совпадает с п. Другими словами, действие G х п —у п
транзитивно на П, когда для каждой пары точек г, j G Q найдётся
по крайней мере один элемент g G G с д(г) = j.
Пусть п^ — совокупность упорядоченных /^-элементных подмно-
подмножеств в П. Группа G, действующая на П, индуцирует действие на
П^1; если при этом имеет место транзитивность на П^, то G назы-
называется к-транзитивной на п. Скажем, симметрическая группа Sn
n-транзитивна на (], а знакопеременная группа Ап (п — 2)-транзи-
тивна.
Любая группа G действует транзитивно на множестве G/H ле-
левых смежных классов G по Н (см. пример 2). Действительно, ес-
если giH,gjH — два смежных класса, то д^д^ (д%Н) = QjH. Тем бо-
более удивительно, что получение прямыми средствами информации о
/^-транзитивных группах фиксированной степени п при к > 5 весьма
затруднительно. Лишь весьма окольным путём в начале 80-х годов
XX столетия была доказана гипотеза К. Жор дана, что всего таких
групп две: Sn и in.
Мы собираемся получить любопытные количественные резуль-
результаты о транзитивных группах, которые понадобятся нам в даль-
дальнейшем. Пусть G — транзитивная группа на П. Стационарную под-
подгруппу St(г) точки г G Q обозначим символом Gi. Нам известно (см.
теорему 1), что если г = ^A), то Gi = giGxg^1, г = 1, 2,... ,п (дг =
= е). Кроме того, элементы д^ можно выбрать в качестве представи-
представителей левых смежных классов G по G\:
G = Gi U <?2Gi U ... U <?nGi. C)
В частности, \G\ = n|Gi|, что согласуется с общими результатами о
длинах орбит (см. п. 2).
§ 3. Действие групп на множествах 29
Теорема 3. Пусть G — транзитивная группа на ft, и для лю-
любого g Е G пусть N(g) — число точек в п, остающихся на месте
при действии д.
Тогда:
i) ^2geo N(g) = \G\ (поделив обе части равенства i) на \G\,
получаем, что "в среднем" каждый элемент оставляет неподвиж-
неподвижной одну точку);
ii) если G — 2-транзитивная группа, то ^2geQ N(gJ = 2\G\.
Доказательство, i) Имеем
n
Е
где r(j) — число элементов в G, оставляющих на месте символ j.
Другими словами, T(j) = \Gj\. Но в силу транзитивности
\Gj\ = \gjG1g-1\ = \G1\,
где gj взяты из разложения C). Стало быть,
Е
ii) Условие 2-транзитивности G означает, что на множестве Qi =
= п \ {1} стационарная подгруппа G\ действует транзитивно, т.е.
G\-орбитами будут {1} и Пь Пусть N'(x) — число точек в Qi, непо-
неподвижных при действии х G G. Соотношение i), применённое к паре
(Gi,Qi), даёт
xeGx
Так как N{x) = \ + N'{x) для х G G\ (добавляется точка 1), то имеем
Y, Щх) = 2\Ог\.
Точно такие же соотношения справедливы для всех других Gy.
Суммируя по j, получаем
Слева N(x) считается по одному для каждой подгруппы Gj, в ко-
которой содержится х. Но х оставляет на месте N(x) точек и, следо-
следовательно, содержится ровно в N(x) подгруппах Gj. Это означает,
30 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
что каждый элемент х вносит в сумму член N(xJ. С другой сто-
стороны, любой элемент у Е G, не содержащийся в объединении (J. G^
переставляет все точки, так что N(y) = 0. Поэтому можно записать
соотношение
geG j=ixeGj
4. Однородные пространства. Для геометрии особый инте-
интерес представляет тот случай, когда П — топологическое простран-
пространство (например, прямая Ш. или сфера 52), G — так называемая не-
непрерывная (или топологическая) группа, а действие (д,х) н-» дх под-
подчиняется разумному требованию:
iii) f(x) — дх — непрерывная функция двух переменных д и х.
Группа G, действующая на п так, что выполняются свойства i),
И) из п. 1 и iii), называется группой движений пространства П. При
этом могут быть движения, сохраняющие какую-нибудь метрику на
П. Пространство П называется однородным, если G действует на П
транзитивно в смысле примера 3, т. е. все точки из п принадлежат
одной G-орбите.
Из общих соображений пп. 1-2 ясно, что имеется взаимно од-
однозначное соответствие между точками однородного пространства
П и смежными классами G по одной из стационарных подгрупп Н.
При этом движению g Е G пространства П отвечает отображение
g'H i—У дд'Н на множестве G/H.
Рассмотрим с новой точки зрения хорошо известный нам из § 1
пример группы SOC). Группу SOC) удобно представлять себе дей-
действующей на двумерной сфере S2 единичного радиуса. Очевидно,
что любой паре точек Р, Q G S отвечает некоторое движение (вра-
(вращение), переводящее Р в Q, т. е. S2 — однородное пространство с
группой движений SOC). Стационарная подгруппа St(P) любой точ-
точки Р G S2 оставляет неподвижной всю ось, проходящую через Р и
центр О сферы. Поэтому St(P) = SOB) — группа вращений плос-
плоскости, перпендикулярной к оси ОР. Так как элементы группы SOB)
отождествляются с точками окружности S1 единичного радиуса, то
группу SOC) можно представлять себе в виде пирога, слоями кото-
которого являются единичные окружности, "пронумерованные" точками
двумерной сферы: SO^/S1 « S2. В этом случае говорят о рассло-
расслоении (о проекции р : SOC) —У S2) с базой S2 и слоем р~г(Р) «
~ S1, Р G S2. Точный смысл всех этих понятий разъясняется в кур-
курсах геометрии и топологии, поэтому мы ограничимся сказанным.
3. Действие групп на множествах
31
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть ФиФ' — гомоморфизмы группы G в S(Q) и S(Qf) соответственно.
Тогда определённые ими действия на П и на Г2' называются эквивалентными,
если существует биективное отображение а : Q —у Q', делающее диаграмму
П -^ П'
ф I I ф
п
коммутативной при всех д G G. Таким образом, Ф^ = аФда 1. Доказать, что
каждое транзитивное действие группы G эквивалентно действию G на левых
смежных классах по некоторой подгруппе Н.
2. Опираясь на теорему 2, доказать, что все группы порядка р2 (р — простое
число) абелевы.
3. Показать, что центр группы Р, приведённой в конце примера 1, имеет вид
Z(P) =
1 0 с
О 1 О
О 0 1
се z%
Найти сопряжённые классы группы Р.
4. Пусть п — натуральное число. Запишем его в виде суммы п = п\ +
+ ... + Пт с ni ^ П2 ^ ... ^ пш ^ 1. Число всех таких разбиений с т =
= 1,2,... обозначим через р(п), так что рC) = 3, рD) = 5 и т.д. Разложение
тг = 7Г17Г2 ... тгщ каждой перестановки тг G Sn в произведение независимых цик-
циклов (см. [ВА I, гл. 1, § 8]) однозначно определяет разбиение числа п. Показать,
что классы сопряжённости группы Sn находятся в биективном соответствии с
разбиениями числа п.
5. Пусть перестановка тг G Sn записывается в виде произведения г циклов
длины 1, s циклов длины 2, t циклов длины 3 и т.д., так что п = г + 2s + St + ...
Показать, что мощность сопряжённого класса в Sn, содержащего перестановку
тг, выражается формулой
6. Пусть группа G действует на множестве П. Назовём подмножество
Г С Г2 инвариантным относительно G (или
G-инвариантным), если ^ж G Г для всех д ? G
и ж G Г. Например, инвариантными множествами
при действии 50B) на М? являются концентрические
кольца.
Показать, что всякое инвариантное подмножество
в Q является объединением орбит, причём G-орбита
любого элемента жЕП есть не что иное, как наимень-
наименьшее инвариантное подмножество, содержащее х.
7. Показать, что для группы G с подгруппой Н Рис. 1
действие Н х G —> G, определённое сдвигом (h,g) \-y hg, задаёт разбиение G на
правые смежные классы G по Н.
8. Видоизменив доказательство теоремы 1, получить соотношение
32 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
где r(G : Г2) — число орбит группы перестановок G, действующей на мно-
множестве Q.
9 (G.R. Goodson, 1999). Наряду с централизатором С (а) = {х Е G \ ха = аж}
в группе G рассматривают ещё косой централизатор
D(a) = {х е G\ ха = а~1х},
встречающийся в теории динамических систем. Вообще говоря, D{a) не является
группой.
Доказать, что:
1) D(a) группа <<=> а2 = е и D(a) = С (а);
2) множество Е(а) = С(а) U D(a) всегда является группой.
§ 4. Факторгруппы и гомоморфизмы
Этот параграф, в особенности п. 2, представляет известные труд-
трудности, и к нему нужно возвращаться несколько раз, чтобы на
конкретных примерах усвоить небольшое число абстрактных ут-
утверждений.
1. Понятие о факторгруппе. Отношение эквивалентности
~ на группе G, определённое разложением G в смежные классы по
нормальной подгруппе Н (см. § 2), обладает одним замечательным
свойством. Именно, если а, Ъ — произвольные элементы группы G и
а rsj с, Ъ ~ d, то по определению имеем а~гс = hi G H, b~1d = hi G i?,
откуда
(ab^cd = b^a^cd = ^(a^ = b^h^b^d) = ftift2 G Я
и, стало быть, afr ~ cd. Здесь использовано свойство нормальности
Я в G: b~xhxb = ft; G Я. Итак,
а ~ с, b ~ d ^=> a6 ~ cd.
Фактически это означает, что операция умножения на группе G ин-
индуцирует операцию умножения на фактормножестве G/ ~, которое
мы условились обозначать G/H.
Имеет смысл говорить о композиции (об умножении) произволь-
произвольных подмножеств А, В группы G, понимая под АВ множество всех
произведений ab с a G A, b G В. Ассоциативность в G влечёт
соотношение
(АВ)С = {{аЪ)с} = {а(Ъс)} = А(ВС),
и подмножество Я С G является подгруппой в G в точности тогда,
когда Я2 = Я, Я = {ft-11 ft G Я} С Я.
С этой точки зрения смежный класс аЯ равен произведению од-
одноэлементного множества {а} на подгруппу Я. Произведением смеж-
смежных классов аН, ЬН является множество аН • ЬН, которое, вообще
§ 4- Факторгруппы и гомоморфизмы 33
говоря, не обязано быть снова смежным классом по Я. Рассмотрен-
Рассмотренное в § 2 разложение 5з по Я = {е, A2)} показывает, например, что
Н • A3)Я = A3)Я U B3)Я.
Совсем иная ситуация получается, когда Я — нормальная подгруп-
подгруппа группы G. Так как дН = Нд для всех д Е G, то
аН -ЪН = а(Я6)Я = аFЯ)Я = аЪН2 = а&Я,
причём рассуждения, приведённые выше, показывают, что смежный
класс аЪН не зависит от представителей а, Ъ смежных классов
аН, ЪН.
Свойства
аН 'ЪН = ,
Н -аН = аН -И = аН,
аГхН -аН = аН • а"^ = еН = Н
показывают, что справедлива
Теорема 1. .Еслг/ Я — нормальная подгруппа в G, то опера-
операция умножения аН • ЪН = абЯ наделяет фактормножество G/H
строением группы, называемой факторгруппой G по Я. Смежный
класс Я служит единичным элементом в G/H, а а~хН — (аН)~1 —
элементом, обратным к аН.
В случае конечной группы G порядок факторгруппы G/H опре-
определяется по формуле
\G/H\ = М = (G : Я),
котрая вытекает из всего сказанного и из теоремы Лагранжа
(см. § 2).
В случае аддитивно записываемых абелевых групп бинарная опе-
операция на G/H вводится соотношением
(а + Я) + (Ъ + Я) = (а + Ъ) + Я.
Соответственно G/H часто называют группой G по модулю Я, а в
применении к паре G = Ъ, Я = тЪ употребительно также выраже-
выражение "группа Z по модулю т".
2. Теоремы о гомоморфизмах групп. Согласно теореме 1
с каждой нормальной подгруппой К группы G ассоциируется некая
новая группа G/К', которая была названа факторгруппой G по К.
Так, наряду с эпиморфизмом Ф: SUB) —У SOC), описанным в § 1,
естественно ввести факторгруппу SUB)/{±.E} и сравнить её с обра-
образом ЬпФ = SOC). Как нетрудно догадаться, SVB)/{±E} = SOC),
но чтобы каждый раз не проводить рассуждения заново, полезно
3 А.И. Кострикин
34 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
установить ряд общих фактов о подгруппах, гомоморфизмах и фак-
факторгруппах. Впредь запись К <\ G означает, что К — нормальная
подгруппа в G.
Теорема 2 (основная теорема о гомоморфизмах). Пусть ср :
G —У Н — гомоморфизм групп с ядром К = Кетср. Тогда К —
нормальная подгруппа в G и G/K = Imcp. Обратно, если К <\G, то
существует группа Н (а именно G/K) и эпиморфизм тг: G —У Н,
ядро которого совпадает с К.
(тг часто называют естественным отображением или естест-
естественным гомоморфизмом.)
Доказательство. Мы уже знаем, что Кег ср = К <\ G. Опреде-
Определим отображение Тр : G/К —у Н, полагая
Tp(gK) =ip(g).
Если дхК = д2К, то д±1д2 G К, ^(д^1) = е, и, стало быть, (р(дг) =
= ip(g2), а это значит, что отображение Тр определено корректно
(т.е. не зависит от выбора представителя смежного класса). Так как
p(giK • g2k) = 7p(g1g2K) = (p(gig2) = ^teiMflb) = v(giK)y(g2K),
то Тр — гомоморфизм. На самом деле Тр — мономорфизм, потому
что из Tp(giK) = Тр(д2К) следует ^р{д{) = ip(g2), откуда (p(gi1g2) =
= е, д^1 д2 G К и д\К — д2К. Ясно также, что Im^ = Imcp.
Обратно, пусть К <\ G. Возьмём в качестве тг функцию, которая
сопоставляет любому элементу из G его смежный класс по К, т.е.
положим тт(д) = дК. Ясно, что все требуемые свойства выполняют-
выполняются. ?
Следует заметить, что заданием ядра гомоморфизм определяется
неоднозначно. Например, автоморфизмы д \-у д и д \-у д~х абелевой
группы простого порядка р > 2 различны, но ядра их совпадают
(=е).
Имея гомоморфизм р : G —У G\ и подгруппу Н С G, естественно
посмотреть на ограничение р \н и на образ подгруппы Н относитель-
относительно этого гомоморфизма. Следующая теорема значительно упрощает
анализ всех возможных ситуаций.
Теорема 3 (первая теорема об изоморфизме). Пусть G — груп-
группа, В. и К — её подгруппы, причём К нормальна в G. Тогда ПК =
= КН — подгруппа в G, содержащая К. Далее, пересечение Н П К
является нормальной подгруппой в Н, а отображение
ср: hK^h(H П К)
— изоморфизмом групп
НК/К^Н/(Н П К).
Доказательство. Условие К <\ G, переписанное в виде дК =
= Kg, g G G, означает, в частности, что hK = Kh для всех h G П.
§ 4- Факторгруппы и гомоморфизмы 35
Множество НК = {hk \ h Е Я, k Е К} состоит из некоторого числа
смежных классов hK : НК = [jheH hK. Заменив здесь hK на Kh,
мы придём к равенству
нк = (J hK = (J дг/i = кя.
Очевидно, что единичный элемент е, содержащийся в Н и К,
содержится также в НК. Далее, (hk)~1 = k~1h~1 = h~1 (hkh~1)~1,
поэтому обратные ко всем элементам из НК лежат в НК. Наконец,
НК • НК = Н • К Я • К = Я • ЯК • К = ЯК, т.е. множество НК
замкнуто относительно умножения. Мы видим, что подмножество
НК С G является подгруппой в G.
Так как К С НК и К <\ НК, то имеет смысл говорить о фактор-
факторгруппе НК /К. Пусть тг: G —У G / К — естественный эпиморфизм
и тго := тг \н — ограничение тг на Я. Его образ 1ттго состоит из
смежных классов hK, h G Я, т.е. из всех смежных классов G по К,
имеющих представителей в Я. Другими словами, 1ттго = НК/К.
Итак, мы имеем эпиморфизм
тго : Н —> НК/К.
Его ядро Кегтго, состоит из h G Я, для которых тго(Л) = /fcif = К —
единица в НК/К. Но ДК = К ^==> h е Н П К, откуда Кегтг0 =
= Н П К. Как всякое ядро гомоморфизма, Н П К — нормальная
подгруппа в Я (что без труда проверяется непосредственно).
По основной теореме о гомоморфизмах (теорема 2) соответствие
тго : h(H П К) i—у tto(/i) = hK устанавливает изоморфизм Н/(Н П
П К) = НК/К. Так как тго — биективное отображение, то ср :=
= тго-1 : /iK i—У h(H П К) также является изоморфизмом групп
НК/К иН/(НПК). ?
Коль скоро имеется первая теорема об изоморфизме, то должна
существовать и вторая. Так оно и есть, но мы сформулируем лишь
облегчённый ее вариант, носящий специальное название.
Теорема 4 (теорема о соответствии). Пусть G — группа, Я и
К — её подгруппы, причём К <\ G и К С Я. Тогда Я = Н/К —
подгруппа в G = G/K и тг* : Я i—У Я является биективным отоб-
отображением множества U(G,K) подгрупп в G, содержащих К, на
множество Q(G) всех подгрупп группы G. Если Я G Ct(G,K), то
Я <\G ^=> Я <\G, причём
G/H ^ G/H = (G/K)/(H/K).
Доказательство. Пусть Я G П(G,К). Из определения G/K
непосредственно вытекает, что Н/К — подгруппа в G/K. Чтобы
убедиться в инъективности отображения тг* : Я i—У Я, рассмотрим
две подгруппы Я1, Я2 G ft(G, К), для которых Hi/К = Н2/К. Тогда
36 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
hi e Hi => h\K — h2K, h2 G H2 => hi = h2k, а так как К С Я2,
то hi G i?2, откуда Hi С i?2- Аналогично проверяется включение
Н2 С Hi. Стало быть, Hi — Н2.
Установим теперь сюръективность отображения тг*. Пусть Н G
G Q(G) vl H — множество тех элементов в G, из которых состоят
все смежные классы но К — элементы группы Н С G. Тогда, в
частности, К С Н и а,Ъ G Н => аК, ЪК_е ~Н => аЬК = аКЬК G
еТ[^аЬеНиаеН^аКеТ1^ а'1 К = (аК)^ G
G i? ^=> а G i?. Стало быть, i? — подгруппа в G, причём Н =
= Н/К (обычно Н называют прообразом в G подгруппы Н С G).
Довольно очевидна импликация Н G Q(G, К), Н <\ G =^ H <\ G,
формально вытекающая из равенств gKhK • (дК)~1 = ghg~xK =
= h'K G Н для всех д G G, /i G Н. Но по тем же причинам Н <\G =^
=^ ghg~xK = дК • hK • (^i^)-1 = h'K =^ ghg~x еН =^ Н < G.
Наконец, в ситуации Н G O(G, X), Н <\ G, по доказанному можно
рассмотреть два естественных эпиморфизма
тг : G —> G/K, тг : G —
(д ь->- тг (^), где ~д = ^Х G G) и их композицию — эпиморфизм
а = тготг: G—^G/Я,
определённый правилом сг(^) = тг(^) = ~дН. Имеем
Kera = {g G G \ a(g) =H} = {g?G\g?H} =
= {д G G | gif = /iX для некоторого h G Я} = Я.
Следовательно, по основной теореме о гомоморфизмах отображение
дН ь->- ~дН является изоморфизмом между G/Я и G/H. ?
Пример 1. Пусть п = dm — натуральнее число с делителем d > 1. Очевидно,
что nZ С dZ, и отображение x^da; + nZ является эпиморфизмом аддитивных
групп:
Z —у dZ/nZ = {dz + пЪ | г = 0,1,..., га - 1},
с ядром raZ. По теореме 2 имеем изоморфизм
(что довольно понятно и так). При помощи теоремы 4 находим
^ (Z/nZ)/(dZ/nZ),
т.е. Zd ^Zn/Zm.
Вспоминая о теореме Лагранжа, мы приходим к утверждению, что все под-
подгруппы и факторгруппы циклической группы сами являются циклическими
группами.
Этот результат можно получить, конечно, и без теорем о гомоморфизмах.
Пример 2. Выделим в симметрической группе 5*4 подгруппы
У4 = {е, A2)C4), A3)B4), A4)B3)} < 54,
S3 = {e,A2), A3), B3), A23), A32)}
§ 4- Факторгруппы и гомоморфизмы 37
(в данном случае Ss — стационарная подгруппа точки г = 4). Так как, очевидно,
Ss П V4 = е, то для подгруппы Н = S3V4 по теореме 3 имеем
В частности, |Я| = \V4\ • |5з| = 24, т.е. Н = S4. Итак, S4 обладает подгруп-
подгруппой, изоморфной Ss, и аналогичной факторгруппой. Применяя теорему 4, мы
получаем описание множества Q(S4,V4) подгрупп в 5*4, содержащих V4:
n(S4,V4) = {У4,(A2)>У4,(A3)>У4,(B3)>У4,А4 = (A23)>У4, S4}
Обратим внимание на то обстоятельство, что для любого делителя d чис-
числа 24 в 5*4 имеется хотя бы одна подгруппа порядка d. В частности, имеется
ровно четыре подгруппы (A23)), (A24)), (A34)), (B34)) порядка 3 и три под-
подгруппы (A2))"\4, (A3))У4, (B3))V4 порядка 8 (это так называемые 3-силовские и
2-силовские подгруппы). Собственных (т.е. не равных еи^) нормальных под-
подгрупп всего две: V4 и А4.
Действительно, если К <\ S4 и КП V4 ф е, то К D V4, потому что неединичные
элементы в V4 все сопряжены относительно S4. Обращаясь к множеству Q(S4, V4),
мы видим, что К = V4 или К = А4. Если же К П V4 = e, К ф е, то
К <\ 54, V4 < S4 =>> КУ4 < 54,
и остаётся принять, что КУ4 = ^4, ^ — ^з- Но Ss содержит транспозицию, а все
транспозиции сопряжены в S4 и порождают S4. С другой стороны, они должны
содержаться в К. Полученное противоречие показывает, что случай К П V4 = e
невозможен.
3. Коммутант. Выражение
(ж, 2/) =хух~1у~1,
называемое коммутатором элементов ж, у группы G, служит коррек-
корректирующим членом, необходимым для того, чтобы поменять местами
х и у:
ху = (х,у)ух.
Если х и у перестановочны, то (ж, 2/) = е. Интуитивно ясно, что
чем больше в группе G коммутаторов, отличных от е, тем значитель-
значительнее отклонение закона умножения в G от коммутативного. Пусть
М — множество всех коммутаторов в G. Коммутантом (или про-
производной подгруппой) группы G называют подгруппу G' ( = G^ =
= (G,G)), порождённую множеством М (см. [ВА I, гл. 4, § 2,
упр. 1, 2]):
G' = ((х,у)\ xjyeG):=gr(xjy).
Хотя (х,у)~1 = уху~хх~х — (у,х) — коммутатор, произведение двух
коммутаторов быть им уже не обязано, так что G' состоит из все-
всевозможных произведений вида
2) • • -{Xk,yk), Xi.yi G G.
Конечно, в каждом конкретном случае желательно иметь более
точное описание коммутанта G'.
38 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
Пример. G = Sn. Коммутатор (а,/3) = аCа~1C~1 любых двух переста-
перестановок а,/3 G Sn является, очевидно, чётной перестановкой. Поэтому S'n С Ап.
Далее,
(U)WW) W1 = (ij)(ik)(ij)(ik) = (ijk),
а так как тройными циклами (ijk) порождается вся знакопеременная группа Ап
(см. [ВА I, гл. 4, § 2, упр. 11]), то мы приходим к выводу, что S'n = Ап.
Отметим, что S'n <\ Sn, и факторгруппа Sn/S'n абелева.
Возвращаясь к общей ситуации, мы рассмотрим произвольный
гомоморфизм групп ip: G —У G. Так как
ip((x,y)) = if{xyx~ly~l) = ip(x)ip(y)ip(xy1ip(y)~1,
то ip(G') С (G)', причём ip(G') = (G/, если у? — эпиморфизм. Пусть
теперь К — нормальная подгруппа в G и (/) = /й : х \—у ахоГ1 —
внутренний автоморфизм группы G, индуцирующий какой-то эндо-
эндоморфизм на К. Согласно сказанному выше 1а(К') С К' при любом
a G G, а это означает, что
К <G^K' <G. (I)
В частности, G' <\ G.
Докажем теперь общее утверждение, вскрывающее внутренний
смысл понятия коммутанта.
Теорема 5. Любая подгруппа К С G, содержащая коммутант
G' группы G, нормальна в G. Факторгруппа G/G' абелева и G' со-
содержится в каждой нормальной подгруппе К такой, что G/K абе-
абелева (в частности, максимальный порядок абелевой факторгруппы
G/К равен индексу (G : G')).
Доказательство. Если х G К, g G G и G' С К, то gxg~l =
= (gxg~lx~l)x = (g,x)x G G'X = К, так что K<\G. Далее, из условий
G' С К, К <\ G, выполняющихся, в частности, при К = G' (см. A)),
следует, что
(аК, ЪК) = аК-ЬК- а'1 К • Ь~ХК = аЪаГЧ^К = (а, Ь)К = К,
т. е. коммутатор любых двух элементов факторгруппы G/K равен
единичному элементу (= К). Стало быть, G/K — абелева группа.
Обратно, если К <\ G и факторгруппа абелева, то
(а,Ъ)К = (аК,ЬК) = К
для всех а, Ъ G G. Значит, (а, 6) G К и G; С К, поскольку G' порож-
порождается коммутаторами. ?
Замечание. Мы знаем теперь две важные нормальные подгруп-
подгруппы любой группы G: центр Z(G) и коммутант G'. Связь между ними,
вообще говоря, слабая, но общая закономерность такова: чем "бли-
"ближе" G к абелевой группе, тем больше Z(G) и тем меньше G'. Более
интересен следующий факт.
§ 4- Факторгруппы и гомоморфизмы 39
Факторгруппа G/Z(G) неабелевой группы G по центру Z(G) не
может быть циклической.
Действительно, если G/Z{G) — циклическая группа, то G =
= [jiazZ(G), и любой элемент из G имеет вид д = агг, z Е Z(G). В
таком случае (g,h) = (alz,a^zf) = аг+э~г~э (z,z') = е для любых двух
элементов д, h Е G, а это значит, что G' = е и G — абелева группа,
вопреки предположению. ?
4. Произведения групп. Сейчас мы рассмотрим конструк-
конструкцию, позволяющую по заданным группам строить новые группы. В
различных частных случаях эта конструкция нам уже встречалась.
Назовём [внешним) прямым произведением произвольных групп А
и В множество А х В всех упорядоченных пар (а, Ъ) (не путать с
коммутаторами!), где a Е А, Ъ Е В, с бинарной операцией
(аь bi)(a2, b2) =
Строго говоря, следовало бы писать (ai, bi)*(a2, Ь2) = (ai °^2, Ь].оЬ2),
где о, о, * — бинарные операции на А, 5 и А х В соответственно, но
для упрощения записи все операции условимся обозначать точкой
(впрочем, опуская и её). При аддитивной записи групп, например,
абелевых, естественно говорить о прямой сумме А 0 В.
В А х В содержатся подгруппы А х е, е х В, изоморфные соответ-
соответственно А и В (ещё одна условность: единичные элементы в А и В
обозначаются одним символом е). Отображение ip: Ax В —у В х А,
заданное равенством <р((а, Ь)) = (Ь, а), очевидно, устанавливает изо-
изоморфизм групп Ах В и В х А. Если у нас есть три группы А, В, С, то
можно говорить о прямых произведениях (А х В) х С и А х (В х С).
Положив гр(((а, Ь), с)) = (a, (b, с)), мы легко убеждаемся в том, что
(АхВ)хС^Ах(В хС).
Свойства коммутативности и ассоциативности прямого произведе-
произведения дают нам возможность говорить о прямом произведении любого
конечного числа групп Gi, G2,..., Gn и писать
г=1
не указывая явно посредством скобок, в каком порядке берутся по-
попарные прямые произведения (мы превращаем тем самым множество
всех групп в коммутативную полугруппу, элементами которой явля-
являются группы).
Теорема 6. Пусть G — группа с нормальными подгруппами А
и В. Если AnB = euAB = G,moG = AxB.
Доказательство. Из равенства АВ = G следует, что любой
элемент g G G записывается в виде g = afr, где a G А,Ъ G В. Если
40 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
ещё д = a\b\, a\ Е А, Ь\ Е 5, то ab = ai&i => а^а — b\B~x е Ail
П В = е. Следовательно, а\ = a, &i = 6, и мы приходим к выводу,
что запись д — ab однозначна. Далее, А <\ G => k = a(ba~1b~1) =
= aa' G i; В <\ G => к = (aba~1)b~1 = fr'fr G ??, т. е. коммутатор
к ? An В = e — единичный элемент, и, стало быть, ab = Ьа.
Определим теперь отображение ip: G —У А х В, полагая (р(д) =
= (а, Ь) для любого д = ab. Согласно вышесказанному (р(дд') =
= (p(aba'V) = tp(aa'bb') = (аа',ЬЬ') = (a,b)(a',b') = ч>(аЬ)ч>(а!Ъ') =
= ср(д)ср(д'). Далее, (^(afr) = (е,е) <^=> a = е, 6 = е, т. е. Кекр = е.
Эпиморфность ер очевидна. Таким образом, ср удовлетворяет всем
свойствам изоморфного отображения групп. ?
Группу G, удовлетворяющую условиям теоремы б, принято на-
называть (внутренним) прямым произведением своих подгрупп А, В.
Отличие от внешнего прямого произведения состоит в том, что G
содержит в качестве прямых множителей сами группы А, В, а не
просто их изоморфные копии А х е, е х В. Разумеется, внешнее пря-
прямое произведение G = А х В является также внутренним произве-
произведением подгрупп А х е,е х В, и при некотором навыке можно не
делать различия между ними, употребляя сокращённое словосочета-
словосочетание "прямое произведение".
Некоторую информацию о гомоморфизмах прямых произведений
даёт
Теорема 7. Пусть G = А х В, и пусть А\ <\ А,В\ <\ В. Тогда
AxxBx^G uG/iAxxBx) = (А/А1)х(В/В1). В частности, G/A = В.
Доказательство. Пусть а: А —у А/А\ и /3: В —у В / В\ —
естественные гомоморфизмы. Определим отображение ср: G —У
—у (A/Ai) х (B/Bi) посредством соотношения ip(ab) = (a(a),/?(b)).
Непосредственно проверяется, что ср — гомоморфизм с ядром Кег ср =
= Ах х В\ и образом 1пкр = (A/Ai) x (B/Bi). ?
Как и в теории векторных пространств, легко доказать, что если
G — группа с нормальными подгруппами Gi,..., Gn, то G = Пг ^
в том и только том случае, когда
для всех j ("шапка" над Gj означает, что компонента Gj опущена).
То же самое выражается следующим свойством: G — прямое произ-
произведение своих нормальных подгрупп Gi,...,Gn, коль скоро каждый
элемент g G G допускает, и притом однозначную, запись в виде
g = gi ... gn, gi G Gi. Прямое произведение п экземпляров груп-
группы H называют ещё n-й прямой степенью и обозначают Нп =
= Н х ... х Н. В Нп выделяется специальная подгруппа — диагональ
А = {(/i, /i,..., h) | he Я}, изоморфная Н.
Если в теореме б опустить условие B<\G, то мы придём к понятию
полупрямого произведения: G = АВ, АГ\В = е, A<\G (иногда пишут
§ 4- Факторгруппы и гомоморфизмы 41
G = А X В). В это определение следовало бы внести ещё описание
действия подгруппы В автоморфизмами на нормальной подгруппе
А, что обычно и делается в каждом конкретном случае.
Замечание. В виде прямых и полупрямых произведений пред-
представляются многие известные нам группы. Например, Sn — полупря-
полупрямое произведение нормальной подгруппы Ап и циклической группы
(A2)) порядка 2: Sn = Ап X Z2. Используя обозначения из примера 2
п. 2, можно записать
А4 = У4 X (A23)) ^ (Z2 х Z2) X Z3,
54 = У4 X 53 = (Z2 х Z2) X (Z3 X Z2).
Ещё один пример: группа АA,М) аффинных преобразований
Ж —У Ж (см. [ВА I, гл. 4] или [ВА II]) является полупрямым про-
произведением нормальной подгруппы сдвигов и подгруппы GLA,M)
преобразований, оставляющих точку х = 0 на месте.
5. Образующие и определяющие соотношения. Вопрос о
системах образующих группы G уже обсуждался в [ВА I, гл. 4]. Мы
возвращаемся к нему, чтобы взглянуть на некоторые известные нам
группы с новой точки зрения. Из результатов [ВА I, гл. 4] вытекает,
что для циклических групп нет необходимости составлять громозд-
громоздкие таблицы Кэли. Условная запись
Сп = (с\ сп = е) C)
даёт всю необходимую информацию об абстрактной циклической
группе Сп порядка п; подразумевается, что Сп = {е, с, с2,..., сп-1},
причём cscl = cs+t при s + t < п и cscl = cs+t~n при s + t ^ п. С
другой стороны, любая циклическая группа является с точностью
до изоморфизма гомоморфным образом одной-единственной группы
(Z,+).
Пусть теперь Fn — произвольная группа с нейтральным элемен-
элементом е, порождённая п образующими /i,...,/n, так что каждый её
элемент / записывается (возможно, многими способами) в виде
f = fuft:---f!:, ije{i,2,...,n}, Sjez, D)
где ij ф ij+i, j = 1, 2,..., k — 1. Это всегда достигается элементар-
элементарными заменами //// = /?+*, /Р = е и foe = efo = fj.
При выполнении условия / = е <^=> s± = ... = sj* = 0 для каждого
/, записанного в виде D), говорят, что Fn — свободная группа ранга
п, порождённая п свободными образующими. Элементы группы Fn
обычно называются словами в алфавите {Д, /j,..., /n, f^1}- Несо-
Несократимая запись D) слова f и его длина l(f) = |si| + |s2| + ... + \sk\
однозначно определены; в противном случае пустое слово е := 0 =
= //-1 (единичный элемент в Fn) имело бы длину > 0. При данном п
42
Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
две свободные группы Fn и Gn, порождённые свободными образую-
образующими /i,..., /п и #i,..., дп соответственно, изоморфны; достаточно
положить Ф(/г) = gi, 1 ^ г ^ п, а для произвольного слова / вида D)
считать
Ф(/) =дЦдЦ ...дЦ
(единицы в Fn и Gn обозначаются одинаковыми символами). Если,
однако, Gn не является свободной группой, то Ф будет всего лишь
эпиморфизмом с ядром КегФ, состоящим из тех слов, которые при
подстановке fi \-y gi переходят в единичный элемент группы Gn.
Это универсальное свойство (возможность продолжения fi *-У gi, I ^
^ i ^ п, до эпиморфизма Ф : Fn —у Gn для любой группы Gn с п
образующими) можно принять за определение свободной группы Fn,
но мы не будем на этом задерживаться.
Чтобы свободные группы не казались "мистическими объекта-
объектами" , приведём некоторые их конкретные реализации.
п = 1. F\ = (Z, +) — свободная абелева группа ранга 1, или, что
то же самое, бесконечная циклическая группа.
п = 2. Пусть Z[t] — кольцо многочленов от t с целыми рациональ-
рациональными коэффициентами. В специальной линейной группе SLB,Z[t])
рассмотрим подгруппу F, порождённую матрицами
1 t
А =
0 1
о
t 1
Докажем, что F — свободная группа. Лёгкая индукция по к пока-
показывает, что элемент
Wk =
к,
имеет вид
ak
t2k
-1
где (Tk = otiPi .. .ctkPk, а точками обозначены одночлены меньшей
степени относительно t. Ясно, что Wk ф Е. Произвольный элемент
группы F записывается либо в виде В@Аа ф Е, либо в виде W =
= B@WkAa. Если W = Е, то Wk = B~@A~a, что, однако, невозможно
(сравнить степени при к > 1, а при к = 1 сделать непосредственную
проверку).
Небольшое дополнительное рассуждение показывает, что при
подстановке t = m, где т — любое целое число ^ 2, группа F про-
продолжает оставаться свободной.
Введём теперь следующее
Определение. Пусть Fn — свободная группа с п свободны-
свободными образующими /i,...,/n, S = {wi, i G /} — некоторое подмно-
подмножество элементов г^(/ъ • • • •> fn) G Fn и К = (SFn) — наименьшая
' 4- Факторгруппы и гомоморфизмы
43
нормальная подгруппа в Fn, содержащая S (пересечение всех нор-
нормальных подгрупп, содержащих S). Говорят, что группа G задана п
образующими ai,..., an и соотношениями Wi(ai,... ,an) = е, г Е /,
если существует эпиморфизм тг : Fn —у G с ядром К такой, что
7г(//г) = Uki I ^ k ^ П. При ЭТОМ ПИШуТ
G = (ab.. .,an| ги;(аь.. .an) = е, г G />
и называют G конечно определённой группощ коль скоро Card/ < оо.
Сама группа Fn "свободна от соотношений", чем и объясняется
её название. Из определения следует, что любая группа Н с п обра-
образующими &i,...,6n, которые удовлетворяют тем же соотношениям
Wi(bi,..., Ьп) = е, г G /, и, возможно, некоторым другим, является
гомоморфным образом группы G. В частности, \Н\ ^ \G\. Вообще
говоря, одна и та же группа допускает много разных заданий обра-
образующими и соотношениями, хотя для конкретной группы G иногда
не так легко указать хотя бы одно задание. Самое существенное за-
заключается в том, что не существует общего алгоритма, который для
любой конечно определённой группы давал бы ответ на вопрос о ко-
конечности группы, о равенстве двух её слов и т.д. В этой области раз-
развит обширный аппарат комбинаторной теории групп. Рассмотрим
пока пару содержательных примеров, где все упомянутые вопросы
решаются до конца.
Пример 1 (группа диэдра). Группа G = (а, Ь \ а3 = b2 = abab = е) с двумя
образующими и тремя соотношениями имеет порядок \G\ ^ 6, поскольку Ъа =
= а~1Ь~1 = (as)~1a2b • (б2) = й2!) и G, во всяком случае, исчерпывается
элементами е,а,а2,b,ab,a2b. Так как для перестановок A23), A2), порождаю-
порождающих 5з, выполняются соотношения A23K = A2J = A23)A2)A23)A2) = е, то
отображение ср : G —> 5з, определённое соответствием а ь-»¦ A23), b ь-»¦ A2),
будет изоморфизмом G = Ss- Стало быть, симметрическая группа Ss задаётся
двумя образующими и тремя соотношениями. Напомним, что Ss отождествляет-
отождествляется также с группой всех преобразований симметрии правильного треугольника.
Полная группа преобразований симметрии 4 I7 3
правильного n-угольника Рп называется группой f\ | 7\
диэдра (диэдралъной группой) и обозначается сим-
символом Dn. Вращение 2'/.. \ ! Л ^ \ 5'
Л =
cos 9 — sin 9
sin 9 cos 9
многоугольника в его плоскости на угол 9 = 2тг/п
вокруг центра О, расположенного в начале пря-
прямоугольной системы координат, порождает цикли-
циклическую группу (А) порядка п. В Dn содержится
1 О
О -1
3'
Рис. 2
ещё отражение Ъ =
многоугольника Рп относительно оси, проходя-
проходящей через центр и одну из вершин (рис. 2).
По определению Ъ2 = е. Различные преобразования симметрии
е,Л,Л2,...,Л"
E)
44
Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
в количестве 2п штук исчерпывают всю группу Dn. В самом деле, всякое преоб-
преобразование симметрии определяется своим действием на вершины 1,2,... ,п мно-
многоугольника Рп. Если какое-то преобразование переводит 1 в /с, то оно должно
либо сохранять тот же циклический порядок вершин, как это делает Лк, либо
менять его на обратный, как это делает Лк~1Ъ.
Поэтому никаких элементов, кроме E), в Dn нет. Заметим, что преобразо-
преобразование ЪЛ совпадает с Лп~1Ъ, поскольку оба преобразования обращают порядок
вершин и переводят 1 в п. Таким образом, имеют место соотношения
Ап = е, Ъ2 = е,
ЛЪЛЪ = е.
Это означает, что Dn является гомоморфным образом группы
G = (a,b\ an =b2 = abab = е).
Но, как и в случае п = 3, получаем ba = an~1b, так что любое слово в алфавите
{а, а, 6, б} сводится либо к аг, либо каг6, О <С г <С п — 1. Стало быть, \G\ ^ 2п,
а ввиду вышесказанного должен иметь место изоморфизм G = Dn. Тем самым
получено задание группы диэдра образующими и определяющими соотношения-
соотношениями. Отождествим G с Dn:
Dn = {a,b\ an = е, b2 = e, (abJ = e).
Так как (а) < Dn и Dn/{a) — циклическая группа, то на основании теоремы 4
для коммутанта D'n группы Dn имеем включение D'n С (а). Но а2 = aba~1b~1 =
= (а, Ь) G ?^ и при п нечётном D^ = (а), а при п чётном Dn/(a2) = (а, 6) —
прямое произведение двух циклических групп порядка 2, откуда D^ = (а2). В
зависимости от чётности п меняются также центр Z(Dn) группы Dn и число г
её классов сопряжённости. Приведём готовые (и легко проверяемые) таблицы:
п = 2m, D'n = (a2), (Dn : D'n) = 4, Z(Dn) = (ат>, г = т + 3,
1
е
1
ат
2
а
2
т
b
т
ab
п = 2т + 1, ?>^ = (а), (?>п : Dfn) = 2,
1
е
2
а
2
2
ат
п
= е, г = т + 2,
Представители сопряжённых классов стоят в нижней строке, мощности этих
классов — в верхней.
Стоит подчеркнуть, что вид определяющих соотношений (их левых частей
в записи W{ = e) существенно зависит от выбора системы образующих группы.
Например, диэдральная группа Dn порождается любыми отражениями относи-
относительно двух прямых, пересекающихся под углом тг/га. Поэтому
Dn = {91,92 | д2 = я! = (9192)п = е).
Если исходить из прежнего задания, то можно положить д\ = ab, #2 = fe-
fell ри мер 2 (группа кватернионов). В отличие от предыдущего примера мы
с самого начала определим группу кватернионов Qg образующими и соотноше-
соотношениями:
Q8 = (а,Ь| а4 = е, Ъ2 = а2, ЪаЪ'1 = а'1).
' 4- Факторгруппы и гомоморфизмы
45
Снова Ьа = а ХЬ = а36, и поскольку Ь2 = а2, любое слово в алфавите {а,а 1,6,
б} приводится к виду as6^, О <С s <C 3, О <С ? <С 1, так что |Qs| ^ 8.
Можем ли мы утверждать, что \Qs\ — 8? Да? н0 только после того, как будет
предъявлена группа из 8 элементов, две образующие которой связаны теми же
соотношениями, что и a, b. Такую группу порождают известные нам из упр. 3 из
§ 1 кватернионные единицы i,j,k (отсюда и название группы), а также матрицы
А =
г О
О -г
Действительно,
(А,В) =
А4 = .
1 О
О 1
, ±
В =
2 = А2,
г О
О -г
О 1
-1 О
(г = V^
= А~
> ±
О г
г О
Эти матрицы нам уже встречались в упр. 3 из § 1. Собственно говоря, там пред-
предлагалось проверить, что отображение а ь-»¦ A, b ь-»¦ S определяет изоморфизм
Qg = (А, В). Заметим, что a2 E Z(Qg), и так как факторгруппа по центру
неабелевой группы не может быть циклической (см. замечание после доказа-
доказательства теоремы 4), то (a2) = Z(Qg). Все группы порядка 4 абелевы, поэто-
поэтому Qs/Z{Qg) = V4 — прямое произведение двух циклических групп порядка
2. Стало быть, коммутант Q'g совпадает с Z(Qg) и (Qg : Q'8) = 4. Сведения о
сопряжённых классах содержатся в таблице:
1
е
1
а2
2
а
2
b
2
ab
Конечно определённые группы, простейшие примеры которых
мы рассмотрели, встречаются в разных областях математики, на-
например, в качестве так называемых фундаментальных групп много-
многообразий. Неудивительно, что ещё многие относящиеся к ним вопросы
остаются открытыми.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вспомним определение из [ВА I, гл. 4, § 2, п. 4] внутреннего автоморфиз-
автоморфизма 1а : д |—>¦ ада~1 и группы Inn(G) С Ant(G). Показать, что Inn(G) < Ant(G)
и Irm(G) = G/Z(G), где Z(G) — центр группы G. Факторгруппа Out(G) =
= Aut(Gf)/Inn(Gf) называется группой внешних автоморфизмов.
2. Пусть Н и К — подгруппы группы G. Показать, что
\нк\.\нпк\ = \н\.\к\
(аналог формулы, известной из теории линейных пространств). Показать, далее,
что множество НК будет подгруппой тогда и только тогда, когда НК = КН\ в
случае К <\ G это условие автоматически выполняется.
3. Составим для симметрической группы S± таблицу
1
е
3
A2)C4)
6
A2)
8
A23)
6
A234)
аналогичную тем, которые мы использовали в только что рассмотренных при-
примерах. Опираясь на достаточно очевидное соображение, что в любой группе
нормальная подгруппа есть объединение некоторого множества сопряжённых
46 Гл. 1. Теоретико-групповые конструкции
классов, повторить данное нами в примере 2 описание нормальных подгрупп
группы S±.
4. Показать, что Z(A х В) = Z(A) x Z(B).
5. Если К\,К2 < G, К\ П Кг = е, то G изоморфна некоторой подгруппе в
(G/Кг) х (G/K2). Верно ли это?
6. Пусть К <] G = А х В. Доказать, что либо подгруппа К абелева, либо
одно из пересечений К П А, К П В нетривиально. Дать пример группы А х В с
нетривиальной нормальной подгруппой К такой, что КГ\А = еиКГ\В = е. Тем
самым из К < А х В, вообще говоря, не следует, что К = (К П А) х (К П В).
7. Является ли группа кватернионов Qg полупрямым произведением каких-
то двух своих собственных подгрупп?
8. Показать, что Н <\ Qg для любой собственной подгруппы Н С Qg.
9. Показать, что группы D^ и Qg не изоморфны.
10. Показать, что Aut(Z>4) — Da (так как \Z{D4)\ = 2, то, согласно упраж-
упражнению 1, |Out(G)| = 2 ).
11. Все комплексные корни из 1 степеней рг, г = 0,1,2,..., образуют бес-
бесконечную группу С(р°°). Она называется квазициклической, поскольку любое
конечное число её элементов порождает циклическую группу. Проверить это и
показать, что
С(р°°) = (ai,a2,a3,... | а\ = l,af+1 = а»; г = 1, 2, 3,...).
12 (J. Monthly, 80, № 9, 1973). Пусть
G = {a,b\ aba = ba2b, a3 =e, b2*1'1 =e),
где n G N. Доказать, что п = 1, т. е. Ь = ей фактически G = (а | а3 = е) —
циклическая группа порядка 3.
13. Построить мономорфизм / : Sn —> GL(n) такой, что матрица /(тг),
тг G ^п, имеет определитель det /(тг) = е^.
Матрицы вида /(тг), тг G Sn, называются матрицами перестановок. Ограни-
Ограничение / на Ап является мономорфизмом в SL(n,M). Композиция fob отображений
L : G —> Sn (теорема Кэли) и / : Sn —> GL(n) приводит к мономорфизму
G —У GL(n) для любой конечной группы G.
Выписать отображение / в явном виде при п = 3.
14. Дополнить деталями следующее формальное определение свободной груп-
группы Fn ранга п. К алфавиту А = {ai,a^~ ,...,an,a^ }, состоящему из п букв
а\,..., ап и их "антиподов" а^ ,..., ап , добавляется символ е := 0. Пусть S —
множество всех "слов", получающихся выписыванием этих 2п + 1 символов в лю-
любом порядке в строки конечной длины. В словах допускаются повторения сим-
символов. Под произведением uv двух слов u,v понимается приписывание слова v к
концу слова и. Обратным к и = а^1 ... а^, е^ = ±1, к = 1,... ,т, называет-
называется слово г* = а~6т ...a~?l, e = е. На S вводится отношение эквивалент-
эквивалентности rsj. Именно, два слова считаются эквивалентными, если одно получается
из другого в результате применения конечного числа следующих элементарных
преобразований:
ее ~ е,
а{а~ ~ е, а~ а{ ~ е,
а
§ 4- Факторгруппы и гомоморфизмы 47
В каждом классе эквивалентности содержится одно-единственное "несокра-
"несократимое" (кратчайшее) слово. На классах эквивалентности по отношению ~ опре-
определена ассоциативная операция умножения (и обращение классов), индуцирован-
индуцированная умножением слов. Единицей будет класс эквивалентности "пустого" слова е.
Множество классов эквивалентности с данной операцией умножения и есть как
раз свободная группа Fn с п свободными образующими ai,...,an (свободная
группа ранга п.
Пример. По "восьмёрке", охватывающей своими петлями два столба, бе-
бегает в разных направлениях котёнок с нитяной шпулькой, укладывая последую-
последующие витки ниток поверх предыдущих. Когда котёнок находится в центре между
столбами, то направление его движения может меняться произвольным образом.
Пройденные им пути с начальными и конечными точками в центре интерпрети-
интерпретируются, очевидно, как элементы свободной группы F?, ранга 2.
Рис. 3
Несократимым словам отвечают натянутые нитки, освобождённые от три-
тривиальных петель аа-1, а~1а, 66, b~1b. На рис. 3 участки а и а~1, b и б
изображены геометрически различными лишь для наглядности. Наш пример ре-
реализует i*2 в виде совокупности классов "гомотопически эквивалентных путей"
(топологическая терминология) лемнискаты. В этом смысле фундаментальной
группой лепестка, изображённого на рис. 6 в комментариях к 3.3.2 в разделе
ответов и решений, будет свободная группа F§.
Глава 2
СТРОЕНИЕ ГРУПП
Изучаемые алгебраические объекты становятся более привлека-
привлекательными, если их свойства можно выразить на языке элементарных,
в том или ином смысле объектов и операций (циклических групп,
прямых и полупрямых произведений и т.д.), а сами объекты (в на-
нашем случае группы) обнаруживают изначально или на более позднем
этапе тесную связь с другими областями математики. Мы видели
в гл. 1, что даже такие маленькие группы, как Q$, S4 допускают
дальнейшее расщепление, полезное во многих отношениях. Бытовав-
Бытовавшая когда-то наивная точка зрения, что конечные группы можно
перечислять, опираясь на утверждения типа теоремы Кэли, ушла в
прошлое: самые мощные компьютеры конца XX века не справились
с доказательством существования "монстра М" — простой группы
порядка
\М\ = 246 • З20 • 59 • II2 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71.
Это было сделано человеком. С другой стороны, задача перечисле-
перечисления с точностью до изоморфизма групп сравнительно небольшого
порядка 4096 = 212 представляет значительную сложность как для
машин, так и для человека.
В этой главе внимание будет сосредоточено на небольшом чис-
числе классов групп, знакомство с которыми полезно каждому матема-
математику.
§ 1. Разрешимые и простые группы
1. Разрешимые группы. Понятие коммутанта, введённое в
гл. 1, приводит к важному и весьма обширному классу групп. Пусть,
как и прежде, G' коммутант группы G. В G' также можно рассмот-
рассмотреть коммутант (Gf)f = G"', называемый второй производной груп-
группой (вторым коммутантом) группы G. Продолжая этот процесс,
мы определим k-ю производную группу G^ = (G^))''. Согласно
импликации A) из § 4 гл. 1 G^ <\ G и, тем более, G^ <\ ^\
Получается ряд нормальных подгрупп (производный ряд)
G > GA) > GB) > ... > G(/e) > G(/e+1) > ... A)
с абелевыми факторгруппами
Определение. Группа G называется разрешимой, если ряд A)
обрывается на единичной подгруппе, т.е. G^m) = e для некоторого
наименьшего индекса т — ступени разрешимости группы G.
§ 1. Разрешимые и простые группы 49
Очевидно, что любая абелева, в том числе циклическая группа
является разрешимой ступени 1. Кроме того, в любой разрешимой
группе G ступени разрешимости т имеется абелева нормальная под-
подгруппа ф е, а именно G^m~1K Как показывают рассмотренные в гл. 1
примеры, S4 = ^-4, Ад = ^4, VI = е. Стало быть, знакопеременная
группа Ад разрешимая ступени 2, а симметрическая группа Бд раз-
разрешимая ступени 3. Более общим является
Пример. Пусть
Т := Т(п,Я) = {А= (аи) С GL(n, Л) | ац = О Vz > j }
— группа верхне-треугольных матриц с коэффициентами в произвольном поле
Я. Прямая проверка показывает, что T(n+1) = Е, так что Т(п,Я) — разрешимая
группа при любом п. Между прочим, её коммутант Т' = UT(n, Я) (группа верхне-
верхнетреугольных матриц с единицами по главной диагонали) обладает более сильным
свойством, чем разрешимость. Если для произвольной группы G положить
d:=G, G2 = Gf, Gk+1 = (Gk,G) = {(u,v)\ и е Gk, v e С),
то получится нижний центральный ряд группы G:
G = G1\>G2>G3>...>Gk\> Gk+1 ... B)
Группа G называется нилъпотентной класса с, если Gc ф е, но Gc+i = e. Группа
иТ(п,Л) нильпотентная класса п.
Справедлива следующая несложная
Теорема 1. Группа G с нормальной подгруппой К разрешима
в том и только том случае, когда разрешимы одновременно К и
G/K.
Доказательство. Если Я С G, то Я' С G',...,H^ С G^, и
отсюда непосредственно следует, что любая подгруппа Н разреши-
разрешимой группы G разрешима.
Пусть теперь К — нормальная подгруппа разрешимой группы G
и G = G/K — соответствующая факторгруппа. Естественный гомо-
гомоморфизм тг : G —У G приводит к эпиморфизму G' на G (посколь-
(поскольку, очевидно, <?((#ъ#2)) = (^(91)^(92)) Для любого гомоморфизма
if : G —У G) и, стало быть, — к эпиморфизму G^ на G . Это и
позволяет сделать заключение о разрешимости G.
Чтобы доказать утверждение теоремы в обратную сторону, вос-
воспользуемся, заменив ср на тг, уже отмеченным равенством
(91,92) = (91,92), C)
т.е. (giK,g2K) = (gi,g2)K (формально надо различать коммутато-
коммутаторы в G и в G). Пусть s — ступень разрешимости факторгруппы G
и t — ступень разрешимости подгруппы К. Многократно используя
C), мы приходим к равенству G(*) = (G)W при любом г. В частнос-
частности, G(s) = (G)(s) = ё = К. Таким образом, имеет место включение
4 А.И. Кострикин
50 Гл. 2. Строение групп
G^s) с К, откуда получаем G^s+t^ С К^ = е, т.е. G — разрешимая
группа. ?
Следствие. Пусть К\, К<± — 'разрешимые нормальные подгруп-
подгруппы произвольной группы G. Тогда К\К<± является также разреши-
разрешимой нормальной подгруппой в G.
Доказательство. Из гл. 1 мы уже знаем, что К\К<± — нор-
нормальная подгруппа группы G. Далее, по теореме об изоморфизме
имеем
Теперь достаточно применить теорему 1. ?
Доказанное следствие приводит к следующему утверждению: про-
произведение всех разрешимых нормальных подгрупп конечной группы G
будет максимальной разрешимой нормальной подгруппой F(G) в G,
и факторгруппа G/F(G) таких подгрупп уже не содержит.
Своему названию разрешимые группы обязаны теории Галуа, о
чём уже упоминалось в [ВА I]. Разрешимость группы S^ и всех её
подгрупп служит причиной разрешимости в радикалах алгебраичес-
алгебраических уравнений степени п ^ 4. Более детально с этими вопросами
можно познакомиться в гл. 5, § 5.
2. Простые группы. Существуют группы ф е, совпадающие
со своим коммутантом и, стало быть, не являющиеся разрешимыми.
Более того, мы сейчас установим существование неабелевых групп, в
которых вообще нет нетривиальных (/ е и G) нормальных подгрупп.
Такие группы принято называть простыми.
Лемма. Любая нормальная подгруппа К группы G является объ-
объединением некоторого множества сопряжённых классов группы G.
Доказательство. Если х Е К <\ G, то и gxg~x Е К для
всех g Е G. Следовательно, вместе с каждым элементом х Е К в
К содержится целиком класс сопряжённых элементов xG и К =
= \JieIx?.n
Теорема 2. Знакопеременная группа А$ простая.
Доказательство. Действительно, в группе А$, помимо еди-
единичной перестановки е, имеется 15 элементов (ij)(kl) порядка 2 (по
три элемента этого вида в стационарной подгруппе каждой из то-
точек 1, 2, 3, 4, 5), 20 = 2(д) элементов (ijk) порядка 3 и 24 = 4!
элемента (Hi i2 %з ч) порядка 5. Элементы порядка 2 все сопряжены:
они, очевидно, сопряжены в 5б, а так как стационарная подгруппа
(относительно действия сопряжением) элемента A2) C 4) содержит
нечётную перестановку A2), то сопряжение может быть осуществ-
осуществлено чётными перестановками. То же самое относится к элементам
порядка 3. Но элементы порядка 5, сопряжённые в S5, в группе А$
распадаются на два класса с представителями A234 5) и A235 4). В
самом деле, D 5)A 2345)D5)-1 = A 2 3 54), а централизатором (ста-
(стационарной подгруппой) элемента A2 34 5) в А§ служит циклическая
1. Разрешимые и простые группы
51
группа порядка 5, порождённая этим элементом. Итак, мы имеем
таблицу
1
е
15
A2)C 4)
20
A2 3)
12
A2345)
12
A2 3 54)
В нижней строке указаны представители сопряжённых классов, а в
верхней — мощности этих классов. Пусть теперь К — нормальная
подгруппа в А§. Согласно лемме
\К\ = 6г • 1 + 82 - 15 + 53 • 20 + 64 • 12 + 65 • 12,
где Si = 1 (так как е Е К) и Si = 0 или Si = 1 при г = 2, 3,4, 5. Не-
Нетрудно убедиться в том, что условие на \К\ быть делителем порядка
\А§\ = 60 (теорема Лагранжа) оставляет лишь две возможности:
а) #2 = #з = ^4 = ^5 = 0; К — единичная подгруппа;
б) S2=S3 = J4 = J5 = l; К = АЪ.
Это и доказывает, что А$ — простая группа. ?
Индукцией по п теперь можно установить (см. упр. 3), что прос-
простыми являются все группы Ап, п ^ 5 (результат Э. Галуа). Так
как подгруппы разрешимых групп разрешимы (теорема 1), то из
теоремы 2 во всяком случае следует, что симметрическая группа Sn
неразрешима при п ^ 5.
Теорема 3. Группа вращений SOC) является простой.
Доказательство. Согласно теореме 1 из § 1 гл. 1 достаточ-
достаточно убедиться в том, что любая нормальная подгруппа К группы
SUB), содержащая ядро {±Е} эпиморфизма Ф : SUB) —У SOC) и
отличная от =Ь.Е, совпадает с SUB). Соотношение E) § 1 гл. 1 мож-
можно интерпретировать по-новому, сказав, что в каждом сопряжённом
классе группы SUB) содержится диагональная матрица d^ = ^ =
= diagje^, е~г(р}. Так как по лемме К является объединением неко-
некоторого семейства сопряжённых классов группы SUB), то без огра-
ограничения общности считаем d^ G К для некоторого ср > 0 такого, что
sin ip ф 0.
В К должен содержаться также любой коммутатор
а /3
-в а
\а\
а
&
а
2
-0
а
+ W
где \а\2 + \/3\2 = 1 (см. C) из § 1 гл. 1). Для следа матрицы
получаем выражение
ьМ ^ — 9UI2 -u \R\2(J2(P -u v-2V\ — о(Л ¦
Здесь |/?| принимает любое значение из отрезка [0,1] и sin ip ф 0.
Снова в силу E) из § 1 гл. 1 найдётся унитарная матрица h G SUB)
4*
52
Гл. 2. Строение групп
такал, что
как
,#]/& х —
^ — diag{e^,e г
причём
e К. Так
е~г^ — корни характеристического уравнения
матрицы (dcp,g), то, заставляя \/3\ пробегать значения от 0 до 1, мы
получим для ф любую точку на отрезке [0, 2ф\. Итак, в К содержится
любой элемент d^ и определённый параметром ф сопряжённый класс
при 0 ^ ф ^ 2ср. Поскольку для всякого а > 0 найдётся натураль-
натуральное число п, удовлетворяющее условию 0 < ф := а/п ^ 2ip, можно
утверждать, что в К содержится наперёд заданный элемент da = d7!.
U
Теорема 4. Проективная специальная линейная группа
PSLB,.F) над полем с числом элементов \F\ > 3 простая.
Доказательство. 1) Выделим некоторые подгруппы и элемен-
элементы:
1 а
О 1
U = < и(а) =
U = { п(а) =
=
D = \ d(X) =
О
i 1
О
А-1
ае F
ае F
AgF
}¦
}¦
В = DU = UD =
а р
О а'1
— стандартная борелевская подгруппа. Заметим, что
d(A) = и(Х - 1)пA)^(А-1 - 1Ж-Л),
поэтому борелевская подгруппа В порождается унипотентными под-
подгруппами U и U. Выделим ещё элемент
О 1 II
-1 0 ||'
w = иA)п(-1)иA) =
2) Группа G = SLB,F) обладает разложением
G = В U BwB, В П BwB = 0.
D)
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим естественное действие G
слева на столбцы. Группа изотропии столбца е1 = [1,0] совпадает,
очевидно, с U. Орбита Be1 состоит из всех столбцов [Л,0], Л ф 0. С
другой стороны, we1 = [0,-1], и поэтому орбита Bwe1 состоит из
всех столбцов [/^А] со второй компонентой ф 0. Так как эти две
орбиты покрывают орбиту Ge1, то отсюда следует, что В U BwB =
= G, поскольку группа изотропии U содержится в В.
§ 1. Разрешимые и простые группы 53
Разложение D) называется разложением Брюа. Оно допускает
далёкое обобщение, которого мы не касаемся.
3) Борелевская подгруппа В максимальна в G.
Действительно, из разложения D) следует, что любой элемент h Е
Е Я, не содержащийся в Я, содержится в BwB, т.е. h = biwb2, откуда
w Е Я и, таким образом, Я = G.
4) Если |F| ^ 4, то G = SLB,F) = G'.
Берём 0 / А е F, Л2 ф 1, что при |F| > 3 возможно. Тогда из
коммутационного соотношения
d(X)u((x)d(X)-xu(d)-x = и(а(Х2 - 1))
следует, что В' = U и G' D U, а поскольку G' <\ G, мы получаем
включение G; Э wUw~1 = С/. Но, как это следует из 1) и 2), U и С/
порождают G. Таким образом, G; = G.
5) При |F| ^ 4 группа PSLB,F) = SLB,F)/Z простая (Z =
= {±Е} — центр).
Воспользуемся легко проверяемым равенством
П
= Z.
Нам нужно показать, что если Н <\ G = SLB,F), то либо Н С Z,
либо Н D G'. Ввиду максимальности В (см. 3)), мы имеем НВ =
= В или ЯБ = G. Если НВ = В, то Н С В. Так как Н < G, то
Я = жЯж-1 С жЯж-1 Vx G G, т.е. Я С Z.
С другой стороны,
НВ = G ^w = hb, heH, be В.
В таком случае
U = wUw-1 = hbUb^h'1 = hUh-1 С HU,
поскольку Я<\G. Так как С/ С HU, 8lU,U порождают G, то HU = G.
Следовательно,
G/H = Я^/Я ^ U/(U П Я)
— абелева группа, откуда Н D G'. Теперь утверждение о простоте
группы PSLB,F) очевидно. ?
Другими средствами теорема 4 была впервые доказана Э. Галуа.
Уже из теорем 2—4 видно, что в классе простых групп содержатся
важные для приложений группы, как конечные, так и бесконечные.
Может показаться удивительным, но сколько-нибудь разумное опи-
описание всех существующих конечных простых групп потребовало бы
нескольких сотен страниц.
54 Гл. 2. Строение групп
УПРАЖНЕНИЯ
1. Цепочка подгрупп
е = Со С d С ... С Gn С Gn+1 = G, (*)
где Gi—i <\ Gi, 1 <С г <С п + 1, называется нормальным рядом группы G. Нормаль-
Нормальным называется также ряд убывающих подгрупп
G = Go D Gi D • • • D Gri D Gn+i = e,
где Сг+i < Gj.
Если все члены ряда (*) различны и G^-i < Я < Gj => Я = G^-i или Я =
= G^ при всех г, то говорят о композиционном ряде группы G. Факторгруппы
Fi = Gi/Gi—i в этом случае называются композиционными факторами.
Показать, что:
1) любой нормальный ряд конечной группы можно уплотнить до композици-
композиционного ряда, вставляя в него дополнительные члены до тех пор, пока это будет
возможно;
2) факторы F{ являются простыми группами (или циклическими группами
простых порядков);
3) группа G разрешима ровно тогда, когда все её композиционные факторы
являются циклическими группами простых порядков.
Упомянем без доказательства о теореме Жордана-Гёльдера, согласно кото-
которой набор композиционных факторов группы G с точностью до изоморфизма и
порядка следования не зависит от выбора композиционного ряда.
2. Доказать, что любая конечная р-группа разрешима.
3. Доказать простоту знакопеременной группы Ап, п ^> 5, следуя набросан-
набросанной ниже схеме рассуждений.
а) В нормальной подгруппе К <\ Ап, К ф е, следует взять перестановку
тг ф е, оставляющую на месте максимально возможное число т символов из Г2 =
= {1,2,... ,п}. Если т = п - 3, то тг = (г j к) и К = Ап (см. [ВА I, гл. 4, § 2,
упр. 11]), поэтому считаем т < п — 3.
б) Если тг = A2 3 ...)... — разложение тг на независимые циклы, то чётность
тг и условие т < п — 3 влекут неравенство т < п — 5. Возможно ещё, что тг =
= A 2)C 4) ... состоит из независимых циклов длины 2.
в) В любом случае рассмотреть коммутатор (тг,<т) = тгсгтг^ фес
а = C 4 5) и проверить, что он оставляет на месте более т символов. Это про-
противоречит выбору т и доказывает утверждение.
4. Показать, что знакопеременная группа А§ не содержит подгрупп порядков
15 и 20.
§ 2. Теоремы Силова
Мы уже обращали внимание на тот факт, что в конечной группе
G порядка \G\ может и не быть подгруппы порядка б?, делящего \G\.
Минимальным таким примером служит пара G = A*, d = 6.
Так как в неабелевой простой группе не может быть подгрупп
индекса 2 (ввиду их нормальности), то по теореме 2 из § 1 в знакопе-
знакопеременной группе А§ порядка 60 нет подгрупп порядка 30 (см. также
упр. 4 из § 1). На этом фоне особенно замечательными выглядят об-
общие закономерности, установленные более 125 лет назад норвежским
§ 2. Теоремы Силова 55
математиком Силовым. Они относятся к р-группам (с которыми мы
встречались в § 3 из гл. 1), содержащимся в качестве подгрупп груп-
группы G. Существование элемента порядка р в абелевой группе, порядок
которой делится на р, было подмечено ещё О. Коши.
Пусть \G\ = рпт, где р — простое число, а т — целое число, вза-
взаимно простое с р. Подгруппу Р С G порядка |Р| = рп (если таковая
существует) будем называть силовской р-подгруппой группы G. Как
и в § 3 гл. 1, под N(P) понимается нормализатор подгруппы Р в G.
Теорема1 (первая теорема Силова). Силовскиер-подгруппы су-
существуют.
Теорема 2 (вторая теорема Силова). Пусть Р и Р\ — любые
две силовские р-подгруппы группы G. Тогда найдётся элемент a Е
Е G, для которого Pi = аРоГ1. Другими словами, все силовские
р-подгруппы сопряжены.
Теорема 3 (третья теорема Силова). Для числа Np силовских
р-подгрупп группы G имеют место равенство Np = (G : N(P)) и
сравнение Np = l(modp).
Доказательства теорем 1-3 служат иллюстрацией общих методов
и соображений, изложенных в § 3 из гл. 1. Начнём с теоремы 2.
Доказательство теоремы 2. Итак, пусть силовские р-под-
р-подгруппы в G существуют и Р — одна из них. Пусть, далее, Р\ — произ-
произвольная р-подгруппа группы G, не обязательно силовская.
Заставим Р\ действовать левыми сдвигами на множестве G/P =
= [JigiP левых смежных классов G по Р (ограничение действия G на
G/P, описанного в § 3 гл. 1). Согласно результатам гл. 1 длина лю-
любой орбиты относительно Р\ делит порядок \Р\\ — рк, к ^ п. Таким
образом,
•" = !? =
где pkl ,рк2,... — длины орбит. Так как НОД(т,р) = 1, то хотя бы
одна орбита имеет длину pki = 1, т. е.
Рг-аР = аР A)
для некоторого элемента a — gi^G (это похоже на доказательст-
доказательство теоремы 2 из § 3 гл. 1). Переписав соотношение A) в виде
Р\ - аРа~х — аРа~1, мы приходим к заключению, что
Pi С аРа-1 B)
(поскольку аРа~х — группа). В частности, если Р\ — силовская
р-подгруппа, то |Pi| = |Р|, и из B) следует, что Р\ — аРа~1. ?
Доказательство теорем 1 и 3. Теорему 1 можно интер-
интерпретировать как следствие теоремы 3, ибо Np = 1 (modp), a Np ф
Ф 0 <^=> S ф 0, S — множество всех силовских р-подгрупп груп-
группы G.
56 Гл. 2. Строение групп
Что касается теоремы 3, то равенство Np = (G : N(P)) прямо
вытекает из сопряжённости силовских р-подгрупп (теорема 2) и из
общего утверждения о длине орбиты HG в § 3 из гл. 1. К сравнению
Np = l(modp) мы придём, рассмотрев несколько более общую ситуа-
ситуацию. Именно, пусть \G\ = pst, где s ^ n, t может делиться на р, и
пусть Np(s) — число всех подгрупп порядка ps в G. Оказывается, что
имеет место сравнение Np(s) = 1 (mod р); в частности, G содержит
подгруппы любого порядка ps, s = 1, 2,..., п и Np(n) = Np.
Рассуждаем следующим образом. Действие левыми сдвигами
группы G на себе индуцирует согласно замечанию в конце п. 1 из
§ 2 действие G на множестве
CG\ \M\ =ps}
всех ps-элементных подмножеств {#i,... ,gy}. Напомним, что
д • {gi,..., gpS} = {дд\,..., ggps}. Множество п разбивается на
G-орбиты fti : ft = {Jifti, так что
где Gi — {д G G\ gMi = М^} — стационарная подгруппа некоторого
представителя Mi G П^.
Так как GiMi = М^, то М^ = Ul=i ^i^ij — объединение несколь-
нескольких правых смежных классов G no Gi. Поэтому ps = \Mi\ = ^i|Gf|,
откуда |Gi| = pSi ^ ps. В случае \d\ < ps имеем \ui\ = ps~Sit =
= O(modpt); равенства |G«| = ps и |f^| = t эквивалентны. Получаем
C)
\Qi\=t
Согласно вышесказанному \Qi\ = t ^=> \Gi\ = ps ^=> M^ =
= GiCti (cbi = ^«j — некоторый элемент из G) и, стало быть, а^1 Mi =
= a^1Gidi = Pi — подгруппа порядка ps. Орбита ui исчерпывается
некоторым числом левых смежных классов gPi группы G по Pi.
Обратно: каждая подгруппа Н С G порядка \Н\ = ps приводит
к орбите п' = {дН | д G G} длины t. Различные подгруппы Hi с
\Hi\ = ps приводят к различным орбитам П[, поскольку из Hi = gHj
следует е = ghj, откуда д = /ij1 G Я^ и Я^ = Я^-. Таким образом,
имеется взаимно однозначное соответствие между подгруппами по-
порядка ps и орбитами ui длины t. Сравнение C) переписывается в
виде
('?) Е \^i\=tNp(s)(modpt), D)
|n.|=t
где следовало бы писать Np(s,G), чтобы подчеркнуть зависимость
Np(s) от G.
§ 2. Теоремы Сило в а
57
До сих пор специфика группы G не играла никакой роли. Если
взять за G циклическую группу порядка ps?, то для неё Np(s, G) = 1
(теорема 3 из § 2 гл. 1), и поэтому
E)
Так как левые части сравнений D) и E) по одному и тому же модулю
pt совпадают, то имеем
t = tNp(s)(modpt),
а это и даёт искомое сравнение Np(s) = 1 (modp). ?
Хотя фактически доказано больше, чем требовалось, мы не наме-
намерены этим воспользоваться, отсылая интересующихся к специальной
литературе.
Пример. Пусть G = SLB, Zp) — группа всех 2 х 2-матриц с определителем 1
над полем Zp из р элементов. Из разложения
полной линейной группы GLB,Zp) в смежные классы по SLB,ZP) следует, что
|GLB,Zp)| = (p-l)|SLB,Zp)|. F)
Рассматривая GLB,ZP) как группу автоморфизмов двумерного векторного про-
пространства V над Zp, легко найти порядок |GLB,ZP)|. Действительно, GLB,ZP)
действует на множестве пар {vi, V2} базисных векторов. Образом vi может быть
любой отличный от нуля вектор f1 Е V (их всего р2 — 1 штук), а при всяком выбо-
выборе fi образом V2 может быть любой вектор f2 из V\(fi) (таких векторов имеется
р2 — р штук). Стало быть, |GLB,ZP)| = (р2 — 1)(р2 — р), что в сочетании с F)
приводит к формуле
\SLB,Zp)\=p(p2-l).
По крайней мере две силовские р-подгруппы группы SLB,ZP) мы находим
сразу:
Р =
P =
В соответствии с теоремой 3 имеем
Np = (G:N(P)) =
а так как
1
а
kp>
О
л-1
л-1
О
Х2а
1
и, следовательно, нормализатор N(P) содержит подгруппу
Н =
а
л-1
а, Л Е Zp, Л ф О
порядка р(р — 1), то остаётся единственная возможность
58
Гл. 2. Строение групп
Между группой
SLB,Z2) =
1 О
О 1
1 1
1 О
0 1
1 1
0
1
1
0
1
1
0
1 '
1
0
1
1
и симметрической группой
A23)-
непосредственно устанавливается изоморфизм
) \ \\ A2) н
о
(обе группы имеют одинаковое задание образующими и соотношениями). При
р > 2 группа G = SLB, Zp) имеет центр Z(G) = {±E} порядка 2. Факторгруппа
PSLB, Zp) = G/Z(G), которую естественно называть, как и в [ВА II], проектив-
проективной специальной группой (она является группой преобразований проективной
прямой
ZpF1 = Р(У) = {0,1,... ,р - 1} U {оо}),
играет важную роль в алгебре со времён Галуа. Дело в том, что при р > 3
группа PSLB, Zp) простая, и это, наряду с Ап, — один из самых ранних примеров
конечных простых групп.
Обратимся снова к общему случаю и получим одно полезное уточ-
уточнение теорем Силова.
Теорема 4. Справедливы следующие утверждения:
i) силовская р-подгруппа Р группы G нормальна в G тогда и
только тогда, когда Np = 1;
И) конечная группа G порядка \G\ = р™1.. .р%к является прямым
произведением своих силовских pi-подгрупп P\,...,Pk в точности
тогда, когда все эти подгруппы нормальны в G.
Доказательство, i) Все силовские подгруппы, отвечающие
данному простому делителю р порядка \G\, по второй теореме Сило-
Силова сопряжены, и если Р — одна из них, то
Np = 1 <^> хРх'1 =Р \ZxeG <^> Р < G.
п) Если G = Р\ х .. .х Pj, — прямое произведение своих силовских
подгрупп, то Pi <\ G как любой прямой множитель. Значит, условие
нормальности необходимо.
Пусть теперь Pi <\ G, 1 ^ i ^ к, т.е. NPi = 1. Заметим, во-пер-
во-первых, что
х G PiPi Pj, i ф j => xpS{ = e, xpj = e => x = e.
Стало быть, Pi П Pj = e, а отсюда для любых Xi G Pi, Xj G Pj имеем
, -, - - Pj => (x-x-)=e
т.е. элементы
сГ1)х~1 = x'-x~l
%i\%j%i Xj ) = XiX^ G ±i
'j перестановочны.
§ 2. Теоремы Сило в а
59
Представим на минуту, что единичный элемент е Е G записан в
виде е = у\У2 • • • Ук-> где у% G Р% — элемент порядка а^ = р\1. Поло-
Положив а = Yli-j-j o>i и воспользовавшись перестановочностью у±,..., у к,
получим
Но так как а и а^ взаимно просты, то уа-3 = у? = е => ?/j = e. Это
верно при любом j, и, стало быть, равенство е = у±у2 .. -Ук возможно
лишь при у1=у2 = ... = ук=е.
С другой стороны, каждый элемент х G G порядка г = Т\Т2 ... г&,
ri = Pi' 5 записывается в виде
Достаточно положить
виями
= xtiTi,
|(Жг>|=Гг, 1 ^ I ^ fe. G)
где показатели определяются усло-
услог=1
Если теперь ж = ж^Жз ... ж^ — другая запись ж в виде произведе-
произведения pf-элементов, то в силу перестановочности ж^, х\ с различными
нижними индексами будем иметь
е =
¦ -хкхк
„-1 _ ™/ ™-1
что, как было показано выше, влечет равенства ж^ж^^ = ж^ж2 = ...
... ^ Ж ^Ж и -— 6, Т.е. Ж-^ ^ Х\^Х<2 —— Х2 1 - - - 1 X к ^ «?&•
Итак, каждый элемент группы G записывается, и притом един-
единственным образом, в виде G), т.е. (см. § 2) G = Р\ х ... х Рк. ?
Замечание. Нормальная силовская р-подгруппа Р группы G
характеристична в G, т.е. инвариантна при действии любого авто-
автоморфизма if G Aut(G). Действительно, |<^(-Р)| = \Р\, поэтому (р(Р) —
силовская р-подгруппа, и, стало быть, ц>(Р) = Р, если Np = 1. До-
Достойно замечания также то, что аналоги силовских подгрупп просле-
прослеживаются в алгебраических структурах, далёких от конечных групп.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти число силовских 5-подгрупп в А§.
2. Проверить, что множество Р матриц
1 О
О 1
1 -1
-1 -1
-1 -1
-1 1
О 1
-1 О
над Z3 составляет группу, изоморфную группе кватернионов Qg и являющуюся
силовской 2-подгруппой в SLB,Z3). Показать, что Р < ShB, Zs).
3. Показать, что группы 5*4 и SLB, Z3) не изоморфны. Будут ли изоморфны
группы PSLB,Z3) и А4?
60 Гл. 2. Строение групп
4. Доказать, что всякая группа G порядка pq (р < q — простые числа) явля-
является либо циклической, либо неабелевой с нормальной силовской д-подгруппой,
причём последнее возможно тогда и только тогда, когда q — 1 делится на р. В
частности, все группы порядка 15 циклические.
5. Получить заново (см. [ВА I, гл. 6 § 1, пример]) сравнение (р — 1)! + 1 =
= 0(modp) для простого р путём прямого подсчёта числа Np силовских р-под-
групп в симметрической группе Sp.
6. Убедиться в том, что группа G порядка \G\ <С 30 не может быть простой.
§ 3. Конечно порожденные абелевы группы
Этот параграф написан так, что его зависимость от остального
материала главы минимальна.
1. Примеры и предварительные результаты. Как уже не
раз упоминалось, абелевы группы иногда удобно записывать адди-
аддитивно, используя + в качестве основной операции. Таким образом,
если (А, +) — аддитивная абелева группа, то:
1) а + а' = а' + а для любых элементов a, a' Е А;
2) па := а + а + ... + а при любом п > 0, п G Z;
п
3) 0 • а = 0 (слева 0 G Z, справа 0 — нейтральный элемент груп-
группы);
4) (—п)а = (—а) + (—а) + ... + (—о) ПРИ любом п > 0, п G Z.
п
Понятно, что при этом выполнены свойства
т(па) = (тп)а, (т + п)а = та + па, п(а + а') = па + па'.
Стало быть, для любого набора элементов ai,..., am G А мы можем
рассматривать целочисленные комбинации
п\а\ + п2а2 + ... + птат е А
с коэффициентами n^ G Z.
Определение. Система элементов ai,...,am аддитивной абе-
левой группы А называется системой образующих или системой по-
порождающих, если
{niai + ... + nmam | n; G Z} = A,
т.е. каждый элемент af ? А записывается, быть может, многими
способами, в виде а' = п±а± + ... + пшаш. В таком случае пишут
А = (aba2,.. .,am).
Пример 1. Обычная единица 1 — образующая группы (Z,+); —1 также
будет образующей, но п ф ±1 образующей не является.
Пример 2. Абелева группа Ъп целочисленных векторов (векторов с целыми
координатами) в координатном пространстве Qn обладает системой образующих
81 = A,0,...,0), 82 = @,1,..., 0), ..., 8П = @,0,...,1).
§ 3. Конечно порождённые абелевы группы 61
ПримерЗ. В группе Z2 можно взять и другие системы образующих, скажем,
bi = A,1), Ь2 = A,-1), Ьз = D,1).
Так как е\ = ЗЬ\+2Ь2—Ьз, ?2 = —26i — 262+Ьз, то это действительно образующие
группы Z2. Однако никакая пара элементов из множества {61,62,^3} системой
образующих группы Z2 не является. Убедитесь в этом.
Нетрудно назвать группы, в которых нет никакой конечной сис-
системы образующих. Например, ими являются Ж^ = (М, +) и U =
= {a G С | |а| = 1} (группа с операцией умножения). Действитель-
Действительно, эти группы — несчётные множества, а группа с конечным числом
образующих всегда счётна. Имеются и другие примеры: Q^+^ или Q*
(несложная проверка).
Предложение 1. Прямая сумма
конечного числа циклических групп А{ является группой с конечным
числом образующих.
Доказательство. Действительно, если А{ — (а^), то элементы
(аь0,...,0), @,а2,...,0), ..., @,0,...,ап)
будут образующими группы А. ?
Предложение 2. Прямая сумма А — Сш © Сп двух конечных
циклических групп взаимно простых порядков m, n является цик-
циклической группой порядка тп.
Доказательство. См. [ВА I, гл. 4, § 2, упр. 3]. ?
Итак, имеет место импликация
НОД(ш, п) = 1 => Ст(ВСп^ Сшп. A)
Мы видим, что абелевы группы с конечным числом образующих
довольно разнообразны по своим свойствам. Они достойны детально-
детального изучения хотя бы потому, что возникают естественным образом
в геометрии, в топологии, в гомологической алгебре. Стоит ещё до-
добавить, что если G — произвольная конечно порождённая группа, а
это обширный класс групп, то по теореме 5 из § 4 гл. 1 факторгруппа
по коммутанту G/G' является абелевой группой с конечным числом
образующих.
2. Абелевы группы без кручения. По определению группа
А без кручения, если она не имеет ненулевых элементов конечного
порядка, т.е. па = 0, п / 0 =^ а = 0. Такие группы очень похожи
на векторные пространства, как это будет видно из дальнейшего.
Определение. Система элементов а\,..., a/. G А называется
независимой, если из равенства п\а\ + ... + п^а^ — 0, где n^ G Z,
следует, что п\ — ... = п\~ — 0.
62 Гл. 2. Строение групп
Система элементов а±,..., ап Е А называется базисом, если она:
1) независима;
2) является системой образующих группы А.
Лемма 1. Если А = (ai,..., am), а элементы Ъ\,..., Ъп Е А об-
образуют независимую систему, то п ^ т.
Доказательство. Выразим bi через а±,..., ат:
3=0
и рассмотрим целочисленные векторы-строки Bi = ((Зц,... ,/^т) ?
G Qm (координатное векторное пространство над Q). Предположив
противное, п > т, мы должны заключить, что система {В\,..., ??п}
линейно зависима. Значит, найдутся не все равные нулю r« G Q такие,
что
П#1 + г252 + ... + тпВп = 0. B)
Пусть d — общий знаменатель рациональных чисел Т{ : r« = Si/d,
Si G Z. Умножая обе части равенства B) на d, получаем соотношение
s1B1 + s2B2 + ... + sn5n = 0
с целыми коэффициентами. Расписывая его покоординатно, придём
к линейной системе
sifiij + 82Р23 + • • • + sni3nj =0, 1 ^ j ^ m.
В таком случае
— противоречие. ?
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения.
1) Всякая конечно порождённая абелева группа А без кручения
обладает базисом.
2) Все базисы группы А равномощны {состоят из одинакового
числа элементов).
Доказательство. 1) Общая идея: уменьшение числа элемен-
элементов в системе образующих до тех пор, пока она не станет незави-
независимой. Пусть {ai,... ,am} — некоторая система образующих груп-
группы А. Выражение вида s\a\ + ... + smam = 0 естественно называть
соотношением на ai,..., ат. Число, равное 1шщ|^|, будем называть
высотой соотношения, а соотношение на а\,..., am, у которого вы-
высота минимальна, — минимальным соотношением. Такое соотноше-
соотношение всегда существует, поскольку высота — натуральное число. С
другой стороны, минимальное соотношение не обязательно единст-
единственно. Доказательство распадается на ряд простых утверждений.
3. Конечно порождённые абелевы группы 63
а) Если sidi + ... + smam = О — минимальное соотношение, то
НОД(вь...,вго) = 1.
Действительно, если Si = ds[, 1 ^ г ^ т, то
... + sfmam) = 0 => si<2i + ... + s^am = 0,
поскольку А — группа без кручения. При d > 1 мы приходим к соот-
соотношению меньшей высоты, что исключено условием минимальности.
б) Если sidi + ... + smam = 0 — соотношение высоты 1 и, ска-
скажем, \sk\ = 1, то множество из т — 1 элементов {ai,..., a^_i,
afc+i,..., ат} будет системой образующих.
Это достаточно очевидно: по условию ^2^к SiCti ± a^ = 0, поэто-
поэтому &/. = J^i^fe siaii si = ^8ь так чт0 оставшиеся элементы порож-
порождают А.
в) Если высота минимального соотношения системы {ai,...
...,am} равна h > 1, mo можно построить новую систему обра-
образующих {а[,..., afm}, высота минимального соотношения которой
будет строго меньше h.
Действительно, мы можем так перенумеровать образующие, что
|si| = min \si\ = h. Умножая, если надо, соотношение на —1, полагаем
si = h. Согласно а) не все Si делятся на h. Производя ещё раз перену-
перенумерацию, можем считать, что h \ s^ : ^2 = qh + r, 0 < г < h. Теперь
наше соотношение перепишется в виде
ha[ + ra'2 + s3af3 + ... + smafm = 0,
где а[ = ai + qa2j a- = щ, i > 1. Ясно, что {а[, а2,..., а'т} будет
системой образующих, удовлетворяющей соотношению высоты г <
< h (высота её минимального соотношения, возможно, ^ г).
Утверждение 1) нашей теоремы доказывается теперь следующим
образом. Пусть п — минимальное число образующих группы А и
{ai,..., ап} — одна из таких систем. Считаем также, что она удов-
удовлетворяет соотношению минимальной высоты h (по всем системам
мощности п).
Если h = 1, то в соответствии с б) число образующих умень-
уменьшается по крайней мере до п — 1, что исключено нашим выбором.
Если h > 1, то согласно в) {ai,...,an} перестаёт быть системой с
минимальным соотношением наименьшей (опять-таки по всем сис-
системам мощности п) высоты. Остаётся признать, что {ai,... ,an} —
независимая система, т.е. базис группы А.
2) Предположим, что {ai,..., am}, {Ъ\,... ,bn} — какие-то два
базиса группы А. Дважды применяя лемму 1, получаем неравенства
п ^ т и т ^ п, т.е. т = п. ?
64 Гл. 2. Строение групп
Определение. Конечно порождённая абелева группа А назы-
называется свободной ранга п и обозначается символом F%b, если
Ранг группы, состоящей из одного нуля, считается равным нулю.
Любой базис свободной абелевой группы А называется также её сво-
свободной системой образующих.
Только что доказанная теорема 1 утверждает на самом деле, что
всякая конечно порождённая абелева группа А без кручения явля-
является свободной некоторого ранга п.
Действительно, если {ai,...,an} — базис группы А, то любой
элемент a Е А однозначно записывается в виде а = а\п\ + ...
... + OLnan, ai G Z (имея другую запись а = a[ai + ... + ot'nan, мы
имели бы соотношение 0 = а — а = (а\ — a[)ai + ... + (ап — а'п)ап, от-
откуда а[ = «1,..., а'п = ап). Сопоставление а н-» (ai,..., ап) задаёт,
очевидно, изоморфизм А с группой Ъп целочисленных векторов. Это
и значит, что А — свободная группа ранга п.
3. Свободные абелевы группы конечного ранга. Следую-
Следующее утверждение технического характера сильно упрощает изучение
подгрупп и факторгрупп свободной абелевой группы.
Теорема 2. Пусть В — ненулевая подгруппа свободной абеле-
абелевой группы А конечного ранга п. Тогда в А и В можно выбрать ба-
базисы соответственно {ai,...,an} и {bi,... ,bk} такие, что
hi = midi, где rrii ^ 0 — неотрицательные целые числа, причём
rrii-i \rrii] г = 2, 3,..., к, к ^ п (возможно, что nik+i = ... = тп = 0).
Доказательство. Выберем в А базис {vi,... ,vn}, обладаю-
обладающий следующим экстремальным свойством: В содержит элемент
Ъх = Vfl\V\ + S2V2 + . . . + SnVn
с положительным и самым минимальным коэффициентом mi. Име-
Имеется в виду, что при другом упорядочении элементов r>i, при любом
другом выборе базиса в А или для какого-либо иного элемента b G В
первый положительный коэффициент не может быть меньше mi.
Утверждается, что тогда mi\si, г = 2,...,п. Действительно, если
Si = qiTTii +n, 0 ^ г; < ть то
r2v2 + ... + rnvn,
где ai = vi + q2V2 + ... + qn^n- Понятно, что {ai; v2,..., vn} — ба-
базис группы А. Из экстремальности {v\,..., vn} следует, что r2 = ...
... = rn = 0. Таким образом, Ъ\ — т\а\.
По тем же причинам
У — m[ai + s'2v2 + ... + s'nvn G В =^ mi \m[,
и если т'1 = qm\, то
3. Конечно порождённые абелевы группы 65
т.е.
где bi = miai, #i С Ах := (г;2,... ,vn).
Итак, В\ — подгруппа свободной абелевой группы А\ ранга
п — 1. Простая индукция по рангу приводит к заключению, что для
пары (Ai,B\) утверждение теоремы справедливо, т.е. в А\ найдутся
элементы а2,..., ап, для которых
А1 = (а2,...,ап), Вх = (Ь2,...,Ък), h = ш^аь m;_i|m;, г > 2.
На каком-то этапе, возможно, появятся нули: rrik+i = гпк+2 — • • •
... = mn = 0.
Осталось доказать, что mi | тп2. Положим тп2 = qm\ + г, 0 ^ г <
< TTii, и заменим временно ai на а[ = а± + qa^. Относительно базиса
{а^, а2,..., ап} группы А элемент Ь\ + 62 G В имеет вид
Отсюда видно, что при г > 0 мы вступаем в противоречие со свой-
свойством экстремальности исходного базиса, или, что то же самое, с
выбором mi. Таким образом, г = 0, и доказательство завершено. ?
В условиях теоремы 2 говорят о согласованности базисов в А
и В.
Следствие 1. Всякая подгруппа В свободной абелевой группы
А ранга п свободна ранга k ^ п.
Доказательство. По теореме 2 в группах А, В ф 0 можно
выбрать согласованные базисы
А = (ab...,an), В = (&i,..., &/.), bi = miai, 1 ^ г ^ fe ^ п,
где mi | m2, m2 | m3, ..., mk-i \ mk {mk+i = ... = mn = Q). Итак,
любой элемент b G В записывается в виде
Ъ = simiai + S2m2a2 + ... + skmkak.
Если для некоторых si, S2,..., sk G Z, одновременно не равных нулю,
будет Ъ = 0, то мы приходим к нетривиальной линейной зависимос-
зависимости системы {ai,... ,a^} с коэффициентами simi,S2m2,... ,skmk, что
исключено, поскольку {ai,...,a^} — часть базиса группы А. Ста-
Стало быть, система образующих {&i,..., bk} группы В независима (или
свободна) и В — свободная группа ранга к ^ п. ?
При п = 1 утверждение следствия 1, конечно, нам известно: в
группе (Z, +) каждая ненулевая подгруппа имеет вид тЪ и является
бесконечной циклической, т.е. свободной ранга 1.
Следствие 2. Любой гомоморфный образ ц>(А) свободной абе-
абелевой группы А ранга п изоморфен группе
ъп~к е zmi е... е zmk, о
5 А.И. Кострикин
66 Гл. 2. Строение групп
причём rrii-i \rrii, 2 ^ i ^ к.
Доказательство. Пусть В = Кекр — ядро гомоморфизма (р.
По теореме о гомоморфизмах (теорема 2 из § 4 гл. 1) ip(A) = А/В.
Опишем эту факторгруппу, для чего в соответствии с теоремой 2
выберем в А и В согласованные базисы. Пусть
А = Ах 0 ... 0 Ап, В = Вх 0 ... 0 Вп,
где
О при i > k.
Факторизация бесконечной циклической группы (аг) = Ъа^ по под-
подгруппе miCtiZ приводит либо к той же группе (щ) при г > к, либо
к циклической группе (а« | mioli = 0) порядка ттг^, изоморфной Zmi,
i ^ к.
По теореме 7 из § 4 гл. 1 имеем
А/В ^ Аг/Вг 0 ... 0 Ак/Вк 0 Ак+1/Вк+1 0 ... 0 Ап/Вп ^
c^L 7 п\ у сх^Т/ сх^ сх^Т/ I I
— Zjfji^^ . . . Kjy ZJyji^ Kjj /Li Kjj . . . \Jj /Li . I—I
n-k
4. Строение конечно порождённых абелевых групп. Пос-
Последнее следствие теоремы 2 даёт фактически ответ на основной
вопрос о конечно порождённых абелевых группах. Предварительно
докажем одно универсальное свойство свободной абелевой группы.
Лемма 3. Пусть X — множество образующих абелевой группы
F, \Х\ = п. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
i) F = F%b — свободная абелева группа и X — множество её
свободных образующих]
И) каждое однозначное отображение ip множества X в некото-
некоторую абелеву группу А индуцирует гомоморфизм (р: F —>¦ А.
Доказательство. i)^=> И). Имеем X = {xi,...,xn}, ср: X —>
—У А. Так как каждый элемент из F однозначно записывается в виде
^2iSiXi, то, очевидно, отображение
(р:
является гомоморфизмом из F в А.
ii)^=> i). В этой импликации мы убедимся сразу, взяв в качестве
А свободную группу со множеством образующих {ai,..., ап} той же
мощности, что и X. Если ср : х\ \-л а^ — существующее по условию
однозначное отображение, которое продолжается до гомоморфизма
(р : F ->• А, то
§ 3. Конечно порождённые абелевы группы 67
т.е. xi,..., хп — свободные образующие и F = F%b. ?
Понятно, что в лемме 3 условие конечности множества X не иг-
играет никакой роли, но и бесконечные множества нам рассматривать
ни к чему.
Теорема 3. Каждая абелева группа с п образующими является
гомоморфным образом свободной абелевой группы F%b.
Доказательство — непосредственное следствие леммы 3. ?
Соединяя следствие 2 теоремы 2 и теорему 3, мы приходим к
основному результату этого параграфа.
Теорема 4. 1) Всякая конечно порождённая абелева группа А
является прямой суммой свободной абелевой группы F^b некоторого
ранга г ^ 0 и конечной абелевой группы.
2) Всякая конечная абелева группа является прямой суммой
некоторого числа к циклических групп порядков mi,... , m/., где
ГПг-i \rrii, 1 < Ъ ^ к.
5. Другие подходы к проблеме классификации. Свободные
группы проявляют себя и в других обстоятельствах, на которых мы
вкратце остановимся.
Лемма 4. Пусть факторгруппа
г=1
— прямая сумма, причём В — прямое слагаемое в каждой подгруппе
Ai : Ai = В 0 Ji. Тогда В — прямое слагаемое в А и
Доказательство. Очевидно, что В и все подгруппы Ji порож-
порождают А. Предположим, что b + xi + ... + xn = 0c какими-то элемен-
элементами Ъ G В и х\ G Ji. Переходя к факторгруппе по модулю В, мы
получаем соотношение
xi + ... + хп = 0 (х = х + В).
Но так как по условию Ai/B — прямое слагаемое в А/В, то x~i = 0.
Стало быть, Xi G В, т.е. х\ G [В П Ji) = 0, а это приводит
к заключению, что Ъ = 0, и, значит, любая линейная зависимость
Ъ + х\ + ... + хп = 0 — тривиальная. ?
Теорема 5. Пусть А — абелева группа, В — её подгруппа.
Если факторгруппа А/В свободная, то А — прямая сумма В и
свободной группы Fab: A = В® Fab.
68 Гл. 2. Строение групп
Доказательство. Так как А/В — прямая сумма бесконечных
циклических групп, то по лемме 4 достаточно рассмотреть случай,
когда А/В = Z. Итак,
А/В = (a) = Z.
Возьмём 0 ф a Е а (элемент смежного класса а, не содержащийся
в В). Тогда элементы ка будут представителями смежных классов
ка, к = 0, ±1, ±2,..., т.е. А = В 0 (а). ?
Определение. Периодической частью (или подгруппой круче-
кручения — от английского torsion subgroup) абелевой группы А называет-
называется подгруппа Т(А) всех элементов из А конечного порядка.
В том, что Т(А) — подгруппа, легко убедиться непосредственно:
если sa = 0, tb = 0; а, Ь G Т(А), то st(va + /ib) = vt(sa) + /as(tb) = 0 и,
значит, va + \±Ъ Е Т(А).
Лемма 5. Факторгруппа А/Т(А) — группа без кручения.
Доказательство. Предположим, что а = а + Т(А) — элемент
конечного порядка в А/Т (А), т.е. та = та + Т(А) = 0, или, что то
же самое, ma G Т(А). Значит, п(та) = 0 для некоторого п G Z. Но
если (пт)а = 0, то по определению периодической части a G Т(А) и
а = 0. ?
Пусть теперь А — абелева группа с п образующими. Как утверж-
утверждает лемма, А/Т (А) — группа без кручения. Число её образующих,
очевидно, не превосходит п. Согласно теореме 1 А/Т (А) = 6
г ^ п, — свободная группа. По теореме 5 имеем разложение
Теперь видно, что Т(А) = A/'F^b', и, значит, число образующих под-
подгруппы Т(А) тоже не превосходит п. Если ai,..., as — её образую-
образующие и TTiiQ>i = ... = rasas = 0, то, очевидно, Т(А) — конечная группа
порядка ^ TTii .. .ms. Мы пришли к следующему утверждению.
Теорема 6. Всякая конечно порождённая абелева группа А яв-
является прямой суммой конечной абелевой группы Т{А) и свободной
абелевой группы F^b некоторого ранга г.
Фактически мы уже знаем (теорема 4), что Т(А) — прямая сумма
циклических групп, но мы хотим пойти другим путём.
Теорема 7. Всякая периодическая абелева группа А может
быть записана в виде прямой суммы р-групп А(р), отвечающих раз-
различным простым р. Прямые слагаемые А(р) однозначно определя-
определяются группой А.
Доказательство. Пусть А(р) состоит из всех элементов х G
G А, порядки которых являются степенями простого числа р (воз-
§ 3. Конечно порождённые абелевы группы 69
можно, что А(р) = 0). Тогда А(р) — подгруппа в А, поскольку
ркх = 0 = ply; х,у Е A, m = max(k,l) =>
=^ рт(х -у)=0^х-уе А(р).
Каждый элемент из А(р\) +... + A(ps) имеет порядок, который не
может делиться на простое q, отличное от pi,... ,ps. Следовательно,
A(q)n(A(Pl) + ... + A(Pt))=0.
А это значит, что подгруппы А(р) порождают прямую сумму ф А(р)
(суммирование по всем простым р).
Остаётся лишь доказать, что группа А порождается своими
р-компонентами А(р). Пусть а Е А и \(а)\ = п = pkl .. .ркгг с различ-
различными простыми pi. Целые числа п^, определённые равенствами п =
= щр^, i = 1,..., г, взаимно просты и, следовательно,
tifli + . . . + trTlr = 1
для некоторых ti G Z. Таким образом,
а =
где Tiia G A(jpi) (действительно, р^ща) = па = 0). Получаем, что
Единственность А(р) получается сразу, если заметить, что в лю-
любом прямом разложении А = ф ^'(р) ни °ДИН элемент, не лежащий в
А'(р), не может быть порядка р1. Стало быть, А'(р) D А(р). Обратное
включение очевидно. ?
Теорема8 (Фробениус-Штикельбергер). Каждая конечная абе-
лева группа является прямой суммой конечного числа примарных
циклических групп.
Доказательство. В силу теоремы 7 можно ограничиться ко-
конечными р-группами. Докажем утверждение, представляющее неза-
независимый интерес.
Пусть А — конечная абелева р-группа, а G А — её элемент
максимального порядка рк. Тогда циклическая группа (а) — прямое
слагаемое в А.
Действительно, пусть В — максимальная подгруппа в А, обла-
обладающая свойством В П (а) = {0}. Тогда, очевидно,
Н := (В,а) =В®(а).
Предположим, что Н — собственная подгруппа в А. Тогда мы
можем найти элемент х G А такой, что х ? Н, по рх G Н (если
ргх G Н, рг~1х fi H, то следует заменить х на рг~1х). Имеем
рх = ь + 1а (be в, I ez)
70 Гл. 2. Строение групп
и в силу максимальности рк
рк~1Ь + рк~11а = pkx = 0.
Отсюда рк~х\а = 0, а в таком случае рк~х\ делится на рк, т.е. I = pj
для некоторого j E Z. Теперь для у = х — ja имеем ру = Ъ Е В] но
у ^ Н, так что E, ^/) содержит (в силу максимальности В) ненулевой
элемент га Е (а).
Итак, ra = bf + sy; b' e B,s еЪ. Отсюда sy е В + (а) = Я. Если
p\s, to sy e В, b' + sy = Ь" е В т 0 ^ га = Ь" => БП(а)/0-
противоречие. Значит, (s,p) = 1, причём sy ? Н т ру ? Н, откуда
у G Я — снова противоречие. Таким образом, А = Я, А = (а) © Я,
и утверждение доказано.
Теперь доказательство теоремы 8 очевидно. Мы выбираем в А
элемент максимального порядка рк и записываем А = (а) (В В. Тот
же процесс, применённый к Я, \В\ < |А|, завершает доказательст-
доказательство. ?
Важным дополнением к теореме 8 служит
Теорема 9. Если конечная абелееа р-группа А разложена
двумя способами в прямую сумму циклических подгрупп:
Ах © ... © Аг = А = Вх © ... © Bs,
то г = s и порядки \Ai\ совпадают с порядками \Bj\ при некотором
упорядочении последних.
Доказательство. При \А\ = р теорема, очевидно, верна. Ис-
Используем индукцию по \А\. Удобно с самого начала упорядочить ком-
компоненты Ai и Bj так, чтобы их порядки не возрастали:
At = (ai), 1(^I =P"S
Ml ^ А*2 ^ • • • ^ /^ > M / 1
Множество рА = {рх \ х G А} является в А подгруппой, не за-
зависящей от какого-либо разложения. С другой стороны, если
%\а\ + ... + iqaq + ... + irar = x = ji&i + ... + jtbt + ... + jsbs,
то с учётом C) и D) имеем
ii(pai) + ... + iq(paq) = ж = j1(pb1) + ... +jt(pbt)-
Стало быть,
(ai) + ... + (ag) = М = (Ьх) + ... + (It),
где a^ = pai, bj = p6j — элементы порядков р^{~х и р^ соответ-
соответственно. Так как \рА\ < \А\, то по предположению индукции q = t
§ 3. Конечно порождённые абелевы группы 71
и /ii - 1 = г/i - 1,... ,fiq - 1 = vq - 1, откуда \ix = v\, • • •, fiq = vq.
Замечал ещё, что
\Aq+1 + ... + Ar\ = f~\ \Bt+l + ... + B8\ = ps~\ q = t,
мы получаем
m + ...+Hq r-q _ j^ _ /ii + ...+/iq s-g^
Значит, s = г, и все утверждения теоремы доказаны. ?
6. Основная теорема о конечных абелевых группах. Для
разнообразия перейдём к мультипликативной записи, заменяя суммы
на произведения, слагаемые на множители и т.д. Опираясь на тео-
теоремы 7-9, мы непосредственно приходим к следующему основному
утверждению.
Теорема 10. Всякая конечная абелева группа А является пря-
прямым произведением примарных циклических подгрупп. Любые два
таких разложения имеют по одинаковому числу множителей каж-
каждого порядка.
Заимствуя терминологию из теории векторных пространств, мы
скажем, что элементы ai,..., аг порядков di,..., dr составляют ба-
базис абелевой группы А, если каждый элемент х G А единственным
образом записывается в виде
х = а[1а12 ...ajr, 0 ^ ik < dk, k = l,...,r.
Разумеется, в таком случае
А = (ai) х (a2) x ... х (ar), \A\ = did2 ... dr, E)
и теорема 10 эквивалентна утверждению о существовании во всякой
конечной абелевой группе А базиса, элементы которого примарны
(т.е. их порядки di являются степенями простых р, делящих \А\),
причём система {di, d2,..., dr} не зависит от выбора базиса. По этой
причине числа di,..., dr называют инвариантными или элементар-
элементарными делителями группы А. Иногда говорят ещё, что {di,..., dr} —
тип конечной абелевой группы А.
Выпишем все инварианты, расположив их в строки, которые от-
отвечают различным простым делителям порядка \А\:
ш22 ^ ... ^ т2к-
р?'1, р^, ..., p™sk; m8l
Можно считать, что все строки из инвариантов имеют одинаковую
длину к, если дополнить некоторые из них единицами.
Целые числа
гп. _ птц m2i msi • _ i о i
шг — V\ Р2 •••Ps •> Z — 1, Z, ...,/€,
72 Гл. 2. Строение групп
называются инвариантными факторами (или множителями) абеле-
вой группы А. По построению
\А\ = vn\Vfi2 • • -Trik, rrii-i\mi] 1 < i ^ к. F)
Достаточно вернуться к формулировке следствия 2 из теоремы 2,
чтобы убедиться: инвариантные факторы нам уже встречались. От
разложения E), переписанного в виде
А = ((аи) х ... х (ав1>) х ... х ((а1к) х ... х (а8к)),
мы перейдём теперь к разложению
А = (щ) х (гл2) х ... х (ик) F)
с прямыми циклическими множителями порядков mi, Ш2,..., rrik. Для
этого достаточно положить
щ = ацп2г... asi, I < i ^ fc,
и сослаться на предложение 2 или на импликацию A).
Для примарной группы А прямые разложения E) и F), очевид-
очевидно, совпадают, но в общем случае разложение F) более экономно по
сравнению с E) (к ^ г ^ sfc), причём в F) выделен элемент Uk наи-
наивысшего порядка т := т/.; порядки всех других элементов группы
А делят т. Целое число т называют ещё показателем (или экспо-
нентой) группы А. Абелева группа А является циклической тогда
и только тогда, когда её показатель совпадает с порядком \А\.
Последняя фраза играет ключевую роль в доказательстве сле-
следующего полезного утверждения о полях.
Теорема 11. Пусть F — произвольное поле и А — конечная
подгруппа мультипликативной группы F*. Тогда А циклическая.
Доказательство. Если бы группа А не была циклической, то
в соответствии с вышесказанным было бы т < \А\, где т — её
показатель: ат = 1 Va G А. В таком случае многочлен Хт — 1 имел
бы в поле F более т корней, а это невозможно. Значит, группа А
циклическая. ?
Остаётся добавить, что вопрос о существовании абелевой группы
А с заданными инвариантными факторами mi,Ш2,...,т/. не возни-
возникает: как и ранее, достаточно рассмотреть (в аддитивной записи)
прямую сумму циклических групп Zmi,..., Zmk. Число попарно не-
неизоморфных абелевых групп данного порядка N может быть оце-
оценено в довольно явной форме. Так, число неизоморфных абелевых
групп порядка N = рп (р простое) равно числу р(п) упорядоченных
разбиений
п = rii + П2 + ... + щ, rii ^ П2 ^ ... ^ щ, 1 ^ I ^ п.
Целочисленная функция р(п) встречалась нам при описании клас-
классов сопряжённых элементов в симметрической группе Sn (см. упр. 4
3. Конечно порождённые абелевы группы
73
из § 3 гл.1). Абелева группа порядкарп и показателя р (т.е. с инвари-
инвариантами р,...,р) обычно называется элементарной абелевой группой.
Вновь отдав предпочтение аддитивной записи, мы замечаем, что абе-
абелева группа А с рА = 0 (р — простое число) является векторным про-
пространством над конечным полем ?р из р элементов. Действительно,
если отождествить элементы из ?р с классами вычетов к по модулю
р (?р = Zp) и положить ка := ка, a Е А, то мы придём к заданию
действия ?р на А, превращающее А в векторное пространство над
?р. Это действие определено правильно, потому что из к = к' следу-
следует (к — к')а = 1{ра) = 0. Разложению А в прямую сумму циклических
подпространств соответствует разложение векторного пространст-
пространства в прямую сумму одномерных подпространств [ВА II, гл.1, теорема
о базисе]. Итак,
А = Zp =
Zp.
Насколько велик произвол в выборе одномерных базисных подпро-
подпространств даже при п = 2, видно из примера в гл. 1: Z^ допускает
р{р + 1) различных разложений.
Пример 4. В качестве примера перечислим все абелевы группы порядков
16 и 36:
|А| = 16 = 24,
0
= Z2 0 Z2 0 Z2 <
\А\ =
Z4 0 Zg
z2 0 z2 0 z9
Z4 0 Z3 0 Z3
Z2 0 Z2 0 Z3
0
- 22 • 32
= z3
^Z2
— Zs
Zs =Z6
3
0^i8
0^12
®Zq
Элементарные
делители
4, 9
2, 2, 9
4, 3, 3
2, 2, 3, 3
Инвариантные
факторы
36
18, 2
12, 3
6, 6
Пример 5. Запишем группу Z72 0 Z^a в терминах инвариантных факто-
факторов. Сначала каждое из циклических слагаемых мы выразим через циклические
примарные компоненты:
Z72 = Z8 0 Zg, Z84 = Z4 0 Z3 0 Z7.
Далее, соберём все примарные компоненты, отвечающие заданному р:
Z72 0 Z84 = (Z4 0 Z8) 0 (Z3
(прямая сумма силовских р-подгрупп). Теперь осталось выделить по одному цик-
циклическому слагаемому минимального порядка в каждой примарной компоненте
и повторить этот процесс с оставшимися слагаемыми:
Z72 0 Z84 = (Z4 0 Z3) 0 (Z8 0 Z9 0 Z7) = Z12 0 Z504.
Если проделать то же самое с группой Z36 0^i68, то получится аналогичный
результат. Значит,
Z72 0 Z84 = Z36 0 Z168
74 Гл. 2. Строение групп
(строго говоря, всюду следовало бы ставить = вместо знака равенства). В част-
частности, отметим, что показатели обеих групп равны 504.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что в конечной абелевой группе А для любого d \A\ существует
по крайней мере одна подгруппа порядка d (обращение теоремы Лагранжа).
2. Показать, что при надлежащем упорядочении инварианты любой подгруп-
подгруппы являются делителями инвариантов абелевой группы.
3. Если А 0 А = В 0 В, где А ж В — конечные абелевы группы, то А = В.
4. Если А, В, С — конечные абелевы группы к А® С = В ® С, то А = В.
5. Всякая конечная абелева группа порядка п, не делящегося на квадрат
целого числа > 1, является циклической.
6. Перечислить все неизоморфные абелевы группы порядка 72.
7. Изоморфны ли группы Zi2 0 Z72 и Zis 0 ^48?
8. Сформулировать и доказать теорему о конечно порождённых абелевых
группах на языке целочисленных матриц (матриц с коэффициентами в Z). Ис-
Использовать надлежащим образом элементарные преобразования над такими мат-
матрицами.
9. Доказать, что индекс подгруппы А С F%b свободной абелевой группы F%b
ранга п конечен тогда и только тогда, когда rank A = п.
§ 4. Линейные группы Ли
1. Определения и примеры. Формально говоря, группой Ли
G называется дифференцируемое (С2 или даже класса С°°, гладкое)
многообразие, наделённое структурой группы с гладкими отобра-
отображениями — умножением (х,у) н->- ху и взятием обратного элемента
х ь->- ж.
От гомоморфизма Ф: G —» Н группы Ли G в группу Ли Н так-
также требуется гладкость отображения одного многообразия в дру-
другое. То же самое относится к более частным понятиям изоморфизма
групп Ли и автоморфизма группы Ли. Чаще всего имеют дело с ве-
вещественными или комплексными многообразиями и соответственно
с вещественными или комплексными группами Ли.
Задание структуры многообразия предполагает, в частности, на-
наличие топологии, поэтому группы Ли являются топологическими.
Это означает, что произведение gh и взятие обратного д~х явля-
являются в данной топологии непрерывными операциями. Считаются
известными понятия связности, локальной связности, компактнос-
компактности топологического пространства. В частности, группа называется
компактной, если для соответствующего топологического простран-
пространства справедлива теорема Бореля-Лебега.
Строгое определение группы Ли, объединяющее понятия обыч-
обычной группы, топологического пространства и дифференцируемого
§ 4- Линейные группы Ли 75
многообразия, довольно сложно. К тому же определение подгруп-
подгруппы Ли Н С G предполагает, что Н — подмногообразие (новое по-
понятие), задаваемое в окрестности нейтрального элемента (единицы
е Е Н) локальными координатами xi,..., хп на G, которые удовлет-
удовлетворяют системе уравнений
J 2 V 1 5 • • • •) Л*>"fi I vJ 5 -L •^ v -^ III. V /
Считается, что
rank —— = m.
3 e
Это условие на систему A), перенесённое левыми сдвигами в любую
точку h Е Н, снабжает Н структурой (п — т)-мерного многообразия.
Заметим ещё, что группу Ли G часто рассматривают локально, в
надлежащей окрестности единицы е Е G. Входить в детали было бы
рискованно. Так как нас интересуют классические линейные группы,
то с самого начала можно считать их группами Ли, закрыв глаза на
многие общие определения.
Пример 1. (Жп, +) — группа Ли.
Пример 2. Пусть V — конечномерное векторное пространство над Я (Я =
= Ж или Я = С). Известная нам группа Aut У автоморфизмов пространства V
суть открытое подмножество в Hom(V, У), заданное условием det ф 0. Стало
быть, Aut V — гладкое многообразие. Естественная композиция автоморфиз-
автоморфизмов — гладкое отображение: если А = (aij), В = (bjk), то АВ = С = (с^), где
d}, = ^ • dijbjk- Аналогично, отображение х ь-»¦ ж гладко: достаточно вспом-
вспомнить о формулах Крамера. Итак, Aut У — группа Ли размерности п2. Её мат-
матричную реализацию над Я мы условились обозначать GL(ra, Л) или GLn($).
Пример 3. Для группы SL(ra,^) система A) сводится к одному уравнению
det X = 1, X = (xij) e GL(ra, Л),
с явно выполненным условием d(det Х)/дхц \х=Е — 1- Поэтому 8Ь(га,Л) явля-
является (п2 — 1)-мерной группой Ли.
Пример 4. Из [ВА II, гл. 3] известно, что ортогональная группа О(га) С
С GL(ra,M) задаётся билинейными соотношениями
к
в количестве т = п(п + 1)/2 штук. Легко проверяется, что минор порядка т
матрицы \\dfij/dx3t\\i отвечающий переменным x3t, s ^ t, в точке Е отличен от
нуля. Это значит, что О(п) — группа Ли размерности п2 — т = п(п — 1)/2.
Такую же размерность имеет подгруппа SO(n), в окрестности единицы сов-
совпадающая с О (га). Точнее, как топологическое пространство О (га) распадается
на две связные компоненты: одна содержит Е, другая —Е. Очевидно, det X = 1
для всякой матрицы X Е О (га), близкой к X.
Пример 5. Определение унитарной группы U(ra) С GL(ra,C) в [ВА II, гл. 3]
аналогично определению группы О(га), если на GL(ra,C) смотреть как на вещест-
вещественную группу, зависящую от 2п2 параметров. Разделение вещественных и мни-
мнимых частей га(га + 1)/2 полуторалинейных соотношений приведёт к 2п(п — 1)/2 +
+ п = п2 гладким функциям. Ранг соответствующей матрицы в точке X = Е
также равен п2. Поэтому U(ra) — группа Ли размерности 2п2 — п2 = п2.
76 Гл. 2. Строение групп
Так как det X = еЪ(р, X G U(n), tp G 1, то SU(ra) — группа Ли размерности
п2-1.
2. Кривые в матричных группах. В топологических ли-
линейных пространствах имеет смысл говорить о кривых, касатель-
касательных векторах и т.п. вещах. Так, в анализе и в геометрии под кри-
кривой в конечномерном вещественном векторном пространстве V
понимают непрерывное отображение (функцию) Г: (а,/?) —> V, где
(а, /?) — интервал в Ж. Скажем, окружность S1 единичного радиу-
радиуса с центром в начале прямоугольной системы координат суть кри-
кривая ер н-» (cos if, sin ip), ip G [0, 2тг). Разумеется, V чаще всего снаб-
снабжается структурой аффинного или евклидова пространства. Пусть
V = (ei,...,en). Зададим кривую в параметрической форме Tt =
— Gi№? • • • ?7п(?))> гДе li(t) — вещественнозначная функция при
любом г = 1,...,п. Кривая Г дифференцируема в точке t G (а,/?),
если дифференцируемы все 7г(^M т-е- существуют производные
— однозначно определённый вектор в У, называемый касательным
вектором к Г в точке Tt или вектором скорости в момент време-
времени t. В дальнейшем будем для простоты говорить о гладкой кривой
Г^, отождествляя функцию с её значением.
Пусть теперь V = Мп(Ж) или МП(С), рассматриваемые как век-
векторные пространства размерностей п2 и 2п2 соответственно. Будем
считать, что кривая 1\ на пространстве Мп(Я) (Я = Ж или Я = С)
на самом деле целиком лежит в матричной группе G С Мп(Я), т.е.
I\ G G Vt G (ot,/3). Тогда естественно говорить о кривой в группе
или на группе G. При любом t = to надо чётко представлять себе,
что Ato есть точка кривой в п2-мерном пространстве, реализован-
реализованная в виде матрицы. Если At = (a^(?)), Bt = (bkj(t)) : (а,/?) ->• G
— две параметрические кривые в группе G, то можно определить их
произведение Ct = AtBtj полагая
Ct = (сф)), Cij(t) :=^2aik(t)bkj(t), t G (a,/3). B)
k=i
Наша ближайшая задача — рассмотреть в классических мат-
матричных группах множество всех дифференцируемых кривых, прохо-
проходящих через единичный элемент Е, и множество всех касательных
векторов к кривым в этой избранной точке. МП(С) трактуется как
вещественное пространство размерности 2п2.
Теорема 1. Пусть G С GL(n,^) — матричная группа. Спра-
Справедливы следующие утверждения.
i) Если Аи Bt: (а,/3) ->• G — две дифференцируемые кривые в G,
§ 4- Линейные группы Ли 77
то их произведение Ct = AtBt также дифференцируемо и
И) Пусть Т = L(G) — множество всех касательных векторов
Аг0 к кривым At в G (в малой окрестности параметра t = 0), для ко-
которых Aq = Е. Тогда L(G) — векторное подпространство в Мп(Я).
Доказательство. Утверждение i) получается прямым диффе-
дифференцированием определяющего соотношения B).
И) Пусть А'о, В'о е Т. Тогда (АВH = А0В0 = ЕЕ = Е и соглас-
согласно i) в Т содержится вектор
(АВ)'О = А'0В0 + АОВ'О = А'0Е + ЕВ'О = А'о + В'о.
Следовательно, Т — аддитивная группа.
Если теперь Л — произвольный скаляр и А'о Е Т, то рассмотрим
кривую Bt = A\t в окрестности t = 0. Очевидно, что Bq = Aq =
= Е, причём Bt дифференцируема и Bf0 = ХА'О. Так как по условию
в'о е г, то и \А'О е т. п
Определение. Векторное пространство Т = L(G) называется
касательным пространством к группе G в точке Е.
Пример 6. Пусть G = GL(n,M). Так как det : G —> Ж — непрерывная
функция и det Е = 1, то можно указать столь малое е > 0 и шар радиуса е
с центром в Е, что для каждой матрицы А из этого шара будет выполняться
неравенство det А ф 0, т.е. А Е G. Теперь для любой матрицы В Е Мп(Ж) (т.е.
для любого вектора из вещественного векторного пространства размерности п2)
определим кривую Bt в Мп(М) равенством
Bt=tB + E.
Мы видим, что Во = Е, В'о = В, а при малых t матрицы Bt лежат в G. Стало
быть, касательное пространство L(GL(n,M)) совпадает с Мп(Ш) и имеет размер-
размерность п2. Аналогично показывается, что касательное пространство L(GL(n,C))
имеет над Ж размерность 2п2.
Пример 7. Имея дело с группой SL(n,M), мы должны выбирать в ?-шаре с
центром в Е матрицы А с det А = 1, а для любой матрицы В Е Мп(Ж) с нуле-
нулевым следом и малого параметра ? определять кривую Bt, используя экспоненту
матрицы [ВА II, гл. 7, § 1] :
Bt = ехр(?Б).
Тогда Во = Е, В[ = Бехр(?Б), В'о = В, det Bt = exp(tr(?B)) = 1. Это и
означает, что касательное пространство L(SL(n,M)) имеет размерность п2 — 1.
Пример 8. Из примера 4 видно, что касательные пространства к много-
многообразиям (группам Ли) О (га) и SO (га) в точке Е совпадают. Пусть теперь Bt —
произвольная кривая в SO(ra) с касательным вектором В'о в Е. Так как по опреде-
определению Bs гВ3 = Е, то дифференцирование приводит к соотношению Во+*Во = 0,
показывающему, что любой касательный вектор кососимметричен.
С другой стороны, если А — любая кососимметричная матрица, то кривая
As = exp (sA), выходящая из Е (Ао = Е), имеет в Е касательный вектор А'о = А.
Каждая точка кривой As — ортогональная матрица с определителем 1 [ВА II,
78 Гл. 2. Строение групп
гл. 7]. Таким образом, L(SO(n)) = so(n) — пространство размерности п(п — 1)/2,
состоящее из всех кососимметричных матриц.
Пример 9. В случае унитарной группы U(n), заменяя so(n) на пространство
su(n) косоэрмитовых матриц (над Ж) и обращаясь к соображениям, использован-
использованным в примере 8, мы убеждаемся в том, что L(U(n)) имеет размерность п2.
Размерность линейной группы Ли определялась ранее по чис-
числу независимых параметров, задающих базисное дифференцируемое
многообразие. Теперь мы видим, что справедлива
Теорема 2. Пусть G — одна из классических линейных групп
Ли GL(ra, Л), SL(ra, Л), O(n), SO(n), U(n), SU(n); Я = R или Я = С,
L(G) — её касательное пространство в Е.
Тогда dimG = dim L{G).
Доказательство получается сопоставлением примеров 2-5,
6-9. ?
К указанным в теореме группам следовало бы добавить симплек-
тическую группу, но ради простоты изложения мы условились её
опускать.
3. Дифференциал гомоморфизма. Всякому гомоморфизму Ф :
G —У Н матричных групп G, Н и всякой гладкой кривой At в груп-
группе G отвечает кривая (Ф о Y)t = Ф(Г^) в группе Н. Гомоморфизм Ф
естественно называть гладким, если все кривые Ф о Г^ гладкие.
Определение. Гладкому гомоморфизму Ф : G —> Н матрич-
матричных групп Ли и касательному вектору Гд к G в точке Е можно по-
поставить в соответствие касательный вектор с1Ф(Г'о) к Н в Е, полагая
<ВД) = (ФоГ){,. C)
Отображение с1Ф : L(G) —> L(H), заданное равенством C), назы-
называется дифференциалом или касательным отображением гомомор-
гомоморфизма Ф.
Теорема 3. В матричных группах справедливы следующие ут-
утверждения.
i) Дифференциал гомоморфизма групп является линейным отоб-
отображением касательных пространств.
И) Если Ф : G —» Н, Ф : Н —» К — гладкие гомоморфизмы, то
= а]Ъ - о1Ф.
iii) Гладкому изоморфизму Ф : G —> Н отвечает линейный изо-
изоморфизм о!Ф : L(G) —У L(H), причём dim G = dim H.
Доказательство. Пусть А'о, В'о G L(G), /i, v G ffiL Тогда
i + "B'o) = (Ф о (fiA + vB))'o =
о А) + |/(Ф о B)){, = ^(Ф о А){, + 1/(Ф о
§ 4- Линейные группы Ли 79
Это доказывает утверждение i).
Что касается И), то заметим сначала, что композиция ФФ являет-
является гладким гомоморфизмом, поэтому выражение с?(ФФ) имеет смысл.
Далее,
^(ФФ)(А0) = ((ФФ) о А)'о = ^Ф(Ф о А)'о = ^Ф • а1Ф(А'о).
Наконец, изоморфность о!Ф вытекает из следующих соображений.
Так как Ф-1Ф — тождественное отображение, то в соответствии
с И) имеем тождественное отображение б^Ф • с1Ф : L(G) —> L(G), и
поэтому о1Ф — инъективное отображение, а с1Ф~1 — сюръективное.
Но и ФФ — тождественное отображение, поэтому с^Ф инъектив-
но, а о1Ф сюръективно. Это даёт всё, что нужно. ?
Отсылая к [34] за деталями, приведём без доказательства сле-
следующую содержательную теорему о группах Ли.
Теорема 4. Гомоморфизм связной группы Ли в произвольную
группу Ли однозначно определяется своим дифференциалом.
4. Алгебра Ли группы Ли. Что такое алгебра Ли ?, нам из-
известно из [ВА II]. Так как произведение элементов х,у Е -С принято
обозначать [х,у], то для коммутатора элементов g, h G G в группе
Ли используем обычное обозначение (g,h) = ghg~1h~1. Напомним,
что коммутирование в алгебре Ли линейно по каждому аргументу,
кососимметрично и удовлетворяет тождеству Якоби
[[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0. D)
Из примеров 6-9 и из [ВА II, гл. 7] видно, что касательные про-
пространства классических линейных групп Ли наделены структурой
алгебры Ли. Однако поучительно посмотреть на связь между опе-
операциями умножения в группе и коммутированием в соответству-
соответствующей алгебре Ли, причём в более общей ситуации любых связных
групп Ли.
Итак, пусть G — связная группа Ли с нейтральным элементом
е, L(G) — её касательное пространство в е. Коммутатор [g'o,h'o] ка-
касательных векторов g^h'o E L(G) к кривым gt,hs, 0 ^ s, t ^ 1, на
группе G, выходящим из е : до = е = До, определим соотношением
E)
Положив
f
мы видим, что /(?, 0) = е и
eb(G)
s=0
суть касательный вектор к кривой q: s —> f(t, s), a
80 Гл. 2. Строение групп
— касательный вектор к кривой q't в пространстве L(G). Коммута-
Коммутатор (F^,AS) элементов n-мерной группы G с координатами (xi,...
..., хп) и B/i,..., уп) выражается через дифференцируемые функции
fi(xi,...,xn,yi,...,yn), 1 ^ г ^ п. Вид функций /;, целиком опре-
определённый группой, не зависит от конкретных элементов, поэтому для
коммутатора [#о?^о] получаем следующее явное выражение:
Из F) видно, что частная производная в E) не зависит от выбора
координат, а коммутатор линеен по каждому аргументу.
Если воспользоваться легко проверяемым соотношением (а, Ъ) =
= (Ь, а), то можно убедиться, что коммутатор E) кососимметри-
чен. Тождество D) доказать несколько труднее, но если перейти к
линейным группам Ли, не обязательно классическим, то ситуация
упрощается. Именно, пусть L(G) С Мп(Я); Я = Ш. или Я = С. Для лю-
любых двух матриц X, Y Е L(G), являющихся касательными векторами
к кривым exp(tX), exp(sY) G G, прямые вычисления со степенными
рядами показывают, что с точностью до членов степени ^ 3
+2 2
ехр(ОГ) exp(sF) = Е + tX + sY + tsXY + —X2 + — Y2 + ... G G,
Zj Zj
и,значит,
+2 2
= (E + tX + sY + tsXY + -X2 + —Y2 + ...)x
z z
t2 s2
x (E - tX - sY + tsXY + —X2 + —Y2 + ...) =
^ z
= E + ts(XY - YX) + t2sU(X, F, t, s) + ts2V(X, F, t, s),
где degx Y U(X^Y^t, s) ^ 3, degx Y У{Х, Y, t, s) ^ 3. Теперь по фор-
формуле E) находим
~ YX) + t2sU(X, Y, t, s) + ts2V(X, F, t, *))|t=e=0
= 17- 71
т.е. для коммутатора [Х, У], определённого абстрактным образом,
получается естественное выражение [X, Y] = XY — YX, которым мы
пользовались ранее. Тождество Якоби при таком коммутировании
очевидным образом выполняется. Тем самым получена
§ 4- Линейные группы Ли 81
Теорема 5. Касательная алгебра всякой линейной группы Ли
снабжена структурой алгебры Ли с операцией коммутирования
[X,Y] =XY -YX.
5. Логарифм. Экспоненциальному отображению ехр : L(G) —>¦
—У G в случае матричных групп отвечает антипод — логарифмичес-
логарифмическое отображение
2 3 4
определённое для любой вещественной п х п-матрицы X, достаточно
близкой к Е. Чтобы убедиться в этом, положим Y := X — Е = (yij),
считая \yij\ < е. Простая индукция по к приводит к оценке |(yfe)ij| ^
^ пк~1ек, и поэтому для отношения модулей двух соседних членов в
G) находим
к пкек+1 к
¦ пг.
\(Yk)ij\ Hlnfe-? fe
Таким образом, ряд G) сходится для любой матрицы X с \{X—E)ij \ <
< 1/п.
Теорема 6. Пусть Ue — окрестность Е в МП(М), где опре-
определено отображение log, a Uq — окрестность нуля, в которой
ехр(С/о) С UE- Тогда:
1) ехр log X = X, X G UE; log ехр Y = У, Y G C/o.
ii) еслг/ А, 5 коммутируют и близки к Е, то
log (AB) = log A + log Б.
Доказательство i) ничем не отличается от числового случая.
Что касается И), то ехр (log(AB)) = АВ = (ехр (log А)) (ехр (log В)) =
= ехр (log A + log В). Осталось воспользоваться биективностью ехр
вблизи 0. ?
Отдельные замечания. 1) Назовём однопараметрической
подгруппой линейной группы Ли G гладкий гомоморфизм а : Ж —У
—У G. Так как a(t) = (a(t/n))n, то а определяется своими значе-
значениями вблизи 0 G Ж. Пример в [ВА II, гл. 7], однопараметрической
группы а : t н-» exp(tA), определённой квадратной матрицей А, явля-
является в некотором смысле общим, поскольку локально G порождается
кривыми exp(tA), A G L(G).
2) Под линейным представлением группы Ли G понимается диф-
дифференцируемый гомоморфизм Ф : G —У GL(V), где V — векторное
пространство над Ж или С. Коэффициенты матриц Ф^ являются по
определению дифференцируемыми функциями от g G G. Наличие
вещественной или комплексной структуры в G и V проявляется в
нескольких вариантах (см., например, [1]). Линейные представления
компактных групп Ли фактически определяются представлениями
6 А.И. Кострикин
82 Гл. 2. Строение групп
соответствующих алгебр Ли. Хорошей иллюстрацией служит описа-
описание неприводимых представлений группы SUB) в гл. 3 и её алгебры
Ли 5иB) в гл. 4.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что для каждой однопараметрической подгруппы а группы
GL(n,M) существует матрица А Е Мп(Ш), такая, что a(t) = exp(tA).
2. Автоморфизмы алгебры Ли L(G) данной линейной группы Ли G в свою
очередь образуют линейную группу Ли Aut(L(G)). Если 1\ — некоторая кривая
в Aut(L(G)), то I\[a, b] = [I\a, I\b]. Дифференцирование при t = 0 приводит в
обозначении V = (^Г\) (считаем Го = Е) к соотношению
?>[a,b] = [?>a,b] + [a,X>b],
которое позволяет назвать Т> дифференцированием алгебры Ли L(G). С этим
понятием мы уже встречались в [ВА II].
Доказать, что если V — дифференцирование алгебры Ли L(G), то ехр V —
её автоморфизм.
Глава 3
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Точным определениям теории линейных представлений групп мы
предпошлём две близкие по духу задачи.
Задача 1. В (т + 1)-мерном пространстве Vm вещественных
однородных многочленов
f(x, у) = аохт + alXm-ly + ... + а^ху™-1 + атут
(или, скорее, полиномиальных функций (х,у) н->- f(x,y)) степени т
выделяется множество решений двумерного уравнения Лапласа
в частных
Лапласа А
производных
= Ъх^^Ъу1
дх2
(см. [ВА
линеен:
*1-0
I, упр. 9 из {
i 1 гл. 6]).
(*)
Оператор
A(af + /3g) = aAf + /3Ag Va, /3 eR.
Поэтому решения уравнения (*) образуют некоторое подпростран-
подпространство Нш пространства Vm. Непосредственно проверяется, что
га-2
А/ = Y, Km - к)(т ~к~ 1)«* + (к + 2)(к + !)afc+2] xm-k~2yk.
к=0
Следовательно,
<^^> (т - к)(т -к- 1)ак + (к + 2) (к + 1)ак+2 =0, 0^к^т-2,
и все коэффициенты ак выражаются через два из них, скажем, через
оо и оь Таким образом, dim Hm ^ 2.
Но два линейно независимых решения можно указать сразу. Дей-
Действительно, распространив по линейности действие оператора А на
многочлены с комплексными коэффициентами, будем иметь
А(х + гу)т = т{т - 1)(х + гу)т~2 + гтг{т - 1)(х + гу)т~2 = 0,
;2 = -i.
Выделяя вещественную и мнимую части, получим
zm(x, у) = (х + гу)т = ит(х, у) + ivm(x, у),
откуда
Аит + iAvm = Azm = 0 => Aixm = 0, Avm = 0.
84 Гл. 2. Элементы теории представлений
Итак,
Нш = (um(x,y),vm(x,y))R.
Интерпретируя теперь ж, у как координаты вектора в евклидовой
плоскости М2 с фиксированной прямоугольной системой координат,
посмотрим, что произойдёт при ортогональной замене координат —
повороте плоскости М2 вокруг начальной точки на произвольный
угол в:
х' = Ф(9 (х) = х cos в - у sin 0,
у' = фв (у) = х sin в + у cos в.
Известное из анализа (и легко проверяемое для многочленов) правило
дифференцирования сложных функций даёт
дхду
дхду ду2
откуда
d2f d2f = d2f д2
дх'2 ду'2 дх2 ду2'
Это значит, что уравнение (*) остаётся инвариантным при ортого-
ортогональной замене переменных, или, как мы ещё могли бы сказать, при
действии группы SOB) = {Фб>}- В частности, многочлены ит(х',?/),
vm(xf,yf) будут решениями уравнения (*) и как таковые будут ли-
линейно выражаться через ит(х,у), vm(x,y). Таким образом, группа
SOB) действует на пространстве решений уравнения Лапласа. При
этом говорят о двумерном вещественном линейном представлении
Ф(т) : Ф^ ь
группы SOB).
Обратившись опять к комплексным многочленам, мы замечаем,
что
х' + гу' = xeie + iyeie = eie (x + iy),
Сохраняя за комплексифицированным линейным оператором
его прежнее обозначение, будем иметь
, v J — „гтв,
Z.
т-
Так называемые одномерные унитарные представления ф(т) : Ф#
ь->- егт0, т G Z, группы SOB) играют важную роль в анализе.
Гл. 2. Элементы теории представлений
85
Заметим, что действие Ф индуцирует действие группы SOB)
на всём пространстве Vm, и с этой точки зрения Нш — инвариантное
подпространство в Vm.
Задача 2. Оценка числа возможных органических соединений,
например, в химии циклических уг-
углеводородов, сводится к следую-
следующей отвлечённо-житейской задаче.
Сколько можно изготовить различ-
различных ожерелий длины п из неограни-
неограниченного запаса жемчужин q различ-
различных цветов?
Попытаемся (вслед за Г. Полна)
ответить на этот вопрос, считая,
что ожерелья ориентированы, т.е. пе-
перевёрнутое ожерелье, вообще говоря,
Рис. 4. не отождествляется с исходным.
Заметим, что нитяных отрезков с нанизанными на них п жемчужи-
жемчужинами имеется всего qn (число слов длины п в свободной полугруппе
с q образующими). На множестве Пп этих отрезков действует цик-
циклическая группа порядка п с образующей а = A2.. . n) Е Sn, цикли-
циклически переставляющей жемчужины на каждом отрезке. Ожерельем
естественно считать (сг)-орбиту отрезка или, если угодно, некоторое
множество концентрических окружностей (рис. 4). Вторая интерпре-
интерпретация более наглядна. Она связана с изоморфизмом
Ф : а \-^ Ф(сг) =
cos
— sm
2тг „;„ 2тг
п
• 2тг 2тг
sm -тг- cos ¦
п ^wo п
который уже встречался нам ранее и который будет назван позд-
позднее двумерным линейным вещественным представлением группы (а).
Искомое число г ожерелий выражается формулой из упр. 8 § 3 гл. 1.
Если d | п, то элемент ad порядка п/d оставляет на месте те отрезки
(и ожерелья), которые распадаются на d периодов длины n/d (см.
в этой связи [ВА I, гл. 4, § 2, упр. 12, 13]). Поэтому N(ad) = qd,
a N(ak) = qm, m = НОД(п,/с). Величине N(ak) с НОД(п,/с) = d
в сумме ^2к N(ak) отвечает ровно ip(n/d) слагаемых (ср — функция
Эйлера). Это означает, что
1. (**)
d\n
Переход к физически различным (неориентируемым) ожерельям свя-
связан с дополнительными отождествлениями элементов в Пп посред-
посредством обычного двумерного линейного представления группы диэд-
86 Гл. 3. Элементы теории представлений
pa Dn). Попытайтесь сделать это самостоятельно.
Не только в рассмотренных примерах, но и в реальных физи-
физических задачах линейные представления групп возникают самопро-
самопроизвольно как отражение той или иной симметрии. Соответственно
идеи и язык теории представлений весьма естественны. Так, приме-
примеры, приводимые в § 1, касаются хорошо известных задач и не дают,
как будто, ничего нового. Между тем сам факт появления их "под
одной крышей" должен наводить на полезные размышления.
Цель, преследуемая теорией представлений, двоякая: 1) чисто ма-
математическая, диктуемая отчасти желанием использовать дополни-
дополнительный аппарат для исследования самих групп; 2) прикладная, ил-
иллюстрируемая, скажем, ярким её вкладом в кристаллографию и в
квантовую механику. Ни один из этих аспектов по существу не от-
отражён в настоящей главе, цель которой более чем скромная — ска-
сказать нечто содержательное о теории представлений, основываясь ис-
исключительно на доступном нам материале из линейной алгебры и из
теории групп.
§ 1. Определения и примеры
линейных представлений
1. Основные понятия. Строго говоря, мы уже занимались
теорией представлений, когда рассматривали в § 2 гл. 1 действие
групп на множествах. Возьмём теперь в качестве множества век-
векторное пространство V размерности п над полем К и выделим в
группе S(V) всех биективных преобразований V —У V подгруппу
GL(V) — группу обратимых линейных операторов на V (или группу
автоморфизмов пространства V). Ясно, что при любом выборе ба-
базиса (ei,...,en) в V группа GL(V) становится обычной матричной
группой GL(n,if), которую можно считать группой автоморфизмов
арифметического линейного пространства Кп. Каждому линейному
оператору Л Е GL(V) при этом отвечает матрица А = (а^) такая,
что
п
Aej = ^ dijei, ctij e К, det А ф 0.
г=1
Определение 1. Пусть G — какая-то группа. Всякий гомо-
гомоморфизм Ф : G —У GL(V) называется линейным представлением
группы G в пространстве V. Представление называется точным, ес-
если ядро представления Кег Ф состоит только из единичного элемента
группы G, и тривиальным (или единичным), если Ф(#) = ? — еди-
единичный оператор для всех элементов g G G. Размерность dim^ V
называется также степенью представления. При К = Q, М, С гово-
§ 1. Определения и примеры линейных представлений 87
рят соответственно о рациональном, вещественном или комплексном
представлении группы G.
Таким образом, линейное представление — это пара (Ф,У), со-
состоящая из пространства представления V (или G-пространств а)
и гомоморфизма Ф : G —У GL(V). По определению
Ф(е) = ? — единичный оператор,
Ф(дК) = Ф(д)Ф(К) для всех g,h G G.
Условившись в обозначении д * v для действия линейного опера-
оператора Ф(д) на вектор v Е У, мы придём к соотношениям
д * (и + v) = д * и + д * v, и, v Е V,
0*(Аи) = А@*г;), A G К,
е * г? = г?,
(pft) *г; = #* (ft* г;),
имитирующим свойства линейных операторов, причём последние два
соотношения заменяют то, что выражено выше посредством Ф (срав-
(сравнить с i), п) в § 2 гл. 1). Соотношениями A) в линейном представ-
представлении (Ф,У) на первое место выдвигается G-пространство У, что
бывает удобно делать по тем или иным причинам (например, когда
V — не абстрактное линейное пространство, а какая-то его конкрет-
конкретная реализация).
С другой стороны, пространство V можно и не упоминать, если
под линейным представлением понимать попросту гомоморфизм Ф
группы G в матричную группу GL(n,i^). По-прежнему Ф^ = Ф^Ф^,
но здесь Фд — невырожденная матрица, причём Фе = Е — единичная
матрица. Матричная интерпретация более приемлема с вычислитель-
вычислительной точки зрения, но она менее инвариантна и лишена пространст-
пространственной наглядности. На самом деле важно владеть (несложным) ис-
искусством свободного перехода от G-пространств к матричным пред-
представлениям, и обратно.
Напомним в этой связи хорошо известный из курса линейной ал-
алгебры [ВА II] факт, что две матрицы А, В, отвечающие одному и
тому же линейному оператору в различных базисах, подобны: В =
= САС~г (С — матрица перехода от одного базиса к другому). В
случае представлений, когда речь идёт о группе линейных операто-
операторов, зависимость от выбора базиса учитывается следующим образом.
Определение 2. Два линейных представления (Ф,У), (Ф,И^)
группы G называются эквивалентными (изоморфными или подобны-
подобными), если существует изоморфизм векторных пространств а : V —У
—у W, делающий диаграмму
Гл. 3. Элементы теории представлений
V ^ W
Чэ) I
V -^ W
коммутативной при всех д G G, т. е.
или, что равносильно,
Щд) = аФE)а B)
(сравнить с определением эквивалентности действий группы на мно-
множествах, данным в упр. 1 из § 2 гл. 1). Будем иногда писать Ф « Ф
для эквивалентных иФ^Ф для неэквивалентных представлений.
Приведём ещё два варианта определения 2.
а) Терминология G-пространств. Пусть G — группа и
V : (g,v) \-У д *v, W : (д, w) \-У д о w — два G-пространства с дейст-
действиями *,о, удовлетворяющими условиям A). Изоморфизм а : V —У
W векторных пространств является изоморфизмом G-пространств,
если
goa(v) = a(g*v) B')
для всех д G G и v G V. Говорят ещё, что отображение а перестано-
перестановочно с действием G.
б) Матричная терминология. Если V = (i?i,... ,vn), W =
= (wi,..., wn) и Фр, Фр — матрицы линейных операторов Ф(#), Ф(^)
относительно выбранных базисов, то условие эквивалентности B)
выражается в виде
Фд=СФдС-1, B")
где С — некоторая невырожденная матрица, одна и та же для всех
д G G. Коэффициенты всех рассматриваемых матриц принадлежат
одному полю К.
Отношение подобия матриц, выраженное условием B"), есть от-
отношение эквивалентности, разбивающее множество Мп(К) на непе-
непересекающиеся классы. Соответственно и представления группы G
разбиваются на классы эквивалентных представлений. Из дальней-
дальнейшего будет ясно, что для теории представлений интересны и сущест-
существенны именно классы эквивалентных представлений.
Обращаясь вновь к курсу линейной алгебры, попытаемся более
наглядно представить себе действие группы Ф(б?) на пространст-
пространстве V. Относительно линейного оператора Л: V —У V в V может
существовать инвариантное подпространство U: и G U =^ Ли G U.
Дополнив произвольный базис (ei,... ,е^) в U до базиса всего про-
пространства V = (ei,..., е/., efc+i,..., еп), мы увидим, что матрица one-
1. Определения и примеры линейных представлений
89
ратора А в базисе (ei,...,en) примет блочно-треугольный вид:
Ах Ао
О А,
Блок А\ соответствует инвариантному подпространству С/, а блок
А<± — факторпространству V/U. Если Aq — нулевая матрица, то
А = А\ 4- А<± — прямая сумма блоков и V = U © W — прямая сумма
инвариантных подпространств.
Существование собственного инвариантного подпространства
относительно А всегда обеспечено, коль скоро основное поле К ал-
алгебраически замкнуто (см. [ВА II]). Если, например, К = С, то
найдётся вектор v Е V, v ф 0, для которого Av = Ai?. Здесь А —
корень характеристического многочлена
fA(t) = \tE-A\ =tn - (trA)^-1 + ... + (-l)ndet A
(A — произвольная матрица линейного оператора А). Это сообра-
соображение позволяет выбрать в V базис, относительно которого А при-
принимает треугольный вид:
А =
О
с характеристическими корнями Ai, A2,..., Ап по диагонали. Несколь-
Несколько более тонкий анализ заканчивается приведением А к жордановой
нормальной форме J(A) (см. [ВА II] ) — прямой сумме жордановых
клеток
А 1 0 ... О
О А 1 ... О
О 0 0
А
(m x m — размер клетки, А — один из характеристических корней).
Заметим, что если Aq = Е, то J^ Л = Е — единичная т х т-
матрица для каждой жордановой клетки Jm^\ матрицы А, а это, оче-
очевидно, возможно только тогда, когда т = 1 и А — корень степени q
из 1 (по-прежнему считаем К = С). Значит,
1 О
А2
А" = Е
С АС'1 =
О
А? = 1, C)
для некоторой обратимой матрицы С. То же самое следует из более
простого критерия диагональности линейного оператора А с матри-
90 Гл. 3. Элементы теории представлений
цей А и характеристическим многочленом /^ (?) = tq — 1 без кратных
корней.
Все эти соображения, относящиеся к изолированному линейному
оператору Л : V —У V, полезно иметь в виду при переходе к группе
{Ф(#) | 9 ? G} линейных операторов.
Определение 3. Пусть (Ф, V) —линейное представление груп-
группы G. Подпространство U С V называется инвариантным (или ус-
устойчивым) относительно G, если Ф(д)и Е U для всех и Е U и всех
д Е G. Нулевое подпространство и само пространство V представ-
представления Ф относятся к тривиальным инвариантным подпространст-
подпространствам. Представление, обладающее лишь тривиальными инвариантны-
инвариантными подпространствами, называется неприводимым. Представление
приводимо, если у него имеется хотя бы одно нетривиальное инвари-
инвариантное подпространство.
Согласно сказанному выше в случае приводимого представления
(Ф,У) с инвариантным подпространством U пространство V обла-
обладает базисом, относительно которого
0
D)
для всех g G G. Так как Ф'дк = Ф^Ф^, Ф;е = Ек и Ф'д(и) С U, то
отображение Ф;: д \-^ Ф'д определяет представление на U, назы-
называемое подпредставлением в Ф. На факторпространстве V/U также
определено представление. Оно называется факторпредставлением
и задаётся матрицами Ф^, g G G.
Если базис в V можно выбрать так, что все матрицы Ф^ в D) ну-
нулевые, то говорят о разложимом представлении Ф, а точнее, о прямой
сумме представлений Ф = Ф; + Ф". Разложение (Ф, V) в прямую сум-
сумму осуществимо в точности тогда, когда инвариантное подпростран-
подпространство U С V имеет дополнительное инвариантное подпространство
W, так что V = U © W — разложение в прямую сумму подпро-
подпространств и Ф(и) С U, Ф(И/) С W. Если это так, то Ф' = Ф \и,
фП = ф \w — ограничения Ф на U и на W соответственно.
Линейное представление (Ф,У) называется неразложимым, если
его нельзя выразить в виде прямой суммы двух нетривиальных под-
представлений. Говорят также о неразложимом G-пространстве V.
Последовательно расщепляя, если это возможно, V, С/, W и т. д. в
прямые суммы инвариантных подпространств, мы придём к прямой
сумме V = V\ © ... © Vr нескольких инвариантных подпространств
(соответственно к прямой сумме Ф = Ф^1) + ... + ф(г) нескольких
представлений). При надлежащем выборе базиса в V матрицы ли-
1. Определения и примеры линейных представлений
91
неиных операторов примут вид
Ф
A)
9
О Ф
B)
О
о
о
о
ф
(г)
Определение 4. Линейное представление (Ф, V) группы G, яв-
являющееся прямой суммой неприводимых представлений, называется
вполне приводимым. Аналогичная терминология применяется по от-
отношению к G-пространствам.
Интуитивно ясно, что неприводимые представления играют роль
строительных блоков, из которых конструируются произвольные ли-
линейные представления. Вполне приводимые представления получа-
получаются в результате применения простейшей конструкции — прямой
суммы. Из дальнейшего будет видно, что во многих случаях этого до-
достаточно для описания всех представлений. Заметим, что некоторые
важные для физики группы, такие, как группа Лоренца, имеют бес-
бесконечномерные неприводимые представления. Естественно, что они
никак не сводятся к конечномерным и должны изучаться отдельно.
2. Примеры линейных представлении. Мы ввели все сущест-
существенные понятия теории представлений. Осталось наполнить их
реальным содержанием, для чего на первых порах весьма полезно
познакомиться (и основательно разобраться) с приводимой ниже се-
серией примеров.
Пример 1. Полная линейная группа GL(n, К) над полем К имеет по опреде-
определению точное неприводимое линейное представление степени п с пространством
представления V = Кп. На этом же пространстве действует любая линейная
группа Н С GL(n,K) — точно, но, возможно, приводимо.
Аналогичные замечания относятся к другим классическим группам, указан-
указанным в § 1 гл. 1. Скажем, унитарная группа U(n) действует неприводимым об-
образом на эрмитовом пространстве, а ортогональная О(п) — на евклидовом. Это
непосредственно следует из доказанного в [ВА II] более сильного утверждения,
что группы U(n) и О(п) действуют транзитивно (в смысле примера 3 из п. 3 § 2
гл. 1) на множестве векторов единичной длины.
Пример 2. Заставив действовать GL(n,K) на векторном пространстве
Мп(К) матриц порядка п по правилу Ф^ : X ь-)- АХ (А Е GL(n,K), X Е
Е Мп(К)), мы без труда убеждаемся в том, что Фа(«Х + CY) = а^л(Х) +
+ /ЗФ^(У) и Фав — ^А^в- Поэтому (Ф,МГ1(Х)) —линейное представление сте-
9 (i)
пени п . Пусть М^ — подпространство матриц
О ... хц ... О
с единственным отличным от нуля столбцом Х
подпространство инвариантно относительно Ф^
\ Как легко проверить, это
А Е Gh(n, К), неприводимо
92 Гл. 3. Элементы теории представлений
и изоморфно (как GL(n, К)-пространство) естественному пространству Кп, на
котором действует Gh(n, К). Таким образом,
мп(к) = м?\к) е... е м^п\к)
— разложение в прямую сумму п изоморфных GL(n, К)-подпространств, чему
соответствует разложение
Ф = Ф^-Ь ... +ф(п)
в прямую сумму п эквивалентных представлений. Символически этот факт за-
записывают в виде
Мп(К) ^пМ^\к), Ф « пФA).
Пример 3. Определим теперь действие Ф группы GL(n,K) на Мп(К), по-
положив Фа '• X I—>¦ AXA-1. Снова (Ф, Мп(К)) — линейное представление степени
п2. Если X = (xij), то, как обычно, trX = ^2Ц=\ха — след матрицы X. Хо-
Хорошо известно, что \t(olX + CY) = atrX + /3trY (линейность функции tr) и
1тФа(Х) = trX. Отсюда следует, что множество М®(К) матриц с нулевым сле-
следом является инвариантным подпространством относительно Ф. С другой сторо-
стороны, Фд(ХЕ) = ХЕ и trXE = пХ. Таким образом, в случае поля К нулевой харак-
характеристики имеет место разложение в прямую сумму GL(n, К)-подпространств
Мп(К) = (Е) 0 М°(К) E)
размерностей 1 и п2 — 1 соответственно. Заметим, что при п = р и К = Zp
разложение типа E) отсутствует, поскольку в этом случае tr E = 0.
Согласно определению жорданова нормальная форма J(X) матрицы X явля-
является не чем иным, как удобным и простейшим представителем GL(n, С)-орбиты,
содержащей X. Ограничение Ф на любую подгруппу Н С Gh(n,K) делает ес-
естественным вопрос о канонических представителях Н-орбит.
Пример 4. В предыдущем примере положим К = 1и ограничим Ф на ор-
ортогональную группу О(п). Так как А ? O(n) <^=> tA = А~1, то t(AXA~1) =
= * А • tX • ь А = АЬХ А. Выбирая в качестве X матрицу У + ЬУ или Y — bY,
мы видим, что пространство представления Мп(М) группы О(п) записывается в
виде суммы О(п)-подпространств
мп(ш) = (e)r e м+(м) е м~(ш)
— одномерного пространства (E)R скалярных матриц (п + 2)(п — 1)/2-мер-
ного пространства симметричных матриц с нулевым следом и п(п — 1)/2-мерного
пространства кососимметричных матриц. Хорошо известно взаимно однознач-
однозначное соответствие между симметричными (кососимметричными) матрицами и
симметричными (соответственно кососимметричными) билинейными формами.
Действие О(га) на (Е®) 0 М^~(М) и на М^(М) переносится на пространства соот-
соответствующих форм. Теорема о приведении квадратичной формы q(x) к главным
осям есть не что иное, как возможность выбора в О(п)-орбите, содержащей q(x),
диагональной формы J^ ^%х\ с вещественными Л^, определёнными однозначно с
точностью до перестановки.
Заменяя МнаСи О(п) на унитарную группу U(n), мы придём к разложению
Мп(?) = (Е)с 0 М+(С) 0 М-(С)
в прямую сумму и(п)-подпространств скалярных, эрмитовых с нулевым следом
и косоэрмитовых матриц. Случай п = 2 был подробно разобран в § 1 гл. 1.
§ 1. Определения и примеры линейных представлений 93
Пример 5. Пусть G — группа перестановок, действующая на некотором
множестве Q с числом элементов \Q\ = п > 1, т.е. G С Sn. Векторное прост-
пространство
У = {е{\ iG%
над полем К нулевой характеристики с базисом, занумерованным элементами
множества П, мы превратим в (^-пространство, полагая
Ф(д)
(i \-y g(i) — действие перестановки g G G на г G G. Так как (gh)(i) = g(h(i)), то
получается линейное представление степени п группы G. Оно никогда не является
неприводимым, поскольку
Л{ 1 F)
— разложение в прямую сумму одномерного и (п — 1)-мерного инвариантных
подпространств (если char К = р>0ир|п,то прямой суммы уже не получится).
Выделим два частных случая.
а) G = Sn- Мономорфизм Sn —у GL(n,M), построенный в упр. 13 из § 4
гл. 1, совпадает с нашим линейным представлением Ф, если взять в качестве ei
г-й координатный столбец Е^г\ Разложение F) показывает, что для Sn сущест-
существует более экономное вложение Sn —у GL(n — 1,Q). Позднее будет доказана не-
неприводимость этого линейного представления степени п — 1 (даже над полем С).
б) Регулярное представление. Пусть G — произвольная конечная группа.
Положив Q = G, мы получим так называемое регулярное (^-пространство V =
= {ед | д G G) и соответственно регулярное представление (р, V) группы G :
р(а)е9 = еад для всех а,д G G. Если угодно, регулярное представление в не-
несколько иных обозначениях нам уже встречалось при доказательстве теоремы
Кэли [ВА I, гл. 4], но нас интересовало тогда не пространство У, а множество
{ед} его базисных векторов. Значение регулярного представления конечной груп-
группы G заключается в том, что оно содержит все неприводимые представления G,
рассматриваемые с точностью до эквивалентности (см. § 5).
Пример 6. Представление степени 1 — это просто гомоморфизм Ф : G —у
—у К* группы G в мультипликативную группу поля К (К — одномерное вектор-
векторное пространство над собой). Так как мультипликативная группа поля абелева,
то КегФ D G', где G' — коммутант группы G (теорема 5 из § 4 гл. 1). Заметим,
что эквивалентность двух одномерных представлений Ф', Ф" (с одинаковым
пространством представления) равносильна их совпадению, так как
аФ'{д)а~1 = Ф" {д) =* Ф'{д) = Ф" {д) =* Ф' = Ф".
Пусть дп = е. Тогда Ф(д)п = Ф(дп) = Ф(е) = 1, т.е. Ф(д) — корень из
единицы. Ядро любого одномерного представления может быть нетривиальным
даже для циклической группы G. Если, например, G = Z\ иХ = 2ц,то КегФ D
D 2Z4. С другой стороны, в случае К = С любая циклическая группа имеет
точное одномерное представление.
a) G = (Z,+). Представление к ь-»- Хк при |А| ф 1 точно. Если |А| = 1, то по
формуле Эйлера А = е27тг0, 9 G М, и ядро отображения к \-у е27тгОк отлично от
нуля только при 9 G Q-
94
Гл. 3. Элементы теории представлений
Группа Z обладает неразложимыми комплексными представлениями сколь
угодно высокой степени, которые, однако, не являются неприводимыми. Доста-
Достаточно сослаться на теорему о жордановой нормальной форме матрицы и рас-
рассмотреть отображение
тк _
Jm,l —
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
... 0
... 0
... 1
... 0
0
0
1
1
6) G = (а | ап = е). Пусть ? = ехрBтгг/п) — примитивный корень степени п
из 1. Из п одномерных представлений
Ф(т): ак ^?шк, т = 0,1,...,п- 1, G)
точными будут (р(п). Отметим интересный факт: циклическая группа порядка п
имеет, ровно п попарно неэквивалентных неприводимых представлений над С.
Все они одномерны и имеют вид G).
Действительно, нужно убедиться лишь в том, что у конечной циклической
группы нет неприводимых над С представлений размерности > 1. Но перед опре-
определением 3 отмечался тот факт, что любой линейный оператор Ф(д) конечного
порядка диагонализируем над С. В данном случае это равносильно полной при-
приводимости представления Ф. Если dim Ф = г, то Ф распадается в прямую сумму г
одномерных представлений.
Для циклической группы конечного порядка получено по существу описание
всех комплексных линейных представлений. С точностью до эквивалентности
Ф
(н)
0
0
Фо
где ф(т) — одно из представлений вида G).
Нашей целью является установление подобных закономерностей в общем
случае.
Пример 7. Уже в предыдущих примерах чувствовалась сильная зависи-
зависимость свойств линейного представления Ф группы G от основного поля К. Внесём
дополнительную ясность в этот вопрос.
Циклическая группа G = (а \ ар = е) простого порядка р, действующая
на двумерном векторном пространстве V = (г>1,г>2) над произвольным полем К
характеристики р по правилу a*vi=vi, а * г>2 = v\ + г>2, определяет неразло-
неразложимое представление (Ф,У):
1 к
О 1
В самом деле, матрица Фа имеет характеристический корень 1 кратности 2. По-
Поэтому разложимость Ф в прямую сумму двух одномерных представлений означа-
означала бы существование обратимой матрицы С, для которой СФаС~1 = q i
Но тогда Фа = С~ХЕС = Е, что не так.
Пусть, далее, G = (а | а3 = е) — циклическая группа порядка 3 и К =
= Ж. Двумерное представление (Ф, V), V = (г>1,г>2), заданное в указанном базисе
матрицей
1
О
1. Определения и примеры линейных представлений
95
неприводимо, поскольку характеристический многочлен ts + t + 1 этой матрицы
не имеет вещественных корней. Если же V рассматривать над С, то, естественно,
V разлагается в прямую сумму одномерных (^-подпространств
V = (vi + s~1v2) 0 (vi + sv2)
О
О
2
С =
1 -в'1
1 -е
Таким образом, при расширении поля свойство неприводимости представле-
представления может утрачиваться.
В дальнейшем, за редким исключением, основное поле К будет
полем комплексных чисел (наиболее важным с практической точки
зрения) или же произвольным алгебраически замкнутым полем ну-
нулевой характеристики.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Группа SOB) задаётся своим естественным двумерным представлением
cos в — sin в ||
неприводимым над Ж. Проверить, что
II oiO
О
О
о-1в
для A=
GGLB,C).
Значит, Ф' — прямая сумма двух неэквивалентных (в данном случае просто раз-
различных) одномерных представлений.
2. Неприводимо ли при п = 2 и п = 3 GL(n, С)-пространство М^(С) в
разложении E)?
3. Пусть ФиФ — неприводимые комплексные представления циклической
группы (а | ап = е) порядка п. Показать, что
л 71-1
1> если Ф
о, если Ф
4. Опираясь на упр. 3, убедиться в справедливости следующего утверждения.
Любую комплекснозначную функцию / на конечной циклической группе (а | ап =
= е) можно записать в виде разложения "по элементарным гармоникам"
71-1
т=0
"Коэффициенты Фурье" ст вычисляются по формуле
л 71-1
^. — тк
к=0
5. Из формулы для числа ожерелий (см. начало главы) вывести элементарные
следствия:
а) Qp — Q = 0 (mod p) (малая теорема Ферма, см. § 4 гл. 4);
б) Ed
96 Гл. 3. Элементы теории представлений
§ 2. Унитарность и приводимость
1. Унитарные представления. Напомним (см. [ВА II]), что
в курсе линейной алгебры невырожденная форма (u,v) \—У (u\v) на
векторном пространстве V над С называется эрмитовой, если
(u\v) = (v\u),
(аи + /3v\w) = a(u\w) + /3(v\w), A)
(v\v) > 0 для всех v ф О
(как всегда, z \-^>~z — автоморфизм комплексного сопряжения). Про-
Пространство У, рассматриваемое вместе с невырожденной эрмитовой
формой (u\v), называется эрмитовым пространством. Его вещест-
вещественным аналогом служит евклидово пространство со скалярным про-
произведением, задаваемым невырожденной симметричной билинейной
формой. Взяв базис ei,..., еп в У, мы запишем форму (u\v) для и =
= Ei ще^ v = Ej V3ej в виДе
(u\v) = /] hjjUjVj.
Матрица Н = (hij) удовлетворяет условию hij = hji и называется
также эрмитовой.
Существует ортонормированный базис (определяемый условием
(ei\ej) = 5ij), относительно которого
п
(u\v) = ^UiVi.
Линейный оператор Л: V —У V, сохраняющий эту форму, т.е. об-
обладающий свойством (Л^|Лг;) = (г^|г;), называется унитарным опе-
оператором. В вещественном случае ему соответствует ортогональ-
ортогональный оператор. Условие унитарности, записанное в матричном виде
А • fA = EcA = (ctij), fA = A* = (а^), нам уже встречалось в гл. 1.
Обозначив (как в [ВА II]) через Л* линейный оператор с матрицей
1А — А*, выразим условие унитарности в виде А • Л* = ? =
= Л* • А. Группу всех унитарных матриц (группу унитарных опе-
операторов или просто унитарную группу) принято обозначать U(n).
По определению U(n) С GL(n,C), и если представление Ф : G —У
—у GL(n,C) таково, что 1тФ С U(n), to (Ф, V) называется унитар-
унитарным представлением.
Теорема 1. Всякое линейное представление (Ф,"К) над С
конечной группы G эквивалентно унитарному представлению.
Доказательство. Выберем в пространстве представления V
§ 2. Унитарность и приводимость 97
группы G какую-нибудь невырожденную эрмитову форму
Н : (u,v) Н> H(u,v) = ^hijUiVj
(запись относительно некоторого базиса (Д,..., /п) пространства V)
и рассмотрим форму (u\v), получающуюся из H(u,v) "усреднением"
noG:
B)
Множитель \G\~X несуществен и поставлен лишь для того, чтобы в
случае унитарности Ф имело место равенство (u\v) = H(u,v). Так
как
Н(Ф(д)и,Ф(д)у) = Н(Ф(д)у,Ф(д)и),
Н(Ф(д)(аи + /3v), Ф(д)ю) = Н(аФ(д)и + /ЗФ(д)у, Ф(д)т) =
= аН(Ф(д)и, Ф(д)ги) + рН{Ф{д)у, Ф(д)ги),
Н(Ф(д)ь,Ф(д)у) >0
для v ф 0 и всех д G G, то форма B) удовлетворяет условиям A) и
является, следовательно, невырожденной эрмитовой формой.
Кроме того (и это самое главное),
щ Y, Я(ФE)Ф(Л)
1 ' дев
, Ф(дЬ)ю) = 7^7
инва-
инват.е. оператор Ф(д) при любом д ? G оставляет форму
риантной. Выберем в V ортонормированный относительно формы
(u\v) базис. Тогда в этом базисе матрицы Фд операторов Ф(д) будут
унитарными. П
Замечание 1. Утверждение теоремы 1 не вытекает автомати-
автоматически из известного нам факта, что каждая отдельная матрица Фд с
дш — е подобна унитарной diag(Ai,..., Ап) с А^ = 1.
Замечание 2. В вещественном случае совершенно аналогичное
рассуждение показывает, что представление (Ф, V) эквивалентно ор-
ортогональному.
Замечание 3. По многим причинам унитарные представления
играют важную роль в приложениях теории представлений, и весьма
замечательно, что теорема 1 продолжает оставаться справедливой
для гораздо более широкого класса компактных групп таких, как
7 А.И. Кострикин
98
Гл. 3. Элементы теории представлений
U(n) и 0(п). Доказательство то же самое, но суммирование по эле-
элементам группы заменяется интегрированием (по некоторой мере) на
группе. Вспомним, что компактная группа SUB) геометрически не
отличима от трёхмерной сферы 53, и поэтому имеет смысл говорить,
например, о её объеме. Вообще, существует значительный паралле-
параллелизм в теории представлений конечных и компактных групп, но мы
лишены возможности на этом останавливаться. Из примера б, а) § 1
видно, что представления некомпактных групп (например, G = Z)
унитарными быть не обязаны.
В заключение отметим, что хотя доказательство теоремы 1 кон-
конструктивно, было бы не очень практичным использовать его для
отыскания унитарной реализации имеющегося представления. На-
Например, для группы G, порождённой элементами а1,...,а^, доста-
достаточно добиться унитарности матриц Фа1,...,Фа^. Тогда и группа
Ф(Сг) будет унитарной.
Пример 1. Симметрическая группа 53 = (A 2), A 2 3)) обладает двумерным
представлением Ф, содержащимся в качестве прямого слагаемого в естественном
трёхмерном представлении (см. пример 5 из § 1). Именно, если
Ф(тг)вг = е^, г = 1,2,3, /i = ei - е3, /2 = е2 - е3,
= е2 - е3 =
= ei - е3 = /ь
2=е3-е1 = -Д.
Ф(A2 3))/1 =e2-ei = -/i+/2, ( )
Так как тт = A 2 3)гA 2)J , где г = 0,1 или 2 и j = 0 или 1, то без труда получаются
все матрицы Ф^ = Ф(тг) |<д j2):
i—>¦
1 О
-1 -1
B 3) v
Из соотношений det
A2)
) 1 II
L 0 ||'
-1 -1
1 О
A3)
-1 -1
О 1
A32) I
О 1
-1 -1
-1 -1
1 О
= 1 и A2 3K = е следует, что
с
-1 -1
1 О
С'1 =
для некоторой невырожденной матрицы С. Сопряжение при помощи С не долж-
0 1
но нарушать свойства унитарности матрицы
1 О
Линейным условиям
С
0 1
1 О
0 1
1 О
С
-1 -1
1 О
е О
О е-1
С
удовлетворяет матрица
С =
1 -е1
-е2 1
Теперь мы имеем возможность выписать известные нам унитарные пред-
представления группы 5з, а именно единичные Ф^1), Ф^2) : тг ь-»¦ sgn(yr) = ±1 и
§ 2. Унитарность и приводимость
99
только что полученное двумерное представление фC) « Ф. Для последующих
ссылок удобна такая таблица:
S3
фA)
фB)
фC)
е
1
1
1 0
0 1
A2)
1
-1
0 1
1 0
A3)
1
-1
0 е
в'1 0
B 3)
1
-1
0 в'1
е 0
A2 3)
1
1
е 0
0 в'1
A3 2)
1
1
в'1 0
0 е
Пример 2. Естественное ортогональное представление бесконечной груп-
группы, а именно SUB), доставляет эпиморфизм Ф: SUB) —> SOC), построенный в
§ 1 гл. 1.
2. Полная приводимость. Из определений и замечаний, сде-
сделанных в § 1, ясно, насколько фундаментальным является следующее
утверждение.
Теорема 2 (теорема Машке). Каждое линейное представление
конечной группы G над полем К характеристики, не делящей \G\
(в частности, нулевой), вполне приводимо.
Напомним, что утверждение теоремы 2 означает разложимость
(Ф,У) в прямую сумму неприводимых представлений. Собственно
говоря, классическая теорема Машке гласит следующее.
(М) Каждое G-инвариантное подпространство U С V обла-
обладает G-инвариантным дополнением W:
v = и е w. (з)
Мы будем доказывать именно это утверждение, из которого
теорема 2 следует автоматически. Действительно, либо представле-
представление (Ф, V) неприводимо, и тогда нечего доказывать, либо существу-
существует собственное G-инвариантное подпространство U, и тогда имеет
место разложение C) с некоторым G-подпространством W. В этом
случае dim U < dim V, dim W < dim V. Применяя к U и W те же рас-
рассуждения и используя индукцию по размерности, получаем требуе-
требуемое разложение на неприводимые компоненты.
Переходим к доказательству утверждения (М). Нас по-прежнему
больше интересует случай поля К = С, поэтому полезно привести
два независимых рассуждения.
Первое доказательство (К = С). Согласно теореме 1
существует невырожденная эрмитова форма (u\v) на пространст-
пространстве представления V, инвариантная относительно линейных операто-
операторов Ф(д). Для каждого подпространства U С V существует ортого-
ортогональное дополнение
U± = {v eV\ (u\v) = 0 \/и G U},
100 Гл. 3. Элементы теории представлений
и по известной теореме из курса линейной алгебры
v = u®u±,
причём (U^I- = U. Предположим теперь, что U — G-подпрост-
ранство в V, т.е. Ф{дI1 С U для всех д Е G. Так как Ф(д) \и —
автоморфизм, то любой элемент и Е U записывается в виде
и = Ф(д)иг, и' Е U. Остаётся воспользоваться инвариантностью
формы
^[Z1^ (и\Ф(д)у) = (Ф(д)и'\Ф(д)у) = (u'\v) = 0.
Стало быть, v e U1- => Ф(д)у е U±. Положив W = С/-1, придём к
разложению C). ?
Второе доказательство. Пусть, как и прежде, U — инвари-
инвариантное относительно действия G подпространство в V. Рассмотрим
прямую сумму
v = u®u',
где U' — произвольным образом выбранное дополнение к U. Вооб-
Вообще говоря, U' не является G-инвариантным. Рассмотрим оператор
проектирования V : V —У U', определённый соотношением
Vv = и'
для всякого вектора v = и + и'. Имеем
v-VveU, V(U)=Q, V2=V. D)
Введём теперь "усреднённый" линейный оператор
VG = \G\~1 ^1
(деление на \G\ по условию возможно). Имеем
$(g)vG = vG4g) v^gg. E)
Действительно,
heG
ЧдЩРЩдН)-1) = IGp1 ? ФЩРФу-1) = PG,
teG
что и приводит к соотношению E). Положим
W = VG(V) = {VGv\ veV}.
Согласно E)
Ф(д)и) = Ф(д)ТоУ = VG$(g)v = VGv' = w' G W
для всякого w G W, так что векторное подпространство W С V
является на самом деле G-подпространством.
§ 2. Унитарность и приводимость 101
Осталось показать, что V = С/0 W — прямая сумма G-подпрост-
ранств. Так как Ф(Н~1)у - ТФ(Н~1)у е U (см. D)), то
v - Ф^ТФ^-^у = Ф(Л) {Ф^-^у - ТФ^-^у} е Ф(Н)и = U
(инвариантность С/). Следовательно,
v - VGv = \G\X
heG
и мы получаем у = и + w с w = Pg^ ? W', т.е. У = U © W.
Далее,
Ф^)?/ CU ^ ТФ^-^и = 0 (см.D)) =Ф
=> ф^рф^-^с/ = о => pG(c/) = о.
Стало быть,
v - VGV = ueU => PG(^ - ^g^) = 0,
откуда Pg^ = ^g^ Для всех ^ ^ У- Это значит, что Vg — проекти-
проектирование на W вдоль U:
VG(U) = 0, Vl = VG. F)
Теперь у G U П W =^ Vgv = 0, поскольку у G С/, и у = Vgv',
поскольку г; G Vg(V) — И^. Используя F), получаем
0 = PGu = Vg(Vgv') = Р^У = ^g^; = г;=>Е/ПТ^ = О. П
Было бы неосторожным сделать более сильное заключение об од-
однозначности разложения на неприводимые компоненты (неприводи-
(неприводимые G-подпространства):
Если, например, Ф(д) = ? — единичный оператор для всех д G G, то
любое прямое разложение V на одномерные подпространства будет
разложением на неприводимые компоненты, а таких разложений бес-
бесконечно много. Другое дело, если мы сгруппируем все изоморфные
неприводимые компоненты:
V = C/i ©...©C/s.
Так как мы не различаем изоморфные G-пространства, то можно
считать
Ui = Vi © Vi © ... © Vi = mVi,
us = vs © ys ©... © vs = nsys,
где n^ — кратность вхождения неприводимой компоненты Vi в раз-
разложение V. Мы увидим, что кратности определяются однозначно.
102 Гл. 3. Элементы теории представлений
УПРАЖНЕНИЯ
1. Всякое одномерное непрерывное представление группы (М, +) (когда близ-
близким числам соответствуют близкие операторы) имеет вид ф(а) : t ь-»¦ eiat, где
а — комплексное число. Показать, что ф(а) унитарно тогда и только тогда, когда
и Г*ОЧ /" Ч1Т1 /"
2. Ядро гомоморфизма / : t ь-)- • . . группы (М, +) на SOB)
11 sin ъ cos ъ
состоит из чисел t = 2тгт, т G Z. Таким образом, SOB) = M/BttZ), и каждо-
каждому неприводимому унитарному представлению Ф (согласно результатам § 4 оно
обязательно одномерно) группы SOB) отвечает неприводимое унитарное пред-
представление _
Ф : t + 2тгт ^ Ф(?), 0 ^ t < 2тг,
группы М, для которого ФBтг) = Ф@) = 1. Вывести из упр. 1, что Ф = ф(п\
п G Z. В сочетании с замечанием 3) в п. 1 это означает, что всякое неприводимое
представление группы SOB) имеет вид ф(те)(?) = em?, n G Z. Проверить, что
(сравнить с соотношением в упр. 3 из § 1: порядок п заменён "объёмом" 2тг груп-
группы SOB)). В анализе система функций {etnt} служит классическим примером
полной ортонормированной системы периодических функций (или функций на
окружности 51 ~ SOB); см., в частности, [ВА II]). С этого начинается обширная
теория рядов Фурье.
3. При помощи теоремы Машке доказать, что любое точное комплексное
двумерное представление неабелевой конечной группы неприводимо.
§ 3. Конечные группы вращений
Со времён античности и вплоть до нашего времени объекты,
обладающие богатой симметрией, постоянно привлекают внимание
учёных. Наиболее известные и яркие примеры таких объектов — зна-
знаменитые пять Платоновых тел, красота которых непосредственно, на
чувственном уровне, доступна каждому человеку. В разные эпохи эта
красота вдохновляла философов, математиков, астрономов, физиков
на создание как мистических, так и научных систем, эстетически
созвучных правильным многогранникам по своей стройности и за-
завершённости. В изданном в 1968 г. в русском переводе цикле лек-
лекций "Симметрия", прочитанных великим математиком XX в. Герма-
Германом Вейлем [8], раскрыто значение исследований различных аспектов
симметрии как в становлении всего научного мировоззрения, так и
математики в частности. Уже по этой популярной брошюре можно
чётко проследить два основных, дополняющих друг друга аспекта
в математическом описании симметричных объектов: нахождение
необходимых условий существования (в простейших случаях фор-
формулируемых в виде одного или нескольких диофантовых уравнений
§ 3. Конечные группы вращений 103
для основных параметров (см. ниже A)) и проблема конструктивно-
геометрического описания, когда действительно существующие объ-
объекты строятся в явном виде (ниже — изображения Платоновых тел).
С развитием теории групп и теории представлений групп спектр ис-
исследований в области симметрии чрезвычайно расширился, затронув
самые различные разделы математики, физики, химии, биологии и
других научных дисциплин.
В этом параграфе речь пойдёт о конечных подгруппах группы
SOC). Зная их, мы заодно получим ортогональные неприводимые
представления таких групп, как A*, S^ ^-5, причём в легко запоми-
запоминаемой геометрической оболочке. При первом чтении можно опус-
опустить п. 1 и доказательство (весьма конспективное) теоремы 2, но
тому, кто пожелает проверить прочность усвоения общей идеи "дей-
"действия группы" (§3 гл. 1), будет полезно познакомиться с содержа-
содержанием всего параграфа.
1. Порядки конечных подгрупп в SOC). Согласно теореме
Эйлера из курса линейной алгебры [В А II] всякий элемент A Е SOC),
Л/?, является вращением (поворотом) в евклидовом пространстве
Ж3 вокруг некоторой оси. Другими словами, имеются ровно две точ-
точки на единичной двумерной сфере 52, остающиеся неподвижными
при действии А: точки пересечения сферы и оси вращения. Эти две
точки называются полюсами вращения А.
Пусть теперь G — конечная подгруппа в SOC), a S — множест-
множество полюсов всех неединичных вращений из G. Ясно, что G действует
как группа перестановок на множестве S. Если х — полюс для неко-
некоторого вращения Л/8, A Е G, то при любом В имеем
т. е. Вх — полюс для ВАВ~Х и, стало быть, Вх Е S. Обозначим че-
через п множество всех упорядоченных пар (Л,ж), где A Е G, А Ф ?,
х — полюс для А. Пусть, далее, Gx — стационарная подгруппа (ста-
(стабилизатор) точки ж, т. е. подгруппа в G всех элементов, оставляющих
х на месте. Если
G = GxUg2GxU...UgmxGx
— разложение G в левые смежные классы по Сж, то G-орбитой точки
х будет множество
G(x) = {х,д2х, ...,дтхх}
с числом элементов |б?(ж)| = тх. По теореме Лагранжа N = тхпх,
где N = |G|, nx = \GX\ (по сравнению с § 3 гл. 1 обозначения несколь-
несколько изменены). Заметим, что пх — порядок циклической подгруппы
в G, каждый из элементов которой является вращением вокруг оси,
проходящей через х. Говорят, что пх — кратность полюса х или что
х есть пх-полюс.
104 Гл. 3. Элементы теории представлений
Каждому элементу Л Ф ? из G соответствует два полюса, поэто-
поэтому |П| = 2{N — 1). С другой стороны, для каждого полюса х имеется
пх — 1 элементов из G, отличных от е и оставляющих неподвижным
полюс х. Следовательно, число пар (*4, х) равно сумме
Взяв за {xi,..., Xk} множество полюсов, по одному из каждой орби-
орбиты, положив rii := пж., ттт^ := mXi и заметив, что пх = nXi = rii для
всех х Е G(xi), мы получим
к к
Таким образом,
к
2N - 2 = '
Разделив на N обе части равенства, будем иметь
Предполагаем N > 1, так что 1^2 — 2/N < 2. Так как П{ ^ 2, то
1/2 ^ 1 — 1/ni < 1, а поэтому /с должно равняться 2 или 3.
Случай 1. к = 2. Тогда
или, что равносильно,
2 = 1 = TTli + ?^2,
ni п2
откуда TTii = 777,2 = 1, fii = П2 = N. Стало быть, G имеет в точности
одну ось вращения и G = (Т/v — циклическая группа порядка N.
Случай 2. к = 3. Пусть для определённости п\ ^ П2 ^ пз-
Если П1 ^ 3, то мы имели бы
что невозможно. Таким образом, п\ = 2, и уравнение A) записыва-
записывается в виде 1/2 + 2/7V = 1/тт,2 + 1/п3- Очевидно, 77,2 ^ 4 => 1/тт,2 +
+ 1/пз ^ 1/2 — противоречие. Поэтому п^ = 2 или тт,2 = 3.
Если 77,2 = 2, то пз = NJ2 — 777, (т.е. 7V должно быть чётным) и
ттт,! — ^^2 — ^^5 ^^з = 2. Эти данные соответствуют группе диэдра
3. Конечные группы вращений
105
Dm (см. пример 1 из п. 5 § 4 гл. 1). Если п2 — 3, то 1/6 + 2/7V = 1/пз,
и мы имеем лишь три возможности:
2') п3 = 3, N = 12, 777-1 = 6, т2 = 4, ш3 = 4;
2") п3 = 4, 7V = 24, mi = 12, т2 = 8, т3 = 6;
2'") п3 = 5, N = 60, т1 = 30, т2 = 20, т3 = 12.
Соберём все эти данные в табл. 1.
Таблица 1
N
п
2т
12
24
60
Число
орбит
2
3
3
3
3
\s\
2
2m + 2
14
26
62
Порядки
централизаторов
п
2
2
2
2
п
2
3
3
3
—
т
3
4
5
Нами доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть G — конечная подгруппа в SOC), отлич-
отличная от циклической и диэдралъной. Тогда для её порядка N имеют-
имеются лишь три возможности: N = 12, 24, 60. Другие ограничения на
группу G содержатся в таб. 1.
2. Группы правильных многогранников. Существование
групп порядков 12, 24 и 60, содержащихся в SOC), доказывается
совсем просто. С точностью до подобия существует лишь пять (из-
(известных с античных времён) правильных выпуклых многогранников
в евклидовом пространстве М3(см. рис. 5): тетраэдр Л4, куб Пе, ок-
октаэдр Л8, додекаэдр +12 и икосаэдр Л2о:
?е
*12
Рис. 5
Если центр правильного многогранника М поместить в началь-
начальную точку пространства М3, то вращения из SOC), совмещающие
106
Гл. 3. Элементы теории представлений
М с собой, составят конечную подгруппу. При этом, однако, возни-
возникает не пять, а всего лишь три различные (неизоморфные) группы
вращений, поскольку для куба и октаэдра, а также для додекаэдра
и икосаэдра они одинаковы. Это очень легко объяснить геометри-
геометрически. Если соединить отрезками середины смежных граней куба,
то эти отрезки будут рёбрами вписанного в куб октаэдра. Всякое
вращение в Ж3, оставляющее куб инвариантным, переводит в себя
вписанный октаэдр, и обратно. Аналогичное замечание относится к
паре додекаэдр-икосаэдр.
В табл. 2 Nq — число вершин многогранника, JVi — число
рёбер, N2 — число граней, \i — число сторон (рёбер) каждой грани,
a v — число граней, сходящихся к одной вершине. Как и ранее, N —
порядок соответствующей группы.
Таблица 2
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
4
8
6
20
12
N!
6
12
12
30
30
N2
4
6
8
12
20
ц
3
4
3
5
3
V
3
3
4
3
5
N
12
24
24
60
60
В соответствии с геометрической теоремой Эйлера о многогран-
многогранниках
No - N± + N2 = 2.
Общее число полюсов равно
No + JVi + N2 = 27Vi + 2.
При любом вращении, переводящем многогранник в себя, данное реб-
ребро а\Ъ\ совмещается с любым другим: с а\Ь\ или с Ъ\а{, так что N =
= 2Ni. Заметим ещё, что {/i, г/} = {п2,пз}, где П2,пз — введённые в
п. 1 кратности полюсов.
Пусть, далее, Т — группа тетраэдра, О — группа куба (октаэд-
(октаэдра) и I — группа икосаэдра (додекаэдра).
Элементами Т являются вращения на углы вокруг четырёх осей,
соединяющих вершины с центрами противоположных граней, враще-
вращения на угол тг вокруг каждой из трёх осей, соединяющих середины
противоположных рёбер, и единичное вращение.
В группе О, кроме единичного, имеются вращения на углы тг/2,
тг, Зтг/2 вокруг трёх осей, соединяющих центры противоположных
граней куба, вращения на углы 2тг/3, 4тг/3 вокруг четырёх осей,
соединяющих экстремально противоположные вершины, и вращения
на угол тг вокруг каждой из шести осей, соединяющих середины
диагонально-противоположных рёбер.
§ 3. Конечные группы вращений 107
Правильный тетраэдр вписывается в куб и остаётся инвариант-
инвариантным относительно некоторых вращений из О порядка 3 и 2. Вместе с
единицей их набирается 12 штук и они составляют как раз группу Т.
Следовательно, Т С О, а так как |О : Т| = 2, то Т <\ О.
Каждому элементу из О соответствует ровно одна перестановка
на множестве, состоящем из четырёх больших диагоналей куба. Из
равенства порядков групп |О| = |54| = 24 следует их изоморфизм:
Соответственно Т = А4.
Упр. 2 показывает, что I = А§.
Возвращаясь к доказательству теоремы 1, заметим, что при п\ —
= 2, П2 = 72з = 3 имеются две четырёхэлементные орбиты
G(pi) = {риР2,Рз,Р*},
G(qi) = {^1,^2,^3,^4}
полюсов, где pi и qi — противоположные точки на сфере S . Если
Л4 — тетраэдр с вершинами pi, то его группа преобразований сим-
симметрии Т° содержит G. Из \G\ = 12 следует, что Л4 — правильный
тетраэдр, т.е. Л^ = Л4 и Т° = G = Т.
При П2 = 3, пз = 4 берём шестиэлементную орбиту G(pi) =
= {pi,... ,рб} полюсов, которые разбиваются на пары, поскольку i ф
Ф 3 => rii ф 4. Эти три пары точек на сфере S2 мы берём за три
пары противоположных вершин октаэдра Ag. Как и в предыдущем
случае, \G\ = 24 =^ Ag (в том смысле, что Ag — правильный окта-
октаэдр) и О0 = G = О.
Наконец, при п\ =2, п^ — 3, щ = 5 строится икосаэдр А^о с вер-
вершинами pi, взятыми из орбиты G{pi) = {pi,... ,Р2о}- Снова \G\ = 60
влечёт правильность икосаэдра А^о и совпадение групп: 1° = G =
= I. Осталось заметить, что любые два правильных многогранни-
многогранника одного и того же типа, вписанные в сферу 52, получаются друг
из друга некоторым вращением (замена системы координат). Этим
устанавливается сопряжённость в SOC) изоморфных подгрупп.
Соберём полученные результаты в виде теоремы.
Теорема 2. Все конечные подгруппы в SOC) исчерпываются с
точностью до изоморфизма группами
Cn, Dnj n e N;
Т ^ А4, О ^54 и 1^ Аъ.
Любые две изоморфные конечные подгруппы сопряжены в SOC).
Следствие. Указанные в теореме 2 изоморфизмы дают не-
неприводимые трёхмерные ортогональные представления групп А*,
54 и А§.
Используя теорему 2 и эпиморфизм Ф : SUB) —У SOC) (тео-
(теорема 1 из § 1 гл. 1), мы легко придём к описанию всех конечных
108
Гл. 3. Элементы теории представлений
подгрупп группы SUB) (можно действовать и в обратном порядке).
Любая такая группа G*, отличная от циклической, является прооб-
прообразом некоторой конечной подгруппы G С SOC). Возникают так
называемые бинарные группы
О* =
I* =
— бинарная группа диэдра, бинарная группа тетраэдра, бинарная
группа октаэдра и бинарная группа икосаэдра. Бинарные группы,
равно как и ортогональные представления
Ф: SUB) ^SOC)
в целом возникают естественным образом при описании состояний
физической системы частиц со спином.
УПРАЖНЕНИЯ
1. В группе икосаэдра I, помимо единичной подгруппы, имеется 15 сопряжён-
сопряжённых циклических подгрупп порядка 2, 10 сопряжённых циклических подгрупп
порядка 3 и 6 сопряжённых циклических подгрупп порядка 5. Доказать, что I —
простая группа.
2. Установить изоморфизм между группами I и А§.
3. Показать, что если Н — конечная подгруппа нечётного порядка в SUB)
или SOC), то Н циклическая.
4. Если конечная подгруппа Н С SUB) не является прообразом какой-либо
подгруппы G С SOC), то \Н\ = 1 (mod 2). Убедиться в этом.
5. Показать, что с точностью до сопряжения
DZ =
0 1
-1 0
е 0
0 е-1
6. Что общего между собой имеют бинарная группа икосаэдра I* и группа
SLB,Z5) =
ad — be = 1; a, b,c,d G Z\
¦}'
7. Пусть атомы q различных сортов (q < 200) располагаются всевозможны-
всевозможными способами (без учёта каких-либо химических связей) в вершинах правильного
многогранника М. "Молекулы", получающиеся друг из друга поворотом вокруг
некоторой оси, не различаются. Пусть /(М, q) — число различных молекул. По-
Получить формулы
¦6),
8. Показать, что подсчёт числа различных раскрасок граней многогранни-
многогранника М красками q сортов приводит в случае тетраэдра Л4 к той же формуле, что
и в упр. 7, а в случае куба и октаэдра формулы поменяются местами.
§ 4- Характеры линейных представлений 109
§ 4. Характеры линейных представлений
1. Лемма Шура и её следствие. В основе всякой содержатель-
содержательной математической теории лежит обычно несколько сравнительно
несложных (но тонких) соображений. Одним из краеугольных кам-
камней теории представлений является следующее утверждение.
Теорема 1 (лемма Шура). Пусть (Ф, V), (Ф, W) — два непри-
неприводимых комплексных представления группы G и а : V —У W —
линейное отображение такое, что
Ч>(д)а = аФ(д) VgeG. A)
Тогда:
i) если представления Ф, Ф неэквивалентны, то а = 0;
И) если V = W, Ф = Ф, то а — А?.
Доказательство. При а — 0 доказывать нечего. Считаем по-
поэтому а ф 0 и полагаем Vb = Ker а С V.
Так как аФ(д)уо = Ф(д)сгг>о при любом i?o G Vb, то Ф(д)Уо = Vb,
т.е. подпространство Vb инвариантно относительно G. Ввиду непри-
неприводимости (Ф, V) имеем Vb = 0 или Vb = V. Равенство Vo = V невоз-
невозможно, поскольку а ф 0. Стало быть, Ker a = 0.
Аналогично, полагая W\ = Im а С W, будем иметь
ил G ]У,^Ъ(д)иа = V(g)a(v1) = а(Ф(д)у1) = w[ G VFb
так что W\ — инвариантное подпространство в W. Снова а ф 0 =^
=^ W\ ф 0, а поскольку (Ф,И^) — неприводимое представление,
остаётся единственная возможность W\ = W.
i) Так как Ker сг = 0, Im а — W, то сг: У —>- VF — изоморфизм, и
условие i) есть не что иное, как условие эквивалентности представ-
представлений Ф, Ф (см. § 1, определение 2). Утверждение i) доказано.
И) По условию а: V —У V — линейный оператор на V. Пусть Л —
одно из его собственных значений; оно существует, поскольку основ-
основное поле С алгебраически замкнуто. Линейный оператор сто = о — А?
имеет нетривиальное ядро (в нём содержится собственный вектор)
и удовлетворяет равенству Ф(д)сго = аоФ(д). По ранее доказанному
ао = 0, т.е. а = А?. ?
Следствие. Пусть (Ф,У),(Ф,И/) — два неприводимых пред-
представления над С конечной группы G порядка \G\ и а: V —У W —
произвольное линейное отображение.
Тогда усреднённое отображение
ъ
щ
обладает следующими свойствами:
i) Ф ф Ф => 5 = 0;
110 Гл. 3. Элементы теории представлений
И) V = W, Ф = Ф^5 = А?, А=
dim У
Доказательство. Имеем
heG
IGI 5]
5] Ъа)аФ(г) = а,
h teG
так что Ф(<7)<т = 5Ф(^) V^ G G. По лемме Шура сразу получаются
оба утверждения, причём уточнение, касающееся константы Л, выте-
вытекает из соотношений
(dim V)A = trA? = tra= \G\~X ^ tr Ф(д)аФ(д)-1 =
\G\X J^ = trcr.
Здесь мы воспользовались известным свойством функции следа:
tr С AC'1 =trA ?
Нам понадобится матричная формулировка следствия. С
этой целью выберем в пространствах У, W какие-нибудь базисы:
v = {ei\ iei), w = (fj\ jeJ).
Запишем в этих базисах наши отображения (отождествляя их с со-
соответствующими матрицами):
а = fai), а = (aji)] г,г1 G /, j, j' G J.
Согласно определению а
Yl ^jfig^fi'Vi'iig-1). B)
Отображение а: V —> W у нас совершенно произвольное. Мы
можем взять
°ji = 0 V(j,i) ф (jo, «о); CTjoio = 1- C)
Утверждению i) следствия тогда отвечает соотношение
\G\~X Y^jjoig) •^ioi(p-i) =0 Vi,io,j,jo D)
gEG
(Ф и Ф — неэквивалентные представления).
Если теперь V = W и Ф = Ф, то
§ 4- Характеры линейных представлений 111
tr а „ tr cr Sji уг-^
dim V Jl Jl dim V dim V ^ J % J %
г',31
Сравнивал полученное выражение с B), получаем
= dim v
откуда в силу произвола в выборе а (см. C)) приходим к выводу, что
утверждению И) следствия отвечает соотношение
^ j {
(
geG [ 0 в противном случае.
В соотношениях D) и E) заключена вся нужная нам информа-
информация. ?
2. Характеры представлении. С каждым комплексным конеч-
конечномерным линейным представлением (Ф,У) группы G связывается
функция
Хф : G —> С,
определённая соотношением
Хф(д)=КФ(д), g&G,
и называемая характером представления. Её обозначают также сим-
символом xv или просто х-> если ясно, о каком представлении идёт речь.
Пусть Фд = (ifij(g)) — матрица, отвечающая оператору Ф(д) в
некотором базисе пространства V, a Ai,..., An, (n = dim V) — её
характеристические корни, взятые с учётом кратностей. По опреде-
определению
п п
Хф(д) =xv(g) = ^2^и(д) = ^2^-
г=1 г=1
Если С — любая обратимая матрица, то
Но мы знаем, что всякое представление Ф, эквивалентное Ф, имеет
вид д ь->- СФдС~1. Поэтому характеры изоморфных (эквивалент-
(эквивалентных) представлений совпадают. Это замечание показывает, что по-
понятие характера определено правильно.
Отметим ещё ряд элементарных свойств характеров.
Предложение. Пусть хф — характер комплексного линейного
представления (Ф,"К) группы G. Тогда:
i) Хф(е) = dim V;
И) ХФ^д^1) = Хф(д) V#, h G G, т.е. хф — функция, постоянная
на классах сопряжённых элементов группы G;
112
Гл. 3. Элементы теории представлений
iii) Хф(9 *) = Хф(я) для любого элемента g Е G конечного по-
порядка {черта означает комплексную сопряжённость);
iv) прямой сумме Ф = Ф'+Ф" представлений отвечает характер
Хф = Хф' + Хф" •
Доказательство. Действительно, Хф(е) = ^Ф(е) = tr? =
= dim У. Далее,
Хф(%/1) = ^Ф^Л) = ^Ф^Ф^ФСЛ) = ЬгФ(д) = Хф(д)-
Для доказательства iii) заметим, что
дт = е=> Ф(д)т = ?,
и если Ai,...,An — характеристические корни оператора Ф(#), то
Af,..., Л^ — характеристические корни оператора Ф(д)к. В частнос-
частности, А^ = 1, 1 ^ г ^ п, и, стало быть, |А^| = 1, А^ = А^1. Поэтому
Наконец, в случае Ф = Ф'+Ф" мы знаем, что при надлежащем
выборе базиса в пространстве представления V все матрицы Фд, д Е
Е G, примут вид
Ф'д О
О Ф^
откуда tr Фд = tr Ф^ + tr Ф^. Это и значит, что хф (о) = Хф1 (о) +
Заметим, что при п = dim V = 1 будет Хф(#) = Ф(#)? н0 ПРИ
п > 1 характер хф не является гомоморфизмом G в С*.
Пример 1. Рассмотрим группу SUB) в её естественном двумерном пред-
представлении. Пусть х — соответствующий характер. Согласно E) из § 1 гл. 1 любая
матрица д Е SUB) сопряжена с матрицей
0
О
< 2тг,
так что классы сопряжённых элементов группы SUB) параметризуются вещест-
вещественными числами ср из указанного интервала. В соответствии со свойством п)
характеров имеем
Х(9) =
= 2cos |.
При каноническом представлении Ф: SUB) —> SOC) матрица b^ переходит
в матрицу
cos (р — sin <
sin if cos i
0 0
которая также служит удобным представителем в классе сопряжённых ортого-
ортогональных матриц группы SOC). Очевидно, что
2cos if.
F)
§ 4- Характеры линейных представлений 113
Формулой F) мы воспользуемся позднее.
Множество CG = {G —> С} всех функций из G в С наделено ес-
естественной структурой векторного пространства над С: для а±, а^ G
G С, хъ Х2 G CG под «iXi +«2X2 понимается функция со значениями
(aixi + «2X2X0) = «1X1@) + «2X2@).
Функция из CG называется центральной, если она постоянна на
сопряжённых классах группы G. Центральные функции образуют,
очевидно, векторное подпространство в CG, которое мы обозначим
Xc(G). Вообще говоря, Xc(G) — бесконечномерное пространство, но
если в группе G имеется лишь конечное число классов сопряжённых
элементов Х\, %2 •> • • • •> *КГ (так будет всегда для конечной группы G),
то пространство Xc(G) конечномерно. Например,
Лс{&) — \1 1, 1 2, • • • ? 1 г/С 5
где
По доказанному (предложение И)) характеры группы G принадле-
принадлежат пространству Xc(G). Мы увидим, что натянутое на них под-
подпространство на самом деле совпадает с Xc(G), по крайней мере для
конечной группы G.
Далее предполагаем, что группа G конечна. Превратим CG в эр-
эрмитово пространство со скалярным произведением
? ()Ж г G CG. (8)
(<Т' Т)° = Щ
Легко проверяется, что форма (су, г) н-» (а,т)о удовлетворяет всем
свойствам невырожденной эрмитовой формы. Её сужение на подпро-
подпространство Xc(G) CCG оказывается весьма полезным инструментом,
в особенности при изучении характеров линейных представлений.
Теорема 2. Пусть Ф,Ф — неприводимые комплексные пред-
представления конечной группы G. Тогда
1, если Ф « Ф, ( А
(д)
Доказательство. В матричных обозначениях имеем
п
хф (д) = ^2 щ% (д),
г=1 г=1
Полагая го = i, jo = J' в соотношении D), а затем суммируя по г и j
8 А.И.Кострикин
114 Гл. 3. Элементы теории представлений
(в допустимых для i и j пределах), получим
9,г,3 9 J
для любых неэквивалентных неприводимых представлений Ф, Ф
группы G.
Используем теперь (при го = г, jo = j) соотношение E):
«о
Так как характеры изоморфных представлений совпадают, то и
(Хф,Хъ)о = 1 при Ф « Ф. П
Соотношение (9) называется (первым) соотношением ортого-
ортогональности для характеров.
Следствие. Пусть
v = У! е... е vk (ю)
— разложение комплексного G-пространства V в прямую сумму
неприводимых G-подпространств V\. Если W — какое-то неприво-
неприводимое G-пространство с характером Xw•> то число слагаемых Vi
в A0), изоморфных W, равно (xv,Xw)g и не зависит от способа
разложения (кратность вхождения W в G-пространство V). Два
представления (два G-пространства) с одним и тем же характе-
характером изоморфны.
Доказательство. Как мы уже отмечали ранее (предложе-
(предложение iv)), xv = Xvi + • • • + Xvk, и поэтому
(XVjXw)g = (xvi» Xw)g + • • • + (xvk, Xw)g-
По теореме 2 справа стоит сумма из к нулей и единиц, причём чис-
число единиц совпадает с числом G-подпространств Vi, изоморфных W.
Но скалярное произведение (xv,Xw)g вообще не зависит от какого-
либо разложения (см. определяющее соотношение (8)), так что одно-
одновременно нами доказана инвариантность кратности вхождения W в
G-пространство V.
Два G-пространства У, V с одним и тем же характером х — Xv —
= xv содержат в своих разложениях любое слагаемое, изоморфное
данному неприводимому G-пространству W, одинаковое число раз,
§ 4- Характеры линейных представлений 115
а именно (XiXw)g- Поэтому в разложениях
г=1 3 = 1
на неприводимые прямые слагаемые мы можем считать I = k, V( =
— Vi, I ^ i ^ к. Следовательно, изоморфны и сами G-пространст-
ваУ,У. ?
Замечания, сделанные после доказательства теоремы Машке, и
следствие теоремы 2 дают возможность выразить характер хф любо-
любого комплексного линейного представления (Ф, V) конечной группы G
в виде целочисленной линейной комбинации
Хф =
Здесь rrii — кратность, с которой неприводимое представление
(Фг,Уг) входит в разложение (Ф,У), так что Ф^ 96 Ф^ при г ф j.
Используя соотношение ортогональности (9), мы можем написать
s
(Хф,Хф)о = ^2^Ь A1)
г=1
Стало быть, скалярный квадрат (хф^Хф)о характера хф любого
комплексного представления Ф всегда является целым числом, рав-
равным 1 в точности тогда, когда Ф — неприводимое представ-
представление. ?
Мы пришли к замечательному результату. Характеры, или "сле-
"следы представлений", несущие скудные сведения о каждом отдельном
линейном операторе Ф(#), выражают существенные свойства их со-
совокупности {Ф(#) | g G G}, т.е. свойства самого представления Ф.
Пример 2. Убедимся в неприводимости над С представлений групп ^4,64,
и А5 вращениями трёхмерного пространства. Для этого надо вернуться к след-
следствию теоремы 2 из § 3 и воспользоваться формулами F) и A1). Представление
Ф, описанное в § 3, показывает, что если тг — перестановка порядка q, то Ф(тг) —
поворот на угол /с-2тг/д, НОД(/с,д) = 1, вокруг некоторой оси. Поэтому значения
характера х = Хф вычисляются непосредственно по формуле F):
^ = 3,-1,0,1, l±^,i-^,
если соответственно q = 1,2,3,4, 5(fc = ±1),5(/с = ±2). Заметим, что
1 + VE
2
= tr
е
0
0
0
в'1
0
0
0
1
= s2+s-2 + l,
= ехр(^).
116
Гл. 3. Элементы теории представлений
Вычисление порядка перестановки тг по её разложению на независимые цик-
циклы описано в [ВА I, гл. 4, § 2, упр. 13]. Распределение элементов по классам со-
сопряжённости приводилось ранее в виде таблиц. Вот те же таблицы, дополненные
значениями характера %:
12
X
1
е
3
3
A2)C 4)
-1
4
A2 3)
0
4
A3 2)
0
24
X
1
е
3
3
A2)C 4)
-1
6
A2)
-1
8
A2 3)
0
6
A234)
1
60
X
1
е
3
15
A2)C 4)
-1
20
A2 3)
0
12
A2345)
A + х/5)/2
12
A2 3 54)
A - л/5)/2
Соотношения
(X, Х)л4 = — {1 • З2 + 3(-1J + 4 • О2 + 4 • О2 } = 1,
(х,хЬ4 = ^ {1 • з2 + з(-1J + 6(-iJ + 8 • о2 + б • I2} = 1,
1 + л/б'
12
(X, Х)л5 = т"т (l • З2 + 15(-1J + 20 • О2
показывают, что представление Ф с характером \ неприводимо над С (см. A1)).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Ф,Ф — неприводимые комплексные представления конечной груп-
группы G. Получить обобщение теоремы 2
\G\
Хф(е)
Здесь h — произвольный элемент группы G\ #ф;ф = 1 или #ф;ф = 0 в зависимости
от эквивалентности или неэквивалентности ФиФ.
2. Применить критерий неприводимости, основанный на характерах, к пред-
представлению фC) группы Ss из примера 1 п. 1 § 2.
3. Доказать при помощи леммы Шура, что все неприводимые представления
над С абелевой группы G одномерны.
4. Если группа G обладает автоморфизмом т, то с каждым линейным пред-
представлением (Ф,У) этой группы ассоциируется ещё одно представление (ФГ,У),
определённое по правилу Фг(д) = Ф(т(д)). Проверить, что это действительно
так, и показать, что неприводимость Ф влечёт неприводимость Фг. Как пра-
правило, Фг « Ф, но бывают случаи, когда получается новое представление. Что
следует ожидать в случае внутреннего автоморфизма?
Пусть G = А5 и Ф — представление, рассмотренное в примере 2. Отображе-
Отображение т : тг I—>¦ A2)тгA2)~1 является (внешним) автоморфизмом группы А&, пере-
переставляющим классы с представителями A234 5) и A235 4). Множества значений
§ 5. Неприводимые представления конечных групп 117
характеров \ и ХТ получаются друг из друга перестановкой местами A + \/5)/2
и A — у/Ъ)/2. Показать, что характеры хт и X неэквивалентны.
5. Пусть Ф: G —> U(n), Ф : G —> U(n) — эквивалентные унитарные
неприводимые представления конечной группы G. Доказать, что найдётся уни-
унитарная матрица С, для которой СФ9С~1 = Ф# \/g E G.
6. Доказать, что центр Z(G) конечной группы G, обладающей точным не-
неприводимым представлением над С, всегда тривиальный или циклический.
7. Пусть g ь-»¦ Фд, ^ I—>¦ Ф# — два матричных комплексных представления ко-
конечной группы G. Предположим, что для каждого g E G найдётся невырожденная
матрица Сд такая, что СдФдСд~ = Ф^. Доказать, что существует невырожден-
невырожденная матрица С, не зависящая от д, для которой СФдС~1 = Ф#.
§ 5. Неприводимые представления
конечных групп
1. Нисло неприводимых представлении. В случае конечных
групп предыдущие рассмотрения позволяют ответить на принципи-
принципиальные вопросы теории представлений. Одной из основных является
следующая
Теорема 1. Число неприводимых попарно неэквивалентных
представлений конечной группы G над С равно числу её классов
сопряжённых элементов.
Доказательство теоремы содержится в леммах 1 и 2, если
заметить, что число г классов сопряжённости группы G мы интер-
интерпретируем как размерность пространства Xc(G) центральных комп-
лекснозначных функций на G (см. G) из § 4). Так как характеры ли-
линейных представлений — центральные функции, то они порождают
в Xc(G) линейное подпространство некоторой размерности s ^ г. По
теореме 2 из § 4 характеры неприводимых представлений составля-
составляют ортонормированный базис (в метрике (*, *)g этого подпростран-
подпространства. Стало быть, интересующее нас число совпадает cs, и оно не
превосходит г. Осталось установить равенство s = г.
Лемма 1. Пусть Г — центральная функция на конечной груп-
группе G и (Ф,"К) — неприводимое представление над С с характе-
характером хф-
Тогда для линейного оператора
Фг = ^Г(/г)Ф(/г): V
heG
имеем Фг = А?, где
(Г — центральная функция, определённая равенством Г(д) = Т(д)).
118 Гл. 3. Элементы теории представлений
Доказательство. Так как Г — центральная функция, то
heG
Y1 ? = фг.
heG teG
Итак, ФГФ(#) = Ф(#)Фг Vg Е G. Лемма Шура (теорема 1 из § 4),
применённая к случаю а = Фг, показывает, что Фг = А?. Вычисляя
след операторов, стоящих в обеих частях этого равенства, находим
= Adim V = trA? = ^ФГ = J^ T(/i)tr Ф(/г) =
и
heG
Лемма 2. Характеры хъ • • • ?Xs всеж попарно неэквивалентных
неприводимых представлений группы G над С образуют ортонор-
мированный базис пространства Xc(G).
Доказательство. По теореме 2 из § 4 система xi•> • • • •>Xs op-
тонормирована, и её можно включить в ортонормированный базис
пространства Xc(G). Пусть Г — произвольная центральная функ-
функция, ортогональная ко всем \i '• (Xi^)g = 0- Тогда по лемме 1 ли-
линейный оператор Фг , отвечающий представлению ф(г) с характером
Xi, равен нулю.
По теореме Машке всякое комплексное представление Ф можно
разложить в прямую сумму
Ф =
с некоторыми кратностями mi,... ,ms. В соответствии с этим раз-
разложением для оператора Фг, определённого соотношением
heG
имеем
Фг = Ш1ФГ1} + ... + т8Ф(Гз) = 0.
В частности, это относится к линейному оператору рг, где р — ре-
регулярное представление (см. пример 5 из § 1). Но в таком случае
будем иметь (обозначая временно единичный элемент группы G сим-
символом 1, чтобы избежать сочетания ее)
0 = pr(ei) = Y, T(h)p(h)ei = Y, Г(Л)еь => Г(Л) = 0.
heG heG
Это верно при любом h G G, поэтому Г = 0 и, следовательно,
г = о. п
§ 5. Неприводимые представления конечных групп 119
Пример 1. Теорема 1, применённая к симметрической группе 5з, утвержда-
утверждает, что эта группа обладает ровно тремя неприводимыми комплексными
представлениями. Искать их не нужно: таблица в конце п. 1 из § 2 содержит
всю необходимую информацию. Заметим, между прочим, что квадраты степеней
представлений фС1), фB), фC) удовлетворяют соотношению 12 + 12+22 = 6 = |5з|.
Сейчас мы увидим, что и в общем случае выполняется аналогичное соотношение.
2. Степени неприводимых представлении. Рассмотрим не-
несколько более подробно регулярное представление (р, (eg | g Е G)c)-
Обозначим через Rh матрицу линейного оператора p(h) в данном
базисе {eg \ g Е G}. Так как p(h)eg = е/^, то все диагональные эле-
элементы матрицы Rh при h ф е равны нулю и tr Rh = 0. Стало быть,
= |G|, XP(h)=0 ЧНфе. A)
Пусть теперь (Ф,У) — произвольное неприводимое представле-
представление группы G над С. Как показывает следствие теоремы 2 из § 4,
кратность вхождения Ф в р равна скалярному произведению
(хр,Хф)о- Согласно A)
(Хр,Хф)о = \С\-1}^Хр^)хф(П) =
h€G
= ^-^(еШе) = |G|-1|G|x$(e) = dim V. B)
Мы видим, что каждое неприводимое представление (рассматри-
(рассматриваемое с точностью до эквивалентности) входит в регулярное с
кратностью, равной своей степени. По теореме 1 имеется г попар-
попарно неэквивалентных неприводимых представлений
ФA), ФB), ..., Ф(г)
(г — число классов сопряжённости группы G), которым соответству-
соответствуют характеры
ХЪ Х2, • • • , Xr? Xi — Хф •>
степеней
пь п2, ..., пг, щ =Хг(е).
Обычно за Ф^1) берут единичное представление, так что Xi(d) =
Vg G G. Соотношение B) показывает, что
р = щФA)+ ...'+ пгФ(г),
откуда
ХР =
В частности,
\G\ = Хр(е) = ^iXi(e) + • • • + nrXr(e) = п\ + ... + п2г
г.
Теорема 2. Каждое неприводимое представление Ф^ входит
в разложение регулярного представления р с кратностью, равной
120
Гл. 3. Элементы теории представлений
своей степени П{. Порядок \G\ конечной группы G и степени ni,...
...,nr всех её неприводимых представлений связаны соотношением
C)
Для групп небольшого порядка красивого соотношения C) до-
достаточно, чтобы найти все степени ni,... , nr, хотя в общем случае
нужны, конечно, дополнительные соображения.
Сведения о характерах неприводимых представлений (или коро-
короче: о неприводимых характерах) удобно записывать в виде таблицы
G
XI
Х2
Хг
е
п\
П2
Пг
92
Xi(92)
Х2(92)
ХгЫ
92,
XI @3)
Х2(дз)
Хг(дз)
9г
XIЫ
Х2(^г)
Хг(дг)
называемой таблицей характеров. В её верхней строке стоят пред-
представители всех г классов сопряжённости 3Q = gf группы G. Напри-
Например, таблица характеров группы 5з имеет вид
Зз
XI
Х2
Хз
е
1
1
2
A2)
1
-1
0
A2 3)
1—ь 1—ь 1—ь
(сравнить с таблицей в конце п. 1 из § 2). Как всегда, обозначим сим-
символом С(д) = Со(д) централизатор в группе G элемента д Е G. Мы
знаем, что |С(#)| \gG\ = \G\ (см. п. 2 из § 3 гл. 1). Поэтому соотноше-
соотношение (9) из § 4 (первое соотношение ортогональности), переписанное
в виде
означает, что г х г-матрица
М =
geG
унитарна по строкам. Но унитарность по строкам равносильна уни-
унитарности по столбцам (М • 1М = Е = 1М • М), так что
У^ ХгЩ
' j /\ri( „
Xi(9k)
§ 5. Неприводимые представления конечных групп 121
или, в более подробной записи,
Е( \—ТТЛ — / ^' если 9 и ^ не сопряжены, , .
Xi{g)XiW - | \cG(g)\ в противном случае. П [ }
Соотношение D) называется вторым соотношением ортого-
ортогональности для характеров.
3. Представления абелевых групп. Описание неприводимых
представлений циклических групп в примере б из § 1 допускает сле-
следующее естественное обобщение.
Теорема 3. Каждое неприводимое представление конечной абе-
левой группы А над С имеет степень 1. Число таких попарно неэк-
неэквивалентных представлений равно порядку \А\. Обратно, если каж-
каждое неприводимое представление группы А имеет степень 1, то
А — абелева группа.
Доказательство. Число г классов сопряжённости абелевой
группы А совпадает с её порядком, поэтому первые два утверждения
вытекают из теоремы 2 (см. также упр. 3 из § 4). Положив, далее, в
соотношении C) все щ равными 1, мы получим г = |А|, что равно-
равносильно коммутативности группы. ?
Определение. Пусть А — абелева группа. Множество
i = Hom(A,C*)
гомоморфизмов группы А в мультипликативную группу С* поля
комплексных чисел, рассматриваемое вместе с поточечной операцией
умножения
(Xi G i, a G i), называется группой характеров группы А над С
(х-1=х)-
Теорема 4. Группы А и А изоморфны.
Доказательство. Из теоремы 3 мы знаем во всяком случае,
что \А\ = \А\. Согласно результатам § 3 из гл. 2 группа А допускает
разложение
А = А\ х А2 х ... х Ак
в прямое произведение циклических групп А{ = (а^) (неважно каких,
примарных или нет; мы выбираем мультипликативную запись закона
умножения в А). Если \Ai\ = Si и е\ — примитивный корень Si-и
степени из 1, то каждому элементу а = а^а^ ... а? из А отвечает
характер Ха ? А, определённый соотношением
"V (пТ1ПТ2 ПГк\ — fTltlfT2t2 Prktk
Х(Да1 а2 • • • ак ) — ?1 Е2 • • • Ек
Очевидно, что ХаХа' = Хаа' (см. определение). Если
а = а^42 ... а\к ф afaf ... а} = а',
122
Гл. 3. Элементы теории представлений
то существует индекс i с
t\. Тогда
Xa(cti) =е*{ фе\1 =Xa'(a>i).
Следовательно, все характеры Ха попарно различны и отображение
а *-> Ха устанавливает требуемый изоморфизм между А и А. ?
Метод доказательства теоремы 4 даёт, очевидно, явную конструк-
конструкцию всех неприводимых представлений абелевой группы.
Пример. Пусть V<2n — элементарная абелева группа порядка 2п, х — её
неприводимый комплексный характер, отличный от единичного, т.е. х(а) Ф 1
для некоторого а Е V2n • Тогда Кег% = В = V2n-i и имеет место разложение
У2™ = В U аВ на смежные классы по В, так что
Х(агЪ) = (-1)г, г = 0,1.
В частности, четверная группа (Клейна) V4, о представлениях которой упомина-
упоминалось в задаче 2 из § 2 гл. 1, имеет следующую таблицу характеров:
v4
XI
Х2
Хз
Х4
е
1
1
1
1
а
1
-1
1
-1
b
1
1
-1
-1
ab
1
-1
-1
1
Результаты о представлениях абелевых групп позволяют полу-
получить некоторую информацию и о представлениях произвольных ко-
конечных групп.
Теорема 5. Представления степени 1 конечной группы G над
С находятся в биективном соответствии с неприводимыми пред-
представлениями факторгруппы G/G' (G' — коммутант группы G). Их
число равно индексу (G : G').
Доказательство. Сделаем сначала общее замечание. Пусть
G — произвольная группа, К — её нормальная подгруппа. Если Ф —
представление группы G с ядром КегФ D К, то можно определить
представление Ф факторгруппы G/К, полагая
ЩдК) = Ф(д), дев.
Корректность этого определения очевидна (см. доказательство те-
теоремы 1 из § 4 гл. 1). Далее, КегФ = (КегФ)/К. В частности, при
К = КегФ получается точное представление Ф.
Обратно: всякое линейное представление Ф группы Н индуцирует
представление Ф группы G, допускающей эпиморфизм тг : G —У Н.
Достаточно положить
Ф(д) = Ф(тгЫ).
Так как тг — эпиморфизм, то Ф(б?) = Ф(Н) и Ф, Ф одновременно при-
приводимы или неприводимы. По теореме о соответствии (теорема 3 из
§ 4 гл. 1) КегФ = тг^^КегФ). С любым одномерным представлением
§ 5. Неприводимые представления конечных групп 123
Ф группы G ассоциируется абелева (а точнее, циклическая) группа
1тФ, так что КегФ D G'. Доказательство теоремы получается те-
теперь в результате простого соединения теоремы 3, сделанного выше
замечания, и теоремы 4 из § 4 гл. 1. ?
4. Представления некоторых специальных групп. Хотя в
принципе для получения всех неприводимых представлений конеч-
конечной группы G достаточно разложить её регулярное представление
(теорема 2), на практике это вызывает значительные трудности и
приходится избирать обходные пути. Обычно бывает проще постро-
построить сначала таблицу характеров, а затем уже конструировать сами
представления (см. в этой связи § 4 из гл. 4). Впрочем, в тех сравни-
сравнительно несложных примерах, которые приводятся ниже, прибегать к
каким-либо ухищрениям нет необходимости.
А) Пусть G — произвольная 2-транзитивная группа перестано-
перестановок, действующая на множестве П = {1,2,...,п} (см. пример 3 из
§ 3 гл. 1). Пусть, далее, Ф — естественное представление группы G
на пространстве V = (ei, в2,..., еп) с действием Ф(д)е^ = ед^ (см.
пример 5 из § 1). Как нетрудно понять, значение Хф(#) совпадает с
числом N(g) точек i Е П (базисных векторов е^), остающихся непо-
неподвижными при действии д. По теореме 3 из § 3 гл. 1 имеем
gEG gEG geG
что, очевидно, переписывается в виде
(Хф,Хф)<з = 2. E)
Сравнивая E) с соотношением A1) из § 4, мы приходим к заклю-
заключению, что Ф — прямая сумма двух неприводимых представлений
B = 1 + 1 — единственная запись 2 в виде суммы квадратов на-
натуральных чисел). Но нам известно также, что Ф = Ф^+Ф, где
(Ф^1), U) — единичное представление, аФ — (п — 1)-мерное представ-
представление, действующее на пространстве W = (ei — еп, е<± — еп,..., en_i —
— еп). Если бы разложение V = U 0 W можно было продолжить
за счёт разложения W, то неприводимых слагаемых получилось бы
больше двух. Таким образом, имеет место следующее нетривиальное
утверждение.
Естественное линейное представление (Ф,"К) 2-транзитивной
группы перестановок G над полем С является суммой единичного
представления и ещё одного неприводимого представления.
В частности, каждая из групп 5П, п > 2; Ап, п > 3, обладает
неприводимым представлением Ф над С степени п — 1 с характером
Хф, вычисляемым по формуле
X4.{g)=N(g)-l. U F)
124
Гл. 3. Элементы теории представлений
Как было показано на примере группы 5з (пример 1 из п. 1 § 2),
матрицы Фд находятся без особого труда. Для вычисления значений
Хъ(д) по формуле F) достаточно знать цикловую структуру пере-
перестановки д. Небольшая иллюстрация:
ХФ
s4
Хф
e
3
e
3
A2)C 4)
-1
A2)C 4)
-1
A2 3)
0
A3 2)
0
A2)
1
A2 3)
0
A2 3 4)
-1
А5
ХФ
е
4
A2)C 4)
0
A2 3)
1
A2345)
-1
A2 3 54)
-1
Б) Неприводимые представления знакопеременной группы А^.
Мы соберём уже известные нам факты. Группа А^ имеет четыре
класса сопряжённых элементов. Представители классов и их мощ-
мощности указаны в двух верхних строках таблицы
12
А4
XI
Х2
Хз
Х4
1
е
1
1
1
3
3
A2)C 4)
1
1
1
-1
4
A2 3)
1
8
8-1
0
4
A3 2)
1
8-1
8
0
Коммутант А'4 = {е, A2)C 4), A3)B4), A4)B 3)} имеет индекс 3 в
А и поэтому А± обладает тремя одномерными представлениями:
() ()
ф(!) =
у
фB) =
д р
фC) =
(с ядром
и с г3 = 1, г
1),
и одним трёхмерным представлением фD) A2 = I2 + I2 + I2 + З2).
Сравнив таблицы для А± из примера 1 и из примера 2 из § 4, мы
убедимся в том, что представление Ф^4) с характером х^ эквивалент-
эквивалентно представлению Ф группы А^ вращениями (группа тетраэдра) и
представлению Ф, связанному с 2-транзитивностью группы А±.
В) Неприводимые представления симметрической группы S^-
Две верхние строки таблицы
24
^4
XI
Х2
Хз
Х4
Х5
1
е
1
1
2
3
3
3
A2)C 4)
1
1
2
-1
-1
6
A2)
1
-1
0
-1
1
8
A2 3)
1
1
-1
0
0
6
A234)
1
-1
0
1
-1
взяты из упр. 4 § 3 гл. 1. Представление Ф^1) = xi единичное. Пред-
Представление Ф^2) задаётся чётностью (знаком) перестановок из S^- Так
5. Неприводимые представления конечных групп
125
как E4 : S1^) = 2 (пример из п. 2 § 4 гл. 1), то одномерных представ-
представлений больше нет. Двумерное представление Ф^3) с характером хз и
с ядром V4 <\ 5*4 получается из соображений, изложенных в доказа-
доказательстве теоремы 5. Представление фD) с характером ^4 отвечает
вращениям куба (см. таблицу для S^ из примера 2 § 4). Представле-
Представление Ф^5) = Ф с характером хъ (см. таблицу в примере 1) связано с
2-транзитивностью группы S^. Оно эквивалентно также представ-
представлению, отвечающему всем преобразованиям симметрии тетраэдра
Л4 (вращения плюс отражения; именно эти преобразования важны
при описании колебаний молекулы фосфора (задача 2 из § 2 гл. 1 в
[В А I]).
Г) Неприводимые представления группы кватернионов Q$.
О группе Qs всё сказано в примере 2 из п. 5 § 4 гл. 1. Там же
приведено (но не названо своим именем) двумерное неприводимое
представление Ф^5) с характером хъ]
8
Qs
Xi
Х2
Хз
Х4
Х5
1
е
1
1
1
1
2
1
а2
1
1
1
1
-2
2
а
1
-1
-1
1
0
2
b
1
-1
1
-1
0
2
ab
1
1
-1
-1
0
Четыре одномерных представления имеют своим ядром комму-
коммутант (а2) и определяются из таблицы в примере п. 3.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Получить соотношение D), выписывая в явном виде выражение tij =
= (Ti,Xj)G Для коэффициентов разложения Г^ = 5^ • UjXj базисной центральной
функции Г^ (см. G) из § 4) через неприводимые характеры.
2. Проверить (и вспомнить об изоморфизме между векторным пространст-
пространством V и сопряжённым к нему пространством V* линейных функций), что
отображение т : А —у А, определённое условием
задаёт изоморфизм абелевой группы А на А.
Это упражнение вместе с теоремой 4 устанавливает часть так называемого
закона двойственности для конечных абелевых групп. Аналогичный, но гораздо
более глубокий закон двойственности для топологических абелевых групп, при-
приводящий к важным следствиям, был установлен в 30-х годах Л.С. Понтрягиным.
3. Доказать, что если конечная абелева группа А допускает точное комп-
комплексное неприводимое представление, то А — циклическая группа.
4. Пусть А — конечная абелева группа, В — её подгруппа. Доказать, что
любой характер группы В продолжается до характера группы А и число таких
продолжений равно индексу (А : В).
126
Гл. 3. Элементы теории представлений
5. Обосновать фразу перед заключительными скобками в В) из п. 4.
6. Чему равна средняя величина щ Y^g х{я) значений комплексного харак-
характера х на элементах конечной группы G?
7. Собрать из разных мест таблицы, относящиеся к группе А&, в сводную
таблицу характеров
60
А5
XI
Х2
Хз
Х4
Х5
1
е
1
3
3
4
*
15
A2)C 4)
1
-1
-1
0
*
20
A2 3)
1
0
0
1
*
12
A2345)
1
A + у/Б)/2
A - л/5)/2
-1
*
12
A2 3 54)
1
A - у/Б)/2
A + х/5)/2
-1
*
Дать описание неприводимых представлений с характерами Хъ Х2, Хз, Х4- За-
Заполнить последнюю строку таблицы, используя второе соотношение ортогональ-
ортогональности D) для характеров.
8. Пусть Р = {АгВ^Ск; 0 ^ i,j,k ^ р — 1) — группа порядка р3, рассмот-
рассмотренная в упр. 3 из § 3 гл. 1; V = (eo,ei,... ,ep_i)c — комплексное векторное
пространство размерности р\ е — примитивный корень степени риз 1; Л, 13, С —
линейные операторы на У, определённые соотношениями
= вг + 1,
0
(нижние индексы у базисных элементов берутся по модулю р).
Показать, что отображение
задаёт линейное неприводимое представление группы Р. Представления
^)() р2
.., ф(Р-1) попарно неэквивалентны и вместе с р2 одномерными представле-
представлениями (р2 — индекс коммутанта Р' = (С) в Р) исчерпывают все неприводимые
комплексные представления группы Р.
9. Дополнить вычислениями следующее рассуждение. Пусть
Dn = (а,Ь\ ап = е, Ь2 = е, ЬаЬ'1 = а71'1)
— группа диэдра порядка 2п, свойства которой (включая описание классов со-
сопряжённых элементов) даны в примере 1 из п. 5 § 4 гл. 1. Так как (а) < Dn, то
отображениями ai—>-l,6i—>-1иа1—>-l,6i—>¦— 1 задаются два одномерных пред-
представления. Пусть е — примитивный корень n-й степени из 1. Тогда отображение
0
будет определять представление степени 2. Представление Ф^) неприводимо при
j = 1,2,..., [(п — 1)/2] ([а] — целая часть вещественного числа а). При п = 2т
представление ф(т) распадается в прямую сумму двух одномерных представ-
представлений: а I—>¦ —1,6 I—>¦ 1 и а I—>¦ —1,6 I—>¦ —1. Это согласуется с тем фактом, что
коммутант D'2m имеет индекс 4 в D2m и D2m/D'2rn = Z2 х Z2. Все указан-
указанные представления неприводимы и составляют полное множество неприводимых
комплексных представлений группы диэдра. Найти вещественную реализацию
представлений Ф(•?'). Указать в явном виде изоморфизм (эквивалентность) ()
^), к > га, j ^ т.
§ 6. Представления групп SUB) и S0C) 127
10. Кристаллографические группы (к задаче 2 из § 2 гл. 1 в [ВА I]). Пусть
Е — n-мерное евклидово пространство и У — ассоциированное с ним вектор-
векторное пространство с евклидовым скалярным произведением. Всякому движению
d пространства Е отвечает ортогональное линейное преобразование d С О(п),
причём так, что d\d2 = d\d2- Группа D движений пространства называется крис-
кристаллографической группой, если D-орбита произвольной точки дискретна (не
имеет предельных точек) и существует компактное множество М С Е, для ко-
которого D(M) = \JdeD d(M) = Е. Справедлива теорема Шёнфлиса-Бибербаха,
согласно которой кристаллографическая группа D содержит п независимых аф-
аффинных переносов, порождающих в D нормальную подгруппу L, и D = D/L —
конечная группа (точечная кристаллографическая группа). Всего геометрически
различных точечных кристаллографических групп при п = 3 имеется 32. Сре-
Среди них, очевидно, должны быть группы, содержащие отражения (несобственные
движения). Из условий кристаллографичности следует, что всякое собственное
вращение из D изображается матрицей, подобной
А =
cos в — sin в О
sin в cos в О
О 0 1
с tr А = 1+2 cos в G Z. Опираясь на теорему 2 из § 3 и на отмеченное соображение,
показать, что при п = 3 точечными кристаллографическими группами без отра-
отражений будут, лишь циклические Ci, C2, С3, С4, Cq, диэдральные D2, Ds, D4, Dq,
группа тетраэдра Т и группа куба (октаэдра) О.
§ 6. Представления групп SUB) и SOC)
Частью "физического" мышления являются конкретные образы,
связанные с представлениями группы SOC). Действие SOC), отра-
отражающее симметрию многих физических задач, с математической
точки зрения интересно, в частности, тем, что оно индуцирует дей-
действие на пространстве решений уравнения А/ = 0, где
д __^_ _&_ д^_
~ дх2 + ду2 + dz2
— дифференциальный оператор Лапласа. Двумерный аналог этой
задачи был рассмотрен в самом начале главы (задача 1).
Всякий элемент группы SOC) является произведением несколь-
нескольких операторов Д^, Се вида A) из § 1 гл. 1. Но В^ не действует на z,
а Се на ж. Поэтому инвариантность уравнения А/ = 0 относительно
В^р и Се вытекает из тех выкладок, которые были проведены в дву-
двумерном случае. Мы приходим к заключению, что уравнение А/ = О
инвариантно относительно всей группы SOC), или, что то же самое,
А/ = 0 => А(ФР/) = 0 \fge SOC),
где Фд/ — функция, определённая соотношением
(ФдЛ(х,у,г) = f(g-1(x),9-1(y),9~1(z)). A)
128
Гл. 3. Элементы теории представлений
По условию для ортогонального преобразования д г с матрицей
{ciij)\ столбец новых переменных имеет вид
L Q-22 &23
L &32 &33
Согласно A)
9
9
9
-1
-1
-1
(х)
(у)
=
(а;)), Л
(р-
= (*ghf)(x,y,z)
Стало быть,
т.е. линейные операторы Фр, д Е SOC), действуют на функциях так,
что отображение Ф : д н-» Фд является представлением группы SOC).
Этот весьма естественный способ построения представлений (фак-
(фактически применённый нами ранее при рассмотрении симметричес-
симметрических функций с действующей группой Sn), годится в принципе для
широкого класса групп и относится к типичным методам функцио-
функционального анализа. Нужно лишь, исходя из конкретных условий, вы-
выбрать надлежащее пространство функций и затем разложить его на
неприводимые инвариантные подпространства (задача гармоничес-
гармонического анализа).
В случае группы SOC), когда все неприводимые представления
конечномерны (общий факт для компактных групп), за функции бе-
берутся однородные многочлены
¦Р (/у ill >у\ X п гт & п i Ъ /v ?^1 & ^
фиксированной степени т (т = 1,2,3,...). Они образуют простран-
пространство Рт размерности (т^2) (см. [ВА I, гл. 5, § 2, упр. 4]). Так
как A/ Е Рт-2, то условие А/ = 0 эквивалентно (™) линейным
условиям на коэффициенты asj- Решения / G Рт уравнения А/ =
= 0 называются однородными гармоническими многочленами {гар-
{гармоническими полиномами) степени т. Ввиду линейности оператора
А они образуют подпространство Нт размерности (т^2) — (^) =
= 2т + 1 (у нас ^ 2т + 1, но на самом деле имеет место равенство).
Согласно вышесказанному Нт инвариантно относительно действия
ф — ф(т) группы SOC). Оказывается, справедлива теорема о том,
что пространство Нт представления ф(т) неприводимо над С и лю-
любое неприводимое над С представление группы SOC) эквивалентно
одному из представлений (ф(т), Нт) нечётной размерности 2т +
+ 1. Вместо того чтобы доказывать эту теорему, мы, ограничившись
§ 6. Представления групп SUB) и S0C) 129
сказанным, обратимся к группе SUB), где несколько легче получить
семейство неприводимых представлений. Ввиду наличия естествен-
естественного эпиморфизма SUB) —У SOC) с ядром из матриц ±Е (см. § 1 из
гл. 1) всякое представление Ф группы SOC) можно считать также
представлением SUB) (см. доказательство теоремы 5 из § 5), удов-
удовлетворяющим так называемому условию чётности: Ф_е = Фе. При
этом, разумеется, будет также выполняться равенство Ф_р = Фр для
всех g Е SUB). Обратно: при выполнении условия чётности пред-
представление Ф группы SUB) является одновременно представлением
группы SOC). Физический смысл имеют и "двузначные" представ-
представления SOC), т.е. представления группы SUB), не удовлетворяющие
условию чётности. К их числу относится, например, обычное дву-
двумерное (спинорное) представление.
Отметим ещё, что любое неприводимое представление группы
SOC), отличное от единичного, является точным, как это прямо вы-
вытекает из простоты SOC) (теорема 3 из § 1 гл. 2).
Теорема 1. Пусть Vn = (хкуп~к | к = 0,1,... ,п)с — простран-
пространство однородных многочленов степени п от двух комплексных пе-
переменных с действием ф(п) на нём группы SUB), определённым по
правилу
(Ф<п)/)(я, У) = f(ax - Pyjix + ay)
для каждого элемента
а
g= -/3 a
а
2
Тогда (ф(п),Уп) — неприводимое представление группы SUB)
размерности п + 1. При п чётном (Ф^П\УП) является также непри-
неприводимым представлением группы SOC).
Доказательство. Предположим, что многочлен
к=0
содержится в некотором инвариантном подпространстве U С Vn.
Тогда также
п
5>"Л WV"* = e-in^(^f)(x,y) G U,
к=0
где Ь^р — элемент из SUB) вида D) из § 1 гл. 1. Так как ср — произ-
произвольное вещественное число из интервала @, 2тг), то можно составить
линейную систему с определителем Вандермонда, из которой следу-
следует, что
f(x,y)eU=>xkyn-keU B)
9 А.И. Кострикин
130 Гл. 3. Элементы теории представлений
для любого одночлена с коэффициентом а/, ф 0. Но если хкуп~к Е U
для какого-то /с, той
акТ~к%п + • • • + (ах - ру)кфх + ау)п~к = 9^\хкуп~к) Е ЕЛ
Взяв g с а/3 ф 0, мы придём в силу B) к включению xn G G, которое
в свою очередь даёт нам
(
s=0
(П) as(-f3)n-sxsyn-s Е U.
Так как (™)as(-f3)n-s ф 0, то х8уп~8 Е U, s = 0,1,...,п. Стало
быть, U = Уп, и неприводимость (ф(п), Уп) доказана.
Далее
так что при п = 2т выполнено условие чётности (см. замечание
выше) и (фBт), V2m) можно считать неприводимым представлением
размерности 2п + 1. ?
На самом деле фBт) эквивалентно представлению ф(т) группы
SOC) на пространстве однородных гармонических многочленов сте-
степени ттг, но мы на этом не останавливаемся, как и не пытаемся (хотя
это возможно) выбрать в Vn такой базис, чтобы представление ф(п)
стало унитарным. Отметим только, заимствуя терминологию из тен-
тензорного анализа, что представление ф(п) группы SUB) реализуется
также в классе ковариантных симметричных тензоров ранга п. Пол-
Полную и достаточно прозрачную теорию представлений компактных
групп, включая SUB) и SOC), обычно развивают в рамках инфини-
тезимального метода, опирающегося на соответствие между груп-
группами и алгебрами Ли. Немного по этому поводу говорилось в гл. 2.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Построить 2т + 1 линейно независимых однородных гармонических мно-
многочленов степени га.
2. Показать, что всякий однородный многочлен / ? Рш записывается в виде
линейной комбинации с коэффициентами, зависящими от х2 + у2 + z2, гармони-
гармонических многочленов степеней га, га — 2, га — 4,...
3. Вывести из упр. 2, что всякая полиномиальная функция 7j : (X, У, Z) i—>¦
|—>¦ g(x,y,z) на сфере S2 : х2 + у2 + z2 = 1 разлагается по сферическим функци-
функциям — ограничениям гармонических многочленов на S2.
4. Показать, не обращаясь к полному описанию неприводимых представле-
представлений группы SOC), что гомоморфизм т : SOC) —У SUB) может быть только
тривиальным.
§ 7. Тензорное произведение представлений 131
§ 7. Тензорное произведение представлений
1. Контрагредиентное представление. Пусть (Ф, V) — пред-
представление группы G над полем С. Введём в рассмотрение дуальное
пространство V* (пространство линейных функций на V) и положим
(Ф*Ы/)(«) = ДФ(«Г», feV*, vgV. A)
Линейность оператора Ф*(#) проверяется немедленно. Выберем, да-
далее, в V ш V* дуальные базисы:
V = <еь ..., еп), У* = (Л,..., /n), fi(ej) = 6ij.
Матрица линейного оператора Ф*(д) в базисе (Л,...,/п) является
транспонированной к матрице оператора Ф(д~г) в базисе (ei,..., еп):
Ф*д=ЬФд-г. B)
Так как
Ф*дк = *ф(рЛ)-1 = *Фл-1в-1 = *(Фл-1Фв-0 = *Фв-1 *фл-1 = ф; ф^,
то соотношением B) (или A)) определяется, вообще говоря, новое
линейное представление (Ф*,У*) группы G; оно называется пред-
представлением, контрагредиентным (или дуальным) к (Ф,У). Необхо-
Необходимость рассмотрения таких представлений возникает каждый раз,
когда группу, действующую на векторах (контравариантные тензо-
тензоры), мы заставляем, как это фактически уже было в § б, действовать
на координатах векторов (ковариантные тензоры). Как нетрудно ви-
видеть хотя бы из B), (Ф*)* « Ф. Представления, контрагредиентные
друг к другу, могут и не отличаться или быть эквивалентными. Ес-
Если, например, (Ф,С?) — вещественное ортогональное представление,
то Ф* = ^Фр = Ф#. Но в общем случае представления Ф* и Ф не
эквивалентны, как показывает простейший пример:
С3 = (а\ а3 = е); Ф(а) = г, Ф*(а)=г~1 (г2+? + 1 = 0).
Для конечной группы G точный критерий эквивалентности кон-
трагредиентных представлений получается на языке теории харак-
характеров. Так как характеристические многочлены матриц А ж1 А сов-
совпадают, то из элементарных свойств характеров (предложение из
§ 4) вытекает, что
В частности, представление Ф с характером, принимающим только
вещественные значения, эквивалентно Ф*. Разумеется, всегда
так что Ф*, Ф одновременно приводимы или неприводимы.
9*
132 Гл. 3. Элементы теории представлений
2. Тензорное произведение представлении. В [ВА II] опре-
определено и построено тензорное произведение Т = V 0 W произволь-
произвольных векторных пространств V, W над полем Р. Было определено так-
также тензорное произведение
А®В : V ®W -^V®W
линейных операторов А : V —У У, В : W —У W. Имеется в виду,
что
(A ®B)(v®w) = Av (g) Bw, C)
а далее по линейности
(Л 0 В)
Отметим непосредственно вытекающие из определения C) соотно-
соотношения
В),
а также формулу для следа
tiA®B = tiA'tiB. D)
Пусть теперь (Ф, V), (Ф, W) — два линейных представления груп-
группы G с характерами ^ф и \^ соответственно. Определим естествен-
естественным образом представление (Ф 0 Ф, V 0 W), полагая
Из общих свойств тензорного произведения линейных операторов и
из формулы D) вытекает, что отображение Ф0Ф будет действитель-
действительно задавать представление группы G с пространством представления
V 0 W и с характером
Будем говорить, что (Ф 0 Ф, V 0 W) — тензорное произведение
представлений (Ф,"К) и (Ф,ТУ). При Ф = Ф,И^ = У говорят также
о тензорном квадрате. В правой части формулы E) стоит обычное
поточечное произведение центральных функций хф и Хф-
Совершенно очевидно, что если U — G-инвариантное подпро-
подпространство в У, то и U®W будет G-инвариантным подпространством
в V 0 W. Аналогичное замечание относится к G-инвариантным под-
подпространствам в W. Но из неприводимости V и W вовсе не следует
неприводимость V 0 W, как показывает пример тензорного квадра-
квадрата Ф^3) 0 фC) двумерного представления группы 5з (см. таблицу в
7. Тензорное произведение представлений 133
п. 2 § 5). В самом деле, dime Ф^3^ ® Ф^3^ = 4, а максимальная степень
неприводимого представления группы 5з равна 2.
Задача эффективного описания неприводимых представлений, со-
содержащихся в Ф 0 Ф и, более общо, в тензорном произведении
ф(!) <g> фB) <g) . . . <
нескольких линейных представлений, имеет принципиальное значе-
значение, поскольку многие важные и весьма естественные представления
групп возникают как тензорные произведения. Именно с этой точ-
точки зрения нужно смотреть на представления групп SUB) и SOC)
(см. § 6), а также на примеры 3 и 4 из п. 2 § 1. Инвариантные
подпространства симметричных и кососимметричных ковариантных
(или контравариантных) тензоров постоянно встречаются в различ-
различных геометрических приложениях. Рассматриваемая задача привле-
привлекательна в особенности тогда, когда справедлива теорема о полной
приводимости представлений.
3. Кольцо характеров. Для простоты ограничимся случаем
конечной группы G и поля С. Пусть Ф^1), фB),..., ф(г) — полное
множество попарно неэквивалентных неприводимых представлений
группы G над С и xi •> Xz •> • • • •> Xr — соответствующие им характеры
(г — число классов сопряжённых элементов в G). Нам известно, что
Ф ® Ф « 1 г,
где кратности rrii зависят только от Ф и Ф. По формуле E)
ХфХф = rniXi + • • • + rrirXr-
Пусть Xz(G) — множество всевозможных целочисленных линей-
линейных комбинаций характеров Xi,...,xr- Мы доказали ранее, что
(Xi,...,Xr) — ортонормированный базис пространства Xc(G), по-
поэтому Xz(G) С Xc(G) является во всяком случае свободной абелевой
группой = Ъг с образующими %]_,..., %г. Её элементы называются об-
обобщёнными характерами группы G. Истинными характерами будут
лишь комбинации ^тгцХг с шг ^ О-
Из предыдущих рассуждений видно, что тензорное произведение
представлений индуцирует на Xz(G) бинарную алгебраическую опе-
операцию — коммутативную, ассоциативную, подчиняющуюся законам
дистрибутивности. Короче говоря, справедлива
Теорема 1. Обобщённые характеры образуют коммутативное
ассоциативное кольцо Xz(G) с единицей — единичным характе-
характером Xi-
В свою очередь Xc(G) — коммутативная ассоциативная алгебра
размерности г над С. Строение кольца Xz(G) (алгебры Xc(G)) пол-
полностью определяется структурными константами — целыми чис-
134 Гл. 3. Элементы теории представлений
лами rriij из соотношений
V-V- — Х^ГЛ^ V/ (fi\
к
В частности, равенства т^ = ттг^, ттг^- = 8kj отражают свойства
коммутативности Xz(G) и единичности xi- Согласно F)
Хг
Умножив обе части этого соотношения на r^rrXs(g)j просуммировав
по g Е G и воспользовавшись первым соотношением ортогональнос-
ортогональности для характеров, получим
тЬ = Jr\Yl Xi(g)xj(g)xs(g). G)
Таким образом, структурные константы выражаются в терминах са-
самих характеров.
Из G) можно извлечь одно несложное утверждение. Именно,
где Xj = Хф? ^ = Ф^^* — характер представления, контрагреди-
ентного к Ф^') (см. п. 1). Таким образом, единичное представление
входит в качестве компоненты в разложение Ф^ 0 Ф^ тогда и
только тогда, когда Ф^ эквивалентно представлению Ф(•?'') = фО')*
(в противном случае т\^ = (XiiX*j)G — 0)- Отметим ещё, что тензор-
тензорное произведение одномерного представления Ф^ и произвольного
неприводимого представления Ф^ всегда является неприводимым
представлением той же размерности, что и Ф^К Это довольно по-
понятно без всяких объяснений, а формально вытекает из критерия
неприводимости характеров. Если
X — Х
то Xi(g) — комплексный корень некоторой степени из 1 и Xi(g)Xi(g) =
= 1, а поэтому
1 „
|G| 9 ^^
\G\
7. Тензорное произведение представлений 135
Пример 1. G = Ss (см. таблицы в п. 1 из § 2 и в п. 2 из § 5):
Пример 2. G = S4 (см. пример 3 из п. 4 § 5):
фB) 0 фD) ~ фE)? фB) ^ фE)
Наконец, докажем следующую любопытную теорему, служащую
обобщением теоремы 2 из § 5 о разложении регулярного представле-
представления.
Теорема 2. Пусть х = Хф — характер точного представления
(Ф,У) конечной группы G над полем комплексных чисел С, прини-
принимающий на G ровно т различных значений.
Тогда каждый неприводимый характер Xk входит с ненулевым
коэффициентом в разложение хотя бы одного характера х° = ХъХ?
X2,... ,хт~1 - Другими словами, всякое неприводимое представле-
представление содержится в разложении некоторой тензорной степени Ф®' =
= Ф0...0Ф, О^г^т — 1, любого точного представления Ф.
Доказательство. Пусть ujj = x(9j)i J = 0,1,...,m — 1, —
различные значения, принимаемые характером ^наС, причём с^о =
= deg Ф. Пусть, далее,
Ввиду точности представления Ф имеем
Go =КегФ = {е}.
Пусть Хк — неприводимый характер группы G, не входящий в
разложение ни одного из характеров хг • Тогда
0 = \G\(X\Xk)G =
га-1
3=0
однородная система линейных уравнении относительно
с определителем
1
det(o;j)= ~u WL '" Um-1
m — l m — 1 m — 1
отличным от нуля (определитель Вандермонда). Таким образом,
Tj=Q,j = Q,l,...,m-l, т.е.
136 Гл. 3. Элементы теории представлений
В частности,
О = Y1 Хк(д~г) = Хк(е)
— противоречие, доказывающее теорему. ?
В случае регулярного представления р, очевидно, т = 2.
4. Инварианты линейных групп. Линейной группой степени
п мы, как обычно, называем любую подгруппу в GL(n,P), где Р —
некоторое поле. В дальнейшем можно считать Р = Ж или Р = С.
Если G — абстрактная группа и Ф : G —У GL(n,C) — её линей-
линейное представление, то пару (G, Ф) мы тоже будем называть линей-
линейной группой. Линейные преобразования Ф^ действуют на столбцы
переменных х\,..., хп:
Они переводят любую форму (однородный многочлен) / степени т
снова в форму степени т:
, . . . , ХП) = р д
Различные частные случаи этого действия нам уже встречались (см.
§ 6). Отображение Ф определяет представление группы G на про-
пространстве Рт форм над С степени т (или ковариантных симмет-
симметричных тензоров ранга т).
Определение. Форма / G Рт, остающаяся неподвижной при
действии Фд (т.е. Фр/ = / Vg G G), называется (целым) инвариан-
инвариантом степени т линейной группы (G, Ф).
На самом деле нужно было бы брать остающийся на месте при
действии Ф(О) многочлен от коэффициентов "общей" формы степе-
степени т. Так поступают в общей теории инвариантов, но мы для прос-
простоты ограничимся данным определением. Если в качестве / взять
рациональную функцию, то можно прийти к понятию рационально-
рационального инварианта. Важным является также понятие относительного
инварианта /, когда
где ujg G С — множитель, зависящий от элемента д G G.
Ясно, что любое множество {/ь/г?---} инвариантов линейной
группы (G, Ф) порождает в C[xi,..., хп] подкольцо С[Д , /2,... ] ин-
инвариантов.
Рассмотрим небольшое число примеров.
7. Тензорное произведение представлений
137
Пример 3. Квадратичная форма х\ + х\ + ... + х\ и любые многочлены от
неё являются целыми инвариантами ортогональной группы О (га).
Пример 4. Элементарные симметрические многочлены si(sci,...,жте),...
..., Sn(sci,..., Хп) являются целыми инвариантами симметрической группы Sn,
рассматриваемой вместе с каноническим мономорфизмом Ф: Sn —у GL(ra,M).
Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что инвариан-
инварианты si,..., sn степеней 1, 2,..., га алгебраически независимы, а полиномиальными
(рациональными) функциями от них исчерпываются все целые (рациональные)
инварианты группы (Зп,Ф).
Относительными инвариантами линейной группы (SVi, Ф) служат кососим-
метрические многочлены: Ф7гf = (det Фтг)/ = tirf- Мы видели [ВА I, гл. 6, § 2,
упр. 4], что любой кососимметрический многочлен / имеет вид / = Ап • д, где
Ап = Ylj<i(xi ~ xj)> а # — произвольный симметрический многочлен, т. е. абсо-
абсолютный инвариант.
Пример 5. Представлению Ф^ : X \-у АХА~Х степени п2 полной линейной
группы Gh(n,K) с пространством представления Мп(К) (см. пример 3 из § 1)
отвечает система из п алгебраически независимых инвариантов — коэффициен-
коэффициентов характеристического многочлена матрицы X = (xij). К ним относятся, в
частности, хорошо известные нам инварианты trX = J^ хц и det X.
Пример 6. На квадратичную форму
,... ,хп) — / ^aijXlxJ,
записанную в виде
f(x1,...,xn)= ЬХАХ
действует ортогональная группа О(п):
]A=(aij)= ЬА, Х =
С е О(п)
!, • ..,хп)= \СХ) А (СХ) =
= tX(C~1AC)X.
В этом случае принято говорить об инвариантах квадратичной формы / относи-
относительно О (га): tr А,..., det А. Для бинарной квадратичной формы ах2 + 2Ьху + су2
инварианты а + с и ас — Ь2, характеризующие метрически различные классы
кривых второго порядка, известны ещё из курса аналитической геометрии.
Пример 7. Симметрическую группу Ss рассмотрим как линейную группу
степени 2, используя представление Г, эквивалентное представлению фC) из таб-
таблицы в конце п. 1 § 2:
A2 3)
е О
О ?~
ГB3) -
= 0.
0 1
1 0
Эквивалентность осуществляется посредством сопряжения
.О)
0
Пусть u,v
вом Го-:
— независимые переменные, линейно преобразующиеся посредст-
ГA23)Ы = ?и
ГB 3)Ы =
ГA23H) =
ГB 3H) =
138 Гл. 3. Элементы теории представлений
Так как
= Г^Д 3)НГ
3)НГ(Д 3
= ш;,
= VU = UV,
2
Ж2 + ?
то группа Eз,Г) имеет формы
h = uv, I2 = us + v3 G)
степеней 2 и З в качестве своих инвариантов.
Далее, группа 53 действует естественным образом на многочленах
от трёх независимых переменных:
Положив
мы увидим, что
В частности,
ад) = Ж1 + ^2^3 + ?Ж2 = V,
) = Х2 + ?Хз + ?2Xl = E~XV,
^) =Xl+ SX3 + ?2Ж2 = U,
т.е. действия IV на и,и и а на Ж1,Ж2,жз согласованы. При подстановке (8) в
инварианты G) последние перейдут в симметрические функции от х\,Х2,хз, ко-
которые по теореме 1 из [ВА I, гл. 6, § 2] можно выразить через элементарные
симметрические функции s^ = Si(xi,X2, хз)- Небольшое упражнение показывает,
что
h = хх + х2 + х3 + (е + е )
/2 = 2(ж + Ж
= 2s? -9sis2 +27s3.
Специализируем значения /i,/2? взяв за х\,хъ->яъ ТРИ корня неполного куби-
кубического уравнения
ж3 +рж + q = 0.
Тогда si = 0, S2 = р, S3 = —q, и, следовательно,
h = -Зр, /2 = -27д. (9)
Но из G) следует, что
/2=w3 + ^
и =
и и^
§ 7. Тензорное произведение представлений 139
Все радикалы выбираются такими, что после подстановки значений (9) получат-
получатся формулы
uv = —Зр,
с величиной D = —4р3 — 27q2 — дискриминантом нашего кубического уравнения
(см. в [ВА I, гл. 6, § 2, формулу A6)]). Так как и и v теперь известны, то из
линейной системы
х\ + е2Х2 + ехз = и,
xi + ех2 + ?2хз = v,
Х\ + Х2 + Хз = О
находятся сами корни. Мы пришли довольно естественным путём к формулам
Кардано, о которых упоминалось в [ВА I, гл. 1, § 2, задача 1].
Последний пример не случайно устанавливает связь между инва-
инвариантами группы 5з, являющейся группой Галуа общего кубического
уравнения, и формулами Кардано. Теория Галуа в значительной ме-
мере связана с изучением инвариантов полей (и соответствующих им
групп), порождённых корнями алгебраических уравнений.
Отметим некоторые факты, относящиеся к системе образующих
кольца инвариантов. Пусть w — произвольная форма от п незави-
независимых переменных xi,...,хп. Конечная группа G с линейным пред-
представлением Ф степени п действует как группа перестановок на мно-
множестве
П = {Ф9(ю)\ geG}.
Ясно, что любая однородная симметрическая функция \G\ элементов
из П (или, возможно, некоторого делителя числа \G\) будет инва-
инвариантом линейной группы (G, Ф). Если теперь взять в качестве w
переменную х^ то Х{ будет корнем алгебраического уравнения
]\(Х-Фд(х>))=0,
коэффициенты которого являются инвариантами группы (G, Ф). Та-
Таким образом, каждая переменная х\ является (алгебраической) функ-
функцией инвариантов. Если бы алгебраически независимых инвариантов
было меньше, чем п, то мы выразили бы xi,...,xn через меньшее
число алгебраически независимых переменных, а это невозможно.
Следовательно, мы доказали (если можно назвать доказательством
столь смелое обращение с алгебраической зависимостью величин) од-
одну из важных теорем теории инвариантов.
140 Гл. 3. Элементы теории представлений
Теорема 3. Конечная линейная группа степени п всегда обла-
обладает системой из п алгебраически независимых инвариантов.
Для группы Eз,Г) такими инвариантами являются формы G).
Можно было бы дополнить теорему 3 утверждением о том, что
всё кольцо целых инвариантов конечной группы степени п порож-
порождается п алгебраически независимыми инвариантами /i, /2, • • •, /п
и, как правило, ещё одним инвариантом /n+i (являющимся алгеб-
алгебраической функцией первых п инвариантов). Другими словами, все
остальные инварианты являются многочленами от Д,..., /п, /п+ь
Этот факт справедлив для многих других линейных групп, как дис-
дискретных, так и непрерывных.
Общая теория инвариантов, развитая в середине XIX века тру-
трудами Кэли, Сильвестра, Якоби, Эрмита, Клебша, Гордана и других,
а затем испытавшая второе рождение в нескольких фундаменталь-
фундаментальных работах Д. Гильберта, в наши дни стала частью алгебраической
геометрии и теории алгебраических групп. Постоянный интерес к
теории инвариантов обусловлен также широкими возможностями её
применений во многих областях механики и физики.
УПРАЖНЕНИЯ
1. При помощи формулы F) и таблиц из п. 1 § 2, п. 2 § 5, п. 4 § 5 проверить,
что справедливы разложения
фC) ф фC) ^ фA) _j_ фB) _j_ фC)
для тензорного квадрата двумерного представления фC) симметрической груп-
группы Ss и
фE) ^ фE) ^ фA) _j_ фB) _j_ фC) _j_ фD)
для тензорного квадрата двумерного представления фE) группы кватернио-
кватернионов Qg.
2. Представления прямого произведения групп. Пусть имеются две группы
G, Н с линейными представлениями (Ф, V), (Ф, W). Тогда, полагая
где д • h — элемент прямого произведения G х Н групп G, Н, мы заставим G х Н
действовать на тензорном произведении V ®с ^5 как обычно,
(Ф(д) О 4f(h))(v ®w) = Ф(д)у <g) 4?(h)w.
Проверить, что так определённое отображение
Ф 0 Ф: G х Я —> GL(y 0 W)
является представлением группы G х Н с характером Хф®ф = ХфХф- Доказать
следующее утверждение. Пусть Ф^1),..., ф(г) (соответственно Ф^1),..., ф(8)) —
все неприводимые представления группы G (соответственно Н). Тогда представ-
представления ф(г) ®ф(-?') группы G х Н неприводимы, и все неприводимые представления
группы G х Н исчерпываются представлениями
1 ^ г ^ г, l^j^s.
7. Тензорное произведение представлений
141
3. Формы ху,хп + уп являются инвариантами двумерной линейной группы
диэдра
0 1
1 О
еп = 1
(см. упр. 9 из § 5). Показать, что любой другой (целый) инвариант группы (Dn, Ф)
имеет вид многочлена от ху, хп + уп.
4. Проверить, что группа кватернионов, рассматриваемая в своём двумер-
двумерном неприводимом представлении, не обладает квадратичными и кубическими
инвариантами. Что можно сказать о формах ж2?/2, ж4 + ?/4?
Глава 4
КОЛЬЦА. АЛГЕБРЫ. МОДУЛИ
Повторное рассмотрение алгебраических структур, уже изучав-
изучавшихся ранее, мотивируется следующими соображениями. Во-первых,
хотелось бы в какой-то мере пополнить содержательными утвержде-
утверждениями наши сведения о полях и кольцах, опираясь, где это необходи-
необходимо, на солидную теоретико-групповую базу. Во-вторых, результаты
главы 3 о представлениях групп естественным образом включаются
в общую теорию модулей над кольцами, и было бы жаль не упомя-
упомянуть об этом хотя бы в краткой форме. Фундаментальное понятие
модуля важно само по себе и достойно изучения в гораздо более ши-
широком аспекте, но для этого читателю рекомендуется обратиться к
другим источникам.
§ 1. Теоретико-кольцевые конструкции
1. Идеалы колец и факторкольца. Кольца классов вычетов
и гомоморфизмы колец, рассмотренные в [ВА I, гл. 4, § 3], подгото-
подготовили достаточно благоприятную почву для введения общих понятий.
Напомним, что ядром гомоморфизма
называется подкольцо Кет f = {a Е К | /(а) = О'} С К. Непосред-
Непосредственно видно, что это отнюдь не произвольное подкольцо. Дейст-
Действительно, если J = Кег/ С К, то J • х С J (поскольку f(zx) =
— f(z) © f(x) = 0' © f(x) = О' Для всех z е J) и х • J С J для всех
х Е К. Стало быть, JK С J и KJ С J. Подкольцо J, обладающее
этими свойствами, называется {двусторонним) идеалом кольца К.
Итак, ядра гомоморфизмов всегда являются идеалами.
Пример тЪ С Ъ подсказывает способ построения идеалов (воз-
(возможно, не всех) в произвольном коммутативном кольце К: если а —
какой-то элемент из К, то множество аК всегда является идеалом
в К. Действительно,
ах + ау = а(х + у), (ах)у = а(ху).
Говорят, что аК — главный идеал, порождённый элементом a G К.
Если брать кольца только с единицей, то идеалами будут под-
подгруппы аддитивной группы кольца, выдерживающие умножение сле-
слева и справа на элементы кольца, а в определение гомоморфизма / :
К —У К' целесообразно внести условие /A) = V. При эпиморфизме
это условие, конечно, автоматически выполняется.
§ 1. Теоретико-кольцевые конструкции 143
Нормальные подгруппы групп, введённые в гл. 1, и идеалы
колец имеют общее происхождение — они являются ядрами гомо-
гомоморфизмов. Это обстоятельство находит своё выражение и в общнос-
общности конструкции факторобразований, на чём мы собираемся вкратце
остановиться.
При построении факторколъца K/J кольца К по идеалу J будем
исходить из того, что "основу" кольца составляет аддитивная абе-
лева группа. Поэтому за элементы из К/ J следует брать смежные
классы а + J (называемые классами вычетов по модулю идеала J),
сложение которых осуществляется по обычному правилу:
(а + J) 0 (b + J) = (а + b) + J,
е (а + J) = _а + J.
В качестве произведения тех же классов берём
(a + J)®(b + J) = ab + J. B)
Необходима уверенность в том, что это умножение определено
правильно, т.е. не зависит от выбора представителей соответствую-
соответствующих классов. Пусть а' = а + ж, Ъ' = b + у, где х,у G J. Тогда
а'Ъ' = ab + ау + хЪ' = ab + z,
где z = ау + хЪ' G J, поскольку J — двусторонний идеал. Поэтому
а'Ъ' лежит в одном смежном классе с элементом afr, a это и значит,
что произведение B) определено правильно. Для краткости положим
а = а + L, так что
В частности, 0 = Jh1 = 1 + J (если единица 1 имеется в К). Нужно
ещё убедиться, что для множества К = К/J = {a\ a G К}, рассмат-
рассматриваемого с операциями ©, 0, выполнены все аксиомы кольца, но это
довольно очевидно, поскольку операции над классами вычетов в К
сводятся к операциям над элементами из К. Скажем, дистрибутив-
дистрибутивность проверяется так:
(а 0 Ь) 0 с = (а + Ь)с = (ас + be) = ас 0 be = а 0 с 0 b 0 с.
Всё это показывает, что отображение
тг : а ь->- а
является эпиморфизмом колец К —у К с ядром Кегтг = J. От част-
частного примера факторкольца Zm = Z/mZ и эпиморфизма Z —»¦ Zm
мы перешли к рассмотрению ситуации в произвольных кольцах.
Отметим теперь, что все гомоморфные образы кольца К исчер-
исчерпываются по существу факторкольцами К по соответствую-
соответствующим идеалам. Действительно, если /: К —у К' — гомоморфизм и
144 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
f(K) — образ кольца К относительно /, то, рассматривая f(K) С
С К' вместо К'', мы придём к эпиморфизму. Чтобы не усложнять
обозначений, считаем с самого начала / эпиморфизмом, т.е. пола-
полагаем f(K) = К'. Согласно общему принципу, изложенному в [ВА I,
гл. 1], / определяет отношение эквивалентности Of на К] в данном
случае Of задаётся разбиением К на смежные классы а + Кег / =
= Са- Отображение / устанавливает биективное соответствие /'
между элементами a' Е К' и классами Са, а именно f'(Ca) = а',
если а' = /(а). При этом
f(Ca + Сь) = f'iCa+ь) = f(a + b)= f(a) + f(b) = f'(Ca) + f'(Cb),
f'(Ca ¦ Сь) = /'(Саб) = f(ab) = f(a) ¦ f(b) = f'(Ca) ¦ f(Cb),
так что биективное отображение /; — изоморфизм (для просто-
простоты операции сложения и умножения в К, в кольце классов вычетов
К/Кет/ и в К' обозначаются одинаково: + и •).
По сути дела нами доказана
Теорема 1 (основная теорема о гомоморфизмах). Любой иде-
идеал J кольца К определяет (при помощи формул A), B)) структуру
кольца на фактормножестве K/J, причём K/J является гомоморф-
гомоморфным образом кольца К с ядром J. Обратно: каждый гомоморфный
образ К' = f(K) кольца К изоморфен факторколъцу К/Кет /.
Замечание. Правая часть формулы B), вообще говоря, не сов-
совпадает с произведением классов вычетов а + J тлЪ + J ъ теоретико-
множественном смысле. Например, при К = Z, J = 8Z целое число
24 е 16 + 8Z не содержится в D+8ZJ, поскольку D+8s)D+8?) = 16и.
Мы знаем, что Zm = Z/mZ — поле тогда и только тогда, когда
m = р — простое число. Евклидовость кольца Z и кольца многочле-
многочленов Р[Х] над полем Р является причиной их большого сходства.
2. Поле разложения многочлена. Как часто бывает, взгляд
со стороны на хорошо известный пример даёт возможность лучше
понять его и перейти к разумным обобщениям.
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:
i) всякий идеал J кольца многочленов Р[Х] над полем Р главный^
т.е. J = (f(X)) := f(X)P[X] для некоторого многочлена /;
п) факторколъцо P[X]/(f(X)) является полем тогда и только
тогда, когда f — неприводимый над Р многочлен.
Доказательство, i) Выберем в J многочлен / минимальной
степени. Если g — любой многочлен из J, то деление с остатком на /
(Р — поле, поэтому нет нужды заботиться об обратимости старшего
коэффициента у д(Х)) даст нам равенство д = qf+r, deg r < deg /.
Из него следует, что г G J, поскольку д, f,qf — элементы идеала. В
силу выбора / заключаем, что г = 0. Значит, д(Х) делится на f(X)
§ 1. Теоретико-кольцевые конструкции 145
и J = (f(X)) = /(Х)Р[Х], т.е. J состоит из многочленов, делящихся
на/(Х).
И) Если f(X) = а(Х)Ь(Х), 0 < deg а(Х), deg Ъ(Х) < deg /(X),
то классы вычетов а(Х),Ь(Х) Е P[X]/(f(X)) отличны от нуля 0, но
а(Х)Ъ(Х) = f(X) = 0.
Значит, Р[Х]/(/(Х)) обладает нетривиальными делителями нуля и
полем быть не может.
С другой стороны, представителем любого класса вычетов в
Р[Х]/(/(Х)) может выступать многочлен а(Х), dega(X) <deg/(X),
и если а/0, а/ неприводим, то найдутся 6, с G Р[Х] такие, что ab +
+ с/ = 1. В таком случае ab-\-cf = 1, т.е. ab = 1. Значит, любой класс
вычетов а ф 0 обратим, и кольцо P[X]/(f(X)) является полем. ?
Подчеркнём то обстоятельство, что элементы а = а+ (/), где a Е
G Р, образуют в P[X]/(f) подкольцо, изоморфное полю Р. В случае
неприводимого многочлена f(X) факторкольцо P[X]/(f) по теоре-
теореме 2 является полем, содержащим подполе, изоморфное Р.
Следствие. Для любого неприводимого многочлена f(X) над
полем Р существует расширение F D Р, в котором f(X) имеет
по крайней мере один корень. За F можно взять поле, изоморфное
Доказательство. Обратим внимание на специальный элемент
X G P[X]/(f). Для любых ao,ai,..., аш G Р имеем
к=0
Короче, если g(Y) = ^2к а^Ук G P[Y], то д(Х) = д(Х). Запись
д(Х) имеет, конечно, смысл при отождествлении Р с изоморфным
ему полем, содержащимся в P[X]/(f). В частности,
f(X) = f(X) = / + (/) = (/)= 0,
т.е. элемент X G P[X]/(f) является корнем многочлена (/). П
Замечание. По теореме 1 имеем изоморфизм С = Щг] =
где J = {/ е ЩХ] | /(г) = 0}. Так как а + гЪ ф 0 при (а, Ъ) ф @, 0),
и так как г2 + 1 = 0 ^=> X2 + 1 G J, то из рассуждений, доказы-
доказывающих теорему 2, вытекает, что J = (X2 + 1)М[Х]. Элементами
факторкольца B[X]/J являются смежные классы (а + ЬХ) + J; a,b ?
G М; соответствие а + гЪ н-» (а + ЬХ) + J устанавливает изоморфизм
между С и R[X]/J.
10 А.И. Кострикин
146 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
В соответствии с установившейся терминологией принято гово-
говорить, что расширение F С Р из следствия получено присоединением
к Р одного корня с многочлена /: F = Р(с). При этом f(X) = (X —
— c)g(X), где g G Р[^]. Нам представилась реальная возможность
построить расширение поля Р, в котором многочлен / полностью
распадается на линейные множители.
Определение. Пусть Р — поле, / — нормализованный, не обя-
обязательно неприводимый многочлен степени п из Р[Х]. Тогда расши-
расширение F С Р называется полем разложения / над Р, если f(X) =
= (X - ci)... (X - сп) в F[X] и F = P(ci,... ,сп), т.е. F получается
из Р присоединением корней ci,..., сп многочлена /.
Теорема 3. Для всякого нормализованного многочлена / Е
Е Р[Х] степени п > 0 существует хотя бы одно поле разложения.
Доказательство. Условие нормализованное™ несущественно
и используется только для удобства. Пусть
f{X) = h{X)...fr{X)
— разложение / на неприводимые нормализованные множители в
Р[Х]. Согласно следствию теоремы 2 существует расширение Р\ D
Э Р, в котором имеется хотя бы один корень многочлена Д. Этот
корень с\ будет, разумеется, корнем и для /.
Пусть уже найдено расширение Р^ D ... D P\ D Р, над которым
/ имеет разложение
f(X) = (X-Cl)...(X- ck)gi(X)... gs(X)
с k (не обязательно различными) линейными множителями, к < п.
Применив опять следствие теоремы 2 к полю Дик неприводимому
нормализованному многочлену g\ G Р^[Х], мы построим поле Рк+i Э
Э Р&, позволяющее отщепить линейный множитель X — c&+i, где
Ck+i E Р/г+ъ многочлена #i(X), а следовательно, и многочлена f(X).
Продолжая действовать подобным образом, мы придём к полно-
полному разложению / на линейные множители над некоторым расшире-
расширением Рп э Р. Либо Рп, либо какое-то его подполе F и будет полем
разложения для /. Не исключено, что F совпадает с Р. ?
Доказательство теоремы 3 содержит слишком много произвола,
чтобы можно было говорить о единственности поля разложения мно-
многочлена /. Хотя на самом деле поле разложения с точностью до изо-
изоморфизма определено однозначно, мы докажем это лишь в следую-
следующей главе. Сейчас мы ограничимся рассмотрением примеров полей
разложения.
1) Квадратичное поле Q(v d) — поле разложения многочлена
X2-d.
2) Если присоединить к Z<± корень в неприводимого многочлена
X2 + X + 1, то получится поле Z^iS) — {0,1,#, 1 + в} из четырёх
§ 1. Теоретико-кольцевые конструкции 147
элементов, изоморфное как полю Z2\X\j [X2 + X + 1), так и полю
GFD) из [ВА I, гл. 4, § 3, п. 5]. Заметим, что
т.е. ZiiQ) — поле разложения многочлена X2 + X + 1.
3) Многочлен X2 +1 неприводим не только над М, когда его полем
разложения будет С, но и над некоторыми другими полями, например
над Z%. Пусть О2 = — 1 (если угодно, 0 = Х + (Х2 + 1)^з[Х] — элемент
поля классов вычетов Z3[X]/(X2 + 1)). Так как X2 + 1 = (X - в)(Х -
- в3), то Z3F) = {а + Ъв | a,b e Z3} — поле разложения для X2 + 1
над Z3.
Между прочим, Z3F) изоморфно полю матриц , , а, Ъ G
G ^з, из [ВА I, гл. 4, § 3, упр. 11]. Вот соответствующее отображение:
Ь6
1 О
О 1
О 1
-1 О
Обратим внимание на то, что
Z3(ey = (X), A = l + i9, Л2 = -в, А3 = 1-6>, Л4 = -1,
A5 = -l-6>, A6=6>, A7 = -l + i9, Л8 = 1,
т.е. мультипликативная группа поля Z%F) не только абелева, но и
циклическая, как ей положено быть.
4) Согласно критерию Эйзенштейна многочлен X3—2 неприводим
над Q. Так как не все его корни вещественные, то Q(v^2) не может
быть полем разложения. На самом деле полем разложения для X3 — 2
служит Q(v/2,s), где е — примитивный корень степени 3 из 1:
X3 - 2 = (X - Щ (X - еЩ (X - е2Щ.
Что касается колец многочленов от нескольких независимых пе-
переменных, то уже в Ж[Х, Y] идеалы заведомо не исчерпываются глав-
главными.
Пример. Множество
состоящее из многочленов h(X, Y) таких, что /i@,0) = 0, очевидно, является
идеалом в R[X, Y]. Так как 1 Е R[X, Y], то из J = q(X,Y)R[X,Y] следовало бы
включение q(X,Y) E J. Поэтому д@,0) = 0 и, стало быть, deg q ^> 1. У нас
X, Y E J, так что
X = qu, Y = qv,
откуда с необходимостью вытекают равенства deg и = deg v = 0, т.е. и, v E M и
Y = u~xvX — противоречие, показывающее, что идеал J не является главным.
3. Теоремы об изоморфизме колец. Мы уже располагаем
довольно значительным арсеналом типов колец и средств, позволя-
позволяющих строить новые кольца из данного их набора. Примерами слу-
служат конструкции кольца матриц Мп(К), поля отношений Q(K) и
10*
148 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
кольца многочленов К[Х\,... ,Хп], где К — коммутативное кольцо
(целостное в случае Q(K)). Полезно обсудить ещё, хотя бы вкратце,
теоретико-кольцевые аналоги тех общих фактов о гомоморфизмах,
которые были установлены для групп в гл. 1. Доказательства, как
правило, ничем не отличаются от случая групп, и оставляются чита-
читателю в качестве упражнений.
Основную теорему о гомоморфизмах для колец (теорема 1) мы
дополним двумя теоремами об изоморфизме.
Теорема 4. Пусть К — кольцо, L — подколъцо, J — идеал в К.
Тогда L + J = {х + у\ х G L, у G J} — подколъцо в К, содержащее
J в качестве идеала, ЬГ\ J — идеал в L. Отображение
(р : х + J \-> x + (L П J), x G L,
осуществляет изоморфизм колец:
Доказательство. Первые два утверждения совершенно оче-
очевидны. Что касается последнего, то нужно рассмотреть ограниче-
ограничение тго = тг \l естественного эпиморфизма тг : К —> К/ J. Его образ
IniTTo состоит из смежных классов х + J, x G L, т.е. 1ттго = (L +
+ J)/J. Ядро Кегтго эпиморфизма тг0 : L —у (L + J)/J состоит из
элементов х G L, для которых х + J = J. Значит, Кегтго = L П J.
По теореме 1 соответствие тг о : х + (L П J) \-> тго(ж) = х + J устана-
устанавливает изоморфизм L/(L П J) = (L + J)/J- Остаётся заметить, что
if = тГо. ?
Мы провели это рассуждение, скопированное с доказательства
теоремы 3 из § 4 гл. 1, для того, чтобы подчеркнуть полный парал-
параллелизм с теорией групп.
Теорема 5. Пусть К — кольцо, J,L — его подколъца, причём
J — идеал в К и J С L. Тогда L = L/J — подколъцо в К/ J и тг* :
L —У L является биективным отображением множества Q(K, J)
подколец в К, содержащих J', на множество п(К) всех подколец
кольца К. Если L G Q(K,J), то L — идеал в К тогда и только
тогда, когда L — идеал в К, причём
K/L ^ ~K[L = (K/J)/(L/J).
Доказательство — лёгкое упражнение (см. доказательство теоре-
теоремы 4 в § 4 гл. 1).
Следствие. Пусть К — коммутативное кольцо с единицей 1.
Идеал J максимален в К тогда и только тогда, когда факторколъ-
цо К/ J — поле.
На множестве идеалов кольца К определены следующие операции:
сумма J\ + J2 = {xi + ж2 | Xk G Jk}]
пересечение J\ П J2 = {x\ x G J\, x G J2};
§ 1. Теоретико-кольцевые конструкции 149
произведение J\J2 — \ ^хцХ2% \ Xki G Jk \ С Л П J^-
Можно также говорить о сумме, пересечении, произведении
любого конечного числа идеалов, причём справедливо следующее
утверждение.
Предложение. Если в кольце К с единицей имеют место ра-
равенства
J + Jk = К, к = 1,...,п,
для идеалов J, Ji,..., Jn, то справедливы также равенства
j + j1nJ2n...nJn = K = j + jxj2 ...Jn-
Доказательство. Так как J\J2 ... Jn С J\ П J2 П ... П Jn, то
достаточно установить равенство J + J±J2 ... Jn = К. При п = 1 оно
верно по условию. При п = 2 имеем
2/2) = X
где xi, Ж2, ж G J, 2/i G Jf. Значит, 1 G J+J\J2 ш К = J+JiJ2. Далее —
очевидная индукция по числу п. ?
Пусть Ki,... ,Кп — конечное семейство колец, К = К\ х ...
... х Кп — декартово произведение множеств. Введём на К структу-
структуру кольца, определив операции сложения и умножения покомпонент-
покомпонентно:
0ь...,жп) + B/1,..., Уп) = Oi +2/i,... ,жп + 2/п);
(жь.. .,хп) • B/1,... ,2/n) = (#i2/i,. • • ,хпУп)-
Мы приходим к внешней прямой сумме К = i^i 0 ... 0 i^n колец
Ki. Каждая из компонент К{ является образом при эпиморфизме тт^ :
[х\,..., хп) I-)- х\, 1 ^ г ^ п. Если, далее,
^ = {@,...,хь...,0)| ж* Gi^i},
то Ji = К^ Ji — идеал в К и К — J\ + ... + Jn.
Пусть теперь if — кольцо с идеалами Ji,..., Jn, причём
К = Л + ... + Jn, J* П (^ J,-) = 0, ! ^ * ^ п-
Тогда К = Ji0.. .0 Jn — внутренняя прямая сумма своих идеалов J/..
Как и в теории групп, различие между внутренними и внешними пря-
прямыми суммами колец чисто теоретико-множественное, и нет смысла
отражать его в обозначениях.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что кольцо Qm(%) всех рациональных чисел а/b с 6, не деля-
делящимся на фиксированное простое число р, содержит единственный максималь-
максимальный идеал
J = {а/Ь е Qm{%) I P делит а}.
150 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
Всякое кольцо, обладающее единственным максимальным идеалом, называется
локальным кольцом.
2. Показать, что в любом локальном кольце К с максимальным идеалом m
элементы, не лежащие в т, обратимы.
3. Идеал р кольца К с единицей называется простым, если факторкольцо К/р
целостно. Всякий максимальный идеал прост. Дополнение М = К \р в кольце К
является мультипликативным подмножеством (моноидом, не содержащим 0).
Кольцо Qm{K) в этих условиях обозначается чаще символом М~1К или прос-
просто Кр.
Показать, что кольцо Кр всегда локально и что его максимальный идеал trip
состоит из частных вида а/6, где а Е р, b E ^\р- Показать также, что трПК = р.
Операция перехода от К к локальному кольцу Кр называется локализацией
кольца К относительно простого идеала р.
§ 2. Отдельные результаты о кольцах
Этот параграф можно рассматривать как небольшое, но полезное
дополнение к главам 4 и 5 в [В А I].
1. Целые гауссовы числа. Ранее была доказана факториаль-
ность евклидовых колец, к числу которых относятся кольца Z и Р[Х].
Ниже приводится ещё один пример евклидова кольца, а в следующем
пункте — пример факториального кольца, не являющегося евклидо-
евклидовым.
Теорема 1. Кольцо целых гауссовых чисел Z[i] евклидово.
Доказательство. Имеется в виду числовое кольцо
Z[i] = {т + in\ m,n?Z},
содержащееся в квадратичном поле Q(i) ЕС, г2 + 1 = 0, и гео-
геометрически отождествляемое со множеством узлов (точек) целочис-
целочисленной решётки в комплексной плоскости С. Понятно, что Z[i] —
целостное кольцо. Мы определим на Z[i]* = Z[i] \ {0} отображение
8 : Z[i]* —У NU {0}, полагая
<5(ттг + in) = \т + ш\2 = т2 + п2
(т.е. 8(а) = N(a) — норма числа а в Q(i)). Как известно, 8(аЬ) =
= 8(а)8(Ь) для всех а, Ъ G Z[i]*, так что свойство Е1) из определения
евклидова кольца (см. п. 3, § 3 гл. 5 в [ВА I]) автоматически выпол-
выполнено. Чтобы убедиться в справедливости Е2), запишем дробь аЪ~х с
Ъ ф 0 в виде ah~x =a + ^ca,^ G Qh возьмём ближайшие к а,/3
целые числа &, I такие, что a = k + v,f3 = l + [i, \г/\ ^ 1/2, |/i| ^ 1/2.
Тогда
где q = к + il G Z[i], a r = h(v + ifi). Так как г = a — bq, то и г G Z[i],
причём
6(r) = |r|2 = |6| V + f) <: 6(b) (i + 1) = i 6(b) < 6(b).
§ 2. Отдельные результаты о кольцах 151
Стало быть, Z[i] — евклидово кольцо. ?
Кольцо целых гауссовых чисел Z[i] удобно для демонстрации в
миниатюре методов теории алгебраических чисел. Поэтому мы оста-
остановимся на свойствах Z[i] чуть подробнее. Сначала докажем несколь-
несколько простых утверждений.
Определение. Целостное кольцо К, все идеалы которого глав-
главные, т.е. имеют вид аК, называется кольцом главных идеалов.
Предложение 1. Все евклидовы кольца являются кольцами
главных идеалов.
Доказательство. Для Ъ и Р[Х] это было установлено ранее
([ВА I] и теорема 2 из § 1), а в общем случае рассуждения совершенно
аналогичны: если J — идеал евклидова кольца К, то J = аК, как
только a Е J и 8 (a) ^ 8(х) для всех 0 ф х Е J. ?
Предложение 2. Пусть К — произвольное евклидово кольцо
с функцией 8 и U(K) — группа его обратимых элементов. Тогда
и е U(K) <=^> 8(и) = 6A) <=^> 6(их) = S(x) Мх е К*. A)
Доказательство. Действительно, согласно Е1), 5(х) =
= 6A • х) ^ 6A) для всех х G К*, а если и G U(K), то 6A) =
= 6(и • и~г) ^ S(u), так что 6(и) = 6A). Обратно: в соответствии
с предложением 1
8(их) = 8(х) Vx G К* =^ ихК = хК =^
=^ х = uxv =^ uv = 1 =^ и G U(К). ?
В применении к кольцу Z[i] критерий A) означает, что т + in G
G ?/(Z[i]) <^=> m2 + n2 = 1. Стало быть, и(Ъ[г\) = (г) — циклическая
группа порядка 4.
Определение. Идеал J кольца К называется максимальным,
если J ф К vl всякий идеал Т, содержащий J собственным образом,
совпадает с К.
Предложение 3. В евклидовом кольце К свойство элемента
р G К быть простым эквивалентом условию максимальности идеа-
идеала рК.
Доказательство. В самом деле, пусть р — простой элемент и
рК С Т С К, где Т — идеал в К. Согласно предложению 1 Т = аК,
и так как р G Т, то р = аб, где один из элементов а, 6 обратим. Если
Ъ е U(К), то Т = аК = аЪК = рК.
Обратно: пусть идеал рК максимален и р = аЪ с а ? U(K). Тогда
аК ф К и рК СаК ^ рК = аК =>
^=> а — ри — аЪи =^ Ъи = 1 ^=> 6 G U(K) =^
=^ р — простой элемент. ?
152 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
2. Каноническое разложение суммы двух квадратов. По-
Посмотрим теперь, что происходит с простым числом р Е Z в кольце
Z[i]. He исключено, что р остаётся простым элементом и в Z[i]. В
противном случае справедливо
Предложение 4. Если простое число р Е Z допускает нетри-
нетривиальное разложение в Z[i], mo
р = (ш + in)(m - in) = т2 +п2, B)
где т + in, m — in — простые элементы в Ъ[г\.
Доказательство. Пусть р = YYk=i Pk — er0 единственное (по
теореме 4 из [ВА I, § 3, гл. 5]) разложение на простые множители р^
в количестве г > 1. В силу предложения 2 имеем S(pk) > 1, так что
из р2 = S(p) = Yi $(Pk)j и из факториальности Z следуют с необходи-
необходимостью равенства
г = 2, p = PlP2, Ufa) = 5(р2) = р
Если pi = ш + in, то
р = S(pi) = m2 + n2 = (ттг + in)(m — in) =^ p^—m — in. ?
В частности, 2 = A + г)A — г) не является простым элементом
в Ъ[г\.
Мы готовы теперь доказать следующий критерий.
Теорема 2. Простое число р G Z остаётся простым в Ъ[г\
тогда и только тогда, когда р = 4к — 1.
Всякое простое число р = 4& + 1 представимо в виде р = ?тг2+п2,
где ?тг,п G Z.
Доказательство. Заметим сначала, что ?2=0(mod4) или
?2 = I(mod4) для любого t G Z. Поэтому для нечётного простого
числа р, не являющегося простым в Z [г], предложение 4 приводит к
выводу:
р = т2 + п2 = 0,1, 2 (mod 4) => р = 4fe + 1.
В случае р = 4к + 1 положим ? = Bк)\. Так как, очевидно,
t = {-1Jк{2к)\ = (-1)(-2)... (-2*) = (р - 1)(р - 2)... (р - 2fc) =
ТО
i2 = Bfc)!((p + 1)/2)... (р - 2)(р - 1) ее (р - 1)! (mod p),
или, с учётом теоремы Вильсона [ВА I, гл. 6, § 1], t2 + 1 = 0 (mod p).
Если теперь р — простой элемент в Z[i], то из равенства (t + i)(t —
— i) = t2 + 1 = Ip, I G Z, по теореме 1 из [ВА I, гл. 5, §3] следует
делимость на р одного из элементов t + i,t — i. Но t ± г = p(m +
+ in) ^=> ±1 = рп, п G Z, что явно невозможно. ?
§ 2. Отдельные результаты о кольцах 153
Из установленных нами фактов несложно извлекается общая
теоретико-числовая теорема.
Теорема 3. Число t E Z представимо в виде суммы квадратов
двух чисел т,п Е Ъ тогда и только тогда, когда в каноническое
разложение t на простые множители каждый простой делитель
р = 4& — 1 входит с чётным показателем.
Доказательство. Действительно, достаточно показать, что
если НОД(т,п) = 1 и р | (т2 + п2), то р = 4к + 1. Это довольно
ясно, если заметить, что:
НОД(т, п) = 1, т2 + п2 = О (mod р), тп ^ 0 (mod p) =>
=> тр~1 = 1 (mod р), п2 = — т2 (mod p) =>
=> (гг^-2пJ = т2р-4п2 = -т2^2 = -1 (mod p).
Таким образом, существует целое число s Е Ъ такое, что s2 =
= -1 (mod p), s4 = 1 (mod р). Стало быть, порядок р — 1 муль-
мультипликативной группы Z* делится на 4 и р = 4& + 1. ?
Согласно предложению 3 простота р = 4к — 1 в Z[i] эквивалентна
максимальности идеала рЪ [г], что в свою очередь выражается свой-
свойством факторкольца Ъ\г\/рЪ\г\ быть полем из р элементов (см. в этой
связи упр. 11 в [ВА I], гл. 4 § 3 и теоремы об изоморфизме для колец
в § 1). Это и не удивительно, если учесть, что при р = 4к — 1 много-
многочлен X2 + 1, рассматриваемый над Zp, неприводим. Более подробно
об этом будет говориться в следующей главе.
3. Полиномиальные расширения факториальных колец.
Покажем, что кольца многочленов Z[Xl, ..., Хп] и P[Xi,..., Хп]
(Р — поле) факториальны при любом Р. Это важное утверждение
непосредственно вытекает из следующей теоремы.
Теорема 4. Если факториально кольцо К, то факториально и
кольцо многочленов К[Х\.
Доказательство. В основе доказательства лежат свойства
многочленов, связанные с понятием примитивности и примыкающие
к лемме Гаусса [ВА I, гл. 5, § 3]. Именно, нам понадобятся следующие
два свойства.
а) Примитивные многочлены f,g G if[-X"], ассоциированные в
Q(K)[X] (Q(X) — поле отношений факториалъного кольца К), ас-
ассоциированы в К[Х] (лёгкое упражнение).
б) Многочлен f G К[Х] положительной степени, неприводимый
над К, неприводим также над Q(K) (доказательство в [ВА I] для
К = Z годится и в общем случае).
Приступая непосредственно к доказательству теоремы, запишем
многочлен / G К[Х] положительной степени в виде / = d(/)/o, где
d(f) — содержание многочлена /, а /о — его примитивная состав-
составляющая. Индукцией по степени примитивных многочленов мы полу-
154 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
чим разложение /о в произведение /о = /i ... fs неприводимых над
К примитивных многочленов Д,..., fs.
Пусть fo=gi...gt — ещё одно такое же разложение. Тогда со-
согласно б) fi и gj неприводимы над Q(if), а поскольку кольцо Q(if )[Х]
факториально (см. [ВА I, следствие теоремы 4 из § 3, гл. 5]), s = t
и при надлежащем упорядочении многочлен fi ассоциирован с д\ в
Q(K)[X], а следовательно (по а)), и в if [X].
Что касается многочлена / с необратимым в К содержанием
d(/), то, взяв ещё разложение d(f) = р\ .. .рг на простые множители
Pi Е if, мы придём к разложению /. Единственность такого разло-
разложения (в обычном понимании) следует из только что установленной
единственности разложения /о и из факториальности if, отвечающей
за единственность разложения d(f) = р\ .. .рг. ?
Теорема 5. Имеют место строгие включения:
{евклидовы кольца) С {кольца главных идеалов} С
С { ф акториальные кольца} C)
Доказательство. Первое включение установлено предложени-
предложением 1. Существуют примеры (мы их не приводим), показывающие, что
оно строгое.
Для доказательства второго включения рассмотрим в кольце
главных идеалов if возрастающую последовательность идеалов
(di) С (cfe) С ... Непосредственно проверяется, что D = Ui(di) —
идеал в if. Следовательно, D = (d). По определению d G (dm) С D
для некоторого т, откуда (dm) = (dm+i) = ... Стабилизация на ко-
конечном шаге возрастающей цепочки идеалов влечёт обрыв цепочки
необратимых делителей di,d2,d3,... с d\ \ d\-\ и, стало быть, су-
существование разложения в if на неразложимые элементы.
Единственность разложения в if является следствием тех же при-
причин:
(а, Ь) = аК + ЬК = dK = (d) => d = НОД(а, 6) = ах + %.
Дальнейшие рассуждения повторяют доказательство следствия п) из
теоремы 3 в [ВА I, гл. 5 § 3].
Идеалы B,Х) в Ъ[Х] и (X, Y) в ЩХ, Y] не являются главными
(см. пример из § 1). В то же время по теореме 4 кольца Z[i] и Ж[Х, Y]
факториальны. Тем самым истинность цепочки C) установлена. ?
Кольца главных идеалов интересны с чисто алгебраической точ-
точки зрения, поскольку они характеризуются свойствами таких ес-
естественных объектов, как ядра гомоморфизмов. С другой стороны,
евклидовы кольца более удобны для исследования в силу наличия в
них алгоритма деления с остатком.
4. Строение мультипликативной группы U(Zn). Универ-
Универсальное свойство прямых сумм заключается в следующем довольно
очевидном утверждении.
§ 2. Отдельные результаты о кольцах 155
Если S = К\ 0 ... 0 Кп и К — произвольное кольцо с заданны-
заданными гомоморфизмами cpi : К —У Ki, то существует единственный
гомоморфизм if = ((^i,...,(^n : К —У S) с ядром Кепр =
делающий треугольные диаграммы
К
при i = 1,...,п коммутативными (тг^ — канонические отображе-
отображения).
Применим это утверждение к кольцу К с1ис идеалами J\,..., Jn
и к прямой сумме
S = K/J1(B...(BK/Jn.
Положив ifi : К —У K/Ji = Ki, мы получим гомоморфизм
if : х Н> (ж + Л,..., х + Jn) D)
кольца К ъ S с ядром Кекр = Л П ... П Jn.
Теорема б (китайская теорема об остатках). Если в указанных
выше условиях К — кольцо с единицей и Ji + Jj —К для 1 ^ i ф j ^
^ п, то отображение if {см. D)) является эпиморфизмом.
Доказательство. Нам нужно убедиться, что при любых за-
заданных элементах xi,...,хп G К найдётся х G К, для которого Х{ +
+ Ji = х + Jf, т.е. х — Xi G Ji, i = 1, 2,..., п. При п = 1 это очевидно,
а при п = 2 возьмём элементы fli G Л, а2 Е J2, для которых а\ +
+ &2 = 1, и положим ж = xiB2 + я^аь Тогда
а2) = (х2 - xi)ai G Л,
х — Х2 = (^ia2 + x2ai) - x2(ai + a2) = (xi - ж2)а2 G J2.
Далее рассуждаем индукцией по п. Пусть мы уже нашли элемент
у, для которого у — Xi G Ji, i = 1, 2,... ,n — 1. Так как по усло-
условию 3% Л- Jn = ^5 l^i^n — 1, то согласно предложению из § 1
J\ f\.. .f\ Jn-\ + Jn — К. Применим разобранный нами случай п = 2
к идеалам Ji П ... П Jn-i, Jn и к элементам ж — хп G Jn. Но
х - у е Ji П .. .П Jn-i => х - у е Ji, 1 ^ г ^ п - 1.
С учётом выбора 2/ получаем
X — Xi = (х — у) + (у — Xi) e Ji, 1 ^ г ^ П — 1.
Стало быть, элемент ж удовлетворяет всем поставленным требова-
требованиям. ?
156 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
В теореме бив предшествующих ей рассуждениях кольцо К не
предполагалось коммутативным. Пусть, далее, К — целостное коль-
кольцо и ai,...,an — его п попарно взаимно простых элементов, т.е.
ctiK + cljK = К при i ф j (в факториальном кольце К это определе-
определение согласуется с определением взаимной простоты, получающимся
из разложения а^ на простые множители). Записывая включение х —
— Xi Е ctiK в виде сравнения по модулю главного идеала ctiK, мы,
как обычно, пользуемся обозначением х = xi (mod ai).
Следствие 1. Пусть К — целостное кольцо и ai,..., an — его
попарно взаимно простые элементы. Тогда для любых х\,... ,хп Е
Е К найдётся элемент х Е К такой, что
х = Xi (mod щ), i = 1,..., п.
Следствие 2. Пусть п — натуральное число с каноническим
разложением п = р™1 ... p^r, Zn = Z/nZ — кольцо классов выче-
вычетов по модулю п и U{Zn) — мультипликативная группа его обра-
обратимых элементов. Тогда:
i) Zn = Zp«n 0 ... 0 Zp^v [прямая сумма колец)]
ii) U(Zn) = C/(Zp^i) x...x[/(Zp^r) (прямое произведение групп).
Доказательство, i) Заменив в D) п на г, положив
мы придём к гомоморфизму (р: Z —>- 5 с ядром Кекр = Пг ^ = п^*
Эпиморфность ер вытекает из теоремы б, поскольку НОД^,^) = 1
при г ф j.
ii) Так как в произвольной прямой сумме К = К\ 0 ... 0 Кг ком-
компоненты Ki аннулируют друг друга: KiKj = 0, i ф j, то непосред-
непосредственно из определения обратимых элементов следует, что U(K) =
= U(K\) х ... х U(Кг). Остаётся применить это к разложению i). ?
Замечание. Из утверждения ii) непосредственно видно, что
^(п) = П[=1 ^(рГ')' а так как ^(Р171) = Рт~1(р — 1)? т0 вновь по-
получается формула для значений функции Эйлера (см. [ВА I, гл. 1,
§ 9, упр. 3]). Порядок элемента конечной группы является делителем
порядка группы, поэтому
а^п) = l(modn)
для любого целого числа а, взаимно простого с п (обобщение малой
теоремы Ферма, известное под названием теорема Эйлера).
Для полного понимания строения группы U(Zn) нам в силу
следствия 2 из теоремы б достаточно разобрать случай п = рт.
Теорема 7. Пусть т — целое положительное число.
i) Если р — нечётное простое число, то U(Zpm) — циклическая
группа.
§ 2. Отдельные результаты о кольцах 157
И) Группы U(Z2) и U{Z±) — циклические порядков 1 и 2 соот-
соответственно, в то время как Vr {Z^™), га ^ 3; — прямое произведение
циклической группы порядка 2т~2 и циклической группы порядка 2.
Доказательство, i) По определению взаимно простое с п це-
целое число t имеет порядок г по модулю п, если \(t + пЪ)\ = г, т.е.
tr = l(modn), но tk ^ l(modn) для к < г. При г = ip(n) говорят о
примитивном (или первообразном) корне t no модулю п. Обычно t
берут из приведённой системы вычетов 0,1,...,п — 1по модулю п,
но мы никакой системы вычетов не фиксируем.
Согласно теореме 11 из § 3, гл. 2 группа Z* = U(ZP) циклическая,
т.е. существует примитивный корень а$ по модулю р. Так как а$ =
= по (mod p), то и целое число а = а$ будет примитивным корнем
по модулю р. С другой стороны,
аР-1 = af^-V = а%(рт) = 1 (mod pm).
Значит, смежный класс а = а + ршЪ порождает в U(Zpm) цикличес-
циклическую подгруппу порядка р — 1.
Далее,
i=0
Так какр > 2, то A+р)р = 1+р2 (modp3). Предположив по индукции,
что A + р)р3 = 1 + pJ+1 (mod pJ+2), мы находим
г=0
+ (p
откуда
A + p)j+1 = l+p>+2 (mod р>+3)
В частности,
(l+p)"'1 =l(modpm),
и, стало быть, смежный класс 6 = 1 + р + pmZ с представителем
Ъ = 1 + р порождает в U(Zpm) циклическую группу порядка рш~1.
Согласно предложению 2 из § 3 гл. 2 элементы а,Ь взаимно простых
порядков р — 1, рт-1 порождают циклическую группу (ab) порядка
158 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
С группами U(Z2) и U{Z±) всё ясно. При т > 2, исходя из три-
тривиального сравнения 5 = 1 + 22(mod 23), индукцией по j легко прове-
проверяется, что
В частности,
52—3 = 1 + 2т-1 ^I(mod2m), 52m = l(mod2m),
так что 5 имеет порядок 2Ш~2 по модулю 2Ш и смежный класс 5 + 2mZ
порождает в XJ (Z^^) циклическую подгруппу индекса 2. Заметим,
что -1 + 2mZ ^ E + 2mZ), поскольку
5J' = -I(mod2m) => 5J' = -I(mod4) => 1 = -I(mod4)
— противоречие. Так как (—1 + 2mZ)| = 2, то
t/(Z/2mZ) = E + 2mZ) x (-1 + 2mZ)
— абелева 2-группа типа Bm~2, 2) (см. § 3 из гл. 2). ?
Следствие. Группа U(Zn) является циклической (или, что
равносильно, примитивный корень по модулю п существует) тогда
и только тогда, когда целое число п > 1 имеет вид 2,4,рт или 2рт,
где р — нечётное простое число.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что ненулевой элемент р факториального кольца К является
простым тогда и только тогда, когда К/рК — целостное кольцо.
2. Доказать, что если целостное кольцо К не является полем, то If [-X"] не
является кольцом главных идеалов.
3. Показать, что элементы х + у\/—3, где х,у Е Z или же х = B/с + 1)/2,
у = B1 + 1)/2, /с,/ Е Z, составляют целостнее кольцо if. Проверить, что оно
евклидово с функцией 5 = N (норма в Q(\/~3)). Показать, что подкольцо
Z[\/—3] С if не является даже факториальным.
4. Найти все простые элементы кольца целых гауссовых чисел.
5. Усовершенствовать следствие теоремы 6 в случае факториального кольца
if, для чего, наряду с попарно взаимно простыми элементами а\,... ,ап , ввести
элементы Ъ{ = \\ ¦,i aj. Найти bi E if, для которых
bi = 1 (mod ai), bi = 0 (mod a^), 1 ^ i ^ n.
Пусть xi,... ,xn E if- Ввести элемент ж = ^2b{X{ и проверить, что ж =
= ж^ (mod di), 1 ^ г ^ п (удобство, ощутимое в тех случаях, когда имеют дело с
большим числом наборов х\,... ,хп).
6. Применить предыдущее упражнение к модулям а\ = 5, п2 = 9 и к парам
(ж1,Ж2) = B, 5), C, 2), C, 5). Что можно сказать о порядке х по модулю 45?
7. Пусть р — нечётное простое число. Если сравнение х2 = a (mod p) имеет
решение, то целое число а называется квадратичным вычетом по модулю р, в
противном случае — квадратичным невычетом. Символ Лежандра ( — ) опре-
определяется соотношением
0, если а = 0 (mod p),
1, если а ^Ё 0 (mod p) — квадратичный вычет,
_;ц если а ^Ё 0 (mod p) — квадратичный невычет.
§ 3. Модули 159
Показать, что (|) = 1 ^^ а + рЪ е (Z*J и (|) = aV (mod р). Далее, (^) =
= (ё)(р) и число квадратичных вычетов в приведённой системе 1,2, ...,р —
— 1 совпадает с числом невычетов. Проверить для небольших нечётных простых
чисел р и q выполнение квадратичного закона взаимности
доказанного в общем случае (многими способами) Гауссом. Извлечь из теоремы 1
соотношение (^) = ( —1)~2~.
8. Доказать (в обозначениях предыдущего упражнения), что (-) = ( —1) § ,
т.е. 2 является квадратом по mod p в точности тогда, когда р = ±1 (mod 8).
9. (Дополнение к [ВА 1,гл. 3, § 4]). Пусть f(X) = /(..., xij,...) — ненулевой
многочлен от п2 независимых переменных хц Е К, 1 <С z,j <С п, с коэффи-
коэффициентами в Z или в некотором поле, рассматриваемый как функция матрицы
X = (xij). Доказать, что если f(XY) = f(X)f(Y) для всех 1,7 ? Мп(К), то
f(X) = (det X)m, где т — некоторое неотрицательное целое число. В частнос-
частности, f(X) = det X, коль скоро /(diag (ж, 1,..., 1)) = х.
§ 3. Модули
Понятие модуля служит носителем фундаментального принципа,
выработанного в алгебре почти сто лет назад. Он заключается в
том, что предметом изучения любой алгебраической системы долж-
должны быть не только внутренние свойства этой системы, но и все её
представления (в самом широком смысле этого слова).
1. Первоначальные сведения о модулях. Начнём с класси-
классического определения. Пусть К — ассоциативное кольцо с единицей и
V — аддитивно записываемая абелева группа. Пусть, далее, задано
отображение (x,v) \—> xv из К х V в У, удовлетворяющее условиям:
Ml) x(u + г?) = хи + xv,
М2) (ж + y)v = xv + yv,
МЗ) (xy)v = x(yv),
М4) 1 • v = v
для всех х,у G К, u,v G V. Тогда V называется левым К-модулем
(или левым модулем над кольцом К). Аналогично определяется пра-
правый if-модуль. В дальнейшем мы говорим просто о if-модуле, хотя
в некоторых ситуациях оба вида модулей появляются вместе.
Аксиома М4) (условие унитарности модуля), естественно, явля-
является лишней, если кольцо К не обладает единицей. Более существен-
существенно, что возможны модификации аксиомы МЗ), приспособленные к
некоторым неассоциативным кольцам. Пример модуля над неассоци-
неассоциативным кольцом приведён в конце главы. Пока мы будем исходить
из данного выше определения.
Пусть V — if-модуль. Подгруппа U С V называется подмодулем
в V, если хи е U для всех х G if, и G U.
160 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
Пусть, далее, U и V — произвольные if-модули. Гомоморфиз-
Гомоморфизмом К-модулей (или просто К-гомоморфизмом) из U в V называется
отображение а : U —У V такое, что
а(хи) = ха(и)
для всех щ,и2,и Е U, х Е if. Легко проверяется, что Кета =
= {и Е U | сг(г^) = 0} является if-подмодулем в [/, а образ Im a —
if-под модулем в V.
Со всяким подмодулем U С V над if ассоциируется фактормо-
дулъ V/U = {v + U \ v G У} (факторгруппа аддитивной абелевой
группы) с действием if, определённым по правилу
x(v + U) = xv + U.
Основная теорема о гомоморфизмах и две теоремы об изоморфизме,
доказанные нами для групп, а затем для колец, дословно переносятся,
с незначительным изменением доказательств, на модули.
После гл. 1, где рассматривались аксиомы типа МЗ), М4), и пос-
после основательной гл. 3 о представлениях групп (аксиомы Ml), МЗ),
М4)) примеры if-модулей, которые мы приведём, вряд ли вызовут
ощущение новизны. Тем не менее стоит их обсудить и сопоставить
друг с другом.
1) Всякая абелева группа А является Z-модулем. Именно, отоб-
отображение (п,а) ь->- па из Ъ х А в А удовлетворяет всем аксиомам
М1)-М4). Точка зрения на абелевы группы как на модули над Z
оказывается весьма полезной. В этом мы убедились в гл. 2 при опи-
описании конечно порождённых абелевых групп, где по сути дела была
использована вся модульная терминология.
2) Всякая абелева группа А является модулем над своим коль-
кольцом эндоморфизмов End А. По определению End А состоит из всех
отображений ср : А —у А, удовлетворяющих условию ср(а + а') =
= ц>(а) + р(а'). Операции сложения и умножения в End А вводятся
естественным образом:
(if + ф)(а) = (р(а) + ф(а), (фф)(а) = ф(Ф(а)),
1 (х) = ж, 0 (х) = 0.
Отображение (ip,a) \-> ip(a) из End A x А в А наделяет, очевидно,
А структурой EndA-модуля.
3) Векторное пространство V над полем Р является, несомненно,
Р-модулем. Если нам дан ещё линейный оператор Л : V —У V', то
мы наделим V структурой модуля Уд наД кольцом многочленов
полагая
f(X)v = f(A)v = aov + aiAv + ... + akAkv
§ 3. Модули 161
для любого v Е V и любого многочлена / Е ^[-Х"]. Аксиомы М1)-
М4) выполнены, поскольку вместе с Л оператор f(A) будет также
линейным и
(/ + 9)(Л) = /(Л) + д(Л), (fg){A) = f(A)g{A)
(универсальное свойство колец многочленов). Подмодулями в Vj\_ бу-
будут служить Л-инвариантные подпространства. Различным линей-
линейным операторам одного и того же пространства V соответствуют,
вообще говоря, различные (неизоморфные) Р[Х]-модули.
4) Произвольный левый идеал J кольца К наделён естественной
структурой if-модуля с действием (х,у) \-У ху, х Е К, у Е J, ин-
индуцированным операцией умножения в К. В случае J = К кольцо
К рассматривается как модуль кК над собой. Этот взгляд на К
приводит к плодотворным результатам.
5) Возвращаясь к предыдущему примеру, построим фактормо-
дуль К/ J = {у + J | у Е if}. Согласно общему определению (х,у +
+ J) I—у ху + J — действие if на К/ J. Заметим, что канонический
эпиморфизм тг : К —у K/J, являясь гомоморфизмом if-модулей,
удовлетворяет соотношению тг(ху) = ху + J = х(у + J) = хтг(у). Если
же J — двусторонний идеал, то К/ J — кольцо и тг — гомоморфизм
колец: тг(ху) = тг(х)тг(у).
Пересечение П^, любого семейства подмодулей V\ С V над if яв-
является подмодулем в У. В частности, пересечение всех подмодулей,
содержащих заданное множество Т С V, приводит к подмодулю (Т),
порождённому множеством Т и состоящему из всевозможных эле-
элементов вида Х\t\ +... + xsts, где ж^ G if, U ЕТ. Заметим, кстати, что
ненулевые элементы ti,... ,ts G У называются линейно зависимыми
над К, если xiti + .. . + xs?s = 0, где не все xi равны нулю. Подмодуль,
порожденный семейством {Vi,..., Vm} подмодулей Vi, называется их
суммой и обозначается обычным образом: ^2i Vi = V\ + ... + Vm.
Модуль V над if, порождённый единственным элементом г?, на-
называется циклическим. Он имеет вид V = if г' = {xv \ x G if}, где
г? Е V, и является аналогом циклической группы. В частности, цик-
циклический модуль к К = if • 1 (см. пример 4) — аналог группы (Z, +).
Если V = Kv\ + ... + Kvn — сумма конечного числа цикличес-
циклических модулей, то модуль V называется конечно порождённым или
К-модулем конечного типа.
Легко проверяется, что отображение х \-у xv является гомомор-
гомоморфизмом модулей к К —у Kv. Его ядро Ann (г?) = Апп^ (г>) = {х Е
Е if | xv = 0} — левый идеал в if, называемый аннуллтором (или
кручением) элемента v. Таким образом, Kv = K/Ann(v). Элемент
v Е V с Ann (г;) ф 0 называется периодическим. Модуль, все элемен-
элементы которого периодические, тоже называется периодическим. Если
V не содержит ненулевых периодических элементов, то говорят, что
11 А.И. Кострикин
162 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
V — модуль без кручения.
Аннулятором (или кручением) К-модуля V называется мно-
множество
Апп(У) = {аеК\ aV = 0} = {] Апп(г;)
vev
Модуль называется точным, если Ann (У) = 0.
К тем же понятиям можно подойти с другой стороны. Пусть
У (ж) — множество элементов v Е У, аннулируемых элементом ж Е
Е К. Если К — целостное кольцо, то V(x) +V(y) С V(xy) и имеет
смысл понятие подмодуля кручения
Тог (У) = Y^ V(x)
хек
(кручение — от torsion (англ.)). В случае равенства Тог (У) = У
говорят, что У — модуль кручения. Если же Тог (У) = 0, то мы
снова приходим к понятию модуля без кручения.
Характерные примеры периодических модулей: а) всякая конеч-
конечная абелева группа (периодический модуль конечного типа над Z;
кручение — тЪ или просто показатель т группы); б) модуль Уд
над Р[Х], ассоциированный с линейным оператором А (см. пример 3;
кручение — главный идеал, порождённый минимальным многочле-
многочленом оператора Л).
Предложение 1. Ann (У) всегда является двусторонним
идеалом кольца К. Полагая (х + Ann (V))v = xv, мы наделяем V
структурой точного К/Kim (V))-модуля.
Доказательство. Положим А = Ann (У). Ясно, что А — адди-
аддитивная подгруппа в К. Далее, (xax')v = xa(x'v) = (xa)vr = x(av') =
= x • 0 = 0 для любых ж, ж' G К, a G A, v G У, откуда и следует,
что КАК С А, т.е. А — двусторонний идеал в К. Если теперь х +
+ А = х' + А, то х — х' G i, откуда (ж — x')v = 0, или xv = x'v.
Стало быть, (х + A)v = (х' + A)v, т.е. действие факторкольца К/А
на У определено корректно. Нетрудно проверить, что относительно
этого действия У является (К/А)-модулем. Наконец,
(ж + A)V = 0 => ж + А е Аппк/А(У) =^> жУ = 0 => ж е А.
Следовательно, лишь нулевой элемент в К/А аннулирует У. ?
Из предложения 1 вытекает, что факторкольцо К/Ann (У) изо-
изоморфно подкольцу кольца End (У) (см. пример 2).
Если У, W — два i^-модуля, то множество Нот^(У, W) всех
if-линейных гомоморфизмов а : У —у W является абелевой группой
относительно операции поточечного сложения гомоморфизмов:
(а + r)(xv) = a(xv) + r(xv) = xa(v) + xr(v) =
= x(a(v) + t(v)) = ж((сг + t)(v)).
§ 3. Модули 163
Для модулей У, W над коммутативным кольцом К множество
Нот^(У, W) само является if-модулем, если под ха, х Е if, a Е
Е Нот^(У, W), понимать отображение v н-» ж(сг(г?)):
= ж • сг(^) = x(ya(v)) =
= (yx)(a(v)) = y(xa(v)) = 2/((ж<т)(г;)).
В случае W — V множество End^(y) = Нотк(У, У) является
кольцом; умножением служит естественная композиция if-гомомор-
if-гомоморфизмов ip о ф:
(ip о <ф)(ху) = ip(ip(xv)) = ip(xip(v)) = xip(ip(v)) = ж(((р о ф)(у)).
Следует иметь в виду, что, рассматривая У как аддитивную абелеву
группу, мы пишем Endz(V) и, вообще говоря, End^fV) — собст-
собственное подкольцо в Endz(y). В случае векторного пространства V
над полем К обычно пишут ?(V) = Endif(V), называя -С (У) кольцом
(или алгеброй) линейных операторов.
Кольцо End^(y) if-эндоморфизмов модуля У называют ещё
централизатором кольца К на У. Его роль особенно заметна в слу-
случае неприводимых модулей. Модуль У над кольцом К называется не-
неприводимым (или простым), если: а) У ф 0; б) 0, У — единственные
подмодули в У; в) if У ^ 0 (это условие автоматически выполняется,
если if содержит единицу). Ясно, что К-модуль V ф 0 неприводим
тогда и только тогда, когда V = Kv — циклический модуль при
любом v ф 0 из V.
Предложение2 (лемма Шура). Если V,W — два неприводимых
К-модуля и а — ненулевой К-гомоморфизм из V в W, то
а — изоморфизм. Далее, End^(У) — кольцо с делением (тело) для
любого неприводимого К-модуля V.
Доказательство см. в § 4 гл. 3, где та же лемма Шура (тео-
(теорема 1) доказана для неприводимых G-пространств.
2. Свободные модули. Мы называем if-модуль У (внутренней)
прямой суммой своих подмодулей У]_,..., Уп, если
У = v1 + ... + Vn и yf П ^ У^ = 0 для г = 1,..., п.
Другими словами, У = V\ 0 ... 0 Уп (обозначение прямой суммы под-
подмодулей), если любой элемент v G У единственным образом записы-
записывается в виде линейной комбинации v = v\ + .. . + vn, v\ G V\. Внешняя
прямая сумма К-модулей Vi,...,Vn определяется очевидным обра-
образом (как в случае колец), с действием x(v\,..., i?n) = (xv\,... ,xvn)
элемента x G if на строку (v\,..., i?n), Vi G V{.
Пусть, далее, У — if-модуль и {у\,... ,vn} — конечное подмно-
подмножество в У. Говорят, что {vi,... ,vn} порождает V свободно, если
У = Kv\ + .. .+Kvn и каждое отображение ip множества {i?i,... ,vn} в
11*
164 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
какой-либо if-модуль W продолжается до if-гомоморфизма
(р : V —У W, так что (p(vi) = ip(vi), 1 ^ г ^ п.
Модуль V над if, свободно порождённый некоторым подмно-
подмножеством {i?i,... ,vn}, называется свободным модулем ранга n, a
{i?i,... ,vn} — его (свободным) базисом над if.
Предложение 3. Эквивалентны утверждения:
i) множество {vi,... ,vn} порождает V свободно]
И) множество {v\,..., vn} линейно независимо и (v±,..., vn) = V;
iii) каждый элемент v G V однозначно записывается в виде v =
= Ylixivu Xi e if;
iv) V = Kv\ 0 ... 0 Kvn — прямая сумма и Ann(i^) = 0;
v) V=kK®- • -®кК — прямая сумма п экземпляров к К (таким
образом, свободный К-модуль ранга п относительно базиса {i?i,...
... ,vn} изоморфен модулю Кп строк (х\,... ,хп) длины п с компо-
компонентами Xi G if).
Доказательство близко к рассуждениям, проведённым в
[ВА II] для линейных пространств над полем, но нужно соблюдать не-
некоторую осторожность, связанную либо с некоммутативностью коль-
кольца if, либо с существованием необратимых элементов в if. ?
Имеются довольно сложные примеры некоммутативных колец с
Кш = Кп при т ф п, но коммутативные кольца в этом отношении
ведут себя хорошо.
Предложение 4. Ранг конечно порождённого модуля над це-
целостным кольцом К определён однозначно.
Доказательство. Пусть {i?i,... ,г>п}, {щ,... ,ит} — два ба-
базиса свободного модуля V над if. Тогда
т п
г=1 k=l
Ввиду коммутативности if для матриц А = (а^) и В = (Ьы) разме-
размеров т х п и п х т соответственно получаются соотношения
АВ = Ет, В А = Еп.
Вложив if в поле отношений Q(if), мы получим посредством тео-
теоремы 3 из [ВА I, гл. 2, § 3] (верной для любого поля, а не только
для М), что min(n,m) ^ m, min(n,m) ^ п, откуда т — п. Доба-
Добавим, что случай m < оо, п = оо невозможен, поскольку в выражения
для щ входит лишь конечное число базисных элементов Vk, свободно
порождающих весь модуль V. ?
Замечание. В случае произвольного коммутативного кольца if
с единицей будет достигнут тот же эффект, как в предложении 4,
если выбрать в if некоторый максимальный идеал J и перейти к
полю К/ J. Детали мы опускаем.
§ 3. Модули 165
Заметим, что, в отличие от ситуации в векторных пространствах, произволь-
произвольно взятое порождающее множество свободного К-модуля не обязано содержать
базис модуля. Например, два различных простых числа р, q всегда порождают
^Z, поскольку up + vq = 1 для некоторых «,i;GZ. Но {p,q} не является базисом,
ибо р • q — q • р = 0, a Zp, Zg — собственные подмодули в ^Z.
Роль свободных модулей запрограммирована в их определении.
Теорема 1. Каждый К-модуль конечного типа является гомо-
гомоморфным образом свободного К-модуля конечного типа.
Доказательство. Пусть U = Yl'i=i^Ui — if-модуль, порож-
порождённый п элементами щ,... ,ип. Возьмём свободный if-модуль V с
базисом {i>i,..., vn}. Его существование обеспечено предложением 3,
v). Отображение ср : Vi \-ь щ продолжаемо в соответствии с опреде-
определением свободного модуля до if-гомоморфизма ф : V —> U. Образ
Im ф содержит порождающее множество модуля U и, стало быть,
весь модуль U. ?
Не всегда подмодуль свободного модуля свободен, даже если он является
его прямым слагаемым. Вот простейший пример. Пусть К = Zq, U = КB +
+ 6Z), W = КC + 6Z). Тогда К = U 0 W — прямая сумма К-модулей U, W, ни
один из которых не является свободным: \К\ = 6, в то время как |?/|=3, | W| = 2.
Теорема 2. Пусть V = Kv\ 0 ... 0 Kvn — свободный модуль
ранга п над кольцом К главных идеалов. Тогда каждый его подмо-
подмодуль U — свободный ранга т ^ п.
Доказательство. Пусть сначала п = 1, т.е. V = К. Любой
подмодуль U d V изоморфен идеалу в if и, стало быть, U = (и) =
= if и. Если и = 0, то U = 0 (нулевой подмодуль можно считать
свободным модулем нулевого ранга). Если же и ф 0, то аи ф 0 для
всех 0 ф a G if, поскольку if — целостное кольцо. Значит, U —
свободный (циклический) модуль ранга 1. При п > 1 рассуждаем по
индукции.
Рассмотрим в V свободный подмодуль V = if v<± 0 ... 0 Kvn
ранга п — 1. Фактормодуль V = V/V свободный, с циклической
образующей v\ = v\ + V. Он содержит подмодуль U = (U + V')/V.
Если U = 0, то U С V, и тогда утверждение теоремы верно по
предположению индукции.
Если же U Ф 0, то рассуждение, проведённое выше для случая
п = 1, показывает, что U обладает циклической образующей щ =
= щ + V', где щ е U.
Если ещё U П V = 0, то
и G U => п = u + V' e U => г? = aiUi, ai G if => ix - ai^i G V; =>
^=> и — a\U\ =^ U = ifixi — свободный модуль ранга 1.
Пусть, наконец, UP\V ф 0. По индукции подмодуль UP\V свобод-
свободного модуля V ранга п — 1 обладает свободным базисом {u2,..., ^m}5
где 0<m — l^n — 1. Почти дословно повторяя проведённое выше
166 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
рассуждение, убеждаемся в том, что {i&i,i&2j • • • ?^т} — свободный
if-базис для U. Действительно,
и G U => п = и + V' Е U => п = а\п\, а\ Е К =>
=> и - a\U\ Е U П V' => IX - a\U\ — а2и2 + ... + атит =>
==> и = ai^i + CL2U2 + ... + атит, т ^ п.
Согласно предложению 3, И) нам нужно убедиться в линейной не-
независимости образующих ui,... ,ит. Но ^2i XiUi — 0 ^=> xiui =
= — J^i>oж*^ = 0 в У. Значит, xi = 0, поскольку щ — базис в
У, а так как {1x2,..., и} — свободный базис в GпУ, то
X2U2 + . . . + XmUm = 0 => Х2 = . . . = Хт = 0. ?
Следствие. Каждый подмодуль модуля конечного типа над
кольцом главных идеалов сам является модулем конечного типа.
Доказательство вытекает из теорем 1, 2 и из второй теоре-
теоремы об изоморфизме (теоремы о соответствии между подмодулями).
Достаточно несложно получить полное описание модулей конеч-
конечного типа над кольцом К главных идеалов. Но самые интересные
случаи нами рассмотрены (периодические модули над Z и над .Р[-Х"]
в гл. 2 и в [ВА II, гл. 2, § 3]). Демонстрацию же единого модульного
подхода к другого рода задачам можно найти в списке дополнитель-
дополнительной литературы.
3. Целые элементы кольца. Пусть К — целостное кольцо. Эле-
Элемент t G К называется целым {целым над Z), если t — корень нор-
нормализованного многочлена Хп + а\Хп~1 + ... + ап G Ъ\Х\. В том
случае, когда К — конечное алгебраическое расширение поля Q или
же К — поле, порождённое всеми комплексными алгебраическими
числами, говорят о целых алгебраических числах, относя к ним, ес-
естественно, все элементы из Z. Легко видеть (см. также гл. 5), что
рациональное число t является целым алгебраическим тогда и толь-
только тогда, когда t G Z. Если, далее, a$un + а\ип~х + ... + ап = 0,
то (aou)n + aoai(aou)n~1 + ... + а^ап = 0, а это значит, что любое
алгебраическое число, умноженное на подходящий элемент ao G Z,
становится целым алгебраическим числом.
Обращаясь к общему случаю, заметим, что К удобно трактовать
как Z-модуль. Любые элементы ti,t2,...,tn G К порождают в К
подмодуль Kt\ + Kt2 + ... + Ktn конечного типа. Если, в частности,
t — целый элемент и Г + a\tn~1 + ... + ап = 0, ai G Z, то подкольцо
Z[t] С К является Z-модулем конечного типа, поскольку Z[t] = Z1 +
+ Zt+ ... + Ztn~1. Обратно: пусть Z[t] — Z-модуль конечного типа
с образующими i?i,..., vn G К. Тогда соотношения
tVi = anVi + <2i2^2 + • • • + CLinVn, 1 ^ i ^ П,
§ 3. Модули 167
с матрицей А = (aij) Е Мп(Ъ) приводят к выводу, что линейная од-
однородная система
(t - aiijxi - а12х2 - ... - alnxn = О,
-anixi - an2x2 - ... + (t - ann)xn = 0,
рассматриваемая над полем отношений Q(K), имеет ненулевое реше-
решение (xi,..., хп) = (vi,..., vn) (не все vi равны нулю, поскольку 1 Е
Е Z[t]). Значит определитель системы равен нулю (см. [ВА I, гл. 3])
и t — корень нормализованного многочлена f(T) = det(TE — А). Мы
доказали, что элемент t Е К является целым тогда и только тог-
тогда, когда подколъцо Z[t] С К является Z-модулем конечного типа.
Теорема 3. Целые элементы кольца К образуют в К под-
подколъцо.
Доказательство. Пусть и, v G К — целые элементы. Тогда
Z[u,v]=
i
— Z-модуль конечного типа. Так как Z — кольцо главных идеалов, то
следствие теоремы 2 (или непосредственная проверка) показывает,
что подмодули Щи — v], Z[uv] тоже являются Z-модулями конечного
типа. Согласно приведённому выше критерию элементы и — v, uv
должны быть целыми. ?
Пример. Корень е любой степени из 1 является, очевидно, целым алгебраи-
алгебраическим числом. По теореме 3 целочисленные линейные комбинации корней из 1
также будут целыми алгебраическими числами. В частности (см. доказатель-
доказательство предложения из § 4 гл. 3), значения Хф(#), g G G, характера хф любого
линейного представления Ф над С конечной группы G являются целыми алгеб-
алгебраическими числами.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Используя общие результаты о модулях над С[Х], наметить схему дока-
доказательства теоремы о ЖНФ (см. [ВА II]).
2. Используя общие результаты о модулях над Z, наметить схему доказа-
доказательства теоремы о конечно порождённых абелевых группах.
3. Пусть А = P[Xi,..., Хп] — кольцо многочленов от п переменных над
полем Р. Последовательность (Ji,...,/r) из г многочленов j{ ? А называется
унимодулярной, если Af\ + А/2 + ... + Afr = А, т.е.
uifi -\-u2f2 + • • • + urfr = 1 (*)
для некоторых U{ E А, 1<Сг<Сг.
Пусть, далее, V — модуль конечного типа над А. В связи с некоторыми
тонкими вопросами из алгебраической геометрии французский математик
Ж.-П. Серр A955 г.) выдвинул гипотезу
{V 0 As ^ As+t =>> V ^ А*},
168 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
которой была придана следующая изящная форма: всякое соотношение (*) можно
записать в виде равенства
Л h ...!т
U21 U22 • • • U2r
Url Ur2 ... Urr
= 1
при подходящих Uij G А. Это утверждение, несмотря на свою кажущуюся прос-
простоту, было доказано лишь в 1976 г. независимо А.А. Суслиным (Россия) и Д. Квил-
леном (США). Попробуйте это реализовать при небольших п и г.
Основная идея — изучить действие группы GL(r, A[Xi,... ,Xn-i]) на мно-
множестве унимодулярных последовательностей и использовать индукцию по п. С
доказательством можно познакомиться по оригинальной статье: Суслин А.А.//
ДАН СССР. — 1976. — Т. 229, № 5. — С. 1063-1066; или по докладу на семина-
семинаре Н. Бурбаки: Ferrand D.// Sem. N. Bourbaki, 28 eme annee, 1975/76, Juin 1976.
Изложение вполне элементарное. Какой ценой оно достигнуто, можно судить по
более раннему докладу на семинаре Н. Бурбаки: Bass H.// Sem. N. Bourbaki,
26eme annee, 1973/74, Juin 1974. В указанной литературе содержатся постановки
нерешённых задач. Весь круг вопросов очень хорош для обсуждения на спецсе-
спецсеминаре.
§ 4. Алгебры над полем
1. Определения и примеры алгебр. Мы уже пользовались
понятием алгебры в самых разных ситуациях (см. гл. 1 § 1, а также
[ВА I, II]), поэтому определение ниже приводится фактически лишь
для полноты изложения.
Определение. Алгеброй (или линейной алгеброй) над полем Р
называется пара, состоящая из кольца (А,+,•) и векторного про-
пространства А над Р (базисное множество А у кольца и векторного
пространства одно и то же; одинаковы также операция сложения +
и нулевой элемент 0). При этом
Х(ху) = (Хх)у = х(Ху)
для всех A G Р, ж, у Е А. Алгебра называется ассоциативной, если
ассоциативно кольцо (А,+,•). Размерность над Р векторного про-
пространства А называется также размерностью алгебры А.
На алгебры переносятся, с незначительными уточнениями, основ-
основные понятия теории колец. Так, подалгеброй алгебры А считается
всякое подкольцо В, являющееся одновременно подпространством
векторного пространства А. Если Т — подмножество в А, то
порождённая им подалгебра Р[Т] является пересечением всех
подалгебр в А, содержащих Т. Аналогичным образом определяют-
определяются идеалы и факторалгебры по ним. Гомоморфизмами алгебр слу-
служат гомоморфизмы колец, являющиеся вместе с тем Р-линейными
отображениями.
§ 4- Алгебры над полем 169
Центр Z(A) ассоциативной алгебры А определяется как мно-
множество всех элементов a Е А, перестановочных с каждым элементом
из A: a Е Z(A) <^=> ах = ха \/х Е А. Очевидно, что центр Z(A) —
подалгебра в А. Равенство Z(A) = А имеет место тогда и только
тогда, когда А — коммутативная алгебра.
Если А — ассоциативная алгебра с единицей 1, то непосредст-
непосредственно проверяется, что А • 1 Е Z(A), причём соответствие А н А- 1
VA Е Р, определяет мономорфное отображение Р в А. В этом смыс-
смысле под алгеброй А можно понимать кольцо А вместе с выделенным
подполем, содержащимся в центре Z(A).
Приведём некоторые примеры ассоциативных алгебр.
1) Расширение F D Р конечной степени [F : Р] поля Р являет-
является, очевидно, коммутативной ассоциативной алгеброй (с единицей)
конечной размерности dimp F = [F : Р].
2) Кольцо многочленов К = P[Xi,... ,Хп] с коэффициентами в
поле Р несёт естественную структуру бесконечномерной коммута-
коммутативной ассоциативной алгебры над полем Р. Заметим, что
К = К0фК1фК2Ф ...
— прямая сумма конечномерных векторных подпространств Кш од-
однородных многочленов степени т(Ко = Р), причём KiKj С Ki+j.
Алгебры подобного типа называются градуированными.
3) Коммутативная алгебра Xc(G) с единицей хъ порождённая
над С всеми характерами конечной группы G, имеет размерность г,
равную числу классов сопряжённых элементов в G.
4) Кольцо Мп(Р) квадратных матриц порядка п с коэффициен-
коэффициентами в поле Р является алгеброй размерности п над Р. Базисные
элементы {Eij \ г, j = 1, 2,... ,п} алгебры Мп(Р) перемножаются
по правилу EikEij = SkiEij. Согласно теореме 4 из [ВА I, § 3, гл. 2]
центр Z(Mn(P)) = {ХЕ} ^ Р.
Назовём ассоциативную алгебру А с единицей центральной про-
простой над полем Р, если Z(A) = Р и в А нет двусторонних идеалов,
отличных от 0 и А.
Предложение 1. Мп(Р) — центральная простая алгебра.
Доказательство. Пусть J — идеал в Мп(Р), отличный от ну-
нулевого, и пусть
^ijEij G J.
Если аы ф 0, то Est = aki~1Esk • а • Ец G J при любых s, t = 1,..., n,
и, стало быть, J = Мп(Р). ?
Аналогичное утверждение справедливо для полной матричной ал-
алгебры Mn(D) над произвольным телом D. Исключительно важная
170 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
теорема Веддербарна, а в более общем контексте — теорема Вед-
дербарна-Артина гласит, что всякая конечномерная ассоциативная
простая алгебра над полем Р изоморфна Mn(D), где натуральное
число п определено однозначно, а тело D {являющееся алгеброй ко-
конечной размерности над Р) — с точностью до изоморфизма.
Матричная алгебра Мп(Р) обладает ещё следующим универсаль-
универсальным свойством.
Предложение 2. Всякая п-мерная ассоциативная алгебра А
над полем Р изоморфна некоторой подалгебре в М/,(Р), где k ^
^ п + 1.
Доказательство. Будем сначала считать А алгеброй с 1 и
вложим её в Мп(Р). С этой целью каждому элементу a Е А поста-
поставим в соответствие линейный оператор La : х \—> ах на векторном
пространстве А. Линейность La является следствием билинейности
операции умножения в А. Так как, очевидно, L\a = XLaj Ьа+ъ =
= La + Lfr, Ьаь = LaLb (ассоциативность) и L\ — ?, то отображение
а ь->- La является гомоморфизмом. Его инъективность обеспечена су-
существованием единичного элемента: а ф 0 ^=> La • 1 = а • 1 = а,
Пусть теперь А — алгебра без единицы. Введём в рассмотрение
векторное пространство А = Р (& А и определим на нём умножение,
полагая
(Л, а) (А', а') = (ЛУ, аа' + Ха' + А'а).
Легко проверяется, что с этим законом умножения А является алгеб-
алгеброй над Р с единичным элементом A, 0).
Так как dimp A = dimp A + 1 = п + 1, то предыдущее рассуждение
позволяет вложить А, а вместе с тем и А в Mn+i(P). ?
Нетрудно усмотреть полное сходство в доказательствах предло-
предложения 2 и теоремы Кэли [ВА I] для конечных групп. В обоих случаях
используется регулярное представление. Более общо: под представ-
представлением алгебры А над Р понимается любой гомоморфизм
А -^ C{V) =
где F D Р — некоторое расширение поля Р. Другими словами, век-
векторное пространство V над F снабжается структурой левого
А-модуля в смысле определений § 3, причём
(Хх) -v = x- (Xv) VA е Р, х е A, v e V.
Выбрав в V какой-нибудь базис, мы придём, как и в случае групп, к
матричному представлению А —> Mr(F), где г = dimpfV).
2. Алгебры с делением (тела). Как показывает сформули-
сформулированная выше теорема Веддербарна, изучение алгебр с делением —
важная составная часть общей структурной теории ассоциативных
§ 4- Алгебры над полем 171
алгебр. Лемма Шура (предложение 2 из § 3) также подтверждает
это соображение. Прежде чем приводить какие-либо результаты об
алгебрах с делением, остановимся на одном вспомогательном утверж-
утверждении.
Предложение 3. В ассоциативной алгебре А (с единичным эле-
элементом 1) размерности п над полем Р каждый элемент a Е А яв-
является корнем многочлена \ia Е Р[Х] степени ^ п. Элемент a Е А
обратим в точности тогда, когда /ia@) Ф 0. Если в А нет делите-
делителей нуля, то А — алгебра с делением. Если поле Р алгебраически
замкнуто, то п = 1 и А = Р.
Доказательство. В силу конечномерности А элементы 1,а,
а ,... не могут быть все линейно независимыми над Р. Стало быть,
найдётся нормализованный многочлен fia(X) = Хш + а\Хш~1 + ...
... +ат наименьшей степени т ^ п с коэффициентами cti Е Р такой,
что /ла (о*) = 0. Если ат ф 0, то соотношение /ла(о>) = 0, переписанное
в виде
[-a (a™ + aiam~2 + ... + am_i)]a = 1,
показывает, что а — обратимый элемент.
Обратно: предположим, что a G А не является делителем нуля, но
ат = 0. Тогда
(а™'1 + ахаш-2 + ... + am_i)a = 0 =^
=> а™'1 + а1ат-2 + ... + am_! = 0,
что противоречит минимальности fia(X). Значит, ат ф 0. В част-
частности, все элементы в А, не являющиеся делителями нуля, обратимы.
Если поле Р алгебраически замкнуто, то
откуда
(а - а)Ь = 0, Ъ = (а - с2)... (а - ст) Ф 0.
Отсутствие делителей нуля в А оставляет единственную возмож-
возможность: т = 1 и а — с\ =0, а = с\ G Р. Так как это верно для
любого элемента a G А, то А = Р. ?
Мы видим, что свойства алгебры с делением существенно зави-
зависят от основного поля Р. Естественно, что исторически алгебры с
делением над полем вещественных чисел Ш. вызывали особый инте-
интерес. Существование поля С = Ж + Ж давало повод к поискам дру-
других "гиперкомплексных" систем. В гл. 1, § 1, п. 5 была рассмотрена
алгебра кватернионов Н, являющаяся ассоциативной, но некомму-
некоммутативной алгеброй с делением. Место, занимаемое кватернионами,
хорошо выявляется следующей замечательной теоремой с красивым
доказательством.
172 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
Теорема 1 (Г. Фробениус). Над полем Ж существуют лишь
три конечномерные ассоциативные алгебры с делением: М, С и Ш.
Прежде чем приступать к доказательству, остановимся на ад-
аддитивной структуре алгебры с делением А. В рассуждениях ниже
существенно то известное нам из [ВА I, BA II] обстоятельство, что
минимальный многочлен /aa(t) (см. предложение 3) любого элемента
О ф а ^ Ж должен быть неприводимым и, стало быть, квадратич-
квадратичным. Заметим ещё, что fia(t) — есть не что иное, как минимальный
многочлен линейного оператора La : х н-» ах на А. Более конкретно:
/jix(t) = t — а или t2 — 2at + /?, а2 < J3. Если х ? Ж, то, положив
у = х — а, будем иметь fjby(t) = t2 + (f3 — а2). Итак, каждый элемент
из А имеет вид а + у, где aGl, у = 0 или у2 = 7 < 0, 7 ? ^*
Лемма 1. Подмножество
А' = {и е А | и2 е М, и2 ^ 0}
является векторным подпространством в А.
Доказательство. Ясно, что и G А', a G Ж =^ аи G А'', по-
поэтому достаточно убедиться в справедливости импликации i&, i? G
G А; =^ и + г? G А' для непропорциональных векторов га, г?.
Сначала проверим, что линейная зависимость и = av + /3 с
a,^Gt невозможна. В самом деле, по условию uv ф 0 и
!х2 = 7 < 0, г;2 = <* < 0.
Поэтому
и = av + /3 ^ >у = и2 = (av + /ЗJ = a2S + 2a/3v + /?2.
Так как v (? Ж, то а/^ = 0, т.е. а = 0 или /? = 0. Если а = 0, то и G
Gl, а если /3 = 0, то и пропорционально v. Обе возможности заранее
исключались.
Итак, линейная независимость u,v G А' приводит к линейной не-
независимости 1, г/, г;. Оба элемента и + г?, и — v — корни квадратных
уравнений, т.е.
(г& + г?J = р(и + v) + q, (и — vJ = г (и — v) + s, р, ^, r, s G М.
Используя соотношения
(г& =Ь г;J = ix2 =Ь (г^г; + г;гл) + г?2, ix2 = 7, ^2 = ^5
будем иметь
7 + S + (гш + vu) = p(ix + г;) + g,
7 + ^ — (гш + vu) = г (и — v) + s.
Складывая, находим
(р + r)u + (p — r)v + (q + s - 27 - 26) = 0.
§ 4- Алгебры над полем 173
Но, как мы видели, и, г?, 1 линейно независимы, поэтому р = г = 0.
Стало быть, (и + vJ = q G М, а так как -u + v ? М, то g < 0. Это и
значит, что и + v Е А', т.е. А' — подпространство в А. ?
Доказательство теоремы 1. Для г& Е А' пишем -u2 = —q(u),
где #(г&) Е Ж и #(г&) ^ 0. Кроме того, q{u) = 0 «<=>* г& = 0. Очевидно,
q[au) = a2q{u) и
/(гл, г?) := #(г& + г;) — ^(гл) — ^(г;) = —(uv + vu)
— симметричная билинейная форма на А, отвечающая положительно
определённой квадратичной форме q.
Если А = М, то рассуждения заканчиваются. Пусть А ф Ж. Тогда
А' ф 0, и мы можем выбрать вектор i G А с g(i) = 1, т.е. i2 = — 1.
С точностью до изоморфизма получаем равенство M[i] = С = M+Mi.
Если А = С, то наши рассуждения снова заканчиваются.
Считаем А ^ С. Тогда А; ^ Ш, и можно выбрать элемент j _L Mi,
q(X) = 1. В этом случае j2 = -1 и ij+ji = -/(i, j) = 0, так что ij = -ji.
Полагая k = ij, получим k2 = — 1, ik + ki = 0 = jk + kj. Следователь-
Следовательно, k G А' и k_Li,j. Стало быть, l,i,j,k линейно независимы и
— алгебра кватернионов.
Если А ^ Н, то существует lGi' с #A) = 1 и l_Li,j,k. Другими
словами,
Н = -il, lj = -jl, Ik = -kl.
Однако в силу ассоциативности умножения в А первые два соотно-
соотношения дают
ik = i(ij) = (ii)j = — (ii)j = -i(ij) = i(ji) = (y)i = ki.
Получается противоречие с третьим соотношением. Значит, А =
= М. П
Замечание. Сравнительно недавно на основе глубоких тополо-
топологических соображений было доказано, что над Ж всякая конечно-
конечномерная алгебра с делением (не обязательно ассоциативная) имеет
размерность 1, 2, 4 или 8. Все возможности реализуются.
В начале XX века Веддербарном был получен результат о конеч-
конечных телах, имеющий важное значение для геометрии. Эту теорему
мы сейчас докажем, опираясь, правда, на некоторые элементарные
свойства круговых многочленов ФП(Х), устанавливаемые в следую-
следующей главе. Порочного круга при этом не возникнет.
Теорема 2 (Веддербарн). Каждое конечное ассоциативное
кольцо с делением коммутативно, т.е. является полем.
Доказательство. Пусть D — конечное кольцо с делением, Z =
= Z(D) — его центр. Очевидно, что Z — поле и D — конечномерное
174 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
векторное пространство над Z:
D = Ze!+Ze2+ ... + Zen.
Согласно результатам, устанавливаемым в гл. 5, § 2, Z = ?q для неко-
некоторого q = pm, так что \D\ = qn. Пусть, далее, х Е D \ Z. Перестано-
Перестановочные с х элементы образуют множество С(х) = {у Е D | ух = ху},
замкнутое относительно операций сложения и умножения. Другими
словами, С{х) — подалгебра с делением в D, содержащая Z. Если
qd — число элементов в С (ж), то d = d(x) — делитель n, d < п,
поскольку, интерпретируя D как левое векторное пространство
D = C(x)h+ ...+C(x)fr
над С(ж), мы имеем gn = |G(ж)|г = qdr. Заметим теперь, что
Z* — центр мультипликативной группы D*, a (gn — l)/(qd — 1) =
= (D* : С(ж)*) — число элементов, сопряжённых с ж в D*. Поэтому
формула B') из § 3 гл. 1 принимает вид
где б? пробегает некоторое множество делителей п, меньших п.
Свойства кругового многочлена Фп(Х) (см. упр. 6 из § 2 гл. 5) по-
показывают, что целое число Фп(о) делит как qn — 1, так и
(qn — l)/(qd — 1) при d | n, б? < п. В таком случае согласно (*)
Фп(#) | (^ — 1)? а это влечёт (см. упр. 7 из § 1) равенство п = 1 и,
стало быть, коммутативность D = Z. ?
3. Групповые алгебры и модули над ними. В связи с регу-
регулярным представлением конечной группы G в § 1 из гл. 3 вводилось
векторное пространство (eg \ g G G) над полем К. Мы превратим
его теперь в if-алгебру, полагая egeh = egh и распространяя это
правило по линейности на произвольные "векторы" ^otgCg, oig G К.
Для упрощения записи е9 обычно заменяют на g и рассматривают
множество K[G] всевозможных формальных сумм J^ otgg, ag G К. По
определению
д = Рд
Операции над формальными суммами
09)9,
g,h
§ 4- Алгебры над полем 175
задают на if [G] структуру ассоциативной алгебры. Принято назы-
называть K[G] групповой алгеброй конечной группы G над полем if.
Базисными элементами пространства K[G] служат формальные про-
произведения 1 • g, g Е G, отождествляемые с элементами g Е G;
dim^ K[G] = \G\. Таким образом, группа G считается вложенной в
алгебру if [G]. Единичный элемент е Е G является единицей в К[G].
В том случае, когда К — коммутативное ассоциативное кольцо с
единицей, получается групповое кольцо K[G] группы G над if.
Кроме того, аналогичная конструкция применима к произволь-
произвольной, не обязательно конечной группе G, если условиться рассмат-
рассматривать лишь суммы ^2otgg с конечным числом отличных от нуля
коэффициентов. Удобно также интерпретировать S = ^2 agg как
функцию на группе G (со значениями S(g) = ag в if), равную почти
всюду нулю (т.е. с конечным числом отличных от нуля значений).
При этом формулам A) отвечают операции поточечного сложения
(Si + S2)(g) = S1(g) + S2(g)
и свёртка функций
S3 = 5i *52, S3(u) =
9
Теория групповых колец — обширный раздел алгебры, имеющий
собственную проблематику, но для нас K[G] — лишь иллюстрация
общих понятий, введённых в последних двух главах.
Теорема 3. Существует взаимно однозначное соответствие
между K[G\-модулями, являющимися конечномерными векторными
пространствами над полем if, и линейными представлениями груп-
группы G.
Доказательство. Пусть (Ф,У) — представление группы G.
Продолжим Ф по линейности на элементы из if [G], определяя
и положим
52 ^2 V.
Операция о вводит на V структуру if [GJ-модуля в обычном пони-
понимании этого слова. Заметим, что
(Аг;) = ^2
т.е. умножения на скаляры в У и в if[G] согласованы. Пару (Ф
естественно называть линейным представлением алгебры К[G].
176 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
Обратно: если V — векторное пространство над К, являющееся
модулем над K[G] с действием
то, полагая
мы определим гомоморфизм Ф : K[G] —У Find к (V) (т. е. представ-
представление алгебры K[G]), ограничение которого Ф = Ф \о на G даст нам
представление группы G. ?
В соответствии с теоремой 3 пространство представления V груп-
группы G часто называют модулем представления группы G или, корот-
коротко, — G-модулем. Соответствующие терминологические изменения
касаются других понятий теории представлений.
Пусть, далее, G — конечная группа, К = С — поле комплексных
чисел. Согласно результатам гл. 3 каждый неприводимый (или, гово-
говорят ещё, простои) G-модуль над С (т.е. С[О]-модуль) с характером
Xi изоморфен некоторому левому идеалу Ji алгебры C[G] (см. в этой
связи пример 4 из § 3). Если dimc[G] = щ, то C[G] содержит прямую
сумму
левых идеалов, CfGJ-изоморфных J = J^i. Выбирая в каждом классе
изоморфных левых идеалов по одному представителю Jf, мы можем
написать разложение
C[G] = Ах е А2 е... е Аг, B)
соответствующее разложению регулярного представления группы G.
Заметим, что каждая из компонент А{ определена однозначно.
Если теперь J — минимальный левый идеал алгебры C[G] и t G
G C[G], то Jt — тоже минимальный левый идеал (возможно, нуле-
нулевой). Стало быть, отображение ср : J —у Jt, определённое соот-
соответствием v \-У vt (v G J), является либо нулевым отображением,
либо CfGJ-изоморфизмом, поскольку xv G J для любого х G C[G] и
ip{xv) = (xv)t = x(vt) = xip(v). По этой причине J С Ai =^ Jt С
С Ai Vt G C[G] и, следовательно, Ai — двусторонний идеал в C[G].
Разложение B) прямое, так что
гф j => AiAj С Ai П Aj = 0.
Мы собираемся получить более точную информацию о разложе-
разложении B), опираясь на развитую в гл. 3 теорию характеров. Вначале
найдём центр Z(C[G]) групповой алгебры C[G]. По определению
z e Z(C[G}) ^zg = gz Mg e G.
4- Алгебры над полем 177
Если z = Е/геа7/Л то
^) ^) 9 =
teG h h teG
откуда "jg-it = Itg-1 Vt G G. Положив t = g/i, получим 7^ = "Jghg-1-
Это значит, что
Z(C[G]) =(КьК2,...,^)с,
где
9, Ъ=д?, i = l,2,...,r C)
(9i,92,- • • ,9r — представители классов сопряжённых элементов груп-
группы G). Понятно, что i^i, i^2? • • • 5 Кг — линейно независимые элемен-
элементы, и, стало быть, dime Z(C[G]) = г.
Каждому элементу а ? Ai поставим в соответствие линейный опе-
оператор La , действующий на минимальном левом идеале Ji = J^i no
правилу La(v) = аг>, г; G Jf. Так как, очевидно,
то (^ : а н->- La — гомоморфизм алгебры А^ в алгебру эндоморфиз-
эндоморфизмов EndcJi — Mni(C). Предположим, что 0 ф a G Кепр, т.е. aJ^ = 0.
Все левые идеалы Jij CfGJ-изоморфны, и если cpj : Ji —у Jij —
изоморфизм, то
a Jij = cnpj(Ji) = aipj(eJi) = <^-(a • eJi) = y?j(O) = 0.
Значит, aAi = aJi5i + ... + aJi^ni = 0, а в таком случае и aC[G] = 0,
поскольку a G A{ ^=> aAj = 0 для всех j ф i. Однако ае = а ф
Ф 0. Полученное противоречие показывает, что Кетср = 0. Стало
быть, ср — мономорфизм, а так как dim А\ = nj = dim Mn.(С), то
<р
Ai = Мп. (С). С учётом предложения 2 мы приходим к следующей
теореме о строении групповой алгебры C[G].
Теорема 4. Групповая алгебра C[G] конечной группы G над
полем комплексных чисел С разлагается в прямую сумму B) прос-
простых двусторонних идеалов, изоморфных полным матричным алгеб-
C[G] ^ мП1 (С) е мП2(С) е... е мПг(С).
5 частности, групповая алгебра абелевой группы порядка п над С
изоморфна прямой сумме п экземпляров поля С.
Следствие (теорема Бернсайда). Пусть Ф — неприводимое
матричное представление степени п над С конечной группы G.
Тогда среди матриц Фд имеется п2 линейно независимых, т.е.
(Фд | д G G)c = Мп(С). ?
12 А.И. Кострикин
178 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
Строение центра Z(C[G]) как коммутативной подалгебры в C[G]
полностью определяется структурными константами — целыми
к
числами пк- из соотношений
n'jK- D)
8=1
Имея в виду выражение C) для К.^ легко понять, что п\- — число
пар (g,h), g G 3Q, h G Xj, для которых gh = gs G Xs. Выберем в
Z(C[G]) другой базис
Здесь, как и в § 5 из гл. 3, хъ • • • ->Хг — характеры неприводимых
представлений, ni,..., пг — их степени. Обратный переход соверша-
совершается по формуле
ks- 1^12^—-—^'
г=1 Щ
Чтобы убедиться в этом, нужно воспользоваться соотношением D)
из § 5 гл. 3. Оно же показывает, что
г=1 ' 'g€G г ' 'g€G г
= ще\Са(е)\ = е.
Далее, применяя обобщённое соотношение ортогональности из упр. 1
§ 4 гл. 3, мы находим
g,t€G ' ' h€G
IGI * t^G
Таким образом, центральные элементы /^, вычисляемые по форму-
формуле E), удовлетворяют соотношениям
fillIl + Ii^'=o+%j F)
и называются по этой причине центральными ортогональными идем-
потентами групповой алгебры C[G]. Соотношение е = 1\ + .. . + /г —
условие полноты этой системы. Положив Bi — /fC[G], мы немедлен-
немедленно обнаруживаем, что Bi — двусторонний идеал в C[G] с единичным
§ 4- Алгебры над полем 179
элементом /^ и что имеет место разложение в прямую сумму
c[G] = вх е в2 е... е вг. G)
Непосредственно из E) следует, что
|G| 9
Поэтому Bi содержит минимальный левый идеал J С i«, отвечаю-
отвечающий характеру Хг- Так как А^ и Bi — двусторонние идеалы, то Ai С
С Bi. Сравнивая разложения B) и G), мы заключаем, что Ai = Bi.
Итак, доказан усовершенствованный вариант теоремы 3.
Теорема 5. Элементы /^, 1 ^ г ^ г, вычисляемые по форму-
формуле E), образуют полную систему центральных ортогональных идем-
потентов групповой алгебры C[G] конечной группы G. Простая
компонента IiC[G] прямого разложения
C[G] = hC[G] e i2c[G] e... е /rc[G],
изоморфная полной матричной алгебре Мп.(С), содержит все ми-
минимальные левые идеалы, отвечающие характеру х%-
Всю теорию представлений групп можно развить, исходя из тео-
теоремы Веддербарна-Артина (см. п. 1) и из общей структурной теории
групповых алгебр (её заключительный вывод для конечных групп
сформулирован в теореме 3). Мы шли в обратном направлении, опи-
опираясь по существу лишь на лемму Шура.
В заключение докажем два полезных утверждения о степенях и
значениях характеров неприводимых представлений.
Теорема 6. Степень п неприводимого представления (Ф,"К)
над С конечной группы G делит порядок \G\.
Доказательство. Пусть Ф — соответствующее представле-
представление групповой алгебры C[G]. По лемме Шура (предложение 3 из § 3)
линейный оператор Ф(^), перестановочный со всеми Ф(д), g G G, и
потому принадлежащий EndqG]^)? должен быть кратен единично-
единичному оператору: Ф(К^ = 0OiE. Имеем
откуда
i
n
Применяя Ф к соотношениям D), получим
12*
180 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
Стало быть, Z[cjJ — подмодуль Z-модуля Z[cji, ..., сог] конечного ти-
типа и согласно результатам п. 3 из § 3 0Ji — целое алгебраическое
число. По тем же причинам
|G| \G\ 1^ , ,—п;
— = —(Хф|Хф)о = - У.Хф(9)Хф(Ю =
ть ть ть
ть ть
ть
9
П г=1
— целое алгебраическое число. Значит, \G\/n Е Z. П
Лемма 2. Пусть А — циклическая группа их — е& характер,
возможно, приводимый. Положим S = {a Е А\ А — (а)}. Допустим,
что x{s) Ф 0 Vs G S. Тогда
xOOl2 Gl-
Glees'
Доказательство. Пусть п = Щ и F — поле разложения мно-
многочлена Хп — 1 над Q. В следующей главе изучается группа Галуа
G = Gali^/Q и действие G на характерах. Для наглядности будем
изображать это действие экспоненциально. Если a G G и ( — корень
степени п из 1, то (а = ?т, НОД(т,п) = 1. Далее, x(s) = Ci + • • •
• • • + (k, СГ = 1? и п0 определению
Группа G абелева и а н-» а, а G F, — тоже элемент из G, так что
а^ = (аH", а G F, a G G. Таким образом,
\аа\2 = а^ = а^(а)^ = (аа)а = (|а|2)^,
Aх(в)|2Г = |х(О|2, НОД(ш,п) = 1
(т зависит только от а).
Заметим, что s G S =^ sm G 5, если НОД(т,п) = 1. Кроме
того, х I—)- хт — биекция на А, являющаяся перестановкой. Значит,
П<?е5 lx(s)|2 — инвариант относительно G, а потому является ра-
рациональным числом. Вместе с тем это целое алгебраическое число.
Таким образом, это число должно лежать в Z. По условию x(s) Ф 0>
поэтому f[seS |хО)|2 ^ 1. Но
i
г=1 г
для любых положительных вещественных чисел г\,..., г/.. В нашем
случае
1^(S)|2^1. D
1 ' ses
§ 4- Алгебры над полем 181
Теорема 7 (У. Бернсайд). Пусть G — конечная группа, % Е
Е Irr(G). Если х(е) > 1, то х{я) — О хотя бы для одного g Е G.
Доказательство. Расщепим G на классы, назвав два элемента
из G эквивалентными, если они порождают одну и ту же цикличес-
циклическую подгруппу в G. Предположим, что х(я) Ф О ДЛЯ любого g Е G.
Тогда по лемме 2
ses
для каждого класса эквивалентности S. Суммируя по всем классам
эквивалентности неединичных элементов, получим неравенство
Таким образом,
откуда х(е) ^ 1 — противоречие. П
Следствие. Если группа G совпадает со своим коммутан-
коммутантом G', то
|С|-П^=(П|ЭС4|)Е^ (8)
г=1 г=1 1=1
(т.е. центральные элементы Yii^i u ^2i-^-i из Q[^] пропорциональ-
пропорциональны).
Доказательство. Пусть gi,...,gr — представители классов
сопряжённости %х,..., %г и К\,..., Кг — суммы элементов из
0Сь ... ,0Сг. Мы знаем (см. D)), что
I
где oo(Ki) = x(9i)\^i\/x(e) — целое алгебраическое число. Умножая
обе части соотношения
x(dj) 1пг илу-
\Xi\\Xj
на x(9s) и суммируя по х-> получаем формулу для структурных кон-
констант
»« - |G|
182 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
По аналогии с (9), положив
i=i i=i
будем иметь
^v J 1=1
так что
л г _ иг г- м \^ X(9i)---X(9r)x(9s) , ч
|G| ^ x(e)
A,
Если теперь G = G', то все характеры, кроме 1<з, имеют степень
больше 1 (теорема 5 из § 5 гл. 3) и x(9i)x(92) • • • х(9г) = 0 для % ф \q
по теореме 6. Непосредственно из формулы (*) имеем Ns = \G\ • 1
Vs, т.е. то, что нужно. П
Замечание. Пусть А — любая (т.е. не обязательно ассоциатив-
ассоциативная) алгебра произвольной размерности над полем Р. Каждым трём
элементам x,y,z G А поставим в соответствие выражение (x,y,z) =
= {xy)z — x{yz), называемое их ассоциатором. В зависимости от
тождественных соотношений, связывающих ассоциаторы или иные
выражения, получаются различные типы (как ещё говорят, прими-
примитивные классы, многообразия) алгебр. Примерами служат:
1) ассоциативные алгебры (x,y,z) = 0;
2) альтернативные алгебры (х,х,у) = 0 = (у,х,х);
3) йордановы алгебры (х,у,х2) = 0, ху — ух — 0.
По этому аксиоматическому пути можно, очевидно, двигаться не-
неограниченно. Замечательно, однако, что многие классы неассоциа-
неассоциативных алгебр возникли естественным путём в областях, далёких
от алгебры как науки. В качестве наиболее ярких примеров следу-
следует назвать йордановы алгебры, пришедшие в математику, как упо-
упоминалось в [ВА II], из квантовой механики (от физика Йордана),
и алгебры Ли, предназначенные первоначально исключительно для
описания (при определённых условиях) локальной структуры топо-
топологических групп (Софус Ли — один из крупнейших математиков
XIX века). Об алгебрах Ли речь уже шла на страницах книги, и они
будут фигурировать снова в следующем параграфе.
' 4- Алгебры над полем
183
УПРАЖНЕНИЯ
1. Алгебра обобщённых кватернионов. Показать, что таблицей умножения
1
ei
в2
ез
1
1
ei
в2
ез
ei
ei
n
-ез
— Пв2
е2
е2
ез
т
те\
ез
ез
Пв2
—mei
—пт
с n,m Е Z, nm т^ 0; на четырёхмерном векторном пространстве H(n, m) =
= A,е1,е2,ез)(^ над Q вводится структура ассоциативной алгебры с единицей.
Использовать для этой цели представление
ж = ж0 +
+ ж2е2 + ж3е3 *->¦ Ах =
Определитель det Ах = х\ — х\п — х\т + х\пт называется нормой элемента х.
Проверить, что при выполнении условия х Е H(n,m), х ф 0 ^=> 7У(ж) т^ 0
пространство H(n,m) является алгеброй с делением {обобщённой алгеброй ква-
кватернионов). Используя понятия и результаты упр. 7 из § 2, показать, что при
простом р = ±3 (mod 8) алгебра ИB,р) будет алгеброй с делением.
2. Пусть А — алгебра с единицей 1 над Ж. Пусть на А задана операция со-
сопряжения х I—>¦ ж, обладающая свойствами ж = ж, ж?/ = ?/ж. Снабдим пространство
А 0 А = {(ж,?/) | х,у Е А} билинейной операцией умножения
(ж, 2
vx).
Получается алгебра, называемая удвоением алгебры А.
Проверить, что С — удвоение алгебры R, ai — удвоение алгебры С. Уд-
Удвоение алгебры Н называется алгеброй Кэли €а.
Проверить, что Са — некоммутативная и неассоциативная алгебра. Выра-
Выразить в явном виде операцию сопряжения на Са.
3. Рассмотреть ?2^ как векторное пространство V размерности п над F2.
Наряду с операцией сложения, наследуемой из F2^ , ввести на V операцию умно-
умножения (х,у) I—>¦ ж о у = у/ху. Здесь ж ь-»¦ у/х — автоморфизм на ?2^ , обратный к
ж^ж2, так что у/х + у = \fx + у/у. Показать, что (У,+,о) — коммутативная
(неассоциативная) алгебра над F2, обладающая свойствами: а) в У нет делителей
нуля и нет единицы; б) уравнение а о х = b с а ф 0 однозначно разрешимо;
в) группа автоморфизмов Aut(V) действует на V \ {0} транзитивно.
4. В любой алгебре выполняется тождество для ассоциаторов
t(x, у, z) + (t, ж, y)z = (tx, у, z) - (t, xy, z) + (t, ж, yz).
Убедиться в этом прямой проверкой и показать, что если в алгебре А с едини-
единицей 1 над полем Р для всех ассоциаторов имеет место включение (x,y,z) Е Р • 1,
то А — ассоциативная алгебра.
5. Пусть G и Н — конечные группы и ?[G] = ?[Н] — изоморфизм С-алгебр.
Можно ли утверждать, что G = Н?
6. Пусть Ф — комплексное матричное неприводимое представление степени
п конечной группы G. Доказать, что если
1г{СФх} = 0 Уже С,
где С — постоянная (п х п)-матрица, то С = 0.
184 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
§ 5. Неприводимые модули над алгеброй Ли $1B)
1. Исходный материал. Напомним, что в алгебре Ли L над по-
полем Р произведение элементов х,у Е L принято обозначать [ж, у] или
ещё проще [ху]. По определению алгебры Ли билинейная операция
(ж, у) н-» [ху] удовлетворяет двум требованиям:
i) [хх] = 0 ([ху] = —[ух] — антикоммутативность);
И) [[од]г] + [[2/^]ж] + [[^ж]2/] = 0 (тождество Якбби).
Мы знаем также из [В А II], что если А — ассоциативная алгебра
над полем Р, то на векторном пространстве А можно задать струк-
структуру алгебры Ли L(A), полагая [ху] = ху — ух (коммутатор двух
элементов).
Пусть, в частности, А = Endp(V) = -С(У) — алгебра всех линей-
линейных операторов конечномерного векторного пространства V над Р.
Любой гомоморфизм
называется представлением алгебры Ли L. В соответствии с тер-
терминологией предыдущих параграфов пространство представления V
называется также L-модулем (или модулем над алгеброй Ли L). Фор-
Формально L-модуль задаётся тремя аксиомами:
L1) х(аи + /3v) = ахи + fixv\
L2) (ах + /3y)v = axv + /3yv;
L3) [xy]v = x(yv) - y(xv).
На самом деле каждый L-модуль является модулем над универ-
универсальной обёртывающей алгеброй U(L) — ассоциативной алгеброй,
порождаемой L (теорему Биркгофа-Витта на этот счёт мы не фор-
формулируем).
Пример 1. Дифференцированием произвольной алгебры А (не обязательно
ассоциативной) над полем Р называется дифференцирование D кольца (А,-):
T>(u + v) = Т>(и) +?>0), Т>(и -v) = Т>(и) • v + и •?>(», u,v G А,
перестановочное с действием констант из Р: D(Aa) = AD(a), А Е Р, а Е А. Умно-
Умножение
наделяет множество всех дифференцирований Der(A), являющееся векторным
пространством над Р, структурой алгебры Ли.
Если, в частности, А = Р[Х] — алгебра многочленов, то Der(A) состоит из
дифференцирований Т)и, и Е А, действующих по правилу
По определению
= u(vf'Y - v(uf'Y = u(v'f + vf") - v(u'f + uf") = (uv' - u'v)f.
§ 5. Неприводимые модули над алгеброй Ли в\B) 185
Следовательно,
и мы видим, что алгебра Der(A) изоморфна бесконечномерной алгебре Ли (А, [*
*, *]) с базисным пространством А и умножением [uv] = uv' —u'v. Положив А^ =
= (Хг+1)р, мы получим разложение А в прямую сумму
а = а(_!) е А(о) е аA) е аB) е...,
обладающее свойством градуированной алгебры Ли
[А(г)'А(Я] С A(i+3)
(ср. с примером 2 из п. 1 § 4). Алгебра Ли (К, [*,*]) действует на векторном
пространстве К двумя способами: 1) (а,/) ь-»- af (естественное действие);
2) (а, /) i->- af —a' f (действие присоединёнными эндоморфизмами). В результате
получаются два неизоморфных (А, [*, *])-модуля.
Пример 2. Трёхмерное вещественное пространство
suB) = (kb k2, к3)м
косоэрмитовых матриц с нулевым следом наделено структурой алгебры Ли.
Соотношения
[kik2] = k3, [k2k3] = ki, [k3ki] = k2
в точности повторяют правила векторного произведения векторов в М3.
Из общей теории представлений компактных групп следует, что
между неприводимыми представлениями группы SUB) и её алгебры
Ли 5иB) имеется взаимно однозначное соответствие. Интуитивно
это можно понять, приняв во внимание непрерывность представ-
представления группы и рассмотрев в линейной оболочке операторов Ф(^)
(где gt — зависящий дифференцируемым образом от t E 1 элемент
группы SUB); go = е) линейный оператор d^{gt)/dt |j=o, уже со-
содержащийся в алгебре suB). Чтобы подтвердить полноту списка не-
неприводимых представлений группы SUB), которые были получены в
§ б гл. 3, нам нужно убедиться в том, что для любого натурального
п имеется с точностью до изоморфизма ровно один неприводимый
5иB)-модуль размерности п над С. С этой целью удобно перейти с
самого начала от вещественной алгебры Ли suB) к её "комплекси-
фикации", совпадающей с алгеброй Ли L = в\{2) = suB) 0м С всех
комплексных 2 0 2-матриц с нулевым следом. Базисные элементы
e_i = ki - ik2, e0 = 2ik3, e\ — ki + ik2
алгебры L перемножаются по правилам
[e_iei] = e0, [eoe_i] =-2е_ь [eoei] = 2еь A)
Забыв на время о происхождении L, можно считать, что L = (e_i, во,
ei) — абстрактная трёхмерная алгебра Ли над С с таблицей умноже-
умножения A). Легко проверить, что L — простая алгебра Ли. Стало быть,
любой её неприводимый модуль размерности > 1 будет точным.
186 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
2. Веса и кратности. Пусть вначале V ф 0 — произвольный
L-модуль конечной размерности над С, и пусть E-i, Eq,Ei — линей-
линейные операторы (или матрицы при фиксированном базисе) на V, отве-
отвечающие соответственно элементам e_i,eo,ei. В теории представле-
представлений алгебр Ли установилась своя терминология, которой мы будем
придерживаться.
Определение. Собственное подпространство
Vх = {v eV\ Eov = Xv}
оператора Eq в V с собственным значением А Е С состоит из векто-
векторов, о которых принято говорить, что они имеют вес А. Размерность
dim Vх называется кратностью веса А.
Лемма 1. Если v Е Vх, то
ElV e vx+\ E-lV e vx~2
(Ei — "повышающий" оператор, а Е-\ — "понижающий").
Доказательство. В соответствии с аксиомой L3) имеем
EoiEtv) = [EqE^v + E1(Eov) = 2E±v + E1(Xv) = (A +
так что по определению E\v G Vx~^~2. Аналогично,
У) = (\-2)E_1v. П
3. Старп1ии вектор. Из [ВА II] известно, что векторы, от-
отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Поэтому сумма
W = ^VX С V
х
прямая. Из леммы 1 следует также, что W является L-подмодулем в
V. Так как W ф 0, то в случае неприводимого L-модуля V должно
выполняться равенство W = V.
Определение. Вектор i?o G V назовём старшим вектором ве-
веса А, если vo ф 0 и
= 0, Eovo = Аг;0.
Лемма 2. Любой конечномерный L-модуль V обладает старшим
вектором.
Доказательство. Возьмём произвольный (ф 0) вектор v ве-
весами построим последовательность векторов г?, Eiv, E\v,... с весами
/i, /i + 2, /i + 4,... (см. лемму 1). Так как dim V < оо, то E{n+1i; = 0
для некоторого т. Взяв m минимальным, мы можем положить vq =
= E^v, A = /i + 2m. ?
Лемма 3. Пусть Vn — векторное пространство размерности
п + 1 кад С с фиксированным базисом (vq,vi, ... ,vn), E\,Eq,E\ —
§ 5. Неприводимые модули над алгеброй Ли в\{2) 187
операторы, определённые формулами
E-iVm = (m + l)vm+1,
vm = (n- 2m)vm, B)
= (n-m + l)vm_i,
где V-i = 0 = un+i. Тогда Vn — неприводимый L-модулъ.
Доказательство. Прямая проверка показывает, что выполне-
выполнены соотношения
Vm) = E0Vm,
) - E^EoVm) = 2E1Vm,
согласующиеся с таблицей умножения A) и с аксиомами L-модуля.
Так как EiVo = (n + l)i?_i =0, EqVo = nvo, то г?о — старший вектор
веса п, а всё пространство Vn записывается в виде прямой суммы
vn = vn ф vn~2 ф ... © v~n (з)
одномерных весовых подпространств уп~2т = (г>т) (каждый вес
имеет кратность 1).
Предположив существование подмодуля U Ф 0 в Vn, мы возьмём
любой собственный вектор и G U оператора Eq. Согласно разложе-
разложению C) и = Xvm для некоторого т. Последовательное применение
повышающего оператора Е\ (см. формулы B)) даст нам включения
Vm-i ^ U,...,vo G U, а посредством понижающего оператора Е-\
мы получим из старшего вектора г?о все остальные векторы. Значит,
U = Vn, и Vn — неприводимый L-модуль. П
Заметим, что Vo — тривиальный (одномерный) модуль, a V\ —
модуль, соответствующий естественному определению алгебры L: в
базисе (i7o,^i) операторы E-i,Eq,Ei имеют своими матрицами
0 0 II || 1 0
1 0 II' II 0 -1
0 1
о о
4. Классификационный результат. Следующая теорема ре-
решает стоящую перед нами задачу.
Теорема 1. Всякий неприводимый L-модулъ V размерности
п + 1 над С изоморфен Vn.
Доказательство. По лемме 2 наш модуль V обладает некото-
некоторым старшим вектором г>о веса Л. Положим
v-i =0, vm = —E^vo = —:#-i(... (E-xVo)...) при т ^ 0.
ml ml
188 Гл. 4- Кольца. Алгебры. Модули
Утверждается, что при любом т ^ 0 справедливы формулы
E-iVm = (m + l)vm+1,
Eovm = (\-2rn)vm, B()
Eivm = (Л - т + l)vm-i.
Действительно, при т = 0 формулы B') сводятся к определе-
определению старшего вектора vq и вектора i?i, а дальше действуем индук-
индукцией по т.
а) Формулой E-ivm = (т + l)um+i определяется вектор um+i.
б) Формула Eovm = (Л — 2m)vm следует из леммы 1.
в) Если уже известно, что E\vm-\ — (А — m + 2)г>т-2, то после
сокращения на ттг обеих частей равенства
= E^Vm-i + (Л - m + 2)E-1vm-2 =
= {(A - 2m + 2) + (A - m + 2)(m - l)}um_i = m(A - ттг + l)vm_i
получается последняя из формул B').
Если векторы vo,vi,... ,vr при каком-то г отличны от нуля, то,
имея различные веса, они должны быть линейно независимыми. С
другой стороны, в силу неприводимости V подмодуль, порождён-
порождённый вектором i7o, совпадает с У, а так как dim У = п + 1, то У =
= (vo,vi,...,vn) и vn+i = vn+2 = ... = 0. В частности,
0 = Eivn+i = (А - n)vn = 0 ==> А = п
(обратим внимание на любопытную импликацию dim V < оо ^=> A G
G Z, А^О).
Подставив значение А = п в формулы B;), мы придём факти-
фактически, с учётом выбранных обозначений, к формулам B), которыми
определялся неприводимый (по лемме 3) L-модуль Vn. Значит,
v - vn. п
УПРАЖНЕНИЯ
1. Задать на Vn структуру 5иB)-модуля, используя формулы B), возвращаясь
к базисным элементам
1 г г
ki = -0-1 + е2), к2 = -0-1 - ei), к3 = --е0
и ставя им в соответствие линейные операторы К\, К2, i^3 •
2. Пусть L = (е_i,eo,ei) — простая алгебра Ли с таблицей умножения A)
над алгебраически замкнутым полем F характеристики р > 2. Рассмотрим квад-
5. Неприводимые модули над алгеброй Ли
189
ратные матрицы
Е-! =
0
0
0
0
70
71
0
0
0
0
порядка р
0 ...
72 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
0
0
0
0
0
Ел =
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
... 0
... 0
... 0
... 1
... 0
0
0
0
0
1
Р
0
0
0
0
Ео = [E-UE{\ = diag(A,A + 2,...,A + 2(p-2),A + 2(p-l)).
Проверить, что соответствие е^ i—>¦ Ei, г = —1,0,1, устанавливает неприво-
неприводимое матричное представление алгебры Ли L, зависящее от трёх параметров
(А,/3,7о). При этом
Ik = Pio + k\ + k(k- 1), к = 1,2,...,р- 1.
(Эта совершенно новая ситуация типична для представлений над полем конечной
характеристики.)
Глава 5
НАЧАЛА ТЕОРИИ ГАЛУА
Помимо элементарных сведений о конечных расширениях полей,
в частности, о конечных полях и полях алгебраических чисел, при-
приводятся фрагменты теории Галуа, достаточные для того, чтобы до-
доказать классическую теорему о неразрешимости в радикалах алгеб-
алгебраических уравнений степени больше 4. Доказываются также более
интересные теоретико-числовые факты. Излагаются начала совре-
современного направления в теории Галуа, привлекательность которого
для нас обусловлена активным использованием теории характеров
на элементарном уровне главы 3.
§ 1. Конечные расширения полей
1. Примитивные элементы и степени расширении. Если
F — поле, содержащее подполе Р, то F называется также расшире-
расширением поля Р [ВА I, гл. 4, § 3]. Мы ограничимся вначале простейшим
случаем, когда расширение F = Р(в) получено из поля Р присоеди-
присоединением (внутри заданного поля F) единственного элемента в Е F.
Говорят, что Р(9) — простое расширение поля Р, а в — прими-
примитивный элемент этого расширения. По своему смыслу Р(в) — поле
отношений целостного кольца Р[в]. Элемент в трансцендентен над
Р тогда и только тогда, когда расширение Р(в) изоморфно полю
рациональных дробей. Если, однако, в — алгебраический элемент,
то Р(в) = P[X]/(f(X)) (гл. 4, § 1, теорема 2). Здесь f(X) — не-
неприводимый многочлен степени п > 0, корнем которого является в.
Обратно: если f[X] — неприводимый многочлен, то, как мы знаем из
гл. 4, каноническим образом строится поле F, в котором / обладает
хотя бы одним корнем (назовём его в). Из построения видно, что F
отождествляется с множеством элементов вида
а0 + arf + ... + ап-гв71'1, а{ е Р, п = deg /.
Для элементов кольца Р[в] это очевидно (разделить д(Х) на f(X)
с остатком и подставить X — в); деление же в Р[в] осуществля-
осуществляется так: если д(Х) = а^ + а\Х + ... + ап-\Хп~1 ^ то неприводи-
неприводимость / влечёт равенство НОД(/, д) = 1 и существование многочленов
u(X),v(X) степени < п, для которых fu+gv = 1; отсюда g{6)v{6) = 1
и 1/д(в) = vF). Число п можно считать размерностью векторного
пространства над Р с базисными элементами 1, #,..., вп~1.
В случае произвольного расширения F D Р также целесообразно
рассмотреть F как векторное пространство над Р. Его размерность
dimp F (возможно, бесконечную) мы обозначим через [F : Р] и на-
назовём степенью расширения F над Р. Если F = РF), то [F : Р]
§ 1. Конечные расширения полей 191
называется также степенью примитивного элемента. Понятно, что
для трансцендентного элемента в Е F семейство 1,#,#2,... линейно
независимо над Р и [Р(в) : Р] = оо. С другой стороны, из сказанного
выше вытекает следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть F — какое-то расширение поля Р. Элемент
в Е F алгебраичен над Р тогда и только тогда, когда [Р(в) : Р] <
< оо. Кроме того, алгебраичностъ в влечёт равенство Р(в) = РЩ-
Назовём К э F D Р двухэтажной башней расширений. Она поз-
позволяет говорить о трёх векторных пространствах: К/Р [К над Р),
K/F {К над F) и F/P (F над Р). Их размерности связаны соотно-
соотношением, аналогичным соотношению для индексов подгрупп.
Теорема 2. В башне расширений К D F D Р степень [К : Р]
конечна тогда и только тогда, когда конечны степени [К : F] и
[F : Р]. В случае их конечности справедливо соотношение
[К:Р] = [К : F][F : Р].
Доказательство. Предположив сначала конечность [К : F]
и [F : Р], выберем Р-базис Д,..., /ш в F/P и F-базис ei,..., еп в
К/F. Тогда любой элемент х Е К записывается в виде х = ^2- ajej с
ctj G F. В свою очередь ctj = ^2iPijfi с pij G Р. Следователь-
Следовательно, x = ^2i PijfiCj, и мы видим, что тп элементов /^ линейно
порождают К над Р. Предположим наличие линейной зависимости
= 0 при некоторых pij e Р. Тогда
0 = YPijfei = Yl($2Pi3fi)e3 =* Y^Pijfi = 0 => Ptf = О
для всех г = 1,..., m; j = 1,..., п, поскольку ei,..., еп линейно неза-
независимы над Р, а Д,..., fm линейно независимы над Р. Стало быть,
тп элементов fiCj составляют базис векторного пространства К/Р
т[К :Р]=пт = [К : F][F : Р].
Обратно неравенство [К : Р] < оо влечёт конечность [F : Р],
поскольку F/P — подпространство пространства К/Р. Если (ai,...
..., аг) — Р-базис для К, то произвольный элемент х G К будет ли-
линейной комбинацией а\,..., аг с коэффициентами в Р и тем более —
с коэффициентами в F. Над F число линейно независимых элементов
среди ai,..., аг может лишь уменьшиться. Таким образом, [К : F] <
< 00. ?
Следствие. Пусть F — расширение поля Р, А — множество
всех тех элементов из F, которые алгебраичны над Р. Тогда А —
подполе в F, содержащее Р.
Доказательство. Каждый элемент t G Р является корнем ли-
линейного многочлена X — t G Р[^], так что Р С А. Пусть, далее,
192 Гл. 5. Начала теории Галуа
u,v Е А. Тогда по теореме 1 имеем [Р(и) : Р] < оо. Элемент г?, алгеб-
алгебраический над Р, будет алгебраическим и над Р(и), т.е.
[Р(щу) : РО)] = [P(u)(v) : Р(и)] < оо.
Согласно теореме 2
[P(u,v) : Р] = [P(u,v) : P(u)][P(u) : Р] < оо.
Так как и — v,uv Е P(u,v), то снова по теореме 1 имеем и — v,
uv Е А, т.е. А — подкольцо в Р. Оно является полем, поскольку
О ф и Е A =^ [Piu-1) : Р] = [РО) : Р < оо. ?
Расширение F D Р называется алгебраическим над Р, если все
элементы из F алгебраичны над Р. Каждый элемент а алгебраи-
алгебраического расширения является корнем некоторого отличного от нуля
нормализованного (т. е. со старшим коэффициентом 1) многочлена
/ G Р[-^], зависящего от а. Если f(a) = 0 и д(а) ф 0 для любого 0 ф
Ф д G Р[Х] с degg < cleg/, то / = fa называется минимальным мно-
многочленом элемента а. Минимальный многочлен неприводим над Р,
однозначно определён и его степень совпадает со степенью элемента
а (часто многочлен, получающийся из минимального умножением на
константу, также называется минимальным). Все различные корни
многочлена fa считаются сопряжёнными с а. Объяснение этой тер-
терминологии даёт ниже теорема 3. Если char P = 0, то число различных
корней совпадает с deg fa (см. [ВА I, гл. 6]), но в общем случае это
не так (см. упр. 4 и 5).
Согласно полученным результатам расширение F D Р конечной
степени [F : Р] является конечным алгебраическим, т. е. оно полу-
получается из Р присоединением конечного числа алгебраических эле-
элементов «1,..., ат. Обратно: всякое конечное алгебраическое расши-
расширение F = P(ai,...,am) имеет конечную степень. В самом деле,
fk(ak) = 0, l^&^m, Д Е ^М- Элемент а^, алгебраический
над Р, будет, естественно, алгебраическим и над P(«i,..., a^-i).
Значит, [P(ai,... ,а&) : P(ai,... ,afc_i)] < оо и в соответствии с
теоремой 2
[F:P] = [P(au...,am):P] =
т
= Y[[P(au...,ak) :P(ai,...,a*_i)] < оо. ?
k=i
Пример. Поле F = Q(\/2,\/3) как векторное пространство над Q четырёх-
четырёхмерно: F = A, у/2, \/3, \/6)q, т. е. каждый элемент а G f записывается в виде
линейной комбинации а = а + 6\/2 + с\/3 + d\/6 с рациональными координатами
а, 6, с, d. С другой стороны,
^ = A,M2,03)<Q>, где 0 =
§ 1. Конечные расширения полей
193
Действительно,
9 1 11 1 5 1
~ 2 2 ' ~ 2 2 ' ~ 2 2 '
Примитивный элемент 9 имеет минимальный многочлен fe(X) = X4 — 10Х2 + 1
с корнями
9^ = 9 = \/2 + Vs, ^^2^ = \/2 — \/3,
^^3^ = —\/2 + \/3, ^^4^ = —\/2 — у/3.
Обратим внимание на тот факт, что F является полем разложения много-
многочлена fg(X), причём
В общей теории Галуа такое поле было бы названо нормальным. Диаграмма под-
полей поля F
F
Q(\/2)
Q(\/6) > Q(x/3)
похожа на диаграмму подгрупп четверной группы V4, и это не случайно. Если
мы рассмотрим произвольный автоморфизм Ф : F —у F, то из соотношений
Ф(х + у) = Ф(ж) + Ф(у), Ф(ху) = Ф(х)Ф(у) Уж, ?/ G F,
следует, что Ф полностью определяется своим действием на примитивный эле-
элемент 9. Далее, Ф(а) = а Уа Е Q, поэтому
ФF>L - 10ФF>J + 1 = Ф@4 - Ш2 + 1) = Ф@) = 0.
Значит, Ф(9) — один из корней 9^г\ г = 1,2,3,4, и мы приходим к заключе-
заключению, что группа всех автоморфизмов Aut(i?/Q), называемая также группой Га-
Галуа G(F/Q) или G(fo), имеет порядок 4 = [F : Q]. Групп порядка 4 с точностью
до изоморфизма всего две: циклическая Z4 и Z2 x Z2 = V4. Непосредственные
вычисления показывают, что Aut(F/Q) = V4.
Легче всего в этом убедиться, рассмотрев представление Aut(i?/Q) переста-
перестановками на множестве П = {1,2,3,4}, элементами которого нумеруются корни
0(*). Если, например, ФF>A)) = бК2), то
т.е. Ф « A2)C4) = ст. Аналогично получаются автоморфизмы A3)B4) = т и
A4)B3) = (тт.
Остаётся добавить к сказанному, что циклическая подгруппа (а) оставляет
поэлементно неподвижным промежуточное подполе Q(\/2) и (а) является груп-
группой G = i?/(Q(\/2)) всех автоморфизмов (группой Галуа) поля F относительно
13 А.И. Кострикин
194 Гл. 5. Начала теории Галуа
подполя Q(\/2). Аналогично, полями инвариантов для (т) и {<гт) служат соот-
соответственно Q(\/3) и Q(\/6), а группами Галуа G = F/(Q(\/3)), G = F/(Q(\/6))
будут в свою очередь (т) и (ст). Мы проверили на частном примере справедли-
справедливость биективного соответствия Галуа между подполями нормального поля F и
подгруппами его группы автоморфизмов.
2. Изоморфизм полей разложения. В § 1 гл. 4, где определе-
определено и построено поле разложения F над Р нормализованного много-
многочлена, отмечалось, что в построении имеются элементы произвола.
Повторяя сейчас эту конструкцию, мы могли бы лишь сказать, что
[F : Р] ^ п! (постарайтесь понять, почему). Но на самом деле все
поля разложения над Р данного многочлена / изоморфны. Чтобы
уточнить это высказывание, рассмотрим несколько более общую си-
ситуацию. Согласно теореме 3 § 2, гл. 5 из [ВА I] любое изоморфное
отображение ср поля Р на поле Р продолжается единственным обра-
образом до изоморфизма Р[Х] на Р[Х], так что
f(X) =xn + aiXn_! + ... + ап ^ f(X) = tpxf =
Теорема 3. Пусть ср : Р —у Р — изоморфизм полей; / Е
Е -Р[-Х"] — нормализованный многочлен степени п > 0, / = (fxf —
его образ при изоморфизме срх', F,F — поля разложения многочле-
многочленов /, / над Р и над Р соответственно. Тогда ip продолжается
до изоморфизма Ф : F —У F к ^ [F : Р] способами, причём к =
= [F : Р], если все корни многочлена f(X) различны.
Доказательство. Этап I. Вначале рассмотрим случай про-
произвольных расширений К D Р, К D Р. Пусть О G К — алгебраи-
алгебраический элемент с минимальным многочленом g = gg G i^f-X"]. Утверж-
Утверждается, что изоморфизм ср : Р —у Р продолжается до мономорфиз-
мономорфизма р : Р(9) —У К в точности тогда, когда g обладает корнем в К,
причём число продолжений совпадает с числом различных корней
многочлена g в К.
Действительно, из существования р следует, что элемент р(в) дол-
должен быть корнем g :
9{в) = 0 => д(р(в)) = р(д(в)) = 0.
Обратно: если д(и) = 0, то Кетф D д(Х)Р[Х], где ф : Р[Х] —У К —
гомоморфизм, определённый соответствием и{Х) \-у й(ьо). Как и в
случае групп, ф индуцирует гомоморфизм
ф : Р[Х]/д(Х)Р[Х] —^ К
(и(Х) + д(Х)Р[Х] ь->- й(оо); если это не совсем ясно, то нужно снова
обратиться к результатам гл. 4). Заметим, что ввиду неприводимое-
§ 1. Конечные расширения полей 195
ти д(Х) факторкольцо Р[Х]/д(Х)Р[Х] — поле, так что ф — моно-
мономорфизм. Точно таким же способом определяется изоморфизм полей
о : Р[Х]/д(Х)Р[Х] —> Р(в) (и(Х) + д(Х)Р[Х] ^ и(в)). Компо-
Композиция р = ф о ~а~х является мономорфным отображением Р(в) в К
{р{и{в)) = u(jjj)). Так как Р(в) порождается над Р элементом в, то
р — единственное продолжение ip, переводящее в в uj. Это и означа-
означает, что число различных мономорфизмов р с ограничением р \р= (р
равно числу различных корней многочлена д(Х) в К.
Этап П. Поле разложения строилось последовательным присо-
присоединением корней неприводимых многочленов. Используем далее ин-
индукцию по размерности [F : Р]. При [F : Р] = 1 многочлен / разла-
разлагается на линейные множители уже в Р[Х] : f(X) = [X — с\)... {X —
— сп). В таком случае f(X) = (ipxf)(X) = (X — ci)... (Х — сп). Корни
ci,..., сп многочлена / содержатся вР, а поскольку F порождается
ими над Р, то F = Р, так что Ф = срх — единственное продолжение.
При [F : Р] > 1 разложим f(X) над Р на нормализованные не-
неприводимые множители, среди которых должен быть хотя бы один
многочлен степени т > 1. Обозначим его д(Х). Так как
f(X) = g(X)h(X) => f(X) = {<pxf)(X) = д(Х)ЦХ),
то над полями разложения F и F имеют место разложения многочле-
многочленов
= (Х-сл)...(Х-шт), т^п.
Ввиду неприводимости д(Х) является минимальным многочленом
элемента 0\ над Р и [PFi) : Р] = т.
Если среди cji, ... ,cjm имеется Z различных, то согласно этапу 1
найдётся I мономорфных отображений pi,..., pi расширения L =
= Р@\) в F с ограничением ^ |р= (р. Конструкция поля разложения
такова, что F можно считать полем разложения над L многочлена
/ G Ь[Х], a F можно считать полем разложения над pi(L) многочлена
f(X) при любом i = 1,2,...,/. По теореме 2 имеем неравенство
т
так что по предположению индукции каждый из pi можно продол-
продолжить до изоморфизма Ф^ : F —У F, причём число таких продолже-
продолжений (число индексов j) не превосходит [F : L] и равно этой верхней
границе, если все корни в F многочлена / различны. Так как
$ij \l= Pi, l^j^[F:L], Pi\P=ip,
то Ф^- — продолжение ср, причём
РгФ Ps^ <&i,j Ф <&s,t При i ф S.
13*
196 Гл. 5. Начала теории Галуа
Стало быть, всего получается к ^ m[F : L] = [F : Р] продолжений
изоморфизма if. Это неравенство переходит в равенство, если все
корни многочлена / различны.
Этап III. Пусть, наконец, Ф : F —> F — произвольное продол-
продолжение изоморфизма if. Как и в этапе II, ограничение Ф |^, будучи
мономорфным отображением L в F, совпадает с одним из pi, а в
таком случае Ф совпадает с одним из Ф^. ?
Следствие 1. Любые два поля разложения F, F над Р много-
многочлена / Е Р[Х] изоморфны.
Действительно, достаточно положить Р = Р в теореме 3 и взять
за if единичное отображение поля Р на себя. ?
Следствие 2. Группа автоморфизмов Aut F/P любого поля
разложения F над Р многочлена / Е -Pf-X"] конечна и имеет порядок
^ [F : Р]. Если все корни многочлена f(X) различны, то |Aut F/P\ =
= [F:P].
Доказательство непосредственно следует из теоремы 3. ?
Замечание. Хотя поле разложения F над Q (или над любым
другим числовым полем) многочлена / Е Q[X] можно считать вло-
вложенным в поле С комплексных чисел и тем самым однозначно опре-
определённым, следствие 2 показывает, что и в этом случае имело смысл
разобрать доказательство теоремы 3.
Расширение Р/Р называется алгебраическим замыканием поля Р,
если оно алгебраично и поле Р алгебраически замкнуто. Сравнитель-
Сравнительно нетрудно доказать, что всякое поле Р обладает алгебраически
замкнутым расширением, однозначно определённым с точностью до
Р-изоморфизма. Любое алгебраическое расширение F/P можно вло-
вложить ^ [F : Р] способами в алгебраическое замыкание Р поля Р.
3. Существование примитивного элемента. Многочлен из
Р[Х] называется сепарабелъным, если его неприводимые множите-
множители имеют различные корни. Поле Р называется совершенным, коль
скоро каждый многочлен / G -Pf-Х"] сепарабельный. Понятно, что лю-
любое поле Р нулевой характеристики будет совершенным. С другой
стороны, верна
Теорема 4. Пусть Р — поле характеристики р > 0. Тогда
Р будет совершенным в точности при Р = Рр (множество р-х
степеней всех элементов из Р).
Доказательство. Если Рр ^ Р и a G Р \ Рр, то многочлен
Хр — а неприводим (см. ниже упр. 4). Кроме того, (Хр — а)' =
= рХр~г = 0, так что Хр — а — несепарабельный многочлен, а зна-
значит, Р — несовершенное поле.
Обратно: предположим, что f(X) — несепарабельный неприводи-
неприводимый многочлен в Р[Х], т.е. НОД(/,//)^1- Тогда f(X) =
§ 1. Конечные расширения полей 197
= а0 + арХр + а2рХ2р + ... Если а« = Ь? для любого г, то /(X) =
= (bo + 6fX + Ъ2Х2 + .. .)р — противоречие с неприводимостью f(X).
Следовательно, щ ? Рр для некоторого г, а поэтому Рр ф Р. П
Конечное алгебраическое расширение FdP, получающееся при-
присоединением к Р конечного числа сепарабельных элементов (корней
неприводимых сепарабельных многочленов), называется сепарабелъ-
ным расширением. Если не привлекать к рассмотрению алгебраичес-
алгебраические замыкания Р поля Р, то можно ограничиться полями алгебраи-
алгебраических чисел, вложенными по определению в С.
Теорема 5. Пусть F — конечное расширение поля Р. Прими-
Примитивный элемент О Е F (когда F = Р(в)) существует в точности
тогда, когда число промежуточных полей Е (F D E D Р) конечно.
Если F сепарабелъно над Р, то примитивный элемент в сущест-
существует.
Доказательство. Для конечного поля Р всё ясно, поскольку
Р* = (в), и в будет примитивным элементом. Считаем Р бесконеч-
бесконечным.
Предположим сначала, что число промежуточных полей конечно.
Пусть a,^GF. Заставив с пробегать по элементам из Р, мы получим
по условию лишь конечное число полей типа Р(а + ф). Следователь-
Следовательно, найдутся ci,C2 G Р, с\ ф С2, такие, что
Е := Р(а + afi) = Р(а + с2/?).
Заметим, что
а + ci/?, a + c2f3 е Е => (сх - с2)^ gE^^G^^>«GE,
т.е. Р(а,C) = Е = Р(а + Ci/З). Действуя по индукции, приходим к
выводу, что если F = P(ai,..., an), то найдутся С2,..., сп G Р, для
которых
F = Р(в), 0 = ai
Это доказывает половину первого утверждения.
Обратно: предположим, что F = Р(9) для некоторого в и f =
= fe(X) — минимальный многочлен для в. Пусть Р С .?7 С Р, и
пусть д#5# — минимальный многочлен для # над Е. Очевидно, дв,в
делит fo. Но F[X] — факториальное кольцо; любой нормализованный
многочлен из Р[Х], делящий f(X), равен произведению некоторого
числа множителей X — щ, где ai,..., ап — корни /. Следователь-
Следовательно, имеется лишь конечное число таких многочленов. Мы получаем
отображение Е н->- дв из множества промежуточных полей в конеч-
конечное множество многочленов.
Пусть Ео — подполе в Е, порождённое над Р коэффициентами
в дв(Х). Тогда qe имеет коэффициенты в Ео и является неприводи-
неприводимым над Eq, поскольку он неприводим над Е. Стало быть, степень
198 Гл. 5. Начала теории Галуа
элемента в над Eq совпадает со степенью в над Е, а это даёт равен-
равенство Е = Eq. Таким образом, наше поле Е однозначно определяется
ассоциированным с ним многочленом дв- Поэтому отображение Е \->
|—>- qe инъективно. Это завершает доказательство первого утвержде-
утверждения теоремы.
Что касается утверждения относительно сепарабельных расши-
расширений, то, действуя по индукции, мы можем без потери общности
предполагать, что F = Р(а,/3), где а,/3 сепарабельны над Р. Пусть
ifi,..., срп — различные вложения Р(а, /3) в алгебраическое замыка-
замыкание Р поля Р. Положим
f(X) = Д(^а + Х<рф - ща - ХщР).
Тогда f(X) ф 0, и поэтому найдётся с Е Р, для которого /(с) ф 0.
Элементы (fi(a + с/3) при i = 1,..., п различны, откуда следует, что
[Р(а + с/3) : Р] ^ га. Но [Р(а,/3) : Р] = га, поэтому
Р(а,/3)=Р(а + с/3).
Другими словами, в = а + с/3 — примитивный элемент. ?
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что расширение F D Р простой степени не имеет собственных
(Ф Р, F) подполей.
2. Найти примитивный элемент расширения Q_(y/p, y/q), где р и q — простые
числа.
3. Найти размерность над Q поля разложения многочлена Хр — 2.
4. Показать, что над полем Р характеристики р > 0 для многочлена Хр — а
имеются лишь две возможности: быть неприводимым или же быть р-й степенью
линейного многочлена.
5. Пусть ZP(Y) — поле рациональных дробей характеристики р. Показать,
что Хр — Y — неприводимый над ZP(Y) многочлен, все корни которого совпа-
совпадают.
§ 2. Конечные поля
1. Существование и единственность. Помимо Zp = Z/pZ,
нам встречались и другие примеры конечных полей. Настало время
включить их в общую теорию. Первые очевидные замечания отно-
относятся к произвольному конечному расширению конечного поля.
Предложение 1. Пусть F — поле с числом элементов q и
К D F — расширение степени [К : F] = п. Тогда \К\ = qn.
Доказательство. Действительно, после выбора базиса век-
векторное пространство К над F отождествляется с пространством Fn
строк («1,... ,ап) длины п. Все координаты щ независимо друг от
друга принимают q значений из F. Значит, \К\ = |Fn| = qn. ?
2. Конечные поля 199
Предложение 2. Любое конечное поле F имеет конечную ха-
характеристику р (р — простое число) и \F\ является степенью р.
Доказательство. В самом деле, простое подполе Р С F в силу
конечности F должно быть изоморфно некоторому полю Zp = Ъ /рЪ.
Согласно предложению 1 конечное расширение F D Р с\Р\ = р имеет
мощность \F\ =pm. ?
Теорема 1. Для каждого конечного поля F и для каждого це-
целого положительного числа п существует одно и, с точностью до
изоморфизма, только одно расширение К D F степени [К : F] = п.
Доказательство. Единственность. Пусть К D F — рас-
расширение степени п. Согласно предложению 2 \F\ = q => q = рт,
р простое и \К\ = qn. Следовательно, мультипликативная группа
К* = К \ {0} имеет порядок qn — 1, а порядок каждого её элемента
по теореме Лагранжа делит qn — 1: tqn~1 = 1 Vt ф 0. Это значит, что
все элементы поля К (включая t = 0) являются различными корнями
многочлена ХдП — X и имеет место разложение
xqn -х = Y[(x-t).
teK
Ни над каким собственным подполем поля К с числом элементов < qn
такого разложения на линейные множители быть не может, поэто-
поэтому К — поле разложения многочлена ХдП — X. Обращаясь к следст-
следствию 1 теоремы 3 из § 1, мы приходим к требуемому заключению.
Существование. Рассуждения при доказательстве единствен-
единственности подсказывают возможный путь построения К. Возьмём за К
поле разложения над Р = Zp многочлена f(X) = ХдП — X. Так как
q = рт, то q • 1 = 0 в К. Поэтому f'(X) = qn • 1 • Х^'1 - 1 = -1
и по известному критерию [ВА I, гл. 6, § 1, теорема 4] f(X) не име-
имеет кратных корней. Это значит, что подмножество Kf С К корней
многочлена f(X) имеет мощность \Kf\ = qn.
Так как Kf С К и char if = р, то согласно [ВА I, гл. 4, § 3, упр. 6]
(х + у)р = хр + ур для любых ж, у G Kf и s = 0,1, 2,... (отметим,
что F С Kf). В частности,
х,у G Kf => (х ± у)дП = хдП ±удП = х ± у => х ±у е Kf.
Кроме того,
1 е Kf, (xy)qn = xqnyqn = ху => ху е Kf,
о ф х е Kf =^ (х-1)*71 = х-1 =^ х-1 е Kf.
Таким образом, Kf — подполе в К, содержащее F и все корни много-
многочлена f(X). В соответствии с определением поля разложения должно
выполняться равенство Kf = К. Степень [К : F] равна п, поскольку
q[K:F] = |^| =
200 Гл. 5. Начала теории Галуа
Следствие. Для каждого простого числа р и для каждого це-
целого положительного числа п существует одно и, с точностью до
изоморфизма, только одно поле с числом элементов рп.
Доказательство заключается в применении теоремы 1 к част-
частному случаю \F\ —p. ?
2. Подполя и автоморфизмы конечного поля. Как уже от-
отмечалось в [ВА I, гл. 4, § 3], конечное поле с числом элементов q = рп
принято обозначать символом ?q или, в честь Э. Галуа, символом
GF(pn). Установим ряд свойств конечных полей.
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения.
i) Мультипликативная группа F* конечного поля ?q является
циклической группой порядка q — 1.
И) Группа автоморфизмов AutFg конечного поля ?q с числом
элементов q = pn циклическая порядка п, причём
AutFg =(Ф| Ф(?)=^ \fte?q).
iii) Если ?pd — подполе поля ?рп , то d \ п. Обратно: каждо-
каждому делителю d числа п отвечает ровно одно подполе {t Е ?рп
<И(?) = t} = ?pd . Автоморфизмы, оставляющие это подполе по-
поэлементно неподвижным, образуют группу Aut (?pn /?pd) = (<И).
Таким образом, имеется биективное соответствие между подпо-
лями конечного поля ?q и подгруппами его группы автоморфизмов
(соответствие Галуа).
iv) Если q—pn и ?*q — (в), то в — примитивный элемент поля с
минимальным многочленом h(X) степени п u?q — поле разложения
над ?р многочлена h(X).
v) Для любого натурального числа т существует хотя бы один
неприводимый многочлен степени т над ?q.
Доказательство, i) См. теорему 11 из § 3 гл. 2.
И) Будем смотреть на ?q как на конечное расширение ?q D ?р
степени п своего простого подполя ?р = Zp. Так как ?q — поле
разложения многочлена Xя — X, все корни которого различны, то
согласно следствию 2 теоремы 3 из § 1 | Aut Fg | = п. Из соотношений
(х + у)р = хр + ур, (ху)р = хрур, 1Р = 1, отмеченных в ходе дока-
доказательства теоремы 1, видно, что отображение Ф : t н-» tp является
автоморфизмом поля ?q (конечность ?q существенна). Если Ф* : t н-»
|—у tp — единичный автоморфизм, то tp — t = 0 для всех t G Fg,
откуда следует неравенство s ^ п. Но при s = n мы действительно
получаем единичный автоморфизм, так что |(Ф)| = п и (Ф) = AutFg.
iii) Согласно предложению 1 рп = (pd)r', где г — степень расши-
расширения ?рп э ?pd. Поэтому п = dr. Обратно: для любого d \ n введём
подмножество F = {? G ?рП \ tp = ?}. Так как п = dr =^ рп — 1 =
2. Конечные поля 201
= (pd)r - 1 = (pd - l)fc, то
X»"-X = (Xr -X)g(X).
Так как ?рп — поле разложения многочлена Хр —X, то ровно pd эле-
элементов из ?рп будут корнями многочлена Хр — X. Из них как раз и
состоит подмножество F, которое можно теперь отождествить с ?pd .
Этим рассуждением, дуальным теореме 1, устанавливается также
единственность подполя с pd элементами.
Заметим, что по построению
F' — // f: |р _ I <bd(f) — f\
— множество всех элементов, остающихся на месте при действии
(Ф^). Так как группа Aut(Fpn/Fp) = (Ф) циклическая, то непосред-
непосредственно видно, что любой автоморфизм Фг, не принадлежащий (Ф^),
действует на ?pd неединичным образом (достаточно применить Ф1
к образующей группы F*d). Это и означает, что группа относитель-
относительных автоморфизмов Aut(Fpn /?pd) совпадает с (Ф^). Заключительная
фраза в утверждении iii) имеет тот же смысл, что и в примере п. 1.
iv) Совершенно очевидно, что ?q = ?р(в), q = рп. Пусть h(X) =
= Хп + а\Хп~1 + ... + ап — минимальный многочлен примитивного
элемента в. Так как элементы простого подполя ?р неподвижны при
всех автоморфизмах, a ai G Fp, то, стало быть, корнями h(X) явля-
являются в, вр, вр ,..., врп . Все они содержатся в нашем поле и
?р(в,...,врП~1)=?р(в)=?рП
— поле разложения над ?р многочлена h(X).
v) Опираясь на теорему 1, построим расширение К D ?q степе-
степени т. Согласно i) К* — циклическая группа. Если К* = @) и
h(X) — минимальный многочлен примитивного элемента в, то К =
= ?д(в) и deg h(X) = \?д(в) : ?q] = [К : ?q] = т. Минимальный
многочлен по определению неприводим (над Fg), поэтому мы имеем
то, что нужно. ?
После несложных теоретико-числовых приготовлений мы полу-
получим точную формулу для числа неприводимых многочленов степени
т над ?q.
3. Формула обращения Мёбиуса и ее применения. Теоре-
Теоретико-числовая функция /i, определённая правилами
71 = 1,
п = р\ .. .pk. Pi различные простые,
п делится на квадрат > 1,
= { (-1)*,
0,
если
если
если
202 Гл. 5. Начала теории Галуа
называется функцией Мёбиуса. Ясно, что \± — мультипликативная
функция в том смысле, что \i не равна тождественно нулю и /л(тп) =
= /л(т)/л(п) для любых взаимно простых тип. Ясно также, что если
п=р?1 ...#.'"•, то
d\n
где По = Р\ ... рг — свободный от квадратов максимальный делитель
числа п. В свою очередь число делителей d = pix .. .pis числа по с
фиксированным s равно (rs). Таким образом, при п > 1 имеем
(-1У = (l-iy = о
d\n d\n0 s=0
(суммирование в левой части ведётся по всем делителям d ^ 1 целого
числа п). Окончательно получаем формулу
1, если п = 1, ( v
О если ?7/ ^ 1
Полезна также её модификация
v^ {™>\ { 1, если
? Чп) =
1\п\т
0, если б? | ттг, б? < ттг
(суммирование ведётся по п, делящим ттг и делящимся на б?). Положив
т = dt, п = dl и заставив I пробегать делители числа ?, мы легко
перейдём от B) к A), и обратно.
Формулу A) (или B)) можно было бы взять за определение функ-
функции Мёбиуса по индукции. Её ценность для нас заключена в следую-
следующем утверждении.
Пусть fug — две произвольные функции изМ в М (М равно Z,
М, F[X] и т.д.), связанные соотношением
9(d). C)
d\n
Тогда
9(n) = J2^)f(d)- D)
d\n
В самом деле, с учётом B) непосредственное суммирование по п,
делящим т, обеих частей C), умноженных на /i(m/n), даёт
п\т п\т d\n d\m d\n\m
2. Конечные поля 203
Простая замена обозначений приводит к формуле D), называемой
формулой обращения Мебиуса. Аналогичным образом совершается
переход от D) к C). ?
Имеется ещё мультипликативный аналог формулы обращения
Мёбиуса: если f(n) = Y\d\ng{d)^ то
g(n) = l[f(cir^dl E)
d\n
Для доказательства нужно провести те же формальные вык-
выкладки:
(n)"<m/"> = д n^r(m/n) = П П 9(dr(m/n) =
п\т d\n d\m d\n\m
d\m
а затем слегка изменить обозначения.
Приведём три примера на применение формулы обращения
Мёбиуса.
1) Функция Эйлера ср. По определению (р(п) — число взаимно
простых с п чисел ряда 1,2,...,п — 1, или, что равносильно,
ip(n) = |C/(Zn)| — порядок группы обратимых элементов кольца
Zn = Ъ/пЪ. Из упр. 5 § 1 гл. 3 нам известно соотношение
F)
d\n
Непосредственно по формуле D) получаем
d\n d\n d\n
Если п =р™1...р™-, то
у
Таким образом,
— формула, которую мы приводили ещё в [ВА I] и из которой непо-
непосредственно вытекает мультипликативность функции ср.
204 Гл. 5. Начала теории Галуа
2) Круговые многочлены. Поле разложения Гп над Q многочле-
многочлена Хп — 1 называется круговым или циклотомическим. Так как все
корни степени п из 1 образуют циклическую группу порядка п, то
круговое поле имеет вид Гп = Q(?), гДе С — один из примитивных
корней (( Е С). Мы хотели бы найти степень [Гп : Q] и минимальный
многочлен элемента ( над Q.
Обозначим символом Рп множество мощности \Рп\ = (р(п) прими-
примитивных корней степени п из 1. Подгруппы циклической группы по-
порядка п находятся в биективном соответствии с делителями d числа
п, а каждый корень Q попадает в некоторое множество Р&. Поэтому
имеет место разбиение на непересекающиеся классы:
d\n
(перейдя к мощностям множеств, мы снова пришли бы к соотноше-
соотношению F)). Круговым многочленом, отвечающим Гп, называется мно-
многочлен
с
степени tp{n). В соответствии с разбиением G) мы приходим к раз-
разложению
хп -1 = д (х - с) = П{ П (* - о} = П <№)• (8)
i=0 d\n C^Pd d\n
Применяя к (8) мультипликативную формулу обращения Мёбиу-
Мёбиуса E), получаем явное выражение для Фп:
Фп(Х) = ]J(Xd - iy^d). (9)
d\n
При небольших значениях п имеем
Ф1(Х)=Х-1, Ф2(Х)=Х + 1, Ф3(Х) =Х2+Х + 1,
Ф4(Х)=Х2 + 1, Фв(Х) = X2 - X + 1, Ф8(Х)=Х4 + 1,
Ф»(Х) = X6 + X3 + 1, Ф10(Х) =Х4-Х3+Х2-Х + 1,
Ф12(Х)=Х4-Х2 + 1.
Заметим, что
Фп(х)еЩХ], фп@) = 1, п>1. (ю)
Чтобы прийти к A0), можно, минуя (9), действовать по индук-
индукции. Для небольших п это проверено, а далее рассуждаем следующим
образом. Считая
д(Х)= Д Фй(Х)
2. Конечные поля 205
нормализованным многочленом с целочисленными коэффициентами
и применяя алгоритм деления с остатком (см. [ВА I]), мы получаем
однозначно определённые многочлены q,r Е Ъ\Х\ такие, что
Хп - 1 = q(X)g(X) + r(X), deg r(X) < deg g(X).
Но Хп - 1 = Фп(Х)д(Х) в Q[X], и мы видим, что Фп(Х) = <?(Х) G
Е ЩХ], причём нормализованность д(Х) влечёт нормализованность
Фп(Х)._
Ещё в [ВА I] была установлена неприводимость многочлена
Фр(Х) = (Хр - 1)/(Х - 1) = Х^1 + Хр~2 + ... + 1,
где р — произвольное простое число. К вопросу о неприводимости
Фп(Х) при любом п мы вернёмся в следующем параграфе.
3) Неприводимые многочлены над ?q. Пусть Ф^(#) — общее число
неприводимых нормализованных многочленов степени d над ?q, q =
= рп , и пусть /(X) — один из этих многочленов. Его поле разложе-
разложения над ?q изоморфно как факторкольцу ?q[X]/(f(X)), так и полю
разложения многочлена Xя — X (следствие теоремы 1). Существо-
Существование общего корня в у многочленов Xя — X и f(X) влечёт, в силу
неприводимости /(X), делимость Xя — X на f(X). Так как Xя —
— X — делитель многочлена Xqm — X при любом т = rd и так как
Xя — X не имеет кратных корней, то мы приходим к выводу, что
в разложение Xя — X над ?q входят все унитарные неприводимые
многочлены
/d,lj /d,2j •••> fd,4fd(q)(X)
любой степени d \ m, причём ровно по одному разу:
Xя™ -х =
Щ Д fdtk(x)\.
d|m ^ k=i )
Вычисление степеней многочленов, стоящих в обеих частях ра-
равенства A1), приводит нас к соотношению
d\m
из которого прямым применением формулы обращения Мёбиуса D)
получается выражение для Фш(#):
Пусть, например, q = 2. Тогда
Ф2B) = ^B2 - 2) = 1, Ф3B) = ^B3 - 2) = 2,
206 Гл. 5. Начала теории Галуа
Ф4B) = 1B4 - 22) = 3, Ф5B) = JB5 - 2) = б,
Ф6B) = iB6-23-22 + 2) = 9.
о
Формула A2) показывает, что с вероятностью, близкой к 1/ттг, слу-
случайно выбранный нормализованный многочлен степени т над ?q
окажется неприводимым. Однако нет удовлетворительных критери-
критериев неприводимости конкретно взятого многочлена. Что можно ска-
сказать, например, о неприводимости трёхчлена Хт + Хк + 1? Вопросы
такого рода постоянно возникают в алгебраической теории кодиро-
кодирования и при построении псевдослучайных последовательностей.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что при любом d \ n, d < п, имеет место соотношение Хп — 1 =
= (Xd - l)<$>n(X)hd(X), где hd е Z[X].
2. Пусть q — целое положительное число > 1. Согласно A0) Фп(я) Е %•
Показать, что Фп(я) | (я — 1) => п = 1.
3. Проверить, что круговой многочлен
Ф15рО = X8 - X7 + X5 - X4 + X3 - X + 1,
рассматриваемый над полем F2 , является произведением двух неприводимых мно-
многочленов X4 + X3 + 1 и X4 + X + 1. Используя это обстоятельство, доказать
неприводимость Ф]_5(Х) над Q (ср. с упр. 11 из [ВА I, гл. 6, § 1]).
4. Проверить следующие свойства круговых многочленов.
Если р — простое число и р | п, то Фрп(Х) = Фп(Хр); если же р \ п, то
ФРп(Х) = Фгг(Х^)/Фгг(Х).
5. Исходя из цепочки естественных включений
GF(p) С GF(p21) С GF(p31) С ...,
ввести так называемое предельное поле Пр = GF(p°°'), полагая
qGDp <^=> {a G GF(pnl) при достаточно большом п).
Опираясь на основные свойства конечных полей, доказать, что О,р — алгебраи-
алгебраически замкнутое поле. Таким образом получаются, с учётом поля комплексных
чисел С, примеры алгебраически замкнутых полей любой характеристики.
6. Пусть q = рп. Показать, что при р = 2 все элементы поля ?д являются
квадратами, а при р > 2 квадраты группы W* образуют в ней подгруппу W* 2
индекса 2, причём F* 2 = Ker(? ^ t^)/2).
7 (М. Aschbacher). Пусть ?д — конечное поле с нечётным числом q = рп
элементов. Если q не равно 3 или 5, то "на окружности" х2 + у2 = 1 найдётся
точка с координатами х,у Е F* . Доказать это утверждение при р > 5.
8. Всякий ли примитивный элемент поля ?q является образующей мульти-
мультипликативной группы F* ?
9. Пусть A(q) = Ass^Xi,..., Xq) — свободная ассоциативная алгебра над
полем F, порождённая q свободными образующими — некоммутирующими пе-
переменными Х\ , . . . , Xq . ПОЛОЖИВ
Am(q) = (ХпХг2 ...Хгт | l^ij ^ q)F, dim Am(q) = q™,
§ 3. Соответствие Галуа 207
мы замечаем, что A(q) — градуированная алгебра:
A(q) = F-l® Ai(g) 0 A2(q) 0 A3(q) 0 ...
В A(q) содержится свободная алгебра Ли L(q) = Lie(Xi,..., Xq) с теми же
свободными образующими и операцией коммутирования [UV] = UV — VU. Ал-
Алгебра L(q) также градуирована:
L(q) = Li(g) 0 L2(q) 0 L3(q) 0 . ..,
где
Используя тождество Якоби, убедиться в том, что
Ls(q) = {[[Xi,Xj],Xk]), i<j,k<^j; dim L3(q) = ±(q3 - q).
На самом деле справедлива общая формула Витта
dim Lm(q) = Фт(д) = 1-^2
d\m
в точности совпадающая с формулой A2). Существенная разница лишь в том,
что в A2') q — произвольное натуральное число, а в A2) — степень простого
числа.
Число ожерелий из задачи 2 в преамбуле к гл. 3 выражается такой же фор-
формулой.
§ 3. Соответствие Галуа
1. Предварительные результаты. Пусть F D Р — поле раз-
разложения некоторого неприводимого над Р многочлена /(X),
Aut F/P — множество всех автоморфизмов Т] поля F таких, что
r)(a) = a Va G Р. Как мы знаем из §1, |AutF/P| ^ [F : Р], причём
\ Aut F/P\ = [F : Р], если все корни многочлена / различны.
Определение. Группу Aut F/P принято называть группой
Галуа расширения F/P и обозначать Gal F/P. Этот термин уже был
использован в ряде мест, включая § 1.
В дальнейшем поле Р будет предполагаться совершенным, так
что
|GalF/P| = [F:P].
Пусть Н С Gal F/P — любая подгруппа группы Галуа. Положим
FH = {a e F | if {a) = a Vip e H}.
Таким образом, FH — подполе в F всех элементов, остающихся не-
неподвижными при действии Н. Имеем два отображения:
1) Н \-> К = FH — из множества подгрупп Н С GalF/P во
множество подполей F D К D Р;
2) К \-> Н = Gal F/К — из множества промежуточных подполей
F Э К э Р во множество подгрупп Н С GalF/P.
208 Гл. 5. Начала теории Галуа
Очевидные свойства:
i)G = GalF/P DGiDG2^ FGl C FGs;
ii) F D Pi D P2 5 P ^ GalF/Pi С GalF/P2;
iii) FGalF/pDP;
iv) GalF/FH D H для любой подгруппы Н С G.
Будем временно понимать под К D Р произвольное расширение
поля Р (не обязательно поле разложения).
Лемма (Э. Артин). Пусть G — конечная группа автоморфиз-
автоморфизмов поля К и Р = KG. Тогда
Доказательство. Положим п = \G\. Нам нужно показать, что
любые т > п элементов из К линейно зависимы над Р. Пусть
G = {ipi= e,<p2j... ,<Pn}, иъи2,...,ит е К, т> п.
Однородная система из п линейных уравнений от т неизвестных
j)xj =0, 1
имеет нетривиальное решение (ai,..., ат) ф @,..., 0). Среди всех
решений выбираем такое (bi,...,bm), у которого число ненулевых
компонент наименьшее. Без ограничения общности считаем Ь\ ф 0 и
даже Ь\ = 1. Достаточно показать, что bj Е KG Vj, поскольку первое
соотношение, отвечающее ц>\ — е, будет иметь вид ^2Т=1 Ujbj = 0.
Предположим, что bj ? Р для некоторого j. После возможного
переобозначения считаем bj = b2. Применим ip^ к системе уравнений,
выбрав к таким, чтобы (pk(b2) Ф Ъ2. Получим
^2(ipkipi)(uj)ipk(bj) =0, 1 ^ г ^ п,
з
или, что то же самое,
=0, 1
поскольку (pkPi, i = l,...,n, при фиксированном к пробегают все
элементы группы G. Следовательно, A, ^Рк(Ь2),..., ^Рк{Ьт)) — тоже
решение системы. Вычитая его из A, Ь2,..., Ьш), получим решение
@,Ь2 -
которое также нетривиально, поскольку Ь2 — (pk(b2) ф 0 ввиду вы-
выбора ipk. Однако число ненулевых компонент у него меньше, чем у
(Ьъ Ь2,..., Ьт), вопреки выбору последнего. ?
§ 3. Соответствие Галуа 209
Определение. Расширение F/P называется нормальным ал-
алгебраическим, если каждый неприводимый многочлен / Е Р[Х], име-
имеющий хотя бы один корень в F, является произведением линейных
множителей в i^-X"]. Другими словами, F содержит поле разложения
минимального многочлена fa каждого элемента a Е F.
По определению свойство "нормальность плюс сепарабельность"
эквивалентно тому, что каждый неприводимый многочлен из Р[Х],
имеющий корень в F, является произведением различных линейных
множителей в i^f-X"]. Нормальное и сепарабельное алгебраическое рас-
расширение F D Р называется также расширением Галуа. Если F — по-
поле разложения многочлена / Е Р[Х], то GslF/P называется также
группой Галуа многочлена f(X) над Р (или уравнения f(X) = 0) и
обозначается Gal(/).
Теорема 1. Следующие условия на расширение F/P эквива-
эквивалентны:
1) F — поле разложения некоторого сепарабелъного многочлена
f(X) над Р-
2) Р = FG для некоторой конечной группы G С Aut F;
3) F — конечномерное нормальное и сепарабельное расширение
над Р.
Справедливы также следующие дополнения к утверждени-
утверждениям 1) и 2):
Д1) если F и Р такие же, как в 1), и G = GalF/P, то Р — FG;
Д2) если F и Р такие же, как в 2), то G = GdlF/P.
Доказательство. 1) => 2). Положим в 1) G = GdlF/P и
pi _ jpG Тогда Р' — подполе в F, содержащее Р. Ясно также, что
F — поле разложения над Р' многочлена f(X), причём G = GalF/P'.
В силу сепарабельности / имеем \G\ = [F : Р'] так же, как \G\ =
= [F : Р]. Но F D P' D P =^ [F : Р] = [F : Р'][Р' : Р] =^ [Р1 : Р] =
= 1 =^ Р' = Р, а это и есть 2). Мы доказали также, что Р = FG
для G = Gal F/P, т.е. Д1).
2) ^=> 3). По лемме Артина
Р = FG =Ф [F : Р] ^ \G\
и, таким образом, F конечномерно над Р. Пусть / — неприводимый
многочлен в Р[-Х"], имеющий корень г G F. Будем считать, что
{п = r,r2,...,rm} = {(^(г)| if е G}
— G-орбита с представителем г. Если ф G G, то {^(ri),..., ^(rm)} —
перестановка корней Т\,... ,rm. Разумеется, /(г) = 0 =^ /(п) = 0.
Значит, f(X) делится на X — г\, а поскольку г«, 1 ^ г ^ ттг, различны,
/(X) делится на д(Х) = ПТ=ЛХ ~ п)-
Применим к д(Х) автоморфизм кольца i^f-Х"], для которого X \—>
14 А.И. Кострикин
210 Гл. 5. Начала теории Галуа
41иаи 'Ф(а), а е F. Тогда
т т
Ф ' 9(Х) = Ц(Х - ф(п)) = Ц(Х - п) = д(Х),
и мы видим, что коэффициенты многочлена д(Х) являются G-инва-
риантными. Следовательно, д(Х) Е i5^], поскольку FG = Р. Но /
предполагался неприводимым над Р. Значит,
т
— произведение различных линейных множителей в i^[X], т.е. рас-
расширение F сепарабельно и нормально над Р, как и утверждает 3).
3) => 1). Так как [F : Р] < оо, то F = Р(г\,... ,г^), где г« алгеб-
раичны над Р. Пусть fi(X) — минимальный многочлен для Т{ над Р.
По условию fi(X) — произведение различных линейных множителей
в i^[X]. Отсюда следует, что f(X) = Y\fi(X) сепарабелен, a F —
поле разложения над Р для f(X). Следовательно, мы пришли к 1).
Остаётся доказать Д2). Мы видели, что в условиях 2) по лемме
Артина [F : Р] ^ |G|, а поскольку по только что доказанному усло-
условие 3) имеет место, |GalF/P| = [F : Р]. Так как FG = Р => G С
С GalF/P и \G\ ^[F : Р] = |GalF/P|, то G = GalF/P. D
2. Фундаментальное соответствие Галуа. Теперь мы гото-
готовы доказать центральное утверждение.
Теорема 2. Пусть F — расширение поля Р, удовлетворяющее
любому из условий теоремы 1. Пусть G = GalF/P — группа Галуа,
Г = {Н} — множество подгрупп в G и Е — множество промежу-
промежуточных полей между F и Р. Тогда отображения
\ К ^->-GalF/K
являются биекциями Г на X и Е на Г. Кроме того, это соответ-
соответствие Галуа обладает следующими свойствами:
) ;
ii) \H\ = [F : FH], (G:H) = [FH : P];
iii) H <\ G <^=> FH нормально над Р. В последнем случае
Gal(FH/P) ^
Доказательство. Итак, пусть G = GalF/P, H G Г. Так как
Р = FG, то Р С F^ и if = FH — подполе в F, содержащее Р.
Это даёт отображение Г н-» Е. Применяя теорему 1, Д2) с i? вместо
G, мы видим, что GdlF/FH = ii", откуда вытекает первая часть
утверждения И): \Н\ = |GalF/F^| = [F : FH].
Пусть теперь К — любое подполе между F и Р. Положим Н =
= GalF/K. Тогда Н С G = GalF/P, так что Н — подгруппа в G.
§ 3. Соответствие Галуа 211
Ясно также, что F — поле разложения над К некоторого сепара-
бельного многочлена, поскольку оно является таковым над Р. Стало
быть, теорема 1, Д1), применённая к паре F и if, показывает, что
К = FH. Мы убедились, что выделенные скобкой { в формулировке
теоремы отображения биективны.
В начале параграфа отмечалось в качестве очевидного свойства,
что если #1 э Я2, то FHl С FH<2. Обратно: если FHl С FH<2, то
Щ = GalF/FHl D GalF/F^2 = Я2. Это даёт i).
Первая часть свойства i) отмечалась ранее. Так как
\G\ = [F :P] = [F : FH][FH : P] = \H\[FH : P]
и \G\ = |Я|[G : Я], то, очевидно, [FH : P] = [G : Я], а это доказывает
вторую часть свойства i).
Установим, наконец, справедливость свойства И). Если Я Е Г и
if = FH — соответствующее подполе, то подполе if', отве-
отвечающее сопряжённой подгруппе фНф~1, есть ф(К) (для нагляднос-
наглядности сопрягающие элементы из G обозначены греческими буквами).
Это видно сразу, поскольку условие ip(x) — х \/х G К эквивалентно
(гфсргф~1)'ф(х) = ф(х), т.е. ф(х) G К'. Отсюда следует, что
Предположим, что ф(К) = К для каждого элемента ф G G. В
таком случае ограничение ф = ф \к является автоморфизмом поля
К над Р, и мы пришли к гомоморфизму ограничения ф \—у ф группы
G = GalF/P в Gal К/Р. Образ G является группой автоморфизмов
в К и, очевидно, FG = Р. Стало быть, G = Gal К/Р.
Ядром гомоморфизма ф \-у ф служит множество таких ф G G, что
Ф\к— 1к- Соответствие Галуа даёт, что этим множеством является
GalF/K = Я. Следовательно, G = GalK/P ^ G/Я.
Так как Р = FG, то по теореме 1, 3) К нормально над Р. Обрат-
Обратно, предположив, что поле К нормально над Р, рассмотрим мини-
минимальный многочлен fa над Р любого элемента a G К. Тогда f(X) =
= (X - а\)(Х — а2)... (X - ат) в If [X], где а\ — а. Если ip G G,
то f(ip(a)) = 0, откуда ср(а) = ai для некоторого г. Таким образом,
(^(а) G if и <p(if) С if. Как и ранее, это означает, что крИкр~х С Я для
каждой подгруппы Я, отвечающей if в соответствии Галуа. Значит,
Я <\ G. Это завершает доказательство iii). ?
3. Иллюстрации к соответствию Галуа. Поле Q(v/2,v/3), a
также конечные поля ?q, рассмотренные в первых двух параграфах,
служили прелюдией к теории Галуа. Расширим иллюстративный ма-
материал.
А) Круговое поле Гп. Рассмотрим нормальное расширение Гп =
= Q(C)? Cn = 1? связанное с круговым многочленом Фп(Х) (см. § 2)
14*
212 Гл. 5. Начала теории Галуа
степени (р(п), корнями которого являются все примитивные корни
из 1 степени п и только они. Убедимся прежде всего в том, что спра-
справедлива
Теорема 3. Круговой многочлен Фп(Х) неприводим над Q и,
таким образом, [Гп : Q] = (р(п).
Доказательство. Как нам известно, Фп Е Ъ\Х\. Неприводи-
Неприводимость в Q{X] по лемме Гаусса эквивалентна неприводимости в Ъ\Х\.
Предположим, что
Фп(Х) = g(X)h(X),
где g,h Е Ъ\Х\, причём многочлен h(X) степени ^ 1 неприводим в
Ъ\Х\ (и в Q[X]). Пусть р — простое число, не делящее п, и h(X) = 0.
Так как НОД(р, п) = 1, то Хр — примитивный корень степени п из 1.
Если h{\p) ф 0, то д{Хр) = 0. Стало быть, Л — корень многочленов
д(Хр) и h(X). Ввиду неприводимости h имеем h(X) \g(Xp), т.е.
У нас
Хп - 1 = Фп(Х)с1(Х) = d(X)g(X)h(X).
Перейдём к сравнениям по (mod p), т.е. будем действовать в ЪР[Х\.
Xn-T = d(X)g(X)h(X) (*)
(f(X) = а0Хт + axXm-x + ... е Z[X] =>
=> /(X) = а0Хт + ахХш-х + ... е ?р[X].)
Аналогично, д(Хр) = h(X)l(X). Но
J(X)P = а0Хрт + aiX^™-1) + ... = J(Xp)
для любого / е Ъ[Х]. Таким образом, д(Х)р = д(Хр) = h(X)l(X),
откуда, конечно, следует, что НОД(^, К) ф 1.
В соответствии с (*) приходим к заключению, что Хп — 1 имеет
кратные корни в своём поле разложения над Ър. Но это не так, по-
поскольку (Хп -Т)' = ИХ71'1 кпфО, так что НОД(ХП -Т, (Хп -Т)') =
= 1. Полученное противоречие показывает, что h(X) =0 =^ h(Xp) =
= 0 для каждого простого числа р \ п. Повторение этого рассуж-
рассуждения показывает, что Лг — корень многочлена h(X) для любого
натурального г, взаимно простого с п. Но каждый примитивный ко-
корень степени п из 1 имеет вид Лг, НОД(г, п) = 1. Стало быть, h(X)
делится на X — Л;, где Л; — любой примитивный корень степени п.
В таком случае h(X) = Фп(Х), т.е. Фп неприводим. П
Пусть G = GalFn/Q. Тогда a G G =^ а(() = (т для некоторого
целого т = т(а), причём НОД(ш(сг),п) = 1 и (сг(())п = 1. Далее,
§ 3. Соответствие Галуа 213
т.е. fh(ar) = т(сг)т(т), и, таким образом, т : G —У U(Zn) — гомо-
гомоморфизм группы Галуа поля Гп в мультипликативную группу U{Zn)
целых чисел по modn, взаимно простых с п. Этот гомоморфизм инъ-
ективен, поскольку показатель fh(a) однозначно определён по modn
автоморфизмом а, а действие а на Q(C) определено действием на (.
Так как по теореме 3 [Гп : Q] = (р(п) = \U(Zn)\, то G =¦ U(Zn).
Нами доказана
Теорема 4. Круговое поле Гп обладает абелевой группой Галуа,
изоморфной U(Zn).
Если заменить Q на какое-то поле Р, то, вообще говоря, имеет-
имеется лишь вложение G ^-У U(Zn), но не изоморфизм. Строение группы
U{Zn) было исследовано в гл. 4. Заметим дополнительно, что под-
подгруппы в G нормальны. Каждое подполе в Гп также нормально.
Пример 1. Круговое поле Г17 = Q(C)> С17 = 1? с циклической группой Галуа
G = GalFi7/Q = (Ф | Ф16 = 1), порождённой отображением Ф : ? ь-»¦ ?3, имеет
прямое отношение к конструктивным числовым полям [ВА I, гл. 5, § 1]. Выделим
следующий ряд подгрупп:
G = d = (Ф) Э G2 = (Ф2> DGS = (Ф4> DG4 = (Ф8> D G5 = 1.
По теореме 2 соответствие Галуа приводит к возрастающей цепочке подполей:
Q = Fx С F2 С F3 С F4 С F5 = F = Q(C),
где Fi = FGi. По определению Ф(С) = С3, Ф'(С) = С3' • Положим z\ = J2*=i Ф2ЧО-
Тогда Ф2(>1) = zi, Ф(гг) ф zi, т.е. z\ G F2, z\ ? F\. Так как [G : G2] = 2, то
[F2 :F1] = 2nF2 = Fi(^i). Аналогично, z2 = ^t=i ф4ЧС), *2> = E?=i ф8*@ =
= C~1+C, F3 = F2(z2), F4 = F3(zs).
Если найти минимальные многочлены комплексных чисел zi,z2,zs соответ-
соответственно над Fi,F2,Fs и выразить эти числа через корни квадратных уравнений,
то станет ясно, что они являются конструктивными. А в таком случае конструк-
конструктивно и число ?, дающее возможность построить правильный 17-угольник при
помощи циркуля и линейки.
Сделаем ещё несколько замечаний о конструктивных числовых
полях. Если исходить из заданного поля
P = Q(z1,z1,...,zm,Jm),
где z\,..., zm G С, то Р-конструктивность комплексного числа z
означает, что
z G F = Р(ии..., ur), u\ G Р(ии..., щ_г), l^i^r. A)
Башня A) квадратичных расширений над Р имеет, очевидно, сте-
степень [F : Р] = 2s, s ^ г. Таким образом, комплексное число Л, обла-
обладающее свойством делимости [Q(A) : Q] на нечётное простое число,
не может быть конструктивным.
Б) Правильные п-уголъники. При простом п = р построение пра-
правильного р-угольника равносильно построению комплексного числа
С = cos 2тг/р + i sin 2тг/р, Cp-1 + Ср~2 + ... + 1 = 0, [Q(() : Q] =
= р — 1. Необходимое условие, следовательно, сводится к равенству
214 Гл. 5. Начала теории Галуа
р — 1 = 2s для некоторого натурального числа s. Как отмечалось
в [ВА I, гл. 1], таких простых чисел Ферма известно пока всего 5:
3, 5, 17, 257, 65537.
Из выражения для [Гп : Q] = (р(п), приведённого в § 2, видно, что
ср{п) = 2s в том и только том случае, когда все нечётные простые де-
делители числа п являются простыми числами Ферма и их кратность в
разложении равна 1. Это и есть необходимое условие для построения
правильного n-угольника при помощи циркуля и линейки. Условие
является также достаточным, но мы на этом не останавливаемся.
В) Трисекция угла. Каждый ли угол можно разделить при помощи
циркуля и линейки на три равные части? Утверждается, что этого
нельзя сделать даже для угла в 60°, т.е. точка z = (cos 20°, sin 20°) не
может быть построена, исходя из точек z\ = 0, z^ = 1, ?3 = cos 60° +
+ г sin 60° = 1/2 + гл/3/2. Другими словами, надо убедиться в том,
что присоединение cos 20° к полю Q(v/~3) = QB:1, 2:2, 2:3,^1,^2,^3) (а
это — расширение степени 2 над Q) даст расширение степени ф 2s
над Q.
Действительно, положив и = cos 20°, перепишем тригонометри-
тригонометрическое тождество cos 3tp = 4 cos3 ip — 3 cos ip при ip = 20° в виде 4u3 —
— 3u — 1/2 = 0, или, что то же самое, в виде BиK — 3Bи) — 1. Но
многочлен X3 — ЗХ — 1 неприводим над Q, поэтому [Q(u) : Q] = 3, а
это доказывает требуемое утверждение.
Г) Удвоение куба. Речь идёт о построении стороны куба, имею-
имеющего объём 2, т.е. о конструктивности числа у2. Отрицательный
ответ напрашивается сразу, поскольку многочлен X3 — 2 неприводим
над Q и, стало быть, [Q(\K2) : Q] = 3.
В Б)-Г) речь шла, скорее, не о группах Галуа, а о степенях рас-
расширений. Приведём пару примеров, где группу Галуа найти сравни-
сравнительно несложно.
Пример 2. Пусть Р — несовершенное поле характеристики р > 0, а Е
Е Р \ Рр'. Тогда, как мы знаем, Хр — а — неприводимый многочлен над Р. Если
F = Р(и), ир = а, то [F : Р] = р. Кроме того, Хр - а = (X - и)р , т.е. F — поле
разложения над Р несепарабельного многочлена Хр — а. Для а Е Gal F/P имеем
(а(и))р = а, так что а(и) = и. Это значит, что а = 1 и GalF/P — единичная
группа.
Пример 3. Пусть F = P(t), где t — трансцендентный элемент над Р. Можно
показать, что
F = Р(и) ^^ ^±^
и = a,b,c,deP; adbc^O.
ct + d
Отображение a : > ! ь-»¦ ) \ является элементом группы Галуа G = Gal F/P в
самом общем виде, поэтому G = PGLB,P).
§ 4- Вычисление группы Галуа 215
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Р — поле характеристики 0, р — простое число, ? — примитивный
корень степени р из 1. Показать, что многочлен Хр — а Е ^[-^L не имеющий
корней в поле Р, неприводим над Р(С).
2. Найти группы Галуа многочленов: а) X3 — Y1X + 8; б) X3 — 2Х — 2;
в) Xs + X + 1; г) X4 + 4Х2 + 2; д) X4 + ЗХ3 - ЗХ + 3.
§ 4. Вычисление группы Галуа
1. Действие группы Gal(/) на корнях многочлена /. Груп-
Группа Галуа может быть отождествлена с группой перестановок кор-
корней. Пусть / Е Р[Х] — многочлен степени ^ 1 с различными кор-
корнями #1,..., вп в поле разложения F = Р(9\,..., вп). Первоначально
Э.Галуа рассматривал исключительно группу Gal(/) многочлена /
(или уравнения f(X) = 0): каждый автоморфизм интерпретировался
как элемент симметрической группы Sn. Лишь гораздо позднее тво-
творец теории идеалов Р. Дедекинд заметил, что Gal(/) отождествляет-
отождествляется с группой Галуа Gal F/P. В настоящее время имеются готовые
пакеты программ (типа Maple-V) для вычисления на ЭВМ группы
Галуа неприводимых многочленов / G Ъ[Х] небольших степеней.
Вообще говоря, Gal(/) — собственная подгруппа в Sn. Обсудим
сначала следующий вопрос: какое подполе в F D Р отвечает под-
подгруппе Gal(/) С Ап, где Ап — знакопеременная группа?
Теорема 1. Пусть Р — поле характеристики ф 2, / — норма-
нормализованный многочлен положительной степени в Р[Х] с различны-
различными корнями 0i в поле разложения F D Р. Пусть
г<3
Тогда подполем в F, отвечающим Gal(/)nAn, является Р(А(/)).
Доказательство. Пусть тг G Sn. Посмотрим сначала на коль-
кольцо P[Xi,... ,Хп]. Его автоморфизм Ф^ : Xi \-> Хп^, оставляющий
каждый элемент из Р на месте, продолжается до автоморфизма, обо-
обозначаемого также Фтт, поля отношений P(Xi,... ,Хп). Понятно, что
группа G всех таких автоморфизмов изоморфна Sn. Используя со-
соответствие Галуа, нетрудно заметить, что FG = P(si,..., sn), где
s& — элементарная симметрическая функция от Xi,..., Хп. Кстати,
Gal Р(Хг,..., Xn)/P(Sl,..., sn) 3 Sn.
Положим An = Yii< \Xi — Xj). Известно и легко проверяется, что
Ф7Г(АП) = еп Ап. Если ф : Xi \-> 6i — гомоморфизм P[Xi,... ,Хп] в
F, то ф(Фп(Ап)) = тг(Д(/)) = ±А(/), где теперь тг G Gal(/) П Sn.
Следовательно, подгруппа в Gal(/) = Gal F/P, оставляющая на
месте элементы подполя Р(А(/)) С F, есть подгруппа чётных пере-
216 Гл. 5. Начала теории Галуа
становок. В силу соответствия Галуа подполем в F/P, отвечающим
Gal(/) П Ап, будет Р(А(/)) = FGal^nA-. П
Из доказательства видно, что тг(А(/)) = ±Д(/) для любой пе-
перестановки тг Е Gal(/). Поэтому дискриминант D(f) = A(/) много-
многочлена / при действии тг остаётся неподвижным и, стало быть, D(f) Е
Е Р. Согласно теореме 1 включение Gal(/) С Ап имеет место в точ-
точности тогда, когда Р(А(/)) = Р, т.е. А(/) е Р. Итак, справедливо
Следствие. Пусть / Е -Pf-X"] — нормализованный многочлен
степени п ^ 1, D(f) = Yli<j(Oi — OjJ — его дискриминант. Тогда
Gal(/) С Ап «<=>* D(f) — квадрат элемента из Р.
Теорема 2 (критерий неприводимости). Пусть корни 6i, г =
= 1,...,п, многочлена / Е -Pf-X"] все различны. Тогда неприво-
неприводимость f над Р эквивалентна транзитивности Gal(/) на {#i,...
...,9п}.
Доказательство. По поводу определения транзитивности см.
гл. 1. Предположим, что / неприводим. Из теоремы 3 в § 1 вытека-
вытекает существование изоморфизма PFi)/P —у P@j)/P, каковы бы ни
были индексы г ф j. Так как F = P(#i,... ,вп) — поле разложения
над P@i) и над P@j) многочлена f(X) = П^(^ ~@k), то по построе-
построению поля разложения этот изоморфизм может быть продолжен до
автоморфизма а расширения F D Р. Значит, a G GalF/P = Gal(/)
и a{0i) = 6j, т.е. Gal(/) транзитивна.
Обратно: предположим, что Gal(/) транзитивна на корнях. Пусть
f(X) = g(X)h(X) — разложение с неприводимым множителем д(Х)
положительной степени. Если д(вг) = 0 для какого-то г, a Oj — любой
другой корень многочлена / и a{0i) = Oj для некоторого а G Gal(/),
то д(вг) = 0 =^ 0 = a(gFi)) = g(Oj). Это показывает, что каждый
корень многочлена / является корнем его множителя д и, следова-
следовательно, f — д неприводим. ?
Пример 1. Как показано в [ВА I, гл. 5, § 2], дискриминантом неполно-
неполного кубического уравнения /(ж) = ж3 + ах + Ь = 0 служит выражение D(f) =
= —4а3 — 2763. Пусть / не имеет корней в основном поле Q, т.е. / неприводим
и сепарабелен. Таковыми являются многочлены fi(X) = Xs — X — 1 и $2{Х) =
= X3 - ЗХ + 1 с дискриминантами D(fi) = -23, D(f2) = 81 = 92. Из теорем 1, 2
следует, что Gal(/i) ^ 53, a Gal(/2) = А3.
Пример 2. Многочлен f(X) = ж3 — 2, неприводимый над Q, имеет вещест-
вещественный корень а = \/2. Его полем разложения, однако, будет
F = Q(a,e) = (I, a, a2,e,ea,ea2)Q = Q(i
Здесь
?2+? + 1 = 0, в = а + е, я@) = 0, д(Х) = X6 + ЗХ5 + 6Х4 + ЗХ3 + 9Х + 9.
Строение группы Галуа довольно очевидно:
G = GalF/Q=(<7,r| а3 = е = т2, тат = а2) =¦ 53,
(. Вычисление группы Галуа 217
где
а(е) = е, а(а) = sa, а(еа) = е2а; т(а) = а, т(е) = е2.
Под каждой подгруппой Н С G выпишем отвечающее ей в силу соответствия
Галуа неподвижное подполе:
G
Q
<^>
(г)
Q(a)
(ат)
Q(s'za)
Q(sa)
W
F
так что (<7>
= GalF/Q(?:a). Так как (а) < С, то Q0) нормально над Q и GalQ(»/Q =
^ G/(G> ^ Z2.
2. Многочлены и группы простои степени. В общем вычис-
вычисление группы Галуа конкретного многочлена / G Р[Х] — довольно
трудная задача даже при Р = Q. Она привлекала внимание
крупных математиков. Отметим два результата И. Шура A931 г.):
f(X) = V Xm! => Gal(/) = ( >' еСЛИ " J ° (m°f^;
J v у ^^ 7 w y 1 5nj если n ^ 0 (mod 4).
Пусть Hn(X) — n-й многочлен Эрмита (см. [ВА II]). Положим
Н2п(Х) = К{п\х2), Н2п+1(Х) = ХК{п\х2). Тогда при п > 12 име-
имеет место изоморфизм Gal (Xn (X)) = 5n, j = 0,1. Основным полем
является Q.
Симметрические группы в дальнейшем будут возникать неодно-
неоднократно, поэтому приведём относящиеся к ним два простых утверж-
утверждения, развивающие упр. 10 из [ВА I, гл. 4, § 3].
Предложение 1. Транзитивная группа перестановок степе-
степени п, содержащая один двойной цикл и один цикл длины п — 1, яв-
является симметрической.
Доказательство. Пусть A2 .. .п — 1) — данный (п — 1)-цикл.
Транспозицию (ij) в силу транзитивности группы можно перевести
в (fen), где к — один из символов от 1 до п — 1. Сопряжение (кп)
при помощи цикла A2...П — 1) и его степеней даёт транспозиции
(In), Bn),..., (п — 1, п), а они порождают Sn. ?
Предложение 2. Пусть р — простое число. Если G С Sp,
причём G содержит элемент порядка р и какую-то транспозицию,
то G = Sp.
Доказательство. По условию G содержит р-цикл а — (iii2 ...
... ip), где {ii,Z2,... jip} = {1, 2,... ,р}. При надлежащем упорядоче-
упорядочении считаем, что A2) G G. Так как as = A2...) при некотором s, то
считаем с самого начала а = A2 .. .р), A2) G G. Тогда G содержит
а-1 = B3), аB3)а-1 = C4), ...,а(р-2,р- I)* = (р - 1,р).
..,(р-1,р)) = 5р. П
218 Гл. 5. Начала теории Галуа
Теорема 3. Пусть / — неприводимый многочлен простой сте-
степени р над Q. Предположим, что f имеет в точности два неве-
невещественных корня в С. Тогда Gal(/) = Sp.
Доказательство. Положим
f[-9i), F = Q@1,...,9P)CC.
i=l
Так как
:Q] = deg/=p,
то степень |Gal(/)| = [F : Q] делится на р. По теореме Силова (см.
гл. 2, § 2) Gal(/) содержит элемент порядка р. Автоморфизм сопря-
сопряжения z |—У ~z поля С, продолженный на С[Х], переводит / в себя.
Следовательно, он переставляет корни в г многочлена /.
Пусть ^i,^2 — невещественные корни. Тогда по условию теоре-
теоремы #2 = 0\ и вг = вг при г > 2. Приходим к выводу, что ограничение
автоморфизма сопряжения на F является элементом в Gal(/), а имен-
именно транспозицией. Стало быть, Gal(/) содержит элемент порядка р
и транспозицию. Остаётся применить предложение 2. ?
Теорема 4 (Р. Брауер). Для любого простого числа р можно
построить сколь угодно много неприводимых многочленов степени
р с группой Галуа Sp.
Доказательство. Пусть т; п\,..., п&_2 — целые чётные чис-
числа, т положительно, п\ < п^ < ... < fik-2 и к > 3 нечётно. Рассмот-
Рассмотрим многочлен
д(Х) = (X2 + т)(Х - П1)(Х -п2)...(Х- nft_2)
с вещественными корнями ni, П2,..., п^_2.
График у = д(х) имеет (к — 3)/2 относительных максимумов,
а так как \g(h)\ > 2 для любого нечётного целого /i, то ясно, что
значения этих относительных максимумов будут > 2. Это означа-
означает, что график у = f(x) = д(х) — 2 имеет (к — 3)/2 положительных
относительных максимумов между п\ и rik-2- Следовательно, f(X)
имеет к — 3 вещественных корней на интервале (ni,n^_2). Так как
/(п^_2) = -2 и f(N) > М при любом М > 0 для достаточно боль-
большого натурального JV, то существует также вещественный корень
> rik-2- Получаем к — 2 вещественных корня многочлена f(X). Если
к
f(X) = Д(Х - 0i) = (X2 + т)(Х - щ)... (X - nfc_2) - 2,
то, сравнивая коэффициенты, будем иметь
к к-2
г=1 1=1 г<э Kq
§ 4- Вычисление группы Галуа 219
Следовательно,
Если выбрать т достаточно большим, то ^2i Q\ < О, что означает
существование невещественных корней. В случае в\ ^ Ж будет в\ ф
Ф 6\, и мы имеем по крайней мере два невещественных корня, а по
построению этих корней должно быть ровно 2. Заметим теперь, что
f(X) =Xk+ сцХ1*-1 + ... + аЛ, cue 2Z.
Так как постоянный член у д(Х) делится на 4, то у f(X) он делится
на 2, но не делится на 4. Из критерия Эйзенштейна, применённого
к / с простым числом 2, следует, что / неприводим над Q. Таким
образом, условия теоремы 2 удовлетворяются для каждого простого
р = k ^ 5. При р = 2 и р = 3 см. примеры. ?
3. Метод приведения по модулю р. Важным вспомогатель-
вспомогательным средством для вычисления Gal(/), / Е Ъ\Х\, служит приведение
(редукция) по mod р, где р будет пробегать различные простые чис-
числа. Редукция коэффициентов многочлена / приводит к каноническо-
каноническому гомоморфизму Ъ[Х] —У ZP[X] . Пишем fp(X) для образа много-
многочлена f(X) при этом гомоморфизме. Так как дискриминант D(f) —
полиномиальная функция (от коэффициентов /) с коэффициентами
из Z, то D(f) e Z и ?>(/„) = ?>(/)Р. Если D(fp) ф 0, то ?>(/) # 0 и
оба многочлена /, /р (одинаковой степени) имеют различные корни.
В этом случае справедлива
Теорема 5 (Р. Дедекинд). Пусть f G Ъ\Х\ — нормализован-
нормализованный многочлен степени п, р — простое число, D(fp) ф 0. Пусть
fp(X) разлагается в произведение неприводимых над Zp множите-
множителей степеней ni, п2, ..., nr (J^ щ = п).
Тогда группа Галуа Gal(/) содержит перестановку на мно-
множестве корней многочлена f с цикловой структурой
A,2,... ,ni)(ni + 1,... ,ni + n2)(ni + п2 + 1,... ,ni + п2 + пз)...
при надлежащем упорядочении корней.
Доказательству этой важной теоремы будут предшествовать не-
несколько вспомогательных утверждений. Начнём с классического ре-
результата о линейной независимости характеров. Пусть Н — моноид,
К — поле. Под характером % из Н в К (или под К-характером
моноида Н) понимается гомоморфизм Н —> К* (хA) = 1, х(а^) —
= х{а)х{Ъ))-
Лемма 1 (лемма Дедекинда-Артина о независимости). Различ-
Различные характеры ХъХ25 • • • ->Хп моноида Н в поле К линейно незави-
220 Гл. 5. Начала теории Галуа
симы над К, т.е
iXi(h) =0, a,i Е К, Vft Е H => a,i = 0, 1 ^ г ^ п.
Доказательство проводим индукцией по п. Если п = 1, то
результат очевиден, поскольку а%(/&) =0, а / 0, означает x(ft) = 0
для любого /i G Я, в то время как по условию %A) = 1.
Пусть теперь п > 1, и пусть для п — 1 независимость установлена.
Считаем все а\ ф 0, иначе действует предположение индукции. Так
как xi Ф Х2? т0 Xi(^') 7^ X2(h') для некоторого /z/ G i?. Заменим в
предполагаемом соотношении линейной зависимости h на h'h. Это
приводит к соотношению
x2(h) + ... + anXn(ft')Xn(ft) = 0.
С другой стороны, умножая исходное соотношение на Xi(ft'), будем
иметь
xn(h) = 0.
Вычитая последнее соотношение из первого, получим
a'2X2(h) + ... + a'nxn(h) = Q,
где
а!г = сц(хл{Ь!)-Х1{Ь!)\ 2^i^n.
Так как jl2 — CL2(x2(h') — Xi(h')) Ф 0? т0 имеем противоречие с пред-
предположением индукции. ?
Следствие 1. Пусть К\, К<± — два поля и rji,... ,rjn — раз-
различные мономорфизмы К\ —У К^. Тогда они линейно независимы
над Къ.
Доказательство. Ограничить щ на К\ и положить Н =
= Щ. П
Следствие 2 (теорема Артина). Пусть G — конечная груп-
группа автоморфизмов поля F. Тогда F является расширением Галуа
над своим подполем Р неподвижных относительно G элементов и
GalF/P = G. ?
Основу доказательства теоремы 5 составляет
Лемма 2. Пусть f G 7L\X\ — нормализованный многочлен сте-
степени n, F — его поле разложения над Q, р — простое число такое,
что D(fp) ф 0, т.е. fp имеет различные корни в своём поле разло-
разложения F(p) над Zp. Пусть L — подколъцо в F, порождённое корнями
многочлена f.
Тогда:
а) существует гомоморфизм ф: L —у F^;
б) любой такой гомоморфизм устанавливает биекцию множест-
множества R корней многочлена / в F на множество Rp корней fp в F(py,
§ 4- Вычисление группы Галуа 221
в) если ф, ф' — два таких гомоморфизма, то ф' = ф • а, где
a е Gal F/Q.
Доказательство. По условию
По определению L = Z[#i,..., вп]. Положим
г/ _ \ Л 77fikl fik™
L - 2_^ bV1 ...Vn
— множество Z-линейных комбинаций элементов
0kl...0kn, 0 ^ ki ^ п- 1.
Так как /(#i) = О, то Of — Z-линейная комбинация степеней 1,0«,
6},..., в^1. Следовательно, 6гЬ' С^'ипо итерации 0*1... в^Ь' С V
для любых положительных показателей к\ ..., кп. Значит, V — под-
кольцо в L, содержащее по определению #i,..., вп и, таким образом,
совпадающее с L.
Это показывает, что L — конечно порождённый Z-модуль. Так
как charF = 0, то кручение TorL равно нулю и L — свободный
Z-модуль конечного ранга с каким-то базисом (щ,... ,ит) : L =
= Zui e... ez?/m.
Утверждается, что (г^) — базис для расширения F/Q и, следова-
следовательно, [F : Q] = т. Линейная независимость над Q элементов Ui оче-
очевидна, поскольку нетривиальное Q-линейное соотношение между Ui
приводит (при умножении на некоторое целое число) к нетривиаль-
нетривиальному Z-линейному соотношению, которое на самом деле отсутствует.
Рассмотрим теперь QL = J^ Qi^ — подкольцо в F, содержащее Q.
Из алгебраичности F следует, что QL — подполе в F (см. следствие
теоремы 2 из § 1). Так как оно содержит все ^, 1 ^ i ^ п, то QL = F.
Стало быть, (щ) — базис для F/Q.
Введём в рассмотрение идеал pL = X^i^G9^) кольца L. Яс-
Ясно, что \L/pL\ = рш. Так как факторкольцо L/pL конечно, то оно
заведомо содержит максимальный собственный идеал вида М/рЬ,
где М — максимальный идеал в L, содержащий pL. В таком слу-
случае L/M — поле, являющееся гомоморфным образом кольца L/pL,
поскольку по одной из теорем об изоморфизме (см. гл. 4) имеем
(LIpL)I (МIpL) = L/M. Из построения видно, что char L/M = р
и Zp — простое подполе в L/M, a \L/M\ = рш , где т! ^ т.
а) Канонический гомоморфизм v : L —у L/M отображает Z на
простое поле Zp (или, если угодно, Fp), а так как L = Z[#i,..., вп] и
/РО = Y[ni=i(X-ei) в L[X], то L/M = гр\въ... ,вп], где в> = и(вг) =
= 6i + М. Далее, из / G Ъ\Х\ следует, что коэффициенты многочлена
J(X) = ]lILi(X ~ ^) лежат в Zp и J(X) = fp(X). Таким образом,
222 Гл. 5. Начала теории Галуа
L/M — поле разложения для fp(X) над Zp, и мы имеем изоморфизм
\i : L/M —У F(p)- -^ итоге мы пришли к нужному эпиморфизму
ф = \i о v : L —У F(p).
б) Пусть ф — гомоморфизм типа, установленного в а). Тогда
ограничение ф \% будет гомоморфизмом Ъ на простое подполе в F^,
фA) = 1f(P) ? так чт0 ^ |z — канонический гомоморфизм Z на Zp.
В таком случае fp(X) = ф(/(Х)) := Пг(^ ~~ Ф(^г))- Следовательно,
ф(вг) — корни многочлена fp(X) в F^ и ф\л — биекция R на Rp.
в) Зафиксируем гомоморфизм ф : L —у ^(р)- Пусть a G G =
= Gal F/Q. Тогда сг переставляет 0^ и, следовательно, сг переводит L в
себя. Далее, a \l — гомоморфизм L в L (на самом деле автоморфизм),
дьфоа — гомоморфизм L в F^. Различные a, a' G G дают различные
перестановки корней в^ а поскольку ф\ц — биекция на Rp, ф о а и
фоа' различны. Таким способом мы получаем т = [F : Q] различных
гомоморфизмов ф^ — ф о (jj, если G = {<ti, ..., ат}.
Утверждается, что других гомоморфизмов больше нет. Действи-
Действительно, пусть фт+1 отличен от ф^ 1 ^ j ^ т. По лемме 1, применён-
применённой к мультипликативному моноиду Н области L и полю К = i^(p),
все -0J, включая ^m+i, линейно независимы над i^(p). С другой сто-
стороны, рассмотрим систему уравнений
га+1
г=1
Так как неизвестных Х{ больше, чем уравнений, то эта однородная
линейная система с коэффициентами ф{{и^ G F^ имеет нетривиаль-
нетривиальное решение (ai,... ,am+i), a^ G ^(р). Пусть теперь у ? L. Тогда
У = J2jnjuji пз ^ ^, и
* 3 г j
Это противоречит независимости ф^ и завершает доказательст-
доказательство в). П
Наконец, мы готовы дать
Доказательство теоремы 5. Так как F^ — поле с рт эле-
элементами, то отображение тг : а \-у ар', a G F(p) — автоморфизм. Если
т/> : L —У F(p) — любой гомоморфизм, то и тг о ^ — гомоморфизм.
Соответственно мы имеем единственный элемент а = (т(ф) G Gal(/),
такой, что
тг о ф = ф о сг(т/>).
§ 4- Вычисление группы Галуа 223
Автоморфизм а — а(ф) называется р-автоморфизмом Фробениуса
на F/Q, отвечающим ф.
Если мы ограничим ф и а на R и используем тот факт, что ф —
биекция из R на Rpj то получим соотношение а = ф~х о тг о ф. Это
означает, что орбиты на Rp относительно (тг) отображаются посред-
посредством ф~х в орбиты на R относительно (а).
Но орбиты на Rp относительно (тг) — это множества корней не-
неприводимых множителей многочлена fp Е ZP[X]. Если ni,... ,nr —
степени этих многочленов, то мощности орбит на R относительно
(а) будут ni,...,пг, и, следовательно, а как перестановка на R име-
имеет цикловое разложение
при надлежащем упорядочении корней. ?
ПримерЗ. Пусть /(X) = X6 + 22Х5 + 21Х4 + 12Х3 - 37Х2 - 29Х - 15.
Сначала используем редукцию по mod 2, чтобы получить
/2(Х)=Х6+Х4+Х2+Х + 1.
Делимости на неприводимые многочлены X2 + X + 1, X3 + X2 + 1, X3 + X + 1
степени <С 3 нет, поэтому /г(Х) неприводим. Следовательно, Gal(J) содержит
6-цикл, так что Gal(J) транзитивна. Далее,
/з(Х) = Х(Х5 + X4 - X + 1),
причём X5 + X4 — X + 1 неприводим по mod3. Стало быть, Gal(J) содержит
5-цикл. Наконец,
/5(Х) = Х(Х - 1)(Х + 1)(Х + 2)(Х2 + 2)
и X2 + 2 неприводим по mod 5. Следовательно, Gal(J) содержит 2-цикл. В соот-
соответствии с предложением 1 приходим к заключению, что Gal(J) = Sq.
Чтобы на основании теоремы 5 построить многочлен / G Ъ\Х\
степени п > 3 с Gal(/) = Sn, выберем сначала неприводимый по
mod2 многочлен и G Ъ[Х] степени п; затем — многочлен v G Ъ\Х\,
который по mod 3 разлагается в произведение неприводимого мно-
множителя степени п — 1 и линейного множителя; наконец, выберем
многочлен w G ЩХ], который по mod 5 разлагается в произведение
неприводимого множителя степени 2 и одного или нескольких
неприводимых множителей нечётных степеней. Всё это возможно,
поскольку по модулю любого простого числа существует неприводи-
неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени.
В заключение выберем многочлен / так, чтобы выполнялись усло-
условия
/ = и (mod 2), / = v (mod 3), / = w (mod 5).
Достаточно положить
224 Гл. 5. Начала теории Галуа
(все многочлены нормализованы).
Группа Gal(/) будет тогда транзитивной (неприводимость / по
mod 2), будет содержать цикл типа A, 2,..., п — 1) и транспозицию,
умноженную на независимые циклы нечётной длины. Если это по-
последнее произведение возвести в подходящим образом подобранную
нечётную степень, то получится чистая транспозиция. В силу пред-
предложения 1 получаем Gal(/) = Sn.
Упомянутые в самом начале п. 2 результаты И. Шура, относящи-
относящиеся к конкретным многочленам с группой Галуа, изоморфной Sn, не
обесценивают теорему 5. Основанные на ней вычисления применя-
применяются в самых разных ситуациях.
4. Нормальный базис. Пусть F — произвольное расширение
Галуа над Р с GalF/P = G = {77; | 1 ^ i ^ п), п = [F : Р].
Если z Е F и {z\, Z2, • • •, zm} = Gz — орбита при действии G, то
минимальным многочленом для z над Р будет ПГ(^ ~ zi)- Следо-
Следовательно, z будет примитивным элементом ровно тогда, когда т =
= \Gz\ = п. Более сильное свойство: элементы rji(z),rj2(z),... ,rjn(z)
не только различны, но и линейно независимы над Р. Если это так,
то (r]i(z),... ,T]n(z)) — базис для F/P. Он называется нормальным
базисом данного расширения. Доказательство существования нор-
нормального базиса основано на следующем критерии.
Предложение 3. Пусть К/Р — конечномерное сепарабельное
расширение, L/P — его нормальное замыкание. Тогда:
1) число мономорфизмов К/Р —У L/P равно п = [К : Р];
2) если 1 = 771,772,... ,77п — эти мономорфизмы, то набор (щ,
U2,..., i*n)? ui ? К, является базисом для К/Р в том и только том
случае, когда
и2 ... ип
772 Ы ...
Доказательство. 1) Пусть G = Gal L/P, и пусть Н С G —
подгруппа, фиксирующая К. Тогда п = [К : Р] = (G : Н), и мы
можем написать G = в\Н U ... U 0пН; в\ = 1 — разложение в ле-
левые смежные классы. Положим щ — вг \к- Тогда щ — мономорфное
вложение К/Р °->- L/P ж г\гф r]j при г ф j. Действительно, если r\i =
= r]j, то 0^1@j(u)) = и \/и G К. В таком случае 0^10j G Н, вопреки
предположению.
Пусть теперь 77 — любой мономорфизм К/Р °->- L/P. Так как L —
поле разложения над Р некоторого многочлена / G i^f-X"], то L будет
полем разложения того же многочлена над К и над rj(K). Следова-
Следовательно (по теореме об изоморфизмах полей разложения), изоморфизм
§ 4- Вычисление группы Галуа 225
г) : К —у v(K) может быть продолжен до автоморфизма в расшире-
расширения L/P. Другими словами, в Е GdlL/P и, стало быть, в = 6i/i для
некоторого \i Е Н. Но тогда г\ — в \к= $i \к— Щ-, т.е г\\ — 1,..., г\п —
полный комплект мономорфизмов К/Р <—у L/P.
2) Предположив линейную зависимость ^2i а^щ = О, ai Е Р, эле-
элементов ui,... ,ип G К и применяя г\^ мы получаем линейную одно-
однородную систему
а^(щ) = 0, 1 ^ j ^ п,
порядка п с ненулевым решением (ai,...,an), что означает
Обратно: предположим, что det(rjj(иi)) = 0. В таком случае су-
существует ненулевое решение (ai,..., an), a^ G L, однородной системы
Sj Vj(ui)xj = 0, 1 ^ г ^ n, а это означает, что (i^i,... ,ixn) базисом
для X не является: если любой элемент и G К записывается в виде
Y,iCiUi, Ci G Р, и
J 1,3 г j
то это противоречит независимости мономорфизмов 771,..., г\п (след-
(следствие 1 леммы Дедекинда—Артина). ?
Предложение 4. Расширение Галуа L/P с конечным Р обла-
обладает нормальным базисом.
Доказательство. В случае конечного поля Р расширение L/P
будет циклическим и
G = GalL/P = (а) = {1, а, а2,..., а771'1},
где т = [L : Р]. Интерпретируем а как линейный оператор в L над
Р, поскольку
а(и + г?) = cr(ix) + cr(v), a(au) = аа(и), а Е Р.
Известно, что Р[Х]-модуль, определённый линейным оператором,
является прямой суммой циклических подпространств с аннулято-
рами — инвариантными множителями d\ (X),..., ds(X), где ds(X) —
минимальный многочлен линейного оператора (произведение всех ин-
инвариантных множителей суть характеристический многочлен). Весь
Р[Х]-модуль является циклическим в точности тогда, когда характе-
характеристический многочлен совпадает с минимальным, т.е. степень ми-
минимального многочлена совпадает с размерностью всего простран-
пространства.
Именно так обстоит дело в случае с а. Так как а771 = 1, то
Хт — 1 — характеристический многочлен. С другой стороны,
15 А.И. Кострикин
226
Гл. 5. Начала теории Галуа
если
f(X) = Хк+ ахХк-х + ... + ак, сцеР, к < т,
то f(cr) ф О, поскольку автоморфизмы 1, а,..., ак различны, следова-
следовательно, линейно независимы над L и, тем более, над Р.
Тот факт, что L циклично (как Р[Х]-модуль), означает, что L/P
имеет базис вида (и, а(и),..., ат~1(и)). Но это и есть нормальный
базис для 1/Р.П
Определение. Пусть К, L — два поля. Семейство r]i, 772,..., rjn
мономорфизмов К °->- L называется алгебраически независимым над
L, если
..,in], f(rh(u),...,r1n(u)) = o \/ueK^f = o.
Предложение 5. Пусть Р — бесконечное поле, К — конечно-
конечномерное сепарабелъное расширение над Р, L — нормальное замыкание
расширения К/Р. Пусть щ,... ,т]п — п = [К : Р] различных моно-
мономорфизмов К/Р °->- L/P. Тогда гц алгебраически независимы над L.
Доказательство. Предположим, что f(rji(u),... ,rjn(u)) = 0
\/и G К для некоторого / G / G L[Xi,... ,Хп]. Пусть (щ) — базис
для К/Р. Тогда при любом выборе а^ G Р имеем
0 = f ( Ъ [Yl aiUi) '•••'% [YlaiUi) ) =
г г '
\Щ
Если положить
то g(ai,..., ап) = 0 при любых а^ G Р. Пусть (i?i, V2,..., vm) — базис
для L/P. Тогда можно написать
где gj (X1,..., Xn) G P[X1,..., Xn]. Условие g(ai,..., an) = 0 выража-
выражается в виде gj {a\,..., an) = 0 Vj. Поскольку это справедливо при всех
ai G Р, из соответствия между полиномиальными функциями и мно-
многочленами над бесконечным полем вытекает, что gj(Xi,...,Хп) = О,
и, стало быть, g(Xi,...,Хп) = 0.
В силу предложения 3 det(rjj(ui)) ф 0, так что матрица (f]j(ui))
имеет обратную (vij) G Mn(L). Значит,
9
(uk)Xk,...,
(uk)Xk ) = f(X1,..., Xn).
§ 4- Вычисление группы Галуа 227
Поэтому g(Xi,..., Хп) = 0 => f(Xi,..., Хп) = 0, что и доказывает
алгебраическую независимость щ над L. ?
Мы подошли к центральному результату.
Теорема 6. Любое конечномерное расширение Галуа L/P име-
имеет нормальный базис.
Доказательство. В силу предложения 4 поле Р можно счи-
считать бесконечным. Как показывает предложение 5, автоморфизмы
77i,..., Т]п расширения L/P алгебраически независимы над L.
Мы видели также, что если и Е L, то
G7i(iO,... ,%(гО) — базис ^^ det( G7; ^-)О)) Ф 0.
Положим 77;77j = rji(j). Тогда j \-+ i(j) — перестановка на {1, 2,..., п).
Рассмотрим теперь алгебру многочленов L[Xi,... ,Хп] и матрицу
X = (ж^)). Утверждается, что det I / 0. С этой целью выберем
специализацию xi = l, ж; = 0, г>1. Так как перестановки j н-» i(j)
при различных г различны, то х\ появляется один и только один раз
в каждой строке и в каждом столбце матрицы X. Следовательно,
det Х(х\ = 1,ж; = 0, г > 1) = =Ы. Тем более det 1/0 при любом X.
В силу алгебраической независимости 77; над L найдётся и G L,
для которого det(G7i77j)(^)) /О-В таком случае G71 (г&),... ,rjn(u)) —
нормальный базис. ?
На языке теории представлений теорема о нормальном базисе
утверждает, что представление группы Галуа на аддитивной груп-
группе поля L (на векторном пространстве) является регулярным. Мож-
Можно также сказать, что L — свободный модуль размерности 1 над
групповым кольцом P[G]. Такой результат можно рассматривать как
первый шаг в гораздо более тонких исследованиях в алгебраической
теории чисел. Именно, пусть L — числовое поле (конечное расшире-
расширение поля Q) и Оь — кольцо в L целых алгебраических чисел. Строе-
Строение Оь как ZfGJ-модуля — трудная задача.
Казалось бы, теорема о нормальном базисе обесценивает теоре-
теоретико-групповую часть теории Галуа: регулярное представление не
очень интересно. Но надо иметь в виду также мультипликативную
структуру поля и то обстоятельство, что группа Галуа реализует-
реализуется как группа перестановок корней исходного многочлена, а это
действие может обладать свойствами примитивности, кратной
транзитивности и т.д.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти нормальный базис расширения Fs/F2. Для определённости считаем
F8 =?2 (в), в3 +0 + 1 = 0.
2. Найти нормальный базис расширения Q(\/2, \/3)/Q-
15*
228 Гл. 5. Начала теории Галуа
§ 5. Расширения Галуа и смежные вопросы
1. Простые числа в арифметической прогрессии. Из опре-
определения круговых многочленов в § 2 мы получим сейчас два простых
утверждения, оформленных в виде лемм.
Лемма 1. Пусть а ф 0 — целое число, п — натуральное число,
не делящееся на простое число р. Тогда
р | Фп{а) <^=> {а имеет период п в Z*}
(эквивалентно: ап = 1 (mod р), ат ^ 1 (mod р) \/т < п).
Доказательство. Рассматриваем разложение
*d(X)ez;[X]. (*)
d\n,d<in
1) Если Фп(а) = 0 в Zp, то согласно (*) имеем ап-1 = 0 в Zp. Если,
кроме того, Фт(а) = 0 для некоторого т | п, т < п, то Хп — 1 =
= (X — aJ f(X). Но производная (Хп — 1)' = пХп~1 взаимно проста
с Хп — 1, поскольку п ф 0 в Zp. Поэтому Хп — 1 не имеет кратных
корней. Это означает также, что а не может быть корнем многочлена
Хт — 1, т < п,т | п, поскольку Хт — 1 = Yidlm d<n^d{X). Значит,
а имеет период п.
2) Пусть теперь, обратно, а имеет период п в Z*. Если Ф^(а) = О
для некоторого d \ n, d < n, то, как мы уже видели в 1), ad = 1 в
Z* — противоречие. Остаётся единственная возможность Фп(а) = О,
(т.е. р | Фп(а)). П
Лемма 2. Пусть n G Z, р — простое число, не делящее п. Тогда
Фп(а) = 0 (mod р) б?лл некоторого a G Z ^=^> р = 1 (mod n).
Доказательство. По лемме 1 Фп(а) = 0 (mod p) ^^> ап =
= 1 (mod р), причём п — период элемента а. Но тогда п ^ р — 1,
поскольку всегда ар-1 = 1 (mod р), и п \ (р — 1), т.е. р = 1 (mod n).
Обратно: если р = 1 (mod n), то в силу цикличности Z* найдётся
a G Z периода п в Z*. Снова по лемме 1 имеем Фп(а) = 0 (mod p). ?
Теорема 1 (частный случай теоремы Дирихле). В арифмети-
арифметической прогрессии кп + 1, к = 1,2,..., существует бесконечно
много простых чисел.
Доказательство. Действительно, при любом фиксированном
п > 1 имеем
Фп(а) = аш + aia77" + ... + am_ia + 1, m = <р(га).
Предположим, что существует лишь конечное множество М = {pi,
p2,.-.,Ps} простых чисел таких, что Фп(а) = 0 (mod pi), i = i(a),
§ 5. Расширения Галуа и смежные вопросы 229
для всех достаточно больших натуральных чисел а. Однако для а =
= (p1p2...ps)N, N » О, будет Фп(а) = 1 (mod р;), 1 ^ i ^ s, —
противоречие.
Стало быть, существует бесконечно много простых чисел р та-
таких, что Фп(а) = 0 (mod p) при подходящем выборе натурального
числа а = ар. По лемме 2 получаем р = 1 (mod n) для каждого тако-
такого простого р. ?
2. Расширения с абелевои группой Галуа. Говорят о цикли-
циклических, абелевых, разрешимых расширениях, когда соответствующие
группы Галуа циклические, абелевы или разрешимые. Конечных абе-
левых групп данного порядка, в общем, довольно много, поэтому
интересно посмотреть на них с точки зрения теории Галуа.
Теорема 2. Пусть А — произвольная конечная абелева группа.
Тогда существует нормальное расширение F/Q с группой Галуа
Доказательство. По основной теореме о строении конечных
абелевых групп (гл. 2, § 3, теорема 10 )
А = Аг х А2 х ...х Ак,
где Aj = (uj) — циклическая группа порядка nij, I ^ j ^ к, причём
mi | ^^25 • • • •> mk-i I ink- Целые числа rrij называются инвариантными
множителями группы А. Очевидно,
\А\ = vn\Vfi2 • • • rrik.
По теореме 1 найдутся попарно различные простые числа
Pl,P2, -чРк (Pi Ф Ph Даже еСЛИ тг = ™>j)
такие, что
Pj — 1 = fljUlj.
Рассмотрим круговое поле Гп = Q(C), (n = 1, отвечающее целому
числу п = р\Р2 • • -Рк-> так что
[Гп : Q] = ip(n) = ip(p1)(p(p2) ... ф{рк) =
= (pi - 1)(р2 - 1) • • • (Рк ~ 1) = п1т1п2т2 . ..пктк.
Заметим, что если Fi, F2 — два подполя в поле F, то наимень-
наименьшее поле, содержащее F\ и F2, обозначается F\ • F2 и называется
композитом полей F\, F2. Далее,
Ts ПГ( = Q при НОД(в,г) = 1 и TsTt = Ttt.
В нашем случае
Г„ = ГР1 ¦Гр2...Грк,
230 Гл. 5. Начала теории Галуа
где
Теперь очевидно, что
JV} П {nGallWQ} = A).
Поэтому
/Qx ... х GalTPfc/Q = (<n) x ...x (^) := G,
В группе G содержится подгруппа
Я = (аГ)х...х(аГ)
порядка п\ ... п/.. Понятно, что Н <\ G и факторгруппа
С/Я = <<fi) х ... х fa), aj = aj(ap),
являющаяся прямым произведением циклических групп порядков mi,
?7i2, •••,^'fe, изоморфна А. Если теперь F = Г^ — подполе
^-инвариантов (неподвижных при действии Н элементов) в Гп, то
в силу соответствия Галуа
GalF/Q ^G/H^ A. ?
3. Норма и след. Пусть F/P — расширение Галуа,
Для и Е F положим
п п
Тр(и) = ^^T]i(u), Np(u) = JJ^O-O
г=1 г=1
и назовём их соответственно следом и нормой элемента и в F/P.
Очевидно, они неподвижны относительно G, следовательно, содер-
содержатся в Р. Таким образом, мы имеем отображения
из F в Р. Для и, v G F, a G Р имеем
Тр (и + v) = ^ Tji(u -\- v) =
г
TP?(au) = Ym
5. Расширения Галуа и смежные вопросы 231
(аи) = Д щ (аи) = ап Д щ (и) = ап ¦ N* (и).
i i
Итак, Т = Тр — линейная функция на векторном пространстве F
над Р\ N = Np — мультипликативное однородное отображение сте-
степени п; N \р* — гомоморфизм из F* в Р*.
Пример 1. Пусть m — целое число, свободное от квадратов, F = Q(y/m) —
квадратичное поле. Тогда и = а + by/rn, а, Ь Е Q, — общий вид элементов из F и
G = Gal .F/P = {1, г] : а + &х/^ ^ а -
т.е. Т(а + by/rn) = 2а, 7V(a + by/m) = а2 — тб2. Имеем полную аналогию с
расширением С/М, т = — 1, когда 7V(w) = a2+62 — квадрат модуля комплексного
числа.
В нашем случае, очевидно, T(F) = Q. Информацию о N(F*) получить гораз-
гораздо труднее, поскольку возникает нетривиальный вопрос: для каких рациональ-
рациональных чисел г уравнение х2 — ту2 = г имеет решения в Q?
Имеются две теоремы о Ker N и КегТ. Наиболее известная из них
следующая.
Теорема 3 (теорема 90 Д. Гильберта, 1897 г.). Пусть F — цик-
циклическое расширение Галуа поля Р, G = GalF/P = G7), \G\ = п.
Тогда
Np(u) = 1 для и Е F <^=> и = v(rj(v))~г для некоторого v E F.
В одну сторону результат тривиален: если и = v(r](v))~1, то
N(u) = N(v) -N^^)-1) = N(v) -TV^) = 1. Чтобы доказать обрат-
обратное, мы установим более общий (и более поздний) результат о рас-
расширениях Галуа.
Теорема 4 (А. Шпайзер). Пусть F — конечномерное расшире-
расширение Галуа поля Р, G = GalF/P. Пусть ? н-» и^ — отображение G
в F*, удовлетворяющее условию
иС/1 = ((и^щ V/i,C е G.
Тогда найдётся 0 ф v E F, б?лл которого
«м = г;^^)) VM e G.
Доказательство. Так как г^ ф 0, а автоморфизмы \i ^ G ли-
линейно независимы над F, то существует элемент w E F, для которого
Тогда при любом ^ Е G имеем
см =
232 Гл. 5. Начала теории Галуа
Следовательно, и^ = v(((v))~1. ?
Доказательство теоремы Гильберта. Пусть и Е F,
N(u) = 1. Положим
иц := и, uvi := щ(и)г]2(и) .. .rf~1{u), I ^ i ^ п.
Тогда при i + j ^ n будем иметь
uvj -rftu^i) = щ(и) .. .^'"-V'M • • •^+J~1(^) = uvi+j.
То же соотношение имеет место при г + j > n, поскольку г^х = ицп =
= iV(u) = 1. Таким образом, выполнено условие теоремы 4 при G =
= (ту). Отсюда вытекает существование элемента v с нужным свой-
свойством и = иц — v(f](v))~1 . ?
Доказанные теоремы имеют аддитивные аналоги.
Теорема 5 (А. Шпайзер). Пусть F,P,G — те же, что и в
мультипликативной теореме 4, и пусть /л \-> d^ — отображение
G —У F, удовлетворяющее условию
Тогда найдётся с G F, для которого
d^ = с- /i(c), fjL e G.
Доказательство. Мы видели, что существует и G F с
Т(и) ф 0. Положим
Тогда
с - ((с) =
Элемент ^ G G произвольный. ?
Пусть теперь G = G7), |G| = n, и предположим, что d ? F —
элемент, для которого T(d) = 0. Положим
dr, := d, dtf := d + r](d) + ... + ^"^d), 1 ^ г ^ n.
Тогда, как и в случае норм, для теоремы Гильберта имеет место
заключение аддитивной теоремы Шпайзера. Действительно,
1 = 0.
§ 5. Расширения Галуа и смежные вопросы 233
Поэтому для любых г, j имеем
dvivj = dvi+j = d + rj(d) + ... + rf~x + rf[d + rj(d) + ... + f]j~1(d)] =
т.е. d^ = d<; + C(^m) VC, /i G G и согласно теореме 5 <iM =
с — /i(c), /i G G. Стало быть, справедлива
Теорема б (аддитивная форма теоремы 90 Гильберта). Пусть
F/P — циклическое расширение степени п с группой GdlF/P =
= G7), d G F — элемент со следом 0. Тогда найдётся с G F такой,
что d — с — rj(с).
4. Циклические расширения. Применим теперь теорему 90
Гильберта и её аддитивный аналог к простейшему типу расширений.
Теорема 7. Пусть Р содержит п различных корней степени п
из 1. Справедливы следующие утверждения.
1) Пусть F/P — п-мерное циклическое расширение. Тогда F =
= Р(и), гдеи71 е Р.
2) Пусть Хп — a G Р[Х] и и — некоторый корень многочлена
Хп — а. Тогда Р(и)/Р — циклическое расширение степени m, m | n
ииш еР.
Доказательство. 1) Из условия теоремы следует, что харак-
характеристика поля Р взаимно проста с п. Пусть ( G Р, (п = 1, (г Ф 1,
i < n, г) — образующая группы Галуа. По условию имеем ?7г(С) =
= ?, О^г^п — 1, так что (Np(Q) = (п = 1. Следовательно, по
теореме 3 найдётся и G F, для которого ? = u/rj(u). В таком случае
7y(u) = С^ и v(uTl) = v(u)n = (С~1г0п = ^П5 откуда ип = а ? Р.
Кроме того, 77(г&) = (~1ги =^ Т]г(и) = С~г^5 так чт0 GalР/Р-орбита
элемента и содержит п различных элементов. Таким образом, мини-
минимальный многочлен элемента и над Р имеет степень п и Р = Р(и).
2) Обратно, пусть a G Р, ип = а, ( — примитивный корень п-й
степени из 1. Так как (Си)п — а-> i — 0,1,...,п — 1, то все корни
многочлена Хп — а лежат в Р(и), т.е. Р(и) нормально над Р.
Положим G = Gal Р{и)/Р. Если г] G G, то (г](и))п = а, откуда
77(г&) = С^и. Без труда проверяется, что отображение ?? н->- Сг(^
является инъективным гомоморфизмом G в группу (?). Но всякая
подгруппа циклической группы циклическая, поэтому G цикличес-
циклическая, и если \G\ = m, то m \ п. Положив G = (а), мы замечаем, что
^г(а) _ ^n/m будет примитивным корнем степени m из 1. Наконец,
<т(О = (а(М))га = (C/mu)m = um,
так что иш G Р. П
Следствие. Пусть а фЬш, каковы бы ни были т | п, ттг т^ 1, Ь G
G Р, г/ пусть по-прежнему ujn = 1 ^=> cj G Р. Тогда G = Gal(Xn —
- а) — группа порядка п.
234 Гл. 5. Начала теории Галуа
Доказательство. Пусть ип - а = 0. Тогда Ylr]eGT](u) ? Р- Но
г)(и) = С^и, а так как все корни степени п из 1 лежат в Р, то
Yl^ciu) = uju\°\ GP^ ixlGl E P. Отсюда a = un = (u\G\)d, где
б? = n/\G\. По условию (если положить Ъ = iJ^I) это возможно только
при d = 1, т.е. при |G| = п. ?
Фактически мы убедились, что все двучленные уравнения Хп —
- а = 0, а е Р, при условии ( G Р ((п = 1, (m ^ 1, 0 < т < га)
имеют циклическую группу Галуа. При тех же предположениях верно
и обратное утверждение. Более деликатная ситуация затрагивается
в следующих двух теоремах.
Теорема 8. Всякое р-мерное циклическое расширение F поля Р
характеристики р > 0 имеет вид F = Р(с), где ср — с Е Р.
Доказательство. Замечая, что 1 Е Р и Тр A) = [F : Р] • 1 =
= р • 1 = 0, воспользуемся теоремой 6: ?7(с) = с + 1 для некоторо-
некоторого с G F. В таком случае zf(c) = с + г, т.е. (?7)-орбита {с, с + 1,...
..., с + р — 1} состоит из р = [F : Р] элементов. Следовательно, F =
= Р(с). Кроме того,
v(cp - с) = (/7(с))р - г)(с) = (с + If - (с + 1) = ср - с,
так что ср — с G Р. ?
Этой теореме можно придать более точную форму.
Теорема 9 (Артин-Шрайер). Пусть Р — поле характеристики
р > 0. Тогда справедливы следующие утверждения.
1) Если F/P — циклическое расширение степени р, то F = Р(с),
где элемент с удовлетворяет уравнению Хр — X — а для некоторого
a G Р.
2) Обратно: при заданном a G Р многочлен f(X) = Хр — X —
— а либо имеет один корень в Р, и тогда все его корни лежат в Р,
либо он неприводим. В последнем случае F = Р(с) — циклическое
расширение степени р над Р для любого корня с : /(с) = 0.
Доказательство. Утверждение 1) эквивалентно теореме 8.
Обратно: если /(с) = 0, то /(с + г) = 0, г = 1,...,р — 1, т.е.
многочлен f(X) имеет р различных корней. Если один корень с ? Р,
то и с + i G Р. Предположим теперь, что с ^ Р, и пусть f(X) =
= g(X)h(X), I ^ deg #(X) < р. Так как
г=0
то #(Х) — произведение некоторой части линейных множителей.
Пусть d = deg g{X). Коэффициент при Xd~x есть — ^2^с + i) =
= —dc + j. Но d ф 0 в Р и, следовательно, с ? Р, поскольку д G
G Р[-^], — противоречие.
§ 5. Расширения Галуа и смежные вопросы 235
Таким образом, f(X) неприводим над Р, а все его корни лежат
в Р(с), так что расширение Р(с) нормально над Р. Поскольку f(X)
не имеет кратных корней, Р(с) — расширение Галуа. Существует
автоморфизм а поля Р(с) над Р такой, что о~(с) = с + 1. Образы
Gг(с) = с + г, г = 0,1,... ,р — 1, различны и, стало быть, группа
Галуа состоит из степеней аг', т.е. является циклической. П
5. Критерии разрешимости уравнении в радикалах. Ко-
Коэффициенты алгебраических уравнений будем предполагать лежа-
лежащими в поле Р характеристики нуль. Итак, пусть / Е Р[-Х].
Определение. Говорят, что расширение F/P радикально, если
оно обладает башней подполей
Р = Р0 С Pi С Р2 С ... С Рг-1 С Рг = F, A)
где
т.е. Pi получается из Д-i присоединением некоторого радикала /
Говорят также, что уравнение f(X) = 0 разрешимо в радикалах
над Р, если существует радикальное расширение типа A), содержа-
содержащее все корни многочлена /.
Заметим, что F содержит нормальное расширение, а именно поле
разложения, но не обязано само быть нормальным. Этот недостаток
легко исправляется.
Теорема 10. Каждое радикальное расширение содержится в
некотором нормальном радикальном расширении.
Доказательство проводим индукцией по высоте г башни A).
Если г = 1 и F = Р(и), ип - a, a G P, a ( — первообразный корень
степени п из 1, то поле разложения Р((,и) многочлена Хп — а как
раз и будет нормальным радикальным расширением.
Предполагая, что расширение Pr-i D Р содержится в нормаль-
нормальном радикальном расширении К D Р и F = Pr-i(u), ип = a G Pr-i,
рассмотрим минимальный многочлен h(X) элемента a G Pr-i над Р.
По определению нормальности многочлен h(X) над полем К распа-
распадается в произведение линейных множителей:
h(X) = (Х- п1)(Х - а2)... (X - от), аг = а.
Пусть L — поле разложения над Р многочлена h(Xn). Так как пере-
пересечение и композит нормальных расширений всегда нормальны, то
композит К • L = K(?,ui,... ,ит), uf = а^, также нормален. ?
Почти столь же очевидна следующая
Теорема 11. Группа Галуа GalF/P нормального радикального
расширения F/P разрешима.
Доказательство. Без ограничения общности считаем, что F
определено башней A). Присоединим теперь к полю F первообразный
236 Гл. 5. Начала теории Галуа
корень ( степени
П = П\П2 • • • ПГ-\ПГ
из 1 и рассмотрим башню
Р с Р(С) с Pi (С) с ... с Рг-ЛО с pr(C) = F(C). B)
Группа GalР(С)/Р абелева, а остальные последовательные рас-
расширения в башне B) по теореме 7 являются циклическими. В силу
соответствия Галуа группа G = GalF(?)/P обладает нормальным
рядом
G > Go > d > ... > Gr_i > {е},
в котором факторгруппа G/Go абелева, а остальные последователь-
последовательные факторгруппы Gi/Gi+i циклические. По теореме 1 из § 2 гл. 2
группа G должна быть разрешимой. Если Н = GalF(()/F, то Н <\ G
(поскольку F/P — нормальное расширение) и GdlF/P = G/H —
также разрешимая группа. ?
Мы подошли, наконец, к "коронному достижению" Э. Галуа.
Теорема 12. Полиномиальное уравнение f(x) = 0 разрешимо в
радикалах тогда и только тогда, когда группа Gal(/) разрешима.
Доказательство. 1) Предположим, что все корни Ai,...,Am
многочлена f(X) (нули уравнения /(ж) = 0) лежат в нормальном
радикальном расширении F/P. Естественное включение
PcP(Ab...,ATO)cF
означает, что группа Галуа уравнения f(x) = 0 является фактор-
факторгруппой разрешимой (по теореме 11) группы GdlF/P. Поэтому она
сама разрешима.
2) Пусть F — поле разложения многочлена / G Р[-Х"]. Предполо-
Предположим, что группа G = GalF/P разрешима и
G > Gi > G2 > ... > Gk-i > Gk = {e}
— её композиционный ряд. Тогда, как мы знаем, композиционные
факторы Gi/Gi+i будут циклическими группами простых порядков.
Соответствие Галуа в свою очередь гарантирует существование це-
цепочки подполей
PCF1CF2C...C iVi CFk=F,
в которой каждое последовательное расширение i^+i/i^ будет цик-
циклическим простой степени.
Присоединим к F первообразный корень ? степени п = \G\ из 1 и
рассмотрим цепочку подполей
Р с Р(С) с ВД) =>2 «) с ... с Fft-i(C) с Fk(C) = F(C).
Каждое расширение Fi+i(()/Fi(() также будет циклическим простой
степени р^, делящей п. По теореме 7 поле i^+i(?) получается присое-
присоединением к Fi(Q корня некоторого двучленного уравнения xPi — а =
= 0, а G Fi((). Это и означает, что F(() — радикальное расширение
§ 5. Расширения Галуа и смежные вопросы 237
поля Р, содержащее все корни многочлена f(X), т.е. полиномиальное
уравнение /(ж) =0 разрешимо в радикалах. ?
Выше были приведены примеры нормализованных многочленов
/ G Z [X] любой степени п с симметрической группой Галуа. По толь-
только что доказанной теореме 12 соответствующие уравнения f(x) =0
неразрешимы в радикалах.
Предположим теперь, что корни многочлена / Е Р[-Х"], PG М, ве-
вещественны. Можно ли их получить, присоединяя к Р вещественные
значения радикалов из вещественных чисел? Уточним постановку
вопроса.
Определение. Пусть L — поле разложения многочлена / Е
Е Р[-Х"], PcLci Говорят, что уравнение f(x) = 0 разрешимо в
вещественных радикалах, если существует поле F, Р С L С F С М,
с цепочкой подполей
Р = Fo С Fi С F2 С ... С Fm_! С Fm = F, Fi+1 = ^(^~), C)
где cti ? Fi и Щ/оТ{ — вещественное значение радикала. Поле L в этом
случае называется вещественным радикальным расширением поля Р.
Теорема 13. Конечное нормальное расширение L/P, Р С L С
С Ж будет вещественным радикальным в точности тогда, когда
его группа Галуа является 2-группой.
Доказательство. 1) Любая конечная 2-группа G разрешима
(см. упр. 2 из § 1 гл. 2). Если теперь G = GalL/P и
G = Go > Gi > ... > Gn-i > Gn = e
её композиционный ряд, то \Gi/Gi+i\ = 2. Соответствие Галуа даст
нам цепочку подполей
Р = Lo С Li С 2 С ... С Ln_i CLn = L D)
с циклическими степени 2 последовательными расширениями
Li+i = Li(^/o~), ai e Li.
Это и означает, что I//P — вещественное радикальное расширение.
2) Будем исходить теперь из нормального вещественного ради-
радикального расширения L/P, Р С L С F С М, где поле F обладает
цепочкой подполей вида C) с простыми числами pi.
Группа Галуа G = Gal L/P разрешима, поэтому в цепочке подпо-
подполей вида D), отвечающей какому-то композиционному ряду группы
G, последовательные расширения Li+i/Li будут циклическими прос-
простых степеней. Без ограничения общности можно считать, что L/P —
циклическое расширение простой степени q и что L (jL Fm_i (в про-
противном случае можно было бы заменить F на Fm_i ). Тогда композит
L-Fm-i является циклическим расширением степени q над Fm-i. За-
Заменяя Р на Fm_i и L на L • Fm_i (а потом возвращаясь к прежним
238 Гл. 5. Начала теории Галуа
обозначениям), мы редуцируем задачу к случаю, когда
и L/P — циклическое расширение простой степени q. Подразумева-
Подразумевается, что ^[а — вещественное значение радикала простой степени р.
В рассматриваемой ситуации ни один из корней многочлена Хр — а
не лежит в поле РсМ. Но известно (см. упр. 1 из § 3), что многочлен
Хр — а, не имеющий корней в поле Р, неприводим над Р((), (р =
= 1. Стало быть, [P(tfa) : Р] = р, что возможно лишь при q = р,
и L = Р(:Р/а) — расширение Галуа. В таком случае неприводимый
многочлен Хр — a Е Р[Х] распадается в P(tfa) С М на линейные
множители. Так как при нечётном р не все корни многочлена ве-
вещественные, то приходим к выводу, что р = 2. ?
УПРАЖНЕНИЯ
1. Разрешимо ли в радикалах уравнение
6 5 - 5ж4 + 9ж3 - 5ж2 + 2х + 1 = О?
2. Пусть ? — примитивный корень степени 5 из 1, а, 6 Е Q, ol{ — нули урав-
уравнения
5 о о 7
^/тго _|_ ^л т On — П
Показать, что
3. Показать, что если все три корня неприводимого над полем Р С Ш много-
многочлена Х3+рХ+д вещественны, то их нельзя выразить посредством вещественных
радикалов.
4. Ряд утверждений из пп. 3-4 можно доказать, используя понятие резоль-
резольвенты Лагранжа L(u) элемента и. Именно, если Р = Р(и) — циклическое рас-
расширение степени п поля Р, содержащего примитивный корень ? степени п из 1,
и если GalР/Р = (a), v E Р, то по определению
Проверить, что резольвента Лагранжа обладает следующими свойствами:
а) a(L(v)) = СОД;
б) L(v)n e P;
в) существует элемент v Е Р, для которого <C(v) 7^ О-
§ 6. Жёсткость и рациональность
в конечных группах
В этом параграфе теория Галуа напрямую соединяется с теорией
характеров. Эскизность изложения частично компенсируется указа-
указанием соответствующей литературы.
§ 6. Жёсткость и рациональность в конечных группах 239
1. Определения и формулировка основной теоремы. Пусть
G — конечная группа с нейтральным элементом е. Зафиксируем
какие-то классы сопряжённости %\,..., %т в G и положим
S = SCCi,... ,ЭСГО) = {@i,. ..,gm)\ 9i? %i
В § выделим подмножество
§ = §(ЭСЬ ..., %т) = {@i,... ,дт) е S | @i,... ,дт) = G}.
Очевидно, G действует сопряжением на § и на 8. Считаем далее
Z(G) = е. В таком случае действие G на § свободно. Действитель-
Действительно, если д Е G оставляет @1,...,0Ш) на месте, то 0 коммутирует
со всеми gi, а следовательно, со всеми элементами из G, поскольку
@1,..., дт) = G. Но тогда д = е, поскольку Z(G) = e.
Определение. Говорят, что набор (%\,...,ЗСШ) классов сопря-
сопряжённости жёсткий, если S(Xl ,..., %т) /0иС действует на § тран-
зитивно, т.е., в силу свободы действия, |§| = |G|.
Набор (%i,..., ЗСШ) называется сильно жёстким, если он жёст-
жёсткий и § = § (вообще говоря, § С §).
Таким образом, сильная жёсткость имеет место, если |§| = |§| =
= |G|. Заметим теперь, что
Щ=Н(Х1,...,Хт) A)
равно числу решений (д^,... ,0^) уравнения
.0m = e, 0i G 3Q.
Пусть теперь C1(G) = {dCi,..., 3Cr} — множество всех классов со-
сопряжённости конечной группы G, а п — её показатель (или экспо-
экспонента), т.е. НОК порядков всех элементов группы G. Группа U(Zn)
действует на G : д н->- gs, s G U{Zn), и аналогично — на C1(G).
Далее, Irr(G) = {хъХ2, • • • ,Хг} — множество неприводимых комп-
комплексных характеров группы G. Мы знаем, что значения Хг(д) лежат
в круговом поле Гп = Q(C), (п = 1. Следовательно, существует ес-
естественное действие группы GalTn/Q = U{Zn) на Irr(G). Действия
U(Zn) на C1(G) и на Irr(G) связаны формулой
где, как обычно, (Js(() = (s •
Определение. Класс % G C1(G) называется Q-рациональным
(или просто рациональным), если выполнены следующие эквивалент-
эквивалентные свойства:
1) ЗС остаётся на месте при действии U(Zn);
2) каждый характер % G Irr(G) принимает на ЗС значения в Q (на
самом деле в Z).
240 Гл. 5. Начала теории Галуа
Семейство {%i | 1 ^ i ^ т) классов сопряжённости группы G
рационально, если рационален каждый из классов Х\.
Условие рациональности означает, что если д Е X, то все обра-
образующие циклической группы (д) лежат в X, т.е. сопряжены с д. На-
Например, в симметрической группе Sn каждый класс сопряжённости
рационален.
Более общо, пусть F — любое поле, X = gG, НОД(|(#)|,спаг,Р) =
= 1. Тогда говорят об F-рациональности X, коль скоро х{я) ? F
Vx G Irr(G), или, эквивалентно, если Хп = X Vn с ап Е GalF(()/F.
Пример 1. Знакопеременная группа А$ имеет пять классов сопряжённости
элементов порядков 1,2,3, 5, 5. Пусть 5А, ЪВ — два класса сопряжённости поряд-
порядка 5. Если a Е 5А, то а Е 5А и а2, а3 Е 5Б, так что 5а, 5Б не (^рациональны.
Отметим, что
ХEА), хEВ) Е Q(\/5) С Q(C), С5 = 1.
Важность понятий сильной жёсткости и Q-рациональности се-
семейства {Х\,... ,Хт} классов сопряжённости конечной группы G
объясняется следующей фундаментальной теоремой, которую мы вы-
вынуждены принять без доказательства.
Теорема 1 (Г.В. Белый, Дж. Томпсон). Пусть G — конечная
группа с тривиальным центром, обладающая рациональным сильно
жёстким семейством. Тогда G = GalF/Q для некоторого расши-
расширения Галуа F/Q.
Если рациональности нет, то Q в теореме заменяется на расши-
расширение
L = Q(Irr(G)) = Q(X(g) | VX € Irr(G); g G ЗСЬ ... ,Xm) = Q(C).
Во всех известных случаях групп, близких к простым, для ко-
которых установлено свойство сильной жёсткости, семейство {Х\,...
... ,Хт} является триплетом, т.е. т = 3. В этом случае, очевидно,
G — группа с двумя образующими. Теорема 1 делает актуальной
задачу: выразить свойство сильной жёсткости на языке теории ха-
характеров, т.е. найти явные формулы для числа N(X±,..., Хт). Этим
мы и займёмся, после чего рассмотрим примеры.
2. Подсчёт решении. Усреднение по группе и лемма Шура
(гл. 3, § 4) дают
' ' teG ^ '
(^ = ^ф — характер неприводимого представления Ф группы G).
Умножая это соотношение на Ф(у) справа и переходя к следу, полу-
получим
§ 6. Жёсткость и рациональность в конечных группах 241
Аналогично,
1 X > т / . ._1 . ._1 ч
Очевидная индукция по m даёт
1 X{Xl)X{X) B)
^
Пусть теперь ср — любая центральная функция (функция классов)
на G. Тогда
Используя B), введём в рассмотрение величину
=1
Е
х v ;
Оценим Im((p) в случае, когда ip = 5 — функция Дирака: ?(е) = 1 и
= 0 \1д ф е. Очевидно,
(величина 1/|G|, умноженная на характер регулярного представле-
представления). Стало быть, сх = x(e)/\G\- Если xi,... ,xm,y — заданные эле-
элементы из G, то
Im{6) = wN™>
где N'm = N(xi,..., xm,y) — число решений (ti,..., tm) уравнения
t-^ . . . tmXmtm у = С.
16 А.И. Кострикин
242 Гл. 5. Начала теории Галуа
Таким образом, при помощи C) находим
Nm = \G\ Im(S) = \G\
\т-1
Полагая у = е, получаем формулу
Nm-N(x1,...,xm.1,xm)-\G\ Z. x{e)m-i D)
Пусть 3Ci,..., %ш — классы сопряжённости с представителями
xi,...,xm, и пусть Ci — порядок централизатора элемента из 3Q.
Тогда, вспоминая об A), приходим к выражению
С\ . . . Сш
Применяя формулу D) и замечая, что q = |G|/|3Ci|, получаем сле-
следующее утверждение.
Теорема2. Число N(%i,... ,Хт) определяется формулой
— |<т\ i<y I V
). D
Последняя теорема имеет разнообразные приложения. Например,
её можно использовать для подсчёта числа подгрупп в G, изоморф-
изоморфных знакопеременной группе А$. Действительно,
Аъ = (x,y,z\ х2 =у3 = zb =e).
Задача сводится к нахождению числа решений уравнения xyz = e,
где x,y,z принадлежат классам сопряжённости показателей 2, 3 и 5
соответственно. То же замечание применимо к S4, ^Ц, Dn с аналогич-
аналогичным заданием образующими и соотношениями.
Жёсткость часто проверяется в два этапа.
1. Вычисляется |§| по формуле E) и таблице характеров груп-
группы G. _ _
2. Вычисляется |§ — §| = |§| — |§| путём нахождения всех
ттг-семейств {^i,... ,gm} в §, не порождающих G; для этого исполь-
используют знание максимальных подгрупп группы G.
Предложение 1. Справедливы тождества:
i) \syq,...,x%)\ = \s(x1,...,xm)\, neu(zny,
ii) \$(Х?,...,Х%)\ = \§(Х1,...,Хт)\, n?U(Zn).
§ 6. Жёсткость и рациональность в конечных группах 243
Доказательство. Первое тождество следует из формулы E),
скомбинированной с формулой х(9п) = ап{х){9)-
Второе тождество доказывается индукцией по порядку \G\ сле-
следующим образом. Для любой подгруппы Я С G положим
= {@1,... ,0т) I 0i G ЭСг ПЯ, 01 ...0т = е, @;,...,0т) = Я}.
Вообще говоря, 3Q П Я — не отдельный класс сопряжённости в Я, а
объединение некоторого числа таких классов. Формула
§ ... ,Хт) = U §(Я)(^1 П Я,... ,Кт П Я)
приводит к индуктивному шагу. ?
3. Примеры жёсткости, а) Симметрическая группа Sn. Ясно,
что Sn(n ^ 3) содержит классы сопряжённости пА,2А,%, отвечаю-
отвечающие циклам длины п, 2, п — 1. Утверждается, что тройка (пА, 2А, ОС)
сильно жёсткая.
Действительно, данный n-цикл х Е пА задаёт циклическое упо-
упорядочение множества {1, 2,..., п}, т.е. ориентированный п-угольник.
Композиция этой перестановки порядка п с транспозицией даёт
(п — 1)-цикл ровно тогда, когда две переставляемые вершины стоят
рядом. Следовательно, решения уравнения xyz = е с циклами x,y,z
порядка п, 2,п — 1 находятся в биективном соответствии с ориенти-
ориентированными n-угольниками с одним выделенным ребром. Любые две
такие конфигурации могут быть переведены друг в друга одной пе-
перестановкой из Sn. Таким образом, |§| = \G\ = n\. В свою очередь
§ = §, поскольку (x,y,z) = Sn. Как уже отмечалось, в Sn каждый
класс сопряжённости рационален. Таким образом, в соответствии с
теоремой 1 существует расширение Галуа F/Q с GalF/Q = Sn. Разу-
Разумеется, для нас это не новость (см. § 4), а лишь иллюстрация новых
методов.
б) Группа PSLB,FP). При р > 3 эта группа простая (теорема 4
в § 2 гл. 2). Все её комплексные характеры известны, но мы ограни-
ограничимся замечанием, что PSLB,FP) содержит среди прочих по одно-
одному классу сопряжённости элементов порядка 2 и 3: 2А, ЗА. Имеется
два класса рА,рВ элементов порядка р с представителями — уни-
потентными матрицами
1 1
О 1
1 а
О 1
, где символ Лежандра
^j = — 1. Сильная жёсткость тройки BА,ЗА,рА), а также тро-
троек BА,рА,рВ) при (|J = -1 и (ЗА,рА,рВ) при (JJ = -1 прове-
проверяется непосредственно. Рациональности здесь, вообще говоря, не
ожидается, как показывает рассмотренный ранее пример группы
16*
244
Гл. 5. Начала теории Галуа
A5^PSLB,5):=PSLB,F5).
в) Простая группа SLB,8) = SLB,F8) порядка 504 = 23-32-7. Хо-
Хорошим упражнением служит построение таблицы её неприводимых
комплексных характеров:
XI
Х2
Хз
Х4
Х5
Хб
Х7
Х8
Х9
1А
1
7
7
7
7
8
9
9
9
2А
1
-1
-1
-1
-1
0
1
1
1
ЗА
1
-2
1
1
1
-1
0
0
0
7А
1
0
0
0
0
1
/3
/3"
/3'
1В
1
0
0
0
0
1
/3'
/3
/3"
1С
1
0
0
0
0
1
/3"
/з'
/3
9А
1
1
а
а"
а'
-1
0
0
0
9В
1
1
а'
а
а"
-1
0
0
0
9С
1
1
а"
а'
а
-1
0
0
0
Здесь
—2 cos —,
b/
, 4тг
а = —2 cos —,
а" = -2 cos—,
b/
По формуле E) имеем
|S(9A,9B,9C)| =
= 504 = SLB,
Чтобы убедиться в жёсткости, достаточно проверить, что любой
триплет (x,y,z) G § порождает SLB,8). Зададим поле
F8 = {0,1, Xi | 1 ^ i ^ 6}, Л3 = Л + 1.
Надо помнить, что ?$ — поле характеристики 2 и F8* = (Л). В ка-
качестве элементов тройки возьмём матрицы
а =
A2 + l A + l
А+1 А+1
, Ъ =
А2 + А + 1 А
А + 1 1
А2 + А
А
¦1 1
Легко проверяется, что а9 = Ь9 = с9 = е, аЪс = е. Степенями мат-
матрицы d = аАЪ2 = diag(A~1,A) исчерпываются все диагональные эле-
элементы группы SLB,8). Далее, получаются унипотентные матрицы
и = а2Ъ4а41>2 =
1 1
О 1
и сразу же после этого — элемент w = иии =
ключевую роль в разложении Брюа (см. доказательство теоремы 4 из
0
1
1
0
1
1
г
0
1
играющий
7. Эпилог 245
§ 2 гл. 2). Осталось получить стандартную борелевскую подгруппу,
но детали вычислений мы опустим.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть G, Н — конечные группы с сильно жёсткими семействами
Показать, что тогда
S(Xi xXfj\ I ^ i ^ m, I ^ j ^ m')
— сильно жёсткое семейство в G х Н.
2. Пусть а — внешний автоморфизм конечной группы, и пусть CCi,...
... ,%m) — жёсткое семейство классов сопряжённости в G. Показать, что тогда
а(%{) ф %i для некоторого г.
3. Показать, что в знакопеременной группе А§ с известными нам классами
сопряжённости 1 А, 2А, ЗА, 5А, ЪВ тройки
BА,ЗА,5А), BА,5А,5Б), (ЗА, 5А, 5Б)
являются сильно жёсткими. Отсюда следует, что А5 =
4. Обозначим через K\(z) число представлений элемента z конечной группы
G в виде коммутатора, т.е. число решений уравнения z = хух~1у~1. Показать,
что
Более общо: если Km(z) — число решений уравнения
Xi\z)
§ 7. Эпилог
7 ноября 2011 г. исполнится 200 лет со дня рождения Эвариста
Галуа A811-1832), одного из самых знаменитых математиков XIX
столетия. Идеи Галуа проникли к настоящему времени в разные об-
области математики, но и то, что обычно называют классической тео-
теорией Галуа, продолжает поражать воображение своим новаторством.
Имевшиеся до Галуа разрозненные факты об алгебраических урав-
уравнениях были объединены и резко расширены им посредством тео-
теории групп — теории, также не существовавшей в его время. Были
лишь отдельные примеры групп и простейшие понятия (у Лагран-
жа, Гаусса, Коши, Абеля), но отсутствовала даже какая-либо единая
терминология. Введённые Галуа понятия разрешимой группы, прос-
простой группы, нормальной подгруппы остаются по сей день наиболее
246 Гл. 5. Начала теории Галуа
употребительными в общей теории групп. Неумолимая логика раз-
развития привела Э. Галуа к конечным полям (поля Галуа, частично
встречавшиеся у Гаусса) и к группам дробно-линейных преобразо-
преобразований над конечными полями. Он доказал простоту групп Ап, п ^
^ 5 (знакопеременные группы), и PSLB,g), q ^ 4. Теоремы Галуа о
примитивных группах перестановок, о транзитивных группах про-
простой степени и о степенях представлений PSLB,g) в качестве тран-
транзитивной группы перестановок можно считать прообразом общих
классификационных результатов, полученных спустя полтора столе-
столетия. Условия разрешимости в радикалах алгебраических уравнений
(с целыми рациональными коэффициентами) простой степени, вы-
выраженные на теоретико-групповом языке, отличаются полнотой и
изяществом. И всё это было обдуманно и доказано Э. Галуа в воз-
возрасте от 16 лет до 21 года. Г. Вейль, сам внесший неоценимый вклад
в математику, заметил (см. [8]): "Идеи Галуа, остававшиеся на про-
протяжении нескольких десятилетий книгой за семью печатями, стали
впоследствии оказывать всё более и более глубокое влияние на раз-
развитие всей математики; эти идеи содержатся в прощальном письме
Галуа к другу, написанном им накануне смерти, постигшей его на
дурацкой дуэли, когда ему не было ещё 21 года. По новизне и глуби-
глубине идей, выраженных в этом письме, оно является, вероятно, самым
выдающимся творением из всего, что когда-либо было написано ру-
рукою человека". Короткая, полная загадок жизнь Э. Галуа с большим
тактом и симпатией описана в книге Л. Инфельда [13].
Общая оценка вклада Э. Галуа в математику дана также в заме-
замечательном историческом очерке Ф. Клейна [15]. В частности, Клейн
пишет: "Без знакомства с "теорией Галуа" трудно оценить всё значе-
значение его достижений. Я хотел бы поэтому попробовать наметить в не-
нескольких словах основной замысел этой теории, хотя в столь кратком
изложении и нет возможности дать представление о всём её объёме.
Прежде чем сделать это, я хотел бы отметить своеобразную роль, ко-
которую играет теория Галуа как предмет преподавания в наших уни-
университетах. Здесь происходит конфликт, одинаково прискорбный и
для обучающих, и для обучаемых. Именно, с одной стороны, препода-
преподаватели, воодушевлённые исключительной гениальностью открытия и
значительностью его глубоких результатов, особенно охотно чита-
читают курсы о теории Галуа; с другой стороны, как раз эта область
представляет исключительные трудности для понимания среднего
начинающего студента. Печальным результатом этого в большин-
большинстве случаев является то, что затраченные с особой любовью и во-
воодушевлением усилия преподавателей проходят мимо большинства
слушателей, не встречая, за редкими исключениями, никакого пони-
понимания. Известную роль в этом играют и особые трудности, которые
представляет изложение теории Галуа".
7. Эпилог 247
Высказанная выше мысль об особом месте теории Галуа пустила
довольно глубокие корни, на что обратил внимание крупный теоре-
тико-числовик А. Вейль. В предисловии к русскому переводу своей
книги [9] он пишет: "Было время, когда теория Галуа рассматри-
рассматривалась как вещь трудная и абстрактная, предназначенная лишь для
специалистов. Более того, я знавал некоторых превосходных мате-
математиков моего поколения, которые открыто признавались в своём
совершенном невежестве в теории Галуа и, кажется, даже гордились
этим. Теперь все хорошо понимают, что это — один из "основных"
разделов, с которым каждый серьёзный студент-математик должен
познакомиться в первые же годы обучения".
В последние годы большое внимание привлекла обратная задача
теории Галуа, удовлетворительное решение которой (пока не сущест-
существующее) требует далёких выходов в теорию чисел, алгебраическую
геометрию и, естественно, в теорию групп, включая теорию пред-
представлений. Кажется, что ситуация, описанная Ф. Клейном, лишь усу-
усугубилась. Вместе с тем предмет, стоящий на стыке многих матема-
математических дисциплин, должен быть привлекательным для студентов,
если на первых порах их внимание будет сосредоточено на элемен-
элементах теории Галуа, не слишком отягощенной техникой, но достаточ-
достаточно продвинутой для формулировки интересных результатов. Изло-
Изложение в гл. 5 преследовало именно эти цели. Прямая задача теории
Галуа (вычисление группы Gal(/) для любого многочлена / Е Q[-X"])
и обратная задача (построение многочлена с заданной группой Га-
Галуа) ещё долго будут предметом серьёзных исследований, не говоря
уже о том, что в более полном контексте теория Галуа приобрела
общематематическое значение.
Приложение
НЕРЕШЁННЫЕ ЗАДАЧИ
1. Классификация конечных простых групп. Собственно
говоря, эта классическая задача считается решённой. Ответ гласит,
что каждая конечная простая группа (естественно, не циклическая
простого порядка) изоморфна одной из следующих групп: знакопе-
знакопеременная, группа типа Ли, спорадическая. Никаких определений мы
не даём, чтобы не увязнуть в деталях. Спорадических простых групп
имеется всего 26 штук. К ним относится и упомянутый в преамбуле
к гл. 2 монстр М (другое обозначение М = F\ — в честь перво-
первооткрывателей Нортона-Фишера). Общая ситуация прекрасно описа-
описана в книге Д. Горенстейна "Конечные простые группы. Введение в
их классификацию" (М.: Мир, 1985). Обещанные несколько тысяч
страниц доказательства пока не предъявлены, но активная работа в
этом направлении ведётся. Если даже серьёзные пробелы не обнару-
обнаружатся, широкой математической публике это доказательство будет
недоступно. Ещё раз хочется сказать, что сила математики — в её
единстве, и кто знает, на каком пути и какими средствами будут да-
даны убедительные, легко проверяемые аргументы в пользу выводов,
полученных ценой многолетних усилий.
Общее направление исследований по конечным простым группам
определила знаменитая теорема Дж. Томпсона и У. Фейта A962 г.)
о разрешимости любой группы нечётного порядка. Доказательст-
Доказательство заняло 255 с. журнального текста. В последующих работах не-
нескольких математиков оно приобрело более прозрачную форму (см.,
например: Bender H., Glauberman G. Local Analysis for the Odd Order
Theorem. — Cambridge Univ. Press, 1994), но так и не доведено хо-
хотя бы до 100 с. Одна из коварно простых переформулировок задачи
заключается в следующем. Допустив существование в данном клас-
классе неразрешимой группы, мы должны получить группу G нечётного
порядка, совпадающую со своим коммутантом. Но если G = G', то
согласно следствию теоремы 7 § 4 гл. 4 имеет место соотношение
г=1 4=1
Соотношение (*), полученное при помощи теории характеров, в слу-
случае групп нечётного порядка можно редуцировать по модулю 2 и
рассмотреть над полем характеристики 2, где оно приобретает ещё
более изящную форму:
г г
г=1 7 = 1
Нерешённые задачи 249
Надо "всего навсего" доказать, что на самом деле соотношения (*),
(**) для групп нечётного порядка никогда не выполняются. Сделать
это средствами одной лишь теории характеров невозможно.
2. Регулярный автоморфизм. Как отмечалось в [ВА I, гл.
4, § 2], группа Aut(G) и даже отдельный элемент ip Е Aut(G) могут
служить источником важных сведений о группе G. Если
а ф е => (р(а) ф а,
то if называется регулярным автоморфизмом. Важная теорема
Дж. Томпсона о нильпотентности группы G с регулярным автомор-
автоморфизмом простого порядка р привела к многочисленным следствиям
и стимулировала интерес к возможной величине класса нильпотент-
нильпотентности п группы G. При р = 2 группа G абелева, а в общем случае
доказано (А. Кострикин, В. Крекнин), что п = п{р) < рр. На самом
же деле гипотеза, идущая от Г. Хигмана, гласит, что
Эта гипотеза верна при р = 3, 5 и как-будто (со ссылкой на компью-
компьютерные вычисления) при р = 7. Хорошо бы подтвердить эти вычисле-
вычисления и улучшить общую оценку. Гораздо более важна другая гипотеза
— о разрешимости конечной группы с регулярным автоморфизмом
любого порядка. Прямых подходов к её доказательству пока нет.
3. Странная алгебра Ли. Существует ли алгебра Ли L беско-
бесконечной размерности, все собственные подалгебры которой одномер-
одномерны? Если да, то это означало бы, что L порождается любой парой
непропорциональных элементов:
dim(a, Ь)р = 2 => L = Lie(a, Ъ).
Поле F можно считать произвольным, например, им может быть С.
В теории групп аналог такой странной алгебры Ли существует: в
своё время А.Ю. Ольшанским был построен пример бесконечной
р-группы, все собственные подгруппы которой циклические поряд-
порядка р (простое число р считается достаточно большим).
4. Проблема Бернсаида. Пусть F^ — Gr(x,y) — свободная
группа с двумя образующими ж, у, и пусть F% — её нормальная под-
подгруппа, порождённая n-ми степенями wn всех элементов w G F^. Ко-
Конечна или бесконечна "свободная" группа Бернсаида В(п) = i^/K^?
Для п = 2, 3,4, б ответ положительный, для всех достаточно больших
п ответ отрицательный. Значение п = 5 наименьшее, для которого
ответ неизвестен. Частичная переформулировка заключается в сле-
следующем.
250 Нерешённые задачи
Пусть
(ж, 2/; 1) := (ж, у) =
Найдутся ли такие элементы Wi(x,y) и целое число т, чтобы в
выполнялось соотношение
(ж, 2/; 6) = Y[wi(
г=1
Если нет, то группа Бернсайда В (Б) бесконечная; если да, то В (Б)
обладала бы интересным свойством энгелевости.
Для ориентировки напомним, что
т
(ж, 2/; 2) = (x
В В D) выполнено соотношение
г=1
В 1981 г. при помощи ЭВМ Хавас нашёл такое соотношение с т =
= 250. Позднее А.В. Корлюков, комбинируя машинные и ручные рас-
расчёты, пришёл к соотношению с т = 28, причём проверка допускает-
допускается без использования вычислительной техники. Каково наименьшее
ттг = ттгD) и что следует ожидать в интересующем нас случае п = 5?
5. Конечные группы полиномиальных автоморфизмов.
Пусть G — конечная подгруппа в группе Aut(Cn) всех полиномиаль-
полиномиальных автоморфизмов. Будет ли G сопряжена в Aut(Cn) с конечной
подгруппой в GL(n,C)? Для п = 2 это так (теорема Гизатуллина—
Данилова). При п ^ 3 вопрос остаётся открытым (Furushima Мгкго//
Tohoku Math. J. — 1983. —V. 35, № 3. — P. 415-424).
6. Просто приводимые группы (или 5Л-группы — по тер-
терминологии Е. Вигнера). Конечная группа G называется SR-группой,
если
gEG geG
где
f(g) = Cavd{xeG\ x2 = g}.
Коэффициентами разложения тензорного произведения любых двух
неприводимых представлений SR-rpyuu будут лишь нули и единицы,
что важно для интерпретации некоторых физических задач (Хамер-
меш М. Теория групп и её применение к физическим проблемам. —
М.: Мир, 1966). Класс SR-rpynn не пуст, как показывают примеры
Нерешённые задачи 251
любой элементарной абелевой 2-группы, обобщённой группы кватер-
кватернионов Q^ и любой диэдральной группы. Дадим кое-какие поясне-
пояснения. По определению
Q2n = (а,Ъ\ а2(п} = е, Ь2 = а2(п~2\ Ъа* = а-*Ъ), п ^ 3.
Заметим, что
При п = 3 получается обычная группа кватернионов. Прямые вы-
вычисления в G = Q2™ показывают, что
^ /(#K = Bп~1 + 2K + BП-2 - 1) • 23 =
= B71-1 - 2)BП-1J + 2BПJ + 271-1 • 42 =
Аналогично, если G = D2n+i5 то
= 22Bп + IJ + 2пBп + IJ + Bп + 1J2 =
ЕСЛИ G = 1?2п5 т0
= 2B • 2пJ + Bп - 2)BпJ + 2п • 42 = ^ |Сс(^)|2.
9
Несложно проверяется, что симметрическая группа S4 является
5^-группой, но $5 таковой уже не будет. Как выразить в общем
принадлежность G к Si^-классу в терминах структурных свойств
самой группы G?
7. Обратная задача Галуа. Говорят ещё "обратная задача те-
теории Галуа". Речь идёт о построении расширений Галуа поля ра-
рациональных чисел Q с заданными группами Галуа. Первопроходцем
был Д. Гильберт: его теорема о неприводимости утверждает, что
достаточно реализовать заданную группу G в качестве группы Га-
Галуа расширения над функциональным полем Q(x). Раз это так, то
на сцену выходят методы теории римановых поверхностей и алгеб-
алгебраической геометрии. Следующим поворотным пунктом оказалась
замечательная
Теорема (И.Р. Шафаревич, 1954 г.) Любая конечная разреши-
разрешимая группа реализуется в качестве группы Галуа некоторого нор-
нормального расширения F/Q).
252 Нерешённые задачи
Его метод в основном теоретико-числовой.
Подходом, развитым в последние годы, является метод жёсткос-
жёсткости, кратко изложенный в гл. 5 и в значительной мере приспособ-
приспособленный к простым или близким к ним группам. Первым жёсткость,
не употребляя этого термина, эффективно использовал Г.В. Белый
(Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1979. — Т. 43, № 2. — С. 267-276)
для реализации большинства линейных и проективных линейных
групп в качестве групп Gsl(E/L) с абелевым расширением L поля
Q. Термины жёсткости и рациональности, с необходимым обоснова-
обоснованием, были введены Дж.Томпсоном в работе (Thompson J.jj J. Al-
Algebra. — 1984. — V. 89, № 2. — P. 337-499), где он показал, что
монстр М = Gal(F/Q) для некоторого расширения Галуа F/Q. Сам
монстр М к тому времени уже прочно вошёл в теорию модуляр-
модулярных форм (благодаря фантастическим свойствам своих комплекс-
комплексных неприводимых характеров) и даже постучался в струнную тео-
теорию физиков. Несколько специальных конференций посвящены са-
самому монстру (например: a) Moonshine, the Monster, and Related To-
Topics: Research Conf., June 1994/ Eds Ch. Dong, G. Mason// Contemp.
Math. — 1996. — № 193; 6) Groups, Difference Sets, and the Mons-
Monster// Eds K. Harada, L. Solomon et al. — В., N.Y.: de Gruyter, 1996).
Свойства рациональной сильной жёсткости подробно обсуждаются
в книгах [37-39, 41]. Всё новые и новые классические простые груп-
группы находят реализацию в качестве групп Галуа расширений над Q.
К сожалению, далеко не все простые группы обладают свойством
рациональной жёсткости. Например, PSLB, 292) этим свойством не
обладает, хотя известно, что эта группа является группой Галуа над
Q. Более того, группы Сузуки Sz(q) порядков
не обладают свойством рациональной жёсткости и не известно, явля-
являются ли они группами Галуа над Q, по крайней мере при больших п.
Стоит отметить, что Sz(q) занимают особое место в списке простых
групп, поскольку только их порядки не делятся на 3.
Прямая и обратная задачи Галуа весьма трудоёмки в том смыс-
смысле, что вычисление Gal(/) для явно заданного многочлена / Е Q[X]
или, напротив, поиск многочлена с предписанной группой Галуа G
даже при сравнительно небольших deg / и \G\ требует больших уси-
усилий со стороны человека, вооружённого компьютером. Эта сторона
деятельности отражена в книге [37]. Стоит попробовать прямыми
вычислениями показать, что
Gal(X7 - 7Х + 3) ^ PSLB, 7).
Причина трудностей отчасти обусловлена доказанным Ван дер Вар-
деном A933 г.) фактом, согласно которому "почти все" многочлены
степени п имеют Sn в качестве своей группы Галуа над Q.
Нерешённые задачи 253
Обратная задача Галуа имеет более широкую постановку как в
известных нам рамках, так и в других математических теориях, на-
например, в дифференциальной теории Галуа, где алгебраическое урав-
уравнение f(x) = 0 заменено, скажем, на обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение с коэффициентами в C(z). Обстоятельное обсуждение
всего круга возникающих здесь проблем дано в докладе на семинаре
Бурбаки: Van Der Put M. Recent work on differential Galois theory//
Seminaire N. Bourbaki. — June 1998. — Exp. 849.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К УПРАЖНЕНИЯМ
Номер p.q.r отсылает к упражнению г из § q главы р.
1.1.3. Qs изоморфна группе этих матриц.
1.1.4. Нет.
1.2.1. Разложить G по Н сначала в левые, а затем в правые смежные
классы с теми же представителями.
1.3.1. Взять в качестве Н стационарную подгруппу G\ точки 1 G О,
воспользоваться разложением C) и положить а(г) = g%G\.
1.3.3. Обратить внимание на то, что все элементы группы Р имеют
вид д = AlBjCk, где
А =
1 1 О
О 1 О
О 0 1
в =
1 О О
О 1 1
О 0 1
с =
1 0 1
О 1 О
О 0 1
если д i Z(P), то СР(д) = (g)Z(G), \CP(g)\=p2.
1.3.4. Если a G Sn и тг = tti ... тгт, то
(Т7ГСГ — (TTTiCT . . . (ТТГтСГ 5
далее,
для любого цикла (ij, гг, • • • ,ik) длины к.
1.3.8. В сумме ^2N(g) каждый элемент ж Е О подсчитывается |^(ж)|
раз. Стало быть, элементы, лежащие с ж в одной орбите, вносят в ^ N(g)
вклад, равный
(G:St(x)) х \St(x)\ = \G\.
1.3.9. 1) Если D(a) — группа, то е Е D(a), так что еа = а~1е, т.е.
а2 = е и D(a) = С (а).
2) Если D{a) пусто, то Е{а) = С (a) U D{a) — группа, так что считаем
D(a) непустым множеством. Заметим, что ха = а~хх =^ а~1х~1 = х~ха.
Поэтому
т ?- Т~)(п) *' s~> т ?- Т~)(п) тп — п т ¦/ Ni- пт — тп
*JU V * * I yAJ I Т 7 *JU V * -^ I IX/ I , гД^ 1Д/ yAJ *JU T 7 VAJ *JU *JU VAJ .
Так как С (а) и D{a) замкнуты относительно взятия обратных, то таково
же и множество Е(а).
Если х,у Е С(а), то и жу G С(а). Если ж,|/ Е ?>(а), то
аж|/ = ха у = ж;г/а,
т.е. ху Е С(а) С Е{а). Третья возможность: ж Е D(a), у Е С(а). В этом
случае
= ха~1у =
Ответы и указания к упражнениям
255
так что ху G D(a) С Е(а). Остаётся заметить, что е Е С(а) С Е(а).
1.4.9. Подсчитать число элементов порядка 2 или воспользоваться ре-
результатом упр. 8.
1.4.12. aba = ba2b = ba~4
ab2 = aba
= ba~xb
xb =
= ba г • aba = 62a. Сделать отсюда заключение, что ab = ba и, следова-
следовательно, с учётом других соотношений b = е.
1.4.13. Любая матрица А = (
объединения столбцов (aij) = (А^
Sn —У GL(n), полагая
размера п х п записывается в виде
, А^). Определим отображение / :
где Е^ — г-й столбец единичной матрицы Е. Таким образом, /(тт) есть
п х n-матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой стоит ровно
одна единица, а остальные места заняты нулями (матрица перестановки).
Легко сообразить, что /(тг) Е GL(n).
Пусть а,т — произвольные перестановки, тг = ат — их произведение.
По определению в г-й строке матрицы f(cr) = (ais) и в j-м столбце матрицы
/(г) = (bki) отличными от нуля элементами будут соответственно ai a-ii =
= 1 и bTjj = 1. Поэтому для матрицы f(a)f(r) = (cij) условие c%j ф
Ф 0 эквивалентно условию g~1% = rj, т.е. г = arj = ttj, а это как раз и
означает, что f(a)f(r) = f(crr). Следовательно, / — гомоморфизм.
Свойство Кег / = е очевидно, поскольку непосредственно из (*) видно,
что /(тг) = Е ^=> тг = е. Стало быть, / — мономорфизм.
Наконец, определитель — кососимметрическая функция своих столб-
цов. Поэтому det /(тг) = д(Е
^\
— кососимметрическая функция
аргументов Е^\ ..., Е^п\ Из (*), а также из определения
Sn на д вытекает, что
и действия
= д(Е
Стало быть, det /(тг) = еп.
Случай п = 3:
(ж1\
*(!)
= det(?uV..,?w) =
{п)) =
B3)
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
A2)->
, A23)
0 1 О
1 О О
О 0 1
0 0 1
1 О О
О 1 О
A3)
A32)
С
с
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1 0
0 1
0 0
2.2.3. Группа S^ без центра, а SLB, 3) имеет центр порядка 2. Да,
группы Аа и PSLB, 3) изоморфны.
2.2.4. Группа G порядка pq, p < q, обязательно имеет нормальную
силовскую g-подгруппу, поскольку Nq = 1 + kq должно быть делителем G,
256 Ответы и указания к упражнениям
а это возможно только при к = 0. Если и Np = 1, то G — циклическая
группа. При Np = 1 + lp = q группа будет неабелевой.
2.2.6. Наиболее интересен случай \G\ = 30. Прямая проверка с исполь-
использованием теорем Силова показывает, что хотя бы одна из подгрупп Gp
должна быть нормальной. В противном случае TVs = 6, N3 = 10, и получа-
получается 24 элемента порядка 5, 20 элементов порядка 3, что явно абсурдно.
2.3.9. Применить теорему о согласованных базисах. В случае совпа-
совпадения рангов доказать заодно, что (F%b : А) = det С, где С — матрица
перехода от базиса в F%b к базису в А.
2.4.1. Положим Yt = log a(t). Тогда Г* будет кривой в Мп(Ж) с a(t) =
= ехр(Г^). Если Го = А, то нужно показать, что 1\ — прямая в
проходящая через 0, т.е I\ = tA. Зафиксировав ?, будем иметь
s-^0 S '
поскольку а — однопараметрическая подгруппа nt + s = s + t. Это пока-
показывает, что
Мы видим, что T't не зависит от t, являясь прямой. Итак, любой касатель-
касательный вектор к GL(n, R) совпадает с производной в 0 некоторой однопара-
метрической подгруппы.
2.5.2. Пусть V — дифференцирование алгебры Ли L(G). Полагая ct =
= [(exp (?X>))a, (exp (?D))h], будем иметь
jt , (exp (tV))h\ + [(exp (Ш))а, Р(ехр (tV))h\ =
= Р[(ехр (Ш))а, (exp t(V))h] = Vct.
Но дифференциальное уравнение
-rct= Vct
dt
с начальным условием со = [а, Ь] обладает единственным решением
с4 = (ехр(Ш))[а,Ь].
Мы видим, что exp (tV) — автоморфизм.
3.1.2. Да.
3.2.1. Продифференцировать равенство etateiat no t и положить t = 0.
3.3.1. Посмотреть на доказательство теоремы 2 из § 2 гл. 1.
3.3.2. Используя сопряжённость всех элементов порядка 2, показать,
что они располагаются в "букете" (см. рис. 6) из пяти
Ответы и указания к упражнениям 257
Рис.
попарно непересекающихся (точнее, пересекающихся по е) сопряжённых
силовских подгрупп порядка 4. Группа I действует на букете сопряжением.
Это действие точно, поскольку I — простая группа (см. упр. 1).
3.3.3. Применить теорему о гомоморфизмах к случаю Ф : SUB) —»¦
—> SOC).
3.3.7. Применить соображения, использованные при подсчете числа
ожерелий (задача 2 в начале главы).
3.4.1. Переписать соотношения D) и E) в виде
Умножить обе части этого равенства на ipkj(h) и просуммировать по j,
приняв во внимание равенство ^2j ^kj(h)^jjo(g) = ifikjo(hg). В получив-
получившемся соотношении
положить jo = k,io = г, а затем суммированием по г и А; перейти к харак-
характерам.
3.4.3. Пусть Ф — неприводимое представление, h — элемент из G.
В силу коммутативности группы Ф(д)Ф(Н) = Ф(Н)Ф(д) Уд G G. Положив
а = Ф(Н) в лемме Шура, получим Ф(Н) = \h?- Это верно для любого h E
Е G. Для неприводимого Ф остаётся единственная возможность — быть
одномерным.
3.4.5. По условию ВФдВ~1 = ^д для некоторой матрицы В = (bij) E
Е GL(n, С). Операция А \-> А* = ?А, применённая к ВФд = Ф^5, даёт
Ф^Б* = В*Ъд\ откуда Ф^1^*^ = В*ВФд1. По лемме Шура В*В = А?.
Далее, А = $^=1 |^/гг|2 = ДО? А* ^ С и. С = fi~1B — искомая унитарная
матрица.
3.4.6. Без ограничения общности считаем G матричной группой: G С
С GL(n, С), где п — степень представления. Пусть
C(G) = {м е мп(с) | мх = хм ух е G}
17 А.И. Кострикин
258 Ответы и указания к упражнениям
— централизатор группы G в Мп(С). Очевидно, что C(G) — подкольцо,
содержащее Z(G). По лемме Шура каждая матрица в C(G), отличная от
нулевой, невырожденная. Следовательно, C(G) — тело. Его центр К яв-
является полем и Z(G) С К. Таким образом, Z(G) — конечная подгруппа
мультипликативной группы поля К. Как известно ещё из [ВА I], такая
подгруппа всегда циклическая.
3.4.7. Решение короче формулировки упражнения. Нужно заметить,
что
=trСдФдСд1
т.е. характеры представлений ФиФ совпадают. Теперь достаточно при-
применить следствие теоремы 2.
3.5.2. Из ar(xiX2) = ur(xi)ar(x2) следует, что аТ — характер груп-
группы А. Так как (аа')т =ат(о')т, тог — гомоморфизм А в А. Далее,
Кегт = {а е А\ ат(х) = х(а) = 1 Vx G А} => Кегт = е,
а \А\ = \А\ = \А\ => т — изоморфизм.
3.5.7. 5, 1, -1, 0, 0.
3.6.2. Сравнивая размерности, получить разложение в прямую сумму
пространств
Ргп=Нш® (Х2 + у2 + Z2)Hm-2 0 (Х2 + у2 + Z*f''Нш-4 0 ...
3.6.4. Ввиду простоты SOC) нетривиальность т означала бы, что т —
точное представление степени 2. Но, как видно из примера 3 п. 4 § 5 или
из описания конечных подгрупп в SUB) (см. § 3), даже ограничение т |о,
0 = $4 не может быть точным.
4.1.1. Очевидно, что J — собственный идеал в Qm(%)- Если c/d ^ J,
то с ф pZ, и, следовательно, d/c E Qm(Z). Это означает, что всякий иде-
идеал L, полученный из J добавлением хотя бы одного элемента c/d, содержит
1 = c/d 0 d/c и, стало быть, совпадает с Qm(Z).
4.2.8. Рассмотреть примитивный корень а степени 8 из 1 в алгебраи-
алгебраическом замыкании ?2Р поля ?р. Так как а4 = —1, то а2 + а~2 = 0; кроме
того, а5 = —а, а~5 = —а, откуда а5 + а~ъ = —(а + а). Полагая
/3 = a + а, будем иметь /З2 = а2 + а~2 + 2 = 2, так что
р = ±l(mod8) =* /Зр = ар + а~р = а + а = /3 =*
Аналогично,
р = ±5(mod8) ^ f3p = ар + oTv = а5 + а =
Ответы и указания к упражнениям 259
4.2.9. Если п = 1 и /(ж) = Y%Li а^> а™ Ф 0, то
т т
f(xy) = y, «**У = т /(у) = № (Е а
г=1 г=1
где ж,?/ — независимые переменные. Равенство коэффициентов при ут
показывает, что атхт = f(x)am и, стало быть, /(ж) = хт. Если теперь в
общем случае положить д(х) = /(ж • Е), то д(ху) = д(х)д(у). Отсюда и из
справедливости утверждения при п = 1 вытекает, что д(ж) = Xs. Так как
X • Xv = (det X) • ?7, то
f(X)f(Xv) = /((det Х)Я) = g(det X) = (det X)s.
Ho /(X), f(Xv) и det X — многочлены от xij, 1 ^ г, j ^ n, причём det X
неприводим (см. [ВА I, гл. 5 § 3, упр. 7]). По теореме 4 о факториальности
кольца многочленов любого числа переменных f(X) = c(det X)m, с —
константа, причём f(XY) = f(X)f(Y) =^ с2 = с, а так как с ф 0, то
с= 1.
4.4.2. Ясно, что A,0) — двусторонняя единица в А © А. Положим е =
= @,1). По определению е2 = —1. Так как (ж,0)е = @,ж), то, отождествив
элемент х Е А с элементом (ж,0) G ЛфД придём к выражению (ж,г/) =
= ж + 2/е. Операция сопряжения в А® А задаётся формулой (ж, у) = (ж, —г/),
т.е. ж + уе = ж — 2/е. Если теперь а = ж + ?/е, 6 = гб + г>е, то
аЪ = хи-\- (уе)и + ж(г>е) + (ye)(ve) = их — и(уе) — (ve)x + (ve)(ye) = 6а.
Таким образом, операция сопряжения определена правильно. Непосредст-
Непосредственно проверяются свойства
еа = ае, а(Ье) = (Ьа)е.
Всё это означает, что удвоение алгебры А некоммутативно, если опера-
операция сопряжения на А не является тождественной. Удвоение неассоциатив-
неассоциативно, если исходная алгебра А некоммутативна. Удвоение коммутативной
и ассоциативной алгебры А ассоциативно. Эти замечания показывают, в
частности, что восьмимерная алгебра Кэли Са неассоциативна.
4.4.5. Нет. По теореме 4 для любых двух абелевых групп одинаковых
порядков строение их групповых алгебр над С одно и то же. Гораздо более
тонкие вопросы возникают при изоморфизме групповых колец: Z[G] =
4.4.6. Воспользоваться следствием теоремы 3: (Фд | д Е G) = Мп(С).
Приходим к выводу, что tr (СХ) = 0 для любой матрицы X Е Мте(С), т.е.
С = 0.
5.1.4. Рассмотреть поле разложения F многочлена Хр — а. Пусть в Е
? F — один из корней, так что а = вр и Хр — а = (X — в)р. Если теперь
Хр — а = гб(Х)г>(Х), где гб(Х) — нормализованный многочлен над Р по-
положительной степени т < р, то в силу факториальности i^[X] должно
выполняться равенство гб(Х) = (X — в)т. В частности, 6т, вр Е Р ^=>
5.1.5. Согласно предыдущему упражнению достаточно убедиться, что
17*
260 Ответы и указания к упражнениям
равенство
с g,h G ZP\Y] невозможно.
5.2.1. Согласно (8) Xd - 1 = Пе|<* феРО- Поэтому
Остаётся сослаться на A0).
5.2.2. Так как Фп(Х) = П(^~в)> гДе s пробегает примитивные корни,
то при п > 1 все ? не равны 1, и поэтому расстояние на комплексной
плоскости от точки q до любого е больше расстояния от q до 1. Стало
быть, |Фп(д)| = П(G~в) > #~ 1 и д — 1 никак не может делиться на Фп^).)
5.2.7. Перейти к уравнению х2 + ?/2 — z2 = 0 с ж, у, z E Fp. По теореме
Шевалле (см. упр. 4 из [ВА I, гл. 6, § 1]) общее число N решений этого
уравнения делится на р. Пусть решений с xyz ф 0 не существует. Под-
Подсчитать тогда N, рассматривая отдельно два случая. Если не существует
а Е ?р с а2 + 1 = 0, то решениями будут лишь
@,0,0), @,n,±n), (n,0,±n), п = 1,2,...,р-1,
и поэтому N = 4р — 3 = 0 (mod р) ^=> р = 3. Если а2 + 1 = 0 для некоторого
а Е Fp, то 7V = 6р - 5 = 0 (mod p) =^ p = 5.
5.2.8. Вообще говоря, нет.
5.3.2. а) А3; б) ?3; в) S3; г) Z4; д) D4.
5.3.1. Над полем Р(СM СР = 1? многочлен Хр — а Е ^[-Х"] либо непри-
неприводим, либо распадается на линейные множители, когда все корни лежат в
Р(С)- Предположим, что имеет место последнее и что и — один из корней.
По теореме 4 F/P будет расширением Галуа для любого F/P С Р{С)/Р.
В частности, минимальный многочлен fu элемента и распадается в Р{и) на
линейные множители. Предположив, что и ? Р, т.е. deg fu ^ 2, рассмот-
рассмотрим другой его корень v ф и. Тогда с точностью до выбора примитивного
корня С = u/v Е Р(и) и Р(и) = Р(С)- Это означает, что если Хр — а не
имеет корней в поле Р, то все его неприводимые множители одной и той
же степени [Р(С) • Р], т.е. [Р(С) • Р] делит простое число р. Но это исклю-
исключается, поскольку 1 < [Р(и) : Р] = [Р(С) : Р] ^ Р ~ 1- Итак, многочлен
Хр — а, не имеющий корней в поле Р, неприводим над Р(С)-
5.4.1. 6> + 1.
5.5.3. Предположив, что один из корней а можно выразить через ве-
вещественные радикалы, мы должны заключить, что это справедливо и для
остальных двух вещественных корней /3,7? поскольку они удовлетворяют
квадратному уравнению с коэффициентами в поле Р(а). Согласно теоре-
теореме 13 порядок группы Галуа поля разложения нашего многочлена должен
быть степенью двойки. Но это не так: порядок группы Галуа неприводи-
неприводимого многочлена степени 3 делится на 3.
Ответы и указания к упражнениям
261
5.5.4. а) Очевидно,
б) <т(
Г = 4vT =>• Л(«) 6 Р.
в) В качестве базиса поля F над Р можно взять A, и, и2,..., ип 1).
Положим Uj = o-J (и) и допустим на время, что
для г = 0,1,..., п — 1. В таком случае строки матрицы (ulj), O^z<j^n —
— 1, были бы линейно зависимы, а её определитель det(ulj) = Ylk>i(Uk ~ui)
равнялся бы нулю. Но это не так, поскольку все элементы uo,ui,..., un-i
попарно различны.
5.6.2. Действительно, предположим обратное. Тогда (gi,... ,gm) G
G S ^=> (<7pi,... ,crgm) G S. Так как G действует транзитивно на § внут-
внутренним сопряжением, то найдётся д G G, для которого crg^ = ggig~x Vz. Но
(pi,... ,gm) = G и, следовательно, сг — внутренний автоморфизм, вопреки
предположению.
5.6.3. Чтобы доказать сильную жёсткость указанных троек, проще
всего вычислить мощность |S| в каждом случае, используя формулу E) и
известную нам таблицу неприводимых комплексных характеров
Х2
Хз
Х4
Х5
\А
1
3
3
4
5
2А
1
-1
-1
1
1
ЗА
1
0
0
-1
-1
5А
1
Л
X'
0
0
1
А'
Л
0
0
Здесь Л = A + л/5)/2, X' = A — л/5)/2. Результат вычислений:
602
— (
- о v
4-3-5
_602_
4-5-5
602
l + 0 + 0 + 0 + о
) =
60,
(l
+ +0 +
+ 0 + 0 + i + о)
= 60.
C-5-5)
Легко проверяется также, что любая тройка в § порождает А
5.6.4. Очевидные замечания: K\(z) — целое число, и поэтому K\(z) =
= Ki(z); K\ — центральная функция. Далее рассуждаем, как в тексте, т.е.
по лемме Шура имеем равенство
где Фг — представление с характером
щ J2
ч = Хг(у)/Хг(е)- Из уравнения
262 Ответы и указания к упражнениям
переходом к следу и последующим суммированием по у получаем, исполь-
используя соотношения ортогональности,
3_ IGI
(gs — представители классов сопряжённости, записываемые в виде ком-
коммутатора). Умножаем на Xi(z) и суммируем по г:
\G\h'
Но в левой части равенства стоит Ki(z), поскольку YH=i Xi(9s)Xi(z) =
если д^фг°ж \C(z)\ в противном случае. Таким образом,
Теперь более или менее ясно, как получить выражение для K
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Так как лекционных часов и семинарских занятий, отводимых на ос-
освоение изложенного в [ВА III] материала, слишком мало, то приходит-
приходится ориентироваться на некий каркас, оснащая его по мере возможности
разными деталями. Каркас, именуемый учебной программой, подвержен
эволюции, вкусам лектора, а в целом отвечает уровню студенческой вос-
восприимчивости.
Рассказ о соответствии между линейными группами Ли и касательны-
касательными к ним алгебрами Ли (гл. 2 § 4), опирающийся на материал из [ВА II,
гл. 7 § 1] и в какой-то мере нужный геометрам (инициирован он по их про-
просьбе), получился довольно схематичным из-за явного дефицита топологи-
топологических сведений. Гораций был бы недоволен... (см. предисловие к [ВА I]).
И всё-таки сопоставления типа "алгебра Ли —>• группа Ли", "многочлен
—»¦ его группа Галуа", "произвольное ассоциативное кольцо —»¦ модуль над
этим кольцом" крайне полезны, поскольку они служат яркой иллюстрацией
единства алгебры как большого раздела математики.
В условиях механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ло-
Ломоносова упомянутый выше каркас алгебры третьего семестра применял-
применялся несколько раз. Теория Галуа потихоньку отошла в область спецкурсов.
Собственно, глава 5 и написана для одного из таких спецкурсов, причём
рассчитанного на эффективное использование теории характеров.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
(без теории характеров)
1. Разбиения на смежные классы и теорема Лагранжа.
2. Подгруппы циклической группы.
3. Конструкция факторгруппы и основная теорема о гомоморфизмах
групп.
4. Первая теорема об изоморфизме.
5. Коммутант группы и теорема об абелевых факторгруппах.
6. Центр и теорема о факторгруппе по центру.
7. Понятие разрешимой группы. Разрешимость конечной р-группы, S3
и 54.
8. Теорема о гомоморфном образе прямого произведения. Примеры.
9. Действия групп: стабилизаторы точек, длины орбит.
10. Действие сопряжением. Классы сопряжённости. Теорема о центре
конечной р-группы.
11. Первая теорема Силова (существование).
12. Вторая теорема Силова (сопряжённость).
13. Простота группы А$.
14. Простота группы SOC).
264 Методические замечания
15. Конечно порождённая абелева группа без кручения свободна. По-
Понятие ранга.
16. Теорема о существовании согласованных базисов свободной абеле-
вой группы конечного ранга и её подгруппы.
17. Теорема о строении конечно порождённой абелевой группы как
следствие теоремы о согласованных базисах.
18. Прямое доказательство теоремы о строении конечных абелевых
р-групп.
19. Основная теорема о конечных абелевых группах: инвариантные
множители, элементарные делители, примеры.
20. Эквивалентные множества матриц. Лемма Шура и её следствия.
21. Теорема о неприводимой матричной группе с конечным центром.
22. Теорема Машке о полной приводимости конечных матричных
групп.
23. Матричное представление конечной группы над С. Примеры.
24. Геометрический язык теории представлений. Примеры линейных
представлений. Переход к матричным представлениям.
25. Каждая неабелева конечная группа имеет неприводимое представ-
представление степени > 1 над любым полем нулевой характеристики.
26. Описание всех неприводимых комплексных представлений конеч-
конечной абелевой группы. Теорема двойственности.
27. Теорема о числе одномерных комплексных представлений конечной
группы.
28. Каждое комплексное представление конечной группы эквивалентно
унитарному.
29. Действие линейной группы степени п на однородных формах от п
переменных. Понятие об инвариантах линейной группы. Примеры.
30. Идеалы колец. Факторкольцо.
31. Основная теорема о гомоморфизмах для колец. Кольца главных
идеалов.
32. Алгебры над полем: ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Приме-
Примеры. Гомоморфизмы алгебр.
33. Идеалы в алгебре многочленов. Простота матричной алгебры.
34. Гомоморфные образы алгебры многочленов. Поля алгебраических
чисел.
35. Поле разложения многочлена. Примеры над Q и над ?р.
36. Существование конечного поля любого порядка q = рп.
37. Единственность конечного поля заданного порядка.
38. Автоморфизмы конечного поля.
39. Алгебры с делением. Алгебра кватернионов.
40. Теорема Фробениуса.
Методические замечания 265
ПРОГРАММА КУРСА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
C-й семестр, 1995 г.)
1. Порядок элемента и порядок циклической группы. Изоморфизм цик-
циклических групп одинакового порядка. Полное описание подгрупп цикли-
циклической группы.
2. Разложение группы в объединение левых (правых) смежных классов
по её подгруппе. Теорема Лагранжа и её следствия B часа).
3. Нормальная подгруппа. Факторгруппа. Теоремы о гомоморфизмах
и об изоморфизме. Прямые произведения групп E часов).
4. Действия групп. Орбиты и стабилизаторы. Классы сопряжённых
элементов и центр группы. Примеры: Sn и Ап B часа).
5. Понятие простой группы. Простота Ап, п > 4, и SOC) B часа).
6. Теоремы Силова B часа).
7. Свободные абелевы группы конечного ранга и их подгруппы. Пе-
Периодические абелевы группы. Строение конечно порождённых абелевых
групп D часа).
8. Кольца, алгебры, факторалгебры. Присоединение корня многочлена
к полю. Поле разложения многочлена. Конечные поля E часов).
9. Алгебры с делением. Алгебра кватернионов. Теорема Фробениуса
B часа).
10. Линейные представления групп и алгебр. Инвариантные подпро-
подпространства. Неприводимые и вполне приводимые представления. Матрич-
Матричная реализация. Теорема Машке. Представления конечных абелевых групп
C часа).
11. Модули. Лемма Шура. Теорема плотности. Структура простой ко-
конечномерной ассоциативной алгебры C часа).
12. Линейные группы Ли. Классические группы. Алгебры Ли. Каса-
Касательная алгебра Ли группы Ли. Экспоненциальное отображение D часа).
Общее количество лекционных часов — 34 (на практике меньше). При
необходимости часть лекционного материала переносится на семинарские
занятия.
ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ МАТЕРИАЛ К ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Многое можно пояснить, не прибегая к теории характеров.
Задача 1. Требуется установить, что неприводимое комплексное
представление (Ф, V), dim V = п > 1, симметрической группы
S3 = {a,b\ а3 = е, Ъ2 = е, ЪаЪ'1 = а2), а = A23), Ъ = A2),
с точностью до эквивалентности единственно.
Положим Ф(а) = Л, Ф(Ь) = Б и выберем в V базис, в котором В =
= diag(—1,..., —1,1,..., 1). Так как Z(Ss) = e, то В имеет в качестве
266 Методические замечания
собственных значений как — 1, так и +1. Пусть Bv = v. Очевидно, Av ф v,
поскольку п > 1, т.е. w = Av — v ф 0. С другой стороны,
(Л2 + Л + ?)w = (Л2 + А + ?)(Л - ?)v = (Л3 - E)v = 0.
Утверждается, что (w, Aw) — Ф(B)-инвариантное подпространство (кото-
(которое должно совпадать с У в силу неприводимости). Действительно,
Л-инвариантность установлена. Далее,
В • Aw = В(А2 - A)v = (Л - A2)Bv = (Л - A2)v = -Aw,
Bw = BAv -Bv = A2Bv - v = (Л2 - ?)v = (Л + ?)w.
Значит, в базисе (w,Aw) имеем
А=\\ 0 -1 II в=\\ 1 0 II
Мы однозначно восстановили (Ф, V). В частности, п = 2.
Задача 2. Та же проблема для группы кватернионов: имеем точное
неприводимое представление (Ф, V) и операторы Л, В на У, порождающие
Qe и связанные соотношениями
л4 = г, в2 = л2 = -г,
БЛБ = Л = -Л.
Выбираем в V базис, относительно которого
В = diag(z,..., г, — г,..., —г).
Так как Ф точное, то в качестве собственных значений выступают +г и
—г. Пусть г> — собственный вектор, для которого Bv = iv. Соотношения
Л2^ = —V, B(Av) = —ABv = — i(Av)
и неприводимость (Ф, V) показывают, что V = (v,Av), причём
А- II ° -1 || В-Ц • ° ||
II 1 0 ||' ^ ~ || 0 -г \[
Представление однозначно восстановлено.
Задача 3. Знакопеременная группа А^ определяется заданием
А^ = (а, 6, с | а2 = Ъ2 = (а, 6) = е = с3; сас = 6, сбс = аб)
Точность и неприводимость представления (Ф, У) позволяют выбрать в V
базис, относительно которого
Без ограничения общности выбираем 0 ф / G V, для которого С/ =
= С/, С / 1, С3 = 1. Если Л/ = /, то
— противоречие с неприводимостью Ф. Значит, и = Л/ — / ф 0. Анало-
Аналогично, v = Bf — / / 0, гу = ЛБ/ — / / 0. Имеем
Методические замечания
267
CBf = CBC^Cf = AB(f = (ABf,
CABf = ACf = (Af.
Поэтому Си = (v, Cv = ?w, Cw = (и. Далее, Аи = — и, Av = ABf — Af =
= (ABf -f)-(Af-f) = w-u, Aw = Bf-Af = v-u,Bu = ABf -Bf =
= w — v, , Bv = —v Bw = Af — Bf = и — v.
Получаем dim V = 3 и однозначно определённые матрицы
А =
-1
0
0
-1
0
1
-1
1
0
0
-1
1
0
-1
0
1
-1
0
, с =
0
с
0
0
0
с
С
0
0
предметный указатель
Автоморфизм регулярный 249
Алгебра над полем 167
— ассоциативная с делением 170,
172
конечная 173
— градуированная 169
— групповая 175
конечной группы 175, 177
— кватернионов 15
обобщённых 183
— Кэли 183
— Ли 79, 184, 187
странная 249
группы Ли 79
— над полем 168
— центральная простая 169
Аннулятор 161
Антиавтоморфизм 16
Базис абелевой группы 61
— нормальный расширения Галуа
224, 227
Башня расширений 190
Группа кватернионов 44
обобщённая 183
— конечно определённая 43
— Ли линейная 75
— мультипликативная 15, 154
— нильпотентная 49
— полиномиальных автоморфиз-
автоморфизмов 250
— преобразований 23
— простая 50
— просто приводимая 250
— разрешимая 48
— специальная линейная 10
ортогональная 10
— свободная 42
свободная абелева 64
— транзитивная 28
унитарная 10
— характеров абелевой группы 121
— U(Zn) 154, 158
Группы бинарные 108
— кристаллографические 127
— правильных многогранников 105
— просто приводимые 250
Вектор касательный 76
— старший 186, 187
Высота соотношения 62
Вес вектора 186
Группа абелева элементарная 73
— внешних автоморфизмов 45
— внутренних автоморфизмов 26
— Галуа 207
— движений пространства 30
— диэдра 43
— заданная образующими и соот-
соотношениями 43
Действие группы на множестве 26
— сдвигом 27
— сопряжением 26
Действия эквивалентные 31
Делители абелевой группы инва-
инвариантные 71
— элементарные 71
Дифференциал гомоморфизма 179
Дифференцирование алгебры Ли 82
— произвольной алгебры 184
Длина орбиты 25
Длина слова 41
Предметный указатель
269
Жёсткость набора 230
— сильная 239
— рациональная 239
Закон взаимности квадратичный
159
— двойственности для конечных
абелевых групп 125
Задание группы 43
Задача Галуа обратная 251
Запись несократимая 41
Идеал кольца 142
Идеал максимальный 148, 151
Идеалы кольца многочленов 144
Идемпотенты групповой алгебры
178
Изоморфизм групп Ли 74
— полей разложения 194
— (^-пространств 88, 91
Инварианты группы диэдра 137
— группы Sn 137, 138
— линейной группы 136, 140
Инвариантное подмножество при
действии группы 31
— подпространство 88
Инварианты конечной абелевой
группы 71
Индекс подгруппы 21
Кватернионы 15
Класс нильпотентности 49
— сопряжённых элементов 26
Классификация простых групп 248
Классы вычетов по модулю идеала
144
Клетка жорданова 89
Кольцо гауссовых чисел 150
— главных идеалов 151
— евклидово 150
— классов вычетов 143, 144
— локальное 150
— многочленов 153
— с делением 170
— факториальное 153
— характеров 133
— целых элементов 166
— эндоморфизмов 160
Коммутант группы 37
Коммутатор элементов 37
Константы структурные 178
Кратность веса 186
— вхождения 101
— полюса 103
Кривые в матричных группах 76
— дифференцируемые 76
Кручение абелевой группы 61, 64
Лемма Артина 208
— Дедекинда-Артина 219
Логарифм 81
Матрица эрмитова 96
Матрицы перестановок 46
Многочлен гармонический 128
— круговой 104, 212
— минимальный элемента 192
— неприводимый 196, 198
— сепарабельный 196
Модуль 159
Монстр 48, 252
Независимость алгебраическая
226
Нормализатор подгруппы 26
Норма элемента расширения 230
Нули характеров 181
Образующие свободные 41
— группы 43
Ожерелье 85
Оператор линейный ортогональный
96
— унитарный 96
Орбита 24
Параметризация групп 10
Подгруппа борелевская 52
— кручения 68
— Ли 75
— нормальная 19
— производная 37, 48
— сопряжённая 25
— стационарная 24
— унипотентная 52
Подгруппы Силова 55
Подпредставление 90
270
Предметный указатель
Подпространство дополнительное
90
— инвариантное 90
— устойчивое 90
Показатель группы 72
Поле разложения многочлена 146
Полюс вращения 103
Представитель смежного класса 19
Представление вполне приводимое
91, 99
— дуальное 131
— контрагредиентное 131
— линейное 16
— неприводимое 91
— неразложимое 90
— регулярное 93
— точное 86
— тривиальное 90
— унитарное 96
Пересечение идеалов 148
Подмодуль 159
— без кручения 162
— конечного типа 165
— кручения 162
— периодический 161
— простой (неприводимый) 163
над slB) 184
— свободный 163
— циклический 161
Поле конечное 198
— круговое 204
— совершенное 196
— циклотомическое 204
Представление алгебры 170
Представления неприводимые 91
— абелевой группы 121
— группы А^ У1^
— группы А$ 126
— кватернионов 125
— группы $4 124
— групп SUB), SOC) 127, 129
Проблема Бернсайда 249
Прогрессия арифметическая 228
Произведение групп прямое 39, 40
— полупрямое 40
Произведение идеалов 149
Произведение тензорное представ-
представлений 132
— пространств 132
Пространство евклидово 96
— касательное 77
— однородное 30
— представления 87
— эрмитово 96
Разложение Брюа 53
Размерность алгебры 168
Разрешимость в радикалах 235,
236
Ранг свободной группы 41
Расслоение 30
Расширение полей алгебраическое
192
Галуа 209
нормальное 209
с абелевой группой Галуа 229
— вещественное 237, 238
— радикальное 235
— циклическое 231, 233
конечное 192
Рациональность класса 239
Ряд композиционный 54
— нижний центральный 49
— нормальный 54
Символ Лежандра 158
След элемента расширения 230
Слово в алфавите 41
— пустое 41
Согласованность базисов 65
Соотношение минимальное 62
Соотношение ортогональности
второе 121
первое 114
Соответствие Галуа 210, 211
Соотношения 41
Стабилизатор точки 24
Степень представления 86
— примитивного элемента 191
— прямая группы 40
— расширения поля 191
Ступень разрешимости 48
Сумма идеалов 148
— квадратов чисел 152
— прямая представлений 90
Предметный указатель
271
Таблица характеров 120
Тело 14, 170
Теорема Артина 220
— Артина-Шрайера 234
— Белого-Томпсона 240
— Бернсайда 177, 181
— Брауера 135, 218
— Веддербарна 173
— Гильберта 231, 233
— Дедекинда 219
— Дирихле 228
— китайская об остатках 155
— Лагранжа 21
— Машке 99
— Фробениуса 172
— Фробениуса-Штикельбергера 69
— Шафаревича 251
— Шпайзера 231, 232
— (лемма) Шура 109
— Эйлера 156
Теоремы Силова 55, 56
Трисекция угла 214
Триплет жёсткий 240
Удвоение куба 214
Углы Эйлера 11
Удвоение алгебры 183
Уравнение Лапласа 83
Факторалгебра 168
Факторгруппа 32
Факторкольцо 143
Факторпредставление 90
Факторы инвариантные 72
— композиционные 54
Функция центральная 113
Функция Эйлера 203
Форма эрмитова 96
Формула обращения Мёбиуса 201,
203
— Витта 207
Характер обобщённый 133
— представления 111
Центр группы 26
Часть периодическая группы 68
Эквивалентность представлений 87
— топологическая 11, 14
Экспонента группы 72
Элемент кольца целый 166
— примитивный расширения 190,
196
Элементы сопряжённые 26
Учебное издание
КОСТРИКИН Алексей Иванович
ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ
Часть III
ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ
Редактор Е.Ю. Ходан
Оригинал-макет Н.Н. Андреева
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 27.05.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 18,7. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv