518
С 54
УДК 517.5
Библиотека выпускается
под общим руководством
кафедры
вычислительной математики
Московского
государственного
университета
Заведующий кафедрой.
академик А. Н. ТИХОНОВ
Илья Меероеич Соболь
МНОГОМЕРНЫЕ КВАДРАТНЫЕ ФОРМУЛЫ
И ФУНКЦИИ ХААРА
М., 1969 г., 288 стр. с илл.
Редактор В. М. Гринберв
Техя. редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т. С. Плетнева и Г. С. Смоликова
Сдано в набор H/XII 1968 г. Подписано к печати 15/VIH 1969 г.
Бумага 84хЮ8'/а?. Физ. печ. л. 9. Условн. печ. л. 15,12 Уч.-илд. л.14,03
Тираж 7000 экз. Т-10868. Цена книги 88 коп. Заказ № 1547.
Издательство «Наука»
Главная Редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»
Москва, Шубинский пер., 10
2-2-4
Оглавление
Предисловие 5
Введение 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава 1. Функции Хаара 12
§ 1. Определение функций Хаара 13
§ 2. Ряды Хаара 20
§ 3. Суммы Хаара 34
§ 4. Аппроксимация функций, удовлетворяющих условию
Липшица, суммами Хаара 42
Глава 2. Метод рядов Хаара в теории квадратурных формул 55
§ 1. Некоторые экстремальные задачи 57
§ 2. Классы функций Sp 68
§ 3. Квадратурные формулы на классах Sp 74
§ 4. Задача о добавлении узлов в квадратурной формуле ... 83
Глава 3. Приложения функций Хаара к теории равномерного
распределения 96
§ 1. Равномерно распределенные последовательности 97
§ 2. Некоторые критерии равномерности распределения . . . 106
§ 3. ЛП0-последовательности 117
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Глава 4. Оценка погрешности многомерных квадратурных
формул 129
§ 1. Классы функций 131
§ 2. Погрешность квадратурных формул на классах
Sp(Ail...is)vHaL{Lh...is) 143
§ 3. Величины фд (S) в n-мерном случае 154

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Оценки погрешности для различных сеток ..... 164
§ 1. Равномерные сетки 164
§ 2. Параллелепипедальные сетки 171
§ 3. Сетки Хэммерсли и последовательности Холтона .... 174
Глава 6, Пт-сетки и ЛПт-последовательности 186
§ 1. Определения и основные свойства 186
§2.0 линейных разностных операторах в поле 2г 193
§ 3. Построение Л ^-последовательностей 203
§ 4. Использование Пт-сеток и ЛПт-последовательностей для
вычисления многомерных интегралов 219
§ 5. Оценки отклонения 229
§ 6. Улучшенные оценки погрешности 237
Глава 7. Случай бесконечного числа переменных 242
§ 1. Постановка задачи. Классы функций 243
§ 2. Квадратурные формулы 253
Глава 8. Оценки погрешности на некоторых других классах
функций 264
§ 1. Классы функций 264
§ 2. Погрешности квадратурных формул 271
Вспомогательные неравенства 279
Цитированная литература 281
Указатель определений 247
Предисловие
Книга состоит из двух весьма различных частей. Часть I
посвящена функциям Хаара и их применениям. Рассма-
Рассматриваются функции от одной переменной. Изложение весьма
подробное и (за исключением мелкого шрифта) доступно
читателю, знакомому с обычным курсом математического
анализа.
Часть II посвящена многомерным квадратурным фор-
формулам. Здесь изучаются функции от многих переменных.
Изложение более сжатое и рассчитано на более высокий
математический уровень читателя.
Несмотря на такие различия, я убежден, что эти части
следует излагать вместе. С одной стороны, нельзя пред-
предполагать, что специалист, интересующийся многомерными
квадратурами, знаком с функциями Хаара. С другой сто-
стороны, вряд ли разумно (хотя и возможно) убеждать чита-
читателя в том, что функции Хаара могут быть полезными для
прикладной математики, не указав при этом важнейшие
(пока) приложения — исследование многомерных квад-
квадратур.
В книге затронуты вопросы, которые могут заинтере-
заинтересовать математиков весьма различных специальностей.
Учитывая это, я старался уменьшить зависимость между
некоторыми разделами книги (но не ценою повторений)
и даже снабдил главы 1, 2 и 3 отдельными указателями
литературы. Таблица на странице 6 поможет читателям
выделить эти вопросы.
Лица, интересующиеся только «рецептом» для вычис-
вычисления многомерных интегралов, могут обратиться прямо
к § 4 гл. 6.
Впервые я узнал о функциях Хаара из курса лекций
Д. Е. Меньшова «Ряды по ортогональным функциям»,

ПРЕДИСЛОВИЕ
Вопрос
Квадратурные формулы
Равномерное распределение
Ортогональные ряды
Метод Монте-Карло
Геометрия и-мерного куба
Разностные уравнения в конечном поле
Таблица для вычисления многомерных
интегралов
Разделы, имеющие к нему
отношение
гл.
гл.
гл.
§ 4
И
§4
2;
'6;
1;
гл
гл.
гл.
гл.
гл.
гл.
§ ^
ti;
6;
6
Ь
4—8
4—6
гл. 2
гл. 7
§ 3 гл. 6
который я слушал на механико-математическом факуль-
факультете МГУ в 1947 году (долгое время основным пособием
по функциям Хаара служили мне записки этих лекций).
Вряд ли кто-нибудь мог предположить тогда, что эти
функции пригодятся мне много лет спустя в исследова-
исследованиях по вычислительной математике! (Это —лишний при-
пример, показывающий пользу широкого математического
образования.)
Разработка вопросов, изложенных в этой книге, была
начата мною в 1955 году и велась (с перерывами) более
десяти лет. Пользуюсь случаем, чтобы выразить свою глу-
глубокую благодарность коллективу, в котором я все это
время работаю, за постоянную дружескую поддержку. Я
глубоко благодарен А. Н. Тихонову и А. А. Самарско-
Самарскому» уделившим моей работе много внимания, и Л. А. Лю-
стернику, подавшему мне мысль написать эту книгу.
И. Соболь
Москва, 25.1,1968
Введение
Введением к I части книги может служить начало
гл. 1, так что настоящее введение есть, по существу,
введение ко II части.
Задача о вычислении многомерных (или многократных)
интегралов — это одна из важнейших проблем вычисли-
вычислительной математики. В данной книге рассматриваются
только интегралы по единичному 72-мерному кубу Кп.
Это, конечно, ограничение задачи, хотя подавляющее
большинство связных областей интегрирования, встречаю-
встречающихся на практике, могут быть надлежащим преобразо-
преобразованием координат переведены в куб *).
Появление и развитие быстродействующих электрон-
электронных вычислительных машин (ЭВМ), оказавшее огромное
влияние на всю вычислительную математику, заставило
по-новому подойти и к этой, казалось бы, классической
задаче. Во-первых, необыкновенно расширился круг ре-
решаемых вычислительной математикой задач и потребова-
потребовалось научиться вычислять интегралы от гораздо более
сложных функций. Во-вторых, резко выросли вычисли-
вычислительные возможности: во времена ручного счета исполь-
использовались квадратурные (или кубатурные) формулы с ко-
количеством узлов N, не превосходящим нескольких
десятков; сейчас можно использовать N порядка сотен,
тысяч, десятков тысяч.
Как правило, «классические» формулы для вычисле-
вычисления тг-мерных интегралов получаются одним из следую-
следующих двух способов.
*) Это особенно ясно в случаях, когда интегралы вычисляются
методом Монте-Карло (ср. стр. 243).

ВВЕДЕНИЕ¦
1) Интеграл рассматривается как повторный:
о о
0 0
и по каждой переменной используется своя одномерная
квадратурная формула
О г=о
Получается ?г-мерная квадратурная формула
1 X
У" )/{хи ...,xn)dx1...dxns
ЛГ.-1
••• »?ntn
)>
A)
где число узлов N — Мг...М
2) Узлы и веса в формуле
N—1
B)
выбираются так, чтобы эта формула была точной для не-
некоторого (по возможности широкого) множества функций,
например для многочленов какой-то степени.
Квадратурные формулы типа A) и B) и сейчас не поте-
потеряли своей ценности. Однако они плохо удовлетворяют
упомянутым выше новым требованиям: формулы типа A)
при п ^> 2 имеют плохую точность *), а в формулах
типа B) при больших N очень сложно вычисляются узлы
и веса.
Интересно, что отчетливое представление об этом у ма-
математиков появилось только после того, как возник метод
Монте-Карло. Простейший вариант этого метода дает нам
*) Более точный смысл этого утверждения см. в § 1 гл. 5.
ВВЕДЕНИЕ
квадратурную формулу
ЛГ—1
C)
О О
где Г{ — независимые случайные точки, равномерно рас-
распределенные в Кп. В формуле C) можно использовать
очень большие N, так как все точки Гг- вычисляются оди-
одинаково. А порядок ее сходимости (по вероятности) не за-
зависит от к и равен ^
Во многих новых работах квадратурные формулы изу-
изучаются на конкретных классах функций. Можно пытаться
построить наилучшую квадратурную формулу на данном
классе (это так называемая экстремальная задача) или
хотя бы Найти квадратурные формулы, обеспечивающие
наилучший возможный порядок сходимости *). Правда,
в большинстве случаев удается достичь лишь «почти наи-
наилучшего» порядка сходимости, который отличается от наи-
наилучшего меньше чем на iVs со сколь угодно малым е ^> 0.
В книге не раз подчеркивается, что на весьма близких
классах функций, состоящих практически из одних и тех
же функций, но по-разному нормированных, могут полу-
получаться совсем различные экстремальные задачи.
Естественно, что работа с различными классами функ-
функций потребовала применения различных методов иссле-
исследования. Настоящая книга отличается от всех других
книг по многомерным квадратурам тем, что в ней рассма-
рассматриваются иные классы функций — классы Sp, содержа-
содержащие функции с быстро сходящимися рядами Фурье —
Хаара. Это очень широкие классы функций. Образно
выражаясь, можно сказать, что в книге рассмотрены мак-
максимально широкие классы функций, на которых еще имеет
смысл изучать квадратурные формулы.
Метод исследования, основанный на применении рядов
Хаара, изложен в гл. 4. В гл. 5 с помощью этого метода
получены оценки погрешности для ряда известных квадра-
квадратурных формул. А в гл. 6 построены формулы, реализую-
*) Точные формулировки этих задач приведены в начале гл. 2
и гл. 4.

10
ВВЕДЕНИЕ
щие наилучший возможный порядок сходимости квадратур
на классах Sp. Пожалуй, это наиболее сложная глава
в книге.
В гл. 7 тем же методом оценивается погрешность квад-
квадратур в бесконечномерном кубе. И только небольшая гл. 8
не использует метода рядов Хаара: здесь указаны точные
оценки погрешности на некоторых других классах функ-
функций, близких к рассмотренным в гл. 4—7.
Книга эта (как, впрочем, и любая другая) не претен-
претендует на исчерпывающее решение проблемы. Даже на клас-
классах Sp не все задачи решены: построены формулы с наи-
наилучшими порядками сходимости, но не найдены наилуч-
наилучшие константы в оценках при п ^> 3 (см. ниже В (п)
в формуле D)); построены последовательности точек {Qt},
которые можно использовать в формуле C) вместо случай-
случайных {Гг} (и при этом на очень широких классах функций
порядок сходимости будет 1/JV1 ?), однако не рассмотрен
вопрос о выборе наилучших среди этих последователь-
последовательностей.
По нашему мнению, теория многомерных квадратур-
квадратурных формул еще очень далека от завершения. На это ука-
указывает, в частности, следующий факт (или парадокс?).
Оценки погрешности (на различных классах функций)
обычно имеют вид
1 1
\) ••• If(x1,...,xn)dx1...dxn—
N—1
i=0
<B(n)P(N)\\/l D)
где р (N) -v 0 при iV-> оо. И, как правило, константы
В (п) так быстро увеличиваются с ростом п, что если отне-
отнестись к этим оценкам очень серьезно, то можно потерять
всякую надежду вычислить, скажем, 12-мерный интеграл
с приличной точностью. Однако такие интегралы на прак-
практике вычисляются (см., например, § 4 гл. 6).
В связи с этим хочется привести одно несколько ере-
еретическое соображение: может быть, сложность теории свя-
связана не только с существом дела, а еще с тем, что мы не-
неразумно определяем классы функций? Может быть, классы
ВВЕДЕНИЕ
11
функций, которые приходится интегрировать при рас-
расчете практических задач, плохо описываются традицион-
традиционными нормами (в которые входят ограничения на произ-
производные от / или на ее коэффициенты Фурье)?
Впервые подобные соображения автор услышал от
И. М. Гельфанда.
Несмотря на эти «сомнения», автор убежден, что ис-
исследования квадратур на различных классах функций
нужны вычислительной математике. Полученные в ходе
таких исследований методы вычисления интегралов могут
быть весьма полезными, даже если решающим критерием
применимости их окажется не теоретическая оценка, а
вычислительная практика.
Конечно, может оказаться интересной и сама теория,
независимо от практических приложений.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Глава 1
Функции Хаара
Последовательность функций {%k(x)}, называемых
обычно функциями Хаара, была построена в диссертации
знаменитого венгерского математика А. Хаара (Alfred
Нааг, 1885-1933 *)) в 1909 году (см. [32, 33]). Это была
первая ортогональная система со следующим замечатель-
замечательным свойством: любая непрерывная на отрезке [0, 1]
функция / (х) разлагается в равномерно сходящийся ряд
по функциям системы:
В дальнейшем функции Хаара исследовались во мно-
многих работах. Большинство этих работ связано с теорией
функций действительного переменного и с теорией орто-
ортогональных рядов. Например, изучается характер сходи-
сходимости ряда (*) в зависимости от свойств / (х) или от свойств
коэффициентов ch. С этими вопросами можно познако-
познакомиться по монографиям [9, 1] и по обзорной статье [6].
До недавнего времени область применений функций
Хаара ограничивалась теорией функций и функциональ-
функциональным анализом, где использовался тот факт, что система
{lh (%)} образует базис в некоторых функциональных
пространствах (например, [11]). С функциями Хаара
связаны все работы [1—48], за исключением [3,16, 22, 41].
Список этот не претендует на полноту, но составитель ста-
старался не пропускать фамилий.
*) О жизни и деятельности А. Хаара см. [32].
§ U
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ХААРА
13
В последнее десятилетие функции Хаара находят при-
применение в прикладной математике. Помимо работ автора
по многомерным квадратурам, составляющим основное
содержание настоящей книги, функции Хаара исполь-
используются для построения интерполяционных формул [8],
в теории вероятностей [34, 28], при изучении изотропной
турбулентности [26], в теории равномерного распределе-
распределения (см. гл. 3).
В настоящей главе рассмотрены только такие свойства
функций Хаара, которые могут быть более или менее не-
непосредственно использованы в вычислительной математи-
математике. Некоторые из свойств, играющих большую роль
в теории ортогональных рядов, кратко перечислены в
конце § 2. Там же приведены формулы, связывающие функ-
функции Хаара с другими замечательными ортогональными
функциями — Радемахера, Уолша, Шаудера,— хотя сами
эти функции в книге не рассматриваются *).
К первой главе мог бы быть отнесен также § 2 главы 2,
в котором изучаются некоторые классы функций с доста-
достаточно быстро сходящимися разложениями (*).
§ 1. Определение функций Хаара
Двоичные отрезки. Двоичными мы будем называть
такие отрезки, которые могут быть получены путем деле-
деления отрезка [0, 1] на 2™ равных частей. Мы будем считать
все эти отрезки замкнутыми слева и открытыми справа,
если их правый конец отличен от 1. Если правый конец
отрезка равен 1, то будем считать отрезок замкнутым так-
также справа. Таким образом, двоичные отрезки — это от-
отрезки [0, И; [0, 1/2), [1/2, 1]; [0, 1/4), [1/4, 1/2), [1/2, 3/4),
[3/4, 1]; [0, 1/8), ... Отрезки [1/4, 3/4) или [5/8, 7/8) двоич-
двоичными не считаются.
Для двоичных отрезков введем следующее обозначение:
I
ТП]
-tf
2ТП-1
*) Упомянем статью [16], посвященную применению в приклад-
нож математике функций Уилша, которые представляют собой ли-
линейные комбинации функций Хаара.

14
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
где / меняется от 1 до 2т~1, а т = 1, 2, ... (Конечно,
в случае / = 2т~' надо считать lmj замкнутым также
справа.)
Легко видеть, что при каждом т
lmi + In» + ••• + 1шт-1 = [0, 1].
lmi
Наряду с двойной нумерацией мы будем использовать
также простую нумерацию, полагая lmj = lh, где
k = 2m~i + j. A.1)
Правда, при такой нумерации А; = 2, 3, ... (отрезок с А; = 1
отсутствует), но в дальнейшем это будет удобно.
Левую и правую половины 1т]- условимся обозначать
Qi и lmj, так что Qj + Cj = lmj. Нетрудно проверить,
что
В некоторых случаях длину отрезка I мы будем обо-
обозначать | I |, так что | lmj | = 1/2*".
Определение функций Хаара. Систему функций Хаара
{%k (х)} Удобно строить группами: группа номер т
содержит 2 функций {y.mj (x)}, j = 1, 2, ..., 2ml;
т — 1, 2, ... Связь между двойной нумерацией (т, /) и
обычной (А;) выражается соотношением A.1), причем пер-
первая функция %i (ж) = 1 остается вне групп.
Определение:
m-l
2 а при # е Ztoj,
X) =
m-l
— 2~
0
при X*
при ж I
A.2)
¦ I
Li-
На рис. 1.1 изображены первые 8 функций этой системы.
р^ В литературе можно встретить различные определения
функций %h (x), отличающиеся значениями этих функций
в точках разрыва. В оригинальной работе А. Хаара
[33] предполагалось, что
Xmj @) = lim %m} (x), %m} A) = lim xmj (л), A.3)
Ж>0
\
§ 1]
\ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ХААРА
15
а во всех внутренних точках разрыва
В [9] приведено несколько иное определение:
m-l
2 2 при ЖЕ
о
m-i > 2т~1
при х
в остальных точках.
//-1/2 / 1- .,
\ 2m-1 ' 2т-1]' v •
Условие A.3) при таком определении справедливо, однако
условие A.4) выполняется не во всех точках разрыва.
и.
1
о
-1
-21
1х
— 1
у
Z'
Хг(х)
1х
7
Х3(Х)
Х5(х)
1х
-ZY
Хв(х)
1х
Х7(х)
-4
Рис. 1.1.
+~0
1х
-1
1х
1х
Х8(х)
7л1
Определение A.2), используемое в этой книге, также
влечет за собой выполнение условия A.3). А вместо A.4)
во всех внутренних точках разрыва функции Хаара будут
непрерывны справа:
Xmj И = 1т} C + 0).
П. Л. Ульянов [23] и Ж. Дельпорт [28]
доказали, что важнейшее свойство системы Хаара, выде-
выделенное курсивом на стр. 12, не имеет места в случае опре-
определения A.5) (см. ниже пример 1). Поэтому это определение

16
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
следует считать ошибочным *). К сожалению,/определение
A.5) было перенесено в ряд других книг (например,
G, 11, 21]).
В дальнейшем всюду (если не оговорено противное)
используется определение A.2). При таком определении
sgn [ %mj- (х) | равен характеристической функции отрез-
отрезка lmj:
A, если x^lmh
Отметим еще следующее очевидное тождество: при лю-
любом д ^> О
A.6)
3=1
Ортонормированноеть системы Хаара. Докажем, что
две различные функции Хаара ортогональны: если
кфк", то
что
A.7)
а) Если к" = 1, А; > 1, то
1 1
i (а?) Хь (ж) rfof = 5 Хй (я?) rfa:
б) Если обе функции принадлежат одной группе
(рис. 1.2), то легко видеть, что произведение %k (x)%h> (x) = 0.
в) Пусть теперь обе функции принадлежат разным
группам: к = (т, /), к' = (т7, /'), т^>т'. Если /mJ- не со-
содержится в /т'_/', то снова %k (x) %k- (х) = 0(рис. 1.3). Если
нее lmj cz 1т'у, то либо lmj cz l
lm>3>,
либо l
mj с:
*) Более слабое утверждение о том, что доказательство упомя-
упомянутого свойства, приведённое в [9J, не проходит в случае определе-
определения A.5), содержалось в [18].
§ 1]
\ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ХААРА
17
И тогда (рис. 1.4)
1
Xm'j'
m'-l
Докажем теперь, что функции Хаара нормированы:
1
\г\{х)йх = 1. A.8)
о
При к = 1 это очевидно. Если же к ^> 1, то из A.2) следует
1
\%mi(x)dx =
Итак, функции {%ь (а;)} ортогональны A.7) и нормиро-
нормированы A.8) или, как часто говорят, ортонормированы.
У
1
О
-1
Хк 1—1 Лд-'
7 Я
п^л-
О
-1
/^
Рис. 1.2.
Рис. 1.3
Рис. 1.4.
Отрезки постоянства семейства функций Хаара. Рас-
Рассмотрим семейство функций %t (x), %2 (ж), ..., %п (ж).
Предположим сперва, что п = 2т~1. Тогда очевидно, что
все функции семейства постоянны на двоичных отрезках
1тъ l-mz, •¦•> Im2m~l, количество которых равно п.
Если п — 2т~г + 7, то для нахождения отрезков по-
постоянства придется первые / из перечисленных отрезков
поделить пополам. Общее число отрезков постоянства

18
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
снова окажется равным п:
Г 7
Т+ 7 ¦ 1
m, 2r
Условимся обозначать все отрезки постоянства се-
семейства функций Xi (ж), Х2 (х), •••, %п № через Хп1, 1п2,...
••ч Vm (нумерация слева направо, подряд).
Если и = 2т~1 + /, то длины этих отрезков
при l
при 2/
Очевидно также, что при любом п
l/2
A.9)
ЬП71
[О, 1].
Лемма Хаара. Рассмотрим функцию от двух перемен-
переменных хжу, определенную в единичном квадрате 0 ^ х -^ 1,
0<<1
A.10)
В лемме утверждается, что эта функция отлична от нуля
только в квадратах типа %nk X %nk, расположенных вдоль
диагонали единичного квадрата.
Лемма ([33]). Каково бы, ни было натуральное число
> 1
, если
вне
s=l
Доказательство, а) Рассмотрим сперва слу-
случай, когда п есть степень двойки. Во-первых, при п = 2
2 в (Я
и утверждение леммы справедливо.
1]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ХААРА
19
Допустим теперь, что утверждение леммы верно при
п = 2™ -ь
^ [2™-1 в диагон. квадратах,
A am-i (^1 У) = { п
I, U вне диагон. квадратов,
квадраты эти (Л-27П_г s X Я,2ш_1 s) для случая т = 3 изо-
изображены на рис. 1.5. Вычислим
2т-г
^2т (^, У) = К2т-1 {X, у) + 2 Xmi (*) Xmj (?/).
3=1
Сумма, стоящая справа, отлична от нуля только в тех же
п
1
U
2
>т-7
ПП7-1
2т~
О
•
•
•
--
-
-
*
•
©
r2rn-1
О
1 х
Рис. 1.5.
Рис. 1.6.
диагональных квадратах, причем значения ее в каждом
таком квадрате равны либо 2™, либо —2m r (рис. 1.6).
Поэтому К2т (х, у) = 2т в 2т новых диагональных квад-
квадратах (К2т> 5 X Х^т, s) И ^2т (Ж' У) ~ 0 ВНе ЭТИХ кваДРа"
тов. Таким образом, по индукции для случая, когда п
есть степень двойки, лемма доказана,
б) Пусть теперь п = 2т~1 + у. Тогда
j
%п (Ж, У) = ^2та-1 («, У) + 2 У.тр (*) Хтр (У) •
Р=1
В этом случае значения суммы, стоящей справа, отличны
от нуля только в первых / диагональных квадратах (из

20
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
числа квадратов, изображенных на рис. 1.5), а значения
ее в каждом из этих квадратов по-прежнему изображаются
схемой рис. 1.6. Легко видеть, что значения Кп (х, у)
будут равны 2т в 2/ новых диагональных квадратах
и останутся равными 2т~1 в 2т~1 ¦— / старых диаго-
диагональных квадратах (случай
т = 3, / = 2 изображен на
рис. 1.7). Так как все эти
квадраты имеют вид %ns X Xns,
то, принимая во внимание A.9),
получим утверждение леммы.
Замечание. Как указано
в [33], можно строить системы функ-
функций, аналогичные {%k (x)}, деля отре-
отрезок [0,1] (а затем и каждый из полу-
получающихся отрезков) на две неравные
части, лишь бы множество всех точек
деления было всюду плотным на
[0,1]. Более того, можно осуществ-
осуществлять деление на три (или более)
частей и строить всевозможные ку-
кусочно постоянные функции, ортогональные ко всем предыдущим
функциям.
Многие из результатов, изложенных в книге, легко переносятся
на такие «обобщенные системы Хаара». Однако мы этого нигде
касаться не будем.
§ 2. Ряды Хаара
Ряды Фурье — Хаара. Пусть / (х) — произвольная
интегрируемая *) функция, определенная на отрезке
[0, 1]. Коэффициентами Фурье относительно системы
Хаара или сокращенно коэффициентами Фурье — Хаара
этой функции называются числа
Рис. 1.7.
A.11)
*) В этой главе под слоном «интегрируемость» подразумевает-
подразумевается интегрируемость в смысле Лебега. Однако читатель, незнако-
незнакомый с понятием интеграла Лебега, может считать, что интегрируе-
интегрируемость подразумевается в смысле Римана. В нужных местах сделаны
соответствующие разъяснения.
§ 2]
РЯДЫ ХААРА
21
Некоторые свойства коэффициентов Фурье приведены
на стр. 39.
Для любой интегрируемой функции / (х) можно вычис-
вычислить коэффициенты Фурье — Хаара {ck} и составить ряд
Фурье — Хаара
Со
х) . A.12)
fc=l
Прежде чем перейти к теоремам о сходимости этого
ряда, рассмотрим его частичную сумму
п
S* (х) = 2 стЛъ (х) ¦
С помощью A.11) и A.10) отсюда легко получить, что
i
H(y)f(y)dy=^Kn(x,y)f(y)dy.
2
7c=i
Пусть Xni, ..., Япп — отрезки постоянства семейства функ-
функций %i (х), ..., Xn ix)- Из леммы Хаара вытекает, что если
то
f{y)dy •
AЛЗ)
Это интересное соотношение будет неоднократно исполь-
использовано в дальнейшем.
Сходимость рядов Фурье — Хаара. Основные утвер-
утверждения следующих двух теорем принадлежат А. X а а р у
[33].
Теорема 1. Предположим, что функция f (x) не-
непрерывна на отрезке [0, 1]. Тогда ряд A.12) сходится к f (x)
равномерно на [0, 11.
Утверждение теоремы остается в силе, если f (x) имеет
лишь конечное число двоично рациональных точек разрыва
ждй и которых существуют
7*1 <га <С...
)
двоично рационльн рр
71 <га <С... < гр, в каждой из которых существуют
/(/¦! + 0) = / (г,) и f (rt - 0) ф f (г,) *).
*) Иначе говоря, все разрывы первого рода и в точках разрыва
функция / (х) непрерывна справа.

22
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. I
Теорема 2. Предположим, что функция f (x) ин-
интегрируема на отрезке [О, 1]. Тогда: 1°. Ряд A.12) сходится
к f (х) почти во всех точках *) отрезка [0, 1]. 2°. Если в точ-
точке х = х0 функция f (x) непрерывна, то в этой точке ряд
A.12) сходится к f(x0). 3°.Если в двоично рациональной точке
х — г функция f (х) непрерывна справа, то в этой точке
ряд A.12) сходится к f (r). 4°. Если f (x) равномерно непре-
непрерывна при гг <^ х <^ г2, где гг, г2 — двоично рациональ-
рациональные точки, то ряд A.12) сходится равномерно при
ri < х < г2.
Доказательство теоремы 1. Из формулы
13) вытекает, чтп оплт -»• < i
\\.\д) вытекает, что если jfI
/<*)-<?„(*) =
то
A.14)
А так как каждая точка х из [0, 1] принадлежит одному из
^n&i т0 A.14) справедливо для всех х (со своими %ns).
Зададим произвольное е >• 0. Так как / (х) равномер-
равномерно непрерывна на @, 1], то можно указать такое б ^> 0,
что из | х — у | < б следует [ / (х) — f (у) | < е. Выберем
«0 столь большим, чтобы max |kns) <^ 6 при всех гс ^> и0.
Из A.14) получим, что при таких п
\f(x)-Sn(x) I <e, A.15)
и это неравенство справедливо во всех точках х.
Замечание. Если вместо A.2) использовать определение
A.5) или исходное определение Хаара (с условием A.4)), то формула
A.13) будет справедлива только для точек х, лежащих внутри Хт.
Повторяя те же рассуждения, докажем справедливость неравенства
*) Читателю, незнакомому с теорией интегрирования Лебега,
необходимо разъяснить смысл слов «сходится почти во всех точках».
Это значит, что остальные 'ючки можно покрыть системой интерва-
интервалов сколь угодно малой дляны.
Более точно: каково бы ни было е >0, можно указать последо-
последовательность интервалов (аъ р\), (а2, |32),..-, (as, ps),... такую, что
со
2^ |Ps — а8|<ЕИ каждая точка, в которой ряд A.12) не сходится
s=l
к / {х), принадлежит хотя бы одному из этих интервалов.
§ 2]
РЯДЫ ХААРА
23
A.15) для всех точек х, отличных от двоично рациональных. Двоич-
Двоично рациональные точки требуют особого рассмотрения.
Предположим, что выполнено условие A.4). Тогда во всех точ-
1 Г 1
ках Sn (я) = -у j Sn (x -f- 0)+ Sn (x — 0) \. К любой двоично рацио-
рациональной точке х = г подберем иррациональные точки «j^ и ж2
так, что «1 <С ^ <С Х2- Из A.15) легко получить, что
1
2
Устремляя жх и хг к г, найдем, что при ж = г
|/(*)-?„ (ж) |< в.
Следовательно, последнее неравенство справедливо во всех точках
отрезка [0,1].
Если использовать определение A.5), то, вообще говоря,
&п(*)ФТ
и последние рассуждения теряют силу.
Перейдем к доказательству второго утверждения теоре-
теоремы. В этом случае 10, 11 можно разбить на сумму р + 1
отрезков:
[0, 11 - [0, гг) + [гь га) + ... + bVx, rp) + [гр, 1],
на каждом из которых / (ж) непрерывна. Зададим произ-
произвольное 8>0и для каждого из этих отрезков выберем
свое ог>- 0 так, чтобы из неравенства | х — у \ <.bt (где
х и у принадлежат одному и тому же [гг, Гт)) следова-
следовало \f(x)~ f(y) | < е.
Выберем п0 столь большим, чтобы при всех п ^ п0
выполнялись неравенства max | Х„9 j <^ mln 6j и в то же время
s i
max [Xns| <^ min| Г{+1 — гг\ . Тогда можно снова восполь-
s i
зоваться соотношением A.14) и доказать, что A,15) имеет
место во всех точках отрезка [0, 1], включая точки
разрыва (каждая из которых будет, левым концом одно-
одного из lns).
Доказательство теоремы 2. Во-первых,
докажем утверждение 2°. Для этого рассмотрим неопреде-
неопределенный интеграл
X
t. A,16)

24
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
Если функция / (х) непрерывна в точке х0, то в этой точке
существует производная F" (х0) = / (х0). Выделим после-
последовательность %ns, содержащих точку х0. Концы %ns обо-
обозначим ans и Pns- Тогда формулу A.13) с учетом A.16)
можно переписать так:
A.1 /)
О,
Так как при п -> оо длины
то отсюда следует
к —
Pns
%ns
что и требовалось доказать.
Доказательство утверждения 1° *). Так как интеграл F (х)
есть абсолютно непрерывная функция и имеет почти во всех точках
производную F' (ж) = / (х), то предыдущее рассуждение можно
повторить во всех этих точках.
Доказательство утверждения 3°. В этом случае функ-
функция F (х) имеет в точке х — г правую производную, рав-
равную / (г). Выделим последовательность Xns, имеющих
точку г своим левым концом. Правые концы ins обозначим
Р„з- И вместо A.17) запишем
— I"
При п —»- оо это отношение стремится к правой производ-
производной, так что iS"n (r)-^-/ (г).
Доказательство утверждения 4°. Легко видеть, что
при всех достаточно больших п отрезок [гъ г2) равен сумме
некоторых интервалов вида %ns:
Остается повторить рассуждения, использованные при
доказательстве первого утверждения теоремы 1.
*) Для читателя, понимающего интегрируемость в смысле Ри-
мана, утверждение 1" следует из утверждения 2°, ибо функция ин-
интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена
и почти во всех точках непрерывна (ср. сноску на стр. 22).
2]
РЯДЫ ХААРА
25
Итак, теорема 2 полностью доказана.
Пример 1. Разложим в ряд Фурье — Хаара функ-
функцию / (х) — х2. Для этого вычислим коэффициенты Фурье —
Хаара:
I mi (x) dx = 2~ [ I хЧх — \ хЧх] =
cmj =
о
i 2 г
17П]
/-1у»
/ \8
)
3-бтп
i
Первый коэффициент сх — \ хЧх = 7з- Таким образом,
.-п пт—1
00 з-5тп «
2=1/з-2.2~ 2(
тп=1 3=1
A.18)
На рис. 1.8 построена частичная сум-
сумма S3 (x) и сама функция ж2.
Вычислим значение правой части
равенства A.18) при х = 1/2. Легко
видеть, что %п A/2) = — 1, а при
т > 2 лишь одна из функций Хаара т-ж группы отлична
от нуля в точке х = 1/2 (рис. 1.9, а):
7JI-1
Поэтому правая часть A.18) при х = 1/2 равна
. °° з-бт . т-1
4- + -f-S2 2 B«hi + -J-J «
4
Если в качестве определения функций Хаара выбрать
A.5), то мы также придем к разложению A.18). Однако
в этом случае значение правой части A.18) при х = 1/2
окажется другим. Действительно, из A.5) видно, что
Xii A/2) = 0, а при /в>2в каждой группе найдутся две
функции %mj- (x), отличные от нуля в точке х = 1/2

26
(рис. 1.9, б):
ФУНКЦИИ ХААРА
A/2) = -2Т- при /==
т~х
[ГЛ. 1
j A/2) = 2 2 при / = 2m-2-f-l.
Поэтому правая часть A.18) при х = 1/2 равна
з-б
+ 4) ~ B™- - 4-
л I \ 2
и не совпадает со значением левой части при х = 1/2.
/7
У
П;
а)
Рис. 1.9.
Этот пример, взятый из статьи [28], показывает, что
определение A.5) не обеспечивает справедливости первого
утверждения теоремы 1.
Свойство локализации. В теории тригонометрических
рядов известен так называемый «принцип локализации»
Римана: если разложить функцию / (х) в тригонометриче-
тригонометрический ряд Фурье, то сходимость этого ряда в точке х0
зависит только от поведения / (х) в окрестности точки
х = х0. Как показал А. Хаар [33], аналогичным свойством
обладают также ряды Фурье — Хаара.
Докажем, что если изменить значения функции / (я)
на каком-либо отрезке [хг, х%], то это не отразится на схо-
сходимости ряда A.12) в точке х0, не принадлежащей [жъ х2].
В самом деле, при всех достаточно больших п отрезки Xns,
2]
РЯДЫ ХААРА
27
содержащие точку х0, не будут пересекаться с [хх, х2].
Тогда из A.13) следует, что значения Sn (x0) не будут за-
зависеть от измененных значений/ (х), и поэтому сходимость
{Sn (х0)} и значение предела Um.Sn(x0) (если он суще-
П—»со
ствует) останутся прежними.
Ряды Хаара. Рядом Хаара называется ряд
2
A.19)
с произвольными действительными коэффициентами ak.
Теорема 3. Если ряд A.19) сходится равномерно
на отрезке [0, 1], то его сумма f (x) непрерывна во всех
точках этого отрезка, кроме, быть может, двоично ра-
рациональных точек, в которых она непрерывна справа и мо-
может иметь разрывы первого рода.
Доказательство*). Для любых двух точек
х и х'1 из [0, 1] и для любого п можем записать, что
| /(*)-/ (*') \<\f(x)-Sn{x)]+\f {х') - Sn (x')\ +
+ \Sn(x)-Sn(x")\,
где Sn (x) — п-я частичная сумма ряда A.19). Выберем
п0 столь большим, чтобы | / (х) — Sn (x) | <-7у при всех
п ^> п0. Получим неравенство
f(x)-f
Sn (х) - Sn (х1)
A.20)
в котором значение п (большее, чем п0) будем считать
фиксированным.
Рассмотрим теперь произвольную точку х, и пусть
х ЕЕ ЯП8. Если х не двоично рациональная точка, то можно
указать такое 6 > 0, что (х — 6, х + 6) с %ns. И если
х* е (х — б, х + 6), то Sn (x') = Sn (x). Из A.20) выте-
вытекает, ЧТО | / (х) — f (х') | < 8.
*) Эта теорема сразу вытекает из следующего общего утвержде-
утверждения: если {gn (ж)} сходится к g (x) равномерно на отрезке и во внут-
внутренней точке z0 существуют пределы gn (х0 + 0), то существуют так-
также g {х0 ± 0) = lim gn (xo ± 0).

28
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
Если х — двоично рациональная точка, то она может
оказаться левым концом ЯП8. Тогда выберем 6 ^> 0 так,
чтобы [х, х -+- 6) с: Ans, и при х" ЕЕ [х, х -+- б) из A.20)
снова получим, что \ f (х) — / (хг) [ < е.
Осталось доказать, что в последнем случае существует
предел / (х — 0). Для этого рассмотрим последователь-
последовательность точек {xk} -v х — 0. Очевидно, при всех к ^> к0
точки xk ЕЕ ^n,8-i и ^"n. (^ft) = const. В этом случае из
A.20) следует, что \ f (xk+m) — / (xh) | <e. По критерию
Коши существует lim /(хк). Легко показать, что предел
этот не зависит от выбора {xk}, стремящейся слева к х,
и поэтому представляет собой значение / (х — 0). Теорема
доказана.
Конечно, не каждый ряд Хаара есть в то же время ряд
Фурье — Хаара. Важнейшее (хотя в некотором смыс-
смысле и тривиальное) условие этого дается следующей тео-
теоремой.
Теорема 4. Если ряд Хаара A.19) сходится рав-
равномерно на отрезке [0, 1], то он есть ряд Фуръе — Хаара
для своей суммы.
Доказательство. Из теоремы 3 следует, что
сумма этого ряда
представляет собой интегрируемую функцию. Умножив
последнее равенство на %k (х), проинтегрируем его по х
от 0 до 1. Принимая во внимание A.7), A-8) и A.11), полу-
получим, что ah = ck.
Следующий пример, использующий конструкцию ра-
работы [30], показывает, что в теореме 4 нельзя отказаться
от равномерной сходимости, заменив ее сходимостью во
всех точках отрезка [0, 1] (если не накладывать дополни-
дополнительных ограничений на ah или на Sn (x); ср. стр. 33).
Пример 2. Рассмотрим ряд
8 И =
TJI-3
И '
т=2
2]
РЯДЫ ХААРА
29
т=2
Нетрудно вычислить частичные суммы этого ряда:
1 при 0<ж<2-1~-2-33,
1 — 2*-1 при 2-]—2-*< х < 2-1,
О при2~1<ж<1.
(Случай р = 3 изображен на рис 1.10.) Из этих формул
видно, что ряд сходится при лю-
любом х и сумма его g(x) = 1
при 0 < х < 1/2 и g (ж) = 0
при 1/2 <ж< 1.
Однако этот ряд не есть ряд
Фурье — Хаара для g (x). Если
разложить g (x) в ряд Фурье —
Хаара, то получим конечную
сумму
g{x) = — + ~2~:
О
V4
-4
% 1 X
Рис. 1.10.
О единственности рядов Ха-
Хаара. Проблема единственности
рядов Хаара в теории ортого-
ортогональных рядов формулируется так: при каких условиях
из равенства рядов
k=i
вытекает равенство всех коэффициентов (bk = fc^)? Или,
что то же самое: при каких условиях из равенства
(х) = 0
A.21)
следует, что все ak = 0? Условия могут налагаться на ak,
на частичные суммы ряда, на множество значений х, в ко-
которых выполняется равенство A.21).
Из теоремы 4 следует, что если ряд A.21) сходится
к нулю равномерно на [0, 1], то все ak = 0: они являются
коэффициентами Фурье — Хаара для суммы ряда / (х) = 0.
А из примера 2 видно, что сходимости ряда A.21) во всех

30
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
»
точках отрезка [0, 1] недостаточно для того, чтобы все аи
равнялись нулю:
т-з
\2-~ГХт,2ш-,(х)^0. A.22)
171=2
Исследованию более общих условий единственности посвящено
несколько работ, например [2,15,17]. Необходимо иметь в виду, что
большинство авторов используют определение функций Хаара A.4).
Мы изложим одну из простейших теорем единственности, до-
доказанную самим Хааром в 1914 году, которая не имеет места в слу-
случае нашего определения A.2) функций Хаара.
Теорема 5 ([32], стр. 625-631). Предположим, что функ-
функции (Xfc (x)} определены в точках разрыва согласно A.4). Если ряд
A.21) сходится к нулю во всех точках х отрезка [О, 1], то все а^ = 0.
Доказательство теоремы поведем от противного:
допустим, что A.21) справедливо во всех точках отрезка [0, 1]
и в то же время имеются ненулевые коэффициенты ak. Обозначим
At множество индексов к таких, что % ф 0. Пусть fcj = min к.
Ai
Если aki > 0, то через Ях обозначим открытый двоичный отрезок
щ, а если а^ <; 0, то через Хх обозначим открытый двоичный отре-
отрезок 1% , В любом случае при х ? Я-,
«ЬХ», (ж) > 0-
Множество индексов к таких, что ак ф 0 и в то же время lk d Я-j,
обозначим А2 (как обычно, К означает замкнутый отрезок X). Оче-
Очевидно, А2 с Аг. Если множество Аг пусто, то легко видеть, что при
всех п^-кг частичные суммы ряда A.21) в точках 1?\ равны
и это противоречит условию теоремы, согласно которому Sn (х) -» 0
при любом х.
Рассмотрим теперь случай, когда множество А2 не пусто, и
пусть кг = min к. Если afc ^> 0, то через К2 обозначим открытый
отрезок Zfc2, а если aft < 0, то через Xj обозначим открытый отрезок
/^. В любом случае^ с^ив точках г?1,.
A™,
Множество индексов к таких, что ak ф 0 и в то же время l
обозначим А3. И так далее... (
Если на каком-то этапе получится пустое множество As, то
при всех п ^ ks_i для х G Я8_х
и это противоречит условию теоремы.
2]
РЯДЫ ХААРА
31
Если все множества Ai Z) А% ZD ¦•¦ 3 As ID... не пустые, то мы
получим стягивающуюся последовательность двоичных отрезков
hi ID ^2 3 ... Z> ^в ID -.., длины которых стремятся к нулю (так
кап каждый отрезок по крайней мере вдвое меньше предыдущего).
Рассмотрим замкнутые отрезки X] Z) X2 Z3 ... D As 3 ••• По изве-
известной теореме существует единственная точка хо, принадлежащая
всем Ks. Если точка х0 не двоично рациональная, то она принадле-
принадлежит также всем Xs. Поэтому в этой точке частичные суммы
положительны при п ^ к-у и не убывают. Снова получаем проти-
противоречие.
Осталось рассмотреть самый сложный случай, когда точка х0
двоично рациональная. Тогда она должна быть концевой точкой
У
1 х
Л
V
ни
1 X
Рис. 1.11.
всех %s, начиная с некоторого s = s0; более того, она для всех этих
^s будет одноименным концом (либо левым, либо правым). Если
функции Xfe (ж) определены в соответствии с A.4), то легко видеть,
что на концах Ks величина aksxka(x) неотрицательна; точнее, на одном
из концов aka %k8 ]> 0, а на другом конце, который является сере-
серединой lks, значение aki %hg = 0.
fii< i. Если два отрезка Ks с А,р имеют общий одноименный конец, то
на этом конце aka %ka -f- efep %kp > 0, ибо середина lha лежит внутри
Хр (рис. 1.11). Значит, в случае двоично рациональной точки xQ
частичные суммы Sn (х0) положительны при в > ^ и не убывают.
Опять мы приходим к тому же противоречию. Но теперь уже тео-
теорема полностью доказана.
^Замечание. Можно попытаться повторить это же доказа-
доказательство, используя определение A.2). До случая двоично рацио-
рациональной точки х0 все получится. А в этом последнем случае доказа-
доказательство пройдет для левой концевой точки х0, но не пройдет для
правой.

32
ФУНКЦИ ИХААРА
1ГЛ.
Замечание. Пример 2 не противоречит теореме 5, так как
если в точках разрыва определить %ft (х) согласно A.4), то тождество
A.22) будет верным лишь для х ф 1/2. В точке х = 1/2 ряд будет
расходиться:
г
: OO.
Более того, этот пример показывает, что в теореме 5 нельзя (без
дополнительных ограничений) ослабить требование сходимости во
всех точках, заменив ее сходимостью во всех точках, кроме одной.
Сводка некоторых свойств системы Хаара [33, 9].
1°. Система Хаара полна в Lp при любом р ЕЕ [1, <*>]*).
Это значит, что в Lp нет такой функции, которая была
бы ортогональна ко всем %k (х) и не равнялась бы почти
во всех точках нулю. (У такой функции все коэффициенты
ck = 0 и по теореме 2 ряд Фурье — Хаара сходится
к нулю почти во всех точках.)
2°. Система Хаара образует базис в Lv при любом
р е [1, оо].
Это значит, что для каждой функции / (х) из Lv ряд
Фурье — Хаара сходится к ней по норме:
п
(Ср. ниже стр. 39.)
5=
I'Lp-
1/р
Через Ьм иногда обозначают пространство С непрерывных
функции с той же нормой: || / [\ = \\ f // с= rap | / (*) |.
0<<
РЯДЫ ХААРА
33
4°. Система Хаара является системой сходимости.
Это значит, что если числа {ah} удовлетворяют условию
. т0 РЯД
сходится почти во всех
Jl-=1
точках отрезка [0, 1].
5°. Функции Лебега системы Хаара равны тождест-
тождественно 1:
Это следует из леммы Хаара о неотрицательности
Кп (х, у).
6°. Для того чтобы ряд A.19) был рядам Фурье — Хаара
функции f (x) из Lp (I <Lp < со), необходимо и доста-
достаточно, чтобы его частичные суммы были равномерно огра-
ограничены по норме:
У,
< const.
7°. Система Шаудера состоит из функции е0 (х) = 1 и
«треугольных» функций eh (х), к = 1,2, ... Эти функции
выражаются через функции Хаара:
8°. Система Радемахера {гт (х)} состоит из функций
гт (х) — sgn sin 2mnx,
О ^ ж^ 1, m = 0, 1, 2, ... При т>1 во всех точках
непрерывности
m—1 атп—1
= 2
(а)
J=l
2 И. М. Соболь

34
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
. 9°. Система Уолша {wn (х)} состоит из всевозможных
произведений различных функций Радемахера: w0 (х) = 1,
wn (х) = rV|+1 (ж) rV2+1 (х).. . . rVp +1(а?), (б)
где vp ^> Vj,-! ^> ... ^> vx ^> О — показатели степеней в
двоичном разложении номера п — 2Р -\- 2Vp~1+ ••• +2'\
Для функций Уолша с номерами вида /г = 2m~1 + s — 1,
где 1^5^ 2т~1, во всех точках непрерывности справед-
справедлива формула
= 2
_ т— 1 2то~1
«
5=4
(в)
в которой || oc*™ty — некоторая ортогональная матрица
с элементами + 1.
Замечание. Можно в качестве определения
гт (х) и wn (x) во всех точках отрезка [0, 1] выбрать фор-
формулы (а) и (б). Если функции Хаара определены согласно
A.2), то формула (в) будет также справедлива во всех
точках.
Если же функции Хаара в точках разрыва определены
согласно A.4), те формула (в) в точках разрыва неверна.
Например, по формулам (а) и (б)
ri A/2) = Xxi A/2) = 0, w3 A/2) = г2 A/2) п A/2) = О,
а по формуле (в)
w8 (V.) = 2^1X81 (V«) - хи (V.)I = --|--т = -1-
§ 3. Суммы Хаара
Суммой Хаара степени га — 2 мы будем называть сум-
сумвида
му вида
A.23)
с произвольными действительными коэффициентами al
3]
СУММЫ ХААРА
35
Единственность суммы Хаара. Функция Рп (х) прини-
принимает постоянные значения на каждом из отрезков постоян-
постоянства семейства функций %i (x), ..., %п (х). Обозначим эти
значения Ъъ ..., Ьп, так что
Рп (х) = bs при х е ?WiS; s = 1, 2, ..., га. A.24)
Справедливо также обратное утверждение [9]:
Теорема 6. Каковы бы ни были числа Ъи ..., Ъп,
существует единственная сумма Хаара Рп (х) степени
п — 1, удовлетворяющая условиям A.24).
Доказательство. Разложим кусочно посто-
постоянную функцию g (x), определенную условиями
g (а;) = 6S при i E ?.ns; s = 1, 2, ..., п,
в ряд Фурье — Xaapa. По теореме 1 этот ряд сходится
равномерно. Легко видеть, что все коэффициенты разло-
разложения при к ^> п обратятся в нули, так как g (x) = const
при 1ё1й (когда к ^> п). В самом деле,
ск = \ 8 (х) Хй (ж) dx = const • ^ %н (ж) dx = 0.
И ряд Фурье — Хаара для g (x) обратится в сумму Хаара
степени п — 1.
Допустим теперь, что существуют две совпадающие
суммы Хаара с различными коэффициентами:
a'icXit(ai) =2
Умножив это тождество на %а (х) и проинтегрировав по х
от 0 до 1, получим, что as = a's.
Замечание. Единственность суммы Хаара выте-
вытекает также из теорем 4 и 1.
Приведем еще одно доказательство теоремы 6, не опи-
опирающееся на теорему 1. Обозначим %k (kns) значение
функции %k (x) на отрезке %ns (предполагая, что оно
постоянно). Нам надо доказать, что система уравнений
ft=l
2»

36
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
имеет единственное решение «i, ..., ап при любых правых
частях Ьъ ..., Ьп. Или, что то же, надо доказать, что опре-
определитель
An = det||xs(Xns)||1<s, *<n^=0. A.25)
Воспользуемся методом индукции. При п = 2, когда
Я21 = [0, 1/2), а \а = [1/2, 1],
2 ~ Xi Ы Хя (Ям) ~ 1-1
Допустим, что Д„ =jt= 0. При переходе от п функций
к п + 1 функции один из отрезков постоянства придется
разделить пополам. Пусть этим отрезком, совпадающим
с /п+ь будет отрезок Хпр. Тогда
Я„+1,8 = Яп>8 при 1 <5 < р~ 1;
Л -
п+1,р — Лп,р ,
"n+l.p+1 == "га,р т
Я„+1,« = Я„)8_1 при /? + 2 < 5 < ге + 1.
(На рис. 1.12 изображены Xn,s и Яп+1,, при п — 6, когда
)
С учетом этих равенств можем записать:
i (Ki) U (Ящ) •'. . Хп (Яп1)
(Яп1)
(Яир) . .
(Яп.р+0 • .
• Хп (Яп.р+i)
Так как Япр = /п+1
функций Хаара, то %s .(
1 < 5 < п, a (ЯЙ
. . . Хп(Япп)
отрезок постоянства первых п
) = %s (Я«р) = %s (Япр) при всех
^р). Поэтому, вычи-
СУММЫ ХААРА
37
тая из элементов (р + 1)-й строки элементы р-ой строки,
получим в (р + 1)-й строке числа
0 0 .
0
Разложив определитель по элементам новой (р + 1)-й
строки, найдем, что
Таким образом, утверждение
A.25) доказано. Более того,
из наших рассуждений еле- q
дует, что
;
/
2
Z
3
3
4
4
5
5\В
В
7
ос
1
A7,s
Рис. 1.12.
Рассмотрим теперь более общую задачу: как предста-
представить в виде суммы Хаара кусочно постоянную функцию
с произвольными двоично рациональными точками раз-
разрыва.
Пусть заданы точки
Ь ЪЬ Р
0 <сt*i <;г2 <;...<;гр <с 1 и
()
Пусть заданы то сi 2 р
значения Ьъ Ъ2,..., Ьр+1. Рассмотрим функцию g (а;), опре-
определенную условиями
g (x) — bs при Гв_г < ж < rs,
s = 1, 2, ..., р + 1; Го = 0, гр+1 — 1. Можно выбрать столь
большое-значение то, чтобы все точки г1} ..., гр содержались
среди точек вида Ц2т~г, 1 ^ / ^ 2™. Тогда .g (ж) можно
будет представить в виде суммы Хаара g (x) .= Рп (ж),
причем n ^ 2т~1.
Чтобы точно определить степень Рп (х), нужно найти
наименьшее семейство отрезков постоянства Хп1, ..., Хпп,
обладающее тем свойством, что все точки rls ..., гр содер-
содержатся в множестве концевых точек этих отрезков. Однако
из теоремы б следует, что более грубый способ построе-
построения Рп (х), изложенный в предыдущем абзаце, даст нам
ту же сумму Хаара.
Два свойства сумм Фурье — Хаара. Суммами Фурье —
Хаара, соответствующими функции / (х), называются ча-
частичные суммы ряда Фурье — Хаара A.12) или, что то же,

38
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
ЙУММЫ ХААРА
суммы Хаара A.23) с коэффициентами ah, равными коэф-
коэффициентам Фурье — Хаара ch:
k=i
s). A.26)
Предположим, что функция/ (х) интегрируема на [О, 1].
Свойство А. Значение Sn (х) на каждом из от-
отрезков Xns, I ^ s <^ п, равно среднему значению f (x) на
этом отрезке.
Это свойство есть следствие формулы A.13).
Свойство В. Если т <^ / (х) <^ М, то при всех п
m^Sn (х) < М.
Доказательство. В начале § 2 была получена
формула
о
где согласно лемме Хаара Кп (х, у) ^> 0. Поэтому
о
Оценка снизу доказывается точно так же.
Оба эти свойства были доказаны в [33].
Экстремальное свойство сумм Фурье—Хаара. В пре-
предыдущем пункте указаны свойства, присущие только
системе функций Хаара (вернее, не каждой ортонормиро-
ванной системе). Результаты настоящего пункта справед-
справедливы для любых ортонормированных систем [9, 1].
Теорема 7. Если функция f (x) имеет интегри-
интегрируемый квадрат *), то среди всех сумм Хаара A.23) {за-
{заданной степени) наилучшим средним квадратическим
приближением для f (x) будет сумма Фурье — Хаара
A.26);
\
min \[f (х)
«b...,anJ
\ [/ (х)
Sn
dx.
*) Иначе говоря, / (х) ее
39
Доказательство. Используя формулы A.23)
и A.11), а также условия ортонормированности A.7),
A.8), получим
\[/(х)-Рп(х)]Чх =
11 1
=J /а (х) dx — 2y (х) Рп (х) dx+ ^Р2п (х) dx =
0 0 0
Й=1 fr=l
Очевидно, правая часть будет наименьшей в случае,
когда все ak — ck, то есть когда Рп (х) — Sn (x).
Замечание. Полагая в последнем равенстве
п 1
ak ~ cki легко доказать, что V, с^^\/2(ж)с?ж. Отсюда
Ь=1 О
вытекает, что для любой функции / (х) с интегрируе-
оо 1
квадратом сходится ряд ¦ ^ ек^ ip(x)dx и
Hmcfe = 0. Более точное утверждение приведено на
стр. 32 (свойство 3°).
Вычисление сумм Хаара. Предположим, что коэффи-
коэффициенты ах, ..., ап суммы A.23) заданы. Для простоты поло-
положим п = 2т°, так что
мым
i?=l
Мы оценим количество операций, которые нужно затра-
затратить для вычисления Рп (х) на ЭВМ, и докажем, что хотя
число слагаемых в этой сумме равно п, но для вычисления

40
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ.
3]
СУММЫ ХААРА
41
ее при каждом х достаточно О (log2 n) элементарных
операций *).
Во-первых, вместо коэффициентов amj удобнее хранить
числа b
го-г
mj = 2 2 amj. Тогда
щ, 2
Рп (х) = «1 + 2 2 b™isgn Xm' И-
Во-вторых, легко заметить, что для каждого фиксиро-
фиксированного х в этой сумме найдется не более чем т0 отличных
от нуля слагаемых. В самом деле, среди отрезков lmJ-
с 1 ^ 7 ^ 2™-1 лишь один содержит точку х; пусть это
будет отрезок lm> jm(x). Тогда
„m-l
bmj sgn xmj (x) = ЬтЛт p.) sgn xm,3m
и, следовательно,
A.27)
Теорема 8. Если в двоичной системе счисле-
счисления х = 0, e1,62...es ..., то
Рп(«) = «!+2 (-l)s
опять-таки в двоичной системе
jm — 1 — ел
A-28)
em-
m-i
A.29)
{при т = 1 правую часть A.29) тмгдо полагать равной
нулю).
Здесь все es — двоичные цифры, то есть либо нули,
либо единицы. В десятичной системе значение х и'формула
*) Пусть / = / («), g = g (и) и п -*¦ со . Как обычно, запись
/ = О (g) означает, что \f/g\ < const; / = о (g) означает, что
(f/g) -* 0; / ~ S означает, что (fig) -* 1.
A.29) выглядят так:
х =
-2 2
Гт jm и
Доказательство теоремы 8. Число х
принадлежит отрезку 1т,}т ТОГДа и только тогда, когда
Отсюда следует, что jm — 1 = Ц (лг-2™), где Ц (z) —
целая часть z (см. стр. 102). В двоичной системе это равно-
равносильно A.29).
Если ет — 0, то точка х принадлежит
sgn Xm, jm (ж) = 1 = (—l)Em. Если же ето = 1, то точка
х принадлежит Zj;;. и sgn xmj- (ж) = — 1 = (—IN™-
В обоих случаях A.28) вытекает из A.27) и теорема до-
доказана.
Из теоремы 8 следует весьма простой способ вычисле-
вычисления Рп (х) на ЭВМ, использующих двоичную систему.
Так как аргумент х задается своим двоичным представле-
представлением х — 0, ej.e2..., то при каждом т легко выделить циф-
цифры e1e2...em-i. Для этого нужны только простейшие
логические операции. По значениям т и jm можно сфор-
сформировать адрес ячейки, содержащей Ът< jm. Если следую-
следующая цифра в двоичной записи числа х (то есть ет) равна
нулю, то Ът> jm прибавляется к накапливаемой сумме,
а если следующая цифра равна 1, то Ът, 3-т вычитается:
zm = 2m_1 + (~l)s-mbm,im, m-= 1,2, .. . ,m0.
Начав с z0 = ax, получим zma = Pn (x).
В каждом цикле такого алгоритма производится одно
сложение и несколько логических операций. Поэтому
общее число элементарных операций, затрачиваемых на
вычисление Рп (х), равно О (т0) или О (log2 n).
О применении сумм Хаара для аппроксимации функ-
функций. Доказанные свойства наводят на мысль о целесо-
целесообразности использования сумм Фурье — Хаара для при-
приближения функций. Равномерная аппроксимация гаран-

42
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
тирована для очень широкого класса функций. Одновре-
Одновременно получается и квадратическая аппроксимация. Точно
передаются средние значения на некоторых более мелких
отрезках (Xns). И, как показывает свойство В, мы застра-
застрахованы от неприятных пиков на аппроксимирующей функ-
функции, тех самых пиков, которые доставляют немало непри-
неприятностей вычислителям при использовании аппроксими-
аппроксимирующих многочленов высоких степеней. Единственное
неудобство такой аппроксимации — это разрывность сумм
Хаара.
Если функция / (х) обладает большой гладкостью (не-
(несколько раз дифференцируема и т. п.), то вряд ли кусочно
постоянная аппроксимация этой функции будет доста-
достаточной для практических целей. Однако если про / (х)
известно мало (например, только то, что она кусочно не-
непрерывна), то приближение суммами Sn (х) может ока-
оказаться очень целесообразным.
Такой пример рассмотрен в следующем параграфе:
если про / (х) известно только то, что она удовлетворяет
условию Липшица, то кусочно постоянная аппроксимация
такой функции весьма практична.
§ 4. Аппроксимация функций, удовлетворяющих
условию Липшица, суммами Хаара
Мы рассмотрим только наиболее простой случай, когда
п = 2т. В этом случае все отрезки постоянства %п1, ..., Хпп
имеют одинаковую длину, которую мы обозначим h = 1/п.
Из свойства А сумм Фурье — Хаара следует, что при
х i= Xns значение Sn (х) = ~fs, где
А=1 J f(x)dx. A.30)
(a-l)h
Таким образом, мы фактически имеем дело с равномерной
сеткой xs = sh и аппроксимацией функции / (х) средними
значениями. Такая аппроксимация часто используется
в вычислительной математике при построении алгоритмов
численного интегрирования дифференциальных уравнений
методом разностных схем 122] или методом интегральных
соотношений [3]. Для реализации такого приближения
§ 41 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ХААРА 43
нет необходимости считать коэффициенты Фурье — Хаара:
достаточно составить таблицу средних значений A.30).
А для того, чтобы вычислить Sn (x) при заданном конкрет-
конкретном х, достаточно определить, какому из A,ns принадле-
принадлежит этот х.
В этом параграфе мы сравним с точки зрения вычис-
вычислительной практики возможности употребления таблицы
средних [Д, ..., fn] вместо чаще употребляемой таблицы
значений [/0, /v, ..., fn], где fs = f {sh). Объемы этих таблиц
будем считать равными (одно лишнее значение — не
в счет).
Нижеследующие теоремы 9—12 весьма просты по идее,
и можно предположить, что они где-нибудь уже были
доказаны ранее. Например, теорема 9 при а = 1 легко
может быть выведена из результата [41]. Однако никаких
конкретных ссылок автор, к сожалению, привести не
может.
Некоторые оценки разности \ f {x) — Sn (x) \ в случае
произвольного п имеются в [1]. Более общие задачи об
аппроксимации функций, удовлетворяющих условию Лип-
Липшица, рассмотрены в [21].
Классы функций Нл. Фиксируем значение параметра
0<а<1.
Определение. Мы будем говорить, что функция
/ (х), определенная на отрезке [0, 1], принадлежит классу
На. (L), если для любых двух точек х и у этого отрезка
справедливо неравенство
1/И-Ш \<L \х-у |«, A.31)
где L> 0 — постоянная.
Класс функций На {L) часто называют классом функ-
функций, удовлетворяющих условию Липшица порядка а, с опре-
определяющей постоянной L. Объединение всех классов На (L)
со всевозможными L будем называть На. В теории функций
класс На чаще обозначают Lipe.
Примером функции из На {L) может служить функция
/ (*) = Lx*.
Легко видеть, что если / (ж) дифференцируема на от-
отрезке [0, 1], и | /' {х) | <; L, то / (х) принадлежит Ях (L).
Это сразу вытекает из теоремы о среднем: / (ж) — / (у) =
= /" (Б) {х - у).

44
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
Очевидно, также, что если а <а' <1, то
Нх (L) с Ha- (L) d Ha (L),
ибо | х — у |< | х — у |а' < \х — у |а.
Аппроксимация функции.
Теорема 9. Если f (х) Е Я„ (i) и п
2"\ то
A.32)
Оценка A.32) точная *).
Доказательство. Из A.13) вытекает, что если
х е Кв = \{s — 1) h, sh), то
sh ,
4
(s—1)Л
Используя A.31), получим, что
(s-l)h
Последний интеграл оценивается с помощью вспомога-
вспомогательного неравенства (9.1) (см. стр. 279), после чего полу-
получается оценка A.32).
Чтобы доказать точность этой оценки, рассмотрим
функцию / = Lxa. Для этой функции значение Sn (x)
при 0 <^ х ^ h равно
h
Sn (x) = й-1 ^ Lxadx = (а + I)1Ла.
о
Поэтому Sn @) — / @) = (а + I) Lha. Теорема доказана.
Обозначим через gn (x) кусочно линейную функцию,
получающуюся линейной интерполяцией ло значениям
*) Утверждение «оценка A.32) точная» означает, что постоянную,
стоящую в A.32) справа, нельзя заменить никакой меньшей по-
постоянной.
§ 4] АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ХААРА 45
/о. /i. •¦•> fn- при (s — 1)&< х <sh
gn (x) = (* - x) ^ + (т - s + 4) /••
Теорема 10. Если f (x) e Яа (L), mo
\f{x)-gn(x) |<2-« 1Л«.
A.34)
Оценка A.34) точная.
Доказательство Если (s — 1)/г ^ х <Csh, то
Используя определение A.31), получим неравенство
\f{x)-gn(x)\<Lh*1p {x), A.35)
где
— s-f 1. Тогда
Сделаем замену переменной и == (
0 < и <1 и
¦ф (х) = ? (и) - A — и) иа + и A — в)«.
Легко видеть, что W @) = ? A) = 0, ? (и) > 0 при
0 <. w < 1. Производная
Т" (и) = и*~Ча - (а + 1)и] + A - и)*"Ч1- (а + 1)и]
обращается в нуль при и — 1/2. Вторая производная мо-
может быть записана в виде
Y" {и) = - аи* [2 - (а + 1) A - вI -.
-а A -а)а[2—(а+1)и],
откуда ясно, что при 0 <Си -<! всюду Т" (и) <с0/ Сле-
Следовательно, и = 1/2 — единственная точка максимума
max -ф (ж) = max V (и) = ? A/2) = 2"а.
Подставив это значение в A.35), получим требуемое не-
неравенство A.34).

46
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
О
1 X
Рис. 1.13.
Чтобы доказать точность этой оценки, рассмотрим
функцию / (х) = L \х — hj2\a. Так как (рис. 1.13)
/ @) = / (Л) = L (h/2)\ то gn (х) = / @) при 0 < х < к.
Значит, gn (h/2) — / (/г/2) = 2~aLh<x, что и требовалось
доказать.
Сравним теперь оценки A.32) и A.34). При а = 1 они
совпадают, а при всех 0 -<а <1 оценка A.32) лучше:
2* <1+а. Таким обра-
образом, точность приближения
f{x) -х Sn (x) на классах На (L)
при а < 1 лучше, чем точ-
точность обычно используемо-
используемого приближения / (x)xzgn (x).
Если к тому же учесть, что
для вычисления^ (х) доста-
достаточно определить, какому из
отрезков [(s — 1) h, sh) при-
принадлежит значение ж, а затем
выбрать из таблицы соответствующее значение /s, а для вы-
вычисления gn (х), надо найти отрезок [ (s— l)h, sh) и, кроме
того, осуществить линейную интерполяцию по формуле
A.33), то станет ясно, что с точки зрения количества
вычислений использование таблицы [/i, ..., /п] заметно
выгоднее.
Впрочем, на классе функций На (Ц линейная интерпо-
интерполяция не улучшает приближения по сравнению с кусочно
постоянной аппроксимацией. Если задать таблицу зна-
значений /s_i/2 = / (S — -zAk , 1 ^ S ^ П, И ПОЛОЖИТЬ
fn (х) = fs-tj% при ($ — l)h ^ х <lsh, то для разности
j / (х) — g*n (x) | будет справедлива та же оценка A.34).
Интегрирование аппроксимации. Особенно заметны
врежйущества аппроксимации средними в тех задачах,
в йрторых наряду с f(x) нужно вычислять неопределенный
интеграл от / (х).
Т
р / ()
Теорема 11. Если f (х) е На Ш и п = 2
то
A.36)
о о
Для класса Н1 (L) оценка эта точная.
\\
§ 4]
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ХААРА
47
Доказательство. Обозначим через г (ж) раз-
разность, абсолютную величину которой надо оценить:
Так как во всех точках х = sh разность г (sh) — 0, то для
х ?Е ^ns можем записать г (х) в виде
r(x)=
. A.37)
Точки максимумов и минимумов г (х) удовлетворяют урав-
уравнению
г'(аО = /(я)-7. = 0.
В каждой такой точке, в том числе в точке максимума
модуля г (х), которую мы обозначим х = Э,
/ F) = п A.38)
Полагая в A.37) х — 9 и используя A.38), запишем
[f(t)-f(Q)]dt.
A.39)
(s—i)
Предположим пока, что 8 <С (s — 1/2) h. Тогда
(8-1) Л
Если 9 I> (s — 1/2)/г, то вместо A.39) можно использовать
эквивалентную формулу
из
-/(9I dt,
которой вытекает та же оценка A.36).

ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
Чтобы доказать точность этой оценки на классе Н1 (L),
рассмотрим функцию / = L (х — h/2). Очевидно, при
х ?Е Ал1 значение Sn (х) — О и
h/2
Итак, теорема 11 доказана.
Если используется кусочно линейная аппроксимация
A.33), то величина
\\f{t)di-\gn(t)dt
0
может оказаться значительно большей, чем правая часть
A.36). В самом деле, пусть (рис. 1.14) при (s — l/2)h^
< х < (s + 1/2)Л
/, (ж) = L | х — sh |a.
Очевидно, соответствующая функция gtn (x) = 0. Поэтому
- 2nL
Л/2
о о
Следовательно,
sup sup
= (а + 1)"^ (Л / 2)«.
что на порядок хуже, чем A.36).
Конечно, такого результата для интегралов можно было
ожидать: приближение gn (x) m f (х), в отличие от при-
приближения Sn (x) ?=? / (х), не является, как говорят вычис-
вычислители, консервативным (то есть не сохраняет значений
интегралов).
Дифференцирование аппроксимации. Недостатком ку-
кусочно постоянной аппроксимации часто считают то, что
она не позволяет оценить производные от аппроксимируе-
аппроксимируемой функции (там, где они существуют). Следующая тео-
§ 4]
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ХААРА
У\
рема показывает, что когда функция / (а;) достаточно глад-
гладкая, то по Sn (x) можно обычным способом приближенно
вычислить производную/' (х),
если только принять одну
меру предосторожности: шаг
численного дифференциро-
дифференцирования Да; должен быть крат-
кратным h — 1/п.
Теорема 12. Предпо-
Предположим, что функция f (x) име-
имеет на отрезке [0,1] производ-
производную f (x) ЕЕ На (М), и пусть,
п = 2Щ. Выберем шаг Дж =
— ph с целым р ^> 1. Тогда для любого х
О Ь 2Ь
7 х
Рис. 1.14.
(Дж, 1 —
/'(*)
М
A.40)
где постоянная хар определена ниже формулой A.45).
Оценка A.40) точная.
Доказательство оценки A.40). Фикси-
Фиксируем произвольную точку х0 ЕЕ (Д#, 1 — Дж) и обозначим
}ьп8' и Х,П8» отрезки постоянства, содержащие точки х0 — Дж
и х0
П8
Дж:
х0 —
V — 1
Согласно A.13)
-5; (х0 - Да:) =4- Г \f (x) dx- \f [
A.41)
Преобразуем входящие сюда интегралы с помощью тож-
тождества
/W^'/Wi/'W-/-

50
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
интегрируя которое нетрудно получить равенство
x0
Подставив это выражение (для s = s' и s = s") в A.41),
найдем, что
Sn (x0 + Ax) - Sn (xQ - Ax) = /' (x0) ¦
. A.42)
По условию теоремы
dx \ lf'(t)~f'(xo)]dt\^M § dxl \t-xo\*dt =
Рассмотрим последний интеграл при s = s". Легко видеть
(рис. 1.15), что хй < (s" — i)h и поэтому
SI I14. i J 1 Г/ s" \a+2 h" — 1 \а+2
Точно так же легко видеть, что в случае s = s" значение
х0 > s'h и
Я' — 1\«+2
)
)
Подставим оба эти выражения поочередно в A.43) и
полученные неравенства используем для оценки второго
§ 4] АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ХААРА 51
члена справа в A.42). Получим неравенство
- 1 \«+2 .
: жо) +
<
Нетрудно заметить, что s"— s' = 2nAx = 2р (здесь
-1 ^Т 1 »-Г
7 X
Рис. 1.15.
как раз существенно, что р — целое). Поэтому можем пере
писать последнее неравенство:
Mhal
2&х
М
2Г
где
Вычислим теперь максимум Я. Пусть х0 = h (s0 — 1 -f ?),
где s0 — целое число, 0 ^ % <^ 1. Тогда / = s0 — р,
s" = So + J°> и -^ можно переписать в виде
R = R (I) = (р + 1 - |)<»* - (р-
(
Очевидно, R (?) ^> 0 и внутри интервала 0 < | < 1 эта
функция максимума иметь не может, ибо
R" (I) = (а + 2) (а + 1) [(р + 1 - 1)*-(р-1)« -Ь
( + ЮаA+Ш
На концах интервала
Л @) = Д A) = (р -Н 1)*+«— (р—
Следовательно, max R = (р -J- 1)а+2 — (р

52
ФУНКЦИИ ХААРА
ira. i
Подставив в A.44) max R вместо R, получим неравен-
неравенство A.40) с постоянной
\<х+2
Zap~ 2<а + 2)/>«+1 * AЛ5)
Доказательство точности оценки
A.40). Рассмотрим функцию
sgn ж —
для которой /' (х) = М [ х — 1/2 |а е Яа (М) (см. рис.
1.16, где М = 3, а = 1/2). Фиксируем шаг ft = 2~m.
Нас будут интересовать значения х0 (ЕЕ [1/2, 1/2 -f- А.),
так что s0 — 1 = l/2h, или 1/2 = h (s0 — 1).
Если 1/2 < (s — \)h < ж <s/i, то
sh
г
¦Так как s'* = s0 + p, то
Можно проверить (впрочем, это легко усмотреть из сим-
симметрии рис. 1.16), что
Поэтому
— ph)
— М
Хп
1
Т
Когда ж0 —> 1/2,. последнее соотношение обращается в
A.40) со знаком равенства.
Таким образом, теорема полностью доказана.
§4]
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ СУММАМИ ХААРА
53
Сопоставление с обычным численным дифференциро-
дифференцированием. Если функция / (х) задана в точках сетки х = sh,
Рис. 1.16.
то на практике применяют приближение
/' {sh) ж ~ [> (sh + Дж) ~f(sh —
Так как ¦
то
-/(s-As)= ^ /'(ОЛ,
х—Ах
х+Ах
2Да;
-fW=i i I/ЧО-/'(*)] л
Используя условие f (x) e На(М), получим неравенство
/ (x + As) - / (x - As) ,,
5 1
2Аж
U —
x—Дх
M
^а;)а. A.46)
В том, что эта оценка точная, можно убедиться на примере
функции
/ (х) = (а + iyxM \x — x0 |«+i Sgn (ж — Хо),

54
ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 1
*¦
для которой
/ (х0 -f Ах) — i (ж0 —
Оценка A.46) отличается от оценки A.40) только
множи-
О 1 2 3 4 5 в 1
телем хар, который невелик: из A.45) видно, что
р+1
J
p-i
Значения кар приведены на рис. 1.17.
Глава 2
Метод рядов Хаара в теории
квадратурных формул
Рассмотрим пока произвольное множество Я интегри-
интегрируемых функций f(x), определенных на отрезке [0, 1].
Для приближенного вычисления интеграла от f(x) можно
использовать квадратурную формулу
iV-l
B.1)
г=0
где х0, ..., Ждг-! — узлы формулы, а Со, ..., CN^ — веса.
В качестве узлов мы будем выбирать произвольные точки
Xi из [0, 1], а относительно весов, как обычно [52], будем
предполагать, что все С-г ^> 0 и CQ + Сг + ¦•• + CN-i = 1.
Число N пока считаем фиксированным.
Погрешностью квадратурной формулы B.1) на классе
функций Н называется верхняя грань ошибки
R = sup
N-1
Если рассматривать квадратурные формулы вида B.1)
с различными узлами и весами, то R окажется функцией
от ж0, ..., xN-x, о0 C
0,
R = R (х0, ..., Zjy-i; Co, ..., CN-i).
Наилучшей квадратурной формулой вида B.1) на классе
функций Н называется такая формула, для которой
R (х0, ..., xN-t; Со, ..., Сп-г) = min.

*>
56 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
Задачу о нахождении наилучших (в этом смысле)
квадратурных формул часто называют экстремальной
задачей теории квадратурных формул. Обзор экстремаль-
экстремальных задач (на различных классах функций) сделан в книге
СМ. Никольского [54], где указано, что такая поста-
постановка вопроса принадлежит А. Н. Колмогорову.
Для нахождения наилучшей формулы не обязательно
ВЫЧИСЛЯТЬ ЯВНО фунКЦИЮ R (Хо, ..., Ждг-ь Со, ..., CVl)
и затем искать ее минимум. Иногда удается выбрать
«самую плохую» функцию /+ (х) класса Н, и; получить
оценку снизу
1 N-
)f*(x)dx —
О 5=0
а затем построить формулу, для которой R = R . Оба эти
подхода к экстремальным задачам представлены в § 1.
Экстремальные задачи относятся к наиболее трудным
задачам теории квадратурных формул. В [52] сказано, что
формулы, «при которых R достигает минимума, были най-
найдены лишь в небольшом числе простых случаев». И эта
фраза относится к интегрированию функций от одной пе-
переменной. Ясно, что отыскание наилучших формул в слу-
случае, когда подынтегральная функция зависит от многих
fпеременных,— задача гораздо более сложная. И до сих
пор исследований в этом направлении немного. Среди
них в первую очередь необходимо отметить работы
С. Л. Соболева, изложенные в [56].
Заметно больше работ, в которых R не вычисляется
явно, а только оценивается снизу. В ряде случаев такие
оценки позволили найти формулы, близкие к наилуч-
наилучшим. Наиболее последовательно этот прием осуществлен
в [49], хотя оценки снизу используются также в других
работах.
Предположим теперь, что множество функций Я есть линейное
нормированное пространство [53] с нормой ||/||я. Тогда разность
N—1
B.2)
представляет собой линейный функционал, определенный на И.
§
. НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
57
По определению норма линейного функционала — это верхняя
грань абсолютной величины его значений на единичной сфере .про-
.пространства:
|| б ||= sup |б(/)|.
II /Пя-1
Ввиду линейности Н ¦ имеет место неравенство
точное в том смысла, что [б|[ нельзя заменить никакой меньшей по-
постоянной.
Погрешность формулы B.1) на сфере [| f\\H=L равна R —
= ?||б||. Поэтому задачу о выборе наилучшей квадратурной форму-
формулы можно поставить так: среди всех функционалов вида B.2)
найти функциойал с наименьшей нормой.
Основная цель настоящей главы — на простом мате-
материале разъяснить методы, которые дальше используются
для изучения многомерного случая. Впрочем, результаты
§ 4 представляют и самостоятельный интерес.
Все результаты § 1 в той или иной форме были извест-
известны. Напротив, все результаты §§ 2—4 принадлежат автору
книги (кроме теоремы 11),
§ 1. Некоторые экстремальные задачи
В качестве примеров решения экстремальных задач
мы рассмотрим квадратурную формулу B.1) на классах
функций малой гладкости Wp} и На. Необходимо отметить,
что для практики эти задачи представляют незначитель-
незначительный интерес, так как хотя погрешности на разных клас-
классах оказываются разными, но наилучшая формула на
всех этих классах одна и та же — формула прямоуголь-
прямоугольников.
Однако на аналогичных классах функций в многомер-
многомерном случае найти наилучшие сетки очень трудно. И раз-
разные выражения для R позволяют по-разному подойти
к этой проблеме.
Классы функций W$\ Мы будем рассматривать функ-
функции / (х), непрерывные на отрезке [0, 1], производные
которых /' (х) кусочно непрерывны. Множество этих
функций можно нормировать по-разному.

58 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
Определение. Функция / (х) принадлежит
), если / (х) непрерывна на отрезке [0, 1], а ее про-
производная удовлетворяет условию
1
\\f{x)\*dx\ <L. B.3)
{ \ I
Допустимые значения параметра 1 ^ р ^ оо, причем
для р = оо необходимо соотношение B.3) заменить пре-
предельным соотношением
sup |/'(*) |< L. B.3')
Объединение всех Wpx) (L) со всевозможными L будем
называть Wp . С помощью вспомогательного неравенст-
неравенства (9.2) (см. стр. 279) нетрудно доказать, что если
1 <р <Lp' <oo, то
W™ (L) с W$ (L) с= Wf (L) с W? (L).
Класс
У\
функций W&(L)
сГ\
О Х2
иногда называют WX(L).
Вывод формулы для Ь (/)«
Квадратурной формуле B.1)
поставим в соответствие сту-
ступенчатую функцию
Frf(x)=
< х)
Х3
X
Рис. 2.1.
где суммирование осуществ-
осуществляется по всем ъ таким, что
xt < х. Очевидно, FN (x) —
кусочно постоянная неубы-
неубывающая функция, FN @) =
= 0, ^A) = 1 (Рис. 2.1).
Такие функции часто встреча-
встречаются в теории вероятностей,
где их называют функциями распределения [50].
Пусть
0 при «<0,
при и>0.
§ 1] НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 59
Тогда
iV—1
JV-1
и
г=о о г=о
JV-i
Нетрудно заметить, что 2 С^К{1 — хг) — F^{t). Следова-
1=0
тельно,
JV-1 1
^C,f{xi) = f{\)-\f'{t)FN{t)dt.
г=0 О
С другой стороны, интегрируя по частям, получим, что
Вычитая из последнего выражения предпоследнее, полу-
получим формулу
B.4)
Некоторые свойства величины d — sup | F^ (x) — х\.
Лемма 1. Верхняя грань разности j FN (ж) — х \
не может достигаться в точке непрерывности FN (ж).
Доказательство. Допустим противное: пусть
х* — точка непрерывности FN (x) и в этой точке
I FN (х*) — х* | = d. Тогда х* принадлежит одному из
интервалов постоянства функции FN (x) и можно указать
отрезок [х\ х"], содержащий точку х*, на котором
FN (x) = FN (x*) (рис. 2.2).
F * *
)
х*, то в точке х"
() ()
Если FN (x*)
FN {х') -х' = FN {х*) - х' > FN {х*) - х* = d;

60. РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИЯ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
а если FN (#*) <ж*, то в точке х"
х» _ FN (х") = х"'— FN {х*) >х* -F* (х*) = й.
В обоих случаях получаем противоречие, так как
J = snp| F(x) x\
1
i i
i i
О хПх**х"
Рис. 2.2
1 X
Лемма 2. Для любой функции FN {x)
Доказательство. Из вспомогательного нера-
неравенства (9.2) (стр. 279) следует, что при росте д величины
=. ¦! \ |
*• о
f ...
pf (х) — xfdxi монотонно возрастают,
о J
Очевидно также, что у (q) ^ d.' Поэтому существует
Urn y(q) = a.
q—»зо
Д
Допустим, что a <d. Выберем е ^> 0 так, чтобы
а -\- & <id, ж обозначим через Е множество точек отрезка
[0, 1], в которых | FN (х) — х | > a + г (рис. 2.3). Это
множество состоит из одного или нескольких отрезков,
§ 1]
НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
61
сумму длин которых обозначим через ц. Тогда
FN(x) ~ x\q dx^\FN (х) ~ х \q dx
0 К
и У (я) > (а + 8) ^1/9- При д-^- оо отсюда следует, что
а ^> с + б. Противоречие.
Квадратурные формулы на классах WW-.
Теорема 1. Погрешность квадратурной формулы
B.1) на классе функций W(p (L) равна
B.5)
где A/р) + A/д) ='1, 1 <р<».
Доказательство. Из B.4) с помощью нера-
неравенства Гельдера получим, что
1/Р 'л
откуда видно, что R не превосходит правой части B.5).
Остается доказать, что оценка эта точная. Для этого
X
достаточно выбрать функцию g(x) = \>g'Xt)dt, где
о
,1 ч 1/Р
g' (х) = L И| FN (x) — x\*dxj \FN(x) — x |«-i.sgn (Fiv - ж).
Для этой функции
1/Р
Теорема 1". Погрешность квадратурной формулы
B.1) на классе функций W^ (L) равна
R^Lsuv\FN(x) — x\. B.5')

62 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРШЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
Доказательство. Из B.3') и B.4) видно, чта
если / (х) е И7!^ (L), то | 6 (/) | <; Ld. Чтобы доказать,
что эта оценка точная, фиксируем какую-нибудь точку xt,
в которой верхняя грань | FN (х) — х \ достигается:
I FN (xi + 0) — Xi | = d или | FN (xt — 0) — xt [ = d.
Пусть для определенности FN (хг + 0) — x{i = d (слу-
(случай, когда xt — FN (xt — 0) = d, рассматривается анало-
аналогично). Выберем е ^> 0 столь малым, чтобы FN (х) — х^> 0
при Xi <с х ^ xt -f- е и чтобы Xi +-е < ж^-ц. Пусть
При
лри
X
8),
¦л.
?е (ж) = J gE (г) rfi. Легко вычислить, что
(L/s)dx =
и в то же время
где ^е — некоторое среднее значение, заключенное между
хг и Xi -\- е. При е —*¦ 0 точка хг -*¦ xt и 6 (ge) ->- Ld.
Теорема 2. ДJWl любой квадратурной формулы
вида B.1) при 1 ^ g <С оо
1
B.6)
причем равенство в B.6) имеет место только в случае фор-
формулы прямоугольников, когда xt = (i + 1/2)/N, Сг = 1/N
(i - 0, 1, ..., N — I).
Доказательство. Перенумеруем все узлы в
порядке возрастания и введем формально х-х — 0, xN — 1:
НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
63
Можем записать, что
FN (х) — х |9 dx =
0) —
Интегралы, стоящие в последнем выражении, вычисля-
вычисляются (см. доказательство (9.1) на стр. 279). Если для крат-
кости обозначить
лучим
1
t + 0) = 2j С, через i^, то
s=0
iV—1
В фигурной скобке первый член при i = N — 1 и второй
член при i = — 1 равны нулю, так как F-x = F @) = 0,
Fn-i = F A) = 1. Объединим оставшиеся члены с одними
и теми же значениями xt:
N—1
\FN~
В этом выражении каждая фигурная скобка зависит лишь
от одного хг. Рассмотрим функцию, стоящую в такой скоб-
скобке (рис. 2.4):
Легко проверить, что у* (#)]>(), когдах^> Рг,жу'(^
когда х <С Fi-i. Поэтому у (х) имеет лишь один минимум —
при х = 0,5 (^j-i + Ft). Подставив это значение вместо
xt в фигурную скобку, получим неравенство
С
2

64 . РЯДЫ ХААРА В ТЕОРйЯ КВЛДРЛТУРНЫХ ФОРМУЛ 1ГЛ. 2
обращающееся в равенство только при х - О
Далее, по вспомогательному aepa?L5y~(9
¦1=0
>
О
причем равенство имеет ме-
место только в случае, когда
все Ct — 1/N. Следователь-
Следовательно,
7 х
Рис. 2.4.
о
что равносильно B.6). Равенство возможно только в слу-
случае, когда все Ct = 1/N и
xt = 0,5
2"'
1/2
любой
формулы
snp | f* (at) — ;rj>_i
иг. B-6/)
причем равенство в B.6*) имеет место в случае формулы
прямоугольников.
Для доказательства этого утверждения достаточно пе-
перейти в B.6) к пределу при q ->• <х> и учесть лемму 2.
Обобщения, Рассмотрим функции / (ж), имеющие на отрезке [ОД]
ограниченную вариацию [53i]. Как известно, такие функции не
обязаны быть непрерывными, а могут иметь не более чем счетное
множество, точек разрыва первого рода.
Определение. Функция / (х) принадлежит V (L), если
ее вариация V* (/) ^ L. .
Объединение всех V (L) со всевозможными L будем называть V.
Легко видеть, что если / (х) (= V, то все соотношения, исполь-
использованные при выводе формулы B.4), сохраняют свою силу, если
их записать в форме интегралов Стилтьеса. Следовательно, для та-
§ П
НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
65
ких функций справедлива также формула B.4), но записанная в
форме интеграла Стилтьеса:
1
8 (/) = ^N (*)-*]<*/(*)¦ B.7)
о
1
Так как Vo(/) = \l df (х)\, то отсюда вытекает, что если / (х) е
S V(L), то |fi(/)|°<Ld.
Последняя оценка совпадает с оценкой B.5') на классе
1
Однако если / (х) е И7^ (L), то Vj (/) — [ \ /' (*) Мх < Ь, так что
о
W^ (L)c V (L). И так как оценка[B.5') точна на W^ (L), то тем
более она точна на V (L).
Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема 1". Погрешность квадратурной формулы B.1)
на классе функций V (L) выражается формулой B.5').
Заметим, что для случая равных весов это утверждение было
доказано Й. Коксма в 1942 году.
Пусть теперь / (х) принадлежит классу Липшица Н^ (L) (опре-
(определение см. на стр. 43). В этом случае
/ <w>-'/ &> i <L snp 21 li+i ~~li'=L
i i
Значит, Нг (L) С V (L) и для всех функций из Нх (L) справедлива
формула B.7). Так как \df (x)\ < L dx, то из B.7) вытекает оценка
1
\FN{x)-—x\dx, совпадающая с оценкой B.5) для
класса W^ (L).
Если / (х) е
(i), то
х'
так что / (х) е Нх (L). Значит, W^ {L) с #i Щ и оценка, точная
на W^ (L), тем более точна на Нх (L).
Таким образом, нами доказана еще одна теорема:
Теорема 1'". Погрешность квадратурноц формулы B.1)
на классе функций Нх (L) выражается формулой B.5) при g = 1.
Теоремы 2 и 2' показывают, что формула прямоугольников
является наилучшей квадратурной формулой и на классе V (L),
и на классе Нх (L). Последний результат был впервые получен
в [55].
3 И, М. Соболь

66 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
Дальнейшие обобщения. Можно отказаться от предположения
о кусочной непрерывности /' (х) и в определении классов W^ тре-
требовать только, чтобы f\(x) была суммируемой и принадлежала Lp,
1
При этом, для того чтобы имело место равенство/ (ж)=/ A) —\ /'(*) dt,
надо еще предположить, что / (х) абсолютно непрерывна*). Для та-
таким образом определенных более широких классов W^ (L) также
будут справедливы все доказанные выше утверждения.
Квадратурные формулы на классах Нл* Получить
удобную формулу для погрешности R на классах функций
На (L) (определение см. на стр. 43) не удается (за исклю-.
чением случая а = 1, для которого это сделано в теоре-
теореме 1'"). Поэтому воспользуемся оценкой R снизу.
у! Пусть задана квадратур-
квадратурная формула B.1) с узлами
Хо<ч ъК ¦¦• К xn-i- Рас"
смотрим «плохую» функцию
/ (х), изображенную на рис.
2.5:
Д (х) = I ! хг - х\\
когда
Рис. 2.5. Xi'1 + ^г < 2ж < йгг + хш,
где i — 0,1, ,'..,N— 1 и
мально надо считать x_x = —х„. х™ = 9. — «*- /л~-
что
Так как во всех v^Trav^-f
во всех У3лах Д
= 0, то из B.2) вытекает,
¦*(/•)
•) Более точно, абсолютная непрерывность / {х) необходима и
достаточна для того, чтобы / (,, = }(i)-\ f'{t)dt в случае
¦I11 :
-НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ .
67
и погрешность
Вычислив последний интеграл, получим оценку
L N~l
(сс + 1):
t
Ж
)
+ 2аA-зд_1)а+1]. B.8)
Минимум выражения, стоящего в квадратной скобке,
при дополнительных условиях ж0 > 0, xt — х^х > у.
1 — xN.x > 0 и
JV-i
легко найти с помощью вспомогательного неравенства
(9.5) (стр. 280). Он реализуется в случае, когда все
Xi — жг_! = \jN и х0 = 1 — xN_i = l/BiV), Подставив эти
значения в B.8), получим оценку снизу
R > L (а + 1Г1 Bi\T)-a.
B.9)
Чтобы доказать, что оценка B.9) точная, достаточно
указать конкретную квадратурную формулу, погрешность
которой удовлетворяет соотношению B.9) со знаком ра-
равенства. Эта формула, очевидно, будет наилучшей на
ff(L)
¦ffa(L).
Как и следовало ожидать, этому условию удовлетворя-
удовлетворяет формула прямоугольников B.1) с zt = (i + l/2)/iV,
Сi — 1/iV. В самом деле, для формулы прямоугольников
N—1
6(/) = $/ (х) dx - (i/N)
О
±fcL
N— 1
= 2
1=0
JV
i
JV

68 РЯДЫ ХЛЛРЛ В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
Испш^ьзуя определение A.31) класса На (L), получим
¦г —
tf.fi
JV
Интегралы здесь легко вычисляются, после чего правая
часть последнего неравенства обращается в правую часть
B.9).
Полученный результат можно сформулировать в виде
теоремы:
Теорема 3 ([58]). Наилучшей квадратурной фор-
формулой на каждом из классов На (L), 0 <ot ^ 1, является
формула прямоугольников (хг = (i + l/2)/N, Ct -
погрешность которой на На (L) есть
= L (а + l)-i BN)~
B.10)
Заметим, что при таком подходе (то есть при исполь-
использовании оценок снизу без явного расчета R) вопрос о един-
единственности наилучшей квадратурной формулы не решается,
хотя в рассмотренном случае единственность может быть
доказана.
§ 2. Классы функций 8Р
Этот параграф мог бы быть включен в гл. 1: здесь изу-
изучаются классы функций с быстро сходящимися рядами
Фурье — Хаара, близкие к классам Яа. Рассмотрение
классов Sp составляет основу метода рядов Хаара в теории
квадратурных формул, так как на этих классах удается
явно вычислить погрешность R и исследовать ее свойства.
Для функций от одной переменной это сделано в § 3 (а для
функций от многих переменных — в гл. 4).
Определение классов 8V (-4). Фиксируем параметр
1 ^ р <^ оо, и пусть q — сопряженное значение
+ (i/g) = 1.
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ Sp
69
Определение. Функция f (х) принадлежит
классу Sp (А), если она представима в виде ряда Хаара
(*)=2
B.11)
и
т-г
rn—1
3=1
Объединение всех классов Sp (А) при всевозможных А
будем обозначать Sp. С помощью вспомогательного нера-
неравенства (9.3) (стр. 279) легко получить, что если
1 <р <р\ то
St (А) с Sp (А) с Sp> (A).
Теорема 4. Для любой функции f (x) из Sp ряд
B.11) сходится абсолютно и равномерно на [0, 1].
Доказательство. Рассмотрим произвольный
участок ряда B.11)
2 |ckXfc(a;)K 2 2 I cmjXmi (aj) | ,
l=ki m—mi j=l
где справа суммирование распространено на полную груп-
группу. По неравенству Гельдера
2тп-1 1/р 2т-1 1/а
2
3=1
2
3=1
3=1
а последняя фигурная скобка по формуле A.6) равна
2'Мт-1)з. Поэтому
Н.
2 2
2
3=1
если кх (а вместе с ним и mx) достаточно велико.
Следствие. Функции классов Sp непрерывны
во всех точках отрезка [0, 1], кроме, быть может, двоично

70 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
рациональных точек, в которых они непрерывны справа и
могут иметь разрывы первого рода. Это утверждение выте-
вытекает из теоремы 4 и теоремы 3 гл. 1.
Следствие. Функции классов Sp ограничены:
I / (ж) 1< [ сг 1+ Ар (/).
Это утверждение доказывается в точности так же, как
теорема 4.
Вложение JETa в Sp. Следующая теорема показывает, что
классы Sp содержат достаточно много непрерывных функ-
функций.
Теорема 5. Если а >р >> 1, то На (L) a Sp {A)
при ,
"A=S'W^B' . BЛЗ)
Доказательство. Во-первых, надо оценить
коэффициенты Фурье — Хаара для произвольной функции
/ (х) из На tr.\.
-\ f(x)dx] =
m-l
Используя определение A.31) класса Ha (L), получим
отсюда . , '
|^/Г<1/,2-^к+1/2)М/2. B.14)
Подставим оценку B.14) в выражение B.12) для Ap(f);
АР(/)<L 2 2-™<«-1/р>-1-1/р .
m=i
Просуммировав стоящую справа прогрессию со знамена-
знаменателем 2-(а~1?р), получим справа выражение B.13).
Пример. Рассмотрим функцию / (х) = Lx, при-
принадлежащую Нг (L). Легко вычислить коэффициенты
§ 2}
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ Sp
71
фурЬ.е _ Хаара для этой функции: сх = 0,5?,
;-W_(_
2m-i J \2
jU'-^fl = - 2"
зт+1
Следовательно,
~ S 2 2
m=l j=l
(частичные суммы этого ряда приведены на рис. 2.6).
Легко также вычислить значение '• - .
°'5L •
Отсюда видно, что значение 4 в формуле B.13) уменьшить
нельзя, во всяком случае при
а = 1.
Этот же пример показы- ' i &-\ и=$ ,хл
вает, что заменить в уело- ^А ,У в
вии теоремы 5 неравенство
а -р ^> 1 на а -р > 1 нельзя,
так как Ах (Lx) = оо и функ-
функция / =? Lx из НЛ не принад-
принадлежит 5Х.
О классе функций 8Х. Те-
Теорема 5 и предыдущий при-
пример показывают, что классы
Нп с различными а довольно
тесно вкладываются в классы $р с соответствующими^-зна-
чениями jo ^> 1/а. В частности, Н± с Sp при любом р ^> 1,
однако при joj= 1^ьтакое утверждение уже неверно:
Нг ф Sx. '
Сейчас мы докажем, что, в'то время как классу Нг при-
принадлежат все непрерывно дифференцируемые функции,
класс Sx таких функций не содержит. И в этом смысле
класс Sx гораздо беднее, чем все Sp при р ^> 1.
Теорема 6. Рассмотрим непрерывную функцию
f (х), производная которой f (x) непрерывна на отрезке
[0, 1], зй исключением, бить может, конечного числа
.Рис. 2.6.

72 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЯ [ГЛ. 2
двоично рациональных точек, в которых она может иметь
разрывы первого рода. Если f (х) ЕЕ Slt то f (x) — const.
Доказательство. Обозначим через F(x) неопре-
X
деленный интеграл F(x) — у (t) dt и выберем те столь
о
большим, чтобы все точки разрыва функции /" (ж) содер-
содержались среди точек вида //2га~1. Вычислим коэффициенты
Фурье — Хаара функции / (х):
та-1
cmj —
f(x)dx~ $ f(x)dx] =
m-i
2m-i
где А2-та — обычный разностный оператор: AtF (x) =
= F (x + t) — F (x). Так как на Zm;- функция F (x) дваж-
дважды непрерывно дифференцируема, то по известной теореме
о среднем найдется точка |mj- 6= lmi такая, что
2m-i
V"
9-2т
Следовательно,
|e«fl = 2" * |/'(U)|. B.15)
Так как по условию теоремы / (х) Е- #1, то сходится
ряд B.12) для Аг (/):
со ^ 2™-1
2 2 2 2 |cmi|<OO.
W=l j=l
Общий член этого ряда с учетом B.15) равен
„т—1
•m-i 2
2~ 2 1^1 = 2^
3=1
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ Sp
73
Последняя сумма представляет собой интегральную сумму
и при т —v с» имеет предел:
2
2
А так как общий член любого сходящегося ряда обязан
стремиться к нулю, то этот предел равен нулю. Значит,
1
\\f(x)\dx = O и /' (х) ~ 0, что равносильно утверждению
о
теоремы.
Линейное нормированное пространство 8р. Функционал B.2),
который нас интересует, принимает одинаковые значения на всех
функциях / (х) из Sp, различающихся постоянными слагаемыми.
Условимся считать все такие функции одной функцией / (х) и
определим для нее норму
При таком определении Sp превращается в линейное нормирован-
нормированное пространство.
В самом деле, обозначим cmj и dmj коэффициенты Фурье—Хаара
функций / и g. По известному неравенству Минковского
\
2 '
и из B.12) видно, что
Ap{f+g)<Ap{f) + Ap(g), B.16)
Поэтому из / е 5р и?е5р следует / + g e 5р. Очевидно также,
что при любом действительном К из / s Sp следует kf G .Ур. Та-
Таким образом, пространство 5р линейное.
Проверим теперь свойства нормы. Во-первых, если ||/| = О,
то все стх — 0. Значит, / (а;) = const, а это в силу нашего соглаше-
то все cmj 0. Значит, / (а;) const, а это в силу нашего
ния равносильно / = 0. Во-вторых, очевидно, ||Я-/|| = | М || / Ц.
Наконец, неравенство треугольника || / + g || ^ 11/11 + Ш СЛе"
дует из B.16).
П 8
/||
1 +
|| Ц
СЛе"
т из B.16).
Полнота 8». Докажем, что пространство Sp полное, то есть спра-
справедлив критерий Коши: если для любого е ]> 0 можно указать такое
п0, что
II/„+»-/„ 1Kb B.16')
при всех п > п0 и к > 0, то существует функция / е= Sp такая,
что limy/-/п|| = 0.
п—юо

74 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
Доказательство. Из неравенства B.16') следует, что
коэффициенты Фурье — Хаара этих функций удовлетворяют нера-
неравенствам | cmj(fn+1{) — omi(/n)|<e (через cmi (/„) мы обозначим
коэффициенты Фурье—, Хаара функции fn). Значит, существуют
пределы ст-= Ищ'ст^-(/„). При к -* х> Из B.16') вытекает, что
п -* оэ
т—г
*¦ 3=1
V л 1/р
Пусть / (г) =
V»
(Ж)> Т°ГДа IW <
~ /яК
< II /nil + е < °° и> следовательно, / е 5р.
Полное линейное нормированное пространство называется ба-
банаховым пространством.
§ 3. Квадратурные формулы на классах 8^
Оценка погрешности. Если / (х) Е^, то ряд B.11)
сходится равномерно. Подставим его в выражение B.2)
для б (/). Так как сх =
1
= - 2
то получим
m=l J=i
m-
Поменяем порядок суммирований и выделим | Хт;-(ж)| =^2 3
Отсюда следует неравенство
00 гп-1 2
|*(лк2 2 3 2
т=1 2=1
г=0
2«
г=о
131
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ НА КЛАССАХ Sp
75
К сумме по /применим неравенство Гельдера:
;2
m=i
га-1
2
X
3=1
JV—1
г=0
Введем теперь в рассмотрение функции я|зе, 1
JV—1
г=0
sup 2
B.17)
B.18)
Эти функции не зависят от / (х) и представляют собой
характеристики квадратурной формулы B.1). Иначе
говоря, %=%(х0, ..., xN-i, Co, ..., CVi)- Из B.17),
B.18) и "B.12) следует, что
б
Ap(f)%.
B.19)
Ниже будет доказана следующая теорема:
Теорема 7. Погрешность квадратурной формулы
B.1) на классе функций Sp (А) равна
R = А%, B.20)
(/р) (/д)
Пока из B.19) следует только, что i? «^ ^1^- Надо
еще доказать, что эта оценка точная. Однако это можно
будет сделать только позднее, после изучения некоторых
свойств функций % (х0, ..., xN-i, Со, ..., CVjJ.
Геометрический смыслл|?д. Пусть задана квадратурная
формула B.1). Обозначим через а (/) сумму весов, соответ-
соответствующих всем узлам этой формулы, принадлежащим I:
аA}= 2 Сг.
Легко видеть, что
JV-1 :'
2 Ск sgn хвд- (art) = о (/й,-) — б D3-),
i=0

?6 ряды xaapa ё теорий Квадратурных формул t гл. 2
так KaKsgn %mj (xt) = 1, если хх G Qf, sgn %m] (xt) = — 1,
если жг e ^.; sgn Xm> (ж») = О, если xt ф lmJ. Поэтому
аналитическое определение B.18) равносильно следую-
следующему геометрическому определению tyq:
Ч\г
2
l<m<co I j=
(Гт})
в (l+mj)
Г
B.21)
Смысл формулы B.21) можно истолковать так. Фиксиро-
Фиксировав значение т, мы тем самым фиксируем разбиение от-
отрезка [0, 1] на отрезки 1т}, 1 < / < 2™-1. Для каждого
из этих- отрезков мы вычисляем «вариацию весов»
| a (lmj) — a (lmj)\, то есть абсолютную величину разно-
разности весов, соответствующих 1^., и весов, соответствующих
lmj. Затем, суммируя по /, мы находим «вариацию весов»
на данном разбиении: {^1 о {lmj) — <з (Itnj) | ^j1 q. Нако-
з
нец, берем наибольшую «вариацию весов» по всевозмож-
всевозможным разбиениям.
Лемма 3. Какова бы ни была квадратурная формула
B.1), существует по крайней мере одно значение т такое,
что
В самом деле, выберем т0 столь большим, чтобы ни
в одном из отрезков 1т^яе лежали два различных узла хх.
Тогда
и величина эта равна либо Ct, если xi ЕЕ lmjj либо нулю.
А так как каждый из узлов хг принадлежит одному из
то «вариация весов» на данном разбиении равна
.1/5 ,N—T 1/3
i C (^mj) —
-{2
B.22)
Легко видеть, что если мы рассмотрим любое более
мелкое разбиение, то по-прежнему «вариация весов» будет
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ЙА КЛАССАХ Sp
11
равна B.22). Таким образом, sup в формуле B.21)
1<т<оо
фактически сводится к max , откуда сразу следует
утверждение леммы*).
Окончание доказательства теоремы 7. Фиксируем зна-
значение т, существование которого было доказано в лемме 3,
и положим Bj = б (Imi) — о {Imj). По лемме 3
„ТО-1
3=1
1/3
B.23)
Рассмотрим теперь конечную сумму Хаара
„та-1
f(x)= 2
содержащую только функции %mj {x) из фиксированной
нами группы номер т. Нетрудно вычислить, что
Г.1И-1
m-l
а ошибка
ст-1
6(/W— 2 ^
„ш-1
2 w
*¦ 3=1
B.24)
}\В^ q~x 2 ci sSn
m—1
„m-l
= _2^" 2
3=1
2
3=1
Из последней формулы и из B.23) и B.24)^ вытекает, что
6 (/) = — Ap(f)%, так что для функции / неравенство
B.19) обращается в равенство.
Правда, построенная функция / не обязана принадле-
принадлежать Sp (А). Однако ее можно перенормировать: положив
Д, = 1А/АР (/)]/, получим функцию, для которой
*) Если среди узлов есть совпадающие, например, хг = х^, то
в B.22) войдет (C^C^f. Дальнейшие рассуждения не изменятся.

78 ряды хааРа в теории квадратурных формул trji. г
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ НА КЛАССАХ Sp
79
Av(/*) = ^ и | б (Д) | = Лг]^. Таким образом, теорема 7
полностью доказана.
В теореме 7 вычислена норма линейного функционала B.2)
на банаховом пространстве Sp:
И || = За-
Заграницы \|5д.
Теорема 8. Для любой квадратурной формулы B.1)
ЛГ-1/р<Ы*о, ...,Civ-i)<l, B.25)
причем обе границы достижимы; A/р) + (ljq) = 1.
Доказательство. Во-первых, из рассуждений,
использованных при выводе B.22), вытекает, что
,JV—i
2! w
N—1
Так как7 ^ С4 = 1, то по вспомогательному неравенству
г=0
(9.4) (стр. 280) минимум правой части равен N~l/v и реали-
реализуется при Со = Ci = ... = C^-i = 1/7V.
Во-вторых, всегда \s(lmj) — з (Imj) \ ^а (Imi) и так как
, то [о(lmj)]q^a(lmi). Поэтому при любом т
*
3=1
Верхняя граница B.25) достижима, например, в случае
х0 = Хх = ... = xN~i. Достижимость нижней границы бу-
будет доказана несколько ниже, когда будут построены наи-
наилучшие формулы на Sp.
Устойчивость г|эа (ас0,.;., Xy-i; Со,..., Сл-_т) относи-
относительно сдвигов узлов. При доказательстве леммы 3 мы виде-
видели, что на верхнюю грань в B.21) не влияют все разбиения
с т^>т0. Следовательно, если мы сдвинем узлы х0, ..., х^
так, чтобы они оставались в тех же отрезках ^- и /4j.
то все числа о (Qj) и о* A^) при т <^ т0 останутся преж-
прежними. Если совпадающих узлов xt не было, то значение tya
останется прежним. Если же какие-либо узлы совпадали,
то, раздвинув их, можно (в некоторых случаях) уменьшить
значение я|зв.
В .частности, каково бы ни было значение \|)e (^Ov
..., ж^-i! С о-* •••¦> Сдг—i)» можно заменить узлы х0, ..., х^-х
двоично рациональными точками г0, ..., гдг-i так, чтобы
-i> C
"-о
2'
o, ••
Наилучшие квадратурные формулы на классах $%,.
Так как классы Sp шире, чем классы W^ или!?!, томож-
но было ожидать, что для них наилучшей формулой тоже
будет формула прямоугольни-
прямоугольников. В действительности ответ
оказывается несколько иным: 2' 1
наилучших квадратурных фор- q ^
мул на класах Sp бесконечно
много. Правда, все эти форму- Рис. 2.7.
лы, так же как и формула
прямоугольников, должны иметь равные веса: Со =
= Ci — ... = Сдг-1 = 1/JV (это было показано в ходе дока-
доказательства теоремы 8).
В качестве наилучшей сетки можно выбрать любую
равномерную сетку xt = (i -f- $)/N, где i = 0, 1, 2, ...
..., N-l; 0<.р<1.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим
произвольный двоичный отрезок 1т-}. Предположим, что
1т] содержит s точек сетки. Тогда (s — 1) JV <i\lmj\-<
< (s + 1) iV — знаки равенства здесь невозможны из-
за того, что Imj полуоткрыт. Легко видеть, что lmj, длина
которого \lmj | = \lmj\i содержит не меньше чем s — 1 и не
больше чем s + 1 точку (рис. 2.7). В любом случае коли-
количества точек, принадлежащих lmj и l^j, различаются не
более чем на 1, и поэтому |cr (lmj) — a (Cj)| «ч 1/-^-
Далее, в сумме, стоящей в B.21), не больше чем N
слагаемых, отличных от нуля (так как число узлов равно
N). И, как мы доказали, каждое из них не превосходит

80 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
1JN. Значит,
2т-1
— о Di)(
J=l
Из теоремы 8 следует, что для рассматриваемой сетки % =
~ N-1/p — наименьшее возможное значение.
N=4
0
f » г*
Рис. 2.8.
N=4
1111
г-» 1 T» Г" Г
О 1
Рис. 2.9.
Замечание. Рис. 2.8 показывает, что ограниче-
ограничение Р <С 1 существенно.
Рассмотрим теперь случай iV = 2V.
В этом случае в качестве наилучшей сетки можно выбрать
любые точки х0, ..., ж#-1) удовлетворяющие неравенствам
~Ж
N
B.26)
например изображенные на рис. 2.9 при N — 4.
В самом деле, если т <^ v, то во всех отрезках 1щ и
'mj будет по одинаковому числу 2 точек, и тогда
\a-(lmf) —tf (^mj)l — 0. Если же т ^> v, то в каждом из
4г?- и Cj будет не больше чем цо одной точке, так что
|о" (Cij)—o (lmj)\ «ч 1/^"- И так же, как выше, aJ3Q=iV/p.
Пример, показывающий,
4TonpHiV=^=2v неравенства B.26)
недостаточны для того, чтобы
N=7
10 2
Г*1—I* 'I
О
10 1
1 »|—г* >¦
Рис. 2.10.
Пусть N — 7; рассмотрим
формулу B.1) с равными веса-
весами и узлами х0 = 0,10, хх =
= 0,28, х2 = 0,36, х3 = 0,52, ж4 = 0,60, ж5 = 0,72, х6 =
= 0,90 (рис. 2.10). Эти узлы удовлетворяют условию
31
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ НА КЛАССАХ S
81
B.26). Легко показать, что
{2
при / = 1,2,3,4.
Все остальные \а (l^j) — a (lmj) \ при т ^> 4 равны либо
0, либо 1. Следовательно,
/\/N при т = 1,
при те — 2,
при m = 3,
1A/ЛГ) 71/д при m > 4.
Найти наибольшую среди этих величин очень просто, так
как 3 + 2« > 7 при g > 2. Значит,
если
, если 2<д<оо.
Отсюда видно, что наша квадратурная формула не будет
наилучший для случая q ^> 2 или, что то же, для классов
Sp с р < 2.
Лемма 4. Какова бы ни была квадратурная формула
B.1),
B.27)
B.28)
, в согласии с определением B.21),
= sup | б (<-) —¦ " ('*)
2<?Г<оо
Доказательство. Фиксируем произвольное т.
Тогда
0-1 2
3=1
откуда сразу вытекает B.27).

82 . РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ.
Мы видели (теорема 6), что класс функций iS^ слишком
узок для большинства практических задач. Лемма 4 пока-
показывает, что, несмотря на это, соответствующая классу St
функция "фоо (наиболее простая среди всех г|зд) во многих
случаях может оказаться очень полезной. В самом деле,
если ^oo= 1/-W (то есть формула B.1) является наилучшей
формулой на S^, то из B.27) следует, что % = N-Vp при
любом q (то есть формула B.1) будет наилучшей на всех
классах SP).
Оценка погрешности R на классах На. Из теорем 5 и 7
вытекает, что если / (х) ?: На{Ь), то при любом р, боль-
большем чем 1/а,
Воспользуемся неравенством B.27) и запишем
Будем считать, что N достаточно велико (N ^> е1/а), и
выберем параметр р так, чтобы 1/р = а — A/ln N). Тогда
— 24* =
a-^n N =
N)A + О(liT1
exp (— In if^In TV) < e
Подставив выбранное значение 1/р в неравенство для R,
получим оценку
R < 2-a+»i eL (ajjoo)» log, N [1 -f О (In iV)], B.29)
справедливую для люгбой квадратурной формулы B.1) на
классе На (L). Конечно, оценка B.29) не обязана быть
точной оценкой для каждой формулы B.1).
Рассмотрим, например, формулу прямоугольников, ко-
которая согласно теореме 3 является наилучшей формулой
на каждом из классов На (L). В этом случае г^ = TV, "и
формула B.29) дает оценку
Л<.2-U+°0 Le{(log.2N)INa] [i + 0 (In'1 N)], .B.30)
в то время как в действительности имеет место более точ-
точная оценка B.10). Впрочем, сравнение этих двух оценок
показывает, что «потери» .от применения оценки B.29
f 41-
ЗАДАЧА О ДОЁАЁЛЕНЙЙ УЗЛОВ
не так уж велики: по существу, только множитель log2iV
в B.30) «лишний». А главный фактор N~a оказался пра-
правильным.
G другой стороны, необходимо отметить, что оценка
B.30) справедлива не только для формулы прямоуголь--
ников, но и для всех квадратурных формул с i|)e = iV~^p.
В конце следующего параграфа будут указаны формулы с
% = N~lfv, для которых порядок оценки B.30) при a = 1,
равный log2iV/iV, не может быть улучшен.
§ 4. Задача о добавлении узлов в квадратурной формуле
Предположим, что подынтегральная функция / (х) в
B.1) «сложная и плохая». Слово «сложная» означает, что на
вычисление каждого значения / (х) затрачивается много
операций. Слово «плохая», означает, что / (х) имеет не
более одной производной, или что }(x)EiHa, или что
Как правило, заранее неизвестно, сколько узлов (то
есть какое Л") надо выбрать, чтобы вычислить интеграл с
требуемой точностью. Поэтому обычно проводят не менее
двух расчетов — с различными значениями N — и со-
сопоставляют результаты. Однако далеко не всегда значения
/ (х0), ..., / (#n-i), используемые в квадратурной формуле
с N узлами, будут входить в число нужных значений при
JVi ^> N. И при переходе от N к JVi придется заново счи-
считать значения / (х) в Nx точках.
Возможны разные пути для организации более эконо-
экономного счета. Например, при использовании формулы пря-
прямоугольников (или трапеций, или Симпсона) выбирают
Ni = 2N, что, конечно, не всегда удобно, особенно если
N велико. В работе А. С. Кронрода [511 строятся
пары квадратурных формул с N и Nx узлами, которые вы-
выбираются так, чтобы по возможности уменьшить суммар-
суммарное количество операций, затрачиваемое на вычисление
по обеим формулам.
Можно попытаться построить бесконечную последова-
последовательность узлов х0, xt, ..., Xi, .... так, чтобы любой началь-
начальный участок этой последовательности х0, ..., х^~х служил
узлами наилучшей формулы B.1). Тогда добавление узлов

84
РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИЙ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ?гЯ.
в квадратурной формуле можно будет осуществлять наи-
наиболее выгодным образом.
Легко видеть, что на классах W^ или На эта задача
неразрешима: при переходе от N к N + 1 узлы (i -f 1/2)/iV
должны заменяться узлами (i + l/2)/(N -f- 1), так как в
каждом из этих случаев существует лишь по одной наи-
наилучшей формуле.
Мы докажем, что на классах Sp задача о добавлении
узлов разрешима: можно построить последовательность
х0 #! xi так что пр N
х0, #!,.
рот последовател
xii ••¦ так, что при каждом N узлы х0, ...,
~ Cn 1/W р
-i и
ii , р ждом N узлы х0, ..., x^-i и
веса Со = ...~ Cn-i = 1/-W определяют квадратурную фор-
формулу B.1), наилучшую по отношению к классам Sp.
Случай равных весов. Рассмотрим квадратурную фор-
формулу B.1) с равными весами:
JV—1
i=0
B.31)
Совокупность узлов {х0, хъ .,., xn-i} будет называть
сеткой интегрирования и обозначать одной буквой 2.
Через 5дг (?) обозначим число узлов сетки 2, принадле-
принадлежащих отрезку I, Очевидно, в случае равных весов g (I) =
= SN (l)jN. И вместо функций^ (ж0, ..., xN-u Co, ..., CN-i)
удобно рассматривать функции от сетки
..., xN-t 1/N, ..., 1/iV),
Ф(? B) = N%
впервые введенные в [57]. Из определений B.21) и B.28),
из формул B.25) и B.27), из леммы 3 и вспомогательного
неравенства (9.3) (стр. 279), вытекают следующие свойства
функций ф, B):
т—1
= sup
Г
Г
2°. Существует хотя бы одно т такое, что
m-l
{2
2 \sN(rmi)~sN{i+nj)f Г.
j=l J
,41
ЗАДАЧА О ДОЁАВЛЕНИЙ УЗЙОЁ
85
3". Для любой сетки 2
№<
4°. Для любой сетки 2
где
: sup I iSjv (U — SN{1%)\.
B.32)
B.33)
B.34)
p |
2<fc<oo
Величину фооB) мы будем называть неравномерностью
сетки 2. Она может принимать только целые значения.
5°. Если 1 <q <q' <oo, то
1<ф0оB)<Ф^B)<ФаB). B.35)
Для записи погрешности формулы B.31) на классах
Wpl) также удобно вместо FN (x) ввести другую функцию:
{г [ хг< х}
значение которой равно числу узлов сетки, расположен-
расположенных левее х. Иначе говоря, SN (х) = SN (I) при I = [0, х).
Легко видеть, что в случае равных весов FN (х) — Sjsr(x)/N.,
Из формул B.5) и B.20) вытекают выражения для пог-
погрешности R формулы B.31) на классах Wp (L) и Sp (A)
соответственно:
я R =
А из теоремы М" получается выражение для погрешности
R формулы B.31) на классе Нх (L):
B.36)
Перейдем к построению последовательности xt = p (i),
i—0, I, 2, ..., для которой при любом N ^(х0,..., xn-i) = 1.
Из B.33) видно, что для этой же последовательности при
любом N значения фа(ж0, ..., Xn-i) = Nll<i при всех д.

хаара в теории квадратурных формул [гл. 2
§ 4]
ЗАДАЧА О ДОБАВЛЕНИИ УЗЛОВ
87
Определение последовательности {р(г)}. Последова-
Последовательность {р (г)} была построена Й. Г. в а н дер Кор-
пут о м [72] и независимо от него в [57]. Она использо-
использовалась во многих работах [18, 79, 83, 92, 93, 97, 108—111].
Различные обобщение { р (г)} рассмотрены в гл. 3, 5, б, 7.
Следующие три определения этой последовательности
эквивалентны.
Определение 1. Если в двоичной системе
i = emem-i...ex, то (снова в двоичной системе) р (i) =
Здесь все е,- — двоичные цифры, то есть либо 0, либо 1.
В десятичной системе
р (i)
ег
2~
т
Определение 2, рекуррентное по группам, состо-
состоит из двух правил:
1°. р@) = 0; р Bs) = 2~(s+1>.
2°. Если 28<г<28+1, то p(i) = pBs) +p(i~ 2s).
Определение 3, рекуррентное. Если в двоичной
системе
Р @ = 0, ехе2... ет..„
то для получения р (? + 1) необходимо найти наименьший
номер к такой, что ek = 0; затем заменить ек единицей, а
все цифры с меньшими номерами (если они есть) заменить
нулями; цифры с номерами, большими чем к, остаются без
изменения. Значение р @) = 0 задано.
В десятичной системе это правило можно записать в
виде формулы
Приме
г
^двоичное
РA /двоичное
P(i)
р ы. Использование первого определения.
0
0
0
0
1
1
0,1
7*
2
10
0,01
V*
3
11
0,11
7*
4
100
0,001
5
101
0,101
7s
6
110
0,011
7s
7
111
0,111
Ve
8
1000
0,0001
Vie
• ¦ *
I
<4
Использование второго определения.
р C) = р B) + р A) = 1/4 + 1/2 = 3/4;
р E) = р D) + р A) =, 1/8 + 1/2. = 5/8;
р F) = р D) + р B) = 1/8 + 1/4 = 3/8;
р G) = р D) + р C) = 1/8.+ 3/4 = 7/8.
Использование третьего определения.
Дано р C) = 0,11; здесь к = 3, получаем р D) =
= 0,001. •
Дано р D) = 0,001; здесь к = 1; получаем р E) =
= 0,101. •
Доказательство эквивалентно.сти
определений 1, 2 и 3. Пусть {р (?)} — числа, по-
получающиеся по определению 1, {p'(i)} — числа, получаю-
получающиеся по определению 2, {р" (i)} — числа, получающие-
получающиеся по определению 3. Очевидно, р @) = р' @) — р"@) =
-0 и р A) = р' A) = р" A) = 1/2.
Докажем по индукции, что р {?) .= р' (i). Для этого
допустим, что такое равенство справедливо для всех i *^
<п-1.
а) Если д = 2s, то из определений 1 и 2 следует, что
р (П) = р' (п) = 2-E+«.
б) Пусть теперь 2s < re < 2*+1, так что в двоичной
системе
re =
ег,
— 2s =
По .индукционному допущению
р> (п _ 2s) - р (и - 2s) = 0, eiea... е„.
Значит, р' (и) = р' Bs) + р" (и — 2s) = 0, е^... еД ='
Докажем теперь цо индукции, что р (i) = p" (i). Сно-
Снова допустим, что это равенство имеет место для всех i ^
<п-1.
а) Если р" (к — 1) = р (к — 1) = 0,0е2е3'... ет (в
двоичной системе), то & = 1, и — 1= emem-i ... е20, ге =
— emem-i •••е2^ и> следовательно, р (ге) = 0,1 е2е3...ет =
= р" И-
б) Если р"(п — 1) = р(и —1) = 0,1 ...Юё

88 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
то из определения 1 видно, что п— 1 = ет ... е^х0\ ... 1 .
к—1
Тогда п = еы ...ек+11 0...0 и снова
*—1
р(п) = 0,0^01 ек+1...ет^р"(п).
Некоторые свойства последовательности {р (г)}.
1°. p{2i) = -Lp(i); pBi + 1) = pBi) + ±.
2°. Начальный участок последовательности {р (i)}
и конечная группа чисел i/2v при 0 ^ г ^ 2V — 1 симмет-
рнчяы: если р (г) = j/2v, то /> (/) = i/24.
3°. Некоторые суммы по полным группам, то есть при
N = 2*:
JV-1
<V-4) + 2]; B.37)
JV-1
2 i2P(i) = ^[2№ + ^-N(N-l)log2N-5N*+ W-l].
B.38)
4°. Рассмотрим сетку, состоящую из точек xt = р (г)
с номерами 0 <^ i ^ N — 1. Для этой сетки при каждом N
и при всех х из [0, 1] справедливо неравенство SN (x) ^>
> Nx (см. рис. 2.11 для N — 6).
Доказательства этих свойств.
1. Если в двоичной системе i = етет-х.-. ех, то 2г =
"emem-i •¦• ei 0 и значение /> Bг)=0, 0 ехе2...ет в два раза
меньше, чем р (Г) — 0, ехе%... ет. В этом же случае
2i + 1 = emem_i ...«il нр Bi + 1) = 0, le1e2...em = 0,1 +
+ р Bs). (В двоичной системе 0,1 = 1/2.)
2. Пусть i = бу^х ... е1# Тогда jo (г) = 0, ехе%... ev,
1=0
ЛГ-1
j = 2Vp(i)
= 0,
= i/2\
§ 4]
ЗАДАЧА О ДОБАВЛЕНИИ УЗЛОВ
3. Первая из этих формул очевидна, так как в сумму
входят все дроби вида t/2v при 0 ^ i ^ 2V — 1. Чтобы до-
доказать две другие формулы, воспользуемся методом разно-
разностных уравнений.
2V-1
Обозначим Zv = 2 imP @ и преобразуем разность
2V-1
= 2 i
г=0
р @ =
з=о
В случае то = 1 после несложных вычислений, выделив
справа еще • один член,
равный Zv_!, получим урав- ^
нение
ti?Jy>—\ =
2~а.
J Кроме того, должно выпол-
»; няться начальное условие
Zx — 1/2. Легко прове-
! рить, что правая часть
I формулы для ~Lip(i) при
N = 2V удовлетворяет и
этому уравнению, и на-
начальному условию.
s'(xlY/
у=6х
Рис. 2.11.
В случае т = 2 преобразования вполне аналогичные:
справа выделяется еще одно слагаемое, равное Z^~i, a
сумма 2//? (/) уже известна. Получим уравнение
и то же начальное условие Zx = 1/2. Остается проверить,
что правая часть формулы для ~Ei2p (i) удовлетворяет по-
последнему уравнению и этому условию.
4. Значение SN (ж) легко вычислить при N — 2V, так
как тогда множество всех точек {р (j)}, 0 ^ i ^ N — 1,

90 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ, ::
образует равномерную сетку. Из рис. 2.12 видно *), что
при N — 2Ч
SN (х) = Ц (Nx - 0) + 1,
{2.39)
откуда следует, что Sn (х) > N х.
Для произвольного N проведем доказательство по ин-
индукции: предположим, что SN (x)^Nx при всех N<^2S,
и докажем это неравенство
для всех N<^ 2s+]. Обозначим
'N1=N—2S, так что iVx <2S.
Введем вспомогательную
функцию
К(и) =
1 при и ^> 0.
SN (x) легко выражается че-
через эту функцию:
N-1
Рис. 2.12.
i=0
B.40)
Разобьем сумму B.40) на две суммы и заменим во вто-
второй индекс суммирования:
2S-1
N— 1
N (x) = 2 к (х - р @) + 2 к(? - р со) =
Ni—1
'(я-/»(/+2')).
3=0
Воспользуемся теперь 2-м определением р (г) и форму-
*) Определение целой части Ц (г) числа z см. на стр. 102. Что-
Чтобы B.39) было справедливо также в точках разрыва, приходится
вместо Ц (Nx) писать Ц {Nx — 0), так как по определению SN (x)
непрерывна слева, а Ц (ж) непрерывна справа: Ц [п — 0) == п — 1,
Ц (п) - Ц (л + 0) = п.
ЗАДАЧА О ДОБАВЛЕНИИ УЗЛОВ
4]
лой B.39):
Если х ^> 2^<s41>, то из B.40) видно, что
SN (х) = Ц Bsx - 0) + 1 + SNl (x -
Перенумеруем точки {р {i)}, 0 ^ г ^ Nx —
рядке возрастания и обозначим их х0 <.хг <
Легко видеть, что в каждом
из интервалов вида (х^г +
-|- 2~<S+I\ a;^) (они заштрихо-
заштрихованы на рис. 2.13) функция
1, в по-
поэтому в
тервале
У
3
каждом таком ин- 2
= Ц Bsx) + 1 + SNl (x) >
> Ц Bsx) + 1 + NlX > Nx.
В частности, SN(x}—Q)^Nxj,
и так как 5# (ж) +' 0)' = 1 +
+ SN (xj — 0), то 5W (xj -Ь
7 Х2
Рис. 2.13.
.х
Однако на каждом интервале (Xj, Х) +. 2~<s+1>) величина
Nx меняется меньше чем на 1 (ибо JV2"'SM> <" 1), &SN (x) =
= SN (х} -f 0). Поэтому здесь SN (x) > Nxj + 1 > Nx,
что и требовалось доказать!
Замечание. Так как число iS^ (x) целое, то из
неравенства SN (x) ^ Nx следует неравенство
1,,,
B,39')
справедливое при всех ж.е [0,..1] и любом N. Лишь при
N = 2V неравенство обращается в равенство и получается
B.39). ¦¦¦¦¦¦¦¦:
Погрешность квадратурной формулы B.31) с сеткой
B.41)
,*,.,ТТ,е о р е м а 9. Каково бы ни было N,
Фсо (р @), р A), ,.., р (N ~- 1)) = 1.

92
РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
Теорема 9 — это частный случай теоремы 7 гл. 3,
Однако доказательство в гл. 3 аналитическое, а здесь
приводится геометрическое доказательство.
Доказательство. В случае N — 2S-1 утверж-
утверждение B.41) очевидно, так как сетка состоит из всех точек
вида г/28-1, 0< i^2s~l — 1.
Допустим, что B.41) справедливо при всех Nt < 2s, и
рассмотрим случай 2s-1 < N < 2s. В этом случае сетка
{р @), ..., р (N — 1)} состоит из тех же 2s точек i/2s~l и,
М^Пу N-,=3
О
х
Рис. 2.14.
кроме того, еще из Nx = N — 2S-1 точек вида/) (i — 2s) +
-f- 2~s, которые располагаются в серединах некоторых из
отрезков
и принадлежат /J (на рис. 2.14 значения N = И, Nx = 3).
Легко видеть, что | SN (l~j) — SN (Itj) \ ^ 1, так как каж-
каждое из этих SN равно либо 0, либо 1. Более мелкие lmj
(при т ^> s) можем не рассматривать, так как в них лежит
не более чем по одной точке сетки. Предположим, что при
каком-то т<^ s разность |^(^и*) — SN(lmj) l!>l, и до-
докажем, что это невозможно.
Так как число точек вида i2~(s-i> и в Zmj, и в Imj одина-
одинаковое, то величина разности определяется только точками
вида р (i — 2s-1) -f 2~s. Но в таком случае та же разность
1 SNi (l^i) — SNl (Imj) | > 1 для сетки
что противоречит индукционному допущению. Теорема
доказана.
Формулы B.33) и B.32) показывают, что любой на-
начальный участок {р @), р A), ..., р (N —1)} последова-
последовательности {р (i)} представляет собой наилучшую сетку
интегрирования на классах Sp (A).
4J
ЗАДАЧА О ДОБАВЛЕНИИ УЗЛОВ
93
Теорема 10. Пусть N = 2V' + 2V* +••
vi !> V2 > •••> V,- > 0. Введем обозначения: Nx
^2 = ^i - 2vs ..., Nr t - 2vr. ДЛЯ cemRU {p
•+ 2vr, где
N — 2V«,
), p (l), ..[
. B.42)
Доказательство. В силу свойства 4° последо-
последовательности {р (i)}
J |SN(x) — Nx\dx = \ SN (x) dx~±-N.
о о
С помощью B.40) легко показать, что
N—1 1 JV—1
i=0 0
1=0
Поэтому
4=0
— Nx [ rfx = -i- N —
г=о
Дальнейшие вычисления сравнительно просты:
t=0
Отсюда
3=0
N-i
JV,-1

94 РЯДЫ ХААРА В ТЕОРИИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 2
Переходя от Nt к Nz, затем от N2 к N3 и так далее,
долуч ш
i=0
2 p (/¦)]. B.44)
Последняя квадратная скобка в B.44) легко вычисляется,
Ибо Nr-г = 2vr:
ЯгЛ- 2' P(i
Подставив это значение в B.44), а затем B.44) в B.43),
получим требуемое выражение B.42).
Соотношения B.42) и B.36) позволяют записать по-
погрешность квадратурной формулы B;31) с сеткой {р (О),...
..., р (N — 1)} на классе функций Лг (L).
О порядке формулы B.42). Так как N = 2Vl + 2"» + ...
...+2Vr,Tor равно количеству единиц в двоичной записи
числа N. Если 2s — 1 <; N < 2S+1 — 1, то г ^ $, а само
s = Ц [log2 (N + 1)]. Следовательно,
г < Ц [ioga <iV + 1)] <;bg2(iV + 1). . B.45)
Из B.42) следует, что (для рассматриваемой сетки)
;
Нижняя граница реализуется при N = 2\ когда г = 1.
Докажем, что существуют сколь угодно большие значе-
значения iV, для которых интеграл B.42) действительно имеет
порядок log'iV.
Пусть N = iV(r) = 1010...101 — число, содержащее
в двоичной записи г единиц, чередующихся с нулями. Не-
Нетрудно заметить, что N^+d = ^N{r) + 1 и что
= v(r), s + 2
§ 4]
ЗАДАЧА О ДОБАВЛЕНИИ УЗЛОВ
95
(обозначения те же, что и в теореме 10). Поэтому выраже-
выражение, стоящее в B.42) справа, при г = к + 1 имеет вид
It—1
2
к + 1 - 2<=
s=l
-i- B
Суммируя такие равенства по к от к — 1 до Ife = г — 1, по-
получим ; . ;
г—1
4
s—1
Принимая во внимание, что 2r = log2 CiV(r) + 1), можем
записать, что при N = N(T) для сетки {р @), .,.-, p(N—1)}
1 —
1
ЗЛГ+i
B.46)
Из равенств B.46) и B.36) вытекает, что погрешность
И квадратурной формулы B.31) с узлами \р @), ...
...,р {N — 1)} на классе функций Нх (L) имеет при N — iV(r)
порядок (logN) IN. Так как для таких сеток г|)со=1/ N, то
тем самым доказано, что в оценке B.30) отбросить '«лиш-
'«лишний» logTV нельзя: порядок этой оценки (в случае а = 1)
точный, если речь идет обо всех квадратурных формулах
с фл = 1/JV. . . ¦
В заключение приведем без доказательства еще одну
теорему, которая легко выводится из соответствующей тео-
теоремы статьи [109] относительно сетки {р A), ...., р (N)}.
Теорема 11. Для сетки, состоящей из точек {р @),
р A), ..., р (N — 1)}, при любом N
| SN (х) ~ Nx | < 4" Iog2 N + O A), B.47)
причем значение 1/3 не может быть улучшено.
f

Глава 3
Приложения функций Хаара к теории
равномерного распределения
Понятие равномерного распределения (по модулю 1)
было введено Г. В е й л е м [80]. Как пишет Й. К о к с-
м а [78], «теория асимптотического распределения (по
модулю 1), уходящая своими корнями в исследования Кро-
некера о поведении дробных долей линейных форм с це-
целочисленными переменными, более или менее прямо возник-
возникла из работ Боля о вековых возмущениях, Серпинского об
¦иррациональных числах, Бореля и Ф. Бернштейна о ве-
вероятностях и Харди — Литлвуда о диофантовых прибли-
приближениях и рядах Фурье».
Современные реферативные журналы относят теорию
равномерно распределенных (или, более общо, асимпто-
асимптотически распределенных) последовательностей к теории
чисел. Однако в наши университетские курсы теории чи-
чисел этот вопрос, как правило, не входит. В настоящую кни-
книгу он включен из-за своей важности для прикладной
математики: равномерно распределенные последовательно-
последовательности могут быть с успехом использованы для приближен-
приближенного вычисления интегралов. Более того, для некоторых
классов подинтегральных функций такой способ вычисле-
вычисления интегралов оказывается в некотором смысле наи-
наилучшим.
В настоящей главе для одномерного случая изложены
основные понятия теории равномерно распределенных по-
последовательностей и некоторые новые результаты, полу-
полученные благодаря применению в этой области функций
Хаара или, точнее, благодаря применению «неравномер-
«неравномерности» фор, введенной в предыдущей главе.
§ 1] РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 97
Во второй части книги приведены оригинальные ре-
результаты, относящиеся к теории равномерного распреде-
распределения в многомерном случае. При этом известные тео-
теоремы не повторяются: они представляют собой естествен-
естественное обобщение теорем настоящей главы.
Различные обобщения равномерно распределенных
последовательностей (в том числе вполне равномерно рас-
распределенные последовательности, представляющие, по на-
нашему мнению, особенный интерес для прикладной мате-
математики*)) здесь не рассматриваются. Сними можно поз-
познакомиться по работам [59, 65, 71, 77, 78]. Список этот
не претендует на полноту: здесь указаны только неко-
некоторые работы, преимущественно обзорного характера.
§ 1. Равномерно распределенные последовательности
Определение. Рассмотрим произвольную последователь-
последовательность точек х0, хг, ..., хп, .,., принадлежащих отрезку
[0, 1]. Пусть I cz [0, 1] — какой-нибудь отрезок, причем
(для определенности) будем считать его замкнутым слева
и открытым справа, если правый конец отличен от 1;
если правый конец равен, 1, то будем считать, что I замк-
замкнут также справа.
Выделим начальный участок последовательности х0,...
...,;%-i и через SN (l) обозначим число точек этого уча-
участка, принадлежащих I:
sN{i)= 2 1.
f
I o<i<JV
<JV—1 J
Последовательность {хп} называется равномерно рас-
распределенной на отрезке [0, 1], если для любого I cz [0, 1]
lim-
N
= \l\
C.1)
*) Понятие вполне равномерного распределения (в. р. р.) было
введено Н. М. Ко р о.бовым [61], см. также [62, 65, 68]. В. р. р.
последовательности могут быть использованы вместо псевдослучай-
псевдослучайных чисел при решении методом Монте-Карло очень многих задач
[64, 66, 69, ТА]. По-видимому, практическому применению в. р. р.
последовательностей препятствует то, что пока не построены «до-
«достаточно хорошие» последовательности: с простым алгоритмом рас-
расчета и с быстро убывающими отклонениями.
4 И. М. Соболь

93
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
[ГЛ. 3
Для краткости вместо слов «последовательность {хп}
равномерно распределена на отрезке [0, 1]» будем писать
*Ы Р' р.»-
Геометрический смысл этого определения достаточно
очевиден: при больших N число точек SN (I) ¦— N \1\, то
есть пропорционально длине |/|.<
Легко видеть, что в определении C.1) можно заменить
полуоткрытые отрезки открытыми или замкнутыми. На-
Например, для любого замкнутого отрезка Т а [0, 1] можно
найти такие полуоткрытые 1г и Z2, что Zx с I с 1% и при этом
\h — 1К ?/4, \1 — li\ < е/4. Затем можно выбрать JV0
(зависящее от 1г, 12 и г) так, чтобы при всех N I> No и
/ = 1, 2
При тех же
N
и точно так же
iV
4|(i-i
Из последних двух неравенств следует, что
N~>CQ
Лемма 1. Для того чтобы {хп} была p.p., необхо-
необходимо и достаточно, чтобы
соотношение C.1) выполня-
—»- лось для всех двоичных от-
х резкое lmj.
Необходимость этого тре-
требования очевидна. Переходя
к доказательству достаточ-
достаточности, выберем произвольный отрезок I с= [0, 1]. Если
задано е > 0, то можно выбрать столь большое т — т,
О
"I Г~П г
Рис. 3.1.
§ 1] РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 99
чтобы (рис. 3.1)
c и I-
и при этом \lmj\ <C ?^- Очевидно,
32—1 Ч
C.2)
-I-. C-3)
Можно выбрать iV0 так, чтобы при всех N > No для всех
А < 7 < /а
1Ш}
1
2 /2-/1
Тогда, вычитая C.3) из C.2), поделенного на N, получим,
ЧТО
- S
N
е
т
ту
N
¦ —IZ-r..
4- 8
Отсюда следует, что при JV
и, таким образом, лемма доказана.
Лемма эта допускает значительные обобщения. Пусть, напри-
например, задано произвольное всюду плотное на [0,1] множество, состоя-
состоящее из точек ?. Для того чтобы {%} была р. р., достаточно потребо-
потребовать чтобы соотношение C.1) выполнялось для всех отрезков вида
[0, I).
Теорема Вейля. Докажем теперь следующую замеча-
замечательную теорему, из которой видно, что р. р. последова-
последовательности можно использовать для вычисления определен-
определенных интегралов от очень широкого класса функций.

100
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
[ГЛ.
Теорема 1 [80]. Если {хп} p.p., то для любой
интегрируемой по Риману *) функции f (x)
JV—1 1
Пт -^-2 /<*0 = \f(*)dx; C.4)
соотношение C.4) справедливо для любой интегриру-
интегрируемой по Риману функции } (х),
то {хп} р. р.
Доказательство. 1.
Предположим, что {хп} р. р.
Рассмотрим характеристиче-
характеристическую функцию ht (x) произволь-
произвольного отрезка I (рис. 3.2):
при х ЕЕ I,
при хв=1.
ЛГ—1
1
/ X
Так как 2 ni (xi) — $n {l) и
1=0
Рис. 3.2.
7 (х) dx = | / [, то C.4) при
о
/ = hi (x) совпадает с C.1). Значит, для любой функции
вида ht (x) C.4) выполняется.
Далее, C.4) будет справедливо также для любой функ-
функции g (х), постоянной на отрезках Zmi, так как если g (х) = gj
j5 то g (х) =
при
JV—1
т 2
2m—1
1
Пусть теперь / (х) — произвольная интегрируемая по
Риману функция. Воспользуемся хорошо известной в ана-
*) В определение интегрируемости входит также требование ог-
ограниченности / (ж).
§ 1] РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
лизе конструкцией так называемых сумм Дарбу. Для этого
разобьем отрезок [0,1] на сумму отрезков Zmj, 1 ^ /^2га-1.
Пусть gmj и Gmj (соответственно)— верхняя и нижняя грани
функции / (х) на Г 72~_г , -gSFTj- Введем нижнюю и верх-
верхнюю функции: при х ЕЕ lmj
По известному свойству интегральных сумм, когда т —* со,
2m-l
/ (X) dx.
Значит, если задано произвольное число е ^> 0, то
можно выбрать т столь большим, чтобы
г i 1
\Gm(x)dx ~-^y{x)dx K)8m(^)dx + ^. C.5)
0 0 0
По построению gm (х) <$^ / (х) ^ Gm (x) и, следовательно,
JV—I
-дГ 2
i=0
3V—1
i=0
ЛГ-1
1 У .
г=0
Далее, для кусочно постоянных функций gm (x) и
Gm (x) соотношение C.4) уже доказано. Поэтому при всех
достаточно больших значениях JV будут справедливы не-
неравенства
\gn{x)dx~\^ ^2 f(Xi)^Gm(x)dx + -|-. C.6)
0 г=0 О
Наконец, вычитая C.6) из C.5), получим, что
-.в^/(Х)ах-±-2НхЛ<в>
О t«»0

102
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
[ГЛ. 3
и тем самым соотношение C.4) доказано для функ-
функции / (х).
2. Осталось доказать второе утверждение теоремы.
Однако легко видеть, что имеет место гораздо более силь-
сильное утверждение: если соотношение C.4) справедливо для
характеристических функцийhlm. (x) всех двоичных отрез-
отрезков Zmj, то последовательность {хп} р. р. В самом деле,
полагая в C.4) / = him. (x), получим равенство C.1) для
/ = 1ту Отсюда по лемме 1 следует, что {хп} p.p.
Таким образом, теорема 1 полностью доказана.
Легко показать, что теорема 1 не распространяется на функции,
интегрируемые по Лебегу. Например, функция Дирихле ч|э (ж),
которая равна 1 в рациональных точках и равна 0 в иррациональных
1
точках, интегрируема по Лебегу (но не по Риману) их *ф (ж) с?а? = 0.
о
Однако если выбрать р. р. последовательность {хп}, состоящую
только из рациональных точек (такие последовательности^ будут
N—1
указаны ниже), то A/ЛГ)
~^ ПРИ любом N.
Дробные доли линейной функции. Рассмотрим следую-
следующий классический пример р, р. последовательности
(Г. Вейль, В. Серпинский). Пусть а—-- любое действитель-
действительное число, а 8 — любое иррациональное число. Последова-
Последовательность дробных долей хп = {а + п 6} р. р.*).
Доказател ство этого утверждения удобно провести с
помощью так называемого критерия Вейля, который очень
часто используется в аналитической теории чисел.
Критерий Вейля. Для того чтобы {хп}
была р. р., необходимо и достаточно, чтобы при каждом
целом к, отличном от нуля,
N-V.
2> / ni~~
C.7)
м=0'
*) Целой частью числа х называется наибольшее целое число
Ц (х), не превосходящее х. По определению дробная доля {х}
числа х — это разность {х} = х — Ц (г).
Очевидно, всегда х — 1 < Ц (х) ^ х < Ц (х) + 1> 0 ^ № *С !•
§ 1] РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1(K
(Условие C.7) записано в комплексной форме. Оно рав-
равносильно двум действительным условиям:
N—i
N—1
lim -jTr- У.
= lim -^
= 0.)
r,=0
n—f)
Допустим, что критерий C.7) уже доказан, и рассмот-
рассмотрим последовательность чисел хп = {ос + я0}. Так как
функция ехр Bnikx) имеет период 1, то
N—l N—l
VI g2nik{a+nOy __ VI g3nife(«+nB) __
n=o
JV—1
и=0
inikOn
Последняя сумма представляет собой геометрическую про-
прогрессию со знаменателем ехр Bш7сб) и легко вычисляется:
Г—1
и=0
ЛпгЮ
— 1
Нетрудно также вычислить, что
1
Лткв
— 1
sin л/сВЛ/
sin nkQ
|| Значит,
N
JV—1
¦п=0
a+nS)
I
TV I sin л/с9 I
¦o,
когда N —*¦ oo. Иррациональность 9 гарантирует нам, что
j sin тскд | =j= 0 при каждом целом к =f= 0.
Доказательство критерия Вейля. Если
{хп} р. р., то тогда справедливо соотношение C.4), которое при
/ = ехр Bя? кх), к ф 0, обращается в C.7).
Сложнее доказать, что из C.7) следует равномерность распре-
распределения {хп}. Идея доказательства такова. Рассмотрим характери-
характеристическую функцию h{ (ж) произвольного отрезка I = [а, Ъ) (рис. 3.2)
и разложим ее в ряд Фурье по тригонометрическим функциям:
= 2
C.8)

104
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
[гл. з
ЛГ—1
Так как S# (l)= 2 ht(xn), a с„ = [ht (x) dx — | I1, То из C.8)
п=о о
следует, что
SN(l)=N\l\+
ЛГ—1
к+о
C.9)
Остается доказать, что сумма, стоящая в C.9) справа, есть о (N).
К сожалению, ряд C.8) сходится неабсолютно, и это затрудняет
оценку последнего выражения. По-
Поэтому выберем другой способ дока-
доказательства.
Доказательство обходным путем.
Вместо функции Л; (х) рассмотрим
непрерывную функцию ht (х) (рис.
3.3), ряд Фурье которой будет схо-
сходиться уже абсолютно:
ffk
7
q al? a
fc=—оо
вычислить,
РИС- 3'3-
С0е =
'fee
1
= \he (x) e2niltx dx =
ь — e-^ik (a_6)
Обозначим через S^ (I) сумму
N—1
n—Q
Повторяя рассуждения, приведшие нас от C.8) к C.9), получим
S.(l) = N(\l\ + s) + 2eKt J1
кфо п=о
Отсюда
TV—1
C.10)
§ 1] РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 105
Пусть задано произвольное г| ^> 0. Выберем fe0 столь большим,
чтобы
оо
N—1
Так как имеет место тривиальное неравенство
то, разбивая C.10) на две части, по-
получим
VI е2пгкхп
п=0
ЛГ
X
X
N—1
п=о
В силу условия C.7) можно выбрать
7V столь большим, чтобы первый
член справа был тоже меньше V2 *]
Т б
р V2 ]
Таким образом, мы доказали, что О а а+? Ъ~еЪ 1 х
Km
= | /1 + 8.
Рис. 3.4.
Введем теперь функцию gt (ж), изображенную на рис. 3.4. Это
функция того же типа, что he{x), и если обозначить _^Е@ =
¦ JV-1 ~
П~0
^Lil |/|e.
iY-»oo ЛГ ' '
Наконец, так как Sz (I) ^ SN (I) ^ 5? (I), то
И ввиду произвольности е отсюда следует C.1).
Исследованию распределения дробных долей линей-
линейных и нелинейных функций посвящено много работ. Биб-
Библиография имеется в уже упоминавшихся обзорных рабо-
работах [59, 65, 71, 77, 78]. Возможность использования к-мер-
ных точекР0, Рг, ..., Рк, ... с координатами Pfc= ({A^},...
,.., {М)„}), где 6^, дг, ..,, 9П — независимые иррационадь-

106
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 3
ные числа, для вычисления «-мерных интегралов также
исследовали многие авторы *).
Пример: двоично рациональные дроби. Рассмотрим
последовательность {хп} двоично рациональных дробей в
естественном порядке:
n-_L-_L JL-_L A A _Z_-_L A 5 7
' 2 ' 4 ' 4 ' 8 ' 8 ' 8 ' 8 ' 16 ' Тб~' ~ПГ' 16'' ' *
Иначе говоря, х0 = 0, xh = B/ — 1) 2~т, где к — 2т~1 +
+ /- 1, 1 < /<2« щ=1,
08492105111 В 2
08492105111 В 3 7
О
Рис. 3.5.
/ , < /<2 щ1,
2, ... Легко доказать, что по-
следовательность эта не р. р.
В самом деле, путь I — [0, V2)
ж№ = Ng=2s + 2*~1. Очевидно,
в этом случае (рис. 3.5) SNjj) =
= 2-2s-1 и Sir, (l)We = 24, в то время как \l\ = V2.
Однако если рассматривать значения N — Nt = 21
(то есть полные группы), то нетрудно доказать, что при
любом / отношение [SNt {1I N^ —s> \l\. Этот факт наводит
на мысль, что можно переставить числа внутри каждой из
групп так, чтобы эта последовательность стала р. р. Один
из возможных способов такой перестановки — последо-
последовательность {р (i)}, рассмотренная в § 4 гл. 2. Другие спо-
способы такой перестановки и доказательство того, что по-
последовательность {р (i)} p. р., приведены ниже в § 3.
§ 2. Некоторые критерии равномерности распределения
Соотношения C.1), C.4), C.7) позволяют установить
факт равномерности распределения заданной последова-
последовательности, но не позволяют решить вопроса, какая из двух
р. р.*люследовательностей «более равномерно» распреде-
распределена. В настоящем параграфе рассмотрены критерии,
дающие количественную оценку равномерности распреде-
распределения.
*) В том числе И. И. Пятецкий-Шапиро, II. С. Бахвалов,
Н. М. Коробов, L. G. Peck, R. D. Ricbtmyer, С. P. Hl
Е. Hlawka, P. Davis, P. Rabinowitz.
§ 21
КРИТЕРИИ РАВНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
107
Отклонение. Фиксируем произвольные точки xQ, х1У ...
...,xN^ на отрезке [0, 1], которые будем называть сеткой.
Обозначим через iSjv (x) число точек сетки, принадлежа-
принадлежащих отрезку [0, х) (иначе говоря, SN (х) = SN (Z), когда
I = Ю, х)).
Отклонением сетки {х0, жх,..., Zjv-i} назовем величину
D(т0,.. ., a-N-i) = sup \SN(x) — Nx\. C.11)
Иногда для краткости вместо D (х0, ..., xN^) будем пи-
писать DN.
Необходимо отметить, что в литературе встречаются
различные, не тождественные определения отклонения
(discrepancy, Diskrepanz). Часто отклонением называ-
называют отношение DNIN. Некоторые авторы рассматривают
sup \SN (I) — N \ 1\\. Об отклонении в многомерном
1 ? EMI
случае, помимо вышеука-
вышеуказанных обзорных работ,
см. также [73, 75, 76].
Геометрический смысл
отклонения довольно про-
прозрачен: Nx— это количест-
количество точек сетки, приходя-
приходящихся на отрезок [0, х)
при «пропорциональном»
(равномерном) распреде-
распределении, a SN (x) — коли-
количество точек сетки, фак-
фактически принадлежащих
[О, х). Таким образом,
DN в каком-то смысле
характеризует отклоне-
отклонение расположения точек сетки от ^«равномерного».
Функция SN (x) представляет собой ступенчатую не-
неубывающую функцию со скачками, равными 1 в каждой
точке сетки, если все эти точки различные; если к точек
совпадают, то при соответствующем значении xt скачок
будет равен к. В точках разрыва функция SN (x) непрерыв-
непрерывна слева (при нашем определении SN (I)).
Через Fk (х) обозначим отношение FN (х) = SN (x)/N.
Эта функция (рис. 3.6, где N = 5) также ступенчатая,
О х2
1 I i
х0
¦ х3 1
Рис, 3.6.

108
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
[ГЛ. 3
неубывающая, FN @) = 0, F N A) = 1. Скачки FN {x) в
однократных точках сетки равны 1/JV*).
Лемма 2 ([80]). Для того чтобы {хп} была p.p.,
необходимо и достаточно, чтобы последовательность функ-
функций {FN (х)} при N —г* оо сходилась к х равномерно на от-
отрезке [0,1].
Доказательство достаточности три-
тривиально, так как если {FN (x)} сходится равномерно к х,
то при каждом # существует lim Р^(х) = х. И если I —
= [а, Ь), то
Доказательство необходимости-
Предположим теперь, что {хп} р. р. Тогда {Fn (x)} —> x в
каждой точке х. Зададим произвольное е ^> 0 и разделим
[0, 1] на конечное число отрезков, длина каждого из ко-
которых меньше г/2. Обозначим точки деления через \}.
Затем выберем No столь большим, чтобы при всех N ;> No
во всех точках х = %j
C.12)
Рассмотрим теперь произвольную точку х. Пусть х ЕЕ
fib.» ifc-u)- Так как все FN (х) монотонны, то FN (?fe) ^
(*) < F* (gft+i) и в силу C.12)
- г/2 < FN (x)
s/2.
Вычитая х из всех членов этого неравенства, получим,
что
-(х- %к) - 8/2 < FN (х) - х < (t&+1 ~x) + г/2,
откуда сразу видно, что —z<^FN (х) — х ^ е. Тем са-
самым лемма доказана.
*) В теории вероятностей функция F'N (x) называется эмпири-
эмпирической функцией распределения выборки х0, xlr.,., zN_v
2-]
КРИТЕРИИ РАВНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
109
Теорема 2. Для того чтобы {хп} была р. р., не-
необходимо и достаточно, чтобы
D (х0,
C.13)
Эта теорема есть непосредственное следствие леммы 2,
так как равномерная сходимость {FN (x)} к а; равносильна
требованию DN/ N = sup | F^ (x) — х | —> 0,
Некоторые свойства отклонения. Следующие две про-
простые леммы, вытекающие непосредственно из определения
C.11), позволяют лучше понять характер отклонения.
Пусть задана сетка {ж0, хх, ..., xN г}.
Лемма 3. Верхняя грань \SN (х) — Nx\ не может
достигаться в точке непрерывности SN (x).
Эта лемма есть частный случай леммы 1 из гл. 2, соот-
соответствующий квадратурной формуле B.1) с равными ве-
весами, когда FN (х) = SN (x)/N.
Из леммы 3 следует, что
DN = max { | SN (xt — 0) — NXi \; \SN (xt + 0) — Nzt\}.
C.14)
Иначе говоря, для вычисления DN достаточно просмотреть
2./V чисел \SN {хг + 0) — Nxt\ и выбрать наибольшее сре-
среди них.
Лемма 4. Для любой сетки {ж0, xi, ..., Xn-i)
V2 < D (x0, хъ ..., aff_0 < Лг. C.15)
Доказательство. Оценка сверху тривиальна,
так как и SN (x) и Nx в C.11) не превосходят N. В то же
время оценка эта точная: равенство DN = N имеет место
в случае сетки, состоящей из точек х0 = %=...= xN-x =
= 0.
Чтобы доказать оценку снизу, рассмотрим два случая
произвольной сетки.
1-й случай: среди отрезков тр —jj—) > 0 ^ i *ч N — 1,
найдется такой, которому не принадлежит ни одна точка
сетки. Тогда на этом отрезке SN (x) = к и
DN ^ sup | к — Nx ] = max { | к— i |; | к — i ¦— 11 } ;> 1.
il

ип
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
[ГЛ. 3
2-й случай: в каждом из отрезков -Л-, l "L ] лежит одна
точка сетки. Пусть это будет точка х% (можно перенумеро-
перенумеровать точки сетки в порядке возрастания). Тогда SN (x) =
= г при i/N ^ x^Xi и
р / < < xt
SN (х) = ъ + 1 при xt < х
<(г + 1)^C
y~s4(x)
0
=4, i ~ 2). Поэтому
> гаах {|г — Nx^; \i .
— Nxi\}, и если Nxt=f= i -f-
+ V2, то Z)ff > Va-
Единственная сетка, для
которой DN = 1/2,— это
равномерная сетка, состоя-
состоящая из точек xt = (г + 1/%)/N.
Заметим, что оценка C.15)
снизу есть следствие теоре-
теоремы 2' из гл. 2.
Неравномерность. В пре-
предыдущей главе для оценки
«качества» произвольной сетки {^0, xt, ..., xN^} на [0, 1]
мы ввели функции
4 г/4 Х23/4
Рис. 3.7.
д.
2пг—1
N-J = sup
атп-
V
N (Z+f) -
i:.)
C.16)
()
где параметр 1 <c g <^ oo. Простейшую среди этих функций
Фоо(*о, • • -, xn-i) = sup | SN (/+) — Jw (^) | C.17)
мы назвали неравномерностью сетки {z0, ..., a^jv-i}-
Естественно ожидать, что асимптотика фд (?0,..., ^jv-i)
при N -*• оо должна быть связана с равномерностью
(или неравномерностью) распределения последовательно-
последовательности {хп}.
Теорема 3 ([57]). Если {хп} р. р., то при всех
1 <д< оо
Ф9 (х0, ..., хм) = о (JV); C.18)
C.18) справедливо при каком-либо д, то {хп} р. р.
2]
КРИТЕРИИ РАВНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Ш
Доказательство первого утверж-
утверждения. Значение д? A, оо] будем считать фиксирован-
фиксированным. Выберем m столь большим, чтобы двоичные отрезки
Imj были достаточно малыми:
Затем выберем JV0 (зависящее от Ш и от е) так, чтобы при
всех N > No для всех 1т} с m ^ Ш выполнялись неравен-
неравенства
NI Imi I (l —г) < ^w (^,i) < W | Zm/| (l + 4-) C.19)
(это можно сделать, так как число таких 1т]- конечно).
Пусть т <fn. Тогда из C.19) следует, что
)) | =
j-l) I
и
iVe.
Пусть теперь т !> т. Тогда каждый из отрезков
принадлежит одному из отрезков 1щ, так что
а
В этом случае
{2 is* (^Iq}1/=
< j л'-1 * 2 ^ <
Таким образом, при любых m и при всех N ^ No
Ч 1/G
} <eiV.
I'}
3=1
Из C.16) вытекает, что <р? (ж0, ...,
носильно C.18).
, а это рав-

112
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
[ГЛ. 3
Доказательство второго утверж-
утверждения. Если ф9 = о (N) при каком-либо д, то из нера-
неравенства B.35) следует, что фю = о (N), и поэтому при
любых /гаи/
Sn (Imj) — $n (Imd = о (N).
Пусть т — 1. Из C.20) видно, что
SN (l+n) ~ SN (ln) =
C.20)
C.21)
В то же время, так как ^i U ^11
Из C.21) и C.22) вытекает, что
> т0
C.22)
lim
Таким образом, требование C.1) справедливо для от-
отрезков 1п и Z^i или, что то же, для всех l2j.
Пусть теперь т — 2. Из C.20) видно, что (при любом
фиксированном /)
а так как
C.23)
то по уже доказанному
~
Из C.23) и C.24) вытекает, что
lim
ЛГ-юо
N
и тем самым C.1) справедливо для всех l3j.
Возможность продолжения такого доказательства по
индукции очевидна. При этом соотношение C.1) будет
доказано для всех lmj. Тогда по лемме 1 последователь-
последовательность {хп} окажется р. р.
Следствие из теоремы 3. Если для после-
последовательности {хп} значение фд = о (N) при каком-то д,
КРИТЕРИИ РАВНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ИЗ
то ф3 = о (N) при всех q е= A, оо] (ибо в этом случае
{хп\ p.p.).
Известно, что критерий Вейля C.7) остается в силе при
замене тригонометрической системы {e"nilx} другими пол-
полными ортогональными системами. Выбрав систему Хаара
{lmj (x)}> получим вместо C.7) соотношения
JV—1
п—0
т—1
Но сумма слева равна 2 2 [SN(lmj) — 8яAтз)]> значит,
для того чтобы {хп} была р. р., необходимо и достаточно,
чтобы для каждого двоичного отрезка Zm3-
Конечно, этот критерий, так же как и C.7), не дает
нам количественной оценки равномерности распределения.
Отклонение D и неравномерность фоо. Равномерность
распределения последовательности {хп} зависит лишь от
поведения членов этой последовательности при п —>- оо.
Легко показать, что если среди точек последовательности
{хп} изменить (или добавить, или выкинуть) любое ко-
конечное число любых точек, то равномерность распределе-
распределения от этого не изменится.
Однако с точки зрения приложения к вычислению оп-
определенных интегралов такая процедура может сильно
изменить последовательность. Если 106 начальных точек
последовательности {жп} «плохие», то очевидно, что рассчи-
рассчитывать на хорошую точность формулы
C-25)
1=0
можно только при N ^> 10е.
Характеристики D (ж0, . .. , xN^ ) и ф^, (х0, ..., xn-i)
позволяют оценить «качество» любого начального участка
последовательности {хп}. Кроме того, по асимптотике D
и фет при N —.> оо можно классифицировать p.p. последо-
последовательности: чем медленнее растут эти характеристики, тем

114
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ХААРА
[ГЛ. 3
лучше последовательность (и тем лучше будет оценка по-
погрешности формулы C.25) на некоторых классах функ-
функций — см. гл. 2).
Отклонение D — это классическая характеристика р. р.
последовательностей. Она была введена, по-видимому,
Й. Г. ван дер Корпутом, хотя лемма 2 показывает, что уже
Г. Вейль фактически использовал это понятие. Величины
Фз — гораздо более новые. Они были введены лишь в
1957 году в связи с возникновением метода рядов Хаара в
теории многомерных квадратур.
Характеристика D представляется нам более простой,
чем фто (ср. C.11) с C.17)), и вычислять D (с учетом C.14))
проще, чем вычислять фсо (с учетом леммы 3 из гл. 2).
Однако фоэ имеет и свои преимущества, связанные с тем,
что она «грубее», чем D.
Во-первых, D может принимать любые действительные
значения, в то время как фю принимает лишь целочислен-
целочисленные значения.
Во-вторых, грубость фоо дает больше возможностей
для оптимизации. В самом деле, существует единственная
сетка х0, ..., xN-i, для которой D (х0, ...,xN~i) = min,
но можно указать сколько угодно сеток, для которых
фоо (х0,..., х N^) = min. Далее, можно построить беско-
бесконечные последовательности точек {хп}, для которых
фоо = min (при каждом N). Одной из таких последо-
последовательностей является {р (i)}. В следующем параграфе
будет указан целый класс таких последовательностей. И
все они могут рассматриваться как наилучшие р. р. по-
последовательности (с точки зрения критерия неравномер-
неравномерности фоо).
В то же время очевидно, что невозможно построить по-
последовательность {хп} так, чтобы D (х0, ..., xN-^) — min
при любом N (ибо если D(x0, ... , xN^) = 1/2, то при
любом выборе хк значение D(x0, ..., xN_lf xN) ^> 1/2).
Более того, невозможно построить последовательность
{хп} такую, чтобы D (ж0, ..,, xN^x) ^ const при всех N.
Еще Й. Г. ван дер Корпут[72] высказал пред-
предположение о том, что для любой последовательности {хп}
lim sup D (жр, .. ., zjy-j) = °°'
I 2] КРИТЕРИИ РАВНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1г5
Эту трудную теорему доказала Т. ван Аарденне-
Эренфест [70]. Позднее К. Ф. Рот [79] уточнил,
что, какова бы ни была {хп}, можно указать {Nh}-> oo
так, что при N = Nh отклонения D (х0, хъ ..., xNk_x) >
^ cj^ln Nk, где с — абсолютная постоянная. Вполне
возможно, что эта оценка допускает усиление, но не более
чем D (x0, Xi, ..., xN}ri) ^ Cx In Nh.
Таким образом, в любой p.p. последовательности
неизбежны неравномерности (irregularities), если в каче-
качестве меры равномерности выбрать D. Если же оцени-
оценивать равномерность при помощи фоэ, то такие неравномер-
неравномерности не обязательны.
Связь между фоо и D в одну сторону довольно легко
устанавливается. Для любого отрезка I = \а, Ь) и любой
сетки {ж0, хх, ..., хн^г)
SN(l) -N\l\\= \lSN(b)-Nb]-[SN(a)-
Поэтому SN (&,-) = N j l+nj | + if, SN {lmj) = N\ln}\ + rf,
где |т]+|<2?>лг, |тг-|<2.О]у. Отсюда сразу вытекает, что
\SN(C}) — SN(lmj)\^^DN. И согласно C.17)
Другие характеристики равномерности распределения.
В качестве меры «неравномерности» сетки {х0, х1ч ..., xN^}
можно выбрать любой из интегралов
= { \ |
- Nx \я dx y\ C.26)
где q > 0. Иногда для краткости вместо /<«> (ж0, ..., «jv-i)
будем писать 1$. Естественно назвать 1{$ интеграль-
интегральными отклонениями сетки. Такие интегралы уже встре-
встречались нам в § 4 гл. 2.
Теорема 4. Если {хп} p.p., то при всех q > 0
№ (х0, хъ .... хя-Д - о (N); C.27)
если C.27) справедливо при каком-либо q > 0, то {хп} p.p.

116
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНЦИЙ ХААРА
[ГЛ. 3
Доказательство первого утверждения очевидно, так
как из равенства C.26) следует, что №' (з;0, ..., жлч)<
<?) (х0, ..., х^.
Для доказательства второго утверждения заметим,
что C.27) равносильно утверждению
lim
N-юс
= 0.
C.28)
Мы докажем, что из C.28) следует равномерная сходи-
сходимость {FN (х)}кх на [0,1],
и тогда (по лемме 2) {хп }
будет p.p.
Доказательство прове-
проведем от противного — до-
допустим, что можно указать
такое 8^>0, такие {Nh}->oo
и такие точки {?ft}, что
\FNfi (Ik) — lk\>?- Пред-
Предположим для определен-
определенности, что в точке Нь зна-
0
чение F№if (lh) > lh +
Рис. З.8.
Так как функция FNfl (x)
не убывает, то на отрезке
[Eft» Efe + е] сохранится
неравенство /^ (ж) > Еь + 8 (рис. 3.8). Следовательно,
- (а:) —
>.
Т &
что противоречит C.28).
Следствие из теоремы 4. Если для после-
последовательности {хп} значение 1$ = о (N) при каком-то
д > 0, то /<]^) = о (TV) при всех q > 0 (ибо в этом случае
К} Р-Р-)-
Лемма 5. Для любой сетки {х0, х1, ..., xN_x)
C.29)
§ з1
ЛИ«-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
117
Оценка сверху здесь тривиальна. Оценка снизу есть
частный случай теоремы 2 гл. 2, соответствующий квадра-
квадратурным формулам с равными весами, когда FN (x) =
= SN (x)/N.
Из леммы 2 гл. 2 следует, что /^ -> -Djv. когда g -» оо.
При этом оценка C.29) переходит в оценку C.15).
Для «хороших» p.p. последовательностей (например;
для ЛП0-последовательностей из § 3) DN — О (inN) и
все /jv* —О (InN). Существуют ли такие последователь-
последовательности, для которых DN = о (In N) или хотя бы I$=o (In N),
неизвестно. Скорее всего, что нет.
§ 3. ЛПа-последовательности
Определения и основные свойства [67]. Сетку, состоя-
состоящую из N = 2V точек, назовем По-сеткой, если каждому
двоичному отрезку с длиной 1/N принадлежит одна точка
сетки (рис. 3.9 для N — 8).
Последовательность {хп} назовем ЛП^последователь-
ЛП^последовательностью, если любой ее дво-
двоичный участок представляет
I ¦*!* I 'I* I*
X
Рис. 3.9.
собой П0-сетку.
Двоичным участком после-
последовательности Жо, Xi, ...,Хп,...
называется множество членов
xt с номерами ц удовлетворяющими неравенству вида
Jc2° < i < (к + 1) 2», где к =0, 1, 2,...; s = 1, 2, ...
Например, участок 16 ^ i < 24 двоичный (/с = 2,
5 = 3), а участок 4^ i<<16 двоичным не является.
Запишем условие Jc2s ^ s <; (к -J- 1) 23 в двоичной си-
системе. Пусть А; = с^с^-]^... С!С0, где все Cj — двоичные цифры
(то есть либо 0, либо 1). Тогда
к2- = Cy.Cp.-i • • • CiCo00 ... 0,
(к + 1) 2s = с^,-!. . . clCo0O . . . 0 + 1 00 ... 0.
s нулей s нулей
И наше условие означает, что число i в двоичной системе

118
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
[ГЛ. 3
представимо в виде i = cllcp._1...c1coeses_-1 ... ex, где цифры
Cj фиксированы, a ej — произвольные *).
Понятие П0-сетки настолько элементарно, что не за-
заслуживало бы специального наименования, если бы не пред-
предполагалось обобщение на многомерный случай. Ясно,
что /70-сетки представляют собой очень хорошие сетки
(по равномерности распределения): для любой Д„-сетки
(с любым числом N = 2V точек) <pg = N1^, a D ^ 1 (доказа-
(доказательство сходно с доказательством второго случая
в лемме 4).
Напротив, ЛП0-последовательности даже в одномерном
случае представляют интерес, и то, что они относятся к
числу наиболее равномерно распределенных последова-
последовательностей, не тривиально.
Теорема 5. Для произвольного начального участка
любой Ш1 ^последовательности {хп} при любом q ?= A,оо]
Доказательство. Рассмотрим начальный уча-
участок 0 < i <.N. Выберем произвольный двоичный отре-
отрезок lmj так, что \lmj\ = \lmj I = 2Гт. Выделим на нашем
участке все двоичные участки с длиной 2т:
(к — 1) 2т < /< к2т; к2т < i <N.
Каждый из первых к участков представляет собой П0-сет-
ку, и поэтому отрезку &j принадлежит одна точка из
каждого участка. Последний, (к + 1)-й участок представ-
представляет собой часть такой же П0-сетки (к2т^ i < (к + 1) 2т},
так что отрезку /^ принадлежит не более чем одна точка
из этого участка. Значит, к ^ SN (dj) «^ к + 1.
Точно так же к ^ SN (Imj) < к -\- 1, откуда следует1
что \SN (Ct) - SN(Q)\ < 1 и Фоо = 1.
*} В десятичной системе
к = ср.2^ + e^i 2V--1 + ... +ci2 + с0,
ЛПо-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
119
Наконец, из B.32) и B.33) вытекает, что при любом q
имеет место равенство фд = N1^.
Теорема 6. Для произвольного начального участка
любой ЛП^последовательности {хп}
D (х
0,
r,
где г — количество единиц в двоичной записи числа N.
Доказательство. Пусть N = 2vi + 2Va +...
..,+ 2Ur, где vx ^> v2 ^> ... }> vr >
ных участков последовательности:
0 < i < 2V«; 2">< i < 2^ + 2*»; ...; 2
0. Выделим г двоич-
двоич... + 2V* < i
каждый из которых есть П0-сетка (за исключением случая
vr = 0, когда последний участок содержит всего одну
точку Ждг i)- Для каждой из этих сеток отклонение D не
превосходит единицы: [S^- {%) — 2Vj'ic[^l. И так как
3=1
V
то
о' 1
Следствие из теоремы 6. Для произволь-
произвольного участка ЛП0-последовательности {хп}
D (х0 xN.x) < Ц Uoga (N + 1)] < log2 (N + 1)
(ср. B.45)).
Теорема 11 гл. 2 показывает, что для конкретной
ЛП0-последовательности {р (г)} возможна более точная
оценка отклонения B.47). Впрочем, тот факт, что {р (i)}
есть ЛП0-последовательность, пока еще не доказан; это
сделано ниже, после доказательства теоремы 7.
Рассмотрим теперь способ построения ЛП0-последова-
тельностей.
Операция*. Для краткости условимся обозначать
звездочкой (*) поразрядное сложение по модулю 2 в дво-
двоичной системе. Более подробно: для трго чтобы вычислить

120
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
[ГЛ. 3
«сумму» а * Ь, надо оба эти числа записать в двоичной
системе и сложить цифры в соответствующих разрядах по
правилам
0 + 0 = 0, 1 + 0-0+1 = 1, 1 + 1-0C.30)
(то есть без переноса единиц в старшие разряды). Например,
7/8 * 11/16 = 0,141 * 0,1011 = 0,0101 = 5/16 *).
Легко видеть, что
а * Ъ = Ъ * а,
(а * Ь) * с = а * (Ь * с).
Следующий пример показывает, что дистрибутивность по
отношению к обычному умножению не имеет места. Пусть
в двоичной системе а = 0,11, Ъ — 0,10, с = 0,11; тогда
(а*Ь)с = @,11 * 0,10).0,11 = 0,01.0,11 = 0,0011,
ас * be = @,11.0,11) * @,10-0,11) = 0,1001 * 0,011=0,1111.
Однако если с — двоичная цифра (то есть либо 0, либо 1),
то справедливо также соотношение
(а * Ь) с = ас * be.
Так как а * а = 0, то очевидно, что линейное уравне-
уравнение а * х = Ъ при любом a =f= 0 имеет единственное ре-
решение х = Ъ * а.
Обозначим через Rm множество двоичных т-значных
дробей х таких, что 0 «^ х <^ 1. Если а Е= Rm, то функ-
функция у = а * х осуществляет взаимно однозначное отобра-
отображение Rm на себя. Если a =j= 0, то неподвижных точек это
отображение не имеет.
В большинстве современных ЭВМ есть специальная
команда для выполнения операции *, которая исполь-
используется для сравнения кодов (а * Ь = 0 тогда и только
тогда, когда а — Ь). Эта команда относится к числу наи-
наиболее быстро выполняемых (так называемых логических)
команд.
*) Правила C.30) совпадают с логической операцией «отрица-
«отрицание равнозначности»:
= 0,
= 1^0=1, lot'1=0,
ЛП0-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬВОСТИ
121
Замечание. В дальнейшем нам не раз встретится
алгебраическое поле Z2, состоящее из двух элементов — 0
и 1,— с обычной операцией умножения и сложением по
правилам C.30) (иначе говоря, по модулю 2) [63]. Очевид-
Очевидно, если рассматриваются величины а и Ь, принадлежа-
принадлежащие Z2, то операция * означает «обычное» (для этого поля)
сложение.
ДР-последовательности. Выберем произвольную по-
последовательность (двоично рациональных) чисел Vl5 V2,...
..., Vs, ..., где все 0 < Fs <C,1. Условимся называть эти
числа направляющими числами.
ДР'-последовательность {г (i)} с направляющими чис-
числами {Vs} определяется следующей формулой: если в
двоичной системе i ~ етет_х ... е^ех, то
C.31)
г (г) = ej.Fi * e2F2 * ... * emVTl
Легко доказать, что это определение равносильно сле-
следующему рекуррентному определению:
1°. г @) - 0; г Bs) - Fm.
2°. Если 2s < i < 2«i, то r (i) = r Bs) * г (i — 2s).
Правило 1° показывает, что направляющие числа Vs рас-
расставляются в заданных местах каждой ДР-последователь-
ДР-последовательности. А все другие числа г (i) получаются по общему пра-
правилу 2°.
Название «ДР-последовательность», по нашему мне-
мнению, не слишком удачное. Оно получилось в результате
сокращения первоначального названия «последователь-
«последовательность двоично рационального типа».
Легко видеть, что рассмотренная в гл. 2. последо-
последовательность {р (i)} есть ДР-последоватёльность, получаю-
получающаяся тогда, когда все Fs = 2rs. В этом случае все сла-
слагаемые ejV] в C.31) содержат единицы в различных разря-
разрядах и операция * равносильна обычному сложению.
Направляющая матрица. Можно задавать направляю-
направляющие числа Fg в форме двоичных дробей:
= 0, vs
... -у.
где все vsj ? Z2. Тогда задание последовательности {Vs}
равносильно заданию бесконечной матрицы, все элементы

122 ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
которой принадлежат Z9:
vu "и . . . vxj . . . \
usi
[ГЛ. 3
\
Эту матрицу естественно назвать направляющей матрицей.
Вышеупомянутая последовательность {р (г)} соот-
соответствует единичной направляющей матрице (то есть vsS =
= 1, vsJ = 0 при s=f= /).
Теорема 7. Если в направляющей матрице все
vss — 1, а при ]'^> s все vsj — 0, то соответствующая ей
ДБ^-последовательность есть ^Непоследовательность.
Доказательство. Выберем произвольный дво-
двоичный участок ДР-последовательности (r (i)}, длина ко-
которого равна 2т. Номера i, принадлежащие этому участку,
запишем в двоичной системе:
i = СцСц-i ... 'ст^1етет_1 . . . егеъ C.32)
где ck фиксированы, aej — любые двоичные цифры.
Выберем теперь произвольный двоичный отрезок I —
= /m+i,/, длина которого | I \ — 2~т. В двоичной системе
этот отрезок определяется неравенством
О, ata2 ... а
х
... ат + 0, 00... 01,
где числа ah фиксированы *).
Нам нужно доказать, что, каковы бы ни были ck и ак,
среди чисел i вида C.32) найдется одно такое, что г (i) ?=
? I. Для этого запишем г (i) в двоичной системе:
r(i) = 0, gagH ¦- gij —
Из формулы C.31) следует, что если г = e^e^i ... е2е%, то
$Н, = 4vu * 4v%i * ••• * evv*i' C.33)
*) Если все ak = 1, то справа должен стоять знак ^вместо
Однако в этом случае 0, %... ат -\- 0, 0... 1 = 1, и так как все г ()
то наличие знака <[ не повлияет на доказательство.
ЛПо-ПОСЛБДОВАТЕЛЬНОСТИ
123
Условие г (i) €^ I эквивалентно т условиям
gu = а) при / = 1, 2, ..., те, C.34)
а условие принадлежности i к участку C.32) означает, что
ej = Cj при у = т + 1, m + 2, ..., ji. C.35)
Из C.33), C.34) и C.35) получаем систему т уравнений
для нахождения т неизвестных eif ..., ет:
exvxj * ... * emvm} — aj * cm+1ym+1,j * ... * c^j, C.36)
где 1 < / < m.
В силу условий теоремы (ySJ- = 0 при s <C /) матрица
этой системы треугольная, и систему можно записать в
виде
eivjj * eJ+ivj+i, ^ * ... * emvmj = fj,
где через fj обозначены правые части C.36). Так как здесь
Vjj — 1, то неизвестные ет, em_i, ..., ех последовательно
вычисляются.
Единственность этого решения может быть доказана
как из алгебраических соображений (решается линейная
система в поле Z2 с определителем, равным 1), так и из
геометрических (каждому из 2™ двоичных отрезков при-
принадлежит хотя бы одна из 2т точек). Таким образом, тео-
теорема доказана.
С л. едствие из теоремы 7. Последователь-
Последовательность {р (i)} представляет собой Ш10-последователъностъ.
Если не предполагать выполненными условия теоремы 7, то
вопрос о том, будет ли ДР-последовательность ЛПо-последователь-
ностью, сводится к вопросу о существовании единственного решения
системы C.36) в поле Z2 при фактически произвольных правых
частях. Воспользовавшись алгебраической теорией линейных си-
систем в произвольном поле [63], легко получить следующее предло-
предложение: ¦««•»^";
Теорема 7'. Для того чтобы ДР-последовательность с на-
направляющей матрицей (vgj) была ^Непоследовательностью, не-
необходимо и достаточно, чтобы при всех т = 1, 2,... угловые опреде-
определители
т
det j vtj | = 1 (mod 2).
-. v. , l

124
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
[ГЛ. 3
Однако все встречающиеся в дальнейшем ДР-последователь-
ности удовлетворяют условиям теоремы 7.
Заметим, что множество всех ДР-последовательностей,
которые являются ЛП0-доследовательностями, значитель-
значительно уже, чем множество всех ЛП0-последовательностей,
даже если ограничиться ЛП0-последовательностями, со-
состоящими из двоично рациональных точек. Например, тре-
требование г @) = 0 для ЛП0-последовательностей вовсе не
обязательно.
Последовательность {q (г)}. Матрица Паскаля. Ниже
для построения последовательности {q (i)} нам понадо-
понадобится бесконечная целочисленная матрица, которую мы
будем называть матрицей Паскаля:
/10 0 0 0
110 0 0
• \
(nsj) =
\
12 10 0
13 3 10
Элементы этой матрицы определяются
уравнением
рекуррентным
TCsj = JTs-i, / + 3ts_i, /-! C.37)
с «краевыми условиями»: л81 = 1 при s = 1, 2, ...; Лц = 0
при / = 2, 3,... Легко проверить, чтол:^ =, когда / >s,
а при / ^ s значения я^ равны биномиальным коэффици-
коэффициентам:
Таким образом, ненулевая часть матрицы (л„)
ставляет собой знаменитый треугольник Паскаля
/ М ? ( е\Ра'смотРим ™адрат матрицы Паскаля:
{^sii'K^sj)- Элементы
\wsj)
\Ра'смотРим
j)- Элементы
0,
когда
, когда f = s;
0 (mod 2), когда /<в.
з]
ЛПо-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
125
Доказательство. Первые два утверждения
леммы достаточно очевидны. Рассмотрим случай / <Cs.
В этом случае
C.38)
a=l
a—j
В C.38) разложим jtsa по формуле C.37):
Затем во второй сумме разложим яа^ по формуле C.37):
wsj =
Последнее слагаемое в первой сумме содержит ns-i, s =
= 0, а первое слагаемое во второй сумме содержит зт3-_1,_/ =
= 0. Отбросив эти слагаемые и заменив во второй и третьей
суммах индексы суммирования а на a — 1, получим
S—1
в—1
s—1
2
Последнее соотношение означает, что wsj — 2№8„ъ j-\-
Щ-ui-i, и, стало быть, wsj == и?8_1, j_x (mod 2).
Использовав это соотношение / — 1 раз, получим, что
wsj =
Однако при любом к
(mod 2).
е
2 %* = 2*~1
а=1
а=1
так как это есть сумма всех биномиальных коэффициентов
порядка к — 1. Следовательно, ws} = 0 (mod 2), что и тре-
требовалось доказать.

126
Л е:
литель
ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА [ГЛ. 3
целых р ;> 0 и q ^> 1 опреде-
JV«,,-|?»1. C-39)
Заметим, что D^ ~ это определитель произвольной
квадратной матрицы (порядка q), вырезаемой из матрицы
Паскаля так, чтобыприэтом был захвачен пепвътй стштЛртт
Например,
захвачен первый столбец.
12 10
13 3 1
14 6 4,
1 5 10 10
Доказательство леммы 7. Вычтем из эле-
М4)
= 1.
1,1
Эта направляющая матрица
'10 0 0 0 0.
110 0 0 0.
10 10 0 0.
11110 0.
ЛПв-ПОСЛЕ ДОВАТЕ ЛЬН ОСТИ
127
удовлетворяет условиям теоремы 7, так что {q (i)} есть
ЛП0-последовательность. В дальнейшем будет доказано,
что последовательности {р (i)} и {q (i)} в некотором смысле
независимы (ср. [60]): точки с координатами (р (i), q (i))
образуют p.p. последовательность на единичном квадрате.
Вычислим несколько значений q (i). Очевидно, в дво-
двоичной системе V1 = 0,1, F2 = 0,11, V3 = 0,101, F4 =
= 0Д111, ... Пусть i — 3; в двоичной системе i — 11, так
что q C) = Vx * V% = 0,01 = 1/4. Пусть i = 6; в дво-
двоичной системе i — 110, так что q F) = Va * У3 = 0,011 =
= 3/8. Пусть i = 11; в двоичной системе j = 1011, так
что q (И) = Ух * F2 * У4 - 0,1011 - 11/16.
Сопоставим теперь значения р (i) с q (г).
t
р@
9@
0
0
0
1
72
2
3
3А
V.
4
78 '
5/8
5
5/8
7«
6
S/8
S/8
7
78
78
8
Vu
9
Vm
Vie
10
Vie
Vie
и
8/и
12
Vie
...
•••
В этих значениях легко усмотреть симметрию, которая не
случайна.
Теорема 8. Последовательности {р (i)} и {q (i)}
симметричны в следующем смысле: если р (г) = q (j), то
q(i)=p (j).
Доказательство. Множество всех значений
р (г) при 0 ^ i < 2m совпадает с множеством всех значе-
значений q (i) при 0 ^ i < 2т и равно Rm — множеству всех
двоичных m-значных дробей х ?Е [0, 1). Поэтому к
каждому i из участка 0 <^ i <; 2m можно подобрать та-
такое / из этого же участка, что р (i) = q (j).
Пусть в двоичной системе
тогда
р (О = 0, ех ... ет-гет, q (j) = d1Vl * ... * dmVm.
Равенство/) (i) — q (/) означает, что в каждом из двоичных

128 ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ХААРА
разрядов, то есть при 1 <^ s ^ Щ)
(mod 2).
Ггл. з
C.40)
(Вместо * можно писать сложение (mod 2), так как все
числа здесь принадлежат Z2.)
Вычислим теперь величину q (i) = e-J/x * ... * етУт.
В к-и двоичном разряде числа q (г) стоит
(mod2)> l<A<m.
Подставив сюда выражение C.40) для eg и воспользовав-
воспользовавшись тем, что vsj = nSJ- (mod 2), получим
2
/3=1
mm
а^а& (mod 2).
a=l
сумма равна dk. Зна-
Знаim = о, ад ... dm = р Ц),
что и требовалось доказать.
Из леммы б следует, что последняя
чит,
д @ = °>
ВТОРАЯ
Глава 4
Оценка погрешности многомерных
квадратурных формул
В этой главе рассматриваются функции от п перемен-
переменных ж1( ..., хп, определенные на единичном и-мерном кубе
Кп = {0 ^ Жх ^ 1, ..., 0 ^ хп ^ 1}. Для краткости мы
будем точку с координатами (xlt ..., хп) обозначать одной
буквой Р, так что / (хх, ..., хп) = / (Р), где Р е Кп. Вме-
Вместо с1хг ... dzn будем писать dP.
Рассмотрим квадратурную (или, что то же, кубатур-
ную) формулу
1 1 N—1
у.=о
с узлами Ро, Pxi ••¦> jPjv-i и весами Со, С15 ..., CN-\.
Погрешностью формулы D.1) на каком-нибудь множе-
множестве функций Н называется верхняя грань ошибки
где ошибка
(Л =
= sup j б (/) |,
ЛГ—1
dP-% Cv,f(Pv)-
11=0
D.2)
Если в качестве множества Н взять единичную сфе-
сферу в каком-нибудь линейном нормированном простран-
пространстве функций, то (см. начало гл. 2) R = || 6 j| — погреш-
погрешность формулы D.1) равна норме линейного функциона-
функционала D.2).
5 И. М. Соболь

130
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
[ГЛ. 4
Настоящая глава посвящена изложению метода рядов
Хаара в теории многомерных квадратур [57, 18, 19, 92—96].
В § 1 вводятся многомерные классы функций Sp с быстро
сходящимися рядами Хаара и близкие к ним классы функ-
функций На. В §§ 2иЗ вычисляются || б || на пространствах Sp
и оцениваются || б || на пространствах Нл. С помощью этих
результатов в гл. 5 и 6 исследуется точность различных
сеток интегрирования в Кп, а в гл. 7, используя предель-
предельный переход при п—у оо, получены оценки погрешности
интегрирования на некоторых классах функций от бес-
бесконечного числа переменных.
Порядок сходимости семейства формул. На фиксиро-
фиксированном множестве функций Н рассмотрим семейство квад-
квадратурных формул вида D.1), содержащее формулы со сколь
угодно большим числом узлов (то есть определенные для
значений N — Nt, где Nt ->¦ оо при t-*¦ оо). Если для
любой формулы D.1) семейства
D.3)
где В — постоянная, а р (N) -> 0 при N -»¦ оо, то мы будем
говорить, что порядок сходимости этих формул на множе-
множестве Н не превосходит p(N).
Если для любой формулы D.1) семейства
BlP (N) ^R^Bp (N),
В i> Вi ^> 0, то будем говорить, что порядок сходимости
этих формул равен р (N) или что порядок оценки D.3)
точный.
Кратные ряды Хаара. Рассмотрим всевозможные про-
произведения функций Хаара
где 1 ^ kv < оо, 1 <^ v<^ п. Совокупность всех произве-
произведений представляет собой ортонормированную систему
на Кп. Для любой интегрируемой функции / (Р) можно
вычислить коэффициенты Фурье — Хаара
D.4)
кп
§ П
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
131
и составить кратный ряд Фурье — Хаара, который (как
и в случае одной переменной) сходится равномерно для
любой непрерывной функции / (Р):
= 2
Легко также доказать, что функции / (Р), представимые
в форме равномерно сходящегося ряда D.5), непрерывны
во всех точках Р, координаты которых не двоично рацио-
рациональны. Если же какие-либо из координат точки Р =
= (Ii, .-., In) двоично рациональны, то / (Р) может иметь
в этой точке разрыв *).
Индексы kv, /j, mv в этой главе имеют тот же смысл,
что индексы к, /, т в гл. 1. В частности, если 2 ^ К <^ оо,
то
где
О
-К-,
§ 1. Классы функций
Разложение / (Р) на «разноразмерные» слагаемые [95].
Фиксируем s произвольных индексов 1 ^ ix <^ i2 <^ ...
...<А ^ ni гДе 1 "О *С п-> кото-
которые будем называть' отмечен-
отмеченными индексами. Символом
Кг,,.л мы будем обозначать
s-мерную грань куба Кп, на
которой Хг, хг меняются от
О до 1, в то время как все
остальные xt (при i =f= h,-.., is)
фиксированы: xt = 1 (рис. 4.1
для случая и=3). Сам куб
Кп мы будем также причис-
причислять к числу граней: это
n-мерная грань Кп,ш,п.
Грань Ku...is можно рассматривать как единичный
«.мерный куб в пространстве переменных xh, ..., xis,
*) В такой точке разрыва существуют предельные значения
lim / (Р'К когда Р' ~* Р, не пересекая при этом ни одной из плоско-
плоскостей xs = |s с двоично рациональной координатой |в.
5*
«Г/
Рис. 4.1.

132
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
[ГЛ. 4
Предположим, что на каждой грани Kilm..it задано
число Tit,^is. Сумму всех Ти.,^5 условимся обозначать
через iiTit..tis. Итак,
и + Z,- Zj т
i,=l
• • • "Г
12 • ¦ • n-
Число слагаемых в сумме ? равно (?) +(о) + ••• +
л) =2П —1. Например, пусть 7^,.. f = as. Тогда
П/ 8 -
«г-
Выделим теперь в D.5) в явном виде первую функцию
системы Хаара %i (я) = 1. Тогда в этой сумме окажутся
члены, содержащие произведения различного числа функ-
функций Хаара, и удобно записать ее с помощью 21:
где
D-7)
индексы &lv.., fes меняются теперь от 2 до то.
Каждая из величин, стоящих в D.6) под знаком 2,
зависит лишь от s переменных ж4], ..., arz-s, и можно считать,
что она задана на грани Kiu..is. Поэтому формулу D.6)
естественно назвать разложением / (Р) на разноразмер-
разноразмерные слагаемые. Конечно, такое разложение можно осуще-
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
133
ствить с помощью любой ортонормированной системы
{ф& {Р)}> содержащей функцию фх (Р) = 1.
Пример. Разложение / (х, у) на разноразмерные
слагаемые:
со оо
/ {X, у) = Сх + 2 CkXfc («) + 2 «*Xfc (У) +
Классы функций ^ D^...^). Рассмотрим функцию
/ (P), представимую в форме ряда D.6). Для слагаемого
2
с*1-*.
D.8)
ftl <«s
введем величину
v
mi—
S (/), аналогичную Ар (/) в гл. 2:
ms-l l/p
2 2|c'.r . D-9)
г = (т1?..., ws),
где для краткости i = (ц, ..., is),
Определение. Классом iSp (Л г^..^) назовем
множество функций / (/*), представимых в виде ряда
D.6), коэффициенты Фурье—Хаара которых удовлетво-
удовлетворяют условиям
4ГЛЧ/)<ЛгГ..г3 D.10)
при любых отмеченных индексах 1 ^ H<Ch<C •••< h ^ w»
1 ^ s ^ п. Постоянные -A?l...i(| будем называть опреде-
определяющими постоянными класса Sv (Агг.л )¦ Параметр
р из промежутка 1 <^ р < оо.
Так же, как в одномерном случае, если 1 <Cp<Zp',
то

134
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
[ГЛ. 4
Теорема 1. Для любой функции f (Р) из Sp (-4* л )
ряд D.6) сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Оценим произвольный уча-
участок ряда D.6) с к» <^ К ^ &"i 1 «С v
s:
Если kv = 2 v -J- /vi, то распространим суммирование
на полную группу 1 ^ /v ^ 2 v и точно так же по-
поступим с A:v. Тогда
2
D.11)
причем jUv—^oo, когда k'v —v oo.
К внутренней сумме применим неравенство Гельдера:
2kix^-.-x^
Вторая фигурная скобка в D.12) вычисляется с помощью
A.6):
v=l
Подставляя это выражение в D.12), а затем D.12)
D.11), получим
— в
2
т=т' v==i
D.13)
Очевидно D.13) - это участок ряда D.9), который по
урловию D.10) сходится. Поэтому из D.13) вытекает абсо-
абсолютная и равномерная сходимость ряда D.8), а вместе с
•этим и ряда D.6).
] КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 135
Следствие. Функции классов Sp ограничены:
1
Это утверждение доказывается в точности так же, как
теорема 1.
Две леммы о приращениях функций. Рассмотрим функ-
функцию / (Р), определенную в Кп. Обозначим через ?s при-
приращение аргумента xs и введем обычный разностный опе-
оператор
A?s/ (Р) =/ (.*!, ... ,х8 + %8, ... , xn) — f{xu ... , хп). D.14)
Лемма 1. ЕслиР — (xt, ..., хп), aQ = (|l7 ..., |п), то
Доказательство можно провести по индук-
индукции. При п — 1 D.15) равносильно D.14). Допустим, что
D.15) верно для функций, зависящих от (п — 1)-ой пе-
переменной. Пусть Q' = (|l5 ... , |п_1( 0). Тогда по формуле
D.15) для (п — 1)-ой переменной
-f(P)= 2 'А^...
D.16)
где штрих означает, что в число приращений входят толь-
только |1? ... , En_i. Далее,
2
Из D.16) найдем f{P-\-Q') и подставим в последнее выра-
выражение. Тогда получим
2
Q)-
Л е м м а 2. Предположим, что функция f (P) имеет в
К71 кусочно ¦ непрерывные частные производные, содержа-
содержащие не более одного дифференцирования по каждому

136
переменному:
дхи...дхи > :
Тогда
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
. 4
D.17)
(Р+Т)
1 %
где Т = @, ..., О, tu, О, ..., О, tis, О, ..., О).
Доказательство мы опускаем: оно легко проводится
индукцией по s, а при s = 1
Классы функций Я"в(?<,...*в).
Определение. Классом #а (L^...*) назовем мно-
множество функций / (Р), удовлетворяющих следующим ус-
условиям: если Р Ez Кп и Р -\- Q Е= Кп, то при любых
1 ^ »1 < *2 < • •• < *з ^ Л> 1 < S ^ И
|Д....ЛЧ/(Р)КД1..МД1...^|«. D.19)
Постоянные L^.j будем называть определяющими постоян-
постоянными класса На {Ь1и_Л ). Параметр 0 <a ^ 1.
Так же, как в одномерном случае, если a <a' <1»
то
СравнивD.19) с A.31), легко видеть, что классыЯа(/,г1...{)
представляют собой обобщение на и-мерный случай клас-
классов Липшица На (L). Однако надо подчеркнуть, что ус-
условия D.19) отличаются от многомерного условия Липши-
Липшица, используемого в теории дифференциальных уравнений
[102]:
D.20)
§ 1]
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
137
Для того чтобы функция / (Р) удовлетворяла D.20) с а= 1,
достаточно, чтобы все частные производные df/dxt были
ограничены: | dfjdxt \ <^ Lt. А для того, чтобы она удовлет-
удовлетворяла D.19) ca= i, этого мало: надо требовать, чтобы
все частные производные dsf/dztl ... dxi& были ограни-
ограничены, так как если \dsf/dxil ... dxis\ <C ^...i , то из D.18)
легко получить D.19) с a = 1.
Обозначим через Wx (Lit._j ) множество функций / (Р),
у которых все частные производные D.17) кусочно непре-
непрерывны и ограничены в Кп:
дх-
. дх-
<и
Предыдущее рассуждение показывает нам, что
W1(Lil...,s)czH1(Lu...is).
D.21)
В некоторых вопросах анализа ([90], стр. 130) при пе-
переходе от функций одной переменной к функциям п пере-
переменных роль дифференцируемых функций / (х) играют п
раз дифференцируемые функции / (xt, ..., хп), точнее, функ-
функции, имеющие все частные производные до n-го порядка
включительно. С точки зрения теории многомерных квад-
квадратурных формул оказывается, что в качестве такого анало-
аналога можно рассматривать значительно более широкий класс
функций, имеющих лишь частные производные D.17),
входящие в определение Wx (Li,...*).
Классы дифференцируемых функций такой структуры,
как И7!, в теорию многомерных квадратурных формул были
введены в работе [87]. Классы не дифференцируемых функ-
функций аналогичной структуры — классы На. — были вве-
введены в [181.
Легко привести примеры, показывающие, что классы
функций такой структуры весьма часто встречаются в
вычислительной математике. Например, когда перемен-
переменные разделяются: / = gx (xx) g2 (ж2) ... gn (xn)', если суще-
существуют g'. (%i), то функция / имеет все производные D.17).
Или в более сложном случае, когда

138
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
[ГЛ. 4
если существуют dgt/dxt, dgtfdxi+1 и d2gijdxidxiJtX, то легко
проверить, что функция / имеет все производные D.17).
Еще пример [891: часто при решении интегрального
уравнения с ядром К (х, у) вычисляют итерации заданной
функции ф0 (х)
ь
^^К (x,t)<f(j(t)dt,
Ь Ъ
{х) = $ jj К (х, s) К (s, *)ф0 (t) dt ds,...
и интегралы типа
ь ь
) <Pi (х) ^ (х) dx, J ф2 (х) г)> (х) dx, ...
Нетрудно заметить, что подинтегральные функции
— ih (т 1 "К {т т \ ~К (ф ф ^ ТС (ф -v \ гп (ф \
— \у \*^Х/ ¦*¦*- VI? 2/ V 2' м^яу • • «*х \ 7i"~li ть) т 0 \ 71/
также имеют все производные D.17), если существуют
ф', 1E', Кх, Ку И #jcy.
Вложение На (Lir.,is) в ^р (^^..^J. Мы хотим до-
доказать, что (как и в одномерном случае) классы функций
Sp (Д{г..{) при р > 1 со-
содержат достаточно много
непрерывных функций.
Для оценки коэффици-
коэффициентов Фурье — Хаара
нам понадобится одна
лемма.
Обозначим через П*- .^
двоичный параллелепипед,
х ребра которого суть дво-
Xf* ичные отрезки lkv ..., lkn.
Можно воспользоваться
записью в форме тополо-
топологического произведения
О
Рис. 4.2.
«левый нижний
'Ik ¦ Обозначим Пт, I. —
октант» параллелепипеда
П,
(на
11
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
139
рис. 4.2 этот октант заштрихован). Наконец, обозначим
h» длину отрезка 4v:
Лемма 3. Какова бы ни была интегрируемая
П;.- ...&¦ функция ф (Р), имеет место тождество
= (-1)" I Ahr.Ahn<p(P)dP. D.22)
Доказательство проведем по индукции. При
п = 1 лемма очевидна:
Допустим, что формула D.22) верна для (п — 1)-ой
переменной. Тогда можно считать хп параметром и за-
записать тождество
Для функции Ф (хп), зависящей от одного переменного,
мы уже доказали, что
Ф{хп) sgn х*п Ы dxn = — I A.in Ф {*п) dxn.

140
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
?гл. ,
Подставяв в левую часть последнего равенства левое вы-
выражение для Ф (хп), а в правую часть — правое выраже-
выражение для. Ф (хп), получим D.22).
Теорема 2. Если ар ^> 1, то На (?ir..i) с Sp(Ailmt%i) t
еде
Доказательство. .Рассмотрим произвольную
функцию / (Р) из На (Li i ) и оценим ее коэффициенты
Фурье — Хаара:
кп
Выделим интегрирование по «отмеченным» переменным
*и, -., xis-
11 Т 1
в* = 5 - - - $ Л dxi\- • -\i {Р)у^(хч)- ¦ -i^{xOdx^ ¦ ¦ dxu-
О 0 \фгч . О О
Произведение %ftj (хи)--- lks (xis) отлично от нуля толь-
только тогда, когда точка (х^, ..., xi$) ^ lItiX...Xlks. Поэтому
(xi)---xks(xis)]dxil---dxis. D.24)
Внутренний интеграл преобразуем с помощью леммы 3:
где fev = |Zft-| = 2~Wv. Отсюда, используя условия D.19),
11
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
141
получаем оценку
Из D.24) с помощью последнего неравенства получаем, что
|Cfc
. -—.т
Оценим теперь величину D.9). Так как 1 < /„ < 2™u , то
v=l
ИЛИ
mi,---,»ns v=l
s oo
v=l mv=l
Стоящую справа геометрическую прогрессию легко про-
просуммировать. Получим окончательно
v=l
что равносильно утверждению теоремы.
Замечание. Теорема 2 более точная, чем соот-
соответствующая теорема вложения в [19]. Хотя на первый
взгляд оценки в этих теоремах одинаковые, но в [19] клас-
классы На. определялись несколько иначе, так что фактически
оценка D.23) улучшена в [2/(а + i)]s раз. Улучшение
достигнуто благодаря использованию леммы 3.
Линейные нормированные пространства функций 8Р
иЯ„ Так же, как в гл. 2 (стр. 73), условимся считать за
одну все функции / (Р), отличающиеся постоянными сла-
слагаемыми.

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
it а, 4
Приняв во внимание это соглашение, рассмотрим множе-
множество функцийДР), принадлежащих всем классам Sp (Л{1...{ )
(со всевозможными Л* *j значение 1 <^ р < оо фиксиро-
фиксировано). Назовем это множество Sp. Повторяя те же рассуж-
рассуждения, что привели нас к формуле B.16), докажем, что
при любых отмеченных индексах it, ,.., ig
После этого легко доказать, что множество Sp линейное:
если / е Sp и g e Sp, то и (/ + g) e Sp; при любом дей-
действительном X функция Я/ ее 5 вместе с /
/ е p g e Sp, то
ствительном X функция Я/
На Sp введем норму
g) p; р
вместе с /.
D.26)
Легко проверить, что эта норма удовлетворяет всем
аксиомам нормы (стр. 73). Следовательно, Sp — это
линейное нормированное пространство. Полнота его
может быть доказана точно так же, как в одномерном
случае.
Рассмотрим теперь множество функций / (Р), принад-
принадлежащих всем классам На (Lit_,is) (со всевозможными
Lu...is; значение 0<^а^1 фиксировано). Назовем это
множество На.
Так как
то легко проверить, что множество На. линейное.
Введем на На норму
на = max sup
D.27)
(Напомним что Р = (Xl,..., ^ p + Q = (
2]
ПОГРЕШНОСТЬ НА КЛАССАХ Sp и На
143
Проверим для||/||яа аксиомы нормы. 1) Если ||/Цяа = О,
то из D.27) следует, что любое Д^.-.Л^. / (Р) = 0, и из
D.1-5) видно, что / (Р +(?) =/(Р) = const. 2) Для лю-
любого действительного X очевидно, что || А,/||на = Щ|/||на.
3) Неравенство треугольника ||/ -f- g\\Ha. < || / Ияя + ||^||нв
следует из вышеприведенного неравенства для при-
приращений. Итак, На — это линейное нормированное
пространство.
Нетрудно заметить, что если / (Р) €Е Нa. {L^...{) , то
норма ||/Цна^ max L\t...i . Но если для f (P) выбрать
наименьшие возможные определяющие постоянные
Т0
Теорема 2'. Если ар ^> 1, то На cz Sv, причем
Доказательство. Пусть / (Р) ЕЕ На. Выберем
для / (Р) наименьшие определяющие постоянные L\u,m\s.
С помощью теоремы 2, обозначив для краткости Bг+а —
_ 21+1!р) ~* = 9, получим
яа
= II / Нн.
что и требовалось доказать.
§ 2. Погрешность квадратурных формул на классах
8Р (ilfl...ie) и Ha(Ltl...is)
В гл. 2 мы видели, что наилучшие квадратурные фор-
формулы на классах функций Sp (А) ж На (L) обязаны иметь
равные веса. Поэтому мы ограничимся здесь рассмотре-
рассмотрением квадратурных формул с равными весами. Несколь-
Несколько подробнее об этом ограничении сказано в конце пара-
параграфа,

144 ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
Итак, рассмотрим формулу
N—1
Кп
[ГЛ. 4
D.29)
где узлы Ро, Рг, ..., Ptf_j — произвольные (фиксированные)
точки куба Кп. Координаты узла Р^ обозначим (х^, ...
...,Ху.п), а всю сетку — буквой 2, так что 2 = {РО,...,Р^Л}.
Ошибка формулы D.29)
N-l
D.30)
Оценка ошибки D.30). Если функция f(P) €eSp (A^,.js),
то ряд D.6) сходится абсолютно и равномерно. Подставим
его в предыдущее выражение для б (/):
1 л
=—w 2
Выделим суммирование по различным группам функций
Хаара, иначе говоря, вместо суммы по kv запишем двои-
ную сумму по тч и /v: 2=22- КР0Ме
ftv=2 mv=l 3v=i
выделим абсолютные величины |%fcJ. Тогда
p-=0 v=l
Сумму по j = (j1, ..., /s) оценим с помощью неравен-
неравенства Гельдера:
N—l
v=I
<
где
3
= 1.
tl.=0 V—1
2]
ПОГРЕШНОСТЬ НА КЛАССАХ Sp и На
145
Введем числа
= sup
D.32)
где верхняя грань берется по всем l^mv <oo, l^v^
<^ s. Эти числа зависят только от точек Ро, ..., PN~i и пред-
представляют собой некоторые характеристики сетки интег-
интегрирования 2.
Из последних трех формул вытекает, что
1 * s
К ж 2 ф*'"8 ^ 2 П
/Р
т v=l
или, если вспомнить определение D.9), что
Геометрический смысл Фг1""**(?). Легко видеть, что
фг1--г8 B) зависит только от проекций сетки 2 на грань
Kiv..i ¦ В самом деле, про-
проекция Ру. на Kiv_.ig — это
точка с координатами
A,..., 1, X^i^ 1,..., 1, 3?y.-is,
1,..., 1), а в D.32) входят
только х^...,х^&.
Если заданы числа
тх, ... , ms, тотем самым
задано разбиение грани
K^.-.i^ на всевозможные
двоичные параллелепипеды
вида lmiil х ... X lmsjs, где
l<7v < 2™v х (на рис. 4.3
изображена двумерная грань Кп и разбиение, со-
соответствующее значениям тх — 3, т2 = 2). Рас-
Рассмотрим один из параллелепипедов этого разбиения,
обозначив его для краткости буквой Щ = Z^X ... Х/>,- .
Перенесем начало координат в центр Щ и новые коор-
Рис. 4.3.

146
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
[ГЛ. 4
динаты обозначим |iv = xiv — (/» — х/аJ (m" 1}, 1 < v
Из рис. 4.4 ясно, что в Щ при %^Ф О
s.
D.34)
После такого переноса параллелепипед Щ разобьется
на 2s «многомерных октантов» (или «квадрантов»). Обо-
Обозначим через Ffc совокупность всех положительных октан-
октантов, в которых произведение g^ ... ?ig ^> 0, а через F? —
совокупность всех отрицательных октантов, в которых
У
1
о
-1
-
2т~т
о
Рис. 4.4.
Рис. 4.5.
5h-..Si,<0 (рис. 4.5). Заметим, что объемы Vt я V
равны 0,5 |17*|, где |П*| - объем П*. "
Если проекция (й:,,^,..., ^^еП», то согласно D.34)
атИв)
П, то эта величина рав-
равЕсли при этом
на (-1)=; если же (ху.и,..., хм$) е FJ, то эта величина
равна (—l)8*1 и имеет противоположный знак. Наконец
х)фП то sgn [% () (I 0'
ро
если (хИ1, ..., х^)фПк, то sgn [%kl (x^h) ... х*в(*мвI= 0.'
Обозначим через S%~is(V) число точек сетки 2
проекции которых на К^...и принадлежат F. Предыду-
ПОГРЕШНОСТЬ ЙА КЛАССАХ S« И
44?
щие рассуждения показывают, что
= I •&•¦'• (П) -
A=0
Следовательно, эта величина в каком-то смысле характе-
характеризует неравномерность расположения проекций сетки
2 в параллелепипеде Щс1г1...г8. А сумма
Vi
характеризует неравномерность расположения проекций
сетки на грани Ku...is по отношению к заданному раз-
разбиению G%, ..., ms) этой грани.
Наконец,
= sup
™1 ms
—- это наибольшая неравномерность расположения проек-
проекций сетки 2 на грани К^,,л при всевозможных разбиениях
(mlt ..., ms) этой грани.
Геометрическое определение D.35) позволяет исследо-
исследовать ряд свойств функций <Dq"*s B), вполне аналогичных
свойствам фдB) из гл. 2.
Лемма 4. Иакова бы ни была сетка 2, существует
хотя бы одно разбиение т = (ть ..., ms) грани К\г...^та-
К\г...^такое, что
л i
/v, 1
(напомним, что к = (кг, ..., ks); /cv = 2mv"x
Для доказательства леммы выберем число М столь
большим, чтобы во всех разбиениях (тъ ..., ms) грани

148
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
ttii. 4
Ku...is, удовлетворяющих условию тх + ••• + ma — Mt
все Пл были либо «пустыми», либо содержали одну
проекцию точек сетки (конечно, возможно, что эта проек-
проекция отвечает нескольким точкам сетки и должна счи-
считаться кратной, но геометрически это одна точка на
Kit, as) *)¦ Для каждого из таких П*
и поэтому для каждого из таких разбиений
W2l^№f1/a. D.36)
1 i J
Легко видеть, что для всех более мелких разбиений,
когда m[-\-...Jrm's = М' ^> М, сумма D.36) останется
такой же. В самом деле, каждый Пк составлен из некоторо-
некоторого числа более мелких Щ<. Если Щ был пуст, то все эти
Щ' окажутся пустыми. Если же SN (Щ) ф 0, то только
один среди всех Щ- будет содержать эту же проекцию и
для него SlN (Пк') = SN (Щ), в то время как все остальные
Пл' будут пустыми.
Итак, верхнюю грань в формуле D.35) или D.32) мощ-
мощно брать фактически по конечному числу разбиений та-
таких, что тх + ...+ ms <^ M, откуда следует утверждение
леммы.
Погрешность формулы D.29) на классах 8Р (А^.л ).
Теорема. 3. Какова бы ни была сетка 2 — {Ро,...
...,PN^i}, погрешность квадратурной формулы f4.29) на
классе функций Sp (А^шЛ ) равна
Я = ж2Аь.-л,<Ья"А*т* D-37)
где (ifp) + (l/q) = 1.
*) Одна из возможных процедур выбора М такова: рассмотрим
проекции точек сетки на ось Ох. ; выберем Mv столь большим, чтобы
в каждом из отрезков lM j на оси Ох. лежала не более чем одна ко-
координата х ^ (не считая совпадающих); проделав то же с каждой
из осей 1 ^ v < s, положим М = Мх + ... -J- Ms.
§ 23
НА КЛАССАХ Sp Й
Доказательство, Из D.10) и D.33) видно, что
для любой функции / (Р) EF- Sp (Aiu..i ) ошибка D.30) не
Превосходит правой части D.37). Остается доказать, что
существует функция g (P) ЕЕ Sp (А1и-Л ) такая, что
D.38)
На грани Ki л фиксируем разбиение (тх, ..., ms),
удовлетворяющее требованиям леммы 4, и обозначим
JV—1
Тогда по определению D.32)
D.39)
Рассмотрим конечную сумму Хаара, содержащую толь-
только функции из выделенных групп т1? ..., ms:
Iе
Абсолютные величины коэффициентов Фурье — Хаара
этой функции |сл | = \В} I?, если (il5 ..., i3) — отмечен-
отмеченные индексы и kv принадлежат выделенным группам
т./, в противном случае Ск — 0. Поэтому по формуле D.9)
нетрудно вычислить, что
а по формуле D.31)
N-1
T=l
V=l

ISo
оценка погрешностей
trj'i. 4
Последнее соотношение вместе с D.39) и D.40) показы-
показывает, что
Выберем теперь функцию
Легко проверить, что для этой функции выполняется ра-
равенство D.38) и в то же время Ари--Л* (g) = А{ is при лю-
любых in-.., is. Таким образом, теорема 3 полностью доказана.
О наилучших сетках на классах 8Р (Д*,...^).
Лемма 5. Для любой сетки 2 = {Ро, Рг,..., Pn-i}
/. D.41)
Доказательство. Некоторые из проекций
точек Рц. на Ku...ls могут совпадать. Обозначим Qn,...
...jQnj-i все различные проекции (iVj ^ Л"), и пусть п^ —
кратность Qp, так что щ -f щ +...-|-и№._1 =N.
Рассмотрим разбиение т грани К^..^ , удовлетво-
удовлетворяющее требованиям леммы 4 (иначе говоря, одно из
наименьших существенных разбиений грани). Так как
каждая из точек Q^ принадлежит одному и только од-
одному из параллелепипедов Щ этого разбиения, то из
D.36) следует, что
^ другой стороны, при любом разбиении т для лю-
ООГО lift
так что
= N.
§ 2]
ПОГРЕШНОСТЬ НА КЛАССАХ Sp И На
151
Верхняя оценка D.41) реализуется, например, в слу-
случае, когда Ро —P-i = ... = Pn-x, так как тогда при лю-
любом разбиении т все Щ будут пустыми и только в одном
из них (Щ') будет лежать одна iV-кратная точка, так что
\Sn (V+k>) - S'N (Ffc<) | = JV.
Нижняя оценка D.41) также точная. Она реализует-
реализуется, например, в случае, когда N — Ms и проекции точек
Ро, Pi,..., Pn-i на Ktl...is образуют равномерную сет-
сетку, состоящую из точек с координатами
( Г+
где г1}..., га пробегают независимо друг от друга значе-
значения 0, 1,..., М — 1, а числа р\ фиксированы: 0 <J Pv <^ 1.
В § 1 гл. 5 доказано, что для такой сетки Фдь"г* = N
(см. ниже E.4) ).
До сих пор все результаты, полученные в гл. 2 для
одномерных квадратурных формул на классах Sp (A),
хорошо обобщались на л-мерные квадратурные формулы
на классах Sp (Лг1,...ц). В этом месте, однако, появляется
существенное различие: неравенства B.32) позволили
легко построить наилучшие формулы, для которых ф? =
= Nlff?, а неравенства D.41), представляющие собой пря-
прямое обобщение B.32), не позволяют этого сделать. Ибо
при п !> 2, по-видимому, не существует такой сетки 2,
у которой Ф1*—11* (S) = NVi одновременно для
всех возможных наборов ?1:..., is (это утверждение до-
доказано лишь при q = тс). И это затрудняет нахождение
наилучших сеток интегрирования.
Ниже в гл. 6 построены семейства сеток, для которых
* CN~ltq при любых *!
й
(S)
is. Очевидно,
<Dg (S) < CN при л !,, s
такие сетки обеспечивают] наилучший возможный поря-
порядок сходимости' квадратур R s= О (JV~1/p) на" классах
)
Неравномерности. Числа Ф^' * B)
зывать неравномерностями сетки 2 на
В соответствии с D.35)
мы будем на-
награнях Kiu г .
B) = sup|61;v
S*N (V~k)!, D.42)

152
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
[ГЛ. 4
где верхняя грань берется по всем двоичным параллеле-
параллелепипедам Пи (иначе говоря, и по всем разбиениям т, и по
всем параллелепипедам каждого разбиения /).
Из вспомогательного неравенства (9.3) (стр. 279) вид-
видно, что если 1 <С q < q' <С то, то
Очевидно,
^ s
D.43)
B) может принимать только целочи-
целочисленные значения и 1< ФоГ s B) <^N.
Лемма 6. Для любой сетки 2 при любых tl5..., is
справедливы неравенства
ЛП/^*/ D.44)
Доказательство. Очевидно,
(^),
откуда сразу вытекает D.44).
Оценка погрешности на классах На (?*,... j )• Пусть
f(P)EEHa(Lu...is). Тогда f(P)GESv(Au...tJ при р>
^> 1/а и по теореме 1 ряд D.6) сходится абсолютно и рав-
равномерно. Обозначим разноразмерные слагаемые в D.6)
через /'-*« (Р):
Так как функционал D.30) линейный, то
(/*'-Н D.45)
Рассмотрим отдельно функцию /ii---1's. Если р^>1/а, то
/*'•••¦** S^p(^4{'.. .i'), где все ^'...г' (/), за исключением одно-
одного ^ii;..
реме 3
= Ар"л$(/), равны нулю. По тео-
теоI 2] ПОГРЕШНОСТЬ НА КЛАССАХ Sp и Иа
Воспользуемся оценками леммы 6 и теоремы 2:
153
Последнее неравенство справедливо при любом р ^> 1/а.
Будем считать, что N достаточно велико (N ^> eSj/a), и
выберем р так, чтобы 1/р — a — (s/ln iV). Тогда
a_ 21/p = 2a [1 —
= Bas/log2
?"*в/ iV)a.
Подставив эти выражения в последнее неравенство, по-
получим оценку
(В, log2
где
Bs = [e/Bi«s)] [1+0 (ln-i N)].
D.46)
Наконец, используя D.45), выведем окончательную оцен-
оценку и сформулируем доказанную теорему.
Теорема 4. Какова бы ни была сетка 2 =
= {Р0,..., Pjv_i}, для погрешности квадратурной формулы
D.29) на классе функций Н* (Lu..a ) справедлива оценка
Я< 2^..л, (Ф^л°/Щ*(В31оЕ^у, D.47)
где Bs-+e/Bi+a s), когда N->~ оо.
Замечание. При п = 1 из D.47) вытекает B.29),
-где, как мы видели, отбросить log2 N нельзя.
Квадратурные формулы с неравными весами. Точно так
же, как это было сделано в гл. 2 для случая одной пере-
переменной, можно вместо квадратурной формулы D.29) рас-
рассмотреть формулу D.1). Вместо D.37) получим для по-
погрешности формулы D.1) на классе Sp (Aiu,.is) выражение
д = 2 а...^-а.
а функции Tq'"s зависят и от Ро, ..., Pn-i, и от ^о» •••
• .., CN_X. Явное выражение для Тд'"г* вполне аналогич-

154
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
[ГЛ. 4
».
но формуле D.35) для
П-л°= sup { 2
где a''-Л (V) — сумма весов, соответствующих тем узлам,
проекции которых на К^, л принадлежат V.
Из вспомогательного неравенства (9.4) (сто. 280) не-
нетрудно вывести оценку снизу: для любой формулы D.1)
.JV—1
н-=о
совпадающую с нижней границей для Og'r"'s/JV. Отсюда
следует, что применение более общих квадратурных фор-
формул вида D.1) не может улучшить порядка сходимости
квадратур на Sp (Aiv,,i).
Понятно теперь, почему мы ограничились рассмотре-
рассмотрением формул вида D.29) с равными весами: их исследова-
исследование аналитически проще и в то же время позволяет по-
построить сетки, реализующие этот наилучший порядок схо-
сходимости R = О (N-Vv). К тому же для практического
применения формулы с равными весами значительно удоб-
удобнее, особенно при больших N.
§ 3. Величины фд (?) в n-мерном случае
Определение. Рассмотрим произвольную сет-
сетку 2 = {Ро, ..., Pw_i} в Кп. Назовем <ра B) наибольшую
среди всех ф**""** B):
= max Ф*«-Ц2) , D.48)
где максимум берется по всем системам отмеченных ин-
индексов 1 < ix < ц < ... < is < n, s = 1, 2, ..., п.
Погрешность формулы D.29) на линейных простран-
пространствах Sp и На. Рассмотрим разность D.30) на простран-
пространстве Sp. Из теоремы 3 и формул D.26) и D.48) следует, что
J
§ 3]
ВЕЛИЧИНЫ Ф„B) В п-МЕРНОМ СЛУЧАЕ
155
если / (Р)
Sp, то
1Г Фа
Нетрудно доказать, что оценка эта точная. В самом де-
деле, как показывает D.48), можно найти такую грань Кг i
что фд B) = Oli'xs B). Затем так же, как при дока-
доказательстве теоремы 3, можно построить функцию g (P), для
которой все At'p1'"'l's (g) = 0, за исключением А^'* (^),идля
которой справедливо равенство D.38). Так как в этом слу-
случае \\g
\s --¦ All"'%* (g), то из D.38) вытекает равенство
Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема 3'. Какова бы ни была сетка 2 = {Ро,...
...,Pjv-i}, норма функционала D.30) на пространстве Sp
равна
Пусть теперь / (Р)&На. Выберем для / (Р) наименьшие
возможные определяющие постоянные Zir..i (см. стр. 143)
и воспользуемся теоремой 4. Получим неравенство
где В3 определяется формулой D.46).
Главный член в сумме, стоящей справа,— это член
с s = п. Поэтому оценку || б || на пространстве На можно
записать так:
Теорема 4'. Какова бы ни била сетка 2 = {Ро, ...
..., Pjv-i}, норма функционала D.30) на пространстве Нх
п log2 N)n,
D.50)
где Вп
при N

156
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
[ГЛ. 4
Некоторые свойства <ра (Е). Следующие свойства выте-
вытекают непосредственно из определения D.48) и соответст-
соответствующих свойств фгг-\ B).
1°. Я
Vq
Ф<2B)= max sup ! У. \ S*N (Vl) - S*N (Vi) \*\
2°. Существует хотя бы одна такая грань Кг ...{ и
хотя бы одно разбиение т этой грани такое, что
n (Vt) - «& (Fi) |«}1/e.
3°. Для любой сетки 2, состоящей из iV точек,
<^, D.51)
однако при и > 2 оценка D.51) снизу не является точной*).
4°. Для любой сетки 2, состоящей из N точек,
Ф9 B) < т'1 [фоо B)]^, D.52)
где фх, B) принимает только целочисленные значения:
Фес B) = max sup | S% (F*) - S% (VJ.) \.
к
г к
Величину <рто B) мы будем называть неравномерностью
сетки 2.
*) В то же время неравенство D.51) нельзя заменить неравен-
неравенством
какова бы ни была постоянная г > 0.
В самом деле, в гл. 6 построены сетки (названные Пт-сет-
ками) со сколь угодно большим числом точек N = 2V, для которых
фю ^ 2"+х. Постоянная t от N не зависит. Для таких сеток соглас-
согласно D.52)
будет
Если выбрать д достаточно близким к 1, то р = A
сколь угодно большим и 2(п+т)/р <1 + е.
§ 3]
ВЕЛИЧИНЫ Ф-B) В п-МЕРНОМ СЛУЧАЕ
157
5°. Если 1
<oo, то
B)
B).
D.53)
Назовем сетку 2 = {Ро, ..., Р^-х} сеткой общего поло-
положения, если проекции всех Р^ на каждую из координат-
координатных осей различны: х^\ =j= x^ при \i =j= v.
6°. Для любой сетки 2 можно указать натуральные
числа Мг, ..., Мп такие, что при любом сдвиге узлов Р^,
если только все координаты x^s останутся в тех же двоич-
двоичных отрезках 1м ., значение ф0 B) не увеличится; если
2 — сетка общего положения, то значение фд B) не из-
изменится.
Для доказательства этих утверждений можно исполь-
использовать такие же рассуждения, как при доказательстве
леммы 4. Находим наименьшие существенные разбиения
и соответствующие им Щ; значения Sjv (Vk) для более
крупных Ilk от наших сдвигов не изменятся, а для более
мелких Щ разность [ 5jv (V^) — 5/v (Vk) \ может только
уменьшиться, если раздвинутся совпадающие проекции.
В случае сетки общего положения уменьшение этой вели-
величины тоже невозможно.
Доказанное свойство можно назвать устойчивостью
Фз B). Из него, в частности, вытекает, что наилучшие сет-
сетки можно искать среди сеток, у которых координаты всех
точек двоично рациональны.
О плоских сетках (п = 2). Выше упоминалось, что при
п > 2, по-видимому, нет таких сеток, для которых
фд B) = Nllq. Чтобы доказать это утверждение, доста-
достаточно доказать, что таких сеток нет при п — 2. Мы дока-
докажем это для случая q — оо.
Теорема 5. Для любой сетки 2 в квадрате Кг
с числом точек N > 2
ФМB)>2. D.54)
Доказательство. Во-первых, рассмотрим слу-
случай, когда среди точек сетки найдутся Nx > 2 точек с оди-
одинаковыми абсциссами (случай одинаковых ординат рас-
рассматривается так же). Выберем двоичный прямоугольник
вида lmj X [0, 1] так, чтобы он не содержал никаких точек

158
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
[гл. 4
сетки, кроме упомянутых Лгх точек (рис. 4,6). Рассмотрим
проекции сетки на ось Охх. В отрезок 1т,- попадут только
JVj. совпадающих проекций, так что | Sjj (lmj) — SXN (lmj) \ =
= Nt>2. Но тогда Ф^ B) > 2 и Фсо B) > 2.
Рассмотрим теперь сетку общего положения. Выделим
последовательность двоичных разбиений типа (т, 1) (то
О
®
®
®
T
I
1
i
Ф
1
Ф
r
®
®
®
®
®
\
7 X,
О
Рис. 4.7.
есть состоящих из прямоугольников lmj x [0, 1],
1<;/-^ 2m-1) при m = 1,2, ... При всех достаточно боль-
больших m каждый прямоугольник такого разбиения либо
пуст, либо содержит одну точку сетки. Обозначим через
тпх + 1 наименьшее т, обладающее таким свойством.
Тогда хотя бы один из прямоугольников разбиения (т^ 1)
должен содержать две точки (рис. 4.7). Более того, из этих
двух точек одна лежит в левой, а другая — в правой
половине Imijf
Рассмотрим двоичные прямоугольники типа /те,,лХ/т7-
и выберем среди них наименьший TIklhs, содержащий обе
точки. Очевидно (рис. 4.7) обе точки окажутся в одно-
одноименных квадрантах Ilklhs, так что \S™ (F?lft2) — S™ (FfcA) | =
= 2.Но тогда Ф^ B) > 2 и фю B) > 2.
Пример 1. Выберем сетку, состоящую из 7V = 13 точек
с координатами я: t = fx/13, x = 8f.i/13 (modi), 0< ц^12. Она по-
построена на рис. 4.8. Здесь же нанесены прямые хг = 8^ (mod 1).
на которых все эти точки расположены, и прямые хх = /х/8 и
3]
ВЕЛИЧИНЫ ф B) В п-МЕРНОМ СЛУЧАЕ 159
х2 = у2/8, позволяющие без труда рассмотреть все существенные
для подсчета фд двоичные разбиения. Очевидно, <t>J = lBl^q
Значение Ф^2 определяется двумя разбиениями: типа A, 2)
и типа D,1). В разбиении A, 2) всего два прямоугольника:
1 Ху
•
к
•
•
1
•
•
О
1 х-,
Рис. 4.8.
Рис. 4.9.
Пм= [О, 1]Х[О, 1/2) и П21= [О, 1]Х[Ш, 1]. Для этого разбиения
I S* (V+) - S% iy~) |« + | S™ (V+) - S™ [V-)\* = W + 24.
В разбиении D, 1) всего 8 прямоугольников IL« = 1^ X [0, 1];
для этого разбиения
¦8
2 I SlN (FO)) - SN &0)) I3 = 5.2« + 3.
3 = 1
Неравномерности по всем другим разбиениям меньше, чем по этим
двум разбиениям. Поэтому
= max
ЩУЦ.
А так как 5-29 + 3 > 13 при q > 1, то фч = Ф^2.
При всех достаточно больших q (начиная с q = 3,570) величина
ф9 = C9 -|- 2q)l/q, откуда следует, что ф^ = 3. Впрочем, в этом лег-
легко убедиться, рассмотрев прямоугольник П23 = [0, 1] X [0, 1/2),
для которого |?]|(Р+)-?#га| = 3.
Пример 2. Выберем сетку, состоящую из N = 13 точек
с координатами х^х = р (fi), х^2 = q {\i), 0 < \i < 12 (см. таблицу

160
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
Г Гл. 4
на стр. 127). Эта сетка построена на рис. 4.9, на котором нанесены
также прямые хх = jJB и х2 = ;'2/8, позволяющие рассмотреть все
существенные для подсчета <р„ двоичные разбиения. И в этом при-
мере Ф* = Ф| =
При оценке Ф*3 оказывается, что четыре разбиения — (lt4),
B, 3), C, 2) и D, 1) — дают одинаковый результат:
Следовательно, в этом примере ц>д ~ E-29 -f ЗI''9 и ср^ = 2.
О
а
к
1
•
9
•
3
/
1
,ъ, О
•
1
Рис. 4.10.
Пример 3. Выберем сетку, состоящую из N — 8 точек с
координатами ж = ji/JV, ж = р (р.), О <^ ц ^ 7, изображенную
на рис. 4.10, а. Легко проверить, что для этой сетки Ф^ = Ф2 =
- 81Jq, Ф™ = 2-41/9, так что q>5 = 2-41/g.
Изменим теперь положение точек в правой половине квадрата
и рассмотрим сетку, изображенную на рис. 4.10, б. Значения Ф^
и Ф2, стали хуже: ф? = Ф2, = B-23 + 4)х/9. Однако значение ф?2
улучшилось: Ф^2 = B-2« -f- 4I/g (см. разбиение типа B.3)). Зна-
Значит, цд= B-2<г + 4I/9 < 2-41/9.
В этом примере улучшение ф3 при g <^ оо достигнуто ценой
некоторого ухудшения одномерных проекций.
По отношению к сетке, изображенной на рис. 4.10, а, «худшая»,
функция — это g(xltxt)~
Для этои
h,
§ 3l
ВЕЛИЧИНЫ q>9<2) В n-МЁРНОМ СЛУЧАВ
161
функции |] g ||s = 2-41/p, а погрешность ее
По отношению к сетке рис. 4.10, б «худшая» функция другая:
4
g (xi, ъ) = 2
3=1
Для нее
= 23/
= 23/г D+
, а погрешность ее
7
Из этого примера видно, что минимизировать <фд при д<оо не
так-то просто.
Неравномерность и отклонение. Рассмотрим произволь-
произвольную сетку 2, состоящую из N точек куба К71. Пусть
х3.
1
/
хз,
&-
\п
>
/
I
\Х2
/1 х2
Рис. 4.11.
»Sjv (^i, ¦¦¦,хп) — число точек сетки, принадлежащих па-
параллелепипеду [0, х^х ... хЮ, хп) (если xs = 1, то вместо
[0, xs) берем [0, 1]) (рис. 4.11). Отклонением сетки 2
6 И. М. Соболь

162
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
[ГЛ. 4
называется величина
ЯB)= sup
to, ...,xn)~Nx1...xn\. D.55)
Лемма 7. Для любой сотгкгг 2 в Кп
Фоо B) < AnD B).
D.56)
Доказательство. Произвольный параллеле-
параллелепипед И с ребрами, параллельными координатным осям,
можно представить в виде алгебраической суммы 2п парал-
параллелепипедов типа [0, хг) X ... X [0, хп); например, на рис.
4.12 (где и = 2)
ABCD = OB1CD2 - ОВхВАъ — ОАфВ^ + OAtAA2.
Объем П можно записать в виде такой же алгебраической
суммы объемов этих 2п параллелепипедов; на рис. 4.12
VABCD = VoBiCDz-— VoBiBAz—
Поэтому для любого П
SN (П) - N |П| = 2 ISn (ВД - N | П
0)
где каждый П (/) — это параллелепипед типа [0, хг)Х...
... X [0,хп). Отсюда следует, что SN (П) = N | П | +г],
где | ч |< 2Л Д B).
Последняя оценка справедлива для каждого из 2п
октантов заданного двоичного параллелепипеда Щ.
Значит,
откуда
Мы доказали, таким образом, что Ф<^""иB) ^ 4nD B).
Точно таким же образом можно рассмотреть проекцию
сетки на грань A'j,...,fi и доказать, что Ф^Лг B) ^ 4S?)B).
А так как s ^ п, то тем самым лемма доказана.
§3]
ВЕЛИЧИНЫ Ф„ (S) В п-МЕРНОМ СЛУЧАЕ
163
Критерии равномерного распределения (p.p.). Мы огра-
ограничимся формулировками трех теорем, представляющих
собой обобщение теорем 1—3 из гл. 3 (ссылки на литера-
литературу см. там же).
Рассмотрим произвольную последовательность точек
Ро, Рх, ..., Pp., ... в Кп. Обозначим 2W начальный участок
этой последовательности: 2дг = {Ро, Рг, ..., i-V-i}- Пусть
SN (П) — число точек участка 2Я, принадлежащих П.
Определение. Последовательность {Р^} назы-
называется р. р. в К"', если для любого П (с ребрами, парал-
параллельными координатным осям)
Теорема 6. Если {Ру.} Р- Р-, то для любой инте-
интегрируемой по Риману функции f (P)
4 *-*
lira -дГ 2
JY-»co
=$ f(P)dP\
D.57)
Kn
если соотношение D.57) справедливо для любой интегри-
интегрируемой по Риману функции f (Р), то {Р^.} р- р.
Теорема 7. Для того чтобы {Pv.} была р. р., не-
необходимо и достаточно, чтобы
D B*) = о
Теорема 8. Если {Р^}р. р., то при всех 1 <.q <^oo
) = о (N); D.58)
если D.58) справедливо при каком-либо q, то {Pv.} p- р-
Заметим, что из соответствующего результата, приве-
приведенного в гл. 3, следует, что для любой последовательности
lira sup D Bjy) = oo. Однако в гл. 6 построены такие
N-+OO
последовательности, для которых ф^ Bjy) = О A).

Глава 5
Оценки погрешности для различных сеток
В этой главе получены оценки погрешности квадра-
квадратурной формулы
\f{P)dP^±-2 /W E.1)
кп v-=o
на пространствах функций Sp и На для различных типов
сеток. Равномерные сетки, рассмотренные в § 1, оказались
плохими сетками при больших п. Зато все остальные сетки,
изученные в §§ 2 и 3, обеспе-
обеспечивают почти наилучшие по-
порядки сходимости формулы
E.1).
О
в
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
§ 1. Равномерные сетки
Равномерной сеткой 2 0
мы называем сетку, состоя-
состоящую из N = Мп точек с ко-
координатами
Рис. 5.1.
М
»п+Эп\
М У
где r-i, ••-, гп пробегают независимо друг от друга все це-
целые значения от 0 до М — 1 включительно; величины j3v
фиксированы: 0 ^ ри<1.На рис. 5.1 изображена равно-
равномерная сетка на квадрате К2 с М = 4, Pi = р2 = Va«
ill
РАВНОМЕРНЫЕ СЕТКИ
165
Вычисление неравномерностей сетки 20. Выберем
какое-нибудь разбиение (тг, ..., ms) грани К^..^ . Так
как для сетки 20
JV—1
М—1
м
M—\
то
N—1
5 Н-='
2 | 2 sgnbv
M
1/9
Взяв верхнюю грань по всевозможным разбиениям
(mi, ..-, О, получим
М-1
1/9
Нетрудно заметить, что стоящие справа после знака П
величины"- это значения Ф для одномерных равномерных
сеток, состоящих из М точек ^ = (rlv + рд ля ,
О < г- < М - 1 (см., например, рис. 2.7 на стр. 79).
Ви.2 доказано, что для таких сеток щ = №*. Поэтому

166 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЕТОК [ГЛ. 5
Таким образом, нами доказан следующий результат:
Теорема 1. Для любой равномерной сетки 2„,
состоящей из N точек в Кп, имеют место равенства
'(So)
E.2)
Следствие 1. Для любой равномерной сетки 20,
состоящей из N точек в К™, имеет место равенство
I = /V Vn
E.3)
Следствие 2. Для любой равномерной сетки 20,
состоящей из N точек в Кп, имеет место равенство
Ф$-п &й) = NVq. E.4)
Сравнивая E.3) с D.51), мы видим, что равномерные
сетки при п = 1 являются наилучшими сетками (ф9 =
— NVq), но с увеличением п приближаются к наихуд-
наихудшим (фв = N). Этот результат легко объяснить. Если
в качестве частного случая подинтегральной функции
/ (Р) выбрать функцию от одной переменной, скажем
f (ху), то из общего числа N = Мп узлов сетки 20 подав-
подавляющее большинство (Мп — М узлов) «пропадает зря»:
фактически интеграл от / (хг) вычисляется лишь по М
различным точкам. Произвольная функция / (Р), вообще
говоря, содержит одномерные слагаемые (см. D.6)), и
поэтому интеграл от нее при большом п также плохо вы-
вычисляется по сетке 20-
Хуже всего по сетке 2 0 интегрируются одномерные сла-
слагаемые в D.6). А вот «существенно n-мерная» часть
fii...n (p)? как показывает формула E.4), интегрируется
по сетке 20 наилучшим образом. Если бы мы могли эффек-
эффективно разложить / (Р) на разноразмерные слагаемые, то
каждое fli-'As можно было бы проинтегрировать наилуч-
наилучшим образом по равномерной сетке в К{ i . К сожале-
шло, разложение D.6) нельзя осуществить, не зная
РАВНОМЕРНЫЕ СЕТКИ
167
Теорема 1 подсказывает в общих чертах, как надо из-
изменить сетку 2 0, чтобы она стала лучше: надо «немного
подвигать» все узлы так, чтобы сетка по возможности со-
сохранила значение ф?2""™, но
чтобы все точки имели раз-
различные проекции на все ко-
координатные оси и чтобы про-
проекции на всех гранях K,mii ^
были (по возможности) рав-
равномерно расположены (рис.
5.2).
Неудивительно, что почти
все случайные сетки в Кп
лучше, чем равномерные сет- п .
ки при больших п, так как . ;
для случайных сеток «про- р ,. „
падание узлов» практически
мало вероятно.
Из E.3) и D.49) вытекает, что норма функционала D.30)
на пространстве Sp в случае сетки интегрирования 2 „ есть
|| б || = JV-^p".
Порядок сходимости равномерных сеток на простран-
пространствах На. Из D.47) и E.2) сразу следует оценка погрешно-
погрешности формулы E.1) на классах функций На (Li ,д ):
¦
•
•
•
1
•
•
•
•
•
•
6
E.5)
где Bs определена формулой D.46). При п = 1 E,5) пере-
переходит в оценку B.30).
Выберем для / (Р) из На наименьшие определяющие
постоянные Li i (чтобы |j / ||я = max Lj $). Главными
V-Л s
членами в E.5) при N —>- оо являются члены, соответ-
соответствующие s = 1. Выделяя их, запишем
(множитель 1 + О (N~a^n) можно включить в Вх). Отсюда
следует, что норма функционала D.30) на пространстве

16S ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЕТОК [ГЛ. 5
На в случае сетки интегрирования 2 0 есть
\\ 6 \\ = О (N-*f*ln N). E.6)
Порядок оценки E.6) почти точный: он лучше, чем
jy-(a/n)+e с любым е > О, а в действительности || б || =
= О (#-«/»).
Чтобы доказать последнее утверждение, разделим Кп на N
равных кубов с ребром ИМ, изображенных на рис. 5.1. Каждому
из маленьких кубов принадлежит одна точка сетки So. Рассмотрим
один такой куб KQ и его точку Р :
**¦• =
p
. _( Г1+Р1 rn+Pn ^
"¦ \ AT '-' M )•
Легко видеть, что ошибка D.30) равна
у. =0-^01).
Воспользуемся леммой 1 гл. 4:
где li = хг — (г4 + pj) М-1. Так как / (Р) е Я«, то
к
01».
f
v=l
dx.
¦it-
Последние интегралы легко вычисляются:
г+1 1
ы
м
X —
М
м
РАВНОМЕРНЫЕ СЕТКИ
169
Значит,
где через х. обозначены постоянные
EJ)
От номера выбранного куба Ко эта оценка не зависит. По-
Поэтому, складывая N таких оценок, получим
л as
is (/ж 2 4-i.«i1-xte^~v* E-8)
Оценка E.8) и есть требуемое уточнение оценки E.5). Из E.8)
следует, что на Яа порядок Ц б || = О (N'a^n).
Легко также доказать, что этот порядок точный. Положим
х = (а + I) 2~а, и пусть
g (Р) = fi (*i) + - + fn (%),
гце все /. (х.) ? Яа (L). Очевидно,
г=1и 0
Из теоремы 3 гл. 2 следует, что можно выбрать функции /. (х) типа
/ (х) так, чтобы каждая квадратная скобка была не меньше, чем
к!/М~а, и при этом sup{ | Д=/ (ж)| 1 ?| "а> = L. Тогда || g ||н = L
и б (я) > и и LN^ln.
Решетчатые сетки. Назовем решетчатой сетку, состоящую из
N = Мп точек с координатами (|1г , ..., Ъ,пТ ), где каждая вели-
величина \ir. принимает М различных значений |{0, \iv..., ?,, M-i
(рис. 5.3).
Легко доказать, что использование квадратурной формулы
D.1) с решетчатыми сетками и любыми весами не улучшает порядка
сходимости лг~а/п на пространстве На.
В самом деле, пусть
м—1
в(/)= \ f(P)dP
кг

170 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЕТОК [ГЛ. 5
где сумма всех С равна 1. Положим
М -1
м—1
так что J с;4 = 1. Снова выберем g (Р) = д {Xl) + _ + ^ (^}_
Тогда
м—\
И в этом случае теорема 3 гл. 2 позволяет выбрать функции /. (*)
Xg так, чтобы г
kL = l и б (К):
Для того чтобы вычислить
интеграл E.1), можно его рас-
рассматривать как повторный инте-
интеграл
к
Рис. 5.3.
О О
и по каждой переменной использовать какую-нибудь одномерную
квадратурную формулу вида УД одномерную
ДГ-1
формулам в ^ с ре-
rs=0
™ ^Х0ДИМОСТИ таких сеток на sp и Яв не лучше, чем
ж N а/п. Поэтому при п > 1 эти сетки надо считать плохими-
§ 2]
ПАРАЛЛЕЛЕШШЕДАЛЬНЫЕ СЕТКИ
171
В следующих параграфах указаны сетки, порядки сходимости ко-
которых на Sp и На лучше, чем лг(~1/р)+г и N~aJtB со сколь угодно
малым s ^> 0.
Наилуч-шие равномерные сетка. Среди равномерных сеток
20 наилучшими являются сетки с р\ = ... = |3П = 2/г (рис. 5.1):
при таких Pv значения xv минимальны. Если же рассматривать
более узкие классы функций, дифференцируемых по всем перемен-
переменным не менее двух раз [57, 106], то при р\ = ... = ри = Va даже
порядок сходимости равномерных сеток окажется улучшенным:
/ H
рд д р
р = TV-2/n (вмест0 р =
дЛЯ
l/2).
Конечно, при больших п такой порядок сходимости тоже плох.
Однако при п = 2 (и даже при п = 3) наилучшие сетки 20 часто
оказываются приемлемыми для практики, особенно если значения
N не очень велики и порядок сходимости еще не сказывается ре-
решающим образом. (Ср. численный пример на стр. 229, где при
N = 28 точность сетки 20 не уступает точности «хороших» сеток,
но становится значительно хуже при больших N.)
§ 2. Параллелепипеда льные сетки
Параллелепипедальные сетки были построены Н. М.
Коробовым [88] и независимо от него Э. X л а в-
к о й [114]. Исследованием различных свойств этих сеток
занимались многие авторы *). Результаты и литература
по этому вопросу приведены в [89].
Параллелепипедалъная сетка 2д состоит из точек Р^,
O^fA^AT — 1, с координатами
E.9)
TV
Л'
Число N ^> 3 простое. Числа al5 ..., an целые; {z} означает
дробную часть z.
Для того чтобы 2П представляла собой хорошую сетку
интегрирования (для квадратурной формулы E.1)), надо
в качестве аъ ..., ап выбрать так называемые оптимальные
коэффициенты (по модулю N). Справедлива следующая
теорема, которую мы приводим без доказательства:
*) В том числе К. И. Бабенко, Н. С. Бахвалов, О. В. Брушлин-
ская, Ван Юань, Я. М. Жилейкин, В. С. Рябенький, А. И. Салты-
Салтыков, С. А. Смоляк, И. М. Соболь, В. М. Солодов, Хуа Ло-ген,
Н. Н. Ченцов, И. Ф. Шарыгин, Ю. Н. Шахов.

172 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЕТОК [ГЛ. 5
Теорема 2 [89]. Существует такая постоянная
С = С (п), что для любой сетки 2п с оптимальными ко-
коэффициентами *)
D BП) < С \пп N.
E.10)
Из E.10) и D.56) вытекает, что для сеток 2д с опти-
оптимальными коэффициентами
9co(Sn)<JB1lnniV. . E.11)
Из теорем 3' и 4* гл. 4 сразу следует, что в случае сетки
интегрирования 2 S
а на На
п на S
6 |! =
6 || =O(N~alnawlN).
Так как наилучшие порядки сходимости на этих классах
функций не меньше, чем N-1/v и JV~a (даже в одномерном
случае), то порядки полученных оценок можно считать
почти наилучшими: они лучше, чем N-QJvb*- и JV~a+e
с любым е > 0.
Формула E.11) была впервые доказана в 1959 году
(см. [92]) без использования теоремы 2. При этом была
получена оценка константы Вх:
lim
; 2n B -f 8/nf.
На рис. 4.8 построена сетка 2п с оптимальными коэф-
коэффициентами, для которой фсо Bп) = 3. Этот пример по-
показывает, что значение фоо Bп) не обязано быть мини-
минимальным.
Некоторые особенности параллелегошедальных сеток.
Сетки 2д обладают большим преимуществом перед дру-
другими известными сетками в том случае, когда требуется
вычислять интегралы от гладких периодических функций.
Если рассматривается множество функций / (ху, ..., хп),
определенных при всех хх, ..., хп, с периодом 1 по каждой
*) Теорема относится к оптимальным коэффициентам, постро-
построенным в лемме 20 книги [89].
2]
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДАЛЬНЫЕ СЕТКИ
173
из переменных и непрерывными частными производными
вида
, где O<av<oc,
dxf1... dx^n
(то есть со всеми производными, содержащими не более
чем а дифференцирований по каждой из переменных), то
сетки 2д с оптимальными коэффициентами обеспечивают
оценку
| б (/) | = О {N-« ln«nN), E.12)
которая тем лучше, чем больше число производных а ^> 1.
Вследствие этого в некоторых случаях, когда подын- г
тегральная функция достаточно гладкая, но не перио- ('
дическая, может оказаться выгодным периодизировать »ч
ее (заменой переменных), а уже потом вычислять ин- }
теграл.
Неизвестно, обладают ли свойством E.12) какие-ни-
какие-нибудь другие из исследованных в настоящее время много-
многомерных сеток.
В таблице 5.1 приведены по два набора оптимальных
коэффициентов в трехмерном кубе (п = 3), соответствую-
соответствующих нескольким значениям N.
Таблица 5.1
JV
101
199
523
1069
2129
4001
а,
1
1
1
1
1
1
а%
40
30
78
136
359
722
85
104
331
323
1141
1154
N
101
199
523
1069
2129
4001
а,
1
1
1
1
1
1
48
73
114
338
937
1934
82
155
444
930
821
3422
Вычислять точки E.9) на ЭВМ очень легко. Основное
неудобство, связанное с применением параллелешшедаль-
ных сеток,— это зависимость al7 ..., ап от N.

174 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЕТОК [ГЛ. 5
§ 3. Сетки Хэммерсли и последовательности Холтона
В работах [79, 57] с помощью последовательности
{Р @} (см- гл- 2) были построены «хорошие» сетки в квад-
квадрате К2. Они состояли из N = 2т точек с координатами
xv-i =Р (М-)- xv& = V-W, 0 <; ц <¦ N — 1 (см. рис. 4.10, а).
Дж. Хэммерсли [111] предложил обобщить эту кон-
конструкцию на многомерный куб Кп с помощью последова-
последовательностей {pr (i)}, представляющих собой обобщение
{р (*)}• Он рекомендовал выбрать попарно простые числа
?\, ,.., гп„х и построить в Кп сетку 2#, состоящую из то-
точек Pp., 0 ^ ц ^ N — 1, с координатами
(РпО*),..., Pr^fahp/N). E.13)
Дж. Холтон [110] предложил выбрать п попарно про-
простых чисел гх, ..., гп, построить в Кп последовательность
точек Ро, Р[, ..., Рр, ... с координатами
K=(Prt(v),—, Prn(P)) E.14)
и в качестве сеток интегрирования 2* использовать на-
начальные участки этой последовательности Ро, ..., Р^^.
Для сеток 2д и 2* в [110] были получены оценки от-
отклонения fl, а в [94, 97, 113] — оценки погрешности на
некоторых классах функций.
Последовательности {рг (?)}. Фиксируем натуральное
число г > 2. Следующие три определения чисел рг (г)
эквивалентны.
Определение 1. Если в r-ичной системе
i = етет-х... elt то (снова в r-ичной системе) рТ (i) =
= 0, е^а ... ет.
Здесь все е^ — r-ичные цифры, то есть могут принимать
значения 0, 1, ..., г — 1, В десятичной системе
@ =
етг
Определение 2, рекуррентное по группам, со-
состоит из двух правил:
1°. рг @) = 0; Рг (г.) =
§ ;sj сетки хэммерсли и последовательности холтона 175
2°. Если
то
Pr (i - rs).
Рг @ = Рг
Определение 3, рекуррентное. Если в г-ичной
системе
Рг @ = 0,
то для получения pr (i + 1) необходимо найти наименьший
номер k такой, что ek <; г — 1; затем заменить ek на
1 + ek, а все цифры с меньшими номерами (если они есть)
заменить нулями; цифры с номерами, большими чем к,
остаются без изменения. Значение рг @) = 0 задано.
Правило вычисления рГ (i + 1) по pr (i) может быть
записано в виде формулы:
рг (* + 1) = Рг @ + г-<*-» + г"* - 1.
Сравнивая приведенные определения с определениями
{р (i)} из гл. 2, легко обнаружить, что р (i) = p2 (i).
Доказательство эквивалентности этих трех определений
вполне аналогично доказательству из гл. 2 для случая
г = 2. Поэтому мы его не приводим.
Пример.
i
1 троичное
Рз У1 /троичное
0
0
0
0
1
1
0,1
V»
2
2
0,2
а/з
3
10
0,01
4
11
0,11
V.
5
12
0,21
79
6
20
0,02
7
21
0,12
8
22
0,22
8А
...
На рис. 5.4 приведена блок-схема программы для неза-
независимого вычисления любого значения pr (i) по опреде-
определению 1, а на рис. 5.5 — блок-схема рекуррентного вы-
вычисления pr (i) по pr (i — 1) (см. определение 3). В обоих

176 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЕТОК [ГЛ. 5
случаях предполагаются известными числа г и 1/г (е —
произвольное малое положительное число, нужное только
Полагаем: z=1, v=l, tp=O
^ гнт=A/гJ„
vms=W[A/r)vcr+e] |
a=vCT-rvH0S
1
<Pme=fcT+a2me
\
vMm=0?
Hem\
Да
Pr(i)=<Pim
j s-i-prfi-i) J
i
| ?>n? \
Hem,
\vd=0/rOJcr\
|
| pra)=(r+Vq~S |
Рис. 5.4.
Рис. 5.5
в таких ЭВМ, в которых целое число может оказаться запи-
записанным в виде «бесконечной» периодической дроби).
Оценка отклонения сетки 2*.
Теорема 3. Рассмотрим сетку 2* = {Р* , ..., Pn-i}-
Отклонение такой сетки
8=1
E.15)
где
= (г8 —
rs,
ys = 2rs —
0S (8 )/ rs, ys 2rs 1.
Доказательство [110].1. Выберем произволь-
произвольное иррациональное число х из [0, 1], так что в г-ичной
системе х = 0, aoaj. ... ат... и как угодно далеко найдут-
найдутся ат =/= 0. (Напоминаем, что все ат — это r-ичные циф-
цифры: 0, 1, ..., г— 1.) Мы хотим найти все такие fi, что рГ
(Ц) < X.
Рассмотрим натуральные числа т = 1, 2, ... Каждому
т поставим в соответствие числа рт = bm_iam_2 ••- %#о>
где Ът~\ принимает значения 0, 1, ..., ат„г — 1. Очевидно,
§ 3] СЕТКИ ХЭММЕРСЛИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ХОЛТОНА J77
количество таких рт — назовем их допустимыми —
равно fflm_x. (Если am_i = 0, то число допустимых рт равно
нулю.)
Рассмотрим теперь сравнение
= Рт (mod rm).
E.16)
Если ц удовлетворяет E.16) , то в r-ичной системе оно за-
запишется в виде
тогда согласно определению
Рг (у) = 0. aoa1...am.sibm_i\bm...\iM <.x.
Легко показать, что решения сравнений E.16) при раз-
различных (т, рт) не повторяются. В самом деле, пусть
|х' — решение сравнения
ц' = рт. (mod rnl).
Если т' > т, то в r-ичной записи числа и.' будет стоять
am_x там, где в записи \л стоит &m_i. А если то" = ?те, но
рт, =fz рт, то в r-ичной записи \i" будет стоять fem-i, отлич-
отличное от Ьте-1.
Докажем теперь, что каждое число (А, для которого
Рг (нО "<Ж1 удовлетворяет сравнению E.16) при каком-то
т и допустимом рт. Пусть в r-ичной системе
, ^ор! ... Цм <,х. Тогда имеются две возмож-
возможности.
а) Найдется такое т, что
удовлетво-
удовлетвоПоложим pm= p,m_iam_2 ... «ia0- Очевидно,
ряет сравнению E.16) с этими т и рт.
б) Вторая возможность:
Пусть пм+к — первая среди цифр ам+i,
ная от нуля. Тогда значению т0 = М + к
••-, отлич-
отлич1 отвечает

178 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЕТОК [ГЛ.5
допустимое рто = bM+kaM+k-i ••• «i^o c bM+k = 0. Очевид-
Очевидно» Рто = йм..-й1й0 = [л и, конечно, удовлетворяет E.16)
при т = т0.
Итак, множество значений fi таких, что рТ (ц) < я:,
совпадает с множеством всех решений сравнений E.16),
когда т — 1, 2, ..., а рт принимают всевозможные допу-
допустимые значения.
2. Чтобы вычислить для сетки 2* значение
SN (хх, ..., хп), выберем в Кп произвольную точку
Р — (хг, ..., хп), все координаты которой иррациональны,
и найдем все [i такие, что одновременно
Ач(@<>1. — .Рг„(!*)Оп. E.17)
Координату xs можем записать в г3-ичной системе:
xs— и, а0 их ... ат ..., (
где все а$ могут принимать значения 0, 1, ..., rs — 1.
Исследование предыдущего пункта показывает, что числа [х,
удовлетворяющие условиям E.17),— это решения си-
системы сравнений типа E.16):
E.19)
fi = ртп (mod r».
Так как в E.19) модули г™1,..., гпп попарно простое,
то по известной теореме ([82], стр. 123) эта система срав-
сравнений имеет одно решение, представляющее собой класс
т. т
по модулю R — Гх1 ...гпп*). Среди чисел 0, 1,..., N — 1
найдется либо Ц {N/R), либо 1 + Ц (N/R) чисел, при-
принадлежащих этому классу (рис. 5.6). Запишем это коли-
количество в виде Ц (N/R) -\-h, где h либо 0, либо 1. Тогда
S. .
*) То есть_все решения даются формулой (J- = u
целыми *, где ц — какое-нибудь из решений.
E.20)
tR с любыми
§ 3] СЕТКИ ХЭММЕРСЛИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ХОЛТОНА 179
и, чтобы получить хорошую оценку для Sn (хъ ..., хп), на-
надо указать разумные пределы изменения всех т3 и рт&.
3. Пусть Ms = Ц (log^ N). Тогда rfs < N < rfs+1.
И если [х ^ iV — 1, то в туичной системе число \i будет
не более чем (Мв + 1)-значным:
так что нам достаточно учесть только такие сравнения
О
R
i
ZR
i—
*3R
1—
p.
0
/i+R
R 2R
3R
tR N (t+1)R
\_% ' '—*-
fi+tR p.
tR N {t+l)R
/it ft+R fi+2R • •
Рис. 5.6.
fl+tR /г
E.19), в которых ms <^ Ms -f 1, и еще возможный случай
который мы условно будем считать случаем ms = Ma -f- 2
с одним допустимым значением рм+2 = а(м ••¦ a[s) a^\
Пусть а^ = а?> при всех 1 < та < М8 + 1,
S l S Х
а в случае та = Мs -f- 2 значение а^ = 1. Тогда ко-
-Cs)
am
-Cs)
личество pm соответствующих данному ms, равно am _
S S
Из E.20) следует, что
m,=l
где 0<emi...TOw<l.
Однако легко заметить, что если та^Мя +1, то
WS<1 и Ц (iVrim\..r;mn) =0. Поэтому последнее

180 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЕТОК 1гЛ. 5
равенство можно переписать так:
aln f n
"*„=! Vs=l
- С»
+ 2 ••• 2 n<f«,...v E.2i)
4. Формула E.18) в десятичной системе означает, что
E.22)
Поэтому
N
mu. .,%=! \s=l
n=i \s=l
nf...
2j
т,,...,топ=1 \s=l
где ^7?i1...mn = {¦^^"''"'...Гп п] — дробная часть числа, так
что 0 ^ ?,mi...m < 1- Снова используя тот факт, что
1 ... гп п)=0, если какое-нибудь из т3 > Мв+1,
перепишем последнее равенство в виде
М
/ n
оо со / п
E.23)
§3] СЕТКИ ХЭММЕРСЛИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ХОЛТОНА 181
5. Рассмотрим теперь отдельно два возможных
случая.
учая.
Первый случай: SN (ж15..., хп) > Nx-^...х^ В этом слу-
случае, вычитая E.23) из E.21), получим, что
,... ,a;n)-Mi..Jn<
Mi+2 Mn+2 / „
<2 •••2 IK-
\8=1
Второй случай: Sjv (*i,..., жп) <^Лг:г1...;еп. В этом слу-
случае «округлим» дробь E.22):
где a^-i = й^_1 при всех 1 <; т% ^ М8 + 1 и лишь
в случае та — Ма -f 2 значение о^-! = «^ -i +1 • Пов-
торяя рассуждение, приведшее от E.22) к E.23), выведем
неравенство
Mi
1...«п< 2 •
Mi+2 ЛГп+2 / n \
+ 2 ••• 2 IK-Jw-v E.24)
TOi=l "»«,=! \s=1 /
Вычитая из E.24) равенство E.21), получим
Afi-l-2
П <-.!-,...-.< П S <->¦
тг—1
s=l mo=l
Заметив, что а^^ < a^-i, можем утверждать, что
последняя оценка справедлива в обоих рассмотренных

182 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЕТОК [ГЛ. 5
случаях. Следовательно,
S
Далее,
M+2
т =1
и, таким образом,
s=l
откуда следует E.15). (Переход от точек Р с иррациональ
ными координатами к любым точкам Р достаточно очеви-
очевиден.) Итак, теорема 3 доказана.
Оценка отклонения сетки 2Я. Теорема 4. Рас-
Рассмотрим сетку 2я (см. E.13)). Отклонение этой сетки
г-Г.), E.25)
где значения |3S и ys me же, что в теореме 3.
Доказательство [110]. Точка E.13) удовлетво-
удовлетворяет неравенствам
Ргг (V-) <
тогда и только тогда, когда (п — 1)-мерная точка E.14)
удовлетворяет неравенствам
Рп
и в то же время ц <.Nxn, Поэтому мы можем записать,
что
SN (Xi, ..., хп) —Nxx... xn
= | S'z
n_i) — zxx
§ 3] СЕТКИ ХЭММЕРСЛИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ХОЛТОНА 183
где S'z (xi, ..., хп„х) относится к (п — 1)-мерной сетке 2*
вида E.14) и z = iVav Число z, вообще говоря, не целое,
и в соответствии с нашими обозначениями следовало бы
писать ?ц(г), а не S'z. Нетрудно, однако, заметить, что
если бы мы в доказательстве теоремы 3 вместо JV писали
z, предполагая, что iV^z<iV + l, то пришли бы к
тому же результату (другими были бы только 9m,
и imi...mn» ) П
уу (дру
a BCe Ms остались бы прежними). Поэтому
.mn
Sz' fa,...
— гхг...хп_1
и—1
n—1
8=1
откуда следует требуемая оценка E.25).
Замечание. В [110] рассматриваются сетки E.13)
и E.14) с 1 <; (д, <; N. Оценки E.15) и E.25) для них
остаются теми же.
Оценки неравномерностей. Из D.56), E.15) и E.25)
вытекает, что
п—1
E.26)
E.27)
Bи) < 4й П (Ре Ь N + г.),
s=i
п
s=l
Подставляя эти значения в D.49) и D.50), легко полу-
получить оценки погрешностей для сеток 2* и 2я на простран-
пространствах функций Sp и На. Для сетки 2* на Sp и Яа соответ-
соответственно
а для сетки 2я
|| б || = О {N-W l
и
и
= О
Все выписанные порядки можно считать почти наилуч-
наилучшими (в смысле, указанном на стр. 172).
Хотя порядок E.27) на In JV хуже, чем порядок E.26),
в вычислительной практике удобнее использовать точки

184 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СЕТОК [ГЛ. 5
Рр, координаты которых не зависят от N (ср. начало § 4
гл. 2).
Оценку E.27) перепишем в виде
Постоянная В2 зависит от rt, ..., гп. Как выгоднее выби-
выбирать Г\, ..., гп, строго говоря, неизвестно. Формула E.27)
•
щ
т
t
т
•
Рис. 5.7.
Рис. 5.8.
дозволяет предположить, что выгоднее небольшие значе-
значения г8.
Рассмотрим сетку 2* в случае, когда в качестве г?
используются все простые числа подряд: гх = 2, г2 = 3,
г3 = 5, г4 = 7, ... Тогда из E.27) можно получить оценку
константы j92:
s=l
По известному асимптотическому закону распределе-
распределения простых чисел ([82], стр. 341) при п -*- оо отношение
(гв/1п гп) ~- и. Поэтому при больших п правая часть по-
последнего соотношения есть О Dпп!).
В гл. 7 нам понадобится несколько более точный ре-
результат, чем E.27). Легко заметить, что проекция 2* на
§ 3] СЕТКИ ХЭММЕРСЛИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ХОЛТОНА 185
Кг^.л представляет собой 5-мерную сетку того же типа,
что и E.14). Поэтому из теоремы 3 при п = s следует, что
Г *• B*)< П DpivInN + 4Tiv).
E.28)
v=l
Примеры. На рис. 5.7 и 5.8 изображены сетки, состоящие
из N = 13 точек Р*о, ..., Р*2 и Pv..., P*lz. В обоих случаях rt =
= 2, г2 = 3. Нетрудно рассмотреть все существенные двоичные пря-
прямоугольники и убедиться в том, что для первой сетки ф^ = 3,
а для второй ф^ = 4 (худшим в обоих случаях оказывается прямо-
прямоугольник [О, 1]Х [0,1/4)).

§ 1]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
187
Глава 6
Пт-сетки и ЛПт-последовательности
Мы видели в гл. 4, что «качество» сетки интегрирова-
интегрирования на классах функций Sp зависит от величины нерав-
неравномерности фоо. Структура фсо подсказывает, что узлы
хороших сеток должны в каком-то смысле равномерно
распределяться по всем достаточно крупным двоичным
параллелепипедам. Именно это геометрическое требование
навело на мысль о построении Пт-сеток, а затем и ЛПт-по-
следоавтельностей [67, 95, 98].
В § 1 изучаются важнейшие свойства таких сеток и
последовательностей, вытекающие из их определений.
Однако вопрос о существовании Пт-сеток и ЛП^-последо-
вательностей в Кп при любом п в этом параграфе не решен.
Это сделано ниже, в § 3, где указан вполне эффективный
способ их построения.
В § 4 рассмотрены возможности применения ЛПТ-по-
ЛПТ-последовательностей в вычислительной практике. Приведена
таблица 6.4, с помощью которой можно вычислять много-
многомерные интегралы.
В § 5 для изучаемых сеток и последовательностей оце-
оцениваются отклонения D, а § 2 носит вспомогательный ха-
характер: исследуются некоторые свойства линейных раз-
разностных операторов в конечном поле, которые использу-
используются в § 3.
§ 1. Определения и основные свойства
Пт-сетки. В § 3 гл. 3 введено понятие П0-сеток, которое
естественно обобщить на n-мерный случай следующим об-
образом: сетка 2, состоящая из N = 2V точек куба Кп,
называется П0-сеткой, если каждому двоичному паралле-
XZ\
1
i
О
1 х-,
лепипеду Щ с объемом | Щ | = 1/-/V принадлежит одна
точка сетки.
Например, двумерные сетки, изображенные на рис. 4.10,
а и 5.2, суть П0-сетки, а сетки, изображенные на
рис. 4.10, б и 5.1, таковыми не являются (так как в этих
сетках, в частности, прямо-
прямоугольники [4/8, 5/8) х[0, 1]
не содержат ни одной точки
сетки).
К сожалению, П0-сетки
существуют только в К1, К2 и
К3: в лемме 2 будет доказа-
доказано, что уже в КА По-сетку
построить нельзя. Образно
выражаясь, количество двоич-
двоичных параллелепипедов в Кп
при п 1> 4 слишком велико.
Чтобы рассматривать ана-
аналогичные сетки в Кп при лю-
любых п, пришлось ослабить
требования к распределению точек сетки по всевозмож-
всевозможным П*.
Определение. Сетка, состоящая из N = 2V
точек куба Кп, называется Пх-сеткой, если каждому дво-
двоичному параллелепипеду П» с объемом | Щ | = 2'c~v
принадлежат 2Т точек сетки. При этом всегда предпола-
предполагается, что v > т.
Заметим, что в этом определении достаточно потребо-
потребовать, чтобы число точек в каждом Щ с объемом [ Щ | = 2'c~v
было не меньше (не больше) чем 2Т. Дело в том, что к каж-
каждому такому Пй можно подобрать еще 2V~T—1 равнове-
равновеликих Пи, которые в сумме составят весь куб Кп (рис. 6.1).
И число точек в Щ по необходимости окажется рав-
равным 2Т.
Легко видеть, что каждая Пт-сетка является в то же
время Пт+х-сеткой (если только v>t + 1)> так как
каждый Щ с объемом 2T+1~V есть сумма двух Щ с объе-
Рис. 6.1.
мами 2T~V
следовательно, содержит 2-2т — 2Т+1
точек сетки.
Если некоторая Пт-сетка не является Пт_!-сеткой, то
мы будем говорить, что значение т для нее точное.

188
ПХ-СЕТКИ И Л1Ц-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 6
Пример 1. 16-точечная сетка, изображенная на
рис. 6.2, есть П2-сетка: в каждом Щ с площадью 1/4 содер-
содержатся 4 точки сетки. Эта же сетка не есть rij-сетка, так как
прямоугольник [0, 1/4) X [0, 1/2) не содержит двух точек.
Значит, значение т = 2 для этой сетки точное.
Лемма 1. Предположим, что в Кп задана НТ-сетка.
Проекции точек этой сетки на какую-либо грань К^.л
куба образуют s-мерную П^-сетку (состоящую из того же
количества точек).
Доказательство. Обозначим количество точек
Д
сетки через 2V. Выберем в
какой-нибудь «-мерный
с
•
•
•
»
а
-
= 1М X
X L с объе-
О
Рис. 6.2.
1 S
мом 2T~V и рассмотрим в Кп
двоичный параллелепипед
Щ = /*, X ... X lkn, где 1'Ч=1Ч
при ъ = h, ..., is; V4= [0,1]
при i ф ilt ..., is.
Очевидно, |Щ| = \Uk |-
= 2T-V и Щ содержит 2*
точек сетки. Проекции этих и
только этих точек сетки при-
принадлежат nfc. Таким обра-
образом, Пй содержит 2Т про-
проекцией, что и требовалось
доказать.
Заметим, что проекции П^-сетки с точным значением т
не обязаны быть Пт-сеткой с точным значением т. В самом
деле, проекции точек П2-сетки из примера 1 (рис. 6.2)
на ось Охг образуют равномерную П0-сетку.
Теорема 1.2? Кп для любой И^-сетки справедлива
оценка неравномерности
фсо<2^1+\ F.1)
Доказательство. Число точек сетки пусть
будет N = 2V. Выберем в Кп произвольный Щ и обозна-
обозначим объем его октантов *) через 2~т.
*) Когда мы говорим об октантах произвольного Пй, мы (так
же как в гл. 4) предполагаем, что начало координат перенесено
в центр IIft и координатные плоскости разбивают IIfc на 2П га-мер-
га-мерных октантов. Новые координаты обозначены ?17..., |п.
§ И
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
189
а) Если т <^v — т, то 2 m > 2Т"\ В этом случае
каждый октант состоит из одинакового числа Щ с объемами
2T~V. Значит, каждый такой октант содержит одинаковое
число точек сетки и j SN (Vt) — SN (Vu)\ = 0.
б) Если m> v — x, то объем каждого из октантов
меньше 2T~V. Значит, каждый октант есть часть некоторого
Щ с объемом 2Т v и содержит не более чем 2Т точек сетки.
Поэтому 0 < SN (Vl) < 2»-*", 0 < SN (Vl) < 2"-1+* и
тем более их разность | SN (Vt) — SN (Vk) I ^ 2n~1+x.
Из определения D.42) вытекает, что для нашей сетки
Предыдущая лемма избавляет нас от необходимости
рассматривать проекции сетки на всевозможные грани
Кц..л и позволяет сразу (используя уже доказанное
неравенство) записать оценку:
Oil... г ^ П8_ц. т о\
Так как фоо = max Ф^"- s, то из F.2) вытекает F.1).
Теорема доказана.
Отметим важнейшую особенность оценки F.1): она не
зависит от числа точек N. Если выбрать любую последова-
последовательность Пт -сеток в Кп с одним и тем же тис неограни-
неограниченно возрастающим количеством точек N, то можно ска-
сказать, что для этих сеток фоо = О A), когда N -+ <х>.
Очевидно также, что при N <^ 2П~1+Т оценка F.1)
тривиальна.
Теорема 2. Пусть N > 2"-1. При п = 1, 2, 3
в Кп для любой Л0-сетки
ч>00 = 2п~К F.3)
Прежде чем переходить к доказательству утверждения
теоремы, рассмотрим октанты куба Кп. Назовем октант,
в котором все xt < 1/2, октантом нулевого ранга. Соседние
с ним (?) октантов характеризуются тем, что в каждом
из них какая-нибудь одна координата xs > 1/2, а все
остальные хг < 1/2. Эти октанты будем считать октантами
1-го ранга. Затем выделим ( п ) октантов 2-го ранга,

190
ПТ-СЕТКИ И ЛПХ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 6
А/7
1/*
г
А
\
У!
ранга
другой (ср.
соседних с октантами 1-го ранга, и так далее. Наконец,
останется один октант и-го ранга, в котором все Xi ^> 1/2
(рис. 6.3 для п = 3).
Легко видеть, что если перенести начало координат
в центр Кп, то все октанты четного ранга окажутся поло-
положительными, а все октанты нечетного ранга — отрица-
отрицательными.
Точно так же можно классифицировать октанты любого
ITfc. Причем за исходный октант нулевого ранга можно вы-
выбрать любой из октантов: все рав-
равно после переносаначала координат
в центр Щ во всех октантах четного
ранга знак ?il2...|n будет один, а
во всех октантах нечетного
знак |г12...?п будет
рис. 4.5).
Рассмотрим теперь произволь-
произвольную П0-сетку в Кп. Выберем Щ
с|объемом | П* | = 2n-1/N. Он со-
содержит 2" точек сетки. Объем
каждого октанта Щ равен l/BN).
Фиксируем какой-нибудь октант,
который будем считать октантом
нулевого ранга, и число содер-
содержащихся в нем точек обозначим через р. Ясно, что либо
р — 0, либо р = 1.
Так как исходный октант в сумме с каждым из октантов
1-го ранга составляет Щ с объемом i/N, то каждая такая
сумма содержит одну точку сетки. Значит, каждый из ок-
октантов 1-го ранга содержит по 1 — р точек. Точно так же
доказывается, что каждый октант 2-го ранга содержит по
р точек. И вообще каждый октант четного ранга содержит
по р точек, каждый октант нечетного ранга — по 1 —р
точек. Поэтому | SN (V?) — SN (]Щ)\ = 2п~1\ 1 — 2р\.
И при р — О, и при р = 1 отсюда следует, что фоо !> 2п~1.
А из F.1) при т = О вытекает, что ф^, <^ 2П-1. Теорема
доказана.
Из теоремы 2 видно, что для П0-сеток оценка F,1)
точная. Пример 1 показывает, что при т > О оценка F.1)
уже не обязательно точная. Легко убедиться в том, что
для этой П2-сетки фот = 4 («худший» прямоугольник
Рис. 6.3.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ II ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
191
[О, 1/2) х [0, 1]), в то время как из F.1) при п = т = 2
следует лишь фот ^8.
Постоянные t (n).
Определение. Наименьшее значение т такое, что
в Кп существуют Пт-сетки со сколь угодно большим
числом точек, назовем т (п).
Очевидно, т (п) — это геометрическая характеристика
куба Кп. Утверждение о конечности т (п) равносильно
утверждению о том, что в Кп можно построить Пт -сетки
(состоящие из как угодно большого числа точек). Из § 3
гл. 3 вытекает, что т A) = 0.
Некоторые значения т (п) и асимптотическая оценка
(при п ~> со) будут получены в § 3. Здесь мы докажем
только, если можно так сказать, нетривиальность т (п1):
из леммы 2 вытекает, что т D) ^> 0.
Лемма 2. В К4* невозможно построить П0-сетку
с числом точек N !> 4.
Доказательство от противного. Предполо-
Предположим, что мы такую сетку построили. Выберем любой Щ
с объемом | Щ j = 'i/N. Он содержит четыре точки сетки,
которые мы назовем Ро, Pi, Pp Р3. Докажем, что любое
размещение четырех точек в Hfc противоречит определе-
определению П0-сетки.
Для этого рассмотрим октанты *)Щ. Объем каждого
октанта равен 1/DJV). Октант, содержащий точку Ро,
назовем октантом нулевого ранга. Больше точек сетки
он содержать не может. Точка Pi не может оказаться в
октанте 1-го ранга, так как каждый такой октант в сумме
с октантом нулевого ранга составляет Щ с объемом
l/BN) < i/N. Точно так же точка Рх не может оказаться
в октанте 2-го ранга, ибо каждый такой октант вместе
с октантом нулевого ранга принадлежат одному Щ с объе-
объемом 1/JV. Если допустить, что Pi принадлежит октанту
4-го ранга, то (по тем же соображениям) некуда будет по-
поместить точку Р2.
Остается последняя возможность: точки Рх, Р2 и Р3
размещаются в октантах 3-го ранга. Однако любые два
*) Вместо громоздкого «гексадекант» мы будем писать «октант»,
имея в виду, что таких октантов всего 16. Распределение их по
рангам можно выразить формулой l-j-4 + 6 + 4+l.

192
ПТ-СЕТКИ И ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 6
таких октанта могут быть включены в Ид, с объемом i/N,
так что снова получаем противоречие с определением
П0-сетки.
Л Пт - последовательности.
Определение. Последовательность точек Ро,
Pi,..., Pi,--, куба Кп назовем ЛПт-последователъностъю,
если каждый ее двоичный участок, содержащий не менее
2?+i точек, представляет собой Пт-сетку. (Определение
двоичного участка см. в начале § 3 гл. 3.)
Если ЛПт-последовательность не является ЛПт_гпо-
следовательностыо, то мы будем говорить, что значение
х для нее точное.
Из леммы 1 вытекает, что проекции точек ЛПт-после-
довательности на какую-нибудь координатную грань
K-u---is куба Кп образуют s-мерную ЛПт-последователь-
ность. Однако точное значение т для проекций может
уменьшиться.
Теорема 3. Для произвольного начального участ-
участка любой ЛЛ^-последователъности в Кп справедлива оцен-
оценка F.1).
Доказательство. Фиксируем произвольный
участок последовательности O^t<TiV — 1 и выберем
произвольный Щ. Обозначим объем октантов Щ через
2~т, и пусть v = т + т.
Разобьем наш участок на участки длиной 2V:
Каждый из первых / участков есть Пт-сетка. Так как
2~т _ 2Г~Ч, то любой из октантов Щ содержит ровно 2Т
точек из каждого такого участка и не более чем 2Т точек
из последнего участка (который есть часть участка /2V <Г
^ i < (/' + 1) 2", также представляющего собой Пт-сет-
Пт-сетку). Значит, число точек в каждом октанте не меньше, чем
/2Т, и не больше, чем (/ + I) 2T.
Так как число положительных (а также число отри-
отрицательных) октантов равно 2п~1, то / 2П+'С «^ Sjf (Fg1) ^
^ (/+1) 2"~1+\ Отсюда вытекает, что справедлива оцен-
оценка \SN(Vl)-SN(VU)\<C2n-^.
г\
О ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРАХ В ПОЛЕ Z2 193
Рассматривать проекции точек на всевозможные
Ки*..% не нужно по тем же причинам, что в теореме 1.
Следствие. Любая ЛПх-последоеателъностъ рав-
равномерно распределена в Кп (см. теорему 8 гл. 4).
Лемма 3. Если точки Ро, Pi,..., Pi,... с координа-
координатами Pi = (хи, ..., Xin) образуют ЛП^-последователъ-
ностъ в Кп, то сетка, состоящая из N = 2V точек Pi,
Р[,..., P'N_± с координатами Pi = (xn,..., xin, i/N),
есть ИТ-сетка в Кп+1.
Доказательство. Выберем в К11*1 произ-
произвольный П^:=?,.,х...Х^-т1 с объемом |Щ| = 2т-\ Пусть
l4+i = lm+i'i' TaK как IZ™+i.jI = 2"W' T0 0 < m < v — т.
Обозначим s — v — т. Тогда гс-мерный объем парал-
параллелепипеда ГЦ~Zftlx ... X ljin равен 2X~S.
Выделим участки последовательности {Pi} с номе~
рами 0 < i < 2s, 2s < i < 2-2%..., Bn - 1) 2s < i < 2\
Если s^% -\- 1, то каждый из этих участков есть Пт-
сетка и Щ принадлежит по 2х точек из каждого участка.
Однако в Щ попадут лишь 2Т точек Р[, соответствующих
точкам Pt из /-го участка, ибо неравенство (/ — 1) 2s ^
^ г < /2s равносильно неравенству (/ — 1) 2~т*^ i/N <
</2^m, а последнее эквивалентно требованию i/N e lm+i,j-
В случае s = т легко видеть, что Пл = Кп и в Пь
попадут все 2х точек, соответствующих /-му участку.
Следствие 1. В К3 невозможно построить ЛП0-
последовательностъ.
Доказательство. Построив такую последова-
последовательность, мы смогли бы методом леммы 3 построить
П0-сетки в if4, что по лемме 2 невозможно.
Следствие 2. Значение т B) = 0.
Доказательство. Из ЛП0- последовательно-
последовательностей в К1, которые были построены в § 3 гл. 3, методом лем-
леммы 3 можно построить П0-сетки в К2.
§ 2. О линейных разностлых операторах в поле Z2
Поле Z2, с которым мы уже встречались в § 3 гл. 3,
состоит из двух элементов: 0 и 1. Правила умножения
обычные: 0-0 = 0, 0-1 = 1-0 = 0, 1-1 = 1. Правила
сложения: 0 + 0-0, 0 + 1 = 1+0 = 1, 1 + 1 = 0.
7 И. М. Соболь

194
ПТ-СЕТКИ И ЛП--ПОСЛЕДОВАТЕЛЫ1ОСТИ [ГЛ. 6
О ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРАХ В ПОЛЕ Z2 195
В этом параграфе буквами а, Ъ, с, и, v с различными индек-
индексами мы будем обозначать элементы Z2.
Рассмотрим линейное разностное уравнение т-то по-
порядка с постоянными коэффициентами
Ьщ = 0, {б Л)
где разностный оператор L определен выражением
Lut = ui+m + Om-iKi+^-i + ... + ajui+1 + ut; F.5)
все Ui и uj принадлежат Z2.
Решением уравнения F.4) назовем последовательность
•••> ^—2' ^—1) ^0» ^1> ^2> ••¦»
определенную при всех —с» < t <; оо и удовлетворяю-
удовлетворяющую F.4) при каждом i. Чтобы не путать решение с от-
отдельными значениями иг, мы будем иногда обозначать
решение {ut}. Индекс i всюду в этом параграфе играет
роль независимой переменной (аргумента).
Каждое решение однозначно определяется заданием
начальных условий (щ, ..., ит). Если все начальные
значения их = ... = ит = 0, то получаем тривиальное
решение, состоящее из одних нулей: {ut} = 0. Так как
существуют всего 2т различных групп (ut, ..., ит), состоя-
состоящих из нулей и единиц, то уравнение F.4) имеет всего 2т
различных решений. Число нетривиальных решений этого
уравнения равно 2т — 1.
Циклы. Фиксируем какое-нибудь нетривиальное ре-
решение {ut} уравнения F.4) и рассмотрим группы значений
(мх, ..., ит), (ы2, ..., кт+1), (и3, ..., мт+2)... Так как суще-
существуют всего 2т — 1 различных нетривиальных групп,
состоящих из нулей и единиц, то найдется группа
(Ион-1, ..., Ua+m), совпадающая с (и17 ..., ит). В силу F.4)
все значения u^+i = ut. Таким образом, решение {ut}
оказывается периодическим, причем его наименьший
период сох < 2т — 4.
Допустим, что оI<.2ш —1. Тогда найдется группа
(и[, ..., и'т), отличная от всех групп вида (щ+1, ..., uUm).
Выбрав эту группу в качестве начальных значений, мы
получим другое решение {щ } того же уравнения, период
которого обозначим со2. Очевидно, все группы вида
(u'i^-i ..., u'i+m) встречающиеся на втором решении,
отличны от всех групп вида (щ+и ..., щ+т), которые
встречались на первом решении (ибо совпадение двух
каких-либо групп в силу F.4) вызвало бы совпадение всех
групп).
Если Oi + о2 < 2т — 1, то найдется группа (и[', ...
..., и'т), отличная и от всех (иг+1, ..., ui+m) и от всех
(М{+1, ..., и\+т). Выбрав ее в качестве начальных значений,
найдем третье решение {ui'}7 на
котором все группы (и'\+1, ..., щ+т)
отличны от всех уже встречавших-
встречавшихся групп.
Процесс этот закончится тогда,
когда мы исчерпаем все возможные
2т—1 групп. В результате мы полу-
получим конечное число р решений, при-
причем Ю! + ... + (Ор = 2т — 1.
Назовем циклом уравнения F.4)
совокупность решений, отличающих-
отличающихся друг от друга сдвигом нумерации.
Рис. 6.4.
Другими словами, если{щ'} — какое-
нибудь решение, то цикл образуют все решения {иг},для
которых ut = и{%, где сдвига = 0, +1, + 2, ...
Очевидно, все решения из одного цикла имеют один и
тот же наименьший период, так что можно говорить о пе-
периоде цикла. Выбор названия «цикл» поясняет рис. 6.4:
для получения любого решения из данного цикла надо
назначить в качестве их какое-либо из указанных значе-
значений; тогда м2, к3, ... можно будет прочесть против хода
часовой стрелки.
Так как каждое решение вполне определяется началь-
начальной группой (иъ ..., мт), то предыдущее рассмотрение по-
показывает, что уравнение F.4) имеет конечное число цик-
циклов, сумма периодов которых равна 2т — 1.
Определение. Уравнение F.4) и оператор F.5)
назовем моноциклическими, если уравнение F.4) имеет
решение с наименьшим периодом со — 2™ —1.
Легко видеть, что моноциклическое уравнение F.4)
имеет всего один цикл. Все нетривиальные решения моно-
моноциклического уравнения различаются только сдвигами
нумерации. Период такого решения содержит по одному

96
П--СЕТКИ И ЛПТ-ПОСЛВДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. б
§ 2] О ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТЬ ЫХ ОПЕРАТОРАХ В ПОЛЕ
197
разу любые наборы нулей и единиц вида (иг, ..., um), за
исключением группы из т нулей подряд.
Пример 2. Рассмотрим три уравнения 4-го по-
порядка:
а)
щ+3
щ = 0.
Это уравнение имеет три цикла с периодами <вг = ю2 =
= <в3 = 5:
{щ} = ..., 1, 0, 0, 0, 1, ...; {щ} = ..., 1,0,0,1,0,...;
{щ} = ..., 1, 1, 1,1,0, ...;
б) ui+i 4- ui+3 + ица + ыг = 0.
Это уравнение имеет два цикла с периодами юг — со2 = 7
и один цикл с периодом со3 = 1:
К} = ..., 1,0,0,0,1,1,0,...; {щ}= ..., 1, ...;
{щ} = ..., 1, 0, 0, 1,0, 1, 1, ...;
в) иш 4 ui+1 4 Щ = 0.
Это уравнение имеет один цикл с периодом со = 15:
{щ} = ..., 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, ...
Следовательно, из трех этих уравнений только последнее
уравнение моноциклическое.
Легко установить следующее необходимое условие
моноцикличности: если оператор L моноциклический,
то его нельзя представить в виде произведения L = L2LX
двух операторов более низкого порядка (под произведе-
произведением двух операторов подразумевается, как обычно, ре-
результат последовательного применения этих операторов;
всегда LXL% = L%L^).
В самом деле, если L — Ь2ЬХ, то каждое решение урав-
уравнения L-yUi = 0 удовлетворяет также уравнению Ьщ = 0.
Однако период этого решения не превосходит 2Ш>—1
(где тпх — порядок Lx) и заведомо меньше, чем 2т—1.
Линейные разностные уравнения в конечном поле ис-
исследовались в работе Н. Ц и р л е р а [116], где имеется
также литература по этому вопросу. В [116] решения
моноциклических уравнений называются М-последова-
тельностями и используются для построения псевдослу-
чайных чисел. Они находят также применение в теории
кодирования (или передачи сообщений) *).
Оператору F.5) можно поставить в соответствие формальный
многочлен над полем Z2:
zm + ат_л ж™"* + . ..+aix+l. F.6)
При этом произведению операторов соответствует произведение
многочленов. Приведенное выше необходимое условие моноциклич-
моноцикличности означает, что моноциклическому оператору F.5) соответ-
соответствует неприводимый многочленF.6). Однако это условие не является
достаточным: например, многочлен ж4 -\- х9 -\- х% -\- х -\- 1 не-
неприводим (в поле Z2), однако соответствующий ему оператор (см.
пример 2, уравнение а)) не моноциклический.
В [116] доказано, что необходимым и достаточным условием мо-
моноцикличности оператора F.5) является примитивность многочлена
F.6). А многочлен F.6) будет примитивным тогда, когда он непри-
неприводим, служит делителем двучлена хы -\- 1, но не является делите-
делитеs + 1 степени s <^ со **)
водим, служит делителем ду \ ,
лем ни одного двучлена вида xs + 1 степени s
оным по
со
).
ни одного двучлена вида x + 1 степени s <^ со ).
Из теории многочленов над конечным полем [105] вытекает
что число примитивных многочленов порядка m равно ер Bт — 1)/тп,
где ф (к) — известная теоретико-числовая функция Эйлера, рав-
равная количеству натуральных чисел, меньших чем к и взаимно
простых с к (включая 1).
Для наших целей важно знать, что существует всего
ф Bт—1)/пг моноциклических операторов порядка т.
Первые шесть моноциклических операторов:
Ui+X + Uh
Ui+5
uH3
UU
-f Щ, ui
ui+s
Таблица всех моноциклических операторов порядка m ^ 9.
Таблица 6.1 составлена с помощью таблицы неприводимых мно-
многочленов Р. Марша (см. [105]). Каждый оператор F.5) можно за-
закодировать двоичным числом iam_x ...ах 1, которое записано в та-
таблице в восьмеричной системе (тройки двоичных цифр, начиная с
*) К. А. М е ш к о в с к и й, Н. Е. Кириллов, Кодиро-
Кодирование в технике слязи, «Связь», М., 1966 (§ 5.5).
**) Для пояснения последнего условия заметим,что если бы мно-
многочлен F.6) был делителем двучлена Xs -\- 1, то оператор Mui =
— uu-s 4 м- разлагался бы в произведение М = LLt. Тогда каждое
решение уравнения Lu. = 0 удовлетворяло бы уравнению Ми. = 0
и имело бы период s.
Последнее условие как раз нарушено для оператора (а) в при-
примере 2. В самом деле, (х* 4- х3 -f х2 -\- х -(- 1) (х + 1) = хъ -\- 1,
так что s — 5, в то время как со — 24 — 1 = 15.

193
ПТ_СЕТКИ И ЛПТ_ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 6
правого конца, записываются одной восьмеричной цифрой). На-
Например, при та=7 оператору щ^ + ui+i + uUs -f «i+2 + и.
отвечает двоичное число 10011101, которое в восьмеричной форме
записано в таблице 6.1 как 235 (ибо 101 — это 5, 011 — это 3, 10 —
это 2).
Необходимо иметь в виду, что вместе с оператором iaml...
...% 1 моноциклическим будет также взаимный оператор 1а!... ат Х1#
Из двух взаимных операторов в таблице указан лишь один, так что,
как правило, каждому коду в таблице отвечают два оператора. Слу-
Случаи, когда взаимные операторы совпадают, отмечены знаком =.
771
1
2
3
4
5
6
z=
7—
13
23
45
57
67
103
133
147
m L
7 207
211
217
235
247
253
277
313
357
m L
8 435
453
455
515
537
543
607
717
9 1021
1033
T
m L
о 1055
1063
1131
1137
1157
1167
1175
1207
1225
1243
1257
'абл
m
9
ица 6.1
L
1267
1275
1317
1333
1423
1437
1473
1517
1533
1577
1617
Некоторые свойства моноциклических операторов.
Лемма 4. Два различных моноциклических уравне-
уравнения Ьхщ — 0 и L2ut = 0 не имеют общих решений.
Доказательство. Если порядки Lx и L% раз-
различны, то максимальные серии из нулей, встречающиеся
в решениях этих уравнений, имеют различные длины.
А если Lx и L2 одного порядка, то можно выбрать группу
(w-i, ..., ит) так, чтобы оба уравнения определяли различ-
различные значения ит+х.
В самом деле, пусть Lx определен формулой F.5),j?a
L%ut = Uum-Jram._lui+m_1Jr ... + а1Ит+^Так как Ь2фЬъ
то найдется коэффициент аи =?= %. Достаточно выбрать
начальные значения, состоящие из (т — 1)-го нуля и
одной единицы ий+1=1,и мы получим разные ит+1.
2]
О ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРАХ В ПОЛЕ 22
Следствие. Если Lxub — 0 и L2 =j= Lu то Ьмь —
= Mi+a12- Действительно, пусть vt = L2ut. Тогда L-^i =
= L-J-i^Xi — ЬгЬхиь — 0, так что {г>г} — тоже реше-
решение. По лемме 4 случай {г;,} = 0 невозможен. А так как
оператор Ьх моноциклический, то {ut) и {vt} принадлежит
одному циклу: vt = Уч+а12.
Мы будем писать а\, 2' так чт0 первый индекс соответ-
соответствует уравнению, а второй — преобразованию. Значение
этой постоянной от выбора {иг} не зависит: если бы мы
выбрали другое решение {щ} уравнения Ьхиг = 0, то
(из-за моноцикличности оператора Ьг) щ = щ+$\ тогда
Так как ut = ui+\Wl, to значение aj.,2 определено
с точностью до периода цикла: ai,2 = aj2 + Хсоц где
X — любое целое число. Этот произвол в выборе aj,2 мы
в дальнейшем используем.
Лемма 5. Рассмотрим два различных моноцикли-
моноциклических оператора Lx и L2. Если порядки этих опера-
операторов т1 и т2 удовлетворяют условию т2 ^> ml5 то
a8li ф 0.
Доказательство. Допустим противное: суще-
существует решение {ut} ф 0 такое, что Ьгих = 0, Ьгиь — ut.
Рассмотрим новый оператор Миг = Ьгиь + ut. Так как
ut -\- ut = 0, то порядок оператора М не превосходит
/»! — 1 ^ т2 — 1.
На решении {и(}, которое удовлетворяет моноцикли-
моноциклическому уравнению L2ut — 0, найдется серия из т2 — 1
нулей подряд. А так как это же решение удовлетворяет
уравнению Mut — 0, то должно быть {ut} = 0. Получаем
противоречие.
Пример 3, показывающий, что при выполнении
условий леммы 5 случай ai,2 — 0 возможен.
Пусть LxUi = цг+2 + Щлг + ui = 0, L2vt = i?i44 +
+ г;г = 0. Решения: {мг} = ..., 1, 0, 1, ...;
" ' ' ' Пре-
1,
+ »i+i + Vi 0. {t}
{vt} = ..., 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, ..
б {L} 1 0,
{t} , ,
образованные решения: {2^} , , ,
{LlVt} = ..., 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, ...
Сравнивая преобразованные решения с исходными, най-
дем, что aw = 0 + ЗХ, a2li = 10 + 15Х.'

200
ПТ_СЕТКИ И ЛПт-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 6
Пусть заданы п различных моноциклических операто-
операторов Li, ..., Ln, порядки которых тх ^ т2 ^ ... ^ тп.
Условимся формально считать, что as>s — 0 при любом s
(хотя это и не согласуется с определением а^,8).
Лемма 6. Можно выбрать a^.s при к <; s так,
чтобы
a.
«ы
ar
Доказательство проведем по индукции. Во-
первых, 62 = — a2,i'ai,2, где а^афО. Достаточно вы-
выбрать ai,2 ф 0, и окажется 62 ф 0.
Допустим теперь, что лемма справедлива для бп_х.
Разложим б„ по элементам последнего столбца:
Если какое-нибудь из дополнений Ahm ф 0, то можно
выбрать a k,n так, чтобы б„ было отлично от нуля. В то
же время нетрудно доказать, что случай Aitn = ... =
= An~i,n = 0 невозможен, так как это повлекло бы за
собой бп-х = 0.
В самом деле, фиксируем номер к. Если Ак,п = 0, то
строки этого дополнения линейно зависимы: при всех
1 < s< п — 1
Yidti,. + ••• + 7A-iaA-i,s + Yft+ia^i.s + ••• + ?7ian,e = О
F.7)
и в F.7) не все yj равны нулю.
Если уп = 0, то из F.7) следует наличие линейной
зависимости между строками определителя 6П-Ь и, стало
быть, bn~i = 0.
Будем считать, что уп ф 0. Если все остальные у^
в F.7) равны нулю, то из F.7) вытекает, что an,s = 0,
а это противоречит лемме 5. Поэтому будем считать, что
среди yj есть хотя бы одно, назовем его ур, отличное от
нуля. Из F.7) следует, что при всех 1 ^ s ^ п — 1
§ 2] О ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРАХ В ПОЛЕ Z3 201
Рассмотрим теперь Ар,п. Если Ар,п = 0f то, повторяя
такие же рассуждения, придем к равенству
Исключив anis из ДВУХ последних равенств, мы все-таки
получим линейную зависимость между строками опреде-
определителя 6n_i, так что бп_! = 0. И лемма 6 доказана.
О линейно независимых решениях моноциклических
уравнений. Так же, как в общей теории линейных диффе-
дифференциальных (или разностных) уравнений [102], решения
{ии},..., {uik} уравнения F.4) называются линейно за-
зависимыми (в поле Z2), если можно указать такие cl7 ..., ck,
не все равные нулю, что при всех i
+ ... + chuik = 0.
Совокупность т линейно независимых решений {иг;},
1 ^ / ^ т, уравнения F.4) образует фундаментальную
систему решений этого уравнения. Любое другое решение
{zij} может быть получено как линейная комбинация ре-
решений фундаментальной системы
Определитель
bmuim.
Щ+ii
Щ+тЛ
ui
i+miffl
столбцы которого образованы из различных решений
уравнения, играет роль вронскиана. Значение его не за-
зависит от i. Для линейно зависимых решений det = 0,
а для каждой фундаментальной системы det = 1.
На доказательстве этих предложений мы останавли-
останавливаться не будем.
Рассмотрим теперь п различных моноциклических опе-
операторов Li, ..., Ln, порядки которых равны т1( ..., тп.
Положим т = mi + ... + тп.
Лемма 7. Если известны фундаментальные системы
решений {u(ij]}, 1^7^ nik, каждого из уравнений

202
ПТ_СЕТКИ И ЛПТ_ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. С | § 3]
ПОСТРОЕНИЕ ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕ
203
Lkut = 0, то совокупность всех этих решений при 1 ^к^п)
образует фундаментальную систему решений уравнения
т-го порядка
... Lnut = 0.
F.8)
Доказательство. Очевидно, что все эти т
решений удовлетворяют уравнению F.8). Нужно доказать,
что они в совокупности линейно независимы.
Допустим противное: существуют числа chj, не все рав-
равны нулю (для определенности сх1 = 1), .такие, что при
всех i
2
= 0.
Рассмотрим линейные комбинации
Vi — ^i Су Uij .
.5=1
Очевидно, LjfV^ = 0, причем {г/^} =f= 0. Применяя к тож-
тождеству vS^ -j- ...+ v^ = 0операторы L2, .., Ln, получим,
что при всех г
г Л1* Л1) — о
откуда следует, что {v\1^} = 0. Противоречие!
Лемма 8. Фиксируем по одному нетривиальному
решению {uf^} каждого из уравнений Lkut = 0. Для любого
участка i длины т — 1 {то есть для i0 + 1 «^ i <^ го+ т—1)
можно указать такие натуральные р1( ..., $п, что на этом
участке
в^ + .-.+ иЙк^О- F.9)
С точностью до слагаемого, кратного <Bft, значение f$ft един-
единственное. На участке i длины т тождество вида F.9)
невозможно.
Доказательство. Рассмотрим решение {ut}
уравнения F.8), удовлетворяющее начальным условиям
= ... = Ща+т_х = 0,
и
Ч+т.
= 1.
Из леммы 7 следует, что {ut} представимо в виде суммы
Hl = ^ + ... + Pin>, F.10)
где {v\k)} — какое-то решение: LftV{'l) = 0.
Если допустить, что {vf^} — 0, то окажется, что {ut}
удовлетворяет уравнению L1...Lk-lLk+1...Lnui = 0, по-
порядок которого т — mk ^ т — 1, и имеет т — 1 нулей
подряд. Значит, {vf^} =f= 0. И так как уравнение Lkut = 0
моноциклическое, то v\k) ^ *4+/3fc, причем рй определяет-
определяется с точностью до периода <йй. Подставив все такие выра-
выражения г4А) в F.10), получим тождество
иг = Щл$1 + ••• + ui+$ni
которое при i(, -\- i <^ i ^iu + т — 1 обращается в F.9).
Лемма 7 показывает, что решения и[+^,..., Ui+in могут
быть включены в фундаментальную систему уравнения
пг-го порядка( 6.8). Поэтому тождество F.9) на участке г
длины т невозможно.
Пример 4. Для иллюстрации леммы 8 рассмотрим
операторы Ьг и L2 из примера 3. Здесь т = 2 + 4 = 6.
На участке 1^ i «^ 5 имеет место тождество uivr + г;г+6=0,
таккакггг+1 = ..., 0, 1, 1, 0, 1, 1, ..., vi+6 - ..., 0, 1, 1, 0,
1,0,1,1,1,1,0,0,0,1,0,... А на участке 3<i<7
имеет место тождество ui+2 + vt+i = 0, так как Ui+2 =
= ..., 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ..., vi+i = ..., 1, 0, 0, 1, 1, 0,
1,0,1, 1, 1, 1,0,0,0, ...
§ 3. Построение ЛПт-последовательностей
ДР-последовательности, принадлежащие моноцикличе-
моноциклическому оператору. Рассмотрим произвольный моноцикличе-
моноциклический оператор F.5) в поле Z2, порядок которого равен т.
Определим направляющие числа (см. § 3 гл. 3) Vx, F2, ...
'••¦>Vi, ... с помощью уравнения
^m«m-iFi+(ft-i * ... * a1Vi+1*Vi = 2-mVt, F.11)
иными словами, LVt = 2~mVu причем в L надо вместо
знака -f использовать знак *.

204
П--СЕТКИ И ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСГЙ
[гя. е
Начальные значения Vx, ..., Vm для уравнения F.11)
могут быть различными. Однако мы требуем, чтобы они
удовлетворяли следующему условию: если в двоичной
системе
Vt = 0, vixviv..vt]..., F.12)
то все Vn = 1, а при /
полагать Уг = 2~{, I
i все vtj = 0. В частности, можно
i ^ т. Во всяком случае матрица
Vlm
F.13)
треугольная и невырожденная: на главной диагонали стоят
единицы, а выше нее — нули.
Условимся говорить, что ДР-последовательность {г (г)}
с такими направляющими числами {V ^принадлежит опера-
оператору L. Нетрудно сосчитать, что оператору порядка т
~~т(т -1)
принадлежат 22 различных ДР-последовательностеи.
Уравнение F.11) эквивалентно системе уравнений
в поле Z2, определяющих значения vtj в каждом из двоич-
двоичных раздрядов:
Lvu = 0, если 1 -^ / -^ т; F.14)
Lvjj = Vi,j-m, если т <С/ <С со. F.15)
Рассмотрим направляющую матрицу (см. § 3 гл. 3)
произвольной ДР-последовательности, принадлежащей опе-
оператору L. С учетом правила выбора начальных Vt эту
матрицу можно записать так:
о
1
о
0
о
0
\
о! о
"ml
. 1 0
§3]
ПОСТРОЕНИЕ ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
205
Лемма 9. В направляющей матрице (vtj) все v^ = 1,
а при / ^> i все vtj = 0.
Доказательство. Для столбцов с номерами
1 ^ } <^ т утверждение леммы очевидно. Фиксируем
j ^> т. Допустим, что утверждение леммы верно для всех
столбцов с номерами, меньшими чем /, и докажем его для
/-го столбца.
Во-первых, vtj = 0 при ? = 1, 2, ..., т в силу началь-
начальных условий. Далее, до тех пор, пока vhj_m = 0, то есть
пока i </ — т, уравнение F.15) фактически однородное:
Ьуг} = 0. Поэтому vu = 0 нри i = m+l» иг + 2, ...
...,; — т—1. Наконец, при i = / — т значение «j_m,j_m= 1,
и уравнение F.15) с учетом уже доказанных равенств
превращается в Vjj = 1.
Следствие. ДГ^-последовательность, принадлежа-
принадлежащая любому моноциклическому оператору, есть одномерная
Ш10-последователъностъ. (Это вытекает из леммы 9 и
теоремы 7 гл. 3.)
Построение ЛПт-последоватедьностей.
Теорема 4. Пусть Lx, ..., Ln — различные моно-
моноциклические операторы, порядки которых равны тх, .,., тп.
Обозначим {p(li\i)} какую-нибудь ДР'-последовательность,
принадлежащую оператору Lk. Последовательность точек,
Ро, Рх, ..., Рг, ... с координатами
Pi = (PAV), .-, Р<та)@)
есть Л.Пх-последователъность в Кп со значением
F.16)
fc=l
Доказательство. 1. Фиксируем произволь-
произвольный двоичный участок последовательности {Pi}, длина-
которого 2V больше, чем 2Т. Любой номер i из такого уча-
участка записывается двоичными числами вида
где двоичные цифры ej любые, a Cj фиксированы.

206
ПТ-СЕТКИ И ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1ГЛ. 6
Выберем произвольный двоичный параллелепипед ТТ
с объемом 2T~V. В двоичной записи этот параллелепипед
задается системой неравенств (к = I, 2, ..., п)
О, Ъ[
О,
где \ik — любые неотрицательные целые числа такие, что
Ц! + ... + fXn = V — Т
(ср. с доказательством теоремы 7 в гл. 3).
Если двоичное разложение
^0 = о, gtf>*^.. *?>...,
то условие принадлежности точки Рг кП сводится к v — т
уравнениям
gf = bf\ где 1 < / < nfc, I < А < п.
Обозначим через (vffi) направляющую матрицу, по ко-
которой строится {pW (i)}. Тогда из определения {р№ (?)}
(ср. C.31) и F.12)) следует, что
gif = eyv(§* e2vBf * ... * cavfj-
Подставив это выражение в последнюю систему и перенеся
все известные величины вправо, получим систему линей-
линейных уравнений в поле Z21 состоящую из v — т уравнений
с v неизвестными elt ..., ev:
cv+1 vv% + ...•+ с v(af.
Здесь 1^7^ \i>hi 1 ^ к ^ п; вместо * можно писать +,
если иметь в виду, что складываются элементы Z2.
Правые части этой системы — произвольные двоичные
цифры. Мы докажем, что ранг матрицы коэффициентов
этой системы равен v — т и, следовательно, система при
любых правых частях имеет 2Т решений.
з]
ПОСТРОЕНИЕ ЛП- ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
207
2. Для удобства записи заменим эту матрицу транс-
транспонированной и обозначим ее элементы через w^:
;0)
11
A)
„A)
B)
„B)
B)
B)
(я)
У1
(n)
\
\ HA
„A)
„B)
Лп)
(n)
F.17)
Обозначим через \ij( остаток от деления yih на mh, так что
Предположим (для определенности), что pi ^ 1 (если все
pft = 0, то последующее рассуждение заметно упрощается).
Оставим в F.17) первые тх строк без изменения, а ос-
остальные (начиная с последней) будем заменять линейными
комбинациями строк: вместо Wi+mu] запишем LjWij,
i = v — mlt v — тх — 1, ..., 1 (оператор Lx действует
по i). С учетом F.14) и F.15) получим эквивалентную
F.17) матрицу
A)
„A)
\о
0
\
щ
„A)
(i)
V—TTllj Ji,j— ТП\
F.18)
В верхнем левом углу здесь стоит треугольная невырож-
невырожденная матрица Вх вида F.13).
Если рх> 1, то в нижней части матрицы F.18) снова
повторяем то же преобразование. И поступаем так всего
Pi раз. Если ni>- 0, то после этих преобразований оста-
останутся еще \ix столбцов с элементами v$; перенесем их в ко-
конец матрицы. Тогда получим следующую матрицу,

208 ПТ-СЕТКИ И ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 6
эквивалентную F.17):
f u
,0),
I I /
F.19)
Элементы F.19), стоящие над чертой, нас интересовать
не будут. Из-за линейности оператора *) L\l все v[f\ стоя-
стоящие под чертой, по-прежнему удовлетворяют F.14) и F.15)
(со своим номером к). Более того, так как v{f при 1 <^ j^m*
удовлетворяют моноциклическому уравнению вида F.14),
ТО ЭТИ Столбцы ОТЛИЧаЮТСЯ ОТ ИСХОДНЫХ Vij ЛИШЬ СДВИГОМ
номеров по i. Поэтому, обозначив
u
-,B)
мы можем утверждать, что определитель этой матрицы
Проделаем теперь (если р2 ^ 1) в части матрицы F.19)'
расположенной под чертой, такие же преобразования
с помощью L2, какие мы делали с помощью Lx. Й снова
оставшиеся \i'2 столбцов перенесем в конец матрицы.
*) Степень оператора понимается в обычном смысле: Ъ^ =
= Lx Lx и т. д.
§ 3]
ПОСТРОЕНИЕ ЛП-гПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 209
Проделав такие преобразования со всеми Lh, приведем
матрицу F.17) к виду
4 i
w\
„(i).
F.20)
где v* = [д.! + ... + }Xn + Т) все определителиdet \Bh\ — 1,
а элементы «остаточной матрицы»
4f = Lr...L^TiL^+1...^y|f. F.21)
Легко видеть, что если бы все рк = 0, то матрица F.17)
уже была бы остаточной матрицей вида F.20).
3. Так как в F.21) все / меньше соответствующих mh
(ибо / «^ р'и < mh), то LfcWijP = 0. Значит, столбцы остаточ-
остаточной матрицы суть решения моноциклических уравнений.
Предположим, что среди чисел ц./; всего s чисел, отлич-
отличных от нуля, и обозначим их ц'х, l^x ^ s. Все решения
t4j\ отвечающие одному к, линейно независимы: они от-
отличаются общим сдвигом номеров по i от исходных г?^.
Так как
-l)+ S

210
ПТ-СЕТКИ II ЛП ^ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 6
31
ПОСТРОЕНИЕ ЛП^ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
211
то из леммы 7 следует, что все столбцы остаточной матрицы
линейно независимы. Значит, ранг ее равен [*! + ••• + \ь'п-
А ранг всей матрицы F.20) равен
+ [*1 + ... + |*п = V — Т,
что и требовалось доказать.
Результат этой теоремы можно несколько усилить, если
использовать также последовательность {р (i)}, введен-
введенную в гл. 2.
Теорема 4". Пусть выполнены все условия теоремы
4. Тогда последовательность точек Qo, (?l9 ..., Qt, ... с ко-
координатами
со значением т,
есть ЛЛ-с-последователъностъ в Ктг
определяемым F.16).
Доказательство. Так как {р (г)} представляет
собой ДР-последовательность с единичной направляющей
матрицей (vlf = 6,-;- — символу Кронекера), то, повто-
повторяя рассуждения п. 1 в доказательстве теоремы 4 (с оче-
очевидными изменениями, связанным с присутствием ц.о,
v\f и т. п.), придем к матрице, вполне аналогичной F.17):
F.17')
Легко видеть, что для выделения остаточной матрицы
достаточно проделать те же преобразования, что в п. 2
доказательства теоремы 4: в F.20) окажется еще один
«ящик» Во, содержащий единичную матрицу порядка ц0,
а в F.21) вместо г4/} будет фигурировать vul^,j- Ранг
остаточной матрицы снова окажется равным \i{ -f- ...+ \ik,
а ранг всей матрицы F.17) будет равен
И-0 + JlhPl + ¦-. + ЩгРп + И-1 + ••• + И"» — V — Т.
Замечание. Если считать, что ДР-последовательность
{Р (')} принадлежит некоторому моноциклическому оператору Lo
порядка т0 — 1, то теорема 4' окажется частным случаем теоремы 4:
в формулу F.16) добавится слагаемое го0 — 1, равное нулю. В ка-
качестве такого оператора Lo следует выбрать оператор Lou. = 'щ+у.
Этот оператор не принадлежит к типу F.5), п говорить о его моно-
моноцикличности можно только условно. Однако соответствующее ему
уравнение F.11) правильно определяет направляющие числа для
{р (i)}: из Fi+1 = 2~г Vi с начальным значением Ух = 2 сле-
следует, что все F. = 2 г. ^
Предложенное определение Lo имеет еще одну особенность:
соответствующий LQ многочлен F.6) есть просто х и представляет
собой неприводимый многочлен 1-й степени.
О точности формулы F.16) для т. Ниже приведен при-
пример 5, показывающий, что значение т, гарантированное
теоремой 4, не всегда является точным.
Теорема 5. Предположим, что все условия теоремы
4 выполнены, и обозначим Ьп — det | а^,8 \±- Если можно
выбрать все и his так, чтобы любой из периодов cofe = 2m& — 1
A ^ к ^ п) был взаимно простым с Ьп, то значение т,
определяемое формулой F.16), точное для последовательно-
последовательности {Pt} в Кп.
Доказательство. Выберем значение t = х—1
и рассмотрим такие \ih, что все (х^ = 1:
В этом случае остаточная матрица в F.20) будет содер-
содержать п столбцов Hv" = n + T = m-1 строк. Лемма 8
гарантирует существование такого набора чисел рх, ..., р„,
^ЬЛ^) линейн0 вависюш при
Из F.21) вытекает, что в остаточной матрице все юц
равны г#> со сдвигом tH=2: Psafc.s (напомним, что мы
1+1 If, J .

212
ПТ-СЕТКИ И ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЯ.
условились считать a,k,h = 0). Если мы сумеем выбрать
целые неотрицательные рх, ..., рп так, чтобы при 1
= Ря- (mod
F.22)
то столбцы остаточной матрицы будут линехшо зависимы
и ранг ее окажется не больше, чем п — 1. Тогда ранг
всей матрицы F.20) будет не больше, чем
1
= — 1 +
/.=1
= v—т—-1
Следовательно, {Pt} не может быть ЛЩ-последователь-
ЛЩ-последовательностью.
Остается доказать существование целых неотрицатель-
неотрицательных рг, ..., рп, удовлетворяющих системе сравнений F.22).
Во-первых, можно выбрать ([82], стр, 113) целые
числа |1( ..., %п так, чтобы
&nih = Р* (mod ©A).
Здесь как раз существенно, что ю^ взаимно просты с 6П.
Затем можно решить систему уравнений
s=l
F.23)
определитель которой 6п =f= 0 и которая имеет единствен-
единственное целочисленное решение pi, ..., рп.
Наконец, можно сделать все ph положительными, доГ
бавляя к ним (если нужно) члены вида %щ ... шп: сравне-
сравнения F.22) от этого не нарушатся.
Следствие. Предположим, что все условия теоре-
теоремы 4 выполнены. Если п > 1 и все периоды щ, ..., а>п —
простые числа, то значение т, определяемое формулой
F.16), точное для последовательности {Pt} в Кп.
В самом деле, лемма 6 позволяет выбрать ajj,s так» что
Ьп =1= 0. Тогда все условия теоремы 5 окажутся выполнен-
выполненными.
Построение лпт .последовательностей
213
Теорема 5'. Предположим, что все условия теоре-
теоремы 4 выполнены, и обозначим 6П = det | a^.s !"• Если можно
выбрать все a^s так, чтобы любой из периодов сой, кроме,
быть может, одного, был взаимно простым сЬп, то значе-
значение т, определяемое формулой F.16), точное для последо-
последовательности {Qi} в Кп+г.
Схема доказательства. Повторяя рассуж-
рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 5,
мы вместо F.22) получим систему сравнений
= Р» (mod ооft),
F.24)
s—\
и вопрос сведется к подбору (п + 1)-го целого числа \i0
Рп •••) Рп- Если Wf;0 не взаимно просто с бп, то положим
l^o = Pffo» ^h = 0, а остальные \,h найдем из сравнений
nlft == Pfe — Цо (mod o>ft).
рп, которые
Затем решим систему F.23) и найдем рх,
вместе с |л0 удовлетворяют F.24).
Следствие. Предположим, что все условия теоре-
теоремы 4 выполнены и п ^> 1. Если среди периодов «х, ..., соп
по крайней мере п — 1 простых чисел, то значение т,
определяемое формулой F.16), точное для последовательно-
последовательности {Qt} в Кп+К
Пример 5. Рассмотрим операторы Lx и L2 из при-
примера 3. Так как тх = 2, т2 = 4, то формула F.16) дает
т = 4. На рис. 6.5 нанесены первые 64 точки последова-
последовательности {Pi}, построенной по ДР-последовательностям,
принадлежащим этим операторам (начальные направляю-
направляющие числа Vt = 2-{). Эти точки образуют ГГ3-сетку. Можно
проверить все варианты остаточных матриц и убедиться,
что в действительности {Pi} — это ЛП3-последователь-
ность.
В этом примере
*/) = 0 (mod 15),
в то время как со, — ~д, со2 = id. Условия теоремы 5
не выполнены.
о2 = —
= 3, со2 = 15.

214
ПТ_СЕТКИ И ЛП ^ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 6
Данные, приведенные в примере 4, позволяют явно
записать систему F.22) (рх = 1, Р2 = 6) так, что
= 1 (mod 3),
A0 + 15V)pi = 6 (mod 15).
Очевидно, первое из этих сравнений неразрешимо.
.4»
Рис. 6.5.
Однако соответствующие этим же двум ДР-последова-
тельностям точки {Qt} образуют ЛП4-последовательность
в К3, ибо условия теоремы 5' выполнены. Систему F.24)
можно записать (выбрав сц.г = 0) a2>i = Ю) в форме
ц.о = 1 (mod 3),
ц„ + 10pi = 6 (mod 15),
откуда fi0 = 1, px = 2, p2 — любое.
Поставим вопрос: существует ли бесконечно много
последовательностей {Pt} и {Qt}, для которых F.16) дает
точное значение т? Из теорем 5 и 5* вытекает, что ответ
ПОСТРОЕНИЕ ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
215
на этот вопрос будет положительным, если существует
бесконечно много простых периодов а>к. Последнее утвер-
утверждение равносильно хорошо известной в теории чисел
нерешенной проблеме о бесконечности множества простых
чисел Мерсенна — так называются числа вида 2™ — 1
([115]; [821, стр. 37).
Наименьшее значение t в формуле F.16). Чем меньше т,
тем лучше распределены точки ЛПх-последовательности.
Поэтому особенно интересно рассмотреть точки {Qi},
получающиеся при использовании моноциклических опе-
операторов возможно низких порядков.
Обозначим через ns количество моноциклических опе-
операторов, порядки которых т ^ s. Очевидно,
F.25)
Если ns < п < nm, то наименьшее значение Tn+i, которое
можно получить по формуле F.16), равно
т=\
ИЛИ
tn+i = 2 (m - 1) mrhf B"* - 1) + (n - na) s,
_1) + („_п.)(* + 1)~п. F.26)
Некоторые значения Tn+i приведены в таблице 6.2.
Таблица 6.2
п
1
0
2
1
3
3
4
5
5
8
6
11
7
15
8
19
9
23
10
27
И
31
12
35
Есть немало работ, посвященных исследованию асимп-
асимптотического поведения различных сумм, содержащих функ-
функцию Эйлера (например, [103]), однако асимптотика сумм,

216 ПТ-СЕТКИ И ЛП,-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. 6
входящих в F.25) и F.26), по-видимому, неизвестна.
Поэтому мы воспользуемся более грубым неравенством
Ф (к) ^> Ck/log2 log2 к (где С ^> 0), в силу которого
Ф Bт - 1) > С B - l)/log2 т. F.27)
Теорема 6. Для наименьшего значения т = тп4.1
в формуле F.16) при п —> оо справедлива оценка
Т„+1 < п floga я + Jog2 log2rc + Iog2log2log2re + О A)].
F.28)
5 то же время тп+1 !> Сгп Iog2?z/log2]og2re, г<9е Сх> 0.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится
вспомогательная лемма:
Если т] (s) > 0 а т] (s + 1) -~ т] (s), вог^а ^ —> <», wo
яры s —>¦ со
2m
2S+1
Г) (то) r](sj •
Доказательство леммы. Обозначим
Умножив равенство
S-f-I
2m
F.29)
Г№=1
г\(т)
на tj (s + 1J"(SH1), получим
2т
2S+1
При 5 —> оо отсюда следует, что z
сильно F.29).
Перейдем к доказательству теоремы.
Так как ф (k) ^ к, то из F.25) и F.29) следует
2, а это равно-
равнот
ПОСТРОЕНИЕ ЛП-^ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
217
с другой стороны, из F.25), F.27) и F.29)
Логарифмируя оба полученных неравенства, имеем
s — log2s — log2log2 s + О A)<
<log2n<s-log2s+2 +о A). F.30)
Из F.30) нетрудно вывести оценки для s. Во-первых,
s < log2^ + log2s + log2log2s + О A).
Взяв логарифмы от обеих частей, получим
log2s < Iog2log2n + о A). F.31)
Подставляя F.31) в правую часть предпоследнего нера-
неравенства, найдем
s < log2» + log2log2« + log2log2log2n + О A). F.32)
С другой стороны, из F.30)
s > log2n + log2s — 2 + о (IV,
а отсюда log2s ^> log2log2re + о A). Подставив это соотно-
соотношение в правую часть последнего неравенства, получим
; + log2log2rc -2 + 0 A). F.33)
Перейдем теперь к оценкам т„+1. Из F.26) с учетом
F.25) получаем
= ns — п. —
т=\
Вместе с F.32) это даст нам требуемую, оценку F.28).
С другой стороны,
*„+1 > 2 Ф Bте - 1) - ns == 2 A - а») Ф BП - !)•
m=I
m=l

218
ПТ-СЕТКИ И ЛПТ_ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЙ !гЛ. fi
Используя F.27) и F.29), получ:
чим
m=i
т
2m—
C2S+1
Числитель и знаменатель последнего выражения оценим
с помощью F,33) и F.31):
Из последнего неравенства следует второе утверждение
теоремы.
Замечание. Уточнив значение постоянной С в
F.27), можно доказать, что величина О A) в F.32) отрица-
отрицательна при п -> оо.
Оценка постоянных t (п). Из теоремы 4* и леммы 3 вы-
вытекает, что Пх-сетки существуют в Кп при любых п. Более
того, методом леммы 3 можно построить Пт-сетку со
значением F.16) в Кп+2. Поэтому из теоремы 6 следует,
что т (п -f- 2) ^ тп+1, а при п -> оо
т (п) = О (л log /г).
Мы уже видели, чтот A) — т B) — 0. Докажем теперь,
что т C) — 0. Для этого рассмотрим ДР-последователь-
ность {q (г)}, принадлежащую моноциклическому операто-
оператору первого порядка и^г -\- ut. (Эта последовательность
уже изучалась нами в § 3 гл. 3.) По теореме 4' последо-
последовательность точек с координатами (р (г), q (i)) есть ЛП0-
лоследовательность на квадрате К2. Следовательно, сет-
сетки, состоящие из точек К3 с координатами (р (i), q (i), i/N),
0 < i < N — 1, где N = 2V, будут П0-сетками в Z3.
Пусть {рB) (г)} — какая-нибудь ДР-последователь-
ность, принадлежащая оператору второго порядка
+ u Сек
u
i+i
дщя оператору второго порядка
г+г + i+i + ut- Сетки, состоящие из точек с координата-
координатами (р (i), q (г), р^ (i), i/N), будут Пх-сетками в К*. Прини-
Принимая во внимание лемму 2, получим, что т D) = 1.
Всегда ли т (п -\- 2) = тп+1, как это имеет место для
п ^ 2,— неизвестно.
4]
ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
219
§ 4, Использование Пт-сеток п ЛПт-последовательностей
для вычисления многомерных интегралов
Первый пункт настоящего параграфа можно читать
независимо от всей книги.
Способ вычисления n-мерных интегралов. Мы исполь-
используем простейшую формулу интегрирования
JV—1
F.34)
i=0
в которой Qi — точки единичного «-мерного куба (или
re-мерные векторы): Qt — (qn, . . ., qin).
Таблица 6.3 позволяет легко вычислять точки (H,
Qv . . ., Qn-ъ которые при любом N образуют «хорошую»
формулу интегрирования F.34). Количество точек iV< 221,
размерность п ^ 13.
В таблице приведены числители координат точек Vg,
которые называются направляющими точками*). Знамена-
Знаменатели всех координат точки Vs равны 2s, так что, например,
8 ' 8
Если требуются точки меньшей размерности п, то следу-
следует ограничиться первыми п координатами.
Правило вычисления точек QQ, Qu . . . ,^Qi7...: если
в двоичной системе **)
то
I — ^т^т-1- • • ^2
= е*Уг * e2F2 * ... * emVm:
*) Координатами направляющих точек VB служат направляющие
числа Vs, соответствующие различным моноциклическим опера-
операторам.
**) В десятичной системе эта запись означает, что
2т'1е
ет,
где все ek — двоичные цифры (то есть равны либо нулю, либо еди-
единице).

220
ПТ-СВТКИ И ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 6
ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
221
CO
СО
ГТ
R
«О
¦-.
8
С*
со
to
ю
о>
00
«о
1С
со
S
со
00
^-н 1П
со
to
^-< с—
СО
1П
to
^i in
m
in
to
00
—1
•ГЧ С~
CO
-*н OS
^ in
oo
*i in
eg
f-
m
CM
-гн 1П
in
CM
•гч 1П
O0
in
¦^
•SH 1П
—i 1П
н CO
-и eg
^^
-tf
to
eg
CO
,—;
to
CSl
со
—'
с
eg
in
о
m
CO
in
¦^
CO
in
CO
eg
in
CM
—I
O5
о
CO
CM
00
,
eg
465
CO
t--
I--
to
CO
^H
-?H
-<
CO
r—
о
t~-
eg
oo
eg
<л
in
in
CO
CM
CM
со
oo
:
t~-
co
CO
in
eg
OS
OS
CO
to
CO
cm
in
•rH
s
CO
era
to
CO
as
c—
re
433
_l
00
a>
CM
со
in
CO
¦CO
Ю
00
t~-
l—
eg
eg
CD
О
h-
1-5
CM
eg
00
C2
CO
rH
c-
1П
.to
to
^,
-ч-f
iM
«o
O5
c~t
!O
a)
CO
oo
eo
CM
m
Ю
l^-
t»
in
CM
ю
in
со
in
in
.CO
in
со
eg
CO
in
in
00
in
CM
!>•
to
~ч
CM
1
о
CO
CD
00
CD
CO
t~
CM
eg
t—
CM
eg
¦^
in
uu
to
a>
in
CO
t»
r>
t—
CO
as
CO
CO
C3
CO
c—
CO
CD
CO
to
CM
r-
on
CVJ
oo
t—
CO
r—
ГМ
\O
r<\
CM
ro
Ю
00
00
Ю
со
in
c—
Ю
1—I
CM
in
CO
CSt
CO
•H
CO
•H
1—
200
<-)
o>
60S
CO
¦^H
CO
^H
CO
t~
_
en
ss
to
CO
in
о
¦*
<T>
CM
CM
to
ro
CM
CO
sf
¦o
eg
in
!>•
[>•
O5
c~
t—
CO
CD
1П
П5
op
со
101
219
•гН
1П
CO
ем
00
^-1
CO
CO
00
5
CO
in
c—
00
CO
t—
сь
CO
.—1
о
lO
m
CO
CO
о
IO
Sj<
00
eg
о
m
00
eg
CO
tyi
CO
со
t—
t—
in
CO
I—
CO
CO
со
123
CO
CD
475
in
00
со
OS
eg
in
en
IO
00
in
c~
CM
T
<o
00
о
to
1—
1-1
Ю
in
in
•rH
Л5
2§
CD
., j
CO
00
eg
eg
>n
eg
eg
CO
rs
-—1
eg
ns
m
CM
CM
s
r-
293
169
П5
t~
.—!
-!O
as
CM
Ю
CO
о
Vh
r?
t—
Ю
rn
•-f
n
CO
E--
m
CM
in
CO
in
ro
CO
-ct1
o>
m
in
^^
CM
1—
eg
in
fT)
r—
CO
со
-r-f
CO
CO
in
12
CO
—H
00
c—
c—
as
r—
CM
ro
in
1Л
t—
CO
36
CO
h-
ГО
as
vt«
00
as
00
00
eg
CJS
о
in
ем
CO
CO
о
CD
t~
CO
__,
о
TO
eg
tn
as
CM
-*
in
ОС
00
CM
eg
CO
•rH
00
c-
CO
to
417
191
CO
in
in
CM
-H
CO
CM
m
OS
00
4J<
c3s
^
eg
CM
CO
о
OS
in
s
i—!
CO
о
—1
CO
9.1
00
00
о
1
157
151
in
in
as
•rH
t-
1П
ГО
где * означает поразрядное сложение по модулю 2 в дво-
двоичной системе. Как правило, во всех ЭВМ есть специаль-
специальная команда, осуществляющая операцию *: это так назы-
называемая команда «сравнения» (в каждом разряде числа
«складываются» по правилам 0 + 0 — 14-1=0, 0 +
-j-l = l-f-O=l). (Подробнее об операции * -еказано
на стр. 119 *)¦)
Для разъяснения этого правила вычислим точку (?22
в 4-мерном кубе. В двоичной системе число 22 запишется
как 10110. Значит, Q22 — V2 * F3 * F5- Отдельные ;ко-
ординаты точки Q22 таковы:
1
#22,1 — ~T~ ;
. 4_ * i = o,oi * 0,001 * o.ooooi = 0,01101,
о 6Z
17
~зТ
= 0,11 * 0,101 * 0,10001 = 0,11101,
= ± * J- * JL - 0,01 * 0,111 * 0,01101 = 0,11001,
32
J_ н, JL = 0,11 * 0,001 * 0,11111 - 0,00011.
8 32
II 11ТаК' ^22 - \~32" ' W > ~W ' ~32"J
13
25
Количество операций, затрачиваемых на ЭВМ для вы-
вычисления Qi, растет с ростом i, но медленно, как log2i.
Используются только простейшие (логические) операции,
которые выполняются на ЭВМ быстрее арифметических
операций.
В самом деле, для выделения двоичного знака es числа i ис-
используются только сдвиг и логическое умножение Д-@Л'0 =
= О, О Л 1 = 1 Л 0 = °> 1 Л 1 = 1); если е& = 1- т0 координаты
Vs «прибавляются» операцией * к накапливаемым координатам Qt,
а если еа = 0, то координаты Vs не прибавляются.
Блок-схема программы для вычисления Q. приведена на рис.
6.6, где предполагается, что число i записано в нормализованной
ф 0 X 2т и заготовлена константа г; = 1/2
, де пред
форме i = 0, е
то число i записано в р
форме i = 0, етет_1... <?х X 2т и заготовлена константа г; = 1/2,
которая содержит лишь одну единицу в первом (после запятой)
разряде: v = 0, 100... X 2°; индекс 1 < г < п. При 5 = 0 точка
<?о = @, 0,..., 0).
*) В машинах с плавающей запятой перед применением опера-
операции* слагаемые У3 должны быть денормализованы.

222
П,-СЕТКИ И ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 6
Нетрудно сосчитать, что если О «sj i ^ 2V — 1, то на вычи-
вычищение каждого Q. в среднем затрачивается v — 1 циклов этой
программы, причем «сложение»
Полагаем:
Да
Нет
%нт получается сдвигом
t на 1 разряд вправо
Нещ
Vs осуществляется лишь в v/2
циклах (в среднем).
Различные координаты
точек Qt неравноправны:
координаты с меньшими
номерами распределены
лучше. Поэтому перемен-
переменные в подинтегральной
функции/(а^, . . .,хп) по-
полезно нумеровать так,
чтобы наиболее сущест-
существенные координаты имели
меньшие номера. Интерес-
Интересно, что такая ситуация
часто встречается в зада-
задачах, решаемых методом
Монте-Карло: сперва моде-
моделируют наиболее сильно
влияющие параметры, а
затем — всё менее и ме-
менее существенные.
Пример 6. Рассмотрим интегральное уравнение
y(P')dP'
G
или, в операторной форме, у (Р) = Я К у (Р), где Р и Р" —-
точки, принадлежащие области G в трехмерном простран-
пространстве, dP'' — элемент объема. Уравнение это называется
интегральным уравнением Пайерлса *). Оно играет боль-
большую роль в теории ядерных реакторов, так как вопрос о
критичности области G сводится к нахождению первого
собственного значения Я = Ях этого уравнения.
Для вычисления Ях можно использовать метод последо-
последовательных приближений в форме О. Келлога [84]: выби-
выбираем произвольную функцию ф0 (Р) ^> 0, находим ее
итерации cpft+1 (Р) = Кф/{ (Р), к = 0, 1, 2, ..., и вычисляем
*) Здесь оно записано в упрощенной форме; считаем, что
а (Р) = а.
Рис. 6.6
§ 41
ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
223
скалярные произведения (cpfc, <р0) = \ [J (Р) ц>1: (Р) ср0 {Р) dP.
Пусть
; тогда
Л@)
В работе [85] скалярные произведения (фй, ф0) вычисля-
вычислялись методом Монте-Карло с по-
помощью случайных блужданий фик-
фиктивной точки Р0-^Pi —у ...-*- Pk
в области G.
Рассмотрим один из примеров
этой работы: пусть G — однород-
однородный шар радиуса 1, а = 1,279,
Р = ha, где h = 1,724. Значение
Кг для этой задачи известно:
Ях = 1,000 (с точностью до 0,0005).
Выберем ф0 (Р) = 1 и вычислим шесть приближений
\it)i 0 ^ к ^ 5. Расчетные формулы из [85] (учитываю-
(учитывающие симметрию задачи) запишем в следующем виде.
Расчет траектории номер i:
а) находим псевдослучайные числа 7ы» • • •» Тгдз!
б) выбираем начальное положение точки р0 = У^гд?
MQ = 2nhapo'i
в) рассчитываем к-я случайный пробег, 0 ^ к ^ 5:
Рис. 6.7.
к = — M-sPs + /1 — р3, A — |iak)
— (I/a) In A —
Л
На рис. 6.7 изображена одна траектория; положение точки
^h (c радиусом рй) обозначено цифрой к.
Значения Mh — М\Р, сосчитанные для ка?кдой траек-
траектории, суммируются @ ^ ъ ^ N — 1). Скалярные

224
ПТ-СЕТКН И ЛПТ_Г1ОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЙ
[гл 6
произвед евия (<рй, ф0) приближенно равны величинам
)
г=0
Из расчетных формул видно, что каждое значение
Мкл1 зависит от 2к -\- 3 чисел yitr, другими словами,
(фь+1> Фо) — BА; + 3)-кратный интеграл. В нашем примере
вычисляемые интегралы имеют кратности 1, 3, 5, . . ., 13.
В таблице 6.4 приведены результаты расчета этого при-
примера *). В качестве псевдослучайных чисел использова-
использовались координаты точек Qt (так что y^r — qtr).
Таблица 6.4
Л-0
к = 1
к = 2
к = 3
к = 4
А; = 5
А = 6
А = 0
А1 = 1
А = 2
к = 3
А = 4
А; = 5
А; = 6
9,
8,
8,
8,
8,
8,
7,
20,
9
8
8
8
8
8
8
3S
2»
20851
65795
41019
35104
28948
15434
97718
2
4-2"
,23541
,65353
,39828
,27695
,20803
,18576
,16580
,3
2»
9,22249
8,64846
8,42388
8,33810
8,24262
8,12117
8,05455
33,7
5-2"
9,23508
8,65336
8,39719
8,27606
8,20792
8,16790
8,15557
33,8
N
210
9,22941
8,65278
8,40858
8,27457
8,25958
8,20422
8,14409
2,3
9,
8,
8,
8,
8,
8,
8,
24,
JV
6-2"
9,23542
8,65302
8,39613
8,27206
8,19511
8,14208
8,12969
2,6
9
8
8
8
8
8
8
13
2»
23285
65363
40299
28400
22625
22359
18652
0
7-2»
,23542
,65328
,39697
,27319
,19628
,15790
,15475
,2
2-2"
9
8
8
8
8,
8,
8,
46,
9
8
8
8
8
8
8
23456
65353
39932
28367
21091
24665
24667
7
8-2»
,23584
,65339
,39682
,27227
,20029
,16507
,15261
3-2»
9,23457
8,65364
8,40019
8,28226
8,20452
8,21540
8,19772
61,4
10,7
21,9
37,5
57,3
81,1
110,9
147,0
*) Расчет осуществила В. А. Красноярска.
ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
225
Если бы расчет проводился по «настоящим» случайным
числам yUr, то (<pfc, ф0)^ сходились бы к (фл, ф0) со ско-
скоростью i/YN. В последнем столбце таблицы 6.4 приведе-
приведены полученные в ходе расчета значения дисперсии DMft,
по которым можно оценить вероятные ошибки такого при-
приближения: 6hN — 0,675)/ D'Mu/N.
В нашем расчете, по-видимому, скорость сходимости
равна 1/N. На это указывают два факта: во-первых, мож-
можно условно принять последние значения (при N = 214)
за точные и убедиться, что с ростом N величины
flfejv = -ЛП(фь.оФо)дг— (Фй,ФоЬ практически не растут
(в последней строке таблицы 6.4 приведены значе-
значения t]3jv); во-вторых, погрешность большинства значе-
значений (фА, фо)№ в таблице во много раз меньше, чем соответ-
соответствующие bkN.
Приближенные значения K(,.)N = (фй, фо)^/(фл+и Фо)я
приведены в таблице 6.5.
Таблица 6.5
N
\o)N
\l) N
\i)N
N
\o)N
\\.)N
^B)JV
hs)N
AD)JV
2»
1,0636
1,0285
1,0080
1,0074
1,0166
1,0222
2»
1,0664
1,0267
1,0105
1,0113
1,0150
1,0083
4-2"
1,0672
1,0304
1,0147
1,0084
1,0027
1,0024
210
1,0666
1,0290
1,0162
1,0018
1,0067
1,0074
5-2"
1,0672
1,0305
1,0146
1,0083
1,0049
1,0015
2»
1,0669
1,0298
1,0144
1,0070
1,0003
1,0045
6-2»
1,0673
1,0306
1,0150
1,0094
1,0065
_ 1,0015
2-2»
1,0671
1,0303
1,0139
1,0089
0,9957
1,0000
7-2"
1,0673
1,0305
1,0149
1,0094
1,0047
1,0004
3-2»
1,0671
1,0302
1,0142
1,0095
0,9987
1,0022
8-2"
1,0673
1,0306
1,0150
1,0088
1,0043
1,0015
И. М. Соболь

226
ПТ-СЕТКИ И ЛШ- ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Сгл. 6
Пример 6 показывает, что точки Qt выгодно использо-
использовать в качестве псевдослучайных *) точек при расчете,ме-
расчете,методом Монте-Карло задач с ограниченной размерностью
(п «^ 13). Количество точек 221 ^ 2Л06 для большинства
расчетов достаточно **).
Более общая постановка вопроса о псевдослучайных
точках изложена в § 1 гл. 7.
О выборе направляющих чисел. В теоремах 4 и 4"
фигурируют любые ДР-последовательности, принадлежа-
принадлежащие моноциклическим операторам. Оценка т не зависит
от того, какую ДР-последовательность, принадлежащую
данному оператору, мы выберем. Однако «качество» на-
начальных участков ЛП^-последовательностей при N<^ 2и-1+т,
вообще говоря, зависит от выбора конкретных ДР-после-
довательностей. Чтобы показать это, приведем следующий
пример.
Пример 7. Рассмотрим ЛПт-последовательность на
квадрате К2, образованную точками с координатами
ха. = Р{3) (*). *i2 = P(i) @. где p&(i) и pi* (i) - ДР-по-
ДР-последовательности, принадлежащие соответственно опе-
операторам
+ «1+1 + ui И Ui+3 -f Иг+2 + Ut.
Согласно F.16) х = 2 C—1) = 4, причем значение это
точное, ибо оба периода со = 23 —1 = 7 простые.
Направляющие числа для p^(i) выберем следующие:
Fx = 1/2; F2 = 1/4; F, = 1/8;
далее
vi+3 = vt •vux***Vi.
А для другого оператора рассмотрим два варианта направ-
направляющих чисел:
Vx = 1/2; F2 = 1/4; V3 = 1/8;
квазислучайных — некоторые авторы различают эти
*) Или
понятия.
**) В случае надобности таблицу 6.3 легко расширить. Нуж-
Нужные для этого моноциклхгаеские операторы имеются в таблице
6.1, Расчет дальнейших направляющих чисел Vs по формуле F.11)
затруднений не представляет.
§ 4]
ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 227
далее,
далее,
F'2=3/4;
Соответствующие ДР-последовательности обозначим
]?(*) (i) и pW (i). Значения первых 16 точек этих последо-
последовательностей приведены в таблице 6.6.
Таблица 6.6
г
рC)@
P{i)(i)
P(i)V)
i
рC)@
P(i)(i)
P{i)V)
0
0
0
0
1
V*
V«
Vi
9
1
Vie
Vie
Vie
2
Vt
v«
'/•
3
SA
V4
10
Vie
15/ie
15/ie
4
Vs
Vs
Vs
и
Vie
Vie
Vie
5
Vs
«/e
Ve
12
15/l6
Vie
Vie
6
Ve
Va
Vs
13
Vie
Vie
Vie
7
'/•
Vs
Vs
14
u/ie
ls/ie
Vie
8
18/ie
u/ie
Vie
15
Vie
Vie
ls/ie
Сетка, состоящая из 16 точек xix — p^3)(i), xi2
построена на рис. 6.8, а сетка, состоящая из 16 точек
хп = р(з) (j), хн = рD)'@> построена на рис. 6.9; первая
из них — плохая сетка с фоо = 16, в то время как для
ВТОРОЙ фоо = 4.
Теоретически этот вопрос не исследовался. В таблице
6.3 начальные направляющие числа выбраны так, чтобы
проекции ЛПт-последовательности {<?$} на двух- и трех-
трехмерные грани вида Kiu tl+l и Kiu i1+liit+2 были хорошими
при малых N.
Погрешность формулы F.34). Из теорем 1 и 3 и формул
D.49), D.52) следует, что если использовать в качестве се-
сеток интегрирования Пт-сетки или, как это сделано в
F.34), начальные участки ЛПт-последовательностей, то
погрешность формулы D.29) на линейном пространстве

22S ПТ.СЕТКИ И ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Sp будет
[ГЛ. 6
Порядок сходимости оказывается наилучшим.
Однако для практических целей важен не только поря-
порядок сходимости, который приблизительно одинаков для
всех рассмотренных в книге «хороших» сеток, но важны
х2
1
О
¦
о
е
в
о
•
О
•
О
•
•
•
•
О
>
о
О
о
о
•
»
ш
о
1 Х-,
J
1 Х-,
Рис. 6.8.
Рис. 6.9.
также значения констант. К сожалению, в оценках по-
погрешности любых из этих сеток константы растут с рос-
ростом п.
Одно из достоинств нашей теории — то, что мы знаем
нижние границы для констант. И хотя эти границы точны
лишь при п = 1, но они позволяют нам судить о величине
константы в F.35) при небольших п. В самом деле, из
D.49) и D.51) следует, что ||б|| >. I/TV1? при любом п > 2.
Ясно, что значения 2" 14T<n) в F.35), равные при п — 2, 3,
4 соответственно 2,4, 16, можно считать небольшими.
Поэтому можно смело рекомендовать Пт-сетки и ЛПТ-
последовательности как хороший метод для вычисления
интегралов не слишком большой кратности (п <^ 4) от не
слишком гладких функций.
Автор не сомневается, что такие сетки и последователь-
последовательности полезны также при больших п. Это видно из приме-
примера 6. Однако численных экспериментов в этом направле-
направлении пока проведено мало и делать категорические утвер-
утверждения нельзя.
§5]
ОЦВНКИ ОТКЛОНЕНИЯ
229
Пример 8 [98]. Рассмотрим две «плохие» функции от трех
переменных:
ф1 =4,5 | asi —as2| Vxs,
ф, = 5,818605 («1 — 1/10) 1^1*2—1/91 |Л,.а_1/8'.
Интеграл от каждой из этих функций по кубу К3 равен 1. Прибли-
Приближенное вычисление интегралов осуществлялось по формуле D.29)
пятью методами ^- по всем сеткам, рассмотренным в гл. 5 и 6.
Использовались:
а) равномерные сетки 20 с Ри = 1/2 (N = 216, 512, 1000, 1728,
4096);
б) параллелепипедальные сетки 2П (N = 199, 523, 1069, 2129,
4001);
в) отрезки последовательности Холтона 2* (iV = 2s, 2s, 210,
2ii 212)*
' г) сетки Хэммерсли 2Я (N = 28, 2е, 210,'2u, 212);
д) Пэ-сетки (р (*), q (О, НЮ (N = 2», 29, 21», 2", 212)..
В таблице 6.7 приведены величины
111
ш
JV-l
| о о о " -г=о
В этом примере точность По-сеток оказалась лучше точности
других «хороших» сеток (б, в, г), хотя порядок сходимости практи-
практически тот же.
S
?'»
1.
«10g2iV
8
9
19
И
12
а
4,9
6,2
7,5
8,6
10,7
б
4,2
4,2
4,1
7,5
7,1
в
0,1
1,4
1,4
0,6
0,8
г
3,1
2,2
1,2
2,7
3,0
«I
1
1,6
3,9
0,5
0,3
0,9
2
«lOgsW
8
9
10
11
12
а
0,6
7,7
6,8
71,7
20,7
Та
б
1,6
0,2
0,9
3,6
6Д
5 ЛИ
В
4,8
2,9
5,3
6,1
6,9
ца
г
2,3
0,8
2,1
1,6
2,5
э.7
д
0,2
0,1
0,4
0,3
0,6
I
§ 5. Оценки отклонения
Отклонение — это наиболее распространенная харак-
характеристика равномерности распределения. Оно подробно
рассматривалось в гл. 3. Определение отклонения в п-
мерном случае — см. стр. 161.

230
ПТ-СЕТКИ И ЛП^-ЛОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 6
Отклонение Пт-сеток. Рассмотрим всевозможные Пт-
сетки, состоящие из N = 2V точек в Кп, и обозначим че-
через ?>v,n>T верхнюю грань отк-
отклонений D по всем таким сет-
сеткам.
Теорема 7. Если v ]>
п
1 + т, то
га—1
5=0
- F>36)
1/2
Рис. 6.10,
Доказательство.
Выберем в Кп произвольную
/ хп Пт-сетку 2, состоящую из
2^1 точек с координатами
(ха,. . . , xin), 0 < i < 2^1.
Разделим эти точки на два
множества: точки, у которых xin <^ 1/2, и точки, у ко-
которых xin > 1/2.
Множество точек, у которых xin <^ 1/2, после преобра-
преобразования координат
снова образует Пт-сетку 2\ состоящую из 2V точек. Если
zn < 1/2, то (рис. 6.10)
^п) — 2"+1ж1 • • -а-п = ^"ff/2 (^,• • • ,х'п) — 2vxi...х'п.
Отсюда видно, что при х п <^ 1/2
| SN {хг, . . ., хп) - 2^хх. . . хп\ < ?>V)n,x. F.37)
Пусть теперь хп >1/2. Точки сетки 2, у которых х1п > 1/2,
после преобразования координат
x"s = xs, I < s < /г — 1; хп = 2zn — 1,
тоже образуют Пт-сетку 2", состоящую из 2V точек. При
этом (рис. 6.11)
SN(xlt..., xn) — 2*1х1...хя = [
§ 51
ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ
231
Последняя разность не превосходит ?>v,n-i,T5 ибо проекция
сетки 2' на грань K12...n~i (или, что то же, на плоскость
хп = 0) есть снова Пт-сетка
(лемма 1). Поэтому для
хп > 1/2
<Z)v>n>T + Z)vm.1,T. F.38)
Из F.37) и F.38) следует,
что
F.39)
Чтобы решить разностное не-
неравенство F.39), нужны «кра-
«краевые условия».
Во-первых, докажем, что при п = 1 и любом v ^> т
Д,1.т = 2"'. F.40)
В самом деле, из определения Пт-сетки следует, что,
поделив [0, 1] на 2V~T равных частей, найдем в каждой из
них по 2Т точек сетки. Если х = |2T~V -f- x', где 0 ^ х' <;
<2T-V, то (рис. 6.12)
SN {X) -
') - 2*х = N'
Здесь N' — число точек сетки в [|2X-V, ж),— так же как
и 2''х', заключено между 0 и
Д^ 2*. Поэтому \SN (x)—Nx\*? 2х,
¦ J0 ,о, I , в I За' »- а отсюда следует, что Z?v,i,t ^
О /""'^""л; 1 & -^ 2х. Остается доказать, что
эта оценка точная.
Рис. 6.12. Поместим «последние» 2х
точек Пт-сетки в точку
х = 1. Тогда при х = 1 — &/N получим
\SN (х) — Nx\ = \(N - 2х) - N A — .8 /N)\ = 2* — е.
Ясно, что sup | SN (x) — iVa;| = 2х.
В качестве второго краевого условия выберем три-
тривиальное неравенство «на диагонали» (рис. 6.13):

232
П.,.-СЕТКИ И ЛПТ-ПОСЛЕДОВАТЬ ЛЬНОСТИ
[ТЛ. 6
при v = п -\- х — 1
F.41)
Допустим, что при некотором v (v ^> т) и при всех
1 < /г < л> — т+1 оценка F.36) верна. Легко видеть,
что в силу F.40) и F.41)
эта оценка будет справед-
справедлива также для п = 1 и п =
— v — т + 1. Но тогда для
значения v -f- 1 при любом
п, удовлетворяющем неравен-
неравенствам 1 <; /г < v — т-}-2,
из F.39) получим
71— 1
2G)
.3=0
П—2
О 1 Z 3
Рис. 6.13. з=о J э=о
Для полноты доказательства по индукции остается
проверить справедливость формулы F.36) при v = т + 2
и п = 2. В этом случае Z)t+2,2,t^ #t+u,T + ^x+i.i.x^
i
^ 2'с+1 + 2т = 3»2Т, что и требовалось: 2Т2 (^) =3-2Т.
3=0
Таким образом, теорема доказана.
Отклонение ЛПт-последовательностей. Рассмотрим
теперь произвольную ЛПт-последовательность в Кп и
обозначим через Sjv начальный участок этой последова-
последовательности, состоящий из точек с номерами 0 ^ i ^ N — 1.
Теорема 8. Для произвольного начального участка
любой ЛП^-последователъности в Кп при N ^ 2п1+т спра-
справедлива оценка отклонения
Я—1 /Vl—T+1N
F.42)
= Ц (log2iV) — целая часть логарифма N.
§ 5]
ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ
233
Доказательство. Пусть
где vx>v2 >...>vfe>n-l + t, aO<iVfe< 2"-i«.
Разобьем начальный участок 0 ^ i < iV на участки
Первые к участков — это Пт-сетки. Очевидно,
где различные функции 5(;) отвечают различным участ-
участкам сетки, так что S°l (х-,, . . ., хп) — число точек /-го
2 3
участка, принадлежащих параллелепипеду [0, хг) X ¦ ¦ ¦
... X [0, хп). Поэтому
3=1
Отсюда следует, что
к
л СО<2 ?*,.»., +
3=1
Оценка F.43) более точная, чем F.42). Однако она сущест-
существенно зависит от двоичной структуры числа N. Поэтому
предположим, что в F.43) Vj принимают все возможные
значения, a Nh максимально. Получим неравенство
D (Sw) < 2 D*. п, т + 2"-^ - 1 •
Подставим сюда оценку F.36):
Vi П—\
d <2*) < 2- 2 2 (V7)
+ j

234
ПТ-СВТКИ И ЛПТ-ПОСЛВДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. 6
Введем новый индекс суммирования s = v — т и поменя-
поменяем порядок суммирования:
П—1 V,—Т
F.44)
3=0 s—n—l
Внутреннюю сумму вычислим при помощи формулы
ft—1
^~_. U = li+i/ *
Получим
s—n—1
s=j
8=J
где последний член при j = п — 1 надо полагать равным
нулю. Подставляя последнее выражение в F.44), после
несложных вычислений получим F.42).
Асимптотика при Ж -> сю. Так как v и vx стремятся
к оо вместе с N, то из F.36) и F.42) следует, что
D,
2Т
Порядки правых частей равны соответственно g
и logniV и совладают с порядками оценок для наиболее
равномерных среди известных сеток и последовательностей,
рассмотренных в § 3 гл. 5. Асимптотические значения по-
постоянных в этих оценках неизвестны. Можно, однако, от-
отметить, что из F.28) и формулы log2 (п\) = п log2n —
— п log2e + A/2) log2re + О A) вытекает, что
log2 B7n!) < n log2log2rc [l + o A)],
в то время как соответствующая оценка постоянной для
последовательности Холтона (см. E.15) и стр. 184) есть
log2 (п\) = n\og2 n
A)].
5]
ОЦЕНКИ ОТКЛОНЕНИЯ
235
Случай п = 2. Если вместо тривиального краевого
условия F.41) использовать какую-нибудь содержатель-
содержательную оценку, то и F.36) и F.42) можно улучшить. Проде-
Проделаем это для квадрата К2.
Лемма 10.
F.45)
Доказательство. Разобьем квадрат К2 на
три области так, как это изображено на рис. 6.14.
Если точка {хи х2) ЕЕ Gx,
х2 а
1
то площадь прямоуголь-
ника [0, х{) X [0, z2) не
превосходит 1/2. Так как
каждому Щ с площадью
1/4 принадлежат 2Т точек
сетки, то отсюда следует,
что SN (ж1? жя) < 2-2».
В области Gx всегда
xtx2 <; 1/2, так что Nx^2 «^
<^ 2«2Т. Значит, в этой
области
Т
"TV
I I
I I
j I
XyXz=3/4
X,
F.46)
Рис. 6.14.
Пусть теперь точка (х1,х2) принадлежит G2- Тогда пло-
площадь [0, жх)х[0, ж2) не превосходит 3/4, однако внутри
этого прямоугольника содержится двоичный прямоуголь-
прямоугольник [0,1/2) X [0, 1/2) площадью в 1/4. Значит, 2* <
^ SN (хх, ж2) < 3>2Т. В то же время в G2 всегда 1/4 ^
^ ххх2 < 3/4, так что 2х ^ Nxt-x2 < 3.2Т. Значит, и в
G2 справедлива оценка F.46).
Наконец, пусть точка (жх, ж2) принадлежит G3.Часть
квадрата К2, расположенная вне прямоугольника
[0, хг) х [0, ж2), принадлежит двум двоичным прямо-
прямоугольникам [3/4, 1] х [0, 1] и [0, 1] X [3/4, 1], каждый из
которых содержит 2Т точек сетки. Значит, вне [0, xj x
X [0, хг) лежит не более чем 2-2т точек, и поэтому 2.2^
< SN (хх, ж2) < 4«2Т. В G3 всегда 1/2 < хгх2 < 1, так что
2-2 ^ Nxtx2 «^ 4«2Х. И оценка F.46) справедлива также
в G3.

236
ПХ-СВТКИ И ЛПТ_ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ.6
Осталось доказать достижимость равенства в F.45).
Для этого рассмотрим Пт-сетку, изображенную на рис. 6.15,
где каждый кружок означает 2Т совпадающих точек. При
хг = Х2 — 1 — ? получим отклонение
111 »т 11* т 1 /V -т т I — /t \ А {А п\9 О I
\^N \^1г Х2/ ¦*' ^l^ I ~~~ I ^ V — &) — ^ L
которое при е -^ 0 стремится к 2'+i. Итак, лемма доказана.
_ , Теорема Г. ?"елц
v > т + 2, тео
2, т <(v —тJ\ F.47)
Доказательст-
в о. Из F.39) при п = 2
и F.40) вытекает, что
2, т
2, т
+ 2Т
1-е 1
Рис. 6.15.
Из этого неравенства и ус-
_ ловия F.45) следует F.47).
О 1^Т~1 ж^ Следствие. Для
П0-сеток в квадрате К1
получаем при v ^> 2 оценку
#Vf2j0<v. F.48)
Заметим, что для конкретных П0-сеток, состоящих из
точек с координатами (р (t), j/iV), O^s^iV— l,Ar = 2v
(см. рис. 6.10), в [79] была получена оценка отклонений
более слабая, чем F.48), а в [109] доказано, что для таких
сеток D = г/3\ -{-О A).
Теорема 8'. Пусть N = 2vi -f. 2vs -j- . . . -j_
f + +
где vx > v2 >. . . . > vr > 0. Для начального участка Ро,
Р\, . .., Pn-х любой ЛП0-последователъности в Кг справед-
справедо,
лива оценка, отклонения
F.49)
3=1
9 = 0, если N ^ 0 (mod 4); б = 1,всли TVee I (mod4)
или N = 2 (mod 4); 0 = 2, если N == 3 (mod 4).
Схема доказательства. Повторяя рассуж-
рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 8,
УЛУЧШЕННЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ
23?
и учитывая F.48), получим вместо F.43) неравенство
Затем надо рассмотреть все возможные случаи ./Vfe = 0,1,2,
3 и учесть, что кроме \ъ . . ., vk в F.49) могут фигуриро-
фигурировать еще \г__\ и vr-
Заметим, что при N — 2V оценка F.49) обращается
в F.48).
Случай п = 3.
Теорема 7". Ясли v ^ 2, /по
D<B
F.50)
Схема доказательства. Во-первых, нужно дока-
доказать, что ZJ,3>o = 3. Тогда из F.39) при п = 3 и F.48) получим,
4toDv+1i3i0 < Dv30 -f v, а отсюда следует F.50).
Доказательство равенства Й2,3'О = 3 вполне аналогично дока-
доказательству леммы 10. Куб Ks разбивается на три области (см.
рис. 6.14): б» == [3/4, 1] X [3/4, 1] X [3/4, 1]; G2 = [1/2, 1] X
X [1/2, 1] х [1/2, 1] - G3; Gj = Ks - G2 ~ G3.
Если точка (xx, x2, xs) ? Gr, то SA (хг, хг, xs)<^. 2 и 4a;x x2 xs < 2.
( ) G 1 ^ 5 ( )^3 V^^ ^
x 2 s
Если (xlt x2, xs) ? G2, то 1 ^ 4 (х, 2, 3)^, V^
<3. А если (x1; x2, xs) 65 G3, то 1 < ?4 (хи ж2, cc3)< 4, и 1 ^ 27/16 <
^ &хгх2х3 ^ 4. Таким образом, доказывается, что D2,3,Q < 3.
Затем выбираем сетку, состоящую из четырех точек:
» s » 1 о
8 1 \
~~ ~T ' ~8~/ '
JL _L A
"T' 8 ' 8
5\
_5_ _5_ _5_\
~8~ ' ~8" ' ~8~/
Легко проверить, что это П0-сетка. В точке хх ~ хг = х3 = 1 — в
\St {xv х2: х3) — 4ж1:г2ж3| = 4 A — еK — 1,
и эта величина стремится к 3, когда 8^0.
§ 6. Улучшенные оценки погрешности
Этот параграф привыкает к § 2 главы 4: оценивается
ошибка 6(/) D.30) формулы D.29), в которой N — 2'
и узлы Ро, Ръ . . . , .Piv-i образуют []т-сетку.

238
ПТ-СЕТКИ И ЛГЦ-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. О
Л е м м а 11. Пусть 1 ^ ix <^ i2
<^v. Рассмотрим функцию
8 (Р) = A)
п, 1
7П]_+ ... + Tftg^v — г. 7$7сш узлы формулы D.29) об-
образуют П-с-сетку, то 6(g)=O.
Доказательство. Вычислим сумму
=O 8=1
. F.51)
Объем s-мерного параллелепипеда nfc = lm<^ X ... X
равен
s s
- E (Wlg-1) S-Lme
где по условию леммы р^ = v — t — (mx + . .. + щ) > О.
Следовательно, объем каждого 5-мерного октанта Пк ра-
равен 2*~'нр<>. Из леммы 1 и определения Пт-сеток вытека-
вытекает, что каждому такому октанту принадлежат ровно
2Т+Ро проекций точек сетки на грань К.г. .. is. Значит, в
F. 51) разность Sjj- ¦ ¦ ¦ *• (Vl) ~ S? • • Л (VI) = 0.
Очевидно, что I g (P)dP = 0. Поэтому из F.51) и
кп
D. 30) получаем 6 (g) = 0.
Следствие. Формула D.29) с узлами, образующими
U^-сетку, точна для конечных сумм Хаара вида
¦nirt-... +m3
Следующая теорема, идея доказательства которой при-
принадлежит Б. JI. Грановскому *), показывает, что в слу-
*} Б. Л. Г р ан о вс к и й, Некоторые вопросы планирования
регрессионных экспериментов и теории квадратурных фор-
формул со случайными узлами, Диссертация, Ленинград, 1368.
16]
УЛУЧШЕННЫЙ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ
239
чае формулы интегрирования D. 29) с узлами, образую-
образующими FL-сетки, ошибка 5 (/) для каждой функции / (Р)
из Sp убывает несколько быстрее, чем ||6|| на Sp, по-
порядок которой равен N'1^. Аналогичный факт для
других классов функций установлен в [56] и [49].
Теорема 9. Если интеграл от функции f (P) из
Sv вычисляется по формуле D.29), узлы которой образу-
образуют Пт -сетку, ?по
Доказательство. Приняв во внимание предыду-
предыдущее следствие, воспользуемся равенством D. 31), в кото-
котором вместо суммирования по всем тъ ..., т, будем
считать, что mt -f- •. • + Щ^> v — t. Так как для
Пт-сеток
Ф
< (Ф
то, повторяя рассуждения, приведшие нас от формулы
D.31) к D.33), получим неравенство
2
П 2<га°
v—т в=1
1/р
j J
F.52)
Под знаком 2 здесь стоят остатки сходящихся рядов
D.9), которые стремятся к нулю при v = log2iV —э-оо.
Теорема доказана.
Теорема 10. Если узлы формулы D.29) образуют
Л^-сетку, то на пространстве Нх
F.53)
Заметим сразу, что оценка F.53) по порядку лучше
всех оценок, полученных в главе 5. Из оценки D.50)
оценка F.53) не вытекает.
Для доказательства теоремы 10 нам понадобится сле-
следующее вспомогательное предложение,

240
ПТ_СЕТКИ И ЛПт-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Лемма 12. Пусть 0<^-<1. При всех г^
2 /«! + •••+*
т1 + • • • + т > г
[ГЛ. 6
F.54)
Доказательство леммы. Нетрудно проверить, что
число различных групп индексов (ть . . . , ms) таких, что
т.. л. _l»m|_^) ПрИ k^>s равно (%Zl)- Поэтому
оо
fml+ • • -+т8 = yi fk
Сумму последнего ряда уожно записать в форме
fS JS-1 / /Г \
К1 г ? 1—1—1
— (s —1) [tj
Обозначив для краткости гг(?) = A—1)~\ вычислим про-
производную по правилу Лейбница:
S—1
(V) г (г -1).
/i=o
Отсюда получаем неравенство
S—1
G=г5л 2 G
. (г - /+1) ^M(-W) @
-» @ [,
которое и есть неравенство вида F.54).
Доказательство теоремы 10. Пусть f(P)(=
е #а (•?*! • • • О- Фиксируем р> 1/а так, чтобы Яа с ^р, и
воспользуемся оценкой коэффициентов Фурье — Хаара
D.25) и неравенством F.52). После несложных вычи-
вычислений, получим оценку
16 (/) | <
e=i
Обозначим t = 2-(-i/p) и предположим, что L, . -
наименьшие возможные определяющие постоянны;8 для
S 6]
УЛУЧШЕННЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ
241
/(Р) (так что
il. . .is). Тогда
2 t«i+••¦+*.,
J+ , . . +mg > v-т
где С от JV и от / не зависит.
Воспользуемся теперь неравенством F.54). Так как
p-i: __ 2-(«-1/р) (v-t) = ДГ-(а-1/рJМ«-1/Р)) ТО
При v = log2 iV —>¦ оо главным в последней сумме будет
член, соответствующий s — п. Значит,
откуда сразу следует F.53).

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧП. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
243
в ы м [104] и рассматривался в статьях [99, 96]. По причи-
причинам, изложенным в конце § 2 гл. 4, мы ограничимся квад-
квадратурными формулами с равными весами вида
N—1
G.2)
Г л а в а 7
Случай бесконечного числа переменных
В этой главе изучаются функции от счетного числа
переменных / (xlf . . ., хп, . . .), заданные на единичном
бесконечномерном кубе {0 <^ хп <^ 1; п — 1, 2, . . .}. Ус-
Условимся называть этот куб К°°, а точки его будем обозна-
обозначать одной буквой
X = (Xl
• • •)•
Очевидно, К°° можно считать прямым произведением счет-
счетного числа отрезков [0, 1].
В качестве меры в К°° выберем прямое произведение
лебеговых мер на этих отрезках, так что, например, объем
параллелепипеда П = {ап <С хп ^ рп, п = 1, 2, . . .}
равен
Интеграл по этой мере запишем в виде
\f{X)dX. GЛ)
я00
Если подинтегральная функция зависит лишь от конеч-
конечного числа переменных / (X) — f {хъ . . ., хп), то, оче-
очевидно,
$ f(X)dX= J f(x1,...,xn)dxl...dxn.
Яоо КП
Вопрос о построении квадратурных формул для вы-
вычисления интеграла G.1) был поставлен Н. Н, Ч е н ц о-
§ 1. Постановка задачи. Классы функций
Связь с методом Монте-Карло. Интегралы вида G.1)
часто встречаются в задачах, решаемых методом Монте-
Карло. Чтобы показать это, рассмотрим весьма общую
схему применения метода Монте-Карло.
Пусть требуется приближенно вычислить некоторую
величину у. Чтобы сделать это методом Монте-Карло, на-
надо, во-первых, придумать случайную величину т| такую,
что математическое ожидание Mrj = у. Затем случайную
величину г] надо моделировать, то есть надо вычислять
конкретные случайные реализации этой величины: ti0,
Чъ • • •> Tlw-i- Если число испытаний N достаточно вели-
велико, то
JV-1
4-2 v G.3)
Вероятная ошибка такого приближения (см. [81], стр. 58)
равна 0,675|/Ът]/.ЛГ, где Dr| — дисперсия моделируемой
случайной величины т\.
Моделирование ц на практике почти всегда осуществ-
осуществляется с помощью значений «стандартной» случайной ве-
величины у, равномерно распределенной на отрезке [0, 1].
Если на каждую реализацию Г| затрачиваются п значений
7, то т] = / (yi, . • ., Vn) и математическое ожидание
• • ., хп) dxi... dxn.
к7
Однако в некоторых зада^рх размерность п трудно
указать заранее. Например, если моделируется движение
нейтронов в среде, то траектории различных нейтронов

244
СЛУЧАЙ БЕСКОЙЕЧЙОГО ЧИСЛА ПЁРЁМЕЙЙЫХ (ГЯ. 7
могут иметь весьма различные длины. Теоретически мож-
можно считать, что траектории бесконечные (хотя на практике
они всегда где-то «обрываются»). В этом случае величина
Л = / (Yi. • • •» Yn. • • •) и
f(xv...,xn,...)dX. G.4)
Такую интерпретацию допускают, в частности, все задачи,
в которых моделирование т\ связано с реализацией нераз-
ветвляющихся траекторий *).
Решая такие задачи методом G.3), мы фактически вы-
вычисляем интеграл G.4) по простейшей квадратурной фор-
формуле
f(X)dX:
1
IV
N-1
2
G.5)
узлами которой служат случайные точки 1\ из
г*
*¦ У. ™
I • ' •)•
Изучение квадратурных формул вида G.2) связано с
методом Монте-Карло в двух аспектах. Во-первых, оно
связано с проблемой псевдослучайных чисел: нельзя ли
указать детерминированные точки {Х^,}, которые можно
было бы использовать вместо случайных точек {Гр.} при
решении определенных классов задач?
Во-вторых, возникает вопрос: нельзя ли указать клас-
классы задач (или, что то же, классы функций / (X)), на кото-
которых с помощью формул G.2) можно гарантировать более
быстрый порядок сходимости, чем l/]/~N — порядок схо-
сходимости (по вероятности) метода Монте-Карло G.3)?
Ниже дан положительный ответ на оба эти вопроса.
Требование неравноправности координат. В определе-
определениях пространств функций Sp и На в re-мерном случае все
координаты были равноправны. Поясним точный смысл
этих слов: если из того, что / (хх, ..., хп) ЕЕ F, следует, что
*) Функция/ отображает куб K°° на множество Н возможных
значений т]. При этом вероятностная мера любого множества в
из Н совпадает с мерой прообраза f1 (в) в К03 (в смысле dX) [86].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
245
все функции вида / (xit, . . . , xin), где (i1} . . . , in) — лю-
любая перестановка натуральных чисел A, . . ., и), также
принадлежат F, то мы говорим, что все координаты по от-
отношению к F равноправны.
В случае бесконечного числа переменных мы скажем,
что все координаты равноправны по отношению к классу
функций F, если из того, что / (жх, . . . , хп, . . .), е= F,
следует, что все функции вида / (xit, . . ., xin,. . .) при-
принадлежат F, где (i-i, . . ., in, , . .) — любая перестановка
чисел натурального ряда A, 2, . . ., п, . . .).
Оказывается, что в К°° на классах функций, по отно-
отношению к которым все координаты равноправны, нельзя
построить «хорошие» квадратурные формулы вида G.2).
Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим следующий
Пример [104]. Предположим, что класс F, по отно-
отношению к которому все координаты равноправны, содержит
функцию / = (х1 — х2J.
Выберем какую-нибудь квадратурную формулу G.2)
и составим таблицу координат всех узлов:
¦"¦ о ~ V^oi» ^02» • • •» ^оп» • • •/»
6
X-N-1 — (xN-l,n XN-X,2 i • • -i %Ч,ш • • •)
Фиксируем произвольное большое число М и рассмотрим
разбиение отрезка [0, 1] на сумму двоичных отрезков
[од] = 2 Wi,
3=1
длины которых I^Af+i.jl = 2~м. Каждому числу х^п из табли-
таблицы G.6) поставим в соответствие номер ]'^п того двоичного
отрезка, которому это число принадлежит: хт ЕЕ ^м+i, jnn.
Заменим таблицу G.6) таблицей таких номеров:
/oil /02i ¦ • •' Jon'
/ill 7X2» " ' •' /in.'
G.7)
JN-Х.Ъ /JVI ,2 i

246 СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. 7
Каждый столбец в G.7) — это iV-мерный целочислен-
целочисленный вектор (fOn, hn, • • -, JN-i,n), где все 1 < jm < 2м.
Число различных векторов такого типа конечно (равно
2MN). Ясно, что среди столбцов таблицы G.7) найдутся
совпадающие столбцы. Обозначим номера двух таких
столбцов i и /. По построению
\х^ — х^\ < 2~м при всех 0 ^ ц ^ N — 1,
и, следовательно,
ЛГ—1
Ц=0
Рассмотрим теперь функцию / = (xt — Xj
видно
видно,
jjсо
х}
О О
G.8)
из /\ Оче-
ОчеG.9)
Из G.8) и G.9) следует, что разность
Значит, погрешность формулы G.2) на классе
и не стремится к нулю при JV -*- оо.
Замечание. Положение не улучшится, если по-
потребовать, чтобы все функции класса F были периодичес-
периодическими (при доказательстве вместо / = (хх — х%J можно ис-
использовать функцию / = sin2 2я (хх — ж2)).
В силу изложенного, при изучении квадратурных фор-
формул на классах функций Sp и На в К°° мы будем требовать,
чтобы изменения функций / (xlt . . ., хп, . . .) при измене-
изменении координаты хп уменьшались с ростом п. Такая нерав-
неравноправность координат часто очевидна с физической точки
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
247
зрения и может легко быть обнаружена при рассмотрении
конкретных задач.
Одинаково убывающие определяющие постоянные.
В описаниях классов функций от п переменных в гл. 4 фи-
фигурировали множества определяющих постоянных, напри-
например {Xi,...i3}, содержащие всевозможные s-индексные величи-
величины Lil...ig с 1 <; ix < i2 < . . . < iB < п, s = 1, 2, . . ., п.
Для описания классов функций от счетного числа пере-
переменных мы будем рассматривать бесконечные множества
определяющих постоянных, например {Х^..^}, содержа-
содержащие всевозможные s-индексные величины Lh..igc I ^ ix <.
Пусть gi, g2, ... , gu . . . — произвольная последо-
последовательность неотрицательных чисел, причем все gt, начи-
начиная с некоторого t0, положительны.
Скажем, что определяющие постоянные {Lit.. (s} одинако-
одинаково убывают по отношению к последовательности {gt}, если
существуют неотрицательные числа е1} 82, . . ., et, . . . и
А такие, что при любых 1 <^ ix < г2 < . . . < ia
..^ G.10)
и в то же время
G.11)
Легко видеть, что если выбрат*. последовательность
положительных чисел {g\} так, что g't == О (gt) при
i-voo, то постоянные {Ьи... ig}, одинаково убывающие
по отношению к {gt}, будут одинаково убывать также по
отношению к {g't}.
Л е м м а 1. Допустим, что определяющие постоянные
{?{....г8} одинаково убывают по отношению к {gt}. Каково
бы ни было е ;> 0, можно выбрать числа гх, . . ., st,. . . и
А так, чтобы выполнялось условие G.10) и при этом
по
= 8. G.12)

243
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. 7
Доказательство. Выберем какие-нибудь
{е(} и А, удовлетворяющие G.10) и G.11). Допустим спер-
сперва, что
Фиксируем номер t0 столь большой, чтобы
была меньше е. Затем выберем С ^> 1 так, что
1
Т
Пусть теперь А' = АС1» и
I е, при г0<*<;оо,
со
Очевидно, 2 «tft = е и в то же время
t=l
где р ^ t0, ибо изменились лишь t0 из числа всех et. Сле-
Следовательно, АСр <^ А' и ^eb...eis^^'8{1...8is. Таким
образом, новые числа {si} и А' удовлетворяют требова-
требованиям G.10) и G.12).
В случае
доказательство леммы совсем простое: достаточно увели-
увеличить какое-нибудь из чисел ег, отличных от нуля, так,
чтобы было выполнено условие G.12). Неравенство G.10)
при этом не нарушится.
Следующая элементарная лемма используется в даль-
дальнейшем для оценки сумм, содержащих определяющие по-
постоянные,
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
249
Лемма 2. Пусть заданы неотрицательные числа
vt ^> 0 такие, что 2 vt <C °° • Тогда существует конечный
предел
lim
G.13)
Доказательство. Во-первых, легко заметить,
что сумма 21 не убывает с ростом п, так как к ней добавля-
добавляются новые неотрицательные слагаемые. Надо доказать,
что она ограничена и не превосходит правой части G.13).
Рассмотрим всевозможные слагаемые вида vH. . .vt
(с фиксированным s), стоящие в G.13) слева. Легко ви-
видеть, что
. /» V
G.14)
.vt }
ибо слева стоят всевозможные слагаемые вида vt
00
а в [2.Vi] каждое такое слагаемое встретится ровно
s\ раз (кроме того, будут еще члены, в которых не все vt
различны). Просуммировав G.14) по всем s от 1 до оо, по-
получим G.13).
Классы функций И» (Liu.jJ. Условимся обозначать
буквой Y точку, у которой лишь конечное число (s) коор-
координат отлично от нуля:
У = @,..., О, &, О,..., О, Ъг, 0,..., 0).
Определение. Функция / {X) принадлежит
классу На (Liu..is), если:
Г / (X) ограничена в К00;
2° для любых точек X и Y таких, что X (ЕЕ 2?°° и
х + Уе if00,

250
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. 1
3° существует точка Z = (zb . . ., zn, . . .) такая, что
для любой точки X ёЕ К00
f(X) = lim/fo, . .. , хп, zn,i, zn4a,...). G.16)
п—«х>
Очевидно, любая функция / (хъ . . ., хп), определен-
определенная в Кп, может рассматриваться как частный случай
функции / (X), определенной в К°°. Если / {хъ . . ., хп) ЕЕ
Е= #<% (Z-i,...i ) в iT\ то легко видеть, что эта же функция
принадлежит На (Liu_4) в К00, причем Ьч„л — Ь^.л
если is ^ тг, Li,..л = 0, если is "> п.
Обозначим через Wx (^ч,..л ) множество функций/ (Z),
удовлетворяющих условиям 1° и 3°, у которых все частные
производные
d*f
дх{ ¦ . .дх,. l<*i<i»<---<^ 1<5<сю, G.17)
г, г8
содержащие не более одного дифференцирования по каж-
каждой переменной, кусочно непрерывны и ограничены в К°°:
¦•V G.18)
Легко доказать, что Wx (Lj,...,-g) a Hx (Lii--A ) (формула
D.18) остается в силе при замене Р на X, и все рассужде-
рассуждения гл. 4 сохраняются).
Условие 3° выполняется для любой непрерывной (в ка-
каком-либо «разумном» смысле) функции. Например, если
ввести норму
то непрерывность функции / (X) в точке X означает, что
lim / (Хп) = / (X), если lim || Хп — X \\ = 0. Выберем Хп ==
п-»оо п»оо
п»оо
= (a:lf . . ., хп, 0п+1, 2п+2, . . .). Тогда
и G.16) должно выполняться.
§ 1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
251
Докажем, что если определяющие постоянные класса
На (Li,...г ) одинаково убывают по отношению к {gt} = 1,
то в определении класса требование 1° есть следствие тре-
требований 2° и 3°.
Рассмотрим функцию g(x1, . . ., хп) = / (хъ . . ., хп,
Zn+i. zn42, • • •)• По формуле D.15)
где lj — xt — z\. Значит,
Согласно G.15) и G.10)
| Д^¦ •
Следовательно,
Zn+1,2n+2,.
Перейдем к пределу при п
Получим неравенство
(xit-
(xis
«- . .Si,.
оо, используя G.16) и G.13).
G.19)
t=i
Классы функций 8p(Aiu,js).
Определение. Функция / (X) принадлежит
классу Sp (Atl...ts), если:
1° / (X) ограничена в К00;
2° существует точка Z =(%,..., zn,. ..) Е= К°° такая,
что для любой точки X из К00 выполняется соотношение
G.16);

252
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. 7
3° существует такое т0, что при каждом т ]> т0
функции
g (#1,- • м %т) = /(%,- . -Хт, Zm+1, Zm+2). . .) G.20)
принадлежат Sp(All...is)B Кт{чшслаАг1...га те же).
На первый взгляд это определение (особенно требова-
требование 3°) выглядит весьма ограничительным. Однако сле-
следующие две леммы показывают, что оно вполне соответ-
соответствует n-мерному случаю.
Лемма 3. Если f (xt,. .., хп) Gr SP {А\1-Шш\ ) в Кп,
то эта же функция в К™ принадлежит классу Sp (A^.j ),
где А^..л = А и...я при ia < щ А^..л = 0 при is "> п.
S S S
Доказательство. Выберем т0 = п. Тогда
при всех m ^ т0 функции G.20) будут совпадать:
g (хг,. . ., хт) = / (х1,...,хп). Если is ^ п, то коэффициенты
Фурье — Хаара
dxx. . .dxm -
= ) . . . )ci (/) dxn+l. . .dxn = & (/).
о о
Отсюда следует, что A^ (g) = A1*"** (/) < Ак.л . A ec-
Km
1
ли ia
, то
и, очевидно, ip-'s(g) =0.
Таким образом, требование 3° из определения классов
Sv выполнено. Так как все функции, принадлежащие
Sp в Кп, ограничены, то требование 1° также выполнено.
А требование 2° в нашем случае тривиально: в качестве
Z можно выбрать любую точку куба Кт, и при всех
т > т0 будет
§2]
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
253
Докажем теперь, что для классов функций J7a (?г,...,- )и
1У (/4i,...i ) справедлива теорема вложения, вполне ана-
аналогичная теореме 2 гл. 4. Мы сформулируем ее как
лемму:
Лемма 4. Если ар ^> 1, то класс Яа (L^.a ) а
(Aiu,,i ), где А^.а вычисляются по формуле D.23):
G.21)
Доказательство. Если / (X) Gr Яа (^i,...is),
то из формулы'G.15) следует, что при каждом т функция
g (xv..., xm), определенная формулой G.20), принадлежит
классу На (?{,...*) в Кт. По теореме 2 гл. 4 эта функция
g
il,._i )вКт с
S
g A,,m)v(l,_ )
S
щими постоянными G.21). Таким образом, для функции
/ (X) требование 3° из определения класса Sp {А^.л )
выполнено при т0 = 1. Остальные требования A° и 2°)
содержатся в определении класса Н^ (L; j ).
§ 2. Квадратурные формулы
Сетки с мультипликативной оценкой неравномерно-
стей. Выберем в К™ сетку 2, состоящую из N произ-
произвольных точек 2 = {Хо, Хь. . ., XN^}. Проекции этих
точек на грань Kiu..i образуют s-мерную сетку, для ко-
которой можно по формуле D.35) вычислить величины
и ФГ^
Мы скажем, что сетка 2 допускает мультипликатив-
мультипликативную оценку неравномерностей, если существуют положи-
положительные числа/1х, /i2,. . ., hi,. . . и В такие, что при любых
1 < ij < .. .< i,
Ф^B)<Мг,.. А. G.22)
Примеры сеток, допускающих оценку G.22), приведены
несколько ниже.
Как и в 7г-мерном случае, обозначим погрешность фор-
формулы G.2) на каком-нибудь классе функций Я

254 СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ.7
через R:
, Теорема 1. Для сетки 2 = (Хо,..., Xjv-i}, #0-
пускающей мультипликативную оценку неравномерностей
G.22), на классах функций Sv (^4{,...<) и Яа (^...i), ои-
ределяющие постоянные которых одинаково убывают по
отношению к {ht}, имеет место оценка
G.23)
где в случае класса Sv (Л4,...4в) значение vt = stht, а в слу-
случае класса На (Lit...is) p>l/auvt = е^(B1+а — &+Vp)-\
Доказательство*). Пусть сперва/(X) ^Sv(Ail,^iB).
Выберем п^тож рассмотрим функцию g(x1,...,xn), опре-
определенную соотношением G.20), которая принадлежит
Sp (A it...is) в Кп с теми же постоянными А^,.,^. Формула
D.37) позволяет записать неравенство
где для краткости Р = (^17 . . ., хп), & Р^ — проекции
точек сетки Х^ на Кц...п. Иначе говоря, если Ху, =
== (Ж1 Х ) ТО Р( )
*) В ходе доказательства теоремы. 1 мы заменяем (Ф^," *I/р на
Ф^'" *• Если сохранить показатель степени 1/р, то можно уси-
усилить теорему: вместо одинакового убывания определяющих по-
постоянных по отношению к {ht} достаточно требовать одинакового
убывания по отношению к <(А/)^Р} или к {(ft;I*}, и в качестве vt
можно выбрать щ (ht)^p ж соответственно et(kf)l/pB1+X'—21+^p)~1.
§ 2]
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
255
Воспользуемся неравенством D.44), затем неравенством
G.22) и неравенством А\1Л ^^48;, . . . eig:
JV-1
11 g (P) dP - 4" 2 8 {Р») | < ABN-4v
КП p~0
• (е,Д).
Сумму, состоящую справа, легко оценить при помощи
G.13):
N— 1 оо
| J g (P) dP- ~2 8 (Р*) | < ABN-'IP (exp 2
В последней оценке правая часть конечна (по условию
теоремы) и не зависит от п. Левая же часть от п зависит.
Легко видеть, что
lim g (Py.)= lim/ (;%„..., х^п, zm\,...) =
п-*оо п-»оо
lim\ g(P)dP = lim
"-оо кп "-»оо
)dX =
так как все функции / (жх, . . ., хп, zn+1, . . .) ограничены
по абсолютной величине (не превосходят sup|/ (X)|) и
возможен предельный переход под знаком интеграла Ле-
Лебега. Поэтому при п -> оо получим
N—1 оо
f(X)dX ~ 2 / (XJ | < ABN^lp (exP 2 в,Ы -1),
р.=0
'=1
откуда вытекает G.23).
Пусть теперь / (X) ?Е -ffa (^ь.. ts)- Тогда (по лемме 4)
/ (X) е 5Р (Л,,...|4), где р> Vo и ЛA...4$ вычисляются
по G.21). Так как по условию теоремы Lu.m.is ^ Ле^...ег8,
то Л j,...js ^ Ле'{1...е'{85 где значение е* = ег B1+0С —
—21+1Лз)~1. А для функций из Sp (А г,...г8) неравенство G.23)
уже доказано, причем vt = eiht = е;/гД21+а — 21+1/р)~1.
Обобщенная последовательность Холтона. Перену-
Перенумеруем в порядке возрастания все простые числа: гх = 2,

25&
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. 7
г2 =3, г3 = 5,. . . и
чек Хо, Xi,..., Xjv, .
рассмотрим последовательность то-
. . с координатами
К = (Рп (V), Рф), •• •, Ргп ((*), ¦ • •)•
G.24)
Эту последовательность, впервые построенную в [99],
назовем обобщенной последовательностью Холтона,
Обозначим через 2* сетку {Х*о, Х*и..., X*n^}.
Проекция этой сетки на любую грань Кг1ш ig представ-
представляет собой начальный участок s-мерной последователь-
последовательности Холтона. Оценки неравномерностей для таких се-
сеток были получены в гл. 5. Из E.28) вытекает оценка
G.22) сй=1и
где
G.25)
G.26)
Таким образом, сетка 2* допускает мультипликативную
оценку неравномерностей.
По теореме 1 для того, чтобы на каком-нибудь классе
функций Sp (Att.,.is) или Ha,(Liu..is) имела место оценка
G.23), достаточно потребовать, чтобы определяющие по-
постоянные этого класса одинаково убывали по отношению
к {/*(}, то есть чтобы сходился ряд
G.27)
Как уже отмечалось на стр. 184, при t->- оо асимптотика
чисел G.26) известна: E( --, t, yt -— It In t. Поэтому ряд
G.27) будет сходиться, если будет сходиться ряд
оо.
G.28)
Итак, если определяющие постоянные класса Sp(Ait...is)
или На (//;,.. rs) одинаково убывают по отношению к {t In t),
2]
КРАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
257
то для погрешности квадратурной формулы G.2) с сеткой
2* справедлива оценка G.23)*).
Выясним порядок сходимости таких квадратур. Зада-
Зададим произвольное е ^> 0. По лемме 1 можно выбрать
и 4 в G.10) так, чтобы
= е (не нарушив
при этом сходимости ряда G.28)). Тогда в G.23) для слу-
случая класса Sp(Au,,is) получим
ехр
= ехр е 1п А/ 4-
= CN\
t=i
Значит, порядок сходимости G.23) не превосходит N
Рассмотрим теперь оценку G.23) в случае класса
На (Liu,.is). Фиксируем р так, чтобы 0 <а — 1/р <е,
а затем выберем А и {гг} в G.10) так, чтобы
В этом случае
ехр
t=i
= ехр (в-а + i/p)ln N + B1+а - 2
L
и1/ру1
у12
И порядок сходимости G.23) не превосходит TV"5.
Очевидно, порядки сходимости квадратурных формул
G.2) на классах Sp (Ah,.Aj) и На (Lit...is) соответственно
не могут быть лучше, чем iV~1/p и JV~a, так как эти порядки
точны в случае п = 1. Значит, полученные нами порядки
сходимости i\M1/p>'|s и JV~a+s почти наилучшие.
*) Используя сноску на стр. 254, можно ослабить требование
G.28) и заменить его требованием
е, (t In t)lfP <*> или 2 et (t In tf < *>
9 И. М. Соболь

258
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. 7
Обобщенная ЛПт-последовательность. Перенумеруем
все моноциклические операторы, рассматривавшиеся в
гл. 6, так, чтобы порядки их не убывали. Пусть это будут
операторы Lo, Lx, . . ., Ln, . . ., и порядки их пусть бу-
< < < <
т0 < wx < . . . < тп
0 < x < < п < . . .
Обобщенной Ш1х-последователъностъю назовем после-
последовательность точек ¦ Хо\ X", • • •> ^v> • • • с коор-
координатами
=
гДе {.Р(гг) (и)} — ДР-последовательность, принадлежащая
оператору Ln. Впервые такая последовательность была
опубликована в [96].
В качестве сетки интегрирования в формуле G.2) вы-
выберем сетку 2**, состоящую из точек {Х*о*, . . ., ZjJ-i}.
Проекции точек этой сетки на грань К^.,,1 образуют на-
начальный участок s-мерной ЛПт-последовательности
для которой по теореме 4' гл. 6
v=l
Из формулы F.2) вытекает, что* неравномерность этой сетки
«v
Последняя оценка — это оценка вида G.22) с Б = 1/2 и
ht = 2mt. G.29)
Следовательно, сетка 2** допускает мультипликативную
оценку неравномерностей.
Асимптотика mt при t ->¦ оо фактически исследовалась
при доказательстве теоремы 6 гл. 6: в формуле F.32)
п = t, a s — mt. Следовательно,
Щ < log2 t + log3log2 t + Iog2 log2 log2 t + О A). G.30)
§2]
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
259
Из G.29) получаем, что
Cf lnilnlnt.
Отсюда вытекает, что если определяющие постоянные
класса Sv(Ai1___is) или На (Zn,...is) одинаково убывают по
отношению к {i In i ln ln t), то для погрешности квадра-
квадратурной формулы G.2) с сеткой 2** справедлива оценка
G.23)*).
Выясним порядок сходимости таких квадратур на клас-
00
се Sv(Ait...is). В этом случае \!eA<Cconst и не зависит
от N. Поэтому из G.23) следует, что
R = О (J
Это — наилучший возможный порядок сходимости на
В случае класса На (?>и..л) зададим произвольное
" S i
8 ^> 0. Пусть 0 <и <е. Выберем \jp = а — к/У lniV
(здесь мы должны считать N достаточно большим). Пере-
Перепишем G.23) в форме
R^AB ехр Г— — In N + A —
где через Е обозначена величина 2~х'а 2 &t^t- Здесь
Значит,
Выберем постоянные {е(} и 4 в G.10) так, чтобы Е =
= (е — к) xln 2. Тогда получим, что 2? =0 (ЛГ-0^/^^).
Этот порядок почти наилучший, он даже лучше, чем
iV-a+?, хотя и хуже, чем N^Ito^N с любым Р > 0.
*) Используя сноску на стр. 254, можно ослабить это требова-
требование: достаточно, чтобы определяющие постоянные одинаково убы-
убывала по отношению к {((In (In ln t)lfv1 или {(t In t In ln ()a>.

260
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. 7
Замечание. В этом пункте нам пришлось потре-
потребовать более быстрого убывания определяющих постоян-
постоянных (по сравнению с предыдущим пунктом: там было ус-
оо со
ловие 2 Gt
> а здесь
Be-
О
h г
1 1
роятно, это вызвано грубостью оценки G.30).
Задача из области метода Монте-Каряо. Рассмотрим (в
простейшей постановке) задачу о прохождении нейтронов
сквозь плоский поглощающий
слой. Известны различные вариан-
варианты метода Монте-Карло для
расчета этой задачи [81]. Эффектив-
Эффективность таких способов характери-
характеризуется обычно величиной диспер-
дисперсии Dr] осредняемой случайной
величины Г]. Мы хотим показать,
что в то же время более эффек-
эффективным способам соответствуют бо-
более гладкие подинтегральные
функции / (X).
Геометрия задачи изображена
на рис. 7.1. Толщину слоя 0 ^
<^z ^ h будем измерять в единицах
средней длины свободного пробега. Тогда функция рас-
распределения длины свободного пробега I равна
Рис. 7.1.
F (I) = 1 - е-К
G.31)
При каждом столкновении с атомами вещества нейтрон
может поглотиться или рассеяться; вероятности этих со-
событий обозначим Ра и 1 — ра. Рассеяние считаем изотроп-
изотропным, так что косинус угла 6 между направлением скоро-
скорости нейтрона и осью Oz, который мы назовем ц — cos 0,
распределен равномерно в интервале — 1 <jx <1. Из-
Изменением энергии нейтрона при рассеянии мы пренебре-
пренебрегаем.
Нас интересует вероятность р* прохождения нейтрона
сквозь слой. Рассмотрим три способа расчета этой вели-
величины. (Буквами Yfti Vfe> Yft мы будем обозначать случай-
§2]
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
261
ные величины, равномерно распределенные в интервале
(О, 1), или значения случайной величины у.)
А. Моделирование «истинных» траек-
траекторий. Для нейтрона, вылетевшего из точки с коорди-
координатой zk в направлении |ife, вычисляем
случайный пробег lk = — In A — yh)
и находим координату следующего
столкновения (рис. 7.2):
2ft+i = Ч + р.***. G.32) О
Если z^\ > h, то мы считаем, что нейт-
нейтрон пролетел сквозь слой, а если
zfe+i <% 0 — т0 нейтрон отразился от
слоя. Если же 0 <z&+1 <ch, то разы-
разыгрывается «судьба» нейтрона при столк-
столкновении: если ул <ра, то он поглоща-
поглощается, а если ук > ра — то рассеивает-
рассеиваетРис. 7.2.
ся. В последнем случае мы выбираем случайное на-
направление рассеяния
У
и продолжаем расчет траектории.
Начальные
0
h z
значения: z0 = О,
(i0 = 1.
Очевидно, траектории могут за-
заканчиваться прохождением, отраже-
отражением или поглощением (рис. 7.3).
Если из общего числа N сосчитан-
сосчитанных траекторий N* закончились про-
прохождением, то
Р+~^. G.33)
Б. Учет поглощения с
помощью весов. Каждому
нейтрону припишем начальный вес wa
(который можно интерпретировать как количество иден-
идентичных нейтронов). Если нейтрон с весом и>к испытывает
столкновение в точке с координатой zk+1, то мы считаем,
что часть его веса, равная ю^Ра, поглотилась и вес его пос-
после столкновения становится равным wh+i — wh (I — ра).
Рис. 7.3.

262
СЛУЧАЙ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ. 7
При таком способе расчета траектории нейтронов
не могут закончиться поглощением. Обычно полагают
w0 — 1. Тогда для оценки р+ надо сосчитать сумму весов
всех прошедших сквозь слой нейтронов:
1
w
G.34)
В. Учет и поглощения и. вылета с
помощью весов. Пусть из точки zh по направ-
направлению \ik вылетаетнейтрон с весом wk. Обозначим через
qk вероятность того, что этот нейт-
нейтрон испытает столкновение внут-
внутри слоя. Используя G.31), нет-
нетрудно вычислить (рис. 7.4), что
•ехр —
И*
при
при
= О»
(l — ехр
V-k
при [xfe<0.
Можно считать, что часть веса это-
1 го нейтрона, равная wh A — g&),
Рис. 7.4. вылетит из слоя, а часть, равная
wh qh, испытает столкновение в ка-
какой-то точке с координатой zh+1, расположенной обязате-
обязательно в слое.
В этом случае функция распределения длины пробега
равна F (I) = q^1 A _ ел) и формула для вычисления lh
несколько сложнее: lh = — In (I — yhgk), а вес нейтрона
после учета поглощения равен wh+1 = wkqk A — ра).
При такой схеме расчета все траектории состоят из
бесконечного числа звеньев и количество прохождений,
полученное от одной траектории, равно
(! — ?fc)
где
= 1, если {j,ft > 0; u>k = 0, если \ih ^ 0.
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
263
Оценка вероятности прохождения:
со
р+~лг2 2 wkA ~~ ?ь)®*-
G-35)
В практических расчетах траектории «обрывают», как
только вес ivh становится достаточно малым.
Сравним теперь все три осредняемые функции в фор-
формулах G.33), G.34) и G.35). В методе А мы осредняем
разрывную функцию, которая принимает два значения:
1, если нейтрон прошел сквозь слой, иО-в противном
случае. В методе Б мы также осредняем разрывную функ-
функцию, однако она может принимать счетное множество зна-
значений: Ы?о, Wo A — Ра), Юо A — РаJ,- • • И 0, так ЧТО В
каком-то смысле эта функция более гладкая. Наконец,
в методе В можно доказать, что осредняемая функция
/ (X) непрерывна, если только траектория не касается
границ слоя. Более того, функция / (X) имеет кусочно
непрерывные частные производные любого порядка внут-
внутри К00.
Во всех трех случаях функции / (X) не принадлежат
классу Нг (?{!...{ )• Однако естественно предположить, что
последняя / (X) лучше других аппроксимируется функция-
функциями из Нх (Ьн...г )• Отсюда вытекает важный для практики
вывод: больше всего оснований ожидать ускорения сходи-
сходимости за счет использования псевдослучайных точек {Х^.}
или {Х*р} тогда, когда расчеты ведутся по более совершен-
совершенным схемам метода Монте-Карло.
В работе [100] при помощи точек {Х^} сосчитана ме-
методом Монте-Карло более сложная задача, связанная с
определением критических параметров реактора. Сходи-
Сходимость в этом случае оказалась более быстрой, чем при рас-
расчете с помощью обычных случайных чисел.

Глава 8
Оценки погрешности на некоторых
других классах функций
В этой последней главе не используется метод рядов
Хаара. Однако содержание ее очень тесно связано с
гл. 4—7 и обобщает некоторые результаты гл. 2.
На стр. 137 введены классы функций Wj_ (Liu,,i ), все
частные производные которых, имеющие вид
dsf
n, (8.1)
кусочно непрерывны и ограничены в Кп. Так как
Wi {L\..as) с Hi (Д,...г8)» то из результатов гл. 4, выте-
вытекают также оценки погрешности квадратурной формулы
D.29) на классах W% (bi,...* )•
Метод настоящей главы позволяет получить на классах
Wt (I»i,...i) и Н± (Ь^..л ) более точные оценки погрешности.
§ 1. Классы функций
Предположим, что функция / (Р) определена в Кп и
имеет кусочно непрерывные и ограниченные частные про-
производные (8.1).
Разложение на разноразмерные слагаемые. В гл. 4 про-
произвольная функция / (Р) разлагалась на разноразмер-
разноразмерные слагаемые с помощью ряда Фурье — Хаара. Здесь
мы для получения аналогичного разложения воспользу-
воспользуемся тождеством D.15), в котором изменим лишь
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
265
обозначения:
где Q — (?х,..., \п) и обе точки UmU -\~ Q принадлежат К71.
Пусть U = A, . . ., 1), Q = (хх — 1, . . ., хп — 1), так
что U + Q = (хъ • • •> хп) — Р- Тогда из этой формулы
следует, что
/ <»! »„)= / A 1) -f- SA^-i ... Ддч,-! /A 1). (8.2)
Формула (8.2) также определяет разложение / (Р) на раз-
разноразмерные слагаемые. Перейдем в (8.2) от разностей
к производным с помощью тождества D.18), которое для
наших целей удобнее записать в форме
здесь точка Г{1..л8 = A, . . ., 1, tu, I, ..., 1, tig,i, . . .Д)
расположена на грани К^.л куба Кп. Подставляя это
тождество в (8.2), получим нужное нам выражение
(8.з)
Отметим сразу же, что в (8.3) входят значения производ-
производных (8.1) не во всем кубе Кп, а только на соответствующих
гранях Kit...i •
Разгйганые классы однократно дифференцируемых
функций. Множество функций с кусочно непрерывными
и ограниченными производными (8.1) можно различными
способами разбивать на классы (иначе говоря, различными
способами нормировать). Чаще всего встречаются сле-
следующие классы:

266 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НА ДРУГИХ КЛАССАХ [ГЛ. 8
(?г<... tg), если для
Определение. /
любых 1 ^ ц <С •••<; i» «4 п, 1
sup | d*f I dxix. ., dxis
п
кп
Определение. / (P) e
если для любых 1 ^ гх <;...< г
п, 1
п
Можно, конечно, считать, что W± (?,,...,-s) = PFW (Lit...is)-
В статье [97] были введены несколько иные классы
функций*):
Определение. / (Р) GE Wt {Lu,,,ls), если для
любых 1 <^ ix < ...<[ ig <С re, 1 «С s "С п
sup
K
(8.4)
Определение. / е И^ц (•?*,...is)> 1 < р <
если для любых 1 ^ г*! <С ...< t3 ^ и, 1 ^ 5 ^ и
\
(8.5)
И здесь можно считать, что Wt (Liu,.is) = WQ (Liu..is\
С некоторых точек зрения классы Wx и W$ оказа-
оказались более естественными, чем классы Wt и W*?\ ибо
как раз те значения производных, которые фигурируют в
определениях Wx и W$\ определяют функцию / (Р) с
точностью до постоянного слагаемого (см. (8.3) ).
При п = 1 и классы «с тильдой» и классы «без тиль-
тильды» обращаются в классы Wx (IS) и W^ (L), рассмотрен-
рассмотренные в гл. 2.
Заметим также, что при одних и тех же определяю-
определяющих постоянных Lu... h всегда Wx (Lu...h) a #i (?«,... ,s).
'{n также включается в число своих
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ
26?
Вывод формулы для ошибки S (/). Рассмотрим произ-
произвольную квадратурную формулу вида D.29) и ее ошибку
N—1
(8.6)
Координаты узлов Р^ обозначим Р^ — (a;w,..., Xy.n).
Как и в гл. 2, введем функцию
1 при и>0,
и перепишем тождество (8.3) в форме
X
(8.7)
Так как функционал (8.6) линейный, то из (8.7) следует,
что
5Х
X
(8.8)
Далее, с помощью (8.6) нетрудно вычислить, что
b[K(til-xk)...K(tis — xis)\ =
где 5{'"лв (ttl, . . ., ^s) — число точек сетки, проекции ко-
торых' на Ки.,лв расположены в параллелепипеде

268 ОЦЕНКИ ПОГРВПШОСТЙ ЙА ДРУГИХ КЛАССАХ
[О, ttl) X ... X [0, tis) (иначе говоря, число точек сетки,
координаты которых удовлетворяют неравенствам х^и<^
Подставив последнее выражение в (8.8), получим ис-
искомую формулу для б (/):
х
» • • -. К)] Г(Tilt} dth...dti
(8.9)
Функции с ограниченной вариацией. Вариацию функ-
функции / (Р) в Кп мы определим так, как это сделано в п. 26
книги [91]. Пусть задано
какое-нибудь разбиение ®
куба Кп на параллелепи-
параллелепипеды с помощью конечно-
конечного множества гиперпло-
гиперплоскостей, параллельных ко-
координатным гиперплоско-
гиперплоскостям (рис 8.1). Каждому
О
Рис. 8.1.
» (/) = sup
1<г<ге}
соответствие
величину
IV..Aere/
Вариация
f(P)BKn-9TO
поставим в
абсолютную
разности
., an)l-
функции
. ., о„)
(8.10)
здесь сумма берется по всем параллелепипедам Па данного
разбиения, а верхняя грань — по всем возможным разбие-
разбиениям ©.
Вариацией f (P) на грани Ku._.ig называется вариация
функции / GV..f?) в s-мерном кубе isT!t...,-g.
Пример. Рассмотрим функцию / (х, у) в единичном квадра-
квадрате. Разбиение 0 зададим с помощью прямых х = tt,..., x = tk
I 11
КЛАССЬ! ФУНКЦИЙ
269
и у = Si,..., у = sr (рис. 8.2). Тогда
й 1
=sup 2 2
VKt (/) = sup2 I / (*i+i, 1) - / («1.1) I .
i=0
VKt(f) = sup 2 1/A. »j+i)— / I1' si) I •
"
3=0
Определение. / (P) ? F (Lu,..is), если вариация
/ (P) на каждой из граней Kilm..u не превосходит соответ-
соответствующей определяющей по-
постоянной:
V*<t...«.</)< ^-V (8Л1>
Определение.
/ (Р) ^ Нх (Lu,..is), если для
любых 1 ^ ix ¦<. .. <С is ^ п,
1 <; s< n на грани Kh...is
/7
Рис. 8.2.
Условие (8.12) формально
совпадает с условием D.19) в
определении класса На {Liu..is) при а = 1. Однако в
формуле (8.12) и точка Р=(хг, . . ., хп) и точка Р + Q =
= (^i+li. ---^ Жтг + Еп) принадлежат грани Kiu..i$, в то вре-
время как в D.19) Р ш Р -{- Q — произвольные точки в Кп.
Следовательно, при одних и тех же определяющих посто-
постоянных
Легко также доказать, что при одних и тех же опреде-
определяющих постоянных
Wi (U,..€s) а Нг (Lh..A) а V (L,,..is). (8-14)

270 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НА ДРУГИХ КЛАССАХ [ГЛ. 8
Левая часть (8.14) доказывается с помощью леммы 2 гл. 4,
а правая часть — с помощью (8.12): если f (Р) ЕЕ Hlf
то
21д v • • Ч
так как
'>- • А = П
Нетрудно проверить, что для функций классов V спра-
справедлива формула (8.9), записанная с помощью интегралов
Стилтьеса [91]:
[Nttt.. Jis-S%~h (tk,..., ti$)]dXii Xi/(Tit...is). (8.15)
Вариации также могут быть выражены через интегралы
Стилтьеса:
•ii...ig
f(P)EEW{1>(Lit,), то
-К;
За;, ...За:,
ii is
th. . . rf^<
Значит, Wi~* (Lu,,_is) с F (Lb,,.js). И можно записать еще
одну цепочку: при одних и тех же определяющих постоян-
постоянных
Заметим, что функции из V (Ьг,...*8) не обязаны быть
непрерывными.
ПОГРЕШНОСТИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
271
§ 2]
§ 2. Погрешности квадратурных формул
В этом параграфе мы вычислим точные значения по-
погрешности R = sup | б (/)| на некоторых классах функций
и рассмотрим вопрос о наилучших порядках сходимости.
Интегральные отклонения. Пусть в Кп задана сетка
S, состоящая из N точек S = {Ро, Plt . . ., PN-x}- Фик-
Фиксируем произвольную грань ifj,...;s куба и рассмотрим
сетку, состоящую из проекций точек Ро, ..., P^-i на
Ku.,.is- Обозначим через Diu..iu (Б) отклонение этой
сетки на К^,.^а:
At. .i,(S) = sup
|. (8.16)
i,....e;
Интегральными отклонениями сетки S на грани Kit,,j
назовем величины
(8.17)
при 1 <^ q < с».
Легко проверить, что, каковы бы ни были отмеченные
индексы 1 ^ ix <.^2 <С. • • <Сi8 ^ ге> ПРИ любом 1 <Jg <
<оо
/ff..*. (S) < JfcU (S) < A,...is (S) < ?> (S) , (8.18)
где справа стоит отклонение сетки 2 (см. (9.2) и D.55)).
Точные оценки.
Теорема! На классе функций W\ (Liut%i^ погреш-
погрешность квадратурной формулы (8.6) с произвольной сеткой
2 равна
4S/?P) (8.19)
Теорема 2. На классе функций Wp* (L?li-,.s) no-
грещностъ квадратурной формулы (8.6) с произвольной

272 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НА ДРУГИХ
сеткой I равна
КЛАССАХ
N
[гл. s
(8.20)
причем A/р) -f- A/q) — 1.
Теорема 3. На классах функций W^ {Lu...is) и
V (Z/j,...is) погрешность квадратурной формулы (8.6) с про-
произвольной сеткой 2 равна
Теорема 1 была доказана в [97J; там же указано на
справедливость теоремы 2, хотя формулировка этой тео-
теоремы не приведена. Теорема 3 для функций с ограничен-
ограниченной вариацией в несколько более слабой форме была до-
доказана в [112].
Схема доказательства всех трех теорем.
Из формул (8.9) и (8.15) легко получить, что |б (/)| не пре-
превосходит правых частей (8.19), (8.20) и (8.21), если / (Р)
принадлежит соответствующему классу функций.
Для доказательства достижимости оценок (8.19) и
(8.20) выберем функцию / (Р), у которой все производные
(8.1) на соответствующих гранях К\и,.\ заданы формулой
и a J
а сама / (Р) определена соотношением (8.3). Здесь для
краткости введено обозначение
>N
, м.
одна точка /
r,,...v такая,
хотя бы
2]
ПОГРЕШНОСТИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
273
причем точка 7\..л есть одна из проекций сетки 2 на К\1ш,л
S , S
(ср. лемму 3 в гл. 3). Выберем достаточно малый s-мерный
параллелепипед Пе, так, чтобы он принадлежал области
знакопостоянства и непрерывности функции Z B\i...i) и
имел вид
П? = [tl, 4 + е) X ... X [t*s, t'h + s);
здесь t^, ...,«* — координаты точки Т\^.Л , а знак + е
выбирается таким же, как в ТгиЛ + 0 (нетрудно дока-
доказать, что либо все знаки +, либо все знаки —).
Рассмотрим функцию /е (Р), у которой все производ-
производные (8.1) заданы на соответствующих гранях формулой
дхА ... дх,
¦ п
S)
о
при
а сама /е (Р) определена соотношением (8.3). Можно дока-
доказать, что эта функция принадлежит W\ (?{,..л ) и в то же
время по формуле (8.9)
-ж 2 (^-
5
где Гг,...1 — некоторая средняя точка, принадлежащая Пе.
Если в->0, то~Тг1..лв -*^...*, ±0 и б(/.)-*>Л.
Оценки на классах .Hi (?г{,...«в) и ^A/^,,^).
Т еорема 1'. На классе функций Нх (А,..,г) погреш-
погрешность квадратурной формулы (8.6) с произвольной сеткой
S равна выражению (8.19).
Схема доказательства. Из (8.12) можно
вывести, что
d
после чего из (8.15) нетрудно получить, что |6 (/)| не

274 ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НА ДРУГИХ КЛАССАХ [ГЛ.8
превосходит правой части (8.19). А так как оценка эта дос-
достижима на W-i (¦?{,...* ), то тем самым она достижима и на
более широком классе Нг (Z^...* ).
Следствие. На классе функций Нх {Ь^.л ) для
погрешности квадратурной формулы (8.6) с произвольной
сеткой 2 справедлива оценка
где заменить неравенство равенством нельзя.
Доказательство. Справедливость неравенст-
неравенства (8.22) следует из теоремы 1" и включения (8.13). Чтобы
доказать, что оценка (8.22) неточная, рассмотрим равно-
равномерную сетку 20 (§ 1 гл. 5) с pv — 0 (число точек N = Мп).
Для такой сетки интегральные неравномерности /^.л B0)
нетрудно вычислить, ибо на грани К^.,л при^/М «^ xiv<^
< {U + i)/M значение S^"A* равно (ii-f-1) • • • (*.+ 1) М™,
что больше, чем Nxu . . . xi$ (рис. 8.3, где и—3, М= 4).
Следовательно,
¦*ii...i8 B0) =
= г
...X. —,
is
(xh , ... ,
M-i
«,+1
M-\
1Й
M
M
- =0
Значит, правая часть (8.22) в случае сетки 2, равна
2 Ч - t. 2"S 1A + l/iW)s- 1], (8,23)
21
ПОГРЕШНОСТИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
275
в то время как в § 1 гл. 5 на классах #я (Ь^.л ) была по-
лучена более точная оценка погрешности E.8), которая
при а = 1 и fJv = 0 превращается в
к
м
/
/ V / /
/ /. /
/ / / /
/ / /
(I 1
. 1
/
/
V
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
[/
>
/
/
/
/
О
Замечание. В формулировке следствия можно
заменить класс #j. (Lit,m-ia) на PFt (L|,...j ).
Замечание. Отметим, что функция /, (Р) =
= — 2-^u...is (^ ~xi)- • . A — x.a) принадлежит ^классу
Wi(^ii...ie)» Вычисляя интег-
интеграл от /ф (Р) по сетке So, по-
получим ошибку (8.23).
Оценки погрешности для
конкретных сеток. Для всех
сеток, рассмотренных в гл.
5 и 6, были получены оценки
отклонения D B). В силу
(8.18) эти же оценки годятся
/Д9\д8B), так и для
s чт0 позволяет
получить*) оценки для R.
Для тех сеток, для кото-
которых неравномерность фоо B)
оценивалась через D B), оценки настоящей главы на
классе Нг (Lix^,is) оказываются более точными, чем оцен-
оценки, полученные с помощью теоремы 4 гл. 4. Например,
для начального участка последовательности Холтона, со-
согласно теореме 3 гл. 5, отклонение D = О (lnnJV). Из
(8.19) вытекает, что R = О {N'1 \nnN) на Нг {Lu...h).
А из D.47) и E.28) получается лишь, что R = О (ЛГ1 ln2niV)
(впрочем, оба эти порядка «почти наилучшие»).
В тех же случаях, когда фсо B) оценивается незави-
независимо от D B), порядок оценки D.47) может оказаться бо-
более близким к точным оценкам Л, полученным в настоя-
настоящей главе. Например, для начального участка ЛПт-по-
*) В большинстве рассмотренных случаев проекции сеток на
различные грани представляют собой снова сетки известного типа.
Это дает возможность точнее оценить ?$ ig B).
к.
м
Рис. 8.3.

276 ОЦВНКЙ ПОГРЕШНОСТИ НА ДРУГИХ КЛАССАХ [ГЛ. 8
следовательности, согласно теореме 8 гл. 6, отклонение
D = О (lnnN), так что на классах Нх (Liu..is) снова
R = О (N'ilnnN). Однако благодаря хорошей оценке
фоо = О A) в этом случае из D.47) также вытекает, что
О наилучших порядках сходимости. Если среди опре-
определяющих Постоянных {^ii...is} какого-нибудь из рас-
рассмотренных здесь классов функций есть постоянная Lit^0,
то порядок сходимости R легко оценить снизу: так как в
одномерном случае (теорема 2 гл. 2)
1
5=8 4ЛГ '
то Л > ЬН1(Ш) (в качестве «худшей» функции можно
выбрать функцию от одной переменной). Этот результат
содержится также в более общей теореме Н. С. Б а х в а-
л о в а [49].
Значительно сложнее оценить R снизу тогда, когда
L\z.--n =h 0, а все остальные Liu,iit = 0. В этом случае
задача эквивалентна оценке снизу интегралов 1$...п (на
всевозможных сетках 2, содержащих N точек). Приведем
без доказательств две теоремы о таких оценках.
Теорема 4 [79]. Существует абсолютная положи-
положительная постоянная Сг = Сх (п) ^> 0 такая, что для лю-
любой сетки 2 «Г
N.
(8.24)
еорема 5 [101]. Для любой сетки 2 в Кп при
1
(8.25)
где 0 < 8n (N) < 1/4 и гп = О (N~i ljxn-*N), когда N -> оо.
Являются ли порядки оцешж (8.24) и (8.25) точными
при каждом п — неизвестно. Среди известных сеток в Кп
наилучшие оценки /^..п B) получены для сеток 2н и
для Пт-сеток: для них 4^..n < IiL.n = О (lnn^N).
Более подробно исследован случай п — 2. X. Д э-
венпортом [107] были указаны сетки на квадрате,
ПОГРЕШНОСТИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
277
для которых 1$ = О (ЫШ), и тем самым доказана точ-
точность порядка (8.24) в случае п = 2. Эти сетки состоят
из N = 2М точек с координатами
xt = ИМ, У1 - {+ Щ A < i < Af),
где 9 — иррациональное число, разложение которого в
непрерывную дробь имеет ог-
ограниченные неполные част- х,
ные (рис. 8.5 для 6 =/2/2). ;
Работа [107] осталась
незамеченной рядом авторов
[НО, 97, 109, 108, 83], и в
[83] И. В. В и л е н киным
были построены другие сетки
на квадрате, для которых
также 1$ = О (in^JV). Эти
сетки 2 представляют собой ' g 1 х
дальнейшее усовершенство- - ;
вание сеток из [79, 57]. Рис. 8.4.
Они суть П0-сетки и состо-
состоят из точек с двоично рациональными координатами:
= ' + У2 - J P (f) + BЛГ)-1' еСЛИ ( = 2t'
*<- N . Уг- \i_p(t)_BNy1, если i = 2t+l.
Здесь 0<г<Лг — 1, N = 2v (рис. 8.4). Для сеток 2
loe*N . 1 1
24
288 №
Есть основания ожидать, что ДУ B) = О A), однако это
пока не доказано.
Случай бесконечного числа переменных. В формулах
(8.19) — (8.22) можно перейти к пределу при п -> оо и по-
получить некоторые оценки погрешности квадратурной фор-
формулы G.2) в бесконечномерном кубе К^°. Улучшить оцен-
оценку порядка сходимости на классах НАЬ^.л) здесь не
удается: порядок R = О (iV~1+E) оказывается таким же,
как в гл. 7. Можно лишь несколько расширить класс до-
допустимых функций.

2?8 ОЦЕНКИ ПОГРктЕОСТЙ НА ДРУГИХ КЛАССАХ [fJI. t
¦JCp
1
Ограничимся формулировкой одной теоремы, анало-
аналогичной теореме 1 гл. 7. Пусть задана бесконечная си-
система определяющих постоянных {!»{,...{ }. Буквой Y
обозначим [точку, у которой все координаты, кроме
отмеченных, равны нулю (см.
стр. 249).
Определение. Функ-
Функция / (X) принадлежит клас-
классу Нг {Ьи..ла), если:
1° / (X) ограничена в 2?°°;
2° для любых точек X и
Y таких, что X ?Е К^.а и
X + У S ^...ig, выполняет-
выполняется G.15) с <х= 1;
О
Рис. 8.5.
для любой
f(X)=Umf(xlt..., хп,
точки
Мы скажем, что сетка 2 допускает мультипликатив-
мультипликативную оценку интегральных отклонений Д.,.{ , если сущест-
существуют положительные числа hx, h2, . . ., hti . . . и В такие,
что при любых 1 ^ гх <с ia <. • • • < i$
lt?...<.W<Bhu...hiB. (8-26)
Теорема 6. Для сетки 2 = {Хо, Хх, . . ., XN.X},
допускающей мультипликативную оценку интегральных
отклонений (8.26), на классах Нг (^..д ), определяющие
постоянные которых одинаково убывают по отношению
к {ht}, имеет место оценка
:-1).
t=i
(8.27)
Для сеток 2* и 2**, рассмотренных в гл. 7, оценки ви-
вида (8.26) следуют из оценок />и..ч и (8.18).
Вспомогательные неравенства
1. Пусть а > 0. Нетрудно вычислить, что
Если а < 1 ^ Ь, то
(9.1)
2. Если 0 < q <C q" и функция и (х) кусочно непре-
непрерывна, то
][ <suplu(o;)|. (9.2)
0<<1
I 0
Доказательство левого неравенст-
в а. Пусть A/а) + A/Р) = 1. Выберем а = q'iq и вос-
воспользуемся неравенством Гельдера:
1 ч 1/а. / 1
5i|B|««daf J |$
1/е
что равносильно требуемому неравенству.
|| Обобщение неравенства на случай куба К71 очевидно.
3. Если 0 <g <g*, то
max
, М л 1/9' с М %1/?

280
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Доказательство правого неравен-
неравенства.
¦ м
fe '•"•¦}
1/9'
2i»*
ЛГ-1
4. Пусть g>0. Если 2 С4=1 и все С*>0, то
ЛГ-1
/i \Ь{;" ^^(I/j'Vj4, (9.4)
i=o
и равенство имеет место, когда Со = ..,== С^_г = 1/iV.
N—l
5. Пусть g > 0. Если ^ Ci = 1 и все Сг > 0, то
i=0
Т BCoM+1 •+ 2
г==1
+ -ir (ЖмГ* > A/JV)«, (9.5)
и равенство имеет место только в случае, когда Со = CN=
i уш ^ 1
2JV ' х - • ¦ — uN~i — 7v '
Неравенства 4 и 5 можно доказать при помощи обычных
методов вариационного исчисления.
Цитированная литература
К I части
К главе 1
1. Алексич Г., Проблемы сходимости ортогональных ря-
рядов. ИЛ, М., 1963.
2. Арутюнян Ф. Г., Талалян А. А., О единственности
рядов по системам Хаара иУолша. ИАН СССР, сер. матем.,
1964, 28, № 6,1391—1408.
3. Белоцерковский О. М., Ч у ш к и н П. И., Числен-
Численный метод интегральных соотношений. Ж. вычисл. матем. и
матем. физики, 1962, 2, № 5, 731—759.
4. Виленкин Н. Я., Дополнения к книге [9], 459—493.
5. Голубов Б.И., О рядах Фурье непрерывных функций
посистеме Хаара. ИАН СССР, сер. матем., 1964, 28, № 6, 1271—
1296.
6. Гутер Р. С, Ульянов П. Л., О новых результатах в
теории ортогональных рядов. В книге [9], 335—456.
7. Д а н и л о в В. Л. и др., Математический анализ (функции,
пределы, ряды, цепные дроби). СМБ, Физматгиз, М., 1961.
8. Ермаков С. М., Интерполирование по случайным точкам,
Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1963, 3, № 1, 186—190.
9. Качмаж С, Штейнгауз Г., Теория ортогональных
рядов. Физматгиз, М., 1958.
10. Кемхадзе Г. Г., Об одном свойстве системы Хаара. Со-
общ. АН ГрузССР, 1966, 41, № 1, 33-40.
11. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б., Вы-
Выпуклые функции и пространства Орлича. Физматгиз, М., 1958.
12. М а т в е е в В. А., О коэффициентах Фурье — Хаара. Изв.
вузов, Математика, 1965, № 6, 103—112.
13. М о р и ц Ф. (Мб г i с z F.), О безусловной сходимости рядов
по системе Хаара. ИАН СССР, сер. матем.,1963, 27, № 6,1229—
1238.
14. Олевский А. М., Об одной ортонормированной системе
и ее применениях. Матем. сб., 1966, 71, № 3, 297—336.
15. Петровская М. Б., О нуль-рядах по системе Хаара.
ИАН СССР, сер. матем., 1964, 28, № 4, 773—798.
16. Поляк Б. Т., Ш рейде рЮ. А., Применение полино-
полиномов Уолша в приближенных вычислениях. Вопросы теории
матем. машин., Сб. 2, 1962, 174—190.

282
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
17
18,
19
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
,32.
33.
34.
35
36.
Скворцов В. А., Теорема типа Кантора для системы Ха-
ара. Вестник Моск. ун-та, сер. матем., мех., 1964, № 5, 3—6.
Соболь И. М., Применение разложений по функциям Хаара
к исследованию сеток интегрирования. Диссерт. ОПМ МИАН
СССР, М., 1959.
Соболь И. М., Функции многих переменных с быстро схо-
сходящимися рядами Хаара. ДАН СССР, 1960, 132, № 4, 773—
776.
Соломяк М. 3., Об ортогональном базисе в пространстве
Банаха. Вестник Ленинградок, ун-та, 1957, № 1, сер. матем.,
мех., астрон., вып. 1, 27—37.
. Т и м а н А. Ф., Теория приближения функций действитель-
действительного переменного. Физматгиз, М., 1960.
.Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения
математической физики, изд. 3, «Наука», М., 1966.
. Ульянов П. Л.,О рядах по системе Хаара. Матем. сб., 1964,
63, № 3, 356—391.
Ульянов П. Л,, Ряды по системе Хаара. ИАН СССР, сер.
матем., 1964, 28, № 4, 925—950.
Alex its G., Sur la sommabilite des series orthogonales.
Acta math. Acad. sci. Hungar., 1953, 4, № 3—4, 181—189.
Birkhoff G., Kampe de Feriet J., Kinematics
of homogeneous turbulence. J. Math. Mech., 1958, 7, № 5, 663—
703; 1962, 11, № 3, 319—340.
. Cieselsky Z.,Musielak J., On absolute convergence
of Haar series. Colloq. Math., 1959, 7, № 1, 61—65.
Delporte J., Conditions de convergence uniforme et de
continuite presque sures de la somme d'une serie de Haaf —
Fourier a coefficients aleatoires et construction de fonctions alea-
toires normales a derivee presque surement continue sur un iriter-
valle ferme. С R. Acad. Sci., 1965, Gr. 1, 260, № 3, 780—783.
Ellis H. W., Halperin I., Haar functions and the basic
problem for Banach spaces. J. London Math. Soc, 1956, 31, 28—
39.
F a b e r G., Ober die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar.
Jahresber. Deutsch. Math. Ver., 1910, 19, 104—112.
Gelbaum B. R., On the functions of Haar. Ann. Math.,
1950, 51, 26—36.
Haar A., Osszegyujtott munkai — Gesammelte Arbeiten.
Budapest, 1959.
Haar A., Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme.
Math. Ann., 1910, 69, 331—371.
Kampe de Feriet J., Pseudo-integrales de Stiltjes
aleatoires. C. R. Acad. Sci., 1961, 252, № 15, 2162—2165.-
Leindler L., Ober Konvergenz- und Summationseigen-
schaften von Haarschen Reihen. Acta scient. math., 1965, 26,
№ 1—2, 19—30.
Liverani F., Una classe di nuclei in relazione con il sis-
teme ortonormale di Haar. Atti semin. mat. fis. univ. Modena,
1965, 14, 157—168.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
283
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
Marcinkiewicz J., Quelques theoremes sur les series
orthogonales. Ann. Polon. math., 1937, 16, 84—96.
S z.-N a g у В., Approximation properties of orthogonal expa-
expansion. Acta scient. math., 1953, 15, № 1, 31—37.
OhkumaT., On a certain system of orthogonal step functi-
functions. Tohoku Math. J., 1953, 5, № 2, 166—177.
О r 1 i с z W., Ober eine gewisse Klasse von Raumen vom Ty-
pus B. Bull, internat. Acad. Polon., ser. A, 1932, 207—220.
Ostrowsky A., Ober die Absolutabweichung einer dif-
ferenzierbaren Funktion von ihrem Integralmittelwert. Comm.
Math. Helv., 1937/38, 10, № 3, 226—227.
Paley R. E. A. C, A remarkable system of orthogonal fun-
functions. Proc. London Math. Soc, 1932, 34, 241—279.
Price J. J., Z i n k R. E., On sets of completeness for fami-
families of Haar functions. Trans. Amer. Math. Soc, 1965, 119, № 2,
262—269.
Rademacher H., Einige Satze tiber Reihen von allgemei-
nen Orthogonalfunktionen. Math. Ann., 1922, 87, 112—138.
Schauder J., Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogo-
nalsystems. Math. Z., 1928, 28, 317—320.
46. W a 1 s h J. L., A property of Haar's system of orthonormal
functions. Math. Ann., 1923, 90, 38—45.
47. Watari Ch., A generalization of Haar functions. T6hoku
Math. J., 1956, 8, № 3, 286-290.
48. W e у 1 H., Ober beschrankte quadratische Formen, deren
Differenz vollstandig ist. Rend, circolomat. Palermo, 1909, 27,
373—392.
44.
45.
К главе 2
49. Бахвалов Н. С, Об оптимальных оценках сходимости
квадратурных процессов и методов интегрирования типа
Монте-Карло на классах функций. Сб. «Числ. методы решения
дифф. и интегр. уравнений», «Наука», М., 1964, 5—63.
Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей. Гостехиздат,
М.—Л., 1950.
Кронрод А.С, Об интегрировании с контролем точности.
ДАН СССР, 1964, 154, № 2, 283—286.
Крылов В. И., Шульгина Л. Т., Справочная книга
по численному интегрированию. «Наука», М., 1966.
Натансон И. П., Теория функций вещественной перемен-
переменной, Гостехиздат, М.—Л., 1950.
Никольский СМ., Квадратурные формулы. Физмат-
Физматгиз, М., 1958.
Никольский С. М.,К вопросу об оценках приближений
квадратурными формулами. УМН, 1950, 5, № 2, 165—177.
Соболев С. Л., Лекции по теории кубатурных формул.
Новосибирск, 1964, 1965.
57. С о б о л ь И. М., Многомерные интегралы и метод Монте-
Карло. ДАН СССР, 1957, 114, № 4, 706—709.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.

284
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
58. Турецкий А. X., Об оценках приближений квадратур-
квадратурными формулами для функций, удовлетворяющих условию
Липшица. УМН, 1951, 6, № 5, 167—171.
К главе 3
59. К а с с е л с Дж. B.C., Введение в теорию диофантовых при-
приближений. ИЛ., М., 1961.
60. К а ц М., Статистическая независимость в теории вероятно-
вероятностей, анализе и теории чисел. ИЛ, М., 1963.
61. Коробов Н. М., Некоторые проблемы распределения
дробных долей. УМН, 1949, 4, № 1, 189—190.
62. Коробов Н. М., О вполне равномерном распределении и
совместно нормальных числах. ИАН СССР, сер. матем., 1956,
20, № 5, 649—660.
63. К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры. Гостехиздат, М.—Л.,
1946.
64. П о с т н и к о в А. Г., Арифметическое моделирование слу-
случайных процессов. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1960, т. 57.
65. П о с т н и к о в А. Г., Эргодические вопросы теории сравне-
сравнений и теории диофантовых приближений. Тр. матем. ин-та
АН СССР, 1966, т. 82.
66. Соболь И. М., Псевдослучайные числа для машины «Стре-
«Стрела». Теория вероятн. и ее примен., 1958, 3, № 2, 205—211.
67. С о б о л ь И. М., О распределении точек в кубе и сетках
интегрирования. УМН, 1966, 21, № 5, 271—272.
68. Старченко Л. П., Пострбение вполне равномерно рас-
распределенных последовательностей. ДАН СССР, 1959, 129,
№ 3, 519—521.
69. Ченцов Н. Н., Псевдослучайные числа для моделирова-
моделирования марковских цепей. Ж. вычисл. матем. и матем. физики,
1967, 7, № 3, 632-643.
70. Van Aardenne-Ehrenfest Т., On the impossibility
of a just distribution. Indagat. math., 1949, 11, 264—269.
71. Cigler J., Helmberg G., Neuere Entwicklungen der
Theorie der Gleichverteilung. Jahresber. Deutsch. Math. Ver.,
1961, 64, № 1, 1—50.
72. Van der Corput J. G., Verteilungsfunktionen. Proc.
Kon. Akad. Wetensch. Amsterdam, 1935, 38, № 8, 813—821;
№ 10, 1058—1066.
73. E r d о s P., Problems and results on diophantine approxima-
approximations. Compositio math., 16, № 1—2, 52—65.
74. F r a n k 1 i n J. N., Deterministic simulation of random pro-
processes. Math. Comput., 1963, 17, № 81, 28—59.
75. Hlawka E., Uber die Diskrepanz mehrdimensionaler Fol-
gen mod 1. Math. Z., 1961, 77, № 3, 273-284.
76. Hlawka E., Discrepancy and uniform distribution of sequ-
sequences. Compositio math., 16, № 1—2, 83—91.
77. Koksma J. F., Diophantische Approximationen. Ergeb-
nisse Math. Grenzgeb., 1936, 4, № 4.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
285
78. Koksma J. F., The theory of asymptotic distribution mo-
modulo one. Compositio math., 16, № 1—2, 1—22.
79. R о t h K. F., On irregularities of distribution. Mathematika,
. 1954, 1, № 2, 73—79.
80. W eyl H., Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins.
Math. Ann., 1916, 77, № 3, 313-352.
К II части
81. Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М.,
С р а г о в и ч В. Г., Ш р е й д е р Ю. А., Метод статистиче-
статистических испытаний (метод Монте-Карло). СМБ, Физматгиз, М.,
1962.
82. Б у х ш т а б А. А., Теория чисел. «Просвещение», М., 1966.
83. Виленкин И. В., О плоских сетках интегрирования. Ж.
вычисл. матем. и матем. физики, 1967, 7, № 1, 189—196.
84. Владимиров В. С, О применении метода Монте-Кар-
Монте-Карло для отыскания наименьшего характеристического числа и
соответствующей собственной функции линейного интеграль-
интегрального уравнения. Теория вероятн. и ее примен., 1956, 1, № 1,
113-130.
85. Владимиров В. С, Соболь И. М., Расчет наимень-
наименьшего характеристического числа уравнения Пайерлса методом
Монте-Карло. Вычислит, матем., 1958, № 3, 130—137.
86. Г е л ь ф а н д И. М., Фролов А. С, Ченцов Н. Н.т
Вычисление континуальных интегралов методом Монте-Карло.
Изв. вузов, сер. матем., 1958, № 5, 32—45.
87. Коробов Н. М., Приближенное вычисление кратных ин-
интегралов с помощью методов теории чисел. ДАН СССР, 1957,
115, № 6, 1062—1065.
88. Коробов Н. М., О приближенном вычислении кратных
интегралов. ДАН СССР, 1959, 124, № 6, 1207—1210,
89. Коробов Н. М., Теоретико-числовые методы в прибли-
приближенном анализе. Физматгиз, М., 1963.
90. К р о н р о д А. С, О функциях двух переменных. УМН,
1950, 5, № 1, 24-134.
91. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, Физматгиз,
М., 1959.
92. С о б о л ь И. М., О применении рядов Хаара в теории квад-
квадратурных формул. Сб. «Вопросы вычислит, математики и вы-
вычислит, техники*, Машгиз, М., 1963, 31—35.
93. Соболь И. М., Точная оценка погрешности многомерных
квадратурных формул для функций класса Sv. ДАН СССР,
1960, 132, № 5, 1041—1044.
94. Соболь И. М., О вычислении многомерных интегралов.
ДАН СССР, 1961, 139, № 4, 821—823.
95. Соболь И. М., О методе рядов Хаара в теории многомер-
многомерных квадратур. Междунар. конгресс математиков, тезисы док-
докладов. М., 1966.
96. Соболь И. М., Применение рядов Хаара для оценки пог-
погрешности при вычислении бесконечномерных интегралов.
ДАН СССР, 1967, 175, № 1, 34—37.

286
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
97. Соболь И. М., Точная оценка погрешности многомерных
квадратурных формул для функций классов Wt и Ht. Ж. вы-
числ. матем. и матем. физики, 1961, 1, № 2, 208—216.
98. С о б о л ь И. М., О распределении точек в кубе и прибли-
приближенном вычислении интегралов. Ж. вычисл. матем. и матем.
физики, 1967, 7, № 4, 784—802.
99. Соболь И. М., О вычислении бесконечномерных интег-
интегралов. Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1961, 1, № 5, 917—
922.
100. Соболь И. М., Метод Монте-Карло для расчета критично-
критичности в многогрупповом приближении. Сб. «Метод Монте-Карло
в проблеме переноса излучений», Атомиздат, М., 1967, 232—
254.
101. Соболь И.М., Об одном интеграле, встречающемся в тео-
теории квадратурных формул.Ж.вычисл. матем. и матем. физики,
1966, 6, № 6, 1084—1089.
102. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений,
Гостехиздат, М.—Л., 1950.
103. Файнлейб А. С, О распределении значений функции
Эйлера. Матем. заметки, 1967, 1, № 6, 645—652.
104. Ч енц о в Н. Н., О квадратурных формулах для функций
бесконечно большого числа переменных. Ж. вычисл. матем. и
матем. физики, 1961, 1, № 3, 418—424.
J05. Albert A. A., Fundamental concepts of Higher Algebra.
Univ. Chicago Press, 1956.
106. Dahlquist G., Monte-Carlo-metoden. Nord. Mat. tidskr.,
1954, 2, 27—43.
107. Davenport H., Note on irregularities of distribution. Ma-
thematika, 1956, 3, № 6, 131—135.
108. G a b a i H., On the discrepancy of certain sequences mod 1.
Illinois J. Math., 1967, 11, № 1, 1—12.
109. H a b e r S., On a sequence of points of interest for numerical
quadrature. J. Research NBS, 1966, 70 B, № 2, 127—136.
110. Halton J. H., On the efficiency of certain quasi-random
sequences of points in evaluating multi-dimensional integrals.
Numer. Math., 1960, 2, № 2, 84—90.
111. Hammersley J. M., Monte Carlo methods for solving
multivariable problems. Ann. New YorkAcad. Sci., 1960, 86,
№ 3, 844—874.
112. H lawk a E., Funktionen von beschrankter Variation in
der Theorie der Gleichverteilung. Ann. mat. pura appl., Ser.
4, 1961, 54, 325—333.
113. H 1 a w k a E., Uniform distribution mod. 1 and numerical
analysis. Compositio math., 16, №1—2, 92—105.
114. Hlawka E., Zur angenaherten Berechnung mehrfacher
Integrate. Monatsh. Math., 1962, 66, № 2, 140—151.
115. Sierpinski W., Teoria liczb, II.sWarszawa, 1959.
116. Z i e r 1 e r N., Linear recurring sequences. J. Soc. Industr.
Appl. Math., 1959, 7, № 1, 31-48.
Указатель определений
Общеупотребительные
обозначения
lmj (*) (Функции Хаара) 14
ck, c\ (коэффициенты Фурье —
Хаара) 20, 130, 132
Ц (х) (целая часть х) 102
{х} (дробная часть х) 102
~, о ( ),0 () 40
Z2 (конечное поле) 193
Ф (к) (функция Эйлера) 197
&Z t (P) (приращение) 135
R (погрешность квадратурной
формулы) 55, 129
Другие обозначения
lmj (двоичный отрезок) 13
Двоичный участок последова-
последовательности 117
IIfc (двоичный параллелепи-
параллелепипед) 138
Операция * 119
Кп (re-мерный куб) 129
КЬ..Ла (гРань кп) 131
&00 (оо-мерный куб) 242
± 132
т (п) 191
Моноциклический оператор 195
Классы функций
Нх (L) 43
W$> (L), Wx (L) 57
V (L) 64
Sp (A) 63
Sp (Ai О 133, 251
137' 2So
5^,.л/269 '¦"¦ .
Нг {Lu , ) 269,278
iwisp. Мя1i42
Определяющие постоянные 133,
136
Одинаково убывающие опреде-
определяющие постоянные 247
Сетки
Равномерные B0) 164
Решетчатые 169
Параллелепипедальные Bд)
171
Хэммерсли BЯ) 174
Холтона B*) 174
П0-сетки 117
Пт-сетки 137
Последовательн ости
Равномерно распределенные 97,
163
{р № 86
{q @) 124
{Рг @> 174
{p(ft> (j)> 205
ЛП0-последовательности 117
ДР-последовательности 121
Направляющие числа 121

288
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Направляющая матрица 122
ДР-последовательности, при-
принадлежащие моноцикличе-
моноциклическому оператору 203
Последовательности Холтона
{i3*} 174
ЛПТ-последовательности 192
Обобщенная последовательность
Холтона {JT*} 256
Обобщенная ЛП .^последователь-
.^последовательность {X**} 258
Характеристики
распределения
FN {x) 53, 107
ifg (x0,..., х^-^, Co,..., Cff-J 75,
76
00 Nl JVT.
SN (x) 85, 161
SN(l) 97
<pq (S) 84, 154
Фоо (^) (неравномерность) 85,
156
D B) (отклонение) 107, 161
/(9) B) (интегральное отклоне-
отклонение) 115
ф
ф11...г3
145
(неравномерности) 151
(отклонения) 271
B)
( ^'.
^'.эгральные от-
отклонения;