/
Author: Ицкович Г.М.
Tags: испытания материалов товароведение силовые станции общая энергетика механика сопротивление материалов
Year: 1966
Text
Г. М. ИЦКОВИЧ
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Длпущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебника
для учащихся машиностроительных техникумов
Оглавление
п a Ш /
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА» МОСКВА — 1966
605.21
И—962
УДК 620.10
Георгий Михайлович Ицкович
«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»
Редактор издательства М. Т. Самсонова
Художественный редактор Н. К- Гуторов
Художник В. 3. Казакевич
Технический редактор Н. А. Битюкова
Корректор А. Н. Видревич
Т-13339 Сдано в набор 18/V—66 г.
Поди, к печати З/'Х—66 г. Формат 60х90'/1б
Объем 32 печ. л. Уч.-изд. л. 28,36
Изд. № ОТ — 27/65 Тираж 100 000 экз.
Цена 92 коп.
Тематический план издательства «Высшая школа»
(вузы и техникумы). Позиция № 345
Москва, И-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»
Московская типография № 8 Главполиграфпрома,
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Хохловский пер., 7. Зак. 1451
3—1—4
345—66
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый учебник представляет собой второе, переработанное изда-
ние книги того же названия, выпущенной издательством «Высшая школа» в
1960 г. За время, прошедшее после выхода в свет первого издания, произошли
некоторые изменения в программе предмета; был накоплен определенный опыт
применения книги в очных и заочных техникумах; учебник обсуждался на за-
седаниях городских предметных комиссий преподавателей , технической меха-
ники Москвы и Ленинграда; кроме того, был получен целый ряд отзывов, по-
желаний и замечаний от преподавателей и учащихся, пользующихся учебни-
ком. Материалы обсуждений и отзывы были использованы при подготовке
нового издания.
Учебник полностью охватывает весь как основной, так и дополнительный
материал программы предмета для машиностроительных специальностей тех-
никумов. Изложение дано обстоятельно, с подробными разъяснениями допуще-
ний, положенных в основу вывода расчетных формул, с анализом получаемых
результатов и детальными указаниями по их практическому применению. Все
методы расчета иллюстрируются подробно решенными примерами (в целом
книга содержит свыше ста тридцати примеров). Такой характер изложения
материала дает автору право надеяться, что учебник окажется пособием, по-
зволяющим самостоятельно изучить элементарный курс сопротивления мате-
риалов в объеме, предусмотренном программой.
Подбор примеров, подробное изложение их решений с анализом методики
расчетов и получаемых результатов позволяют считать книгу не только учеб-
ником по теоретической части предмета, но и руководством, помогающим овла-
деть методами решения типовых задач сопротивления материалов. Автор глу-
боко убежден, что объединение учебника по теоретическому материалу и руко-
водства к решению задач в одной книге значительно целесообразнее, чем изда-
ние двух отдельных пособий. Включение типовых примеров в учебник избав-
ляет от необходимости давать решенные задачи в сборнике задач, где, по
мнению автора, они менее уместны, чем в учебнике. Это соображение учтено
во втором издании книги Г. М. Ицковича, А. И. Винокурова и Н. В. Баранов-
ского «Сборник задач по сопротивлению материалов», выпущенной издатель-
ством «Судостроение» в 1965 г. Этот задачник образует совместно с данным
учебником единый комплекс учебных пособий.
В новом издании полностью исключены описания лабораторных работ,
так как имевшиеся краткие сведения все равно не могли бы заменить специ-
ального руководства по лабораторным работам, а такое руководство, пред-
назначенное специально для техникумов, теперь имеется (А. Г. Рубашкин,
«Лабораторные работы по сопротивлению материалов». «Высшая школа»,
19166).
Ориентируясь в первую очередь на читателей, знакомых с предыдущим
изданием книги, приведем некоторые дополнительные сведения об измене-
ниях, внесенных в новое издание.
В учебник введена новая глава, посвященная изложению основ теории
контактных напряжений и деформаций. По вполне понятным соображениям
все расчетные зависимости в этой главе приведены без выводов, но физиче-
ская сущность излагаемых вопросов и указания по практическому применению
3
формул даны достаточно обстоятельно для возможности сознательного вы-
полнения расчетов на контактную прочность, встречающихся при изучении
курса деталей машин.
В настоящее издание учебника включен без увеличения его объема допол-
нительный материал программы, представляющий значительный практический
интерес для некоторых категорий специальностей. К нему относится, в част-
ности, расчет на кручейие брусьев тонкостенного открытого и замкнутого про-
филя. Для удобства читателей весь дополнительный материал отделен от ос-
новного: параграфы, содержащие дополнительный материал, отмечены круп-
ными звездочками (например, у»* § 5.8). В тех случаях, когда дополнительным
вопросам посвящен не весь параграф, а только часть его, звездочки стоят в
начале и в конце части текста, содержащей дополнительный материал.
'Мелким шрифтом (петитом), помимо примеров, даны краткие историче-
ские сведения о развитии отдельных вопросов учения о прочности конструк-
ций, биографические справки о виднейших ученых, а также некоторые поясне-
ния и дополнения к основному тексту книги. Расположение материала несколь-
ко отлично от первого издания. Так, в частности, вопросы теории напряженно-
го и деформированного состояния выделены в самостоятельную главу, поме-
щенную после главы «Растяжение и сжатие», т. е. почти в самом начале курса,
а глава «Устойчивость сжатых стержней» дана в конце учебника. Такое рас-
положение материала соответствует действующей программе.
Все примеры расчетов выполнены в Международной системе единиц изме-
рения (СИ). При применении СИ учтены не только требования действующих
ГОСТ, но и новейшая методическая и инструктивная документация по приме-
нению этой системы.
Полагая, что новое издание учебника имеет определенные достоинства по
сравнению с предыдущим, автор вместе с тем отчетливо понимает, что и в
этом издании книга отнюдь не лишена недостатков, и будет искренне при-
знателен читателям, которые сообщат свои замечания и пожелания.
Автор
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
§1.1. ЗАДАЧИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Сопротивление материалов представляет собой одну из вет-
вей механики деформируемого твердого тела, т. е. такого тела,
которое под действием приложенных к нему сил изменяет свою
форму и размеры — деформируется.
На основе методов сопротивления материалов и смежных
областей механики деформируемого тела (математической и
прикладной теории упруго-
сти, математической и при-
кладной теории пластич-
ности, статики и динамики
сооружений) выполняют
расчеты машин, аппаратов,
приборов, конструкций про-
мышленных и гражданских
сооружений. Эти расчеты
служат для обеспечения на-
дежности и долговечности
проектируемых конструкций
при минимальной затрате
материалов для их изготов-
ления.
Для того, чтобы полу-
чить несколько более полное
представление о задачах сопротивления материалов, рассмотрим
некоторые частные примеры схем простейших конструкций, встре-
чавшиеся при изучении раздела «Статика» курса теоретической
механики. Для балки, показанной на рис. 1.1, методами статики
абсолютно твердого тела может быть решена задача об опреде-
лении реакции шарнирно неподвижной опоры А и реакции тя-
ги ВС, возникающих под действием приложенной к балке на-
грузки (в нашем случае — силы Р). Эти реакции показаны на
чертеже; реакция тяги ВС условно несколько смещена от оси
тяги. Напомним, что тело называют абсолютно твердым (или
абсолютно жестким), если независимо от величин приложенных
к нему сил расстояние между любыми двумя точками тела
остается неизменным. Совершенно очевидно, что, оставаясь на
позициях статики абсолютно твердого тела, бессмысленно ста-
вить вопрос, скажем, о том, какого диаметра следует сделать
тягу ВС, чтобы при заданной силе Р она не разорвалась; или
при какой величине силы Р перемещение f конца балки не бу-
дет чрезмерно велико. Нетрудно понять, что вопросы, подобные
поставленным, представляют большой практический интерес, но
ответы на них могут быть получены лишь при условии отказа от
допущения об абсолютной твердости тела. Реальные твердые те-
ла под действием приложенных к ним сил деформируются;
в рассматриваемом случае тяга удлинится, а балка изогнется
Примерно так, как показано штриховыми линиями на рис. 1.1.
Допустим теперь, что балка разгружена: сила Р удалена. При
этом в зависимости от величины силы Р (силу тяжести конструк-
ции не учитываем), материалов и размеров балки и тяги могут
представиться два случая (конечно, полагаем, что при действии
сиды Р ни один из элементов конструкции не разрушается).
1. Балка и тяга полностью восстанавливают те формы и раз-
меры, которые они имели до нагружения; в этом случае говорят,,
что в системе (конструкции) при заданной нагрузке возникают
лишь упругие деформации.
2. Деформации балки и тяги уменьшаются, но система все же
остается в деформированном состоянии; такое положение озна-
чает, что в системе при заданной нагрузке возникают наряду с
упругими также и пластические (остаточные) деформации.
Как правило, возникновение пластических деформаций связа-
но с нарушением нормальной работы конструкции и потому счи-
тается недопустимым.
Пусть, например, тяга, изготовленная из стального прутка,
имеет круглое поперечное сечение, а балка (также стальная) —
двутавровый профиль. При заданной величине силы Р следует
так выбрать диаметр сечения тяги и номер двутаврового профи-
ля балки, чтобы ни один из элементов конструкции не разрушил-
ся и в нем не возникли пластические деформации. При со-
блюдении указанных условий балка и тяга имеют достаточную
прочность. Легко понять, что возможна и обратная постановка
задачи: размеры и материалы балки и тяги известны и требуется
определить ту наибольшую величину силы Р, при которой проч-
ность конструкции обеспечена. -
Из рассмотренного примера вытекает, что первая задача со-
противления материалов — расчет элементов конструкций на
прочность. При этом, подчеркиваем еще раз, что в сопротивлении
материалов под нарушением прочности понимают не только раз-
рушение в буквальном смысле слова: разрыв, излом и т. п., но и
возникновение пластических (остаточных) деформаций.
Говоря о достаточной прочности конструкции, полагают, что
6
прочность обеспечена не только при заданной величине нагру-
зок, но и при некотором их увеличении, т. е. конструкция имеет
определенный запас прочности.
В некоторых сравнительно редких случаях для отдельных типов конст-
рукций (в частности, некоторых элементов машин и аппаратов химических
производств) возникновение незначительных местных пластических деформа-
ций считают допустимым. Специальные расчеты с учетом возможности и до-
пустимости пластических деформаций в кратком курсе сопротивления мате-
риалов не рассматриваются.
Возникновение упругих деформаций в нагруженной кон-
струкции неизбежно, так же неизбежны и обусловленные этими
деформациями перемещения отдельных точек конструкции. Так,
в частности, в рассматриваемом примере
конец балки получает некоторое верти- I
кальное перемещение f (см. рис. 1.1). Мо-
жет оказаться, что величина f больше до- ----
пустимой по условиям нормальной рабо- '’Т7 > i*7
ты конструкции. В этом случае говорят, Ж
что конструкция имеет недостаточную _ЯГ-Д--------.——
жесткость. ....
Вообще жесткостью называют способ- i £/ 1
ность материала или элемента конструк- *
ции сопротивляться упругим деформа- Рис. 1.2
циям. На рис. 1.2 показан пример, иллю-
стрирующий последствия недостаточной жесткости конструкции:
значительные прогибы валов зубчатой передачи приводят к не-
равномерному распределению нагрузки по длине зубьев, что свя-
зано' с повышенным износом и даже опасностью поломки
зубьев.
Вторая задача сопротивления материалов — расчет элемен-
тов конструкций на жесткость.
Соответствующий расчет при проектировании конструкции
должен обеспечить выбор таких ее размеров, при которых упру-
гие перемещения, вызванные рабочими нагрузками, будут ле-
жать в допустимых пределах.
Обратимся еще § одному примеру (рис. 1.3,а), отличающе-
муся от первого лишь тем, что здесь стержень ВС, поддерживаю-
щий балку, испытывает не растяжение, а сжатие. Если стер-
жень ВС сравнительно длинный и тонкий, то при некоторой ве-
личине силы Р он может внезапно изогнуться (выпучиться), как
показано штриховыми линиями на рис. 1.3,6. В этом случае стер-
жень ВС, помимо сжатия, будет испытывать изгиб — так назы-
ваемый продольный изгиб. Иными словами, при определенных
условиях (при увеличении нагрузки до критического зна-
чения) первоначальная прямолинейная форма равновесия
стержня становится неустойчивой и возникает новая устой-
чивая форма равновесия — криволинейная. При этом качест-
7
венном изменении характера деформации конструкция прак-
тически выходит из строя: она или разрушается, или в ней
возникают недопустимо большие перемещения. Поэтому расчет
должен обеспечить такое соотношение нагрузок, размеров и
свойств материала, при котором гарантирована (с определенным
запасом) устойчивость заданной (прямолинейной) формы рав-
новесия.
Итак, третья задача сопротивления материалов — расчет эле-
ментов конструкций на устойчивость.
Подводя итог всему сказанному выше, заключаем, что сопро-
тивление материалов дает основы расчета элементов конструк-
ций на прочность, жесткость и устойчивость.
Рис. 1.3
Сопротивление материалов является расчетно-теоретической
дисциплиной, основные положения которой проверяются и до-
полняются экспериментальными исследованиями. Опытная про-
верка теоретических расчетов и формул необходима потому, что
они основаны на ряде упрощающих предпосылок и допущений.
Эти предпосылки и допущения связаны как со свойствами мате-
риалов, так и характером деформаций элементов конструкций.
В ряде случаев приходится специально изготавливать модель
проектируемой конструкции (или отдельных ее элементов) и под-
вергать ее испытаниям с целью получения данных о характере и
величине деформаций, так как чисто теоретическим путем созда-
ние методов расчета оказывается вообще невозможным. Нако-
нец, необходимо учесть, что все расчеты, выполняемые методами
сопротивления материалов, базируются на знании физико-меха-
нических свойств конструкционных материалов. Эти свойства
определяют путем лабораторных испытаний специально изготов-
ленных образцов. Таким образом, расчетно-теоретическая и
8
экспериментальная части науки о сопротивлении материалов не-
разрывно связаны друг с другом.
При решении задач сопротивления материалов широко при-
Рис. 1.4
меняют уравнения равновесия различных
систем сил, полученные в статике абсо-
лютно твердого тела. Вместе с тем не все
приемы и методы статики могут быть ис-
пользованы в сопротивлении материалов.
Замена одной системы сил другой, стати-
чески эквивалентной, в частности перенос
силы по линии ее действия и замена ря-
да сил их равнодействующей, резко из-
меняют характер деформации детали
и поэтому недопустимы. Поясним это по-
ложение некоторыми примерами.
Рис. 1.5
На рис. 1.4, а, б показан брус, нагруженный растягивающей
силой Р; в первом случае сила приложена к концу бруса, во вто-
ром она перенесена по линии действия в некоторую точку В.
В результате этого переноса деформироваться будет не весь брус,
а только часть АВ.
Перенос сил по линиям их действия может привести к еще
более резкому изменению характера деформации, чем в рассмо-
9
тренном случае. Например, в результате переноса сил, прило-
женных к торцам бруса (рис. 1.5,а), можно получить нагруже-
ние, показанное на рис, 1.5, б, т. е. брус будет испытывать не рас-
тяжение (рис. 1.5, а), а сжатие.
На рис. 1.6, а изображена балка, нагруженная парой сил на
левой опоре. Штриховой линией показан характер ее деформа-
ции. При переносе этой пары сил в положение, показанное на
рис. 1.6, б, характер деформации резко изменяется. При втором
положении нагрузки допускаемое по условию прочности значе-
ние момента пары вдвое больше, чем в первом. Реакции опор
балки в том и другом случаях, конечно, одинаковы.
На рис. 1.7, а и б показаны две одинаковые балки, первая на-
гружена равномерно распределенной нагрузкой интенсив-
ностью q, а вторая — силой P = ql (т. е. силой, равной равнодей-
ствующей этой нагрузки). Опорные реакции рассматриваемых
балок одинаковы, но наибольший прогиб второй балки в 1,6 ра-
за больше, чем первой, а допускаемая по условию ее прочности
нагрузка вдвое меньше.
Из рассмотренных примеров следует, что при определении
опорных реакций в статически определимых системах статически
эквивалентные преобразования нагрузки допустимы, но при вы-
числении величин перемещений и расчетах на прочность замена
некоторой системы сил другой, статически эквивалентной задан-
ной, приводит к весьма серьезным ошибкам.
Весь цикл научных дисциплин, относящихся к механике деформируемого
тела и связанных с разработкой вопросов прочности (жесткости, устойчиво-
сти) конструкций, часто называют строительной механикой в широком смыс-
ле слова. Строительной механикой (в узком смысле слова) называют статику
и динамику сооружений. Границы между отдельными ветвями науки о. проч-
ности конструкций определяются как объектами, так и методами исследова-
ния, но зачастую эти границы точно указаны быть не могут. Так, приклад-
ная теория упругости занимается в основном расчетом пластин, оболочек и
некоторыми сложными задачами расчета брусьев (понятия о брусе, пластин-
ке и оболочке даны в § 1.2), привлекая для решения соответствующих задач
более сложный математический аппарат, чем сопротивление материалов, но
некоторые из этих вопросов в последнее время входят в полные курсы со-
противления материалов. Прикладная теория пластичности изучает в основ-
ном те же объекты с той разницей, что здесь расчеты проводятся с учетом
пластических деформаций. Статика и динамика сооружений занимаются глав-
ным образом вопросами прочности не отдельных элементов, а конструкций в
целом.
Начало развития науки о прочности конструкций относят к первой поло-
вине XVII столетия и связывают его с работами великого итальянского уче-
ного Г. Галилея (1564—1642). Книга Галилея, содержащая первые сведения
о расчете балок, была издана в 1638 г. (русский перевод: Галилей. Беседы и
математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки. Гос-
техтеоретиздат, 1934). Следует заметить, что некоторые вопросы прочности
затронуты еще ранее в работах Леонардо да Винчи (1452—1519). ,
Ряд важнейших исследований принадлежит академику Петербургской
академии наук знаменитому математику Леонарду Эйлеру (1707—1783).
В частности, им решена задача об устойчивости сжатого стержня.
Крупный вклад в науку о прочности внесли французские инженеры и ма-
10
тематики — профессора Политехнической школы, созданной во время фран-
цузской революции 1789—1793 гг., — Навье, Коши, Пуассон, Бресс.
Первый систематический курс сопротивления материалов опубликован
Навье в 1826 г.
В развитии математической теории упругости крупную роль сыграли ра-
боты французского математика Сен-Венана.
Из русских ученых XIX в., занимавшихся вопросами прочности, в первую
очередь должны быть отмечены академик М. В. Остроградский (1801—1861),
решивший некоторые задачи теории упругости, академик А. В. Гадолин
(1828—1892), выполнивший крупные исследования по расчету прочности ство-
лов артиллерийских орудий, Д. И. Журавский (1821—1891) —крупнейший
инженер-мостостроитель, которому принадлежат замечательные исследования
по теории изгиба балок и расчету мостовых ферм.
К концу XIX в. относятся важнейшие работы по устойчивости стержневых
конструкций, выполненные профессором Петербургского института инжене-
ров путей сообщения Ф. С. Ясинским (1856—1899).
В текущем столетии выдающиеся исследования в различных областях
строительной механики были выполнены И. Г. Бубновым (1872—1919),
А. Н. Крыловым (1863—1945), Б. Г. Галеркиным (1871—1945), А. Н. Динни-
ком (1876—1950).
Труды И. Г. Бубнова и А. Н. Крылова положили основу новой дисцип-
лины— «Строительная механика корабля». Работы Б. Г. Галеркина относятся
главным образом к расчету пластин и оболочек; разработанный им метод
решения дифференциальных уравнений широко используется в прикладной
теории упругости. Вопросы теории удара и ряд проблем устойчивости осве-
щены в трудах А. Н. Динника.
Особенно больших успехов добилась наука о прочности конструкций при
Советской власти. Крупнейшие исследования проведены отдельными учеными
и научными коллективами во всех важнейших областях строительной механи-
ки., Ряд выдающихся работ отмечен Ленинскими и Государственными премия-
ми. Особого упоминания заслуживает трехтомная-монография С. Д. Понома-
рева, В. Л. Бидермана, К- К. Лихарева, В. М. Макушина, Н. Н. Малинина,
В. И. Феодосьева «Расчеты на прочность в машиностроении» (см. в списке
литературы [38]), удостоенная Ленинской премии.
В дальнейшем при изложении курса даются некоторые краткие дополни-
тельные сведения о развитии отдельных его разделов и наиболее важных
исследованиях в области прочности конструкций.
§ 1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ВНЕШНИХ СИЛ
И ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Внешние силы, действующие на элементы конструкций, как
известно из курса теоретической механики, делятся на активные
и реактивные (реакции связей). Активные внешние силы принято
называть нагрузками. Происхождение и характер действия
нагрузки определяются назначением, условиями работы и кон-
структивными особенностями рассматриваемого элемента. На-
пример, для приводного вала, изображенного на рис. 1.8, на-
грузками являются усилия, действующие на зубья колеса, и
натяжения ветвей ремня, а также силы тяжести самого вала и на-
саженных на нем деталей (зубчатого колеса и шкива).
Для стержней фермы мостового крана (рис. 1.9) основные
нагрузки — силы тяжести поднимаемого груза и тележки; мень-
шее значение имеют силы тяжести фермы.
11
Основной нагрузкой барабана парового котла является дав-
ление находящегося в нем пара.
В случае, если рассматриваемый элемент конструкции дви-
жется с ускорением, то к числу действующих на него нагрузок
относятся также силы инерции.
Силы тяжести данной части конструкции и силы инерции,,
возникающие при ее ускоренном движении, являются объемны-,
ми силами, т. е. они действуют на каждый бесконечно малый
элемент объема. Силы тяжести и силы инерции при практических
расчетах учитывают лишь в тех случаях, когда они не малы по
Рис. 1.9
сравнению с остальными нагрузками, действующими на рассчи-
тываемую деталь. Нагрузки, передающиеся от одних элементов
конструкции к другим, относятся к числу поверхностных сил.
Поверхностные силы делятся на сосредоточенные и распреде-
ленные. При этом следует помнить, что сосредоточенных сил,
конечно, не существует — это абстракция, вводимая для удоб-
12
а) 6)
Рис. 1.10.
бар (1 бар=105 н/м2-
ства технических расчетов. Сила рассматривается как сосредо-
точенная, если она передается на деталь по площадке, размеры
которой пренебрежимо малы в сравнении с размерами самого
элемента конструкции. Например, давление колеса вагона на
рельс можно рассматривать как сосредоточенную силу, так как
хотя колесо и рельс в месте соприкосновения деформируются, но
размеры площадки, получающейся в результате этой деформа-
ции, ничтожно малы по сравнению с размерами как рельса, так
и колеса.
Нагрузки, распределенные по некоторой поверхности, харак-
теризуются величиной давления, т. е. силы, приходящейся на
единицу площади, и, следовательно.,
измеряются в н/я2, кн/м2, Мн/м2 и
т. п. (при применении системы
МКГСС и внесистемных единиц дав-
ление измеряют в кГ/м2, кГ/см2,
кГ/мм2).
При расчетах, выполняемых в
Международной системе единиц, в
качестве единицы давления допусти-
мо применять внесистемную единицу
1 кГ/см2).
Во многих случаях приходится встречаться с нагрузками,
распределенными по длине элемента конструкции, например,
можно говорить о силе тяжести единицы длины балки, при этом
если сечение балки не постоянно, то и сила тяжести единицы ее
длины будет переменной величиной.
Величина распределенной по длине нагрузки характеризуется
ее интенсивностью, обозначаемой обычно q и Выражаемой в еди-
ницах силы, отнесенных к единицам длины: ц/м, кн/м и т. п.
(кГ/м, кГ/см). j
По характеру изменения во времени различают:
1. Статические нагрузки, нарастающие медленно и плавно от
нуля до своего конечного значения, достигнув которого, в даль-
нейшем не изменяются. Примером могут служить центробежные
силы в период разгона и при последующем равномерном враще-
нии какого-либо ротора.
2. Повторные нагрузки, многократно изменяющиеся во вре-
мени по тому или иному закону. Примером такой нагрузки слу-
жат силы, действующие на зубья зубчатых колес.
3. Нагрузки малой продолжительности, прикладываемые к
конструкции сразу в полную величину или даже с начальной
скоростью в момент контакта (эти нагрузки часто называют ди-
намическими или ударными). Примером ударной является, на-
пример, нагрузка, воспринимаемая деталями парового молота
во время ковки.
Вопрос о связях и их реакциях достаточно подробно рассмо-
13
трен в курсе теоретической механики. Здесь ограничимся лишь
напоминанием о наиболее распространенных типах связей.
Шарнирн о-подвижная опора (односвязная опора)
схематически изображается, как показано на рис. 1.10, а. Это
изображение обычно применяется в сопротивлении материалов
взамен принятого в теоретической механике (рис. 1.10,6). До-
пустимо также схематически изображать эту опору, как показа-
но .на рис. 1.10, в. Реакция такой опоры В1сегда перпендикулярна
опорной поверхности, т. е. направлена вдоль опорного стер-
женька (см. рис. 1.10, а).
Шарнирн о-неподвижную опору (двухсвязная опо-
ра) будем схематически изображать, как показано на рис. 1.11, а
или 1.11, б, взамен принятого в теоретической механике изобра-
жения по рис. 1.11, в. Допустимо также схематическое представ-
ление этой опоры, показанное на рис. 1.11, г. Реакция шарнирно-
неподвижной опоры проходит через центр шарнира, а ее направ-
ление зависит от действующих активных сил. Вместо отыскания
величины и направления этой реакции удобнее искать отдельно
две ее составляющие (см. рис. 1.11,6). Заметим, что показанное
на рис. 1Д1, а и б схематическое изображение этого типа связи в
виде двух опорных стерженьков символизирует наличие двух
составляющих реакции.
В жесткой заделке (трехсвязная опора) возникают ре-
активный момент и реактивная сила; последнюю удобнее пред-
ставлять в виде двух ее составляющих (рис. 1.12).
Если связью служит стержень с шарнирами по концам
14
(рис. 1.13), то реакция направлена вдоль его оси, т. е. сам стер-
жень работает на растяжение или сжатие.
Формы элементов конструкций чрезвычайно разнообразны,
но с большей или меньшей степенью точности каждый из них
можно для расчетных целей рассматривать либо как брус, либо
как оболочку или пластинку, либо, наконец, как массив.
В сопротивлении материалов в основном изучаются расчеты
на прочность, жесткость и устойчивость бруса, т. е. тела, два
измерения которого невелики
по сравнению с третьим (дли-
ной). Представим себе плос-
кую фигуру, перемещающуюся
вдоль некоторой линии таким
образом, что центр тяжести
фигуры находится на этой ли-
нии, а ее плоскость ей перпен-
дикулярна. Полученное в ре-
зультате такого движения тело
и есть брус (рис. 1.14).
Плоская фигура, движением
Рис. 1.14
которой он образован, является
его поперечным сечением, а линия, вдоль которой перемещался
ее центр тяжести,— осью бруса. Можно сказать, что ось бруса —
это геометрическое место центров тяжести его поперечных сече-
ний. В зависимости от формы оси бруса и того, как изменяется
(или остается постоянным) его поперечное сечение, различают
прямые и кривые брусья с постоянным, непрерывно или ступен-
чато изменяющимся поперечным сечением (рис. 1.15). В качест-
ве некоторых примеров деталей, рассчитываемых как прямые
брусья, можно указать приводной вал (см. рис. 1.8), любой из
стержней фермы мостового крана (см. рис. 1.9); крюк этого кра-
на рассчитывают как кривой брус.
Пластинка и оболочка (рис. 1.16) характеризуются тем, что
их толщина невелика по сравнению с остальными размерами.
Пластинку можно рассматривать как частный случай оболочки,
15
.так сказать, ..«распрямленную», оболочку. Примерами деталей,
рассматриваемых как оболочки й пластинки, являются различ-
ные резервуары для жидкостей и газов, элементы обшивки кор-
пусов кораблей, подводных лодок, фюзеляжей самолетов.
Рис. 1.16
Массивом принято называть тело, все три измерения которо-
го—величины одного порядка, например, фундамент под ма-
шину.
§ 1.3. ДОПУЩЕНИЯ О СВОЙСТВАХ МАТЕРИАЛОВ
И ХАРАКТЕРЕ ДЕФОРМАЦИЙ
. Наука о сопротивлении материалов, отказываясь от приня-
того в теоретцческой механике допущения об абсолютной твер-
дости тел; т. е. учитывая, что тела под действием приложенных
сил деформируются,' все же не может при построении
теории расчетов на прочность и жесткость отразить все много-
образие свойств реальных материалов. Поэтому в сопротивлении,
материалов приходится вводить ряд допущений о свойствах ма-
териалов, позволяющих построить достаточно простую и удоб-
ную- для инженерной практики теорию расчетов элементов кон-
струкций. Конечно, эти допущения таковы, что полученные на,
основе их выводы достаточно точно совпадают с результатами
соответствующих экспериментальных исследований. Рассмотрим
эти допущения.
1. Материал однороден, т. е. свойства любых сколь угодно
"малых его частиц совершенно тождественны. Это допущение до-
статочно обосновано для мелкокристаллических материалов, на-
пример для стали, и менее обосновано для материалов типа
чугуна.
2. Материал тела полностью заполняет весь объем тела без
каких-либо пустот, т. е. тело рассматривается как сплошная сре-
да. Допущение о сплошности тела можно .рассматривать как
следствие допущения об однородности материала. Представле-
16
ние о теле как о сплошной среде дает возможность применять
при исследованиях, выполняемых в сопротивлении материалов и
в смежных науках, методы анализа бесконечно малых величин
(дифференциальное и интегральное исчисления).
3. Материал изотропен; т. е. физико-механические свойства
его по всем направлениям одинаковы. Материалы, не обладаю-
щие указанным свойством, называют анизотропными.
4. В известных пределах нагружения материал обладает иде-
альной (совершенной) упругостью, т. е. после снятия нагрузки
деформации полностью исчезают.
Перейдем к рассмотрению допущений, связанных с характе-
ром деформаций элементов конструкций.
При нагружении упругого тела оно деформируется и отдель-
ные его точки перемещаются относительно своих первоначаль-
ных положений, соответствующих недеформированному состоя-
нию тела.
В качестве основного допущения, используемого во всех раз-
делах нашего курса, принимается, что перемещения точек тела
' (конструкции), обусловленные его упругими деформациями,
весьма малы по сравнению с размерами самого тела.
Из этого допущения следует, что изменения в расположении
сил, происходящие при деформации конструкции, не следует •
учитывать при составлении уравнений равновесия (при опреде-
лении реакций связей), а также и при определении внутренних
сил (см. § 1.4). Это положение иногда называют принципом
начальных размеров.
Для того чтобы лучше понять- значение рассмотренного допу-
щения, обратимся еще раз к схеме конструкции, изображенной
на рис. 1.1. Предположим, что требуется найти реакцию тяги ВС
(силу Nbc)', для этого надо составить уравнение равновесия в
I я 161 !
виде суммы моментов всех сил относительно центра шарнира А.
Если учитывать деформации балки и тяги, то получим
Етл = Р(й1 + ^)-(^с81Пр1)л1 = 0.
Размеры czi, щ и угол p'i неизвестны (их определение весьма
сложно); принцип начальных размеров позволяет принять
ai — a; а —с; ₽i = ₽, т. е. вести расчет, исходя, как говорят, из не-
деформированной схемы конструкции.
Еще одной иллюстрацией применения принципа начальных
размеров служит рис. 1.17. При составлении уравнений равно-
весия для узла А не учитывают изменения угла между стержня-
ми, т. е. вместо P = 2Mcosai принимают P = 2 7Vicosa.
В качестве второго важнейшего допущения принимают, что
перемещения точек, упругого тела в известных пределах нагру-
жения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти переме-
щения. Сущность этого допущения пояснена примером, пред-
ставленным на рис. 1.18. Конструкции (часто говорят системы),
для которых справедлива указанная прямая пропорциональность
18
между силами и соответствующими перемещениями, называют
линейно деформируемыми.
Для линейно деформируемых систем справедлив принцип
независимости действия сил, который .можно сформулировать
следующим образом: результат действия группы сил не зависит
от последовательности нагружения ими конструкции и равен
сумме результатов действия каждой из сил в отдельности.
Сформулированное положение называют также принци-
пом сложения действия сил,' или принципом су-
перпозиции.
Под результатом действия сил в зависимости от конкретной
задачи могут пониматься перемещение той или иной точки тела,
величина внутренней силы упругости и т. д. Подчеркиваем, что,
говоря о действии какой-либо силы, всегда имеют в виду эту
силу вместе с соответствующими ей реакциями связей. Один из
примеров применения принципа независимости действия сил ил-
люстрируется рис. 1.19, не требующим дополнительных поясне-
ний.
§ 1.4. МЕТОД СЕЧЕНИЙ. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ
В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ БРУСА
Прочность твердого тела обусловлена силами сцепления меж-
ду отдельными его частицами. При деформации тела, вызван-
ной действием приложенных к нему внешних сил, величины вну-
тренних сил изменяются. В дальнейшем при определении вну-
тренних сил будем подразумевать не их абсолютные значения,
а только те изменения, которые вызваны действующими на тело
нагрузками. При возрастании внешних сил увеличиваются и вну-
тренние силы, но лишь до определенного предела, при превыше-
нии которого наступает разрушение. Это предельное значение
внутренних сил зависит от физико-механических свойств мате-
риала данного тела.
Для расчета на прочность необходимо иметь возможность
определять внутренние силы по заданным нагрузкам. Основу
для решения этой задачи дает метод сечений. Познакомимся с
этим методом.
Рассмотрим некоторое тело, находящееся в равновесии под
действием заданной системы внешних сил (рис. 1.20). Напоми-
наем, что реакции связей также относятся к числу внешних сил,
поэтому среди изображенных сил могут быть как активные, так
и реактивные. Разрежем мысленно тело на две части некоторой
произвольной плоскостью п—п и, отбросив одну из частей (на-
пример, I), рассмотрим равновесие оставленной. Для обеспече-
ния равновесия этой части надо приложить по проведенному се-
чению те силы взаимодействия между I и II частями тела, кото-
19
рые были внутренними силами для целого тела. Эти силы заме-
няют действие отброшенной части на оставленную (рис. 1.21).
Таким образом, применяя метод сечений, переводят силы, яв-
ляющиеся внутренними для тела в целом, во внешние для одной
из его частей, полученных в результате мысленно проведенного
сечения. Установись закон распределения внутренних сил по про-
веденному сечению методами статики не представляется возмож-
ным; составляя уравнения равновесия для сил, приложенных к
оставленной части тела, можно найти лишь статический эквива-
лент внутренних сил — главный вектор и главный момент, —
Рис. 1.20 Рис. 1.21
возникающих в рассматриваемом сечении. Принципиально совер-
шенно безразлично, какую из частей тела (I или II) отбросить,
так как из третьего закона Ньютона следует, что силы, действую-
щие от части II на часть I, равны по величине и противополож-
ны по направлению силам действия части I на II. Практически
удобнее оставлять ту часть, к которой приложено меньше внеш-
них сил, так как уравнения равновесия для нее будут иметь бо-
лее простой вид.
Учитывая особую важность метода сечений для всего курса
’сопротивления материалов, еще раз повторим содержание тех
четырех этапов, на которые можно расчленить этот метод:
4) мысленно рассекают тело плоскостью в том месте, где нуж-
но определить внутренние силы;
2) отбрасывают одну из частей тела;
3) заменяют действие, отброшенной части на оставленную
внутренними силами; ’
4) составляют уравнения равновесия для сил, действующих
на оставленную часть тела; решая эти уравнения, находят глав-
ный вектор и главный момент внутренних сил, возникающих в
рассматриваемом сечении.
20
Допустимость применения уравнений равновесия к деформируемому телу
следует из известной аксиомы статики: равновесие нетвердого тела не нару-
шается от затвердения данного тела.
Выше (см. ст.р. 9) было обращено внимание на недопусти-
мость замены одной системы внешних сил другой, статически
эквивалентной. Это указание относилось к телу в целом. При
рассмотрении равновесия оставленной части допустимы любые
статические эквивалентные преобразования приложенных к'ней
внешних сил (замена их равнодействующей и’т. д.).
Рис. 1.22
В дальнейшем наиболее часто метод сечений будет приме-
няться для определения статических эквивалентов внутренних
сил, возникающих в поперечных сечениях прямого бруса, поэто-
му специально остановимся на.этом вопросе.
Рассмотрим прямой брус, находящийся в равновесии под
действием произвольной системы внешних (активных и реактив-
ных) сил (рис. 1.22). Рассечем его на две части (I и II) некото-
рой произвольной плоскостью, перпендикулярной к его продоль-
ной оси, и отбросим одну из частей (например, I). Выше уже го-
ворилось о том, что внутренние силы по сечению распределены,
сплошным образом, но как именно они распределены, с помощью
21
уравнений равновесия установить нельзя. Вместе с тем из теоре-
тической механики известно, что любая система сил может быть
приведена к ее главному вектору и главному моменту, которые
статически эквивалентны заданной системе сил. Далее известно,
что главный вектор системы может быть представлен в виде
трех составляющих по осям выбранной координатной системы.
Аналогично, главный момент может быть также разложен на
составляющие по осям координат, т. е. заменен тремя момента-
ми, каждый из которых стремится повернуть тело вокруг одной
Рис. 1.23 Рис. 1.24
из координатных осей. Конечно, можно определить из уравнений
равновесия, составленных для сил, действующих на оставленную
часть бруса, величины и направления главного вектора и глав-
ного момента внутренних сил. Но значительно удобнее опреде-
лять их составляющие по осям выбранной системы координат.
Эту систему выбираем следующим образом: начало коорди-
нат О помещаем в центре тяжести рассматриваемого поперечно-
го сечения (рис. 1.23), ось Oz направляем по внешней нормали
к сечению, т. е. вдоль оси бруса, оси Ох и Оу располагаем в плос-
кости сечения, ось Оу — по оси симметрии поперечного сечения
и ось Ох — ей перпендикулярно*.
Составляющие главного вектора и главного момента внутрен-
них сил, возникающих в поперечном сечении бруса, носят назва-
ние внутренних силовых факторов (или усилий) в этом сечении.
* В том случае, когда поперечное сечение бруса не имеет ни одной оси
симметрии, оси Ох и Оу совпадают с так называемыми главными централь-
ными осями сечения. Это понятие разъяснено в гл. VI.
22
На рис. 1.24 показаны шесть внутренних силовых факторов,
возникающих в поперечном сечении бруса в общем случае его
нагружения.
Составляющие главного момента по осям принятой системы
координат, как известно, являются векторами, но для большей
наглядности они показаны в виде дугообразных линий со стрел-
ками на концах.
Указанные шесть внутренних силовых факторов имеют сле-
дующие наименования:
Nz — продольная (или нормальная) сила;
Qx, Qy — поперечные силы;
Mz — крутящий момент;
Мх, Му — изгибающие моменты.
Каждый из них связан с определенным видом деформации
бруса. Так, например, если не равна нулю только продольная
сила Nz '—брус работает на растяжение (если сила направлена
от сечения) или на сжатие (сила направлена к сечению).
Если не равна нулю поперечная сила Qx (или Qy, или обе
одновременно),— брус работает на срез (сдвиг).
При наличии в поперечных сечениях бруса только крутяще-
го момента Mz имеет место деформация кручения. В случае, если
не равен нулю изгибающий момент Л4Х или Л4у, брус работает
на чистый изгиб: либо в плоскости уOz (при М^О), либо в пло-
скости xOz (при ЛГу^'О),
Таким образом, разложение главного вектора и главного мо-
мента внутренних сил на составляющие имеет не формальный, а
ясно выраженный физический смысл.
Для определения величин каждого из внутренних силовых
факторов используем уравнения равновесия для оставленной ча-
сти бруса (см. рис. 1.24). Заметим, что в каждое уравнение вой-
дут проекции на соответствующую ось (или моменты относитель-
но оси) всех внешних сил, приложенных к оставленной части, и
только один из внутренних силовых факторов.. Это обстоя-
тельство избавляет от необходимости решения систем уравнений
при определении Nz, Qy и т. д., что еще раз подтверждает целесо-
образность раздельного определения составляющих как главного
вектора, так и-главного момента внутренних сил.
Уравнения равновесия для оставленной части бруса имеют
вид
2 Z=N,+ 2 (1.1)
. ост. ост.
части части
2 2 (^-2)
ост. ост.
части части
23
2 r=Q,-b (1.3)
ост. части ост. части
2 ост. части ост. части (1.4)
2тх= ОСТ. части ост. части (1.5)
ост. части А+ 2 ™,(Л)=0. ост. части (1.6)
На основе этих уравнений можно сформулировать правила
для определения величин каждого из внутренних силовых фак-
торов. Например, продольная сила в произвольном поперечном
Рис. 1.25
сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций
на продольную ось Oz бруса всех внешних сил, приложенных к
его оставленной части. Продольная сила, действующая по про-
24
веденному .сечению, принадлежащему оставленной части, равна
по величине, и противоположна по направлению действующей по
тому же сечению, но принадлежащему отброшенной части. То
же относится, конечно, и ко всем остальным внутренним сило-
вым факторам (рис. 1.25). Поэтому можно сформулировать пра-
вило для отыскания Nz и несколько иначе. Продольная сила в
произвольном поперечном сечении бруса численно равна алге-
браической сумме проекций на продольную ось Oz бруса всех
внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого
сечения.
Аналогично формулируются правила для отыскания осталь-
ных внутренних'силовых факторов.
§ 1.5. НАПРЯЖЕНИЯ
Внутренние силы, как уже указывалось, распределены по се-
чению тела (в частности, бруса) сплошным образом, при этом в
общем случае их величина и направление в отдельных точках
сечения различны. Для суждения об
интенсивности внутренних сил в опре-
деленной точке данного сечения введе-
но понятие о напряжении.
Выделим в окрестности интересую- Лз
щей нас точки сечения малую площад-
ку, имеющую площадь AF; допустим,
что на этой площадке возникает внут-
ренняя сила AS (рис. 1.26). Отношение
этой внутренней силы к площади вы-
деленной площадки называется сред-
ним напряжением (рср) в рассматри-
ваемой точке по проведенному сече-
нию рис. 1.26
Рср~Tf ‘ ('‘7)
Чем точнее нужно знать интенсивность внутренних сил в дан-
ной точке сечения, тем меньше должна быть выделенная пло-
щадка.
В пределе при стремлении AF к нулю получим истинное на-
пряжение в данной точке рассматриваемого сечения
^ = lim • О-8)
Заметим, что при уменьшении площади AF («стягивании» ее
в точку) величина AS также стремится к нулю, но из физических
соображений очевидно, что рассматриваемое отношение будет
величиной конечной.
25
Напряжение в данной точке по рассматриваемому сечению
есть величина векторная (вектор AS делим на скаляр АГ); на-
правление этого вектора совпадает с предельным направлением
вектора AS, которое он имеет при уменьшении АГ до нуля *.
Размерность напряжения: [сила] • [длина-2]. В Международ-
ной системе единиц (СИ) единица измерения напряжения н/м2;
широким распространением пользуются внесистемные единицы:
кГ/см2 и кГ/мм2. Указанные единицы связаны между собой
следующими зависимостями: 1 кГ/см2 = 9,80665 • 104 н/м2^
«9,81 - 104 н/м2; 1 кГ/мм2 — 9,80665- 106 н/ж2^9,81 • 106 н/м2;
Г н/ж2«0,102 • 10-4 кГ/см2; 1 н/м2^0,102 • 10-6 кГ/мм2.
Зачастую допустимо с погрешностью порядка двух процен-
тов принимать 1 н«0,1 кГ, и соответственно 1 кГ/см2^1Ф н/м2
и т. д.
Единица напряжения ньютон на квадратный метр (н/ж2)
очень мала, поэтому, введена внесистемная единица ньютон на
квадратный миллиметр ** (н/мм2), которая удобна также и по-
тому, что в большинстве случаев линейные размеры на черте-
жах указывают в миллиметрах.
•; 1 и/жж2=10б н/ж2?« 10,2 кГ/см2 или 1 кГ/сж2«9,81 н/мм2. По-
лезно запомнить, что величина напряжения, выраженная в
н/мм2, примерно в 10 раз меньше величины, выраженной в кГ/см2
(например, 1600 кГ/сж2«160 н/жж2), и примерно в 10 раз больше
величины, выраженной в кГ/мм2 (например, 24 кГ/жж2«
«240 н/мм2).
В ряде источников исходные данные для расчетов и их окон-
чательные результаты указывают в кратных единицах меганью-
тонах на квадратный метр (см., в частности, задачник [22]);
1 Мн/м2 = 106 н/м2. Численные значения напряжений, выраженные
в Мн/м2 и в н/мм2, совпадают. В некоторых примерах, приведен-
ных здесь (см. главы II и IV), применена единица Мн/м2; в подав-
ляющем большинстве случаев напряжения измеряются в н/мм2.
Через данную точку тела можно провести бесчисленное мно-
жество сечений, различно ориентированных в пространстве, и,
конечно, в общем случае возникающие на них напряжения бу-
дут различны. Поэтому нельзя говорить о напряжении в данной
* При уменьшении площадки АГ изменяется как величина, так и направ-
ление' вектора элементарной внутренней силы AS. Направление вектора на-
пряжения р совпадает с предельным направлением вектора AS.
** Во избежание недоразумений заметим, что в методических указаниях и
контрольных заданиях для учащихся заочных техникумов (издания 1964 и
1965 гг.) в рекомендациях по применению СИ специально оговорено, что
использование единицы напряжения н/мм2 недопустимо. Такие же указания
даны в некоторых учебных и справочных пособиях (см., например [21], [30]).
Причина такого расхождения с приведенной здесь рекомендацией состоит
в том, что указание Госкомитета стандартов о допустимости применения еди-
ницы н/мм2 появилось в то время, когда упомянутые контрольные задания и
пособия были уже изданы или находились в печати.
26
точке, не указывая площадки (сечения), на которой это напря-
жение возникает.
Разложим вектор напряжения р на две составляющие: одну —
направленную по нормали к сечению, вторую — лежащую в пло-
скости сечения (рис. 1.27). Составляющую напряжения, направ-
ленную по,нормали к площадке ее действия, будем называть
нормальным напряжением и ббозначать о.
Составляющую, лежащую в плоскости сечения, назовем ка-
сательным напряжением и обозначим т. Между напряжениями
р, о и т существует следующая очевидная зависимость:
р — ]/о24-т2. (1.9)
Такое разложение для полного напряжения имеет определен-
ный физический смысл. Действительно, нормальное напряжение
возникает тогда, когда частицы материала, соприкасающиеся
по рассматриваемой площадке, под действием приложенных к
Рис. 1.28
телу нагрузок стремятся отдалиться друг от друга или сбли-
зиться в направлении нормали к этой площадке, т. е. при растя-
жении или сжатии. Касательные напряжения связаны со сдви-
гом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения.
В ряде случаев оказывается удобным разложить вектор р не
на две, а на три составляющие, направленные параллельно коор-
динатным осям. На рис. 1.28 показано это разложение примени-
тельно к точке, взятой в поперечном сечении бруса. Для этих
составляющих принято следующее правило индексов: первый
индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке
действия рассматриваемого напряжения, второй индекс показы-
вает, какой оси параллельно данное напряжение. Согласно это-
му правилу, нормальное напряжение должно было бы иметь два
одинаковых индекса (в нашем случае о22), но принято писать
лишь один из них. В тех случаях, когда нужно указать, что речь
идет о касательном напряжении, возникающем в поперечном се-
27
чении бруса, а направление напряжения не играет роли, его
можно обозначать rz, опуская второй индекс. Часто применяют
также обозначение т (без индексов).
Зависимость между полным напряжением и тремя его состав-
ляющими выражается формулой
т/ 2 । 2 । 2
Р — V “Г “Г
Установим связь между напряжениями и внутренними сило-
выми факторами в поперечном сечении бруса.
Умножая напряжения щ; tzx и
Рис. 1.29
т2у на площадь dF площадки их дей-
ствия, получаем элементарные внут-
ренние усилия (рис. 1.29).
dNz = zzdF\
dQx^zxdF,
dQy=tzydF.
Суммируя эти элементарные уси-
лия по всей площади сечения, полу-
чаем выражения составляющих
главного вектора внутренних сил:
f
(1.Ю)
Qx= \
(1.11)
Qy =' f xzydF.
(1.12)
Умножая каждое из элементарных усилий на расстояние до
соответствующей оси, получаем элементарные моменты внутрен-
них сил
dMz = (yzxdF) у — (?zydF) х;
dMx=(azdF)y;
dMy==(yzdF) x.
Суммируя элементарные моменты по веек площади сечения,
получаем выражения для составляющих главного момента внут-
ренних сил:
Mz ^Fzxy xzyx) dF,
(1.13)
28
\wdF-, (1.14)
Му= f azxdF.‘ (1-15)
F
Обращаем внимание, что выражения (1.10) — (1-15) не слу-
жат для вычисления внутренних силовых факторов; значения
последних определяют с помощью метода сечений, как указа-
но ,в § 1.4. Эти выражения можно рассматривать как записан-
ные с помощью математических символов определения, выра-
жающие физическую сущность внутренних силовых факторов.
В дальнейшем эти выражения будут использованы при опреде-
лении величин напряжений по известным внутренним силовым
факторам.’
Итак, от внешних сил с помощью метода сечений к внутрен-
ним силовым факторам, от них на основе интегральных зависи-
мостей и дополнительных гипотез к напряжениям — таков в об-
щих чертах план решения основной задачи сопротивления мате-
риалов об определении напряжений, возникающих в поперечных
сечениях бруса при различных видах его деформации.
ГЛАВА II
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
§ 2.1. УСИЛИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ БРУСА
При растяжении (сжатии) прямого бруса в его поперечных
сечениях возникает только один внутренний силовой фактор —
продольная сила, обозначаемая Nz или N.
Прямые брусья, работающие на растяжение или сжатие, ча-
сто называют стержнями.
Простейшие случаи растяжения и сжатия представлены на
рис. 2.1 и 2.2 — в центрах тяжести торцовых поперечных сечений
Рис. 2.2
Рис. 2.1
бруса приложены две равные и противоположно направленные
силы, линии действия которых совпадают с осью бруса.
Продольные силы, соответствующие деформации растяжения,
условимся считать положительными, а сжатия — отрицательны-
ми. При растяжении продольная сила направлена от сечения й
(см. рис. 2.1), а при сжатии — к сечению (см. рис. 2.2.).
При сжатии сравнительно длинного и тонкого бруса прямолинейная фор-
ма его равновесия может оказаться неустойчивой (см. стр. 8 и рис. 1.3).
В этой главе будем во всех случаях полагать, что опасность потери устойчи-
вости исключена. Расчеты на устойчивость рассмотрены в гл. XII.
Более общие случаи работы бруса на растяжение (сжатие)
показаны на рис. 2.3, 2.4.
Из рассмотренных примеров следует, что для того чтобы брус
работал на растяжение (сжатие), равнодействующая
внешних сил, приложенных по одну сторону от любого по-
перечного сечения бруса, должна быть направлена вдоль его оси.
Только при этом условии все внутренние силовые факторы, кро-
ме продольной силы, будут равны нулю.
30
Величина и направление (знак) продольной силы определя-
ются из уравнения равновесия, составленного для отсеченной
(оставленной после проведения сечения) части бруса,
ОСТ.
части
л'+ 2 Рг(=о,
ост.
части
откуда
ЛГ=- 2 Рг„
ост.
части
т. е. продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса
численно равна алгебраической сумме проекций на его продоль-
ную ось Oz всех внешних сил, приложенных к оставленной части.
Направление N противоположно направлению проекции (на
ось Oz) равнодействующей внешних сил, приложенных к
оставленной части.
Приведенная формулировка не может рассматриваться как
определение понятия «продольная сила», она указывает лишь
, метод для нахождения ее величины и направления. Продольной
силой в поперечном сечении бруса называется равнодействующая
внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.
Допустимо и такое определение: продольной силой в поперечном сечении
. бруса называется направленная вдоль его оси составляющая главного век-
тора внутренних сил, возникающих в этом сечении.
Элементарная нормальная сила, возникающая на бесконечно
малой площадке поперечного сечения, равна произведению нор-
мального напряжения gz на площадь dF указанной площадки,
31
т. е. dN — GzdF. Сумма (равнодействующая) этих элементарных
сил представляет собой определенный интеграл
N= f a2dF.
F
Это математическое выражение эквивалентно приведенному
словесному определению понятия «продольная сила».
В тех случаях; когда продольные силы в различных попереч-
ных сечениях бруса не одинаковы, закон их изменения по длине
бруса удобно представить в виде графика, называемого эпю-
рой продольных сил. Аргументом при построении этого
графика является координата поперечного сечения бруса (z), а
функцией — продольная сила (N).
Рис. 2.4
Таким образом, эпюра продольных сил — это график функ-
ции N=f(z). Далеко не всегда можно составить выражение ука-
занной функции, справедливое при всех значениях координаты z
(для всего бруса). Приходится разбивать брус на участки, для
каждого из которых будет свое выражение функции #=f(z).
Эпюру продольных сил строят в первую очередь для того,
чтобы использовать ее при расчете бруса на прочность; она дает
возможность найти наибольшие значения продольных сил и по-
ложение сечений, в которых они возникают.
Пример 2.1. Построить эпюру продольных сил для бруса, изображенного
на рис. 2.5, а.
Решение. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного конца. Гра-
ницами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы.
Легко видеть, что во всех поперечных сечениях данного участка продольная
сила имеет одно и то же значение.
32
Применяя метод сечений, оставляем правую и отбрасываем левую часть
бруса; это позволяет не определять реакцию заделки. Проводя произвольное
сечение а — а на участке I и составляя для части бруса, показанной отдельно
на рис. 2.5, б, уравнение равновесия
2^=0,
ост-.-
части
получаем
откуда
Проводя сечение b — & на участке II и рассматривая правую оставленную
часть бруса (рис. 2.5, в), получаем
2 Z = P-2P-Nn = 0,
ост.
части ’ - -%
откуда
Nn = ~P. .
Знак минус указывает, что фактическое направление силы N,n противо-
положно показанному на рис. 2.5, в, т. е. сила ЛГц направлена-к сечению и,
следовательно, участок II испытывает сжатие.
.Аналогично определяем продольную силу в произвольном сечении с — с
участка III (рис. 2.5, г) :
Nlu=3P.
2- 1451
33
Конечно, для определения продольных сил нет необходимости изображать
каждый раз отдельно отсеченную часть бруса, можно просто найти алгебраи-
ческую сумму проекций на ось бруса внешних сил, приложенных
по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Применяя метод сечений, можно было бы каждый раз оставлять левую
и отбрасывать правую часть бруса, но тогда решение следовало бы начинать
с определения реакции заделки' (см. рис. 2.5, а), так как эта реакция отно-
сится к числу внешних сил, приложенных к оставленной (левой) части бруса.
Для построения эпюры N проводим ось абсцисс графика (ось или базу
эпюры) параллельно ' ' ~ ~
из участков продольная с
Ч)
6)
-P+ifFl
Рис. 2.6
S оси* бруса (рис. 2.5, 5). В пределах каждого
сила постоянна, т. е. эпюра параллельна оси абсцисс.
Величины продольных сил отклады-
ваем в выбранном масштабе от оси
эпюры; при этом положительные
значения N (растяжение) отклады-
ваем вверх, а отрицательные — вниз
от оси. Условимся ось эпюры про-
водить тонкой, а саму эпюру тол-
стыми линиями.
В местах приложения сосре-
доточенных сил на эпюре по-
лучаются скачкообразные измене-
ния ординат — «скачки». Величина
«скачка» равна приложенной в соот-
ветствующем месте бруса внешней
сосредоточенной силе. При нагруже-
нии бруса сосредоточенными
силами эпюра N всегда имеет такой
характер, как в рассмотренном при-
мере.
Скачкообразные изменения орди-
нат эпюры N носят условный харак-
тер, так как условно и само понятие
внешняя сила распределена по некото-
«сосредоточенная сила». Фактически
рой небольшой части длины бруса; в пределах этой части значение N изме-
няется (например, в зоне приложения силы Р2 от значения + Р до —Р) по
некоторому закону, установить который не представляется возможным. Неиз-
вестный криволинейный переходной участок эпюры заменяют условным
«скачком».
Эпюру принято штриховать; при этом штриховка перпендику-
лярна оси эпюры — каждая линия штриховки (ордината графика) дает
в принятом масштабе величину продольной силы в противолежащем попереч-
ном сечении брусщ
Пример 2.2. Для бруса, изображенного на рис. 2.6, а, построить эпюру
продольных сил, возникающих от действия сосредоточенной силы Р и силы
тяжести бруса. Удельная сила тяжести (удельный вес) материала бруса у,
площадь поперечного сечения F.
Решение. В данном случае брус нагружен, помимо сосредоточенной, сила-
ми, равномерно распределенными по его длине, поэтому продольная сила при
переходе от сечения к сечению изменяется непрерывно, а не скачкообразно,
хак это имеет место1 при действии ряда сосредоточенных.сил (см., пример 2.1).
Проведем поперечное сечение, отстоящее на z от свободного конца бруса,
и рассмотрим равновесие нижней оставленной части, изображенной отдельно
на рис. 2.6, б.
Внешними силами, действующими на эту часть, являются сила Р
и сила тяжести этой части Gz =yFz. Проектируя на ось z все силы, действую-
щие на оставленную часть, получаем
N ~ Р + Gz = Р+ yFz.
34
Таким образом, N изменяется по длине бруса по линейному закону. Для
построения эпюры находим значения N в крайних сечениях: при z=0
и при Z = I
Nz=l —Р +-(Fl — Р + G,
где G = '(FI — сила тяжести всего бруса.
Построенная по этим данным эпюра показана на рис. 2.6, в.
§ 2.2. НАПРЯЖЕНИЯ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ БРУСА
При растяжении (сжатии) бруса в его поперечных сечениях
возникают только нормальные напряжения. Равнодействующая
соответствующих элементарных сил (cr^F) —продольная сила
(N) может быть найдена с помощью метода сечений. Для того
чтобы иметь возможность определить нормальные напряжения
а)
5)
при известном значении продольной силы, необходимо устано-
вить закон их распределения по поперечному сечению бруса.
Эта Задача решается на основе гипотезы плоских сечений
(гипотезы Я. Бернулли), которая гласит: сечения бруса, плоские
и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и
нормальными к оси и при деформации.
При растяжении бруса (изготовленного, например, для боль-
шей наглядности опыта из резины), на поверхности которого на-
несена система продольных и поперечных рисок (рис. 2.7, а),
можно убедиться, что риски остаются прямолинейными и взаим-
но перпендикулярными, изменяются лишь расстояния: между по-
перечными рисками несколько увеличиваются, а между продоль-
ными— уменьшаются (рис. 2.7,6).
Описанный опыт можно рассматривать как подтверждение
гипотезы плоских сечений; при этом предполагают, что внутри
бруса деформации имеют тот же характер, как и на его поверх-
ности.
Представим себе, что брус состоит из бесконечно большого
числа продольных элементов, имеющих бесконечно малые («то-
чечные») поперечные сечения. Эти элементы здесь и в дальней-
шем будем условно называть волокнами.
2* 35
Из гипотезы Бернулли следует, что все волокна в рассматри-
ваемом случае деформируются одинаково. Естественно допу-
стить, что равным деформациям соответствуют одинаковые на-
пряжения. Таким образом, приходим к заключению, что при
растяжении (сжатии) бруса нормальные напряжения распреде-
лены по его поперечному сечению равномерно.
Подчеркнем, что распределение напряжений” не зависит от
формы поперечного сечения. На рис. 2.8 представлена так назы-
ваемая пространственная эпюра нормальных
1 напряжений, возникающих в поперечном сече-
/V нии бруса.
Для определения величины нормальных
напряжений используем выражение (см.
стр. 32).
N= j
' н
Вынося gz (постоянная величина !) за знак
интеграла, получаем
Рис. 2.8 F
где F — площадь поперечного сечения бруса.
Опуская индекс z, окончательно получаем
(2.1)
Для нормальных напряжений принимают то же правило зна-
ков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении считащт на-
пряжения положительными.
-Фактически распределение напряжений в сечениях бруса,
примыкающих к месту приложения внешних сил, зависит от спо-
соба приложения нагрузки и может быть неравномерным. Экс-
периментальные и теоретические исследования показывают, что
это нарушение равномерности распределения напряжений носит
местный характер. В сечениях бруса, отстоящих от места нагру-
жения на расстоянии, примерно равном наибольшему из попе-
речных размеров бруса, распределение напряжений можно счи-
тать практически равномерным (рис. 2.9).
Рассмотренное положение является частным случаем прин-
ципа Сен-Венана, который можно сформулировать следующим
образом:, распределение напряжений Существенно зависит от
способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагруже-
ния. В частях, достаточно удаленных от места приложения сил,
§6
распределение напряжений практически зависит только от стати-
ческого эквивалента этих сил, а не от способа их приложения.
Таким образом, применяя принцип Сен-Венана и отвлекаясь
от вопроса о местных напряжениях, имеем возможность (как
8сеч. I В сеч. И В сеч. Ш
в этой, так и в последующих главах курса) не интересоваться
конкретными способами приложения внешних сил.
В местах резкого изменения формы и размеров поперечного
сечения бруса также возникают местные напряжения, но в этой
главе курса учитывать их не будем.
В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных
поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно пока-
37
зывать закон их изменения по длине бруса в виде графика —
эпюры нормальных напряжений.
Пример. 2.3. Для бруса со ступенчато-переменным поперечным сечением
(рис. 2.10, а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Решение. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного конца. Гра-
ницами участков являются места приложения внешних сил или изменения раз-
меров поперечного сечения, т. е. брус имеет пять участков. При построении
только эпюры N следовало бы разбить брус лишь на три участка.
Применяя метод сечений, определяем продольные силы в поперечных се-
чениях бруса и строим соответствующую эпюру (рис. 2.10, б). Построение
эпюры Nz принципиально ничем не отличается от рассмотренного в приме-
ре 2.1, поэтому подробности этого построения опускаем. ।
Значения нормальных напряжений вычисляем по формуле (2.1), подстав-
ляя величины сил в ньютонах, а площадей в квадратных метрах.
Для г участка I а, = = Д1 80-Юз = 160-106 н/л2=160 Л4«/л2(1632 кГ]ся2);
5-10~4
для Mi участка II ajr = = Д 2 Мп участка III сИ1 = • = д2 Му- участка IV Cjy = = Дз tr Ny 80-Юз = 100 -. 1 Об я/д/2=Ю0ЛГя/л2 (1020яГ/сл/2); = 150-106 «М2=15б Л4н/ц/2 (1530 кГ/см^); = 120-106 н/м2= 120 Мн/м2 (1224 к Г/см2); =-70 • 10в«/^2=-70Л1я/л2( -714кГ/см2);
8-10“4 120-Юз
ДЛЯ 8-10~4 120-Юз
Для io-ю-4 70-Юз
ДЛЯ участка Г — — Дз 10-10-4
В пределах каждого из участков напряжения постоянны, т. е. эпюра на
данном участке — прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 2.10, в).
Для расчетов на прочность интерес представляют в первую очередь те
сечения, в которых возникают наибольшие напряжения, так называемые
опасные сечения. Существенно, что в рассмотренном случае они не совпа-
дают с теми сечениями, где продольные силы максимальны.
В тех случаях, когда сечение бруса по всей длине постоянно, эпюра <т
подобна эпюре N, отличаясь от нее только масштабом, и, естественно, имеет
смысл построение лишь одной из указанных эпюр. .
§ 2.3. ДЕФОРМАЦИИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Рассмотренный в предыдущем параграфе вопрос об опреде-
лении нормальных напряжений теснейшим образом связан с
расчетами бруса и шарнирно-стержневых систем (например,
ферм) на прочность. Умение вычислять деформации и-перемеще-
ния необходимо для расчетов на жесткость, а также для опреде-
ления усилий в статически неопределимых системах.
Выделим из бруса, изображенного на рис. 2.Ill,а, бесконечно
малый элемент длиной dz. Этрт элемент отдельно изображен (в
двух проекциях) на рис. 2.11, б;, штриховыми линиями он пока-
38
зан в деформированном состоянии — длина элемента увеличи-
лась, а размеры поперечного сечения уменьшились. Приращение
длины элемента обозначим A (dz). Отношение приращения (из-
менения) длины элемента к его первоначальной длине назы-
вается относительным удлинением, или продольной деформа-
цией,
(2.2)
Очевидно, продольная деформация — безразмерная величина.
В некоторых случаях ее выражают в процентах. При растяже-
нии продольную деформацию считают положительной, а при сжа-
тии — отрицательной.
__Д (dz)
~~ dz
Рис. 2.11
(2.3)
Отношение изменения Аа размера поперечного сечения к его
первоначальному значению называют относительным поперечным
сужением (расширением), или поперечной деформацией,
t Ьа
s =----
а
При растяжении поперечные размеры бруса уменьшаются, и
е' по принятому правилу знаков — величина отрицательная.
Продольную и поперечную деформации называют также ли-
нейными деформациями (общее наименование).
Для подавляющего‘большинства конструкционных материа-
лов с достаточной для практики точностью можно считать, что в
известных пределах нагружения между продольной деформа-
цией и соответствующим (действующим в ее направлении) нор-
мальным напряжением существует прямая пропорциональность
(линейная зависимость). Это положение носит название закона
Гука и записывается в виде
a = £s. (2.4)
Коэффициент пропорциональности Е называют модулем про- .
дольной упругости (другие названия: модуль нормальной упру-
гости; модуль упругости; модуль упругости 1-го рода; модуль
39
Юнга). Очевидно, Е имеет ту же размерность, что и напряжение,
т. е. измеряется в н/м2, или Мн/.м2, или кГ/см2,илм кГ/мм2 и т. п.
Модуль продольной упругости — физическая постоянная дан-
ного материала, характеризующая его жесткость, т. е. способ-
ность сопротивляться упругим деформациям. Чем жестче мате-
риал, тем меньше он деформируется при данной величине на-
пряжений. На рис. 2.12 дано графическое представление закона
Гука для двух материалов, имеющих различные модули про-
дольной упругости.
Пусть по оси ординат графика принят масштаб
Г—-—], а по оси абсцисс — /тг£ --- .
’ L мм J
Величину модуля продольной
упругости найдем из выражения
(2.4)
£=— ,
£
или по графику
И
£ =---fg а,
т. е. величина модуля упругости
Е прямо пропорциональна тан-
генсу угла наклона к оси абсцисс
прямой — графика, изображаю-
щего закон Гука.
Для данного материала вели-
чина модуля продольной упру-
гости колеблется в узких пределах. Например, для стали Е =
= £1,9 н-2,15) 105 Мн/м2, [ ~ (2,0-н 2,2) 106 кГ/см2 = (2,0 +
-?->2,2)'1О4 кГ/мм2]. При этом весьма важно иметь в виду, что ве-
личина Е для стали практически не- зависит от ее химического
состава и термической обработки.
Английский физик Роберт Гук (1636—1703) установил закон, носящий его
имя, в 1660 г., но опубликовал его только в 1678 T.
Независимо от Гука этот же закон открыл в 1680 г. французский ученый
Мариотт (1620—1684).
Английский ученый Томас Юнг (1773—1829) ввел физическую постоянную
материала, пропорциональную модулю упругости в современном его понима-
нии.
Закон Гука в форме зависимости (2.4) и современное понятие модуля
продольной упругости даны французским ученым Навье в 1826 г.
Опытным путем установлено, что при простом растяжении
или сжатии отношение поперечной деформации к продольной —
величина постоянная для данного материала. Это отношение,
40
взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом по-
перечной деформации, или коэффициентом Пуассона,
=1-1. (2.5)
Значения коэффициента Пуассона для различных материа-
лов лежат в пределах от 0 до 0,5. Минимальное значение коэф-
фициент Пуассона имеет для пробки— ц —0; максимальное —
для каучука-— ц~0,5. Для подавляющего большинства металлов
и сплавов значение коэффициента Пуассона колеблется в срав-
нительно узких пределах: от 0,23 до 0,35 (в среднем пример-
но 0,3).
Пуассон (1781—1840)—французский ученый. Теоретически установил,
что для всех материалов коэффициент поперечной деформации ц=0,25. По-
следующие экспериментальные исследования не подтвердили этого вывода.
Впервые опытным путем значение коэффициента поперечной деформации для
стали определил профессор механики Петербургского университета М. Ф. Ока-
тов (1836—1904).
Значения Е и ц для некоторых материалов приведены в
табл. 2.1. - --
Таблица 2.1
Значения модуля^продольной упругости Е и коэффициента
Пуассона р
Материал Е, н/мм? р-
Сталь (1,9-4 2,15)105 0,26 ч-0,33
Чугун серый (СЧ12-28. СЧ15-32
й др.) (0,8 ч- 1л5)105 0,23-4 0,27
Чугун 'серый, модифицирован-
ный (СЧ28-48, СЧ32-52, СЧ35-56,
СЧ38-60) . (1,2 ч- 1,55)105 0,24-4 0,28
Медь техническая . .' (1,1 -4 1,3)105 ' 0,31-4 0,33
Бронза оловянная (Бр. ОЦС 6-6-3,
Бр. ОФЮ-1 и др.) (0,8 -4-1,2)105 0,32-4 0,35
Алюминиевые сплавы (0,69-4-0,71)105 0,33 ч-0,36
Дерево вдоль волокон (8,8 -4- 15,7)103 —
Текстолит (6,0 ч- 10)103 —
Каучук 7,85 0,47
Капрон . . (1,4—1,95)103 —
Перейдем к вопросу об определении изменения длины (удли-
нения или укорочения) бруса. Из выражения (2.2) имеем
A(dz)=gdz — изменение длины бесконечно малого элемента
бруса.
По закону Гука,
8 =---
Е
41
и
A (dz) = zdz — dz.
'Нормальное напряжение, возникающее в поперечном сечении
бр^са, выразим через продольную силу и площадь сечения:
N
<з =— .
F
Подставляя значение о в выражение для A(tZz), получаем
д(</г)=-^. (2.6)
Для определения изменения длины (А/) всего бруса (или уча-
стка бруса) следует просуммировать значения A (dz) по всей
длине, т. е. взять интеграл
(2.7)
J EF
I
В наиболее общем случае, когда законы изменения N и F
(или одной из этих величин) различны для отдельных участков
бруса при определении AZ интегрирование ведут в пределах каж-
дого из участков, а затем результаты алгебраически сумми-
руют, т. е.
k
В частном случае (см. рис. 2.11; а), когда’поперечное сечение
бруса или отдельного его участка постоянно и продольная сила
во всех сечениях одинакова, из (2.7) получаем
Д/=^-. (2.9)
Выражение (2.9) часто называют формулой Гука.
Произведение EF условно называют жесткостью сечения бру-
са при растяжении (сжатии).
При практических расчетах иногда удобно ввести понятие
жесткости или коэффициента жесткости, бруса (участка бруса):
(2.10)
Жесткость бруса численно равна силе, вызывающей удлине-
ние (или укорочение) бруса, равное единице длины: 1 м или
1 см и т. п.
42
Plj Pl2 Pls
&l~£F1+ EFZ+EF3
ZJI eF + EF
PZ-P,
Эпюра N
iiiiiieiiiirik
P2-P1
P3
Pi_
«Fi
p’l< p<a ^-pi>(h-“). (Pi-fi)h
ЕЕг+ + er,
Рис. 2.13
При расчетах в единицах СИ коэффициент жесткости изме-
ряют в н!м (или в н/мм).
Величину, обратную коэффициенту жесткости, называют
коэффициентом податливости
$=J-=_L
г С EF
(2.П)
Коэффициент податливости численно равен удлинению (уко-
рочению) бруса, вызванному силой, равной единице силы: 1 н или
1 кн или 1 кГ и т. п.
Пользуясь понятиями коэффициента жесткости или коэффи-
циента податливости, взамен
формулы (2.9) получаем
Д/=-£ (2.12)
ИЛИ
(2.13)
Дополнительно остановим-
ся на случаях, когда формула
(2.9) [как следствие и форму-
лы (2.12), (2.13)] применима
лишь к отдельному уча-
стку бруса. Такие случаи ил-
ступенчатое изменение поперечного
Рис. 2.14
люстрируются рис. 2.13: а)
сечения; б) скачкообразное изменение продольной силы; в) сту-
пенчато-переменное сечение и скачкообразное изменение про-
дольной силы, т. е. комбинация случаев а) и б). Изменение дли-
ны бруса (удлинение или укорочение) равно алгебраической
сумме удлинений (укорочений) отдельных уиастков:
k k
il=yil.= y.N‘l1.
1 Eft
(2.14)
В случаях, когда поперечное сечение бруса или продольная
сила или обе эти величины изменяются по его длине непрерывно
(рис. 2.14), удлинение (укорочение) бруса следует вычислять по
формуле (2.7).
При растяжении (сжатии) бруса его поперечные сечения пе-
ремещаются в направлении оси. Перемещения являются следст-
вием деформаций, но эти понятия необходимо строго разграни-
чивать. Например, в случае, представленном на рис. 2.15, дефор-
мируется лишь левая часть бруса (участок АВ), а участок ВС
перемещается как абсолютно твердое тело. Перемещения всех
44
сечений этого участка одинаковы и равны удлинению части АВ
бруса:
КВ — ^С = ^АВ~' -
Перемещение произвольного сечения бруса равно изменению
длины участка, заключенного между этим сечением и заделкой.
Например, для сечения, отстоящего на расстоянии z от заделки
(см. рис. 2.15),
к=д/=_^_,
Z Z TZU 7
где
График [%z=f(z)], показывающий перемещения поперечных
сечений в функции их расстояния z от неподвижного конца бруса
(или сечения, условно принятого за неподвижное), называется
эпюрой перемещений (см. рис. 2.15).
Взаимное перемещение двух сечений равно изменению длины
части бруса, заключенной между этими сечениями (рис. 2.16).
Остановимся на определении перемещений узлов (шарниров)
стержневых систем.
Эти перемещения определяют по известным удлинениям и
укорочениям стержней, сходящихся в рассматриваемом узле.
Пусуь, например, требуется найти перемещение шарнира А
кронштейна, изображенного на рис. 2.17, а.
Вырезая узел А и составляя для него два уравнения равно-
весия (5 U=0 и £У=0), находим усилия в стержнях
(рис. 2,17,6). Очевидно, усилие — растягивающее, а —
сжимающее. По формуле Гука находим изменения длин стерж-
ней.
45
Для нахождения положения шарнира А после деформации
следует мысленно разъединить стержни, отложить по их направ-
лениям величины А/1 и Д/2 (отрезки AD и АК на рис. 2.17, а) и;
вращая стержни вокруг центров В и С, вновь свести их вместе.
Таким образом, положе-
ние шарнира А после дефор-
мации (точка Л1) находится
на пересечении дуг, прове-
денных из центров В и С ра-
диусами /1 +Д/1 и /2— Д/2.
Построение, показанное
на рис. 2.17, а, выполнено со
значительным нарушением
масштабов: отрезки AD и
АК, изображающие измене
ния длин Д/1 и Д/2 стержней,
примерно равны соответст-
венно V5 и 1/i5 от величин Zi
и /2, в то время как фактиче-
ски упругие удлинения сталь-
ных стержней не превы-
шают 1/1000 ОТ их длины.
В силу малости удлине-
ний (укорочений) можно за-
менить дуговые засечки пер-
пендикулярами,
ными из точек D
проведен-
и К к на-
,(EF)}
в
c
Д С;
я
Л//
,/ ьл;
7
(FF)Z
^гЛ12
9)
Рис. 2.16
и
я
of
Л/2
и
Р
Al?, Л
Рис. 2.17
правлениям стержней, и считать новым положением шарнира
точку Ль Если бы удалось выполнить рассмотренные построе-
ния без искажения масштабов (для этого потребовался бы лист
бумаги весьма больших размеров — порядка 2X1 м), можно
было бы убедиться, что дуговые засечки и перпендикуляры
практически сливаются.
46-
Достоинством указанного построения, называемого диа-
граммой перемещений, является его простота и возмож-
ность выполнения в произвольном масштабе, не связанном с
масштабом чертежа самой системы.
Диаграмма перемещений может быть построена отдельно,
как показано на рис. 2.17, в; при этом, если
нено в достаточно крупном масштабе, мож-
но не устанавливать аналитической зависи-
мости между AZi, Д/г и перемещением уз-
ла Л, а, зцмерив отрезок диаграммы ЛЛ1 и
умножив его на масштаб, получить искомое
перемещение. На этом же чертеже показа-
ны горизонтальная ил и вертикальная vA
составляющие полного перемещения.
Пример 2.4. Определить размеры поперечного
сечения стальной (£==2,1-105 Мн/м2) штанги
(рис. 2.18) из условия, чтобы ее удлинение равня-
лось [А/]=2 мм (здесь и в дальнейшем квадратные
скобки употребляются для обозначения допус-
каемого значения той или иной величины — удли-
нения, напряжения и т. д.). Чему при этом будут
равны напряжения в поперечном сечении штанги?
Решение. По формуле Гука, учитывая, что про-
дольная сила во всех поперечных сечениях штанги
одинакова (JV—P), имеем
Nl Р1
Ы = ---- = ---
EF EF -
построение выпол-
^Р=бОкн
Рис. 2.18
откуда требуемая площадь сечения при А/ = [А/]
F = 60.103,2,5 = 357.10-6л,г = 357 ли,2;
2,1-105-106-2-10“ 3
а = Уз57 = 18,9 мм, округляя, принимаем а =19 мм. Напряжение
поперечном сечении штанги
N Р 60-103
° = ~Р = "а? = (19-10~3)^ = 166406 н1м2 = 166 Мн1м2-
Определим, чему равно относительное изменение площади поперечное
сечения, если коэффициент Пуассона ц = 0,28.
Продольная деформация
а 166 с
s=T=rr^=79'°-I0-s-
а
Поперечная деформация
г' = = _ 0,28-79,0-10~5 =’— 22,1-10-5.
Площадь сечения деформированной штанги
F' = (а 4- г'ар = + 2s'a2 + (г<)2«2 = д2 [1 + 2г' + (е')2].
47
Пренебрегая величиной (г')2 как малой высшего порядка малости,
получаем
F' = д2(1 +2е').
Относительное изменение площади сечения (в процентах)
F'—F «2(1 +2е')— «2
100% =—— --- 100% = 2е'-100% =
F---------------------------а?
= 2 (-22,1-105) 100% =—0,0442%.
Полученный результат носит общий характер в том смысле, что в стадии
упругих деформаций изменение площади поперечного сечения бруса ничтож-
но мало и поэтому при определении напряжений и перемещений всегда опе-
рируют первоначальной площадью сечения.
Пример 2.5. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений
и перемещений поперечных сечений по длине бруса, изображенного на
рис. 2.19, а.
Решение. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного конца. Гра-
ницы участков проходят через точки приложения внешних сил и • места из-
менения размеров поперечного сечения. Строим эпюры продольных сил
(рис. 2.19, б) и нормальных напряжений (рис. 2.19, в), как изложено выше
в примерах 2.1 и 2.3.
Для построения эпюры перемещений достаточно определить перемещения
сечений, совпадающих с границами участков, так как между указанными се-
чениями эпюра линейна (см. стр. 45).
48
Сечение А неподвижно, т. е. кд =0 (построение эпюры перемещений сле-
дует всегда начинать от неподвижного или условно принятого неподвижным
сечения).
Перемещение сечения В равно изменению длины (в данном случае удли-
нению) участка АВ (V участка) бруса:
Nvl ЗР1 Pl
B v E-2,5F E-2,5F EF
Сечение В перемещается вправо; соответствующую ординату условно бу-
дем считать положительной и отложим (в выбранном масштабе) вверх от оси
эпюры (рис. 2.19, г).
Рис. 2.20
Перемещение сечения С равно алгебраической сумме изменений длин V
и IV участков бруса:
Nvl Nwl ЗР1 Pl Pl
Xc = AZV 4- AZIV =-------+-----------=--------— ——= 0,8-----------.
c v “Г IV e-2,5F E-2,5F- E-2,5F E-2,5F EF
To же самое можно записать несколько компактнее:
Pl Pl Р1
"кг = Xd 4- ДZTv = 1,2 — ~ ~ =0,8 .
с в -г IV ' Ер E-2,5F EF
49
Сечение С также перемещается вправо.
Аналогично,
" Р1 Р1 Р1
Xп = Хр Д/ш = Хр ----------=0,8------—------= — 0,2——.
D с -г Ш с т EF ' EF EF EF
Знак «минус» указывает, что сечение D перемещается влево (так как ранее
было принято считать перемещения вправо положительными).
Значения и Хж указаны на эпюре (см. рис. 2.19, г); читателю реко-
мендуется самостоятельно проверить определение соответствующих ординат.
Полезно иметь в виду, что тангенс угла наклона эпюры к оси абсцисс
пропорционален нормальным напряжениям, возникающим в поперечных сече-
ниях данного участка бруса. Например (см. рис. 2.19, г),
^М Д^1 а1 Р
Пример 2.6. По данным предыдущего примера построить эпюры переме-
щений от действия каждой из сил в отдельности.
JnHipaN 3nHjpak
Рис. 2.21
Решение. При действии силы Pi=P (рис. 2.20, а) деформируется (растя-
гивается) весь брус. Границами участков служат сечения С, К., М — места
изменения размеров поперечного сечения; перемещения этих сечений:
Р21 Р1
\гр =---------=0,8 -----;
СР1 £-2,5Г EF
ръ n „Pl ^2/ _ PZ .
EF ’8 EF 4 EF ’8 EF ’
^КР1 —
Pl Pl Pl Pl
~KMP = :---= 2,8-----+0,5---- =3,3------.
MP, KP,< E'2p EF EF EF
Соответствующая эпюра дана на рис. 2.20, б.
При действии силы Р2 (рис. 2.20, в) сжимаются участки АС и CD бруса;
эпюра перемещений дана на рис. 2.20, г. Участки DK и КМ не деформируются
50
и все поперечные сечения этих участков перемещаются влево на ту же вели-
чину, что и сечение D.
Сила Рз растягивает участок АВ бруса (рис. 2.20, д); эпюра перемещений z
дана на рис. 2.20, е.
На - всех эпюрах стрелки указывают направления перемещений.
Если просуммировать все три эпюры перемещений, получим, как это сле-
дует из принципа независимости действия сил, эпюру X от совместного дей-
ствия всех заданных сил (эпюру, представленную на рис. 2.19, г).
Пример 2.7. Определить удлинение бруса постоянного поперечного сече-
ния, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q
(рис. 2.21).
Решение. Определим величину продольной силы, возникающей в произ-
вольном поперечном сечении бруса. Применяя метод сечений и рассматривая
условие равновесия нижней оставленной части длиной z (см: рис. 2.21), по-
лучаем
N = qz,
на рис. z.zij, то удлинение определяем
I
Ndz р qz , qtt
-----= \ -----dz= —---- .
EF J EF 2EF
0
где qz — равнодействующая распределенной нагрузки, действующей на остав-
ленную часть.
Так как продольная сила переменна — изменяется по длине бруса по ли-
нейному закону (см. эпюру
муле (2.7)
Г дг= f
6
Учитывая, что ql—G равнодействующей всей нагрузки, действующей на
брус, выражение для AZ можно записать так:
Д/ =
GI
2EF
Этот результат полезно запомнить — удлинение бруса постоянного сече-
ния от действия равномерно распределенной по его длине нагрузки вдвое
меньше, чем- удлинение от сосредоточенной силы, равной равнодействующей
этой нагрузки и приложенной к свободному концу бруса.
Примером равномерно распределенной осевой нагрузки может служить
собственная сила тяжести бруса; при этом q=yF, где у — удельная сила тя-
жести (удельный вес материала бруса) и G=yFl — сила тяжести (вес) всего
бруса.
Перемещение произвольного поперечного сечения бруса, отстоящего на
расстоянии и от свободного конца, равно удлинению части бруса, заключен-
ной между заделкой и этим сечением,
= j = _Д_ (/2 _ а2),
J EF 2EF | 2EF
и и
т. е. перемещения изменяются по квадратичному закону: эпюра X— парабола
(см. рис. 2.21).
Пример 2.8. Определить перемещения сечений I — I и II— II бруса, изоб-
раженного на рис. 2.22. Учесть влияние силы тяжести бруса (удельная сила
тяжести равна у).
Решение. Перемещение сечения I — I равно удлинению верхней части
бруса длиной а. Для этой части сила Р и силы тяжести нижележащих частей
бруса являются сосредоточенными нагрузками, а собственная сила тяжести —
51
равномерно распределенной нагрузкой. Пользуясь результатом, полученным
в предыдущем примере, и применяя принцип независимости действия сил,
будем иметь
Ра GHa GBia GBia
Xl = EF2 EF2 + EFz + 2EF%
где GH = 7^1/1 — сила тяжести нижней части;
GB1 = yF2 (/2—a)—сила тяжести участка верхней части, расположенного
ниже сечения / — /;
Gb2 = 7^2® — сила тяжести участка, расположенного выше сечения
I — I.
Перемещение сечения II— II равно удлинению всего бруса, т. е.
Хц — &1Н + Д/в«
Эпюра Л/ Эпюра б
Р+(т..+(тя Рптпп А
Рис. 2.22
Удлинение нижней части складывается из удлинений от силы Р (сосре-
доточенной !) и силы тяжести этой части (распределенной !) :
' д/ _Р1ч. _ Pl1 <
н EFi + EFi 2EF\ '
Удлинение верхней части складывается из удлинений от сосредоточенной
силы, равной P + GH, и равномерно распределенной нагрузки — силы тяжести
этой части:
д/ = + °н) к GBl2 = (Р + 7/1^1) /2 (7^2) Z2
в EF% + 2EF2 EF2 + 2EF2 ‘
На рис. 2.22 показаны эпюры N, а и X, построенные при Е = = I-
F2 = 3Fi; P = 47^iZ.
При решении этого примера определение удлинений было выполнено без
интегрирования (в явном виде), хотя продольная сила по длине бруса пере-
менна. Это, объясняется использованием формулы для определения удлине-
52
ния от действия собственной силы тяжести бруса, полученной при решении
примера 2.7.
Пример, 2.9. Определить (не учитывая влияния силы тяжести) изменение
высоты бруса, имеющего форму усеченного конуса (рис. 2.23).
Решение. Площадь поперечного сечения бруса изменяется по его высоте
непрерывно и, хотя продольная сила постоянна (М=Р), для определения
укорочения бруса надо применить формулу (2.7). Продлим образующие кону-
са до их пересечения в точке О и примем эту точку
за начало координат. Такой выбор начала отсчета
упрощает дальнейшие выклддки. Из подобия треу-
гольников ОАВ и OCD легко установить, что рас-
стояние точки О от верхнего основания конуса 10=1-
Площадь произвольного поперечного сечения, нахо-
коорди-
дящегося на расстоянии z от начала
нат, F = — d?.
4 z
Из чертежа (см. рис. 2.23) имеем
dz d d d
• -^ = — , dz= z — = z —
Z Iq Iq I
и, следовательно,
л cf2
F = — z%------..
4 /2
Применив формулу (2.7), получим
21 21
„, Г Ndz е Pdz 4РР г dz 4PF
М — \------= \-----------=------\-----=------
J EF J тс д?2 End? J £2 ЕтиР
Z I £ ~Г22 . I
21
j_ I
Z I
I
--------_ -------- . д; --------------
£тсдГ2 2/---------' I J---------------ЕтР
Интегрирование проведено в пределах от I до 2Z, что соответствует изме-
нению г в пределах действительной высоты бруса.
Пример 2.10. Определить перемещение шарнира А симметричной стержне-
вой? системы, изображенной на рис. 2.24, а. Материал стержней — дюраль;
Решение. Вырезая узел А, определяем усилия в стрежнях (рис. 2.24, б):
2(7=0;
— Nx sin а + N2 sin а = 0; N1 — N2.
2У=0;
Ni cos a + TV2 cos a — P = 0;
Находим удлинения стержней
P h'
, , Nd 2 cos a cos a Ph
— kl2 = —— =-----------------=---------------
EF EF 2£,7'cos2a
Строим диаграмму перемещений (см. рис. 2.24, а): на продолжении стерж-
ней АС и AD откладываем в произвольном масштабе отрезки, изображающие
Д/1 и Д/г, и из полученных точек В и Bi проводим перпендикуляры к направ-
53
лениям стержней. Очевидно, что эти перпендикуляры пересекаются на оси
симметрии системы. Перемещение шарнира А (Хл ) изображается отрез-
ком ЛЛ1, который определяется из прямоугольного треугольника ABAi (или
ЛВИ1): '
Ад =
COS а
Подставляя значение ДЛ, получаем
А 2 cos3 а
Подстановка числовых значений дает
.__________12-103-2,0-103__________
А ~ 3,14
2-7,0-10*- -^-(22'2 —18'2) соS3 25°
= 1,83 мм.
Поимер 2.11. Определить вертикальное, горизонтальное и полное переме-
щения шарнира А стержневой системы (рис. 2.25, а). Материал стержней —
сталь; Е = 2,0 • 105 Мн)м2.
Решение. Определяем усилия в стержнях (рис. 2.25, б):
2t7 = Q;
cos а2
- — TVi cos ctj -p TV2 cos a2 0j TVj TV2 \
z cos 04
S’/ = 0;
sin 04 -p TV2 sin a2 — P — 0;
54
COS Яо • r>
TV2--------sin ai + sin a2 = P;
cos ctx
cos a2 tg «1 + sin a2 cos 45° tg 30° + sin 45°
cos 45° __ e
N-, =71,7--------= 58,5 kh.
1 ’ cos 30°
Для определения изменения длин стержней вычисляем коэффициенты по-
датливости
I
- COS aj
.1,6
EFX
~ = 2,31-10—8 м!н.
Еа2 2,0-1011 (20-10'-3)2 cos 30°
55
___I__
_ It_______COS a2 1,6
£F2 _ 2,0.10ib ~ (25-10~3)2 cos 45°
= 2,31-10-8 m[h.
Изменения длин стержней
Д/х = 3^ = 2,31 -IO-8-58,5-103 = 1,35-10“3 м = 1,35 мм-,
Д/2 = 3^2 = 2,31-IO-8-71,7-Юз = 1,65-Ю-3 м = 1,65 мм.
Диаграмму перемещений строим отдельно (рис. 2.25, в) в достаточно
крупном масштабе, чтобы иметь возможность определить искомые перемеще-
ния непосредственно по диаграмме путем измерения соответствующих от-
резков. Эти измерения с учетом принятого масштаба диаграммы дают:
вертикальное перемещение Цд = 2,48 мм;-
горизонтальное перемещение «д = 0,145 мм-,
полное перемещение Хд = 2,49 мм.
По построенной диаграмме7перемещений (см. рис. 2.25, в) можно уста-
новить аналитическую зависимость между изменениями длин стержней и пере-
мещениями узла А. Рассмотрим замкнутую ломаную ADKLA и представим
себе, что это векторный многоугольник, в котором все векторы направлены
по обходу многоугольника в одну сторону: от А к D; от D к К. и т. д. Проек-
ция такого замкнутого многоугольника на любое направление, как известно,
равна нулю. Целесообразно проектировать на направление ДЛ, чтобы в полу-
чаемое выражение не вошел отрезок DK (перпендикулярный указанному на-
правлению), величина которого нас не интересует:
Д^1 —— Цд cos — пд sin «1 = 0. (а)
Аналогично, спроектировав замкнутую ломаную AMK.LA на направление
Alt, получим
Д/2 4-ид cos а2 — sin а2 = 0. (<7)
Решив совместно уравнения (а) и (б), получим
All sin а2 — Д/2 sin
и А =-------------------- ;
sin (aj + Ct2)
A/j cos a2 4-Д/2 cos ссг
“Уд = -----;-------------.
sin (ctj -|-
Полное перемещение <
1a=V^a + va-
После подстановки- числовых значений получим прежние результаты.
§ 2.4. ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
Экспериментальное . исследование физико-механических
свойств материалов, в частности определение модуля продольной
упругости и коэффициента Пуассона, связано с необходимостью
измерения линейных деформаций.
В ряде случаев замер деформаций используется как средство
для определения напряжений. Определить напряжения непосред-
56
ственно опытным путем невозможно — эксперимент дает вели-
чины деформаций, а соответствующие напряжения вычисляются
по закону Гука.
Строго говоря, измеряют, конечно, не деформации, т. е. не от-
носительные удлинения (укорочения), а абсолютные изменения
длин определенных отрезков на поверхностях лабораторных об-
разцов или испытываемых деталей.
Упругие удлинения или укорочения,
Рис. 2.26
которые приходится замерять при про-
ведении опытов, обычно очень малы
(зачастую выражаются сотыми и даже
тысячными долями миллиметра), по-
этому для их измерения применяют
специальные чувствительные приборы.
Эти'приборы называют тензометрами.
По принципу действия тензометры де-
лятся на оптические, механические и
электрические.
Здесь ограничимся лишь самыми
краткими сведениями о механических
и электрических тензометрах; более
подробные данные имеются в руко-
водствах к лабораторным работам и
в специальной литературе по экспери-
ментальному исследованию деформа-
ций и напряжений (см., например, [1,
34, 38, 45, 65]).
Рис. 2.27
Из механических тензометров больше всего распространены
рычажные.
Один из тензометров этого типа, имеющий базу (длину из-
меряемого отрезка) / = 20 мм, изображен на рис. 2.26.
Рамка 1 тензометра имеет неподвижный нож 2, прижатый к
испытуемому образцу 3. В углубление рамки упирается призма 4,
противоположное ребро которой также прижато к образцу. При
деформации образца призма поворачивается вместе с рычагом.5,-
который жестко с ней связан. При повороте рычага тяга 6 вызы-
вает отклонение стрелки 7. По шкале 8 производят отсчетыг При
удлинении отрезка I на 0,001 мм конец стрелки перемещается по
57
противления. Основными
ских установок являются
ность передачи показаний
к измерению деформаций
бумагу. К концам
шкале на 1 мм, т. е. прибор имеет коэффициент увеличения
£=1000.
Из электрических тензометров наибольшим распространением
пользуются установки с проволочными датчиками, омического со-
достоинствами электротензометриче-
высокая точность измерений, возмож-
датчиков на расстояние, применимость
на поверхностях деталей сложной кон-
фигурации, возможность с помощью
одной установки производить заме-
ры деформаций в ряде точек детали,
наконец, возможность замера де-
формаций на поверхностях деталей,
находящихся в движении.
Измерительная установка обыч-
но состоит из нескольких проволоч-
ных датчиков омического сопротив-
ления и регистрирующего прибора.
Датчик (рис. 2.27) представляет
собой проводник, выполненный в ви-
де нескольких петель проволоки,
чаще всего константановой, диамет-
ром 0,02—0,03 мм, наклееной на ри-
датчика припаяны медные выводные
совую
проволоки. Длина петель датчика (/) называется его базой. Наи-
более употребительны датчики с базой 20—25 мм (минимальная
база 5 мм и в виде исключения даже 2 мм).
Датчик наклеивают на поверхность испытываемой детали
(образца) таким образом, чтобы направление его базы совпало
с направлением искомой линейной деформации. При деформа-
ции детали вместе с ней деформируется и датчик, в результате
чего изменяется его омическое сопротивление.
Изменение сопротивления проводника при его деформации было впервые
исследовано и описано русским физиком О. Д. Хвольсоном в 1877 г.
Между деформацией (е) отрезка поверхности детали, совпа-
дающей с базой датчика, и изменением его омического сопротив-
ления (АД) существует зависимость
--- =ks.
где k — так называемый коэффициент чувствительности датчика,
постоянный для данного материала проволоки (для кон-
стантановой проволоки k — 24-2,2).
Таким образом, для измерения деформации достаточно опре-
делить изменение омического сопротивления (АТ?) датчика.
58
Электрическая схема регистрирующего прибора (рис. 2.28)
представляет собой мостик Уитстона, одним из плеч которого
является датчик, наклеенный на испытуемый объект. При нена-
груженной детали мостик приводят в состояние баланса, т. е.
ток в его диагонали отсутствует. В результате деформации дета-
ли и изменения сопротивления датчика в диагонали мостика по-
является ток, замеряемый с помощью высокочувствительного
гальванометра. Между искомой деформацией и числом деле-
ний п, на которое отклоняется стрелка (зайчик) гальванометра,
существует зависимость ,
где ео — величина деформации, соответствующая отклонению
стрелки на одно деление. Значение ео для данной элек-
тротензометрической установки является известной ве-
личиной.
§ 2.5. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
При нагружении упругого тела внешние-силы совершают ра-
боту на перемещениях, которые получают точки их приложения
в результате деформации тела (конструкции). Если деформации
тела совершенно упруги, то после снятия нагрузок оно полно-
стью восстанавливает свои размеры и форму, а затраченная на
его деформацию работа возвращается в виде механической
'энергии.
Следовательно, деформированное упругое тело обладает
определенным запасом энергии, т. е. является как бы аккумуля-
тором энергии. Эту энергию называют потенциальной энергией
деформации, или просто энергией деформации.
Заводя, например, пружину патефона, расходуют определен-
ную работу, которая переходит в энергию деформации пружины.
Последняя используется для вращения диска с пластинкой, т. е.
переходит в кинетическую энергию их движения.
Если пренебречь тепловыми потерями и некоторым незначи-
тельным рассеянием энергии, можно считать, что работа внеш-
них сил (Л) равна потенциальной энергии деформации (U),
A = U. (2.15)
В дальнейшем будет показано, что это соотношение может
быть использовано для .определения перемещений в упругих си-
стемах.
Определим работу внешних сил при статическом нагружении
упругой системы. При этом будем предполагать, что система
линейно-деформируемая, т. е. между силами и соответствующи-
ми перемещениями существует линейная зависимость.
Пусть к шарниру В симметричной стержневой системы
59
(рис. 2.29, а) прикладывается сила Р, весьма медленно возра-
стающая от нуля до своего конечного значения. В данном случае
мы встречаемся с необходимостью определения работы перемен-
ной силы.
Для решения поставленной задачи проще всего использовать
график зависимости между силой и перемещением (рис. 2.29,6).
При бесконечно малом приращейии (dA.) перемещения можно
считать силу постоянной и соответствующая элементарная работа
dA = Pdk
На графике (см. рис. 2.29, б) эта работа выражается пло-
щадью элементарной трапеции (густо заштрихована)которую
по малости размера d/. можно рассматривать как прямоугольник.
Полная работа силы Р, совершенная ею в процессе возрастания
перемещения от 0 до %к, равна сумме элементарных работ и вы-
ражается площадью треугольника, заштрихованного на
рис. 2.29, б,
Этот результат можно сформулировать следующим образом:
работа силы, статически приложенной к линейно-деформируе-
мой системе, равна половине произведения конечного значения
силы на конечное значение соответствующего перемещения.
Сформулированное положение обычно называют теоремой
Клапейрона.
В случае, если направление перемещения не совпадает с ли-
нией действия силы, под соответствующим перемещением сле-
60
(2.16)
дует понимать проекцию .полного перемещения на направление
силы.
В дальнейшем, опуская индексы при Р и Л, будем записывать
теорему Клапейрона в виде
А=-П-
2
Полученный результат для линейно-деформируемой системы
верен не только при растяжении (сжатии), но и при любом дру-
гом виде деформации.
П. Клапейрон .(1799—1864)—выдающийся французский инженер. После
окончания во Франции Политехнической школы (1818) и Школы горных инже-
неров (1820) был рекомендован русскому правительству для работы в новом
инженерном учебном заведении — Институте инженеров путей сообщения
в Петербурге. В этом институте Клапейрон читал курсы механики и химии,
а затем (в 1830 г.) впервые в России прочел курс сопротивления материалов.
Во время пребывания в России помогал в проектировании ряда инженерных
сооружений.
После возвращения во Францию (в 1831 г.) Клапейрон много внимания
уделял вопросам термодинамики, сочетая практическую работу в этой обла-
сти с преподаванием в Школе мостов.
Выведем формулу для определения величины потенциальной
энергии деформации системы по известным продольным силам,
возникающим в поперечных сечениях стержней. Выделим из
стержня бесконечно малый элемент (длиной dz), как показано
на рис. 2.29, а. Энергия деформации, накапливаемая в этом эле-
менте при его удлинении, равна работе продольных сил N (по
отношению к выделенному элементу эти силы являются внешни-
ми) на взаимном перемещении торцов элемента. Указанное пере-'
мещение равна удлинению элемента A(dz) и на основании тео-
ремы Клапейрона имеем
dU==J-Nb(dz).
Выражая A(dz) по формуле Гука, получаем
dU=™±- .
•2EF
Суммируя полученные величины по
имеем
всей длине стержня,
у___ Г N'2dz
~~ J 2EF
(2.17)
Для всей системы
k
№dz
2EF
(2.18)
61
(2.19)
Для стержня (участка стержня) постоянного поперечного сет
чения при условии, что продольная сила по длине стержня не
изменяется, на основании формулы (2.17) имеем-* .
2EF
Вообще при выборе формулы для вычисления энергии дефор-
маций следует ориентироваться на указания, сделанные в отно-
шении определения изменения длины бруса (см. стр. 42—44).
Для оценки целесообразности применения данного материала
в различного рода амортизирующих устройствах используется
понятие удельной энергии деформации, т. е. энергии, накоплен-
ной в единице объема упругого тела. Это же понятие играет важ-
ную роль при исследовании некоторых вопросов, связанных с
условиями перехода материалов; в пластическое состояние.
Удельная энергия деформации (и) равна отношению полной
энергии (dU) к объему (dV) элемента стержня, т. е.
u=±dU №dz
dV 2EFdV
Учитывая, что dV=Fdz, получаем
- ' №dz . № ’ N
и=—------, IIО --------=0,
2EFFdz 2EF2 F
поэтому окончательно •
02
U —----
, 2Е
Энергия измеряется в джоулях; объем — в кубических мет-
_рах; поэтому в единицах СИ удельная энергия деформации из-
меряется в дж1м\ При применении единиц системы ЛфКГСС и
внесистемных единица измерения и — [кГ -/сж/сж3].
Пример 2.12. Определить опускание шарнира А симметричной стержне-
вой системы (см. рис. 2.24).
В § 2.3 (см. пример 2.10) эта задача была решена с помощью построения
диаграммы перемещений; Решим ее, исходя из равенства работы внешних
сил и потенциальной энергии деформации,
Ркл
По формуле (2.16) А — ——.
•
Энергия деформации каждого из стержней U\ =
2EF
Энергия деформации систем^ U = 2U-[.
Р
Усилия в стержнях (см. пример 2.10) 2V] = ?/3 =----•
•' 2 COS а
h
Длины стержней Zi = Z2 =-----
cos а
(2.20)
(a)
N4
Энергия деформации
/ Р \2 _h_
\ 2 COS а / COS а
t/ = 2 -—гд-----
2ET
Подставляя значения А и IF в выражение (а), получаем
/___Р \2 h
Р'г.д 2 2 cos а ' cos а
2 = 2EF ’
откуда
_ Ph
'А ~ 2EF cos3 а ’
т. ,е. тот же результат, который был получен в примере 2.10 другим путем.
Пример 2.13. Сравнить удельную энергию деформации для резины при
напряжении о =4,0 М.н)м2 и для стали при напряжении о =160 Мн/м2.
Принять Врез = 0,008 • 103 Мн/м2- Ест — 2,1 -105 Мн/м^.
Решение. На основе формулы (2.20) имеем
а1 (4-106)2
zzD63 = —— =-------i----------= 1,0-106 дж/м3;
рз 2£рез 2-0,008-103-Юб
2 >
ац (160-106)2
ЙСТ = —— = —2----------------= 0,061-106 дж/м3.
с 2£ст 2-2,1-105-106
Энергия деформации в единице объема стальной детали примерно
в 16 раз меньше, чем в резиновой, хотя напряжения в первой в 40 раз выше,
чем во второй. Эту способность резины к накоплению большой энергии дефор-
мации при невысоких напряжениях (безопасных для ее прочности) исполь-
зуют, применяя резину в различных амортизирующих (смягчающих толчки,
удары и колебания) устройствах.
§ 2.6. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
(СЖАТИИ)
В начале курса (см. стр. 26, 27) при первом знакомстве с по-
нятием «напряжение» было подчеркнуто, что нельзя говорить о
напряжении в данной точке тела, не указывая положения пло-
щадки, на которой оно возникает. Действительно, через точку
можно провести бесчисленное множество различно ориентирован-
ных площадок и, конечно, в общем случае нет никаких оснований
предполагать, что возникающие на них напряжения одинаковы.
Совокупность нормальных и касательных напряжений, воз-
никающих на всем бесчисленном множестве площадок, которые
можно провести через данную точку, характеризует напряжен-
ное состояние в этой точке.
Исследовать напряженное состояние в данной точке — это
значит получить зависимостй, позволяющие определить напряже-
ния, возникающие на любой проведенной через нее площадке.
63
Для решения этой задачи надо знать напряжения по любым
трем взаймно перпендикулярным площадкам, проведенным через
исследуемую точку (доказательства этого положения не приво-
дим). Эти площадки и возникающие на них напряжения (они,
повторяем, должны быть известны) называются исходными.
При исследовании напряженного состояния в различных точ-
ках прямого бруса в любом случае его нагружения исходными
являются напряжения, возникающие на площадках, соответст-
вующих поперечному и двум продольным сечениям, проходящим
через рассматриваемую точку. При растяжении (сжатии) пря-
мого бруса в поперечных сечениях возникают только нормаль-
ные напряжения, определяемые по формуле
Индекс у о показывает, что это напряжение возникает на
площадке, нормаль к которой параллельна оси z (см. правило
индексов для напряжений, изложенное в § 1.5). В продольных
сечениях нет ни нормальных, ни касательных напряжений.
Отсутствие нормальных напряжений в продольных сечениях является
следствием того, что при растяжении (сжатии) нет взаимного надавливания
волокон бруса. В отсутствии касательных напряжений легко убедиться, рас-
секая брус продольной плоскостью и рассматривая равновесие одной из его
отсеченных частей.
Для исследования напряженного состояния мысленно выре-
жем вокруг произвольной точки бруса бесконечно малый парал-
лелепипед (рис. 2.30, а). В дальнейшем такие элементарные па-
раллелепипеды будем называть элементами или частицами.
В рассматриваемом случае совершенно безразлично, где именно
вырезать эту частицу, так как напряженное состояние всех точек
бруса одинаково — однородное напряженное состояние.
Для того чтобы выделенный элемент находился в равновесии,
следует приложить к его граням внутренние силы, заменяющие
действие отброшенных частей тела (бруса) на оставленную. 06-
64
ращаем внимание, что здесь мы поступаем в полном соответст-
вии^ с требованиями метода сечекий (см. стр. 20), но если ранее
при определении продольных сил было достаточно рассечь брус
плоскостью, совпадающей с интересующим нас поперечным се-
чением, то новая задача — исследование напряженного состоя-
ния — потребовала иного применения этого метода: элемент
вырезан шестью сечениями.
Рис. 2.31
Выделенный элемент (модель напряженной точки) изображен
отдельно на рис. 2.30,6. По его граням, совпадающим с плоско-
стями поперечного сечения бруса, действуют нормальные напря-
жения, остальные четыре грани от напряжений свободны.
Как уже указывалось, задача состоит в установлении зависи-
мостей, позволяющих определить нормальное и касательное на-
пряжения на произвольной площадке,
проходящей через исследуемую точку.
Для ее решения еще раз применим ме-
тод сечений — мысленно разрежем вы-
деленный из бруса элемент плоскостью,
нормаль к которой составляет произ-
вольный угол а с осью Это наклон-
ное сечение показано на рис. 2.31, а.
На рис. 2.31, б отдельно изображена
•бесконечно м-алая трехгранная призма,
отсеченная от элементарного паралле-
лепипеда. •
На ее наклонной грани возникают напряжения ва и под-
лежащие определению.
Составим-уравнения равновесия элементарной призмы. При
этом для разделения неизвестных выберем оси.проекций, как по-
казано на. рис. 2.32. Обращаем внимание, что уравнения равно-
весия составляются, конечно, для сил, а не для напряжений, т. е.
каждое из напряжений следует умножить на площадь грани, на
которой оно возникает.
Пусть площадь наклонной грани dF, тогда действующие на
ней силы равны oadF и xadF.
3-1451
65
Напряжение oz действует по грани, имеющей площадь
dFcos а; соответствующая сила равна gz dFcos а.
Составляем уравнения равновесия:
Snpv = 0; — czdFcos a cos a-\-<jadF=Q,
откуда
oa = o3cos2a. (2.21)
Snp^ = 0; — azdFcos a, sin a,-[-TadF=0,
откуда
та = <з2 cos a sin a,
или
та = az sin 2a. (2.22)
Сделаем некоторые выводы из полученных результатов.
Наибольшее нормальное напряжение возникает в поперечном
сечении бруса:
Nz
стах 0° г
• г*
Наиболыиее касательное напряжение возникает на площадке,
наклоненной под углом 45° к оси бруса, и равно половине нор-
мального напряжения, возникающего в соответствующей точке
поперечного сечения,
Ттах = Та=45° = ~~ • (2.23)
Из формулы (2.22) вытекает равенство (по абсолютной вели-
чине) касательных напряжений, возникающих на взаимно пер-
пендикулярных площадках:
I | — | Ta_|_9Qo | ,
Это равенство носит название закона парности касательных на-
пряжений. Более общая его формулировка и доказательство бу-
дут даны в § 3.3.
Касательные напряжения, возникающие на взаимно перпен-
дикулярных площадках, направлены всегда оба или к ребру,
или от ребра пересечения этих площадок (рис. 2.33).
* Пример 2.14. Найти требуемый диаметр поперечного сечения стержня
(рис. 2.34) из условия, чтобы возникающие в нем наибольшие касательные
напряжения не превышали 80 Л4«/ж2.
. . Решение. Из формулы (2.23) следует, что напряжение в поперечном се-
чении
= 2т = 2-80 = 160 Л4«/л2,
но
N
°z — --•
z F
66
В данном случае N=P (в любом поперечном сечении).
Следовательно,
4 а2
или
d
4'90-10а - = 2,68.10-
3,14-160-Ю6
м = 26,8 мм.
Пример 2.15. В' сжатом стержне
(рис. 2.35) напряжения по одной из'
площадок
аа = — 60 = 24 Мн/м^.
Вычислить наибольшие нормаль-
ные и касательные напряжения, воз-
никающие в данном стержне.
Рис. 2.33
Р~90кн
Рис. 2.35
Рис. 2.34
Решение. Напряжения в наклонном -сечении [формулы 2.21, 2.22]
aa=^cos2a, (1)
г . \ sin 2а. (2)
Из этой системы уравнений найдем напряжение ' в поперечном, сече*
нии стержня, которое и является наибольшим нормальным напряжением*'. .
Разделив (2) на (I), получим '|;
1
— sin 2а ' - '
2 sinacosa ' и
= --------- __ ----------- = tg я.
% cos2a cos2 а
Подставив числовые значения, найдем
24
По известной формуле тригонометрии,
1
1 + 0,42
C0S2 а =------------
1 а
= 0,862.
Из формулы (1)
60
----— =• -7TT7Z = - 69,6 Мн! м2.
cos2a 0,862
3*
-•,67
, По формуле (2;2«3) находим абсолютную .величину4максимального Каса-;
тельного напряжения •
Тог 1 69,6 '
HmXl<= = 34,8^2. .
§ 2.7. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕХАНИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЯХ
МАТЕРИАЛОВ ...
Конструктор, выбирая материал для проектируемой детали,
а затем рассчитывая ее на прочность (жесткость, устойчивость),
должен располагать данными о механических свойствах мате-
риала, т. е. его прочности, пластичности и т. д., а также знать ве-
личины упругих постоянных — модуля продольной упругости
(Е) и коэффициента Пуассона (ц).
Основными механическими свойствами, числовые характери-
стики которых определяют при испытаниях материалов, яв-
ляются:
1. Прочность — способности материала, не разрушаясь, вос-
принимать внешние механические воздействия.
',2. Пластичность — способность материала давать. значитель-
ные остаточные деформации, не разрушаясь.
3, Упругость — способность материала восстанавливать пос-
ле снятия нагрузок свои первоначальные формы и размеры.
. 4, Твердость — способность материала сопротивляться - про-
• никновению в него другого, практически не получающего оста-
точных деформаций, тела. . , -
Характер нагружения (статическое, динамическое, повторно-
переменное) и условия работы деталей машин и инженерных со-
оружений в.есьма разнообразны. Располагая сведениями о свой-
ствах материала при определенном виде деформации (например,
растяжении) и характере нагружения, (например, статическом);
судить о его свойствах при других условиях можно лишь весьма
приближенно, что в ряде случаев недопустимо. Поэтому меха-
нические испытания материалов отличаются большим разнооб-
разием. .
По характеру нагружения различают испытания статические,
динамические (ударной нагрузкой) ;и испытания на выносли-
вость (при напряжениях, периодически изменяющихся во вре-
мени) . г .
По виду деформации различают испытания на растяжение,
сжатие, срез,-кручение, изгиб. Реже проводят испытания при
сложном нагружении, например на совместное действие изгиба и
кручения. -
Большинство испытаний проводится при нормальной (комнат-
ной) .температуре, но для деталей,паровых котлов, турбин, реак-
тивных двигателей и т. п. необходимо знать их свойства при вы-
соких температурах.
68 •
В отдельных случаях возникает необходимость в испытаниях
конструкционных материалов при низких температурах.
Механические испытания проводят на образцах, форма и раз-
меры которых установлены ГОСТами или техническими усло-
виями.
За последние годы широкое распространение получили натурные -испы-
тания отдельных деталей и узлов машин. В зависимости от целей испы-
тания деталь (узел) либо доводится до разрушения, либо исследуется напря-
женное состояние в отдельных ее точках при заданных нагрузках. В этом
случае для измерения деформаций широко применяется электротензометрия.
В случаях, когда теоретическое определение напряжений недостаточно
надежно или вообще невозможно, изготовляют модель рассчитываемого объ-
екта из специального оптически активного материала, нагружают ее и осве-
щают поляризованным светом. Изображение модели при помощи специальной
оптической установки проектируется на экран. Это изображение оказывается
покрытым системой полос, анализируя расположение и окраску которых, мож-
но определить напряжения в модели (см., например, [38, 41, 59]).
Значение механических испытаний не исчерпывается теми
данными, которые они дают конструктору для расчета на проч-
ность. В заводских лабораториях часто проводят испытания, слу-
жащие для контроля качества материала или выпускаемых изде-
лий. При этом испытаниям могут подвергаться как специально
изготовленные образцы, так и сами.изделия (детали или узлы).
Широко применяют механические испытания и в процессе
создания новых сплавов, которые должны обладать определен-
ными механическими свойствами.
Помимо испытаний, служащих для определения механических
характеристик, важное значение имеют различные технологиче-
ские испытания (пробы), выявляющие соответствие свойств ме-
талла тому или иному технологическому процессу: например, ис-
пытание листовой латуни на выдавливание с целью определения
ее пригодности для изготовления деталей холодной штамповкой.
Начало опытного изучения механических свойств связано с именем Гали-
лея. В тридцатых годах XVII в. Галилей, работая в Венецианском арсенале,
провел ряд экспериментальных исследований явлений растяжения, сжатия
и изгиба. Также к XVII в. относятся экспериментальные работы, выполненные
выдающимися физиками Гуком, Мариоттом, Параном.
В двадцатых годах восемнадцатого столетия русскими инженерами была
спроектирована и построена «цепепро^ная» машина, на которой профессора
М. С. Волков и Н. Ф. Ястржембский провели ряд исследований свойств строи-
тельной стали.
Одна из первых в мире механических лабораторий-по испытанию мате-
риалов была организована профессором П. И. Собко (1819—1871) при Петер-
бургском институте инженеров путей сообщения.
Впоследствии эту лабораторию возглавлял профессор Н. А. Белелюбский
(1845—1922), которому принадлежит большая заслуга в установлении едино-
образных- во всем мире методов испытания материалов. Н. А. Белелюбский
в течение долгого времени был вице-президентом, а затем президентом Меж-
дународного общества испытания материалов.
Первая отечественная (не считая упоминавшегося «цепепробного» стан-
ка) испытательная машина была сконструирована проф. А. Г. Гагариным
69
в 1895 г. Эта машина (пресс Гагарина) в 1905 г. получила премий на выстав-
ке Международного конгресса по испытанию металлов. - „ '
Первое систематическое описание испытательных машин и первое руко-
водство к лабораторным работам по сопротивлению материалов было дана
в- ,1905 г. проф. Н. Н. Митинским в его курсе строительной механики.
В настоящее время крупные хорошо оснащенные лаборатории механичен
ских испытаний материалов имеются при кафедрах высших учебных заведе-
ний, в научно-исследовательских институтах, на заводах. Советскими учеными
внесен большой вклад в создание новых типов испытательных машин и При-
боров и теоретическую разработку многих вопросов прочности материалов и
методов их экспериментального , исследования.
§ 2.8. СТАТИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ НА РАСТЯЖЕНИЕ
Наиболее распространено испытание на растяжение статиче-
ской нагрузкой. Его достоинствами являются однородность на-
* пряженного состояния образца в области, достаточно удаленной
от головок (формы и размеры стандартных цилиндрических об-
разцов показаны на рис. 2.36.*; образец в показан в более круп-
Рис. 2.36.
ном масштабе), сравнительная'простота оборудования и мето-
дики эксперимента по сравнению с большинством других испы-
таний. Однородность (т. е. тождественность для всех точек тела)
напряженного состояния позволяет легче обнаружить начало
общей пластической деформации образца, что очень важно для
определения соответствующих механических характеристик.
Испытания проводят на разрывных или универсальных ма-
шинах с механическим или гидравлическим силообразованием.
* Плоские образцы применяют сравнительно редко, в основном для опре-
деления свойств листовых материалов.
70 » ,
На рис. 2.937 показан общий вид одной из машин с механическим
нагружением, дающей максимальное усилие 5 т.
Перемещение винта 1, жестко связайного с нижним захва-
том 2 машины, осуществляется через систему передач вручную
или от электродвигателя. Усилие от верхнего захвата 3 через
систему рычагов передается маятнику 4. Отклонение маятника
вызывает поворот стрелки силоизмерительного устройства 5, что
позволяет для любого момента испытания
усилия, растягивающего образец.
Нагружение образца осуществляет-
ся настолько медленно, что ускорения-
ми частиц материала в процессе де-
формации можно ^пренебречь (как из-
вестно, это и является характеристикой
статического нагружения).
Машина снабжена диаграммным
аппаратом 6, который в процессе ис-
пытания вычерчивает график зависи-
мости между силой Р, растягивающей
образец, и соответствующим удлинени-
ем А/. Поворот барабана пропорцио-
нален перемещению нижнего захвата
машины (т. е. AZ), а перемещение ка-
рандаша вдоль образующей барабана
пропорционально отклонению маят-
ника (т. е. Р).
На рис. 2.38 показан примерный
вид диаграммы растяжения, получен-
ной при испытании образца малоугле-
родистой стали. В начальной стадии
испытания (до точки А с ординатой
РПц) зависимость между силой и удли-
нением линейна, т. е. справедлив закон
Гука. При растягивающем усилии Ру
(точка В\, почти не отличающемся от
РПц, в образце возникают первые оста-
точные деформации. При некотором
значении растягивающей силы Рт наблюдается рост удлинения
без увеличения нагрузки. Это явление ^называется текучестью
^металла. Соответствующий участок диаграммы (почти горизон-
тальная линия) называют площадкой текучести.
В этой стадии деформации полированная поверхность образ-
ца становится матовой и на ней можно обнаружить сетку линий,
наклоненных к оси образца под углом примерно 45° (рис. 2.39).
Это так называемые линии Людерса—Чернова, представляю-
щие собой следы сдвигов частиц материала. Направление ука-
занных линий соответствует площадкам, на которых при растя-
установить величину
Рис. 2.37
71
женин образца возникают наибольшие касательные 'напряжений
(см. стр. 66).
После окончания стадии текучести материал вновь, начинает
, сопротивляться деформации, здесь связь между силой ,и удлине-
нием нелинейна: удлинение растет быстрее нагрузки;' Этот уча-
сток диаграммы называют зоной упрочнения. При силе, равной
Рис. 2.3&
Рдч;, на образце появляется местное утоныпение— шейка, в ре-
зультате сопротивление образца падает и его. разрыв происходит
при силе, меньшей Рпч.
Рис. 2.39
Ясно, что усилия и удлинения, соответствующие указанным
характерным точкам диаграммы, зависят не только от свойств
материала; но и от абсолютных размеров образца. Для получе-
ния механических характеристик материала (исключения влия-
72 .
ния абсолютных размеров образца) эту диаграмму перестраи-
вают — все ординаты делят на начальную площадь попереч-
ного сечения Fq, а все абсциссы — на начальную расчетную
длину Iq. В результате получают так называемую условную диа-
грамму растяжения в координатах: относительное удлинение е,
нормальное напряжение о. Конечно, эта диаграмма (рис. 2.40)
подобна исходной (по существу отличается от нее только мас-
штабом). Условной эта диаграмма называется потому, что на-
пряжения и деформации отнесены к начальным площади и дли-
не образца.
Рис. 2.40
Диаграмму в координатах Р, Ы иногда называют характери-
стикои образца, а в координатах <з==—, s=------условной ха-
рактеристикой материала [38].
На условной диаграмме растяжения (см. рис. 2.40) отмечены
точки (и их ординаты), Соответствующие механическим харак-
теристикам, получаемым при статических испытаниях на растя-
жение.
Р • " ’
опц = ~— предел, пропорциональности — наибольшее напря-
Fq- ~
жение, до достижения которого справедлив закон
Гука.
Ру
оу=------предел упругости — наибольшее напряжение, до до-
Fo
стижения которого в образце не возникает остаточ-
ных деформаций.
73
р
ат———предел текучести — напряжение, при котором про-
' Л)
исходит рост пластических деформаций образца.при
практически постоянной нагрузке *.
,опч=———предел прочности (или временное сопротивле-
Р о
ние) — условное напряжение, соответствующее
наибольшей нагрузке, выдерживаемой образцом до
разрушения. . ' -
Можно пользоваться и таким определением: предел прочности — это от-
ношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к началь- -
ной площади его поперечного сечения. ' •
Отметим, что в определениях пределов пропорциональности»
упругости -и текучести не подчеркнуто, что это условные напря-
жения, /г. е. отнесенные к первоначальной площади сечения об-
разца. Это связано с тем, что до начала образования шейки пло-
щадь сечения образца почти не отличается от первоначальной-
При максимальной нагрузке Рпч это различие весьма существен-
но, что щ отражено в определении понятия «предел прочности»-
В момент разрыва образца истинное, т. е. отнесенное'к дейст-
вительной, а не начальной площади сечения образца, среднее
напряжение в наиболее тонком Месте шейки существенно выше
предела прочности.
Строго говоря, понятия «предел прочности» и «временное сопротивление»
не совсем тождественны. Первое из них относится к случаю, когда образец
разрушается без образования шейки, что характерно для хрупких материа-
лов. Второе относится к пластичным материалам, на образцах из которых
перед разрушением появляется шейка. Временное сопротивление часто обоз-
начают ав или ов. В нашем курсе эти понятия разграничивать не будем и
примем указанное выше обозначение оПч (в учебной и специальной литерату-
ре встречаются также обозначения ов, ов, Овр— общие для пластичных и
хрупких материалов). ' .
> Определение предела пропорциональности непосредственно»
по диаграмме, автоматически записанной в процессе испытания
(см. р-ис. 2.38),. может быть выполнено лишь грубо приближенно-
В случае необходимости получения более точных значений ис-
пытание проводят, увеличивая нагрузку- образца ступенями и
замеряя с помощью тензометров сответствующие удлинения..
Строя по этим данным график (или составляя таблицу), опреде-
ляют ту величину нагрузки,.при которой отклонение от закона
пропорциональности равно обусловленному ^техническими усло-
виями испытанйй. Например, берут нагрузку, соответствующую
той точке графика, для которой тангенс угла наклона касатель-
ной к оси абсцисс на 20% меньше тангенса угла наклона его
* Это напряжение называют также физическим пределом текучести в от-
личие от условного, определение которого будет дано ниже (см. стр. 78).
74 . ' •
первоначального прямолинейного участка. Разделив эту нагруз-
ку на площадь сечения образца, получают так называемый ус-
ловный предел пропорциональности (подробнее см. [65]).
Для-определения предела упругости также приходится вести
нагружение образца ступенями. После каждой ступени нагрузки
образец полностью разгружают и тщательно замеряют
его длину. В результате определяют условный предел упруго-
сти — напряжение, при котором в образце впервые появляются
остаточные деформации, имеющие заданную малую величину (на-
пример, 0,001, 0,003, 0,005%)- Величину допуска остаточной де-
формации, принятую при определении условного предела упру-
гости, указывают в виде индекса, например cro,ooi — условный пре-
дел упругости, соответствующий остаточной деформации 0,001%.
Как уже говорилось, численные зна- ____________
чения пределов пропорциональности и Г~
упругости для большинства материа- L.. 21
лов почти совпадают, но физический
смысл этих характеристик, конечно, ис‘ 1
различен.
Из изложенного следует, что определение пределов пропор-
циональности и упругости связано с необходимостью проведения
весьма точных и трудоемких экспериментов. Поэтому при про-
мышленных испытаниях в подавляющем большинстве случаев
ограничиваются определением пределов текучести и прочности.
Для оценки пластичности материала служит величина отно-
сительного остаточного удлинения при разрыве, определяемая
(в процентах) по соотношению
B = zJ£Z1£oioo%,
/о
где/к и /о — длина расчетной части образца соответственно -
после разрыва и первоначальная. Вид части разор-
ванного образца малоуглеродистой стали показан
на рис. 2.41.
На диаграмме растяжения (см. рис. 2.40) величина 6 выра-
жается отрезком OL.
Для одного и того же материала величина 6 различна в зави-
симости от отношения расчетной длины /0 к Диаметру d образца,
при испытании которого она получена. Стандартные цилиндри-
ческие образцы имеют отношение --=10 или ~ =5 (см.
z d d
рис. 2.36). Первые называют десятикратными или условно «длин-
ными», а вторые — пятикратными, или условно «короткими»,
образцами. Полученное при- испытании «длинных» образцов зна- '
чение относительного остаточного удлинения при разрыве обо-
значают 6ю, а в случае «коротких» — 65, при этом для данного
материала всегда 6s>6io-
75
Ж.'?лх’-'"i,,u. >V •’'1 ‘ /\^'Г ''"tr.’;' <’ <4 s г/
?'Д’ ,v;‘- .•' • ; >'/- . '/ ,.-,’ч ’•/ ,.- ' ? > <' ; *' - *
5 , Величина’ ’местного пластического- удлинения зоне- шейк»-
-.практичёски-не зависит ‘ от длины образца; поэтому для. пяти-
£ „ кратного образца относительное остаточное удлинение получает-
ся большим, чем для десятикратного (подробнее см. [65]);
1 - После разрыва образца замеряют его диаметр в наиболее
^тонном месте шейки, вычисляют соответствующую площадь ,се-
“ чёния FK и определяют (ц. процентах) относительное остаточное
. уменьшение площади начального сечения образца при разрыве:
, о=^-^-100%.
Fq .
о
Рис. 2.42
Л
‘"Упр
Эта механическая характеристика, так же как и б, служит для
. оценки пластичности материала..
Остановимся дополнительно еще на некоторых вопросах, свя-
* занных со статическими ис-
.•/ р , . , . пытаниями малоуглероди-
стой стали, (и других пла-
стичных.материалов) на рас-
. тяжение.
Опытным путем установ-
лено, что при разгрузке об-
разца,. растянутого так, что
в нем возникают напряже-.
ния выше предела упруго-
сти и даже выше предела
текучести (например, от точ-
ки N диаграммы — рис/
2.42), линия разгрузки ока-
зывается прямой, царал-
диаграммы. .Следовательно,' /
..дельной начальному .участку ОА
полная реформация образца состоит из двух частей — упругой,
исчезающей после снятия нагрузки, и остаточной (пластической).
Полное удлинение, соответствующее нагрузке PN, выражается
отрезком OLi, упругое — отрезком МЦ и пластическое — отрез-
ком ОМ оси абсцисс диаграммы (см. рис. 2.42).
Упругая деформация я при напряжениях, больших предела
пропорциональности, может* быть определена по закону Гука;
это следует из того, что линия разгрузки прямая. Параллельность
этой линии начальному участку диаграммы указывает, что мо-
дуль упругости Е при разгрузке имеет ту же величину, что и при
нагружении в пределах справедливости закона Гука.
Если подвергнуть повторному нагружению образец, который
был предварительно растянут до возникновения в нем напряже-
ний, больших предела текучести, то оказывается, что линия на-
грузки практически совпадает с линией разгрузки и часть диа- '
. граммы, лежащая левее точки, от которой4 производилась
-разгрузка, не повторяется. Таким образом, в результате-
76
.предварительной вытяжки материала за предел текучести его ,
свойства изменяются — повышается предел пропорциональности
и уменьшается пластичность. Это явление называют наклепом
(встреч.ается наименование — нагартовка).
В определенном смысле можно говорить, что в результате на-
клепа материал упрочняется (подробнее это будет разъяснено
несколько ниже—см. стр. 86).
Уменьшение пластичности материала при наклепе можно под-
твердить следующими соображениями. Пластичность материала
характеризуется величиной относительного остаточного удлине-
ния при разрыве (6). -При от-
сутствии наклепа эта величина
пропорциональна отрезку OL
оси абсцисс диаграммы (см.
рис. 2.42), а при наклепе она
пропорциональна ' меньшему
отрезку ML, так как часть диа-
граммы, лежащая левее точ-
ки N, не повторяется. На рис.
2.43 представлена диаграмма
растяжения, на которой пока*
зан процесс разгрузки и по-
вторного нагружения, прове-
денный несколько раз.
Наклеп может быть .также
следствием холодной обработки металлов. Например, при изго-
товлении клепаных конструкций отверстия для заклепок зача-
стую продавливают на специальных дыропробивных прессах.
В результате материал у краев отверстия оказывается наклепан*
ным, обладает повышенной хрупкостью, и при действии пере-
менных напряжений в этой зоне возможно появление трещин.
Поэтому целесообразно пробивать отверстия меньшего диаметра,
чем требуется, а затем расверливать их до 'заданного размера.
При этом наклепанная часть материала будет удалена.
В других случаях наклеп полезен и его создают специально.
Например, провода, тросы, стержни для арматуры-железобетон-
ных конструкций зачастую подвергают предварительной вытяжке
за предел текучести.
Статические испытания на растяжение позволяют косвенно
оценить способность материала сопротивляться действию удар-
ных нагрузок. Чем больше работа, затраченная на разрушение
образца, тем, следовательно, большую кинетическую энергию
удара в состоянии поглотить данный материал, не разрушаясь.-
Повторяя рассуждения, приведенные в § 2.4 в связи с опре-
делением энергии деформации, легко получить, что полная ра-
бота, затраченная на разрушение образца, выражается (с учетом
масштабов) площадью OAKL диаграммы (см. рис. 2.42). Пло-
77
щадь треугольника KTL соответствует работе упругой деформа-
ции, исчезающей при разрыве образца.
Более удобной характеристикой, не зависящей от абсолют-
ных размеров образца, является удельная ра.бота разрушения,
которая выражается площадью диаграммы, построенной в коор-
динатах 8 — сг (рис. 2.44).
Удельную работу разрушения иногда вычисляют по формуле
иразр := ''ршД
где г, — так называемый коэффициент полноты диаграммы, меньший единицы.
Значение его для различных марок стали примерно одинаково, поэтому ве-
личина произведения <тПчб может рассматриваться как характеристика спо-
собности стали сопротивляться действию ударной нагрузки.
Подробно рассмотренная выше диаграмма растяжения, имею-
щая ясно выраженную площадку текучести, характерна лишь
для малоуглеродистой стали и некоторых сплавов цветных ме-
Рис. 2.46
таллов. ..
Диаграммы растяжения не-
которых пластичных ме-
таллов и сплавов (например,
меди, дуралюмина) не имеют
площадки текучести. Для них
вводится понятие об условном
пределе текучести, представля-
ющем собой напряжение, при
котором относительная оста-
точная деформация образца
равна 0,2% (рис. 2.45). Услов-
ный предел текучести обозна-
чают Оо,2-
В технической литературе и в таблицах ГОСТа обычно не разграничи-
вают обозначения физического и условного пределов текучести, применяя
единое обозначение пт.
Условный предел текучести определяют также для средне-
углеродистой, высокоуглеродистой, легированной стали и для
ковкого чугуна. С повышением содержания углерода прочность
стали повышается, а ее пластичность падает. Это хорошо видно
78
из представленных на рис. 2.46 диаграмм растяжения для каче-
ственной конструкционной углеродистой стали нескольких марок
Хрупкие материалы, например чугун, характерны тем, что их
разрушение происходит при очень малых остаточных деформа-
циях. На рис. 2.47 показана диаграмма растяжения чугуна. Диа-
грамма показывает, что
даже в начальной стадии
растяжения обнаружи-
вается отклонение от за-
кона Гука. При расчетах
это отклонение не учиты-
вают.
При испытании на рас-
тяжение образцов серого
чугуна определяют вели-
чину предела прочности,
обозначаемого сгПчр или
овр. Для образцов из ков-
кого чугуна, кроме того,
определяют величину от-
носительного остаточного
удлинения при разрыве.
§ 2.9. СТАТИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ НА СЖАТИЕ
Строительные материалы, такие как бетон, цемент, естест-
венные камни различных пород, испытывают в основном на
сжатие.
Дерево испытывают на сжатие как вдоль, так и поперек во-
локон.
Металлы испытывают на сжатие значительно реже, чем на
растяжение.
Образцы для испытания на сжатие стали и чугуна имеют
форму цилиндра с отношением высоты к диаметру 1—2 (в от-
дельных случаях до трех). Длинные образцы применять нельзя,
так как даже при незначительной внецентренности приложения
сжимающей нагрузки они изгибаются и результаты опыта силь-
но искажаются. На результаты испытания влияет трение между
плитамй пресса и торцами образца, а также соотношение его
размеров.
На рис. 2.48 показан вид образца из малоуглеродистой стали
до и после испытания. При больших сжимающих нагрузках об-
разец пластически деформируется (расплющивается), но разру-
шен быть не может. Таким образом, для пластичных материалов
понятия «предел прочности при сжатии» не существует. Бочко-
образная форма деформированного образца объясняется тем,
79
что силы трения, возникающие между' плитами пресса и торцами
образца, препятствуют свободному расширению прилежащих к
торцам частей материала.
Условная диаграмма сжатия малоуглеродистой стали
(рис. 2.49) до предела текуче-
сти подобна диаграмме растя-
жения, но площадка текучести
выявлена слабо.
, При пластической деформа-
ции образца его сечение уве-
личивается и нагрузка, требуемая для дальнейшего сжатия, воз-
растает, что и объясняет характер диаграммы за пределом те-
кучести. Значения пределов пропорциональности и текучести для
пластичных материалов при растяжении и сжатии практически
одинаковы.
Для большинства пластичных
материалов в результате испытаний
на сжатие определют условный пре-
дел текучести под-
В тех' случаях, когда пределы
текучести при растяжении и сжатии
различны, их обозначают соответст-
венно Оо»2р И Оо»2с (ИЛИ Отр И Оте) •
Примерами материалов, для кото-
80
рых (Уо,2с>(Уо,2р, служат некоторые легированные стали, под-
вергнутые закалке. Например, для стали ЗОХГС оо,2р~0,88 оо,2с-
Такие материалы называют хрупко-пластичными.
На рис. 2.50 показан характер разрушения образца из серого
чугуна (трещины, появляющиеся на образце в начале разруше-
ния, направлены под углом примерно 45° к его оси). На рис. 2.51
показана соответствующая диаграмма сжатия. При возникнове-
Таблица 2. 2
Механические характеристики некоторых машиностроительных
материалов
Материал 5 пчр 5 ПЧС 8 % ф %
кГ!мм?
Сталь
Ст.З 38—47 — ' 22—24 27—25
Ст. 5 50-62 — 26—28 21—19 —
30 50 — 30 21 50
45 61 _ 36 16 40
50 64 38 14. 40
40Х 100 — 80 10 45
40ХН 100 80 11 45
Чугун
СЧ12-28 12 50 —
С 415—32 ’ 15 65 .
СЧ21—40 21 ’ 95 — —
В 450—1,5 50 160 38 1,5 .
КЧ37-12 37 -— 12 .
Дуралюмин Д16 45—54 "" 29—44 14—8 <—
Текстолит 6—11 13—15. —
Капрон (литье) . 3,5-7 6—8 — — —
81
ление о сравнительных свойствах малоуглеродистой стали и се-
рого чугуна при растяжении и сжатии дают диаграммы, пока-
занные на рис. 2.52: а — растяжение малоуглеродистой стали;
б — то же серого чугуна; в — сжатие малоуглеродистой стали;
г — то Же серого чугуна.
Для подавляющего большинства конструкционных материа-
лов величина модуля упругости при растяжении и сжатии оди-
накова. Сведения о механических характеристиках некоторых .ма-
териалов даны в табл. 2.2.
§ 2. 10. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ
КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Рассмотренные в предыдущих параграфах механические ха-
рактеристики материалов, как уже указывалось, относились к
испытаниям, проводимым в так называемых нормальных усло-
виях, т. е. при температуре порядка 20° С и статическом нагру-
жении, при котором скорость деформации, получаемая на обыч-
' ‘ ' dz
ных испытательных машинах, — =0,01 -4-3,0 Чмин.
Для современной техники
очень важное значение имеют
свойства материалов в усло-
виях высоких температур при
различных скоростях измене-
ния усилий и деформаций.
Здесь ограничимся краткими
сведениями о влиянии темпе-
ратуры на свойства стали при
статическом нагружении.
На рис. 2.53 показаны кри-
вые изменения модуля упруго-
сти и основных механических
характеристик малоуглероди-
стой стали в интервале темпе-
ратур от 0° до 500° С. Для та-
кой стали при повышении тем-
пературы примерно до <250° про-
исходит резкое уменьшение
пластичности (величины б) и
повышение предела прочности.
Это явление называет «охрупчиванием» стали. При дальнейшем
повышении температуры пластичность возрастает, а прочность
уменьшается. Для легированных сталей при повышении темпе-
ратуры, как правило, явления «охрупчивания» не наблюдается;
пределы текучести и прочности монотонно убывают, а пластич-
ность возрастает.
82
Приведенные сведения о зависимости свойств материалов от
температуры не отражают фактора времени, т. е. предполагается,
что характеристики получены в результате обычных кратковре-
менных. испытаний. При высокой температуре фактор времени
играет очен^ существенную роль — специальные эксперименты
и опыт эксплуатации деталей, работающих при высоких темпе-
ратурах, показывают, что при постоянной нагрузке с те-
чением времени пластическая деформация возрастает, происхо-
дит как бы медленная текучесть ме-
талла. При этом напряжения в образ- е
це (или детали) могут быть ниже не
только предела текучести, но и преде-
ла пропорциональности, соответствую-
щих температуре эксперимента или /
эксплуатации. Указанное явление но-
сит название ползучести. Для стали -----------------------1
ползучесть проявляется лишь при вы-
сокой температуре (ориентировочно Рис- 2-54
выше 300°), а для некоторых цветных
металлов и сплавов с этим явлением приходится считаться при
слегка повышенной и даже при нормальной температуре.
На рис. 2.54 показан график зависимости деформации при
ползучести от времени. При нагружении образца деформация
весьма быстро возрастает до величины, изображаемой на графи-
ке отрезком ОА; время, в течение которого протекает эта дефор-
мация, ничтожно мало по сравнению со всем временем экспери-
мента, и поэтому соответствующая часть графика принята
совпадающей с осью ординат. Процесс ползучести, характери-
зуемый участком графика ABCD, может быть разделен на три
стадии. В первой стадии (участок АВ) скорость деформации
уменьшается. Во второй стадии (участок ВС) скорость деформа-
ций постоянна (процесс установившейся ползучести). В третьей
стадии (участок CD) скорость деформации непрерывно нара-
стает, пока не наступает разрушение образца (точка D).
График на рис. 2.54 соответствует некоторым постоянным на-
пряжению и температуре. Если проводить испытания при более
высоком напряжении или более высокой температуре, то харак-
тер графика останется примерно прежним, но скорости деформа-
ции будут выше, соответственно большей будет величина дефор-
мации за определенный промежуток времени и меньшим будет
интервал времени от начала испытания до разрушения образца.
Если длина растянутого стержня поддерживается все время
неизменной, т. е. сохраняется постоянство деформации, то с те-
чением времени напряжение в стержне убывает. Это явление
называют релаксацией напряжений. Оно объясняется тем, что
при неизменной величине полной деформации возрастает дефор-
мация ползучести (пластическая деформация), а следовательно,
83
уменьшается упругая деформация и пропорциональные ее вели-
чине (по закону Гука) напряжения. Релаксация приводит к
ослаблению натяга в деталях, соединенных прессовыми посад-
ками, к нарушению плотности болтовых соединений, например,
в паропроводах.
Для оценки прочности металла при повышенных температу-
рах и его сопротивления пластическим деформациям вводят сле-
дующие две механические характеристики.
Предел длительной прочности — отношение нагрузки, при
которой происходит разрушение растянутого образца через за-
данный промежуток времени к первоначальной площади попе-
речного сечения.
Предел ползучести <stt — напряжение, при котором пластиче-
ская деформация за заданный промежуток времени достигает
величины, установленной техническими условиями.
Очевидно, что предел длительной прочности для рассматри-
ваемого материала зависит от температуры испытания и задан-
ного промежутка времени до момента разрушении. Последний
выбирают равным сроку службы детали (обычно в пределах от
100 до 100 - 103 час).
Предел ползучести для данного материала зависит от темпе-
ратуры и времени испытания, обычно равного сроку службы де-
тали, а также от принятой величины пластической деформации,
которую устанавливают, исходя из условий нормальной,эксплуа-
тации детали за срок ее службы.
Для деталей, рассчитываемых на сравнительно длительный срок эксплуа-
тации, иногда вводят другое понятие предела ползучести, а именно: предел
ползучести — напряжение, при котором скорость пластической деформа-
ции равна определенной величине, установленной техническими условиями.
Например, для деталей стационарных паровых турбин принимают скорость
пластической деформации. 10^7 Чч.
\
Механические свойства многих конструкционных материалов
существенно изменяются под влиянием низких температур. В ча-
стности, сталь, пластичная при нормальной температуре, стано-
вится хрупкой при низкой температуре; как принято говорить,
сталь относится к хладноломким материалам.
При понижении температуры до —50° пределы текучести и
прочности возрастают примерно на 84-12%, а относительные
остаточные удлинение и поперечное сужение уменьшаются при-
мерно на 154-20% по сравнению со значениями, полученными
при испытаниях в условиях нормальной температуры. Дальней-
шее понижение температуры приводит к еще более ощутимому
изменению механических характеристик.
У некоторых металлов свойство хладноломкости не прояв-
ляется.так, например прочность и пластичность алюминия с по-
нижением температуры возрастают.
Радиоактивные проникающие облучения, особенно нейтрон-
84
ные, которым в условиях эксплуатации могут подвергаться эле-
менты некоторых конструкций, вызывают значительные измене-
ния свойств материалов. Опыты показывают, что у материалов,
подвергнутых перед испытанием нейтронному облучению, суще-
ственно возросла прочность и уменьшилась пластичность.
§/2.11. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА ПРОЧНОСТИ.
ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Механические испытания материалов позволяют определить
те напряжения, при которых образец из данного материала раз-
рушается или в нем возникают заметные пластические деформа-
ции. Эти напряжения называют предельными (или опасными).
Напоминаем, что возникновение в детали пластических деформа-
ций обычно недопустимо и рассматривается как нарушение
прочности детали.
Конструкционные материалы можно разделить на три основ-
ные группы: пластичные, хрупко-пластичные и хрупкие материа-
лы. Эта классификация относится к свойствам материалов при
одноосном растяжении (сжатии) в нормальных условиях (малая
скорость нагружения; нормальная температура и т. д.). Измене-
ние характера нагружения и условий работы существенно влияет
на свойства материалов: в частности, как указывалось выше, ма-
териал, пластичный при нормальной температуре, становится
хрупким при низкой температуре. Таким образом, правильнее
говорить не о пластичном и хрупком материале, а о пластиче-
ском и хрупком состоянии материала. Но тем не менее обычно
пользуются приведенной классификацией, помня, при каких
ограничениях она справедлива.
В качестве предельных напряжений для указанных трех групп
материалов при статическом нагружении принимают следующие
механические характеристики:
для пластичных материалов (разрушению их предшествует
возникновение больших пластических деформаций) — физиче-
ский (сгт) или условный (оо,г) предел текучести, практически оди-
наковый при растяжении и сжатии;
для хрупко-пластичных материалов (разрушение их проис-
ходит при сравнительно небольших пластических деформа-
циях) — условный предел текучести, величина которого при ра-
стяжении и сжатии различна: о'о,2р<о'о,2с;
Для хрупких материалов (разрушение их происходит при
очень малых пластических деформациях) — предел прочности,
величина которого при растяжении и сжатии различна:
О'пчр<Со'пчс-
Возвращаясь к вопросу об изменении механических свойств
стали при наклепе-(см. стр. 77), уточним, в каком смысле следует
понимать, что наклеп приводит к упрочнению материала, хотя
85
предел прочности практически остается неизменным. Если диа-
грамма растяжения данной стали имеет (до наклепа) площадку
текучести, то диаграмма растяжения этой же стали, но подверг-
нутой наклепу, площадки текучести иметь не будет. Следова-
тельно, до наклепа роль предельного напряжения играл физи-
ческий предел текучести ат, а после наклепа — условный предел
текучести о0,2; при этом оо,2>огт, т. е. наклеп привел к повышению
предельного напряжения — упрочнению. Если диаграмма растя-
жения вообще не имеет площадки текучести, то влияние наклепа
скажется в повышении условного предела текучести. Это хорошо
видно на рис. 2.43.
Для материалов деталей, работающих при статическом нагружении в
условиях высоких температур, в качестве предельного напряжения принимают
предел ползучести (св/) или предел длительной прочности
Для обеспечения прочности элементов конструкции необхо-
димо так выбрать их размеры и материал, чтобы возникающие
в них при эксплуатационных нагрузках напряжения были мень-
ше предельных. Конечно, если наибольшие рабочие напряжения
в детали близки к предельным (хотя и меньше их), прочность
детали гарантировать нельзя, так как действующие нагрузки,
а следовательно, и напряжения, практически никогда не могут
быть установлены совершенно точно, в ряде случаев расчетные
напряжения вообще могут быть определены лишь приближенно,
наконец, возможны отклонения действительных механических
характеристик применяемого материала от принятых при
расчете.
Отношение предельного напряжения оПред к наибольшему на-
пряжению о, возникающему в рассчитываемом элементе конст-
рукции при эксплуатационной нагрузке (это так называемое
рабочее, или расчетное, напряжение), обозначают бук-
вой п и называют коэффициентом запаса прочности (иногда го-
ворят коэффициент запаса):
Из сказанного выше следует, что величина п должна быть
больше единицы (п>1), в противном случае прочность конструк-
ции будет нарушена. Естественно возникает вопрос, на сколько
больше единицы должна быть величина п, чтобы прочность рас-
считываемой детали (элемента конструкции) можно было счи-
тать обеспеченной. Ясно, что чем больше п, тем прочнее конст-
рукция, тем большим запасом надежности она обладает. В то же
время совершенно очевидце, что очень большие запасы приводят
к перерасходу материала, делают конструкцию тяжелой, неэко-
номичной. В зависимости от назначения конструкции и целого
ряда других обстоятельств (несколько подробнее об этом будет
86
сказано ниже) устанавливают величину минимально необходи-
мого коэффициента запаса прочности. Эту величину обозначают
[п] и называют требуемым коэффициентом запаса прочности (го-
ворят также, что это заданный или допускаемый, или норматив-
ный коэффициент запаса прочности).
Прочность элемента конструкции считают обеспеченной, если
его действительный коэффициент запаса прочности не ниже тре-
буемого, т. е.
п^\п\. . (2.25)
Это неравенство называют условием прочности. Используя
выражение (2.24), перепишем условие прочности в виде
апред _ г ,
/г=—— > [/г],
а
(2.26)
Отсюда можно получить и такую форму записи условия проч-
ности:
апред
а --------
[П]
Правую часть последнего неравенства обозначают [су] и назы-
вают допускаемым напряжением:
[3]=^., (2.27)
И]
В случае, если предельные, а следовательно, и допускаемые
напряжения при растяжении и сжатии различны, последние обо-
значают соответственно [ор] и [сус]-
Пользуясь понятием «допускаемое напряжение», можно ска-
зать, что прочность конструкции обеспечена, если возникающее
в ней наибольшее напряжение не превышает допускаемого, т. е.
о < [а].. (2.28)
Это неравенство [также, как и неравенства (2.25) и (2.26)] назы-
вают условием прочности.
В некоторых случаях целесообразно разграничивать понятия
и обозначения действительного и требуемого коэффициентов за-
паса по отношению к пределу текучести и по отношению к пре-
делу прочности. Первые обозначают соответственно и [пт]/
вторые — лпч и [лпч]. Эти обозначения использованы в табл. '2.3,
в которой приведена расшифровка формулы (2.27) применитель-
но к указанным в начале параграфа трем группам материалов.
Там же даны ориентировочные значения величин [цт] и [лпч].
Даже при минимальных значениях [п] обеспечена работа ма-
териала в пределах упругости, т. е. [<у]<7(уу (или опц).
Величина принимаемого при расчете допускаемого напряже-
ния в значительной степени определяет надежность и экономич-
87
Таблица 2. 3
Допускаемые напряжения и коэффициенты запаса прочности
при статических нагрузках
Материал Зависимость для выбора допус- каемого напряжения-при растя- жении и при сжатии Ориентировочное значе- ние требуемого коэффи- циента запаса прочности
Пластичный Ы-[ар]-Ы= ' [HTJ или г . r , г , СТ0,2 [а] = [ар] = [ас] = —— Щт] [ит] = 1,4 -ь 2,0
Хрупко-пластичный г 1 -СТ°’2Р г 1 а°’2с [»р]- [Лт] , W- [йт1 [ит] = 1,6 = 2,5
Хрупкий апчр апчс |«„ч] [nn4] =2,5-4- 5,0
ность конструкции. Чем ниже допускаемое напряжение, т. е. чем
выше заданный коэффициент запаса, тем, следовательно, осто-
рожнее произведен расчет, тем выше надежность конструкции,
но расход материала велик и конструкция неэкономична. Повы-
шение допускаемого напряжения позволяет создать более лег-
кую и экономичную конструкцию, но если это повышение произ-
ведено недостаточно обоснованно, то конструкция будет нена-
дежной.
В тех случаях, когда величина коэффициента запаса прочно-
сти (допускаемого напряжения) не обусловлена обязательными
нормами, конструктор (расчетчик), выбирая значения [/г], дол-
жен учитывать целый ряд факторов, связанных как с применяе-
мыми методами расчета, так и с материалом рассчитываемой
детали, и условиями ее эксплуатации.
Не останавливаясь на подробностях этого весьма сложного и
многогранного вопроса (полнее он освещен в курсе деталей ма-
шин) , укажем лишь основные -факторы, влияющие на величину
требуемого коэффициента запаса прочности:
а) точность определения действующих нагрузок и применяе-
мых методов расчета;
б) степень однородности применяемого материала, его чув-
ствительность к недостаткам механической обработки и изучен-
ность свойств;
в) ответственность детали.
88
В настоящее время принято представлять коэффициент запаса в виде
произведения нескольких частных коэффициентов запаса, каждый из которых
отражает влияние на надежность расчета какого-либо определенного факто-
ра или группы факторов. Такое разделение общего коэффициента запаса поз-
воляет более точно учесть многообразие свойств материалов и конкретных
условий работы конструкций и" проектировать их более экономичными без
снижения надежности. Указанные выше три группы факторов отражены тремя
частными коэффициентами запаса: '
l«]4«i] [пг! [«31-
Представление о величинах допускаемых напряжений, при-
нимаемых при расчетах элементов машиностроительных конст-
рукций на действие статических нагрузок, дает табл. 2.4.
Таблица 2.4
Ориентировочные величины допускаемых напряжений^ для некоторых
машиностроительных материалов при статических^нагрузках
Материал Допускаемые напряжения в Мн/м2 (н)мм2) Примечания
1 * ] Р [%1
Чугун СЧ12 —28 . . 20-30 70—110 Отливки из серого
СЧ15-32 . . 25—40 90-150 чугуна
СЧ21—40 . . 35—55 160—200
а ВЧ50 — 1,5 80—120 300-410 Высокопрочный чугун
Сталь Ст. 3 и Ст. 4 • 140- -170 Для металлокон-
» Ст. 5 175- -210 струкций крановых со-
оружений
Сталь 45 180- -210 —
Дуралюмин 70- -150
Текстолит 30-40< 50-90
В заключение настоящего параграфа подчеркнем, что на про-
тяжении всего курса сопротивления материалов будут ветре--
чаться три упоминавшихся уже категории напряжений.
А. Предельные (или опасные) напряжения, при достижении
которых появляются признаки разрушения или возникают пла-
стические деформации. Эти напряжения зависят от свойств ма-
териала и вида деформации, например для серого чугуна пре-
дельное напряжение (предел прочности) при сжатии пПчс пример-
но в 4 раза выше предельного напряжения при растяжении <тПчр.
Б. Допускаемые напряжения — наибольшие напряжения, ко-
торые можно допустить в рассчитываемой конструкции из усло-
вия ее безопасности, надежности и долговечности.
Эти напряжения зависят, от свойств материала, вида дефор-
мации и требуемого (принятого или заданного) коэффициента
запаса прочности.
89
В. Рабочие напряжения, которые возникают в элементе кон-
струкции под действием приложенных к нему нагрузок: Эти на-
пряжения зависят от действующих нагрузок и размеров бруса
(элемента конструкции).
§ 2.12. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)
Условие прочности
. г 1 апред г ,
а < [а] ИЛИ П =-------> [И]
а
должно соблюдаться для всех точек рассчитываемого элемента
конструкции, поэтому под o' следует понимать наибольшее рабо-
чее напряжение.
Здесь необходимо сделать оговорку: незначительное превы-
шение наибольших рабочих напряжений над допускаемыми, ко-
нечно, не опасно так как допускаемое напряжение составляет
лишь некоторую часть от предельного. Обычно считают, что это
превышение может составлять до 5% от допускаемого напряже-
ния. Иными словами, в отдельных случаях считают возможным
иметь коэффициент запаса несколько меньший, чем норматив-
ный (заданный). Если рабочее напряжение значительно ниже
допускаемого, это является свидетельством нерациональности
конструкции, перерасхода материала.
В зависимости от цели расчета (постановки задачи) разли-
чают три вида расчетов на прочность: проверочный, проектный
и определение допускаемой нагрузки. Эта классификация видов
расчета относится ко всем разделам курса, а не только к растя-
жению (сжатию). При расчетах на жесткость, и устойчивость
также возможны все три указанные варианта постановки за-
дачи.
Рассмотрим несколько подробнее каждый из трех указанных
видов расчета.
А. Проверочный расчет
При этом расчете нагрузка бруса, его материал (а следова-
тельно, допускаемое или предельное напряжение) и размеры из-
вестны. Определению подлежит наибольшее рабочее напря-
жение, которое сравнивают с допускаемым. С проверочными
расчетами встречаются," в частности, при экспертиз"е выполнен-
ных проектов.
Расчетная формула (условие прочности) для этого случая
имеет вид
а=4 < М. (2.29)
Г
90
где о — напряжение, возникающее в опасном поперечном сече-
нии бруса (опасным называют сечение, для которого
коэффициент запаса.прочности имеет наименьшее зна-
чение) ;
N продольная сила в указанном сечении;
F—площадь опасного поперечного сечения;
[о]—допускаемое напряжение ([сгр] при растяжении и [сус]
при сжатии).
В ряде случаев при проверочном расчете удобнее сопостав-
лять не рабочее напряжение с допускаемым, а сравнивать фак-
тический коэффициент запаса прочности для опасного сечения
с требуемым, т. е. проверять, соблюдается ли неравенство
п= —-— > [п].
а
Б. Проектный расчет
Как показывает само название этого вида расчета, он при-
меняется при конструировании (проектировании) машин или со-
оружений. Нагрузки и материал (допускаемые напряжения) при
этом расчете известны * и определению подлежит требуемая
площадь поперечного сечения бруса. Расчетная формула име-
ет вид
F> — . (2.30)
Ы
Значения входящих в формулу величин те же, что и для слу-
чая А [формула (2.29)].
В. Определение допускаемой нагрузки
Размеры бруса и его материал (допускаемое напряжение)
известны, определению подлежит нагрузка, которую можно до-
пустить по условию его прочности. Расчет ведется по формуле
[А] = 7ф]. (2.31)
По найденному допускаемому значению продольной силы
[А] с помощью метода сечений определяется допускаемое значе-
ние внешних силнагрузок (см. ниже пример. 2.19).
Этот вид расчета применяется, в частности, при изменении
режимов тех или' иных технологических процессов, когда возни-
кает необходимость в повышении нагрузок существующего обо-
* Зачастую проектировщик (конструктор) сам определяет рабочие на-
грузки, выбирает материал и допускаемое напряжение, но в задачах сопротив-
ления материалов эти величины для рассматриваемой категории расчета пола-
гаются известными.
91
рудования и, следовательно, надо знать их предельно допусти-
мое по условию прочности значение.
Поскольку при определении допускаемой нагрузки размеры
поперечного сечения бруса известны, этот расчет следует рас-
сматривать как разновидность проверочного расчета.
Рассмотренные три категории расчетов иллюстрируются сле-
дующими числовыми примерами.
Пример 2.16. Проверить прочность тяги ВС (рис. 2.55, а). Материал
сталь Ст. 3, допускаемое напряжение [о] =160 н!мм2.
Решение. Продольную силу (N),
возникающую в произвольном попе-
речном сечении тяги, определяем,
применяя метод сечений и рассмат-
ривая равновесие балки АО (рис.
2.55, б),
Ътд = 0;
откуда N=
Pl — (Msin а) а = 0,
~Р1
------ ; подставляя
a sin а
числовые значения, получаем
40-2,5
2,0-sin 30°
= 100 кн:
Напряжения в поперечном сече-
нии тяги
100-1Q3
2-3,08-102
= 162 н[мл&,
Напряжение выше допускаемого
ность тяги обеспечена.
где площадь поперечного сечения
одного равнобокого уголка 40Х40Х
Х4 /''1=3,08 см2 (по табл. ГОСТ
8509—57). Площадь сечения тяги
/=2Л.
всего на 1,25%, следовательно, проч-
N
F
Пример 2.17. Проверить прочность ступенчатого чугунного бруса
(рис. 2.56, а), если требуемый коэффициент запаса прочности [ц]=4. Предел
прочности материала бруса на растяжение о'пчр = 150 н/жж2 и на сжатие
Спя с =580 н/жж2.
Решение. Строим эпюры продольных сил (рис. 2.56, б) и нормальных, на-
пряжений (рис. 2.56, в), как это изложено в примерах 2.1, 2.3.
Наибольшие по абсолютной величине напряжения возникают в попереч-
ных сечениях / участка, работающего на сжатие.
Коэффициент'запаса прочности для этого участка
s апчс
=--------
Or
580
127
= 4,57.
Расчет нельзя считать законченным, так как в поперечных сечениях III
участка возникают напряжения растяжения, которые хотя и значительно мень-
ше (по абсолютной величине) напряжений сжатия в сечениях / участка,
но могут оказаться более опасными, так как чугун значительно хуже работает
92
на растяжение, чем на сжатие. Для III участка коэффициент запаса прочности
апчр
а1И
150
35,3
= 4,25.
Прочность бруса достаточна, так как Пщ>[«].
В литературе встречается определение опасного сечения как такого сече-
ния, в котором возникают наибольшие напряжения. Рассмотренный пример
показывает, что приведен-
ное определение для брусь-
ев из материалов, различно
сопротивляющихся растя-,
жению и сжатию, не всег-
да справедливо.
Пример 2.18. Опреде-
лить из расчета на "проч-
ность требуемые диаметры
стержней ВС, CD и СК в
конструкции, изображен-
ной на рис. 2.57, а. Принять
[о] =150 н/лш2.
Решение. Применяя ме-
тод сечений (рис. 2.57,6),
определяем продольные си-
лы, возникающие в попе-
речных сечениях стержней
от действия равномерно
распределенной нагрузки,
приложенной на участке
BL балки AL. Составляя
а)
%dz=30
у П
Рг=65кн
5) ________
1111Ш1Д
Эпюра /И
Эпюра б
Рис. 2.56
I
ЬОкн
г2
Рис. 2.57
приложенных к балке AL, получаем
3
— N^a + (qa) — а = 0,
уравнение равновесия для сил,
Э-гпд = 0;
3
откуда N-[ = — qa.
При составлении уравнения равновесия использована известная из тео-
ретической механики теорема Вариньона, согласно которой момент равнодей-
93
ствующей равен сумме моментов составляющих сил; в данном случае равно-
действующая распределенной нагрузки равна qa и приложена в середине
участка нагружения BL.
Составляя уравнения равновесия для сил, приложенных к узлу С (проек-
тируя все силы на горизонтальную и вертикальную оси), получаем
cos 45° — Л^з cos 45° = О,
откуда N2 = JV3;
2N2 cos 45° - = 0.
Подставляя значение Nt, имеем
.. АГ
дг2 = М = ——------------
2 3 4 cos 45’
Требуемая площадь
(2.30)]
поперечного сечения стержня ВС [см. формулу
3
2 qa 3-50-1,2-103
—------= ------------= 600 мм2.
[а] 2-150
Диаметр этого стержня
di =
4-600
——------= 2/, о мм.
С некоторым округлением принимаем <Д = 28 мм.
Для стержней CD и СК имеем
AT, 3qa 3-50-1,2-103
— __ -------------_-------------== 424 мм2;
г] 4 [a] cos 45° 4-150 cos 45°
^2 = ^3
Приняв б/2=^з = 23 мм, получим, что напряжения в соответствующих
стержнях 01=02 — 157 н/мм2, т. е. на 4,66% выше допускаемых. Если принять
^2=^з=24 мм, то О1 = о2=141 н[мм2, т. е. на 6% ниже допускаемых. Целесооб-
разнее принять б/2=^з = 23 мм.
Пример 2.19. Определить допускаемую нагрузку для системы, изображен-
ной на рис. 2.58, а. Стержни изготовлены из дюралевых труб одинакового
поперечного сечения. Допускаемое напряжение [о] = 75 н/мм2.
Решение. Вырезаем узел А (рис. 2.58, б) и определяем усилия в стерж-
нях, выражая их через неизвестную пока силу Р,
"ZU = 0; Р sin р — Ni sin а = 0;
sin В sin 45° ~
Ni = Р------ = Р------— = 1,67 Р.
sin а sin 25°
2У = 0; cos а + N2 — Р cos₽ = 0;
7V2 = /’cosj3 — Ni cos а, откуда, подставляя значение N^ получаем
N2 = P cos 45° — 1,67 Р cos 25° = — 0,806Р,
т. е. стержень АС сжат.
94
' Сильнее нагружен стержень У; из условия прочности этого стержня
определяем допускаемую нагрузку конструкции
[N1] = 1,67 [Р] = F[a],
откуда
3,14
-^-(302 - 242)75
(Л = Тет=------------Е67-------= 11.4:103 « = 11,4™,
При наррузке, равной- допускаемой, стержень АС будет недогружен,
в его поперечных сечениях возникают напряжения
~ |ЛГ2| _ 0,806Р
Fill ~’ р ь— р
0,806-11,4-103 г л
--------_---=36,1 н/млР,
^(302 — 242)
т. е. на 52% ниже допускаемых. Полу-
ченный результат указывает на нерацио-
нальность конструкции; следует всегда
стремиться к тому, чтобы все элементы
конструкции были полностью нагружены,
т. е. чтобы напряжения в них были близ-
ки к допускаемым.
Пример 2.20. Стальная трехступен-
чатая штанга закреплена верхним кон-
цом и нагружена на свободном конце
силой Р=30 кн (рис. 2.59, а).
Определить с учетом влияния соб-
ственного веса (у=78,5 кн/м3) требуе-
мую площадь поперечного сечения каж-
дой. из частей штанги, если допускае-
мое напряжение [о’]=Ю0 Мн/м2.
Решение. Для расчета на прочность
надо определить положение опасного
сечения каждого из участков штанги, со-
ставить с учетом собственной силы тя-
жести бруса выражение для продоль-
Рис. 2.58 -
ной силы в этом сечении и вычислить требуемую его площадь.
Проведя произвольное сечение а — а на расстоянии Zi от нижнего конца
штанги, составим уравнение равновесия для отсеченной части, показанной
отдельно на рис. 2.59, б. Силы, действующие на эту часть: Р и сила тяжести
этой части Giz а также искомая продольная сила Ni, — показаны на
рисунке. Составляя и решая уравнение равновесия, получаем
М = Р + G.iz = Р + yFzi.
(1)
Очевидно, верхнее сечение этого участка (Zi=l) опасное; для этого сече-
ния
max Ni = Р 4- 7F1Z.
Требуемая площадь сечения I участка
max Nj Р 4- yF-J
1 > [’] н-
откуда
Р____ ________30-Юз_________
= 100-106 — 78,5-103-150
= 3,4-10~4 л2.®
95
Аналогично поступаем для определения требуемой площади сечения
II участка. Проводя сечение б — би состав ляя^уравнекие равновесия для от-
сеченной части (рис. 2.59, в), получаем
А^2 = £’+01 + GiZ = Р 4- 01 . (2)
где Gi = 7/4/= 78,5-103-3,4-10~4-150 = 4-103 « —сила тяжести нижней
части штанги.
Опасным является верхнее сечение (22=Z), для которого
max N2 = Р + 01 + yF2l.
д) Эпюра е) Эпюра б
Рис. 2.59
Требуемая площадь сечения
. max7V2
1^3 > ' ГД :
Р + 01 4- yF2/ .
где
ней
96
откуда
„ Р+Ог (304-4)403 о ,л_4
>---------= — — ------------------=3,86 4 0 4 ж2.
[a] — 100406 — 78,5.103 450
Для произвольного сечения III участка (рис. 2.59, г) имеем
А^з = Р 4- 014- Ог 4- O32 = Р 4- 01 4- О2 4~ Т^з^з*
Для опасного сечения
шах А^з = Р 4* G1 4- G2 4- iFqI,
О2#= "(F2l = 78,5403-3,8640~4450 = 4,54403 я — сила.тяжести сред-
части штанги.
(3)
Требуемая площадь сечения
шах М3 Р + Gj + G2 + ~(F3l
Гз>~ТТ'= н
и окончательно
P+Gi + G2 = (30 + 4 4-4,54) 1Q3
3> [а]—100-106 —78,5-103.150
Сила тяжести верхней части штанги
G3 = 7F3Z = 78,5-103-4,37-10~4-150 = 5,15-Ю3 «.
Для построения эпюры продольных сил используем выражения ,(1), (2)
и (3); в пределах каждого из участков N изменяется по линейному закону.
Эпюра N показана на рис. 2.59, д.
Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 2.59, е. Очевидно, что
в верхних сечениях каждого из участков напряжение равно допускаемому, так
как именно из этого условия и были определены соответствующие площади
сечений. Скачки на эпюре о объясняются тем, что для сечений, взятых бес-
конечно близко по обе стороны от границ участков, продольная сила отли-
чается на бесконечно малую, а площадь — на конечную величину.
Сравним массу рассчитанной штанги с массой штанги постоянного по .цсей
длине поперечного сечения. "
В рассмотренном случае
G
Шшт —
g
4 + 4,54 + 5,15
9,81
IO3 = 1395 кг.
+ С?2 + б?з
g
Условие прочности для' штанги постоянного поперечного сечения
P+tF-31 г ,
°max р р И’
откуда
[а]-37/
Масса этой штанги
100-106 — 3-78,5-103-150
- , G' 3iFl 3-78,5-Юз.4,64-10“4-150 ..
"=+ = — = 7 кг- 4,..
т. ё. на 19,7% больше массы ступенчатой штанги.
Рекомендуем читателю сделать расчет четырехступенчатой штанги И убе-
диться, что экономия в материале по сравнению со штангой постоянного сече-
ния будет еще больше, чем в рассмотренном примере.
Рекомендуем также определить полное удлинение рассчитанной здесь
трехступенчатой штанги, приняв £=2,0‘105 Мн!м2 (ответ: Д/—211 мм): И
использовав результаты решения примера 2.8.
§ 2.13. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
В предыдущих параграфах был .рассмотрен ряд примеров
определения перемещений и расчета на прочность. .
Во всех этих примерах применение метода сечений
позволяло установить зависимость между продольными силами,
97
4-1451
возникающими в поперечных сечениях стержней, и действующи-
ми на систему (конструкцию) внешними силами. Иными слова-
ми, внутренние силы определились только на основе усло-
вий равновесия отсеченной части системы (или отдельно-
го бруса). Системы, подобные рассмотренным, называют
статически о п р ед ел и м ы м и. Системы, в которых внутрен-
ние силовые факторы, в частности, продольные силы, не могут
быть определены с помощью только метода сечений, называют
статически неопределимыми системами.
Соответственно задачи, связанные с расчетом указанных си-
стем, также принято называть статически неопределимыми.
Некоторые примеры статически неопределимых систем при-
ведены на рис. 2.60.
Брус, изображенный на рис. 2.60, а, жестко заделан обоими
концами; в заделках возникают реакции, направленные вдол^
оси бруса. Таким образом, на брус действует система сил, на-
правленных по одной прямой; статика в этом случае дает одно
уравнение равновесия, неизвестных же сил две. х
Для балки, подвешенной на трех параллельных стержнях
(рис. 2.60,6), можно составить два уравнения равновесия, ко-
торых, конечно, недостаточно для определения усилий в стерж-
нях. Эти две конструкции относятся к категории один раз
статически неопределимых систем — число неизвестных на еди-
ницу больше числа уравнений статики. Вообще степенью стати-
98
ческой неопределимости называется разность между общим чис-
лом неизвестных и количеством уравнений статики, которые мож-
но составить для данной системы.
Один раз статически неопределима также система, представ-
ленная на рис. 2.60,. в\ вырезая узел А, можно составить для .него
два уравнения равновесия (плоская система сходящихся сил),
а неизвестных усилий в стержнях три.
Примеры дважды статически неопределимых систем даны на
рис. 2.60, г, д.
s Для решения статически неопределимой задачи надо соста-
вить, помимо уравнений статики, так называемые уравнения пе-
ремещений, основанные на рассмотрении геометрической сторо-
ны деформации системы и применении закона Гука. Поясним это
указание простейшим примером.
Пусть требуется определить усилия в стержнях, на которых
подвешена невесомая весьма жесткая балка, нагруженная си-
лой Р, как показано на рис. 2.61. Стержни изготовлены из оди-
накового материала и имеют одинаковые сечения. Система один
раз статически неопределима: для плоской системы параллель-
ных сил статика дает два уравнения равновесия, а неизвестных
усилий три.
Рассекаем стержни и составляем уравнения равновесия при-
ложенных к балке сил (рис. 2.62):
. М + М + (1).
= N-щ — N3a = 0. (2)
В результате деформации стрежней балка займет положение,
показанное на рис. (2.62 штриховыми линиями. Действительно,
предположение о высокой жесткости балки позволяет прене-
бречь ее изгибом, а симметрия самой системы и нагрузки при-
водит к заключению, что все стержни удлиняются одинаково.
99
Таким образом, геометрическая сторона задачи может быть
выражена уравнением
AZ1 = AZ2==AZ3.
! Выражая удлинения стержней по формуле Гука, получаем
a^z __W__
EF EF EF
откуда
(3)
Решая совместно (1) и (3), находим усилия в стержнях
n^n2=n3=^-
Усилия, возникающие во всех трех стержнях, оказались оди-
наковыми, но было .бы ошибкой считать, что этот результат —
следствие лишь симметрии системы; то, что усилия одинаковы,
обусловлено не только симметрией, но и равенством жесткостей
стержней. Пусть, например, площадь сечения каждого из боко-
вых стержней вдвое больше, чем среднего (Г2 = Г; Fi = F3 = 2F).
В этом случае из условия равенства удлинений стержней по-
лучаем
. . Решив совместно уравнения (1), (2) и (3'), найдем
N^N^—P-, N2=--P.
3 5 2 5
Увеличение жесткостей боковых стержней привело к увели-
чению возникающих в них усилий и уменьшению усилия в.сред-
нем, стержне. Полученный результат отражает общее свойство
статически неопределимых систем: при прочих равных условиях в
более жестких элементах системы возникают большие усилия.
Конечно, в других статически неопределимых задачах урав-
нения перемещений иные, чем в рассмотренном примере, и прак-
тически невозможно дать общие исчерпывающие указания по их
составлению, пригодные для всего многообразия задач этой ка-
тегории. Только рассмотрение ряда конкретных примеров позво-
ляет получить достаточно полное представление о методике ре-
шения статически неопределимых задач.
Пример 2.21. Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагру-
женного .вдоль оси силами Pi и Рч, приложенными в его промежуточных сече-
ния? .(рис. 2.63,а), требуется построить эпюры продольных сил, нормальных
напряжений и перемещений поперечных сечений. Проверить прочность бруса,
если! Материал сталь Ст..4 (сгт = 260 н/лш2); требуемый коэффициент запаса
ИД'-ТД
100
Решение. В заделках бруса возникают реакции, направленные вдоль его г
оси. Имеем систему сил, направленных по одной прямой, для которой статика
дает одно уравнение равновесия:'
SZ = 0; -НА + Р1 + Р2-ЯБ=0. (1)
Неизвестных реактивных сил две, следовательно, система один раз ста-
тически неопределима.
Для составления уравнения перемещений отбросим одну из заделок, на-
пример правую, и заменим ее действие на брус соответствующей силой реак-
ции Нв (рис. 2.63, б). Получим статически определимый брус, нагруженный
кроме заданных сил Pi и Р^, также неизвестной силой реакции И В—Х.
Этот статически определимый брус нагружен так же, как заданный статиче-
ски неопределимый, т. е. эквивалентен ему. Эквивалентность этих двух-брусьев
позволяет утверждать, что второй брус деформируется так же, как первый,
т. е. перемещение Ag сечения В равно нулю, так как фактически (в задан-
ном брусе) оно жестко заделано:
Хв=0.
Применив принцип независимости действия сил, перепишем это уравнение
в виде
Xjs = + ХВр2 + ).вх = (2)
т. е. перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраиче-
ской сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности.
В обозначениях перемещений первая буква индекса указывает о пере-
мещении какого сечения идет речь; вторая — причину, вызывающую это пере-
мещение (сила Pi и т. д.).
На рис. 2.64 показаны схемы нагружения бруса каждой из сил в отдель-
ности, там же показаны соответствующие реакции левой заделки.
Пользуясь этими схемами, определяем перемещения:
2Р2а
\ВР ~’мР ' — удлинению участка АС.
1 Еог
PAiCi Ра
hRP — —— + — сумме удлинений участков АО и DE
2 ЕЗг EF
. / Х^а Х2а ХЗа \
kBX = — „ — сумме укорочений участков AD,
\ Ьбг Ьг Ьхг )
DK, КВ.
101
Подставляя значения Хрр; ^вр2 и в уравнение (2),
имеем
2Р2а Р4а Ра f Х4а Х2а ХЗа \
------ 4------_ ------------- -с------4- ----- = о
E3F E3F EF \ E3F EF E2F У
откуда
22
29
Статическая неопределимость раскрыта — имеем статически определимый
брус, заделанный одним концом, нагруженный известными силами Р\,
г. 22Р
Р2 и X— (рис. 2.65, а). Эпюры продольных сил и нормальных напряжений
строят обычным путем, как для любого статически определимого бруса. Эти
эпюры даны на рис. 2.65, б, в.
Наибольшие по абсолютной величине напряжения возникают в попереч-
ных сечениях участка ЕХ — это опасные сечения.
Проверка прочности
ат 260
пт - -------= —-----
атах 151,6
Построение эпюры перемещений ничем не отличается от изложенного
в примере 2.5. Эта эпюра дана на рис. 2.65, а; для сокращения записей вве-
а
дено обозначение р= . Построение эпюры начинаем от левого защемлен-
EF
ного конца бруса:
'КС = ^АС =
Хд = 0;
65
---Р2а
29 130
E3F ~ ' 87
130 ~2ГР2а
'kD = k+ ^CD = ~оХ~ + pop
о/
144
=-------ВР.
87 '
Определение остальных характерных ординат эпюры % предлагаем вы-
полнить читателю самостоятельно. На правом конце бруса, в сечении В., орди-
ната эпюры А. равна нулю, так как в заданном брусе это сечение защем-
ленно, именно из-этого условия определена величина X.
Кратко остановимся на решении одной из задач, аналогичных рассмотрен-
ной. Предположим, что до нагружения бруса между его правым торцом и
заделкой имеется малый зазор 6 (рис. 2.66, а). Масштаб, в котором на черте-
же дана величина зазора, во много раз больше, чем масштаб отрезков а, 2а
и т. д. Если при нагружении бруса зазор не закрывается, то система статиче-
ски определима. Если величина удлинения бруса (в предположении, что он
может деформироваться свободно, т. е. правая заделка вообще отсутствует)
больше зазора, то между правым торцом бруса и заделкой возникает сила
взаимодействия, определить которую с помощью одних лишь уравнений ста-
тики нельзя — задача будет статически неопределимой. Отличие ее от пре-
дыдущей состоит в том, что суммарное (от заданных сил и правой опорной
реакции) перемещение правого торца бруса следует приравнять не нулю,
а величине зазора: =6.
102
SOI
m '3Hd
2Ра
Примем для определенности, что 8= ——— = 2рР. Перемещение се-
Ег
чения В от действия сил Рг и Р2 (в предположении, что правая заделка
отсутствует), как было найдено выше,
11 Ра 11
= xBPi + \Вр2 =- з = з рр, ,
т. е. Хрр >6 и, следовательно, система статически неопределима. Составим
и решим уравнение перемещений, рассматривая брус, изображенный на
рис. 2.66, б,
= ^ВР1 + ^врг + ^ВХ = 8 ’
11 29
или ——-$Р — —- — 2₽Р (определение квх см. выше),
О о
- 104
отсюда
10
29
Построение эпюр N, о, л выполняется так же, как и в случае отсутствия
зазора; указанные эпюры даны на рис. 2.66, в, г, д. .
Очевидно, на правом конце бруса ордината эпюры к равна величине на-
чального зазора б.
Пример 2-22. Весьма жесткая-балка подвешена на трех стальных стерж-
нях одинакового сечения F—4 см1 2 и нагружена силой Р, как показано на схе-
ме (рис. 2.67, а). Определить до-
пускаемое значение силы Р, если для
материала стержней [о]= 160 н/мм2.
Решение: Система один раз ста-
тически неопределима, так как неиз-
вестных усилий три, а статика дает
два. уравнения равновесия (плоская
система параллельных сил). Рассе-
каем стержни и составляем уравнения
равновесия сил, действующих на бал-
ку (рис. 2.67, б).
W =:0; Nx + N2 + 7V3 — Р = 0; (1)
0; —JN2a + РЗа — N^a = 0
или
N2 + 47V3 - ЗР. (2)
Мы предположили, что все стерж-
ни растянуты. Если в результате ре-
шения получим ответ для усилия
в каком-либо стержне со знаком ми-
нус, это укажет, что предположение
было неверно и фактически этот стер-
жень сжат.
В силу жесткости -балки изгибом ее можно пренебречь. В результате де-
формации стержней балка несколько опустится и наклонится, оставаясь
прямолинейной. Примерное положение балки после деформации стержней
показано на рис. 2.67, б штриховыми линиями (конечно, удлинения стержней
показаны сильно преувеличенными). Очевидно,
ААХ = Д/х; ВВХ = Д/2; DD1 = Д/3.
Проведя вспомогательную прямую Ai/C, параллельную первоначальному по-
ложению балки, из рассмотрения подобных треугольников AJEBl и Aj/CDi
получим
ВХЕ а
DXK 4<г
1
— или
4
Д/2 —Д/х
д/3 — д/х
1
4 '
Выражая удлинения стержней по формуле Гука, получаем уравнение пе-
ремещений в виде
' _М23/_ Nx2l_
EF ~ ' EF _ 1
М34/ NAl 4 ' ''
EF ~ EF
откуда
6JV2 —3M = 2M.
(3)
105
Решая совместно уравнения (1), (2) и (3),у выражаем усилия в стерж-
нях через искомую силу Р:
Наибольшая продольная сила, а следовательно, и напряжение, возни-
кают в третьем стержне. Составляя для него условие прочности, определяем
допускаемое значение силы Р:
М 24 Р г , - '
а.тг -= ---= ---------- < । с],
111 F 35 F 1
откуда
35 35
[Р] =------f[al ---------4-102.160 = 93,3-103н = 93,3 лг«.
L J Г). I J од ’
Рис. 2.68
При этом стержни 1 й 2 будут недогружены:
л/ “V"-93’3"103
а. = — =------------------ = 13,3 м/м#,
1 F 4-102 ч '
М 35 ’ „
ап = — - = ----------------- = 60 Н ММ3.
п F 4-102
Пример 2.23. Система из трех шарнирно соединенных стальных стерж-
ней нагружена, как показано на схеме (рис. 2.68, а). Определить из расчета
на прочность требуемые площади сечений стержней, если Fi=F2=Ft FS=2F
и [<т]= 140 hImm2.
Решение. Система один раз статически неопределима: статика дает для
плоской системы сходящихся сил два уравнения равновесия, а неизвестных
усилий в стержнях три.
106
Вырезаем узел А (рис. 2.68, б) и составляем уравнения равновесия дей-
ствующих на него сил. Предполагаем, что стержни 1 и 2 растянуты (усилия
TVi и N2 направлены от узла), а стержень 3 сжат (усилие Ns направлено
к узлу)? f
St/ = O; —Ni sin ср 4- N2 sin cp — 0, , (1)
или
= (!')
SIZ = 0; Wjcoscp —P + W2coscp + W3 = 0, .
или, учитывая (Г),
22Vi cos ср N3 = P. (2)
Зависимость между изменениями длин стержней получаем из диаграммы
перемещений, показанной на'рис. 2.68, а: на продолжении стержня 1 откла-
дываем произвольный отрезок, соответствующий AZb и опускаем из его конца
перпендикуляр на направление стержня 3. Получаем точку Ai, дающую поло-,
жение шарнира А после деформации (подробнее о построении диаграмм пере-
мещений см.- в § 2.3). Очевидно, перемещение шарнира А (X А) равно укоро-
чению стержня 3 (AZ3). Из прямоугольного треугольника ABAi имеем
и далее
Nsh
или откуда EF3 Nsh E2F N3 COS cp h COS cp EF cos cp _ 2Nj COS2 cp (3)
Решая совместно (2) и (3),- получаем Pcos2 ср ‘, 2 (1 4--cos3 cp) P N3 = 1 4- cos3 cp -
Напряжения в стержнях
N-L Pcos2cp
ai = ан = "У = Р2 (1 + C0S3 <р) ’
_ Ms _ Р
2F 2F (1 4-cos3 ?) *
Очевидно, напряжения в стержне 3 больше, чем в стержнях 1 и 2, по-
этому требуемую площадь сечения определяем из условия прочности треть-
его стержня:
111 2F (1 4~ cos3 ср)
107
откуда
Р
„ * 100-Юз
F --------------------=------------------- = 216 мм2
2 [°] (1 + cos3 ср) 2-140 (1 + cos3 30°)
Fi = F2 = F — 216 мм2\ F3 =2F = 432 мм2.
Стержни 1 и 2 недогружены:
Р COS2 ср 100-103 COS2300 „ ,
Ст — ап = ---------------— --------------------- = 105 н ММ%.
1 11 2F(1 4- cos3®) 2-216(1 4-cos330°) '
Однако отсюда нельзя делать вывод о возможности уменьшения их се-
чений, так как усилия в стержнях найдены при вполне определенном соот-
ношении их жесткостей, указанном в условиях задачи. Если уменьшить се-
чения боковых стержней, то и усилия в них 'уменьшатся, а в среднем стержне
усилие возрастет. В рассмотренном примере отражена существенная особен-
ность проектного расчета статически неопределимых систем — необхо-
димость соблюдения заранее заданного (или выбранного) соотношения жест-
костей элементов. Как известно, в статически определимых системах можно
выбирать сечение каждого стержня совершенно независимо от сечений ос-
тальных стержней системы.
Пример 2.24. Определить усилия-, возникающие в поперечных сечениях
стержней заданной системы (рис. 2.69, я). Материал и площади поперечных
сечений всех стержней одинаковы.
Решение. Неизвестных усилий пять. Применив метод сечений (рис. 2.69,6)
и рассмотрев условия равновесия узлов (шарниров) А и В, получим, что для
каждого из них можно составить два уравнения статики, т. е. всего четыре
уравнения и, следовательно, число неизвестных на единицу превышает число
108
независимых уравнений статики — система один раз статически неопределима»
Уравнения равновесия дают
= (1)
2^ cos = N3; . (2)
n, = ^5; ' (3)
2V3 4-22V4 cos ф = Р., • (4)
Для составления уравнения перемещений будем рассуждать следующим
образом: если бы средний стержень был абсолютно жестким’ то узлы Л-и В
опустились бы на одну и ту же величину. Стержень 3 растягивается и, следо-
вательно, фактически узел В опустится больше, чем узел А, на величину удли-
нения этого стержня: . . •
Л р = •
cos ф
коэффициенты податливости, получим
^в —
; Построив диаграммы перемещений для узлов А и В (аналогично предьг
дущему примеру), установим связь между перемещениями узлов и удлинения-
ми стержней (см. рис. 2.69, а):
Д/1
М = ;
COS ср
Выразив удлинения через усилия и
> P1JV1 1
Кд=С08?’ в созф
или окончательно уравнение перемещений дает
(5)
учитывая, что =
соэф COS ср 3 3‘
' а
Введя дополнительное обозначение р=-*-----и
EF
р 43
= cos7’ fe = 3p, 34 = cog^ ’ в результате совместного решения урав-
нений (2), ,(4) и (5) получим
. 2Pcos2<p
7 cos3 ср + cos3 ф
4Pcos3<p
М = лг2 =
N3 = „
7 cos3 <р + cos3 ф
P(3.cos3 со 4- соь3ф)
•— 1 1 *11 1 ~ —.... , *
2 (7 cos3 4- cos3 ф) cos ф
§ 2.14. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
Из курса физики известно, что при повышении температуры
линейные размеры тела увеличиваются, а при охлаждении —
уменьшаются. Абсолютная величина удлинения (укорочения)
109
стержня, вызванного изменением его температуры на AZ0, опре-
деляется по формуле
AZz=aZAZ°,
где а — .коэффициент линейного расширения материала стержня,
a Z — его длина.
В случае, если при нагреве (охлаждении) стержня ничто не
препятствует изменению его длины, в нем не возникает никаких
напряжений. Например, при нагревании стержня ВС, поддер-
живающего шарнирно закрепленную одним концом балку
Иное положение в статически неопределимых системах. Если
нагреть стержень ВС статически неопределимой системы, изоб-
раженной на рис. 2.71, то его свободному удлинению, а вместе
с тем и повороту балки (считаем ее абсолютно жесткой) будет
препятствовать стержень DK. В результате в стержне ВС возни-
кает сжимающее усилие, и опускание точки В (Лв) будет мень-
ше, чем свободное температурное удлинение (AZf) стержня. При
этом стержень Di\ будет испытывать растяжение.
В задачах на температурные напряжения особенно важно
четко разграничивать понятия «растяжение» и «удлинение»,
«сжатие» и «укорочение». Так, в рассмотренном примере стер-
жень ВС, хотя и удлиняется, но испытывает при этом
сжатие.
При нагреве бруса, жестко защемленного обоими концами
(рис. 2.72, а), опоры (заделки) препятствуют его свободному
удлинению. В заделках возникают реактивные силы, вызываю-
щие сжатие бруса. При охлаждении такого бруса он, не имея
возможности свободно укорачиваться будет испытывать растя-
жение (рис. 2.72, б).
НО
Таким образом, изменение температуры статически неопре-
делимой системы (или отдельных ее частей) вызывает напряже-
ния в ее элементах (температурные напряжения).
Существует еще один вид напряжений, которые характерны
только для статически неопределимых систем. Это так называе-
мые начальные или монтажные напряжения.
Рис. 2.72
Причиной их возникновения может, в частности, явиться не-
точность изготовления отдельных элементов конструкции.
Пусть, например, стержень ВС в статически неопределимой
системе по рис. 2.73 был изготовлен короче проектного размера
на малую величину 6. При сборке системы придется растянуть
этот стержень и укрепить его на балке. Сокращаясь (в силу сво-
ей упругости), стержень, несколько приподнимет конец балки,
что вызовет сжатие стержня DK. После сборки балка займет
положение, показанное на рис. 2.73 штриховыми линиями. Стер-
жень ВС будет при этом растянут на величину AZBc, меньшую 6.
В статически определимой системе неточность изготовления
ее элементов напряжений не вызывает. Действительно, если
стержень ВС, поддерживающий балку (рис. 2.74), изготовлен
несколько короче, чем требовалось, то для сборки конструкции
достаточно повернуть балку вокруг шарнира А и прикрепить к.
ней стержень. Так как этому повороту ничто не препятствует, то
и напряжений в стержне ВС не возникнет.
Ш
Конечно, речь шла о весьма малых ошибках изготовления
стержней (порядка 1/2000—1/1000 от их длины), при которых
сборка-системы-.(статически неопределимой) вызывает малые
У'П-р у г и е деформации.
< В качестве второго примера возникновения монтажных на-
пряжений укажем прочно-плотные болтовые соединения. Для
обеспечения герметичности соединения частей трубопровода бол-
ты должны быть достаточно сильно затянуты, при этом фланцы
труб будут испытывать сжатие, а сами болты — растяжение. На-
чальными соответствующие напряжения называют потому, что
они возникают в конструкции до приложения к ней рабочих на-
грузок.
Определение температурных и начальных напряжений пока-
зано на следующих примерах.
,|: Пример 2.25. Стальной брус, жестко"защемленный обоими концами в не-
подвижных опорах (рис. 2.75, а), нагревается на Д^=30° по сравнению с тем-
пературой сборки. Построить эпюры продольных сил, нормальных напряже-
ний и перемещений поперечных сечений.
Решение. При нагреве бруса в его заделках возникают реакции На и Нв,
для определения которых статика дает лишь одно уравнение:
SZ = 0; НА~ Нв = (),
или
НА=НВ. (1)
Следовательно, задача статически неопределима.
Дальнейший ход решения аналогичен примеру 2.21: отбрасываем правую
заделку и заменяем ее действие на брус искомой силой реакции Нв =Х. Полу-
ченный таким образом брус (рис. 2.75,6) эквивалентен заданному, и полное
перемещение сечения В (вызванное нагревом— \в( и силой X — бвх) равно
нулю:
У-в = 0,
или
^вг 4- ^вх == °- (2)
Igt = Д^ = a(lr + Z2 4- /з) Ы—температурное удлинение бруса, освобожденно-
го от правой заделки, т. е. имеющего возможность свободно удлиняться.
/ XI1 Х12 ' Х13\
^вх = Мх = — + —zr 4- —- — изменение длины (укороче-
\ EFX EF2 tEF3 J
ние) бруса по рис. 2.75, б от действия только силы X. Знак минус
указывает, что направление перемещения 'Квх противоположно темпе -
рдтурному. Подставляя значения \Bi и ~кВХ в уравнение (2), имеем
( Х1г Х12 Х13 \
а Gi 4~ h 4- /3) №—( 4- 4- — 0. (2а)
\EFi_ EF2 EFZ }
Приняв для стали а = 12,5-Ю-6 ; Е — 2,0-105«/лж2) после подста-
новки-числовых значений в уравнение (2а) получим
112
12,5-10~6 (1000 Ч- 1200 + 1500) — о~ X
2,0-105
. / Х-1000 X-1200 Х-1500 \
Х V 1000 + 500 + 700 / ’
откуда X = 50,1-103«.
Рис. 2.75
Продольная сила во всех сечениях одинакова (рис. 2.75, в):
N = х == 50,1-103« = 50,1 кн. ' - -
Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса (рис. 2.75, а):
50,1-103 г , ,
---------- = 50,1 ням*
1000
50,1-103
—-------— 100,2 н1мм2;
500 '
N
1 F1
N
сп р
г 2
ИЗ
N 50,1-103
сш = ~— = 71,6 н/жж2.
111 F3 700 ,
При построении эпюры % изменение длины каждого из участков бруса оп-
ределяем как алгебраическую сумму свободного температурного удлинения и
укорочения от действия силы X;
X/i
7с = МАС — аНМ— - ;
XZ2
EFZ
+ ^CD =
Величины перемещений, полученные после подстановки числовых данных,
указаны на эпюре Л. (рис. 2.75, д).
Пример 2.26. Весьма жесткая балка шарнирно укреплена в стене и под-
держивается двумя стальными стержнями, как показано на рис. 2.76, а. Стер-
жень 2 нагревается на А/°по сравнению с температурой сборки системы. Опре-
делить допускаемое повышение температуры из условия, чтобы напряжения в
стержнях не превышали [о]=80 н[мм2\ принять а=12,5 • 10-6; £=2,0- 105 н/мм2.
Решение. Как установлено (ом. стр. НО и рис. 2.71), нагрев стержня 2 вы-
зывает появление в нем сжимающего усилия и одновременно растяжение
стержня 1. Применяя метод сечений и рассматривая равновесие приложенных
к балке сил (рис. 2.76,6), получаем
'Етд = 0; — JVi2 + N25 = 0,
или
Х!=2,5Х2. (1)
114
Составлять второе уравнение равновесий (сумма проекций на ось, парал-
лельную силам) не имеет смысла, так как в него войдет реакция VA шарнира А,
определять которую не нужно.
Еще раз подчеркнем, что задача статически неопределима, так как для
плоской системы параллельных сил статика дает два уравнения равновесия, а
неизвестных три: Ni, Л’2 и VА.
Из риС. 2.76, б, на котором штриховыми линиями^условно показано поло-
жение балки после деформации стержней, имеем
Ав — опускание точки В — равно удлинению стержня А
где
~кс— опускание точки С — равно суммарному изменению длины второго
стержня, которое является следствием его нагрева и возникновения в нем сжи-
мающего усилия N2 (рис. 2.76, б), т. е.
Ас = + ДАупр-
Расшифровывая это выражение и учитывая, что усилие N2 сжимающее,
получаем
А
Ас = а/2Дг — ₽27V2j где ₽2 = —
* -С-Г 2
Если предположить, что усилие N2 'растягивающее, то следует слагаемое
р2Лг2 взять со знаком плюс. Решив при указанном предположении задачу до
конца, получим для N2 ответ со знаком минус, это укажет, что фактическое
направление усилия противоположно первоначально принятому.
Подставляя значение А5 и в уравнение (2), получаем
BiAA 2 2 2
= -V-; № = V «А^ - V (2а)
• — Р2Л2 5 5'5
Решая совместно уравнения (1) и (2а), найдем
а12Ы ' 0,4ct/2AZ
N = ------2-------- N =-------,--2------.
1 2,5^ + 0,432
Напряжения в стержнях:
Ni al2&t
= X = (2,5₽1 +0,-432)^ ’
N2 0,4al2&t
, си = X = (2,53г + 0,432)А2 ’
Напряжение в стержне 1 больше, поэтому допускаемое повышение тем-
пературы определим из условия прочности этого стержня
__________«АМ______
“ (2,5₽1 + 0,4₽2)F1
откуда
ГАН _ и (2.53г + 0,4[А)
а/2
1
115
Подставляя числовые значения, получаем
80.400f2,5 -- 2000 + 0,4 .... 3000 . ).
ГА21 • \ 2,0-105.400 2,0-105.800/ „о
ГД/1 =------------------------й-----------------— = 59,7°.
1 J 12,5•10—63000
Пример 2.27. В представленной на рис. 2.77, а системе, состоящей из трех
стальных стержней одинакового поперечного сечения, средний стержень был
изготовлен короче, чем требуется, на малую величину б. Определить напряже-
ния, возникающие в стержнях после сборки системы.
Решение. Очевидно, что после сборки средний стержень будет растянут, а
крайние — сжаты. Вырежем узел А (рис. 2.77,6) и составим для него два
уравнения равновесия:
2(7 = 0; sin ср — N3siri<f> = 0;
^1 = ^3- , (1)
SV = 0; — cos <р 7-;V2 — 7V3 cos у = 0;
или, учитывая (1),
= 2^ cos tp. (2)
Для составления уравнения перемещений изобразим в крупном масштабе
схему деформаций (рис. 2.77, в). После сборки шарнир займет некоторое поло-
жение Ai, промежуточное между А и До. При этом средний стержень окажется
растянутым н.а величину Д(2, а крайние сжаты соответственно на AZi и Д(з-
Узел А поднимется на некоторую величину . Уравнение перемещений будет
иметь вид
+ ^2 — °. (3)
Связь между'иД/i (или Д/з) устанавливаем по диаграмме перемещений
AZi
Лд = ------ ,
COS ср
Как и ранее, заменяем дуговые засечки (которые следовало бы провести
для нахождения положения точки Ai радиусами, равными h — Д/j и /3 — Д(з
116
из центров Си £) -перпендикулярами, опущенными на направления стержней / *
и 3,
Д/, NJ NJ
—'— + AZ2 = 8, или ---------- +-----= 8.
• cos <f> EF cos2 cp EF
Решая совместно .уравнение статики (2) и уравнение перемещений (За),
найдем
(За)
ЪЕР cos2 ш 28Е77 cos3®
N, = No = ---------------1; No =------------------—
1 3 I (1 + 2 cos3 <p) J I (1 + 2 cos3 <p)
Напряжения в стержнях:
N!
а1 — аШ-~ р
ЪЕ cos2<p
Z (1 + 2 cos3 <р)
аП
Пример 2.28. Стальной
весьма жесткими шайбами
Определить, на сколь-
ко оборотов можно за-
тянуть гайку, если шаг
резьбы 5=2 мм, допу-
скаемое напряжение для
болта [о]ст = 80 н!мм2‘,
для трубки [о]д = 60 н]мм2.
Принять £Ст = 2-105 и/ж>и2;
Ед = 0,7 • 105 н!мм2.
Решение. При затяги-
вании гайки трубка будет
сжиматься, а болт — ра-
стягиваться. Применяя
метод сечений и состав-
ляя уравнение равнове-
сия для сил, действую-
щих на оставленную
часть (рис. 2.78,6), по-
лучаем
N2 , 28£ cos3 ср
F Z (1 + 2 cos3 ср)
Рис. 2.78
болт и дюралевая трубка помещены между двумя
(рис. 2.78, а).
Nq — NTp.
Таким образом, задача статически неопределима, так как неизвестных
усилий два, а статика для системы сил, направленных по одной прямой, дает
лишь одно уравнение.
Для составления уравнения перемещений будем рассуждать следующим
образом; при завертывании гайки на i оборотов она переместится на Z=iS.
Так как вначале торец гайки касался шайбы, то это перемещение могло быть
осуществлено только за счет деформаций болта и трубки. Предположим, что
трубка абсолютно жесткая, тогда перемещение гайки будет равно удлинению
болта. Если допустить, что трубка упругая, а болт абсолютно жесткий, то пе-
ремещение гайки будет равно .сжатию (укорочению) трубки. Фактически обе
детали упруги и при затягивании гайки деформируются. Следовательно, пере-
мещение гайки равно сумме-абсолютных величин удлинения болта и укороче-
ния трубки:
А = Z5 = 4- | Д/тр | , или А = iS = ₽б^б + РтрМ-р-
117
Вычислим допускаемые усилия для болта и трубки (для болта не учиты-
ваем влияние резьбы):
3.14-202
[ЛПб = Ист — = 80-^^--------= 25,1-103 «;
[Л^]тр = Ид =60-^(302-222) = 19,6-103 н.
В качестве допускаемого должно быть принято усилие [Л/]тр = 19,6 кн.
Вычисляем коэффициенты податливости болта и трубки:
/ 100
+ =------- =----------------= 1,59-10 6мм1н;
1 E„F6 3,14
2 • 105. — 202
4
I 100
BTD =--------=-------------------------= 4,38-10 6 mm)h.
P -Ед/7™ 3,14 1
д p 0,7-105- -у- (SO2 — 222)
.Определяем допускаемое по условию прочности число оборотов гайки
[ЛЪр(?б + Ртр) 19,6-103(1,59 + 4,38) 1076 ~ гог _
[zl = ------------=-----------------------------= 0,0585 off,
1 J S 2
т. e. допускаемый угол поворота гайки [<р] = 21°06Л.
ГЛАВА IH
НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 3.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
В ТОЧКЕ ТЕЛА
В § 2.6 были даны первичные понятия о напряженном состоя-
нии в точке деформируемого тела и проведено исследование на-
пряженного состояния для точек растянутого (сжатого) бруса.
Здесь, не приводя пока никаких доказательств, рассмотрим ос-,
новные положения общей теории напряженного состояния. На-
помним, что напряженное состояние в данной точке тела харак-
теризуется совокупностью нормальных и касательных напряже-
ний, возникающих на всем бесчисленном множестве различно
ориентированных в пространстве площадок, которые можно про-
вести через эту точку.
Предположим, что в окрестности исследуемой точки выделен
бесконечно малый элемент, имеющий форму прямоугольного па-
раллелепипеда, и напряжения, возникающие на его гранях,
известны. Каждое из этих напряжений может быть разложено
на три составляющих, параллельньпикоординатным осям. Таким
образом, в общем случае на трех исходных площадках
возникают девять составляющих напряжений, показанных на
рис. 3.1, а (напряжения на невидимых гранях элемента не изоб-
ражаем). Правило индексов для напряжений было дано на
стр. 27. Указанные девять величин называют компонентами на-
пряженного состояния в данной точке.
Из условия равновесия выделенного элемента следует, что
составляющие касательных напряжений, возникающих на любых
двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные
к общему ребру этих площадок, равны по абсолютной вели-
чине, т. е.
xy у XI yz ^Zyy *zx xz*
Это положение называют законом парности касательных напря-
жений. Следовательно, из девяти компонентов напряженного со-
стояния независимы лишь шесть.
В некоторых случаях оказывается более удобным выделить
элемент в виде бесконечно малой четырехгранной пирамиды
119
(тетраэдра), как показано на рис. 3.1,5. Три грани пирамиды,
совпадающие с координатными плоскостями, — это исходные
п лрщ адм, а четвертую грань (площадку) проводят произволь-
но, и возникающие на ней напряжения определяют из трех урав-
нений равновесия, составленных для тетраэдра.
. Итак,-первое положение теории напряженного состояния мо-
жет быть, сформулировано следующим образом: напряженное
состояние в точке тела задано, если известны напряжения на
любых трех проходящих через нее взаимно перпендикулярных
площадках, т. е., зная исходные напряжения, можно найти на-
пряжения по произвольной площадке, проходящей через иссле-
дуемую точку.
Рис. 3.1
Имея зависимости, позволяющие найти напряжения по любой
площадке, далее исследуют вопрос о наибольших нормальных
и наибольших касательных напряжениях для рассматриваемой
точки.
Среди бесчисленного множества площадок, которые можно
провести-через исследуемую точку, имеются три взаимно перпен-
дикулярные площадки, касательные напряжения на которых от-
сутствуют. Эти площадки и возникающие на них нормальные на-
пряжения называют главными..
Главные напряжения обозначают c?i; оу, при этом индексы
расставляют лишь после того, как эти напряжения вычислены,
так, чтобы выполнялись алгебраические неравенства щ Д сгз-
Для данной точки тела — наибольшее (в алгебраическом
смысле), а оз— наименьшее напряжение. Как обычно, напряже-
ния растяжения считают положительными. О напряжении о2 го-
ворят, что это промежуточное главное напря-
жение.
В частных случаях, когда два (или все три) главных напря-
жения равны между собой, число главных площадок бесконечно
велико. Итак, в общем случде главных площадок три, в частных
120
случаях их бесконечно много. Никакие промежуточные варианты
невозможны.
Если главные напряжения в данной точке известны (заданы
или определены), то наиболее удобно принять их за исходные.
Классификацию видов напряженного состояния ведут по глав-
ным напряжениям. - -
Если все три главных напряжения отличны от нуля, напря-
женное состояние называют объемным,- пространственным или
трехосным. В случае, если
одно из главных напряже-
ний равно нулю, напряжен-
ное состояние называют
плоским или двухосным; и,
наконец, если лишь одно ив
главных напряжений отлич-
но от нуля, напряженное со-
стояние линейное или одно-
осное. Элементы, выделен-
ные главными площадками,
для различных частных слу-
чаев напряженного состоя-
Рис. 3.2 Рис. 3.3
ния показаны на рис. 3.2: а — трехосное растяжение; б—трехос-
ное сжатие; в — трехосное смешанное напряженное состояние;
г— двухосное растяжение; д — двухосное сжатие; е — частный
случай двухосного смешанного напряженного состояния — чис-
тый сдвиг; ж — одноосное растяжение; з—одноосное сжатие.
Площадки, свободные от напряжений, так называемые нуле-
вые главные площадки, покрыты точками.
Максимальное для данной точки тела касательное, напряже-
ние Тщах возникает на площадке, параллельной вектору 02 и де-
лящей пополам прямой угол между площадками действия di
и о3. Это напряжение равно полуразности максимального и ми-
нимального главных напряжений:
- _ ст1~ стз
стах —
(3.1)
2
121
'Площадка, на которой возникает напряжение ттах, отмечена
на рис. 3.3 штриховкой. На площадке, перпендикулярной отме-
ченной (для того что-бы не усложнять чертеж, эта вторая пло-
щадка не показана), возникает такое же по величине касатель-
ное напряжение.
§ 3.2. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ПРИ ИЗВЕСТНЫХ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
В предыдущем параграфе было указано, что для исследования
напряженного состояния должны быть известны напряжения на
любых трех взаимно перпендикулярных площадках, прохо-
дящих через данную точку. Математическая сторона такого ис-
следования наиболее проста, когда исходные напряжения,
т. е. напряжения, известные в начале исследования, — главные.
Один из таких случаев рассмотрен в § 2.6 — исследование на-
пряженного состояния в точках растянутого (сжатого) бруса
было проведено по известным главным напряжениям. Это обстоя-
тельство ранее не подчеркивалось лишь потому, что понятие о
главных напряжениях введено позднее — Кри изучении мате-
риала главы II в нем не было необходимости.
Для любой точки растянутого (сжатого) бруса одна из глав-
ных площадок совпадает с его поперечным сечением, а нулевые
главные площадки (их бесчисленное множество) совпадают с
продольными сечениями. Напряжение, возникающее в поперечном
сечении бруса при его растяжении, — это главное напряжение пр,
при сжатии — (т3.
122
Рис. 3.6
При исследовании напряженного состояния в стенках раз-
личных резервуаров исходные напряжения также
главные. Например, при расчете тонкостенного цилиндричес-
кого сосуда, находящегося под действием внутреннего давления
газа или жидкости, в первую очередь определяют напряжения
по площадкам продольного и поперечного сечений сосуда
(рис. 3.4). На этих 'площадках нет касательных напряжений,
т. е. это главные площадки. В точках стенки возникает
двухосное растяжение.
Тело кубической формы, вложенное в точно соответствующее
ему углубление в массивной детали и нагруженное силами, пер-
пендикулярными горизон-
тальной грани (рис. 3.5),
не может деформировать-
ся в направлениях осей х
и у и в результате испы-
тывает трехосное сжатие.
Для любой точки тела
площадки, перпендику-
лярные координатным
осям, — главные;- в § 3.4
будет показано, как опре-
делить соответствующие
напряжения.
Приведенные приме-
ры показывают, что постановка задачи об исследовании напря-
женного состояния при и с х о д н ых г л а (В и ы х .напряжен и-
ях имеет не только теоретическое, но и большое практическое
значение.
Предположим, что в окрестности некоторой точки тела выде-
лен элемент, грани которого совпадают с главными площадками
(рис. 3.6, а); напряжения о2, п3 на этих гранях известны. Ог-
раничимся определением нормальных и касательных напряже-
ний для серии площадок, параллельных одному из главных на-
пряжений. Серией, или семейством, площадок называют
совокупность бесчисленного множества площадок, параллель-
ных одной и той же оси, или, что то же самое, перпендикулярных
к одной и той же плоскости.
Рассечем элемент произвольной плоскостью, параллельной
вектору Оз (см. рис. 3.6, а), и и'з уравнений равновесия, состав-
ленных для отсеченной трехгранной призмы (рис. 3.6, б), опре-
делим напряжения, возникающие на наклонной площадке. Обоз-
начив dF площадь указанной площадки и спроектировав все
силы, действующие на выделенную призму, на оси v и t (см. так-
же § 2.6), получим
0; Va.dF— (a^/^cos a) cos а — (a^/^sin а) sin а = 0,
123
откуда
^a = ^iCOS2 а 4-^2 sin2 а; (3.2)
Елр.^ = 0; ^dF— (a^Fcos а) sin a 4~(ay//7Sin а) cos а = О,
откуда
Ta = (a! — о2) sin aeos а,
Или
та = '?1 g2 sin 2а. (3.3)
Формулы (3.2), (3.3) можно также получить, использовав зависимости
для определения са и та при одноосном растяжении (см. § 2.6). Определив
напряжения на наклонной площадке отдельно от растяжения элемента в го-
ризонтальном и в вертикальном направлениях и на основе принципа незави-
симости действия сил просуммировав результаты, получим указанные фор-
мулы
Проанализируем полученные результаты. В первую очередь
отметим, что напряжения, возникающие на площадках рассма-
триваемой серии, не зависят от главного напряжения, парал-
лельного этим площадкам (в рассматриваемом случае — от сгз) -
Этот результат вполне понятен и очевиден — ведь вектор напря-
жения оз перпендикулярен к плоскости, в которой лежат оси
проекций и, следовательно, проектируется на каждую из них в
точку, т. е. не входит в уравнения равновесия.
Воспользовавшись известными формулами тригонометрии
взамен формулы (3.2) получим
' ~-5-cos 2а.
2 2’
Очевидно, наибольшее значение будет при а=0°:
тахая=а1
и минимальное — при а = 90°:
min ая=<52.
Следовательно, наибольшее и наименьшее нормальные на-
пряжения для рассматриваемой серии площадок — это главные
напряжения.
Пользуясь формулой (3.3), легко получить подтверждение
закона парности касательных напряжений для исследуемого
частного случая. Действительно,
sin 2а =—sin 2 (а Ц-90°)
124
И; следовательно,
~ , Иа [ ---- | ^а.-|-90о I •
Из этой же фо,р,мулы следует, что наибольшее для данной се-
рии площадок, касательное напряжение возникает на площадке,
нормаль к которой составляет угол 45° (.или 135°) с направле-
нием О], -
m ах =Tj 2=—,
Формулы (3.2), (3.3), конечно, справедливы (при соответ-
ствующей замене индексов) для любой из трех серий площадок,
каждая из которых параллельна одному из главных напряже-
ний. Для каждой из этих серий, площадок есть свое наибольшее
касательное напряжение:
\
т12= qi~~g2- (для площадок, параллельных а3);
т23= 5з-~ g3 (для площадок, параллельных
т13= -^ТД3, (для площадок, параллельных а2);
Вспоминая правило индексов, согласно которому од >о2 >а3,
заключаем что из трех, так сказать, частных максимумов т наи-
большим, т. е. действительно максимальным для данной точки
тела, оказывается пз-
Изложенное доказательство, хотя и приводит к верному результату, не
совсем строго. Действительно, исследование относилось лишь к площадкам,
параллельным главным напряжениям, а на остальных площадках (как гово-
рят, площадках общего положения) напряжения не определялись, т. е. не по-
казано, что ни на одной из них не возникает напряжения, большего чем т^.
Строгое доказательство см., например [4, 38, 44, 46, 61]. >
Сделаем еще один вывод из формулы (3.3): в частном случае
при 01 = 02 ни-на одной площадке исследуемой серии не возни-
кает касательных напряжений, т. е. все площадки этой серии
главные. Если все три главных напряжения равны между со-
бой: О1 = О2 = Оз, то для данной точки тела любая проходящая
через нее площадка главная.
Понятие о напряженном состоянии введено выдающимся французским
математиком и механиком, одним из основоположников математической тео-
рии упругости Огюстэном Луи Коши (1789—1857). Он же впервые устано-
вил закон парности касательных напряжений, изложив его в работе, представ-
ленной Академии наук в 1822 г. -
Пример 3.1. Для напряженного состояния, заданного главными напряже-
ниями (рис. 3.7, а), определить максимальное касательное напряжение и ука-
зать площадку, на которой оно возникает.
Решение. Из заданных главных напряжений наибольшее (в алгебраиче-
ском смысле) равно 90 н/мм"2-, его .следует обозначить щ. Наименьшее, кото-
125
рое надо обозначить Оз, равно — 120 н[мм2. Промежуточное главное напря-
жение о2=70 н!мм2.
По формуле (3.1) находим
а1 — °з 90 — (—120)
-----~---------2-----~ н^мм2-
тшах Из 2
Площадка, на которой возникает это напряжение, параллельна векто-
ру с2 и делит пополам угол между площадками действия Qi и аз- Таких
площадок две (рис. 3.7 б); в си-
Рис. 3.7
лу закона парности касательные
напряжения, возникающие на них,
одинаковы по абсолютной величи-
не. Считать ли их одинаковыми
или противоположными по знаку,
целиком зависит от принятого пра-
вила знаков для касательных на-
пряжений. Этот вопрос не пред-
ставляет интереса для рассматри-
ваемых здесь задач и никако-
го правила знаков для т не
вводим.
§ 3.3. ЧИСТЫЙ сдвиг
Рассмотрим частный случай плоского напряженного со-
стояния, для которого отличные от нуля главные напряжения
равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 3.8, а).
Такое напряженное состояние носит название чистый сдвиг (про-
исхождение этого названия разъяснено несколько ниже). Мак-
симальное главное напряжение следует обозначить oi, мини-
мальное— оз; по условию, од =—03; промежуточное главное
напряжение 02=0.
На рис. 3.8, б показана проекция элемента на плоскость, сов-
падающую с нулевой главной площадкой (отмечена на рис. 3.8, а
точками). Для серии площадок, перпендикулярных плоскости
чертежа, на основании формул (3.2), (3.3) и условия от = —оз
имеем
126
att = a1 cos2 a.4-o3 sin2a = a1 cos2a — ax sin2 a,
ИЛИ e
aa=a1cos2a; (3.4)
та = -1-- °3 sin 2a = 01 ~ -~--1 - sin 2a,
2 2
или
sin 2a. ' (3.5)
Максимальное для исследуемой серии площадок касательное
напряжение определим, положив в формуле (3.5) а = 45°,
тахта^сгр
Это напряжение максимально для данной точки тела, а не толь-
ко для исследуемой серии площадок, так как эти площадки па-
раллельны вектору 02 (см. стр. 425).
Итак, при чистом сдвиге
T13=zTinax:::=::<3i= аз« (3.6)
Подставив в формулу (3.4) а = 45° .(или ос = 135°), обнару-
жим, что
c3a=450 = aa = 135° = 0>
т. е. на площадках действия максимальных касательных напря-
жений нормальные напряжения отсутствуют; эти площадки, ко-
торые иногда называют площадками чистого сдвига,
показаны на рис. 3.8,6.
Чистый-сдвиг — единственный случай плоского напряженно-
го состояния, при котором через точку можно провести две вза-
имно перпендикулярные площадки с не равными нулю касатель-
ными напряжениями, но свободные от нормальных напряжений.
Итак, наряду с определением чистый сдвиг — это частный
случай плоского напряженного состояния, при котором не рае--
ные нулю главные напряжения равны по абсолютной величине
а противоположны по знаку, — возможно и другое определение,
вытекающее из проведенного исследования. Чистым сдвигом на-
зывают такое плоское напряженное состояние, при котором в
окрестности данной точки можно выделить элемент таким обра-
зом, чтобы на четырех его гранях были только равные между со-
бой касательные напряжения, а остальные две грани были от
напряжений свободны. Это последнее определение можно рас-
сматривать как объяснение названия, принятого для данного на-
пряженного состояния.
В качестве примера, иллюстрирующего возникновение чисто-
го сдвига при деформации элемента конструкции, имеющего фор-
му ^прямого бруса, рассмотрим кручение тонкостенной трубы
(рис. 3.9,а). Из условия равновесия отсеченной части трубы,
127
изображенной отдельно-на рис. 3.9,6, следует, что в поперечном
сечении (любом) возникает лишь один внутренний силовой фак-
тор—крутящий мометМг, численно равный внешнему моменту tn.
В поперечном сечении трубы возникают касательные напряжения,
так как только касательные силы дают момент относительно про-
дольной оси (г) бруса. Без большой погрешности можно принять,
учитывая тонкостенность трубы, что по толщине стенки напря-
жения распределены равномерно. Совершенно очевидно, что
Рис. 3.9
все точки трубы, расположенные на любой прямой, параллель-
ной оси z, находятся в одинаковых условиях. Таким образом, во
всех точках трубы напряженное состояние одинаково — однород-
ное напряженное состояние. Это обстоятельство повышает на-
дежность и точность экспериментального исследования, поэтому
опытное изучение чистого сдвига проводят путем испытания на
кручение тонкостенных трубчатых образцов.
Убедимся, что напряженное состояние в любой точке тру-
бы— действительно чистый сдвиг.
Двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на
расстоянии dz, и двумя радиальными сечениями ,угол между ко-
торыми dty, вырежем из стенки трубы бесконечно малый элемент
(см. рис. 3.9, а). Он изображен отдельно на рис. 3.10 слева.
128
В силу бесконечной малости элемента можно рассматривать его
как прямоугольный параллелепипед с ребрами, равными dz, Ь
и 0,5£> • dip. На площадках, соответствующих поперечным сече-
ниям, как было установлено, возникают касательные напряже-
ния т. Соответствующие им внутренние силы образуют пару. При
действии только этих напряжений равновесие элемента не обес-
печено, следовательно, на гранях параллелепипеда, совпадающих
с продольными (радиальными) сечениями трубы, также должны
возникнуть внутренние касательные силы (напряжения т'). Они
образуют пару, момент которой уравновешивает момент сил,
действующих по площадкам поперечных сечений. Остальные две
грани элемента от напряжений свободны, так как они принадле-
жат наружной и внутренней поверхностям трубы, к которым ни-
каких сил не приложено. Итак, на четырех гранях выделенного
элемента есть только касательные напряжения, а две грани от
напряжений свободны, что соответствует второму определению
понятия «чистый сдвиг» (см. стр. 427).
Запишем условие равновесия выделенного элемента, учиты-
вая, что напряжения т действуют по площади 6 -0,5Р • dip, а на-
пряжения х'— по площади Ь-dz и плечи соответствующих пар
сил равны dz и 0,5Z) • dip:
(т • 8 • 0,5Z) • t/ф) dz=(т'8 • dz} 0,5D • dtp,
откуда
Этот результат не содержит ничего нового: составив и решив
уравнение равновесия, мы просто иначе, чем ранее, доказали за-
кон парности касательных напряжений. Достоинство этого дока-
зательства состоит в том, что при рассмотрении условия равно-’
весия элемента становится особенно ясным, что парные каса-
тельные напряжения направлены оба одновременно либо к реб-
’5-1451
123
ру, либо от ребра пересечения площадок, на которых они возни-
кают (см. также рис. 2.33).
Рассмотрим теперь вопрос о деформации сдвига. Изобразим
"элемент выделенный площадками чистого сдвига, в ортогональ-
ной проекции на плоскость, параллельную свободной от напря-
. жений грани (рис. 3.11). Учитывая, что нас интересуют дефор-
мации элемента, а не его перемещения, как твердого тела, бу-
„дем считать одну из граней неподвижной. В результате дефор-
мации элемент примет форму,
показанную на рис. 3.11 штри-
ховыми линиями. Мерой де-
формации сдвига служит изме-
нение первоначально прямого
угла между гранями элемента,
называемое углом сдвига и
обозначаемое у. Угол сдвига
измеряется в радианах.
В известных пределах, за-
висящих от свойств материала,
между углом сдвига и. соот-
ветствующим касательным на-
пропорциальность — закон Гука
пряжением существует прямая
при сдвиге. Математическая запись этого закона имеет вид
(3.7)
Здесь G — упругая постоянная материала, характеризующая
его жесткость при деформации сдвига и называемая моду-
лем сдвига или модулем упругости второго рода. Очевидно, раз-
мерность модуля сдвига та же, что и напряжения.
Можно доказать (см. стр. Г35), что для изотропного тела
между тремя упругими постоянными — модулем продольной
упругости (£), коэффициентом Пуассона (р.) и модулем сдви-
га (G)—существует следующая зависимость:
Как известно, величина коэффициента Пуассона лежит в
пределах 0 О<0,5 (см. стр. 411), следовательно, величина мо-
дуля сдвига составляет 0,33-4-0,5 от величины модуля продольной
упругости. Для многих металлов и сплавов, в частности для
стали, G~0,4£. В среднем для стали G = 8,0«104 н/мм2.
& Определим энергию деформации при чистом сдвиге. Сила,
•действующая по горизонтальной грани элемента (см. рис. 3.11),
равна T'dz-dx, где dx— размер элемента в направлении, пер-
пендикулярном плоскости чертежа. Эта сила совершает работу
130
на перемещении dS=ydy. Здесь в силу малости деформации,
принято tgy~y. Рассматривая случай статического нагружения
и применяя теорему Клапейрона (см. стр. 60), получаем сле-
дующее выражение для энергии, накапливаемой в элементарном
параллелепипеде:
dU X’dz-dx-^dy
Удельную энергию деформации найдем,, разделив выражение
для dU на объем элемента dV=dx • dy • dz,
__ dU__x-dz’dx'^dy_x-j
dV 2dx-dy-dz 2
Учитывая, что, по закону Гука, у==-^~, окончательно
G
получаем
«=^-. (3.9)
2G
Эта формула аналогична выражению (2.20), определяющему
величину удельной энергии деформации при одноосном (линей-
ном) напряженном состоянии. %
§ 3.4. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
Установим общие зависимости между нормальными напря-
жениями и линейными деформациями в направлениях .этих на-
пряжений,- пригодные для любого напряженного состояния. Рас-
смотрим бесконечно малый элемент,
имеющий форму прямоугольного па-
раллелепипеда; предложим, что на гра-
нях элемента возникают напряжения
растяжения gx, ву, gz (рис. 3.12).
Воспользуемся принципом незави-
симости Действия сил. На рис. 3.13, а
изображен элемент, находящийся
только под действием напряжений gx,
а на рис. 3.13, б и в — только под дейс-
твием соответственно оу и сь. Там же
показаны деформации элемента для
каждого из этих трех случаев.
При действии только напряже-
ний gx элемент получит относительное
удлинение в направлении оси х, равное
(по закону Гука>
~Ё ‘
5*
131
Одновременно его размеры вдоль осей у и г уменьшатся,
при этом соответствующие линейные деформации будут равны
(см. стр. 41),
Аналогично определяются деформации и при действии толь-
ко Gy или только gz- Представим эти результаты в виде следую-
щей таблицы:
Деформации в направлениях осей
Напряжение X У «г
Только Е °х ~^~Е а. 1
°У Sy
» Е
°z °z ' *z
» az -^~Е Е‘
Для определения деформации, например в направлении
оси х, при совместном действии всех трех напряжений достаточно
просуммировать данные соответствующего столбца таблицы.
В результате получаем
ех=“ К-P-(s + ^)]’
£ z
ev=-- [°? - p-(ax+^)l;
(3.10)
£
132
Зависимости (3.10) являются математическим выражением
обобщенного закона Гука.
Напряжения ох,оу, oz следует подставлять в формулы (3.10)
со своими знаками, причем, как обычно, напряжения растяже-
ния считаем положительными.
• Конечно, при двухосном растяжении (сжатии) остаются в
силе эти же зависимости; они лишь несколько упрощаются, так
как одно из напряжений равно нулю.
Следует заметить, что если бы по граням элемента, кроме
нормальных, действовали бы и касательные напряжения, вели-
's чины линейных деформаций не изменились бы и зависимости
(3.10) остались бы в силе.
Формулы, выражающие обобщенный закон Гука, были уста-
новлены для бесконечно малого элемента, но в случаях, анало-
гичных представленному на рис. 3.5, их можно применять к телу
в целом, так как его напряженное состояние однородно,
т. е. одинаково во всех точках.
Выведем зависимость для определения относительного изме-
нения объема рассмотренного элемента (см. рис. 3.12). Пусть
до деформации длины его ребер были равны dx, dy, dz. Абсолют-
ные удлинения (укорочения) каждого из ребер:
Д (dx) = $xdx; A (dy) — bydy’, A (dz) s2dz.
Объем элемента до деформации
Vw—dxdydz,
то же после деформации
Кон = [dx -ф A (dx)] [dy -j- A (dy)] [dz -j- A (dz)} =
=dx(\-\-zx)dy (14-sy)dz (1-j-sz). •
Относительное изменение объема (объемная деформация)
о Ксон — Инач dx (1 + гх) dy (1 + еу) dz (1 + ez) — dxdydz
□ =-----------=------------------------—---—---—•— =
dxdydz
= (1-j-еЛ) (1-j-sy) (1-j-s^,) — 1.
Пренебрегая произведениями ex&y и т. п., как малыми выс-
шего порядка, получаем
. (З.И)
Объемная деформация равна сумме линейных деформаций
в трех взаимно перпендикулярных направлениях.
Подставляя в (3.11) значения еЛ,- е , ег по (3.10), получаем
® = ~^Г Iх + + [ау~Р-(ах + а.г)] +
133
+ [°z- I1 (сх + °у)Ь
с
или окончательно
(3.12)
Г.
Предположим, что все три напряжения положительны "(рас-
тягивающие). Совершенно очевидно, что при растяжении объем
элемента (или тела) уменьшиться не может, т. е. 0>О. Следова-
тельно, 1—2 или р.<0,5.
Таким образом, на основе обобщенного закона Гука и прос-
тейших физических соображений установлено максимальное зна-
чение коэффициента Пуассона, совпадающее с приведенными
выше (см. стр. 41) экспериментальными данными.
Иногда формулу (3.12) представляют в виде
s (3..13)
где <зСред =ал + у+- z , т. е. среднее арифметическое трех
действующих напряжений, а
Коэффициент К называют объемным модулем упругости.
Удельная .энергия деформации при трехосном растяжении
(сжатии) определяется из выражения
11=-^ 4-^-+-^- , (3.15)
составленного по аналогии с формулой для случая одноосного
растяжения (см. стр. 6£).
Каждая ^из. линейных деформаций, входящих в форму-
лу (3.15), представляет собой результат совместного действия
всех трех напряжений. Следовательно, эта формула получена не
на основе принципа независимости - действия сил, который к
определению энергии деформации и работы внешних сил вообще
неприменим.
Формулы (3.10), (3.12) применимы независимо от того, ка-
кими площадками (главными или произвольными) выделен
элемент. Формула (3.15) верна лишь при условии, что элемент
выделен главными площадками; чтобы подчеркнуть это обстоя-
тельство, напряжения и деформации обозначены <гь о2, о3 и 81, е2?
е3, взамен ах, а , az и еЛ, sy, sz. Линейные деформации ег и т. д.
в направлениях главных напряжений называют главными,
деформациями.
134
Подставляя в (3.15) выражения деформаций из (3.10), после1
несложных преобразований получаем
#==?.. [gi g2 4~ °з— (o^lO^ —1—<з2а3 —<33<3i)J. (3.16)
- 2Е
& Приведем вывод формулы (3.8), определяющей зависи-
мость между тремя упругими постоянными для изотропного
тела.
Удельная энергия деформации для данной точки тела,
естественно, не зависит от то-
го, какими площадками выде-
лен в окрестности этой точки
элементарный объем. Выделяя
при чистом сдвиге этот элемент
площадками, на которых воз-
никают экстремальные каса-
тельные напряжения ттах = т
(см. рис. 3.8,6), имеем [см.
формулу (3.9)].
Для элемента, ограниченно- Рис. 3.14
го главными площадками (на
рис. 3.8,6 один элемент показан внутри другого), пользуясь вы-
ражением (3.16), получаем (при <у2 = 0)
w = [о? + 4 — 2р (а1С;3)],
или, учитывая, что при чистом сдвиге
<31 = 3g = Tmax = Т,
име#м
«=-~(^+’2+2рт2)=^-(1 + |ь). (б).
Приравнивая правые части выражений (а) и (б), имеем
—=—(1-Ы;
2G Е V 1
отсюда получаем данную ранее без вывода формулу
~ Е .
G =-------. #
2(1+^)
Пример 3.2. Дюралевый кубик свободно, но без зазоров вставлен в про-
резь массивной детали (рис. 3.14), которую можно считать абсолютно жест-
кой. По верхней грани кубик нагружен равномерно распределенными силами
интенсивностью р=60 н!мм2.
135
Определить давление кубика на стенки детали; относительное изменение
его объема; максимальное касательное напряжение, возникающее в некоторой
точке кубика, и удельную энергию деформации. Для материала кубика
£=0,7- 105 н/мм2; ц=*0,36.
Решение. Так как деталь, в которую вставлен кубик, абсолютно жесткая,
то бу=0. Из этого условия, учитывая, что Gz ——р и Gx =0 (в направлении
оси х деформации кубика ничто не препятствует) и применяя обобщенный
закон Гука, имеем
е =—-(су —[ла2) = 0,
л Е ’
откуда
Оу = = — [Лр — — 0,36-60 = — 21,6 н1мм2.
Обобщенный закон Гука применяем к кубику в целом, так как его напря-
женное состояние однородно. Давление кубика на стенки детали численно
равно напряжению Gy-
По формуле (3.12) имеем
е = (°у + =г) = - v) = - ------ 0(1 + р) =
Е Е Е
----2‘0->3--- 60(1 +0,36) = -32,6-10“5.
0,7-105
Грани кубика — главные площадки; самое большое в алгебраическом смыс-
ле главное напряжение равно нулю o>i = <yx=0. Остальные два глав-ных напря-
жения отрицательны:
°2 = Оу = — рр; а3 = zz = — р.
Максимальное касательное напряжение по формуле (3.1)
°1 — °3
Ttnax
Р 60
— = — = 30 нмм1
2 2
Это напряжение возникает на диагональной плоскости кубика, перпенди-
кулярной к стенке детали, т. е. параллельной вектору 02-
Удельная потенциальная энергия деформации по формуле (3.16)
и = —— (з| + а|
2Е 2 6
- 2ра2а3) = [(рр)2 + р2 _ 2щрр] =
2с
-^-(1 _р2) = 2~0 у -Q-(! — О,362) = 0,0224 н/мм2 = 22,4-103 дж1м^.
136
Пример 3.3. Весьма жесткая обойма состоит, из двух половиц, скреплен-
ных шестью болтами. В обойме прессуется пластмасса {рис. 3.15|, коэффи-
циент Пуассона которой ц=0,4. Сила, сжимающая пластмассовую призму
вдоль оси обоймы, Р=100 кн. Определить требуемый диаметр болтов, пре-
небрегая деформацией обоймы и самих болтов. Допускаемое напряжение на
растяжение для болтов [ор]=75 н!мм2.
Решение. При сжатии бруса размеры его поперечного сечения увеличива-
ются; в данном случае этому увеличению препятствуют стенки формы
(обоймы).
Прессуемое изделие находится в однородном напряженном состоянии,
поэтому обобщенный закон Гука можно применить к брусу в целом.
В силу принятого допущения о недеформируемости обоймы и болтов за-
ключаем, что деформации в направлениях осей х и у (sx и еу) равны нулю.
Напряжения по указанным направлениям подлежат определению.
Напряжение в поперечном сечении прессуемой призмы
Р
GZ — --- ---
z cfi
100-1Оз
5002
= — 0,4 н]мм2.
Применяя обобщенный закон Гука и учитывая, что в силу симметрии
.получаем
£у — £ [ау — P- (ax + az)J— £ [—P-az + (1—(Л)]=0,
137
откуда
u.az 0,4‘0 >4 „„„
av =------ = —-----------= — 0,267 н)мм2.
\ 1 — р. 1—0,4 1
Давление на верхней и нижней гранях прессуемой призмы численно равно
найденному напряжению . Полное усилие, действующее на болты,
Qy = | | aL = 0,267-500-800 = 10,68-Ю4 н.
Нагрузка на один болт
Qv 10,68-104
Аб = ~’ =--------—- — 17,8-Ю3 н.
i 6
Требуемая по условию прочности площадь поперечного сечения болта
(по внутреннему диаметру резьбы)
Аб 17,8-103 -
F > ——— =-------—---- = 237,5 мм2.
Ьр] 75
По справочнику подбираем болты с резьбой М22, имеющие расчетную
площадь сечения 282 мм2.
Пример 3.4. Определить величину силы Р, растягивающей стальной обра-
зец, если показание (Atz) тензометра с коэффициентом увеличения 6=1000 и
базой а = 20 мм, установленного под углом а=30° к оси образца (рис. 3.16, а),
Ла = 7 мм. Принять £=2,1 • 105 н/мм2-, ц=0,28.
Решение. Вычислим деформацию (еа ) образца в направлении базы тензо-
метра:
Ц.1П-4
ak 20-1000
Рис. 3.16
Эта деформация может быть выражена на основе обобщенного закона
Гука через напряжения оа и <Уа+9о° (бесконечно малый элемент, соответ-
ствующий точке А, показан на рис. 3.16, б) следующим образом:
1 . ч .
-^«+90° )• <а.
138
По формуле (2.21)
сга = cos2 а; аа+90о = с*052 (а + 90°) — ог sin2 а.
где о2-— напряжение в поперечном сечении образца.
Подставляя в (а) значения^ и оа+90о .получаем
£“ = ~е" (cos2 а — sin2
откуда
£а£
ч 3,5-10-4-2,1-105 <ло t п
а, = --------------= ------------------------— = 108 н мА.
‘ cos2a — р. sin2 a cos2 30° — 0,28 sin2 30°
Сила, растягивающая образец,
Р = vzF = 108-10-40 = 43,2- 10з н.
ГЛАВА IV
ПРАКТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ НА СРЕЗ И СМЯТИЕ
§ 4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ.
Детали, служащие для соединения отдельных элементов ма-
шин или строительных конструкций, — заклепки, штифты, болты
и т. п. — во многих случаях воспринимают нагрузки, перпенди-
кулярные к их продольной оси.
Рис. 4' 1
' Поперечная нагрузка указанных деталей возникает при растя-
жении (сжатии) соединяемых элементов. Соответствующие
примеры приведены на рис. 4.1, где даны на а — штифт, б — за-
клепка, в — болт, поставленный без зазора, г — шпонка. Такой
же характер нагружения соединительных деталей зачастую имеет
место и при передаче вращающего момента, например, в пока-
занном на рис. 4.2 соединении шестерни с валом с помощью
штифта. Последний при передаче момента от шестерни к валу
(или наоборот) несет нагрузку, перпендикулярную его оси.
140
Действительные условия работы рассматриваемых деталей
весьма сложны и во многом зависят от технологии изготовления
отдельных элементов конструкции и ее сборки. Практические
расчеты этих деталей носят весьма условный характер и бази-
руются на следующих основных допущениях:
1) в поперечном сечении возникает только один внутренний
силовой фактор — поперечная сила Q;
2) касательные напряжения, возникающие в поперечном се-
чении, распределены по его площади равномерно;
Рис. 4.2
3) в случае, если соединение осуществлено несколькими оди-
наковыми деталями (болтами и т. п.), принимается, что все они
нагружены одинаково.
Разрушение соединительных элементов (в случае недостаточ-
ной прочности) происходит в результате их перерезывания по
плоскости, совпадающей с поверхностью соприкосновения соеди-
няемых деталей (рис. 4.3). Поэтому говорят, что эти элементы
работают на срез, и возникающие в их поперечном сечении каса-
тельные напряжения также называют напряжениями среза и
обозначают т®₽.
На основе сформулированных выше допущений получаем
следующую расчетную формулу (условие прочности при расчете
на срез):
= (4.1)
* СР
где тср — рабочее (расчетное) напряжение среза, возникающее
в поперечном сечении рассчитываемой детали;
Q — поперечная сила; при нескольких одинаковых соеди-
Р
нительных деталях Q=—; здесь Р — общая нагрузка
соединения, i — число болтов (заклепок и т. п.); х-
Fcp — площадь среза одного болта (заклепки и т. п.);
141
[т ] — допускаемое напряжение на срез, зависящее от ма-
териала соединительных элементов и условий работы
конструкции.
В машиностроении при расчете штифтов, болтов, шпонок
и т .п. принимают
“ [тср] = (0,25 н-0,35) от,
где-ат — предел текучести материала штифта и т. п.
Меньшие значения принимают при невысокой точности опре-
деления действующих нагрузок и возможности не строго стати-
ческого нагружения. .
Формула (4.1) является зависимостью для проверочного рас-
чета‘соединения. В зависимости от постановки задачи она может
быть преобразована для определения допускаемой нагрузки или
требуемой площади сечения (проектный расчет).
Расчет на срез обеспечивает прочность соединительных эле-
ментов, но не гарантирует надежность конструкции (узла) в це-
лом. Если толщина соединяемых элементов недостаточна, то дав,-
ления, возникающие между стенками их отверстий и соедини-
тельными деталями, получаются недопустимо большими. В ре-
зультате стенки отверстий обминаются и соединение расстраи-
вается. В случае, если изменение формы отверстия значительно
(при больших давлениях), а расстояние от его центра до края
элемента невелико, часть элемента может выколоться, ^ак схе-
матически показано на рис. 4.4.
Давления, возникающие между поверхностями отверстий и
соединительных деталей, принято называть напряжениями смя-
тия и обозначать аСм- Соответственно расчет, обеспечивающий
отсутствие значительных деформаций стенок отверстий, назы-
вается расчетом на смятие. Распределение напряжений'
•смятия по поверхности контакта деталей весьма неопределенно
и в значительной степени зависит от наличия Зазора (в ненагру-
женном состоянии) между стенками отверстия и болтам (заклеп-
кой и т. п.).
Расчет на смятие носит условный характер и ведется в пред-
положении, что силы взаимодействия между деталями равномер-
но распределены по поверхности контакта и ро всех точках
нормальны к этой поверхности. Соответствующая расчетная фор-
мула имеет вид
3 <[«]. (4.2)
СМ . jn и СМJ \ /
см
р
Здесь------нагрузка на одну соединительную деталь;
t
FCM— расчетная площадь смятия;
[<зсм]— допускаемое напряжение на смятие.
142
В машиностроении для болтовых, штифтовых и шпоночных
соединений 'принимают: для-деталей из малоуглеродистой устали
[асм] =100-г-120 Мн/м2 * *; для деталей из среднеуглеродистой стали
[QcM]= 140-Г-170 Мн/м2; для деталей из чугунного литья [осм] =
= 60-^80 Мн/м2. Зачастую контактирующие детали изготовлены
из различных материалов; в этих случаях при выборе допускае-
мого напряжения ориентируются на материал той детали, проч-
ность которого меньше.
В качестве расчетной площади смятия при контакте по пло-
скости (см. рис. 4.1, г) принимают действительную площадь со-
прикосновения— где I — размер шпонки в направлении,
перпендикулярном к плоскости чертежа; при контакте по цилин-
дрической поверхности (см. рис. 4.1, а, б, в) принимают площадь-
проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость,
т. е. FCM=d$. При различной толщине соединяемых деталей в
расчетную формулу следует подставлять 6тщ.
Указание о том, что расчетная площадь -смятия в случае контакта дета-
лей по поверхности полуцилиндра равна площади диаметральной проекции
этой поверхности, легко обосновать предпосылкой о характере распределе-
ния напряжений смятия. На рис. 4.5 дано поперечное сечение штифта (болта
и т. п.) показана действующая на него нагрузка Q и напряжения смятия,
возникающие на поверхности контакта ш'тйфта с одним из соединяемых им
элементов конструкции. Положим, что размер. поверхности контакта в на-
правлении, перпендикулярном плоскости чертежа, равен б, тогда на элемент
поверхности, соответствующий центральному-иуглу dtp, приходится сила,
равная
-- .d
°см5 —«?•
Составляя уравнение равновесия сил, действующих на штифт (проекти-
руя все силы на направление Q), получаем
2
с d " '1'” 1
Q — 2 \ асм — 8 cos уdy = 0,
J 4
0
143
откуда
_ _9_
°см db ’
В некоторых конструкциях соединительные детали (штифты,
шпонки) работают на срез по продольным сечениям (см.
рис. 4.1,г и пример 4.3); предпосылки расчета и его методика
остаются такими же, как и при срезе по поперечным сечениям.
Помимо расчетов на срез и смятие, необходима проверка
прочности соединяемых элементов на растяжение по ослабленно-
му сечению, т. е. проходящему через центр отверстия, и расчет
на срез (выкалывание) части элемента от центра отверстия до
его края. Все указанные виды расчетов рассмотрены в следую-
щем примере,
Рис. 4.6
Пример 4.1. Тяги 1 и 2 соединены между собой с помощью штыря 3,
вставленного в их проушины, й нагружены, как показано на, рис. 4.6. Опре-
делить допускаемую величину сил Р, растягивающих тяги, при следующих
значениях допускаемых напряжений: на растяжение [<ДР]= 120 Мн/м2; на срез
[тСр] = 80 Мн/м2-, на смятие [оСм]=210 Мн/м2.
Решение. Допускаемая нагрузка соединения определяется из расчета тяг
на растяжение, штыря на срез, стенок отверстий в тягах на смятие и краев
проушины на срез (выкалывание).
В результате каждого из указанных расчетов в общем случае получаются
различные значения допускаемой нагрузки.
Решением задачи является такая величина нагрузки, при которой обеспе-
чена прочность всех элементов конструкции, т. е. наименьшая из полученных
по результатам отдельных расчетов.
1. Определение допускаемой нагрузки из расчета тяги 1 на растяже-
ние: ~
а) по сечению I — I (неослабленное сечение)
l-^pll ~ 1ср]
7гдГ2 3,14 (24-10-3)2
----= 120 • 106 -2—---------—
4 4
= 54,2-103 к:
144
б) по сечению II — II (это сечение показано отдельно на рис. 4.6)
[£р]п = [ар] 2(^! — ^Ш)В1 = 120-106.2(44 — 20) X
X Ю~3-8-10“3 = 46,1-Юз н,.
2. Определение допускаемой нагрузки из расчета тяги 2 на растяжение:
а) по сечению III — III (неослабленное сечение)
[Ppfm = [ар] &2В2 = 120-106-30-12-10“6 = 43,2-103 н;
б) по сечению II — II (см. рис. 4.6)
[Pp]j! = [<7р] (£)'—д?ш) В2 = 120-106(40 — 20) 10“3 • 12-10-3 = 28,8-10з н.
Рис. 4.7
FHT тяги 2 по
сечению Л-И
Плоскости
среза
Поверхность
смятия проуши-
ны тяги 2
3. Определение допускаемой нагрузки из расчета штыря на срез. Штырь
имеет две плоскости среза (рис. 4.7):
м?т 3,14 (20-10“3)2
[Рср] = [тср]2——— = 80-106-2-------------------- = 50,2-103 н.
т: 4
4. Определение допускаемой нагрузки из расчета стенок отверстий в про-
ушинах на смятие.
Для тяги 1 расчетная площадь смятия, через которую передается си-
ла Р,
28,^ = 2-0,8-2 = 3,2 см2.
То же для тяги 2
. F* = 62^ш = 1,2-2 = 2,4 см2.
Таким образом, достаточно произвести расчет для более нагруженной,
т. е. имеющей меньшую площадь смятия, проушины тяги 2.
[Рем]" = [ъ]¥ш = 210-10б.2,4-10“4 5 = 50,4-103 н.
5. Определение допускаемой нагрузки из расчета краев проушин на выка-
лывание:
145
а) для проушины тяги 1*
[Рвык]' = Ьср] 261-25! = 80-108-2-23-2-8-10“ 6 = 58,9-103 н;
б) для проушины тяги 2
[Лшк]" = [тср]2б252 = 80-106-2-20-12-10“б = 38,^Ю3 н.
Здесь не учитываем незначительную разницу между размером е2 и дли-
ной линий ak и cl.
Таким образом, допускаемая нагрузка соединения [Р] = [/р]ц =28,8 • 103 н —
=28,8 кн ограничивается прочностью тяги 2 на растяжение по сечению, про-
ходящему. через центр отверстия
для штыря. Следует заметить, что
значительное различие в величи-
нах допускаемых нагрузок, опре-
деленных из условцй прочности
отдельных элементов конструк-
ций, указывает на ее нерациональ-
ность. Всегда следует стремиться
к тому, чтобы все элементы кон-
струкции обладали равной проч-
ностью — это обеспечит наиболее
полное использование ее материа-
ла.
В рассматриваемом примере'
целесообразно несколько изменить
размеры Ь\, b2 и D с тем, чтобы
допускаемая нагрузка была равна
примерно 50 кн, т. е. определялась условием прочности штыря на срез. Реко-,
мендуем читателю выполнить соответствующий расчет и определить новые
размеры &i, Ь2 и D.
Пример 4.2. Определить диаметр D и высоту h головки стержня, нагру-
женного растягивающей силой Р (рис. 4.8). Расчет выполнить, исходя из усло-
вия равнопрочности стержня на растяжение, головки на срез и ее опорной
поверхности на смятие. Допускаемые напряжения:
[ар] = 140 h/j/j/2; [тср] = 100 н/млР;
рем] = 250 hi мм2.
Решение. 1. Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности
стержня на растяжение:
Krf2 3,14-322
Цр] = [»р] — = 140 ---- = 112,6.1ОЗЯ.
2. Определяем диаметр опорной поверхности головки из условия ее
прочности на смятие:
Р
асм — г [асм]-
Ь см
* Заметим, что хотя обычно выкалывание происходит по линии, наклон-
ной к направлению силы (см. рис. 4.4), практически расчет ведется на
выкалывание по линиям ab и cd для проушины тяги 1 и по линиям ak и cl —
для проушины тяги 2 (см. рис. 4.6).
146
Принимая Р=[Рр], получаем
откуда »•
1 Г 4[Рр] ~ , Л 4.112,6-103
J9 I/ -f- d(\ — I/ -f* 342 .= 41,7 мм,
V тфсм] V 3,14-250
Принимаем D=42 мм.
3. Определяем высоту головки из условия прочности на срез:
1>ср]-
Рис. 4.9
Площадь среза равна боко-
вой поверхности цилиндра высо-
той h и диаметром (место воз-
можного среза условно показано
на рис. 4.8 волнистыми линиями).
Принимая Р=[Рр], получаем
|рр| .
, Тср “ «/„Л * [‘ср1, .
откуда
[Рр] 112,6-103
h >--------- =------------- =10,55 мм.
л</0[тср] 3,14-34-100
Принимаем. h = 11 мм.
Пример 4.3. Проверить прочность штифтового соединения вильчатого
кривошипа с валом (рис. 4.9), если [тСр] = 65 н/мм2 и [cfcM]=90 н/лии2 7=2,8 кн.
Решение. Окружное усилие, передаваемое штифтом, связано с силой Т,
приложенной к кривошипу, соотношением
Th
0,5dB
2,8-180
0,5-40
= 25,2 кн.
147
Напряжения среза, возникающие в продольном сечении штифта,
/ Р 25,2-103
+р = — =. 10+п = 42 «/ЛЛ2 « 0,645 [тср].
W I 1^ • ои
При проверке соединения на смятие учтем, что поверхность контакта,
через которую передается сила Р, представляет собой четвертую часть по-
верхности цилиндра размерами d и I. Для поверхности полуцилиндра расчет-
ная площадь смятия равна dl (см. стр. 143), следовательно, в данном случае
^см = 0,5й/.
Р 25,2-103
= а...= А ч'ю чА = 84 = °>932 Км].
0,5а/ 0,5-12-50
Пример 4.4. Из стального листа толщиной 6 — 5 мм под прессом выдав-
ливают пластину заданной формы (рис. 4.10). Определить требуемую силу
нажатия на пуансон пресса, если предел прочности на срез материала листа
ТдЧ=310 н[мм2.
Решение. В отличие от предыдущих примеров здесь ставится задача не
о расчете на прочность, а об определении разрушающей нагрузки:
Р
ХИЧ — р »
^ср
ИЛИ
Р — ^Ср^ПЧ-
Площадь среза равна произведению периметра пластины на ее толщину:
Fcp = £о — (тс-20 + 20 + 2-80 + 40 + 60 + 40 + 120) 5 = 2514 мм?.
Требуемое усилие
Р = 310-2514- 779-103 н = 779 кн.
§.4,2. РАСЧЕТ ЗАКЛЕПОЧНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Неразъемные соединения деталей машин и строительных кон-
струкций имеют две основные разновидности: заклепочные
и сварные. Неразъемными эти соединения называют потому,
что для их разборки необходимо разрушить соединительные эле-
менты— заклепки, сварные швы. Сварные соединения имеют це-
лый ряд существенных достоинств по сравнению с заклепочны-
ми и почти полностью заменили их во многих отраслях промыш-
ленности. Вопросы расчета и конструирования заклепочных и
сварных соединений подробно изучаются в курсах деталей ма-
шин и стальных конструкций. В этом параграфе ограничимся
•рассмотрением основных вопросов расчета заклепочных соеди-
нений для случаев, когда соединяемые элементы работают на
растяжение или сжатие.
На рис. 4.11, а представлено соединение двух полос внахлест-
ку, а на рис. 4.1.1, б — встык с одной накладкой. В том и другом
случае при разрушении заклепок срез каждой из них происхо-
дит по одному поперечному сечению (отмечено волнистой лини-
ей), поэтому эти соединения называют односрезными. На
рис. 4.12, а показано соединение встык с двумя накладками, а на
148
рис. 4.1’2, б — прикрепление к фасонному Листу узла фермы
стержня, состоящего из двух, равнобоких прокатных уголков.
В том и другом случае срез каждой заклепки при разрушении,
происходит по двум поперечным сечениям, и соединение назы-
вают двухсрезным.
Расчет заклепочных соединений ведется на срез и смятие на
основе допущений, указанных в предыдущем параграфе. Между
Рис. 4.11
склепываемыми элементами развиваются значительные силы
трения, и работа заклепок на срез начинается лишь после того,
как внешние силы станут больше сил трения и начнется сдвиг
склепанных полос. При расчетах это обстоятельство не учи1-
тывают.
Склепываемые элементы (полосы, уголки и т. п.) рассчиты-
вают на растяжение (сжатие) с учетом ослабления их попереч-
ных сечений- отверстиями для заклепок.
149
Расстояние е от центра первой заклепки до края полосы (см.
рис. 4.11, а) принимают обычно равным удвоенному диаметру
заклепки. При таком расстоянии прочность края полосы на срез
(выкалывание) является обеспеченной и специальный- расчет не
нужен.
Отверстия в склепываемых элементах имеют диаметр, на
0,5—1 мм больший диаметра непоставленной заклепки. В расчет-
ные формулы входит диаметр отверстия, так как в выполнен-
ном соединении заклепка практически полностью заполняет от-
верстие.
Зависимости для проверочных расчетов имеют следующий
вид:
а) на срез
ТСр = t^cp], (4.3)
ik----
4
Где i — общее число заклепок, передающих заданную нагрузку Р;
в конструкциях типа, представленного на рис. 4.11, а и 4.12,6,
это общее число заклепок, а в соединениях встык (см. рис. 4.11, б
и 4.12, а)—это число заклепок по одну сторону стыка;
k — число плоскостей среза одной заклепки: для конструкций по
рис. 4.11 &=1 и по рис. 4.12 & = 2;
б) на смятие
<[»«]. (4.4)-
ZZZO
При одй'осрезных соединениях (см. рис. 4.11) вместо 6 надо
подставлять в формулу значения меньшей из толщин склепы-
ваемых элементов, а при двухсрезных — меньшей из величин 6
или 26н ,(см. рис. 4.12, а). Для соединения по рис. 4.12,6 под 6Н
надо понимать толщину полки уголка.
При проектном расчете заклепочного соединения диаметром
заклепок задаются, принимая его примерно равным (1,5—2,5)6.
При различной толщине склепываемых элементов под 6 пони-
мают меньшую из них. Затем определяют допускаемое усилие на
одну заклепку:
а) из условия прочности на срез
(4.5)
б) из условия прочности на смятие
[QcmWcm]^. (4.6)
По меньшему из допускаемых усилий определяют требуе-
мое число заклепок:
150
Для заклепочных соединений стальных конструкций промыш-
ленных и гражданских сооружений, а также подъемных кранов
допускаемые напряжения на срез и смятие принимают по сле-
дующим данным.
Материал конструкции Допускаемые напряжения в Afw/лг2 (н/мм2)
при продавленных отверстиях при сверленых или рассвер- ленных (после продавлива- ния) отверстиях
^ср! ^ср] I’cmI
Сталь Ст, 2 100 240 140 ' 280;
Сталь Ст.3 100 280 140 320'
Пример 4.5. Проверить прочность заклепочного соединения, изображен-
ного на рис. 4.13. Допускаемые напряжения:
[ар] = 160 [тср] = 140 Мн)м^; [асм] = 320 ЛГ«/л/2.
Решение.
1. Проверяем полосу на растяжение. На рис. 4. 13 показана эпюра:
продольныхz сил для полосы, построенная на основе допущения, что-
Р
каждая заклепка передает усилие —Расчет следует выполнить для
сечения I— I, в котором1 возникает наибольшая продольная сила Ni = Р,.
/ . '4 \
и для сечения I/—II, усилие в котором меньше, чем TVj l7Vn = — Р I
но и расчетная площадь также меньше.
151
= 148,6-106 нДи2 =
Для сечения I —
Р 280-103
0J ————— 22^2 ——————— -; -ГП-Г—
FHTi Ц& —rf) 12(180 —23)-10"6
= 148,6 Мн!м2 < [5р].
Здесь FhtI — так называемая площадь нетто сечения I — I, т. е. рас-
четная площадь — полная площадь за вычетом ослаблений отверстиями для
заклепок.
Для сечения II — II
Лп 4/5 Р 4/5-280-103
ап — ---------= ---------- = ------------------- = 139,3-106 н!м2 =
FhtII Ц&—2rf) 12 (180 — 2-23) 10"6
= 139,3 Мн'м2 < [5р].
Рис. 4.14
2. Проверяем заклепки на срез
Р 280-Ю3
тсо = —: =-----———————зУ = 135• 10s н/ж2 = 135 Мн[м2 < [тср].
ср TttZ2 3,14 (23-10" 3)2 ' > L cpj
i --- 5 --------------
4 4
3. Проверяем соединение на смятие, учитывая, что 8 < §к:
Р 280-103
асм = — =------------------ = 203-106 н!м2 = 203 Мн! м2 < [®См]-
id* 5-23-12-10"6
Расчет показывает, что прочность соединения обеспечена. Возможно’
даже небольшое уменьшение толщины полосы, так как расчеты на растяже-
ние и смятие обнаруживают некоторые резервы прочности.
Пример 4.6. Стержень фермы, состоящий из двух швеллеров № 18а,
соединен с фасонным листом (косынкой) узла фермы заклепками расчетным
диаметром d=17 мм (рис. 4.14). Определить требуемое число заклепок, если
продольное усилие в стержне .№=580 кн и допускаемые напряжения:
[ffp] = 160 я/жл/2; [стсм] = 320 н}мм2; [тср] = 140 н{мм2.
Проверить прочность стержня.
152
Решение. Допускаемое усилие на одну заклепку из условия прочности
на. срез
3,14-172
[Qcp] = Кр] k — = 140-2---------- = 63,5-Юз н.
4 4
Здесь принято k — 2 — заклепки двухсрезные.
Допускаемое усилие на одну заклепку из условия прочности на смятие
[Qcm] = [’см] = 320-17-9 = 49,0-103 н.
Толщина косынки меньше удвоенной толщины стенки швеллера, поэтому
она и принята в качестве расчетной.
Требуемое число заклепок определяем из условия прочности на смятие,
так как
[Qcm] < [Qcp].
• > —— - 580,103 — 11 8
l> [Qcm] ~ 49-103 ~ ’ •
Принимаем i—12.
Напряжение в.опасном сечении (/— /) стержня
_ N____________N_________________580-Юз ~
^нт 2F —- (2-22,2 — 6-1,7-0,5) 10~4
~ 148-106 = 148 н!мм2 < [ffp].
Здесь Р=22,2 см2 — площадь сечения одного швеллера № 18а (по ГОСТ
8240—56).
Пример 4.7. Определить допускаемую нагрузку заклепочного соединения,
изображенного на рис. 4.15. Допускаемые напряжения:
[ffp] = 140 Л1н/л2; [асм] = 240 Л1н/л/2;
[гср1 = 100 Мн/м2.
Решение. 1. Определение допускаемой нагрузки из расчета листов и на-
кладок на растяжение.
На рис. 4.15 показаны эпюры усилий (продольных сил) для листов и
накладок. .
Дадим некоторые пояснения к построению этих эпюр. С листа (например,
правого) сила Р передается на накладки посредством шести заклепок. Сле-
довательно, каждая заклепка передает усилие Р/6. В любом сечении листа
правее /—/ продольная сила равна Р; между сечениями /—/ и II—II—5Р/6,
так как часть силы (Р/6), соответствующая одной заклепке, передана на на-
кладки. В сечении II — II на накладки передается сила 2PI&, левее этого
сечения до III — III усилие в листе равно Р[2. Наконец, в сечении
///—III на накладки передается сила ЗР/6=Р/2. Конечно, для левого листа
эпюра получается точно такой же.
Расчет основного листа на растяжение надо выполнить для трех сече-
ний, так как из-за неодинакового ослабления сечений может оказаться, что
наибольшие напряжения возникают не в том из них, где продольная сила
максимальна.
Не приводя соответствующих расчетов (предлагаем выполнить их учаще-
муся самостоятельно), укажем . лишь окончательный результат: опасным
является сечение I — I [Рр]=504 кн.
Для накладок опасным, очевидно, является сечение III — III — продоль-
ная сила здесь максимальна (Nn=xl2P^—для одной накладки), а площадь
минимальна. Для этого сечения имеем
<ТН = --- — ----------- < |ffn ,
F„ (6„ —Зй)8„ 1р|’
153
откуда
[Рр]н = 2 (&н- 3d) 8Н [сгр] = 2(250 —3-23) 10~3 * *-8-10“3-140-Ю6 =
= 405-103 н = 405 кн.
2. Определение допускаемой нагрузки из расчета заклепок на срез:
гаР 3 14 (23-Ю-3)2
[Р ] = ik — [гср] -6-2 -------—-------- 100-106 = 498-103 н = 498 кн.
4 4
Еще раз подчеркиваем, что расчетным является число заклепок по одну
сторону стыка.
3. Определение допускаемой нагрузки из расчета на смятие:
[Рем] = idl [ffCM] = 6-23-14-10~6-240-106 = 464-103 н = 464 кн.
Толщина основного листа меньше удвоенной толщины одной накладки,
поэтому она и является расчетной. Окончательно принимаем [Р] = 405 кн,
т. е. допускаемая нагрузка соединения ограничивается прочностью накладок.
Если принять их толщину равной 10 мм, то они будут равнопрочны основ-
ному листу и допускаемая нагрузка будет ограничиваться условием прочности
на смятие, т. е. [Р]=464 кн,
Целесообразно выяснить, как изменится результат расчета (при
6н = 10 мм), если поставить с каждой стороны стыка вместо шести семь
заклепок (добавить одну заклепку в сечении / — /). Рекомендуем выполнить
этот расчет в порядке самостоятельного упражнения.
154
§ 43. РАСЧЕТ СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ УГЛОВЫМИ ШВАМИ
Угловые швы, иногда называемые валиковыми швами, при-
меняют в соединениях внахлестку. Рассмотрим расчет этих швов
при осевом нагружении соединяемых элементов. В зависимости.
от расположения швов по отноше-
нию к линии действия внешней
силы различают швы: лобовые
(рис. 4.16, а), фланковые, или
фланговые (рис. 4.16, б), косые
(рис. 4Д6, в). Соединение, в кото-
ром применено одновременно не
менее двух типов швов, называют
комбинированным (рис. 4.16), г).
Обычно сечение шва представ-
ляет собой- равно бедренный пря-
моугольный треугольник, (рис.
4.16, д). Катет шва (k) обычно
назначают равным (иногда не-
сколько меньше) толщине прива-
риваемого элемента; при этом
швы толщиной &<3 мм применя-
ют лишь для ненагруженных сое-
динений или при сварке элемен-
тов очень малой толщины. Швы
большой толщины применять не-
целесообразно, практически k
<"20 мм.
Распределение напряжений в
угловых сварных швах, как пока-
зывают специальные теоретиче-
ские и экспериментальные иссле-
дования, подчиняется весьма
сложным закономерностям и в
значительной степени зависит от
характера технологического про-
цесса сварки. Практические рас-
четы носят условный характер и
основаны на следующих «предпо-
сылках:
1) по длине шва независимо от его расположения по отно-
шению к линии действия внешней силы напряжения распреде-
лены равномерно;
2) разрушение шва возможно от среза по плоскости, прохо-
дящей через биссектрису пряг^рго угла треугольного сечения
шва, т. е. расчетная толщина шва h~0,7k (см. рис. 4.16, д).
При принятых предпосылках условие прочности для всех
155
рассматриваемых типов швов з аписы Bia ется одинаково:
*=7^7 (4.8)
О ,ikl
здесь т — расчетное (условное) напряжение по опасному (бис-
секторному) сечению;
I — периметр шва; для рассмотренных типов швов соот-
ветственно: l=2lji (по рис. 4.16, а); 1 — 21$ (по
рис. 4.46, б); Z=ZK (по рис. 4.46, в); Z=2(Z$-HK)-Мл
для комбинированного шва (по рис. 4.16, а);
[тэ]— допускаемое напряжение на срез для сварного шва.
Величина [тэ] зависит от
марки электродов и способа
сварки; например, при свар-
ке на автоматах или полу-
автоматах под слоем флюса,
а также вручную электрода-
ми высшего качества (Э42А
и др.) принимают [тэ] =
= 0,65 [ор], где [dp] — допу-
скаемое напряжение на рас-
тяжение для основного ме-.
талла конструкции.
Формула (4.8), очевидно,
справедлива лишь при усло-
вии, что для всех участков
шва катет одинаков. Для
фланковых швов, располо-
женных несимметрично от-
носительно линии действия
внешней силы, после опреде-
Рис.' 4.17
ления по формуле (4.8) суммарной длины (всего периметра)
швов следует установить длины отдельных участков в соответст-
вии с воспринимаемыми ими долями общей нагрузки соедине-
ния. Поясним сказанное на примере сварного соединения стерж-
ня из прокатного уголка с фасонным лисго.м (так называемой
косынкой), узла фермы (рис. 4.17, а).
Стержень находится в равновесии под действием силы Р и
сил Si и S2, заменяющих действие на стержень сварных швов
(рис. 4.17,6). Сила Р при центральном растяжении уголка на-
правлена по его продольной оси — линии, проходящей через
центры тяжести поперечных сечений.
Принимая с некоторым приближением расстояния от линий
действия сил Si и S2 равными соответственно уо и В —у0, запи-
шем уравнения равновесия:
S2B — Руо=О.
156
Отсюда
Z)
т. e. усилия в швах обратно пропорциональны расстояниям от
швов до оси уголка. Для того чтобы напряжения в швах были
одинаковы, надо их общую длину
Z = /фх + П"7ь7ТТ
0,7k [тэ]
распределить между швами в том же отношении, как и
усилия Si и S2> т* е*
/ф.=/^Ч
L> &
Рис. 4.18
Расчет сварных швов в большинстве случаев выполняют по
условию их равнопрочности с основным металлом конструкции
(с привариваемым элементом), как показано в следующем при-
мере. . -
Пример 4.8. Определить длины фланковых и прорезного швов для при-
крепления швеллера к фасонному листу узла фермы (рис. 4.18). Для швел-
лера из стали Ст. 3 [ор]= 160 Мн/м2; для сварных швов [тэ] = 0,6 [ор] (сварка
вручную толстопокрытыми электродами), Швы должны быть равнопрочны
привариваемому стержню.
Решение. Совместное применение фланковых и прорезного швов позво-
ляет уменьшить длину сварного узла. Прорезь для шва ослабляет привари-
ваемый швеллер, но это ослабление можно компенсировать, сделав фланко-
вые швы большей длины, чем прорезной шов. Разность длин 1$ — /н (см.
157
рис. 4.18) определим из условия, чтобы в сечении II —II, проходящем через
начало прорезного шва, нормальные напряжения в швеллере были равны
[Ор]. Иными словами, участки I—II фланковых швов должны передать
от швеллера на лист усилия AN, соответствующие площади ослабления
(абс):
[ДЛГ| = [ар]аЪс = 160-106.11-НГ3.5,4-Ю~3 = 9500 н.
Из условия прочности указанных участков фланковых швов
[АЛЛ . . г ,
2-0,7#(/ф— /П)<Ы’
получаем
[ДЛИ 9500 о
/п =------— --- -----------------------= 11,8-10-3 м « 12 мм,
2-0,7&[тэ] 2-0,7-6-10~3-96-106
где
[тэ] = 0,6 [огр] = 0,6-160 = 96 Мя/л/2.
Усилие, которое должно быть передано сварными швами, по условию
равнопрочности швов и швеллера равно допускаемой продольной силе для
швеллера, определенной по неослабленному сечению (7=26,7 см2 по ГОСТ
8240—56)
[AZ] = 7[5р] = 26,7-10~ 4-160-108 = 427-103 н.
Участки фланковых швов II —III и прорезной шов должны передать на
лист усилие
jVn = [NJ — [ДЛГ] = 427-103 - 9,5-103 = 417,5-103 н.
По этому усилию определяем требуемые длины швов, принимая расчет-
ное сечение прорезного шва равным ala и каждого из участков фланковых
швов: 0,7/г/п, при этом условие прочности
aln + 2-0,7й/п
откуда
1________Mi______
п“ [тэ](а+1,4£)
417,5-103
--------------------------- 0 ,'224 м = 224 мм.
96-106(11 + 1,4 - 6)-10—3
На рис. 4.18 показана эпюра продольных сил для швеллера; при построе-
нии этой эпюры учтено, что во всех сечениях швеллера правее I — I продоль-
ная сила равна [У], в сечении II — II — равна Л/ц и в III—III =0; на
участках между указанными сечениями величина N изменяется линейно, что
следует из предпосылки о равномерности распределения напряжений по дли-
не сварных швов.
ГЛАВА V
КРУЧЕНИЕ
§ 5.1. основные понятия, эпюры КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ
Кручение — это такой вид деформации бруса, при котором в
его поперечных сечениях возникает единственный внутренний си-
ловой фактор — крутящий момент, обозначаемый Mz или -Мк.
Деформация кручения возникает при нагружении бруса па-
рами сил, плоскости действия которых перпендикулярны
продольной оси. Моменты
этих пар будем называть
скручивающими мо-
ментами и обозначать
буквой т.
На рис. 5.1, а изобра-
жен брус, работающий на
кручение под
приложенных
скручивающих
Это условное
ние моментов
взамен показанного
рис. 5.1, б, где дано
гружение этого же бруса
парами сил.
Во всех случаях будем
считать, что алгебраичес-
к его
действием
к нему
.моментов,
изображе-
применено
на
на-
кая сумма скручивающих моментов равна нулю, т. е. брус нахо-
дится в равновесии.
На рис. 5.2, а и б изображен тот же брус в ортогональной
проекции. При этом на рис. 5.2, а дан еще один способ условно-
го изображения внешних моментов, часто применяемый в техни-
ческой литературе; момент представлен в виде двух кружков.
Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдате-
ля, а кружок с крестиком — силу, направленную от наблюдателя.
Применяя метод сечений и рассматривая равновесие остав-
ленной части (рис. 5.2, в, г), приходим к выводу, что внутренние
силы, возникающие в поперечном сечении бруса, должны дать
159
момент, (крутящий момент) уравновешивающий внешние мо-
менты, приложенные к отсеченной части.
Итак, крутящий момент, возникающий в произвольном по-
перечном сечении бруса, численно равен алгебраической сумме
скручивающих моментов, приложенных к отсеченной части.
В более общем случае нагружения бруса, когда в его поперечных сече-
ниях возникает несколько внутренних силовых факторов, крутящий момент
вычисляется как алгебраическая сумма моментов относительно продольной
оси бруса всех внешних сил, приложенных к его отсеченной части.
При кручении бруса в его поперечных сечениях возникают
только касательные напряжения. Действительно, момент отно-
сительно продольной оси бруса дают только внутренние каса-
тельные силы (нормальные силы параллельны этой оси). Кроме
того, наличие внутренних нормальных сил, приводящихся к силе
или к паре сил, противоречит условию равновесия отсеченной
части бруса. Наличие самоуравновешенной системы внутренних
нормальных сил, естественно, не противоречит условию равно-
весия, но случаи возникновения такой системы (так называемое
стесненное кручение) в настоящем курсе не рассматриваются.
Следовательно, крутящим моментом называется результи-
160
рующий момент относительно продольной оси бруса внутренних
касательных сил, возникающих в его поперечном сечении.
Для. расчета на прочность, так же как и при растяжении
(сжатии) бруса, надо найти его опасное сечение. В случае,
если размеры поперечного сечения по длине бруса постоянны,
опасными будут сечения, в которых :
крутящий момент максимален. Гра-
фик, показывающий закон измене-
ния крутящих моментов по длине
бруса, называется эпюрой крутящих
моментов. Построение этих эпюр
принципиально ничем не отличается
от построения эпюр продольных сил
и производится на основе сформули- - Рис. 5.3
рованного выше правила вычисле-
ния крутящих моментов. Для бруса; изображенного на рис. 5.2, а
и б, эпюра Mz представлена на рис. 5.2, д.
Знак крутящего момента не имеет физического смысла, но
для определенности при построении эпюр условимся о следую-
Рис. 5.4
щем правиле знаков. Будем считать крутящий момент положи-
тельным, если для наблюдателя, смотрящего на проведенное се-
чение, он представляется направленным по часовой стрелке
(рис. 5.3). Часто применяют и прямо противоположное правило
знаков.
Характер деформации при кручении существенно зависит от
формы поперечного сечения бруса. Методами сопротивления ма-
€—1451
161
териалов задача о напряжениях и перемещениях при кручении
может быть решена только для бруса круглого сплошного или
кольцевого поперечного сечения.
При некоторых дополнительных допущениях можно решить
задачу о кручении брусьев тонкостенного замкнутого профиля.
Теория кручения бруса круглого поперечного сечения наибо-
лее часто используется при расчете различных валов. В качестве
примера на рис. 5.4 показан так называемый трансмиссионный
вал с насаженными ца него
Эпюра Мг
Рис. 5.5
шкивами ременных передач.
Трансмиссионными называют
валы, назначение которых со-
стоит в получении (мощности
от двигателя и передаче ее ра-
бочим машинам. В приведен-
ном примере приемным (свя-
занным с двигателем) являет-
ся шкив II.
Легко видеть, что под дейс-
твием натяжений ремней вал, помимо кручения, испытывает и
изгиб. Если пренебречь влиянием изгиба (так поступают при
предварительном, ориентировочном расчете валов), расчетная
схема вала будет иметь вид, .представленный на рис. 5.5. Там же
показана эпюра крутящих моментов.
При равномерном вращении вала алгебраическая
сумма приложенных .к нему вращающих моментов равна нулю.
Вращающие моменты, действующие на каждый из шкивов,
могут быть выражены через соответствующую мощность и угло-
вую скорость по формуле, известной из курса теоретической ме-
ханики,
т= — [к-л],
СО
(5.1)
где N — мощность в от;
со — угловая скорость в рад!сек.
При применении системы единиц МКГСС и внесистемных
единиц '
т—97380— [кГ-см]; (5.2)
т=7\Ш~ [кГ‘См\. (5.3)*
В формуле (5.2) N — в кет, а в (5.3) — в л. с.; в той и другой
формулах п — угловая скорость в об]мин.
Вращающий момент может быть выражен также и через си-
162
лы натяжения ветвей ремня. Например, • для шкива I (см*-
рис. 5.4)
=(s;-s2) 4.,
где D\ — диаметр шкива.
§ 5.2. НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ
БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Теория кручения бруса круглого сплошного или кольцевого
поперечного сечения основана на следующих допущениях.
1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его
оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и
после деформации (гипотеза Бер-
нулли).
2. Расстояния между поперечны-
ми сечениями ,© процессе деформа-
ции не изменяются.
3. Радиусы поперечных сечений
при деформации бруса не искрив-
ляются.
4. Материал бруса при деформа-
ции следует закону Гука (конечно,
это допущение не характерно для
рассматриваемого случая—оно яв-
ляется общим для всех видов де-
формаций, изучаемых в нашем
курсе).
Представление о характере де-
формации можно получить, подвергая скручиванию резиновую
модель бруса с нанесенной на ее поверхности сеткой продоль-
ных и поперечных рисок (рис. 5.6, а}. Поперечные риски не ис-
кривляются, и расстояния между ними не изменяются, что мож-
но рассматривать как подтверждение первого и второго допуще-
ний. Продольные риски обращаются в винтовые линии
(рис. 5.6. б). _ .
Справедливость принятых допущений подтверждается, кроме
того, и тем, что полученные на основе их формулы совпадают с
формулами, полученными в теории упругости без этих допуще-
ний, и хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Рассмотрим брус, жестко защемленный одним концом и на-
груженный на свободном конце скручивающим моментом т
(рис. 5.7). При деформации бруса его поперечные сечения повер-
нутся на некоторые углы по отношению к своему первоначаль-
ному положению или, что то же, по отношению к неподвижному
6*
163
сечению (заделке). Угол поворота будет тем- больше, чем даль-
ше отстоит данное сечение от заделки. Так, для произвольного
сечения I, отстоящего от заделки на расстояние z, он равен <pz,
а для сечения II— <pz+^<P- Здесь dtp — Угол поворота сечения II
относительно /, или угол закручивания элемента бруса длиной dz.
Рис. 5.7
Вообще угол поворота произвольного сечения равен углу за-
кручивания части бруса, заключенной между этим сечением и
заделкой. Таким образом, угол поворота ф торцового сечения
У ’ представляет собой полный угол закручивания
рассматриваемого бруса.
Применяя метод сечений, легко убедиться,
/ 1/^1 что крутящий момент во всех поперечных се?
чениях бруса одинаков: Mz=m. Выразим его
' \ J через касательные напряжения, возникающие
в поперечном сечении. При этом учтем, что в
’ любой точке поперечного сечения касательное
Рис. 5.8 напряжение направлено перпендикулярно к
радиусу, проведенному в эту точку (рис. 5.8).
Такое направление напряжений следует из характера деформа-
ции: при повороте произвольного поперечного сечения (см.
рис. 5.7) каждая его точка (кроме лежащей на оси бруса) пере-
мещается по дуге окружности, концентричной контуру сечения.
Иными словами, направление этого перемещения, а значит и
164
возникающего в этой точке касательного напряжения, перпенди-
кулярно соответствующему радиусу (ом. также рис. 5.9). Эле-
ментарная касательная сила, приходящаяся на площадку
равна -xdF, а ее момент относительно оси z (точки О):
dMz—(bdF)p.
Суммируя эти элементарные моменты, получаем следующее
выражение для крутящего момента:
Мг— fadF, (5.4)
Хотя крутящий момент может рассматриваться как извест-
ная величина (он определяется с помощью метода сечений через
заданные внешние моменты), использовать выражение (5.4) для
Рис. 5.9
вычисления касательных напряжений невозможно, так как закон
их распределения по поперечному сечению пока неизвестен. Для
выяснения этого закона рассмотрим более подробно вопрос о де-
формациях.
Выделим часть бруса двумя бесконечно близкими попереч-
ными сечениями I и II (см. рис. 5.7). Будем считать выделенную
часть бруса защемленной в сечении I (рис. 5.9), что вполне до-
пустимо, так как нас интересуют ее деформации, а не перемеще-
ния в пространстве как твердого тела. Точка В, взятая на кон-
165
туре сечения //, в результате его поворота на угол сАр перейдет
в положение Вь Деформация сдвига соответствующего элемента
бруса (торец этого элемента, лежащий в сечении II, зачернен)
характеризуется углом сдвига утах. Из прямоугольного тре-
угольника АВВг, учитывая, что BB{ = rdq, и в силу малости де-
формаций tgY~y, получаем
dtp
-г =г —I- .
max dg
Выделяя мысленно из рассматриваемой части бруса ци-
линдр произвольного радиуса р (см. рис. 5.9) и повторяя те же
рассуждения, имеем
Применяя закон Гука для сдвига (x=Gy), получаем следую-
щее выражение для касательного напряжения:
т=ор^7' (б)
Подставляя (б) в (5.4), получаем
Мг = V Go pdF.
J dz
F
При интегрировании по площади поперечного сечения вели-
чина -- постоянна и так же, как и G, может быть вынесена за
dz
знак интеграла:
Mz=G-^-\fdF. (в)
dz J
F
Интеграл, входящий в выражение (в), представляет собой
величину геометрического характера, называемую полярным
моментом инерции сечения и обозначаемую Jp,
Jp=\ fdF. (5.5)
F
Полярный момент инерции представляет собой взятую по
всей площади сечения сумму произведений площадей элементар-
ных, площадок, на квадраты их расстояний до начала координат
(центра тяжести сечения). Очевидно, он имеет размерность дли-
ны в четвертой степени. На его вычислении остановимся несколь-
ко ниже. Возвращаясь к выражению (в), перепишем его теперь,
в виде
dz
166
откуда
d<p _ Mz
dz GJp
Подставляя значение —в (б), имеем
dz
или окончательно
Формула (5.6) позволяет определить величину касательного
напряжения в любой точке поперечного сечения.
Из этой формулы следует, что касательные напряжения распре-
делены вдоль любого радиуса сечения по линейному закону.
Рйс. 5.10
Эпюры касательных напряжений для круглого сплошного и
кольцевого поперечных сечений показаны на рис. 5.10.
В точках, равноудаленных от центра сечения, напряжения т
одинаковы. Наибольшего значения касательные напряжения до-
стигают в точках контура поперечного сечения. Они могут быть
определены путем подстановки в (5.6) вместо р его наибольшего
значения, т. е. г:
Mz
''-max — ~ f •
Введя обозначение
>
г г *
получим следующее выражение для максимального касательного
напряжения:
^тах = - г~ • ' (5.7)
167
Величину Wp, равную отношению, полярного момента инер-
ции сечения к его радиусу, называют полярным моментом со-
противления сечения. Его размерность — длина в кубе. Очевид-
но, полярный момент сопротивления является геометрической
характеристикой прочности бруса круглого поперечного сечения
при кручении.
Формулу для определения углов закручивания получим из
выражения (г). Угол закручивания элемента бруса длиной dz
, Mzdz
——-— .
Суммируя элементарные углы закручивания, найдем полный
угол закручивания бруса (или отдельного его участка):
f Mzdz
<р=\ —----- .
J G Jp
(5.8)
В самом общем случае, когда для отдельных участков бруса
законы изменения крутящих моментов или полярнйх моментов
инерции (или тех и других величин
одновременно) различны, следует
пользоваться формулой
SC Mzdz
\ ’ (5-9)
J QJр
В частном случае, если диаметр
бруса постоянен и крутящий момент,
имеет во всех сечениях одинаковое
значение,
ДО
Mzl
<₽ =——.
GJP
(5.10)
В случае постоянства крутящего
момента лишь в пределах отдель-
ных участков бруса или ступенчато-
го изменения его поперечного сечения формулу (5.10) можно
применять только по участкам.
Все приведенные формулы дают значение угла ср в радианах.
При их применении следует учитывать указания по использова-
нию аналогичных формул для определения изменения длины
бруса при растяжении (см. стр. 42).
Произведение GJP условно называют жесткостью сечения
круглого бруса при кручении. Модуль сдвига характеризует же-
сткость материала, а полярный момент инерции является геомет-
рической характеристикой жесткости бруса.
Обратимся к выводу формул для вйчисления полярного мо-
168
мента инерции и полярного момента сопротивления. Выведем эти
формулы для кольцевого сечения с внутренним диаметром dQ и '
наружным d (рис. 5.11). Разобьем сечение на бесчисленное мно/
жество бесконечно тонких колец. В выражении /
F ’<
за элемент площади dF примем площадь одного из указанных
колец:
dF='2itpdp.
Площадь весьма тонкого кольца можно вычислить, как пло-
щадь прямоугольника со сторонами 2лр и dp. Подставляя значе-
ние dF в выражение для /р и интегрируя, получаем
d d_
2 2
J„= \ р22яра'р=21с4 I
J 4 I 02
da d0
2 2
Вводя обозначение c=~ и вынося за скобки d* окон-
d
чательно получаем
Для круга af0—О, а следовательно, с=0, поэтому
1=^.яа0,1а(‘. (5.12)
р 32 7
Выражения для Wp получим, разделив Jp на наружный
радиус сечения Таким образом, для кольца
и для круга
1Гр=^-(1-^)^0,2^(1-^)
10
(5.13)
(5.14)
Теорию кручения бруса круглого сечения разработал французский ученый
Шарль Огюстэн Кулон (1736—1806). Она изложена в его мемуаре, изданном
в 1784 г. Отмечая научные заслуги Кулона, профессор С. П. Тимошенко в
монографии «История науки о сопротивлении материалов» (см. [56]) указы-
вает: «Никто другой из ученых XVIII века не дал так много механике упру-
гого тела, как Кулон».
Строгое доказательство справедливости гипотезы плоских сечений
только для бруса круглого (сплошного или кольцевого) поперечного сече-
ния дал в 1932 г. Е. Каландр еу.
169
§ 5.3. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
ПРИ КРУЧЕНИИ
Прочность бруса, работающего на кручение, считается обес-
печенной, если наибольшие касательные напряжения, возникаю-
щие в его опасном поперечном сечении, не превышают допу-
скаемых:
тшах [тк] *
Конечно, незначительное (до 5—6%) превышение рабочих
напряжений над допускаемым не опасно.
Как известно из предыдущего, эти наибольшие напряжения
возникают В' точках контура поперечного сечения и вычисляются
по формуле (5.7). Таким образом, получаем следующее расчет-
ное уравнение (условие прочности):
тии=^г-<[т,]. (5.15)
и/ р
Эта формула служит для проверочного расчета на
прочность.
Для проектного расчета и для определения допускаемой на-
грузки (момента) из формулы (5.15) соответственно получаем
(5.16)
1Лк]
[Л1г]= , (5.17)
Крутящий момент (АД), который входит в приведенные рас-
четные формулы, с помощью метода сечений должен быть выра-
жен через внешние (скручивающие) моменты.
Расчет ведется для опасного поперечного сечения. Для бруса
постоянного диаметра опасным является сечение, в котором воз-
никает наибольший крутящий момент. Если диаметр бруса не
постоянен, может оказаться, что наибольшие напряжения возни-
кают не там, где крутящий момент максимален, следовательно,
в “этом случае вопрос об опасном сечении должен быть исследо-
ван дополнительно (см. ниже пример 5.1).
Допускаемое напряжение [тк] для пластичных материалов на-
значают в зависимости от их предела текучести на кручение (на
сдвиг) тт, т. е.
Тт
[zzT]
а для хрупких — в зависимости от предела прочности
тпч
[^пч]
(5.18)
(5.19)
170
Для пластичного материала диаграмма зависимости между
касательным напряжением и углом сдвига (характеристика ма-
териала при сдвиге), полученная путем соответствующей обра-
ботки р.езультатов испытаний на кручение, показана на рис. 5.12.
Площадка текучести на этой диаграмме отсутствует. В качестве
предела текучести (тт) условно принимают напряжение, при ко-
тором остаточный угол сдвига равен 0,003 радиана.
Учитывая, что по экспериментальным данным предел текуче-
сти при кручении связан с пределом текучести при растяжении
зависимостью
тт^(0,55 н-0,60)от,
для стали принимают
[гк]«(0,55-^0,60)[ар].
Для чугуна принимают
(1,0-4- 1,2) [ор].
Указанные значения допускаемых напряжений можно прини
мать лишь в случае чистого кручения. Практически на круче
ние обычно рассчитывают валы,
которые, помимо деформации кру-
чения, испытывают также изгиб.
Не учитывая при ориентировоч-
ном расчете валов влияние изги-
ба, делают ошибку, приводящую
к уменьшению фактического ко-
эффициента запаса прочности.
Для компенсации этой ошибки и
обеспечения прочности вала до-
пускаемое напряжение на круче-
ние принимают пониженным; для
Конструкционной углеродистой
стали обычно
[тк] = 20 35 h'imm2.
Во многих случаях вал дол-
жен быть рассчитан не только на прочность, но и-на жесткость
при кручении. В качестве примера можно указать на ходовые
винты токарных станков, при деформации которых шаг их резь-
бы изменяется, а следовательно, и шаг резьбы, нарезанной на
этом станке, получается с некоторой погрешностью. Задавая
определенный допуск на точность изготовляемой резьбы, тем са-
мым ставят требование ограничения угла закручивания ходово-
го винта. Чем выше должна быть точность нарезанной резьбы,
тем меньшие деформации ходового винта можно допустить.
В качестве меры жесткости при кручении принимают относи-
171
тельный угол закручивания (угол закручивания на единицу
длины) вала, обозначаемый фо (встречается обозначение 0).
Из приведенного примера должно быть ясно, что в отличие
от допускаемого напряжения, зависящего в первую очередь от
материала вала, допускаемый угол закручивания зависит от на-
значения вала. Величины допускаемых углов закручивания,
встречающихся в различных отраслях машиностроения, весьма
разнообразны: в качестве наиболее распространенных значений
можно указать [фо] == (4,38-4-17,5) 10-3 рад/м— (0,25-4-1,0) град/м.
Уол&впе, жесткости при кручении имеет вид
<Ы- (5.20)
G*/р
При проектном расчете отсюда определяют требуемую вели-
чину Jp, а затем по формуле (5.11) или (5.12) вычисляют диа-
метр вала. Из двух значений диаметра вала, определенных из
расчетов на прочность и жесткость, в качестве окончательного
(исполнительного размера) должен быть, конечно, принят
больший.
В заключение настоящего параграфа остановимся на срав-
нительной оценке валов круглого и кольцевого поперечных се-
чений. Из эпюр касательных напряжений, приведенных на
рис. 5.10, видно, что, удаляя материал вблизи оси вала, мы сни-
жаем его прочность весьма незначительно, так как эта часть
материала для вала сплошного сечения является малонагружен-
ной. При равных площадях поперечного сечения, а следователь-
но, при одинаковой массе валов, кольцевое сецение обладает
большими полярными моментами инерции и сопротивления, чем
сплошное, т. е. вал кольцевого сечения оказывается жестче и
прочнее. Наконец, при равной прочности или равной жесткости,
т. е. при одинаковых значениях Wp или /р, полый вал получается
легче сплошного. Пусть d и dQ — соответственно наружный и
внутренний диаметры кольцевого сечения и dK — диаметр сплош-
ного круглого сечения. При равной прочности валов, приравни-
вая полярные моменты сопротивления их сечений, получаем
где по-прежнему с=— •
d
Выражая d через имеем
- • (5.21)
— с4
172
Отношение масс валов (при одинаковом материале и длине)
равно отношению площадей их поперечных сечений:
-±аЦ1~с2)
г __ 4
77 -7-4
4 к
или, используя зависимость (5.21), окончательно
К _ 1—с2
р 3/~---------- *
(1 _ С4)2
(5.22)
При равной жесткости валов, приравнивая полярные моменты
инерции их сечений, аналогично получаем
— /~1 —с2
Рк 1 + с2
(5.23)
Графики, построенные по зависимостям (5.22) и (5.23), пред-
ставлены на рис. 5.13: кривая / соответствует равной прочности,
а 2 — равной жесткости.
Пример 5.1. Ступенчатый стальной брус круглого поперечного сечения
жестко заделан одним концом -и нагружен, как показано на рис. 5.il4, а. По
строить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений
и углов поворота поперечных
сечений. Проверить прочность
бруса при [тк]=60 н/мм2.
Решение. Эпюру крутящих
моментов строим, начиная от
свободного (левого) конца, что
позволяет не определять реак-
тивный момент в заделке. Про-
ведя произвольное сечение
а — а на участке АВ и состав-
ляя для оставленной части
(рис. 5.14, б) уравнение равно-
весия 2тг =0, получаем
Mlz=m.
Согласно принятому прави-
лу знаков (см. стр. 161), счи-
таем момент отрицатель-
ным. Крутящий момент сохра-
няет постоянное значение (т)
во всех сечениях участков АВ и ВС. Для остальных участков находим крутя-
щие моменты как алгебраическую сумму внешних моментов, приложенных по
одну сторону (в нашем случае левую) от сечения. Отсеченные части отдельно
не изображаем. Эпюра Л4г дана на рис. 5.14, в. Вообще следует заметить,
что построение эпюры крутящих моментов совершенно аналогично построе^
нию эпюры продольных сил.
Для нахождения опасного сечения строим эпюру максимальных касатель-
ных напряжений, пользуясь формулой
Мг кг Kaf3
тэх ’ где Wp 16
173
Для участка АВ
(ттах)лв =
м\
Tcrfj
1,0-103-103
3,14-603
= 23,6 н[м.м2.
16 16
Заданное значение момента умножено на 106 для перевода из к,н-м
в н • мм.
Аналогично определяем ттах в поперечных сечениях остальных участков
бруса.
Ординаты эпюры ттах (рис. 5.14, г) откладываем в ту же сторону, что
и соответствующие ординаты эпюры Mz . Знак касательного напряжения при
расчете на прочность никакой роли не играет, и принятое направление орди-
нат эпюры условно.
Опасными оказались поперечные сечения участков ВС и CD. Таким обра-
зом, опасными оказались не те сечения, в которых крутящий момент макси-
мален. Условие прочности ттах < [тк] выполняется. Очевидно, что материал
бруса использован нерационально; даже в опасном сечении максимальное
напряжение на 32% ниже допускаемого.
Эпюру углов поворота строим,, начиная от защемленного конца. Орди-
наты этой эпюры' в выбранном масштабе дают величины углов поворота
соответствующих поперечных сечений бруса. Эпюра строится совершенно
аналогично эпюре линейных перемещений (см. § 2.3). В пределах каждого
из участков бруса эпюра линейна, поэтому достаточно вычислить углы пово-
рота только для граничных сечений участков. Угол поворота сечения К, рав-
ный углу закручивания участка AL,
174
Mvza
3,0-106-400
„ 3,14-80*
= —3.73-10-3 рад..
где принято для стали 0 = 8 104 н/мм2.
Угол- поворота сечения
участка DK,
D относительно
К, равный-углу закручивания
' ^DI<~
М™а
1,0-106.400
gJnp
3,14
8-Ю4 - -804
оЛ
= l,24-10~3 рад.
4xL~ OJJ
Абсолютный угол поворота сечения D (относительно заделки) равен алге-
браической сумме углов закручивания участков KL и ДЮ Таким образом,
ордината эпюры ф в сечении D равна
Ш W = (—3,73+ 1,24) i0~3 =— 2,49-IO"3 pad.
Аналогично вычисляются углы поворота остальных граничных сечений.
Эпюра ф представлена на рис. 5.14, д. Рекомендуем читателю выполнить
остальные вычисления, необходимые для построения этой эпюры.
Пример 5.2. Вал диаметром d=60 мм вращается с угловой скоростью
п=600 об/мин. Определить из расчетов на прочность и жесткость допускае-
мую величину мощности, которую может передавать вал, если [тк]=35 н/мм2;
[фо] = 0,4 град/м.
Решение. Допускаемый по условию прочности крутящий момент, равный
в данном ’ случае передаваемому валом вращающему моменту, определим по
формуле (5.17)
га/з . 3,14-603
[т]' = [ЛЦ' = W„ Ы = — [тк] = -4-^----------35 =
= 1485-103 н-.мм — 1485 н-м.
Для определения допускаемого момента из расчета на жесткость вос-
пользуемся формулой (5.20)
3,14 о 3,14
[т\" = = GJP Ы = 8,0• 1010--т— (60• 10-—-0,4 = 710 н-м.
oJ 1ои
Здесь принято для стали G=8,0-1010 н/м2. Множитель -—служит для
180
перевода [фо] из град/м в рад/м. Диаметр вала для согласования единиц изме-
рения подставлен в м.
Окончательно принимаем меньшее из двух значений: [т]=710 н-м. Соот-
ветствующую мощность найдем, воспользовавшись формулой (5.1), .
[7V] = \т] о = \т\ ~ = 710- = 44,6-Ю3 вт = 44,6 кет.
При принятом значении допускаемого момента максимальные касатель-
ные напряжения в поперечном сечении вала
. Mz 710-Ю3 _ , 2
T»ai=+7=16,7
—.6°=
т. е. на 52,3% ниже допускаемых.
175
У'.‘: 1 Пример 5.3. Определить из .'расчетов'/на прочность и жёсткость лребуе-
мыефазмеры поперечного сечения вала* (рис. 5.15) в друх вариантах: а) сече-
ние— круг, б) сечение—^кольцо с отношением, внутреннего диаметра к на-
; ружному с=б,7.
Сечение вала считать по всей длине постоянным. Принять [тк]=25 hImm?
и [фо]=5,3 • 10-3 рад[м. Вал вращается с угловой скоростью <о=23 рад/сек. .
Рис. 5.15
Рис. 5.16 с Рис. 5.17
Выбрать наиболее рациональную последовательность расположения шкивов
нарвалу.
Решениег Приняв расположение шкивов, указанное на рис. 5.15, получим
схему вала й эпюру крутящих моментов, показанные на. рис. 5.16.
Величины вращающих моментов, передаваемых каждым из шкивов
(значения' скручивающих моментов), вычислены по формуле (5.1).
“Поменяв местами шкивы 1 и 2, получим расчетную схему и эпюру Mg,
показанные на рис. 5.17 Очевидно, второй вариант целесообразнее, так как
в этом случае расчетный крутящий момент max Mg =1132 н-м значительно
176 . '
меньше, чем в первом варианте, где max Mz =2087 н-м. Нетрудно убедиться,
что при иных вариантах расположения шкивов расчетный крутящий момент
не уменьшится. Из рассмотренного можно сделать общий вывод: не следует
располагать приемный шкив на одном из концов вала. Его надо располо-
жить между шкивами, передающими мощности рабочим машинам, таким
образом, чтобы моменты, передаваемые участками вала слева и справа от
него, были по возможности одинаковы.
Определяем требуемый полярный момент сопротивления сечения вала из
расчета на прочность:
max Mz
Wp'>~^~
1132-IO3
25
= 45,3-103 мм?.
Диаметр вала круглого сечения
3 /'16W> 3 /" 16-45,3-Ю3
dK = 1/ -------= 1/ -------т~—-----= 61,5 мм.
У те у 3,14
Рис. 5.18
Наружный диаметр вала кольцевого сечения
3/ 1QWP з г 16-45,3-Ю3
d — 1/ ----------= 1/ ----------------= 67,2 мм.
У те(1-с*) V 3,14(1-0,7*)
Требуемый полярный момент инерции сечения
кость ([фо] подставляем -в рад/мм)
max Mz__________1132-Ю3
Р> G[<Po] ~ 8-10*-5,3-10_3-10_3
Диаметр Нала круглого сечения
4 /'3277 4 Z 32-267-10*
К У те у 3,14
вала из расчета на жест-
= 267-10* мм1.
= 72,5 мм.
Наружный диаметр вала кольцевого сечения
4 / 32Jp 4 / 32-267-10*
(1-0,7*) =77'5
Требуемые размеры сечения получились из расчета на жесткость боль-
ше, чем из расчета на прочность, поэтому их и принимаем в качестве окон-
чательных; с небольшим округлением: dK—72 мм;' d=78 мм.
177
По кривой 2 (см. рис. 5.13) устанавливаем, что при с=0,7 вал кольцевого
сечения будет легче сплошного вала примерно на 42%.
Пример 5.4. Два одинаковых вала соединены втулочной муфтой со штиф-
тами (рис. 5.18). Выяснить, что ограничивает величину передаваемого момен-
та: прочность валов, муфты или штифтов. Принять: для валов [Тк]/==
=40 н/лш2, для муфты [тк]"=20 н/лш2, для штифтов [тСр] = Ю0 н/мм2.
При расчете валов и муфт ослабление их отверстиями для штифтов не
учитывать.
Решение. 1. Допускаемый момент из условия прочности валов
3,14-403
[т]в = [Л4ДВ = [тк]'Г„в = 40 ----= 502-Юз н.мм = 502 н-м.
16
2. Допускаемый момент из условия прочности муфты
3,14-683 /40 VI
[т]м — [Мг]м — [tk]Z/^pm = 20 ^6 1 уб8/ ] ~~
= 1090-103 н-мм = 1090 н-м.
3. Допускаемый момент из условия прочности штифтов.
Штифт работает на срез. Учитывая наличие двух плоскостей среза, полу-
чаем следующее расчетное уравнение
Усилие, действующее на штифт, связано с передаваемым моментом
зависимостью
т
Р =--------
0,5of
Подставляя значение Р в условие прочности, получаем
т
Тср = < [тср]>
откуда
3,14-102
[т]ш = d —-— [тср] — 40---------- 100 = 314-103 н-мм = 314 н-м.
Таким образом, наименее прочными элементами конструкции являются
штифты. Для увеличения допускаемого момента можно поставить на каждой
половине муфты два штифта, одновременно несколько уменьшив их диаметр.
Толщину втулки (муфты) можно несколько уменьшить, так как муфта зна-
чительно прочнее вала.
§ 5.4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ
В произвольной точке поперечного сечения бруса возникает
касательное напряжение, определяемое по формуле (5.6). В про-
дольном (меридиональном) сечении, проходящем через ту же
точку, возникает такое же по величине напряжение, что следует-
из закона парности касательных напряжений. Распределение
этих напряжений показано на рис. 5.19, а. По площадкам, каса-
178
тельным к цилиндрическим поверхностям любого радиуса, на-
пряжения отсутствуют.
Элемент, выделенный указанными исходными площадками,
показан на рис. 5.19, а и отдельно на рис. 5.19,6. Характер
напряжённого состояния во всех точках бруса (кроме точек, ле-
Рис. 5.19
жащих на его оси, в которых вообще не возникает напряжений)
одинаков — это чистый сдвиг, различны лишь величины на-
пряжении.
Поперечное и меридиональное (радиальное) сечения сов
падают с площадками чистого сдвига (см. стр. 127).
Как было установлено в
§ 3.3, касательные напряжения
на площадках чистого сдвига
максимальны для данной точ-
ки (т — Ттах) и численно равны
главным напряжениям:
°1 = “°3 = г*
Главные площадки оостав-
Рис. 5.20
ляют углы по 45° с площадками чистого сдвига.
На рис. 5.20 показаны площадки действия и направления
максимальных касательных и главных напряжений для элемента
у поверхности скручиваемого бруса.
179
При испытании на кручение стального образца он разрушает*
ся от сдвига до поперечному сечению (рис. 5.21). Пластичные
материалы хуже сопротивляются сдвигу, чем растяжению.
Деревянный образец при испытании на кручение разрушает-
ся в результате возникновения продольных трещин (рис. 5.22).
Рис. 5.22
Рис. 5.21
Это связано с тем, что касательные напряжения в продольных
сечениях такие же по величине, как в поперечных, а дерево со-
противляется сдвигу (скалыванию) вдоль волокон значительно
хуже, чем поперек волокон.
Рис. 5.23
Чугун сопротивляется растяжению значительно хуже, чем
сжатию, и даже хуже, чем сдвигу, поэтому при кручении чугун-
ный образец разрушается по винтовой поверхности, наклоненной
под углом примерно 45° к продольной оси бруса (рис. 5.23). Тре-
щины, образующиеся на поверхности бруса, в каждой ее точке
совпадают с площадками действия главного растягивающего на-
пряжения щ.
#§ 5.5. КРУЧЕНИЕ БРУСА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
При кручении брусьев с некруглым поперечным сечением ги-
потеза Бернулли неприменима. Это обстоятельство не позво-
ляет применить методы сопротивления материалов для решения
задачи о напряжениях и перемещениях, возникающих при кру-
чении таких брусьев.
Для целого ряда сечений, в частности для прямоугольного,
эта задача решена методами теории упругости.
180
Теория кручения призматических стержней некруглого сечения впервые
получила правильное решение в работе знаменитого французского учёного
Сен-Венана (1797—1886), опубликованной в 1855 г.
Значительный вклад в разработку теории кручения сделан отечествен-
ными учеными Г. В. Колосовым, Н. И. Мусхелишвили, Б. Г. Галеркиным,
А. Н. Динником.-
- Многочисленные исторические справки и обширный обзор литературы да-
ны в монографии И. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна «Кручение упругих тел»,
Физматгиз, 1963.
Характер деформации скручиваемого бруса прямоугольного
‘сечения можно наблюдать на резиновой модели с нанесенной на
ее поверхности сеткой продольных и поперечных рисок
(рис. 5.24, а). Примерный вид деформированного бруса показан
Рис. 5.24
на рис. 5.24,6. Коробление поперечных сечений, получающееся
в результате того, что отдельные их точки при деформации сме-
щаются вдоль оси бруса неодинаково, называется депланацией.
Эпюры касательных напряжений для точек контура попереч-
ного сечения показаны на рис. 5.25. В указанных точках напря-
жения направлены вдоль контура. Наибольшие касательные
напряжения возникают в точках, лежащих в серединах больших
сторон сечения, и определяются по формуле
Хшах=^'. (5.24)
WK — геометрическая характеристика прочности некруглого
бруса при его работе на кручение. Эта характеристика играет в
расчетах некруглых брусьев ту же роль, что и полярный момент
сопротивления для брусьев круглого сплошного и кольцевого
поперечных сечений. Значение определяется в зависимости от
181
абсолютных размеров сечения и соотношения- его сторон по
формуле
WK=ab4i, ч (5.25)
где а — табличный коэффициент, зависящий от отношения h : b
(см. табл. 5.1);
b — меньшая сторона прямоугольника.
Угол закручивания участка бруса при постоянных крутящем
моменте и размерах сечения определяется по формуле
GJK
JK — геометрическая характеристика крутильной жесткости
некруглого бруса, вычисляемая по формуле
JK = $b3/i. (5.27)
Значения коэффициента р, зависящего от отношения h: b,
приведены в табл. 5.1.
Таблица 5. 1
Коэффициенты для определения геометрических характеристик
WK И Jk
h b 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 8,0 10,0 00
ОС 0,208 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,307 0-,312 0,333
0,141 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,307 0,312 0,333
т 1,00 0,86 0,79 0,77 0,75 0,74 0,74 0,74 0,74 0,74
Напряжения, возникающие в серединах коротких сторон се-
чения, связаны с максимальными зависимостью
^ = 'ПтаХ. (5.28)
Коэффициент у берется по табл. 5.1.
Прочность и жесткость прямоугольного бруса при кручении
значительно ниже, чем круглого с равновеликой площадью се-
чения. Эта разница возрастает с увеличением отношения сторон
прямоугольника. Рис. 5.26 дает представление об относительной
затрате материала при применении брусьев с различными фор-
мами поперечного сечения (при условии их равнопрочности).
Пример 5.5. Определить требуемые размеры прямоугольного поперечного
сечения (/г: 6 = 2,5) бруса, скручиваемого моментом /п='2,'5 КН'М. Принять
[тк] = 50 н/мм2; [фо] = 0,5 град/м.
182
Решение, На основании формулы (5.24) условие прочности
z
W = -^к~ < N], откуда
В данном случае крутящий момент постоянен Мг = т = 2,5 кн-м =
= 2,5 • 106 н • мм, следовательно,
2 5-106
Ц7К > --- = 50-103 мм\
50
По формуле (5.25),
17к = а62/г = 0,25862-2,56 = 0,64563,
Рис. 5.26
где а= 0,258 (см. табл. 5.1). Определяем размер Ь:
, 1 / -J /50 - Юз
У 0,645 У 0,645
На основании формулы (5.26) условие жесткости
откуда
г >
Мг.
То= -/ГТ- < [<PoL
Gjk
------2’ "о11?3"---= 359-Ю-8 ж4 = 359-104 жл4.
8,0-1010--/=-0,5
По формуле (5.27)
/к = рб3А = 0,24963-2,56 = 0,62264, -
где р = 0,249 (см. табл. 5.1). Определяем размер 6:
4 Г j
1 /
у 0,622
4 /~ 359-1О4
У 0,622
= 48 мм.
Этот размер и принимаем в качестве окончательного.
Вычисляем величину болыйей стороны сечения и его площадь
h = 2,5b = 2,5-48 = 120 мл^
Fnp == bh = 48-120 = 57,6-102 мм2.
183
Требуемый диаметр бруса круглого поперечного сечения при тех же ис-
ходных данных d.^73 мм (читателю рекомендуется проверить этот резуль-
тат) ; соответствующая площадь сечения
тс 3,14
FKp = — = —-782 = 47,8-102 мм2.
Отношение масс брусьев прямоугольного и круглого сечений равно
отношению площадей гпр : FKp = 57,6 : 47,-8 = 1,21.
* § 5.6. КРУЧЕНИЕ БРУСЬЕВ ТОНКОСТЕННОГО
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
Данные табл. 5.1 показывают, что для прямоугольного сече-
ния при возрастании отношения h: b коэффициенты аир стре-
мятся к одному и тому же значению: а=р = 7з- Следовательно,
для бруса, поперечное сечение которого представляет собой вы-
тянутый прямоугольник (полосу), геометрические характеристи-
ки прочности и жесткости могут быть вычислены по формулам
(5.29)
4=4-Й’. (5.30)
о
Здесь меньшая сторона прямоугольника (толщина полосы)
обозначена б взамен ранее принятого обозначения Ь.
Эти же формулы применимы и для незамкнутых тонкостен-
ных сечений, ограниченных кривыми линиями; например, таких
сечений, как изображены на
рис. 5.27. При этом под h следует
понимать большую сторону пря-
Ш моугольника, в который обратится
4 ~(|----------- сечение, если его мысленно рас-
fh прямить.
| Точность формул (5.29)» (5.30)
для подавляющего большинства
практических расчетов достаточ-
Рис. 5.27 на при условии, что отношение
сторон сечения h : б^ 5.
Для тонкостенных сечений, которые можно рассматривать
состоящими из отдельных узких полос (рис. 5.28) с отношением
сторон hi: бг-> 5, геометрическая характеристика крутильной
жесткости может быть определена по следующей приближенной
формуле:
(5.31)
Эта формула получена без учета взаимодействия между от-
дельными прямоугольниками, составляющими сечение (жест-
184
кость сечения принята равной сумме жесткостей отдельных пря-
моугольников), и для большинства сечений дает значение /к>
несколько меньшее действительного.. Более точный результат
дает формула
<5-з2>
в которую введен поправочный коэффицинет tj; его значения ука-
заны на рис. 5.28.
Рис. 5.28
Для определения относительного угла закручивания служит
формула
Ъ=~~ (5.33)
0/к
Касательные напряжения, возникающие в поперечном сече-
нии, во всех его точках направлены параллельно контуру. Наи-
большие напряжения возникают в средних-, точках длинных сто-
рон прямоугольника, имеющего наибольшую толщину
(5.34)
lvK JK
При вычислении напряжений поправочный коэффициент т]
не учитывают, т. е. величину JK вычисляют по формуле (5.31).
1Пр.имене)ние для работающих на ®ручение элементов. конструк-
ций брусьев тонкостенного незамкнутого (открытого) профиля
не выгодно: их жесткость и прочность существенно ниже, .чем
брусьев круглого поперечного сечения (при равной площади се-
чения, т. е. при одинаковой затрате материала).
Приведенные формулы применимы при условии, что депланациям попе-
речных сечений ничто не препятствует, т. е. брус работает на. чистое (или
свободное) кручение. В противном случае (стесненное кручение) в по-
перечных сечениях бруса возникают не только касательные, но и нормальные
напряжения; при этом, помимо касательных напряжений, таких же, как и
при чистом4 кручении, возникают дополнительные касательные напряжения.
Стесненное кручение брусьев тонкостенного открытого профиля наиболее пол-
но исследовано в трудах члена-корреспондента АН СССР В. 3. Власова
185
(1906—1958). Сведения о научной деятельности В. 3. Власова приведены в
некрологе, помещенном во втором издании его монографии «Тонкостенные
упругие стержни», Физматгиз, 1959.
Пример 5.6. Выяснить, как изменятся прочность и жесткость на кручение
бруса тонкостенного кольцевого сечения (рис. 5.29, а), если сделать разрез
вдоль его образующей (рис. 5.29, б). Ширину разреза считать весьма малой.
При деформации бруса грани разреза друг на друга не давят. D : 6=20.
Решение. Определим полярный момент инерции тонкостенного кольца
Jp = f p2rfF.
F
В силу малой разницы между внутренним и наружным диаметрами
кольца можно принять для всех точек сечения р = 0,5£), тогда
1)2
F =
(тс/)3?»
fc. И
где F—nD8 (см. вывод формулы для полярно-
го момента инерции).
7 Полярный момент сопротивления
Jp tcZ)2B
Wp = Q,bD = 2
Эти формулы для Jр и W-p дают достаточ-
ную точность лишь при D : 6> 10, т. е. приме-
нимы лишь для тонкостенных колец.
Рис. 5.30
Рис. 5.29
Тонкостенное кольцо с разрезом по прочности и жесткости эквивалентна
прямоугольнику со сторонами 6 и jiD. При отсутствии разреза прочность
характеризуется величиной Wp, а жесткость — Jp, При наличии разреза —
соответственно
/го2 п
WK = — и JK = —— . Здесь h = ~D.
3 3
Итак, прочность неразрезанного кольца больше прочности кольца с раз-
резом в отношении
тс1)2В
~ __3 -g _зо
П7К "До2 2 &
3
186
Аналогично найдем соотношение жесткостей
tcD3S
JP 4 3 ( D \2
-7- -------= — — = 300.
JK tcZJS3 4 \ 5 J
3
Таким образом, наличие разреза снижает прочность бруса в 30 раз,
а жесткость — в 300 раз.
Пример 5.7. Сравнить прочность и жесткость на кручение брусьев дву-
таврового (профиль № 20 по ГОСТ 8239—56) и круглого сечений при усло-
вии, что площади сечений равновелики.
Решение. На рис. 5.30 дано схематизированное изображение двутаврового
профиля № 20 и показано равновеликое круглое сечение. По ГОСТ 8239—56,
ГдВ=26,4 см2, по условию, / дв = Гкр, откуда диаметр круглого сечения
~d3 26,4-4
F»B = FK0 -----= 26,4 сл/2 и d = ——- = 5,81 cm.
дв кр 4 > 3 14
Геометрические характеристики жесткости и прочности для круглого
сечения:
р
itd* 3 14-5 8Н о 112
р 32 32 ’ р 0,5-5,81
Для двутаврового сечения по формуле (5.32), принимая т| = 1,2 (см.
рис. 5.28), получаем
JK = 1,2- (18,36• 0,52з + 2-10-0,823) = 5,44 см*.
О '
Жесткость бруса круглого сечения больше, чем двутаврового, в отноше-
нии
Jp 112
— = ---------= 20,6.
Л 5,44
Геометрическая характеристика прочности двутавра
Mj+2/г^ 18,36-0,523 + 2-10.0,823 к KQ , '
1ГК =------------=-------------------:-------=5,53 см3.
3Smax 3-0,82
Прочность бруса круглого сечения больше, чем двутаврового,- в отноше-
нии
Wn 38,6
—=-----------= 6,98.
WK 5,53
§ 5.7. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ \
При кручении так же, как и при других видах деформации
бруса, работа внешних сил (скручивающих моментов) расхо-
дуется на создание в деформированном теле определенного за-
паса энергии (потенциальной энергии деформации). Выведем
формулу для определения этой энергии, рассматривая брус,
жестко заделанный одним концом и нагруженный на свободном
187
конце скручивающим моментом т (см. рис. 5.7). Как и ранее
(см. § 2.4), будем считать, что нагружение осуществляется стати-
чески в пределах справедливости закона Гука. Таким образом,
зависимость между скручивающим моментом и углом закручи-
вания линейная. График этой зависимости представлен на
рис. 5.31.
Из курса теоретической механики известно, что работа мо-
мента (пары сил) равна его произведению на угол поворота. При
приращении угла поворота на
величину zZqp соответствующая эле-
ментарная работа
dA = md<$.
Эта работа выражается”на гра-
фике (см. рис. 5.31) площадью гу-
сто заштрихованной трапеции, ко-
торую по малости с/ф можно рас-
сматривать как (прямоуголь-
ник.
Вся работа, очевидно, выра-
зится площадью треугольника, за-
штрихованного на рис. 5.31, т. е.
(5.35)
где тк и фк — соответственно конечные значения скручивающе-
го .момента и угла закручивания.
Таким образом, получено выражение теоремы Клапейрона
(см. § 2.4) для случая кручения.
Учитывая, что работа внешних сил (моментов) равна энергии
деформации и в рассматриваемом случае крутящий момент, во
всех сечениях одинаков AlZK = mK, имеем
___'А -^гк'-рк
2
(5.35а)
Опуская индекс «к» и выражая угол закручивания по форму-
ле (5.10), окончательно получаем следующее выражение для
энергии деформации при кручении участка бруса, в пределах
которого Mz=const и Jp — const,
лф
2GJp
(5.36)
-При ступенчатом изменении сечения или крутящего момента
и^~
2GJDl
(5.37)
188
В случае, если Mz или Jp (или обе эти величины) изменяются
по длине отдельных участков непрерывно, следует пользоваться
формулой (см. также стр. 61).
^\^р- (5.38)
. ч
Все приведенные здесь формулы справедливы и для брусьев
некруглого сечения при замене Jp на /к.
§ 5,8. КРУЧЕНИЕ БРУСЬЕВ ТОНКОСТЕННОГО
ЗАМКНУТОГО ПРОФИЛЯ *
Трубчатые тонкостенные брусья различного профиля
(рис., 5.32) широко применяют в авиационных и ряде других кон-
струкций для уменьшения их веса. Жесткость и прочность таких
брусьев при кручении существенно выше, чем тонкостенных
брусьев, открытого профиля при одинаковой затрате материала.
Рис. 5.32.
Вывод формул для определения напряжений и углов закру-
чивания основан на следующих двух допущениях.
1. Касательные напряжения, возникающие в поперечном се-
чении работающего на кручение бруса, равномерно распределе-
ны по толщине стенки профиля (рис. 5.33).
2. Касательные напряжения в любом месте профиля направ-
лены параллельно касательной к средней линии стенки в рас-
сматриваемом месте (см. рис. 5.33).
Рассматривая брус, поперечное сечение которого представляет собой
тонкостенное круговое кольцо (см. пример 5.6), легко понять, что на основе
первого из указанных допущений определяют не максимальные, а сред-
ние (по толщине стенки) напряжения. На этом же примере (учитывая, что
для кругового кольца имеется точное решение) можно установить величину
погрешности, обусловленной принятым допущением: при б : D <0,1 погреш-
ность не превышает 10%.
Второе допущение дает погрешность (небольшую) лишь при переменной
толщине стенки.
* Параграф составлен в основном по лекциям доктора техн, наук
проф. С. Д. Пономарева,
189
Выделим из скручиваемой трубы (рис. 5.34, а) двумя произ-
вольными сечениями А-А и В-В .некоторую ее часть, показан-
ную отдельно на рис. 5.34, б. На основе закона парности каса-
тельных напряжений заключаем, что в продольных сечениях
трубы возникают такие же касательные напряжения, как и в со-
ответствующих местах поперечного сечения. Из условия равно-
весия выделенной части трубы, проектируя действующие на нее.
силы на ось г, получаем
— Ц- t282Z=0,
откуда
TjBj — т2о2.
Рис. 5.33
Рис. 5.34
Так как сечения А-А и В-В были выбраны совершенно про-
извольно, то, следовательно, произведение тб одинаково в любом
месте контура.
Как известно, крутящий момент представляет собой резуль-
тирующий момент внутренних касательных сил, возникающих в
поперечном сечении бруса,
Mz = 'iZhds,
S
где ds — длина элемента средней линии стенки трубы,
h — плечо элементарной силы (тб^$), возникающей на пло-
щадке bds (рис. 5.35).
Суммирование (интегрирование) распространяется на всю
длину средней линии стенки.
Согласно доказанному выше, произведение тб — величина
постоянная и может быть вынесена за знак интеграла:
= hds.
S
190
Произведение hds представляет собой удвоенную пло-
щадь (d®) треугольника, заштрихованного на рис. 5.35:
hds=2d(o.
Следовательно,
^hds=2w,
S
где о — площадь, ограниченная средней линией стенки трубки
(заштрихована на рис. 5.36).
Таким образом,
Наибольшего значения напряжение достигает там, где стенка
трубы имеет минимальную толщину, и, следовательно, условие
прочности
Если профиль имеет входящие углы, например, прямоуголь-
ное коробчатое сечение, то эти углы должны быть скруглены, так
как в противном случае там возникают высокие местные напря-
жения (явление так называемой концентрации напряжений),
значительно превышающие ттах,.определяемое по формуле (5.40).
Отметим, что в брусьях открытого тонкостенного профиля
наибольшее напряжение возникает в самых толстых частях про-
филя (см. стр. 185), а при замкнутом профиле — в самых узких
его местах.
Для определения угла закручивания приравняем работу, со-
вершаемую скручивающим моментом, энергии деформации, на-
капливаемой брусом,
A=U.
(а)
191
По формуле (5.35)
2 2
рассматриваем случай, когда крутящий момент во всех попереч-
ных сечениях бруса одинаков.
Энергия деформации, накапливаемая в элементе объема
dV=($ds)l трубы,
dU= ttdV.
удельная энергия деформации при чистом
По формуле (3.9)
сдвиге
т2
11 = ---- ,
2G
следовательно,
dU= — blds
2G
и
и blds.
J 2G
Подстановка значений А и U в зависимость (а) дает
-^=4 *-Uds.
2 J 20
$
Заменяя т по формуле (5.39), имеем
2*4= с М1.......
2 J 2G4&2«>2
Откуда окончательно
Mzl (• ds
га —---- \ --- .
4Gw2 J 3
s
В случае постоянной толщины стенки
, Mzls
4G«>2& ’
(5.41)
(5.42)
линии стенки.
(5.41) и (5.42) называют формулами
где s — длина средней
Зависимости (5.39),
Бредта.
Можно доказать, что из всех тонкостенных брусьев замкну-
того профиля, имеющих одинаковую толщину стенки и длину ее
средней линии (т. е. при одинаковой затрате материала), наи-
большей жесткостью и прочностью обладает брус, сечение кото-
рого— круговое кольцо.
192
(5.44)
Из формул (5.40) и (5.41) следует, что геометрические харак-
теристики прочности и жесткости при кручении для рассматри-
ваемых брусьев определяются выражениями
Жк=2о)8ш1п; ' (5.43)
j 4«Д «
к~ с ds
Пример 5.8. Определить при [тк] = 80 н/мм2 допускаемую величину крутя-
щего момента для дюралевой трубы (рис. 5.37). При найденной величине
[Мг] определить относительный угол
Решение. Из условия прочности
Ттах Гк •
закручивания, если G = 2,7-104 н'/мм2.
Mz
Збцпп10
nR2
допускаемый крутящий момент [Л42] = 26min ш [тк], где «> = ———пло-
щадь полукруга, ограниченного штрих-пунктирной линией.
r.R2
[Mz] = 26min—[тк] = 3.3,14-402.80 = 1206-Юз н-мм = 1206 н-м.
Относительный угол закручивания определим по формуле (5.41), приняв
2=1,
Mz г d s
= ------ \ ---- •
4Go>2 j 5
Интеграл, входящий.в формулу, представим как сумму двух интегралов:
первого в пределах криволинейной и второго — прямолинейной частей профи-
ля; кроме того, учтем, что в пределах каждой из указанных частей толщина
стенки постоянна.
f ds
J б
S
Окончательно
С ds С ds s. s2 nR 2R
J бх Н2 61 о2 8, 62
51 s2
_ Mz / r.R 2R \__________1206-IO3_______
/ u/?2 \2 ( 5 + 62 / / 3,14-402 \2 >
4G —- 41 2 ‘ 4-2,7-10H-2-
k 2 J \ 2 )
/3,14-40 2-40\ „ , '
X -------~= 1,025-10 4 рад/мм = 0,1025 рад{м.
\ о J
7-1451
193
§ 5.9. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СЛУЧАИ РАСЧЕТА
НА КРУЧЕНИЕ
Задача расчета на кручение является статически неопредели-
мой, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сече-
ниях бруса, не могут быть определены с помощью одного лишь
метода сечений. Для ее решения дополнительно к уравнениям
статики должны быть составлены уравнения перемещений, осно-
ванные на анализе геометрических условий деформации рассчи-
тываемой системы, х
Решение статически неопределимых задач на кручение рас-
смотрим на следующих примерах.
Пример 5.9. Определить из расчета на прочность при [тк] = 60 н[мм* допус-
каемое значение скручивакэщего момента т для бруса, жестко защемленного
обоими концами и нагруженного, как указано на рис. 5.38, а.
Решение. В заделках возникают реактивные моменты тА и тв, их пред-
положительное-направление показано на рис. 5.38, а.
В данном случае статика дает одно уравнение равновесия (для системы
пар сил, действующих в параллельных плоскостях)—сумма моментов отно-
сительно продольной осн бруса равна нулю:
= 0; ,
— fnA + 2/z? — т тв = 0, или тА — тв = т. (а)
Таким образом, задача один раз статически неопределима — одно урав-
нение статики и два неизвестных реактивных момента.
Заметим, что рассматриваемая задача аналогична примеру 2.21.
Для составления уравнения перемещений отбросим правую .заделку,, за-
менив ее действие на брус не известным пока реактивным моментом тв=Х.
Полученная таким образом статически определимая система (рис. 5.38, б)
эквивалентна заданной и, следовательно, угол поворота сечения В равен
нулю:
Применяя принцип независимости действия сил, запишем уравнение пере-
мещений в виде
Тв = + Чвтг + Чвх = °- <б)
При действии только момента /щ угол поворота сечения В равен углу
закручивания участка АС, т. е.
2т-2а
<?Вт1 = ?А С = ~~Х~г
Аналогично при действии только момента т?
/ т-За т-2а \
ТВт2 ^АЕ УAD + 'РDE ( (-} г G f /'
Знак .минус поставлен потому, что момент направлен противополож-
но моменту mi.
При действии только момента тв = Х получим
Х-5« Х-За
Чвх ~ ?АВ = VAD + <?DB = Cr l + G I
UJP1 p2
194
Рис. 5.38
7*
195
v.d^
Для упрощения вычислений выразим J —- через
1 32
<4
—51Я! 5.
jP2
поворота в уравнение (б) и учитывая
получаем
— 2т + —— + ЗХ = 0,
5
"32~;
Подставляя значения углов
соотношение между J
4т
~~5~
Рг
5т
~5~
откуда
.х И
X = тп — — т.
в 20
Подставляя значение тв в уравнение равновесия (а), найдем
31
тд == —т.
А 20
После раскрытия статической неопределимости эпюра крутящих момен-
тов строится, как обычно (см. пример. 5.1). Эта эпюра представлена на
рис. 5.38, в.
Построение эпюр тжах и ф совершенно аналогично рассмотренному в при-
мере 5.1; эти эпюры даны на рис. 5,38, г и д.
Опасными являются сечения участка /V (В£). Заметим, что сечения, в
которых возникают наибольшие крутящие моменты (участок ДС), в данном
случае менее опасны.
Условие прочности
откуда
603.60 , л
\т\ =------- =------L = 463-Ю4 н-мм = 4,63 кн-м.
1 J 2,8 2,8
Пример 5.10. Стальной валик и медная трубка заделаны одним концом,
а другим неизменно скреплены с жестким диском, к которому приложен скру-
чивающий момент т=3 кн- м (рис. 5.39).
Определить коэффициенты запаса прочности для валика и трубки
если для стали предел текучести тт с = 210 н/.юи2, а для меди ттм =
= 120 «/лгж2. Модуль сдвига для стали Gc = 8-104 HjMAfl и для меди
GM = 4-104 н[мм2.
196
Решение. Рассекая валик и трубку произвольным поперечным сечением
и рассматривая условие равновесия правой оставленной части, показанной от-
дельно на рис. 5.40, получаем
^z вал 4" тр = М.
Для' определения двух неизвестных крутящих моментов мы располагаем
лишь одним уравнением статики, следовательно, система один раз статически
неопределима. Заметим, что в отличие от предыдущей задачи реактивный
момент в заделке в данном случае определяется из уравнения равновесия си-
стемы тА==т, но внутренние крутящие моменты определить с помощью толь-
ко лишь метода сечений невозможно.
Очевидно углы поворота правых концевых сечений валика и трубки оди-
наковы, так как они жестко связаны с диском
?вал — ?тр-
Это и есть уравнение перемещений нашей задачи. Применяя формулу
(5.10), получаем
откуда
G<Vрвал GMJр Тр
GcJp вал
Вал — тр- {
'АУр тр
Учитывая, что Gc = 2GM и подставляя числовые значения,
к404
2~й~
/48\щ Мг тр = 0,4ЮМг тр-
1 ~ (б5/ J
имеем
откуда
БЭЛ — ле Г
и654
32 .
Используя уравнение статики, получаем
0,410Л4г Тр + Mz тр =
твал —
°-29-3-,№ = 69,2
3,14
-----403
16
m
Мгтр ~ — 0,71/тг и Л4гвал = 0,29т.
Максимальные касательные напряжения в поперечном
Мгвал _ 0,29m
р вал
16
Максимальные касательные напряжения в поперечном
Мгтр 0,71m 0,71-3-106
Wр тр itD3 Г / dQ у 1
16 L \£>/J
Коэффициенты запаса прочности:
3,14-653
16
сечении
сечении
валика
трубки
= 56,3 н]мя2.
для валика ивал
ттс
твал
Ттм
для трубки Z2Tp =
ттр
210
—- = 3,03,
69,2
120 п
- = 2,13.
56,3
197
§ 5.10. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН
Винтовыё пружины широко применяют в различных областях
машиностроения и приборостроения в-качестве элементов амор-
тизирующих— смягчающих точки и удары — устройств (напри-
мер, рессоры некоторых типов трамвайных вагонов), а также для
возврата движущихся де-
талей в исходное положе-
ние (например, клапан-
ные пружины двигате-
лей); для силоизмерения
(в динамометрах); в ка-
честве устройств, аккуму-
лирующих энергию (бое-
вые пружины огнестрель-
ного оружия), и элемен-
тов регистрирующих и за-
писывающих приборов.
По форме винтовые
пружины делятся на ци-
линдрические, конические
и фасонные. Здесь рас-
смотрим только расчет
цилиндрических винтовых
пружин растяжения (рис.
5.41, а) или сжатия (рис.
5.41,6), изготовленных из
проволоки круглого попе-
речного сечения.
Расчет пружин растяжения и сжатия на прочность и жесткость одинаков,
но для пружин сжатия при Я: D >2,6 (Я — высота пружины в свободном
состоянии; D — ее средний диаметр)—возникает опасность потери устойчи-
вости (выпучивания). Такие сравнительно высокие пружины монтируют в
гильзах или на оправках, препятствующих выпучиванию пружин. Расчет пру-
жин на устойчивость см. в монографии [38/.
Угол наклона (а) витков пружины будем считать небольшим
а 15°) : только при этом условии излагаемая ниже прибли-
женная теория дает удовлетворительные результаты.
Рассечем виток пружины (рис. 5.42, а) плоскостью, проходя-
щей через ее ось. Учитывая введенное ограничение, можем счи-
тать, что это сечение является для витка поперечным, т. е. при-
нимаем а = 0 и рассматриваем пружину как бы состоящей из
колец, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к ее про-
дольной оси. Рассматривая равновесие отсеченной части пружи-
ны, изображенной-отдельно на рис. 5.42,6, заключаем, что в по-
198
перечном сечении витка возникают два внутренних силовых
фактора*):
поперечная сила
Qy=P
” и крутящий момент
М=Р~ .
z 2
Таким образом, в поперечном сечении витка возникают толь-
ко касательные напряжения. Для их определения введем два
допущения:
1. Касательные напряжения, связанные с наличием крутяще-
го момента, определяются так же, как при кручении прямого
бруса круглого поперечного сечения. Эпюра этих напряжений
для точек горизонтального диаметра дана на рис. 5.43, а.
2. Касательные напряжения, связанные с наличием попереч-
ной силы, распределены по сечению равномерно. Эпюра этих
напряжений дана на рис. 5.43,6.
Суммируя касательные напряжения, возникающие в точках
горизонтального диаметра сечения витка, получаем результи-
рующую эпюру, показанную на рис. 5.43, в.
Опасной, очевидно, оказывается точка А, ближайшая к оси
пружины.
* Если учитывать угол наклона витка, получим четыре внутренних сило-
вых фактора:
Nz — P sin a; Qy = Р cos а;
D D
МГ = Р------sin a; Mz — Р------COS а.
х 2 2
199
Для этой-точки имеем
— ^тах = Шах
или, учитывая, что '
Mz Р~2 8PD
шахт^ =—s
z Wp
и
Ttrf2
7trf3 7Cflf3 .
IT
Р
Qy
XQy~~F
(б)
Обозначая отношение среднего диаметра пружины (D)
к диаметру проволоки (d) через сп, т. е.
D
d
перепишем выражение (а), в виде
8Р£> Л , ’ I \
^шах —--------------------— 1 Н------ •
ud3 \ 2сп /
Отношение cn=D'.d называют индексом пружины;
обычно сп=5—-12.
При указанных значениях сп второе слагаемое в скобках со-
ставляет не более 0,1 от первого. Если пренебречь вторым сла-
гаемым, т. е. учитывать лишь напряжения от кручения, пренебре-
гая напряжениями, соответствующими поперечной силе, полу-
чится следующая приближенная формула:
_ 8PZ)
Т'тах ' '
тса3
(в)
200
Эта формула дает величину напряжений,, меньшую действи-
тельной, т. е. погрешность формулы идет не в запас надежности ра-
счета. Формула (-в) приближена не только из-за пренебрежения
влиянием поперечной силы: более существенная погрешность
получается из-за того, что при ее выводе не учтена кривизна вит-
ков. Действительно, (распределение напряжений от кручения
принято без должных оснований таким же, как для прямого
бруса круглого сечения, а ось витков пружины представляет со-
бой .пространственную кривую —винтовую линию.
Исследования напряжений в пружинах, выполненные мето-
дами теории упругости, позволяют уточнить значение ттах путем
введения в формулу (в) поправочного коэффициента, зависящего
от индекса пружины и угла подъема ее витков.
С учетом.указанного коэффициента условие прочности пру-
жины имеет вид
^тах = &-^р- < Н- (5.45)
тш3
Значения поправочного коэффициента k можно принимать по
следующим данным (без учета влияния угла а):
сп 4 5 6 8 10 12
k 1,37 1,29 1,24 1,17 1,14 1,11
Несколько менее точное, но вполне приемлемое >для практи-
ческих расчетов значение k получается по формуле
^==.4сп_±1 . (5.46)
4сп 4
Пружины изготовляют из высококачественной стали, по-
этому допускаемые напряжения, принимаемые при их расчете,
имеют весьма высокие значения: [т] = 200—1000 н/мм2.
Выведем формулу для определения изменения высоты пру-
жины под нагрузкой (для пружин сжатия эту величину называ-
ют осадкой). Работа внешней статически приложенной силы
определяется по теореме Клапейрона
А = ~~~> (D
где Р и X—конечные значения растягивающей (сжимающей)
силы и перемещения точки ее приложения (осадки пружины).
Эта работа равна энергии деформации пружины, которая мо-
жет быть вычислена по формуле (5.36).
201
Энергией, связанной с наличием поперечных сил, пренебре-
гаем. В выражении (II) под I следует понимать полную .длину
проволоки пружины где п — число витков.
Учитывая, что Mz—P— и /р = —, и приравнивая пра-
2 32 ' >
вые части выражений (I) и (II), получаем
Р\
2
тиР
ж-—
. 32
или окончательно
К
Gd±
(5.47)'
Пользуясь понятием о коэффициенте жесткости, можно пред-
ставить формулу (5.47) в виде ~
- (5.47а)
где —коэффициент жесткости пружины, численно
равный силе, вызывающей осадку, равную единице длины.
Если' вместо коэффициента жесткости ввести величину,
ему обратную, — коэффициент податливости, будем иметь
Х = рР, (5.476)
где р=—------ —коэффициент податливости пружины, численно
- Gd*
равный изменению ее высоты, вызываемому
силой, равной единице.
Ряд исследований по расчету пружин выполнен в Московском Высшем
техническом училище им. Н. Э. Баумана проф. С. Д. Пономаревым и его.
сотрудниками. -
Методы проектирования конических и фасонных пружин (с учетом по-
. садки витков) разработаны проф. Е. П. Поповым.
Пример 5.11. Спроектировать цилиндрическую пружину сжатия из прово-
локи круглого сечения, имеющую заданную рабочую характеристику
(рис. 5.44, а).
При наибольшей нагрузке Ркън расчетное напряжение в пружине не
должно превышать допускаемого [т] = 430 н1мм?\ принять сл=6.
Решение. Характеристикой пружины называется зависимость между на-
грузкой пружины и изменением ее высоты, задаваемая обычно в виде графика.
На рис.. 5.44, б показана пружина в свободном состоянии (Х=0). При
установке, в механизм пружина получает предварительную осадку Хнач, соот-
ветствующую силе Анач = 200 н. Предварительно сжатая пружина показана
/ на рис. 5.44, в. При работе механизма пружина дополнительно сжимается на
величину Хр=35 мм (Хр—рабочий ход пружины). Пружина, сжатая наи-
202
большей рабочей нагрузкой РКон=800 н, показана на рис. 5.44, г. При этой
нагрузке между витками пружины имеются небольшие зазоры. Если увели-
чить нагрузку до значения Рпред, то витки сомкнутся («сядут» друг на друга),
и при дальнейшем увеличении нагрузки пружина будет работать как^брус.
Поскольку укорочение такого бруса весьма мало по сравнению с осадкой пру-
Рис-. 5.44
жины, можно считать что после посадки витков дальнейшее возрастание на-
грузки не вызовет увеличения осадки, т. е. характеристика при Р>Рпред пред-
ставляет собой прямую, параллельную оси ординат. Конечно, приведенные
рассуждения носят несколько отвлеченный характер, так как нагрузка выше
Ркон не должна допускаться.
Спроектировать пружину — это значит определить D, d, и п. Требуемый
диаметр проволоки определим из условия прочности пружины
203
rmax
.где k = 1,24 (см. стр. 201).
D
, — -Рп»
a
, . 8Ркон^
— К -----—
Учитывая, что
получаем
, откуда
d >
^Ркон^п
k&PКОНСП
1,24.8.800-6 г
—————— =5,93 мм\
3,14-430
принимаем d = 6 мм, тогда D = cnd = 6-6 = 36 мм.
Определяем
ДР = Ркон '— Рнач
на /.р = 35 мм.
число витков, . учитывая, что приращению нагрузки
= 800 — 200 = 600 н соответствует возрастание -осадки
_ 8ДРРзп
’р “ Gd±
откуда
Gd% 8-104-64-35
п ---------- __-------------
8 ДР/)3 8-600-363
= 16,2,
G—8 • 104 н/мм2.
число витков пружины сжатия должно быть на 1,5—2 витка
больше числа рабочих витков (полученного по расчету), так как крайние вит-
ки, соприкасающиеся с опорными тарелками,
практически не участвуют, в деформации пру-
жины. В нашем случае можно принять
«долн=18. Учитывая, что высота спроектиро-
ванной пружины в свободном состоянии при-
мерно в четыре раза больше ее среднего диа-
метра, следует смонтировать пружину в гиль-
зе или на оправке, чтобы исключить опасность
ее выпучивания (потери устойчивости).
Пример 5.12. Две пружины, имеющие оди-
наковую высоту, вставлены одна в другую
(так называемая концентрическая пружина) и .
. сжимаются силой Р, передающейся через же-
сткую тарелку АВ на обе пружины (рис. 5.45).
Определить допускаемое значение силы Р и
опускание тарелки АВ. Количество' рабочих
витков пружин П1 = 8; Пг=10. ”
пряжение [т] = 400 н/мм2.
Решение. На тарелку АВ
сила Р, а снизу — реакции
сжимающим их силам Pi и
.новесия тарелки АВ дает
P=Pl+P2. (I)
Таким образом^ для выражения усилий в
пружинах через внешнюю силу имеем лишь
следовательно, задача статически неопределима
где принято
Полное
Р
В
Рис. 5.45
(И*
DfbO-
Допускаемое на-
сверху действует
пружин, равные
Р2. Условие рав-
одно уравнение статики,
(один раз). ’ z
В силу жесткости тарелки АВ осадки пружин будут одинаковы: Xi=?»2.
Это и есть уравнение перемещений нашей задачи., Выражая М и Х2 по фор- .
муле (5.476), имеем Pi Pi = p2 Р% ’
204
А
или
А = ~ А, - (П)
Pi
где
>= = 8-4°3-8 =1,25-10-* ««/«;
Grf4 8-104-84
₽2 = = 3.13.10-2 ммЩ.
Gd* 8-1СИ-43
Подставляя значения и [з2 в (П), имеем
3,13-10~2 - Л
А == „ 7^2-—2,5^.
1,25-10~2
Из (I) получаем
или
А = 0,286Р
Условие прочности 1-й пружины:
, 8АА
— о
= 1,29 (при
Р = 2,5Р2 + Р2 = 3,5Р2,
и Р1==0,714А
г1 max
S-OJllPA
откуда, принимая
стр. 201), имеем
сп = 5 по данным, приведенным на
[т]
_^Л±18-4ОО_ = 0
1,29-8-0,714-40
1 J ^-8-0,714^
Условие прочности 2-й пружины:
8P2D2 8-0,286^7)2
------= k2
гП max ^2 о
™*2
откуда, учитывая, -что Х2 = kx — 1,29,
^2 М
ти/|
имеем
3,14-43.400
_ --------------- J360 м
^2-8-0,286Z>2 1,29-8-0,286-20
Таким образом, в более опасном состоянии находится вторая пружина
и допускаемая нагрузка ограничивается условием ее прочности. Принимаем
[.PJ — 1360 н. При этом первая пружина будет недогружена. Усилие в 'этой
пружине- Pi=0,714 [Р] = 0,714 • 1360=970 н и максимальные напряжения
8АА . ™ 8-970-40
т‘ ”ах = 1 "ТА = T1TF =250
[А
Осадка пружин при нагрузке, равной допускаемой,
kt =Х2 = = 1,25-10“ 2-970 = 12,1 мм.
Рекомендуем читателю самостоятельно решить эту задачу, но при усло-
вии, что до приложения силы Р между внутренней пружиной и тарелкой
имеется зазор 6 = 8 мм.
ГЛАВА VI
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
§ 6.1. СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Рассмотренные в предыдущих главах расчеты на растяжение
(сжатие) и кручение позволяют сделать вывод, что площадь
поперечного сечения бруса является геометрической ха-
рактеристикой его прочности и жесткости лишь при равномерном
распределении напряжений по поперечному сечению. При нерав-
номерном распределении напряжений, имеющем место при рабо-
те бруса на кручение, его прочность и жесткость зависят от новой
более сложной геометрической характеристики — полярного мо-
мента инерции (для бруса круглого сечения).
Нетрудно убедиться, что и в случае изгиба бруса площадь
сечения не может служить характеристикой его жесткости. Дейст-
вительно, из двух брусьев (рис. 6.1) с равновеликими площадями
поперечных сечений первый при данной нагрузке деформируется
значительно сильнее второго (например, при h\b = 2 прогибы
первого бруса в 4 раза больше, чем второг.о).
Эта глава курса посвящена ознакомлению со свойствами и
методами вычисления специальных геометрических характери-
206
стик плоских сечений, используемых при расчетах на изгиб, на
изгиб с растяжением и в ряде других случаев.
Вычисление этих характеристик связано с необходимостью-
определения координат центра тяжести сецения; при этом в рас-
четные .зависимости входят геометрические характеристики, на-'
зываемые статическими моментами сечения. Эти вопро-
сы были изучены в курсе теоретической механики, и здесь огра-
ничимся лишь кратким повторе-
нием основных положений.
Статическим моментом плос-
кого сечения (рис. 6.2) относи-
тельно оси Ои называется взятая
по всей площади сечения сумма
произведений площадей элемен-
тарных площадок на их расстоя-
ния до этой оси, т. е.
. Sa= f vdF.
F
Аналогично, статический момент сечения
оси Ov
относительно
Sv = J udF.
Очевидно, статический момент имеет размерность длины в
третьей степени (м3, см3, мм3).
.В зависимости от положения оси, относительно которой вычи-
сляется статический момент, он может быть положительным, от-
рицательным или равным нулю. При известных статических мо-
ментах и площади сечения координаты его центра тяжести
определяют по формулам
(6-2)
В случае известных координат центра тяжести статические
моменты определяют из выражений
Sa=Fvc, |
Sv=^Fuc. I
Из формул (6.2) вытекает весьма важное для дальнейшего
следствие: относительно любой центральной, т. е. проходящей
через центр тяжести, оси сечения его статический момент равен
нулю.
207
В тех случаях, когда сечение может быть разбито на про-
стейшие составные части, площади и координаты центров тяже-
сти которых известны, положение центра тяжести всего сечения
определяют no-формулам
ц F+ F2U2 4~ • • • 4~ Гпип
с г? I г । । г ’ -
п
___F-flh 4~ ^2^2 4~ • • • 4~ Г nvn
Fi 4- F2 + • • • + Fn
(6.3)
где Fi, F2 и t. д. — площади отдельных частей сечения, a Wi,
"" и2,..щ, v2 и т. д. — координаты их центров
тяжести.
Каждое из слагаемых, стоящих в числителе выражений (6.3),
является статическим моментом данной части -сечения относи-
тельно соответствующей оси. На рис. 6.3 приведен пример раз-
бивки сечения на простейшие составные части.
Для сечений, составленных из. профилей стандартного про-
ката (например, для-сечения, изображенного-на рис. 6.4), вели-
чина площади каждого профиля и остальные необходимые- для
расчетов размеры берутся из таблиц ГОСТа на прокатную сталь.
Пример 6.1. Определить координаты центра тяжести сечения, имеющего
форму полукруга радиуса R (рис. 6.5).
Решение. Центр тяжести находится на оси симметрии Ov, следовательно,
надо найти лишь одну координату Не-
определим статический момент сечения Su:
=. р
208
Разобьем сечение на бесконечно тонкие полоски шириной 2и и толщи-
ной dv, которые можно рассматривать как элементарные прямоугольники.
Тогда
d'F = 2udv.
Выразим координаты и и и через радиус и угол ср. Имеем
и = R cos ср; v = R sin ср,
dv найдем, беря дифференциал правой части выражения для v:
dv = d (R sin ср) = R cos cpcfcp.
После подстановки v и dF в выражение для Sa и интегрирования полу-
чаем
2 С 2
Su = J 2R cos ср (R cos ср) R sin cpcfcp = 2/?3 cos2 ср sin cprfcp = — R3.
о 0
Координату vc найдем по формуле (6.1):
2
Этот результат полезно запомнить.
Пример 6.2. Найти координату zc центра тяжести площади, ограниченной
осью абсцисс, параболой y = az2 и прямой z = l (рис. 6.6).
Решение. На основании формулы (6.1) имеем
Разобьем сечение на бесконечно тонкие полоски высотой y=az2 и толщи-
ной dz. Площадь всего сечения будет равна сумме площадей этих элементар-
ных полосок, т. е.
I
F = \ az%d z — —— ,
J &
о
209
или, учитывая, что al2=h, окончательно
Статический момент относительно оси Оу
I
f f аР М2
= \ zdF = \ zaz^dz — ~~ = ——-
y J J 4 4
F o
Координата центра тяжести
zc = — -
— М2
4-
1 "
— hl
3
§ 6.2. ОСЕВЫЕ И ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Осевым моментом инерции плоского сечения относительно
данной оси называется взятая по всей площади сечения сумма
Рис. 6.7
произведений площадей элементар-
ных площадок на квадраты их рас-
стояний до этой оси (рис. 6.7). Из
этого определения следует, что мо-
мент инерции относительно оси Ох
представляет собой определенный
интеграл:
Аналогично, момент инерции отно-
сительно оси Оу
Jy= J x2dF.
F
В технической литературе рассматриваемые характеристики
иногда называют экваториальными моментами инерции.
Осевой момент инердии является величиной существенно по-
ложительной, так как независимо от знака координаты произ-
вольной площадки соответствующее слагаемое положительно,
ибо в него входит квадрат этой координаты. Размерность осевого
момента инерции: длина в четвертой степени (м4, см4, мм4).
Пользуясь рис. 6.7, установим связь между полярным и осе-
выми моментами инерции сечения. По определению (см. стр. 166),
Jp= ( ?VF,
F
210
но
' p2=jc2-]-y2,
следовательно,
Jp= j fdF= f (x2+y2)o?/?= j y2 dF-\- j x2dF.
F F F F
Окончательно
Jp=Jx+Jy (6-4)
Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно
перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции от-
носительно точки пересечения этих осей (начала координат).
При определении осевых моментов инерции в некоторых слу-
чаях приходится встречаться с еще одной новой геометрической
характеристикой — центробежным моментом инерции. Эта гео-
метрическая характеристика представляет собой взятую по всей
площади сечения сумму произведений площадей элементарных
площадок на произведение их расстояний до двух данных взаим-
но перпендикулярных осей, т. е.
Jxy=\^ydF.
F
Центробежный момент инерции имеет размерность длины в
четвертой степени. В зависимости от расположения осей он мо-
жет быть как положительным, так и отрицательным и в частных
случаях равным нулю. Эти частные случаи, представляющие
наибольший практический интерес, специально рассматриваются
в следующем параграфе.
§ 6.3. ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
Оси, относительно которых центробежный момент инерции
равен нулю, называются главными осями (иногда их называют
главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоско-
сти сечения, можно провести в общем случае пару главных осей
(в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное мно-
жество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого
утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент
инерции при повороте осей на 90° (рис. 6.8). Для произвольной
площадки dF, взятой в первой квадранте системы осей хОу, обе
координаты, а следовательно, и их произведение, положительны.
В новой системе, координат ххОух, повернутой относительно пер-
воначальной на 90°, произведение координат рассматриваемой
площадки отрицательно. Абсолютная величина этого произ-
ведения не изменяется, т. е. xy = —^xxyi. Очевидно, то же имеет
место и для любой другой элементарной площадки. Значит и
211
знак суммы dFxy, представляющей собой центробежный момент
инерции сечения, при повороте осей на 90° меняется на противо-
положный, т. е.
•Лгу == “
В процессе поворота осей, очевидно, центробежный^момент
инерции изменяется непрерывно, и, следовательно, при не-
котором положении осей он становится равным нулю. Эти оси
и являются главными.
Хотя мы и установили, что главные осп можно провести через
любую точку сечения, но практический' интерес представляют
Рис. 6.9
только те из них, которые проходят через центр тяжести сече-
,ния — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило,
для краткости будем называть их просто главными осями, опус-
кая слово «центральные».
В общем случае сечения произвольной формы для определения
положения главных осей необходимо провести специальное иссле-
дование (см. § 6.7). Здесь ограничимся рассмотрением весьма важ-
ных частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну
ось симметрии (рис. 6.9).
Проведем через центр тяжести сечения ось Ох, перпендику-
лярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент
инерции Jxy. Воспользуемся известным из курса математики
свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сум-
ме интегралов) и представим /ху в виде двух слагаемых:
Jxy = xydF = § xydF-j- § xydF,
F Ft f2
тд£ Fi и Fz — части сечения, расположенные соответственно
справа и слева от оси симметрии. ^)чевидно,
j xydF= — j xydF, '
212
так как для любой элементарной площадки, расположенной
справа от оси симметрии, есть соответствующая — слева, для ко-
торой произведение координат отличается лишь знаком.
Таким образом, центробежный момент инерции относительно
осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси.
Итак., для нахождения главных осей симметричного сечения
достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из глав-
ных центральных осей является ось симметрии, вторая — ей
перпендикулярна.
Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если
ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр
Рис. 6.10
тяжести сечения, т. е. ось симметрии и любая ей перпендикуляр-
ная образуют систему главных осей. Но нецентральные главные
оси, как уже указывалось, интереса не представляют.
Осевые моменты инерции относительно главных- централь-
ных осей называются главными центральными (или сокращенно
главными) моментами инерции. Относительно одной из главных
осей йЪмент инерции максимален, относительно другой —
минимален (доказательство этого положения дано в § 6.7).
Например, для сечения, изображенного на рис. 6.9, максималь-
ным является момент инерции Jx (относительно оси Ох}. Конеч-
но, говоря об экстремальности главных моментов инерции,
имеется в виду лишь их сравнение с другими моментами инер-
ции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту
ж е т о ч к у с е ч е н и я.
Таким образом, то-обстоятельство, что один из главных моментов инер-
ции максимален, а другой минимален, можно рассматривать как объяснение
того, что они (и соответствующие оси) называются главными. Равенство же
нулю центробежного момента инерции относительно главных осей'— удобный
признак для их нахождения.
Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правиль-
ный шестиугольник и др. (рис. 6.10), имеют бесчисленное мно-
жество главных центральных осей. Для этих сечений любая цен-
тральная ось является главной.
213
Не приводя доказательства, укажем, что в случае, если два
главных центральных момента инерции сечения равны между
собой, то у этого сечения любая центральная ось является глав-
ной и все главные центральные моменты инерции одинаковы
(см. ниже пример 6.6).
§ 6.4. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
Установим зависимость между осевыми моментами инерции
относительно двух параллельных осей, из которых одна является
F
центральной (рис.
6.11).
Пусть момент инер-
ции относительно
центральной оси, пло-
щадь сечения F и рас-
стояние а между осями
До и xi известны.
Определим момент
инерции JX1. Расстоя-
ние от произвольной
площадки dF до оси
х0 обозначим у о, а до
оси Xi обозначим yi. По
определению,
По чертежу (см. рис. 6.1’1), yi=y0 + a.
Подставляя значение ух в выражение для имеем
Лх= j (Уо + а)2^ = f yodFd-Za j yQdF^-a2 J dF.
F F F F
Учитывая, что, по определению,
J yldF=JXo и Jy0^F=S^o,
F F
получаем
J=Jx„ 4“ 2&S Xa a2F.
Ось Xq по условию является центральной, следова;
тельно,
S.xe=0.
214
Окончательно получаем следующую формулу изменения мо-
мента инерции при переходе от центральной оси к параллельной
ей нецентральной:
Л,=/Л+а2Л (6.5)
Аналогично,
. (6.5а)
Подчеркиваем, что относительно любой нецентральной оси
момент инерции больше, чем относительно параллельной ей цен-
тральной.
# Выведем зависимость между центробежными моментами
инерций относительно центральных осей х0Оу0 и параллельных
им нецентральных осей х^Оу^. По определению,
Zr1y1= J x-yy^dF.
F
По рис. 6.11 имеем xi=xo + c; У1=Уо + а.
После подстановки величин и у\ в подынтегральное выра-
жение получаем
Л1У1= [ + + J xQy\dF+ с J yQdF-\-a J
F F F F
-\-ас^ dF= JXaya ф- cSx.+aSyo -ф acF.
F
Учитывая, что SXo=0 и Syo=O, окончательно имеем
Л1У1=ЛоУо+^- (6.6)
При применении этой формулы величины а и с надо подстав-
лять с их знаками, устанавливаемыми на основании очевидного
положения, что а и с представляют собой координаты начала
одной из систем координат в другой системе. Так, при располо-
жении осей по рис. 6.111 величины а и с положительны, если рас-
сматривать их как координаты точки О в системе координат
Л4О1//1. Обе эти величины отрицательны, если считать их коорди-
натами точки 01 в системе х0Оу0. При том и другом толковании
произведение ас положительно, а на окончательный результат
влияют не знаки а и с в отдельности, а только- знак их произве-
дения. #
§ 6.5. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ СЕЧЕНИЙ
1. Круг и'кольцо (рис. 6.12).
Воспользуемся зависимостью между полярным и осевыми мо-
ментами инерции:
215
В данном случае в силу симметрии, очевидно, Jx=Jyi
следовательно,
J„=4Jx=4Jr
или
Таким образом, главные моменты инерции в рассматривае-
мом случае имеют следующие значения:
для круга
для кольца
J =J(6.8)
х У 64 '
2. Полукруг (рис. 6.13).
Главными центральными осями являются ось симметрии у и
перпендикулярная ей центральная ось х. Совершенно очевидно,
что момент инерции полукруга /у вдвое меньше, чем момент инер-
ции круга относительно той же осц:
j 1 izd> nd*
J=-----=---= -"=— . (6.9)
у 2 64 128 8 v
То же значение имеет момент инерции относительно оси
j —j —2^1 .
216
Воспользовавшись зависимостью (6.5)- и найденным в при-
мере 6.1 значением ординаты центра тяжести полукруга
Ус~0,4’2'47?, получим
Л=Л, - - 0,42w ;
о 2
или окончательно
4^0,117?4^0,00686d4. ' (6.10)
3. Прямоугольник (рис. 6.14).
Определим сначала момент инерции JXi относительно оси
совпадающей с основанием. По определению,
JXi=Sy\dF.
F -
Разобьем сечение на элементарные прямоугольники (поло-
ски) шириной b и толщиной (высотой) dy\, тогда dF = bdy\. Под-
ставляя значение dF в выражение для JX1 и интегрируя, получаем
h з h
Jx. = У\bdyi = b -у- |;
о о
г bh3
(6.И)
Главный центральный момент инерциш Jx найдем, применив
формулу (675):
Jx=Jx+a?F,
откуда
Jx=JXi-a?F.
В данном случае расстояние между осями и F=bh
j
х 3 ( 2 }
или окончательно
4=—.
х 12
Аналогично, относительно оси у
т hb3
•
(6.12)
(6.12а)
Вообще следует запомнить, что в выражение для момента
инерции прямоугольника размер стороны, перпендикулярной
рассматриваемой оси, входит в третьей стецени.
217
Для квадрата со стороной b на основании формулы (6.12)
имеем
4. Треугольник (рис. 6.15).
Вычислим сначала момент инерции JX1 относительно оси Xi,
совпадающей с основанием. Разбивая сечение на элементарные
полоски, как показано на рис. 6.15, имеем
dF=bxdyx
и Р -2
Лх= j bxyxdyr.
о
Из подобия-треугольников АВС и Д1ВС1 получаем
——— = — или bx=~ (h— Vi).
h — yt h х hK х
Подставляя в выражение для JXl и интегрируя, находим
h / h h'
\^-'{h-y1)y\dyl = b \ y\dy} - -^-{yUy^
J h J h J
о о о
5 h л h
~~ 3 1 /г 4 I — 3 h 4 '
о о
или окончательно
(6.14)
218
Момент инерции относительно центральной оси х найдем,
применив формулу (6.5):
Jx=JX1-a?F.
h 1
В данном случае а—— и F——b'h.
Ь№
"12~
или
А
3
— Ыг,
2
bh?
~3Q'
(6.15)
Обращаем внимание, что для произволь-
ного треугольника ось х не является глав-
ной.
Для равнобедренного треугольника (рис.
6.16) оси х и у главные, так как ось у яв-
ляется осью симметрии. Главный момент
инерции 1Х вычисляется по формуле (6.15).
Момент инерции Jy найдем, применяя фор-
мулу (6.14) и рассматривая сечение как
сумму двух прямоугольных треугольников
, ь ь
с катетами п и—, причем катет ~ перпен-
дикулярен рассматриваемой оси. Подчерки-
ваем, что для каждого из этих треугольников ось у совпадает с
основанием: у
или
г — hi)Z
48
(6.16)
§ 6.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СОСТАВНЫХ СЕЧЕНИЙ,
ИМЕЮЩИХ ОСЬ СИММЕТРИИ
Главные центральные моменты инерции простейших сечений
вычисляются по готовым формулам, наиболее распространенные
из которых приведены в предыдущем параграфе. Размеры и
геометрические характеристики профилей стандартного проката
приведены в таблицах ГОСТа. Представление о структуре и со-
держании таких таблиц дает выдержка из ГОСТ 8239—56 на
профили двутавровых балок. Заметим, что некоторые из указан-
ных в этом таблице величин (U7X, Wy, ix, iy) пока здесь не ветре-
219
Сталь прокатная. Балки двутавровые (рис. 6. 17)
со
Л
tr
S
Ч
ю
й
К жэ я г - 1,99 2,17 2,06.
ф 1 а о со о? со сх —, (X (X
к ч ч S' № X П* S § и о (X 05 я я
ч ф м ф 2 я п* о я и со тН Ю <Х bStVoo"
Спр Н 1 н S2 ООО-ч СО ОО
Я Х£ • ООО со —< СО тН ОО
Вес О R м в кГ NON Э0ОО —1 —« (X
1 я о f=c ч св с а Ф П* Ф s я и оо со’ U0 СО (X (X (X
Ю чо О со СО
О? оо ю ООО
Размеры в мм О (X (X об'оо оо
’Ч ООО) Ю> ICO ю
- -с. Ю X о о О о
ООО оо оо о -С сх
№ про- филя । <й оо оо О —, (X
чались, — они найдут применение в
расчетных зависимостях, приведенных
в. VII и следующих за ней главах учеб-
ника.
Разработка . первого отечественного нор-
мального сортамента-профилей прокатной ста-
ли была начата в 1894 г. специальной комис-
сией под председательством Н. А. Белелюб-
ского. До этого заводы- разрабатывали свои,
чрезвычайно разнообразные сортаменты, поч-
ти исключительно в дюймовых мерах, не имев-
шие общего применения. Заводам зачастую
приходилось переделывать прокатные валки,
чтобы удовлетворить требованиям строителей,
а составителям проектов — применять непод-
ходящие профили лишь потому, что не име-
лось единого обязательного сортамента. Раз-
работанный комиссией сортамент был выпущен
в 1899 г. Работа по вычислению геометриче-
ских характеристик профилей была выполне-
на группой студентов старших курсов Инсти-
тута путей сообщения под руководством
проф. Ф. С. Ясинского. Подробнее о создании
русского нормального сортамента см. в книге
[32], из которой заимствованы и приведенные
здесь краткие сведения.
Для вычисления главных моментов
инерции сложных (составных) сече-
ний их разбивают на простейшие ча-
сти, моменты инерции которых опре-
деляются по готовым формулам, или
таблицам. Дальнейший расчет ведут
в следующем порядке (по-прежнему,
ограничиваемся сечениями, имеющими
ось симметрии).
1. Определяют положение центра
тяжести сечения, а следовательно, и
главных центральных осей.
2. Вычисляют (или берут из таб-
лиц) значения моментов инерции от-
дельных’ частей сечения относительно
собственных центральных осей,
параллельных главным центральным
осям всего сечения.*
3. Вычисляют моменты инерции ча-
стей, составляющих сечение, относи-
тельно его главных центральных осей.,
При этом используют зависимость
между моментами инерции относитель-
но параллельных осей [формула (6.5)].
220
4. Определяют главные центральные моменты инерции всего
сечения путем суммирования для каждой из главных осей вели-
чин, вычисленных в п. 3.
Таким образом, при вычислении моментов инерции составных
сечениц руководствуются следующим правилом: момент инерции
сечения относительно данной оси равен сумме моментов инерции
составляющих это сечение частей относительно той же оси. Это
Рис. 6.17
правило вытекает из известного свойства определенного интегра-
ла: интеграл суммы нескольких слагаемых равен сумме инте-
гралов этих слагаемых.
В ответственных случаях во избежание ошибок при вычис-
лении главных моментов инерции составных селений следует
определять их дважды, разбивая сечение на составные части
различными способами. Совпадение результатов расчетов, вы-
полненных при различных разбивках сечения, является гаранти-
ей правильности решения.
Различные случаи вычисления моментов инерции составных
сечений рассмотрены в следующих примерах.
Пример 6.3. Определить главные моменты инерции таврового сечения,
изображенного на рис. 6.18.
Решение. 1. Определяем положение центра тяжести сечения, разбивая
его на два прямоугольника:
/^1 + ^2 1.5-12-6+ 3-12-13,5
‘ = ----------------- =11 см.
с Fr + F2 1,5-12 + 3-12
Оси х и у — главные центральные оси сечения.
221
2. Вычисляем моменты инерции каждого из прямоугольников относитель-
но собственных центральных осей:
12 1,5-123 - 12 — 216 см*;
>' 12 - ‘ 12-1,53 12 — 3,38 cm*;
Л 12 12-33 - — 27 cm*; 12
hi _ У 12 3-123 = — = 432 cm*. 12
3. Вычисляем моменты инерции каждого из прямоугольников относитель-
но главной оси х.
Для / прямоугольника
Л = Л + c%F.,
X Xj i
где ах = vc — = 11 — 6 = 5 см — расстояние между осями х и xf,
J\ = 216 + 52-1,5-12 = 666 сжЧ
Для II прямоугольника
HI HI , 2Р
JX ~Jx2 + a2F2>
где а2 — v2 — vc = 13,5 — 11 = 2,5 см — расстояние между осями х и х2;
41 = 27 + 2,52.12-3 = 252 см*. '
4. Вычисляем главные моменты инерции сечения:
Jx = j\ + = 666 + 252 = 918 см*;
JУ = Jly + Л = 3,38 + 432 = 435 см*.
Главная ось у совпадает с центральными осями составляющих ' прямо-
угольников, поэтому при вычислении 1у не понадобилось использовать зави-<
симость между моментами инерции относительно параллельных осей. •
Пример 6.4. Вычислить момент инерции заданного сечения (рис. 6.19)
относительно горизонтальной главной центральной оси.
Решение. Разбиваем сечение на пять частей: полукруг I, прямоугольни-
ки II и III и два прямоугольных треугольника IV и V.
Конечно, все геометрические характеристики прямоугольника III долж-
ны приниматься со знаком минус.
1. Определяем положение центра тяжести:
+ F2v2 — F3u3 + FjVj + К5ц5 _
F1 + F2 — F3 + Fi + F~> .
_ 0,5-3,14-42(18 + 1,69)+ 18-8-9 -4-12-6 + (0,5-3,5-18)6-2 '
0,5-3,14-42+18-8-4-12 + (0,5-3,5-18)2 ”
222
2. Вычисляем моменты инерции частей сечения относительно собственных
центральных осей %i, %2 и т. д.
Для полукруга [см. формулу (6.10)]
yL « 0,11/?4 = 0,11-4* =28,2 СЖ4.
Для прямоугольника II '
Для прямоугольника III
ДП = ±1±
х3 12
= 576 см<
Для треугольников IV и V
4V=±
Л4 л 5
3,5-183
36
= 567 см*.
3. Вычисляем моменты инерции частей сечения относительно главной
оси х:
I т'? 3,14
= 7^ + ^! = 28,2 + 9,492-^-.42 = 2288 с^;
У“?= У“ + a2F2 = 3888 + 1,22-8-18 = 4095 см*;
У”1 = J»1 + а|д3 = 576 + 4,22-4-12 = 1421 см*;
J™ + а2^ = 567 + 4,22- ±-3,5-18 = 1122 см<
223
4. Вычисляем главный момент инерции сечения относительно оси х:
JX=A +Л1— ЛП+2/У = 2288 + 4095 —1421 + 2-1122 = 7206 см*. '
Л ’ л X ’ л ’ 1 • ч
Рекомендуем читателю решить' задачу самостоятельно, применив иную
разбивку сечения на простейшие части.
Пример 6.5. Определить максимальный главный .центральный момент
инерции заданного сечения (рис. 6.20).
Решение. Сечение имеет две оси симметрии; которые и являются глав-
ными центральными осями. Очевидно, мак-
симальным является момент инерции отно-
сительно оси х. Сечение рассматриваем как
состоящее из (Вертикальной полосы I, двух
Рис. 6.21
горизонтальных полос II и четырех неравнобоких уголков III.
1. Определяем моменты инерции частей сечения относительно собствен-
ных центральных осей, параллельных главной оси х.
Для полосы I
, 1,0-403
Л =----------г = 5330 см*.
12
Для полосы II
Для уголка III по таблице ГОСТ 8510 — 57
У111 ='47,1 см*. ,
Заметим, что в таблице ГОСТа этот момент инерции обозначен /у
Вообще при пользовании таблицами ГОСТ необходимо весьма внимательно
следить за правильностью выбора требуемых характеристик, ни в коем случае
не основываясь на формальном совпадении индексов'.
2. Определяем моменты инерции частей сечения относительно оси
Jlx ~ = 5330 см* (оси х и х± совпадают),
/“=/” + й2д2 = 6,14 + 20,82-18-1,6= 12 460 см*.
224
Моментом инерции горизонтальной полосы относительно оси х2 (собствен-
ной центральной оси),' конечно, пренебрегаем, так как он весьма мал по
2 г
сравнению со слагаемым а2 гг;
/Iй = у111 + = 47,1 + 18,422-15,5 = 5310 см*.
Л X з о °
Площадь сечения и положение центра тяжести (см. размер 15,8 мм на
рис. 6.20) взяты по таблице ГОСТ 8510—57.
3. Определяем момент инерции Jx\
Jx = j\ + 2/” + 4/"1 = 5330 + 2-12 460 + 4-5310 = 51 490 см*.
Для проверки можно решить задачу, разбивая каждый прокатный уголок
на два прямоугольника. Расхождение (за счет пренебрежения закруглениями
полок) в результатах первого и второго решений не свыше 5% укажет на
правильность того и другого решений.
Пример 6.6. Определить главные центральные моменты инерций задан-
ного сечения (рис. 6.21). Выбрать расстояние с из условия, чтобы все цент-
ральные оси сечения были главными.
Решение. Равенство главных моментов инерции относительно осей х и у.
является условием, при котором все центральные, оси будут главными (см.
стр. 214). Момент инерции относительно оси х, очевидно, не зависит от рас-
стояния с. Определим его значение:
Jx = 2/1 + 2/"
где Jx = 304 слг* —момент инерции швеллера (по ГОСТ 8240—56) и
/" — момент инерции полосы.
/ 16-1,03 ’ \
Jx = 2-304 + 2 1—+ 6,52-16-1,0) = 1962 см*.
Момент инерции относительно оси у:
/у = 2/^ + 2/" = 2 (/^ ++F) + 2/" =
1,0-163
= 2(31,2+ аУ-13,3) + 2—^------- = 745 + 26,6 а?-
здесь /^=31,2 см* — момент инерции швеллера относительно собственной
центральной оси у\, Г=113,3 см2 — площадь швеллера.
Приравнивая значения Jx и /у, получаем
- 1962 = 745 + 26,6^2,
откуда
/ 1962 — 745
я = 1/ -----Ц++---- =6,89 см.
у 26,6
По чертежу (см. рис. 6.21) имеем
> с
или
с = 2й —2г0 = 2-6,89 — 2-1,54 = 10,7 см.
8-1451
225
Аналогично найдем
# § 6.7. ГЛАВНЫЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
НЕСИММЕТРИЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
Установим, как изменяются величины осевых и центробеж-
ного момента инерции при повороте осей координат на произ-
вольный угол а (рис. 6.22). Будем считать моменты инерции 1Хо,
Jy0 и 7ХоУо известными и определим значения Jx*, Jyt и 7Х1У1>
Для этого в первую очередь уста-
новим связь между координа-
тами %i, z/i и Хо, у о произвольной
элементарной площадки. Отрезок
ОК=Х[ представим как сумму
отрезков О А и AK—BD (см. рис.
6.22). Из прямоугольных треу-
гольников OAL и BDL имеем
О А — OL cos а=х0 cos а;
BD~L)L sina=yosina,
следовательно,
jq —x0cosa-|-y0sma (а)
у! = DK—АВ=Я7 — AL=DL.cos а, — OL sin a
или окончательно
y1==y0cosa~ xosina. (б)
По определению,
F
подставив значение ух по выражению (б), получим
jXt = J (у0 cos a — х0 sin a)2 dF—cos5 a f y%dF-\-
f - ‘ f
sin2 a f x^dF— 2 sin a cos a j xoy0a7\
F F
Учитывая, что J yldF—JXQ‘, § xldF=Jyg и xQyodF=JXl)yo,
F f F
получаем
. Jr1=A0cos2a4-’Jy0sin2a —JXoyosin2a. (6.17)
Путем аналогичных преобразований легко получить вы-
ражения для /У1 и Д1У1-
i Jyi==JXosin2a + Jyocos2a4-Jr0y0sin2a; (6.18)
/аУ1=ЛоУо cos 2a -°- - sin 2a. (6.19)
226
Определим положение главных осей, т. е. угол ао, который
они составляют с исходными осями Хо и уо. По определению,
центробежный момент инерции относительно главных осей ра-
вен нулю (/Жу=0); приравнивая нулю правую часть выражения
6.19), получаем
ЛоУо cos 2а0 + .2.sin 2а0=О,
откуда
2J
tg2a0= - , * (6.20)
Jy0
Полученная формула дает два значения угла 2о0, отличаю-
щихся друг от друга на л; следовательно, для угла ао получается
два значения, различающихся на ао и ао=ао-]—Таким
образом, в общем случае через любую точку плоскости сечения
можно провести две взаимно перпендикулярных главных оси.
Найдем направления осей, относительно которых осевые мо-
менты инерции экстремальны. Для этого найдем первую произ-
водную по углу а от правой части выражения (6.17):
(Ло COS2 а-Ь Jy0 sin2 а - /ХоУо sin 2а) =
а а а а '
= — 2JXo соs а sin а 4~ 2/Уо sin а соs а — 2/Л-оУо соs 2а =
= (7Уо — JXa) sin 2а — '2JXoya cos 2а.
Сравнивая полученное выражение с правой частью формулы
(6.19),-устанавливаем, что
dJv
Х1-- С) Т
аа.
. т. е. рассматриваемая производная обращается в нуль при том
же значении угла а = ао, при котором равен.нулю центробежный
момент инерции. Этот результат показывает, что осевые момен-
ты инерции достигают своих экстремальных значений относи-
тельно главных осей. Учитывая, что сумма осевых моментов
инерции при повороте осей не изменяется (JX1 + /У1 = Jp), заклю-
чаем, что относительно одной из главных осей момент инерции
максимален, а относительно другой — минимален.
Формула (6.20) не дает ответа на вопрос, относительно какой
из главных осей момент инерции максимален. В большинстве
случаев это вполне видно по форме сечения и его расположению
относительно главных осей. В тех случаях, когда величины глав-
ных моментов инерции мало отличаются друг от друга, надо ру-
ководствоваться следующим правилом: меньшее по абсолютной
величине значение угла ао дает направление оси, относительно
которой момент инерции максимален при условии, что JXo Jyo.
8* 227
В случае, если Л-в< Jy0 указанное значение а0 определяет ось,
относительно которой момент инерциц минимален.
Для вычисления главных моментов инерции следует подста-
вить, в формулы (6.17) и (6.18) значение а'. Можно получить
формулы, не содержащие тригонометрических функций; для это-
го надо, пользуясь выражением (6.20), выразить cos «о, sin ао и
sin2a0 через JXo Jy0 и JXayo ; после алгебраических преобразова-
ний, которых здесь не приводим, получается формула
/.«= ± VК(Л.-Л.)2 + 44Л. (6.21)
min 2 2
Удержав в этой формуле перед'радикалом знак плюс, по-
лучим величину /max-
Обращаем внимание, что все преобразования, формулы и за-
ключения совершенно не связаны с выбором начала координат,
но, как правило, все изложенное находит применение при опре-
делении положения главных центральных осей и вычисле-
нии главных центральных моментов инерции.
Если принять, что исходные оси х0 и у0 являются главными
(JWo=O), то формулы (6.17) — (6.19) несколько упростятся.
Для осевого момента инерции‘относительно повернутых осей бу-
дем иметь
A-1=A0cos2a-j-A0sin2a, (6.22)
и для центробежного
sin2a. . (6.23)
В частных случаях, когда главные моменты инерции одина-
ковы по величине (Л-0 = Л0)> из последних формул получаем,
что вне зависимости от угла поворота осевой момент инерции со-
храняет постоянное значение JXi—JXo~Jya, а центробежный, мо-
мент инерции равен нулю, т. е. все оси, проходящие через дан-
ную точку, главные и все осевые моменты инерции имеют оди-
наковую. величину. Это положение (без доказательства) было
приведено на стр. 21'4.
Пример 6.7. Найти положение главных центральных осей и вычислить
главные центральные моменты инерции заданного сечения (рис. 6:23).
Решение. 1. Определяем координаты центра тяжести сечения в системе
вспомогательных осей uOv:
Fxux + F2u2 26,7-5,99 + 15,5-9,78
и с = —д----д— — -------т—-----дп:----=7,38 см
с Л + ^2 26,7 + 15,5
= + F2v2
f^f2
26,7-11 + 15,5-18,6
26,7 + 15,5
= 13,88 см.
Выбираем вспомогательные центральные оси x0Oiy0, параллель-
ные полкам уголка (осям %г, г/г) и главным центральным осям швеллера
(Xi, г/i).
228
2. По таблицам ГОСТ 8240—56 и 8510—57 находим величины главных-
моментов инерции швеллера: Jlx = 2110 см\ 7^=151 см± и моментов инерции
уголка относительно осей, параллельных его полкам: 7^,= 154 еж3 4, 7^ =
=47,1 еж4.
и - у2
Рис. 6.23
3. Определяем ’моменты инерции сечения относительно вспомогательных
центральных осей х0 и у0-
-7- = j\ + 7U = j\ + a^F। 4- 7U 4- c&F% —
= 2110 + 2,882.26,7 + 154 + 4,722-15,5 = 2830 сл£\
Jya = Ao + jiyo jlyi + Cl/?1 + Jy\ + C2/?2 =1514-
. - + 1,392-26,7 + 47,1 + 2,42-15,5 = 339 СЖ4.
229
4. Определяем центробежные моменты инерции швеллера и уголка отнО-
сительно 1х собственных центральных осей, параллельных выбранным вспо-
могательным центральным осям всего, сечения.
Для швеллера 7зд = 0, так как оси xv уг для швеллера — главные
центральные (xj — ось симметрии).
Для уголка значение JXzyt найдем по известным из таблицы сорта-
мента величинам
4, = 154 см* =47,1 еж*; j” = 2873 см>
(ось, обозначенная на рис. 6.124 буквой т], в таблице
ГОСТ 8510—57 обозначена буквой и) и углу 0 (в
сортаменте угол 90° — 0 обозначен а и дано
ai£tga = 0,387), применив формулу (6.17),
Л1 = J1* cos2 р -|- Sin2 р — /О sin 2₽,
откуда
гп cos2 ₽ + sin2 ₽ “
Х2У2 ~
sin2p
• 154 cos2 68°50' -4- 47,1 sin2 68°50' — 28,3
sin 137°40'
= 48,6 см\
5. Определяем центробежный момент инерции
всего сечения относительно осей х0Оу0:
Jxaya = Jxoy9 + Jxoyo = +
+ a2c2F2 = 2,88-1,39-26,7 + 48,6 + 4,72-2,4-15,5 = 330
6. Определяем угол наклона главных центральных осей к вспомогатель-
ным центральным осям:
2Л. v
лруо
' tg 2а0
2-330
-----------------------= — 0,265;
-----------------------v 2830 — 339
Xq Уо
'2a0 = — 14°50z; a' = - 7°50'; aj; = -97o50'.
Отрицательные углы откладываем от оси хо по ходу часовой стрелки (см5
рис. 6.23). Проводим главные центральные оси х и у - Какой из двух главных
осей соответствует максимальный и какой — минимальный момент инерции,
в данном случае совершенно очевидно по конфигурации сечения: Jx = -7max.
7. Определяем величины главных центральных моментов инерции:
. _ 1 - Г-----------------------2 “
'max о
min
= 2830 + 339_ ± _1_ ]/(2830-339)2+ 4-3802 = 1585 ± 1277;
Jmax = Jx = 2862 см±\ /min = Jу = 308 '
А'оУо
ГЛАВА VII
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
§ 7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Изгиб — это такой вид деформации бруса, при котором в его
поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. В боль-
шинстве случаев одновременно с изгибающими моментами воз-
никают и поперечные силы; такой изгиб называют попереч-
ным', если поперечные силы не возникают, изгиб называют
чистым.
С геометрической точки зрения изгиб характеризуется -тем,
что ось бруса, прямолинейная до деформации, при изгибе ста-
новится кривой линией (условно говорят — изогнутая ось бруса).
Для кривого бруса изгиб связан с изменением кривизны
его оси.
Деформация изгиба возникает при нагружении бруса силами,
перпендикулярными к его продольной оси, и парами сил, дейст-
вующими в плоскостях, проходящих через эту ось. В случае,
если все нагрузки, а следовательно, и реакции связей, действуют
в одной плоскости, изгиб называют плоским.
Ограничимся рассмотрением брусьев, поперечные сечения ко-
торых имеют по меньшей мере одну ось симметрии. Как извест-
но, ось симметрии и перпендикулярная ей центральная ось яв-
ляются главными центральными осями сечения. Плоскость, про-
ходящая через продольную ось бруса и одну из главных цент-
ральных осей его. поперечного сечения, называется главной пло-
скостью бруса (иногда ее называют главной плоскостью
инерции).
В случае, если силовая плоскость, т. е. плоскость дей-
ствия нагрузок, совпадает с одной из главных плоскостей
(рис. 7.'1), имеет место прямой изгиб бруса. Линия пере-
сечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения
бруса называется силовой линией, из сказанного следует, что
при прямом изгибе она совпадает с одной из главных цент-
ральных осей поперечного сечения.
При прямом изгибе деформация происходит в силовой пло-
скости, т. е. в этой плоскости располагается изогнутая ось
бруса.
231
Рис 7.1
Рис. 7.2
Если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных -
плоскостей бруса (рис. 7.2), или, что то же-^самое, силовая
линия не совпадает ни с одной из главных центральных осей
его поперечного сечения, изгиб называют косым. Такое на-
звание объясняется тем, что при этом виде изгиба изогнутая ось
бруса не лежит в силовой плоскости. Брус изгибается «косо»
в том смысле, что направления нагрузок и прогибов не совпа-
дают.
Рис. 7.4
Применяя к брусу, изображенному на рис. 7.1, метод сечений
и рассматривая условия равновесия отсеченной части, показан-
ной отдельно на рис. 7.3, заключаем, что в общем случае
прямого изгиба в поперечных сечениях бруса возникают
два внутренних силовых фактора: поперечная сила Qу и изги-
бающий момент Мх.
Действительно, внешние силы лежат в плоскости zOy и при
этом перпендикулярны оси Oz, следовательно, их проекции на
оси Ох и Oz так же, как и моменты относительно осей Оу и Oz,
равны нулю (см. также § 1.4). Конечно, в частном случае может
233
оказаться, что внешние силы, приложенные по одну сторону от
рассматриваемого сечения, приводятся к паре сил, т. е. попереч-
ная сила (Qy) равна нулю и в поперечном сечении возникает
только изгйбающий момент (MJ. Как указано выше, такой из-
гиб называют чистым; в рассматриваемом случае— чистым пря-
мым изгибом. Общий случай прямого изгиба, при котором и из-
гибающий момент, и поперечная сила не, равны нулю, будем
называть поперечным прямым изгибом.
Очевидно, при изгибе брус деформируется таким образом,
что часть его волокон (см. стр. 35) испытывает растяжение, а
часть — сжатие. Волокна, расположенные в выпуклой части
изогнутого бруса, растягиваются, а в вогнутой — сжимаются
(рис. 7.4). Границей между областями растяжения и сжатия яв-
ляется слой волокон, который лишь искривляется, не испытывая
при этом ни растяжения, ни сжатия. Это так называемый нейт-
ральный слой. Линия пересечения нейтрального слоя с плоско-
стью поперечного сечения бруса называется нейтральной осью,
или нулевой линией (см. рис. 7.1 и 7.4). Вопрос о положении ней-
трального слоя рассмотрен в § 7.5.
Брусья, работающие на прямой изгиб, принято называть бал-
ками. Схемьгосновных типов статически определимых балок по-
казаны на рис. 7.5: а — простая консоль; б — двухопорная балка
с одной консолью; в—। двухопорная балка без консолей; г —
двухопорная балка с двумя консолями. Расстояние между^ опо-
рами балки называется ее пролетом, а длину балки, защемленной
одним концом (рис. 7.5,/z), иногда называют вылетом. Консаммо
называют часть балки, расположенную по одну сторону от опор
(рис. 7.5, биг).
В строительных конструкциях, помимо статически определимых балок,
схемы которых приведены на рис. 7.5, применяют многоопорные статически
определимые балки с внутренними шарнирами.
Консоль
Рис. 7.5
234
§ 7.2. ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ
В предыдущем параграфе было установлено, что при прямом
поперечном изгибе в поперечных сечениях бруса (балки) возни-
кают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Qy и
изгибающий момент Мх. Зависимости между этими внутренними
силовыми факторами'и напряжениями в поперечном сечении
бруса (см. § 1.5) таковы:
Qy = j bydF; = f °гУ^-
F F
Следовательно, в поперечных сечениях бруса в рассматри-
ваемом случае изгиба возникают как касательные, так и нор-
мальные напряжения.
Приведенные зависимости позволяют дать следующие опре-
деления поперечной силы и изгибающего момента:
Поперечной силой (Qy) называется равнодействующая внут-
ренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении
бруса *.
Изгибающим моментом (Мх) называется результирующий мо-
мент внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном
сечении бруса, взятый относительно нейтральной оси этого се-
чения.
Конечно, приведенные зависимости между Qy и Мх и напря-
жениями не могут быть использованы для вычисления попе-
речных сил и изгибающих моментов. Они определяются с
помощью метода сечений через действующие на брус внеш-
ние силы.
Так же, как при изучении растяжения (сжатия) и кручения,
для получения наиболее наглядного представления о характере
изменения внутренних силовых факторов (Qy и Мх) по длине
бруса и для нахождения его опасных сечений будем строить со-
ответствующие графики — эпюры поперечных сил и изгибающих
моментов.
Учитывая, что при прямом поперечном изгибе все внешние
силы расположены в одной плоскости, при определении внут-
ренних силовых факторов нет надобности прибегать к аксоно-
метрическим изображениям, применявшимся в предыдущем па-
раграфе.
Брус (балку) будем изображать одной линией, к которой
приложены заданные нагрузки. Эта линия представляет собой
продольную ось бруса.
* В более общем случае нагружения бруса, например при поперечном
косом изгибе, равнодействующая внутренних касательных сил упругости дает
две составляющие: Qy и Qx-
235
Рассмотрим двухопорную балку, изображенную на рис. 7.6, а.
Будем считать, что опорные реакции известны — они определя-
ются из двух уравнений равновесия, составленных для балки в
целом. Применим метод сечений и рассмотрим условия равнове-
сия левой отсеченной части балки, показанной отдельно на
рис. 7.6, б. В проведенном поперечном сечении возникают два
внутренних силовых фактора (Qy и Л4Х), заменяющих действие
Рис. 7.6
отброшенной части балки на оставленную. Конечно, в том же
сечении, но принадлежащем отброшенной части (рис. 7.6, в), воз-
никают такие же по величине, но противоположно направленные
поперечная сила и изгибающий момент (см. также рис. 1.25).
Внешние и внутренние силы, приложенные к оставленной ча-
сти бруса, образуют плоскую систему параллельных
сил, для которой, как известно, статика дает "Два уравнения
равновесия.
Составим эти уравнения. Возьмем сумму проекций на ось,
параллельную силам, и сумму моментов относительно той точки
продольной оси, через которую проходит проведенное сечение:
ЕК = 0; VA — qz — Qy — 0,
откуда
Qy= vA~qz-
Япък=0; VAz ~qz = 0,
236
поэтому
Mx=VAz--^.
х А 2
Здесь при определении проекции на ось Оу и момента отно-
сительно точки К той части распределенной нагрузки, которая
действует на оставленную часть бруса, были применены из-
вестные теоремы- статики о проекции и моменте равнодейст-
вующей.
Обобщая полученные результаты на все случаи пря-
мого поперечного1 изгиба, приходим к следующим
правилам для вычисления поперечных сил и изгибающих мо-
ментов.
Поперечная сила'(Qy) в произвольном поперечном сечении
бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, при-
ложенных к его отсеченной части.
Изгибающий момент (Мх) в произвольном поперечном сече-
нии бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех
внешних сил, приложенных к отсеченной части, относительно той
точки продольной оси бруса, через которую проходит рассматри-
ваемое сечение.
Эти правила вычисления и Мх относятся к рассматриваемому в на-
стоящей главе случаю прямого поперечного изгиба; в более общем случае
нагружения бруса для их вычисления используются зависимости (1.3) и (1.5) —
см. стр. 24. Так, в частности, при вычислении Qy в общем случае берется не
сумма сил, приложенных к отсеченной части, а сумма их проекций на ось Оу
Таким образом, мы сначала дали определения поперечной си-
лы и изгибающего момента, раскрывающие физическую сущ-
ность этих понятий, а затем установили практические правила
для их вычисления по заданным внешним силам.
Для определенности при построении эпюр поперечных сил и
изгибающих моментов установим для них правила знаков.
На рис. 7.7, а показаны бесконечно малый элемент, вырезан-
ный из балки, и возможные направления поперечных сил в его
торцовых (поперечных) сечениях. Поперечные силы считаются
положительными, если они стремятся повернуть элемент по ча-
совой стрелке.
Знак изгибающего момента связан с характером деформации
бруса: изгибающий момент считается положительным, если эле-
мент бруса изгибается выпуклостью вниз (рис. 7.7, б), т. е.
таким образом, что его сжатые волокна находятся в верхней
части.
Положительные ординаты эпюры изгибающих моментов мы
будем откладывать вверх от оси абсцисс, т. е. в сторону сжатых
237
волокон балки, поэтому указанное правило знаков для Мх ча-
сто называют правилом сжатого волокна.
Практически при построении эпюр удобнее устанавливать
знаки Qy и Мх по внешним силам. Конечно, при этом результат
должен быть одинаков с получаемым при определении знаков
непосредственно по внутренним усилиям.
Совпадение результатов получится при применении следую-
щих правил.
Внешняя сила, стремящаяся повернуть отсеченную
часть балки по часовой стрелке вокруг той точки оси, которая
соответствует проведенному сечению, вызывает положительную
поперечную силу.
Применяя, например, это правило к балке по рис. 7.6 и рас-
сматривая левую отсеченную часть (см. рис. 7.6,6), заключаем,
что сила Уд дает положительную, а сила qz (равнодействующая
той части распределенной нагрузки, которая приложена к остав-
ё)
Рис. 7.7
ленной части).— отрицательную поперечную силу в сечении К.
Если рассматривать правую отсеченную часть (см. рис. 7.6, в),
следует считать, что сила VB дает отрицательную, а силы Р
и q(a — z) — положительные поперечные силы. Конечно,
значение Qy получится по абсолютной величине и по знаку
тем, же самым, что и при рассмотрении левой отсеченной
части.
Для определения знака изгибающего момента следует
вообразить отсеченную часть балки защемленной в
проведенном сечении. Внешняя сила (момент), изгибающая
эту часть выпуклостью вниз, т. е. таким образом, что сжатые
волокна находятся сверху, дает положительный изгибающий
момент.
Поясним это правило на примере той же балки (см. рис. 7.6).
Рассматривая левую отсеченную часть и представляя ее защем-
ленной в сечении К, заключаем, что сила Уд дает положитель-
ный изгибающий момент, так как изгибает рассматриваемую
238
часть балки выпуклостью вниз (рис. 7.8, а). Распределенная на-
грузка изгибает эту часть выпуклостью вверх (рис. 7.8,6), т. е.
дает отрицательный изгибающий момент.
Подчеркнем, что, рассматривая отсеченную часть балки, за-
щемлённой в том сечении, где определяется изгибающий момент,
мы освобождаем ее от всех фактически существующих опорных
закреплений.
Таким образом, подставляя в алгебраические суммы, дающие
.значения Qy и Мх, каждое из слагаемых со своим знаком, уста-
навливаем не только абсолютные величины, но и знаки искомых
внутренних силовых факторов.
Полезно иметь в виду, что при принятом правиле знаков
внешние силы, направленные вверх, всегда, т. е. независимо от
того, приложены ли они к левой или к правой отсеченной части
балки, дают положительный изгибающий момент.
Интересно отметить, что автор первого систематического курса сопротив-
ления материалов (1826) Навье не строил эпюр изгибающих моментов, что
привело его к ошибочным суждениям о положении опасного сечения для не-
которых случаев нагружения балок. Впервые эпюру моментов построил (для
ар'ки) французский ученый Бресс только в 1848 г. Одно из самых ранних
построений эпюры моментов для балки приведено в книге русского инженера
Беспалова, вышедшей в 1855 г.
Рассмотрим ряд простейших примеров построения эпюр по-
перечных сил и изгибающих моментов; при этом, опуская для
упрощения записей индексы х и у, будем обозначать изгибающий
момент и поперечную силу М и Q.
Пример 7.1. Построить эпюры Q и М для балки, защемленной одним кон-
цом и нагруженной на свободном конце парой сил с моментом т (рис. 7.9, а).
Решение. Проведем произвольное поперечное сечение на расстоянии z от
свободного конца балки и рассмотрим условия равновесия левой отсеченной
части, • изображенной отдельно на рис. 7.9, б. Очевидно, поперечная сила Q
равна нулю, так как нагрузка (внешние силы), приложенная к оставленной
части, представляет собой пару сил, которая, как известно, ни на одну ось
проекции не дает.' Следовательно, балка работает на чистый изгиб.
. 239
Изгибающий момент М равен по абсолютной величине внешнему мо-
менту:
М = т.
От координаты г значение М не зависит, т. е М одинаков во всех попе-
речных сечениях балки. Балка
а)
5)
6)
Рис. 7.9
изгибается выпуклостью вниз,
следовательно, М>0.
При применении метода се-
чений была оставлена часть
балки, примыкающая к свобод-
ному концу; если оставить пра-.
вую часть балки, то предвари-
тельно (до применения метода
сечений) следует определить
реакции заделки. В этом нет
необходимости. Поэтому для
балок, защемленных одним
концом, всегда, проводя сече-
ние, целесообразно отбрасы-
вать ту часть, которая примы-
кает к заделке. При этом зна-
чения реакций получатся, так
ственно реактивной силе и реактивному
(см. рис. 7.9, а). Эпюры Q и М даны на рис. 7.9, в.
сказать, «автоматически», так
как очевидно, что Q и М в се-
чении заделки равны соответ-
моменту; в нашем случае тА = т
Пример 7.2. Построить эпюры Q
рис. 7.10, а. *
Решение. Проводим сече-
ние на расстоянии z от сво- Ct)
бедного конца балки и рас-
сматриваем левую отсеченную
часть (рис. 7.10, б). К этой
части приложена только одна
внешняя сила Р, стремящаяся г
повернуть ее вокруг точки К С)
против часовой стрелки, следо-
вательно,
Q =—Р,
т. е. поперечная сила во всех
сечениях одинакова (не зави- в)
сит от координаты г).
Мысленно защемляя ос-
тавленную часть балки в се-
чении К, заключаем, что си-
ла Р изгибает ее выпуклостью
вверх, т. е. изгибающий мо-
мент отрицателен. Он численно
равен моменту силы Р относи-
тельно точки /С
и М для балки, изображенной па
Рис. 7.10
M=—Pz.
Следовательно, изгибающий момент изменяется вдоль балки по линей-
ному закону (координата z входит в выражение М в первой степени) от ну-
левого значения на свободном конце до наибольшего значения в
заделке. Эпюры Q и М даны на рис. 7.10, в.
240
Пример 7.3. Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на
рис. 7.11, а.
Решение. Поперечная сила в произвольном поперечном сечении, отстоя-
щем на расстоянии z от свободного конца (рис. 7.11, б), численно равна сум-
ме внешних сйл, приложенных к оставленной части, т. е. их равнодействую-
щей qz. Изгибающий момент в том же сечении равен сумме моментов внеш-
них сил относительно точки
К., т. е. (по теореме Ва-
риньона) равен моменту их
равнодействующей qz, ли-
ния действия которой про-
ходит посередине отрезка г;
поперечная сила и изгиба-
ющий момент в рассматри-
ваемом случае отрицатель-
ны:
Q = — qz-, М = —~~.
Таким образом, попе-
речная сила меняется вдоль
балки по линейному закону,
а изгибающий момент — по
квадратичному, т. е. эпюра
М—парабола с вершиной
на левом конце балки. Для
построения эпюры Q доста-
точно найти ее ординаты ..в
двух сечениях. При z=0,
Q?=o =0 и при z=l,
Qz~i =—ql.
Для построения эпюры М
надо определить не менее трех-четырех ее орди-
нат:
^2=0 — 0; ^=o,5z~ — я
д/2 е
8 ’
Эпюры Q и М показаны на рис. 7.11, в.
Пример 7.4. Построить эпюры Qy и Мх для балки, изображенной на
рис. 7.12, а.
Решение. Определяем опорные реакции. В силу симметрии
Р
Будем называть участком балки ее часть, в пределах которой законы
изменения как поперечной силы, так и изгибающего момента остаются по-
стоянными. Границами участков служат сечения, в которых приложены внеш-
ние (активные или реактивные) сосредоточенные силы или моменты, а также
сечения, где начинается или кончается распределенная нагрузка. Рассматри-
ваемая балка имеет два участка; для первого участка 0 <г<0,5/; для второго
0,5/<г </.
241
Проводя сечение на первом участке и рассматривая левую отсеченную
часть (рис. 7.12, б), получаем
Qi = Va = ;
р
Щ = Va? =
Рис. 7.12
Для второго участка балки, левая отсеченная часть которой показана на
рис. 7.12, в, имеем
Р Р
Си=Гл-Р = т-Р=-т;
/ I X Р / I
Л4ц= vAz — P\z - yl=y 2~Р\2-^
Таким образом, поперечная сила в пределах каждого из участков по-
стоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону (рис. 7.12, г).
Наибольший изгибающий момент получается в среднем сечении при
г = 0,5/:
Р I Р1
М =: --------- — = -----
пэах 2 2 4
60-3
----— 45 кн-м.
4
242
Обращаем внимание, что под сосредоточенной силой (сечение С) на эпю-
ре Q получается скачок- на величину этой силы. В сечении, взятом беско-
Р
нечно близко слева от С, Q£ев = + —, а бесконечно близко справа —
QqP =—Конечно, этот скачок носит условный характер, так как само
понятие сосредоточенной силы является условным, введенным лишь для удоб-
ства расчетов. Фактически сила Р распределена по некоторому небольшому
участку балки, в пределах которого поперечная сила изменяется от значения
+Р/2 до — 7/2, т. е. эпюра Q
на весьма малом участке в
окрестности точки С проходит
через нулевое значение (рис.
7.13). При этом не представ-
ляется возможным установить
a;
^-7
V8 I
5)
3n. Q
П)
I
3n. M
Рис. 7.14
a
1
С
I
п
В
закон изменения поперечной силы на этом малом участке, и, условно сов-
мещая сечения I — I и К — II, получают на эпюре скачок.
Разумеется, все сказанное в полной мере относится к встречавшимся ра-
нее скачкам на эпюрах продольных сил и крутящих моментов.
Пример 7.5. Построить эпюры Q и М для двухопорной балки, изображенной
на рис. 7.14, а.
Решение. Определяем опорные реакции. В данном случае это можно сде-
лать, не составляя уравнений равновесия. Действительно, к балке приложена
пара сил, следовательно, и реакции должны образовать пару сил с тем же
по величине, но противоположно направленным моментом, т. е.
т
vА = VB — •
Балка имеет два участка. В произвольном сечении первого участка *
т ' т
Q\=va = ~'> Mi=VAz=~z.
* Начиная с этого примера, как правило, отсечённую часть отдельно по-
казывать не буДем; тем не менее рекомендуем учащемуся при самостоятель-
ном решении задач, пока не будут приобретены достаточные навыки по-
строения эпюр Q и М, обязательно изображать отсеченную часть отдельно.
243
Следовательно, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент ме-
да
няется по линейному закону от нуля до Для пройзвольного сечения на
втором участке, выражая Qn и Л4П через внешние силы, приложенные слева
от сечения, получаем
При z = — имеем
ml да
а при z == I
Обращаем внимание на то, что там, где к балке приложен внешний сосре-
доточенный момент, на эпюре М получается скачок на величину этого мо-
мента (рис. 7.14, б), на эпюре Q это не отражается.
В предыдущем примере достаточно подробно был разъяснен вопрос об ус-
ловности скачков, получающихся на эпюре поперечных сил. Приведенные там
рассуждения в полной мере применимы и к настоящему случаю, так как поня-
тие сосредоточенного момента так же условно, как и понятие сосредото-
ченной силы.
§ 7.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ, ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ
И ИЗГИБАЮЩИМ МОМЕНТОМ
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов су-
щественно упрощается при использовании дифференциальных
зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки q,
поперечной силой Qy и изгибающим моментом Мх.
Для вывода этих зависимостей двумя поперечными сечения-
ми, расстояние между которыми равно dz, выделим из балки,
изображенной на рис. 7.15, а, бесконечно малый элемент. Этот
элемент в крупном'масштабе показан отдельно на рис. 7.15,6.
Действие левой и правой отброшенных частей балки на выделен-
ный элемент заменяем поперечными силами и изгибающими мо-
ментами, возникающими в соответствующих сечениях. Так как
выделенный элемент бесконечно мал и в его пределах к балке не
приложено внешних сосредоточенных сил и моментов, значе-
ния- поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях I—I и
II—II могут различаться лишь на бесконечно малые величины.'1
Пусть в сечении I—I поперечная сила и изгибающий момент рав-
ны соответственно Qyn Мх, а в сечении'II—II — Qy+<7Qy и Л4Ж+.
+ dMx. Составим уравнения равновесия для выделенного эле-
мента.
Проектируя все силы на вертикальную ось, получаем
Qy-\~qdz ~ (Qy'b^Qy) — о»
244
откуда
dQy
(7.1)
Это'и есть первая из дифференциальных зависимостей, кото-
рая читается следующим образом: производная от поперечной
силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распреде-
ленной нагрузки.
Составляя сумму моментов относительно точки К, получаем
м х + Q/г + - (ЛЬ + dM,) = 0.
Пренебрегая величиной как бесконечно малой
высшего порядка, имеем
Таким образом, получена вторая дифференциальная зависи-
мость: производная от изгибающего момента по абсциссе сече-
ния балки равна поперечной силе.
Из зависимостей (7.1), (7.2) следует, что интенсивность рас-
пределенной нагрузки равна второй производной от изгибающе-
го момента по абсциссе сечения балки:
'№МХ
dz^
= q.
(7.3)
245
§ 7.4. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ПОСТРОЕНИЮ ЭПЮР
ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
Поперечные силы и изгибающие моменты являются функция-
ми абсцисс поперечных сечений балки. В § 7.2, применяя метод
сечений, мы сначала составляли аналитические выражения этих
функций, а затем по полученным уравнениям строили соответст-
вующие графики, т. е. эпюры поперечных сил и изгибающих мо-
ментов. Для рассмотренных простейших примеров такой путь
приводил к цели достаточно быстро. В более сложных случаях
значительно целесообразнее строить эпюры, вычисляя значения
Q и М только для сечений, совпадающих с границами участков,
и лишь в отдельных случаях определяя некоторые промежуточ-
ные значения.
Ниже приводится ряд правил, используемых при таком спо-
собе построения эпюр (по характерным точкам). Некоторые из
них являются следствиями из дифференциальных зависимостей
между 7, Qy и Л4Ж, другие вытекают непосредственно из метода
сечений.
1. Если на некотором участке балки отсутствует распределен-
ная нагрузка, то эпюра Q — прямая, параллельная оси абсцисс,
т. е. Q = const. Действительно, q = -^- , а в рассматриваемом
dz
случае производная 7 = 0, следовательно, функция Q сохраняет
постоянное значение.
Эпюра моментов на этом участке — наклонная прямая, что
следует из зависимости Q=----. В данном случае производная
(Q) постоянна, следовательно, сама функция (М) линейна.
2. Если на некотором участке балки имеется равномерно рас-
пределенная нагрузка, то эпюра Q — наклонная прямая, а эпюра
М — парабола (кривая второго порядка). Рассуждаем анало-
гично случаю 1: если производная (7) постоянна, функция Q
линейна. Используя зависимость между Q и М, заключаем, что
если произв'одная (Q) изменяется по линейному закону, то
функция, дающая закон изменения М, квадратичная, т. е. имеет
по(рядок на единицу выше.
3. Если на некотором участке:
a) Q>0, то изгибающий момент возрастает (слева направо);
чб) Q<0, 'то изгибающий момент убывает;
в) Q=0, То изгибающий момент постоянен (чистый изгиб).
4. Если поперечная, сила, изменяясь по линейному закону,
проходит через нулевое значение, то в соответствующем сечении
изгибающий момент имеет экстремальное (максимальное или
минимальное) значение (равенство нулю первой производной
является признаком экстремума функции). Касательная к эпю-
ре М параллельна оси балки.
246
5. Под сосредоточенной силой на эпюре Q получается скач-
кообразное изменение ординат — скачок на величину приложен-
ной внешней силы, а на эпюре М — резкое изменение угла накло-
на (излом) смежных 'участков эпюры.
6. В точках, соответствующих началу и концу участка, в пре-
делах которого к балке приложена распределенная нагрузка,
параболическая и прямолинейная части эпюры М сопрягаются
плавно, конечно если на границах указанного участка не при-
ложено сосредоточен-
ных сил.
7. Если распределен-
ная нагрузка направ-
лена вниз, то парабола,
представляющая собой
епюру М, обращена вы-
пуклостью вверх, т. е.
«навстречу» нагрузке.
8. В сечении на сво-
бодном или шарнирно
опертом конце балки
изгибающий момент
равен нулю, если там
не приложена сосредо-
точенная пара сил, а
еслиона приложена — равен моменту этой пары. Поперечная си-
ла в этом сечении равна внешней сосредоточенной силе (актив-
ной или реактивной).
9. Там, где к балке приложена сосредоточенная пара сил, на
эпюре М получается скачкообразное изменение ординат — ска-
чок на величину момента этой пары. На эпюре Q это не отра-
жается.
10. В сечении, совпадающем с заделкой, Q и М численно рав-
ны соответственно опорной реакции и реактивному моменту.
Построение эпюр по характерным точкам с использованием
изложенных правил рассмотрим на ряде примеров.
Пример. 7.6. Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на
рис. 7.16, а.
Решение. Определяем опорные реакции, исходя из того, что. они обра-
зуют пару сил с моментом, численно равным т, но противоположно направ-
ленным (см. рис. 7.16, а):
т
VA=VB=~.
В сечении на левой опоре Qa = — — приложенной внешней силе. Рас-
пределенная нагрузка отсутствует, следовательно, эпюра Q — прямая, парал-
лельная оси абсцисс (рис. 7.16, б). В сечении А изгибающий момент равен
нулю. В сечении В он равен приложенному там внешнему моменту.
247
Для определения знака М. следует вообразить правую отсеченную часть
защемленной весьма близко от точки В (чтобы не учитывать момента от
реакции Vg). Легко видеть, что момент т изгибает эту часть балки так, чти
сжатые волокна находятся сверху, т. е. М положителен. По двум найденным
значениям строим эпюру (рис. 7.16, б), учитывая при этом, что она линейна,
так как Q постоянна.
Пример 7.7. Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на
рис. 7.17, а.
Решение. Определяем опорные реакции:
S/ид = 0; Р-Ьа— т—У5-4й = 0,
или
а 9
VB-4a = Р-Ъа — Р—, откуда VB = ~— Р.
2 8
Ътв = 0; — VA4a + Ра — Ра = 0,
откуда VA = ~P.
О
Для проверки правильности определения реакций составляем сумму
проекций на ось, параллельную силам:
1 9
- vA + vb-p = - — p+-~p-p = o.
о о
Таким образом, реакции определены верно.
В сечении на левой опоре Q^ = — Vs-P. Это значение сохраняется на всем
протяжении I участка. В сечении на правом конце балки =Р. На II участ-
ке поперечная сила также постоянна. Построив эпюру Q для I и II участков,
убеждаемся, что в месте приложения к балке сосредоточенной силы Vв —
= 9/&Р на эпюре Q получился скачок на величину этой силы.
248
Для построения эпюры М достаточно определить его значение в трех се-
чениях А, В и С и соединить полученные точки прямыми линиями (рас-
пределенной нагрузки нет). В сечении А изгибающий момент равен нулю
(здесь нет внешней пары сил). Изгибающий момент в сечении В отрицателен
(в этом легко убедиться, проводя произвольное сечение на / участке и рас-
сматривая левую отсеченную часть, мысленно защемленную в проведенном
сечении и нагруженную силой Уд—она изгибает ее выпуклостью вверх):
Мв = — VA4a =------Р4а = — Ра.
о 2
В сечении С\ М= ^Ра — приложенному здесь внешнему моменту, ко-
торый изгибает консоль выпуклостью вниз.
Пример 7.8.
рис. 7.18, а.
Решение. В
ная сила равна
Построить эпюры Q и Л'1 для балки, изображенной на
силу симметрии VA — VB=~. В сечении А попереч-
ql ' ql
+ —, а в сечении В—равна — — . Между указанны-
ми значениями Q изменяется по линейному закону (рис. 7.18, б).
Эпюра М—-парабола, направленная выпуклостью навстречу нагрузке.
В опорных сучениях МА = MB=Q. В сечении посередине пролета, где Q —О,
изгибающий момент имеет максимальное значение. Найдем его величину, беря
сумму моментов всех сил, приложенных слева от этого сечения, относительно
точки С:
I / I \ I I I qP qP
^fmax — VA 2 ~ 2 ) 4 ~ q 2 2 — 8 ~ 8
Пример 7.9. Построить эпюры Q и M для простой консоли, изображенной
на рис. 7.19, а.
249
Решение. Строим эпюры, начиная со свободного конца балки, что позво-
ляет не определять опорные реакции. Начинаем с эпюры Q.
На свободном конце Q^=0, так как здесь к балке не приложено сосредо-
точенной силы. На / участке Q меняется по линейному закону. Для построе-
ния этой части эпюры надо знать два значения Q; одно из них известно. Опре-
деляем Q в сечении В как сумму сил, приложенных к балке слева от этого
сечения:
Qb — ~ 2qa.,
На участках II и III распределенная нагрузка отсутствует, следовательно,
сохраняется то же значение поперечной силы:
Qn = ~ Qb*
Наличие сосредоточенной пары сил на эпюре Q не отражается.
В сечении D на эпюре-Q — скачок на величину приложенной силы и пра-
вее этого сечения Qjv= —Нетрудно убедиться, что опорная реакция рав-
на qa.
Строим эпюру изгибающих моментов.
На свободном конце Мд=0, так как сосредоточенной пары ‘Сил в сече-
нии А нет. На участке I момент изменяется по квадратичному закону, при
этом касательная к эпюре в сечении А горизонтальна, так как QA =0. Эпюра
обращена выпуклостью вверх, т. е. навстречу нагрузке. Определим величину М
в сечении В: f
Мв = — q2aa — — 2qc&.
На II участке М изменяется по линейному закону (Qu =const). Находим
момент в сечении, бесконечно близком (слева) к точке С:
М£ев = — 2qa 2а = — 4^2.
В сечении В прямолинейный и криволинейный участки эпюры М сопря-
гаются плавно, так как сосредоточенной силы в этом сечении не приложено.
В сечении С на эпюре М скачок соответствует величине момента приложен-
250
ной пары; скачок вверх, так как при рассмотрении равновесия левой отсе-
ченной части этот момент изгибает оставленную часть балки выпуклостью
вниз. Следовательно, бесконечно близко справа от сечения С изгибающий мо-
мент будет равен алгебраической сумме момента от распределенной нагрузки
и момента пары сил:
уИ£.рав — — q2a2a + qc&~ — 3qa2.
На Ш участке М изменяется по линейному закону. В сечении D имеем
MD~ — q2a3a + qaZ — — 5qa2.
Аналогично на IV участке в сечении Е получаем
Me ~ + qaZ + qaa — QqaZ. ,
Рис. 7.20
Конечно, под сосредоточенной силой на эпюре М должен быть излом.
Реактивный момент в заделке равен изгибающему моменту в сечении Е,
т. е. 6 qa2. Эпюры Q и М даны на рис. 7.19, б и в.
Пример 7.10. -Построить эпюры Q и М для двухопорной балки
(рис. 7.20, а).
Решение. Определяем опорные реакции:
24
Sm д = 0; я4н2а + 2qa 4а + 2qaZ — Vв5а + qa&a = 0; VB — ~ qa.
о
= 0; VA5a — q 4аЗа — 2qaa + 2qa^ + qaa = 0; VA == qa.
0
251
Для проверки правильности определения реакций составляем сумму про-
екций всех сил на вертикальную ось:
И 24
УД — ^qa — Рг+ Vв — Р<2~ ~z~ qa — ~ qa—qa = 0.
5 5
Строим эпюру поперечных сил.
В сечений на левой опоре поперечная сила равна соответствующей опор-
ной реакции. На I участке Q изменяется по линейному закону. Для построе-
ния эпюры на этом участке надо найти еще одно значение Q. Определяем Q
в сечении, взятом бесконечно близко слева от точки С:
11 9
флев __ —
5 5
В этом месте на эпюре Q получается скачок на величину 2qa и далее
правее этого сечения, Q сохраняет постоянное значение до опоры В:
9 19
Q£P = = — — qa — 2qa '= — — qa.
О о
1 ' 24
В сечении В — скачок вверх на величину Vg —— qa и на участке
5
III поперечная сила остается постоянной:
ХЛ 19 24 .
= — —— qa + —- qa = qa.
5 5
Для проверки можно построить эпюру, начиная с правого конца балки,
Например, в произвольном сечении, взятом в пределах III участка,
Qu =P% = qa (сумме сил, приложенных к правой оставленной части).
Строим эпюру изгибающих моментов. В сечении А : МА = 0.
На / участке изгибающий момент изменяется по квадратичному закону,
при этом в сечении, где эпюра Q проходит через нуль, эпюра М (парабола)
имеет максимум. Вычислим значение Л4тах- Для этого предварительно нахо-
дим абсциссу (г0) сечения, в котором Q = 0. Проще всего определить значе-
И ~
ние г0, разделив отрезок АС=4а в отношении
5
4а ,, 11
г»=м’,1 = Т‘’-
9
— = 11 : 9; получим
11 11 11
ЛДпах = <1а а~Ч “Vа
2 5 5 5
Определяем изгибающий момент в сечении С:
и
5 а
2
121
— —— qcfi.
50 7
Me = VА\а — q^a2a — —— qaAa — 94tz2tz
5
4
= ~qa?.
5
По трем найденным значениям М на участке I приближенно строим пара-
болу. Для более точного построения эпюры можно дополнительно вычислить
еще несколько значений М.
Оставшуюся часть эпюры удобнее строить, начиная с правого конца
балки.
В сечении на свободном конце MD =0.
На III участке М изменяется по линейному закону. Изгибающий момент
в сечении, расположенном бесконечно близко справа от опоры В, 7ИДрав =
252
=—qa* 1. Момент на III участке отрицателен, так как балка изгибается вы-
пуклостью вверх.
В сечении В на эпюре' М получается скачок на величину т = 2 qa\ причем,
если эпюра строится, начиная справа, скачок получается вниз, так как, мо-
мент т изгибает правую оставленную часть выпуклостью 1зверх. В сечении,
бесконечно близком к В и лежащем слева от него, =—Зда2. Остается
соединить прямой точки эпюры на границах участка II. Эпюры Q и М изоб-
ражены на рис. 7.20, бив. Параболический и прямолинейный участки эпюры
М на границе II и III участков не имеют
плавного сопряжения.
Пример 7.11. Для балки, жестко за-
щемленной одним концом, задана эпюра
поперечных сил (рис. 7.21). Определить
действующую на балку нагрузку и по-
строить эпюру изгибающих моментов.
Принять, что сосредоточенных пар сил
(активных) к балке не приложено.
Решение. Указание об отсутствии
внешних сосредоточенных пар необходи-
мо потому, что на эпюре Q наличие этого
Рис. 7.22
Рис. 7.21
вида нагрузки не отражается, и без этого указания условия задачи были бы
не совсем определенными.
Очевидно, балка имеет три участка нагружения, границами которых яв-
ляются изломы или скачки на эпюре Q. На левом конце балки Q = 0, следова-
тельно, сосредоточенной силы здесь не приложено.
На первом участке поперечная сила изменяется по линейному закону,
т. е. здесь к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, направ-
ленная, очевидно, вниз (стремящаяся повернуть левую часть балки против
часовой стрелки). Интенсивность этой нагрузки
2qa
7. =-----= 2?.
I а
На втором участке =const, следовательно, распределенная нагрузка
отсутствует. На границе I и II участков скачка на эпюре Q нет, это указывает,
что здесь к балке не приложено сосредоточенной силы.
На границе II и III участков на эпюре Q скачок составляет 2qa, следова-
тельно, здесь к балк§ приложена сила P = 2qa. Эта сила стремится повернуть
левую часть балки по часовой стрелке, т. е. направлена вверх.
На III участке имеется равномерно распределенная нагрузка, направ-
ленная вверх — эпюра Q линейна и положительна. Значение интенсивности
этой нагрузки определяем по известному значению поперечной силы в сече-
нии А (рис. 7.22):
— q^a + Р + ?и2а = qa,
253
или
— 2qa + 2qa + <7n2<2 — qa,
откуда
На рис. 7.22 показана эпюра M. На III участке эпюра fM обращена вы-
пуклостью вниз, и касательная к ней в крайней левой точке участка горизон-
тальна. На границе II и III участков имеется излом. Параболический и пря-
молинейный участки эпюры на границе I и II участков сопрягаются плавно.
"Читателю рекомендуется объяснить все отмеченные особенности эпюры,
исходя из -дифференциальных зависимостей между Q и М, и проверить вычис-
ление характерных ординат эпюры М
Пример 7.12. Построить эпюры внутренних силовых факторов для лома-
ного бруса, изображенного на рис. 7.23, а.
Решение. Рассматриваемый ломаный брус представляет собой частный
случай плоской рамы — системы жестко соединенных между собой
брусьев (в подобных случаях чаще говорят стержней), оси которых лежат
в одной плоскости и в той же плоскости приложены все внешние силы. В попе-
речных сечениях стержней плоской рамы в общем случае возникают три внут-
ренних силовых фактора: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибаю-
щий момент М. '
254
Если стержни соединены между собой не жестко, а шарнирно, то та-
кая стержневая система называется фермой. В поперечных сечениях стерж-
ней фермы (обычно считают, что внешние силы приложены лишь к узлам —
шарнирам) возникают только продольные силы, т. е. стержни работают на
растяжение или сжатие.
Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержней рамы
определяются на основе метода сечений; для оставленной части рамы должны
быть составлены три уравнения равновесия: суммы проекций на ось рассечен-
ного стержня и ось, ей перпендикулярную, и сумма моментов относитель-
но той точки оси стержня, через которую проходит проведенное сечение.
При наличии некоторых навыков определения N, Q и М отпадает надобность
каждый раз изображать отдельно.оставленную часть рамы.
Рама имеет два участка, в пределах каждого из них проводим произволь-
ные поперечные сечения соответствующих стержней и- изображаем отдельно
оставленные части рамы (рис. 7.23, б и в). Из уравнений равновесия имеем
ЛГ,=О; Ql = qzy, М1 = ——;
ql2
Mi ’ чЬ Qu — 0; .
Все величины получились положительными, но это не связано с какими-
либо правилами знаков — здесь знаки плюс указывают лишь на то, что пред-
положительные направления N, Q и М, принятые на рис. 7.23, б и в, совпа-
дают с действительными.
Для построения каждой из трех эпюр трижды изображаем контур рамы,
который служит осью (базой) эпюры (рис. 7.23, г,д,е).
Продольная сила в поперечных сечениях горизонтального стержня равна
нулю, а вертикального — постоянна. Знак минус на эпюре (см. рис. 7.23, а)
указывает, что II стержень сжат.
Для поперечных сил сохраняем то же правило знаков, что и в балках (см.
рис. 7.7). Эпюра Q дана на рис. 7.23, д.
В какую сторону от оси стержня откладывать ординаты эпюр N и Q,
совершенно безразлично.
Ординаты эпюры М (см. рис. 7.23, е) откладывают в сторону сжатых
волокон каждого из стержней; знаков на этой эпюре не ставят.
Для проверки эпюры М следует вырезать элемент рамы поперечными се-
чениями, бесконечно близкими к узлу, заменить действие отброшенных час-
тей на оставленную^ изгибающими моментами (рис. 7.23, ж) и убедиться в том,
что условие равновесия соблюдается. Если в узле сходятся лишь два стерж-
ня и к узлу не приложено внешних пар сил, то совершенно очевидно, что
изгибающие моменты в указанных сечениях должны быть равны по величине
и направлены в противоположные стороны. Если на одном из стержней, при-
мыкающих к двухстержневому узлу, не нагруженному внешними моментами,
эпюра М расположена с внутренней стороны контура рамы, то так же она
должна быть расположена и на втором стержне (см. рис. 7.23, в).
Пример 7.13. Построить эпюры N, Q и М для плоской рамы, изображен-
ной на рис. 7.24, щ
Решение. Определяем опорные реакции (см. рис. 7.24, а):
= 0;
откуда
Уда — 2qa 2а — qa2 + qaa = 0,
7
VA = — qa
откуда HB = qa.
St7 = 0; qa-HB = 0,
255
256
S/nA = 0; Hв2а + VBa — qaa — — qa2 — 2qaa = 0,
или
7 7
Vb = у Qa — 2HB = ^-.qa — 2qa,
окончательно
3
Vb = у <?a-
Проверка:
7 3
S V = 0; Уд — 2.qa — в ~ ~7^ Яа~ %Яа ~ у qa = Q.
Разбиваем раму па участки, как показано на рис. 7.24, а. Проводим сече-
ния в пределах каждого из участков и рассматриваем условия равновесия
отсеченных частей рамы, изображенных на рис. 7.24, б, в, г, д.
7 7 . qz\
у = °; Qx = ~qa — qzp, = у qaz1 — —у ;
7
= — qa2a —
7 3
ЛГП = у qa — 2qa = у qa\ QH = 0; Л4П
1 11
— 2qaa + у?^2 = ~у~ Я<&;
3 з
Мп = V Яа’ Qm = qa'> Мт-=— qa3a +qaz3 = ~ qa?+qaz£
2 2
9
2
3 3
Mv = <la> Mv = у M\N = у <7az^
Так же, как и в предыдущем примере, знаки плюс указывают лишь па
совпадение предположительных направлений N, Q и М с действительными.
Знаки N и Q, соответствующие принятым правилам знаков, даны на эпюрах
(рис. 7.24,-е, ж).
Эпюра М изображена на рис. 7.24, з. Элементы, выделенные у узлов С
и D рамы (см. предыдущий пример), показаны на рис. 7.24, и, к. В узле С при
переходе от горизонтального стержня к вертикальному величина Л1 скачкооб-
разно изменяется на т= у qa2 (см. рис. 7.24, з, и). &
§ 7.5. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
Выше было установлено, что при поперечном прямом изгибе
в поперечных сечениях балки возникают нормальные и ка-
сательные напряжения. В частном случае, когда поперечная си-
ла равна нулю, имеет место чистый изгиб ив поперечных
сечениях балки касательные напряжения отсутствуют. Этот слу-
чай рассмотрим в первую очередь. Для выяснения закона рас-
пределения нормальных напряжений по поперечному сечению
балки и вывода формулы, определяющей величину напряжения
() 14’ 1
257
в произвольной точке поперечного сечения, будем исходить из
следующих допущений.
1. При чистом прямом изгибе справедлива гипотеза Бернул-
ли, т. е. поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его
оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и
после деформации.
2. Волокна бруса при его деформации не надавливают друг
на друга.
д..ур..р_-.-—...ГТТ~] Рассматривая деформацию ре-
ZZZZZZZZZZZZEZ зиновой модели бруса с нанесен-
I 1 I I I 1"Т I Г .I I I ной на его поверхности сеткой
продольных и поперечных рисок,
'обнаруживаем, что поперечные
I риски, оставаясь прямолинейны-
,]уГи’ П0В0РачИ1Ваются на некоторые
углы и их параллельность нару-
Рис. 7.25 шается (рис. 7.25).
Эта картина деформации, на-
блюдаемая на поверхности бруса, в известной степени подтвер-
ждает справедливость гипотезы Бернулли. Кроме того, форму-
ла, получаемая на основе указанных допущений, совпадает с
выведенной при помощи точных методов теюрии упругости без
использования этих допущений.
Рис. 7.26
Для вывода формулы,, определяющей величину нормальных
напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, рас-
смотрим балку, изображенную на рис. 7.26, а. Определив опор-
ные реакции (в силу симметрии Va = Vb = P) и построив эпюры
поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 7.26, б, в), заклю-
258
чаем, что средняя часть балки (участок CD) находится в усло-
виях чистого изгиба: поперечная сила во всех сечениях этого
участка равна нулю. Двумя бесконечно близкими поперечными
сечениями выделим из этого участка элемент длиной dz. Отдель-
но (в крупном масштабе) этот элемент в деформированном со-
стоянии изображен на рис. 7.27. Длина волокон, лежащих в
нейтральном слое (см. стр. 234), при изгибе не изменяется. Обо-
значим след нейтрального слоя на плоскости чертежа буквами
и—п, а его радиус кривизны — р (см. рис. 7.27). Определим
Рис. 7.27
линейную деформацию произвольного волокна, отстоящего на
расстоянии у от нейтрального слоя. Длина этого волокна после
деформации (длина дуги m-m) равна (p + z/)J6. Учитывая, что
до деформации все волокна имели одинаковую длину dz, полу-
чаем, что удлинение рассматриваемого волокна
A (dz) = (р + у)у/6 — dz,
следовательно, его деформация (е), равная отношению удлине-
ния к первоначальной длине,
&(dz) (p + y)dV—Fdz
s ——— —— ---------------,
dz dz
Очевидно, dz = pd$, так как длина волокна, лежащего в ней-
тральном слое, при деформации не изменилась. Следовательно,
е_ (рЧ-^)йГО — ptZO
prfO ’
откуда
е = — . (gl
Р
9* 253»
Для перехода от деформаций к напряжениям прим-еним за-
кон Гука (как.везде, полагаем, что возникающие напряжения
не превышают предела пропорциональности): .
(б)
Подставляя Аюда s = — , получаем
р
(в)
р
Возможность применения закона Гука в форме зависимости
(б) обусловлена принятым допущением о ненадавливании во-
локон балки друг на друга, т. е. предположением, что каждое из
них находится в состоянии одноосного растяжения или сжа-
тия. В противном случае следовало бы при-
менить обобщенный закон Гука (см. § 3.4),
S'' что чрезвычайно осложнило бы вывод
формулы.
/ Выражение (в) показывает, что нормаль-
7J / ное напРяжение в произвольной точке попе-
1 \ речного сечения прямо пропорционально ее
/А^ расстоянию у от нейтральной оси, т. е. по
высоте сечения нормальные напряжения из-
хА меняются по линейному закону. По ширине
сечения они распределены равномерно (не
Рис. 7.28 зависят от координаты %).
Нормальные напряжения в торцовых по-
перечных сечениях выделенного элемента показаны на рис. 7.27.
Там же показано его поперечное сечение, совмещенное с плос-
костью чертежа, и дана эпюра нормальных напряжений. Как
обычно, растягивающие напряжения считаем положительными
(знак плюс на эпюре), а сжимающие — отрицательными.
Условность этой и ей подобных эпюр, которые будут неодно-
кратно встречаться в дальнейшем, заключается в том, что ее
ординаты, выражающие величины нормальных напряжений в
соответствующих точках поперечного сечения, лежат в плоскости
сечения, в то время как сами напряжения перпендикулярны этой
плоскости. Большей наглядностью обладают пространственные
эпюры, для бруса прямоугольного сечения такая пространствен-
ная эпюра показана на рис. 7.28.
Возвращаясь к рис. 7.27, заметим, что нейтральная ось (она
принята за координатную ось Ох) делит поперечное сечение бру-
са на две части, в одной из которых (в нашем случае в нижней),
возникают растягивающие, а в другой — сжимающие напряже-
ния. В точках, лежащих на самой нейтральной оси, нормальные
напряжения равны нулю. Таким образом, наряду с определением
260
нейтральной оси как линии пересечения нейтрального слоя с
плоскостью поперечного сечения (см. стр. .2314) можно дать сле-
дующее: нейтральной осью, или нулевой линией, называется гео-
метрическое место точек поперечного сечения бруса, в которых
нормальные напряжения равны нулю.
Положение нейтральной оси пока не известно. Это обстоя-
тельство, а также то, что мы не знаем величины радиуса кри-
визны нейтрального слоя, не позволяет использовать соотноше-
ние (в) для вычисления нормальных напряжений.
Положение нейтральной оси определим из условия, что про-
дольная сила в поперечном сечении равна нулю (см. стр. 235).
Зависимость между продольной силой и нормальными напряже-
ниями записывается так:
N,= j ^dF.
F
Подставляя вместо су его значение по выражению (в) и при-
равнивая продольную силу нулю, получаем
Nz = \
Отношение------'величина постоянная и может быть вынесе-
р
но за знак интеграла:
f ydF=o.
р J
Очевидно, — О
р
(рассматриваем деформированный
брус, т. е. радиус кривизны не равен бесконечности), сле-
довательно,
f ydF=Q.
11о, как известно, этот интеграл представляет собой статический
момент сечения относительно оси Ох (нейтральной оси), и он ра-
нен пулю лищь в случае, если эта ось центральная.
Силовая линия (ось Оу) совпадает с осью симметрии сече-
ния, т. с. является одной из главных центральных осей. Нейт-
ральная ось ей перпендикулярна и проходит, как мы установи-
ла, через центр тяжести сечения, т. е. это вторая главная цент-
ральная ось.
В рассматриваемом случае изгиба перпендикулярность силовой и нулевой
линий следует из того, что точки сечения, лежащие на общем перпендику-
ляре к силовой линии слева и справа от нее, находятся в одинаковых усло-
виях, так как силовая линия совпадает с осью симметрии поперечного сече-
ния.
261
Для определения радиуса кривизны нейтрального слоя ис-
пользуем зависимость между изгибающим моментом и нормаль-
ными напряжениями. Элементарная нормальная сила равна
cdF, ее момент относительно нейтральной оси dMx= (<jzdF) у;
суммируя эти элементарные моменты по всей, площади сечения
(см. также стр. 2'9 и 235), имеем'
= J agydF.
(г)
Подставляя сюда значение щ по выражению (в), получаем
7ИХ = szydF~ \ ~ \ddF=- \'yW.
J J P P J
Учитывая, что \y2dF—Jx — момент инерции относитель-
но оси Ох, получаем
М--
£7
P
или
1
Mx
P Edx
Кривизна нейтрального слоя (изогнутой оси бруса) прямо
пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорцио-
нальна произведению модуля продольной упругости материала
бруса на момент инерции его поперечного сечения относительна
нейтральной оси.
Произведение EJX условно называют жесткостью сечения бру-
са при изгибе. Модуль Е характеризует жесткость материала, а
момент инерции Jx является геометрической характеристикой
жесткости бруса при Изгибе.
Подставляя найденное значение кривизны в выражение (в)„
получаем
(74)
Е, У Г7 Мх Мх
с? — Е -^~=-Еу—~ = —-у.
Р Ffx Jx
Опуская индекс z (нормальные напряжения в поперечном се-
чении бруса принято обозначать просто о без индекса, указываю-
щего .их направление), окончательно имеем
Мх
а =——у.
(7.5)
Формула (7.5) дает величину нормального напряжения в
произвольной точке поперечного сечения. Значения изгибающего
момента Мх и расстояния рассматриваемой точки от нейтральной
262
оси (координаты jy) следует подставлять по абсолютной величи-
не. Будет ли напряжение в данной точке растягивающим или
сжимающим, легко установить по характеру деформации балки,
или, что то же самое, по эпюре изгибающих моментов, ординаты
которой откладывают в сторону сжатых волокон балки.
Формула (7.5) выведена для случая чистого прямого изгиба
бруса. При поперечном прямом изгибе предпосылки, положенные
в основу ее вывода, нарушаются: поперечные сечения бруса за
счет возникновения в них касательных напряжений искривляют-
ся (гипотеза Бернулли несправедлива); кроме того,, в этом слу-
чае имеет место, хотя и весьма незначительное, взаимное надав-
ливание волокон. Тем не менее, как показывают эксперименталь-
ные и точные теоретические исследования, эта формула дает
значения нормальных напряжений и для случая поперечно-
го изгиба с точностью, вполне достаточной для практических
расчетов.
В предыдущем изложении мы ограничились рассмотрением случая, когда
поперечное сечение бруса имеет по меньшей мере одну ось симметрии, с ко-
торой совпадает силовая линия. При этом взаимная перпендикулярность си-
ловой и нулевой линий является вполне очевидным следствием симметрии на-
гружения бруса. В общем случае, когда поперечное сечение не имеет ни одной
оси симметрии, силовая и нейтральная линии будут взаимнр перпендикуляр-
ны и, как следствие, будет справедлива формула (7.5) для нормальных на-
пряжений лишь при условии, что силовая линия совпадает с одной из главных
центральных осей поперечного сечения изгибаемого бруса. Справедливость
•лого утверждения может быть доказана следующим образом.
Пусть действующие на брус нагрузки расположены в главной плоско-
сти гОу,т. е. силовая линия совпадает с главной осью. Внешние силы момен-
та относительно оси Оу не дают, следовательно, и момент Му внутренних сил
относительно этой оси равен нулю. Зависимость между моментом Му и нор-
мальными напряжениями такова (см. стр. 29)
Му = у szxdF.
F
Подставляя сюда = , получаем
Р
С 1 5 Е f
Mv = \ :—-xydF = — \ xydF.
Яр р J
F F
Приравнивая Му нулю, имеем
F С
= — \ xydF = О,
Р £
шг “ 0, следовательно, xydF = §.
F
3гот интеграл представляет собой центробежный момент инерции сечения JХу
I )п ранец нулю лишь относительно главных осей, которые, как известно,
нпшмио перпендикулярны. Таким образом, доказано положение о взаимной
263
перпендикулярности силовой и нулевой линий при нагружении бруса в глав-
ной плоскости.
Значит, формулой (7-5) можно пользоваться во всех случаях прямого
изгиба, понимая под Jx момент инерции относительно главной центральной
оси поперечного сечения, перпендикулярной плоскости действия нагрузки.
* *
*
Первая попытка решения задачи о нормальных напряжениях при изгибе
была сделана основоположником науки о сопротивлении материалов Г. Га-
лилеем (1564—1642). Его решение, основанное на предположении, что все
волокна бруса растянуты, естественно, оказалось неверным. Вместе с тем Га-
лилей получил правильное решение задачи не об абсолютной, а о сравнитель-
ной прочности геометрически подобных брусьев. Так, в частности, он устано-
вил, что прочность бруса круглого сечения пропорциональна кубу его диа-
метра.
Один из первых академиков сформированной в 1666 г. Французской
академии наук Мариотт (1620—1684) принял правильное допущение о ха-
рактере распределения усилий в отдельных волокнах балки, но, допустив в
дальнейшем алгебраическую ошибку, пришел к неверному результату.
Ошибка Мариотта была повторена одним из крупнейших математиков
своего времени швейцарским профессором, голландцем Яковом Бернулли
(1654—1705). Основываясь на гипотезе плоских сечений, он пришел к пра-
вильному выводу, что кривизна изогнутой оси балки в каждой своей точке
пропорциональна изгибающему моменту в соответствующем сечении. Но коэф-
фициент пропорциональности был им определен неверно. Более того, на основе
своего, ошибочного расчета он пришел к совершенно неправильному выводу,
что положение нулевой точки в линейной эпюре напряжений вообще не ока-
зывает никакого влияния на сопротивление изгибу.
Сделанный Я. Бернулли вывод зависимости для кривизны нейтрального
слоя впоследствии был использован другими математиками (прежде всего
Л. Эйлером) в их исследованиях, посвященных определению формы изогну-
той оси бруса. Таким образом, хотя гипотеза плоских сечений впервые была
использована Мариоттом, ее связывают с именем Я. Бернулли.
Ряд работ, посвященных теории изгиба, выполнил французский ученый
Паран (1666—1716). Он полностью исследовал статическую сторону задачи
и показал, что система внутренних сил, возникающих в поперечном сечении,
должна уравновешивать внешнюю нагрузку, приложенную по одну сторону
от этого сечения. Паран правильно представлял себе закон распределения
напряжений и исправил ошибку, допущенную Мариоттом. Вместе с тем тру-
ды Парана остались не замеченными его современниками, и на протяжении
XVIII века большинство инженеров продолжало пользоваться формулами,
основанными на теории Мариотта.
Правильное решение задачи о нормальных напряжениях при изгибе дал
в 1773 г. Кулон (1736—1806). .
В современном виде теория нормальных напряжений впервые была из-
ложена Навье (1785—1836) в книге, изданной в 1826 г. Формула (7.4) в этом
виде впервые также была получена Навье. Ему же принадлежит заслуга вве-
дения в сопротивление материалов понятия о напряжении.
§ 7.6. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нор-
мальным напряжениям, возникающим в их поперечных
сечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормаль-
264
ными, как известно, возникают и касательные напряжения, но
они в подавляющем большинстве случаев невелики и при расче-
тах на прочность не учитываются. О некоторых особых случаях,
в которых пренебрежение влиянием касательных напряжений не-
допустимо, сказано в следующем параграфе.
А. Расчет балок из пластичных материалов
Прочность балки из пластичного материала обеспечена, если
наибольшие по абсолютной величине нормальные напряже-
ния, возникающие в опасном поперечном сечении, не превышают
допускаемых. Для балки, поперечные размеры которой по всей
длине постоянны (пока только такими балками и ограничиваем-
ся), oiiacHO'e сечение то, в котором возникает наибольший
по модулю изгибающий момент.
Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках
опасного поперечного сечения, максимально удаленных от нейт-
ральной оси. Будем называть эти точки опасными.
Величину максимального напряжения найдем по формуле
(7.5), подставляя в нее вместо текущей координаты у значение
Утах — расстояния от опасной точки до нейтральной оси. Тогда
условие прочности запишется так:
max . г 1 /г? р\
Стах — ---Утах [с]. (7.6)
Здесь [о] — допускаемое напряжение, принимаемое при ста-
тическом нагружении таким же, как и в случае растяжения (сжа-
тия) бруса из того же материала.
В случае, если поперечное сечение балки симметрично отно-
сительно нейтральной оси, оказывается возможным привести
формулу (7.6) к более удобному виду. Для указанных сечений
h
Утах ==z j где h — высота сечения (его габаритный размер в
направлении, перпендикулярном нейтральной оси), следова-
тельно,
max Мх ’ h
Стах— - — .
х &
Разделив числитель и знаменатель этого выражения на
h
—,получим
тахЛ4х
265
введя обозначение
2
получим окончательно условие прочности в следующем виде:
сшах
max Мх
К
(7.7)
Таким образом, мы ввели новую геометрическую характери-
стику поперечного сечения (И7Х), представляющую собой отно-
шение момента инерции относительно данной оси к половине вы-
соты сечения. Эта геометрическая характеристика называется
осевым, моментом сопротивления, или моментом сопротивления
при изгибе. Ее часто называют просто моментом сопротивления,
в отличие от подобной геометрической характеристики, встре-
чавшейся при рассмотрении кручения бруса круглого поперечно-
го сечения и называемой полярным моментом сопротивления.
Очевидно, момент сопротивления имеет размерность длины в
кубе (ж3, щи3, мм3).
Из формулы (7.7) следует, что момент сопротивления — это
геометрическая характеристика прочности бруса, работающего
на прямой изгиб. Действительно, чем больше момент сопротив-
ления, тем меньше напряжения, возникающие в поперечном се-
чении балки при данной нагрузке (изгибающем моменте), и тем
большую нагрузку может безопасно выдержать балка при дан-
ной величине допускаемого напряжения (при данном мате-
риале).
Формула (7.7) представляет собой зависимость для прове-
рочного расчета. В случае проектного расчета из нее опреде-
ляется требуёМая величина момента сопротивления:
max Мх
[°]
(7.8)
Если цель расчета состоит в определении допускаемой на-
грузки, то формула (7.7) преобразуется к виду
[тахЛ1х] = 1Гх[о]. (7.9)
Связь между допускаемыми значениями максимального изги-
бающего момента и действующей на балку нагрузки устанавли-
вается по эпюре Мх.
Значения моментов сопротивления прокатных профилей (дву-
тавров и швеллеров) приведены в таблицах соответствующих
ГОСТов.
Моменты сопротивления круга, кольца и прямоугольника
найдем, воспользовавшись формулами для главных центральных
моментов инерции этих сечений (см. § 6.5):
266
а) круг
^х=~
2
~64~
d
2
или
б)
^£__O,ld3f
x • 32
(7.Ю)
или
в)
или
кольцо
izdt
rx=-^=—---------
Д_ _d_
2 2
OZ
(7.И)
ямоугольник
1^X = "
A
2
b№
~V1_
h
~2
n p
w,=—
x 6
(7.12)
Во избежание ошибок еще раз подчеркиваем, что в формуле
(7.12) h — размер стороны прямоугольника, перпендикулярной
оси, относительно которой
вычисляется момент сопро-
тивления.
При применении для ба-
лок из пластичных материа-
лов сечений, симметричных
'относительно нейтральной
оси, обеспечивается равенс-
тво (по абсолютной величи-
не) наибольших растягиваю-
щих и сжимающих напря-
жений (рис. 7.29). Для ука-
занных материалов это, конечно, целесообразно, так как допу-
скаемые напряжения на растяжение и сжатие для них одина-
ковы.
Нетрудно понять, что не все симметричные сечения одинаково
рациональны. Действительно, распределение нормальных напря-
жений таково, что та часть материала, которая расположена
267
вблизи нейтральной оси, почти не используется. Это указывает,
в частности, на нерациональность круглого сечения — при его
применении большая часть материала бруса оказывается в мало-
нагруженной области. Немногим выгоднее квадратное сечение.
Наилучшее решение вопроса о рациональном использовании ма-
териала дает применение двутаврового сечения. В двутавровой
балке основная часть материала сосредоточена в полках, т. е.
в зоне наилучшего его использования (в зоне наибольших напря-
Рис. 7.30
данной затрате материала он был
длине балки затрата 'материала
жений). Роль стенки бал-
ки, воспринимающей сравни-
тельно небольшую часть из-
гибающего момента, состоит
главным образом в обеспече-
нии монолитной работы се-
чения как единого целого.
Поскольку момент сопро-
тивления является геомет-
рической характеристикой
прочности изгибаемого бру-
са, очевидно, следует стре-
миться к тому, чтобы при
максимален. При заданной
(масса балки) прямо пропор-
циональна площади поперечного сечения. Следовательно, чем
больше Wx и меньше F, тем рациональнее форма сечения балки.
Для количественной оценки рациональности сечения удобна без-
размерная характеристика
<WX
УТз
которую называют удельным осевым моментом сопротивления.
Например, для круга ayx = 0,141; для кольца (при с = 0,7) wx =
= 0,294; для двутавра № 10 (по ГОСТ 8239—56) аух = 0,913; для
№ 20 аух=1,35.
Необходимо иметь в виду, что при изменении положения се-
чения по отношению к действующей нагрузке прочность балки
существенно изменяется, хотя площадь сечения и остается неиз-
менной. Например, для бруса прямоугольного сечения с отно-
шением сторон h:b — 3, расположенного, как показано на
рис. 7.30, а, допускаемая нагрузка в три раза больше, чем для
того же бруса, но повернутого на 90° (рис. 7.30,6). Аналогично,
для двутавра № 20а в случае а допускаемая нагрузка больше,
чем в случае б, в 7,3 раза (рис. 7.31).
Из приведенных примеров следует, что сечение надо распо-
лагать таким образом, чтобы силовая линия совпадала с той из
главных осей, относительно которой момент инерции м и н и м а-
268
лен, или, что то же самое, так, чтобы ось, относительно кото-
рой момент инерции максимален, была нейтральной осью
сечения. Более кратко это указание можно сформулировать так:
следует стремиться к тому, чтобы изгиб бруса происходил в пло-
скости его наибольшей жесткости.
В большинстве случаев с ростом момента инерции- сечения
возрастает и его момент сопротивления, но возможны и исключе-
ния, когда нерациональное увеличение момента инерции приво-
дит к уменьшению момента сопротив-
ления, т. е. к снижению прочности бруса.
Один из подобных примеров приведен на
рис. 7.32—приварка полос к двутавру
приводит к уменьшению Wx, так как вы-
сота сечения возрастает ощутимее, чем
его момент инерции.'
Интересно отметить, что если у круг-
лого сечения срезать сегменты, как пока-
зано на рис. 7.33, то момент 'сопротивле-
ния возрастет, достигая максимального
значения, когда стрелка срезаемого сег-
мента равна 0,11 d. При большей величи-
Рис. 7.33
не стрелки сегмента момент сопротивления становится меньшим,
чем у круглого сечения. Не следует забывать, что уменьшение
момента инерции сечения не всегда допустимо, так как оно при-
водит к снижению жестко сти балки.
269
Б. Расчет балок из хрупких материалов
Хрупкие материалы находят применение для изготовления
некоторых работающих на изгиб элементов машиностроительных
конструкций. В частности, из серого чугуна отливают различного
рода рамы, станины, подшипниковые подвески и т. д.
Как известно, серый чугун работает на сжатие значительно
лучше, чем на растяжение, отношение соответствующих допус-
каемых напряжений
-Ы-=Зч- 4,5.
[»Р]
Очевидно, применение сечений, симметричных относительно
нейтральной оси, в рассматриваемом случае нерационально —
материал в сжатой зоне бруса будет значительно недогружен,
что приведет к его излишней затрате, а значит, к увеличению
массы конструкции.
Для балок из хрупких материалов, различно сопротивляю-
щихся растяжению и сжатию, целесообразно применять сечения,
несимметричные относительно нейтральной оси, например тавро-
вое, несимметричное двутавровое, П-образное (рис. 7.34). При
этом целесообразно располагать сечение таким образом, чтобы
большая часть балки находилась в растянутой зоне (см. эпюру
нормальных напряжений на рис. 7.34).
Рациональное и нерациональное расположения сечения чу-
гунной тавровой балки показаны на рис. 7.35. При указанных на
чертеже „расстояниях от нейтральной оси до крайних точек сече-
ния допускаемая нагрузка в случае а в 2,22 раза больше, чем в
случае б.
Очевидно, следует стремиться к тому, чтобы максимальные
растягивающие и максимальные сжимающие напряжения в опас-
270
ном поперечном сечении балки были одновременно равны
соответствующим допускаемым напряжениям, т. е.
max ор = [ар], maxj5c = [ос}.
При этом материал балки будет использован наиболее рацио-
нально. Но
max М,.
max Ср=------ук
Jx
и
max Мх
maxoc =----—yL,
J X
где z/к и yL — расстояния от нейтральной оси соответственного
Рис. 7.35
наиболее удаленных точек растянутой и сжатой зон сечения (см.
рис. 7.34, 7.35). Следовательно, для обеспечения указанного ус-
ловия наиболее рационального использования материала сече-
ние должно иметь такую конфигурацию, при которой
Ук___ tgp]
Уь Ы
Соотношение (7.13) выполняется далеко не всегда, поэтому
условие прочности чугунной балки выражается двумя неравен-
ствами;
тахор
max М
У к Гар1»
| max ос | =
max Мх г 1
" У Г- < [°с].
J X
(7.14)
271
г? Ук [стр]
Если ----- > ------, опасными являются точки растяну-
Уь [’с] F У
той зоны, максимально удаленные от нейтральной оси, и для
расчета на прочность достаточно использовать только первую
У к [°р]
из формул (7.14). Аналогично, при -—<---------- достаточно вы-
ул [стс]
полнить расчет по второй из формул (7.44). ‘
Все сказанное о расчете чугунной балки относилось в основ-
ном к случаю, когда эпюра изгибающих моментов на.всем ее
протяжении однозначна. В случае, если эпюра Мх имеет
участки разных знаков (например, в(
случае схемы нагружения, представ-।
ленной на рис. 7.36), следует располо-
жить сечение таким образом, чтобы
там, где изгибающий момент по а б со-
лю т н о й величине максимален (сече-
ние 1—1 на рис. 7.36), большая часть
2 а -<— за.---И
Рис. 7.36
Рис. 7.37
материала (например, полка таврового сечения) находилась в
растянутой зоне. При этом, помимо расчета на прочность, выпол-
ненного по одной из формул (7.14) для указанного сечения, не-
обходимо произвести расчет по максимальным растягивающим
напряжениям для сечения’ с наибольшим моментом противопо-
ложного знака (сечение 2—2 на рис. 7J36). Здесь хотя изгибаю-
щий момент и меньше, но большая часть материала находится в
сжатой зоне и может оказаться, что им-'енно это сечение является
опасным (см. ниже пример 7.19).
Рассмотрим ряд примеров расчета на прочность при изгибе.
Пример 7.14. Две балки с поперечными сечениями, показанными на
рис. 7.37, а, б, нагружены вертикально направленной изгибающей нагрузкой.
Выяснить, как изменится допускаемая нагрузка для каждой из балок при
повороте их вокруг продольных осей на 45я.
272
Решение. Допускаемое значение максимального изгибающего момента
определяется по формуле (7.9):
[тахЛ4х] = IFx[a],
т. е. при заданном значении допускаемого напряжения допускаемая величина
изггрбающего момента зависит только от момента сопротивления поперечного
сечения балки. Для обоих заданных сечений любая центральная ось глав-
ная, поэтому при повороте балки (сечения) момент инерции относительно
нейтральной оси будет оставаться постоянным.
Для сечения по рис. 7.37, а.
х 64 12
Для сечения по рис. 131,6
12 64
Для сечения а постоянным будет оставаться и момент, сопротивления
Fl = —
2
так как расстояние от нейтральной
точек сечения не изменяется ^равпо
показанном на чертеже,
J11
А
2
64 “"ЙГ
2
оси до максимально удаленных от нее
di\
—) . Для сечения б при расположении,
62
12 ~ 64
Ь2
2
а при повернутом на 45° когда нейтральная ось совпадает с одной из диа-
гоналей квадрата,
-*1
Ь2
2
Z>2
12~~~64~
ь2У~2
2
Таким образом, при повороте второго из заданных сечений на 45° до-
пускаемая нагрузка соответствующей балки уменьшается на 29%.
Пример 7.15. Проверить прочность заданной стальной балки (рис. 7.38).
Допускаемое напряжение [о]= 120 н[мм?.
Решение. Определив опорные реакции (показаны на рис. 7.38), вычисляем
изгибающие моменты в сечениях С и D:
Мс = — 12,86-0,2 2,57 кн-м;'
MD = VBa = 9,64-0,2 « 1,93 кн-м.
273
Рис. 7.39
274
В надопорных сечениях изгибающие моменты равны нулю. На всех трех
участках эпюра Мх линейна (см. рис. 7.38).
Опасное сечение С; наибольшее нормальное напряжение в этом сечении
max Мх __ Мс
Wx ~
32
2,57-103.10s п „
=--------------= 121,2 н мл&.
3,14
Это напряжение на 1% выше допускаемого, что, конечно, не опасно,
т. е. прочность балки обеспечена.
Пример 7.16. Двутавровая балка (рис. 7.39, а) изготовлена из стали Ст. 3,
имеющей предел текучести от = 240 н’мм2-. Проверить прочность балки, если
заданный коэффициент запаса прочности [п] = 1,5.
Решение. Определяем опорные реакции и строим эпюры Qy и Мх
(рис 7.39, б, в). Для расчета на прочность эпюра Qy не нужна, но построение
Рис. 7.40
ее при действии на балку распределенной нагрузки целесообразно, так как
по этой эпюре сразу определяется, имеет ли эпюра Мх точки экстремума
и где именно. В нашем случае эпюра Qy имеет нулевую ординату в сечении,
отстоящем на 2,47 м от опоры А:
3,47
шах Мх = — 30-3,47 —— + 104-2,47 = 76,3 кн-м.
Это расчетный момент. Необходимо подчеркнуть, что в некоторых слу-
чаях расчетное значение Мх может оказаться большим, чем соответствующее
точке математического максимума (см., в частности, пример 7.10).
Наибольшее нормальное напряжение в опасном сечении
max М
76,3-106
«Тлях =-------— = -------=— = 187,5 н[мл&,
а Wx 407-103 '
где Wx = 4£)7 см3 — момент сопротивления (относительно нейтральной оси)
двутаврового профиля № 27 а по ГОСТ 8239—56.
Коэффициент запаса для опасных точек балки
ат 240
ит =-------=--------= 1,282,
187,5
т. е. ниже требуемого на 14,5%, следовательно, балка работает с весьма зна-
чительной перегрузкой.
275
Пример. 7.17. Определить допускаемую нагрузку двухопорной балки за-
данного поперечного сечения (рис. 7.40) для двух указанных вариантов рас-
положения опор. Допускаемое напряжение [а]= 160 н!мм2.
Решение. На рис. 7.41, а показаны эпюры Qy и Мх для первого вариан-
та, то же рис. 7.41, б — для второго варианта.
Определяем момент инерции и момент сопротивления поперечного сече-
ния балки:
Jx — 2 (Дшв + Jхпол) — 2 (Дшв + Агхпол + ^^пол),
здесь /хшв=1660 см* — момент инерции швеллера относительно оси х\
Р-16
J~ ' CMi ~ момент инерции полосы относительно собствен-
ной центральной оси, параллельной главной цент-
ральной оси всего сечения. Этим слагаемым по
его малости в сравнении с остальными пренебре-
гаем;
а = 10,5 см — расстояние между осями х и хр,
Апол — 16 см2 — площадь сечения полосы.
Jx = 2(1660 + 10,52-16) = 6840 см*\
Jx 6840 •
= = —— = 621 см3.
h 11
2
максимального изгибающего момента по формуле
W.,
Допускаемое значение
(7.9) ,
[maxМх] = Wx [а] = 621 • Ю3-160 = 994-Ю5 н-мм = 994-102 н-м,
откуда для I варианта
8
= [max Мх]
или
= 8 [max Мх]
ЮН /2
8-994-102
---------= 124,2-102 н[м.
82
Аналогично для II варианта
Mil/2
-----— = [maxTkM,
16
или
16 [max ЛТД
- ,,
16-994-102
82
= 248,4-102 н/м.
Таким образом, при наличии консолей допускаемая нагрузка возросла в
нашем случае вдвое. Рекомендуем читателю определить длины консолей (в до-
лях /) из условия, чтобы изгибающие моменты в опорных сечениях и посере-
дине пролета балки были одинаковы, и вычислить для этого случая [<7].
Пример 7.18. Определить требуемые размеры поперечного сечения балки
в двух вариантах, указанных на рис. 7.42, а. Допускаемое напряжение [о] =
= 160 н!мм2.
Решение. Определяем опорные реакций и строим эпюры Qy и Мх
(рис. 7.42, б, в). Требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки
по формуле (7.8):
240-1О6
160
max Мх
= 1,5- 10s мм3 — 1500 см3.
276
Рис. 7.41
Рис. 7.42
277
По ГОСТ 8239—56 выбираем двутавр № 50, имеющий №л=1560 сж3.
Требуемый момент сопротивления одного швеллера
Wx 1500
— о — Q —750 см3.
По ГОСТ 8240—56 выбираем швеллер № 40, имеющий 1Улшв=761 сж2.
Вес 1 м двутавра № 50 //1=76,1 кГ!м, то же швеллера № 40 </2=48,3 кГ/м
(для двух швеллеров 96,6 кГ[м). Следовательно, двутавровая балка будет лег-
че балки из двух рядом поставленных швеллеров* примерно на 27%.
Пример 7.19. Определить при [ор]=40 h)mm2 и [сгс] = 120 н)мм2 допускае-
мую нагрузку заданной чугунной балки (рис. 7.43, а), предварительно выбрав
рациональное расположение сечения.
Решение. Определив опорные реакции (показаны на рис. 7.43, а), строим
эпюру изгибающих моментов (рис. 7.43, б).
Наибольший изгибающий момент возникает в сечении С. Здесь балка
изгибается таким образом, что сжатые волокна находятся сверху, поэтому
•сечение следует расположить полкой вниз, т. е. так, чтобы большая часть
материала была в растянутой зоне.
Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности балки в сече-
нии С. На рис. 7.44 показано положение нейтральной оси сечения (положе-
ние центра тяжести сечения было определено в примере 6.3). Расчет ведем по
наибольшим растягивающим напряжениям, так как
УК
Уь
Условие прочности
max ср = = —-
4 [ар]
П > [°с] *
У к
Подставляя Мс =
3 „
— Ра, получаем
шах’₽ = ’-Т~Л<
< [стр]>
278
откуда -
2Л[%] 2-918-10*-40
г™ = —=-----------------------= 2,04-10* н.
1 ,j Заук 3-300-40
Значение момента инерции относительно нейтральной оси (Jx=918X
X Ю4 мм4) взято из примера 6.3.
Расчет нельзя считать законченным — может оказаться, что сечение В
опаснее рассмотренного, так как хотя МВ<МС, но сечение расположено та-
ким образом; что полка находится в сжатой зоне, т. е. нерацирнально.
Рис. 7.44
Условие прочности для сечения В
Мв
max ср = = —— yL
или, подставляя Мв — Ра, имеем
, Ра
' max = ——
рЬ
L
откуда
918-10*-40
-----------= 1,113-10* н.
300-110
Окончательно принимаем меньшее из двух найденных значений допускае-
мой нагрузки, т. е. 11,13 кн. Итак, опасным оказалось сечение В, хотя изги-
бающий момент в нем и не максимален.
На рис. 7.44 показаны эпюры нормальных напряжений для сечений В и С,
построенные при нагрузке, равной допускаемой. Напряжения равны допускае-
мым лишь в крайних верхних точках сечения В; в остальных точках как
этого, так и всех остальных сечений напряжения ниже допускаемых.
Предлагаем читателю произвести расчет для случая расположения сече-
ния полкой вверх и убедиться, что такое расположение будет нерациональ-
ным— допускаемая нагрузка окажется меньше, чем при рассмотренном по-
ложении сечения.
27»
§ 7.7. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПРЯМОМ
ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
В поперечных сечениях балок, как было установлено выше
(см. стр. 2315), при чистом изгибе возникают только нормальные,
а при поперечном изгибе — как нормальные, так и касательные
напряжения.
Из закона парности касательных напряжений следует, что в
продольных сечениях балки, 'параллельных нейтральному слою,
также возникают касательные напряжения (рис. 7.45). Для
данной точки балки касательное напряжение (tZjz), возни-
кающее на площадке поперечного сечения, равно касательному
напряжению (ту2), возникающему на площадке продольного се-
чения, проведенного через ту же точку.
Наличие касательных напряжений в продольных сечениях ба-
лок подтверждается также и результатами следующего простого
опыта. Представим себе две одинаково нагруженные двухопор-
ные балки, одна из которых состоит из ряда отдельных положен-
ных друг на друга и ничем не скрепленных брусьев (рис. 7.46).
Каждый из этих брусьев деформируется независимо от других
280
(влияние сил трения между брусьями не учитываем), имея соб-
ственный нейтральный слой. В результате деформации отдель-
ные брусья, составляющие балку, взаимно сдвинутся. В целой
балке взаимного сдвига ее продольных слоев не происходит; это
и указывает на наличие в продольных плоскостях касательных
напряжений, препятствующих этим сдвигам. Попутно заметим,
что прогибы целой балки будут значительно меньше, чем балки,
состоящей из отдельных брусьев. .
Касательное напряжение в произвольной точке поперечного
сечения бруса (т=тгу) при прямом поперечном изгибе
определяется по формуле
Здесь Qy — поперечная сила, возникающая в рассматриваемом
поперечном сечении бруса;
Sxw —.статический момент относительно нейтральной, оси
поперечного сечения его части, расположенной по
одну сторону от прямой, проведенной через иссле-
дуемую точку параллельно нейтральной оси. Эта
часть сечения заштрихована на рис. 7.47;
Jx — момент инерции всего поперечного сечения отно-
сительно его нейтральной оси;
b — ширина поперечного сечения — размер в направле-
нии, параллельном нейтральной оси (при перемен-
ной ширине сечения значение b надо брать на уров-
не исследуемой точки).
Эту зависимость называют формулой Журавского.
- Из закона парности касательных напряжений следует, что
формула (7.15) дает также значение касательного напряжения
(туг), возникающего в продольном сечении балки.
В основу вывода формулы Журавского положено допущение
о равномерном распределении касательных напряжений по ши-
рине сечения (см. рис. 7.47). Это допущение обеспечивает доста-
точную точность формулы при ширине сечения, меньшей его вы-
соты. Так, при отношении b :h=l отклонение от равномерного
распределения составляет 12,6%, а при b : Л = 0,5 — лишь 3,3%.
Для сечений, контур которых не параллелен силовой линии (например,
треугольник, круг), полное касательное напряжение не параллельно сило-
вой линии. В точках контура оно параллельно касательной к контуру
(рис. 7.48). Формула Журавского для указанных сечений дает приближенное
значение составляющих т, параллельных силовой линии; распределение
этих составляющих (т2у) принимают по ширине сечения равномерным. В фор-
мулу (7.15) следует подставлять b — by.
% Для вывода формулы Журавского рассмотрим балку прямо-
угольного поперечного сечения, защемленную одними концом и
нагруженную на свободном конце силой Р (рис. 7.49).
281
Рис. 7.50
Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями и про-
дольным сечением, отстоящим на произвольном расстоянии от
нейтрального слоя, выделим из этой балки элемент, как показа-
но на. рис. 7.49. В крупном масштабе (с искажением взаимных
пропорций) этот элемент показан в аксонометрии на рис. 7.50, а
и в ортогональной проекции на рис. 7.50, б.
Изгибающий момент в поперечном сечении II—II рассматри-
ваемой балки на бесконечно малую величину dMx больше, чем в
сечении I—I (см. рис. 7.49).
Следовательно, и нормальные напряжения в сечении II—II
на бесконечно малую величину du больше, чем в соответствую-
щих точках сечения I—I.
В качестве одного из допущений примем, что величина а
определяется по формуле (7.5)
полученной для случая чистого изгиба.
Умножая нормальное напряжение в каждой точке рассмат-
риваемых сечений на площадку его действия dF и суммируя ре-
зультаты, найдем равнодействующие yV<о и N^dN^ внутренних
нормальных сил, возникающих соответственно на левой и пра-
вой торцовых гранях выделенного элемента,
Noy— У adF; ,NUi-]-dNay= J (a-J-ofa) dF.
(£> (0
Здесь значок co у интеграла указывает на то, что суммирова-
ние ведется по той части площади поперечного сечения, кото-
рая принадлежит выделенному элементу (эту площадь обозна-
чим со).
Подставляя вместо о его значение по формуле (7.5), получаем
т—г Mr
При интегрировании по площади сечения величина — , как
Ту
постоянная, может быть вынесена за знак интеграла. Получен-
ный интеграл представляет собой статический момент части
поперечного сечения балки (принадлежащей выделенному эле-
менту) относительно нейтральной оси (оси х). Обозначим его
Sx<o
Таким образом,
SXUi. (а)
J X
283
Аналогично, учитывая, что
0 + =
получаем
М,+dN„, = ? Mx + dMx ydF=1 (Mx + dMx) _ (6)
" Jx JX
co
Из выражений (а) и (б) находим, что нормальная сила в
правом торцовом сечении элемента больше, чем в левом, на
dNa=^~-Sx«,. (в)
J X
Рассматривая равновесие элемента, заключаем, что сумма
проекций на ось z всех действующих на него сил будет равна
нулю лишь в том случае, если по его грани, совпадающей с про-
дольным сечением балки, возникает некоторая касательная си-
ла. На рис. 7.50 она обозначена dT.
Остальные три грани элемента, кроме рассмотренных, при-
надлежат наружным поверхностям бруса и к ним никаких сил
не приложено. Поэтому, действительно, усилие, уравновешиваю-
щее разность сил (АЦ- aN,„ — ЛА>, может возникнуть только
в плоскости продольного сечения.
Сумма проекций на ось z:
2Z=0; N^-(N.+dN^) + dT=Q,
откуда dT=dN0).
Или, учитывая (в),
Таким образом, определена касательная сила, возникающая
на площадке размерами by^dz, принадлежащей продольному се-
чению. Для перехода от силы к напряжениям надо установить
закон их распределения по рассматриваемой грани элемента.
Как уже говорилось, принимают, что по ширине сечения каса-
тельные напряжения распределены равномерно. Это положение
называют гипотезой Д. И. Журавского. Второй размер грани
бесконечно мал (dz), и, очевидно, вдоль этой стороны сечения
касательные напряжения постоянны, так сказать, не успевают
измениться. Итак, приходим к выводу, что касательные напряже-
ния равномерно распределены по площади этой грани элемен-
та, т. е.
ат
Tyz~ bdz
284
По закону парности касательных напряжений,
Tyz Tzy
Опуская индексы и подставляя значения dT по выражению
(г), получаем
dMxSXm
dzJxb
Учитывая, что
окончательно получаем данную ранее без вывода формулу
Журавского:
.Упоминание о касательных напряжениях при изгибе впервые встречается
в работах Кулона, который указал, что для простой консоли небольшой длины
они могут иметь существенное значение.
Интересно отметить, что если в первом издании (1826) курса сопротивле-
ния материалов Навье нет никаких упоминаний о касательных напряжениях
при изгибе, то во втором издании (1833) имеется специальный параграф, по-
священный изгибу коротких балок. Но закон распределения касательных на-
пряжений по поперечному сечению балки был Навье не известен, и он в своем
курсе пользовался их средним значением.
Методами теории упругости задача о касательных напряжениях в балках
была решена Сен-Венапом (1856). Это решение было дано для ограниченного
числа простейших сечений, и в более сложных случаях инженеры оказались
вынужденными (как и по сей день) пользоваться приближенным, но обеспе-
чивающим достаточную для практики точность решением, предложенным вы-
дающимся инженером-мостостроителем Д. И. Журавским (1821—1891).
Теория касательных напряжений в балках прямоугольного сечения была
разработана Д. И. Журавским в 1844—1850 гг. в связи с проектированием
деревянных мостов для железной дороги, соединявшей Петербург с Москвой.
Работа была представлена в Российскую академию наук совместно с другими
его исследованиями, относившимися к проектированию мостов системы Гау;
в 1854 г. за эту работу Д. И. Журавский был награжден академией премией
имени Демидова.
Применим формулу Журавского для исследования закона
распределения касательных напряжений по высоте прямоуголь-
ного поперечного сечения балки.
Составим выражение для статического момента Sx<0
(рис. 7.51). Как известно,, статический момент равен произведе-
нию площади на координату ее центра тяжести:
где
/ h \ , h
= и Ус = ~
h
7Г — У1 .
2•
2 4 2’
285
— bK2 fl
“ 8 L
2^1 У
ft / .
Конечно, принципиально безразлично, брать ли статический
момент заштрихованной или всей остальной части сечения, так
как по абсолютной величине они равны: их сумма дает статиче-
ский момент всего сечения относительно оси х, который равен
нулю (ось х — центральная).
Подставляя в формулу (7.15) значение SXU3, получаем
aJIzLlzj .
Jxb ’
г bh?
или, учитывая, что >
12Qy b№
bh3 ~зь
Переменная yj входит в полученное выражение в квадрате,
т. е. т изменяется по высоте сечения по параболическому закону,
достигая максимума в точках нейтральной оси (см. рис. 7.51).
h
В крайних"точках сечения при у1== + —- касательные на-
пряжения равны нулю. Принимая ух~0, найдем
3 Qy 3 Qy
*шах== — — — — ~ •
(7.16)
286
Таким образом, максимальное касательное напряжение в
рассматриваемом случае оказалось в полтора раза больше сред-
него, вычисляемого как частное от деления величины попереч-
ной силы на площадь сечения.
Подчеркнем, что максимальные касательные напряжения воз-
никают в тех точках, где нормальные напряжения равны нулю
(на нейтральной оси), и, наоборот, в крайних точках сечения, где
нормальные напряжения максимальны, — касательные напряже-
ния равны нулю.
Результат, полученный для балки прямоугольного сечения,
можно использовать для вычисления касательных напряжений в
стенке двутавровой балки. Не останавливаясь на доказательст-
вах, укажем, что в полках двутавровых балок возникают гори’
зонтально направленные касательные напряжения xzx, а верти-
кальные tZ!/ близки к нулю, при этом для вычисления последних
формула Журавского неприменима. На рис. 7.5'2 показано на-
правление касательных напряжений в полке и стенках двутав-
рового профиля и дана эпюра т в стенке.
Напряжения в верхней (нижней) точке стенки найдем, под-
ставляя в формулу (7.15) статический Момент площади полки
Sxn относительно нейтральной оси и принимая ширину сечения
равной толщине стенки:
Qy^xn
Максимальное касательное напряжение (возникает в точках
нейтральной оси) найдем из выражения
__ ^У^хУгСеч
Tmax — ~
(7.17)
где Sx 72сеч — статический момент полусечения относительно
нейтральной оси (в таблице ГОСТа на прокатные двутавры эта
величина обозначена Sx).
В прокатной или сварной двутавровой балке, имеющей срав-
нительно большую высоту, касательные напряжения могут
быть значительны при условии, что балка нагружена большими
сосредоточенными силами и длина ее невелика или эти силы при-
ложены близко к опорам. В этом случае, помимо основного рас-
чета на прочность по нормальным напряжениям, следует про-
верить максимальные касательные напряжения в том сечении,
где поперечная сила имеет наибольшее значение. Обычно при-
нимают (для стальных балок)
т = 0,6[а].
Пример 7.20. Определить из расчета на прочность допускаемую нагрузку
двутавровой балки № 50, нагруженной, как указано на рис. 7.53. Допускаемые
напряжения [o’]= 160 н/мм2; [т]=96 н/мм2- а=1 м.
287
Решение. Определяем опорные реакции и строим эпюры Qy и Мх (см.
рис. 7.53). По формуле (7.9) находим допускаемое значение максимального
изгибающего момента:
[max AfJ = Wx [а] = 1560-Ю3-160, = 249-106 н-мм,
где №* = 1560 см3 (ГОСТ 8239—56). ’
Рис-7.53
Пег эпюре шах Л4* = 10,12 qa2, следовательно,
10,12 [?] а2 = 249-106,
откуда
249-106 249-106
М = . — = ттгттгттт— = 24,6 н1мм = 24,6 кн1м.
L J 10,12^2 10,12-(103)2 , ' '
Проверим прочность балки по максимальным касательным напряжениям,
возникающим в точках нейтральной оси левого опорного сечения. По формуле
(7-17)
max QySx 1/з ceii
т-гпах — . „ >
JjpC
по таблице сортамента, сеч = 899 см3; J* = 39 120 CMi; ос = 9,3 мм;
по эпюре поперечных сил,
max Qy = 13,bqa — 13,5-24,6-103 = 33,2-104 н.
Таким образом,
Tmax
33,2-104 • 899-IO3
39 120-104-9,3
= 82,1 njMM2 < [т].
288
§ 7.8. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ. ОСНОВНЫЕ . ПОНЯТИЯ
В ряде случаев работающие на изгиб элементы машино-
строительных'и строительных конструкций должны быть .рассчи-
таны не только на прочность, но и на жесткость. К деталям, рас-
считываемым на жесткость, относятся, в частности, валы зуб-
чатых и червячных передач и многие части металлорежущих
станков.
Как известно из предыдущего, расчет на жесткость элемен-
та конструкции, имеющего форму бруса, заключается в опреде-
лении наибольших перемещений его поперечных сечений и сопо-
ставлении их с допускаемыми, зависящими от назначения и
условий эксплуатации данного элемента. Например, рассчиты-
вая вал на жесткость при кручении, ограничивают углы пово-
рота поперечных сечений вокруг его продольной оси. Напомним
также, что решение статически неопределимых заданна растяже-
ние (сжатие) и на кручение связано с составлением уравнений
перемещений, т. е- по'существу с определением в первом случае
линейных, во втором — угловых перемещений поперечных сече-
ний рассчитываемых брусьев.
Расчет на жесткость и решение статически неопределимых
задач при изгибе, очевидно, требует предварительного изучения
вопроса о перемещениях поперечных сечений балок.
Рассмотрим простую консоль, нагруженную на свободном
конце силой Р, линия действия которой совпадает с одной из
главных осей поперечного сечения балки (рис. 7.54).
При деформации балки центры тяжести ее поперечных сече-
ний получают линейные перемещения, а сами сечения поворачи-
ваются вокруг своих нейтральных осей. Допущение о малости
перемещений (см. стр. Г7) позволяет считать, что направления
линейных перемещений перпендикулярны к продольной оси не-
деформированного бруса. Эти перемещения принято называть
прогибами. Прогиб произвольного сечения обозначим v, а наи-
больший прогиб — стрелу прогиба — f. Геометрическое место
10-1451
289
центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса,
т. е. ось изогнутого бруса, условно называют изогнутой осью,
или чаще — упругой линией. Эта линия плоская кривая, лежа-
щая в силовой плоскости. Совпадение плоскости деформации с
плоскостью действия нагрузки является характерной особенно-
стью прямого изгиба. Более того, можно оказать, что именно по
этой причине рассматриваемый случай изгиба называют
прямым.
При повороте поперечные сечения остаются перпендикуляр-
ными к изогнутой оси бруса,'что следует из справедливости ги-
потезы Бернулли. Следовательно, угол (б) поворота поперечно-
го сечения равен углу между касательной к упругой линии в
данной точке и осью недеформированного бруса.
Таким образом, ордината упругой линии и угол наклона ка-
сательной, проведенной к ней в данной точке, полностью опре-
деляют линейное и угловое перемещения соответствующего по-
перечного сечения балки, и, следовательно, отыскание этих пере-
мещений сводится к исследованию формы упругой линии.
Несколько выше было сказано о Перпендикулярности прогибов к про-
дольной оси неизогнутой балки. Уточним сущность этого допущения.
Ось бруса лежит в нейтральном слое, а значит при изгибе ее длина не
изменяется. Следовательно, горизонтальные перемещения отдельных точек
оси (центров тяжести поперечных сечений балки) получаются лишь за счет
ее искривления. При малых деформациях упругая линия представляет собой
весьма пологую кривую, поэтому горизонтальные перемещения по сравне-
нию с вертикальными ничтожно малы и ими пренебрегают.
§ 7.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ
И ЕГО ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Упругую линию балки можно рассматривать как график не-
которой функции, определяемой характером нагружения балки,
ее размерами и материалом. Сама функция представляет собой
текущую ординату упругой линии, а ее аргументом является
абсцисса произвольного поперечного сечения балки, т. е.
с = Ф(г). (а)
Для определения этой функции воспользуемся зависимостью
между кривизной оси бруса (кривизной нейтрального слоя) и
изгибающим моментом (см. стр. 262):
Из курса математики известно следующее выражение .кри-
визны некоторой кривой:
1 v" . .
290
Первая производная (o') от функции дает величину танген?
са угла наклона касательной к графику этой функции. В предел
лах упругих деформаций балки эти углы весьма малы: порядка
тысячных долей радиана. Если даже принять, что угол накло--
на касательной равен 0,01 рад, то и в этом случае квадрат пер-
вой производной ничтожно мал по сравнению с единицей. Дей^
ствительно, при малых углах, как известно, можно считать, что
тангенсы равны ооответствчющим углам, следовательно, при
9 = 0,01 рад tg9=o' = 0,01 и (и')2= (0,01)2= 10~4.
Таким образом, вместо точного выражения кривизны можно
принять приближенное:
1 „ div
—,г—--------,
Р dz^
обеспечивающее определение перемещений с точностью, вполне
достаточной для практических расчетов.
Подставляя значение кривизны в соотношение (б), получаем
(7.18)
d EJX
Выражение (7.18) называется приближенным дифференци-
альным уравнением упругой линии. Для балок постоянного се-
чения его обычно записывают в виде
EJx<v"=Mx. (7.19)
Правая часть зависимости (7.19) представляет собой урав-
нение изгибающих моментов, т. е. аналитическое выражение
закона изменения изгибающего момента по длине балки
ТИл = ф"(2:)(где б = Е’/хФ),
которое легко составить для любой статически определимой
балки.
Знаки левой и привой частей выражений (7.18),и (7.19) сов-
падают при условии, что ось у направлена вверх (см. рис. 7.54),
т. е. для линейных перемещений v направление вверх принято
за положительное.
Итак, выражение второй производной исследуемой функции
можно считать известным. Для нахождения первой производ-
ной, т. е. углов наклона касательных к упругой линии балки
(углов поворота пюперечньгх сечений), следует проинтегрировать
левую и правую части выражения (7.19). В результате получим
EJxv'=FJX tg 9 EJxb = j Mxdz + C. (7.20)
Интегрируя затем зависимость (7.20), получаем
^ (/Их£/г)^ + Сг + П. - (7.21)
ю*
291
Подставив сюда уравнение изгибающего момента, выполнив
интегрирование и найдя постоянные интегрирования С и D, най-
дем в-развернутом. виде выражение функции (а), а следова-
тельно, получим возможность определить прогиб любого попе-
речного сечения балки. Аналогично из (7.20) можем определить
угол поворота произвольного поперечного сечения.
Постоянные интегрирования определяют из так называемых
граничных условий, зависящих от способов закрепления (вида
и расположения опор), балки, как показано ниже на конкрет-
ных примерах.
Исследованием уравнения упругой линии простой консоли, нагружен-
ной силой на свободном конце, занимался Я. Бернулли. Он указал на на-
личие прямой пропорциональности между кривизной и изгибающим момен-
том, но окончательный результат, полученный им, был неверен, так как Бер-
нулли исходил из ошибочного допущения о положении нейтральной оси.
' В дальнейшем этот вопрос исследовал один из величайших математиков
Л. Эйлер (1707—1783), опубликовавший в 1744 г. книгу, содержащую пер-
вое систематическое изложение теории упругих кривых.
В книге Навье (см. стр. *11) вопрос исследования упругой линии полу-
чил дальнейшее развитие. Навье первый применил уравнение изогнутой оси
к расчету статически неопределимых балок.
Один из методов рационального интегрирования дифференциального урав-
нения упругой линии для балки, имеющей ряд участков нагружения, был
указан немецким ученым Клебшем (1833—1872) в его книге «Теория упруго-
сти твердых тел» (1862). Французский перевод этой книги с дополнениями
Сен-Венана занимает видное место в истории сопротивления материалов.
Следующий шаг в, этом направлении был сделан в трудах выдающегося
инженера-кораблестроителя, создателя науки о прочности корабля (строи-
тельной механики корабля) И. Г. Бубнова (1872—1919).
В 1923 г. профессор Н. П. Пузыревский (11861—1934) в труде «Расчеты
фундаментов» дал весьма удобный общий метод интегрирования дифферен-
циального уравнения изогнутей оси балки постоянного сечения, лежащей на
сплошном упругом основании. Этот метод получил название «метода началь-
ных параметров». В применении к балкам на отдельных жестких опорах
(т. е. к задаче, рассматриваемой в настоящем курсе) аналогичный метод был
разработан украинским ученым Н. Г. Куликовским в 1926 г.
Строго математическое обоснование этого метода и его дальнейшее раз-
витие было дано независимо от работы Н. П. Пузыревского выдающимся
советским математиком и инженером-кораблестроителем академиком
А. Н. Крыловым (1863—1945) в книге «О расчете балок, лежащих на упру-
гом основании», изданной в 1930 г.
Ряд других методов исследования упругой линии балки разработан
советскими учеными П. Ф. Папковичем, А. А. Уманским, Н. К- Снитко,
С. И. Соколовым, Г. С. Глушковым.
Пример 7.21. Определить угол поворота и'прогиб сечения на свободном
конце балки, изображенной на рис. 7.55.
Решение. В заделке
qp
ный момент т& — ——.
’ Изгибающий момент
денном на расстоянии z
тельно точки К. всех внешних сил, расположенных слева от нее:
qP qz%
Мх^ — — + qlz —
возникают реактивная'сила V& = ql и реактив-
в произвольном поперечном сечении балки, прове-
от заделки, найдем, беря сумму моментов относи-
292
Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид
d^v <•
EJX — ~EJxv''=y(z) = Mx,
или
ql2 qz^
EJxv" = - — + qlz — —
Интегрируя обе части этого уравнения, получаем
р z r р z 7 ql2z , qlz<1 qz* L г
EJJ) = EJxv = — —-— + —-— — —~ + C.
x x 2 2 .6
Интегрируя (б), найдем.
p r , । qlzZ дг" - r in
xv — — -4- — -j- C z 4~ D.
x 4 6 24
(а)
(б)
(в)
Для определения постоянных интегрирования С и D учтем, что левый
конец балки жестко закреплен, т. е. его угол поворота и прогиб равны нулю.
Итак, первое граничное условие получаем в виде ^z==0—vz=q =0, вто-
рое— vz=q~0. Подставляя в (б) vz=0=Q и 2=0, получаем С — 0.
Рис. 7.55
Аналогично, из (в), принимая = о, находим D=0.
Получаем следующие окончательные уравнения углов поворота попереч-
ных сечений (углов наклона касательных к’ упругой линии) и упругой
линии:
EJxv = — ——- z + — £2
х 2 2
6
и
qI2 ql qz±
EJxv ~ —------£2 ---2s — ——
x 4 6 24
Угол поворота
EJxv'z=l
или
6 EJX
(Д)
(г) z=Z:
крайнего правого сечения найдем, подставляя i
$72/ , qlV qp 1
= EJxbB — — —— -ф - — ——— = — ~rqlz,
в
293
Знак минус указывает, что сечение поворачивается по часовой' стрелке
(здесь для углов применяется то «же правило знаков, что и в курсе триго-
нометрии).
Прогиб свободного конца получим, подставив в (д) z=l:
qlW q[i 1
EJ^z=, = EJxvB = -— + —
или
ql>-
Vb = ~ 8EJx ’
Положительное направление оси у принято вверх,— знак минус ука-.
зывает, что прогиб vg направлен вниз.
Пример 7.22. Определить максимальный прогиб заданной балки (рис. 7.56)
и сравнить его с прогибом посередине пролета.
Решение. Опорные реакции показаны на рис. 7.56. Изгибающий момент
в произвольном поперечном сечении
т
Mx=UAz = ~ г.
Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии
После первого интегрирования получаем
т zt
EJXQ = EJxv = — + С, (б)
а после второго —
т zz
EJX + Cz + D. (в)
l D
В сечениях А и В балка имеет шарнирные опоры, т. е. прогибы здесь
равны нулю. Следовательно, имеем такие граничные условия:
1)^=о = О; 2)^=z = 0.
Используя первое граничное'условие, из (в) получаем
= 0 = D.
Второе граничное условие дает
« т ft
. EJx°Z-Г" +
I и
294
откуда
ml
IF '
Окончательно получаем следующие уравнения углов поворота и упругой
линии:
Р т 0 „ т , m г2 ml . .
= EJxv’=---—---- (г)
х/26
„т m mlz . .
EJxv =---—------- (д)
I 6 6
Прогиб посередине пролета найдем, подставляя в (д) z=l/2:
или
т/2
^=//2 = “ \QEJX '
В сечении, где прогиб максимален, касательная, к упругой линии парал-
лельна оси балки, т. е. сг=г.а =0 (известное из курса математики условие
экстремума функции). Подставляя в (г) z = z0 (значение абсциссы сечения
с максимальным прогибом) и приравнивая полученное выражение нулю,
имеем
Г ,2
о — m z°
~ I 2 ~ ’
откуда
I
« 0,577/.
У 3
Подставляя в (д) z~z0, найдем максимальный прогиб
,з
т m zo mlz0 ml?j ml-I
EJxVmw = ~ —— — —~ = ——------------— —------— ,
I 6 6 6/-3-|2'3 6y3
— ml2
Характерно, что, несмотря на явно несимметричное нагружение балки,
максимальный прогиб получился близко к середине пролета (смещен в сто-
рону' приложенного момента всего на 0,077/) и по величине превышает про-
гиб при г=//2 лишь на 2,34%. Этим обстоятельством часто пользуются при
практических расчетах,принимая для двухопорных балок без консолей при
нагрузке, направленной .в одну сторону, в качестве максимального прогиб
посередине пролета. Ошибка получается весьма незначительной, а расчет
существенно упрощается, особенно при более или менее сложном нагружении
балки, когда отыскание сечения, прогиб которого максимален, представляет
собой трудоемкую операцию.
295
§ 7.10. РАЦИОНАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ УПРУГОЙ ЛИНИИ
В случаях, когда балка имеет несколько участков нагруже-
ния, уравнение (7.19) должно быть составлено для каждого
участка в отдельности., В результате двукратного интегриро-
вания этих уравнений каждое из полученных выражений будет
содержать две постоянных интегрирования, т. ё. общее число
постоянных интегрирования будет равно удвоенному числу уча-
стков. Для определения этих постоянных, помимо граничных
условий, вытекающих из характера опорных закреплений балки
(см. примеры 7.21, 7.22), используется условие плавности и не-
прерывности упругой линии. Плавность упругой линии озна-
чает, что, если в уравнения углов поворота, составленные для
двух смежных участков, под ставить, абсциссу сечения, являюще-
гося их границей, то величины угловых перемещений из обоих
уравнений должны получиться одинаковыми. Подобные условия,
составленные для всех граничных сечений, дают зависимости
между величинами постоянных интегрирования Сг-. Аналогично
используется условие непрерывности упругой линии: прогибы
для граничного сечения, получаемые из уравнений, составлен-
ных для смежных участков, должны' быть одинаковы. В резуль-
тате получаются зависимости между постоянными интегрирова-
ния Di для отдельных участков.
Итак, всегда есть возможность составить достаточное коли-
чество уравнений для определения всех постоянных интегриро-
вания, т. е. никаких принципиальных затруднений при нахожде-
нии величин Сг и Di не возникает. Трудности алгебраического
характера весьма существенны: приходится совместно решать
уравнения, общее число которых равно удвоенному числу участ-
ков. Даже для балки, имеющей всего два участка нагружения,
это весьма громоздко.
Применяя некоторые специальные приемы интегрирования,
можно обеспечить равенство постоянных интегрирования для
всех участков. В результате независимо от числа участков об-
щее количество постоянных интегрирования получается равным
двум. Эти постоянные (С и D) представляют собой соответствен-
но угол поворота и прогиб сечения, совпадающего с началом
координат, умноженные на жесткость сечения (EJX), т. е.
C=EJX%; (7.22)
D=EJxv(). - (7.23)
Условимся принимать начало координат всегда в центре тя-
жести крайнего левого сечения балки.
В зависимости от способа з-акрепления начального сечения
может быть один из следующих трех вариантов значений С и D:
а) левый конец балки защемлен: С=0; П = 0;
296
б) левый конец балки закреплен шарнирно: С^О, D=0;
,в) левый конец балки свободен: С=£0, Z)^0.
В случае, если постоянные (одна или обе) не равны нулю, их
значения определяются из условий закрепления балки, как по-
казано- в примерах этого параграфа (см. также пример 7.22).
Для того чтобы обеспечить получение лишь двух постоянных
интегрирования независимо от числа участков, при интегрирова-
нии дифференциального уравнения упругой линии нужно при-
менять следующие три приема (на обоснованиях и доказатель-
ствах не останавливаемся).
1. Слагаемое от сосредоточенного момента т в выражении
для Мх записывать в виде m(z—а)°, где а — абсцисса сечения,
совпадающего с местом приложения .момента т.
2. Интегрирование вести без раскрытия скобок.
3. Если на балке имеется равномерно распределенная на-
грузка, не доходящая до сечения, прогиб (или угол поворота)
которого определяется, то ее следует продлить до этого сечения
и приложить противоположно направленную компенсирующую
нагрузку той же интенсивности.
Если записывать уравнение изгибающих моментов для по-
следнего (считая слева) участка балки, то оно будет содержать
уравнения и для любого предыдущего участка. Эти уравнения
получаются из уравнения для последнего участка путем исклю-
чения из него слагаемых, соответствующих нагрузкам, прило-
женным к балке правее рассматриваемого участка. Сказан-
ное справедливо также для уравнений углов ' поворота и
прогибов, получаемых в результате интегрирования уравнения
изгибающих моментов.
Пример 7.23. Составить уравнения углов поворота поперечных сечений
и прогибов для балки по рис. 7.57, а. Определить прогибы посередине пролета
и на конце консоли.
Решение. Величины опорных реакций определены в примере 7.10 (они по-
казаны на рис. 7.57, б).
Распределенную нагрузку продляем до правого конца балки и в пределах
II и III участков прикладываем компенсирующую, направленную снизу вверх
распределенную нагрузку, как показано на рис. 7.57, б.
Составляем уравнение изгибающих моментов для III (последнего) участ-
ка балки, при начале координат на левом конце балки.
I
qz^
Mx=VAz-^~ +
п ш
q (z—4a)2
-------- P1(z — 4a) +m[z — 5«)° + VB(z—ba)
2
Слагаемые, относящиеся к каждому из участков, отделены вертикальной
и горизонтальной линиями; над вертикальными линиями указаны номера
участков. Третье слагаемое дает величину изгибающего момента от компен-
сирующей распределенной нагрузки.
Дифференциальное уравнение упругой линии
EJxv"=Mx,
где Мх определяется написанным выше уравнением.
297
2
Интегрируя уравнение Мх> получаем
г2 qz3 - q(z — 4я)з (г — 4я)2
EJ xv — Ул — — —— +----------------------— Pj----------
х А 2 6 6
(z — 5а )2
+ т (г — 5а) + VB-----------+ <
После вторичного интегрирования имеем
• z* qz* q(z — 4a)* (z — 4а)з
EJv = V л — — -------------+---------------- ----------
А 6 24 т 24
6
Для сечения в начале координат прогиб равен нулю (здесь шарнирная
опора), т.е.
EJxvQ — D = Q.
Значение С — EJx®o определим из условия, что при z = 5а (па правой
опоре) прогиб равен нулю.
Учитывая, что Уд =— qa и Ру = 2qa, имеем
5
- 11 (5я)3 q (5а)* q (5а — 4а)* (5а — 4а)3
= V=-qa — - + ----------- -2qa---------+ С-5а,
откуда
39
С = EJx^-= — — qa3.
Знак минус указывает, что сечение, совпадающее с началом координат,
поворачивается по часовой стрелке.
Окончательно имеем следующие уравнения углов поворота и про-
гибов (вместо Уд, Ру, т и Ув подставлены их значения):
39 11 г2 ^з| q (z — 4а)з (z — 4а)2
. - qa3 + — qa — — — +----------- — 2qa----------—
10 5 2 6 6
2
Ш
24 (z — 5a)2
+ 2qa2 (z — 5a) + —- qa--------- :
О Л
298
39 11 г3 qzk
EJxv = — — qcfiz + ~~ qa — — ——
x 10 J 5 7 6 24
1
II
n .(г-4л)3
л (z - 5a)2 24
+ 2<?Л2 - _J_ —
2 5
?(? —4л>
+ ' 24
in
(z — 5л)3
qa----------
о
Из уравнения прогибов для I участка находим прогиб посередине про-
лета:
откуда
723qai
vz=2,5a=— i2SEJx *
Из уравнения прогибов для III участка находим прогиб на конце консоли:
39 ' 11 (6л)3 (6л)*
,EJxvz=6a = - -7Т ^з-бл + —- qa ——- - q - +
lv м О
+ ?(6a-4g)4 _ 2?а (6Я~4Я)8 + +
откуда
8<?л4
Vz^a = bEJx *
Знак плюс указывает, что конец консоли перемещается вверх.
f 7.11. ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ
Наиболее общий метод определения перемещений в упругих
системах — энергетический. В основу этого метода положено
условие равенства работы внешних сил, приложенных к линейно
деформируемой упругой системе, и энергии деформации системы.
Работа статически приложенной внешней силы, как известно,.
равна половине произведения конечного значения силы на ко-
нечное значение соответствующего перемещения (теорема Кла-
пейрона).
Работа произвольной системы внешних сил (рис. 7.58)
равна полусумме произведений конечного значения каждой из
сил на конечное значение соответствующего перемещения:
Л=ф2РД, (7.24)
В дальнейшем будем всегда считать, не оговаривая этого
специально, что речь идет именно о конечных значениях стати-
299
чески приложенных сил и соответствующих перемещений. При
применении энергетического метода будем, как правило, обо-
значать как линейные, так и угловые перемещения буквой А с
тем или иным индексом.
Формула (7.24) представляет собой общее выражение тео-
ремы Клапейрона для произвольной системы сил. Обращаем
внимание, что было бы ошибочным
считать эту зависимость составлен-
ной на основе принципа независи-
мости действия сил — здесь каждая
из сил умножается на перемещение,
которое зависит от всех приложен-
ных сил.
Для определения работы внут-
ренних сил, численно равной потен-
циальной энергии деформации, вы-
делим из балки (см. рис. 7.58) в пре-
делах участка, находящегося в ус-
ловиях чистого изгиба, бесконечно
малый элемент. Этот элемент в де-
формированном виде в крупном
масштабе показан на рис. 7.59.
В рассматриваемом случае внут-
ренние силы в поперечных сечениях элемента приводятся к изги-
бающим моментам Мх.
Из курса теоретической механики известно, что работа момен-
та (пары сил) равна его произведению на соответствующий угол
поворота. Здесь, учитывая статический характер приложения
300
нагрузки, согласно теореме Клапейрона, надо взять половину
указанного произведения:
dU=J^L. (а)
Длина волокна п — п, лежащего в нейтральном слое, равна
первоначальному размеру элемента dz, следовательно,
dz = $dft,
или
dft — —dz.
Р
По формуле (7.4),
р
41 V
— - и db =
EJX *
Mxdz
EJX
Подставляя это значение dft в выражение (а), получаем
dU
M2xdz
~2EJ^
(б)
Выражение (б) дает величину потенциальной энергии дефор-
мации изгиба бесконечно малого элемента балки. Оно получено
для элемента, находящегося в условиях чистого изгиба. При
поперечном изгибе, помимо изгибающих моментов, возни-
кают поперечные силы, но при определении энергии деформа-
ции ими в подавляющем большинстве случаев можно прене-
бречь и считать зависимость (б) применимой во всех случаях
прямого изгиба. Для вычисления энергии деформации балки в
целом следует просуммировать значения dU по всей ее длине.
При этом следует учесть, что закон изменения изгибающих мо-
ментов для отдельных участков балки различен, поэтому вычис-
ление определенных интегралов надо вести отдельно для каж-
дого участка длиной U, а затем результаты суммировать.
Окончательно формула для определения энергии деформа-
ции изгиба будет иметь вид
ц___Vi С Mxdz .
— 2j j 2ejx
(7.25)
С учетом поперечных сил формула для вычисления энергии деформации
при прямом поперечном изгибе имеет вид
С* M2dz f kQ2dz
J 2EJX + 2 J 2Gf '
l х I
(7.26)
Здесь k — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения балки.
Например, для прямоугольного сечения &=1,2. Остальные обозначения извест-
ны из предыдущего.
301
Можно показать, что, как правило, второе слагаемое не превышает 2—3%
от всей энергии деформации, а во многих случаях имеет ещё меньшее зна-
чение.
Пример 7.24. Определить энергию деформации изгиба балки (рис. 7.60),
не учитывая влияния поперечных сил.
Решение. Балка имеет два участка нагружения. Принимая начало коор-
динат на левом конце балки,
fl I Ц получаем следующие выраже-
—r~L~'—’———' у ния для изгибающих момен-
й тов:
т
' М„ = — —— при 0 < z < а',
х 2
а
при а < z < 2а.
По формуле (7.25); имеем
2
| dz
----+
i
-a
a -r
Рис. 7.60 M" = — qa
г Mxdz _ ? (Mlx)2dz ( ? (Aftydz _ e ( q
J 2EJX J 2EJX J 2EJX } 2EJ
l x 0 , x a x 0
( а
2EJх 30£Jx
Пример 7.25. Определить прогиб конца консоли (рис. 7.61).
Решение. Для опреде-
ления прогиба воспользуем-
ся условием равенства ра-
боты внешних сил и энер- 1 и
гии деформации: ___ __ V
.А= U. _________ -----------------
Работа силы Р при п “*------------г-----’
статическом нагружении —----------I -----------
балки
Pf Рис. 7.61
л=~‘
Энергию деформации найдем по формуле (7.25):
Z 9 '
f M2dz
U=\----------
J 2EJX
о x
Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки Мх ——Pz,
в данном случае имеем один участок нагружения:
I
U~ J 2EJX . ~ &EJX
г о
После подстановки в исходное равенство значений А и U получаем
Pf _ P2P
2 §EJX
302
откуда
Р/З
3EJX '
Этот прием определения перемещений применим лишь в тех простейших
случаях; когда балка нагружена одной силой и требуется найти прогиб в точ-
ке ее приложения. Но даже и в этих случаях значительно удобнее пользо-
ваться общим энергетическим методом, который изложен в следующем па-
раграфе.
§ 7.12 ИНТЕГРАЛ МОРА
Рассмотрим вывод общей формулы для определения переме-
щений при изгибе.
Пусть требуется определить прогиб в точке К двухопорной
балки, изображенной на .рис.
7.62, а. Для упрощения вывода
показываем только одну силу,
но формула, которая будет по-
лучена, справедлива при лю-
бых нагрузках.
Приложим к ненагружен-
ной балке в точке К. некоторую
силу Т (рис. 7.62, б). Состоя-
ние балки при ее нагружении
силой Т называют вспомога-
тельным, или фиктивным, так
как в действительности его не
существует и оно нужно лишь
для вывода формулы переме-
щений. Определим работу
внешних сил и энергию дефор-
мации для вспомогательного
состояния балки.
Работа силы Т на тереме- Рис- 7,62
щении.Дкг (здесь первый ин-
декс указывает точку, в которой определяется перемещение, а
второй — причину, вызвавшую это перемещение) определяется
по теореме Клапейрона:
Дг = ~ Т&КТ-
(а)
Соответствующай энергия деформации [по формуле
Т ' <2EJX
I
(7.25)]
(б)
где МхТ — изгибающий момент в произвольном сечении балки,
возникающий от действия силы Т. Конечно, AT = UT, т. е.
303
1 p M\Tdz
-Lt&kt= V \..... • (в)
2 J 2EJX 1 7
i
Приложим к балке, нагруженной силой Т, заданную силу Р
(рис. 7.62, в).
Точка К получит дополнительное перемещение Акр и сила Т
совершит дополнительную работу:
Атр=1 ^кр- (г)
В этом выражении нет множителя V2, так как в процессе на-
гружения балки силой Р сила Т была уже приложена и ее ве-
личина не изменялась. Сила Р совершит работу на перемещении
Арр точки ее приложения:
Лр = —РДрр. (д)
Энергия деформации, соответствующая нагружению балки
силой Р (см. рис. 7.62, а),
При этом, конечно,
AP=UP,
или
1 _ Р M2xPdz
-—РА рр=У\ . (ж)
2 рр J 2EJX 1 7
I
Итак, полная работа внешних сил представится как сумма
трех слагаемых:
е Л = Лр-j-Лр-{-АТР = — Т&кт — Р^рр+ Т^Кр. (з)
Энергию деформации при совместном действии сил Т и
Р найдем по формуле (7.25), принимая Мх=Мхт-\- Мхр
(к вычислению изгибающих моментов применим принцип
независимости действия сил):
р (AfхТ + МхРр
\--------------dz.
J 2EJX
i
= у
Раскрывая скобки, получаем
MATdz , р мА-pdz , . , Р MxPMxTdz
ц = V \ £i___l V \ Ад___L V \ -Ас_EL_
J 2EJX 1 AJ J 2EJX 1 .) EJX
I I l
(и)
304
Приравняв правые части выражений ,(з) и (и), получим
Y рдРр + т^Кр=^
I
M2xTdz
2EJX
M^pdz
2EJх
MxpMxTdz
EJr
. I
+
Учитывая, чтй первое и второе слагаемые левой части равны
соответственно первой и второй суммам интегралов правой части
1см. выражения (в) и (ж)], получаем
тл V С M*PMxTdz
EJ '
Для определения искомого перемещения (Акр) разделим обе
части полученного выражения на Т.
В результате получим
МхТ
МхР ~pdz
EJX
Величина —, имеющая размерность длины, очевидно,
представляет собой изгибающий момент в произвольном сече-
нии балки, вызванный действием силы, равной единице (безраз-
мерной!) и приложенной в той точке, перемещение которой опре-
деляется. Обозначим его Л1! и будем называть единичным мо-
ментом.
Опуская также индекс х у изгибающего момента от заданных
сил, окончательно получаем следующую формулу для определе-
ния перемещений, называемую формулой или интегралом Мора:
I
MpM^dz
EJ х
(7.27)
Из вывода следует, что интеграл Мора, дающий величину
перемещения произвольного сечения балки, имеет следующий
физический смысл: это работа единичной силы на перемещении
ее точки приложения от заданной нагрузки. Отсюда следует,
что, если при вычислении интеграла Мора результат получается
со знаком плюс,. направление приложенной единичной силы
совпадает с направлением искомого перемещения (при совпаде-
нии направлений силы и перемещения точки ее приложения ра-
бота положительна). Знак минус укажет, что эти направле-
ния прямо противоположны.
305
Влияние поперечных сил на перемещения в балках весьма незначительно.
Лишь в случае очень коротких балок, нагруженных большими сосредото-
ченными силами, может оказаться, что это влияние существенно.
Если учитывать как изгибающие моменты, так и поперечные силы, ин-
теграл Мора будет иметь вид
MpM-jdz
EJX
kQpQidz
GF
(7.28)
где Qp и (Qi — соответственно выражения поперечных сил от заданной на-
грузки и от единичной силы для произвольного поперечного сечения балки.
Остальные обозначения известны из предыдущего. О коэффициенте k
см. стр. 301.
Для вычисления перемещения с помощью интеграла Мора
нужно выполнить следующие операции:
1) составить уравнение изгибающих моментов МР от задан-
ной нагрузки;
'2) освободив систему (балку) от заданной нагрузки, прило-
жить к ней силу, равную единице в той точке, где определяется
перемещение и по направлению этого перемещения;
3) составить уравнение изгибающих моментов АЛ от этой
единичной силы;
4) вычислить сумму интегралов (7.27) от произведения обо-
их моментов, деленного на жесткость сечения.
Если определению подлежит не прогиб, а угол поворота ка-
кого-либо поперечного сечения, то к разгруженной балке сле-
дует приложить в этом сечении не силу, а пару сил с мо-
ментом, равным безразмерной единице (сокра-
щенно— единичный момент). В остальном техника определения
перемещений не изменяется.
Так же, как и при определении прогибов, направления пово-
рота сечения и приложенного единичного момента совпадают,
если результат вычисления интеграла Мора получается со зна-
ком плюс.
В случае, если жесткость сечения балки постоянна на всем
ее протяжении или в пределах отдельных участков, интеграл
Мора записывается в виде
кКР = ^~еГ 5 МPM^dz' (7.29)
х i
Отто Мор (1835—1918)—виднейший немецкий ученый в области строи-
тельной механики. Помимо рассмотренного общего энергетического метода
определения перемещений, им разработан ряд новых графических методов
для решения задач теорий сооружений, графо-аналитический метод определе-
ния перемещений при изгибе; он первый применил в инженерных расчетах
так называемые линии влияния, широко используемые, и по сей день при рас-
четах сооружений на подвижную нагрузку. О. Мор разработал весьма эффек-
тивный метод графического исследования напряженного состояния в точке
упругого тела — так называемые круги Мора. Большое практическое значение
306
имеют также работы О. Мора, посвященные усовершенствованию методов
расчета статически неопределимых систем. Энергетический метод определения
перемещений был дан О. Мором, вначале применительно к фермам, в работах,
опубликованных в 1874—1875 гг.
Пример 7.26. Определить прогиб -посередине пролета и угол поворота
сечения на левой опоре заданной балки (рис. 7.63, а).
Рис. 7.63
Решение. Для определения перемещения по методу Мора составляем вы-
ражения изгибающих моментов для I и II участков балки, при этом для
I участка начало координат принимаем на левом конце балки, а для // — на
правом:
т - Р I I \'
Г1 р ' ( i \
Мр = — z2 I о < г2 < — I.
Прикладываем к ненагруженной балке посередине пролета силу, равную
единице (рис. 7.63, б), и составляем выражения единичных моментов, выби-
рая начало координат так же, как и при составлении выражений Мр.
307
Очевидно, что подынтегральные выражения для I и II участков совер-
шенно одинаковы, поэтому достаточно вычислить интеграл лишь для одного
участка и результат удвоить. Применив формулу (7.29), получим
1_
*2
1 С 2 (* Р 1
VKP = ^КР =2 ~рТ~ \ MPMidz = рт \ 2Zidzi —
РЛ £ lLJ g J X
l 0
I
p Z1 I2 д pp
= "Z------Z~ ИЛИ = --------------- •
2EJX 3 I KP 48EJX
Положительный результат указывает, что прогиб направлен так же, как
единичная сила, т. е. вниз.
Для определения угла поворота левого опорного сечения прикладываем в
этом сечении пару сил с моментом, равным единице (рис. 7.63, в). Уравнения
единичного момента составим отдельно для I и II участков, по-прежнему
принимая начало координат в первом случае на левом, а во втором — на пра-
вом конце балки. Можно было бы составить и одно уравнение единичного
момента для всей балки, но все равно интегрирование пришлось бы вести по
участкам, так как уравнения Мр для I и II участков различны:
, , 1 / Z \ п 1 7 I
= \ — — (О-С-TjC —1; М} = —*2 (0<г2< —
По формуле (7.29) имеем
1
Одр = Ддр — —~
Zi \ С
— 1^1 + у
о-
Р 1
2 22 dz2
1
1 / р /2
EJX \ 2 ‘ 8
Р Р Р /2 \ РР
--•----4- --:•--- 1 ИЛИ Ддр = --------- .
2 24 2 24/ АР \8EJX ~
Знак плюс указывает, что сечение поворачивается в направлении еди-
ничного момента, т. е. по часовой стрелке.
Обычно интеграл Мора при определении перемещений' в балках вычис-
ляют графо-аналитическим способом (см. § 7.13), который значительно удоб-
нее, чем рассмотренный в этом примере аналитический метод.
Пример 7.27. Определить линейное перемещение сечения А бруса малой
кривизны,(рис. 7.64, а) *.
Решение. При вычислении перемещений в брусьях малой кривизны в по-
дынтегральном выражении дифференциал dz заменяется дифференциалом ду-
ги ds, который выражается через радиус оси бруса и элементарный угол rf(p:
ds = Rdy.
* Считается, что брус имеет малую кривизну, если отношение радиуса
его оси к высоте сечения не менее десяти ('—>10). Для бруса малой кри-
h
визны формулы для напряжений и энергии деформации, выведенные для пря-
мого бруса, достаточно точны.
308
Таким образом, интеграл Мора для бруса малой кривизны с постоянным
поперечным сечением имеет вид
1 С
^КР } MpMtfdy.
s
Значения изгибающих моментов в произвольном сечении следует выра-
жать через полярный угол ср.
Уравнение изгибающих моментов от заданной нагрузки
Мр = — PR sin ср.
Знак минус поставлен потому, что момент, уменьшающий начальную
кривизну бруса («разгибающий» брус), принято считать отрицательным.
R sin ср — плечо силы Р относительно произвольной точки оси бруса
(см-, рис. 7.64, а).
Так как направление перемещения сечения А неизвестно, найдем отдель-
но горизонтальное и вертикальное перемещения, их геометрическая сумма даст
полное перемещение.
Для определения горизонтального перемещения прикладываем в сече-
нии А силу, равную единице и направленную горизонтально (рис. 7.64,6).
Уравнение изгибающих моментов от этой силы имеет вид
Afj ppp — 1 • R sin ср.
Вычисляя иПтеграл Мора, учтем, что переменной, по которой ведется ин-
тегрирование, является угол <р и пределы его изменения от 0 до л.
1
EJX
к
MpMXropRdy =
о
(— PR sin ср) (— R sin ср) Rdy ~
PR3 f PR3 е 1 — cos 2v PR3
------ \ sin2 cprfcp =------ \ ----------------d<o = ~—~
EJX J r T EJX J 2------------------------------' EJX
о ' о
7C 7C “
cp I 1 I
— — — sin 2<p
2 I 4 4
о о J
~PR2
2EJ x
Знак плюс указывает, что по горизонтали сечение А перемещается в.
направлении единичной силы, т. е. вправо.
Для определения вертикального перемещения сечения А прикладываем
вертикальную единичную силу (рис. .7.64, в). Соответствующее уравнение из-
гибающих моментов имеет вид
Afi верт = 1 •/? (1 — COS ср),
где R (1 — cos гр) — плечо вертикальной единичной силы относительно про-
извольной точки оси бруса (см. чертеж).
309
Подставляя в интеграл Мора значения изгибающих моментов, получаем
л и.
1 1 (* 1с
дверт _ \ = - \ (— PR sin tp) /? (1 — COS tf) Rdy =
C-J X X *> '
о 0
PR*
EJx
— sin tf dy + sintfcoscfrfcf
-o о
PR*
EJx
t: it -
I Sin2 co I
COS cf | I
0 0 -
Л.ерт_ да
AP ~ “ EJX
Знак минус указывает, что по вертикали сечение А перемещается вверх,
т. е. противоположно приложенной единичной силе.
Полное линейное перемещение сечения А
&АР — f/"(Ддр)2 + (ДлГ)2 — J/^2pj ) (
2Р/?з \2
ejx / ;
PR*
&АР = 2,54——
EJX
§ 7.13. ПРАВИЛО ВЕРЕЩАГИНА
Вычисление интеграла Мора, записанного в виде форму-
лы (7.29)
Д/<р= 2 ~р~г~ MPMxdz,
EJ х J
I
целесообразно выполнять графо-аналитическим способом, назы-
ваемым правилом Верещагина. Выведем это правило.
Каждое из слагаемых, входящих в формулу (7.29), имеет вид
а
—-— MpMjdz, .
EJх J
С
где с и d— пределы интегрирования, т. е. абсциссы сечений, яв-
ляющихся границами рассматриваемого участка. С математи-
ческой точки зрения, задача сводится к вычислению определен-
ного интеграла от произведения двух функций: Mp=fi(z) и
Mi=f2(^)- Здесь уместно напомнить, что в подынтегральное вы-
ражение формулы (7.29) входят не какие-либо частные значения
изгибающих моментов, а аналитические зависимости, дающие
закон изменения этих моментов по длине данного участка бал-
ки. Графики указанных функций представляют собой эпюры из-
гибающих моментов Мр и Мь
310
Предположим, что функция fi(z) произвольна, a ?г(г) —ли-
нейна, т. е. может быть записана в виде fs(z)==kz + b (известное
из курса математики уравнение прямой линии, где k — угловой
коэффициент прямой и b — отрезок, отсекаемый ею на оси орди-
нат). Пусть графики этих функций имеют вид, представленный
на рис. 7.65. Для вычисления интеграла
J /i(z) /2 (z)dz
подставим в подынтегральное выражение вместо f2(z) ее зна-
чение.
Получим
d d d d
j /1 (г) Л СЮdz = j /1 (kz^-b)dz=k§ /i (г) zdz. -ф b j j\ (z) dz.
с ''с с с
Величина f]\z)dz представляет собой площадь элементарной
криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 7.65. Следо-
вательно, второй из
интегралов дает пло-
щадь, ограниченную
графиком функции
fi (z), осью абсцисс
И двумя прямыми
21 = с и Z2 = d. В даль-
нейшем сокращен-
но будем говорить —
площадь графика
нелинейной функции
или площадь нели-
нейной эпюры. Обо-
значим эту пло-
щадь ю.
Первое подынте-
гральное выраже-
ние fi(z)zdz дает
статический момент
элементарной пло-
щади относительно
оси ординат, и, следовательно,
собой статический момент всей
первый интегр'ал представляет
площади ® относительно этой
оси:
d
= /1 (г) zdz.
с
311
Вспоминая, что статический момент площади равен ее про-
изведению на координату центра тяжести (см, стр. 207), по-
лучаем
•Sy о, == ^Z^.
Таким образом, приходим к выражению
d
j fx (z) f2(z)^Z = ke)Zc.A~b^ = (jy(kzcTk&).
c
Величина, стоящая в скобках, представляет собой орди-
нату трафика линейной функции, соответствующую абсциссе zc,
т. е. это ордината, расположенная под центром тяжести графика
нелинейной функции. Обозначая эту ординату цс окончательно
имеем
а.
\fdz)f2(z)dz = ^c.
с
Значит, определенный интеграл от произведения двух функ-
ций, из которых одна линейна, а вторая произвольна, равен про-
изведению площади графика произвольной функции на взятую
под ее центром тяжести ординату графика линейной функции.
Возвращаясь к исходной зависимости (7.29), можем теперь
записать ее в следующем виде:
Д/<р=2 ~ MPM{dz=2 "> (7.зо)
^^Х j Е^Х
I
дающем математические выражение правила Верещагина.
Для отдельного участка балки это правило формулируется
следующим образом: каждое из слагаемых, входящих в инте-
грал Мора, равно произведению площади (о) нелинейной эпю-
ры изгибающих моментов на ординату (цс) линейной эпюры, со-
ответствующую центру тяжести нелинейной, деленному на жест-
кость сечения (EJX) данного участка балки.
. Для определения линейного ил-и углового перемещения, т. е.
вычисления интеграла Мора в целом, следует просуммировать
указанные слагаемые для всех участков балки.
Ниже на ряде конкретных примеров будет показано, что
всегда есть возможность разбить балку на такие участки, в пре-
делах каждого из которых по крайней мере одна из эпюр (чаще
эпюра единичных моментов) будет линейна.
Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина часто
называют способом «перемножения» эпюр. При этом эпю-
ру МР обычно называют «грузовой», а эпюру Мх —«еди-
нично й».
Есть случаи, ь когда вычисление интеграла Мора не может
быть выполнено по правилу Верещагина. Это относится, во-пер-
312
вых, к брусьям с криволинейной осью (см. пример 7.27) —для
них обе эпюры изгибающих моментов (Л4Р и Л41) нелинейны;,
и, во-вторых, к балкам с непрерывно переменным сечением (та-
кие балки рассматриваются в § 7.15), для которых величина
EJX не- может быть вынесена за знак интеграла [см. формулу
(7.27)] и, следовательно, неприменимы преобразования, выпол-
нявшиеся при выводе правила Верещагина.
Рассмотренный графо-аналитический способ вычисления интеграла Мора
был изложен А. Н. Верещагиным в статье «Новые методы расчёта статиче-
ски неопределимых систем», опубликованной в 1925 г. в журнале «Строитель-
ная промышленность».
Графо-аналитический метод вычисления интеграла Мора, не требующий
построения «грузовой» эпюры моментов, предложен Г. М. Мхитаровым (см.:
Г. М. Мхитаров. Новый графо-аналитический способ вычисления интеграла
Мора. Изд. НМК Мосгорсовнархоза, 1961).
Приведем некоторые практические указания по применению
правила Верещагина.
1. Произведение площади нелинейной эпюры на ординату
линейной считается положи-
тельным, если площадь и орди-
ната расположены по одну
сторону от оси балки (осей
эпюр).
2. Если в пределах данного
участка4 обе эпюры линейны,
то принципиально безразлично,
с какой из них брать площадь
и на какой — ординату.
3. В зависимости от разбив-
ки балки на участки одна и та
же эпюра будет либо линей-
ной, либо нелинейной, и поэто-
му вопрос о том, где брать пло-
щадь, где — ординату, решает-
ся различно. Поясним сказан-
ное примером. Пусть требуется
найти прогиб посередине кон-
соли . (в точке /С), нагружен-
ной на свободном конце силой
Р (рис. 7.66, а). Строим эпюру
моментов МР (рис. 7.66, б). Приложив к разгруженной балке
(рис. 7.66, в) в точке К силу, равную единице, строим эпюру АЕ
(рис. 7.66, г).
Попутно заметим, что эпюры, построенные специально для
применения правила Верещагина, обычно не штрихуют.
Если принять в качестве участка интегрирования всю длину
балки (АВ), то эпюра оказывается ломаной (толстая линия
на рис. 7.66, г), т. е. при применении правила Верещагина она
313
должна раосматр.ивать|ся как нелинейная. В тех же преде-
лах эпюра М.Р линейна. Следовательно, надо умножить площадь
единичной эпюры ю=—Z2 на ординату грузовой эпюры
8
= А Р1,
1с 6
расположенную под центром тяжести единичной.
Если считать, что имеется два участка интегрирования—ЛК и
КВ, то в пределах каждого из них обе эпюры линейны и безраз-
лично, где брать площадь, а где — ординату. Заметим, что при
такой разбивке на участки для второго из них (КВ) произведе-
ние площади на соответствующую ординату равно нулю, так
как эпюра Л11 нулевая (попросту отсутствует) на всем его' про-
тяжении. Конечно, более,, удобен первый из указанных способов
определения участков интегрирования.
4. Если одна из эпюр криволинейная, а вторая — ломаная,
следует разбить эту вторую эпюру на отдельные участки, в пре-
делах которых-она линейна (рис. 7.67,а). Если обе эпюры ло-
маные и границы участков у них совпадают, то надо разбить
обе эти эпюры на линейные участки, как показано, например,
на рис. 7.67, б. При этом может оказаться, что на одном из уча-
стков удобнее брать площадь эпюры МР> а на другом следует
брать площадь эпюры Mi (рис. 7.67, б). Всегда надо брать пло-
щадь той эпюры, которая в пределах данного участка одно-
значна.
5. Во многих случаях оказывается удобным строить грузо-
вую эпюру в так называемом «расслоенном» виде. Сущность
этого расслоения состоит в следующем: уравнение изгибающего
момента (Мр) представляет собой многочлен; например, для Ш
участка балки, изображенной на рис. 7.68, это уравнение име-
ет вид
314
Вместо того чтобы строить график этого многочлена, как это
делалось ранее, для применения правила Верещагина целесо-
образно строить отдельные графики (эпюры)
торых соответствует одному из слагаемых. При этом во многих
каждый из ко-
удобно
эпюры, под-
двух сторон-
излома еди-
/случаях
строить
ходя с
к месту
ничной эпюры (см.,
в частности, пример
7.30). •
6. Если балка
имеет консоли (од-
ну или две), а опре-
делению подлежит
линейное или угло-
вое перемещение ка-
кого-либо сечения,
расположенного ме-
жду опорами, сле-
дует, мысленно отре-
вав консоли, заме-
нить их действие на
оставленную частб
балки соответствую-
щими поперечной си-
лой и изгибающим
моментом (рис. 7.69).
В табл,
ведены
площадей
координат
ров
рым и
7.1 при-
значения
эпюр и
их цент-
тяжести, кото-
и надлежит
пользоваться при .
определении переме-
щений.
т,=Ра
6)
Рис. 7.69
Пример 7.28. Определить прогиб посередине пролета и угол поворота
левого опорного сечения заданной балки (рис. 7.70, а).
Решение. Определив опорные реакции, строим эпюру изгибающих момен-
тов от заданной нагрузки (рис. 7.70, б). Прикладываем посередине пролета
единичную силу (рис. 7.70, в) и строим соответствующую эпюру изгибаю-
щих моментов (рис. 7.70, а).
Единичная эпюра состоит из двух одинаковых линейных участков. Эпю-
ру Мр разбиваем на две одинаковые части. Площадь и положение центра
тяжести каждой из этих частей даны в табл. 7.1.
В данном случае достаточно выполнить «перемножение» эпюр для одного
участка и результат удвоить.
315
Таблица 7.1
Площади эпюр и расстояния до их центров тяжести
Примечание. Данные для параболических эпюр справедливы лишь при условии,
что эти эпюры имеют вершину в точке А, т. е. касательная к эпюре в этой точке парал-
лельна оси балки.
316
Ординату V]c единичной эпюры можно определить либо из подобия тре-
угольников CEF и CDL (см. рис. 7.70, г), либо как произведение
т. е. по общему способу вычисления изгибающего момента в заданном сече-
нии: 4)
2 ql% I 5
_ А — 9 Ы]Т|С___9 3 8 2 32 ___5 qlA
VKP-^KP-2 EJX-2 EJX Л₽-384 £/Л •
Для определения угла поворота
сечения А прикладываем единичный
момент (рис. 7.70, д) и строим соот-
ветствующую эпюру изгибающих мо-
ментов (рис. 7.70, е). Эта эпюра ли-
нейна на всем протяжении балки.
Площадь всей эпюры Мр (по табл. 7.1)
' P-ql
К
Рис. 7.70
Рис. 7.71
ее центр тяжести находится посередине пролета и соответствующая орди-
ната эпюры М г
, 1
Искомый угол поворота
1 1
, — ql?J----
а Л 12 2 ql*
у др ~ А др = _ т = ------------- ~---------,
АИ АР EJх EJX 2AEJX
317
Пример 7.29. Определить прогиб свободного конца заданной балки
ч (рис? 7.71, а)
Решение. Эпюра Мр показана на рис. 7.71, б. Это параболическая эпюра.,
но не того типа, для которого в табл. 7.1 приведены значения <о и гс; каса-
тельная к этой эпюре в точке К
не горизонтальна.
Для получения эпюр, удоб-
ных для перемножения, стро-
> им отдельно эпюры от со-
^7 • средоточенной силы Р и
" р от распределенной нагрузки q
/=-^(рис. 7.71,е и г). По табл. 7.1
в . ь находим
ш1= дг ?/2Z v бу/3;
1-2 — ~ I-
4 zic — g С
1 qP , 1
wo =------I — —' qp;
2 3 2 6 4 ’
I — z2c = ~ I-
Соответствующие ордина-
ты единичной эпюры (рис.
7.71, д):
2 , 3
Г11С — $ ’ Ti2c — 1‘
Искомое перемещение
Д/<Р = ~~ =
1/1 2
=------ — qP-----1 +
EJX\ 2 3
+ -L?^A;
6 4 /
_ 11
*KP = 24 Ejx •
у-РЬ
А I
а-
р
к
ь
I
РаЬ
Ра
Рб
2
г)
I
Рис. 7.72
6
Пример 7.30. Определить прогиб посередине- пролета заданной балки
(рис. 7.72, о).
Решение. Грузовая (рис. 7.72, б) и единичная (рис. 7.72, б) эпюры лома-
ные и при этом места излома у них не совпадают. Поэтому построим грузовую
эпюру в расслоенном виде, подходя с двух сторон к месту излома единичной
эпюры (рис. 7.72, е).
На рис. 7.72, в отмечены площади отдельных частей расслоенной эпюры,
а на рис. 7.72, д указаны величины соответствующих ординат единичной
эпюры. Перемножая эпюры (множители, произведение которых дает площадь
эпюры, условно взяты в квадратные скобки), получаем
^КР = Г + ш2Г12с + ш3'"зс) —
EJX
318
1 (Г 1 Pb I 1 l Г 1 / I \ / I \] 1
'177 ||t t| t - |t p (t - “Дт - *)] т{1+a) +
г i z i _L1
+ L 2 2 2 J 6 J ’
После алгебраических преобразований получаем
Д/<р —
Пример 7.31. Определить
прогиб посередине пролета за-
данной балки (рис. 7.73, а).
Решение. В пределах меж-
опорной части, балки грузо-
вая эпюра линейная (рис.
7.73,6), а единичная (рис.
7.73, в) — ломаная. Следова-
тельно, надо взять площадь
единичной эпюры, а ордина-
ту — грузовой. Для консоли
перемножение эпюр дает нуль,
единичная эпюра на этом уча-
стке отсутствует.
Перемножая эпюры, полу-
чаем.
Да"р ~ EJX \ 2 4 /.
Pl \ РР
~ 64£JX
Знак минус указывает, что направление перемещения точки К противо-
положно направлению единичной силы.
Пример 7.32. Определить прогиб сечения К заданной балки (рис. 7.74, а).
Решение. В данном случае, очевидно, грузовая эпюра получится довольно
сложной, поэтому придется строить ее расслоенной. Выбор рационального спо-
соба расслоения зависит от вида единичной эпюры. Решение задачи начинаем
с построения единичной эпюры (рис. 7.74, б).
Определяем опорные реакции от заданной нагрузки; они показаны на
рис. 7.74, а.
Отрезаем консоль и заменяем ее силой и моментом (рис. 7.74, в). Строим
расслоенную эпюру Мр , подходя с двух сторон к месту излома. единичной
эпюры (рис. 7.74, г).
По формуле (7.30) определяем искомое перемещение:
qcP (Г 1 26 18 Г 1
---1 —•—-4 —+ —
EJX IL 2 3 J 9 L 2
8_
9
T‘6’3]1 +
£
3
7 Г 1 1
+ V2
о |_ 2 J
Г-L А. J1 9 91 Л 749 qai
[ 3 ‘ 2 J 4 L 3 J J 72 EJX ‘
В качестве упражнения рекомендуется самостоятельно определить про-
гиб посередине пролета.
Пример 7.33. Определить прогиб конца консоли и угол поворота сечения
на правой опоре балки, рассмотренной в предыдущем примере.
Решение. Прикладываем в точке С силу, равную единице, и строим эпю-
ру единичных моментов (рис. 7.75, а). Для определения угла поворота сече-
319
ния В прикладываем в этом сечении к балке пару сил с моментом, равным’
единице, и строим эпюру единичных моментов (рис. 7.75, б). Та и другая еди-
ничные эпюры имеют излом в сечении В, поэтому грузовую эпюру строим,
подходя с двух сторон к этому сечению (рис. 7.75, в). Конечно, консоль в.
этом случае отрезать не нужно.
Рис. 7.74
Характерные ординаты расслоенной грузовой эпюры и ординаты единич-
ных эпюр, расположенные под центрами тяжести отдельных частей эпю-
ры Мр, указаны на рис. 7.75.
Перемножая эпюры по правилу Верещагина и суммируя результаты от-
дельных перемножений, получаем
883 qa4
' »СР = Д„ = -— —
(точка С перемещается вверх).
901 qa?
9^.= ^ = ^-^--
Сечение В поворачивается против часовой стрелки — в направлении при-
ложенного единичного момента.
320
Рис. 7.75
11-1451
321
Пример 7.34. Определить полное перемещение свободного конца лома-
ного бруса (рис. 7.76, а).
Решение. Строим, как это подробно разъяснено в примере 7.12, эпюру
изгибающих моментов от заданной нагрузки (рис. 7.76, б).
Направление полного перемещения сечения А пока неизвестно, поэтому
следует определить две1 его составляющие — вертикальное и горизонтальное
перемещения. Прикладываем к точке Л вертикальную и горизонтальную еди-
ничные силы и строим соответствующие эпюры моментов и
(рис. 7.76, в, г). Эпюры построены непосредственно на схемах нагружения.
Перемножая по правилу Верещагина эпюры Мр и определяем
лвеот 1 z х 1 ( 1 q® , 3 ,
— р, (“We + °Wc) = рг о • п '1‘ Л +
q12 \ qP
+ ?hl ='^7(/ + 4/г)-
2 / ОС J
Аналогично находим горизонтальное перемещение:
лгоо 1 1 q& h qlW
КР EJ 2 ,ЗС EJ 2 2 4EJ
Полное перемещение
— уг(Д“/')2 + (^)2 = -,1^1/[4(/ + 4<+Л1.
hcCj / l J
§ 7.14 РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
Работающие на изгиб элементы строительных и машино-
строительных конструкций во многих случаях должны быть рас-
считаны не только на прочность, но и на жесткость. При этом
зачастую оказывается, что требуемые размеры поперечного се-
чения бруса (балки), определенные из расчета на жесткость,
получаются большими, чем требуемые по условию прочности.
В большинстве 'случаев условие жесткости выражается не-
равенством
/<1Л
(7.31)
322
т. е. максимальный прогиб (стрела.прогиба f) не должен превьи
шать допускаемого [/]. Величина допускаемого прогиба зависит
от назначения и условий работы рассчитываемой конструкции
и колеблется в широких пределах.’Обычно величину допускае-
мой стрелы прогиба указывают в долях пролета (межопорного
расстояния Z) балки. Например, для ручных грузоподъемных
кранов [f] = //400, то же для электрических [f]='l/7OQ; для валов
и шпинделей металлорежущих станков [/] = (0,0005-^0,0010)/.
Для обеспечения нормальной работы подшипников скольже-
ния и роликовых подшипников качения иногда ставится допол-
нительное условие жесткости—ограничение угла поворота
опорных сечений:
max 6ОПОрн < [6]. (7.31а)
При этом допускаемый угол поворота составляет в среднем
0,001 рад.
В тех случаях, когда конструктивные и технологические тре-
бования не накладывают особых ограничений на форму попе-
речных сечений проектируемого элемента конструкции, следует
применять такие сечения, которые обеспечивают возможно
большую жесткость при наименьшем расходе материала. Же-
сткость балки прямо пропорциональна моменту инерции (/х) ее
поперечного сечения относительно нейтральной оси, а расход
материала (масса балки) прямо пропорционален площади се-
чения (F). Для оценки рациональности формы поперечного се-
чения балки, размеры которой определяются из расчета на
жесткость, удобна безразмерная характеристика
—
F2 *
Например, для двутавра № 20 (при изгибе в плоскости наи-
большей жесткости) /=2,6; для того же двутавра при изгибе в
плоскости наименьшей жесткости /=0,161; для круга / = 0,0795;
для квадрата /=0,0834; для кольца (при с=0,7) /=О,ЙЗЙ.
Для ускорения и упрощения расчетов на жесткость, а также'
решения статически неопределимых задач (см. ниже §7.16) при-
водим табл. 7.2 значений прогибов и углов поворота сечений для
некоторых часто встречающихся случаев нагружения балок.
Пример 7.35. Проверить прочность и жесткость балки (рис. 7.77, а),
если [о] = 160 н/мм2 и [/]= — •
600
Поперечное сечение балки — двутавр № 50,=39 120 1ГЛ==1560 си3;
£=2,0 • 105 н/лш2.
Решение. Наибольший изгибающий момент возникает в сечении посереди-
не пролета. В силу симметрии нагружения балки максимальным будет прогиб
чакже посередине пролета. Обращаем внимание на то, что сечение с макси-
мальным изгибающим моментом и имеющее максимальный прогиб совпадают
отнюдь не всегда.
И*
323
324
0
qlA
3Ej/
_____<№_
B 6EJ.
mfi
V/< = 16EJX
ml
Ол = ----^-;
3£/x
ml
Gr =-------- •
6EJX
Продолжение табл. 7.2
Схема нагружения балки Максимальный прогиб / (или прогиб указанного на схеме сечения ) ( Угол поворота fl указанного на схеме сечения
1 Й ^>4 if • Г £)_ А
t t 11 11 М 1 1 1 11 H 1 1 UH fl fl 9/3
— ь -—— $ i/z^— - я J 38AEJX А В 24EJX
Pa Pab ' / + b
'"r „ дЛ v „ =(3l2 — 4a2) K 48EJX v ' ' 0л = -2— ; A 6EJX I
— / ( 1 \ Pab I + a
~ J fl! < \ 2 / On =— B 6EJX I
'r w Л>1л " I д J Pa H—’ 7 24EJX —a I-* a —*- г . * i/г H — i co л Примечание. Везде указаны абсолютные значения прогибов и углов поворота. ? Ра (ЗЕ-4а2) GA = QB = ^j-Jl-a)
Максимальный изгибающий момент
3 3
тахМх = — ^Зй — a ~ 75-4 — 20-3 — = 210 кн-м,
Максимальные нормальные напряжения в опасном сечении
maxM^ 210-106
сттях = -----------------=-------- — = 135 H Mfi,
тах Wx 1560-103
Максимальные напряжения ниже допускаемых на 15,6?/0.
Для определения максимального прогиба прикладываем к разгруженной
балке посередине пролета единичную силу, строим эпюру Mi и расслоенную
эпюру Мр. Перемножая эпюры Мри Mi для одной половины балки и удваи-
вая результат, найдем стрелу прогиба:
2 (Г 1 1 I Г 1 9 „ 1 13Z)
2
Г 1 8-103
— 75-103-4-103-4-Юз---------
2 6
- —. —.20(10з)2-3-10з
3 2
13-8»ЮЗ!
64 J
2-10*г
2-105.39120-10*
(800—146)== 16,7 мм.
326
Допускаемый прогиб
I
[/1 = ------
600
8000
600
= 13,3 мм.
Пример 7.36. Проверить прочность и жесткость балки (рис. 7.78,а),
если [о] =120 w/лш2; [f] = 0,001Z; £=2,0 • 105 н/мж2.
Решение. Определив опорные реакции, строим эпюру изгибающих момен-
тов (рис. 7.78, б). Проверяем балку на прочность:
тахЛ4х 2,22-Ю6 о
сттах— TV7 ,5= = Ю4,5 hJmM^ < [а].
W х “ Л
Проверку на жесткость производим приближенно, принимая, что макси-
мальным будет прогиб посередине пролета. Ранее (см. стр. 295) было указа-
но, в каких случаях прогиб посередине пролета мало отличается от макси-
мального. Этот прогиб определим, используя данные табл. 7.2 и применяя
принцип независимости действия сил,
р idl /
VKP = + Vl(p>= tSEJ,
Учитывая, что
3,14-604
= —-=—4------------= 63,6-104 мм*
64 64
и подставляя числовые данные, получаем
6-103-350
f^v==----------—-- —-----------(3-11002 _ 4.3502) +
К 48-2,0-105-63,6-104
9-103-250
, (3 • 11002 — 4 • 2502) = 2,325 мм.
48-2,0-105.63,6-104 v 7
Допускаемый прогиб
I 1100 , ,
[Л = ----=------=1,1 мм.
1 J 1000 1000
327
Таким образом, максимальный прогиб превышает допускаемый более чем
вдвое, т. е. жесткость балки совершенно недостаточна. В то же время проч-
ность ее обеспечена—максимальные напряжения ниже допускаемых на 12,9%.
Для обеспечения достаточной жесткости балки надо увеличить момент инер-
ции ее поперечного сечения в 2,12 раза, что равносильно увеличению диаметра
в 2,12=1,21 раза.
Пример 7.37. Определить из расчетов на прочность и жесткость при
[о] = 160 н!мм2 и [/]= —требуемый номер двутаврового профиля для задан-
800
ной балки (рис. 7.79, a). f=2,0’ 105 н/жж2.
Рис. 7.79
Решение. Построив эпюру Мх (рис. 7.79, б), из условия прочности опре-
деляем требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки:
шахЛН- 54-106
-----=-----------= 338.103 ммз,
[а] 160
По ГОСТ 8239—56 подходит двутавр № 27 с W х— 371 еж3.
Для расчета на жесткость используем данные табл. 7.2. В силу симмет-
рии нагружения балки, максимальный прогиб получается посередине про-
лета.' . •
Стрела прогиба от силы 2Р, приложенной посередине пролета,
2PZ3
f<2P~4S,EJx
то же от сил Р: ’
Ра
Суммарный прогиб от всех заданных сил
2РР Ра
f ~f2P^ ip ~ ; ~ (3I2 — 4а2).
* тгО дХ J х J X
Подставляя в это выражение Z=-8a, получаем
_ 64РаЗ 47/^3 175РдЗ .
* ~ 3EJX + 6EJX ~ 6EJX
328
Условие жесткости
__Л_75 Роз
6 EJX
8а л ,
Г f] = — = 0,01а,
UJ 800
отсюда-требуемый момент инерции
,175 Ра2 175-18-103-6002 1Л4
у-------------------------------__ 9450 -104 мм4,
х 6 0,015 6-0,01-2,0-105
Пр ГОСТ 8239—56 подходит двутавр № 33 с J х=9840 см4.
Из двух номеров профилей (полученных из' расчетов на прочность и
жесткость) окончательно принимаем больший.
§ 7.15. БАЛКИ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Для балок постоянного поперечного сечения расчет на проч-
ность выполняется по сечению, в котором возникает наибольший
изгибающий момент. Это опасное сечение; по условию проч-
ности, нормальные напряжения в его опасных точках (т. е.
наибольшие напряжения) не
должны превышать допу-
скаемых. Во всех остальных
точках этого сечения, а тем
более во всех остальных се-
чениях балки, материал ис-
пользуется не полностью —
работает при напряжениях
более низки,х, чем допускае-
мые. Как было сказано вы-
ше, для более полного ис-
пользования материала сле-
дует применять рациональ-
ные формы поперечных сечений, например для стальных
балок — двутавровое.
Следующий шаг на пути создания более легких конструк-
ций— это применение балок переменного 'сечения. При
этом по возможности следует стремиться к тому, чтобы наиболь-
шие нормальные напряжения во всех сечениях были одинаковы,
т. е. чтобы все сечения бруса были равноопасны.
Брус, удовлетворяющий этому условию, называется брусом
равного сопротивления изгибу. Теоретически он наиболее выго-
ден (обеспечивает наименьшую затрату материала).
Исследуем для некоторых частных случаев вопрос о формах
(законах изменения размеров поперечного сечения) брусьев рав-
ного сопротивления изгибу.
Рассмотрим простую консоль прямоугольного поперечного
сечения, нагруженную силой на свободном конце (рис. 7.80).
Выясним, как должна меняться ширина сечения при постоянной
его высоте, если наибольшие нормальные напряжения во всех
поперечных сечениях одинаковы.
329
Для балки постоянного сечения опасное сечение в заделке
и условие прочности записывается так:
шахЛ1х Р1 г .
6
Для произвольного сечения, отстоящего на расстоянии z от
свободного конца, условие прочности таково:
(%ах)г — ' < [°],
\ max/z b^h<1 xi j)
6
где через bz обозначена ширина рассматриваемого сечения.
По условию равнопрочности,
(Gmax)z Gmax?
ИЛИ
. Pz Pl
bz№ ~ bfp
6 6
откуда
Таким образом, в рассматриваемом случае ширина сечения
должна меняться по линейному закону, как показано на
рис. 7.80. Практически на свободном конце балки следует сде-
лать некоторое уширение (показано на рис. 7-80 штриховыми ли-
ниями) , так как в противном случае касательные напряжения
в сечениях, близких к месту приложения силы, будут чрезвычай-
но велики (теоретически в сечении под силой будут равны бес-
конечности).
В качестве второго примера рассмотрим также консоль пря-
моугольного сечения, но теперь будем исходить из условия рав-
нопрочности (равноопасности) всех сечений при постоянной их
ширине и переменной высоте. Аналогично предыдущему
для сечения в заделке имеем
Р1 /г 1
о =-------Г' I.
max b№ L J
Для произвольного сечения
cmax)z bh2
330
Принимая (omax)z = omax, получаем
Pz Pl
bh2z — b№ ’
T 6
откуда
А2 =Д2Л.,
z I
или
В этом случае высота сечения должна изменяться по п а-
р а бо л ическо му закону. Брус равного сопротивления изги-
бу, имеющий прямоугольное
сечение переменной высоты,
показан на рис. 7.81.
Оси и валы различных
машин, как правило, имеют
круглое поперечное сечение,
диаметр которого по их дли-
не не остается постоянным.
При этом большей частью
сечение является ступенчато-переменным, т. е. ось (вал) состоит
из отдельных цилиндрических .частей разного диаметра
Рис. 7.82
(рис. 7.82, а); реже отдельные участки вала имеют коническую
форму (рис. 7.82,6). В обоих указанных случаях целесообразно
принять за основу для выбора продольного профиля оси форму
бруса равного сопротивления изгибу. При этом теоретический
331
(обеспечивающий равноопасность всех сечений и наивыгодней-
ший в смысле затраты материала) профиль должен располагать-
ся в пределах действительного (быть вписанным в него), как
показано штриховыми линиями на рис. 7.8!2, а; б. Если бы тео-
ретический профиль выходил за пределы действительного, проч-
ность оси была бы недостаточна. Отступления от теоретического
профиля связаны как с технологическими трудностями изготов-
ления оси подобной формы, так и с необходимостью создания
такой конструкции, при которой обеспечивается удобство посад-
Рис. 7.83
ки и крепления насаживаемых на ось (вал) деталей — колес,
подшипников и т. и.
Нетрудно доказать, что для осей, изображенных на рис.
7.82, а, б, теоретический продольный профиль для каждого из
участков . представляет собой кубическую параболу; законы
изменения диаметров даны на рис. 7.83.
На этом рисунке (в отличие от рис. 7.82) рассмотрен более
общий случай — сила приложена не посередине пролета.
При расчетах на прочность брусьев, имеющих ступенчато-
переменное поперечное сечение, во многих случаях трудно сразу
установить, какое сечение опасно, и расчет приходится выпол-
нять для нескольких сечений (см. ниже пример 7.39).
Опасным является сечение, в котором возникают наибольшие
нормальные напряжения; оно может и не совпадать с сечением,
в котором изгибающий момент имеет наибольшее значение..
При определении линейных и угловых перемещений в балках
переменного сечения правило Верещагина можно применять
лишь при условии ступенчатого изменения сечения, разби-
вая брус на участки, в пределах которых Jx = const (см. пример
332 ’ •
7.40). При непрерывно переменном сечении следует вычислять
интеграл Мора непосредственно (см. пример 7.38). В случаях,
аналогичных представленному на рис. 7.82, б, слагаемые инте-
грала Мора, соответствующие цилиндрическим участкам, могут
быть вычислены по правилу Верещагина, а для конических —
путем непосредственного интегрирования.
Пример 7.38. Определить прогиб свободного конца бруса равного сопро-
тивления изгибу, изображенного на рис. 7.80.
Решение. Изгибающий момент от силы Р в произвольно^ поперечном се-
чении
Mp=-Pz.
Очевидно, что от силы, равной единице и приложенной на свободном кон-
це, уравнение изгибающих моментов будет аналогично МР 5 т. е.
Л11=-1-г.
Момент инерции произвольного поперечного сечения
7
. х 12 ’
или, учитывая, что
bz=b~.
z I
имеем
b№ z z
Jx ~ 12 I ~ J°x I
где через J Ox обозначен момент инерции сечения в заделке.
Прогиб свободного конца
_ С MPM^dz __ Р (—Pz)(—г)^ _ РР
f J EJx J EJqx~T 2EJ°x
о 0
Консоль с постоянной шириной b сечения имела бы при той же длине I,
высоте сечения h и нагрузке в полтора раза меньший прогиб (см. 2-ю строку
табл. 7.2).
Повышенная деформируемость (сравнительно малая жесткость) — необ-
ходимое свойство тех элементов конструкций, назначение которых — смягче-
ние толчков и ударов (амортизирующие устройства). В основу конструкции
широко применяемых в ’автостроении листовых рессор положен рассмотрен-
ный брус равного сопротивления изгибу. На рис. 7.84, а, б, в показана прин-
ципиальная схема перехода от бруса равного сопротивления изгибу к листо-
вой рессоре, а на рис. 7.84, г представлено ее примерное конструктивное
оформление. Если не учитывать сил трения между листами рессоры, то воз-
никающие в ней напряжения и ее стрела прогиба будут такими же, как
у бруса, из которого она образована. Разрезание бруса на полосы позволяет
получить конструкцию значительно меньшей ширины. Конечно, фактически
изготовление рессор ведется не путем разрезания бруса; они собираются из
отдельных полос высококачественной стали, прошедших специальную терми-
ческую обработку.
Пример 7.39. Проверить прочность оси (бруса ступенчато-переменного
сечения), изображенной на рис. 7.85, о’. Материал оси — сталь с пределом
текучести 00,2=320 н/мм2-, [пт]—3,0.
333
Решение. На рис. 7.85, бив изображены расчетная схема оси и эпюра
изгибающих-моментов. В рассматриваемом случае затруднительно сразу ука-
зать, какое сечение является опасным, так как диаметр оси непостоянен. Опре-'
делим максимальные нормальные напряжения в сечениях 1—1; 2—2; 3—3;
Рис. 7.84
4—4; 5—5. эпюре. Соответствующие значения изгибающих моментов указаны на Мг_г 800-103 ' шаха,,'— __ —37 н мм2; 0,1-603 1
max а2_2 = ^2—2 6900-103 = 112 н/мм2;
U72_2 “ 0,1-853
max а3_3 = ^з-з 8000-103 = 93,1 н/мм2;
U73-3 ~ 0,1-953
max а4_4 = Л14_4 5800-103 = 79,4 н]мм2;
1Г4_4 ~ 0,1-903
Ms—5 1600-103 = 46,7 н/мм2.
max а5—5 — ^5-5 ~ 0,1-703
334
Сравнение полученных результатов позволяет установить, что опасным
является сечение 2—2. Минимальный коэффициент запаса прочности (для
опасного сечения)
max гг2—2 Н2
что -ниже требуемого всего на
дала удовлетворительные ре-
зультаты.
Пример 7.40. Определить
прогиб свободного конца бал-
ки (рис. 7.86, а). Момент инер-
ции поперечного сечения тон-
кой *части равен J, толстой —
37.
Решение. Строим эпюру
изгибающих моментов от за-
данной нагрузки (рис. 7.86,6).
Прикладываем к свободному
концу разгруженной балки еди-
ничную силу (рис. 7.86, в) и
строим эпюру М] (рис. 7.86, г).
При постоянном попереч-
ном сечении балки было бы
два участка (АВ и ВК); в си-
лу переменности сечения при-
ходится участок ВК разбить на
два: ВС и СК. Каждую из
трапецеидальных частей эпю-
ры МР для удобства перемно-
жения разбиваем на прямо-
угольник и треугольник (см.
рис. 7.86, 6).
Перемножая эпюры по
правилу Верещагина, полу-
чаем
4,67% и, следовательно, проверка прочности
А „р = WiT]lc+ ТТЛ (“21 212с + “зЛзс + “4'П4с + “оЛбг) —
tzJ 6C.J
1
EJ
1 2
• —— Ра • а • —- а 4-
2 3
1 ( з
____ Ра- а- — а
3EJ \ 2
1 „ 5
+ — Ра-а-~ а +
5 1 8 '
+АРа -а-— а + Ра -а--—-а
2 2 о
44РдЗ
9EJ
%. § 7.16. ПРОСТЕЙШИЕ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ
БАЛКИ
Статическая неопределимость балок, т. е. невозможность
определения внутренних силовых факторов только из уравнений
равновесия, даваемых статикой твердого тела, связана с нали-
чием дополнительных опорных закреплениц. Разность между об-
щим числом реакций связей и количеством уравнений статики,
которые можно составить для данной системы сил, называется
степенью статической неопределимости.
335
На рис. 7.87. показаны различные схемы статически неопре-
делимых балок: на рис. 7.87, а —один раз статически неопреде-
лимые балки; на рис. 7.87,5 — два, и на рис. 7.87, в — три раза
статически неопределимые.
Введение дополнительных опорных закреплений приводит к
уменьшению (по сравнению с подобной статически определимой
балкой) величин наибольшего изгибающего момента и макси-
мального прогиба, т. е. повышает прочность и жесткость балки.
Рис. 7.88
Вместе с тем необходимо иметь в виду, что даже при незначи-
тельном. смещении одной опоры относительно другой в направ-
лении, перпендикулярном к оси балки, напряжения в ней резко
возрастают. К таким смещениям могут привести и осадка опор
в процессе эксплуатации конструкции, и погрешности ее монта-
жа. Вследствие этого многоопорные оси и валы (являющиеся
статически неопределимыми балками) применяют сравнительно
редко — процесс сборки, к которому предъявляют требования
весьма высокой точности, получается очень трудоемким и, сле-
довательно, связанным с большими расходами, а его результаты
могут быть сведены на нет из-за нарушения взаимного располо-
жения опор в процессе эксплуатации машины. Последнее может
быть следствием износа подшипников, общей деформации ма-
шины и ряда других причин.
Ограничимся рассмотрением один раз статически неопреде-
лимых балок и таких частных случаев дважды статически не-
определимых балок, для которых в силу симметрии задача сво-
дится к составлению лишь одного уравнения перемещений (см.
пример 7.44).
336
Так же, как и в статически неопределимых случаях растя-
жения (сжатия) и кручения, рассмотренных в предыдущих раз-
делах курса, раскрытие статической неопределимости балок
(определение реакций дополнительных*с.вязей) производится пу-
тем составления и решения соответствующих уравнений переме-
щений. Принципиальный подход к составлению этих уравнений
разъясним на примере один раз статически неопределимой балки,
представленной на рис. 7.88, а. Отбросим шарнирно подвижную
опору и заменим ее действие на балку не известной пока силой
реакции X. Статически определимая балка (систём'а), получен-
ная из заданной статически неопределимой балки (системы) пу-
тем отбрасывания лишней связи, называется основной системой
(рис. 7.88,5).
Основная система, нагруженная заданными силами и иско-
мой реакцией (реакциями) отброшенной связи (рис. 7.88, в),
должна быть полностью эквивалентна заданной системе, поэто-
му ее иногда называют эквивалентной системой.
Эквивалентность, в частности тождественность деформаций
заданной системы и основной система, нагруженной силами Р и
X (на рис. 7.88, а, в штриховыми линиями показана примерная
форма упругой линии балки), позволяет утверждать, что в основ-
ной системе перемещение в месте отброшенной связи по ее на-
правлению равно нулю *. Это условие дает возможность соста-
вить уравнение перемещений. Например, в рассматриваемом
случае вертикальное перемещение сечения В равно нулю
Д5 = 0.
Пользуясь принципом независимости действия сил, можем пе-
реписать уравнение перемещений в виде
Ав ~^вр^г =
т. е. алгебраическая сумма перемещений сеченищ В от раздель-
ного действия заданной нагрузки и искомой реакции отброшен-
ной связи равна нулю. При определении АВР рассматриваем
балку, нагруженную лишь силой Р (рис. 7.88, г), а при состав-
лении выражения для &Вх — нагруженную только силой X
(рис. 7.88, д').
Напоминаем, что всегда, говоря об определении перемеще-
ний от действия какой-либо силы (нагрузки), имеем в виду, что
она действует совместно с соответствующими ей реакциями.
К решению этой же задачи можно подойти и несколько ина-
че — выбрать другую основную систему.
* В случае, если связь не является абсолютно жесткой, например осуще-
ствлена упругим стержнем или пружиной, перемещение сечения балки, на ко-
торое наложена эта связь, равно не нулю, а изменению высоты этой связи
(см. пример 7.45).
337
Заменив в заданной системе (рис. 7.89, а) заделку шарнир-
но неподвижной опорой, получим основную систему, изображен-
ную на рис. 7.89, б. Взамен отброшенной связи, препятствующей
повороту сечения А, приложим не известный пока реактивный
момент X (рис. 7.89, в). При таком выбоое основной системы
Рис. 7.89 Рис. 7.90
уравнение перемещений будет показывать, что угол поворота
сечения А равен нулю:
Дд ==6Л = 0,
или по принципу независимости действия сил
’ дл = длр + Ддх^о*
При определении Аар и Аах рассматривается статически опре-
делимая балка, нагруженная сначала только силой Р
(рис. 7.89,г), а затем — только моментом X (рис. 7.89, д).
После того как реакция отброшенной связи определена, рас-
чет балки ведется обычным путем: для основной системы, нагру-
женной заданными силами и теперь уже известной реак-
цией дополнительной связи, строятся эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов и производится расчет на прочность (а
иногда и на жесткость) в соответствии с условиями задания.
338
Проверка решения статически неопределимой задачи может
быть осуществлена путем ее вторичного решения при другом вы-
боре основной системы. Совпадение окончательных эпюр изги-
бающих моментов для двух вариантов основной системы обычно
служит .гарантией правильности решения.
При раскрытии статической неопределимости целесообразно
определять перемещения, пользуясь интегралом Мора и приме-
няя для его вычисления (там, где это возможно) правило Вере-
щагина. Применение этого метода приводит к очень удобной
стандартной (канонической) форме уравнения перемещений.
Обратимся еще раз к той же, что и ранее, один раз статиче-
ски неопределимой балке (рис. 7.90, а). Выберем основную си-
стему, как в первом из рассмотренных выше вариантов (см.
рис. 7.88,6). Нагружаем основную систему искомой реакцией
(как говорят, лишней неизвестной) и строим соответствующую
эпюру изгибающих моментов (рис. 7.90,6, в). Обозначение Xi
(взамен применявшегося ранее X) принято для общности, так
как в системах несколько раз статически неопределимых будет
ряд лишних неизвестных: Хь Х2 и т. д. Для определения переме-
щения (индекс 1 в обозначении перемещения ука-
зывает, что это перемещение в точке приложения и по направ-
лению первого лишнего неизвестного, т. е. Xi) прикладываем к
основной системе единичную силу в месте и по направлению
искомого перемещения (рис. 7.90, г), т. е. взамен Хь и строим
эпюру ЛД (рис. 7.90,6). По общему правилу, для нахождения
А1хх следует перемножить эпюры МХ1 и ЛД, но эти эпюры со-
вершенно тождественны, т. е. совершенно очевидно, что доста-
точно было построить эпюру 7И1, а эпюру МХ1 не строить. Пе-
ремещение от силы Xi больше, чем перемещение от единичной
силы, приложенной взамен Xi (это перемещение обозначают бц),
в Xi раз, т. е.
в рассматриваемом примере о^ = —
Перемещение 8П определяется путем умножения единичной
эпюры моментов самой на себя, т. е. площадь этой эпюры
/• / J умножается на ординату
этой же эпюры, соответствующую ее центру тяжести (здесь
2 \
т]и = — I I. Величина оц существенно положительна.
3 /
Для определения перемещения Ац> от заданной нагрузки
прикладываем к основной системе эту нагрузку (силу Р) и стро-
им соответствующую эпюру моментов Мр (рис. 7.90, е, ж). Еди-
ничная эпюра моментов уже построена (см. рис. 7.90, д) и для
нахождения Ац> достаточно перемножить эпюры МР и ЛД,
339
Окончательно уравнение перемещений, выражающее равен-
ство нулю перемещения в направлении отброшенной связи (от
совместного действия заданной нагрузки и реакции этой связи),
записывают в виде
=0.
(7.32)
Для любой.один раз статически неопределимой системы это
уравнение будет таким
же. По этой причине его
называют каноническим
уравнением.
Иногда это уравнение
называют каноническим
уравнением метода сил,
подчеркивая тем самым,
что в качестве неизвест-
ного принята сила (или
момент). Кроме того, та-
кое наименование дано в
отличие от применяемого
в строительной механике
наряду с методом сил ме-
тода перемещения.
Если при решении
уравнения (7.32) Xi полу-
чится со знаком плюс,
это укажет, что предполо-
жительное направление
Xi совпадает с действи-
тельным. ’
Пример 7.41. Проверить
прочность заданной балки
(рис. 7.91, а) при [о] =
= 150 н!мм2.
Решение. Для проверки на
прочность надо найти наиболь-
ший изгибающий момент (по-
строить эпюру Мх), а это э
свою очередь требует опреде-
ления опорных реакций, кото-
рые в данном случае нельзя
найти из уравнений статики —
балка один раз статически не-
определима.
Основную систему выбираем, отбрасывая шарнирно подвижную опору.
Основная система с заданной нагрузкой и лишней неизвестной показана на
рис. 7.91, б. Для определения перемещений, входящих в каноническое урав-
нение
Л'хЗц 4- Д1р— 0
(индекс Р надо понимать как символ любой заданной нагрузки, а не обяза-
тельно сосредоточенной силы Р), нагружаем основную ‘ систему заданными
340
силами (рис. 7.91, е), строим эпюру Мр (рис. 7.91, г); затем прикладываем
к основной системе единичную силу (рис. 7.91, д) и строим эпюру Mi
(рис. 7.91, е).
Умножая эпюру A4] саму на себя, находим
112 /з
u EJX 2 3 3EJX
Перемножая эпюры Мр и Alj, получаем
д =__i______z 3 Qli
1Р EJ х 3 2 ’ ‘ 4 8EJX -
Постановка значений 6п и Д1Р в каноническое уравнение дает
/3
X j —---------= О,
. 3EJX 8EJX
'откуда
3
Х1 = Т?Л
Основная система, нагруженная заданными силами и найденной реак-
цией Ль показана на рис. 7.91, ж. Строим для нее эпюры Qy и Мх
(рис. 7.91, з, и). Эпюра Мх построена в более крупном масштабе, чем эпю-
ра Мр. Построив эпюры, получаем, что реакция заделки равна 5/&ql и реак-
тивный момент равен !,/&ql2.
Опасное сечение в задел-
ке. Наибольшее напряжение
max М
° max — ™
и/ х
О
Wx
40-(6-103)2
8-1220-103
= 147,5 hImm2,
где Wх= 1220 см3 принято для
двутавра № 45 по таблице сор-
тамента. Балка недогружена
на 1,67%.
Рассмотрим второй вари-
ант 'решения той же задачи,
В качестве основной системы
примем двухопорную' балку,
т. е. отбросим связь, препятст-
вующую повороту левого опор-
ного сечения. При этом лиш-
ним неизвестным будет мо-
мент Ль
Рис. 7.92
Основная система с заданной нагрузкой и лишней неизвестной показана
на рис. 7.92,а. Уравнение перемещений, выражающее ту мысль, что угол по-
ворота сечения А основной системы от совместного действия заданной нагруз-
ки и момента Xi равен нулю, запишем в виде (не в канонической форме)
0л ~ 0др + 0лх1= °-
Угол поворота сечения А от действия нагрузки q (рис. 7.92, б) принимаем
по табл. 7;2:
6
АР 2\Е1Х
341
То же от действия искомого реактивного момента Xi (рис. 7.92, в) —по дан-
ным табл. 7.2:
Хг1
%AX'~3EJx'
Учитывая, что 6^р и 0^^ имеют прямо противоположные направле-
ния, и принимая первый из .этих углов за положительный, получаем
ql3 _ _р
24Е/Х ЪЕ1Х
откуда
х,=4- <№
О
Результат совпадает с полученным при первом варианте выбора основной
системы (см, рис. 7.91, ж), что указывает на правильность решения задачи.
Окончательную эпюру Мх не строим, так как, очевидно, она будет тождествен-
на изображенной на рис. 7.91, и.
Пример 7.42. Определить из расчета на прочность при [сг] = 160 н/лш2 до-
пускаемую нагрузку для балки, изображенной на рис. 7.93, а.
Решение. Балка один раз статически неопределима. Выберем основную си-
стему, как показано на рис. 7.93, б (здесь дана нагруженная основная систе-
ма). Можно было бы, конечно, отбросить вместо средней одну из крайних
опор *.
Записываем в канонической форме уравнение перемещений ’•
-ЛдВ]1 + 0.
Прикладываем в точке В силу, равную единице (рис. 7.93, в) ,и строим
эпюру М] (рис. 7.93, г). Определив реакции от заданной нагрузки (показаны
на рис. 7.93, д), строим расслоенную эпюру Мр (рис. 7.93, а). Определяем про-
гиб сечения В основной системы от заданных сил:
. 1 VI 1 Г 1 И \ I
lp EJ х 1 11 с EJX [ 2 12 / 3
/_1_ PZ _Z_\ 5 j 1 Pl_ \ l_ 1 11 Pl* .
4 2 ’ 2 ‘ 2 /12 Z \ 2 ‘ 12 J 3 J ~ 96 EJX '
Определяем единичное перемещение 6ц, умножая эпюру Mi саму на себя,
1^/11 \ 2 1 /з
• —1-1] —.— 1 =----
2 /32 6£Л
8 ц —
11 EJ
Умножение выполнено
Подставляя значения
для одной половины эпюры и результат удвоен.
Д1р и 8П в уравнение перемещений, получаем
И PZ3 ХхР И
ХГ'ХТ' + 77,...= 0, откуда Х^ — Р.
96 EJX 6EJX 16
Определив опорные реакции в основной системе, нагруженной заданными
силами и найденной реакцией Х[ (рис. 7.93, ж), строим окончательную эпюру
изгибающих моментов (рис. 7.93, з).
* Если отбросить левую опору, то для обеспечения неподвижности балки
в горизонтальном направлении одну из оставшихся опор следует считать шар-
нирно неподвижной.
342
Рис. 7.93
343
Опасное сечение — в месте приложения силы Р. Условие прочности
55
— Р1
max Мх 192
Зшах .ту опт- ~ ’
IFх 2Wх шв
Момент сопротивления одного швеллера № 16а (по таблице ГОСТ
8240—56) 1ГДШВ =103 см\ Допускаемая нагрузка
192 [о] 2 Wх шв -192-160-2-103-IO3
[Р] =-----1 ЛШВ =------------------------= 23,0-103 н = 23 кн.
55/ 55-5000
Читателю рекомендуется решить эту задачу самостоятельно, приняв в ка-
честве основной системы балку с отброшенной правой опорой.
Пример 7.43. Определить из расчета на прочность при [о] = 160 «/лш2 тре-
буемые размеры поперечного сечения заданной балки (рис. 7.94, а).
Решение. Балка один раз статически неопределима. Основная система
с заданной нагрузкой и искомой лишней неизвестной показана на рис. 7.94, б.
Уравнение перемещений
Прикладываем к разгруженной основной системе в точке В силу, равную
единице (рис. 7.94, в), и строим эпюру Mi (рис. 7.94, г). Грузовую эпюру целе-
сообразно для удобства перемножения с эпюрой Mi строить, подходя с двух
сторон к сечению В. Для того чтобы иметь возможность построить эпюру ука-
занным образом, определяем реакции от заданных сил (рис. 7.94, 5). Расслоен-
ная эпюра Мр показана на рис. 7.94, е. Определяем прогиб от- заданных сил:
103 Г/ 1 \ 4
Л1Р= р7~ (v4‘760) (4-455)2 —
jC J v । \ m / O
5960-1О3
где Е В Н/Л/2; Jx в МР, &1р в м.
Определяем единичное перемещение:
1 / 1 \
Вц = -4-4)
EJ х к 2 /
64
•4=-----
3EJ
здесь в м/н.
Из уравнения перемещений находим
64 5960-103
Х^—————~---------= 0, откуда Х^ЭЗД-Ю3 н = 93,1л:н.
м С/ J % о С/ J %
На рис. 7.94, ж показана основная система, нагруженная заданными сила-
ми и найденной реакцией опоры В, а на рис. 7.94, з, и даны эпюры Qy. и Мх.
Опасное сечение — в заделке. Определяем требуемый момент сопротив-
ления
max Л4
82,6-106
—--------= 516-103 лМ
160
По таблице ГОСТ 8239—56 принимаем двутавр № 30а, имеющий Wх =
= 518 см\
Пример 7.44. Определить из расчетов на прочность и жесткость требуемый
диаметр поперечного сечения балки, изображенной на рис. 7.95, а\ [о] =
= 100 н/мм2-, [Л=0,001 I.
344
Решение. Балка дважды статически неопределима: одна из заделок (на-
пример, левая) —трехсвязная опора, вторую всегда устраивают таким образом,
чтобы она не препятствовала горизонтальному перемещению закрепленного
конца балки, а следовательно, ни при какой нагрузке не давала бы горизон-
Рис. 7.94
тальной составляющей реакции, т. е. давала бы только две связи. Делается это
во избежание возникновения сжимающих или растягивающих усилий при из-
менении температуры балки.
Основную систему выбираем, как показано (с нагрузкой и лишними не-
известными) на рис. 7.95, б, т. е. заменяем заделки шарнирными опорами и
реактивными моментами. .Из соображений симметрии совершенно очевидно, что
эти моменты одинаковы. Таким образом, хотя задача дважды статически не-
определима, для ее решения достаточно составить одно уравнение перемеще-
345
ний, выражающее равенство нулю взаимного угла поворота левого и пра-
вого „опорных сечений:
+ Д1Р= О*
На рис. 7.95, в показано нагружение балки на левой и правой опорах мо-
ментами, равными единице, а на рис. 7.95, г дана эпюра Alj.
Рис. 7.95
Рассматривая балку, нагруженную только заданными силами (рис. 7.95, д),
определяем взаимный угол поворота сечений А и В в основной системе (грузо-
вая эпюра моментов дана на рис. 7.95, е): •
1/1 \ 4Ря2
Д1г=—-------|2- — Ра-а+Ра-За -1— —----------
1Р 2 / EJ х
Не останавливаемся на доказательстве того, что при приложении одновре-
менно двух единичных моментов перемножение соответствующей единичной
и грузовой эпюр изгибающих моментов действительно дает взаимный угол
поворота сечений, оде приложены единичные моменты.
Определяем взаимный угол поворота сечений Д и В основной системы от
приложенных в этих сечениях единичных моментов:
1 , ,
8П =-----(5л-1). 1 =----.
EJX Е]х
Подставляя значения Л1р и бц в уравнение перемещений, получаем
346
откуда
5а 4РО2
1 EJX EJX
4
Хг = —Р'а.
1 5
На рис. 7.95, ж изображена основная система с заданной нагрузкой и най-
денными опорными моментами, а на рис. 7.95, з— окончательная эпюра изги-
бающих моментов.
Определяем диаметр сечения балки из расчета на прочность:
max MY
Wx =-----> --------
32 [а]
откуда
3 /32 тахУИх __ j / 32 5
У л М У Л jo]
3 Г 32-4-5-1Q3-400
у 3,14-5-100
мм.
Выражение для максимального прогиба, который, очевидно, получается
посередине пролета, составим, применяя принцип независимости действия сил
и используя данные табл. 7.2,
/=/р-2/Хх,
Ра
где f = • (3Z2 — 4я2) — прогиб от сил Р,
и 2AEJ х
fx ~ \ — прогиб от одного из опорных моментов.
1 ibEJy
Знак минус перед вторым слагаемым поставлен потому, что на-
правление fXi противоположно f \
4
— Ра (5й)2
Ра 5 11 Ра?
f =-------[3 (5а)2 — 4я2 - 2------------=----------
J 24EJX V ’ J 16£JX 24 EJ x
Условие жесткости
11 Pa? r , 5a
f ------------< [/] =------>
J 24 EJX UJ 1000
откуда
н Aj2.iooo 11-5-103-4002.1000 „
---->---------------=---------------------= об, 7-104 мм\
64 24 5E 24-5-2,0-105
Требуемый диаметр сечения d >
64-36,7-IO4
3,14 52,3
м м.
Окончательно принимаем значение диаметра, полученное из расчета на
прочность, или с небольшим округлением d=55 мм.
347
Пример 7.45. Построить эпюру изгибающих моментов для балки, жестко
защемленной одним концом, а на другом — поддерживаемой шарнирно при-
крепленной к ней тягой (рис. 7.96, а). Принять следующее соотношение^между
площадью сечения тяги (F) и моментом инерции сечения (JF = —~ •
Материалы балки и тяги одина-
ковы.
Решение. Задача один раз
статически неопределима. Отбра-
сываем тягу и заменяем ее дей-
ствие на балку не известной пока
силой X, численно равной усилию,
растягивающему тягу (рис.
7.96,6). В отличие от ранее рас-
смотренных примеров, здесь от-
брошенная связь не абсолютно
жесткая, а упругая, поэтому пе-
ремещение сечения В по ее на-
правлению равно не нулю, а аб-
солютному удлинению этой свя-
зи (тяги). Таким образом, раз-
ность абсолютных величин верти-
кальных перемещений сечения В
от сил Р и X равна удлинению
тяги от силы X. Выражая эту
мысль в виде уравнения переме-
щений, будем иметь
. 4вр-4вх=4/’или
XI
Л — Д = --------
BP ВХ £/?
Перемещение определя-
ем методом Мора с применени-
ем правила Верещагина (рис.
7.96, в, а):
tollr 1
_ д = —— =--------х
вр EJX EJ х
1 \ 5 5Ра3
—Ра а — а —---
2 / 3 С
5Ра3
&EJX ‘
Перемещение от силы X най-
дем по данным табл. 7.2 (2-я стро-
ка таблицы):
__ X (2д)3 8ХдЗ
~ 3EJX ~ 3EJX '
уравнение перемещений, получаем
5РдЗ 8ХдЗ XI
6EJX ~ 3EJX ~ ЕЕ
107х . ,
Учитывая, что I = За и F =--------, и решая это уравнение, получаем
а2
348
Х =-----Р = 0,281л
• 89
На рис. 7.96, д показана основная система, нагруженная заданной и най-
денной силами, и построена эпюра • Там же показана примерная форма
изогнутой- оси балки.
Отметим, что при замене тяги абсолютно жесткой опорой ее реакция
С =
возникающее в ней усилие также будет уменьшаться. 'В этом проявляется
общее свойство статически неопределимых систем: чем меньше жесткость эле-
мента системы, тем меньшее усилие в нем возникает.
ГЛАВА VIII
КОСОЙ ИЗГИБ. РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) С ИЗГИБОМ
§ 8.1.. КОСОЙ ИЗГИБ
Изгиб называют косым; если плоскость действия изгибающе-
го момента, возникающего в поперечном сечении бруса, не сов-
падает ни с одной из его главных плоскостей.
Различают плоский косой изгиб и пространственный косой
изгиб.
При плоском косом изгибе (см. рис. 7.2) все нагрузки рас-
положены в одной плоскости, т. е. есть общая для всего бруса
силовая плоскость. Следовательно, углы, составляемые силовы-
ми линиями с главными центральными осями, во всех поперечных
сечениях бруса одинаковы. В рассматриваемом случае упругая
линия бруса — плоская кривая, но, как уже говорилось (см.
стр. 2!33), в отличие от прямого изгиба плоскость, в которой она
расположена, не совпадает с силовой плоскостью. Именно эта
особенность характера деформации обусловливает наименование
косой изгиб.
При пространственном косом изгибе нагрузки, вызывающие
изгиб, расположены в разных продольных плоскостях бруса.
Соответственно углы между главными центральными осями по-
перечных сечений и силовыми линиями не постоянны по длине
бруса.
Упругая линия бруса в этом случае’—пространствен-
ная кривая.
Силы, перпендикулярные продольной оси,бруса, но не сов-
падающие по направлению ни с одной из главных центральных
осейг его поперечного сечения, всегда могут быть разложены на
составляющие по этим.осям. Точно так же и моменты, дейст-
вующие в произвольных продольных плоскостях, могут быть раз-
ложены на составляющйе относительно главных центральных
осей. Таким образом, схему нагружения бруса всегда можно
привести к такому виду, как показано на рис. 8.1.
При поперечном косом изгибе (как плоском, так и про-
странственном) в поперечных сечениях бруса возникают четыре
внутренних силовых фактора: поперечные силы Qxh Qy и изги-
бающие моменты Мх и Му. При чистом косом изгибе попе-
350
речные силы отсутствуют. Для расчетов на прочность и жест-
кость практически безразлично, будет ли изгиб чистым или по-
перечным, так как влияние поперечных сил, как правило, не
учитывают.
Эпюры внутренних силовых факторов целесообразно строить,
располагая их в главных плоскостях бруса, т. е. применяя пер-
спективное изображение. Эпюры
Qx и Му следует располагать в
плоскости zOx, т. е. откладывать
их ординаты,, параллельно оси
Ох, а эпюры Qy и Мх— в плоско-
сти zOy, откладывая ординаты
параллельно оси Оу. Пример та-
кого построения эпюр приведен
на рис. 8.2.
При плоском косом изгибе
можно строить результирующие
эпюры Q и М, не раскладывая
предварительно силы по главным
центральным осям.
Рис. 8.2
Рассмотрим вопрос об определении напряжений и перемеще-
ний при косом изгибе. Без ущерба для общности рассуждений
и получаемых результатов ограничимся случаем нагружения бру-
са (простой консоли) одной силой, приложенной в плоскости
его торцового поперечного сечения таким образом, что ее линия
действия составляет угол р с главной центральной осью Оу
(рис. 8.3, а). Разложим эту силу на составляющие Рх и Ру по
главным центральным осям поперечного сечения. Каждая из
этих составляющих вызывает прямой изгиб бруса в одной из
главных плоскостей: сила Ру — в плоскости zOy и сила Рх —
351
в плоскости zOx. Следовательно, косой изгиб можно рассматри-
вать как совокупность двух прямых изгибов во взаимно перпен-
дикулярных плоскостях.
На рис. 8.3, б показаны внутренние силовые факторы, возни-
кающие в поперечном сечении бруса. В рассматриваемом част-
ном случае имеем
QX-=PX =Psinp; Qy=Py=P~ao^
Mx—PyZ==Pzc.os$', My=Pxz=Pzsin$.
г by
Рис. 8.3
В опасной точке (точках) поперечного сечения бруса каса-
тельное напряжение, за очень редким исключением, либо равно
нулю, либо весьма мало по сравнению с нормальным напряже-
нием, поэтому расчет на прочность при косом изгибе будем вести
только по нормальным напряжениям.
Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного
сечения бруса определяется на основе принципа независимости
352
действия сил как алгебраическая сумма нормальных напряже-
ний Омх и каждое из которых обусловлено одним из прямых
изгибов:
а = ажх+(3ж^.
(8.1)
В эту формулу каждое из напряжений должно быть подстав-
лено со своим знаком, определяемым из рассмотрения характера
деформации бруса. Например, для точки К (см. рис. 8.3, б) на-
пряжение омх положительно — напряжение растяжения, так как
сила Ру вызывает изгиб бруса выпуклостью вверх; а напряжение
Ом у отрицательно — напряжение сжатия, так как сила Рх изги-
бает брус выпуклостью вправо (если смотреть от свободного
конца в сторону заделки). Аналогично могут быть определены
знаки напряжений и для любой другой точки поперечного се-
чения.
Определяя напряжения Ом^-и Ому , применяем формулу (7.5)
для нормальных напряжений при прямом изгибе:
Л'Гд- Му
J х J у
(8.2)
Так же, как и в формулу (8.1), каждое из слагаемых должно
быть подставлено в выражение (8.2) со своим знаком. При этом
значения изгибающих моментов Мх и Afy/a также координаты
исследуемой точки, х и у берут по абсолютной величине, а знак
приписывают всему слагаемому в целом, ориентируясь, как было
разъяснено, на характер деформации бруса.
Наглядное представление о распределении напряжений оМх
и вму по поперечному сечению бруса дают соответствующие
эпюры, изображенные на рис. 8.4. Как и в случае прямого из-
гиба, эти эпюры условно совмещены с плоскостью поперечного
сечения. Для построения эпюры суммарных напряжений надо
предварительно найти положение нулевой (нейтральной) линии.
Нулевой, или нейтральной, линией называется геометрическое
место точек поперечного сечения, в которых нормальные напря-
жения равны нулю. Исходя из этого определения и приравнивая
нулю правую часть выражения (8.2), получаем
Му Jх
Мх JУ
или
(8.3)
12-1451
353
Эта формула показывает, что нулевая линия — прямая, про-
ходящая через начало координат и имеющая угловой коэффи-.
циент, определяемый из выражения
' <8-4)
I тХ J у I
В рассматриваемом частном случае, подставляя
7Их=РгсозР и My=Pzs\n$,
получаем
w=itg4“^l=<‘g₽i- (8-5)
Рис. 8.4
Анализируя это выражение, приходим к выводу, что в отли-
чие от прямого изгиба нулевая и силовая линии не будут взаим-
но перпендикулярны (tgcp^—tg |3) *. Лишь в частном случае,
когда Jx — Jy, угол между нулевой и силовой линиями будет
прямым (tg <р = —tg |3), но это значит, что любая центральная
"* Следует учесть, что угол р отсчитывается от оси Оу, а угол ср — <Тг
оси Ох, поэтому взамен известного из аналитической геометрии условия пер-
пендикулярности прямых kik2=—1 или &i=—— здесь было бы tg ф=—tg р.
«2
354
ось сечения—главная ось (см. стр. 214), а значит, вообще из-
гиб будет прямым.
Для сечений типа круга, квадрата и т. п., у которых все цент-
ральные оси главные, косой изгиб невозможен.
Совершенно очевидно, что нулевая линия проходит всегда
через те квадранты сечения, в которых знаки напряжений вмх и
ом у противоположны.
Рис. 8.5
Полезно также иметь в виду, что нулевая и силовая линии
проходят через разные квадранты сечения; так, например, если
силовая линия проходит через 1-й и 3-й квадранты, то ну-
левая — через 2-й и 4-й.
Для построения результирующей эпюры нормальных напря-
жений проводим через центр тяжести сечения под углом <р к
оси Ох нулевую линию и параллельно ей две касательные к се-
чению (см. рис. 8.4). Ось эпюры о проводится перпендикулярно
к нулевой линии.
12*
355
Так как эпюра о линейна, что следует из формулы (8.2) „ то
для ее построения, кроме уже известной нулевой точки, доста-
точно вычислить какую-либо одну ординату, например для точ-
ки А или В. Эта ордината получается путем суммирования зна-
чений омх и для соответствующей точки (суммируемые
ординаты эпюр оМх и оМу отмечены на рис. 8.4).
Большей наглядностью обладают пространственные эпюры
нормальных напряжений (рис. 8.5), но все же обычно строят пл.о-
ские эпюры, так как это требует меньшей затраты времени.
Прогибы при косом изгибе определяют на основе принципа
независимости действия сил путем геометрического суммирова-
ния прогибов, получающихся в направлениях главных осей.
Для бруса, жестко защемленного одним концом и нагружен-
ного силой на свободном конце, используя данные табл. 7.2, по-
лучим следующие выражения для прогибов торцового сечения:
л _РуР __РР COS^
Jy~3EJx~~ 3EJX ’
f —px13 _ 7*?3 sin p
Jx~3EJy~~ 3EJy
Полный прогиб свободного конца
Определим направление полного прогиба:
PZ3cosP
tg^=^=-^-=^ctg₽. (8.6)
A PPsinp Jx
3>EJy
где ф —угол между направлением полного прогиба и осью Ох
(см. рис. 8.4). Сопоставляя формулы (8.5) и (8.6), заключаем,
что при плоском косом изгибе направление полного прогиба
перпендикулярно к "нулевой линии, а значит, действительно не
совпадает с силовой линией.
Угол поворота поперечного сечения бруса приближенно ра-
вен геометрической сумме его углов поворота вокруг осей
Ох и Оу:
Для расчета на прочность надо найти опасное поперечное
сечение и опасную точку в этом сечении. Для бруса постоянного
поперечного сечения при плоском косом изгибе, как правило,
опасно то сечение, в котором изгибающие моменты максимальны.
356
Исключением может быть брус из материала, различно сопротивляющегося
растяжению и сжатию; при некоторых формах поперечного сечения может ока-
заться, что есть два предположительно опасных сечения, для каждого из кото-
рых надо произвести расчет.
При простейших схемах нагружения, например подобных
показанным на рис. 8.3 и 8.5, положение опасного сечения оче-
видно (в заделке) и без построения эпюр изгибающих мо-
ментов.
При пространственном изгибе отыскание опасного сечения
может быть несколько осложнено из-за того, что при некоторых
Рис. 8.6
схемах нагружения изгибающие моменты Мх и Му достигают
своих наибольших значений в разных сечениях. В указанных
случаях приходится выполнять расчет для двух (редко для
большего числа) предположительно опасных сечений (см. при-
мер 8.4).
Можно составить общее выражение для сгщах (наибольшего нормального
напряжения, возникающего в некотором поперечном сечении) и аналитиче-
ски или графо-аналитически исследовать, для какого сечения это выражение
максимально; но, как правило, это весьма трудоемко и менее целесообразно,
чем расчет по нескольким сечениям.
Максимальные напряжения растяжения и сжатия возни-
кают в точках, наиболее удаленных от нулевой линии (см.
рис. 8.4 и 8.5). Для бруса из материала, различно сопротивляю-
357
Рис. 8.7
щегося растяжению , и сжатию, должны быть составлены два
условия прочности (рис. 8.6):
J X . J У
I I I I Му
|тахос|== \-АУа^--У-ха
I J х Jy
Для брусьев из материалов с [сгр] = [сгс] (пластичные материа-
лы) используется лишь то из условий (8.7), которое соответ-
ствует большему по абсолютной величине напряжению.
При [ар] ’<Х W (хрупкие и хрупко-пластичные материалы)
первое из условий (8.7) достаточно, если -шахор |шахос|.
В формулы (8.7) каждое из слагаемых надо подставлять со
своим знаком, устанавливаемым по эпюрам оМх и Ому. В боль-
шинстве случаев для опасной точки
знаки обоих слагаемых одинаковы.
Формулы (8.7) представляют собой
зависимости для проверочного расчета.
При известных размерах поперечного
сечения бруса из них нетрудно опреде-
лить допускаемое значение нагрузки.
Сложнее выполнить проектный расчет»
так как в формулу входят две геоме-
трические характеристики сечения Jx
и Jy. В общем случае приходится зада-
ваться размерами сечения, проверять
их расчетом на прочность, при неудов-
летворительных результатах расчета
корректировать размеры и вновь про-
изводить проверку. Для сечений прос-
той формы, например для прямоуголь-
ника, расчет упрощается, особенно в
случае заданного отношения его сто-
рон (см. пример 8.3).
Если поперечное сечение бруса имеет две оси симметрии и
точки, одновременно максимально удаленные от обеих ука-
занных осей (например, прямоугольник или двутавр), то для-
отыскания опасной точки нет надобности в определении поло-
жения нулевой линии. Действительно, по эпюрам аМх и <7му
(рис. 8.7) совершенно очевидно, что опасными (для бруса из
пластичного материала) будут те из угловых точек сечения, в
которых знаки оМх и оМу совпадают. В случае хрупкого мате- -
риала опасной окажется точка А, в которой возникают растя-
гивающие напряжения. Для рассматриваемых сечений условие
прочности можно представить в более простой и удобной форме.
Учитывая, что
(8.7)
358
— b —JL •
% A 2 ’ ^A 2 ’
J у
О,ЬЬ
0,5h
Гх,
получаем
amax
Mx My
~~WX ^Wy
(8.8)
Конечно, использование этой формулы для сечений, отлич-
ных от указанных, ошибочно, так как она имеет смысл лишь в
случае, если опасная точка максимально удалена одновременно
от обеих главных осей Ох и Оу.
Пример 8.1. Проверить при [о]—160 н[мм2 прочность двутаврового бруса,
изображенного на рис. 8.8. Определить величину и направление полного про-
гиба свободного конца бруса. Выяснить, как изменятся величины наибольших
нормальных напряжений и прогиба, если сила Р будет приложена вертикально.
Решение. Брус работает на плоский косой изгиб. Раскладывая силу Р на
составляющие по главным центральным осям (см. рис. 8.8), приводим косой
изгиб к сочетанию двух прямых изгибов.
Изгибающие моменты в опасном сечении (в заделке):
max Мх = Pyl = (Р cos ₽)/ = (!!• 1Q3 cos 20°) 1200 = 12,4-10^ н-мм\
тюсМу~Рх1 = (Р sin р) I = (11-103 sin 20°) 1200 = 4,51-106 н-мм.
Эпюры нормальных напряжений, возникающих в опасном сечении, пока-
заны на рис. 8.9. Знаки на эпюрах поставлены в соответствии с характером
деформации бруса: сила Pv (вызывающая момент Мх ) изгибает балку выпук-
359
лостью вверх; сила Рх (вызывающая момент Му ) — выпуклостью вправо
(если смотреть от свободного конца).
Очевидно, опасные точки — А и В. Так как материал балки работает на
растяжение и сжатие одинаково, эти точки равноопасны.
По ГОСТ 8239—56 для двутавра № 24а имеем
7^=3800 сл/4; Wx = 317 сжЗ; Jy = 260 см*; 1Гу=41,6 см^.
Наибольшее напряжение (в точке Л)
_ maxMx max _ 12,4-106 4,51-106 _
Wx + Wy ~ 317-103- + 41,6-103 ~
= 39,1 + 108,3^147 н}мм2< [а].
Наибольший прогиб от каждой из сил в отдельности определяем, исполь-
зуя данные табл. 7.2. В вертикальной плоскости (от силы Ру )
РУР 11-103 cos 20°-12003 п
=-------=----------------------= 0,782 мм.
Jv 3EJX 3-2,0-105-3800-104
Jx
--------------;JZ'Z—
Рис. 8.10
В горизонтальной плоскости (от силы Рх)
Рх& 11-103 sin 20°-12003
fy = —-— =--------------------=4,17 м.
Jx 3EJy 3-2,0-105-260-104
Полный прогиб
f = ]//? + f2 = у0,7822 + 4,172 = 4,24 мм.
Угол между направлением полного прогиба и осью у (рис. 8.10)
f 4 17
= = = 5,33; ф = 79°23'.
fy 0,782
Направление полного прогиба значительно отклоняется от линии действия
силы в сторону плоскости наименьшей жесткости.
В случае нагружения балки вертикальной силой
шахМх' Р1 14-103-1200 л1 „ . „
Wx Wx 317 7
Р/з 11-103-12003
-----=-------------------= 0,833 мм.
3EJX 3-2,0-105.3800-104
°тах—
Таким образом, убеждаемся, что отклонение линии действия силы от плос-
кости наибольшей жесткости приводит к резкому возрастанию напряжений и
прогибов. В рассмотренном примере при косом изгибе напряжения -в 3,54 раза,
а прогиб в 5,1 раза больше, чем при прямом изгибе в плоскости наибольшей
жесткости.
Пример 8.2. Определить допускаемую нагрузку для чугунного бруса, изоб-
раженного на рис. 8.11, а. Принять
[ар] = 35 н/мм2; [ас] = 14'0 н1мм2.
360
Решение. Брус работает на плоский косой изгиб. Изгибающие моменты
в опасном сечении (в. заделке) :
тахЛ4х = (Р cos ₽)Z;
max Му = (Р sin Р) I.
Характер эпюр нормальных напряжений, связанных с каждым из изги-
бающих моментов, показан на рис. 8.11, б. Очевидно, что опасная точка нахо-
дится на контуре сечения в первом квадранте, но в отличие от предыдущего
Рис. 8.11
примера на основе эпюр и аМу , точно установить ее положение нельзя.
Для того чтобы ее найти, определим сначала положение нулевой линии. Угло-
вой коэффициент нулевой линии определим по формуле (8.4)
1,1, I Му J х Jх
|4| = |tg?1=|_JL_ =-Vtgp.
где
b 60 2
‘8?'=Т=Ш=Т; ₽=33°40';
361
Лй?4
x == ~64~
317/4
J^~Q4
b№>
12
b*h
12
3,14-1204 60-903 „n ,
—----= 653-104
12
603-90
•-----= 855-Ю4
12
64
3,14-1204
64
Подставляя значения tgj3, Jx и J у в выражение для k, найдем
653 2
= —— = 0,509;. ?^27°.
оо5 3
У
Рис. 8.12
Угол ф надо отложить от оси х так, чтобы нулевая и силовая линии прохо-
дили через разные квадранты сечения. Нулевая линия и эпюра результирую-
щих нормальных напряжений показаны на^рис. 8.11, б.
Наиболее удалены от нулевой линии точки А и В. Из них опаснее точка Д,
так как в ней возникают напряжения-растяжения, a [ор] < [ffc].
362
Условие прочности
maxAfx maxAfy r ,
шахар=ал=------------ у + у ХА < [ар1
J х J У
ИЛИ
PZcosB Pl sin р
’л = —-------уА+ -г- *А < [»р].
J х J У
Значения хА и уА найдем, учитывая, что отрезок ОА перпендикулярен
нулевой линии:
d 120 „ „ „
%А= sin <р = — sin27 =27,3 мм\
d 120
«,= — cos ф = — cos27 =53,4 мм.
2 2
Подставляя числовые значения, перепишем условие прочности в виде
+800 cos 33 40 +800-sin33°40 „
----------------53,4+ :------------27,3 < 35,
А 653-104 ’ 855-104
откуда
и =
35
cos 33°40'
653-104
•53,4 +
sin 33°40'
855-104
= 5100 н.
• 27,3
Пример 8.3. Определить размеры поперечного сечения стального бруса
(рис. 8.12, а), если допускаемое напряжение [о] = 160 н/мм2 и отношение сто-
рон сечения h : 6 = 2.
Решение. Строим эпюры изгибающих момен-
тов отдельно от вертикальной нагрузки (эпюра
Мх} и от горизонтальной силы (эпюра Му).
Расчетная схема бруса и эпюры Мх и Му
показаны на рис. 8.12, б, в. Ординаты эпюры Мх
откладываем параллельно оси Оу в сторону сжа-
тых волокон бруса. На участке / эпюра парабо-
лическая, на участке II— линейная. Ординаты
эпюры Му откладываем параллельно оси Ох
(т. е. располагаем эпюру в плоскости zOx). Си-
ла Р вызывает изгиб бруса выпуклостью вправо
(если смотреть от свободного конца). Ординаты
эпюры Му отложены влево, т. е. в сторону сжа-
тых волокон.
Рис. 8.13
Изгибающие моменты в опасном сечении
шахМх = Ауер = 4-14-103-0,52 = 14,0-Ю3 н-м-,
шахМу = Ра = 6-103-0,5 = 3,0-103 н-м.
На рис. 8.13 показан характер эпюр и <зм . Опасные точки —
Л и С. Условие прочности [формула (8.8)]
max Мх maxAf^
Cmax — wx + W~y
363
Учитывая, что Wx —
btfi
6 ’
Wy — ——
о
, и выражая h через b, получаем
max Мх так Му
Отэх— 2/363 + < [а].
Подставляя значения max Мх, max Му и [а], определяем размер Ь‘.
14,0-106 3,0-106
2/3 + 1/3~~
= 160 63;
принимаем 6 = 58 мм и h = 26=116 мм.
3 Г30,0-106
]/ 160
= 57,3
ММ’,
Рис. 8.14 -
Рекомендуем читателю в порядке упражнения определить величину и
направление прогиба свободного конца бруса.
Пример 8.4. Определить при [о]=160 н/лш2 допускаемую нагрузку задан-
ного бруса рис. 8.14, а.
Решение. Определив опорные реакции (показаны на рис. 8.14, а), строим
эпюры Мх и Му (рис. 8.14, б, в). Опасное сечение — либо С, либо D — какое
из них, по эпюрам изгибающих моментов не видно, так как хотя результи-
рующий момент больше в сечении С, но в сечении D больше момент Му,
связанный с изгибом в плоскости наименьшей жесткости бруса.
Выполним расчет для того и другого предположительно опас-
364
ного сечения. Наибольшие напряжения растяжения (во всех поперечных сече-
ниях) возникают в точке А (см. рис. 8.14, tz); такие же по модулю напряже-
ния сжатия возникают в точке L.
Для сечения С имеем
max <jp =
Wx
Wy
По ГОСТ 8239-56 Wx = 1220 сМ • Wy = 101 сж3; подставив эти вели-
чины и значения изгибающих моментов в условие прочности, получим
25/7Ра 217 Ра . . ,
max ап== — ------+ —‘< [°] — 160,
р ' 1220-103 101-103
откуда
160
[РГ
Юз -----------
7-1220-103
Аналогично для сечения D
maxa₽= w7
2
7-101-103.
= 278-102 н.
ур
Wy
или
откуда
10/7 Az
maxap- 1220>103
5/7 Az
101-103
___160______________
, . 10 5
103 ------------+-----------
\ 7-1220-103 7-101-103
Следовательно, опасным оказалось сечение D; окончательно принимаем
меньшее из двух найденных значений:
[Р] = [Р]" = 19,4 кн. • .
[Р]-
= 194-102 н.
§ 8.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ИЗГИБ БРУСА КРУГЛОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Определение напряжений (расчет на прочность) при про-
странственном изгибе бруса круглого (сплошного или кольцево-
го) поперечного сечения имеет некоторые особенности. Конечно,
и в этом случае применимы общие формулы (8.1) — (8.4), (8.7)
[неприменима формула (8.8)], но целесообразнее вести расчет, не
используя эти формулы.
Пусть брус круглого поперечного сечения нагружен, как по-
казано на рис. 8.15, а; соответствующие эпюры Мх и Му даны на
рис. 8.15, б, в (пояснения к рис. 8.15, в даны ниже).
Рассмотрим вопрос об определении напряжений в произволь-
ном поперечном сечении бруса, например в сечении I—I. Как
известно, составляющая главного момента системы сил по
некоторой оси представляет собой вектор, направленный вдоль
365
этой оси. Воспользуемся этим векторным изображением для из-
гибающих моментов. В рассматриваемом сечении отложим в
выбранном масштабе вектор момента Мх вдоль оси Ох, а вектор
момента Му— вдоль оси Оу (рис. 8.16). Значения моментов бе-
рем по эпюрам Мх и Му, соответствующие ординаты отмечены
на
этих
эпюрах (см.' рис. 8.15), но для общности рассуждений
и упрощения обозначе-
ний индексы 1—1 опус-’
каем. Условимся на-
правлять , эти векторы
вдоль соответствующих
осей таким образом,
чтобы для наблюдате-
ля, смотрящего с кон-
ца вектора, момент
представлялся стремя-
щимся повернуть сече-
ние вокруг данной оси
по ходу часовой стрел-
ки.
Складывая геоме-
трически векторы ,МХ
и Му, получаем вектор
результирующего изги-
бающего момента:
* = (8-9)
Вновь обращаясь к
курсу , теоретической
механики, вспомним,
что - вектор момен-
та перпендикулярен к
плоскости действия со-
ответствующей пары
сил; следовательно, си-
ловая линия (след пло-
скости действия нагрузки на плоскости поперечного сечения) пер-
пендикулярна вектору Мг1.
В круглом сечении все центральные оси — главные, поэтому
нормальные напряжения можно определить непосредственно по
результирующему (суммарному) изгибающему моменту (7Ии),
как при обычном прямом изгибе. Нулевая линия при прямом из-
гибе перпендикулярна силовой, т. е. расположена вдоль векто-
ра Л4И. Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 8.16.
Опасны, очевидно, точки А и В пересечения контура сечения с
силовой линией. Для пластичного материала эти точки равно-
366
опасны, для хрупкого — опаснее точка А. Для расчета на проч-
ность служит формула
_ми_Ум$ + му
max
(8.10)
где №и— момент сопротивления при изгибе.
Для круга
. Wи= —^(Ш3;
32
для кругового кольца
^ = ^(1-c4) = 0,ld3(l-^).
В зависимости от постановки задачи (цели расчета) форму-
ла (8.10) может быть использована не только для проверочного
расчета, из нее могут быть так-
же определены значения допу-
скаемой нагрузки или требуе-
мые размеры сечения.
Нахождение опасного сече-
ния в данном случае не пред-
ставляет затруднений — опасно
то сечение, в котором резуль-
тирующий изгибающий момент
имеет наибольшее значение.
В некоторых случаях для отыс-
кания опасного сечения строят
эпюру моментов Ми, определяя
в каждом сечении его значение
по формуле (8.9); при этом
эпюру условно располагают в
плоскости zOy, как показано на
изображения связана с тем, что фактически направление век-
тора Ми в разных поперечных сечениях неодинаково. Заметим,
что эпюра Л1И линейна только на первом участке.
Пример 8.5. Определить при [ff]=120 я/л-ш2 допускаемую нагрузку для
бруса круглого поперечного сечения (d=80 мм), нагруженного, как показано
на рис. 8.14, а.
Решение. Определим результирующие изгибающие моменты в сечениях
С и D, использовав построенные на рис. 8.14, б, в эпюры Мх и Му:
Рис. 8.16
рис. 8.15, в. Условность такого
Ч.Р = М) + 4)=|/ (Т^)2+ (уРа)2=1’6 Ра'
367
Опасное сечение — С. Нетрудно убедиться, что ни в одном из сечений
участка CD (а тем более участков АС и BD) величина результирующего
изгибающего момента не превышает значения Л1ис .
Условие прочности , "
_ тахЛ1и Мис :г , -
°гаах ТГИ л^з <
32
откуда ,
jtrf3
[Мис] ==3,58[Р]а==—[а],
или
ла?з [а] 3,14 803.160 „ • '
1 J 32-3,58а 32-3,58-1000
Интересно отметить, что при Той же схеме нагружения, но иной форме по-
перечного сечения бруса (см. пример 8.4), опасным оказывается другое попе-
речное сечение — не то, где результирующий изгибающий момент максимален.
§ 8.3. ИЗГИБ С РАСТЯЖЕНИЕМ (СЖАТИЕМ) БРУСА v
БОЛЬШОЙ ЖЕСТКОСТИ
Рассмотрим сочетание пространственного изгиба и осе-
вого нагружения (растяжения или сжатия) прямого бруса
(рис. 8.17,а). Если в числе действующих на брус нагрузок есть
силы, направления которых не совпадают ни с одной из главных
центральных осей,, их следует разложить на составляющие по
этим осям, т. е. привести схему нагружения к аналогичной
рис. 8.17, а (см. также стр. 350).
В произвольном поперечном сечении бруса возникает пять
внутренних силовых факторов (рис. 8.17, б): продольная сила2Уг
(N); поперечные силы Qx и Qy; изгибающие моменты Мх
и Му. В частных случаях некоторые из указанных величин могут
быть равны нулю. Например,, если равны нулю поперечная си-
ла Qx и изгибающий момент Му, будет сочетание прямого
изгиба в главной плоскости zOy с -растяжением или сжатием.
В случае равенства, нулю силы Qy и-момента Мх изгиб также бу-
дет прямым (в плоскости zOx). Влияние поперечных сил учи-
тывать не будем.
Для определения положения опасного поперечного сечения
следует построить эпюры Nz, Мх и Му-, при этом может оказать-
ся, что эти внутренние силовые факторы достигают своих наи-
больших значений не в одном и том же сечении. Следовательно,
и расчет на. прочность приходится выполнять для двух, а иногда
и большего числа предположительно опасных сечений..
Линейные перемещения определяют путем геометрического,
суммирования перемещений в трех взаимно перпендикулярных
направлениях — вдоль осей х, у, z.
368 ' .
Применение принципа независимости сил при определении
перемещений (а также внутренних силовых факторов и, следо-
вательно, напряжений) допустимо лишь при условии, что рас-
считываемый брус обладает достаточно большой жесткостью
Для бруса малой жесткости,
например изображенного на
рис. 8.18, было бы ошибоч-
ным определять прогибы
только от нагрузки q, не учи-
тывая влияния сжимающей
силы Р. Точно так же, опре-
деляя изгибающий момент в
каком-либо сечении, напри-
мер в заделке, следует
учесть, что в результате де-
формации бруса сила Р, кро-
ме сжатия, вызывает и из-
гиб— дает в заделке изги-
бающий момент, равный Pf,
который суммируется с мо-
ментом от нагрузки q.
Расчет бруса небольшой
жесткости на совместное
действие изгиба и сжатия,
выполняемый без использо-
вания принципа независи-
мости действия сил, называ-
ют расчетом на продольно-
поперечный изгиб. Этот рас-
чет в настоящем курсе не
Рис. 8.17
рассматривается.
Будем считать, что рассчитываемый брус всегда имеет на-
столько большую жесткость, что можно не учитывать изменений,
Рис. 8.18
происходящих в расположении. сил при его деформации (так
называемый принцип начальных размеров — см. стр. 17), и вести
расчет на основе принципа независимости действия сил.
При нагружении бруса внецентр енн о приложенной си-
лой, параллельной его продольной оси (рис. 8.19, а), также по-
369
лучается сочетание изгиба с растяжением или сжатием (в зави-
симости от направления силы). Применив метод сечений, легко
установить, что в любом «поперечном сечении бруса возникают
три внутренних силовых фактора (рис. 8.19,6):
Мх=Рур\ Му=^Рхр,
где ур-и хр — координаты полюса (точки приложения силы)
в системе главных центральных осей.
Рис. 8.19
Таким образом, в общем случае внецентренного растяжения
(сжатия) получается сочетание чистого косого изгиба с цент-
ральным растяжением или сжатием.
Чистый косой изгиб в свою очередь сводится к двум
чистым прямым изгибам во взаимно перпендикулярных
плоскостях.
Конечно, определение каждого из изгибающих моментов как
произведения силы на соответствующую координату полюса до-
пустимо лишь при условии достаточно большой жесткости бруса,
позволяющей пренебрегать изменениями расстояний от силы до
370
главных осей какого-либо сечения, вызванными деформацией
бруса.
В отличие от схемы нагружения по рис. 8.17, а при внецен-
тренном растяжении (сжатии) значения внутренних силовых
факторов не зависят от положения поперечного сечения по дли-
не бруса. Они одинаковы во всех поперечных сечениях (соб-
ственный вес бруса не учитываем). Это обстоятельство упроща-
ет расчет на прочность, так как вопрос об определении опасного
сечения отпадает — здесь все сечения равноопасны*.
В частных случаях, когда полюс находится на одной из
главных центральных осей сечения' (рис. 8.20, а, б), получается
сочетание чистого прямого изгиба с растяжением или сжатием.
По схеме, данной на рис. 8.20, а,—чистый изгиб относи-
тельно оси х и растяжение, а на рис. 8.20,6 — чистый изгиб от-
носительно оси у и также растяжение.
* Рассматриваются брусья постоянного поперечного сечения, при этом
силы (внецентреннорастягивающие или сжимающие брус) приложены только
в одном сечении.
371
Изгиб бруса будет прямым (независимо от положения
полюса) также в случаях, когда форма поперечного сечения та-
кова, что вое его центральные оси главные (круг, кольцо и т. п.).
Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сече-
нии бруса, нагруженного, как показано на рис. 8.17 или на
рис. 8.19, можно на основе принципа независимости действия сил
рассматривать как результат наложения трех систем напряже-
ний: определяемых его растяжением или сжатием (сгд^), на-
пряжений от прямого изгиба в главной плоскости zOy (вмх ), то
же от прямого изгиба в главной плоскости zOx (вму ).
Эпюры нормальных напряжений Qnz, Oa х, ®му изображены
на рис. 8.21. Напряжения z распределены по сечению равно-
мерно, и соответствующая эпюра может быть расположена про-
извольно, но удобнее, когда ось этой эпюры параллельна одной
из главных центральных осей сечения, как показано на рисунке.
Знаки на эпюрах поставлены в соответствии с направлениями
внутренних силовых факторов, показанных на рис. 8.17, б и
8.19, б.
Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного
сечения определяется как алгебраическая сумма трех
указанных напряжений:
°(8.11)
или на основании формул (2.1) и (7.5)
7V2! I V I У /О 1 Л\
(8.12)
Г J х JУ
Каждое из слагаемых должно быть подставлено в эту фор-
мулу со своим знаком, определяемым по соответствующим эпю-
рам нормальных напряжений, или, что то же самое, — по харак-
теру деформации бруса.
Иногда строят пространственные эпюры нормальных напря-
жений. Такие эпюры для бруса прямоугольного поперечного се-
чения при сжимающей продольной силе даны на рис. 8.22. Ре-
зультирующая эпюра о получена путем суммирования эпюр
одгг, амх и ому. Практически суммирование производится толь-
ко для угловых точек сечения, и концы полученных векторов
суммарных напряжений (о) соединяют прямыми линиями.
Для нахождения опасной точки поперечного сечения в об-
щем случае приходится сначала определить положение нулевой
линии. Приравняв нулю правую часть выражения (8.12), полу-
чим уравнение нулевой линии:
372
373
Разделив это уравнение почленно на величину2^-, приведем
его к виду
F М5
bcNz
F Мх
(8. 13)
Это известное из курса аналитической геометрии уравнение
прямой линии в отрезках, которое сокращенно записывается
в виде
— + ^-=1
ах %
Здесь ах и ау — отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях ко-
ординат (главных центральных осях сечения) и определяемые
из выражений
АД.
F М/
/х Nz
F Мх
(8.14)
Итак, при сочетании изгиба с растяжением (сжатием) нуле-
вая (нейтральная) линия — прямая, не проходящая через нача-
ло координат (центр тяжести сечения). В частных случаях, ког-
да Мх (или Му) равен нулю, т. е. при растяжении (сжатии) и
прямом изгибе, нулевая линия параллельна одной из глав-
ных осей. Например, при ЛД = 0 из (8.14) получаем ау = со , сле-
довательно, нулевая линия параллельна оси Оу.
Отрезки ах, ау надо отложить от начала координат так, что-
бы нулевая линия не проходила через тот квадрант сечения; для
которого знаки <jNz, °мх, <^му совпадают. Для случаев внецент-
ренного растяжения (сжатия) знаки всех этих трех напряжений
одинаковы в том квадранте, где находится полюс, следователь-
но, нулевая линия не может пересекать тот квадрант сечения, в
котором расположен след линии действия силы (полюс).
После определения положения нулевой линии строится ре-
зультирующая (суммарная) эпюра нормальных напряжений
(см. рис. 8.21). Ее построение аналогично изложенному на
стр. 355, 356 для случая косого изгиба.
Для бруса из пластичного материала опасной будет точка,
наиболее удаленная от нейтральной линии (точка А на*- рис.
8.21), и условие прочности:
’,„«Х=;>+7Ч/Л + < Н- ' (8.15)
F Jx
374
Знаки каждого из слагаемых берутся по построенным эпюрам
qnz, ^мх, зму. В большинстве случаев для опасной точки знаки
всех слагаемых совпадают.
Для брусьев из хрупкого или хрупко-пластичного материала
в случаях | max ос ] >max <ур приходится вести расчет для двух
точек (см. также стр. 358). Эпюры напряжений для такого слу-
чая показаны на рис. 8.23; условия прочности:
max ор
|тах ос| = рл| =
рЪ
(8.16)
- Для бруса прямоугольного или двутаврового поперечного
(как и вообще для бруса с сечением, имеющим точки,
сечения
наиболее удаленные одно-
временно от обеих главных
осей) расчет упрощается, так %
как для нахождения опас-
ной точки не нужно опреде-
лять положения нулевой ли-
нии. Действительно, рассма-
тривая эпюры бдгг> ^мх, аму,
показанные на рис. 8.22, без
построения суммарной эпю-
ры о устанавливаем, что
наибольшие напряжения
растяжения и сжатия возни-
кают соответственно в точ-
ках В и А.
Рис. 8.23
Для бруса из материала,
различно сопротивляющего-
ся растяжению и сжатию, условия прочности:
тахар = ав =
Nz Мх
F Wx
[тахас| = рл| =
(8.17)
При растягивающей продольной силе опасна точка, в кото-
рой возникает наибольшее растягивающее напряжение. В фор-
мулах (8.17) слагаемое.—^положительно'и расчет ведется лишь
по первой из этих формул. Для бруса из пластичного материа-
ла всегда используется лишь одно из условий (8.17), а именно
375
то, которое соответствует наибольшему по абсолютной ве-
личине напряжению.
В заключение остановимся на расчете бруса круглого
(сплошного или кольцевого) поперечного сечения.
К нормальным напряжениям от изгиба, определяемым по
суммарному изгибающему моменту (см. стр. 366 и рис. 8.16),
добавляются равномерно распределенные по сечению нормаль-
ные напряжения от растяжения или сжатия. Используя рис. 8.16,
Рис. 8.24
на котором дана эпюра напряжений (одги) от изгиба, дополним
его эпюрой напряжений от растяжения (сжатия). Ось этой
второй эпюры расположим параллельно оси эпюры оми
(рис. 8.24, а). Суммируя значения оМи и <jNz для крайних точек,
получаем общую (результирующую) эпюру нормальных напря-
жений (о), показанную на том же рисунке. Эта эпюра построена
в предположении, что I max оми |>| , при обратном соотно-
шении этих величин эпюра о не пересечет своей оси, т. е. напря-
жения во всех точках сечения будут иметь одинаковые знаки.
Такой случай показан на рис. 8.24, б.
Д^ля бруса из пластичного материала опасной будет та из
376
точек пересечения контура сечения с силовой линией, в которой
знаки Gnz и <зЖи совпадают (точка А на рис. 8.24, а). Условие
прочности
где по-прежнему
(8.18)
Для бруса из хрупкого материала при сжимающей продоль-
ной силе и эпюре о с участками, разных знаков (такой случай
показан на рис. 8.25) следует составить два условия прочности:
тахо —аА=
|тах ac| = |afi| =
(8.19)
В эти формулы должны быть поставлены абсолютные значения
величин Nz и Л1и.
Пример 8.6. Проверить при [сг]=160 н]мм2 прочность стального бруса, на-
груженного, как показано на рис. 8.26, а.
Решение. Сила Pi вызывает растяжение бруса, а сила Р%— прямой попе-
речный изгиб в вертикальной плоскости.
На рис. 8.26, б показана расчетная схема бруса. На том же рисунке пока-
заны эпюры продольных сил (Nz) и изгибающих моментов (Мх). Так как Ng
во всех сечениях одинакова, а изгибающий момент достигает наибольшего зна-
чения в сечении заделки, то, очевидно, оно и будет опасным.
На'рис. 8.27 показаны эпюры нормальных напряжений в. опасном попе-
речном сечении от растяжения (оN ) и от изгиба (стж ). Знаки на эпюре
поставлены в соответствии с характером деформации — сила Рг изгибает брус
выпуклостью вверх.
Напряжения от растяжения
Nz Рг 80-103
с = = = —_. 111 Н ММ\
NZ F F 60-120 1
Наибольшее напряжение от изгиба
max Mr Pd
max =----------— =
6
16-103-0,8-103 _ , o
-------—-------= 88,9 н мм2.
60-12Q2 1
6
Опасные верхние точки поперечного сечения, — здесь наибольшие напря-
жения от изгиба суммируются с напряжениями от растяжения. Определяем на-
пряжения в опасных точках:
Стах = адг + тах ал/ = 11,1 + 88,9 = 100 н]мм2.
Брус работает со значительной недогрузкой — максимальные напряжения ниже-
допускаемых на 37,5%.
Складывая (алгебраически) ординаты эпюр aN и для крайних то-
чек сечения, получаем результирующую эпюру напряжения. Точка пересече-
ния этой эпюры с ее осью определяет положение нулевой линии (к. л.). Заме-
377
Рис. 8.27
тим, что для расчета на прочность ни построение эпюры результирующих на-
пряжений, ни определение положения нулевой линии в этой задаче не нужно.
Пример 8.7. У края растянутой полосы образовалась трещина. Для того
чтобы предотвратить ее дальнейшее распространение, это место высверлили,
как показано на рис. 8.28, а. Определить, насколько повысились наибольшие
растягивающие напряжения в результате этого высверливания,. Выяснить, не
более ли целесообразно высверлить полосу симметрично с двух сторон (вто-
рое сверление показано штриховой линией).
Рис. 8.28
Решение. В неослабленном сечении, например I—I (или, что то же самое,
в любом сечении до высверливания полосы), нормальные напряжения распре-
делены'равномерно— центральное растяжение:
Nz Р 80- 103
От г= — = -— = ——-— = 100 н мм2.
I~I F ЬЪ 80-10 '
Разрез полосы по ослабленному месту (при одностороннем сверлении) по-
казан на рис. 8.28, б. Полюс Р (след линии действия силы на плоскости попе-
речного сечения) расположен па главной оси Оу, но смещен относительно цент-
ра тяжести (точка О) сечения на некоторое расстояние е = ур (расстояние е
называют эксцентриситетом). Здесь получается сочетание растяжения с чистым
прямым изгибом относительно оси Ох. Внутренние силовые факторы в сечении
II—II:
Nz = Р- Мх = Ре.
Эксцентриситет е определяется как разность расстояний от нижнего края
полосы до центров тяжести неослабленного и ослабленного
b (Ь — г) г 10
е = — — — -----= —— = — = 5 мм.
2 2 2 2
На рис. 8.28 б, показаны эпюры ^напряжений ;
зультирующая эпюра):
Nz________Р _ 80-1Q3 _
LX= FНеТТо ~ (Ь - г) 8 ~ (80-10)10 ~ 114,3
Мх Ре 80-103-5
max ЧГ = (7-^8 - й^¥Го = 49’° ^2-
б 6 .
сечении:
^мх и azz—zz(pe-
н!мм2-,
379
Здесь ^летто и (^х) нетто — соответственно площадь и момент сопро»
тивления ослабленного сечения.
Наибольшие суммарные напряжения возникают в точках, лежащих на
стороне А —А сечения:
max Ojj_ц = шах == 114,3 4- 49,0 = 163,3 н/мм-.
Z ' X
Одностороннее высверливание привело к возрастанию напряжений на
При двустороннем высверливании полосы было бы центральное растяже-
ние и
, Nz Р 80-103 л , п
’"-П “ “ (» - 2г) » ~ (80 - 20) 10 - 13313 Н,ЯМ ’
т. е. возрастание напряжений (по сравнению с неослабленной полосой) равня-
лось бы 33,3%. Следовательно, хотя во втором случае уменьшение площади
сечения и значительнее, чем в первом, но благодаря отсутствию изгиба напря-
жения возрастают не так резко, как при одностороннем сверлении.
Пример 8.8. Стальной брус, сваренный из двух швеллеров № 12, жестко
защемлен одним концом и нагружен, как показано на рис. 8.29, а. Определить
допускаемое значение нагрузки, если [о] = 160 н/мм2.
Решение. Равномерно распределенная нагрузка вызывает изгиб бруса в
вертикальной плоскости, сила Р\ — изгиб в горизонтальной плоскости, си-
ла Р%— растяжение. Расчетная схема бруса и эпюры внутренних силовых'фак-
торов (продольной силы Nz и изгибающих моментов Мх и ) даны на
рис. 8.29, б. Эпюры поперечных сил не строим.
380
Продольная сила во всех поперечных сечениях одинакова; изгибающие
моменты имеют наибольшие значения в сечении заделки, следовательно, это
сечение оказывается опасным.
Для определения опасной точки строим эпюры нормальных напряжений
отдельно от растяжения (S>NZ) и изгиба в каждой из главных плоскостей
(аЖх и Так как величины действующих сил пока не известны, эпюры
строим без числовых данных (показываем характер этих эпюр — рис. 8.30).
Знаки на эпюрах о и <5му ставим, ориентируясь на рис. 8.29—нагрузка q
изгибает брус выпуклостью вверх, а сила Pi — выпуклостью влево (если смот-
реть от свободного конца бруса в сторону заделки). Опасная точка—А; в
ней напряжения от изгиба в обеих главных плоскостях максимальны и совпа-
дают по знаку с напряжениями от осевой силы (растяжения).
Условие прочности:
NМ х М у
°тах = °дгг+ max а^+ max 'м= — [а].
Определяем геометрические характеристики сечения:
Jx = 2Д=2-304 = 608 сл/4,
л х
где 7^ = 304 сж4—момент инерции одного швеллера (по ГОСТ8240 — 56);
Л
и =— =60 мм — половина высоты сечения.
^д 2
608-Ю4
-------=10,13-104 мм?-,
60
W
Уа
У^ = 2(/^+ = 2 (31,2 + 1,542-13,3)= 125,4 см\
где J1 =31,2 сл<4 —момент инерции одного швеллера относительно его
вертикальной главной центральной оси;
.^=£=52 мм — ширина полки швеллера;
Jy 125,4-104 <
W/ -------------'-----= 2,41 • 104 мм\
52
А
F = 2fi = 2-13,3 = 26,6 см? = 26,6-102
Подставляя в условия прочности значения внутренних силовых факторов
и геометрических характеристик и учитывая, что I — 800 мм, получаем
8002
8у-8ОО д‘ 2 0,2^-8002
Стах- 26,6-102 + 10,13• 104+ 2,41-104 <
откуда [д'] = 14,7 н[мм = 14,7 кн[м.
Опасная точка найдена без определения положения нулевой линии; все
же рекомендуем учащемуся в порядке упражнения найти ее положение (отрез-
ки ах и ау) и вычислить крайние ординаты суммарной эпюры напряжений
(показана на рис. 8.30).
Пример. 8.9. Короткая стальная стойка, сваренная из двух двутавров
№ 20а, нагружена внецентренно приложенной сжимающей силой, как показано
на рис. 8.31, а. Проверить прочность стойки, если [ст]=160 hJmm2.
Решение. Полюс не лежит ни на одной из главных осей сечения — имеем
сочетание простого сжатия с чистым косым изгибом, который рассматриваем,
как два чистых прямых изгиба.
381
Внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении одинаковы
(собственный вес стойки нб учитываем) и имеют следующие абсолютные зна-
чения:
Nz = р = 200-Юз щ = 200-103-100 = 200-Ю5 н-мм-,
Му= Рх = 200-103-55 = 110.105 н-мм.
* р
Эпюры нормальных напряжений, связанных с каждым из внутренних си-
ловых факторов, показаны на рис. 8.31, б. Очевидно, что опасная точка — Л;
наибольшие по абсолютной величине напряжения.
в этой точке возникают
Условие прочности
| шахас | =
I I . Му
I g I = -4- -4-
1 А1 F Wx Wy
<14
Геометрические характеристики сечения:
F = 277i = 2-28,3 = 56,6 см^-
=21Г1 =2-197 = 394 см^
л X ’
2(148 + 5,52-28,3)
11
= 183 см$.
382
, , 200-103 200-105 П0-105
1 c 56,6-102 394-103 183-103
= 35,3 + 50,8 + 60,1 = 146,2
т. e. меньше [о] на 8,63%.
Пример 8.10. Определить при [ap] = 30 н/жж2 и [ao]=90 hImm1 допускаемую
нагрузку для внецентренно сжатой короткой чугунной стойки (рис. 8.32, а).
Решение. На рис. 8.32, б показан характер эпюр напряжений Qnz,
и для произвольного поперечного сечения. В данном случае сечение не
имеет точек, которые были бы одновременно наиболее удалены от обеих глав-
Рис. 8.32
ных центральных осей, поэтому для нахождения опасной точки надо сначала
определить положение нулевой линии. Отрезки, отсекаемые нулевой линией на
осях координат, найдем по формулам (8.14):
J_y_Nz .
F Му ’ 1 ау ' F М-х'
В рассматриваемом случае NZ = P', Мх = Рур; Му=^Рхр.
Подставляя эти значения в выражения для ах и ауг получаем
где
]у = 855-104 жж4, Jx = 653-104 жж4 (см. пример 8.2);
383
3,14
F= — 1202 — 90.60 = 59,2-102 мм%;
4
xp— 30 мм, yp=45 мм (gm. рис. 8.32).
Или окончательно
855-104
х 59,2-102
_ 653'104
av~ 59,2-102
— = 48,1 мм;
30
—— = 24,5 мм.
45
Проводим нулевую линию и параллельно ей — касательные к сечению
(рис. 8.32, б). Полученные в результате этого построения точки А и В наи-
более удалены от нулевой линии. В точке А возникают наибольшие сжимаю-
щие, а в точке В — наибольшие растягивающие напряжения. Характер резуль-
тирующей эпюры нормальных напряжений показан ия рис. 8.32, б. Хотя
|ад| > ZB ’ н°» учитывая, что чугун значительно хуже работает на растяже-
ние, чем на сжатие, придется выполнить расчет на прочность для обеих точек.
Расчет по наибольшим напряжениям сжатия:
[ шахас | = | | =
Мх Му
J Уа~ Ju ХА
J X J У
Для определения координат хА, уА найдем угол наклона нулевой
линии к оси Ох:
ау 24,5
‘g'f = ^ = ^=0.5°Vf«27=;
d 120
хА— — sin<p=-^- sin 27 = 27,3 мм;
d 120
иТ" cos <р= — cos 27° = 53,4-мм.
2 2
Подставляя в условие прочности числовые значения, имеем
Р Р-45 „ Р-30 I
|maxac | = I а I = —-—-——— ——— ---53,4— — _ г—-27,3 < 90 н!мм?,
1 С1 । 41 59,2-102 653-104 855-104 | ’
откуда [Р]'= 142 кн. __
Расчет по наибольшим растягивающим напряжениям:
Мх у
шахаР = —+ — Ув+^*в< [°Р],
1 J х J у
где
xD — 27,3 мм, у =53,4 мм;
в ав
Р Р-45 Р-30
max 0,=^=- + -^^-53,4+ ^^-27,3 < 30 HIMM2.
откуда [Р]"=102 кн.
Опаснее оказалась точка В. Окончательно принимаем [Р]=102 кн.
Пример 8.11. Определить коэффициент запаса прочности для опасной точ-
ки бруса, изображенного на рис. 8.33, а. Предел текучести материала бруса
ат=240 н!мм2.
384
Рие. 8.3cJ
13-1451
385
Решение. Силы, действующие на брус, вызывают пространственный изгиб
и растяжение. На рис. 8.32, б показана расчетная схема бруса и построены
эпюры внутренних силовых факторов Nz, Мх и Му.
Очевидно, опасное поперечное сечение — в заделке, так как моменты
и Mv имеют там наибольшие значения, a Nz во всех сечениях одинакова.
Положение опасной точки может быть найдено, как изложено на стр. 376,
но в этом нет надобности, так как независимо от ее положения соответствую-
щее нормальное напряжение определяется по формуле
°тах +1ГИ’
Подставляя Nz = 6Р = 6-2,5- Ю3 = 15-103 «;
Ми= ‘/^ + ^ = /2,552+0,752=2,66кн-м = 2,66-106 ц-ММ,
получаем
15-103 2,66-106
х 3,14-602 3,14-603 1
4 32
Коэффициент запаса по отношению к пределу текучести
4 ат 240
—------= —— = 1,84.
атах 130,6
ГЛАВА IX
ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
§ 9.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ГИПОТЕЗАХ ПРОЧНОСТИ
В случае одноосного напряженного состояния оценка-
прочности-в данной точке конструкции производится путем не-
посредственного сопоставления возникающего в ней рабочего
напряжения либо с предельным, либо с допускаемым напряже-
нием. Коэффициент запаса прочности равен отношению предель-
ного напряжения к рабочему (расчетному):
апред
П =------
а
Подчеркнем еще раз, что возникновение текучести или признаков хруп-
кого разрушения хотя бы в одной точке конструкции (бруса) рассматривают
как нарушение прочности конструкции в целом. Расчет на прочность, основан-
ный на таком представлении об опасном состоянии конструкции, называют
расчетом по опасной точке или расчетом по допускаемым напряжениям. В со-
временной расчетной практике применяют также другие методы расчета (по'
предельным нагрузкам или несущей способности, по расчетным предельным'
состояниям), основанные на иных представлениях об опасных (предельных)
состояниях конструкции, здесь эти методы не рассматриваются (см. [12, 20, 36,
Предельное напряжение определяют при механических ис-
пытаниях данного, материала на одноосное растяжение и сжа-
тие. Для пластичных материалов в качестве предельного напря-
жения принимают предел текучести сгт (или о0,2 для материалов,
диаграмма растяжения которых не имеет явно выраженной пло-
щадки текучести); для хрупко-пластичных материалов — о0,2р
или Оо,2с — условный предел текучести при растяжении или сжа-
тии; для хрупких материалов — атр или оПч с—предел проч-
ности соответственно при растяжении или сжатии. В случае кру-
чения (при чистом сдвиге) для многих материалов возможно
также непосредственное определение коэффициента запаса
прочности, так как имеются установленные экспериментально
значения Тпред.
Возникает вопрос, как подойти к оценке прочности в общем
случае сложного (объемного или плоского) напряженного со-
стояния.
13*
387
Пусть в исследуемой точке возникает напряженное состоя-
ние, характеризуемое определенными из расчета главными на-
пряжениями с?1 >о2>о3. Как известно из предыдущего (см.
гл. III), три главных напряжения полностью определяют напря-
женное состояние в данной точке тела. Допустим далее, что в
лабораторных условиях для данного материала осуществлено
напряженное состояние, подобное заданному в опасной точке
рассчитываемой детали. Подобными называют, напряженные со-
стояния, для которых отношения главных напряжений одинако-
вы, т. е.
При некотором значении главных напряжений (ощр, О2пр,
озпр) напряженное состояние в некоторой точке (точках) Образ-
ца становится предельным, т. е. либо наступает текучесть, либо
появляются признаки хрупкого разрушения. Величина, показы-
вающая, во сколько раз нужно увеличить возникающие в иссле-
дуемой точке главные напряжения для того, чтобы напряженное
состояние стало предельным, представляет собой коэффициент
запаса прочности
‘ а1пр ст2пр а3пр
в1 а2 а3
Подчеркиваем, что написанное выражение имеет смысл лишь
в случае, если предельное напряженное состояние подобно
заданному.
Практически изложенный подход к расчету на прочность при
сложном напряженном состоянии, возможен лишь в редких слу-
чаях. Действительно, разнообразие напряженных состояний
безгранично, чрезвычайно велика также номенклатура приме-
няемых материалов, и создать каждое из могущих встретиться
на практике напряженных состояний, да к тому же для всех
материалов, в лабораторных условиях невозможно как по тех-
ническим, так и по экономическим причинам. Кроме того, сле-
дует иметь в виду, что до сих пор не разработана методика экс-
периментов и нет соответствующего лабораторного оборудова-
ния для создания некоторых типов напряженного состояния, на-
пример трехосного растяжения.
Следовательно, располагая ограниченными эксперименталь-
ными данными о свойствах определенного материала — значе-
ниями предельных напряжений при одноосном растяжении и
сжатии, — необходимо иметь возможность оценить его проч-
ность в условиях любого сложного напряженного состояния. Это
становится возможным при применении так называемых гипо-
тез прочности (теории предельных напряженных состояний).
Будем называть два напряженных состояния равноопасны-
ми, или эквивалентными, если они переходят в предельные при
388
увеличении соответствующих им главных напряжений в одно и то
же число (п) раз. Это означает, что коэффициенты запаса проч-
ности для эквивалентных напряженных состояний одинаковы.
Остается решить вопрос, что же является .критерием (призна-
ком) равноопасности различных по характеру (неподобных) на^
пряженных состояний. Допустим, что решение этого вопроса су-
ществует (его дают гипотезы прочности). Тогда для расчета на
прочность в случае сложного напряженного состояния следует за-
менить его равноопасным (эквивалентным) ему одноосным рас-
тяжением и сравнить соответствующее напряжение с предельным
(или с допускаемым) для данного материала. Этот подход к
Срабнибаем
Рис. 9.1
оценке прочности при объемном (или плоском) напряженном со-
стоянии иллюстрируется условной схемой, показанной на рис. 9.1.
Напряжение при одноосном растяжении, равноопасном задан-
ному сложному напряженному состоянию, называют эквивалент-
ным напряжением (оЗКв). Из приведенных рассуждений следует,
что эквивалентное напряжение — это лишь некоторая условная
расчетная величина, а не какое-либо реально возникающее на-
пряжение. Величина эквивалентного напряжения зависит не толь-
ко от заданного напряженного состояния (т. е. соответствующих
ему главных напряжений), но и от принятого для расчета призна-
ка равноопасности напряженных состояний.
' Гипотезы, указывающие признаки равноопасности (критерии
эквивалентности) различных напряженных состояний, называют
гипотезами прочности. Другие наименования: теория предельных
напряженных состояний (гипотезы возникновения текучести и ги-
потезы прочности); гипотезы пластичности и хрупкого разруше-
ния; теории прочности.
Как следует из изложенного, применение гипотез прочности
избавляет от необходимости проведения громадного количества
экспериментов. Эти эксперименты были бы неизбежны для уста-
новления предельных напряженных состояний, соответствующих
различным комбинациям возникающих в исследуемой точке де-
тали главных напряжений. Вместе с тем сами гипотезы прочности
389
нуждаются в экспериментальной проверке. Тот или иной крите-
рий эквивалентности может являться основой для практических
расчетов лишь при условии, что для ряда частных случаев он
проверен опытным путем и результаты эксперимента оказались
достаточно близки к результатам теоретического расчета.
Независимо от принятой гипотезы прочности после вычисле-
ния эквивалентного напряжения условие прочности записывает-
ся в виде
или
апред . г .
—>ы,
аэкв
°экв [ср] •
(9.1)
(9.2)
§ 9.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
ПО РАЗЛИЧНЫМ ГИПОТЕЗАМ ПРОЧНОСТИ
Рассмотрим критерии эквивалентности по трем гипотезам
прочности, наиболее широко применяемым в современной рас-
четной практике, и приведем зависимости для вычисления экви-
валентных напряжений.
Гипотеза наибольших касательных напряжений. Согласно
этой гипотезе, два напряженных состояния равноопасны, если
максимальные касательные напряжения для них одинаковы.^
Сформулированное условие, в частности, означает, что макси-
мальные касательные напряжения для заданного напряженно-
го состояния и эквивалентного ему одноосного растяжения оди-
наковы, т. е.
Т ----*г
vmax V3KB’
Для заданного напряженного состояния по формуле (3.1)
__ О! — д3
‘'max g
Для эквивалентного одноосного растяжения на основе фор-
мулы (2.23)
__°экв
L3KB 2
Учитывая, что рассматриваемую гипотезу часто называют
третьей теорией прочности, будем обозначать эквивалентное на-
пряжение сгэш с тем, чтобы по этому обозначению без дополни-
.тельных пояснений было ясно, по какой гипотезе определяется
эквивалентное напряжение. Так называемые первая и вторая
теории прочности в настоящее время почти не применяются;
краткие сведения о них приведены в конце параграфа.
390
Приравнивая ттах и тЭкв, получаем
оэш==’°1 — °з* ' (9-3)
Очевидным недостатком этой гипотезы, обнаруживаемым
даже по виду расчетной формулы, является пренебрежение
влиянием промежуточного главного напряжения о2- Например,
два напряженных состояния, показанных на рис. 9.2, по рас-
сматриваемой гипотезе равноопасны, хотя для первого из них 02
близко к di, а для второго О2=0.
Тщательно поставленные опыты показали, что для пластич-
ных материалов эта гипотеза дает удовлетворительное совпаде-
ние экспериментальных данных с теоретическими. Ошибка от
пренебрежения влиянием 02 не превышает 10—15%.
€>\=Z0h]mm2
6^-20 н]мм2.
Рис. 9.2
Качественным подтверждением рассматриваемой гипотезы
могут'служить опыты, в которых кубики из различных материа-
лов подвергались трехосному равномерному сжатию (так назы-
ваемое гидростатическое сжатие). Даже при чрезвычайно высо-
ких давлениях (величина р достигала в некоторых опытах десят-
ков тысяч атмосфер) не удавалось достичь предельного напря-
женного состояния. Так как при указанном виде нагружения
01 = 02 = 03 =— р и, следовательно, ттах=0, то по гипотезе наи-
’больших касательных напряжений переход в предельное состоя-
ние невозможен.
* Формулируя содержание той или иной гипотезы прочнос-
ти как определенного критерия равноопасности различных на-
пряженных состояний, не указывают, какое именно напряженное
состояние (хрупкое разрушение или возникновение текучести)
будет для данного случая предельным. Такой подход к гипоте-
зам прочности, безусловно, удобный с позиций практических рас-
четов конструкций, имеет тот недостаток, что при нем не выяв-
ляются те физические соображения, которые положены в основу
критериев эквивалентности. Выше уже говорилось о том, что ги-
391
потезы прочности можно рассматривать как теории предельных
напряженных состояний, т. е. гипотезы возникновения текучести
или хрупкого, разрушения; при этом формулировка каждой гипо-
тезы будет содержать критерий (признак) перехода материала
в предельное напряженное состояние, а условие эквивалентности
будет следствием указанного критерия.
Так, гипотеза наибольших касательных напряжений представ-
ляет собой гипотезу возникновения текучести (гипотезу пластич-
ности), согласно которой независимо от вида напряженного
состояния текучесть в данной точке тела возникает при достиже-
нии максимальным касательным напряжением некоторой опре-
деленной величины, постоянной для данного материала. Эта
постоянная для данного материала величина устанавливается
экспериментально из опыта при одноосном растяжении. Макси-
мальное касательное напряжение в растянутом образце при воз-
никновении текучести (обозначим это напряжение тт) связано с
пределом текучести зависимостью [см. формулу (2.23)]
Текучесть в исследуемой точке согласно сформулированной
гипотезе возникнет при условии
т — т
Lmax lt’
HO
и, следовательно, материал перейдет (в данной точке) в пласти-
ческое состояние, когда величины главных напряжений достиг-
нут значений, определяемых равенством
<51 — о3 = от. (9.4)
Отсюда вытекает приведенная ранее формула (9.3) для экви-
валентного напряжения.
Совершенно 'Ъчевидн’о, что, рассматривая гипотезу наиболь-
ших касательных напряжений как гипотезу возникновения теку-
чести, нет надобности указывать, к каким материалам она при-
менима. *
Гипотеза наибольших касательных напряжений сначала была предложена
Кулоном для расчетов на сжатие. Гест в 1900 г. предложил эту гипотезу для
малоуглеродистой стали при всех видах напряженного состояния.
Условие возникновения текучести в виде постоянства максимального каса-
тельного напряжения сформулировано Треска (1868). В дальнейшем это
условие использовано Сен-Венаном и Леви для построения математической тео-
рии пластичности.
392
Гипотеза Мора. Согласно, этой гипотезе, два напряженных
состояния равноопасны, если для соответствующих главных на-
пряжений (о/, оз' и о/', оз") соблюдается соотношение
o' —vo'==o' —vo’
X о X о
Отсюда вытекает следующая формула для эквивалентного
напряжения:
°9iv = °i-w3- (9-5)
Индекс «IV» связан с тем, что иногда эту гипотезу называют
четвертой теорией прочности. Коэффициент v представляет собой
отношение предельных напряжений при одноосных растяжении
и сжатии, т. е. для хрупких материалов
апчр
v=----;
°пч с
для хрупко-пластичных материалов
у=/°-2Р .
а0,2с
Если принять, что коэффициенты запаса прочности по отно-
шению к предельным напряжениям растяжения и сжатия одина-
ковы, то величину v.можно определять из выражения
[°р]
V=-----
l^cl
Для пластичных материалов, очевидно, v=l, и формула (9.5),
оказывается, в этом случае тождественна (9.3), т. е. аэш = оэ1у-
По этой причине гипотезу Мора иногда трактуют, как обобще-
ние гипотезы наибольших касательных напряжений на хрупкие
и хрупко-пластичные материалы.
Гипотеза Мора не учитывает влияния промежуточного глав-
ного напряжения (о2) на величину эквивалентного напряже-
ния— это несомненный ее недостаток. Опыты показывают, что
достаточно точные результаты гипотеза Мора дает лишь для на-
пряженных состояний смешанного типа, т. е. для тех случаев,
когда oi и оз разнозначны (в частных случаях oi или о3 может
быть равно нулю).
При оценке прочности oaiv следует сопоставлять с предель-
ным или допускаемым напряжением для одноосного растяжения.
* Вывод формулы для эквивалентного напряжения по гипо-
тезе Мора и математическая формулировка условия возникнове-
ния предельного напряженного состояния, данные автором этой
гипотезы (1900 г.), базируются на предложенном им графичес-
393
ком методе исследования напряженного состояния (круги
Мора).
Так как этот графический способ здесь не рассматривается,
приведем вывод формулы для эквивалентного напряжения, не
связанный с понятием о кругах Мора.
Допустим, что для ряда напряженных состояний (при этом
во всех случаях oi>0 и оз'<0) экспериментально получены
значения главных напряжений ощр и озпр, соответствующие пере-
ходу материала в предельное состояние. Согласно сказанному
выше, влияние промежуточного главного напряжения на усло-
вия возникновения предельного состояния не учитывается. Это
положение можно рассматривать как исходную предпосылку ги-
потезы Мора. Допустим далее, что по найденным значениям ошр
..и озпр построена диаграмма предельных напряжений в коорди-
натах oi, оз, как это условно показано на рис. 9.3 (верхняя ли-
ния). Точки А и В диаграммы соответствуют предельным одно-
осному растяжению и одноосному сжатию. Для хрупкого
материала ордината точки А равна оПчр, а для хрупко-пластич-
ного материала равна оо,2р. Аналогично абсцисса точки В
равна либо — одчс, либо — 00,2с. Знаки минус поставлены по-
тому, что механические характеристики материала оПчс и 00,2с—
величины существенно положительные; а главному напряже-
нию оз, если это напряжение сжатия, приписывается знак
минус.
Если абсциссу и ординату каждой точки линии предельных
напряжений разделить на величину коэффициента запаса проч-
ности (п), получится линия допускаемых напряженных состоя-
ний. Для различных п такие линии показаны на рис. 9.3. Допус-
тим, что для материала рассчитываемой детали имеются кривые,
подобные изображенным на рис. 9.3, тогда для оценки опасности
исследуемого напряженного состояния достаточно нанести на
диаграмму точку, абсцисса и ордината которой (в принятом
масштабе) равны сй и о3. Если эта точка попадает на линию АВ,
то исследуемое напряженное состояние оказывается пр ед ель-
394
н ы м. Если же точка окажется ниже линии предельных напря-
жений, то напряженное состояние безопасно, а величина
коэффициента запаса приближенно может быть установлена по
нанесенным на .диаграмме линиям допускаемых напряженных
состояний.
Нетрудно понять, что изложенная методика расчета практи-
чески осуществима лишь в исключительных случаях, так как
построение кривых предельных напряженных состояний требует
проведения колоссального количества экспериментов.
На основании имеющихся экспериментальных данных можно
считать, что линия предельных напряжений представляет собой
весьма пологую кривую, которую без большой погрешности мож-
но- заменить прямой, как показано на рис. 9.4. Для построения
этой прямой достаточно знать лишь две найденные эксперимен-
тально механические характеристики материала—предельные
напряжения при одноосных растяжении и сжатии (орпр и оСПр).
Установим, пользуясь схематизированной диаграммой пре-
дельных напряжений, какому условию должны удовлетворять
величины (Утр и озпр для того, чтобы некоторое напряженное со-
стояние'было предельным, т. е. эквивалентным (равноопасным)
одноосному растяжению при напряжении орпр-
Уравнение прямой АВ (уравнение в отрезках)
а3пр | а1пр _|
сс пр арпр
откуда аР пр ____
°1пр °3пр °р пр*
ас пр
Обозначая по-прежнему v=-^-, получаем
ас пр
Olnp-VO3np = Opnp, (9.6)
где -
°р пр °пч р ИЛИ °р пр °0,2р-
395
Таким образом, заданное напряженное состояние будет пре-
дельным, если характеризующие его главные напряжения си и сг3
достигнут предельных значений ощр и озПр, удовлетворяющих ра-
венству (9.6).
Если провести некоторую прямую CD, параллельную АВ
(см. рис. 9.4), то все точки этой прямой будут изображать экви-
валентные друг другу напряженные состояния (не предельные).
Как следует из предыдущего, точки будут лежать на одной пря-
мой, если
o;-va; = a';-va;.
Все указанные напряженные состояния равноопасны, в частно-
сти, одноосному растяжению, «изображаемому» точкой С, орди-
нату которой обозначим cTaiv, т. е.
°3lV = С1 VC3'
Коэффициент запаса для заданного напряженного состояния
..СТрпр-.»
%IV ^1-^3
Гипотеза удельной потенциальной энергии изменения формы.
Согласно этой гипотезе, два напряженных состояния равноопас-
ны, если удельная потенциальная ‘энергия изменения формы для
них одинакова.
Первоначально была предложена гипотеза полной потенци-
альной энергии деформации, согласно которой два напряженных
состояния равноопасны, если удельная потенциальная энергия
для них одинакова. Эксперименты не подтвердили этой гипоте-
зы. Достаточно обратиться к уже упоминавшимся опытам с ги-
дростатическим сжатием, чтобы убедиться в расхождении теоре-
тических соображений и результатов эксперимента. Действи-
тельно, при гидростатическом сжатии происходит накопление
энергии деформации, а значит, при каком-то ее значении должен
был бы наступить переход материала в предельное состояние,
однако этого_не происходит, как бы велико ни было действующее
давление (возникающие напряжения).
При деформации элемента (бесконечно малой частицы тела)
в общем случае изменяются и его объем и его форма. При гидро-
статическом сжатии, очевидно, изменения формы не происходит.
Это дало основание предположить, что в качестве критерия экви-
валентности надо принимать не всю удельную потенциальную
энергию, а только ту ее часть, которая связана с изменением
формы элемента.
Формулу для определения эквивалентного напряжения по
рассматриваемой гипотезе, которую иногда называют пятой тео-
396
рией прочности *, приводим здесь без вывода (он дан несколько
ниже):
°av=j/ (9-7)
Эта гипотеза хорошо согласуется с опытными данными для
пластичных материалов. Для них она точнее, чем гипотеза наи-
больших касательных напряжений. Подчеркнем, что согласно
энергетической гипотезе условие эквивалентности определяется
значениями всех трех главных напряжений [см. формулу (9.7)].
Теория полной удельной потенциальной энергии была предложена в 1885 г.
итальянским ученым Бельтрами. Предложение учитывать только ту часть энер-
гии, которая связана с изменением формы, было сделано в 1904 г. Губером.
В 1913 г. Мизес дал математическое условие возникновения текучести
(условие пластичности), соответствующее гипотезе энергии формоизменения,
но никакого физического обоснования или истолкования предложенной им
формулы Мизес не дал. Физическая интерпретация условия пластичности Мизе-
са, связанная с понятием энергии формоизменения, дана Генки в 1924 г. По-
этому рассмотренную гипотезу прочности некоторые авторы называют теорией
Мизеса — Генки, другие — называют теорией Губера — Мизеса и Генки.
В специальной литературе значительным распространением пользуется'фи-
зическая интерпретация условия Мизеса, основанная на понятии октаэдриче-
ского касательного напряжения (октаэдрическими называют площадки, равно-
наклоненные к главным).
Другие предложения, приводящие в конечном счете к формуле (9.7), были
сделаны советскими учеными В. В. Новожиловым, С. Д. Пономаревым,
В. М. Макушиным.
•л* .Гипотеза удельной потенциальной энергии формоизмене-
ния — это гипотеза возникновения текучести (гипотеза пластич-
ности), согласно которой независимо от вида напряженного со-
стояния текучесть в данной точке тела возникает при условии,
что удельная потенциальная энергия формоизменения для этой
точки достигает некоторого постоянного для данного материала
значения.
Аналитическое выражение условия возникновения текучести
можно вывести весьма просто (хотя и не вполне строго), исполь-
зовав известное положение, что для материала, у которого ко-
эффициент Пуассона у = 0'5, при любом напряженном состоянии
объемная деформация равна нулю (см. стр. 134).
Предварительно выведем формулу для оЭкв по гипотезе
Бельтрами.
Полная удельная энергия деформации при любом напряжен-
ном состоянии [формула (3.16)]
* В некоторых учебных пособиях (см. например, [6, 12, 23]) она назы-
вается четвертой теорией прочности.
397
' Заданное напряженное состояние будет предельным при
условии
&пред’ (0
где постоянная для данного материала величина ипред опреде-
ляется опытным путем при одноосном растяжении образца из
данного материала [см. формулу (2.20)]:
а2
' = . (в)
Приравняв на основании условия (б) правые части выраже-
ний (а) и (в), получим (для упрощения записи дополнительный
индекс «пр» при Qi, ог2,огз оцускаем)
°? + °2 + i - (°1°2 + °2°з + °3°1) = °пред
ИЛИ
°э пр = ]/' ~ (°1°2 + °2°3+ °3°1) = °пред- , (Г)
Положим и=0,5, т. е. считая, что при деформации объем не
изменяется и, как следствие, вся энергия связана с изменением
формы, из выражения (г) получим условие возникновения теку-
чести (при этом принимаем оПред = от):
°э пр = X °? + °3 - °1°2 - °2°3 - °3°1 = °Т- (Д)
В результате несложных алгебраических преобразований под-
коренного выражения получается
°э пр = jZ Y К0* ~ + (°2 “ °з)2 + (°3 “ = °т’
Отсюда условие прочности (обозначения главных напряже-
ний для предельного и допускаемого напряженных состояний не
разграничиваем)
Кратко остановимся на двух гипотезах хрупкого разрушения, имеющих
в современной расчетной практике весьма ограниченное применение.
Гипотеза наибольших нормальных напряжений (I теория прочности). Со-
гласно этой гипотезе, два напряженных состояния равноопасны, если наиболь-
шие по абсолютной величине главные напряжения для них одинаковы.
В Зависимости от соотношения величин щ й Оз могут представиться три
случая:
a) Oi>0 и Qi > |^з I. Расчет ведется по наибольшим напряжениям растя-
жения, т. е. по Qi,
аэ1 = СТ1 < [ар];
398
6) (7i<0. Расчет ведется по наибольшему напряжению сжатия
<*Э1 = I аз I < [ad;
в) cq >0; а3 < 0, при этом <*i < I аз I- /
В этом случае должны быть составлены два расчетных уравнения по наи-
большим растягивающим и по наибольшим "сжимающим напряжениям:
%i = °i < Ы;
= 1 аз I < KL
Эта гипотеза дает удовлетворительное совпадение е экспериментальными
данными для весьма хрупких материалов и то лишь для некоторых, весьма
немногих типов напряженного состояния.
Результаты упоминавшихся выше опытов, в которых трехосному равно-
мерному сжатию подвергались кубики из различных материалов, противоречат
этой гипотезе. Разрушение кубиков не наблйэдалось даже при чрезвычайно
высоких давлениях (р), а по гипотезе наибольших нормальных напряжений оно
должно было бы наступить, когда давление р достигнет величины, равной пре-
делу прочности при одноосном сжатии данного материала.
Гипотеза наибольших линейных деформаций (II теория прочности). Со-
гласно этой гипотезе, два напряженных состояния равноопасны., если наиболь-
шие положительные линейные деформации для них одинаковы.
По обобщенному закону Гука, наибольшая (с учетом знака) линейная де-
формация определяется из выражения
е1=4г [°1 — ^(а2 + аз)]-
с.
При одноосном растяжении, эквивалентном заданному напряженному со-
стоянию, имеем
_ стэкв
Еэкв — „
Е
Приравнивая ei и еЭкв, получаем следующую формулу для эквивалентного
напряжения по рассматриваемой гипотезе:
аэ11 = а1 — Р-(а2 + аз)-
Эта'гипотеза дает удовлетворительное совпадение с экспериментальными
данными для хрупких материалов, но лишь для некоторых типов напряженных
состояний, например для упрощенного плоского (см. § 9.3).
§ 9.3. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРОЩЕННОГО ПЛОСКОГО
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
.При расчете бруса в случаях, требующих применения гипотез
прочности, т. е. в тех случаях, когда в опасной точке напряжен-
ное состояние не одноосное, оказывается удобным опреде-
лять Оэкв не через главные напряжения, а через напряжения,
возникающие в поперечном сечении бруса. Для того чтобы
иметь такую возможность, последуем напряженное состояние в
точках бруса в общем случае его нагружения.
При работе прямого бруса на совместное действие изгиба и
кручения, или кручения и растяжения (сжатия), или изгиба,
кручения и растяжения (сжатия) в большинстве его точек во-
399
Рис. 9.5
400
вникает плоское напряженное состояние. В частности, для бруса
круглого сечения исключение составляют лишь точки, лежащие
на его продольной оси.
Выделим бесконечно малый элемент у контура поперечного
сечения, бруса, работающего на совместное действие кручения и
растяжения (рис. 9.5,а). Отдельно этот элемент показан на
рис. 9.5, б; в силу его бесконечной малости он может быть изоб-
ражен в виде прямоугольного параллелепипеда.
Исходные площадки совпадают с поперечным и продольным
(радиальным) сечениями бруса, а также с площадкой, касатель-
ной к его наружной поверхности. На площадке поперечного се-
/ Nz\
чения возникают нормальное напряжение = — и касатель-
\ 2 F /
/ ^2 \ ТТ
ное напряжение т^=-— . На площадке продольного сечения
\ W р /
возникает только касательное напряжение (из-за отсутствия
взаимного надавливания волокон бруса): TyZ = Tzy.
Площадка, касательная к наружной поверхности, от напря-
жений свободна — нулевая главная площадка.
Равенство нулю одного из главных напряжений (наличие ну-
левой площадки) указывает, что рассматриваемое напряженное
состояние действительно плоское. В общем случае плоского на-
пряженного состояния на обеих ненулевых исходных площадках
возникают и нормальные, и касательные напряжения. Здесь нор-
мальное напряжение по одной из них (продольной) равно нулю,
т. е. имеет место не общий, а частный случай плоского напря-
женного состояния, который принято называть упрощенным
плоским напряженным состоянием.
Если выделить элемент в любой другой точке (не на конту-
ре), изменится лишь величина исходных касательных напряже-
ний. Если брус испытывает, кроме того, изгиб, то изменится
величина.oz; например, для одной из точек пересечения, контура
с силовой линией будем иметь
= + (см. стр. 377).
Таким образом, рассматриваемый случай напряженного со-
стояния оказывается для бруса наиболее общим. Действительно,
чистый сдвиг и одноосное напряженное состояние (простое рас-
тяжение или сжатие) можно рассматривать как частные случаи
этого напряженного состояния; первый из них имеет место, если
в данной точке oz=0, второй — при tz = 0 (здесь и в дальнейшем
для упрощения обозначений второй индекс у т опускаем).
Ограничимся исследованием напряжений для серии площа-
док, перпендикулярных нулевой главной площадке. Одна из та-
ких площадок показана на рис. 9.5, в. На рис. 9.5, г показана эле-
ментарная призма, одной из граней которой является эта
401.
наклонная площадка. Пусть площадь наклонной грани равна dF,
тогда площадь вертикальной грани — dFcosot и горизонталь-
ной— dFsinot. Система элементарных усилий, действующих на
выделенную призму, показана на рис. 9.5, д и в ортогональной
проекции — на рис. 9.5, е.
Для определения напряжений о« и тя на наклонной грани
составим уравнения равновесия действующих на призму сил:
S v=0;
пр
<за dF 4" (rz dF cos a) sin a — (az dF cos a) cos a Д-
(t2 dF sin a) cos a = 0,
откуда
oa = cos2 tz — T2sin2a. .. (9.8)
S / = 0;
np
Ta dF — (rz dF cos a) cos a — (o2 dF cos a) sin a -|~
4-(t2 dF sin a) sina = 0,
откуда
та=-у- <52sin2a4"T2COS2a. (9.9)
Найдем положение площадок, на которых касательные на-
пряжения равны нулю, т. е. — главных площадок.
Приравнивая правую часть выражения (9.9) нулю, получаем
откуда
tg2ao= ——• (9.10)
°г
Здесь oto — угол между осью z и нормалью к искомой глав-
ной площадке.
Как известно из курса тригонометрии, данному значе-
нию тангенса соответствуют два угла, отличающихся на
180° (2oto" = 2oto'+ 180°), следовательно, для угла сс0 имеем из
(9.1'0) два значения, отличающихся на 90°. Таким образом,
среди исследуемой серии площадок есть две взаимно перпенди-
кулярные главные площадки. Третья главная площадка — одна
из исходных (нулевая).
Определим, как расположены площадки, на которых нор-
мальные напряжения достигают экстремальных значений. Для
этого возьмем производную правой части выражения (9.8) и
402
приравняем-полученный результат нулю. Угол, определяющий
положение искомых площадок, обозначим щ:
t/oa d
' — = — (<з2 cos2 a — sin 2a) =? — 2<з cos a sin a —
da da
— 2tz cos 2a;
— <3zsin2a1 —2rzcos2a1 = 0,
откуда
(9.10а)
ao=ai,
на тех
tg2a1=-^.
Сопоставляя формулы (9.10) и (9.10а), убеждаемся, что
т. е. экстремальные нормальные напряжения возникают
площадках, на которых касательные напряжения равны нулю.
Для определения величин главных напряжений надо подста-
вить в (9.8) значения ао (или, что то же самое, ai) из (9.10).
Учитывая, что все тригонометрические функции данного угла
могут быть выражены через одну из них, можем получить зави-
симость, не содержащую этих функций.
Используя известное соотношение
9 1 + cos 2a
cos2 a = —•-----,
2
представим (9.8) в виде
1 + cos 2a . n
—!---------т, sm 2a,
2 z
или
1
2
1 1
Ga=— -4---<5 cos 2a — t, sin 2a.
2*2* z
Принимая a = ao, получаем выражение главных напряжений
°тах = °* +4“°* C0S 2a0 - Sin 2a0. (а)
min 2 А
1
2
По известным формулам тригонометрии,
n , 1
cos 2a0= ± r n =—
/1 + tg2 2a0
Подставляя эти выражения в
1 । 1 Л
атах=-Д-(3г±-Д- z
min A &
Заменив tg2ao по выражению (9.10), после некоторых преоб-
разований получим
а»
<5 == —
max о
min A
• о । tg 2a0
и sin2a0=-4—r Д-—
0 — /l+tg22a0
(а), имеем
1
tg 2ao
z / l + tg2 2a0
(9. Й)
403
Эта формула дает значения двух главных напряжений. Одно
из главных напряжений в рассматриваемом, случае равно нулю.
Очевидно, что оно является промежуточным между определяе-
мыми из (9.11), так как здесь второе слагаемое по абсолютной
величине больше первого, т. е. crmin<0. Значит, равное нулю глав-
ное напряжение должно быть обозначено о^-
Итак, при упрощенном плоском напряженном состоянии име-
ем следующие значения главных напряжений:
о2=0;
<33 = —----— + • I
3 2 2 V 2 z J
(9.12)
Для определения положения площадок, на которых возни-
кают экстремальные касательные напряжения, возьмем первую
производную от (9.9) и приравняем ее нулю:
или
cos 2a2 — 2тг sin 2a2 = О,
откуда
tg2a.2=^-. , (9.13)
— sin 2a 4- Tz cos 2a | = <з2 cos 2a — 2rz sin 2a;
2 & | &> 1л &> 7
Здесь через аг обозначен угол между нормалью к площадке, на
которой касательные напряжения экстремальны, и осью z. Рас-
суждая, как и ранее, заключаем, что таких площадок две и они
взаимно перпендикулярны. Сопоставляя (9.10) и (9.13), полу-
чаем* что углы 2ао и 2аг отличаются на 90° [произведение тан-
генсов этих углов равно (—1)]. Следовательно, углы ао и аг от-
личаются на 45°.
Таким образом, площадки действия экстремальных касатель-
ных напряжений являются диссекторными по отношению к глав-
ным (делят углы между ними пополам).
Для определения величины максимального касательного на-
пряжения следует подставить в (9.9) вместо а значение аг, опре-
деляемое из (9.13). Соответствующие преобразования можно
выполнить в общем виде аналогично тому, как это было сделано
для главных напряжений.
Не приводя этих преобразований, укажем окончательный ре-
зультат:
Tmax=41/’5I+4^ (9.14)
404
Сравнивая (9.12) и (9.14), нетрудно заметить, что (см. так-
же стр. 121).
тш«х=+р- (9.15)
На рис. 9.6 для некоторого упрощенного плоского напряжен-
ного состояния показано взаимное расположение исходных, глав-
ных и площадок действия максимальных касательных напряже-
ний (на этих площадках для упрощения чертежа нормальные
напряжения не показаны). Не следует забывать, что это изо-
бражение условно — фактически все указанные площадки про-
ходят через одну и ту же точку. . '
Эквивалентные напряжения при упрощенном
плоском напряженном состоянии
Подставляя значения главных напряжений по формулам
(9.12) в выражения (9.3), (9.5), (9.7) для эквивалентных напря-
жений, получаем
°.т = № + 4Ъ (9-16)
Оэ1У
(9-17)
(9.18)
В дальнейшем при расчетах бруса будем пользоваться по-
следними формулами, не определяя главных напряжений.
Еще раз указываем, что crz и tz — напряжения на площадке
поперечного сечения бруса, проходящем через исследуемую
(опасную или предположительно опасную) точку.
При применении формулы (9.17) oz должно быть подставле-
но со своим знаком.
Пример 9.1. На гранях элемента, выделенного у исследуемой точки тела,
возникают показанные на рис. 9.7 напряжения. Определить для этой точки
коэффициент запаса по отношению к пределу текучести (ат=280 н/мм2). Рас-
чет выполнить в двух вариантах по III и по V гипотезам прочности.
Решение. Элемент находится в объемном напряженном состоянии, при этом
одна из исходных площадок главная (ох — одно из главных напряжений). Две
других главных площадки принадлежат серии площадок, параллельных оси х.
Напряжения по этим площадкам не зависят от (Ух, и соответствующие два
главных напряжения могут быть найдены по формулам упрощенного плоского
напряженного состояния:
а, 1т /—о----"о 100 1 .----------
<+л = -f- ± — V ° 2 + 4т| = — ± — V1002+ 4-402= 50 ± 64.
= 114 н/мм2', с’л=— 14 н/мм\
405
ft .
Сопоставляя значения всех трех главных напряжений: ах, агд, агл ,
получаем
OJ = 140 Н[ММ2‘, а2 = 114 н/жж2; а3 ==— 14 н/мм2.
Эквивалентное напряжение по гипотезе наибольших касательных напря-
жений
сэШ = °i — °з = 140 — (— 14) = 154 н/мм2.
Коэффициент запаса
ат 280
пт =----= — =1,82.
°эШ 154
Эквивалентное напряжение по гипотезе удельной энергии формоизменения
%V“
2 [(°1 — °г)2+ (°2 — °з)2 + (°3 ~ °1)2] =
== -у [(140 - 114)2+ (114 + 14)2 + (_ 14—140)2] = 143 н/мм2.
Коэффициент запаса
_ стт __280___
-лт— — —1,95.
<+v 143
Полезно иметь в виду, что расчет по III гипотезе прочности дает меньшие
коэффициенты запаса, чем расчет по V гипотезе прочности. При проектном
расчёте соответственно требуемые размеры элемента конструкции получаются
по III гипотезе больше, чем по V.
Пример 9.2. Сравнить опасность двух напряженных состояний
(рис. 9. 8). Механические характеристики материалов имеют
значения: для первого элемента апчр“^0 н/мм2; с^чс=360
второго элемента °пчр~180 н/жж2; о^чс = 420 н/мм2.
Решение. В данном случае механические характеристики
следующие
н!мм2; для
материалов
сравниваемых элементов различны, поэтому сопоставление величин эквива-
лентных напряжений лишено смысла. Сравнивать надо коэффициенты запаса
прочности, конечно, применяя в том и другом случае одну и ту же гипотезу
406
прочности. Так как в том и другом случае материал хрупкий (это следует из
заданных значений механических характеристик), то расчет выполним по гипо-
тезе Мора.
Для первого элемента (точки) главные напряжения имеют, следующие зна-
чения:
Gj = 40 н/мм2; eg = = 20 н]мм2;
Од = а^=— 100 н]ММ2.
Эквивалентное напряжение
д! 120
a9iv = °i— va3 = oi — a3=40~^5 (— 100) = 73,3 н/мм2.
бу=^0н/ммг
Рис. 9.8
Коэффициент запаса прочности
120 . ..
=------= 1,64.
73,3
a
I пч р
лпч I
°э4У
Для второго элемента (точки)
ар = а” = 60 н/мм2; ~ ^z = 4^ Н^ММ2",
□Р = a’J = — 140 н/мм2.
= a
= a
= a
Эквивалентное напряжение
П в?
a"i v = °11 — "ТГ2 °" = 60 — 14°) = 120 н1мм2
°пч с
Коэффициент запаса прочности
а”
„II _ ПЧР
пч~ а11
аэ IV
180
420
^ = 1.5.
120
Таким образом, , следовательно, второе из заданных на-
пряженных состояний опаснее.
407
§ 9.4. РАСЧЕТ БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
НА ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ
Валы различных машин представляют собой в большинстве
случаев прямые брусья круглого сплошного или реже кольцево-
го сечения, работающие на совместное действие изгиба и круче-
ния. При ориентировочном расчете валов, рассмотренном в
V главе, влияние изгиба не учитывалось, но допускаемые напря-
жения на кручение принимались весьма невысокими, что
должно было в известной мере компенсировать ошибку, являю-
щуюся следствием пренебрежения изгибом.
Применение гипотез прочности позволяет рассчитывать валы,
учитывая совместное действие изгиба и кручения.
При расчете валов, а также других элементов конструкций,
испытывающих одновременное действие изгиба и кручения,
влиянием поперечных сил, как правило, пренебрегают, так как
соответствующие им касательные напряжения в опасных точках
бруса невелики по сравнению с касательными напряжениями от
кручения и нормальными напряжениями от изгиба..
На рис. 9.9, а показан вал, на который насажено зубчатое
колесо диаметром Di и шкив ременной передачи диаметром D2.
На зубчатое колесо действуют окружное Р и радиальное Т уси-
лия, на шкив действуют усилия Si и S2 натяжения ветвей ремня.
Для составления. расчетной схемы вала (рис. 9.9, б) все силы
должны быть приведены к его оси. При переносе силы Р к оси
вала добавляется скручивающая пара с моментом т{ = Р~
(рис. 9.9, в); аналогично, при приведении сил Si и S2 получается
скручивающая пара с моментом
^2=5, ^-S2^-=(S1-S2) (рис. 9.9, г).
При равномерном вращении вала (только такой случай и
рассматривается) mi = m2, что следует из основного уравнения
динамики для вращательного движения (стр. 16,2).
Подшипники, на которые опирается вал, рассматриваются
при его расчете как пространственные шарнирные опоры, т. е.
связи, препятствующие линейным перемещениям, но не мешаю-
щие повороту закрепленных сечений вала.
На основе расчетной схемы определяют опорные реакции и
строят эпюры Mz\ Мх и Му, по которым определяют опасное
сечение вала. Как известно из предыдущего (см. стр. 366), рас-
чет на изгиб бруса круглого поперечного сечения ведется по
результирующему изгибающему моменту
408
следовательно, для вала, диаметр которого по всей длине постоя-
нен, опасным будет сечение, в котором одновременно возникают
наибольшие крутящий Mz и изгибающий Ми моменты (несколько
ниже определение опасного сечения будет уточнено). В рассмат-
Рис. 9.9
риваемом случае опасным будет сечение С под серединой шкива.
Проанализируем вопрос об опасных точках поперечного се-
чения. На рис. 9.10, а показаны моменты в сечении, проведенном
бесконечно близко слева от С. Применяя векторное изображе-
ние изгибающих моментов, найдем положение силовой и нуле-
вой линий и построим эпюру нормальных напряжений оМи
409
(рис. 9.10,6). Касательные напряжения от кручения распреде-
лены вдоль любого радиуса по линейному закону и достигают
максимального значения в точках контура сечения. Очевидно,
опасными являются точки пересечения контура с силовой линией,
в которых одновременно и нормальные напряжения от изгиба и
Рис. 9.10
касательные напряжения от кручения имеют наибольшие зна-
чения.
Для пластичного материала точки А и В равноопасны, для
хрупкого или хрупко-пластичного опаснее точка А, в которой от
изгиба возникают нормальные напряжения растяжения.
На рис. 9.10, в показан элемент, выделенный у опасной точки
А, и возникающие на его гранях напряжения
Л1И Mz
<з =шах<з =—2-; т2 = шах тЛ, •
z Mii WK Mz Wp
410
В опасной точке возникает упрощенное плоское напряженное
состояние.
' Валы, как правило, изготовляют из среднеуглеродистой кон-
струкционной или реже легированной стали. Их расчет выпол-
няют на основе III или V гипотез прочности.
Составим расчетную зависимость по III гипотезе прочности.
По формуле (9.16),
°Э1В=']/’СН4'Гг ’ .
подставляя в нее значения oz и tz, получаем
Учитывая, что для круглого (сплошного или кольцевого) се-
чений Wz-P = 2 Wjh, получаем
Внешне эта формула аналогична расчетной зависимости для
определения максимальных нормальных напряжений при изгибе,
поэтому величину, стоящую в числителе, называют эквивалент-
ным-(или приведенным) моментом и'окончательно записывают,
условие прочности в виде:
(9.19)
Таким образом, расчет бруса круглого поперечного сечения
на изгиб с кручением ведется аналогично расчету на изгиб, но
вместо изгибающего .момента в расчетную формулу входит так
называемый эквивалентный момент, величина которого зависит
от изгибающих и крутящего моментов, а также от принятой ги-
потезы прочности. По гипотезе наибольших касательных на-
пряжений
Чш=/= + • (9.20)
Независимо от применяемой гипотезы прочности расчетную
формулу можно привести к виду (9.19).
Если выполнять расчет по V теории прочности, то, восполь-
зовавшись формулой (9.18)
после преобразований, аналогичных рассмотренным, получим
м. v=¥"№* + 0.75Л12=J/ Лj+Л2+0.75Л2. (9.21)
411
' При проектном расчете определяется требуемое значение мо-
мента сопротивления поперечного сечения:
цу -МЭКв
(9.22)
$12/3
Учитывая, что для сплошного круглого сечения Wи==-~-^
«0,W3, получаем следующую формулу для определения требуе-
мого диаметра вала:
j । 32МЭКВ ________-j /~ .Мэкв
^|/ Л [а] У 0,1 [а]
(9.23)
Рис. 9.11
Понятие «эквивалентный момент» не имеет смысла при
изгибе с кручением бруса некруглого поперечного сечения.
Неприменимо оно и в случае, если, помимо изгиба и кручения,
брус круглого сечения испытывает растяжение или сжатие.
Для бруса постоянного диаметра опасная точка находится в
сечении, для которого эквивалентный момент имеет наибольшее
значение. Это сечение также называют опасным. Для отыска-
ния опасного сечения иногда, помимо эпюр Мх, Му, Mz, строят
эпюру Л4И, а затем эпюру Л1ЭКВ. Практически в этом нет необхо-
димости; в случае, если по эпюрам Мх, Му, Mz положение опас-*
412
ного сечения не 'очевидно, проще вычислить Л4ЭКВ для нескольких
сечений, чем строить эпюры Л1и и Л1Экв-
Пример 9.3. Вал зубчатой передачи (редуктора) изготовлен из стали 35
(aT=310 я/лглг2). К левому концу вала (рис. 9.11, а) подводится от электро-
двигателя мощность У=28 кет. Вал вращается со скоростью п=630 об/мин.
Проверить прочность вала в сечении под серединой зубчатого колеса, не учи-
тывая влияния шпоночной канавки. Принять [лт]=4,0. Расчет выполнить по V
гипотезе прочности.
Решение. Момент, передаваемый валом,
28-ЮЗ
m = — =-------= 425 н • м.
66
где
лп 3,14-630
« = — =-------------= 66 рад сек.
30 30 1
Выражая этот момент через окружное усилие
n D
m — P —, найдем
2m
2-425-103
90
— 9470 н = 9,47 кн.
D
Радиальное усилие (по соотношению, указанному на рис. 9.11, а)
Т= 0,364Р = 0,364-9,47=3,44 кн.
Составляем расчетную схему вала (рис. 9.11,6), строим эпюру крутящих
моментов (очевидно, кручение испытывает лишь левая часть вала до середины
зубчатого колеса) и, определив опорные реакции, строим эпюры изгибающих
моментов Мх и Mv .
Эквивалентный момент для сечения под серединой колеса
Л1эу 2 + М* + 0,75М2 = ]/14б2 + 4032 + 0,75-4252 = 565 я-ж.
Эквивалентное напряжение для опасной точки рассчитываемого сечения
Мэу
°aV ~ 0,lrf3
565-103
+^Г = 61’9',/-"А
Коэффициент запаса
ят
ат 310
оэу 61,9
= 5,01 > [/7Т].
Пример 9.4. Определить при [о]=50 н/мм2, пользуясь гипотезой энергии
изменения формы, диаметр вала ременной передачи, изображенного на
рис. 9.12. Натяжения ведомых ветвей ремня на всех шкивах вдвое меньше, чем
ведущих (•$!= 2$2 и т. д.).
Решение. Приводя все действующие на вал силы к его оси, получаем рас-
четную схему, показанную на рис. 9.12, б.
Усилия, вызывающие изгиб вала, равны суммарным натяжениям ветвей
ремня:
Pi = Sj + S2 = 6 + 3 = 9 кн',
/?2 = S;+S;- = 6,96 + 3,48 = 10,44 кн;
7?3 = S" + S2 = 6,6 +3,3 = 9,9 кн.
413
414
Моменты, передаваемые каждым из шкивов (скручивающие моменты),
определяются из выражений
/ ' >\Di .
m1 = (S1-S2J—и т. Д.
Подставляя числовые данные, получаем
т\ = (6 — 3)-Ю3~" = 450 н-М',
т2 = (6,96 — 3,48)-103^^ = 1044 н-м\
= (6,6 — 3,3)-103 ^ = 594 н-м.
Эпюра крутящих моментов показана на рис. 9.12, в. Там же даны эпюры
изгибающих моментов Мх и Му.
Опасное сечение расположено бесконечно близко справа от середины вто-
рого шкива. Вычисляем Л4ЭКВ для опасного сечения:
<V = j/~МХ2С + МУ2С + 0,75 М4 = “
= /14172 + 15662 + 0,75-5942 = 2180 н-м. '
415
Требуемый диаметр вала в опасном сечении
32Мэу _ у 32-2180-103 _
л [а] ~|/ 3,14-50 ~
Пример 9.5. На рис. 9.13, а дан чертеж вала зубчатого редуктора; там же
условно тонкими линиями показаны зубчатые колеса, насаженные на этот вал,
и подшипники, на которые он опирается. Вал передает мощность N—14 кет
при угловой скорости (о = 32 рад/сек. На рис. 9.13, б вал с зубчатыми колесами
показан схематично и даны силы, действующие на зубья колес. Принимая
[а]=45 н/мм2, определить требуемые диаметры dx и d2 вала под серединами
зубчатых колес. Расчет выполнить по гипотезе наибольших касательных напря-
жений.
Решение. Составляем расчетную схему вала, приводя все действующие на
него силы к точкам, лежащим на* оси вала. При переносе еил Р\ и Р2 добав-
ляются пары сил с моментами mKl = 0,5PiDi и. mlt2=0,57>27)2, скручивающими
вал. При переносе силы Л] добавляется пара с моментом mx = 0,54i£>j, вызы-
вающим изгиб в плоскости zOy. Расчетная схема вала изображена н-а
рис. 9.14, а (сила Л] для ясности чертежа несколько смещена от оси вала).
На рис. 9.14, б, в, г даны эпюры крутящих и изгибающих моментов. При за-
данной конструкции (см. рис. 9.13, а) сила Ai передается непосредственно на
правый подшипник, не вызывая растяжения или сжатия вала. Из условия
равновесия вала (его равномерного вращения) следует, что mKl — mK2. При
этом
N 14-103 „
^к1 = «к2 = —= ог> " =437,5 н-м.
<о о2
Применяя формулу (9.20), вычисляем эквивалентные моменты для сече-
ний К и С;
(МэШ) К = УМ2хК + М1к + М1к =У73>52 + 42 22 + 437,52 = 612 н-ж;
(МэШ)с = |/ГЛ42с + (И2с+Л42гС='|/'149,82 + 5522 + 437,52 = 720 н-м.
Применяя формулу (9.23), находим требуемые значения di и d2;
А *У 32 (МэШ)к
d 1 > I / --— --
32-612-1Q3
3,14-45
= 51,8 мм\
32-720- 1Q3
3,14-45
= 54,7 мм.
С некоторым округлением принимаем (А=52 мм и d2=55 мм.
§ 9.5. РАСЧЕТ БРУСА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЕГО НАГРУЖЕНИЯ
В наиболее общем случае нагружения бруса в его попереч-
ных сечениях возникают все шесть внутренних силовых факторов.
В подавляющем большинстве практических расчетов влияние
поперечных сил не учитывают и, следовательно, расчет на проч-
ность ведут по четырем внутренним силовым факторам: Nz', Мх;
Му\ Mz, т. е. на сочетание растяжения (сжатия), пространствен-
ного изгиба и кручения.
416
При рассмотрении расчета бруса круглого поперечного сече-
ния на совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) было
установлено (см. стр. 377), что опасна та из точек пересечения
контура сечения с силовой линией, в которой знаки напряжений
от изгиба и осевого нагружения совпадают. Касательные напря-
жения от кручения максимальны во всех точках контура. Сле-
довательно, указанная точка оказывается опасной и при нали-
чии кручения. В этой точке имеет место упрощенное плоское
напряженное состояние и в зависимости от принятой для расчета
гипотезы прочности эквивалентное напряжение вычисляется по
одной из формул (9.16), (9.17), (9.18). При этом исходные на-
пряжения oz и xz для опасной точки определяются из зависи-
мостей
_____I Л4И . _ _____ Mz
' z F ' 1ГИ ’ z Wp ‘
Для хрупкого материала при применении гипотезы Мора oz
следует подставлять в формулу (9.17) со своим знаком. Заме-
тим также, что в этом случае при сжимающей продольной силе
расчет следует выполнить для обеих точек пересечения контура
с силовой линией.
При работе бруса на совместное действие кручения и растя-
жения или сжатия нормальные напряжения от осевой нагрузки
распределены по поперечному сечению равномерно; касательные
максимальны в точках контура сечения, следовательно, эти точ-
ки и будут опасными. Напряженное состояние — по-прежнему
упрощенное плоское. При вычислении эквивалентного напряже-
ния oz и т2 определяются по формулам
При применении IV гипотезы прочности oz должно быть под-
ставлено в формулу (9.17) со своим знаком.
* *
*
Рассмотрением вопроса о применении гипотез прочности к
расчету бруса в общем случае его нагружения заканчивается изу-
чение расчетов прямого бруса при статическом действии сил.
Целесообразно подвести некоторые итоги и, вспомнив ранее изу-
ченный материал курса, дать общий план решения задачи о рас-
чете на прочность бруса (или простейших систем брусьев).
1. Определение внешних сил, действующих на рассчитывае-
мую систему. Как известно, к числу внешних сил, помимо з а-
данных (активных) сил, относятся реакции связей, наложен-
ных на систему. Следовательно, первый .этап расчета состоит
в определении реакций связей. При этом может оказаться, что
14-1451 ' 417
уравнений статики для определения опорных реакций недоста-
точно, т. е. система статически неопределима, например балка,
имеющая три шарнирных опоры. В указанных случаях определе-
ние опорных реакций требует, раскрытия статической неопреде-
лимости системы.
2. Определение внутренних силовых факторов и построение
их эпюр. Встречаются случаи, когда реакции связей могут быть
найдены из уравнений статики (или на систему вообще не на-
ложено связей), но для определения внутренних силовых факто-
ров уравнений равновесия недостаточно. Соответствующие си-
стемы также статически неопределимы, иногда говорят, что они
внутренне статически неопределимы. Некоторые разновидности
таких систем в курсе встречались (см. примеры 2.218, 5.10). Итак,
может оказаться, что все‘внешние силы заданы, а статическую
неопределимость все же приходится раскрывать.
3. Анализ эпюр внутренних силовых факторов с целью опре-
деления опасного или предположительно опасных поперечных
сечений. Из предыдущего известно, что найти опасное сечение
просто, когда в поперечных сечениях бруса возникает лишь один
внутренний силовой фактор, например N или Л4К; поперечное се-
чение бруса по всей длине постоянно; материал одинаково со-
противляется растяжению и сжатию. Если какое-либо из ука-
занных условий не соблюдается, задача осложняется и обычно
приходится говорить не об опасном, а о предположительно опас-
ных сечениях.
4. Построение эпюр нормальных и касательных напряжений
для предположительно опасных сечений. Зачастую приходится
показывать лишь характер этих.эпюр, так как для нахождения
численных значений напряжений еще нет данных (например,
при проектном расчете). Этот этап расчета связан с нахождени-
ем опасной точки, но во многих случаях в нем нет надобности.
Скажем, раз навсегда известно, что при кручении бруса круглого
поперечного сечения максимальные напряжения возникают в
точках контура сечения и эти точки равноопасны.
5. Анализ эпюр напряжений, возникающих в поперечном се-
чении, для определения опасной точки или предположительно
опасных точек. Например, при одновременном изгибе, кручении
и сжатии бруса из хрупкого материала есть две предположитель-
но опасных точки (см. стр. 377 и 417). Из п. 4 следует, что
нередки случаи, когда рассматриваемый пункт не нужен.
6. Выяснение характера напряженного состояния в предпо-
ложительно опасных точках. Этот анализ позволяет установить,
для каких точек нужно и для каких не нужно применение гипо-
тез прочности при составлении условий прочности.
7. Составление условий прочности для предположительно
опасных точек. На этой стадии расчета проводится сопоставле-
ние величин эквивалентных.напряжений для указанных точек и
418
во многих случаях удается установить, какая именно точка опас-
на. В других случаях это выясняется лишь в процессе использо-
вания условий прочности. Так, при проектном расчете или при
определении допускаемой нагрузки по составленным выраже-
ниям для Оэкв иногда трудно судить, для какой точки цЭкв боль-
ше. Здесь уместно напомнить, что
(а для пластичных материалов и
при одноосном сжатии) огЭкв чис-
ленно равно отличному <от нуля
главному напряжению.
В зависимости от цели расче-
та из условий прочности опреде-
ляют требуемые размеры поле-
речного сечения или величину до-
пускаемой нагрузки, или процент
недогрузки (или перегрузки) кон-
струкции.
Пример 9.6. Проверить прочность
винта домкрата (рис. 9.15) грузоподъем-
ностью 100 кн, учитывая, что в сечениях
нарезанной части винта, помимо про-
дольной силы, возникает крутящий мо-
мент Mz=540 Н'М. Внутренний диаметр
резьбы с?1=48 мм. Расчет выполнить по
III гипотезе прочности. Принять [о] =
=80 н]мм2.
Решение. Нормальные напряжения
в поперечном сечении винта (по абсо-
лютной величине)
при одноосном растяжении
р.
Рис. 9.15
Р
л/
~4~
F
100-103
-------= о5,3 HjMM2.
-7^.482
4
Касательные напряжения в точках контура поперечного сечения
Мг Мг 540-103 п „
т2 = тахч = — = — = 5^—- = 24,9
у ___________________1 ~— • 4об
16 16
Эквивалентное напряжение для опасной точки по гипотезе наибольших
касательных напряжений [формула (9.16)]
= / +4т|= |/55,32 4-24,92 = 74,4 н}мм\ '
что ниже допускаемого на 7%.
Пример 9.7. Проверить прочность бруса кольцевого поперечного сечения,
нагруженного, как указано на рис. 9.16, а. Расчет вести по V гипотезе проч-
ности, принимая [о]=100 н!мм2.
14*
419
. , Решение. На рис. 9.16, б показаны эпюры внутренних силовых факторов
(кроме Qy, влияние которой при расчете не учитывается).
Определяем геометрические характеристики поперечного сечения бруса:
.. , 4 L \ / J 4 L w J
jtrf3
=
\ d /
W р —
3,14-803
16
1
— •41,7-103 = 20,85- IO3 мм3.
= 41,7-103 мм3;
1200н-м
900н-м
Рис. 9.16
Вычисляем исходные напряжения в опасной точке опасного (в заделке)
поперечного сечения:
; , N, 18-Юз
о~ -----= 15,25 н[мм~;
z Nz F 1180 •
„ Мх 1200-103 t п
= шах а.. = — = =57,5 н мм2;
г мх 1ГИ 20,85- Юз
стг= + % = 15,25+ 57,5 = 73,8 н1мм*
Mz 900-Ю3 .
гг = тахЧ = — = -J?yIb5- = 2l,6 к/^2.
Эквивалентное напряжение по V гипотезе прочности
стэу = i/o^ + Зт| = ]/"73,82 + 3-21,62 = 82,8 hJmm2.
Брус недогружен на 17,2%.
420
§ 9.6. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
И СФЕРИЧЕСКИХ РЕЗЕРВУАРОВ
Резервуары для газов и жидкостей-обычно представляют со-_
бой тонкостенные оболочки, срединная поверхность которых (т. е.
поверхность, делящая пополам толщину оболочки) является по-
верхностью вращения. Наиболее распространены резервуары,
состоящие из цилиндрических, сферических и конических обо-
лочек.
Ограничимся рассмотрением расчета на прочность только ци-
линдрических и сферических оболочек при действии постоянного
по всей их внутренней поверхности газового давления. Сведения
о расчетах резервуаров при действии давления жидкости, пере-
менного по высоте резервуара, см., например, [12, 36, 38, 46, 47,
51, 61].
При действии на резервуар наружного давления опреде-
ление напряжений и расчет на прочность выполняется так
же, как и при внутреннем давлении, но, помимо этого расчета,
необходим расчет на устойчивость (см. [11, 38, 51]).
Цилиндрические и сферические резервуары можно рассмат-
ривать как тонкостенные и, следовательно, пользоваться приве-
денными ниже формулами (за исключением расчетов, требующих
повышенной точности) при условии, что pmin : 6 10, где pmin —
минимальный радиус кривизны срединной поверхности, 6 — тол-
щина стенки резервуара.
Определим напряжения, возникающие в продольном (мери-
диональном) и поперечном сечениях цилиндрического резервуа-
ра (рис. 9.17, а), находящегося под действием внутреннего дав-
ления (р) газа.
Двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми
равно а, и продольным сечением, проходящим через ось резер-
вуара, выделим его часть, изображенную отдельно на рис. 9.17, б,
и рассмотрим условие ее равновесия. В меридиональном сечении
возникают только нормальные напряжения (окружные или
кольцевые напряжения), которые в тонкостенном резервуаре
можно считать равномерно распределенными по толщине стенки.
Отсутствие касательных напряжений в рассматриваемом сече-
нии следует из симметрии нагружения резервуара.
На элементарную полоску внутренней поверхности выделен-
ной части резервуара действует внешняя сила dP—p
Проекция этой силы на ось у равна dP cos®=p
Для того чтобы найти проекцию равнодействующей всех сил
давления, надо взять интеграл по всей внутренней поверхности
выделенной части резервуара.
421
Сила, действующая на каждой из площадок продольного се-
чения, равна cfe
Проектируя все силы на ось у, получаем
п PD
00 =---
28
откуда
(9.24)
Рис. 9.17
Рассекаем резервуар плоскостью, перпендикулярной к его
продольной оси, и рассматриваем условие равновесия оставлен-
ной части (рис. 9.18). В поперечном сечении цилиндрического ре-
зервуара возникают только нормальные напряжения от (мери-
диональные напряжения), равномерно распределенные по пло-
щади сечения. Соответствующая сила уравновешивает силу дав-
422
ления газа на днище резервуара. Проектируя все силы на ось г,
получаем
откуда
Рис. 9.18
величинами Ge и от, получаем
Следовательно, окружное напряжение вдвое больше мери-
дионального (о0 = 2ото); поэтому вполне естественно, что разру-
шение цилиндрических ре-
зервуаров (скажем, в ре-
зультате аварийного новы- J
шения давления) имеет ха-
рактер продольной тр’е-
ЩИНЫ. -Ц-
В точках стенки резер- I
вуара возникает плоское '
напряженное состояние— *
двухосное растяжение; при
этом и от— главные на-
пряжения. Учитывая прави-
ло индексов для главных на-
пряжений и соотношение между
<Т 1 === СГ g , G%= Gm, (7з = 'О.
Строго говоря, для точек стенки у внутренней поверхности резервуара
напряженное состояние объемное: третье" главное напряжение не равно нулю,
это напряжение сжатия, численно равное давлению в резервуаре (о3=—Р)-
В тонкостенных резервуарах р значительно меньше (в несколько десятков
раз), чем о0 и (Зт поэтому принимают, что во всех точках <73 = 0, т. е. счи-
тают напряженное состояние стенок резервуара однородным.
Условия прочности по гипотезе наибольших касательных на-
пряжений и по гипотезе Мора совпадают, так как о3 = 0 [см. фор-
мулы (9.3) и (9.5)]:
°эш =c9iv==ai = c6 = ^-<[ap]- (9-26)
По гипотезе энергии формоизменения, подставив в формулу
(9.7) 01 = 08, G2~Gm и Оз = 0, ПОЛУЧИМ
Воспользовавшись формулами (9.24) и (9.25), окончательно
получим следующее условие прочности:
a =У&^~0,433-^-<[а]. (9.27)
av 4& g \ L J V /
423
В тонкостенном сферическом резервуаре (рис. 9.19) для лю-
бой точки стенки все площадки, совпадающие с сечениями, про-
ходящими через центр сферы, главные (случай, когда главных
площадок бесчисленное множество, см: стр. 120). Возникающие
на этих площадках напряжения растяжения равны между со-
бой: с?1==с?2 (см. рис. 9.19).
Рис. 9.19
Величину этих напряжений можно
определить, рассекая резервуар
произвольной меридиональной,
плоскостью и рассматривая-усло-
вие равновесия оставленной полу-
сферической части. Не приводя^
вывода, аналогичного проделан-
ному для цилиндрического резер-
вуара, - дадим окончательный ре-
зультат:
(9.28)
Условия .прочности по III, IV
и V гипотезам прочности в дан-
ном случае (при 01 = 02 и 0з = О)
совпадают:
°эШ —°a!V —°aV •— °1 —
(9.29)
48 L ₽
Пример 9.8. Определить по V гипотезе прочности при [о-] = 100 н/мм2 тре-.
буемую рлщину стенок цилиндрического резервуара и его полусферических
.днищ (см. рис. 9.17,- а), если £>=2,5 м и р=14 бар.
Решение. Условие прочности для цилиндрической части [формула (9.27)1
откуда
pD
0 ,^0,433 — < [а]
ЭУ ’ 8ц
8Ц- > 0,433^ = 0,433
[а]
14-105-10-6.2,5-103
100
= 15,2 мм.
При подстановке в формулу числовых данных величина давления, задан-
ная в барах, переведена . в ньютоны на квадратный миллиметр: 1 бар=
= 105 н/'м?—У№ • 10~6 н/мм2.
Обычно полученную из расчета на прочность толщину стенки увеличи-
вают на 1,54-3 мм с учетом ее возможного ослабления в результате коррозии.
Примем бц=17^л«. -
Для сферической части, применив формулу (9.29), получим
откуда
PD
48сф
рР _
4 [а]
14-1Q5-10-6.2,5-103
4-100
= 8,75 мм.
Принимаем 8сф=11 мм.
ГЛАВА X
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ НАПРЯЖЕНИЯХ,
ПЕРЕМЕННЫХ ВО ВРЕМЕНИ
§ 10.1 ЦИКЛЫ НАПРЯЖЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ОБ УСТАЛОСТИ МЕТАЛЛОВ
В предыдущих разделах курса рассматривались расчеты на
прочность при статическом нагружении элементов конст-
рукций. Как известно, возникающие при этом напряжения чрез-
вычайно медленно возрастают от нуля до своего конечного зна-
чения и в дальнейшем остаются постоянными. В машинострое-
нии весьма часто приходится встречаться с необходимостью
расчета на прочность деталей, в которых при работе возникают
напряжения, периодически изменяющиеся во времени. К таким
деталям, в частности, относятся валы, вращающиеся оси *, што-
ки поршневых машин и т. п. При этом переменность напряжений
может быть как следствием непостоянства действующей на де-
таль нагрузки, так и результатом изменения положения детали
по отношению к постоянной нагрузке. Простейший пример та-
кого рода деталей — вращающаяся ось, нагруженная постоян-
ной силой (рис. 10.1, а).
Нормальное напряжение в произвольной точке А контура не-
которого поперечного сечения такой оси будет изменяться во
времени по синусоидальному закону. Действительно,
Мх Мх d .
= vsin?’
J X J X “
но при равномерном вращении ср = со/,
где со— угловая скорость оси.
Следовательно,
Мх d . ,
о,= — —sinoj/.
А Jx 2
* Осями называют детали машин, служащие для поддержания насажен-
ных на них частей, например ходовых колес. При этом ось может быть либо
неподвижной, либо вращаться вместе с насаженной на нее деталью, как, на-
пример, ось колес железнодорожного вагона.
425
---a——I
T--------
Рис. 10.1
Рис. 10.2
Sinwi
426
График изменения напряжений во времени для рассматривае-
мого случая показан на рис. 10.1, б.
Допустим, что та же ось, помимо силы Р, нагружена также
постоянной растягивающей силой Pi (рис. 10.2, а). В этом слу-
чае нормальное напряжение ib произвольной точке контура по-
перечного сечения определится из выражения
Рг , Мх d . ,
а. = —ь -J—* — sm со/,
А F 1 Jx 2
и график изменения этих напряжений во времени, оставаясь си-
нусоидальным, сместится вверх от оси абсцисс, как показано
на рис. 10.2, б. *
В обоих рассмотренных случаях напряжения изменяются пе-
риодически, т. е. через определенный период времени Т,
пройдя через ряд значений, возвращаются к исходной величине.
Совокупность последовательных значений переменных напря-
жений за один период процесса их изменения называется циклом.
Наибольшее по алгебраической величине напряжение цикла
называется максимальным отах, а наименьшее — мини-
мальным <jmin. Цикл, у которого максимальное и минималь-
ное напряжения равны по абсолютной величине и противопо-
ложны по знаку (о'тах==—сГтш), называется симметричным (см.
рис. 10.1,6). Во всех остальных случаях цикл называется асим-
метричным (см., например, рис. 10.2, б).
Алгебраическая полусумма максимального и минимального
напряжений цикла называется его средним напряжением, или
статической составляющей цикла,
(10.1)
Алгебраическая полуразностъ максимального и минимального
напряжений называется амплитудой цикла, или переменной со-
ставляющей цикла,
__ Gmax — gmln
~ 2
(Ю.2)
Среднее напряжение цикла может 'быть как положительным,
так и отрицательным. Амплитуда цикла — величина существен-
но положительная.
Из формул (10.1), (10.2) следует,' что
amax = am'T‘ аа- (10.3)
Любой асимметричный цикл можно рассматривать как соче-
тание симметричного цикла с-максимальным напряжением, рав-
ным амплитуде <уа заданного цикла, и постоянного напряжения,
равного среднему напряжению от этого цикла. Возможность
такого представления асимметричного цикла особенно очевидна
427
из рассмотрения перехода от случая нагружения по рис. 10.1, а
к представленному на рис. 10.2, а.
Для характеристики степени асимметрии цикла вводится ве-
личина
_ - (10 4)
атах
называемая коэффициентом асимметрии цикла*.
Рис. 10.3
Циклы, имеющие одинаковый коэффициент асимметрии, на-
зывают подобными (рис. 10.3).
Взамен коэффициента иногда пользуются величиной
Ра —
(10.5)
называемой характеристикой цикла? Из приведенных выше определений выте-
кает зависимость между рст и
1 —
P<J 1 +
(10.6) .
Конечно, все сказанное о циклах нормальных напряжений в
полной мере относится и к касательным (переменные касатель-
ные напряжения возникают, в частности, в клапанных пружи-
нах, а также в валах, передающих переменный момент). '
* Обозначение предусмотрено ВОСТ 2860—65, введенным с 1/1—1966,
в большей части учебной и специальной литературы для коэффициента асим-
метрии цикла пока принято обозначение г,
428
В силе остаются все определения' и соотношения (10.1) —
(10.6) с заменой о на т.
В предыдущем изложении предполагалось, что напряжения
изменяются во времени по синусоидальному закону. Как пока-
зывают эксперименты, закон изменения напряжений во времени
практически не оказывает влияния ла прочность детали, суще-
ственны лишь значения сгтах и gmm.
Для общности рассуждений и выводов будем рассматривать
постоянные напряжения как частный случай цикла переменных
б б
Рис. 10.4
напряжений, для которого амплитуда равна нулю и Om = Gmax
(Ra = + 1 ) .
При практических расчетах весьма часто приходится встре-
чаться с симметричным циклом, к нему же относится и большин-
ство экспериментальных данных о прочности металлов при пере-
менных напряжениях. Для симметричного цикла Да =—'1.
Отметим также случай изменения напряжений от нуля до
некоторого конечного значения, соответствующий цикл (рис. 10.4)
называют отнулевым (или пульсирующим). Для отнулевого цик-
ла растяжения (от>0) Да—0 (рис. 10.4, а); а для отнулевого
цикла сжатия (от<0) Да = — со (рис. 10.4, б).
На основе анализа поломок различных деталей машин и мно-
гочисленных экспериментальных исследований установлено, что
при переменных напряжениях разрушение происходит при мак-
симальных по абсолютной величине напряжениях цикла, мень-
ших предела прочности, а во многих случаях — даже меньших
предела текучести данного материала при статическом нагру-
жении. Разрушение, вызванное многократным действием пере-
менных напряжений, принято называть усталостным разрушени-
ем, или усталостью, материала.
429
Термин «усталость» обязан своим происхождением ошибоч-
ным предположениям, распространенным в прошлом столетии, о
природе разрушения, связанного с возникновением переменных
напряжений. Большинство ученых и инженеров прошлого века
предполагали, что под влиянием переменных напряжений прр-
исходит изменение структуры металла: взамен «волокнистого»
строения, при котором материал пластичен, он приобретает кри-
сталлическое строение и становится хрупким. Это предполагае-
мое изменение структуры металла и былоназвано его «уста-
лостью».
На мысль об изменении струк-
туры металла инженеров навело
рассмотрение характера излома
деталей, разрушившихся при дей-
ствии переменных напряжений.
Усталостный излом деталей (не-
смотря на ошибочность термина
«усталость», он общепринят) име-
ет характерные особенности: по-
верхность излома делится на дГВе
резко различные зоны. В одной
зоне металл имеет гладкую по-
верхность, в другой — шерохова-
тую, типичную для хрупкого из-
Рис' 10,5 лома. Наличие этих двух зон объ-
ясняется следующим образом.
В наиболее напряженном месте детали либо .там, где в ее мате-
риале есть внутренние пороки или неблагоприятная ориентиров-
ка кристаллов, при-достаточно высоких переменных напряжениях
возникает микроскопическая трещина. Под влиянием перемен-
ных напряжений эта трещина разрастается, охватывая все боль-
шую часть поверхности будущего излома, края трещины нажи-
мают друг на Друга и' постепенно сглаживаются, как бы
«пришлифовываются». Наконец, наступает такой момент,
когда сечение детали в месте развития трещины оказывается
настолько ослабленным, что 'больше не в состоянии сопротив-
ляться действующим на деталь нагрузкам, и она разрушает-
ся. При этом разрушение детали происходит внезапно при
большой скорости деформации, а в этих условиях даже весьма
пластичные материалы дают характерную картину хрупкого
излома.
Типичный характер усталостного разрушения показан на
рис. 10.5. х
Таким образом, усталостью называют процесс постепенного
накопления повреждений материала при действии повторно-пе-
ременных напряжений, приводящий к образованию трещин и
разрушению.
430
Опытным путем установлено, что для многих материалов и,
в частности, для стали большинства марок существует такое
наибольшее напряжение, при котором материал выдерживает,
не разрушаясь, неограниченное число циклов.
Наибольшее (предельное) максимальное напряжение цикла *,
при действии которого не происходит усталостного разрушения
образца из данного материала после произвольно большого чис-
ла ииклов, называется пределом выносливости.
Предел выносливос-
ти при изгибе обозна-
чают Or, аналогично
при кручении — Тд и
при растяжении (сжа-
тии) — cfRp. Здесь ин-
декс R указывает зна-
чение коэффициента
асимметрии цикла, на-
пример, предел вынос-
ливости при симмет-
ричном цикле изгиба
обозначают с—х, то же
Рис. 10.6
кручения — т-1, то же
растя жен ия-сжатия — O-ip. При отнулевом цикле соответствую-
щие пределы выносливости обозначают Оо; То; Оор.
Определение предела выносливости производится опытным
путем. Нормальные лабораторные образцы имеют в пределах
рабочей части строго цилиндрическую форму. Их диаметр обыч-
но'5—10 мм. Поверхность образцов тщательно полируется.
Наиболее распространены испытания на изгиб при симмет-
ричном цикле изменения напряжений. На рис. 10.6 показана
принципиальная схема одной из наиболее простых машин, слу-
жащих для определения предела выносливости при симметрич-
ном цикле чистого изгиба. Образец / закреплен в захватах шпин-
делей 2 и 3, опирающихся роликами 4 и 5 на станину машины.
Вращение шпинделей осуществляется от электродвигателя 7 че-
рез гибкий валик 6. Нагружение образца производится гирями 8
на подвеске 9, которая траверсой 10 и тягами 11 подвешена к
шпинделям 2 и 3 машины.
Для производства испытаний изготовляют серию (не менее
10) совершенно одинаковых образцов. Первый из них нагружают
таким образом, что возникающее в нем максимальное напряже-
ние заведомо ниже предела прочности, но выше предела вынос-
ливости данного материала. После определенного числа циклов
* Для циклов с отрицательным (сжимающим) средним напряжением
под пределом выносливости следует понимать взятое по абсолютной
величине предельное значение минимального напряжения цикла |amjn|-
431
напряжений, фиксируемого имеющимся на испытательной ма-
шине счетчиком оборотов, образец разрушается. Следующий об-
разец испытывают при несколько меньшем значении максималь-
ного напряжения, и число циклов, которое он выдерживает до
разрушения, оказывается большим, чем в первом случае. Ана-
логично производится испытание остальных образцов. При этом
для стали за предел выносливости принимают то наибольшее
значение максимального напряжения, которое образец выдер-
жал, не разрушившись, 107
Л циклов. Это число циклов
1 принято называть базо-
вым. Опыты показывают,
что стальной образец, не
разрушившийся при базо-
вом числе циклов, выдержи-
«—_____ вает при данном максималь-
ном напряжении сколь угод-
-------гт----но большое" число циклов.
! L По результатам испытаний
1N строится график, по оси абс-
----------у-------—j '*—цисс которого откладывают
jo--------^4 числа циклов, которые вы-
держивали образцы до раз-
ИС- 0,7 ' рушения, и по оси орди-
нат— соответствующие зна-
чения .максимальных напряжений. Такой график (рис. 10.7)
называется кривой усталости, или кривой Вёлера (по имени не-
мецкого ученого, выполнившего первые систематические иссле-
дования усталостной прочности). Эта кривая, как видно из
рис. 10.7, имеет горизонтальный участок. Ордината этого участ-
ка и дает значение предела .выносливости.
Если изготовить из того же материала другую серию образ-
цов и подвергнуть ее испытанию на выносливость при каком-
либо асимметричном цикле (например, отнулевом), то соответ-
ствующая кривая усталости расположится выше полученной при
симметричном цикле (см. рис. 10.7).
Следовательно, для данного материала при данном виде де-
формации (изгибе, кручении и т. п.) минимальным является пре-
дел выносливости при симметричном цикле, т. е. этот цикл наи-
более опасен.
Для многих материалов кривая усталости не имеет горизон-
тального участка, поэтому базовое число циклов для них при:
нимают более высоким. Например, для цветных металлов и их
сплавов, в также для некоторых легированных сталей, подверг-
нутых закалке, Мбаз —100 • 106 циклов.
Для таких материалов, строго говоря, понятие «предел вы-
носливости» неприменимо. В качестве характеристики выносли-
432
вости материала (отнесенной к спадающему участку кривой
усталости) принимают предел ограниченной выносливости —
наибольшее значение максимального (по абсолютной величине)
напряжения цикла, при котором образец еще не разрушается
при определенном (задаваемом) числе циклов.
В некоторых машинах детали за время их службы испыты-
вают число циклов нагружения, меньшее базового. При их рас-
чете исходят также из предела ограниченной выносливости (да-
же если кривая усталости имеет горизонтальный участок),
равного ординате той точке кривой усталости, которая соответ-
ствует рабочему числу циклов.
Большинство деталей машин, рассчитываемых на усталост-
ную прочность, испытывает за срок службы число циклов, боль-
шее базового. Например, для деталей кривошипно-шатунного
механизма тракторного или автомобильного двигателя число
циклов нагружения достигает'5 • 1'08, для осей подвижного со-
става железных дорог — до 2 • 108, в лопатках паровых тур-
бин — до 1011.
Величина предела выносливости существенно зависит от ви-
да деформации образца или детали. В связи с тем, что испыта-
ния на выносливость при растяжении-сжатии, а также при кру-
чении требуют более сложного оборудования, чем в случае
изгиба, проводятся они значительно реже. Поэтому при отсут-
ствии опытных данных соответствующие пределы выносливости
определяют по известному пределу выносливости при симмет-
ричном цикле изгиба на основе следующих эмпирических соот-
ношений:
о_1р~(0,7-ь0,9)о_1; (10.7)
^0,58о_р (10.8)
Обращаем внимание, что между пределами выносливости при
изгибе и кручении зависимость примерно та же. что и между
пределами текучести при кручении и растяжении. В случаях,
когда нет опытных данных о значениях предела выносливости
даже и для симметричного цикла изгиба, приходится вычислять
их по известным величинам пределов прочности по следующим
приближенным эмпирическим соотношениям:
для углеродистой Стали
а-^0,43%,; (10.9)
для легированной стали
a-i 0,35 апч+120 л/л^лг2; (10.10)
для серого чугуна
(10.11)
433
§ 10,2. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ВЕЛИЧИНУ
ПРЕДЕЛА ВЫНОСЛИВОСТИ
Многочисленными опытами установлено, что всякого рода
нарушения правильной цилиндрической формы образца (отвер-
стия, канавки, ступенчатое изменение диаметра и т.п.), умень-
шение чистоты его поверхности и увеличение его абсолютных
размеров приводят к снижению предела выносливости.
Будем рассматривать предел выносливости, полученный в
результате испытания нормальных лабораторных образцов, как
одну из механических характеристик данного материала. Таким
образом, можно сказать, что пределы выносливости конкретной
детали и материала, из которого она изготовлена, различны.
Влияние факторов, от которых зависит соотношение между пре-
делами выносливости материала (нормального образца) и де-
тали, более или менее полно изучено лишь для симметричного
цикла изменения напряжений.* Поэтому, не оговаривая этого
каждый раз специально, в дальнейшем рассмотрим влияние раз-
личных факторов на величину предела выносливости только при
симметричном цикле.
Концентрация напряжений
В м.естах нарушения правильной цилиндрической или приз-
матической формы детали распределение напряжений, опреде-
ляемое основными формулами сопротивления материалов, ока-
зывается нарушенным. В этих местах возникают так называе-
мые местные напряжения, значительно превышающие номиналь-
ные, т. е. определяемые по основным формулам сопротивления
/ АГ Мх Mz \
материалов о= —; <з =—-у; х==—р и т. д. Само явление воз-
\ F Jx Jp /
никновения местных на-
пряжений принято назы-
вать концентрацией на-
пряжений, а причины, ее
вызывающие (всякого ро-
да выточки, отверстия
и т. п.),т-концентратора-
ми напряжений.
В качестве примера на
рис. 10.8 показано рас-
цределение напряжений
(oz) в поперечном сече-
нии, проходящем через отверстие в растянутой полосе. Наиболь-
шие напряжения возникают у краев отверстия. Отношение наи-
больших местных напряжений (оНаиб) к номинальным (о) назы-
434
вается теоретическим коэффициентом концентрации напряже-
ний:
~ _ °наиб
(ла- *
а
Для поперечного сечения полосы, проходящего через центр
отверстия,
Р Р
о —------==--------,
Рнетто d') Ъ
где б — толщина полосы;
d — диаметр отверстия,
В частном случае, когда ширина полосы весьма велика по
сравнению с диаметром отверстия, аа =3,0.
Аналогично, в случае концентрации касательных напряжений
VA-'J - •
т
Местные напряжения весьма быстро уменьшаются по мере
удаления от концентратора напряжений (см. рис. 10.8), т. е. они
действительно имеют резко выраженный местный характер.
Теоретический коэффициент концентрации напряжений для
ряда случаев может быть определен методами теории упруго-
сти, т. е. теоретическим путем. Определяют его также экспери-
ментально, используя для этой цели электротензометрические
установки; при этом нагружение детали осуществляется в пре-
делах, обеспечивающих справедливость закона Гука. Сущест-
вуют и другие методы определения аа (ат), на которых здесь
не останавливаемся.
Теоретический, коэффициент концентрации напряжений за-
висит исключительно от геометрии детали.
Остановимся на вопросе о влиянии концентрации напряже-
ний на прочность деталей при их статическом нагружении.
Прочность деталей из пластичных материалов при ста-
тическом нагружении практически не зависит от концентрации
напряжений и, следовательно, при соответствующих расчетах
она не учитывается. Справедливость этого указания может быть
подтверждена следующими рассуждениями.
Допустим, что нагрузка полосы с отверстием медленно воз-
растет и при некотором ее значении напряжения у краёв отвер-
стия достигают предела текучести от. Соответствующая эпюра
напряжений показана на рис. 10.9, а сплошной линией. При
дальнейшем росте нагрузки напряжения в указанных точках
увеличиваться не будут, что следует из диаграммы растяжения,
изображенной на рис. 10.9, б. В остальных точках напряжения
продолжают расти, но лишь до достижения величины ат, а за-
тем их рост прекращается.
Для некоторой стадии нагружения эпюра о показана на
рис. 10.9, а штриховой линией. Предполагая, что площадка теку-
435
чести диаграммы растяжения имеет достаточно большую протя-
женность и продолжая рассуждения, аналогичные приведенным,
приходим к заключению, что в определенной стадии нагружения
распределение напряжений станет равномерным (эпюра, пока-
занная штрих-пунктирной линией на рис. 10.9, а). При переходе
в стадию упрочнения напряжения начнут расти, но теперь они
во всех точках сечения будут одинаковы, и разрушение произой-
дет одновременно по всему сечению так же, как и при отсутст-
вии концентрации напряжений.
Рис. 10.9
В действительности процесс роста напряжений и разрушения
несколько сложнее, чем изложено, но принятая упрощенная схе-
ма процесса достаточно точна. Получаемый на ее основе вывод
о то}М, что концентрацию напряжений ,не надо учитывать при
расчетах на статическую прочность деталей из пластичных ма-
териалов, подтверждается экспериментально.
Совершенно по-иному обстоит дело в случае хрупкого мате-
риала. При росте растягивающей силы наступает момент, когда
в точках у краев отверстия напряжения достигают предела
прочности и, следовательно, в этих местах возникают трещины,
т. е. начинается разрушение. Значит прочность детали из хруп-
кого материала при наличии концентрации напряжений сни-
жается в аа раз.
Более точные исследования этого вопроса показывают, что
прочность снижается в некоторых случаях меньше, чем в аа раз.
Снижение прочности характеризуется величиной ks, называемой
эффективным коэффициентом концентрации напряжений при
статическом нагружении. Во всех случаях &s<aa. Для весьма
хрупких однородных материалов Для хрупких неодно-
родных материалов (например, серого чугуна) ks близок к еди-
нице, т. е., как говорят, эти материалы практически нечувстви-
тельны к концентрации напряжений *.
* Подробнее см [38, 49, 51].
436
Допускаемое напряжение в рассматриваемом случае должно
устанавливаться с учетом концентрации напряжений по зави-
симости
[ор]=^-. (10.12)
L pJ МЛпч]
При переменных напряжениях наличие концентраторов на-
пряжений снижает предел выносливости почти всех материалов.
Снижение предела выносливости при симметричном цикле из-
менения напряжений характеризуется так называемым эффек-
тивным коэффициентом концентрации напряжений, представ-
ляющим собой отношение предела выносливости образца без
концентрации напряжений (c>-i) к пределу выносливости образ-
ца тех же размеров, но имеющего заданный концентратор на-
пряжений (О—1к) •'
А.=—• (10.13)
°—1К
Аналогично для касательных напряжений
. (10.13а)
Т—1к
Эффективный коэффициент концентрации напряжений мень-
ше теоретического или в редких случаях равен ему, т. е.
(^•Сат); он зависит, как от геометрии детали (от величины аа
или ат), так и от ее материала. При этом материалы более проч-
ные и менее пластичные оказываются чувствительнее к концент-
рации напряжений, т. е. при одном и том же значении аа (или
аг) значение kQ (или k-:) для детали из высокопрочной легиро-
ванной стали выше, чем для детали из углеродистой стали.
Поэтому при проектировании деталей из легированных сталей сле-
дует стремиться по возможности к приданию им таких очерта-
ний, при которых не будет существенных концентраторов напря-
жений. Справочные данные по эффективным коэффициентам
концентрации напряжений приведены в ряде учебных пособий
и справочников [21, 25, 29, 30, 38, 49, 51, 52].
Влияние абсолютных размеров детали
Уменьшение предела выносливости с ростом абсолютных раз-
меров детали носит название масштабного эффекта. Это явле-
ние обнаружено опытным путем *. Его влияние на величину пре-
дела выносливости оценивают так называемым масштабным
фактором (или масштабным коэффициентом), представляющим
* Попытки теоретического объяснения масштабного эффекта имеются
в монографии [38].
437
собой отношение предела выносливости образца, имеющего за-
данный диаметр, к пределу выносливости геометрически подоб-
ного малого (диаметром 7 мм) лабораторного образца:
; (10.14)
с-1
аналогично
(10.14 а)
С повышением предела прочности стали ее чувствительность
к влиянию абсолютных размеров повышается. Для стали можно
Рис. 10.10
принимать =8. Значе*
ния 8 для стали в зависимости
от ее предела прочности и диа-
метра образца или детали да-
ны на рис. 10.10.
Рис. 10.11
Влияние качества поверхности детали
Как показывают опытные данные, с уменьшением чистоты
поверхности предел выносливости снижается. Отношение пре-
дела выносливости образца с заданным состоянием (качест-
вом) поверхности к пределу выносливости образца с полирован-
ной поверхностью называют коэффициентом качества поверх-
ности:
„ (10.15)
c-i
Можно считать, что при кручении этот коэффициент имеет
то же значение, что и. при изгибе. С повышением прочности ста-
ли чувствительность ее к влиянию качества поверхности воз-
растает.
В большинстве случаев этот коэффициент меньше единицы,
но при применении специальных методов поверхностного упроч-
нения деталей он получает значения, большие единицы, т. е. пре-
дел выносливости в указанных случаях оказывается даже выше,
чем при полированной поверхности.
438
На рис. 10.11 даны значения коэффициента (3 в зависимости
от чистоты и состояния поверхности детали: 1—полированная
поверхность; 2— шлифованная поверхность; 3 — тонко обточен-
ная поверхность; 4 — грубо обточенная поверхность; 5 — поверх-
ность, покрытая окалиной.
К методам поверхностного упрочнения деталей относятся тер-
мическая и термохимическая обработка (закалка токами высо-
кой частоты или кислородно-ацетиленовым пламенем, цемента-
ция, азотирование), обкатка поверхностей деталей роликами,
обдувка деталей стальной или чугунной дробью.
Совместное влияние концентрации напряжений, масштабного
эффекта и состояния поверхности оценивают величиной
k
(Ю.16)
SaP
или аналогично
А,
(10.16а)
представляющей собой общий коэффициент снижения предела
выносливости при римметричном.щикле изменения напряжений.
Таким образом, предел выносливости ц_1Д (т_1Д) конкрет-
ной детали связан с пределом выносливости o-i (r-i) ее мате-
риала (нормального лабораторного образца) зависимостью
(10.17)
(10.17а)
Вопросы прочности металлов при переменных напряжениях привлекли
к себе внимание инженеров и ученых впервые в сороковых годах прошлого
столетия. Причиной, заставившей заинтересоваться этой проблемой, явились
весьма частые случаи поломок вагонных и паровозных осей. Уже в то время
было установлено, что стальные и чугунные детали выдерживают в условиях
переменности напряжений значительно меньшие нагрузки, чем при статиче-
ском действии сил. Один из видных английских инженеров мостостроителей
Фейрбейрн считал, что попеременно прикладываемая нагрузка безопасна, если
она составляет лишь V3 от безопасной статической нагрузки. В то же время
возникла ошибочная гипотеза, что под действием переменных напряжений
структура металла изменяется — из «волокнистой» становится хрупкой. Прав-
да, эта ошибочная точка зрения разделялась далеко не всеми. Так, Маккуорн
Рэнкин еще в 1843 г. в своей статье указывал, что разрушение является след-
ствием развития микроскопической трещины и изменения структуры металла
не происходит. К тому -же периоду относятся первые экспериментальные ис-
следования усталостной прочности железа, выполненные в Англии Джемсом
и Гальтоном, а затем Фейрбейрном.
При обсуждении вопроса об изломах осей в Лондонском институте ин-
женеров-механиков было совершенно правильно указано, что усталостная проч-
ность значительно снижается при-наличии на детали острых углов и резких
439
переходов от одного диаметра к другому, т. е., говоря современным языком,
при наличии факторов концентрации напряжений.
В России первая работа о сопротивлении^железа- и чугуна действию пере-
менных и динамических нагрузок была опубликована в 1851 г. Автором ее
был П. И. Собко — профессор Петербургского института инженеров путей
сообщения.
Основоположником систематических исследований усталостной прочно-
сти металлов по праву считается немецкий инженер А. Вёлер (1819—1914).
Начав с исследования усталостной прочности вагонных осей при симметричном
цикле изгиба на специально спроектированной им 'для этой цели машине,
он затем перешел к испытаниям уменьшенных образцов, создав для этой цели
новую машину. В дальнейшем им проводились испытания при асимметричных
циклах напряжений и не только для случаев изгиба, но также и растяжения-
сжатия и кручения. Для каждого нового вида испытаний им проектировалась
специальная машина. В его исследованиях нашли отражение также вопросы
влияния концентрации напряжений.
В текущем столетии исследование вопросов усталостной прочности мате-
риалов и деталей машин Получило чрезвычайно широкое развитие. Экспери-
ментальные и теоретические работы проводились и ведутся в настоящее вре-
мя по следующим основным направлениям:
1. Совершенствование методов усталостных испытаний при различных
видах деформаций и различных типах напряженных состояний, а также раз-
работка методов ускоренных испытаний [58]. Это направление, естественно,
теснейшим образом связано с созданием новых разнообразных конструкций
испытательных-машин [1, 38, 58].
2. Уточнение влияния на усталостную прочность таких факторов, как кон-
центрация напряжений, масштабный эффект, состояние поверхности и т. п.
3. Исследование причин усталостного разрушения. Наиболее достоверная
гипотеза, объясняющая процесс усталостного разрушения, была высказана
В. Л. Кирпичевым и затем развита в работах Н. Н. Афанасьева [38, 59].
4. Разработка методов практических расчетов деталей машин на вынос-
ливость. Из работ этого направления в первую очередь должны быть отме-
чены труды С. В. Серенсена, Р. С. Кинасошвили, И. А. Биргера, Д. Н. Ким-
мельмана.
5. Разработка методов повышения усталостной прочности деталей ма-
шин. Весьма эффективные методы поверхностного уирочнёния деталей ма-
шин разработаны в ЦНИИТМАШе (М. М. Савериным и др.).
Необходимо подчеркнуть, что за последние 20—30 лет особенно значи-
тельный вклад в вопросы теории и практических методов расчета на усталость
был внесен советскими .учеными Н. Н. Афанасьевым, Н. Н. Давиденковым,
С. В. Серенсеном, Р. С. Кинасошвили, Н. П. Щаповым, Г. В. Ужиком и ря-
дом других.
* § 10.3. ДИАГРАММЫ ПРЕДЕЛЬНЫХ АМПЛИТУД
Из изложенного в предыдущих параграфах следует, что пре-
дел выносливости данного материала зависит от вида деформа-
ции и характера цикла возникающих в образце напряжений. Для
конкретной детали, изготовленной из этого материала, на вели-
чину предела выносливости, кроме того, влияют концентрация
напряжений, абсолютные размеры детали и состояние ее по-
верхности.
Остановимся несколько подробнее на вопросе о зависимости
величины предела выносливости от характера цикла на-
пряжений.
' 440
Предположим, что из исследуемого материала изготовлено
несколько серий совершенно одинаковых образцов и каждая из
них подвергнута испытаниям на выносливость при цикле с неко-
торым заданным коэффициентом асимметрии. Например, первая
серия образцов испытана при симметричном цикле =—1; по
результатам испытаний построена кривая усталости и определе-
на величина предела выносливости о-ь Вторая серия образцов
испытана при цикле с /?<,=—^~;третья — при = 0 и т. д. По
результатам испытаний так же, как и в первом.случае, построе-
ны кривые Вёлера и определены значения пределов выносли-
вости.
Будем, кроме того, считать известной величину предела проч-
ности (Опч) данного материала при статическом нагружении,
которую можно для общности рассуждений рассматривать как
величину предела выносливости при цикле с Я а = +1, т. е.
Опч = с+1. По полученным данным легко построить диаграмму
зависимости предела выносливости от коэффициента асимметрии
цикла, или зависимости предела выносливости от соответствую-
щего предельного среднего напряжения цикла, или, наконец, диа-
грамму зависимости предельных амплитуд от предельных сред-
них напряжений цикла. Любая из этих диаграмм наглядно
иллюстрирует зависимость предела выносливости от характера
цикла. В практических расчетах на прочность наиболее удобно
пользоваться последней из указанных диаграмм. •
Примерный характер такой диаграммы, называемой диаграм-
мой предельных амплитуд (иногда называют диаграммой Хея),
для циклов со средними растягивающими напряжениями (аот>0)
показан на рис. 10.12. Абсциссы и ординаты отдельных точек
диаграммы предельных амплитуд определяются по полученным
экспериментально значениям пределов выносливости oR и соот-
ветствующим коэффициентам асимметрии циклов На основа-
нии формулы (40.3), принимая omaXnp = oR, обозначая среднее
напряжение и амплитуду предельного цикла (т. е. цикла с мак-
симальным напряжением, равным пределу выносливости) соот-
ветственно через От пр и оапр, имеем
пр Н- пр •
На основании формул (10.1), (10.2) и (10.4) легдо устано-
вить, что
1-Я,
д =:------ □
а ' 2 max’
1 + ^
о =-------о
m max’
441
а следовательно, для предельного цикла
__ 1 + Ъ
ат пр. 9
На рис. 10.12 условно показано, что каждая точка диаграммы
получена в результате испытания серии образцов и построения
соответствующей кривой Вёлера-; Это не относится лишь к точ-
ке В с абсциссой (Упч, полученной в результате статического ис-
пытания на растяжение.
Во избежание недоразумений отметим, что на рис. 10.12 мас-
штаб ординат кривых Вёлера и графиков изменения напряже-
ний в пять раз мельче масштаба диаграммы.
Аналогичные диаграммы строят и по результатам испытаний
на выносливость при кручении.
. Проведем на диаграмме предельных амплитуд прямую BD,
отсекающую на осях координат отрезки, равные пределу проч-
ности Пич, и прямую KL, отсекающую отрезки, равные пределу
442
точке:
т
текучести от (рис. 10.13). Эти прямые и линия пределов выносли-
вости АВ образуют на диаграмме пять зон *.
Для истолкования каждой из этих пяти зон предварительно
отметим следующие три обстоятельства:
1. Сумма абсциссы и ординаты любой точки, взятой в плос-
кости диаграммы, дает значение максимального напряжения
цикла, соответствующего:
(
2. Уравнение прямой
BD в отрезках имеет вид
ат j да j
°пч апч
откуда
CJ -I- CJ = CJ .
т I а пч’
т. е. сумма абсциссы и ор-
динаты любой точки этой
прямой равна пределу
прочности. Или, иными
словами, циклы, соответ-
ствующие точкам этой
прямой, имеют макси-
мальные напряжения, рав-
ные пределу прочности.
3. Уравнение прямой
KL в отрезках имеет вид
т
откуда
О -1-0 = 0 .
т I а т •
Следовательно, точки, лежащие на этой прямой, соответству-
ют циклам с максимальными напряжениями, равными пределу
текучести.
На основе сделанных замечаний можно дать следующие ха-
рактеристики каждой из пяти зон диаграммы:
1. Зона I является областью неосуществимых циклов, так как
сумма абсциссы и ординаты любой точки (т. е. максимальное
напряжение соответствующего цикла) этой зоны больше преде-
ла прочности.
2. Зона II соответствует циклам, при которых происходит
усталостное разрушение материала при наличии пластических
деформаций. Точки этой зоны лежат выше линий пределов вы-
* Деление диаграммы на пять зон предложено лауреатом Ленинской
премии доц. канд. техн, наук К. К. Лихаревым (см. монографию [38]).
443
носливости (АВ) и пределов текучести (KL), т. е. максимальные
напряжения циклов, "соответствующих этим точкам, боль-
ше Or И (Тт.
3. Зона III соответствует циклам, при которых происходит
усталостное разрушение материала без появления пластических
деформаций. Максимальные напряжения циклов, соответствую-
щих точкам этой зоны, больше пределов выносливости gr, но
меньше предела текучести сгт.
4. IV зона соответствует циклам, при которых, нет усталост-
ного разрушения (Отах<Цв), но возникают пластические дефор-
мации (огтах>°гт).
5. V зона представляет собой область безопасных циклов, щля.
которых максимальные напряжения ниже как пределов выносли-
вости, так и предела текучести.'
Ломаную АСК, состоящую из криволинейного отрезка АС
и прямой СК, иногда называют линией предельных напряжений.
Если точка, выражающая на диаграмме заданный цикл напря-
жений, лежит ниже линии АСК, т. е. в зоне V, это Означает, что
данный цикл безопасен, т. е. деталь не разрушится от усталости
и в ней не возникнет пластических деформаций. Влияние факто-
ров, снижающих предел выносливости, пока не учитывается.
Наличие построенной по экспериментальным данным диа-
граммы предельных амплитуд позволяет графо-аналитически
определить коэффициент запаса прочности для рассчитываемой
детали из данного материала (влияние факторов, снижающих
предел выносливости, пока не учитываем). Пусть рабочему циклу
напряжений соответствует точка М с координатами Gm, (Ja (см.
рис. 10.13). Проведем из начала координат луч через точку М.
Тангенс угла наклона этого луча к оси абсцисс связан с коэффи-
циентом ассимметрии цикла зависимостью
tg 6 = —==-------
Qm 1 +
Очевидно, что любая другая точка, лежащая на том же луче,
соответствует циклу, подобному заданному (циклу, имеющему
такую же величину Все циклы, изображаемые точками луча,
лежащими не выше предельной кривой (т. е. точками части ON
луча), безопасны в отношении усталостного разрушения. При
этом цикл, изображаемый точкой N,—предельный (для задан-
ного коэффициента асимметрии цикла); максимальное напря-
жение этого цикла, определяемое как сумма абсциссы и орди-
наты точки N (t3maxnp==o^ = t:Jzwiip + oanp)’'Рав'но пределу выносли-
вости.
Аналогично для заданного цикла максимальное напряжение
равно сумме абсциссы и ординаты точки М -
□ = о 4- .
шах пг\ а'
444
При условии^подобия рабочего и предельного циклов коэф-
фициент запаса прочности
атах пр пр + аа пр
, атах ат "Н аа
определяется на основе измерения соответствующих абсцисс и
ординат точек М и N.
Нетрудно понять, что практически изложенный графо-анали-
тический способ определения коэффициента запаса не может
иметь мало-мальски широкого применения. Он изложен лишь
для того, чтобы дать более ясное представление о значении
и свойствах диаграмм предельных амплитуд. Действительно, для
получения каждой точки диаграммы надо испытать не один, а
целую серию (не менее 10 штук) образцов (исключением являет-
ся точка оси абсцисс,' соответствующая постоянным напряже-
ниям). Даже для какого-либо одного материала построение диа-
граммы предельных напряжений (скажем, по четырем-пяти
экспериментальным точкам) —чрезвычайно трудоемкая и доро-
гостоящая операция, а номенклатура -применяемых в машино-
строении материалов громадна. Возникает необходимость в за-
мене действительных диаграмм упрощенными (схематизирован-
ными), построенными по небольшому числу экспериментально
найденных точек (сравнить с построением схематизированной
линии предельных напряжений при выводе формулы эквивалент-
ного напряжения по гипотезе Мора— стр. 396).
При построении схематизированной диаграммы заменяют
криволинейный участок АС (см. рис. 10.13) линии предельных
амплитуд, ограничивающий зону безопасных циклов, отрезком
прямой. Эту прямую проводят через две найденные эксперимен-
тально точки диаграммы, т. е. по известным из опытов двум ме-
ханическим характеристикам материала. Два наиболее распро-
страненных способа схематизации диаграммы показаны на
рис. 10.14. По первому из них прямую проводят через точку А
(соответствующую симметричному циклу) и точку F (соответ-
ствующую отнулевому циклу), т. е. для построения схематизи-
рованной указанным способом диаграммы должны быть извест-
ны два предела выносливости o'—i и его. Указанный способ пред-
ложен Р. С. Кинасошвили и С. В. Серенсеном.
По второму способу прямую проводят через точки А и В, со-
ответствующие симметричному циклу и случаю постоянных на-
пряжений. Это так называемый способ Гудмана. Очевидно,
второй способ несколько проще, так как требует знания лишь
одной (а не двух, как в первом способе) характеристики уста-
лостной прочности. В то же время он дает меньшую точность,
что хорошо видно на рис. 10.14 — прямая АС2 больше отличается
от экспериментальной кривой АС, чем прямая ЛСр
445
При отсутствии экспериментально определенной величины оъ
можно все же пользоваться первым из указанных способов, так
как на основе имеющихся опытных данных установлено, что
продолжение линии AF отсекает на оси абсцисс отрезок s, вели-
чина которого колеблется в сравнительно узких пределах *. Для
углеродистых и низколегированных сталей можно при-
нимать s—1400 н/мм2, для легированных сталей s — 2000 н/мм2.
Применение схематизированной диаграммы предельных ам-
плитуд позволяет весьма просто получить формулу для опреде-
ления коэффициента запаса прочности при асимметричном цикле
напряжений; соответствующий вывод приведен в следующем
параграфе.
§ 10.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
При переменных напряжениях расчеты н*а прочность в подав-
ляющем большинстве случаев выполняют как пр о в ер оч н ые
На основе предварительного расчета, производимого без уче-
та переменности напряжений,-но по пониженным допускаемым
напряжениям определяют требуемые размеры детали; учитывая
принятую технологию изготовления детали, устанавливают ее
конструктивные формы и выполняют соответствующий рабочий
чертеж. Уточненный расчет на прочность с учетом переменности
* Обработка экспериментальных данных и предложение об их использо-
вании при применении способа Серенсена — Кинасошвили сделано доц. канд.
техн, наук С. В. Рабиновичем.
446
напряжений во времени и влияния на прочность детали различ-
ных конструктивных.и технологических факторов (концентрации
напряжений и т. п.) производят по размерам, взятым с рабочего
чертежа детали. В результате расчета для предположительно
опасных сечений детали определяют фактические коэффициенты
запаса прочности, которые сопоставляют с коэффициентами за-
паса, требуемыми для данной конструкции. При таком провероч-
ном расчете условие прочности
п>[п]. (10.18)
Величина требуемого коэффициента запаса прочности [п] за-
висит от целого ряда обстоятельств, основные из которых —сте-
пень ответственности детали, условия ее работы, точность опре-
деления действующих на нее нагрузок, надежйость сведений о
механических свойствах ее материала, значениях коэффициен-
тов концентрации напряжений и т. д. (см. также стр. 89)..Обыч-
но [ft] = 1,4-4-3,0. Подробнее вопрос о выборе [и] рассматривается
в курсе деталей машин.
Выполнение проектного расчета на усталостную прочность
затруднено из-за того, что величины ka (ky), е, [3 в этой стадии
конструирования (при отсутствии рабочего чертежа детали) мо-
гут быть намечены лишь сугубо ориентировочно. Следовательно,
такой проектный расчет будет весьма приближенным; проще
определить, как уже было сказано, основные размеры детали из
расчета на статическую прочность, тем более, что окончательный
проверочный расчет все равно необходим.
В случаях, когда деталь работает при симметричном цикле
напряжений, коэффициент запаса прочности определяется по
одной из следующих формул:
при изгибе
п9=°-=^= -—-1— ; (10.19)
сттах ^ст£>сттах
при_ растяжении-сжатии
(ст- 1р)д <*—1р
п а=------=---------
сттах Аортах
при кручении
*-1д *-1
пх=-----=--------.
^тах Аг£)Ттах
В формулах (Ю.'ГЭ) — (10.21) отах, Ттах — номинальные
значения максимальных напряжений, возникающих в проверяе-
мом сечении детали. Значения остальных величин, входящих в
эти формулы, принимаются по справочным данным, как указа-
но в § 10.2.
При расчетах на выносливость в случаях асимметричных цик-
лов изгиба, растяжения-сжатия, кручения коэффициенты запаса
(10.20)
(10.21)
447
прочности определяют по следующим формулам, полученным в
предположении подобия рабочих и предельных циклов напря-
жений (вывод этих формул дан ниже).
При изгибе
=--------2----; (ю. 22)
+ 'М/и
при растяжении-сжатии
1 'п,±=---; (10.23)
при кручении
Расшифровка обозначений всех величин (кроме фа, фт),
входящих в приведенные формулы, была дана в § 10.1, 10.2.
Коэффициент фа (ф-) отражает влияние асимметрии цикла на
величину предела выносливости. В случаях, когда, помимо пре-
дела выносливости при симметричном цикле (О-ь o'—iP, T-i),
известен предел выносливости при отнулевом (пульсирующем)
цикле (оо, Pop, то), значения и фт определяют по формулам
ф^2--1.~ао; (10.25)
ао
фт=—=^——(10.25а)
т0
При отсутствии экспериментально полученных значений U (то)
можно принимать
> фа=—; (10.26)
фг=^=ц - ' (10.26а)
S
где s~ 1400 н!мм2 для углеродистых и низколегированных ста-
лей; s — 2000 н/мм2 для легированных сталей. Приведенные сведе-
ния о значениях фа относятся к циклам с положительными (рас-
тягивающими) напряжениями; при циклах со средними напря-
жениями сжатия (от<0) в формулах (10.22), (10.23) следует
полагать фа =0.
При некоторых значениях коэффициента асимметрии цикла
или А<) может оказаться, что коэффициент запаса по отноше-
нию к пределу текучести меньше, чем по отношению к пределу
выносливости. В этих случаях обычно считают, что решающую
роль играет расчет по сопротивлению пластическим деформа-
448
циям, т. е. величина коэффициента запаса по текучести. Поэтому,
помимо определения коэффициента запаса по одной из фор-
мул (10.22)— (10.24), следует определить коэффициент запаса
(10.27)
атах
ИЛИ
(10.28)
'Г max
и сопоставить его с требуемым.
Следует иметь в виду, что при .циклах с коэффициентами
асимметрии /?ст>0 (или А\>0) формулы (10.22) — (10.24) мо-
гут дать несколько преувеличенные значения коэффициентов за-
паса прочности. Поэтому в указанных случаях целесообразно
принимать требуемый коэффициент запаса на 10—15% боль-
шим, чем указано выше.
Более точное значение коэффициентов запаса для циклов с > О
{Rx > 0) дают формулы*
п, = -гр г". g~\—-г---------; (10.29)
= (К^ + фт-гЮТа + ПЛ» ' (10,31)
где
а-1 .!_!
Т]а =--- и Т]т;= --•
апч тпч
Приведем (без вывода) зависимость для определения коэф-
фициента запаса прочности при работе бруса на совместное
действие изгиба и кручения, или кручения и растяжения (сжа-
тия), или изгиба, кручения и растяжения (сжатия), т. е. для тех
случаев, когда в опасной точке детали имеет место упрощенное
плоское напряженное состояние. В указанных случаях общий
коэффициент запаса прочности (и) определяется из выражения
_1______1_
П2 «2 ’
(10.32)
здесь п — общий коэффициент запаса прочности;
па—коэффициент запаса прочности по нормальным на-
пряжениям, определяемый по формуле (10.22) или
(10.23);
п-с—коэффициент запаса прочности по касательным на-
пряжениям, определяемый по формуле (10.24).
Формула (10.32) чаще всего используется при уточненном
* Предложены доц. канд. техн, наук С. В. Рабиновичем.
15-1451
449
проверочном расчете валов. При этом зачастую определение ко-
эффициента запаса приходится выполнять для нескольких сече-
ний вала. Опасно то из них, для которого коэффициент запаса
прочности имеет минимальное значение.
Помимо проверки на выносливость, обычно выполняют расчет
на статическую прочность (по сопротивлению пластическим де-
формациям), подставляя в формулу (10.32) взамен па и со-
ответственно пОт и определяемые по формулам (10.27),
(10.28).
45- Покажем, как на основе схематизированных диаграмм
предельных амплитуд могут быть получены формулы (10.22) —
(10.24).
Допустим, что точка М диаграммы (рис. 10.15), соответствую-
щая рабочему циклу напряжений, лежит на луче, пересекающем
схематизированную линию предельных амплитуд АР раньше,
чем линию пределов текучести. Это значит, что если амплитуда
и среднее напряжение цикла будут возрастать (при сохранении
неизменной величины Ra), то усталостное разрушение наступит
ранее возникновения текучести (при отах<От)- Точка N «изо-
бражает» предельный цикл, подобный рабочему циклу, «изобра-
жаемому» точкой М. Координаты точки М равны от и сга, а точки
N — соответственно отпр и оапр. При этом атлр=пвот; оапр =
где — коэффициент запаса прочности для цикла, «изо-
бражаемого» точкой М. Величину гь найдем, составив уравнение
линии АР предельных амплитуд (уравнение прямой в отрезках):
атп пр । аа пр j
' S а—1
450
или
П^т П^д
. S а_1
откуда
Saa 4-
Поделив числитель и знаменатель на s, получим
, 2=1
аа + *т
S
Из чертежа (см. рис. 10.15)
—=tgy.
$
Вводя обозначение G=tgу, получаем
aa +
Полученное выражение справедливо при любом способе схе-
матизации диаграммы предельных амплитуд; различие лишь в
величине Так, при схематизации по Серенсену — Кинасошви-
ли величина б, определяется по формуле (10.25) *; при приме-
нении способа Гудмана в выражении для tgy надо принять
S — бпч-
Рассмотренный вывод не отражает влияния на коэффициент
запаса факторов, снижающих предел выносливости, т. е. он от-
носится к детали без концентраторов напряжений, имеющей та-
кой же диаметр и состояние поверхности, как нормальный лабо-
раторный образец. Опыты показывают, что влияние всех этих
факторов сказывается только на величинах предельных амплитуд
и практически не. отражается на величинах предельных средних
напряжений. Поэтому коэффициент /Gd (Kw) относят толь-
ко к амплитуде цикла.
В результате приходят к формуле
GJoaa+'Paa/n ’
* По чертежу (см. рис. 10.14),
1 * 1 2 2 2а_. — а0
k=tgY =----------- =-----1---°.
ао со
2
15* . ~ 451
данной .ранее без вывода. При переменных касательных напряже-
ниях вывод формулы для n-z полностью аналогичен рассмотрен-
ному.
Пример 10.1. Цилиндрический стержень с поперечным отверстием
(рис. 10.16) изготовлен из стали 45 (<тПч = 600 н/жж2; <гт=360 н/мм2\ ст_1Р =
=210 н/мм2). Стержень работает на растяжение при нагрузке, изменяющейся
по отнулевому (пульсирующему) циклу. Определить коэффициент запаса
прочности для опасного сечения стержня, если Ртах—200 кн. Поверхность
стержня шлифованная.
Как изменится коэффициент за-
паса, если изготовить стержень из
хромистой стали • 40Х (сгПч =
= 1000 н/мм2-, от=800 н/мм2-, o_ip=
= 330 н/жж2)?
Решение. Коэффициент запаса
прочности определяем по формуле
°-1р
Рис. 10.16
Па ф^3т
Ввиду отсутствия данных о пре-
делах - выносливости при отнулевом
цикле принимаем-
а—ip
s
где для стали 45 э = 1400 н/жж2 и для стали 40Х s = 2000 н/мм2 (см. стр. 448).
Подставив значения o_iP и s, получим
21
для стали 45 фа == — - = 0,150;
140л
330
для стали 40Х фа = = 0,165.
При отнулевом цикле величины амплитуды и среднего напряжения равны
между собой:
аа — ат —
сттах
2
Номинальное значение максимального напряжения (для сечения, прохо-
дящего черёз центр отверстия)
Ртах 200-103 п ,
атах — р — 314 — 81,2 Н/ММ . •
'нетто _2---602 - 6-60
4
Номинальные значения амплитудного и среднего напряжений
81,2
аа = ат = ~~Z~ = 40,6 н/MM?.
£
По справочнику (см., например, [30]) находим значения эффективных
коэффициентов концентрации напряжений. Для стержня из стали 45 =1,95;
для стержня из стали 40Х ka =2,15.
Значения масштабных факторов и коэффициентов качества поверхности
находим по графикам, данным на рис, 10.10, 10.11. Для стержня из стали 45
8=0,755; Р=0,95. Для стержня из стали 40Х 8=0,720; £5—0,91.
452
Общие коэффициенты снижения предела выносливости.
Для стержня из стали 45
к =А = __Ь^_=:2 72-
AaD 0,755-0,95 ’ ’
для стержня из стали 40Х
К 2>15 О ПО
^“ 0,720-0,91
Коэффициент запаса прочности для стержня из стали 45
а 1р 210
+ ~ 2,72-40,6 + 0,150-40,6
То же для стержня из стали 40Х
3,28-40,6 + 0,165-40,6
Коэффициенты запаса по отношению к пределу текучести.
Для стержня из стали 45
^ат
из стали 40Х
amax oL,Z
800 п nr
= ^7+ = 9’85-
• ОХ >2
Эти коэффициенты запаса значительно выше, чем по усталостному раз-
рушению, и, следовательно, последнее опаснее, чем возникновение текучести.
Существенно, что для стержня из стали 40Х коэффициент запаса по текуче-
сти более чем вдвое превышает такой же коэффициент для стержня из ста-
ли 45. В то же время отличие в коэффициентах запаса прочности составляет
менее 30%. Такой результат объясняется тем, что сгаль 40Х значительно чув-
ствительнее, чем сталь 45, к факторам, снижающим предел выносливости, и
при расчете на усталостную прочность замена углеродистой стали легирован-
ной дает меньший эффект, чем можно было ожидать, сравнивая механические
характеристики данных сталей.
Пример 10.2 *. Определить коэффициент запаса прочности клапанной пру-
жины, изготовленной из хромованадиевой проволоки: тПч = 1250 н/мм2;
тт=950 н/мм2; т_1=450 н/мм2; То=7ОО н/мм2-, G=8-104 н/мм2. Размеры пру-
жины: средний диаметр £)=50 мм-, диаметр проволоки d=4,5 мм; число ра-
бочих витков п=6. Предварительная затяжка пружины %3=25 мм; наиболь-
ший ход клапана h= 14 мм.
Решение. Максимальные напряжения в поперечном сечении витка опреде-
ляются по формуле (см. стр. 201),.
, SPD
х = k---->
где по данным, приведенным там же, поправочный коэффициент при ин-
дексе пружины
имеет значение k= 1,125.
* Условия примера заимствованы из сборника [41].
453
Осадка пружины определяется по формуле (см. стр. 202)
8PD3„
Х = ---—• -
Gd*
Из формул для т и % получаем
kGd ;
т =------------------------------А.
Определяем дТ при закрытом клапане (это минимальное напряжение
цикла):
'.kGd , 1,125-8-104.4,5 „
Тга1" “ а№п Х’~ 3.14-50М 23 ~215
то же при наибольшем открытии клапана (это максимальное напряжение
цикла), когда Xmax = Х3 + h = 25 + 14 = 39 мм,
ттах=^т!п "7 =215 “ = 334 и/ ММ?.
А3 25 ’
Коэффициент асимметрии цикла напряжений, возникающих в пружине,
г, T-min 215 о 1УЛЛ
Л’ = гпах = ЗЙ = °’644-
Амплитудное и среднее, напряжения цикла [см. формулы (10.1), (10.2)]:
Та_ = 334-215 = и>5 к/лл2;
2 2
т„ = Т°"*|Т!"1” = 334 + 21 - - 274,5 HlMjfi.
Коэффициент запаса- прочности
Т-1
__________;______________450___________
Пх~ Ve + Hn “59,5 + 0,286-274,5“ ’...........’
где принято = 1,0, так как предел выносливости определен на образцах
тбго же диаметра и с тем же состоянием поверхности, что и проволока, из
которой изготовлена пружина;-
2т_, - Тр 2-450 - 700
Y То 700
•X- Для сравнения (учитывая, что >0) определим коэффициент запаса
прочности по уточненной формуле (10.31):
Т-1
1 п,е (^d + — г1-)т« +
= - 450_________________= 2 75
(1 +0,286 - 0,36)59,5 + 0,36-274,5 ’ ’
где
т_1 450
454
Пример 10.3. Определить коэффициент запаса прочности редукторного
вала (см. пример 9.5) для сечения под серединой цилиндрической шестерни.
Принять, что нормальные напряжения изгиба изменяются по симметричному
циклу, а касательные напряжения кручения — по отнулевому. Материал ва-
ла— сталь 45 (оПч = 600 н/мм2; от = 300 н/мм2; o_i=260 н/мм2; r_i = 150 н/мм2).
Решение. Используя результаты, полученные в примере 9.5, определяем
номинальные значения о щах и Tmax Е
У+12 + М2 103 У149, 82 + 5522
----------------------------------= 35 н/млё;
Ми
Стах
л о 3,14
— dl -7—- 553
32 2 32
= V' = rrr^ = 13’4
р Чг553
Амплитудное и среднее касательное напряжения
1 1
— 2 Т'шах —
Общие коэффициенты снижения
kz =1,65 (концентрация напряжений
|3 = 0,96 (шлифованная поверхность):
ер
к — —
ер
влияния асимметрии цикла для касательных напряжений
T-max
•13,4 = 6,7 н/мм2.
пределов выносливости при k „ =1,76;
вызвана шпоночной канавкой); е=0,77;
1,76 - оп .
= 2,38;
0,77-0,96
1,65
= 2 24
0,77-0,96 ’ '
Коэффициент
(см. стр. 448).
Коэффициент
лу (10.19)]
т_1 150
^=^=т)=0'107-
запаса прочности по нормальным напряжениям [см. форму-
а 1 260
Кэ£,атах 2,38-35
То же по касательным напряжениям [см. формулу (10.24)]
t! 150
Па —
= 3,12.
Пх KzDxa + ^xm 2,24-6,7 + 0,107-6,7 9’55’
Общий коэффициент запаса прочности [см. формулу (10.32)]
J_____1_ _1_
И2 г? т?
<3 ~
откуда
n =
3,122.9,552
—-----------= 2 96
3,122 + 9,552 ,У ‘
ГЛАВА XI
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
§11.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
•
В зубчатых и червячных передачах, в шариковых и роликовых
подшипниках, в кулачковых механизмах и во многих других ме-
ханизмах и узлах машин передача усилий от одной детали к дру-
гой осуществляется путем непосредственного контакта этих де-
талей. При этом в контактирующих деталях возникают местные
деформации и напряжения, называемые контактными. Несмотря
на то, что в большинстве случаев контактные напряжения, возни-
кающие в деталях машин, весьма высоки (зачастую значительно
выше предела текучести материала деталей), они не влияют на
общую прочность деталей. Это объясняется тем, что контакт-
ные напряжения и деформации имеют резко выраженный мест-
ный характер, быстро уменьшаясь по мере удаления от зоны кон-
такта.
Надежность большинства указанных деталей определяется,
как правило, не общей их прочностью (например, применитель-
но к зубчатым колесам — не прочностью зубьев на изгиб), а
прочностью рабочих поверхностей деталей, или, как принято
говорить, контактной прочностью.
Контактные напряжения могут быть постоянными или мало
изменяющимися во времени, как, например, в упорных подщип-
никах крюков для подъема грузов или в опорных роликах по-
воротных кранов. Под малой изменчивостью напряжений во вре-
мени понимают йак сравнительно небольшие амплитуды циклов,
так и общее небольшое число циклов нагружения за весь срок
службы детали. В этих случаях расчет ведут на статическую
контактную прочность. Нарушением статической контактной
прочности считают возникновение трещин (для хрупких мате-
риалов) или появление пластических деформаций в зоне кон-
такта.
В некоторых случаях возникновение небольших местных пластических
деформаций’ считают неопасным, полагают, что прочность достаточна, если
указанные деформации не превышают устанавливаемых экспериментально
допускаемых значений.
Значительно чаще контактные напряжения многократно цик-
лически изменяются во времени, как это имеет место, в частно-
456
сти, в рабочих поверхностях зубьев зубчатых колес. В этих слу-
чаях при недостаточной контактной прочности происходит уста-
лостное разрушение рабочих поверхностей деталей.
Характерный вид усталостного выкрашивания поверхности зуба
колеса зубчатой передачи показан на рис. 11.1.
Расчеты как на статическую контактную прочность, так и на
контактную выносливость, очевидно, связаны с необходимостью
выяснения зависимостей между нагрузками, действующими на
контактирующие тела, характеристиками материала тел, геомет-
рией их поверхностей и возникающими
напряжениями.
Решение задачи об определении кон-
тактных напряжений и деформаций не
Рис. 11.1
может быть дано методами сопротивления материалов; резуль-
таты, полученные методами теории упругости, для некоторых
частных случаев контакта приведены в следующем параграфе.
Здесь остановимся на самой постановке задачи и допущениях,
положенных в основу ее решения.
При теоретическом решении контактной задачи рассматри-
вают два тела, ограниченных криволинейными поверхностями
и нагруженных силами, прижимающими эти тела друг к другу
(рис. 11.2). При отсутствии нагрузки соприкосновение тел про-
исходит в одной точке (начальный точечный контакт — см.
рис. 11.2) или полиции (начальный линейный контакт — см.
ниже рис. 11.7). Нагрузка, нормальная к поверхностям контак-
та, вызывает местные деформации контактирующих тел, в ре-
зультате которых начальный точечный или линейный контакт
переходит в контакт по некоторой малой площадке, имеющей в
общем случае форму эллипса. В некоторых частных случаях
начального точечного контакта (см. следующий параграф) кон-
тактная площадка имеет форму круга; при начальном линей-
ном контакте, например при контакте цилиндров с параллель-
ными образующими (см. стр. 463), — форму прямоугольной
полоски. Давление, передаваемое от одной детали к другой,
распределено по контактной площадке неравномерно.
457
Рис. 11.3
Отметим, что в тех случаях контакта, когда соприкосновение
ненагруженны’х деталей происходит по некоторой площадке ко-
нечных размеров, а не в точке и не по одной линии (например,
контакт шпонки и шпоночного паза ступицы насаженной на вал
детали), принято говорить не о контактных давлениях и напря-
жениях, а о напряжениях смятия и применять условный метод
расчета, изложенный в гл. IV.
В результате решения контактной задачи определяют форму
и размеры контактной площадки, закон распределения контакт-
ных давлений и величину сближения
контактирующих тел. При этом реше-
ние базируется на следующих предпо-
сылках:
1. Материалы контактирующих тел
однородны и изотропны.
2. Величины сил, приложенных к
соприкасающимся телам, таковы, что
процесс деформации протекает в пре-
делах справедливости закона Гука.
3. Поверхность
мала по сравнению
ностью каждого из
тел.
4. Поверхности
тел совершенно гладкие и, следователь-
но, силы давления, передаваемые че-
контакта весьма
с общей поверх-
сощрикасающихся
соприкасающихся
рез поверхность контакта от одного тела к другому, нормальны
к этой поверхности.
Решение контактной задачи при указанных предпосылках для случаев -
начального точечного контакта и линейного контакта — касания цилиндров
с параллельными образующими — впервые было дано знаменитым немецким
физиком Г. Герцем (1857—1894) в 1881 г. Им же было проведено эксперимен-
тальное исследование (опыты, в которых сжатию подвергались стеклянные
линзы и шары) контактной задачи.
Наибольшие по абсолютной величине нормальные напряже-
ния для точек, принадлежащих поверхности контакта, могут рас-
сматриваться как известные величины, так как эти напряжения
численно равны контактным давлениям в соответствующих точ-
ках. Однако, как известно, из предыдущего (см. стр. 387—390),
для оценки прочности при сложном — плоском или объемном —
напряженном состоянии недостаточно определить лишь наиболь-
шее напряжение, надо знать величины всех трех главных на-
пряжений.
В том, что в точках зоны контакта возникает объемное напря-
женное состояние, легко убедиться из простейших физических со-
ображений, рассмотрев какой-либо частный случай контакта де-
талей, скажем, контакт колеса с рельсом. Мысленно выделив
458
бесконечно малый параллелепипед в окрестности некоторой точ-
ки головки рельса (рис. 11.3), заключаем, что давление, дейст-
вующее на верхнюю грань параллелепипеда, должно вызвать
деформации не только в направлении оси г, но и в направлениях
осей х и у. Этим деформациям препятствует материал рельса,
окружающий мысленно выделенный параллелепипед и, следо-
вательно, на его гранях, перпендикулярных осям х и у, возни-
кают напряжения сжатия (см. стр. 123 и рис. .3.5). Конечно, при-
веденные рассуждения позволяют получить лишь качествен-
ное представление о характере напряженного состояния;
обстоятельное исследование, дающее количественные результа-
ты— величины главных напряжений, выполняют методами тео-
рии упругости.
Первое исследование напряженного состояния для случаев круговой пло-
щадки контакта и площадки контакта в виде прямоугольной полосы выпол-
нено А. Н. Динником (1876—1950) в работе, опубликованной в 1909 г. В ра-
ботах Н. М. Беляева (1890—1944), относящихся к 1924 и 1929 гг., дано полное
исследование напряженного состояния для общего случая эллиптической пло-
щадки контакта.
Дальнейшее развитие исследования контактной задачи получило в тру-
дах Н. И. Мусхелишвили, К. Каттанео, И. Я. Штаермана, А. И. Лурье,
Л. А. Галина.
В работах Н. И. Мусхелишвили и его учеников решение контактной зада-
чи рассматривалось как с учетом, так и без учета сил трения на поверхности
контакта.
Для развития методов практических инженерных расчетов большое зна-
чение имеют работы Б. С. Ковальского и М. М. Саверина, выполненные в
сороковых годах текущего столетия, по исследованию проблем контактной
прочности с учетом сил трения на контактной площадке.
§ 11.2. КОНТАКТ ТЕЛ, ОГРАНИЧЕННЫХ СФЕРИЧЕСКИМИ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
При контакте двух тел, ограниченных сферическими поверх-
ностями произвольных радиусов, площадка контакта ограничена
окружностью — круговая площадка контакта. Такую же форму
имеет эта площадка и при контакте двух цилиндров с взаимно
перпендикулярными осями и равными радиусами. Здесь огра-
ничимся рассмотрением лишь первого из указанных случаев,
разновидностями которого являются: а) контакт двух выпуклых
сферических поверхностей (рис. 44.4, а); б) контакт тела,
ограниченного выпуклой сферической поверхностью, со сфери-
ческой впадиной (рис. 11.4,6); в) контакт тела, ограниченного
сферической поверхностью, с плоскостью (рис. 11.4, в).
Закон распределения контактных давлений по площадке кон-
такта дан на рис. 11.5,6? в виде пространственной эпюры, на
которой буквой р обозначено давление в произвольной точке пло-
щадки контакта, а ро — максимальное давление, возникающее в
ее центре. В сечении любой плоскостью, проходящей через ось z,
459
например плоскостью zOx, плоская эпюра, показывающая рас-
пределение давлений вдоль любого диаметра контактной пло-
щадки, ограничена полуокружностью радиуса р0 (рис. 11.5,6).
Величины радиуса а контактной
Р
площадки, максимального
давления р0 и сближе-
ния 6 контактирующих
тел определяют по сле-
дующим формулам:
л = 0,9086 ^7^; (11.1)
/?0 = 0,5784
(П.2)
8=0,8255 1/ ОЩЯ. (П.з)
V Рпр
В этих формулах ц —
комбинированная упругая
постоянная материалов
контактирующих тел, связанная с их модулями упругости и
Е2 и коэффициентами Пуассона щ и ц2 зависимостью
Рис. 11.5
Приведенный радиус кривизны в месте контакта рпр опреде-
ляют из формулы
—=^±77-. (И-5)
Рпр R1
Здесь знак минус перед вторым слагаемым принимают для
случая контакта сферы со сферической впадиной (см. рис.
11.4, б). При контакте сферы с плоскостью (см. рис. 11.4, в)
Т?2= 00 м
460
Для большинства металлов и сплавов без большой погреш-
ности можно принять р1 = ц2 = 0,30; тогда взамен формул
(11.1) — (Н-З) получим
pQ = 0,3880
(И.6)
(П.7)
8 = 1,231 j/"f—V—.
Г \^пр / Рпр
Здесь дополнительно введено обозначение
_ 2ЕгЕ2
ПР + е2
(И.8)
(П.9)
* Величину £ПР иногда называют приведенным модулем упру-
гости контактирующих тел.
Необходимо подчеркнуть, что, несмотря на то что для мате-
риалов соприкасающихся тел справедлив закон Гука, все рас-
смотренные величины зависят от нагрузки (силы Р) нелиней-
н о. Отсюда следует, что к контактным задачам принцип неза-
висимости действия сил неприменим. Пусть, например, при дей-
ствии силы Pi максимальное контактное давление равно Роь
Предположим далее, что контактирующие тела дополнительно
нагружаются силой Р2 = 2РЬ т. е. нагрузка возрастает в три раза.
При этом максимальное контактное давление, как следует' из
формулы (11.2) или (11.7), poi,2 = poi]/3, т. е. ро возрастает-не в
три, а лишь в/ 3«1,44 раза.
Познакомимся с основными результатами исследования на-
пряженного состояния в точках зоны контакта. Ограничимся
случаями, когда pi = p2 = 0,30.
Для точки в центре контактной площадки (рис. 11.6) макси-
мальное по абсолютной-величине главное напряжение ог3 = —ро
возникает на грани элемента, касательной к поверхности кон-
такта. Остальные два главных напряжения для этой точки также
сжимающие-и равны между собой о’1 = о'2 =—О,8ро. Во всех дру-
гих точках максимальное по модулю напряжение меньше р0.
Наибольшее напряжение растяжения возникает в любой точ-
ке контура контактной площадки (см. рис. 11.6): oi = 0,133po;
при этом О1 = —Оз и о'2=0, т. е. здесь в отличие от центральной
точки не объемное, а плоское напряженное состояние; точнее,
его частный случай —'чистый сдвиг (см. § 3.3).
Если оценивать контактную прочность, применяя метод рас-
чета по опасной точке Сем. стр. 387), то надо выбрать ту или
461
иную-^ипотезу прочности и потребовать, чтобы для опасной точ-
ки выполнялось неравенство — условие прочности
оэкв<[°]. ,
При этом, естественно, возникает вопрос, какая именно точ-
ка'зоны контакта‘опасная. Или, иными словами, для какой точ-
ки по ,вы бранной гипотезе прочности эквивалент-
ное напряжение максимально.
Исследование этого вопроса для случая круговой площадки
контакта показывает, что точка, для которой оэш максимально,
Рис. 11.6
лежит на нормали к центру контактной площадки на глубине
0,48 а под поверхностью. Значения главных напряжений для этой
точки даны на рис. 11.6: 01 = 02 = — 0,18р0, Оз = —О,8Оро и, следо-
вательно (см.. стр. 391),
аэш=01 аз= 0Л&А) ( О,80р0)=О,62ро.
Подчеркнем, что, как следует из известной формулы
т =qi-q3
‘'max 2 ’
для указанной точки максимальное касательное напряжение
имеет наибольшее значение:
т<наиб) = °’80 =0,31 р0.
max 2 5
При круговой площадке контакта наибольшее значение экви-
валентного напряжения по гипотезе энергии формоизменения
462
оказывается таким же, как по гипотезе наибольших касательных
напряжений:
%v = О,62ро.
Для случая контакта цилиндров с параллельными образую-
щими (рис. 11.7, а)—начальный линейный контакт — при ре-
шении контактной задачи принято -дополнительное допущение:
цилиндры имеют бесконечно большую длину. Контактная пло-
щадка ограничена двумя параллельными прямыми — контакт-
ная полоска; по ее ширине давление распределено по эллипти-
Рис. 11.7
ческому закону. Максимальные давления действуют в точках
средней линии контактной полоски. Пространственная эпюра
контактных давлений, ограниченная поверхностью эллипсоида,
показана на рис. 11.7,6. Сечение этой эпюры плоскостью, пер-
пендикулярной линии начального контакта, т. е. эпюра распре-
деления давлений по ширине полоски контакта, дана на
рис. 11.7,8.
Полуширина b контактной площадки и максимальное кон-
тактное давление р0 при равномерно распределенной по длине
цилиндров нагрузке интенсивностью q (см. рис. 11.7, а) опреде-
ляются по формулам *
й=1,1281/ (11.10)
Г р»р
* Сравнительно громоздкую и имеющую ограниченное применение фор-
мулу для определения 6 не приводим, соответствующая формула дана, на-
пример, в монографии [38].
463
р0=0,5642
9Рпр
Т]
(11.11)
Значения ц и рпр определяются по формулам (11.4), (11.5).
В учебной и справочной литературе по деталям машин чаще
приводят* следующие формулы для величин b и ро, полученные
При Р4=Р2 = О,ЗО: ______
6 = 1,522 l/"--q---; . (11.12) -
V ^прРпр
^0=0,4180]/ (11.13)
V Рпр
где Впр определяется по формуле (11.9). »
Приведенные формулы показывают, что и в случае начально-
го линейного контакта характерный размер контактной пло-
Рис. 11.8
щадки и максимальное дав-
ление зависят от величины
нагрузки нелинейно.
В точках средней линии
контактной площадки на-
пряженное состояние —
трехосное сжатие (рис.
11.18), характеризуемое глав-
ными напряжениями tfi =
=—iO,6po; 02=03 =—Ро- Зна-
чение <У1 соответствует Ц1 =
= 112 = 0,30.
При оценке прочности по
гипотезе наибольших каса-
тельных напряжений опасна
точка, лежащая на норма-
ли к средней линии контактной площадки на расстоянии 0,78 b
от поверхности контакта (см. рис. ,1'1.8). Для этой точки oi =
= —0,18р0; ^2= —О,288ро; Оз = —О,78ро и, следовательно,
1 Йхб) == "С*’18770 ~п(~О,78ро)- = 0,30 р0;
2
°9ni = — 0,18р0 — (— О,78ро) = О,6Оро.
При применении гипотезы энергии формоизменения опасной
оказывается точка, лежащая на той же нормали, но несколько
ближе к поверхности — на расстоянии 0,70&, и эквивалентное
напряжение
%v =О,557ро.
Итак, при контактной площадке в виде прямоугольной поло-
ски, так же как и в случае круговой площадки контакта, экви-
464
валентное напряжение оказывается равным максимальному кон-
тактному давлению р0, умноженному на некоторый числовой
коэффициент. Обозначив его с, получим условие прочности, за-
писанное в виде
0эш = ‘7’о<И
ИЛИ
Таким образом, есть возможность вести расчет на прочность
без вычисления оЭкв непосредственно по величине ро:
Ро < koL
Допускаемое контактное давление устанавливают на основе
экспериментальных исследований контактной прочности и опыта
эксплуатации машин и сооружений. Практически в большинстве
случаев при записи.условия прочности приняты иные обозначе-
ния, чем приведенные. Учитывая, что ро численно равно наиболь-
шему по модулю главному напряжению для той точки контакт-
ной площадки, на которую передается это давление, т. е. ро =
= |о31, пользуются термином «контактное напряжение» и вво-
дят соответствующее обозначение стк: р0=|оз I =о’к. При этом
условие прочности записывают в виде
»,<[’»]• (И-14)
Допускаемое контактное напряжение [стк] зависит в основном
от свойств поверхностных слоев материала деталей и от харак-
тера изменения контактных напряжений во времени. Значения
[ок] существенно выше, чем допускаемые напряжения, прини-
маемые при оценке общей (на растяжение, изгиб и т. п.) прочно-
сти деталей. Из приведенных выше рассуждений получается, что
[ок] больше обычных допускаемых напряжений в 1/с раз, т. е.
ориентировочно в 1,6—1,7 раза. Практически [сгк] превышает до-
пускаемые напряжения, принимаемые при расчетах на общую
(или, как иногда говорят, объемную) прочность, в три-пять раз.
Некоторые соображения о причинах такого различия в величи-
нах допускаемых напряжений приведены в специальной литера-
туре (ом., например, [38]).
Для иллюстрации сказанного о величинах [стк] приведем не-
которые числовые данные. При расчетах стальных зубчатых ко-
лес (напряжения изменяются по циклу, близкому к отнулевому)
принимают [сТк]~400—700 н/мм2, а в случаях, когда поверхности
зубьев подвергнуты специальной термической или термохимиче-
ской обработке, обеспечивающей их высокую' твердость, [стк] мо-
жет быть в два-три. раза выше, чем указано. При определении
статической грузоподъемности шариковых.и роликовых подшип-
ников принимают [стк]~2000—3000 н[мм2 и выше.
465
Пример 11.1. Для опоры на шпиле (рис. 11.9) счетно-решающего устрой-
ства определить допускаемую величину нагрузки Р. При найденной величи-
не [Р] определить радиус контактной площадки. Материал керна — сталь У10А
(£ст=2,0*105 я/лглг2, Цст=0,30); материал подушки — агат (£а = 1,0 • 105я/лш2,
ра = 0,30*). Допускаемое контактное напряжение [ок] = 5000 я/лш2. Радиус
керна гк = 0,10 мм; радиус опорной поверхности подушки гп = 0,80 мм.
Рис. 11.9 Рис. 11.10
Решение. На основе формулы
приведенных на стр. 465, имеем
(11.7) и указаний о расчете на прочность,
3 f РЕ2
<+ = Ро = 0,3880 У -2^ < [ак].
' Рпр
.Отсюда
(р1= ..
L J 0,38803£2р
где [см. формулы (11.5) и (11.9)]
111 1 1
— = — — — =---------—------=8,75 Г
рпр + 0,10 0,80
* !
Рпр = о 71- = 0+1142 мм;
о, /о
2ЕстЕа 2-2,0-105-1,0-105
£пр~5ст+ Е& ~ 2,0-105+1,0-105
= 1,33-105 н/мм12.
Подставив в выражение для [Р] числовые данные, получим
, 50003-0,11422 ,
0,38803-(1,33-105)2 “ ’ Н'
* В технической литературе нет экспериментальных данных о величине
р для агата; расчетные формулы, применяемые при проектировании узлов при-
боров, основаны на указанном значении р.
466
По формуле (11.6) определяем радиус контактной площадки:
а = 1,109 j/^ = 1,109 j/^ - ’ j ’ * да2- = 1,12-10-2 мм = 11,2 мкм.
Пример 11.2. Проверить контактную прочность рабочей поверхности ходо-
вого колеса (рис. 11.10) тележки мостового крана при расчетной нагрузке на
колесо Р=40 кн. Материал колеса — стальное литье 55Л, [ок]=750 н!мм2.
Тележка работает на рельсе с плоской головкой. Определить полуширину
контактной полоски. Для колеса и рельса £=2,0 • 105 н!мм2.
Решение. Максимальное контактное давление определим по формуле
(11.13), подставив в нее
Р 40-103 ,
q = — — ——— = 667 н/мм;
£пр = Е = 2,0-105 н/мм2;
1 1 11
ЦММ,
Рпр Ркол Рр
где радиус кривизны поверхности колеса рКОл = Е)/2 = 125 мм и радиус
кривизны поверхности рельса с плоской головкой рр = оо,
Г Я ЕЩ) Г 667-2,0-10-5
/70 = 0,418 1/ ---= 0,418 1/ --------------= 432 /фиА
г Рпр V 125
Условие прочности ро = ак < [ак] выполняется.
Полуширина контактной полоски [см. формулу (11.12)]
6 = 1,522 1/ --=1,522 1/ - - ^7,9-10-з =7,9 мкм
V ЕтРт \/ 2,0-105.125
ГЛАВА XII
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
§ 12.1. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ.
КРИТИЧЕСКАЯ СИЛА
К числу задач курса сопротивления материалов, помимо рас-
смотренных в предыдущих главах расчетов на прочность и
жесткость, относятся также расчеты на устойчивость, пред-
варительное понятие о которых было дано в I главе. Расчет на
устойчивость имеет первостепенное значение для тех элементов
конструкций, которые представляют собой сравнительно длин-
ные и тонкие стержни, тонкие пластинки и оболочки. Здесь бу-
Рис. 12.1
дут рассмотрены лишь простейшие случаи расчета на устойчи-
вость сжатых стержней.
Напомним основные понятия о видах равновесия, известные
из курса теоретической механики.
Равновесие называется устойчивым, если при любом малом
отклонении от положения равновесия тело возвращается в ис-
ходное положение по устранении причины, вызвавшей это откло-
нение. Примером может служить шарик, который положен на
сферическую поверхность, как показано на рис. 12.1, а. Равно-
весие называется неустойчивым, если при любом малом откло-
нении от положения равновесия тело не- возвращается в исход-
ное положение, а все далее отклоняется от него. В состоянии
неустойчивого равновесия находится шарик, помещенный в верх-
ней точке сферической поверхности (рис. 12.1, б). При безразлич-
ном равновесии тело, будучи отклонено, остается в равновесии
и в новом положении (рис. 12.1, в).
Для задач механики абсолютно твердого тела характерно, что
вид равновесия не зависит от величины действующих на тело
468
сил, в частности, в рассмотренном примере не зависит от веса
шарика. В сопротивлении материалов, т. е. в механике деформи-
руемого тела, основным является установление зависимости ви-
да равновесия от величины сил, действующих на элемент кон-
струкции.
Рассмотрим сравнительночдлинный и тонкий прямолиней-
ный стержень, нагруженный центрально приложенной сжимаю-
щей силой (рис. 12.2, а). Если-приложить к стержню поперечную
нагрузку, т. е. слегка изогнуть его, то при малых значениях сжи-
мающей силы после снятия поперечной на-
грузки стержень вернется в прямолинейное
Р>РКР состояние. Это значит, что прямолинейная
' форма равновесия оси стержня устойчива.
При большем значении сжимающей силы
слегка изогнутый поперечный нагрузкой стер-
жень после ее устранения медленнее, как бы «неохотнее», воз-
вращается в прямолинейное состояние. Но все же прямолиней-
ная форма равновесия еще устойчива. Наконец, при некотором
значении сжимающей силы прямолинейная форма равновесия
оси стержня 'становится неустойчивой и возникает новая устой-
чивая форма равновесия — криволинейная. Происходит выпучи-
вание стержня (рис. 12.2, б). Существенно, что при достижении
сжимающей силой того значения (критического), при котором
прямолинейная форма равновесия оси стержня становится не-
устойчивой, для перехода к криволинейной форме нет надобно-
сти прикладывать к стержню поперечную нагрузку, изгиб стер-
жня происходит без видимых внешних причин. По этому поводу
в работе И. Я. Штаермана и А. А. Пиковского [66] сказано: «(Ве-
роятность того, что стержень изогнется, безгранично больше ве-
роятности сохранения им прямолинейной формы; природа не
терпит неустойчивых форм равновесия и всегда создает причи-
ны, переводящие тела в состояние устойчивого равновесия».
Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости прямоли-
нейной формы его равновесия, называют продольным изгибом.
На основе изложенного можно дать следующее определение:
то наибольшее значение центрально приложенной сжимающей
силы, до которого прямолинейная форма равновесия стержня
устойчива, называется критическим. •
469
шается в буквальном смысле слова, то
Рис. 12.4 '
была потеря устойчивости их сжатых
Итак, при сжимающей силе, меньшей критической, стержень
работает на сжатие; при силе, большей критической, стержень
работает на совместное действие сжатия и изгиба. Даже при
небольшом превышении сжимающей нагрузкой критического
значения прогибы стержня и возникающие в нем напряжения,
как правило, недопустимо велики.
Характер нарастания прогибов стержня при превышении си-
лой критического значения иллюстрируется рис. 12.3. Если при
силе, незначительно большей критической, стержень и не разру-
конструкция все же вы-
ходит из строя, в ре-
зультате возникнове-
ния больших переме-
щений. Поэтому с точ-
ки зрения практичес-
ких расчетов критиче-
ская сила должна рас-
сматриваться как раз-
рушающая нагрузка.
История техники
знает большое число
примеров, когда при-
чиной аварий инже-
нерных сооружений
элементов (ряд случаев
описан и проанализирован в работах [13, 14]).
Потеря устойчивости первоначальной формы упругого рав-
новесия при достижении нагрузкой критического значения ха-
рактерна не только для сжатых стержней, но и для ряда других
элементов конструкций. Например, при сжатии кольца или тон-
кой оболочки радиально направленными силами (рис. 12.4, а)
при некотором их значении (критическом) круговая форма оси
кольца становится неустойчивой, и оно приобретает форму, по-
казанную на рис. 12.4, б. Характер деформации кольца сущест-
венно изменяется: при нагрузке, меньшей критической, кольцо
работало на сжатие, а после потери устойчивости — на сжатие
и изгиб.
Консоль вытянутого прямоугольного сечения, работающая
на прямой изгиб в плоскости наибольшей жесткости
(рис. 12.5,а), при критическом значении изгибающей силы за-
кручивается (рис. 12.5, б) и вместо изгиба испытывает совмест-
ный изгиб и кручение. Этот случай называют потерей устойчи-
вости плоской формы изгиба.
Таким образом, все задачи расчета на устойчивость харак-
терны тем, что при достижении нагрузкой критического значе-
ния происходит резкое к а ч е ст в ен н о е изменение характера
деформации элемента конструкции. При этом новый вид упру-
470
гого равновесия, соответствующий нагрузкам, большим крити-
ческих, связан с- недопустимо большими перемещениями — с
выходом конструкции из строя. Следовательно, расчет на устой-
чивость должен обеспечить работу элемента конструкции при
первоначальной форме его упругого равновесия, т. е. при нагруз-
ках, меньших критических.
Применительно к расчету сжатых стержней из сказанного
следует, что должны быть обеспечены такие соотношения между
размерами стержня, характеристиками его материала и дейст-
вующей на него нагрузкой, при которых гарантируется его ра-
бота на сжатие без опасности продольного изгиба.. Это значит,
что фактически действующая или допускаемая сжимающая сила
должна быть в некоторое число раз меньше критической. Это
условие устойчивости прямолинейной формы.равновесия стерж-
ня может быть записано так:
= (12.1)
[/7у1
здесь [Р] — допускаемое зна-
чение силы, сжи-
мающей стержень;
Ркр — критическое зна-
чение сжимающей
силы для рассчи-
тываемого стерж-
ня;
[%]— заданный (требу-
емый) коэффици-
ент запаса устой-
чивости.
Отсюда следует, что для
расчета на устойчивость не-
обходимо иметь зависимости
Рис. 12.5
для определения критической
силы.
§ 12.2. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Рассмотрим вопрос о величине критической силы сжатого
стержня, оба конца которого закреплены шарнирно* (рис. 12.6,а).
Пусть стержень находится, в несколько изогнутом состоянии
(рис. 12.6,6). Допустим, что потеря устойчивости происходит
* Здесь и в дальнейшем применяются такие же обозначения шарнирных
опор, как и в предыдущих главах курса, но при этом подразумевается, что
эти опоры являются пространственными, т. е. характер закрепления конца,
стержня во всех направлениях одинаков. В частности, шарнирно неподвижная
опора препятствует линейным перемещениям как в плоскости, так и из'плоско-
сти чертежа.
471
при напряжениях, не превышающих предела пропорциональ-
ности (оПц) материала стержня. .При этом условии спра-
ведливо дифференциальное уравнение упругой линии [форму-
ла (7.4)]:
1 ~ d2v
р dz% ~ EJ ’
В рассматриваемом случае абсолютная величина изгибающе-
го момента в произвольном поперечном сечении стержня опре-
деляется из выражения M = Pv и дифференциальное уравнение
изогнутой оси стержня будет иметь вид
d^v Pv
dz% EJ '
знак минус поставлен потому, что независимо от выбора по-
ложительного направления оси Оу знаки кривизны — и орди-
\ Р /
наты прогиба v будут противоположны.
В результате решения этого дифференциального уравнения и
использования граничных условий, определяемых способами за-
крепления концов стержня, полу-
чается следующее выражение
для критической силы, называе-
мое формулой Эйлера:
Pw=^~ (12.2)
Очевидно,-что при потере ус-
тойчивости изгиб стержня проис-
ходит в плоскости наименьшей
жесткости, т. е. каждое из его
поперечных сечений поворачи-
вается вокруг той из главных
осей, относительно которой мо-
мент инерции минимален, поэто-
му в формулу Эйлера входит
величина Лп1п.
Заметим, что для стальных
стержней, рассчитываемых на
устойчивость по формуле Эйлера, применение высококачествен-
ной легированной стали не имеет смысла, так как модуль упру-
гости практически для стали всех марок одинаков. Следователь-
но, при данных размерах стержня замена обычной стали леги-
рованной не дает увеличения его грузоподъемности.
472
* Покажем ход преобразований, приводящих к получению
формулы Эйлера.
Предварительно несколько уточним саму постановку задачи
о нахождении критической силы *. По Эйлеру, признаком не-
устойчивости формы равновесия служит существование смеж-
ной (т. е. сколь угодно близкой к исходной) отклоненной формы
равновесия при неизменной нагрузке. Возникновение такой воз-
можности, зависит от уровня нагрузки. Если сжимающая сила
достигает критического значения, то происходит разветвление
(бифуркация) форм равновесия и при Р>РК1? устойчивой стано-
вится отклоненная форма. Таким образом, определению подле-
жит то минимальное значение сжимающей силы, при котором
наряду с прямолинейной формой равновесия становится воз-
можной слегка искривленная форма.
Введем обозначение
и перепишем исходное дифференциальное уравнение следующим
образом:
т)" -}-k2ev==Q. (б)
Это так называемое однородное дифференциальное уравнение
второго порядка. Его решение имеет вид
v= A sin kz-\- В cos kz,
где А и В — постоянные интегрирования. В справедливости при-
веденного решения можно легко убедиться путем его подстанов-
ки в выражение (б).
Значения А и В определяются из граничных условий. При
2 = 0 п = 0. Подставляя эти значения в (б), получаем В = 0. Сле-
довательно, уравнение упругой линии таково:
v = Asmkz, (в)
т. е. ось изогнутого стержня имеет форму синусоиды.
Второе граничное условие вытекает из равенства нулю про-
гиба нижнего конца стержня, т. е. при z=l у = 0. Подставляя
эти значения в (в), получаем
О— Asin kl.
Решение 4 = 0 сортветствует прямолинейной форме равно-
весия сжатого стержня (п = 0) и поэтому не представляет инте-
реса.
* См.: я. Г. П а н о в к о и И. И. Губанова. Устойчивость неколе-
бания упругих систем. М., «Наука», 1964.
473
Следовательно,
sin^Z=O. (г)
Наименьший корень (обозначим его &кр), удовлетворяющий
(г): kK$l — n, позволяет определить величину критической силы
(корень k — Q соответствует Р = 0, т. е. не имеет смысла):
Учитывая соотношение (а), получаем—=——,
/2 £-7min
Ж—j J fTIf П ••
откуда
Рассмотренный пример шарнирного закрепления обоих кон-
цов стержня, когда его изогнутая ось при потере устойчивости
представляет собой одну полувол-
ну синусоиды, принято называть
основным случаем продольного из-
гиба. При других способах закреп-
ления концов стержня формулу для
определения критической силы мо-
жно так же, как и для основного
случая, получить путем составле-
ния и решения соответствующего
Рис. 12.8
дифференциального уравнения. Для некоторых простейших слу-
чаев можно прийти к формуле для критической силы путем со-
поставления формы изогнутой оси с той, которая получается у
стержня с шарнирно закрепленными концами. Например, стер-
жень с жестко защемленным нижним и свободным верхним кон-
цом при потере устойчивости изогнется, как показано на рис.
474
12.7. Он будет находиться в таких же условиях, как половина
стержня по рис. 12.£j, б, его изогнутая ось представляет собой
четверть волны синусоиды. Следовательно, величину критиче-
ской силы можно определить по формуле Эйлера для основного
случая, подставив в нее^удвоенную длину стержня вместо фак-
тической,
D __ .
кр“ (21)2
Для случая стержня с жестко закрепленными концами фор-
ма изогнутой оси показана на рис. 12.8. Здесь одна полуволна
синусоиды занимает половину длины стержня, и в формулу
(12.2) надо подставить вместо фактической длины ее половину.
Итак, при любом способе закрепления концов стержня фор-
мулу для критической силы можно представить в виде, ана-
логичном (12.2), но вместо фактической длины стержня надо
ввести так'называемую приведенную длину /прИВ:
г,
Гкр = /2
прив
(12.3)
Приведенную длину стержня удобно выразить через факти-
ческую длину и некоторый коэффициент ц, зависящий от спо-
собов закрепления концов стержня:
^Прив
Коэффициент [л называют коэффициентом приведения дли-
ны; его значения для наиболее часто встречающихся случаев за-
475
крепления концов стержня приведены на рис. 12.9: а — оба кон-
ца стержня закреплены шарнирно (могут сближаться); б — ниж-
ний конец жестко защемлен, верхний свободен; в — оба конца
жестко защемлены (могут сближаться); г— нижний конец за-
креплен жестко, верхний — шарнирно (могут сближаться); д —
нижний конец закреплен жестко, верхний имеет «плавающую»
заделку.
Из рассмотренных примеров (см. рис. 12.7, 12.8). следует, что
коэффициент ц представляет собой величину, обратную числу
т] полуволн синусоиды упругой линии стержня, потерявшего
устойчивость
Таким образом, в общем случае будем записывать формулу
Эйлера в виде
р________n'2Z?Jmjn
((1ZJ2
(12.4)
При выводе формулы Эйлера вопрос о величине прогибов стержня при
силе, большей критической, остался нерешенным: неопределенной осталась
величина постоянной интегрирования А. В рамках использования приближен-
ного дифференциального уравнения упругой линии его решение вообще не-
возможно. Если выводить формулу Эйлера, пользуясь точным выражением
кривизны (см,, стр. 290), то значение критической силы совпадает с даваемым
формулой (12.2),„но одновременно может быть получена формула для опреде-
ления прогибов.
Максимальный прогиб для стержня с шарнирно закрепленными концами
определяется по формуле
(12. 5)
На основе этой формулы нетрудно получить подтверждение приведенных
в предыдущем параграфе данных о чрезвычайно быстром нарастании проги-
бов при превышении сжимающей силой критического значения. Например,
при Р = 1,01Ркр из (12.5) получим v шах= 0,0895 I, т. е. стрела прогиба состав-
ляет ~ 9 % от длины стержня.,
§ 12.3. КРИТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕНИЕ.
ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого
стержня, соответствующее критическому значению сжимающей
силы, также называется критическим.
Определим величину критического напряжения (окр), исходя
из формулы Эйлера. По определению,
476
Подставляя вместо РКр ее значение по формуле (12.4), получаем
& ___ л£7Г-/т}п
КР~ WF
Геометрическую характеристику сечения
i
имеющую размерность длины, называют радиусом инерции се-
чения относительно данной оси (например, оси х). Следователь-
но, отношение /Шш: F в формуле для акр представляет собой
квадрат минимального радиуса инерции поперечного сечения
стержня (Z^in). Таким образом,
__ •TC'^min
°кр— W ‘
Разделив числитель и знаменатель на Z^in, получим
°к₽~ / у
Vmin /
Отношение приведенной длины стержня к минимальному
радиусу инерции eio поперечного сечения по предложению проф.
Ф. С. Ясинского называют гибкостью стержня (или стойки). Это
весьма удобная безразмерная геометрическая характеристика
сжатого стержня, показывающая его сопротивляемость потере
устойчивости, она одновременно отражает и длину стержня и
жесткость его поперечного сечения:
гтш
Используя ,понятие гибкости (X) стержня, получаем следую-
щую окончательную формулу для критического напряжения:
”«Р=ПГ- (12.7)
При выводе формулы Эйлера была использована зависи-
мость между изгибающим моментом и кривизной оси стержня,
полученная на основе закона Гука (см. § 7.5).' Отсюда следует,
что, как уже указывалось в предыдущем параграфе, формула
Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука,
т. е. при условии, что [критическое напряжение уе превышает пре*
дела пропорциональности материала \стержня:
о о
кр ПЦ*
477
Подставляя значение оКр по (12.7), получаем
а =---------------------------а
кр Х2 пц,
отсюда
V %ц
Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обоз-
начим Лпред и назовем предельной гибкостью (иногда говорят —
граничная гибкость):
Че. = Л1/—• (12.8)
г апц
В отличие от гибкости стержня, представляющей собой его
геометрическую характеристику, предельная гибкость, зависит
только от физико-механических свойств материала стержня и не
зависит от его размеров. Предельная гибкость — величина по-
стоянная для данного материала.
Пользуясь понятием предельной гибкости, удобно предста-
вить условие применимости формулы Эйлера в виде
(12-9)
т. е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гиб-
кость рассчитываемого стержня больше или равна предельной
гибкости для материала, из которого он изготовлен.
В качестве примера вычислим значение ЯПред для малоуглеро-
дистой стали Ст. 3, имеющей модуль продольной упругости
£ = 2,0 • 105 н!мм2 и предел пропорциональности апц~200 hi мм2,
. , -j /~ Е о 1 л 1 /~2,0-105 _
Хпоед = л I/ --=3,14 1/ --------~ 100.
пред V %ц И 200
В случае неприменимости формулы Эйлера величина крити-
ческого напряжения определяется по эмпирическим формулам,
составленным Ф. С. Ясинскйм на основе опытов, проведенных
рядом исследователей. Для некоторых конструкционных мате-
риалов формула Ф. С. Ясинского имеет вид ,
(12.10)
т. е. зависимость критического напряжения от гибкости линейна.
В формуле (12.10) а и b — определяемые опытным путем коэф-
фициенты, постоянные для данного материала. Коэффициенты а
и b имеют размерность напряжения.
При некотором значении гибкости (обозначим ее Яо) величи-
на оКр, вычисленная по формуле (12.10), становится равной пре-
дельному напряжению при сжатии, т. е. пределу текучести (о^
478
'или По,2с) для пластичных материалов или пределу прочно-
сти (Опчс) для хрупких. При гибкости, меньшей Ао, принимают,
что.критическое напряжение совпадает с предельным, в частнос-
ти, для пластичных материалов окр = от. Таким образом, в зави-
симости от гибкости сжатые стержни условно делят на три ка-
тегории:
1. Стержни большой гибкости (А^ АПред), для которых расчет
на устойчивость ведется по формуле Эйлера и зависимость оКр
от А гиперболическая: оКр = --- (так называемая гипербола
Эйлера).
2. Стержни средней гибкости (\}<Л<ЛнОед) рассчитываемые
на устойчивость по эмпирической формуле Ф. С. Ясинского. Для
них зависимость о1ф от гибкости линейна: ОкР = а— ЬК.
3. Стержни малой гибкости (А<А0), рассчитываемые не на
устойчивость, а на прочность. Для них критическое напряжение
считается постоянным: оКр = от, или оКр = Оо,2с, или Окр = оЕгас-
Для стали Ст.З характер зависимости критического напряже-
ния от гибкости представлен на рис. 12.10. На этом графике
штриховой линией показано продолжение гиперболы Эйлера в
область ее неприменимости (А<Апред); она проходит выше линии
479
критических напряжений, установленных опытным путем. Это
значит, что при неправильном применении формула Эйлера дает
преувеличенное значение критического напряжения (критичес-
кой силы); как следствие, и допускаемое значение сжимающей
силы получается преувеличенным, что может повлечь за собой
аварию конструкции.
Приведем для некоторых материалов значения коэффициен-
тов а и Ь, а также значения гибкости, при которых применима
формула (12.10).
а, Материал hJmm2 ь, н\мм2 ^0 ^пред
Сталь Ст.2 250 0,668 60 105
Сталь Ст.З 310 1,14 60 100
Сталь 20, Ст.4 343 1,42 60 95
Сталь 45 589 3,82 60 85
Дуралюминий Д16Т 400 3,33 30 60
Соспа, ель 29,3 0,194 — 70
Для стержней из чугунного литья (при 7<7пред~ 80) пользу-
ются параболической зависимостью Gkp = 776— 122v+0,0532? [н/мм2]. (12.Н)
Формула применима при оКр<сГпчс. Например, для чугунного
литья СЧ15-32 сгПчс = 650 н/мм2 и Хо=Ю.
В зависимости от постановки задачи (цели расчета) следует
различать три вида расчетов на устойчивость:
1. Проверочный расчет, при котором определяется фактический
коэффициент запаса устойчивости (/гу) и сравнивается с требуе-
мым или нормативным его значением ([иу]),
(12.12)
где Р — фактическое значение сжимающей нагрузки.
2. Определение допускаемой нагрузки
1р]=ГТ- (12.13)
3. Проектный расчет — определение требуемых размеров по-
перечного сечения стержня.
При использовании формулы Эйлера в результате проектного
расчета определяется требуемое значение минимального момента
инерции поперечного сечения стержня:
. ppzyJW
mi“ Jt2£
(12. 14)
После определения Jmin, F и /min следует проверить гибкость
стержня и сравнить ее с предельной, т. е. установить, правильно,
ли была применена формула Эйлера. Если окажется, что при
480
принятых размерах А,<%Пред, необходимо произвести пересчет.
При выполнении проектного расчета по формуле Ф. Q. Ясинского
приходится вести его путем ряда попыток, так как окр зависит от
гибкости, а она до определения размеров сечения, неизвестна.
Значение требуемого коэффициента запаса устойчивости за-
висит в основном от назначения рассчитываемого стержня и его
материала. Так, для стальных стержней принимают: в строитель-
ных конструкциях [пу]= 1,74-2,0, для элементов машинострои-
тельных конструкций, например для ходовых винтов металлоре-
жущих станков, [пу] = 4,04-5,0.
Для чугунных стержней — в среднем [цу] = 5,0; для деревян-
ных — в среднем [пу] = 3,0.
Из формулы Эйлера, а также из формулы Ф. С. Ясинского
следует, что величина критической силы возрастает с увеличе-
нием минимального момента инерции поперечного сечения стерж-
ня. Так как устойчивость стержня определяется значением ми-
нимального момента инерции его поперечного сечения, то, оче-
видно, нет смысла применять такие формы сечений, у которых
минимальный и максимальный моменты инерции значительно
отличаются друг от друга (например, прямоугольное, двутавро-
вое). Рациональны сечения, у которых любая центральная ось
является главной и, следовательно, все главные моменты равны
между собой (см. стр. 214). Стойка, имеющая такое сечение, об-
ладает равноустойчивостью во всех направлениях. Из сечений
указанного типа следует выбирать такие, которые обладают
наибольшим моментом инерции при наименьшей площади (за-
трате материала). Указанным требованиям удовлетворяет коль-
цевое сечение. Часто применяют также сечения, составленные из
прокатных профилей, расположенных таким образом, что все
главные моменты инерции полученного составного сечения оди-
наковы (см. ниже пример 12.6). Для обеспечения совместной ра-
боты составного стержня отдельные его ветви должны быть свя-
заны надежной соединительной решеткой.
Первым ученьем, в работах которого имеются упоминания о расчете ко-
лонн, был Леонардо да Винчи. Он считал, что несущая способность колонны
обратно пропорциональна ее длине и прямо пропорциональна площади попе-
речного сечения.
Формула для определения критической силы была выведена Эйлером в
1744 г. для случая стержня с одним концом, жестко закрепленным, и другим —
свободным. Для случая стержня с шарнирно закрепленными концами значе-
ние РКр было дано Лагранжем (1736—1813). Им же получено (в виде бес-
конечного ряда) выражение для прогиба стержня при силе, большей крити-
ческой. Значения Ркр, полученные Лагранжем при интегрировании точного и
приближенного дифференциальных уравнений упругой линии, оказались оди-
наковыми.
Опытная проверка формулы Эйлера была произведена в 1840 г. Ходкин-
соном (1789—1861). Для гибких сплошных стержней было установлено хоро-
шее соответствие с формулой Эйлера. Весьма тщательно поставленные в
1910 г. опыты Кармана также дали очень хорошее совпадение с формулой
Эйлера.
16-1451 481
В 1845 г. французский ученый Ламарль указал предел применимости
формулы Эйлера. При этом он считал для мягкой стали пределы пропорцио-
нальности и упругости совпадающими с пределом текучести.
В XIX в. появились первые эмпирические формулы для определения кри-
тического напряжения в случаях неприменимости формулы Эйлера. Формулы
эти базировались на недостаточном количестве экспериментов, к тому же не
отличавшихся высокой точностью, и потому были не совсем надежны.
Первые надежные испытания колонн были выполнены Баушингером в
1887 г. Эти работы продолжил Тетмайер в Цюрихском политехническом ин-
ституте. Ряд опытов был проведен во Франции Консидером. Результаты иссле-
дований Баушингера, Тетмайера и Консидера были обобщены профессором
Петербурского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским
(1856—1899), который составил таблицу для определения критических напря-
жений в зависимости от гибкости и дал соответствующие эмпирические фор-
мулы *. Ф. С. Ясинский первым ввел понятие приведенной длины стержня.
Немецкий ученый Ф. Энгессер (1848—1931) сделал попытку теоретическо-
го решения вопроса об определении критической силы при потере устойчиво-
сти в неупругой области.
Вопросы устойчивости плоской формы изгиба балок исследовал Прандтль
для случая узкого прямоугольного сечения и С. П. Тимошенко — для двутав-
ровых балок.
Общая теория изгиба, кручения и устойчивости тонкостенных стержней
открытого профиля (например, типа прокатного уголка) была дана С. П. Ти-
мошенко и независимо от него в другой, более полной постановке членом-
корреспондентом АН СССР В. 3. Власовым (1906—1958).
Проф. Е. Л. Николаи (1880—1950) дал решение задачи об определении
критической нагрузки при совместном сжатии и кручении стержня.
Подробные сведения об истории развития важнейшей отрасли строитель-
ной механики — устойчивости упругих систем — интересующиеся найдут в кни-
ге С. П. Тимошенко [56].
Пример 12.1. Проверить па устойчивость сжатую стойку трубчатого сече-
ния (рис. 12.11) из хромомолибденовой стали (апц = 540 н).мм2, £'=2,15Х
X 105 н)мм2), если требуемый коэффициент запаса устойчивости [ny] = 3,5.
Решение. Определяем предельную гибкость для материала стойки:
2,15-105
-4-------^63.
540
р/
1 min
Определяем гибкость стойки:
Момент инерции сечения (в данном случае любая центральная ось глав-
ная и все центральные моменты инерции равны между собой)
, 3,14-764 Г /64VI О1 л
/„in = J = (I - <*) = —[1 - (7-6) = 81 Л-104
Площадь сечения
у (1-с2) =
3,14.-762
4
= 1319 млР.
* Описанию жизни и научной деятельности Ф. С. Ясинского посвящена
ушига А. Н. Митинского [32].
482
Радиус инерции
, Л7" / 81,4-104'
]/ F ~у 1319
= 24,8 мм.
Коэффициент приведения длины р«0,7 (см. рис. 12.9).
Гибкость стойки
Так как гибкость стойки больше предельной
силу определяем по формуле Эйлера:
л2£7т!п 3,142.2,15.105-81,4-104
Л<Р =
(Х>Лпред), то критическую
г
= 564-103 н = 564 кн.
(pZ)2 (0,7.2,5-103)2
Определяем коэффициент запаса устойчивости и сравниваем с заданным:
Л<р 564
Пу = '~Г = 150 = 3176 >[Я^
Пример 12-2. Для заданной стойки двутаврового поперечного сечения
(рис. 12.12) определить допускаемое значение сжимающей силы. Материал
стойки —- сталь Ст.З, коэффициент запаса устойчивости [«у] = 2,0. Выяснить,
как изменится допускаемая нагрузка, если длину стойки уменьшить вдвое.
р/
Решение. Определяем гибкость стойки X = —-------.
zmin
Коэффициент приведения длины р = 0,5 (см. рис. 12.9); Zmjn = гv =
= 2,63 см (по ГОСТ 8239-56);
, 0,5-7,2-103
1 ..~ 1 ат
16*
483
Для стали Ст.З ХПред==Ю0 (см. стр. 480), следовательно, ^>ХПред и фор-
мула Эйлера применима.
Определяем допускаемое значение сжимающей силы:
Лер n2£/min 3,142.2,0-105.260-104
[Pl =-------=----------=-----------------------— 198-103 н = 198 кн,
1 J [Пу] [Пу](иО2 2(0,5-7,2-103)2
где принято £ = 2,0-Ю5 hImm’1; Jmin = Jy — 260 см^.
При уменьшении длины стойки вдвое критическая сила возрастет не в че-
тыре раза, как можно было бы ожидать, исходя из формулы Эйлера,
а меньше.
Гибкость укороченной стойки Xi=68,5, т. е. меньше предельной, и форму-
ла Эйлера неприменима. Допускаемую нагрузку определяем, пользуясь эмпи-
рической формулой (12.10) и данными, приведенными на стр. 480,
(»-W1)F
[Пу] [Пу]
(310- 1,14-68,5)37,5-102
---------5--—-1—5----------= 453-103 н = 453 кн.
Таким образом, критическая сила возросла лишь в 2,29 раза. Этот пример
подтверждает, что использование формулы Эйлера в области ее непримени-
мости приводит к завышенному значению критической, а значит, и допускае-
мой нагрузки.
Пример 12.3. Определить из расчета на устойчивость требуемый диаметр
винта домкрата (рис. 12.13, а) грузоподъемностью Р=50 кн. Максимальная
высота подъема груза /=900 мм; требуемый коэффициент запаса устойчиво-
сти [иу] = 4,0. Материал винта — сталь Ст. 4.
Решение. Требуемый момент инерции поперечного сечения винта опреде-
ляем, исходя из формулы Эйлера, по соотношению (12.14).
Рассматриваем винт как стойку с нижним жестко защемленным и верх-
ним свободным концом (см. расчетную схему на рис. 12.13,5), т. е. ц=2;
£=2,0 • 105 н!мм2.
Р[пу](|Д)2 50-103.4(2-900)2 п
in = 7 —--------------= - ~ = 32,8-104 мм^.
min л2£ 3,142.2,0-105
Определяем диаметр винта rfi (расчет винтов принято вести по внутрен-
нему диаметру резьбы):
J — "-Г, откуда
64
3,14
64-32,8-104
= 51 мм.
=
Принимаем трапецеидальную резьбу с наружным диаметром d=60 мм
(по ГОСТ 9848—60), имеющую di = 51 мм и шаг 5=8 мм.
Расчет был выполнен на основе формулы Эйлера. Убедимся в допусти-
мости ее применения (в начале расчета эта проверка невозможна, так как раз-
меры сечения, а следовательно, и гибкость стержня неизвестны). Радиус инер-
ции сечения винта
— = — = 12,75 мм.
4 4
484
[il 2-900 -
Гибкость винта X =—==-——== 141 > лпред~95,
i
следовательно, формула Эйлера была применима.
Пример 12.4. Стержень прямоугольного сечения закреплен таким образом,
что в плоскости наибольшей жесткости концы его могут свободно поворачи-
ваться, а в плоскости наименьшей жесткости поворот концевых сечений исклю-
чен (рис. 12.14).
Рис. 12.13
Рис. 12.14
Определить допускаемое значение центрально приложенной сжимающей
силы, если [пу ]=4,0. Материал стержня—сталь Ст.5, £=2,0-105 н!мм2.
Решение. В рассматриваемом случае закрепление концов стержня в глав-
ных плоскостях инерции различно, поэтому расчет следует вести, исходя из
опасности потери устойчивости вокруг той из главных осей, относительно ко-
торой гибкост!» стержня максимальна.
Определяем радиусы инерции сечения:
, ГJx , / b№ h 72
ijc=zy F 12bh~ /12 ~ 3,46 = 20,8 MM’
ty =
b 38
7^=з^ = ,,ЛЛ
485
Определяем значение гибкости относительно главных осей Хх=-у-;р.1=
I %
= 1,0 (концы стержня могут поворачиваться):
, 1-2500
\х=-----=120,
х 20,8
^У~-—; (концы стержня не могут поворачиваться);
,У , 0,5-2500
4=-^—=И4.
Таким образом, опаснее потеря устойчивости в плоскости наиболь-
шей жесткости, т. е. (/экр)х<(Л<р)у.
Определяем допускаемое значение сжимающей силы. Расчет ведем
по формуле Эйлера, так как Хх > ХПред~90,
38-723
(р \ 3,142.2,0-105 ——
= 93-103 н = 93 кн.
4-25002
§ 12.4 РАСЧЕТ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ПРОДОЛЬНОГО ИЗГИБА
Расчет сжатых стержней на устойчивость можно по форме
привести к расчету на простое сжатие, принимая в качестве до-
пускаемого некоторую часть от критического напряжения:
Р /Г 1
3=“7
скр
где [оу]=—----допускаемое напряжение на сжатие с учетом
опасности продольного изгиба, или, короче,
допускаемое напряжение при расчете на
устойчивость.
Обычно [оу] выражают через основное допускаемое напряже-
ние на сжатие для данного материала:
Здесь <р 1,0 — коэффициент понижения основного допускае-
мого напряжения на сжатие или коэффициент продольного из-
гиба-, [ос]— основное допускаемое напряжение на сжатие, т. е.
установленное без учета опасности продольного изгиба:
• г спред
L J [«]
Связь между коэффициентом <р, критическим напряжением оКр,
предельным напряжением оПред и коэффициентами запаса проч-
ности [и] и устойчивости [пу] легко установить следующим
образом:
486
пред
°v =? °с
[п]
откуда
°кр
1«У1 ’
скр W
спред [иу]
(12. 15)
Величина коэффициента ф зависит от материала стержня и
от его гибкости. Для строительных конструкций значения этих
коэффициентов включены в строительные нормы и правила про-
ектирования. Для некоторых материалов значения ф по СНиП
приведены в табл. 12.1.
Таблица 12.1
Значения коэффициентов продольного изгиба
Гибкость Сталь Ст.З, Ст.4 Сталь Ст.5 Чугун СЧ12-28 С 415-32 СЧ18-36 СЧ21-40 Дерево
0 1,00 1,00 1,00 1,00
10 0,90 0,98 0,97 0,99
20 0,97 0,96 0,91 0,97
30 0,95 0 93 0,81 0,93
40 0,92 0,90 0,69 0,87
50 0,89 0,85 0,57 0,80
60 0,86 0,80 0,44 0,71
70 0,81 0,74 0,34 0,61
80 0,75 0,67 0,26 0,49
90 0,69 0,59 0,20 0,38
100 0,60 0,50 0,16 0,31
ПО 0,52 0,43 0,25
120 0,45 0,37 0,22
130 0,40 0,32 0,18
140 0,36 0,28 0,16
150 0,32 0,25 0,14
160 0,29 0,23 0,12
170 0,26 0,21 — 0,11
180 0,23 0,19 —_ 0,10
190 0,21 0,17 0,09
200 0,19 0,15 0,08
210 0,17 0,14
220 0,16 0,13 — —
При выполнении расчетов на устойчивость по коэффициен-
там ф расчетные зависимости имеют следующий вид:
а) при проверочном расчете
о
(12. 16)
б) при определении допускаемой нагрузки
(12.17)
487
в) при проектном расчете
?[ас]
(12.18)
Этот метод расчета универсален в том смысле, что он не свя-
зан с пределами применимости формулы Эйлера и может быть
использован при всех значениях гибкости, для которых имеются
табличные значения коэффициента ср.
Коэффициент запаса устойчивости в этом расчете в явном
виде не фигурирует, он включен в величину <р.
У Vi
77Я777
Рис. 12.16
Р
г -ЗЕг
Расчет сжатого стержня по формулам (12.16) — (12.18)
внешне совершенно подобен расчету на простое сжатие, но фак-
тически это расчет на устойчивость, гарантирующий работу
стержня с коэффициентом запаса устойчивости, предусмотрен-
ным при составлении таблиц <р.
Для элементов машиностроительных конструкций в большин-
стве случаев приняты более высокие коэффициенты запаса и,
кроме того, нет строгой регламентации величин допускаемых на-
пряжений, поэтому не рекомендуется выполнять их расчет по
коэффициентам <р. Исключением являю! ?я элементы стальных
конструкций подъемно-транспортных сооружений (ферм мосто-
вых кранов и т. п.), для которых расчет по коэффициентам ф
предписан соответствующими нормами.
488
Пример 12.5. Произвести проверочный расчет сжатой деревянной стой-
ки (рис. 12.15) при [ос] = 10 нДюн2.
- Решение. Расчет выполняем по нормам строительного проектирования.
Работа стойки с коэффициентом запаса устойчивости не ниже нормативного
будет обеспечена при соблюдении условия
Р т ,
а = ~ ? Ы-
Г
Определяем радиус инерции сечения и гибкость стойки:
160 лп
— = 40 мм-,
4
yl 0,7-5-103
~ i ~ 40 ~
По табл. 12.1, интерполируя, находим значение коэффициента продольного
изгиба:
Допускаемое напряжение с учетом опасности .потери устойчивости
[ау] = ?[ас] = 0,407-10 = 4,07 н/мм?.
Рабочее напряжение
Р 80-103
а =-----— о-Тд---- =3,98 н[млР.
F — 1602
4
Стойка работает с незначительной недогрузкой ( ~2,2%).
Пример 12.6. Определить допускаемую нагрузку для стойки из стали Ст.З
(рис. 12.16),[ас]= 160 н/лш2. Принять, что швеллеры, из которых состоит стой-
ка, надежно связаны между собой, и сечение работает как монолитное. Рас-
стояние с между швеллерами выбрать из условия равноустойчивости стойки
во всех направлениях.
С каким коэффициентом запаса устойчивости работает стойка при на-
грузке, равной допускаемой?
Решение. Равноустойчивость стойки во всех направлениях будет обеспе-
чена при равенстве моментов инерции относительно осей х и у (см. стр. 214).
Момент инерции сечения относительно оси х не зависит от расстояния с и
определяется непосредственно на основе табличных данных:
]х = = 2-304 = 608 сж4,
где 7^ = 304 сж4 — момент инерции одного швеллера по ГОСТ 8240— 56.
Момент инерции относительно оси у
7f=2W, + 4';i).
где Зу = 31,2 — момент инерции швеллера относительно собственной
главной центральной оси у$
Fl = 13,3 сж2 — площадь сечения одного швеллера.
Условие равноустойчивости:
Jx — Jy>
489
подставляя числовые значения, получаем
откуда С1=4,51 см.
с = 2 (б! -г0) = 2(45,1 — 15,4) = 58,4 мм.
Определяем допускаемую нагрузку:
Гибкость стойки
р./ 0,5-700
X = = -J—— = 73,2,
zmin 4,78
где Zmin — ix = i = 4,78 см (по ГОСТ 8240 — 56).
0,81-0,75
3,2?^0,79 (интерполируя данные табл. 12.1).
и == 0,81
10
F = = 2-13,3 = 26,6 см2.
[Р] = 0,79-160-26,6-102 = 337-103 « = 337 кн.
Определяем коэффициент запаса устойчивости, который соответствует таб-
лице ф для данных материала и гибкости,
' -^кр
Так как гибкость стойки меньше предельной (для стали Ст.З АПред=100).
РКр определяем по эмпирическому соотношению
1Рг~300кн
р^гоокн
Рис. 12.17
и
Ркр = F (а-Н) = 26,6-102 (310- 1,14-73,2) = 603-103 « = 603 ««;
^кр 603
Г /?v 1 =--=-----= 1,79.
L yJ [Р] 337
490
Пример 12.7. Подобрать сечение сжатого элемента АС фермы, схемати-
чески изображенной на рис. 12.17, а. Сечение элемента состоит из двух равно-
боких угольников, расположенных тавром (рис. 12.17,6). Материал — сталь
Ст.З, [ос]=160 н]мм2. Концы стержня считать закрепленными шарнирно.
Определить коэффициент запаса устойчивости при принятых размерах се-
чения.
Решение. Определяем реакцию опоры Л:
= 0; VA 13 - рг9 - ЛИ = 0;
V
А
200-9 + 300-4
13
= 231 кн.
Вырезая узел А, определяем усилие в стержне АС (рис. 12.17, б):
S^ = 0; — ATi sin р + V. = 0; =
Sin р
Из схемы фермы (см. рис. 12.17, а) имеем
3,5
tgр = — = 0,875; р = 41°1Г; sin41°1Г = 0,657; соз41°1Г = 0,752.
, 4,0 4,0
Длина стержня I —------------г = ~ 5,32 м.
н cosр 0,752
231
Сжимающее усилие УД = ' = 352 кн.
0,657
Расчет ведем по коэффициентам продольного изгиба:
Мх
р> —4-
<Р [°с]
Коэффициент ф зависит от гибкости стержня, а следовательно, и от раз-
меров его поперечного сечения, поэтому значение его неизвестно. Расчет будем
вести методом последовательных приближений, предварительно задавшись
величиной ср произвольно.
1-е приближение.
Принимаем ф1 = 0,6.
352-103
= 36,7 • 102 мм?.
1 0,6-160
У7! 36,7
Требуемая площадь сечения одного уголка fyr = = —-— =
= 18,35 см?. По ГОСТ 8509 — 57, уголок 100X100X10 имеет Fyi.= 19,2c4f2.
Минимальный радиус инерции сечения (см. рис. 12.17, б) гт1п = гл = 3,05сл/
(очевидно, что при заданной конфигурации сечения Jх < J у).
Гибкость стержня
р/
lmin
м =
532
—- = 174.
3,05
Соответствующее табличное значение коэффициента ф:
491
л 0,26-0,23
<Р1 табл = 0,26 ---------- 4 = 0,248.
2-е приближение.
?1 + ?1 табл 0,6 + 0,248
¥2 =-------------= ------= 0,424.
Требуемая площадь сечения
352-103 51 9
> 0,424-160 = 51'9'102 ЯМ1' '>=+- = 25,95 «2.
Уголок 125 X 125 X 12: Fyr = 28,9 см2; zmin = ix = 3,82 см.
Гибкость стержня и табличное значение ф
^2 “ о on ~ ?2 табл = 0,364.
о, о2
З-е приближение.
?2 + ?2табл 0,424 + 0,364
<Рз =-----g--------------2-----°’394’
F3 > 352‘1Q3- = 56,9-102 мм2; Fvr = = 28,45 см2.
3 0,394-160 уг 2
Уголок 140Х 140Х10 : Fyr= 27,3 см2; zmjn = ix =4,33 см (хотя площадь не-
сколько меньше требуемой по данному приближению, но радиус инерции зна-
чительно больше, чем у ранее принятого уголка).
~ л qq “ 123; ?з табл = 0,435.
4,оо
Проверим, соблюдается ли условие а < [су]:
Nx 352-103 п г „
а = ТГ = ________„ , =64,5 н мм2;
F 2-27,3-102 1
[ау] = <р [ас] = 0,435-160 = 69,5 н[мм2.
Рабочее напряжение ниже допускаемого на 7,2%• Подобрать профиль,
для которого отклонение рабочего напряжения от допускаемого будет мень-
шим указанного, нет возможности.
Определим, с каким коэффициентом запаса устойчивости будет работать
стержень с принятыми размерами сечения:
акр
/7у=-—•
Л2В
акр =---(Z. > ’АПред — формула Эйлера применима).
Z.2
3,142-2,0-105 г , о ... 130,5 о _
ахР = —— = 130>5 «у==2»02-
ГЛАВА XIII
ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ
§ 13.1 РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ ЗАДАННЫХ УСКОРЕНИЯХ
В предыдущих главах учебника были рассмотрены расчеты
элементов конструкций при действии статической нагрузки, а
также при возникновении в них переменных во времени напря-
жений. В этой, последней, главе курса даются краткие сведения
о некоторых динамических задачах сопротивления материалов.
К задачам динамики в сопротивлении материалов относятся:
1) расчеты движущихся деталей при заданных ускорениях;
2) расчеты на действие ударной нагрузки;
3) расчеты на прочность и жесткость при колебаниях.
Здесь будут рассмотрены лишь решения некоторых простей-
ших задач, относящихся к первым двум категориям задач ди-
намики.
Определение напряжений и перемещений при заданных уско-
рениях основано на приведении задач динамики к задачам ста-
тики с помощью известного из курса теоретической механики
принципа Даламбера (метода кинетостатики). Напомним, что
этот принцип состоит в следующем: если в любой момент време-
ни к каждой материальной точке данной системы приложить
силу инерции этой точки, то эти силы инерции будут урав-
новешиваться заданными силами, действующими на систему, и
реакциями связей, т. е. система может рассматриваться как на-
ходящаяся в состоянии покоя (или равномерного прямолинейно-
го движения).
Сила инерции равна произведению массы материальной точ-
ки на ее ускорение и направлена \в । сторону, противоположную
ускорению.
Применение этого метода к задачам сопротивления материа-
лов показано на ряде примеров.
Пример 13.1. Определить при [а]=70 н/мм2 требуемый диаметр троса, на
котором подвешен груз массой /пг = 3000 кг (рис. 13.1, а), поднимаемый с по-
стоянным ускорением а=4 м/сек2. Массу троса не учитывать.
Решение. Применяя принцип Даламбера, прикладываем к поднимаемому
грузу силу-инерции
Р Л —
493
направленную противоположно ускорению (рис. 13.1, б).
Пользуясь методом сечений (рис. 13.1, в), определяем продольную силу,
возникающую в поперечном сечении троса,
W - G - = О,
где G = mrg— сила тяжести груза (g = 9,81 лг/се№ — ускорение свободного
падения);
W = G 4- Р-л = mTg + тга = mv(g + а).
Так как массу троса не учитываем, то продольная сила во всех его попереч-
ных сечениях одинакова.
При тг в кг, g и а в м)сек2 получаем силу тяжести G в н.
Условие прочности -
N mY (g +а) Ггт1
° = =—5ЙГ—<1’1-
4
откуда требуемый диаметр троса
d > . Г 4mr {g + а)
" У Л [а]
Подставляя числовые данные, получаем
, /"4-3000(9,81 + 4) t
d > Л / ------:-------= 27,4 мм.
У 3,14-70
принимаем d=28 мМ.
Пример 13.2. Определить напряжения в поперечном сечении тонкостен-
ного кольца, равномерно вращающегося в своей плоскости с угловой ско-
494
ростью co (рис. 13.2, а). Найти наибольшее допускаемое значение окружной
скорости точек кольца, если оно изготовлено из чугуна с удельным весом
у=7,5 • 104 н/м3, и [ffP]=25 н/мм2.
Решение. При равномерном вращении касательное ускорение любой точки
кольца равно нулю, а нормальное определяется по формуле
ц2
К
где v — окружная скорость;
R— расстояние рассматриваемой точки от оси вращения.
В рассматриваемом случае, учитывая малую (по сравнению с его диа-
метром) толщину кольца, можно считать расстояния всех точек кольца до оси
вращения одинаковыми и равными D/2, где D — средний диаметр кольца.
Мысленно остановив кольцо, приложим к каждому его элементу центро-
бежную силу инерции. Эти силы равномерно распределены по окружности
кольца и направлены по радиусам от центра. Интенсивность центробежных
сил инерции, т. е. их величина, приходящаяся на единицу длины окружности
кольца,
yF
здесь /721 = — —масса единицы длины кольца,
g
где F — площадь его поперечного сечения;
g — ускорение свободного падения.
Подставляя в выражение для значения ап и 1Щ, получаем
yF v2 yFuRD
Q а — гГ — Z ' ‘
g ±L 2g
2
Для определения внутрених сил, возникающих в поперечных сечениях
кольца, рассечем его по горизонтальному диаметру и рассмотрим условие
равновесия оставленной части (рис. 13.2, б).
Учитывая малую толщину стенок кольца, можно принять, что нормальные
напряжения распределены по его поперечному сечению равномерно, т. е. коль-
цо работает на растяжение (наличие изгибающих моментов связано с не-
равномерным распределением напряжений, следовательно, согласно принятому
допущению, они отсутствуют).
Продольные силы N, возникающие в поперечных сечениях кольца, опре-
делим, проектируя все силы, действующие на полукольцо, на ось z (см.
рис. 13.2, б). Сила инерции, приходящаяся на элемент кольца, соответствую-
щий центральному углу dtp, определяется из выражения
D yFiiP-D'2 yFift
dPvL=<hr7Fdy = —---------d<? =------- d<f.
2 4g g
Ее проекцию на ось z найдем, умножая dPlt на cos <р. Так как каждая из
этих элементарных сил инерции различно наклонена к оси z, то уравнение
равновесия приходится составлять в интегральной форме, оно будет иметь вид
К
2 ypzft
2г=-2ЛГ + 2 $ —СО8?^ = 0'
о
495
или
yFtft I
N —--------- sin <p
yFv2
Заметим, что интегрирование выполнено в пределах одной четверти коль-
ца и результат удвоен. Нормальное напряжение в поперечном сечении кольца
М yFv’2
gF
или окончательно
уг/2
Характерно, что напряжения во вращающемся кольце ?е зависят от пло-
щади его сечения и пропорциональны квадрату окружной скорости.
Условие прочности равномерно вращающегося кольца
Отсюда найдем наибольшую допускаемую окружную скорость:
Подставив числовые данные ([ор] подставляем в н/м2), получим
Практически для чугунных шкивов ременных передач допускают более
низкую окружную скорость, чем полученная в рассмотренном примере, а имен-
но, не свыше 30-4-35 м!сек. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых,
последствия разрыва обода шкива настолько опасны, что приходится прини-
мать значительно более высокие коэффициенты запаса прочности, чем обычно
(т. е. более низкие допускаемые напряжения, чем были приняты здесь).
Во-вторых, из-за наличия спиц обод испытывает не только растяжение, но и
изгиб и фактические напряжения в нем выше определяемых по формуле, полу-
ченной для тонкостенного кольца. Следовательно, пренебрегая при расчете
изгибом обода, надо опять-таки снизить допускаемые напряжения.
Пример 13.3 *. Во избежание несчастных случаев, происходящих от раз-
рыва маховиков, устраивается специальное приспособление (рис. 13.3,а).
В ободе маховика помещается деталь А, удерживаемая внутри его пру-
жиной 5; когда скорость маховика достигнет предельной величины, деталь А
своим концом К задевает выступ В задвижки CD, которая и закрывает до-
ступ пара в машину.
Определить диаметр проволоки пружины и число витков, если по конст-
руктивным соображениям ее средний диаметр £>=40 мм; допускаемое на-
пряжение [т]=300 н!мм2. Предельная угловая скорость маховика сотах =
= 12 рад!сек; масса детали А т=1,5 кг, расстояние е выступа В от маховика
равно 25 мм.
* Условия заимствованы из учебного пособия: И. В. Мещерский.
Сборник задач по теоретической механике. Гостехиздат, 1957.
496
Принять, что масса детали А сосредоточена в точке, расстояние которой
от оси вращения маховика в изображенном на чертеже положении равно
7?=1,475 м. Массу пружины не учитывать.
Решение. Мысленно останавливаем маховик и прикладываем к детали А
центробежную силу
Ри = тап,
где а’п — центростремительное (нормальное) ускорение той точки, в которой
по условшр задачи принята сосредоточенной масса детали А. Расчет ведем
для нижнего положения (изображенного на чертеже) детали А при предель-
ной угловой скорости маховика. Упрощая решение задачи, не учитываем из-
Рис. 13.3
менения центробежной силы инерции при перемещении детали А от заданно-
го положения до соприкосновения с выступом задвижки.
Рассматривая деталь А как бы находящейся в состоянии равновесия,
прикладываем к ней силу тяжести G, силу инерции Ри и силу реакции пру-
жины N (рис. 13.3,6). Из условия равновесия определяем силу N, сжимаю-
щую пружину,
N = G 4- Ри = mg + =т ( g + «^ах/?) .
Подставляя числовые данные, находим силу, действующую на пружину.
N — 1,5 ( 9,81 + 122.1,475) = 333 н.
Условие прочности пружины
8МР
tmax = k - - < [т],
ЛЯ а
откуда
У 8kND
у л [т]
497
Для упрощения расчета и, учитывая сравнительно невысокое значение
допускаемого напряжения, принимаем поправочный коэффициент k равным
единице.
Подставляя числовые данные, получаем
3 f 8-333-40
]/ 3,14-300
==4,85 мм,
принимаем d=b мм.
Определяем число рабочих витков пружины, приравнивая ее осадку за-
данной величине зазора:
8У£>?п
GdA
е = X =
откуда
Gd4 8-1Q4-54-25
8W ~ 8-333-403
Полное число витков пружины следует принять равным 9 (см. стр. 204)-
Пример 13.4. К равномерно вращающемуся брусу диаметром
d=30 мм приварены два стержня с одинаковыми грузами на концах
Рис. 13.4
(рис. 13.4, а). Определить из условия прочности бруса при [о]=100 н!мм2 до-
пускаемую скорость его вращения. Брус и стержни считать невесомыми. Cents
тяжести грузов не учитывать.
Решение. Применяя метод кинетостатики, прикладываем к рассчитывае-
мому брусу центробежные силы инерции грузов (рис. 13.4, б)
Р1И = тат ~ muflli,
Р2и = та2п —
498
При Р1И и <Р2и в н и т в кг величины и Z2 должны быть подстав-
лены в м.
Учитывая, что Z2=1,5Z1, имеем Р2и=1,5Р1и.
Определив опорные реакции (см. рис. 13.4,6), строим эпюру изгибаю-
щих моментов (рис. 13.4,в).
Опасное сечение — в месте прикрепления правого стержня.
Условие прочности:
max М
°max= w'
122,4Р1И _ 122,4/77^!
Jtrf3 Лй?3
"&Г ~32~
откуда
HZ/3 [а]
32-122,4mZ1
32-122,4-1,6-80-Ю-з
3,14-303-100
— 130 padfсек.
§ 13.2. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА НА УДАР
Работа машин во многих случаях сопряжена с ударными на-
грузками, которые либо обусловлены назначением этих машин
(например, ковочное оборудование), либо являются нежелатель-
ным следствием различных конструктивных
факторов (например, зазоров в местах со-
пряжения деталей).
Расчет деталей машин на прочность при
ударной нагрузке связан, с одной стороны,
с определением возникающих при ударе
напряжений, с другой — с установлением
свойств материалов при ударном нагруже-
нии. Решение первой из этих задач отно-
сится к области сопротивления материалов
и смежных наук, второй — в основном к об-
ласти материаловедения.
Определение напряжений и деформаций
при ударе — одна из наиболее сложных за-
дач сопротивления- материалов и смежных
наук — теории упругости и теории пластич-
ности, которая еще далека от своего окон-
чательного решения. Здесь будет рассмот-
рен лишь наиболее простой и весьма приближенный метод рас-
чета на удар, базирующийся на следующих основных допуще-
ниях:
1. Материал упругой системы (рассчитываемого элемента
конструкции) при деформациях, вызванных ударной нагрузкой,
следует закону Гука и система является линейно деформируемой
{см. стр. 18); при этом модуль упругости имеет то же значение,
что и при статическом нагружении *.
Рис. 13,5
* Экспериментальные данные подтверждают, что модуль упругости для
данного материала практически не зависит от скорости деформации.
499
2. Работа силы тяжести падающего (ударяющего) груза
полностью переходит в потенциальную энергию деформации эле-
мента конструкции, испытывающего действие удара (таким об-
разом, не учитывается затрата энергии на местные деформации
в зоне контакта соударяющихся тел).
3. Масса упругой системы (элемента конструкции), воспри-
нимающей действие ударной нагрузки, мала ио сравнению с мас-
сой ударяющего груза, т. е. система рассматривается как не-
весомая.
4. Удар считается неупругим, т. е. после соприкосновения
ударяющего груза с упругой системой он не отскакивает и при ее
деформации движется с ней совместно.
Рассмотрим удар груза весом Q, падающего с высоты h на
некоторую упругую систему, например цилиндрическую винто-
вую пружину (рис. 13.5).
Работа силы тяжести определяется из выражения
Л = Q (/^4-%д), (а)
здесь Ад — перемещение той точки (сечения) упругой системы,
по которой ударяет падающий груз (индекс «д» указывает, что
это перемещение вызвано динамической нагрузкой).
Составим выражение для потенциальной энергии деформа-
ции упругой системы. Учитывая первое из принятых допущений,
воспользуемся теоремой Клапейрона (см. стр. 61), тогда потен-
циальную энергию деформации можно подсчитать как половину
произведения некоторой динамически действующей силы Рд на
соответствующее перемещение:
. (б)
Для линейно деформируемой системы
4=^- ’ (в)
где С — коэффициент жесткости упругой системы, численно
равный силе, вызывающей перемещение в 1 см (1 мм
и т. д.).
Из (в) имеем
Рд = САд.
Подставляя значение Рд в выражение (б), получаем
и^- (г)
500
На основании второго из принятых допущений приравниваем
величины работы силы тяжести падающего груза и потенциаль-
ной энергии деформации упругой системы:
Л = /7Д.
Приравнивая правые части выражений (а) и (г), получаем
Q(m)=y,
откуда
С ~ С л д
Но -|*-=Хст, где Хст — перемещение, вызванное силой, равной
весу Q падающего груза, при ее статическом действии.
Таким образом, имеем
2ХСТЛ+2ХХСТД = Х2,
или
Хд —2ХСТХД —2ХстА=0.
Определим из этого квадратного уравнения значение Хд:
\=W/4+2W. (13.1)
Второй корень квадратного уравнения, соответствующий зна-
ку минус перед радикалом, дает отрицательное значение Ад и
поэтому не нужен.
Выражение (13.1) можно представить в виде
\ ^ст
(13.2)
Величину, стоящую в скобках, обычно называют динамичес-
ким коэффициентом &д, или коэффициентом удара,
(13.3)
Таким образом, перемещение, вызванное действием ударной
нагрузки равно перемещению от статически приложенной силы,
равной весу падающего груза, умноженному на динамический
коэффициент,
Хд = йд Хст- (13.4)
Линейная связь между силами и перемещениями, позволяет
сделать вывод, что напряжения в упругой системе от действия
ударной нагрузки во столько же раз больше возникающих при
501
статическом приложении такой же по величине нагрузки, во
сколько раз динамические перемещения больше статических, т. е.
Од=/?д Ост- (13.5)
Следовательно, определение перемещений и напряжений при
ударе сводится к определению перемещений и напряжений, выз-
ванных статически приложенной силой, равной весу падающего
груза, и вычислению динамического коэффициента.
Полученные формулы верны как в случае растягивающего
или сжимающего, т. е. продольного удара по стержню или пру-
жине, так и в случае изгибающего, т. е.- поперечного удара по
балке. Различие состоит лишь в зависимостях, используемых для
вычисления статических напряжений и перемещений. Это указа-
ние подробнее разъясняется в приведенных ниже примерах.
В частном случае мгновенного безударного приложения на-
грузки, которое может рассматриваться как действие груза, па-
дающего с высоты Л = 0, из формулы (13.3) получим
&д = 2.
Следовательно, перемещения и напряжения, вызванные дей-
ствием мгновенно приложенной силы, вдвое больше, чем при
статическом действии такой же по величине силы.
В случае, если высота падения груза велика по сравнению с
величиной Хст, можно пользоваться упрощенной формулой для
вычисления динамического коэффициента:
?- (13.6)
f ^ст
Эта формула получается из выражения (13.3) в результате
2Л
пренебрежения единицей как по сравнению с отношением -—,
_____________________________________ ЛСТ
. т, Г 2h
так и по сравнению с величиной 1 / -—.
а у Лст
В заключение отметим, что, как следует из полученных фор-
мул, величина динамического коэффициента снижается при
уменьшении жесткости упругой системы (т. е. увеличении Хст).
Поэтому для смягчения ударов широко применяются различного
типа пружины и рессоры, обладающие значительной податли-
востью (небольшой жесткостью).
Первым ученым, исследовавшим вопрос о напряжениях, вызываемых уда-
ром, был Томас Юнг (17'73—1829). Приближенную теорию расчетов на удар
дал в 1850 г. английский ученый X. Кокс. Он же указал метод приближен-
ного учета собственной массы ударяемой упругой системы. Несколько ранее
Кокса профессор технической механики Лондонского университетского кол-
леджа И. Ходкинсон (1789—1861) экспериментально исследовал поперечный
удар по балке. Теория, разработанная Коксом, дала удовлетворительное сов-
падение с результатами этих экспериментов.
502
Уточненная теория удара, но построенная без учета местных деформаций
соударяющихся тел, разрабатывалась французскими учеными Навье, Сен-
Венаном и Буссинеском.
Вопрос о местных деформациях соударяющихся тел исследовал Г. Герц.
Этот же вопрос рассматривал А. Н. Динник, который наряду с теоретически-
ми исследованиями провел и ряд экспериментов, давших удовлетворитель-
ное совпадение с результатами, получаемыми по теории Герца. Дальнейшее
развитие эта теория получила в трудах Н. А. Кильчевского.
Теория продольного удара с учетом как общих, так
и местных деформаций стержня, испытывающего удар, '/////,
была предложена в начале текущего столетия Д. Сирсом. II а
Для удара шара по балке такую теорию разработал
С. П. Тимошенко.
Советские ученые X. А. Рахматуллин и Г. С. Шапиро
дали для ряда практически важных случаев решение за-
дачи об общих законах распространения упруго-пласти-
ческих деформаций при ударе.
Вопрос о свойствах материалов при ударном нагру-
жении освещен в работах советских ученых Н. Н. Дави-
денкова и Я. Б. Фридмана.
Пример 13.5. Груз массой т = 60 кг падает на диск,
укрепленный на конце стержня (рис. 13.6). Определить
наибольшую допускаемую высоту h падения груза из усло-
вия, чтобы растягивающие напряжения в стержне не пре-
вышали предела пропорциональности оПц = 210 н]мм2.
Диск считать недеформирующимся. £=2,0 ДО5 н!мм2.
Применить упрощенную формулу для динамического ко-
эффициента.
Решение. Приравнивая величину напряжения, возника-
ющего в поперечном сечении стержня при ударе, пределу
Рис. 13.6
пропорциональности, получаем
Од— &даСТ—апц> (а)’
где
Перемещение нижнего конца стержня при статическом приложении силы
Q = mg
= (б)
С/
EF
где С = у— коэффициент жесткости стержня.
Напряжения, вызванные статическим действием силы Q,
(в>
Подставляя в выражение (а) значение kR и учитывая (б) и (в), имеем
, Г2hC Q
V Q ' F ~
503
откуда наибольшая допускаемая высота падения груза
a2 Д2
пц*
2QC *
Подставив значение, а затем числовые данные, получим
3,14
а2 F2 <з2 IF 2102.1500. 202
[Л] = пц -р- = -52— =--------— --------= 88,2 мм.
on — 2тёЕ 2-60.9,81.2-105
М I
Пример 13.6. На стальную балку двутаврового поперечного сечения по-
середине пролета падает груз массой т=Ю0 кг (рис. 13.7). Сопоставить наи-
Рис. 13.7
большие статические и динамические напряжения в поперечном сечении бал-
ки и прогибы под грузом для случаев изгиба балки в плоскости наибольшей и
наименьшей жесткости.
Решение. Рассмотрим сначала случай изгиба балки в плоскости наиболь-
шей жесткости. Наибольшие нормальные напряжения в поперечном сечении
балки при статическом нагружении
°ст —
шах Л4
Wx
QI
4WX
100-9,81-3-1Q3
4-317-ЮЗ
= 2,32 н/мм?,
где Q = mg~ сила тяжести груза;
IFj. = 317 см? принято по таблице ГОСТ 8239 — 56.
Динамический коэффициент
А’=1 + 1/1+^’
Q/3
где /Ст=-----(см. табл. 7.2) —прогиб посередине пролета при стати-
48 EJX ческом нагружении.
Для случая изгибающего удара статическое перемещение обозначено Дт
взамен Лст при продольном ударе. Принимая Е—2- 105 н/мм2 и по таблице
ГОСТ 8239—56; 7х=3800 см4, получаем
100.9,81 (3-103)3
•'ст“ 48-2-105.3800-104
= 7,27-10-2 мм.
Динамический коэффициент
йд = 1+1/ 1+ 2-^17,7.
д -г ~ 7,27-10—2
504
Динамический прогиб и наибольшие динамические напряжения [см. форму-
лы (13.14), (13.5)]:
/д = йд/ст = 17,7-7,27-10-2 =1,29 мм;
ад = £даст = 17,7-2,32 = 41,1 н1млР.
При изгибе балки в плоскости наименьшей жесткости (7^ = 260 см4;
1Г^ = 41,6 см3) аналогично
QI
°ст ~ 41^ ~
Q13
получаем
100-9,81-3-103 0
= 17,7 н мм%;
4-41,6-Юз 1
100-9,81 (3-103)3
. Г 2Л , , /" 2-10
*д=1 + |/ 1+/с1 = 1 + ]/ 1 + 1,0б“5Л6;
/д == £д/ст = 5,46-1,06 = 5,78 мм;
стд — kpPct — 5,46-17,7 ~ 96,8 н/мм?.
При статическом действии нагрузки напряжения во втором случае боль-
ше, чем в первом, в 7,63 раза, а при ее ударном действии — лишь в 2,36 раза.
Это различие объясняется тем, что во втором случае жесткость балки значи-
тельно (в 14,6 раза) меньше, чем в первом, что приводит к существенному
уменьшению динамического коэффициента.
Пример 13.7. Определить из условия прочности стальной двутавровой
балки (рис. 13.8, а) наибольшую допускаемую высоту падения груза массой
т=200 кг, если [о]=160 н[мм? и груз падает посередине пролета. Как изме-
нится допускаемая высота падения груза, если жесткие шарнирные опоры
балки заменить цилиндрическими винтовыми пружинами (рис. 13.8, б), имею-
щими «=10 витков, 0 = 100 мм, d=20 мм?
Для материала балки £=2,0-IO5 'h{mmz, для материала пружин G = 8,0X
X 104 н!мм2.
Применить упрощенную формулу для динамического коэффициента.
Решение. Условие прочности балки
ад = Йдаст < [а]
505
Наибольшее нормальное напряжение при статическом действии силы
Q = mg
шахЛ4х mgl 200-9,81-3-Ю3
Wx 4WX 4-118-103 ’ '
где по таблице сортамента для двутавра № 16 принято W\ = 118 см3.
Для обеспечения условия прочности балки динамический коэффициент не
должен превышать следующего значения:
[а] 160
= — = --— = 12,85.
аСт 12,45
По формуле (13.6),
—
2/г
/ст
где
mgl* 200-9,81-(3-103)3
/ст =------- =-------------z------= 0,585 мм.
Jc 48EJX 48-2-105-945-104
Приравнивая значение допускаемому, получаем
k
= 12,85,
откуда [Л] = 48,2 мм.
При установке балки на
редине пролета балки будет
пружины, соответствующей действию силы
пружины полное статическое перемещение посе-
равно сумме
ее статического прогиба и осадки
_0_.
2 '
mg
8 ~D3n
mgl2 , 2
~ 48 E J /Г Grf4 ‘
200-9,81-(3-Ю3)3
48-2-105-945-104
200-9,81
8 --------- 1003-10
+ 8-104-204
Составляя выражение для динамического коэффициента
его найденному выше допускаемому значению, получаем
= 0,585 + 6,13 «6,72 мм.
и приравнивая
k
= 12,85,
откуда [Л]=555 мм.
Таким образом, уменьшение жесткости упругой системы
чительно увеличить допускаемую величину ударной нагрузки.
позволяет зна-
ЛИТЕРАТУРА
1. Авдеев Б. А. Испытательные машины и приборы. М., Машгиз,
1957.
2. Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов. М., Машгиз, 1962.
3. Афанасьев А. М., Калинин Н. Г., Марьин В. А. Основы
строительной механики. М., Оборонгиз, 1951.
4. Б е з у х о в Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползу-
чести. М., «Высшая школа», 1961.
5. Безухов Н. И. Примеры и задачи по теории упругости, пластич-
ности и ползучести. М., «Высшая школа», 1965.
6. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М:, Физматгиз, 1962.
7. Берман М. Э. Сопротивление материалов (статика). М., Изд. ВАХЗ
Красной Армии им. К. Е. Ворошилова, 1945.
8. Бернштейн С. А. Очерки по истории строительной механики. М.,
Госстройиздат, 1957.
9. Бернштейн С. А. Сопротивление материалов. М., «Высшая шко-
ла», 1961.
10. Болотин В. В. Лекции по сопротивлению материалов. Изд. МЭИ.
Ч. 1, 1957, ч. 2, 1958.
11. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М., Физматгиз, 1963.
12. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.,
«Высшая школа», 1965.
13. Дин ник А. Н. Устойчивость упругих систем. М., изд-во АН СССР,
1950.
14. Дмитриев Ф. Д. Крушения инженерных сооружений. М., Гос-
стройиздат, 1953.
15. Дрейер Г. Учение о прочности и упругости. М., «Машиностроение»,
1964.
16. Д ы м о в А. И. Строительная механика машин. М., Гостехтеорег-
издат, 1933.
17. Ильюшин А. А., Ленский В. С. Сопротивление материалов.
М., Физматгиз, 1959.
18. Ицкович Г. М., Винокуров А. И. Сопротивление материалов
(руководство для учащихся механико-машиностроительных специальностей
заочных техникумов). М., «Высшая школа», 1962.
19. Ицкович Г. М. Некоторые вопросы методики преподавания темы
«Теории прочности» в техникумах. М., изд-во Научно-методического кабине-
та Мосгорсовнархоза, 1962.
20. И ц к о в и ч Г. М., Винокуров А. И., М и н и н Л. С. Руковод-
ство к решению задач по сопротивлению материалов. М., Росвузиздат, 1963.
21. Ицкович Г. М., Чернавский С. А., Киселев В. А., Бо-
ков К. Н., Панич Б. Б. Курсовое проектирование деталей машин. М.,
«Машиностроение», 1964, 1965.
22. Ицкович Г. М., Винокуров А. И., Барановский Н. В.
Сборник задач по сопротивлению материалов. Л., «Судостроение», 1965.
1962^' Кинасошвили Р. С. Сопротивление материалов. М., Физматгиз,
507
24. К о п ы л е н к о В. П. Задачи динамики в сопротивлении материалов.
Ч. 1. Изд. Московского станкоинструментального института, 1963.
25. Кравченко П. Е. Усталостная прочность. М., «Высшая школа»,
1960.
26. Кр ю ко в ск и й С. С., Никитин С. П., Ой хер А. А., Раби-
нович С. В. Курс лекций по сопротивлению материалов. Ч. 1 и 2. Изд. МЭИ,
1959.
27. Лёв шин В. А. Сопротивление материалов. М., Ростехиздат, 1961.
28. Лившиц Я. Д., С каты некий В. О. Сборник задач по сопро-
тивлению материалов. Киев, Гостехиздат УССР, 1949.
29. Л ю б о ш и ц М. И. Расчеты на прочность при переменных напряже-
ниях. Минск, изд. Белорусского политехнического института, 1959.
30. Л ю б о ш и ц М. И., Ицкович Г. М. Справочник по сопротивле-
нию материалов. Минск, «Высшая школа», 1965.
31. Митинский А. Н., Мовнин М. С., Израелит А. Б. Со-
противление материалов. Л., «Судостроение», 1964, 1966.
32. Митинский А. И. Феликс Станиславович Ясинский. М., Гостехиз-
дат, 1957.
33. Мовнин М. С., Митинский А. Н. Техническая механика.
М. — Л., Гослесбумиздат, 1961.
34. Никитин С. П., Ицкович Г. М. Электротензометрия в лабора-
торном практикуме по сопротивлению материалов. — «Среднее специальное
образование», 1958, № 2.
35. О б о д о в с к и й Б. А., Ханин С. Е. Сопротивление материалов
в примерах и задачах. Харьков, изд-во ХГУ, 1965.
36. Писаренко Г. С., Агар ев В. А., Квитка А. Л., Поп-
ков В. Г., Уманский Э. С. Курс сопротивления материалов. Киев,
изд-во АН УССР, 1964.
37. П л ю к с н е Н. И. Прочность при переменных напряжения. Ч. 1 и 2.
Харьков, изд-во ХПИ, 1962.
38. Пономарев С. Д., Би дерм ан В. Л., Лихарев К. К-,
Маку шин В. М., Малинин Н. Н., Феод о с ье в В. И. «Расчеты на
прочность в машиностроении». М„ Машгиз, т. 1, 1956, т. 2, 1958, т. 3, 1959.
39. П о п о в А. А. Курс сопротивления материалов. М., Машгиз, 1958.
40. Прокофьев И. П., Смирнов А. Ф. Теория сооружений. Ч. 3.
М., Трансжелдориздат, 1948.
41. Прочность в машиностроении (сборник статей) под ред. Пономаре-
ва С. Д., М., Машгиз, 1951.
42. Рабинович И. М. Курс строительной механики. М., Госстройиз-
дат, ч. 1, 1950; ч. 2, 1954.
43. Рабинович С. В. Расчеты на прочность при переменных напря-
жениях. Изд. МЭИ, 1951.
44. Р а б о т н о в Ю. Н. Сопротивление материалов. М., Физматгиз, 1962.
45. Р у б а ш к и н А. Г. Лабораторные работы по сопротивлению мате-
риалов. М., «Высшая школа», 1961, 1966.
46. Рубинин М. В. Сопротивление материалов. М., Машгиз, 1961.
47. Р у б и н и н М. В. Руководство к практическим занятиям по сопро-
тивлению материалов. М., Росвузиздат, 1963.
48. Са у св ел л Р. В. Введение в теорию упругости. М. Государствен-
ное издательство иностранной литературы, 1948.
49. Серен сен С. В., Ко га ев В. П., Шнейдер о в ич Р. М.
Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность. М., Машгиз,
1963.
50. Смирнов А. Ф. [и др.]. Сопротивление материалов. М., Всесоюз-
ное издательско-полиграфическое объединение Министерства путей сообще-
ния, 1961.
51. Справочник машиностроителя. Т. 3. М., Машгиз, 1963.
52. Справочник металлиста. Т. 2, М., Машгиз, 1960.
508
53. Стёпин II. Л. Сопротивление материалов. М., «Высшая ШКОЛЙ»,
1964, 1966.
54. Сторожен II. Ф. Элементарные расчеты прочности судовых КОН*
струкций и механизмов. М., «Речной транспорт», 1962.
55. Тимошенко С. II. Устойчивость упругих систем. М., ГостехпздйТ,
1955.
56. Тимошенко С. II. История науки о сопротивлении материалов.
М., Гостехиздат, 1957.
57. Т р а п е з и н И. И. Прочность металлов при переменной нагрузке.
М., Гостехиздат, 1948.
58. У ж и к Г. В. Методы испытаний металлов и деталей машин на вы-
носливость. М., изд-во АН СССР, 1948.
59. Уманский А. А., Вольмир А. С., Коданев А. И. Курс
сопротивления материалов, Ч. 1. Изд. ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1954.
60. Уманский А. А. [и др.]. Сборник задач по сопротивлению мате-
риалов. М., «Наука», 1964.
v- 61. Ф е о д о с ь е в В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивле-
нию материалов. М., Гостехиздат, 1953.
62. Ф е о д о с ь е в В. И. Сопротивление материалов. М., Физматгиз,
1963.
63. Филоненко-Бородич М. М. и др. Курс сопротивления мате-
риалов. Ч. 1, 1962, ч. 2, 1956. М., Гостехиздат — Физматгиз.
64. Хофф Н. Продольный изгиб и устойчивость. М„ Изд. иностр, лич.,
1955.
65. Шапошников Н. А. Механические испытания металлов. М. — Л.,
Машгиз, 1951.
66. Штаерман И. Я-, П и к о в с к и й А. А. Основы теории устойчи-
вости строительных конструкций. М., Стройиздат, 1939.
67. М е n g е, Z i m m е г m a n. Mechanik — Aufgaben, Band II; Festig-
keitslehre. Fachbuchverlag. Leipzig, 1956. -
68. T a u s c h e r H. Berehnung der Dauerfestigkeit von Bau—und Mas-
chinenteilen. Fachbuchverlag. Leipzig, 1956.
69. Wolf E. Anwendung der Leichtbautechnik. Fachbuchverlag. Leipzig,
1956.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................... 3
Глава I. Основные положения
§ 1.1. Задачи сопротивления материалов........................... 5
§ 1.2. Классификация внешних сил и элементов конструкций..........И
§ 1.3. Допущения о свойствах материалов и характере деформаций 16-
§ 1.4. Метод сечений. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса 19
§ 1.5. Напряжения ..............................................25-
Глава II. Растяжение и сжатие
§2.1. Усилия в поперечных сечениях бруса........................30
§ 2.2. Напряжения в поперечных сечениях бруса.................. 35
§ 2.3. Деформации и перемещения..................................38
§ 2.4. Измерение линейных деформаций.............................56
§ 2.5. Энергия деформации при растяжении.........................59
§ 2.6. Напряженное состояние при растяжении (сжатии).............63
§ 2.7. Общие сведения о механических испытаниях материалов .... 68-
§ 2.8. Статические испытания на растяжение.......................70
§ 2.9. Статические испытания па сжатие...........................79
§ 2.10. Дополнительные сведения о механических свойствах конструк-
ционных материалов..............................................82
§ 2.11. Коэффициенты запаса прочности. Допускаемые напряжения . . 85
§ 2.12. Расчеты на прочность при растяжении (сжатии) . ........90
§ 2.13. Статически неопределимые системы...................• . . 97
§ 2.14. Температурные и начальные напряжения в статически неопреде-
лимых системах . ..................................... 109
Глава III. Напряженное и деформированное состояние
§ 3.1. Общие сведения о напряженном состоянии в точке тела .... 119
§ 3.2. Исследование напряженного состояния при известных главных
напряжениях ........................................ 122х
§ 3.3. Чистый сдвиг............................................. 12&
§ 3.4. Обобщенный закон Гука................................... 131
Глава IV. Практические расчеты на срез я смятие
§4.1. Основные понятия. Расчетные формулы......................140'
§ 4.2. Расчет заклепочных соединений..........................., 148'
§ 4.3. Расчет сварных соединений угловыми швами............... 155-
510
v Г л а в a V. Кручение
§ 5.1. Основные понятия. Эпюры крутящих моментов.....................159
•§ 5.2. Напряжения и перемещения при кручении бруса круглого попе-
речного сечения............................................ » 163
' § 5.3. Расчеты на прочность и жесткость при кручении.............. 170
15.4 . Напряженное состояние при кручении . ....................* 178
§ 5.5. Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения....... 180
§ 5.6. Кручение брусьев тонкостенного открытого профиля........ 184
5.7. Энергия деформации при кручении ........................ , 187
§ 5.8. Кручение брусьев тонкостенного замкнутого профиля ....<, 189
§ 5.9. Статически неопределимые случаи расчета на кручение. .... . 194
5.10. Расчет цилиндрических винтовых пружин.......................198
Глава VI. Геометрические характеристики плоских сечений
§ 6.1. Статические моменты плоских сечений ........................ 206
, $ 6.2.’ Осевые и центробежные моменты инерции плоских сечении . . . 210
$ 6.3. Главные оси и главные моменты инерции .......................211
§ 6.4. Зависимость между моментами инерции относительно параллель-
ных осей .................................................. . 214
1 J§ 6.5. Моменты инерции некоторых простейших сечений...............215
§ 6.6. Вычисление моментов инерции составных сечений, имеющих ось
симметрии ................................................ 219
§ 6.7. Главные центральные моменты инерции несимметричных сечений 226
Глава VII. Прямой изгиб
§ 7.1. Основные понятия и определения .............................231
§ 7.2. Поперечные силы и изгибающие моменты........................235
§ 7.3. Дифференциальные зависимости между интенсивностью распре-
деленной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом 244
- § 7.4. Общие указания к построению эпюр поперечных сил и изгибаю-
щих моментов ...................................................246
§ 7.5. Нормальные напряжения при изгибе..............................257
§ 7.6. Расчеты на прочность при изгибе.............................. 264
§ 7.7. Касательные напряжения при прямом поперечном изгибе .... 280
§ 7.8. Перемещения при изгибе. Основные понятия..................... 289
§ '7.9 . Дифференциальное уравнение упругой линии и его интегрирование 290
§ 7.10. Рациональное интегрд^вание дифференциального уравнения
упругой линии ............................................... 296
§ 7.11. Энергия деформации при изгибе................................299
§ 7.12. Интеграл Мора ...............................................303
§ 7.13. Правило Верещагина ..........................................310
§ 7.14. Расчеты на жесткость при изгибе..............................322
§ 7.15. Балки переменного сечения....................................329
§ 7.16. Простейшие статически неопределимые балки.................. 335.
Глава VIII. Косой изгиб. Растяжение (сжатие) с изгибом
§ 8.1. Косой изгиб............................................... . 350
§ 8.2. Пространственный изгиб бруса круглого поперечного сечения . . 365
§ 8.3. Изгиб с растяжением (сжатием) бруса большой жесткости . . , 368
Глава IX. Гипотезы прочности и их применение
§ 9.1. Основные понятия о гипотезах прочности . . .................7 387
§ 9.2. Определение эквивалентных напряжений по различным гипоте- „
зам прочности.............................................. 39(У
511
§ 9.3. Исследование упрощенного плоского напряженного состояния . . 399
§ 9.4. Расчет бруса круглого поперечного сечения на изгиб с кручением 408
§ 9.5. Расчет бруса круглого поперечного сечения в общем случае его
нагружения .......................................................416
§ 9.6. Расчет тонкостенных цилиндрических и сферических резервуаров 421
Глава X. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных
во времени
§ 10.1. Циклы напряжений. Основные понятия об усталости металлов 425
§ 10.2. Основные факторы, влияющие на величину предела выносливо-
сти .......................................................... 434
§ 10.3. Диаграммы предельных амплитуд........................... 440
§ 10.4. Расчеты на прочность при переменных напряжениях......... 446
Глава XI. Контактные напряжения и деформации
§ 11.2. Контакт тел, ограниченных сферическими и цилиндрическими по-
верхностями .. . ... ... • •............................... • • । • 459
Глава XII. Устойчивость сжатых стержней
§ 12.1. Устойчивость упругого равновесия. Критическая сила .... . 468
§ 12.2. ' Формула Эйлера ...................................., . 471
§ 12.3. Критическое напряжение. Пределы применимости формулы
Эйлера.....................,.....................................476
§ 12.4. Расчет сжатых стержней на устойчивость по коэффициентам
продольного изгиба ..........................................I . 486
Глава XIII. Задачи динамики в сопротивлении материалов ,
§ 13.1. Расчет элементов конструкций при заданных ускорениях .' . 493
§ 13.2. Приближенный метод расчета на удар..................... 499
Литература.......................................................507