Ya_N_Feld_L_S_Benenson_1955_Antenny_Santimetrovykh_i_Detsimetrovykh

Similar

Современная теория и практические применения антенн

Антенны

Антенны сверхвысоких частот

Антенно-фидерные устройства

Text

я. н. ФЕЛЬД и Л. С. БЕ НЕ НС ОН

АНТЕННЫ

САНТИМЕТРОВЫХ
и

ДЕЦИМЕТРОВЫХ

ВОЛН

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга представляет собой учебник по разделам курса
ан генно-фидерных устройств, относящихся к сантиметровой и децимет-
ровой технике. Предполагается, что слушатели приступают к этой кни-
ге, изучив курсы теории электромагнитного поля и первые разделы кур-
са антенно-фидерных устройств, в которых излагается теория длинно-
волновых и коротковолновых антенн.

Книга содержит описание принципов действия, теорию и расчет раз-
личных антенн сверхвысоких частот, описание конструкций и соображе-
ния по эксплуатации антенн, причем основное внимание уделяется ан-
теннам самолетных и аэродромных станций. Наряду с материалами, из-
лагаемыми в курсе антенно-фидерных устройств, в книге имеется еще
и дополнительный материал, главным образом, по расчетам антенн,
предназначенный для дипломников, выполняющих проекты с детальны-
ми разработками антенно-фидерных систем.

Книга состоит из двух частей.

Первая часть начинается с вводной главы, содержащей описание'
электрических характеристик и краткий обзор основных типов антенн,
применяемых в технике сверхвысоких частот. Глава вводит читателя в
> круг тех вопросов и задач, которые возникают в технике антенн, и за-
ранее знакомит его с многообразием типов антенн и принципами их
действия.

Первая часть содержит также краткое изложение основных положе-
ний электродинамики, многократно используемых в дальнейшем на про-
тяжении всей книги. При этом материал, содержащийся в курсе электро-
динамики, приводится кратко, без доказательств. Основное внимание
уделяется обсуждению ряда важных соотношений и понятий, таких,
как уравнения поля с магнитными токами, лемма Лоренца, теорема
взаимности, первая и вторая граничные задачи электродинамики, тео-
рема эквивалентности и т. д., имеющих чрезвычайно большое значе-
ние для современной антенной техники СВЧ.

Эти результаты разбросаны по журнальным статьям и потому
мало доступны. Часть упомянутого материала содержится во второй
главе книги, где он предпосылается изложению теории проволочных
антенн. Положения электродинамики, используемые главным образом
в теории рупорных, зеркальных и других антенн, излагаются в гла-
ве VI!, предшествуя главам, изучающим эти антенны.

Глава III посвящена рассмотрению параметров, характеризующих
свойства антенны (например, диаграмм направленности по полю и мощ-
ности, коэффициента направленного действия, поляризационной харак-
теристики антенны и т. п.), и методов их расчета, иллюстрированных на
отдельных примерах.
Главы IV, V, VI трактуют вопросы формирования остронаправлен-
ных диаграмм при помощи систем проволочных вибраторов. Основное
внимание при этом направлено на различные линейные решетки, явля-
ющиеся важными элементами антенных систем. Здесь излагаются ме-
тоды расчета диаграмм направленности и к. н. д. решеток по заданным
токам в вибраторах антенны и метод наведенных э. д. с., позволяющий
определить амплитуды этих токов. Отдельная VI глава посвящена
описанию ряда конкретных многовибраторных антенных систем, приме-
няемых на практике (в том числе синфазных многоэтажных антенн с
активными и пассивными зеркалами и антенн типа «волновой канал»).
Там же излагаются и методы их расчета, использующие результаты,
полученные в предыдущих главах. В VII главе первой части приводит-
ся, как уже говорилось выше, общетеоретический материал, используе-
мый в главе VIII для вычисления диаграмм направленности и к. н. д.
излучающих раскрывов, возбуждаемых синфазным или близким к син-
фазному полем. Этот материал является подготовительным для рас-
смотрения антенн с излучающим раскрывом, рассматриваемых во вто-
рой части учебника.

Вторая часть будет посвящена изучению рупорных, зеркальных,
линзовых, зеркально-рупорных и щелевых антенн. В том числе будут
рассмотрены антенны с качанием луча и антенны с диаграммами спе-
циальной формы для 'самолетных станций. В этой же части будут описа-
ны антенны с вращающейся поляризацией (спиральные и рупорные) и
диэлектрические антенны. Отдельно будут рассмотрены вопросы конст-
руирования и размещения антенн на самолете.
ГЛАВА I

АНТЕННЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ НАЗНАЧЕНИЕ

§ 1. НАЗНАЧЕНИЕ АНТЕННЫХ СИСТЕМ

Любая линия радиосвязи состоит из двух разделенных большим
расстоянием устройств — передающего и приемного, связь между ко-
торыми осуществляется с помощью электромагнитных волн, распро-
страняющихся в пространстве.

В связи с этим возникает необходимость в специальных устройст-
вах — антеннах, основным назначением которых является как излуче-
ние, так и прием радиоволн. Соответственно этому различают передаю-
щие и приемные антенны. Все современные многочисленные области
применения радиоволн: магистральная и низовая связь, телевидение,
радиолокация, радионавигация, телеуправление и т. д. не могли бы
существовать без использования антенных устройств. В любом канале
радиосвязи присутствуют передающая и приемная антенны.

Высокочастотная энергия, поступая в передающую антенну, излу-
чается последней в окружающее пространство в виде электромагнитных
волн. Принципиально, любой провод с переменным током излучает
электромагнитную энергию. Однако для того, чтобы это излучение бы-
ло значительным и могло быть использовано для практических целей,
необходимо иметь размеры антенн, соизмеримые с длиной волны (или
большие). Действительно, из электродинамики известно', что излучение
энергии токами связано с конечной скоростью распространения элек-
тромагнитных волн. В квазистационарных системах — катушках самоин-
дукции, конденсаторах и т. д.,—длина которых мала по сравнению с вол-
ной, временем распространения колебаний вдоль них можно пренебречь
по сравнению с периодом. Поэтому у них сдвиг фаз между током и
напряжением оказывается равным 90° (если пренебречь потерями на
тепло), и ваттной мощности они не поглощают и не излучают.

У системы, которая хорошо излучает, сдвиг фаз между током и на-
пряжением на клеммах должен значительно отличаться от 90°. Если
запаздывание колебаний при распространении вдоль системы соизмери-
мо с периодом, т. е. длина системы соизмерима с длиной волны, то
благодаря запаздыванию появляется добавочный сдвиг фаз (не считая
сдвига фаз в 90°, имеющего место и в квазистационарных системах),
cos ® становится достаточно большим и система поглощает от генера-
тора активную мощность, расходуемую целиком на излучение (если
отсутствуют потери). Последним обстоятельством в значительной сте-
пени объясняется тот факт, что для радиосвязи используются только
сравнительно высокие частоты, при которых можно еще построить ан-
тенные системы, соизмеримые с длиной волны.
При приеме электромагнитные волны, встречая на своем пути про-
водники антенны, возбуждают в них переменные токи. При этом часть
энергии падающей волны поступает в антенну, которая в свою очередь
передает ее с известным к. п. д. приемнику. Между свойствами антен-
ны при работе ее на прием и передачу имеется глубокая взаимосвязь,
которую мы подробно разберем в дальнейшем. Сейчас же достаточно
отметить, что приемная и передающая антенны принципиально взаимо-
заменимы.

Задачи антенных систем не ограничиваются только излучением и
приемом электромагнитной энергии, роль их в настоящее время гораз-
до шире. С переходом к ультракоротким волнам, на которых возможно
создание остронаправленных антенн и антенн со специальными формами
диаграмм направленности, антенные системы дают возможность также
определять направление приходящей волны, получать картину местно-
сти на электронной трубке и решать целый ряд других задач радиоло-
кационной и навигационной техники. Большую роль в радиотехниче-
ских устройствах играют так называемые фидерные системы, служащие
для канализации высокочастотной энергии от передатчика к передаю-
щей антенне или от приемной антенны к приемнику. Существует боль-
шое количество типов фидерных устройств, используемых в зависимо-
сти от длины волны и назначения. На более длинных волнах применя-
ются открытые двухпроводные и многопроводные линии (последние,
главным образом, для целей приема). С укорочением волны переходят
на концентрические линии и различные типы волноводов.

Излучая высокочастотную мощность в пространство, передающая
антенна может по-разному распределять ее по различным угловым на-
правлениям, концентрируя излучение в одних направлениях и ослаб-
ляя — в других. Такое свойство передающей антенны называется направ-
ленностью ее излучения.

Приемная антенна может также обладать свойствами направлен-
ности приема, принимая электромагнитные волны, приходящие лишь с
некоторых направлений. Направленные свойства антенны могут быть
различны в зависимости от конструктивных и иных особенностей антен-
ны. Использование направленных свойств антенны как при передаче, так
и при приеме весьма выгодно. Действительно, для уверенного приема
необходимо, чтобы уровень сигнала на входе приемника был выше
уровня шумов.

Для этого, в частности, необходимо обеспечить достаточно высокую
напряженность поля в месте приема. Это может быть осуществлено как
за счет повышения мощности передатчика, так и за счет направленно-
сти передающей антенны, т. е. концентрации излучаемой мощности в
определенных направлениях. Последнее экономически значительно вы-
годнее.

Другой способ повышения уровня полезного сигнала заключается
в использовании направленных приемных антенн. При увеличении на-
правленности приемной антенны сигнал на входе приемника растет.
Это объясняется тем, что с ростом направленности растет поглощаю-
щая поверхность приемной антенны, т. е. площадь фронта падающей
на антенну плоской волны, с которой приемная антенна отбирает мощ-
ность. Кроме этого, применение направленной приемной антенны дает и
относительное увеличение полезного сигнала по отношению к уровню
помех, если направления прихода полезного сигнала и помехи различны.
Очевидно, что при этом мощность помех в приемнике снижается и от-
ношение сигнал/помеха увеличивается. Таким образом, применение на-
правленных антенн при работе как на прием, так и на передачу дает
больйюй эффект.

Следует подчеркнуть, что при радиосвязи через пространство, даже
при наивысшей осуществимой направленности передающей антенны,
приемная антенна способна перехватить лишь весьма малую долю из-
лучаемой мощности. В этом легко убедиться из следующего рассужде-
ния.

Пусть передающая антенна концентрирует излучения в телесном
углу S. На расстоянии ft от антенны конус с углом при вершине
вырезает на поверхности сферы радиуса ft площадку S — ft2 й.. Оче-
видно, что даже при весьма малых У с увеличением ft площадь S бес-
предельно растет, т. е. излучаемая мощность распределяется по все
большей площади. Приемная же антенна, вследствие конечности своих
размеров, уже не сможет перехватить всю эту мощность.

§ 2. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АНТЕНН

ограничимся изуче-

Рис. 1.1. Типичная
диаграмма направлен-
ности в какой-либо
плоскости:
а—главный лепесток;
б— побочные лепестки;
<5—направление главно-
го излучения.

Рассмотрим основные параметры, характеризующие работу антен-
ны как элемента линии радиосвязи. При этом мы
нием передающих антенн, поскольку свойства антенн
при работе их на прием можно при этом определить,
исходя из принципа взаимности (об этом подробнее
говорится во второй части книги). Одним из основ-
ных параметров антенны является ее направлен-
ность, о значении которой мы уже говорили выше.

Направленность излучения антенны обычно ха-
рактеризуют так называемыми! диаграммами направ-
ленности. Пространственная диаграмма направлен-
ности может быть изображена поверхностью, радиус-
вектор которой равен взятой в' каком-либо масштабе
величине мощности, излучаемой антенной в данном
направлении, отнесенной к единице телесного угла.
Сечения пространственной диаграммы плоскостями,
проходящими через центр диаграммы, называют
диаграммами направленности в соответствующей
плоскости. Можно также строить диаграмму направ-
ленности по напряженности поля.

Диаграммы направленности антенны в какой-
либо плоскости обычно имеют вид ряда лепестков,
разделенных нулями. Если среди лепестков диаграм-
мы можно выделить один или несколько, значитель-
но превышающих по своему максимальному уров-
ню остальные, то его называют главным лепестком
(или главными лепестками) диаграммы направлен-

ности, а остальные — боковыми, или побочными лепестками (рис, 1.1).

Направление максимума главного лепестка диаграммы называют
направлением главного излучения антенны, поскольку интенсивность
излучения антенны максимальна именно в этом направлении.

Формирование лепестковой диаграммы направленности связано с
интерференцией полей, создаваемых различными излучателями антен-
ны. Лепестки могут также возникнуть вследствие рассеяния энергии на
препятствиях, находящихся в поле антенны (например, на креплении
элементов антенны). В диаграммах слабонаправленных антенн боко-
вые лепестки могут отсутствовать; диаграмма направленности при этом
имеет вид одного-двух основных лепестков с равными максимумами.
Диаграммы остройаправленных антенн обычно имеют большое число
боковых лепестков. Наличие боковых лепестков вредно, так как они
приводят к бесполезному растрачиванию излучаемой мощности, созда-
ют помехи в работе другим радиостанциям и, в случае приема, приво-
дят к увеличению уровня помех. Однако полностью избавиться от бо-
ковых лепестков в случае остронаправленных антенн невозможно. Все
же можно добиться существенного снижения уровня боковых лепест-
ков, принимая для этой цели специальные меры.

Рассмотрим основные типы диаграмм направленности антенн,
встречающихся на практике, не останавливаясь пока на способах, при-
меняемых для их осуществления. Наименее направленными диаграмма-
ми обладают антенны в виде элементарного диполя (т. е. короткого,
по сравнению с длиной волны, прямого провода) и рамки (витка про-
вода малого, по сравнению с длиной волны, диаметра). Эти диаграм-

Рис. 1.2. Тороидальная диа-
грамма направленности.

Рис. 1.3. Игольчатая диаграмма
направленности.

мы, изображенные на рис. 1.2, имеют вид тороида, ось которого парал-
лельна оси провода или диполя, а для рамки — перпендикулярна ее
плоскости. Сечения диаграммы плоскостью, проходящей через ось то-
роида, имеют вид восьмерки; перпендикулярные к оси тороида сечения
представляют собой окружности. В этом сечении, таким образом, диа-
грамма — ненаправленная. Благодаря этому, диаграммы тороидального
типа получили название «всенаправленных». Близкую к ним диаграмму
имеет полуволновый вибратор.

Для увеличения направленности тороидальной диаграммы в пло-
скости, проходящей через ось тороида, можно использовать системы
указанных выше элементов, расположенных вдоль некоторой линии.
Всенаправленность диаграммы в перпендикулярной плоскости при этом
сохраняется. Основное применение антенны со всенаправленными диа-
граммами находят в радиовещании, военной радиосвязи, радиомаяках и
в станциях разведки и помех. Существуют также антенны с так назы-
ваемыми игольчатыми диаграммами (рис. 1.3), главные сечения кото-
рых имеют вид острого лепестка. При таких диаграммах излучение ан-
тенны концентрируется в небольшом телесном углу. Игольчатые диа-
граммы широко применяются не только с целью понижения мощности
передатчика, но и для определения угловых координат объектов, излу-
чающих или отражающих радиоволны.

Для последней цели применяются также и веерные диаграммы,
т. е. диаграммы, сжатые лишь в одной плоскости, обычно горизонталь-
ной (рис. 1.4). При этом облегчается обнаружение целей, ибо поиск не-
обходимо производить лишь по одной угловой координате. Правда,
одновременно теряется возможность определения второй угловой коор-
динаты в плоскости веера, но в ряде случаев это несущественно.

Диаграммам направленности можно придавать специальную фор-
му. Такие диаграммы, в частности, необходимы для антенн самолетных
Рис. 1.4. Веерная диаграмма
направленности.

полных излучаемых ими

бомбоприцелов, когда в пределах широкого угломестного сектора ан-
тенна должна обеспечивать на входе приемника постоянный уровень сиг-
нала, отраженного от любой цели, находящейся на поверхности земли
в пределах радиуса действия бомбоприцела.

Можно легко показать, что в этом случае диаграмма направлен-
ности в вертикальной плоскости должна иметь форму Acosec2 W (Н —
угол места); такой же вид должна иметь и диаграмма в вертикальной
плоскости антенны наземной радиолокацион-
ной станции дальнего обнаружения, если
пренебречь кривизной земли (рис. 1.5).

Для сравнения направленности различ-
ных антенн вводится параметр, называемый
коэффициентом направленного' действия
(к. н. д.) антенны. Впервые этот параметр
был введен в 1926 г. А. А. Пистолькорсом.

Этот параметр показывает, во сколько
раз мощность, излучаемая в данном направ-
лении антенной, превышает мощность, излу-
чаемую в том же направлении некоторой
эталонной антенной, при условии равенства
мощностей.

За эталонную антенну обычно принимают полуволновый вибратор
или некоторую гипотетическую ненаправленную антенну с диаграммой
типа шара.

Рис. 1.5. Диаграмма направленности типа cosec2 0.

а—самолетного бомбоприцела; б— наземной радиолокационной станции дальнего обнаружения.

Вторым важным параметром, характеризующим излучение антен-
ны, является ее поляризационная характеристика. Поясним, что пони-
мается под этим термином. Как известно, электромагнитная волна име-
ет поперечный характер, т. е. связанные с ней векторы электрического
и магнитного поля перпендикулярны направлению распространения
волны. Отсюда следует, что при одном и том же направлении распро-
странения могут существовать волны, отличающиеся направлениями
векторов поля. Для того, чтобы охарактеризовать ориентацию векторов
поля, говорят о плоскости поляризации поля, понимая под этой пло-
скостью плоскость, проходящую через направление распространения и
один из векторов поля, например, электрический. Такое поле называют
линейно поляризованным, или плоско поляризованным.
Если сложить два линейно поляризованных поля, электрические
векторы которых повернуты друг относительно друга в пространстве и
не совпадают по фазе, то электрический (и магнитный) вектор результи-
рующего поля не имеет фиксированного положения в пространстве, а
поворачивается на полный оборот за один период высокочастотного ко-
лебания. В общем случае вектор поля изменяется также и по длине.

Это значит, что и плоскость поляризации будет поворачиваться
(вращаться) вокруг оси, совпадающей с направлением распростране-
ния волны. В таких случаях говорят, что поле имеет вращающуюся по-
ляризацию. На рис. 1.6 изображен случай, когда складываются два ли-
нейно поляризованных поля, электрические векторы которых перпенди-
кулярны друг к другу, равны по величине и сдвинуты на 90° по фазе.

'Рис. 1.6. Получение вращающегося вектора по-
ля путем сложения двух взаимно перпендику-
лярных векторов, сдвинутых по фазе.

Все рассуждения о по-
ляризации поля электромаг-
нитной волны в равной сте-
пени применимы и к полю
излучения антенны.

Конец вектора поля опи-
сывает за период некоторую
плоскую кривую. Можно1 по-
казать (см. ниже, гл. III),
что эта кривая в общем слу-
чае представляет собой эл-
липс, вырождающийся при
линейной поляризации в пря-
мую линию. В разных точ-
ках пространства, лежащих
под разными направлениями

от антенны, форма этого
эллипса может быть различна. Значение поляризационных свойств антен-

ны весьма важно. Например, если линейные поляризации полей двух
антенн взаимно перпендикулярны, то одна антенна не будет принимать
излучение другой и наоборот.

По отношению к передатчику антенна представляет собой некото-
рую нагрузку, поглощающую генерируемую им мощность. Отличие от
обычных омических нагрузок в этом случае заключается в том, что
мощность, поглощаемая антенной, не превращается в ней в тепло, а
излучается в пространство, переходя в мощность электромагнитных
волн (некоторые сравнительно небольшие потери антенна все же име-
ет) . Знание, величины этой нагрузки и способов ее регулирования важ-
но для того, чтобы обеспечить максимальное извлечение мощности из
генератора, возбуждающего антенну. . Как известно, максимальную
мощность генератор будет отдавать в нагрузку в том случае, когда их
сопротивления комплексно сопряжены, т. е. Z.A^Zr*. Если сопротив-
ление антенны не удовлетворяет этому условию, то для согласования
ее с генератором можно применять согласующие устройства — транс-
форматоры сопротивлений. Сопротивление антенны Za 'состоит из ве-
щественной и реактивной компонент. Вещественная часть может быть
разбита на два слагаемых, одно из которых соответствует омическим по-
терям в антенне, а второе — «потерям», вызванным излучением. Вто-
рое слагаемое называют поэтому «сопротивлением излучения» антенны.

Величина сопротивления излучения определяется конструкцией ан-
тенны и может быть самой разнообразной — от десятых долей до тысяч
омов. Соотношение между полным сопротивлением и сопротивлением
потерь определяет к. п. д. антенны.

При разработке антенн для использования -в каких-либо устрой-
ствах обычно задаются техническими требованиями к перечисленным
параметрам. Эти требования обычно задают в виде некоторого интерва-
ла значений, которые могут принимать параметры антенны. Антенна
обычно рассчитывается для работы не на фиксированной частоте, а в
некотором частотном диапазоне. Частотный диапазон, в котором значе-
ния параметров антенны укладываются в интервалы, определенные до-
пусками, называют рабочим диапазоном антенны. Если ширина рабочего
диапазона не превышает нескольких процентов, то антенна называется
уз ко диапазонной; антенны, рабочий диапазон которых составляет десятки
процентов, называются широкодиапазонными.

Ширина рабочего диапазона антенны зависит как от конструкции и
размеров самой антенны, так и от жесткости требований к параметрам.

§ 3. ОБЗОР ТИПОВ АНТЕНН

Диапазон радиоволн огромен — он охватывает волны длиной от
десятков тысяч метров до миллиметров. Задачи, выполняемые радиоап-
паратурой, разнообразны. В связи с этим разработано множество типов
различных антенных систем с самыми разнообразными электрическими
характеристиками. Поэтому для облегчения ориентировки при ознаком-
лении с различными антеннами целесообразно разбить их на группы,
исходя из каких-либо общих признаков.

Перечислим основные наиболее важные группы антенн:

1) проволочные, или вибраторные антенны, элементами которых
являются вибраторы, выполненные из тонкой (по сравнению с длиной
волны) проволоки или толстых труб (диаметры которых соизмеримы с
длиной волны);

2) антенны акустического типа, представляющие собой металли-
ческие рупоры различной формы;

3) антенны оптического типа — зеркала и линзы;

4) антенны поверхностных волн — диэлектрические, металлические
стержневые и плоскостные антенны с диэлектрическим покрытием или
периодической структурой:

5) щелевые (дифракционные) антенны;

6) антенны с вращающейся поляризацией — спиральные и рупор-
ные.

Ниже мы дадим краткую характеристику и описание принципов
действия перечисленных выше антенн.

1. Проволочные (вибраторные) антенны

Простейшая проволочная антенна — симметричный вибратор дли-
ной около полуволны, возбуждаемый с помощью двухпроводной или
однопроводной линии. В первом случае возможны два способа подклю-
чения линии к вибратору — так называемое последовательное возбуж-
дение, когда вибратор разрезан на две половины, и параллельное воз-
буждение, когда разреза нет, а провода линии несколько разведены
(рис. .1.7). Пространственная диаграмма полуволнового вибратора имеет
тороидальную форму (см. рис. 1.2). Широко применяется также и несим-
метричный вибратор, т. е. вибратор длиной около — , установленный пер-
пендикулярно металлическому экрану и возбуждаемый у основания,
параллельно или последовательно (рис. 1.8). Области применения этих
антенн разнообразны.

Несимметричный вибратор особенно широко применяется на метро-
вых волнах в качестве связной самолетной или наземной антенны (в
последнем случае роль металлического экрана может играть земля).
Для получения остронаправленных диаграмм используют решетки виб-
раторов — многовибраторные антенны.

а) во

а)

0----------J

Рис. 1.7. Последовательное (а)
и параллельное (6) возбужде-
ния симметричного вибратора.

Рис. 1.8. Последовательное (а)
и параллельное (б) возбуждения
несимметричного вибратора.

Основными типами таких многовибраторных антенн являются:

а) Антенна, состоящая из нескольких рядов синфазных вибрато-
ров, возбуждаемых с одинаковыми амплитудами (рис. 1.9). Антенна
имеет игольчатую диаграмму, главный максимум которой перпендику-
лярен плоскости полотна вибраторов. Сжатие диаграммы в вертикаль-
ной плоскости происходит благодаря тому, что антенна имеет несколько"

Рис. 1,9. Синфазная многовибратор-
вая антенна.

Рис. 1.10. Антенна с осевым излуче-
нием (иначе называемая антенной
бегущей волны).

Конденсатор

рядов (этажей) вибраторов, а в горизонтальной плоскости — за счег
числа вибраторов в этажах. Для того, чтобы антенна излучала только
в одну сторону от полотна вибраторов, применяется зеркало — полотно-
вибраторов, идентичное основному и отстоящее от него на расстоянии
порядка —. При этом фаза тока в вибраторах зеркала должна упре-
ждать фазу токов в вибраторах антенны на угол, близкий к 90°.

б) Антенна с осевым излучением, выполняемая в виде линейной
решетки вибраторов (рис. 1.10), возбуждаемых со сдвигом фазы, меня-
ющимся вдоль антенны по линейному закону.

Диаграмма направленности такой антенны также игольчатая, но ее
главный максимум ориентирован вдоль оси антенны. Необходимо отме-
тить, что здесь один ряд вибраторов обеспечивает сжатие диаграммы
как в вертикальной, так и горизонтальной плоскостях. Это является
характерным для антенны с осевым излучением. Если в питающую ли-
нию включен лишь один из вибраторов антенны, а остальные вибрато-
ры являются пассивными и возбуждаются благодаря его излучению

Рис. 1.11. Антенна „волновой канал“.

(причем нужная фаза возбуждения подбирается регулированием длины
пассивных вибраторов),, то мы получаем конструктивно весьма простую
и весьма распространенную антенну типа «волновой канал» (рис. 1.11).

И синфазная антенна и антенна «волновой канал» широко применя-

лись в метровом и дециметровом
радиолокационных станций
дальнего обнаружения, а также
в различных самолетных радио-
локационных станциях (в пос-
леднем случае применялись,
главным образом, антенны
« в ол нов ой кан ал»).

На более длинных волнах
(в коротковолновом диапазо-
не) широко распространены ан-
тенны в виде проводов дли-
ной в несколько X. Если ток
в проводе имеет вид стоячей

диапазонах волн в качестве антенн

Направление

Рис. 1.12. Ромбическая антенна.

волны, то антенна называется гармо-

никовой. Провода с бегущей волной тока, расположенные в виде ромба,
образуют ромбическую антенну (рис. 1.12) . При этом для получения
бегущей волны в ромбе на его конце включено активное сопротивление,

равное волновому сопротивлению ромба.

2. Антенны акустического типа

Антеннами акустического типа мы называем металлические трубы
и рупоры, излучающие из открытого конца.

Для того, чтобы понять принцип действия этих антенн, опишем сна-
чала методы канализации высокочастотной энергии, характерные для
волн короче 10 см. Как известно, для подведения высокочастотной мощ-
ности от передатчика к антенне используют длинные линии, либо двух-
проводную, либо коаксиальную (рис. 1.13). Канализация мощности в
этих линиях осуществляется при помощи так называемой «поперечной
электромагнитной волны», силовые линии поля которой показаны на
рис. 1. 13. Потери в этих линиях заметно возрастают с укорочением
волны; особенно резко увеличивается затухание на волнах санти-
метрового диапазона. Кроме того, чем короче волна, тем меньше
приходится брать поперечное сечение- такой л!шии, во избежание появ-
ления в линии других типов волн с еще большим затуханием (а также
для уменьшения потерь на излучение в случае двухпроводной линии).

Между тем, если в коаксиальном кабеле удалить центральный про-
водник, то мы получим передающую линию нового типа — полую тру-
бу, или волновод (рис. 1.14) со значительно меньшими потерями (ос-
новные потери имеют место в центральном проводнике кабеля, вслед-

Рис. 1.13. Двухпроводная (а) и коаксиальная (б)
передающие линии.

ствие большой плотности тока в нем). Такая труба может применяться
для канализации высокочастотной мощности лишь в том случае, когда
размеры поперечного сечения трубы сравнимы с волной. Поэтому прак-

Рис. 1.14. Цилиндрический волновод круглого
сечения.

тическое применение волноводы могут найти лишь на сантиметровых
волнах. Волны, распространяющиеся вдоль волновода с отверстием на
торце, будут излучаться. Таким образом, открытый конец волновода бу-
дет представлять собой простейшую антенну.

Рис. 1.15. Рупорные аитениы: конический (а), пирамидальный (б) и секто-
риальный (в) рупоры.

Так как диаметр волновода порядка волны, то направленность этой
антенны весьма невелика, и она чаще всего применяется в качестве об-
лучателя зеркала и линзы. Для увеличения направленности открытый
конец волновода снабжают рупором — плавным переходом к более ши-
рокому излучающему отверстию (рис. 1.15,а).
Рупор этот должен быть достаточно длинным для того, чтобы!

обеспечить плавный переход от волновода к открытому пространству.

Только при этом в раскрыве рупора будет иметь место практически
синфазное поле и он будет по своим диаграммам близок к синфазной
решетке вибраторов (см. выше), т. е. будет иметь игольчатую диаграм-

му с малыми боковыми лепестками. Угловая ширина главного лепестка
будет при этом порядка ~ радиан (D — диаметр раскрыва рупора).

Рупор играет также и другую важную роль, согласуя волновые сопро-
тивления волновода и свободного пространства, уничтожая, таким
образом, отражения мощности от открытого конца. Эти антенны мы на-
звали акустическими, поскольку они аналогичны излучателям, приме-
няемым в акустике для направленного излучения звука (рупоры —ме-
гафоны).

Рупорная антенна выполняется не только в виде конического ру-
пора (рис. 1.15,а). Если волновод имеет прямоугольное сечение, то при-
соединяемый к нему рупор может быть пирамидальным (рис. 1.15,6)
или векториальным (рис. 1.15,в). В первом случае он имеет игольчатую
диаграмму, так как оба размера выходного отверстия рупора велики
по сравнению с X, во втором — веерную, так как сжатие диаграммы
при этом происходит только в той плоскости, в которой раскрыв рупора
имеет большой размер. Рупорная антенна является весьма простой и
широкодиапазонной конструкцией. Однако она непригодна для создания
очень узких диаграмм, уже 8—10°, поскольку для этого необходимы
чрезмерно громоздкие и длинные рупоры.

Наиболее широкое применение рупорные антенны находят на сан-
тиметровых волнах, в отдельных случаях они используются и на деци-
метровых волнах (10—30 см).

Рупоры применяются как в качестве самостоятельных антенн, так
и в качестве облучателей зеркальных и линзовых антенн радиолока-
ционных станций.

Рупоры применяют также в различной вспомогательной измери-
тельной аппаратуре (радар-тестеры, имитаторы, генераторы сигналов),
когда весьма важны простота конструкции антенны и малые боковые
лепестки.

Следует отметить применение рупоров в качестве эталонов при из-
мерении к. н. д. методом сравнения.

3. Антенны оптического типа

Для получения остронаправленных диаграмм с главным лепестком
шириной в несколько градусов и менее используют антенны «оптиче-
ского» типа, т. е. антенны, в которых формирование диаграммы направ-
ленности осуществляется с помощью принципов, аналогичных приме-
няемым в оптике при построении оптических приборов. К антеннам оп-
тического типа относятся зеркальные и линзовые антенны.

Если параболическое зеркало облучать источником, расположен-
ным в его фокусе, то, благодаря свойствам параболы, после отражения,
по законам геометрической оптики, от зеркала должен получиться пу-
чок параллельных лучей (рис. 1.16). На самом деле, благодаря конеч-
ности длины волны и возникновению вследствие этого дифракционных
явлений, лучи начинают расходиться, образуя главный лепесток и ряд
побочных. Так же, как и в случае излучения из рупоров, основная из-
лучаемая мощность будет сосредоточена в конусе с углом при верши-
не, равным Х/D радиан (D— диаметр зеркала). Такая антенна изобра-
жена на рис. 1.17,а. Для получения веерной, т. е. сжатой лишь в одной
плоскости диаграммы, применяют зеркала, выполненные в виде парабо-
лических цилиндров (рис. 1.17,6). Диаграммы специальной формы, на-
пример. типа cosec2Н (см. выше), также обычно обеспечивают с по-

Рис. 1.16. Принцип работы зер-
кальной антенны с параболиче-
ским отражателем.

мощью зеркальных антенн. Для этого
применяют зеркала специальной формы,
отличной от параболической (рис. 1.18).
Зеркальные антенны получили весьма ши-
рокое распространение, являясь основным
типом антенн, применяемых в наземных и
самолетных радиолокационных станциях
сантиметрового и дециметрового диапазо-
нов. Объясняется это простотой конструк-
ции и возможностью обеспечить как весь-
ма остронаправленные диаграммы, так и
диаграммы специальной формы.

Другой антенной оптического типа
является линзовая антенна. В ней для фо-
кусирования мощности, излучаемой облу-

чателем, используется линза (рис. 1.19).
Последняя может быть выполнена как из высококачественного диэлект-
рика с малым углом потерь (полистирол), так и из искусственного
диэлектрика. Коэффициент преломления п диэлектрика больше единицы
(замедляющая линза).

Рис. 1.17. Зеркальные антенны с отражателями в виде
параболоидов вращения (а) и параболических цилин-
дров (б).

Искусственный диэлектрик выполняется из металлических шари-
ков, дисков, стерженьков, размеры которых малы по сравнению с дли-
ной волны, впрессованных в диэлектрик с малыми е и tg S. Эти эле-
менты размещаются в узлах пространственной решетки, имитируя
структуру обычного диэлектрика (рис. 1.20).

Существуют также линзы, выполняемые в виде набора параллель-
ных пластин (металлопластинчатые линзы) или прямоугольных волново-
дов (волноводные линзы, рис. 1.21). Так как фазовая скорость v элек-
тромагнитных волн в волноводах больше с, то коэффициент преломле-

ния в таких линзах п~—будет меньше 1. Таким образом, волновод-
с

ные линзы будут ускоряющими. Поэтому профили волноводных линз
отличаются от профилей линз диэлектрических (см. рис. 1.19 и 1.21).
В отличие от диэлектрических линз, пути лучей в волноводных лин-
зах определяются не законом преломления, а направлением осей вол-

новодов.

Рис. 1.18. Зеркальная антенна
с отражателем специальной фор-
мы.

Известны линзы, называемые
линзами с переменным воздушным^
путем. Простейшая линза такого ти-
па состоит из пары металлических
пластин, изогнутых по определенно-
му закону (рис. 1.22). В таком ви-

Рис. 1.19. Принцип работы
линзовой антенны.

де эта линза фокусирует только в одной плоскости (плоскость а—а,
рис. 1.22). Она имеет диаграмму веерной формы. В этой линзе, как.

б)

Рис. 1.20. Искусственный диэлектрик из решетки шариков (а)
и стерженьков (б).

видно из рис. 1.22, выравнивание длин оптических путей всех лучей
происходит за счет изменения длин геометрических путей лучей в линзе.

Рис. 1-21. Металлопластинчатая (а) и волноводная (б) линзы.

благодаря изгибу пластин ж> соответствующему .закону.

Линзовые антенны конструктивно значительно сложнее рупорных и
зеркальных. Поэтому их чаще всего используют в сочетании* с рупор-

2. Фельд, Бененсон.

17
ной антенной, помещая линзу в раскрыве рупора (рис. 1.23). Это дает
возможность резко сократить длину рупора. Такими антеннами'обычно
оборудуют радиоретрансляционные линии. Весьма важным является ис-
пользование линзовых антенн для специальных задач, например для
качания главного лепестка диаграммы направленности антенны в ши-
роком секторе, путем перемещения облучателя. В пределах небольшого

Рис. 1.22. Линза с переменным
воздушным путем, фокусиру-
ющая в одной плоскости.

Рис. 1.23. Рупорно-линзовая
антенна.

угла можно качать диаграмму и в параболических антеннах, вынося
облучатель из фокуса параболического зеркала. Применение сфериче-
ских зеркал позволяет производить качание луча в значительно более
широком секторе.

4. Антенны поверхностных волн

Описанные выше антенны акустического и оптического типов мож-
но назвать антеннами с излучающим раскрывом, так как в них
излучение происходит через некоторое отверстие — раскрыв, на кото-
рый падает электромагнитная волна, причем фронт волны в раскрыве
синфазен или близок к синфазному (если не рассматривать случай ка-
чания луча, когда фаза в раскрыве изменяется по закону, близкому к
линейному), благодаря чему эти антенны являются поперечно излучаю-
щими, аналогично синфазным многовибраторным решеткам.

Рассмотрим теперь антенны, являющиеся аналогами многовибра-
торных антенн с осевым излучением и отличающиеся от них тем, что в
них излучают не отдельные дискретные элементы, а вся поверхность
антенны. Эти антенны могут быть как плоскостными, так и стержне-
выми.

Установленное на одном конце антенны устройство возбуждает
волну, распространяющуюся вдоль антенны и являющуюся поверхност-
ной в том смысле, что основная мощность, переносимая волной, скон-
центрирована вблизи поверхности антенны и при удалении от поверх-
ности по перпендикуляру падает по экспоненциальному закону. Можно
показать, что это возможно лишь при v с (у — фазовая скорость по-
верхностной волны), т. е. поверхностная волна обязательно будет замед-
ленной.

Антенна поверхностной волны может быть выполнена в виде пло-
скостной или стержневой системы из диэлектрика или металлической
пластины (стержня) с диэлектрическим покрытием. Диэлектрическое
покрытие на поверхности металла может быть заменено периодической
структурой, например канавками (рис. 1.24). Эти антенны отличаются
тем, что в первом случае часть энергии распространяется внутри стерж-
ня, в то время как во втором случае внутри стержня поля нет. Диа-
граммы направленности таких антенн напоминают диаграммы антенн
типа «волновой канал», однако они значительно более широкодиапа-
зонны. Возбуждаться такие антенны могут обыкновенным вибратором.
У антенн стержневых максимум диаграммы всегда ориентирован точ-
но по оси антенны. В антеннах плоскостных, вследствие краевых эф-
фектов, максимум диаграммы отклоняется от плоскости. Плоскостные

д)

Т ис. 1.24. Антенны поверхностных волн: диэлектрический стержень (а) и трубка (<5\
возбуждаемые вибратором; провод, покрытый диэлектрической оболочкой (в) или
с периодическими канавками (г), возбуждаемый рупором; плоская периодическая
структура (д), возбуждаемая рупором.

антенны поверхностной волны могут применяться в качестве маловы-
ступающих самолетных антенн. Стержневые диэлектрические антенны
применялись в качестве антенн ряда самолетных радиолокационных и
разведывательных станций сантиметрового диапазона.

5. Щелевые (дифракционные) антенны

Щелевые антенны выполняются в виде узких щелей длиной как
около —(резонансные щели), так'и отличной от—. Щели прорезают
2 2

на поверхности волноводов, коаксиальных кабелей или полых резона-
торов (рис. 1.25).

Для того, чтобы щели излучали, необходимо, чтобы они перереза-
ли под углом, близким к 90°, токи проводимости, которые текут на по-
верхности металла до прорезания щели. Излучение через щели объяс-
няется нарушением экранировки при их прорезании, вследствие резкого
изменения распределения токов на металлической поверхности, где они
прорезаны. Если металлическая поверхность, в которой прорезана
щель, — бесконечная плоскость, то диаграмма направленности такой
щели идентична диаграмме проволочного вибратора, имеющего форму
прорезанной щели (рис. 1.26). При помощи одиночных щелевых антенн
или их решеток, прорезанных в достаточно большом плоском экране,
можно получить такие же диаграммы направленности, как и в случае
проволочных антенн. Их преимуществом на сантиметровых волнах яв-
ляется сравнительная простота возбуждения, а также отсутствие час-
тей, выступающих за пределы поверхности, на которой прорезаны ще-

Рис. 1.25. Щелевые антенны в виде щелей, прорезанных на по-
верхности волноводов (а и 6} и коаксиального кабеля (в).

ли. Это обусловило применение щелей в качестве самолетных невысту-
пающих антенн (на сантиметровых и дециметровых волнах).

Рис, 1.26. Щель в бесконечном плоском экране (а)
и дополнительная к ней ленточная антенна (б).

6. Антенны с вращающейся поляризацией

Поле с вращающейся поляризацией может быть создано, как было1
сказано выше, путем сложения двух линейно-поляризованных полей,
повернутых в пространстве на 90° и сдвинутых по фазе на 90° друг от-
носительно друга. Отсюда следует, что

Рис. 1.27. Два взаимно перпендику-
лярных вибратора, возбуждаемых
со сдвигом фаз 90°.

большинство описанных выше антенн
может быть приспособлено для излуче-
ния и приема полей с вращающейся по-
ляризацией. Так, например, для этой
цели можно использовать два взаимно
перпендикулярных вибратора, возбуж-
даемых со сдвигом фаз 90° (рис. 1.27).
Если два таких вибратора поместить в
Ёолновод, то мы получим волноводную,
или рупорную антенну с вращающейся
поляризацией.

Последние антенны можно выпол-
нить значительно проще, если исполь-
зовать то обстоятельство, что фазовую

скорость волн, распространяющихся в волноводе, можно регулировать,
помещая в волновод диэлектричеакую или металлическую пластинку.

к
Поэтому, если в квадратном или круглом волноводе с помещенной в нем
пластинкой возбудить наклонным вибратором или стандартным прямо-
угольным волноводом, с помощью пир1амйдального перехода (см.
рис. 1.28) волны Hi0 и Н<ц (в прямоугольном 'волноводе) или волны Ht,
с азимутальными зависимостями по синусу и косинусу (в круглом волно-
воде), электрические векторы которых взаимно перпендикулярны, эти
волны будут иметь различные фазовые скорости и в определенном сече-
нии волновода разность фаз между полями этих волн достигнет 90°, т. е.
результирующее поле будет иметь вращающуюся поляризацию.

Линзовые и зеркальные антенны с вращающейся поляризацией по-
лучим, облучая линзу или зеркало рупорным облучателем с вращаю-
щейся поляризацией. Существуют также
антенны осевого излучения с вращающей-
ся поляризацией. Простейшей из них яв-
ляется спиральная антенна, представляю-
щая собой провод, навитый в виде сп.ира-

.ли и возбуждаемый
(рис. 1.29).

Рис. 1.29. Спиральная антенна
с вращающейся поляризацией.

с одного конца

Рис. 128. Волноводная антенна
с вращающейся поляризацией.

При определенных соотношениях между диаметром и шагом спира-
ли и длиной волны (когда длина окружности витка спирали близка к
X) спираль становится продольно излучающей антенной; поле ее при
этом будет иметь вращающуюся поляризацию.

Две спиральные антенны с различным направлением навивки соз-
идают поля лево- и правовращающейся поляризации. Поля с противо-
положным направлением вращения можно получить и с помощью дру-
гих антенн с вращающейся поляризацией. Если антенна излучает поле
правовращающейся поляризации, то она не будет принимать поле
левовращающейся поляризации и наоборот. Область применения ан-
тенн с вращающейся поляризацией — станции разведки и помех, когда
поляризация сигнала станции, которая должна быть разведана или ко-
торой должна быть создана помеха, линейная, но заранее неизвестна.
Спиральные антенны используются, главным образом, на дециметровых
волнах, рупорные — на сантиметровых (из конструктивных соображе-
ний). И те и другие антенны являются широкодиапазонными.

Закончив на этом обзор типов антенн, перейдем к непосредственно-
му изложению теории и практики антенных устройств. Вначале
будут изложены некоторые общие вопросы электродинамики,
которые необходимы для обоснования методов расчета антенных
систем. После этого излагаются теория, методы расчета и основные во-
просы конструирования различных типов сантиметровых и дециметро-
вых антенн.
ГЛАВА 1!

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ АНТЕНН

§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением электромагнитных
процессов, гармонически изменяющихся во времени. Зависимость от
времени примем в виде eiu,t , где <о — угловая частота, a t — время..
Будем пользоваться рационализированной практической системой еди-
ниц. Основные уравнения электродинамики — уравнения Максвелла —
имеют при этом следующий вид:

rot Н = 1ч>гЕ + J,

rot Е = —

Здесь Е нН— электрический и магнитный векторы поля, J— вектор
плотности электрического тока, а г, р. — диэлектрическая и магнитная
проницаемости. При наличии потерь, когда среда обладает объемной
проводимостью а, будем считать диэлектрическую проницаемость е
комплексной величиной, определяемой формулой:

е = е' - Г —, (2)

(О

где г' — обычная вещественная диэлектрическая проницаемость. При
этом член itosE в уравнениях (1) будет равен сумме токов смещения
iwz'E и проводимости аЕ . Действительно, учитывая (2), получим:

imzE = 1а>г' Е + <з Е.

Что касается вектора J, то он представляет собой плотность сторонних,
внесенных в среду токов, являющихся как бы источниками, возбуждаю-
щими поле. Такое выделение токов J является несколько искусствен-
ным, так как они по своей физической сущности не отличаются от то-
ков проводимости аЕ . Этим мы хотим только подчеркнуть, что токи яв-
ляются заданными в рассматриваемой задаче, в отличие от токов аЕ->
для определения которых необходимо прежде найти поле Е.

К уравнениям (1) обычно добавляют уравнение

<7 = div (s'ZT), (la).
определяющее плотность электрических зарядов q. В среде с непрерыв-
ными параметрами величина q обычно равна нулю. Из уравнений (1)
и (1а) немедленно следует закон сохранения электричества:

— i<s>q = div (ef-f- J). (16)

Уравнения (1) справедливы в области, где параметры среды е и р
непрерывны. На границе раздела двух сред, обладающих различными
параметрами, уравнения (1) теряют смысл* и должны быть дополнены
граничными условиями, определяющими поведение тангенциальных со-

ставляющих векторов поля при переходе через поверхность раздела.
Если две области, Ve и V{ с различ-

ными электромагнитными параметрами
граничат вдоль некоторой поверхности 8
(рис. 2.Г), то указанные граничные усло-
вия имеют вид;

[п-(Н{~ Не)\ = К
fn •(£' — Ее)] = 0

на s.

(3)

Здесь К — вектор поверхностной плотности электрического тока, теку-
щего по поверхности s, п — вектор единичной нормали к s, направлен-
ный в сторону области V( , индексы е и i означают, что Ее, Не и Ef,
Н1 являются предельными значениями векторов поля на поверхности s
при стремлении к ней со стороны области Ve и V( соответственно. Если
поверхностных токов на $ нет, как это имеет место в том случае, когда
обе среды обладают конечными проводимостями а, то тангенциальные
составляющие векторов поля непрерывны при переходе через s, т. е.

[«•(# —Йе)] = О

на s.

(За)

[«•(£’ — £*)] =0

Пусть одна из сред, например V(, обладает бесконечной проводи-
мостью (а = оо), тогда поле внутри Vt тождественно равно нулю и гра-
ничные условия (3) принимают вид:

\Неп\ = К

]Ееп\ =0

на s.

(36)

На поверхности металла, обладающего конечной, но большой проводи-
мостью, будут также выполняться с высокой точностью условия (36).

Действительно, в этом случае при достаточно высокой частоте, вслед-
ствие скинэффекта поле в металле будет отсутствовать, и ток будет
течь, практически, по поверхности металла. В дальнейшем мы при на-
писании условий типа (36) индексы е будем опускать. Граничные усло-

вия (3) будут выполняться также и в том частном случае, когда пара-
метры е, р остаются непрерывными при переходе от области И,- к Ve.
Таким образом, условия (3) выполняются на любой геометрической по-
верхности s, проведенной внутри среды с непрерывными параметрами,

* Так как теряют смысл операции «rot», входящие в уравнения (1).
если на s распределены электрические поверхностные токи. Если пос-
ледние отсутствуют (А"—0), то условия (3) переходят в (За). Наряду
с условиями (3) для тангенциальных составляющих векторов поля
можно написать также граничные условия для нормальных составляю-
щих; они имеют вид:

fl-(Z7 — De) = 7]
п-(В1 — Ве}=0

на s,

(4)

где т) — поверхностная плотность свободных электрических зарядов на
s, a D и В — векторы электрической и магнитной индукции, равные

Ъ = е.'Е, В = у.Н.

Для поверхностных токов и зарядов также должен быть выполнен за-
кон сохранения электричества:

— 1<от] = div/f на s. (5)

Поверхностные заряды обычно возникают, когда одна из сред обла-
дает бесконечной проводимостью а. Граничные условия (За) являются
простым следствием уравнений Максвелла (1) и условий (3), поэтому
их можно не учитывать при решении задач электродинамики.

Из уравнений Максвелла легко получить закон сохранения энергии
для электромагнитного поля. Перейдя от первого уравнения (1) к комп-
лексно сопряженному и умножая его скалярно на Е, а второе уравне-
ние (I) —скалярно на//*, получим, вычитая из одного другое:

div [£//*] = — EJ*+йо (г* ЕЕ* — (6)

Здесь Н* означает величину, комплексно сопряженную с Н, Е* — с Е
и т. д.

Заменяя величину е ее значением, взятым из формулы (2), и вы-
ражая сторонний ток J через напряженность сторонних э. д. с. £'ст
по формуле

/= а Егт,
придадим равенству (6) вид

•* div[E7>| = — aE(E + E^)* + im(e'EE* — (6а)

Введем полный ток /п, равный

Ja = J + af = а (Е + /Г").

Тогда

af(£4-£CT)*= -----E^Jl .

Подставляя это выражение в равенство (6), можно переписать его в
следующей форме:

Еа J* = div [£7/*] + MjiHH* — г'ЕЕ*) + - (7)

Это равенство представляет собой записанный в комплексном виде.
закон сохранения энергии, называемый комплексной теоремой Пойн-
тинга. Оно станет более наглядным, если перейти к интегральной
записи Интегрируя (7) по произвольному объему V, ограниченному
поверхностью s, найдем, применяя теорему Гаусса-Остроградского о
преобразовании объемного интеграла в поверхностный:

-1 pCTZ* dv = J(fxtftf* - s'ЕЕ*) dV + JdV. (7а)

(И (S) (И (Ю

'Здесь

S = — [£//*] — (8)

комплексный вектор Умова-Пойнтинга, представляющий собой плот-
ность комплексного потока энергии. Вещественная составляющая этого
.вектора

S' = Re -у [ЕН*] (8а)

равна средней за период плотности потока энергии, т. е. средней мощ-
ности (ваттной), проходящей через единицу площади, ориентированную
нормально к направлению движения энергии. Член, стоящий в левой
части уравнения (7а), равен комплексной мощности сторонних э. д. с.,
т. е. комплексной мощности, отдаваемой генератором, генерирующим
сторонние э. д. с. Поверхностный интеграл в (7а) есть полный комплекс-
ный поток энергии через поверхность s, второй член правой части (7а)
равен умноженной на z® разности средних значений магнитной и элек-
трической энергий в объеме V и, наконец, третий член равен средней
(за период) мощности, расходуемой в объеме V на джоулево тепло.
Разбивая комплексное равенство (7а) на два вещественных:

1И

£СТ7П* dV =

d"-dV
2а

Jm A ^EHJ*dV = у S"ds 4
(V) (s)

~ j (pHH*— s'EE*) dV

(Ю

(9)

($=£ + is"),

видим, что первое из них выражает закон сохранения активных
ваттных мощностей, а второе — реактивных. Действительно, из первого
уравнения (9) следует, что ваттная мощность сторонних э. д. с. расхо-
дуется на излучение энергии через поверхность s и на джоулево тепло,
выделяемое в объеме V. Что касается второго уравнения, то из него сле-
дует, что реактивная мощность сторонних э. д. с., стоящая слева, равна
потоку реактивной мощности через s плюс объемный интеграл. Послед-
ний равен умноженной на ® разности средних значений магнитной и
электрической энергии в объёме V. Это имеет следующий смысл: как
известно, реактивная мощность не отдается генератором безвозвратно,
а пульсирует, переходя от генератора в нагрузку и обратно. В электро-
магнитном поле также происходит переход энергии из магнитного поля
в электрическое и обратно, однако указанные энергии не равны друг
другу. Избыток одной энергии под другой периодически переходит из
электромагнитного поля в генератор сторонних э. д. с. и обратно. В этом
заключается физический смысл закона сохранения реактивных мощ-
ностей. Поверхностный интеграл J S"ds можно также выразить через

(•5)
произведение ® на разность средних значений магнитной и электриче-
ской энергии, заключенных в пространстве, находящемся снаружи по-
верхности s, в том случае, когда там отсутствуют сторонние э. д. с.

Равенства (9) имеют большое принципиальное значение и широко
используются при расчете антенных систем.

§ 2. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Теоремы единственности имеют большое принципиальное и практи-
ческое значение. Они показывают, как следует сформулировать ту или
иную задачу электродинамики, т. е. что должно быть задано для того,
__________________________чтобы задача имела единственное
__________________________ решение. Если задать излишние ус-

\ $ "Х ловия, то задача может не иметь нн-
( I Х'5' какого решения, так как заданные

I ) условия могут быть противоречивы.

X______ У Ve Недостаток данных приведет в свою

очередь к неразрешимости задачи.

Рис- 2.2. Необходимое и достаточное коли-

чество условий, обеспечивающих су-
ществование единственного^ решения, определяют «теоремы единствен-
ности».

Разберем сначала теорему единственности применительно к так
называемой внешней граничной задаче электродинамики. Пусть беско-
нечная область Ve ограничена изнутри поверхностью s и заполнена сре-
дой с произвольно меняющимися параметрами г’, у. и а (рис. 2.2). В
частности, при переходе через некоторые поверхности sb расположен-
ные внутри V е, параметры е', ц и а могут испытывать разрыв непре-
рывности. Справедлива следующая теорема:

Теорема единственности. Неоднородные уравнения Макс-
велла (1)

rot Н = i<oe Е + J,

rot Е = — Rm И

имеют внутри Vе единственное решение при следующих условиях:

1) сторонние токи (источники) / заданы и находятся на конеч-
ном расстоянии;

2) тангенциальные составляющие векторов Е и Н непрерывны при
переходе через поверхности типа Si;

3) на граничной поверхности s заданы тангенциальные составляю-
щие векторов Е или Н-

4) на бесконечности выполняются условия излучения Зоммер-
фельда

Нт — 1/ — [HR,]] = 0,

R -их> ( Vs )
lira R ( H- \ — [ад] = 0

/Мо l V f1 J

(10>

и условия конечности:

lim RE и limR/7 являются конечными величинами ; (10a)

/?->оо 7?~*oo

5) если внутри Ve всюду а Ф 0 (среда с потерями), то общие ус-
ловия пункта 4 могут быть заменены более жестким, но всегда выпол-
няющимся при а ф 0 требованием

limRE=0 и Ит/?Я=0.
7?->ОО

(11)

В написанных выше формулах R, означает единичный орт, совпа-
дающий по направлению с радиусом-вектором, проведенным от произ-
вольно выбранного начала координат до точки наблюдения; R — вели-
чина этого радиуса-вектора.

Выясним физический смысл условий (10). Выполнение этих усло-
вий означает отсутствие волн, идущих из бесконечности и поэтому.фи-
зически невозможных при размещении всех источников на конечном
расстоянии. Как известно, в плоской волне, распространяющейся в на-
правлении единичного вектора н, векторы поля связаны соотношениями.

Таким образом, выполнение условий (10) означает, что поле, соз-
даваемое любыми источниками (находящимися на конечном расстоя-
нии) при большом удалении от них, с точностью до членов степени R~2
и ниже, имеет характер локально плоских волн, движущихся в направ-
лении Rj,t. е. к бесконечности. Если бы существовали волны, идущие
из бесконечности, т. е. в направлении —/?,,то условия (10) не могли
бы выполняться. Для этих волн имели бы место условия, которые бы
отличались от (10) заменой вектора Rt на —Rr Что касается условий
конечности (10а), то они выражают физически вполне понятное требо-
вание, чтобы поле убывало с расстоянием не медленнее, чем — (в слу-

чае двумерной задачи, т. е. для цилиндрических

волн

поле должно

убывать как

Действительно, если в среде отсутствуют потери, то пдотность по-
тока энергии убывает с расстоянием обратно пропорционально поверх-

ности сферы радиуса R, т. е. как —, а значит, поле убывает как — .

При наличии потерь (s ф 0) поле, как известно, убывает значительно
сильнее, и условие (10а) тем более выполнено. Из сказанного, между
прочим, следует, что при о ф 0 всегда выполнено более жесткое усло-
вие (11) (если все источники находятся на конечном расстоянии и,
значит, отсутствуют волны, идущие из бесконечности).
Перейдем к доказательству сформулированной теоремы единствен-
ности. Доказательство это проведем, как обычно, от обратного. Пред-
положим, что существуют два различных решения, удовлетворяющие
всем требованиям теоремы: Е\,НХ и Е2, Н2. Тогда разность их

Е = Ег— Е2 и Н=Н1 — Н2 (12)

удовлетворяет внутри области Vе однородным уравнениям Максвелла:

rot Н = rot Е = — i.<»\i.H. (12а)

Из этих уравнений легко получить, аналогично тому, как это было
указано выше, соотношение типа (6):

div [£//*] = Z® (е*££* —р НН*).

В отличие от (6), здесь отсутствует член со сторонним током J, так
как последнего нет в однородных уравнениях (12а). Проинтегрируем
написанное равенство по области Ve:

jdiv I ЕН*] dV = i<o J(e*EE* — uHH*\ dV. (13)

Так как E1^Ht тл.Е9,Н2 по предположению удовлетворяют условиям пунк-
тов 2 и 3 теоремы, то их разность (12) имеет непрерывные тангенциаль-
ные составляющие Е и Н при переходе через а на граничной по-
верхности s тангенциальная составляющая Е или Н обращается в нуль.

Учитывая это, найдем, применяя теорему Гаусса-Остроградского к
левой части равенства (13):

lim J J(e*££* — y.HH*)dV. (13а)

R^KXSff Ve

Поверхностные интегралы по s и s, обратились при этом в нуль, вслед-
ствие отмеченного выше поведения Е и Н на этих поверхностях, и в ра-
венство (13а.) вошел только предел интеграла по поверхности сферы sr
достаточно большого радиуса R, как бы ограничивающей снаружи.
Приравняем друг другу вещественные части выражений, стоящих слева
и оправа в равенстве (13а), использовав при этом формулу (2) для

[ЕН*] +[Д*Р] }oTs = — JaEE*dV. <14)

/г^-оозр ve

Для дальнейшего удобно прибавить и вычесть величину

-1/ е _► ->

— НН* + I/ — ЕЕ *
е гр.

под интегралом левой части этого равенства, а также заменить ds че-
рез/?/As, где Rt —единичный орт, совпадающий с направлением ра-
диуса R сферы S/?.
Тогда написанному выше уравнению можно придать следующий
вид:

lim-l ГЫЛ] - 1/ ~ Н) Н* + {[HRi] — ~\/ — £)£*+

2 J I re г и.

/?-+ ОО S#

+ — яй* + j/ — ЕЕ*) j ds= — ^aEE*dV.

При этом мы использовали векторные тождества типа

[£Я*] Я = [ад Я* и т. д.

Так как ds — R?dQ, где dQ—элемент телесного угла, то на основании
условий (10) и (II) пункта 4 теоремы предел интегралов от выраже-
ний, стоящий в первых двух круглых скобках, равен нулю; таким об-
разом, имеем:

11ш-~- —ЕН* ф — ~ЕЕ* j ds -= — ^<sEE*dV.
OO SR ve

Ограничимся случаем, когда всюду а ф 0, т. е. среда имеет потери.
Тогда из того, что левая часть написанного равенства неотрицательна,
а правая неположительна, следует, что они порознь равны нулю, т. е..

aEE*dV = 0. (14а)

ve-

Если бы мы вместо условий Зоммерфельда (10), (10а) воспользовались
более жесткими требованиями (11), всегда выполняющимися при я ф О,
то равенство (14а) немедленно следовало бы из формулы (14), минуя
все промежуточные выкладки. Подинтегрально выражение в (14а) во
всем пространстве неотрицательно, поэтому оно тождественно равно
нулю:

аЕЕ * = 0.

Так как о ф 0, то отсюда следует, что во всем пространстве

£ = 0.

Из уравнений (12а) при этом вытекает, что и

Н = 0.

Таким образом [см. (12)],

Ei = Е2, Нг = Н2

во всем пространстве Ve и теорема единственности доказана.

Доказательство этой Теоремы для случая, когда я = 0, несколько
сложнее, и мы на нем останавливаться не будем, так как оно имеет
скорее принципиальный, нежели практический интерес.

Действительно, при решении конкретных задач мы можем всегда
вначале предположить, что в среде имеются некоторые достаточно ма-
лые потери, т. е. чЧ=0,и воспользоваться доказанной теоремой с усло-
виями на бесконечности типа (10) или (что еще проще) (11), а в по-

лученном решении перейти к пределу при а -> 0.

Для внутренней граничной задачи, когда ищется поле в области V(
конечных размеров (рис. 2.3), теорема единственности также оста-
ется в силе. При этом необходимо только

исключить из условий теоремы пункты (4) и
(5) относительно поведения поля на беско-
нечности.

Приведенное доказательство при этом,
как легко видеть, остается в силе. Отметим
только, что в случае отсутствия потерь внут-
ри V( для некоторого дискретного ряда (ре-
зонансных) частот теорема единственности
для внутренней задачи нарушается.

§ 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ПРИ НАЛИЧИИ МАГНИТНЫХ ТОКОВ

Основные уравнения электродинамики (1) иногда бывает удобно
записать в следующем, более симметричном виде:

rot И — Zwe Е + J; I

(15)
rot Е = — /«дх Н — J».. J

Введенную здесь величину можно, очевидно, истолковать как
вектор плотности магнитного тока. Магнитный ток, рассматриваемый
как движение магнитных зарядов, не существует, ибо в природе отсут-
ствуют магнитные заряды. Действительно, если бы последние сущест-
вовали, то их плотность 7р. определялась бы формулой, аналогичной
формуле (1а) для плотности электрических зарядов:

7ix= div(p/7). (16)

Однако, как это сразу следует из второго уравнения Максвелла
[см. (1)], div(p//)==0.

Вводя магнитные токи , мы тем самым ввели также магнитные
заряды, которые, как это следует из второго уравнения (15) и форму-
лы (16), связаны с Jp. соотношением

— гю^р. = div Jp. (17)

Это равенство называется обычно «законом сохранения магнитных за-
рядов». Несмотря на отсутствие в природе магнитных токов и зарядов,
их формальное введение иногда оказывается весьма полезным и им
можно придать совершенно конкретный смысл.

Использование магнитных токов и зарядов часто позволяет значи-
тельно упростить расчет поля, возбуждаемого фактически электриче-
скими токами и зарядами.

Так, например, хорошо известно, что элементарную рамку с элек-
трическим током можно заменить эквивалентным магнитным током
(диполем), направленным вдоль оси рамки.

Можно также показать, что любую систему электрических токов
можно заменить эквивалентными магнитными токами. При этом элек-
тромагнитные поля, создаваемые обеими системами, будут равны в
пространстве, лежащем вне области расположения фмих токов.

' л
К уравнениям (15) необходимо также добавить условия непрерыв-
ности (За) для тангенциальных составляющих векторов поля на по-
верхности раздела двух различных сред. Если на указанной поверхно-
сти раздела или на любой геометрической поверхности s распределены
поверхностные электрические и магнитные токи с плотностями К и Ку.
соответственно, то при переходе через s тангенциальные составляющие
испытывают скачок, определяемый формулами [сравни с (3)]:

[п-(Е1 ~Ее)] =—Ку.

на s. (18)

п — единичная нормаль к s, направленная от области V е к 1/(, гранича-
щих вдоль поверхности $. На поверхности s проводника, обладающего
идеальной (бесконечной) электрической проводимостью, граничные
условия принимают вид, аналогичный (36):

1^п] = К

[Еп] = 0.

на s,

(18а)

так как поле внутри проводника равно нулю и магнитные токи отсут-
ствуют (если мы их принудительно не наносим на поверхность $).

Поскольку мы ввели магнитные токи, имеет смысл, в некоторых
случаях, пользоваться понятием магнитной проводимости среды Яц,
чтобы иметь возможность выражать магнитный ток при помощи «маг-
нитного» закона Ома Jъ,,Н- Граничные условия на поверхности $
проводника, обладающего бесконечной магнитной проводимостью, бу-
дут иметь, как это следует из формул (18), вид:

[?/«] = 0

[Еп\=^ — Кр.

на s,

(186)

так как по аналогии с идеальным электрическим проводником поле
внутри идеального магнитного проводника будет отсутствовать и маг-
нитный ток будет течь только по его поверхности s. Напомним, что в
формулах типа (18а) и (186) вектор п направлен внутрь идеального
проводника.

Может представить интерес следующая теорема, вытекающая из
сказанного ранее:

Теорема 1. Если при переходе через некоторую поверхность s тан-
генциальная составляющая электрического (или магнитного) вектора
испытывает разрыв непрерывности — скачок, то это значит, что на s
распределены поверхностные магнитные (или электрические) токи, опре-
деляемые второй (или первой) формулой (18).

Из теоремы 1, между прочим, следует, что поверхностный магнит-
ный ток можно формально определить, как скачок тангенциальной со-
ставляющей электрического вектора при помощи формулы [см. (18)]:

Ку. = — [п-(Е1 — Ее) ] на s. (19)

Не представляет труда так распределить электрические токи у по-
верхности s, чтобы при переходе через s тангенциальная составляющая
Е претерпевала разрыв непрерывности. Такая система, очевидно, будет
имитировать поверхностный магнитный ток. Формула (18) даст возмож-
ность определить величину этого тока.

Пример такого распределения получим, если на двух бесконеч-
но близких параллельных поверхностях s' и s" распределим поверх-
ностные токи К' и К” (рис. 2.4). При этом будем считать, что в со-
ответствующих точках поверхностей s' и s", лежащих друг против дру-
га, К = —К"- Такая система из двух бесконечно близких противопо-
ложных поверхностных электрических токов эквивалентна поверхност-
ному магнитному току, текущему по некоторой поверхности $, распо-
ложенной между s' и s", равному.

Лр. = гю [ 1К'].

Здесь Z — вектор, численно равный расстоянию между s" и s' и на-
правленный от s" к s'. Действительно, дополним токи К' и К" взаимно
компенсирующимися токами, превращающими исходную систему

(рис. 2,4) в систему замкнутых цилиндрических рамок, обтекаемых
электрическими токами (рис. 2.5). Каждая такая рамка, как известно,
эквивалентна, по создаваемому ею полю, магнитному току, направлен-
ному вдоль оси рамки. Если представить его «размазанным» по некото-
рой поверхности s, лежащей между нижним и верхним основаниями
рамки, то его плотность как раз и будет определяться написанной вы-
ше формулой.

Возвращаясь к основным уравнениям (15), легко заметить, что од-
но из них переходит в другое при перестановке

Е -> Н, в -> t>., J

(20)

Н ->—Е, у.

р-

Это свойство системы (15) сохранять свой вид при перестановке (20)
называется «перестановочной инвариантностью». Оно дает возможность
значительно сократить выкладки при нахождении решения уравнений
(15). В силу линейности этих уравнений можно искать их решение в
виде суммы

Е = Е. + Ег, +

(21)
где

Еи Ht и E2, Нг удовлетворяют уравнениям:

и rot rot Hi — iwsEi = J, Ex -j- i<x>pHi — 0 (21a)
rot H2 — iu>sE2 = 0, (216)
>
rot E 2 1шрН2 — Av

Нетрудно убедиться, что перестановка (20) преобразует систему урав-
нений (21а) в (216) и наоборот. Таким образом, достаточно проинтег-
рировать систему (21а), чтобы одновременно получить также решение
системы (216). Для этого необходимо только в найденных интегралах
уравнений (21а) произвести перестановку типа (20).

Следует при этом отметить, что в тех случаях, когда к уравнениям
(21а) и (216) добавляются еще соответствующие граничные условия,
необходимо, чтобы перестановка (20) преобразовывала граничные усло-
вия при уравнениях (21а) в граничные условия при (216). Это, очевид-
но, всегда будет выполнено, если эти граничные условия будут типа
условий на бесконечности (10) и (11), или типа (За).

Указанным выше приемом для перехода от решений уравнений
(21а) к решениям системы (216) мы будем широко пользоваться в
дальнейшем.

§ 4. ЛЕММА ЛОРЕНЦА И ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ ДЛЯ ДИПОЛЕЙ В
АНТЕНН КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

При решении различных задач электродинамики, а также при рас-
смотрении теории приемных антенн широкое применение находит соот-
ношение, известное под названием леммы Лоренца.

Лемма Лоренца. Для вывода леммы Лоренца мы используем,
уравнения Максвелла. Причем для общности будем учитывать магнит-
ные токи.

Рассмотрим два произвольных поля Нг и Е2, Н2, возбуждаемые
соответственно токами и J2, Угодной и той же частоты ш. Эти

поля удовлетворяют (каждое) уравнениям (1):

rot Ht = icosfj + (22a) rot H2 = i«ieE2 + J2, (23a)

rot = — (226) rot E2 = — r<np.//a — Аг- (236)

Умножив уравнение (22a) скалярно на Е2, а уравнение (236) —
на Н1У найдем, вычитая из второго первое:

Н1 rot Е2— Е2 rot Нх = — НгН2 — гше Е2Е, — — JrE2. (24)

Аналогичное равенство получим, умножив скалярно уравнение
(226) на Н2, а уравнение (23a) —наД3 и вычитая из первого второе:

T/2rot Ег— Ei rot Н2 = — iapHiHz— 1тг Е2Ех — JviEf2 — J2EX. (24a)

3. Фельд, Бененсон.
Используя векторное тождество типа

HroiE — EroiH = div [£//]

для записи левых частей уравнений (24) и (24а), найдем, вычитая из
второго первое:

div divfEaHt] =7^2 —+ Лг^1 — Л1^2- (25)

Это равенство обычно называется леммой Лоренца. Проинтегрировав
уравнение (25) по некоторому объему V, ограниченному поверхностью
а, получим интегральную запись леммы Лоренца:

5 { ] - [EzHt ]} ds = J {(7Д - + (7M#i - A A) dV. {‘Iba}

(S-) (И)

При этом мы использовали теорему Гаусса-Остроградского о преобра-
зовании объемных интегралов в поверхностные.

В частном случае, когда лемма (25а) применяется ко всему беско-
нечному пространству ограниченному сферой бесконечно большого
радиуса она принимает вид:

П(7Д-72£^ +( 7^-7^)} dIZ=0 (26)
^оо

или, если магнитные токи отсутствуют,

J { 7Д - 7Д} dV = 0. (26а)

v<„

Обе эти формулы немедленно следуют из равенства (25а), если
учесть, что поверхностный интеграл в (25а) стремится к нулю, когда
поверхность s стремится к сфере s„ — бесконечного радиуса. Чтобы до-
казать последнее, достаточно использовать условия излучения (10),
которым поля должны удовлетворять на бесконечности; на этом мы не
останавливаемся. В случае, когда среда обладает потерями (и Ф 0) и
выполняется условие (И), обращение поверхностного интеграла в
нуль при s становится очевидным и не нуждается в особом дока-
зательстве.

Если внутри области V, ограниченной поверхностью з, отсутствуют
электрические и магнитные (сторонние) токи, то лемма (25а) прини-
мает вид:

5{[ад]-(Е2Я]}^ = 0. (27)

О)

Отметим, что все полученные в этом параграфе формулы справедливы
также в тех случаях, когда внутри рассматриваемой области парамет-
ры е, g испытывают разрывы непрерывности на некоторых поверх-
ностях. Объясняется это тем, что на этих поверхностях тангенциальные
составляющие векторов поля остаются непрерывными, а значит, непре-
рывны также выражения типа [ЕН] ds, входящие в поверхностные ин-
тегралы формул. Таким образом, указанные поверхности разрывов не
приходится выделять при применении .теоремы Гаусса-Остроградского.

Используем лемму Лоренца для доказательства теоремы взаимно-
сти в случае двух элементарных, произвольно расположенных диполей,
колеблющихся с одной и той же частотой.
Два электрических диполя. Рассмотрим два электри-
ческих диполя длины dl\ и dl2 с токами /1 и /2. Обозначим поля, воз-
буждаемые этими диполями, буквамиЕ,,77, и Е2,Н2 соответственно. При-
меняя лемму (26а) и учитывая, что входящие в нее плотности токов (в
рассматриваемом случае) отличны от нуля только в бесконечно малых
областях dV\ и dV 2, где расположены диполи, найдем:

'jlE2dV1 — J2EjdV2 = 0.

Так как = 7,^/, и J2 dV2 = I2dl2, rj\edli и dl2 совпадают по
направлению с токами в диполях, то предыдущее равенство принимает
вид:

I^dl^I^d^. (28)

Здесь Е2 и Ei берутся в точках расположения первого и второго дипо-
лей соответственно. Равенство (28) носит название теоремы взаимно-
сти для электрических диполей.

Если ввести электрический момент диполя р =------Idl (при а = 0

1<О

в непосредственной окрестности диполя), то равенство (28) можно пе-
реписать так:

Р1Е2 = р8Е1. (28а)

Два магнитных диполя. Если вместо электрических рас-
сматриваются магнитные диполи с магнитными токами 7;J.i и/,12, то фор-
мула (28), учитывая перестановочную двойственность уравнений Макс-
велла [см. (20)], перейдет в следующую:

= Iv2Hl dl2. (29)

Этот же результат можно получить непосредственно из леммы (26),
учитывая, что электрические токи отсутствуют. При введении магнит-
ного момента диполя т = -—I^dl, теорема взаимности (29) перейдете
/о)

т1 Н2 = т2Н!. (29а)

Электрический и магнитный диполи. Рассмотрим
электрический диполь длины dli с током ?i и магнитный диполь длины
dl2 с магнитным током 1^. Поля, возбуждаемые этими диполями, обо-
значим буквами В,, Й1 и Е2, Н2 соответственно. Применяя к этому слу-
чаю лемму (26), найдем, как и выше:

Л Е2 dli = ~ ^р-2 dl2-, (30)

—► —>

или, вводя моменты диполей и т2 (когда в окрестности электриче-
ского диполя 3=0),

р1Е2=—т2Н\. , (30а)

Формулы (30) выражают теорему взаимности для электрического и
магнитного (рамки) диполей.
Две антейны конечных размеров. Выведем теорему
взаимности применительно к двум любым произвольно расположен-
ным антеннам (рис. 2.6). Рассмотрим два случая работы антенн: пер-
вый, когда первая антенна работает в режиме передачи, а вторая—в ре-
жиме приема (рис. 2.6), и второй, когда первая антенна работает в ре-
жиме приема, а вторая — в режиме передачи (рис. 2.7). Внутреннее со-
противление генераторов, генерирующих э. д. с. <S j и 6 2 и подключае-
мых к соответствующим антеннам в режиме передачи, обозначим бук-
вами и Z2, а входное сопротивление приемников, подключаемых к
антеннам в режиме приема, — буквами Zi‘> и Z(J).

Остановимся прежде всего на методе учета генераторов и прием-
ников, подключаемых к клеммам антенн. Проще всего это можно сде-
лать, заменив реальную систему, состоящую из антенны с генератором
или приемником, одной антенной, у которой на участке между клемма-
ми приложена сторонняя э. д. с. так, что распределение токов в антенне
не изменяется. Клеммы при этом следует представлять себе замкнуты-
ми накоротко линейным идеальным проводником, вдоль которого и
приложена сторонняя э. д. с.

В случае передачи эта э. д. с. должна быть .равна (напряжению, соз-
даваемому генератором на клеммах антенны, т. е. (рис. 2.6 и 2.7)

—<^i — Л А = Л^аь I (31^

• (§2 = Л-^2 = ^2'

Здесь /1 и /2 — токи, текущие через клеммы первой и второй антенн,
при работе их в режиме передачи, a Zai и Zav—входные сопротивления
антенн, отнесенные к их клеммам.

Для приемной антенны сторонняя э. д. с., очевидно, должна быть
равна взятому с обратным знаком падению напряжения в приемнике.
Действительно, легко видеть, что подключение такого напряжения к
клеммам вместо приемника не изменит распределения тока в приемной
антенне и, если так можно выразиться, останется ею незамеченным.

Таким образом,

^>(1) ст = —/(2)Z<2), (32}

где /(1) и/;2—токи, протекающие через клеммы первой и второй антенн,
когда они работают как приемные*.

Вводя в случае приема фиктивную стороннюю э. д. с., эквивалент-
ную влиянию приемника, мы формально сводим приемную антенну к
передающей.

* Отметим, что верхние индексы обозначают величины, характеризующие
работу антенн в режиме приема, а нижние индексы — в режиме передачи.
Обозначим поле, создаваемое антеннами, когда к первой из них
{передающей) приложена сторонняя э. д. с. а ко второй (прием-
ной)— сторонняя э. д. с.—<S ® ст, буквами Е', Н' (1-й случай, рис. 2.8).
Поле, создаваемое антеннами при приложении к первой из них (прием-
ной) сторонней э. д. с. 6(1) ст, а ко второй (передающей) — сторонней
э. д. с. — (^аст, обозначим буквами Е", Н" (2-й случай, рис. 2.9).

Применим к этим полям лемму (27):

J { \Е'Н" | — \Е"Н']} ds 0.

(?)

Здесь s означает поверхность металлических проводников, из ко-
торых состоят обе антенны. Эта поверхность ограничивает изнутри про-
странство, в котором существуют введенные поля. Пренебрегая потеря-
ми в металле, можно считать тангенциальные составляющие векторов
—* —

Е/,Е" равными нулю на поверхности s, за исключением тех участков ее,
вдоль которых приложены сторонние э. д. с. ;

Рис. 2.8.

Рис. 2 9.

Как указывалось выше, этими участками являются поверхности $i
и s2 линейных проводников, закорачивающих клеммы, соответственно,
первой и второй антенн.

Таким образом, подинтегральное выражение в предыдущем равен-
стве обращается в нуль на всей поверхности 5, за исключением участ-
ков s, и s2, и сводится к

J {[E'H"] — [E"H']}ds = Q. (33)

fSl +Л

Используя граничные условия типа (36) для Н' и Н"

[ Нп ] = ~К'
[Н"п\ = К"

на Sj и s2,

где К' и К" — поверхностные плотности токов, возбуждаемые полями
Е',H' и Е". Н", соответственно, и соотношение ds=nds', можно придать

равенству (33) вид:

(Ё'К" — £"/<') ds + f (Е'К"~ E"K')ds = 0. (33а)

(s,) (5,)

При этом мы использовали цепь равенств типа

[ ЕН] ds == [ЕН]nds — Е[Нп \ ds = EKds.

Поскольку расстояние .между клеммами берется всегда намного
меньшим длины волны, то длины закорачивающих клеммы проводников
1\ и 12 также удовлетворяют этому условию.

Отсюда следует, что подинтегральные выражения в (33а) остаются
практически постоянными на поверхности этих проводников S! и s2 и
могут быть вынесены за знак интегралов, после чего получим:

— s, + (Е'К" - Е"К'} s2 = 0. (34)

(^i) (5з)

Индексы (sj и (s2) у круглых скобок указывают на то, что значения
величин, стоящих в них, берутся на соответствующих поверхностях. По-
ле Е', Я'возбуждается сторонними э. д. с. и^(2>ст, а поле Е". Н"—
сторонними э. д. с. ст и (<э2Т-Эти э. д. с., приложенные к поверхностям
и s2 линейных проводников длины и /2, связаны с Е' и Е" очевид-
ными соотношениями:

SiT = —Е' lX) S{2)ZT = ~ Е'(1-й случай, рис. 2.8) 1

и (35)

(£(1)ст = -Е"Ги (£"= (2-й случай, рис. 2.9),

так как эти сторонние э. д. с. должны уравновешиваться наведенными
(полем) э. д. с.

Если обозначить буквами L\ и Ь2 длину контуров сечения линей-
ных проводников, то их поверхности Sj и s2 будут равны:

Si = Lt li и s2 = Z2. (36)

—► —► —> —► —►

Поверхностные токи KJ и К" возбуждаются полями Е\ Н’ и Е",Н",
которые в свою очередь вызваны сторонними э. д. с. S'?, S(2)cT (1-й
случай, рис. 2.8) и<р11)ст, (2-й случай, рис. 2.9) соответственно.

Поэтому полные токи [фигурирующие в формулах (31) и (32)], проте-
кающие через клеммы антенн, связаны с поверхностными плотностями
токов Л7 и К" простыми соотношениями

Ii = KJLi- /& = К'Ц
и (37)

№ = К'’ Lt; I2 = K" L\

При этом мы, как и выше, умножаем на длину контура, а не интегри-
руем по нему, так как К' и К" можно считать постоянными на цилин-
дрической поверхности проводников s); s2, вследствие малости их разме-
ров по сравнению с длиной волны. Подставляя в равенство (34) вме-
сто и s2 их значения, взятые из (36), и учитывая формулы (35) и
(37), а также то, что плотности тока А" и К" совпадают по направлению
с осями проводников (Zi и Z2), найдем:

<$1Т - S{i} ст Л = ©Г '(2) - S(2}" Л,- (38)

Полученное равенство и представляет собой общую теорему взаим-
ности для приемно-передающих антенн. Входящие в нее сторонние
э. д. с. определяются формулами (31) и (32) и имеют простой физиче-
ский смысл. Используя эти формулы, можно переписать равенство (38)
в Следующих двух эквивалентных формах:

7<D Д (ZA1 + Z<D) = 7<2> 72 (ZA> + Z<2>) (39a)

и :

= I® S2 ~ . (396)

ZAi + Z, ZA2 ~Z2

Если ввести, как это обычно делается в теории приемных антенн,
понятие о полной э. д. с. приемной антенны при помощи формул

^t1) = 7(i)(ZA1 + Z(D); ^)^/(2)(ZA2 -f-Z<2)), (40)

то теорему взаимности можно записать [подставляя (40) в (39а)] в
особенно сжатой форме:

= (41)

Положив в равенстве (396) Zi = Zd> и Z2 — Z^, т. е. считая, что
сопротивления генератора в режиме передачи и приемника в режиме
приема равны друг другу для каждой антенны, получим в этом част-
ном случае теорему взаимности в виде:

& Л» = 7(2\ (42)

Эта форма теоремы взаимности весьма сходна с общей теоремой (41),
но, как видно из предыдущего, ей не эквивалентна. В литературе обыч-
но приводится теорема (42), полученная еще Лоренцом* и наиболее
обстоятельно доказанная, применительно к антеннам, Свешниковой **.
Более общие теоремы взаимности (39) и (41), повидимому, впервые
даны в работе одного из авторов***.

Теорема взаимности широко используется в теории антерн, особен-
но приемных (об этом см. во второй части книги).

§ 5 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ПРИ ПОМОЩИ ВЕКТОРА ГЕРЦА;
ПОЛЕ ТОКОВ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В ряде случаев удобно выражать решение уравнений Максвелла
при помощи вспомогательных' функций. Такими функциями являются,
например, запаздывающие векторный и скалярный потенциалы, или
вектор Герца. В случае гармонических колебаний вектор Герца отлича-
ется от векторного потенциала лишь постоянным множителем. Поэтому
мы ограничимся представлением векторов поля Е и Н только через
вектор Герца. Попробуем выразить решение уравнений (1) в области V
с постоянными параметрами г и о. через один вектор. Так как

—► . , I —>

div Н — 0, то Н можно выразить через ротор некоторого вектораП:

Н = rot П. (43)

Подставляя это выражение во второе уравнение (1), найдем:

rot Е — о? гр. rot II = О

или

rot (Е — <о2 ер. П) _ 0.

* Лоренц. Amst. Akad. von Weftenschappen, 4, 76, 1895—96 г.

** M. П. Свешникова, ЖРФ ХО, ч. физическая, 59, № 5—6 (1927):

*** Я. Н. Фельд, ДАН, XLV1II, Ms 7, 503, 1945.
Отсюда следует, что выражение, стоящее под знаком ротора, равно гра-
диенту некоторой скалярной функции 77, т. е.

Е = k' И + grad U, k2 = ер. (44)

—► —►

Подставляя найденные значения для Е и Н [формулы (43) и (44)]
в неиспользованное еще первое уравнение Максвелла (1), получим:

•—► —► —*•

i ®е rot rot П — I ®е (k2 II + grad 77) «= J.

Применяя векторное тождество

rot rot П = grad div П — Vs П,

перепишем предыдущее равенство в форме:

^n + Jfc’n — gradfdiv П — 77) =------Д- 1 (45)

I <ог

Таким образом, при любых величинах И и 77, связанных равен-
ством (45), формулы (43) и (44) удовлетворяют уравнениям Макс-
велла (1).

Формулы (43) и (44) дают наиболее общее представление поля

через один вектор П и скаляр 77, которые связаны между собой только
при помощи одного равенства (45), оставляющего еще значительный
произвол при их определении. Действительно, одно векторное уравнение
может определить только три скалярные величины (три компоненты век-
тора), в то время как в уравнении (45) фигурирует еще четвертый ска-
ляр TJ.

Очевидно, последний может быть выбран в значительной мере про-
извольным. Имеет смысл выбирать U из соображений максимального
упрощения уравнения (45). Если положить

77=div И,

то уравнение (45) примет вид:

Vaff+A!8ff= - ——J. (46)

Z <ое

Оно определяет один вектор П, который носит название (электри-
ческого) вектора Герца.

Формулы (43) и (44) в этом частном случае перепишутся так:

Е = grad div П + k2 П;
- -fr - ►

H=i<s№ rot П.

(47)

Эти формулы просты и выражают поле через один вектор, поэтому
мы будем широко пользоваться ими. Как уже отмечалось, равенства (46)
и (47) справедливы для области с постоянными параметрами г, р . Если
ищется поле в пространстве, состоящем из нескольких областей с раз-
личными, но постоянными в пределах отдельной области параметрами,
то поле также можно выразить через вектор Герца. Необходимо только
для каждой из областей написать уравнения (46), (47) с соответствую-
щими данной области значениями величин k, г и н . Проинтегрировав
затем уравнение (46) для каждой из областей, необходимо определить
постоянные интегрирования, исходя из граничных условий типа (За) на
границах этих областей, а также принципа излучения (10), если одна
или несколько из них простираются до бесконечности.

Вместо того, чтобы требовать выполнения принципа излучения ти-
па (10) для векторов поля, можно наложить соответствующие условия
—►

на поведение вектора П на бесконечности, при которых неоднородное
волновое уравнение (46) имеет единственное решение. Это условие так-
же носит название принципа излучения и имеет вид*

lim/?f— + = (48)

R -»оо \ 3R I

Оно гарантирует отсутствие волн, идущих из бесконечности. Если г
комплексное, т. е. среда обладает потерями, то условие (48) для П
может быть заменено следующим [сравним с (11)]:

limA?IIz=0. (48а)

7? -> оо

—> --->

Условия типа (10) для векторов Е и Н могут быть заменены условия-
ми, аналогичными (48), так как Е и Н' удовлетворяют порознь волно-
вым уравнениям типа (46). Убедиться в этом можно, исключив из пер-
вого уравнения (1) Е при помощи второго и наоборот.

Интегрирование уравнений Максвелла при помощи вектора Герца
особенно просто для свободного пространства, т. е. для случая, когда
все бесконечное пространство заполнено однородной средой с постоян-
ными параметрами е и р.. Интеграл уравнения (46), удовлетворяющий
принципу излучения (48), как известно, имеет в этом случае вид**:

— ikr

П = ----!--- I J-----dV. (49)

4к I we J г

Здесь интегрирование идет по всему пространству V, точнее по той
его части, где имеются токи /; г—расстояние между точкой наблюде-
ния, для которой определяется II, и точкой, по координатам которой
производится интегрирование в формуле (49).
►

Подставляя выражение (49) для П в формулы (47) и меняя мес-
тами порядок интегрирования и векторного дифференцирования (one
рации grad div и rot), получим:

1 Г -е-‘кг

Е =-------:---- I (grad' div' -|- k?) J-----dV,

4п i cos J г

•Зоммерфельд А. — в книге Франка и Мизеса — Дифференциаль-
ные и интегральные уравнения математической физики, ОНТИ, 1937, гл. XIX, стр. 843.

** С т р е т т о н Я®. А. — Теория электромагнетизма, Гостехиздат, 1948 г.
гл. VIII, стр. 380.
При этом мы снабдили векторные операции штрихами, отметив;
этим, что они берутся по координатам точки наблюдения, во избежа-
ние путаницы, так как подинтегральные выражения зависят также от
координат переменной точки интегрирования. Учитывая, что вектор J
не зависит от координат точки наблюдения, можно написать следующие
векторные тождества:

— ikr —ikr

(-* g \ /-+ g \

J------ = grad' IJ grad'-------1 =

г / \ г /

— ikr —ikr

= (j ?') grad' -— = (7?) grad---------,

r r

— ikr

J-grad ------

так как grad

где векторные операции без штрихов берутся по координатам точки ин-
тегрирования.

Используя эти тождества, придадим формулам (50) окончательный

вид:

(51)

Эти формулы определяют поле, создаваемое электрическими тока-
ми J, распределенными в однородной безграничной среде. Может
представить интерес случай, когда вместо объемного имеется поверх-
ностное распределение токов с поверхностной плотностью К При этом
поле будет определяться формулами, аналогичными (51), в которых
интегрирование ведется по поверхности s. на которой распределены то-
ки К.

формулы эти, очевидно, будут иметь вид:

Е = —5— (
4к i ше J
(*)

-ikr

+ k*K-—\ds-,
г f

(52)

—у

A?-grad

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании урав-
нений (15) при наличии магнитных токов для области, заполненной од-
нородной средой. Как указывалось в § 3, гл. II, уравнения (21а) с элек-
трическими токами переходят, при применении к ним перестановки
(20), *в уравнения (216) с магнитными токами.
Поэтому, производя в формулах (47) и (46) перестановку (20),
получим выражения для поля магнитных токов, удовлетворяющего
уравнениям типа (216)

Е = — i юр rot Пр.; |

_ -> ( (53)

Н = grad div Пр. + k? Пр., |
где Пр — так называемый магнитный вектор Герца, определяемый
уравнением

V2ilp + ^np=>--------— Jp . (54)

I юр.

Если ищется поле магнитных токов в безграничной однородной среде V,

то аналогично предыдущему, легко получить, производя перестановку
(20) в формулах (49) и.(51):

— ikr

Пр =-----X---------------(55)

4л i юр. J г

(Ю

1 Р ( -ikr ~~ikr\

~Н= ------i--- (Jp v) grad ------------+ A* Jp ------- dV.

4л i юр. J ( r r )

(Ю

(56)

Эти выражения могли бы быть получены непосредственно из фор-
мул (53), после подстановки туда интеграла уравнения (54), удовлет-

воряющего принципу излучения. В случае поверхностных магнитных
1 ►

токов, распределенных с плотностью /СР. на поверхности s, предыдущие
формулы принимают вид [сравни с (52)]:

- 1 Г- e~ikr

Пр =-----"--- /Ср -------ds- (55а)

4л I юр. J Г

(S)

(Л

, „ —Ikr —ikr

—► 1 г I —► р —► р 1

//=—.— (/Ср v) grad + £2 /Ср - ds.

4л i юр J I г г J

(56а).

Выпишем еще общие формулы для поля, возбуждаемого в безгранич-
ной однородной среде электрическими и магнитными токами.

Эти формулы можно получить, как уже указывалось в § 3, гл. II,.
складывая поля, определяемые выражениями (51) и (56):

£ = -----;--- I {(Jv)grad/+ k2Jf— [Jpgrad/]}dV-,

4к i юг J

(Ю

H =--------- Г {(Jp v) grad/ + k2 f + i юр [J.grad f]}dV,

4лiюр J
m
где

— ikr
е

Аналогично для поверхностных токов найдем:

Е = -----1---- f {(A'v) grad/+ k2К f— i <os [A^ grad/]} ds;

4к I <os J

H = —---------- f {( Ap. v) grad / 4- k2 Kv-f-V 1 “Iх [^grad /]} ds.

4к i шр- J

($)

(57a)

Полученные при помощи векторов Герца выражения для полей, куда
входят только токи, более удобны, нежели аналогичные формулы, по-
лучаемые при помощи векторного и скалярного потенциалов, куда вхо-
дят также и заряды.

Наличие в формулах для поля зарядов приводит к необходимости
расчета последних по заданным токам при помощи законов сохранения
зарядов (16) и (17).

Это особенно неудобно, когда ищется поле поверхностных токов,
терпящих разрывы на некоторых контурах, как это имеет место при
приближенном рассмотрении вопросов излучения через отверстия. В
этом случае приходится вводить еще линейные электрические и магнит-
ные заряды на указанных контурах*.

При использовании формул (57), (57а) и им аналогичных этого не
нужно делать, так как заряды исключены из них уже при их выводе
(по существу при помощи тех же законов сохранения зарядов).

* См., например, Стреттон, «Теория электромагнетизма», гл. Vlfl, § 15.
Москва, Гостехиздат, 1948 год. «Антенны сантиметровых волн», ч.1, гл. V, § И, пере-
вод с англ, под редакцией Я. Н. Фельда, Издательство «Советское радио», Москва.
ГЛАВА 111

ПОЛЕ ТОКОВ В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ И ДИАГРАММЫ
НАПРАВЛЕННОСТИ ПРОСТЕЙШИХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ

§ 1. ПОЛЕ ТОКОВ В ДАЛЬНЕЙ ЗОНЕ

Выведенные в предыдущей главе формулы позволяют определить
поле произвольной системы заданных токов в любой точке пространст-
ва. Расчет поля по этим формулам, в общем случае, приводит к до-
вольно сложным математическим выкладкам. Однако в том случае,
когда токи занимают конечный объем V, указанные формулы для точек
пространства, находящихся на достаточно большом расстоянии от V,
могут быть значительно упрощены.

Получение таких упрощенных формул особенно важно для антен-
ной техники, так Аак для расчета основных характеристик антенны
(диаграммы направленности, коэффициента направленного действия,
излучаемой мощности и т. д.) достаточно знать поле антенны в дальней
зоне (см. ниже).

Изучим подробнее формулу (11,49) для электрического вектора
Герца:

П=--------- [j------ dV . 0)

' 4тггше J г

(Ю

Введем сферическую систему координат, центр О которой поместим
в области расположения токов j (рис. 3.1),

Обозначим буквами R (.4) и р (q) радиусы-векторы точки на-
блюдения А и точки интегрирования (т. е. точки нахождения источни-
ков J) q. Тогда (см. рис. 3.1) г —R ~р . и

г = + р2 — 2R р cos И, (2)

где Я — угол между радиусами-векторами/? и р.

Если R )>р, т. е. точка наблюдения А находится на достаточном
расстоянии от объема V, занятого токами, то г можно представить в

виде ряда по возрастающим степеням — :

г = R I1'---—cos Я 4- —— (1 — cos2 9) 4- • • I •

\ R 2/?21 /

(2а)
/

Все пространство, окружающее объем, занятый токами, можно разбить
на три области:

1) Ближнюю область, называемую зоной индукции, где при расче-
те поля необходимо в формуле (1) пользоваться точным выражением
(2) для г; структура поля в этой области достаточно сложна и форму-
лы для поля не удается упростить.

2) Промежуточную область, называемую обычно зоной френелевой
дифракции, где R настолько велико, что в формуле (1), в показателе
подинтегральной функции, величину г можно вычислять по формуле:

г R — р cos 0 + -^-5 (1 — cos2 8),
2/Г

получающейся из (2а) после отбрасывания членов степени выше вто-
рой. Что касается величины г, стоящей в знаменателе формулы (1), то
она просто принимается равной R, после чего выражение (1) принима-
ет вид:

П =----------*—

4 к i <os

cos »-----— (I—cos2

dV.

(3)

Такой различный подход к расчету величины г объясняется следу-
ющими обстоятельствами. Для замены г4 величиной R-1 достаточно,
учитывая (2а), выполнение неравенства р« Я Что же касается пе-
риодической функции е~‘кг , то для того, чтобы в ее показателе можно
было отбросить некоторые члены, последние должны быть малы не по
сравнению с остающимися, а по сравнению с периодом 2 я . Послед-
нее требование значительно жестче, и, как легко видеть из рис. 3.1, kr

Рис. 3.1.

никогда нельзя заменить величиной kR в показателе функции e~tkr, если
размеры области, занимаемой токами, соизмеримы с длиной волны или
больше ее. Действительно, для такой замены необходимо выполнение

неравенства:

r — R

I kr — kR I ~ 2я

< 2я (т. e. | r — R | < X),

которое, на основании только что сказанного, не может выполняться
(см. рис. 3.1).

3) Дальнюю область, называемую обычно волновой зоной, или зо-
ной фраунгоферовой дифракции, где R настолько велико, что в форму-
ле (1), в показателе функции е~‘кг, г можно вычислять по формуле:

г = R — р cos 8,

к\
получающейся из (2ti) после отбрасывания членов степени выше пер-
вой.

Это равенство эквивалентно предположению, что векторы raR па-
раллельны (см. рис. 3.1).

Величину г, стоящую в знаменателе (1), еще с большим основани-
ем, чем в промежуточной области, приравниваем R, после чего получим:

11 =

4т: i <ое

где

-ikR
е

шг

—ikR
е
-R~

(За)

(И

ifepcos»

dV.

(4а)

R J

ife р cos 8 1

Если обозначить буквами 0, и 9', у' угловые координаты точки
наблюдения А и интегрирования (источника) q соответственно в вве-
денной выше сферической системе координат (рис. 3.1), то

cos & = cos 0 cos 0' -j- sin 0 sin 6'cos ($ — <p').

Таким образом, F является функцией только угловых координат точки
наблюдения и не зависит от R:

F = F (0, <р).

Аналогичное выражение получим для магнитного вектора Герца
(см. 11.55) в дальней зоне; •

— Я, (36)

4лгшр. R J 4-гсг<ор. R

(Ю

где

Я = = (46)

— ► ►

Введенные таким образом векторные функции F и Fp полностью
определяются заданным распределением источников (токов) и харак-
теризуют зависимость создаваемого ими поля в дальней зоне от угло-
вых координат.

Структура поля в промежуточной зоне значительно сложнее, неже-
ли в дальней. Это легко видеть, сравнивая выражения (3) и (За) для
вектора Герца в указанных зонах. В частности, в дальней зоне поле мо-
нотонно убывает обратно пропорционально первой степени R [см. (За)
и (36)], в то время как в промежуточной изменение поля с расстоянием
значительно „сложнее, так как интеграл в (3), стоящий множителем
-ikR
е

при —- —, сам зависит от R (чего нет в дальней зоне).

Можно показать, что в промежуточной зоне на монотонное убыва-
ние поля по закону R~l накладывается осциллирующее затухающее коле-
бание.
Уточним еще, на каком расстоянии от источников можно пользо-
ваться формулами (За) и (36) для дальней зоны.

Основное упрощение, которое мы использовали при переходе к
дальней зоне, заключалось в замене точного выражения для г:

приближенным

г = V R- + р2 — 2R р cos &

r^R — р cos 8.

Как указывалось выше, это можно делать в том случае, когда вызывае-
мая этим фазовая ошибка мала по сравнению1 с 2к. Эта ошибка, оче-
видно, равна:

k {'|/7?3+ р2 — 2R р cos 8 — (/? — р cos 8)} =*

k р2 sin2 8-

При этом мы использовали разложение (2а) для корня, отбросив выс-

шие члены ряда.

Так как максимальное значение р порядка наибольшего радиуса

области, занимаемой источниками, то максимальная фазовая ошибка
rD1

равна ----. Она должна быть меньше 2к, т. е.

kD2 2к

8R а

где а — достаточно большое число, большее 1.

Разрешая это неравенство относительно R, найдем:

Р2

(«> 1).

(5а)

Это условие определяет область, в которой можно пользоваться форму-
лами (За) и (36) для векторов Герца, т. е. дальнюю зону.

Чем больше выбирается значение «, тем более точны указанные
формулы. На практике полагают а = 16. При этом, как будет показано

ниже, погрешности расчетов, с которыми приходится иметь дело в ан-
тенной технике, не превосходят нескольких процентов. Максимальная
фазовая ошибка при а = 16, как это видно из формулы (5), не превос-

it
ходит — .

Займемся теперь выводом формул для векторов поля Е и И в
дальней зоне. Эти формулы проще всего получить, подставляя в общие
выражения (11.47) значение вектора Герца, взятое из (За), и отбрасы-
вая при проведении векторных операций члены степени ниже чем R~x.

Учитывая, что в выражениях grad div

- ikR
е

—R~‘

’ . -ikR

Е(®,<?] и rot ------

члены порядка R 1 появятся лишь в тех слагаемых, в которых дифферен-
цируется по R сомножитель е (остальные слагаемые дадут члены.

порядка R2 и ниже), найдем для векторов поля, обусловленного элек-
»
трическим вектором Герца, следующие выражения:

Е — k~ П 4- grad div II = k':{ II — iR П) = £г (IIe /в + 11т Z<p), I
Н = г ше rot П = (os k (— II,, Ze + 1IS iv). )

Здесь iR, гй и — единичные орты сферической системы координат.

Используя (За), а также известное соотношение /г=ю]Ар. [см.
(II. 44)], перепишем (6) в окончательном виде:

(7)

Иногда будет удобно вводить декартовы компоненты вектора F с по-
мощью формул:

— (Fx cos + Fy sin ср) cos в — Fz sin Q;

F? ~ Fx sin ? + Fy cos <p.

(7a)

Выражение для векторов поля в дальней зоне, обусловленного маг-
нитным вектором Герца, проще всего получить из (7) с помощью пере-
становки (11.20):

(8)

При одновременном наличии магнитных и электрических токов по-
ле в дальней зоне найдется в результате суммирования полей, опреде-
ляемых выражениями (7) и (8), т. е.

Здесь F*, Fv и , F^ — составляющие векторов F и Fy., опреде-
ляемых формулами (4 a) и (4б).

Если поле создается на поверхности s, то формулы (4a) и (46)
принимают вид:

V? Г-г* (4 р cos » , zt 7; М р cos 9

F = \ Ke ds и Fy. = \ Ку. е ds. (86)

(s) (S)

Здесь, как и раньше, р — расстояние между началом координат и точ-
кой интегрирования, aft — угол между ри/?.

Анализируя выражения (7) и (8), можно сделать важные выводы
о структуре поля системы токов в дальней зоне.
1. Поле системы токов в дальней зоне имеет поперечный характер!
составляющие поля в направлении распространения отсутствуют. |

2. Векторы поля Е и Н в общем случае имеют по две компоненты:]
Е9, Ev и Н„, Н., . Так как, вообще говоря, Е9 и Е,, сдвинуты друг от-]
носительно друга по фазе, то вектор Е (а также и Н) не будет векторам]
постоянного (во времени) направления; конец его перемещается в про-
странстве, описывая некоторую замкнутую кривую (эллипс) за время,
равное периоду колебаний, т. е. поле имеет эллиптическую поляриза-
цию (см. ниже).

3. Электрический и магнитный векторы поля в дальней зоне связа-
ны между собой таким же соотношением, как и в простейшей плоской
волне (см. формулы (7) и (8)j.

4. Как следует из формул (7) и (8). поле системы токов в дальней
зоне сходно с полем точечного источника, находящегося в начале коор-
динат. Действительно, зависимость поля от расстояния R имеет вид эле-

—ikR
е

ментарной сферической волны----. Однако эквифазные поверхности

поля для каждой из компонент не являются сферами с центром в нача-
ле координат, посколькуи E,f , как видно из формул (4), в общем
случае, комплексны и зависят от углов 0, <р. Начало координат было
выбрано нами совершенно произвольно. Если можно найти такую точ-
ку, относительно которой эквифазные поверхности поля являются сфе-
рами, то она называется фазовым центром системы токов. Примеры та-
ких систем рассмотрены ниже. В общем случае, однако, излучающие
системы не имеют фазового центра.

Отметим, что поток мощности излучения в дальней зоне всегда на-
правлен радиально, вне зависимости от выбора начала сферической
системы координат. Действительно, подставляя в выражение (II.8а)
для вектора Умова-Пойнтинга значение векторов поля из формул (7),
будем иметь для дальней зоны:

i2 + ifj2)4=

IР+I ДЛ2 }4- (9)

S'= -у Re Я*] = 4 Re

“2 I № Г е* 1

== 32к2 Re У V R2 {

В случае магнитных токов может быть получена формула, анало-
гичная (9). Проще всего это можно сделать, производя перестановку
(11.20) в равенстве (9):

._>. ’<о2 | е Is 1 _►

= 32^2 Re |/ — {| Е^в |2 + | |2} iR. (9а)

Если существуют электрические и магнитные токи, то для вычисле-
--

ния S' предварительно нужно найти суммарное поле этих токов, а за-
тем вычислять квадратичную величину S'. При этом получим, в случае
отсутствия потерь в среде, когда е вещественно,

k2 ~ ( /— * ’— 5i -

5=-з-Ь?-! у -гр» + ]/ т К • <эв>

Мощность Р (в, ?), излучаемая" в направлении 0, ср, отнесенная к едини-
це телесного угла, равна:

Р(в, = R'2S', (10)

а полная излучаемая мощность

2 г. я

= J JP(0,?)sin0a!0<Zcp. (11)

О О

§ 2. ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТ НАПРАВЛЕННОГО
ДЕЙСТВИЯ

Из формул (7) видно, что угловое распределение составляющих
вектора Е в дальней зоне характеризуется функциями FCj и Fv угловых
координат О, ср. Эти функции называются диаграммами направленности
(по полю) для соответствующих компонент электрического вектора,
возбуждаемого заданной системой токов (антенной). Поскольку F& и F4
в общем случае комплексны, они, по сути дела, могут быть разбиты на
амплитудные и фазовые диаграммы.

На практике, в основном, интересуются амплитудными диаграмма-
ми, т. е. величинами | и |/7р | , которые обычно и называют диаграм-
мами направленности. Фазовой диаграммой направленности в антенной
практике интересуются редко, так как большинство антенных систем
обладает фазовым центром. В этом случае фазовая диаграмма не из-
меняется при изменении 0, <р (или изменяется скачками на угол тс) и
поэтому не представляет интереса.

Диаграмму направленности | F® | или | F4 | можно представить в ви-
де трехмерной замкнутой поверхности, у которой радиус-вектор г(0,?)
произвольной точки поверхности равен (или пропорционален) величине

?)|или I Ff (в, ср)].

Можно также изобразить эти диаграммы в виде незамкнутой трех-
мерной поверхности, построенной в декартовой системе координат
х = 0, y=(₽, z = | F0(0, ср)| (или z = | Fv (0, cp)|. Последнее равенство яв-
ляется уравнением указанной поверхности.

При изучении пространственной диаграммы направленности обычно
исследуют различные сечения этой диаграммы, например, различными
плоскостями в = const или ®= const. По этим сечениям можно пред-
ставить себе пространственную диаграмму направленности.

На практике часто пользуются также понятием диаграммы направ-
ленности по мощности, характеризующей угловое распределение излу-
чаемой мощности. Как следует из формулы (9), поток излученной в
направлении в, ср мощности, отнесенной к единице телесного угла, про-
порционален сумме | Fgp + I2. Эту функцию и называют диаграммой

направленности по мощности. Поскольку парциальные мощности, вы-
числяемые по соответствующим компонентам вектора Е, аддитивны
[см. формулы (9) и (10)]:

Р(0, <р) = Рв(0, (?) + PV (0, ср), (12)
целесообразно вводить парциальные диаграммы направленности по
мощности | Fo |2 и | F? |2, связанные с соответствующими компонентами
F« и f<p •

Если излучающая система состоит из магнитных токов, то ее ди-
аграммы направленности по полю определяются ’ функциями F^e и F^,
а по мощности - (I Н PF,1O|2). Диаграммы направленности систе-
мы, состоящей из совокупности электрических и магнитных токов, опре-
деляются, как это следует из (8а) и (96), выражениями (Fh + j/ —Fp^l и

— по мощности.

В дальнейшем мы будем выписывать формулы, главным образом,
для электрических токов, считая, что читатель сумеет, в случае необхо-
димости, легко обобщить их на случай магнитных токов.

Для удобства графического изображения амплитудные диаграммы
направленности принято нормировать так, чтобы их максимумы рав-
нялись единице. Такие, нормированные, диаграммы могут быть записа-
ны (для электрических токов) в виде:

А, <?)

|Fe(0,?)|

Imax

Ф<р (В, ср) =

I Fy (0, ср) I

I F<p |max

(13)

Аналогично нормируются диаграммы направленности по мощности:

[Р(9, cp)]max (|FJ2 + \FV |2)шах

(14)

Для оценки эффективности антенн как направляющей системы вво-
дится коэффициент направленного действия (к. н. д.) О (0, ср). Величина
к. н. д. указывает, во сколько раз излучаемая антенной в направлении
0, мощность (отнесенная к единице телесного угла) превышает отне-
сенную к единице телесного угла мощность, излучаемую гипотетической
ненаправленной антенной при условии равенства полных мощностей,
излучаемых обеими антеннами.

Иногда бывает удобно использовать иное, полностью эквивалент-
ное предыдущему, определение к. н. д., вводя его, Как отношение пол-
ных, излучаемых рассматриваемой и гипотетической антеннами, мощ-
ностей, при условии равенства создаваемых ими в направлении Я. ср по-
лей. Из определения ясно, что к. н. д D (0, ср) отличается от диаграммы
по мощности Ф (0, ср) лишь постоянным множителем. Если Pz — полная
„ Pz

излучаемая антенной мощность, то величина --------- равна мощности,

4к

излучаемой в единицу телесного угла гипотетической ненаправленной
антенной*. Таким образом, коэффициент направленного действия равен:

(15)

r’z

4it

* Следует отметить, что ненаправленный излучатель электромагнитных волн не
может существовать. Простейший электродинамический излучатель —диполь — уже
имеет направленность.
Полную излучаемую антенной мощность Pi можно определить по
формуле (11). Подставляя ее в (15) и учитывая (14), получим следую-
щую общую формулу для к. и. д.:

D (0, Т) =

4к Р (0, <f)

у f P(Q, с?) sin0d0<F?
о б

4 тс IF (0, <р)

j )’ Ф(0, 4>) sin 0d0(Z©
о и

(16)

На практике обычно интересуются максимальным значением к. н. д.,
соответствующим направлению максимального излучения. Максималь-
ный к. н. д., который мы будем обозначать буквой D, без указания ар-
гументов, равен:

D =г Dmax = 2я х , (17)

J J Ф (6, ф) sin ®dQdy
0 о

поскольку ф (0, ©) |тах = I.

В случае антенны с эллиптической поляризацией можно также го-
ворить о к. н. д. антенны по отношению к парциальным мощностям,
связанным с отдельными компонентами вектора Е излучаемого поля.

Действительно, формулу (17) можно переписать, используя (14),
следующим образом:

п 4к { | FJ2 + |Г№ р }П1ах

2л к

f j { + Sin(W0d<p

б О
или

(' ( | F0 [2 sin 0o?0<Ff 4-у J | |2 sin 0rf0rfcp

1 __б б __________________о о_________________

D 4л {| Fe ф-1 |s}max

Вводя максимальные к. н. д., соответствующие 0 -ой и ф -ой компо-
нентам электрического вектора, при помощи очевидных формул

4 rt j р Г2

। ___ __________I 0 |max

0 2тс к

у у I F-, |s sin 0d0d©

0 0

и D?

Ж1к

f J I Лэ I2 sin Qd&dy
б о

(18)

перепишем предыдущее равенство в виде:

1 IF!2

। I f imax

+ I l2)max

(18a)

Эта формула может быть полезна при определении D, так как
и D<p могут быть вычислены по экспериментально снятым диаграммам
(см. (18)], а коэффициенты, стоящие в (18а) при у— и, являются
относительными мощностями, излученными в направлении максимума
диаграмм на различных поляризациях, и легко могут быть измерены.
Выигрыш, получающийся в результате применения направленных ан-
тенн, растет с увеличением к. н.д. Однако он также существенно зави-
сит от коэффициента полезного действия антенн (к. п. д.) ц. В самом
деле, сравним две различные антенны, обладающие параметрами

и й2, К),, соответственно. Легко сообразить, что при подаче одинаковой
мощности в обе антенны отношение мощностей сигналов от них, в мес-
те приема, будет равно -----—, так как к. н. д. следует сравнивать при

Л>2 Т]2

одинаковых излученных мощностях, что и учитывается благодаря мно-
жителю — , равному-------.

Поэтому выигрыш, обеспечиваемый направленной антенной, опре-
деляется произведением D-q, которое обычно называется коэффициен-
том усиления антенны:

О = Dq. (19)

§ 3. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯ

Важной характеристикой поля является его поляризация. Различа-
ют поля с линейной и эллиптической поляризациями. Полем с линейной
поляризацией называют поле, векторы которого в каждой точке про-
странства не изменяют своего направления в течение периода колеба-
ний (если не учитывать изменения направления на 180°). При этом
плоскость, проходящую через векторы Е и S', называют плоскостью
поляризации поля. В общем случае, когда векторы электромагнитного
поля имеют две взаимно перпендикулярные компоненты, сдвинутые
друг относительно друга по фазе, поляризация поля не будет линейной
и конец электрического (или магнитного) вектора будет описывать в
пространстве эллипс. Покажем это. Полагая

—>

выпишем выражения для компонент вектора Е [см. (7)] в виде:

— i (kR-arg F )

<up e

4к i R

(20)

<up

4k i

Мгновенные значения и компонент электрического вектора
lint

получим, умножая (20) на е и беря их вещественные части:

шр.

4к R

шр

4к R

| F® | sin (<o£ — kR + arg F®) = A„ sin (mt — kR -}

| F.f \ sin (o)t—kR+arg Fv )—Av sin(wt—kR + arg Fe -p),

(21)

где

S = argF? - argFe, = А? = | F^ |.

4k R 4k/?

Исключая из уравнений (21)
уравнение, связывающее и

sm(«>/ — kR 4- arg ), получим
в любой момент времени:

^2 "Ь ^Д2 2 COS 0

(Он (0<Р . , „

Л л = sin‘ °-

(22)
Это — уравнение эллипса, описываемого концом вектора Л за период Т.
Этот эллипс называют «поляризационным эллипсом», или (поляризацион-
ной характеристикой поля. Форма этого эллипса и ориентация его в
пространстве однозначно определяются его параметрами Лй, А? и 8 . В

* —►

зависимости от знака 8 конец вектора Е может перемещаться по этому
эллипсу как по часовой стрелке, так и против нее. В связи в этим раз-
личают поляризацию правовращающуюся и левовращающуюся (отно-
сительно наблюдателя, на которого набегает волна). В зависимости от
соотношения между Ав и А? и величиной 8 поляризационный эллипс
может иметь различный вид.

Если 8 = гая , где га — целое число, то он вырождается в прямую
линию:

<81

(23)

что соответствует линейно поляризованному полю.

г \ 0 0 1 0 0 \

I X / О О X

О — — — — — — — — —

-180° -135° ~90° -45° 0 90° /35° 180° b

Рис, 3.2. Различные виды поляризационных эллипсов.

7С

При о = (2/г + 1) — равенство (22) переходит в

^02 ^02

+ ' <24>

О ср *

т. е. главные оси эллипса параллельны направлениям компонент Е® и
Е^ . При A„ = AV эллипс (24) вырождается в окружность (чисто кру-
говая поляризация).’

При равенстве амплйтуд компонент поля (Ae — Av ) и изменении 8

7С

от (2га-|-1)—до гая поляризационная характеристика последователь-

но принимает вид окружности, эллипса с главными осями, наклонен-
ными на 45° к вертикали, и наклоненной на ' 45° прямой линии.
Различные виды поляризационных эллипсов приведены на рис. 3.2. По-
ля с эллиптической поляризацией называют также полями с вращаю-
щейся поляризацией (ввиду того, что вектор поля в каждой точке про-
странства вращается). Отметим, что в общем случае соотношения ам-
Плитуд и фаз комйойент поля Ев и E,f в пределах диаграммы направ-
ленности меняются (с изменением 0, tp).Поэтому каждому направлению
в пространстве соответствует своя поляризационная характеристика
(эллипс).

Поляризационные характеристики анализируют обычно с помощью
приемной индикаторной антенны с линейной поляризацией. Индикатор-
ную антенну ориентируют в направлении приходящего сигнала и, вращая
ее вокруг продольной оси, снимают кривую изменения принимаемого
сигнала. Эта кривая, которую мы будем называть поляризационной
диаграммой, построенная в полярной системе координат, представляет
собой не поляризационный эллипс, а геометрическое место максималь-
ных проекций вращающегося вектора поля на поворачивающуюся ли-
нию, соответствующую поляризации вращаемой индикаторной антенны.
Эти максимальные проекции, как нетрудно убедиться, определяются
касательными к поляризационному эллипсу, перпендикулярными упо-

б)

Рис. 3.3. Построение поляри-
зационной диаграммы [1] по
заданной поляризационной ха-
рактеристике [2]:
а—поляризационная характеристика—
эллипс; б—поляризационная характе-
ристика-прямая линия.

Рис. 3.4. Различные ви-
ды поляризационных диа-
грамм:

«—восьмерка; б—окруд^псть;
в — восьмерки с разлтгтыми
нулями.

мянутой линии (рис. 3.3). Сказанное станет особенно ясным, если в ка-
честве индикаторной антенны использовать линейный вибратор, ибо при
этом сразу видно, что амплитуда принимаемого сигнала пропорциональ-
на максимальной проекции вектора Е на ось вибратора. По своему
внешнему виду кривая сигнала представляет собой восьмерку с размы-
тыми нулями. При линейной поляризации сигнала она переходит в чис-
тую восьмерку, при чисто круговой — в окружность (рис. 3.4). По-
скольку главные оси эллипса перпендикулярны к касательным, то они
проектируются без изменений и равны главным осям поляризационной
диаграммы.

Зная поляризационную диаграмму, можно найти и сам поляриза-
ционный эллипс, проводя описанное выше геометрическое построение в
обратном порядке.

Поляризационный эллипс можно характеризовать различными па-
раметрами, которые связаны между собой простыми соотношениями.
Так как масштаб эллипса обычно не представляет интереса, то практи-
чески важно знать лишь два из следующих параметров: отношение ам-
ПЛитуд Компонент полей т-^—п , сдвиг фазы 5 Между ними, отношение
I £? IJ
полуосей поляризационного эллипса (коэффициент равномерности)

А» - -

т = -д- , угол Н между одной из осей и i,,t (или i ).
'г

Анализируя уравнение поляризационного эллипса (22), можно по-
казать, что эти параметры связаны соотношениями
/ feV /n2tg2& + i

=----Л-TVTi- ; (25)

\ Е^ ) /тг-ф-tg $

которые позволяют определить два из этих параметров по значениям
двух других. Величина т, определяемая как отношение полуосей поля-
ризационной диаграммы, и угол # легко могут быть измерены.

§ 4. ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ ПРОСТЕЙШИХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ

Рис. 3.5.

Полученные выше формулы (7) и (8) для поля в дальней зоне да-
ют возможность рассчитывать диаграммы направленности всевозмож.
ных антенн.

Рассмотрим несколько примеров наиболее простых
излучателей, на которые можно разбить любую ироэо-
лочную антенную систему. Такими излучателями яв-
ляются; электрический диполь, элементарная рамка
(магнитный диполь), полуволновый вибратор, прямой
провод с бегущей и стоячей волной.

Электрический диполь. Электрический
диполь представляет собой идеализированный излуча-
тель в виде провода бесконечно малой длины dl, окан-
чивающегося металлическими шариками (рис. 3.5).
Вследствие малости dl, распределение тока вдоль ди-
поля принимается постоянным. Такое распределение тока

ствить только при наличии зарядов, сосредоточенных на концах диполя
(шариках), как этого требует закон сохранения электричества.

Диполь удобно характеризовать моментом р*:

р ~ — dl. (27)

ia>

Введем сферическую систему координат с центром в точке нахож-
дения диполя и полярной осью, направленной вдоль вектора р . При
этом рц— р sin в, = 0. Поле диполя в дальней зоне найдем с помощью
формул (7) и (4а). Так как в рассматриваемом случае JdV — — Idl =
=ia>p, то /•'= — imp.

* Момент' диполя равен р qdl — — , так как ток диполя, обусловленный
изменением зарядов, равен 1 — ^3- = iu>q.

можно осуще-
Учитывая это, найдем, используя формулы (7):

-ikR , -IkK .
р _ <°н о (г<0А» \ ® Iх е -а • ) = - —- sin © р- 1
л 4л i R 4л R )
(28
о —— -ад
Е ~ — ^8 V г!х е . „ 7—— —РГ Sln $ Р' 4 it R г

Вектор плотности потока мощности диполя будет, согласно (9) и
(28), равен (считая г вещественной величиной):

- 1 ГТ г 1 Р'

S ~~2 |/ р"'32л* г sin’e*/?' (29)

Отсюда следует:

P(0) = /?2|S'|==2L£sin*0. (30)

32тс2 е

Таким образом, эквифазные поверхности диполя имеют вид сфер, а
его диаграмма направленности по полю:

</>e(H) = sin0 (31)

представляет собой тороид, ось которого совпадает с осью диполя.

Коэффициент направленного действия диполя легко вычислить по
формуле (16):

4л sin2 0 3 . „ ГЛ 3 ,оп.

D (9) = л — sin" €). Z?max — . (32)

2л f sin3 2 2

Полную излучаемую диполем мощность найдем, используя форму-
лу (И):

С С ®&3 л ГУ /dl V

Л = ) (33)

о о

Рамка. Элементарная рамка представляет собой кольцевой
электрический ток, не меняющийся вдоль кольца. Введем такую сфери-
ческую систему координат, при которой рамка (радиуса а) лежит в
плоскости Н =90°, а центр ее совмещен с началом координат (рис. 3.6).
Учитывая, что р — а, Н' = 90°, cos 0=sin Н cos (? —<р'), найдем, при-
меняя (4а) и (7):

Z7 л с r2lt г ika sin0 cos (f-f'! , ,, , .

/У = 0, Ff = J Ie -acos ('f — <p ) d'p.

Разлагая экспоненциальный множитель в ряд по степеням ka
(ka z 1) и отбрасывая члены ряда степени выше первой, найдем:

2г.

эта/ (1 + ika sin Н cos </) cos ср' d'!>' = гйла21 sin 0.
о

Подставляя полученные значения для F^ и F* в формулы (7), найдем
Поле рамки в дальней зоне:

k“ / и. е

Е,^~— 1/------------=7—sin 0(7 па-);

4я У е R
~ikR

Н„—-----------------sin 0(7 ка:).

в 4« 7?

(34)

Величину А — I па2 называют магнитным моментом рамки.

Диаграмма направленности рамки по полю имеет, таким образом,
вид:

Ф¥ — sin В. (35)

Сравнивая формулы (31) и (35), видим, что диаграммы направленности
диполя и рамки идентичны, с тем лишь отличием, что поле диполя в
дальней зоне имеет компоненты Еа, ЕЕ , а поле рамки — компоненты
Н9, Б® . Это связано с тем, что поле элементарной рамки, как легко по-
казать, совпадает с полем магнитного диполя, момент которого m—IS.

Рис. 3.6.

где S — площадь рамки, и может быть, следовательно, получено из по-
ля элементарного диполя [формулы (28)] путем применения соотношений
перестановки (11.20).

Полученные выше формулы дают возможность написать выраже-
ния для плотности потока энергии и полной мощности, излучаемой рам-
кой:

оР Р2 f е ТЗр I2 “2 Р' k2 / 8 1 5' = „ 1/ 1/ (7 па2}-sin- 0, 32к- у р. R- 32т:- R' у v* 1 <О|Х^3 k4 /Т ( = (Ля°2)2 =-То—1/ Ж 1 12к 12 тс у е

Провод со стоячей волной. Рассмотрим линейный провод
длины L со стоячей волной тока вдоль него. Введем сферическую систе-
му координат с полярной осью, расположенной вдоль провода. Начало
координат совместим с центром провода (рис. 3.7). Составляющие 7% и
, определяющие поле провода в дальней зоне [см. (4а) и (7)], имеют
в этом случае вид:

=--0, f2 Z(z)sinBefeCOserfz. (37)

-£/2
Векторы поля в дальней зоне имеют лишь компоненты £еи /Д, ,
причем диаграмма направленности симметрична относительной оси про-
вода. Форма диаграммы в плоскости 0 зависит от распределения тока
вдоль провода —I(z).

Рассмотрим случай, когда вдоль провода укладывается целое чис-
ло полуволн: L — m —(т= 1, 2. . Распределение тока при этом мож-

но представить в виде

Г! \ Т U , тТ:

I (?) =/0 sin \kz + —

2к
где k = —
к

Подставляя в формулу (37) это значение для тока, найдем после

интегрирования:

(-1)

. тт.

. 4 Ч -ёГ~ COS *9

- ( ~ 1)те 2

sin 0

(38)

Используя (13) и (38), найдем, что диаграммы направленности (по
полю) провода со стоячей волной тока будут выражаться формулами:

Фе(») =

//лк „
cos -----cosu

\ 2

sin 0

//ПК „

sin -----cos В

\ 2

sin 0

, т — 1, 3, 5,...

. т = 2, 4, 6,...

(39а)

(396)

Диаграммы здесь в отличие от (13) не нормированы на единицу.

Нули диаграммы являются нулями числителя и соответствуют
углам, определяемым очевидными соотношениями:

cos0 = + — , + — ,... ± — , т — нечетное;
т т т

cos0 = 0, + —, ± —,..., ± —, т — четное.
т т т

Для точного определения направлений максимумов диаграммы
0т необходимо решить трансцендентные уравнения

т — нечетное;

тг. .

---tg0-sin0 =

/ик „

---cosn

т — четное,

которые получаются после приравнивания нулю выражения

(41)

(0)

/Z0

Так как решение уравнений (46) в общем виде затруднительно, то
для качественного исследования диаграммы направленности достаточно
использовать приближенный прием, основанный на том, что в выраже-
нии (39) числитель, при достаточно большом т, изменяется значитель-
но быстрее знаменателя. Поэтому направления 0ТО максимумов диа-
граммы направленности будут близки к тем, при которых числитель
достигает своего максимума, равного единице. Таким образом, из фор-
мулы (39) получим:

COS Ощах

2/г

—, т — нечетное.
т

а , (2/г —1)

cos 0max -- + !--!—, т — четное

ГМ__1

/г = 0, 1,2,-.- —— . (41а)

ной

Диаграммы направленности
тк
— со стоячей волной тока

по мощности линейного провода дли-

для нескольких значений т приведены

на рис. 3.8.

Рис. 3.8.

Из вида этих диаграмм, а также на основании рассмотрения фор-
мул (39), (40) и (41а) можно сделать ряд общих выводов:

1) диаграмма направленности линейного провода со стоячей волной

тока имеет вид тела вращения;

2) число лепестков диаграммы равно т — числу полуволн, уклады-
вающихся вдоль провода;

3) диаграмма направленности провода симметрична относительно

плоскости 0 =

тс о тс

—; при т — четном углу « = — соответствует нуль диа-

граммы, а при т — нечетном — максимум, минимальный по своей вели-
К

чине (ибо при 0 —— знаменатель максимален). Наибольшим из всех

лепестков диаграммы является ближайший к оси провода (ибо ему со-
ответствует минимальный знаменатель). Как следует из формулы (41а),
максимуму лепестка соответствует угол

cos 0max ~ 1--—

Таким образом, чем длиннее провод, тем ближе этот лепесток при-
жимается к оси провода. Максимум его приближенно равен j/"
тогда как величина максимума наименьшего лепестка равна приближен-
но единице.
Распределение тока вдоль провода в виде чисто стоячей волны име-
ет место на резонансных (для данного провода) волнах. Если вдоль
провода укладывается лишь одна полуволна, то это соответствует ос-
новному резонансу. Такой провод называется полуволновым вибрато-
ром и представляет собой весьма широко распространенную антенну.
При т > 1 провод возбуждается на гармониках. Поэтому такой провод
называют «гармониковой антенной». Диаграмма направленности одного
полуволнового вибратора получается из (39а) при т=\:

Рис. 3.9. Диаграммы направленности
по мощности диполя [—] и .полу-
волнового вибратора [---] в плоско-
сти оси антенны.

cos I — cos в
\ 2

sin 0

(42)

На рис. 3.9 построена диаграмма
вибратора по мощности, равная Ф2(0).
Там же для сравнения приведена
диаграмма направленности по мощ-
ности электрического диполя, опи-
сываемая функцией sin2 0 [см. (31)].

Как видно из рис. 3.9, эти диа-
граммы весьма близки друг к другу.

Найдем мощность, излучаемую
гармониковой антенной. Подставляя
в (9), (10) и (11) выражения (38)
для =0), получим при т— не-
четном:

, 1тп „

cos2 ----cos 0

\ 2

sin2 0

cos2 — cos 0

\ 2

(43)

sin 0

d0.

Интеграл вычисляется с помощью двух последовательных подста-
новок: cos 0 = и. и 1 + и. =-.

2тс m

— f

2 J

1 —COS V 1 г, /о . /о м

------dv = — [In (2тс т у) — Ci (2mir)],
v-----2
p cos v

где ”( = 1,7811, а Си•— - i -------- dv — интегральный косинус,

г»

Подставляя вычисленное'значение интеграла в (43), получим:

р, |/ ~l4i2 [In (2/ин) - Ci (2 (44)

oft V £

Эта формула справедлива и для четных т. Коэффициент направ-
ленного действия гармониковой антенны для любого направления W
найдем, согласно (15) [используя (43) и (44)], в виде:

. , / nr. Л

4 cos2 — cos 0
\ 2 / 1

£) (0) =------------------ 1—пг~—;-----ттг-тп—г, т ~ нечетное (45)

' ' sin2 В In (2/ин) — Ci (2тп} '

(аналогичная формула, с заменой

. /Отк •>
cos" —cos 0 на sin-

\ 2 /

получится при т — четном).

К-н. д. полуволнового вибра-
тора в экваториальной плоскости

0 = — будет отсюда равен:

fflir

----cos 8

г Л /Л /л

Рис. 3.10.

-----------------= 1,642,
In 2н — Ci 2it

(46)

т. е. на 9,3% выше к. н. д. диполя.

Большой практический интерес представляет антенна в виде прово-
да с симметричным, относительно середины, синусоидальным распреде-
лением тока, с нулями на концах провода. Этот случай соответствует
антенне, возбуждаемой в центре. Если длина провода равна нечетному
числу полуволн, то распределение тока в нем при этом будет таким же,
как и в случае гармониковой антенны. Однако во всех остальных слу-
чаях распределение тока в этих двух антеннах различно. Распределение
тока вдоль провода в рассматриваемом случае при любой длине про-
вода L, очевидно, может быть представлено в виде:

(47)

где z— координата, отсчитываемая вдоль провода, от его середины.

Характерные кривые распределения тока I(z) вдоль провода для
нескольких значений — приведены на рис. 3.10. Подставим выраже-
ние (47) для I(z) в формулу (37):

+£/2

(* / [ \ ikz cos 0

£7e(0)= —/ol sin^l —--------1гИ81П0^ dz. (48)

-1/2
Вычисляя этот интеграл (например, переходя в подинтегральном выра-
жении к экспоненциальным функциям), получим:

/kL \ kL
cos — cos 0 — cos---

F9(0)^--?A ------------Ц-------— • (49)

0 v ' k SinH

Отсюда нормированная диаграмма направленности провода с симмет-
ричным синусоидальным распределением тока будет иметь вид:

1^1

I |тах

cos I — cos 0

\ 2

sin 0

— cos —

(50)

= А

где A — нормирующий множитель.

Нетрудно убедиться, что при L = т — (т — нечетное) формула

(50) идентична первой из формул (39). Если же т — четное, то воз-
можны два случая:

т _

1. Вдоль провода укладывается четное число волн тока---. 1огда

sin2 — cosH

\ 4 /

= <su’

Нулям этой диаграммы соответствуют углы 0О, определяемые вы-
ражением

cos0o = O,+ ±, (52а)

т т т

максимумам — углы 0тях , для которых

cos 0max = ± ± -........± . (526)

т т т

Сравнивая эти выражения с формулами (40) и (41а), видим, что
нули (и максимумы) такого провода совпадают с нечетными нулями (и
максимумами) гармониковой антенны равной длины, т. е. число их в
первом случае в два раза меньше, а, следовательно, сами лепестки ши-
ре. Иначе говоря, расположение нулей и максимумов в симметрично
возбуждаемой антенне длиной, равной четному числу волн тока, такое
же, как и у гармониковой антенны вдвое меньшей длины. Однако ле-
пестки в первом случае несколько уже (на уровне 0,5 по мощности),
так как в числителе диаграммы {формула (51а)] стоит не sin, a sin2
[сравнить с формулой (396)].

„ _ т

2. Вдоль провода укладывается нечетное число волн тока —— .

При этом, как нетрудно видеть,

,/ттс ГЛ

cos21---cos 0

\ 4 /

<5,в>
Очевидно, в этом случае нули и максимумы, по сравнению со случаем
«1» [см. (52а) и (526)], просто поменяются местами (за исключением
углов 0 — 0 и я, которые опять будут нулями диаграммы).

Переходя опять к общему случаю произвольной длины провода, вы-
числим излучаемую им мощность. Подставляя в формулы (9), (10) и
(11) выражение (49), найдем:

p®=

oft

/ kL Л kL'
cos---cos 0 —cos —

2________J

sin 0

(53а)

(536)

Вычисляя этот интеграл, получим известную формулу Баллантайна:

= 30 { sin kL |Si (2 kL) — 2 Si (kL)\ + cos kL

C+in-у +Ci(2^£) -

— 2 Ci (kL) 4- 2 [C + In kL - Ci (2 kL)]}

(53e)

где Si, Ci— интегральные синус и косинус*, а С = 0,577 — постоянная
Эйлера. При этом мы положили

2РТ L

График величины . . , построенный в зависимости от~ по фор-

I 'о Г

муле (53в), приведен на рис. 3.11.

Коэффициент направленного действия такой антенны легко вычис-

лить для любого значения —, используя формулы (15), (52), (53) и
X '

график, приведенный на рис. 3.11.

Проводе бегущей волной. Рассмотрим еще прямой провод
с бегущей волной тока в нем. Если фазовая скорость волны тока в про-
воде v отлична от скорости с волны в воздухе, то распределение тока в
нем может быть записано в виде:

Цг) =70 е '?г, (54)

О ю
где z — координата, отсчитываемая вдоль провода, а р = — .
v

Пусть провод длины L расположен вдоль полярной оси сферической
системы координат, начало которой совмещено с центром провода. Тогда
составляющие вектора F будут, очевидно, выражаться формулами (37).

sin t

— dt.

5. Фельд, Бененсон.

65
'MP*

Подставляя в (37) выражение (54) для I(z), имеем:

£/2 — i ₽ z + ikz cos ©

= FJ9) =/0 J е sin Qdz. (55)

-L,2

Вычисляя интеграл в (55), получим следующее выражение:

• kL ( о .3 \
sin---- cos г)----—

9 т 2 \ k /

-------------о----' sin0. (56)

R cos e -

Рис. 3.11. Рис. 3.12. Диаграммы направленности про-

вода с бегущей волной тока при

—L ——!_(а) и — = 5 (б) и различных —.

Л 2 Л с

Нормированная диаграмма направленности провода, в соответствии
с (13), будет иметь вид:

Ф0(е) = Л— sin 0, (57)

где
kL / £ \

х =---- cos 9---— ,

2 \ к)

А — нормирующий множитель.

Диаграммы направленности типа SinХ- для различных kL и—под-
х k

робно рассматриваются ниже. Поэтому мы не будем подробно анализи-
ровать выражение (57) и ограничимся случаем 3 = k, который соответ-
ствует проводу с малыми потерями (вследствие наличия в проводе оми-
ческих потерь величина р меньше k на доли процента).
Выражение типа S1 - Х- при fi=k (т. е. при v = с) определяет диа-
х

грамму направленности в виде главного лепестка, ориентированного
вдоль оси провода и ряда значительно меньших по величине побочных
лепестков, появляющихся лишь при kL > л. Наличие множителя sin 9
в формуле (57) сказывается, главным образом, в направлениях, близких к
8=0. Так как для 8 = 0, sin 8=0, то в центре главного лепестка по-
является провал до нуля. Диаграммы направленности (по полю) провода
с бегущей волной тока при kL = x и kL = 5~ приведены на рис. 3.12.
Из этих рисунков видно, что с увеличением kL главные лепестки излуче-
ния антенны сужаются и прижимаются ближе к оси провода. Точное
выражение для направления максимума излучения провода в этом слу-
чае можно найти, определяя минимальный отличный от нуля корень
(8)

уравнения —— = 0. При kL =~- ~ максимум излучения соответствует

углу вшах = 65°; при kL = 5 -к, 8шах — 22°. Как видно из рисунка, при
р , V

уменьшении величины —(равной— ). главные лепестки излучения
k с

антенны сужаются, а угол, который они образуют с осью провода, умень-
шается.

ГЛАВА IV

ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ РЕШЕТОК ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ

Антенны, применяемые на практике, редко имеют вид рассмотрен-
ных выше одиночных проводов, поскольку для создания остройаправлен,-
ных диаграмм приходится применять более сложные антенные системы.
Одним из наиболее важных типов направленных, антенн, получивших
широкое распространение, являются так называемые решетки излучате-
лей, т. е. системы однотипных излучателей, размещенных в узлах трех-
мерной решетки. Простейшая решетка образуется прямоугольной систе-
мой координат. Однотипность излучателей (в смысле идентичности и
одинаковой ориентации их диаграмм направленности) и периодичность их
размещения в пространстве дают возможность установить ряд важных
общих соотношений, использование которых весьма существенно облег-
чает и упрощает расчет.

§ 1. ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ РЕШЕТКИ

Элементами всякой пространственной антенной решетки могут слу-
жить любые излучатели. Эти излучатели, естественно, будут занимать
конечный объем пространства. Однако, как было показано выше, каж-
дый такой излучатель всегда можно заменить эквивалентным квазито-
чечным излучателем, обладающим такой же диаграммой направленности,
как и рассматриваемый излучатель. Этот квазиточечный излучатель рас-
полагается в некоторой точке, которую мы будем называть центром ре-
ального излучателя. При расчете поля и диаграммы направленности от-
дельного .излучателя по формулам (III. 4а) и (III. 7) начало сфериче-
ской системы координат совмещается с указанным центром. В узлах
пространственной решетки необходимо' размещать именно эти центры
отдельных излучателей. Поле решетки излучателей, как и любой систе-
мы токов, определяется формулой (III. 7).

(1)

4тг R v '

где

7* j. — FqIq ф- E'tp ,

R — величина радиуса-вектора, проведенного от точки наблюдения
до произвольно выбранной точки, называемой центром всей решетки,
принятой за начало сферической системы координат. С другой стороны,
поле, создаваемое всей решеткой, равно векторной сумме полей отдель-
ных излучателей, т. е.

п \ п -1

где F\n — поперечная (относительно направления вектора R) часть
вектора Fn, характеризующая диаграмму направленности п-ного излуча- •
теля [см. формулы (II. 86) и (II. 13)];

Rn — расстояние от точки наблюдения до центра n-го излучателя,
a N — общее число излучателей решетки.

Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получим:

Преобразуем полученное равенство, используя обычные допущения, спра-
—► —

ведливые для полей в дальней эоне: 1) векторы R и Rn можно считать

R г

параллельными, так что R~Rn \------где гп— радиус-вектор точки

IRI

расположения центра n-ного излучателя (рис. 4.1); 2) в знаменателях вы-

ражения (2) можно положить Rn = R-

1 Рис. 4.1.

Учитывая сказанное, найдем:

Так как

R-Rn = ~!r=rn^n,
I I

где '> „ •— угол между векторами R и г„ (см. рис. 4.1), то для в'екто-
pa F x решетки будем иметь окончательно:

= f eikr^0S^F±n. (3)

»-i

Эта формула справедлива для .любой системы произвольных и произ-
вольно ориентированных излучателей. Преобразуем ее, предположив, что
все излучатели решетки удовлетворяют условию

FX„=A„FU, n = l,2, ...ZV, (4)

где Ап — произвольные комплексные множители, характеризующие
комплексную амплитуду возбуждения отдельных излучателей. Условие
(4) будет выполнено, например, для системы конструктивно идентичных
излучателей, одинаково ориентированных в пространстве.

Если учесть (4), то выражение (3) примет вид:

Д'

Е* Е 5? Л COS Н

= ъ Апе п " (5)

/2--1

Диаграмма направленности по мощности решетки излучателей бу-
дет, в соответствии с (III.9) и (III. 14), равна:

< = (9, <p)|2 Aneikr^*„\2- (6)

л-1

Суммы, стоящие в выражениях (5) и (6), называются обычно «мно-
жителями решетки». Для того, чтобы выяснить физический смысл этих
множителей, предположим, на мгновение, что отдельные излучатели
являются абсолютно ненаправленными. Это значит, что все F± п не за-
висят от углов 9 и s и могут быть положены равными единице. Тогда,
как это следует из формул (5) и (6), множители решетки будут пред-
ставлять собой диаграммы направленности (по полю и по мощности, со-
ответственно) решетки ив N ненаправленных излучателей, возбуждаемых
с амплитудами Ап . Формулы (5) и (6) позволят сформулировать еле-,
дующую теорему, называемую обычно «теоремой умножения диаграмм»:
диаграмма направленности решетки идентичных и одинаково ориентиро-
ванных излучателей представляет собой произведение двух функций —
диаграммы направленности одиночного излучателя и диаграммы направ-
—>

ленности системы ненаправленных излучателей (F} (6, <р) = 1), возбужда-
емых с амплитудами . Теорема умножения дает возможность значи-
тельно облегчить расчет антенных решеток, поскольку самые разнообраз-
ные антенны могут отличаться лишь излучателями и иметь одинаковые
множители решетки. Для расчета таких антенн достаточно отдельно изу-
чить свойства решеток из ненаправленных излучателей и различных
элементарных излучателей.

В дальнейшем мы будем, в основном, изучать свойства линейных
решеток, т. е. систем излучателей, расположенных вдоль прямой линии.
Такие решетки являются наиболее простыми. Однако, изучив их, можно
будет рассчитывать также двумерные и трехмерные решетки. Двумер-
ная решетка может рассматриваться как линейная решетка, каждый из-
лучатель которой представляет собой линейную решетку. Трехмерная ре-
шетка может рассматриваться как линейная решетка, каждым излуча-
тель которой имеет вид двумерной решетки. Диаграммы направленности
таких систем могут быть получены путем последовательного использо-
вания «теоремы умножения».

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ РЕШЕТКИ

Рассмотрим линейную решетку, состоящую из идентичных излуча-
телей, центры которых расположены на равных расстояниях d друг oi
друга, вдоль некоторой линии, называемой осью решетки.

Множитель решетки, как это следует из формулы (6), имеет в об-
щем случае вид:

WN^Aneikrn^^\\ (7)

Поместим начало сферической системы координат R, 0, <₽ в центре
первого излучателя, а ее полярную ось совместим с осью решетки

(рис. 4.2). При этом будет удобнее несколько изменить нумерацию, при-
своив первому излучателю индекс п = 0, что приведет к суммированию
в формуле (7) по п от 0 до N—1.

Пусть комплексные амплитуды токов в излучателях равны:

Ап = \Ап\е~^.

Так как в нашем случае rn — tid, а И хД то общее выражение (7)
для пространственного множителя решетки может быть переписано в
следующем виде:

X—1

^(0)^| Е | Ап\е‘ |2. (8)

Из формулы (8) видно, что множитель линейной решетки не зави-
сит от азимутального угла <?, т. е. диаграмма направленности линейной
решетки представляет собой поверхность вращения с осью симметрии,
совпадающей с осью решетки. Слагаемые суммы в формуле (8) могут
быть изображены в виде векторов на комплексной плоскости. Множи-
тель решетки при этом будет равен квадрату модуля геометрической сум-
мы этих векторов. Так как фазы векторных слагаемых зависят от поляр-
ного угла Н, то и величина модуля суммы меняется с изменением угла Н.
Абсолютный максимум соответствует тому направлению 0, для которого
поля складываются в фазе, т. е. nkd cos 0 —фя —2wn одновременно для
всех и от 0 до А — 1, где т — целое число, которое может быть раз-
личным для разных п.

При этом модуль суммы равен просто сумме модулей слагаемых. Од-
нако ввиду произвольности фк , это условие может не выполняться ни для
одного О и тогда максимум не достигается. Несмотря на это, функция
(0) может иметь в интервале 0 < 0 <- л несколько' максимумов.
Наибольший из них мы будем называть главным максимумом, а соот-
ветствующее ему направление 0 — направлением или, точнее, конусом
главного излучения. Так как пространственная диаграмма направлен-
ности решетки представляет собой тело' вращения, то каждому значению
0 в пространстве соответствует конус, образующий угол 0 ,с осью ре-
шетки. В зависимости от ориентации направления главното излучения от-

Рис. 4.3. Диаграммы направленности линейных решеток с попереч-
ным (а), продольным или осевым (б) и коническим (в) излучением.

носительно оси решетки различают решетки с осевым (продольным) и с'
поперечным излучением. Диаграмма направленности решетки с осевым
излучением состоит из эллипсоидоподобного главного лепестка, направ-
ленного вдоль ее оси, и ряда побочных, меньших по величине лепестков,
соответствующих остальным максимумам функции 4^(0). Диаграмма
направленности решетки с поперечным излучением имеет дискообразный
главный лепесток, перпендикулярный оси решетки. Возможны и решет-
ки промежуточного типа, у которых направления главного излучения со-
ставляют с осью решетки некоторый угол <р, 0 < to <С 90°, образуя конус
вращения с осью, совпадающей с осью решетки. На рис. 4.3 приведены
плоские сечения диаграмм направленности этих решеток. Последователь-
ности амплитуд | Ап | и фаз ф„ называют амплитудно-фазовой характе-
ристикой антенны. Наиболее изучены решетки с простейшими амплитуд-
но-фазовыми характеристиками. К ним относятся, в первую очередь, ре-
шетки с линейной фазовой характеристикой, у которых сдвиг фаз между
токами в соседних излучателях постоянен, т. е. фге = «фр Простейшим ам-
плитудным распределением является равномерное, когда все |А„| равны
между собой (если вдобавок антенна имеет линейную фазовую характе-
ристику, то такая решетка называется равномерной)] Сравнительно
хорошо изучены также случаи симметричного относительно середины
антенны амплитудного распределения, выражаемого простейшими функ-
циями — тригонометрическими («косинусоидальное» распределение),
степенными («биномиальное» распределение) и т. д.

Параллельно с линейными решетками, состоящими из дискретно
расположенных излучателей, целесообразно рассматривать и непрерыв-
ные системы, так как для достаточно длинных антенн L), при не-
больших расстояниях между излучателями дискретной решетки
(kd < 0,i3), различия-между этими двумя типами антенн невелики. Не-
прерывные системы интересны сами по себе; кроме того, анализ непре-
рывной линейной системы излучателей со сложной амплитудно-фазовой
характеристикой часто оказывается проще, чем в случае дискретного
распределения. Выражения для диаграмм направленности непрерывной
системы можно получить либо непосредственным вычислением вектора
F (как это делалось при рассмотрении провода со стоячей и бегущей
волнами, см. выше), либо предельным переходом в. формулах для соот-
ветствующей дискретной решетки, при d -> О, N -> «>, так, что прр этом
Nd =const.

§ 3. РАВНОМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ РЕШЕТКИ

Равномерными решетками называют линейные антенны <с одинако-
выми амплитудами токов в излучателях и линейной фазовой характери-
стикой. .. -

Согласно определению, в случае равномерной решетки, •фи = пф1 , а
все \Ап\ можно положить, не уменьшая общности, равными единице.

Обозначая

ii — kdcos 0 — d»! = kd(cos 0 — — 'j (9)

\ kd)

и полагая

перепишем множитель равномерной решетки в виде:

>^(0) = | (10)

л-о

N - I

Выражение X представляет собой геометрическую прогрессию со
п •= О

знаменателей е'* , сумма которой равна:

Подставляя вычисленное значение суммы в. формулу (10) и вводя нор-
мирующий множитель А'~2, получим следующее простое выражение для
нормированного пространственного множителя равномерной решетки:

*\(0) =

sin2 —-
2

№ sin2 -i- ’
2

где 'b^Jid cos (-) - -

Следует отметить, что величина

являющаяся, по существу, сдвигом

— /входящая в формулу (91 и,
d i

фазы на единицу длины решетки, >

может быть истолкована как волновое число некоторого волнового элек- i
тромагнитного процесса, распространяющегося вдоль решетки и как бы
возбуждающего отдельные излучатели решетки. Например, в случае
включения всех излучателей в общую питающую линию с бегущей вол-
ной (<см. рис. 4.4), — равно волновому числу, т. е. величине р = —
d v

где v — фазовая скорость волны в линии.

Выражение для множителя непрерывной линейной системы излуча-
телей можно найти путем непосредственного вычисления вектора F (как
это и .было сделано при рассмотрении излучения провода с бегущей вол-
ной) . Однако значительно, проще использовать для этой цели полученное
выше выражение для множителя решетки. Рассмотрим произвольную
излучающую линию, однородную в направлении ее оси Oz (см. рис. 4.5);
Реальную структуру этой линии мы не будем детализировать. Это может

у?) =7^^
---L --

Рис. 4.5.

Рис. 4.4.

быть, в частности, обычный провод с бегущей волной, волновод с проре-
занной вдоль него щелью и т. п. Пусть вдоль этой линии распространя-
ется возбуждающая ее бегущая волна с фазовой скоростью V, которой

соответствует фазовая постоянная р = —ф k . Разобьем мысленно рас-
сматриваемую линию на N одинаковых частей длины dz = — (L —

длина линии), которые будем рассматривать как отдельные «излуча-
тели» (рис. 4.6). Центры этих излу-

Рис. 4.6.

• 2 Щ
stnJ —L

чателей расположены на расстоянии
dz вдоль оси. Очевидно, соседние
излучатели возбуждаются с разно-
стью фаз ф1 = fidz . Множитель ре-
шетки, состоящей из этих излучате-
лей, можно найти, подставляя в фор
мулу (11) d = dz, ^ = $dz,\Л№| = 1.
В результате подстановки этих зна-
чений получим

№ sin2 —

ф = kdz (cos в — Р).

Так как число N элементов, на которое разбивается рассматриваемая
система, произвольно, то мы, имеем право перейти к пределу, когда

Nоо и dz— ——> 0.

Подставляя значение ф в выражение для , найдем, переходя к

указанному пределу:

Фл = 11тФ\ =

Ъ1

sin —- (cos 9 —- р)

~ (cos 0 - ?)

(12)
kL
или, вводя обозначение х = -----(cos 0 -

,т. sin2x
=-------—

Сравнивая полученное выражение для ’ГЛ с формулой для диапрам-

можно получить, (возводя в квадрат формулу (1), видим, что они отли-

чаются лишь множителем
sin2 Н, соответствующим, оче-
видно, диаграмме направленно-
сти элемента решетки. Действи-
тельно, провод с бегущей вол-
ной можно рассматривать как
непрерывную систему бесконеч-
но малых элементарных токов—
электрических диполей, а диаг-
рамма направленности послед-
них, как показано выше [см.
формулу III.31], выражается
функцией sin2 6.

На рис. 4.7 и 4.8 приведе-

ны графики функции ------- и

. х

Sin2 --

--------- , построенные в за-
N- sin2 -1

висимости от обобщенных ко-
ординат х и ф (вторая функ-
ция построена для нескольких
значений п). График функции
sin х
----состоит из одного главно-
х

го лепестка (максимальное

значение которого равно единице) и ряда побочных .лепестков, разделен-

sin2 —т

. 2

ных нулями. Функция ---------------периодическая с периодом, равным 2 я.
В каждом из периодов этой функции имеется также по одному главному
лепестку и ряду побочных. Графики обеих функций симметричны отно-
сительно точек л-- 0 и ф = 0. Значениям полярного угла. в ин тер -
вале 0. (-) к- соответствуют те участки этих кривых, для которых х и

ф меняются в интервалах:, . с .

2 \ V /

и __. _ _' । ,

ф - , (13)

Ширина этих интервалов всегда равна kL в случае непрерывной
решетки и 2kd — в случае дискретной решетки, однако они соответ-
ствуют различным участкам на осях х и ф в зависимости от значений
параметров kL, и kd, ф,.
k

Перейдем к более детальному исследованию . (0) и 4f7V(0) , для
чего сначала найдем их экстремальные точки-нули и максимумы функ-
ций. х\

При х = 0 и.ф = 2mw)m = 0, + 1, + 2, . . . , выражения (12я)
и (11) становятся: Тгеотгределенными. -Раскрывая эти неопределенности
обычным 'способом, нетрудно установить, что значениям х = 0 и ф = 0
соответствуют абсолютные максимумы функций и TjV, равные 1.
Как следует из определений величин х и ф [ом. формулы (12а) и (11)],
этим максимумам соответствуют главные направления диаграммы на-
правленности, для которых

cos 0ГЛ

г ’при

2ш~

1..

А ,
V
k.ii ’

1 — в случае непрерывной системы,

т ~ 0, + 1, + 2 . . . , — в случае
дискретной решетки.

(14)

Нулям множителей решетки соответствуют значения

х = /итг, т — + 1, -I- 2, ... и Ф = , т~ + 1, 4 2-.

’ ' ' -V ..

т =4 nN,

где п — целое число, и направления 0О, для которых:

Cos Но —

, 2т~
kL

Qm-tz

Nkd

+• —, m= + 1, + 2. .. . — в случае непрерывной
• Z? системы,

-Г —1-1 т — ± 1, + 2 . . ., т Ф nN — в случае
kd- дискретной решетки

(15)

Множители решеток, помимо абсолютных максимумов, имеют также
значительно меньшие по величине, так называемые, побочные максиму-
мы, соответствующие, приближенно, максимумам числителя в формулах
(12а) и (11) (так как знаменатель изменяется значительно медленнее
числителя), т. е. значениям

2 т 1 , 1 q > 2/п {- I i o

х~------ —//1 = 4 1, - 2... и ф~ —--к, т-- + 1, + 2, .. .

2 . N

(при т ~= 0 и т — —1 максимумы отсутствуют).
Направления 0ТОЗХ . соответствующие побочным максимумам, опреде-
ляются формулами:

COS 0max

2m + 1 8 , . , „

Г — , т — + 2, .. . — в случае непре-
kL-------------------------k рывной системы;

12/И 1 СЛ

-----— _л_ , т — , + 2, . ... —в случае диск-
Nkd к'1 ретной решетки.

(16)

Так как | cos в | < 1, то т пробегает конечное число значений в фор-
мулах (14) — (16) (причем возможные величины т находятся из этого
условия).

Проанализируем вначале множитель непрерывной системы. Обра-
х л sin х

тимся к изоораженному на рис. 4.7 графику функции-------. Эта

функция, определенная для —со <х<Д- оо , имеет один абсолютной
максимум, равный единице, соответствующий главному лепестку диа-
граммы направленности решетки. Кроме этого, имеется ряд побочных
максимумов, соответствующих боковым лепесткам диаграммы направ-
ленности и расположенных симметрично по обе стороны абсолютного
максимума. Величина побочных максимумов (по мощности) приближен-

но равна — или

V-’

(2m + 1) в

т = 1,2

(16а)

(так как для них х ----—т) и, таким образом, убывает с возрастанием

номера т. Последовательные побочные максимумы функции располо-
жены через интервалы Дх = ~ . Расстояния меж^ соседними пулями
функции точно равны ~ . Отсюда следует, что ширина каждого побоч-
ного лепестка, определяемая как расстояние (по оси х) между сосед-
ними нулями, равна ~ . Главный же лепесток вдвое шире: его ширина
равна 2п (см. рис. 4.7). График функции Sln Х позволяет легко про
х

анализировать диаграмму направленности решетки, как функцию поляр-
ного угла 0. При этом, однако, надо учесть, что величина х пропорцио-
нальна не самому углу 0 , а его косинусу. Действительно, из формулы
(12а) следует, что

cos 0 = х 4- — . (126)

kL k

Рассмотрим, какие случаи здесь могут встретиться. На рис. 4.9 изо-
- и , I sin х |

бражены графики функции ------ , на которых заштрихованы те их

части, которые находятся над интервалом —

оси х [см. формулу (13)]. Этот интервал изменения х, который мы обо-
значим через [х], как уже говорилось выше, соответствует реальной диа-

грамме направленности, т. е. значениям полярного угла, лежащим в ин-
тервале 0< 0С к. Напомним, что для перехода от углов Н к хи
обратно следует пользоваться формулой (12<?) или (126). Отдельные
кривые рисунка 4.9 соответствуют различным значениям . При
3 = 0 (синфазная система) интервалу полярных углов 0 < О < к со-

-5л~Ьл ~3л-2л -л 0 л 2л Зл 1±тт 5л -5Л -Ьл~3л~2л -л 0 л 2л Зл Ьл 5л

Рис. 4.9.

Абсолютный максимум решетки, соответствующий х = 0, ориенти-
(К \

0—— 1 (рис. 4.9,а). При

0<^— < 1 (рис. 4.9,6 и 4.9,в) интервал [х] сдвигается влево по оси х и
k
при

—= 1 его верхняя граница лтах =
k

=0. При этом глав-

ный лепесток диаграммы направленности наклоняется к оси решетки по
направлению распространения возбуждающей волны и при — — 1
k

ориентирован
этих случаях

точно вдоль оси решетки. Как видно из рисунков, во всех
I U < — < 1 I величины максимумов главного и боко-

вых лепестков диаграммы направленности остаются неизменными. Ши-

рина же лепестков, а также их форма резко меняются, так как при пере-

„ I sinx

ходе от х к г) кривая --------

У*

неравномерно деформируется. Учитывая

симметрию диаграммы решетки относительно оси решетки, найдем, что
8

при ---- = 0 главный лепесток диаграммы имеет вид диака, а при

—= 1 — вытянутого эллипсоида вращения. ПриО<^ <
k k

1 направления

главного излучения образуют поверхность конуса вращения с осью, сов-

падающей с осью решетки.

ТТ 3 \ 1

Пусть теперь — 1.

При ЭТОМ х

— kL(\

max — I 1
2 \

и весь интер-

вал [х], для которых 0 < 0 < к, расположен в пределах отрицатель-
ной оси х, не достигая точки х = 0. Диаграмма направленности системы
при этом поменяется следующим образом. Вначале (рис. 4.9,г) главный
максимум попрежнему соответствует значению х=х01ах (т. е. 0=0),
хотя его величина меньше единицы. Ширина главного лепестка между
первыми нулями при этом уменьшается (по сравнению со случаем

о Й

— — 1). Действительно, при—=1 главный лепесток занимал и-нтер-
k k

вал Ах: — 2т ; при —> 1этот интервал сужается до Дх~ 2к — kL (——Й .

& \ k /

Одновременно, вследствие уменьшения главного максимума до величины

k_L(V__ j
2 \ k

2 U

в А раз (Возрастают относительные величины побочных максимумов. С

увеличением — верхняя граница интервала [х], хтах =
k

на-

величине первого побочного максимума

столько отодвигается от точки х = 0, что величина А становится равной
(см. рис. 4.9,д), и диа-

Зи

грамма направленности имеет несколько примерно равных рядом распо-
ложенных главных максимумов. Наконец, прих1пах =— к, т. е. при

Р 2к . к '

—- = ----[-1=1-]-----, направлению 0=0 будет соответствовать уже

k kL L

не максимум, а нуль диаграммы направленности (см. рис. 4.9,е). Чем боль-
L

ше длина антенны в долях волны

тем ближе к единице соответству-

ющая этому случаю величина

Рис. 4.10.

Таким образом,

Найдем общее выражение для шири-
ны главного лепестка диаграммы направ-
ленности непрерывной системы. Обычно
интересуются угловой шириной лепестка
между первыми нулями, находящимися
по обе стороны лепестка, а также его ши-
риной на уровне, равном 0,5 от макси-
мального. Эти параметры называют ши-
риной диаграммы направленности решет-
ки по нулям (Фо ) и по 0,5 мощности
( Фо,5) (рис. 4.10). Ширину диаграммы
направленности по нулям найдем как
удвоенное угловое расстояние между на-
правлением главного максимума Н?л
и направлением первого нуля 0О
[см. формулы (14) и (15)].

2 arc cos (—--------—— 2 arc cos ~-, -^-<1,

\ k L / k k

о О Ч ₽

2 arc cos -----------. ш— > 1.

\ k L / k

Формула (17) для случая — <Ш может быть записана иначе, если вос-
k

пользоваться выражением для косинуса разности:

cos-— = cos (вгл - в0) — cos0,..,- cos 0„ + sin 0ГЛ• sin Но.

Преобразуя с ее помощью формулу (17), получим:

(18)

Ширина диаграммы направленности по 0,5 мощности будет равна:

Фо,5 = 2 (00,5 — ) ?

k ’ k

* Как следует из сказанного выше, вгл
где

Ос,5 определяется из трансцендентного уравнения:

sin2x
№

= 0,5-Д,

(19)

где А — ’sin2x' X2 е = — величина *гл
— < 1 и k меньшая единицы при

главного максимума, равная 1 при

-- > 1 . Если — ’ 1, то решением
k k

В 2 78

уравнения (19) будет %о 5 = + 1,39, откуда cos 0o,s = — — . При

k kL

(20а)

(206)

(21)

В таблице 1 приведены значения максимумов первых боковых ле-
й
пестков диаграммы направленности непрерывной системы при — 1.

Таблица I

Номер бокового лепестка 1 2 3 4 5 6
Величина максимума бо- кового лепестка (в %) 4,62 1,62 0,83 0,50 0,34 0,24

Из этой таблицы видно, что первый лепесток диаграммы равномер-
ной непрерывной линейной системы излучателей довольно- велик (4,62%
по мощности или 21% по полю). Однако с возрастанием номера лепест-
ки быстро убывают и уже пятый лепесток в 13,5 раза ниже первого.

Представляет интерес выяснить, при каких условиях в диаграмме
направленности полностью отсутствуют боковые лепестки. Очевидно, что
здесь могут быть два случая:

1) диаграмма совсем не имеет нулей;

2) существуют нули в направлениях оси антенны (0 = 0, к). Это,
очевидно-, будет иметь место при выполнении условий

|А + Р|^—; т (2U)

вытекающих из формулы (15). - ,

6. Фельд, Бененсон. 4М
Перейдем к детальному рассмотрению множителя дискретной решет-
Г" АЛЬ ~|2

• W "I
sin —-

ки [формула (11)]. Для этого обратимся к функции

Nsin —

2 J

, графи-

ки которой для значения Af=5 приведены на рис. 4.11. Как видно из это-

Г . МФ
sin-----L

го рисунка, функция

(в отличие от

sin xl $

---- ) — периодическая,
x J

с периодом, равным 2к. Между соседними главными лепестками име-
ется N — 1 (нулей и W — 2 побочных лепестков. Максимумы этих лё-
пестйов убывают при удалении от каждого главного лепестка. Таким

-гл- -я- о л гл -гл -л- о л гл

Рис. 4.11.

Af sin —
2

образом, наименьшими являются лепестки, находящиеся в 'Середине ин-
тервала между (соседними главными., лепесткам и. Приближенно максиму-

/ 1 , 2 т4-1"" Г г -.2

мы лепестков равны------г, гдеф=-----тс,т. е. равны ---~—Т4—

, №sin2— N Nsin—------к •

+----- 2 L 2/V

, При т <^М, т. е. для первых побочных максимумов решеток с большим

( числом излучателей (независимо от общей длины антенны), можно по-

. 2/п4~1 2/п+1

ложитьзш -----!—к =-------к . Таким образом, при т первые по-

бочные максимумы будут такими же, как и в непрерывной решетке.

В таблице 2 приведены значения первых побочных максимумов
Г МЬ П2

• W “|
sin—-

функции

TV sin —

2 J

для различных N. Из этой таблицы видно, что
уже гои N > __12^величины первых побочных максимумов, в случае
дискреТней_тг'-непрерывной систем, совпадают с точностью до несколь-
ких процентов.

Табл ица 2

2 4 6 12 50
Уровень первого бокового ле- пестка (в %) 50 8,1 5,6 4,7 4,5

Наименьшим побочным максимумам соответствует:

sin

2т + 1
' 2N

л = 1, т. е.

2т + 1 л n I 1 кг

— —— л = — или 2т Ч- 1 N.

2N 2

Здесь могут быть два случая:

1) при Af-нечетном, для побочного лепестка

. 2т -г 1

sin-----л= 1 и величина его максимума

N-\
с номером т = -------

1 2

точно равна -; так как

№

при этом соответствующее максимуму этого

, 2т +1
лепестка Ф =------к == л,

то, очевидно, что этот лепесток расположен на
обоих соседних главных максимумов, расстояние
Дф = 2к,

2) при Af-четном, для побочных лепестков с

лга = + 1

расстоянии Дф = л от
между которыми равно

ДА
номерами т\ — ---- и

sin

2ffzt + 1

2Af

2т2 +1
2Af

л , 1

Л = cos----~ 1------

2N 2

Соответствующие максимумам этих лепестков значения

" 2/П„ + 1

— и фт3— N

Таким образом, при четном У в каждом участке графика функции

' . А/Ф "
sin •—-
2

ДА sin —

между двумя соседними главными максимумами имеется по

два наименьших побочных максимума, равных -

А/3 1-------

расположенных на расстоянии АФ = л +

2 \2А/ / .
от любого из двух сосед-

них главных максимумов, т. е. симметрично
сматриваемого участка (см. рис. 4.11).

относительно центра рас-

Tak же, как и в случае непрерывной решетки, диаграмму-надрав-
ленностй дискретной решетки можно легко представитъ^анализируя
------------ ... • -------- ------• - - г • д'ф
sin-------------------------------------------------—

график соответствующей этому случаю функции

Af sin —
2

к = sin

. _2т1 + 1

.ml— N

л V

2 И

. При
этом нужно только учитывать связь между величинами ф и 0, выража-
емую формулами [см. формулу (11)]:

ф = kd cos 0 — фй

или

cos 0 = —|- ;

kd kd j.

Рассмотрим, прежде всего, условия, при которых диаграмма направ-

ленности дискретной решетки имеет только один главный максимум

(практически наиболее важный случай). Для этого, очевидно, необходи-
мо, чтобы В' интервал [ф] , определяемый неравенствами — kd-—фй < ф <
< kd — ф], и соответствующий реальной диаграмме направленно-

сти решетки,
один главный

т.

максимум функции

[см. формулу (13)], попадал лишь

ДГф -р
sin ——

. Для этого необходимо,

е. О < 0 ~

N sin-^-

чтобы ширина интервала [ф], равная 2kd, была меньше 4т. Действи-
тельно, если 2kd > 4к, то вследствие периодичности ЧГд, (Ф) с периодом
2- , в интервал [ф? попадет не менее двух главных максимумов (см.
рис. 4.11). Однако условие 2kd <[ 4" не является достаточным для су-
ществования только одного главного максимума. Хотя в общем случае
интервал [ф] при произвольных kd ял ф! может быть расположен на лю-
бом участке оси Ф, однако, ввиду периодичности функции ^(ф) , его
всегда можно будет переместить внутрь интервала —2к<ф^2тс
(учитывая, что 2kd 4 . Здесь могут встретиться три различных слу-

чая (см. рис. 4.11):

I) фд_= 0 (синфазная решетка); интервал [ф] ’ — kd ф < kd
симметричен относительно тспткй“ "’ф = 0, которой соответствует главный
максимум (см. рис. 4.11). Достаточное условие существования только

одного главного максимума в диаграмме направленности совпадает при
этом с указанным выше "необходимым условием:

2Ы<4к, или d < X.

2) Если — - < 1 , то для того, чтобы точки ф = ± 2~
,.kd________________

интервала [ф] , должны быть выполнены неравенства

kd — ф1 2я; >

— kd — ф1^>С^2к. I

Если, в частности, ф( = kd, то (226) сводится к условию"

лежали вне

(226)

2kd <2 2к, или d < ----.

(22б)

Единственный главный максимум решетки в этом случае направлен
вдоль оси решетки, как это следует из формулы (14) (см. также
рис. 4.11,а и 6).

3) При > 1 верхняя граница интервала [ф], фшах = /гй? — фо
kd

сдвигается в область ф < 0. При этом вначале главный максимум диа-
граммы направленности попрежнему соответствует ф = фтах (т. е. (-1 = 0),
но его величина будет равна В=ФЛГ(фтах) < 1 (см. рис. 4.11,а). При
этом нижняя граница интервала [ф] , равная фШ1п = — kd — фй .долж-
на быть смещена в .сторону больших ф (ио сравнению с предыдущим
случаем) таким образом, чтобы выполнялись условия (см. рис. 4.И,а)

’IM$min) < <МФшах). (22г)

ф«

Все эти выводы остаются в силе лишь для таких -р, >>1, при кото-
ka

рых величина B = WN (фшах) < 1 превышает величину первого по-
бочного максимума. Как нетрудно видеть из рис. 4.11,д, прщ увеличе-
ф, '

нии верхняя граница фшах интервала [ф] продолжает отодвигаться

от точки ф = 0 в сторону ф < 0 и при некотором величина В
сравняется с максимумом первого 'бокового лепестка. При этом диа-
грамма направленности антенны будет иметь вид нескольких лепестков
с примерно одинаковыми максимумами, и ограничивать интервал [ф|
так, чтобы диаграмма имела лишь -один главный максимум, невозмож-

ЙО. При ВЫПОЛНвНИИ условия
ной решетки имеет лишь один
ставляет с осью решетки угол

' мулы (14),

(22) диаграмма направленности дискрет-
главный лепесток, максимум которого со-
0ГЛ, для которого, как это «следует из фор-

cos 0ГЛ

= _11_ ф -.-'Г kd.
kd

(23)

„ 4>i „ ’

Величина как подчеркивалось выше, в известной степени аналогич-

на фазовой постоянной р в случае непрерывной решетки. Если поло-
ф,

жить ~ — р , то формула (23) принимает точно такой же вид, как и
аналогичная формула для непрерывной решетки [см. формулу (14)]. По-
этому здесь будет справедливо все сказанное ранее относительно изме-
нения диаграммы направленности непрерывной__решетки в зависимости
g -

от величины (см. также рис. 4.9) У В частности, синфазная дискрет-
.................................' ф

ная решетка (фх = 0) будет поперечно излучающей, а при > 1 глав-
ный максимум диаграммы направленности решетки направлен вдоль оси.
При этом, если — [>1 , то интервал [ф], — d (к + —) ф < — d —k\
kd \ d / \ d )

полностью сдвигается в область ф <[ 0 и в направлении 0=0

^(0) =

. Nkd ( ф] .

sin--------/ —-1

2 \ kd

.. . kd / ф] J

.Л/sin — I -ы_ — 1

2 \ kd t

= 5<1.

Сравнивая между'собой выражения, определяющие направления, вко-
(торых имеют место нули и побочные максимумы диаграмм направленности
I непрерывной и диофетной решеток [юм. формулы (14), (15) и (16)],
I увидим, что они очень сходны между собой. Различие между ними за-
ключается лишь в том, что в случае дискретной решетки в. формулах
\ 85

Ф1

вместо .р стоит аналогичная ей величина , а вместо L — длины ре-

шетки1 — стоит мало- отличающаяся от нее, в случае достаточно болыпо-
ф

го N, величина Nd = L d. Таким образом, если а N на-

столько велико, что Nd L, то нули и максимумы соответствующих не-
прерывной и дискретной решеток будут одинаковым образом ориентиро-
ваны относительно осей решеток. Различными будут только величины
максимумов побочных лепестков, как было указано выше. Условие от-
сутствия боковых лепестков (21а) в случае дискретной решетки прини-
мает вид:

Ф1
d

2«

(23 a)

На рис. 4.12 приведены графики функции

sin 8ф

, соответств уго-

16 sin ——
2

щие решетке, состоящей из 16-ти излучателей. На графиках заштрихо-
ваны те их части, которые находятся над интервалом [ф | — kd < ф s- kd,
соответствующим интервалу О=С0=^^ в случае синфазной решетки. Раз-
личные графики на рисунке построены для значений kd =, 0,5 тт; тс;
1,5 л; 2 к. С помощью кривых, приведенных на этом рисунке, можно-
проследить, как при изменении расстояния d между элементами реше-
ток деформируется диаграмма направленности. При kd = 0,5 я
(рис. 4.12,а) диаграмма состоит из главного лепестка, по обеим сторо-
нам которого расположено по три убывающих по величине побочных ле-
пестка. При kd = л (рис. 4.12,6) число побочных лепестков по одну
сторону главного максимума возрастает до 7 и максимумы их попреж-
нему убывают. При kd = 1,5 к (рис. 4.12,в) число побочных лепестков
возрастает до 11, а максимумы их, начиная с восьмого, растут (ибо дли-

на соответствующего этому случаю интервала [ф] равна 2kd =

- МФ Т
sin —

3 к,

т. е. больше одного' периода функции

kd = 2 л (рис. 4.12,г) на краях интервала

Ф
Nsiny

). Наконец, при

[ф] (ф = ± 2я)

ПОЯВЛ'ЯГОТ-

ся дополнительные главные лепестки.

«Формулы для ширины диаграммы направленности дискретной ре-
шетки по нулям, для наиболее важного практического случая, когда вы-
полняются условия (22), т. е. диаграмма направленности имеет один
главный лепесток, можно немедленно получить из формул (17) и (18),
если в них заменить р на и L на Nd. Для вычисления ширины диа-
d

граммы направленности по 0,5 мощности, определяемой как

Фо,5 = 2 (00,5 — ®о)’

(24)

необходимо решить трансцендентное уравнение, аналогичное уравне-
нию (19): ' '

sin2—-

- - 2 — 0,5-5, (25/

№ sin2

Рис. 4.12.
' 2 I
sm2 ——

№sins 4
£

где В =

— величина главного максимума, равная еди-

«гл

нице при ф, sg kd и меньшая единицы при 44 > kd. Решение уравне-
ния (25) будет зависеть от величины N. Однако, если можно положить
в пределах главного лепестка sin — ~ , то уравнения (25) и (19) сов-

2 2

падут. При этом Фо,5 будет выражаться формулами (20) и (21) с заме-
ной р на и L на Nd.

§ 4. КОЭФФИЦИЕНТ НАПРАВЛЕННОГО ДЕЙСТВИЯ ЛИНЕЙНОЙ
РАВНОМЕРНОЙ АНТЕННЫ

При расчете к. ш д. аптенны необходимо исходить из ее полной диа-
граммы направленности. Выведем общие формулы для к. н. д. дискрет-

Рис. 4.13. Линейная решетка диполей, параллельных (а) и перпендику-
лярных (б) полярной оси, совпадающей с осью решетки.

ных и непрерывных равномерных линейных решеток. Диаграмма .на-

правленности таких антенн,
формулой

sin2x

согласно теореме умножения, выражается

qr = sin2a

где х

sin2 —L

№ sin2 —

COS0 —

правленности отдельного
Так как множитель

в случае непрерывной системы;

} (26)

в случае дискретной решетки.

ф — &dcos0 -фр a sin2 a — диаграмма на-
элемента решетки (диполя).

решетки имеет более сложный вид, чем диа-

грамма направленности диполя, то целесообразно сохранить прежнюю
систему координат (с полярной осью, совпадающей с осью решетки),
при которой множитель решетки имеет наиболее простой вид. При этом
выражение для диаграммы направленности диполя должно быть преоб-

разовано с помощью соотношения:

cos a = cos cos 0 + sin 0j sin 0 cos — (p2)>

(27)

где углы <p, . определяют направление оси диполя, а углы 0, ср —
суть угловые координаты точки наблюдения. Наиболее важны два част-
ных случая, когда диполь а) параллелен и б) перпендикулярен поляр-
ной оси (см. рис. 4.13).

В случае «а» 0j =0, cos а = cos 0 и диаграмма направленности

диполя имеет вид:

sin2'.a = sin2 0.

7Г

В 'Случае «б» можно положить 0л = —

cos a = sin 0 cos tp

sin2 a = 1 — sin2 0 cos2 cp.

<Рл = 0, тогда

(28a)

(286)

Для непрерывной системы случай «а» будет соответствовать
линейному проводу с бегущей волной тока [сравнить формулы (26) и
(28a) с формулой (III.57)], а случай «б» — узкой ленте с распределен-
ными вдоль нее, по закону бегущей волны, элементарными поперечны-
ми токами.

Коэффициент направленного действия антенны, согласно (III.16),
выражается формулой:

[J^= , (29)

где

2тс тс

/= j f ф ф) sin edea^.
о о

(30)

Для расчета к. н. д. необходимо, прежде всего, вычислить интег-
рал I, входящий в формулу (29). Для этого в формулу (30) 'необходи-
мо подставить выражение для Ф (0, ср) [см. формулу (27)]. Если при
этом учитывать .направленность излучателей решетки [выражаемую мно-
жителем sin2 «в формуле (26),], то в результате интегрирования полу-
чим громоздкие, неудобные для расчетов, выражения. Поэтому мы пре-
небрежем направленностью излучателей и вычислим к. н. д. лишь по
множителю решетки, т. е. полагая 47(0, ср)^Фл(0) или Ф(0, ср) = Флг(0).
Это приводит, в случае достаточно длинных антенн, лишь к небольшим
ошибкам, так как при этом направленность, в большинстве случаев,
практически определяется множителем решетки. Окончательные расчет-
ные формулы зато значительно упрощаются.

При вычислении к. н. д. непрерывной системы в формулу (30) под-
ставляется обычное выражение (12) для ЧД (0) . В случае дискретной
решетки удобнее использовать развернутую запись множителя решетки
Ч?’лг(0) [см. формулу (10)], преобразовав его следующим образом:

ЛГ—1 N-l N-l N-1

l^(0) = |S S + (31)

n=0 n=0 n'=0 m=— (TV— 1)

тфО

Нетрудно показать, что Ат = п — | т |, т. е. 'А_т=Ат . Благодаря
этому.

Ат eim* + Л_т е~ ‘т^ = 24m cos тф
и

N-1

¥„(0) = /V +2£ (ЛГ-/п)созотф, (32)

m=l
где

ф = kd cos 0 —
Вычислив интегралы I в случае равномерных непрерывных и диск-
ретных систем и подставляя их в формулу (29), найдем следующие вы-
ражения для к. и. д.:

+ Si kL 1 —

г Si k LI 1 —

\ k

где Si x =

— интегральный синус,

_1_____1

4?"max

sin nkd

cosndn-----—

nkd

(34)

Среди всевозможных равномерных решеток наиболее часто на прак-
тике имеют дело с поперечно излучающими или синфазными решетками
(₽ = 0 или ф1 = 0) и решетками с осевым излучением (р>& или
ф! kd}. Перейдем к изложению основных свойств таких решеток.

§ 5. РАВНОМЕРНЫЕ СИНФАЗНЫЕ РЕШЕТКИ

Помимо непрерывных синфазных систем, будем рассматривать так-
же и дискретные решетки, у которых kd <[ 2к (d <^Х), т. е. диаграм-
ма направленности имеет лишь один главный максимум. Напомним, что
под равномерными синфазными решетками понимаются синфазные ре-
шетки (ф1 = 0 или ₽ = 0), у которых амплитудная характеристика по-
стоянна вдоль решетки.

Ширину диаграммы направленности по нулям найдем из общих
формул (17), полагая [> = 0, ф, =0. При этом удобнее использовать
преобразованную форму записи этих формул [см. (18)]:

Фо£) = 2 arc cos 1 — arcsin — в случае непрерыв-
ной решетки; (35а)'

00^= 2 arc sin —---в случае дискретной решетки. (36а)

Бели L X и Nd ]§> X, то эти формулы могут быть упрощены пу-
тем замены синуса его аргументом.

При этом
“радиан— в случае непрерывной решетки; (356)

Фо^ =---- радиан — в случае дискретной решетки; (366)

Ширину диаграммы направленности по 0,5 мощности для непрерыв-
ной решетки можно также найти из общей формулы (206), полагая
р = 0. Имеем при этом:_______________

ФоЛ5 = 2 arc cosl/^l-(,-^-Y=2arc sinf-^ У (37а)
V \ kL } \ kL J

При А > X приближенно

Фод = радиан = 50,8 — градусов. (376)

тс L L

В случае дискретной решетки можно получить аналогичную формулу

Фол An градусов,
Nd

(38)

где коэффициент Лд, можно найти путем решения трансцендентного
уравнения (25) и подстановки его решения в формулу (24). В част-
ном случае kd = тс — z= 0,5^

= градусов, (39)

где для различных N величина Лд, принимает значения, приведенные в
таблице 3.

Таблица 3

N 2 3 4 5 6 12 50
an 60 54,5 52,6 52 51,6 51 50,97

При малых kd величину Фод можно найти приближенно по фор-
муле (37а), заменяя в ней L на Nd. При этом

Фод? = 2 arc sin, - (40)

2тс Nd

или, если Nd'N к,
0ол — радиан = 50,8— градусов. (41)

тс Nd Nd

Сравнивая формулы (37в) и (41) и учитывая данные, приведенные
в таблице 3 (см. выше), видим, что уже при Af>4 ошибка, при пользо-
вании приближенной формулой (41), меньше 5°/о.

Приближенные формулы (356), (366), (376) и (41) для ширины
диаграммы направленности по нулям и 0,5 мощности широко применя-
ются на практике.

Величина максимумов боковых лепестков диаграммы синфазной ре-
шетки выражается общей формулой (16а), справедливой для любых рав-
номерных решеток. Этот вопрос был подробно рассмотрен выше, и мы не
будем к нему возвращаться. Разберем другой интересный вопрос — о>
числе нулей и боковых лепестков в диаграмме направленности решетки.
Для этого обратимся к формуле (15), определяющей положения нулей,
поскольку эта формула является вполне точной, в отличие от (прибли-
женной формулы (16).
Так как | cos 0 | < 1, то для числа т нулей, расположенных по
одну сторону главного максимума диаграммы дапрерывной синфазной
решетки, получим из формулы (15) 'следующие оценки:

и 2(м+1)*>е (42)

kL kL

Из (42) найдем, что т равно1 наибольшему целому числу, удовлетворя-
ющему неравенству

т < ' (43)

С помощью формулы (43) можно найти и число боковых лепестков
непрерывной решетки. Очевидно', что если -у- равно целому числу, то в
направлениях 8 = 0, тс имеют место нули диаграммы [см. формулу (15)]
и число боковых лепестков (по одну сторону главного максимума) бу-
дет равно т— 1. Если же отлично от целого числа, то число боко-

вых лепестков будет равно т. Как следует из формулы (43), при ~ <[ 1
диаграмма направленности непрерывной синфазной решетки вовсе не
имеет нулей, а следовательно, и боковых лепестков. При — 1 появля-
ются первые (нули, соответствующие направлениям 8 = 0, тс. Лишь при
-т-]> 1 диаграмма направленности решетки будет иметь боковые лепе-
К

стки.

Из формулы (15) следует, что для числа нулей т в диаграмме на-
правленности дискретной синфазной решетки имеют место неравенства,
аналогичные неравенствам (42):

2/птс

Nkd

(44)

(ограничиваясь случаем диаграмм направленности лишь с одним глав-
ным максимумом, т. е. d к). Из (44) получим соотношение:

Nd , . Nd
----1 <7 т •<-

(45)

Из (45) следует, что диаграмма направленности дискретной синфаз-
ной решетки не имеет боковых лепестков при

(46)

Например, диаграмма решетки из двух излучателей (Д' = 2) не
имеет боковых лепестков, если Таким образом, в 'случае дискрет-

ной решетки максимальная длина решетки, диаграмма направленности
которой не имеет боковых лепестков, в два раза меньше, чем в 'Случае
непрерывной решетки.

§ 6. КОЭФФИЦИЕНТ НАПРАВЛЕННОГО ДЕЙСТВИЯ РАВНОМЕРНЫХ

СИНФАЗНЫХ РЕШЕТОК

Полагая в приведенных выше выражениях (33) и (34) _|_==0 и
= 0, (получим расчетные формулы для к. н. д. непрерывных и диск-

ретных решеток:

N-1

1 ____ 1 j । 2 V Л_________sin(n/grf)

Dn ~ N [ NJ nkd

n—1

(47)

(48)

При этом учтено, что для синфазных решеток ЧгШах= 1 [ом. (11) и (12)].

Рис. 4.14. Зависимость к. н. д. решетки вибраторов, параллельных (а)
или перпендикулярных (б) оси решетки, от расстояния между цен-
трами вибраторов, при различном числе последних (к. н.д. вычислен
относительно полуволнового вибратора).

Приведем также (без вывода) формулы для к. и. д., вычисленных
с учетом направленности отдельных излучателей решетки.

Для рассмотренного выше случая (а) [формула (28а)] будем иметь:

1 _ 2

D(La) ~ kL

Si (kL) 4

cos kL — 2
kL

sin kL

cos(nkd}
(nkd)2

sin (nkd) \
(nkdf /

(47a)

(48a)

Для случая (б) [формула (286)] найдем:

1 2

ЗЛ/

1 _ 1
kL

Si (kL) +

cos kL
kL

sin kL
(kL)*

N-l

,y/ n \l svn (nkd) cos (nkd)

W/\ nkd (nkd.)-
n=l

sin (nkd) V
(nkdy /

(M6)

•(486)

На рис. 4.14 и 4.15 приведены построенные по формулам (48а) и
(486) кривые к. н. д. е (относительно полуволнового вибратора) дискрет-
ных решеток вибраторов, расположенных параллельно (рис. 4.14,а,
4.15,а) и перпендикулярно (рис. 4.14,6 и 4.15,6) оси решетки. Одни из
этих кривых построены при фиксированном числе излучателей, в зави-

Рис. 4.15. Зависимость к. н. д. решетки вибраторов от
длины антенны, при различных расстояниях между
вибраторами:

а—вибраторы параллельны оси решетки; б—вибраторы перпендику-
лярны оси решетки.

симости от расстояния rf/X между ними, другие — при фиксированном
расстоянии d/У. , в зависимости от числа излучателей N, т. е. от длины
антенны Z./X.

Как видно из формул (48), (48.а), (48.6) и рис. 4.14 и 4.15, к. н. д.
дискретной решетки зависит от расстояния d/У. между излучателями.
При фиксированной длине антенны с увеличением d/У. . к. н. д. сначала
растет вследствие сужения диаграммы направленности.. При некоторых
оптимальных donT (различных для разных случаев) к. н. д. достигает
максимума и при дальнейшем увеличении d начинает падать, в -связи с
появлением и ростом боковых лепестков. Оптимальные значения donT
равны:

, | 0,5 — для решетки .изотропных излучателей;

—-— = < I — для диполей, параллельных оси решетки:

' 0,7—0,9 — для решетки поперечных диполей.

При d — donT и Nd > X в случае дискретной и L > X в случае не-
прерывной решеток, формулы (47) — (48,6) могут быть заменены бо-
лее простыми:

97.

(49а)

Ма) = D& = — + — ; (496)

2 X

/Ла) = /Лб) = 4 + ^ • • (49в)

Z А

Этими формулами можно практически пользоваться уже при L>- X.
К. н. д. решеток без учета направленности излучателей для достаточно
длинных антенн [формула (49,а)] почти не отличается от к. н. д. решет-
ки, состоящей из диполей, параллельных ее оси [формула (49,6)], «почти
в два раза меньше к. н. д. решетки поперечных диполей [формула (49,в)].
Это обусловлено различием диаграмм направленности в плоскости, пер-
пендикулярной оси решетки (в случае формул (49) и (49 а) диаграмма
имеет вид окружности, в случае (49 6) — восьмерки).

Величину d в синфазных дискретных решетках наиболее часто вы-
бирают равной 0,5 X. Подставляя в формулы (48), (48 а) и (48 6)
kd = тс, найдем, что (в этом случае

DN=K,

(50)

1 _ 2

~ 32V

N—l

'(-I)" '
(Птс)2

X 9£

Так как L = (N — 1) d, то при d = — , W = Д-
z к

2L
X

+ 1-

(51)

Эта точная формула отличается от приближенной (49 а) на единицу.

До сих пор мы говорили только о решетках диполей и изотропных
излучателей. Однако все формулы, справедливые для решеток диполей,
пригодны также и для случая решетки, состоящей из вибраторов конеч-
ной длины, не превосходящей полуволны, при условии симметричного
распределения токов в них [формула (47)]. Это объясняется тем, что
диаграмма направленности таких вибраторов, как уже указывалось выше,
лишь незначительно отличается от диаграммы диполей.

§ 7. РАВНОМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ С ОСЕВЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ

К решеткам с осевым излучением мы относим антенны, главный
максимум диаграммы направленности которых ориентирован точно вдоль
оси решетки. Условиями осевого излучения являются, в случае непре-
рывной и дискретной решеток, соответственно, неравенства (см. выше)

Р > k или фь > kd.
При $>k (и, соответсгпвеыыо, при > kd) фазовая скорость бегущей
волны, возбуждающей антенну, меньше фазовой скорости электромагнит-
ных волн в свободном пространстве. Поэтому такую решетку называют
антенной с замедленной фазовой скоростью. Ширина диаграммы направ-
ленности по нулям в случае антенн с осевым излучением будет, согласно
формулам (17) и (246), равна:
„ / р 2л \

2 arc cos --------— непрерывная система,

k kL}

ф. 2те \
-----------— дискретная решетка.
kd Nkd /

2 arc cos

Для длинных антенн в пределах главного лепестка диаграммы направ-
ленности

cos 0 » 1---— . (53)

Используя (53) для преобразования формул (52), найдем:

Фо =

радиан — непрерывная система;

радиан — дискретная решетка.

(54)

Сравнивая формулы (54) и (35 б), видим, что в случае антенн с осе-
вым излучением зависимость ширины диаграммы направленности от
более слабая, чем в случае синфазных решеток. Это связано с тем, что
в первом случае диаграмма направленности сужается с удлинением ан-
тенны одновременно в двух плоскостях, а не в одной (как в случае син-
фазных антенн). В связи с этим решетки с осевым излучением малопри-
годны для обеспечения узких диаграмм, ибо для этого пришлось бы
чрезвычайно сильно удлинять антенну. Правда, из формул (54) следует,
8 ф,

что, увеличивая отношение -г- (или тЧ ), можно сколь угодно сузить

А /га о х

лепесток диаграммы, направленный вдоль оси решетки (при = 1 Ч—г

(!) к к L

или = 1 + -гуд- до 0о — 0 ). При этом, однако, как это уже под-
черкивалось выше, одновременно с уменьшением ширины рассматривае-
мого лепестка сильно возрастают максимумы других лепестков и к. н. д.

8 / tbj \

в направлении оси, вначале увеличивающийся при росте— или ,
k \ kd /

начинает затем резко' падать. Ниже показывается, что оптимальному за-
медлению фазовой скорости возбуждающей антенну волны (при которой
к. н. д. в направлении оси максимален) соответствуют значения:

\ k d /опт Nkd
(при kL » 1, Nkd » 1 и kdN 1).

(55) <
Подставляя эти значения — и в формулы (54), найдем, чтет
k kd

'ширина ио нулям диаграммы направленности решеток с оптимальной
фазовой скоростью будет равна:

непрерывная система;

2 / 1,06 1/ ——
|/ Nd

дискретная решетка.

(56)

Таким образом, при оптимальной фазовой скорости диаграммы на-
правленности сужаются, по сравнению со случаем f=A [или ф1 — kd,
Г

см. (54)], в 1/ уд? — 1,38 раза.

Найдем теперь расчетные формулы для ширины диаграммы направ-
ленности «а уровне 0,5 мощности. Здесь также рассмотрим два случая:

В 9 94 / <Ь 2 94 \

1) 8 — k (4, = kd} и 2) — — 1 4—’— | = 14 2—1 — оптимальная

k kL\kd Nkd)

фазовая скорость.

В случае непрерывной решетки можно воспользоваться форму-
лой (21): .

Фо,5 = 2 arc cos f— — , (57)

\ k kL j

где х0,5— решение трансцендентного уравнения (19). При ₽ = й *ь,5=
= 1,39, при — = 1 4--^- х0,5=1,945. Подставляя значения— и

k kL k

Хо,5 в формулу (57), получим следующие выражения для величины
0о-,5 в случае непрерывной системы с осевым излучением:

1 о Л 2,78 \

2 arc cos 1------— при р = Л,

Фо,5= \ kL /

о К 0,95 \ ₽ 1 L 2'94

2 arc cos 1—----- при — =1 4------------

I \ kL ) k kL

(58)

Полагая для длинных решеток., cos 1

из (58) удобные приближенные формулы:

получим

при $ = k.

2,94
kL

(59)

Таким образом, при увеличении

-Т- от единицы до оптимальной «ве-
k

8 2,94

личины -£- = 14—гт- ширина диаграммы, направленности. 1непрерывной
rv KL.

7. Фельд, Бененсон.
/ 0,886 _

решетки с осевым излучением уменьшается в 1/ —х 1,/ раза, т. е.
значительно сильнее, чем ширина диаграммы направленности по нулям
(см. выше).

В случае дискретной решетки, решение трансцендентного уравнения
(25) зависит от N и поэтому не может быть записано ,в общем виде.
Однако в случае малых kd и достаточно большого числа излучателей
N, когда sin / kd (cos0 - —1 I s kd [ cos 0---— | в пределах глав-

( \ kd/I \ kd /

кого лепестка диаграммы направленности, для величин Во,5 дискретной
решетки можно написать формулы, аналогичные (58) и (59), поскольку
при этом трансцендентные уравнения (19) и (25) становятся тожде-
ственными. Выпишем эти ’формулы:

Для часто встречающегося случая d = получим следующие

приближенные формулы:

3,76 215,5°

ф,
при —- — I,
kd

2,2 126° Ф. , , 2,94

- при = 1 Н---------.

VN VN kd Nkd

Величины максимумов боковых лепестков диаграммы направленности
Й <!>!

решетки с осевым излучением при -т-= 1 (или -==1 ) точно такие же,
/v K’Cl'

8 Ф

как и в случае синфазной системы. Если же 1 (или-^Д> 1), то,

как указывалось выше, максимумы боковых лепестков возрастают,
вследствие падения значений функций 117(0) и *l\(0), соответствующих
главному максимуму диаграммы направленности. В случае решеток с
оптимальной фазовой скоростью, как непрерывных, так и дискретных (в
последнем .случае — лишь при sin ф = ф), 47(0) = 4^ (0) (0,6768)2.

/ 1 V

При этом максимумы боковых лепестков возрастают в I----------] =2,18

\ 0,6768 )

раза. Так, например, максимум первого бокового лепестка, вместо 4,8°/о
(по мощности) станет равным 10,8% и т. д.

§ 8. КОЭФФИЦИЕНТ НАПРАВЛЕННОГО ДЕЙСТВИЯ РАВНОМЕРНЫХ
РЕШЕТОК С ОСЕВЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ

Перейдем к изучению зависимости к. н. д. линейных непрерывных

и дискретных решеток от .величин -j- и
/v

-т-r . Для вычисления к. н. д.
kd

этих решеток можно воспользоваться общими формулами (33) и (34).

Рассмотрим сначала 'Случай -|- = 1 и = 1. При этом 4‘max = 1 и
«формулы (33.) и (34) примут вид:

1
kL

cos 2kL — 1

Si (2kL) +

sin (2nkd)
nkd

— непрерывная система;

дискретная решетка.

Если А а -д. то Si (2kL) -> — и -----cos ViL _> о.

2 2kL

Таким образом, для

длинной .непрерывной решетки с осевым излучением при — 1

4L
к

(63)

т. е. к. н. д. в. два раза больше, чем для аналогичной синфазной решетки

той

дет

же длины.

ГТ X ,

Дискретная решетка с излучателями, расположенными через —, бу-
ф.

иметь при ~j = l к- н- Д-> равный, согласно формуле (62),

D — N. (64)

Так как при этом L Nd, то формулы (63) и (64) идентичны. Напом-
ним, что в случае «синфазной решетки к. я. д., равный N, будет при

= у )Т. е. при вдвое более длинной антенне. Однако, если в формуле

(62) положить d = -х-,то мы также получим D = N. Это обусловлено

, X ф.

появлением при d = — и -г-т = 1 второго главного максимума, ориен-
/vtZ-

тированного противоположно первому, т. е. соответствующего 0 =

Рассмотрим более детально зависимость к. н. д. продольно-излучаю-
ших решеток от длины антенны. Ограничимся при этом лишь непрерыв-
ными- решетками ввиду большей простоты расчетных формул. Резуль-
таты этих расчетов будут, с достаточной точностью, пригодны и для
дискретных решеток при -т-<^0,3, т. е. в тех случаях, когда в диаграмме
А

-направленности решетки еще не намечается образование второго глав-
ного максимума *.

На рис. 4.16 приведема кривая к. н. д. решетки при= 1, построен-
rv

L п

пая в зависимости от —. Для сравнения на рисунке пунктиром нанесе-
ны значения к. н. д., соответствующие приближенной формуле (63). Как
видно из рисунка, уже при <->0,5 величина/) мало отличается от при-
А

* Приведенные ниже результаты, в том числе и расчетные графики на рис. 14,
16, 17 и 18, заимствованы из работы В. Д. Кузнецова «Исследование антенны бе-
гущей волны», «Радиотехника», 1950 г., № 5.
ближенного значения. При -г—> О, D-> 1, а не к нулю, кан это следует
А

мз формулы- (63). Это очевидно, так как к. н. д. точечного яенаправлен-
ного излучателя равен единице.

На рис. 4.17 приведены -кривые зависимости к. н. д. непрерывной си-
ft k

стемы от величины -у- , при различных -г-, О ~j~<Z °о-Как видно- из
А К R

рисунка, при0<-£-<1 зависимость к. и. д. от у довольно точно (при
fv А

0,3—0,5) совпадает -с прямой, проходящей через начало коорди-

нат; к. н. д. линейно растет с увели-

L к Р

чением — , причем чем больше — ,

X k

тем к. н. д. при данной длине антен-
ны выше.

Рис. 4.16. Точная и приближенная кри-
вые к. н. д. непрерывной решетки изо-
тропных излучателей при — — 1, по-
строенные в зависимости от длины ре-
L
шетки ——.

Рис. 4.17. К. н. д. непрерывной ре-
шетки изотропных излучателей в
L

зависимости от —— при различных

£
k

Таким образом, при -у- > 0,3 — 0,5 и у- < 1 приближенно
A R

D = 4А — , (65)

где 0,5 < А < 1, причем А = 0,5 при =0 и А =' 1 при -|-= 1 . Если

-Y- ’> 1, то зависимость D от имеет более сложный вид. При

& Х L

фиксированном — , участок кривой D \ — ।, начиная от — = 0,3—0,5
k \ X j X

до , также может быть аппроксимирован -прямой (65), где Д > 1.
\ /опт

Если — К то к. н. д. решетки в направлении оси резко пада-
\ /опт

ет до весьма .малой величины. Чем больше —, тем больше соответству-
TV

ющий этому значению коэффициент А и меньше величина > соот-
\ /опт

ветствующая максимальному к. н. д., который может быть получен при

В m L В

данном . Точно так же, при заданном — имеется оптимальное -7- ,

К Л R

соответствующее максимальному к. н. д.,

которое можно получить от

непрерывной решетки заданной длины. Так как

— I быстро падает с
/опт

увеличением " , то это ограничивает возможное увеличение к. н. д. по
й В

сравнению со случаем — = 1.

« / 3 V

Исследуя более детально формулу (33), можно показать, что — I
\ k /опт

L
.для длинных антенн связано с зависимостью

-1 = 1 +0,468 — .
k L

(66)

Для коротких антенн численный коэффициент в формуле (66) дол-
жен быть заменен на 0,5. Формула (66) может быть также записана в
виде

kL - р/. = - 0,936я или — — — = - 0,468. (67)

X Л

' 3

.Из (67) следует, что при оптимальном -г- вдоль антенны длины
К

L — ак должно укладываться примерно (а + 0,5) длин волн Л, соот-
ветствующих волновому числу fi. Чем длиннее антенна, тем ближе

(— к единице. Подставляя величину оптимального отношения — в
' k /опт k

расчетную формулу для к. н. д. решетки (33), можно найти следующие
значения коэффициента А, стоящего в приближенной формуле (65) для

к. н. д.:
2, 0,3 <—<0,5
к
А = 1,82, — >0,5 X (68)
, L
1, - —> ОО.
к •

Аналогичным образом можно рассчитать к. н. д. решетки попереч-
ных токов (этот случай более близок к реально применяемым на прак-
тике многовибраторным линейным антеннам с осевым излучением). При
В

этом для оптимальных можно получить следующие приближенные
•формулы, весьма близкие к (65) и (66):

= 1 +0,55 —
L
или

£)~2,7+4Л— , где А = 2,1.
к

(69}

Объяснение увеличению-и. н. д. антенны при-^^> 1 было дано выше.

Оно связано с уменьшением. ширины главного лепестка диаграммы на-

правленности по сравнению со случаем

Выше было показано,.

что за счет регулирования фазовой скорости вдоль антенны, при неиз-

менной амплитудной характеристике, можно увеличить к. н. д. лишь в
два раза. Значительно больших результатов можно достичь, если вдоль
антенны изменять одновременно с фазой и амплитуду возбуждения. Так,

Рис. 4.18. Отношение мощности, лока-
лизованной в боковых лепестках диа-
граммы направленности, к полной из-
лучаемой мощности, при различных

J3 L

— и — .
k X

к. н. д. дискретной решетки может
быть теоретически доведен до N2
(N — число излучателей) при про-
извольных расстояниях между излу-
чателями, т. е. может быть сделан
произвольно большим за счет уве-
личения N. Практически амплитуд-
но-фазовые распределения, требуе-
мые даже для небольшого, по
сравнению с формулой (68), увели-
чения к.1, н. д., оказываются весьма

трудно осуществимыми вследствие
очень жестких требований к точно-
сти воспроизведения необходимой
для этого амплитудно-фазовой ха-
рактеристики.

Интересной характеристикой ан-
тенны является коэффициент, ука-

зываклций, какая доля всей излучаемой мощности локализована в боко-
вых лепестках диаграммы направленности:

( Ps )бок.леп.

Де

(70)

Для определения а используем выражение для к. и. д. D' решетки,

вычисленного без учета боковых лепестков
(т. е. при интегрировании в формуле (30)
лепестка диаграммы):

диаграммы н ап р ав ленности
лишь в пределах основного

1 1 1_

Z7 ^max kL

Так как

Si 2z — Si

1 — cos

(Де )бок. леп. — Де ( Де )гл. леп. ,

• (71)

ТО

а — 1 —

2 )гл. леп._ । D

Де ~ _ Б2 * * * * 7

(72)-

На рис. 4.18 приведены кривые коэффициента а, построенные в за-

L ? ~

ВИСИ1МОСТИ от-т- для различных . Эти кривые наглядно показывают-

л /г
резкое возрастание доли мощности, локализованной в боковых лепестках
8 8

диаграммы направленности, с увеличением Так, если при -==»
/3 К

и — = 0 а— 10%, то при—;соответствующем оптимальному к. н. д,„

X k ) k

а =50%. Из рис. 4.17 видно, что при =0,6 к. н. д. решетки при
к

~г~= 1,05 и -г- = 1,1 одинаковы, хотя диаграмма направленности <во'
к а

втором случае значительно уже. Это обусловлено ростом коэффициента
а: в первом случае он равен 0,25, во втором — 0,6.

Результаты исследования непрерывных решеток применимы к дис-

кретным решеткам при d . Выпишем формулы для оптимальном

ф.

величины -—j- и соответствующего ей к. н. д., заменяя в формулах (65) и

(66) величину-, эквивалентной ей величиной 4=,
к ha

В результате получим следующие выражения;-

=1+0,468 — ,
\ kd /опт Nd

a L — величиной Nd.

(73 j

£1 = 1,82

4Nd

§ 9. РЕШЕТКИ С НЕРАВНОМЕРНОЙ АМПЛИТУДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Выше мы изучали наиболее простые решетки с постоянной ампли-
тудной характеристикой. Большой практический интерес представляют
решетки с неравномерной амплитудной характеристикой, симметричной
относительно центра решетки. Они обладают следующим свойством: если
амплитуда максимальна в центре решетки и спадает к ее краям, то при
этом величина максимумов боковых лепестков меньше, а главный ле-
песток шире, чем в случае равномерного распределения амплитуд. Для
того, чтобы это показать, рассмотрим решетки, множители которых могут
быть представлены в виде некоторой степени множителя равномерной
решетки.

Последний может быть записан в двух вадах [см. (1П и (10)]:

^(6) =--------(74>

№ sin5-£-
А

(Iba)

Формула (74) более, удобна для расчетов, зато из формулы (74 а)
непосредственно следует амплитудная характеристика антенны, которая
представляет собой последовательность коэффициентов при членах сум-
мы. Для равмомерской решетки все эти коэффициенты равны единице.
Возведем множитель равномерной решетки (которую мы будем ниже
называть производящей решеткой) в некоторую степень т. Обозначая
полученное при этом выражение как Фаг (В) , найдем:

а также

4N' (0) =

N-l
^ie)=|S
л-0

(75)

(75a)

ДГ2т sjn2m JL

где коэффициенты Д„ определяются соотношениями:

Ат (N-1) - п = Ап

___(т + п — 1)!

га! (тге — 1)!

(76)

(76а)

для первой половины всех коэффициентов, включая и средний, если
общее число членов нечетное. Нетрудно сообразить, что Ч?дг'(0) также
представляет собой множитель некоторой решетки. Это видно, хотя бы
из сравнения формулы (75а) с общим выражением (8) для множителя
решетки. Из (76) и (76а) 'Следует, что .амплитудная характеристика но-
вой, производной решетки — неравномерная, опадающая от центра к
концам. Если т = 2, то из (76а) получим:

А„ = п + 1,

(77)

что соответствует простейшей неравномерной амплитудной характери-
стике, так называемой «треугольной». При больших степенях т ам-
плитуда 'От центра к краям решетки спадает более резко.

Если в формуле (75а) выполнить операцию возведения в, степень,
то получим выражение для Ч"лн (0), являющееся обобщением формулы
(32) на случай неравномерного амплитудного распределения:

т (N-l) m(N—V)—n

«rA’(0)={Sl/l»l2-+-2 £-гаф( Sa^ + п))-^ • (78)

д=0 «-I 1=0

Из выражения (75а) для ФдНЭ) следует, что новая производная
решетка обладает следующими свойствами:

а) она состоит из излучателей, расположенных на таких же рассто-
яниях d и возбуждаемых с таким же сдвигом фазы , что и производя-
щая решетка;

б) число членов решетки составляет N' = т (N— 1) 4- 1, а длина
ее L' = (N' — 1) d = т (N — 1) d = mL, т. е. в m раз больше длины
производящей решетки;

в) амплитуда возбуждения излучателей решетки спадает от середи-
ны к концам решетки по закону, характеризуемому формулой (76).

Сравним теперь диаграммы направленности равномерной и нерав-
номерной 'решеток. Очевидно, что нуйям и максимумам функции 'PV (0)
, . 2га+1

Nsm------я

вен апт, где ап =

соответствуют такие же направления Я, как и для функции ’Ijv (0) . Это
.непосредственно видно ив сопоставления выражений (74) и (75) для
этих функций. Отсюда (следует, что максимум n-ного бокового
лепестка диаграммы направленности неравномерной решетки будет ра-
-1

—максимум n-ного бокового лепестка в

случае (равномерной решетки. Так как ап <4 1, то для любого т 1
апт а«> что доказывает высказанное выше утверждение об уменьше-
нии 'Максимумов боковых лепестков в случае решеток со 'спадающим к
концам амплитудным распределением.

Ясно также, что ширина диаграмм направленности обеих решеток
(производящей и производной) по нулям одинакова, несмотря на то, что
производная решетка в т раз длиннее производящей. Правда, ширина
диаграммы по 0,5 мощности у производной решетки будет (меньше, одна-
ко далеко не пропорционально удлинению решетки. Для каждого конкрет-
ного значения степени т ширину диаграммы направленности решетки по
0,5 мощности можно было бы найти точно так же, как и выше, в случае
равномерных антенн. В частности, для синфазной антенны при т = 2
справедлива следующая приближенная формула

73 к

Фо,5 = градусов, (79)

N'd

Т, е< диаграмма направленности шире в

52 ~

ной решетки такой же длины (N'—l)d. Таким
максимумов боковых лепестков в 'Случае антенн

раза, чем у равномер-
образом, уменьшение
со спадающим ампли-

тудным 'распределением достигается ценой 'Некоторого' расширения глав-
ного лепестка диаграммы направленности. Нетрудно- сконструировать
решетку, диаграмма направленности которой вовсе не будет иметь боко-
вых лепестков. Для этого (возьмем производящую решетку в виде двух
излучателей, расположенных на расстоянии kd < 2ге — , при котором

множитель (решетки ’К не имеет боковых лепестков. Возводя

Ф2(0) = | 1 + е® |2 = cos2 —

(80)

в произвольную степень т, получим множитель производной решетки

(0) = | 1 + == | S Спт е1^ |2, (81)

п=0

ИЛИ

(0) = cos2/B— .

(81а)

Здесь Сп — суть биномиальные коэффициенты; N' = т 4- 1. Сте-
пень т, в которую надо возводить 44(0), определяется, очевидно, тре-
буемой шириной диаграммы направленности по 0,5 мощности, которая
может быть задана произвольно малой. Интересно отметить, что, несмот-
ря на это, диаграмма направленности производной решетки, которую мы
будем называть биномиальной, совсем не имеет боковых лепестков. Дей-
ствительно, поскольку направления нулей и максимумов производящей и
производной решеток совпадают, . а выбранная нами производящая ре-
шетка ие имеет боковых лепестков, то их не будет иметь и производная
решетка.

К- и. Д. решетки с неравномерным амплитудным распределением
можно найти по формулам (29) и (30), подставляя в них, например, вы-
ражение (78) для множителя неравномерной решетки. Опуская проме-
жуточные выкладки, приведем окончательную расчетную формулу:

Z)jv'

т (N—1) т (TV—1)

1 . (У | А |2 + 2 у cos Hl) sin (nkd)

N~m ’I'max 1 nkd

n—Q л=1

m (N—1)—n

S At (82)

z=o

Хотя формула (82) пригодн-® и для вычисления к. н. д. биномиальной
решетки (для чего достаточно положить в (82) N — 2), удобнее в этом
случае пользоваться более простой формулой, которую можно получить
аналогичным путем, используя выражение (81) для множителя биноми-
альной решетки:

1 _ 1 1 ( , о V COS иф, Sin (nkd) ] /onx

+22jCm~n )• (83)

Л=1

Для выяснения влияния спадания амплитудной характеристики на
величину к. н. д. рассмотрим простой пример равномерной и биномиаль-
ной решеток, состоящих из трех изотропных излучателей. Выпишем раз-
ность ------------—:—, используя формулы (34) и (83), причем в (83) по-

трави ^бин

ложим т = 2, что соответствует трем излучателям. После несложных,
п реобр азов аний. получим:

1 1 _ ( 1 3 1 cos2ф1 sin2£d( 1 11

П Г)* ~ I чф(равн) яф<бин) | кА |ппг(Равн) 1 «ф(бин) | '

•‘-'равн *-'бин (O*max и fmax J ки Iv max iU^max I

cos ф1 sin kd I 4 1

' kd I QW(paBH> owl6™)
l/^шах * max

Еслиф1 = 0, kd = n или ф! = М, kd=~ , то из формулы (84), учиты-

вая, ЧТО' VFmaxH) = 'Em ах' = 1 , НЗЙДем:

1________1 = 1

Г) Г) 94. ’

‘-'равн •‘-'бин

т. е.

^бин -^равн*

2 94 ф

Пусть теперь ty^-kd + --—= kd ф- 0,98, т. е. — - оптимально для
N kd

равномерной решетки. При этом

1Г.(равн)___

* max —

/ 3

sin I---0,98

\ 2
о . 0,98
3 sin----

~ 0,49; в’= cos4°-’98.^0;61..
2
Подставляя эти значения ’Гтах и ф( в формулу (84)
л

kd =— , после преобразований получим:

2 - !— - -— _ 0,02,

^равн ^бин
т е.

^бин ^равн*

и полагая

Тамим образом, на этом примере видно, что если приф, < kd опада-
ние амплитуды возбуждения к концам решетки уменьшает ее к. н. д.
(вследствие расширения диаграммы направленности), то при kd
к. н. д., наоборот, увеличивается. Это объясняется уменьшением, в слу-
чае спадающего амплитудного распределения, потерь мощности в боко-
вых лепестках диаграммы направленности, достигающих у равно-
мерных решеток с осевым излучением весьма значительной величины
(см, выше). Приф,<^с/ доля мощности, излучаемой в направлениях бо-
ковых лепестков, невелика (10%) и ее уменьшение не может компен-
сировать снижение к. н. д. за счет расширения диаграммы направлен-
ности.

Используя в решетке с осевым излучением биномиальное амплитуд-

ное распределение, можно- теоретически осуществить антенну -с к. ,н. д.,
значительно превышающим к. н. д. оптимальной равномерной решетки.
Действительно, в случае равномерных решеток рост к. н. д. при увеличе-

ф,

нии отношения -- - лимитируется ростом максимумов боковых лепестков.
kd

Так
ны,

как -в биномиальной решетке боковые лепестки полностью устране-
Ф1

то, увеличивая т-я и сужая при этом диаграмму направленности.
ки

можно увеличивать к. н. д. и осуществить, таким образом, сверхнаправ-
ленную малогабаритную антенну. Однако практическое осуществление
таких антенн встречает -непреодолимые трудности. Действитель-
но, для резкого увеличения к. н. д. при заданной небольшой общей
длине антенны необходимо резко- увеличивать сдвиг фаз между соседни-
ми излучателями ф, . Однако-, чтобы при этом не появлялись боковые ле-
пестки, необходимо выполнение неравенства /Мс2л— ф(. По мере прибли-
жения ф, к 2л нужно-, для выполнения этого неравенства, уменьшать и
d. В результате мы получим резко переменно-фазную антенну. Воспроиз-
ведение фазовой характеристики такой антенны чрезвычайно сложно-. Кро-
ме того, фаво-вая характеристика антенны должна поддерживаться с
большой точностью, что -в сколько-нибудь - заметном диапазоне ча-сто-г
невыполнимо.
ГЛАВА V

МОЩНОСТЬ И СОПРОТИВЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
СИСТЕМЫ ВИБРАТОРОВ

§ 1. МЕТОД НАВЕДЕННЫХ Э. Д. С.

При изучении диаграмм направленности решеток излучателей
принималось, что токи в элементах решетки представляют собой задан-
ные нам величины. На самом деле, задаются обычно не токи, а сторон-
ние поля (напряжения), -приложенные к вибраторам и возбуждающие в
них токи. Поэтому, для того чтобы оказалось возможным использовать
изложенную методику расчета диаграмм направленности, необхо-
димо решить соответствующую граничную задачу электродинамики для
определения токов в излучателях. Вследствие сложности решения таких
задач целесообразно рассмотреть возможные пути их упрощения. В
частности, упрощение возможно в тех случаях, когда излучатели систе-
мы представляют собой вибраторы, для которых законы распределения
токов известны с той или иной точностью, так что необходимо опреде-
лить лишь комплексные амплитуды токов в некоторых фиксированных'
сечениях отдельных вибраторов. Это может иметь место в тех случаях,
когда законы распределения токов в отдельных вибраторах не зависят
или слабо зависят от числа и взаимного расположения вибраторов в си-
стеме (как, например, в случае настроенных или слабо расстроенных
вибраторов). Только при этом условии задача действительно упрощается,
так как закон -распределения токов можно будет определить в результа-
те рассмотрения 'значительно более простой граничной задачи о 'Возбуж-
дении одиночного вибратора. Эта задача подробно рассматривается вс
2-ой части. Здесь мы -воспользуемся некоторыми изложенными там ре-
зультатами-, которые можно также рассматривать как результаты экспе-
римента.

Можно показать, что (Поле тонкого вибратора, имеющего вид тела
вращения с произвольным продольным профилем, практически совпа-
дает с полем линейного тока, равного полному току вибратора. Послед-
ний можно- представить в -виде У(1 ф (Z) , где Jo — амплитуда тока -в не-
котором произвольно выбранном (фиксированном) -сечении -вибратора, а
ф (Z) — безразмерная функция, характеризующая закон распределения
полного тока -вдоль оси вибратора. Эта функция, равная

“'о

очевидно, обращается в единицу в сечении /о, где J (/о) — Jo- Вид функ-
ции ф (/) мы не будем детализировать.
Рассмотрим систему из N идеально проводящих вибраторов*. Будем
считать в общем случае, что система возбуждается сторонними электро-
движущими силами, распр*еделенными по заданному закону вдоль по-
верхности вибраторов. В частности, эти сторонние э. д. с. могут быть
приложены на достаточно малом участке вибратора между клеммами. В
такой постановке мы приходим, очевидно, к первой граничной задаче
электродинамики, т. е. к нахождению поля по заданным на поверхности
вибратора значениям тангенциальной составляющей электрического век-
тора.

Действительно, граничные условия на поверхности вибратора, в силу
его идеальной проводимости, будут иметь вид:

(ДД-ДГ)г = 0 на sk, 1,2, . . . ДА. (1>

Здесь sk—• поверхность £-того вибратора;

Е — полное поле, создаваемое системой;

Д" — напряженность сторонних электродвижущих сил, приложен-
ных к £-тому вибратору.

Таким образом, на поверхности вибраторов Et оказывается извест-
ной и равной

Et = -Ek, £=1.2, . . .,ЛА. (2)

Умножим скалярно это уравнение на сопряженную величину поверхност-
ной плотности тока /Vj. k-того проводника и проинтегрируем после этого
обе части уравнения по поверхности sk. В результате подучим:

Г Kk*Edsk = -$K*EFdsk> £=1,2,..., ЛА. (3)

’й sk

Учитывая линейность вибраторов, можно перейти от интеграла по
поверхности к линейному интегралу, взятому вдоль оси вибратора. Вве-
дем полные токи Jk по формуле:

J^fKidL, £ = 1,2, . . . , ЛА, (4)

где интеграл берется по* контуру поперечного сечения £-того вибратора.
Используя выражение (4) и полагая, что На контуре сечения Е и Дст
мало* меняются, перепишем равенство (3) в следующем виде: е

\j*Edlk = -\ J*EzZdlk, £=1,2, (5)

lk lk

В формуле (5) и последующих, получаемых из нее, под Е и Д"
понимаются составляющие, параллельные оси провода 1к. Так как, в со-
ответствии с вышесказанным, Jk можно представить в* виде:

Л = (4)’ (6)

то формула (5), после сокращения на Jk, преобразуется к виду:

у£=i,2,..., м (?)
ik ik
Полное поле Е можно представить в виде суперпозиции парциаль-
ных полей, создаваемых отдельными вибраторами:

(8)
i—i

где Е(— «поле» *, порожденное в свободном пространстве безразмерным
током (/J, текущим вдоль 6-того вибратора**. Подставляя выражение
(8) для полного' поля в формулу (7), преобразуем ее к виду.

S 4 J Ф/ (4) Е< dlk=-\ г (4) Ег dlk, 6 = 1,2 ... М (9)

1=1 lk lk

Введем обозначения:

Uk = ^*(lk)E^dlk, 6 = 1,2...М (10)

Zkl^-^*(lk)E(dlk, z, 6 = 1,2 .. ./V. (11)

Напомним, что под E, в формулах (9) и (11) понимается составляющая,
параллельная оси 6-того провода.

Перепишем (9), используя (10) и (11), в окончательном виде:

S4z^z = ^ 6= 1,2... ДА (12)

<=1

Величина Uk имеет, как видно из выражения (10), размерность на-
пряжения и может быть названа электродвижущей силой, приложенной
к 6-тому вибратору, пересчитанной к сечению, в котором = 1 . Вели-
чина Ze( , очевидно, имеет размерность сопротивления и называется вза-
имным, или наведенным, сопротивлением двух вибраторов (смысл вто-
рого названия пояснен ниже), отнесенным к сечению, в котором ^=1.
Система уравнений (12) аналогична известным из теории цепей уравне-
ниям Кирхгофа и дает искомые соотношения для определения ампли-
туд 4 i токов в вибраторах системы. Взаимные (наведенные) сопротив-
ления Zki— коэффициенты уравнений (12) — определяются форму-
лой (11).

Вычисление взаимных сопротивлений по формуле (11) называют
обйчно расчетом сопротивлений по методу наведенных э. д. с. (это на-
звание объясняется тем, что входящие в формулу (11) поля Е( наводят-
ся вибраторами системы друг на друг®.

Перейдем к расчету мощности, излучаемой системой вибраторов.
При этом мы не можем непосредственно применить обычные формулы для

* В действительности это не совсем точно. Как следует из первой граничной
задачи электродинамики (см. гл. VII), под величиной Е,- следует понимать поле,
создаваемое не только электрическим током, но и магнитным поверхностным током,
распределенным по поверхности вибратора по закону Кк = [п Ek ] . Однако, так как
этот ток — кольцевой, охватывающий линейный вибратор, то полем, создаваемым им,
можно пренебречь. Впервые обратил внимание на эту тонкость Б. В. Брауде.

** Это поле, как это следует из формулы- (8), имеет размерность погонного со-
противления (ож/ж).
расчета .мощности через токи и напряжения, поскольку не доказано, что
для формально введенных при помощи формул (11) и (10) величин
Lki и Uk применимы обычные формулы теории переменных токов. По-
этому вычислим мощность излучения электродинамическим путем.

Комплексная мощность излучения й-того вибратора равиа по опре-
делению потоку комплексного вектора Умова-Пойнтинга через поверх-
ность вибратора (см. формулы (П.8я и 9):

~ J [ЁН*] ds. (13)

В силу граничных условий (2) на поверхности вибратора, можно на-
писать:

W^=l-^[E-H*]ds. (14)

Так как текущий по поверхности вибратора ток проводимости К и век-
тор Н связаны соотношением

К=[Нп], (15)

где п направлено внутрь вибратора, то формула (14) может быть пре-
образована к виду:

^Ё* К* ds. (16)

При этом учтено, что ds^n.

Правая часть формулы (16) может быть преобразована по анало-
гии с формулой (3). Проведя это преобразование [см. формулы (3) —(7)],
получим:

= 1 (in

Вынося J*k за знак интеграла и учитывая формулу (10), получим ис-
комое выражение для комплексной мощности вибратора:

= (18)

Таким образом, мы получили формулу, аналогичную употребляемой
в теории перемеинькх таков для (комплексной мощности, что лишний раз
подтверждает справедливость трактования величины Нк, определенной
форкмулой (10), как напряжения, отнесенного к сечению, где 1 , т. е.
ток Jk = JOk. Подставляя в выражение (18), вместо Uk, его значение,
взятое из формул (12), можно написать также:

= 7X^44: (19)
Полная комплексная мощность всей системы, очевидно, может быть
записана в следующих двух эквивалентных формах:

= S = у S Л< Zkt (20)

Й=1 I, к=1

ИЛИ
Л’

= (21)

Введем теперь понятие комплексного сопротивления излучения
л'-го 'вибратора, отнесенного к сечению, где $ft(4/ = 1 , а ток равен Jok •
Определим это сопротивление при помощи известного соотношения:

2И*}

I Г . |2

(22)

Подставляя в формулу (22) выражения (18) и (19) дляМ?^, най-
дем следующие формулы для Z4 :

(23>
л*

» 1=1

или

Zk= • (23а)

•'Ок

Величина Zk, как это следует из формулы (23), представляет собой
сумму собственного сопротивления излучения вибратора Zkk и сопротив-
лений ^-Zki, i=/=k., являющихся сопротивлениями, наведенными ос-

Гок
тзльными вибраторами на к-тый, пересчитанными (благодаря умноже-

нию на —— ) к току Jot ге-го вибратора.

•4 к

Рассмотрим случай, когда вибраторы возбуждаются сосредоточен-
ными э. д. с., что имеет .место, например, при возбуждении с помощью
двухпроводных линий, подключаемых к вибратору в. разрез к его клем-
мам. Сосредоточенной э. д. с., равной &к , соответствует распределение
E'k —& к $ (г) , где 8 (z) — дельта-функция. Подставляя это выраже-
ние для E'k в формулу (10), получим:

(24)

т. е. Uk равно полной э. д. с., подключенной к клеммам вибратора. Ви-
братор нагружает питающую его линию, причем сопротивление эквива-
„ л & к г

лентнюи вибратору нагрузки равно, очевидно, —- , если Jol — ток в

Л к

месте питания вибратора. Из выражения (24) следует, что сопротивле-
ние эквивалентной нагрузки совпадает с Zk — комплексным сопротив-
лением излучения, определяемым формулами (23) и (И). В этом слу-
чае сопротивление Zk называют также входным сопротивлением антен-
ны и обозначают ZBX.
Впервые метод наведенных э. д. с. был предложен- для расчета со-
противления излучения советским физиком акад. Д. А. Рожанским *
(1922 г.) и французским ученым Л. Бриллюэном** (в 1922 г.). Даль-
нейшее развитие этот метод получил в трудах советских ученых
И. Г. Кляцкина *** и особенно А. А. Пистолькорса **** и В. В. Татари-
нова *****, детально разработавших его и применивших к расчету слож-
ных антенных систем. Так, Кляцкин применил этот метод для расчета
сопротивления излучения несимметричного заземленного вибратора. Су-

щественно развил в своих работах метод
А. А. Пистолькорс, впервые распространив его
И, наконец, проф. Татаринов, первым
оценив роль мнимой составляющей сопро-
тивления излучения в работе антенны, дал
оригинальный метод расчета комплексно-
го сопротивления излучения систем ви-
браторов и составил наиболее подробные
таблицы для его расчета.

Для наведенных сопротивлений, по-
мимо (11), можно получить и другие вы-
ражения, с помощью комплексной теоре-
мы Пойнтинга (применительно к случаю
одиночного вибратора этот метод был
впервые развит М. Л. Левиным) ******.

Применим комплексную теорему Пойн-
тинга [см. формулы (II.8а и 9)] к объему
К ограниченному поверхностью Б , со-
стоящей из: а) поверхности S/? сферы' большого

наведенных э. д. с.
на систему вибраторов.

радиуса охватываю-

щей все вибраторы системы, и б) поверхностей sk' , каждая из которых
охватывает к-тый вибратор (рис. 5.1). Так как сторонние поля в рас-
сматриваемом объеме отсутствуют, то теорема Пойнтинга запишется при
этом в виде:

f H*]ds + sEE*)dV — 0.

s v

(25)

Разобьем интеграл по £ на сумму интегралов по 5/?, s/. . . sN и уст-
ремим поверхности sk' к поверхностям sA, соответствующих вибрато-
ров. При этом (25) примет вид:

-S $[ЕН*] [EH*]ds + l«> Цу. НН*-г ЕЕ*) dV. (26)

На поверхностях sk вибраторов вектор магнитного поля Н связан
с плотностью К текущего по поверхностного тока проводимости со-

* Д. А. Р о ж а и с к и й, Т и Тбп, 1922, № 14.

*• L. Brillouin, Radioelectricite, 1922, Avril, р. 147.

*** И. Г. Кляцкин, Т и Тбп, 1927, № 40, стр. 33.

**** А. А. Пистоль коре, Т и Тбп, 1928, № 48, стр. 333, № 50, стр. 540, 546;
1929, № 52, стр. 33.

***** В. В. Т а т а р и н о в, Вести. Электрот., 1931, № 1; ТР и СТ, № 2,
1932 № 2, 1933 г.

****** м. л. Левин, ИАН, Серия физическая, 1947, № 2.

8» Фельд, Бененсон.

113
отношением [см. (15)]: : )-

К=-[пН], (27) }

где п — единичный вектор нормали к $А, направленный внутрь вибра-
тора (п Н ds). При этом

[f //*] ds~=[E Н*\ nds — E [/7*«] ds = EK*ds
в
n „

— U $EK*dsk = \ \EH*]d s + to(28)

*»i sk v

Преобразуем формулу (28) по аналогии с преобразованием форму-
лы (3), выполненным выше. Это преобразование заключается в:

1) переходе от плотностей поверхностных токов К к полным осевым
токам 4=(/)[формулы (4) и (6)];

2) преобразовании поверхностных интегралов по sk в линейные
вдоль lk, выполняемом путем перехода к полным токам, аналогично
преобразованию формулы (3) в (5) и (7);

3) представлении векторов Е, Н в виде суперпозиции парциальных
полей, создаваемых отдельными вибраторами при помощи формул типа

N ->

(8), (т, е. Н = 2 /0. Н;, где Н{ имеет размерность /И-1).
1=1

Проводя указанные преобразования, перепишем формулу (28) в
окончательном виде:

*=1 г=1 ч

= £ YJ^JOi^\EiH^d^^i^^V.HiHk*-&'Ei'E^dV\ . (29)

k = J i=l S/?

Формула (29) представляет собой равенство двух форм, билиней-
ных относительно амплитуд токов J01-, dn/?. Так как равенство должно
иметь место при любых значениях этих амплитуд, то, очевидно, это мо-
жет иметь место лишь при равенстве коэффициентов форм. Правда, при
этом необходимо, чтобы коэффициенты форм не зависели от амплитуд
JOi,Jok. Можно показать, что в тех случаях, когда применение метода на-
веденных э. д. с. целесообразно, это условие выполняется (как поясняет-
ся ниже, для этого безразмерные распределения токов в вибраторах фА (/)
не должны зависеть от J0(, i = 1, 2 ... N). Приравнивая коэффициенты
при соответствующих членах в этих формах, получим:

- J ф* (Zft) Е{ dlk =.[ Й Я*1 ds + to J (рЯ Я> - еЯ Я*) dv, (30)

lk SR V

i, /г = 1,2, ... N.

Величина, стоящая в левой части равенства (30), представляет со-
бой, как это видно из сравнения с формулой (11), наведенное сопротив-
ление Zki. Таким образом, мы получим второе выражение для наведен-
ного сопротивления:

Zw= J [X- Я*] ( (ц Я Я* - г^Д*) I, k = 1,2, . . . N. (31)

S7? V

Наиболее употребительна формула (31) для расчета собственного
сопротивления Zu. Если радиус /? сферы Ад> столь велик, что можно
применить приближения дальней зоны, то в соответствии с формулой
(111.7) для поля в дальней зоне:

Z,-,. = + IX и = 1/1 j | Et |M.s + z«> j | Н( Р - е | £. р) dV, (32)

s„

R г=1,2, ...Д/.

Поверхностный и объемный интегралы, очевидно, чисто веществен-
ны. Поэтому ;

Rii^V И1^5’’ (33)

(34)
V

Формулы (33) и (34) имеют простой физический смысл. Выраже-
ние для Ri; 'Представляет собой мощность, излучаемую i-тым вибрато-
ром, отнесенную к половине квадрата модуля амплитуды тока Л, в виб-
раторе (сравнить с формулами III.9а, 10 и 11)

р(0

, • (35)

2 ‘/w

Выражение для Хи равно отнесенной к разности средних

запасенных в объеме V энергий магнитного и электрического полей (в
этом нетрудно убедиться, вспоминая известные в электродинамике вы-
ражения для плотностей энергий, локализованных в поле). Аналогич-
ным образом можно- сопоставить с мощностями излучения и запасенны-
ми энергиями и наведенные сопротивления R(l;, Xik, только при этом,
очевидно, следует говорить о взаимных энергиях и мощностях полей со-
ответствующих вибраторов.

Величину Z ( обычно называют комплексным сопротивлением излу-
чения г-того вибратора.

Найдем связь между взаимными сопротивлениями Zik и Z^ двух
вибраторов. Для этого воспользуемся леммой Лоренца [(см. выше, фор-
мула (II.26а)], которая в случае двух идеально проводящих вибрато-
ров с текущими по их поверхностям s{ и поверхностными токами
Кi и Kk- примет вид:

J (КД-K^ds^. (36)

+ sk
В последнем интеграле перейдем к полным осевым токам Jal ф,- (/,-),
Jok'hGt) [см. (4) — (7)]. Так как напряженности полей £) и Ek про-
порциональны амплитудам Л(, Jak возбуждающих их токов, то получен-
ное выражение можно сократить на произведение JOi, IOk. В результате
найдем, что'

J (37)

li lk

Et (Ek) обозначает в (37) составляющую вдоль (Z{) поля, создавае-
мого безразмерным током ф,- (ф*) , текущим в z’-том (к-том) вибраторе.

Сравнивая выражения, стоящие в обеих частях равенства (37), с
формулой (Н), найдем, что при ф = ф*, т. е. в тех случаях, когда за-
коны распределения тока вдоль вибраторов выражаются (с точностью до
комплексного постоянного множителя Jo!) чисто вещественными функ-
циями, имеют место соотношения взаимности;

Zik — Z^j- (38)

В общем случае, когда ф =Е ф*, эти соотношения не имеют места.
Однако, повидимо-му, во всех случаях, когда применение линейных урав-
нений (12) и наведенных сопротивлений (И) рационально, законы рас-
пределения токов обычно чисто вещественны. Действительно, вводить
наведенные сопротивления целесообразно лишь в том случае, когда
можно задать законы распределения токов в вибраторах, как уже гово-
рилось выше, независимо от числа и положения последних. При этом
можно будет, рассчитав взаимные сопротивления Zik для всевозмож-
ных относительных положений двух вибраторов, использовать эти дан-
ные для нахождения токов (по заданным э. д. с.) в системе с произволь-
ным числом вибраторов, решая уравнения (12). Е'сли это невозможно,
то введение Zlk нисколько не облегчает задачу расчета системы вибра-
торов и поэтому нецелесообразно. Действительно, в этом случае для
вычисления Zik необходимо находить распределения токов на вибрато-
рах, которые будут зависеть от их числа и взаимного' расположения. Для
этого нужно будет решить соответствующую граничную задачу, при ре-
шении которой будут найдены амплитуды токов в вибраторах, и необ-
ходимость в использов-анйи уравнений (12) отпадает. Известно, что лишь
в случае резонансных -вибраторов- распределение тока -не зависит от
распределения приложенных э. д. с. и выражается чисто вещественной
функцией ф(з) = cos kz ( z — координата, отсчитываемая от центра
вибратора вдоль его оси). Таким образом, для резонансных вибраторов
применение соотношений (10) — (12) вполне целесообразно, и соотноше-
ния взаимности (38) имеют место. Поэтому расчет многовибраторных
систем, состоящих из резонансных вибраторов, методом наведенных
э. д. с. с применением соотношений (10) — (12) и получил широкое рас-
пространение.

В случае расстроенных -вибраторов строгая теория вибраторов дает,
в первом приближении, следующее выражение для распределения тока
в вибраторе:

6(z) = sinfc(£-z) jfCT(Qsin/j(Z + +

+ sin k (L + z) j £CT (C) sin k (L — С) dt. (39)

z
Как видно из этой формулы, распределение тока вдоль расстроен-
ного вибратора существенно зависит от распределения прилаженных к
вибратору э. д. с. Оно, в частности, будет чисто вещественно лишь при
синфазности приложенного вдоль 'вибратора стооониего поля. Разберем
возможные случаи применения метода наведенных э. д. с.

а) Одиночный вибратор

Метод (Наведенных э. д. с. всегда применим для расчета собственно-
го сопротивления излучения. При возбуждении антенны сосредоточенной
э. д. с., как видно ив формулы (39), закон распределения тока выража-
ется вещественной функцией, переходящей при симметричном возбужде-
нии в функцию:

ф (z) = sin k(L — |z |). (40)

(2L — длина вибратора).

б) Система вибраторов

Применение метода наведенных э. д. с. целесообразно лишь при
возможности задать законы распределения токов, независимо от числа и
расположения вибраторов. Это возможно, как указывалось выше, в слу-
чае настроенных вибраторов (когда ф (z) = cos Az), а также в. случае
расстроенных, при столь слабых взаимодействиях между вибраторами,
когда .можно пренебречь их взаимными влияниями на законы распреде-
ления тока. Если при этом можно пренебречь и изменениями амплиту-
ды, то получим ряд независимых вибраторов. Но может оказаться, что,
пренебрегая изменениями закона распределения, можно учесть измене-
ния амплитуд. В этих приближениях законы распределения так же, как
и выше, выражаются чисто вещественными функциями. Если взаимодей-
ствия между расстроенными вибраторами велики, то законы распреде-
ления токов могут принять вид практически любой комплексной функ-
ции (удовлетворяющей условиям на концах провода). Однако при этом
применение метода наведенных э. д. с. не сулит никаких выгод, так как
законы распределения существенно зависят от числа и взаимного распо-
ложения вибраторов и в общем случае неизвестны. В этом случае необ-
ходимо каждый раз решать полностью всю электродинамическую задачу,
которая и даст ответ на все вопросы.

Приведенные рассуждения подтверждают, что практически в
большинстве случаев, когда целесообразно применять метод наведенных
э. д. с., законы распределения тока вдоль вибраторов можно считать
чисто' вещественными функциями.

Сущность метода наведенных э. д. с. для вычисления взаимных со-
противлений и полного сопротивления излучения вибраторных антенн
заключается не только в, использовании формулы (11). Существенно так-
же то, что вместо точного закона распределения тока вдоль вибратора
(фактически неизвестного) обычно используют приближенные выраже-
ния. На основании сравнения с экспериментальными данными установ-
лено, что при этом получается хорошее согласие между расчетными
и эксперименталыньвми данными. Это обусловило широкое распростране-
ние метода наведенных э. д. с. в теории и практике вибраторных антен-
ных систем. Допустимость сравнительно «грубых» аппроксимаций зако-
на распределения тока является неслучайной и основывается на особых
свойствах интегральных функционалов, фигурирующих в этом методе.
§ 2. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ И НАВЕДЕННЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
ВИБРАТОРОВ

Для проведения расчетов конкретных антенных систем по выведен-
ным в § 1 формулам необходимо получить расчетные формулы для
коэффициентов уравнений (12) — собственных и наведенных сопротив-
лений вибраторов. С этой целью можно использовать как формулу (11),
полученную по методу наведенных э. д. с., так и формулы (31) — (34),
выведенные с помощью комплексной теоремы Пойнтинга. Ввиду
большей простоты расчетов по формуле (11) последняя получила широ-
кое распространение. Однако эта формула пригодна лишь для вычисле-
ния 'взаимных сопротивлений 7.ik и активной компоненты собственного
сопротивления Rit . Если же с ее помощью попытаться рассчитать реак-
тивную компоненту Ха собственного сопротивления вибратора, то, за
исключением случая полуволнового вибратора, величина Xti окажется
равной бесконечности. Это объясняется тем, что при выводе форму-
лы (11) мы перешли от поверхностного интеграла к линейному, т. е.
фактически заменили объемный вибратор бесконечно тонким. Такая
идеализация практически не сказывается на величинах /?(1- и Zlfe(f#= /г),
Действительно, при расчете взаимных 'сопротивлений Zik \i #= k) необхо-
димо интегрировать поле, возбуждаемое одним вибратором вдоль поверх-
ности другого [формула (11)]. Поэтому, если расстояние между этими
вибраторами велико, по сравнению с их диаметрами *, то замена поверх-
ностного интеграла в формуле (р) линейным практически не изменяет
его величины. Еще в большей степени это будет справедливо при расче-
те Ra, поскольку эта величина фактически определяется полем вибра-
тора в дальней зоне [формула (33)]. Очевидно, это поле не изменится,
если заменить поверхностное распределение тока по вибратору линей-
ным, вдоль его оси (при условии, что диаметр вибратора мал по срав-
нению с длиной волны).

При расчете реактивной компоненты собственного сопротивления
существенную роль играет поле вблизи антенны (см. формулу (34), где
величина Хи выражается объемным интегралом, основная 'величина ко-
торого определяется интегрированием по части пространства, лежащей
непосредственно '.вблизи вибратора). Фактически, при расчете по формуле
типа (11) мы получаем собственное реактивное сопротивление бесконеч-
но тонкого вибратора, а оно — бесконечно, вследствие особенностей
поля 1в непосредственной близости у источника ** (лишь для полуволно-
вого вибратора эти особенности взаимно компенсируются). Поэтому в
общем случае формула типа (11) для расчета Хи — непригодна. Ее
нужно заменить более общей формулой, которую легко получить из (3),
где еще не произведен переход от поверхностного интеграла к линейно-
му. Эту формулу, очевидно, можно записать в виде:

Хц — — Jill ----------• (41)

В случае цилиндрического провода радиуса а формула (41) может
быть упрощена, если учесть, что распределения тока и поля Е( обла-

* Диаметр при этом должен быть также мал по сравнению с длиной волны.

** Это легко объяснить также, применяя к вибратору теорию длинных линий.
Действительно, погонная самоиндукция вибратора обращается в бесконечность при
стремлении диаметра вибратора к нулю.
Дают осевой симметрией. Это дает возможность * с Достаточной точно-
стью представить собственное реактивное сопротивление как наведенное
одним линейным вибратором на другой, ему параллельный, расположен-
ный на расстоянии а (равном радиусу) от первого (рис. 5.2). При этом
распределения токов в обоих вибраторах должны быть.взяты одинако-
выми. Таким образом,

Хц— — Jm J Ф* Е-, (Ф) dzy . (42)

i.
I

Вместо формулы (42) для расчета Хн можно использовать непосред-
ственно формулу (34), ибо при ее выводе не делалось никаких идеали-
заций. Применение формулы (34) особенно удобно в случае вибратора

сложного продольного профиля.

При расчете X н распределение
тока вдоль вибратора можно задать
приближенно, благодаря стационар-
ности функционалов, определяющих

Рис. 5.2.

Рис. 5.3.

собственное сопротивление излучения вибратора. Это дает возможность
значительно упростить расчет. Для его выполнения можно воспользо-
ваться аппроксимацией, допустимость которой следует из результатов
строгой теории вибраторов, а именно — положить, что распределение пол-
ного осевого тока ф (г) вдоль вибраторов, отличающихся между собой
только формой продольного профиля, будет одинаковым, если к ним
приложены одинаковые сторонние э. д. с. Используя это допущение,
легко сделать следующие выводы для двух таких вибраторов:

1) вещественные части их сопротивлений излучения равны;

2) мнимые части будут отличны, ввиду неодинаковости объемов, за-
нимаемых вибраторами, а следовательно, и различных областей интег-
рирования в формуле (34).

Разность собственных реактивных сопротивлений таких вибраторов
А'1 — Аф очевидно, определяется [см. формулу (34)] интегралом по объ-
ему V, ограниченному поверхностями обоих вибраторов, если их мыслен-
но совместить так, чтобы их оси совпадали (см. рис. 5.3). Таким образом
[см. формулу (34)],

X, -Л3 = <»ф (р | - е |£>) dV. (43)

При этом мы предположили, что поле вне проводника однозначно
определяется законом линейного распределения полного тока Ф (г) , кото-

* Это легко показать, если при расчете Е, в формуле (41) считать, как это
делается в теории тонких вибраторов (см., например, Леснтович и Левин,
ЖТФ, 14, № 9, 1944), что оно возбуждается линейным током, текущим по оси вибра-
тора. Тогда, учитывая осевую симметрию задачи, немедленно получаем формулу (42).
рый на основании вышесказанного предполагается одним и тем же у
обоих вибраторов *.

Когда для одного из вибраторов, например второго, величина
известна (или легко может быть рассчитана непосредственно), то фор-
мулу (43) можно использовать для расчета' собственного реактивного
сопротивления любого другого вибратора, отличающегося продольным
профилем. Рассмотрим цилиндрический вибратор радиуса а2 и длины L
м вписанный в него вибратор (рис. 5.3), имеющий вид тела вращения,
радиус которого меняется вдоль оси по некоторому закону

ах (z)=a2-f(z), f(z) < 1, (44)

а длина также равна L. Если проводники тонкие, т. е. а2 < L, а2 ф К,
то объем V очень мал, и поле в пределах V берется в непосредственной
близости от поверхности проводника. При этом с достаточной точностью
можно считать, что это поле локально совпадает с полем бесконечного
прямолинейного тока, т. е.

г во , , . „ 2 . ч бо/ аф

\ = —ф (4, Er — — q (z) = -- - ,

г г kr dz

—i----заряд

(45)

Это допущение приводит к ошибкам лишь высшего порядка малости.
Подставляя выражения (45) в формулу (43) и выполняя интегрирование
по от 0 до 2я и по г от r = а2 f(z) до г = а2, получим:

дф
dz

In/(z) dz-

(46)

При 'возбуждении вибраторов сосредоточенной

центре (см. выше),

ф (z) = sin k

э. д. с., приложенной в

(47)

Если вписанный в цилиндрический проводник вибратор имеет вид эллип-
соида вращения, то, беря f(z), соответствующее эллипсоиду, и учитывая
(47), найдем:

^элл _ д'цил 30 { sin 2kL (Di kL - Di 2kL + In 2) +

+ cos2kL{SikL~Si2kL) - Si ArZ.}, (48)

„. f sinz1 ,,
где Si x = I —-— dt — интегральный синус;

pl — f

Dix= I ---------rf/ = lnv—Ci A', Cix — интегральный косинус;

In у ==i 0,577 — постоянная Эйлера.

* Формула (43), а также ряд последующих, в том числе приводимые ниже вы-
ражения для Хц цилиндрического и эллипсоидального вибраторов, заимствованы из
работы М. Л. Левина (Известия АН СССР, Серия физическая, 1947 г., № 2), где впер-
вые был применен излагаемый метод расчета собственного сопротивления излучения
вибраторов.
Ё частности, при kL = п —(т.е.Ь~п —]

длэлл _ джил = _ 30 Si (2яп)> (49)

Путем непосредственнопо расчета можно показать, что А^лл = 0, так что

Xr = 30Si(2un). (50)

В простейшем случае полуволнового вибратора п — 1, Si 2п = ]/ 2^1,41,
откуда

Аг}шл = 42,5 ома. (51)

Этот результат не зависит от толщины вибратора, что явилось след-
ствием некоторой приближенности формулы (48). В частности, при вы-
воде этой формулы принималось, что L соответствует расстоянию меж-
ду фокусами эллипсоида, а не его полной длине, что справедливо лишь
с точностью до членов порядка —. В случае вибраторов произвольной

длины, как это показано в упомянутой выше работе М. Л. Левина,

А^л = Х' + Х", (52)

где

kl I

X' = - 60 sin — In - - (53)

2 2а2

зависит как от длины, так и от толщины вибратора, а

kl 1 kl

X" — 30 cos — 4 cos — (sin kL • Di kl- + cos kL Si kL) —

2 I 2

— 2 (sin — kL-Di 2kL + cos — kL-Si 2kL] + 4 In2-sin — cos kL |

2 2 1 2 J

(54)

зависит лишь от длины вибратора. С учетом (48) получим, что реак-
тивное сопротивление излучения цилиндрического вибратора произволь-
ной длины будет равно:

Хиил = - 60 sin kL • In — + 30 f 4 cos— f sin —• Di kL + cos — • Si kL
2a2 ' ( 2 \ 2 2

— (sin ft£-Di 2k L 4- cos kL • Si 2kL} } •

(55)

Приведем также выражения для вещественной части сопротивления из-
лучения цилиндрического вибратора, выведенные еще в главе III (фор-
мула Баллантайна):

R = 30 { sin kL (Si 2kL — 2 Si kL) +

4-cos fe£ (2 Di fe£—- Di 2fe£) + 2 Di fe£ } . (56)

При kL = n—

Rn — 30 Di 2irn, Rr — 73,1 ома.

(56a)
121
В рассмотренном приближении величина $ не зависит от Толщины
вибратора.

Перейдем теперь к расчету наведенных .сопротивлений Ztk{‘ ф k} . Как
уже говорилось выше, этот расчет удобнее производить по формуле (11).
Приведем этот расчет для наиболее простого случая параллельных виб-
раторов, длина которых кратна полуволне. Пусть мы имеем два таких
вибратора, расположенных параллельно оси z цилиндрической системы
координат г, ср, z. Пусть эти вибраторы произвольно смещены относитель-
но начала координат; znl и zn.> — координаты концов л-ного вибратора.

Очевидно, zn., -ги! =

27,, 7

, где sn = —- , Л„. — длина /г-ного вибратора
к

(рис. 5.4).

Распределение тока в каждом вибраторе можно записать в виде
cb„(z) = sin^(z-2nl). (57)

Согласно общей формуле (11), сопротивление Zmn , наведенное и-ным
вибратором па /n-ый, будет равно:

Ensin k(z-zml)dz, (58)

гт1

где Св— z-компонента поля n-ного вибратора в месте расположения
ш-ого. Эту компоненту поля можно выразить через вектор Герца П„,
имеющий только одну компоненту II т-Ц Согласно формуле (7),
-> d'-

учитывая, что при И = Пг/2, оператор grad div переходит в -------,

dz2

£„-^ + *2П„. (59)

dz2

Кроме того, ввиду (57) можно написать:

= (6°)
Подинтегральное выражение в формуле (58) можно преобразовать, ис-
пользуя (59) и (60):

£ ф —(df.?» -p
Ttn ( 9 K

\ dz^

.. Ar, _

3 I f ♦» -1 n

dz \ dz

-П °дТ‘
” dz

Подставляя преобразованное выражение
и выполняя интегрирование, .получим:

для

„ Ф,„ в формулу (58)

7 —Гп — Ф
iln j itn

Ал

i I Tin
dz \

<ШЛЪ

Так как на концах вибратора (zm2) = фт(гт1) = 0,

S^'K

= fecosfe (z — zml) принимает значения k при Z — Zml и k cos k

т при z = zm2, то окончательно найдем*:

Zmn = k [ (- l)s"> П„ (zm2) - II„ (zml)[.

(62)

Теперь слетается только вычислить вектор Герда для линейного тока, вы-
ражаемый формулой

Zn2

i С ikr

П.„ =---------------sin k — zB1)-----------------di =

-1ire0<o J Г

ZlA

1___

8пе0 <u

p “ ik (? - f)

,kznl _______________

(63)

Интегралы, входящие в формулу (63), вычислим следующим образом,
Расстояние г от элемента di до точки наблюдения р, ?, z равно (см.
рис. 5.5):

Г = }/ р" +(£ - U2

Полагаем

и V

и = г + Sj~- z; г/= г — ; + z: du=—di\ dv=— -di.

г г

При этом

гЛ2 . “«2 ип2 ип2

di = е- -z du = е- ( Г-£°^ dll _ , [lin bL du U

Jr d и \j U J и J

2nl “nl “л1 unl

= e- ikz [Ci {ku} — i Si (feu)]""2.

* Формула (62) изложенным методом впервые получена Бехманом (Proc JR Б,
19, 461, 1471, (1931 г.).
И аналогично:

II» „ 4t.

ik (г—',) Г> p- lkv v„2

I------------d' = —е',кг I--------------dv = — eikz [Ci (kv) — i Si (kv)] ,

Jr J v *nx

Zn\ 511

где Mi,2 = ri,2 + Zi.2 — z; щ,2 = И,2 — £i.2~[-z,

Г1,2— расстояния от концов 1 и 2 соответствующего вибратора до точки
наблюдения, Ci х, Si х — интегральные косинус и синус.

Подставляя вычисленные значения интегралов в формулу (63),
найдем:

П2п == —— / е/А(г-г«1> [Ci ku - i Si kuf"2 + e~ik 'z~z^ [Ci kv-i Si kv)] "
8кг0 <o ( и , v ,

(64)
Найденные формулы дают возмож-
ность вычислять наведенные сопро-
тивления при любых относительных
расположениях параллельных вибра-
л
торов, длина которых кратна — .

Для случая параллельных, но не
смещенных по оси z, вибраторов оди-
наковой длины формула (64) может
быть значительно упрощена, по-
скольку при этих условиях

z , — Z , Z о — Z S гп ~

е 2 — е =(—])’,

так что'

гг , . 1 . с., mt+z"~z'

Пп(гт1)—--------- [С1АН — iSikll] +

8тее0 <0 [

‘u~-r^ . ^+г1 1

4- [Ci kv ~ rSi kv] " ,

v^'rn^ ml J

(—ivn (zm,)=—-1— /[Ci Am — iS[ku\ ^n2' m2 +

8лг0 <o [ «=гп1, т2+г'- га

+ [Ci kv — i Si kv\~r,,2'm2
v=rn\, na-z'+zJ

При рассматриваемом расположении вибраторов

где d — расстояние между вибратора-ми по перпендикуляру. Подставляя
эти значения Ии в общую формулу (64) и учитывая также, что

А 1 . / р- , г

—-----g- 1/ — = 15, выпишем выражения, определяющие веществен-

8кг() ш 8к у s0
ную и мнимую части на»еден!ного сопротивления:

(65)

Для упрощения расчетов антенн в 'виде систем вибраторов используют
таблицы и графики вещественных и мнимых частей наведенного сопро-
тивления Zmn, построенные и вычисленные при различных расположе-
ниях вибраторов.

На рис. 5.6 и 5.7 приведены графики активной и реактивной слагаю-
щих наведенных сопротивлений, вычисленных по формулам (65) для по-

Рис. 5.7.

луволновых вибраторов (s — 1). Эти графики заимствованы из книги
проф.; В. В. Татаринова — «Коротковолновые направленные антенны»,
ОНТИ, 1932 г. (введенные в этой книге величины R2s и /?24 совпадают
с Rmn и Хтп, соответственно). Заметим, что расчетные формулы, табли-
цы и графики наведенных сопротивлений полуволновых вибраторов были
впервые даны А. А. Пистолькорсом * для /?ти и В. В. Татариновым **

* А. А. П и с т о л ь к о р с. Ти Тбп, № 1/52, 1929 г.

- ** В. В. Татаринов. Вести. Электрот., № 1, 1931 г., ТР и СТ, № 2, 1932 г.,
№ 2, 1933 г.
для Хтп (в случае параллельных и смещенных вибраторов) и сыграли
большую роль при разработке и конструировании коротковолновых

направленных антенн.

Расчетные формулы для вычисления наведенных сопротивлений виб-
раторов имеют относительно простой вид лишь для наиболее простых
случаев, например, в случае параллельных несмещенных вибраторов
[см. формулы (65)]. Для произвольно смещенных, но попрежнему парал-

тельных вибраторов
трех слагаемых, как

формулы значительно усложняются: в них вместо
в формуле (65), будет уже по девяти слагаемых.

Если же вибраторы к тому же и произвольно
ориентированы в пространстве, то для того,
чтобы выписать расчетную формулу, придется
исписать целую страницу! *. Естественно, что
последние формулы мало пригодны для расче-
тов и на практике редко применяются. Однако,
если взаимодействующие вибраторы находятся
на достаточно большом расстоянии, так, что
поле одного из них в месте расположения дру-
гого можно вычислять по формулам для поля
в дальней зоне, то расчетные формулы для на-
веденных сопротивлений могут быть значитель-
но упрощены. Поле вибратора в дальней зоне
имеет, как следует из формулы (III.7), вид:

„ _ /шр. е ‘кг г, . 30/г ... „

—£о =---------------Дн = i-----elkrF^. (66)

4 к г г

где

+ Т

Де = f J(z) eikz cos e • sin 6 dz,
L

(67)

J(z) — распределение тока в вибраторе (вибратор расположен вдоль
оси Oz сферической системы координат, симметрично относительно ее
центра).

Вычислим сопротивление Z2|, наведенное первым вибратором на
второй, причем будем считать, что вибраторы находятся друг от друга
на расстояниях, достаточных для допустимости применения формулы
(66) (для полуволновых вибраторов — на расстоянии Вве-

дем, кроме того, две системы сферических координат R', В', у' и R", 8", <р",
таких, что вибраторы оказываются расположенными вдоль полярных
осей этих координатных систем. В общем случае эти системы могут быть
ориентированы в пространстве произвольным образом друг относитель-
но друга. Рассмотрим (рис. 5.8) сначала случай, когда Oz' и Oz" лежат
в одной плоскости. Пусть, кроме того, (г/)=701ф1 (z'), 73 (г")=703 ф2 (г")
(функции ф (г) будем считать чисто вещественными). Обозначим также

(2) Е- 1 (2) _____ Е-

= £01 (2) и ----------------------------Г 01 (21-

•/01(2) */01(21

* Афанасьев, ИЭСТ, 1938, № 10, стр. 26.
Подставляя в расчетную формулу для наведенного сопротивления
+ 7

Z21=— $ (E01sin8")^2(z")dZ', (69)

(73)

(73а)

(736)

(74)

(75)

(76)

величину £01 из формул (66) и (68) и считая, как обычно, для поля в
дальней зоне, в точке z" второго вибратора,

/- = /?„ -г" cos И". (70)

где /?о — расстояние от начала координат до его центра, а (-)" — угол
между осью второго вибратора и направлением на первый (см. рис. 5.8),
получим:

д2

+ г

Zu = i — e-ik^F01 J ф, sinW'dz", (71)

/?о _ £

или, поскольку этот интеграл представляет собой, очевидно, £Оа [см.
формулы (67) и (68)],

Z2]==Z^e-/Wl,F()1.Fo2. (72)

ГКО

Эту формулу можно несколько видоизменить, введя вместо Foi (2) функ-
ции к. н. д. Di.? (Н, ф)=Р12 •4i’i,2(B, т. е. диаграммы направлен-
ности вибраторов. По определению, коэффициент направленного дей-
ствия равен

0(0,

Pz
где (см. формулы Ш.9а, 10 и 11)
р(& =-2-

2 120л № 1 К2 |/0|2

ps=4|7«i2/?s’
t

Rz — сопротивление излучения вибратора. Отсюда

Xs Rz

Подставляя значение | Ро |, найденное из формулы (74):
, /Р(е,
0 xq/зо

в (72), получим следующее выражение для Z2i*.

z81=i Vd.Rzx ®7(0W)•

kR0

* Формула (76) впервые получена Г. Т. Марковым («Радиотехника», № 1,
1948 г.).
где Di,2— максимальные значения к. ,н. д., a 'S’1.2 (В, ср)— нормирован-
ные диаграммы направленности по мощности первого и второго вибра-
торов. Для полуволновых вибраторов Dip) Ри (2) = 120. Отметим не-
которые особенности приближенной формулы (76).

1. Формула (76) пригодна для любых вибраторов с симметричным
возбуждением, тогда как обычные формулы типа (65) выводятся лишь
для вибраторов, длина которых «кратна полуволне. Для расстроенных
вибраторов формулы типа (65) были бы еще более громоздки, из-за
более 'Сложного распределения тока вдоль вибраторов.

2. В формуле (76) характеристики каждого вибратора входят по-
рознь, независимо. Это дает возможность легко вычислять наведенные
сопротивления и для неидентичных вибраторов.

3. Величина наведенного сопротивления двух вибраторов, помимо
, / 2тс\

расстояния /?о и длины волны к = — , определяется сопротивлениями
\ k /

излучения и диаграммами направленности отдельных вибраторов. Как
указывалось выше, сопротивление излучения антенны является стацио-
нарным функционалом относительно распределения тока в антенне. Из-
вестно, что аналогичными свойствами обладает и диаграмма направлен-
ности антенны. Отсюда сразу следует, что и наведенные сопротивления
вибраторов Zik в пределах применимости формулы (76) также ста-
ционарны относительно расиределений токов в вибраторах. Пределы
применимости формулы (76) можно установить на примере двух полу-
волновых вибраторов, для которых имеются графики Zik , построенные
по точным расчетным формулам (см. выше). Для параллельных несме-
щенных полуволновых вибраторов формула (76) принимает весьма про-
стой вид, так как в этом случае

Ф,(0, <р) = ^2 (в, ®),0' = 0", <р' = ср", D1 Rn = D,/?s2 = 120,

а /?0 = d, где d — расстояние между вибраторами. При этом

_ . 120 e~ikd

£ n 1 I
kd

(77)

На рис. 5.9 приведены кривые Rix и Z2I, построенные по формуле (77)
и «по точным формулам (65). Как видно из этих графиков, уже при
d^>t. имеется весьма хорошее совпадение значений Р21, A'2i, рассчитан-
ных по точной и приближенной формулам. Отметим также, что прибли-
женная формула (77) легко дает возможность рассчитать наведенные
сопротивления п дчя вибраторов, не лежащих в одной плоскости. Дей-
ствительно, так как при этом в формулу (69) необходимо подставлять
проекцию элект] ического поля одного вибратора на направление друго-
го, то в окончательных формулах появится лишь дополнительный мно-
житель cos ft, «где ft — угол «между одним вибратором и плоскостью, про-
ходящей через его центр и второй вибратор.

•Рассмотрим в заключение приведенные выше формулы (66), (68)
и (73). Е«сли формулу (66) записать в виде

I Р I I Р I (7R\

|с =-----(78)

и ввести в нее значение | Де | из формулы

£>(0, т)

_ 15^|ДЙ|2
Pi

(79)
которую легко получить из (73), подставив туда

Р(9, <р)=-----1 Ле |2 (см. формулу 73с),

к2

то мы получим весьма распространенную формулу для расчета абсолют-
ной величины напряженности поля, создаваемого антенной, на расстоя-
нии г при данных излучаемой мощности и коэффициенте направленного
действия:

или, ВВОДЯ /?у — т ,

|£ =ЮюВ(М)Яг (Л1 (81)

Формулы (80) и (81) получили название формул идеальной радио-
передачи, так как они использовались для расчета радиосвязи без учета
влияния земли, т. е. в случае антенн, находящихся в свободном про-
странстве. Эти формулы, естественно, пригодны для любых антенн, ибо
они получены из общих соотношений (78) и (79).

Следует особо отметить, что полученная выше формула (74) для
к. и. д.:

Л/Л ' 120it21 |2.

W, (82)

А. «I

может быть полезна для расчетов в целом ряде случаев.

Напомним, что величина I Fo |2, входящая в нее, представляет собой
не что иное, как соответствующим образом .пронормированную диаграм-
му направленности антенны по мощности [см. формулу (68)], т. е. | F& |3,
поделенное на ток в той тачке антенны, к которой отнесена величина
, а не нормированное к .единичному максимуму, как это делается
обычно при вычислении диаграммы направленности ’Г (0, <p)]-/?s—
активная часть 'сопротивления излучения системы.

9. Фельд, Бененсом
ГЛАВА VI

МНОГОВИБРАТОРНЫЕ АНТЕННЫ

, Вибраторные антенны применяются с самого начала развития радио-
техники. Первоначально эти антенны имели вид одиночного вертикаль-
ного или горизонтального вибратора. В дальнейшем стали применяться
многовибраторные антенны, обладавшие значительно большей направ-
ленностью. Особенно широкое распространение такие антенны получили
на коротких волнах, где они используются в качестве остронаправленных
антенн для дальних связей *. Обычно они выполнялись в виде полотен
синфазных вибраторов, возбуждавшихся от общего фидера с помощью
целой системы разветвлений. Несмотря на некоторые конструктивные
сложности, такие антенны применяются также и для волн метрового диа-
пазона (у. к. в); в частности, целый ряд радиолокационных станций даль-
него обнаружения, применявшихся во время второй мировой войны, был
снабжен такими антеннами.

Для применения на волнах метрового диапазона были разработаны
также конструктивно значительно более простые антенны, в которых
лишь один вибратор является активным (т. е. возбуждается с помощью
фидера), остальные же вибраторы системы (пассивные) возбуждаются
за счет излучения активного вибратора. Так как одна такая антенна
имеет лишь сравнительно слабонаправленную (по сравнению с упомяну-
тыми выше антеннами) диаграмму, то иногда, с целью сужения ее, при-
меняют несколько (2—4) таких антенн, располагаемых в один или два
этажа и питаемых синфаэно.

Такие антенны широко применяются на волнах длиннее 50 см, в ра-
диолокационных установках. Наконец, на волнах, более коротких, вплоть
до волн сантиметрового диапазона, многовибраторные антенны также
нашли себе применение, наряду с другими, специфическими для этих
волн, системами (зеркала, линзы и т. п.). Из вышесказанного следует,
что многовибраторные антенны представляют большой практический ин-
терес и в настоящее время. Поэтому мы рассмотрим ниже две наиболее
распространенные многовибраторные антенны, а именно — синфазную
многоэтажную антенну («полотно» вибраторов) и продольно излучаю-
щую антенну «волновой канал» (линейную систему из одного активного
и ряда пассивных вибраторов). Прежде чем перейти к описанию этих
антенн, остановимся на простейшей многовибраторной антенне, состоя-
щей всего из двух полуволновых вибраторов. Изучение свойств такой
антенны поможет разобраться в работе и более сложных антенных си-
стем.

* Одна из первых остроналравленных антеин, имеющая вид плоской решетки
вертикальных синфазных вибраторов, была разработана проф. В. В. Татариновым для
магистральной коротковолновой линии связи — Москва—Ташкент.
§ 1. АНТЕННА ИЗ ДВУХ ПОЛУВОЛНОВЫХ ВИБРАТОРОВ

Активное и пассивное зеркала, влияние земли

Рассмотрим систему из двух параллельных полуволновых вибрато-
ров, расположенных на1 расстоянии d друг от друга. Пусть вибраторы
перпендикулярны к соединяющей их центры линии, которую мы примем
за ось Oz сферической системы координат (рис. 6.1).

Примем амплитуду тока в первом вибраторе Ji равной единице, а во
втором

Л = (1)

Два таких вибратора образуют простейшую решетку, диаграмма направ-
ленности которой будет, согласно общей формуле (IV.8), иметь вид:

Чг2(0) = I 1 + е- ikd cos 0 |2 = 1 + + 23 cos (ср — kd cos 0). (2)

Так как в плоскости, перпендикулярной вибраторам, диаграмма послед-
них — ненаправленная, то (0) совпадает с полной диаграммой на-

правленности антенны в указанной
плоскости. В плоскости вибраторов
диаграмма антенны будет равна про-
изведению Чг2(0) на диаграмму отдель-
ного вибратора (см. формулу (IV.6)].
Форма диаграммы направленности ан-
тенны определяется, главным образом,
множителем решетки (0). Поэтому
ограничимся изучением зависимости
’Г2 (0) от р, <р, kd.

Среди всевозможных комбинаций
значений р и <р наибольший практиче-

ский интерес представляют два случая.

Первый случай соответствует независимому возбуждению обоих вибра-
торов, т. е., вообще говоря, произвольным значениям [1 и ср.,, Здесь наи-
более важен случай, когда Р =1, так как это соответствует максималь-
ному к. н. д. системы из двух вибраторов при прочих равных условиях.
Поэтому первый случай, который мы рассмотрим, соответствует возбуж-
дению вибраторов токами равной амплитуды, при произвольном фазовом
сдвиге. Полагая в формуле (2) р = 1, получим при этом для ’Г2 (0)

выражение

’F2 (0) = 4 cos2 (kd cos 0 — со),

(3)

совпадающее с тем, которое принимает формула для диаграммы направ-
ленности равномерной линейной решетки в случае N = 2 [см. формулу
(IV.11)].

Другой важный частный случай имеет место при активном возбуж-
дении лишь одного из вибраторов. Второй вибратор при этом является
пассивным. Амплитуда1 и фаза тока' в этом вибраторе не могут быть про-
извольными, поскольку комплексные амплитуды токов в обоих вибрато-
рах должны удовлетворять уравнениям (V.12), принимающим в рассмат-
риваемом случае вид:

Л ^11 + Л-^12 = ^15

(4)
Л -^12 + Л^аа — О*
Из SToporo уравнения найдем:

Л = Z12 = R^ + ХЪ

Jt Z22 * /^ + ^2

АД , Z22

tp = к + arctg — ---arctg—— -

#12 /?22

(5a>

(56)

Таким образом, p,tp однозначно определяются параметрами R\i,.
Z12, /?22, Z22. Меняя один из них, можно регулировать величину амплиту-
ды и фазы, т. е. Р и ® в пассивном вибраторе. Величины RM, Х22 опре-
деляются самим пассивным вибратором, а величины R{2, Х12 — зависят
как от самих вибраторов, так и от их взаимного расположения.

Практически, не нарушая общей конфигурации системы, можно лег-
ко менять только величину Х22. Так, например, для этого достаточно
включить в центре пассивного вибратора переменное реактивное сопро-
тивление, например, в' виде короткозамкнутого отрезка линии (шлейфа).

Можно' также менять длину пассивного вибратора. Очевидно, не-
большие изменения длины пассивного вибратора не будут заметно ска-
зываться на величинах R22 и Z|2, В1 то время как собственное реактивное
сопротивление Х22 будет при этом резко меняться (это легко проследить
на примере полуволнового вибратора). Такой прием часто применяется
для регулировки амплитуды и фазы в пассивных вибраторах. Если ис-
пользовать этот прием, То' окажется, что, меняя Х22, можно получать лю-
бой сдвиг фаз ср, но при этом получим вполне определенное значение
для относительной амплитуды тока, даваемое формулой (5а). Подстав-
ляя в формулу (2) выражения для р и <₽ из соотношений (5а) и (56),
найдем для диаграммы направленности системы из активного' и пассив-
ного вибраторов (без учета направленности одиночного вибратора) сле-

дующее выражение:

Ф2(0) =

1 / + А2

| I I/ 12_______________12 gi (<р — kd cos 0)

Г R222 + *22

(6)

В направлении от активного вибратора к пассивному 0 = 0, в об-
ратном направлении 0 = - . На рис. 6.2 и 6.3 приведен ряд диаграмм
направленности (по полю) для систем из двух активных или одного
активного и одного' пассивного вибраторов. Диаграммы рассчитывались
по формулам (3) и (6). Эти диаграммы соответствуют различным kd,
причем, в случае двух активных вибраторов, параметром является, кроме
того, сдв'иг фазы <р, а в случае одного активного и одного пассивного —
величина -. Для оценки величины коэффициента направленного

R22

действия системы двух вибраторов на всех диаграммах начерчена окруж-
ность, соответствующая диаграмме одиночного вибратора в плоскости,
перпендикулярной оси вибратора. Максимумы всех диаграмм нормиро-
ваны так, что они соответствуют одинаковым излучаемым мощностям,
т. е. характеризуют к. н. д. антенны. Проанализируем эти диаграммы.
Верхний ряд диаграмм на рис. 6.2 соответствует двум синфазным виб-
раторам. Из этих диаграмм видны основные закономерности, указанные
в гл. IV: главный максимум диаграмм направленности ориентирован

перпендикулярно' оси решетки; при —- < 0,5 диаграмма не имеет боко- ,
Рис. 6.2. Диаграммы направленности (по полю) системы из двух активных вибраторов.

Рис. 6.3. Диаграммы направленности (по полю) системы из одного активного и одного пассивного
вибраторов.
вых лепестков, причем лишь при — = 0,5 в диаграмме появляется пер-
X

ный нуль (соответствующий 0 —0,ге). С увеличением — появивший-
X

ся боковой лепесток увеличивается и при — = I достигает уровня
X

основного. На рис. 6.4 приведены кривые изменения к. н. д. (по полю, в
направлении максимального излучения) для системы из двух активных
. d <

вибраторов при разных — и <р (к. н. д. отнесен к полуволновому вибрато-
X

ру). Как видно из рисунка, при ср =0 максимальный к. н. д. соответствует

— = 0,625. При дальнейшем увеличении —, несмотря на сужение глав-

ного лепестка диаграммы направ-
ленности, увеличение уровня боко-
вых лепестков приводит к снижению
к. н. д. системы. Отметим, кстати,
что при большем числе излучателей
в антенне уровень боковых лепестков
понизится, благодаря чему величину
ri _ .

—— можно увеличить до 0,9 (см.

рис. 4.14,5). Это относится к системе
вибраторов, перпендикулярных оси
антенны; если вибраторы параллель-
ны оси антенны, то, благодаря
влиянию собственной диаграммы из-
ri

лучателя, величину — можно дове-

рие. 6.4. К. н. д. (по полю) системы из сти ДО 1 Даже И ДЛЯ двух вибраторов
двух активных вибраторов в зависи- (см. рис. 4.14,d).

мости от угла сдвига фаз токов <р при Диаграммы направленности двух
разных — - несинфазных вибраторов значитель-

X но отличны от рассмотренных выше

диаграмм синфазных вибраторов'.

При увеличении величины ср главный лепесток деформируется, на-
клоняясь в сторону оси антенны, и при ср = kd оказывается точно ориен-
тированным вдоль оси антенны (см. рис. ;6.2). При ср Ф 0 боковые лепе-
стки в диаграмме направленности появляются при меньших kd, чем при

К 3 It

синфазном случае, например (см. рис. 6.2), если <р = —, то при kd >—,
4 4

к , . ге Зге

если ср = —, то при kd > —; если ,

то уже при kd > .

Как нетрудно убедиться, это находится в соответствии с общей
формулой (IV.23a), которая в случае двух вибраторов принимает вид
| ср + kd | > re . Если kd значительно превышает ге — ср, то диаграмма на-
правленности системы двух вибраторов приобретает причудливый много-
лепестковый характер.

Из приведенных на рисунке диаграмм видно, что, подбирая соответ-
ствующим образом фазу во втором вибраторе, можно свести к нулю ин-
тенсивность излучения в сторону последнего, который при этом как бы
играет роль зеркала, причем — активного (т. е. возбуждаемого' незави-
симо от первого вибратора). Изменение к. н. д. системы двух вибраторов
при различных фазовых соотношениях показано «а рис. 6.4.

Диаграммы направленности систем двух излучателей, приведенные
на рис. 6.2, можно также использовать и дли оценки влияния земли на
диаграммы вертикальных и горизонтальных (относительно земли) виб-
раторов, если только земля может быть заменена идеально проводящей
плоскостью. Действительно, действие земли можно учесть при этом, при-
меняя принцип зеркальных изображений и рассматривая вместо реаль-
ной системы вибратор над землей, систему, состоящую из двух вибра-

торов — реального вибратора и его зеркального отображения в плоско-
сти земли. Для определения поля в реально интересующей нас части
пространства z > 0 (рис. 6.5) необходимо поступить следующим обра-
зам: а) изменить направления токов в реальных вибраторах на обратные;
б) зеркально! отобразить все вибраторы относительно' поверхности метал-
ла (плоскость z = 0), отображая как их геометрию, так и сами токи;
в) отбросить металлическую поверхность и найти поле вибраторов и их
отображений в области z > 0. На рис. 6.6 показано (Построение зеркаль-
ных отображений для вертикального' и горизонтального Вибраторов. Оче-
видно, поле вертикального вибратора, расположенного над землей на вы-
соте h, эквивалентно полю двух синфазных (вибраторов, находящихся на
расстоянии 2/г. Если же вибратор расположен горизонтально над землей,
то следует рассматривать поле двух противофазных вибраторов (т. е. со
сдвигом фазы, равным л). Полагая в' формуле (2) d = 2h, = 1 и

о=0 или <р = к, получим следующие выражения для множителей, учи-
тывающих влияние земли (рассматриваемой как идеально проводящая
металлическая плоскость) на диаграммы направленности в вертикальной
плоскости вертикального (^(в)) и горизонтального ( ’Г“(€) ) вибрато-
ров:

(0)=4cos2(£/tcos0), (7а)

Ф=(0) = 4 sin2 (khcos 0). (76)

Здесь угол <0 отсчитывается от оси z, перпендикулярной плоскости
земли. Верхний ряд диаграмм на рис. 6.2 (случай = 0) относится
к вертикальному вибратору, нижний ряд (случай £ — л) — к горизон-
тальному вибратору над землей.

При этом плоскость земли совпадает с вертикальной осью симмет-
рии диаграмм, изображенных на рисунках, а высота вибратора над зем-
лей h = — . Как видно из этих рисунков, для вертикального вибратора
2
.характерно наличие максимума излучения вдоль земли (0 = —). При
поднятии вибратора над землей этот максимум сохраняется, ню появля-
ются новые, ориентированные под меньшими углами (при h =_____<0,5

02 max — 0). Для горизонтального вибратора вдоль идеальной проводя-

щей земли всегда будет нуль излучения- При небольших — главный

ал &

максимум ориентирован в направлении 0=0, с увеличением — диа-
X

грамма направленности раздваивается на два лепестка, максимумы ко-
торых наклоняются к земле и тем больше, чем больше — . Если h —
= -^- > 0,5 к, то в направлении 9 = 0 появляется новый максимум и
т. д. Для получения полной диаграммы направленности вибратора над
землей следует учесть, что (0) или Ф=(0) должны быть умножены на
собственную диаграмму направленности вибратора в вертикальной пло-
скости. Выражение (7) применимо для учета влияния земли и для аптеки,
состоящих из нескольких вертикальных или горизонтальных вибраторов.
При этом величина h. должна соответствовать высоте над землей центра
антенной системы, а при вычислении полной диаграммы направленности
выражения (7а) и (76) необходимо умножить на соответствующие диа-
граммы направленности всей антенны.

Следует отметить, что замена земли идеально проводящей плоско-
стью допустима лишь на сравнительно длинных волнах. Уже на метро-
вых и более копотких волнах правильнее заменять землю идеальным
диэлектриком. При этом .величина коэффициента отражения близка к
(—1) как для вертикального, так и для горизонтального вибраторов
лишь при углах падения, близких к 90°, т. е. при скользящем падении.

Влияние земли в этом случае характеризуется множителем:

Ф (0) = 4 sin2 (kh Cos 0), (8а)

который легко получить из формулы (2), полагая в ней ср = 0, d = 2fi и
"р = —1. При углах падения, заметно отличающихся от 90°, коэффициент
отражения от земли изменяется; ход изменения коэффициента отражения
зависит ют диэлектрической постоянной почвы, поляризации волны и угла
падения.

Полагая, что для сферических волн справедливы те же законы отра-
жения от плоской земли, что и для плоских волн, учтем влияние земли при
помощи множителя

Ф (0) = 1 + f2 + 2/cos (2kh cos 0), (86)

где f = /(0) — коэффициент отражения, который подсчитывается по из-
вестным формулам Френеля. Для случая горизонтальной поляризации с
уменьшением угла падения коэффициент отражения падает по абсолют-
ной величине и тем сильнее, чем меньше в почвы, обращаясь в нуль при
0, близком к нулю, и г, близком к 1. В случае вертикальной поляриза-
ции коэффициент отражения обращается в нуль при угле 0О = arctg V г.
Цля углов 0 <(0о,/ > О.
Если в земле имеются потери, то диаграмма направленности изме-
няется, но, вообще говоря, незначительно’: несколько падают максимумы,,
а минимумы диаграммы становятся отличными от нуля.

Перейдем к рассмотрению диаграмм направленности системы, пред-
ставляющей собой активный и пассивный вибраторы, расположенные на
расстоянии d друг от друга. Из рис. 6.3 следует, что пассивный вибратор
также может служить зеркалом (так называемое «пассивное зеркало»),
ослабляя излучение в сторону пассивного вибратора. Такое действие пас-
сивного вибратора имеет место при различных расстояниях d между виб-
раторами и, соответственно, различной настройке пассивного1 вибратора.
Однако наилучшие результаты, т. е. большое излучение вперед и малое
назад, имеют место, как это- видно из рис. 6.3, при —= 0,15 ч- 0,25 и
к

arc tg ^22- + 22 45°. Последнее соответствует индуктивной собст-

венной реактивности пассивного вибратора (если настройка пассивного1

Рис. 6.7. К. н. д. (по полю) системы из
активного и пассивного вибраторов при
d
оптимальных (для данного —) настрой-
Л.

ках пассивного вибратора.

Рис. 6.8. Кривые Х22 пассивного вибра-

тора, соответствующие оптимальному
директорному (а) и рефлекторному ((J)
d
действию, при данных —— .
Л.

вибратора осуществляется путем изменения его длины, то вибратор дол-
жен быть несколько длиннее —). Сравнивая диаграммы направленно-

сти, получаемые с активным и пассивным вибраторами в качестве зеркал
(рис. 6.2 и 6.3), видим, что' при активном «зеркале» получаются луч-
шие результаты, нежели при пассивном. Это и понятно: в последнем слу-
чае не удается подобрать оптимальные р и <р, поскольку при настройке
пассивного вибратора мы изменяем лишь один параметр Х22.

Из диаграмм направленности, приведенных на рис. 6.3, следует, что
при подобранной соответствующим образом настройке пассивный виб-
ратор может выполнять роль не только зеркала, но и роль так называе-
мого «директора», направляя энергию в противоположную, по сравнению
с первым случаем, сторону —'от активного вибратора к пассивному. Для
этого, как видно из рис. 6.3, пассивный вибратор при -у- — 0,15 должен

быть емкостным, т. е. (при настройке изменением длины) значительно
короче — (напомним, что тонкий полуволновый вибратор имеет индук-
тивное реактивное сопротивление, равное1 42 омам). Очевидно, что и ак-
тивный вибратор может использоваться в качестве директора. Соответ-
ствующие диаграммы могут быть получены простым поворотом рис. 6.2
на 180°. Действительно, этот рисунок соответствует интервалу углов
от 0 до 180°, а для директорного действия должно быть 0 > <р > — 180°.
На рис. 6.7 и 6.8 приведены два полезных графика. Один из них
(рис. 6.7) показывает, насколько можно с помощью перестраиваемого
пассивного' вибратора увеличить интенсивность излучения в направле-
нии пассивного вибратора (директора) или в обратном направлении
(случай рефлектора). На рисунке приведены кривые отношения величин
сигналов, создаваемых рассматриваемой системой и одиночным вибра-
тором при одинаковых полных излучаемых мощностях. Как следует из
рисунка, оптимальное—в обоих случаях почти одинаково (0,15 : 0,18).

Коэффициент направленного действия равен 1,85-:- 1,9 (по полю). На
рис. 6.8 приведены кривые собственного реактивного сопротивления
пассивного вибратора (Л22), соответствующие оптимальным его настрой-
кам при разных — . Из этих кривых видно, что при — < 0,25 рефлек-
к к

торным действием обладают только индуктивные вибраторы, причем с
уменьшением — величина требуемого индуктивного Л22 увеличивается.

Емкостные вибраторы обеспечивают оптимальное директорное действие

лишь при — > 0,1; при меньших — оптимальный директор должен быть
к к

индуктивным; однако директорное действие при 0,1 резко падает

и применение индуктивных директоров нерационально. Как директорное,
так и рефлекторное действие пассивного вибратора заметно падают при
— > 0,25. Это явление вполне естественно; оно связано с ослаблением
к

амплитуды тока в пассивном вибраторе, возбуждаемом активным* при
увеличении расстояния между ними.

Укажем еще на один способ, применяемый для обеспечения одно-
направленного излучения. Как следует из сказанного выше, для этой це-
ли можно использовать металлические экраны, параллельно которым
размещаются вибраторы антенны. Если бы размеры экрана были беско-
нечно велики, то его действие было бы эквивалентно влиянию идеально
проводящей земли на диаграммы горизонтальных вибраторов (см. вы-
ше), т. е. экран полностью устранял бы излучение в сторону от антенны
к экрану, а в противоположном направлении его действие описывалось
бы множителем (76). Практически экран не может быть бесконечным;
его размеры выбирают несколько превышающими размеры антенной си-
стемы, так чтобы его экранирующее действие было достаточно велико.
Формула (76) при этом дает достаточную точность.

Как следует из (7б) и рис. 6.2, расстояние от центра антенны
до экрана можно менять в широких пределах (от малых величин до
— = 0,625). Экран обладает рядом преимуществ перед активными и

139

s
пассивными вибраторами — «зеркалами»; он возбуждается излучением
•антенны (как пассивное зеркало), но в то же время не требует никакой
настройки, следовательно, апериодичен и хорошо работает в широком
диапазоне. Поэтому зеркала-экраны широко применяются на волнах ко-
роче метра, где размеры экрана приемлемы по конструктивным сообра-
жениям.

§ 2. МНОГОЭТАЖНАЯ СИНФАЗНАЯ АНТЕННА

Многоэтажная синфазная антенна представляет собой однонаправ-
ленную систему с игольчатой диаграммой направленности. Игольчатбстъ
диаграммы направленности обеспечивается в этой антенне путем приме-
нения двумерной решетки вибраторов (полотна вибраторов), называе-
мой собственно антенной. При синфазном возбуждении вибраторов ре-
шетки максимум диаграммы направлен перпендикулярно плоскости по-
лотна антенны. Однонаправленность диаграммы обеспечивается тем или
иным из описанных в § 1 способов:

1) металлическим экраном, сплошным или сетчатым;

* ).

2) активным зеркалом, размещаемым обычно1 на расстоянии — от

4
антенны и возбуждаемым с упреждением по фазе 90°;

3) пассивным зеркалом, располагаемым обычно на расстоянии 0,2 X
•от антенны.

Активное и пассивное зеркала выполняются полностью идентично
•собственно' антенне и подвешиваются параллельно полотну антенны. Если
зеркало активное, то фидеры, возбуждающие антенну и зеркало, под-
ключаются к генератору через переходное трансформаторное устройство.
В случае же пассивного зеркала его фидерные линии заканчиваются
шлейфами для настройки.

Многоэтажные антенны применяются для различных целей. В част-
ности, такие антенные системы широко применялись в радиолокацион-
ных станциях дальнего обнаружения в диапазоне волн 50 см — 5 м во
время второй мировой войны. Такая антенна представляет собой систему
синфазнонпитаемых полуволновых вибраторов (обычно горизонтальных),
расположенных рядами в несколько этажей на расстояниях, равных по-
луволне, друг от друга (как по горизонтали, так и по вертикали).

Как правило, при этом зеркалом антенны служит рама с натянутой
на ней достаточно густой металлической сеткой. Вибраторы антенны
крепятся к этой раме с помощью четвертьволновых металлических изо-
ляторов.

Антенны устанавливаются либо1 на специальных передвижных
платформах на высоте порядка 2—3 м над землей, либо на мачтах в слу-
чае стационарных установок (рис. 6.9 и 6.10).

Антенна разбивается на несколько вертикальных секций, каждая из
которых питается двухпроводной линией. Вибраторы подключаются с
обеих сторон к линии, причем для обеспечения синфазности возбужде-
ния концы вибраторов приходится перекрещивать (см. рис. 6.11).

Концы всех линий, возбуждающих отдельные вертикальные секции
антенны, сводятся вместе в общую фидерную линию, причем для обеспе-
чения синфазности возбуждения соединительные отрезки линий должны
быть либо равны, либо' отличаться на целое число полуволн (и перекре-
щиваться, в случае необходимости).

Отметим, что вибраторы подключаются к фидерной линии в пучно-
сти напряжения, а не в пучности тока. Это целесообразно1 с точки зрения
облегчения согласования антенны с фидером. Действительно; поскольку
расстояние между местами подключения вибраторов кратно* полуволне,
входные сопротивления вибраторов пересчитываются к точке первого*
разветвления фидерной линии без изменения величины. Так как при этом
все нагрузки оказываются включенными параллельно, то полная прово-

Рис. 6.9. Антенная система радиолокационной
станции SCR-627.

Рис. 6.10. Антенная система
станции SCR-27O.

Рис. 6.11. Схема питания вертикальной секции (а) и соеди-
нения вертикальных секций между, собой (б) в синфазной
многовибраторной антенне.

димость нагрузки фидерной линии будет равна сумме полных проводи-
мостей отдельных вибраторов, отнесенных к клеммам последних. Для то-
го, чтобы при этом сопротивление нагрузки не было очень мало, целе-
сообразно иметь входное сопротивление отдельного вибратора как мож-
но большим, чтО1 и достигается выбором точки возбуждения в пучности
напряжения.' Серьезным недостатком описанной многовибраторной син-
фазной антенны является ее узкополосность. Последняя обусловлена
рядом факторов:

а) Антенна возбуждается так, что расстояние вдоль питающего' фи-
дера от точки подключения генератора до различных вибраторов неоди-
наково. Благодаря этому синфазность возбуждения вибраторов при из-
менении длины волны резко нарушается.

б) Применяемые в антенне вибраторы также сравнительно узкопо-
лосны. Их сопротивление изменяется с частотой, что нарушает -согласо-
вание антенны с фидером.

Благодаря этому, такая антенна
может применяться лишь в узком
диапазоне. Широкополосность син-
фазной многовибр1аторной антенны
может быть значительно' увеличена
за счет изменения схемы фидерной
линии так, чтобы пути тока от генера-
тора до каждого из вибраторов ста-
ли одинаковыми. Благодаря этому
все вибраторы антенны возбуждают-

Рис. 6.12. Широкодиапазонная схема
синфазного возбуждения вибраторов
антенны.

ся синфазно, независимо от рабочей волны (рис. 6.12) (эта схема пита-
ния предложена в 1933 г. Хайкиным и Надененко*). Сами вибраторы
можно выполнять в виде толстых цилиндров, диаметры которых соизме-
римы с длиной волны (D ~ С-—н —к ). Такой вибратор имеет значи-

ло. 10/

телыно слабее изменяющееся, в диапазоне волн, собственное сопротив-
ление. Применение толстых вибраторов следует сочетать с подбором вол-
новых сопротивлений у отдельных участков фидерной линии (в1 соответ-
ствии с нагрузками). Такие антенны также широко' использовались в ра-
диолокационных станциях, главным образом, в самолетных. В част-
ности, в английской станции ASV решетка вибраторов крепилась непос-
редственно- на борту самолета, причем в качестве экрана служила сама
металлическая обшивка самолета.

Обычно- на волнах метрового и дециметрового диапазонов' -мощность
от передатчика к антенне канализируется при -помощи коаксиального ка-
беля.

При этом для обеспечения симметрии- возбуждения вибраторов ан-
тенны применяют -специальные симметрирующие устройства для перехо-
да от кабеля к двухпроводной линии. Простейшее устройство такого ти-
па (так называемое «U-колено») описывается ниже.

Перейдем к изложению методики расчета синфазных многоэтажных
антенн. Наибольший интерес при этом будет для нас п-редставлять слу-
чай антенны с зеркалом в виде металлического экрана. Если не учиты-
вать -влияние краев экрана и считать его бесконечным (для чего доста-
точно, чтобы края экрана выходили за пределы собственно антенны на
величину порядка 1—2 л), то действие экрана можно заменить действи-
ем зеркальных изображений вибраторов -с противоположно направлен-
ными токами. При вычислении мощности и сопротивления излучения
необходимо учесть при этом, что энергия фактически -излучается лишь в
переднее полупространство.

Поэтому при расчете мы будем заменять антенну с металлическим

* С. Э. Хайкнн и С. Н. Надененко. «Техника связи», 1933 г., № 6.
экраном системой из двух полотен вибраторов, из которых переднее по-
лотно представляет собой собственно антенну, а заднее — эквивалентно
металлическому экрану.

Таким образом, расчет синфазной антенны с металлическим экра-
ном сводится, как и в случае антенны с активным и пассивным зеркала-
ми, к рассмотрению двух параллельных полотен вибраторов. В дальней-
шем мы проведем расчет таким образом, чтобы охватить все три воз-
можных способа создания однонаправленного излучения при помощи
синфазных многовибраторных антенн, т. е. случаи активного и пассивно-
го зеркал и металлического экрана. Будем считать, что токи во всех виб-
раторах собственно антенны и во всех вибраторах зеркала равны между
собой, т. е.

Л4 = Л1 при 6=1,2,. ..,N (9а)

—ПРИ k — N+ 1,. .. ,2N. (96)

Здесь вибраторы перенумерованы таким образом, что вибраторам
собственно антенны соответствуют индексы от 1 до N, а вибраторам зер-
кала — индексы от N + 1 до 2 N.

Условия (9) означают, что мы пренебрегаем ослаблением токов в
крайних вибраторах из-за омических потерь в фидерной линии (питание
вибраторов по первому способу), а также неодинаковостью наведенных
сопротивлений вследствие различного расположения вибраторов относи-
тельно центра антенны.

Введем обозначения:

= 6 = W-f-l,,..22V, (10)

где р и ср — произвольные числа.

В случае активного зеркала в формуле (10) необходимо положить
р—1, и = , d= ~ • В случае зеркала в виде металлического экра-

на, при любом d, 8 = 1. ср -- тс. Если же зеркало пассивное, то величи-
ны р и <р определяются из условий оптимальной настройки зеркала.

Для произвольных 3 и <р диаграммы направленности антенны в
главных вертикальной и горизонтальной плоскостях будут выражаться
формулами:

cos(ir sin®roP

. / Ик . „
sin I — sin 0rop

cos 0rop

ft sin (— sin 0rop

•[1 + P2 +

+ 2p cos [kd sin 0rop — co)];

(Ila)

^верт(®верт)

sin I • sin 0BepT
sin (6/zsin0BepT) • ------

m sin

к .

— sin «.

•[l+₽2 +

-j-2p cos sin 0верт — cp)]. (116)

Здесь ri — число вибраторов в' этаже, т — число этажей в антенне, h —
высота геометрического центра антенны над землей, 0гор и 0верт — уг-
лы в горизонтальной и вертикальной плоскостях, отсчитываемые от пер-
пендикуляра между антенной и зеркалом.

Формулы (11) получены при помощи теоремы умножения диаграмм
направленности решеток. Формула (На) Для диаграммы направленно-
сти горизонтальной плоскости получена в результате следующих элемен-
тарных рассуждений.

Так как число этажей не влияет на форму этой диаграммы, то до-
статочно найти диаграмму направленности одного1 этажа и умножить ее

на коэффициент 2, учитывающий влияние зеркала. Диапрамма одного

этажа представляет собой диаграмму направленности полуволнового' ви-
братора [см. формулу (Ш.42)], умноженную на диаграмму направленно-

сти линейной решетки синфазных ненаправленных излучателей, распо-

ложенных на расстоянии — друг от друга [см.

формулу (IV.11)]. При

этом мы не учитываем влияние земли, так как она практически не меняет
формы диаграммы направленности в горизонтальной плоскости, а только
подымает на несколько градусов от земли направление главного макси-
мума.

Рис. 6.13. Диаграмма направленности синфазной
антенны в горизонтальной плоскости (число вибра-
торов в ряду равно 8).

Рис. 6.14. Диаграмма направ-
ленности синфазной антенны
в вертикальной плоскости.

Таким же способом получена формула (116) для диаграммы направ-
ленности в вертикальной плоскости. Она, как легко! видеть, равна произ-
ведению диаграммы направленности одного' вертикального' ряда вибра-
торов на множители, учитывающие влияние зеркала и земли [см. форму-
лы (2) и (76)].

Диаграмма направленности вертикального ряда просто равна диа-
грамме направленности линейной решетки из ненаправленных синфазных
излучателей, расположенных через полволны друг от друга, так как диа-
грамма направленности каждого1 вибратора в этой плоскости является
кругом.

Типичные диаграммы направленности такой антенны в горизонталь-
ной и вертикальной плоскостях изображены на рис. 6.13 и 6.14. Диаграм-
ма в горизонтальной плоскости имеет вид узкого1 главного лепестка и не-
больших боковых лепестков. Задний лепесток практически отсутствует
(благодаря тщательной настройке зеркала). Ширину главного1 лепестка
диаграммы направленности и уровень первых боковых лепестков при до-
статочно1 большой антенне можно определить по формулам (IV.39), при-
годным, строго говоря, для линейных решеток ненаправленных излуча-
телей. Однако ошибка будет невелика, ибо .для диаграммы в горизон-
тальной плоскости основную роль играет второй множитель в формуле
(На), так как множители, учитывающие влияние зеркала и отдельного
вибратора, практически постоянны в пределах главного лепестка. Для
диаграммы направленности в вертикальной плоскости (рис. 6.15) харак-

терно отклонение главного максимума от перпендикуляра к плоскости
решетки (т. е. от направления вдоль земли). Так как при расчете диа-

граммы направленности в вертикальной плоско-
сти оба первых множителя в формуле (116)
равноправны, то для приближенного ее построе-
ния целесообразно сначала определить нули
обоих множителей. Направления максимумов
расположены примерно посередине между на-
правлениями соседних нулей. При этом, благо-
даря влиянию земли, первый нуль диаграммы
будет направлен вдоль земли.

Прежде чем перейти к расчету различных
вариантов синфазных многовибраторных ан-
тенн, приведем некоторые формулы, которые
понадобятся для этих расчетов.

Комплексную мощность излучения антен-
ны запишем в виде [см. формулу (V.21)]:

+ IFW (12а)

2 2

i = 1

где ITTA) — мощность, излучаемая собственно антенной (т. е. отдавае-
мая генератором, включенным в антенну), a W£> — мощность, излучае-
мая зеркалом (т. е. отдаваемая генератором, включенным в зеркало, если
такой имеется).

Подставляя в выражения (126) значение Uf из формулы (V.12),
получим:

N 2N

^*'= yS

;=1А = 1 (13)

S '£tJS,juza.

i = N + 1 k = 1

Вынося в первой из формул (13) за знак суммы величину | JOl |2. а во
второй — | /о, jv+i |2, приведем их к виду:

, И

Ц7<>>=Н_|/0Л,1рг<?>, I
I

(14)
где

ДА) =

2,V 2N

S S ^jOk

i=N+ 1 k= 1 | A, ^+l I2

(15)

Величины Z^h Z1^ естественно трактовать как комплексные сопро-
тивления излучения собственно1 антенны ( ) и зеркала ( Z^> ), от-

несенные к токам Joi и Jq,n + I соответственно. Законность такой трактов-

ки вытекает из того, что они связаны с соответствующими мощностями
обычными соотношениями (14).

Отметим связь между введенными таким образом сопротивлениями
излучения (15) и сопротивлениями излучения отдельных вибраторов в
системе [см. формулу (V.23)]. Сравнивая формулы (V.23) и (15), полу-

чим следующие соотношения:

(16)

2,V

Как видно из формулы (16), сопротивление излучения антенны (зер-
кала) представляет собой сумму сопротивлений излучения вибраторов
антенны (зеркала), пересчитанных к токам Joi (An + i)- Приведем фор-
мулы (15) и (16) к более простому виду, использовав связь между то-
ками в вибраторах, задаваемую формулами (10) и (11).

При этом получим:

N N N 2N

ДА’ = SSZit + ₽ е* S S Д.; I

i=l k- 1 i = 1 k=A + 1

(15a)
2N N IN IN v '

V z,„

/ = ЛГ+1.£_1 i = A 4-1 k — N + 1 J

ИЛИ

^A)=S^;^=S (i6a)

1=1 l = JV + l

Целесообразно ввести следующие обозначения:

NN 2N 2N \

^a = S S^v 'S I

i = l» = r j = A 4-Г ft = A+l

N 2N 2N N (17)

Za3 = X S' fy, = S S zik.
Вследствие соотношений взаимности (V.38), справедливых, посколь-
ку мы рассматриваем вибраторы с вещественными законами распреде-
ления тока, имеет место равенство Za3 ~ Z3\ Величины ZA и Z3 мо-
жно назвать собственными сопротивлениями антенны и зеркала, соответ-
ственно, a ZA3 —- Z3a — взаимными сопротивлениями антенны и зер-
кала. Используя обозначения (17), придадим формулам (15а) простой
вид:

Z^ = ZA + ₽ е* Ze,3;

1 (18)

Z<A> = ye-^ZA3+Z3.

Отметим, что при этом вещественные и мнимые части введенных со-
противлений снабжаются аналогичными индексами, т. е.

Za=/?a + zZa; I

ZO) =7?<A)-4-zZ(.A) J u '

и т. д.

В заключение необходимо лишний раз подчеркнуть, что введенное
выше сопротивление Z*.A’ (или Z£> ) представляет собой полное
комплексное сопротивление антенны (зеркала) в системе антенна --
зеркало, отнесенное к току AMo.zv+i). Что же касается сопротивления
Za (или Z3 ), то оно представляет 'Собой полное сопротивление уединен-
ной антенны (или зеркала), в отсутствии зеркала (антенны).

Полученные общие формулы (18) мы в дальнейшем используем при
изучении антенн с активными и пассивными зеркалами. При этом вели-
чины ° и <р будут определяться в зависимости от режима работы си-
стемы и ее настройки. Что1 же касается сопротивлений ZA,Z3 и ZA3 , то
они зависят только от размеров и геометрической конфигурации системы
и могут быть определены, по данным выше формулам, вне зависимости
от (з и Ф.

Перейдем к расчету других параметров синфазной антенны.

1. Синфазная антенна с активным зеркалом

При расчете сопротивлений антенны мы будем пренебрегать влия-
нием земли, так как для антенн, вибраторы которых расположены над
землей на расстоянии в несколько длин волн, это влияние ничтожно. По-
следнее как раз справедливо для антенн радиолокационных станций мет-
рового и дециметрового диапазонов, которые представляют для нас наи-
больший интерес.

Найдем мощность, излучаемую антенной с активным зеркалом. Так

как в этом случае токи в зеркале упреждают токи в антенне на угол

и равны ему по амплитуде, то в формулах (18) необходимо положить

тс

Р = 1, ф = — . При этом мы найдем:

Z(.A) — ZA + z ZA3, >
Z(3) = Z3 — z ZA3. f

(20)
Активная мощность излучения, равная вещественной части комплекс-
ной мощности, будет, в соответствии с формулами (14) и (20), выра-
жаться соотношениями:

^А)=У|Л1|2(/?а~Лаз );

р*=4-1 уо112 (^а 4 >•
2 )

Учитывая последнюю формулу, можно в данном случае ввести пол-
ное активное сопротивление излучения антенны с активным зеркалом:

Ri = /?а + Rs •

(22)

Из выражения (21) следует, что

Р<А) Pl Р4 ! _ Рэ + *Аз j /?А + Rs । _ Ra — Адз | (23)
Если антенна Pi и зеркало Ra + Rs j конструктивно идентичны, то ZA — Z3 и
формулы (21) и (23) примут Н<А) = Р(^ — вид: JL V 2 \ Ra / — Pl fl + —-Л ; (24 У
Р 2 Ra / s = 1Л,12/?а.

Очевидно, что /Э[Л) ф . Так как обычно Лд3 <[0. То' Р(^ [> Р^ .
Практически Р<.А) ==; 0,8 Pi , Р'/!^ 0,2Рх . Найдем входное сопротив-
ление антенны, т. е. нагрузку, которую она представляет по от-
ношению к питающему фидеру. Для этого надо сначала определить
входное сопротивление вибраторов антенны. Как было показано выше
[гл. V, формула (V.23tz)J, входное сопротивление вибратора равно его со-
противлению излучения, пересчитанному к точке возбуждения вибратора
(к месту включения возбуждающей э. д- с.). Вибраторы рассматривае-
мой антенны возбуждаются в пучности напряжения, тогда как имеющие-
ся таблицы собственных и наведенных сопротивлений вибраторов со-
ставлены для величин сопротивлений,отнесенных к пучности тока. Не со-
ставляет, однако, никакого труда пересчитать сопротивление излучения
из пучности тока в пучность напряжения. Приближенно это можно, сде-
лать, применяя к вибратору теорию длинных линий и рассматривая виб-
ратор как линию с волновым сопротивлением рвиб . Так как расстояние
между пучностями тока и напряжения равно, четверти волны, то, соглас-
но теории длинных линий,

z„,.....p) = pU. (25)
Величину рвиб можно найти, исходя из определения волнового со-
противления, как входного сопротивления на клеммах провода с бегущей
волной тока *. На основании такого расчета В. Н. Кессених предложил
приближенную формулу:

Рвиб = 120 f In — с], (26)

\ па /

с = 0,577 — постоянная Эйлера, а — радиус провода. Сопротивление
излучения /с-того вибратора антенны, отнесенное к пучности тока, равно,
согласно формуле (V.23) :

(27)
‘'Ofc

i — 1

Величины ZM в формуле (27) можно находить по таблицам наве-
денных сопротивлений (см. выше, гл. V, § 2). Пересчитанное к пучности
напряжения сопротивление излучения, согласно формуле (25), будет
равно:

р2 ,

ZW = (28)

Z-k
или проводимость

= (29)

Рвиб

Так как расстояния от точек включения вибраторов а—а (см.
рис. 6.9) до клемм антенны б—б, измеряемые вдоль соединительного
фидера, кратны полуволне, то все пересчитаются в эту точку без
изменения и просто складываются (так как нагрузки, эквивалентные
вибраторам, включены в линию параллельно).

Таким образом, входная проводимость антенны равна:

ОО)

Рвиб J-1

Используя соотношения (16а), получим для входной проводимости
антенны еще одно выражение:

^А) = Ч~ 4А< (31)

Р виб

Аналогичным образом можно найти и входное сопротивление ак-
тивного зеркала.

В заключение рассчитаем к. н. д. антенны (пренебрегая влиянием
земли). Для этой цели удобно воспользоваться формулой (V.82). К- н. д.
относительно полуволнового вибратора г будет, очевидно, равен:

s = Dk — ^вяб . I Роа. |2 ,3<?)

Овиб Rt I Л) виб I*

* В. Н. Кессених, ДАН СССР, т. 27, № 6, стр. 558, 1940 г.
или, учитывая выражение (22),
g_______________________ Rbh6 I /~*оа |а

^?а+ Rs }^ОвибР

(33)

где 7?виб — активное сопротивление излучения отдельного' вибратора, а
/?а + Rs — активное сопротивление излучения антенной системы.

Величины | Foa |2 и | Fo виб |2 обозначают нормированные соответст-

вующим образом диаграммы направленности по мощности рассматривае-
мой антенной системы и вибратора [см. формулы (V.67) и (V-68)]. Учи-
тывая, что антенна состоит из ряда вибраторов, параллельных, напри-
мер, оси х, причем ось z перпендикулярна плоскости полотна вибрато-
ров’, получим для Рох в направлении 0=0 [согласно рис. 5.8 и 6.1 угол

0 в, формуле (V.68) должен быть

заменен на (-------0

v 2

)] следующее

выражение:

2,V
о*-; s
J01

Ф* (*) ekZkdx

(34)

(так как влиянием земли мы пренебрегаем, то максимуму излучения со-
ответствует 0 = 0). Подставляя в (34) выражения (9) и (10) для амп-
литуд токов и полагая, чтО' все фй(х)—идентичны, получим (для 0 — 0):

Foa = JV(1 + ie~ikd) ^(xjdx.

(35)

При этом учтено, что в плоскости антенны и зеркала 2=0 и z=—dr
соответственно. Для одиночного вибратора, очевидно1,

Ro виб = f Ф1 (*) dx. (36)

Учитывая (35) и (36), найдем:

-ЬЙ* = 2ЛР(1 + sin kd). (37)

I ^"овиб "

Подставляя выражения (37) в (33) и полагая kd = -Д- (случай
активного зеркала), а также /?3 = /?л- найдем:

s _ 22?виб дг2. (38)

Например, в простейшем случае, когда антенная система состоит
всего из двух вибраторов (один играет роль антенны, второй — зерка-
ла), /?А=/?виб и е = 2. Это совпадает с данными рис. 6.4 для
ф = 90° и d = 0,25 ). (на рисунке приведены кривые для величины е ).

При kd 4= — коэффициент направленного действия системы в направ-
4

150

к
лении 0=0 будет меньше, чем при kd = — (следует отметить, что на
4

рис. 6.4 приведены данные для величины ]/ е в направлении макси-
мального излучения, которое может и не совпадать с направлением
(0=0).

2. Синфазная антенна с зеркалом в виде металлического
экрана

Расчет такой антенной системы, если не учитывать влияние краев
экрана и считать его бесконечным, весьма прост.

Действие экрана можно заменить действием зеркальных изображе-
ний вибраторов с противоположно направленными токами и лишь учесть
при вычислении Ps и ZBX, что энергия фактически излучается лишь в
переднее полупространство.

Поэтому рассмотрим систему двух полотен вибраторов, для которых
справедливы условия (9) и (10) при р = 1, <p = it. Подставляя эти
значения ри® в формулы (18), найдем:

Z(A) = ^) = Z Z /39)

При этом мы положили ZA = Z, , поскольку второе полотно вибра-
торов, являясь зеркальным изображением первого', конструктивно ему
идентично.

Входную проводимость антенны найдем по формуле (31), подстав-
ляя в нее значение Z(,A> из формулы (39).

В результате получим:

^ха)=-4- (40)

р .

Г виб

Выражение для к. н. д. антенны найдем в соответствии с формулой
(32), куда вместо следует подставить взятое из формулы (39):

/?ВИ6 |^0аГ ч1)

/?А —/?Аз j/7 0виб|2

Используя формулы (9) и (11), найдем из (34) и (36), что в рас-
сматриваемом случае

IFoaI2 = №11 -e''M|==4№sin’f^A (42)

|FoB„6|2 \'2 7

(при вычислении | До а | по формуле (34) необходимо учитывать вибра-
торы и их зеркальные изображения). При этом формула (41) для е при-
мет вид:

е =-----------4№ sin2 — • (43)

Рд — Раз 2

Для случая одиночного вибратора (М =• 1), расположенного перед
металлическим экраном на расстоянии h = —, kd = ‘Ikh

4 :

Ра — /?виб = 73 ом, РАз = — 13 0X1-
(данные по наведенным сопротивлениям взяты из рис. 6.6) и

е = 4-—= з 39.

73 + 13

(44)

Если бы вместо экрана были реальные' противофазные вибраторы,
то к. н. д. антенной системы был бы в два раза меньше, так как в этом
случае мощность излучения была бы в два раза больше (энергия'излуча-
лась бы в оба полупространства).

Таким образом, к. н. д. двух противофазных вибраторов, располо-
женных на расстоянии а = —, будет равен:

3,39 _ . fiQ(.

а — ——— 1,69b.

(45)

Нетрудно убедиться, что по данным расчетного графика рис. 6.4 при
<р= 180° и —= 0,5 , = 1,3, т. е. г = 1,69, что совпадает с резуль-

татами приведенного расчета.

3. Синфазная антенна с пассивным зеркалом

Несколько сложнее расчет синфазной многовибраторной антенны с
пассивным зеркалом, поскольку в этом случае комплексные амплитуды
токов в вибраторах зеркала неизвестны и подлежат определению из ус-
ловий оптимальной настройки антенны. Считая по-прежнему равными
между собой как токи во всех вибраторах антенны, так и токи во всех
вибраторах зеркала [см- формулу (9)], используем обозначение (10), в
котором величины р и пока неизвестны. Для определения величин
Р и 9 воспользуемся тем, что в случае пассивного- зеркала э. д. с. к нему
непосредственно не подключается и, следовательно, мощность излучения
зеркала 1F[?> равна нулю. Поэтому на основании формулы (14) сопро-
тивление излучения пассивного зеркала равно нулю.

Используя соотношение (18), получим, таким образом, следующее
равенство:

= Z3 + —-—2дз = 0. (46)

Отделяя вещественную и мнимую части, найдем два уравнения для
определения р и <р:

р/?3 -ф cos <р-/?дз + sin<p-A'A3 = 0, (47а)

рЛ), — sin<p-/?A3 + coscp-А'Аз = 0, (476)

разрешая которые, определим S и к

₽3 А\3 - Х3 Каз п .f R2A3+X2~
tg<0=-------------------; В= I/ —48

R3Rb3 + X3Xh3 У ^з2 + /?з2

Сопротивление излучения антенны будет выражаться формулой
[см. формулу (18)]

/?2А)=/?а + Р cos •/?аз — Psincp-A'As • (49)
Реактивная компонента сопротивления излучения антенны [см. фор-
мулу (18)]

Х<.А) = Хь + Р cos ср-ХАз + р sin <р-Т?Аз (50)

в общем случае не равна нулю.

Входная проводимость антенны У*А) попрежнему будет выражать-
ся общей формулой (31):

Г<А> = —-—ZW
ВХ 9 £

Рвиб

Найдем теперь выражение
формулу [см. формулу (32)]

для к. н. д. антенны. Для этого в общую

₽виб | ДрА Р

/?1А) |/%вИб'2

(32а)

достаточно' ввести значение R^ из формулы (49) и значение До а из
формулы (34), в которой токи JOk должны быть выражены через Zoi
согласно соотношениям (11).

При этом в направлении 0=0, соответствующем направлению
главного' максимума (без учета влияния земли),

Доа= S ( ^k(x)elkzkdx -ь S \ ^к(х) eikzkdx. (51)

* = 1 1к k~N + i 'ik

Формула (51) может быть упрощена благодаря тому, что: а) все
ф* — идентичны, б) для полотна антенны координата г = 0, в) для
полотна зеркала z = —d.

Используя все это, найдем:

Доа = N (1 + $е‘те~iAd) \ фх (х) dx (52)

F 0А

Д0 виб

= ЛА । 1 + 8 е1 ~

(53)

Подставляя выражение (53) для ——
[ Д0 виб

R[A) в формулу (32а), получим:

и выражение (49) для

s = —----------------------— № [ 1 + ₽* + 2 0 cos (ср -kd)].

Ra + р cos ср Ra3 — р sin ср ААз

(54)

Целесообразно ввести коэффициент, равный отношению к. н. д ан-
тенн с пассивным и активным зеркалами, определяемый в соответствии
с формулами (38) и (54) выражением

Ra . 1 + + 2? cos (ср - kd)

2 Ra + Р cos ср Ra3 — P sin ср ХАз

(55)

Антенна с пассивным зеркалом может быть рассчитана таким об-
разом, чтобы обеспечить оптимальные характеристики, например макси-
мальный к. н. д. [коэффициент а, формула (55)]. Параметром, регулиро-
ванием которого осуществляется оптимальная настройка антенны, слу-
жит угол сдвига фаз ф между токами в вибраторах антенны и зеркала.
Изменение угла ф осуществляется путем регулирования собственного
реактивного сопротивления пассивного зеркала [см. формулы (17)]'
(настраивая зеркало1 с помощью шлейфа).

Расчет антенны производится следующим образом: сначала с ис-
пользованием графиков наведенных сопротивлений (см., например,
рис. 5.6 и 5.7) находят величины R\, R,. А\з, R*3 [см. формулы
(17)1. После этого по формуле (55) строится кривая зависимости а от ср:
при этом величина р определяется по формуле:

р _ _ cosy-/?A3 + sin ср-Хдз

полученной из уравнения (47а). Из построенной кривой находится опти-
мальное ш , соответствующее максимальному значению коэффициента а.
После этого параметры антенны р и Z[A) можно найти по формулам
(49), (50) и (56). Входная проводимость антенны найдется по форму-
ле (31).

Изложенная методика расчета антенн с пассивными и активными
зеркалами дана впервые проф. В. В. Татариновым.

На рис. 6.15 приведена типичная кривая зависимости а = а (ср), по-
лученная расчетным путем для четырехэтажной антенны, имевшей в
каждом этаже по восемь горизонтальных полуволновых вибраторов с
зеркалом, отстоящим от антенны на расстоянии 0,25 X. Высота подвеса
нижнего этажа составляла 0,5 X®. При расчете этой системы учитыва-
лось влияние земли на сопротивления излучения антенны и зеркала. Как
видно из рисунка, максимальному значению 1,01 соответствует
<р = 102°. При этом оказывается Р = 0,92.

Настройка зеркала производится с помощью шлейфов, причем один
шлейф обслуживает сразу целую группу вибраторов (обычно' — целую
вертикальную секцию). Настройка зеркала осуществляется 'следующим
образом: меняя длину шлейфов настройки зеркала, снимается кривая за-
висимости сигнала антенны в главном направлении от длины шлейфа
(т. е. кривая а = а (Г)) и выбирается такая длина шлейфа, при которой
излучение вперед максимально. Иногда настройка ведется на минимум
излучения назад. Обычно эти настройки почти совпадают.

§ 3. МНОГОВИБРАТОРНЫЕ АНТЕННЫ ТИПА «ВОЛНОВОЙ КАНАЛ»

Наряду с многочисленными достоинствами (к числу которых отно-
сится высокий к. н. д-, малые боковые лепестки и т. п.), многоэтажные
синфазные антенны обладают весьма существенным недостатком, заклю-
чающимся в конструктивной сложности антенны, обусловленной необхо-
димостью подведения питания к каждому вибратору антенны.

Значительно1 более просты многовибраторные антенны бегущей вол-
ны, выполняемые в виде линейной решетки вибраторов, возбуждаемых
кабелем, в котором осуществлен режим бегущей волны (рис. 6П6,п).
Если фазовая скорость в нагруженном таким образом кабеле меньше
или равна скорости света в свободном пространстве, то максимум излу-
чения такой антенны направлен, вдоль оси антенны.

* Кривая заимствована из книги проф. В. В. Татаринова — «Коротковолновые-
направлеиные антенны», Москва, Связьтехиздат, 1933 г.
Однако с помощью таких антенн можно практически создать лишь
сравнительно широкие диаграммы направленности, не уже 15—20 граду-
сов, так как в антеннах с осевым излучением ширина диаграммы на-
правленности слабо убывает с удлинением антенны [как см. фор-
мулы (IV.111)— (IV.116)]. При сужении диаграммы направленности за
счет уменьшения фазовой скорости возбуждающей антенну волны силь-
но возрастают боковые лепестки. Наибольшее распространение получил
вариант выполнения антенны с осевым излучением, в котором лишь один

а) б)

Рис. 6.16. Антенны бегущей волны, выполненные в виде ли-
нейной решетки активных (а) нли пассивных при одном
активном (б) вибраторов.

из вибраторов является активным, а остальные—пассивными (рис. 6.15,61.
Часть этих вибраторов располагается перед активным и предназначена
для формирования остронаправленной диаграммы, т. е. действует как
директоры 6см. § 1)- С этой целью они выполняются несколько короче
— (см. там же). Позади активного вибратора располагается вибратор-
рефлектор, играющий роль пассивного зеркала, устраняющего задний
лепесток диаграммы направленности (см. § 1). Вибратор-рефлектор
должен быть несколько длиннее — . Эти антенны (называемые ан-
теннами типа «волновой канал») конструктивно чрезвычайно' просты, так
как пассивные вибраторы можно' крепить в пучности тока, непосредст-
венно к опорной стреле антенны. Разработаны также конструктивно
весьма удобные активные вибраторы (так называемый «бивибратор», или
шлейф-антенна Пистолькорса); более подробно он описывается ниже,
см. рис. 6.24. Настройка антенны, однако, остается довольно сложной,
ввиду необходимости тщательно подбирать размеры пассивных вибрато-
ров и расстояние между ними, для обеспечения требуемой амплитудно-
фазовой характеристики антенны. Вследствие резонансных свойств вибра-
торов рабочий диапазон таких антенн весьма невелик, составляя всего
несколько' процентов. Антенна «волновой канал» непригодна для созда-
ния диаграмм уже 20—15° не только из-за общей всем антеннам с осе-
вым излучением слабой зависимости ширины диаграммы от длины ан-
тенны, но также и из-за падения интенсивности возбуждения директо-
ров, удаленных от активного' вибратора. Однако, комбинируя такие ан-
тенны в синфазные группы, можно осуществить и значительно более уз-
кие диаграммы. Хотя настройка таких сложных антенн оказывается до-
вольно1 затруднительной, антенна будет все же значительно- проще (из-за
системы питания) обычной синфазной решетки- ?
Расчет антенны типа «волновой канал» принципиально' можно было
бы выполнить, используя -систему линейных уравнений (V. 12). Однако
практически это весьма затруднительно по- следующим причинам:

1) Для обеспечения необходимой фазировки пассивных вибраторов
Л

их длину приходится брать значительно' отличающейся от — , а при

этом уже нельзя считать наведенные сопротивления ZfJ. такими же, как
и в случае полуволновых вибраторов. Для длин вибраторов, не равных

—. величины не табулированы. Использование значений Zik, в’зя-
тых из таблиц, составленных для полуволновых вибраторов, приводит к
ошибкам, величина которых увеличивается с числом вибраторов в
антенне.

Таким образом, достаточно точный расчет может быть выполнен
лишь при небольшом числе директоров.

2) Даже при правильных значениях коэффициентов Ztk уравнений
(V. 12) точное решение этих уравнений требует вычисления громоздких
детерминантов; эта задача настолько трудоемка, что до сих пор
такие расчеты произведены лишь для систем с числом директоров не бо-
лее 3—4*. Расчеты более сложных систем не производились потому, что
затраченный на это дело труд не оправдывается из-за неточности зада-
ния коэффициентов уравнений. •

В связи с этим разработка антенн «волновой канал» ведется, в основ-
ном чисто- экспериментальным путем. Для того, чтобы выяснить основ-
ные закономерности, имеющие место в таких антеннах, мы рассмотрим
простейшие системы, состоящие из одного активного и небольшого чис-
ла (1—4) пассивных вибраторов. Кроме того, для простоты будем счи-
тать, что расстояние между вибраторами одинаково. Пространственная
диаграмма направленности антенны «волновой канал» представляет со-
бой произведение диаграммы направленности линейной решетки нена-
правленных излучателей на диаграмму направленности элемента решет-
ки — полуволнового вибратора. Выражение для диаграммы решетки
приведено в гл. IV, формула (IV-65).

В рассматриваемом случае мы не можем установить какой-либо
простой связи между комплексными амплитудами токов в вибраторах
решетки, поэтому выражение (IV.65) возьмем в его- общем виде. В соот-
ветствии с этим, для диаграмм направленности в плоскости вибраторов
янтенны (Е-плоскость) и в перпендикулярной плоскости (//-плос-
кость) будем иметь следующие выражения:

Fe (В) =

cos2

cos2 0

— J] Jo m 1 (m - n kd cos 0
Ли

m = 1

(57)

m = 1

Здесь JOm — комплексная амплитуда в пучности тока m-го вибратора;
0 — угол относительно оси антенны, отсчитываемый в соответствующей

♦ Модель. Анализ антенн типа «волновой канал», «Радиотехника», 1954 г.,
№ 1, стр. 55, а также Walkinshaw, ЛЕЕ, р. ША, 1946 г., № 3.
плоскости; d — расстояние между соседними вибраторами. Коэффициент
направленного действия антенны относительно полуволнового вибратора
найдем из формул (32), ('34), (36) и (57), полагая 0=0 (ибо макси-
мум излучения направлен вдоль оси антенны, для которой 0 = 0).

Комплексное сопротивление излучения антенны совпадаете комплекс-
ным сопротивлением излучения активного вибратора антенны и, согла-
сно формуле (27), имеет вид:

Л'

Z™=Ztx+^^f-Z.m. 759)

т2

Входное сопротивление антенны Авх равно ZiA’—поскольку актив-
ный вибратор возбуждается в пучности тока, т. е. в точке, к которой от-
несено сопротивление излучения. Для расчета параметров антенны по
приведенным выше формулам (57) — (59) необходимо предварительно
найти амплитуды токсв 70„,, решая уравнения (V.12), которые в случае
одного активного вибратора примут вид:

(60>

S4(4 = o, А=2,...,М
i = 1

На рис. 6.17—22 приведены расчетные кривые к. н. д., входного ак-
тивного сопротивления и диаграмм направленности в Е- и Я-плоскостях
для систем, состоящих из одного активного и от одного до четырех пас-
сивных вибраторов, при расстояниях между соседними вибраторами
— =0,1; 0,15; 0,2 и 0,3. При расчете величины Zik, I ф k и Rit для
К
всех вибраторов приближенно брались равными соответствующим вели-
чинам в случае полуволновых вибраторов. При числе вибраторов, мень-
шем 4—5, это дает достаточную точность. Величина Х(( пассивного
вибратора (АД = 0) являлась параметром расчета, для каждого’ значе-
ния которой и вычислялись соответствующие ему /?ВХ1 s и строились
диаграммы направленности. При этом зависимость Аф. от размеров
(длины и диаметра) вибратора не рассматривается *. При расчете все
пассивные вибраторы располагались по одну сторону от активного. Ве-
личина Xit для всех вибраторов считалась одной и той же.

Проанализируем кривые изменения к. н. д. антенны в зависимости от
настройки пассивных вибраторов. В системе из одного активного и одно-
го пассивного’ вибраторов «емкостной» пассивный вибратор ( Xti ф 0)
работает как директор, «индуктивный» — как рефлектор. Величина к. н. д.
с изменением настройки пассивного вибратора меняется плавно. Чем
d

меньше — . тем резче выражен максимум к. н. д. и тем меньшим рас-
стройкам директора он соответствует. Максимальное г при — = 0,1

* Кривые, приведенные на рис. 6. 19—24, заимствованы из работы Walkinshaw,
ЛЕЕ, р. ША, 1946 г., № 3.
равно 3,1 (более подробно случай одного пассивного вибратора разобран
в § 1). При увеличении числа «емкостных» пассивных вибраторов их ди-
ректорное действие усиливается, причем настройка, соответствующая
максимуму к. н- д., ставится более резонансной, а расстояние d, соответ-
ствующее гтах, возрастает до 0,2—0,3 К . Что же касается рефлектор-
ного действия «индуктивных» вибраторов, то увеличение их числа не дает
заметного выигрыша в к. н. д. и поэтому нецелесообразно. Интересно

-80-60-60-20 0 20 60 Хон

-80-60 -60 -20 О 20 60 60 Хон

-80 -60 -4Z7 -20 0 20 60 60Хон

Рис. 6.17. Кривые зависимости к. н. д. системы
из одного активного и одного пассивного ви-
браторов в зависимости от настройки пассив-
ного вибратора, при различных расстояниях
между ними. „Вперед" соответствует дирек-
торному, а „назад"—рефлекторному действию
пассивного вибратора.

Рис. 6.18. Кривые к.н.д. в случае
двух пассивных вибраторов.

отметить (см. рис. 6.17—20), что при оптимальной настройке директо-
ров имеет место не только максимум излучения вперед, НО' и минимум
излучения назад, довольно резко выраженный. На рис. 6.21 приведены
кривые изменения активной компоненты входного сопротивления антен-
ны при различном числе пассивных вибраторов (от одного до четырех)
в зависимости от настройки последних. Из этих кривых видно, что нали-
чие пассивных вибраторов приводит к значительному снижению /?вх, тем
большему, чем меньше —.Максимумам кривой к. н. д. (т. е. оптимальной
настройке пассивных вибраторов) соответствуют резкие минимумы вход-
ного сопротивления, которое падает до 10—20 ом вместо 73 ом у оди-
ночного полуволнового вибратора. Это и помятно, так как при оптималь-
ной настройке имеют место наиболее сильные взаимодействия вибрато-
ров.

На рис. 6.22 приведены диаграммы направленности в Е- и //-плоско-
d v

стях, соответствующие оптимальным — л(1 и пассивных вибраторов-

Рис. 6.19. Кривые к.н.д. в случае
трех пассивных вибраторов.

Рис. 6.20. Кривые к.н.д. в случае четырех
пассивных вибраторов.

директоров, при различном их числе. Диаграммы имеют вид основного
лепестка и нескольких (1—3) побочных. В Е-плоскости (пунктирные кри-
вые) главный лепесток диаграммы несколько уже, а боковые лепестки —
ниже и более четко выражены, чем в //-плоскости (сплошные кривые).
При расстройке директоров диаграмма направленности резко деформи-
руется, теряя свою направленность; эти изменения диаграммы более рез-
ко выражены в //-плоскости.

Приведем также некоторые экспериментальные данные по антеннам
«волновой канал» с различным числом директоров, опубликованные в ли-
тературе*. Эти данные относятся к антеннам, выполнявшимся из тонких

* Д. М. Высоковский. Антенна «волновой канал» ЖТФ, 18, 12, 34, 1948г.
Fishenden and Wiblin, „Design of Jigi-Aerials“, Proc. JEE, p. Ш, 1949. № 39.
-80 -60 -itO -20 0 20 40 60 X ом

Рис. 6.21. Зависимость входного сопротивления активного вибратора /?вх
от настройки пассивных, при различном числе и расположении послед-
них:

а—один пассивный вибратор; б—два пассивных вибратора; в—три пассивных вибратора:
г—четыре пассивных вибратора.

X ом-120 -80 -40 О

Х—ЗОом; fy-0J5

1^-60 ом, fy-0,2

^х** X ✓

активного и ряда пассивных вибраторов, соответствующие
оптимальному директорному действию последних, при раз-
личных расстояниях между вибраторами:

а — один пассивный вибратор; б—два пассивных вибратора; в--три пассивных
вибратора; г—-четыре пассивных вибратора.

-----------диаграммы в //-плоскости, — —----------диаграммы в f-плоскости
(плоскости вибраторов).
стержневых вибраторов (диаметром в 0,008 ^Ср)> установленных на
опорном осевом стержне непосредственно или с помощью изоляторов.
Расстояние между директорами выбиралось равным 0,34 X. Настройк£
таких антенн показала, что с увеличением числа директоров в антенне
оптимальная длина директора в долях волны уменьшается. Это видно1
из таблицы 1.

Таблица I

Число директоров 2 3 5 6 7 9 10 13 20 30 42
Длина ди- ректора в долях X При непосред- ственном креп- лении директо- ра на стреле . 0,456 0,453 0,448 0,413 — 0,436 — — 0,420
При креплении с помощью изо- лятора .... — — 0,438 — 0,423 — 0,42 0.414 0,407 0,4 0,385

Как видно из таблицы, при креплении директоров с помощью изоля-
торов длина директоров несколько сокращается вследствие того, что ем-
кости изоляторов нагружают вибраторы.

В таблице 2 приведены данные по ширине диаграммы направленно-
сти антенны «волновой канал» на уровне 0,25 мощности и к. и. д. е ан-
тенны относительно полуволнового вибратора.

Таблица 2

Число директоров Длина антенны в долях длины волны А Ширина диа- граммы направленности в градусах К. н. д. антенны* относительна полуволнового- вибратора Коэффициент про- порциональности А в формуле е=А~, л- L—полная длина антенны
2 ’0,684-0,125 54 — —
4 1,364-0,125 46 8 5,4
9 3,084-0,125 37 13 4,1
13 4,424-0,125 3’. 15 33
20 6,8 4-0,125 26 21 3,05
30 10,2 4-0,125 22 —

Данные в таблицах 1 и 2 соответствуют настройке антенны, при ко-
торой максимумы боковых лепестков не превышают 30% по полю. Если
несколько удлинить директоры, то оказывается возможным несколько
сузить диаграммы и увеличить за счет этого к. н. д. (на 5%), при этом,
однако, возрастают боковые лепестки.

Из таблицы 2 следует, что с увеличением числа директоров и пол-
ной длины антенны диаграммы сужаются, а к. н. д. увеличивается, одна-
ко, все менее существенно* (т. е. отношение к. н.. д.. к длине антенны па-

11, Фельд, Бененсои.

161
дает)-,Все эти экспериментальные данные, совпадающие при малом чис-
ле директоров с результатами расчета, могут быть легко объяснены, если
подойти к антенне «волновой канал», исходя из теории непрерывных ли-
нейных решеток. А 'именно, возбуждение вибраторов решетки с постоян-
ным запаздыванием фазы на единицу длины антенны можно связать с
некоторым волновым процессом распространяющимся с фазовой скоро-
стью v с с вдоль оси антенны (см. гл. IV, § 1). В гл. IV рассмотрены
линейные непрерывные решетки при различных v < с, выведены форму-
лы для определения ширины диаграммы направленности и к. н. д. антен-

ны и рассчитаны кривые изменения^, н. д. в зависимости от — при раз-
личных v с. На основании этих кривых были сделаны, в частности,
следующие выводы:

, ч

1) для антенны с осевым излучением к. н. д. зависит от величины — ;

2) при фиксированной длине антенны имеется оптимальное —< 1,
с

j V \

соответствующее максимальному к. н. д.; вплоть до — к. н. д. рас-
\ С /опт

V
тет с увеличением — ;
с

/ V \

3) чем длиннее антенна, тем — ближе к единице;

\ £ /опт

4) г'опт = с в пределе при /.->• оо;

5) ширина диаграммы направленности антенны с уменьшением —
с

также уменьшается.

В антенне «волновой канал» коэффициент замедления связан, оче-
ридно, с размерами вибраторов. Чем вибраторы короче, т. е. чем они
сильнее расстроены, тем меньше амплитуда возбуждаемых в них колсба-

ний, что приводит к увеличению — (т. е. приближению икс).

Таким образом, уменьшение оптимальных размеров директоров с
увеличением их числа, т. е. с удлинением антенны, приводит к тому, что
/ V \

1-— -> 1. Наблюдающееся при этом уменьшение коэффици-

\ £ /опт

, е

ента А = — связано с тем, что чем v ближе к с, тем ниже к. н. д. ан-

тенны. X

На основании приведенных в таблице 2 данных к. н. д. антеины ти-
па «волновой канал» можно представить приближенной формулой

л L

s = А —

(61)

где L — длина антенны, А — коэффициент, величина которого зависит
от длины антенны, уменьшаясь с ее удлинением (см. табл. 2).
Для расчета ширины диаграммы направленности антенны «волно-
вой канал» применима формула, аналогичная полученной в гл. IV для
антенн с осевым излучением [формула

Численный коэффициент в этой
формуле определим по данным таб-
лицы 2 для ширины диаграммы на
уровне 0,25 мощности

— градусов, (62)

где для коэффициента В, зависяще-
L

го от —-, имеем в соответствии с
X

данными таблицы 2 следующие зна-
чения.

Таблица 3

(IV. 116)].

-------1аи=0,Ч08 А

-------1^0^30 X

Рис. 6.23. Зависимость диаграмм на-
правленности антенны „волновой ка-
нал“ от длины директоров.

Сопоставляя данные таблицы 3,
видим, что с удлинением антенны
ширина диаграммы уменьшается все слабее и слабее.

Это явление может быть объяснено1 теми же причинами, что и умень-
шение коэффициента А, имеющее место при удлинении антенны. Следует

подчеркнуть, что все приведенные выше экспериментальные данные от-
носятся к той волне, на которую антенна настроена. Как следует из рас-
четных данных для антенны с небольшим числом директоров, чем боль-
ше число последних, тем резонанснее настройка. В антеннах «волновой
канал» с числом директоров порядка 10 и более, уже при небольшом из-
менении частоты, к. н. д. антенны сильно падает, а диаграмма направ-
ленности искажается за счет сильного возрастания боковых лепестков.
Так, при числе директоров, равном 13, изменение частоты в пределах 3 %
приводит к падению к. н. д- более чем на 10%. На рис. 6.23 приведены
диаграммы направленности этой антенны при различной (в долях к)
длине директоров. Как видно из этого рисунка, при изменении длины ди-
ректоров от 0,408 л до 0,43 k (т. е. яа 5°/о) уровень боковых лепестков
вырос с 16— 18 % до 30 % и появился задний лепесток величиной до 26 %
(все — по полю). При дальнейшем удлинении директоров до1 0,44k
(г. е. всего1 на 8%) диаграмма становится трехлепестковой.

Как упоминалось выше (см. рис. 6.21), входное сопротивление ан-
тенны «волновой канал» сильно понижается благодаря влиянию пассив-
ных вибраторов; особенно сильно снижает входное сопротивление вибра-
тор-рефлектор. В этом легко убедиться из рассмотрения данных табли-
цы 4 для антенны с 13 директорами, диаграммы которой приводились

выше.

При столь низких входных сопротивленНях очень неудобно1 согласо-
вывать антенну с питающим кабелем, имеющим обычно волновое сопро-
тивление 50—75 ом. Поэтому в качестве активного вибратора антенны
«волновой канал» обычно применяют так называемые «бивибраторы»
(шлейф-антенна Пистолькорса).

Рис. 6.24. Бивибратор.

Таблица 4

Расстояние от актив- ного вибратора до рефлектора (в долях X) Длина директора
0,406 X 0,42 X
0,25 ‘ 62 50
0,18 50 43
0,15 32 27
0,13 22
0,10 12

Этот вибратор имеет более высокое входное сопротивление, чем
обычный, и, кроме того, значительно удобнее конструктивно. Бивибратор
представляет собой согнутую в виде вытянутой петли трубку, образую-
щую как бы два параллельно расположенных на очень небольшом рас-
стоянии друг от друга (~ -^-М, обычных полуволновых вибратора,
концы которых соединены между собой перемычками (рис. 6.24). К сере-
дине одного из вибраторов подключается кабель. При таком питании
вибраторы возбуждаются синфазно (см. рис. 6.24); перемычки соединя-
ют вибраторы в узлах тока- Конструктивное удобство такой системы
связано с тем, что бивибратор можно крепить непосредственно' к метал-
лической стреле, не применяя никаких изоляторов (что необходимо1 при
использовании обычного- вибратора). Входное сопротивление бивибрато-
ра, грубо говоря, в .4 раза выше сопротивления одиночного вибратора.
Действительно, входное сопротивление бивибратора, согласно (59), равно:

ZJV = - [Zj, /01 Z]2 (-Ли 4" 4~ -^22 Лг] • (63}

Полагая /oi = Лг, а также Zu = Z22 ~ Z12 (последнее потому,
что обе части бивибратора расположены очень близко, и можно поло-
жить наведенные сопротивления равными собственным), получим:

= 4Zn. (64)

Если вибраторы полуволновые, то

ZBX = /?вх = 4 । = 292 ома. (657

При более строгом рассмотрении бивибратора можно установить,
что его входное сопротивление зависит также от соотношения между
диаметрами вибраторов, его- образующих. В частности, при уменьшении
диаметра «пассивной» (т. е. непосредственно1 не подключенной к кабелю
части бивибратора), его входное сопротивление понижается. В таблице 5
приведены расчетные значения коэффициента, на который надо множить
входное сопротивление простого полуволнового вибратора, чтобы полу-
чить входное сопротивление бивибратора.
Таблица 5

Отношение диаметров пассивной и активной частей бивибратора 4 3 2 1 0,5 0,33 0,25
Коэффициент, на который необходи- мо множить входное сопротивление обыкновенного вибратора 7 6 5,2 4 3,2 2,7 2,5

Конструктивно антенна «волновой канал» выполняется обычно в ви-
де металлической трубы—стрелы, на которой закрепляются (в пучности
тока) пассивные вибраторы. Если активным вибратором антенны являет-

ся полуволновой вибратор, то
его приходится крепить к стрел-
ке с помощью изоляторов. Если
применяется бивибратор, то его
можно закрепить на стреле не-
посредственно, как и осталь-
ные вибраторы. И в том и дру-
гом случае активный вибратор
симметричен и должен возбуж-
даться симметричной фидерной
пинией. Такое питание, однако,
неудобно по многим обстоятель-
ствам; в частности, при необ-
ходимости обеспечить круговое
вращение антенны более целе-
сообразно применять коакси-
альный кабель. Во избежание
асимметричного возбуждения
антенны, при этом необходимо
использовать так называе-

Рис. 6.25. Применение симметрирующего
устройства типа „П-колено“ для перехода
от коаксиального кабеля к симметричному
вибратору.

мне симметрирующие устрой-

ства для перехода с несимметричного кабеля на симметричную антенну.
В антеннах «волновой канал» обычно 'Используется симметрирующее

устройство простейшего типа — так называемое «U-колено». Принцип
работы этого устройства следующий: обе клеммы бивибратора подклю-
чаются к центральному проводнику коаксиального кабеля так, что рас-
стояние между клеммами, измеренное вдоль кабеля, равно — . При этом

к обеим клеммам подводится противофазное напряжение, что и требует-
ся. Внешняя оболочка кабеля заземляется. Полуволновый отрезок кабе-
ся складывается в. виде петли, что и определило название устройства
(рис. 6.25). Симметрирующее устройство типа U-колена является, кроме
того, трансформатором сопротивлений. Действительно, к U-колену в се-
чениях а и б (см. рис. 6.25) присоединены половинки симметричного1 би-
вибратора, входное сопротивление которых, относительно земли, равно
Z

, где ZBX — входное сопротивление симметричного бивибратора.

Если основной кабель, питающий антенну, подключен к U-колену в сече-
нии б, то нагрузка в сечении а, пересчитанная к сечению б, окажется
включенной там в параллель с нагрузкой, присоединенной в этом сече-
нии. При пересчете сопротивления из одного сечения линии в' другое, от-
X

стоящее на — , сопротивление не изменяется, так что суммарная нагруз-

ка на входе (/-колена (сечение б) будет равна:

-J— + —!— 4 '

0,5 ZBX 0,5 ZBX

т. е. уменьшится ровно в четыре раза (независимо от волнового сопротив-
ления U-колена). Если U-колено используется для возбуждения кабелем
бивибратора, для которого ZBX — 292 ом, то после трансформации
(7-коленом получим сопротивление около 70 ом, что близко к волно-
вым сопротивлениям стандартных высокочастотных кабелей (50—75 ом).
Несмотря на понижение входного сопротивления антенны «волновой ка-
нал», из-за влияния пассивных вибраторов (что видно, например, из кри-
вых, приведенных на рис. 6.21) оно все же будет в 4 раза выше, чем
при использовании обычного симметричного вибратора. Поэтому приме-
нение бивибраторов позволяет значительно1 улучшить согласование ан-
тенн «волновой канал» с питающим антенну кабелем.

Естественно, что U-колено узкодиапазонно как по своим симметри-
рующим, так и трансформирующим свойствам. Однако конструктивно
оно чрезвычайно просто и нашло широкое применение на практике.
ГЛАВА VII

ОБЩИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОЛЕЙ АНТЕНН
СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ

В предыдущих главах, помимо изложения общих вопросов теории
антенн, рассматривались проволочные (вибраторные) антенны. В даль-
нейшем мы перейдем к изучению других типов антенн, применяемых на
сверхвысоких частотах, в частности рупорных, зеркальных и линзовых.
Для этих антенн характерно наличие излучающего раскрыва, т. е. неко-
торой поверхности, через которую происходит излучение. Расчет пара-
метров таких антенн — диаграмм направленности, к. н. д. и пр.—удоб-
но' производить иными методами, нежели расчет вибраторных антенн.
Поэтому в настоящей главе мы докажем ряд электродинамических тео-
рем и применим их для расчета диаграмм направленных антенн с излу-
чающим раскрывом.

§ 1 ПЕРВАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ*

Внешняя задача. Задача эта сводится к определению поля

Е,Н во внешнем пространстве Ve, ограниченном изнутри замкнутой гео-
метрической поверхностью s ** (рис. 7.1) по за-
данным на ней значениям касательной состав-

—►

ляющей электрического вектора Et При этом
мы будем предполагать, что в области Ve источ-
ников поля нет. Так как область Ve простирается
на бесконечность, то это означает, что на беско-
нечности также отсутствуют источники и поле
удовлетворяет там принципу излучения *** Зом-
мерфельда [см. формулу (11.10)]. Таким образом,

все источники расположены в области V{, находящейся внутри поверх-
ности s. Из теоремы единственности решений уравнений Максвелла сле-
дует, что рассматриваемая задача имеет однозначное решение. Докажем
следующую теорему:

Теорема 1. Поле EjH в. пространстве Ve при заданных на s значе-

* Я. Н. Фельд, ЖЭТФ, 1943 г., №№ 3—4.

** Поверхность в общем случае может состоять из нескольких замкнутых по-
верхностей.

*** В дальнейшем мы всегда будем считать, что поле на бесконечности удовлет-
воряет принципу излучения, специально этого не оговаривая.
яиях Et=$ тождественно совпадает с полем £1ЯЬ возбуждаемым в
том же пространстве поверхностными магнитными токами

й = -[<8«1, (О

распределенными на внешней стороне поверхности s, которая при этом
предполагается имеющей идеальную электрическую проводимость. По-
следнее означает, что при расчете Е\, Hi необходимо также учитывать
электрические токи, наводимые на внешней стороне идеально проводящей
поверхности s магнитными токамиК?., совместным действием которых
и будет .определяться поле в области Ve. В формуле (1) п означает еди-
ничный вектор внешней (по отношению к Vе) нормали к поверхности s
(см. рис. 7.1).

Электромагнитные поля Е, Н и Eit Ht удовлетворяют уравнениям
Максвелла и не имеют (источников в области Ve. Таким образом, для
того чтобы эти поля совпадали внутри Ve .необходимо, чтобы они удов-
летворяли одинаковым граничным условиям на поверхности $. Послед-
нее немедленно вытекает из равенства (I). Действительно, по условию

Et = S на «• (2)

Граничное условие для поля Еь Я] на s мы найдем, используя то
обстоятельство, что при переходе через поверхность s скачок тангенци-
альной составляющей электрического вектора определяется поверхност-
ной плотностью магнитного тока /Си , распределенного на s. Поле Еь Hi
равно нулю внутри Vf (см. рис. 7.1), так как источники /Ср. , возбуж-
дающие его, находятся на внешней стороне поверхности s, которая при
расчете Et, Hi считается идеально (проводящей) экранирующей. Учиты-
вая это, запишем условие скачка [см. формулу (II.18)] в следующем
виде:

Е1( = [А^р. п] на s.

Подставляя сюда значение К^., взятое из формулы (1), получим ис-
комое граничное условие для поля Е1( Нс

Еп = [№[(§ п\\=$ на s, (2а)

так как вектор &, по определению, не имеет нормальной составляю-
щей к s.

Сравнивая равенства (2) и (2а), мы убеждаемся, что поля Е, Н и
Ei, Ht удовлетворяют одинаковым граничным условиям на s. Таким об-
разом, на основании теоремы единственности (см. гл. II, § 2) оба эти поля
тождественно равны внутри Vе, и доказательство закончено.

. Первая граничная задача об определении поля по заданным значе-
ниям тангенциальной составляющей & электрического вектора на гео-
метрической поверхности s, ограничивающей рассматриваемую область,
сведена, таким образом, к задаче о возбуждении идеально проводящей
поверхности s магнитными токами, распределенными на $ с поверхност-
ной плотностью

(1а)

Если обозначить буквами Е' (q't q;Ky. )ds, H'(q', q; )ds поле, воз-
буждаемое в. точке q'. области Vе элементарными магнитными токами
ТСр. , находящимися на элементе ds в точке q поверхности s, то на основа-
нии принципа суперпозиции полное поле будет равно:

E(q’) = / Е' [q', q; Ку) ds-,
s

H(q') = fH(q', q; Ky)ds-,
s

(3)

Если Ку. определяется формулой (la), то формулы (|3) решают первую
граничную задачу электродинамики. Напоминаем, что при нахождении
полей E(q't q\ Ку ), H(q', q; К,)поверхность s считается идеально' про-
водящей. Все приведенные в настоящем параграфе рассуждения и фор-
мулы остаются справедливыми и в том случае, когда рассматривается
первая внутренняя граничная задача электродинамики, т. е. ищется поле
в конечной области Vt, ограниченной снаружи поверхностью s (см.
рис. 7.1). При этом необходимо только во всех рассуждениях и форму-
лах поменять местами области Vе и и изменить на противоположное
направление векторы п. Для того, чтобы внутренняя граничная задача
допускала однозначное решение (в случае среды без потерь), необходи-
мо, чтобы частота колебаний ш была отлична от собственных частот
объема V, (рассматриваемого как резонатор, ограниченный идеально
проводящей поверхностью). В противном случае, к решению внутренней
граничной задачи, даваемому формулами (3), можно прибавить любые
свободные колебания вышеуказанного объема, не нарушив' заданных
граничных условий- При наличии потерь в среде однозначность не на-
рушается, так как при этом не существует незатухающих свободных ко-
лебаний.

В случае внешней граничной задачи однозначность никогда не на-
рушается, так как даже при отсутствии потерь не существует свободных
незатухающих колебаний. Свободные колебания всегда затухают, так
как энергия уходит в бесконечность.

§ 2 ВТОРАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

В н е ш няя задача. Задача эта сводится к определению поля во
внешнем пространстве Ve, ограниченном изнутри замкнутой геометри-
ческой поверхностью s, по ^данным на ней значениям касательной со-
ставляющей магнитного вектора Ht . Ив этой задаче легко получить
теорему, аналогичную теореме 1.

Теорема 2. Искомое поле Е, Н в пространстве Ve, при заданных на
s значениях Ht = h, тождественно совпадает с полем Ё2, Н2, возбуж-
даемым внутри Ve (см. рис. 7.1) поверхностными электрическими
токами

К= \h п],

(4)
распределенными на внешней стороне поверхности s, которая при этом
считается имеющей бесконечную магнитную проводимость.

Введенные электрические токи К возбуждают магнитные токи па
магнитно-проводящей поверхности s, совместным действием которых и
определяется поле Е2, Н2 в области Vе. Для того, чтобы доказать сфор-
мулированное предложение о равенстве полей Е, Н и Е2, Н2 внутри Ve,
достаточно показать, что оба поля удовлетворяют одинаковым гранич-
ным условиям на s.

Граничное условие для поля Е, Н имеет вид:

Ht = h на s.

Поскольку при расчете Е2, Н2 поверхность з
бесконечной магнитной проводимостью, то на ней

H2f= — [/С п] на s.

считается обладающей
справедливо равенство

(5й‘

Действительно, при переходе через поверхность s скачок тангенциальной
составляющей магнитного вектора определяется поверхностной плотно-
стью электрического' тока, распределенного на $ Поле Е2, Н2 равно ну-
лю внутри (ибо источники К, возбуждающие его, находятся на
внешней стороне поверхности $, которая при этом считается абсолютно
экранирующей). Таким образом, условие скачка [см. формулу (II.18)]’
принимает вид (5а).

Подставляя в (5а) значение К из формулы (4), найдем:

= [п [Й nJ ] =/г на s, (G)

так как nh — 0. .Г-.’ ..

Сравнивая равенства (5) и (6), мы убеждаемся, что оба поля (Е,Н
и Е2, Н2) удовлетворяют одинаковым граничным условиям на s.

Так как оба эти поля, кроме того, удовлетворяют уравнениям Мак-
свелла и не'имеют Источников внутри Vе , то на основании теоремы един-
ственности (см. гл. II, § 2) они тождественно равны, что и требовалось
доказать. Вторая граничная задача сводится, таким образом, к нахожде-
нию поля, возбуждаемого электрическими токами:

К = [h.n\, 14а)

распределенными на поверхности s, обладающей бесконечной магнитной
проводимостью. Если обозначить буквами E"(q', q-, К) ds, H"(q'l q", К} ds
поле, создаваемое в точке q' пространства Vе элементарными электри-

ческими токами /(, распределенными на элементе ds в точке q поверхно-
сти s, то на основании принципа суперпозиции полное поле внутри Ve

будет равно:

Е(</)= J Е"(/,3; К] ds,
S

H(q'} = f H"{q',q-, Л) ds.

Если К определяется формулой (4а), то равенства (7) решают вторую
граничную задачу электродинамики. Напомним, что при нахождении по-
ля E"(q\ q; К), H"(q', q\ К) поверхность s считается обладающей бес-
конечной магнитной проводимостью. Относительно внутренней задачи и
вопросов единственности можно1 сделать те же замечания, которые были
приведены в конце предыдущего параграфа по поводу первой граничной
задачи.

§ 3. ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Из рассмотрения первой и второй граничных задач электродинами-
ки, а также из теоремы единственности (см. гл. II, § 2) следует, что1 поле
в области V однозначно определяется заданием тангенциальной состав-
ляющей только электрического или только магнитного' вектора на геомет-
рической поверхности s. ограничивающей (изнутри или снаружи) рас-
сматриваемую область V. При этом мы исключаем из рассмотрения слу-
чай совпадения частоты колебаний <» с одной из собственных частот об-
ласти V (когда область V конечна), указанный в гл. II, § 2, и предпола-
гаем, что в области V отсутствуют источники поля.

Таким образом, для нахождения поля нам достаточно задать Et на
—►

s (первая граничная задача) или Ht на s (вторая граничная задача) и
пользоваться для расчета поля формулами (3) или (7), соответственно.
Более того, одновременное задание Е, и Нt на s не может быть произ-
вольным, так как одна из этих величин однозначно1 определяет другую.
Несогласованное задание этих величин на s может привести к противо-
речию в том смысле, что не существует поля, удовлетворяющего уравне-
ниям Максвелла и принимающего на границе s заданные значения Et
и Hf . Однако на практике использование,дл® .расчетов формул (3) или
(7) оказывается весьма затруднительным, ес'Д.й;область V не является
полупространством, шаром или бесконечным цилиндром,.

Действительно, векторные функции, входящие под интеграл в' фор-
мулы (3) и (7), по своей структуре аналогичны функциям Грина, исполь-
зуемым при решении задач математической физики. Они так же, как и
функции Грина, обращаются в бесконечность при q = q' и удовлетворя-
ют на поверхности s нулевым граничным условиям (Е, — 0 или Ht = О
на s). Задача построения функций Грина для областей, отличных от трех
вышеуказанных, еще до> сего времени не разрешена.

Еще более сложным является нахождение векторных функций, вхо-
дящих в формулы (3) и (7). Поэтому в антенной технике для расчета
полей в области, имеющей несколько более сложную конфигурацию, при-
ходится изыскивать другие методы, приводящие к более простым форму-
лам. Такие относительно1 простые формулы могут быть получены, если
на границе s рассматриваемой области задать обе тангенциальные со-
—► —>

ставляющие Et и Hf (хотя это принципиально излишне). Проще всего
такие формулы могут быть получены при помощи теоремы, которая фор-
мулируется следующим образом:

Теорема эквивалентности. Поле Е, И в области V, ограниченной гео-
метрической поверхностью s с заданными на ней тангенциальными со-
ставляющими электрического и магнитного векторов

Et = (§ на s и И} — h на s, (8>
тождественно совпадает (в области V) с полем, возбуждаемым электри-
ческими и магнитными токами, распределенными на геометрической по-
верхности s с поверхностными плотностями

К = [h п] на s и Д',,. = — [$ п] на s, (9)

соответственно.

При этом предполагается, что внутри V источники отсутствуют. Век-
тор п, входящий в формулы (9), есть внешняя, по отношению к V, нор-
маль к s.

Указанная теорема справедлива как для бесконечных областей
V = V е , ограниченных изнутри поверхностью s (см. рис. 7.1), так и для
конечных V = V( , ограниченных снаружи поверхностью s. Доказатель-
ство справедливости теоремы эквивалентности проще всего провести, ис-
пользуя теорему 1, полученную в § 1, посвященном первой граничной
задаче электродинамики *.

Переходя к доказательству, используем сначала первое граничное
условие (8) для поля Е, Н.

Et — <$ на s. (8а)

Если вначале не учитывать второго граничного' условия (8), то за-
дача определения поля Е, Н сводится к первой граничной задаче электро-
динамики. Это поле, таким образом, тождественно совпадает (см. § 1)
с полем Е\, Н\, возбуждаемым в области V магнитными токами, распре-
деленными с поверхностной плотностью [см. формулу (1)]

К],= — [<£ п] на s (10)

на обращенной к V стороне поверхности $, которая при расчете Ех, Hi
считается обладающей бесконечной электрической проводимостью. Пос-
леднее означает, как уже указывалось в § 1, что поле Ех, Hi обусловли-
вается совместным действием магнитного тока К». и индуцированного' им
на идеально проводящей поверхности электрического тока, который ра-
вен [см; формулу (II.36)]

K=[Hifi] на s.

Так как Е = Ег и Н = ЕЕ внутри V, то, заменяя в последней формуле
Hi на Н и используя второе граничное условие (8), придадим ей оконча-
тельный вид:

K=\hn\ на s. ' (11)

Доказательство, таким образом, по существу закончено. Мы доказали,
что поле Е, Н тождественно совпадает в области V с полем Et, Hi, воз-

* Излагаемое ниже доказательство приводится, насколько нам известно, впер-
вые. Ойо отличается краткостью и простотой. Сам принцип эквивалентности был впер-
вые сформулирован в 1901 г. Лявом (Love).
буждаемым токами и К. Последние определяются формулами (10) и
(11), которые совпадают с формулами (9). В этом и заключается теоре-
ма эквивалентности. Из доказательства, между прочим, непосредственно
► —► •—►

следует, что поле Е\, Ht, возбуждаемое токами К и К.:1. , равно нулю вне
области V. Действительно, это поле было введено вначале (смотри вы-
ше) как поле, возбуждаемое токами Kv. , распределенными на прилега-
ющей к V стороне идеально проводящей замкнутой поверхности s. Такая

поверхность является идеальным экраном и, следовательно, поле через

нее не проникает. Отметим, что сказанное
справедливо при условии, когда и h,
входящие в формулы (10) и (11), яв-
ляются граничными значениями некото-
рого электромагнитного поля [см. форму-
лу (8)]. Если векторные функции (§ и h
взяты произвольно и никак не связаны
между собой, то поле токов К и мо-

Рис 7.2.

жет быть отличным от нуля и вне V.

Доказанное только что предложение имеет самостоятельный инте-
рес, поэтому мы сформулируем его в виде отдельной теоремы.

Теорема 3. Если геометрическая поверхность s разбивает простран-
ство на две произвольные области V) и V2 (рис. 7.2) и все источники

(токи), возбуждающие поле Е, Н, сосредоточены в области У,, то:

1) Поле Е[, Н\, возбуждаемое распределенными на геометрической
поверхности s электрическими и магнитными токами:

/С=[Яи]на s и К,,=—[£п] на s, (12)

тождественно равно нулю в области У1 и совпадает с полем Е, И в обла-
сти V2- Вторая часть этой теоремы совпадает с теоремой эквивалентности.

2) Если все источники поля Е, И находятся в области У2, то в теоре-
ме необходимо поменять местами Vi и У2 и вектор п направить внутрь об-
ласти, где находятся источники, В частном случае обе области и У2
могут быть бесконечными.

Следует также отметить, что доказательство теоремы эквивалентно-
сти можно было бы провести, исходя из второго граничного условия
(8), т. е. сводя все к второй граничной задаче электродинамики. Теорема
эквивалентности имеет самостоятельный интерес, однако основное ее
значение заключается в возможности использования ее для вывода срав-
нительно простых формул для расчета поля, что будет сделано в следую-
щем параграфе.

§ 4. ФОРМУЛЫ ТИПА ГЮЙГЕНСА-КИРХГОФА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ПОЛЯ

Определим поле Е, И в области V, ограниченной (снаружи или из-
нутри) геометрической поверхностью $. Пусть это поле возбуждается
источниками (токами), расположенными (в общем случае) как в обла-
сти V, так и вне ее. Область V будем считать заполненной однородной
изотропной средой с параметрами е, р; вне V среда может быть неодно-
родной, например, в ней могут находиться идеальные проводники и т. п.
Будем искать поле Е, И внутри V в виде суммы двух полей:

Е~Ей + Е^ Н — Н'аЛ-Н^

(13)

где Ео, Но — первичное поле токов (источников), находящихся внутри
области V, которое мы определим при помощи формул (11.57):

(7^) grad/+/г2//—/шг [У[Х • grad/] ] dV,

Ий= 4га®'[Г J (Av)grad/+^-4/ + I 7-grad/]j dV,
(v>

(14)

Здесь J и Jv. — объемная плотность заданных электрических и магнит-
ных токов. Перейдем теперь к определению поля Еь Н\. Оно, очевидно,
не будет иметь источников1 внутри V, т. е. будет удовлетворять там одно-
родным уравнениям Максвелла. Тангенциальные составляющие векторов
поля Еь Ht на поверхности s будут, учитывая формулы (13), равны

— Et

(15)

Если считать Е( и Hf известными на $, то, наша задача сводится к
—► —►

нахождению поля Еь Н\, не имеющего источников внутри области V, по
заданным значениям [формула (15)] тангенциальных составляющих век-
торов поля на ее границе s. Из теоремы эквивалентности 3 и формул
(15) немедленно следует, что эго поле внутри V тождественно совпа-
дает с полем электрических и магнитных токов, распределенных на s с
поверхностной плотностью (

^ = [Яп]-[Яоп]:

(16)

Так как, например, [Е, n] = [Е п\, то мы опустили индексы t в написан-
ных формулах. Введем обозначения:

к=[Нп\,

Кр. = — [Еп], Км = — [Еоп]..

(17)

Тогда формулы (16) примут вид:

Kt =-- К - Ко, Я1 = К» - К& (16а)

Покажем прежде всего, что поле токов Ко и К^ равно нулю внут-
ри V. Это вытекает из теоремы 4, так как все источники поля Ео, Но, оп-
ределяющего Ко и Alo [см. формулу (17)], находятся внутри V.

Таким образом,-поле Ei, Ht однозначно определяется токами К и

Ку. . Для расчета его мы воспользуемся формулами (II.57а):

J {(^ grad/+А:2К/-Aos grad /]} ds ;

Я1 ~ 4kLp. f {(^V)grad/+A:2^/+grad/]} ds.

(Р

(18)

)

Теперь на основании формул (13), (14) и (18) можно написать вы-
ражения для полного поля внутри V

Е = J {(J v)grad/+A:27/-tos[4grad/] jrfr +

(Ю 1

4^ше У |([Нп] grad f + k-[Hn]f + 1ч>г[[Е и] grad f\ } ds-,

(S) V

я== 4кг»р J |(4v)grad/ + A524/+/«>H[7grad/]|rfn-

(Ю 1

~ 4;^ У (([£«] V) grad/+A:2 [7 nJ/ — [[7/n] grad/] }ds

(S)

(19)

При этом мы вместо К и К'у. подставили их значения, взятые из формул
(17). Напоминаем, что вектор п направлен в сторону, внешнюю по отно-
шению к V.

Эти общие формулы определяют поле в области V через заданные
там источники J и Jv, и тангенциальные составляющие векторов поля
([£п] и [Яп]) на поверхности s, ограничивающей область V. Объемные
интегралы, входящие в них, обусловлены наличием источников (токов)
внутри V, а поверхностные интегралы характеризуют действие токов, на-
ходящихся вне V. Причем действие этих токов математически сведено
к действию некоторых фиктивных эквивалентных токов К = [Нп] и
/бр. — —-[£п], распределенных по поверхности s. Выражения (19) обоб-
щают на случай уравнений Максвелла известные формулы Гюйгенса-
Кирхгофа, дающие решение скалярного волнового уравнения и широко
используемые в' оптике. Все эти формулы являются математическим вы-
ражением известного принципа Гюйгенса, по которому любая точка не-
которой поверхности, окружающей источники поля, может рассматри-
ваться как источник вторичного излучения. Интерференция полей, излу-
чаемых этими вторичными источниками, создает в точке наблюдения,
находящейся вне указанной поверхности, результирующее поле. Хотя
формулы (19) несколько длинны, однако они сравнительно просты. На
практике редко приходится пользоваться этими полными формулами;
обычно часть членов в них пропадает (см. ниже).
Формулы типа Гюйгенса-Кирхгофа для поля
в дальней зоне

Рассмотрим бесконечную область V = Vе, ограниченную изнутри
поверхностью $. Будем считать, что1 внутри V е источники отсутствуют.
Тогда в формулах (19) объемные интегралы пропадут и они примут вид:

Е ~ v) grad/+ ’ + №S[[£n]grad f] | ds;

](20)

v) grad/+/—z'wp [[Hn] grad/] [ ds,

e~ i!ir

где f =-------, a r — расстояние между точкой наблюдения, в которой

определяется поле, и переменной точкой интегрирования на s. Для ан-
тенной техники большой интерес представляет изучение поля в дальней
зоне, называемой в оптике зоной Фраунгофера, где обычно1 формируется
диаграмма направленности.

В дальней зоне выражения (20) сильно упрощаются. Для того, что-
бы получить эти упрощенные формулы, мы воспользуемся результатами
аналогичных вычислений, проведенных в гл. Ill, § 1.

Это можно сделать, если учесть, что формулы (20) отличаются от
формул (II.57 а) для поля, создаваемого1 заданными электрическими и
магнитным поверхностными токами, только1 тем, что в выражениях (20>
вместо К 'И Kv. стоят величины [Нп\ и —[£«], соответственно1.

Поэтому мы можем непосредственно1 воспользоваться формулами
(Ш.8а) и (III.86), в которые переходят (П.57а) в дальней зоне, предва-
рительно заменив в них К на [Нп] и /Г1Х на —[Еп\, после чего получим:

(21)

где

F = [Нп] eik pcos * ds;

(S)

Fv.= — § [£ n] eik?cos a ds.
(p

(22)1

Таким образом, и здесь векторы поля в дальней зоне связаны между со-
бой и ориентированы относительно направления распространения
как в плоской волне.
Формулы (21), как легко видеть, можно записать также в форме:

—> Ъ р— ikR / .. —> —> —> -► I

£“-Л 1/- ;

4ш R г г j

1/ — [ГД£].

' р.

(21а>

§5. ПОЛЕ ИЗЛУЧАЮЩЕГО РАСКРЫВА

Формулы, выведенные в предыдущем параграфе,, могут быть непо-

Рис. 7 3.

средственно применены для расчета полей, излучаемых различными ан-
теннами сантиметровых волн. Особенно удобны они в тех случаях, когда
антенна имеет явно выраженный
излучающий раскрыв, т. е. огра-
ниченную геометрическую поверх-
ность, через которую фактически
происходит излучение энергии. К
таким антеннам относятся, напри-
мер, рупорные антенны, зеркаль-
ные антенны, линзовые антенны,
открытый конец волновода и т. п.

Все дальнейшие выкладки будут
справедливы для любой из ука-
занных антенн. Любая такая ан-
тенна, в общем случае, состоит из

некоторой металлической поверхности с излучающим расжрывом S, ко-
торый мы будем для упрощения выкладок предполагать плоским *
(рис. 7.3). Найдем поле, создаваемое этой антенной во- внешнем про-
странстве. Проще всего это сделать, использовав формулы (20) или,
если мы интересуемся полем в дальней зоне, формулы (21а) и (22)'.
Поверхность s, фигурирующая в формулах (22), в нашем случае пред-
ставляет собой замкнутую поверхность, окружающую антенну. Удобнее
всего принять ее равной s, -ф- S. Введем сферическую систему координат
с центром О в некоторой точке раскрыва и полярной осЬю Oz, перпенди-
кулярной ему. Для того, чтобы подсчитать поле в дальней зоне по фор-
мулам (21) или (21а), необходимо знать векторы F и [см. формулу
(22)] или, другими словами, касательные составляющие векторов! Е и Н
на замкнутой поверхности s = S -ф- st. Задача точного нахождения каса-
тельных составляющих Е и Н на Si -ф- S весьма сложна математически
и может быть решена в настоящее время лишь в некоторых, наиболее
простых частных случаях (полубесконечный волновод, излучающий из
открытого конца, и т. п ). Поэтому нам придется для нахождения вели-
чин [£п] и [Нп] на s пользоваться приближенными методами, в соответст-
вии с идеями Гюйгенса и Кирхгофа. Предполагая металлическую поверх-
ность s, идеально проводящей, можно* положить [Еп] — 0 на

Что же касается значения [Нп] на д(, то оно, вообще говоря, отлично

от нуля, так как на внешнюю металлическую поверхность антенны зате-

* В некоторых случаях раскрыв целесообразно взять в виде искривленной по-
верхности, совпадающей с фазовым фронтом поля (например, в случае рупорных
аитеин).
кают токи. Однако обычно эти токи малы, и мы будем ими пренебрегать,
полагая также

\Нп} = 0 на 5ь

Учитывая оказанное, формулам (22) можно придать вид:

?= ( [Яп] e'fePcos8fifs;
з

Fи j [£ n] eik?cos 8 ds.
s

(23)

Интегрирование в формуле (23) происходит только1 по поверхности излу-
чающего раскрыва S. В тех практических случаях, которые мы будем в
дальнейшем рассматривать, можно с достаточным приближением пола-
1 > - ►

гать, что касательные составляющие Ef и Н( полей в раскрыве связаны
между собой так же, как и в плоской волне, т. е. считать их взаимно1 пер-
пендикулярными и отличающимися друг от друга по абсолютной величи-
не на некоторый постоянный коэффициент а, имеющий характер волно-
вого сопротивления:

или, что то же самое, I,

► 1 ->-> , (24)

Ht = — [nfj.

Легко убедиться, что такие соотношения имеют место в раскрыве волно-
вода, если при отражении от раскрыва не возбуждаются волны высших
типов*, а также в раскрыве зеркала, где просто

=120л ом,

если облучатель находится в фокусе зеркала.

Для других случаев коэффициент а надо специально определять.

Так, например, если на плоскость раскрыва S изнутри падает плос-
кая волна в направлении, составляющем угол 0 с направлением (—п),
причем электрический вектор Е наклонен под углом о к плоскости па-
дения (что, например, имеет место в случае зеркала с вынесенным из фо-
куса на небольшую величину облучателем), то коэффициент а, как лег-
ко подсчитать, будет равен:

а = 120тс

1 + ctg2 ср cos2 0

ctg2 cos2 0

(24а)

Формулы (23) при сделанных предположениях (24) можно записать
в виде выражений:

F = — J [п[Е п\ ] eik?cos8 cis; (25а)

* Соотношение (24) с постоянным коэффициентом а для поля в раскрыве ру-
порной антенны может быть введено только в том случае, когда раскрыв взят в виде
фазового фронта волны в рупоре.
Fv. = — ) n] e1^cos 9 ds, (256i

в которые входит только касательная ‘составляющая вектора Е на по-
верхности раскрыва 5. Так как раскрыв S — плоский и вектор п постоя-
нен на нем и равен орту(—iz), то векторы F и Fy. ,как легко видеть, свя-
заны между собой простым соотношением:

(26)
а

Формулы (25), (26) совместно с формулой (21) дают возможность
легко рассчитать поле излучающего раскрыва в дальней зоне- Ему мож-
но придать еще более простой вид, если, воспользовавшись постоянством
вектора п — — 1г в плоскости раскрыва S и тем, что [Еп] = [£, п ], где
Et — составляющая вектора Е, тангенциальная к плоскости раскрыва,
записать вектор Fy. [ом. формулу (256) ] .в виде:

F>=-[Nn], (27а)

где ,

/Vs Efeik?c0Sbds. (276)

Подставив выражение для Fy [см. формулу (27а)] в формулу (21) и
воспользовавшись соотношением (26), получим:

где N определяется формулой (276) *.

Определив вектор Е по формуле (28), найдем Н в дальней зоне при
помощи соотношения

н= ]/- [7*2].

Г р.

Полученные выражения для поля, как это ‘следует из вывода, явля-
ются приближенными даже в том случае, если мы в' выражение для век-
тора N [см. формулу (276)] подставим абсолютно точное значение тан-
генциальной составляющей электрического поля в раскрыве. Это* следует
из того, что мы при выводе сделали ряд предположений, которые обычно
не выполняются. Так, например, соотношение (24) между Ef и Hf в
. раскрыве выполняется, обычно, только приближенно, даже в том случае,
если оно справедливо для первичной падающей на раскрыв волны. Так-
же неверно- сделанное нами -выше предположение, что наряду с Et обра-

* Если раскрыв
в пределах раскрыва
Перейти к вектору N

антенны — неплоский, то вектор п нельзя считать постоянным
и пЬле излучения следует считать по формулам (21) и (25).

в этом случае, как правило, не удается.
щается в нуль и Ht на внешней металлической поверхности s. Мы уже
отмечали выше, что вследствие затекания токов на внешнюю сторону
металлической поверхности, Ht на ней должно быть отлично от нуля.
Более того, само предположение об одновременном обращении в нуль
тангенциальных составляющих £ и 77 на некоторой конечной поверхно-
сти s внутреннее 'противоречиво, ибо отсюда следует, что при этом поле
должно быть всюду тождественно равным нулю. Можно> показать, что
полученное при данных предположениях решение, хотя и удовлетворяет
самим уравнениям Максвелла, но при этом не выполняются точно постав-
ленные граничные условия на замкнутой поверхности s, 4- S, т. е. это
решение будет иметь отличными от нуля касательные составляющие век-
торов £ и 77 на металле (s,). Несмотря на приближенность полученных
формул, они очень полезны на практике, так как позволяют относитель-
но просто находить поле для всевозможных сложных встречающихся на
практике антенных систем с излучающим плоским раскрывом S при лю-
бой конфигурации металлической поверхности антенны. Опыт и строгие
расчеты в' тех 'случаях, когда они возможны, показывают, что в случае
больших * (по сравнению с длиной волны) линейных размеров раскрыва,
т. е. для сравнительно остронаправленных антенн, полученные формулы
дают хорошее совпадение с действительностью для главного и первых
боковых лепестков диаграммы направленности. Значительно хуже пере-
даются формулами задние лепестки, и в большинстве случаев пользо-
ваться этими формулами для расчета задних лепестков не рекомендуется.

Рассмотрим еще вопрос о методах нахождения тангенциальной со-
ставляющей Et на поверхности раскрыва антенны, знание которой необ-
ходимо для расчетов по формулам (276) и (28). Точное значение этой
величины может быть получено лишь посЛе строгого решения задачи, что,
как уже говорилось выше, представляет значительные трудности для
большинства реальных антенных систем. Поэтому на практике применя-
ют метод, аналогичный используемому в оптике при расчете дифракции
на отверстиях с помощью принципа Гюйгенса. Он заключается в том,
что поле в раскрыве считается равным полю первичной падающей волны.
Так, например, в случае рупора (или волновода) в формулы (25) и (27)
подставляется поле падающей волны в этом сечении рупора, в предполо-
жении, что' рупор (или волновод) бесконечно длинен. Для зеркала поле
в раскрыве считается равным полю отраженной от зеркала волны, кото-
рая находится методами геометрической оптики.

Второй метод расчета полей

Рассмотрим еще один приближенный метод расчета поля, создавае-
мого плоским излучающим раскрывом антенной системы. В этом методе
задача о данной излучающей системе заменяется некоторой другой зада-
чей, в которой к раскрыву добавляется бесконечный металлический фла-
нец (рис. 7.4), и таким образом задача сводится к расчету излучения че-
рез отверстие в бесконечном металлическом экране. Если рассматривае-
мая антенна обладает достаточно большой направленностью, то поле, из-
лучаемое .ею, в точках геометрической плоскости, являющейся продолже-

* Практически этими формулами пользуются уже при размерах раскрыва,

больших —

(волноводы с открытым концом).
нием плоскости раскрыва (плоскость St иа рис. 7.4), практически весьма
мало. Поэтому металлизация этой плоскости (помещение в ней фланца)
мало изменит поле в переднем полупространстве и вполне допустима.
При решении этой идеализированной задачи поле в раскрыве задается
при помощи тех же приемов, как и в предыдущем случае. Однако даль-
нейшее решение задачи производится совершенно строго, и на металли-
ческом фланце ставятся точные граничные условия: Et — 0.

Задача приводится, таким образом, к первой граничной задаче элек-
тродинамики, т. е. нахождению поля в правом полупространстве (рис., 7.4)
по заданным значениям касательной составляющей электрического поля
на бесконечной плоскости St + S. Эта за-
дача может быть решена абсолютно строго,
и найденное решение будет удовлетворять
как уравнениям Максвелла, так и гранич-
ным условиям на 5^ S.

Перейдем к решению этой задачи по
только что намеченному плану. Для этого
используем формулы (3) и (1а). Ограничим-
ся нахождением только электрического поля.
Оно будет равно полю, возбуждаемому маг-
нитными токами, распределенными на пло-
скости St S с плотностью К<>.= — [(§«],
где вектор $ — касательная составляющая
скости Si S. Очевидно, что на St (§ =0,
дано. Напомним, что при нахождении поля

тается идеально проводящей. Нахождение этого поля в рассматриваемом
случае несложно, ибо оно просто равно удвоенному полю указанных
выше магнитных токов в свободном пространстве, так как влияние ме-
таллического экрана учитывается с помощью зеркального изображения,
совпадающего в данном случае с самим током *. Электрическое поле
магнитного тока, согласно формуле (II.56а), равно:

Рис. 7 4.

электрического поля в пло-
а на S — должно быть за-
вся плоскость St -4- S счи-

Кр. • grad

5,4-5 ’
(в формулу введена двойка).

Заменяя Ки. его значением, получим:

(29)

Для дальней зоны эта формула [см. формулы (22) и (21а)] примет вид:

—> h л — I kR —> —►

(30)

где

Fn = — J [<£ ri\ e">cos9 ds. (30а)

_________________ 5

* Напомним, что в случае магнитного тока, помещенного параллельно над бес-
конечным электрически идеально проводящим экраном, влияние последнего учитывает-
ся при помощи зеркального изображения этого тока, имеющего ту же фазу.
Подставляя Fp. в формулу (30) и учитывая, что п — постоянный вектор,
получим:

—► h р~~ ikR —> —► —>

£ = [дап]], (31)

2тгг R

где

N — f ^?e‘‘*Pcos9 ds. (31 а)

Формула (31) весьма компактна и очень удобна для оасчета диа-
грамм направленности антенн с излучающим раскрывом.

Представляет интерес сравнить формулу (31) с аналогичной форму-
лой (28), выведенной в предыдущем параграфе. В отличие от (31), фор-
мула (28) состоит из двух слагаемых, причем первое из них совпадает
с выражением (31), отличаясь от него только множителем 1/2. Легко,
однако, видеть, что в направлениях, близких к перпендикуляру к рас-
крыву, когда in ш —п и при условии, что формулы (28) и

(31) совпадают- Очевидно, что для остронаправленных антенн, излучаю-
щих нормально, или почти нормально раскрыву, в пределах главного ле-
пестка и нескольких ближайших к нему боковых оба эти условия всегда
выполнены и можно пользоваться для расчета любой из указанных фор-
мул. Действительно, выполнение первого- условия (in —п) очевидно,
что же касается второго (а > то> так как остронаправленные

антенны обладают большими, по сравнению с длиной волны, раскрывами,
волновое сопротивление поля в них а практически совпадает с вол-
новым сопротивлением свободного пространства Случай же на-

клонного падения, когда а определяется формулой (24а), исключается,
вследствие сделанного выше ограничения направлений главного макси-
мума диаграммы направленности антенны направлениями, близкими к
нормали. В тех случаях, когда излучающие раскрывы невелики
(например, излучение из конца нормального волновода), т. е. диаграм-
мы направленности широки, или в -случае остронаправленных антенн с
главным лепестком, сильно отклоненным от нормали, когда поле, излу-
ченное в направлениях, лежащих в1 плоскости раскрыва, довольно значи-
тельно, формулы (28) и (31) существенно различны. Это и понятно, так
как в этом случае помещение металлического фланца существенно изме-
няет диаграмму направленности. Поэтому расчет по формуле (31), про-
водящийся в предположении наличия фланца, будет давать результаты,
отличные от результатов расчета по формуле (28), при выводе которой
наличие фланца не предполагалось. Очевидно, что в случаях, если
антенна в действительности не имеет фланца, расчет -следует произво-
дить по формуле (28). Отметим, что поскольку при выводе форму-'
лы (31) нет необходимости знать выражение для вектора Н в раскрыве
и пользоваться для этого соотношением (24), то формула (31) может
с одинаковым успехом использоваться при любых законах распределе-
ния поля <§ в раскрыве. Последний обязательно должен при этом счи-
таться плоским.
§ 6. КОЭФФИЦИЕНТ НАПРАВЛЕННОГО ДЕЙСТВИЯ ПЛОСКИХ РАСКРЫВОВ

Для расчета коэффициента направленного действия излучающего'
раскрыва используем формулу (III.15):

0(0, <р) = . (32?

Полную излучаемую мощность Pl нецелесообразно находить инте-
грированием вектора Умова-Пойнтинга через поверхность сферы беско-
нечно большого радиуса, ввиду трудности вычисления получающихся при
этом интегралов. Гораздо проще найти ее, интегрируя этот вектор По по-
верхности самого раскрыва (очевидно, что при этом мы получим ту же
самую величину Ps ), согласно формуле

= ~2 Re f d$‘ (33)

В этом случае, однако, необходимо знать связь между векторами поля
и h в самом раскрыве. В первом методе пасчета, изложенном в пре-
дыдущем параграфе, эта связь выражалась формулой (24):

$ = а [ h п]. (а)

(В = (а) введены обозначения Ef, h = Hf для тангенциальных
компонентов векторов поля в раскрыве). Используя {а}, получим:

' 7 f \^ds- (34)

При использовании второго метода расчета для вычисления полей в про-
странстве достаточно задать в раскрыве лишь одно распределение $ .
Путем предельного перехода от точки наблюдения, находящейся в про-
странстве, к точке, лежащей на самом раскрыве, можно было бы опре-
делить h в раскрыве. Однако получающиеся формулы громозд-
ки, поэтому целесообразно и в этом случае для определения h исполь-

зовать соотношение (а), тем более, что и значение £ в раскрыве берется
приближенно, в соответствии с допущениями принципа Гюйгенса. Отме-
тим, что соотношение (а) при а — const в пределах всего раскрыва со-
ответствует либо постоянному, либо линейному распределению фазы по-
ля в раскрыве. Для рассмотрения нелинейных фазовых распределений
поля в раскрыве необходимо считать а функцией точки в раскрыве (так
как при этом волну, возбуждающую раскрыв, нельзя считать плоской).
Можно, однако, вычислять Ps по формуле (34), где S взята в виде по-
верхности фазового фронта волны (несовпадающего, в общем случае, с
раскрывом антенны), благодаря чему а будет постоянной величиной.
Это подробнее рассмотрено в главе IX (часть II).

Мощность Р(0,<р). излученную в направлении в. <р (отнесенную к
единице телесного угла), легко определить из соотношения, справедли-
вого для полей в дальней зоне [см. формулы (7), (9) и (10)]:

р(в>^ = Т]/ у 1£|2Я2'
Для двух методов расчета, рассмотренных в предыдущем парагра-
фе, будем иметь, согласно формулам (28) и (31):

п —

Р(0,?) =

2 к2

— ПМЙ«]]|’.
Р-

(356)

В соответствии с формулами (32), (34) и (35) к. н. д. излучающего
раскрыва определится выражениями:

П —

ir 2V
s /

a
к2

j l£|2^

; (36a)

_4к /-V . |(/д[2Уп] ] |г

Х2 И Н j |(g|2rfS

(366)

Так как угол Э в формуле (31a) есть угол между радиусами-векторами
точки наблюдения R и точки р , по координатам которой происходит инте-
грирование, то в направлении оси z (0 — 0) будем иметь & = 90° и

Ir= — п. Поэтому для к. н. д. в направлении оси z формулы
чительно упрощаются:

(36) зна-

где

При а —

£
е

Do=— А
I2

(37)

(38a)

(386)

(нормальное падение плоской волны на

раскрыв)

будем иметь для Do выражение, одинаковое в обоих случаях:

D _ 4, I"-!’

>’ J|JFas ' »

3 3

(39)

Если 4 и I, — координатные орты декартовой системы координат,
—> —►

лежащие в плоскости раскрыва (образующие с i2 = —п правую трой-
ку) , то вектор N в общем случае можно представить в виде:

N=N,iK + Nvir

(40)

£>(0,<p) =

A =

a
Подставляя выражение (40) в формулу (366) и вводя обозначение

= (41)

после несложных преобразований получим:

0(0,?) = 4^“ 1Z— т, (42)

где коэффициент т определяется формулой:

т = (1 4- 72) cos20 + (cos2? + ?2sin2? + 7cosр sin 2?) sin2 0. (43)

В направлении оси г 0 = 0 и
т = m(l s (1 + ?2). (43а)

При круговой поляризации поля в раскрыве 7 = 1 и Р = , откуда

т — 1 4- cos20; zra0 = 2; 12V |2 = 21Л^. |2. (44а)

При линейно поляризованном, в направлении ix, поле у — 0 и

т = cos2 0 -(- cos’ ? sin2 0=1— sin2 0 sin2 ?;

w0=l, 1/V|2 = I Nx I2. (446)

Множитель m в случае линейной поляризации поля в раскрыве имеет
вид диаграммы направленности по мощности элементарного диполя,
расположенного вдоль оси Ох. Это и неудивительно, ибо раскрыв при
этом можно рассматривать как непрерывную решетку параллельных оси
Ох диполей, и, согласно теории решеток, диаграмма раскрыва по мощно-
сти [т. е. Р( 0, ? )] должна иметь вид произведения диаграммы диполя
на множитель решетки. В общем случае раскрыв можно рассматривать
как систему взаимно перпендикулярных диполей, параллельных осям Ох
и Оу. Если эти диполи возбуждаются точно в квадратуре, то мощности,
излучаемые ими, можно, очевидно, просто сложить. Диаграмма элемента
такой решетки, т. е. коэффициент т, будет при этом равна:

т = тх + т2 = (1 — sin2 0 sin2 ?) + у2 (1 — sin2 0 cos2 ®) =

— (1 + у2) — sin2 0 (sin2 ? + у2 cos2 ?).

Это выражение совпадает с выражением (43), если в последнем поло-
1С

жить р = — , а при у=1 оно перейдет в (44а).

Формула (42) определяет полный к. н. д. раскрыва, учитывающий
мощность, излучаемую как за счет (§х, так и за счет (§у. Представляет
практический интерес рассмотреть отдельно и парциальные к. н. д. для
мощностей, излучаемых за счет отдельных линейно поляризованных ком-
понент поля, относя их попрежнему к полной излучаемой мощности [ом.
формулу (III.18)]. Соответствующие формулы легко получить из (42),
полагая в ней, для определения ЦД0, ?), 7=0, а для определения 0^(0,?),
-у = оо . В направлении 0 = 0 будем при этом иметь:

^=^777-
При чисто круговой поляризации Dx0 = Dy0 — O,5Do, поскольку мощ-
ность поровну разделяется между обеими компонентами поля в рас-
крыве.

В частном случае, когда постоянно в оаскрыве антенны, в направ-
лении (-) — 0 имеем:

|И3

---------= ---------=s, (46)
flcgl2^ Us

где S — геометрическая площадь раскрыва. Легко показать, что при лю-
бых других распределениях в раскрыве это отношение будет меньше
S- Действительно, представляя в общем случае <£ в виде (£= 19

и используя неравенство Буняковского-Шварца, найдем:

I f J 1&Г dS- ldS = Sl \$х I2 dS-,

S S S S (47)

Складывая неравенства (47), получим искомое соотношение:

I J&USl’ + Is^wdS\2 = |f SdS\- < S f {+ | & H dS =
= s ds,
s
t. e.

| f^Sj’ < S f|<g Г dS. (48)

s s

Перепишем (48) в виде:

I f^r

—-------= gS, где g < 1. (49)

fl?|US
s

Формула (39) для к. н. д. в направлении Н= 0 примет при а = р/'-у
следующий вид:

D6=^gS. (50)

А**

Максимальная величина к. н. д. имеет место при g = 1:

£>max= (51>

Она соответствует, как было показано выше, случаю, когда в раскрыве-
вектор постоянен. Коэффициент g, равный, согласно (50) и (51),

«= К8- - <52>

•L-'max

называют коэффициентом использования площади раскрыва (к. и.. п.)_
ГЛАВА VIII

ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ ПЛОСКИХ РАСКРЫВОВ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО К АНТЕННАМ СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ

§ 1. ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ И К. Н. Д. ПРЯМОУГОЛЬНОГО
РАСКРЫВА

Для более детального исследования диаграмм направленности рас-
крывов при различных распределениях поля выберем раскрыв простей-
шей — прямоугольной формы со сторонами а и Ь. Будем считать, что
а 1/ 7- = 1, а поле в раскрыве — линейно поляризовано ( £= и

Рис. 8.1.

синфазно. В силу последнего предположения, главный максимум диа-
граммы направленности раскрыва будет ориентирован в направлении
9=0 (рис. 8.1). Формулы (VII.42) и (VII.39) для рассматриваемого
случая примут вид:

Я&Ч) = 77 X
А/

. aj2 b/2

gik (x sin ® sin ф + у sin 0 cos cp)

— g/2 — b/2

aft Ы2

J J \S* {x,y)\2 dxdy

- a/2 - bft

(1 — sin2 0 sin2 ®);

(la)

aft bft

(15}

aft J J 1(8* (x, У) I2 dxdy
—. л!1) —hl*).

- a/2 -bft
Нормированная диаграмма направленности раскрыва по мощности
равна, очевидно,

Ф (0, ?) - D . (2)

Множитель (1 — sin2 0 sin2 ср ) мы не будем учитывать, так как для син-
фазных раскрывов больших, по сравнению с X, размеров диаграмма на-
правленности достаточно узка, и он практически не влияет на ее форму.
Таким образом, приближенно (см. 1а и 16).

, а'2 Ь/2

Ф (0, <р).......|f ( <§х(х,у) Ф*(*51п08!п1р + y^^^^dxdy |2- (3)

Фтах — «/2 -»/2

Ограничимся рассмотрением таких распределений поля по раскрыву, ко-
торые могут быть представлены в виде произведения

^(My) = Fj(x)F2(j). (4)

При этом двойные интегралы по S в формулах (1а), (15) и (|3) преоб-
разуются в произведения однократных интегралов. Диаграммы направ-

ТС

ленности в главных плоскостях — xz(y — 0, <?=—), или Е-плоскости, и
ух! (х = 0, ср = 0), или //-плоскости * будут, очевидно, полностью опре-
деляться распределением поля по раскрыву в соответствующих направ-
лениях:

г>/2

, v I!

vr’V)“(l 5----------;

\ / \ — а/2 / max

• (5)

а/2

/ й/2 \2 И Fi(yc)dx\‘t

Ф"(0,О)= у д2 Су) eosine -----------

\ — b;2 1 ™ max

В простейшем случае равномерного синфазного распределения (х) —
= F2(z/) — const будем иметь:

ф(М) =

• ( ка • а • \ . / ld> • а

sin I---sin 0 SIH Ф SHI ------------sin 0 COS 4>

\ x у X

r.a . „ . nb . Q

----sin 0 sin <p — sin 0 cos ip

k X

(6)

Диаграммы направленности в E- и //-плоскостях, Ф£(0) и Фн(0), выра-
. .. sin и

жаются при этом одной и той же функцией -----, где

и =

пи

- sin 0, Д-плоскость;

X ’

г.Ъ . п „

— sin 0, //-ПЛОСКОСТЬ.

(7)

* По условию в раскрыве (q^Ox. Очевидно, что при этом Л ft Оу.
Диаграммы направленности этого вида анализировались подробно в гла-
ве IV, при рассмотрении равномерных непрерывных решеток. Поэтому,,
не останавливаясь вторично на исследовании свойств этих диаграмм,
приведем лишь основные расчетные формулы. К. н. д. прямоугольного
раскрыва с равномерным синфазным распределением поля выражается
простой формулой:

Do= — ab. (8)

0 к2

Коэффициент использования g = 1, т. е. максимален. Ширина главного
лепестка диаграммы направленности по нулям и по 0,5 мощности в Е- и
//-плоскостях равна (в радианах):

П k 2k 0 . 1,39k п „ к

O^ = 2arcsm — , Ф,,, =-Дагс sin------^0,8 —;

a a Tia а

„ .к 2к „ о . 1,39к . о к

Ф// = 2агсзш — , Ф" =2arcsin---------= 0,8 — .

0 b b 0,5 Tib b

Таким образом, ширина диаграмм направленности в Е- и //-плоскостях
определяется лишь размером раскрыва в соответствующей плоскости.
В других плоскостях, очевидно, ширина диаграммы направленности бу-
дет зависеть как от величины а, так и от величины Ь. Найдем, для при-
мера, ширину диаграммы направленности в диагональной плоскости

®= — для частного случая а = Ь. В этой плоскости, согласно (6),
4

sin | -0,707 sin 0)

\ к

— 0,707 sin 0
к

Уровню Ф 0, — I = 0,5 соответствует
\ 4 )

sin (-^--0,707sin0

\ к /

откуда

тг /7

——•0,707 sin0
к

= Vo,5 0,84,

— -0,707 sin 0 — 1,005
к

Ф0?5 “ ^аГС Sin

1,005к
0,707^а

2,01 к

0,707ла '

Эффективный поперечник аЭфф, при котором Ф„55 выражалось бы фор-
мулой, аналогичной (9), будет, очевидно, равен:

аЭфф = 0,978а.

Таким образом, аэфф значительно меньше диагонали (равной 1,41а)
квадратного раскрыва антенны и приблизительно равен стороне раскрыва.
Диаграммы направленности прямоугольного раскрыва в главных
{Е- и Н-) плоскостях обращаются в нуль для значений и = ик = п~,
п = + 1, + 2,. •. [см. формулу (7)]. Положения побочных максимумов
диаграммы направленности можно определить из условия

d /sin и
du \ и

откуда получим трансцендентное уравнение
и, = tg и.

Для решений этого уравнения и = ит имеем:

Так как функция Ч’7- н нормирована на

Ч* Е'НЮ =

1 + V ’
единицу, то

соответствует величине максимума бокового лепестка номера т по мощ-
ности. Направления вт, соответствующие максимумам боковых лепест-
й , Ь .. . ,

ков, при —2> 1, — ^>1, определяются формулами:

k к

—-— , Е плоскость;

ка

Ы.У. U

—-— , п - плоскость.

кЬ

(10)

В таблице 1 приведены значения 'Г К) и Ат = для ряда
к

первых боковых лепестков. Здесь же, для сравнения, приведены прибли-
женные значения этих величин, найденные приближенным способом,
как и в гл. IV.

Таблица 1

т 1 2 3 4 5
и^. 4,4334 ' 7,7253 10,9041 14,0662 17,2208
«•(ит)=—Ц- 0,0425 0,0165 0,0083 0,005 0,0034
дт=-^ 1,43 2,46 3,47 4,48 5,48
It 2/n4-l 4,71 7,85 10,99 14,13 17,27
Г 1 I2 Т(ит)= — 0,044 0,016 0,0081 0,0049 0,0033
т [(2«+1)Д А = 2^ т 2 1,5 2,50 3,5 8,45 5,5

к
Из данных таблиц следует, что, уже начиная с четвертого бокового лепе-
стка, ошибка, при пользовании приближенными формулами, в величине
лепестка меньше1 2%, а в величине коэффициента Ат— меньше 0,4%.

Перейдем к рассмотрению диаграмм направленности прямоугольных
раскрывов с более сложным распределением поля. Воспользуемся
тем, что при выполнении условия (4) диаграммы направленности
раскрыва в главных плоскостях определяются лишь распределениями
поля по раскрыву вдоль осей Ох и Оу. Это дает возможность значитель-
но упростить все расчеты, особенно1 если добавочно положить, что в од-
ном из направлений, например вдоль оси Оу, распределение поля равно-
мерно, т. е. F2(i/)= 1. При этом выражение для диаграммы направлен-
ности в f-плоскости (у — О'), с точностью до нормирующего множителя,
«будет [см. формулу (5)]:

а/2

Ф£ (О) = I J Fj (х) eikx sin 0 dx I2.
— а/2

Вводя безразмерные переменные

, 2х feasinO

В = -—• , и —---------,

(И)

(12а)

приведем выражение (11) к более удобному виду:

Ф£(а)= ] ,Г fk)eil*di\* .

(126)

К- н. д. раскрыва в направлении 0 = 0 выражается формулой (15),
где коэффициент использования g равен:

1 IJ
g~ 2 “+ i

J J/(5)l2

(13)

Произвольная вещественная функция f 1В) (мы ограничиваемся рас-
смотрением синфазно возбуждаемых раскрывов) может быть всегда пред-
ставлена в виде суммы четных и нечетных (относительно центра раскры-
ва) компонент:

/(() = /,„(()+/„(£>. /,„(-() =Л..Й. /и(-«) = -Л,(5). ]

Л„(() = /«)+/(-*)., Лчй =/ИН/ЫГ. (14)

Используя это' представление, найдем:

+1 1

F («) = J /(£)е'ш'' = /чет (В) cos а В rfB +
-1 о

+ 2i J /нч (В) sin и В di = Fi (а) + iFt (а),
о

Величина F (и) с точностью до множителя, не зависящего от величины
и, пропорциональна напряженности поля, излучаемого раскрывом в' нап-
равлении, соответствующем и [см. формулу .(12а)], т. е. представляет со-
бой диаграмму направленности раскрыва по полю в f-плоскости. Из вы-
ражения (15) следует, что эта диаграмма, в общем случае комплексная,
при чисто четном или чисто нечетном, относительно центра раскрыва,
распределении поля будет вещественной (с точностью до постоянного
комплексного, множителя) функцией аргумента и, а центр раскрыва бу-
дет его фазовым центром. Как Л(«), так и F2(h) представляют собой
функции и, принимающие в общем случае как положительные, так и от-
рицательные значения. Таким образом, для четных или нечетных распре-
делений диаграмма направленности будет состоять из ряда лепестков,
разделенных нулями. Нули функций Fi(w) и F2(w), очевидно, не совпа-
дают. Поэтому в общем (случае при несимметричном распределении /(5)
диаграмма направленности раскрыва по мощности

Vе (и) = |Л(«)|2 + 1^г(«)|2 (16}

не будет иметь нулей. Однако, несмотря на асимметрию функции рас-
пределения поля, диаграмма направленности Чг£'(и| будет симметрична
относительно оси Oz (это будет всегда при синфазности ноля в раскры-
ве). Функцию распределения /($) можно представить в виде степенного
ряда:

со

/(?)= S слу.

(17}

Подставляя выражение (17) в формулу (15), после интегрирования най-
дем:

Sd'in

du.2"
п “ О
оо

F3 («) = -£ С2„ +1 (-1)» Ч (18}

“ du2n +1

л = 0

+1 _ sin и

где q(u) = J eia^d^ — 2 ~- — диаграмма направленности по полю

равномерно и синфазно возбуждаемого раскрыва. Подставляя (17) в
формулу (13), найдем также и выражение для коэффициента использо-
вания раскрыва:

у с»< 2

2^+1

Sy СкС2п .к

2п + 1

п = 0 k = 0

Хотя любая практически реализуемая функция распределения /(£)
может быть представлена в виде степенного ряда (17), однако такое
представление рационально использовать лишь в тех случаях, когда мож-
но ограничиться небольшим числом членов ряда. Рассмотрим несколь-
ко наиболее простых примеров, которые, однако, весьма часто встреча-
ются на практике. К ним относятся:
а) симметричное треугольное распределение

/(?)=! -IN;

б) спадающее параболическое распределение

/(£) —1 — а”, где а — параметр распределения, 0<а< 1;

в) несимметричное треугольное распределение

/(!) = 1 -

Для распределения /(%)== 1 - | z | нельзя непосредственно восполь-
зоваться формулами (18) и (19), однако нетрудно показать путем рас-
чета по основным формулам (12) и (13), что в этом случае

Г / и \~14
зт —

= , £-0.75. (20)

- 2

Для остальных двух случаев имеем:

б)/(^)==1-7Р; С', 1; Cj = O; С2 = - а; Си = 0; п>3,

F] (и) = q (и) + а—-—q (и); F-, (и) = 0;
diF

2k ; 1

п = 0

откуда

’1;7? (и) =

sin и
и

d2 sin и "I2

du2 и

+ а

(21)

1 — — а + — а2

3 5

g =

e)/(E) —1 —Е; Со = 1; ^ = —1; С„ = 0, п > 2;

Fi (и) =q (и); F, (и)=—?(и);
du

оо схз 2п

2&+1 2/z-|-l 3 3 3

k = 0 n = 0 k = 0

13. Фельд, Бененсон. 193
откуда

sin и Г

£ = 0,75.

' d sin и I2
du и

(22)

Диаграмма направленности при таком распределении, действительно, не
будет иметь нулей, ибо нули функ-
, sin и
ции q(u) =-------------------------------------------соответствуют

максимумам ее производной и на-
оборот. Построенная в функции
аргумента и диаграмма направ-
ленности (22) приведена на
рис. 8.2. Диаграммы направлен-
ности при равномерном и спадаю-
щем к краям раскрыва амплитуд-
ном распределении приведены на
рис. 8.3. В таблице 2 даны значе-
ния коэффициента использования
поверхности раскрыва, ширины
диаграммы направленности по 0,5
мощности, положения первого ну-
ля диаграммы направленности и
максимума первого бокового ле-
пестка (в дб по отношению к
главному максимуму) для рас-
смотренных случаев «а» и «б».
При а — 0 случай «б», очевидно,
переходит в обычное равномерное
распределение.

Таблица 2

Характеристики диаграмм направленности для симметричных

распределений типа /(?) = 1 — | £ | и / (В) = 1 — а $2

Закон рас- пределения Коэффици- ент исполь- зования Ширина диа- граммы направ- ленности по 0,5 мощности в ра- дианах, Фо 5 Положение пер- вого нуля диаг- раммы, в радианах, (% Максимум пер- вого лепестка (в дб по отноше- нию к главному максимуму)
Z(£) = 1 — 1 0,75 1,28 А а 2 А а 26,4
а 1 0,833 1,15 А а 1,43 А а 20,6
ел 8 1 а = 0,8 0,970 0,97 А а 1,14 А а 17,1
II W1 а = 0,5 0,994 0,92 А а 1,об А а 15,8
а == 0 1,0 0,88 А а X а 13,2
Распределение поля в раскрыве часто может быть аппроксимирова-
но какой-либо простой трансцендентной функцией, например тригоно-
метрической. При вычислении диаграмм направленности таких раскры-
вов нецелесообразно применять разложение типа (17), так как пришлось
бы удерживать большое число членов ряда. В этих случаях необходимо
использовать исходные формулы (12) и (13).

JrasinB
Л

Рис. 8.3. Диаграммы направленности прямоугольного синфазного рас-
крыва при равномерном (а) и спадающем (б и в) распределениях ампли-
туды поля в раскрыве.
Рассмотрим для примера распределение

= cos" "’ ,

« > 1,

(23)

соответствующее плавно спадающей к краям раскрыва амплитуде поля;
быстрота спадания при удалении от центра раскрыва, очевидно, будет
расти с увеличением степени п. Вычислим прежде всего интеграл:

где С" —- биномиальные коэффициенты-

Необходимо рассматривать раздельно случаи четного и нечетного п.
Для четного п получим:

. • (24а)

При этом использовалось свойство биномиальных коэффициентов:

О = С
а

П ~ а

Полученные выражения для /„ (а) довольно громоздки. Однако их
можно значительно' упростить. Проще всего это можно сделать, вычис-
ляя ZJzz) по формулам (24а) для нескольких первых степеней п и под-
мечая общий закон суммирования указанных выражений. В результате
получим:

sin и

п — четное;

Ш") =

— cos и
It

(Q46)
п — нечетное.

В главном направлении, т. е. при и — 0, будем иметь:

4Р) =

2
(26)!!

4 £26)!!____

тг (Ъ + 1)!! ’

п = 2k,

/г = 2/г + 1.

Здесь (2Л)!1 и (2k + 1)!! означают, как обычно, произведение четных и,
соответственно, нечетных чисел натурального ряда. Диаграмма направ-
ленности раскрыва по мощности будет выражаться, согласно (12), фор-
мулой:

(26)

Для нормировки к единице необходимо \1п(и] |2 разделить на 1/„ (0)
Коэффициент использования раскрыва найдем по формуле (13). Входя-

+ 1

щий в эту формулу интеграл ( /(;)о!~ равен, очевидно,/„(0). Интеграл
и 1

+1 -11

j | /(;) |2 d4 - - j cos2"—- dx—табличный. Его значение равно:
— 1 — 1 "

+ 1

у cos2"

— 1

TZX ,
----dx

2 (2п — 1)!!
(2«)!!

(27)

. Подставляя значения этих интегралов из (25) и (27) в (13), найдем:

1 - 3-5 . . . (п — 1) • [« 4- 2) (« + 4). .. 2«
2-'4-6 . . . п-(п + 1) (« + 3) . . . (2п - 1) ’

2-4-6 ... («-- 1)

1•3-5 ... п

2-4-6.,.2п

1-3-5. . ,(2п - 1) ’

— четное.

(28)

п — нечетное.

В таблице 3 приведены некоторые характеристики диаграмм направлен-
ности раскрыва с распределением типа (23) при различных значениях
степени п.
Т а'б л и ц а 3

Значение п Коэффициент использования g Ширина диаграм- мы направлен- ности по 0,5 мощности (в радианах) Ф05 Положение пер- вого нуля диа- граммы (в ради- анах) 0О Максимум пер- вого бокового лепестка (в дб по отношению к главному макси- муму)
0 1 0,88 А а X а - 13.2
1 0,810 1,2 А а 1,5 а - 23
2 0,667 1,45 А а а - 32
3 0,557 1,66 А а 2,5 А а г - 10
4 0,515 1,93 А а 3 А а 48

Представляет интерес сравнить характеристики раскрывов с различ-
ными распределениями поля. Как и следовало ожидать, равномерному
распределению поля соответствует наиболее узкая диаграмма направлен-
ности и наибольший коэффициент использования, а стало быть, и макси-
мальный к. н. д. раскрыва. При уменьшении амплитуды поля на краях
раскрыва диаграммы расширяются, а к. и. п. и к. н. д. падают, причем
эти явления более резко выражены у раскрывов с распределением типа

ТТЛ

cos” —так как при этом имеет место более сильное спадание поля к краю

раскрыва. Следует обратить внимание на то, что уровень боковых лепе-
стков максимален при равномерном распределении и уменьшается в слу-
чае распределений со спадающей к краям раскрыва амплитудой (лепе-
стки полностью исчезают при распределении типа А соответствую-
щем гауссовой кривой ошибок), однако связанное с этим некоторое уве-
личение к. н. д. недостаточно для компенсации уменьшения к. и. д. за
счет расширения главного лепестка диаграммы направленности-

§ 2. ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО РАСКРЫВА ПР-И
НЕСИНФАЗНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПОЛЯ

Простейшее несинфазное распределение поля в раскрыве получится
при наклонном падении плоской волны на раскрыв. При этом, как видно

Рис. 8.4.

из рис. 8.4, фаза поля в раскрыве будет
линейно изменяться вдоль раскрыва по
закону ср = &xsin 0П, где х — координата
точки в раскрыве, 0(| — угол между нор-
малью к фронту волны и осью Oz. На
практике встречаются и нелинейные рас-
пределения фазы, которые обычно приня-
то называть, по- аналогии с оптикой, фазо-
выми искажениями или фазовыми ошиб-

ками, поскольку они приводят к нежела-
тельным искажениям Диаграммы направленности раскрыва. В общем слу-
чае распределение поля в раскрыве [мы попрежнему ограничимся рас-
смотрением линейной поляризации и распределений типа (4)] может
быть представлено в виде комплексной функции координаты точки в
раскрыве:

F(x)=f{x) е-^м, (29)

где f(x) — амплитудное, а ф(х) — фазовое распределения. Функцию
фазового распределения принято представлять в виде степенного ряда

ф (х) = ^хп. (30)

п = О

Члены этого ряда апхп соответствуют фазовым искажениям различных
порядков, аналогичных тем, которые анализируются в оптике, в теории
оптических инструментов. Так, член а2х2 соответствует сферической абер-
рации, член а3х3 — коме и т. д.

При выполнении условия (4) диаграмму направленности раскрыва
в плоскости хДпри наличии фазовых искажений можно будет, с точно-
стью до множителя, характеризующего диаграмму диполя [см. (1а) и ни-
же], записать в виде *

д'2

= (31а)

- а 2

В простейшем случае, когда ф (х) = аРу, т. е. имеет место линейное фазо-
вое распределение, всегда можно положить, в соответствии с рис. 8.4,
а1 = k sin Wo, т. е. ф (х) — kx sin в0, откуда

- Г «/2

Т’£'((9) = |У sin®o’t/х |‘. (32<

- л/2

Так как О Но ' 90°, а 0 < Н < 180°, то значения как sin Но, так и
sin0 лежат в интервале между 0 и 1, а их разность удовлетворяет не-
равенствам:

— 1 < (sin 0 — sin 0О) < 1

и, следовательно, может быть положена равной sin 0', где О'— новая пе-
ременная. Если перейти к переменной О', то формула (32) примет вид,
аналогичный случаю синфазного распределения поля [см- формулу (И)]:

ai2 *

>ГЛ'(0') = | J f\x) e’kxsln0Г dx I2 . (33)

— а/2

По отношению к углу 0' диаграмма направленности будет полностью
идентична диаграмме раскрыва с синфазным распределением f(x). Глав-
ному максимуму диаграммы соответствует значение В7 = 0. Это значит,
что в пространстве [см. формулу (32)] ему соответствует направление
9 = 0О. Действительно, если линейное фазовое распределение задано
выражением ф(х) = OjX, то, очевидно, Hmax = arc sin —. Так как пре-
k

* Выражение (31«) для диаграммы направленности при несинфазном распределе-
нии поля в раскрыве может быть легко получено из формулы (V. 31), если вектор (§
имеет лишь одну компоненту л размеры раскрыва достаточно велики.
образование углов при помощи соотношения sin Н' = sin 0 - sin 0О при-
водит к неравномерному расширению углов, то, помимо поворота направ-
ления главного максимума, меняются также ширина главного лепестка
и положения побочных лепестков (более подробно об этом уже говори-
лось в гл. IV, при рассмотрении решеток излучателей).

Рассмотрим искажения диаграмм направленности, вызываемые фа-
зовыми искажениями более высоких порядков. Пусть фазовое распреде-
ление может быть записано в виде одного члена

Ф (х) = ап х\

(34)

Подставляя это выражение в1 формулу (31) и переходя к безразмерным
я 2х feasinO _ , ,о1.

переменным £ =— , а =-----------, преобразуем формулу (31) с точно-

а 2

стью до постоянного множителя к виду:

Ф£(и) = | J bn '”}dtf ,

(35).

где

Член е ,Ь'

может быть разложен в степенной ряд:

е~ ibH

(3G)

Интеграл

i ( a\n

b — a { —

\ 2

m
п

т — О

,< («; - ь

и.

' dl

(35а)

входящий в формулу (35), примет при

этом вид:

+ 1

4 («)

т\

(37)

Так как

д
duk

f?/(c) eiu" dl,

то, применяя тот же прием, что и при выводе формулы (18), выразим
7o(w) через производные от значения этого интеграла в отсутствии фазо-
вых искажений, т. е. при Ьп = 0:

где

ОО

П Д3 " • bn дпт

т\ дапт

[4 (а)],

(38)

nt = 0
Ограничимся рассмотрением только квадратичных и кубичных фазовых
искажений (п = 2 и п = 3) и выпишем для них формулу (38):

к - О

(- 1)*й22* ‘ 1
(2/е + 1)!

^2(2* + 1)

ди1 (2fe + б

со

S/> т №т

т\ dirm

т — О

(39)

Для малых фазовых ошибок формулы (39) можно упростить, со-
хранив в них лишь два первых члена:

ЛИ^ЛЛи) i й2/0"(«);

А («) = Л (м) + \и].

(40)

Если амплитудное распределение f(x). — четная относительно центра
функция, то /о(«) — чисто вещественно [см. формулу (15)]. При этом
диаграммы направленности раскрыва по мощности равны [см. формулы

(35) и (35а)]:

Ч'£ («) [Z0(«)J2 + 1

Tf(a)-[/0(a) ДМО'''(<2- I

(41)

Сравним формулы (39) — (41), учитывающие фазовые искажения,
с формулами (16) — (18) для раскрывов с неравномерным амплитудным
р а сп р ед ел ен и ем.

Величина Zo(«) [см. формулу (38а)] в случае равномерного ампли-
тудного распределения переходит в величину д(и) [см. формулу (18)].
Формулы (41) отличаются (16) тем, что в них сохранены только те
производные, порядок которых кратен порядку фазовой ошибки. Суще-
ствуют и другие различия.

Например, как при четном, так и нечетном синфазном амплитуд-
ном распределении диаграмма всегда симметрична относительно оси
z = 0. Функция, определяющая диаграмму направленности, в первом
случае чисто вещественна, во втором — чисто мнима. В общем случае
диаграмма несимметрична, а функция, ее определяющая, — комплексная.
При четных (например, квадратичных) фазовых искажениях диаграмма
также симметрична, однако функция, ее определяющая, — комплексная.
При нечетных же (линейных, кубичных) фазовых искажениях диаграмма
будет несимметрична, хотя и определяется чисто вещественной функцией.

Поэтому отклонения амплитудного и фазового распределения от по-
стоянного неравноправны в отношении их влияний на форму диаграммы
направленности. Из формулы (41) можно, в частности, сразу установить,
что при квадратичных фазовых искажениях исчезают нули диаграммы на-
правленности и боковые лепестки диаграммы сглаживаются (так же, как
и при синфазном, но несимметричном амплитудном распределении). Это
вызывается тем, что нули функции /о(а) и ее производных не совпадают.
При кубичной фазовой ошибке, хотя нули 19(и) и также не совпа-
дают, но диаграмма направленности все же будет иметь нули, соответству-
ющие нулям линейной комбинации:

1в(и) + Ьъ1"' (и) [см. формулы (41)].

Так как при четном амплитудном распределении /0(«) будет четной функ-
цией, то все четные производные Д2*’(и) будут четными, а нечетные про-
изводные — нечетными функциями относительно оси z. Таким

образом, диаграммы направленности ’1’^(и) — симметричны, a 1Р|(и) —

несимметричны. Главный максимум диаграммы направленности при
квадратичных фазовых искажениях направлен вдоль оси Oz. Однако,
если фазовые искажения столь велики, что центр и края раскрыва воз-
буждаются в противофазе, то вместо максимума в направлении оси Oz
будет провал и главный лепесток раздвоится симметрично относительно
0 = 0.

Уровни боковых лепестков, естественно, возрастают, а к. н. д. падает
с увеличением величины фазовых искажений Так как мы рассматриваем
случай четного амплитудного распределения f (х), при котором Д(и)
также четная функция, то вблизи и = 0 Г"(и) ]> 0 при и > 0 и
О'" (и) <[ 0 при и 0. Из формулы (41) следует, что макси-
мум диаграммы направленности (а) смещается в сторону и > 0.

При этом главный лепесток диаграммы становится несимметричен, а
амплитуды боковых лепестков для и 0 возрастают, а для и > 0 —
уменьшаются (что отличает случай кубичных фазовых искажений от слу-
чая линейной фазовой характеристики, при которой диаграмма, хотя и
смещается, но остается симметричной относительно нового направления
главного максимума в координатной системе и). К- н. д. раскрыва при
этом также падает. Для иллюстрации вышесказанного на рис. 8.5,л, б.

приведены диаграммы направленности раскрыва при различных фазо-
вых искажениях. Все диаграммы, для общности, построены в функции

переменной и. Диаграммы на рис. 8.5,а соответствуют квадратичным
фазовым искажениям при равномерном и косинусоидальном (по закону

f (5) = cos2

«С ч

— ) распределениях амплитуд;

диаграмма на рис. 8.5,6

соответствует кубичным фазовым искажениям при равномерном распре-
делении амплитуды. При этом максимальные искажения (на краях от-

верстия) взяты равными ,что вызвало необходимость вести расчеты

диаграмм при большем числе членов ряда, чем в формулах (41). На
приведенных диаграммах видны все характерные искажения, описанные
выше, исходя из качественного анализа формул (41).

§ 3. ДИАГРАММЫ НАПРАВЛЕННОСТИ КРУГЛОГО РАСКРЫВА

Наряду с прямоугольными раскрывами, на практике весьма часто
встречаются круглые излучающие раскрывы. К ним относятся открытый
конец круглого волновода, конический рупор, а также и круглые парабо-
лические зеркала. Рассмотрим поэтому диаграммы направленности круг-
лых раскрывов для некоторых синфазных распределений поля. Удобно
при этом в плоскости раскрыва (рис. 8.6) ввести полярные координаты
р, связанные с декартовыми координатами х, у точки в раскрыве
соотношениями

х = pcos^p', у = р sin <pz, 0 < р < R, 0 < < 2it. (42)
Рис. 8.5. Диаграммы направленности прямоугольного раскрыва при квадратичных 1а) и кубичных (б) фазовых
искажениях поля в раскрыве.
При этом выражения (16) и (3) для к. и. д. и диаграммы направленно-
сти 1Г (("), ф) примут вид:

2- R

W (0, ф) = | J J <§х (р, ?') eik-sin 0 cos р d р dy' |2, (4<3a)

и и

2л R

4_ I J J ?') ?d?d<d |2

Da = g ~ g= . (4i36)

*R2 J Я <Ом') Г p^W

0 0

Рис. 8.6.

Вводя безразмерные переменные г = — и и =kR sin0, получим:

2- 1

>F(u, ср) = | J J Л(г, a')eiurcos №“'₽') rdrdv Is,
о о 1

2л 1

1 I J J F (rpF) rdrdy'

(44а)

(445)

J J \F(r,4^'f rdrdy
о о

Простейшими распределениями являются:

а) равномерное

F (г, ср') = const;

б) симметрично спадающее к краям раскрыва по закону

F (г) = (1 — г“)'\ р — 1.2 ...

Подставляя эти выражения в формулу (44а), получим

‘к И

2п , 1

j ^«zcosf? -<t')r(lrd'i I

О о

г70 (ur) dr

/1(«) 2

U ’

(45а)

Ф (и) | J ) (1 — r"-)p e'ar cos(tp rdrdy | 2-ncjr (1— fl)p Jo [ur] dr\2 ~

й и 0

2 = I Лр + , (и) \ (456)

up +1 I p + 1

2п 1
где введено обозначение

л„,(„)мДД₽+Д1А±1Д1_. ' . /J

UP + 1 '' .

Вычислим также коэффициент использования g для случаев «а» и «б».
Подставляя выражения для F(r,щ) в (446), получим:

а)

rdrdw — — • 2- = л,
2

откуда

(46а)

б) ( ( (1 rT' rdrdy = 2к 1-.-~ !УР +

J J 2^ + 1)

откуда

к у 2р + 1 _ 2р 4- 1_

Р + 1 > (Р + I)2

(466)

. Л(и) . , .

Функции —!---- и Лр + 1(и) табулированы; таблицы их приведены, на-

пример, в книге Янке и Эмде — «Таблицы функций».

В таблице 4 приведены основные характеристики диаграмм направ-
ленности круглых раскрывов диаметром D — 2R, вычисленные по полу-
ченным выше формулам для различных степеней р. Случай равномерно-
го распределения поля соответствует р = 0.

Таблица 4

р Коэффициент использования g Ширина диа- граммы на уровне 0,5 мощности (в радианах) Ф05 Положение пер- вого нуля диаграммы (в радианах) Но Амплитуда пер- вого бокового лепестка в дб относительно главного максимума
0 1,0 X 1,02 — D X 1,22 D - 17,6
1 0,75 \ - X 1.26 — D ’•ЮФ — 24,6
2 0,56 Л b47-K X 2,03 — D — 30,6
3 0,44 X 1,65 — D X 2,42 — D t
4 0,36 X 1,81 — D л. х 2,79 — D
Сравнивая параметры диаграмм круглых и прямоугольных раскры-
вов с равномерным распределением (см. таблицу 2), видим, что при оди-
наковых коэффициентах использования ширина диаграммы (по 0,5 мощ-
ности) для круглого раскрыва примерно в 1,16 раза шире, чем для прямо-
угольного раскрыва, при D = а (а — размер прямоугольного раскрыва).
Это легко объяснить тем, что эффективный размер круглого раскрыва
меньше D. Любопытно отметить, что если за величину эффективно-
го раскрыва принять хорду окружности, проведенную на расстоянии

от центра раскрыва и равную " 0,85£>, то, используя формулу
4

ф0>5 = 0,88 —— .для прямоугольного раскрыва [см. формулу (9);], по-
*-^эфф

лучим Фо,5— 1,02 —, что совпадает с формулой для круглого раскрыва,
приведенного в таблице 3.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . ................................................ 3

Глава I

Антенные системы и их назначеине

§ 1. Назначение антенных систем....................................... • 5

§ 2. Основные электрические характеристики антенн . ...............-7

§ 3. Обзор типов антенн..................................................... .11

Гл а в а II

Основные уравнения теории антенн

§ 1. Основные уравнения электромагнитного поля ....... 22

§ 2. Теоремы единственности решений уравнений Максвелла . • 26

§ 3. Уравнения электродинамики при наличии магнитных токов ... 30

§ 4. Лемма Лоренца и теорема взаимности для диполей и антенн конечных
. размеров............................................. . -33

§ 5. Решение уравнений Максвелла при помощи вектора Герца. Поле токов в
свободном пространстве.......................................................39

Глава III

Поле токов в дальней зоне н диаграммы направленности простейших излучателей

§ 1. Поле токов в дальней зоне .......... 45

§ 2. Диаграммы направленности и коэффициент направленного действия . 51

§ 3. Поляризационные характеристики поля......54

§ 4. Диаграммы направленности простейших излучателей . .57

Глава IV

Диаграммы направленности решеток излучателей

§ 1. Общая формула для диаграммы направленности решетки.....................68

§ 2. Линейные решетки.......................................................71

§ 3. Равномерные линейные решетки...........................................73

§ 4. Коэффициент направленного действия линейной равномерной антенны . . 88

§ 5. Равномерные синфазные решетки..........................................90

§ 6. Коэффициент направленного действия равномерных синфазных решеток . 93

§ 7. Равномерные решетки с осевым излучением................................95

. § 8. Коэффициент направленного действия равномерных решеток с осевым
излучением . ......................................98

§ 9. Решетки с неравномерной амплитудной характеристикой...................103
Г л ats a V

Мощность н сопротивление излучения системы вибраторов

§ I. Метод наведенных э. д. е. . . . . . • • • 108

§ 2. Расчет собственных и наведенных сопротивлений вибраторов . . . . 118

' Глава VI

Многовибраторные антенны

§ 1. Антенна из двух полуволновых вибраторов . . . 131

§ 2. Многоэтажная синфазная антенна . . ,140

5 3. Многовибраторные антенные типа «волновой канал» . . .... 151

Глава VII

Общие методы расчета полей антенн сверхвысоких частот

§ 1. Первая граничная задача электродинамики .... . . • 167

§ 2. Вторая граничная задача электродинамики . . ..... 169

§ 3. Теорема эквивалентности . .... ... 171

§ 4. Формулы типа Гюйгенса-Кирхгофа для электромагнитного поля 173

§ о. Поле излучающего раскрыва ....... .177

§ 6. Коэффициент направленного действия плоских раскрывов . ... 183

Глава VIII

Диаграммы направленности плоских раскрывов применительно к антеннам
сверхвысоких частот

§ 1. Диаграммы направленности и к. н. д. прямоугольного раскрыва . 187

§ 2. Диаграммы направленности прямоугольного ' раскрыва при несинфазном
распределении поля . ... .... 198

§ 3. Диаграммы направленности круглого раскрыва ................202
Опечатки

Стра- ница Строка Напечатано Должно быть
7 8 сверху излучении излучение
26 2 сверху под над
29 17 снизу Подинтегрально Подннтегральное
—► —► —► -*
37 5 сивзу ds »= nds' ds — nds
38 13 снизу h = K"L*
75 5 сверху (1) (III, 57)
75 5 снизу n N
2m + 1 2m 4-1 2m 4-1 2m 4-1
77 ф-ла (16) 7C£ IC
kL ’ Nkd. AL Nkd
90 2 снизу
90 7 снизу
91 2 сверху решетки системы
99 5 сверху
102 И сверху *2 №
103 8 сверху решеток систем
109 2 снизу 4
122 5 снизу (7) («, 47)
—> -+
122 4 снизу П = Пг1г П = nt za
123 ф-ла (63) eik(r+l) e-ife(r+E)
127 ф-ла (73а) l^ol2 l^ep-l/ol’
I4I2
136 1 снизу a* II la. II la.
2
162 4 сверху решеток систем
162 8 сверху решетки системы
167 6 снизу > > ЕгН —► —♦ £, H
183 16 сверху В = (а) В равенстве (а)
186 ф-ла (50) 4 я 4я
X К»

187 9 сверху а кМ=1 V 6 а l/1 = 1 Г 1*
187 5 снизу = 0 0 = 0
189 ф-ла (9) «0,8 — ==0,8 — а’ b X X «0,88—; «0,88 — а Ь
190 Табл. 1, 8,45 4,5
4 столбец,
последи.
строка
193 1 снизу Со Со’
д д*

200 6 снизу duk да6
208 9 сверху антенные антенны

Зак. 163