/
Text
В. А. ГАСТЕВ
КРАТКИЙ КУРС
СОПРОТИВЛЕНИЯ
МАТЕРИАЛОВ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1977
605
Г 22
УДК 620.10
Краткий курс сопротивления материалов. Г а-
стев В. А., Изд. 2-е, Главная редакция физико-ма-
тематической литературы издательства «Наука», М.,
1977, 456 стр.
В книге с достаточной полнотой изложены все
вопросы, обычно включаемые в курсы по сопротив-
лению материалов. Краткость изложения достигается
оригинальным использованием простейших методов
теорий упругости и пластичности.
Наряду с основными разделами, такими, как
деформация стержней и исследование напряженного
состояния в общем случае, излагается и ряд специ-
альных вопросов: теория криволинейных, гибких и
тонкостенных стержней. Рассматриваются также
основные модели неупругих тел и их использование
в расчетах прочности. На основе использования но-
вейших достижений механики разрушения вполне
современно изложены вопросы теории прочности.
Книга предназначена в качестве учебника для
студентов втузов, но может быть полезна и для сту-
дентов механических специальностей университетов
и инженеров.
Табл. 11, илл. 256.
Владимир Алексеевич Гастев
Краткий курс сопротивления материалов
М., 1977 г., 456 стр. с илл.
Редактор А. Г. Мордвинцев Техн, редактор И. III. Аксельрод
Корректоры Е. А. Белицкая, Н. В. Хрипунова
Сдано в набор 24.06.1977 г. Подписано к печати 25.11.1977 г. Бумага 60X90*/ie тип. Ха 2.
Физ. печ. л. 28,5. Условн. печ. л. 28,5. Уч.-изд. л. 26,8. Тираж 50000 экз.
Цена книги 1 р. 10 к. Заказ № 635
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измай-
ловский проспект, 29
30106—173
053(02) -77
134-77
©Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1977, с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства...................................................... 8
Предисловие к первому изданию..........................................10
Глава 1. Введение .....................................................11
1. Предмет сопротивления материалов (11). 2. Нагрузки и их классифика-
ция (16). 3. Виды деформаций Принцип Сен-Венана (18). 4. Деформации и
усилия. Условие прочности (20). 5. Деформации и напряжения <221. 6. Про-
стейшие типы деформаций стержней (23).
Глава 2. Осевое растяжение и сжатие призматических стержней ... 25
§ 1. Напряжения и деформации при растяжении и сжатии призмати-
ческих стержней................................................... 25
1. Напряжения в растянутых и сжатых стержнях. Условие прочности (25).
2. Основные типы задач расчета стержней по условию прочности (27). 3. Де-
формации растянутых и сжатых стержней. Закон Гука. Коэффициент Пуас-
сона (28).
§ 2. Напряжения и деформации стержней переменного сечения .... 31
§ 3. Влияние собственного веса на напряжения и деформации стержней 33
1. Вычисление напряжений. Условия прочности (33). 2. Подбор сечения стерж-
ней большой длины. Стержни переменного сечения (34). 3. Деформации
стержней с учетом собственного веса (35).
§ 4. Статически неопределимые конструкции из растянутых и сжатых
стержней ..............................................................36
§ 5. Методы и основные результаты экспериментального исследования
процессов деформации и разрушения растянутых и сжатых стерж-
ней при действии статических нагрузок..................................42
1. Испытания на растяжение и сжатие (42). 2. Диаграммы растяжения стерж-
ней из пластических и хрупких материалов (44). 3. Диаграммы сжатия и
сопоставление их с диаграммами растяжения (46). 4. Диаграммы условных
напряжений для пластичных и хрупких материалов (48). 5. Диаграммы истин-
ных напряжений (53). 6. Работа деформации растяжения и сжатия (58).
7. Влияние повторных нагрузок на механические свойства материалов.
Наклеп (61).
§ 6. Расчет статически неопределимых стержневых конструкций по
предельному состоянию.............................................64
§ 7. Влияние местных ослаблений на напряженно-деформированное
состояние растянутых и сжатых стержней............................66
§ 8. Соображения о выборе коэффициентов запаса...................70
Глава 3. Исследование напряженного состояния тел.....................72
§ 9. Напряженное состояние растянутых и сжатых стержней ..... 72
1. Напряжения по наклонным к оси стержня площадкам (72). 2. Два основных
типа разрушения (74). 3. Главные площадки и главные напряжения (75).
§ 10. Плоское напряженное состояние...............................75
1. Аналитическое исследование плоского напряженного состояния (75).
2. Графическое представление плоского напряженного состояния. Круг
напряжений (81). 3. Перемещения и деформации при плоском напряженном
1 *
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
состоянии (82). 4. Зависимости между напряжениями и деформациями
при плоском напряженном состоянии (86). 5. Зависимость между деформа-
циями при плоском напряженном состоянии (88).
§ 11. Объемное напряженное состояние................................. 90
1. Выражение напряжений по наклонным к главным осям площадкам через
главные напряжения (90). 2. Свойства напряжений по взаимно перпендику-
лярным элементарным площадкам (91). 3. Графическое представление
объемного напряженного состояния (92). 4. Напряжения по октаэдрической
площадке (97) 5. Деформации при объемном напряженном состоянии (98).
6. Общая теория напряжений при объемном напряженном состоянии (102).
7. Общая теория деформаций прн объемном напряженном состоянии (105).
8. Удельная работа упругой деформации (108).
§ 12. Напряжения и деформации при чистом сдвиге.......................109
1. Деформация чистого сдвига(109). 2. Напряжения при чистом сдвиге (111).
3. Определение деформаций при чистом сдвиге (112).
§ 13. Применение теории чистого сдвига к расчету заклепочных и
болтовых соединений...................................................114
Глава 4. Критерии пластичности и разрушения......................................117
§ 14. Классические теории прочности...........................................117
1. Введение (117). 2. Первая н вторай теории прочности (119). 3. Третья и
четвертая теории прочности (123).
§ 15. Эмпирические и полуэмпирические критерии пластичности и раз-
рушения ...........................................................127
§ 16. Процесс разрушения......................135
§ 17. Накопление повреждений......................136
§ 18. Механика трещин......................137
§ 19 Коэффициенты интенсивности.....................142
§ 20. Общий план решения задачи о проверке прочности.145
Глава 5. Плоский изгиб балок симметричного поперечного сечения . 151
§ 21, - Основные понятия. Внешние силы, действующие на балку . . .151
§ 22. Усилия в сечениях балки.................................................155
1. Определение усилий в сечениях балки. Изгибающий момент и попереч-
ная сила (155). 2. Эпюры Q и М (155). 3. Зависимости между Af, Q и q (159).
§ 23. Чистый изгиб............................................................161
1. Основные положения, характеризующие деформацию чистого изгиба (161).
2. Напряженное состояние балки при чистом изгибе (165). 3. Плоский чистый
изгиб балки с точки зрения общей теории объемного напряженного состоя-
ния (169). 4. Проверка прочности балок при чистом изгибе. Сравнительная
оценка различных форм поперечных сечений балок (173). 5 Расчет балок
на чистый изгиб по предельному состоянию (174).
§ 24. Напряженное состояние балки в общем случае плоского изгиба
(при изгибе с поперечной силой)....................................177
1. Основные положения и допущения (177). 2. Определение касательных
напряжений в сечениях балки (178). 3. Распределение касательных напряже-
ний в балках прямоугольного, круглого и двутаврового сечения (181).
4. Главные напряжения в балках. Проверка прочности (185). 5. Расчет балок
на изгиб с поперечной силой по предельному состоянию (190).
§ 25. Деформации балок........................................................192
I. Уравнение оси изогнутой балки (192). 2. Графоаналитический метод опре-
деления прогибов и углов поворота сечений балки (203). 3. Графический
метод построения эпюр изгибающих моментов и оси изогнутой балки (206).
4. Графоаналитическое и графическое определение прогибов балок перемен-
ного сечения (209).
$ 26. Влияние поперечной силы на напряжения и деформации балки . 210
I. Влияние поперечной силы на иапряжеино-деформированиое состояние
балки (210). 2. Изгиб с поперечной силой с точки зрения общей теории пло-
ского напряженного состояния (218) 3. Напряжения в балках переменного
селения (220).
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава 6. Кручение.................................................222
§ 27. Деформация кручения. Основные зависимости................222
§ 28. Напряжения при кручении стержня эллиптического поперечного
сечения.........................................................226
§ 29. Кручение стержней круглого поперечного сечения...........229
§ 30. Кручение стержней прямоугольного сечения.................231
§ 31. Кручение стержней сложных профилей......................232
§ 32. Проверка прочности и жесткости скручиваемых стержней . . . 233
§ 33. Проверка прочности скручиваемого стержня по предельному со-
стоянию ........................................................235
Глава 7. Сложный изгиб..........................................237
§ 34. Общий случай деформаций стержня при плоском напряженном
состоянии.......................................................237
§ 35. Косой изгиб..............................................239
1. Косой изгиб при упругих деформациях (239). 2. Косой изгиб в пластиче-
ской области (244).
§ 36. Сжатие (растяжение) с изгибом. Внецентренное сжатие и вне-
центрениое растяжение...........................................246
1. Сжатие и изгиб стержней (246). 2. Внецентренное сжатие и внецеитреи-
ное растяжение стержней большой жесткости при упругих деформа-
циях (249). 3. Внецентренное сжатие стержней большой жесткости в пласти-
ческой области (257).
§ 37. Изгиб и кручение.........................................260
Глава 8. Потенциальная энергия деформированных тел.............263
§ 38. Определение и свойства потенциальной энергии деформирован-
ных тел.........................................................263
1. Работа деформации и потенциальная энергия (263). 2. Обобщенные силы
и обобщенные перемещения (2641. 3. Работа деформации и дополнительная
работа деформации (264). 4. Случай, когда обобщенные силы и обобщенные
перемещения упругого тела связаны линейными зависимостями (267) 5. По-
тенциальная энергия для различных случаев упругого деформирования (269).
§ 39. Применение энергетического метода для определения упругих
перемещений...........................................................273
1. Общий метод определения перемещений для различных видов конструк-
ций (273). 2. Графоаналитический способ вычисления интегралов в формуле
перемещений (275).
Глава 9. Статически неопределимые балки. Общий метод расчета ста-
тически неопределимых конструкций............................279
§ 40. Статически неопределимые балки.........................279
1. Приемы расчета статически неопределимых балок (279). 2. Неразрезные
балки (281).
§ 41. Общие методы расчета статически неопределимых конструкций 285
Глава 10. Изгиб и кручение тонкостенных стержней открытого про-
филя ...............................................................292
§ 42. Изгиб балок несимметричного поперечного сечения. Центр из-
гиба ..........................................................292
§ 43. Тонкостенные стержни открытого профиля......................293
1. Особенности распределения напряжений в тонкостенных стержнях (293).
2. Секториальные координаты (296). 3. Зависимость между средним каса-
тельным и нормальным напряжением в точке сечения стержня (298).
§ 44. Усилия и напряжения в сечении тонкостенного стержня откры-
того профиля ................................................. 299
1. Усилия в сечеиии тонкостенного стержня (299). 2. Выражение нормальных
напряжений через перемещения (301). 3. Выражение напряжений и переме-
щений точек сечения через усилия (303).
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 45. Расчет тонкостенных стержней открытого профиля....................309
1. Определение углов закручивания тонкостенного стержня (309). 2. Опреде-
ление положения главной секториальной нулевой точки и центра из-
гиба (311). 3. Вычисление га.ктопияльиых характеристик сечения (3U3). 4. При-
меры расчета (314).
Глава 11. Стержни с криволинейной осью............................ 319
§ 46. Исследование напряжений....................................319
1. Усилия в стержнях с криволинейной осью (319). 2. Чистый изгиб криволи-
нейного стержня (320). 3. Практические методы вычисления нормальных
напряжений при чистом изгибе стержней большой кривизны (325). 4. Пло-
ский изгиб криволинейного стержня (329).
§ 47. Перемещения сечений криволинейных стержней.................330
§ 48. Расчет кругового кольца на равномерное внутреннее и внешнее
давление ....................................................... 333
Глава 12. Устойчивость деформированного состояния тел............338
§ 49. Устойчивость равновесия абсолютно твердых и деформируемых
тел..............................................................338
1. Устойчивое и неустойчивое равновесие тел (338). 2. Устойчивость равно-
весия деформируемых тел (342).
§ 50. Устойчивость деформированного состояния центрально-растяну-
тых и сжатых стержней............................................344
1. Упругая устойчивость сжатых стержней (344). 2. Устойчивость сжатых
стержней переменного сечения. Влияние местных ослаблений (350). 3. Влия-
ние поперечной силы на величину критической силы сжатого стержня (354).
4. Поведение сжатого стержня при сжимающей силе, превосходящей кри-
тическую (357). 5. Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости (361).
6. Практические приемы расчета сжатых стержней (369). 7. Устойчивость
сжатых тонкостенных стержней открытого профиля (371).
§ 51. Гибкие сжато-изогнутые стержни.............................378
§ 52. Устойчивость скручиваемого стержня.........................390
§ 53. Устойчивость плоской формы изгиба..........................393
Глава 13. Упруго-вязкне и вязко-пластические тела...................396
§ 54. Линейно-деформируемые упруго-вязкне и вязко-пластические
тела.............................................................396
1. Вязкость деформируемых тел (396). 2. Вязкая жидкость (397). 3. Лннейно-
деформнруемое упруго-вязкое тело, обладающее последействием (398).
4. Линейно-деформируемое упруго-вязкое релаксирующее тело (400). 5. Об-
щий случай лннейно-деформируемого упруго-вязкого тела (402). 6. Некото-
рые задачи расчета стержней из материала, следующего закону деформиро-
вания типа (13.10) (406). 7. Зависимость между напряжениями и деформациями
линейно-деформируемых упруго-вязких тел прн объемном напряженном
состоянии (409) 8. Вязко-пластические тела (412).
§ 55. Нелинейные упруго-вязкие тела.................................413
1. Получение нелинейных зависимостей путем обобщения эксперименталь-
ных результатов (413). 2. Нелинейное упруго-вязкое тело с полуэмпириче-
ской связью напряжений и деформаций (4!6).
§ 56. Ползучесть бетона и металлов .................................418
1. Определение деформаций ползучести (418). 2. Расчеты на ползучесть (423).
Глава 14. Динамические нагрузки и динамические напряжения . . . .426
§ 57. Влияние сил инерции на напряженно-деформированное состоя-
ние тел...............................•............................426
1. Задачи изучения действия динамических нагрузок и напряжений (426).
2. Влияние центробежных сил (427). 3. Напряжения при поступательном и
возвратно-поступательном движении стержня (430)
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 58. Действие ударных нагрузок................................ 431
1. Продольный удар (431). 2. Поперечный (изгибающий) удар (436). 3). Влия-
ние массы стержня на напряжения при ударе (437).
§ 59. Колебания стержней........................................439
§ 60. Динамическая прочность элементов конструкций..............440
1. Прочность при ударных нагрузках (440). 2 Прочность при динамически
переменных нагрузках (442).
П риложение
Глава 15. Статические моменты и моменты инерции плоских фигур . . 447
Именной указатель..................................................452
Предметный указатель...............................................453
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
В нашей стране известен целый ряд хороших учебников по
сопротивлению материалов. В их число входит и «Краткий курс
сопротивления материалов» В. А. Гастева, второе издание кото-
рого, выходящее в свет уже после смерти автора, предлагается
вниманию читателей.
В. А. Гастев (1891—1974) окончил в 1913 г. физико-матема-
тический факультет Петербургского университета, в 1919 г.—
Петроградский институт инженеров путей сообщения, и с той
поры его жизнь была посвящена неустанной научно-исследова-
тельской, инженерной и педагогической деятельности. В част-
ности, ему довелось работать на кафедрах математики и мостов
Ленинградского института инженеров транспорта, заведовать
кафедрой сопротивления материалов Ленинградского института
инженеров промышленного строительства, а с 1943 по 1972 гг.—
кафедрой сопротивления материалов ЛИСИ. Опыт многолетнего
преподавания и лег в основу настоящей книги. Характерной ее
особенностью является удачное сочетание сжатости с ясностью
и простотой изложения. Это позволило в книге сравнительно не-
большого объема охватить все основные вопросы, обычно вклю-
чаемые в курсы сопротивления материалов, а также изложить
много дополнительных сведений.
В настоящем издании значительной переработке подверглось
только изложение теорий прочности. В первом издании книги
этим теориям был посвящен конец третьей главы. Владимир
Алексеевич хотел в последующем выделить эти вопросы в от-
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
9
дельную главу и наряду с классическими теориями прочности
изложить основы современной механики разрушения, но не успел
этого сделать. Труд переработать указанным образом изложе-
ние этих вопросов взял на себя А. А. Вакуленко (гл. 4 книги
в настоящем ее издании). Большую помощь в подготовке на-
стоящего издания книги оказали также Е. А. Бейлин и
Я. В. Шляпоберский. Ряд замечаний, учтенных в настоящем из-
дании, сделали В. П. Ильин, В. Д. Харлаб и В. С. Вакуленко.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемый вниманию читателей курс сопротивления ма-
териалов назван кратким, так как его содержание обеспечивает
лишь уровень элементарной грамотности в вопросах расчетов
прочности, обязательный, по мнению автора, для каждого ин-
женера на современном этапе развития техники. Применяемые
в предлагаемом курсе методы исследования не требуют специ-
альной физико-математической подготовки, что делает его до-
ступным для достаточно широкого круга читателей. Автор не
ставил себе цели привести этот курс в точное соответствие с той
или иной из утвержденных программ преподавания сопротивле-
ния материалов в высших технических учебных заведениях. Тем
не менее он надеется, что предлагаемый курс может быть с ус-
пехом использован и для преподавания. С целью обеспечения
наибольшего удобства такого применения некоторые параграфы
выделены петитом, а также рассмотрено некоторое (достаточно
ограниченное) число примеров применения излагаемой теории
к решению практических задач. С целью сокращения объема
книги автор отказался от помещения в ней справочных данных.
При ограниченном объеме они неизбежно оказались бы недо-
статочно полными и поэтому не смогли бы удовлетворить прак-
тических запросов в той же мере, в какой это достигается спе-
циальными справочниками. Не приводятся и литературные
ссылки и справки, так как излагаемые в курсе вопросы на-
столько широко освещены в специальной и учебной литературе,
что указатель литературы оказался бы по объему чрезмерным.
28 октября 1958 г.
В. А. Гастев
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
1. Предмет сопротивления материалов. Одной нз основных
задач техники является обеспечение прочности инженерных кон-
струкций и их элементов при наименьшей затрате материала.
Эта задача может решаться чисто эмпирическим путем, на ос-
нове накопленного в результате производственной деятельности
опыта или в результате экспериментальных исследований кон-
струкций в натуральную величину и их моделей. Однако такого
рода эксперименты требуют значительных материальных затрат
и отнимают много времени. Вместе с тем правильная постановка
экспериментов и истолкование полученных результатов воз-
можны лишь при наличии теоретических данных об обстоятель-
ствах, имеющих значение для обеспечения прочности. Поэтому
инженер, проектирующий конструкцию, должен располагать воз-
можностью назначать размеры всей конструкции и отдельных
ее элементов на основании количественных характеристик проч-
ности, полученных расчетом. В первую очередь он должен иметь
возможность оценивать таким образом прочность элементов, из
которых составляются проектируемые им конструкции.
Вопрос о прочности элементов конструкций возникает в связи
с тем, что в условиях сооружения и эксплуатации они подвер-
гаются внешним воздействиям: на них передаются внешние
силы, возникающие в результате взаимодействия с другими те-
лами, они подвергаются нагреву или охлаждению, трению со
стороны соприкасающихся с ними движущихся тел, набуханию
или усадке под влиянием окружающей среды, коррозии и т. п.
Некоторые из этих воздействий имеют своим результатом
главным образом постепенное уменьшение поперечных размеров
элемента в процессе его службы, носящее название износа (на-
пример, износ вследствие истирания, износ в результате ржавле-
ния); некоторые вызывают изменение свойств материала эле-
мента (например, коррозия бетона и стали, выветривание камня
и т. д.); ряд других обусловливает изменение формы и размеров
элементов, зависящее от интенсивности внешних воздействий и
могущее вызвать разрушение. Изменение формы и размеров тел
12
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. Г
мы будем в дальнейшем называть деформацией, а тела, способ-
ные получать деформации, — деформируемыми телами. Опыт
показывает, что все реально существующие тела являются де-
формируемыми. Так, при воздействии приложенных к нему
внешних сил любое тело получает деформацию, величина, ха-
рактер и вид которой зависят от формы и размеров тела, от
способа приложения внешних сил и их величины, а также от
свойств материала этого тела. При прочих равных условиях воз-
растание величины внешних сил сопровождается возрастанием
деформаций и изменением их характера. В то время, как при
малых нагрузках деформации имеют в основном обратимый
харакетр, при больших нагрузках они становятся по преимуще-
ству необратимыми или, как их принято называть, остаточными.
Нарастание остаточных деформаций заканчивается разрушением.
Естественно, что первой задачей обеспечения прочности про-
ектируемой конструкции является получение гарантии против ее
разрушения при действии на нее определенных внешних сил. Од-
нако в большинстве случаев приходится считаться не только
с опасностью разрушения, но и с величиной деформаций и их
характером. Чрезмерные деформации могут совершенно изме-
нить условия работы конструкции и исключить возможность вы-
полнения ею своего назначения в полной мере. Так, например,
при большой деформации суппорта токарного станка невоз-
можно обеспечить необходимую точность обработки детали, вы-
тачиваемой на этом станке. Большие деформации конструкций
моста делают невозможным пропуск нагрузки с нормальной
скоростью, в результате чего приходится ограничивать скорость
движения по мосту. Таким образом, вопрос о проверке прочно-
сти следует рассматривать в более широком смысле, понимая
под его решением обеспечение не только прочности против раз-
рушения, но и определенной величины и характера деформаций.
Для этого, очевидно, необходимо знать не только обстоятель-
ства, связанные с разрушением тел, но и иметь представление
о всем процессе деформирования.
Изучение процессов деформирования и разрушения тел может
производиться с различных точек зрения. Можно изучать явле-
ния, происходящие при деформировании и разрушении тел,
с целью установления закономерностей этих явлений, обуслов-
ленных общими свойствами материи. Такая задача ставится и
решается физикой твердого тела. Однако для оценки прочности
элементов инженерных конструкций путем расчета основное зна-
чение имеет установление связи между силами, действующими
на эти элементы, и деформациями, которые рассматриваются
как частный случай движения. Изучение такого вида движения
невозможно без наличия определенных представлений о строе-
нии тел и физических законах, определяющих изменения состоя-
ГЛ. I]
ВВЕДЕНИЕ
13
ния тел, связанные с такого рода движением. Тем не менее ос-
новным остается именно вопрос о движении (деформации) и
силах, действующих на тело и его части в процессе деформиро-
вания. В такой постановке изучение деформаций тел является
предметом раздела механики, который естественно назвать ме-
ханикой деформируемых тел. Раздел механики деформируемых
тел, изучающий вопросы прочности элементов конструкций, на-
зывается сопротивлением материалов.
Сопротивление материалов изучает процессы деформирова-
ния и разрушения тел с целью установить расчетные методы
оценки прочности элементов конструкции.
Эти методы могут быть охарактеризованы следующим обра-
зом. На основании исследования процессов деформации и раз-
рушения определяют состояние элемента конструкции, при
котором произойдет его разрушение или деформации получат не-
допустимую величину и примут нежелательный характер (опас-
ное или предельное состояние). Вместе с тем устанавливают и
величины, которые могут численно охарактеризовать это состоя-
ние для различных материалов при различных внешних воздей-
ствиях (расчетные характеристики прочности и деформируемо-
сти материалов). Используя эти характеристики, путем расчета
определяют нагрузку или иное внешнее воздействие, соответ-
ствующее предельному состоянию (предельная нагрузка, пре-
дельное внешнее воздействие). Исходя из предельной нагрузки
(предельного внешнего воздействия), устанавливают нагрузку
(внешнее воздействие), которая не должна быть превышена
в процессе изготовления и эксплуатации конструкции (допускае-
мая нагрузка, допускаемое внешнее воздействие). При извест-
ной допускаемой нагрузке (допускаемом внешнем воздействии)
оказывается возможным установить, является ли действующая
на заданный элемент конструкции нагрузка допускаемой (про-
извести проверку прочности и деформируемости), или же подо-
брать геометрические размеры элемента из заданного мате-
риала так, чтобы действующая на него нагрузка не превосхо-
дила допускаемой (провести подбор сечения элемента).
Имея в виду исследование прочности элементов конструкции
из реальных материалов, сопротивление материалов в принципе
должно учитывать не только действительные геометрические и
механические характеристики процессов деформации и разруше-
ния, но и все особенности структуры материалов, из которых эти
элементы изготовлены. Однако расчетные математические за-
висимости для такой постановки исследования при современном
состоянии науки либо вообще не могут быть построены, либо
оказываются настолько сложными, что практическое их приме-
нение связано с почти непреодолимыми трудностями. Поэтому
приходится либо совсем отказываться от теоретического
14
ВВЕДЕНИЕ
ГГЛ. 1
построения расчетных зависимостей, ограничиваясь чисто эмпи-
рическим подходом к ним, либо отказываться от теоретического
учета некоторых свойств реальных тел, довольствуясь известным
приближением к действительности. Иными словами, возмож-
ность теоретического подхода к исследованию процесса де-
формирования тел оказывается связанной с необходимостью
принятия некоторой расчетной модели твердого тела, которой
приписываются свойства, лишь в известном приближении от-
ражающие действительность. Такой расчетной моделью твердого
тела, достаточно хорошо изученной с точки зрения механики де-
формирования, является сплошное деформируемое тело. По-
этому теоретическое исследование процессов деформирования
тел в сопротивлении материалов строится на основе результатов
механики сплошных деформируемых тел (механики сплошных
сред), в частности, разделов этой науки, носящих название тео-
рия упругости и теория пластичности.
Процессы же разрушения достаточно полно изучены пока в
сравнительно узком классе случаев; подробнее об этом будет
сказано в главе 4.
Расчетные характеристики материалов, выбираемые на осно-
вании теоретических соображений сопротивления материалов,
практически определяются по методам отрасли материаловеде-
ния, называемой испытание материалов. Эти методы широко
используются и при постановке специальных опытов для по-
строения эмпирических и полуэмпирических расчетных зависи-
мостей и проверки теоретических результатов.
Таким образом, теоретическими основами сопротивления ма-
териалов являются физика твердого тела и механика сплошных
деформируемых тел, в частности, теория упругости и пластично-
сти; в экспериментальной своей части сопротивление материалов
тесно соприкасается с испытанием материалов.
Не следует, однако, думать, что в своей теоретической части
сопротивление материалов просто повторяет выводы механики
сплошных сред. Эти выводы, относящиеся не к реальным телам,
а к расчетной модели названных тел, далеко не во всех случаях
представляются для сопротивления материалов вполне точными
и достоверными. Отсюда возникает одна из важнейших задач
сопротивления материалов — анализ применимости и надежно-
сти результатов, полученных по методам механики сплошных
сред, для расчета элементов реальных конструкций и экспери-
ментальная проверка как предпосылок теоретических построе-
ний, так и результатов последних.
С другой стороны, процесс расчета элементов конструкций
по самому существу содержит некоторые условности и связан
с наличием некоторых допустимых погрешностей. Так, применяе-
мые для определения предельных нагрузок расчетные характе-
ГЛ. 1]
ВВЕДЕНИЕ
15
ристики свойств материалов могут быть определены только чисто
экспериментальным путем, который обеспечивает лишь извест-
ную точность результатов. К тому же их почти всегда прихо-
дится получать не для каждого индивидуального элемента кон-
струкции, а для целых групп элементов, объединяемых по при-
знакам общности материалов, условий изготовления, характера
обработки и внешних воздействий. Следовательно, расчетные
характеристики являются некоторыми средними величинами, оп-
ределенными для целой группы элементов. Действительные ха-
рактеристики индивидуальных элементов конструкций неиз-
бежно в той или иной мере отклоняются от расчетных величин.
Переход от предельной нагрузки к допускаемой, как мы увидим
в дальнейшем, вносит в расчет свою долю условности. В то же
время простота расчетных формул является немаловажным их
достоинством, так как она обеспечивает возможность глубже
исследовать преимущества и недостатки различных вариантов
проектируемой конструкции без затраты большого труда.
Ввиду этого сопротивление материалов не ставит своей за-
дачей получение и использование совершенно точных с точки
зрения механики сплошных деформируемых тел результатов и
в ряде случаев довольствуется лишь допустимыми в расчетной
практике приближениями, достигаемыми путем применения от-
носительно несложного математического аппарата. С этим свя-
зана другая важная задача сопротивления материалов — уста-
новление достаточно достоверных допущений, позволяющих об-
легчить расчеты, проверка надежности этих допущений, оценка
точности расчета и значений возможных погрешностей для про-
ектируемой конструкции. Решение этой задачи может осуще-
ствляться как путем анализа «точных решений» механики
сплошных деформируемых тел, так и путем сопоставления рас-
четных результатов с экспериментальными. Так, например, изу-
чая решения задач механики сплошных сред, иногда удается
установить возможность при расчете пренебрегать влиянием
некоторых факторов на деформацию тела. Сравнение получае-
мых в таком случае результатов с «точными» позволяет оценить
величину получаемых погрешностей и определить пределы при-
менимости приближенного способа расчета. Рассмотрение экспе-
риментальных данных в ряде случаев позволяет сделать анало-
гичные выводы.
Благодаря последним из указанных особенностей курс сопро-
тивления материалов может в значительной своей части изла-
гаться в элементарной форме, как это и делается в настоящей
работе.
Используя методы и решения механики сплошных деформи-
руемых тел, сопротивление материалов, естественно, принимает
и допущения этой науки, рассматривая тела как сплошные и
16
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. 1
однородные и полагая, что как ко всему телу, так и к любой его
части в деформированном состоянии можно применять законы
механики твердого тела.
2. Нагрузки и их классификация. Вопрос о прочности тел
связан с действием на них внешних сил, которыми являются:
1) нагрузки, приложенные к телу;
2) реакции связей, обеспечивающих определенное состояние
движения рассматриваемого тела по отношению к другим.
Нагрузки, приложенное к телу, в первую очередь возникают
в результате действия на него других, соприкасающихся с ним
тел. Так как соприкосновение происходит по всей или некоторой
части поверхности рассматриваемого тела, то такие нагрузки
называют поверхностными. Поверхностная нагрузка характери-
зуется:
а) величиной, определяемой главным вектором и главным
моментом всех сил, возникающих при соприкосновении рассма-
триваемого тела с другим, и поэтому имеющей размерность силы
или момента сил;
б) интенсивностью, т. е. величиной нагрузки, отнесенной
к единице площади; в частном случае интенсивность нагрузки
может быть постоянной (нагрузка распределена равномерно по
площади соприкосновения тел); тогда она измеряется отноше-
нием
Р Г кГ 1 ,. ..
q = — LI>
w i_ CM J
где q — интенсивность нагрузки; P — величина нагрузки; co —
площадь приложения нагрузки.
Если равномерное распределение нагрузки не имеет места,
то можно говорить об интенсивности нагрузки в данной точке:
0 = 4Ж1’ U-2)
д©->0 *- СМ J
где ДР — величина нагрузки, приложенной по бесконечно малой
площади Дсо, включающей в себя рассматриваемую точку.
Если поперечные размеры тела малы по сравнению с его дли-
ной, то оказывается достаточным характеризовать распределе-
ние нагрузки ее интенсивностью по длине, т. е. при равномерном
распределении определять интенсивность нагрузки отношением
—Г—1
I L CJH J ’
9 =
(1.3)
где Р — величина нагрузки; I — длина части поверхности тела,
по которой эта нагрузка приложена.
При неравномерном распределении
/ q= lim (1.4)
Дх->0 ах
ГЛ. I]
ВВЕДЕНИЕ
17
где Ах — длина бесконечно малого участка поверхности тела,
включающего рассматриваемую точку; ДР — нагрузка, прило-
женная на этой длине.
При этом величина нагрузки связана е ее интенсивностью со-
отношением
i
P—^qdx. (1.5)
о
Для наглядности поверхностную сплошную нагрузку можно
представить эпюрой (рис. 1), ординаты которой равны интенсив-
ности нагрузки в соответствую-
щей точке.
Если размеры площади
приложения нагрузки малы |||||
по сравнению с размерами те- г ' —\
ла, то оказывается возможным с_____________________:______?
вообще пренебречь размерами Рис j
названной площади. Тогда на-
грузка может быть представлена в виде силы, приложенной
в точке тела (рис. 2). Такую нагрузку называют сосредоточен-
ной.
Реакции связей, являясь результатом взаимодействия тел,
также относятся к числу поверхностных сил. Величина реакций
может быть получена из уравнений, определяющих состояние
движения рассматривае-
мого тела по отношению р/
к другим. В частном слу- / J
чае равновесия они, оче- _______ wr ~.
видно, могут быть най- f 'X ( х.
дены из условий равно- ( ] ( 1
весия рассматриваемого J V. J
тела. J
Помимо нагрузок, рас- ---z х
пределенных по поверх- Рис. 2.
ности, существуют и та-
кие, которые приложены к любой части объема тела. Их назы-
вают объемными. Одной из объемных нагрузок, с которой нам
придется чаще всего иметь дело, является собственный вес тела.
Интенсивность этой нагрузки характеризуется объемным весом
Уо [кГ/слг3].
Помимо классификации нагрузок по способу приложения,
можно подразделять их также и по следующим признакам:
а) по времени действия — на постоянные, действующие во
все время существования конструкции, и на временные, дей-
ствующие лишь в течение некоторого промежутка времени;
Г > - ,
Л**--
18
ВВЕДЕНИЕ
ГГЛ. >
б) по характеру действия — на статические, сообщающие как
всему телу, так и любой его части малые ускорения, которыми
оказывается возможным пренебречь, и на динамические, связан-
ные с возникновением значительных ускорений.
3. Виды деформаций. Принцип Сен-Венана. Внешние силы
вызывают деформации, т. е. изменяют форму и размеры тел
вследствие изменения взаимного расположения их частиц.
Различают деформации:
а) упругие, т. е. имеющие обратимый характер (полностью
исчезающие после удаления внешних сил); при таких деформа-
циях тело после снятия нагрузки полностью восстанавливает
свои прежние размеры и форму;
б) остаточные, т. е. необратимые и не исчезающие после пре-
кращения действия внешних сил.
Разрушение тела, полное или местное (появление видимых
трещин, отколы и т. п.), вообще говоря, также влечет за собой
остаточные деформации. Остаточная деформация, не сопровож-
дающаяся местным разрушением, носит название пластической.
Остаточные деформации либо не изменяются существенно с те-
чением времени, либо на их величине заметно сказывается влия-
ние времени деформирования. Деформации, зависящие от вре-
мени, принято называть вязкими. Кроме того, различают общую
деформацию, распространяющуюся на весь объем тела, и мест-
ную деформацию, происходящую лишь в малой части этого-
объема. В частности, некоторые теоретические соображения и
экспериментальные результаты дают основания считать, что
взаимно уравновешивающиеся силы, приложенные к весьма ма-
лой части объема тела, вызывают в последнем лишь местные
деформации. Поэтому если на весьма малую часть объема тела
действует какая-либо нагрузка, то, прикладывая дополнительно
нагрузку, статически эквивалентную данной, т. е. имеющую оди-
наковые с ней главный вектор и главный момент, и данную на-
грузку обратного направления, мы вызовем в теле лишь мест-
ные деформации, ибо дополнительная нагрузка представляет
собой систему взаимно уравновешенных сил, действующих на
малый объем тела. Если отбросить затем данную нагрузку пря-
мого и обратного направлений, снова получим лишь местные де-
формации, в то же время заменив данную нагрузку статически
ей эквивалентной. Таким образом, если не интересоваться мест-
ными деформациями, то данную нагрузку, приложенную к весь-
ма малой части объема тела, можно заменить статически ей
эквивалентной, т. е. имеющей тот же главный вектор и тот же
главный момент (принцип Сен-Венана). Именно на основании
этого принципа мы можем сплошную нагрузку q, приложенную
к малой (по сравнению с размерами тела) части поверхности^
заменять сосредоточенной силой. Такая замена равносильна
гл. I]
ВВЕДЕНИЕ
19
тому, что к малой части объема тела, граничащей с поверх-
ностью приложения нагрузки, добавлены такая же нагрузка
•обратного направления и уравновешивающая ее сосредоточен-
ная сила (рис. 3), а затем прямая и обратная нагрузки от-
брошены.
Вообще в применении к поверхностным силам принцип Сен-
Венана можно сформулировать следующим образом: замена по-
верхностной нагрузки, приложен- .
ной к малой части поверхности
тела, нагрузкой, статически эк- х.
Бивалентной данной, т. е. имею-
щей одинаковые с ней главный
вектор и главный момент, вызы-
вает в теле лишь местные дефор-
мации. х- \
В сопротивлении материалов \
изучаются по преимуществу об- \
щие деформации элементов кон- I
струкций, поэтому принцип Сен- }
Венана находит в этой науке Рис. 3.
широкое применение и должен
считаться одним из основных принципов сопротивления мате-
риалов.
Величина и характер деформаций тел зависят от величины и
способа приложения к ним внешних сил, формы и размеров тел
и физических свойств материала этих тел. В частности, суще-
ственное влияние имеет структура последних (кристаллическая,
аморфная, пористая и т. д.). Однако при современном состоя-
нии науки не представляется возможным получить расчетные
методы, имеющие общий характер и учитывающие все особен-
ности строения тел. В то же время для многих тел, с которыми
приходится иметь дело в инженерной практике, довольно близ-
кие к экспериментальным данным результаты удается получить,
рассматривая их как тела сплошные однородные изотропные,
т. е. не учитывая действительной структуры их.
Поэтому в дальнейшем мы будем строить все свои исследо-
вания для таких именно тел, внося в случае надобности осно-
ванные на экспериментальных данных поправки в полученные
выводы.
Сплошным называют тело, любая часть объема которого за-
полнена материалом.
Однородным называют тело, любые сколь угодно малые и
произвольно ориентированные в пространстве части которого
обладают одинаковыми свойствами.
Изотропным называют тело, свойства которого во всех на-
правлениях одинаковы.
20
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. f
Некоторые тела, как, например, технические металлы и дру-
гие поликристаллы, имеющие лишь субмикроскопические поры,,
либо совсем их не имеющие (стальные стержни и отливки), рав-
но как и некоторые аморфные тела (стекло, пластмассы), с до-
вольно хорошим приближением могут рассматриваться как тела
сплошные, однородные и изотропные.
Такой подход к элементам деревянных конструкций дает худ-
шие результаты, так как древесина анизотропна; для элементов
бетонных конструкций он равносилен отказу от учета пористо-
сти и неоднородности бетона.
4. Деформации и усилия. Условие прочности. Предполагая
тело сплошным, рассмотрим его поведение при приложении
внешних сил. Пусть к такому телу приложены взаимно уравно-
вешенные силы (рис. 4), возрастающие от нуля до какой-то оп-
ределенной величины, в связи с чем
тело, оставаясь в равновесии, под-
вергается деформации, которая так-
же возрастает от нулевого значе-
ния. Если в рассматриваемом теле
провести какое-либо сечение, разде-
ляющее это тело на части I и II, то
процесс деформирования можно
рассматривать как перемещение то-
чек части I по отношению к точкам
части II. Указанные перемещения
Рис. 4.
связаны с тем, что, хотя все тело находится в равновесии,
внешние силы, действующие на каждую из частей I и II, вообще
говоря, не являются уравновешенными. Их могут уравновесить
лишь силы связи между частицами названных частей тела. Но
величина сил связи зависит от взаимного расстояния и располо-
жения частиц. Поэтому эти силы обеспечат равновесие рассма-
триваемых частей тела лишь тогда, когда в результате переме-
щений точек части I по отношению к точкам части II, т. е. де-
формации тела, взаимные расстояния и расположение назван-
ных точек окажутся вполне определенными. Отсюда следует,
что при приложении к телу взаимно уравновешенных сил дол-
жны происходить перемещения точек части I по отношению
к части II, т. е. деформации тела. Деформации достигают своей
окончательной величины лишь тогда, когда части I и II будут
находиться в равновесии под действием приложенных к ним
внешних сил и сил связи между частицами тела.
Это состояние можно представить себе как состояние, при
котором со стороны части II на часть I действуют силы, уравно-
вешивающие последнюю и приложенные в центре тяжести пло-
щади сечения, разделяющего тела на части I и II. Названные
силы должны, вообще говоря, сводиться к силе SP, приложенной
ГЛ. I] ВВЕДЕНИЕ 2J"
в центре тяжести сечения, и паре сил с моментом SM (рис. 5),.
определяемым из условий равновесия части I. Мы будем назы-
вать их усилиями в рассматриваемом сечении. Таким образом,,
в данном сечении тела определенной величине деформации со-
ответствуют усилия, сводящиеся, вообще говоря, к силе и паре-
сил. На основании закона равенства действия и противодействия
усилия, действующие со стороны части // на часть I, очевидно,,
равны по величине и обратны по
направлению усилиям, действую- \ к
щим со стороны части / на часть II,
так что величина усилий может
быть определена из условий равно- 11 \
весия как части I, так и части //.
В частности, таким образом мо-
гут быть определены усилия, при X
которых происходит разрушение ' 1
данного тела в данном сечении, ’
если известны способ приложения Рис- 5-
внешних сил и их величина в мо-
мент разрушения. Эти усилия будем называть разрушающими-
или предельными по разрушению в данном сечении и обозна-
чать Spasp-
Необходимо сделать одну оговорку. Если мы провели в теле-
какое-либо сечение до приложения внешних сил, то после того,,
как силы будут приложены, размеры сечения, его форма и поло-
жение по отношению к телу вследствие деформации изменятся.
Таким образом, приходится различать первоначальное сечение в
сечение в деформированном состоянии. Несомненно, что усилие
в рассматриваемом сечении следует относить к сечению в дефор-
мированном состоянии. Однако в случае малых деформаций:
разница между первоначальным сечением и сечением деформи-
рованного тела может считаться несущественной, и усилие до-
пустимо относить к первоначальному сечению тела, пренебрегая:
указанной разницей. Так как в дальнейшем мы будем рассма-
тривать по преимуществу малые деформации, то усилия будем
относить к первоначальным сечениям, если не будет специаль-
ных оговорок.
Если разрушающее усилие в данном сечении при заданном-'
способе приложения внешних сил известно, то может быть сфор-
мулировано условие прочности, так как очевидно, что действую-
щее усилие S должно быть меньше разрушающего:
S <1 Spa3p.
Ввиду того, что при проектировании конструкций должна
быть получена определенная гарантия против разрушения,.
22
ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. 1
условие прочности целесообразно представить в виде
(1-6)
где k — коэффициент запаса против разрушения. Мы получаем
таким образом условие, при котором прочность будет заведомо
обеспечена.
Изложенный выше подход к изучению усилий, возникающих
в теле при действии на него внешних сил, иногда называют ме-
тодом сечений. Заметим, что при применении этого метода
можно рассматривать сечения произвольного вида. В боль-
шинстве случаев мы будем пользоваться сечениями тела пло-
скостью (плоские сечения). Однако иногда оказываются целесо-
образными и сечения цилиндрической поверхностью (см., на-
пример, § 2).
5. Деформации и напряжения. Нетрудно видеть, что сопо-
ставление усилия и соответствующей ему деформации, а также
и представление условия прочности в виде формулы (1.6) свя-
зано с рядом неудобств. Опыт показывает, что одной и той же
деформации могут соответствовать разные усилия при различ-
ных размерах сечения и прочих равных условиях. То же можно
сказать и относительно разрушающих усилий. Поэтому пред-
ставляется необходимым найти величину, характеризующую
взаимодействие двух частей тела, но не зависящую от размеров
сечения. К нахождению этой величины можно подойти следую-
щим образом.
Усилия 3Р и SM (рис. 5) можно рассматривать как статиче-
ский эквивалент совокупности элементарных усилий ДЗ, дей-
ствующих по всем бесконечно малым (элементарным) площад-
кам Да», на которые можно разбить рассматриваемое сечение.
Тогда величина
^с₽ Да» (1’7)
уже не будет связана с размерами площадки. Эту величину на-
зывают средним напряжением, действующим по рассматривае-
мой элементарной площадке. Иными словами, среднее напря-
жение по элементарной площадке есть элементарное усилие, от-
несенное к единице ее площади. Если перейти к пределу, при-
ближая площадь Да» к нулю, мы получим
.. AS
р = lira -т—,
Ди->0 Дсо
(1-8)
т. е. напряжение в некоторой точке, к которой в пределе стре-
мится элементарная площадка. Эта величина также не зависит
ГЛ. I]
ВВЕДЕНИЕ
2S‘
от размеров сечения. Размерность напряжения в точке, равно
как и среднего напряжения по элементарной площадке, опреде-
ляется отношением сила/площадь, например [кГ/см2].
В дальнейшем мы будем изучать процессы деформации и
разрушения, связывая их с напряжениями, возникающими в точ-
ках различных сечений тела при приложении к последнему
внешних сил.
6. Простейшие типы деформаций стержней. При произволь-
ной форме тела его деформации могут быть весьма разнообраз-
ными. Однако основные элементы большинства инженерных
конструкций имеют форму, характеризующуюся тем, что их по-
перечные размеры невелики по сравнению с длиной. Тела, два
измерения которых невелики по сравнению с третьим, принято
называть стержнями. В частности, если стержень имеет форму
Рис. 6.
Рис. 7.
призмы, то его называют призматическим или стержнем по-
стоянного сечения. С точки зрения геометрии такой стержень
можно рассматривать как образованный поступательным пере-
мещением плоской фигуры, центр тяжести которой движется по-
прямой линии, нормальной к плоскости этой фигуры. Прямую»
по которой перемещается центр тяжести фигуры, называют осью
стержня, а саму фигуру — поперечным сечением стержня. Если
фигура при движении ее центра тяжести вдоль оси меняет свои
размеры или форму (или то и другое), то стержень называют
стержнем переменного сечения. Если ось стержня представляет
кривую линию, то его называют стержнем с криволинейной осью
или, кратко, криволинейным стержнем. Линию, соединяющук>-
подобно расположенные точки сечений, будем называть волок-
ном стержня.
В дальнейшем, по приведенным выше соображениям, мы бу-
дем почти исключительно изучать поведение тел, имеющих,
форму стержней. Для стержней можно указать несколько про-
стейших типов деформаций, возникающих при определенном
способе приложения внешних сил, а именно:
а) осевое растяжение (рис. 6),
б) осевое сжатие (рис. 7),
24
ВВЕДЕНИЕ
ТЕЛ Г
в) сдвиг (рис. 8),
г) кручение (рис. 9).
д) изгиб (рис. 10).
На схемах а этих фигур представлены стержни до дефор-
мации, на схемах б — в деформированном состоянии.
Рис. 8.
В ряде случаев оказывается возможным рассматривать дру-
?гие типы деформаций как комбинацию простых деформаций
(сложная деформация), например, изгиба с растяжением, изгиба
с кручением и т. п.
ГЛАВА 2
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
§ 1. Напряжения и деформации при растяжении и сжатии
призматических стержней
1. Напряжения в растянутых и сжатых стержнях. Условие
прочности. Осевым растяжением (или сжатием) стержня при-
нято называть деформацию его, при которой все волокна полу-
чают одинаковое удлинение (или укорочение).
Для осуществления таких деформаций необходимо в конце-
вых сечениях стержня приложить сплошную равномерно распре-
деленную по площади этих сечений нагрузку, направленную па-
раллельно оси стержня
(рис. 11). Однако, применяя
принцип Сен-Венана, не-
трудно показать, что ана-
логичный результат мы по-
лучим и в том случае, когда
к концам стержня приложе-
ны любые нагрузки, кото-
рые сводятся к равнодей-
ствующим Р, направленным
по его оси (рис. 12, а). При-
ложим к малым объемам у каждого конца такого стержня до-
полнительные сплошные взаимно уравновешенные нагрузки, по-
казанные на рис. 12, б сплошными и пунктирными стрелками..
Интенсивность этих нагрузок примем такой, чтобы равнодей-
ствующая нагрузка была равна Р. На основании принципа
Сен-Венана результатом приложения дополнительных нагрузок
будут лишь местные деформации вблизи концов стержня. Если
затем отбросить взаимно уравновешенные на каждом конце
стержня нагрузки (силы Р и сплошные нагрузки, представлен-
ные пунктирными стрелками), то также произойдут лишь мест-
ные деформации, а схема загружения стержня примет вид, по-
казанный на рис. 12, в. Как показывают опыт и теоретические*
26
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
исследования, местные деформации, связанные со способом при-
ложения нагрузки, распространяются лишь на участке длины
стержня, приблизительно равном наибольшему поперечному
_______ _______________________________________--------------
размеру uicp/лпл. iwjiu.viy, nwaDiivninu vi tnvtvvct iipn^ivzn.cnn>i
растягивающей или сжимающей нагрузки, можно среднюю часть
стержня длиной I — 2а (где
I — действительная
стержня,
размер
чения)
женной по схеме рис. 11.
Если
местными напряжениями, то
та же схема загружения мо-
жет быть принята и для
всего стержня.
В любом поперечном се-
чении усилие сводится к
силе, направленной по оси стержня (рис. 13) и равной Р, при-
чем в случае растяжения (рис. 13, а) будем принимать это уси-
лие положительным, в случае сжатия (рис. 13, б)—отрицатель-
ным. Для однородного стержня распределение рассматривае-
мого усилия по сечению естественно считать равномерным. По-
напряжения в любой
поперечного сечения
равны: при растяже-
длина
а — наибольший
его поперечного се-
прииимать нагру-
не интересоваться
а)
s
Р
этому
точке
>Р будут
НИИ
Р
S
ст=^ =
при сжатии
___ S _____ Р Г КР 1 /о о\
О— р — F [ см2 J ’
где F — площадь поперечного сечения стержня.
Если назвать временным сопротивлением растяжению (сжа-
тию) напряжение <тв, соответствующее разрушающей нагрузке
/в, то
6)
Рис. 13.
„ —А.
<ТВ р ’
(2.3)
так что Рв = FoB.
Условие прочности против разрушения представится в виде
где k — коэффициент запаса против разрушения, или
р<—’
§ и
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
27
т. е.
-Р Рв
F k
(2.4)
Величину временного сопротивления, деленную на коэффи-
циент запаса против разрушения, называют допускаемым напря-
жением на растяжение (сжатие) и обозначают [о]. Тогда нера-
венство
(2.5)
является условием прочности против разрушения.
2. Основные типы задач расчета стержней по условию проч-
ности. Если экспериментальным путем найдено временное со-
противление и принят определенный коэффициент запаса проч-
ности против разрушения, то тем самым будет установлена и
величина допускаемого напряжения. Следовательно, с помощью
условия (2.5) оказывается возможным производить расчет на
прочность растянутых и сжатых стержней. Этот расчет может
быть сведён к решению задач трех типов.
а) Проверка прочности. При известных размерах
стержня и величине действующей нагрузки вычисляют величины
возникающих напряжений для сравнения с допускаемыми:
б) Подбор сечения. При известных величине нагрузки
и величине допускаемого напряжения находят необходимую пло-
щадь сечения стержня:
в) Определение допускаемой нагрузки. При из-
вестных размерах сечения стержня и величине допускаемого на-
пряжения определяют допускаемую нагрузку:
При практических расчетах растянутых и сжатых стержней
следует помнить, что формулы (2.1) и (2.2) для любого способа
приложения растягивающей или сжимающей нагрузки (кроме
равномерно распределенной по концевым сечениям) могут быть
оправданы только при условии применения принципа Сен-Ве~
нана. Поэтому ими допустимо пользоваться лишь для стержней,
длина которых превышает наибольший размер поперечного сече-
ния по крайней мере в три раза. У концов стержня необходимо
считаться с местными напряжениями, величина которых зависит
от способа приложения нагрузки.
28
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
3. Деформации растянутых и сжатых стержней. Закон Гука,
Коэффициент Пуассона. Как нетрудно установить эксперимен-
тально, при растяжении стержня происходит не только увеличе-
ние его продольных раз-
р меров, но и уменьшение
поперечных (рис. 14).
Величину AZ, на кото-
рую увеличилась перво-
начальная длина Zo стер-
жня, будем называть аб-
солютным удлинением, а
отношение абсолютного
удлинения к первоначальной длине /о стержня — относитель-
ным удлинением и обозначать е, так что
А/ -— 1\ — Iq [см],
(2.6)
..где li — длина стержня в деформированном состоянии, и
е = #= 100 -Г- [%!• (2.7)
Аналогичным образом для поперечных деформаций будем
иметь: абсолютное сужение
Д6==&1_&0> (2.8)
относительное сужение
где Ьо — какой-либо поперечный размер стержня.
Приписывая удлинению и поперечному расширению знак +\
можно с помощью формул (2.6) и (2.7) получить численную ха-
рактеристику деформаций сжатого стержня: укорочения (от-
рицательного удлинения) и поперечного расширения.
Опыт показывает, что между величинами деформаций и на-
грузок существует зависимость. Еще в XVII в. Р. Гук на осно-
вании экспериментов с растягиваемыми струнами, спиральными
и цилиндрическими пружинами, а также с деревянными бал-
?ками, пришел к заключению, которое на современном языке
можно сформулировать следующим образом: «в упругих телах
усилия пропорциональны деформациям». Дальнейшие исследо-
вания показали, что это утверждение, которое Гук назвал об-
щим законом природы, требует ряда уточнений. Установлено,
например, что в действительности нельзя говорить об упругих
телах, т. е. о телах, деформации которых всегда являются упру-
гими, а следует говорить об упругих деформациях тел в опре-
деленном диапазоне усилий и напряжений; что закон прямой
.пропорциональности является лишь частным случаем линейной
§ 1] НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ 29
зависимости между усилиями и деформациями и потому, оста-
ваясь правильным для ряда случаев, и в частности, для растя-
жения и сжатия, не может считаться общим; что даже в этом
частном виде он не может считаться достоверным в случае боль-
ших деформаций; что во многих случаях деформации зависят
не только от величины усилий, но и от скорости их изменения
во времени. Кроме того, естественно предполагать, что характер
зависимости между усилиями и деформациями должен сохра-
няться при любых размерах тела, поэтому правильнее говорить
о зависимости между напряжениями и относительными дефор-
мациями. Учитывая приведенные соображения для случая рас-
тяжения и сжатия, можно дать следующую видоизмененную
формулировку закона Гука; малые упругие относительные де-
формации при растяжении и сжатии, не зависящие от времени
деформирования, пропорциональны напряжениям.
При расчете инженерных конструкций в подавляющем боль-
шинстве случаев приходится иметь дело лишь с малыми упру-
гими деформациями. Для большинства металлов, применяемых
в инженерной практике, влияние времени на эти деформации
весьма невелико, так что им можно пренебрегать. Для других
материалов влияние времени допустимо не учитывать, если рас-
сматривать процесс деформирования малой длительности. По-
этому в дальнейшем мы будем для определения упругих дефор-
маций растянутых и сжатых стержней пользоваться законом
Гука. Исследованием же влияния времени на деформации и на-
пряжения займемся отдельно в главе 13.
На основании закона Гука для относительных удлинений
растянутых и сжатых стержней можно написать следующую за-
висимость:
о —Ее, (2.10)
где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем
упругости и имеющий размерность напряжения. Он характери-
зует сопротивляемость материала упругой деформации при рас-
тяжении, т. е. его упругие свойства, и является постоянной для
данного материала величиной, определяемой экспериментально
(см. табл. 1).
Подставляя’в (2.10) значения а и е из (2.1) и (2.7), получим
(2.П)
Произведение EF принято называть жесткостью стержня при
растяжении или сжатии.
Применяя закон Гука к поперечной деформации, получим
е' = — Ао,
30
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
Таблица 1
Средняя величина модули упругости Е для некоторых материалов
при комнатной температуре
Наименование материала Модуль упругости Е. кГ/см2
Стали углеродистые и легированные Медь техническая Латуни Алюминий технический и алюминиевые сплавы Кирпичная кладка Бетон (в зависимости от марки) • Дерево при растяжении вдоль волокон » » » поперек волокон .... Фанера клееная при растяжении вдоль волокон Фанера клееная при растяжении поперек волокон (1,9—2,2) • 10б (1,0-1,3)-108 (0,93—1,06) • 106 0,72- 10е (0,027—0,030) • 10s (0,146-0,36) • 103 (0,10-0,12) • 10s (0,005—0,01) • 10s (0,12-0,14) • 10s (0,06—0,12) • 10s
где А — коэффициент пропорциональности, и, следовательно,
— = - АЕ.
е
Если обозначить
ЛЕ = у,
то
е' = — це. (2.12)
Коэффициент пропорциональности у, (абсолютную величину
отношения относительной поперечной деформации к продоль-
ной) принято называть коэффициентом Пуассона, который также
может рассматриваться как характеристика упругих свойств ма-
териала, устанавливаемая экспериментально (см. табл. 2).
Таблица 2
Средние величины коэффициента Пуассона для некоторых
материалов при комнатной температуре
Название материла
Стали углеродистые и легированные Медь техническая Латуни Алюминий технический и алюминиевые сплавы Бетон Стекло Пробка 0,24-0,33 0,31-0,34 0,32—0,42 0,33 0,16—0,18 0,25 0,47 0,00
§ 21
СТЕРЖНИ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
31
Как мы увидим в дальнейшем, при напряжениях, не превос-
ходящих допускаемых, деформации можно считать упругими.
Поэтому если напряжения в элементах конструкции не превос-
ходят допускаемых, то, пользуясь приведенными формулами, мы
сможем определять величины деформаций этих элементов.
§ 2. Напряжения и деформации стержней
переменного сечения
В инженерных конструкциях растянутые и сжатые стержни
переменного сечения применяются относительно редко*). В то
же время исследование напряженно-деформированного состоя-
ния таких стержней в ряде случаев представляет собой задачу,
которая по своей сложности выходит за
пределы нашего курса. Рассмотрим лишь
один частный случай, когда стержень
имеет прямоугольное сечение, высота ко-
торого h медленно изменяется по длине
этого стержня по прямолинейному за-
кону (рис. 15). Для определения напря-
жений в таком стержне будем рассма-
тривать его как совокупность волокон,
представляющих собой прямые, проходя-
щие через точки оси О, перпендикуляр-
ной плоскости чертежа, аналогично тому,
как призматический стержень можно
рассматривать как совокупность воло-
кон, параллельных между собой. Сече-
ние, нормальное к этим волокнам, пред- Рис. 15.
ставляет собой в нашем случае уже не
плоскость, а цилиндрическую поверхность радиуса г. Удлинение
каждого волокна, ограниченного такой поверхностью, должно
быть таким, чтобы после деформации все они сходились в точках
на оси, параллельной оси О, для чего необходимо, чтобы
Дг0 = Дг0 cos 0,
где Дго — удлинение волокна, совпадающего с осью стержня,
Дге — удлинение волокна, составляющего с вертикалью угол 0
(изменением угла 0 ввиду малости деформаций можно прене-
бречь).
Но тогда
е0 = е0 cos 0,
*) Исключение составляют стержни, переменность сечения которых обу-
словлена местными ослаблениями (отверстиями, выкружками и пр.). Расчет
таких стержней будет рассмотрен в дальнейшем.
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ [ГЛ. 2
и по закону Гука
<те = Ее0 cos 6.
В то же время усилие в рассматриваемом сечении равно Рг
и потому
р= ( о 0 cos Qbr dQ = \ Ее0 cos2 В brdG = Eebbr fa + у sin 2a
откуда
Ee0 =
и, следовательно,
Таким образом, напряжения в каждой точке рассматриваемого
стержня имеют различную величину и радиальное направление.
Наибольшие напряжения действуют в точках на осевых волок-
нах и равны
<*0 — -( j :
br ( a+ sin 2а
(2.14)
Если же принять, что напряжения по любому плоскому попе-
речному сечению распределены равномерно, то
Нетрудно видеть, что при а ~ 12° напряжения, определен-
ные по формулам (2.14) и (2.15), различаются менее чем на 2%.
Напряжения а' в крайних точках плоского сечения, которые
должны определяться по формуле (2.13), при замене г на
r/cos а и 0 на a:
Р cos2a
br (a + -i- sin 2a
при той же величине а отличаются от напряжений, вычисляемых
по формуле (2.15), также не более чем на 2%.
На основании этого можно полагать, что для стержней пере-
менного сечения, если оно изменяется не слишком интенсивно,
§ 31
ВЛИЯНИЕ СОБСТВЕННОГО ВЕСА
33
можно с приемлемой для практических расчетов точностью при-
менять те же расчетные формулы, что и для стержней постоян-
ного сечения. В то же время при определении деформаций сле-
дует помнить, что плоские сечения стержня переменного сечения
не будут оставаться плоскими и после деформации.
§ 3. Влияние собственного веса на напряжения
и деформации стержней
п
т
1. Вычисление напряжений. Условие прочности. Изучая рас-
тяжение и сжатие призматических стержней, мы рассматривали
лишь поверхностные нагрузки, не учитывая того, что, помимо та-
ких нагрузок, необходимо считаться и с нагруз-
кой, распределенной по объему стержня, — соб-
ственным весом его. Посмотрим, как сказывает-
ся влияние собственного веса на напряженно-
деформированном состоянии стержня.
Для сечения тп (рис. 16), находящегося на
расстоянии х от нижнего конца стержня, из ус-
ловия равновесия отсеченной части при учете
собственого веса получим
Sx = P + Qx = P + x0Fx,
где уо — объемный вес материала стержня. На-
пряжения в сечении х равны:
Р >
— — — -р + Yox-
Величина напряжений неодинакова по длине
стержня и достигает максимального значения
в месте заделки (х = /), которое является опас-
ным сечением:
Р । 1
^шах — р “Г Yo‘-
№
(2.16)
б)
"Р
Рис. 16.
(2.17)
Эпюра изменения напряжений по длине стержня представ-
лена на рис. 17.
Из рассмотрения формулы (2.16) ясно, что учет влияния соб-
ственного веса на напряжения в стержне сводится к суммиро-
ванию напряжений от поверхностной нагрузки и напряжений от
собственного веса. Последние не зависят от площади попереч-
ного сечения стержня, а зависят лишь от материала стержня и
расстояния х, а наибольшая их величина — от материала и
длины стержня. Поэтому при малой длине стержня влияние
собственного веса на напряжения незначительно даже при ма-
лой величине напряжений от поверхностной нагрузки.
2 В. А. Гастев
34
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
ГГЛ. 2
Так, при
ст = -у- = 100 кГ/см2, 1 = 100 сл«
для стального стержня
Р7
Рис. 17.
(уо = 0,0078 кГ]смъ) наибольшее напря-
жение от собственного веса
= 0,78 кГ/см2,
т. е. меньше 1 % от сттах, и потому мо-
жет не учитываться.
Условие прочности при учете соб-
ственного веса, очевидно, принимает
вид
СТтах р "Ь Yo^ [^]
ИЛИ
р
(2.18)
Иными словами, при проверке прочности и подборе сечения
стержня учет влияния собственного веса сводится к понижению
допускаемого напряжения на величину наибольшего напряже-
ния от собственного веса. При малой длине стержня это пони-
жение оказывается несущест-
венным и влияние собственно-
го веса может не учитываться.
Лишь при очень большой дли-
не нельзя отказываться от уче-
та влияния собственного веса.
2. Подбор сечения стерж-
ней большой длины. Стержни
переменного сечения. В случае
очень большой длины стержня
сохранение постоянного сече-
ния по длине стержня оказы-
вается невыгодным, так как
лишь в одном сечении напря-
жения могут приниматься рав-
ными допускаемым, на всей
Рис. 18. же длине стержня они меньше
допускаемых. В ряде случаев
(тросы шахтных подъемников, высокие столбы каменной или
кирпичной кладки) лучшие результаты в смысле экономии ма-
териала получаются, если принять ступенчатое изменение сече-
ния по длине стержня (рис. 18).
§ 3] ВЛИЯНИЕ СОБСТВЕННОГО ВЕСА 35
Тогда
г р
Р __ Р + Vo^iA _ Pl la] _ Р [a]
2 “ [a] - W2 “ [al - V0/2 ~ ([a] - Voh) ( M - VoW ’
„ Ma]____________________PH:______________
П “ [a] - то/з ~ ([a] - Y0/1) (la] - Y0/2) ([a] - VoM
и T. Д.
При равных участках
/ = /, = /2= ... =/n = -^.
р =—р М— (2 19)
Рп ([a]-YoOn‘ 1
Необходимо, однако, при этом иметь в виду, что на границах
между участками придется считаться с концентрацией напряже-
ний, о чем мы будем говорить в дальнейшем.
Еще более экономичными (по крайней мере, теоретически)
являются стержни с сечениями, непрерывно меняющимися по
длине так, чтобы в каждом из них напряжение было равно до-
пускаемому. Закон изменения сечений
в выражении (2.19) к пределу при п—>оо:
получим, переходя
п Ю1 to In
dK
101 =а
tain
n>oo [а] х [а] « /
п [<5| УоХ
Vox ’ [а]
ТдХ
е [aJ , (2.20)
Р
[а]
так как In =. к (расстоянию сечения от нижнего
конца стержня) и
= -Д- lim f 1 —
[a] '*
n |g]
y°x — e.
Рис. 19.
—п
'r
Полученный результат можно применять лишь
в том случае, когда переменность сечения, вытекающая из выра-
жения (2.20), не имеет большой интенсивности (см. § 2).
3. Деформации стержней с учетом собственного веса. При
рассмотрении деформаций растянутых или сжатых стержней
с учетом собственного веса следует учитывать, что деформации,
как и напряжения, переменны по длине стержня. Однако на
бесконечно малой длине dx (рис. 19) с точностью до бесконечно
2*
35
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
.малых величин второго порядка малости можно считать относи-
тельное удлинение ех постоянным.
Тогда
, . , ах dx Р dx . уох dx
\ах = е,х ах — ~г— = — •
х Ь EF 1 Е
Полное удлинение А/ равно:
AZ=Udx=(^+(^dx = ^. + ^-. (2.21)
ООО
Так как y0Fl есть собственный вес Go стержня, формулу
(2.21) можно представить и в следующем виде:
(Р + I
gj...
ЕР 1 2Ьг ЕР 4 1
Сравнивая полученный результат с (2.11), видим, что для
учета влияния собственного веса на удлинение стержня постоян-
ного сечения необходимо к нагрузке прибавить половину соб-
ственного веса этого стержня. При небольшой длине стержня
величина G0/2 мала по сравнению с Р и, следовательно, влия-
ние собственного веса на удлинение может не учитываться.
§ 4. Статически неопределимые конструкции
из растянутых и сжатых стержней
Многие инженерные конструкции могут рассматриваться как
системы стержней, пересекающихся в ряде точек (в узлах) и
соединенных в этих узлах так, что взаимный поворот сходя-
щихся в них стержней происходит беспрепятственно ( шарнирно-
стержневые системы). Если внешние силы
прикладываются только в узлах такой кон-
\ / струкции, то в стержнях могут возникать
\ / лишь усилия, направленные по их осям, т. е.
\ / стержни являются либо растянутыми, либо
сжатыми.
Простейшей шарнирно-стержневой систе-
Рис. 20. мой является треугольник (рис. 20). Так как
форма треугольника полностью определяется
длиной сторон, то она может измениться лишь в результате
деформации стержней, входящих в состав системы. Стерж-
невые системы, изменение формы которых происходит лишь
.вследствие деформации входящих в их состав стержней, назы-
•§ 4]
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ
37
вают геометрически неизменяемыми. Таким образом, шарнир-
ный треугольник геометрически неизменяем. Тем же свойством
обладает и конструкция, представленная на рис. 21. Очевидно,
что можно составить и более сложные геометрически неизме-
няемые стержневые системы, например, путем присоединения
к шарнирному треугольнику каждого нового узла с помощью
двух стержней. Если конструкция состоит только из стержней,
наличие которых необходимо для обеспе-
чения ее геометрической неизменяемости,
то говорят, что в ее состав входят толь- \ /
ко необходимые стержни. Как доказы- \ /
вается в курсах строительной механики \ /
стержневых систем, для определения уси-
лий в элементах таких конструкций всегда
возможно составить столько уравнений Рис. 21.
статики, сколько имеется неизвестных уси-
лий. Таким образом, эти усилия определяются путем решения
уравнений статики, поэтому сами конструкции принято называть
статически определимыми. После нахождения усилий проверка
прочности или подбор сечения каждого из элементов с помощью
условия (2.5) не представляет затруднений.
Рис. 23.
Рис. 24.
Возможны и такие стержневые системы, в которых число
стержней превосходит необходимое. Тогда стержни, без которых
геометрическая неизменяемость остается обеспеченной, называют
лишними. Простейший пример такой конструкции представлен
на рис. 22, где любой один из трех стержней может считаться
лишним.
Наличие лишних стержней создает особые условия расчета
конструкции, которые мы изучим на примере, представленном
на рис. 23. План сил, действующих на узел А нашей конструк-
ции, представлен на рис. 24. Уравнения равновесия этого узла
38
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[гл. г
сводятся к двум:
£.¥ = 0: —Sj sina + S2sina = 0,
У.У=0: (Sj + S2)cosa + S3 —Р = 0-
(2.23)
Число неизвестных усилий — три: оно превышает на единицу
число уравнений статики. Следовательно, неизвестные усилия:
в стержнях не могут быть найдены из одних уравнений статики,,
ибо последним можно удовлетворить бесчисленным множе-
ством совокупностей усилий Sb S2 и S3. Поэтому наша задача,
является статически неопределимой, а сама конструкция назы-
вается статически неопредели-
т мой. Одно из неизвестных уси-
ди а/ лий, соответствующее лишнему
стержню, называют лишним.
Неопределенность задачи
в такой постановке можег
7 V* быть объяснена следующим.
\ образом. Ограничиваясь для
\ определения усилий только
уравнениями равновесия, мы
j &>' А не приняли во внимание, что»
эти усилия вызывают дефор-
мации стержней. Но при нали-
Рис. 26. чии лишнего стержня дефор-
мации не могут быть произ-
вольными, и должны быть связаны определенной зависимостью,,
так как в результате деформации не должно происходить разъ-
единение стержней в узле А.
Рассмотрим перемещения этого узла (рис. 25). Относя узел А
к каждому из стержней конструкции, мы можем перемещение
его считать результатом, во-первых, удлинения стержня на ве-
личину Д/ и, во-вторых, поворота его вокруг центра узла, свя-
занного с неподвижным телом. Первая часть перемещения про-
исходит по направлению стержня, вторая — по дуге окружности,
радиуса, равного длине стержня.
Ввиду малости перемещений дугу окружности можно заме-
нить прямой, перпендикулярной к первоначальному направле-
нию стержня. Тогда план перемещений узла А может быть пред-
ставлен на рис. 26. Проведя дополнительные пунктирные пря-
мые, получим д/з = AD_ CD> .
Ы3 = АВ + ВС. J
Из чертежа очевидно, что отрезки CD и ВС равны, а также, что
AD
АВ =
Д/2
cos a '
cos a ’
§ 4]
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ
39
Сложив равенства (*), получим
AZ1 + AZ2 = 2 AZ3 cos a.
Уравнение (2.24) выражает зависимость между
ятями стержней, обусловленную наличием в данной
ции лишнего стержня.
Выражая абсолютные удлинения через усилия, мы получим
недостающее для определенности задачи уравнение:
4r-+#=2-fr-cosa-
Л1Г1 С2П £зГЗ
(2.24)
дефор ма-
конструк-
(2.25)
Так как
Z1==Z2 = —
1 z cos а
то уравнения
® виде
(2.23) и (2.25) окончательно можно представить
Si — S2,
2S1cosa + S3 = P,
Sj , S2 2S3 9
-Б~г~ + COS « •
EiFi E2F2 EsFs
(2.26)
Решит эту
систему, получим
o c 2P cos2 a
— d2— E p E p
-£^- + -₽^r+4C°*3«
f.53/73 4
„ _ k E.c
д3 £з/7з
случае, если
В частном
стержней одинаков, то
E2F 2
E3F2 \
EtFt E2F2 )
E3F3 3
„ Р + 4 cos3 a
E2F2
Ei—E2 — E3, т. е. материал всех
(2.27)
Si — S2 —
2Р cos2 a
-тг-+-7^-+ 4 cos3 a
Fl Г2
(2.28)
O ___ \ Fl Г] /
3 F 3 F 3 _£. Л 3 '
V + -p- + 4 cos3 a
Fl F2
Если к тому же и площади всех стержней одинаковы, то
г> г. Р cos2 a
^2 1 + 2 cos3 a ’
с ____ F__________
3 1+2 cos3 a
(2.28z)
40
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
(ГЛ. 2
Нетрудно видеть, что на величине усилий в стержнях нашей
статически неопределимой конструкции может оказаться изме-
нение температуры как всей конструкции, так и отдельных ее
л'гло'т/ттлтг л тптглтгп 1тлтпттгтг\лТт TTTTTZTTT.T <-ч тттъъя rvTTT/~\r> *Т «1 TZ РРПТТ ПТРП.
С 1 C|>ZI\ncn, CL 1 arvzikc n^lUTflULllJ ^VIVXVIVII X x
жень 3 имеет температуру на t° выше, чем остальные, то его
удлинение
где р — коэффициент температурного удлинения,
(2.26) примут вид
и уравнения
откуда
S] — S2,
2Sj cos а + S3 = Р,
| S2 _ Q / S3
EsFt "* E2F2 z k E3F3
cos2 а,
c c 2 (P + $tE3F3) cos2 а
2 E3F3 , E3F3 , „ ’
EtFt + E2F2 +4eos a
E3F3 E3F3 \
+ ~4р/£Лсоз а
S3 =
E3F3 E3F3 . ,
EiF< + E2F2 +4eos a
Равным образом, если стержень 3 при сборке имел вместо
длины I длину 14- А, то
2 + -у- E3F3^ cos2 a
1 E3F3 ’
EtFi + E2F2 + 4cos a
’ E3F3 E3F3 \ &
. + E2F2 ) P 4 I E}Fa cos a
Отсюда видно, что при изменении температуры конструкции
или ее отдельных элементов, независимо от наличия внешней
нагрузки, в элементах конструкции будут возникать усилия
{температурные усилия). Точно так же и при неточности изго-
товления конструкции в ее элементах возникнут усилия, неза-
висимо от наличия внешней нагрузки (начальные усилия). Соот-
ветственно с этим появятся температурные напряжения и на-
чальные напряжения.
§ 4]
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ КОНСТРУКЦИИ
41
Легко также видеть, что в нашей конструкции, вообще го-
воря, нельзя добиться одинаковых напряжений во всех стержнях
при одинаковом их материале. Из выражений (2.28) получим
О Р 2
2 cos2 а
_________F1____________
1 . Fs . . '
4--^ 4-4 cos3 а
о р 2
2 cos2 а
__ ^2
0^2 ~~~ —г---р ’
"F“ + + 4 cos3 а
Г1 г2
'-'3 с с •
ГЗ . ГЗ . , о
+ ——J- 4 cos3 а
Г] /*2
Для выполнения условия — о2 необходимо, чтобы F{=F2=F;
тогда
Р 2
-р- cos2 а
ai = ff2==_K_79 3 ’
—-—Н 2 cos3 а
г
Р
F
ff3=="K----------•
4* 2 cos3 а
Г
Сравнивая полученные выражения, заключаем, что равенство
с?! = Сг = °з
возможно лишь при cos2 а = 1, т. е. при а = 0 (все стержни
параллельны). В остальных случаях (при а =?= 0)
(Т] (Т2, О3 > CFj а2»
Рассматривая процесс решения рассмотренной задачи и его
результаты, приходим к следующим выводам.
а) Стержневые системы, имеющие лишние с точки зрения
геометрической неизменяемости стержни, являются статически
неопределимыми конструкциями. При определении усилий в них
оказывается, что число уравнений статики меньше числа неиз-
вестных усилий, так что некоторые неизвестные оказываются
лишними. Число таких неизвестных равно числу лишних стерж-
ней.
б) В связи с этим для нахождения усилий, помимо уравне-
ний статики, необходимо составить уравнения, устанавливающие
42
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2'
между деформациями стержней зависимости, которые обуслов-
лены допускаемыми конструкцией перемещениями ее узлов.
в) Усилия в элементах статически неопределимой конструк-
ции зависят не только от величины нагрузок и геометрических
величин, характеризующих форму и размеры конструкции, но-
и от соотношений жесткостей ее элементов или, если материал
последних одинаков, от отношений площадей их сечений, тогда
как в статически определимых конструкциях усилия зависят
только от нагрузок и геометрических характеристик формы и
размеров конструкции.
Указанное обстоятельство является ценной особенностью-
статически неопределимых конструкций, так как открывает воз-
можность влиять на распределение усилий без изменения формы
конструкции.
г) Для статически неопределимых конструкций в общем слу-
чае нельзя достигнуть равенства напряжений во всех элементах
и, следовательно, требование, чтобы во всех элементах конструк-
ции напряжения были равны допускаемым, неосуществимо.
д) Неточности изготовления и изменение температуры как
всей конструкции, так и отдельных ее элементов влияют на на-
пряжения в элементах статически неопределимой конструкции,
вызывая в них начальные и температурные напряжения.
§ 5. Методы и основные результаты экспериментального
исследования процессов деформации и разрушения
растянутых и сжатых стержней при действии статических
нагрузок
1. Испытания на растяжение и сжатие. Как видно из преды-
дущего, располагая весьма небольшими сведениями о поведении
растянутых и сжатых стержней под действием приложенной
к ним нагрузки, мы уже оказались в состоянии сформулировать
условие прочности и расчетным путем находить деформации при*
допускаемых нагрузках. Это позволило получить решение основ-
ных задач проверки прочности и жесткости элементов конструк-
ций. Однако такое решение, по существу, носит чисто формаль-
ный характер. Не имея более детальных сведений о процессах,
деформации и разрушения растянутых и сжатых стержней, мы
лишены возможности оценить, насколько расчетные формулы,
выведенные нами для сплошных, однородных и изотропных тел,
применимы для реальных стержней, установить пределы приме-
нимости этих формул, установить сознательно величину коэффи-
циента запаса (а следовательно, и допускаемого напряжения)..
Поэтому ближайшей задачей нашего курса является изучение-
процессов растяжения и сжатия стержней из реальных мате-
риалов.
'§5) МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 43
Основным источником изучения являются результаты испы-
тания стержней. Испытания на растяжение проводятся с по-
мощью специальных разрывных машин, позволяющих прило-
жить нагрузку от нескольких килограммов до 2000 Т и выше
(в зависимости от конструкции машины), причем величина при-
.ложенной нагрузки может быть отсчитана на измерителе силы,
жоторым эти машины снабжаются. Испытания на сжатие про-
изводятся с помощью гидравлических прессов или машин с ме-
.ханическим возбуждением силы. Существующие машины позво-
ляют приложить нагрузку от нескольких килограммов до 5000 Т
и выше.
Объектом испытания на растяжение являются в большинстве
случаев образцы в виде круглых стержней с головками для за-
хватов, или плоских прямоугольных стержней с такими же го-
ловками. На сжатие испытываются образцы в виде кубов, ци-
линдров и прямоугольных призм.
Для измерения деформаций применяются специальные при-
боры (тензометры), с помощью которых находят удлинения или
укорочения на определенном участке длины (база тензометра).
Величина базы тензометров наиболее распространенных типов
жолеблется в пределах 2—200 мм-, точность измерения удлине-
ний 0,05—0,00005 мм. Ввиду того, что у концов стержня в зави-
симости от способа приложения нагрузки возникают местные
деформации, измерение деформаций производится лишь на сред-
ней части стержня, длину которой называют расчетной длиной.
При испытаниях на растяжение (сжатие) измеряются на-
грузки и соответствующие им деформации (удлинения или уко-
рочения, поперечные сужения или расширения). Для удобства
рассмотрения результатов целесообразно представить их графи-
чески, откладывая, например, на оси абсцисс абсолютные удли-
нения образца, а на оси ординат соответствующие нагрузки.
При этом получается кривая, которую называют диаграммой
.растяжения (сжатия) образца. В большинстве испытательных
машин эта диаграмма вычерчивается автоматически с помощью
так называемого диаграммного прибора. Если такой прибор от-
сутствует, диаграмма строится по точкам, абсциссы и ординаты
.которых получаются при отдельных отсчетах.
Так как размеры испытуемых образцов в большинстве слу-
чаев невелики по сравнению с размерами стержней, применяе-
мых в конструкциях, то естественно возникает вопрос, допу-
стимо ли результаты таких испытаний считать не зависящими
от размеров образца. В 1874 г. В. Л. Кирпичев для случая уп-
ругой деформации установил так называемый закон подобия:
если испытуемые образцы геометрически подобны, то при по-
добном расположении точек приложения действующих сил на-
пряжения и деформации в сходственных сечениях оказываются
44
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
подобными. В дальнейшем этот закон был распространен и на
случай пластических деформаций. Установлено, однако, что он
требует некоторых оговорок: необходимо соблюдение добавоч-
ных условий в случае действия динамических нагрузок; при раз-
рушении закон подобия не всегда соблюдается. В последнем
случае следует считаться с так называемым «масштабным фак-
тором», который необходимо дополнительно исследовать.
Итак, используя закон подобия со сделанными оговорками,
можно на основании изучения результатов испытания образцов-
получить выводы, имеющие общее значение. Посмотрим, какие
выводы можно сделать в случае растяже-
ния и сжатия стержней.
2. Диаграммы растяжения стержней иа
пластических и хрупких материалов. Рас-
сматривая диаграммы растяжения образ-
цов из различных материалов, можно уста-
новить два основных типа этих диаграмм.
Первый тип (27, а и б) характерен для ма-
териалов, которые при нормальных усло-
виях разрушаются после значительной пла-
стической деформации. Второй тип (рис. 28}
характерен для материалов, разрушение
которых связано с весьма малыми пласти-
ческими деформациями.
Материалы первой группы называют пластичными, а мате-
риалы второй группы — хрупкими. Принимая эту условную
классификацию, следует иметь в виду, что один и тот же мате-
риал в зависимости от ряда обстоятельств (напряженное со-
стояние, температура, скорость деформирования и пр.) может
вести себя как пластичный или как хрупкий. Поэтому правиль-
нее говорить о пластичном и хрупком состоянии материалов.
§ 5]
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
4г
Рассмотрим подробнее диаграммы первого типа, относя-
щиеся к таким пластичным материалам, как сталь, медь, алю-
миний, латунь и т. п. В начале процесса деформации диаграмма
прямолинейна, так что величина абсолютного удлинения
стержня связана с нагрузкой Р законом прямой пропорциональ-
ности, т. е. ее изменение подчиняется закону Гука. В точке А
пропорциональность нарушается, и нагрузка, определяемая ор-
динатой РПц этой точки, называется нагрузкой, соответствующей
пределу пропорциональности. Она является границей примени-
мости закона Гука.
Начиная с некоторой точки В, лежащей уже на криволиней-
ном участке диаграммы, может быть замечено появление пер-
вых, пока еще незначительных по величине, пластических де-
формаций. Нагрузка, определяемая ординатой Ру этой точки,
называется нагрузкой, соответствующей пределу упругости.
Если Р < Ру, то деформация стержня упруга, т. е. обладает
свойством обратимости. Если Р > Ру, то наряду с упругой де-
формацией в стержне развивается и пластическая деформация.
Возрастание последней становится особенно заметным, начиная
с точки С, после которой величина деформации растет значи-
тельно быстрее, чем величина нагрузки. Нагрузку, определяе-
мую ординатой Рт точки С, называют нагрузкой, соответствую-
щей пределу текучести.
На диаграммах типа 27, б (например, на диаграмме растя-
жения для малоуглеродистой стали) за этой точкой имеется го-
ризонтальный участок СЕ, называемый площадкой текучести,.
в пределах которого деформация растет при постоянной на-
грузке. На диаграммах типа 27, а, характерных для большин-
ства пластичных материалов (медь, бронза, латунь, стали с со-
держанием углерода, превышающим 0,4%, стали с легирующими
добавками), площадка текучести отсутствует, однако, начиная
с точки С, происходит быстрое возрастание пластической де-
формации. Так как положение этой точки в известной степени
условно, то и нагрузку Рт, соответствующую пределу текучести,
приходится принимать тоже условно, как нагрузку, при которой
пластическая деформация становится больше определенной ве-
личины, например, 0,2%.
Необходимо иметь в виду, что положение точек А и В также
условно. В частности, положение точки В, очевидно, зависит от
той величины пластической деформации, которую наши измери-
тельные приборы могут обнаружить. Для устранения этой ус-
ловности располагают В в той точке, где относительное остаточ-
ное удлинение достигает определенной величины, например,
0,01%. В соответствии с этим величины Рпц, Ру и Рт оказы-
ваются условными, зависящими от точности подхода к их опре-
делению. При не очень строгих требованиях к этой точности
46
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
можно принимать ординаты Ру и Рт и даже Рпц совпадаю-
щими.
Нагрузку, соответствующую наибольшей ординате Рв диа-
граммы (в точке £)). принято называть разрушающей нагруз-
кой. При таком определении разрушающая нагрузка не соот-
ветствует моменту разрушения; разрушение происходит в точке
К при меньшей растягивающей нагрузке. Указанное обстоятель-
ство связано с тем, что до точки D продольное удлинение и по-
перечное сужение стержня происходит равномерно по всей его
длине; начиная с точки D, удлинение и поперечное сужение кон-
центрируется на небольшой части длины стержня (обычно там,
где имеются местные ослабления поверхностными микроскопи-
ческими трещинами, включе-
ниями, царапинами и другими
дефектами), в то время как на
остальной длине деформация
прекращается. В результате
Рис- "• на образце образуется шейка
(рис. 29), постепенно все бо-
лее суживающаяся. Площадь поперечного сечения шейки к мо-
менту разрыва образца значительно уменьшается. Поэтому
уменьшается и нагрузка, необходимая для разрушения стержня.
Обратимся теперь к диаграммам второго типа (см. рис. 28),
относящимся к хрупким материалам. Линия ОА не является
прямой, что связано со значительным влиянием скорости прило-
жения нагрузки. Поэтому закон Гука без поправки, учитываю-
щей это влияние, оказывается неприменимым. Однако для перво-
го приближения при рассмотрении деформаций в ограниченном
диапазоне скоростей нагружения можно пользоваться кривой
ОА, спрямляя ее либо на некотором участке, либо на всем
протяжении. Тогда оказывается возможным (с относительно
небольшой погрешностью для определения деформаций) вплоть
до момента разрушения пользоваться законом Гука с модулем
упругости, равным отношению напряжений к относительным
удлинениям, определенным по спрямленной диаграмме (услов-
ный модуль упругости). При этом оказывается достаточным
знать ординату точки А, определяющую величину разрушающей
нагрузки и условного модуля упругости, чтобы характеризовать
сопротивление хрупкого стержня растягивающим усилиям.
3. Диаграммы сжатия и сопоставление их с диаграммами
растяжения. Переходя к рассмотрению сжатия стержней,
вспомним, что при формальном подходе оказалось возможным
трактовать сжатие как отрицательное растяжение. Однако срав-
нение результатов опытов на растяжение и сжатие показывает
что процессы деформирования сжатых образцов имеют специ-
фические особенности.
§ 5J
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
47
Необходимо иметь в виду, что при испытании на сжатие
приходится применять образцы небольшой высоты, чтобы избе-
жать выпучивания (продольного изгиба). Отношение высоты об-
разцов к их диаметру редко превышает 3, так что они едва ли
могут рассматриваться как стержни,
Сен-Венана к приложенным по тор-
цам нагрузкам не дает возможно-
сти получить чистое сжатие без до-
бавочных местных напряжений.
Образец помещается между дву-
мя плитами пресса, которые, сбли-
жаясь, деформируют стержень.
Сжатый в продольном направлении
образец стремится расшириться в
и применение принципа
Р
Рис. 30.
поперечных направлениях, однако
из-за трения между плитами прес-
са и торцами образца расширение
происходит не свободно. Этим объ-
ясняется тот факт, что сжимаемый образец постепенно приобре-
тает вид бочонка (рис. 30,а).
Для устранения трения на торцах образца их иногда смазы-
вают жиром или парафином (что все же не устраняет пол-
ностью влияния трения) или же заме-
няют плоские плиты пресса конически-
ми бойками (рис. 30,6), причем угол
наклона образующей конуса подби-
рают равным углу трения. Однако и в
этом случае нет полной гарантии, что
опыт воспроизводит чистое, однород-
ное сжатие, так как в процессе дефор-
мирования угол трения должен изме-
няться. Таким образом, получить экс-
периментально сжатие в чистом виде
практически едва ли возможно. По-
этому в большинстве случаев испыта-
ние на сжатие производят, не приме- Рис. 31.
няя специальных мер для устранения
влияния трения. Получаемая из таких опытов диаграмма сжа-
тия образцов из пластичных материалов имеет вид, изображен-
ный на рис. 31, где дана эта диаграмма для образца из мягкой
малоуглеродистой стали. Здесь, так же как и на диаграмме
растяжения, имеем прямолинейный участок ОД', что свидетель-
ствует о наличии определяемой законом Гука зависимости ме-
жду нагрузками и укорочениями. При этом модуль упругости
при растяжении и сжатии для многих пластических материалов
оказывается одинаковым. Однако, в отличие от диаграммы
48
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
растяжения, на диаграмме сжатия после точки А', соответствую-
щей нагрузке при пределе пропорциональности, наблюдается
непрерывное увеличение ординат, которое следует приписать
тому, что площадь поперечного сечения стержня в процессе ис-
пытания все время увеличивается, в связи с чем растет и испы-
тательная нагрузка Р. В результате этого довести сжатый обра-
зец до разрушения оказывается практически невозможным, так
как по мере возрастания сжимающей нагрузки он все более
и более сплющивается, не обнаруживая признаков разрушения.
Следовательно, определение разрушающей нагрузки из опыта
на сжатие оказывается невозможным.
Рис. 33.
При испытании на сжатие образцов хрупких материалов ока-
зывается, что разрушение, как и в случае растяжения, проис-
ходит при малых деформациях. Диаграмма сжатия (рис. 32)
также представляет собой слабо искривленную кривую. Вели-
чина разрушающей нагрузки сжатого образца значительно
больше величины разрушающей нагрузки растянутого образца
той же площади сечения. В то же время характер разрушения
существенно зависит от условий испытания. Так, при испытании
цементного или бетонного куба, если торцы образца не сма-
заны, то картина разрушения выглядит так, как показано на
рис. 33, а. При смазке торцов парафином разрушение происхо-
дит путем образования продольных трещин (рис. 33,6).
Можно думать, что второй вид разрушения лучше отражает
истинный характер разрушения хрупкого материала при сжа-
тии, чем первый.
4. Диаграммы условных напряжений для пластичных ц
хрупких материалов. Диаграммы растяжения и сжатия харак-
теризуют процесс деформации только того образца, для кото-
рого эти диаграммы получены. Чтобы иметь возможность делать
заключения общего характера, необходимо представить резуль-
§ 5] МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ 49
таты испытания в таком виде, чтобы они не зависели от разме-
ров образца. Таким образом, дело сводится к построению на
основании диаграмм растяжения (сжатия) таких диаграмм, ко-
торые связывали бы напряжения и относительные деформации.
Переходя к решению этой задачи, следует вспомнить, что
при определении напряжений в точках растянутого или сжатого
стержня мы пришли к выводу, что
не делая оговорки о том, какие размеры площади поперечного
сечения стержня следует принимать: первоначальные или полу-
ченные в результате деформации. Это было естественным, так
как мы имели в виду лишь случай упругих деформаций, когда
относительные удлинения для большинства материалов (кроме
так называемых полимеров — резин и пластмасс) лишь в край-
нем случае имеют величину около 0,1%. Поэтому в процессе
упругой деформации площадь поперечного сечения изменяется
на величину менее 0,1%, не имеющую при вычислении напря-
жений практического значения. Однако пластические деформа-
ции могут иметь значительно большую величину, причем пло-
щадь поперечного сечения образца существенно изменяется, осо-
бенно после того, как деформации начинают концентрироваться
в шейке; сужение шейки нередко приводит к уменьшению пер-
воначальной площади сечения образца в 1,5 раза и более.
В связи с этим представляется естественным считать истинным
напряжением величину напряжения, отнесенную к площади се-
чения, которую образец имеет при действии этого напряжения
(истинная площадь сечения), т. е. вычислять истинное напряже-
ние по формуле
S = (2.29)
1 и
где F„— истинная площадь поперечного сечения.
Однако в ряде случаев оказывается практически более удоб-
ным относить напряжения к первоначальной площади сечения
стержня. Вычисленные таким образом напряжения
Р
C=~F~<
'О
где Fo — первоначальная площадь поперечного сечения, назы-
вают условными напряжениями.
Если построить диаграмму, по оси абсцисс которой отложить
относительные удлинения (укорочения) образца
50
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
а по оси ординат условные напряжения о, то получаемая таким
образом диаграмма может быть названа диаграммой условных
напряжений. Так как она получается из диаграммы растяжения
(сжатия) путем деления абсцисс и ординат соответственно на
одно и то же число, то ее очертание должно быть совершенно
подобно диаграмме растяжения (сжатия): ее построение, по су-
ществу, сводится к изменению масшта-
бов абсцисс и ординат. В частности, для
хрупких материалов диаграмма услов-
ных напряжений представлена на
рис. 34.
Так как хрупкие материалы разру-
шаются при малых деформациях, то для
них разница между условными и истин-
ными напряжениями не имеет практиче-
ского значения. Поэтому при испытании
хрупких материалов достаточно опреде-
лять только условные напряжения и для
изучения процесса деформации рассма-
тривать диаграмму условных напряже-
ний, которая практически не будет отли-
чаться от диаграммы истинных напря-
жений. Имея это в виду, можно из рас-
смотрения рис. 34 сделать следующие
выводы:
а) Временное сопротивление растяжению оВ(раст) хрупких
материалов не совпадает с временным сопротивлением сжа-
тию— оВ(сж); последнее в большинстве случаев значительно
больше первого [например, для серого чугуна ----------в(сж> «4;
\ °в (раст)
для бетона в (в— ях 8 н- ю\
ав (раст) z
б) При спрямлении диаграмм растяжения и сжатия на всей
их длине, т. е. при применении к деформациям закона Гука до
самого момента разрушения, модули упругости Е при растяже-
нии и сжатии, вообще говоря, должны приниматься различными.
в) Если принимать одинаковый коэффициент запаса против
разрушения от растяжения и сжатия, то при проверке прочности
по формуле
допускаемые напряжения на растяжение в(^ст)- и сжатие
должны приниматься различными.
k
§5]
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
51
Следует заметить, что при растяжении хрупких материалов су-
щественное значение имеет масштабный фактор: временное со-
противление образцов большего размера оказывается меньшим.
Если при сжатии и обнаруживается влияние масштабного фак-
тора на величину временного
сопротивления, то оно оказы-
вается гораздо меньшим. По-
этому естественно коэффи-
циент запаса прочности на
растяжение принимать не-
сколько большим, что еще бо-
лее увеличит разницу в допу-
скаемых напряжениях.
Совершенно аналогично
можно построить диаграмму
условных напряжений и для
пластичного материала. Такая
диаграмма для растяжения и
сжатия малоуглеродистой ста-
ли представлена на рис. 35.
Ординаты соответствующих
характерных точек диаграммы
определяют величины, которые
дующим образом:
Рис. 35.
обозначаются и называются сле-
°пп==~р —предел пропорциональности,
РУ
Оу = ^Р~ —предел упругости,
Рт
= —предел текучести,
Р
<тв = -тА —временное сопротивление*).
Все они являются условными напряжениями в том смысле,
что подсчитываются по первоначальной площади поперечного
сечения стержня. Однако в пределах начальной части диаграм-
мы условных напряжений деформации еще очень невелики. По-
этому величины Сщ, сгу,’ цт практически не отличаются от соот-
ветствующих истинных напряжений. Сама диаграмма условных
напряжений на протяжении от начальной точки О до некоторой
точки за площадкой текучести по тем же соображениям практи-
чески не отличается от диаграммы истинных напряжений. Но
*) Так как определить разрушающую нагрузку для сжатого образца
оказывается невозможным, то нельзя найти и временное сопротивление
сжатию.
52
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. t
в точке D (начало сосредоточенной деформации образца) дефор-
мации уже имеют величину около 10% и более. Поэтому вре-
менное сопротивление является действительно условной величи-
ной, ощутительно меньшей истинного временного сопротивления.
Из определения временного сопротивления
видно, что разрушающая нагрузка Рв для стержня может быть
выражена через эту условную величину:
Рв = <ч/о,
и для обеспечения прочности против разрушения необходимо
требовать, чтобы
Р ав
F о k
В то же время для пластических материалов выполнение требо-
вания неразрушимости оказывается недостаточным, так как при
напряжениях, превосходящих предел упругости, происходят пла-
стические деформации, которые быстро возрастают, если на-
грузка даже незначительно увеличивается. Связанные с этим
значительные остаточные изменения размеров элементов кон-
струкций, очевидно, не могут быть допущены. Естественно по-
этому требовать, чтобы было
Р .
Fo <
или, для полной гарантии от указанного выше нежелательного
явления:
Fo ""
Ввиду обоснованной ранее возможности с некоторым приближе-
нием принимать Ру = Р- и, следовательно, оу « от, это условие
можно представить и так:
. (2.30)
где k\ можно назвать коэффициентом запаса против возникнове-
ния пластической деформации. Коэффициент k\, несомненно, мо-
жет быть значительно меньше k — коэффициента запаса против
разрушения. Таким образом, условия прочности растянутых
стержней должны представляться двумя неравенствами:
Р < _£в_ Р_< _От_
Fo /г Fo /Ц
§ 5] МЕТОДЫ экспериментального исследования 55
Обыкновенно принимают коэффициенты запаса k и k\ такими,
что
#В __ Г_1
-Г = -£Г = И-
Тогда условие прочности
обеспечивает выполнение обоих требований.
Для сжатых стержней ов не может быть определено. Поэтому-
условие прочности сводится к требованию (2.30) или
где
Из рассмотрения начальных участков ОА и ОА' диаграммы
условных напряжений (см. рис. 35) следует, что при о < сгПц
сг = Ее,
где Е — модуль упругости — представляет собой угловой коэф-
фициент прямой ОА или ОА', т. е.
E = tga. (2.31>
Как уже указывалось, для многих пластических материалов
модули Е при растяжении и сжатии могут приниматься одина-
ковыми. Понятно, что при о >• оПц применение закона Гука те-
ряет смысл. Так как практически с известным приближением
оПц ~ Оу х ат, то очевидно, что при допускаемых нагрузках на-
пряжение от < Стпц, и принятый нами ранее способ определения
деформаций, основанный на использовании закона Гука, в этом
случае оказывается оправданным.
5. Диаграммы истинных напряжений. Из изложенного сле-
дует, что для проверки прочности и определения деформаций
растянутых и сжатых стержней при допускаемых нагрузках до-
статочно определить условные напряжения. Однако при исследо-
вании процесса деформации стержней вплоть до разрушения и
при изучении свойств материала использование условных на-
пряжений совершенно неприемлемо. Диаграмма условных на-
пряжений при сколько-нибудь значительных пластических де-
формациях отражает процесс неточно, а с момента начала со-
средоточенной деформации (образование шейки) вообще теряет
смысл. В самом деле, удлинения и поперечные сужения образца
при сосредоточенной деформации практически происходят
только вследствие деформаций шейки, т. е. на незначительной.
54
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
части длины стержня, и имеют разную величину на различ-
ных участках последней. Между тем при вычислении относитель-
ных удлинений для построения диаграммы условных напряже-
ппп aucu^iiuinbie удлинения относя 1 ко всей расчетной длине
образца. Понятно, что определяемые таким образом относитель-
ные удлинения ничего общего не имеют с действительностью; то
же следует сказать и о величине условных напряжений. Поэтому
для правильного представления процесса деформирования не-
обходимо рассматривать истинные напряжения и действитель-
ные относительные удлинения материала стержня. Последние,
по существу, следовало бы определять, измеряя абсолютное уд-
линение весьма малого участка длины стержня в самом узком
месте шейки и относя его к длине названного участка. Однако
такое измерение практически неосуществимо. Поэтому прихо-
дится прибегать к косвенному методу. Деформации в шейке яв-
ляются как упругими, так и чисто пластическими. Но упругие
деформации весьма малы по сравнению с пластическими, так
что вполне допустимо пренебречь ими и интересоваться только
чисто пластическими деформациями. Эти последние, как пока-
зывают эксперименты, связаны лишь с изменением формы тела;
объем тела остается неизменным, аналогично тому, как это
имеет место для вязкой несжимаемой жидкости.
Если рассмотреть бесконечно малый участок dl длины
стержня в шейке, то его объем до деформации
V = Fodl,
в рассматриваемом же деформированном состоянии
Vi = Fudl(l6),
где 6 — относительное удлинение в пределах участка dl. Вслед-
ствие неизменяемости объема при пластической деформации
Е) = Е, Fndl = F,ddl(l +6).
Если для относительного сужения шейки ввести обозначение
Ф = ’ (2-32)
то
Еи = Е0(1-ф) (2.33)
и, следовательно,
Fod/ = Fo(l -ф)d/(l +6)
или, после сокращения,
(1-ф)(1+6)=1, (2.34)
откуда
« = т4«- (2.35)
§ 5]
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
55
Определенное таким образом относительное удлинение б на-
зывают полным условным удлинением образца в шейке. Не-
трудно видеть, насколько это удлинение отличается от удлине-
ния е, отнесенного ко всей длине образца. Так, для мягкой
углеродистой стали относительное сужение шейки в момент раз-
рыва, обозначаемое фк, имеет величину фк ж 0,5 и, следователь-
но, согласно выражению (2.35)
О 5
бх » 1 > и ли 100%,
I v,O
тогда как для образца длиной I = 10d удлинение ек = 0,25,.
или 25%.
Таким образом, при построении диаграммы истинных напря-
жений следовало бы в качестве абсцисс откладывать до вели-
чины, соответствующей началу сосредоточенной деформации, от-
носительное удлинение е, а после этого — полное условное удли-
нение б; в качестве ординат —истинные напряжения s.
Однако для большей компактности диаграммы ее чаще строят
в координатах (s, ф) (рис. 36). Эта часть диаграммы имеет
почти прямолинейное очертание, причем точка D, соответствую-
щая началу образования шейки, т. е. разрушающей нагрузке,,
уже не является характерной. На рис. 36 показан способ нахож-
дения этой точки путем несложного геометрического построе-
ния. Соответствующее ей истинное напряжение sB называют
истинным временным сопротивлением, напряжение же sK, опре-
деляемое наибольшей ординатой диаграммы, — истинным сопро-
тивлением разрыву.
Еще более удобно для изучения процесса деформирования
строить диаграмму истинных напряжений иначе. Процесс де-
формирования растянутого стержня можно рассматривать
как совокупность бесконечно малых удлинений dl, непрерывно
56
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
изменяющихся в пределах от /о до h (Zo— первоначальная длина
стержня, /1 — длина после деформации), так что на каждом
этапе деформирования относительное удлинение равно беско-
dl „
нечно малой величине — . Ьсли сумму этих относительных уд-
линений за весь промежуток изменения длины стержня от /0 до
/1 назвать истинным относи-
тельным удлинением е, то
У
е= -у^- = InZj — lnZ0 = ln-y-,
J / /о
to
ИЛИ
e = In +A-?- = In (1 + e). (2.36)
‘0
При больших пластических
удлинениях, а также в шейке
образца, относительное удли-
нение может вычисляться по формуле (2.35), так что
е = 1п(1+д). (2.37)
Так как
1п(1+е)=|-4+4-4+ •••’
то при малых е
е.
При больших пластических удлинениях
и, следовательно,
е = — In (1 — ф).
(2.38)
Таким образом, при любой величине деформации стержня его
удлинение может характеризоваться величиной истинного отно-
сительного удлинения. Поэтому оказывается удобным строить
диаграмму истинных напряжений в координатах s, е (рис. 37),
тем более, что она получается еще более компактной, чем в ко-
ординатах (s, ф).
Построение диаграммы истинных напряжений по экспери-
ментальным данным представляет собой довольно сложную за-
дачу, так как связано с необходимостью при пластических де-
формациях все время находить относительное поперечное сужё-
.ние сечения
§ 5]
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
57
после чего можно определить величины s и е по формулам:
р Р о 1 /1 i\
S— ЛГ— 70 (1 - ф) ’ в~ 1П^ '*’>•
Так как наибольший интерес представляет часть диаграммы
истинных напряжений, относящаяся к большим пластическим
деформациям, где ее очертание приблизительно прямолинейно,
то для практических целей можно ограничиться построением схе-
матизированной диаграммы, которая представляет собой пря-
мую, проходящую через точки с координатами (0, s0) и (ек, sK),
где s0 — так называемый экстраполированный предел текучести,.
6>к и sK — истинное относительное удлинение и истинное напря-
жение при разрыве.
Как установил экспериментально М. П. Марковец, величина
s0 для металлов может быть принята равной временному со-
противлению ов:
Sq ов.
Что касается sK, то
sK « ов(1 + 1335-фк), если фв ССОД5,
sK = °в (0,8 + 2,06фк), если фв^0,15.
Здесь фк— относительное сужение шейки при разрыве, фв—
относительное сужение сечения стержня перед возникновением
сосредоточенной деформации,
причем фв может быть при-
ближенно определено по фор-
муле
1 + ев ’
где ев — относительное удли-
нение образца в момент нача-
ла образования шейки. В то
же время
ек = — In (1 — фк).
Таким образом, для по-
строения схематизированной
диаграммы истинных напряжений достаточно определить экспе-
риментально лишь сгв, ев и фк. Такая диаграмма представлена
на рис. 38.
Из рассмотрения диаграмм истинных напряжений можно по-
лучить некоторые данные, характеризующие поведение стержня
из определенного материала при пластической деформации. Эти
данные, помимо возможности изучения процесса такой дефор-
мации и исследования напряженного состояния при больших
58
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
деформациях, позволяют дать сравнительную оценку пластиче-
ских свойств различных материалов.
Как указывалось, в точке D равномерная пластическая де-
формация переходит в сосредоточенную. Поэтому величина sB
характеризует сопротивление материала возникновению сосре-
доточенной пластической деформации. После этого деформация
происходит при постоянно возрастающих напряжениях; она, как
говорят, сопровождается упрочнением. Чем меньше угол 0 на-
клона прямого участка диаграммы к оси абсцисс или тангенс
этого угла, тем меньшее упрочнение имеет место, тем ближе
материал по своим свойствам к идеально пластичному. В то
же время tg 0 определяет возрастание истинных удлинений при
пластической деформации. Поэтому величину
называют модулем пластичности. Очевидно, что модуль пла-
стичности, характеризуя способность материала к упрочнению,
также является важной характеристикой его пластических
свойств.
Наконец величина sK может являться характеристикой со-
противления разрушению от растяжения. Однако эта характе-
ристика имеет некоторую условность, так как напряженное со-
стояние в шейке не вполне совпадает с простым растяжением и,
кроме того, скорость возрастания деформации здесь резко воз-
растает.
Описанные характеристики пластических свойств материала
дают представление об этих свойствах вне зависимости от раз-
меров образца. Однако при приемке материалов пользуются и
условными характеристиками пластичности, которые не дают
представления о действительных свойствах материала, а позво-
ляют получать лишь некоторые величины для сравнения мате-
риалов при определенных размерах образца. Такими характери-
стиками являются ов, От и ек.
6. Работа деформации растяжения и сжатия. Напряжения и
деформации тел при действии статических нагрузок (статические
напряжения и деформации) полностью определяются величиной
нагрузок, последовательностью и способом их приложения и
свойствами материала. Поэтому сопротивление тел статическим
деформациям можно оценивать путем сопоставления величин
действующих нагрузок и происходящих при таких нагрузках
деформаций (в предположении, что прочие условия нагружения
одинаковы). В случае динамических нагрузок приходится счи-
таться не только с их величиной, но и со скоростью приложения,
а также с силами инерции, обусловленными наличием ускорений
самой нагрузки и частиц деформируемого тела. Как будет по-
казано в дальнейшем (глава 14), при определении динамиче-
S 5]
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
59
ских деформаций все эти особенности действия динамической
нагрузки могут быть учтены, если сравнить количество энергии,
которой обладает нагрузка, и энергии, затрачиваемой на то,
чтобы тело получило эти деформации (энергия деформации).
Энергия деформации может быть измерена работой, которую
необходимо произвести при деформировании тела (работа де-
формации), а потому динамическая деформация должна нахо-
диться в определенной зависимости от работы деформации. Сле-
довательно, работа деформации должна считаться величиной,
характеризующей способность тела сопротивляться динамиче-
ским деформациям, в связи с чем возникает необходимость ее
определения. При этом следует иметь в виду, что скорость при-
ложения нагрузки оказывает влияние не только на величину ди-
намических усилий, возникающих в теле, но и на упругие и
пластические свойства его материала. Таким образом, сопротив-
ление тел динамическим деформациям, по существу, следует
определять на основании результатов испытаний динамической
нагрузкой. Однако для многих материалов, в частности, таких,
которые широко применяются в инженерных конструкциях,
влияние скорости деформирования сказывается значительно
лишь при больших скоростях приложения нагрузки. При отно-
сительно небольших скоростях приложения нагрузки оказывает-
ся возможным оценивать сопротивление действию динамических
нагруз'ок по результатам статических испытаний.
Переходя к нахождению работы деформации растяжения и
сжатия, будем иметь в виду, что в этом случае силы, произво-
дящие деформацию, совершают работу на перемещениях, сво-
дящихся к абсолютным удлинениям стержня. Существенно, что
эти силы изменяются вместе с удлинениями. Поэтому для вычис-
ления работы деформации приходится исходить из рассмотрения
бесконечно малого удлинения, на котором сила может с точ-
ностью до бесконечно малых второго порядка приниматься по-
стоянной. Тогда работа силы Р на бесконечно малом удлинении
d(6d) численно равна выражению
dT = Pd(M).
Работа же, необходимая для получения удлинения А/, оче-
видно, определяется формулой
м
T=\pd(M). (2.39)
о
Следовательно, она может быть вычислена как площадь уча-
стка кривой, ординатами которой являются силы Р, а абсцис-
сами— абсолютные удлинения А/ на участке от нуля до задан-
ного удлинения Д/, т. е. как площадь диаграммы растяжения
-60
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
(сжатия) на этом участке (рис. 39). В частности, работа, кото-
рую необходимо совершить для разрушения растянутого образ-
ца, должна измеряться площадью всей диаграммы растяжения
этого образца. Из сравнения площадей диаграмм растяжения
двух одинаковых по размерам образцов, одного — из хрупкого
материала, другого — из пластичного (рис. 40), становится яс-
ным значение пластичности материала в случае действия дина-
мических нагрузок. Образец из хрупкого материала при значи-
тельно большей разрушающей нагрузке (а следовательно, и
большем ств) требует гораздо меньшей работы для своего раз-
рушения по сравнению с таким же образцом из пластичного ма-
териала. Отсюда следует, что при действии динамических на-
грузок наиболее целесообразно применение материала, обла-
дающего высокой пластичностью.
При упругих деформациях
AZ=^, d(AZ)=-^dP
и, следовательно,
р
Т = PdP,
FE J
О '
или
р21
Т = (2.40)
Вычисляя площадь диаграммы при упругой деформации AZ,
найдем также
(2.41)
так как
р MFE
I •
§ 5]
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
61
Работа деформации тела характеризует сопротивление динами-
ческим деформациям лишь данного тела. Эту же характери-
стику, не зависящую от размеров тела, дает, очевидно, работа
деформации, отнесенная к единице объема {удельная работа
деформации). В случае растяжения (сжатия) при упругой де-
формации
Т = — = Р ~ — — (2 42)
1 уд v 2FI 2 ’
так что удельная работа упругой деформации растяжения (сжа-
тия) измеряется частью площади диаграммы условных напря-
жений, соответствующей данной упругой деформации. Из выра-
жения (2.42), используя закон Гука, находим
7’уд = Й-==-¥• (2-43)
В случае пластической деформации удельную работу следует
вычислять по площади диаграммы в координатах (s, е), так что,
используя рис. 38, для удельной работы разрушения получим
тахТуд = -Ц^ек = -^Ц-^1п-г:^г. (2.44)
7. Влияние повторных нагрузок на механические свойства
материалов. Наклеп. Изучая растяжение и сжатие стержней,
мы рассматривали до сих пор
лишь действие нагрузки, которая
монотонно возрастала от нуля до
некоторого значения.
В практике часто приходится
иметь дело с такими нагрузками,
которые сначала возрастают, по-
том уменьшаются до некоторой
величины (в частности, до нуля),
затем снова возрастают, потом
уменьшаются и т. д. Такие на-
грузки называются повторными.
Возникает вопрос, как сказы-
вается повторность нагрузки на поведении стержня и как с ней
считаться при расчете.
Рассмотрим растяжение стержня из пластичного материала
(рис. 41). При Р < Ру процессы деформирования при нагрузке
и разгрузке из-за обратимости упругих деформаций представ-
ляются одной и той же линией ОАВ. Если же стержень, полу-
чив пластическую деформацию, перейдет в состояние, характе-
ризуемое, например, точкой Е диаграммы, то процесс разгрузки
должен свестись к снятию упругой части деформаций, т. е. тео-
ретически должен происходить по прямой О'Е, параллельной
62
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
прямой ОА. В действительности имеется некоторое отклонение
от прямолинейности О'Е, связанное с напряжениями, остающи-
мися в стержне после его разгрузки (остаточные напряжения).
Повторная нагрузка вызывает удлинения, вновь определяемые
приблизительно прямой О'Е, после чего диаграмма продол-
жается по кривой ED. Совпадение прямой ЕО' разгрузки и пря-
мой О'Е повторной нагрузки свидетельствует об обратимости и,
следовательно, об упругости деформаций на этом участке диаг-
раммы. При этом упругие деформации подчиняются закону
Гука, с модулем упругости, численно равным тангенсу угла на-
клона прямой О'Е, т. е. сохраняющим приблизительно то же
значение, что и при первичной нагрузке в пределах пропорцио-
нальности. Но сам предел пропорциональности оказывается уже
повышенным и определяется по ординате точки Е, причем с не-
которым приближением можно принять, что он совпадает с пре-
делом упругости и пределом текучести. Что касается времен-
ного сопротивления, то оно остается неизменным, тогда как
удлинение, которое стержень должен получить после повторной
нагрузки до разрыва, оказывается значительно меньшим (Д^ <
< AZ&). Поэтому следует считать, что при повторной нагрузке
стержень ведет себя как более хрупкий.
Таким образом, полученная материалом пластическая дефор-
мация не проходит для него бесследно, она вызывает изменение
его свойств. Это изменение свойств материала, являющееся ре-
зультатом пластической деформации, называется наклепом. Оно
может проявиться в еще большей степени, если после разгрузки
наклепанный стержень повторно нагрузить лишь через доста-
точно большое время. Тогда при повторной загрузке обнару-
жится, что, кроме пределов пропорциональности, упругости и
текучести, повысится еще и временное сопротивление материала
(пунктир на рис. 41). Такое изменение свойств материала на-
клепанного стержня с течением времени при отсутствии каких-
либо внешних воздействий принято называть естественным ста-
рением материала. Старение может быть ускорено слабой тер-
мической обработкой (искусственное старение).
Наклепом и старением часто пользуются на практике, при-
меняя с целью повышения предела текучести вытяжку стальной
арматуры железобетонных конструкций, вызывающую в ней
пластические деформации, вытяжку электропроводов перед их
установкой на столбах и в других случаях. При сжатии стерж-
ней из пластичных материалов, как показывают опыты, явление
наклепа протекает так же, как и при растяжении. Однако на-
клеп, вызванный растяжением, понижает предел пропорциональ-
ности и предел упругости при сжатии (эффект Баушингера).
Явление наклепа связано с изменением свойств материала,,
аналогичным изменению, которое получается в результате тер-
$ 5]
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
63
мической обработки. Так как последнее обусловлено структур-
ными изменениями материала, то естественно предположить,
что и пластическая деформация также сопровождается теми или
иными структурными изменениями*). Вместе с тем вследствие
неоднородности строения реальных материалов пластическая
деформация при разгрузке приводит к возникновению в стержне
остаточных напряжений. В связи с изложенным следует считать
недопустимой пластическую деформацию
сжатии в процессе работы конструкции.
Этим еще раз подтверждается необходи-
мость требования
Р <гт
ki •
При выполнении последнего условия по-
вторность приложения нагрузки, как
видно из предыдущего, не требует видо-
изменений способов расчета. Однако эго
справедливо лишь при незначительном
числе повторений нагрузки. Как будет
показано в дальнейшем, повторно-пере-
при растяжении или
менная нагрузка при большом числе по-
вторений может вызвать особый вид разрушения {усталостное
разрушение).
Выясним теперь, что происходит со стержнем из хрупкого
материала при действии на него повторных нагрузок. Опыты
показывают, что при повторных нагрузках стержни из хрупких
материалов получают остаточные деформации весьма малой ве-
личины. При этом приращения остаточных деформаций с каж-
дой повторной загрузкой все более уменьшаются и, наконец,
*) Как установлено в итоге многочисленных теоретических и экспери-
ментальных исследований, пластическая деформация кристалла обусловли-
вается перемещением в нем определенного рода дефектов кристаллической
структуры, называемых дислокациями. Дислокации представляют собой в не-
котором смысле протяженные дефекты: в двух измерениях дислокация имеет
атомный размер (т. е. размер порядка ангстрем), в то время как ее длина
бывает существенно большей. В поликристаллическом теле (каковыми яв-
ляются технические металлы) отмеченные перемещения дислокаций происхо-
дят в основном в зернах поликристалла. В ходе процесса пластической
деформации дислокации определенным образом «размножаются» и плотность
их увеличивается, а связанное с этим усиление взаимодействия дислокаций
увеличивает сопротивление их перемещению в теле и. тем самым, рост со-
противления пластической деформации, т е. упрочнение (наклеп). С разви-
тием пластической деформации обычно возрастает плотность не только дис-
локаций, но и других микродефектов, что тоже увеличивает сопротивление
пластической деформации. Сейчас известно много книг, в которых все это
излагается достаточно подробно (см., например, Д. Халл, Введение в дис-
локации, Атомиздат, 1968, Ф. Макклинток, А. Аргон, Деформации и
разрушение материалов, «Мир», 1970).
64
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
1ГЛ. 2
вовсе исчезают (рис. 42). Имея в виду приведенные соображе-
ния, окончательную диаграмму о — в для хрупких материалов
строят лишь после полного «обжатия» образца, когда прираще-
ние остаточных деформаций прекратится. Очевидно, что при
повторных нагрузках конструкций из хрупких материалов невоз-
можно избежать возникновения остаточных деформаций. Од-
нако эти деформации ввиду своей незначительности не имеют
практического значения. Поэтому при расчете мы и не ставим
перед собой задачу ограничения величины деформаций.
§ 6. Расчет статически неопределимых стержневых
конструкций по предельному состоянию
Полученные нами в предыдущих параграфах сведения позво-
ляют по-новому подойти к расчету статически неопределимых
конструкций, описанных в § 4. Мы формулировали условия их
прочности в виде требования, чтобы ни в одном из стержней
напряжение не превосходило допускаемого. Этим, бесспорно,
обеспечивается прочность конструкции, однако не исчерпывают-
ся все возможности, обусловленные ее особенностями. Можно на
основании изложенного в предыдущем параграфе построить рас-
чет иначе.
Будем искать нагрузку, которая является для нашей кон-
струкции предельной в том смысле, что увеличение этой на-
грузки повлечет за собой выход конструкции из строя, т. е. сде-
лает конструкцию непригодной для использования. Состояние
конструкций при предельной нагрузке называют предельным или
опасным. Зная предельную нагрузку РПр, можно определить до-
пускаемую нагрузку из условия Р^-г^-, где ki — коэффициент
запаса против достижения предельного состояния. В статически
определимой конструкции напряжения во всех стержнях надле-
жащим выбором площадей их сечений могут быть приведены
к одной и той же величине. Поэтому для такой конструкции
предельным состоянием будет такое, при котором в каждом
стержне напряжение равно <гт, так как дальнейшее увеличение
нагрузки либо совсем невозможно — стержни "конструкции по-
лучают быстро возрастающую пластическую деформацию без
возрастания нагрузки (если на диаграмме растяжения— сжа-
тия имеется площадка текучести), либо недопустимо, так как
при малом увеличении нагрузки пластические деформации силь-
но увеличиваются. Допускаемой нагрузкой будет такая, при ко-
торой во всех стержнях напряжение равно <тт/&1, т. е. равно до-
пускаемому. Таким образом, расчет по предельному состоянию
приводит в случае статически определимой стержневой кон-
65
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИИ
§ 6J
струкции к тем же результатам, что и расчет по допускаемым
напряжениям.
Иначе обстоит дело для статически неопределимых конструк-
ций. Обращаясь к примеру, рассмотренному в § 4 (см. рис. 23),
вспомним, что здесь при Fj = F2
°3 > °1 — °2-
Следовательно, когда о3 = <гт, то стержни 1.и 2 еще деформи-
руются упруго. Поэтому на конструкцию можно дать еще доба-
вочную нагрузку, которая будет в основ-
ном восприниматься стержнями 1 и 2, в ^г.
то время как стержень 3 окажется либо со- * * %
всем неспособным принять на себя эту до- \ /
бавочную нагрузку, либо эта нагрузка бу-
дет настолько малой, что в первом прибли-
жении можно ею пренебречь. В то же вре- д'-
мя перемещение узла А остается малым,
так как оно связано с упругими удлинения-
ми стержней 1 и 2. Лишь после того как ,
напряжения щ и о2 сделаются равными пра
пределу текучести, узел А начнет получать рИс. 43.
перемещения, обусловленные пластической
деформацией всех трех стержней. При этом о3 либо остается
равным от, либо мало отличается от от. Таким образом, пре-
дельным состоянием нашей конструкции при F\ = F2 можно
считать такое, при котором во всех трех стержнях напряжения
равны <7т и, следовательно,
Si = s2 = F1(7Tj S3 = F3<jt.
План сил в предельном состоянии конструкции представлен на
рис. 43.
Тогда из условия равновесия узла А имеем
2(7tF1 cos а + (7tF3 — Рпр — О
или
Рпр = °т (F3 + 2F1 cos а)
и, следовательно,
Р (F3 + 2F cos а) — [о] (F, + 2FX cos а),
в то время как при расчете по допускаемым напряжениям
Р<[о] (Р3 + 2Fi cos3а).
Таким образом, расчет по предельному состоянию приводит
к значительному повышению грузоподъемности конструкции.
В рассмотренном примере для достижения конструкцией
предельного состояния оказалось необходимым, чтобы во всех
3 В. А. Гастев
66
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
стержнях напряжения достигли предела текучести. В общем
случае вовсе не является обязательным, чтобы для выхода кон-
струкции из строя напряжения во всех стержнях достигли пре-
дела текучести. Предельное состояние может наступить и в том
случае, когда лишь в некоторых стержнях напряжения достиг-
нут величины от, если при этом будет нарушена геометрическая
неизменяемость конструкции. Поэтому прежде всего при расчете
по предельному состоянию необходимо в каждом частном случае
установить, какое состояние конструкции должно быть принято
как предельное, в соответствии с чем и должен быть составлен
план сил для предельного состояния.
Следует заметить, что при расчете конструкции по предель-
ному состоянию нет гарантии, что даже при допускаемой на-
грузке в некоторых элементах конструкции не произойдет пла-
стическая деформация. Это обстоятельство не имеет значения,
если нагрузка постоянна. При переменной нагрузке возможна
повторная нагрузка, которая повлечет за собой наклеп пласти-
чески деформированных элементов в процессе их работы в кон-
струкции и возникновение в них остаточных напряжений.
Поэтому расчет по предельному состоянию на постоянную на-
грузку всегда приемлем. Такой же расчет на временную на-
грузку может повлечь за собой нежелательные явления, значе-
ние которых в каждом случае необходимо исследовать.
§ 7. Влияние местных ослаблений
на напряженно-деформированное состояние
растянутых и сжатых стержней
В большинстве случаев растянутые и сжатые элементы кон-
струкций приходится по конструктивным соображениям снаб-
жать отверстиями (например, для заклепок и болтов), выточ-
ками и выкружками для крепления различных деталей; в случае
длинных стержней, когда приходится считаться с влиянием соб-
ственного веса, выгодным оказывается ступенчатое изменение
сечений их по длине. Всякого рода отверстия, выточки, вы-
кружки и т. п. принято называть местными ослаблениями сече-
ний стержня. Как показывают теоретические исследования и
эксперименты, местные ослабления и ступенчатое изменение се-
чений по длине существенным образом сказываются на напря-
женно-деформированном состоянии стержня. Можно показать,
что при наличии местных ослаблений распределение напряжений
при упругих деформациях в сечениях, близких к месту располо-
жения ослаблений, становится неравномерным. Эта неравно-
мерность особенно резко выражается в сечениях, проходящих
через центр отверстия, дно выкружки или выточки и т. д., и
постепенно сглаживается по мере удаления от таких сечений
«71
ВЛИЯНИЕ МЕСТНЫХ ОСЛАБЛЕНИИ
67
в пределах расстояния, примерно равного наибольшему попе-
речному размеру стержня. Характер распределения напряжений
в указанных сечениях представлен эпюрами (рис. 44).
Как видно из этих эпюр, в сечениях, проходящих через центр
отверстия (рис. 44, а), дно выкружки (рис. 44,6) или дно вы-
точки (рис. 44, в) и т. д., напряжения соответственно у края от-
верстия, дна выточки или выкружки и т. д. резко возрастают по
сравнению с величиной среднего напряжения P/Fn, где р,— пло-
щадь сечения стержня за вычетом части, приходящейся на ме-
стное ослабление (эту площадь принято называть площадью
нетто, в отличие от полной площади Fgp, называемой площадью
брутто). Однако указанные напряжения быстро падают, так что
на большей части сечения напряжения распределены почти рав-
номерно. Поэтому говорят, что у края отверстия, дна выкружки
или выточки происходит концентрация напряжений. Сами напря-
жения вблизи края отверстия, дна выточки, выкружки называют
местными. Отверстия, выкружки, выточки в связи с этим назы-
вают факторами концентрации. Если обозначить наибольшее
местное напряжение через <тм, то можно представить его сле-
дующим образом:
= (2.45)*)
г н
Здесь ак — численный множитель, называемый коэффициентом
концентрации напряжений и определяемый на основании специ-
альных исследований. Так, величина коэффициента концентра-
ции напряжений у края круглого отверстия зависит от отноше-
*) Часто формулу (2.45) представляют в виде
Р
ч..( = ах-=—
Гбп
причем коэффициент концентрации, естественно, оказывается большим, чем
в формуле (2.45).
3*
68
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 2
ния диаметра отверстия к ширине стержня (полосы). При диа-
метре отверстия, малом по сравнению с шириной, коэффициент
«к = 3. В случае малого эллиптического отверстия, большая ось
которого пеопендикмлярна к оси стержня,
aK=l+V’ (2.46)
где а — большая и b — малая полуоси эллипса. Величина коэф-
фициента концентрации напряжений у дна выкружки зависит от
ее глубины и радиуса; при полукруглой выкружке малого ра-
диуса она может достигать значения 2,5, уменьшаясь с увели-
чением радиуса до 1,5. В случае треугольной выточки ак зави-
сит в сильной степени от угла выточки; при очень острых углах
ак = 8 4- 10 и более.
Помимо концентрации напряжений, наличие факторов кон-
центрации сказывается в том, что напряженное состояние в об-
ластях концентрации уже не соответствует чистому растяжению,
а становится объемным (см. ниже). Это обстоятельство сказы-
вается при переходе в пластическую область деформирования,
затрудняя пластические деформации и развитие сосредоточен-
ной деформации. Происходящая все же пластическая деформа-
ция влечет за собой выравнивание напряжений; при этом вре-
менное сопротивление, отнесенное к площади нетто, увеличи-
вается, но характер разрушения приближается к хрупкому.
Как видно из изложенного, влияние местных ослаблений но-
сит весьма сложный характер и точный учет его представляет
значительные затруднения. Однако с некоторым приближением
можно ориентироваться на нижеследующие соображения.
В хрупких телах, как мы видели в § 5, можно приближенно
считать деформацию до самого разрушения изменяющейся по
закону Гука. Поэтому найденные из упругого расчета коэф-
фициенты концентрации можно принять действительными до
самого разрушения. Процесс разрушения можно представить
следующим образом (игнорируя влияние объемности напряжен-
ного состояния): когда <тм достигает величины <тв, образуется ме-
стная трещина, которая может сама рассматриваться как весьма
острая выточка*), концентрация напряжений еще более увели-
чивается при уменьшающейся площади Fn; трещина растет, пока
процесс ее роста не закончится разрушением. Таким образом,
условие прочности сводится к требованию
ИЛИ
' Ов
и “кЛ
(2.47)
) Подробнее об этом будет сказано в главе 4 (§§ 16 и 18, 19).
§ 7] ВЛИЯНИЕ МЕСТНЫХ ОСЛАБЛЕНИЙ 69
Иными словами, учет влияния концентрации напряжений сво-
дится к определению напряжений по площади нетто и увеличе-
нию коэффициента запаса против разрушения в ак раз.
Так как в большинстве хрупких материалов имеются всегда
внутренние факторы концентрации (пустоты — отверстия, по-
верхностные трещинки, неровности и царапины — выточки), то
при определении допускаемого напряжения всегда учитывают
некоторую концентрацию напряжений независимо от наличия
конструктивных факторов концентрации. Принимая, например,
ак ~ 2 -Ь 2,5, соответственно увеличивают в 2—2,5 раза коэф-
фициент запаса против разрушения по сравнению с пластич-
ными материалами, т. е. принимают
М = [2 ч- 2,5] k ’
Тогда, если принять меры, чтобы коэффициент концентрации
напряжений, связанный с отверстиями, выточками, выкружками
и другими факторами концентрации, не превосходил 2 4- 2,5, то
наличие их можно учитывать лишь определением напряжений
по площади нетто, т. е. вести расчет по формуле
Г н
Для этого необходимо выкружки делать по возможности
большего радиуса, выточки — с возможно большим углом и их
вершины скруглять дугами возможно больших радиусов, пере-
ход от одного сечения к другому делать возможно плавным
и т. д.
Если по конструктивным условиям названные требования не
удается соблюсти, то расчет приходится вести по формуле (2.47).
При этом, однако, необходимо иметь в виду, что наличие внут-
ренних факторов концентрации уменьшает чувствительность эле-
мента к концентрации напряжений, т. е. разрушение при нали-
чии конструктивных факторов концентрации происходит при
больших напряжениях, чем следовало бы ожидать при учете тео-
ретически определенных коэффициентов концентрации напряже-
ний, вызванной конструктивными факторами. Поэтому в фор-
муле (2.47) под ак следует понимать не теоретически определен-
ный коэффициент концентраций напряжений, а так называемый
эффективный коэффициент концентрации аКэ- Этот коэффициент
определяется как отношение экспериментально найденных ве-
личин временного сопротивления материала стержня <тв (при
отсутствии концентрации напряжений) к напряжению <твк, при
котором происходит разрушение, если имеется рассматриваемый
фактор концентрации напряжений, так что
70
ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
ГГЛ. 2
В случае пластичного материала, опять-таки игнорируя объ-
емность напряженного состояния и связанное с ним изменение
пластических свойств, можно представлять себе процесс дефор-
мирования следующей условной схемой; когда_ при упругой де-
формации ом достигнет величины от, то в соответствующей части
стержня (волокне) при дальнейшем возрастании нагрузки на-
пряжения либо не будут увеличиваться (при наличии на диаг-
рамме растяжения площадки текучести), либо будут изменяться
очень мало; основную роль будет играть оставшаяся в упругой
области часть стержня. Здесь напряжения будут расти, вслед-
ствие чего пластическая деформация постепенно станет распро-
страняться на все сечение. Предельным будет такое состояние
стержня, когда во всем сечении нетто напряжения будут иметь
величину, равную от или мало от него отличающуюся. Тогда
п г п ^пред ОТАН . . _
^пред — GtFb И Р — [о] Fн
ИЛИ п
(2.48)
Иными словами, при проверке прочности стержня из пла-
стичного материала концентрация напряжений может учиты-
ваться только заменой площади FoP на площадь Fn. В то же
время ряд экспериментальных данных показывает, что вслед-
ствие затруднения сосредоточенной деформации из-за создающе-
гося при концентрации напряжений объемного напряженного
состояния разрушающая нагрузка оказывается не меньшей, чем
при отсутствии местных ослаблений. Следовательно, расчет по
сечению нетто во всяком случае не снижает запаса прочности
элемента.
Приведенные рассуждения основаны на довольно грубой схе-
матизации явлений. Однако практика проектирования не дала
убедительных факторов, опровергающих возможность использо-
вания формулы (2.48), поэтому ею продолжают пользоваться
при расчетах конструкций.
Необходимо отметить, что изложенные здесь соображения
относятся только к случаю действия статических нагрузок. При
динамических нагрузках для учета влияния концентрации на-
пряжений, связанных с местными ослаблениями, приходится
принимать во внимание специфические для этих нагрузок об-
стоятельства, которые будут рассмотрены в дальнейшем.
§ 8. Соображения о выборе коэффициентов запаса
Необходимость введения коэффициентов запаса связана с ря-
дом обстоятельств:
а) расчетные нагрузки не вполне достоверны; не исключена
возможность тех или иных перегрузок;
§ 8] ВЫБОР КОЭФФИЦИЕНТОВ ЗАПАСА 71
б) способы определения усилий в элементах конструкций в
большинстве случаев имеют элементы некоторой условности;
в) при установлении условий прочности вводятся некоторые
допущения, расчетные величины определяются с известным при-
ближением;
г) размеры сечений при изготовлении имеют некоторые до-
пуски; эти размеры могут также меняться в процессе службы
конструкции (износ, ржавление и т. д.);
д) величины, характеризующие прочность и пластичность ма-
териала, не вполне одинаковы для разных партий материала
одной и той же марки;
е) в некоторых случаях необходимо учитывать влияние мас-
штабного фактора;
ж) в некоторых случаях необходимо считаться с концентра-
цией напряжений, учет которой, как показано выше, практически
связан с рядом грубых допущений;
з) необходимо считаться с особенностями действия динами-
ческих нагрузок;
и) на прочность сооружения и конструкции могут влиять и
некоторые не учитываемые расчетом обстоятельства.
Каждое из приведенных соображений требует введения сво-
его коэффициента запаса. Таким образом, можно говорить о ко-
эффициентах запаса k&, k5, ..., &и. Общий коэффициент запаса,
учитывающий всю совокупность обстоятельств, можно предста-
вить в виде произведения
k — kakeks ... ka. (2.49)
Для единообразия решений задач расчета прочности частные
коэффициенты запаса или по крайней мере общий коэффициент
запаса нормируются соответствующими государственными уч-
реждениями. Так, например, в наших «Строительных нормах и
правилах» коэффициент запаса, по существу, разбит лишь на
три множителя: коэффициент, учитывающий обстоятельство
а) (возможность перегрузки); коэффициент, учитывающий глав-
ным образом обстоятельства г) ид); коэффициент, учитываю-
щий все прочие соображения. Вместо соответствующих коэффи-
циентов запаса даются их обратные величины: коэффициент пе-
регрузки, коэффициент однородности материала, коэффициент
условий работы. Вследствие этого вместо деления ов или от на
коэффициенты запаса приходится умножать: нагрузку на коэф-
фициент перегрузки, ов или от на коэффициент однородности ма-
териала и коэффициент условий работы. Расчетные формулы по-
лучают несколько иной вид, но принципиально не отличаются от
приведенных нами выше.
ГЛАВА 3
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
§ 9. Напряженное состояние растянутых и сжатых стержней
1. Напряжения по наклонным к оси стержня площадкам.
Мы рассмотрели деформации растянутых и сжатых стержней и
возникающие в результате этих деформаций напряжения в точ-
ках поперечных сечений стержней. Таким образом, мы получили
возможность обосновать способ проверки прочности названных
стержней, не делая попыток объяснить процесс их разрушения.
Как только мы начнем рассматривать картину разрушения, ста-
нет ясно, что недостаточно знать напряжения только в попереч-
ных сечениях. В самом деле, опыт показывает, что разрушение
растянутых стержней происходит не только по сечениям, перпен-
дикулярным к оси стержня, но и по сечениям, составляющим
с осью тот или иной угол. Если разрушение первого типа есте-
ственно связано с напряжениями, действующими в точках попе-
речного сечения, то разрушение второго типа останется без объ-
яснения, если не будут известны напряжения в точках сечений,
составляющих с осью некоторый угол.
Рассмотрим одно из таких сечений (рис. 45,а). Его направ-
ление будем определять углом, составляемым положительной
нормалью к сечению и осью стержня, причем отсчет углов будем
вести от оси против часовой стрелки. Рассматривая равновесие
части стержня по одну сторону от сечения т — т, установим, что
усилие S в этом сечении равно Р и направлено по оси стержня.
Поэтому напряжение в точках сечения т — т равно
Р
гп
где Fn — площадь сечения т — т стержня.
Так как поперечное сечение является проекцией сечения
т— т на плоскость, нормальную к оси стержня, то
F — /-„cos 0
« 9] .
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ РАСТЯНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ
73
и, следовательно,
р
рп = -р- cos 0 == ст cos 0. (3.1)
Формула (3.1) позволяет определить напряжение в любой
точке стержня по любой элементарной площадке, проходящей
через эту точку, т. е. получить полное представление о напря-
женном состоянии стержня.
В частности,
щах рп — ст,
причем это напряжение дей-
ствует в точках поперечного
сечения стержня (0 = 0);
min рп = 0
получаем при 0 = 90°, т. е.
в сечениях, параллельных
оси стержня. При 0 < 0 <
< 90° напряжение оказы-
вается меньше ст и, следова-
тельно, связать разрушение
по наклонному сечению
только с величиной напря-
жений не удается. В связи с этим естественно обратить внима-
ние и на направление напряжения по отношению к площадке.
В то время как напряжение в точках поперечного сечения на-
правлено по нормали к сечению, напряжение по наклонным пло-
щадкам направлено так же, как и усилие 5, т. е. составляет для
различных площадок различные углы с этой нормалью.
Чтобы учесть возможное влияние направления напряжения,
можно разложить вектор, изображающий напряжение в данной
точке (вектор напряжения или полное напряжение), на два на-
правления. Эти направления могут быть произвольными; однако
целесообразно разложить напряжение рп на направления нор-
мали к площадке и самой площадки (см. рис. 45,6). Первую со-
ставляющую будем называть нормальной составляющей напря-
жения или нормальным напряжением стп, вторую — касательным
напряжением тп. Тогда
ст„ = рп cos 0 = ст cos2 0,
т„ — рп sin 0 — у sin 20.
(3-2)
Условимся считать нормальное напряжение положительным,
если оно направлено по внешней нормали к рассматриваемой
части стержня; касательное напряжение будем считать положи-
74
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
тельным, если, передвигаясь по направлению этого напряжения,
мы будем обходить рассматриваемую часть стержня по часовой
стрелке.
2. Два основных типа разрушения. Нетрудно видеть, что
нормальные напряжения связаны с сопротивлением материала
стержня отрыву одной части стержня от другой (рис. 46,а), тог-
да как касательные напряжения связаны с сопротивлением
сдвигу этих частей (рис. 46, б).
Нормальные и касательные напряжения при изменении на-
правления элементарной площадки меняются так:
0 0° 45° 90°
<Тп G <г 2 0
Тп 0 G ~2 0
стержня, нормальное
Рис. 46.
Таким образом, по площадке, перпендикулярной к оси
напряжение имеет наибольшую величину,
в то время как по площадкам, образую-
щим с осью угол 45°, наибольшей вели-
чины достигает касательное напряжение.
Отсюда следует, что разрушение по по-
перечному сечению стержня следует свя-
зывать с величиной нормальных напря-
жений, или с сопротивлением материала
стержня отрыву, тогда как разрушение
по наклонным сечениям — с величиной
касательных напряжений, или с сопро-
тивлением материала сдвигу. Опыт по-
казывает, что отрыв сопровождается ма-
лыми деформациями, т. е. имеет хрупкий
характер, тогда как сдвиги перед разрушением могут достигать
относительно большой величины, причем деформация оказы-
вается пластической. Больше того, пластическая деформация в
основном сводится именно к сдвигам. Поэтому можно различать
два основных типа разрушения: разрушение от отрыва, назы-
ваемое также хрупким разрушением, и разрушение от сдвига,
сопровождающееся значительной пластической деформацией,
иногда называемое также пластическим или вязким разрушением.
В действительности, вследствие сложной структуры реальных
тел разрушение имеет более сложный характер.
Разрушение следует рассматривать как некоторый процесс,
в котором естественно различать начало, развитие и окончание.
§ 10] ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 75
Есть основание считать, что окончательное разрушение, т. е.
отделение одной части тела от другой, в обоих упомянутых слу-
чаях происходит путем отрыва, так что различие двух типов раз-
рушения связано с началом и развитием процесса разрушения.
При этом типичное хрупкое разрушение, начинаясь с образова-
ния микроскопических трещин, развивается так, что ему пред-
шествуют лишь малые пластические деформации*).
3. Главные площадки и главные напряжения. В заключение
отметим, что в любой точке растянутого или сжатого стержня
всегда можно указать три взаимно перпендикулярные элемен-
тарные площадки, по которым касательные напряжения равны
нулю. Одна из этих площадок всегда совпадает с плоскостью
поперечного сечения; направление двух других параллельно оси
стержня, оставаясь в остальном произвольным. Площадки, по
которым касательные напряжения равны нулю, называют глав-
ными площадками, а нормальные напряжения по этим площад-
кам — главными напряжениями. Если обозначить главные на-
пряжения Оь о2, <*з, то для растянутого стержня
О' 1 === Оэ @2 === О3 === 0.
Такое напряженное состояние, при котором два главных на-
пряжения оказываются равными нулю, называют линейным
или одноосным. В этом случае
тахтп = у. (3.3)
Особенностью растянутых и сжатых стержней, если не учи-
тывать влияния собственного веса, является то обстоятельство,
что во всех точках этих стержней напряжения по одинаково
ориентированным площадкам имеют одинаковую величину. На-
пряженное состояние, характеризуемое этим свойством, назы-
вают однородным. Таким образом, напряженное состояние рас-
тянутых и сжатых стержней является линейным и однородным.
§ 10. Плоское напряженное состояние
1. Аналитическое исследование плоского напряженного со-
стояния. Напряженное состояние тела называют плоским, если
в точках этого тела величина напряжений не изменяется по не-
которому определенному направлению, а по всем площадкам,
перпендикулярным к названному направлению, напряжения
равны нулю.
В таком напряженном состоянии находится, например, весь-
ма тонкая произвольной формы пластинка (рис. 47), на которую
') В главе 4 процесс разрушения будет рассмотрен подробно (§§ 16—18).
76
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
в ее плоскости действует любая взаимно уравновешенная си-
стема сил. Вследствие малости толщины пластинки изменением
напряжений в направлении, перпендикулярном к плоскости пла-
стинки, можно пренебрегать. В то же время, ввиду отсутствия
внешних сил на поверхностях пластинки, по любой элементар-
ной площадке этих поверхностей усилия, а следовательно, и на-
пряжения равны нулю. По указанным выше соображениям они
равны нулю и для всех элемен-
тарных площадок, параллельных
этим поверхностям.
Практически как плоское на-
пряженное состояние часто рас-
сматривают напряженное состоя-
ние сравнительно толстой плиты
(рис. 48), по боковой поверхно-
сти которой приложены внешние
силы, равномерно распределен-
ные вдоль образующих и направ-
ленные параллельно основаниям.
Элементарные площадки, по ко-
торым напряжения равны нулю,
являются главными площадками,
так как касательные напряжения по этим площадкам равны
нулю. Таким образом, при плоском напряженном состоянии
одно из главных напряжений, которое будем обозначать а3,
равно нулю.
Отнесем тело, находящееся в плоском напряженном состоя-
нии, к координатам Oxyz так, чтобы плоскость Oxz была парал-
лельна плоскости действия внешних сил, и выделим в теле эле-
мент объема в форме параллелепипеда с гранями, параллель-
ными координатным плоскостям. По его граням, вообще говоря,
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
77
§ ю]
должны действовать нормальные и касательные напряжения, по-
казанные на рисунке 49*). При этом для касательных напря-
жений принято обозначение буквой т с двумя значками, из кото-
рых второй указывает направление нормали к площадке, по ко-
торой напряжение действует, а первый — направление самого
напряжения. Напряжения по параллельным граням элемента,
ввиду бесконечной малости расстояния между гранями, приняты
отличающимися на бесконечно малую величину, являющуюся ча-
стным дифференциалом по этому расстоянию. Так как выделен-
ный элемент, так же как и все тело, находится в равновесии,
равен нулю момент всех действующих на него усилий относи-
тельно оси О\О2, соединяющей центры тяжести площадок ABGE
я OCDF:
tzx dydz~ + (ххг + </гтхг) dxdy-^-A-
+ Ьгх + dxxzx) dydz-^- + ххг dx dy • -у- = О,
или
xzx dx dy dzA-xxz dxdy dz + dzxxzdxdy • + dxxzxdydz = 0,
где через dxxzx и dzxxz обозначены частные дифференциалы xzx
и rxz соответственно по х и по г.
Пренебрегая бесконечно малыми четвертого порядка малости
по сравнению с величинами третьего порядка малости, получим
xxz dx dy dz 4- xzx dx dy dz — 0,
откуда
TXZ = TZX‘ (3-4)
Иными словами, касательные напряжения по двум взаимно
перпендикулярным площадкам, направленные перпендикулярно
к линии пересечений этих площадок, равны по величине и об-
ратны по знаку. Эта теорема известна под названием закона пар-
ности касательных напряжений. Так как по площадкам ABGE
и OCDF напряжения тгй и хху равны нулю, то на основании за-
кона парности касательных напряжений равны нулю и напряже-
ния xyz по площадкам AOFE и BCDG и хух по площадкам АВСО
и EGDF, что и подтверждает сказанное в примечании внизу на
этой странице. Проектируя те же усилия на ось Ох, получим
— oxdydz + {xxzA-dzxx^dxdy + (<тх + dxox) dy dy — xXz dxdy = 0,
*) Как будет показано в дальнейшем, касательные напряжения не мо-
гут иметь составляющей, параллельной оси Оу, т. е. должны быть парал-
лельны плоскости хОг.
78
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
(ГЛ. 3
причем объемные силы предполагаются отсутствующими. От-
сюда
dx(jx dy dz-\~ dzxxz dxdy — Q
и после замены частных дифференциалов их выражениями через
производные получим
dxdydz 4- дхдх^ dx dy dz — 0,
или
Аналогично, проектируя все усилия на ось Oz, найдем
_____________________________ дхгх __„
dz дх — ’
или, на основании (3.4),
^«+^ = 0. (3.6)
дх ' oz ' '
Таким образом, из условий равновесия получаем для определе-
ния трех неизвестных напряжений ах, ог, тгх лишь два уравне-
ния (3.5) и (3.6).
Так как согласно определению усилия и напряжения при
плоском напряженном состоянии параллельны одной плоскости,
то для упрощения чертежей в дальнейшем будем ограничиваться
лишь изображением сечения эле-
мента этой плоскостью. Кроме того,
сообразуясь с законом парности ка-
сательных напряжений, положи-
тельные направления этих напря-
жений по взаимно перпендикуляр-
ным площадкам будем принимать
противоположными, так что напря-
жения будут совпадать не только
по величине, но и по знаку. При
таком выборе положительных на-
правлений
T“zx ~ Ххг-
Рассмотрим элемент, выделенный из тела, находящегося в
плоском напряженном состоянии, и имеющий форму треуголь-
ной призмы (рис. 50). Проектируя усилия, действующие по ее
граням, на направления N и АВ, получим
oxFxcos (180° — 0) + xzxFx cos (90° — 0) + unFn +
+ <yzFz cos (90° + 0) 4- xzxFz cos 0 = 0,
cxFx cos (270° - 0) 4- rzxFz cos (180° - 0) 4- xnFn 4-
4- tzxFz cos (90° — 0) 4- <JzFz cos 0 = 0,
§ ю]
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
79
где Fx, Fz и Fn-— площади граней О А, ОВ и АВ, так что
F, = F„cos0, F2 = Frasin0.
Поэтому, отбрасывая общий множитель Fn, получим:
— cos2 0 + т2Х cos 0 sin 0 + стга — ст2 sin2 0 + т2Х sin 0 cos 0=0,
— стх cos 0 sin 0 — т2Х cos2 0 + т„ + т2Х sin2 0 + ст2 sin 0 cos 0=0,
откуда
стга = оу cos2 0 + <т2 sin2 0 — 2т2Х sin 0 cos 0,
= (оу — ст2) sin 0 cos 0 + т2Х (cos? 0 — sin2 0).
Так как
п ~ 1 -4- COS 20 • 2 л i COS 20 • л л _____ 1 • ол
cos2 Q = —п__-----, Sln2 0 =-------------, sin 0 cos 0 = — sin 20,
то окончательно найдем:
оп = °х °г- + °х 2 cos 29 ~ Xzx sin 201 '
ох — аг sjn 2Q cos 20.
/4 • J • Л Л
(3.7)
Таким образом, зная напряжения по двум взаимно перпен-
дикулярным площадкам <ух, oz и tzx, найдем по формулам (3.7)
напряжения по любой площадке.
В частности, если определить угол 0 из уравнения
°х ~ °г sin 20 + т2Х cos 20 = 0,
то площадка АВ будет главной, так как касательное напряже-
ние по ней тп = 0-
Направление главной площадки найдем, следовательно, из
уравнения
tg20 =----(3.8)
Б ох — а2
Так как одному и тому же тангенсу соответствуют два угла,
отличающихся на 180°, то из уравнения (3.8) определим два
направления главных площадок, отличающихся на 90°, т. е.
взаимно перпендикулярных. Третья главная площадка перпен-
дикулярна к оси Оу, причем <т3 = 0.
Подставляя 0 из (3.8) в (3.7) и имея в виду, что
LUO Z-V - у -- . -
± V1 + tg2 e
sin 20 = tg 20 cos 20 = ± —, ............ ,
У(°х-^г)2 + ^2гх
V(CTx-CTz)2 + 4i;L
80
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
получим
G __g* + <Tz , , ^гх
2 2л/(°х-°гГ + ^'гХ +
— °х + °z I (а* ~ °г^2 + 4тг* _ ах + стг
2 ~ 2V(CTx“^)2 + 4< ~ 2 “
±т7(ах-аг)2+ч>
или
+ |
„! = ^X21_|a/((Jx_<Ti)! + 44jI (3.9)
о3 = 0-
Заметим, что условием минимума или максимума сг„ является
уравнение
4^- = — (о, — ог) sin 20 — 2т,_ cos 29 = — 2т„ = 0.
ЯЦ \ Л л./ 'ь*
Гак как в то же время
-jsr = — 2 [(аж — аг) cos 29 — 2тгж sin 29] =
2 (gx-qz)2+4<x
V(qx - Стг)2 + 4т;х
¥= о
(кроме случая, когда <тж = ог и rzx = 0), то одно из главных на-
пряжений соответствует максимуму оп, а второе — минимуму.
Если известны и ст2, то из выражений (3.7) получим
°х — СТ~ + СТ‘ 2 °2 cos 20 — cFj cos2 9 + <т2 sin2 9,
Рг=°‘ + °2------cos 29 — 04 sin2 9 4- <?2cos2 6> ] (3.10)
тгх =---2—sin 29.
Сложив уравнения (3.9), найдем
°х + °г ~ а1 + а2, (З.Н)
т. е. сумма нормальных напряжений по любым двум взаимно
перпендикулярным площадкам есть величина постоянная, рав-
ная сумме главных напряжений.
§ Ю]
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
81
Если за оси Ох и Оу принять направления главных напря-
жений (главные направления), обозначив эти оси I и II, то
формулы (3.7) примут вид
Ora==£l+^. + ^£LCos20, rn = -^4p-sin20, (3.12)
где 0 — угол нормали к площадке с осью I. При 0 = 45° каса-
тельное напряжение хп достигает наибольшей величины:
тахт„ = — . (3.13)
Иными словами, наибольшее касательное напряжение дей-
ствует по площадке, образующей с
угол 45°, и равно полуразности наи-
большего и наименьшего главных
напряжений.
2. Графическое представление
плоского напряженного состояния.
Круг напряжений. Из выражений
(3.12) получим
(3-14)
откуда видно, что если за абсциссы
точек принять нормальные, а за ор-
динаты — касательные напряжения,
то эти точки расположатся на окружности радиуса 2
с координатами центра С ( g| g , о) .
Начерченный таким образом круг будем называть кругом
напряжений. Его построение'ясно из рисунка 51,6. Площадке,
нормаль к которой образует с осью / угол 0 (рис. 51, а), соот-
ветствует точка Мп круга напряжений, и, следовательно, нор-
мальные напряжения оп и касательные напряжения тп после
построения круга напряжений легко находятся графически.
Заметим, что двум взаимно перпендикулярным площадкам
соответствуют точки круга напряжений, находящиеся по кон-
цам одного и того же диаметра этого круга. На этом основа-
нии нетрудно построить круг напряжений и в том случае, когда
главные напряжения неизвестны, но даны напряжения по двум
взаимно перпендикулярным площадкам: о», т2Ж> ог, —тгх
(рис. 52,а). Построив точки Мх(ох, ггх) н Мг(ог,—тгх), находим
82
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
диаметр Л1Х, Мг круга напряжений (рис. 52, б) и центр его С.
Тогда eq = ОВ, о2 = О А. Направление определится углом 0, от-
ложенным от оси х по часовой стрелке.
3. перемещения и деформации при плоском напряженном
состоянии. Деформации всегда можно . рассматривать как ре-
зультат того, что точки тела получают неодинаковые перемеще-
ния в пространстве. Эти перемещения для каждой точки можно
определить тремя их составляющими по направлению коорди-
натных осей. В случае плоского напряженного состояния удобно,
как мы это делали и выше, за ось
Оу принять ту главную ось, в на-
правлении которой главное напря-
жение равно нулю, т. е. принять
о3 = = 0.
Две другие оси могут иметь произ-
вольные взаимно перпендикулярные
направления в плоскости, перпен-
дикулярной к оси Оу. Как мы уви-
дим ниже, при таком выборе напра-
влений координатных осей состав-
ляющая перемещения v по направ-
лению оси Оу будет выражаться
через составляющие и и w по осям
Ох и Oz. Поэтому наиболее важ-
ным оказывается изучение переме-
щений точек в направлениях, пер-
пендикулярных к оси Оу, т. е. па-
раллельных плоскости xOz. К тому
Рис. 52.
же, так как при плоском напряженном состоянии принимается,
что напряжения в любой точке не зависят от ее координаты у,
то естественно считать, что и перемещения и и w не зависят от
этой координаты. Таким образом, в первую очередь представ-
ляется необходимым изучить перемещения точек тела в пло-
скости xOz.
Рассмотрим в этой плоскости отрезок АВ, имеющий длину Аг
и составляющий с осью Ох угол а. Точки А и В при деформа-
ции получат некоторые перемещения, вследствие которых изме-
няется как длина, так и направление этого отрезка. Однако при
малых деформациях угол между новым направлением А'В' а
направлением АВ до деформации настолько мал, что разница
между длинами проекций на указанные направления оказы-
вается несущественной, так что достаточно рассматривать проек-
ции на первоначальное направление АВ. Если обозначить
проекцию перемещения точки А на направление Аг через иг, то
ввиду бесконечной малости отрезка АВ проекция перемещения
§ Ю]
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
83
точки В должна отличаться от иг на бесконечно малую вели-
чину Дмг, т. е. будет равна иг + Дмг. Проекция отрезка А'В' на
то же направление, длина которой при малых деформациях не
отличается существенно от длины самого отрезка, равна Дг +
4- Дмг. Таким образом, абсолютное удлинение отрезка АВ
можно принять равным
Дг + Дмг — Дг = Дцг,
и, следовательно, относительное удлинение отрезка АВ равно
&ит]кг. Переходя к пределу при Дг->0, получим относительное
удлинение в точке А по направлению г:
er=iim^=^. (3.15)
Ar->0 аг
В то же время
иг = и cos а + w sin а,
а производная durldr может быть вычислена следующим образом
dur диг dx , диг dz
dr дх dr ' dz dr ’
так как, кроме того,
dx dz
-г- = cosa, -г-= sin a.
dr ’dr
TO
dur dur . dur .
e, = -г- — cos a 4—4- sma.
dr dx dz
Подставляя сюда приведенное выше выражение для иг, найдем
( du . dw . \ . ( du . dw . А .
е. — I -т— cosa 4- -т— sin a cos a 4- I -т— cosa + -т— sin a sin a,
r \ dx ' dx ) ' \dz ' dz ) ’
или
du n . dw . 9 , 1 ( dw . du\ . n
cos a + 77 sirr a + -2 № +77 J sin 2a- <3-16>
Так как направлению Ox соответствует a = 0, а направлению
Oz соответствует a = л/2, то
ди dw
х dx z dz
^Al}
о dw , du
Значение величины нетрудно выяснить на основании
следующих соображений. Рассмотрим прямой угол АСВ между
84
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 5
направлениями Аг и Др (рис. 53). После деформации этот угол
вследствие перемещений точек А, С и В, вообще говоря, не
останется прямым, а превратится в острый или тупой угол
А'С'В', Как видно из рисунка,
Z АС В — Z А'С'В' = & + ₽2-
При малых деформациях углы 01 и 0г
можно заменить их синусами, т. е. по-
ложить
Pi + 02 — sin Pi + sin 02-
Но
о DA’
Sin0! — С,А, ,
причем DA' представляет собой раз-
ность между проекциями перемещений
точек С и А по направлению р, кото-
рая вследствие бесконечной малости отрезка СА является тоже
бесконечно малой величиной Аир. Величина С'А' представляет
собой длину отрезка СА в деформированном состоянии, и, сле-
довательно,
С'А' — Аг(1 +бг).
Таким образом,
Sln^l Дг(1+ег)— Дг О ег + е? •••)
или, с точностью до малых второго порядка,
sin0]
Дир
Дг’’
Аналогично,
sin 02 =
Следовательно,
Дмг
Др
. Ди0 Д«.
Р1 + 02 = — +
Величину изменения прямого угла между какими-либо на~
правлениями при деформации будем называть относительным
сдвигом для этих направлений и обозначать угр. Таким обра-
зом,
Д«() Дмг
= ~дГ +
§ 10]
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
85
откуда, после перехода к пределу при Аг -> 0 и Ар -> 0, получим
относительный сдвиг между направлениями р и г в точке С:
dup dur
dr dp
(3.18>
Если направление г составляет с осью Ох угол а, то направ-
ление р составит с той же осью угол cq — у + а. Поэтому
иг = и cos а + w sin a, up = w cos а— u sin а,
так что
dup dur дир dx dup dz dur dx dur dz
dr + dp dx dr dz dr dx dp + dz dp
(dw du . \ , (dw du . X .
= I -г- cos а---ч— sin а I cos а + I -—-cos а-— sina sin a —
\ dx dx J ' \ dz dz J
( du , dw . \ . . / du . dw . X
— I -—cos a 4- —— sina sin a 4-1 ——cos a 4- -r—sina cos a,
\ dx ' dx J 1 \ dz 1 dz J ”
так как
dx dz
—- = cos a, -г-= sin a,
dr dr
dx . dz .
——= cosai = — sina, = sin ai = cos a.
dp 1 dp 1
Таким образом,
V. = (-g-^)=l"2"+(^- + -g-)-=2«- <3W>
Так как направлению Ox соответствует a = 0, а перпендику-
лярным к нему является направление Oz, то
йда . du ,п
+ (3.20>
(3.21)
Подставляя выражения (3.17) и (3.20) в (3.16) и (3.19), по-
лучим
er = ех cos2 a -|- ег sin2 a + у ум sin 2a,
Угр = (8г — ех) sin 2a + угх cos 2a.
Таким образом, относительное удлинение по любому направле-
нию и относительный сдвиг для любых взаимно перпендикуляр-
ных направлений в плоскости xOz выражается через относи-
тельные удлинения ех, ez и относительный сдвиг у2Ж. Взаимно-
перпендикулярные направления, для которых относительный,
сдвиг равен нулю, называются главными осями деформаций*
а относительные удлинения по этим направлениям — главными.
86
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
удлинениями. Если обозначить главные направления в плоско-
сти xOz индексами 1 и 2, то, очевидно,
Y12 = (ez — ех) sin 29 + Угх cos 20 = О,
где 9 — угол между направлением 1 и осью Ох, откуда
tg29=—(3,22)
— е2
после чего нетрудно из (3.21) найти главные удлинения. Они
-определяются формулами:
(3.23)
Наоборот, для направлений Ох и Oz получим следующие фор-
:мулы: ех = в! cos2 9 + е2 sin2 9, ' ег = 6] sin2 0 + е2 cos2 0, > (3.24) Угх = (ei — е2) sin 20.
Складывая два первых уравнения (3.24), получаем
+ ег = 6] + е2, (3.25)
т. е. при плоском напряженном состоянии сумма относительных
удлинений по двум взаимно перпендикулярным направлениям
в плоскости xOz равна сумме главных удлинений в той же пло-
скости. Так как в плоскости xOz, равно как и во всех парал-
лельных ей плоскостях, касательные напряжения равны нулю,
то сдвига каждой из таких плоскостей относительно соседних
не происходит. Поэтому прямой угол между осью Оу и плоско-
стью xOz при деформации не изменяется, не изменяются и пря-
мые углы между названной осью и любой прямой в плоско-
сти xOz, в частности между осью Оу и главными осями дефор-
мации в этой плоскости. Поэтому ось Оу также является глав-
ной осью деформации. Главное удлинение е3 в направлении
этой оси, как будет показано ниже, выражается через ei и ег-
4. Зависимости между напряжениями и деформациями при
плоском напряженном состоянии. При напряжениях, не превос-
ходящих предела пропорциональности, нетрудно главные удли-
нения выразить через главные напряжения. В самом деле, если
из тела, находящегося в плоском напряженном состоянии, вы-
делить прямоугольный элемент, грани которого параллельны
главным площадкам, то, так как по этим граням будут дей-
ствовать только нормальные напряжения сп, о2 и а3, изменения
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
87'
§ 10]
углов между этими гранями при деформации не произойдет, т. е.
направления главных напряжений будут являться в то же
время главными осями деформаций. Если при этом равно нулю
не только главное напряжение ог, но и о3, то рассматриваемый'
элемент будет подвергаться лишь растяжению в направлении I
с напряжением Оь Его деформации в направлениях I, II и III
будут следующие:
01 01 01
8| —• ~~р~, В2 Ц&1 Ц , 83 JX8j Ц .
Если же 02#=О, но 0] = 03 = О, то
&2 ^2
82 — ~~Ё~ г Sf -83---- |182----- Ц “g“ .
При О1 У= 0 и 02 ¥= О в случае малых деформаций можно по-
лучить удлинения простым суммированием, так что
01 02 1 Z \ )
ei = — Ц -£Г = (СТ1 — |ш2), I
62 = -^- — Н-^- = 4'((Т2 — Н<ъ)> (3.26)
е3 = — Н-^- — — •y(ai + o2). j
На основании (3.24) получим
Ех — е1 cos2 0 + е2 sin2 0 = 3g- [(<?! — Ц02) cos2 0 + (o2 — poi) sin2 0] =
= 3g- [01 cos2 0 + o2 sin2 0 — P (01 sin2 0 + o2 cos2 0)]..
Но согласно (3.10)
O] cos2 0 + 02 sin2 0 = ax>
(*! sin2 0 + 02 COS2 0 = 0Z,
так что
ex = “g- (ox M-Oj/)-
Повторяя эти выкладки для е2 и имея в виду (3.11), окон-
чательно получим
ех== -£- (Ох ЦОг)>
£г = "FT (02 • Ц0Х), | (3.27)-
I
(Ох + ОД J
88
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
так что зависимости вида (3.26) оказываются справедливыми
для любых направлений.
Подставляя (3.26) в последнюю нз формул (3.24), получим
Угх = (<Т1 — рю2 — 02 + НО1) sin 20 = -ЦЬЕ (<?! — ff2) SW 20,
а так как согласно (3.10) (o'] — <r2) sin 29 = 2rZXi то .. (1 4~ ц) /П QQ\ YzX £ Vzx • (3.2о)
'Величину 2(1+ц) пой G: называют модулем сдвига и обозначают бук- (3-29)
так что у2Х = ^-. (3.30)
Решая (3.24) и (3.27) относительно <тх. Oz и xzx, найдем выра-
жения напряжений через деформации:
Е )
o’* = 1 (ех + IMSZ),
°Z == [ ___ ц2 (®Z “Ь Ц8х)> |
^zx = ^Yzx- ]
(3.31)
Эти уравнения представляют собой закон Гука, обобщенный
на плоское напряженное состояние. В этом случае нормальные
напряжения связываются с относительными удлинениями линей-
ной зависимостью, касательное же напряжение пропорционально
относительному сдвигу.
Используя выражения (3.31), нетрудно выразить удлинение
ъу — Ез через еж и ег:
еу = е3 — —(ох + °г) =-----д ц (fix + ez) —-(е1 + ез)-
Отсюда
dv ____ ц / ди , dw \
ду 1 — ц к дх dz ) ’
т. е. перемещения в направлении Оу действительно выражаются
через перемещения и и w, как указывалось в п. 3 настоящего
параграфа.
5. Зависимость между деформациями при плоском напря-
женном состоянии. В предыдущих рассуждениях мы исходили
из предположения, что тело является сплошным и остается та-
§ 101
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
89
ким при деформации. Для этого необходимо, чтобы перемеще-
ния и их производные в любой точке были непрерывными и од-
нозначными функциями от координат. Но в этом случае, как
известно, величина производных не зависит от порядка диффе-
ренцирования. Следовательно, если в этом предположении про-
дифференцировать первое из уравнений (3.17) дважды по
а второе дважды по х и сложить, то равенство
д2йх . д2ег д3и . d3w
дг2 дх2 дг2 дх дх2 дг
можно представить в виде
д2е,х d2ez _ д2 ( ди . dw X
dz2 дх2 дх дг \ дг дх ) *
откуда, на основании (3.20),
+ = (3.32>
дг2 дх2 дх дг ' ’
Таким образом, уравнение (3.32) является следствием сплош-
ности или неразрывности тела при его деформациях и потому
должно считаться необходимым условием неразрывности тела.
Мы видели выше (п. 1), что из условий равновесия эле-
мента тела можно получить лишь два уравнения, (3.5) и (3.6),
для определения трех неизвестных напряжений. Уравнение
(3.32), если выразить его через напряжения, позволяет полу-
чить недостающее третье уравнение. Подставляя (3.27) и (3.28)
в (3.32), получим
1 ( д2ах _ d2uz д2иг _ д2ах X _ 2 (1 + ц) . д2тгж
Е \ дг'2 г1 дг2 дх2 дх2 J Е дх дг
Если продифференцировать (3.5) по х, а (3.6) по г и резуль-
таты сложить, то найдем
9 d2Txz d2<Tx d2ez
дхдг дх2 дг2 '
так что предыдущее уравнение можно представить в виде
д2вх „ d2ez , д2<тг .. д2вх /, । ,.\(д2вх , д2вг\
дг2 дг2 дх2 дх2 ' ‘т’ el дх2 "I- дг2 )*
откуда
д2ах , д2<тх , д2аг . d2ez __„
дх2 + дг2 "+’ дх2 dz2 ~U’
ИЛИ
(ть? + dz2") = °’ (3.33)
90
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
Таким образом, в случае плоского напряженного состояния и
при отсутствии объемных сил напряжения должны удовлетво-
рять следующей системе уравнений:
^ + ^ = 0, I
дх ‘ dz |
I
^ + ^ + ^ = 0- I
(3.34)
§11. Объемное напряженное состояние
1. Выражение напряжений по наклонным к главным осям
площадкам через главные напряжения. Как мы видели в преды-
дущем, в частных случаях, когда форма тела имеет определен-
ный вид и внешние силы при-
м ложены к телу определенным
образом, напряженное состоя-
ние может быть определено
/> \ тремя главными напряжения-
/ I \ Лг ''''и ми, из которых одно или два
/ ' равны нулю. Можно показать
/ I д (это будет сделано в п. 6 на-
4 /— _____^-Г стоящего параграфа), что в
/ /О любом случае в окрестности
/ каждой точки тела найдутся
, три такие взаимно перпенди-
кулярные площадки, на кото-
% рых нет касательных напряже-
Рис- 54- ний (главные площадки). Но
нормальное напряжение на
каждой из этих трех площадок в общем случае отличается от
нуля. Другими словами, в общем случае не равны нулю все три
главных напряжения. Такое напряженное состояние называют
объемным.
Обозначая главные напряжения по-прежнему Oi, ст2, о3, для
определенности будем принимать Oi ст2 ст3. Нетрудно пока-
зать, что для полной характеристики напряженного состояния
тела достаточно знать величины и направления главных напря-
жений. Иными словами, зная направления и величины щ, ст2, ст3
в любой точке тела, мы можем найти напряжения по любой
площадке, проходящей через эту точку.
Выделим из тела бесконечно малый четырехгранник (тет-
раэдр) О АВС (рис. 54), ограниченный тремя главными площад-
ками и площадкой АВС, направление которой определяется
§ П]
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
91*
косинусами углов между нормалью к ней ON и осями I, II, III.
Эти косинусы будем обозначать соответственно I, т, п. Пусть
рп — вектор напряжения (полное напряжение) на площадке
АВС; оп — его проекция на нормаль ON (нормальное напряже-
ние); т„ — проекция полного напряжения на плоскость площадки
АВС (касательное напряжение).
Рассматриваемый элементарный тетраэдр, как и все тело, на-
ходится в равновесии. Поэтому полное усилие Sn по грани АВС
должно уравновешивать усилия по трем другим граням, так что
его проекции на оси I, II, III по величине равны, а по направле-
нию обратны усилиям по граням АОВ, ВОС, СОА. Условимся
площади этих граней обозначать соответственно Fi, F2, F3; уси-
лия, действующие по ним, обозначим Sb S2, S3; площадь грани
АВС равна Fn. Тогда
s„=Vs. + si + S3.
Но
Sn = pnFn, Si=oiFl, S2 = o2F2, S3 = <j3F3,
причем Ft, F2 и F3 являются проекциями Fn на плоскости:
II - 0 - III, III - 0 - I и I - 0 - II, так что
Fi = Fnl, F2 = Fnm, F3 = Fnn.
Следовательно,
или
р2 = ст2/’ + а|т2 + а|/Т. (3.35)
Если же спроектировать все усилия на нормаль ON, то
— aiFil — c2F2m — c3F3n + anFn — О,
или
= OiFnl2 + G2Fnm2 + <r3F„n2,
откуда
+ с2т~ + <r3n2. (3.36>
Наконец, так как pn является гипотенузой прямоугольного
треугольника, катеты которого равны <тп и тп (рис. 54), то
Ч = (3.37>
Таким образом, действительно, зная величины и направления
оь <т2 и <т3 в какой-либо точке, мы имеем возможность найти на-
пряжения по любой площадке в той же точке.
2. Свойства напряжений по взаимно перпендикулярным эле-
ментарным площадкам. Рассмотрим нормальные напряжения
по трем взаимно перпендикулярным элементарным площадкам,.
92
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
нормалями к которым являются оси Ox(li, mi, щ), Оу(1г, m2, щ),
Vz(l3, т3, п3). На основании (3.36) получим
+ CT2mi + М>
°у = CTiZl + + Q3«2>
= ° Л + °2т1 + °зп1-
При этом, вследствие взаимной перпендикулярности осей Ох, Оу
и Oz,
/? + /2+/2=1.
т ] + т, + ml = 1,
ni + П2 + п1 = 1
Складывая предыдущие три уравнения, найдем
+ ®у + °z — °i + °2 + стз, (3.38)
"т. e. сумма нормальных напряжений no любым трем взаимно
перпендикулярным элементарным площадкам есть величина по-
стоянная, равная сумме главных напряжений.
Для касательных напряжений остается в силе выведенный
ранее закон парности. Однако при объемном напряженном со-
стоянии (в отличие от плоского напряженного состояния) каса-
тельное напряжение может иметь в плоскости площадки любое
направление. Поэтому, для применения закона парности, каж-
дое из касательных напряжений по взаимно перпендикулярным
площадкам необходимо разложить в плоскости последних на
.две составляющие, из которых одна должна быть перпендику-
лярна к линии пересечения площадок. Таким образом, для объ-
емного напряженного состояния закон парности касательных
напряжений формулируется следующим образом: составляющие
касательных напряжений по взаимно перпендикулярным пло-
щадкам, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок,
равны по величине и обратны по направлению.
3. Графическое представление объемного напряженного со-
стояния. Нахождение напряжений на любой площадке по из-
вестным главным напряжениям можно осуществлять и гра-
фически.
Из выражения (3.37) имеем
^ + ^ = Р2„-
Добавляя к обеим частям этого уравнения одинаковые сла-
гаемые, получим
°«~СТЛСТ2+СТз) + (-^Чг^) +'Г»==/’»~СТ»(СТ2+СТз)+ ( -у а3) •
$ 11]
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
93
Преобразовав правую часть этого равенства с помощью фор-
мул (3.35) и (3.36), получим следующие формулы:
< — К + аз) + (-4”") + =
~ а2/2 + о2/п2 + ог|и2 — (о/2 + оуп2 + оуг2) (о2+ <т3) + (g2 Стзу=
= О?2/2 + СТ2/»2 + —
— cr„cr3m2 — <т2га2 + ( g2 СТз ) =
= (or2 — — ff jff3) Р — or2ff3 (m2 + и2) + ( g2 Стз- У =
= (о2 - <т10г2 - Gja3) p - or2a3(l - p) + ( g2 + g3 )2 =
= (or2 - or1Or2 - a10r3 + or2or3) P + ( -24~Рз) - 0^3 =
= (o'j or2) (04 — O3) P + ( —.
Таким образом,
< - gn(g2 + аз) + (^Чг^У + ^ =
= (04 or2) (04 — ff3) P + (^“2—“ ) >
или
(on - -^±^)2 + t2 = (£1^l)2 + (or1 - or2) (G1 - 0Г3) P. (3.39)
Аналогично получим:
— СТз 2~~У + xn = (g-3 Y -L)2 + (g2 — о^з) (or2 — 04) rn2, ]
z _ 42 z 42 > (3.40)
(gra — —2~? ) +T2 = ( g‘ 2g2 ) + (or3 — Gi) (ОГ3 — 0Г2) П2. j
Если принять an за абсциссы, a xn за ординаты точек, то
уравнения (3.39) и (3.40) являются уравнениями окружностей
< центрами о), С2(^±£Ц о), С3(^4^, о);
радиусы окружностей равны:
Ri =V(^ ) + (04 — <*2) (ст1 стз)^ »
r2 =V(^ У + (ог2 — <т3) — <Ji)m2, (3.41)
=V№ У+ (<*3 — *1)(*з — ^П2 •
94
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
При I — О
так что координаты точек окружности диаметра AD (рис. 55) оп-
ределяют величину напряжений по всем площадкам, парал-
дельным направлению I.
При I =Н= О
так что для
раллельных
окружность
трической с
но находится
При т = 0
Ria,
площадок, не па-
направлению I,
является концен-
окружностью AD,
вне последней.
п _____ °1 — ff3
Л20 2
личину напряжений по
При т =# О
координаты точек окружности
диаметра АВ определяют ве-
площадкам, параллельным оси II,
R1? ^?20>
так как
(°2 °з) (о'г — CTi) О-
Наконец, при п = 0
Язо —
О,
— О;
2
__ — <^3
~ 2
/?1
координаты точек окружности диаметра DB определяют вели-
чину напряжений по площадкам, параллельным оси III.
При п =И= О
Яз #зо,
так как
(<т3 —<П) (<*з —<72)>0.
Площадке, для которой I =# 0, т У= 0, п у= 0, очевидно, соответ-
ствует точка пересечения трех окружностей, концентрических
с окружностями АВ, AD и DB. Так как при этом Ri Ria,
Rz гС /?2о, R3 R30, то такая точка должна находиться в обла-
сти, заключенной между тремя названными окружностями и по
казанной на рис. 55 штриховкой.
$ 111
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
95
Положение этой точки нетрудно найти графически. Если точ-
ка М (рис. 56) соответствует площадке с заданными косинусами
1, т, п, то точка L соответствует площадке с тем же значением I
и косинусом п — 0. Тогда для напряжений оь и xL по этой пло-
щадке из (3.39) и второго уравнения (3.40) получим
( _ °2 + Оз \2 । 9 (02 — Оз \2 I /_ _ \ г ч й
2---) \-2-) V71 — °2' (CT1 — СТз) I ,
f О1 + о2 А2 . , ( О1—о2у
-----—) + 4=^—2—) •
Вычитая второе уравнение из первого, получим
(_ о2 + Оз \2 (_ О1 + О2 V
\ L 2 ) 2 /
“ У - (—)' + (<Т, - °!) («1 - as) Р.
ИЛИ
(2 Од
Or2^_<73^_OГi~l~Or2\/, 0Г14~0,2 — О2 — О3
2 } I 2
02 — СТз Ч~ О] — О2
о2 — а3 — (jj qf2
2
4-(oj —о2) (О1 — о3)/2,
2
О1 — 2^2 + Оз __ 2og — О] — Оз
4 ~ 4
+ (aj — о2) /2,
О] -j- 202 Ч- Оз J- 2а2 — Oi — Оз
4
= (Oi — о2) Z2,
т. е.
Од — О2 = (Oj — о2) Р.
96
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
(ГЛ. 3
Из рис. 56 видно, что aL = OK, oL — а2 — а1— о2 = DB„
и потому предыдущее равенство можно представить в виде
DK = DBP.
В то же время, если ELDB = а, то
LD — DB cos a, DK. — LD cos а = DB cos2 а.
Сравнивая оба равенства, получим
cos а = I.
Иными словами Z.LDB равен углу, составляемому нор-
малью к площадке с направлением I. Точно так же
(’В — °' t У + Т£ = ( ”' 7 У + ‘ — °2)rt2-
(.£-^-y + ,j-(-^y.
так что после аналогичных преобразований получим
о2 — сЕ = (о2 — Стз) п2,
или
/()£> = ADn2.
Если Z ADE = у, то
DE — AD cos у; K{D = DE cos у = AD cos2 у.
Таким образом,
cos у = п,
т. е. Z.ADE равен углу у, между нормалью к площадке и на-
правлением III.
Дальнейшие построения для нахождения точки М видны из
рисунка 56.
Таким образом, зная три главных напряжения и их направле-
ния, мы можем с помощью построения кругов напряжений найти
напряжения по любой площадке, проходящей через данную
точку. Обратная задача определения главных напряжений по
известным напряжениям на трех взаимно перпендикулярных
площадках графическим методом решена быть не может, так как
аналитически она сводится, как это будет показано ниже, к ре-
шению уравнения третьей степени; графическое решение такого
уравнения с помощью циркуля и линейки, как доказывается
в алгебре, невозможно.
Рассматривая круги напряжений (см. рис. 55), видим, что
max on = Qi, min = о3. (3.42)
§ П]
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
97
Наибольшее касательное напряжение определяется наибольшей
ординатой заштрихованной области:
max тп = -1 (3.43)
и действует по площадке, параллельной направлению II и на-
клоненной к направлениям I и III под углом 45° (рис. 57).
4. Напряжения по октаэдрической площадке. Представляет
также интерес площадка АВС, одинаково наклоненная ко всем
Рис. 58.
трем главным направлениям и называемая октаэдрической
(рис. 58). Для нее
I = т = п,
и так как
Р + т2 + п2 = 1,
то
, 1
I = т = п = —т=-.
7з
Поэтому из (3.36) получаем
О') 0*3
О'окт о
(3.44)
и из (3.35)
9 __ <?1 + <?2 +
Рокт 3
4 В. А. Гастев
98
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
Следовательно,
2 Oi+al + а3 (at + <т2 + <т3)2
Т4 = п - — (у4 = ...........—---------=
окт *окт окт 3 9
= 4 (3ff^ + 3<т| + - a2 - a2 - а2 - 2а- 20^ - 2<т2о3) =
= 4-(2а? + 2о1 + 2<тз ~ 2ffiff2 ~ 2ff2ff3 - 2aiff3) =
= 4 (а1 “ 2<71а2 + ffl + - 2ff2ff3 + °l + CT3 - 2fflff3 + °1) =
= 4 KOT — + (<*2 — Яз)2 + («3 — П1)2],
так что
Токт = 4 V(CTi — + (<*2 — Яз)2 + (<*3 — От)2 • (3.45)
5. Деформации при объемном напряженном состоянии. Пере-
ходя к рассмотрению деформаций, заметим, что элемент, гра-
нями которого являются главные пло-
щадки (рис. 59), может рассматри-
ваться как растянутый в трех направ-
лениях. При малых деформациях мож-
но определять удлинения как суммы
удлинений, получаемых при растяже-
нии в каждом направлении. Имеет
значение также изотропия тела (на-
помним, что мы условились рассма-
тривать пока лишь малые деформации
изотропных тел). С учетом этого усло-
Рис 59 вия упругие относительные удлинения
в главных направлениях при осевом
растяжении в этих направлениях представлены в следующей
таблице:
Напряжения Деформации
е.
01, 02 <*3 === Q щ Е <Т1 <Т1 И Е
02> О'] = Оз = 0 И Е Е а2 и Е
03, 02 01 == О Оз И Е а3 и Е Рз Е
§ 11]
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
99
Суммированием этих величин получим:
ei = у hi — Н (а2 + огз)]>
e2 = -g-[cT2 — н(<Гз + <*1)].
бз = 4'^3 — ^^1 + а2^- I
(3.46)
Если рассмотреть отрезок dr прямой, направление которой опре-
деляется косинусами углов с направлениями I, II, III равными
соответственно I, т, п, то его проекции на главные направления
представятся в таком виде:
dxi — dr • I, dx2 — dr-m, dx3 — dr-n.
После деформации эти проекции будут иметь длину:
dr •/(1 + ё;), dr • m(l + е2), dr • и (1+е3)
и, следовательно, длина отрезка dr станет равной
dri = dr д//2 (1 + ej2 + mi (1 + e2)2 + n2 (1 + e3)2 .
Пренебрегая квадратами еь e2 и e3 и имея в виду, что /2 + т2 +
+ п2=1, получим
dr! = dr Vl + 2 (ed2 + e2zn2 + e3n2),
откуда, поскольку при малом а
1
(1 -|- 2а)2 ~ 1 -|- а,
имеем
dr, — dr (1 + ed2 + e2m2 + e3n2)
и, следовательно,
er = dr' dr = ed2 + e2m2 + e3n2.
В частности, для трех взаимно перпендикулярных направлений
Ox(Zb mi, «О, Oy(l2, т2, п^, Oz(l3, т3, п3)
получим:
ex = eiZi + e2mHe3«i> '
^ = eizi + e2m2 + e3n2>
ег = е Л + e2ml + езЧ
откуда
&х + + 6г — е1 + е2 + ез,
(3-47)
(3.48)
4*
100
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
т. е. сумма относительных удлинений в трех взаимно перпенди-
кулярных направлениях есть величина постоянная, равная сумме
главных относительных удлинений.
°1 + а2 + ст3 = ах + ау + °г
через Sb можно представить формулы (3.46) в виде
61 = -L [Ст[ (1 + и) — [iSj], j
e2 = 4r[a2(l+|*)-|*S1], } (3.46')
e3 = 4'fCT3^ +н) —pS,]. j
Тогда из (3.48)
ex = -g- [(i + ц) (<Vi + <Vni + аз«1) ~ PSi (J2! + mZi + «i)]>
но так как
0^1 + a2m j + o3«2 = ox, I] + tn\ + n] = 1,
то
8X = -g- K1 + H) Gx — hSi] = -£• [(1 + |*)ax — h (gx + Gy + oj]..
Повторяя те же выкладки для гу и ег, получим окончательно:
ех = 4г[огх — н(^ + ог)],
8j, = [Ну — ц (<тг + стх)], } (3.49)
8г = -g- [Oz — [I (Ох — Oj,)]. ]
Таким образом, формулы (3.46) оказываются справедливыми
не только для главных удлинений, но и для удлинений по любым
трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Рассматривая элементарный параллелепипед (рис. 59), ви-
дим, что если его объем до деформации равен
V — dx{ dx2 dx3,
то после деформации объем будет равен
Vi = dxx (1 + ej) dx2 (1 + е2) dx3 (1 + е3),
откуда, пренебрегая произведениями еь е2 и е3, найдем
V j = dx\ dx% dx% (1 -|- 8] -|- е2 ~|~ е3) = V (1 -|- 8j -|- 82 ~|~ 83),
§ П]
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
101
получим
откуда
или
и относительная объемная деформация равна:
еу — — = в] + е2 + е3 — ех + Еу + Ег. (3.50)
Сложив уравнения
ех =-g-[(l +g)<7x — I1SJ,
= + н) аУ~~ ^il’
ez == [(1 + Н) ст2 — hSi]>
Ey~~g 1(1 +1*) Si — 3j*Si],
_ 1 — 2g o
еИ-----g Si,
вг=-1^-(<тж + <т, + <тг) = -Ц^(сГ1 + <т2 + <Тз). (3.51)
Таким образом, относительная объемная деформация зависит
только от суммы главных напряжений, или, что то же самое, от
« о €Т 1 4" @2 4" <Тз
средней величины главных напряжении--------, и ие связа-
на с величиной каждого из них в отдельности.
Из уравнения
8* = •£[(! +р) ох + pSi]
получаем
(1 +1*) <*х = Еех + jxSb
и так как
Ее,, Е
Si=-j—т-г— = 2G,
1 1 — 2ц ’ 1 + ц
1*0
1 4- g + Т=^Г Eiz) = 2G + 1 -2g ’ j
°у ~ 1 4-g (е» + 1 - 2g Eiz) = 2G (е« + 1 -2g е0 ’ | (3-52)
°г 1 4-g (®г + .1 -2g е,/) = 2G (®г + 1 -2g 61/) • J
Отсюда видно, что закон Гука, т. е. зависимость между на-
пряжениями и деформациями в пределах пропорциональности,
для общего случая объемного напряженного состояния должен
формулироваться следующим образом: напряжения связаны с
102
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. У
деформациями линейной зависимостью, коэффициенты которой
выражаются через величины, постоянные для данного материала.
Число этих постоянных для изотропных материалов, как видно
из (3.52), равно двум.
Представим главные удлинения в виде
е1 = е{Ч~е*> е2 = е^ + е*, е3 = е' + е;, (3.53))
где
z V * V
62 3 ’ Е'2 62 3 ’
„Г ' ev ev
63 3 ’ 63 63 3 "
Деформациям е{, е.12, е13 соответствуют напряжения
т______________________„I__„I___ + <Т2 + <Г.з
= °2 = °3 =------§-----’
которые являются результатом всестороннего равномерного рас-
тяжения или сжатия и потому не сопровождаются изменением;
формы тела, а лишь изменением
объема е(,, которое согласи®
(3.50) равно:
+ +
При деформациях е*, е*, е* изме-
нение объема равно нулю:
e;=e; + e; + e;=(ei-V)+
+ G2 - dr) + (ез - -f-) = °-
Иными словами, эти деформации
сопровождаются не изменением;
объема, а лишь изменением
Рис. 60.
формы.
Таким образом, при любой величине главных напряжений
деформации могут быть разложены на две части: деформации,,
связанные только с изменением объема, и деформации, вызы-
вающие лишь изменение формы тела.
6. Общая теория напряжений при объемном напряженном состоянии..
Выше рассмотрены лишь главные напряжения и деформации при объемном,
напряженном состоянии. Приведем вкратце общую теорию напряжений и де-
формаций для этого случая. Выделим из тела, находящегося в объемном на-
tn
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
103
пряженном состоянии, элементарный параллелепипед, грани которого перпен-
дикулярны к трем произвольным взаимно перпендикулярным направлениям
Ох, Оу и Ог; положительные направления напряжений по этим граним пока-
заны на рис. 60. Принимая во внимание, что рассматриваемый параллелепи-
пед должен находиться в равновесии, и составляя момент относительно осей
Ох, Оу и Ог всех усилий, действующих по его граням, после выкладок, ана-
логичных приведенным в § 10, п. 1, получим
tzy — tyZ' Тхг^Тгх- т1/х = тх(/ (3.54)
Равенство нулю суммы проекций тех же усилий на ось Ох дает (при отсут-
ствии объемных сил)
— <7Х dy dz + (тхг + dzxxz) dx dy + (<тх + dxox) dy dz —
— тхг dx dy + (xxy + dyxxy) dx dz — xxydx dz = 0
или
dxaxdy dz 4- dyxxy dx dz 4* dzxxz dx dy = 0.
Заменяя частные дифференциалы их
яые, получим
д<тх дтху
—-— dx dy dz 4-т— dy dx dz 4*
dx dy
dxxz
4--z— dz dx dy = 0
dz
и, следовательно,
dox t dxxy dxxz
-5— 4--^-M—j—= °- (3-55)
dx dy ' dz '
Аналогично,
dxyX d(jy |
dx ‘ dy ' dz ’I
л л a > (3-56)
dxzx dxzy daz _ ]
dx ' dy ' dz |
выражениями через частные производ-
Таким образом, для определения шести неизвестных напряжений из условий
равновесия мы получаем только три уравнения.
Рассмотрим теперь элементарный тетраэдр ОАВС, выделенный из того же
тела (рис. 61). Пусть нормаль ON к грани АВС составляет с осями коорди-
нат углы, косинусы которых обозначим соответственно /, т, п. Обозначим,
кроме' того, проекции вектора напряжения рп по площадке АВС на коорди-
натные оси через рх, ру, pz и площади граней ОВС, СОА, АОВ и АВС соот-
ветственно через Fx, Fv, Fz и Fп. Так как Fx, Fy и Fz являются проекциями
-F„ на соответствующие плоскости, то
FX = F„ cos (NOX) = Fnl,
Fy = Fnm, Fz = Fnti.
Проектируя усилия, действующие по граням тетраэдра на ось Ох, получим
~~ axFx — ^xyFy — txzFz 4- pxFn = 0,
«ли
PxFn = ixFnl 4- T:XyFnm 4- xxzFnn,
•откуда
Рх = oxl +т>хут + Xxzfi,
104
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
и аналогично,
Py = T:yxl + oym + tyZn, | (357^
Pz = Тгх/ + xzym + °гП. )
Проекция вектора напряжения рп на нормаль ON к площадке АВС (нормаль-
ное напряжение ап) равна:
On = Pxl + Рут + Pzn,
нли, после подстановки (3.57),
ал = + аут2 + azn2 + 2хху1т + 2xyzmn + 2xzxnl. (3.58)
Равным образом проекция рп на направление какой-либо прямой S (/1; mlt «j)
в плоскости АВС (касательное напряжение xns) равна
ins = Pxh + Pymi + pzrii,
или
Uns = °xlli + ауттх + агппх + хху (mlx + 1тх) +
+ tyz (птх + тпх) + т2Х (/«1 + nlx). (3.59)
Таким образом, вектор напряжения, равно как нормальные и касательные
напряжения по любой площадке, можно определить, если известны шесть
величин: а», аи, аг, tvx = Txv, tzv = хуг, xxz = xzx. Совокупность величин,,
определяемых через шесть данных величии соотношениями типа (3.57), на-
зывают симметричным тензором второго ранга, а названные шесть величин —
компонентами этого тензора. Таким образом, совокупность напряжений на
всех площадках, которые можно провести через данную точку, может рас-
сматриваться как тензор. Эту совокупность называют тензором напряжений^
а ш'йсть величин:
0х> ау> 0Z’ Тух = Хху< Tzy = xyz, Xxz = Xzx
компонентами тензора напряжений.
Мы условились ранее называть главными площадками такие площадки»
на которых отсутствуют касательные напряжения, а нормальные напряже-
ния по этим площадкам называть главными. Обозначим главное напряжение
на одной из площадок буквой о. Так как оно является вектором напряжения»
направленным по нормали к площадке, то
px = al, py = am, pz — on,
и уравнения (3.57) принимают такой внд:
а/ = axl + ххут + ххгп,
ат = xyxl + аут + хугп,
ап = хгх1 + хгут + агп,
или
(ах — а) I + ххут + ххгп = 0,
хух1 + (ау — а) т + тугп = 0,
xzxl + т2ут + (az — о) п = 0.
(3.60)
Из уравнений (3.60) должны быть определены неизвестные I, т, п — ко-
синусы углов нормали к главной площадке с осями координат. Этн косинусы
не могут одновременно равняться нулю, так как
I2 + т2 + п2 — 1. (3.61)
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
105
§ И1
Но для того, чтобы система (3.60) имела решения, отличные от нуля, опреде-
литель, составленный из ее коэффициентов, должен быть равен нулю, т. е.
ffjc — ff Xxy XXz
Xyx ay-a xyz = 0.
Xzx xzy az —a
(3.62)
Раскрывая этот определитель, получаем уравнение, которому должна удовле-
творять величина главного напряжения:
(ffjc — <0 (0^ — ff) (fz — or) + XyxXzyXxz + XzxXxyXyz —
- (СТД “ °) 4г - - ff) xzy ~ (ffz - O') Jyx = °-
или
o'3 - (or* + ay + or*) or2 + (axay + ayaz + orzor* - х\у - t22 - x2*) a -
~ (°'xO'fforz + 2xxyxyzxzx - axx2yz - or^2* - OT^) = 0. (3.63)
Это уравнение имеет три вещественных корня: ffi, аг, аз; подставляя их в
уравнения (3.60) при условии (3.61), получим соответственно три системы
значений I, т, п. По свойству корней кубического уравнения получаем:
S; = ах + ау + az = ог1 + а2 + <т3,
S2 = О'хО'г, + О'дО'г + "Л ~ “ Хгу ~ Ххг = 1СТ2 + О'Л + °30'р
«3 ~ ахауаг + ^xxyxyzxzx axxyz ayxzx azxxy ~ al°2a3‘
(3.64)
Таким образом, величины Si, S2, S3 не зависят от выбора координатных осей,
почему их называют инвариантами тензора напряжений.
Если за оси координат принять направления главных напряжений
(главные направления напряжений), то для направлений Ox(llt пг^ ni),
<Oy(l2,m2, п2), Oz(l3, т3, п2) получим из (3.58) и (3.59) следующие уравнения:
<*х = alll + °'2ml + аЗп1>
ау = в112 + CT2m2 + ff3n2>
<гг = °г1/з + 0г2тз + 0'з4
хух = cnZi^2 + a,msm2 + о3М1П2>
хгу = 0Г1/2/з + or2/n2m3 + а3п2п3,
xXz = O1W1 + а2т3пг\ + а3п3П\,
(3.65)
так как касательные напряжения на главных площадках равны нулю.
Необходимо заметить, что все полученные выше формулы справедливы
лишь в случае малых деформаций, так как мы во всех случаях вычисляли
проекции на первоначальные направления, не считаясь с тем, что эти на-
правления в результате деформации будут изменяться.
7. Общая теория деформаций при объемном напряженном состоянии.
Если в теле, находящемся в объемном напряженном состоянии, рассмотреть
бесконечно малые отрезки Дг и Др произвольных направлений (/, т, п) и
(Zi, mlt «[), то останутся справедливыми рассуждения, приведенные в п. 3
§ 10 при выводе формул (3.15) и (3.18). Поэтому формулы
dur du р duz
Ёг dr ’ ^rp dr dp
106
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
(ГЛ. з
сохраняют свое значение и для объемного напряженного состояния. Но про-
екции перемещений на направления г и р выразятся в этом случае через три-
составляющие перемещений и, v н w:
причем и, v и w являются функциями трех переменных х, у, z и
dx ____________________.
~drr~~1,
dx .
~dp~ "
du
dr
du
dt~mi’
dz
-г- = п,
dr
dz
d^ = ni'
Поэтому
dur du.
£r —
dr dx
dx . du
dy , dur dz dur
dr ”T’ dy dr ' dz dr dx
dur . du.
m + n,
dy dz
откуда
g =.^£.72 4
®r dx 1
dv
~дУ
2 . &W
m +~S~
dz
п2
1т +
dv
"dz
тп
du
"dz
причем
du du dx , dv — ex, dv dv ~dy , dw = &y.
dy 1 dx Nxy< dz 1 dy Ууг<
dw
~dz 6z’
dw , du ___
dx dz ~ ^zx’
(3.66>
так что окончательно
dup dur dup
Yrp dr dp dx
i dur
dx
du
er = exl2 + eym2 + ezn2 4- yxylm 4- yyzmn + yzxtil. (3.67>
Точно так же
dx dup dy dup dz
dr + dy dr dz dr
dx , dur dy . dur dz
dp ' dy dp ' dz dp
...^ dup dtip dur dur dur
dx dy dz dx dy ' dz
и, следовательно,
n ( du , dv . dw A . (du . dv \
Y'p - 2117 «• +77 nn' J +1 a? + "dTj(lmi + ml^ +
. ( dv dw \ . ( dw , dn. \ , .
+ br+WJ(mni + min) + br+-ar)(nlt +ln^
или
Угр = 2 (8xllx + eymnii + eznrii) + yxy (Imi + mb) +
+ vyz (mill + nmi)+yzx (nil + Int). (3.68>
Сравнивая (3.67) и (3.68) с (3.58) и (3.59), можно сделать заключение, что»
Совокупность всех деформаций в данной точке тоже представляет собой тен-
HI
ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
107
лор — тензор деформаций, компоненты которого равны ex, еу, ez,
VsVz*- После этого, по аналогии с тем, что мы имели для тензора напряже-
ний, можно для нахождения главных направлений деформаций написать сле-
дующие уравнения:
(ех — е) I + ЧгУху’п + VsYxz" = 0,
ЧгУух1 + (еу — е) m + '/зУдг" = 0,
‘M’zxZ + ЧгУгуШ + (ez — е) п = 0,
:и для определения величин главных деформаций уравнение
(3.69)
эдли
ех — в
ЧзУух
VzYzx
ЧзУху
еу-г
ЧзУгу
ЧзУхг
ЧзУуг
ег— е
(3.70)
= 0
- («х + еу + ег) е2 + [ехьу + V* + е*ех “ */♦ (Уху + Уух + VL)] « ~
- [ехеуех + ‘/t (уХуУуХУхх + sxyIj, + ®yYxz + ггу2ух)] = 0,
«откуда найдем три главные деформации: ei, е2 и ез.
Инварианты тензора деформаций представятся в таком виде:
Л = ех + еу + ег— ei + е2 + ёз, |
Z2 = ъх*у + еуех + еЛ - */4 (уед + У^ + Yxx) = I
= 8163 + 6383 + 8361. J- (3.71)
Z3 Bxeyez "Ь /* (УхуУугУгх ехУуг еуУгх &гУху) I
= 816363. J
Для направлений Ох, Оу и Oz получим следующие уравнении:
®х = eizi + e2ml + езп1-
еу = ®1Z2 + ®2ОТ2 + e3n2>
ex = elZ3 + e2OT3 + e34
Уху = 2 (eilil2 + 8ЛИ2 + 83^1^3),
Ууг = 2 teJJi + e2m2m2 + e3n2n3),
Yzx = 2 (fiilali + бз/Из/И! + e3zi3zii).
(3.72)
После этого, используя (3.46'), кроме обобщенного закона Гука для нормаль-
ных напряжений (3.49), легко установить этот закон и для касательных на-
пряжений. Подставив (3.46') в четвертое уравнение (3.72), получим
2
Уху = "g" К1 + И) (oJiZ3 + о2Ш1т2 + О3М1Ц2) — pSi (Z1Z2 + /И1ОТз + nin2)].
=Но направления Оу и Ох взаимно перпендикулярны, следовательно,
ZiZ2 + /И1/и2 + П1П2 = 0,
а на основании (3.65)
0fiZiZ2 -f- o2THitTi2 “Ь о3П1Пз — ^ух*
108
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[гл. а
так что
или
2
т^ = '2 (ТТЙГ^
ХХу — ХуХ — бУху’
xyz — xzy — G Удг,
Xzx = Xxz — Gyzx-
(3.73)
(3.74)
и
8. Удельная работа упругой деформации. Рассмотрим ра-
боту, затрачиваемую на упругую деформацию элементарного
объема тела (см. рис. 59). Эту работу можно определить как
сумму работ, затрачиваемых на растяжение в каждом- из направ-
лений I, II, III. Но работа, необходимая на растяжение напря-
жением <Ti, при относительном удлинении ei равна:
dl\ = у <т1 dx2 dx3 • Eidx{;
аналогично для направлений II и III получим соответственно
dT2 = у <т2 dx3 dxx е2 dx2 и dT , = — а3 dx{ dx2n3 dx3,
так что
dT = dT\ + dT2 + dT3 = (о^ + <т2е2 + <т5е3) dxx dx2 dx3.
Удельная работа, т. e. работа, отнесенная к единице объема,
равна:
Гуд = = Т (°iSi + °2Ё2 + азез) • (3.75>
Если подставить сюда выражения удлинений через напряже-
ния (3.46), то получим
гуд = Eg1 + G1 + “ 2Н (<* А + а2аз + аза1)]- <3-76>
Если же подставить (3.53), то будем иметь
Гуд = У [(Gie^ + + G3e/3) + (Giei + G2e* + G3e*3)] ’
и удельная работа деформации разобьется на две части. Первая
Гуд = У (Gief + G2es + G3e0 = 4 <G> + g2 + аз) -T
есть часть удельной работы, затрачиваемая на изменение только
объема тела. Она может быть представлена на основании (3.51)?
§ 12] НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ 109
следующим образом:
ТуД = + ffs)2- (3.77)
Вторая часть удельной работы
затрачивается на изменение только формы тела. Ее проще всего
вычислить непосредственным вычитанием (3.77) из (3.76):
/рФ гг> лпО
* уд-* уд 1 УД----
= 1Ё Еа1+ + С3 - 2Н + ff2ff3 + “
------(ст1 + СТ2 + <Т3)2 —
= [Зсг^ + ,3(Т| + Зег] — 6ц + (Т2<Т3 + (TgCTj) — <т] — ОТ; — ф’ —
—2(7^2—2а2ст3—2<т3о,1 2ц (<т^ -|- <т2 + <т3-|-2сг1сг2-|-2о'2о'3-|-2о'3о'1)] =
= [2 (СТ1 + + °з) — 2 U + и) (01^2 + О2О3 + СТ3<Л)] =
= "чН К ” 2(Т1СТ2 + СТ2 + СТ2 - 2(Т2СТ3 + °1 + СТ3 - 2(Т3СТ1 + °1] ’
или, окончательно,
Т$л = К<Ъ - о2)2 + (<Г2 - Оз)2 + (Оз - о,)2]. (3.78)
§ 12. Напряжения и деформации при чистом сдвиге
1. Деформация чистого сдвига. Рассмотрим прямоугольную
призму, в плоскостях граней которой приложены равномерно
распределенные силы, причем эта призма находится в равнове-
сии (рис. 62). Ее деформация, естественно, должна свестись к
тому, что она из прямоугольной обратится в косоугольную вслед-
ствие малого поворота и перемещения каждой из ее боковых
граней в направлении приложенных сил (рис. 63). При этом
каждое поперечное сечение из прямоугольника превратится в па-
раллелограмм.
Сопоставляя этот параллелограмм с первоначальным прямо-
угольником путем совмещения одной из сторон (рис. 64), видим,
что указанную деформацию можно рассматривать как результат
сдвига грани Д’/V параллельно грани АВ на некоторую длину
КК' = NN'. Поэтому описанную деформацию называют дефор-
110 ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ [ГЛ. 3
мацией сдвига, а отрезок КК' называют абсолютным сдвигом
плоскости KNML относительно плоскости ABCD и обозначают
mc = KK' = NN' [сл].
Так как величина абсолютного сдвига, при прочих равных
условиях, зависит от расстояния Д/С = h между сдвигающимися
плоскостями, то для характеристики деформации сдвига удобнее
пользоваться величиной относительного сдвига, т. е. отношением
КК' тс
АК ~~ h •
Из рис. 64 видно, что
и при малых деформациях
# к’ н М
4 в
Рис. 64.
где угол у выражен в радианах. Таким образом, относительный
сдвиг может быть определен как выраженное
в радианах изменение прямого угла при
сдвиге:
-V = Y. (3.79)
При этом углы КАВ и NBA, бывшие до дефор-
мации прямыми, после деформации сдвига
будут равны соответственно — V и + у. Именно это изме-
нение углов на величину у и характеризует деформацию сдвига.
Из сказанного видно реальное значение относительного сдвига,
понятие о котором было введено в п. 3 § 10.
§12] НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ Н1
2. Напряжения при чистом сдвиге. Обращаясь к рассмотре-
нию напряжений, обратим внимание на то, что на основаниях
призмы AKNB и DLMC нагрузка отсутствует, вследствие чего
должны отсутствовать и напряжения. Кроме того, нагрузка на
боковых гранях распределена равномерно. Поэтому можно счи*
тать, что и по всем площадкам, параллельным основаниям
призмы, напряжения равны нулю. Следовательно, напряженное
состояние призмы является плоским, причем площадки, парал-
лельные ее основаниям, являются главными. Нормальные на-
пряжения а2 по этим площадкам равны нулю:
а2 = 0. (3.80)
Если провести любое плоское сечение, параллельное грани
ABCD, то нетрудно убедиться, что усилие в таком сечении
должно представлять собой силу, действующую в плоскости рас-
сматриваемого сечения и равную во всех параллельных сече-
ниях величине Q (равнодействующей сил, действующих в пло-
скости ABCD)'.
Sq = Q-
Это усилие может вызвать лишь касательные напряжения,
равномерно распределенные по плоскости сечения, поэтому
т = (3.81)
где F— площадь грани ABCD или KNML.
По закону парности касательных напряжений напряжения
по всем площадкам, параллельным граням NMCB или KLDA, в
любой точке призмы одинаковы и равны т.
Нормальные напряжения по площадкам обоих направлений
отсутствуют. Таким образом, деформация сдвига характери-
зуется тем, что в любой точке тела имеются площадки, по кото-
рым действуют только касательные напряжения. Деформация
сдвига, происходящая при однородном напряженном состоянии,
носит название чистого сдвига. Напряженное состояние рассмат-
риваемой нами призмы является однородным. Следовательно,
она подвергается чистому сдвигу. Плоское напряженное состоя-
ние любого ее элемента характеризуется схемой (рис. 65). По-
строив на основании п. 2 § 10 для случая чистого сдвига круг
напряжений, представленный на рис. 66, определим величину
главных напряжений:
Oi = r, а3== — т. (3.82)
Угол 9, составляемый первым главным направлением с осью
1 л
OZ, равен ДМОВ = -^- и должен отсчитываться по часовой
112
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
стрелке. Напряжения по любой другой площадке легко могут
быть найдены с помощью круга рис. 66.
3. Определение деформаций при чистом сдвиге. Для нахож-
дения деформаций при чистом сдвиге рассмотрим квадратную
до деформации призму ABCD (рис. 67). В этом случае главное
направление /, как показано выше, совпадает с диагональю АС,
главное направление /// — с диагональю BD.
В результате удлинения первой и укорочения второй диаго-
нали квадрат A BCD превращается в ромб A'B'C'D'. Прямые
Рис. 67.
углы перекашиваются, как и должно
быть при сдвиге. При этом
Z B'A'D' — -^ ~у,
где у — относительный сдвиг. Следова-
тельно,
Z В'А'О = у Z B'A'D' = А - -J-.
В то же время
tg Z В'А'О
ВО (1 + 83) . 1 + е3
ДО (1 -f- 81) 1 4- 81 ’
так как ВО =АО как полудиагонали квадрата.
Следовательно,
ter ( я _ Х') — 1 +ез
ё К 4 2 J 1 4-8! •
Но
81 = 4- bl — н Ь2 + 0Гз)1 = 4"(т +
83 = 4- Ьз — И bl + ОЪ)] = — 4-Ь + ^Т)
§ 121
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ
113
или, если для краткости ввести обозначение
то
Поэтому
или
1 + tg-T-tg -J-
1 — 8
1+в •
При малых деформациях
и, следовательно,
откуда
Если обозначить, как мы это сделали в п. 3 § 10,
2(1 +11)
то окончательно получим
(3.83)
(3.84)
(3.85)
Таким образом, мы получили результаты, непосредственно
вытекающие из выражений (3.73) и (3.74).
На основании (3.51), учитывая, что
<т 1 _h -h °з= т “Ь 0 — т = 0
в! = 8, 82 = [о2 — J1 (<Т1 + Оз)] =0, 83 = — 8,
получаем, что при сдвиге объемная деформация равна нулю:
е/ = 81 + 82 + 83 = 0, (3.86)
так что деформация сдвига сопровождается только изменением
формы тела.
114 ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ [ГЛ. 3
На основании (3.75), (3.80), (3.82) и (3.83) имеем
т _ т„ _ _ *2(1 +в) т уя ть 2 Е (3.87)
или, вследствие (3.84), -г2 Ча 20 ‘ (3.88)
Удельная работа, затрачиваемая на изменение объема:
7^ = 0, (3.89)
Удельная работа, затрачиваемая на изменение формы:
+ Т2 + 4т2> = -2 >+Ц)- = ТУа> (3.90)
т. е. вся работа, затрачиваемая на деформацию, расходуется на
изменение формы тела, как это и следовало ожидать.
§ 13. Применение теории чистого сдвига
к расчету заклепочных и болтовых соединений
Исследование деформации чистого сдвига имеет важное значение для тео-
ретических построений, связанных с рассмотрением кручения, изгиба и дру-
гих более сложных случаев деформации стержней. Практические же приме-
нения теории чистого сдвига связаны с рядом условностей, так как в элемен-
тах конструкций мы не имеем этой де-
формации в чистом виде. Как один из
примеров такого применения названной
теории, приведем расчет заклепочных и
болтовых соединений.
Рассматривая заклепочное или бол-
товое соединение (рис. 68), видим, что
часть стержня заклепки при приложе-
нии нагрузки подвергается перекосу.
Следовательно, если пренебрегать до-
полнительными усилиями, связанными с
изгибом и растяжением стержня заклеп-
ки или болта, можно рассматривать его
напряженное состояние как сдвиг. Од-
нако нет уверенности в том, что это —
основания при наличии в соединении не-
скольких заклепок или болтов считать, что усилия между отдельными за-
клепками распределяются равномерно. Тем не менее, если деформация сдвига
примет пластический характер, то напряжения в точках сечения заклепки,
достигнув тт, далее или совсем не будут возрастать, или их возрастание бу-
дет столь незначительным, что им в первом приближении можно будет пре-
небречь. В то же время при возрастании нагрузки деформирующиеся части
всех заклепок будут переходить в пластическое состояние. Таким образом,
предельное состояние заклепочного (или болтового) соединения можно оха-
рактеризовать приближенно следующим образом:
а) усилия, вызывающие сдвиг каждой из заклепок, одинаковы;
чистый сдвиг; точно так же нет
S 13]
РАСЧЕТ ЗАКЛЕПОЧНЫХ И БОЛТОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ
115
б) напряжения в сечении заклепки распределены равномерно и равны тт.
Тогда, если п — число заклепок или болтов в соединении, d — диаметр стерж-
ня заклепки или болта,
D _____ nd2
“ пред — п
я, следовательно,
nd2 т-г nd2
= п —-------г- = П —— Гт],
4 й] 4 1 J
или
nd2 <lT]-
4
(3.91)
Таким образом, указанные выше затруднения устраняются при расчете
заклепок по предельному состоянию.
Рис. 69.
В соединениях типа приведенных на рис. 69 сдвиг каждой заклепки про-
исходит в двух плоскостях. Поэтому такое соединение называется двухсрез-
ным. Очевидно, что его следует рассчитывать по формуле
Р
2и ——
4
<м.
(3.92)
Заметим, что при расчете нашего заклепочного соединения по предель-
ному состоянию пластические деформации отдельных заклепок оказываются
не исключенными. Поэтому, по существу, под [т] в (3.91) и (3.92) следует
разуметь не допускаемое напряжение, гарантирующее от пластической дефор-
мации, а допускаемое напряжение, обеспечивающее гарантию против разру-
шения, т. е.
Так как при сдвиге заклепок размеры сдвигающихся сечений не изме-
няются, и повороты этих сечений могут быть лишь незначительными, то мож-
но считать, что и при разрушении
31 === Он == тв,
3з = Оз = — тв.
Поэтому используя приближенную формулу (4.9), имеем
2тв == зк.
Но по формуле М. П. Марковца *)
зк = Ов (1 + 1>35фк),
') См. стр. 57.
116
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 3
и, следовательно, можно принять
Тв = (1 + 1.35фк), [т] = = -§ (1 + 1,35фк) = [<т] -Щ35^ .
Для заклепочной стали
™ 0,5.
Поэтому при расчете стальных заклепок можно принимать
1 4. 0 68
[т] = [а] +2 = 0,84 [а] « 0,8 [а],
как это и рекомендуется строительными нормами.
Помимо проверки прочности заклепок, необходимо убедиться и в том,
что не произойдет смятия краев заклепочных отверстий. Напряжения смятия
определяют по условной формуле
<TcM=Tdd'’ <3'93)
где 6 — наименьшая толщина склепываемых элементов, и поэтому при про-
верке на смятие краев заклепочных отверстий ставят требование:
<3.94)
причем принимают
[сГсм] « (1,5 4- 2,0) [<т].
Как видно из изложенного, использование теории чистого сдвига при
расчете заклепочных соединений связано с рядом допущений и условностей.
Не меиее условен и основанный на этой же теории расчет сварных швов,
поэтому на его рассмотрении не останавливаемся, отсылая для ознакомления
с ним к курсам металлических конструкций и деталей машин.
ГЛАВА 4
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
§ 14. Классические теории прочности
1. Введение. Изучая растяжение и сжатие, мы смогли свя-
зать разрушение стержней с величиной напряжения, действую-
щего в поперечных сечениях стержня, т. е. единственного отлич-
ного от нуля главного напряжения. Величину этого напряжения
в начальный момент развития пластической деформации и к на-
чалу разрушения можно найти чисто экспериментальным путем.
Таким образом, оценка прочности растянутых и сжатых стерж- .'
ней не представляет затруднений*). Это объясняется именно г
тем, что в этом случае мы имеем дело с одним ненулевым глав-
ным напряжением при однородном (одинаковом во всех точках),,
напряженном состоянии. В случае плоского и объемного напря-
женного состояний мы встречаемся с двумя или тремя не рав-
ными нулю главными напряжениями. Опыт показывает, что на-
чало (и развитие) пластической деформации и разрушения за-
висит не только от самих величин главных напряжений, но и от
соотношения между ними. Так, при оз < 0, си = а2 = 0, т. е. при
одноосном сжатии, образцы многих материалов разрушаются
при конечном значении аз, в то время как при си = <у2 = <?з < О,
т. е. при всестороннем равномерном сжатии, для большинства
этих же материалов (исключением являются лишь пористые ма-
териалы, такие, как пемза, керамзит, пенобетон) образец не
разрушается ни при какой из достижимых в опытах величине
*) Исключая случаи, когда существенна так называемая временная зави-
симость прочности. Дело в том, что при определенных условиях в механизме
деформации может принимать участие тепловое движение вещества (терми-
ческие флуктуации атомных частиц). С этим связаны такие эффекты, как
вязкость— зависимость картины процесса от скорости нагружения, и ползу-
честь— рост деформации тела со временем‘при неизменных внешних воздей-
ствиях. Когда такие эффекты существенны (для металлов это имеет место,
как правило, при повышенных температурах, а для многих неметаллических
тел они могут быть заметными и в обычных условиях), вопрос о прочности
не прост и для случая одноосного нагружения образцов. Подробнее об этом,
будет сказано в главе 13.
118
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 4
Оз. В случае же — —<т3, а2 — О, т. е. при чистом сдвиге, разру-
шение всегда происходит при напряжениях, значительно мень-
ших разрушающего значения а3 при сжатии.
Экспериментальное изучение разрушения связано со многими
затруднениями. Сильно осложняет дело влияние соотношений
между главными напряжениями, о котором только что шла речь.
Так как число возможных комбинаций этих соотношений беско-
нечно велико, чисто экспериментальное решение вопроса, в сущ-
ности, невозможно.
Проблема осложняется также тем, что сопротивление как
пластической деформации, так и разрушению весьма чувстви-
тельно к деталям микромолекулярного строения тела. Для ил-
люстрации можно сравнить, например, свойства обычных и
высокопрочных сталей. Как известно, последние получаются с
помощью легирования и специальной термообработки, определен-
ным образом изменяющих структуру стали. В общем эти изме-
нения не велики, и на упругие свойства практически не влияют —
модули упругости различных сортов стали отличаются (по край-
ней мере до первых остаточных деформаций) не более чем на
4—5%. Пределы же упругости могут отличаться в 10 и более
раз, и точно так же более чем на 1000% могут отличаться пре-
делы прочности.
Можно было бы привести много и других примеров, иллю-
стрирующих тот факт, что пластическая деформация' реального
тела существенным образом связана с неоднородностями его
микроструктуры. Следствием неоднородности микроструктуры
реальных тел является также возникновение микроскопических
пор и трещин уже на начальных стадиях процесса деформации.
В ходе деформирования число и размеры этих начальных мик-
роповреждений увеличиваются до тех пор, пока некоторые из
них не начинают сливаться друг с другом, подготавляя непо-
средственно наблюдаемое разрушение.
Детали этого процесса различны в разных случаях — для
образцов из разных материалов при разных условиях деформи-
рования, но в любом случае непосредственно наблюдаемое раз-
рушение есть результат некоторых изменений микроструктуры
тела. Другими словами, разрушение всегда представляет собой
процесс, а не мгновенно наступающее явление.
Понимание этого важного факта было достигнуто сравни-
тельно недавно, в результате исследований, первые из которых
относятся к 20-м годам текущего столетия. Предшествующая же
история проблемы насчитывает почти триста лет и ведет свое
начало еще от Г. Галилея, предпринявшего исторически пер-
вую из известных попыток сформулировать на основе непосред-
ственно наблюдаемых фактов достаточно универсальный кри-
терий разрушения. Позднее усилия в этом направлении пред-
§ 14]
КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ
119
принимали Э. Мариотт, LU. Кулон и другие видные ученые.
В итоге к началу новейшего периода в развитии вопроса было
известно несколько так называемых теорий прочности, основ-
ным содержанием каждой из которых в действительности яв-
ляется гипотеза о критерии пластичности или разрушения, спра-
ведливом по предположению в широком классе напряженных
состояний. Важнейшие из этих теорий мы сейчас и рассмотрим.
2. Первая и вторая теории прочности. В основе предположе-
ния, выдвинутого Г. Галилеем, лежали наблюдения над хрупким
разрушением твердых тел, хотя он сам хрупкого их характера
не оговаривал (отчетливо хрупкие и вязкие разрушения стали
различаться в недавнее время, когда стало понятным суще-
ственное различие их внутренней природы). Как уже упомина-
лось, хрупкое разрушение образца обычно происходит путем
отрыва — разделения образца на части, взаимно смещающиеся
по направлению нормали к разделяющей их поверхности. С уче-
том этого кажется естественным связать хрупкое разрушение
с наибольшим нормальным растягивающим напряжением. Точ-
нее рассматриваемое предположение, называемое обычно пер- I
вой теорией прочности, можно сформулировать так:
хрупкое разрушение в данной точке тела возможно лишь при
условии, что наибольшее нормальное напряжение в этой точке
является растягивающим напряжением, и происходит тогда,
когда это напряжение достигает определенной для данного ма-
териала величины.
Напомним, что экстремальное значение среди нормальных
напряжений на всевозможных площадках имеют главные на-
пряжения (см. рис. 55), и что мы их условились обозначать щ,
02, Нз, причем расставляя индексы 1, 2, 3 всегда так, чтобы было
Oi > о2 > Оз- Тем самым oi всегда — наибольшее нормальное
напряжение в данной точке и сформулированное предположе-
ние равносильно предположению о существовании такой зави-
сящей только от материала постоянной ор, что для любого на-
пряженного состояния о; еС ор, причем, когда
О1 = ор, (4.1)
(и только в этом случае) происходит разрушение. В соответ-
ствии с этим условием любой образец из данного материала,
в котором oi имеет то же значение, что и в растягиваемом
стержне, имеет одинаковую с ним прочность. Значение постоян-
ной Ор, очевидно, может быть установлено в опытах на одноос-
ное растяжение и совпадает с временным сопротивлением рас-
тяжению. Условию разрушения (4.1) соответствует условие
прочности вида
Oi < или Oi |ст]р (4.2>
120
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ, I
(k — коэффициент запаса, [<т]р — допускаемое напряжение, см.
пп. 1 и 2 § 1).
В роли критерия технической прочности (прочности мате-
риала, определяемой при испытании образцов обычных разме-
ров) первая теория прочности обладает довольно очевидным
недостатком: при сжатии образцов, когда нет растягивающих
напряжений, разрушение по этой теории невозможно. В действи-
тельности же хрупкие материалы (такие, как чугун, а также
стекла, бетон и другие естественные и искусственные камни),
как известно, разрушаются при сжатии. Поэтому иногда первую
теорию видоизменяют, связывая разрушение не с наибольшим
растягивающим напряжением, а с наибольшим по абсолютному
значению нормальным напряжением. При этом имеем, следо-
вательно, условие разрушения:
ofi = °rp (когда 04 >0) (4.3)
или
I Оз I = <*с
(когда <Т1 0, ибо в этом случае наибольшим по абсолютному
значению будет <т3) и, соответственно, следующие условия проч-
ности:
< ЫР, I о3 К Ис, (4-4)
где Ор — временное сопротивление растяжению, ос — временное
сопротивление сжатию, [сг]р — допускаемое напряжение на рас-
тяжение, [о]с — допускаемое напряжение на сжатие.
Надо заметить, однако, что в пользу такого видоизменения
первой теории прочности трудно привести какие-либо, хотя бы
чисто интуитивные, механические или физические соображения.
Более того, представляется совершенно не естественным связы-
вать разрушение с действием сжимающих напряжений. Поэтому
не удивительно, что такой подход не устраняет противоречий
опыту. Например, как уже говорилось, реальные тела (за исклю-
чением пористых) не разрушаются в условиях всестороннего
равномерного (гидростатического) сжатия: в этих условиях
в современной технике давления удается доводить до значений
порядка 106 атм, и никаких признаков разрушения при этом не
наблюдается. По условию же (4.3) и в этом случае тело раз-
рушается при давлении, равном ас.
В свете такого рода фактов представляется заслуживаю-
щим внимания предположение, что хрупкое разрушение обус-
ловливается не наибольшими растягивающими напряжениями,
а наибольшими относительными удлинениями. Учитывая, что
экстремальными среди относительных удлинений в данной точке
являются ei, 62, е3, причем ej ег е3, более точно это пред-
положение можно сформулировать так:
5 UJ
КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ
12Г
хрупкое разрушение в данной точке тела возможно только при
условии, что ei > 0 (т. е. что наибольшее относительное удли-
нение в этой точке есть действительно удлинение, а не укоро-
чение) и происходит тогда, когда ei достигает определенного для
данного материала критического значения.
Другими словами, существует такое положительное число ер,
что для любого состояния в данной точке тела ei ер, причем
разрушение происходит тогда, когда ei — ер. Это предположе-
ние, впервые достаточно отчетливо сформулированное Э. Ма-
риоттом в 1682 г., сейчас принято называть второй теорией
прочности. Как и область применения первой теории, примени-
мость второй теории заведомо ограничивается хрупкими мате-
риалами, для которых видимое разделение образца на части
обычно происходит при малой деформации (к числу таких ма-
териалов, как уже говорилось, относится чугун, бетон, стекла
и другие). Это дает основание присоединить к рассматривае-
мому предположению еще одно, а именно, положить, пренебре-
гая малыми при достаточно малых деформациях отклонениями
от закона Гука, что последний справедлив вплоть до момента
разрушения, так что вплоть до момента разрушения
ei = lCTi “ И (°2 + <*з)] • (4.5)
В случае простого растяжения о2 = °з = 0 и из (4.5) следует,
что ер = Ор/В (где Стр — временное сопротивление). Используя
это соотношение и еще раз соотношение (4.5) видим, что ус-
ловие ei = ер (условие разрушения по второй теории прочно-
сти) сводится к условию
причем
*1 — Н (Щ> + ^з) = Ор,
О1 — Н (<т2 + Оз) > о.
(4-6)
Этому условию разрушения соответствует следующее условие
прочности:
Oi — н(о2 + о3Х[о]р. (4.6')
Следует остерегаться довольно распространенной ошибки
в применении второй теории прочности, состоящей в том, что
условие разрушения (и условие прочности) применяют незави-
симо от знака числа щ — ц(ст2 + ^з). Это равносильно .допу-
щению, что отрыв при хрупком разрушении может произойти
не только в результате удлинений, но и вследствие укорочений
по направлению нормали к площадке отрыва. Такое допущение
совершенно искажает смысл второй теории. В частности, в рам-
ках этого допущения получается противоречие результатам
опытов при всестороннем равномерном сжатии, вполне анало-
гичное отмеченному выше при обсуждении соотношений (4.4)
122
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
(ГЛ. 4
и (4.5). С учетом же и второго из соотношений (4.6) для слу-
чая всестороннего равномерного сжатия получается верный ре-
зультат. Действительно, в этом случае oi = 02 = 03 < 0, и при
реальных значениях п (при п < 0,5) второе из условий (4‘6)
заведомо не выполняется, т. е. разрушение невозможно.
Вместе с тем, в отличие от первой теории прочности, по вто-
рой теории не во всех случаях сжатия разрушение невозможно.
Так, поскольку при простом (одноосном) сжатии cq = = 0,
оз < 0, второе условие (4.6) в этом случае выполняется, усло-
вие прочности принимает вид
И К I < МР.
а разрушение наступает тогда, когда ц| о31 = ор, поэтому ор —
предел прочности (временное сопротивление) при растяжении
связан с временным сопротивлением при сжатии соотношением
рас = Ор- (4.7)
Это соответствует известному факту, что для хрупких материа-
лов сопротивление разрушению при сжатии выше, чем при рас-
тяжении. Соответствует опыту и положение площадок отрыва.
Действительно, поскольку разрушение по второй теории связано
с удлинениями, в случае одноосного сжатия его причиной слу-
жит расширение в поперечном к оси сжатия образца направле-
нии, и потому отрыв (разделение образца на части) должен
происходить по площадкам, нормальным к этому направлению,
т. е. параллельным оси сжатия. Это подтверждается видом раз-
рушения в опытах по сжатию образцов со смазанными торцами
(смазка устраняет трение, из-за которого напряженное состоя-
ние образца может заметно отклоняться от соответствующего
одноосному сжатию).
Можно было бы привести и другие примеры качественного
соответствия второй теории действительности в тех случаях,
когда разрушение не сопровождается заметной пластической де-
формацией (имеет хрупкий характер). В количественном отно-
шении эти выводы часто неудовлетворительны. Известно, на-
пример, что значение п для реальных материалов лежит обычно
в интервале 0,15—0,35 (см. таблицу 2 в § 1 главы 2). Для хруп-
ких материалов значение п часто бывает близко к левому концу
этого интервала, но лишь в исключительных случаях п < 0,15.
Поэтому согласно (4.7) значение ор тоже должно быть, как пра-
вило, больше 0,15<тс. Однако для многих хрупких материалов
временное сопротивление растяжению составляет менее 0,10сгс.
Наконец, не следует упускать из вида, что как первая, так
и вторая теории заведомо не применимы в тех случаях, когда
разрушение является вязким, т. е. разделению образца на части
предшествует значительная пластическая деформация.
§ U]
КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ
123
3. Третья и четвертая теории прочности. При изучении тел,
способных испытывать значительные пластические деформации
(важнейшим примером таких тел являются металлические тела),
еще до вопроса о разрушении возникают вопросы, касающиеся
пластической деформации, прежде всего, вопрос о критерии ее
возникновения. Внешне этот вопрос сходен с вопросом о крите-
рии разрушения. В частности, и здесь имеют значение не только
сами величины главных напряжений, но и отношения между
ними (см. п. 1 в этом параграфе). Сходство, .однако, исчезает,
как только мы обращаемся к причинам: в то время, как основ-
ным механизмом хрупкого разрушения является отрыв, пласти-
ческая деформация реальных тел, как уже упоминалось, обус-
ловливается необратимыми относительными сдвигами элементов
структуры тела.
Определяющая роль сдвигов (и потому — касательных, а не
нормальных напряжений) в механизме пластической деформа-
ции была понята еще в прошлом веке: исторически первую из
известных гипотез о том, когда при произвольном напряженном
состоянии образец начинает испытывать пластические дефор-
мации, сформулировал в 1868 г. Треска. Именно, рассматривая
результаты своих опытов по продавливанию металлов через от-
верстия, Треска предположил, что
пластическая деформация возникает тогда, когда максималь-
ное касательное напряжение достигает определенного для дан-
ного материала критического значения (какими бы ни были
другие детали напряженного состояния в рассматриваемой точке
тела или в образце).
В науке о сопротивлении материалов эту гипотезу обычно
называют третьей теорией прочности.
Напомним, что максимальное касательное напряжение всегда
равно полуразности наибольшего и наименьшего главных на-
пряжений (см. § 11 в главе 3):
= (4.8)
В случае простого растяжения ттах = di/2, пластические дефор-
мации в этом случае начинают развиваться, когда достигается
предел текучести и, следовательно, когда тШах = от/2, а при
произвольном напряженном состоянии, на основании гипотезы,—
когда напряжение (4.8) достигает этого критического значения,
т. е. когда
о, — ц3 = огт. (4.9)
Для некоторых конструкций нежелательно появление уже са-
мых- малых остаточных деформаций.' При расчете этих кон-
струкций опасным состоянием нужно считать такое, когда хотя
124
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
(ГЛ. 4
бы в некоторых точках тела выполняется условие пластичности,
т. е. при использовании третьей теории прочности, — условие
(4.9). Условие прочности при этом имеет вид
или
Ой — <?з < И-
(4.10)
Таким образом, при проверке прочности по третьей теории сле-
дует применять неравенства (4.10), причем предполагается, что
пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы.
В четвертой теории прочности тоже выдвигается условие
пластичности, причем близкое к только что рассматривавше-
муся. Дело в том, что вследствие симметрии тензора напряже-
ний (см. п. 6 в § 11 главы 6) для любого напряженного состоя-
ния
Токт
тах>
\ 3
ттах^ 2у2
(4.П)
где Токт — касательное напряжение на октаэдрической (равно-
наклонной к главным осям) площадке, в соответствии с (3.45)
Токт = -5- V(O1 — <Т2)2 + (<й> — Оз)2 + (Оз — <й)2. (4.12)
О
Как видно из соотношений (4.11), величина
з
2V2 Т°кт
всегда
близка к Тщах- Учитывая это, Р. Мизес предложил в 1913 г.
условие пластичности, 'в соответствии с которым определяющую
роль играет не rmax, а
з
2V2 Т°кт
или, что то же самое, г0Кт
(ибо
постоянный множитель в формулировке критерия пластичности
всегда можно перебросить в правую часть). Другими словами,
по предположению Мизеса,
пластическая деформация возникает тогда, когда т0Кт до-
стигает определенного для данного материала критического зна-
чения.
Эту гипотезу обычно называют четвертой теорией прочности.
В случае простого растяжения, когда <т2 = оз = 0 и т0КТ =
а1> пластические деформации начинают развиваться при
V2 „
СГ1 = <ут и, следовательно, при токт = —от. Но на основании
О
рассматриваемой гипотезы критическое значение величины гокт
не зависит от вида напряженного состояния и поэтому пласти-
ческие деформации и в общем случае начинают развиваться
§ 141 КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ 125
V2
только тогда, когда токт = —— сгт. Вследствие же ,(4.12) это ус-
ловие равносильно условию
д/ у [(а1 — °2)2 + (^2 — °з)2 + (<Т3 — <Т1)2] = ат. (4.13)
Как уже говорилось, Р. Мизес исходил из близости этого
условия пластичности к условию Треска (4.9): последнее он
считал точным, а условие (4.13) — приближенным условием пла-
стичности, возможным именно вследствие его близости к точ-
ному. Позднее, однако, выяснилось, что условие Мизеса допу-
скает независимое обоснование.
Так, Г. Генки в 1924 г. предложил энергетическое обоснова-
ние. Одним из исходных пунктов его рассуждений был тот факт,
что пластическая деформация имеет сдвиговую природу. Кроме
того, он считал, что при упруго-пластическом деформировании
тела вклад в энергию деформации дает только та часть работы
действующих на тело сил, которая связана с изменением упру-
гой деформации (и, тем самым, что та часть упомянутой ра-
боты, которая связана с изменением пластической составляю-
щей деформации, полностью диссипирует, т. е. превращается
в тепло, рассеивающееся в окружающей тело среде). Отсюда
следует, в частности, что выражение
Гуд = “ аз)2 + (°2 ~ аз)2 + — oi)2] (4.14)
для Гуд — удельной энергии формоизменения, полученное в
главе 3 в предположении справедливости закона Гука, спра-
ведливо и при упруго-пластическом деформировании тела. Еще
один вывод состоит в том, что пластические деформации начи-
нают развиваться лишь по достижении энергией Гуд некоторого
предела, одного и того же для всех напряженных состояний.
В случае простого растяжения
указанный предел достигается при щ = от, т. е. равен Г* =
1 I уя
= 2 —g2- Отсюда и из (4.14) вытекает условие пластично-
сти, в точности совпадающее с (4.13).
Возможен и другой подход. В твердом теле, представляющем
собой монокристалл, пластическая деформация происходит пу-
тем взаимного необратимого смещения блоков кристалла, на
которые его делит система параллельных кристаллографических
плоскостей. Технические металлы, как известно, имеют не мо-
нокристаллическую структуру, а представляют собой поликри-
126 КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. <
сталлы, т. е. состоят из большого числа маленьких (с разме-
рами обычно порядка долей микрона) кристаллов, прочно свя-
занных в единое тело. Каждый кристаллик («зерно») поликри-
сталла имеет свою кристаллическую решетку, так что ориента-
ция последней меняется с переходом от зерна к зерну, причем
меняется случайным образом. Поэтому случайным образом ме-
няется от зерна к зерну и ориентация «плоскостей скольжения»
(т. е. плоскостей, по которым происходят необратимые сдвиги
при пластической деформации). Это дает основание принять
точку зрения статистики, а именно, рассматривая поликристалл
как упруго-пластическое сплошное тело, вычислять условие пла-
стичности в предположении, что при любом напряженном со-
стоянии пластические сдвиги вэтом теле возникают по различ-
ным образом ориентированным площадкам, ориентация кото-
рых подчиняется случайному закону. При одной из основных
форм этого закона такой подход приводит к условию пластич-
ности вида (4.13). Это показал в 1948 г. В. В. Новожилов. Го-
воря точнее, В. В. Новожилов показал, что т0КТ с точностью до
постоянного множителя представляет собой среднее квадратич-
ное касательных напряжений по различным образом ориентиро-
ванным площадкам (при равномерном распределении послед-
них). Отсюда же с учетом соотношения (4.12) сразу вытекает
возможность отмеченной статистической интерпретации условия
пластичности (4.13).
Таким образом', условие пластичности (4.13) допускает раз-
личные истолкования. В тех случаях, когда для материала кон-
струкции можно считать справедливым это условие пластич-
ности, а недопустимы даже самые малые остаточные деформа-
ции конструкции, требуемый коэффициент запаса обеспечи-
вается при условии, что всюду в теле
д/ j — о^)2 + (<^2 — ^з)2 + (<*3 — <*1)2] < .
или
д/j [(<*1 — ff2)2 + (<*2 — Сз)2 + (<*3 —ffi)2] < И- (4.15)
Напомним, что ат обозначает предел текучести при простом
растяжении или простом сжатии (как и условие Треска, рас-
сматриваемое сейчас условие пластичности содержит в себе
предположение, что пределы текучести при растяжении и сжа-
тии одинаковы). Если тт — предел текучести при чистом сдвиге,,
то на основании условия Мизеса
тт = — 0,576<тт.. (4.16)
§ 15] ЭМПИРИЧЕСКИЕ И ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 127
Действительно, при чистом сдвиге (см. § 12 главы 3) d =
=— = т, 02 = 0; с учетом этого из (4.13) имеем Зт^ = о;
и, далее, (4.16). Условие Треска дает несколько иное соотноше-
ние между пределом текучести при растяжении и чистом сдвиге:
полагая в (4.9) Oi = —оз = тт, получим
От = у От- (4-17)
Разница между соотношениями (4.16) и (4.17) составляет
— 16%. Это наибольшее различие между условиями пластич-
ности Мизеса и Треска; пределы текучести нри других напря-
женных состояниях по этим условиям отличаются, вообще го-
воря, меньше. По этой причине выбор того или иного из этих
двух близких условий пластичности иногда считают вопросом
удобства, т. е. простоты при проведении расчетов прочности
в конкретных задачах. Однако не следует упуск-ать из вида, что
различие между этими условиями пластичности все же не столь
мало, чтобы быть сравнимым с погрешностями эксперимента.
Многочисленные из известных к настоящему времени экспери-
ментальные данные показывают, что для обычных технических
металлов и сплавов в состоянии «до первой деформации» (или
после хорошего отжига, когда начальные напряжения мини-
мальны) чаще всего более близко к действительности условие
(4.13). Есть данные, в соответствии с которыми для высоко-
прочных сталей и специальных сплавов в ряде случаев более
точным является условие Треска. В некоторых случаях для та-
ких сплавов могут оказаться недостаточно точными оба эти
условия (см. ниже в конце § 15).
§ 15. Эмпирические и полуэмпирические критерии
пластичности и разрушения
Изложенные выше классические теории прочности нетрудно
обобщить. В самом деле, в каждой из этих теорий предпола-
гается существование некоторых таких функции главных на-
пряжений f(oi, <т2, Оз) и постоянной с > О, что для любого воз-
можного состояния образца
f(ob о2> о3)<с, (4.18)
причем, когда
f (oi, о2, о3) = с, (4.19)
(и только при этом условии), достигается опасное состояние —
образец разрушается или, в случае двух последних теорий, ста-
новится возможной пластическая его деформация. Если поло-
жить с=ор, а функцию f определить условием, что f(oi, о2, Оз) =
128
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 4
— oi (при любых ан аг, оз), то соотношение (4.19) совпадает
с (4.1), т. е. такое задание функции f(oi, о2, о3) и постоянной с
приводит к первой теории прочности. Если положить с — ор и
определить функцию /(оь о2, Оз) соотношением
f (04, <*2, <Тз) = Оз — ц (о2 + <Тз), 0-20)
то получим вторую теорию прочности (см. (4.6)). Положив с —
— ор и f(ob о2, Оз) = oi — оз, получим условие пластичности
(4.9), т. е. третью теорию, а при с — от и
f (Об, <Т2, О3) = (О] — О2)2 + (о2 — О3)2 + (О3 — О])2
— условие Мизеса (четвертую теорию прочности).
Надо заметить, что соотношения (4.18), (4.19) заключают
в себе предположение об изотропии рассматриваемого мате-
риала. Для анизотропного материала функция, фигурирующая
в (4.18) и (4.19), должна зависеть не только от значений глав-
ных напряжений, но и от ориентации в материале главных осей.
Но даже в рамках условия об изотропии материала возмож-
ности рассматриваемого подхода не ограничиваются четырьмя
перечисленными теориями прочности: путем подходящей кон-
кретизации функции /(oi, о2, а3) из (4.18), (4.19) можно из-
влечь и другие известные в настоящее время теории прочности
для изотропных тел. Однако вместо того, чтобы извлекать из
соотношений (4.18), (4.19) известные теории прочности, можно
попытаться установить вид функции f (01, о2, о3) непосредственно
на основе экспериментальных данных.
Вообразим трехмерное пространство, отнесенное к прямо-
угольным координатам, на осях которых откладываются значе-
ния oi, а2, 03. Условие (4.18) выделяет в этом пространстве
(«пространстве напряжений») область — геометрическое место
точек, для которых выполняется (4.18). Уравнению (4.19) со-
ответствует поверхность, служащая границей этой области. Для
экспериментального определения этой поверхности, очевидно,
нужно определить достаточно много ее точек. Последнее же
в принципе можно сделать, например, с помощью нагружения
образцов «по лучам».
Именно, допустим, что имеется достаточно много одинаковых
образцов исследуемого материала. Пусть к каждому образцу
внешние силы прикладываются таким образом, что напряжен-
ное его состояние можно считать однородным (одинаковым во
всех точках), и изменяются так, что отношения величин оь 02, о3
в ходе процесса остаются фиксированными. Тогда траекторией
процесса в пространстве напряжений будет луч, исходящий из
точки oi = оз = оз = 0. Моменту разрушения образца (или мо-
менту достижения предела текучести) соответствует точка пере-
§ 15] ЭМПИРИЧЕСКИЕ И ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ 129
сечения луча с поверхностью f (оъ <т2, <Лз) = с. Поэтому представ-
ляется, что, располагая достаточно большим числом образцов
и нагружая каждый из них по своему лучу, можно эксперимен-
тально" определить достаточно много точек упомянутой поверх-
ности.
На деле всякая попытка реализовать эту программу встре-
чается с весьма серьезными препятствиями. Так, при осевом
растяжении достаточно длинного цилиндрического или призма-
тического образца напряженное состояние не слишком близко
от концов образца можно считать (макроскопически) однород-
ным. Но уже в случае сжатия вопрос сильно усложняется. Дело
в том, что испытывать на сжатие длинные образцы трудно из-за
их склонности к выпучиванию, а при сжатии коротких призм
или цилиндров влияние способа приложения нагрузки сказы-
вается, в сущности, по всему образцу (даже при испытаниях
со смазкой торцов и другими предосторожностями). За немно-
гими исключениями затруднения такого рода возрастают с пе-
реходом к опытам при сложном напряженном состоянии, а при
изучении объемных напряженных состояний становятся часто
непреодолимыми — достаточно чисто осуществить в опытах
объемное напряженное состояние любого наперед заданного
вида до сих пор не удается. В результате вместо конкретизации
соотношений (4.18), (4.19) на основе экспериментальных дан-
ных приходится выбирать промежуточный путь, когда вид функ-
ции, входящей в эти соотношения, частью устанавливается с по-
мощью теоретических соображений и гипотез, а частью — с по/-
мощью экспериментальных данных. В роли первых часто ис-
пользуются разного рода обобщения классических теорий проч-
ности, изложенных в предыдущем параграфе.
Напомним, например, что когда функция f определяется ус-
ловием (4.20), соотношения (4.18), (4.19) дают вторую теорию
прочности. Простейшее обобщение последней получается, если
положить, что в (4.18), (4.19) с = ор и
f (ощ с2, <*з) = О] — В (<т2 + <?з)> (4.21)
где В теперь — некоторая постоянная, подлежащая определе-
нию из опыта (при В — ц, очевидно, (4.21) сводится к (4.20)).
Условие разрушения (4.19) при этом принимает вид
аг —В (<г2 + <г3) = о-р. (4.22)
В случае простого растяжения, когда <т2 — сгз = 0, отсюда, по-
прежнему, имеем ci — ор, как и должно быть (ибо ор обозна-
чает временное сопротивление при простом растяжении). В слу-
чае же простого сжатия оч = о2 = 0, о3 < 0 и, поскольку в мо-
мент разрушения |о3| = <Jc, из (4.22)
Вос = о-р, (4.23)
5 В. А, Гастев
130
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 4
где Ос — временное сопротивление при сжатии. Таким образом,
в отличие от классической второй теории, по которой отноше-
ние ор к Ос всегда равно коэффициенту Пуассона (см. (4.7)),
теперь это отношение определяется непосредственно из опыта.
Другим примером может служить гипотеза, ведущая свое
начало еще от Ш. Кулона и с полной отчетливостью сформули-
рованная в прошлом веке О. Мором. В соответствии с этой ги-
потезой разрушение происходит путем сдвига по площадкам,
на которых действует тшах, но, в отличие от предполагаемого
в третьей теории, критическое значение тшах не постоянная ма-
териала, а зависит от величины действующего на упомянутой
площадке нормального напряжения. Эта гипотеза и разные ее
обобщения широко используются в применении к горным по-
родам.
Напомним, что
Ттах = £Чр-, (4.24)
и что нормальное напряжение на той площадке, на которой дей-
ствует Ттах, равно
gj + g3
2
Это видно из рассмотрения кругов Мора (см. рис. 55). Поэтому
соотношения (4.18), (4.19) дадут гипотезу Мора, если функ-
цию f(oi, ог, Оз) определить соотношением вида
f (оь о2, о3) = ттах + ф (о! + о3), (4.25)
где ф(^)—некоторая функция от g = щ + о3. В самом деле,
в силу (4.25) условие разрушения (4.19) конкретизируется так:
Ртах + Ф (О1 + О3) = с- (4.26)
Если функция ф не сводится к тождественно постоянной, то при
разных значениях величины
условие (4.26) удовлетворяется при разных значениях ттах,
т. е. критическое значение тшах зависит от величины (4.27) нор-
мального напряжения на площадке, по которой действует (4.27),
что и предполагается гипотезой Мора.
Функция ф, входящая в соотношения (4.25), (4.26), как и
значение постоянной с, должна определяться из опыта. Допу-
стим, что имеется достаточно много образцов материала, для
которого есть основание считать справедливой гипотезу Мора.
Пусть каждый образец нагружается внешними силами так, что
полусумма (4.27), т. е. положение центра наибольшего из кру-
§ 15]
ЭМПИРИЧЕСКИЕ И ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
131
гов на диаграмме Мора (рис. 55), не изменяется, а значение
tmax (радиус этого круга) монотонно растет в ходе процесса.
Моменту разрушения соответствует значение ттах, при котором
должно выполняться условие (4.26). Осуществляя такое нагру-
жение образцов со своим для каждого образца или группы
образцов значением величины (4.27), получим серию упомяну-
тых предельных кругов на плоскости в координатах сгп, тп- Оги-
бающая этих кругов (рис. 70) и должна представлять график
уравнения (4.26) в этих координатах. Поэтому, когда упомя-
нутая огибающая построена, можно считать известной и функ-
цию ф в (4.26).
В действительности, как и реализация упоминавшихся опы-
тов с нагружением «по лучам» в пространстве напряжений, осу-
ществление этой экспериментальной программы для конкрети-
зации соотношения (4.26) связано с большими трудностями.
Поэтому геометрия огибающих обычно во многом задается за-
ранее.
Простейшим является предположение, что эти огибающие
суть прямые линии (рис. 71). Это равносильно предположению,
что ф в (4.26) — линейная функция, так что (4.26) сводится
к соотношению вида
’'max + a (<Tj + <т3) = С, (4.28)
в котором а — постоянный множитель. Постоянные а и с опре-
деляют из двух экспериментов, например, из опыта с простым
растяжением и чистым сдвигом образцов или с простым их
растяжением и сжатием. Учитывая, что в случае простого рас-
тяжения Ттах = СГ1/2, <Т2 = ОЗ = 0, а ПрИ ЧИСТОМ сдвиге Ттах —
= <Т1 = — оз, а2 — 0 (§ 12, глава 3), для предельного состоя-
ния образца в этих случаях из (4.28) имеем соответственно
-у + аор = с, тр = с,
б*
132
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 4
откуда
2тр — ар
а =....2ар ’ с = тр>
где <Др и тр — временное сопротивление при растяжении и при
чистом сдвиге. Внося эти значения постоянных в (4.28) и учи-
тывая (4.24), получим
2td — а0
<71— <7.з Н------(<7] + <73) = 2тр. (4.29)
ир
Когда постоянные в (4.28) определяются из опытов на про-
стое растяжение и простое сжатие, подобным образом полу-
чается
- °* - • <4-3°)
Если временное сопротивление при растяжении и сжатии оди-
наково: <Тр = ос, то это условие сводится к условию
<71 —<73 = <7р, (4.31)
аналогичному критическому условию по третьей теории проч-
ности (см. (4.9)). Разница состоит только в том, что, поскольку
в третьей теории выдвигается критерий пластичности, справа
в (4.9) фигурирует предел текучести, а в правой части (4.31) —
временное сопротивление.
В классические теории прочности входит один эксперимен-
тально определяемый параметр, в соотношение (4.28) — два та-
ких параметра. Большей точности можно добиться, положив,
что ф в (4.26)— степенная функция, т. е.
Ф (<7i + <73) = a (cfj + <73)га,
где а и п — постоянные (причем п не обязательно целое число).
Соотношение (4.26) при этом принимает вид
-Гтах + а (<71 + <73)" == С
и содержит три экспериментально определяемых параметра —
числа а, с, п, а поэтому может быть лучше согласована с опы-
том, чем соотношение (4.28).
В соотношения (4.25), (4.26) и все их конкретизации —
(4.28), (4.29) и так далее — входят только два из трех главных
напряжений. По этой причине теорию Мора часто считают
пригодной лишь к случаю так называемой плоской деформации,
.да и то с некоторыми оговорками. Однако из общих формул
(4.18), (4.19) нетрудно извлечь критерий прочности такого же
типа, как и даваемые теорией Мора, но содержащие уже все
три главных напряжения.
§ 151
ЭМПИРИЧЕСКИЕ И ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
133
Пусть оСр означает следующий инвариант:
_ _ <Т1 + &2 + <Тз
^ср — з
(4.32)
(среднее нормальное напряжение) и пусть функция f опреде-
ляется так:
f (оъ °2> сг3) = ттах + ф (<тср), (4.33)
где <р(оСр)—некоторая функция указанного аргумента, под-
лежащая определению из опыта. Условие (4.19) примет вид
Ттах + <Р (<*ср) = С- (4-34)
Это можно рассматривать как обобщение предельного условия по
третьей теории прочности, позволяющее учесть влияние среднего
нормального напряжения на критическое значение ттах. Для
большинства металлов и многих сплавов это влияние пренебре-
жимо мало, но для некоторых метастабильных сплавов оно мо-
жет быть заметным. Это связано со спецификой кристаллической
решетки этих сплавов, обусловливающей возможность относи-
тельно значительных остаточных изменений объема образца при
пластическом деформировании и в результате — заметное влия-
ние оСр на критическое значение ттах. Подобно соотношению
(4.9) в других случаях, в применении к этим металлам и спла-
вам условие (4.34) используется обычно в качестве условия
пластичности. Роль второго члена в левой части (4.34) в этих
случаях почти всегда сравнительно невелика — этот член играет
роль «поправочного» члена, и это дает основание ограничиться
линейной аппроксимацией функции <р в (4.34). Тогда
Тщах “Ь &<гсР = С, (4.35)
где b и с — постоянные, определяемые из опыта. Так, учиты-
вая, что при простом растяжении ттах = <Т1/2 и согласно (4.32)
оср = cTj/З, а при чистом сдвиге <тср = 0, нетрудно видеть, что
с = тт, (4.36)
где тт, От — пределы текучести при чистом сдвиге и простом
растяжении соответственно.
Но подлинной областью применимости условий текучести и
разрушения вида (4.34) (как и условия Мора и других крите-
риев пластичности или разрушения, в которых предельное со-
противление сдвигу зависит от нормальных напряжений) дол-
жны быть горные породы, бетон и тому подобные материалы.
Дело в том, что для таких материалов характерна весьма су-
щественная зависимость предельного сопротивления сдвигу от
134
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
1ГЛ. «
величины давления по площадкам сдвига (и, тем самым, от ин-
варианта Стер)- Этот факт, вообще известный со времен Ш. Ку-
лона, с полной отчетливостью проявился в опытах Р. Бейкера и
Т. Кармана, осуществленных в начале текущего столетия.
В этих опытах испытывались образцы из мрамора — типич-
ного представителя материалов, обычно относимых к категории
хрупких. Цилиндрические образцы из мрамора подвергались
простому растяжению в обычных лабораторных условиях и
в условиях, когда на напряженное состояние от растягивающих
сил накладывается большое гидростатическое давление. Для
создания последнего образец, с помощью подходящей мягкой
оболочки защищенный от проникновения внутрь его влаги, по-
мещается в цилиндр гидростатического пресса (растягивающие
силы прикладываются к образцу с помощью захватов, выводи-
мых через специальные сальники в торцах цилиндра). Напря-
жения в образце при этом складываются из напряжений от
растягивающих сил и давления:
+ о2 = °з = Р < 0. (4.37)
При растяжении в обычных условиях, когда р ~ 0 (точнее, по-
рядка 1 атм), образцы из мрамора испытывают типично хруп-
кое разрушение — разрушаются при деформациях «0,01 % (и
о~10—15 к.Г1см2). В условиях же достаточно большого дав-
ления р (когда \р | порядка нескольких тысяч кГ/см2) те же об-
разцы из мрамора способны испытывать растяжение е остаточ-
ным удлинением до 20% без видимых признаков разрушения.
Другими словами, при растяжении в этих условиях образцы из
мрамора способны пластически течь так же, как и образцы из
мягкой стали.
Впоследствии такие опыты ставились и многими другими ис-
следователями. Оказалось, что при нагружении в условиях до-
статочно высокого гидростатического давления большинство
хрупких с обычной точки зрения материалов (исключение со-
ставляют пористые материалы) способно испытывать большие
пластические деформации. Это особенно отчетливо иллюстри-
рует условность понятий «хрупкий материал» и «пластичный
материал», вместо которых следовало бы говорить о хрупких
и пластических состояниях материала.
Подчеркнем также, что Tmax и <тор — независимые инва-
рианты напряженного состояния. В частности, как можно ви-
деть из их определения (4.24), (4.32) и соотношений (4.37),
изменение давления р не влияет на величину ттах, величина
же <тср при этом изменяется. Поэтому для того, чтобы критерий
прочности мог отражать отмеченный переход материала из
хрупкого в пластичное состояние с изменением давления, нужно,
§ 16] ПРОЦЕСС РАЗРУШЕНИЯ 135
чтобы наряду с ттах (или гОкт) в него входил инвариант <гср.
Один из наиболее простых вариантов такого критерия и пред-
ставляет собой условие (4.37).
§ 16. Процесс разрушения
При использовании теорий прочности, о которых шла речь
в предыдущих параграфах, не следует упускать из вида, что
любая из них обладает в принципе ограниченными возможно-
стями. Действительно, как уже неоднократно подчеркивалось,
разрушение реального тела представляет собой процесс, обычно
начинающийся задолго до видимого разделения тела на части.
С точки зрения же любой из классических теорий прочности
(§ 14), как и вообще с точки зрения любой теории, которую
можно извлечь из соотношений (4.18), (4.19), дело обстоит
иначе. Так, в соответствии с любой из этих теорий процесс на-
гружения и разгрузки тела, в котором условие (4.19) не вы-
полняется, т. е. функция f(oi, Ог, оз) не достигает критического
значения, не оставляет в теле никаких следов (поскольку f—
функция только напряжений и после разгрузки образца прини-
мает начальное значение). Никаких следов не остается после
разгрузки при любой близости значения f к критическому в ходе
процесса, если только критическое значение не достигается. Но
достаточно, чтобы критическое значение было достигнуто, и
сразу происходит разрушение. Короче говоря, в соответствии
с этими теориями разрушение наступает мгновенно, а не яв-
ляется процессом.
В реальном теле этот процесс начинается с изменений на
микроскопическом или субмикроскопическом уровне. В телах
разных типов эти изменения могут иметь разный характер. Так,
в металлах изменения микроструктуры, влекущие разрушение,
тесно связаны с изменениями в процессе пластической дефор-
мации. Дело в том, что для металлического моно- или поли-
кристалла, полученного медленным охлаждением из расплава,
характерна малая величина сопротивления необратимому сдвигу
по сравнению с сопротивлением отрыву по любой площадке.
Поэтому в полном смысле хрупкое разрушение такого тела воз-
можно только при всестороннем равномерном растяжении, т. е.
таком напряженном состоянии, когда по любой площадке нет
касательных напряжений, а нормальные напряжения суть на-
пряжения растягивающие. В других случаях разрушению пред-
шествует заметная пластическая деформация, т. е. необратимые
взаимные сдвиги слоев материала. В ходе этих сдвигов микро-
скопические дефекты кристаллической структуры группируются
так, что сами сдвиги все более и более затрудняются, так что,
по крайней мере в некоторых микрообъемах, сопротивление
136
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 4
сдвигу становится сравнимым с сопротивлением отрыву. Это
приводит к появлению сети микропор и микротрещин. Если
тело продолжает подвергаться возрастающим внешним воздей-
ствиям, то наступает момент, когда размеры и плотность микро-
трещин становятся такими, при которых возможно их объеди-
нение в одну или несколько больших («магистральных») тре-
щин, разделяющих тело на части.
В стеклах, горных породах и других обычно хрупких телах
разрушение развивается несколько иначе. Система микроскопи-
ческих трещин и пор здесь обычно имеется уже в начальном
состоянии. По ряду причин даже при относительно небольшой
скорости роста внешних воздействий размеры и плотность мик-
роповреждений быстро растут и в результате быстро наступает
макроразрушение. Но и здесь, подчеркнем, последнее предва-
ряется определенными изменениями на микроуровне.
Особенно отчетливо существенная роль изменений на микро-
уровне проявляется в циклических процессах. Допустим, что
действующие на образец внешние силы изменяются во времени
по периодическому закону, так что периодически изменяются
и напряжения в образце. С точки зрения любой из классических
теорий прочности, если в точке максимума в цикле предельное
условие (условие (4.19)) не выполняется, в конце цикла обра-
зец приходит в то же состояние, в каком был и в начале, так
что каким бы большим ни было число циклов, разрушения не
произойдет. Опыт, однако, показывает другое, а именно, даже
при сравнительно небольшом максимуме напряжения в цикле
(меньшем предела текучести и тем более временного сопротив-
ления) образец при осуществлении достаточно большого числа
циклов разрушается. Очевидно, объяснить это явление (обычно,
называемое «усталостью» материала) можно, лишь допустив,
что в каждом цикле в образце происходят некоторые необрати-
мые изменения микроструктуры, накапливающиеся с ростом
числа циклов.
§ 17. Накопление повреждений
Из сказанного видно, что для того, чтобы усовершенство-
вать теории прочности классического типа, в них наряду с на-
пряжениями нужно ввести величины и другого типа. Эти вели-
чины должны представлять плотности микротрещин и других
дефектов, влияющих на развитие разрушения. Имеет смысл не-
сколько изменить и саму общую схему введения условия проч-
ности, изложенную в начале § 15. Именно, разделив обе части
соотношения (4.18) на с и обозначив отношение ? ~
через со, получим
0<ю<1. (4.38)
5 18]
МЕХАНИКА ТРЕЩИН
137
Если теперь подчинить « подходящему уравнению, то в нашем
распоряжении окажется параметр, который естественно назвать
параметром повреждений, способный меняться от нулевого зна-
чения в начальном состоянии тела, когда никаких микроповре-
ждений в теле нет, до значения и = 1, соответствующего наи-
высшему возможному уровню микроповреждений (уровню, при
котором возможно появление магистральных трещин). Чтобы
разрушение действительно представляло собой процесс, а не
мгновенно наступающий акт, функцией напряжений, плотностей
дефектов и тохму подобных величин должна быть не сахма вели-
чина и, а ее скорость:
~ = F(ol, о3, ..(4.39)
где многоточие подчеркивает тот факт, что F — функция не
одних только напряжений. Выяснение характера этих дополни-
тельных аргументов функции F является не простой задачей.
Детализация соотношения (4.39) связана с решением и ряда
других трудных вопросов. Однако во многих случаях эти труд-
ности можно обойти, отказавшись от изучения начальной ста-
дии процесса разрушения.
Действительно, на некотором этапе этого процесса, как уже
упоминалось, микроповреждения объединяются в макротре-
щины. Можно отказаться от детального изучения возникновения
и развития сети микроповреждений (распределение которых по
телу должно представлять поле параметра <о, фигурирующего
в (4.39)), если хотя бы ориентировочно известны начальные
размеры и положение макротрещин. А это во многих случаях
и в самом деле можно указать довольно точно без детального
анализа начальной стадии процесса разрушения (существенное
значение имеет тот факт, что между микро- и макротрещинами
нет резкой границы; часто разрывы в кристаллической решетке
с размерами порядка десятков ангстрем оказывается возмож-
ныхм трактовать «а языке механики сплошной среды). В резуль-
тате задача о разрушении тела сводится к задаче о равновесии
(или движении) тела с трещинами, определению сопротивления
распространению в теле заданной системы трещин и тому по-
добным вопросам, служащим предметом механики тела с тре-
щинами или, короче, механики трещин.
§ 18. Механика трещин
Изучение трещин в деформируемом твердом теле имеет на-
чалом работы Гриффитса, появившиеся в начале 20-х годов те-
кущего века. В этих работах речь шла в основном о прочности
таких типично хрупких тел, как стекла. Гриффитс, во-первых,
138
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. <
Рис, 72.
выдвинул гипотезу о причинах расхождения между так назы-
ваемым теоретическим сопротивлением отрыву и фактически
наблюдаемыми его значениями. Теоретическое сопротивление
отрыву вычисляется из рассмотрения сил взаимодействия между
частицами в идеализированной атомной модели
тела. Известно несколько вариантов такого вычис-
ления, но любой из них дает сопротивление отрыву,
на несколько порядков превышающее наблюдаемое
в опытах. Гриффитс предположил, что реальные
тела содержат микроскопические трещины уже
в начальном состоянии (состоянии «до первой де-
формации»), По крайней мере некоторые из
этих микротрещин можно мыслить себе в виде
полостей, имеющих форму сплюснутых эллипсои-
дов. Вблизи точек наибольшей кривизны поверх-
ности эллипсоида (точки А на рис. 72) имеет
место концентрация напряжения. Эта концентрация может быть
очень большой: при достаточно большой кривизне в точке А
напряжение в этой точке может в сотни раз превышать сред-
нее напряжение по сечению. В результате и разрушение
образца произойдет при относительно
малом значении среднего напряжения,
существенно меньшем теоретического
предельного сопротивления отрыву.
Роль такого рода концентраторов на-
пряжения могут играть также под-
ходящие детали микрорельефа поверх-
ности тела. Более того, как показали
новейшие исследования, у стекол ос-
новную роль играют именно микроне-
однородности поверхности.
Гриффитс сумел также понять
один важный факт, касающийся энер-
гетических соотношений для тела с
трещинами.
Рассмотрим образец в виде плоской пластинки с трещиной.
Последнюю, по-прежнему, можно представлять себе полостью,
имеющей вид тонкой щели. Моделью трещины может служить
и предельно тонкая щель — разрез по некоторой поверхности
в сплошном теле (разрез мысленно делается в ненагруженном
состоянии тела, при действии же на него внешних сил берега
разреза расходятся и получается полость; см. рис. 73). Более
того, в качестве модели трещины чаще всего рассматривается
именно такого рода разрез. В любом случае, однако, упругая
энергия тела с трещиной меньше упругой энергии такого же-
тела без трещины.
МЕХАНИКА ТРЕЩИН
139
§ 18]
Действительно, упругое тело с трещиной можно получить
с помощью следующей воображаемой процедуры. Сначала бе-
рется точно такое же тело, но без трещины, и нагружается за-
данными растягивающими силами. Сделав в этом теле разрез
по поверхности, прикладываем к каждому берегу разреза силы,
с которыми берега взаимодействовали друг с другом до прове-
дения разреза (т. е. силы, при которых берега разреза взаимно
не смещаются и все обстоит так, как будто разреза нет). Если
же далее эти силы на берегах квазистатически убрать, то берега
взаимно сместятся и образуется щель (трещина) *). Таким об-
разом, полная энергия тела с трещиной равна
Э0 + АЭ (и АЭ < 0), (4.40)
где Эо— энергия тела без трещины. Ясно также, что если-раз-
рез увеличить (сделать по площадке большего размера), то
увеличится и I АЭ|, а значение полной энергии (4.40) умень-
шится (ибо АЗ < 0). Другими словами, с увеличением разме-
ров трещины при прочих равных условиях энергия тела умень-
шается.
Однако поскольку на основании известного общего принципа
механики (и термодинамики) в состоянии равновесия энергия
системы должна иметь минимум, сказанное должно было бы
означать, что раз появившись, трещина любого размера должна
всегда и в любых условиях расти (поскольку энергия при этом
неизменно бы убывала!). Гриффитс первый понял, что только
часть работы раскрытия трещины превращается в упругую энер-
гию, и что другая часть превращается в поверхностную энер-
гию, связанную с образованием новых поверхностей при появ-
лении или распространении трещины. Ранее понятие поверх-
ностной энергии встречалось в механике жидкости (в теории
поверхностного натяжения, в частности, при изучении капил-
лярных явлений), но в механике деформируемого твердого тела
до Гриффитса не использовалось.
Напомним, что при простом растяжении образца без тре-
щины плотность энергии деформации равна
я2
2Е
(§ 5 в главе 2). Рассматривавшаяся выше работа раскрытия
трещины, очевидно, пропорциональна этой плотности и зависит,
кроме того, от длины трещины Z. Можно показать, что зависи-
*) Работа, совершаемая этими силами на берегах разреза в процессе их
удаления называется работой раскрытия разреза.
140
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 4
мость от I — квадратичная, так что работа раскрытия выра-
жается следующим образом:
Здесь %2 — коэффициент пропорциональности, h — толщина об-
разца; напомним, что по условию образец имеет форму плоской
пластинки. Как уже говорилось, только часть этой работы со-
ответствует изменению упругой энергии, остальная часть пре-
вращается в поверхностную энергию:
Д5 = Лр + 2у lh = -K2~-l2h + 2ylh
и, следовательно,
Э = 5о + ДЭ = Эо-%2^г/2/г + 2у//г, (4.41)
где у — плотность поверхностной энергии (поверхностная энер-
гия на единицу поверхности). Рассмотрим малые изменения
длины трещины при фиксированных внешних силах, действую-
щих на тело. Учитывая, что Эа — энергия тела без трещины и
потому от I не зависит, и что %, о, Е, h тоже не зависят от /,
из (4.41) имеем
^-dl = (-*-2-^l + 2y)hdl. (4.42)
Поскольку в состоянии равновесия энергия системы имеет экст-
ремальное значение, для такого состояния -^- = 0, и отсюда
и из (4.42)
a = (4-4з)
где — 1/А, — безразмерный коэффициент пропорциональности,
имеющий порядок единицы (в случае достаточно тонкой пла-
стинки = 1/д/л ).
Через о выше мы обозначили напряжение в растягиваемом
образце без трещины. В таком же образце с трещиной, оче-
видно, о есть среднее напряжение по поперечному сечению, не
захватывающему трещины (так что о = Р/F, где Р — внешняя
растягивающая сила, a F— площадь поперечного сечения). Тем
самым формулой (4.43) при заданных свойствах материала и
заданной длине трещины I определяется величина внешних сил,
растягивающих образец. Это — в известном смысле предельное-
значение внешних сил, по достижении которого возможно само-
произвольное и быстрое распространение трещины по всему
поперечному сечению, т. е. разрыв образца.
§ 18]
МЕХАНИКА ТРЕЩИН
141
Действительно, представим себе, что образец в виде тонкой
пластинки с разрезом данной длины I нагружается достаточно
медленно увеличивающимися растягивающими силами. До не-
которого момента будет —
« < I, . (4.44)
В каждом таком состоянии энергия Э, как можно проверить
с помощью (4.41), имеет минимальное значение. Иными сло-
вами, любому изменению такого (соответствующего условию
(4.44)) состояния образца за счет малого изменения длины
трещины I при фиксированных внешних силах соответствует
увеличение энергии Э. Поэтому, каким-либо образом возникнув
при фиксированных внешних силах, малое изменение I в таком
состоянии должно самопроизвольно же и исчезнуть. А вот когда
действующие на образец внешние силы достигнут значения, при
котором выполняется условие (4.43), дело будет обстоять иначе.
При этом энергия Э имеет не минимальное, а максимальное
значение по сравнению со значением в других состояниях, воз-
можных при тех же внешних силах. Иными словами, условию
(4.43) соответствует состояние образца, когда любому измене-
нию длины трещины при фиксированных внешних силах соот-
ветствует уменьшение энергии образца Э, а потому по дости-
жении этого состояния трещина может самопроизвольно рас-
пространяться на все сечение образца. Неустойчивость равно-
весия в состоянии, соответствующем условию (4.43), видна и
непосредственно из самого условия: так как в силу (4.43) уве-
личению I соответствует уменьшение а, то по достижении внеш-
ними силами значения, соответствующего (4.43), достаточно
сколь угодно малого увеличения I, чтобы начался дальнейший
катастрофический рост трещины.
Такова в общих чертах концепция Гриффитса, положившая
начало современной теории разрушения. Довольно быстро вы-
яснилось, что аналогичные вычисления можно проделать не
только для случая растяжения, но и для других видов нагру-
жения плоского образца -с трещиной-разрезом. Сложнее обстоит
дело тогда, когда тело содержит несколько трещин. С боль-
шими затруднениями рвязано также обобщение соображений
Гриффитса на случай не вполне упругого тела с трещиной.
Вместе с тем предположение Гриффитса об идеальной упруго-
сти материала всюду в теле (включая области вблизи концов
трещины) даже при небольших требованиях к точности теории
соответствует действительности, по существу, лишь в исключи-
тельных случаях (для образцов из кварца и определенных сор-,
тов стекла при нагружении в определенных внешних условиях).
Обычно же вблизи концевых зон трещины в реальном теле су-
щественным образом проявляется пластичность.
142
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 4
§ 19. Коэффициенты интенсивности
Основу изложенного выше подхода составляют энергетиче-
ские соображения. В результате при использовании этого под-
хода приходится иметь дело с энергией тела — характеристикой
состояния тела в целом, в то время как все существенное при
распространении трещины происходит в малой области тела —
окрестности концевой зоны трещины. По этой причине часто
оказывается более удобным другой подход, развитый в конце
50-х годов и учитывающий локальный харак-
тер процесса распространения трещины.
Уже говорилось, что моделью трещины
обычно служит предельно узкая щель в
сплошном теле — разрез по некоторой поверх-
ности в таком теле. При действии на тело
внешних сил берега разреза взаимно сме-
щаются так, что, вообще говоря, образуется
полость.
Рассмотрим упругое сплошное тело, содер-
жащее разрез по части плоскости (рис. 74).
Положим также, что границей разреза слу-
жит некоторая гладкая линия L (рис. 74).
Будем считать, что эта. линия имеет доста-
точно малую кривизну — достаточно малую
в том смысле, что в малой окрестности произвольной точки
контура L изменение напряженного состояния по направлению
касательной к L мало по сравнению с изменением по направле-
нию нормали.
Фиксируем мысленно произвольную точку на L и введем
систему координат с началом в этой точке, изображенную на
рис. 74. Осями в этой системе координат служат три взаимно
перпендикулярные прямые, одна из которых является касатель-
ной к линии L, а другая направлена по нормали к плоскости
разреза. Плоскость хОу при этом есть плоскость, которую ли-
ния L (контур разреза) пересекает по нормалц. Вместо декар-
товых координат в этой плоскости часто удобнее использовать
полярные координаты {р, 0), где р = х2 + у2, а 0 — угол, от-
считываемый от плоскости разреза (плоскости xOz) (рис. 74).
На основании приведенного выше условия, рассматривая на-
пряженное состояние достаточно малой окрестности точки на L,
его зависимостью от z (координаты вдоль касательной к L
в данной точке) можно пренебречь, так что все компоненты
напряженного состояния будут функциями только х, у или р, 0:
ох = Ох (р, 6), Оу = ау (р, 0), ... (4.45)
§ 191
КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ
143
Как указал впервые Ирвин, имеет смысл выделить следую-
щие три основных случая взаимного перемещения берегов тре-
щины в окрестности данной точки ее края:
1) случай, когда это взаимное перемещение берегов проис-
ходит по направлению нормали к плоскости трещины (плоско-
сти разреза); элементарный параллелепипед с центром в дан-
ной точке края трещины в этом случае деформируется так, как
показано на рис. 75, а:
2) случай, когда взаимное перемещение берегов происходит
в плоскости разреза по направлению нормали к его контуру
(рис. 75, б);
Рис. 75.
3) случай, когда взаимное перемещение берегов происходит
в плоскости разреза по направлению касательной к контуру
(рис. 75, в).
Подчеркнем, что разрез по поверхности в сплошном теле
можно рассматривать как своего рода предельный случай уп-
лощенной полости (щели) в теле—.результат все большего
сплющивания полости с обращением в конце концов одного из
ее размеров в нуль. Кривизна поверхности полости в точках,
которые при таком предельном переходе превращаются в точки
контура разреза (линия L на рис. 74), при этом стремится
к бесконечности. Поскольку коэффициент концентрации напря-
жений вблизи выточки или полости обычно увеличивается с ро-
стом кривизны поверхности полости при прочих равных усло-
виях, все это дает основание ожидать, что в точках контура
разреза коэффициент концентрации бесконечно велик. Эти ожи-
дания оправдывает точный расчет — рассматривая подходящие
задачи о равновесии упругого тела с разрезом по части пло-
скости, можно показать, что в каждом из перечисленных выше
144
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 4
трех основных случаев некоторые из компонент напряжения
неограниченно возрастают с приближением к контуру разреза,
т. е. при р 0. Так, в случае 1 (рис. 75, а)
<т,= ^Ме)+.... ^=-^-^(0)+...,
где многоточием отмечены члены, сохраняющие конечные зна-
чения при р -> 0, и потому при достаточно малом р (т. е. в до-
статочной близости от края разреза)—малые по сравнению
с выписанными явно членами. Все другие компоненты напря-
жения не имеют особенности на L, т. е. остаются ограничен-
ными при р 0. Поэтому в достаточной малой окрестности края
трещины (разреза)
<тх~2^(е), (4.46)
a crz, хХу, xyz, Tzx с той же степенью точности равны нулю. От-
метим также, что коэффициент Ki зависит от конфигурации
тела и действующих на него сил, в то время как функции fx(0)
и /у(0) в рамках принятых условий одинаковы в любой задаче
(для изотропного упругого тела эти функции нетрудно вычис-
лить). В итоге получается, что для задания напряженного со-
стояния вблизи края трещины достаточно задать значение Ki.
В отсутствие внешних воздействий, когда берега трещины
сомкнуты, Ki — 0. С ростом же нагрузки, вообще говоря, воз-
растает и значение Естественно положить, что существует
предельное значение /G, т. е. такое число /Q, что всегда
Кл < К\, (4А1)
причем, когда
Kt=K* (4.48)
(и только при этом условии), трещина в данном месте может
начать распространяться далее. Это предельное условие похоже
на условие разрушения по первой теории прочности, разница
лишь в том, что вместо самих напряжений здесь фигурируют
характеризующие их коэффициенты.
Подобным образом обстоит дело и в случаях 2 и 3 (рис. 75, б
и в). В каждом из них некоторые из компонент напряженного
состояния вблизи края разреза пропорциональны 1/Vp, а все
остальные компоненты по сравнению с ними пренебрежимо
малы. В результате появляются еще два коэффициента интен-
сивности напряженного состояния, обозначаемые обычно через
/С2 и /Сз соответственно.
В общем случае при действии на тело произвольной системы
внешних сил в окрестности края реализуется напряженное со-
§ 20] ОБЩИЙ ПЛАН РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПРОВЕРКЕ ПРОЧНОСТИ 145
стояние, которое в рамках принятых условий можно получить
наложением напряженных состояний типа 1, 2 и 3. Такое со-
стояние характеризуется одновременно всеми тремя коэффи-
циентами интенсивности Ki, К2 и К3, изменяющимися с из-
менением нагрузки. Условия прочности и разрушения теперь
формулируются с участием некоторой функции этих коэффи-
циентов, т. е. предполагается, что существует такая функция
Ф(К1, К?, Дз) и такое число К*, что всегда в рассматриваемой
точке на контуре трещины
Ф(Дь Д2> ДзХГ,
причем, когда
Ф(Д1, К2, Дз) = д*
(и только в этом случае), возможно распространение трещины
в данном месте.
Определение вида функции Ф является одной из основных
проблем механики разрушения. К числу актуальных и важных
проблем в этой области относятся также обобщения изложен-
ных соображений на случай, когда, по крайней мере вблизи
края трещины, материал нельзя считать упругим. Вдаваться
в подробный анализ этих проблем мы, к сожалению, здесь не
имеем возможности.
§ 20. Общий план решения задачи о проверке прочности
Для суждения о прочности какого-либо конкретного тела,
испытывающего деформацию под действием известных сил и
в известных внешних условиях, необходимо точно установить,
что следует считать опасным или предельным состоянием тела.
Как мы видели, такой вопрос возникает уже при расчете про-
стейших стержневых систем. Так, для статически неопредели-
мой стержневой системы, изображенной на рис. 23, за опасное
может быть принято такое состояние, когда напряжение дости-
гает предела текучести (или временного сопротивления) хотя
бы в одном из стержней. При другом подходе за опасное со-
стояние этой системы принимается состояние, при котором на-
пряжение достигает предельного значения во всех трех стерж-
нях.
Подобным образом обстоит дело и при расчетах прочности
деформируемых систем более общего типа — тел, испытываю-
щих плоское или даже объемное напряженное состояние, к тому
же меняющееся от точки к точке тела. И здесь возможны слу-
чаи, когда в качестве опасного имеет смысл принять такое со-
стояние тела, в котором напряженное состояние достигает пре-
дельной величины хотя бы в малом объеме тела (в принципе,
146
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 4
когда тело трактуется сплошным и однородным, — хотя бы
в одной его точке). Для установления этого состояния необхо-
дим достаточно общий (охватывающий широкий класс напря-
женных состояний) критерий прочности. Обычно используют ка-
кую-либо из классических теорий прочности или их обобщений,
о которых шла речь в § 14 и 15. Именно, считая, что тело во
всех своих частях испытывает упругую деформацию, подчиняю-
щуюся закону Гука, находят точку, в которой левая часть ис-
пользуемого критерия пластичности или разрушения (т. е. функ-
ция f в соотношении (4.18)) имеет наибольшее значение по
сравнению со значениями в других точках. Состояние, в котором
в этой точке выполняется выбранный критерий прочности,
в данном случае и будет опасным состоянием.
Одним из наиболее ответственных моментов расчета при та-
ком подходе является выбор подходящего критерия прочности,
т. е. конкретизация функции f(oi, 02, 03) в соотношениях (4.18),
(4.19). Как мы уже знаем, если исследуемое тело есть основа-
ния отнести к категории хрупких тел, то нужно использовать
первую или вторую теорию прочности или какое-либо из их
обобщений (§ 15), в то время как третья и четвертая теории
прочности и ряд известных их обобщений в действительности
являются критериями перехода из упругого в пластическое со-
стояние. При этом, однако, нужно помнить о том, что пластич-
ность и хрупкость суть свойства, сами во многом зависящие от
напряженного состояния. Так, при всестороннем равномерном
растяжении и достаточно близких к нему напряженных состоя-
ниях, как уже упоминалось, даже весьма пластичные по обыч-
ным представлениям материалы проявляют хрупкость, в то
время как при достаточно значительном всестороннем сжатии
даже мрамор способен испытывать большие остаточные дефор-
мации без видимых следов разрушения. Можно было бы при-
вести и другие факты, иллюстрирующие зависимость характера
разрушения от вида напряженного состояния. Вследствие этой
зависимости (и по некоторым другим причинам) выбор опре-
деленной теории прочности в ряде случаев представляет собой
трудную задачу, правильное решение которой во многом зави-
сит от опыта выбирающего.
Когда опасное состояние конструкции определяется изло-
женным образом как состояние, в котором напряженное состоя-
ние достигает предельной величины хотя бы в одной точке,
говорят о расчете по допускаемым напряжениям. Как было по-
казано в § 6 на примере статически неопределимой стержневой
системы, при расчете по допускаемым напряжениям не всегда
в полной мере используются возможности, которыми обладает
рассматриваемая конструкция. Во многих случаях имеет смысл
другой, более совершенный подход, при котором за опасное
§ 20] ОБЩИЙ ПЛАН РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПРОВЕРКЕ ПРОЧНОСТИ
147
(предельное) принимается состояние, соответствующее полному
исчерпанию грузоподъемности конструкции. Здесь в свою оче-
редь можно встретить два основных случаях, а именно: 1) слу-
чай, когда грузоподъемность исчерпывается вследствие пласти-
ческого течения (из-за того, что распространение пластического
течения на достаточно большую часть тела делает возможными
большие деформации при неизменных или мало меняющихся
внешних воздействиях), 2) случай, когда грузоподъемность ис-
черпывается вследствие распространения трещины.
Для иллюстрации первого случая вернемся еще раз к стерж-
невой системе, изображенной на рис. 23. Когда напряжение во
всех трех стержнях достигнет предела текучести (см. рис. 43),
узел А, к которому приложена внешняя сила, может переме-
щаться при неизменном ее значении. Это и значит, что грузо-
подъемность (несущая способность) конструкции исчерпана.
Позднее мы познакомимся и с другими, более сложными при-
мерами расчета конструкции по предельному состоянию, когда
последнее достигается вследствие распространения пластиче-
ского течения.
Обратимся теперь к случаю, когда предельное состояние до-
стигается из-за распространения трещины. Пусть известно, что
в исследуемой конструкции есть (или по крайней мере может
появиться) трещина. Часто об этом можно судить на основании
какой-либо из подходящих теорий прочности или их обобще-
ний, т. е., зная напряжения и деформации в точках тела и ру-
ководствуясь какой-либо из таких теорий, бывает можно пред-
сказать место появления и ориентацию трещины. Имеет значе-
ние также опыт: на основании натурного изучения аналогичных
конструкций и изучения моделей часто тоже оказывается воз-
можным судить о месте появления и ориентации трещины
(трещин).
Учитывая это, будем считать, что положение трещины в теле
известно. Допустим также, что деформации всюду в теле под-
чиняются закону Гука и, наконец, для определенности, — что во
всех точках контура трещины реализуется первый из трех ос-
новных случаев, о которых говорилось в § 19 (случай, изобра-
женный на рис. 75, а). Тогда для каждой такой точки
(4.49)
причем тогда (и только тогда), когда
(4.50)
возможно дальнейшее распространение трещины (§ 19). Здесь
К* — постоянная, определяемая из опыта, a Ki — некоторая
функция параметров, характеризующих внешние силы и гео-
148
КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ
[ГЛ. 4
метрию трещины. Эта функция может быть найдена из реше-
ния соответствующей задачи теории упругости. Так, в случае
круговой в плане трещины в упругом теле достаточно больших
П Я птаги-п Я РМПМ ППЫ nnWDUULTMTT TZ агп плпдпумлпти fu
нормальными к поверхности трещины) внешними силами,
^ = 2а^, (4.51)
где а —радиус трещины, а — нормальное напряжение на пло-
щадках, параллельных плоскости трещины и достаточно далеко
от нее расположенных. Это напряжение известным образом вы-
ражается через внешние силы и потому, внося (4.51) в (4.50),
получим соотношение, связывающее значение внешних сил и
радиус а трещины в состоянии, к которому относится соотно-
шение (4.50) и которое и будет предельным состоянием. Дей-
ствительно, из (4.50) и (4.51) вытекает, что большему а соот-
ветствует меньшее критическое значение а (значение а, при
котором выполняется (4.50)). Поэтому после того, как, воз-
растая в процессе нагружения тела, внешние силы достигнут
значения, при котором выполняется соотношение (4.50), даже
при неизменной далее их величине возможен неограниченный
рост трещины, в итоге которого тело распадется на части (рас-
суждения здесь аналогичны приведенным в § 18 в связи с соот-
ношением (4.44)).
При другой форме трещины будет иной, нежели даваемая
соотношением (4.51), и зависимость К] от <г и размеров тре-
щины. Кроме того, вместо первого из изображенных на рис. 75
случаев, к которому относится условие (4.49), может реализо-
вываться какой-либо из двух остальных (или их комбинация).
Но сами рассуждения сохраняют силу и в этих случаях: с по-
мощью предельного условия для точек контура трещины (§ 19),
когда известна зависимость коэффициентов К\, Кг и К3 от вели-
чины внешних сил и геометрии трещины, определяется состоя-
ние тела, в котором может начаться катастрофический рост
трещины.
В современной литературе по механике разрушения можно
найти отмеченные выражения коэффициентов Ki (соотношения,
связывающие эти коэффициенты с величиной внешних сил и
размерами трещины) для многих важных случаев задачи о рав-
новесии тела с трещиной. Эти выражения получены, как пра-
вило, в рамках предположения о том, что тело всюду испыты-
вает упругие деформации, подчиняющиеся закону Гука, вклю-
чая и области вблизи концевой зоны трещины. В реальных слу-
чаях, как уже упоминалось, вблизи концевой зоны обычно за-
метно проявляется пластичность. Учет последней в теории тре-
щин представляет собой трудную проблему, разработка которой
§ 20] ОБЩИЙ ПЛАН РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПРОВЕРКЕ ПРОЧНОСТИ 149
пока далека от завершения. Ограничимся поэтому замечанием»,
что пренебрежение пластическими деформациями вблизи кон-
цевой зоны трещины идет, как правило, в запас, т. е. дает за-
ниженную величину предельной нагрузки, В тех случаях, когда
этот запас не слишком велик (к сожалению, трудно точно оха-
рактеризовать эти случаи), возможность появления пластиче-
ской деформации вблизи контура трещины можно не учиты-
вать.
В заключение отметим, что в наших «Строительных нормах:
и правилах» для расчетов прочности рекомендован расчет по
так называемому первому расчетному предельному состоянию
или расчетному предельному состоянию по прочности. Под этим
понимается такое состояние, при котором полное исчерпание-
грузоподъемности конструкции или ее части имеет заданную
малую вероятность. Нагрузка, соответствующая расчетному
предельному состоянию, названа расчетной предельной нагруз-
кой. После установления последней допускаемая нагрузка мо-
жет быть определена, как это рекомендуется «Нормами», из
условия
^расч — &1Л + ^2^2 + • • •»
где Р\, Р2, ... — различные виды допускаемой нагрузки,
k\, k2, ... —соответствующие им коэффициенты перегрузки.
Вероятность полного исчерпания грузоподъемности кон-
струкции при оценке ее расчетным путем связана с вероятно-
стью совпадения действительных и вводимых в расчет осред-
ненных характеристик прочности материала, а также с точ-
ностью расчетного определения предельной нагрузки. При этом
возможны два пути определения расчетной предельной на-
грузки, по существу, мало отличающиеся.
1. Расчетная предельная нагрузка находится как нагрузка,
соответствующая полному исчерпанию грузоподъемности (несу-
щей способности) при некоторых вероятных величинах харак-
теристик прочности материала. Эти вероятные характеристики
прочности (расчетные сопротивления, по терминологии «норм»)
находятся путем умножения таких же осредненных характери-
стик на коэффициент, учитывающий вероятность совпадения,
последних с действительными характеристиками прочности ма-
териала (коэффициент однородности). Такой путь принят-
в «Строительных нормах и правилах».
2. Находится нагрузка, соответствующая полному исчерпа-
нию грузоподъемности при осредненных характеристиках проч-
ности материала, после чего расчетная предельная нагрузка оп-
ределяется путем деления величины названной выше нагрузки
на соответствующим образом устанавливаемые коэффициенты
запаса ka, k§, kB ... ka (§ 8). В последнем случае можно и
150 КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ [ГЛ. 4
сразу находить допускаемую нагрузку, вводя общий коэффи-
циент запаса k = kjte ... ks.
Как видно из сказанного, основным вопросом при нахожде-
нии расчетной предельной нагрузки является вопрос о величине
нагрузки, которая соответствует полному исчерпанию грузо-
подъемности. Поэтому в дальнейшем мы будем в основном за-
ниматься лишь этим вопросом, называя для краткости необхо-
димые для его решения операции расчетом по предельному со-
стоянию. Результаты такого расчета могут быть использованы
для завершения расчетных операций как по первому, так и по
второму из указанных выше путей. В тех случаях, когда мы
будем доводить решения до окончательных расчетных формул,
мы предпочитаем второй путь, как более простой.
ГЛАВА 5
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
СИММЕТРИЧНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
§ 21. Основные понятия. Внешние силы, действующие на балку
Изгибом называется деформация, сопровождающаяся изме-
нением кривизны оси стержня. В частности, при изгибе стержня
с прямолинейной осью последняя получает криволинейное очер-
тание. Такая деформация может явиться результатом приложе-
ния нагрузок разнообразных направлений. Если нагрузка, дей-
ствующая на стержень, направлена перпендикулярно к его оси,
то изгиб называют поперечным
(рис. 76). В том случае когда по-
перечный изгиб происходит та-
ким образом, что ось стержня
оказывается плоской кривой, из-
гиб можно назвать простым.
Стержень, подвергающийся про-
стому изгибу, принято называть
балкой. Если направление пло-
скости кривизны оси изогнутой
балки совпадает с направлением
Рис. 76.
действия нагрузки, то изгиб
называют плоским.
В этой главе мы ограничимся изучением изгиба балок, попе-
речные сечения которых симметричны относительно какой-либо
оси, так что балка имеет плоскость симметрии. Кроме того, бу-
дем принимать, что нагрузка на балку может быть приведена к
плоской системе сил, плоскость действия которой совпадает с
плоскостью симметрии балки. Вследствие симметрии балки от-
носительно названной плоскости изгиб будет происходить в этой
же плоскости и, следовательно, будет плоским.
Нагрузка на балку может быть:
а) поверхностной сосредоточенной, т. е. сводящейся к силаму
приложенным в различных точках по длине балки;
б) поверхностной сплошной, распределенной по поверхности;
на части длины или на всей длине балки;
152
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
в) объемной, являющейся при статическом нагружении ре-
зультатом действия собственного веса балки.
Так как вследствие принятого выше условия сплошная по-
верхностная нагрузка, так же как и apvrne нагрузки, должна
сводиться к плоской системе сил, то ее можно рассматривать
как распределенную лишь по длине балки, т. е. характеризовать
интенсивностью q в кГ/см или Т/м. В частности, при постоян-
ной интенсивности сплошную нагрузку называют равномерно
распределенной. Характер распределения сплошной нагрузки
удобно представлять эпюрой нагрузки, ординаты которой в
Рис. 77.
каждой точке длины балки равны интенсивности нагрузки
(рис. 77,а и б).
Объемная нагрузка также приводится к плоской системе сил,
поэтому и ее можно представлять как сплошную нагрузку, рас-
пределенную по длине балки. В частности, собственный вес бал-
ки постоянного сечения представляется как сплошная равно-
мерно распределенная по длине балки нагрузка.
Как будет показано далее, если не считаться с напряжениями,
имеющими второстепенное значение (которыми в расчете обычно
пренебрегают), то можно представлять нагрузку приложенной
к оси балки. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении действия
внешних сил на балку будем схематически представлять ее толь-
ко осью и изображать нагрузки приложенными к этой оси.
Помимо нагрузок, на балку действуют реакции связей, обес-
печивающих ее неподвижность по отношению к какому-нибудь
телу, например, в строительных конструкциях по отношению к
стенам здания, устоям и быкам моста и т. д. Эти связи принято
называть опорными закреплениями. Известно, что для обеспече-
ния неподвижности одной плоской фигуры по отношению к дру-
гой, или, иначе, для обеспечения геометрической неизменяемости
системы, состоящей из двух тел, обладающих свободой переме-
щений лишь в одной плоскости, необходимо наличие трех связей
в виде шарнирно закрепленных, не пересекающихся в одной
точке и не параллельных друг другу стержней (рис. 78).
С точки зрения геометрической неизменяемости такой си-
стемы все связи сверх трех являются лишними. Наличие лишних
связей делает систему статически неопределимой.
§ 21]
ОСНОВНЫЕ понятия
155
Очевидно, что и для обеспечения неподвижности балки необ-
ходимо наличие трех опорных закреплений. Эти закрепления мо-
гут быть осуществлены различным образом, в связи с чем раз-
личают три основных типа опор балок:
а) конец балки закреплен таким образом, что он не может-
иметь ни поступательного перемещения, ни вращения. В частно-
сти, такое закрепление получает-
ся при заделке конца балки в
стену (рис. 79). Поэтому его
обычно называют защемлением
конца балки. Очевидно, что за-
щемление конца балки сводится
к наложению на этот конец трех
связей;
б) конец балки не может
иметь поступательных перемеще-
ний, но может свободно повора-
чиваться вокруг некоторой точки
'(центра опоры). Такое закрепление носит название неподвижной:
опоры (рис. 80, а). Оно равносильно наложению двух связей;
в) конец балки может не только поворачиваться вокруг неко-
торой точки, но и иметь поступательные перемещения, парал-
лельные некоторому направлению (плоскости катания опоры).
Такое закрепление равносильно наложению одной связи и носит
название подвижной опоры (рис. 80,6).
Из сказанного следует, что для обеспечения неподвижности:
балки необходимо произвести защемление одного конца балки
или на одном конце устроить неподвижную, а на другом под-
вижную опору. Любое добавочное закрепление (например, при
одном защемленнном конце устройство подвижной опоры на
другом) оказывается с точки зрения неизменяемости системы
лишним. Иными словами, только балка с одним защемленным,,
а другим свободным концом, или балка на двух опорах, из ко-
торых одна неподвижная, а другая подвижная, является стати-
чески определимой, не имея лишних закреплений.
К тому же выводу можно прийти с другой точки зрения. На
рис. 81 показаны опорные реакции для всех трех типов закрепле-
154
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
ния концов балки. Так как при действии нагрузки и опорных
реакций балка должна находиться в равновесии, причем рас-
сматривается система сил, находящихся в одной плоскости, то
для определения опорных реакции имеется, вообще говоря, три
уравнения равновесия.
Рис. 81.
Для балок, представленных на рис. 81а и б, число неизвест-
ных совпадает с числом уравнений статики твердого тела; следо-
вательно, они являются балками, статически определимыми. При
Рис. 82,
устройстве добавочных опорных
закреплений — число неизвест-
ных оказывается больше числа
уравнений — балка становится
статически неопределимой в от-
ношении опорных реакций.
Впредь до изучения вопроса
о деформациях балок мы будем
рассматривать только статически
определимые балки. Необходимо
заметить, что на практике пло-
скость катания подвижной опоры
всегда делают параллельной оси
балки, Тогда реакция подвиж-
ной опоры должна иметь на-
направление, перпендикулярное к
оси балки. Так как и нагрузки
при изгибе принимаются перпен-
дикулярными к этой оси, то из
всех сил на направление оси
следует, что
условия, что сумма проекций
балки должна быть равна нулю,
Я = 0,
и в отношении числа и направления реакций разница между не-
подвижной и подвижной опорами исчезает. Поэтому в дальней-
шем обе эти опоры на наших схемах будем обозначать одина-
ково. Таким образом, будем рассматривать схемы балок, пред-
ставленные на рис. 82.
§ 22]
УСИЛИЯ в СЕЧЕНИЯХ БАЛКИ
155
На схемах показаны направления опорных реакций и основ-
ные размеры балок: расчетный пролет или, кратко, пролет I,
длина свешивающегося за опору конца балки или консоли а.
Если принять за ось Ох ось балки, а за ось Oz — прямую,
перпендикулярную к ней, то для определения реакций имеем
уравнения:
£Z = O; £мл = о.
Однако практически удобнее находить реакции из условий!
2>1л = 0; £мв = о.
Тогда уравнение ^Z — О используют для проверки правильно-
сти полученных результатов.
§ 22. Усилия в сечениях балки
1. Определение усилий в сечениях балки. Изгибающий мо-
мент и поперечная сила. После того как при заданной нагрузке
определены опорные реакции, все внешние силы, действующие
на балку, оказываются известными. Имея целью исследование
напряженного состояния бал-
ки, установим, какие усилия
возникнут под действием этих
сил в сечениях балки.
Рассмотрим в качестве при-
мера балку, представленную
на рис. 83. Для определения
усилий в сечении п этой балки
используем установленный на-
ми ранее прием, а именно:
проведем сечение п и опреде- Рнс' 83,
лим, какие силы надо прило-
жить в центре тяжести этого сечения, чтобы удержать отсечен-
ную часть балки (рис. 83, часть /) в равновесии. Очевидно, что
эти силы должны состоять из силы SQ, находящейся в плоско-
сти п, и пары сил с моментом SM. При этом из уравнений
равновесия следует, что Sq по величине равно, а по направле-
нию обратно сумме проекций на направление сечения п всех
сил, действующих на балку слева от него. Таким же образом,
момент Sm по величине равен, а по знаку обратен сумме момен-
тов тех же сил относительно центра тяжести сечения.
Отсюда следует, что усилия в сечениях балки, вообще говоря,
сводятся к силе Sq и паре сил с моментом SM, величина и на-
правление которых определяются указанным выше образом.
Усилие Sq будем называть перерезывающим усилием, усилие
— изгибающим усилием. Усилия, найденные из рассмотрения
156
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
равновесия части I балки, очевидно, являются результатом дей-
ствия части II на часть I. Действие части I на часть II сводится
к таким же по величине усилиям, но имеющим обратное направ-
.ленив.
Сумму проекций всех внешних сил, приложенных по одну сто-
рону от рассматриваемого сечения, на направление последнего
называют поперечной силой в этом сечении и обозначают бук-
вой Q. В случае прямолинейной балки внешние силы парал-
лельны плоскости сечения, и поэтому поперечная сила вычис-
ляется как алгебраическая сумма сил, приложенных по одну
сторону сечения. Сумму моментов всех внешних сил, приложен-
ных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно
центра тяжести последнего называют изгибающим моментом в
этом сечении и обозначают буквой М.
Вследствие этого для определения величины усилий Sq и Sm
имеем
= Sm = M, (5.1)
направления же их обратны направлениям Q и М. Таким обра-
зом, определение усилий в сечениях балки сводится к нахожде-
нию поперечных сил и изгибающих моментов в этих сечениях.
Условимся о знаках изгибающих моментов и поперечных сил.
При вычислении изгибающего момента момент любой силы от-
носительно центра рассматриваемого сечения будем считать по-
ложительным, если он обусловливает вращение левой части
балки по часовой стрелке или правой части против часовой
-стрелки. При положительных изгибающих моментах балка, рас-
положенная горизонтально, изгибается выпуклостью вниз. При
вычислении поперечной силы будем считать положительной силу,
находящуюся слева от сечения и направленную вверх, или силу,
находящуюся справа от сечения и направленную вниз (т. е. в
сторону выпуклости при изгибе положительным моментом).
При таком выборе знаков изгибающих моментов и попереч-
ных сил в данном сечении знак последних не зависит от того,
какую часть балки мы рассматривали при их вычислении.
. 2. Эпюры Q и М. Для полного исследования напряженного
состояния балки необходимо знать усилия не в одном каком-
либо сечении, а во всех. Это сводится к необходимости опреде-
лить величины изгибающих моментов и поперечных сил во всех
сечениях балки. Чтобы иметь наглядное представление об изме-
нении М и Q по длине балки, прибегают к построению эпюр
(графиков), ординаты которых представляют величины изгибаю-
щих моментов и поперечных сил в соответствующих сечениях
балки. Процесс построения эпюр Q и М принципиально несло-
жен и сводится к составлению уравнений этих эпюр на различ-
.ных участках длины балки. Поясним это примерами.
4 22]
УСИЛИЯ В СЕЧЕНИЯХ БАЛКИ
157
Пример 1. Построить эпюры Q и М для балки, представленной на
рис. 83* прн следующих данных: Р] = 5 Т; Р2 = 10 Т, I == 10 л; ai = 2 м;
а2 — 5 м.
Опорные реакции А и В находим нз уравнений:
2 МА = ~ Plal ~ Р2а2 + Bl = Q,
= aj) + Р2 (I - а2) = 0,
откуда
л P^l-aAA- Р2(1-а2) _ 5 (10 - 2) + 10 (10 - 5) _
Д— , 10
/
В =
-J- P2CI2 5 • 2 -4- 10 • 5
/ = 10 =
6Г.
Проверка
£2 = 9 + 6-5-10 = 0.
Рассматпивая затем части балки, расположенные слева от сечений, имеем при
О + х + ai
Q= д = 9Г,
лри ai + х + а2
Q = А- Р,=4Т,
а из рассмотрения правой части балки, по-
лучим: при Иг х /
Q=-B = —67.
На каждом из участков поперечная
сила постоянна. Откладывая положитель-
ные ординаты вверх, получаем эпюру в
виде ступенчатой фигуры. Ступени полу-
чаются под силами. Их величина равна
величине соответствующей силы.
Таким же образом, при 0 + х +
I
Мх == Ах;
при а; х а2
Мх = Ах — Р, (х — ai);
лри а2 + х +1
Мх = В(1- х).
На всех участках зависимость М от
Рис. 83*.
х линейна. Вычислив моменты
Mx=0 = 0,
= 9 • 2 = 18 Тм,
Мх_а = 9.5 — 5 • 3 = 30 Тм,
Л1х=/ = о,
строим ,пюру М, откладывая положительные ординаты в сторону выпуклости
изогнутой балки (при нашем правиле знаков для моментов — вниз).
158
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. tf
Пример 2. Построить эпюры М и Q для балки, изображенной на
рис. 84, при следующих данных: Р — 2 Г; М = 3 Тм-, а = 2 я; b = 3 м.
Если рассматривать все время часть балки со стороны свободного конца,
(в нашем случае — правую) то для построения эпюр Q и М нет необходи-
МГ^ГТТЛ пппд пп татг. опопигтд
При О х а
при а х I
Q = + Р, Мх = — Рх-,
Q= + P, Мх = — Рх — М.
Подставляя данные выше величины, имеем
Q == 2 Т,
^х=0 = °>
Л4л=2 = — 2-2 = — 4 Т м,
Мх==2 — — 2-2 — 3 = — 7 Тм,
Мх=а = - 2 • 5 - 3 = - 13 Тм.
По вычисленным характерным ординатам строим эпюры (рис. 84).
Если на каком-либо участке балки имеется сплошная нагрузка, то при
построении эпюр М и Q мы можем заменять ее равнодействующей, прило-
женной в центре тяжести соответствующей части эпюры нагрузки.
Рис. 84. Рис. 85.
Пример 3. Построить эпюры М и Q для балки, изображенной на
рис. 85 при I = 6 м, q = 2 Т/м.
Так как нагрузка на балку симметрична, то совершенно очевидно, что
реакции А и В будут равны между собой и каждая из них будет равна по-
ловине всей нагрузки:
4 = В = -^-=-^==67’.
§ 22]
УСИЛИЯ В СЕЧЕНИЯХ БАЛКИ
15Э
Характер нагрузки по всей длине балки не меняется, для вычисления
поперечной силы и изгибающего момента будем иметь только один участок.
Таким образом,
Q = А — qx,
Mx=Ax-£f.
При х = О
Q = А = 6Л
при X = I
Q = 6 — 2 • 6= — бГ,
причем эпюра должна быть прямолинейной.
Зависимость М от х параболическая. Эпюра М представляет собой квад-
ратную параболу, которая может быть построена по точкам. Стрелка пара-
болы
<1? 2 62 „ I
Mmax = -28_:==—~ = 9 Тм ПРИ х =
Эпюры Q и М представлены на рис. 85 под схемой балки.
3. Зависимости между М, Q и q. Рассматривая произвольно
загруженную балку (рис. 86-), выделим бесконечно малый ее эле-
мент CFNK, границы ко-
торого не совпадают с
внешними сосредоточен-
ными силами или парами
сил. Тогда усилия в се-
чениях балки на длине
этого участка должны
изменяться непрерывно,
т. е. при переходе от
сечения FC к сечению
NK, ввиду бесконечной
малости расстояния ме-
жду ними, усилия изме-
нятся тоже на бесконечно
малые величины. Поэтому если представить элемент CFNK вы-
деленным из балки, то на него будут действовать нагрузки и уси-
лия, изображенные на рис. 87 (при определении направления
усилий следует иметь в виду, что усилия в сечении FC представ-
ляют действие части балки, находящейся левее этого сечения,
на элемент, находящийся справа, усилия в сечении TV/C— дей-
ствие части балки, находящейся справа от сечения на элемент,
находящийся слева).
Интенсивность сплошной нагрузки на длине dx с точностью
до бесконечно малых второго порядка малости можно счи-
тать постоянной и равной qx. Составляя уравнения равновесия
160
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
|ГЛ. 5
рассматриваемого элемента, имеем
S Z = - Qx + qxdx + (Qx + dQx) = 0,
У M„. =Qrdx + NL-— (Mr + dMx) = 0.
— - - X . - .
После простейших выкладок, пренебрегая во втором уравне-
нии третьим слагаемым, как величиной второго порядка мало-
сти получим dQx + qxdx — 0, dMx — Qxdx = 0,
откуда (5.2) = (5-3)
Следовательно:
а) производная от
балки по его абсциссе
поперечной силы в каком-либо сечении
равна интенсивности сплошной нагрузки
Рис. 87.
аналогичной причине
в том же сечении, взятой с об-
ратным знаком;
б) производная от изги-
бающего момента в каком-
либо сечении балки по его
абсциссе равна поперечной си-
ле в этом сечении.
Формула (5.2), очевидно,
теряет силу для сечений, где
приложены силы, так как
здесь Qx изменяется не непре-
пара сил.
Сопоставляя (5.2)
рывно, и его производная те-
ряет смысл. Формула (5.3) по
неприменима для сечения, где приложена
и- (5.3), найдем также
d2Mx
(5-4)
Полученные весьма важные теоремы имеют большое приме-
нение в теории изгиба.
В частности, принимая во внимание свойства производных и
их геометрическое истолкование, можно сделать ряд заключе-
ний о виде эпюр М и Q, полезных для контроля правильности
их построения.
1. Если в каком-либо участке поперечная сила положительна
dMx п
и, следовательно, > 0, то момент возрастает; если попереч-
dJ\dX г' Т—
ная сила отрицательна, т. е. < 0, то момент убывает. Если
§ 23] ЧИСТЫИ ИЗГИБ 16f
Q переходит через нуль, меняя знак, то в соответствующем сече-
нии имеется относительный максимум или минимум Мх. На том
участке, где Q — О, Мх = const.
2. На участке, где q = 0, поперечная сила постоянна: эпюра;
Q представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс, эпюра
М — прямую, наклонную к этой оси.
3. На участке балки, загруженном сплошной равномерно-
распределенной нагрузкой, эпюра Q представляет собой пря-
мую, наклонную к оси абсцисс, эпюра М — дугу квадратной па-
раболы.
4. Если вторая производная от изгибающего момента по-
абсциссе сечения меньше нуля т- е- интенсивность
сплошной нагрузки положительна (направлена вниз), то эпюра
М имеет выпуклость в сторону положительных ординат.
Соотношения (5.2) и (5.3) могут быть использованы также
непосредственно для построения эпюр Q и М. Интегрируя (5.2),.
имеем
X
Qx= — \qxdx + Qo, (5.5)
о
где Qo — величина поперечной силы при х = 0. Следовательно,
поперечная сила в сечении х равна взятой с обратным знаком
площади эпюры сплошной нагрузки на участке О — х плюс вели-
чина поперечной силы при х = 0. Силы (опорные реакции и со-
средоточенные нагрузки) считаются при этом как площади, изме-
ряемые величиной этих сил, но сосредоточенные в точке.
Аналогично,
X
Мх = j Qx dx 4- Мо, (5.6>
о
где Мо — величина изгибающего момента в сечении х = 0. От-
сюда следует, что изгибающий момент в сечении х равен пло-
щади эпюры поперечных сил на участке О — х плюс изгибающий
момент в сечении х — 0.
Таким образом, вычисление ординат эпюр Q и М сводится
к вычислению площадей эпюр q и Q.
§ 23. Чистый изгиб
1. Основные положения, характеризующие деформацию
чистого изгиба. Исследование напряженного состояния балок
мы начнем с простейшего случая, так называемого чистого из-
гиба. Чистый изгиб есть частный случай изгиба, при котором в
6 В. А. Гастев
162
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
ТГЛ. 5
сечениях балки поперечная сила равна нулю. Чистый изгиб мо-
жет иметь место только в том случае, когда собственный вес
балки настолько мал, что его влиянием можно пренебречь. Для
балок на двух опорах примеры нагрузок, вызывающих чистый
изгиб, представлены на рис. 88. На участках этих балок,
где Q = 0 и, следовательно, М — const, имеет место чистый
изгиб.
Усилия в любом сечении балки при чистом изгибе сводятся
к паре сил, плоскость действия которой проходит через ось бал-
ки, а момент постоянен.
Напряжения могут быть определены на основании следую-
щих соображений.
1. Касательные составляющие усилий по элементарным пло-
щадкам в поперечном сечении балки не могут быть приведены
к паре сил, плоскость действия которой перпендикулярна к пло-
скости сечения. Отсюда следует, что изгибающее усилие в сече-
нии является результатом действия по. элементарным площад-
§ 23]
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ
163
кам лишь нормальных усилий, а потому при чистом изгибе и
напряжения сводятся только к нормальным.
2. Чтобы усилия по элементарным площадкам свелись только
к паре сил, среди них должны быть как положительные, так а
отрицательные. Поэтому должны существовать как растянутые,
так и сжатые волокна балки.
ddF -------Г ...~Й----
Рис. 89.
3. Ввиду того, что усилия в различных сечениях одинаковы,
то и напряжения в соответственных точках сечений одинаковы.
Рассмотрим какой-либо элемент вблизи поверхности
(рис. 89,а). Так как по нижней его грани, совпадающей с по-
верхностью балки, силы не приложены, то на ней нет и напря-
жений. Поэтому и на верхней грани элемента нет напряжений,
так как иначе элемент не находился бы в равновесии. Рассмат-
ривая соседний с ним по высоте элемент (рис. 89,6), придем к
6)
Рис. 91.
такому же заключению и т. д. Отсюда следует, что по горизон-
тальным граням любого элемента напряжения отсутствуют. Рас-
сматривая элементы, входящие в состав горизонтального слоя,
начиная с элемента у поверхности балки (рис. 90), придем к за-
ключению, что и по боковым вертикальным граням любого эле-
мента напряжения отсутствуют. Таким образом, напряженное
состояние любого элемента (рис. 91, а), а в пределе и волокна,
должно быть представлено так, как это показано на рис. 91, б,
т. е. оно может быть либо осевым растяжением, либо осевым
сжатием.
6*
164
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
6)
Рис. 92.
4. В силу симметрии приложения внешних сил сечение по
середине длины балки после деформации должно остаться пло-
ским и нормальным к оси балки (рис. 92, а). По этой же причине
и сечсиия в четвертях длимы бэлкя tojks остаются плоскими и
нормальными к оси балки (рис. 92,6), если только крайние се-
чения балки при деформации остаются плоскими и нормальными
к оси балки. Аналогичное заключение справедливо и для сечений
в восьмых длины балки (рис. 92, в) и т. д. Следовательно, если
при изгибе крайние сечения балки остаются плоскими, то и для
любого сечения остается справедли-
вым утверждение, что оно после де-
формации остается плоским и нор-
мальным к оси изогнутой балки. Но в
таком случае очевидно, что изменение
удлинений волокон балки по ее высоте
должно происходить не только непре-
рывно, но и монотонно. Если назвать
слоем совокупность волокон, имеющих
одинаковые удлинения, то из сказан-
ного следует, что растянутые и сжатые
волокна балки должны располагаться
по разные стороны от слоя, в котором
удлинения волокон равны нулю. Бу-
дем называть волокна, удлинения ко-
торых равны нулю, нейтральными-,
слой, состоящий из нейтральных воло-
кон,— нейтральным слоем-, линию пе-
слоя с плоскостью поперечного сечения
ресечения нейтрального
балки — нейтральной линией этого сечения. Тогда на основании
предыдущих рассуждений можно утверждать, что при чистом
изгибе балки в каждом ее сечении имеется нейтральная линия,
которая делит это сечение на две части (зоны): зону растяну-
тых волокон (растянутую зону) и зону сжатых волокон (сжа-
тую зону). Соответственно с этим в точках растянутой зоны се-
чения должны действовать нормальные растягивающие напря-
жения, в точках сжатой зоны — сжимающие напряжения, а в
точках нейтральной линии напряжения равны нулю.
Таким образом, при чистом изгибе балки постоянного се-
чения:
1) в сечениях действуют только нормальные напряжения;
2) все сечение может быть разбито на две части (зоны) —
растянутую и сжатую; границей зон является нейтральная линия
сечения, в точках которой нормальные напряжения равны нулю;
3) любой продольный элемент балки (в пределе любое во-
локно) подвергается осевому растяжению или сжатию, так что
соседние волокна друг с другом не взаимодействуют;
'§ 23]
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ
165
—ft
Рис. 93.
4) если крайние сечения балки при деформации остаются
плоскими и нормальными к оси, то и все ее поперечные сечения
остаются плоскими и нормальными к оси изогнутой балки.
2. Напряженное состояние балки при чистом изгибе. Рас-
смотрим элемент балки, подверженной чистому изгибу, заклю-
ченный между сечениями т — т и
л — п, которые отстоят одно от дру-
гого на бесконечно малом расстоя-
нии dx (рис. 93). Вследствие по- i
ложения (4) предыдущего пункта,
сечения т — т и п — п, бывшие до
деформации параллельными, после
изгиба, оставаясь плоскими, будут
составлять угол dQ и пересекаться
по прямой, проходящей через точ-
ку С, которая является центром
кривизны нейтрального волокна NN.
Тогда заключенная между ними
часть АВ волокна, находящегося на
расстоянии z от нейтрального во-
локна (положительное направление
оси z принимаем в сторону выпук-
лости балки при изгибе), превра-
тится после деформации в дугу
А'В'. Отрезок нейтрального волокна O1O2, превратившись в дугу
О1О2, не изменит своей длины, тогда как волокно АВ получит
удлинение:
до деформации
АВ = OjO2 = р dQ,
после деформации
А'В' — (р + z) dQ,
где р — радиус кривизны нейтрального волокна.
Поэтому абсолютное удлинение отрезка АВ равно
ЬАВ = А'В' — АВ = z dQ,
я относительное удлинение
АЛВ
е
г dd _ г
АВ р dO р
Так как согласно положению (3) волокно АВ подвергается
осевому растяжению, то при упругой деформации
с
а —Ее ——.
Р
(5.7)
(5.8)
166
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
1ГЛ 5
Отсюда видно, что нормальные напряжения по высоте балки-
распределяются по линейному закону (рис. 94). Так как равно-
действующая всех усилий по всем элементарным площадкам се-
чения должна равняться нулю, то
\odF = 0, (5.9)
(F)
откуда, подставляя значение ег из (5.8), найдем
^zdF — 0.
(Л
(5.10>
Но последний интеграл есть статический момент относительно
оси Оу, перпендикулярной к плоскости действия изгибающих уси-
лий. Вследствие равен-
2 ства его нулю эта ось
должна проходить через
центр тяжести О сечения.
Таким образом,нейтраль-
ная линия сечения балки
есть прямая уу, перпен-
дикулярная к плоскости
действия изгибающих
рис. 94 усилий. Ее называют ней-
тральной осью сечения
балки. Тогда из (5.8) следует, что напряжения в точках, лежа-
щих на одинаковом расстоянии от нейтральной оси, одинаковы..
Случай чистого изгиба, при котором изгибающие усилия дей-
ствуют только в одной плоскости, вызывая изгиб только в этой
плоскости, является плоским чистым изгибом. Если названная
плоскость проходит через ось Oz, то момент элементарных уси-
лий относительно этой оси должен быть равен нулю, т. е.
j ус dF = 0.
(П
Подставляя сюда значение с из (5.8), находим
yz dF = 0.
(К)
(5.11)
(5.12)
Стоящий в левой части этого равенства интеграл, как изве-
стно, является центробежным моментом инерции сечения относи-
тельно осей у и г, так что
]yz — ^yzdF = 0.
(Г)
«S 231
ЧИСТЫИ ИЗГИБ
167
Оси, относительно которых центробежный момент инерции
сечения равен нулю, называют главными осями инерции этого
сечения. Если они, кроме того, проходят через центр тяжести
сечения, то их можно назвать главными центральными осями
инерции сечения. Таким образом, при плоском чистом изгибе
направление плоскости действия изгибающих усилий и нейтраль-
ная ось сечения являются главными центральными осями инер-
ции последнего. Иными словами, для получения плоского чи-
стого изгиба балки нагрузка к ней не может прикладываться
произвольно: она должна сводиться к силам, действующим в
плоскости, которая проходит через одну из главных центральных
осей инерции сечений балки; при этом другая главная централь-
ная ось инерции будет являться нейтральной осью сечения.
Как известно, в случае сечения, симметричного относительно
какой-либо оси, ось симметрии является одной из главных цент-
ральных осей инерции его. Следовательно, в этом частном случае
мы заведомо получим чистый изгиб, приложив соответствующие
нагрузки в плоскости, проходящей через продольную ось балки
и ось' симметрии ее сечения. Прямая, перпендикулярная к оси
симметрии и проходящая через центр тяжести сечения, является
при этом нейтральной осью этого сечения.
Установив положение нейтральной оси, нетрудно найти и ве-
личину напряжения в любой точке сечения. В самом деле, так
как сумма моментов элементарных усилий относительно нейт-
ральной оси уу должна равняться изгибающему моменту, то
^zodF = M, (5.13)
(Л
откуда, подставляя значение а из (5.8), найдем
z2 dF = М.
(Л
Так как интеграл }z2dF = Jy является
(Л
-сечения относительно оси уу, то
1 _ м
Р Ely '
и из выражения (5.8) получим
моментом инерции
(5.14)
(5.15)
Произведение Е/у называют жесткостью балки при изгибе.
Наибольшее растягивающее и наибольшее по абсолютной
величине сжимающее напряжения действуют в точках сечения,
168
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
для которых абсолютная величина z наибольшая, т. е. в точках,,
наиболее удаленных от нейтральной оси. При обозначениях
рис. 95 имеем
тгц . mhi
maxo = —-—, minor =------
Jy Jy
Величину Jy/hi называют моментом сопротивления сечения рас-
тяжению и обозначают аналогично, Jy/h2 называют момен-
том сопротивления сечения сжатию
и обозначают Й7ас, так что
и поэтому
м . м
тах<т = -й=—, тшо =--------—.
1К//Р И7 ус
(5.17)
Если нейтральная ось является
Рис. 95. осью симметрии сечения, то =
= h2 — h/2 и, следовательно. Й7ар===
= №ус, так что их различать нет надобности, и пользуются од-
ним обозначением:
27»
^Р = ^===^ = -Г. (5-18>
называя Wy просто моментом сопротивления сечения. Следова-
тельно, в случае сечения, симметричного относительно нейтраль-
ной оси,
maxo = -^r-, minff = —jpy (5.19)
Все приведенные выше выводы получены на основании допу-
щения, что поперечные сечения балки при изгибе остаются пло-
скими и нормальными к ее оси {гипотеза плоских сечений). Как
было показано, это допущение справедливо только в том случае,,
когда крайние (концевые) сечения балки при изгибе остаются
плоскими. С другой стороны, из гипотезы плоских сечений сле-
дует, что элементарные усилия в таких сечениях должны распре-
деляться по линейному закону. Поэтому для справедливости по-
лученной теории плоского чистого изгиба необходимо, чтобы из-
гибающие моменты на концах балки были приложены в виде-
элементарных сил, распределенных по высоте сечения по линей-
ному закону (рис. 96), совпадающему с законом распределения
напряжений по высоте сечения балки. Однако на основания
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ
169
Рис. 96.
§ 23]
принципа Сен-Венана можно утверждать, что изменение способа
приложения изгибающих моментов на концах балки вызовет
лишь местные деформации, влияние которых скажется лишь на
некотором расстоянии от этих концов (приблизительно равном
высоте сечения). Сечения же, находящиеся во всей остальной
части длины балки, останутся
плоскими. Следовательно, из-
ложенная теория плоского чи-
стого изгиба при любом спо-
собе приложения изгибающих
моментов справедлива только
в пределах средней части
длины балки, находящейся от ее концов на расстояниях, при-
близительно равных высоте сечения. Отсюда ясно, что эта тео-
рия заведомо неприменима, если высота сечения превосходит
половину длины или пролета балки.
3. Плоский чистый изгиб балки с точки зрения общей теории объемного
напряженного состояния. Нетрудно показать, что полученные нами выражения
для напряжений при плоском чистом изгибе при упругих деформациях яв-
ляются точным решением уравнений общей теории объемного напряженного
состояния, изложенной в пп. 6 и 7 § 11, и что гипотеза плоских сечений согла-
суется с этим решением. В самом деле, указанные выражения в обозначениях
и. 6 § 11 можно представить так:
<7v=a2, ст^ = стг = О, тХд — Туг — ^zx= 0. (5.20)
Непосредственная подстановка их в уравнения равновесия (3.55) и (3.56)
доказывает, что выражения (5.20) удовлетворяют этим уравнениям. В то же
время, так как нормаль в любой точке поверхности перпендикулярна к оси Ох,
для всех этих нормалей Z = 0, и из уравнений (3.57) получим:
Рх = ах'- + Тхг,т + ТггП = 0,
Рг/ — ^xyl 4“ Qyfn + хугп = 0,
Рг — + ^zytn + СТа-п — 0.
А это значит, что по любой площадке боковой поверхности напряжения рав-
ны нулю, а следовательно, не приложено и нагрузки. Вместе с тем для лю-
бого сечения балки
axdF = a z dF = aSy,
(F) (F)
si потому, если ось Оу, т. е. нейтральная ось сечения, проходит через центр
тяжести последнего, то
ах dF = 0.
(F)
Если оси Оу и Oz являются главными осями инерции сечения балки, то
уох dF = a ^yz dF = alyz = 0.
(F) (F)
170
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5-
При этом
так что
га dF — а у г2 dF — aJy = М,
(F) (Д)
и, следовательно, выражения (5.20) принимают вид
ах =
а у — аг — 0, хХу — tyz — tzx — 0.
(5.21 >
Полученные результаты показывают, что напряжения (5.21) соответствуют-
нагрузке на балку, представленной на рис. 96.
Из (5.21) следует, что
8х — — Н (dy + <тг)] — ,
ед == 4- К ~ Н (а2 + а2)] = - ,
е2 = [а2 — 1* (dx + ад)] = —
и потому, на основании (3.66) н (5.21),
ди ____________ Мг да __ цМг dw ___ цМг
дх Ely ’ ду ~ Ely ’ дг ~ EJy '
ди . до _ дУ , dw dw . ди
ду ' дх ’ дг ' ду ’ дх ’ дг
(5.22);
Первое уравнение (5.22) удовлетворяется, если положить
Afxz , . ,
« = + <Р (У, z),
где <f(y, г) — произвольная функция. Но тогда из четвертого и шестого урав-
нений той же системы получим
ду ди дф
дх ~ ду ~~ ~ду’
и потому
dw ди Мх дф
дх дг Ely дг ’
v = — х
w
^'+<₽* (х, г),
Мх2
^EJy
(5.23)
дф , , ,
-g^ + ъ (У>
где ф) (у, г) и ф2 (у, г) — тоже произвольные функции. Вместе с тем второе;
и третье уравнения (5.22) дают
да = _ дгф . дф] _ _ р.Мг
ду Х ду2 + ду EJy ’
dw _ д2ф , <Эфг ____________ Мг
Х дг2 + дг ~ и ~Ё7^'
5 23]
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ
171
Эти уравнения должны удовлетворяться при любых значениях, в частности,
я при х = 0. Поэтому
дф1 цМг д<р2 fiMz
ду Ely ’ dz Ely
и, следовательно,
д2Ф _п д2ф
ду2 ~ ’ dz2
(5.24)
(5.25)
Из (5.24) получаем
Alyz . t . Mz2 . , , .
ф1= — И-£7^- +fl (z)> ф2 = — |X 257^+ >’
где ft (z) и f2 (у) — снова произвольные функции. Поэтому
v = — х
дф __
ду
Мх2
2EJ
<Эф Mz2 .
Х dz 11 2EJB + '2(г/)’
Подставляя эти выражения в пятое уравнение (5.22), получаем
dv , dw_______д2Ф _ Му df. _ d2<p df2 _
dz dy ~~ dydz и Ely -г dz dydz dy
ж, полагая x = 0, найдем
'так что
_ My л. d^2 — —
И E/y dy dz’
-^L_ = 0.
dy dz
Ввиду того, что левая часть первого из этих равенств зависит только от у,
а правая часть — только от г, то оно возможно лишь при условии, что каж-
дая его часть равна одной и той же постоянной, т. е.
fi Му , df2 dfi
Ely ' dy ’ dz c>
откуда
t fiMy2 < . , , ,
^2 = '2EJy"^Cl/ + d' fi = ~cz+e>
где d и e — произвольные постоянные. Для определения функции п<н
лучим
д2Ф п <Э2Ф _п 32ф
ду2 ~и’ dz2 ’ dydz ~ '
«откуда следует, что
ф = РУ + + G
172
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
ТГЛ. .5
где р, q, г — произвольные постоянные. Окончательно получим следующие:
формулы:
A-lxz .
“ “° + РУ + qZ + Г’
о = — ц -=-т---cz + е — рх,
у
Мх2 цМ (z2 — у2)
W~ ~2EJ^ 2ЁТу
cy + d— qx.
Если конец оси балки, соответствующий х = у — z = 0, закреплен так, что
не происходит ни его поступательного перемещения, ни поворота в плоскости
xOz, то при этих значениях координат
л dw п
и = v = w = 0 и —— = О,
дх
откуда
r = e — d = q — 0.
Так как при плоском изгибе в плоскости xOz площадки, находящиеся в этой
плоскости, не должны поворачиваться вокруг осей Oz и Ох, то
dv dv
=0 и -7г- = 0.
дх дг
Следовательно, при х = у — z = 0 равны также нулю ду]дх и dvjdz, по-
этому р — с = 0. Таким образом, можно принять
Mxz
v=-y
Myz
Мх2
‘2EJ
.. М (г2 — у2)
(5.26):
Полученные выражения и, v и w являются непрерывными и однозначными:
функциями от координат точек балки и, следовательно, такие перемещения;
не могут сопровождаться нарушением ее сплошности.
Так как для продольной оси балки у = г = 0, то перемещения ее точек,
будут равны
u = v = 0, w = — ,
так что эта ось после деформации останется плоской кривой. Уравнение лю-
бого сечения, нормального к этой оси до деформации,
х — а,
превратится после деформации в
. . Маг
х = а + и „ или х = а Ч—ft?—.
х-а EJy
Это есть уравнение плоскости, угол наклона которой к оси Oz при малых:
деформациях равен
dx __ Ма
dz Ely ’
В то же время угол нормали к изогнутой оси балки с осью Ог равен
/ dw \ Ма
\ dx )х=а Ely
Таким образом, сечение балки после деформации остается плоским и нор-
мальным к оси балки, что и принималось нами как основное положение для:
исследования напряженного состояния балок при плоском чистом изгибе.
§ 23]
ЧИСТЫИ ИЗГИБ
173
4. Проверка прочности балок при чистом изгибе. Сравни-
тельная оценка различных форм поперечных сечений балок.
Если исходить из условия, что для обеспечения прочности ни
в одной точке тела напряжения не должны превосходить допу-
скаемые, то в случае чистого изгиба балок условие прочности в
общем случае может быть представлено следующим образом:
maxa = -j^-<[o]P, | min <т | = < [ст]с, (5.27)
wyp w ус
где Ир и Ис — допускаемые напряжения на растяжение и сжа-
тие.
В частном случае сечения, симметричного относительно нейт-
ральной оси, и равенства допускаемых напряжений на растяже-
ние и сжатие, два условия сливаются в одно:
-^<И- (5.28)
Пользуясь условиями (5.27) или (5.28), проверяют прочность
или подбирают сечение балки, а также оценивают ее грузоподъ-
емность.
Очевидно, что в случае, когда Ир #= Ис, целесообразно под-
бирать сечение балки, несимметричное относительно нейтраль-
ной оси, так как при таком сечении можно добиться того, чтобы
в наиболее напряженных растянутом и сжатом волокнах напря-
жения были равны допускаемым. Наоборот, при Ир — Ис по
аналогичным соображениям более оправданным явится сечение,
симметричное относительно нейтральной оси.
Вследствие того, что грузоподъемность балки пропорциональ-
на моменту сопротивления ее сечения, а расход материала на
балку пропорционален площади этого сечения, экономичность
принятого типа сечения можно оценивать по величине
(Гуд = -^[М, (5.29)
называемой удельным моментом сопротивления.
Так, для прямоугольного сечеиия
(Гуд = -^-:/>/г = -|- = 0,17/г [сл/].
Для круглого сечения
(Гуд = : л,г2 —— = 0,125/г [см].
Для прокатных двутавровых балок действующего в СССР
сортамента
1Гуд » 0,32/г.
174
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
Таким образом, эти балки почти вдвое экономичнее балок пря-
моугольного сечения и более чем в 2'/2 раза — балок круглого
сечения. Если двутавровый профиль склепывается из листов и
Vrnnvna тлптл ррргшррртпа тло чигтлп о 6ГО МОЖРТ
т X W1 X1VX4X 11U Ш1 V, » X_Z XJ j ^ZlWllV 1,1 II ill W 1 1/ *•-* О »»*'-' XlkV 1
оказаться даже большей.
5. Расчет балок на чистый изгиб по предельному состоянию.
Поставив требование, чтобы наибольшие напряжения не превос-
ходили допускаемых, мы обеспечиваем
гарантию того, что эти напряжения не
достигнут для балок из хрупких мате-
риалов временного сопротивления, а для
балок из пластичных материалов — пре-
дела текучести. Иными словами, при та-
ком расчете за предельное состояние ба-
лок из хрупкого материала принимается
состояние по рис. 97, а, а для балок из
пластичного материала — по рис. 97, б
(при одинаковом ст для растяжения и
сжатия). Представленное на рис. 97, а
состояние балки из хрупкого материала
можно действительно считать предель-
ным, так как при нем начинается разру-
шение балки. Что касается состояния,
представленного на рис. 97, б, то рассматривать его как предель-
ное можно лишь условно, в том смысле, что в этом состоянии
в балке начинают развиваться пластические деформации. Од-
нако это обстоятельство не может ни повлечь за собой значи-
тельного увеличения прогибов, ни от-
разиться на грузоподъемности бал-
ки, так как в этом состоянии пласти-
чески деформируются лишь крайние
волокна балки, все же остальные
испытывают упругие деформации.
При дальнейшем увеличении изги-
Рис. бающих моментов крайние волокна,
правда, деформируются без сущест-
венного увеличения напряжений, зато в остальных напряжения
могут увеличиваться по крайней мере до от. В результате начи-
нают пластически деформироваться волокна, ближайшие к край-
ним, затем ближайшие к названным и т. д. Таким образом, пре-
небрегая возможностью незначительного роста напряжений
после достижения величины от, можно представить последова-
тельное изменение напряженного состояния эпюрами, изобра-
женными на рис. 98 пунктиром. Иными словами, пластическая
деформация, начавшись у поверхности балки, при дальнейшем
росте изгибающих моментов постепенно распространяется вглубь.
§23]
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ
175
В результате зона упругих деформаций все уменьшается и
может сделаться весьма малой. При этом и жесткость балки
уменьшается настолько, что дальнейшее возрастание нагрузки
даже на самую малую величину влечет за собой значительное
возрастание прогибов. Высота упругой зоны, однако, не может
сделаться равной нулю, так как в этом случае эпюра нормаль-
ных напряжений принимает вид, показанный на рис. 99, а, и,
Рис. 99.
следовательно, в плоскости нейтрального слоя должно иметь ме-
сто нарушение непрерывности изменения деформаций — скачко-
образный переход от растяжения к сжатию. Тем не менее эта
высота может сделаться близкой к нулю. Поэтому за предель-
ное состояние балки из пластичного материала при чистом из-
гибе условно принимают состояние, характеризующееся эпюрой
нормальных напряжений (рис. 99,6). Применяя в таком случае
уравнения (5.9) и (5.13), получим
о dF ~ о dF + о dF — <гт dF — от dF=ax (Fr—F2) = О,
(Г) (Г>) (Л) (Г,) (Л)
где Fi — площадь растянутой зоны сечения, F2— площадь сжа-
той зоны; пределы текучести при растяжении и сжатии приняты
одинаковыми (от и —<гт). Отсюда
Fi — F2 = 0 или Fi — F2,
иными словами, в предельном состоянии нейтральная ось сече-
ния должна делить его площадь пополам. Далее,
azdF = J oz dF + az dF = от Г zdF — z rffl = Л1пред>
(D (fi) (f2) L(X) (X) J
откуда
МпРед = <тт(51 + 52), (5.30)
где S — статический момент растянутой зоны сечения относи-
тельно нейтральной оси; S2— абсолютная величина статического
момента сжатой зоны сечения относительной той же оси.
176
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
Величину Si + S2 принято называть пластическим моментом
сопротивления:
S, + S2 = w^. (5.31)
В частности, для сечения, симметричного относительно нейт-
ральной оси, S2 = Si, так что
№пл = 2$,. (5.32)
В случае прямоугольного сечения
U7n., = 2-^-4- = JT-=lI5lFy.
Для двутавровых прокатных балок действующего сортамента
Ц7ПЛ=1,17-*- 1,20 Wy.
Представляя Мпрся в виде
•Мпред == О’тИ'7 пл>
получим
м<^.п?.!д. =±ГГ/
kt kt ™
Таким образом, условие прочности при расчете по предель-
ному состоянию представится в виде
(5.33)
w пл
откуда видно, что при расчете по предельному состоянию гру-
зоподъемность балки может быть повышена в зависимости от
значения. При временной
момент прекратит действие,
формы сечения на 17—50% по
сравнению с той, которая полу-
чается при расчете по допускае-
мым напряжениям.
Однако расчет по предельно-
му состоянию не гарантирует,
что часть сечения балки не будет
пластически деформирована. При
постоянной нагрузке это обстоя-
тельство не имеет существенного
нагрузке последняя в некоторый
произойдет разгрузка, которая, как
мы видели раньше, подчиняется упругому закону. Поэтому при
разгрузке после пластической деформации (рис. 100) сни-
маются напряжения, изображаемые в каждой зоне треугольной
эпюрой, статический момент которой относительно оси NN в слу-
чае прямоугольного сечения равен статическому моменту относи-
тельно той же оси соответствующей части эпюры напряжений
действовавших до разгрузки. В результате в балке остаются
S 24]
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БАЛКИ
177
напряжения, представляемые заштрихованной на рис. 100 эпю-
рой. Следовательно, разгрузка после пластической деформации
приводит к появлению в балке остаточных напряжений; в то же
время она сопровождается наклепом материала балки, изме-
няющим его свойства.
Поэтому применение расчета по предельному состоянию при
временной нагрузке связано с рядом осложнений, значение ко-
торых в каждом частном случае должно быть изучено.
§ 24. Напряженное состояние балки в общем случае
плоского изгиба (при изгибе с поперечной силой)
Л. Основные положения и допущения. В общем случае из-
гиба в сечениях балки, помимо изгибающего момента, имеется
поперечная сила, отличная от нуля, и, следовательно, изгибаю-
щий момент уже не постоянен, а изменяется по длине балки. Так
как изгибающее усилие,
а следовательно, и изги-
бающий момент, связаны
с нормальными напряже-
ниями, то и нормальные
напряжения в сходствен-
ных точках сечений будут
изменяться. Но в таком
случае равновесие любо-
,го элемента балки воз-
можно лишь при наличии
касательных напряжений,
изменяющихся по высоте
балки (рис. 101). Таким образом, при изгибе с поперечной силой
в сечениях балки мы будем иметь не только нормальные, но и
касательные напряжения. Следствием этих напряжений, изме-
няющихся по высоте балки и вызывающих неодинаковый сдвиг
элементов, является искривление поперечных сечений (рис. 102).
Кроме того, при наличии касательных напряжений оказывается
возможным для обеспечения равновесия элемента (см. рис. 102)
возникновение нормальных напряжений и по верхней и по ниж-
ней граням элемента, т. е. оказывается возможным давление со-
седних волокон друг на друга.
Отсюда следует, что основные положения, которыми мы руко-
водствовались для исследования нормальных напряжений при
чистом изгибе, теряют силу при изгибе с поперечной силой. По-
этому и полученные ранее выводы о распределении и величине
нормальных напряжений, очевидно, должны быть изменены с
учетом влияния поперечной силы. Однако можно показать (что
мы и сделаем впоследствии), что влияние поперечной силы на
Рис. 101.
178
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
нормальные напряжения невелико. Мы убедимся в дальнейшем.
что, не учитывая этого влияния, т. е. определяя нормальные на-
пряжения при изгибе с поперечной силой так же, как и при чи-
пропорциональна квадрату отношения высоты h балки к пролету
/. Так, например, для балки прямоугольного поперечного сече-
Рис. 102.
деляя последние по той же
гибе:
ния при довольно распространен-
h, 1
ном отношении — — -ру эта
ошибка в определении величины
наибольших нормальных напря-
4
жений имеет порядок % , или
1 э
немного больше -|-%. При у- = у»
что встречается на практике до-
вольно редко, ошибка составит
около 1 %.
Учитывая, что такая ошибка
не имеет практического значения
и что она в большинстве случаев
не выходит за пределы точности
технических вычислений, мы в
дальнейшем не будем считаться
с влиянием поперечной силы на
нормальные напряжения, опре-
формуле, что и при чистом из-
о = (5.15)
Это равносильно утверждению, что при изгибе с поперечной
силой можно в качестве приближенного, но вполне приемлемого
допущения принимать, что поперечные сечения остаются пло-
скими и что давление соседних волокон балки друг на друга от-
сутствует.
2. Определение касательных напряжений в сечениях балки.
Установив таким образом закон распределения и величину нор-
мальных напряжений, перейдем к рассмотрению касательных
напряжений, возникновение которых связано с наличием попе-
речной силы. Следует при этом иметь в виду, что в плоскости
сечения касательные напряжения могут иметь самые разнооб-
разные направления.
В частности, нетрудно установить, что в точках контура сече-
ния касательные напряжения направлены всегда по касательной
к контуру. В самом деле, если действующее по какой-либо бес-
5 241
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БАЛКИ
179
конечно малой площадке вблизи контура (рис. 103) касательное
усилие XnxdF разложить на составляющие, из которых одна,
xsxdF, направлена параллельно касательной к контуру, а вторая,
xrxdF, по нормали к нему, то наличие последней составляющей
должно привести по закону парности касательных напряже-
ний к возникновению таких же по величине усилий, но обрат-
ного знака (—x„dF) на площадке поверхности, перпендикуляр-
ной к рассматриваемой. Ввиду отсутствия на поверхности балки
нагрузки, параллельной образующим этой поверхности, усилия
такого направления на поверхности отсутствуют. Следовательно,
должны отсутствовать и равные им усилия на рассматриваемой
нами площадке сечения. Иными словами, касательные усилия
на этой площадке имеют лишь составляющую по направлению
касательной к контуру. Переходя к пределу при убывании раз-
меров площадки до нуля, приходим к сформулированному выше
выводу.
В точках оси Oz направление касательных напряжений со-
впадает с направлением этой оси. В точках, занимающих проме-
жуточное положение между контуром сечения и осью Oz, на-
правление касательных напряжений, очевидно, является каким-
то промежуточным между установленными для граничных точек
направлениями. Таким образом, при исследовании касательных
напряжений в сечениях балки нам придется интересоваться не
только величиной, но и направлением этих напряжений, или, что
все равно, их проекциями на два каких-либо направления, на-
пример, Xzx и Хух.
180
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
Одна из этих проекций, а именно проекция на направление
Oz, которую мы обозначаем t22>. может быть легко получена из
условий равновесия элемента балки.
Рассмотрим элемент балки, подверженной действию изгиба
с поперечной силой (рис. 104).
Вследствие различия в усилиях Si и S2, вызванного измене*
нием изгибающего момента по длине балки, для обеспечения
на направление S, или, что то же,
равновесия нашего эле-
мента, по верхней его
грани должно действо-
вать касательное усилие
dT, обусловливающее воз-
никновение касательных,
напряжений тХ2 (рис. 105).
Другими составляющими
касательных усилий мы
можем не интересовать-
ся, так как в дальнейшем
будем рассматривать
лишь сумму проекции сил
на ось Ох. Составляя эту
сумму, получим
£x = -s1-cir + s2 = o.
Вследствие бесконечной малости расстояния dx и разность
S2— Si есть величина бесконечно малая:
S2 — Si = dS\.
Что касается величины dT, то, приняв как допущение, что тХ2 по
ширине верхней площадки элемента распределяется равномерно^
получим
dT = xxzb (z) dx
и, следовательно,
dSj — xxzb (z) dx = 0,
§ 24]
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БАЛКИ
18>
откуда
Ххг ~~ b (z) dx •
Но
С J Т' С J Г* 1 J гл
S] = \ о dF — \ -у— dF = -f— \ zdF
J J * и и *J
av (к») (б,)
AfSyo
^У
где Fo и Sy о — площадь и статический момент относительно ней-
тральной оси Оу части сечения, отсекаемой от него прямой, па-
раллельной оси Оу и находящейся от нее на расстоянии z. По-
этому
1 d (1 Г dM SyQ । d ( Syy
Ххг = ~b(z) ‘ ~dx I jy )= b(z) Ldx 77”^ ^^VTT/.T
Так как
4?-=q,
dx
TO
_ QSyo M d (SyoX
Xxz~ b(z)Jy + b(z) ’ dx \ Jy )• (5-34)’
Если сечение постоянно по длине балки, то Sy0 и Jy не зави-
сят от х и, следовательно,
1_±Г) = 0,
dx \ Jу J
так что для балки постоянного сечения окончательно по-
лучим
Рис. 106.
(5.35)
_ QSy о
Тг* — Ххг — ь (2) .
Формула (5.35) была получена в
1855 г. русским инженером Д. И. Журав-
ским.
3. Распределение касательных напря-
жений в балках прямоугольного, круг-
лого и двутаврового сечения. Формулы
(5.34) и (5.35) позволяют вычислить со-
ставляющую касательного напряжения
тжг (или tzx) при любой форме сечения балки. Вторую состав-
ляющую хУх (или хху) приходится исследовать в каждом част-
ном случае.
Так, рассматривая балку прямоугольного сечения (рис. 106),
замечаем, что в точках на боковых сторонах прямоугольника на-
правление касательных напряжений должно совпадать с направ-
лением этих сторон, т. е. хух = 0. В точках на оси Oz также
182
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
ГГЛ. 5
ТуХ = 0. Поэтому при небольшой величине b естественно счи-
тать, что и в промежуточных точках хух = 0, т. е. принимать
всюду
T = TjC2== ’
Подставляя сюда значения
Ь
~ 2
— Z
b{z) = b,
получим
3 Q f. 4z2 X ._
Т ~2 • ~р~ J • (5.36)
Следовательно, в балке прямоугольного сечения касательные
напряжения изменяются по высоте
Эп. К,
Рис. 107.
сечения по параболическому
закону. Эпюра распределе-
ния этих напряжений пока-
зана на рис. 106. В точках
нейтральной оси
Ттах =4 «4- <5'37)
Для балки круглого по-
перечного сечения касатель-
ные напряжения в точках
контура, как показано вы-
ше, должны быть направ-
лены по касательным к ок-
ружности контура. Имея в
виду полную симметрию
круга, можно принять допу-
щение, что касательные на-
пряжения в точках хорды,
параллельной нейтральной
оси сечения, имеют направ-
ления, сходящиеся в точке пересечения касательных к окруж-
ности на концах этой хорды. Величина их проекций на направ-
ление Oz одинакова и определяется формулой
«
Xzx = b (z) Jy ’ (5-38)
Рассмотрим элементарную площадку (рис. 107). Так как
dF = bdz, z = rsin0, dz — г cos 0 dQ,
то
dF = 2r cos 0 • г cos dQ.
Л 24] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БАЛКИ 18$
Поэтому
Sy, = г sin 0 • 2r2 cos2 0 dQ — у г3 cos3 а.
а
Ширина сечения
b (z) = 2r cos а.
Таким образом,
2
Q.yr3cos3a 4 Q
Принимая во внимание, что sina = y, получим
т«=у--£(1--J)- (5.39)>
Эпюра xzx показана на рис. 107.
Полное касательное напряжение в точках контура равно
т==-5т=4-4соза- <5-4о>
В других точках, расположенных на той же хорде, полное
касательное напряжение
имеет меньшую величину.
В точках нейтральной оси
полные касательные на-
пряжения направлены па-
раллельно оси Oz, т. е. т =
= Tza- Поэтому Тщах == Tzx
при а = 0, т. е.
Ттах=4-4-
В стенке двутавровой
балки (рис. 108) на основа-
нии рассуждений, применен-
ных нами для балки прямо-
угольного сечения, можно
принять с достаточной точностью, что существуют только напря-
жения TZx, ТЭК ЧТО Т = Tzx-
Что касается полок, то на горизонтальных их гранях каса-
тельные напряжения должны быть направлены по горизонталь-
ной прямой, т. е. их составляющая xzx — 0, а хух отлична от
нуля. Очевидно, что и в промежуточных точках горизонтальная
составляющая касательного напряжения хух должна иметь боль-
шее значение, чем xzx.
184
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
ГГЛ. 5
Если применить для определения последней составляющей
формулу (5.35), то получим:
в точках полки
_ Qb (Т “ z) Т ("2 + z) _ Q /А2 2\.
гх ~ Ыу ~ 21 у \ 4 z )'
в точках стенки
_ Qbt(h-t) . Q[(t~0 ~ z2\
Тгх— 2 61 у 21 у
так как
5у0=^-Ц^- + б(4-/-г)у(4-^ + 2)>
и эпюра распределения касательных напряжений т2Х по высоте
двутавра представится рис. 108, причем на границе между пол-
кой и стенкой вследствие резкого изменения ширины сечения
имеется скачок в величине ординат. Однако эта эпюра в преде-
лах полки и на границе между полкой и стенкой имеет лишь
весьма условное значение. В самом деле, по нижней грани верх-
ней полки и верхней грани нижней полки составляющая каса-
тельного напряжения т2Ж должна быть равна нулю, между тем
по формуле (5.35) она получается отличной от нуля. Следова-
тельно, эта формула для напряжений в полке приводит к оши-
бочным, по существу, результатам. Можно лишь утверждать,
что при небольшой толщине полки касательные напряжения xzx
в полке весьма малы, как это мы имеем и на нашей эпюре. В то
же время в месте резкого изменения ширины сечения естественно
ожидать значительной концентрации напряжений. Поэтому
эпюра напряжений tzx для точек на вертикали, проходящей по
краю стенки, должна иметь вид, представленный на рис. 108
пунктиром. В действительности, однако, в прокатных двутавро-
вых балках в вершинах входящих углов делается закругление,
снижающее концентрацию напряжений. К тому же в результате
прокатки здесь получаются остаточные напряжения, зависящие
от режима прокатки и потому не поддающиеся достоверному
учету. Таким образом, величина касательных напряжений т2Х
в районе границы полки и стенки не может быть точно установ-
лена. Что касается величины наибольших напряжений, то она
из эпюры рис. 108 получается достаточно достоверной.
Для определения составляющих туж касательных напряжений
в точках полки можно воспользоваться той же формулой (5.33),
принимая в ней за Syo статический момент относительно нейт-
ральной оси части полки, показанной на рис. 109 штриховкой, а
за b (г) — толщину полки. Тогда
= (5-42)
§ 24]
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БАЛКИ
185
(5.43)
Таким образом, тху изменяется в пределах полки по линейному
закону (рис. 109). Максимум получается при у = 6/2:
max хху = (& — 6) (h — t).
™ у
Однако эта величина не может считаться достоверной вследствие
наличия концентрации напряжений в районе границы
полкой и стенкой и по соображениям,- высказанным выше
шении тгзс.
между
в отно-
Рис. ПО.
Ввиду того, что в точках полки напряжения тгзс (за исклю-
чением местных) невелики, то, пренебрегая их величиной, мо-
жем представить схему действия касательных напряжений в
двутавровой балке по рис. ПО.
В случае других типов сечений исследование касательных
напряжений может быть произведено с использованием сообра-
жений, аналогичных приводившимся для двутаврового сечения.
4. Главные напряжения в балках. Проверка прочности. В ре-
зультате исследования напряженного состояния балки мы полу-
чили возможность определить напряжения в любой точке по
трем взаимно перпендикулярным площадкам. В частности, для
точек на оси симметрии сечения балки имеем (рис. 111, а) для
площадки АВК, лежащей в плоскости поперечного сечения:
Mz QSyd
Gx = a = ~7^' Х?х = 5 (z) • Jу ;
для горизонтальной площадки АСК, перпендикулярной к АВК,
пренебрегая давлением соседних волокон друг на друга, полу-
чаем
л _ QS^ .
^г —U, Тхг— b(z)-Jy ’
186
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
и наконец по вертикальной площадке ACDB в плоскости сим-
метрии:
Оу — 0, т = тг/, — 0.
Следовательно, ACDB является главной площадкой, если
принять, что Оу = 02, то 02 = 0, т. е. напряженное состояние
балки в точках оси Oz является
плоским и его можно предста-
вить на плоскости (рис. 111,6).
Пользуясь формулами (3.8) и
(3.9) для определения главных
напряжений и направлений глав-
ных площадок при плоском на-
пряженном состоянии и подстав-
ляя в них указанные выше зна-
чения, получим главные напря-
жения в точках оси симметрий
поперечного сечения балки:
°т — ~2 + д/“Г + т’’ °2 — О,
Оз = у — д/-^- + т2, (5.44)
tg2«=-v> (5.45)
После этого мы получаем воз-
можность проверить прочность
Рис- балки, применяя одну из извест-
ных нам теорий прочности.
В частности, в случае балки из хрупкого материала можно
применить первую или вторую теорию прочности или формулы
(4.22), (4.23) и (4.30). Так как по первой теории условие проч-
ности имеет вид
<Т1 < [<т]р:
то на основании (5.44) получим
Ир.
(5.46)
По второй теории общее условие прочности
От — И И + <*з) < МР
§ 24]
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БАЛКИ
187
принимает для балки после подстановки выражений (5.44) вид
-Цр- о +д/о2 + 4т2 < [а]р. (5.47)
По формулам (4.22), (4.23) имеем <Мр,
(Гр СТ1 Ос (®2 + СТз)
т. е.
Ос Ор , °с + °р / 9 2ас + 4т2<[<т]р, (5.48)
и, наконец, по условию (4.30),
д/а2 + 4т2 — ао < с, (5.49)
где
ар-°с а = "V „ > с = Ор + Ос = (5.50) Ор + ос
Для балок из пластических материалов условие прочности
по третьей теории
Oi — <*з < [а]
принимает вид _______
д/<т2 + 4т2 (5.51)
по четвертой теории условие
д/у К°1 — °2)2 + (СТ2 — <*з)2 + (<7'S — <*1)2] < [<?]
в результате подстановки (5.44) обращается в
д/ст2 + Зт2 [а]. (5.52)
Необходимой гарантией прочности балки является выполне-
ние условия прочности в любой ее точке. Для этого достаточно,
чтобы условие прочности соблюдалось в точке, где его левая
часть имеет наибольшую величину. Такую точку называют опас-
ной. Ввиду противоречивости изменения о и т в различных сече-
ниях балки, равно как и по высоте сечений, влияние этих напря-
жений на величину левой части условий прочности весьма раз-
нообразно. Поэтому дать общее правило нахождения опасной
точки практически невозможно. Приходится рассматривать не-
сколько точек, имеющих наибольшую вероятность оказаться
опасными, и из них выбирать наиболее опасную, как это пока-
зано на частном примере (рис. 112).
В числе вероятных и, следовательно, проверяемых опасных
точек всегда должны находиться:
а) наиболее удаленные от нейтральной оси точки сечения,
в котором изгибающий момент имеет наибольшую величину;
188
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. S
в одной из них (назовем ее точкой 1) действует Отах, в другой
(точка Г) Отт, причем в обеих точках т = 0;
б) точка, находящаяся на нейтральной оси сечения, в кото-
ром поперечная сила имеет наибольшую величину (точка 2);
В ТОЧКе а = 0 И Т = Ттах-
Из рассмотрения эпюр с и т по высоте сечения в двутавро-
вых, тавровых и аналогичной формы балках (т. е. таких, где
Рис. 112.
ширина сечения по направлению оси Оу изменяется не непре-
рывно) видно, что для такого сечения балок опасной может
оказаться и точка 3 на границе между полкой и стенкой в сече-
нии, где одновременно М и Q достаточно велики (хотя бы они
и не достигали максимума).
Как показывают детальные исследования, в балках рассмот-
ренных типов сечений только перечисленные точки могут ока-
заться опасными. Поэтому проверка прочности таких балок сво-
дится к применению условий прочности ко всем перечисленным
точкам.
В точке 1
__ __ ______________________г,
^max wf >___________0.
w УР
и, следовательно,
<7! = ^-, О2 = Оз = 0. (5.53)
w ур
В точке 1'
a==omin==--^. т = 0,
а1 = (72 = 0, = (5.54)
W ус
§ 241
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ БАЛКИ
189
В точке 2
ст 0, т ттах
6Д
(5.55)
где S*y — статический момент части сечения, расположенной по
•одну сторону от нейтральной оси, относительно этой оси, а 6 —
ширина сечения, измеренная по нейтральной оси. Поэтому
ст1 = т, 02 = 0> стз = — т.
В точке 3, которую приходится рассматривать лишь для балок
типа двутавровых или тавровых, как нормальные, так и каса-
тельные напряжения не равны нулю и, следовательно, главные
напряжения представляются формулами общего вида (5.42).
Имея в виду соотношения (5.53) — (5.55), нетрудно показать,
что условие прочности для точки 1, независимо от того, какой
теорией прочности пользоваться, имеет вид
Мтах
(для сечения, симметричного относительно нейтральной оси, и
при равных допускаемых напряжениях на растяжение и на сжа-
тие). Для второй вероятной опасной точки условие прочности
имеет вид
< Гт1
причем влияние принятой теории прочности сказывается лишь
на величине [т].
Лишь в третьей вероятной опасной точке приходится приме-
нять полное условие прочности в соответствии с выбранной тео-
рией прочности.
Таким образом, проверка прочности балки при изгибе с по-
перечной силой сводится, вообще говоря, к проверке выполнения
трех условий:
1) ^<[«1.
(5.56)
3) условие прочности (по принятой при расчете теории) в точке
на границе между полкой и стенкой (двутавровая балка).
Для подбора сечения находят из первого условия необходи-
мое значение Му, по которому и определяют размеры сечения.
Приняв эти размеры, проверяют выполнение второго и третьего
условий. Если хотя бы одно из них не выполняется, соответствен-
но изменяют размеры сечения.
190
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
Необходимо, однако, заметить, что, как указывалось выше
(см. п. 3 настоящего параграфа), напряжения в точках вблизи
границы между полкой и стенкой не могут быть определены с не-
обходимой достоверностью. Поэтом^ проверка в опасной точке
на границе между полкой и стенкой оказывается совершенно ус-
ловной, в связи с чем в настоящее время ее не производят.
5. Расчет балок на изгиб с поперечной силой по предель-
ному состоянию. Выше мы видели, что при чистом изгибе расчет
по допускаемому напряжению не дает возможности использовать
полностью способность балки сопротивляться действию внешних
сил с гарантией, что не будет происходить быстрого возраста-
ния прогибов. Эту возможность мы получили, выполнив расчет
по предельному состоянию, которому соответствовала эпюра
напряжений, представленная на рис. 99. При изгибе с попереч-
ной силой такая эпюра напряжений оказывается недопустимой.
Применяя, например, четвертую теорию прочности, мы устано-
вим, что в точках сечения балки, в которых имеет место пласти-
ческая деформация, должно соблюдаться условие пластичности:
Vo2 + Зт2 = от, (5.57)
так что при о = от касательное напряжение должно быть равно
нулю. Иными словами, при нормальных напряжениях, распреде-
ленных в сечении балки по эпюре рис. 99, в этом сечении не мо-
гут действовать касательные напряжения и, следовательно, по-
перечная сила должна быть равной нулю (по крайней мере, при
наличии на диаграмме растяжения площадки текучести). Таким
образом, для того, чтобы балка могла сопротивляться не только
изгибающим моментам, но и поперечным силам, необходимо,
чтобы в некоторой части сечения выполнялось условие
, ffr
о < от при ,
Уз
т. е. чтобы некоторая часть сечения деформировалась упруго.
Рассматривая, например, двутавровую балку, видим, что за со-
стояние, близкое к предельному, можно принять состояние, ха-
рактеризующееся эпюрами рис. 113. В этом случае величина по-
перечной силы Q, которая может быть воспринята сечением
балки, выразится следующим образом:
+гт +гт
Q — т dF = j rd dz = 6 j т dz = do,
Р'о) ~гт -гт
где ю — площадь эпюры касательных напряжений. Принимая
последнюю приближенно за параболическую, получим
о
Q = -g- 2zttt6,
S 24J НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ КАЛКИ 191
•откуда _
__ 3Q _ 3Q Уз
т 4ттб 4ат6 *
При этом изгибающий момент
Л4пред = zo dF — za dF + za dF,
<F) (F,) (F,)
или, так как нейтральная ось является осью симметрии,
Л^пред — 2 za dF.
(Fi)
Но в пределах растянутой зоны можно рассматривать напря-
жения как напряжения, равные пределу текучести по всей
высоте этой зоны, но при 0 z zT уменьшающиеся на величину
<гт (1 —. Поэтому
откуда, после подстановки выражения zT через Q, получим
Л4пРед = Гплот--^- = от(гпл--^-У (5.58)
16ато \ 16ото)
Иными словами, поперечная сила уменьшает предельный изги-
бающий момент по сравнению со случаем чистого изгиба. По-
этому при наличии поперечной силы в сечении, которому соот-
ветствует Мщах, эффект расчета по предельному состоянию
192
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
может оказаться меньшим, чем можно было бы ожидать, исходя
из расчета только на чистый изгиб, так что его использование
в этом случае почти потеряет смысл. Кроме того, необходимо,
при расчете на временную нагрузку учитывать и соображения,
изложенные в п. 5 § 23.
§ 25. Деформации балок
1. Уравнение оси изогнутой балки. Применяемые в инженер-
ных конструкциях балки, помимо прочности, должны обладать
необходимой жесткостью, т. е. при расчетной нагрузке получать
прогиб, не превышающий определенной величины. Знать про-
гибы и углы поворота сече-
ний необходимо также и
для определения опорных
реакций статически неопре-
делимых балок. Прогибы и
углы поворота сечений ба-
лок условно называют часто
деформациями балок, хотя,
по существу, они являются
не деформациями, а пере-
мещениями.
Рис- 44- Если за ось абсцисс при-
нять ось недеформирован-
ной балки (рис. 114), то прогибы балки являются ординатами
оси изогнутой балки, которые мы будем обозначать w. Углы О
поворота сечений равны углам наклона к оси абсцисс касатель-
ной к оси изогнутой балки, так что
tg0
dw
dx ’
при малых прогибах
__ dw
dx
(5.59)
Таким образом, определение прогибов и углов поворота сече-
ний балки сводится к нахождению уравнения, являющегося
уравнением оси изогнутой балки. В случае чистого изгиба это
уравнение нетрудно написать, имея в виду, что кривизна оси
балки при чистом изгибе выражается формулой
1 м
Р ~ EJy
Так как при постоянном сечении балки кривизна оказывается
постоянной, ось такой балки представляет собой дугу окружно-
сти, радиус которой и положение двух точек известны. Найти
(5.60)
ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
193
§ 25]
уравнение этой дуги не представляет труда. При изгибе с попе-
речной силой уравнение (5.60), выведенное из условия, что по-
перечные сечения остаются плоскими и волокна не действуют
друг на друга, может рассматриваться лишь как приближенное.
Поперечная сила влияет на кривизну, а следовательно, и на про-
гибы оси балки. Однако, как показывают специальные исследо-
вания, влияние поперечной силы на прогибы балки весьма не-
велико и имеет тем меньшее значение, чем меньше отношение
высоты балки h к ее пролету I. Так, для балки прямоугольного
сечения при довольно распространенной величине отношения
h/l = 1/10 ошибка в определении прогиба без учета влияния по-
перечной силы в самом неблагоприятном случае составляет 3%
от величины наибольшего прогиба, изменяясь при этом пропор-
ционально квадрату отношения h/l. Таким образом, при неболь-
шой высоте балки можно с приемлемой точностью пренебрегать
влиянием поперечной силы на прогибы и потому принимать
1 м
р “ EJ ’
где для краткости опущен индекс у в обозначении момента инер-
ции поперечного сечения. Но, как известно,
1 , w"
Р ~ (1 + W'^ •
Сравнивая эти два выражения кривизны, получим дифферен-
циальное уравнение оси изогнутой балки в виде
Пользование этим уравнением оказывается затруднитель-
ным, так как прогиб, определяемый им, выражается через эллип-
тические интегралы, причем зависимость прогиба от нагрузки
оказывается нелинейной. Однако если прогиб балки невелик, то
и угол поворота сечения также невелик, т. е. величину 0 = wf
можно считать малой, имеющей тот же порядок малости, что
и прогиб w. Поэтому величиной а/2 в уравнении (5.61) можно
пренебречь по сравнению с единицей, и уравнение оси изогнутой
балки примет вид
п"=±-£. (5.62)
Детальное исследование показывает, что даже при прогибах,
составляющих 0,05 пролета, погрешность в определении проги-
бов из уравнения (5.62) настолько невелика, что может считать-
ся допустимой. Так как в практике, как правило, приходится
иметь дело с гораздо меньшими прогибами, то для их опреде-
ления мы будем пользоваться уравнением (5.62,) интегрирование
7 В. А. Гастев
•194
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
ГГЛ. 5
которого не представляет труда, причем прогиб оказывается
связанным с нагрузкой линейной зависимостью. Что касается
знака правой части уравнения (5.62), то (так как знак второй
производной определяет направление выпуклости кривой) он за-
висит всецело от выбора поло-
жительного направления про-
гибов: если направление про-
гибов считать положительным
в том случае, когда оно совпа-
дает с направлением выпукло-
сти оси изогнутой балки при
положительном изгибающем
моменте, то знак правой части
должен быть отрицательным.
При принятом нами правиле
знаков для изгибающих мо-
ментов, при положительном изгибающем моменте балка изги-
бается выпуклостью вниз. В дальнейшем мы будем и положи-
тельные прогибы считать направленными в ту же сторону
(рис. 115), а потому дифференциальное уравнение оси изогну-
той балки будет иметь такой вид:
w" = (5.63)
Итак, определение прогибов и углов поворота сечений сво-
дится к интегрированию уравнения (5.63), не представляющему
затруднений, как это видно из
приводимых ниже примеров.
Пример 1 (рис. 116). Найти
прогибы и углы поворота сечений
для балки.
В этом случае
,,___дх(1 — х)
2EJ
-----—- I ......
ТИ''
Рис. 116.
Проинтегрировав это уравнение дважды, получим:
___
2EJ V 2
q / lx3
2EJ I 6
v) + Ci>
О /
Уз) "Ь ^2-
Произвольные постоянные определяются из условия закрепления концов
балки. В нашем случае имеем граничные условия:
на левой опоре, т. е. при х = 0, w — О,
на правой опоре, т. е. при х = I, w = 0.
9 251
ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
1У5
Используя эти условия, получим
С2 = 0,
ql3
24ЁТ’
и, следовательно,
q / lx3 xi \ ql3x
2ЁТ к 6 TF7 + "24£T’
q / lx2 x3 \ . ql3
~2EJ ~) ' 24EI ’
w' = 0, чему соот-
Балка изгибается по параболе четвертого порядка. Наибольший прогиб f
имеет место в сечении, которое определяется из условия
ветствует х — 1/2, и следовательно,
f 5 <7^
? = таХа)=^-^-.
Пример 2 (рис. 117). В этом
случае балку надо разбить на два
участка, так как изгибающий момент
представляется на обоих участках раз-
ными выражениями.
Опорные реакции равны:
Л = Ру, В = Р-у;
при этом изгибающий момент на
участке I, т. е.
М = РуХ,
на участке II, т. е. при а <1 х <1 I:
M = Pj-x-P(x-a).
Таким образом, получаем два уравнения:
участок I (0 х а):
w‘
Pbx _
IEI ’
участок II (a x I);
w" = - Pbx P (x — IEI 1 El a) •
Каждое уравнение интегрируем отдельно:
/) , Pbx2 TO) = 21EI •+c„
Pbx3 Ш = 7Г77ГГ + Cix + C2;
II) , Pbx2 W 21EJ , P (x — a)2 । 1 2EJ 1 -£>i,
Pbx3 , P(x-a)3 , - П. v ~L П
~ ЫЕ1 1 6£7 1
7*
193
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
В полученные решения вошли четыре произвольные постоянные. Для их
определения двух условий на опорах недостаточно. Дополнительные условия
получаем, исходя из того, что ось изогнутой балки должна представлять со-
бой непрерывную и не имеющую изломов кривую. Поэтому на границе между
двумя участками, т. с. при х —- а,
Wj = oJyy, w'j = w'n.
Таким образом, имеем четыре условия: два на опорах и два на границе
участков. Из последних условий находим: Сх — С2 — &2> после чего,
пользуясь двумя первыми, найдем:
C1 = ni==w(1~'F)’ с2 = п2 = о.
Сечение, в котором прогиб
условия w' = 0. Подставляя
ченное уравнение, найдем
имеет наибольшую величину, определяется из
сюда значение w' для участка I и решая полу-
так что
Р1 р-ь2 / I2 - Ь2 , РЫ
f max w &lE/ 3 Д/ 3 + 6£j
3
12-Ь2
Ph
---------(I2 - ь2^,
9 <3 IEJ
Прогиб при х = Z/2, т. е. посредине пролета:
РЫ2 РЫ2 / _Ы_
48EJ + 12EJ V I2
РЬ
48^
®Х-Ц2
Если b = 1/2, то наибольший прогиб получим посредине пролета. При при-
ближении силы к правой опоре величина b становится малой по сравнению
с пролетом I, так что в выражениях f и a’I=;/j можно пренебречь вторым
членом в скобках по сравнению с первым.
Тогда
РЫ2
9 д/з EJ
= 0,0644
РЫ2
EJ ’
РЫ2 п „„ос РЫ2
wx^l/2— —0,0625 Е/ .
Иными словами, разница между f и wx=l,2 лишь в крайнем случае может
достигнуть 3%; поэтому можно ограничиться определением только прогиба f
в середине пролета.
Из рассмотренного примера видно, что в тех случаях, когда
для вычисления изгибающих моментов приходится разбивать
балку на несколько участков, при интегрировании уравнения
оси изогнутой балки для каждого участка получаем свои две
произвольные постоянные, так что всего придется определять
2п произвольных постоянных, где п — число участков. Для это-
го будем иметь два условия на концах балки и по два условия
на п—1 границе участков, всего 2п условий.
§ 25)
ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
197
В результате придется решать систему 2п уравнений с та-
ким же числом неизвестных. Решение такой системы при
п > 2 связано с громоздкими вычислениями. Однако можно
число постоянных свести к двум, используя прием, который
•сводится к двум правилам:
а) составляя выражения изгибающих моментов в функции
X, следует рассматривать все время одну часть балки, левую
или правую;
б) для интегрирования
пользоваться формулой
J (х — о) dx = ——
двучленов
(5.64)
При соблюдении этих правил
произвольные постоянные получа-
ются на всех участках одинаковы-
ми, и дело сводится к нахождению
лишь двух постоянных, как и в при-
мере 2.
вида (х — a)k следует
Пример 3 (рис. 118). В данной балке придется рассматривать три
участка, вследствие чего число произвольных постоянных равно шести. Одна-
ко применение описанного приема приводит к тому, что приходится опреде-
лять лишь две постоянные. Имеем:
участок I (О х а):
EJw" = - Ах,
EJw' = -A^- + Ct,
EJw = - А -^- -j- Сгх + А;
участок II (а^х 6):
EJw" = — Ах -|- Pi (х — а).
с. х2 Р, (х — а)2 .
EJw' = - А 4-----------4- С2,
ег л х3 . Pi (х — а)3 . _ , _
EJw — А | п 4“ О2х 4*
участок III (b^xs^l):
EJw" = - Лх + Р1 (х - а) + Р2 (х - Ь).
EJw^-A^ + ^^ + ^(^+C3>
EJw = - А 4 4- + + СзХ + D3.
198
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
1ГЛ. S
Используя условия на границах участков, получим следующие равенствам
при х = а w'l = w’ll> откуда C] — C2,
Trtl —— n — n
при х == b II’ “1 ~2’
W'll = W’lII’ » ^2 = ^3-
или Wll=WlII’ » D2 “ D3’
Ct = C2 = c3 = C, = &2 “ ^>3 D,
Для определения С и D используем условия:
при х — О
при х = I
Wj = 0, откуда D = 0;
г Al2 Pt (I - а)з Р2 (I - ЬУ
откуда С = -------------------------й-----
Рассмотренный прием не достигает цели в случаях нагрузок,,
представленных на рис. 119, причем для случая рис. 119, а пред-
полагается, что изгибающие моменты определяются из рассмот-
рения левой части балки. Однако добавлением в случае
iiiiiiiiiiniiiiiiiiiiiiil
ж
а--->4
— I----->
а)
Рис. 119.
рис. 119, а на участке а х I положительной и отрицательной’:
нагрузок интенсивности q, а в случае рис. 119,6 представлением
части изгибающего момента, связанного с действием М, в виде
Л1(х— а)0, пригодность приема, как видно из последующих при-
меров, восстанавливается.
Пример 4 (рис. 120). Представляя нагрузку q, заданную на участке //2,,
указанным на рис. 120 способом, получим следующие выражения:
участок I (0^х^//2);
M = Ax-S~-,
участок II (1/2 х /):
М = Ах
2
2
25]
ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
199
Из условий для w и w' при х = Z/2 получим, что произвольные постоян-
ные в уравнениях оси изогнутой балки иа обоих участках равны между
особой.
Г I ,г F
Рис. 120.
Пример 5 (рис. 121). В этом случае изгибающие моменты на различ-
ных участках можно представить следующими уравнениями:
участок I (0 «С х «С ai):
М = Ах;
участок II (ai х а2):
М = Ах — Р (х — aj);
участок III (а2 х I):
М = Ах - Р (х - а1) + Мо (х - а2)° - q* (х ~ аг)2,
6
где
Следовательно, уравнения оси изогнутой балки будут иметь вид:
I) (0< х <а():
уЗ
jjjazi = — A-^--{-CiX + Di;
II) (а-, х а2):
РГт. _ л х3 Р(х — П1)3
W — А ~ | _—— С2х 4” Z?2>
III) (а2<х<а3):
Ах3 P(x-ai)3 М0(х-а2)2 qa(x-a2)s ,
EIW--A 6 + --------------- +"120 (z_a2)+C3x + £»3,
причем
Ci = С2 = С2, Di = D2 = D3.
Нетрудно также получить прием, который позволит состав-
лять уравнение оси изогнутой балки постоянного сечения, не вы-
полняя процесса интегрирования дифференциальных уравнений.
В самом деле, так как для балки постоянного сечения
EIw"= — M,
200
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5.
ТО
EJw' = — М dx + С,
EJw — — \ dx\ М dx + Сх + D.
Если неопределенные интегралы вычислять в пределах от О
до х, то
EJW' = — ^Mdx + C,
о
X X
EJw — — dx М dx + Сх + D.
о о
Так как интегралы с равными пределами равны нулю, то
С = EJwo,
D = EJw2,
где иг, и о»'— прогиб и угол поворота сечения при х = 0. Сле-
довательно,
EJw' = — j М dx + EJwq,
о
X X
EJw = — dx Mdx + EJw'oX + EJwa.
о о
(5.65)
Принимая начало отсчета абсцисс сечений на левом конце
балки, предположим, что полная нагрузка на балку состоит из-
некоторой нагрузки q\ и нагрузки q2, добавляемой к первой, на-
чиная с сечения х — а. Обозначим момент нагрузки qi и левой
опорной реакции от полной нагрузки относительно центра тяже-
сти сечения х через Мхп, а момент нагрузки q2 относительна
центра тяжести того же сечения через Мах. Тогда изгибающий
момент в сечении х представится следующим образом:
при
М = МХЛ,
при а < х I
м = мхл + мах
§ 25]
ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
201
и, следовательно, при х > а
х а я XX
Л4 dx — Мх л dx “|“ (Af^ л “Н dx Мх л dx "4“ Mqx dx,
0 0а 0 а
хх хх хх
dx М dx = dx Мх л dx + dx Мах dx.
0 0 оо а а
Поэтому
X X
w' == — -Jy Мх ndx + Wj — -ьJy Мах dx,
0 а
XX X
w = — -jJj- j dx Mx л dx + w'jx 4- ay,j — -i- dx Max dx.
0 0 a a
Так как согласно (5.65) первые два слагаемых в выражении
ио' и первые три слагаемых в выражении w представляют собой
угол поворота и прогиб, вычисленные при изгибающем моменте
Мхл, т. е. без учета нагрузки на участке от а до х, то, обозначая
их через ш'л и шл, получим
X XX
w' — -^j-\Maxdx, w = wn--^j-^dx^Maxdx. (5.66)
а а а
Иными словами, для вычисления прогибов и углов поворота
«а каком-либо участке а — х необходимо к прогибам и углам
поворота от нагрузок, приложенных к балке в сечениях
ос < а *), добавить соответственно
pj j Мах dx и j dx j Мах dx,
а а а
где Мах— момент относительного центра тяжести сечения х от
нагрузки, добавляемой на рассматриваемом участке.
Эти интегралы для различных нагрузок легко вычисляются
и приведены в табл. 3.
*) При этом левая опорная реакция принимается равной реакции от пол-
«ой нагрузки на балку, и сплошная нагрузка, приложенная левей сечения
ж — а, считается продолженной до правого конца балки.
202
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5-
Таблица 3
Нагрузка м ._ л л X 1 L ... -~ЁГ У"хл^ а X X .. ьСЛ., .v £Z J“~ У'-гл-- а а
Сила P при — Р(х — а) 1 Р (х - а)2 Р (х — а)3
x — a EI 2 6EJ
Пара сил М при х — а М М (х — а) М (х — а)2
EJ 2EJ
Сплошная равно- q (х—а)2 q (х — а)3 q (х — аУ
мерно распре- деленная на- грузка интен- сивности q на участке от а до правого кон- ца 2 6PZ 24EJ
Сплошная нагруз- (х—а)3 qQ(x — аУ q0 (х — а)5
ка по закону треугольника интенсивно- стью х — а qx~q° 1-а qv 6 (1-а) 24 (Z - a) EJ 120 (/- a) EJ
Примечание. Положительное направление Р и q
совпадает с положительным направлением прогибов, положи-
тельное направление М принято по часовой стрелке.
(5.67J
Пример 6. Составить уравнение оси изогнутой балки (см. рис. 118)'-
Применяя к участку I балки формулы (5.66) и (5.67) при а = 0, Р_=—А..
получим для этого участка следующие выражения:
a,=a'o-2£J’ a' = a'o + V- ев/-
Для участка // следует положить а = a, P = Pit так что
, , Ах2 . Pi (х — а)2
W ~wo~~2£j+ 2EJ
w — w0 + w'ox —
Ax3
GE J
Pt (x — a)3
QEJ
Наконец, для участка III получаем
, , Ах2 , Pi (х — а)2 , Р2 (х — Ь)2
w ~wo~ 2EJ + 2EJ + 2EJ
w = шо + w'ox
_ Ах3 I р1 (X ~ I p2 (X - b)2
GE J + 6PJ + 6EJ
§ 25]
ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
203
Так как прогиб на опоре А отсутствует, то
83 0 = 0.
Постоянную w'o определим из условия, что на правой опоре прогиб равен
нулю.
Пример 7 (рис. 122). Имеем следующие выражения:
на участке / (0 х а)
участке / (0 х а)
ла
Л r2
W = WQ —
r
w = w0 4- WOX - —;
участке II (a^x^b)
, , Ax2 . P(x-a)2
w ~ W° 2EI + 2EI •
/ Ax3 . P (x — a)2
w = wo + wox- g^y-4-—6^7—;
на
i участке III (Ь^х^.с)
, , Ах2 , Р(х-а)2 M(x~b) . q (х — Ь)3
w = wo “ IE! + ~2EJ--------EI----+ ' 6£J ’
, Ax3 P (x— a)3 M (x— b)2 । q (x — &)4
® - ®0 + WqX — 4 2£/ 4 jjjgj
На участке IV (с x нагрузка q отсутствует, так что мы должны
добавить на этом участке нагрузку, равную q и —q. Поэтому
. , Ах2 . Р (х — а)2 М (х — Ь) . q (х — b)3 q (х — с)3
~ W° 2EJ 2Ё1 EJ + 6EJ 6EJ ’
, г Ах3 Р (х — а)3 М (х — Ь)2 . q (х — &)4 q (х — с)4
w=.Wo + WqX- — + ---------------------+ -------------------
Постоянная w0 = 0, a w'Q определяется из условия, что при x — l w = 0.
2. Графоаналитический метод определения прогибов и углов
поворота сечений балки. Предположим, что к балке приложена
сплошная нагрузка, интенсивность которой измеряется ордина-
тами эпюры изгибающих моментов в сечениях балки от действи-
тельной нагрузки на последнюю. Такого рода нагрузку будем
204
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
ГГЛ. S
называть фиктивной, в отличие от действительной нагрузки; из-
гибающий момент и поперечную силу от фиктивной нагрузки,,
для краткости, будем называть фиктивным изгибающим момен-
ТОЛ1 U фиКТивНОи попе речной CUAOU, ТаКйм ОмрЗЗОМ,
<7ф = М.
Вследствие зависимостей (5.2) и (5.3)
dx2 М'
(5.68),
Таким образом, в дифференциальное уравнение оси изогнутой'
балки (5.63) вместо —М можно подставить Мф, и оно примет
вид
В случае балки постоянного сечения после двукратного интегри-
рования получим
EJw' = Мф + С = + С, EJw = + Сх + D. (5.69)
Если для заданной балки известны величины прогиба w0 и
угла поворота сечения wo при х = 0, а также величины фиктив-
ного изгибающего момента Л1ф и поперечной силы (?ф при
х = 0, то из (5.69) можно определить произвольные постоянные^'
C = Eiw'-(§,
D = EJw„ —
0 ф
Величины и зависят от способа закрепления концо®
балки при приложении к ней фиктивной нагрузки. Если это за-
крепление осуществить таким образом, чтобы выполнялись усло-
вия:
Eby'-Q0, = 0, Е7ш0 —М°ф = 0, (5.70)
то постоянные С и D будут равны нулю:
С = £) = 0
и, следовательно, из (5.69) получим
Тот же результат будем иметь, если известны величины w а
Мф при х — 0 и х — I. Так как из (5.69)
EJw,, = Ж + D, EJw, = М1. 4- С14- D,
U ф 1 I Ф 1 1 *
§ 25)
ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
205
откуда
EJw, — ML EJwn — AfJ,
D = EJw0 — Л4», C =------------------°—---, (5.72)
то при закреплении концов балки, к которой приложена фиктив-
ная нагрузка, обусловливающем равенства
EJwn — NP. =0, Е Jw, — М ( = 0, (5.73)
постоянные С и D также будут равны нулю, так что формулы
;(5.71) сохранят свою силу.
Будем называть балку, к которой приложена фиктивная на-
грузка, фиктивной балкой. Тогда полученные выше результаты
можно сформулировать следующим образом: прогиб и угол по-
ворота рассматриваемого сечения балки соответственно равны
изгибающему моменту и поперечной силе в том же сечении фик-
тивной балки, деленном на жесткость балки EJ, если выполнены
условия (5.70) или (5.73).
Нетрудно видеть, что в случае балки на двух опорах условия
(5.73) выполняются, если фиктивная балка, так же как и дей-
ствительная, имеет две опоры на концах, так как при этом
w0 = wt = 0, М°ф = Мгф = 0.
Аналогичный результат будем иметь, если в сечениях х — 0
и х — I как действительной, так и фиктивной балок устроены
шарниры. В случае балки, конец которой х = 0 защемлен, т. е.
аУо = дао = 0’
для выполнения условия (5.70) необходимо, чтобы Мф = = 0,
что будет иметь место, если конец фиктивной балки х — 0 будет
свободен, а конец х — I защемлен.
Таким образом, при пользовании для определения прогибов
и углов поворота балки уравнениями (5.71), необходимо закреп-
ление концов фиктивной балки принимать следующим образом:
а) опору или шарнир действительной балки заменять в фик-
тивной балке шарниром или опорой в зависимости от условий
статической определимости и геометрической неизменяемости
этой балки;
б) защемленный конец действительной балки заменять в фик-
тивной балке свободным концом, а свободный конец—защем-
ленным.
Пример 1 (рис. 123). Найти прогиб и угол поворота в точке В:
ов_ 1 р, Р12 мв_ Р12 . 2 РЕ
Уф-у Pl-l-—, Мф- —-j/-—,
а , Pl2 РР
b = W3=-2ET’ wb=1eT
206
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
ГГЛ. 3
Пример 2 (рис. 124). Найти прогиб посредине пролета (в точке С)
и углы поворота сечений на опорах:
A — n—SL — 2 7
И В 0 , Аф Вф о ’ q ’ а о,1 ’
«и и i
л1Ф = ^..-£
с 24 2
0л— - 0цР— 24£у
24 16 384 q ’
(?/3 _ 5 ql*
384 EJ
3. Графический метод построения эпюр изгибающих момен-
тов и оси изогнутой балки. Напомним известные из статики
твердого тела свойства веревочного многоугольника для данной
системы сил.
Рис. 123,
а) Линия действия равнодействующей системы сил проходит
через точку пересечения первой и последней сторон веревочного
многоугольника (рис. 125).
б) Момент системы параллельных сил относительно какой-
либо точки А равен произведению полюсного расстояния Н на
длину отрезка CD, отсекаемого первой и последней стороной ве-
ревочного многоугольника для этой системы сил на прямой, па-
раллельной направлению сил и проходящей через точку А:
^Ma = CD-H, (5.74)
где отрезок CD измеряется в масштабе длин, Н — в масштабе
сил.
в) Если система сил уравновешена, то веревочный много-
угольник, равно как и многоугольник сил, должны быть замк-
нуты, т. е. направления первого и последнего лучей должны
совпадать.
§ 25]
ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
207
Имея это в виду, легко получить для заданной нагрузки на
балку опорные реакции и эпюру моментов. Строим (рис. 126) для
заданной нагрузки веревочный многоугольник и соединяем точки
пересечения первой и последней его стороны с соответствующими
опорными вертикалями.
Принимая полученную
прямую за замыкающую
веревочного многоуголь-
ника, проводим соответ-
ствующий луч на много-
угольнике сил. Тогда мно-
гоугольник системы сил,
состоящий из заданной
нагрузки и соответствую-
щих ей реакций А и В,
оказывается замкнутым,
так как первый луч мно-
гоугольника сил совпа-
дает с последним; зам-
кнут и веревочный многоугольник, т. е. полученная система сил
уравновешена. Это доказывает, что реакции А и В определены
правильно.
Изгибающий момент балки в сечении х равен сумме момен-
тов сил А и Р относительно центра тяжести названного сечения»
Так как для этих сил первой стороной веревочного многоуголь-
ника является луч 0, а последней — луч 2, которые отсекают на
вертикали, проходящей через сечение х, отрезок ц, то изгибаю-
щий момент в этом сечении равен
М = г; Н.
Отсюда становится очевидным, что многоугольник, стороны
которого параллельны лучам 0, 1, 2, 3, 4 (т. е построенный ве-
ревочный многоугольник), и есть эпюра изгибающих моментов,
ординаты которой уменьшены в Н раз. Эти ординаты измеряют-
ся в масштабе длин, тогда как полюсное расстояние Н берется
в масштабе сил.
208
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
Если нагрузка на балку является сплошной, то для построе-
ния веревочного многоугольника ее разбивают на отдельные уча-
стки и заменяют сплошную нагрузку на каждом участке равно-
действующей приложенной в центре тяжести соответствующей
части эпюры нагрузок.
Так как при надлежащем закреплении концов фиктивной бал-
ки прогиб w балки постоянного сечения выражается формулой
w —
Мф
EJ ’
то, приняв за эпюру нагрузок на фиктивную балку эпюру момен-
тов и построив графически эпюру Мф, мы получим в известном
масштабе ось изогнутой балки.
Подобное построение приведено на рис. 127. Прогиб в любом
сечении х равен
® = ' (5.75)
где Hi измеряется в масштабе площадей эпюры моментов, а
Т]х — в масштабе длин. При этом эпюры изгибающих моментов
могут быть также построены графически.
В качестве примера выполним подобное построение для бал-
ки, изображенной на рис. 128. На рисунке 128, а представлена
эпюра изгибающих моментов, которая в свою очередь принята
за нагрузку фиктивной балки. Эпюра эта разбита на пять уча-
стков и заменена на каждом участке соответствующей равно-
§ 25]
ДЕФОРМАЦИИ БАЛОК
209
действующей, приложенной в центре тяжести каждого участка.
Фиктивная нагрузка на любом участке представляется, очевидно,
произведением Нац. На рисунке 128,6 построена эпюра Мф от
Рис. 128
нагрузок coi, так что Мф выразится произведением а про-
гиб w представится выражением
Выбрав Н произвольно И приняв//! — получим w — -~.
При этом прогибы получатся из второго веревочного многоуголь-
ника (см. рис. 128) в принятом масштабе длин увеличенными
в п раз.
4. Графоаналитическое и графическое определение прогибов
балок переменного сечения. Описанные выше графоаналитичес-
кий и графический приемы определения прогибов применимы
лишь к балкам постоянного сечения. Однако определение проги-
бов балки переменного сечения нетрудно свести к нахождению
прогибов балки постоянного сечения. В самом деле, мы имеем
v М п MJ 0 1
W =-----~F~T ИЛИ W =-------г---
210
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
где 70— произвольный, но постоянный момент инерции. Если
принять
= (5.76)
то придем к уравнению оси балки с постоянным моментом инер-
ции:
в сечениях которой вместо действительных изгибающих момен-
тов М действуют изгибающие моменты М*. Иными словами, для
определения прогибов и углов пово-
рота сечений балки переменного се-
чения можно полностью применить
графоаналитический метод, если
принять за эпюру фиктивных нагру-
зок не действительную эпюру мо-
ментов М, а эпюру моментов М*.
Пример (рис. 129). Пусть J2 = 2Ji.
Тогда, приняв 70 = Jb имеем на первом и
~ ... j
последнем участках балки Л4 = —- = М;
J1
... Mix М „
на втором участке М = ——- — За
J2
фиктивную нагрузку принимаем эпюру М*.
Тогда
W
Е1а '
При определении прогибов гра-
Рис- 129. фическим методом удобнее действо-
вать иначе. Мы видели, что полюс-
ное расстояние целесообразно принимать пропорциональным
моменту инерции балки. Поэтому для определения прогибов бал-
ки переменного сечения, моменты инерции которых изменяются
от участка к участку, следует строить второй веревочный много-
угольник на каждом участке при полюсном расстоянии ме-
няющемся пропорционально моменту инерции сечений балки.
§ 26. Влияние поперечной силы
на напряжения и деформации балки
1. Влияние поперечной силы на напряженно-деформирован-
ное состояние балки. Изучая изгиб балки с поперечной силой,
мы приближенно приняли
$ 26]
ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ силы
211
т. е. пренебрегли влиянием поперечной силы на нормальные на-
пряжения. Однако можно при желании отказаться от такого до-
пущения и вычислить эти напряжения
с учетом влияния поперечной силы.
При чистом изгибе мы, полагая,
что сечения остаются плоскими, полу-
чили
Это относительное удлинение связано
только с поворотом сечений. Под влия-
нием касательных напряжений про-
изойдет, кроме поворота, и искривле-
ние сечений балки.
Рассмотрим деформацию волокна,
находящегося на расстоянии z от ней-
трального слоя (рис. 130). Имеем
АВ = rfx = р с?0,
А'В' = (р + г) de,
А" В" = А'В' — А'А" + В'В",
абсолютные сдвиги:
где А'А" и В'В" представляют собой
г г
А'А" = S Ухг dZ = V 5 Ххг dZ>
о о
z
В'В" = -тт (тxz + dxxxz) dz.
( j 1 х I А А «О/
о
Следовательно,
Z Z
А"В" = (р + z) de + -1- (тхг + dxxxz) dz — ±^ xxz dz =
о о
z
= (р + z) de + dxxxz dz.
о
Так как
dxT„2 = —Z- dx,
х хг дх
и dx не зависит от z, получим
z
А"В" = (р + z) de + dz.
о
212
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
Абсолютное удлинение рассматриваемого волокна
Z
LAB = А"В" - АВ = (р + z) d0 + ~ \^-dz - р dQ =
О
z
in * Q.X С xz 1
= zdQ + ^\~dTdz-
о
Относительное удлинение
Z А.АВ z , 1 С <Этс, , АВ~ р + G J dxdz- 0 (5.78)
Ввиду того, что в случае балки постоянного сечения
QSyo Зтхг dQ SyQ qSyn
Xxz b (z) • J у ’ dx dx b (z) J у b (z) J у ’
то окончательно
2 С j 8 pl , . dz. p Q J b (z) J у 0 Если пренебречь действием волокон друг на друга, то Ez qE С Syo G = E& = ух- \ dz. р Q J b (z) • Jy (5.79)
(5.80)
Так как
gz dF = М,
(К)
то после подстановки в
это уравнение значения о получим
г
qE С (* Sy0
-р- \ z dF \ -J-TT7" dz — М,
G J J b (z) 1У ’
(Г) О
(Г)
и, разделив полученное выражение на EJy, будем иметь
1 М q f . С Syo
-^ = -pr+-rr\zdF\т. ff dz. (5.81)
p Eh ‘ GJ у J J b (z) J у 4 '
(F) 0 a
Нетрудно убедиться, что величина
F С AcS Syo Г C"“2 9 СЛ(3 1
. \ z dF \ . , . . dz I , * см * см г см I
Jy J J b(z)Jy Lсм* см-см' J
(К) о
§ 26]
ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ силы
213
имеет нулевую размерность, т. е. является некоторой безразмер
ной постоянной, которую обозначим через k'\
F {
J у J
(Л
z dF
о
Fyo
b (z) J у
dz = k',
(5.82}
причем k', очевидно, не зависит от размеров сечения, а опреде-
ляется лишь формой последнего. Тогда уравнение (5.81) примет
вид
1 _ М k'q
р ~~ EIy*~ GF ‘
(5.83}
Подставляя значение 1/р из уравнения (5.83) и (5.80), получаем
г
Mz k'qEz qE f Sy^
TT + ~GF G~ } b (z) J у dZ'
о
где
E J?.2(l + u) o,. , 4
•G=------E---= 2(1 + |1).
Следовательно,
Mz 2 (1 + u) k'qz f Sm
+^-4-----------2(1 + ^)^^^. (5.84}
о
При выводе формулы (5.84) мы положили
о = Ее.
Это равносильно допущению, что, рассматривая напряженное
состояние балки как плоское, при установлении связи между
относительным удлинением и напряжениями
е = ех = -g- (<тх Ц^г),
можно считать сгг — 0, аналогично тому, как мы поступали пргг
чистом изгибе. Однако, как было показано (п. 1 § 24), в случае
изгиба с поперечной силой напряжение сгг, вообще говоря, от-
лично от нуля. Поэтому принятую зависимость между напряже-
ниями и деформациями можно трактовать и в том смысле, что,,
выражая 8 через напряжения, мы приняли р — 0. Но тогда есте-
ственно и в окончательном результате положить р = 0, и, сле-
довательно, представить (5.84) в виде
Mz 2k'qz 2q f
CT — J у + F Jy\ b(z) dz' (5.85}
214
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
ГГЛ. 5
Здесь первое слагаемое в правой части выражает нормальное
напряжение, являющееся результатом действия изгибающего мо-
мента, второе и третье — учитывают влияние поперечной силы
на величину нормальных напряжений.
Вычислим значения k' для некоторых типов сечений.
а) Для прямоугольника:
F — bh, = (см. п. 3 § 24),
b (г) = Ь, dF — b dz,
{ 1 {(h2 1 (h2z z*\
J b (z) Jy dz 2Jy J k 4 dz — 21 у I 4 3
0 0
2 +h[2
f sy° j C j b (h2z z\
\ zdF \ . , , , dz — \ z dz -x-г- I —:------б- I —
J J b (z) J у J 2/Д 4 3 J
(F) 0 -Л/2
b Г A2z3 z5 1+ft/2 bh3
~ 2Jy L 12 15 J_ft/2 ~ 12677
И
,, Fbh* &2Л3 • 144 , o
k —--------- = -----5Гб- = 1,2.
1207“ 120&2Л6
б) Для круга:
F — nr2, J у = -у-, Sy0 — у r3 cos3 a,
где
sin a = у (см. n. 3 § 24),
dF — 2r2 cos2 a • da, b (z) — 2r cos a, dz = r cos a • da,
C Sya ib^-Jy dZ~ 0 2 z dF v-z"T7~ dz = A r,z),> +n _ 2г6 c ~ 3/y J -n, и, следовательно, a г3 Г r3 / sin3a\ = -57- \ cos3 a da — 1 sin a 5— 1, OJ у J OJ у \ 0 / +Л/2 C f sin3 ct \ \ 2r3 sin a cos2 a da -57— I sin a — 1 = J oj у \ 3 / —Л/2 1/2 ( . 9 sin4 a \ 2 j 2r6 5л 5л ^sin2a 3 jcos2ada_ .48 - 72; !2 ,r 5яг6лг2 10 , , k = 7- = — «1,1. 72Z2 9
§ 26]
ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ силы
215
в) Для двутавровых сечений можно с достаточной точ-с
ностью вычислять kr по формуле
Где р = FC/Fn, Fc, Fn соответственно площади сечения стенки
и полки двутавра. В частности, для прокатных балок двутавро-
вого профиля принятого в
СССР сортамента k' колеб-
лется в пределах 2 4- 2,4.
• Чтобы оценить влияние
поперечных сил на величину
нормальных напряжений
при изгибе, рассмотрим кон-
кретный пример. Возьмем
балку прямоугольного попе-
речного сечения на двух
Рис. 131.
опорах с равномерно рас-
пределенной нагрузкой (рис. 131). Используя результаты при-
веденных выше вычислений, получим из (5.85)
Mz , 2 -1,2172 6 ( h2z г3 X
77+ F bh3 \ 4 т)
Учитывая, что
д4 ------------------------- Л__ 7- —
2 u max g > 2 ’
найдем отсюда crmax:
9 19 —
_ 617Z2 ,’24 6 ( Л3 Л3 X
тах 86/г2 "Г bh bh3 I 8 24 )
6g/2 . ? /1 о _ &ql2 f i 4 h2 X
8bh2 'T' b ' 4 8bh2 V 15 ’ I2 )
Таким образом, погрешность в величине нормального напряже-
ния, получающаяся без учета влияния поперечной силы, состав-
4 / h х2
ляет -jg- (у I . При Л// = 0,1 она имеет величину 4/is%, т. е.
значительно меньше 0,5%. Даже для балки высотой в Vs про-
лета эта погрешность достигает лишь 16/is% — 1,07%. В случае
двутавровой балки она несколько больше, однако также может
считаться несущественной.
•21G
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
(ГЛ. S
Рассмотрим теперь влияние поперечной силы на прогибы бал-
ки. Согласно (5.83) при учете этого влияния
1 = м । к'«
р EJy ‘ GF
Так как при малых прогибах можно принять
— я# — w",
р
то уравнение оси изогнутой балки представится в виде
w
(5.87)
W
Принимая Л1 = <7ф, получим
, к'ч _ Мф fe'Af"
EJ GF ) ИЛИ W EJ + GF
и для балки постоянного сечения после интегрирования при со-
ответствующем выборе закрепления концов фиктивной балки
, Оф , k'Q УИф k’M
W ~ЁТ GF ’ W ~ ~ЁТ~ ~GF~ '
Применим этот результат к балке, представленной на рис. 132.
Фиктивная балка в рассматриваемом
иметь две опоры на концах. Тогда
A — R = As> —^ф = ‘2’
(5.88)
случае должна также
Pl I = РР
4 2 16 ’
и при х = //2
I Pl2 I РР
___________ М = —
16 6____48 ’ 4 ’
так что
f — maxw 48£/ + 4G£ 48Е/ + G£/2 j.
В случае балки прямоугольного сечения, если принять ц — 0,25,
так что E/G = 2,5, получим
f— р/3 f , 12-1,2-2,56Й3 х РР /. Й2\
' 48£V \ ‘ bhP-12 J 48EJ ‘ Р J’
Таким образом, погрешность, получающаяся в результате
того, что влияние поперечной силы на прогибы не учитывается,
имеет величину 3h2/l2, т. е. для h/l = 0,1 составляет всего 3%,
тогда как при h/l = 0,2 она достигнет уже 12%.
Для двутавровой прокатной балки можно принять в среднем
й' = 2,2, -y = 0,16/i2, •> = 2,6.
§ 261
ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ силы
217
Таким образом,
, РР (, , 12 • 2,2 • 2,6 • 0,16Л2 X РР (, . ,, h2\
'= Т8ЁТ V +----------Р-------+ 11 ~р),
т. е. искомая погрешность уже при h/l = 0,1 достигает 11 %. Од-
нако в строительной практике применяют балки гораздо мень-
шей высоты, для которых отношение высоты сечения к пролету
h/l « 1/20; тогда погрешность составляет около 3%.
Учитывая при изгибе с поперечной силой наличие касатель-
ных напряжений, нетрудно также оценить величину стг, т. е.
нормального напряжения, возникающего вследствие того, что-
Рис. 133.
соседние волокна балки производят давление одно на другое.
Выделим из балки элемент ABCD, усилия по граням которого
показаны на рис. 133. Проектируя усилия на ось Oz, получим
— Т + q dx 4- (jzb (г) dx + Т + dT = 0,
и так как
Т = rzxdF = - dF,
J гх J b(z)Jy
(7„) (Л)
ТО
ат___ f _ sy, ____________________ч f sy«
dx j dx b (z) • Jy Ju J b (z) ’
Л) (^o>
где Fq —площадь части сечения AB = DC. Поэтому
ог = - dF. (5.89)
г b (г) 1 b (z) Jv J b (г) ' ’
(Fd
Применим эту формулу к случаю балки прямоугольного сечения
при равномерно распределенной нагрузке:
b(z) = b, = = dF = bdz,
218
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
[ГЛ. 5
так что
а = — ( f А—
2 о 1 bn3 J \ 4 / ’
h
или
__ q - 6</ Z й3 . h2z z3 \
°z ~~ ь "г W kTF + 1 IF J
6q f h3 h2z j z3 \
&Й3" llT 4~ T)
(5.90)
Отсюда видно, что напряжения <rz изменяются от <rz — —q/b при
z — —h/2 до <rz = 0 при z — h/2, тогда как наибольшие по абсо-
лютной величине нормальные сжимающие напряжения в попе-
речном сечении балки равны
_____ ^max ql2S Sql2
m’n — Wu ~ 8bh2 ~ 4bh2 ’
Таким образом, отношение
gz _ 4 . Л2
^min 3 I2
при h]l = 0,1 составляет всего 4/з%- Это оправдывает принятое
нами допущение, что <rz = 0.
2. Изгиб с поперечной силой с точки зрения общей теории плоского на-
пряженного состояния. Нетрудно показать, что полученные нами выражения
для напряжений с учетом влияния поперечной силы, которые для балки пря-
моугольного поперечного сечения при равномерно распределенной нагрузке
в предположении плоского напряженного состояния имеют вид
Mz , 2,4</z
°х~ Jу *“ bh
12<z / h2z z3 \
bh3 I 4 3 )~
qx (I — x) z
Cy-=0, 4
Т~=^(?т-г2
д
h2z
(5.91)
— X
удовлетворяют уравнениям равновесия (3.5) и (3.6). В самом деле,
dx 2Jy dz 2Jy \ 2 J ду ' dz
dxxz __ g (h2 \ = _g_(J^__ Л dxxz , _Q
dx 2Jy\ 4 z )’ dz 2Jy\4 )’ dx *“ dz
Так как
д2<Тж _ _ qz_ d2cx _ 2qz d2Cz _ d2oz _ qz_
dx2 J у ’ dz2 J у ’ dx2 ’ dz2 Ju ’
§ 26]
ВЛИЯНИЕ ПОПЕРЕЧНОЙ силы
219
то удовлетворяется и условие сплошности (3.33):
(aP' + ’i')(Gx + ffz)==0-
В то же время при г = —h/2, т. е. на верхней грани балки, имеем
ог = —-у, tx2=0,
откуда следует, что на этой грани действует только вертикальная сплошная
равномерно распределенная нагрузка интенсивности
<71 = — <тгР = <7
По иижней грани (при г = + h/2)
<3z = 0, Tjz = О,
т. е. нагрузка отсутствует. Так как
+Л/2 +Н/2
Г qx (I — х) f qb Г / 2 h2z \ .
= 2jy - J zbdz+2H J —io-rz = o
(F) —h/2 —h/2
+h/2 +h/2
C qx (I — x) { , 9 , , qb C / 2 h2z2 \ ,
J za*dF — \ bz dz + ] (з2 10 )dz~
{F) —h/2 -h/2
qx (I — x) . qb Г 2 5 A2z3 l+b/2 qx (I — x)
— 2 +277LT5 2 30 2
то на гранях x — 0 и x = l нормальные усилия и изгибающие моменты рав-
ны нулю. Однако на этих гранях мы имеем нормальные напряжения:
причем равнодействующая и момент соответствующих нормальных усилий
равны нулю, т. е. эти усилия сводятся к уравновешенной системе сил. В то
же время перерезывающие усилия
+ВД
\XxzdF==~^(i-X) S ^-Z2)bdz = q^-x)
(Fi -h/2
на тех же гранях уравновешиваются поперечными силами на соответствую-
щих опорах. Таким образом, усилия в опорных сечениях сводятся к взаимно
уравновешенной системе сил. Применяя принцип Сен-Венаиа, можем утвер-
ждать, что эти усилия вызывают лишь местные деформации, распространяю-
щиеся от опорных сечений примерно на длину h. Таким обр’азом, напряжения
(5.91) соответствуют точному решению задачи для участка длины балки при-
мерно I — 2h. Если же пренебрегать влиянием поперечной силы на нормаль-
ные напряжения, равно как и напряжением oz, то точно удовлетворится лишь
первое уравнение равновесия. Остальные уравнения удовлетворяются с точ-
ностью не меньшей, чем приближенные равенства
и
bh2 2bh.
0.
220
ПЛОСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
ГГЛ. 5
3. Напряжения в балках переменного сечения. Для прибли-
женной оценки влияния переменности сечений балки на напря-
жения рассмотрим балку, сечения которой в плоскости xOz из-
меняются по линейному закону (рис. 134) и симметричны отно-
сительно оси Оу. Рассмотрим напряжения в какой-либо точке А
поперечного сечения. Если обозначить нормальные напряжения
в этой точке о1 и касательные т1, причем направление а1 прини-
мать по направлению соответствующего волокна АВ, то напря-
жение в точке А, нормальное
к плоскости сечения, равно
0 = 0* cos2 0 — т1 sin2 0
(К) (К)
Рис. 134. - J r’sin 0dF.
(К)
Пренебрегая влиянием поперечных сил на величину нормальных
напряжений, можно в последнем равенстве не принимать во вни-
мание второй интеграл. Допустим, кроме того, линейную зависи-
мость между напряжениями и расстояниями точек от нейтраль-
ной оси сечения:
о1 = аг.
Тогда
М = а z2 cos2 0 dF,
(К)
и если обозначить
г1 cos2 0 dF = Jly,
(А
то
i __ м
a J1 '
У
Так как
z: 4 = tg0: tga,
или
dF = bdz = -^dW),
то в случае прямоугольного сечения
+a
z2 cos2 QdF — cos2 0 tg2 Qd (tg 0) = . 3(tga-a)_
J 8 tg3 a J to ' 6 ' 12 tg3 a *
F -a
221
i $ 26] ВЛИЯНИЕ поперечной силы
7
! и при малых а
>1 Ыг3 (. 3 9\
--5а)-
j Следовательно,
/ при а = 0; 5°; 10°; 15°;
соответственно
-^=1; 0,995; 0,982; 0,959.
; •»
Отсюда видно, что при а < 10° можно с достаточной точностью
определять нормальные напряжения в балках переменного сече-
ния по тем же формулам, что и в случае балок постоянного
сечения, учитывая лишь изменение момента инерции сечений.
В отношении касательных напряжений достаточно достовер-
ные результаты получим по формуле ..(5.34).
ГЛАВА 6
КРУЧЕНИЕ
I
Рис. 135.
§ 27. Деформация кручения. Основные зависимости
Кручением называется деформация, сопровождающаяся по-
воротом сечений стержня вокруг некоторой оси при неизменном
расстоянии точек этих сечений, от названной оси. При этом если
сечения стержня имеют две оси симметрии, то за ось вращения
естественно принять ось стержня.
Такая деформация, в частности, имеет место в том случае,
когда к концам стержня приложены силы, которые сводятся к
противоположно направленным парам сил, действующим в пло-
скостях концевых поперечных сечений и имеющим
равные моменты.
Мк Не интересуясь местными напряжениями, или
рассматривая лишь часть длины стержня, находя-
щуюся от обоих концов его на расстояниях, превос-
ходящих наибольший поперечный размер сечения,
в соответствии с принципом Сен-Венана, мы мо-
жем пренебрегать способом приложения указанных
сил. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать
скручиваемый стержень как стержень, в плоскости
концевых сечений которого приложены пары сил
(рис. 135). Моменты этих пар будем называть кру-
тящими моментами и обозначать AfK. Если прове-
сти любое плоское сечение стержня, то из рас-
смотрения условий равновесия любой части стерж-
ня, находящейся по одну сторону от этого сечения,
легко получить, что усилие в сечении сведется к паре сил с тем
же моментом Мк. Так как усилия во всех сечениях одинаковы,
то естественно принять, что и напряжения во всех сечениях так-
же одинаковы, т. е. не зависят от координаты х. Поэтому рас-
сматриваемый случай кручения называют равномерным круче-
нием.
Чтобы усилия по элементарным площадкам составляли пары
сил в плоскости сечения, эти усилия должны также действовать
? 271
ДЕФОРМАЦИЯ КРУЧЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
223
в плоскости сечения, т. е. являться только касательными. По-
этому и напряжения в поперечных сечениях стержня должны
сводиться только к касательным, нормальные же напрржения
в этих сечениях должны равняться нулю. Имея это в виду,
можно представить напряжение в любой точке поперечного се-
чения двумя составляющими туж и xzx (рис. 136), причем
( х„х dF — О,
I ул >
(F)
xzx dF = О,
(Г-)
(6.1)
так как усилие в сечении сводится лишь к паре сил. В то же
время
5 dF ' у — хух dF • z) — Мк,
(К)
или
§ {y^zx — zxgx) dF = A1K. (6.2)
(К)
Кроме того, составляя для выделенного из стержня эле-
ментарного прямоугольного параллелепипеда (рис. 137) сумму
Рис. 137.
проекций всех сил на ось Ох и приравнивая эту сумму нулю
(согласно условию равновесия), получим
— хух dx dz + (хух + dyxyx) dx dz — xzx dx dy +
^Fzx ~b dzxzx) dx dy = 0,
или
dyXyx dx dz + dzxzx dxdy = Q.
Так как
, dxyx dxzx
dy^yx==' dy dy, dzxzx = dz,
224
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. 6
(6.3)
(6.4)
то после сокращения на dxdydz получим
&хух дхгх __________________________
ду + dz ~~
Направление полного касательного напряжения в данной точке
сечения определяется из условия
tg₽ = ^.
ХУХ
где р — угол, составляемый полным касательным напряжением
с осью Оу.
Для точек на контуре сечения это направление должно совпа-
дать с направлением касательной к контуру в соответствующей
точке, так как на боковой поверхности скручиваемого стержня
нагрузки отсутствуют. Иными словами, в точках контура сечения
^• = tga, (6.5)
хух
где а — угол, составляемый касательной к контуру сечения в
рассматриваемой точке с осью Оу.
Условия (6.1) — (6.3) и (6.5) являются необходимыми для оп-
ределения напряжений тух и т2Х, однако они недостаточны, если
не рассмотреть деформаций стержня.
Деформации скрученного стержня можно представить как ре-
зультат поворота сечений и перемещений их точек параллельно
оси хх. Угол поворота какого-либо сечения относительно дру-
Рис. 138.
того, находящегося от него на
расстоянии I, назовем углом
закручивания 0 стержня дли-
ной I. Так как угол закручи-
вания элемента стержня дли-
ной dx должен иметь величину
</0, то
(6.6)
есть угол закручивания, отне-
сенный к единице длины стерж-
ня; его можно назвать отно-
сительным углом закручива-
ния.
Рассмотрим бесконечно малый прямоугольник ABDC
"(рис. 138), вершины которого расположены на двух окружностях
радиуса р, находящихся в параллельных плоскостях Р{ и Рг, уда-
ленных друг от друга на расстояние dx. При повороте плоскости
Pi относительно Р2 на угол dQ этот прямоугольник обращается
§ 27] ДЕФОРМАЦИЯ КРУЧЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ
225
в параллелограмм A'B'DC. Иными словами, имеет место абсо-
лютный сдвиг
т,. = АА' == р dQ
в направлении дуги АВ, т. е. по перпендикуляру к радиусу р.
Относительный сдвиг у точки А имеет то же направление и равен
I Р .
Поэтому при повороте сечения в точке А (рис. 139) должно
возникнуть касательное напряжение т1, направленное перпен-
дикулярно к радиусу-вектору этой точки и равное
Ti = Gpi|>K = Gp-g-. (6.7)
Проекции этого напряжения на направления Оу и Oz равны:
Хух ~ tI cos (90° + ср) — ~ Gi|5Kp sin ср,
Tzx = tI C0S *₽ = ^'ФкР C0S <Р>
или, так как
у = р cos ср,
г — р sin ср,
то
Tix = - G^Kz, = G^y. (6.8)
При смещении точек параллельно оси Ох (рис. 140) любой
прямоугольник ABCD, вообще говоря, превращается в паралле-
лограмм A'B'C'D', причем если обозначить перемещение АА' =
= ВВ' через и, то
DD' = СС' = и + dyU = и + dy.
Ь В. А, Гастев
226
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. 6
Следовательно,
vn =t{rv” - ЕС' сс' - вв' - ~^dy - д“
Чух 1S * ух В'Е В'Е dy ду ’
вследствие чего в точке А будем иметь касательное напряжение
(6-9)
Аналогично найдем, что в результате того же смещения
и касательное напряжение в точке А равно
(6.10)
Так как при кручении, помимо поворота сечений, происходят,
вообще говоря, смещения точек параллельно оси Ох, то, помимо
напряжений (6.8), возникнут и напряжения, вызванные этими
смещениями, которые определятся формулами (6.9) и (6.10).
Поэтому полное касательное напряжение в точке А должно
иметь составляющие:
т = т1 + т11 = — Gib 2 + G 4—,
"ух "ух ' "ух 1 u ди
ди. (6.11)
Подставляя в уравнения равновесия (6.3) значения хух и
tZx (6.11), получим условие:
д2и । д2и _
•^ + ^ = 0- <6Л2>
Используя полученные добавочные уравнения (6.11) и (6.12),
мы имеем теперь возможность найти напряжения в скручивае-
мом стержне.
§ 28. Напряжения при кручении стержня
эллиптического поперечного сечения
Пусть поперечное сечение стержня — эллипс (рис. 141), урав-
нение которого
а2 Ь2 ь
Угловой коэффициент касательной к эллипсу в любой точке
равен
. Ъ2у
tga =---А,
& a?z ’
§ 28] СТЕРЖЕНЬ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ 227
так что в точках контура эллипса
= <6ЛЗ) ^ух а 2
Примем u = Ayz, (6.14)
где А — неопределенная пока постоянная. При таком представ-
лении и удовлетворяет уравнению (6.12), являясь в то же время
непрерывной и однозначной функцией от координат. Поэтому
перемещение (6.14) может рассматриваться как возможное при
кручении стержня. Подставляя его в (6.11), получим
Хух = G (— фк£ + Аг) = G(A — фк) z, xzx = G (А + фк) у.
Поэтому согласно (6.13)
(Д -|- грк) у А + *Фк Ь2
(Д — -фк) z a2z > ИЛИ « . Д —1|)К а2 ’
откуда А = _ Ь2 - а2 ’ а2 + Ь2
и, следовательно, &2 — a2 u (6.15)
а2 + 62 ЧМ/*-.
Хух __2o4k_g а2 + Ь2 (6.16)
Хгх - О» а2 + &2 (6.17)
При этом удовлетворяются условия (6.1), так как
j Хух dF —
2a2G4>K
a2 + b2
^zdF = Q,
(f)
^ZxdF = -^r^ydF = 0,
8*
228
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. в
как величины, пропорциональные статическим моментам пло-
щади эллипса относительно его главных осей.
Из условия (6.2) получим
J (yxzx-zzyx)dF= $ y2dF + ^^- j z>dF =
<F) (F) (F)
= i^(b2Jz + aJy) = MK.
Ввиду того, что для эллипса
, nab3 j лЬа3 и 4 • Jz 4 .
то, следовательно, Gi|vta3&3 м а2 + Ь2
откуда Мк(аг + Ь2) na3b3G ’ (6.18)
и потому AfK (&2 - a2) (6.19)
и na3b3G
v 2MKz (6.20)
— nab3 ’
2-МкУ яа3Ь (6.21)
Направление полного напряжения в любой точке получим
из формулы
tgp = l^=--^L.
6 и ГуХ a2z
Иными словами, полное касательное напряжение в точках лю-
бого диаметра эллипса параллельно касательным в концах этого
§29]
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
229
диаметра. Эпюры полных касательных напряжений представ-
лены на рис. 142. При этом из выражений (6.20) и (6.21) имеем
= (6.22)
Xmln = • (6.23)
§ 29. Кручение стержней круглого поперечного сечения
Как видно из выражения (6.19), при я2 = Ь2 — г2
п = 0.
Иными словами, при кручении круглых стержней поперечные
сечения остаются плоскими; они только поворачиваются вокруг
оси стержня. Поэтому полное касательное напряжение имеет на-
правление, перпендикулярное к радиусу, и равно
т = Срфк, (6.7)
причем из (6.2) получаем
GtK(4 + Jy) = AlK.
Так как
h + Jg = $ № + J z2dF= J p2dF,
(/') (F) (!>
а последний интеграл принято называть полярным моментом
инерции'.
Jp= J p2dF, (6.24)
(В)
то
(6.25)
и, следовательно,
т = -^-. (6.26) 'р
Как известно, для круглого сплошного стержня
г яг4
/р = —, (6.27)
так что
т = (6-28)
= (6.29)
230
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. 6
В случае круглого трубчатого стержня, наружный радиус
которого равен R, а внутренний г,
j nR4 лг' nR4 ,. о4\
"Р— 2 2 — 2 ' Р'!
2М,<р
nR4 (1 - 04) ’
Д 2МК
° ~ nR4 (1 - 04) ’
(6.30)
(6.31)
(6.32)
т =
2
где
Наибольшие касательные напряжения получим при р = ртах,
т. е. в точках наружного контура стержня:
для сплошного стержня
______ 2МК 16МК
"’'max ягз nd3 ’
где d— диаметр стержня;
для трубчатого стержня
_ 2МК _ 16МК
Т”ах ~ (1 - 04) ~ nD3 (1 _ 04) •
где D — внешний диаметр стержня.
Эпюры касательных напряжений в сечениях для
чаев показаны на рис. 143 и 144.
(6.33)
(6.34)
обоих слу-
Рис. 143.
трубчатом
видно, что в
более равномерно, чем в
точки зрения использова-
Из рассмотрения эпюры рис. 144
стержне распределение напряжений
сплошном; поэтому такой стержень с
ния материала при упругих деформациях оказывается более вы-
годным.
Если толщина стенки трубы мала по сравнению с. диаметром,
то неравномерность распределения напряжений становится ма-
лой, так что деформацию трубы представляется возможным при-
ближенно рассматривать как чистый сдвиг. Это обстоятельство
часто используют для экспериментального исследования чистого
сдвига.
§ ад
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
231
§ 30. Кручение стержней прямоугольного сечения
В случае стержня прямоугольного поперечного сечения не
удается найти столь же простое выражение для перемещений и,
как при эллиптическом сечении. Приходится прибегать к разло-
жению и в ряд, как это и сделал Сен-Венан, которому принад-
лежит решение этой задачи. Однако можно представить картину
распределения напряжений и вид фор-
мул для углов закручивания и наи-
больших касательных напряжений в
точках прямоугольного сечения, про-
водя аналогию между прямоуголь-
ным и эллиптическим сечениями. Если
обозначить через h и b соответственно
длинную и короткую стороны прямо-
угольника (й^&), то по аналогии с
эллипсом следует ожидать наибольших
касательных напряжений в точке кон-
тура посредине длинной стороны. На-
пряжения хв в точке посредине корот-
кой стороны должны иметь меньшую
величину. Так как по доказанному ка-
сательное напряжение не должно
иметь составляющей по нормали к кон-
туру, то в угловых точках одновремен-
но и гух = 0 и tzx = 0, т. е. т = 0. Таким образом, примерный
вид эпюр касательных напряжений можно представить рис. 145.
Имея в виду, что для эллипса
мк + -
^к= лаью
Мк
^—ab^G
tr
для прямоугольника можно принять
Мк_____
h \
Г | hb*Q
и
(6.35)
Фк
Ттах —
Мк
(6.36)
Эти результаты и получены Сен-Венаном при математически
точном решении задачи. Им вычислены значения функций и
232
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. 6
f2, а также функции
при разных отношениях h/b.
(6.37)
Таблица 4
h b 44) 44) 44) ft b 44) 44) 44)
1 0,141 0,208 1 4 0,281 0,282 0,745
1,5 0,196 0,231 0,859 5 0,291 0,291 0,744
2 0,229 0,246 0,795 10 0,312 0,312 0,742
3 0,263 0,267 0,753 00 0,333 0,333 0,742
Эти значения приведены в табл. 4. Из нее видно, что для
очень длинных и узких прямоугольников (h/b > 10) можно с до-
статочной точностью принять
_ ЗМК _ зл-[к
’к hb3G ’ Tmax kb2 •
(6.38)
При этом в точках средней линии сечения, кроме небольших уча-
стков у концов этой линии, можно принимать т — 0.
§ 31. Кручение стержней сложных профилей
Используя (6.38), приближенно решают задачу о кручении
любых незамкнутых профилей, которые можно разбить на не-
сколько длинных и узких прямоугольников. Рассмотрим в каче-
стве примера случай кручения двутавра (рис. 146). Разделив его
на три прямоугольника, найдем часть крутящего момента, при-
ходящуюся на каждый из них. Пусть на стенку передается кру-
тящий момент Л1КС, на каждую из полок Л1КП. Тогда
44кс + 2МКП — Мк.
Если принять, что контур сечения при деформации не изменяет
своей формы (допущение о недеформируемости контура сече-
ния), то углы закручивания стенки и полки следует считать оди-
наковыми, так что
Фкс === фкп>
или
З.мкс зл1кп
GAjd3 Gbt3
§ 32]
ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ И ЖЕСТКОСТИ СТЕРЖНЕЙ
233
Имея это в виду, найдем
7Wkc Л,63 + 2М3 ’ кп мз + 2М3 •
Наибольшее касательное напряжение т на боковой поверхно-
сти стенки действует в точке посредине высоты стенки:
ЗМКС ЗЛГК6
тахтс — h&2 — h^ + 2btf
Аналогично на поверхности полки (в точке посредине ее ши-
рины)
ЗЛ1КП ЗЛМ
maxтп = -т-2 - — . , о.,3 .
п Ы2 Л1О3 + 2W3
Если t > 5, то в последней точке действует наибольшее каса-
тельное напряжение.
Относительный угол закручивания
а __ ЗМКС________ЗЛ4К____
к— Gh^ ~ (h& + 2bt*)G •
Результат следует считать приближенным, так как допуще-
ние о недеформируемости контура не оправдывается полностью,
а кроме того, и потому, что в наших выво-
дах мы пренебрегли местными напряже-
ниями на границах полок со стенками.
Совершенно аналогично поступают и в
других случаях, когда незамкнутое сечение
разбивается на ряд узких, но длинных пря-
моугольников. Можно также, на основании
соображений, выходящих за пределы на-
шего курса, показать, что тонкостенный не-
замкнутый профиль, средняя линия кото-
рого имеет криволинейное очертание, при
условии недеформируемости контура, с при-
емлемой точностью допустимо рассчитывать
на кручение как прямоугольник, высота ко-
Рис. 146.
торого равна длине средней линии, а ширина — толщине стенки.
С помощью тех же соображений доказывается, что в точках
средней линии рассмотренных профилей касательные напряже-
ния при кручении могут приниматься равными нулю.
§ 32. Проверка прочности и жесткости скручиваемых стержней
Из предыдущего следует, что наибольшее касательное напря-
жение в поперечном сечении любого стержня можно представить
в виде
Ттах = -^, (6.39)
234
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. 6
где 1ГК — момент сопротивления сечения стержня кручению;
„„ nab2
для сечения в виде эллипса iEK =—
» » » » круга 1ГК = ^-;
» » » » прямоугольника WK = f2(J^hb2, (h>b);
„„ hi63 + 2bt3 ,,
» » двутаврового 1ГК—------, (/^>о).
Равным образом,
= (6.40)
где JK — модуль жесткости сечения при кручении;
ytci^b^
для сечения в виде эллипса 4=дг
, jrr4 nd4 ,
» » » » круга /к = —= -32- = /р;
» » прямоугольника /к — ft (у) hb3, (h b);
» » двутаврового JK = 4-(/г^Ч-2b/3).
Произведение GJK называют жесткостью стержня при кру-
чении.
Если исходить из условия, чтобы при допускаемой нагрузке
max М,
то условие прочности представится в виде
(6.41)
Кроме того, иногда ставят требование, чтобы
фк < ЬМ-
Тогда
^•<[♦4. (6-42)
где [1рк] — допускаемый погонный угол закручивания.
§ 33. Проверка прочности скручиваемого стержня
по предельному состоянию
При проверке прочности скручиваемого стержня из пластич-
ного материала по допускаемым напряжениям мы не исчерпы-
ваем всех его возможностей.
§ 331
ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ СОСТОЯНИЮ
235
Так, например, в случае круглого стержня, после того как
наибольшие касательные напряжения достигнут величины тт,
возрастание крутящего момента приводит лишь к постепенному
распространению пластической деформации от поверхности
вглубь стержня (рис. 147,а). Поэтому за предельное состояние
можно принять состояние, характеризуемое эпюрой напряжений
рисунка 147,6. Тогда
Й4пред тр dF — Тт р dF•
(F) (F)
Так как dF = pdq>dp (рис. 148), то
г 2л г 2л
р dF = р2 dp dtp = р2 dp j dcp=-^ ar3.
(F) 0 0 0 0
Следовательно, величина предельного крутящего момента
М1рея = ^-гт, (6.43)
а величина допускаемого крутящего момента
лгк 2
Условие прочности по предельному состоянию примет
такой вид:
(6.44)
— лг3
2
Величину у аг2 называют пластическим моментом сопроти-
вления кручению для круглого сплошного сечения, так что
^к.пл = |лг3,
236
КРУЧЕНИЕ
И Л. 6
тогда как
Гк-1лг3.
Пластический момент сопротивления для круглого сплошного
стержня оказывается на 33% больше WK, соответственно с чем и
грузоподъемность стержня при расчете его по предельному со-
стоянию на столько же может быть увеличена. Однако следует
считаться с уменьшением жесткости стержня при расчете по пре-
дельному состоянию, а также с возможностью наклепа материа-
ла стержня и появления остаточных напряжений при действии
на стержень переменной нагрузки. А так как скручиваемые
стержни почти исключительно приходится рассчитывать на пе-
ременную нагрузку, то расчет их по предельному состоянию не
получил в практике распространения (см. также § 52).
ГЛАВА 7
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
§ 34. Общий случай деформации стержня
при плоском напряженном состоянии
Рассмотрим общий случай плоского напряженного состояния
стержня, когда в точках его поперечных сечений действуют про-
извольные по величине нормальные и касательные напряжения.
Усилия в этих сечениях выражаются через напряжения следую-
щим образом:
j <3xdF = N,
(F)
dF:== Qu,
(F)
\ axz dF = Mu,
l л yi
(F)
^zx dF = Qz,
(F)
J <jxydF = Mz,
(F)
j (г/т2Х — zxyx) dF = MK,
(F)
(7-1)
где N — сумма проекций внешних сил, приложенных к рассмат-
риваемой части стержня (по одну сторону от сечения), на нор-
маль к сечению, за которую принимаем ось Ox; N называют нор-
мальной или продольной силой в рассматриваемом сечении; Му
и Mz — изгибающие моменты, вычисленные относительно осей
Оу и Oz этого сечения; Оу и Oz— составляющие поперечной
силы по направлению осей Оу и Oz; Мк — крутящий момент.
В результате действия нормальной силы сечение стержня, оста-
ваясь плоским, при деформации перемещается вдоль оси Ох, ос-
таваясь параллельным самому себе, так что перемещение лю-
бой точки сечения по направлению этой оси можно представить
в виде
uN = u0. (7.2)
Изгибающие моменты Му и Mz вызывают повороты сечения от-
носительно осей Оу и Oz, так что (рис. 149)
uMy = — zw' (7.3)
и, аналогично,
«Л1г = — yv'- (7-4)
238
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
1ГЛ. 7
Поперечные силы, как мы видели, вообще говоря, вызывают ис-
кривление сечений, в результате чего точки этих сечений полу-
чают некоторые перемещения uQ. Искривление сечений полу-
чается также в результате действия крутящих моментов (за
исключением стержня круглого сечения). Перемещения точек в
направлении оси Ох вследствие этого искривления назовем ик.
Таким образом, в общем случае
и = Uq — v'y — w'z + uQ + ыЕ.
Однако, как мы убедились, для случая плоского изгиба с попе-
речной силой влияние искривлений сечений от действия попереч-
ных сил на нормальные напряжения в большинстве случаев
мало; то же можно считать и в отношении искривлений сечений,
связанных с кручением (за исключением некоторых особых ти-
пов сечений, которые рассмотрим впоследствии). Поэтому при
определении относительных удлинений воло-
их кон стержня можно принять
\ u = Uq — v у — w z. (7.6)
\
\ Тогда, так как
tdu
е, = -ч—,
* ах
получим
8х = Ы;-о"г/-а»"г. (7.7)
Если, кроме того, принять как допущение, что
у волокна не оказывают друг на друга нормаль-
, ! ных воздействий, то
/а у = az = 0, (7.8)
и потому
РИС’ 149‘ дх = о = Еьх = Е (и' - v"y - w"z). (7.9)
Подставляя это выражение в первые три уравнения (7.1), полу-
чим следующие формулы:
ЕГы'(х) dF — и"(х) ydF — w"(x)
L (К) (К) (К) J
Е Гы' (х) \zdF — v" (х) yzdF — w" (х) z2 dfl = Му,
L (К) (К) (К) J
ЕГы'(х) ydF— и"(х) y2dF — w"(x) zydFl = Mz.
L if) (к) (К) J
§ 35]
КОСОЙ ИЗГИБ
239
Если оси Оу и Oz являются главными центральными осями инер
нии поперечного сечения балки, то
( zdF = Sy = 0, ydF = Sz~0, yzdF = Jyz = Q
(F) <F) (P)
и, следовательно,
AT . , Л12
uo(x)=='EFr> W"^==~~ET^' V" = ~~ ~ЁЦ '
Поэтому при указанном выборе координатных осей получим
N , Мцу Myz
°х~ F + /г + Jy
Таким образом, рассмотренный общий случай деформации
стержня соответствует действию в сечениях стержня нормальных
сил и двух изгибающих моментов в плоскостях, проходящих
через главные оси инерции этих сече-
ний (главных плоскостях).
Рассмотрим некоторые случаи дей-
ствия внешних сил на стержень, сво-
дящиеся к этому общему случаю.
§ 35. Косой изгиб
I. Косой изгиб при упругих дефор-
мациях. Рассмотрим случай чистого
изгиба стержня, когда плоскость дей-
ствия изгибающих пар не совпадает
ни с одной из главных плоскостей это-
го стержня (рис. 150, плоскость АА).
Тогда изгибающий момент в любом
сечении может быть представлен век-
тором ОМ, перпендикулярным к пло-
скости АА. Разлагая этот вектор на
две составляющие по направлениям главных осей инерции сече-
ния, получим
M„ = A4sina, Af, = Alcosa.
У > л
(7-Ю)
(7.11)
Таким образом, мы имеем частный случай изгиба, рассмотрен-
ного в предыдущем пункте, при N = 0, Му и Mz определяемых
формулами (7.11). Следовательно,
или
М sin a • z । M cos a • у
— J ' I
J у JZ
z cos a । z sin a
“+ J у ) •
(7.12)
240
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
[ГЛ, 7
Так как в точках нейтральной оси сечения
сгх = О,
очеви
Лхт тт
ет
у cos а . г sin а
J2 Jy
Иными словами, нейтральной осью в рассматриваемом случае
является прямая, проходящая через начало координат (центр
тяжести сечения) и составляющая с осью Оу угол 0, определяе-
мый из уравнения
tg₽= — -p-ctga. (7.14)
J z
Следовательно, направление нейтральной оси может быть пер-
пендикулярным к плоскости действия внешних сил только тогда,
когда последняя совпадает с одной из главных плоскостей, или
когда
Jy — Iz‘
Однако в этом последнем случае, как следует из формулы
(15.16) (стр. 450), любая ось является главной осью инерции
и любая плоскость действия сил является главной. Таким обра-
зом,, можно утверждать, что при действии изгибающих пар в пло-
скости, не совпадающей с главной, нейтральная ось сечения не
перпендикулярна к этой плоскости. В то же время, так как рас-
стояние £ любой точки сечения от нейтральной оси равно
у cos a _j_ z sin a
e. J У
TO
„ , i™. / cos2 a sin2 a . e.
vx = ±M'Q + ——, (7-15)
где переменной величиной является лишь £. Отсюда следует,
что нормальное напряжение в любой точке сечения пропорцио-
нально расстоянию этой точки от нейтральной оси и эпюра рас-
пределения нормальных напряжений по сечению должна иметь
вид, представленный на рис. 151.
При определении прогибов воспользуемся графоаналитиче-
ским методом, для чего, вычислив изгибающий момент от
фиктивной нагрузки Мф, разложим вектор этого момента по
§35]
КОСОЙ ИЗГИБ
241
направлениям главных осей инерции сечения. Тогда
Мф = Мф sin а,
Мф — Мф cos а,
и прогибы в направлении названных осей определятся фор-
мулами
_ М _ Мф8’11®
W~ EJy~ EJy ’
_ ^ф _ Лесова
V EJZ — EJZ
Полный прогиб, как геометрическая сумма v и w, равен
— Мф /cos2 a sin2а
«л = + ®2 = — Л —тг- + —й— •
V JZ Jy
Его направление определится из уравнения
tg ф =-у =-jMg а, (7.16)
V J у
где ф — угол, составляемый этим направлением с осью Оу. Из
сопоставления (7.14) и (7.16) нетрудно убедиться, что направ-
ление полного прогиба всегда пер-
пендикулярно к нейтральной оси
и потому не совпадает с направ-
лением внешних сил. Изгиб бал-
ки, при котором направление
прогибов не совпадает с направ-
лением внешних сил, принято
называть косым изгибом. Следо-
вательно, рассмотренный случай
является случаем косого чистого
изгиба.
Как было показано ранее
(§ 26), при плоском изгибе балки,
сечение которой имеет по крайней
мере одну ось симметрии, и
при действии нагрузки в плоско-
сти симметрии -балки влияние по-
перечных сил на величину нор-
Yz
Рис. 151.
иальных напряжений настолько
невелико, что им можно пренебрегать. Нагрузка, действующая
в любой плоскости, проходящей через продольную ось балки,
может быть разложена на составляющие, направленные по глав-
ным осям инерции ее сечений. Отсюда ясно, что при наличии у
242
сложный ИЗГИБ
[ГЛ. 7
сечений балки двух осей симметрии влиянием поперечных сил на
нормальные напряжения при косом изгибе также можно прене-
брегать, как мы это и сделали выше, и для определения напря-
жений пользоваться формулой (7.12) независимо от того, имеем
ли мы дело с чистым изгибом или изгибом с поперечной силой.
Для нахождения касательных напряжений можно воспользо-
ваться полученным на стр. 181 соотношением
J °dE- <717>
(Л)
справедливым для составляющей касательного напряжения, па-
раллельной оси балки и действующей по площадке, параллель-
ной этой оси, причем распределение напряжений по ширине пло-
щадки принимается равномерным. Через Ь обозначена ширина
балки в направлении площадки, Fo — площадь части сечения, от-
секаемой прямой, по которой площадка пересекается с данным
сечением. Следовательно, если с достаточным основанием ока-
жется возможным принять распределение касательных напря-
жений равномерным как по площадкам, параллельным оси Оу
при плоском изгибе в направлении Oz, так и по площадкам, па-
раллельным Oz при плоском изгибе в направлении Оу, то
1 d С (Муг Мгу\
ХгХ~ by' dx J к Jy + JZ )dF’
_ 1 d Г f MyZ Mzy \
Xyx— bz ‘ dx У \ J Jz )аГ’
К)
где by и bz — ширина сечения балки по площадкам, соответствен-
но параллельным осям Оу и Oz, F'o и Fo — части площади сече-
ния, отсекаемые этими площадками. Если сечение постоянно по
длине балки, то
1 ( 1 dMu Г 1 dMz С
Тгх == < ~г— ' —i- I 2 ^F Н-7— • —5-- \ у dF
by j dx J Jz dx J y
Но
ЛМУ _ n dMz — Л
dx dx —Чу,
где Qz и Qy — составляющие поперечной силы по направлениям
Oz и Оу. Кроме того,
§ 35]
КОСОЙ ИЗГИБ
243
вследствие симметрии площади F'o относительно оси Oz. Поэтому
и, аналогично,
__®г$уО
ZX Ьу1у
______ Qyszo
^«х~ bzJz •
(7.18)
(7.19)
где S*yo и Szo — статические моменты площадей Fo и Fq отно-
сительно осей Оу и Oz.
Если допущение о равномерном распределении касательных
напряжений по ширине площадок обоих направлений недосто-
верно, то во всяком случае по этим формулам может быть най-
дена средняя величина тгж и тугс. Таким же образом среднюю ве-
личину касательных напряжений для площадок, параллельных
нейтральной оси, получим в следующем виде:
sin2 а
/2
у
J ^dF
или
QSNa / cos2 а sin2 а
V vT+’T'
где Ья — ширина сечения балки по рассматриваемой площадке,
Swo — статический момент отсекаемой площадкой части сечения
относительно нейтральной оси. Но
и cos а , z sin а
—------------------
7z 1у
dF =
И потому
SZoQ cos a Sy0Q sin a
bTT * b..J„
N Z N У
sina
7»
Syosina\
7» )’
244
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
(ГЛ. 7
или, так как
то
Q cos а = Qy, Q sin а = Qz,
Qy^za Qz^yo
(7.21)
2. Косой изгиб в пластической области. Как показано, де-
формации балки при косом чистом изгибе связаны с поворотом
плоских сечений относительно нейтральной оси, не перпендику-
лярной к плоскости действия изгибающих моментов. Вследствие
этого процесс пластической деформации при косом изгибе имеет
характер, совершенно аналогичный характеру при плоском из-
гибе, и сводится к постепенному распространению пластической
деформации от крайних, наиболее напряженных в упругой об-
ласти волокон, на волокна, находящиеся на меньшем расстоя-
нии от нейтрального слоя. В частности, при пластической дефор-
мации без упрочнения напряжения становятся равными соответ-
ствующему пределу текучести в точках все увеличивающихся
частей растянутой и сжатой зон сечения, причем, однако, посте-
пенно изменяется направление нейтральной оси сечения. За пре-
дельное состояние балки, аналогично случаю плоского изгиба,
можно принять такое, при котором сечение балки оказывается
разделенным на две зоны, в точках одной из которых напряже-
ния равны пределу текучести при растяжении, в точках другой —
пределу текучести при сжатии. Поэтому, в случае равенства по-
следних, имеем на основании (7.1)
ах dF = a^dF — О,
А (4)
или
FP <= Fc;
crxz dF = crT f z dF — oT j z dF — My, (7.22)
W (Fp) (Fc)
или
°т (Syp Syc) ~ My (7.23)
и, наконец,
axy dF = crT ydF — <гт у dF — Mz,
(f₽) A
или
aT(Szp-SZe) = Alz, (7.24)
причем Syp и Szp — статические моменты растянутой зоны сече-
ния относительно осей Оу и Oz; Sy с и 8г с — статические мо-
менты сжатой зоны относительно тех же осей. Таким образом,
§ 35]
КОСОЙ ИЗГИБ
245
в предельном состоянии нейтральная ось сечения должна делить
площадь последнего пополам, а ее направление должно опреде-
ляться из условия
т. е.
Sgp ~ Syr-.
$zp $zc
= tga,
(7.25)
где a — угол, составляемый осью Оу с плоскостью действия из-
гибающей пары М. В частности, если эта плоскость проходит
через ось Oz, то tg а — со и
Szc,
потому
sy? — Syc ¥= 0,
и изгиб будет плоским. Для этого необходимо, чтобы ось Oz
была параллельна прямой, соединяющей центры тяжести растя-
нутой и сжатой зон, или совпадала с ней. Последнее имеем, на-
пример, в том случае, когда ось Oz является осью симметрии се-
чения (тогда S2 р = Sz с = 0). Аналогично, для плоского изгиба
при действии изгибающей пары Mz необходимо, чтобы ось Оу
была параллельна прямой, соединяющей центры тяжести растя-
нутой и сжатой зон сечения, или совпадала с ней. Таким обра-
зом, в предельном пластическом состоянии балки плоский изгиб
имеет в общем случае место лишь тогда, когда плоскость дей-
ствия изгибающей пары проходит через прямую, параллельную
или совпадающую с прямой, которая сое-
диняет центры тяжести растянутой и сжа-
той зон сечения, а не через одну из глав-
ных осей сечения. Лишь в частном слу-
чае симметричных сечений условия пло-
ского изгиба остаются те же, что и при
изгибе в упругой области.
После того как по формулам (7.22)
и (7.25) найдено положение нейтральной
оси и вычислены S№, Svc, Szp и SzC, на-
хождение предельного изгибающего мо-
мента с помощью формул (7.23) и (7.24)
не представляет труда.
Рассмотрим в качестве примера бал-
ку прямоугольного сечения (рис. .152).
Вследствие симметрии этого сечения относительно главных осей
Оу и Oz при действии изгибающих пар плоский изгиб в случае
пластической деформации без упрочнения будет иметь место то-
гда, когда приложены изгибающие пары Му или Mz. При произ-
вольном направлении плоскости действия изгибающих пар изгиб
246
сложный ИЗГИБ
[ГЛ. 7
будет косым. Если при этом нейтральная ось NN будет состав-
лять с Оу угол р, то при tg 0 < h/b
5» = 4(4-4‘г04(4!г1’+т+1) +
+4(4+4‘g₽) 4- (4 tg ₽+4 - 4-tg?) -
Следовательно,
откуда
3 h2 . о 1хо X
y-^-ctgp — ytgP = tga
и _________
ctgp=-^-tg°e(i -д/1+‘¥'cts2a)’
^ = ^(-^--^-tg2p), Afz = aT-^-tg₽, мт = л/м2у + м2г\
Случай изгиба с поперечной силой ввиду сложности исследова-
ния оставляем без рассмотрения, тем более что влияние попе-
речной силы на величину Л1т в большинстве случаев не велико.
§ 36. Сжатие (растяжение) с изгибом. Внецентренное сжатие
и внецентренное растяжение
1. Сжатие и изгиб стержней. Рассмотрим случай нагрузки
у, распределенной по концевым сечениям стержня по линейному
закону (рис. 153). Такая нагрузка для каждого из концов
стержня может рассматриваться как совокупность двух нагру-
зок: qp — распределенной равномерно по всему сечению и ум—
распределенной по сечению по тому же закону, по которому рас-
пределяются нормальные напряжения при чистом изгибе. С точ-
ки зрения статики твердого тела первая из них сводится к силе
Р (равнодействующей), приложенной в центре тяжести сечения
и направленной по оси стержня, вторая — к паре сил, момент
которой будем в дальнейшем обозначать М. Такой случай можно
§ 36]
СЖАТИЕ (РАСТЯЖЕНИЕ) С ИЗГИБОМ
247
рассматривать как одновременные сжатие и изгиб стержня или
растяжение и изгиб его (в зависимости от направления Р). В то
же время, основываясь на принципе Сен-Венана, можно утверж-
дать, что если не интересоваться местными деформациями и на-
пряжениями вблизи концов стержня, то можно считать напря-
женно-деформированное состояние стержня оди-
0
Рис. 153.
наковым для любого способа приложения нагруз-
ки, лишь бы она сводилась к одинаковым силе Р
и паре сил М. Следовательно, отказываясь от
учета местных напряжении и деформаций, мы
можем случай сжатия с изгибом или растяжения
с изгибом представлять схематически так, как
показано на рис. 154. При этом очевидно, что
схема рис. 154 может быть, в частности, осуще-
ствлена и так, как это показано на рис. 152, т. е.
с) о)
Рис. 154.
М
путем приложения сил Р не в центрах тяжести концевых се-
чений, а на некотором расстоянии е от центра тяжести (или от
оси стержня). Это расстояние е принято называть эксцентриси-
тетом приложения силы Р, а случай приложения нагрузки по
такой схеме — внецентренным сжатием (растяжением) стержня.
При этом очевидно полное тождество схем рис. 154 и 155, так
как внецентренно приложенную силу Р можно заменить такой
же силой, приложенной по оси стержня, и парой сил с момен-
том
М = Ре. (7.26)
Обращаясь к определению усилий в сечениях сжато-изогнутого,
или внецентренно сжатого стержня, необходимо обратить внима-
ние на одну важную особенность рассматриваемого случая. Во
всех изучавшихся ранее случаях, определяя усилия, мы рассмат-
ривали все время недеформированный стержень. Это не может
вызвать сомнений в случае растяжения и сжатия, по крайней
248
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
[ГЛ. 7
мере при неучете влияния собственного веса, так как усилия в
таком случае не зависят от положения сечений по длине стержня.
При вычислении изгибающих моментов в сечениях балок, строго
говоря, следовало бы учесть разницу в расстояниях точек при-
ложения нагрузок от рассматриваемого сечения в недеформиро-
ванном и в деформированном состояниях. Однако эта разница
сводится к разнице между длинами дуг и соответствующих хорд.
При небольших прогибах балки она совершенно незначительна
и потому может не приниматься во вни-
мание. Для изгиба со сжатием или изги-
ба с растяжением указанная возможность
не имеет места. В самом деле, если опре-
делять усилия в сечениях сжато-изогнуто-
го стержня, исходя из его недеформиро-
ванного состояния, то (рис. 156)
5дг = Р, Sq — 0, Sm — M.
В деформированном же состоянии
S;; =— Pcos0, SQ= — Р sin 0,
= М + РиА,
где 0 — угол поворота сечения стержня
при его изгибе, иА — прогиб в этом сече-
нии. При малых по сравнению с длиной стержня прогибах с до-
статочной точностью можно принять
cos 0=1, sin 0 « tg 0 = u'a,
так что
$N = $Q = ^UA’ = M PUA.
Лишь в том случае, когда малы не только прогибы, но и углы
поворота иА, можно принять
«д = 0
и пренебречь величиной РиА по сравнению с М. Отсюда следует,
что для определения усилий сжато-изогнутые стержни нужно
разбить на два класса:
а) стержни, жесткость которых (точнее, так называемая ли-
нейная жесткость Е1Ц) велика; усилия в этих стержнях допу-
стимо с достаточной точностью определять по недеформирован-
ному состоянию, так что
Sn = Nx = -P, Sq = Qx = O, Sm = Mx^=M-,
б) стержни меньшей жесткости по сравнению с первыми;
усилия в этих стержнях следует находить из рассмотрения
§ 36]
СЖАТИЕ (РАСТЯЖЕНИЕ) С ИЗГИБОМ
249
деформированного состояния, т. е. принимать
Nx = — Р, Qx = — Ри'А, Мх = М + Рид.
Аналогичный вывод можно сделать и для растянуто-изогнутых
стержней, причем для случая а)
NX = P, Qx = 0. МХ = М
и для случая б)
NX = P, Qx = Pu'a> M=M-Pua.
л л /i Л Л
Границу между случаями а и б мы уточним в дальнейшем.
2. Внецентренное сжатие и внецентренное растяжение
стержней большой жесткости при упругих деформациях.
Рассмотрим случай, когда нагрузка, действующая на стержень,
может быть сведена к сжимающим силам, приложенным вне
центра тяжести его концевых сечений (рис.
157). Ввиду сделанного допущения о боль-
шой жесткости стержня определение уси-
лий в его сечениях на основании изложен-
ного в п. 1 можно производить по недефор-
мированному состоянию. Поэтому, обозна-
чая координаты точки приложения силы,
которую будем в дальнейшем для кратко-
сти называть полюсом, через еу (эксцентри-
ситет относительно оси Оу) и ег (эксцентри-
ситет относительно оси Oz), получим в лю-
бом сечении:
Nx — — P, Qx = 0, Му — — Реу,
Мг — — Рег.
Следовательно, если Оу и Oz — главные
оси инерции сечения, то, на основании
(Ю.7),
/ Р Peyz Регу \
° — “ VT + + ~7Г) ’
или
(7.27)
Из условия, что в точках нейтральной оси ст = 0, получаем урав-
нение нейтральной оси:
1 +
ezy
Ь^=0,
‘I
(7.28)
250
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
[ГЛ. 7
ИЛИ
где
Л_+^ = 1( (7.29)
Ру Рг v ’
i2 i2
Ру — ±’ Pz = --f- (7-30)
ег еу
Так как расстояние £ любой точки сечения от определенной та-
ким образом нейтральной оси равно
то
(7-31)
следовательно, напряжение в любой точке поперечного сечения
пропорционально расстоянию этой точки от нейтральной оси, и
эпюра распределения напряжений по
сечению представится рисунком 158.
Рассмотрим подробнее уравнение ней-
тральной оси (7.29). Так как
то положение нейтральной оси зависит
от положения полюса. Вообще говоря,
она не проходит через центр тяжести
сечения. Лишь при
ег = еу = оо, ру = Рг = 0
нейтральная ось пройдет через центр
тяжести сечения. Но так как
Му — — Реу, Мг = — Рег,
то этот случай возможен лишь при Р — 0, Му 0 и Мг =# 0, т. е.
при чистом изгибе, без продольной сжимающей силы. Наоборот,
при
еу = ег = 0,
т. е. при центральном приложении продольной сжимающей силы,
Ру = Рг = -°°,
§ 36]
СЖАТИЕ (РАСТЯЖЕНИЕ) С ИЗГИБОМ
251
так что нейтральная ось удаляется в бесконечность. При этом
эпюра распределения напряжений по сечению обращается в пря-
моугольник; напряжения, таким образом, распределяются по се-
чению равномерно, что и следовало ожидать. Во всех остальных
случаях, кроме упомянутых, являющихся предельными, нейт-
ральная ось находится на конечном расстоянии от центра тяже-
сти сечения, проходя всегда через квадрант, противоположный
тому, в котором находится полюс. При достаточно малых экс-
центриситетах полюса расстояние нейтральной оси от центра
тяжести сечения окажется настолько большим, что нейтральная
ось не будет пересекать сечение (рис. 159); напряжения во всех
точках сечения будут иметь одина-
ковый знак. Наоборот, при больших
эксцентриситетах полюса нейтраль-
ная ось пересекает сечение (рис. 158).
Последнее разделяется этой осью на
две зоны, из которых одна является
сжатой, другая — растянутой. Оче-
видно, что вокруг центра тяжести
можно очертить целую область, за-
ключающую в себе все полюсы, ко-
торым соответствуют нейтральные
оси, не пересекающие сечение или,
в крайнем случае, касающиеся по-
следнего; при этом во всех точках
сечения стержня мы будем иметь
напряжения одного знака. Такую область принято называть
ядром сечения. Из приведенного определения ядра сечения сле-
дует, что полюсу, находящемуся на контуре ядра сечения, соот-
ветствует нейтральная ось, касающаяся контура сечения. По-
этому, если известно уравнение этого последнего контура, не-
трудно получить уравнение контура ядра сечения.
В самом деле, если уравнение контура сечения имеет вид
F(y, z) = 0,
то уравнение касательной в любой точке B(yi,Z\), как известно,
будет
Fyi(У — У\) + Fzi (z — Zj) = О,
где
„ dF
Fyi = -^- при у = уъ z = zb
„ dF
Fzi — -^- при у = уи z = Zi.
252
сложный ИЗГИБ
[ГЛ. 7
Следовательно, для этой касательной
Fy\ih+ FziZi FyiVi + Fzlzt
P, =------, P.=---------------K------ (7.33)
и соответствующий полюс, т. е. точка контура ядра сечения,
на основании (7.30) имеет координаты:
_ _ Fy& 1
У е* Fy^ + ^г. ’ I
р ,-2 f (7-34)
z = е =________г'У |
v Fy^+FziZl’ )
Исключая отсюда у\ и Zi, с помощью уравнения (7.32) получим
уравнение контура ядра сечения.
Пример. Найти уравнение контура ядра сечения для эллипса, уравне-
ние которого
у2 .у2
-^- + ^-=1- (7.32*)
Отсюда
и, следовательно, координаты контура ядра сечения:
У14
а2 ’
Z14
Ь2 ’
или
Z1
b '
Так как точка (t/i, zt) есть точка эллипса, то
„2 z2
У1 , zi _
а2 + Ь2
1,
и потому из предыдущих равенств получаем
Следовательно, контур ядра сечения есть тоже эллипс с полуосями
г2 г2
г «. У
01=—, *1=-г-.
а о
5 36]
СЖАТИЕ (РАСТЯЖЕНИЕ) С ИЗГИБОМ
283
Но для эллипса (7.32*) nb3a 4 ’ яа3Ь 4 •, F — яаЬ,
и потому ;2 ]У Ь2 .9 Ч а2
Ч F 1г ~ F ~ 4 ’
так что 41 = а = “4 * Ь, = b 4 -
Иными словами, ядро эллиптического сечения ограничивается также эллипсом,
полуоси которого составляют четверти полуосей сечения. В частном случае
круглого сечения ядро сечения есть крут, радиус которого равен четверти ра-
диуса сечения.
Очевидно, что контур ядра сечения может быть построен гра-
фически по точкам, являющимся полюсами касательных к кон-
туру сечения. Однако в случае, когда контур сечения является
многоугольником, более удобным представляется другой способ,
основанный на свойствах полюсов и нейтральных осей, вытекаю-
щих из двух основных положений. Пусть на нейтральной оси,
соответствующей полюсу A (ez, еу),
1
у
взята точка В (е', е'), так что
егеу , egez
,-2 ;2
(а)
Нейтральная ось, соответствующая полюсу В, будет иметь
уравнение
1+^ + Д^ = 0.
'г Ч
В силу тождества (а) это уравнение удовлетворяется координа-
тами точки А, т. е. нейтральная ось, соответствующая точке В,
проходит через точку А. Иными словами, полюсу, взятому на
какой-либо прямой, соответствует нейтральная ось, проходящая
через полюс этой прямой.
Отсюда, как следствие, получается, что при перемещении по-
люса по какой-либо прямой нейтральная ось, проходя через
полюс этой прямой, меняет лишь свое направление.
На основании приведенных положений нетрудно показать,
что нейтральная ось, соответствующая полюсу, который нахо-
дится на контуре сечения, должна касаться контура ядра сече-
'254
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
[ГЛ. 7
ния. В самом деле (рис. 160) полюс касательной к контуру сече-
ния в какой-либо точке последнего А должен находиться на кон-
туре ядра сечения. Пусть
это точка В. Нейтральная ось, соот-
ветствующая полюсу Л, должна про-
ходить через точку В. Если она при
этом пересекает ядро сечения, то,
переместив полюс в точку С, мы
должны получить соответствующую
этому положению нейтральную ось,
проходящую через точку А и пере-
секающую контур сечения. Но это
противоречит определению ядра се-
чения. Отсюда следует, что ней-
тральная ось, соответствующая по-
люсу А, должна касаться контура
ядра сечения в точке В.
На основании сказанного, для
построения контура ядра сечения
многоугольника достаточно по-
строить нейтральные линии, соответствующие полюсам, которые
располагаются в вершинах всех углов многоугольника, кроме
входящих (через последние нельзя провести касательную к кон-
туру сечения).
Так, например, для прямоугольника ABCD (рис. 161) получим
-2 bhi h2
*У ~ 12bh ~ 12 ’
полюс А:
b h
ez — ~2, еу — ~2>
полюс В:
Ь h
®2----Т’ еУ~ Т’
полюс С:
b h
ег—-у, еу-----у,
полюс D:
b h
ег 2 ’ ву 2 ’
,2 hb* Ъ2
12Ь/г 12 ’
b h
PV----у, p2--g-;
b h
Py-~Q’ Рг-~~б'г
b h
Py--Q> Рг~-б;
b h
Py-----Q- P^--q-
Таким образом, ядром сечения является ромб, диагонали которого равны
&/3 и h/3.
В случае двутаврового сечения (рис. 162) приходится строить нейтраль-
ные оси лишь для полюсов A, F, G и Т. Ядро сечения — по-прежнему ромб,
но его полудиагонали равны 212г/Ь и 2i2y/h.
Свойства ядра сечения используются при расчетах стержней,
материал которых мало сопротивляется растяжению (по срав-
§ 36]
СЖАТИЕ (РАСТЯЖЕНИЕ) С ИЗГИБОМ
255
нению с его сопротивлением сжатию), как например, кирпичная
или каменная кладка. В этом случае обыкновенно принимают
допускаемое напряжение на растяжение равным нулю, т. е.
пренебрегают сопротивлением растяжению. Аналогичные сооб-
ражения приходится иметь в виду при расчете фундаментов.
В самом деле, если не интересоваться местными деформациями
Рис. 161.
Рис. 162.
и напряжениями, то распределение напряжений при внецентрен-
ном сжатии во всех сечениях стержня оказывается одинаковым.
Поэтому все полученные выводы о распределении напряжений
могут быть применены и к концевым сечениям, к числу которых,
в частности, относится и сечение по
подошве фундамента. Но растягиваю-
щие напряжения между подошвой фун-
дамента и грунтом основания естест-
венно принять равными нулю. В связи
со сказанным во всех перечисленных
случаях следует стремиться к тому,
чтобы растягивающие напряжения от-
сутствовали, для чего равнодействую-
щая всех внешних сил должна иметь
точку приложения в ядре сечения.
Если удовлетворить этому требова-
нию не удается, то иногда, пренебрегая
сопротивлением растяжению, допуска-
ют деформации растяжения в части се-
чения, т. е. предполагают, что эта часть сечения не участвует
в передаче усилий. Проверку прочности в таком случае произво-
дят по сжимающим напряжениям.
Так как определение этих напряжений в общем случае весьма
сложно, рассмотрим лишь случай, когда сечение имеет по край-
ней мере одну ось симметрии, причем полюс находится на этой
оси (рис. 163). Тогда, обозначая расстояние любой точки сечения
256
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
[ГЛ. 7
от нулевой линии NN через £, на основании (7.31) получим
„ С
& — ^mln > >
femax
и из условий
jj (3 dF — — Р, J £<т dF = М = — Ре,,
W (Ft)
где Ft — площадь сжатой (рабочей) зоны сечения, получаем
-^2- \ ZdF = -P,
?max J
(Ft>
ИЛИ
frminSg ____p
Smax ’
Отсюда
f dF — — Pe,,
Gmax J •
(Fi)
= - Pe.. (7.35)
femax
= ?max-e. (7.36)
где Jt и Sg—момент инерции и статический момент рабочей
части сечения относительно оси NN. Выражая их через £тах, по-
лучаем уравнение для определения этой величины через е, после
чего найдем
_ __ 7*Cmax z*7 О'тх
0тп1п — • (7.37)
Если трудно выразить Jg и Sg через £шах в аналитической фор-
ме, то уравнение (7.36) может быть
N решено путем последовательных при-
ближений.
Рис. 164.
Применим полученные результаты к слу-
чаю прямоугольного сечения (рис. 164). Тогда
„ ^£тах . ^?тах
SE = —~, /Е = —з—
и, следовательно,
2_
3 ьтах — ьтах —
откуда
£тах ” 30
И
___ 2Р __ 2Р
ffmIn &£тах “ Збе •
Все выводы, относящиеся к внецентренному сжатию стерж-
ней большой жесткости, могут быть применены и к случаю вне-
центренного растяжения при замене сжимающей силы —Р на
растягивающую 4-Р.
§ 36] СЖАТИЕ (РАСТЯЖЕНИЕ) С ИЗГИБОМ 257
3. Внецентренное сжатие стержней большой жесткости
в пластической области. Так как при внецентренном сжатии,
так же как и при чистом изгибе, нормальные напряжения, а сле-
довательно, и соответствующие им деформации изменяются про-
порционально расстояниям волокон от нейтральной плоскости,
то пластические деформации впервые появляются в волокнах,
наиболее удаленных от этой плоскости, в большинстве случаев —
в сжатых. По мере роста деформаций пластическое состояние
охватывает все большее и большее число волокон, так что в се-
чении образуются целые зоны пластичности, охватывающие
все большую и большую часть сечения. Граница между
упругой и пластической зонами постепенно приближается к
нейтральной оси, которая в свою очередь меняет свое положение.
В зависимости от поведения материала при пластической де-
формации окончание этого процесса может иметь различный ха-
рактер. Мы рассмотрим только случай, когда материал дефор-
мируется пластически без упрочнения и имеет одинаковые пре-
делы текучести при растяжении и сжатии. В этом случае пла-
стическая деформация, начавшаяся в сжатой зоне сечения, при
определенной величине нагрузки распространяется и на растя-
нутую зону, охватывая постепенно все большую и большую ее
часть. Таким образом, за предельное состояние можно принять
такое, при котором та и другая зоны сечения оказываются в со-
стоянии пластической деформации, т. е. напряжения во всех точ-
ках равны соответствующему пределу текучести. Тогда на осно-
вании (7.1) получим
от dF — °т j dF = — Р,
(4)
от z dF — от z dF = — Реу,
(4) Ге)
от у dF — от у dF = — Pez,
Гр) Ге)
или
p = GT (Fc — Fp), oT (Syt — Sj,p) = Рву, oT (S2C — S2P) = Рег.
Если оси Оу и Oz проходят через центр тяжести сечения
(в частности, являются главными центральными осями инерции
сечения), то
Syz + SyP = О, S2C + S2P = О,
и мы получим следующие выражения:
P = oT(Fc —Fp), (7.38)
2SycoT = Реу = Му, (7.39)
2SzcoT ~ Рег — Мг. (7.40)
9 В, А, Гастев
258
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
[ГЛ. 7
Выражая площади и статические моменты через отрезки, отсе-
каемые нейтральной осью на главных осях инерции, из этих
уравнений при заданных эксцентриситетах найдем величины на-
званных отрезков и предельную Be.nH4HHv сжимающей силы.
Пример 1. Найти предельную сжимающую силу для прямоугольного
сечення при ег = 0, еу — /i/б. Имеем (рис. 165)
Рис. 165. и> следовательно,
р? = 0,36/г, Р = 0,726/г ат.
В случае сечения, симметричного относительно обеих глав-
ных осей, нетрудно установить зависимость между сжимающей
силой и изгибающим моментом, позволяющую непосредственно
определить предельные их величины при ez — 0. Так как
FC + FP = F, FP = F-FC,
то
P = gt(2Fc-F) = [2-^-- 1)е<тт.
Если обозначить предельную сжимающую силу при осевом
сжатии через Рт, то
Рт = Естт, (7.41)
и потому
-Д- = 2-^-1. (7.42)
В то же время, если обозначить абсолютную величину ординаты
центра тяжести сжатой зоны сечения через zc, растянутой — че-
рез zp, половины сечения — через Zo, то, вследствие симметрии
сечения относительно главных осей,
Zp + zc
Zo 2
При этом
Fczc — FpZp = 0,
§ 36] СЖАТИЕ (РАСТЯЖЕНИЕ) С ИЗГИБОМ 259
ИЛИ
(F — Fp) гс — Fp (2г0 — zc) = О,
откуда
zc___ 2FP
Zn F ‘
При
ег = 0, Мг = 0, М — М „ == Реи
и, на основании (7.38),
М — 2SycaT = 2FczcaT.
Обозначим предельный изгибающий момент при отсутствии
сжимающей силы через Мт. Он равен (см. 5.27)
Мт = 2SymoT — 2 “ гостт — FzoaT, (7.43)
где Sam — статический момент половины сечения относительно
оси Оу. Поэтому
М 2FC zc 4FcFp
= ~ = F2 ’
В то же время из выражения (7.42) получим
/ Р \2 р2 р 4р Р — Р 4Р Р
Следов ательно,
(£)!+^=1- <7-44>
Пример 2. Найти предельную сжимающую силу для данных примера 1
с помощью уравнения (7.44). Имеем
.. Ph п i. > bh2
М = —— , P-t — bh<3.t, AfT ——— GT>
О 4
так что из (7.44) получаем
+_2£___________________________________1,
\ ) 3bhaT
или, если обозначить
bhoT ъ
получим
12 + -|-|-1=0,
откуда
g = 0,72, Р = Q,72bhaT.
При упругих деформациях
_ 2Р
Gm^~~bh'
9*
260
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
[ГЛ. 7
Поэтому, рассчитывая стержень по допускаемым напряжениям, получим
Р
bh
При расчете же по предельной нагрузке
п 0,72bhoT
или
Пример 3. Найти предельный эксцентриситет сжимающей силы 200Г
.для короткой стойки из двутавра Ха 40 с; от = 2 400 кГ/см2.
Тогда
рт = aTf = 2 400 • 102 = 244 800 кГ = 245 Г,
Jy 23 850
Sym = 33,2 = 33,2 = 720 СМ*'
AfT = 2SymaT = 2 • 720 • 2 400 = 3 460 000 кГсм= 34,6 Тм,
так что
/ 200 V
к 245 ) 34,6
откуда
М = 0,333 -34,6= 11,5 Тм,
и, следовательно,
11 5
епр — -ддд- = 0,058 м = 5,8 см.
§ 37. Изгиб и кручение
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние стерж-
ня, в сечениях которого действуют как изгибающие, так и крутя-
щие пары сил.
При малых прогибах можно с достаточной точностью прини-
мать, что направление вектора крутящего момента совпадает
с осью недеформированного стержня и, следовательно, этот век-
тор не имеет составляющей, перпендикулярной к названной оси.
Иными словами, в указанном случае можно считать, что крутя-
щие моменты не влияют на величину изгибающих моментов в по-
перечных сечениях стержня. Влиянием обусловленных круче-
нием искривлений этих сечений на величину нормальных напря-
жений при изгибе, как указывалось выше (§ 34), также можно
пренебрегать, если не рассматривать изучаемые в дальнейшем
стержни, сечения которых относятся к особым типам (тонко-
стенные стержни). Таким образом, для стержней большой же-
сткости при изгибе, не относящихся к тонкостенным, вполне при-
емлемым является допущение, что кручение не влияет на их на-
пряженное состояние, обусловленное изгибом. На основании
§ 37]
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ
261
аналогичных соображений нетрудно убедиться, что и влиянием
изгиба на напряженное состояние таких стержней при кручении
можно пренебрегать. Поэтому напряженно-деформированное со-
стояние при одновременном изгибе и кручении стержней боль-
шой жесткости, рассмотрением которых мы пока и ограничи-
ваемся, можно определять как совокупность напряженно-дефор-
мированных состояний, обусловленных изгибом и кручением и
не зависимых одно от другого. Иными словами, в любой точке
сечения нормальное напряжение должно определяться по фор-
муле для случая только изгиба стержня, касательное — как сум-
ма касательных напряжений от изгиба и кручения. Определен-
ное таким образом напряженное состояние стержня отличается
от такого же для балки только величиной и направлением каса-
тельных напряжений. Поэтому главные напряжения надо опре-
делять по тем же формулам, что и при изгибе, т. е. принимать,
что
^==1+ д/’т + т2’ О2=0’ <J3=t~V'? + t2•
Рассмотрим, в частности, изгиб и кручение стержня круглого
сечения. Так как в этом случае наибольшее касательное напря-
жение от изгиба всегда меньше половины наибольшего нормаль-
ного, то нетрудно видеть, что опасной точкой является наиболее
удаленная от нейтральной оси точка сечения, в котором
М = Л1тах (если постоянно по длине стержня). В этой точке
— Мпах ________ __ Мк
Wy ’ т — ТкР ~ Гк ’
где
Гк=-^,
так что
Следовательно,
Мтяг / Л42 Mz. 1 , __________.
о. = + д/ + "0.
*-^2 0, <Тз = 2Wy (^max ^тах. 4“
Применяя одну из известных теорий прочности, получим сле-
дующие расчетные формулы:
а) по первой теории прочности
'~2уГ О^тах + л/Л1тах + [о],
262
СЛОЖНЫЙ ИЗГИБ
[ГЛ. ?
б) по второй теории прочности
-т~ ( —Л4шах Ч-----д/-Мтах Ч" -/Ик ) М >
в) по видоизмененной второй теории прочности (4.22), (4.23),
~W~ [ С2(Т Р' 44 max Ч-2а "Ь ^К1 М’
V* у L хис J
г) по третьей теории прочности
д/й4тах 4“ ^4к И»
д) по четвертой теории прочности
-^•д/<ах 4-0,75^ < [ст].
Совершенно аналогично можно получить расчетные формулы,
применяя другие критерии прочности и пластичности, а также
и для других форм поперечных сечений.
ГЛАВА 8
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТЕЛ
§ 38. Определение и свойства потенциальной энергии
деформированных тел
1. Работа деформации и потенциальная энергия. Деформа-
ция тела, т. е. изменение его формы и размеров, в общем случае
сопровождается внутренними изменениями в теле и теплообме-
ном между его частями и между ним и окружающей его средой.
В то же время деформированное тело оказывается способным
производить механическую работу, т. е. обладает некоторым за-
пасом потенциальной энергии. Таким образом, энергия, затра-
ченная на деформацию тела, по закону сохранения энергии пре-
вращается, с одной стороны, в потенциальную энергию тела, с
другой, — в теплоту и энергию изменения внутренней структуры
тела. Потенциальная энергия деформированного тела является
обратимой частью полной энергии, затрачиваемой на деформа-
цию. Поэтому она связана с обратимой частью деформации, т. е.
с упругой деформацией. Однако и при упругих деформациях
происходит некоторое изменение температуры тела. К тому же
реальные тела всегда имеют некоторые отклонения от идеальной
упругости. Поэтому в реальных телах при упругих деформациях
часть энергии деформации обращается в теплоту. Но эта часть
всегда мала по сравнению с той, которая обращается в
потенциальную энергию деформированного тела, так что
можно ею пренебрегать. Следовательно, можно высказать сле-
дующее положение: при упругих деформациях приращение
потенциальной энергии деформированного тела равно прираще-
нию энергии деформации. Так как последняя измеряется
приращением работы, которую должны совершить внешние
силы для того, чтобы произвести деформацию тела, то, обозна-
чая приращение работы внешних сил через 6А, а прира-
щение потенциальной энергии деформированного тела через 6£7,
получаем при упругой деформации:
t>U = t>A, (8.1)
264
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 8
ИЛИ
б(Л-С/) = О. (8.2)
2. Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Чтобы ре-
зультаты дальнейших исследований имели наиболее общий ха-
рактер, будем рассматривать действие обобщенных сил и обус-
ловленных ими обобщенных перемещений. Под обобщенной си-
лой будем подразумевать любую совокупность сил, приложен-
ных к телу. С этой точки зрения обобщенными силами являются:
любая сила, приложенная к телу; совокупность двух равных и
противоположно направленных сил, вызывающих растяжение
или сжатие стержня; изгибающая пара сил; крутящая пара сил;
сила, приложенная к балке в любом ее сечении, вместе с вызы-
ваемыми этой силой опорными реакциями; сплошная нагрузка,
действующая на балку, вместе с опорными реакциями. Для
элементарной призмочки, выделенной из тела, за обобщенные
силы могут быть приняты напряжения, действующие по ее гра-
ням и т. д. За обобщенное перемещение, соответствующее дан-
ной обобщенной силе, будем принимать величину, на которую
необходимо умножить эту силу для вычисления ее работы при
условии, что сила при вызываемых ею перемещениях остается
постоянной. Так, обобщенным перемещением, соответствующим
силе, приложенной к телу, является перемещение точки прило-
жения силы по ее направлению; для двух растягивающих сил
обобщенным перемещением является абсолютное удлинение
стержня; для изгибающей пары сил — угол поворота сечения;
для крутящей пары сил — угол закручивания. В случае силы,
приложенной в сечении балки, если иметь в виду, что работа
опорных реакций при неподатливых опорах равна нулю, за обоб-
щенное перемещение следует принять прогиб балки в том сече-
нии, где приложена сила.
Работа элементарной сплошной равномерной нагрузки q
равна wqdx. Поэтому работа этой нагрузки на всей длине балки
равна
i i
Т = wq dx = q w dx — q<a,
о о
где w — прогиб в сечениях балки по направлению действия на-
грузки, со — площадь, заключенная между первоначальной осью
балки и осью изогнутой балки. Таким образом, в случае сплошной
равномерно распределенной по всему пролету балки нагрузки
обобщенным перемещением является величина со.
3. Работа деформации и Дополнительная работа деформации.
Пусть на деформируемое тело действуют обобщенные силы Pi,
Р2, • • > Рп, которым соответствуют обобщенные перемещения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
265
§ 38]
61,62, .... би. Эти перемещения являются величинами перемен-
ными, зависящими от величин обобщенных сил, и, наоборот,
обобщенные силы следует считать переменными, зависящими от
обобщенных перемещений. Однако если перемещения получают
бесконечно малые приращения 6(61), 6(62), 6(6з), ..., 6(6п),то
при вычислении приращения работы деформации, являющейся
результат : л названных приращений, с точностью до бесконечно
малых в' рого порядка можно считать обобщенные силы по-
стоянны?.. . Следовательно, приращение работы деформации 6Д
выразится следующим образом:
6A = P16(61) + P26(62) + P36 (63) + ... + Р„б(б„). (8.3)
Как известно, бесконечно малое приращение можно заменить
дифференциалом с точностью до бесконечно малых второго по-
рядка. Поэтому уравнение (8.3) можно представить так:
dA = Р} 4Й] -ф Р% d&2 Р3 d63 + .. . + Рп d&n. (8.4)
Если известна зависимость обобщенных сил от обобщенных пе-
ремещений, то полная работа деформации может быть найдена
интегрированием уравнения (8.4).
Будем называть приращением дополнительной работы де-
формации 6АД величину
бАд = б16Р1 + б2бР2 + б3бРз+ ••• +6„6Р„, (8.5)
где 6Pj, 6Р2, ..., 6Р„— бесконечно малые приращения сил Рь
Р2, ..., Рп и, следовательно,
dАд = 6t dP[ + 62 dP2 + 63 dP3 + ... + 6„ dPn, (8.6)
откуда при наличии известных зависимостей между обобщен-
ными силами и обобщенными перемещениями может быть най-
дена дополнительная работа деформации. Смысл понятия о до-
полнительной работе легко уяснить на примере растяжения
стержня. Принимая в этом случае за обобщенную силу совокуп-
ность двух растягивающих сил, приложенных к стержню, мы
должны обобщенным перемещением считать абсолютное удли-
нение А/:
б, = A Z,
и, следовательно,
dA = Pid(>i = Pd(&l), dAa = 61dPl = MdP,
откуда
AZ Р
A=^Pd(M), Ад=^ MdP.
о о
266
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 8
Если связь между Р и А/ дается диаграммой растяжения
(рис. 166), то работа деформации измеряется площадью ОАВ,
а дополнительная работа деформации — площадью ОАС.
Так как обобщенные перемещения являются функциями от
обобщенных сил и, обратно, обобщенные силы являются функ-
циями от обобщенных перемещений, то работа деформации мо-
жет рассматриваться как функция от обобщенных перемещений,
а дополнительная работа деформа-
ции — как функция от обобщенных сил.
Но в таком случае
Сравнивая эти равенства с (8.4) и (8.6), находим следующие
выражения:
или, вообще,
^ = бг, (8.8)
т. е.:
1) частная производная работы деформации по обобщенному
перемещению равна соответствующей обобщенной силе-,
2) частная производная дополнительной работы деформа-
ции по обобщенной силе равна соответствующему обобщенному
перемещению.
При упругих деформациях в силу (8.1) уравнения (8.7) при-
нимают такой вид:
>=?< м
т. е. первая из предыдущих теорем может быть сформулирована
следующим образом: частная производная потенциальной энер-
гии упругого тела по обобщенному перемещению равна соответ-
ствующей обобщенной силе.
§ 38] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 267
4. Случай, когда обобщенные силы и обобщенные перемеще-
ния упругого тела связаны линейными зависимостями. Рассмо-
трим случай, когда обобщенные силы и обобщенные перемеще-
ния упругого тела связаны между собой линейными зависимо-
стями, т. е.:
б] = $нЛ + 612^2 + б13Р3 + ... + б1гаР„,
б2 = б21 Р1 + б22Р2 + б23Р3 + . . . + б2гаРп,
...........................................
= + бп2Р2+ бга3Р3 + ... + ЬппРп, )
пли, наоборот,
Pi = Рпб1 + Р1262 + Р13б3 + ... + Р]Пб„,
Pi = ^2|б1 + Р22б2 + Р2363 + . . . + Л2пб„,
..................................................I
Рп — Рп$1 + РпА + РпЗ&З + • • • + РПг&г> I
(8.10)
(8.Н)
причем коэффициенты (>ik(i = 1,2,3, ..., п, £ = 1,2,3, ..., п) и
Pik — величины постоянные. Значения этих коэффициентов легко
установить. В самом деле, из уравнения
б,= б/1Л + бг2Р2+ ... +б.л
при
Л = Л> = ... = pk_l = pk+i = ... =р„ = о и /\=1,
получаем
б/ = 6/ft.
Следовательно, бгь есть обобщенное перемещение, соответствую-
щее обобщенной силе Рг-, вызванное только действием силы
Pfe = 1. Аналогично, есть значение обобщенной силы Pf при
обобщенном перемещении = 1 и остальных перемещениях,
равных нулю.
При упругих деформациях окончательные величины обобщен-
ных сил и обобщенных перемещений не зависят от процесса на-
гружения, а определяются лишь соответствующими конечными
величинами. Поэтому можно в дальнейшем ограничиться рас-
смотрением только так называемого простого нагружения, когда
силы и перемещения изменяются пропорционально некоторому
параметру. При этом из соотношений (8.10) и (8.11) следует,
что при увеличении обобщенных сил в какое-либо число раз во
столько же раз увеличиваются и обобщенные перемещения. Ли-
нейную связь между обобщенными силами и обобщенными пере-
мещениями мы имеем в подавляющем большинстве случаев
268
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 8
упругих деформаций. Поэтому последующие выводы относятся
почти ко всем случаям упругих деформаций. Но при наличии
указанной связи, принимая
_Fj__ 2k — 2k _ _ 2k _ „
р* ~ р*п ’
где Р*, Р*, ..., Р* — окончательные величины обобщенных сил,
и — число, изменяющееся в пределах от нуля до единицы, по-
лучим
Ф __ 6г __21— —
а2* • • • кп
Отсюда
Рг = Р*щ dP^P^du,
бг = д*и, ddi = du,
поэтому
dU = dA = (P*fi* + P№+ ... + P*&)udu,
dA^(P^ + m+ ... +PX)«^«>
откуда
U ='YjP*^udu,
i=I 0
n 1
л = У РЖ ( и du.
Д / i I I J
i=l 0
Следовательно, если окончательные величины обобщенных сил
и соответствующих им обобщенных перемещений обозначить
для краткости через Pi и бг-, то
п
(8.!2)
£ = 1
т. е. потенциальная энергия упругого тела при линейных зависи-
мостях между обобщенными силами и обобщенными перемеще-
ниями численно равна полусумме произведений обобщенных сил
на обобщенные перемещения (теорема Клапейрона). В то же
время
АД = Г7
и, следовательно, на основании (8.8),
= <8ЛЗ)
§ 38] ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 269
т. е. при линейных зависимостях между обобщенными силами
и обобщенными перемещениями обобщенное перемещение равно
частной производной потенциальной энергии по соответствую-
щей обобщенной силе (теорема Кастильяно).
На основании выражений (8.13) и (8.10), получим
d2U _ д ( ди Ч _ d6k _
dPi дРк ~ dPi к dPk ) ~ dPi
= -^р: (Sfei^i + ^kiP-г + • • • + §ktPi + ... + 6knPn) = 6ki‘,
d3U . _ d f <5(7 \ <55t-
dPk dPt ~~ дРк к dPt J~ dPk~
= ^L(snPl + 6i2P2+ ... нл + ... +Ш = б».
Так как U — однозначная функция обобщенных сил, то
d2U d2U
dPi дРк дРкdPi ’
и потому
б« = б/4. (8.14)
Иными словами, обобщенное перемещение, соответствую::.,с г
обобщенной силе Ph, от действия обобщенной силы Р{ = 1 равно
обобщенному перемещению, соответствующему обобщенной силе
Pi, от действия обобщенной силы Ph — 1 (теорема о взаимно-
сти перемещений).
Аналогично, используя формулы (8.9) и (8.10), получим
Pkl-Pik, (8-15)
т. е. k-я обобщенная сила, получаемая при обобщенном переме-
щении 5, = 1, равна i-й обобщенной силе при обобщенном пере-
мещении ёк = 1 (теорема о взаимности обобщенных сил).
Полученные нами теоремы и формулы дают общий метод
определения упругих деформаций как отдельных тел, так и кон-
струкций, составленных из них, в том случае, когда известно
выражение потенциальной энергии через внешние силы. Это вы-
ражение для всех изученных случаев деформированного состоя-
ния тел без труда получается с помощью теоремы Клапейрона.
5. Потенциальная энергия для различных случаев упругого
деформирования.
а) Для растянутых и сжатых стержней за обобщенную силу
естественно принять совокупность двух растягивающих или сжи-
мающих сил Р, приложенных к концам стержня. Работа каждой
из сил при постоянной их величине численно равна произведе-
нию силы на перемещение соответствующего конца стержня в
направлении оси. Работа обобщенной силы, очевидно, измеряется
270 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТЕЛ [ГЛ. 8
произведением силы Р на сумму названных перемещений, кото-
рая равна абсолютному удлинению А/. Это абсолютное удлине-
ние и есть соответствующее обобщенное перемещение. Поэтому
и так как
. , Р1
^1 = -^=-,
EF
ТО
U=Sr- (8-16)
Имея в виду, что усилие S в сечении растянутого стержня (если
не учитывать влияния собственного веса) равно
S = P,
формулу (8.16) можно представить также в виде
U = (8-17)
Если имеем конструкцию, состоящую из т растянутых и сжа-
тых стержней, то
t=l
где индекс i указывает номер стержня, к которому относится
фигурирующая в формуле величина.
б) При кручении за обобщенную силу примем две пары сил
с моментом Мк, действующие в плоскости сечений по концам
стержня или участков стержня, на которых Мк остается по-
стоянным. Если принять одно из этих сечений неподвижным, то
угол поворота второго будет равен углу закручивания 0 на со-
ответствующей длине стержня. Работа обобщенной силы, т. е.
обеих пар сил, при этом будет численно равна
Мк • 0 + MkQ = мке.
Следовательно, обобщенным перемещением является 0, и
Так как
g___ Mkl
GJk
то окончательно
г, Mkl
§ 38]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
271
В случае, если имеется п скручиваемых стержней или стержень
состоит из п участков с разными крутящими моментами, то
(8.20)
где Мщ, li, Gi, м — соответственно крутящий момент, длина,
модуль сдвига и момент инерции кручения для i-ro стержня
(i-ro участка стержня).
в) Для вычисления потенциальной энергии
балки в общем случае изгиба рассмотрим эле-
ментарный участок балки длиной dx. За обоб-
щенные силы примем изгибающие пары сил по
концам этого участка, моменты которых равны
изгибающим моментам М, и поперечные силы
Q (рис. 167). Тогда потенциальная энергия
этого участка по теореме Клапейрона должна
вычисляться по формуле
Рис. 167.
где 6м и — обобщенные перемещения, соответствующие при-
нятым обобщенным силам. Обобщенное перемещение 6М, оче-
видно, равно углу поворота dd одного сечения относительно дру-
гого, который находим из условия:
но так как
то
dx = р dQ,
1 _ М
р EJ ’
t>M = de=^-.
Для нахождения Sq вычислим работу обобщенной силы Q при
заданной величине перемещений. Предполагая одно из сечений
неподвижным, для любой площадки dF другого сечения имеем
сдвигающее усилие rdF, перемещением для которого является
абсолютный сдвиг этой площадки относительно такой же пло-
щадки в первом сечении, определяемый по формуле
у dx = ~-dx.
Таким образом, работа обобщенной силы Q (при постоянной
ее величине) определяется суммой
Q-0-f-
— dFdx = -^-dx
X ° G Ж Ь /у
dF.
272
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 8
Так как
есть отвлеченное число, то, обозначая его через k', т. е. прини-
мая
k' = p\^^-dF, (8.21)
J Ь Jy
получаем для работы постоянной обобщенной силы Q следую-
щее выражение:
г, k'Qdx
QP "
Отсюда следует, что
. k'Qdx
При этом нетрудно убедиться, что введенная формулой (8.21)
величина k' не отличается от величины k', определенной нами
при выводе уравнения оси изогнутой балки с учетом поперечной
силы (§ 26), т. е. для прямоугольного сечения k' = 1,2; для
круглого сечения k' — 1,1 и т. д.
Подставляя найденные значения дм и д$, получим
,т, М2 dx . k'Q2 dx
aU ~ 2EJ + 2GF
и для всей балки
i i
T, f M2 dx . , , f Q2 dx
U-}~2Er + k j~2GF~‘
о 0
(8.22)
В частном случае
сюда найдем
чистого изгиба балки постоянного сечения от-
и 2EJ
(8.23)
Для конструкции, состоящей из г изгибаемых элементов,
k
о
Af? dx
~2EJ~
11 2
С Q;dx
J W7
о ‘ *
(8.24)
Наконец, для конструкции, состоящей из m растянутых или
сжатых элементов, г скручиваемых и п изгибаемых,
- V U V -4-
2ЕЛ +^26^ +
2., 2
Г M2dx Г Q]dx
J ~2EJ7'tki J 2G/7
о 11 о 11
(8.25)
S 391
ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА
273
§ 39. Применение энергетического метода
для определения упругих перемещений
1. Общий метод определения перемещений для различных
видов конструкций. Рассмотрим конструкцию, состоящую
из П{ растянутых или сжатых, п2 скрученных, п3 изогнутых
стержней. Пусть эта конструкция подвергается действию обоб-
щенных сил Pi, Р2, ..., Рп, причем обобщенные перемещения и
усилия в стержнях связаны с обобщенными силами линейными
зависимостями. Тогда для определения обобщенных перемеще-
ний мы можем применить теорему Кастильяно. Используя фор-
мулу (8.25), найдем для обобщенного перемещения, соответ-
ствующего обобщенной силе Рг:
л _ ди _ V Sili dSi , V Mkilt дМм ,
г дРг L EtF. дР + L ~gJ~7 ' ~дР~ +
' M.dx дМ.
I ___I I
E.J. ’ дР f
; = 1(о ‘ г
Так как между усилиями и обобщенными
гается линейная зависимость, то
$i =S/iPi + Si2P2 + ... + SirPr + ... + SinPn,
Mk. = M^P{ + MWP„ + ... + M™Pr + ... + M™Pn,
Mt = МцР1 + MZ2P2 + ... + MlrPr + ... + MinPn,
Qi = QnPi + QvPz + ... + QlrPr + • • • + QinPn,
h
f Qidx dQt
l J G.F. ' dP ‘
0 1 1 r
силами предпола-
где
Sir — растягивающее или сжимающее
усилие в z-м стержне,
М$ — крутящий момент в t-м стержне,
Mir — изгибающий момент в t-м стержне,
QZr — поперечная сила в t-м стержне
Поэтому получаем окончательно:
А V 5е.5,.г/г £ ,
6r = L~Ejr^
от силы
Pr=l.
GJ,.
i ki
С М.м, С 0.0
\ -^dx + k'A
J Eih GtFl
гав)
274
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 8
Как мы видели ранее (стр. 216), влияние поперечной силы
на перемещения сечений балки (прогибы и углы поворота) во
многих случаях весьма невелико. Поэтому в формуле (8.26)
в большинстве случаев пренебрегают вто-
рым слагаемым в скобках.
Полученная формула дает наиболее
общий метод определения перемещений
для большинства применяемых в практи-
ке конструкций.
Пример 1. Определить перемещения точки
А конструкции, показанной на рис. 168. Материал
обоих стержней одинаков. Так как одни из стерж-
ней этой конструкции подвергается только растя-
жению, а второй — сжатию, то в формуле (8.26)
берем только первый член.
Вертикальное перемещение бу точки А есть обобщенное перемещение,
соответствующее обобщенной силе Р. Поэтому
°V EF, EF2 ’
где Sip и S2p — усилия в первом и втором стержнях от силы Р=1. Но
Si = Р ctg a S2 s p sin a ’
и, следовательно, Sip = ctg a, Q. - 1
причем O2p - sin a ’
Следовательно, Zi = Z, I cosa ’
л _ ctg2 а'1 ।__________________
V EFi ' EF2 sin2 a cosa
__ Pl ctg2 a / I______,_______1
E \ Fj ' F2 cos3 a
Горизонтальное перемещение той же точки бн есть обобщенное перемещение,
соответствующее обобщенной силе Н. Поэтому
S.S.„Z. *^2*^914^9
О ‘ J Г7 1 | 2 2п 2.
Н — EFi 1 EF2 ’
причем Sih и S2h — усилия в стержнях 1 и 2 от силы Н — 1. Следовательно,
SIH ~~ 1 S2H ~ 0
, Pl ctg a
Я— EF j •
§ 39]
ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА
275
Пример 2. Найти угол поворота опорного сечения балки при действии
сплошной равномерно распределенной нагрузки интенсивности q на всем про-
лете (рис. 169). Для случая одной балки
формула (8.26) имеет вид
I
бг = J dx + J dx. (8.27)
О о
где Air — изгибающий момент от обоб-
щенной силы Рг = 1. Угол поворота
опорного сечения есть обобщенное пере-
мещение, соответствующее обобщенной силе,
том Мо и приложенной в этом сечении, Мг и Qr — изгибающий момент и по-
перечная сила при Мо — 1, так что для любого сечения
В то же время
м== qx(l-x) , Q==|(Z_2x)
Следовательно,
- s -—Li- $ да«-2”
о о
qi*
24EJ '
Как видно из этого результата, поперечная сила в данном случае не влияет
на искомый угол поворота.
2. Графоаналитический способ вычисления интегралов в фор-
муле перемещений. При вычислении перемещений с помощью
формулы (8.26) приходится вычислять интегралы вида
г м.м.
J ElIi ах'
О 1 1
QjQir
GtF,
dx,
1 которые при постоянных сечениях изгибаемых элементов сво-
дятся к интегралам M.tM.irdx, QiQ/rdx, т. е. имеют вид
о о
I
J fl (X) f2 (X) dx.
о
В большинстве случаев для этого оказывается весьма удоб-
ным графоаналитический прием, основанный на нижеследующих
276
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 8
соображениях. Пусть эпюра функции fi (х) в промежутке (0, /)
имеет любое криволинейное очертание с центром тяжести в точ-
ке С (рис. 170,а), а эпюра функции
z —прямолинейное (рис. 170,6).
Тогда
= а \ xf t (х) dx + b \ f, (х) dx.
Рис. 170. J J
о о
l
Но интеграл ^/\(x)dx определяет площадь Qj криволинейной
о
i
эпюры а, а xfi (х) dx — статический момент этой площади от-
o'
носительно оси г, т. е.
i i
f 1 (х) dx — Qb xfi (х) dx = QtXc.
о о
Таким образом,
i
fi (х) ?2 W dx — оХсА + bQi — Qi (ахс + b).
о
В то же время ахс + b есть значение f2(x) при х = хс, т. е.
равно т)с, так что
i
\fi(x)f2(x)dx = Q^c. (8.28)
о
Следовательно, если эпюра изменения одной из функций имеет
произвольное очертание, а второй — прямолинейное, то инте-
грал произведения этих функций численно равен произведению
площади псовой эпюры на находящуюся под ее центром тяжести
ординату второй эпюры.
§ 39]
ПРИМЕНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА
277
Изложенный графоаналитический прием вычисления инте-
i
гралов типа fi(х) f2Wпринято называть*), для краткости,
о
Рис. 171.
Рис. 172.
Прогиб посредине пролета балки есть обобщенное перемещение, соот-
ветствующее обобщенной силе Р, приложенной в том же сечении балки. По-
этому, пренебрегая влиянием поперечной силы, получим
I I
С A'lA'lj , 1 С ,
а,х=//2= ЁГаХ=-ЁГ J dX-
О о
Эпюра М изображена
ней эпюры равна
на
рис. 171, a-, All — на рис. 171,6. Площадь послед-
о =1/
2 1 4 8 ’
а из первой получим
Ма
Пс»-2-.
*) В нашей стране этот прием впервые отметил и использовал А. Н. Ве-
рещагин (в статье, опубликованной в 1925 г.), поэтому вычисление интегралов
указанного типа по формуле (8.28) в нашей литературе часто называют
также вычислением по способу Верещагина,
278
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМИРОВАННЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 8
Следовательно
_ 1 Z2 /Ио _ AW2
тх=цч Е] ‘ 8 • 2 16В/ ’
Пример 2. Найти прогиб посредине пролета для балки (рис. 172).
Аналогично предыдущему,
I I
if k' С
wx=l/2 — I dx + ~QP~ 1 dx-
0 0
Эпюры M и Q представлены иа рис. 172, а и б, эпюры и Qi — на рис. 172, в
и г. Так как все эти эпюры не прямолинейны, разбиваем их иа две части:
для промежутков (О, Z/2) и (112,1). Рассматривая эпюры айв, получим для
эпюры а
к ____________L/ о 1 2 . ,...
с 8 2 16 2 3 8 1 24 ’
я для эпюры в
5 5<7Z«
32 1 768 '
£L—d!L n — 1
2 8 ’ 4c~ 2
1 _ ql2
'2 16 ’
2 1
так что
т
MMi dx = -~--
24
о
Аналогично, для эпюр б и е
_ 1 I п _ 1 Z
*с 3 ’ 2 ’ 521 2'2’
Я
Z/2
5 QiQdx=-~-
J О
О
Для промежутка (Z/2, Z) величины обоих интегралов таковы же. Поэтому
2 5</Z4 . 2k' ql2 5 ql* k'ql2
wx=ll2— Ej • 768 T qF • lg — 384 ' El '~8GF~'
ГЛАВА 9
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ.
ОБЩИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ
§ 40. Статически неопределимые балки
1. Приемы расчета статически неопределимых балок. Как
было показано раньше (см. § 20), закрепления, необходимые
для геометрической неизменяемости системы, состоящей из
балки и поддерживающей ее конструкции, обеспечиваются либо
защемлением одного из концов балки, либо двумя опорами, из
которых одна неподвижна, а другая подвижна. Все закрепле-
ния сверх названных являются лишними (с точки зрения гео-
метрической неизменяемости системы); балка при наличии лиш-
них закреплений оказывается статически неопределимой, т. е.
число неизвестных реакций опорных закреплений для такой
балки оказывается больше числа уравнений равновесия, давае-
мых статикой твердого тела. Поэтому неизвестные реакции лиш-
них закреплений могут быть названы лишними неизвестными.
Рис. 173.
Так, например, балка а (рис. 173) имеет одно лишнее закрепле-
ние и может быть названа балкой, имеющей одну лишнюю не-
известную опорную реакцию, или однажды статически неопре-
делимой балкой; балка б — дважды статически неопределима;
балка в — трижды статически неопределима. Для нахождения
опорных реакций статически неопределимых балок, помимо
уравнений равновесия, необходимо использовать условия для
перемещений некоторых сечений балки, вытекающие из нали-
чия лишних закреплений. Таким образом, получается система
280
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
[ГЛ. 9
уравнений, достаточная для решения поставленной задачи. Од-
нако с целью уменьшения числа совместно решаемых уравнений
удобнее не составлять уравнения для отыскания всех неизвест-
ных реакций, а действовать следующим образом.
Условимся называть статически определимой основной си-
стемой для данной статически неопределимой конструкции та-
кую конструкцию, которая получается из данной, если отбро-
сить лишние закрепления. Очевидно, что статически неопреде-
лимую конструкцию можно рассматривать как соответствующую
ей основную систему, к которой, кроме заданных нагрузок, при-
ложены реакции лишних закреплений. Эти реакции являются
лишними неизвестными. Однако реакции опорных закреплений
основной системы при этом могут быть определены с помощью
уравнений равновесия и выразятся через нагрузку и лишние не-
известные. Зная опорные реакции, найдем усилия и перемеще-
ния сечений основной системы. Составив условия для переме-
щений тех сечений, в которых имеются лишние закрепления,
получим систему
уравнений, содержащую лишь лишние неиз-
вестные, причем число этих уравнений бу-
. дет равно числу названных неизвестных. Та-
ким образом, задача сводится к нахожде-
нию только лишних неизвестных, после
чего легко находятся усилия и перемещения
заданной статически неопределимой кон-
струкции.
Так, например, для балки рис. 174, а за
лишнее закрепление может быть принята
подвижная опора на правом конце, а основ-
ной системой явится балка с одним за-
щемленным концом. Данная статически не-
определимая балка может рассматриваться
ис' ' как основная система, нагруженная по
рис. 174,6. Условие для перемещений сво-
дится к тому, что прогиб правого конца балки должен быть
равен нулю. Имея в виду, что прогиб конца балки с защемлен-
ным концом при сплошной равномерно распределенной нагрузке
интенсивности q равен
^/==W’
а при действии силы X
Л/3
Wx=sl 3EJ ’
получаем
ql* Xi
8EJ 3EJ ~
§40]
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
281
Отсюда
X^ql,
после чего расчет статически неопределимой балки а сводится
к расчету статически определимой балки б с известными на-
грузками.
2. Неразрезные балки. Балки на многих опорах, из которых
одна неподвижна, а остальные подвижны, принято называть
неразрезными балками. Очевидно, что всякая неразрезная бал-
ка является статически неопределимой, причем число лишних
закреплений (а следователь-
но, и лишних неизвестных
опорных реакций) равно об-
щему числу опор без двух.
Основная система для нераз-
резной балки может быть
получена путем отбрасыва-
ния лишних опорных закре-
плений (лишних опор). Так,
например, для неразрезной
балки рис. 175, а основная
система может быть принята
по рис. 175,6. Однако такой
выбор основной системы неудо-
бен, так как составление условий для
перемещений оказывается
сложным; кроме того, все лишние неизвестные при этом будут
фигурировать во всех уравнениях. Расчет оказывается гораздо
более простым, если за лишние принять закрепления, препят-
ствующие свободному повороту сечений балки над лишними
опорами. В таком случае
для перехода от статически
непреодолимой неразрезной
балки к статически опреде-
лимой основной системе в
сечениях над лишними опо-
рами должны быть постав-
лены шарниры. Лишними не-
известными при этом явятся
моменты пар сил, приложен-
ных к концам пролетов над
1 f Рис 176
лишними опорами (опорные
моменты) и препятствующих
свободному повороту соответствующих сечений (см., например,
рис. 176). Такой выбор основной системы позволяет установить
зависимость между опорными моментами любых двух смежных
пролетов, которая доказывается теоремой о трех моментах. Для
282
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
1ГЛ. 9
вывода теоремы рассмотрим /г-й и (А + 1)-й пролеты какой-либо
неразрезной балки (рис. 177), нагруженные произвольной на-
грузкой, причем сечения балки в этих пролетах различны, так
что их моменты инерции равны /й и /а+i. Эпюры изгибающих
моментов в обоих пролетах
представлены на том же ри-
сунке. Они состоят из двух
частей: эпюр изгибающих
моментов от нагрузки, пока-
занных на чертеже густой
штриховкой, и эпюр изги-
бающих моментов от дейст-
вия опорных моментов (по-
казанных редкой штрихов-
кой). Ввиду того, что в за-
данной неразрезной балке
шарниры над опорами от-
сутствуют, углы поворота сечений любых смежных пролетов над
опорами должны быть одинаковыми. В частности, на k-и опоре
имеем условие для перемещений:
6*. k = 6fe+i, ь
где Qk, h — угол поворота сечения k-го пролета балки над опо-
рой k, 0А+1,й — угол поворота (k + 1)-го пролета балки над опо-
рой k. Но
1, k
A k
k'k EJk EJk >
a ________ Q*+l, k ^f+1, k
Vk+l,k EJ EJ
fe+1 «+1
где k и R^ k — поперечная сила и опорная реакция на £-й
опоре от фиктивной нагрузки &-го пролета, Q%+1 k и 7?|+I k —
то же от фиктивной нагрузки (k + 1)-го пролета. В то же время
Af. Л.
М..Л,.
lk J_
3 ’ ‘k
2lk+i
3
M.l.
____R R
2
1
lk+l
А.2_
3 lk
м., Лк ,,
fe + 1 я+1
2
lk+\______1
3 zfe+i
причем опорная реакция k-ii опоры от фиктивной на-
грузки k-ro пролета, интенсивность которой определяется эпю-
рой моментов от нагрузки этого пролета; k — опорная ре-
акция &-й опоры от фиктивной нагрузки, интенсивность которой
определяется эпюрой моментов от внешней нагрузки k 4- 1-го
§40J
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
283
пролета. Таким образом,
Mk-xlk Mklk_ , Mklk+1 , Mk+llk+1
“ F/ft 6£/fe 3£/fe EJk+1 1- 3£/ft+1 f 6£/ft+1 ’
или
1/ Ifc 1 ЛХ/Г I 1 ^ft+1 ll ЛЛ
Afft-1T-+ 2Mft I T + ~r— J + M*+1~j— =
Jk \ k Jk+is Jfe+1
/ рФ’ о рФ, о \
==_6(^A + -^±LA). (9.1>
\ Jk Jk+\ '
Эта зависимость между тремя опорными моментами на смеж-
ных опорах неразрезной балки и носит название теоремы о трех
моментах. В частном случае, когда сечения балки во всех про-
летах одинаковы, так что
А = A+i,
теорема о трех моментах принимает вид:
А + 2Mfe (lk + Zfe+1) + Мй+Л+1 = - 6 (/?* о + R^ ,)• (9-2>
Наконец, при одинаковых пролетах lk+i = 1^ = 1 и постоянных
сечениях балки получим
Mk_{ + 4Mk + Мй+1 = - | (/?* ° + R^ J. (9.3)
Если неразрезная балка имеет п пролетов, то, применяя теорему
о трех моментах к каждой паре смежных пролетов, т. е. припи-
сывая в уравнениях (9.1), (9.2) или (9.3) индексу k значения
от 1 до п— 1, получим достаточное число уравнений для нахож-
дения п— 1 лишних неизвестных опорных моментов.
Пример 1. Найти опорные моменты для неразрезной балки постоянного
сечения (рис. 178). Эпюры моментов от нагрузки в каждом пролете представ-
лены иа том же рисунке. С помощью этих эпюр нетрудно найти следующие
284
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
[ГЛ. 9
выражения:
пФ, о__ пФ, о_ пф, о__!__£ <Р2 j___
к1, 1 — «2,1 — «2,2 — 2 3 8 24 ’
1 р/ t рр
«3,2 ~ «3,3 “«4,3 ~ 2 4 2 “ 16 ’
Поэтому, полагая в уравнении (9.3) k— 1, 2, 3, получим
6 аР
Мо + 4Л11+Л12 = --2^?->
.. , л.. , „ 6 / ql3 , Pl2 \
Mi + 4М2 + Л43 = — — —jg-J,
6 Pl2
Мг + 4Л43 + Mi -----j- • 2 • ,
причем
Мо = Mt = 0.
Таким образом, получим
Ш1 + М2 = --^-,
М1 + Ш2 + М з = - ( ,
\ 4 о /
.. . .. ЗР1
Мг + 4М3 —-----—,
откуда
л, 13 2 . 3 n, ql2 3 т>1 ал » ft2 39 nr
1— 112 ql 224 Pl' M2~ 28 56 Pl' + 112 224 PL
Если на каком-либо конце
статически неопределимой балки вместо опоры
имеется защемление, то для применения
теоремы о трех моментах это защемление
можно заменить фиктивным пролетом, в ко-
тором момент инерции сечения балки, а сле-
довательно, и ее жесткость, равны беско-
нечности.
Пример 2. Найти опорные моменты
для балки рисунка 179. а.
Заменяя защемление конца балки фик-
тивным пролетом /о (рис. 179,5), в котором
момент инерции сечения балки Уо равен бес-
конечности, превращаем нашу балку в не-
разрезную. Тогда, так как
пФ, 0 _ 0 пф, о 1 Р1 I Р12
«0,0 -и> «1,о -у 4 -y — 16 >
из (9.1) имеем, полагая k = 0,
"-тН2"" (£+t) + m'4 — 6Т5Г-
Так как 10/10 = 0 и Mi = 0, то
о.т 1 3
2М° J ~ 9
Р12
J ‘
§ 41]
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ
285
и, следовательно,
Q
Л40 = --^Р/.
Ю
После того как найдены опорные моменты, нетрудно вычис-
лить изгибающие моменты и поперечные силы в сечениях каж-
дого пролета и построить эпюры изгибающих моментов и попе-
речных сил для всей неразрезной балки. В самом деле, из
рис. 180 получим
Мх = DC + СВ + В А
или
Мх = Мх. о + + Mk~, (9.4)
lk lk
где Мх. о — изгибающий момент только
от действия нагрузки в данном пролете.
Дифференцируя (9.4), найдем
Л1. — м. .
Qx = Qx,o+-^rALl. (9.5)
с.
где Qx, о — поперечная сила в данном
Рис. 180.
сечении, вычисленная
только от нагрузки данного пролета.
§ 41. Общие методы расчета статически неопределимых
конструкций
При исследовании статически неопределимых балок мы, ус-
тановив зависимости между перемещениями их сечений, для
определения этих перемещений использовали аналитический или
графоаналитический метод. Очевидно, для той же цели можно
было использовать теорему Кастильяно. Нетрудно показать, что
на основании этой теоремы можно получить общий метод рас-
чета любой статичекси неопределимой конструкции, если только
существует линейная зависимость между обобщенными силами
и обобщенными перемещениями.
Конструкция может быть статически неопределимой по двум
причинам: она может иметь лишние опорные закрепления или
иметь лишние элементы. Если конструкция имеет лишние опор-
ные закрепления, то лишними неизвестными являются реакции
этих закреплений (опорные реакции). Если опорные закрепле-
ния таковы, что смещения по их направлению невозможны, то
на основании теоремы Кастильяно частные производные от по-
тенциальной энергии всей системы по лишним неизвестным
должны равняться нулю. Иными словами, если обозначить
286
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
!ГЛ. 9
лишние неизвестные опорные реакции Xi,X2, Ап, то
^- = 0 (t=l, 2, .... п).
ОЛ.
Если статически неопределимая конструкция имеет один лишний
растянутый или сжатый элемент, то лишним неизвестным яв-
ляется усилие в этом элементе
X. При этом всю конструкцию
можно разбить на две: основ-
ная статически определимая
система и лишний стержень
(рис. 181). Потенциальную энер-
гию U всей системы также
можно разбить на две части:
потенциальную энергию основ-
ной системы Ui и лишнего
стержня 1/2, причем
и=их + и2.
Обобщенное перемещение 6, соответствующее обобщенной силе
X, может быть найдено двумя способами:
. dU \ х dU2
6===~дГ’ б==ТЙ1)
dU2
дХ '
Поэтому
dU dUt , dU2 . . п
-== — + -^- = 6-6 = °.
Аналогичный результат получим, если лишними являются не
растянутые или сжатые элементы, а изгибаемые или скручивае-
мые. Если число лишних элементов больше единицы, то част-
ные производные потенциальной энергии всей системы по каж-
дому из лишних неизвестных усилий в этих элементах должны
быть равны нулю. Таким образом, независимо от того, связана
ли статическая неопределимость конструкции с наличием лиш-
них опорных закреплений или лишних элементов, можно ут-
верждать, что частные производные ее потенциальной энергии
по каждому из лишних неизвестных должны быть равны нулю,
а следовательно, лишние неизвестные должны соответствовать
экстремуму (максимуму или минимуму) потенциальной энергии.
Для наших целей не имеет значения, будет ли рассматривае-
мый случай соответствовать максимуму или минимуму; однако
можно показать, что речь должна идти о минимуме потенциаль-
ной энергии. Поэтому полученный результат следует сформули-
ровать так: в любой статически неопределимой конструкции с
неподатливыми опорами лишние неизвестные должны иметь ее-
§ 41]
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИИ
287
личины, соответствующие минимуму потенциальной анергии
(теорема о наименьшей работе).
На основании этой теоремы для системы с п лишними неиз-
вестными Х\, Х2, Хп получим
•^ = 0 (fe = l, 2........и), (9.6)
т. е. достаточное число уравнений для определения лишних не-
известных.
Однако для практических применений удобнее полученный
вывод представить в ином виде. Рассмотрим, например, кон-
струкцию, состоящую из растянутых или сжатых стержней,
имеющую п лишних неизвестных Х2, ..., Хп. Тогда, на осно-
вании (8.18),
О S’jlj
Н 2ЕА ‘
Вследствие принятого допущения о линейной зависимости ме-
жду обобщенными силами и обобщенными перемещениями та-
кая же зависимость должна существовать между усилиями в
стержнях и обобщенными силами. Поэтому
Si = + Si2X2 + • • • + Slnxn + Sip, (9.7)
где Sik — усилие в i-м стержне от обобщенной силы Xk — 1,
— усилие в том же стержне от нагрузки на конструкцию. Но
dU v* * sili dSi
’дх7== T7F7 "dA? ’
» х-=1 I I к
и, следовательно,
ди (S{ixi+Si2x2+ ... +8^ + 8^
EiFi
SilSikli у , Si2Sikli у i । SinSikli у
EiFi Л’ ‘ EiFi Л2 ‘ ‘ EiFi ЛП
j EipEik4 \
+ E^ J'
ИЛИ
V SinSikll
Li EtE
SipEikli
EiFl *
288
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
[ГЛ. 9
Но, на основании (8.26),
Si2Sik!i
EiFi
—
ZEinEikh
Lit t К I ___ ft
t EtF. ~ kn’
ZEipEikh____x
! EiFi ~ kP’
где 6si — обобщенное перемещение, соответствующее обобщен-
ной силе Xh при действии силы Хх = 1, б&2— то же при дей-
ствии силы Х2=1, 6fen — то же при действии силы Хп =
= 1, 8kp — то же от действия только нагрузки. Так как
то, давая k значения 1, 2, ..., п, на основании (9.7) получим,
что лишние неизвестные должны удовлетворять системе урав-
1 Xi + f>l2X2 + 613X3 + ... + 6inXn + б1р = О,
621X1 + 622Х2 + 623X3 + ... + 62пХ„ + дгр = 0, , $ g)
6niX] + 6„2Х2 + б„зХ{ + ... + б„пХ„ + Ьпр = 0. -
Совершенно аналогичными рассуждениями можно обобщить по-
лученный вывод на случай изгибаемых и скручиваемых элемен-
тов, представляя усилия в этих элементах следующим образом:
Mi = МцХх + М;2Х2 + Mi3X3 + ... + MinXn + Mip, 1
Qi — QiiXi + Qi2X2 + Qj3X3 + ... + QinXn + QiP, } (9.9)
^) = ^)X1+^)X2 + <)X3+ ... +M%Xn+M^. )
Таким образом, расчет любой статически неопределимой кон-
струкции при несмещающихся опорах и постоянной темпера-
туре сводится к составлению и решению системы уравнений
(9.8), после чего усилия в элементах этой конструкции легко
вычисляются с помощью формул (9.7) и (9.9). Система уравне-
ний (9.8) имеет одинаковый вид для всех конструкций, отли-
чаясь только величиной коэффициентов. Ее называют системой
канонических уравнений метода сил. Коэффициенты этой си-
стемы вычисляются с помощью формулы (8.26) и графоанали-
тического способа вычисления входящих в нее интегралов (см.
п. 2 § 39),
§ 41]
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ
289
Пример. Используем канонические уравнения метода сил для расчета
представленной на рис. 182 рамной конструкции, т. е. стержневой системы,
углы между элементами которой не меняют своей величины при деформации
(стержни образуют жесткие узлы). Мо-
менты инерции стоек рамы и ее гори-
зонтального элемента (ригеля) различны
и показаны на чертеже. Число неизвест-
ных опорных реакций рассматриваемой
рамы равно пяти, так что две из них яв-
ляются лишними. Основная статически
определимая система показана на рис.
182,6. Канонические уравнения метода
сил имеют вид
61Л + б12-^2 + — О,
62Л + &22%2 + &2р — 0.
Рис. 182.
Коэффициенты этих уравнений вычислим по формуле (8.26), причем бу-
дем пренебрегать влиянием нормальных н поперечных сил, т. е. Положим
з li
i=l 0 1
3
i = I о
л^рЛ1а
dx.
Для вычисления входящих в эти формулы интегралов используем графоана-
литический метод, построив эпюры Мц, M2t и MiP (рис. 183).
Таким образом,
6il = £77' ’ ' А'1 + £77' 1 "2 'т + °” "£ (77+377)'
А , 1 Pl I , .. , n Pl~h
б2р °+ EJp 4 2 А) + ° 8EJp ’
* , 1 Pl I 1 , „ Р12
б|р °+ EJp ’ 4 ’ 2 ‘ 2 +0- 16£7р ’
и канонические уравнения принимают вид
1 С h , / v 1 г л2 , т v , рр
Е k Jc "* З/р ) 1 Е к 2Д "* 2/р ) 2 "* 16£7р
0,
_1_/ Л2 hl \ v 1 / h4 , 2h3\ v PPh n
E к 2JC + 2Zp ) Xl + E I Jp + 3JC ) Xi SEJp
10 В, А, Гастев
290
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
(ГЛ. Э
или
/с
h. Th
7V7
л \ pi
._е.+ 1^2 + _ = 0,
1 z h2
Л 2 h2 I \ Ph
7 + У~’7г)*2~"
Если / = 6 м, h = 3 м, J^/Jc = 2, Р = 5Т, то
Xi = 0,512 Тм, Х2 = 0,852 Т
После этого, на основании формул (9.9), с помощью эпюр рис. 183 и найден-
ных величин Xi и Х2, легко построить эпюру изгибающих моментов дли дан-
ной рамы (рис. 184).
Рис. 183.
h
7
h
Изложенный общий метод расчета статически неопредели-
мых конструкций основан на применении теоремы Кастильяно
к основной системе, в которой удалены лишние связи и заме-
Рис. 184.
йены лишними неизвестными усилиями в
этих связях. Названные усилия опреде-
ляются в процессе решения поставлен-
ной задачи. Поэтому описанный метод
расчета принято называть методом сил.
Возможен, а нередко оказывается более
удобным, другой подход к решению той
же задачи, основанный на применении
обратной теоремы (8.9). В этом случае
в заданной статически неопределимой
конструкции вводятся дополнительные
связи, обеспечивающие неподвижность ее
узлов. Используя (9.8), путем выкла-
док, аналогичных приведенным выше, мо-
жно показать, что усилие в любой дополнительной связи при
линейных зависимостях между обобщенными силами и пере-
мещениями выразится через перемещения узлов следующим
образом:
S/ = Sn61 + S/262+ ... 4-SjBd„ + S/p, (9.10)
§ 41] РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИИ 291
где Si — усилие в i-й связи, 8^—- усилие в i-й связи, вызываемое
перемещением в направлении связи k, равным единице, S{P —
усилие в той же связи, обусловленное действием заданной на-
грузки, б& — действительное перемещение в направлении £-й
связи. Так как в заданной статически неопределимой конструк-
ции дополнительные связи отсутствуют, то для нахождения дей-
ствительных перемещений необходимо положить 8; = 0. Та-
ким образом, мы приходим к каноническим уравнениям метода
перемещений:
8цб1 + <$12$2 + • • • + 81геб„ + Slp — 0,
S2i6i + 822б2 + ... + S2„6„ + S2p = 0,
(9.И)
Sni6i + 8„262 + ... + 8„„б„ + Snp = 0,
число которых равно числу введенных дополнительных связей.
После того как из этих уравнений будут найдены перемещения
бй, могут быть найдены усилия в элементах заданной конструк-
ции. Этот метод расчета статически неопределимых конструк-
ций, являющийся столь же общим, как и метод сил, принято
называть методом перемещений.
Так как для применения уравнений (9.11) для частных слу-
чаев необходимо вывести выражения усилий через перемещения,
то на примерах расчета статически неопределимых конструкций
по методу перемещений мы не останавливаемся, отсылая чита-
телей к специальным курсам строительной механики стержне-
вых систем.
ГЛАВА 10
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
§ 42. Изгиб балок несимметричного поперечного сечения.
Центр изгиба
В предыдущих разделах курса изучался вопрос об изгибе
балок, поперечное сечение которых имеет по крайней мере одну
ось симметрии, причем нагрузка, приложенная к балке, сво-
дится к совокупности сил, лежащих в плоскости симметрии бал-
ки. В этом случае касательные напряжения в плоскости попе-
речного сечения распределяются симметрично относительно оси
симметрии этого сечения, и потому перерезывающее усилие SQ
направлено по этой оси, т. е. проходит через центр тяжести се-
чения и полностью уравновешивается поперечной силой Q.
При несимметричном сечении балки следует ожидать и не-
симметричного распределения касательных напряжений в этом
сечении. В таком случае перерезывающее усилие, оставаясь
равным и параллельным поперечной силе, не будет проходить
через центр тяжести поперечного сечения. Таким образом, обе
эти силы составят пару сил, действующую
в плоскости поперечного сечения балки
г \ (рис. 185), и вызовут кручение балки, при-
7 с _________чем, так как поперечные силы, а следова-
f Т J тельно, и перерезывающие усилия, вообще
/ говоря, переменны по длине балки, то ве-
личина крутящего момента балки также бу-
Рис. 185. дет переменной по длине балки. Только в
том случае, когда нагрузка, приложенная
к балке, действует не в плоскости, проходящей через центры
тяжести сечений (через ось) балки, а в плоскости, проходящей
через точку С], кручение будет отсутствовать и, следовательно,
балку несимметричного сечения можно рассчитывать так же,
как балку симметричного сечения. Точка Cit т. е. та точка сече-
ния, через которую должна проходить плоскость действия сил,
§ 43] ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ 293
приложенных к балке, чтобы последняя не подвергалась круче-
нию, называется центром изгиба сечения балки. Очевидно, что
для определения ее положения необходимо знать закон распре-
деления касательных напряжений по сечению балки.
Если плоскость действия сил, к которым сводится нагрузка
на балку, не проходит через линию, соединяющую центры из-
гиба сечений, то балка подвергается не только изгибу, но и кру-
чению парами сил, моменты которых, вообще говоря, меняются
по ее длине. Вследствие этого в сечениях балки появляются до-
полнительные касательные напряжения. С другой стороны, как
известно, кручение стержней любого сечения, кроме круглого,
сопровождается искривлением сечений. Ввиду переменности
крутящего момента по длине балки, а также ввиду препятствий
искривлению концевых сечений при их заделке, искривления раз-
личных сечений оказываются различными. Мы встречаемся с
неравномерным иди стесненным кручением, называемым так в
отличие от равномерного или свободного кручения, при котором
крутящие моменты постоянны по длине стержня и поперечные
сечения могут свободно искривляться.
Следствием неравномерного кручения являются удлинения
или укорочения волокон балки, т. е. возникновение нормальных
напряжений. Таким образом, помимо дополнительных касатель-
ных напряжений, кручение балки должно вызвать и дополни-
тельные нормальные напряжения. Поэтому если плоскость дей-
ствия сил не проходит через центры изгиба поперечных сечений,
то как нормальные, так и касательные напряжения получаются
иными, чем при изгибе балок симметричного сечения нагрузкой,
действующей в плоскости симметрии.
Определение положения центра изгиба представляет слож-
ную задачу, так как требует, как уже указывалось, знания за-
кона распределения касательных напряжений по сечению. Когда
центр изгиба найден, нетрудно определить все усилия в сечении
балки, которые, таким образом, сведутся в общем случае к N,
Му, Mz, Qy, Qz и Mh. Тогда, используя результаты главы 7, най-
дем и величины напряжений, причем влиянием кручения на нор-
мальные напряжения оказывается возможным пренебречь. Есть,
однако, имеющие широкое практическое применение типы стерж-
ней, к которым выводы главы 7 оказываются неприменимыми.
К ним относятся так называемые тонкостенные стержни.
§ 43. Тонкостенные стержни открытого профиля
1. Особенности распределения напряжений в тонкостенных
стержнях. Тонкостенными стержнями называются такие, у ко-
торых один из размеров поперечного сечения невелик по сравне-
нию с остальными. К числу тонкостенных стержней можно от-
294
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
1ГЛ. 10
нести, например, металлические стержни прокатного или состав-
ного профиля, у которых толщина стенок и полок относительно
невелика по сравнению с их высотой или шириной. Реже можно
встретить тонкостенные стержни в составе железобетонных и
деревянных конструкций; однако и в этих конструкциях они за
последнее время начинают получать все более широкое распро-
странение. Таким образом, изучение тонкостенных стержней
имеет важнейшее значение для конструктора. Вместе с тем осо-
бенности сечения тонкостенных стержней облегчают исследова-
ние распределения напряжений в них. В самом деле, вследствие
малой толщины стенок стержня изменение напряжений по тол-
щине этих стенок очень невелико. Поэтому нельзя ожидать су-
щественной погрешности, если принять, что напряжения по тол-
щине стенки не меняются или, в крайнем случае, меняются по
линейному закону. Если же принять это допущение, то нетрудно
сделать ряд выводов о распределении напряжений в тонкостен-
ном стержне.
Тонкостенные стержни можно разбить на два класса: стерж-
ни с закрытым (замкнутым) профилем и стержни с открытым
(незамкнутым) профилем. К первому классу относятся стержни
трубчатого и ему подобных сечений, ко второму — стержни,
имеющие профиль в виде тавра, двутавра, буквы «зет», швел-
лера и пр. Наиболее отчетливо проявляются особенности расчета
тонкостенных стержней при открытом их профиле. К тому же
стержни таких профилей имеют наиболее широкое распростра-
нение. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением лишь
тонкостенных стержней с открытым профилем, причем будем
предполагать поперечное сечение таких стержней постоянным
по длине.
При изучении деформаций тонкостенных стержней необхо-
димо иметь в виду, что эти деформации, вообще говоря, сопро-
вождаются изменением контура поперечного сечения. Однако
учет влияния изменений контура на напряженно-деформирован-
ное состояние стержня связан со значительными трудностями.
В то же время путем установки поперечных диафрагм удается
достигнуть практически почти полной неизменяемости контура
поперечного сечения.
В связи с этим в дальнейшем мы будем изучать исключи-
тельно тонкостенные стержни открытого профиля с неизменяе-
мым контуром, что дает нам право все геометрические характе-
ристики сечений и другие геометрические данные относить к се-
чениям, которые стержень имел до деформации.
Нагрузку, приложенную к поверхности тонкостенного стерж-
ня, можно разложить на две составляющие, из которых одна
нормальна к поверхности, а другая находится в касательной
плоскости к ней. Эту вторую составляющую, пренебрегая ме-
§ 431
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
295
стными напряжениями и напряжениями, весьма малыми по ве-
личине, можно перенести в точки средней линии стержня. В та-
ком случае касательные напряжения на поверхности стержня,
параллельные образующим этой поверхности, надо принять рав-
ными нулю. Нормальные напряжения, вызываемые на поверх-
ности стержня нормальной составляющей нагрузки, или на-
столько малы, что при переносе этой составляющей в точки сред-
ней линии сечения ими можно пренебрегать (как мы это делали
при изучении изгиба балок), или они имеют местный характер.
В результате, с достаточной для практических расчетов точ-
ностью, допустимо принимать, что на поверхности тонкостенного
стержня равны нулю как нормальные, так и касательные на-
пряжения, параллельные образующим этой поверхности. Ввиду
малости толщины стенки естественно это заключение распро-
странить и на все элементарные площадки, параллельные боко-
вой поверхности стержня. Отсюда следует, что в плоскости по-
перечного сечения стержня не может быть составляющих каса-
тельного напряжения, направленных по нормали к контуру этого
сечения, так как касательные напряжения по взаимно перпен-
дикулярным площадкам по абсолютной величине равны. По-
этому касательное напряжение в любой точке поперечного се-
чения должно быть направлено параллельно касательной к кон-
туру этого сечения, или, что практически равноценно, парал-
лельно касательной к средней линии сечения. Распределение
этих напряжений по толщине стенки согласно принятому выше
допущению можно принять линейным, т. е. представить эпюру
их распределения в виде трапеции. Что касается нормальных
напряжений по площадке поперечного сечения, то в силу того
же допущения их достаточно считать распределенными по тол-
щине стенки равномерно.
Таким образом, для тонкостенного стержня мы получаем
картину распределения напряжений в сечении по толщине его
стенки, представленную на рис. 186. По-
нятно, что по длине контура сечения,
равно как и по длине стержня, напряже-
ния а и Та меняются.
Трапецеидальную эпюру распределе-
ния касательных напряжений по толщине
стенки стержня (рис. 187, а) можно раз-
бить на две эпюры (рис. 187, б и в), а сле-
довательно, и сами касательные напря-
жения считать состоящими из двух ча-
стей: средних касательных напряжений
т, распределенных по толщине стенки равномерно (эпюра б), и
касательных напряжений тк (эпюра в), закон распределения
которых совпадает с законом распределения для случая свобод-
296
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
ного кручения тонкостенного стержня. Первые напряжения на-
зывают изгибно-крутильными, вторые — напряжениями свобод-
ного кручения.
Принятые нами допущения о распределении напряжений
в сечениях тонкостенного стержня, как будет показано далее,
а)
6)
полно изучить напряженно-деформиро-
позволяют достаточно
ванное состояние этого стержня при наличии сложного изгиба
и кручения.
2. Секториальные координаты. Как было показано в п. 1,
нагрузку на тонкостенный стержень можно считать приложен-
ной в точках средней линии сечения, а для определения напря-
жений в любой точке также достаточно знать нормальные и
касательные напряжения в точках средней линии сечения. По-
ложение этих точек мы будем определять прямоугольными де-
картовыми
ординат, в
стержня, а
одного из
средней линии сечения
координатами, пользуясь с этой целью системой не-
которой осью абсцисс Ох является продольная ось
осями Оу и Oz — главные центральные оси инерции
его поперечных сечений. При заданном очертании
положение любой ее точки К может
также определяться длиной дуги s,
отсчитываемой по средней линии от
некоторой точки С (начало отсче-
та дуг) в определенном направлении
(рис. 188). Выбрав некоторую точ-
ку А в плоскости сечения (полюс),
определим также положение точ-
ки К, зная площадь сектора САК,
описываемого радиусами-векторами
точек средней линии, вращающими-
ся от начального положения АС до
положения АК. Удвоенную площадь
этого сектора мы будем в дальнейшем называть секториальной
площадью со или секториальной координатой точки К. Сектори-
альной площади следует приписывать определенный знак в зави-
симости от направления вращения радиуса-вектора из началь-
ного в окончательное его положение. Мы будем считать
за положительное направление вращения радиуса-вектора
§431
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
297
вращение по часовой стрелке. Точку С средней линии сечения,
радиус-вектор которой принимается за начальный, будем на-
зывать векториальной нулевой
точкой.
На основании данного опре-
деления сектори альной площа-
ди ю нетрудно получить геомет-
рическое представление для
бесконечно малого приращения
или дифференциала ее. В са-
мом деле (рис. 189), do =
= 2 площ. ABD, но площадь
ABD с точностью до малых
высших порядков равна
площ. ABD = ^-hds,
lz
Рис. 189.
где h — длина перпендикуляра, опущенного из полюса А на
касательную к средней линии сечения. Таким образом,
d<D = h ds.
(ЮЛ)
Используя этот результат, можно получить формулу преобра-
зования секториальных координат при перемене полюса. Из ри-
сунка 190 получим
daA — hAds, d(DB — hBds,
где (DA и (йв — секториаль-
ные площади с полюсом со-
ответственно в точках А и В,
так что
d (ил — а3) = (hA — hB) ds,
но
hA — hB — (zA — zB) cos a —
~ (Уд — Ув) sin a,
V
Рис. 190.
где a — угол между касательной к средней линии и осью Оу.
Поэтому, так как
ds cos a = dy, ds sina = dz,
то
d (a>A — a>B) = (zA — zB) dy — {yA — yB) dz,
откуда
®А = ив + (гл — zB}y — (yA — yB)z + C. (10.2)
298
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
Если секториальной нулевой точкой при обоих полюсах является
точка с координатами у0, г0, то постоянная С может быть най-
дена из условия
(Z4 — zB) у0 — (уА — ув) z0 + С = 0. (10.3)
При применении секториальных координат оказывается целесо-
образным ввести некоторые новые геометрические характери-
стики сечений, получаемые путем обобщения определений ана-
логичных характеристик в декартовых координатах. Таковы:
секториальный статический момент
Sa= (10.4)
(К)
секториальный момент инерции
4 = (10.5)
(F)
секториально-линейные статические моменты
5ад= Saz= ^azdF. (10.6)
(F) (F)
Способы их вычисления мы рассмотрим ниже.
3. Зависимость между средним касательным и нормальным
напряжением в точке сечения стержня. Для установления этой
элемент, выделенный из стержня дву-
мя плоскостями, перпендикулярными
к его оси, и двумя плоскостями, па-
раллельными этой же оси и нормальны-
ми к средней линии сечения (рис. 191).
Расстояние между первыми плоскостя-
ми равно dx, расстояние между вторы-
ми, считая по дуге средней линии сече-
ния, равно ds. Толщину стенки стерж-
ня примем равной 6, причем, вследст-
вие постоянства сечений стержня по
его длине, б зависит от s, но не зави-
сит от х. Усилия по граням элемента
показаны на рисунке*). Имея в виду, что рассматриваемый
элемент находится в равновесии, и проектируя на ось Ох все
*) Нагрузка по поверхности элемента на рисунке не изображена. Прини-
мается, что она приложена в точках средних линий поперечных сечений, и
что напряжения, вызываемые ее составляющей, параллельной оси Ох, вклю-
чены в о. Не рассматриваются также усилия, связанные с касательными на-
пряжениями тк, так как они сводятся к парам сил, и потому проекция их
на Ох равна нулю.
зависимости рассмотрим
Рис. 191,
§44]
УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ
299
действующие на него силы, получим
— об ds + [об + dx (об)] ds + [тб + ds (тб)] dx — xbdx = О,
или
dx (об) ds + ds (тб) dx = 0.
Так как
j z д (об) , , , ,\ д (тб) ,
dx(o6) = -^—dr, <Ur6)=-^— ds,
то
d^Ldxds + ^Ldsdx = o,
дх 1 ds ’
ИЛИ
^ + -Т-0 (10-7)
и
s s
1 f д (об) , 1 С да . , /1 л оч
т =— -т- \Lds — — 6ds. (10.8)
б J дх о У дх ' '
о о
§ 44. Усилия и напряжения в сечении тонкостенного стержня
открытого профиля
1. Усилия в сечении тонкостенного стержня. Вычислив равно-
действующие и моменты усилий, возникающих по элементар-
ным площадкам, найдем полные усилия в рассматриваемом
сечении стержня. Так, равнодействующая нормальных усилий
odF определяет нормальное усилие, равное по величине нор-
мальной силе N в данном сечении, так что
N = a dF\
(F)
(10.9)
моменты тех же усилий относительно осей Оу и Oz представ-
ляют моменты изгибающих пар, действующих соответственно
в плоскостях xOz и хОу. Они по величине равны изгибающим
моментам в этих плоскостях:
Му— j za dF, Mz= у ya dF.
(Е) (Е)
(10.10)
При нахождении усилий, связанных с касательными напряже-
ниями в сечении, удобно рассматривать отдельно изгибно-кру-
тильные напряжения т и напряжения свободного кручения тк.
Первые распределены по толщине стенки равномерно и для
300
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
элементарной площадки dF = bds (рис. 192) дают усилие xdF,
действующее в соответствующей точке средней линии сечения
по направлению касательной к этой линии. Вторые сводятся
к паре сил, вызывающей свободное кручение, и потому не
имеют равнодействующей. Сумма
элементарных моментов свобод-
ного кручения для всех площадок
сечения, очевидно, равна крутя-
ШемУ моменту свободного круче-
'vx ния для данного сечения. Этот
Ya момент в дальнейшем будем обо-
значить Л4К, не уточняя пока его
Рис. 192. выражения через напряжения.
Что касается элементарных уси-
лий т dF, то проекции их равнодействующей на оси Оу и Oz, оче-
видно, представляют собой проекции на те же оси перерезываю-
щего усилия, равные соответствующим составляющим попереч-
ной силы в сечении:
О„= \-rdF-cosa= \t6ds-cosa
Qz= т dF • sin a = тб ds • sin a
(Г) (Г)
= \ тд dy, j
й5) I
' } (10.11)
= \ тб dz, I
(F) J
где a — угол, составляемый
изгибно-крутящим моментом
касательной к средней линии сече-
ния в данной ее точке с осью Оу,
у и z — координаты этой точки.
Составляя момент всех каса-
тельных усилий относительно
какой-либо точки А в плоскости
сечения, найдем момент, вызыва-
ющий поворот всего сечения во-
круг точки А (крутящий момент).
Он, очевидно, равен моменту Л4К,
связанному с напряжением сво-
бодного кручения тк, и моменту
усилий т dF, который мы назовем
Ма, так что
Л1Л = Л1К + Л1И.
(10.12)
Что касается изгибно-крутящего момента Л1ш, то (рис. 193)
Л1Ш = т dF • h — тб ds • h,
УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ
301
§ «1
или, так как согласно (10.1) d<s> = hds,
Mffl= J-r6da>. (10.13)
(F)
2. Выражение нормальных напряжений через перемещения.
В связи с принятым допущением о равномерном распределении
нормальных напряжений по толщине сечения оказывается до-
статочным найти эти напряжения лишь в точках средней линии
сечения. А так как нормальные напряжения можно выразить
через удлинения соответствующих волокон стержня, которые в
свою очередь связаны определенной зависимостью с продоль-
ными перемещениями точек сечения, то необходимо исследовать
эти перемещения, т. е., при нашем выборе осей, перемещения и.
Как было показано выше (п. 1 § 34), в общем случае
и = иа — v'y — w'z + uQ + uK, (10.14)
где «о, v', w' являются функциями только от абсциссы сечения.
Перемещениями uq, связанными с действием поперечных сил,
ввиду их относительной малости для тон-
костенных стержней можно пренебречь,
так же как и в случае стержней сплош- ///^
ного сечения. В то же время перемеще- /// 'vX
ниями Ик для тонкостенных стержней от- Ilf \\\
крытого профиля пренебрегать нельзя, 411 I
так как они могут оказаться вполне ощу- I I
тимыми. В этом легко убедиться на при- vX J//
мере стержня, имеющего сечение, пока- ху' в
занное на рис. 194, в котором относитель-
ные перемещения точек А и В средней
линии сечения при кручении оказываются . Рис- ^94-
весьма значительными. Но эти перемеще-
ния щля точек средней линии сечения нетрудно определить. В са-
мом деле, в § 27 мы имели для случая кручения стержня произ-
вольного сечения:
__( дик dQ \ __р /* . t/G \ /1 л 1 к\
Для тонкостенного стержня касательные напряжения можно
считать направленными параллельно касательной к средней ли-
нии сечения. В то же время в точках средней линии тонкостен-
ного сечения касательные напряжения, возникающие вследствие
кручения, равны нулю (см. § 31). Поэтому из (10.15) получим
дик dQ
—— = z----------------------------
ду dx ’
дик dQ
dz & dx ’
302
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
1ГЛ. 10
и, следовательно,
duK = dy + dz = (z dy - у dz).
Если ввести полярные координаты
#==pcos(p, z = psin<p,
то
zdy — у dz = — р2 (cos2 ф + sin2 ф) t/ф = — р2 t/ф.
Полученная величина р2 t/ф, как нетрудно убедиться, является
удвоенной площадью сектора, образованного двумя радиусами-
векторами, проведенными в две бесконечно близкие точки сред-
ней линии сечения, т. е.
р2 dtp = doQ,
где ®о — секториальная площадь с полюсом в начале координат.
Следовательно,
z dy — ydz = — doQ,
и потому
ик = j 0' (z dy — у dz) = — 0'©0 -f- с.
Здесь с(х) является частью перемещения ик, одинаковой для
всех точек средней линии сечения, и, следовательно, может рас-
сматриваться как перемещение центра тяжести сечения. По-
этому при подстановке в (10.14) оно может
,_ __________ быть включено в состав «о.
° Таким образом, если пренебрегать пере-
мещениями uq, вызванными действием по-
\ перечных сил, то для точек средней линии
\ /1 сечения тонкостенного стержня открытого
\IC_j профиля получим
и = ий —- и'йу — w'z — О'© (Ю.16)
'г
Здесь «о, vо и w0 — перемещения точек оси
Рис. 195. стержня, т. е. центров тяжести сечений,
©о — секториальная площадь точки сред-
ней линии сечения с полюсом в центре тяжести сечения и про-
извольно выбранной секториальной нулевой точкой. Как видно
из рис. 195, перемещения любой точки А сечения связаны с пе-
ремещениями точки О следующими зависимостями:
= Ро — ЗдО, WA = Ш0 + уАе,
так что
“ = “о - (^ + ZAe') y-(WA- Уа&) Z - 0Ч>
УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ
303
§ 44]
ИЛИ
u = u0 — v'Ay — w'Az — (со0 — yAZ + zAy) 0'. (10.16*)
Но из (10.2) при yB = zB = 0 получим
С0л = С00 —- yAZ + zAy + С,
причем, так как при ул==гл = 0 сол —<в0, то постоянная С — 0.
Следовательно,
и — — xi'Ay — w'az — 0'<вд,
или
и = ий — и'у — w'z — 0'со, (10.17)
где «о, v, w — уже перемещения произвольно выбранной точки
А сечения и со — секториальная площадь точки средней линии
сечения с полюсом в точке А. Но
Ъх = = и'о - v"y - w"z - 0"со, (10.18)
а
or = Еъх,
так что, если пренебрегать напряжениями оу и oz, то
ст = Е («о — v"y — w"z — 0"со). (10.19)
Рассмотрим какое-либо поперечное сечение, уравнение кото-
рого до деформации было
х — с.
После деформации абсциссы его точек изменятся, так что
х — с + и,
и на основании (10.17) уравнение сечения принимает вид
х = с + ц0 (с) — v' (с) у — w'(c)z — д' (с) со.
Отсюда ясно, что поперечные сечения тонкостенного стержня
при деформации остаются плоскими только в том случае, когда
О'(с) = 0; если это условие не выполняется, то они искривляют-
ся, причем нормальные напряжения перестают быть пропорцио-
нальными расстояниям точек до нейтральной оси, как это видно
из (10.19).
3. Выражение напряжений и перемещений точек сечения
через усилия. На основании (10.19) и установленных форму-
лами (10.9), (10.10) выражений усилий через напряжения не-
трудно в рассматриваемом сечении стержня выразить переме-
щения точки А сечения и угол поворота последнего через уси-
лия. При этом для упрощения результатов воспользуемся тем,
что названная точка (полюс секториальных площадей), равно
304
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
как и секториальная нулевая точка С, может быть назначена
произвольно. Выберем точку С так, чтобы
Sa= J®dF = 0,
(F)
и точку А так, что
^G>ydF = 0,
(Л
Sa2 = j ®z dF — 0.
(?)
(10.20)
(10.21)
Секториальные площади, удовлетворяющие условиям (10.20) и
(10.21), называют главными секториальными площадями, а со-
ответствующие секториальные координаты — главными секто-
риальными координатами.
Таким образом, если за оси Оу и Oz принять главные цент-
ральные оси инерции, а за секториальные координаты точек
средней линии сечения — главные секториальные координаты, то
из соотношения
N = a dF = Е Г «о j dp —- v" ^ydF — w" zdF — в" ( co dF 1
(F) I (F) (F) (F) (F) J
получим
N = Eu'tF,
или
«0 = ^у. (10.22)
Таким, же образом из
Му = j azdF =
(F)
= e(uq z dF — v" yz dF — w" ^z2dF — 0" ( coz dF 1,
I (F) (F) (F) (F) )
Mz — {aydF —
(?)
— e(uq ydF — v" y2 dF — w" ^zydF — 0" ( &y dF |
I (F) (F) (F) )
получим
Mу = — EKw”, M, = - EJzv",
или
<10'23>
§ 44J
УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ
305
а после подстановки в (10.19) получим
CF
•V . Мгу MyZ
EQ"a.
(10.24)
Полученную формулу можно представить в особо простом виде,
если ввести в рассмотрение величину Ва, определяемую урав-
нением
Ва = J пи dF. (10.25)
<f>
Тогда после подстановки (10.19) имеем
ВШ = Е\ i4 ys>dF-v" \aydF-w" ^zdF-B" ^rfdF I
I (F) (F) (F) (F) J
t. e.
= (10.26)
или
и формула (10.24) принимает вид
N . Мгу MyZ Вд$>
F + 1г + Jy + /<» •
(10.27)
Значение величины Ва, введенной нами чисто формально,
можно уяснить на следующем простом примере. Балка дву-
таврового профиля, защемленная одним концом (рис. 196), на-
гружена таким образом, что в ее полках действуют нормальные
напряжения, распределенные по тол-
щине каждой полки равномерно, а по
ширине их — по линейному закону при
обратных знаках напряжений в соот-
ветственных точках обеих полок; на-
пряжения в стенке отсутствуют. Таким
образом, усилия в сечениях сводятся
к двум равным и противоположно на-
правленным парам сил, действующим
в плоскостях средних линий полок. Мо-
менты этих пар равны
М{ — ~М2— j cry dF,
А
где Fa— площадь полки. Такую сово-
купность равных и противоположно
направленных пар сил, действующих в параллельных плоско-
стях, называют бипарой; она всегда является уравновешенной
306
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
и, следовательно, не может быть обнаружена из условий равно-
весия. В то же время, так как для любой точки В средней
линии верхней полки
ш = 2 площ. ОСВ = -^у,
а для нижней полки
h
^=~-2У>
то
Вш= \oa>dF = \^-ycdF+ G}{—^\y dF—
(F) (Ki) (Z)
= y + y ^aydF = h ^aydF — hMu
(fl) (4 (fn)
так что Ва представляет собой произведение величины момен-
тов двух пар на расстояние между плоскостями действия этих
пар. В связи с этим, по аналогии с моментом пары сил, Вш на-
зывают бимоментом бипары. Нетрудно видеть, что наличие би-
пар в сечениях рассматриваемой балки связано с ее кручением.
В самом деле, пары сил Mi и Mz дол-
1—^775? жны вызвать изгиб полок в их плоско-
му ! сти, вследствие чего сечения балки
,у // должны были бы деформироваться
г-II—, представленным на рис. 197, б обра-
а) а) зом. Однако, по принятому выше до-
пущению, сечение не может деформи-
Рис- ,97- роваться, и, следовательно, повернется
на некоторый угол (рис. 197, в). Обу-
словленное этим поворотом кручение балки является стесненным,
так как на защемленном конце балки не может быть свободного
искривления плоскости сечения. Таким образом, бимомент Ва
характеризует нормальные напряжения, связанные со стеснен-
ным кручением стержня.
После того как нормальные напряжения вычислены, по фор-
муле (10.27) нетрудно найти и касательные напряжения. На
основании (10.8)
S
1 С до . j 1 f до
т =----\ о ds = — -г- \-v- dF,
a J дх о J дх
о (F„)
где Fo — площадь части сечения, отсекаемой нормалью к сред-
ней линии, причем эта нормаль проводится через точку, в ко-
торой определяется напряжение. После подстановки (10.27)
§ 44]
УСИЛИЯ и НАПРЯЖЕНИЯ
307
получаем
\^dF + \^fdF + №fLdF
dx J dxJz j dxJv J dxJu
(F„) tFe) И (Fe)
Если нормальная сила постоянна по длине стержня, то
dN/dx = 0. Кроме того,
dMz dMu
~dx~ = ~dx~ =
в в случае постоянного по длине стержня сечения
dBa Г да , n Г да - . С д (ад) .
-7-^-= \-~adF = \-т-©6ds — \ , a ds.
dx J дх J дх J дх
(F) (Г) (F)
Так как на основании (10.7)
д (ад) д (тд)
дх ds
ТО
dBg,
dx
f д(тд) .
J ds
(Г)
и, выполняя интегрирование по частям, получим
© ds (тд) = — [тд • <в]о + тд dot.
(F) (F)
Если по краям сечения стержня отсутствуют касательные на-
пряжения, что равносильно отсутствию касательных усилий по
крайним продольным кромкам сечения, то первое слагаемое
равно нулю, а второе определяется формулой (10.13), так что
d Ва__
dx
и
т —
(10.28)
(F,)
Q, f
у dF —тт— \ z dF
v Oly J
<F0)
Me, Г
d/a J
(F»>
adF,
или
QySzo QzSye Me>Sex>
~5FZ dTy d/7"
(10.29)
где Sye, Sz0 и 5и0 — статические моменты части сечения, отсе-
каемой нормалью к средней линии сечения в рассматриваемой
308
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
точке. При этом в соответствии с (10.28) и (10.26)
^ = ^=-£46'" (10.30)
Не следует забывать, что по формуле (10.29) находится лишь
среднее по толщине касательное напряжение т. Для нахожде-
ния полных касательных напряжений т5 в любой точке по тол-
щине сечения к напряжениям т необходимо добавить касатель-
ные напряжения свободного кручения тк, которые должны быть
определены при известной величине Мк по формулам, получен-
ным ранее для равномерного кручения (гл. 6).
С помощью (10.29) нетрудно показать, что полюс А главных
секториальных площадей, положение которого определяется
уравнениями (10.21), является центром изгиба сечения стержня.
В самом деле, при отсутствии кручения моменты Мк и МА долж-
ны быть равны нулю, вследствие чего
МА = Ма — тб det = 0
(Г)
и
Поэтому
МА =
S2o d®
г J
(П
Интегрируя по частям, находим
Szo — [£z0®ls=0c ® dSZQ = —
(К)
(П
Qy$zn QzSyo
Qz Г
J d<i>.
У (?)
— <£>у dF,
(F)
х
Г 5
так как при s = 0 и при s = sc, где sc — длина всей средней
линии сечения, статический момент Sz0=0. Аналогично получим
SyQ d<£> — — <£>z dF.
(F) (К)
Если А — полюс главных секториальных площадей, то по усло-
виям (10.21) оба полученных интеграла равны нулю и
Мл = 0,
так что перерезывающее усилие должно проходить через точку
А, а следовательно, чтобы изгиб стержня не сопровождался кру-
чением, внешние силы должны приводиться к плоской системе,
плоскость действия которой должна проходить через точки А
сечений, и эти точки являются центрами изгиба сечений.
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
309
§ 45]
§ 45. Расчет тонкостенных стержней открытого профиля
1. Определение углов закручивания тонкостенного стержня.
Как было показано выше, бимомент Ва характеризует действие
системы взаимно уравновешенных сил и потому не может быть
найден из рассмотрения условий равновесия отсеченной части
стержня. Моменты Мк и Ма, как составляющие полного крутя-
щего момента, также не могут определяться из этих условий,
ибо распределение касательных напряжений неизвестно. По-
этому В,л. Ма и приходится находить по углам закручива-
ния стержня, пользуясь следующими формулами:
Ва = — EJaQ" (х), Ма = — EJaQ"'(х), Mk = GJkQ'(x), (10.31)
для чего необходимо знать выражение 0 в функции от х.
С целью нахождения 0(х) продифференцируем уравнение
A1a = ^ + Mk
по переменной х:
, dM.dMA
dx ' dx dx ’
Совершенно аналогично тому, как было показано, что произ-
водная от поперечной силы равна интенсивности сплошной на-
грузки с обратным знаком, можно показать, что производная
от полного крутящего момента по абсциссе сечения равна взя-
той с обратным знаком интенсивности распределенных по длине
стержня крутящих моментов, которую будем обозначать т:
так что
dAfa . dMK _
dx “Г dx т’
Подставляя сюда выражения (10.31), получаем
-EJ^v + GJ^'^-m,
или
0/к- = ™.
•с‘'со
Если ввести обозначение
то уравнение (10.32) примет вид
(10.32)
(10.33)
(10.34)
310
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
Полученное линейное уравнение с постоянными коэффициент
тами имеет общее решение вида
0 (х) = С, 4- С2х 4- С3 ch ах 4- С4 sh ах 4- 0а (х), (10.35)
где 0а(х)— какое-либо частное его решение. Четыре произволь-
ные постоянные должны быть определены из условий на кон-
цах стержня. Этих условий на каждом конце должно быть два.
Так, если конец стержня свободно оперт таким образом, что
концевое сечение может свободно искривляться, но не может
поворачиваться, то угол поворота 0 на этом конце должен быть
равен нулю. Так как, кроме того, во всех точках такого сечения
нормальные напряжения равны нулю, то из (10.25) следует, что
бимомент равен нулю, а для этого согласно (10.26) должна
быть равна нулю вторая производная угла 0.
Следовательно, на свободно опертом конце
0 = 0 и 0" = 0. (10.36)
Аналогично, для конца, закрепленного против поворота и ис-
кривления сечения (в частности, защемленного, если защемле-
ние не допускает искривления сечения),
0 = 0 и 0Л = О. (10.37)
Наконец, для свободного конца
Ва — 0 или 0" = 0 "1
и МА = - EJWQ"' + G/K0' = тИ0, J (1 °-38)
где Мо — внешний крутящий момент, приложенный на этом
конце.
После того как 0(х) найдено, по формулам (10.31) опреде-
ляются бимомент, изгибно-крутящий момент и момент свобод-
ного кручения:
Вы = — EJv [а2 (С3 ch ах + C4sh ах) + 0" (х)], (10.39)
Ч, = — EJa [а3 ( С3 sh ах + С4 ch ах) + 0'" (х)], (10.40)
Мк = GJK [С2 + а(С3 shax + C4chax) + ©о (х)], (10.41)
а также полный крутящий момент:
Ма = ~ [“3 (Сз sh ax + С4 ch ах) + 0"' (х)] +
+ G7K [С2 + а (С3 sh ах + С4 ch ах) + 0а (х)]. (10.41*)
Если, кроме того, известны изгибающие моменты и поперечные
силы, то мы будем иметь все необходимые данные для опреде-
ления напряжений и деформаций.
§453
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
311
2. Определение положения главной секториальной нулевой
точки и центра изгиба. Как уже указывалось, положение глав-
ной секториальной нулевой точки должно быть определено из
условия
о dF = 0.
(/)
(10.20>
Если на средней линии сечения взять произвольную секториаль-
ную нулевую точку Q (рис. 198), то условие (10.20), вообще го-
воря, не будет выполнено. При любой другой секториальной ну-
левой точке С
©1 = и + а>о,
где ел — секториальная координата произвольной точки средней
линии при нулевой точке Сь ю—-то же при нулевой точке С,
too — секториальная координата точки
С при нулевой точке С<. Следователь-
но, если С есть главная секториальная
нулевая точка, то
со dF = ^(<Oi — <оо) dF =
(В) (F)
— coj dF — a0F = 0,
<Р>
откуда
fflo = -L JojdF, (10.42)
(Г)
что и определяет искомое положение главной секториальной ну-
левой точки.
Для определения положения центра изгиба применим к ус-
ловиям (10.21) формулу преобразования секториальных коор-
динат при изменении полюса:
® = ®в + (ув — yA)z — (zB — zA) у + С.
Тогда
$ ay dF = аву dF + (ув — уА) ^yzdF —
(Г) (Г) (Г)
-(гв-зл) \y2dF + C ^ydF = Qr
(F) (Г)
az dF = j aBz dF + (yB — ул) zi dF —
(Г) (Л (X
— (zB — zл) j yz dF + C ^zdF = 0,
(Г) (F)
312
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
или, так как оси Оу и Oz являются главными центральными
осями инерции сечения,
ЛС___ ~ А 7 — Л
j V-В ‘'А) " г — "г
(F)
®Bz dF + (ув — уА) Jy = 0,
(Д)
откуда
Уа = Ув + ~г \^BzdF, zA=‘ZB — -T' \<&BydF. (10.43)
Jy J Jz J
(F) (F)
По этим формулам, приняв сначала произвольный полюс В сек-
ториальных площадей, найдем координаты центра изгиба А.
Легко убедиться, что если одна из главных осей инерции се-
чения, например, Оу, является его осью симметрии, то главная
секториальная нулевая точка и центр изгиба должны находить-
ся на этой оси. В самом деле,
(F) (F,) (F2)
^aydF = ^aydF-\~ ^<&ydF,
(F) (Ft) (Ft)
где Fi и F2— площади частей сечения, находящихся по разные
стороны от оси Оу. В силу симметрии сечения, площади эле-
ментарных площадок, входящих в состав Fi и F2, так же как и
абсциссы центров тяжести этих площадок, равны между собой.
В то же время, если секториальная нулевая точка и центр из-
гиба приняты находящимися на оси Оу, то секториальные коор-
динаты точек средней линии частей Fi и F2 равны по величине,
но обратны по знаку, так как соответствующие секториальные
площади описываются вращением радиуса-вектора в разные
стороны. Поэтому
J adF = — j adF,
(И) (Fl)
и, следовательно,
со dF — 0,
(F)
jay dF — — jay dF
(Ft) (F,)
^jay dF = 0,
(F)
что подтверждает правильность выбора секториальной нулевой
точки и положения центра изгиба.
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
313
§ 45]
Если сечение имеет две оси симметрии, то, очевидно, центр
изгиба совпадает с центром тяжести, и эту же точку следует
принимать за секториальную нулевую точку.
3. Вычисление секториальных характеристик сечения. Вы-
числение секториальных характеристик сечения, т. е. сектори-
альных моментов инерции, секториальных статических момен-
тов части сечения, а также определение положения точки начала
отсчета секториальных площадей и центра изгиба связаны, как
видно из предыдущего, с вычислением интегралов вида
со dF, азу dF, <oz dF, со2 dF.
(Л (Г) (Г) (Г)
Вычисление этих интегралов в общем случае может представить
известные трудности. Однако на практике чаще всего прихо-
дится иметь дело с сечениями, средняя линия которых состоит
из отдельных прямолинейных участков, причем толщина стенки
6 в пределах каждого участка остается постоянной. В этом слу-
чае все эти интегралы могут быть вычислены без всякого труда.
При вычислении интеграл разбивается на сумму ин- I
(Г)
тегралов, взятых по площади каждого участка:
со dF = to dF + со dF + ...
(А,) (X) (А)
...+ = оз dF.
(Fn) г = > (Fi)
Так как dF — б ds, а в пределах одного участка толщина 6 по-
стоянна и длина дуги отсчитывается по прямой линии, то мы
приходим к равенству
h
со dF = бг со dt,
0
где t — расстояние точки оси рассматриваемого участка от его
начала, Д- — длина участка. Если в каждой точке участка на пер-
пендикуляре к его средней линии отложить соответствующую
этой точке секториальную площадь, мы получим эпюру секто-
риальных площадей. Очевидно, что полученный нами интеграл
есть не что иное, как площадь эпюры секториальных площадей
в пределах рассматриваемого участка. Таким образом,
со dF —
(Fi)
314
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
где £2г — площадь эпюры секториальных площадей в пределах
i-го участка средней линии сечения, и
п
^adF — ^
(F) i=l
где n — число участков, из которых состоит средняя линия се-
чения. Равным образом,
п п *1
— ^ау dF — dt- <ву di,
(F) i=l (Ег) i = l 0
n ti n
oz dF = dz oz dt, j o2 dF = d; J о • о dt.
(F) t = l 0 (F) i = l 0
Поэтому вычисление рассматриваемых интегралов сводится к
вычислению интегралов, под знаком которых стоит произведе-
ние двух функций переменной t, выполняемому с помощью гра-
фоаналитического метода п. 2 § 39, для чего необходимо лишь
построить эпюры величин о, у и г.
4. Примеры расчета.
а) Вычисление секториальных геометрических харак-
теристик для двутаврового сечения. Вычислим секториальиые
геометрические характеристики для двутаврового профиля, симметричного
относительно оси z (рис. 199, а). Схема его показана на рис. 199,6. Опреде-
лив обычными способами положение центра тяжести О, найдем одновременно
и положение главных центральных осей инерции сечения.
Эпюры координат у, z и w точек средней линии сечения приведены на
рис. 199, в, г, д, причем полюс секториальных площадей принят в точке В
с координатами ув = 0, г = zB и секториальная нулевая точка — на оси сим-
метрии Oz. Абсцисса центра изгиба уА равна нулю вследствие симметрии
сечения относительно Ог. Ординату zA найдем по формуле (10.43):
гА=гв~-^\0)вУ dF’
лричем в>ву dF вычисляем путем «перемножения» эпюр (рис. 199, в и д)'
(F)
п Ч
С V1 . f 1 ^1 2 1 Лб.й?
J ювУ dF~Z_j6i j di = 26i' 1Г" “Г "F'T'T ==~12
(F) г=1 о
Но 61ftf/12 = JZi есть момент инерции верхнего пояса относительно осн z.
Поэтому
az = zB-zA==~T^h- (10,44)
§45}
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
315
Эпюра главных секториальных площадей <о при найденном положении центра
изгиба представлена на рис. 200.
Рис. 199.
Определим теперь секториальный момент инерции путем «перемножения»
эпюры <в (рис. 200) на саму себя:
я
ш о2 dF = У' б, \ exo dt =
(И
о
А 1 &1 (й —аг)б( 2 (й —аг)6,
61 ’ 2 ’ 2 2 ' ~ ’
т 2 2 2 ^2
3 2
2 azb2
3 '~2~
= ^1('й-аА2-1-^1а?
12 к -г/ 2
откуда
]<а = Jz, (А - аг)2 + 42аг- (’ 0.45)
где /г, JZi— моменты инерции верхнего и нижнего пояса относительно оси z.
316
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
А
Pik. 201.
ваться вокруг
В частном случае симметричного относительно Оу двутаврового профиля,
ввиду симметрии относительно обеих главных осей, центр изгиба будет сов-
падать с центром тяжести сечения, так что az = h/2
и максимальная ордината эпюры главных секториаль-
ных площадей
bh
®max = i
а
/a = l/W2.
Тавровое сечение (рис. 201) можно рассматривать
как частный случай двутаврового, у которого ши-
рина верхней полкн bt = 0. Поэтому
«z = 0, = 0.
Следовательно, для таврового сечения центр изгиба
будет расположен в точке пересечения средних линий
стенки н полки. Так как Ja = 0, то
Ma = -EJe>Q'"
тоже равны нулю. Отсюда следует, что при наличии крутящих нагрузок стер-
жень таврового сечения будет подвергаться только свободному кручению.
Полученные здесь формулы секториальных геометрических характери-
стик двутаврового профиля выведены для случая постоянной толщины полок.
Приводимые в различных справочниках данные о секто-
риальных характеристиках прокатных профилей учитывают
переменность толщины их полок.
б) Пример расчета балки, подверженной
одновременному действию изгиба и кру-
чения. Пусть двутавровая балка профиля № 30а, пролета
I = 4 м, находится по действием равномерно распределен-
ной нагрузки <7 = 3 Т/м — 30 кГ/см, действующей в пло-
скости, параллельной плоскости xOz, на расстоянии а = 3 см
от последней (рнс. 202). Концы балки закреплены таким
образом, что в опорных сечениях она не может поворачн-
оси х. Интенсивность внешней распределенной крутящей на-
грузки в рассматриваемом случае равна
rn — qa.
Поэтому дифференциальное уравнение углов закручивания примет следующий
вид:
и его решением является
0 = Ci + С2х + С3 sh ах + С4 ch ах -х2, (10.46)
так что
О' = С2 + аСз ch ах + аС4 sh ах---х,
a2EJa
0" = а2С3 sh ах + а2С4 ch ах —
да
a2EJ& ’
§45]
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
317
Граничные условия для угла закручивания сводятся к следующим:
при х = 0 6 = 0, 0" = 0,
при х = 1 6 = 0, 6" = 0.
Таким образом, для определения произвольных постоянных получим урав-
нения:
С] + С4 = 0, а2С4 — а2|/а = 0,
С] -|“ "4* с3 sh сь/ -|“
+ C4ch al - 2а2Е/<л ?=0,
а2С3 sh al + а2С4 ch al-----— 0,
откуда
_£1_
aiEJet ’
_ gal
2 2a2E]a ’
С 1 ~~ ch al
3 aiE]a sha/
Подставляя в (10.46) найденные значения постоянных, после некоторых пре-
образований получим
, ,, , ch а (4----xl
О = qa а х U ~ А) X 2 ' _ 1
а*£/м 2 ф al 1 ’
I chT J
и потому
Mk = GJkG' = -^
М(Л dx
^(1-2х)
По этим выражениям можно построить эпюры усилий и определить их ма-
ксимальные ординаты.
318
ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
[ГЛ. 10
Максимальное значение бимомента (при х = Z/2) будет
п аа /, 1 \
max Ви = Jy / 1----— V
а2 ! , al I
к ch“T )
Изгибно-крутящий момент и момент свободного кручения примут максималь-
ные значения в опорных сечениях (при х — 0 или х = Z):
г/ , al \
му ' qa . al I I 2
W тахМш=-*—th-s-, max Mk = qa\-^-------------I.
Для двутавра № 30a
7ш = 76 704 с,и4, <огаах = 88,38 см2, a = 0,01389 см-1,
№
и момент сопротивления Wy — 597 см3.
Наибольшие нормальные напряжения возникнут в среднем
сечении, где
л,,
« _п яа г, 1 1 30-3 Г, 1 j
maxaa a2 aZ I 0.013892 L 8,0745 J ”
Рис. 203. L 2 J
= 410 000 кГ см2.
Эти напряжения действуют в крайних точках полок и определяются фор-
мулой
20<Отах Му
тах а = —-----1_ -= ± ± --.
Jy J4> wy
Отсюда находим напряжения в точках 1, 2, 3, 4, 5 и 6 сечения, после чего
нетрудно построить эпюру нормальных напряжений, действующих в сечении
при совместном действии изгиба и кручения (рис. 203):
600 000 410 000-88,38 ,
ai -----597-------76704 ~ ~ 1005 ~ 472 = ~ 1477 КГ1СМ ’
а2 = — 1005 + 472 = — 533 кГ/см2,
ст3 = + 1005 + 472 = + 1477 кГ/см2,
<т4 = + 1005 — 472 = + 533 кГ/см2,
<т5 = — 1005 кГ]см2,
ав = + 1005 кГ/см2.
При практическом применении результатов рассмотренной
главы необходимо помнить, что полученные в ней формулы
вполне достоверны лишь в том случае, когда внешние силы на
концах стержня распределяются по тому же закону, что и на-
пряжения. Для нагрузок, приложенных в концевых сечениях
тонкостенных стержней, принцип Сен-Венана, вообще говоря,
неприменим. Поэтому в случае иного приложения внешних сил
на концах стержня для полной обоснованности использования
полученных выше формул необходимо принять специальные кон-
структивные меры, обеспечивающие необходимый характер рас-
пределения внешних сил в концевых сечениях.
ГЛАВА И
СТЕРЖНИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ осью
§ 46. Исследование напряжений
1. Усилия в стержнях с криволинейной осью. Изучение
стержней с криволинейной осью, помимо самостоятельного зна-
чения, представляет интерес и для того, чтобы установить пре-
делы применимости полученных нами расчетных формул для
прямых стержней. Мы ограничимся рассмотрением стержней,
ось которых представляет плоскую кривую, поперечное сечение
имеет ось симметрии, расположенную в плоскости кривизны оси
стержня, а нагрузка может быть приведена к силам, действую-
щим в той же плоскости. В таком случае, проведя какое-либо
сечение, нормальное к оси стержня (рис. 204), и рассматривая
равновесие отсекаемой этим сечением ча-
сти стержня, получим
Sjy = JV, Sq — Q, — М.
Здесь Sq — проекции усилий в рас-
сматриваемом сечении на нормаль к се-
чению и на направление сечения; Sm —
момент тех же усилий относительно оси,
проходящей через центр тяжести сечения
перпендикулярно к плоскости рисунка; N,
Q и М — соответственно проекции на те
же оси и момент относительно названной
выше оси внешних сил, действующих на
рассматриваемую часть стержня. Поло-
жительные направления усилий показаны
на рисунке, положи-
тельные направления проекций и момента внешних сил прини-
маются обратными. Понятно, что при рассмотрении части стерж-
ня, находящейся по другую сторону от сечения, положительные
направления усилий и внешних сил должны быть изменены
на обратные.
Таким образом, усилия в сечениях криволинейного стержня
в общем случае состоят из нормального Sw, поперечного Sq и
320
СТЕРЖНИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ осью
[ГЛ и
изгибающего Нормальное усилие по величине равно сумме
проекций N всех внешних сил, действующих по одну сторону
от сечения, на нормаль к сечению {нормальной силе), попереч-
ное усилие Sq — сумме проекций О тех же сил на направление
сечения (поперечной силе), а момент пары — сумме момен-
тов М тех же сил относительно оси, проходящей через центр
тяжести сечения перпендикулярно к плоскости кривизны стерж-
ня (изгибающему моменту).
Так как влияние деформаций, вызываемых каждым из наз-
ванных усилий, на остальные усилия может быть ощутитель-
ным лишь в том случае, когда эти деформации велики, то при
рассмотрении малых упругих деформаций можно представлять
напряженное состояние криволинейного стержня как одновре-
менное растяжение или сжатие силой N и изгиб моментом М
с поперечной силой Q, суммируя напряжения, связанные с каж-
дым из этих воздействий. Так как напряженное состояние, вы-
зываемое нормальной силой N, может рассматриваться как осе-
вое растяжение или сжатие, то основным вопросом должно
явиться рассмотрение изгиба криволинейного стержня.
2. Чистый изгиб криволинейного стержня. При рассмотрении
чистого изгиба криволинейного стержня нетрудно обосновать
соображениями, совершенно аналогичными тем, которые приво-
дились в случае прямого стержня, что сечения криволинейного
стержня, достаточно удаленные от его концов, остаются пло-
скими и нормальными к оси. В то же время утверждение тео-
рии чистого изгиба об отсутствии нормальных взаимодействий
между волокнами изогнутых прямых стержней, оказывается за-
ведомо недостоверным для криволинейных стержней, в чем
можно убедиться из рассмотрения рис. 205. Однако в дальней-
шем мы покажем, что влияние взаимодействия между волок-
нами на напряженное состояние стержня в большинстве слу-
$ 46]
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИИ
321
чаев настолько невелико, что им можно пренебречь. Поэтому
примем как допущение, что соседние волокна не оказывают дей-
ствия одно на другое.
Рассмотрим элемент стержня ACDB. Если принять волокно
NN за нейтральное (рис. 206), то после деформации этот эле-
мент примет очертание A'C'D'B'. Волокно KL в результате де-
формации превратится в K'L', так что его удлинение равно
К'К + LL'. При этом
/(L = (rH + z1)dO.
Дуги К'К и LL' можно заменить дугами окружности радиуса
?i, так что
AKA = КК' + LL' = 2jA de,
где Ad0 — приращение угла de вследствие поворота сечений АС
и BD. Таким образом,
для волокна /CL получим
и по закону Гука имеем
с Ezi AM
с=Ее=-^+^--цг-
(11.2)
Следовательно, нормаль-
ные напряжения в сече-
нии стержня распределя-
ются по гиперболиче-
скому закону, причем асимптотой гиперболы является прямая
2\ = —ги, т. е. перпендикуляр к сечению в центре кривизны
(рис. 207).
В случае чистого изгиба парами сил, действующими в пло-
скости zz:
с dF = 0, ZjO dF = М, ухв dF — 0.
(П (D (D
Из первого условия, выражая а по (11.2), находим
С ZjdF g
J Гн + Z1
(Г)
Вводя подстановку
Гн + 21 = Р,
получим
j dF-ra j =0
(Л (Л
(11-3)
(И.4)
11 В. А. Гастев
322
СТЕРЖНИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОСЬЮ
(ГЛ. и
и, следовательно, можем определить радиус кривизны нейтраль-
ного волокна:
гн = -кА^-. (11-5)
i аг
После подстановки (11.2) во
второе уравнение (11.3), получим
АД9 Г
~М~ J
zjdf
ГН + 21
м,
или, так как
z\dF
z\ + Vl “ Vl
Гн +Z1
dF =
Zi dF — ra\
(f)
z( dF
ГН+21
где S — статический
тральной оси,
момент всего сечения относительно ней-
(П.6)
После подстановки выражения (11.6) в (11.2) получим
Af Zj
5 rH + zi '
(П-7)
или, если обозначить радиус кривизны оси стержня го,
М_____________zi
F [га — гн) гн + Zi ”
(П-8)
Третье уравнение (11.3) для сечения, симметричного относи-
тельно оси zjZi, тождественно удовлетворяется, так как в этом
случае в интеграле
С г? Дб/е (
(F) (F)
l/lZt
Гн + 21
dF
ДД9 _ М
М ES ’
подынтегральная функция является нечетной функцией от yi
и потому интеграл тождественно равен нулю. Так как
гн + Zi = г0 + z,
где z — расстояние точки сечения от оси стержня, то (11.4)
можно представить в виде
\ 21
J Го + Z
(D
I dF п
или \ z1-------= 0.
§ 46]
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
323
Точно так же
__ М __ Mzi
° S Го + z Sr0
При ЭТОМ
Sr0 = г0
(F)
zjdF
га + Z|
Так как
Z] dF
+ у-
Го
(11.9)
dF — b (z) dz = b (zj) dzb
где b (z) — ширина сечения на расстоянии z от центра тяжести
a b(z\) — та же ширина на расстоянии Zi от нейтральной оси, то
для фиктивного сечения, ширина которого изменяется по закону
1 + —
Го
(11.10)
получим
JE, ъ (z) , dF
dFi, =------dz —--------
Ф i+Jl 1+Л.
Го Го
Таким образом, условие (11.4) может быть представлено в виде
dF^ = 0.
Отсюда следует, что нейтральная ось сечения должна прохо-
дить через центр тяжести фиктивного сечения. Ширина фик-
тивного сечения в сторону центра кривизны больше ширины
действительного, а в обратную — меньше, вследствие чего можно
утверждать, что при изгибе криволинейного стержня нейтраль-
ная ось смещается из центра тяжести сечения в сторону центра
кривизны. Из (11.9) получим
*»= $ 2;^Ф=-,Ф-
<F|
где /ф — момент инерции фиктивного сечения относительно ней-
тральной оси, и потому
Mz, 1
а = —;— •-----------.
1 + —
Го
(И.Н)
Отсюда следует, что для нахождения нормального напряже-
ния в какой-либо точке сечения криволинейного стержня сле-
дует найти напряжение в соответствующей точке фиктивного
11*
324
СТЕРЖНИ С КРИВОЛИНЕИНОИ осью
1ГЛ. II
сечения по формуле для прямолинейного стержня и это напря-
жение умножить на величину
1
Очевидно, что при большой величине Го, т. е. при малой кри-
визне оси стержня, дробью z/rG можно пренебречь. Тогда фик-
тивное сечение совпадает с действительным и напряжение в
точках действительного сечения совпадет с напряжением в со-
ответствующей точке фиктивного сечения. Подсчеты показы-
вают, например, что в случае прямоугольного сечения раз-
ница между напряжениями, вычисленными по формуле для пря-
мого стержня и по формуле (11.11), имеет следующую величину:
при ro/h = 5; 10; 15 разница соответственно составляет 7%,
3,5%, 2%.
Таким образом, стержни с криволинейной осью можно раз-
делить на два класса, стержни малой кривизны (r0//i 15, 10
или 5 в зависимости от требуемой точности), которые допу-
стимо рассчитывать на изгиб по формулам для прямолинейных
стержней; стержни большой кривизны (r0//i 15, 10 или 5), рас-
чет которых следует производить с помощью полученных выше
формул.
При выводе последних нами принималось допущение об от-
сутствии взаимодействия между волокнами, не соответствующее
действительности. Естественно поставить вопрос о надежности
получаемых результатов. Для ответа на этот вопрос восполь-
зуемся результатами расчета криволинейных стержней, выпол-
ненного для случая прямоугольного сечения, без указанного до-
пущения. Согласно этому расчету влияние взаимодействия меж-
ду волокнами сказывается на величине наибольших по абсолют-
ной величине нормальных напряжений следующим образом:
re/ft Поправка в % 3,8 1,5 1
для нормального растягиваю- щего напряжения .... для нормального сжимающего напряжения 0,1 0,1 1,1 0,4 3,2 0,3
Таким образом, влияние взаимодействия между волокнами
на величину нормальных напряжений в сечении даже при очень
большой кривизне стержня настолько незначительно, что допу-
<§ 46]
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИИ
325
щение об отсутствии этого взаимодействия является вполне при-
емлемым.
3. Практические методы вычисления нормальных напряже-
ний при чистом изгибе стержней большой кривизны. Для вычис-
ления нормальных напряжений практически удобно преобразо-
вать формулу (11.8), введя координату z точки относительно
главных центральных осей инерции сечения.
Тогда (рис. 206)
zx = z + zQ, гя + z1 = г о + z, z0 = r0 — гв,
и потому
м .dL±^_, (Ц.12)
Fza r0 + z Fzoro j ,
+ r0
так что
/ф = Fzoro.
При этом вся трудность расчета сводится к определению z0.
Для простейших сечений (прямоугольник, круг) удобно, при-
меняя формулу (11.5), представить г0 в виде такого выра-
жения:
z0 = r0
Так, для прямоугольника
(F)
Рз
— = ( 6 — j. In fi.
P J P Pl ’
Pi
h
где Рг = Го + "2-радиус внешнего очертания стержня, pt =
h
— г0—2—радиус внутреннего очертания.
Поэтому
h
z0 = r0-----------------------JT-
r“+4
ln---r-
n
Л) 2
Ho
326
СТЕРЖНИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ осью
[ГЛ. IP
так что
Zo _ ] 1
Го , , 1 (_h_\2,2 “
1 3 k 2r0 J “г 5 к 2r0 J • • •
_ 1 г 1 1 / /г у 4 / /г у 1
[_ 3 у 2r0 J 45 к 2г0) J
_ 1,2 Г1 ч- — Г—Y + 1
12/-Q [_ 15 к 2r0) J *
Пренебрегая в скобках членами четвертого порядка и выше,,
получаем
^Н4(£)2]. '.=4['+<П <>>•“>
Для эллиптического сечения, одна из осей которого равна h„
а вторая Ь, имеем
г, nbh
F==—’
•§ 46]
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИИ
327
так что с достаточной точностью можно принять, что
h2 Fi t 1 ( h A2] , nbh3 fi I 1 ( h \21 , ..
+ z*=—L1 + т (.-st) J • (1L14>
В случае круглого сечения
b — h — d,
где d — диаметр круга, так что
d2 Fi I 1 ( d VI 7 itd‘Fi , 1/ rf Vl /11 in
Z° 16Г0 L1 + 4 Uro) J’ * 64 [1+4 12го)]-
Для более сложных сечений получить аналитическое выражение
для гв не удается. Приходится находить численную его вели-
чину. При этом Zo определяется как малая разность больших
величин г0 и гн, что приводит к большой погрешности. Более
надежный результат получается, если вычислять z0 непосред-
ственно из (11.4). Заменяя в этом уравнении Zi через z Д- г0,
а гн Д- 21 через г0 Д- 2, получим
\ dF = О,
J z + го ’
(Р)
или
\ z dF
J z + r0
<F)
[ dF n
Zo \ : = 0.
“J z + z0
(F)
(11.16)
Пак как первый из полученных интегралов имеет размерность
площади и отрицателен (в нем отрицательные слагаемые боль-
ше по абсолютной величине соответствующих положительных),
то
В то же время
1 f z dF ________
F J z + z0
(P)
— a.
(П.17)
IF)
dF
Z Д Г0
± —£ (IF = — (f—
Го J z + Го Го I J
<F) x (F)
zdF \
z + z0 J
= -^(l+a),
328
СТЕРЖНИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОСЬЮ
[ГЛ. и
и уравнение (11.16) принимает вид
-а + ^-(1+а) = 0,
откуда
2о = '1Тр°а = аг0 (1 —- а + а2 — ...).
Из (11.17) получим
-aF=\ -^- = — ( zdF(\-— + 4--С + •••
(Е) 2 + f0 f0 (E) f0 'О г0
и с точностью до г*1гй-.
— aF = — zdF-------------1— z1 dF —--------\?у,
f0 (f) f0 (f) ro
так что
Jy
Fr2 '
rr0
При этом в разложении для zQ достаточно ограничиться первым
членом, так что
— J$===Jyi (11.18)
Пример 1. Найти наибольшие напряжения в криволинейном стержне
круглого поперечного сечения, если d = 10 см, го = 50 см, М = 100 000 кГ)см.
Тогда \
2» =н^п f1 + Т (тж)2] = °’125 + °’0025) == °’125 см’
1Ь • Ou L 4 \ Ivv / J
, it* 104 , пппое, л -104 ,
= —й- (1 + °’0025) = —64“ СМ ’
64М 5 + 0,125 пс. 2
СТтах “ л-104 1 +0,1 -950 кГ,СМ ’
64М -5 + 0,125 ,1ПК ,
ат1п— п. 104 1 -0,1 — 1105 к/7сл-
При расчете по формулам для прямолинейного стержня
•Гщах = <Tmin =“ 1020 кГ/см2.
Разница с найденными выше напряжениями составляет около 7,5%.
=§ 46]
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
329
Пример 2. Найти нормальные напряжения в криволинейном стержне
двутаврового профиля № 20в; г о = 80 см, М = 300 000 кГ/см. Тогда
F = 39,5 см2, Jy = 2500 см*, z0 = = 0,79 см-,
3-105 10 + 0,79 ,
Отах — 2 5 . Ю3 ’ Гб ^2 см ’
1 + 80
„ 3-Ю5 -10 + 0,79 2
= адПоГ • 1Q = - 1264 кГ/см2.
1 80
4. Плоский изгиб криволинейного стержня. Как было пока-
зано в п. 1, усилия в сечениях стержня определяются нормаль-
ной и поперечной силами и изгибающим моментом. Аналогично
тому, как это было показано для прямолинейных стержней,
можно убедиться, что и для криволинейных стержней влиянием
поперечной силы на нормальные напряжения можно пренебречь.
Поэтому, учитывая лишь влияние нормальной силы и изгибаю-
щего момента, получим
ог=т + тг-л±^- (Ц-2°)
г 'ф 1 I z
Го
Пользуясь этим выражением для нормального напряжения,
можно было бы, так же как и для прямолинейного стержня, вы-
вести формулу для нахождения касательных напряжений. Од-
нако из-за неучета взаимодействия между волокнами получае-
мые таким образом результаты оказываются худшими, чем при
использовании для криволинейных стержней той же формулы,
что и для прямолинейных. В то же время последняя приводит
лишь к малой погрешности даже при очень большой кривизне.
Так, в случае прямоугольного сечения отношение величины наи-
большего касательного напряжения туп, определенной методами
теории упругости, к наибольшему касательному напряжению
Тцр, найденному по формуле для прямолинейных стержней, со-
ставляет
при г0/h = 3,8 туп/тпр= 1,006,
» » =1,5 » =1,044,
» » =1 » =1,116.
Поэтому в дальнейшем мы будем определять касательные на-
пряжения по формуле
QSyo
Xz== b(z)Jy •
(И-21)
330
СТЕРЖНИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ОСЬЮ
[ГЛ. и-
После того как найдены о и т, поверка прочности криволиней-
ных стержней должна производиться на основании тех же со-
ображений, что и в случае прямолинейных стержней.
ТЛ<-» ТТ/-»-\ТЛЛТТТТ О ГТ ПТТТТТЛ 'Т-/АЛА ГЧ ТТ ГТ /-> rr- Т Т t т пг Г> Гт ТТГ vn TZ Г> ТТХ ГТТ О Т/~» ^TnrrrTV
IIOOIU/IVVIIUUH JJXJXIXXV 1ЮМГ1Л UinuVillLft юлили XX TU1U HXCXVXXJXZX
упругих деформаций криволинейных стержней. Можно сделать-
попытку рассмотреть и пластические деформации этих стерж-
ней. Однако соответствующее исследование осложняется тем,
что пластическая деформация криволинейных стержней связана
со значительным изменением их кривизны. Поэтому оно должно
строиться на основе рассмотрения деформированного состояния
стержней. Ввиду возникающих при таком рассмотрении труд-
ностей в нашем курсе мы вынуждены от него отказаться.
§ 47. Перемещения сечений криволинейных стержней
Перемещения сечений криволинейных стержней характери-
зуются перемещениями какой-либо точки, например, центра тя-
жести сечения, и углом поворота. Наиболее простым методом
нахождения этих перемещений является применение теоремы
Кастильяно, согласно которой
энергия
Имея это в
накапливающейся в
виду, выведем выражение потенциальной
криволинейном стержне при его деформа-
ции, через внешние силы. Рассмотрим
какой-либо элемент стержня (рис. 208).
Принимая за обобщенные силы N, М
и Q, согласно теореме Клапейрона по-
дг лучим
dU = у N db + 1М d&2 +1Q d6.„
где d6i — обобщенное перемещение,,
соответствующее обобщенной силе N
и равное удлинению оси элемента ds;
d82 — обобщенное перемещение, соот-
ветствующее обобщенной силе М и
равное изменению угла между сече-
ниями АВ и CD; d&3 — обобщенное пе-
ремещение, соответствующее обоб-
силе Q. Удлинение дуги ds связано с действием нор-
щеннои
мальной силы N, а также с поворотом сечений под действием,
изгибающих моментов, так что
Nds , .
dl>\ -— —тут;—р г0Д dQ,
1 I и
§ 47]
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СЕЧЕНИЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
331
«или, так как
A dQ _ М _ М
dQ ~ ES ~ EFz0 ’
ТО
Nds . Л1 ,Q N ds . М ds
= ~EF~ + ~EF M = ~ЁГ + W ~-
Изменение угла между сечениями связано с удлинением дуги
•ds под действием нормальной силы и поворотом сечений под
действием изгибающих моментов. Поэтому
N ds , . N ds . М N ds , М ds
+ Д dQ = -Eib + ~ES М = -EFT; + W •
Что касается dfa, то, принимая во внимание, что касательные
напряжения мы определяем по формуле для прямолинейных
•стержней, соответствующее обобщенное перемещение найдем
также с помощью выражения, полученного нами в случае пря-
молинейного элемента:
= k' -тЯг ds,
3 GF
тде k' — коэффициент, зависящий от формы сечения. Таким об-
разом,
,т, N2 ds . NMds . MN ds , M2 ds . ,, Q2 ds
dU ~ 2EF + 2EFra + 2EFra ' 2ESr0 + й 2GF ’
.и для всего стержня
i i i i
,, С № ds . f М2 ds . f NMds . ,, f Q2 ds ...
U=\^+Y^+y-EF^-+k \~2GF~’ <lb22)
0 0 0 0
где I — длина оси стержня.
В случае стержня малой кривизны, т. е. при достаточно боль-
шом го, имея в виду, что при этом
Sr fl = /ф Лг J у,
и что третье слагаемое формулы (11.22) .лучим i i j, С N2 ds . С М2 ds . ,, U — } 2EF 1 J 2EJ.. + k 0 0 Применяя теорему Кастильяно, получим кривизны i i i s С N ds dN М ds дМ , М ds J EF дРк 1 J ESra дРк 1 J EFra ООО 1 С NdS дМ , + J EFr0 дРк + Й становится малым, по- i (11.23) 0 для стержня большой dN дРк 1 С Q dS _ dQ J GF dPK’
о
о
332
СТЕРЖНИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ осью
(ГЛ. В
или, так как
dN ___ дМ _________ dQ __________р.
дРк ~ к’ <?РК ~~ Мк’ дРк ~ Мк’
где NK, Мк и QK — соответственно нормальная сила, изгибающий
момент и поперечная сила от нагрузки Рк=1,
С NNKdS
J EF
о
Г ММК ds
J ESr0
о
^±^ds + k'\^. (11.25>
о
J EFr0
о
Влиянием поперечной силы, как и в случае прямолинейных
пренебрегать, если высо-
стержней, можно
та сечения невелика по сравнению с длиной
оси стержня.
Пример. Найти перемещения сечения А
стержня (рис. 209), ось которого очерчена по дуге
круга. Влияние поперечной силы не учитывается.
Тогда
N = — Р sin 0, М = Ра sin 0.
Для определения вертикального перемещения получим
Д/к = — sin 0, Мк = a sin 0
и, следовательно,
л/2
. f Psin20 _ ja ,
б,, — \ г. г. a du + 1 г. г
И J EF J EJy
о о
___л
~ 4
Л/2
f Ра2 sin2 0 ,Q
* a dd =
Ра . л Ра3 _ Рал
£РEJy ~ 4£F
а2
Для горизонтального перемещения
NK = 1 • cos О,
бн
Мк = 1 • а(1 — cos0),
и
Л/2 л/2
6 ___С Psin0cos0 а f Ра sin 0-gjl-cos^ д dQ =
н J EF J
о о
EJ
Ра . Ра3 Ра / а2
2EF + 2EJ
2£F V. г2
При определении угла поворота сечения имеем
АГК = О, Мк=1,
и, следовательно,
П/2
f Ра sin 0 • 1 ,а Ра2
add—^-.
EJ
а =
о
РАСЧЕТ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
333
§ 48. Расчет кругового кольца на равномерное
внутреннее и внешнее давление
Рассмотрим два случая: 1) высота сечения кольца мала по
сравнению с его диаметром; 2) высота сечения соизмерима с
диаметром.
В первом случае можно принять распределение нормальных
напряжений по сечению равномерным, т. е. считать кольцо под-
вергающимся только растяжению. Разрезав его диаметральной
плоскостью (рис. 210), из условия равновесия получим
Л
2S—^qds sin 0 = 0,
о
или
откуда
и, следовательно,
л
2S — qa sin 0 d0 = 0,
о
S = qa,
(11.26)
При достаточно большой высоте сечения кольца (рис. 211) до-
пущение о равномерном распределении напряжений по высоте
сечения не может быть оправдано. Для
установления закона распределения
напряжений рассмотрим элемент, вы-
деленный двумя дугами радиусов г и
г + dr и двумя радиальными сече-
ниями, образующими угол d0. Вслед-
ствие осевой симметрии кольца и дей-
ствующей на него нагрузки нормаль-
ные напряжения сто по радиальным се-
чениям должны быть одинаковыми, а
касательные напряжения равны нулю,
так что площадки, ограничивающие наш элемент, являются
главными. Проектируя усилия по граням элемента на направле-
ние одного из радиусов, найдем
— агг dQ • S + (<тг dar) (г + dr) dQ • S o^dr- S • cos (90° + dQ) = 0,
где S — толщина кольца. Отсюда
— arr dQ + arr dQ -j- darr dQ -f- ar dr dQ -j- dor dr dQ — dr dQ = 0.
334
СТЕРЖНИ с криволинейной осью
[ГЛ. II
Пренебрегая членом третьего порядка малости durdrdQ и разде-
лив все члены на rdr dQ, получаем
dar , ar~%
dr -И г
(11.27)
Два других условия равновесия обращаются в тождества, так
что для определения напряжений необходимо составить доба-
вочное уравнение на основании исследования деформаций.
Рис. 211.
Обозначая перемещение любой точки кольца по направлению
радиуса (радиальное перемещение) через и, получим для отно-
сительного удлинения в том же направлении
Относительное удлинение любой элементарной дуги ds = г dQ
определим из условия, что при деформации радиус увеличи-
вается на величину и. Поэтому
Д ds — {г + и) dQ — г dQ = и dQ
и относительное удлинение
и se — Т- (11.28)
Отсюда или dsa 1 du и 1 1 dr г dr г2 г Sr г d69 er~e9 Q dr г (11.29)
§ 48]
РАСЧЕТ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
335
Но
8Г= £-(ог —цо^), e0 = -gr(o9 — рлг).
После подстановки этих значений в (11.29) получаем
dor., а, — а„ do-
_е._(1 + и)_л_^_ц_л==0,
или
rfge ,ГЧ , gr-gel _А
dr г Ч dr "* г J
и на основании (11.27)
a'ga gr~g07 Q
dr г '
так что
dge , dar _ n
dr “Г dr V-
Следовательно,
ае + аг — 2Сц
и из (11.27) получим
dar , 2 2Ci
-г- 4—вг — —
dr 1 г г г
(11.30)
откуда, так как частное решение этого уравнения аг = С{, по
лучим
Ог = С1 + -^- и О0 = С, —
Произвольные постоянные найдем из условий на внутренней и
внешней поверхностях кольца:
при r = ri or = —Qi, при r = r2 ar = — q2,
так что Ci+ 2 <7i, Ci+ 9 q2- Г1 Г2
Отсюда О fO*.О 1 1 Л to to C) tO toto j 1 o- 1—to >— IO to CO
и, следовательно,
?lrl - 42r2 (<72 - <71)
or rl- A 4 )r2 ’
rt - <hri- chr2 (<72 - <71)
r2~ Г2 - 4.
(11.31)
336
СТЕРЖНИ с криволинейной осью
[ГЛ. п
При наличии только внутреннего давления qi = q, ?2 — О
2Z 2 \ 2 / 2 \
^1 fl _ <7'1 fl I л
‘2 I ’ ,2 }> °0 .2 .2 I 1 "Ь Л /
О',
'2
Этими же формулами можно воспользоваться и для расчета
трубы, подвергающейся равномерному внутреннему и внешнему
давлению по всей ее длине.
Так как напряжения од и с-,, являются наибольшим и наи-
меньшим главными напряжениями, то знание их позволяет про-
верить прочность кольца или трубы. Так, при наличии только
внутреннего давления, применяя критерий пластичности по
третьей теории, получим, что пластическая деформация будет
иметь место при
2?^
°0 - <ТГ = --3
г2~г1
2 ____
9 ----
точка, для которой г= гь
точкой является
пластическая деформация должна начаться
причем опасной
Иными словами,
с внутренней поверхности кольца или трубы. Поэтому, если ис-
ходить из условия отсутствия пластических деформаций, усло-
вие прочности должно иметь вид
2,4 -'[«].
'i-d
(11.33)
откуда
А
-V I, или г2
г /
Таким образом, при интенсивности внутреннего давления, близ-
кой к [<т]/2, толщина стенки трубы должна быть весьма боль-
шой; если же эта интенсивность достигает половины допускае-
мого напряжения, она должна сделаться бесконечно большой.
Иными словами, при такой интенсивности внутреннего давле-
ния невозможно обеспечить трубу от возникновения пластиче-
ских деформаций. Последние, появившись на внутренней по-
верхности трубы, при дальнейшем возрастании внутреннего
давления будут постепенно распространяться к ее наружной
поверхности, пока пластической деформацией не окажется ох-
ваченной вся труба. Найдем нагрузку, при которой это произой-
дет, предполагая, что пластическая деформация происходит без
упрочнения. В таком случае во всех точках сечения должно вы-
полняться условие
<*0 — 07 = ст-
РАСЧЕТ КРУГОВОГО КОЛЬЦА
337
$ 48]
Поэтому уравнение (11.27) принимает вид
dar gT _ 0
dr г '
откуда
сг — С + <тт In г.
Так как при г = г2 <уг = О, то
С + СГТ In Г2 = О, С — — <Тт In г2
и
ог = crT (In г — In г2),
или
сгг = сгт In -у-. (11.34)
Из условия, что при г = Г1 сг = —q, получим
q = су In (11.35)
Хотя полученный результат, как показывают более обстоя-
тельные исследования, имеет приближенный характер, из него
все же следует, что для любого отношения внешнего и внутрен-
него радиусов может быть определена предельная нагрузка, а
следовательно, и обратно, для любой нагрузки можно найти от-
ношение внутреннего и внешнего радиусов трубы, соответ-
ствующее ее предельному состоянию.
ГЛАВА 12
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО
состояния ТЕЛ
§ 49. Устойчивость равновесия абсолютно твердых
и деформируемых тел
1. Устойчивое и неустойчивое равновесие тел. Как известно,
равновесие тела может быть устойчивым, неустойчивым и без-
различным. В некоторых случаях устойчивость равновесия опре-
деляется только положением тела. Так, тяжелый шарик, могу-
щий перемещаться без трения по криволинейной поверхности
(рис. 212), может занимать положение равновесия а, б, в, г, д, е.
Рис. 212.
В то же время при любом достаточно малом отклонении от
положений б, г, е шарик возвращается в эти положения, почему
их называют положениями устойчивого равновесия. Наоборот,
любое отклонение от положений а, в, д имеет своим следствием
дальнейшее отклонение, продолжающееся до тех пор, пока не
будет достигнуто положение устойчивого равновесия б, г или
е. Поэтому положения а, в, д называют положениями неустой-
чивого равновесия. Нетрудно видеть, что положения равнове-
сия шарика соответствуют относительному максимуму или
минимуму его потенциальной энергии, причем положения устой»
чивого равновесия — минимуму, а неустойчивого — максимуму.
Могут быть положения равновесия, при которых потенциальная
энергия не имеет ни максимума, ни минимума, а сохраняет по-
стоянную величину (рис. 212, ж). Такие положения называют
положениями безразличного равновесия. Во многих случаях
устойчивость равновесия тела связана не только с его положе-
$ 49]
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
339
нием, но и с величиной сил, на него действующих. Как пример,
рассмотрим стержень, имеющий один свободный конец, а дру-
гой— закрепленный шарнирно, причем повороту этого конца
препятствует связанная с ним спиральная пружина (рис. 213).
Можно установить ряд положений равновесия рассматривае-
мого стержня при действии на него вертикальной силы Р. В са-
мом деле, при его повороте на угол 0 возникает пара сил, стре-
мящаяся увеличить этот угол. Ее момент равен Pl sin 0. В то же
время пружина создает пару сил, препят-
ствующую вращению. Момент этой пары
пропорционален углу поворота и может
быть представлен в виде
М = МД
где Mi — момент, соответствующий углу
поворота 0=1. Очевидно, что при
M10 = PZ sin 0,
или
Mfi — Pl sin 0 = О,
система будет находиться в равновесии.
Значения 0, удовлетворяющие этому урав-
нению, определяют все возможные положе-
ния равновесия при заданных Mi, Р и I.
В то же время, если какое-либо значение угла 0, соответствую-
щее положению равновесия, изменить на достаточно малую ве-
личину, и при этом окажется, что
или
М,0 > Pl sin 0,
/И] 0 — Pl sinO > О,
то система возвратится в первоначальное положение, т. е. рав-
новесие будет устойчивым. Наоборот, при
Л1]0 — Pl sin 0 < О
равновесие окажется неустойчивым. Иными словами, данное по-
ложение равновесия является устойчивым, если функция AfjO —
— Pl sin 0 при изменении 0 возрастает, и неустойчивым, если
эта функция убывающая, так что устойчивость равновесия мо-
жет быть определена знаком производной этой функции:
если М\ — Pl cos 0 > 0, — равновесие устойчиво,
если Mi — Pl cos 0 < 0, — равновесие неустойчиво.
Как уже указывалось, положения равновесия, вообще гово-
ря, зависят от величины силы Р. Для тех же положений равно-
весия, которые не зависят от этой величины, изменяя Р, мы
можем оказать влияние лишь на устойчивость равновесия,
340 УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ [ГЛ. 1?
которое из устойчивого будет превращаться в неустойчивое. Со-
стояние равновесия, соответствующее границе между устойчи-
вым и неустойчивым равновесием, называют критическим, а ве-
личину силы при таком состоянии — критической силой. В рас-
сматриваемом случае в положении 0 — 0 равновесие имеет ме-
сто при любой силе Р. Очевидно, что при
Mi - Pl > 0
равновесие устойчиво, при
Mi — Pl < 0
оно неустойчиво. Критическому состоянию соответствует усло-
вие
Mi - Pl = 0,
откуда критическая сила
Р
' КР I •
При Р < Ркр равновесие устойчиво, при Р > Ркр оно неустой-
чиво.
Из рассмотренного примера видно, что оценка устойчивости
равновесия, а в случае независимости положения равновесия от
величины силы определение критического состояния и крити-
ческой силы может быть произведено путем рассмотрения изме-
нений условий равновесия при отклонении от положения равно-
весия. Условия равновесия могут быть сформулированы в виде
уравнений равновесия или же в виде требования, чтобы положе-
нию равновесия соответствовало экстремальное значение потен-
циальной энергии рассматриваемой системы (т. е. максимум или
минимум). Данное положение равновесия устойчиво, если ему
соответствует минимум потенциальной энергии, т. е. если послед-
няя при достаточно малых отклонениях от рассматриваемого
положения возрастает, в противном случае равновесие неустой-
чиво. Так, в рассмотренном выше примере при повороте стойки
на угол 0 потенциальная энергия скручивающейся при этом пру-
жины возрастает на величину
МО _ МО2
2 ~ 2 ’
потенциальная энергия нагрузки Р убывает на величину
РЦ1 — cos0).
Поэтому потенциальная энергия всей системы представится в.
виде
U = ^- — Pl(l - cos 0).
§ 491
устойчивость равновесия
34 Г
Условие ее экстремума
б — pi sine = o
<20 1
определяет положение равновесия. Последнее устойчиво, если
соответствует минимуму U, т. е. при
= Mi - Pl cos 6 > О,
и неустойчиво при
AJL = M1 - Pl cos0 <0.
а& 1
Если положение равновесия не зависит от величины Р, то крити-
ческому состоянию соответствует условие *)
Так как для оценки устойчивости равновесия достаточно уста-
новить поведение тела при малых отклонениях, то вполне до-
пустимо применение приближенного условия равновесия или
приближенного представления потенциальной энергии системы,,
с пренебрежением высшими степенями величин малых отклоне-
ний. Так, в нашем примере, имея в виду, что
1 — cos9 = 2sin2~-,
или, если пренебречь степенями 9 выше второе,
f)2
1 — COS 0 Л/ -g- ,
получим
U x^f--Pl~.
Условие равновесия принимает вид:
£L = Mfi-PlQ = 0.
*) Подчеркнем, что в этом условии фигурирует полная энергия системы —
наряду с энергией деформации U включает в себя потенциальную энергию’
нагрузки. Встречаются, однако, и такие случаи, когда внешние силы не
имеют потенциала, т. е. понятие потенциальной энергии для нагрузки лишено-
смысла (подобным образом, например, будет обстоять дело для стержня,,
изображенного на рис. 213, если действующая на него сила будет «следящей»,
т.е. направленной вдоль осн стержня в любом его положении). В этих слу-
чаях оказывается непригодным и приведенное энергетическое условие дости-
жения критического состояния, и вместо этого условия приходится исполь-
зовать другое, вытекающее нз рассмотрения колебаний системы около иссле-
дуемого состояния равновесия н применения к таким колебаниям критериев-
устойчнвости движения.
342
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
Условие критического состояния равновесия
rf02 — Ml Pl —О
может быть сформулировано и иначе. Представив условие рав-
новесия в виде
6 (М1 - Р1) = О,
видим, что в критическом состоянии равновесие возможно при
любой величине 6, т. е. может рассматриваться как безраз-
личное.
Таким образом, при приближенном исследовании малых
отклонений от положения равновесия критическое состояние
может быть определено как состояние безразличного равно-
весия.
2. Устойчивость равновесия деформируемых тел. Так как в
деформируемых телах любое деформированное состояние соот-
ветствует состоянию равновесия между внешними силами и уси-
лиями, то естественно должен быть поставлен и вопрос об
устойчивости этого равновесия. При этом, если считать, что ус-
тойчивость равновесия внешних сил обеспечена, нарушения рав-
новесия можно ожидать либо при изменении внешних сил и свя-
занном с ним изменении усилий, либо только при изменении
усилий, происходящем в результате какой-либо деформации, не
сопровождающейся изменением внешних сил. Следовательно,
за возможное отклонение деформируемого тела от положения
равновесия в обоих случаях следует принимать ту или иную
дополнительную деформацию или связанное с ней отклонение
от равновесного состояния, характеризуемого определенной
формой и размерами тела. Поэтому для деформируемых тел
правильно говорить не о положении равновесия, а о форме рав-
новесия. Отклонение от формы равновесия, соответствующей
данной нагрузке на тело, при упругих деформациях не связано
с изменением величины внешних сил только в том случае, когда
оно относится к виду, который сам по себе не может быть вы-
зван этими силами. Так, например, для прямолинейного сжа-
того стержня формой равновесия, независимо от величины сжи-
мающих сил, является прямолинейная. Отклонения от этой фор-
мы, сводящиеся к искривлению стержня, не могут быть вызваны
действием сжимающих сил и потому не являются следствием
изменения величины названных сил. Они обусловливаются воз-
действиями иного характера, например, боковыми толчками,
кратковременным приложением поперечных нагрузок и т. п.
Ввиду того, что прямолинейная форма равновесия не зависит
от величины сжимающей нагрузки, при исследовании нарушений
§ 49] УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ 343'
устойчивости равновесия сжатого стержня вследствие случайных
искривлений можно говорить об его критическом состоянии при
упругих деформациях и определять для этого случая критиче-
скую сжимающую силу. Равным образом формой равновесия
оси балки, подвергающейся плоскому чистому изгибу, незави-
симо от величины изгибающего момента, является плоская кри-
вая. Отклонения от этой формы равновесия, при которых ось
балки превращается в пространственную кривую, не могут быть
вызваны действием приложенных к ней изгибающих пар сил и,
следовательно, не связаны с изменением величины моментов
этих пар. Поэтому можно ставить перед собой задачу отыскания
критического изгибающего момента для оценки устойчивости
равновесия балки при таких отклонениях. Нарушения устойчи-
вости равновесия деформируемых тел, происходящие вследствие
отклонений от формы равновесия, которые не могут быть вы-
званы действующей нагрузкой, мы будем в дальнейшем назы-
вать нарушениями устойчивости первого рода, так что исследо-
вание устойчивости сжатых стержней при их искривлениях и
балок при описанных выше отклонениях будем относить к иссле-
дованию устойчивости первого рода. Отклонения от формы рав-
новесия, являющиеся результатом той же деформации, что и
возникающая при действии данной нагрузки, при упругих де-
формациях возможны только в том случае, когда эта нагрузка
изменяет свою величину. Таким образом, форма равновесия при
упругих деформациях в этом случае зависит от величины на-
грузки, и равновесие оказывается устойчивым. Нарушение ус-
тойчивости может произойти лишь вследствие того, что сопро-
тивление деформированию с возрастанием нагрузки начнет
уменьшаться или, по крайней мере, будет иметь постоянную ве-
личину ввиду возникновения пластических деформаций. Такое
нарушение устойчивости будем называть нарушением устойчи-
вости второго рода. Пример его представляет нарушение устой-
чивости равновесия растянутого прямолинейного стержня
вследствие отклонений от формы равновесия, сводящихся к до-
полнительным удлинениям сверх тех, которые соответствуют при-
ложенной к стержню нагрузке. Так как при упругих деформациях
увеличение удлинений связано с ростом растягивающих сил,,
нарушение устойчивости равновесия оказывается невозможным.
Однако после достижения напряжениями предела текучести,
если на диаграмме растяжения имеется площадка текучести,
удлинения происходят без возрастания нагрузки: нарушение
устойчивости равновесия становится возможным. То же са-
мое имеет место после достижения напряжениями времен-
ного сопротивления растяжению. Удлинения происходят при
уменьшающейся нагрузке, равновесие становится неустой-
чивым.
•344
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО состояния ТЕЛ
[ГЛ. 12
В связи с изложенным особое значение приобретает иссле-
дование устойчивости первого рода, так как в этом случае
потеря устойчивости может иметь место еще при упругих де-
формациях и связана либо с уменьшением грузоподъемности,
либо с окончательным выходом из строя элемента.
§ 50. Устойчивость деформированного состояния
центрально-растянутых и сжатых стержней
1. Упругая устойчивость сжатых стержней. Нетрудно убе-
диться, что нарушение устойчивости первого рода в случае рас-
тянутых стержней невозможно. Такие стержни, получив случай-
ное искривление или закручивание, должны возвратиться к пер-
воначальной форме равновесия. Таким образом, для растянутых
стержней возможна лишь потеря устойчивости второго рода при
достижении напряжениями предела текучести или временного
сопротивления. Напряжения, равные временному сопротивле-
нию, никогда не допускаются, пластическая же деформация рас-
тянутого стержня не снижает его предельной грузоподъемно-
сти. Поэтому вопрос об устойчивости деформиро-
ванного состояния растянутого стержня не имеет
практического интереса.
Совершенно аналогично не требует специаль-
ного исследования устойчивость равновесия вто-
рого рода и для прямолинейных сжатых стерж-
ней. Однако, в отличие от растянутых стержней,
сжатые стержни могут терять и устойчивость
первого рода. Наиболее общим случаем (т. е.
для стержней любого профиля) потери устойчи-
вости равновесия первого рода для сжатых
£—1—1—стержней является так называемая изгибная
* форма ее.
р Рассмотрим прямолинейный стержень с шар-
нирно-закрепленными концами, сжатый силами
Рис. 214. Р (рис. 214). Прямолинейная форма его являет-
ся формой равновесия при любой величине сил.
Дадим отклонение от этой формы, состоящее в искривлении оси
•стержня, и рассмотрим деформированное состояние последнего.
В этом состоянии для любого сечения имеем Мх = Pw и, следо-
вательно,
где I— момент инерции сечения стержня относительно ней-
тральной оси, соответствующей направлению искривления
стержня. Обозначая
(12.2)
§ 50]
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
345.
получим
ш" + а2ш = 0,
откуда
w = С] cos ах + С2 sin ах.
Из условия
w — 0 при х = О
найдем
Cj = O.
В то же время, так как
w = 0 при х — I,
получаем
C2sinaZ = 0.
При
sinaZ = O
постоянная С2, а следовательно, и прогиб w оказываются неоп-
ределенными, т. е. равновесие стержня оказывается безразлич-
ным. Так как мы рассматривали лишь малые отклонения от пер-
воначальной формы равновесия, используя приближенное урав-
нение оси искривленного стержня, то полученной результат-
свидетельствует о том, что значение
sinaZ — 0
соответствует критическому состоянию. Но при этом
al — kn,
где k = 0, 1, 2,..., и, следовательно, критическая сила должна,
удовлетворять уравнению
Р _
EJ I2 •
Практический интерес представляет лишь наименьшая критиче-
ская сила, значение которой получим, принимая k = 1 и
так что
ркр = ^ш^. (12.3>
Так как вид уравнения оси искривленного стержня и условия на
его концах зависят от способа.закрепления последних, то, оче-
видно, и величина критической силы для сжатого стержня долж-
на существенно зависеть от способа закрепления концов,
стержня.
Так, для стержня, защемленного одним концом (рис. 215)„
получим
Mx = P(f-w),
346
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
где / — прогиб конца стержня,
ft Р ~™ №) Z"* 1 | £
w —--------w — С{ cos ах + С2 sin ах + /,
rrtMJrm»r
iiprinvm
при х — 0 w — 0, w' = О,
при x = l w — f.
Следовательно,
Ci — — f, С2 = 0, f cos al = О,
и критическая сила должна определяться из уравнения
cos al — О,
или
а/ = (26 + 1)-^.
Поэтому
П __________________________ Л2£'/т|п _ (<Л
кр— 4/2-----------(2Z2) ’
т. е. критическая сила вчетверо меньше, чем в первом случае.
Рис. 215. Рис. 216. Рис. 217.
Если один конец стержня защемлен, а другой имеет шарнир-
ное закрепление (рис. 216), то
Мх = Pw + А (I — х),
где А — реакция шарнирного закрепления,
v" + -^rw = --jr(l-x),
w = C{ cos ах С2 sin ах — -у (Z — х),
§ 50] ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ 347
причем при х — 0 w = 0, w' — 0, при х — 1 ш = 0,
откуда Ci-4^ = 0> aC2 + 4 = 0, %-=-al, Ci cos aZ + C2 sin aZ == C2 cos aZ (— aZ + tg at) — 0,
И ДЛЯ О пределения критической силы имеем уравнение tg aZ = al,
наймем >ший корень которого равен al = 4,493.
Следов i ггельно, п on in -^min . ft2£^rnin flO ^Kp zu,iy p - 0i4888/2 — (0;7z)2 •
В случа te защемления обоих концов стержня (рис. 217) Л1х = pw + А (1 - х) + Мо,
где А ИЗ КОНЦ и Мо — опорная реакция и опорный момент на каждом ,ов стержня; W -НёГ- £/(Z EJ’ w — C} cosax + C2sinax —~ (I — х) —
при гра ничных условиях: при х = 0 w = 0, w' = 0, при х — 1 w = 0, w' = 0,
так что Ci--4-^ = 0, аС2 + 4 = 0>
откуда 4 = -аС2, ^- = Ci + aZC2,
и в то же время Ci cos а/ + С2 sin а/ 4“ = ^4 Ci sin aZ — C2 cos aZ = 0,
или
Ci (1 — cosa/) + C2 (al — sinaZ) — 0,
Cj sinaZ + C2 (1 — cosa/) = 0.
"348 УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ [ГЛ. 12
Из этих уравнений, задаваясь произвольной величиной С2, мож-
но найти Ci при условии, что определитель данной системы ра-
вен нулю. Иными словами, равенство нулю определителя
(1 — cos а/)2 — (al — sin az') sin az' = 0
является условием безразличного равновесия, т. е. критического
состояния стержня. Наименьшим корнем полученного уравнения
является
al — 2л,
и, следовательно,
п _______________________ 4ft2£Jmin _ Л2£/т1п /10
^Кр— р — (05/)2 •
Те же результаты можно получить, не прибегая к интегрирова-
нию уравнений оси искривленного стержня, если принять во
внимание, что последняя во всех случаях представляет кривую
типа синусоиды. При этом в точках перегиба, совпадающих с
концами полуволны синусоиды, изгибающий момент равен нулю,
так что любая полуволна искривленного сжатого стержня нахо-
дится в тех же условиях, что и стержень, имеющий шарнирное
закрепление концов. Поэтому критическая сила в случае любого
закрепления концов может быть определена по формуле (12.3),
если в ней длину стержня заменить длиной полуволны сину-
соиды, по которой искривляется стержень при данном закреп-
лении концов. Эту длину называют приведенной или свободной
длиной стержня при данном закреплении концов.
В рассмотренных нами случаях имеем:
а) в случае шарнирного закрепления обоих концов
(рис. 218, а) длина Iq полуволны синусоиды совпадает с длиной
стержня,
. . п л2£7 п2Е1
10 = 1 и Ркр = —г- = ——;
‘о 1
б) в случае защемления одного конца (рис. 218, б) длина
стержня совпадает с длиной четверти волны,
/0 = 2/
> — __ л2£7
кр“ “W*
в) при шарнирном закреплении одного конца и защемлении
другого (рис. 218, в) длина стержня совпадает с длиной прибли-
зительно полутора полуволн, так, что
1окО,71 и =
§ 50] ЦЕНТРАЛЬНО РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ 349
г) при защемлении обоих концов стержня (рис. 218, г) длина
его равна длине двух полуволн,
/0 = 0,5/ и =
Таким образом, свободная длина стержня пропорциональна
его действительной длине. Обозначая коэффициент пропорцио-
нальности, называемый часто коэффициентом длины, через 0,
получим
/о = ₽/. (12.7)
и выражение критической силы при любом закреплении концов:
(ро2 '
(12.8)
Таким приемом все случаи закрепления концов стержня фор-
мально сводятся к случаю шарнирного закрепления, почему в
дальнейшем мы будем рассматривать только этот случай.
Рис. 218.
Если закрепления концов в направлениях главных осей инер-
ции сечения стержня различны, то при искривлении необходимо
определять критическую силу для того и другого случая и при-
нимать в расчет наименьшую из них.
Направление сжимающей силы после искривления стержня
также влияет на величину критической силы. Так, если при
искривлении стержня, защемленного одним концом, сжимающая
350
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
(ГЛ. 12
сила не остается вертикальной, а принимает направление, ука-
занное на рис. 219, то
р _ Tt2EJmin
' кр р >
т. е. увеличивается в четыре раза. В дальнейшем мы будем рас-
сматривать только сжимающую силу постоянного направления.
В случае необходимости влияние изменения ее на-
Р г правления должно быть учтено путем специальных
] т исследований.
1 г 2. Устойчивость сжатых стержней переменного
j // сечения. Влияние местных ослаблений. В случае
[// сжатого стержня переменного сечения для опреде-
ч I i ления критической силы необходимо интегрировать
/ уравнение (12.1) при моменте инерции сечения, пе-
/ ременном по длине стержня. Так как при этом при-
I ходится иметь дело с линейным уравнением вто-
—L. рого порядка, коэффициенты которого переменны,
задача становится сложной. Можно, однако, при-
Рис. 219. менить приближенный прием определения крити-
ческой силы, который, как показывает сравнение
решений, получаемых в ряде частных случаев, дает достаточно
хорошие результаты. Так, если наибольший момент инерции се-
чений стержня превосходит наименьший вдвое, то применение
приближенной формулы приводит к ошибке в величине крити-
ческой силы около 2%, а при /max7Zmin = 1,25 эта ошибка соста-
вит 1%. Сущность этого приема сводится к тому, что стержень
переменного сечения заменяется стержнем постоянного сечения,
который при изгибе по синусоиде при одинаковой нагрузке дает
прогиб той же величины, что и данный стержень.
Представим момент инерции стержня переменного сечения
в виде
J (%) = /0 + (х),
где Jo — постоянная величина. При изгибе по синусоиде
и» = fsin-^у-, (12.9)
потенциальная энергия изогнутого стержня
i i
U ~\еЦх) w"2 dx = -J- ( Е (Jo + Д J) sin2 dx =
£ J A J Pl
о 0
= J Д/ sin2 dx.
0
§ эд
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
351
Для стержня постоянного сечения с моментом инерции Г
i i
, 'га ЕГтс*{2 С . о лх . £/*л4/2
и = У j El w dx = —\ sin2 — dx = —.
о о
Как было доказано в п. 3 § 38,
. п
<3dz
Так как обобщенной силе Р, приложенной посредине пролета
балки, соответствует обобщенное перемещение — прогиб посере-
дине пролета, который равен в нашем случае f, то
df ' df ’
и, следовательно, по принятому условию
dU _ dU*
df df ’
т. e.
о
откуда
/ 1 \
tli t 2 С EJ . > лх 1 ।
J =/01 1 +т \ ~г~ sin2 —р-dx I,
\ I J J о * /
4 0 7
и, следовательно, критическая сила для стержня переменного
сечения может быть вычислена по формуле
/ 1 \
р- ЭТ EJoli I 2 I ДУ * о ЗТХ « | /1 л 1 л\
^кр = —75—I 1+-)-7^sin2-T-djc I. (12.10)
'о '
В случае стержня е одним защемленным и другим свободным
концом в предыдущих выводах следует вместо (12.9) принять
— COS-^-J ,
вследствие чего получим
и, .следовательно,
z
Лф = ^Ч1 +т$^с082-^Дх). (12.11)
'“О '
352
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
Применим формулу (12.10) к случаю стержня, ослабленного ря-
дом прямоугольных отверстий, размер которых по длине стерж-
ня равен d, находящихся одно от другого на рас-
стояниях а (рис. 220). В этом случае на всех уча-
v ! стках между отверстиями момент инерции сечения
4*.. стержня имеет постоянную величину /о> а на уча-
J стках, где в стержне имеется отверстие, — величину
7 (/о — А/), где А/— момент инерции ослабления.
f Тогпя
Если во всех интегралах ввести последовательно подстановки
х — t -f- а, х = t -j- 2а 4- d, х = t 4- За -f- 2d и т. д., то получим
[.й d
1 2Д/ । Г . л t -f- a । С . 9 4~ + d .
1--ту— I \ sin2 л T dt 4- \ sin2 л - -- / -— dt 4-
Ч о
S. о 4" 4" ^d । . С . о *4- ntz 4” (и — 1) d , ,A"|_
sin2 л —1— dt -j- ... 4- \ sin2 Jt —1--— dt 11 —
о o'-*
[n i 1
. 2Д7 V I • 2 14- ka 4- (k'~ 1) d I
1--rr~ 7 \ Sin2 Л—1--—dt ,
ljq L—A J I I
Л®»! 0
где п—число отверстий. Так как
а
С . 2 л Р 4- ka 4- (k — 1) d] j, d I . nd я r_., , . „
\ sin2 ——!--------7-1-------— dt = -~ -5— sin-7- cos -j- [2/s (a 4- «) — «]>
J • ^зь I I
0
TO
тп («* - i E “s т - fl)}
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
353
§ 50]
Если d мало по сравнению с I, то можно принять
sin nd nd
I ~~ I
и без существенной погрешности пренебречь величиной d по
сравнению с 2k (а + d), так что
Д Id Г V* 2fen (а + <0 11
“^г|п £cos I Ip
u 6=i j'
Но
, nx (n + 1) x
sin —cos----
cos kx =-----------
. X
smT
Заменяя здесь x через 2n(a-}-d)/l и подставляя в предыдущее
выражение, найдем
Md
Jol
пп(а + d) (п + 1) п (а 4- d)
I C0S_____________I_________
. п (а d)
sin----------
(12.12)
Эту формулу, очевидно, можно применять и при ослаблении се-
чений стержня заклепочными отверстиями, причем величина J*
получится несколько приуменьшенной.
Рассмотрим весьма неблагоприятный случай, когда сечение
стержня ослаблено поперечными рядами заклепок, расстояние
между которыми а = 6 см при d = 2 см. Число рядов заклепок
24, длина стержня 198 см. Ослабление сечеиия составляет 20%,
так что -ф^ = 0,2. Тогда
I о
0,2 2
198
24
, л- 192 200л 1
Sin~i98 C0S~198~
, л • 8
sn 198
0,2 2^
198
= /0(1 -0,05).
Следовательно, и критическая сила, вследствие указанные ос-
лаблений сечения стержня, уменьшится не более чем на 5%.
12 В, А, Га»те«
354
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
Если сечение стержня ослаблено посредине его длины
(рис. 221), то из (12.10) получим
, ( < ДУ Г d 1 . nd л (d + 2с) 11
М1 ~ 1т ~ vSln ~гcos —> J} •
Если d невелико по сравнению с I, то
Г '•='.[-ТТ—
ГГТ’ =7o[1_j«.AsWm>],
с
I или, так как
L, ,-Ц d + 2с = I,
d то
J L-| г~/0(1-^4). (12.13)
с Следовательно, даже при
1 L—I 1 ^- = 0,2 и -^=0,1,
- р
критическая сила уменьшается всего на 4%.
Рис. 221. Из сказанного следует, что даже при боль-
ших местных ослаблениях сечений сжатого
стержня влияние их на величину критической сжимающей силы
невелико. Поэтому при практических расчетах вполне допустимо
определять критическую силу без учета местных ослаблений
сечения, т. е. вести эти расчеты по неослабленному сечению (по
сечению брутто).
3. Влияние поперечной силы на величину критической силы
сжатого стержня. Для учета влияния поперечной силы на устой-
чивость сжатого стержня необходимо вместо уравнения (12.1)
принять уравнение оси искривленного стержня в виде
Мх
EJ
k'q
oF’
или
Так как
EJ -г" GF dx2 ’
Мх = Pw,
§ 50]
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
355
ТО
или
„ (. k'P \ . р п
“'Ч1 + -eTw = Q’
w" "i---г/р— w = 0.
Таким образом, уравнение оси искривленного стержня совпа-
дает с уравнением (12.1), если в нем вместо а2 = P/(EJ) поло-
жить
Как мы видели, условием критического состояния стержня яв-
ляется равенство
al — kn. (fe = 0, 1, 2, ...),
так что в рассматриваемом случае критическая сила должна
определяться из уравнения
Р _________ k2n?
откуда при k = 1, J — 7min
Jt2£,/min GF
p ____________F____________ Jt2£'^min_______k________ /in । л
Kp ~ , k' it2£,Jmin ~~ I2 GF , w2£/min •
+ GF I2 k' + I2
Величина k'liGF) (средний относительный сдвиг от поперечной
силы, равной единице) весьма мала. Обратная величина, имею-
щая порядок произведения модуля сдвига на площадь сечения,
весьма велика. Второе же слагаемое знаменателя (критическая
сила без учета влияния поперечной силы) при упругих дефор-
мациях во всяком случае не может превосходить предела упру-
гости, умноженного на ту же площадь. Поэтому оно во много
раз меньше первого слагаемого. Так, например, в случае пря-
моугольного сечения
GF __ Gbh Ebh _ Ebh
k' ~~ 1,2 ~~ 2(1+n)-1,2 ~~ 3,12
it2/?/min nPEhb3
]2 — [2^2 °yn0'**
при p, = 0,3,
12*
356
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. и
Следовательно,
я2Е/mfn , GF
I2 • k'
3,12
^5 £ °уп»
так что для стального стержня прямоугольного сечения второе
слагаемое в знаменателе формулы (12.14) составляет менее
0,3% от первого слагаемого. Таким образом, влияние попереч-
ной силы на величину критической силы настолько незначи-
тельно, что им можно, практически без всякой погрешности,
пренебрегать.
Однако полученный вывод справедлив только для сжатых
стоек сплошного сечения. В практике нередко применяются
стойки, состоящие из двух или более ветвей, связанных решет-
ками. Пример такой стойки, состоящей из двух швеллеров, свя-
занных решетками из уголков, показан на рис. 222. Если число
Рис. 222.
(при длине
панелей решетки, связывающей швеллера, велико,
то величину k'/(GF) нетрудно определить, заменяя
систему, состоящую из поясов и решетки, эквива-
лентной ей сплошной конструкцией, для которой
потенциальная энергия деформированного состоя-
ния такова же, как и для данной системы. Как
было показано (8.22), потенциальная энергия
сплошного изгибаемого стержня, в котором на
длине а изгибающий момент и поперечная сила по-
стоянны, равна формуле
т, М2а । k'Q2a
U~ 2EI 2GF ‘
Для сквозной конструкции, показанной на рис. 222,
усилия равны ±Mjb — в поясах, Q/cos а — в рас-
косе (при длине последнего a/sina), Q — в стойке
b = a/tga) и, следовательно, на участке длины а
получим
A S'jlj M2a / 1 । 1 \ । Q2a / 1 1___\
Lu 2EF( 2Eb2\Ft ' F -, J ' 2 \£/?pcos2asina .EFc tg a/’
где Fi и F2 — площади сечения поясов, Fr,— раскосов, Fo — стоек.
Отсюда, сравнивая оба выражения, находим для эквива-
лентной сплошной системы:
/min h2 k Fi rFj’
k' = 1_________1
GF EFp cos2 a sin a EFC tg a ’
§ 50]
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
357
и по формуле (12.14)
I2 \EFр cos2 a sin а ' EFс tg а )
В случае раскосной решетки (рис. 223)
И — м"а (-L J- _LA 4- Q2tt
° 2Eh2 k Fj F2 J 2EFр cos2 a sin а ’
И потому
k' _ 1
GF EFP cos2 a sin а ’
так что
/2 EFP cos2 а sin а
Те же результаты получим, определяя Ркр по формуле (12.3)
с заменой действительной длины I стойки приведенной длиной
/Пр, равной в первом случае
/ __ / . /1 I J[2^niin f_1____I 1 \
пр ‘у/ ' р \ Fp cos2 a sin а ~ Fc tg а ) ’
(12.17)
и во втором
fm = iA/1+^f||Jas.na. (12.18)
Если обе ветви стойки соединены двумя решет-
ками, то в предыдущих формулах за Ёр и Fc сле-
дует принимать площади раскосов и стоек обеих
решеток; в случае, когда каждая решетка имеет
перекрестные раскосы, площади раскосов каж-
дой решетки должны быть удвоены.
Подсчеты показывают, что при слабых соединительных ре-
шетках уменьшение критической силы в результате учета влия-
ния поперечной силы может оказаться весьма значительным.
4. Поведение сжатого стержня при сжимающей силе, прево-
сходящей критическую. Исходя из уравнения (12.1), можно оп-
ределить критическую силу для сжатого стержня, т. е. силу, при
превышении которой равновесие оказывается неустойчивым. Од-
нако мы не сможем ответить на вопрос о том, как будет вести
себя стержень при сжимающей силе, равной критической или
превосходящей последнюю, так как уравнение (12.1) является
приближенным, справедливым лишь при малых прогибах, по-
чему критическое состояние определялось из условия безразлич-
358
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
кого равновесия. Для оценки действительного поведения стерж-
ня, очевидно, необходимо рассмотреть уравнение, в котором
вместо приближенного выражения кривизны через прогибы
-=-w"
Р
введено точное:
_1_=_______w"
р Vd + Ш'2)3 ’
Уравнение (12.1) принимает в таком случае вид
w"
V(1 + w'2}3
(12.19)
Как известно, интегрирование этого уравнения в элементарных
функциях невозможно, и его общее решение выражается через
эллиптические интегралы. Однако при небольшом превышении
величины сжимающей силы над критической удается получить
удовлетворительный в смысле точности результат и элементар-
ным путем. С этой целью преобразуем уравнение (12.19) сле-
дующим образом. Как известно,
1 da . dw . dw
— = — , причем sina = —j—, a = arcsin-^-,
p uS CIS иS
где a — угол, составляемый касательной к оси изогнутого
стержня с осью абсцисс. Поэтому при выбранном направлении
оси прогибов
d2w d2w d2w
1 __ ds2 ______ ds2 _____ ds2
P ^a’)2 Vl — sin2a cosa
и уравнение (12.19) принимает вид:
Предположим, что ось искривленного стержня мало отличается
от синусоиды:
® = fsin-^-, (12.20)
так что
. dw nf ns
sin a = -г- — -j- cos -7-
ds I I
И _________________
/Т----173— /l n2!2* 2 ns
cos a = -y 1 — snr a = а / 1----cos — .
§ 50] ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ 359
Но при условии
4- <—«0,31,
/л ’ ’
Jt2f2 о « tt2f2 2 1X5 Л4?4 4 JIS
(l-^COS2—) =1----2k C°S ~l--8P C0S — •••’
так что, пренебрегая малыми высших порядков, получим
V, n2f2 Л5 , . H2f2 9 ftS
1----ут-COS2 — » 1 —-2^-COS2-j-,
вследствие чего
d2® . Pw ________________ Pw n2f2 2 515
~ds2~ +~ЁТ ~ ~EJ 2Р~ C0S ~T •
В правой части этого уравнения можно заменить w его значе-
нием по формуле (12.20). Кроме того,
Р Р12 л2 Р л2 _ Р л2
EJ ~ n2EJ ‘ I2 — л2 £7 ' I2 Ркр * I2 '
I2
Обозначая
_Р___РЛ^__ 2
EJ Ркр12 — р ’
имеем
d2w . о2 n2B2f3 2 . ns
~d^ + f!2w = cos2 — Sin — .
Так как
. ns . . 3ns г, . 2ns ns . . ns 9 ns
sin— + sin —j—= 2 sin—— cos — — 4 sin-у-cos2—p,
то окончательно получаем уравнение
d2w . o2 n2B2f3 ( . ns . . 3ns A
+ P2W = (sin — + sin —) .
Его решение будем искать в виде
w = fsin —+ с sin-у- . (12.21)
Подставляя (12.21) в наше уравнение, найдем, что последнее
удовлетворяется, если
° = а*-**)
•lb “ г i/Г ftp л
Как показывает сравнение с результатами точных решений, по-
лученные формулы при Р/РКр=1,1 дают погрешность лишь
в 7%. При этом величина с оказывается еще весьма малой.
360
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
(ГЛ. 12
Совершенно аналогично можно найти приближенно и вели-
чину сближения концов стержня в результате его искривления.
Представляя уравнение оси искривленного стержня в виде
. лх
W = Wi Sin-j—,
где wi — прогиб посередине пролета, определяемый по формуле
, /V8 /' Р^
получим _______________
/-----. / л2ш? „ лх *
ds = ’\ 1 + w dx = 1 Ч—^-cos2—-j-dx,
или
(л2®? лх У
1 + 2р cosz—J dx.
Пренебрегая изменением длины оси стержня вследствие сжатия,
имеем
о 1' , > >
f f ( л wr лх У
I = \ ds = \ I 1 + cos ~Т~) ах’
о о
где /1 — расстояние между концами искривленного стержня. От-
сюда
, I l Р1
и сближение концов
/ Р X 2ЦР — РК„)
А = I — lx = \ — зр _ 2р^ j = зр _ 2Ркр . (12.23)
Используя полученные формулы, находим
р 1 А 1 р ^7 f 1 А 1
1,000 1,002 1,020 0 0,040 0,124 0 0,004 0,038 1,050 1,080 0,194 0,241 0,087 0,129
Таким образом, при величине сжимающей силы, равной крити-
ческой, искривленная форма равновесия невозможна и, следова-
§ 50]
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И-СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
361
тельно, равновесие еще устойчиво, но при весьма малом превы-
шении этой величины над критической прогибы и сближения
концов резко возрастают.
5. Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости.
Изложенное выше исследование устойчивости сжатого стержня
производилось в предположении упругих деформаций. Поэтому
и полученные выше формулы для критической силы (эти фор-
мулы впервые вывел Эйлер) тоже справедливы лишь в этом
предположении. Назовем критическим сжимающим напряже-
нием Окр напряжение, возникающее в стержне при приложении
к нему критической сжимающей силы. Тогда
„ -^кр _ 31 ^Anin Я ^'mln
КР р рр — р
где I — расчетная длина стержня, imln—минимальный радиус
инерции его сечения. Согласно результатам п. 2 этого параграфа
радиус инерции можно вычислять для неослабленного сечения.
Обозначим
= (12.24*)
гш1п
Эту величину принято называть наибольшей гибкостью стержня.
Тогда
ОКР = -Д^-. (12.24)
Лтах
Очевидно, что полученные выше результаты справедливы лишь
при
°кр 2 °упр>
Л'тах
ИЛИ
Чах>д/^-- (12-25)
V °упр
Таким образом, возможность применения формулы Эйлера для
определения критической силы ограничивается некоторой гиб-
костью стержня, зависящей от отношения модуля к пределу
упругости. Так, например, для стали марки Ст. 3 по формуле
(12.25) найдем, что применение формулы Эйлера допустимо
лишь при гибкости
Л> 105.
Для других марок стали модуль упругости изменяется мало,
так что предельная гибкость при возрастании предела упругости
убывает. В строительных конструкциях гибкость сжатых стерж-
ней в большинстве случаев меньше 100, и потому для этих
362
устойчивость деформированного состояния тел
[ГЛ. 12
конструкций из стали Ст. 3 формула Эйлера в подавляющем
большинстве случаев оказывается неприменимой. При более вы-
соких марках стали пределы применимости этой формулы рас-
ширяются, однако нередко приходится иметь дело с элементами,
гибкость которых меньше предельной.
Таким образом, возникает вопрос об определении критиче-
ской силы для сжатого стержня в пластической области. Реше-
ние этого вопроса осложняется тем обстоятельством, что зави-
симость между напряжениями и деформациями в пластической
области при возрастании и убывании нагрузки не одинакова и,
следовательно, процесс деформации зависит не только от
свойств материала, но и от процесса нагружения стержня. По-
этому мы рассмотрим два характерных случая нагружения
стержня.
Пусть сжимающие силы, приложенные к стержню, не изме-
няют своей величины и направления при искривлении стержня.
Вследствие этого при малых отклонениях стержня от прямоли-
нейной формы равновесия напряжения в любом сечении скла-
дываются из напряжений осевого сжатия, практически не изме-
няющихся, и напряжений от изгиба. Таким образом, в сжатых
при изгибе зонах поперечных сечений стержня по мере увели-
чения искривления напряжения все время возрастают, в растя-
нутых—убывают. Следовательно, если диаграмма сжатия ма-
териала стержня имеет вид,
представленный на рис. 224
и сжимающее напряжение
а = О В
превосходит предел упруго-
сти, то в сжатой зоне зави-
симость между напряжения-
ми и деформациями пред-
ставляется кривой АС, кото-
рая при малых отклонениях
от положения равновесия
может быть заменена каса-
тельной AD. В растянутой
зоне, как это имеет место в пластической области при разгрузке,
та же зависимость представляется прямой OjA. Поэтому если
обозначить через —ос и —бс напряжения и приращения относи-
тельных укорочений в сжатой зоне сечения при искривлении
стержня, —Ор и +ер — тоже в растянутой зоне, то при отклоне-
нии от прямолинейной формы
о
— ос== —о —ес tg-ф',
— Ор = — а + ер tg ф.
333
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
§ 50]
Но
tg 'ф = Е,
и в силу гипотезы плоских сечений
где zi — расстояние точки сечения от нейтральной оси, прини-
маемое отрицательным для точек сжатой зоны и положительным
для точек растянутой зоны, р — радиус кривизны нейтрального
слоя. Если, кроме того, обозначить
£' = tg ф',
то
— G = _ а_|_£'
о*= Р
. -<Ур=-<т + £^-.
В неискривленном стержне
_ J (jdF = — P.
(F)
При отклонении от прямолинейной формы
J a*dF = — P,
(F)
ИЛИ
5 (“or + ^7L)Jf+ S {-^ + -^)dF = -P,
(fc) (fp)
где Fo и Fp — площади сжатой и растянутой зон сечения.
Отсюда
£'Зс + ЕЗр = 0, (12.26)
где So и Зр — статические моменты площадей Fc и Fp относи-
тельно нейтральной оси. Таким образом, эта ось не проходит
через центр тяжести сечения, а смещена в сторону растянутой
зоны.
В то же время, если обозначить через z расстояние точки
до оси, проходящей через центр тяжести сечения, то
J s*zdF = M. — Pw,
(К)
или
5 (— а + ~~Z1) z dF + (—а + zdF —Pw,
(Fc) ('₽) ₽
364
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
откуда
z^dF-)--— z^zdF — Pw.
V с) (*Ср)
Но
2 = Z] — г0,
где z0 — расстояние нейтральной оси от центра тяжести сече-
ния. Поэтому
£. ( 22dF + .| С z*dF--^(E'Sc + ESv)==Pw,
(Fc) (%)
или, если принять во внимание (12.26),
±(E'Je + EJp)=Pw,
г
где /с и /р — моменты инерции сжатой и растянутой зон сече-
ния относительно нейтральной оси. Если ввести обозначение
причем 7 — момент инерции всего сечения относительно оси,
проходящей через центр тяжести, то
1 Pw
или, если принято, что
±=-&"г
Р
то
w"=-~-. (12.28)
Рис. 225. Таким образом, при малых отклонениях от по-
ложения равновесия в пластической области
уравнение оси искривленного стержня отличается от уравнения
в упругой области только тем, что вместо модуля упругости Е
в нем фигурирует модуль Т (модуль продольного изгиба). Фор-
ма искривления остается неизменной, и критическая сила в слу-
чае стержня с шарнирно-закрепленными концами должна пред-
ставляться формулой *)
Р^=-2Т1^-> (12.29)
*) В выводе этой формулы существенно используется предположение,
что при искривлении стержня сжимающая его сила Р остается неизмен-
ной (рис. 214—217). Если допустить, что эта сила может возрастать и во
$50]
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
365
а критическое напряжение —
акр— ,2
"max
(12.30)
При этом необходимо помнить, что модуль Т является величи-
ной переменной, зависящей от <тКр- В то же время он зависит
от формы сечения. Однако подсчеты показывают, что влияние
формы сечения на величину Т относительно невелико. Так как
к тому же величина Е' не может быть определена по диаграмме
вполне точно, то влиянием формы сечения на модуль продоль-
ного изгиба в большинстве случаев пренебрегают. Поэтому мы
определим его лишь для прямоугольного сечения. В этом случае
Хрис. 225)
b (h — &j)2
pbh"
Л
-0.
5С =
2
2
откуда
Таким образом,
bh3 _ ЬЕ' л/Ё' h3
3 (VP+VP7)3 V’
3
ЬЕ л/Е h3
(Vp + Vp7)3 з ’
bh3
12 ’
и, следовательно,
Т
или
bh3
_ ЕЕ' '/Ё' + Е'Е у/Е 3
(Vp + VP7)3 bhs ’
12
4ЕЕ'
(VP + VP7)2 ‘
(12.31)
время искривления стержня, то к рассмотренным выше напряжениям в по-
перечном Сечении стержня добавятся еще сжимающие напряжения от 6Р—>
приращения силы Р. Из-за этого при достаточно большом 6Р полные доба-
вочные напряжения могут оказаться сжимающими по всему сечению, так что
часть Рр площади сечеиия (рис. 225) исчезнет, в формуле (12.27) будет
Jp = 0, Je = I и, в результате, Т — Е'. При этом (12.29) дает значение кри-
тической силы, которое, очевидно, больше получающегося при предположе-
нии 6 неизменности Р, когда Рр =/= 0. Опыт обычно дает промежуточные зна-
чения, но они часто бывают близкими к нижней границе.
366
устойчивость деформированного состояния тел
[ГЛ. 12
Следует иметь в виду, что синусоидальная форма искривлен
ния стержня с шарнирно-закрепленными концами сохраняется
в пластической области лишь при весьма малых отклонениях
от прямолинейной формы равновесия. При возрастании проги-
бов происходит значительный поворот сечений, близких к кон-
цам стержня, и нормальная сила N, связанная с сжимающей
силой Р соотношением
Л? = Р cos а,
Где а — угол поворота сечения, начинает ощутимо уменьшаться,
что приводит к увеличению модуля Т. Поэтому возрастание кри-
визны стержня концентрируется в средней его части, и искрив-
ление происходит уже не по синусоиде. Если искривленная фор-
ма стержня должна иметь точки перегиба (например, в случае
защемления конца), то с возрастанием отклонения от прямоли-
нейной формы эта точка смещается, в результате чего в растя-
нутой зоне сечений вблизи этой точки происходит не уменьше-
ние сжимающих напряжений, а возрастание. Поэтому здесь при-
ходится иметь дело не с модулем Г, а с модулем Е', который,
как видно из (12.31), меньше Т, т. е. на части длины стержня
приходится считаться с его пониженной жесткостью. Отсюда
ясно, что эффект защемления концов стержня в пластической
области должен быть меньшим, чем в упругой. Но, как мы убе-
дились выше, уменьшение жесткости защемления концов при-
водит к увеличению свободной длины стержня (от 0,5? при аб-
солютно жестком защемлении до I при шарнирном закреплении
концов). Таким образом, очевидно, что свободная длина стержня
с двумя защемленными концами или с одним концом защемлен-
ным, а другим закрепленным шарнирно, должна быть в пласти-
ческой области больше, чем в упругой.
Так как в формуле (12.30) модуль Т зависит от аКр. причем
эта зависимость задается графически, то вместо отыскания <ткр
при заданной гибкости стержня, удобнее искать из (12.30) гиб-
кость стержня, которая соответствует заданному <ткр:
= (12-32)
после чего может быть построен график зависимости критиче-
ского напряжения от гибкости стержня.
Построим такой график для стали марки Ст. 3. Пусть <гт = 2400 кГ/см2-,
аупр = 1900 кГ/см2-, Е = 2,1-10s кГ/см2. Таким образом, при
, . /л2-2,1 • 106 ,,п
Х>Д/ 1900 • ~110
критическое напряжение должно определяться по формуле Эйлера (12.24).
Но так как на диаграмме сжатия Ст. 3 имеется площадка текучести, то при
сткр = ат Е' = 0 и, следовательно, Т = 0. Поэтому на основании (12.30)
§ 50]
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
367
критическому напряжению о1(Р = от соответствует Л — 0. Для построения
зависимости окр — А при гибкостях между 0 и 110 примем в качестве первого
приближения очертание диаграммы сжатия в промежутке между пределом
Рис. 226.
упругости и пределом текучести по квадратной параболе. Это соответствует
изменению модуля Е' по линейному закону:
В таком случае получим следующую таблицу:
акр Е' Е т Е Л акр Е' Е т Е А.
2400 0 0 0 2100 0,78 0,89 94
2300 0,45 0,65 75 2000 0,89 0,95 100
2200 0,63 0,79 87
Полный график критических напряжений для 0 А 200 представлен
на рис. 226. Здесь показано также, что криволинейный участок этого графика
при 0 А <5 ПО может быть приближенно с погрешностью не свыше 3,5%
заменен двумя прямыми, уравнения которых имеют вид
СКр — От
(С<Л<6С), акр = 3000 — 10А (60^А<110).
368
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
^кр —* 0^
а , аппл — Ml.
л2Е
о,
(12.33)
Таким образом, практически можно определять критическое напряжение при
любой гибкости следующим образом:
при 0 X < 60
при 60<Х<!!0
при Х^ИО
Аналогично можно построить график <тКр, X для других материалов и схе-
матизировать его для практического применения.
Заметим, что при рассмотрении вопроса об устойчивости
сжатого стержня за пределом упругости при постоянной сжи-
мающей силе мы заменяли модуль упругости Е модулем Т.
К тем же результатам можно прийти, заменяя момент инерции
сечения стержня приведенным моментом инерции:
где Jp и 7С — момент инерции растянутой и сжатой зон сечения
относительно нейтральной оси, положение которой определяется
из условия:
Sp + ^Sc = 0.
Рассмотрим теперь случай, когда сжимающая сила вместе
с ростом отклонения стержня от прямолинейной формы равнове-
сия возрастает. Если это возрастание происходит медленно, то,
по-прежнему, в сжатой зоне сечения происходит увеличение
сжимающих напряжений, в растянутой — уменьшение, так что
все наши предыдущие рассуждения сохраняют силу. Однако
в случае большой скорости возрастания сжимающей силы мо-
жет оказаться, что в той и другой зоне сжимающие напряжения
возрастают. Тогда, очевидно, приходится принимать, что при
малых отклонениях,зависимость между напряжениями и дефор-
мациями в обеих зонах представляется прямой AD, т. е. имеет
вид
а* = Е'е.
Следовательно, критическое напряжение вычисляется по фор-
муле
•^кр = Я Д • (12.34)
Соответствующая этой формуле кривая окр, X для стали Ст. 3
показана на рис. 226 штрих-пунктиром. Она может быть заме-
нена двумя прямыми:-
при 0 X 40 окр = от,
при 40 ^Х< ПО окр = 2686 — 7,14Л.
(12.35)
§ 50] ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ 369
Таким образом, для критического напряжения в пластиче-
ской области можно указать при одной и той же гибкости
стержня два граничных значения. По-видимому, в реальных слу-
чаях нагружения критическое напряжение в зависимости от ус-
ловий этого нагружения может заключаться в пределах указан-
ных граничных значений. В частности, может иметь место и та-
кой случай, когда первоначальное отклонение от прямолиней-
ной формы равновесия произойдет при напряжении, определяе-
мом формулой (12.34), а затем начнется разгрузка растянутой
зоны, вследствие чего устойчивость равновесия восстановится и
дальнейшая потеря устойчивости будет иметь место при напря-
жении, определяемом формулой (12.30). Как видно из рис. 226,
для такого материала, как сталь Ст. 3, разница между обоими
критическими напряжениями невелика; однако для некоторых
высокопрочных материалов она может оказаться более су-
щественной.
6. Практические приемы расчета сжатых стержней. Из всего
сказанного выше следует, что для обеспечения надежной работы
сжатого стержня должны быть обеспечены как прочность его по
условию
a = -£-<[o]c = -g-, (12.36)
так и устойчивость равновесия по условию
-jr—<Муст== (12.37)
где йуст — коэффициент запаса устойчивости. Коэффициент за-
паса для данного типа конструкций может приниматься по-
стоянным. Что касается коэффициента запаса устойчивости, то
его принимают переменным в зависимости от гибкости стержня.
Очевидно, что для гибкостей, при которых
ОКр = От,
естественно положить йуст = й1. При больших гибкостях опас-
ность случайных отклонений от положения равновесия увеличи-
вается, почему коэффициент запаса целесообразно увеличить.
Обыкновенно это увеличение принимают при X = 200 равным
около 1,5—2, вычисляя промежуточные значения йуст по пара-
болической интерполяции. Практически удобно вычислять допу-
скаемое напряжение на устойчивость следующим образом. Со-
гласно (12.36) и (12.37)
[ч]уст Чкр
1<Т]С Чг £уст ’
370
устойчивость деформированного состояния тел
[ГЛ. 12
то
так что, если обозначить
аКр ki
Ф 7г ь
и? «уст
Муст = Ф [а]с-
(12.38)
Коэффициент <р зависит только от материала стержня и гибко-
сти последнего. Поэтому для стержня из данного материала
можно составить таблицу значений <р в зависимости от гибко-
сти стержня, после чего процесс нахождения [а]уст становится
весьма простым. Так, например, в «Строительных нормах и пра-
вилах» приводится следующая таблица значений q>:
А Материал элемента
сталь чугун дерево бетон
Ст. 0, Ст. 2, Ст. 3, Ст. 4 СТ 5, НЛ 1 НЛ 2 СЧ-15-30, СЧ-15-18, СЧ-15-36, СЧ-21-40 СЧ-21-44, СЧ-28-48 независимо от породы тяжелый легкий
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
10 0,99 0,98 0,98 0,97 0,95 0,99 1,00 1,00
20 0,97 0,95 0,95 0,91 0,87 0,97 0,96 0,96
30 0,95 0,93 0,93 0,81 0,75 0,92 0,90 0,86
40 0,92 0,90 0,90 0,69 0,60 0,87 0,84 0,73
50 0,89 0,84 0,83 0,57 0,43 0,80 0,76 0,68
60 0,86 0,80 0,78 0,44 0,32 0,71 0,70 0,59
70 0,81 0,74 0,71 0,34 0,23 0,61 0,63 0,52
80 0,75 0,66 0,63 0,26 0,18 0,49 0,57 0,46
90 0,69 0,59 0,54 0,20 0,14 0,38 0,51
100 0,60 0,50 0,45 0,16 0,12 0,31 0,45 —
110 0,52 0,43 0,39 — — 0,26 — •—•
120 0,45 0,38 0,33 —— —— 0,22 —— —
130 0,40 0,32 0,29 —— — 0,18 — —
140 0,36 0,28 0,26 — — 0,16 — —
150 0,32 0,27 0,23 — —- 0,14 —
160 0,29 0,24 0,21 — — 0,12 — —
170 0,26 0,21 0,19 — — 0,11 — —
180 0,23 0,19 0,17 — — 0,10 —. —
190 0,21 0,17 0,15 — —. — — ,
200 0,19 0,16 0,14 — — — — —
При проверке устойчивости стержня заданного сечения вы-
числения сводятся к определению наименьшего радиуса инерции
и гибкости, после чего из таблиц находят <р и затем вычисляют
[а]уст. Более сложным оказывается подбор сечения, так как для
нахождения <р должен быть известен наименьший радиус инер-
ции сечения. Поэтому задачу приходится решать путем после-
довательных попыток.
§50]
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
371
Пример 1. Проверить устойчивость стойки, сжатой силой Р — 40 Т.
Стойка одним концом защемлена, длина ее 1=1,5 м. Сечение—двутавр
№ 27а, материал — сталь марки Ст. 3; [о] = 1600 кГ)см2.
Так как для заданного профиля F = 54,6 см2, J mm = 345 см4, то
*min = = 2,51 см.
Вследствие того, что стойка имеет один защемленный, а другой свободный
конец, ее приведенная длина равна 21 = 3,0 м. Наибольшая гибкость
л =^. = 120.
Из таблицы имеем ф = 0,45. Так как
Р 40 000 ,
—Т:--= "л ле = 1625 К.Г СМ2,
ф/'бр 0,45 • 54,6
то можно считать устойчивость гарантированной (перенапряжение менее 2%)'.
Пример 2. Подобрать сечение стальной двутавровой стойки длиной 4 м
с шарнирно-закрепленными концами, сжатой силами Р = 30 Т. Приведенная
длина стойки равна 400 см. Задаемся ф = 0,6. Тогда
30 000 2
Гбр— 0,6-1600 3 ,2 см •
Для двутавра № 20а F = 35.5 см2, lmm = 2,12 см. Следовательно,
1 _ 400 , дл
"max 2 12 laU’
и ф== 0,21, так что
_ 30 000 о. ,
Гбр 0,21 • 1600 90 см
Исходя из среднего значения Fsv, для этих двух случаев принимаем Гбр =
— 60 сж2, т. е. берем двутавр № 30а: Fsp = 61,2 ел2; tmin — 2,55 см. Тогда
Я, = -^- = 157.
Из таблицы по интерполяции находим
Ф = 0,30
и, следовательно,
р 30 000 ,
фРбр ~ 0,3-61,2 ” 630 кГ/см
Так как перенапряжение составляет всего около 2%, результатом подбора
можно удовлетвориться.
Так как в обоих примерах мы имеем двутавры, т. е. тонкостенные стерж-
ни, то. при оценке результатов следует иметь в виду также и выводы п. 7
данного параграфа.
7. Устойчивость сжатых тонкостенных стержней открытого
профиля. Для решения поставленной задачи выведем предвари-
тельно уравнение равновесия отклоненного от прямолинейной
формы тонкостенного стержня в общем случае, когда на его кон-
цах приложены осевые сжимающие силы Р и изгибающие
372
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
моменты Му и Мг. При этом в недеформированном состоянии
имеем во всех сечениях (рис. 227) нормальную силу N — —Р,
изгибающие моменты Му и Мг и поперечную силу Q = 0, так что
Если при деформации центры изгибов сечений получают пере-
мещения о(х) и w(x), а сами сечения повернутся на угол 0(х),
то любая точка В сечения, как было показано в п. 2 § 44, полу-
чит перемещения:
vB = v — (zB — гл)0, wB = w + (ув — уА} 0, (12.39)
где у а и zA — координаты центра изгиба. В частности, центр
тяжести переместится на
Рис. 227.
v0 = v + zaQ,
w0 = w — yAQ,
вследствие чего возник-
нут изгибающие моменты;
Му = Pwo и Мг= Pvq.
Кроме того, в результате
поворота сечения и свя-
занных с ним осей Оу и Oz составляющие вектора момента,
определяемые соотношениями
Му = М cos a, Mz — M sin d,
где а — угол между направлением этого вектора и осью Оу,
изменятся, так как вектор момента будет составлять с той же
осью угол а + 0. Поэтому новые величины названных состав-
ляющих можно представить так:
М" = м cos (a+9) = Mcos a cos 0—M sin a sin0=AlJ,cos 0—Mzsin 0,
M" = M sin (a+9)=Al sin a cos 0+Л4 cos a sin 9=A12 cos 0-j- Aly sin 0.
Имея в виду лишь малые углы поворота сечений, можно по-
ложить cos 0=1, sin 0 = 0, так что
М]у = Му- Л!г0, Mz = Мг + MyQ.
Полные изгибающие моменты в сечениях деформированного
стержня:
мти=Pwa-\-ми—м£, м; = Ро0 + Mz + MyQ
или, после подстановки значений vQ и wa,
М'д = My + Pw- (РуА,+ М ж) 0, < = Мг 4- Pv + (PzA + Mg) 0.
§50]
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
373
В то же время в любой точке средней линии сечения с коорди-
натами у и z элементарная площадка поворачивается относи-
тельно оси Оу на угол сру = w' и относительно оси Oz на угол
<рг=о'. Поэтому нормальное усилие
в результате деформации будет иметь в плоскости этой пло-
щадки касательные составляющие:
хух dF = — a dF • sin <рг = — adF • o',
x,rdF = — adF • sin<p„ = — adF • w'.
Но согласно (12.39)
vs=v — (z — za)Q, ws = w + (y — yA)d,
и, следовательно,
xyx dF = — o'er dF + Q'a dF (z — zA),
tzx dF — — w'a dF — 0'cr dF (y — yA).
Момент этих усилий относительно центра изгиба
Мл = J [(у — Ул^гх — (z — zA)xyx]dF =
(F)
= — w' ^(у — уА) a dF 4- о' (z — zA) adF —
(F) (F)
— 0' J K# — У A? + (z — zA)2] a dF,
(F)
Ho
$ (У — У a) ° dF = $ ya dF — yA \adF = Mz + PyA,
(F) (F) (F)
(z — zA) a dF = za dF — zA a dF = My + PzA,
(F) (F) (F)
5 Ку — Уа)2 + (z — zA)2] adF =
IF)
= — 2УАУ + УА + z2 — 2zAz + z2A) a dF =
(F)
374
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
С / Р Мгу \ Г
= J 9\—F+~f~ + -ff-)dF-2yA \yodF-
\F) у 2 (Я
— 2zA zcs dF + (г/2 + z2A) ^adF =
(Я (F)
= _р(Дфй + й+4) + 2Л(,(^- 5 Р2^'г-й) +
4 (Я 7
+ 2М* f 27“ 5 dF ~~ Ул)
\ У (F) '
где
Р2 = t/2 + z2.
Если принять обозначения:
с2 —
с F
су==~5Ц }?2ydF — yA,
г (Я
+ ^ + 4-
Сг== 2Г S P2zdF — zA,
у (Я
(12.40)
то
$ [(«/ — У а}2 + (Z — 3Л)2] cdF = — c?P+ 2сгМу + 2суМг.
(Г)
Таким образом,
Мд =
= — (7Иг + РуА) w' + (Му + PzA) v'—(— (?Р + 2czMy + 2суМг) О'.
Ввиду того, что
М л = Ма + Мкр = - £7ш0'" + о/ке',
продифференцировав найденное выражение МА по х, получим
- (Мг + РуА) w" + (Му + Ргл) v" - (- с2Р + 2^ + 2csMz) 0"=
= -Ef^ + GJKe".
В то же время
М* 1
V" = -~ЁГг = ~ -ЁГг + PV + {PZA + Му) 6Ь
М* i
w" = - -ЁТу = - -ЁГу Wy + Pw - <рУА + 01-
§ эд
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
375
После двукратного дифференцирования этих уравнений по х по-
лучим окончательную систему уравнений равновесия для дефор-
мированного состояния рассматриваемого стержня:
EJzvIV + Pv" + {PzA + My)Q" = G,
E]yw™ + PW"-(PyA + MzW' = Q,
EI^v~{Mz + PyA}w" + (Mv + PzA)v"- I
- (— с2Р + 2сгМу + 2СуМг + GJK) 6" = 0- -
Полагая Му = Mz = 0, будем иметь для случая осевого сжа-
тия следующие формулы:
EIzv,v + Pv" + РгАЬ" = 0, '
EJyWIV 4- Pw" — PyAe" = о,
EJaQ!v 4- PzAv" - PyAw" + (c2P - GJK) 0" = 0. .
(12.42)
Заметим, что если принять w = 6 = 0, т. е. предположить, что
потеря устойчивости происходит вследствие искривления
стержня в плоскости хОу, то первое уравнение примет вид
a" + io==0>
и его решение будет таким:
v = С[ cos ах 4- С2 sin ах,
так что критическое состояние должно определяться в случае
шарнирного закрепления концов стержня из условия
ч Р л2
“ EJZ —
и критическая сила равна
р „ ^EJz
ГУ [2
(12.43)
Однако если zA ¥= 0, приведенное выше выражение для v может
удовлетворить третьему уравнению только при С) = С2 — 0.
А это значит, что потеря устойчивости, связанная с искривле-
нием только в плоскости хОу, возможна лишь при zA = 0, т. е.
в том случае, когда сечение симметрично относительно оси Оу.
Аналогичными рассуждениями убедимся, что потеря устойчиво-
сти от искривления только в направлении Oz, чему соответ-
ствует критическая сила
n2EJy
Р =--------—
* Z -- /2 »
(12.44)
376
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
возможна лишь в том случае, когда сечение стержня симмет-
рично относительно оси Oz. Наконец чисто крутильная форма
потери устойчивости (и = ш = 0), критическая сила для кото-
рой определяется из условия
с2Р — GJK _ л2
Eja I2
и равна
= + (12.45)
возможна лишь при у а = zA = 0, т. е. при наличии у сечения
двух осей симметрии. Однако и при симметричных сечениях нет
еще оснований считать, что силы Ру, Pz или Ра будут наимень-
шими критическими силами. Для выяснения этого вопроса рас-
смотрим общий случай потери устойчивости стержня. С этой
целью, принимая шарнирное закрепление концов стержня, бу-
дем искать решения системы (12.42) в виде:
л . пх л . лх „ л . лх
о = .<41 sin — , ш = А2зт—, 0 = А3 sin -—.
После подстановки этих выражений в (12.42) и деления всех
членов на л2//2 получим для определения Ait А2, А3 следующие
уравнения:
(Д^_р)Л_рглЛ3 = 0,
(^--р)а2+рУаа3=о,
- PzAAr + РУаА2 4- (-^2- + GJK - С2Р) А3 = О,
или, окончательно, если иметь в виду (12.43) — (12.45):
(Р^-Р)А1-РглА3 = 0,
(Рг-Р)А2 + РулА3==0,
- PzAAt + РУаА2 + (Рш - Р) с2А3 = 0.
Если определитель этой системы однородных уравнений не ра-
вен нулю, то единственным ее решением является
Ai = А2 = А3 = 0,
так что никакое отклонение от первоначальной формы равнове-
сия невозможно. Следовательно, условием критического состояния
§ 50]
ЦЕНТРАЛЬНО-РАСТЯНУТЫЕ И СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
377
является равенство
Ру-Р о
0 Рг — Р
— Р?А РУ А
— PzA
РУа
(Ра~Р)с2
= 0,
ИЛИ
(Ру ~ Р) (Р, ~ Р) (Р« “ Р) С2 “ Р2У2А (Ру - Р) - Р^А (Р, - Р) = 0
(12.46)
Для сечения, имеющего две оси симметрии (yA = zA = 0)f
это уравнение принимает вид
(Рг,-Р)(Рг-Р)(Рш-Р) = 0
и имеет три корня:
Pl — Ру, Р% — Рг> Р3 — Р w
Следовательно, критической будет наименьшая из сил Ру, Pz,
Ра. Если сечение симметрично относительно оси Oz (уА — 0)г
уравнение (12.46) примет вид
(₽, - Р) (Р. - Р) (₽. - Р) * - - П = о>
ИЛИ
(Р. - Р) К'’ - р,~(Р, + Р.) ‘гр + - °-
Его корни
Р^Рг,
D (Ру + Ра) ± л/(Л/ + - WyP<^ (<? ~ * А)
^2,3— Т7~2
(12.47>
Критической силой будет наименьшая из этих трех величин.
В случае уА 0 и zA =?= 0, как показывает детальное иссле-
дование, критическая сила оказывается меньше Pv, Pz, Р№.
При практических расчетах удобно пользоваться для опре-
деления допускаемых напряжений коэффициентом
[о]уст
Ф==“ИГ-
Так как, с другой стороны,
<Ткр
ф —• ~Ь—
•*уст
и
<Укр Ркр
(Уэ Рь
где Ркр и ОкР — критическая сила и критическое напряжение,
найденные по вышеприведенным формулам, Рд и оэ — то же, но
378
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
вычисленные по формуле Эйлера, то можно представить ср в сле-
дующем виде:
^кр
аэ-^— к
t's 'ч
ф = ——-—,
VT К, уст
причем
Отсюда следует, что коэффициент <р для тонкостенного стержня
открытого профиля можно находить по имеющимся в нормах
таблицам, принимая за гибкость стержня величину
*пр = *д/-^- (12.48)
Все приведенные выше выводы, очевидно, справедливы
лишь в том случае, если потеря устойчивости происходит при
упругих деформациях. В силу того, что, как мы указывали выше,
в общем случае при одинаковых гибкостях
Ркр < Вэ,
переход в пластическую область должен происходить при гиб-
костях X, меньших, чем для стержней сплошного сечения, при-
чем граничная величина X зависит от формы и размеров сече-
ния стержня; Так как задача об отыскании критической силы
в пластической области оказывается весьма сложной, на ее ре-
шении мы не останавливаемся. Однако некоторые подсчеты
показывают, что в качестве первого приближения и в пластиче-
ской области можно принимать
Чкр ^кр
<ТЭ 7*э *
где Ркр — критическая сила, найденная в предположении упру-
гих деформаций по приведенным выше формулам. Таким обра-
зом, оказывается возможным во всех случаях пользоваться
таблицей коэффициентов ф, определяя гибкость стержня по фор-
муле (12.48).
§ 51. Гибкие сжато-изогнутые стержни
В § 36 мы рассмотрели сжато-изогнутые стержни, обла-
дающие весьма малой гибкостью, в связи с чем их расчет ока-
залось возможным производить по недеформированному состоя-
нию. В случае большой гибкости такой подход к расчету ока-
зывается неприемлемым, и при определении усилий в сечении
§ 51]
ГИБКИЕ СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
379
стержня представляется необходимым учитывать влияние про-
исходящих при приложении нагрузки перемещений его сече-
ний.
Рассмотрим, например, стержень с шарнирно-закрепленными
концами, подвергающийся действию сжимающих сил Р и любой
поперечной нагрузки, симметричной относи-
тельно середины его длины (рис. 228) и вы-
зывающей плоский изгиб. Изгибающий мо-
мент в любом сечении стержня при учете
деформированного состояния
Мх = Pw + ЛГо,
где Мо — изгибающий момент при отсут-
ствии сжимающих сил. Следовательно, для
определения прогиба имеем
__ Pw _
EJ EJ •
При малых прогибах и действии только по-
перечной нагрузки, симметричной относи-
тельно середины длины стержня, уравнение
оси изогнутого стержня можно представить
ностью в виде
w‘
(12.49)
Рис. 228.
малой погреш-
с
£ . ЛХ
wo = fosm~,
где Wo — прогиб любой точки оси стержня при Р — 0, — про-
гиб посередине длины стержня. Поэтому
Мо „ л2 с . лх
р io sin —у»
и наше уравнение принимает вид
„ . Pw л2 f . лх
“Ь £/ J2 /о Sin I ,
или, если обозначить P/(EJ) = а2,
//I 9 л ,
ау +а2ау = —-jj-fosin-j-.
Будем искать решение этого уравнения также в виде
г . лх
ау = ) sin —.
После подстановки в уравнение получаем
я2 f лх . 2f . ЛХ Л2 г . лх
— JF / sin-y- + a2f sin — = — f0 sin —,
380
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
откуда
1 л2 „ — , Р12
I2 а‘ * n2EJ
или, обозначая
п2Е1 _ р
I2 ~ э’
имеем
wmax — f = —f-~-.
’-f-
г э
(12.50)
€ несколько худшим приближением можно применять получен-
ный результат и для несимметричной поперечной нагрузки, если
асимметрия ее не очень близка к случаю косой симметрии. В ре-
зультате получаем
Мтах = Рштах+ < = < + —^р-, (12.51)
1-4-
_______Z—Mi
°гп!п F W
Pfo
(12.52)
В частности, при внецентренном сжатии
Мо = Ре,
где е — расстояние точки приложения сжимающей силы от оси
стержня (эксцентриситет),
f — м<>р — Рер
' ° — 8EJ ~ 8EJ ’
и, следовательно,
f Рер . 1 __л2 Ре . 1 /1 о сох
' ~ 8EJ л_Р_ 8Рэ 1_Р_’
Рэ Р3
Р Ре Pel2 Р
tfmtn — f W 8EJW ' _Р_'
1 Р
Для этого частного случая легко получить и точное решение
уравнения (12.49). Последнее получает вид
или
w" -f- a2w = — a2e,
§ 51]
ГИБКИЕ СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
381
где
а2__£_
а EJ '
Его общее решение имеет вид
w = Ci cos ах + С2 sin ах — е.
Из условия ш = 0 при х = 0 получаем
С!-е = 0, С, = е.
Из условия w = 0 при х = I находим следующие выражения:
„ . , е (1 — cos al) , al
С9 sin а/ — е(1 — cosaZ) = О, С2 ==—-—:—- = etg-x~.
2 ’ * sm al ° 2
Таким образом,
w = е (cosax + tg-y sin ax—1),
/ . , al \
I sin2 -y I z 1
f=wmax = e cos4+---------y-l =e/_!_----------A. (12.54)
\ cos-j- J V0S-2~ )
Следовательно, имеем:
р f по формуле (12.53) f по формуле (12.54) Разница, %
0,1 0,137е 0,134е 2
0,5 1,23е 1,25е 4,90s 1,7
0,8 4,92е 0,5
0,9 11,04е 10,75е 2,5
Погрешность формулы (12.53) оказывается практически не-
существенной.
Из рассмотрения полученных результатов видно, что прогиб
внецентренно сжатого стержня связан с нагрузкой нелинейной
зависимостью и с возрастанием дроби Р/Рэ быстро возрастает.
Та же зависимость имеет место и в отношении наибольших сжи-
мающих напряжений. Вследствие нелинейной зависимости на-
пряжений от сжимающих сил расчет по допускаемым напряже-
ниям не может обеспечить требуемого запаса прочности, так как
при возрастании нагрузки в k\ раз напряжение возрастает зна-
чительно больше, чем в ki раз. Поэтому расчет необходимо ве-
сти по допускаемым нагрузкам. При допускаемой нагрузке Р
предельная должна иметь величину k^P, так что предельная
382
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
величина наибольшего сжимающего напряжения определится
формулой
kj> kxPe . kxPel2 ktP
Опред p "Г "Г ЯРГТГ/ [г,р •
1 _ _д_
г э
Поэтому, если за предельную нагрузку принять такую, при ко-
торой наибольшие сжимающие напряжения достигают предела
текучести при сжатии, то
kiP , k\Pe , k,Pel2 kjP _
F + Г + 8EJVF ' . _ ktP ~ °
Ра
и расчетную формулу можно представить так:
Р , Ре , kiPel2 Р < г 1
F + W 8EJW _ ktP lCTJ’
Р*
или, в общем случае изгиба и сжатия,
Л + 2!» +_______hPb______
(12.55)
(12.56)
Кроме того, необходимо проверить наибольший прогиб по фор-
муле
Т?7—И2.57)
р,
или
. (12.58)
ра
где ka — коэффициент запаса по прогибам, [f] — допускаемый
прогиб.
Если обратиться к рассмотрению устойчивости равновесия
сжато-изогнутого стержня, то, так как потеря устойчивости мо-
жет иметь место только вследствие дополнительного искривления
его, можно утверждать, что речь может идти лишь о потере
устойчивости второго рода. Иными словами, потеря устойчи-
вости сжато-изогнутого стержня может произойти лишь вслед-
ствие того, что при некоторой величине нагрузки сопротивление
изгибу в результате возникновения пластических деформаций
начинает падать и, следовательно, прогиб начинает происходить
при уменьшающейся нагрузке. Критическое состояние соответ-
ствует тому прогибу, при котором сжимающая сила имеет наи-
большую величину. Таким образом, условие для определения
§ 51] ГИБКИЕ СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ 383
критической силы может быть сформулировано так:
4f = 0, (12.59)
где Р рассматривается как функция от прогиба. Это условие
можно представить и иначе. Как мы видели выше,
MmaK = P(f + e). (12.60)
В то же время Мт»* и f можно рассматривать как опреде-
ленные функции от кривизны стержня х:
Affflax = M(x), f =
так что
М(х) = Р[/(х) + е],
или
п.. М(х)
I («) + е '
Поэтому
dM fol__р df । (f । м dP _р df I (f i ,л dP df
dx 1 dx + 1 e' dx ~ P dx + + e> df dx '
Из условия (12.59) и^еем в критическом состоянии
dM (х) р df М (х) _ df dx dx f -j- e dx ’
или M (x) __ f(x) + e M' (x) f'(x) ' (12.61)
Полученное уравнение можно решать приближенно, полагая
в случае стержня с шарнирно-закрепленными концами
w=fsin-2p-. (12.62)
Тогда „ « я В «|о. II X
или
и уравнение (12.61) принимает вид
= « + 02.63)
384
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. !2
Если при этом функция Л4(х
зано на рис. 229, при данном
построить график М(и).
I задана графиком, то, как пока-
е легко можно найти критическое
значение к, как абсциссу точки
касания касательной,проведен-
ной из точки Л(—л2е/72,0), и кри-
тический изгибающий момент,
как ординату той же точки. За-
тем критическая сила определя-
ется из уравнения (12.60). Од-
нако такой путь решения трудно
осуществим, так как вид кривой
Л1(х) зависит от величины силы
Р. Поэтому удобнее, наоборот,
задавшись критической силой Р,
1 для каждого значения х нахо-
дим соответствующую величину эксцентриситета, а по уравне-
нию (12.60) определяем гибкость стержня l/i. По этим данным
можно построить графики зависимости критического напряже-
ния от гибкости стержня при за-
данном эксцентриситете.
Если можно принимать пла-
стическую деформацию происхо-
дящей без упрочнения, то нетруд-
но получить и аналитические вы-
ражения для 7И(х). Рассмотрим,
например, сжато-изогнутый стер-
жень прямоугольного попереч-
ного сечения, причем будем при-
нимать пределы текучести при
растяжении и сжатии одинаковы-
ми. В таком случае при переходе
в пластическое состояние эпюры
напряжений в сечении могут быть
двух типов, показанных на
рис. 230, где (Т0 — среднее напря-
жение, равное P!(bh). Таким об-
разом, эти эпюры можно рассматривать как результат сумми-
рования эпюр напряжений а0 от осевого сжатия и эпюр напря-
жений от изгиба, представленных на рис. 231.
В случае эпюры, представленной на рис. 231, а,
о == — (Ст — о0);
О = (От — <то)
т) < z (С h,
§ 511
ГИБКИЕ СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
385
где z отсчитывается от крайнего сжатого волокна сечения. При
Этом
J adF =
(Г)
J (<*т — <*о) dF + J (стт — <т0)
(Г.) (Гг>
-—5МР = 0,
или
— Fl (z0 — Т]) + S2 — ZoF2 = о, S2 — nf2 = F(z0 — t)),
где F| и Si — площадь и статический момент части сечения
О z гр Р2 и S2 — то же для части сечения т) z h F —
площадь всего сечения: F = Fi + Fi-
Так как
S2=-^-----^ = |н7г--г]НЛ + п)> F2~b(h — п),
то из предыдущего равенства получим
у(/г —П)2 = ^ (zQ — п).
В то же время, так как на основании гипотезы плоских сечений
при 1] z <' h
a = E(z — z0)~ = E(z — z0) %,
а при z = t]
О = (<Тт Ofl)>
то
и, следовательно,
= {’2'64)
J/a13 В- А- Гастев
386 УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ [ГЛ. 12
где для краткости обозначено
ДТ = ^Ч (*)
Далее,
М= го dF = — (ат — о0) z dF(z — z^zdF —
J J Zq 4 J
(П (jFi)
= - (aT - co) S, + (oT - o0) =
*0 Ц
= (oT - <T0) -^^°-n) + 72-^S2 = _ (o /s _ F .
' T U7 Zq — 7] V Г U/ \ S2 — Т\Г2 /
Подставляя сюда
/, - nSa- 4 - 4 - Д4 - 4) = 4 (ft - ^<2" +1>.
S2 — П^2 = 4(л“П)2>
найдем
М=-(<тт-о0)-^[1 -A(2A + n)],
а после подстановки т| из (12.64)
ЛГ = -^(ат-о0)(1 (12-65)
Полученная формула справедлива при о2 <2 <->т 4 f-’o> т. е. при
/ \ h [
— (°т — °о) -““Г 4= От + О0.
*0 7|
Отсюда
или
от (h — гй — z0 + я) — о0 (А — Т)Х О,
так что после подстановки значений h — 20 и 20 — т| получим
( / Ао Ат Ао Л / А г Ао
°Лу~^------------лг-;-сол/т <°>
/ s / А г — Aq Дт — Aq
(От - Go) V< От —
Окончательно условие применимости формулы (12.65), прини-
мая во внимание обозначения (-»•), можно представить так:
д?
(Дт — До) h
(12.66)
§ 51] ГИБКИЕ СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ 387"
Если эпюра напряжений
рис. 231, б, то
имеет вид, представленный
на
<т = — (сгт — сг0) при
а = от + <т0 при
о = (сгт — а0) ——— или
v Zo — Т]1
при Г| j
Так как
При Z — I] 1 О — — (От — По),
а
при Z = r)2 ff=OT+o0,
(**)^
из последних формул получаем
(стт — сг0) (Т|2 — г0) = (стт + <т0) (г0 — rj
Но вследствие того, что при vjj ^z^r)2
Е [z — г0) р,, ,
сг =----------= Е (г — z0) X,
на основании формул (**) получим
Из условия
j a dF = О
(Л
получаем зависимость между rj] и т|2:
s2 - л2Е2 = (л2 - z0) Л - е) ,
\ От Т По / t
после чего из уравнения
Л1 = j ctzdF
<F)
имеем
AI = (crT o0) S] + T ° (J2 zQS2) + (crT + o0) S3 =
= (oT + o0) ( - — Si + s2 + S3 + =
= (<rT + <To) [s--$! + А:—15;-
' T * 0/ L Or + Oo 1 Пз - Zo .
так что после подстановки значений т)2 — z0, т)! и т)2 получим
Л1 = -^<ттГ1 - PM2 (12.67)
4 TL \ cft J 3 \ Ehn J ] 4
7213*
388
устойчивость деформированного состояния тел
[ГЛ. 12
Это выражение справедливо при т]2 "С h, откуда
х>-----------г. (12.68)
Eh fl -
/2
Так как f = —s-х, то
М==р(^х + е) = Р^(х+^). (12.69)
Подставляя сюда условие критического состояния
. л2е М (х)
х+ —= ’
получаем для определения критической кривизны х уравнение
М'(х) = Р-§-. (12.70)
При
к < А? .. 2<*т
(Дт До) h Eh (1___JZl')
к Ст )
имеем, пользуясь (12.65),
М2 , . / 2 (ст - со) -ч РР
— (^-Со)Д/-^-----------х
или
рЬ/г / 8 (ст - Со)3 РР 4 Г2(ст-С0)1Т_ PF J-
£ 12 "V E3h3 — тт2 ’ I Eh J n2EJ ’
откуда _______
'* _ 2 (<гт — Сто) iPEJ \2
ХкР — Eh 'Sj k РР J ’
и после подстановки этого значения в (12.65) находим
Подставляя Л1кр и хкр в (12.69), получаем
1 _ 3/~РР~^ 2a0bh2-j
у n2EJ bh2 (ат — <То) ’
или, так как
/ 2(т —
РР a0FP = с0У <т0%2 _ . 0 h
n2EJ n2EJ п2Е ’ п2Е \ ст — <то
§ 51]
ГИБКИЕ СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
389
имеем
(12.71)
Полученная формула справедлива при
Подставляя сюда (12.71), находим условие применимости этой
формулы в виде
огт — «То (1 +
ч. Л z (Уу - О0
От Oq *****' От
или
£ От 0Q
h 2от
(12.72)
При больших эксцентриситетах имеем из (12.67)
3 V. Eh J х3
2<тт у ]
Eh ) х3 ’
так что для критической гибкости уравнение
мает вид
(12.70) прини-
откуда
_ 2от з/ rfEJ
Хкр — Eh 'У/ Pl2 •
и критический изгибающий момент
Следовательно, после подстановки в (12.69) получим
так что
13 В- А. Гастев
390
устойчивость деформированного состояния тел
[ГЛ. 12
и, следовательно,
(12.73)
На основании формул (12.71) и (12.73) построены графики
рис. 232. Формула (12.71) позволяет уяснить значение исследо-
вания устойчивости прямолинейного стержня при центральном
приложении сжимающих сил. Понятно, что прямолинейность
стержня и отсутствие эксцентриситета практически невозможны,
и, следовательно, названное исследование, по существу, имеет
чисто теоретическое значение. Однако, как видно из (12.71),
критическая сила, определяемая по формуле Эйлера, является
предельной величиной для критической силы сжато-изогнутого
стержня при приближении эксцентриситета к нулю. Нетрудно
видеть, что при весьма малых эксцентриситетах ошибка в опре-
делении критической силы имеет величину порядка 6е/й, так что,
например, при е/й = 0,001 она составляет всего 0,006, или 0,6%.
Аналогичное заключение можно сделать и в отношении влияния
начальной кривизны стержня.
§ 52. Устойчивость скручиваемого стержня
Для скручиваемого стержня потеря устойчивости первого
рода может иметь место в том случае, если отклонение от пря-
молинейной формы равновесия происходит вследствие искрив-
ления. Это искривление должно происходить по некоторой про-
§ 52]
устойчивость скручиваемого стержня
391
странственной кривой, так что в любом сечении имеют место
прогибы (в направлениях, перпендикулярных к главным осям
инерции этого сечения Оу и Oz), которые, как мы это делали и
раньше, обозначим через w и и. При повороте сечения вектор
крутящего момента М перестает быть нормальным к этому се-
чению. Проекции вектора М на оси Оу и Oz будут определять
изгибающие моменты Му и Mz в рассматриваемом сечении.
Рис. 233.
Поэтому из рис. 233, на котором представлены две проекции
стержня, имеющего положительные искривления, получим
M2 = A1w/, Mff = — Mv'.
Следовательно,
Му М '
~ET^ = ~EI^V ’
Мг М ,
Е]г ~ EJZW '
Дифференцируя (12.74) по х, получим
w'" ~ ТГ~ v"' или w"' = — ~Р2Г I w'
V
Обозначив
получим
откуда
Л12 2
£2Vz “ ’
w'" + а2ш' — О,
w — Ci cos ах + С2 sin ах + С3.
(12.74)
(12.75)
13*
392
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
1ГЛ. 12
После подстановки выражения w (в 12.75) найдем:
v = + -=т~ Ciasin ах--=7- С%а cos ах
CJz CJg
и ___
v = — Ci sin ax + C2 cos ax + C4x + C5.
При шарнирном закреплении обоих концов стержня получим
при х = 0 )
> w = 0, v — 0.
при Х = 1 )
Поэтому
С3 =— Ci, С2 sinaZ— C](l—cos al) = 0,
C5 = — C2, C4= у [C] sin al + C2(l — cosaZ)].
В то же время, дифференцируя (12.75) по х, нетрудно получить,
что
v'" + a2o' = 0,
и, следовательно,
v = Ai cos ax + А2 sin ax + Аъ
откуда ясно, что С4 должно быть равно нулю. Следовательно,
для определения Ci и С2 имеем два уравнения:
С2 sin al — Ci (1 — cos al) — 0,
C2 (1 — cos al) + Ci sin al = 0.
Они будут иметь отличные от нуля решения при условии, что
sinaZ —(1 — cos al)
1—cosaZ sinaZ ’
или
sin2 al + (1 — cos al)2 = 0,
t. e.
1 — cosaZ = 0.
Наименьший отличный от нуля корень этого уравнения равен
а1 = 2л. (12.76)
Нетрудно видеть, что при этом Сх и С2, так же как и С5, могут
иметь произвольную величину. Следовательно, условие (12.76)
определяет критическое состояние, и критический крутящий мо-
мент имеет величину ___
§ 53]
устойчивость плоской формы изгиба
393
В частности, для круглого вала
Мхр = ^. (12.78)
Из (12.78) видно, что для стержня, скручиваемого при упру-
гих деформациях, потеря устойчивости практически невозможна,
так как для этого необходимо, чтобы
2nEJ яг3 _
~2~ Тт,
откуда
Иными словами, при упругих деформациях скручиваемый сталь-
ной стержень может оказаться в неустойчивом равновесии лишь
при отношении г/Z, имеющем порядок десятитысячных долей еди-
ницы. При потере устойчивости в области пластического круче-
ния, если считать, что пластическая деформация происходит
без упрочнения, в формуле (12.78) под J следует подразумевать
момент инерции упругого ядра стержня, так что, обозначая ра-
диус этого ядра через с < г, получим
Таким образом, критический крутящий момент с уменьшением
упругого ядра убывает и, следовательно, при достаточно боль-
шом развитии пластических деформаций опасность потери ус-
тойчивости может стать реальной при любом отношении г//.
Это обстоятельство является дополнительной причиной, по ко-
торой следует относиться с осторожностью к расчету валов по
предельному крутящему моменту.
§ 53. Устойчивость плоской формы изгиба
В случае плоского изгиба потеря устойчивости первого рода
может иметь место в результате отклонения из плоскости из-
гиба, сопровождающегося закручиванием (рис. 234). Если, на-
пример, изгиб происходит в плоскости главной оси Oz, то
Му ~ М, Mz = О,
и для тонкостенного стержня второе из условий равновесия
(12.41) отклоненной формы принимает вид
EJywIV — Q.
394
УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ
[ГЛ. 12
Рис. 234.
Отсюда следует, что дополнительный прогиб w при отклонении
от первоначальной формы равновесия равен нулю, и потеря ус-
тойчивости равновесия происходит за счет перемещений v и 0,
удовлетворяющих первому и
третьему уравнениям (12.41), ко-
торые представляются так:
EJzvlv + Мв" = 0,
EJ^ + Mv" -
— (2czM + GJK)&" = 0.
Если сечение стержня
рично относительно оси
cz = 0, так что
EJzvlv MG" = 0,
(12.80)
Mv" - GJKG" + El<^v == 0.
(12.79)
симмет-
Оу, то
При чистом изгибе М = const, и решения этих уравнений для
стержня, оба конца которого закреплены шарнирно, можно пред-
ставить так:
• fX [X • JtA
o = o0sin—, 0 —0osin —.
После подстановки в (12.80) получим
EJz£vo-M^-eo = o,
- М v0 + ( GJK + Eja 4 % = °,
так что условием критического состояния является равенство
£Jz-£ -М
-М G^ + ЕЦ^-
откуда находим критический изгибающий момент:
MKp==iVE/2G/K д/1
(12.81)
В частном случае, когда сечение стержня представляет собой
узкий прямоугольник, 4 = 0 и
Мкр = | = Е- aJeJz^~ . (12.82)
устойчивость плоской формы изгиба
395
$ 53]
Для балки двутаврового сечения
где Ji — момент инерции сечения одной полки относительно оси
Oz, —расстояние между центрами тяжести сечений полок.
Поэтому ____________
я --------- / л2£/./г?
<Р = - ^EJZGJK • Д/ 1 + • (12.83)
При изгибе с поперечной силой М является функцией от х;
уравнения (12.80) становятся уравнениями с переменными коэф-
фициентами. Их интегрирование, а следовательно, и нахожде-
ние критической нагрузки становятся гораздо более сложными,
в связи с чем мы не будем заниматься рассмотрением соответ-
ствующих задач.
По найденным критическим изгибающим моментам или по-
перечным нагрузкам нетрудно найти критическое напряжение:
_ Мкр
ак₽ = "^7-
Очевидно, что полученные выше результаты применимы лишь
при условии
сткр ступр-
За пределом пропорциональности они теряют силу, и определе-
ние критических напряжений требует специального исследова-
ния. Ввиду недостаточной изученности этого вопроса в качестве
первого приближения величину критического напряжения за
пределом пропорциональности уменьшают во столько раз, во
сколько такое же по величине эйлерово критическое напряже-
ние для сжатого стержня меньше соответствующего ему крити-
ческого напряжения в пластической области.
ГЛАВА 13
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА*)
§ 54. Линейно-деформируемые упруго-вязкие
и вязко-пластические тела
1. Вязкость деформируемых тел. В предыдущих главах изу-
чалось напряженно-деформированное состояние тел, обладаю-
щих в определенных пределах свойством упругости, а после до-
стижения напряжениями определенной величины подвергаю-
щихся пластическим деформациям, не зависящим от времени
действия и скорости приложения нагрузки. Теоретические сооб-
ражения и экспериментальные исследования показывают, что
реальные тела обладают такого рода упруго-пластическими
свойствами лишь в известном интервале температур и скоростей
приложения нагрузки или деформирования. Так, например, про-
цесс деформирования стали при не слишком высоких темпера-
турах и обычных скоростях деформации практически является
стабильным, а при температуре около 400 °C начинает заметно
сказываться время действия нагрузки: график процесса в коор-
динатах «напряжение — деформация» будет разным для процес-
сов, осуществляемых с разными скоростями деформации при
прочих равных условиях (одинаковой температуре, одном и том
же начальном состоянии образцов и т. д.). Для многих мате-
риалов такая зависимость от скорости процесса оказывается
существенной и при комнатной температуре. Типичными пред-
ставителями подобного рода материалов являются материалы
аморфной структуры, в частности, пластмассы. Аналогичное по-
ведение обнаруживают цементный камень, бетон, а также де-
рево. Когда заметно проявляется отмеченная зависимость про-
цессов деформации от скорости деформирования (или нагруже-
ния), говорят, что материал обладает вязкостью. Таким обра-
*) В последние годы вместо термина «упруго-вязкое» стал обычно ис-
пользоваться термин «вязко-упругое (тело)». Однако ни с какими действи-
тельно важными обстоятельствами это ие связано, и потому терминология
первого издания книги сохранена и в настоящем издании.
§ 54] ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ТЕЛА 397
зом, в общем случае реальные материалы обладают как упру-
гостью, так и вязкостью и пластичностью, т. е. должны рассмат-
риваться как упруго-вязко-пластические. Лишь в определенных
условиях исследование их напряженно-деформированного со-
стояния может производиться с точки зрения учета в основном
только упругих и пластических деформаций, а также той или
иной их комбинации.
В настоящей главе мы рассмотрим некоторые расчетные при-
емы исследования влияния вязких деформаций на напряженно-
деформированное состояние тел, причем вначале ограничимся
лишь случаем линейного напряженного состояния (02 = ст3 = 0).
2. Вязкая жидкость. Простейшим примером тел, для которых
влияние времени на напряженно-деформированное состояние су-
щественно, является вязкая жидкость, расчетная модель которой
установлена Ньютоном, почему ее часто называют ньютоновой
вязкой жидкостью. Для такой жидкости сопротивление течению
зависит от относительных скоростей движения ее частиц. Вслед-
ствие этого касательные напряжения в точках вязкой жидкости
следует сопоставлять не с величиной относительных сдвигов, а
со скоростью изменения этих сдвигов у, где точкой обозначается
производная по времени t. Ньютон предложил принимать зави-
симость между т и у линейной, так что
т = ПУ, (13.1)
где т] — коэффициент вязкости, аналогичный модулю сдвига для
упругого тела. Таким же образом для линейного напряженного
состояния можно принять
а==А.ё, (13.2)
где X — коэффициент, аналогичный модулю Е для упругого тела.
Этот коэффициент можно назвать линейной вязкостью жидко-
сти. Он должен быть связан с коэффициентом вязкости т] зави-
симостью, аналогичной зависимости между Е и G (см. п. 3 в
§ 12), так что
_ *
11 — 2 (1 + пД ’
где Tin — коэффициент скорости поперечной деформации. Для
жидкостей характерна малость сопротивления изменению фор-
мы по сравнению с сопротивлением изменению объема. В соот-
ветствии с этим ньютонову жидкость обычно можно считать не-
сжимаемой, т. е. имеющей постоянную плотность при фиксиро-
ванной температуре. При этом коэффициент равен половине
и, следовательно,
Л = 3т].
398
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
[ГЛ. 13-
3. Линейно-деформируемое упруго-вязкое тело, обладающее
последействием. Сама по себе ньютонова вязкая жидкость не
представляет большого интереса с точки зрения прочности, ио
с учетом ее свойств строятся многие расчетные модели тел, об-
ладающих одновременно упругостью и вязкостью. Так, одна из
наиболее простых и основных таких моделей получается при
условии, что напряжение можно представить в виде суммы двух
частей, одна из которых связана по закону Гука с деформацией,
а другая определяется соотношением вида (13.2). В результате
<т==Ее-|-Хё, (13.3)
или
de . Е ___________________________ а
dt ‘ X е — Л *
Так как для линейного дифференциального уравнения с постоян-
ными коэффициентами вида
у' + ay = f (х)
общим решением является
у = е~ах
С + f (х) еах dx
*>
(13.4)
то из (13.3) найдем
_££. ~~ с 1L
е = Се Л + т \ о (t) е к dt.
Л J
Заменяя под интегралом обозначение переменной t на ti, это
выражение можно представить в виде
Et р E(f-t,)
е = Се ' т т I я (Л)е *
to
Если удлинение в начальный момент времени t = 10 обозначить
через во, то
Et,
С = еое к ,
так что окончательно получим
Е (f-t0) р Е (t-f,1
е — еое к +yjcF(tt)E Л (13.5)
<о
ЛИНЕИНО-ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ТЕЛА
399
§ 54]
Полагая, в частности, /0 = —оо, найдем
. г Е
е = -г \<т(/1)е к dti,
Л» J
—оо
откуда следует, что деформация в любой момент времени опре-
деляется процессом изменения напряжений за время от t =— оо
до рассматриваемого момента. Это свойство называют наслед-
ственностью, так что можно сказать, что деформации рассмат-
риваемого тела обладают свойством наследственности.
При постоянной деформации
8 = 8q, 8 = 0,
и из (13.3) найдем
а = Ее0,
т. е. напряжение остается постоянным. Наоборот, при постоян-
ном напряжении
о (*1) = <*о>
и из (13.5) получим
е р е a-t,}
е = еое х + -р j е к dti =
. Г Е (/-/0) 1
= еое к + -~[1 —е к ],
Отсюда следует, что при постоянном напряжении величина от-
носительного удлинения все время возрастает и достигает окон-
чательной величины
лишь по истечении бесконечно большого промежутка времени.
Если же в некоторый момент времени t = /2 нагрузка снята, так
что начиная с этого момента <т = <т0 = 0, то дальнейшая дефор-
мация должна протекать по закону
е g-h}
8 = 826 К ,
где е2 — удлинение в момент t — /2- Деформация все время убы-
вает, достигая величины 8 = 0 по истечении бесконечно боль-
шого промежутка времени. Процесс изменения деформации с
течением времени, когда к растянутому стержню в момент
400
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
[ГЛ. 13
to = 0 приложено постоянное усилие, которое при t — t2 снято,
представлен графически на рис. 235. Явление постепенного воз-
растания деформаций после приложения нагрузки и убывания
после снятия нагрузки носит название последействия. В данном
случае деформации после снятия нагрузки постепенно исче-
зают, так что могут трактоваться как упругие. Следовательно,
про рассмотренное тело мож-
но сказать, что оно обладает
упругим последействием.
При постоянной скорости
деформирования ё — ё0 = const
зависимость между напряже-
ниями и деформациями стано-
вится линейной:
о == Ее -j- Хё0.
Таким образом, диаграммы на-
пряжений для разных скоро-
стей деформирования оказы-
ваются прямолинейными, причем прямые отсекают на оси на-
пряжений различные по величине отрезки.
4. Линейно-деформируемое упруго-вязкое релаксирующее
тело. Упруго-вязкое тело, соединяющее свойства упругого тела
и вязкой жидкости, можно характеризовать также и тем, что
скорости деформаций его определяются как упругими, так и
вязкими его свойствами. Но для упругого тела
и, следовательно,
. d
е— Е
Для вязкой жидкости
. а
е==т-
Поэтому для рассматриваемого упруго-вязкого тела
а , а
е— X + Е ’
или
о + по = Хё,
где принято
п=4-
При постоянном напряжении
о = о0, о = 0,
(13.6)
§ 54] ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ТЕЛА 401
и из (13.6) получаем
ё = = const,
Л
так что тело деформируется с постоянной скоростью подобно
вязкой жидкости.
Для удлинения же имеем
е = Д<+С,
Л
и так как в начальный момент t = 0 удлинение равно упругому
удлинению от напряжения <т0:
о __ <*> _ р
е0 ——ь,
то
£=^ + ^.=^(1 +П.
Е 1 Л Ь к 1 п)
При постоянной деформации
е = е0, ё = 0,
и из (13.6) получаем
t-t,
а = <тое " ,
т. е. при постоянной деформации напряжение с течением вре-
мени убывает, асимптотически приближаясь к нулю. Явление
постепенного убывания напряжений во времени при постоянной
деформации носит название релаксации напряжений. Таким об-
разом, тело, для которого зависимость между напряжениями и
деформациями представляется уравнением (13.6), является ре-
лаксирующим. Постоянную п, имеющую размерность времени,
называют временем релаксации.
В общем случае, из (13.6) найдем
t t
e==\(~i + T>)dt = i + i\cl^dt + c>
tf> to
или, обозначая относительное удлинение и напряжение в началь-
ный момент времени t = через ео и <т0, получим
t
е = —о (/) Л + е0—(13.7)
*9
402
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
[ГЛ 13
Если при /0 —0
то
<*о = ео = 0,
a(fi , if ,,
в = _+ _
О
(13.8)
так что релаксирующее тело обладает в отношении деформаций
свойством наследственности.
Применяя к уравнению (13.6) формулу (13.4), получим
если же
то
воспользоваться формулой
интегрирования по частям.
а = Се п + Ее п
-If -
ene —-\e(t)en dt\,
t
1 f
П J
или
п
t
а —Ее — 6 (6)e ” ^6 + Ge
t
п
Принимая, что при t = to = O
O0 = E0 = Q,
имеем окончательно
E i
a —Ее——ye(t^e n dtlf
о
(13.9)
откуда видно, что релаксирующее тело обладает свойством на-
следственности и в отношении напряжений.
5. Общий случай линейно-деформируемого упруго-вязкого
тела. Положив, что правая часть (13.6) зависит не только от
скоростей деформации, но и от самой деформации, получим
о + по = Ее + Впё. (13.10)
Определяемое этим соотношением тело обладает одновременно
свойствами обоих тел, рассматривавшихся выше в пп. 3 и 4.
Очевидно, что при весьма медленных процессах скорости а
и ё будут малы и соответствующими членами в (13.10) можно
пренебречь. Тогда (13.10) обратится в выражение
а = Ее,
S 54]
ЛИНЕИНО-ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ТЕЛА
403
т. е. в закон Гука для упругого тела при модуле упругости Е,
который поэтому называют длительным модулем упругости. На-
оборот, при очень больших скоростях деформации а и ё велики,
так что влиянием самих напряжений а и деформаций е можно
пренебрегать. Тогда
па = Впё,
откуда
а = Be,
т. е. снова получается закон Гука, но уже с модулем упругости
В. Последний поэтому называют мгновенным модулем упругости
для данного материала. Что касается постоянной и, то, как мы
убедимся в дальнейшем, она является по-прежнему временем
релаксации.
При постоянной нагрузке
а = а0, о = 0,
и, следовательно,
Впё + Ее = сг0,
откуда
Et
e = -^. + Cs Вп . (13.11)
Если за начальное состояние принять такое, которому соответ-
ствует мгновенный модуль упругости, то
„ __ Оо
R° — ~B
и
С = а°(т — £")’
так что
/1 1 Et
е = ^- + о0(4--4)е Вп- (13.12)
Так как мгновенный модуль В всегда больше Е (при большой
скорости деформирования напряжения растут быстрее, чем при
медленной), то отсюда следует, что при постоянном напряжении
деформация с течением времени возрастает от
Go &Q
e0 = -g- ДО 6^ = -^-.
Возрастание деформаций при постоянной нагрузке называют
ползучестью. Таким образом, можно говорить, что рассматри-
ваемое тело обладает свойством ползучести.
Если в некоторый момент времени t = t2 произвести раз-
грузку, то, полагая в (13.11) сто = 0, получим изменение
404
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
ГГЛ. ,3
удлинений, начиная с этого момента, по закону
________Et_
е = Се п ,
или, если обозначить через ег удлинение, полученное к моменту
f = t2,
Е {t-t,}
в = е2е Вп . (13.13)
Деформация после разгрузки по истечении длительного вре-
мени (теоретически при t = оо) исчезает (рис. 236), почему ее
можно рассматривать как упругую. В то же время на основа-
нии сказанного можно утверждать, что изучаемое нами тело
обладает свойством после-
действия.
При постоянной дефор-
мации
е = е0, в = 0.
Уравнение (13.10) прини-
мает вид
о + по = Ее0,
откуда
__t_
о = £е0 + (<т0 — £е0) е п ,
где сто — напряжение в момент t = to = O. Таким образом, при
постоянной деформации происходит релаксация напряжения с
временем релаксации п. Из изложенного следует, что рассмат-
риваемое тело соединяет в себе свойства ранее рассмотренных,
являясь релаксирующим и обладая в то же время последей-
ствием и ползучестью.
Испытания на растяжение и сжатие обычно производятся
при постоянной скорости деформирования либо при постоянной
скорости нагружения. Если скорость деформирования по-
стоянна,
8 = ё0,
т. е.
е = iot, (13.14)
то из (13.10) получим
откуда
о + по = Ее0/ + Впк^,
__t_
о = Се п + £ес/ + (В — £) пё0.
§ 54]
ЛИНЕИНО-ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ТЕЛА
405
Считая, что при 1 = 0 о = 0, найдем
С —— (В — Е) пё0,
так что окончательно
о — Eeat + (В — Е) пё0 (1 — е
или, если с помощью (13.14) исключить t,
а = Ее + (В — £) пё0 (1 — е
(13.15)
Зависимость между напряжениями и деформациями при задан-
ной скорости ёо представлена на рис. 237,а.
Очевидно, что при различных скоростях деформирования
кривые рис. 237, а будут иметь различное очертание. При умень-
шении скорости ё0 кривая рис. 237, а будет приближаться к пря-
мой о = Ее и при ёо = О обратится в эту прямую. Наоборот,
при ё0->оо, так как
— 8
( ——А 1 „
<у — Ее -|- (В — Е) иёо к1 — е ) = Ее ф- (В — Е) е --,
е
пёо
получим
о = Ее + (В — Е) е = Be,
т. е. кривая обращается в прямую
<т = Ве.
При изменении напряжений с постоянной скоростью а=а0
o = dot, (13.16)
406
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
[ГЛ. 13
откуда
Et
е = Се Вп +-^-+-^(1 --£-)•
Принимая, что при t — 0 в = 0, получим
с—^(1-т).
и окончательно
-^+^0-4)6-г<-).
или, если исключить t с помощью (13.16),
+ -ТД1 (13.17)
Эта зависимость представлена на рис. 237,6. Если скорость из-
менения напряжений увеличивается, то кривая постепенно при-
ближается к прямой
<т = Ее;
при убывании названной скорости она приближается к прямой
о = Ве.
Кривые, изображенные на рис. 237, а и б, вообще говоря, раз-
личны, так что зависимости между напряжениями и удлине-
ниями получаются различными при различных способах испы-
таний.
6. Некоторые задачи расчета стержней из материала, следу-
ющего закону деформирования типа (13.10). Рассмотрим за-
дачу о кручении стержня круглого сечения. Зависимость (13.10)
для касательных напряжений, очевидно, должна иметь вид
т nt = Gy 4- Нпу, (13.18)
где G — длительный и Н — мгновенный модуль сдвига. При кру-
чении круглого стержня
где р — радиус-вектор точки сечения, ф = dtydx — относитель-
ный угол закручивания. Поэтому
у==рф,
и (13.18) принимает вид
т + nt = Орф + Ялрф.
§ 54]
ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ТЕЛА
407
В то же время
тр dF — Мк, тр dF = Мк.
(Е) (Е)
Поэтому, умножая обе части предыдущего уравнения на pdF
и интегрируя по всей площади сечения, получим
тр dF + п tp dF = G-ф р2 dF + Hnty j р2 dF,
(Е) (Е) (Е> (Е)
т. е.
Мк + пМк — + Нп/р^,
или
^Ф 1 ® .к . МК | Мк ZIn , пч
-зг+тпг^=:н^- + <13-19)
Если известен закон изменения во времени крутящего момента,
то из (13.19) найдем ф в функции от t, после чего из (13.18)
легко получить напряжения в любой точке сечения. В частности,
при постоянном крутящем моменте
^Ф G ______Мк_
dt “* Нп™ Hn.Jp '
откуда
м
^ = Се Нп+-^-.
(Jj р
Следовательно,
. Мк
если = при
t = 0,
т. е. относительный
угол закручивания соответствовал мгновенному модулю сдвига,
то
и
так что ф возрастает от М/(Н/Р) при t = 0 до при
t-^oo. После подстановки полученного значения ф в (13.18) по-
лучим
. . МкР
Т + ПТ = —Z—
'р
откуда
т — Се п + -^кР-, или
•'р
dx I 1 Мкр
ИЛИ -ГТ- 4-----Т = —
dt п njp
т = тое п+-^-(1— е п).
'р
Если то = AfKp/Jp, то т остается постоянным, т. е. влияние вяз-
кости сказывается лишь на величине угла закручивания.
408
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
(ГЛ. 13
Совершенно аналогично может быть решена задача об из-
гибе стержня. Если принять гипотезу плоских сечений, то
Z
Б = — = Х2‘,
Р
где х = 1/р — кривизна оси изогнутого стержня, и
Б = XZ.
Следовательно, (13.10) принимает вид:
а + пд — Еги + Bnzn,
откуда
<yz dF + п isz dF = En^z2 dF + Впй z2 dF,
)F) IF) (F) (F)
ИЛИ
M + nM = EJyn + BnJyit.,
так что
t/x । E _____ Ad . Л1 /1 о onv
IF + ~Bn " ~ ~ВпЦ ’ (13.20)
Отсюда при заданном законе изменения изгибающего момента
найдем кривизну х, после чего из (13.10) определятся и напря-
жения.
В случае постоянной нагрузки на балку изгибающий момент
также остается постоянным, и совершенно аналогично предыду-
щему можно убедиться, что влияние времени скажется лишь
на кривизне оси балки, а следовательно, и на прогибах послед-
ней. Если нагрузка представляет собой груз Р, перемещающий-
ся по балке с постоянной скоростью v, то для t, заключающе-
гося в пределах 0 =< t x/v, изгибающий момент в сечении х
равен
P(l — x)vt P(l — x)v
М =----5-------- и М =-----,
а при x/v t l/v
Таким образом, из (13.20) получим
при 0 t ^x/v:
Et
+ P(1,7,X}V (t + n-~\, (13.21)
P IC J \ Cl /
при x/v Z/v:
(13-22>
§ 54]
ЛИНЕЙНО-ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ТЕЛА
40Ф
и так как при t — О
х = — = О,
р
то
с=~1йтуп (4- О» <13-23>
CL, J у \ Л-1 /
а при t = x/v
и
Ех г Ех т
С1е-т» [(4- 1)г^+4-(4-1)]-
-Д[г+“(т-0-4 (13-25)
Из полученных выражений можно аналитическим или графи-
ческим путем найти момент времени, соответствующий макси-
муму кривизны, и для этого момента вычислить напряжения,
после чего проверка прочности не представит затруднений.
7. Зависимость между напряжениями и деформациями ли-
нейно-деформируемых упруго-вязких тел при объемном напря-
женном состоянии. Полученные выше зависимости между напря-
жениями и деформациями для упруго-вязких тел можно обоб-
щить и на случай объемного напряженного состояния. С этой
целью вспомним, что, как было показано в главе 3, любую де-
формацию можно разложить на две: деформацию изменения
объема sy и деформацию, связанную только с изменением фор-
мы и определяемую главными удлинениями:
* * Sv * Sv
е1=е1~-3-- е> = е2“ -Г’ S.i==e3- —
Так как объемная деформация связана лишь с величиной сред-
него нормального напряжения
Щ Щ + Сз Ох + Оу + ог
Ос = з = 3 ,
то и напряженное состояние можно рассматривать как совокуп-
ность двух напряженных состояний, определяемых главными
напряжениями:
и
°i = <0 ~ ст., о; = о2 — ас, О| = О3 — Ос.
410 УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА [ГЛ. 13
При упругой деформации по закону Гука
ev = (di + ст2 + <Тз)
и, следовательно,
ек 1 - 2ц
3 е« Е °с‘
,Величину
зТГ^зд-* (13-2е>
называют модулем объемной деформации, так что
ac = Kev = 3Kec. (13.27)
В то же время
О] = 2G (8| + еи)
и, следовательно,
"°1 oc==2G (ei + । _2(t j _3fl ec -=
~ 2C (» + тДг - 20 2„) ) - 20 (*' + V-'F °") =
— 2G (e, — ec),
и аналогично,
<*2 — = 2G (82 — ec), cr3 —<tc = 2G(b3 —ec).
"Таким образом, обобщенный закон Гука для главных напря-
.жений и главных деформаций можно представить так:
ос = ЗДв0,
<Т1 — <ТС = 2G (в] — 8С),
О2 — (Ус = 2G (82 — 8С),
<т3 — <jc = 2G(b,- 8с),
.а при произвольном направлении осей:
ас = 3/Свс, |
<тх стс = 2G (вх 8С), Тух = Gy^x, ।
ас = 2G (е,у 8С), Tzjl = Gyzg, ।
<тг <jc = 2G (bz 8c), t xz = Gy xz, J
ггде
°x + -f- eg -f- ez
Oc = j ’ ec= § •
(13.28)
(13.29)
(13.30)
Иными словами, обобщенный закон Гука для объемного на-
пряженного состояния сводится к прямой пропорциональности
§54]
ЛИНЕИНО-ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ТЕЛА
411
между величинами ос, ох — ос, ау — ос, ог — ас, хух, хгу, тхг>.
х 1 1
с одной стороны, и ес, ех — ес, еу — ес, ег — ее, у уух, уугг.
— ухг, с другой, при модулях ЗЯ и 2G.
Имея в виду, что
р р
К== 3(1 -2ц) ’ G = 2(1 +|Л) ’
путем исключения ц получим следующую зависимость:
Е~^То- <1331>
В случае ньютоновой вязкой жидкости для скоростей деформа-
ции роль модуля сдвига играет коэффициент вязкости ц, а объ-
емная деформация зависит только от гидростатического давле-
ния, и уравнения (13.29) принимают вид:
<7^ — ЗЯес, |
Ох — ос = 2ц (ёх — ёс), хух = цуух, I
Оу О с = 2т] (ky 8С), Хгу = ЦУг»» |
О г — Ос = 2т) (ёг — ёс), Ххг = Цухг. )
(13.32>
При этом коэффициент объемной вязкости цу должен прини-
маться равным бесконечности и, следовательно, коэффициент
линейной вязкости X, который по аналогии с (13.31) выражается
через Цу и ц зависимостью
ЗЦу + ч ’
(13.33)>
должен равняться Зц. Совершенно аналогично для упруго-вяз-
кого тела, обладающего последействием, при отсутствии объем-
ной вязкости найдем следующие выражения:
ос = ЗЯес,
ох ~ ос = 2G (ех — ес) + 2ц (ёх — ёс),
ов — ос == 2G (еу — ее) + 2ц (ёу — ёс),
о г ~ ос = 2G (ег — ес) + 2ц (ё2 — ёс),
Хух = Gyyx + ЛУух»
"^гу = G^zy 4“ ЛУг//,
Ьг = Gyxz + ПУхг-
(13.34>
412
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
[ГЛ. 13
(13.36)
(13.37)
Для упруго-вязкого релаксирующего тела
0е = ЗДес,
fax — <тс) + пдх = 2ц (ъх — ъс), хух + тух = х\уух,
fas — стс) + пду = 2ц (Ёу — ёс), xzy 4- nizy = цу2у,
(0Z ~ 0е) + пдг = 2ц (ёг — ёД ххг + тхг = цухг,
лричем
л
n=-Q.
Наконец, для общего случая
0С = 3/Сес,
fax — 0С) + п (стх — стс) = 2G (ех — ес) + 2Нп (ёх — ёс),
(0у — <тс) 4- п (ду — дс) = 2G (еу — ес) 4- 2Нп (ёу — ёД
(0г — 0С) + n(dz — дс) = 2G (ег — ес) 4- 2Нп (ёг — ёД
4- niyx = Gyyx 4- Нпуух,
Ъгу + nrzy = Gyzy 4- Hnyzy,
^xz + fG-xz == GyXz ~Ь Нпухг'
8. Вязко-пластические тела. В случае пластической деформа-
ции без упрочнения, исходя из четвертой теории прочности, по-
д/у [fai - ст2)2 + («2 — <*з)2 + fas — <п)2] = <Тт. (13.38)
В то же время при упругой деформации с помощью (13.28)
легко установить, что
aJ3 [fai — 02? + (02 — стз)2 + (<т3 — «Т])2] =
= 2G д/у [fa — ег)2 + (е2 — ез)2 + (е3 — б])2] .
Аналогично, для вязкой жидкости из (13.32) получим
-д/у [(ffl — 02? + (02 — 02? + (03 — <*1)2] ==
= 2ц д/1 [fa! - ё2)2 4- (82 - ё3)2 4- (8з - е,)2]. (13.39)
1
! (13.35)
§ 55]
НЕЛИНЕЙНЫЕ упруго-вязкие тела
415'
Комбинируя уравнения (13.38) и (13.39) для тела, обладающего
свойствами пластичности и вязкости, получим
S\Jу [(<*1 — — <Тз)2 + (<ТЗ — <*1)2] =
== <гт + 2т) д/у [(е, — ё2)2 + (ё2 — ё3)2 + (ё3 — ё,)2], (13.40)
или, так как при отсутствии объемной вязкости т] = Х/3,
д/ у Kff! — аг)2 + (ff2 — аз)2 + (стз <*1)2] =
= <7Г + т - ё2)2 + (ё2 - ёз)2 + (8з - ё^)2 . (13.41)
О
Таким образом, уравнения (13.40) или (13.41) могут считаться
характеристиками вязко-пластического состояния тел.
§ 55. Нелинейные упруго-вязкие тела
1. Получение нелинейных зависимостей путем обобщения
экспериментальных результатов. Как показывает опыт, для
большинства реальных упруго-вязких тел линейные зависимости
могут быть использованы лишь для весьма грубых оценок про-
исходящих изменений напряженно-деформированного состоя-
ния, действительные же зависимости между напряжениями, де-
формациями и их скоростями носят нелинейный характер. Для
построения этих зависимостей приходится в той или иной форме-
использовать экспериментальные данные, которые могут быть-
двух типов:
1) по экспериментальным данным построены диаграммы,
связывающие напряжения и деформации при разных скоростях,
испытания;
2) установлена зависимость между напряжениями, деформа-
циями и их скоростями для какого-либо частного вида напря-
женного состояния.
В первом случае, если известны скорости деформирования
в точках тела, может быть установлен закон распределения на-
пряжений в сечениях тела, и таким образом охарактеризовано
его напряженное состояние. Так, например, если принять гипо-
тезу плоских сечений, то скорость изменения относительных уд-
линений в любой точке поперечного сечения балки оказывается’
пропорциональной расстоянию этой точки от нейтральной оси
и скорости изменения кривизны оси балки в рассматриваемом»
сечении:
ё = 2Й
-414
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
[ГЛ. 13
Следовательно, при заданной скорости изменения кривизны оси
•скорости деформирования во всех точках сечения известны, и с
помощью полученных экспериментально диаграмм напряжений
растяжения и сжатия при разных скоростях деформирования
легко построить эпюру рас-
пределения напряжений по
сечению. Пример такого по-
строения для растянутой
зоны высотой h\ дан на
рис. 238. После построения
эпюры напряжений нетруд-
но определить изгибающий
момент, соответствующий
этой эпюре, исходя из урав-
нения
М = \zodF.
(Л
Так, в случае прямоуголь-
ного сечения и одинаковых эпюр напряжений в растянутой и
сжатой зоне
и так как
то
М = ^zo dF — 2 za dF,
ю (4)
z = ер, dF = bdz = bp ds,
М — 2&р2 ст в ds = 2bp2Sa,
о
•где Sa — статический момент площади эпюры напряжений рас-
тянутой зоны относительно оси о.
Если же экспериментально получена зависимость между на-
пряжениями, деформациями и их скоростями для частного слу-
чая какого-либо определенного напряженного состояния, то эта
зависимость может быть обобщена на основании следующих со-
ображений.
В случае упругой деформации нелинейная зависимость ме-
жду напряжениями и деформациями может быть получена, если
^принять в выражении (13.28) модуль сдвига не постоянным, а
переменным:
2G = i|>.
$ 55] НЕЛИНЕЙНЫЕ УПРУГО-ВЯЗКИЕ ТЕЛА 415'
Тогда из выражения (13.28) получим
д/4 Ка1 — °2)2 + (°2 — Оз)2 + (<*3 — ^l)2] =
= “Ф д/4 [(е, — е2)2 + (е2 — е3)2 + (е3 — Sj)2]
или, приняв обозначения
д/4 Кст1 — Оз)2 + (о2 — Ст3)2 + (ст3 — ст 1)2] = S2, ]
V ____________________________________ 1 (13.42>
д/у Ке1 — ег)2 + (®2 — ®з)2 + («з — Ei)2] = е2, j
получим
^ = -J. (13.43>
Если, например, из опыта на кручение экспериментально уста-
новлена зависимость
T = f(|), (13.44)»
то, имея в виду, что при этом
<Tj = t, а2 = 0, <т3 = —т, е!=-у, е2 = 0, е, = — у,
получим
S2 = T, С2 = у,
так что зависимость (13.44) может быть представлена в виде
S2 = f (е2).
Если считать, что такая зависимость сохраняет силу при люболг
напряженном состоянии, то на основании (13.43)
$ = -^. (13.45)
Заменяя в (13.28) или (13.29) удвоенный модуль 2G найден-
ным выражением ф, получим искомые обобщенные нелинейные;
зависимости. Так, например, при линейной зависимости
t = 2G|,
получим
f (е2) = 2Ge2,
и, следовательно,
ф = 2G,
416
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
ГГЛ. 13
т. е. линейная зависимость сохраняется и для любого напря-
женного состояния. Если для т имеем параболическую зависи-
мость
т==а(й2+Ч1)’
то
f (е2) = ае2. + Ье2,
и, следовательно,
ф = ае2 + й = ад//-|- [(ej — е2)2 + (е2 — еА)2 + (е3 — ej2] + b.
Совершенно аналогичными рассуждениями получим, что, заме-
няя в (13.32) коэффициент 2т] переменной величиной ф', можно
выражение этой величины найти по экспериментальной зависи-
мости
i-f.G)
в виде
ф'=-^, (13.46)
тде
ё2 = д/l [(ё* ~ ®2)2 + (®2 ~ ёз)2 + (®3 ~ ®1)2] • (13-47)
Наконец, из экспериментальной зависимости
таким же образом получим нелинейные зависимости для любого
напряженного состояния, заменяя в (13.34) коэффициенты 2G
и 2ц переменными величинами ф и ф', определяемыми по фор-
мулам (13.45) и (13.46).
2. Нелинейное упруго-вязкое тело с полуэмпирической связью
напряжений и деформаций. Для упрощения экспериментальных
исследований часто пользуются полуэмпирическими зависимо-
стями между напряжениями и деформациями упруго-вязких тел.
Одной из наиболее обоснованных некоторыми энергетическими
соображениями является зависимость, которая для линейного
напряженного состояния имеет вид
e = ao + cshpo, (13.48)
где а, р и с — постоянные, определяемые экспериментально. При
постоянном напряжении о = о0
8 == ct sh 0oro + 8d,
НЕЛИНЕЙНЫЕ УПРУГО-ВЯЗКИЕ ТЕЛА
417
§ 551
т. е. изменение деформаций в зависимости от времени при опре-
деленной величине напряжения происходит по линейному за-
кону. В то же время при постоянной деформации е — ео
+ - sh рст = О,
dt а 1
откуда
llnth-^ + -£ = lnCb
или
a c'd
th-^- = Cie « .
Полагая, что при t = Q ст = ст0, найдем отсюда
о cBt а
th-y- = e “ th-^, (13.49)
что свидетельствует о релаксации напряжений с временем ре-
лаксации -Дг. При постоянной скорости деформирования е = ё0
ср
а + с sh = ё<”
или
откуда
и
do , dt
с sh Ра — ё, а
= Ае “
1
и.
е0 th-y
=’
1 - Ае
с2
.9
80
с2
.9
8б
’’-а
(13.50)
2
С
о
причем
произвольная постоянная А равна
А=1------
%»'1?
(13.51)
где По — величина о при t = 0.
При постоянной скорости изменения напряжений а=о0
е— ао0/+ jr-(ch Рф/— 1) + ео. (13.52^
418
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
[ГЛ. 13'
Часто для упрощения в формуле (13.48) гиперболический синус
заменяют степенной функцией, представляя эту формулу так:
8 = + (13.53)
Ь \ <?о z
где т > 1 — соответствующим образом подбираемый постоян-
ный показатель.
§ 56. Ползучесть бетона и металлов
1. Определение деформаций ползучести. Учет влияния вре-
мени имеет важное практическое значение не только для тел
аморфной структуры, но и для большинства кристаллических
тел, или тел, имеющих еще более сложную структуру. Так, бе-
тон представляет собой скелет из щебня и песка, пустоты ко-
торого заполнены цементным раствором, который может рас-
сматриваться как вязкая жидкость.
Однако вязкость цементного раствора является переменной
величиной, постепенно убывающей по мере кристаллизации геля.
Таким образом, деформируемость бетона зависит от соотноше-
ния объемов жесткого скелета и вязкого цементного камня, по-
лучающегося в процессе кристаллизации цементного раствора,
а также от возраста последнего. Ввиду этого она имеет проме-
жуточный характер между упругой и вязкой и определяется
достаточно сложными нелинейными зависимостями. При этом
в течение некоторого начального периода времени большее зна-
чение имеют вязкие деформации, затем их- роль становится все
меньше. На конечном этапе при достаточно больших напряже-
ниях деформации оказываются связанными с местными нару-
шениями сцепления между цементным камнем и скелетом или
местными разрушениями скелета.
Металлы состоят из кристаллических зерен правильной
структуры. Так как, однако, на границах зерен в процессе кри-
сталлизации возникают препятствия со стороны соседних зе-
рен, эта правильность структуры нарушается, и граничные зоны
по своей структуре уподобляются аморфным веществам. В опре-
деленном диапазоне температур и при небольших напряжениях
неупругие деформации происходят лишь в указанных зонах,
имеющих весьма малый объем по сравнению с телом зерен. По-
этому, пока напряжения не достигнут определенной величины,
зависящей от соотношения сопротивлений тела зерен сдвигу и
граничных зон — вязкой деформации, вязкая деформация поли-
кристаллического тела оказывается настолько незначительной,
что практически может не учитываться. Названное выше соот-
ношение существенно зависит от температуры. При определен-
ной для данного материала температуре даже в результате не-
§ 56J
ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА И МЕТАЛЛОВ
419
высоких напряжений неупругая деформация начинает происхо-
дить не только вследствие вязкой деформации граничных слоев,
но и по причине остаточных сдвигов в зернах, а также враще-
ния зерен. Величина этой температуры зависит от абсолютной
температуры плавления металла. Так, для углеродистых ста-
лей она равна приблизительно 350°, для легированных сталей
400°, Для легкоплавких металлов 50° и ниже.
Возникающая в результате указанных выше причин неупру-
гая деформация вначале происходит с убывающей скоростью,
так как сдвиги и вращение зерен сопровождаются упрочнением
последних, а в сплавах — фазовыми превращениями, также от-
ражающимися на прочностных свойствах кристаллов. Вслед-
ствие этого при некоторой величине деформации ее скорость
может оказаться равной нулю или, по крайней мере в некото-
ром интервале, принять постоянное значение. При достаточно
больших напряжениях преобладающее значение получают сдви-
ги кристаллов, заканчивающиеся разрушением.
Таким образом, поведение бетона и металлов при длитель-
ной нагрузке является весьма сложным. Оно определяется не
только свойствами начальной структуры и температурой, но и
структурными изменениями в процессе деформации, в связи с
чем может быть описано приведенными выше зависимостями
между напряжениями и деформациями лишь с известным при-
ближением. Эти зависимости приходится еще уточнять на осно-
вании чисто экспериментальных
используют по преимуществу так
называемые кривые ползучести,
т. е. кривые, связывающие вели-
чину деформации при постоян-
ных напряжении и температуре
с временем.
Вид этих кривых (рис. 239)
зависит от величины действую-
щего постоянного напряжения, от
состава и условий твердения (для
бетона), от состава и термообра-
ботки (для металла). При этом,
как показывают опыты, для раз-
личных металлов при так назы-
ваемых сходственных абсолютных температурах (т. е. та-
ких, отношение которых к абсолютной температуре плавления
данного металла одинаково) кривые ползучести оказываются
подобными. Как видно из рис. 239, весь процесс ползучести
можно разбить на три стадии. В первой стадии (кривая ОА)
ползучесть происходит при убывающей скорости деформации.
Ее называют стадией неустановившейся ползучести. На второй
420
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
[ГЛ. 13
стадии (участок АВ кривой ползучести) скорость деформации по-
стоянна (стадия установившейся ползучести). В зависимости от
условий деформирования эта стадия может соответствовать раз-
ной скорости деформации от нуля до некоторой постоянной ве-
личины и иметь большую или меньшую продолжительность. При
высоких напряжениях и температурах (для металлов) вторая
стадия может совсем отсутствовать и деформация сразу пере-
ходит в третью стадию (ВС\ или ВС^), заканчивающуюся хруп-
ким разрушением или разрушением, сопровождающимся значи-
тельными пластическими деформациями. (Вид различных кри-
вых ползучести для металла
при различных температурах
показан на рис. 240.) При раз-
грузке деформации ползуче-
сти постепенно убывают, од-
нако вследствие происшедших
структурных изменений пол-
ностью не исчезают. Таким об-
разом, они в значительной
своей части являются неупру-
гими.
Так как для расчетных це-
лей наибольшее значение име-
ет стадия установившейся пол-
Рис. 240. зучести, в которой скорость из-
менения деформаций постоян-
на, то для количественной оценки деформаций ползучести чаще
всего используют модели тела, получаемые путем обобщения
соотношений, рассматривавшихся в § 54. Так, например, найден-
ную нами выше зависимость для линейно упруго-вязкого релак-
сирующего тела при постоянном напряжении (см. п. 4, § 54)
•=^о+в
можно обобщить, принимая время релаксации п не постоянным,
а меняющимся во времени. Тогда
еп = <То[4- + с(О]- (13.54)
Этой зависимостью часто пользуются при исследовании ползу-
чести бетона, причем величины Е и С (мера ползучести) при-
нимают, кроме того, зависящими от возраста бетона /*, так что
в каком-либо возрасте /о
Go) Гт77г + С(/> <
L Е (Л) 1
®п0 — &
§ 55]
ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА И МЕТАЛЛОВ
421
Так как в процессе ползучести возраст бетона изменяется,
то полное удлинение при приложении нагрузки в момент t — to
представляется следующим уравнением:
е = о (/о)
1
или, после интегрирования по частям,
t
е==^(?Г-$<7</)^'[тЙ’ + С(/’П]Л*’ (13-55)
*9
где первое слагаемое называют упруго-мгновенной деформа-
цией*). Вид функции С определяют по эмпирическим данным,
полагая, например,
С (t, П = (с0 + 7-) [1 - (13.56)
где с0, а и у — экспериментально определяемые коэффициенты.
Можно определить деформацию ползучести, считая ее состоя-
щей из двух частей: чисто вязкой деформации, соответствующей
линейно упруго-вязкому релаксирующему телу, и деформации,
являющейся результатом последействия при переменном вре-
мени релаксации. Первая, как мы видели, происходит с постоян-
ной скоростью. Вторая для линейно упруго-вязкого тела, обла-
дающего последействием, если принять, что при t = 0, е = 0.
представляется в виде
вл2 = -^-[1— е л ] = -^-п (1 — е ").
*) Строго говоря, одних только предыдущих соотношений недостаточно
для получения этого уравнения. Для перехода от случая действия постоян-
ного напряжения, к которому относятся соотношение (13.54) и следующее за
ним, к общему случаю изменения напряжения во времени можно воспользо-
ваться тем фактором, что любая непрерывная (или имеющая лишь конечное
число разрывов первого рода) функция представима в виде предела после-
довательности «ступенчатых» функций. Каждой «ступени» при этом будет
соответствовать процесс при постоянном напряжении, т. е. процесс, для кото-
рого справедливо приведенное выше соотношение. Заменяя процесс общего
вида такого рода «ступенчатым» его представлением и переходя затем к пре-
делу, и получим приведенное уравнение с интегралом, из которого вытекает
уравнение (13.55). Законность упомянутого представления обеспечивается так
называемым принципом суперпозиции, сформулированным в свое время
Л. Больцманом.
422
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА [ГЛ. 13
При времени релаксации, изменяющемся в пределах от 0 до <х>,
и при нелинейной зависимости получаем
вп2 — ео J Ф (“) 1 — еп J dn — eof (/),
о
где ф(и) — закон изменения времени релаксации. Таким обра-
зом, полная деформация ползучести равна
еи==-^- + еоНО = ео
Ф (п) I 1 — е
t
п I dn Ч----
7 щ
(13.57)
где «1 — время релаксации для чисто вязкой деформации. Прак-
тически вид функции f(n) и величина «1 определяются в ре-
зультате обработки экспериментальных данных, так что фор-
мула (13.57) должна рассматриваться как эмпирическая. Она
может быть еще обобщена, если принять нелинейный закон из-
менения вязких деформаций типа (13.48). Тогда
е„ == 8о 1 \ ф (п) I 1 — е п ) dn + c2l f sh ,
I J \ / I О>0
О '
(13.58)
где эмпирически определяются ф(п), щ, с2 и <т0.
Наилучшее совпадение с экспериментальными результатами
можно получить, применяя формулу
e^dHOsh-^ + c^sh-^-. (13.59)
Однако ввиду сложности формул (13.57) — (13.59) при исследо-
вании ползучести металлов чаще пользуются уравнениями
(13.48) и (13.58), т. е. представляют полную деформацию в виде
е = е0 + ct sh — = -4- ct sh —,
и «о Е а0
(13.60)
(13.61)
или
При учете ползучести часто представляется необходимым рас-
смотреть и влияние релаксации на напряженное состояние тел.
Чаще всего приходится решать такую задачу: за какое время
в стержне, имеющем заданное удлинение 8;, напряжение щ
уменьшится, вследствие релаксации, до определенной величи-
ны <т? При этом, очевидно,
8j = е + еп.
§ 56]
ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА И МЕТАЛЛОВ
423
откуда, так как ег — постоянная величина,
ё + ёп = О,
или ё„ = — Е da dT
или d/== — 1 da
Если en — f (°0> то Е ёп.
* 1 f da
J W
а
(13.62)
Так, если использовать зависимость (13.60), то
/ (а) = с sh -у-
ао
и
(13.63)
Точно так же с помощью (13.61) получим
л Г / л \
____________________ I । ___ Л О* \ I
(т — 1) Ес{<у'п~' |_ \ а,-/ J
(13.64)
2. Расчеты на ползучесть. Учет влияния ползучести бетона
имеет существенное значение при изучении температурно-уса-
дочных деформаций бетонных сооружений, а также для иссле-
дования напряженно-деформированного состояния железобетон-
ных конструкций, особенно предварительно напряженных. Так
как соответствующие расчеты требуют специальных знаний в
области названных конструкций, на их рассмотрении мы не ос-
танавливаемся.
Расчеты на ползучесть металлических конструкций получили
в настоящее время широкое применение при проектировании
паровых и реактивных двигателей, в которых приходится иметь
дело с высокими температурами, обусловливающими весьма
ощутительное влияние деформаций ползучести на прочность и
долговечность конструкций. Так как при рабочих температурах
обеспечить отсутствие ощутительных деформаций ползучести
удается лишь при весьма малых напряжениях, практически
424
УПРУГО-ВЯЗКИЕ И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЛА
[ГЛ. 13
неприемлемых, то к названным конструкциям предъявляют
лишь более слабые требования, а именно:
а) чтобы скорость деформации ползучести по истечении оп-
ределенного периода времени не превышала заданной величины;
б) чтобы равномерная скорость ползучести (скорость уста-
новившейся ползучести) не превышала заданной величины;
в) чтобы полная деформация за определенный срок службы
конструкции, или некоторой ее детали не превышала заданной
величины.
Соответствующее данной температуре наибольшее напря-
жение, при котором выполняется требование а), называют ус-
ловным пределом ползучести по допускаемой минимальной ско-
рости деформации; при выполнении требования б) — условным
пределом ползучести по допускаемой равномерной скорости де-
формации; наконец, при выполнении требования в) — условным
пределом ползучести по допускаемой суммарной деформации.
В расчете за допускаемое напряжение принимается один из ука-
занных условных пределов ползучести. При этом во всех случаях
должно быть выполнено условие, чтобы деформация ползуче-
сти не выходила за пределы второй ее стадии. Для обеспечения
указанного условия требуют, чтобы допускаемое напряжение не
достигало предела длительной прочности, т. е. напряжения, дей-
ствие которого при заданной температуре вызывает разрушение
по истечении установленного промежутка времени, вводя к
этому пределу коэффициент запаса около 1,5.
Названные выше напряжения определяют или непосред-
ственно по экспериментальным кривым, или с помощью приве-
денных выше формул.
Пример. Определить допускаемые напряжения на ползучесть для рас-
тянутых элементов из хромомолибденовой стали (0,1% С, 4,8% Сг, 0,5% Мо),
срок службы которых установлен в 10 час. при температуре 540°. Наибольшая
величина равномерной скорости ползучести не должна превышать 10-6 см!см
в час, допускаемая суммарная деформация 0,15 см/см.
Применяя формулу (13.60), получим скорость деформации
, а
ол = С£Й--,
По
и, следовательно, допускаемое напряжение по заданной скорости деформации
[а], =а0 Arsh-^1.
Для хромомолибденовой стали указанного состава при t = 540° имеем
=1,05, с = 6,8-10“э,
10~6
[а] 1 = 1,05 Arsh —--х- = 1.05 • 545 = 572 кПсм2.
6,8-10-9
Допускаемое напряжение по заданной суммарной деформации найдем из
§ 56]
ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА И МЕТАЛЛОВ
425
уравнения
С Оо
решая которое путем последовательных приближений, получим
[о] 2 = 612 кГ/см2.
Предел длительной прочности найдем по формуле
еа е3'6
а = — —---------т-тт- = 5,25 кГ/мм2 = 525 кГ/см2,
t 10 0000-18
так что при коэффициенте запаса 1,5
[ег] з — 350 кГ/см2.
Для некоторых конструктивных элементов (например, бол-
тов) необходимо производить также расчет на релаксацию на-
пряжений, который может выполняться по формулам (13,63)
или (13.64).
14 В. А. Гастев
ГЛАВА 14
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ
И ДИНАМИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ
§ 57. Влияние сил инерции
на напряженно-деформированное состояние тел
1. Задачи изучения действия динамических нагрузок и на-
пряжений. В предыдущем изложении рассматривалось по пре-
имуществу действие статических нагрузок и статических напря-
жений, т. е. таких нагрузок и напряжений, которые длительно
действуют на элементы конструкций и изменяются в процессе
приложения или снятия с малой скоростью. К такого рода на-
грузкам можно относить собственный вес, центробежные силы
установившегося вращения, постоянные нагрузки и временные,
медленно прикладываемые нагрузки. При действии этих нагру-
зок часто приходится принимать, что и напряжения имеют ста-
тический характер. Однако в некоторых случаях статические
нагрузки могут вызвать напряжения, меняющиеся во времени
с большой скоростью,— динамические напряжения. Так, напри-
мер, собственный вес и постоянная поперечн-ая нагрузка на вал
машины при вращении вала обусловливают периодически ме-
няющиеся во времени, и притом с большой скоростью, напря-
жения.
С другой стороны, сами нагрузки могут иметь динамический
характер, вызывая в то же время и динамические, изменяю-
щиеся во времени с значительной скоростью, напряжения. Та-
кими нагрузками являются силы инерции деталей машин, дви-
жущихся возвратно-поступательно; центробежные силы вра-
щающихся частей при пуске в ход и остановке машин, и на-
грузки, прикладываемые в течение весьма короткого времени
(ударные нагрузки).
Существенной особенностью динамических нагрузок является
большая скорость их приложения, в результате чего элементы,
подвергающиеся действию таких нагрузок, получают значитель-
ные ускорения, влиянием которых на напряженно-деформиро-
ванное состояние нельзя пренебрегать, как это делается при
§ 57J
ВЛИЯНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
427
рассмотрении действия статических нагрузок. С этой точки зре-
ния последние можно рассматривать как частный случай ди-
намических нагрузок. Однако динамические напряжения ощу-
тительно изменяют самый процесс деформирования, в резуль-
тате чего поведение тел при действии подобного рода
напряжений оказывается отличным от поведения тел в случае
статических напряжений.
Ввиду этого изучение действия динамических нагрузок при-
ходится вести в двух направлениях:
а) нахождение величин динамических напряжений, связан-
ных с наличием больших ускорений при приложении динамиче-
ских нагрузок;
б) исследование влияния динамических напряжений на де-
формации и разрушение тел.
2. Влияние центробежных сил. Как известно, наличие уско-
рений связано с возникновением особого рода сил — так назы-
ваемых сил инерции, величина которых определяется произве-
дением массы элементарного объема тела на ускорение центра
тяжести этого объема, а направление обратно направлению ус-
корения. В частности, при вращении тела с угловой скоростью
to имеет место центростремительное ускорение ®2г, где г — ра-
диус-вектор точки. Следовательно, на любой элементарный объ-
ем вращающегося тела, имеющий массу dm, действует сила
инерции (центробежная сила) dnia^r. Зная величину и направ-
ление этой силы, с помощью принципа Даламбера легко соста-
вить условие динамического равновесия, _____
откуда определятся усилия, приложенные
к граням рассматриваемого элемента, a /s'
следовательно, и напряжения. /(
Рассмотрим в качестве примера тон- /!
кое кольцо, вращающееся вокруг оси О I
(рис. 241). Толщину кольца будем счи- \\ II
тать настолько малой, что можно пре- \\ //
небрегать его сопротивлением изгибу. На
элемент кольца длиной ds = г dtp дей-
ствует центробежная сила а2г, а Рис. 241.
на единицу длины кольца — центробеж-
ная сила ^-а2г. Таким образом, задача об определении на-
пряжений сводится к задаче, рассмотренной в главе 11. По
формуле (11.26) получим
о =-у-<э2г2. (14.1)
При постоянной угловой скорости напряжения оказывают-
ся постоянными, т. е. имеют статический характер. Полученное
14*
428
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. [4
решение в качестве первого приближения может быть использо-
вано для расчета обода маховика и других аналогичных дета-
лей, где допустимо пренебречь влиянием спиц.
В случае диска постоянной толщины, составляя уравнение
динамического равновесия элемента диска (рис. 242), получим
— srr dQ • 6 -j- (стг + dor) (г + dr) dQ • 6 + сте dr • 6 cos (90° + 9) +
. уо dr • r M 6 о n
+ —----------cor = 0,
где 6 — толщина диска; после преобразований получим уравне-
ние
dar gr~go...._ Vp®2r
dr r g ’
(14.2)
отличающееся от (11.27) лишь правой частью. Равным образом,
уравнение (11.30) в данном случае при-
мет вид:
dan da, 1 + u.
~^+чГ =------------r-Yo<o2r. (14.3)
Отсюда
ст0= —or —^-^-уоЮ2г2 + 2Сь (14.4)
и после подстановки в (14.2) получим
dcr । 2вг _ _ 3 + [х 2r г 2Ci
dr + г 2g Vo® Г Т" г •
Так как частным решением этого урав-
нения является
„ Г' 3 + (X ,.2,2
°г — 1 Vo® r >
то общее решение его имеет вид
ar = Ci + ~ Yo®2r2. (14.5)
После подстановки в (14.4) находим
ае = Ci - % —Vo®2r2. (14.6)
В случае диска, представляющего собой кольцо с внутренним
радиусом rt и наружным г2, ввиду отсутствия внешней нагрузки
на внутренней и наружной поверхности получим
аг = 0 при г — г{ и г = г2,
§ 57J
ВЛИЯНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ
429
ИЛИ
откуда
С1 = Vo®2 + i). С2 = - Vo®244
л, следовательно,
3 + И 2^91 9 2
Сг = ^-у0<о2 VI+ 4 ~г
2 Г / 2 2 \ "1
<те = [(3 + и) V2 + Г| + — (1 + Зц) г2 ] .
(14.7)
В случае сплошного диска для того, чтобы в его центре (г = 0)
не получались бесконечно большие напряжения, необходимо
принять С2 = 0. Кроме того, при г = г2, где г2 — наружный ра-
диус диска, аг = 0. Поэтому
~т* и 2 9
8Г_70«2г22,
ш, следовательно,
(14.8)
Наибольшая величина напряжения ог по формуле (14.7) полу-
чается при r = Vrir2 и равна
Yn®2'? , ( г, \2
maxor = —^-(3 + ц)^1 — — J ; (14.7*)
наибольшая величина ое при г = г{ равна
2 2 / ч 9 \
Yn® '9 / I — Ц Г\ \
max о0 = —(3 + ц) ( I + ——(14.7**)
4g \ 3 + ц /
а при весьма малом центральном отверстии, когда квадратом
дроби п/гг можно пренебречь,
= (14.9)
В случае сплошного диска наибольшие напряжения будем иметь
при г — 0:
max<7r = maxoe= Yora2r2j (14.10)
430
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. 14 '
так что наибольшее напряжение в центре сплошного диска по-
лучается вдвое меньшим, чем при наличии малого отверстия в
центре диска с отверстием. Во всех случаях наибольшие напря-
жения пропорциональны квадратам окружных скоростей иг2 па
внешней поверхности диска. Поэтому при больших окружных
скоростях эти напряжения достигают больших величин. Для
уменьшения напряжений приходится от дисков постоянной тол-
щины переходить к дискам переменной толщины. Ввиду значи-
тельной сложности расчета последних мы на их рассмотрении
не останавливаемся.
3. Напряжения при поступательном и возвратно-поступа-
тельном движении стержня. Напряжения в поступательно-дви-
жущихся стержнях, обусловливаемые движением последних,.
связаны также с силами инерции, возникающими при значи-
тельных ускорениях. Так, в стержне, растянутом силами Р и
Рис. 243.
движущемся поступательно с ускорением а, направ-
ление которого совпадает с направлением оси
стержня (рис. 243), усилие Sx в каком-либо сече-
нии должно урайновешивать не только силу Р и
вес соответствующей части стержня, но и силу
инерции:
Sx = P + ^Fx + ^^a = (P + ^Fx)(\ +|)„
и, следовательно,
a = (4+Yox)(l+f). (14.11)
Таким образом,
где Ост — напряжение в стержне, находящемся в относительном
покое или движущемся с равномерной скоростью, при учете-
собственного веса:
Р ,
<*ст — -р + Yox
При значительных ускорениях эти напряжения могут суще-
ственно увеличиваться. Если движение стержня является воз-
вратно-поступательным, то напряжения в нем будут перемен-
ными, изменяющимися от некоторой наибольшей величины до
минимальной, соответствующей ускорению обратного направле-
ния. В некоторых случаях переменность напряжений обуслов-
ливается, кроме того, напряжениями от изгиба в разных направ-
лениях. Такой случай имеем, например, для так называемого
спарника, обеспечивающего совместное вращение двух колее
'§ 58]
ДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ НАГРУЗОК
431
{элемент АВ; рис. 244). При вращении колес с угловой ско-
ростью «в на каждый элемент спарника длиной dx действует
„ уог dx 2 „
центробежная сила —«гг, направление которой в каждый
момент совпадает с направлением кривошипов OjA и О2В. Эта
сила дает составляющую,
перпендикулярную к оси / Ш / /"// / / / / /
спарника и вызывающую --А/ / // // // //
его изгиб. Ввиду перемен- / /\ / /\
ности направления силы о, 'v о/ )
инерции эта составляющая V.__У
будет иметь разную величи-
ну при разных положениях Рис- 244.
спарника. Наибольшей бу-
дет ее величина, соответствующая вертикальному положению
кривошипов. При этом на спарник будет действовать равномер-
но распределенная изгибающая нагрузка интенсивности
УпР dx 2 . , VcT 2
а = —---cor . dx = —— tor,
4 g g
где г—радиус кривошипа, а если учесть, кроме того, собствен-
ный вес, то
<7=^^ + ^ = ^^ +-^).
Следовательно, наибольшее по величине нормальное напряже-
ние от изгиба
’иЧ+т)' <14Л2>
причем знак второго слагаемого изменяется в зависимости от
того, занимает спарник крайнее верхнее или крайнее нижнее
положение. В то же время по оси спарника будут действовать
усилия, вызывающие его растяжение или сжатие в зависимости
от направления движения спраника. Таким образом, суммарные
напряжения в точках сечения спарника при каждом полном
обороте кривошипов будут изменяться от некоторой наибольшей
величины до наименьшей и снова до наибольшей. Они имеют,
следовательно, явно выраженный динамический характер, с чем
следует считаться при исследовании прочности.
§ 58. Действие ударных нагрузок
1. Продольный удар. Ударной называют нагрузку, прикла-
дываемую за весьма малый промежуток времени, например, при
падении на рассматриваемое тело другого тела, при очень бы-
стром возрастании давления одного тела на другое и т. д.
У///////////////////А
а
Рис. 245.
ция успевает
432 ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЯ [ГЛ. И
Совокупность явлений, имеющих место при ударном приложении
нагрузки, называют ударом. Для стержней, в зависимости от
направления удара по отношению к оси стержня и характера
происходящих деформаций, различают продольный (растяги-
вающий или сжимающий) удар, вызывающий деформации рас-
тяжения или сжатия, поперечный (или изгибающий) удар, скру-
чивающий удар.
Пример продольного удара представлен на рис. 245, где груд
Q падает на заплечики стержня с высоты h. Вследствие боль-
шой скорости приложения ударной нагрузки
процесс деформирования стержня при этой
нагрузке должен существенно отличаться от
того, какой мы имеем при статическом ее при-
ложении. В самом деле, известно, что упругая
деформация распространяется в теле со ско-
ростью, равной скорости распространения в
нем звука. Скорость эта очень велика, тогда
как скорость приложения статической на-
грузки, а следовательно, и скорость возраста-
ния деформаций стержня малы. Поэтому к
моменту, когда статическая нагрузка достиг-
нет своей окончательной величины, деформа-
шространиться на всю длину стержня. При
ударной нагрузке, если длина стержня не очень мала, за очень
короткое время удара деформации распространяются лишь
на некоторую часть длины стержня. Таким образом, дей-
ствие ударной нагрузки концентрируется лишь на некотором
участке длины стержня, вследствие чего деформации ока-
зываются большими, чем при статической нагрузке. После
окончания приложения ударной нагрузки эти деформации рас-
пространяются на следующий участок длины стержня, в то вре-
мя как на первом участке они убывают до величин статических
деформаций, и т. д. В результате мы получаем волновой харак-
тер распространения деформаций, а следовательно, и напряже-
ний по длине стержня, причем волны деформаций и напряже-
ний, достигнув защемленного конца, отражаются от него, созда-
вая деформации и напряжения обратного знака. Эти явления
еще осложняются тем, что при распространении деформации по
длине стержня силы инерции масс частей стержня оказываются
различными. Еще большие осложнения вносит пластическая де-
формация, если она происходит, так как скорость ее распро-
странения, в отличие от упругой деформации, не постоянна,
а изменяется с изменением соответствующего ей напряжения.
Таким образом, напряженно-деформированное состояние стерж-
ня при ударном приложении нагрузки оказывается весьма слож-
ным, причем продольный удар сопровождается всегда продоль-
58] ДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ НАГРУЗОК 433
ными колебаниями стержня вместе с приложенным к нему гру-
зом. Имея это в виду, мы ограничимся рассмотрением случая
удара, сопровождающегося только упругими деформациями, и
только на первом его этапе, когда деформации распространяют-
ся на всю длину стержня.
Для определения усилий, возникающих в стержне при ударе,
не представляется возможным использовать условие динамиче-
ского равновесия, так как входящие в это условие силы инерции
неизвестны. Поэтому мы будем искать не динамические усилия,
а динамические деформации, используя энергетические сообра-
жения. В момент удара ударяющий груз обладает некоторым
запасом кинетической энергии К, которая в результате удара
превращается в другие виды энергии, а именно: потенциальную
энергию деформации ударяемого стержня, кинетическую энер-
гию Ki движения, сообщаемого элементам последнего при ударе,
и наконец энергию Эт, затрачиваемую на изменения темпера-
турного состояния ударяющихся тел и другие явления, сопро-
вождающие удар (звуковые колебания). Таким образом, урав-
нение энергетического баланса рассматриваемой системы можно
представить в виде
K = U + Ki + 9T. (14.13)
При упругой деформации изменения температурного состояния
весьма незначительны: весьма мала затрата энергии и на про-
чие явления, учитываемые слагаемым Эт в уравнении (14.13).
Поэтому им с достаточной для практических целей точностью
можно пренебречь. Тогда (14.13) представится так:
+ (14.14)
В частном случае, когда масса стержня мала по сравнению
с массой ударяющего груза, слагаемое Ki также мало по срав-
нению с К., почему можно принимать
к=и.
Кинетическая энергия, приобретаемая падающим грузом, как
известно, равна уменьшению потенциальной энергии этого груза.
Поэтому так как путь, проходимый грузом при падении, равен
h + Л/д, где Д/д — динамическое удлинение стержня при ударе, то
К = <2(й + Д/д).
В то же время потенциальная энергия растягиваемого стержня
выражается через удлинение следующим образом:
(AZ„V EF
U==2i------*)•
*) Здесь, как и во всех последующих формулах, под обозначением Е
следует подразумевать модуль упругости для динамических напряжений (ди-
намический модуль упругости), который, вообще говоря, не равен статическому.
434
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
1ГЛ. 14
Таким образом,
ИЛИ
Так как
— = А/
рр “‘ст.
где AZCT — удлинение стержня при статическом приложении на-
грузки Q, то
(АС)2 —2А/ А/ — 2AZ Л = 0,
откуда
А/ =AZ +a/A/2 +2AZ Л
д ст 1 V ст 1 ст ,
причем перед корнем взят знак плюс, так как при положитель-
ном статическом удлинении динамическое удлинение должно
быть тоже положительным. Окончательно,
Ч<“U5)
В то же время при линейном напряженном состоянии
так что
ч(‘ + V1
(14.16)»'
Следовательно, динамические удлинения и напряжения нахо-
дятся из статических путем умножения их на некоторый множи-
тель— динамический коэффициент. Этот динамический коэффи-
циент, равный в рассматриваемом случае
‘.=i+Vi+^’
может быть представлен также в виде
1+л/1 + ау ~1+л/1+177’ (14,17>
где Т — работа груза, падающего с высоты h, ТСт — работа де-
формации стержня от статически приложенной нагрузки.
§ 58j
ДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ НАГРУЗОК
435
Так как при упругих деформациях статическое удлинение
стержней в большинстве случаев меньше 0,001/, то при высоте
падения груза больше 0,05/ в выражении (14.16) можно прене-
бречь единицей по сравнению с 2/i/A/CT, а также и единицей по
•сравнению с V2/i/A/CT при общей погрешности меньше 10%.
Тогда, в случае стержня постоянного сечения,
ГИГ _Q_ / 2hEF _ / 2QhE Z1.1O4
- F
Если стержень имеет местное ослабление, так что площадь его
сечения на длине Ц равна Fj, наибольшее статическое напря-
жение (без учета концентрации напряжений) равно
п _ Q
иСТ р >
-статическое удлинение всего стержня
А/ет = 4 (-^ + ТГ) =
ггде
:и формула (14.18) примет вид:
max пд = д/ W[a^^i_a)1 • (14.19)
Так, например, при
a = 0,1, ₽ = 0,8
дамеем
шах <тд = 1,23 <тд0,
где Одо — динамическое напряжение при отсутствии местного
-ослабления и при площади сечения F. В то же время
где Одо — динамическое напряжение в стержне постоянного се-
чения Fi. Таким образом, местные ослабления существенно
ухудшают работу стержня на ударную нагрузку. Оказывается
более выгодным уменьшение площади сечения на всей длине
стержня. Поэтому, при необходимости устройства местного ос-
лабления, в неослабленной части иногда удаляют часть мате-
риала путем высверливания внутреннего канала.
436
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. 14
2. Поперечный (изгибающий) удар. Рассмотрим, как пример,
балку на двух опорах, подвергающуюся действию груза, кото-
рый падает с высоты h в середину пролета (рис. 246). Принимая
массу балки малой по сравнению с массой груза Q, можем ис-
Q
''
пользовать уравнение (14.1о).
При этом если /д — динамиче-
ский прогиб балки посередине-
пролета, то
В то же время, так как
Рис. 246.
где Р — сила, приложенная посередине пролета, f — прогиб в томе
же сечении, причем
, РР
‘ — 48£/ ’
и, следовательно,
48^7
г — Р •
то в нашем случае
U ~~ 2Р
Из уравнения
4SEJf2
Q(h + /д) 2Р
имеем
f2 _ 2Q/3 f 2QP t p
'д 48£V 'л 48£7 t —u’
ИЛИ
f2 — 2f f — 2f h = 0.
• Д • СТ* Д * CT
Отсюда
?.=[и(ч--\/1+^) <14-2O>
II
Таким образом, динамические прогибы и напряжения опреде-
ляются путем умножения соответствующих статических величии
§58]
ДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ НАГРУЗОК
437
на динамический коэффициент &д:
2h
/ст
2
(14.22)
причем величина этих прогибов и напряжений при одинаковой
ударной нагрузке зависит от гибкости балки и от размеров ее
поперечного сечения.
3. Влияние массы стержня на напряжение при ударе. В пре-
дыдущих выводах мы пренебрегали частью энергии, затрачивае-
мой на то, чтобы сообщить скорость элементам ударяемого
стержня. Это равносильно допущению, что в момент удара ско-
рость ударяющего груза остается неизменной. В действитель-
ности, названная скорость изменяется до тех пор, пока груз и
часть стержня, находящаяся с ним в соприкосновении, не при-
обретут общую скорость. В то же время вследствие происходя-
щих деформаций, скорости частей стержня по мере удаления
от места соприкосновения с ударяющим грузом изменяются, а
закрепленные концы стержня имеют скорость, равную нулю.
В результате закон изменения скоростей деформирующегося
стержня оказывается весьма сложным и изменяющимся во вре-
мени, вплоть до того, что в некоторые моменты удара ударяю-
щий груз и соприкасающаяся с ним часть стержня при опреде-
ленных условиях получают разные скорости. В связи с этим
точная оценка влияния массы ударяемого стержня на его на-
пряженное состояние представляет значительные трудности. Од-
нако удовлетворительную точность при определении потери
энергии на сообщение скоростей элементам ударяемого стержня
можно получить, заменяя стержень свободным твердым телом,
кинетическая энергия которого равна кинетической энергии
стержня в момент удара. При этом делается допущение, что
закон распределения скоростей по длине стержня аналогичен
закону изменения перемещений при статическом действии на-
грузки.
Так, в случае продольного удара скорость в любом сечении
стержня vx можно принять равной
х
vx = viT,
где О] — скорость ударяемого конца
энергия всего стержня при этом равна
i
js _С G , vx G
стержня. Кинетическая
И
2
438
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. Т4
Таким образом, при продольном ударе, для определения общей
скорости груза и соприкасающегося с ним конца стержня стер-
жень можно заменить свободным твердым телом, имеющим мас-
су Gl?>g (G — вес стержня). Поэтому, применяя закон сохране-
ния количества движения, получим
Qv Q . G
откуда
где v — скорость груза в момент соприкосновения со стержнем.
Кинетическая энергия рассматриваемой системы после установ-
ления общей скорости щ равна выражению
Q + 4 G v, _ 1
g 2 , _G_ ’
'r 3Q
т. e. равна кинетической энергии груза, падающего не с высоты
h, а с высоты
/г,=—Ц-. (14.23)
1 + 3Q'
Таким образом, потеря энергии на сообщение скоростей элемен-
там ударяемого стержня может оцениваться уменьшением энер-
гии падающего груза при замене высоты его падения h высотой
hi, определяемой по формуле (14.23). Поэтому при учете массы
стержня получим
= /1+^—(14.24)
\ V 1 + 3Q '
Совершенно аналогично, для случая изгибающего удара при-
мем, что скорости перемещений сечений балки при ударе изме-
няются по такому же закону, что и прогибы при статическом
действии нагрузки. В случае силы, приложенной посередине про-
лета балки, получим
PZ3 / Зх 4х3 \ I \
W~~ 48EJ I Z Z3) 2 J,
ИЛИ
w = -р- (3/2х — 4а3),
§ 59]
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
439
где f — прогиб посередине пролета. Следовательно,
Кинетическая энергия всей балки равна
к __2 (№ 17.
Дб —J 2g- Iе ’ 35 g 2 35 g 2
и для определения скорости щ имеем
17
Q + 35 G Qv
g ‘ V1 g ’
’ откуда
V
У1— 1 17 G ’
1 + 35 ' Q
Аналогично предыдущему, нетрудно установить, что потерю
энергии при ударе можно связать с уменьшением высоты паде-
ния груза до величины
-4—ё-> (14.25)
1 + 35 ’"Q
и, следовательно,
<14'26)
<’д = »„(1+л/1+-В-Ч1Г} 0427)
\ V 1 + 35 Q J
Заметим, что изложенный способ учета влияния массы стержня
оставляет в стороне местные деформации вблизи площади при-
ложения нагрузки. Если для изгибающего удара их значение
невелико, то оно становится немаловажным при продольном
ударе. Еще большую роль играют местные деформации в слу-
чае удара тел, размеры которых имеют величину одного по-
рядка. Однако рассмотрению связанных с этим вопросов в на-
шем курсе мы не имеем возможности уделить внимание.
§ 59. Колебания стержней
Как уже указывалось выше, ударные нагрузки вызывают ко-
лебания стержней, к которым они приложены. Помимо этого, во
многих случаях сама нагрузка периодически изменяется во вре-
мени, результатом чего являются так называемые вынужден-
440
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. 14
ные колебания конструкций, на которые действуют эти нагрузки.
В таком случае, если обобщенное перемещение, вызываемое ста-
тической нагрузкой, обозначить через бст, а через бд—ампли-
туду изменений этого перемещения при колебаниях, то полное
перемещение
Следовательно, определение динамических перемещений прак-
тически сводится к умножению статических перемещений на ди-
намический коэффициент
для нахождения которого необходимо знать выражение ампли-
туды колебаний. Так как при упругих деформациях напряжения
связаны с перемещениями в большинстве случаев линейными
зависимостями, то определение наибольших динамических на-
пряжений сводится также к введению динамических коэффи-
циентов. В то же время динамические напряжения при колеба-
ниях являются переменными во времени, изменяясь от <тСт+<га
до Ост — 7а, где <Тд — амплитуда изменения напряжений при ко-
лебаниях, что имеет существенное значение для прочности эле-
ментов конструкций. Помимо этого, важное значение имеет и
определение частот свободных и вынужденных колебаний этих
элементов. Как известно, при совпадении периодов названных
колебаний имеет место явление резонанса, в результате кото-
рого амплитуды перемещений, а следовательно, и напряжений
возрастают весьма интенсивно, вызывая расстройства соедине-
ний, а во многих случаях и разрушения. Поэтому при проектиро-
вании конструкций не допускают совпадения частот собствен-
ных и вынужденных колебаний конструкций и их элементов.
В связи с изложенным исследование колебаний конструкций
является одним из важнейших этапов расчета последних на
действие динамических нагрузок. Так как, однако, рассмотрение
связанных с этим вопросов является предметом специального
раздела механики — теории колебаний, мы не будем останав-
ливаться на их освещении, используя в случае надобности гото-
вые результаты.
§ 60. Динамическая прочность элементов конструкций
1. Прочность при ударных нагрузках. Как показано выше,
величины наибольших напряжений и перемещений при действии
нагрузок, имеющих характер ударных, могут определяться пу-
тем умножения статических напряжений и перемещений на ди-
§ 60] ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ 441
намические коэффициенты. Примеры определения последних в
некоторых частных случаях рассмотрены выше. Если, применяя
аналогичные приемы, не представляется возможным найти ди-
намические коэффициенты теоретическим путем, то их величина
может быть определена экспериментально, и на основании ре-
зультатов подобных экспериментов могут быть построены эмпи-
рические формулы для вычисления названных коэффициентов.
После этого условия прочности элементов, подвергающихся дей-
ствию ударных нагрузок, формально принимают тот же вид, что
и при расчете на статические нагрузки. Например, для линей-
ного напряженного состояния
шах Од = &дсгст sC [ид], шах бд -С [бд],
где [Од] — допускаемое динамическое напряжение, бд — динами-
ческое перемещение, [6Д]— допускаемое динамическое переме-
щение.
Однако необходимо иметь в виду, что процесс деформирова-
ния при действии ударных нагрузок существенно отличен от де-
формирования при статических нагрузках. При малых скоростях
деформирования температура тела практически остается неиз-
менной, так как она успевает выравниваться по всему телу и
с окружающей средой. Наоборот, при ударных нагрузках, при-
кладывающихся с большой скоростью, такое выравнивание про-
исходить не может, поэтому процесс деформирования происхо-
дит практически при постоянном количестве тепла в деформи-
руемом объеме. Таким образом, процессы деформирования при
статической и динамической нагрузках происходят в существен-
но различных условиях. Если первый является изотермическим,
то второй следует считать адиабатическим. Эта разница должна
сказываться уже при упругих деформациях, так как в случае
адиабатического процесса упруго деформирующийся образец
охлаждается (объем увеличивается при постоянном количестве
тепла). После того как возрастание нагрузки прекращается,
образец нагревается и вследствие этого получает добавочную
деформацию; при разгрузке тот же процесс протекает в обрат-
ном порядке, так что диаграмма деформации образует петлю
(петля гистерезиса). Еще более заметно сказывается адиабати-
ческий характер процесса на пластической деформации, которая
сопровождается освобождением значительного количества теп-
ла. В результате этого происходит значительное повышение
предела текучести при замедленном упрочнении и относительно
малом изменении временного сопротивления. Качественное раз-
личие адиабатического и изотермического процессов деформиро-
вания можно видеть на схематических диаграммах этих процес-
сов, представленных на рис. 247. Таким образом, характера-
442
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. [ф
стики прочности и пластичности материала при ударных на-
грузках существенно отличаются от характеристик при ста-
тических нагрузках. Соответственно с этим оказываются раз-
личными и допускаемые напряжения. В то же время разру-
шение стержней при ударных нагрузках все более и более при-
ближается к хрупкому: эта хруп-
кость еще увеличивается при пони-
жении температуры.
Указанные обстоятельства сле-
дует иметь в виду при расчете эле-
ментов, подвергающихся действию
ударных нагрузок. В частности, с
ними приходится считаться при на-
личии местных ослаблений, прини-
мая для устранения перенапряже-
ний указанные выше меры.
2. Прочность при динамически
переменных нагрузках. Из изложен-
ного в § 59 видно, что динамические
напряжения во многих случаях из-
меняются во времени периодически, многократно достигая наи-
большей и наименьшей величины при большой скорости изме-
нения. Изменение напряжений от некоторого <ттах до отщ и
снова до Ощах называют циклом напряжений. Поэтому дина-
мические напряжения, изменяющиеся описанным выше обра-
зом, называют динамически переменными или циклическими.
Как было установлено еще в первой половине XIX века, дей-
ствие достаточно большого числа циклов таких напряжений вы-
зывает разрушение при напряжениях, значительно меньших вре-
менного сопротивления. Это разрушение принято называть уста-
лостным разрушением. Первоначально усталостные разрушения
связывали со структурными изменениями, происходящими при
циклических напряжениях. В настоящее время установлено, что
эти разрушения объясняются постепенным нарастанием местных
нарушений прочности, образующихся вследствие концентрации
напряжений вблизи внутренних факторов концентрации (де-
фекты структуры). Окончание такого процесса, носящего в ос-
новном характер местных сдвигов, сводится к настолько значи-
тельному росту образующейся трещины, что напряженное со-
стояние приобретает объемный характер, и происходит хрупкое
разрушение.
Циклические напряжения могут характеризоваться следую-
щими величинами:
а) наибольшим и наименьшим напряжением цикла
Нотах» Hmln ИЛИ ^тах» Тт[п;
•§ 60]
ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
443
б)
средним напряжением
Gmax ~j~ ^min
СГСр = 2
цикла
‘'max • ‘'min
ИЛИ тср ’ 2
(14.28)
амплитудой цикла
^max ^min
°a 2
Tmax ^tr.in
ИЛИ Та =-------------2-------
(14.29)
причем очевидно, что
Отэх :=== qcp 4“ qa, qmln СТСр <Уа,
Т'тэх == Т-ср “Ь Та, ’'-mln == ^ср Т-э,
в) наибольшим напряжением цикла отах, ттах и коэффициен-
том асимметрии цикла
г == 0Ггп|п
Чтах
Цикл, для которого
qmax == qmln == СТ
(14.30)
или
или
него
называют симметричным', для
Цикл, при котором
СТт1п==0, так что аср=------
Ощах
^min
't'max
(14.31)
СТср 0,
= — 1.
сга = ст,
сга =
O'max
2
г = 0,
и
носит название пульсирующего.
Изучение усталостного разрушения производится путем ис-
пытания до разрушения ряда образцов, к которым приклады-
ваются циклы напряжений одинакового характера при разной
величине Omax(Tmax), причем определяется число циклов, необ-
ходимых для разрушения. В результате может быть построена
кривая разрушения, вид которой показан на рис. 248, где N —
число циклов, необходимых для разрушения образца при дан-
ном Ощах- Та же кривая с абсциссами в логарифмическом мас-
штабе показана на рис. 249. Как видно из этих рисунков,
444
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
[ГЛ. 14
может быть определено такое напряжение аг *), при котором
разрушение не происходит ни при каком числе циклов. Это на-
пряжение принято называть пределом выносливости. Практиче-
ски для сталей предел выносливости определяют как напряже-
ние, при котором образец выдерживает 107 циклов напряжений
без разрушения. Однако для других металлов такое определение
предела выносливости оказывается недостоверным, так что при-
ходится значительно расширять диапазон испытаний.
Наиболее просто определяется предел выносливости при сим-
метричном цикле сг-ь Как показал ряд экспериментов, для всех
видов сталей он может быть связан с временным сопротивле-
нием растяжению зависимостью вида
с-1 = рств.
Так, при испытании на изгиб в среднем
<т-1 = 0,4 ов,
при растяжении — сжатии
or—j = 0,28 ств,
при кручении
т_] = 0,22 <тв.
Гораздо сложнее определение пределов выносливости при не-
симметричных циклах, так как приходится определять их на бо-
лее сложной аппаратуре и при разных характеристиках циклов.
Результаты удобно представить в виде кривой предельных на-
пряжений, представленной на
у в рис. 250 и позволяющей по данному
д ж® среднему напряжению найти пре-
/ дельную величину’ Отзт. при кото-
/ рой еще не происходит усталост-
/ ного разрушения. На этом же ри-
/ / сунке легко построить и кривую
X. предельных величин ffmin, так как
— /у5 )----------ее точки должны располагаться
симметрично с первой кривой отно-
SA сительно прямой АВ.
рнс 250 Таким образом, могут быть най-
дены величины предельных напря-
жений при линейном напряженном
состоянии и при кручении. Для сложного напряженного состоя-
ния в качестве первого приближения определяют предельные
напряжения с помощью одного из критериев пластичности и
прочности, применяя его к амплитудам главных напряжений и
*) В качестве индекса г здесь фигурирует коэффициент асимметрии цикла.
§ 60] ДИНАМИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ 445
заменяя предел текучести пределом выносливости при линей-
ном напряженном состоянии. Иногда предельные амплитуды
нормальных и касательных напряжений при сложном напряжен-
ном состоянии связывают с пределами выносливости при сим-
метричных циклах для пит соотношениями вида
(для конструкционных сталей),
/ (Та V Г <Т-1
\ <Т-! J \ Т-1
(для высокопрочных сталей и чугунов).
Так как усталостное разрушение связано с местными нару-
шениями прочности, то на величину предела выносливости су-
щественно влияет концентрация напряжений, связанная с фор-
мой детали, размеры детали, состояние поверхности и свойства
поверхностного слоя, а также коррозия. Все эти факторы учи-
тываются введением соответствующих коэффициентов в величи-
ну предела выносливости или расчетного напряжения. В частно-
сти, концентрация напряжений учитывается коэффициентом
концентрации напряжений, причем этот коэффициент опреде-
ляют экспериментально, как отношение предела выносливости
при симметричном цикле для гладкого образца к той же вели-
чине при наличии концентрации напряжений (эффективный
коэффициент концентрации напряжений):
= ~(14.32)
и —1 к
Такой подход к учету концентрации напряжений обусловлен не-
совпадением теоретически определяемых коэффициентов концен-
трации с действительным влиянием концентрации напряжений
на усталостную прочность, так как при нахождении теоретиче-
ских коэффициентов концентрации не учитываются структурные
особенности материала, существенно влияющие на чувствитель-
ность последнего к концентрации напряжений. Влияние разме-
ров детали учитывается коэффициентом влияния абсолютных
размеров сечения:
е
или е
(g-iK)d
(14.33)
где (o_i)d — предел выносливости при симметричном цикле для
детали с поперечным размером d, (tF-i)d0—то же для лабора-
торного образца с поперечным размером do, геометрически по-
добного рассчитываемой детали. Наконец, влияние качества.
446
ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
(ГЛ. И
поверхности детали оценивается коэффициентом 0, равным отно-
шению предела выносливости образца с определенной обработ-
кой поверхности к пределу выносливости такого же образца,
поверхность которого подвергнута тщательной полировке. Значе-
ния коэффициентов ara, е, 0 для различных условий приводятся
в специальных справочниках.
При отсутствии коррозии, на основании сказанного, предел
выносливости при симметричном цикле равен
ст_]ер/с1кэ
где <т—1 — предел выносливости при симметричном цикле глад-
кого образца малых размеров, с тщательно полированной по-
верхностью. Для обеспечения необходимой гарантии против
усталостного разрушения расчетное напряжение не должно пре-
восходить найденного таким образом предела выносливости, де-
ленного на соответствующий коэффициент запаса kT, и в то же
время не превосходить допускаемого напряжения при статиче-
ском действии нагрузки, т. е.
При несимметричных циклах на основании экспериментальных
данных принимается, что отношение предельных амплитуд глад-
кого образца и рассчитываемой детали не зависит от величины
среднего напряжения. Поэтому если обозначить предельную
амплитуду при данном среднем напряжении цикла, которая мо-
жет быть найдена из графика типа рис. 250, через <та, то пре-
дельная величина наибольшего напряжения должна принимать-
ся равной
и условие прочности принимает вид
о'ср ! оаер _ Оу
Отах , OmaxCj--
(14.35)
Следует иметь в виду, что иногда вместо коэффициентов аКэ и
е в справочниках приводится величина (£)д, учитывающая сум-
марное влияние на выносливость концентрации напряжений и
абсолютных размеров детали. Тогда формулы (14.34) и (14.35)
представляются в виде
(14.36)
Пер , Ча₽
amax kr + (k)Dkr •
(14.37)
ПРИЛОЖЕНИЕ
ГЛАВА 15
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ
И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР
Как известно, статические моменты плоской фигуры отно-
сительно осей Оу и Oz (рис. 251) определяются следующим
образом:
Sy=\zdF, Sz=^ydF, И5.1>
(F) (F)
причем, если ось проходит через центр тяжести (центральная
ось), то статический момент относительно этой оси должен быть
равен нулю.
Из рис. 251 имеем следующие равенства:
У — Уг + У1> Z = 2^ + 21,
где z/i и 21 — координаты центра тяжести элементарной пло-
щадки относительно центральных осей Оу{ и Oz\. Следова-
тельно,
Sy = (zc + zt) dF = zc dF + 2] dF = zcF + Z\ dF.
<F) (F) (F) (F)
448
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
[ГЛ. 15
Но yz{dF ~ 0 как (F) статический момент относительно централь-
ной оси, так что Sy ~ Fzc, Sz = Fyc. (15.2)
Отсюда — h. Ус р > _ Sy Zc р • (15.3)
Обобщая формулы (15.1), можно определить моменты инерции
следующим образом:
осевые
= j z2 dF, 1г~уУ2 УУ, (F) (F) (15.4)
центробежный Jyz =\yZ dF> (15.5)
(F)
полярный Jp = J p2dF. (15.6)
(F)
Последний не нуждается в отдельном рассмотрении, так как
в силу соотношения р2 = у1 + z2,
/₽ = J (z/2 + г2) tfF = \y2dF+ \z2dF = J2 + Jy, (15.7)
(F) (F) (F)
т. е. представляет собой сумму осевых моментов инерции.
Что касается осевых и центробежного моментов инерции, то
Jy = (гс + Z;)2 dF = г2 dF + 2zc j z{ dF -f- zj dF,
(F) (F) (F) (F)
ИЛИ
J у = J z2 dF + Fz2 = jyt + Fz2ct (15.8)
(F)
и, аналогично,
4 = ^, + ^ (15-9)
Отсюда следует, что определение момента инерции для элемен-
тарной площадки нельзя распространить на конечную площадь.
В то же время, применяя к интегралам (15.4) теорему о сред-
нем, можно написать
ГЛ. 15]
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
449
где zcp и ус-р уже не являются координатами центра тяжести фи-
гуры, а некоторыми величинами, которые принято называть ра-
диусами инерции фигуры:
1у == 2Ср> О == 1/ср>
так что
Jy = FPy, JZ = FPZ. (15.10)
Из (15.8) и (15.9) следует также,
что изучение изменения моментов
инерции достаточно ограничить слу-
чаем моментов инерции относитель-
но центральных осей.
Имея это в виду и принимая на-
чало координат О в центре тяже-
сти фигуры, найдем моменты инер
и Ozi, повернутых по отношению к первоначальным осям Оу
и Oz на угол 0 (рис. 252). По формулам преобразования коор-
динат при повороте осей имеем
гц = г/cos 0 + z sin 0, Zt = zcos0 — у sin 0,
и, следовательно,
zj dF = (z cos 0 — у sin О)2 dF =
(F) (F)
= cos2 0 z2 dF + sin2 0 y1 dF — 2 sin 0 cos 0 j yz dF,
(F) (F) (F)
ИЛИ
7„ = 7„ cos2 0 + 7, sin2 0 — J sin 20. (15.11)
У> у * ул
Заменяя 0 через -у + 0, получим
7, = 7„ sin2 0 + 7, cos20 + 7„_ sin 20. (15.12)
Равным образом,
^yt2, = (У cos ^ + 2 sin ^) (2 cos 9 — У sin 9) dF =
(F»
= cos2 0 j yz dF + sin 0 cos 0 j z2 dF -- sin 0 cos 0 y2 dF —
(F) (F) (F)
— sin20 ^yzdF= 2 -г sin 20 + 7y; cos 26. (15.13)
(F)
450
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
[ГЛ. 15
Заменяя в ^выражениях (15.12) и (15.13)
sin2e = -L- c2°s2e ,
cos2 6 = -L+..|os2e ,
найдем окончательно
J V "1“ ^2 J1J * J 2
I =-------2----1-----9 COS 20 — Л,г Sin 20>
/ — —----------------—- cos 20 + Juz sin 29,
J 1J ”~ J 7
JyiZl -----2“ sin 20 + Jyz cos 20'
(15.14)
Полученные формулы совпадают с формулами для нормаль-
ных и касательных напряжений при плоском напряженном со-
стоянии (см. п. 1 § 10), если заменить осевые моменты инерции
нормальными напряжениями, а центробежные моменты инер-
ции касательными напряжениями. Поэтому и дальнейшее ис-
следование моментов инерции можно вести совершенно анало-
гично.
Назовем центральные оси, относительно которых центро-
бежный момент инерции равен нулю, главными центральными
осями инерции. Их направление определится из уравнения
2 Z
tg 20 = -~т=Т-' <15л5>
откуда мы найдем два взаимно перпендикулярных главных на-
правления I и II. Осевые моменты инерции относительно этих
осей (главные моменты инерции) Ц и 1% будут являться наи-
большим и наименьшим моментами инерции относительно всех
возможных центральных осей. Моменты инерции относительно
любых осей Оу и Oz выразятся через главные моменты инерции
следующими формулами:
J =A+A + ArLkcos2a, )
а А £1 I
1г = 11-±Ъ. — ~Л. cos 2а, j (15.16)
2 12 sin 2а, 1
где а — угол, составляемый осью Оу с направлением I. Наобо-
рот, главные моменты инерции выражаются через моменты
ГЛ. 15)
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
451
инерции относительно осей Оу и Oz следующим образом:
_ А+Д + Т V4«-A)! + 4^,
Л = A±i _ 2. +
(15.17>
Если ось Oz является осью симметрии сечения, то
yz dF = (+ у) z dF + (— у) z dF = О,
(F) (F,) (К2)
откуда следует, что центробежный момент инерции относительно
осей, одна из которых является осью симметрии, равен нулю.
Поэтому для сечений, симметричных относительно одной из
центральных осей, эта ось является главной центральной осью
инерции, другая — к ней перпендикулярна. Если сечение имеет
две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то они являются
главными центральными осями инерции сечения. Если, наконец,
оба главных момента инерции равны между собой, то из по-
следней формулы (15.16) получим
I уг —
т. е. в этом случае любые два взаимно перпендикулярных на-
правления являются главными направлениями.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аргон А. 63
Кирпичев В. Л. 43
Кулон Ш. (Coulomb Ch. А.) 119, 130
Бейкер Р. (Baker) 134
Больцман Л. (Boltzmann L.) 421
Верещагин А. Н. 277
Макклинток Ф. 63
Мариотт Э. GMariotte Е.) 119, 121
Марковец М. П. 57
Мизес Р. (Mises R.) 124
Мор О. (Mohr О.) 130
Галилей Г. (Galilei G.) 118, 119
Генки Г. (Hencky Н.) 125
Гриффитс (Griffith А. А.) 137—141
Гук Р. (Hook R.) 28
Новожилов В. В. 126
Ньютон (Newton I.) 397
Журавский Д. И. 181
Сен-Венан (Saint-Venant В.) 231
Ирвин 143
Треска (Tresca) 123
Карман Т. (Кагтйп Th. V.) 134
Кастильяно (Castigliano А.) 269
Халл Д. 63
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда цикла 443
База тензометра 43
Балка 151
»— неразрезная 281
— переменного сечения 220
— статически неопределимая 279 и д.
— определимая 154
— фиктивная 205
Баушингера эффект 62
Бетон 418
Бимомент бипары 306
Бяпара 306
•Вектор напряжения .73
Величина нагрузки 16
Вес объемный 17
—• собственный стержня при растяжении
33, 35
Воздействие внешнее см. Нагрузка
Волокно стержня 23
--- нейтральное 164
Время релаксации 401
Вязкость жидкости 396
— — линейная 397
Гибкость стержня 361
Гипотеза плоских сечений 168
Грузоподъемность 147, 174
Гука закон 29. 46, 53, 88, 101, 121, 146, 403,
410
Дефекты структуры 442
Деформация 12
— балки 192 и д.
— вязкая 18
— малая 21
•— местная 18
— общая 18
*- остаточная (необратимая) 12, 18
— пластическая 18, 123—125
— плоская 132
— сдвига 109
— упругая 18
— упруго-мгновенная 421
Диаграмма напряжений истинных 54
---условных 50
— растяжения 43
— сжатия 46, 362
Дислокации 63
Длина стержня приведенная (свободная) 348
— расчетная 43
Жесткость балки при изгибе 167
— стержня при кручении 234
------растяжении или сжатии 29
Жидкость вязкая ньютонова 397
Журавского формула 181
Зависимость прочности временная 117
Задача статически неопределимая 38
Заклепки 114
Закон Гука 29, 46, 53, 88, 101, 121, 146, 403,
410
— парности касательных напряжений 77, 92
— подобия 43
Закрепления опорные 152
Защемление конца 153
Изгиб 24, 151
— балки переменного сечения 220
— и кручение 260 .
— косой 241
— плоский 151
---криволинейного стержня 329
— поперечный 150
— простой 150
— с поперечной силой 177 и д.
— сложный 237 и д.
— чистый 161 и д.
---криволинейного стержня 320
--- плоский 166
Износ 11
Инварианты тензора напряжений 105
Интенсивность нагрузки 16, 159
Испытание материалов 14, 42, 47
Кастильяно теорема 269, 273
Колебания вынужденные конструкций 440
Кольцо круговое под равномерным давле-
нием 333
Компоненты тензора напряжений 104
Консоль 155
Конструкция статически неопределимая 38,
280
--- определимая 37
Концентрация напряжений 67, 138
Координата секториальная 296
--- главная 304
Коэффициент асимметрии цикла 443
— влияния абсолютных размеров сечения
445
— вязкости 397
— динамический 435, 441
• — длины 349
— запаса общий 71
---по прогибам 382
— < — против возникновения _ пластической
деформации 52
454
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Коэффициент запаса против разрушения
22, 69
--- устойчивости 369
---частный 71
— концентрации напряжений 67, 143
-------эффективный 69, 445
— однородности 149
— • Пуассона 30
— скорости поперечной деформации 397
Коэффициенты интенсивности напряженного
состояния 144
Кривая ползучести 419
Кривизна оси балки 192, 193
Круг напряжений 81
Кручение 24, 222 и д.
— свободное (равномерное) 222, 293
— стержня круглого сечения 229 и д.
— прямоугольного сечения 231
— — сложного профиля 232
---трубчатого 230
— — эллиптического сечения 226 и д.
— стесненное (неравномерное) 293
Линия нейтральная 164
Материал пластичный 44, 51
— хрупкий 44, 48, 50
Метод графический построения эпюр М и Q
206
— графоаналитический определения проги-
бов и углов поворота сечений балки 203
---вычисления интегралов в формуле пе-
ремещений 275
— перемещений 291
— сил 290
Механика деформируемых тел 13
Многоугольник веревочный 206
Модель расчетная твердого тела 14
Модуль пластичности 58
— продольного изгиба 364
— сдвига 88
— — длительный 406
---мгновенный 406
— упругости 29, 30, 53
— — динамический 433
---мгновенный 403
Момент изгибающий 156, 320
---фиктивный 205
— изгибно-крутящнй 300
Момент инерции главный 450
--- осевой 448
— — полярный 229, 448
---приведенный 368
---секториальный 298
---центробежный 166, 448
— крутящий 222
— опорный 281
— сопротивления 168
— — пластический 176, 235
---растяжению 168
---сжатию 168
---удельный 173
— статический плоской фигуры 447
---секториально-линейный 298
---секториальный 298
Монокристалл 125
Нагрузка 13
— временная 17
— динамическая 18, 426 и д.
— допускаемая 13, 27
— объемная 17, 152
— поверхностная 16
•--сосредоточенная 151
Нагрузка поверхностная сплошная 151
— повторная 61
— постоянная 17
— предельная 13
--- расчетная 149
— равномерно распределенная 152
— разрушающая 46
—, соответствующая пределу текучести 45
— , — — упругости 45
— сосредоточенная 17
— статическая 18
— ударная 426, 436
— фиктивная 204
Наклеп 62
Накопление повреждений 136
Направление главное напряжений 105
Напряжение 22
— главное 75
— динамически переменное (циклическое>
442
— динамическое 434
— допускаемое на растяжение (сжатие) 27
— изгибно-крутильное 296
— истинное 49
— касательное 73, 77
— местное 67
— начальное 40
— нормальное 73
— переменное 426 н д.
— полное 73
— свободного кручения 296
— сжимающее критическое 361
— • температурное 40
— условное 49
Наследственность 399
Неизвестная лишняя 279
Неразрывность тела, условие 89
Опора лишняя 281
— неподвижная 153
— подвижная 153
Ослабление сечения местное 66
Ось главная деформации 85
— инерции главная 167
-- центральная 450
------главная 167, 450
— стержня 23
Отрыв 74, 138
Параметр повреждений 137
Парность касательных напряжений 77, 92
Перемещение обобщенное 264
Перемножение эпюр 277
Плоскость катания опоры 153—154
Плотность энергии деформации 139
Площадка главная 75
— октаэдрическая 97
— текучести 45
Площадь брутто 67
— нетто 67
— секториальная 296
— — главная 304
— сечения истинная 49
Подбор сечения 13, 27
Ползучесть 403
— бетона и металлов 418 и д
— неустановившаяся 419
— установившаяся 420
Поликристалл 126
Полимеры 49
Полюс 249, 296
— секториальных площадей 303
Последействие 400
Предел выносливости 444
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
455
Предел ползучести условный по допускаемой
минимальной скорости деформации 424
—----------равномерной скорости дефор-
мации 424
-----------суммарной деформации 424
пропорциональности 51
— текучести 45, 51
*- — экстраполированный 57
«— упругости 45, 51
Принцип Сен-Венана 18, 26
Приращение дополнительной работы де-
формации 265
Проверка прочности 27
Прогиб балки 192 .
Пролет расчетный 155
Пространство напряжений 128
Процесс деформирования адиабатический
441
----изотермический 441
Прочность динамическая 440 и д.
Пуассона коэффициент 30
Работа деформации 59, 263
— — удельная 61, 108
— раскрытия разреза 139
— — трещины 13У
Равиовесне безразличное 33b
— критическое 340
— неустойчивое 338
— устойчивое 338
Радиус инерцнн 448
Разрушение 12, 118, 135
— от отрыва 74
---- сдвига 74
•— пластическое (вязкое) 74
усталостное 63, 442
— хрупкое 74, 119
Растяжение осевое 23, 25 и д.
Расчет по предельному состоянию 150
статически неопределимой конструкции
по предельному состоянию 64
Расширение поперечное 28
Реакции связей 47
Релаксация напряжений 401
Сдвиг 24, 74
— абсолютный НО
— относительный 84, 110
чистый 109, 111
Сен-Венана принцип 18, 26
Сечение 22
— балки двутавровое 183, 188, 311
----круглое 182
----несимметричное 292
—— прямоугольное 181
— нетто 70
— плоское 22
— стержня поперечное 23
Сжатие (растяжение) внецентренное стер-
жня 247
— осевое 23, 25 и д.
Сила критическая 340
— нормальная (продольная) 237, 320
— обобщенная 264
— поперечная 156, 320
— — фиктивная 204
— центробежная 427
Система канонических уравнений метода
сил 288
— основная статически определимая 280
Слой 164
— нейтральный 164
Соединение заклепочное (болтовое) 114
Сопротивление временное 26, 51
---ис-тинное’55
— материалов 13
— отрыву теоретическое 138
— разрыву истинное 55
— расчетное 149
Состояние напряженное линейное 75
---объемное 90
-------при чистом изгибе 169 и д.
--- однородное 75
--- плоское 75
— пластическое 44, 134
— предельное (опасное) 13, 64, 146
--- по прочности расчетное 149
— хрупкое 44, 134
Спарник 431
Сплошность тела, условие 89
Способность несущая 147
Старение материала естественное 62
--- искусственное 62
Стержень 23
— криволинейный 23
— лишний 37
— переменного сечения 23, 31, 34
— призматический (постоянного сечения) 23
— с криволинейной осью 319 и д.
— сжато-изогнутый гибкий 378
— тонкостенный 293
— — профиля закрытого (замкнутого) 294
-------открытого (незамкнутого) 294
Сужение абсолютное 28
— относительное 28
Тело аморфное 20, 346
— вязко-пластическое 412
— деформируемое 12
— изотропное 19
— кристаллическое 20
— монокристаллическое 125
— нелинейно-упруго-вязкое 413
— однородное 19
— поликристаллическое 63
— сплошное 19
— упруго-вязкое, обладающее последейст-
вием 398
---релаксирующее 400
Тензометр 43
Тензор деформаций 107
— напряжений 104
Теорема Кастильяно 269, 273
— о взаимности обобщенных сил 269
------ — перемещений 269
---наименьшей работе 287
— — трех моментах 281, 283
Теория пластичности 14
— прочности вторая 121
— — первая 119
--- третья 123
--- четвертая 125
— упругости 14
Тетраэдр элементарный 91
Точка нулевая секториальиая 297, 311
— * опасная 187
Трещины 137, 147
Угол закручивания 224
— — относительный (погонный) 224
— поворота сечения балки 192
Удар 432
* — поперечный (изгибающий) 436
—• продольный 437
Удлинение абсолютное 28
“ главное 86
455
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Удлинение динамическое 434
— относительное 28
--- истинное 56
Укорочение стержня 28
Уравнение оси изогнутой балки 193
Уравнения канонические метода перемеще-
ний 291
Усилие 21
— изгибающее 155
— лишнее 38
— перерезывающее 155
“ разрушающее (предельное по разруше-
нию) 21
— температурное 40
Условие Мизеса 126
— неразрывности тела 89
— • прочности против разрушения 27
— Треска 123, 127
«Усталость» материала 136
Устойчивость деформируемого тела второго
рода 343
— ----- первого рода 343
— сжатого стержня 344 и д.
------ переменного сечения 350
— скручиваемого стержня 390
Фактор концентрации 67
— масштабный 44
Физика твердого тела 12
Форма равновесия 342
Формула Журавского 181
— Эйлера 345—349, 351, 361, 390
Характеристики расчетные прочности и де-
формируемости материалов 13
Цемент 418
Центр изгиба 293, 308
— опоры 153
Цикл напряжений 442
— — несимметричный 444
---пульсирующий 443
---симметричный 443
Шейка 46, 54
Эйлера формула 361, 390
Эксперимент 11, 15, 118
Эксцентриситет приложения силы 247
Энергия деформации 59
— потенциальная балки в общем случае
изгиба 271
— — деформируемых тел 263 и д.
---растянутого (сжатого) стержня 270
---скручиваемого стержня 271
Эпюра изгибающих моментов 156
— поперечных сил 156
— сплошной нагрузки 17
Эффект Баушингера 62
Ядро сечения 251