Этот труд посвящен памяти
ГАРРИ БЕЙТМЕНА,
создавшего столь грандиозный
проект и продвинувшего свой
замысел столь далеко по пути
к завершению

HIGHER
TRANSCENDENTAL
FUNCTIONS
Volume 2
BASED, IN PART, ON NOTES LEFT BY
HARRY BATEMAN
AND COMPILED BY THE
STAFF OF THE BATEMAN MANUSCRIPT PROJECT
DIRECTOR ARTHUR ERDELYI
NEW YORK TORONTO LONDON
MC ORAW-HILL BOOK COMPANY, INC.
1953

СПРАВОЧНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
Г. БЕЙТМЕН и А. ЭРДЕЙИ
ВЫСШИЕ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ
ФУНКЦИИ
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ, ФУНКЦИИ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА,
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Перевод с английского
Н. Я. ВИЛЕНКИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966

АННОТАЦИЯ
Настоящая книга представляет собой перевод второго
тома вышедшего в США трехтомного издания под
названием «Высшие трансцендентные функции». В отличие от
других справочных пособий, оно содержит не только все
формулы по теории специальных функций, полученные к
середине 40-х годов, но и сжато изложенную теорию этих
функций. По полноте охвата материала издание уникально.
Данная книга содержит теорию функций Бесселя, теорию
функций параболического цилиндра и параболоида
вращения, теорию ортогональных многочленов от одного и многих
переменных. Многое из содержания этой книги впервые
освещается в монографической литературе.
Книга явится настольной для физиков — теоретиков и
экспериментаторов, инженеров-исследователей, математиков-
прикладников и т. д.
ШТАБ ПО ОСУЩЕСТВЛЕНИЮ ПРОЕКТА БЕЙТМЕНА
Директор
АРТУР ЭРДЕЙИ
Руководство штаба:
ВИЛЬГЕЛЬМ МАГНУС, ФРИЦ ОБЕРХЕТТИНГЕР,
ФРАНЧЕСКО Д. ТРИКОМИ
Ассистенты:
Д. Б е р т и н, Д. Л. Т о м с о н,
В. Б. Ф а л к с, Мария А. В е б е р,
А. Р. X а р в и, Е. Л. У и т н е й

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 7
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Часть первая. Теория 9
7.1. Введение 9
7.2. Дифференциальное уравнение Бесселя 12
7.2.1. Функции Бесселя произвольного порядка 12
7.2.2. Модифицированные функции Бесселя любого порядка 13
7.2.3. Функции Кельвина и связанные с ними функции 14
7.2.4. Функции Бесселя целого порядка 14
7.2.5. Модифицированные функции Бесселя целого порядка 17
7.2.6. Сферические функции Бесселя 17
7.2.7. Произведения функций Бесселя 19
7.2.8. Различные результаты 20
7.3. Интегральные представления 22
7.3.1. Коэффициенты Бесселя 22
7.3.2. Интегральные представления типа Пуассона 22
7.3.3. Представления с помощью контурных интегралов 23
7.3.4. Интегральные представления Шлефли, Гублера и связанные с ними
представления 25
7.3.5. Интегралы Зоммерфельда 27
7.3.6. Интегралы Бернса 30
7.3.7. Интегралы Эйри 31
7.4. Асимптотические выражения 31
7.4.1. Случай большого независимого переменного 32
7.4.2. Случай, когда порядок принимает большие значения 33
7.4.3. Промежуточные области 37
7.4.4. Равномерные асимптотические разложения. Методы, связанные с
дифференциальным уравнением 39
7.5. Функции, связанные с функциями Бесселя 40
7.5.1. Многочлены Неймана и связанные с ними многочлены 41
7.5.2. Многочлены Ломмеля 43
7.5.3. Функции Ангера — Вебера 44
7.5.4. Функции Струве 46
7.5.5. Функции Ломмеля 49
7.5.6. Некоторые другие обозначения и функции 52
7.6. Теорема сложения 52
7.6.1. Теорема сложения Гегенбауэра 52
7.6.2. Теорема сложения Графа 53

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
7.7. Интегральные формулы 55
7.7.1. Неопределенные интегралы 55
7.7.2. Определенные интегралы по конечным отрезкам 55
7.7.3. Интегралы с бесконечными пределами, содержащие показательную функцию 58
7.7.4. Разрывный интеграл Вебера —Шафхейтлина 61
7.7.5. Интегралы Сонина и Гегенбауэра и их обобщения 63
7.7.6. Формулы Макдональда и Никольсона 64
7.7.7. Интегралы от функций Бесселя по индексу 66
7.8. Соотношения между функциями Бесселя и Лежандра 67
7.9. Нули функций Бесселя 70
7.10. Представления произвольных функций в виде рядов и интегралов 74
7.10.1. Ряды Неймана 74
7.10.2. Ряды Каптейна 78
7.10.3. Ряды Шлемильха 79
7.10.4. Ряды Фурье —Бесселя и Дини 82
7.10.5. Интегральные представления произвольных функций 84
Часть вторая. Формулы 89
7.11. Элементарные соотношения и различные формулы 89
7.12. Интегральные представления 92
7.13. Асимптотические разложения 98
7.13.1. Большое значение переменного 98
7.13.2. Большое значение порядка 99
7.13.3. Переходные области 102
7.13.4. Равномерные асимптотические разложения 103
7.14. Интегральные формулы 103
7.14.1. Интегралы по конечным отрезкам 103
7.14.2. Несобственные интегралы 106
7.15. Ряды функций Бесселя 114
Глава 8
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА И ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ
8.1. Введение 121
Функции параболического цилиндра 122
8.2. Определения и элементарные свойства 122
8.3. Интегральные представления и интегралы 125
8.4. Асимптотические разложения 129
8.5. Выражение различных функций через Dv(x) 130
8.5.1. Ряды 130
8.5.2. Представления в виде интегралов по параметру 131
8.6. Нули и дескриптивные свойства 132
Функции параболоида вращения 133
8.7. Решения вырожденного гипергеометрического уравнения в некоторых частных
случаях 133
8.8. Интегралы и ряды, содержащие функции параболоида вращения 135
Глава 9
НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
9.1. Введение 138

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Неполные гамма-функции 139
9.2. Определения и элементарные свойства 139
9.2.1. Случай целого значения а 141
9.3. Интегральные представления и формулы интегрирования 142
9.4. Ряды 143
9.5. Асимптотические представления 144
9.6. Нули и дескриптивные свойства 145
Частные случаи неполных гамма-функций 147
9.7. Интегральная показательная функция и интегральный логарифм 147
9.8. Интегральные синус и косинус 149
9.9. Интеграл вероятности 151
9.10. Интегралы Френеля и обобщения 154
Глава 10
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
10.1. Системы ортогональных функций 156
10.2. Проблема аппроксимации 159
10.3. Общие свойства ортогональных многочленов 160
10.4. Механические квадратуры 163
10.5. Непрерывные дроби 165
10.6. Классические многочлены 166
10.7. Общие свойства классических ортогональных многочленов 168
10.8. Многочлены Якоби 170
10.9. Многочлены Гегенбауэра 175
10.10. Многочлены Лежандра 179
10.11. Многочлены Чебышева 184
10.12. Многочлены Лагерра 188
10.13. Многочлены Эрмита 192
10.14. Асимптотическое поведение многочленов Якоби, Гегенбауэра и Лежандра .... 196
10.15. Асимптотическое поведение многочленов Лагерра и Эрмита 199
10.16. Нули многочленов Якоби и связанных с ними многочленов 202
10.17. Нули многочленов Лагерра и Эрмита 204
10.18. Неравенства для классических многочленов 205
10.19. Задачи разложения 209
10.20. Примеры разложений 211
10.21. Некоторые классы ортогональных многочленов 216
10.22. Ортогональные многочлены дискретного переменного 219
10.23. Многочлены Чебышева дискретного переменного и их обобщения 220
10.24. Многочлены Кравчука и аналогичные им многочлены 221
10.25. Многочлены Шарлье 223
Глава 11
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ
ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
11.1. Предварительные замечания 225
11.1.1. Векторы 225
11.1.2. Многочлены Гегенбауэра 228

8
ОГЛАВЛЕНИЕ
11.2. Гармонические многочлены 229
11.3. Сферические гармоники 232
11.4. Теорема сложения 235
11.5. Случай р = 1, h(n,p) = 2/2 + 1 241
11.5.1. Производящая функция для сферических гармоник в трехмерном случае . . 241
11.5.2. Теория полюсов Максвелла 243
11.6. Случай /7 = 2, h(п, р) = (/2 + 1)2 244
11.7. Формула преобразования для сферических гармоник 247
11.8. Многочлены Эрмита —Кампе де Ферье 250
Глава 12
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
12.1. Введение 253
12.2. Общие свойства ортогональных многочленов от двух переменных 254
12.3. Дальнейшие свойства ортогональных многочленов от двух переменных 256
Ортогональные многочлены в треугольнике 258
12.4. Многочлены Аппеля 258
Ортогональные многочлены на круге и шаре 261
12.5. Многочлены V 261
12.6. Многочлены U 264
12.7. Проблема разложения и дальнейшие исследования 267
Многочлены Эрмита от многих переменных 269
12.8. Определение многочленов Эрмита 269
12.9. Основные свойства многочленов Эрмита 271
12.10. Дальнейшие исследования 274
Цитированная литература 277
Именной указатель 289
Предметный указатель 290
Указатель важнейших обозначений 294

ГЛАВА 7
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ
7.1. Введение
Функции Бесселя являются, по-видимому, наиболее часто
употребляемыми высшими трансцендентными функциями. Они чаще всего встречаются
в связи с решением дифференциальных уравнений в частных производных
методом разделения переменных, а также в связи с некоторыми
определенными интегралами. Опишем кратко оба типа приложений, причем начнем
с последнего.
В 1770 году Лагранж изучил эллиптические движения планет вокруг
Солнца. Пусть а и Ь — большая и малая главные полуоси эллиптической
орбиты; обозначим эксцентриситет эллипса через г = У~а2 — Ь2/а, и пусть г,
М, Е— соответственно радиус-вектор, главная аномалия и эксцентрическая
аномалия. Лагранж получил между этими величинами следующие соотношения:
М = Е — esin£, (1)
г = а (1 — е cos Е) — . (2)
Они приводят к разложениям
оо оо
sin Е = 2 Ап sin (пМ), cos Е = В0 + 2 Вп cos (пМ). (3)
/2 = 1 П-\
В 1819 году Бессель выразил коэффициенты этих разложений в виде
интегралов. Например,
2 Г
Ап = cos Е cos (пЕ — пе, sin Е) dE.
о
С помощью простого преобразования встречающийся здесь интеграл может
быть выражен через коэффициенты Бесселя (ср. 7.3 (2) и рекуррентные
соотношения 7.2 (56)). Первое разложение (3) принимает при этом вид
оо
sin Е = т S1sin (лМ>J" ("E>- <4)

10
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
а второе разложение (3) может быть преобразовано к виду
оо
cos Е = - Л + 2 V 1 cos (пМ) J'n (ле). (5)
/2=1
Позже, в 1824 году, Бессель положил интеграл 7.3 (2) в основу изучения
функций, которые теперь носят его имя.
Функции Бесселя чаще всего встречаются в связи с дифференциальными
уравнениями. В монументальном трактате Ватсона (Ватсон, 1949), который
является основным трудом по функциям Бесселя, история этих функций
прослежена вплоть до И. Бернулли (около 1700 года). У Эйлера (1764)
и Пуассона (1823) функции Бесселя обычно связывались с
дифференциальными уравнениями в частных производных, возникавшими в теории
потенциала, волнового движения и диффузии в цилиндрических или сферических
полярных координатах. Однако иногда функции Бесселя встречаются в связи
с другими дифференциальными уравнениями или системами координат.
Пусть х, у, z ~— декартовы координаты; р, ф, г — цилиндрические
координаты и г, 0, ф — сферические полярные координаты, определяемые
соответственно равенствами
х = р cos ф, у = р sin ф, г •= z, (6)
х = г sin 9 cos ф, у = г sin 0 sin ф, ^ = rcos0. (7)
В этих координатах мы имеем
bF = Fxx + f-yy + Fzz=*FPP + p-[Fp+(>-2Fm + Fzz, (8)
А/- = Ртг + 2 я- + cig 0 -J + 2 2 ■ (9)
IГ I г I Г2 I Ь rl I r2 gin2 ф
Если искать решение волнового уравнения &F -\- k2F = 0 в виде / (р) g (ф) h {z)
или / {г) g (0) h (ф), то получим соответственно обыкновенные
дифференциальные уравнения относительно /:
d2f , df
dp
2
:2_^±i)]/=0) (11)
d2 (г/)
г dr2
+
в которых а и v — константы, возникшие при разделении переменных. Общие
решения этих уравнений имеют соответственно вид
/ (р) = Zv (р КЙ*=7»), (12)
f{r) = -±=Z {кг), (13)
Vr V+T
где Zv обозначает функцию Бесселя или линейную комбинацию с
постоянными коэффициентами функций Бесселя порядка v.
Волновое уравнение и его решение в различных системах координат
могут быть использованы для получения эвристических результатов в теории
функций Бесселя (Weyrich, 1937). Сферические волны частоты v с длиной

7.1] ВВЕДЕНИЕ 11
волны Л и волновым числом /? = ——, исходящие из источника (£, т], £),
могут быть записаны с помощью волновой функции
- "2яГ t-—\
o~lg ^ h ) __ n-\e-i2nvt+ikR
где R — расстояние между точками (|, т], £) и (х} у, г). Если ось г
равномерно покрыта источниками, находящимися в одной и той же фазе, то
результирующее волновое движение может быть представлено в виде
суперпозиции колебаний:
и = е
оо
- t2nvt
— оо
• _«p[/*JW(«-Q']_ ^ м
где р2 = х2 -\- у2. В силу принципа Гюйгенса эта функция представляет
цилиндрическую волну. Если положить £ = ,г -[- р sh т, то равенство (14)
можно записать в виде
оо
U = e-I2nvt JVftpch4TdT> (15)
— оо
Это приводит к интегральному представлению Зоммерфельда для функций
Бесселя третьего рода.
Обозначения. В этой главе мы будем придерживаться обозначений,
использованных в трактате Ватсона (Ватсон, 1949). Отметим некоторые
обозначения, которые встречаются в литературе, но которые не будут здесь
использоваться.
В книге Грей — Метьюз (1953, стр. 36 и 32 соответственно) введены
функции Fv (z) и Gv (z) с помощью равенств
Fv(z) = z-vl2Jv(2Vl\ (16)
Gv(*)=ifcctfW(*). (17)
Янке, Эмде, Лёш (1964, стр. 182) полагают
Av(*) = r(v + l)(y) V/v(*)- (18)
В книге Уиттекера — Ватсона (1963, стр. 214) модифицированная функция
Ганкеля Kv (2) определяется равенством
Kv (*) = f t'-v (*) - /v (*)] ctg (vn). (19)
Это отличается от наших обозначений, см. 7.2 (13).
С функцией Неймана Yv (z) (см. 7.2 (4)) тесно связана функция Yv (z)
(Ватсон, 1949, стр. 71), ее обозначают также Yv (z) (Грей — Метьюз, 1953,
стр. 34):
Yv(2)^Vv(z)==nYv{z)l^-^. (20)
Относительно других обозначений функций, связанных с функциями Бесселя,
см. п. 7.5.6.

12 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл.7
7.2. Дифференциальное уравнение Бесселя
7.2.1. Функции Бесселя произвольного порядка. Функции Бесселя
являются решениями дифференциального уравнения Бесселя
„ №w , dw ,,0 9Ч d ( dw \ , , 2 9ч л /1Ч
iv"-gt-dF + *-dF + l*-^w = 1!-d?(*-dF) + <3!-*>w = 0- (1)
Вообще говоря, v и г могут быть любыми числами, но сейчас мы будем
предполагать, что v не является целым числом (относительно целых
значений v см. п. 7.2.4). Дифференциальное уравнение (1) является предельным
случаем гипергеометрического дифференциального уравнения (см. Klein, 1933,
стр. 156). Оно имеет регулярную особую точку при г = 0и нерегулярную
особую точку при г — со. Все остальные точки являются для
дифференциального уравнения обыкновенными. Обычный метод получения решения
линейного дифференциального уравнения в окрестности регулярной особой
точки (Уиттекер —Ватсон, 1961, 10.3) приводит к решениям
\ 2 т + v
i £.
оо
JvW"Zi m\Y(m + v + \) К)
m = 0
и J-V(z). Первое решение /v (z) называют функцией Бесселя первого рода;
z — независимое переменное, v — порядок функции Бесселя. Легко видеть,
что ряд для z~vJv(z) сходится абсолютно и равномерно в любой
ограниченной области изменения г и v. Равенство (2) можег быть записано с
помощью соотношений Куммера 6.3 (7) в виде
^)=1^¾°^ (v+1;-H=
r((v+i) е~1г iFi (v+i'•2v+1; H• <3>
Линейные комбинации
Kv {z) = sln(vn) [7v (г) C°S (VIt) ~~J~V (Z)]' (4)
Я'1' (z) = Jv <*) + i Yv (z) = j^— [j_v (г) _ yv (z) e- <v«]? (5)
H® (г) = Jv (z) - I Yv (z) = j^ [Jv (z) el™ - /_v (z)] (6)
также являются решениями дифференциального уравнения (1); Yv называют
функцией Бесселя второго рода или функцией Неймана, ну и Ну являются
функциями Бесселя третьего рода (их называют также первой и второй
функциями Ганкеля). Из (5) и (6) имеем
НУ {z) + Н® {z)
Jv (*) = — J— • (7)
НУ {г) - НУ (г)
Yv{*) = — 2Г^ • (8)

7.2]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ
13
Из определения непосредственно вытекает, что
Й<''й = е™//1|,И, H'%(z)--=e-lvnHf{z). (9)
Мы будем обозначать через z (соответственно v) число, комплексно
сопряженное с z (соответственно v). В этих обозначениях имеем
J (z) = J (г), У (г) = У (г), |
} (Ю)
Н{1) (г) = Я<-2) (г), Н{2) (г) =--- Я1" (г).
V V V V '
В частности, если порядок v является вещественным числом, а независимое
переменное г положительно, то функции /v и Yv принимают вещественные
значения. Все четыре функции Бесселя однозначны в плоскости г,
разрезанной вдоль отрицательной полуоси от 0 до —со. Если v не является целым
числом, то они имеют точку ветвления при г = 0. Функция Бесселя первого
рода является, очевидно, целой функцией от v. Ниже будет показано, что
при соответствующем определении для целых значений v = п функции
Бесселя второго и третьего рода также являются целыми функциями от v.
7.2.2. Модифицированные функции Бесселя любого порядка. Если
заменить в дифференциальном уравнении Бесселя (1) г на iz> оно примет вид
2 d2w . dw 2.
z2 —-5- + z —; (z2-\-v2) w — 0. (11)
dz2 dz vi/ /
Если v не является целым числом (относительно целых значений v см.
п. 7.2.5), то Jv(iz) и J_v(iz) являются двумя линейно независимыми
решениями уравнения (11). Чаще, однако, используются функции
N2/re + v
ivn / 1л\ °°
/v (г) = е 2 /v \ze 2 } = ^
ml Г (т -|- v -\~ 1)
/и = 0
~~^ r(v-f-l) l ^
(cm. 6.9(11)) и /_ v (г). Их называют модифицированными функциями
Бесселя первого рода. Если v — вещественное число и г положительно,
эти функции принимают вещественные значения.
Функция
*v {г) = 2 sln"(vH) [/-v (Z) ~Iv {Z)] = V^IF ^ v (2г) (13)
(cm. 6.9(14)) также является решением уравнения (11). Ее называют
модифицированной функцией Бесселя третьего рода или функцией Бассе (хотя
современное определение дано Макдональдом).
Очевидно, что
/C-v(*) = *v(*). (14)

14 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
а из (12), (5) и (6) следует, что
гул / _/я\ /у я / Ы\
Kv (*) = ■£ я* 2 Н%Аге2)= — ±пе~~Н®\ге 2], (15)
а потому
2~
Kv U 2 j = -£ * 2 //£> (**'*) = - -f * 2 Я(2) <*), (16)
inv / i Jt
//^)=-4^ 2 7<v'^ 2'• (17>
/Cv (г) принимает вещественные значения, если v вещественно и г
положительно.
7.2.3. Функции Кельвина и связанные с ними функции. Функции
Кельвина ber (х) и bei (х) при вещественных х определяются равенствами
/ з/я \ / in\
ber (*) + i bei (x) = /0 \xe 4 j - /0 U* 4 j. (18)
Обобщая это определение на функции Бесселя любого порядка и
комплексные значения z, получаем соотношения
berv (z) ± i beiv (z) = Jv \ze 4 ), (19)
г ял? / /я
kerv (г) ± / keiv (г) = г 2 /Cv U* 4 /• (20)
Вместо (20) можно использовать
/ 3/я
herv (г) + i heiv (г) = #£> U 4 А (21)
herv (z) - I heiv (z) = //£> \ze 4 j, (22)
а потому
2 kerv (г) = — п heiv (г), 2 keiv (г) = jt herv (г). (23)
Если v вещественно и г положительно, то функции berv (z), beiv (г), kerv (z),
keiv (z), herv (г), heiv (z) принимают вещественные значения (относительно
деталей см. McLachlan, 1934, стр. 119, 168).
7.2.4. Функции Бесселя целого порядка. Функции Бесселя первого
рода целого порядка называют также коэффициентами Бесселя. Если
п — целое положительное число, то первые п — 1 членов бесконечного ряда,
определяющего J_n(z), обращаются в нуль, поскольку гамма-функции,
стоящие в знаменателе этих членов, имеют полюс. Остающиеся
гамма-функции могут быть заменены факториалами, и мы получаем
v (-1)т (т)
т = п
Заменяя здесь т на п-\-1, 1 = 0, 1, 2 получаем
Л-л(*) = (-1)лЛ1(*). (24)
Это соотношение справедливо для всех целых значений п.

7.2]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ
15
Коэффициенты Бесселя возникают при разложении exp[z(t— t~l)/2]
по степеням t. Чтобы доказать это, заметим, чго
zt
е2е
Z
2t
оо
2
оо
-ЪЦ^-Ъ
Z
It
т
т\
1 = 0
т = 0
Ясно, что коэффициенты при tn в этом разложении являются не чем иным,
как Jn (z). Это приводит к производящей функции
с»
ехр
(f-r1)^]- J] w„(4
/2=—оо
t
или, если заменить г на az и / на —, к более общему выражению для
коэффициентов Бесселя
оо
ехр [(* - a2/"1) -f] - 2 (4)" Jn (a*) =
П- -ОО
оо _
-л(а*)+2^(«)[(4Г+(-4П-
(25)
/1 = 1
При а=1 и t = ei(V получаем формулу Якоби — Ангера
Az sin ф
оо
= 2 ein*Jn{z) =
п = — оо
оо
оо
Л (*) +2 2 ЛЛ (-?) cos (2лф) + 2/ ^ J2n.l (z) sin [(2/2—1) Ф],
/2 = 1 /2 = 1
(26)
а при t = /<?'ф
оо
оо
eiz cos ф = ^ ,„^Яф у^ ф = У0 (г) + 2 21 *Л Л (*) COS (/2ф).
/2 = 1
(27)
/2- —оо
Если v — целое число, то правые части равенств (4), (5) и (6) принимают
неопределенную форму. Однако предел этих правых частей при v->n (целому)
существует и может быть использован для определения функции Бесселя
второго и третьего рода целого порядка. Ясно, что нам достаточно вычислить
Yn(z)=* lim Vv(z), л = 0, 1, 2,..,
V-»/2
Применяя к равенству (4) правило Лопиталя, получаем
6J
г-«-Мт^-(-1)Я
- V
dv
(28)
Jv=/i

16
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Из (2) и 1.7 (1) вытекает
ОО
V
dv
-yv(*>m(*)_ Л (-i)«(f
v+ 2m
m=0
\|; (v -\- m -f-1)
m!r(v+m + l) '
(29)
oo
^v.__j Шп (£-) + V (-1)- (L\v+ *(-v + *» + D
/и = 0
и из формул 1.17 (11) и 1.17 (12) при т^п — 1
Um ^=^±^±|f = (_1)— (л - ^ - 1)!.
v->n 1 (—v + m + l)
Поэтому из (30) и (24) имеем
(30)
= (-i)"
v=/i
7Я (г) In (|) +
л-1
т=0
оо
^ -jn-n ( z
m-n
+ У, (-1)'
/г —/
2т-
г(п
- п
— т -
т\
ф (т
-1)
+ 1
+
-я)
(т — п)\ т\
Относительно частных значений v в (29) см. Mitra (1925), Airey (1935а) и
также Muller (1940). Если ввести новый индекс суммирования I = т — п, то
бесконечная сумма в этом выражении может быть записана в виде
оо
!<-*&
1(г\21+п ф(/ + 1)
/=о
1\(1 + п)[ '
Мы получаем, таким образом,
л Yn (г) = 2 У„ (z) In \ъ
2т— п
(п — т — 1)!
т = 0
СО
-yi(-V^)'+*nn+i+i)+ni+jLt „ = li2>3>
1 = 0
l\(n + l)\
(31)
Эта формула может быть переписана в виде
л-1
л Гп (г) = 2
Y + In
J* « - S (т
2m- n
(П—- /77— 1)!
ml
CO
-2
m=0
(-1)
m
Z
~2
m=0
n+ 2m
m\(n-\- m)
("■m + n
, n= 1, 2, 3,
(32)
Мы использовали здесь равенство 1.7 (9) и положили
Нт=\-г-{-2~1+ ... +т~\ /п=1, 2, 3, ..., А0 = 0.

7.2]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ
17
Если v = О, то из (30) следует, что конечная сумма в равенстве (32)
отсутствует. Таким образом, мы получаем "
я У о (г) = 2
Y+ln(y
S/ 2 \ 2т
ИГ d (т\)-Чт, (33)
т=0
где hm имеет то же значение, что и в (32). Следует отметить, что в силу (28)
имеем
Г-л(*)= Hm
\1->П cos
^ (*) cos (|iJt) — У _JX (г)
sin (jut)
= (-1)лКл(г), /1=1, 2, 3, ... (34)
При таком определении Уп (г) и К_„(г) и соответствующем определении
функций Бесселя третьего рода все функции Бесселя являются целыми
функциями от V.
7.2.5. Модифицированные функции Бесселя целого порядка. Из (24)
и (12) имеем
/_„(*) = /,,(*), /2= 1, 2, 3, ...
(35)
Поэтому в качестве фундаментальной системы решений уравнения (11) мы
выбираем /„ (г) и Кп (г)> где
Кя (г) = Hm Kv (г) =
(-1)"
V -> П
д!
-V
д/
V
dv
dv
(36)
Av = n
Точно так же, как и в п. 7.2.4, получаем
п-г
Кп (г) = (-1)я+ Чп (г) In (|-) + |2 (-1)- (*)
2т — п
т = 0
(п — т — 1)!
ml
+
+
оо
St
m=0
/и! (я-f-m)
/2 = 1, 2, 3, ... (37)
В случае л = 0 имеем
оо
Ko(*) = -/o(*)In(-j)+ 2] (f
2т
т=0
■ф (m -f- 1)
(/и!)2
(38)
Если доопределить функцию /Cv (г) при целых значениях v указанным
образом, она становится целой функцией от v.
7.2.6. Сферические функции Бесселя. Функции Бесселя и
модифицированные функции Бесселя сводятся к линейным комбинациям элементарных
функций тогда и только тогда, когда v является половиной нечетного числа
или, как мы будем кратко говорить, полуцелым числом (Ватсон, 1949,
4.7—4.75). Выразим К j (z) при п = 0, 1, 2, ... через элементарные функ-
ции. Соответствующие выражения для других функций Бесселя следуют

18 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл.7
из (16), (17), (7) и (8) и приведены в п. 7.11. Если л=0, 1,2, .,, hv =
= п -\- -^, то из 7.3 (16) вытекает
оо
\+1Ю-/^^'~11+5г)"'"Л (39)
2 О
Но биномиальное разложение (1+-9-) состоит из конечного числа членов,
а потому мы получаем выражение для К \ (z) в виде конечной суммы;
я+7
*„. w - ]/ ё •- • i w- - jy+ifi, ■ <«»
2 m=0
Используя символ Ганкеля
2-2«
(v, т) = -—г {(4v2 — 1) (4v2 — 32) ... [4v2 — (2т — I)2]} =
r(i+v+m)
т! Г I 7j- -[- v — m)
(см. 1.20 (3)), можно переписать это равенство в виде
\+^=/^е-гКп+^т)(2г)
(41)
2 m=0
В частности, при п = 0 имеем
*!<*>-!/■£■ *~*
(42)
2
Из (42), см. также 7.11 (22), получаем представление
^+1о-(-1)"/^*"+1Шд
*-г
(43)
Для других типов функций Бесселя см. формулы 7.11 (1)—7.11 (13).
Функции Бесселя полуцелого порядка часто встречаются в связи с
теорией сферических волн. В этом контексте обычно используют обозначения
Зоммерфельда
*т(*)-у'зг-' 2<*). (44)
« w - /¥ H(XLi ^ (45)

7.2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ 19
Иногда через \\>т (z) обозначают несколько отличную функцию (Ватсон, 1949,
3.41). Относительно одного класса многочленов, связанных со сферическими
функциями Бесселя см. Krall — Frink (1949) и Burchnall (1951).
7.2.7. Произведения функций Бесселя. Для того чтобы получить
выражение произведения /^ (аг) Jv ($z) двух функций Бесселя в виде
степенного ряда по возрастающим степеням z, используем равенство (2) и
правило Коши для умножения степенных рядов. Коэффициент при
(-ir(l«^(4p,)V(ia.)2m
имеет вид
т 0
(Р/а)2л
2
п! Г (v + п + 1) (т — п)! Г (ц + т — п + 1) *
/2 = 0
С помощью формул 1.2 (3), 1.20 (5), 2.1 (2) это выражение может быть
представлено в виде конечного гипергеометрического ряда, что приводит к
выражению
T(v + l)Jv(?>z)Jlx(az) =
(-1Г (
со ' * -т '
az
"У S «irto + m + n ■*<-».-Ц-«! v + l; pa-*).
2 ) \2 ) ЛЛ т\Т(\х + т+\)
т = 0
(47)
При р = а это разложение упрощается, поскольку тогда гипергеометрический
ряд может быть просуммирован по формуле Гаусса 2.1 (14), так что
/ г \ V + M-+ 2га
/v (г) J»(г) = 2^ mir^ + ^ + ^r^ + w + ljr^ + H + m + l)' (48)
«1=0
Используя обозначения для обобщенных гипергеометрических рядов,
получаем
r(v + l)r(|i+l)/v(*)^W-
-(j)V+V.(-i±J±^. 1 + ^ 1+v. 1+,1. l+v + ц; -.*).
(49)
Из (48) легко вытекает разложение

20 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
7.2.8. Различные результаты. Укажем формулы дифференцирования и
рекуррентные соотношения. Из (2) получаем, что
2m + v-l
оо
(-1)™ (I)'
-^-uv ш = ^ V ^) -гу ы (50)
m=0
\2m + v-l
yz vvWj-i ^ (/и_1)!Г(7?2 , v
— [г v/v(z)]-* V 2] (« —DIHm + v + l) ~^ * ^+1
--*-% + ,(*). (51)
m= 1
Следовательно, путем повторного дифференцирования получаем
ЫУ"UVv (г)]=sV~mjv-™ <*>• <52)
d
)т
^-^(^)1 = (-1)^-^-^^(^), «=1,2,3,... (53)
Из равенств (50) и (51) следует, что
z J'v (z) + v Уv (г) = z Jv _ г (г), (54)
г /^ (г) — v /v (г) = — z Jv+г (г) (55)
и потому
ViW + ^i И = 2v*~ lyv И. (56)
/v.iW-/v+1W = 2;;(4 (57)
В силу (4), (5), (6) эти соотношения справедливы и для функций Бесселя
второго и третьего рода. Соотношения (12), (13) и полученные ранее
результаты дают аналогичные формулы для модифицированной функции Бесселя.
Относительно этих формул см. 7.11.
Из рекуррентных соотношений вытекает следующее неравенство (Szasz,
1950):
[Jv(x)]2— /v_j (x)Jv+i (x) > (v + l)"1 [Jv (x)]2, v > 0, x — вещественное.
Вронскиан. Определитель Вронского W двух решений w{ и w2
уравнения (1) равен постоянному числу, умноженному на ехр — j z~l dz\:
W lwlt w2\ =W)W2 — w2w[ — Cz~ . (58)
Для вычисления постоянной С достаточно использовать первые члены
полученных выше разложений решений в ряды. Если положить wl = /v (г),
w2 = У-v (z)> получаем из ряда (2), что
2v 2
lim zW = — —Гл ,—- = sin (vjt) = C.
г+о Г(1 —v)T(l + v) л
Следовательно, имеем
W Vv J~v) = — sin (vit). (59)
Если v — целое число, то определитель обращается в нуль, что
согласуется с доказанной в 7.2.4 линейной зависимостью Jп и /_л. Относительно

7.2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ 21
определителей Вронского от других функций Бесселя и модифицированных
функций Бесселя см. п. 7.11.
Из (59) и (54) вытекает, что
2
«/-v+i (*) Jv П + J~v (*) yv-i И = — sin (™). (60)
Относительно других подобных формул см. п. 7.11.
Аналитическое продолжение. Функции Бесселя первого рода
от переменного zeim^y где т — любое целое число, могут быть, в силу (2),
представлены в виде
Jv {zeimn) = eimjivJv (г), m = ± 1, ±2, ± 3, ... (61)
Относительно соответствующих соотношений для других типов функций
Бесселя см. п. 7.11.
Дифференциальные уравнения. Ломмель нашел широкий
класс дифференциальных уравнений, решения которых могут быть выражены
через функции Бесселя. Одно из преобразований Ломмеля имеет вид
где £ — независимое переменное и v — новое зависимое переменное. Это
преобразование переводит уравнение (1) в
? ч§- +(1 -2аК ж+[(ру02+(а2 ~ v2y2)1 v = а (62)
Если w{ (z) и w2 (z) являются двумя линейно независимыми решениями
уравнения Бесселя, то общее решение уравнения (62) имеет вид
vi = £а wx {№) и v3 = £а w2 CPCV). (63)
Относительно других дифференциальных уравнений, решения которых могут
быть выражены через функции Бесселя, см. Камке (1965, стр. 452—454).
Общее решение неоднородного уравнения Бесселя
2 d2w , dm . ...
z ~ТР~ + * -rfF + <* — v )w = / (*) (64)
может быть получено с помощью метода вариации произвольных
постоянных в виде
w = A w{ (z) + В w2 (z) + a (z)} (65)
где W\ (z) и w2(z)—два линейно независимых решения однородного
уравнения (1), и (z) — частное решение уравнения (64), определяемое формулой
Z Z
Cu(z) = — wx (z) Г Г lw2 (t) f (t) dt + w2 (z) f Г lwx (t) f (t) dt, (66)
а С — постоянная в определителе Вронского функций w{ и w2 (см. (58)).
Функции Jv(z) и az Jv(z)-\-b Jv(z) удовлетворяют соответственно
следующим дифференциальным уравнениям:
22 (г" "~ v2) Чр- + 2^2- 3v2) 4J + К*2 - v2)2 - (*2 + v2)] w = 0, (67)
22 [e» {Z2 __ V2) + b2}^___z [а2 {22 + V2) _ Щ _g_ +
+ [а2 (z2 — v2)2 + 2abz2 + Ь2 (z2 — v2)] w = 0. (68)

22 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
7.3. Интегральные представления
7.3.1. Коэффициенты Бесселя. Применяя теорему о вычетах к
формуле 7.2 (25), получаем
2л/ Jn (az) = ап I Гп~1 ехр 17* — ^pj L. dty п = О, 1, 2, ... (1)
с
Здесь С является любым простым замкнутым контуром в плоскости t,
охватывающим начало координат. Если положить в равенстве (1) <х= 1 и выбрать
в качестве С единичную окружность с центром в начале координат, t = е1®,
получаем
2л я
2я Jn (z) = Г ei{z sin ^-^ йГф = 2 Г cos (г sin <р — /ар) % п = 0, 1, 2, ... (2)
о о
Это представление было получено Бесселем.
7.3.2. Интегральные представления типа Пуассона. Для любого v
имеем интегральное представление типа Пуассона (относительно обобщения
этой формулы см. 7.8 (11))
я
2
Т tv + ^\jv(z)=-^=rl-\ cos (z sin Ф) (cos <pfv dcp, Rev> — -i. (3)
Этот результат может быть доказан путем разложения cos (z sin ф) в ряд
по степеням z и почленного интегрирования. При этом возникают интегралы
_я
2
Г (sin ф)2т (cos ф)2л; аГф,
о
которые, в силу 1.5 (19), равны
r(v + ^)r(«+i)
2T(m + v + \)
Таким образом,
V
* ■ со
г (*+})'««--i?f 2 м>
m ^2/и
r(v + ^)r(m+^)
w=o (2m)\T(v + m + \)
Применяя формулу удвоения 1.2 (15) для гамма-функции при (2m)\ =
= Г(2т-|-1) и используя также 7.2 (2), мы получаем равенство (3).
Небольшие модификации этого равенства даны в п. 7.12.

7.3]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
23
Интеграл Пуассона в виде 7.12 (6) может быть использован для вывода
некоторых неравенств, касающихся функций Бесселя /v (z). Пусть v
вещественно, v>—^- и г = х-\- iy (л, у вещественны), тогда
r(v + l)|/v(*)|<
/я
■ 1У1
2v
eiy\(cosq>yv Жр
и, в силу 1.5 (19),
2
UvWK
г
2
V
,1У1
r(v + l)
(4)
(см. также 7.10 (22)).
7.3.3. Представления с помощью контурных интегралов. Функции
Бесселя для любых значений порядка v могут быть представлены с помощью
контурных интегралов. Пусть а — комплексное число, такое, что Re а > 0;
тогда мы имеем представление
(0+-)
•
2ш Уv (az) zv
(0 + )
ехр
V
— С©
оО-г^-!)] _
dt =
-ш
v
t/
— СО
ехр
(04)
К'-
г2Г1
4
Г*-1 dt,
Re а > 0, I arg 11< п. (5)
Здесь символ I обозначает, как обычно, интегрирование вдоль контура,
— JO
который начинается в бесконечности на отрицательной вещественной
^-полуоси, обходит начало координат против часовой стрелки и возвращается
в исходную точку. Очевидно, что представление (5) является обобщением
представления (1), именно: если v — целое число, то подынтегральная
функция в равенстве (5) однозначно определена и петля может быть
деформирована в замкнутый контур, охватывающий начало координат. Для того
чтобы доказать равенство (5), используем в правой части этого равенства
разложение
-(-тг)-£^Нтр
— т
т=0
и почленно проинтегрируем. Из 1.6 (6) получаем
(0 + )
2niam+v
J
eatrm-v-l dt=s
r(m + v + l)'
—oo
Таким образом,
(0+)
J exp (at —^)<"v_1*-2n/(4)"VS-
-OO /72=0
и, используя 7.2 (2), приходим к равенству (5).
С
-»« (½)
2/k+v
m\T(m + v + l) •

24
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Соответствующие контурные интегралы для других типов функций
Бесселя могут быть получены с помощью формул 7.2 (4) — 7.2 (6) и формул
7.2 (12) и 7.2 (13). О тносительно этого см. McLachlan и Meyers (1937).
Если Rev> — 1 и а — вещественное и положительное, то контур в
формуле (5) может быть деформирован в прямую линию, параллельную мнимой
оси, что приводит к равенству
С+ I ос
2т Jv (аг) = г
_ *v
ехр
с— i со
т"
<2 \"\
— V —1
rv~ldt, с,а>0, Rev> —1. (6)
Представления Ганкеля. Обобщения интеграла Пуассона (3)
были даны Ганкелем. Первое из них имеет вид
2зх/ Jv (г) =
1
УлТ\2 /U
(П-, -1-)
V I*
_2
>i2t(t2 — 1)V~2 dtt
(7)
где v -(- -^- не является отрицательным целым числом. Путем интегрирования
является восьмерка, изображенная на рис. 1. Мы будем считать началом
пути интегрирования точку пересечения восьмерки с положительной
вещественной полуосью справа от t-=\. В этой точке аргументы комплексных
£-/7Л0С/(ОС/П6
Рис. 1.
чисел t — 1 и £+1 считаются равными нулю. Для того чтобы доказать (7),
заменим первоначальный контур контуром, стянутым к отрезку [—1, 1].
Если мы предположим, что Re (v-f--^-) > 0, и устремим радиусы
окружностей с центрами в ±1 к нулю, то получим
(1 + ,-1-)
}Ш 02 _ 1)V 2 dt ^ 21 cos (VJt)
1
Rev >
2'
Если выразить интеграл в правой части по формуле 7.12 (7), то получим
равенство (7). В силу теории аналитического продолжения ограничение
Rev> —7j- может быть опущено, исключая случай, когда v-[--~- является
натуральным числом.

7.3]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
25
Другое представление имеет вид
2rtM*>-^r(! + v).'»»(f
1
(-1+,1+)
— V **
оо е
eizt(t2 — \) V 2 dt, (8)
v+y^O, —1, —2, ..., 6< arg /<2л; + 6, —6 < arg z < я — 6
(аналогичное выражение см. 7.8 (13)). Путь интегрирования изображен на
рис. 2. В качестве начального и конечного значений arg t выбраны 6 и
2я-|-6. Для того чтобы доказать (8),
деформируем контур так, чтобы он лежал вне единичной
окружности. Тогда
r(i+v)(^-l)
-V-T
CO
-2r(^+v+*
га = 0
t
-2v-2m-l
m!
Подставим это выражение в (8) и почленно
проинтегрируем; из формулы 1.6 (6) при £ = ze
получаем
(0 + )
r2v-2m-lelztdt=s
2mz2v+2m e-i3n(v+m)
t-ллоспость
Рис. 2.
сое
1Ъ
r(2v + 2w + l)
—• 6 < arg г < п — 6.
Таким образом,
1 \Л f z\v+2m
/7/=0
22m + 2vrM +v+m)
m!r(2/w + 2v + l) "
Применяя формулу удвоения 1.2(15) для гамма-функции, приходим к
равенству (8).
7.3.4. Интегральные представления Шлефли, Гублера и связан*
ные с ними представления. Из результатов п. 7.3.3 вытекает целый ряд
представлений, имеющих вид определенных интегралов.
Представления Шлефли. Переставим в (5) а и z, положим а = 1
и деформируем контур в путь, состоящий из луча отрицательной полуоси
от —со до —1 (arg£ = — л), единичной окружности, охватывающей в
положительном направлении начало координат (—Jt< arg^ <; я), и луча
отрицательной полуоси от —1 до —оо (arg^ = jt). В результате получим
представление Шлефли
я
оо
n7v(z)= Г cos (г sin ф — v(p)tf(p — sin(vjt) f e"{zsh^^ d^ Re z > 0. (9)
о
0

26
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Оно справедливо и при Re г = 0 при условии, что Re v > 0. В случае, когда
v — целое число, формула (9) сводится к формуле (2). Точно так же 7.2(4)
и (9) приводят к аналогичному
выражению для функции Неймана:
/
1
1
t
1
1
1
\ ,* 1
1
1
1
1
i
1 / \
' 1
Л
Я
Yv (z) = I sin (z sin/—vt) dt—
о
со
- j(evt + e~vf cos vjt) e~z sh ' dt,
о
t-ллосность
Рис. 3.
Re*>0
(10)
(первый интеграл в правой части
равенств (9) и (10) ср. 7.5 (32)).
Обобщения формул (9) и (10) дают
формулы 7.12(17) и 7.12(18).
Представления Гублера. Из (8) могут быть получены другие
представления для Jv (z) путем специального выбора контура Положим
зт
б = — и деформируем контур в линию, изображенную на рис. 3 пунктиром.
Если Re v <-у и радиусы окружностей с центрами в точках ±1 стремятся
к нулю, получаем, что
г 1
rfI-v)/vW-^(f
— V
1
-V-2
(\—t2) cos (zt—vn) dt—
L 0
со
\
0
— v — —
— sln(vrt) I (1 f/2) 2 e~zt dt
t Re z > 0, Re v < у.
(П)
Эта формула соответствует интегралу Пуассона (3). Если заменить в (11)
v на —v и использовать равенства (3), а также 7.2(4), то получим
соответствующее выражение для функций Неймана:
r(v4-^)rv(*) =
Г 1 1 °° 1
= 2 /£\V Г (1_^~81п(г0Л_ Г*-*/(1+^-5Г
г ч ' L о о
dt
(12)
Re^>0, Rev>—-g-.
Вводя в равенсизо (12) функцию Струве 7.5(78), получаем
оо
[Hv(*)-M*)ir(v4) = ^(?
V- —
о
e-*(l+t3) 2 dt.
Re г > 0.
(13)
Пусть теперь в равенстве (8) 6 = 0, а путем интегрирования является

7.3]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
27
in/2
a v на —v, и пусть
пунктирная линия (рис. 3). Заменим г на г е
Rev>-»-. Тогда можно устремить к нулю радиусы окружностей,
охватывающих точки t = ± 1. Переходя к пределу, получаем
х
оо
sin (2vJt)
l
е-* (t2-\) 2 dt + cos (vrt) ezt (l - f) 2 dt
,24V4
-1
(14)
1
Rev>— -j, Re£>0.
Следовательно, используя формулы 7.2 (13), 7.2 (12) и 7.2 (14), получаем, что
оо
Г (v +1) Kv (г) = VH (|)V J *-*< (t2 - 1)
1
V--ST 1
^ Л, Re v > — тр Re г > 0.
(15)
Полагая t — 1 =—, выводим отсюда
Z
Г (v +4-) *,(,)-/■£
или, в более общем виде,
ОО
. — г
0
|arg^|<re, Rev>—у,
(16)
,-2
ОО £
/6
1
1
V--7T
""■ !"+i)' '
*~Ч
<#, (17)
1 я
Re v > — -у» 1^|<-^-, 6 — л; < arg2 < 6 + л;.
Я?Т
etz cos xe \ i;
вдоль контуров С! I от — -^- -(- г оо до -~- — г со и с21 от -=— i оо до -=- -+-1 со ,
состоящих из лучей и прямолинейных отрезков (рис. 4). Мы получим, в силу
(9), (10), 7.2 (5) и 7.2 (6), что
я//£> (*) = ]"
1
eiz cos хе
nH®(z) = f е1
Z COS т
iv (T-f)
('v(t-t)
dr}
dx,
(18)
(19)
Cj

28
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
причем оба интеграла справа сходятся при Re z > 0. Контур с{ может быть
заменен контуром С\ от — ч\ -\- i со до т] — /со, где т] — соответствующее
число между Ои я. Положим
Ф = arg z, а — Re т, р = Im т, т = а -{- /р.
Легко проверить, что при больших значениях р Re (iz cos р) асимптотически
равно — | z | ch Р sin (Ф + а). Верхний и нижний знаки соответствуют
значениям р^О. Таким образом, подынтегральная функция в выражении (18)
СС=Ф-71 J3 СС=Ф ОС=Ф+1С
ос=Ф+2ть
У/иЛг/л
сс=-Ф ос=гс-Ф <Х=<?/1~Ф
Рис. 4.
ее
экспоненциально стремится к нулю, если т->оо в заштрихованной части
т-плоскости. При замене ct на Сх мы выбираем для Ф один из интервалов
— у\ < Ф < -у или —-р>-< Ф < зт— к\ в зависимости от того, будет ли
зх зт
0 < т] < -»- или -»- < г] < зх соответственно. Таким образом, имеем
и аналогично
я//£>(*) = J *
iz cos
t 'v (т_т)
dx
(20)
с,
я Я<,2> (г) = JV
г COS т.
/V
(--!)
rfT,
(21)
где С2 — контур, идущий из г| — /со в 2зх — r\ -|~ iсо. Интегралы сходятся при
— т] < Ф = arg г < л — г), 0 < г]< зг. (22)
В силу теории аналитического продолжения эти неравенства определяют
область, в которой справедливы формулы (20) и (21).

7.3]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
29
Из этих результатов вытекает в силу 7.2 (7), что
2kJv(z) = j elzcosre K 2 ' dx,
— rj < arg г < л — г), 0 < ti < л,
где С3 — контур, идущий из — т| -f- / оо в 2л — г) -}- / оо.
Очень часто используются интегралы
(23)
0О+/Я
Я
//'«(г)»-; Г ezsba-wda,
(24)
— ОО
оо—Ш
я/У
<2) (г) = / /
,2 sha-va
^a,
(25)
— ОО
оо4 /Я
2л/
v (г) = — / j
tz sh a-va
da у
(26)
oo~ 1Л
Л
справедливые, если |arg^|<-^-. Они легко выводятся из равенств (20),
л
(21) и (23) соответственно, если положить в них rj = -^- и сделать подста-
л
новку т = -=- -f /а.
Частные случаи. Положим rj == 0 и выберем в качестве контуров Сх
и С2 контуры, состоящие из отрезков прямых. Мы получим тогда
выражения Гейне
ivn оо
л Н® (z) = — ie
,iz ch tn~vt
e yi dt, 0 < arg ,г < л,
*vrt
л Я^2) (г) = 2/*
— оо
оо Я
Г *'* ch ' ch (v* — /vjt) dt — ife-iz cos' cos (vf) dt
(27)
о
о
, (28)
0 < arg г < л.
Если положить г) = л и выбрать контуры Си С2, состоящими из отрезков
прямых, получим
IVtt
я//W (г) = — Tw
оо
Я
j e~izcht ch (v/ + /vjt) rf/ + / Г *'* cos' cos (vO Л
0
0
/Л?Я оо
-/^ Ch t„ — Vt
dt,
— л < arg z < 0, (29)
л < arg г < 0. (30)

30
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Из (27) и (30), используя 7.2 (7), получаем соответственно
ivn
л Jv (z) = е
тс
со
/
— iz cos/
cos (v0 dt — sin (vjt) Г e~vt+l
z cht
dt
0
ivn
зх Jv (z) = e
я
0
oo
(31)
0 < arg ,г < л,
f *'* cos * cos (vO Л — sin (vit) Г *
о 0
-vt-iz oht
dt
(32)
— л < arg г < 0.
Положим в формуле (27) £* = —. Мы получим тогда
яЯ^ (а*) = — ie 2 av J
а
ivn °Р iz(v+a2/v)
2 ,,-v-l
rfv, lm г > 0, Im (а2г) > 0. (33)
о
7.3.6. Интегралы Бернса. Представление функции Бесселя первого
рода в виде интеграла Меллина — Бернса (см. 1.19) имеет вид
c + i оо
4ш" Jv (х) = (^
V -|- 5
— s
С— l оо
Г fl +
V — 5
ds, х>0, — Rev<c<l. (34)
Оно может быть получено путем вычисления интеграла с помощью вычетов
подынтегральной функции или применения формулы обращения Меллина
к 7.7 (19).
Если снять ограничение —Rev < с < 1, то интеграл сохранит смысл, но
уже не будет представлять функцию Бесселя. Положим
0+1 оо
v-f-s
4Ш J ^, m \Х) —
Hi
- s
r(i +
V — 5
ds}
(35)
x > 0, a < 1,
a— i оо \ z
2m — Re v < a < — (2m — 1) —Rev, /и = 1, 2, ...,
где интеграл взят вдоль прямой, параллельной мнимой оси. Выражая
интеграл через вычеты подынтегральной функции, получаем
пг-~\
X
V + 2/z
Jv, m W = Jv W ~ ' ^ ("О" „!r(v4_„
/1 = 0
(v + zi+1) '
Определим для любых комплексных значений z и v
v+2/г
оо
•/v,m(^)-2j „!r(v i n_|_i) - м-1-2,3,
n-m
(36)

7.4] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 31
и назовем эту функцию остатком функции Бесселя первого рода. Из (33)
имеем
d W Jvtm(*)\=*" U-Lm(*)> (37)
dz
d
dz
7.3.7. Интегралы Эйри. Формулы Эйри
l*~yJv. т (*)1 = - *~V А>+1, т (*)■ (38)
оо
(*3 + 3tx) dt = y j КЧз (2 Vx*\ х>0,
cos (*3 + 3tx) dt = y -5- /(,, (2 у *3Л a- > 0, (39)
oo
I cos (*3 - 3tx) dt = -^Y* [Л/з (2(/-^) + У _ 1/з (2 УЩ, х>0, (40)
t/
о
могут быть доказаны следующим образом. Сделаем в (39) подстановку
t = 2 |Лх: sh -s-. Так как
о
V V
4 sh3 — 4- 3 sh -^ = sh v,
о о
то получим
оо оо
cos (*3 + 3tx) dt = -¾^ cos (2 /a:3 sh v) ch |- rfi>.
о 0
Применяя 7.12(25), выводим отсюда (39).
Для того чтобы доказать (40), разложим правую часть равенства (39)
в степенной ряд (см. 7.2(12) и 7.2(13)). Мы получим
оо
л
0
cos (*3 -\- Ых) dt =
л;
3"
Хът *%Л ХЪт
оо со
X
m
^0 /я! Г (- 1 + m + l) w __o m' Г (1 + m + 1
Заменив здесь х на — л: и использовав 7.2 (2), получаем равенство (40).
Относительно обобщения формул (39) и (40) см. Вагсон (1949, стр. 348—354).
7.4. Асимптотические выражения
Асимптотическое поведение функций Бесселя различно в зависимости
от того, что стремится к бесконечности: порядок v, независимое
переменное z или обе эти величины вместе. Степенные ряды 7.2(2)
являются асимптотическими разложениями, если z фиксировано и v->oo.
Сравнительно легко вывести асимптотическое разложение в случае, когда
v фиксировано и z->co. Если же и v и г велики, то изучение
усложняется.

32
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
7.4.1. Случай большого независимого переменного. Мы изучим здесь
асимптотическое разложение модифицированной функции Бесселя третьего
рода Kv (z). Соответствующие разложения других функций Бесселя могут
быть получены с помощью формул 7.2 (16), 7.2 (17), 7.2 (8); результаты
указаны в п. 7.13.1.
Будем исходить из интегрального представления 7.3 (17)
r(v + ^)*v<*) = |/
оое
ib
е z
2г
1
v
е-Ч 2
1 + <Ь
t \v~7
dt,
о
1 я
Rev>— y» |6|<-j, 6 — n<arg£<6 + n.
Подставив в него биномиальное разложение с остаточным членом
/И-1
! + 97
t \v~l
r(v + I)
/,/ = 0
т\ Г I v -[- -n — #г
(£)*+'
ж
и используя 1.1 (6), получим
JT
*v (-) = Yi;е
м-\
r(v + _ +l»
ml Г
L-ra = 0
(v +
(2*)"" + /?
/71
Зя
M
3jt
— — <arg^<—,
где остаточный член выражается формулой
оо
= (2z)
-ж
е~Ч
V-tt + ^I
1
л
(1-tf)
АГ-1
о
«/
о
(-+
unv-I-AI
2г
(1)
dv. (2)
Легко видеть, что для любого фиксированного v при Re v > — -^-
RM=0(\zrM), *->co, _*L + e<aig*<-^-e, e > 0.
Более тщательное рассмотрение выражения (2) показывает, что если v
вещественно, Re 2 > 0 и М > v —у > — 1, то модуль остаточного члена в
выражении (1) меньше модуля первого отброшенного члена (т = М) (Mac-
Robert, 1947, стр. 272; Ватсон, 1949, стр. 231). Далее, если v и z вещественны
причем 2z — М ~\- — мало по сравнению с z, то остаток приблизительно
равен половине отброшенного члена (см. Burnett, 1929). Эйри (Airey, 1937)
модифицировал выражение (1), получив лучшее приближение, более
пригодное для вычислений с высокой точностью.

7.4] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 33
Используя символ Ганкеля 1.20(3)
9-2/я r(o" + v+/H
(v- т) = -1=7- {(4v2- I2) .. • [4v2 _(2/и - 1)2]} = Ц- V» (3)
/и!
можно записать асимптотическое разложение в более удобной форме:
гМ-1
Kv(*) = ]/^-* %(ч,т)(2гГт+0(\гГм)
т=0
(4)
Зя Ззх
— -j- < arg г < ~y
Поскольку в определение (v, т) входит лишь v2, то ограничение Re v > —-
может быть опущено.
7.4.2. Случай, когда порядок принимает большие значения. Первое
строгое изучение функций Бесселя при больших значениях независимого
переменного и порядка было проведено Дебаем (Debye, 1909) с помощью
метода наискорейшего спуска. Этот метод основан на следующих
рассмотрениях (Copson, 1935, стр. 330; Ватсон, 1949, стр. 262).
Пусть функция F \z) задана в виде
F (z) = Г e~z f {a)g (a) da, (5)
с
где С — контур на комплексной а-плоскости, на концах которого функция
е-г/(а) обращается в нуль. Во многих случаях можно выбрать контур С
так, чтобы он проходил через нуль сс0 функции /' (а), причем мнимая
часть / (а) постоянна вдоль С. Таким образом, мы имеем /' (а0) =0 и
Im [/ (а)] = const = Im [/ (а0)] (6)
вдоль С. Поэтому Re [/ (2)] изменяется наискорейшим образом, когда а
пробегает С. При больших значениях г модуль подынтегральной функции имеет
острый максимум в точке сс0, и поэтому существенный вклад в интеграл (5)
вносит лишь часть контура С, лежащая в непосредственной окрестности а0.
Для простоты предположим, что как порядок, так и независимое
переменное положительны и пусть
z = х> 0, v = р > 0. (7)
Кроме того, предположим, что величина v0) определяемая формулами
sli*0 = £f chv0=y\+j^t v0>0, (8)
постоянна, когда р, х -> со. Здесь будут изучены лишь Кр (х), соответствую*
щие разложения для других функций Бесселя указаны в п. 7.13.2.
Используя 7.2 (15) и выражение Зоммерфельда 7.3 (20), непосредственно
получаем интегральное представление для Кр (х)у имеющее вид (5). Это
представление таково:
/С (jc) — -1 Г *-*C08V'arfa==4- \ *~xf{fl)d% (9)
с с

34
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
где
/ (a) = cos а — 1р —. (10)
В соответствии с результатами п. 7.3.5 контур С начинается в точке — r| -f" /оо,
а оканчивается в точке г) — / оо, где 0 <; г) ~< я, и целиком лежит внутри
полосы — т] <; Re а <; г) комплексной а-плоскости. Условие /' (а) = 0 дает
•
sina = — =—/ sh v0. (11)
Это уравнение имеет бесчисленное множество решений
ат = — ivQ~\-2nm, т — 0, ±1, ±2, ... (12)
Из этих решений лишь а0 лежит внутри полосы — г) < Re a < rj.
Следовательно,
a0 = — i\ti[x-l(p + }fp* + x*)]= — iv0 (13)
и из (10)
/ (a0) = ch v0 — v0 sh v0. (14)
Условие (6) показывает, что путем наискорейшего спуска является мнимая
ось, и из (9) при a = iv получаем
оо оо
Кр(х) = ^ { e-xctiv+Pv dv = j Г е~хе^ dv,
(15)
— ОО —оо
где
g (v) = ch v — г; sh v0.
Подстановка
t = g (v) — g (v0) = ch v — ch v0 — (v — v0) sh v0 (16)
отображает плоскость v на плоскость т. Отображение является конформным
всюду, за исключением точек vm = v0 -\- 2шт, в которых —z— имеет простые
нули. Таким образом,
, . . dv 1 .,_.
Ф (т) = -г- = , . . (17)
di g (v)
может быть представлена в окрестности точки т = 0 в виде
ОО ——1
Ф(т) = 2М2 , (18)
/1 = 1
причем радиус сходимости этого разложения равен расстоянию до
ближайшей особой точки т, которая соответствует значению v = v0 ± 2т.
Когда v возрастает от —оо до v0, то т убывает от оо до 0; когда v
продолжает возрастать от v0 до оо, то переменное т также возрастает от 0
до оо. Определим коэффициенты Ьп в (18) так, чтобы arg т = 2к на первой
части и arg т = 0 на второй части пути интегрирования. Тогда мы имеем
ОО
Кр (х) = le-" W [ е~хх [Ф (т) -Ф(т<?''2л)] их. (19)
О

7.4]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
35
Используя (18) и применяя лемму Ватсона (Copson, 1935, стр. 218), получаем
искомое асимптотическое разложение
Кр (х) = е
_ 0-Х f (VQ)
M-l
-П—гг
У.Ь2п+1х " 2rUl]+OU
-*4
/2=0
(20)
Коэффициенты в формуле (18) выражаются по теореме Коши
п
п
4nib„ = f-t 2Ф(т)Л = f[g(v) — g{vj) 2 dv,
(21)
где интеграл берется вдоль малого замкнутого контура, охватывающего точку
v = v0 в положительном направлении.
1
Так как [g (v) — g (v0)]
-/2--
имеет в точке v = v0 полюс порядка 2/z-f-l,
можно разложить
-1
(v-v0fn + '[g(v)-g(v0)]~n~2
в ряд Тейлора. Мы имеем
1 оо
-/2 — —
(v - v0)'»^ [g (v) - g (*„>] * = 2 Ап) (v ~ V,
/=0
С другой стороны, теорема Коши показывает, что
1 ^
-л-т
» = »<>
(22)
2niAf = f{v- v0?"-1 [g (v) -£(»„)] 2 A»,
(23)
где интеграл взят вдоль замкнутого контура, охватывающего точку v = v0.
Сравнение (21) и (23) дает значение коэффициентов в (20):
Ь
2/2 4 1 2 2/г 2(2«)!
/72// _ , -п 1 ^
• (24)
»= »Э
Мы получили, таким образом, асимптотическое разложение
1
V\ (р* + X*)
ехр
„■„ /7
У Р2 + х2 + Р arcsin ■£-) X
X
М-\
^2™amT (m + 1) /(^ + ^)^+0(^)
Lra=0
, /?, л: > 0, (25)
где
am = /21
1+2/я
■2/и />2 + *2\ 4
X2
'2т И'

36
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
-1
Первые коэффициенты в (25) имеют вид
«о=1, ^=-1 + 4-(1 + ^2) '
3 77 /, , jc2\_1 . 385
а0 =
128 576
\ ^ Р2) ^ 3456 I ^
-2
(26)
Аналогичное разложение получил с помощью метода стационарной фазы
J. Bijl (1937, стр. 23). Он вывел следующий результат, справедливый при
Р>Ух>\:
Кр (х) -
exp(-}V+ *» + /> Arshj) >П 2%mr(^+})
У4(р2 + х2)
т = 0
(2т)\У(р2 + х2)
т
<
<
С ехр [ — ]/V + *2 + /> Arsh ■£-)
(27)
и;
27И
Vp2 — X2
/~Т 4 _— 3/"Т
Здесь w = рЛ/ — или Ур2 +х? 1/ — в зависимости от того, будет ли
4 4
Р < Ух3 или р > У~х3.
Для коэффициентов в левой части неравенства (27) выполняется
рекуррентное соотношение *)
d
т
—1
т — 1
/
Pdl +
т — /
/ —1
TV+*2</j-i],
(28)
где d0 = 1, dx = d2 = 0. Здесь I j интерпретируется как нуль, а сумма
распространена на все значения /, для которых т — / нечетно и 0<;/</тг — 3.
Из (28) вытекает, что
4, = 1, tf2 = 0, г/4 = -У>2 + л:2, ^=-10^-/^ + ^,
и
d8 = 56/?2 + 35 (р2 + *2) — I/"/?2 + х2
dl0 = — 2100/72 (р2 + *2) + 246/?2 + 210 (р2 + х2) — Vp2 + *2-
(29)
Соответствующие разложения для У (х) и //^ (л:) получаются из
найденного в 7.3 (20) и 7.3 (23) выражения Зоммерфельда с помощью метода
наискорейшего спуска (см. Debye, 1909; Ватсон, 1949, стр. 262; Weyrich,
1937, стр. 49). Относительно выбора пути наискорейшего спуска в
различных случаях см. Emde (1937, 1939) и Emde, Ruble (1934). Здесь возникают
разные случаи в зависимости от того, будет ли р больше или меньше,
чем х, или же будет лежать в окрестности х. Они перечислены в
формулах 7.13(11) — 7.13(16). Формулы для верхней границы остаточного члена
в разложениях 7.13(11) и 7.13(14) и рекуррентные соотношения для
коэффициентов были получены соответственно Мейером (Meijer, 1933, стр. 108)
и Ван Вином (Veen, 1927, стр. 27).
*) В первом томе вместо I I используется обозначение С"п.

7.4]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
37
Недавно (см. Schobe, 1948) из контурного интеграла (7.3) 25 были
получены два различных асимптотических разложения для второй функции
Ганкеля. В отличие от рядов Дебая, найденных в 7.13(11) и 7.13(13), члены
рядов Шёбе не являются элементарными функциями, а выражаются через
вторую функцию Ганкеля порядков 1/3 и 2/3. Первые члены даются
формулами Никольсона 7.13(27) и Ватсона 7.13(34) соответственно.
7.4.3. Промежуточные области. Асимптотические выражения 7.13(11),
7.13(13) и 7.13(15) для функции Н^ (х) справедливы соответственно для
случаев, когда х > /?, х < р их приблизительно равно р. Однако они не
охватывают всех возможностей, поскольку в последнем случае наложено
(i)
добавочное ограничение х — р=0\х ). В переходной области, то есть
в случае, когда — близко к единице, но | х — р |— большая величина,
применяются другие формулы. Они были выведены Никольсоном (Ватсон, 1949,
стр. 275; Sch6be, 1948; Tricomi, 1949).
Формула Никольсона для функций Бесселя первого рода целого
порядка имеет вид
1 1
Jn (х) ~ п~1 3
3
Jn (х) — 3 Нг
X
Л (I)+J
1
! (I)
(30)
(31)
в зависимости от того, х < п или х > п. Здесь
1=
ЗУ2х\х — п\3
(32)
(Относительно Yn (х) см. 7.13(24) и 7.13(26).) Эти формулы выводятся
с помощью принципа стационарной фазы (Ватсон, 1949, стр. 256). С этой
целью будем исходить из интегрального представления 7.3 (2):
я
л Jп (х) = I cos (ЛФ — х s*n ф) ^Ф-
о
(33)
п
COSXD = —
т X
. d (щ — .xrsinq)) л
Фаза стационарна, если — — = 0, то есть если
Поскольку мы предположили, что п приблизительно равно х, то ф — малая
величина, и в окрестности стационарной точки можно заменить sin ф на
Ф — —-. Таким образом,
о.
п Jп (х)
COS
ЛГф'
со
л
— (х — п) ф
dq>
cos
«у
о
ХЦ)<
(х — п) ф
*/ф.
В зависимости от того, имеем ли мы х < п или х > п} этот интеграл
является интегралом Эйри вида 7.3 (39) или 7.3 (40), что приводит к
требуемым результатам (30), (31).
Этот метод вывода формул Никольсона является спорным. Кроме того,
область, в которой справедливы эти формулы, и порядок величины ошибки

38
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
не могут быть определены (строгую теорию метода стационарной фазы дал
Ван дер Корпут (Van der Corput, 1934, 1936). Бьюил (J. Bijl, 1937)
применил этот метод для того, чтобы получить асимптотические разложения
функций Бесселя.
Формулы Ватсона. Более точная форма для формул Никольсона
была дана Ватсоном (1949, стр. 276):
1Я
1
е 6 Н^ (х) = -т= w ехр
р
Уз
W6 ,
— ip \w arctg w
"Т(~) + 0(^-).
-\ з
з
(34)
Здесь порядок р может не быть целым числом, и мы имеем
(35)
Л
где arg w = 0 при х > р и arg w = -=■ при х < р. Соответствующие
формулы для Jp(x) и Кр (х) перечислены в 7.13(28)-7.13(31). В случае,
если х приблизительно равно ру w может быть заменено на V^{x— р)/р
(argУх — р равно 0 или -~- при х > р или х < р соответственно). Отсюда
получаются формулы Никольсона (30), (31).
Используя свое асимптотическое разложение, Шёбе (Schobe, 1948)
получил следующий результат (см. конец п. 7.13.2):
т
e~*Hf (х) =
= 3 6 | *.
х
2
"з
9 , Р
10 ~Г \0х
_з
2
//f
10 "т" 10*
1
+ 0\р
5_
2
(36)
I = | У2 (* - />)3/*
и arg "^(л: — р)3 равен 0 или -~— в зависимости от того, имеем ли мы
х > р или х < р.
Другая формула дана Tricomi (1949). Его результат имеет вид
^JP(p+y/ %t) =
= |/ у Л1 (0 - -^ [3/2Л[ (0 + 2МХ (0] + О \р
5
3
л К. /?
+fi
* =
= J^|-^<0 + -^[»24<0 + 2M2(*)] + oU
5_
3
(37)
(38)

7.4]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
39
Здесь Ах (О и Л2 (t) обозначают функции
27
A2(t) =
л;
Vt
J
J.
3
1
ir)-ji{2Y
Ё-
27
(39)
(40)
(см. интеграл Эйри 7.3 (40)).
7.4.4. Равномерные асимптотические разложения. Методы,
связанные с дифференциальным уравнением. Рассмотренные выше
асимптотические формулы были получены с помощью интегральных представлений
для функций Бесселя, в основном с помощью представлений Зоммерфельда
(см. п. 7.3.5). Другой метод вывода этих разложений основан на
дифференциальном уравнении Бесселя.
Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением случая, когда как
порядок р} так и аргумент х являются положительными числами. Преобразуем
уравнение Бесселя 7 2(1) с помощью подстановки х = реу. В результате
получим уравнение
w" (у) + р2 (е2у - 1) ау (у) = 0. (41)
Асимптотическое поведение решений дифференциального уравнения вида
w" (у) + [р2Ф2 (у) - К (у)} w (у) - 0, (42)
в котором р является большим параметром, изучалось многими авторами
(Horn, 1899; Schlesinger, 1907; Birkhoff, 1908; Blumenthal, 1912; Jeffreys, 1925;
Jordan, 1930). Основным принципом этих исследований было то, что мало
отличающиеся друг от друга дифференциальные уравнения должны иметь
мало отличающиеся решения. Первоначально для сравнения брались
уравнения с постоянным значением Ф. Все эти методы теряют силу в области,
где Ф (у) имеет нули. В случае уравнения Бесселя это происходит в
окрестности точек у = 0 или х = р.
Лангер (Langer, 1931, 1932, 1934) использовал для сравнения уравнение,
в котором Ф (у) является, по существу, соответствующей степенью у Это
позволило справиться с трудностями, связанными с нулями Ф2 (у). Решение
уравнения, использованного Лангером для сравнения, может быть выражено
через функции Бесселя порядка 1/3. Применение результатов Лангера
к уравнению (28) приводит к следующей асимптотической формуле, которая
справедлива равномерно в 0 < х < оо (Langer, 1931, стр. 60, 61):
Н? W = У ^^ Hf (pw - р arclg w) + 0\р
(43)
w
-V
X'
\,
При х > р arg w и arg (w — arctg w) положены равными нулю; при х < р
ТГ iTT
arg w равен -^-, a arg (w — arctg w) равен -^-. (Результаты для Jp (х)
и Yp (х) перечислены в формулах 7.13(32) — 7.13(35).) Относительно
сравнения числовых значений Jр (х) со значениями, получаемыми по формуле
Лангера (43), см Фок (1934), а относительно распространения формулы (43)
на комплексные значения р и х см. Langer (1932).

40 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
В случае, когда w достаточно мало (то есть х приблизительно равно р)}
w — arctgoy можно заменить на —^-; при этом получается формула Ват-
о
сона (34).
Метод «приблизительно совпадающего» дифференциального уравнения
был также использован Черри (Cherry, 1949, стр. 121) для получения
равномерных асимптотических разложений функций Бесселя. Дифференциальное
уравнение, которому удовлетворяет функция
V77p(ayT=7),
имеет вид
d2w
где
+ w[-p* + (y-*-l)(ly-*-jy-* + a*-p*}] = Ot (44)
и = Ath у — у. (45)
В окрестности точки у = 0 коэффициенты для w в (44) имеют
разложения вида
-P2 + ^q и"2+ («2-р2- -^-) (Зи)" +Р\иЧ,
где Р означает степенной ряд. Таким образом, уравнение (4) близко к
уравнению
d2W ( 5 \
Но в силу формул 7.2 (62) и 7.2 (63) решением уравнения (46) является
W = YpuKx(pu). (47)
"з
Поэтому, если записать уравнение (44) в виде
d2w
da2
где
+ w (_Р2 + ^ tt-2J = w f (u)t (48)
/W = ^-"-2-(y-2-l)(4y-4-|y-2 + ^2-^2), (49)
то мы можем подставить в правую часть уравнения (48) вместо w
выражение (47). Продолжая далее этот процесс последовательных приближений
и применяя метод вариации произвольных постоянных, получаем решение
уравнения (48). Дальнейшие результаты можно найти у Черри (Cherry,
1949, 1950).
7.5. Функции, связанные с функциями Бесселя
С функциями Бесселя связаны некоторые многочлены и функции,
которые либо подобны им, либо обладают некоторыми похожими свойствами,
либо, наконец, встречаются в исследованиях, относящихся к функциям
Бесселя. Эти многочлены и функции подробно описаны в книге Ватсона (1949,
гл. IX и X). Мы дадим здесь лишь краткий очерк основных свойств
некоторых из этих функций. Более детальную информацию читатель найдет
в книге Ватсона (1949).

7.5] ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 41
7.5.1. Многочлены Неймана и связанные с ними многочлены.
Многочлены Неймана Оп (z) определяются равенством
оо
е0=1, е„ = 2, если /г> 1, |£ | < | z\. (1)
Они играют важную роль в теории разложения произвольной аналитической
функции / (z) в ряды вида
оо
/ (*) = 2а" J>*(г)-
Для того чтобы получить явное выражение для Ол (г), будем исходить из
тождества
х\
-1 -1
/•
(г —g)_1 = ^~J е'хвя dx% Re-2-<l. (2)
i/
о
:-1 2л:
Положим в равенстве 7.2(25) сс = 1, заменим z на \ и /— / на . Мы
получим:
£L оо
' * = S [*"" (*+У*%+г2)П+<- 2^п (*+У*2+z2)~n\ Jn «)•
л=0
Подставим это разложение в равенство (2) и заметим, что при — < 1
можно почленно проинтегрировать. Сравнив результат с (1), получаем
интегральное представление Неймана
оо
Оп{г) = 1 *-«-> Г [{х 4- Ух* 4- г*У + (х — Vx*4-.г»)"] г-* tfx =
о
сое'6
-у J [04-/1+^)40-/4^)1^^^ (3)
о
К
где /г> 0 и |6 + arg* | < -^--
Для того чтобы показать, что On(z) является многочленом от г"1,
подставим
в (3) и почленно проинтегрируем получившееся разложение. Мы получим, что
п
0 ,_ч_ я у (В + /и-1)1/*\-'»-' .
%,(*)--у Д (n-m)l \2J * (4)
Я -2m-2
•<W.«-t("+7)S*^(f)
/я=0

42 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
или, после некоторых алгебраических преобразований,
2 ( )
0п(*) = \ Sn(n"W~1)!^ ' n>l (6)
m=0
В частности, имеем
O0(z) = z~\ 0{(z) = z-\ 02(z) = z~l + \z~\ (7)
Очевидно, что 0n(z) является многочленом от z~l степени гс + 1. Из (6)
вытекает следующее неравенство:
1 Оа (z) | < Г" 'я! | z Г"' > exp (i^-li). (8)
Следовательно, используя 7.3 (4), получаем, что если ряд /J ап (—)
абсолютно сходится, то и ряд
со
2 «п Jn {1) Оп (Z)
/i = 0
абсолютно сходится.
Из определения вытекают следующие соотношения:
Оо (г) = О, (г), (9)
2 0^)-0,,.^)-0,,^(2-), я>1, (10)
(л-1) Ол + 1 (г) + (я + 1) 0„_!(г)-гг-1 (л2- 1)0„(г) = 2лг"> (sin™)2, (11)
nz Оп_, (г) - (л2 - 1) 0„ <*) - (л - 1) z 0'п {z) + п (sin ^)2 , (12)
nz 0„+ j (г) - (л2 - 1) Оя (г) = - (л + 1) z 0'„ (г) + л (sin ^-J. (13)
Из этих соотношений следует, что Оп (z) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
г^ + 3г^ + (г +1—^ = ^^-) + ^sin^-j . (14)
Если С является простым замкнутым контуром, охватывающим начало
координат, то из (6) и 7.2 (2) следует, что
J От (z) Оп (z) dz = 0, т = п и т Ф п, (15)
с
/ ./т (*) Оп (z) dz = 0, тфп, (16)
с
J Jm(z)Om(z)dz = m, m>l. (17)

7.5] ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 43
Для некоторых целей удобнее использовать многочлены Шлефли
<4 (z
2
-п+2т
So(*) = 0, 5Я(*)= У (^-^-1)1^½ ' л>! (18)
(Ватсон, 1949, п. 9.3—9.34). Они связаны с многочленами Неймана
соотношением
п Sn (z) = 2z Оп (z) - 2 (cos ^)2. (19)
Многочлены Qn (z), определяемые разложением
оо
Сгг'-g»)-1 = 2 ея [/„(*)]» 0Я (*), | 6 | < | -гг |, (20)
/1 = 0
также были изучены Нейманом (Ватсон, 1949, п. 9.4 и 9.41).
Оба семейства многочленов Неймана были обобщены Гегенбауэром
(Ватсон, 1949, п. 9.2, 9.5). Эти обобщения определяются разложениями
оо
7^ = 2Лл'*(*)У*+/,(6)* 161 < |*|. (21)
/1=0
оо
Т=Т = S В*; i*. v <*> ' я (6) / я (й- (22)
6 /7=6 ^+Т V+T
7.5.2. Многочлены Ломмеля. Повторно применяя рекуррентную
формулу 7.2 (56), получаем, что /vfm может быть выражено в виде
А>+/и (*) = Л И Я/я, v (2) — А>-1 И Rrn-b v+i (2)> (23)
где Rm,v является многочленом степени т от z~x\ он называется
многочленом Ломмеля. Аналогично имеем
(-1Г /_v_m (г) = /_v (г) Rmt v (г) + /_v_! (г) Яот_ь v + 1 (г). (24)
Из (23), (24) и 7.11 (33) вытекает, что
31Z
Rm> v {Z) = 2 sin (vjt) [Jv+m {Z) 7-v+1 (г) +(_1)m y"v-^ (г) yv-i W]- (25)
Используя степенной ряд 7.2 (48) для произведения двух функций Бесселя,
получаем из (25), после некоторых преобразований, формулу
т
<~
yi (—\)т(т — n)\T(v + m — п) /г\-"*+*"
Km.vK*)- £ п\(т — 2п)\Т(у + п) \2,
/1=0
— т
T(v + m)(z\-m /1-й
~~ r(v) Ш г/з1 2
/И \
, 2"; v, — т, 1 — v — т\ — г21. (26)
Из этой формулы видно, что
Rm. v (2) = (-1Г Rm, -v-« И (^)- (2f)

44
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Так как функции Бесселя второго рода удовлетворяют гому же самому
рекуррентному соотношению 7.2 (56), что и /v (z), получаем следующее
соотношение, аналогичное соотношению (25):
Уу+т (*) = Уу (г) Rm, v (z) - Yv_x (z) Rm_u v + 1 (z). (28)
Следовательно, из (25) и 7.11 (36) имеем
If 2
Rm, v (*) = g" [Kv+m {Z) Jv~l {Z) ~~ Jv+m {Z) Yv'X {Z)l (29)
Пусть в формуле (25) m = 2n и v --= -~-— n, где n — целое число. Используя
(26) и 7.11 (5), получаем
U i(*)l2 + iv i(z)V = W iWl' + rr \Щ
2 \л (2г)2т"2/г(2л — 2m)\(2n — m)\
2
=—У
Л2 4J
m = 0
m\(n — m)\ (/2 — m)\
(30)
Рекуррентные формулы и формулы дифференцирования, которым
удовлетворяет многочлен Rmt v> могут быть получены из его представления (25).
Относительно этих формул и доказательства предельного соотношения Гурвица
2
2"
m+v
я
га» v + i
(*)
Нт —. i Г^П ~ А (г)
(31)
см. Ватсон (1949, п. 9.63, 9.65). Относительно других результатов см.
Mcdonald (1926).
7.5.3. Функции Ангера — Вебера. Функция Ангера Jv (2) и функция
Вебера Ev (z) определяются интегралами типа Бесселя
я
Jv (2) ± /Ev(*) = -1 [ e±l М-**т Ф) </ф.
(32)
о
Используя формулы 7.3 (9) и 7.3 (10) соответственно, получаем отсюда
разложения
1
оо
с
JV(2) = JV (z) -f- — sin (VIC)
J L
,-z sh t-vt
dt =
00
= Jv (g) + JL Sin (VIC) *"** (^ + /1+ ^2) V (1 + ^2) V2 ^»,
Re г > 0.
jt
(33)
0
Ev (г) = -Kv (г)-■i
OO
(ev< + ,-v< cos m) tf-* sh < ^ =
V
0
00
= - Yv (z) - I J *-*" f(w + /r+^)v +
0
-|- cos ш (v 4- У1 -f v*)~ v 1 (1 4- г»2)'"1/2 di/, Re г > 0.
(34)

7.5] ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 45
Из (33) следует, что
J/г (*) = Jn (г), л = 0, ± 1, ±2, ... (35)
Разложение подынтегральной функции (32) по степеням z и почленное
интегрирование с использованием равенства 1.5 (29) приводят к разложениям
JV(^) = C0SU5- > ; .,, / -т- +
2
Ь,г(»+1+т)г('Ч-1-7)
(-1)" (£)
оо / ^х2/г + 1
+-^)2^
-о -^+4+1)^+4--21
(36)
(-1)" (4
Связи между функциями Ангера и Вебера и
рекуррентные соотношения. Из формул (33) и (34) имеем
sin (vjt) Jv (z) = cos (vjt) Ev (z) — E_v (z), (38)
sin (vjt) Ev (z) = J_v (.г) -- cos (vjt) Jv (г). (39)
Дифференцируя формулу (32), получаем
я
2 [j;(*)+/e; (*)] = ! J {^ Kv-D ф-*amФ1 _ ^/ [(v+D ф-* smФ]} dq)f
0
откуда, вновь используя формулу (32), выводим, что
2J,v(z) = Jv_l(z)-Jv+l(z\ (40)
2E'v(z) = Ev_l(z)-Ev+l(z). (41)
Аналогично из формулы (32) вытекает
Jv-i (*) + Jv+1 (*) = 2v*-1 Jv (*) — 2 С**)"1 sin (™), (4¾
Ev_1(^) + Ev+1(^) = 2v^-,Ev(^) — 2(nz)~l(\— cosvjt). (43)
Из (33) и 7.2 (1) выводим, что
j;(*)+*-\j;(*)+(i-v2*-2)jv(*) =
оо
= 1 г-2 sin (vji) Г -£- [(- zcht + v)e-zsh '~vt] dt
зх J at
0

46
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Таким образом, очевидно, что
Jl(z)+,z-lj'v(z)+(l-v2z-2)jv(z) = ^z-2(z-v)sin(m). (44)
Из (44) и (39) вытекает соотношение
Е; (z) + г~% (z) + (1- v2*-2) Ev (z) = ~г~2 [z + v+(*-v) cos (vjt)]. (45)
Асимптотические разложения. Асимптотические разложения
функций Jv (z) и Ev (z) при больших значениях г и фиксированном v легко
получаются с помощью леммы Ватсона. Подставим выражение
(^/r+^)v(l + i/2)~1/2 =
= 2Fl (_L+J1, 1^1; 1; -,.) + ^,(1^, 1-|; |; -С) (46)
соответственно в (33) и (34) и используем равенства 2.1 (2), 1.1 (5). Мы
получим
ГМ-1
1 —v
Jv (z) = Jv (z) -\- (nz) l sin (vjt)
M-i
2<-d
/г о2/г
1+V
-2/2
L /2=0
/г
+
/г
+ 0( | г 1-^) +v £ (-1)"2" (l+ -1)^1-£)*-«-« +
/1 = 0
+ vO(|^r2AI-1)
(47)
-l
Ev (*) = — Yv (z) — (nz) 0 + cos v:rt) X
X
M- 1
^ (-1)^2^
1 + v
1—V
L /i = 0
-1
/г
) г-2"+0(|гГ2Л1)
In
ГМ-1
— v (nz) (1 — cos v:rt)
2<-»"-('+т).Ы).
_ ^-2/2-1
+
L /i=0
+ o(l*
-2M-1
)
(48)
Относительно асимптотических разложений для /v (z) и Kv (г) в (47) и (48)
соответственно см. 7.13 (3) и 7.13 (4).
Случай больших значений | v | и \z\ изучен в книге Ватсона (1949,
стр. 345).
7.5.4. Функции Струве. Функции Струве определяются с помощью
интегрального представления, похожего на интеграл Пуассона 7.3 (3):
г (v +1) hv (,) = j- (|)v j (i - еП sin <*> at =
T
Yn U
v
k2v
1
sin (г cos ф) (sin ф) v dq>, Re v >—-^-.
(49)

7.5] ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 47
Из этого выражения можно вывести (Ватсон, 1949, стр. 367), что функция
Hv (х) положительна, если х положительно и v!>-^-.
Если преобразовать равенство (49) в контурный интеграл, то можно
снять ограничения, наложенные на v, и мы получим
_з v<1+> v_i
Hv (*)=-/* 2r(l-vH4) (Г<-\) 2 sin (zt)dt, (50)
2 M2
о
_1_ _3^ _5
v ф 2 , 2 , 2 , ...
Еще одно представление вытекает из 7.2 (12):
г (v +1) [HV в,) -rv (W] = -^ (i)'-1 ,v J ,-« о + ,„
O<0£'■ ч
v-1 Г v- —
2 <#,
0
P — Я <argE<p + y; — ^- p<arg*<| — p.
(51)
(Относительно других интегральных представлений см. Meijer, 1935а, стр. 628,
744; 1939; 1940, стр. 198, 366; Nielsen, 1904, стр. 234.)
Модифицированная функция Струве имеет вид
*vjt / т
Lv (z) = — ie 2 Hv \ze 2 ). (52)
Следовательно, из (49) вытекает
2
v ^
(53)
Lv (z) Г [ v -\ ) = —= I — ] sh (z cos ф) (sin (p)2v % Re v > — -=■.
\2/yrt\2/J ^
Из (51) мы имеем
2 (±Г " v__>
Lv (x) = /_v (jc) \2' I (1 + fi) 2 sin (jtf) dt, (54)
^rKi)
0
л: > 0, Re v < -=-.
Представление Hv (г) в виде степенного ряда по возрастающим
степеням г получается из формулы (49) путем разложения sin (z cos ф) по
степеням г и почленного интегрирования:
/ ~ \ v+2m+l
(-1)-1¾
Hv <*) = 2]
m
-о r(ii.+4)r(v + m+4)
р Л 3 3. г2\
v+ii'2^1» "2"T"V' "2» 4/
/—
v io i / Ч\ • (55)
>'я\2/ r(v + 4)

48 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
-V
Отсюда видно, что (-^-) Hv (z) является целой функцией от v и z. Далее,
мы имеем
Hv (zeimn) = eijt (v+1) fflHv (z)y m - 1, 2, 3, ... (56)
Из (52) получаем
4v + 2m + l
oo ■ ^
^or(» + 4)r(v + »+4)
и Л 3 . 3
V4 1 H2 I A» "2" Г V' "O"»
3 г'
^12/ r(v + |
Из (55) легко вывести формулы дифференцирования
(57)
dz
[*VHV(*)]-*VHV_,(*), (58)
rf k-vHv(^)] = \ ^ z-vttv+l(z). (59)
dz
2vy„r(v + 4)
Выполняя дифференцирование в левых частях равенств (58) и (59) и
сравнивая полученные результаты, выводим, что
HV_,(*) + HV+1(*) = -^HV(*)+ г2- _, (60)
z>
Н¥_,(2г)-Н,+1(2г)-2Н;(г) -. гг. (61)
/i2vr(v+|-)
Из (58) и (59) следует, что функции Струве удовлетворяют
дифференциальному уравнению
(£Г*
z% (z) + z н; (z) + (г2 - v2) Hv (z) = —-Ai/ _. (62)
/„r(v + T)
Асимптотические представления. Если положить в фор-
1
v —
муле (51) z — \ и разложить (\-\-t2l~2) 2 в ряд по возрастающим
степеням t, после чего проинтегрировать почленно, то получим для больших
значений \ и фиксированного v
/ 1 \ /? \-2m + v-l
м-i rim + — )( —|
Hv (Б) - Kv (Е) + i- £ -i 2;\2; , +0(1^^^^)- (6¾
w=o ГГ + "2"~ т)
I arg|| < л.

7.5] ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 49
Относительно асимптотического разложения Yv (£) см. 7.13 (4). Далее, можно
доказать, что если v вещественно и g > 0, то при Af-j-——v;>0 М-и
остаток имеет тот же знак и меньше по абсолютной величине, чем первый
отброшенный член.
Относительно случая, когда велики | v I и | \ |, см. Ватсон (1949, стр. 364)
1 _ v-I
Если v = Я+-0" (л = 0, 1, 2, ...), то(1 -\-t\ 2) 2 в (51) является много
членом и мы имеем
nfT И+Т т=о
1 у^\-2™+"4 r(w+-g)
п 2и \ 2 j Г (и + 1 — т) '
Н ,(» = К ,(6) + -^ 2, Ш г r„V 1 _ 1> (64)
где К j (£) задается формулой 7.11 (2). Далее, из (51) и (54) получаем
n + j
н / hW = H)^ 1 (*); L , lN(*)=-/ 1 (*), л = 0, 1, 2, ... (65)
-(л+т) я+т -(л+т)
/г+т
При /2 = 0 формула (64) принимает вид
н ( ч 1 — cos г
Н j (г) = -=-
у т / ЛЯ
У
2
Если /г — натуральное число, то из формул (37) и (55) получаем
(Ватсон, 1949, стр. 367)
, уЧ"+4)(С""'
н„ (г) = ± 2j ( 1 \ Е* (г)' (66)
т=0 Г (/2 +-J— /и)
"-"<*> =—s—2d ,/ , з\ Е-л(г)- (67)
Относительно дальнейших результатов, касающихся функций Струве, см.
Baudoux (1946).
7.5.5. Функции Ломмеля. Рассмотрим неоднородное дифференциальное
уравнение Ьесселя
г
2 d2w , dw
+ ^J^L + (^2-v2)^ = ^ + 1, (68)
dz2 dz

50
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
где (1 и v — любые постоянные. Решением уравнения (68) является
[(|i + I)2 - v2] [(|i + З)2 - v2] ... [(|i + 2т + 1)2 - v2]
ОО
;\х, v (2) — ^
т=0
г\2т + 2 / [X — v -|- 1
2
-М
(1 -(- v + 1
т=0
„(А + 1
[Д. — v -f- 2/и -|- 3\ г ^ [х —|— v —[— 2/и —|— 3
(|Л —V+1)(|X + V+1)
/ Ц—у+3 Ц+у+3
[Г2{1' 2 * 2 ' "
(69)
Если одно из чисел |i ± v является нечетным целым числом, решение (69)
теряет смысл.
Интегрируя дифференциальное уравнение (68) с помощью метода
вариации произвольных постоянных и выбирая решение, которое при малых г
приблизительно равно [((i—v -\~ 1) (\i -\~ v-\- I)]"1 г]Х+1у получаем
л
s»>v {z) - TihT
VJt
z
«M*)
г* J_v(z)dz — J_v (z) z^ Jv (z) dz
V
о
0
л
z z
Yv (z) J z* Jv (z) dz — Jv (z) z* Yv (z) dz
о 0
(70)
Если v не является целым числом, два выражения (70) для 5^, v
совпадают. Если же v — целое число, то первое выражение не определено,
а второе имеет смысл.
Другим частным решением уравнения (68) является
-ir /ц —v-fl
2м-"1 Г
S|l, v (*) = Sp, v (z) +
Х\ cos
.)r(l±fti
л
(^ — v)-2"
sin (vjt)
7_v (21) —cos
X
№ + v)y /v(*)l =
^.vW + ^'rj
-It /^- v + * \r^ + V+1 )x
XI sin
(I*— v)^-
Jv (z) — COS
л
0* — v) y
M*)}- (71)
Если одно из чисел (i ± v является нечетным положительным числом, то Sm v
может быть представлено в виде следующего конечного ряда по убывающим
степеням z (см. Ватсон, 1949, стр. 379):
5ц. v (*) - ^-1 U - № - I)2 - v2] г-2 +
+ №-l)2-v2][(n-3)2-v2]*-<- ...}• (72)
В случае, когда ц. —f- v или ц — v является нечетным целым числом, s\ilV
не определено, a S^, v (г) имеет определенный предел (Ватсон, 1949, стр. 380).

7.5] ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 51
Рекуррентные соотношения. В силу принятых определений
имеем
«ц+2, v (*) = ^l+1 - [О* + 1)2 -v2] S(l, v (г), (73)
si v (*) + 7 5^' v (*) = (l* + v — 1) 5ц_ь v-1 (*)> (74)
5д, v<*) ~ -J s\i, v (*) = (V — v —l)5^_llV + 1(^), (75)
2v
— 5ц, v (*) = (H + v — ^ 5jx-b v-i (*) — (I* — v — !) V-ь v + i (*). (76)
2V v (*) = (M- + v — !) 5и-ь v-i (*) + (M- - v - 1) *ц-1, v+i (2). (77)
Из (71) следует, что в формулах (73) — (77) можно заменить sllt v (z) на
^fx> v (^)-
Частные случаи функции Ломмеля. Многие функции,
связанные с функциями Бесселя, могут быть выражены через функции Ломмеля
02п W = г'1 Su 2п (*), 02n+i (z) = (2л + 1) *-■ S0t 2п+1 (z)} (78)
S2n (г) = 4п S_lf 2п (z)y S2n+l (z) = 2 S0, 2л+1 (г), (79)
Лл. v (2) = -^ 2V_1 Г (v + л) (v + 2л) S,.v, v+2„ (z)} (80)
2
v+l
,v-l
^+1^(^) = ^-^^^ + ^+1)^ + 2^ + 1)5
-V, V + 2tl + l <*). (81)
Jv (*) = -r [sin (VJt) 5o, vW~v sin (v«) s-u v (*)]> (82)
Ev (z) = — — [(1 + cos vrt) 50, v (г) + v (1 — cos vjt) s_lf v (г)], (83)
Hv(*) = 2l"Vj?v.v(g) =rv(^)+ 2!_"VfV'Vn' (84>
T^r(v + -ij ^„ r (v 4--2-)
где использованы обозначения, введенные в п. 7.5.
Функция Юнга (1912) имеет вид
5 з 1 (*)
4W- Za r(v + 2m + l) ~VZ r(v-l) ' (№)
m=0
Асимптотические разложения. Вообще говоря, ряд (72)
расходится. Но можно показать (Ватсон, 1949, стр. 383), что он является
асимптотическим разложением S^ v (z), когда \z\ — большое число и | arg z\<n.
Интегральные представления. Интегральное представление
w„,Wi)""*w\(!±t^)x
Л
2
х J y(1+fX_v)/2(^sine)(sine)(1+v-^/2(cose)v+»xfl?e, Re(v + |i + i)>o, (86)
о

52 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
легко проверить путем разложения по возрастающим степеням z.
Относительно дальнейших интегральных представлений см. формулы
7.12(48)-7.12(52) и Szymanski (1935), Meijer (1935а, 1938, 1939а, 1940,
стр. 198, 366).
Ломмель изучил также функции от двух переменных, определяемые
равенствами
°°
Uv (wt z) = 2j (~l)m (—) Jv+2m (*), (87)
m = 0
Vv (w, г) = cos (^- + ^-+ Щ + U_v +2 (w, z). (88)
Относительно теории этих функций см. Ватсон (1949, п. 16.5 —16.59); см.
также Shastri (1938).
7.5.6. Некоторые другие обозначения и функции. В книге: Nielsen,
Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen использованы некоторые
обозначения, отличные от введенных в п. 7. 5; перечень их приведен в книге
Нильсена на стр. 406. Этими обозначениями являются
Zv(z) = Hv(z), Wv(z) = Jv(z), Qv(z) = -Ev(z),
22~р cos
nv>P(*)=
л
2"(v —P) Sp-lfV(2)
Далее в этой книге изучены следующие функции:
nv(*) =i [Jv (*) + J-v (г)], Xv(z) = j [Jv (*) - J_v<*)].
Я
kOv(z) = /v f eiz cos °P cos (vcp) dy,
0
я
nAv(z) = «1"v Г гг'* cos ф sin (уФ) йГФ.
о
Последние две функции являются обобщением интеграла Хансена для
коэффициентов Бесселя (см. 7.12(2), а также 7.12(40) — 7.12(45)).
7.6. Теорема сложения
Существует два типа разложений функций Бесселя, известных под
названием теорем сложения. Разложения типа Гегенбауэра связаны с теорией
сферических волновых функций (в 2v -\~ 2-мерном пространстве), в то время
как разложения типа Графа связаны с теорией цилиндрических волн. Это
различие не является вполне точным, и оба типа совпадают при v = 0. По
сути дела, эти два типа разложения являются двумя различными
обобщениями теоремы сложения Неймана для J0 (z).
7.6.1. Теорема сложения Гегенбауэра. Мы установим теорему
сложения Гегенбауэра для модифицированных функций Бесселя третьего рода Kv(z).
Положим

7.6] ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ 53
и предположим сначала, что z, Z, ф вещественны и 0 < г < Z. Полагая
в 7.12(23) г = 1 и a = w> имеем
w v Kv(w) = jf
со
1 '
exp(-^-^+Z2-2gZc0S,P)^v-' dt. (2)
При v Ф О используем разложение Сонина 7.10 (5)
оо
ZZ
7z) r(v)2j(v + n) c^C0StP)7v+«
/2 = 0
и подставим его в (2), после чего почленно проинтегрируем, используя
формулу 7.7 (37). Таким образом мы получим теорему сложения (относительно
функций Cvn см. п. 3.15)
оо
-V
«,-v Kv (or) = (Щ Г (v) J] (v + п) CI (cos Ф) Iv+n (z) Kv+n (Z), (3)
/2 = 0
v =£ 0, —1, —2, ..., z <Z.
Если устремить здесь v к нулю, то получим, используя 3.15 (14),
оо
Ко (w) = /0 (г) Ко (г) + 2 2 //2 (*) /Сл (Z) cos шр, г < Z. (4)
/2 = 1
Из 7.2 (12) и 7.2 (13) вытекает, что ряд (3) сходится одновременно с рядом
2. Cvn (созф) (-=-1 , и поэтому из 3.15(1) следует, что формулы (3) и (4)
сохраняют силу, если \ze± 'ф | < | Z|.
Теоремы сложения для других функций Бесселя могут быть получены
из формулы (3) с помощью соотношений 7.2 (16), 7.2 (17), 7.2 (7) и 7.2 (8).
См. также 7.15(28)-7.15(32).
7.6.2. Теорема сложения Графа. Формула сложения Графа
V оо
П— — оо
где
\ге±1*\< |Z|, v = // +Z2 -2*Z cos Ф = V(Z - **-'*) (Z - **'¥),
может быть доказана следующим образом. Из 7.3 (5) мы имеем
(0+)
-оо ехр (—/Р)
ехр [|-«-<- 1)\-*~л {^Р)П Jn{*)dt.

54
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Из 7.2 (25) вытекает
оо
(2яг) J] ■fv+n(Z)Jn(z)einf =
П= — оо
0 +
- J
ехр
±.Ц-Гх)-±-Це-^-Г'е^)
-оо ехр (-г|3)
;-v-l
dt.
r-r (^ -w\j. Z—~zet(V w A
Положим здесь \Z— ze ^)t = wv} = — и выберем значение
tv
квадратного корня (1) так, что w^>-\-Z, когда 2->0. Тогда можно взять
контур, начинающийся и оканчивающийся в точке —оо ехр (—/а), где
а = arg w. Таким образом, мы имеем
оо
(2ш) 2 Jv+„(Z)Jn(z)el^ =
П-— оо
= W~V(Z
ze
-^)v
(0+)
ехр
■оо ехр ( — la)
— (v — V l)
V
-v-1
dv.
Вновь применяя 7.3 (5), получаем (5).
Формула (5) может быть записана в несколько ином виде, если ввести
угол \\) с помощью равенств
Z — z cos ф = w cos ф, z sin ф = w sin \\>.
Ясно, что для вещественного ф и положительных zy Z и w ф является углом,
противолежащим стороне z в треугольнике со сторонами z} Z, w. Мы имеем
тогда
оо
П=—оо
\ze±i(V\<\Z\, v=£0, ±1, ±2, ... (6)
Относительно других функций Бесселя см. формулы 7.15 (33) — 7.15 (36).
Формулы удвоения для функций Бесселя первого рода и для
модифицированной функции Ганкеля в случае полуцелого порядка вывел Кук (Cooke,
1930). Результат имеет вид
J j (2г) =* (—1)т У it т\ г
т+Ъ
X
т+Т
т
ХЪ~Т\
(—\)п(2т-^2п + \)
J
1
(2т — л + 1)! т-п+ъ
я=0 2
(Z)J
1 т
К i (2z) = -—z
m+тг V Л
' /2 = 0
2
(—\)п(2т — 2л+1)
К
_(т_и+_)
-И+Т J
1 ч <*). (7)
п!(2т — п+1)!
(8)
Относительно других таких формул см. Cooke (1930).

7.7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 55
7.7. Интегральные формулы
7.7.1. Неопределенные интегралы. Из формул 7.2 (52) и 7.2 (53)
соответственно мы имеем
fzv + lJv(z)dz = zv+lJv + 1(z)} (1)
j z~v+lJv (z) dz = -z-v+lJv_x (z), (2)
Из 7.2 (57) получаем
m — 1
f Jv (z) dz = 2 2j ^v+2/2+i (*) + J /v+2m (2) flte, ' m = 1, 2, 3, ... (3)
/2 = 0
Равенства 7.2 (4) — 7.2 (6) показывают, что формулы (1) — (3) сохраняют
силу для Yv(z) и Н^ (z)} Н^ (z). Относительно других подобных формул
см. 7.14 (1)-7.14 (13).
7.7.2. Определенные интегралы по конечным отрезкам. Многие
определенные интегралы, содержащие функции Бесселя, являются формулами
типа свертки
F * G (t) = Г F (v) G (t — v)
f dv
о
и могут быть выведены из теоремы о свертке для преобразования Лапласа
(Doetsch, 1937, стр. 161; Widder, 1941, стр. 84). Эта теорема утверждает,
что если
оо
f(s)= fe~stF(t)dt~L{F}
о
и g(s) = L {G}} то
f(s)g(s) = L{F*G}
Эта формула справедлива, например, если L {F} и L {G} абсолютно
сходятся.
В качестве примера получим этим способом второй интеграл Сонина.
Полагая
получаем из формулы (24) при Re \х > — 1
/ц(сс, s) = Z, {/>(<*> 0} = 2-^-^-1 expj-IccV1).
Но
/ц(<*. 5)/v(P, 5) = 2/ц
+ V + 1 (Va«+F. s),

56 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
откуда и вытекает интеграл Сонина
t
о
= 20^^(0»+ P2r(v+,i+t)/v+|l+1^/a24-P2).
Rev>—1, Repi>—1.
Полагая / = 1 и подставляя т = (sin б)2, получаем
я
2
Г /ц (a sin 6) 7V (Р cos 6) (sin 6)^+1 (cos 6)v+1 dQ =
о
= aT /(a2+P2)-(v+fX + 1)/v+^i iV^Tfl (4)
Rev >—1, Re \i > —1.
Следует особо отметить предельный случай формулы (4). Если
разделить обе части равенства (4) на pv и устремить р к нулю, получим
первый интеграл Сонина
И
о
Г Уц, (a sin 6) (sin 6)^+1 (cos 6)2p+ г dQ =
о
= 2рГ(р+1)сГр-%+ци(а), Rep>—1, Re|x > —1. (5)
Другими формулами типа свертки являются
т% (т) (t — t)v Jv (t — x)dx=>
1 \ ,v+tl+T
i r^+iV^+W 1 1
^=- ' \ ,, J ,(0. Re(*>-^-, Rev>--±- (6)
(см. Hardy, 1921, стр. 169) и
t __
Av (a V"T)cos (P V^ — T)
о
Vx (t - T)
dx =
^^/v[^(/a2 + p2 + p)]/v^(/a2+p2-p)], Rev>-1.
Последняя формула может быть записана в виде
(7)
Л
2
I /2V (2 Vzt sin 6) cos \{z — 0 cos 6] rfO « £ /v (г) 7V (g)f Re v > — -L (8)
0

7.7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 57
Формулы (6) и (7) вытекают из теоремы о свертке, примененной к
соотношениям (17) и (23), (25) соответственно.
Интегральная формула для функции Струве, соответствующая первому
интегралу Сонина (5), имеет вид
я
Т
/
= Г(р + 1)2^-Р-1Нр+ц+1(г), Re р > —1, Re [х > —-§-- (9)
Она может быть установлена следующим образом. Разложим под знаком
интеграла функцию Струве по формуле 7.5 (55) и почленно проинтегрируем
получившееся разложение, используя 1.5 (19).
Во многих случаях для вычисления интегралов, содержащих функции
Бесселя, могут быть использованы формулы 7.2 (47) — 7.2 (49), выражающие
произведения двух функций Бесселя в виде степенного ряда. Например, мы
имеем из 7.2(2) и 1.5(19)
Нц (г sin 9) (sin 9)^+ l (cos 9)2р+ l dQ =
я
Т
k2v
Jv (2z sin 0) (sin 9)v (cos Qyv dQ =
о
oo
i (_1)« ^v+2m Г (v + m + ^ Г (v + -l)
= ."2 2j ml Г (v + m + 1) Г (2v + m -f 1)
m = 0
В силу 7.2 (49) это приводит к соотношению
А
2
7V (2z sin 9) (sin 9)v (cos 9)2v dQ =
о
V
= 2^T{V + :2}[Jv(Z)]2' Rev>-f
Аналогично доказывается формула Неймана
(10)
Л
2
J "
Jv+li (2z cos 9) cos [(ц — v) 9] dd = ^ Jv (z) J^ {z\ Re (v + |i) > — 1. (11)
0
В этом доказательстве используются формулы 7.2 (2), 1.5 (19) и 7.2 (49).
Обобщение формулы Неймана
л фаг)'*1 (2fiz)-v J^ (az) Jv фг) =
A
2
= e
f eiQ(n-v) (cos e)v+fx (^)-v-fx y^ (Яг) dQi (12)
я
2

58 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
может быть доказано следующим образом. Разлагая функцию Бесселя под
знаком интеграла по формуле 7.2 (2), получим
°°
v ' Vl ' ^v ' v м / ^J /и! Г (/w + v + H + l)
m=0
я
2
X
^•e(fx-v) (cos e)m+v+M (аУе + р2£-<'еГ rfe.
л
Интегралы, входящие в эту сумму, можно выразить через
гипергеометрическую функцию 2^1 (СР- также 2.4 (11)), и в силу 7.2(47) справедливость
соотношения (12) доказана. Относительно аналогичных представлений
см. 7.14(60).
Другой класс интегральных формул может быть получен из теорем
сложения в п. 7.6 и 7.15. Из 7.15 (31) мы имеем
я
л Уп С2")]2 = I Л 12-г sin ф) cos (2яф) dtp, п = 0, 1, 2, ... , (13)
о
или, более общо, из формул 7.15(28), 7.15(29) и 3.15(17) имеем
л
Г
W
о
-%(гсОС^(С05ф)(31Пф)2^ф =
_ 2nY(m + 2v)
ml Г (v) (2zyy
(14)
w = |Лг2 -(- у2 — 2zy cos ф, Re v > — -^-, /и = 0, 1, 2, ...
Здесь через Zv обозначена функция Бесселя любого вида, то есть первого,
второго или третьего рода. Относительно других формул того же типа
см. формулы 7.14 (14)-7.14 (23) и Ватсон (1949, стр. 412); Copson (1932);
Rutgers (1941); В. N. Bose (1948); MacRobert (1947, стр. 383)
7.7.3. Интегралы с бесконечными пределами, содержащие
показательную функцию. Формула
2vffxa"fXp-V + fX+vr(v+l)
со
-ytA- 1 и* __
^(aO-MPO*"7 * <W =
V
о
oo
~2j mir(|i + w + l) 2^i~^ -\i-m, v + 1, _j|__j , (15)
m=0
Re (A + [x + v) > 0, Re (y ± /a ± /p) > 0,
может быть доказана путем замены произведения функций Бесселя его
разложением в степенной ряд 7.2 (47), почленного интегрирования и
использования формулы 1.1 (5). В некоторых частных случаях правая сто-

7.7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 59
рона равенства (15) сводится к более простым выражениям. Если, например,
положить X -{- v = р и устремить р к нулю, то получится интеграл Ганкеля
оо
/_?Х\%РГ(и. + 1) Г e-Vjyi(at)tv-ldt =
о
м--Ьр
-гоц-р)(и-£)~ 2 ^(^,1+1^;, + !;^), (16)
Re (р + (i) > 0, Re (y ± /а) > 0.
Второе выражение в формуле (16) выведено из первого путем
использования формулы преобразования 2.10 (6) для гипергеометрической функции.
Полагая во втором из выражений (16) р = ц-)-1> получаем
со
г
оо
Г
-% (erf) Pdt = y=r (2а)»* Г U+ 1) (Y2 + а*) 2 "Л (17)
Re (2ц + 1) > 0, Re (у ± la) > 0.
Если положить в (16) р = 1 и использовать формулу 2.8 (4), то получим
(Vv2 -4- ~а2 — vT
е'^% (at) dt = KV v J r -^—T Re\i> -1, Re (y ± ia) > 0.
a»Yy2+a2
(18)
Далее, полагая во втором из выражений (16) р = 1 и используя 2.1 (14),
получаем
со
2Р-1Г /Ц±Р
\ Jn(at)ti>-1 dt = ^—-—4-, — Re(x<Rep<-|, а > 0. (19)
0J арг(1 + ^) 2
Таким же путем можно вывести много интегральных формул, в которых
показательная функция зависит от квадрата переменной интегрирования.
Например, соотношение
оо
2v+fx + ia-fxp-vYvbfx + ^r(v+1) Г Jix{at)Jv^t)e-^2tK-ldt =
°° Г (т +
v + H + ^
= 2 от!Г(от + |х2+1) ^(~m' -^-»: v+^ |-)(-^Г' (2°)
Re([i- + v + A) >0, ReY2>0,
может быть выведено путем использования выражения 7.2 (47) и почленного
интегрирования. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи, в которых
формула (20) сводится к более простым выражениям.

60
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Пусть Р = сс, тогда, используя 2.1 (14), получаем
оо
я
h («0 А> («О e-^'t1-1 dt =
"к-\-\х-\-\
X
У Г(ц + 1)Г(у+1) Х
Л(^Ц±1. ^±1, 1+И±±; ц + 1, v+1. И + v + l;
ее
Re (v + А + \х) > 0, Re y2 > 0.
Y2,
(21)
Пусть в (20) р стремится к нулю. Тогда выражение в правой части
равенства (20) сводится к вырожденной гипергеометрической функции, и,
полагая v -)- Я, = р, получаем
оо
Г(ц + 1)
y(l(aO^-v2^p-1rf<' =
h-°r №тм^ *+'■■-w)-
=4v-»r(^)(i)V
(Г
Re y2 > 0, Re (\х + р) > 0. (22)
Далее, имеем
оо
I*
J -M«0
■-V'2<tf =
0
со
2Y
ехр
а*
а^
8y2 / Л \ 8y2 / '
2
ReY2>0, Re ц > — 1,
Г JVi(at)e-^t2t^ldt =
о
а
fX
ехр
се
оо
(2Y2)^ + i ~"r \ 4YS
Reji> —1, ReY2>0,
Jv (at) Jv m e'^t dt = ±- exp (- ^¾^ /v l ^
4y2 ) 'v \ 2y2/ '
Rev> —1, ReY2>0.
(23)
(24)
(25)
Формулы (23) и (24) следуют из (22), а (25) — из (20).

7.7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 61
Для того чтобы доказать аналогичное формуле (16) равенство
оо
= Г (ц + v) Г (|г — vh/^v + ji, v + у, |х +-g-; £xj) =
= (2a)"2v_2fX (a + P)2v+2fX Г (|i + v) Г (ц — v) X
X2F, (v + ц. ^ 2v + 2(i; 1— -j^j, Re (ц ± v) > 0, Re(a + P)>0, (26)
заменим в нем /Cv (P^) выражением 7.3 (15), изменим порядок
интегрирования и используем 2.12 (5). Из формул (26) и 2.8 (47) получаем, полагая
а = 0,
оо
(*
/Cv(P0 ^-1 Л = 2^-^-^ (Ji±l) Г (^=^-), (27)
о
Re fti ± v) > 0, Re р > 0.
Далее, из формул (23) и 7.2 (13) имеем
оо
К, (at) .-** dt = 7 ехр ^ #Г± (¾, (28)
о 4ycos l-^-j v 2 v
— 1 < Re ц < 1.
Относительно дальнейших формул см. Shabde (1935); Mohan (1942, стр. 171)
Sinha (1942).
7.7.4. Разрывный интеграл Вебера—Шафхейтлина. Перейдем к изу-
оо
чению интеграла / У, (at) Jv (bt) Г" dt, где а и Ь-положительные веще-
о
ственные числа. Оказывается, что хотя этот интеграл сходится для всех
положительных значений а и 6, аналитическое выражение его различно
в зависимости от того, будет ли а меньше, равно или больше Ь. Именно
мы имеем
оо
2P^-P+ir0x+l)r(1 + V + p~M Г JVi(at)Jv(bt)t~^dt =
о
X^(1 + Vt"~P- 1 + V~~P: " + 1; £)• (29)
Re(v + H — Я,+ 1)>0, Rep> —1, 0 < а < Ь ;

62 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
аналогичное выражение имеет место при 0 < Ь < а (при этом в формуле (29)
надо переставить а и Ь). Далее имеем
оо
г»
Jlx(at)Jv(at)fpdt=^
;^)р"1г(Р)г(^+^1-р;
- 2/1+у-ц + Р\ г /l+v + Mlj г Л+^~у + Р\ ' (30)
Re (v + \i + 1) > Re р > 0, а > 0.
Эти результаты доказываются следующим образом: подставим в
подынтегральную функцию (29) выражение (12), сделав в нем подстановку а = а,
|3 = &, г = t\ изменим порядок интегрирования и вычислим интеграл по t
с помощью формулы (19). Мы получим
оо г /у-|-|1 — р^-1 \
/ h «*> А («) г» <я -i- Ж acv-b^-p-iv» ^ + v2+p + l[ X
0
Л
2
-v-n-l)/2rf6>
Х Г ^«(n-v) (CQS 0)(v+n+p-l)/2(fl2^/e_j_^-/e)(p-v-ji
я
"~ 2
Но интеграл в правой части равенства можно выразить через
гипергеометрическую функцию 2Л (см. 2.4 (11)). Соответственно тому, имеем ли мы
Ь > а или b = а, непосредственно получаем выражения (29) или (30). В
некоторых частных случаях гипергеометрическая функция сводится к более
простым функциям. Например, формулы 7.14 (28) — 7.14 (31) выводятся из
(29) и (30), если положить p = v = -~-.
Через гипергеометрическую функцию может быть выражен и интеграл,
аналогичный интегралу Вебера — Шафхейтлина, в котором одна из функций
Бесселя заменена модифицированной функцией Бесселя третьего рода.
Однако этот интеграл не имеет разрыва при а-=Ъ. Мы получаем
оо
2р41 av-P+i г (v _|_ Х) к^ (a^ yv да,) Гр dt =
«.
о
= Pvr(v~p + |i + 1)r(v-p7tl'1'1)x
X2/-,(v-p + ^ + 1, v-p7" + 1; v + l; -1-), (31)
Re (a ± ф) > 0, Re (v — p + 1 ± \i) > 0.
Эта формула доказывается путем разложения /v ((3^) в степенной ряд по
формуле 7.2 (2) и почленного интегрирования с использованием формулы (27).

7.7]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
63
Дальнейшие интегралы такого типа приведены в 7.14 (35) — 7.14 (39).
Формулы 7.14 (35) и 7.14 (36) вытекают из формулы (31), остальные были
доказаны в работе: Dixon, Ferrar (1930).
7.7.5. Интегралы Сонина и Гегенбауэра и их обобщения. Разрывные
интегралы более общего типа, чем (29) и (30), были изучены Сониным и
Гегенбауэром. Интеграл
оо
г*
h (bt) Jv (« Vt2 + z2)
P
+ 1
0
(t2 + z2)
2\V/2
dt =
= <
0
a
V(fl2_ft2)(l + »l-V)/2
при a < b,
Jy-^x-iiz У a2 — b2) при a > b}
(32)
где Re v > Re \x > — 1, может быть вычислен путем замены второй функции
Бесселя под знаком интеграла по формуле 7.3 (6), изменения порядка
интегрирования и использования формул (24) и вновь 7.3 (6).
Обобщения формулы (32) были даны Bailey (1935а) и Gupta (1943).
Например, следуя Бейли, имеем
/ /ц («) <*+' JJ JVn к У?+?я) (?+ziyv2 dt = о,
0 /i = l
i т 1 \
b > а{ -f- а2 + ... + ат, Re I v{ + ... +vm-\ =—) > Re Ц > —
1, (33)
оо
т
0
^(М)^-1 IJ vk Vi2+4)^+4)~v"^t =
n = \
m
-^"^^r^JJ^y (^ая)|
(34)
/i = i
Vi + v2 + • • • + vm H y—J > Re и > 0.
Другое обобщение формулы (32) было дано Сониным. Для того чтобы
получить его, рассмотрим интеграл
щ)
dz,
где /и — положительное целое число, Rea>0 и С — контур, состоящий из
двух полуокружностей \ z \ — R, Im г > 0 и | г | = г, Im г > 0 и из
соединяющих их отрезков вещественной оси. Если #>> b, Re (± v) < Re р < (2т-\-4)-\-
+ Re (i, то при /?->оо, г->0 вклад полуокружностей в интеграл стремится

64
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
к нулю. Разлагая подынтегральную функцию по возрастающим степеням
(z2— а2), получаем, что вычет в полюсе z2 = a2 равен
I — т — 1
т
d
т
a da
(а2+ ^2
Из теоремы Коши о вычетах и 7.2 (16) следует, что
оо
*р-Ч(*^2нч2)
о
(^2_|_£2)Ц/2 ^2__а2)"* +
__ [//(1) (fl*) + *'rt<e-v)//(v2) (а*)] Л =
я/ / d
— 2~т[
т! V а ^а
ш
(«г + ST'2
а>&, Re (± v) < Rep < 2»г + 4 + Re |х, Re (га) < 0, т~0, 1, 2, ...
(35)
Аналогичные формулы и частные случаи перечислены в 7.14(46)—7.14(59).
7.7.6. Формулы Макдональда и Никольсона. Представления
произведений функций Бесселя в виде несобственных интегралов были даны Мак-
дональдом и Никольсоном. Формула Макдональда
оо
7ехр1-2-
t z2 + Z2
2t
о
^Kv^}dt = 2Kv(z)Kv(Z),
Л
| arg z | < л, | arg Z | < jt, | arg (z + Z) |< —,
(36)
является непосредственным следствием равенства
оо
с/
О
t
I t х2 + X2 \ . ( хХ \ ..
2 /v (*> a:v (*)
2/(v(^)/v(X),
(37)
где соответственно X > x или X < jc. Мы докажем равенство (37) для
положительных вещественных х и X. Отсюда, в силу 7.2 (13), вытекает
формула (36) для положительных вещественных z, Z; распространение на
комплексные z, Z выполняется с помощью аналитического продолжения.
Полагая в формуле (25) а = х, Р = X, \2 == —, получаем
/.(?)-
t схр
л:2 + Х<
21
оо
/г>2
2
/v (лги) 7V (.Ал/) е v dv.
(38)

7.7]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
65
Подставляя это выражение в (37), выводим, что
со
ехр|-2-
t х2 + Х2
о
2t
со
\ lxX\dt_
= (\
(xv) Jv (Xv) v dv
2
dt =
о
0
со
о
В силу формулы 7.14 (57) отсюда вытекает равенство (37).
Формула Никольсона
со
Кц (*) Kv (г) = 2 J /Cv+fX (2* ch 0 ch [(ц, - v) t] dt =
о
CO
= 2 Г /Cv-ц (2г ch t) ch [(ц + v) t] dty Re г > 0, (39)
о
может быть доказана следующим образом. Из 7.12 (21) следует
со со
Kv (*) К», (z) = j Г *-* (Gh '+ch *> ch (\xt) ch (vw) Л rfv.
— со —со
Сделаем в этом интеграле подстановку ^ -J— v == 2£, ^ — v = 2т]. После
несложных преобразований получим
со со
*v <*) К,х (z) =-g- f J ^-2ech?chl1cht(n + v)ach[(H-v)r1]urgrfil-
— CO —CO
В силу 7.12 (21) отсюда следует (39).
Другая формула, принадлежащая Никольсону, имеет вид (см. Ватсон,
1949, стр. 489)
со
[jv фр _|_ [yv (г)]2 ^ 8л-2 Г Ко (2* sh t) ch (2vf) dt, Re г > 0.
(40)
о
Относительно аналогичных формул, в частности интегралов от
произведений двух функций Бесселя, см. Ватсон (1949, стр. 482); Chaundy (1931);
Dixon и Ferrar (1930, 1933); Meijer (1935, стр. 241, 1935b, 1936, 1936а, 1940,
стр. 366). Относительно суммы и разности произведений двух функций
Бесселя см. Buchholz (1939, 1947).

66
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
7.7.7. Интегралы от функций Бесселя по индексу. Рамануджану
принадлежит следующая формула (Ватсон, 1949, стр. 494), справедливая при
вещественных у и #, Ъ > О, Re (v -\-\i) > 1:
со
а
»-* ^+х(а)Ь-*+* Jv-Ab)etxy dx =
Ixy J v _
— CO
2 cos %) ety{v-^
J,
V
2 cos ~ \a2e
,л 2 ' "-2
lO,
2 + ьч 2
если | у | < л,
если | у | > jt.
(41)
Она доказывается путем применения к 7.7 (12) формулы обращения
преобразования Фурье.
Цилиндрические и сферические волновые функции могут быть
соответственно выражены в виде
со
Ко (Va* + b* — 2^ cos Ф) = -| J Kix (a) Kix (b) ch [(л — Ф) *] </л\ (42)
о
exp (— ik ]/#2 -\- b2 — 2ab cos ф)
Ya2 -\-b2 — 2ab cos ф
зх
CO
2Vab QJ
xenxH(2) ^kd) Hj2) ^b) th ^nx) p ^ (__ cos ф) ^ 1щ & < 0,
— Л-ix
(43)
Равенство (42) вытекает из формулы Макдональда 7.7 (36), а равенство (43) —
из теоремы о вычетах с использованием 7.15(41), Формула (42) является
частным случаем форлулы Крама (Crum, 1940)
со
f К, (!+„) (a) Ki (t+4, (6) г(я-С) " Л| - К, (5_а (с) «-6е- ^, (44)
— СО
где А, В, С являются углами треугольника, длины сторон которого равны
ау Ь, с.
Другое обобщение формул (42) и (43) имеет вид
w-vKv(^) = -ir(v)(^-^) VX
X
со 1,.
v~~2~r~lx
f
J
— со
ch (ял:)
К
i
(a) I (b) Cv 1 (— cos Ф) dx, (45)
v-— f ix v--^ f ix
--+IX

7.8]
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ И ЛЕЖАНДРА
67
/относительно определения Cv г см. п. 3.15\ . Для доказательства фор-
I ~т+ ix I
мулы (45) надо использовать 7.6 (3) и теорему о вычетах.
Другие формулы имеют вид
оо
Kix(a)cos(xy)dx = ^e-ach\
о
оо
я
О
оо
О
Kix (a) ch (-^- х\ cos (ху) dx = -^- cos (я sh у),
Kix (а) sh (-9 •*) sin (-^) dx= -?r sin (я sh y).
(46)
(47)
(48)
Они могут быть соответственно выведены из формул 7.12(21), 7.12(25)
и 7.12 (26). Относительно других результатов см. Ramanujan (1920, 1927,
стр. 200, 224, 229); Fox (1929); MacRobert (1931, 1937); Crum (1940).
7.8. Соотношения между функциями Бесселя и Лежандра
Функции Бесселя и модифицированные функции Бесселя могут быть
выражены как предельные случаи функций Лежандра. Заменим в выраже-
Z X
ниях 3.2(14) и 3.4(6) для функций Лежандра г на ch—, а х — на cos —
v v
соответственно. Мы получим
р-м<
v
ch I-
V
X
COS 1 —
V
r((i + l) = thfX
Г (»x + l)=tgM.
2v
X
27
2^1
fx
-v, 1+v, 1+ji; -sh2(w
— v, 1 + v; 1 + (i; sin2
x
2v"
Если теперь устремить v к бесконечности и использовать 7.2 (12) и 7.2 (3),
то получим
[i
lim v^p-v
V->oo
Ш = г (Д-1) °Fl (11 +1; "г)= '» {г)>
ch -
0)
X
\Х
lim v^P"^
V-»oo
COS
(т)] = ттЙлто/?1И1; - т")=7^-
(2)
Аналогичное соотношение (см. Poole, 1934) может быть выведено из
3.2 (41). Оно имеет вид
lim
Vn ieivn/2 (z/2)v+l
hi
^+Ь -т)=-,ч'л/V iK+i(г)-
(3)

68
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Соотношения, аналогичные (1) и (2), могут быть получены для функций
Лежандра второго рода либо с помощью (1) и 3.3(4), либо 2 и 3.4 (1о). Эти
соотношения имеют вид
lim v"^-/fXjrQ!J
V->oo
ch I —
V
= Кц <*).
lim v^Q-1*
V->oo
V
X
cos I —
V
Jt
-9-^(4
(4)
Перейдем теперь к некоторым интегральным соотношениям между
функциями Бесселя и Лежандра. Сравнивая гипергеометрический ряд в правой
части равенства 7.7 (26) с формулой 3.2 (16), получаем
r(-v-|i)r(v-|i + l)P5(*) =
-/£<*■-
\х
оо
1)
О
-А
e~tzK j (t)t 2 Л, (5)
лч
Re*> —1, Re (v —И-+ 1) > 0, Re(v + |i)<0.
Аналогично из 7.7(16) и 3.2(41) вытекает
Q!J(*> = ]/f (*2-1)
\х
оо
с
,t\in
H-y
*-'*/ 2 (t)t dt,
(6)
о
ЛН
v^2
Re (v-(-^-) > — 1» Re^> 1.
Применяя формулу Уиппла 3.3 (13) и 3.3 (14) к (5) и (6) соответственно,
получаем следующие четыре интегральных представления:
r(v-|i+l)QtJ(*) =
ОО
= ,1** (г2 _ i)-(v+,)/2 j ехр (-р^) К, (О Л Л, (7)
Re (v ± |х) > — 1,
v °°
Г (- v - ц) Р» (г) = (г2 - 1)~ J* ехр (тт==") '-ц (О 'V *.
(8)
Re(v + n)<0,
ОО
Г (v + ц + 1)Р~^(г) = (z3- 1) (V+1)/2 J ехр (у==) 'ц (О'v dt,
(9)
Re(v + ^i) > —1,
оо
Г (v + |х + 1) р7^ (cos е) = Г «"' cos % С sIn е) *v dt>
(10)
о
Re(v + |i)> —1, 0<9<5..

7.8]
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ И ЛЕЖАНДРА
69
Равенство (9) вытекает из (8) с помощью 3.3 (1), а (10) следует из (9) с
помощью 3.4 (1).
Простым примером представления функции Бесселя первого рода с
помощью интеграла, содержащего функции Лежандра, является обобщение
Гегенбауэра интеграла Пуассона
2v/:rtr (v + 4") Г (л + 2v)/л
n\T(2v)
л
лг cos
фС^ (cos ф) (sin (prv d% Rev> —-=-, /2 = 0,1,¾... (11)
о
Оно может быть выведено из формулы Сонина 7.10 (5). Заменим у на cos ф,
умножим обе части равенства на Cvn (cos ф) (sin ф)2л?, почленно
проинтегрируем по ф и используем 3.15 (17).
Аналогичная формула
/
_ j_
Ц- i" (sin q,/" 2 С\ (COS ф) /v+„ (г) =
Я
1
V + ТГ
eiz cos 9 cos фу j {г sjn е sin ф) Cv (cos е) (sjn е) 2 ^
(12)
о
у-1
1
Re v > — j,
|arg2| < л, л = 0, 1, 2, ...,
может быть выведена из теоремы сложения 7.15 (17). Относительно
дальнейших формул такого типа см. Meijer (1934, 1938); MacRobert (1936, 1940);
Bailey (1935а).
В заключение упомянем о контурном интеграле Уиттекера, который
связан с интегралом Ганкеля 7.3 (8). Он имеет вид
(-1+,1+)
/я8 А, <*) = ]/ у ехР [ ~ (v + т) Т
etztQ г (t) dt, (13)
V
сое
16
V-2
— -|+S org z < y + 6' I6! <-f"
Для доказательства этой формулы предположим, что контур целиком лежит
вне окружности |tf| = l; тогда мы можем разложить в формуле 3.2(5)
Q j (t) по убывающим степеням t и действовать далее так же, как в п. 7.3.
Из формулы (13) получаем соответствующее выражение для второй функции
Ганкеля:
_ (-1+,1+)
/J? Я<2) (z) cos (vrt) = Y\ ехр [(V + \) Т
Jtzt
et2tP j (t)dt, (14)
ооб
-/6
V
2
— -| + S < arg г < |- + S, I б I < у.
Здесь при выводе используются 7.2 (6) и 3.3 (8).

70
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Разложение ф}нщии Лежандра Pv (cos 9) в ряд по функциям Бесселя
, со
Pv (COS 6) = ]/ JL- 2 *m Ф) (v + у) Ш Jm [(v + |) в] (15)
m=0
было дано Szego (1933). Коэффициенты am (9) являются элементарными
функциями, регулярными в полосе 0<;ReO<Jt. В частности, а0 = 1,
#! = 2~3 (ctg 9 — 9-1) и т. д. Ряд (15) равномерно сходится в полосе 0 < 9 <
<90 — е, где е > 0 и
90 = 2 (У"2 — 1) л = (0,828 ...)п.
Эта формула может быть выведена следующим образом. Полагая в 7.10 (15)
t2 1
5=1, г = 9, т2 = 1 —— и v = — —-, получаем
со . 1
f 1V(02~T9 У _1(9);
т = 0 ' т 2
С1едовательно,
со .1
л VI 21_m 2*~т
£ У (92_^)т^_е2 У (в).
га = 1 2
Если подставить это разложение в интеграл Мелера 3.7 (27), почленно
проинтегрировать и использовать равенство 7.3(3), получим формулу (15).
В упомянутой работе Szego аналогичные разложения даны для Pv (ch £),
Qv (cos 9) и Qv (ch £), см. стр. 450, 449 и 448 соответственно.
7.9. Нули функций Бесселя
Этот вопрос детально изложен в гл. XV книги Ватсона. Некоторые
дальнейшие результаты были получены после опубликования книги Ватсона
в 1922 году, но не помещены во второе издание. Здесь будут кратко
изложены наиболее важные результаты.
Общие результаты. Из общих теорем о дифференциальных
уравнениях (Айне, 1941, гл. X) вытекают следующие утверждения:
а) Любой нуль решений уравнений 7.2(1) или 7.2(11) является простым.
Единственным исключением может быть точка х = 0.
б) Вещественные нули двух вещественных линейно независимых
решений уравнения 7.2 (1) перемежаются друг с другом. Здесь вещественное
решение определяется как a Jv (х) -\-bYv (х), где а, Ь и v вещественны,
ах — положительное вещественное число.
Функции Бесселя первого рода. Для функций Jv (z) могут
быть доказаны следующие теоремы.
Нули функций Jv (z) и J'v (z) при вещественных значениях v
расположены симметрично относительно осей координат.
При вещественном v функция Jv (z) имеет бесконечно много
вещественных нулей (Ватсон, 1949, сгр. 526; Wilson, 1939).
Если Yv> ь Yv, 2, •■• —положительные нули функции Jv (х),
упорядоченные по возрастанию значений, то
0 < Yv, 1 < Yvh ь l < Yv, 2 < Yv+i, 2 < Yv. з < • • •> v > — 1
(Ватсон, 1949, стр. 528).

7.9] НУЛИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 71
Если v > — 1 и А, В} С, D — гакие вещественные числа, что
AD — ВС Ф О, то положительные нули функций A Jv (х) -{- Вх j' (х) и
С Jv (х) -\~ Dx Jv (х) перемежаются друг с другом, и ни одна из функций
такого вида не имеет кратного нуля, отличного от л: = 0 (Ватсон 1949
стр. 529).
Если А и В вещественны и v > — 1, то функция
A Jv (х) + Bz J'v (z)
имеет лишь вещественные нули, за исключением случая -n~+v<0, когда
она имеет два чисто мнимых нуля (Ватсон, 1949, стр. 53). Относительно
асимптотической формулы для этих положительных нулей см. Moore (1920).
При v > 1 функция J_v(z) имеет бесконечно много вещественных нулей
и 2 [v] попарно сопряженных комплексных нулей. Если [v] — нечетное целое
число, то среди комплексных нулей есть два чисто мнимых (теорема Гур-
вица). (Относительно различных доказательств см. Ватсон, 1949, стр. 532;
Obreschkoff, 1929; Polya, 1929; Falkenberg, 1932; Hille Szego, 1943.)
Обобщение теоремы Гурвица, данное Хилбом (Hilb, 1922), утверждает,
что если [v] четно, главная ветвь функции
AJv(z)-\- В J_v{z) (А, В—вещественные, В Ф 0, v > 0)
имеет [v] комплексных нулей с положительной вещественной частью;
если же [v] нечетно, то существует [v] — 1 либо [v] 4" 1 комплексных нулей
с положительной вещественной частью, в зависимости от того, имеем ли мы
-77- > 0 ИЛИ -уг- < 0.
Число нулей функций z~vJv(z), лежащих между мнимой осью и прямой
Re z = тя -\-1 -у Re v -f- -j) я,
при достаточно больших значениях т равно т, и все нули функции Jv (z)
лежат в полосе | Im z \ < ^v, где Av ограничено, если v ограничено.
Пусть yv> Yv и Yv являются наименьшими положительными нулями
функций /v (х)у J'v (х) и /v (х) соответственно. Тогда мы имеем (Ватсон, 1949,
стр. 535)
/v (v + 2) < Yv < /2(v + l)(v + 3),
где v > 0, и
/v(v + 2) <Yv<Vr2v(v + l),
/v(v —1) < Yv < /vi::rT>
где v > 1. Относительно лучших оценок и результатов, касающихся
следующих нулей, см. Мауг (1935).
Формула
1 _1
Yv = v + 1855 757v3 -f 103315v 3 + 0(v~1)
и аналогичные формулы для других нулей функций Бесселя первого и
второго рода были получены Tricomi (1948). Относительно дальнейшей

72 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
информации о нулях функций Jv(x) и Jv(x) см. Bickley (1943); Bickley и
Miller (1945); Gatteschi (1950); Olver (1950).
Siegel (1929) доказал, что если v — рациональное число и z —
алгебраическое число, не равное нулю, то Jv (z) не является алгебраическим числом.
Из этой теоремы вытекает предположение Бурже, что Jv (z) и Jv+m (z)
(т = 1, 2, 3, ...) не имеют общих нулей, за исключением точки г = 0 (Ват-
сон, 1949, стр. 533).
Coulomb (1936) исследовал нули v^ для Jv (z), рассматриваемой как
функция от v при фиксированном z. Он показал, что если z —
положительное вещественное число, то \п вещественны, просты и асимптотически близки
к отрицательным целым числам (см. также Грей и Метьюз, 1953, стр. 114).
График функции Jv (х) при фиксированном v > — 1 и переменном х^О
напоминает график затухающего колебания. Площади полуволн, лежащих
выше и ниже оси, образуют убывающую последовательность (Cooke, 1937).
Теорема разложения для целых функций (Маркушевич А. И., 1950,
стр. 520) приводит к представлению z"vJv(z) в виде бесконечного
произведения (Ватсон, 1949, стр. 548). Пусть v — фиксированное число, v ==—1,
—2, —3, ... Рассмотрим нули функции z~vJv(z), лежащие в полуплоскости
Re z > 0 (они симметричны относительно вещественной оси), упорядочим
их так, чтобы вещественные части образовывали неубывающую
последовательность (если существуют нули, лежащие на мнимой оси, то мы берем
только нули с положительной мнимой частью). Обозначим эту
последовательность через Yv, л (я = 1> 2, 3, ...). Тогда мы имеем
оо
г (v + 1)(1)^(^)=11^-:^4- (D
/2 = 1
■ V, П
Аналогичное разложение для Jv(z) имеет вид (Buchholz, 1947)
1-V -. . , -,2
Здесь yv п — последовательность, образованная из нулей функции zl~v J'v(z)
таким же образом, как последовательность Yv, п была образована из нулей
функции z~vJv (z).
Образуя логарифмическую производную выражения (I) и используя
7.2 (51), получаем
Л?+1 (г)
оо
=-^2(^-0 *• (з)
/1 = 1
Отсюда вытекает следующее разложение в степенной ряд, справедливое
при | г | < Yv:
со
Л? + 1 (z) V с -2/1-1
2 Jv (Z)
/1=1
где
со
-2/
= %S2n>vz2n-\ (4)
m= 1

7.9] НУЛИ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 73
В частности,
S*,v= 22(v + l) ' S*'v= 2*(v + l)2(v + 2)" (6)
Относительно других аналогичных разложений и соотношений см. п. 7.15;
Forsyth (1921); Buchholz (1947).
Функции Бесселя второго рода. Самым первым результатом
относительно нулей функции Бесселя второго рода была теорема Шафхейт-
лина (Ватсон, 1949, стр. 531), согласно которой главная ветвь функции YQ (z)
имеет в правой полуплоскости лишь вещественные нули. Этот результат
обобщил Hilb (1922). Если [v] — четное число, то Yv (z) имеет [v]
комплексах
ных нулей в полуплоскости | arg г|<;-^-. Если [v] — нечетное число, то Yv(z)
имеет [v] — 1 или [v] -\-1 комплексных нулей в этой полуплоскости, в
зависимости от того, имеем ли мы cos (vn) < 0 или cos (vn) > 0. Таким образом,
функции Y2n(z) и Y2nn(z) (п = 0, 1, 2, ...) имеют 2л комплексных нулей
в полуплоскости | arg z | < -у.
Все ветви функции Yn (z) (п — целое) имеют комплексные нули в левой
полуплоскости, и все ветви, кроме главной, — в правой полуплоскости.
Далее, Yv (z) имеет положительные вещественные нули лишь в случае, когда
v — рациональное, но не целое число. В этом случае Yv (z) имеет
положительные вещественные нули на главной ветви, а другие вещественные нули
могут быть лишь при условии, что v — рациональное, но не целое число.
При этом условии Yv (z) имеет вещественные нули лишь на ветвях, для
которых 2wv в 7.11(41) — целое число (Hillmann, 1949).
Относительно нулей линейных комбинаций Jv (z) и Yv (z) см. Ватсон
(1949, гл. XV); Hilb (1922); Hillmann (1949). Относительно теорем,
аналогичных гипотезе Бурже, см. Banerjee (1936).
Относительно комбинаций произведения функций Бесселя первого и
второго рода имеет место следующая теорема (Грей и Метьюз, 1953, стр. 107):
если v вещественно, а а и b положительны, то
Jv (ах) Yv (bx) — Jv (bx) Yv (ax)
является однозначной четной функцией от х, все нули которой вещественны
и просты (см. также Янке — Эмде — Лёш, 1964, стр. 242; относительно
аналогичных комбинаций см. Carslaw и Jaeger, 1940; Kline, 1949).
Функции Бесселя третьего рода. Исследование нулей
главной ветви первой и второй функций Ганкеля при вещественных
неотрицательных v было проведено в работах Falkenberg, Hilb (1916) и Falken-
berg (1932). Результаты таковы: И^ (z), v !> 0, не имеет нулей в
полуплоскости 0 < arg z < л. При v > 0 нули функций Н^ в — л < arg z < 0 и Н^
в 0 < arg z <п симметрично расположены относительно мнимой оси.
Чисто мнимых нулей не существует, за исключением случаев, когда
v = (2k — 1) -\- -у (k = 1, 2, 3, ...). В этом случае есть один такой нуль.
Полное число нулей функции Н^> ^ (z) на главной ветви равно
3
0, если 0< v < -^,
2& —1, если v = (2^-1) + -1,
2Ь, если (2k — 1)+у <v<2& + ~, £ = 1,2,3,.,,

74 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
Теорема, аналогичная гипотезе Бурже, утверждает, что если v
вещественно, v> —1 и /и = 1, 2, 3, ..., то tf(v1)j {2){х) и Н§\$ (х) не имеют
общих нулей (Banerjee, 1935).
Модифицированные функции Бесселя третьего рода.
зх
Если v>0, то Kv (z) не имеет нулей, для которых | arg г |< —. Число
нулей в области | arg г | < it является ближайшим четным числом к v — -^-,
за исключением случая, когда v — -~- — целое число. В последнем случае оно
равно v — -у (Ватсон, 1949, стр. 562).
Если v —J— 1—положительное вещественное число и т — положительное
целое число, то Kv(z) и Kv+m (z) не имеют общих нулей.
Если / (z) и g (г) — заданные аналитические функции, не имеющие общих
нулей и такие, что -%-т-г — мероморфная функция, причем Re
при Re z >- О, то функция
F (z) -^ f {z)K'v{z)- g{z)Kv{z)
L/(*)J
>0
не имеет нулей в пранол полуплоскости (Erdelyi и Kermack, 1945).
Все нули функций Kv (z) и /v (az) Kv (bz) — Kv (az) /v (bz),
рассматриваемых как функции от v, являются чисто мнимыми. Эти функции имеют
бесконечно много нулей (Грей и Метьюз, 1953, стр. 115); см. также Polya
(1926) и Bruijn (1950). Функцией G (z), соответствующей равенству (III) в
работе Пойа, является 2Kiz (Я).
7.10. Представления произвольных функций
в виде рядов и интегралов
7.10.1. Ряды Неймана. Рядом Неймана называют ряд вида
оо
У[ anJv^n(z). (1)
«г.-о
Из разложения 7.2 (2) очевидно, что радиус сходимости этого ряда совпадает
с радиусом сходимости степенного ряда
1
а
z
2"
*r(v + /i + l)"
Легко получить разложение в ряд Неймана для функции / (г),
представленной в виде степенного ряда. Для этого найдем сначала ряд Неймана
для степени z\
оо
V
I")" s S ^~ Г (V + П) Jv * ™ <*>' (2)
л = 0
где v не является целым отрицательным числом. Это разложение может
быть проверено путем подстановки вместо Jv+n(z) соответствующего сте-

7.10] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 75
пенного ряда, см. 7.2 (2), и последующей перегруппировки слагаемых в
правой части по степеням z. При этом все коэффициенты, за исключением
коэффициента при zv, обращаются в нуль.
Пусть теперь
оо
1=0
Заменяя каждую степень z ее рядом Неймана (2), получим
оо оо
/ (z) = z-^h 2'+v Yi V + lJ;2n-r(v + l + m)Jv+l+m(z).
1=0 m=0
Следовательно,
оо
f(z) = z~v 2 anJv+n(z),
/2=0
где
^ 2
fln=2v+»(v+„) V r(v+/~s) bn_2s. (3)
^ 2 ss\
5 = 0
Обратно, коэффициенты bi можно выразить через ап (Nielsen 1904, стр. 271)
в виде
^r(v + / + l) = 2-'"v V (-ir(V+')^_2m. (4)
т=0
Представляют интерес некоторые случаи, в которых для суммы (3) могут
быть получены более простые выражения. Например, положим
оо
/ (г) = .'-V = £ М- Л
1=0
Тогда из равенства (3) после некоторых преобразований получаем
2v+n ( п \—п \
%=^^-r(v + n+l)2/^(~-J, ±-^; l-n-vjY"2).
Используя многочлены Гегенбауэра 3.15 (8), получаем формулу Сонина
оо
zv eiyz = 2v г (v) 2 i" (V + п) CI (Y) Jv+n (г), v ф 0, -1, -2, ... (5)
/2=0
Разложение функций Бесселя в ряд Неймана
/ог \^-у
\^-j Jv(az)Y(v + \) =
оо
^ 2j ~пГzFl (~ п' р + п] v +1; ^2) Г ([Л + л) ([Л + 2а2) у»*+2л ^ (6)
/2=0

76 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
легко может быть установлено аналогичным образом: разложим левую часть
равенства (6) в степенной ряд по г и используем формулу (3). Таким же
образом получаем ряд Неймана для функций Ломмеля 7.5 (69)
со
/2 = 0
Используя формулы 7.5 (82) — 7.5 (84), можно получить аналогичные
выражения для функций Ангера, Вебера и Струве. Относительно дальнейших
результатов ср. п. 7.15; Nielsen (1904, гл. XX); Ватсон (1949, гл. XVI); Вои-
doux (1945, 1946).
Теория разложений функций f (х) вещественного переменного х в ряд
Неймана основана на интегральной формуле (см. 7.14 (32))
F -I f 0, тф п,
J t Jv+2n+At)Jv+2m+l(t)dt = { (4n + 2v + 2)-1, т = л, v>-l.
Из нее мы получаем формально разложение
оо со
f(x) = ^(2v + 2 + 4n)Jv + 2n+l(x) f rlf{t)Jv + 2n+x(t)dt, v>-l. (8)
/2 = 0 0
Теорию этого разложения построил Wilkins (1948, 1950). Частный случай
v = 0 ранее рассматривали Webb, Kapteyn, Bateman (Ватсон, 1949, стр. 586);
Korn (1931) и Титчмарш (1960, стр. 93). Относительно почленного
интегрирования рядов Неймана см. Харди (1926).
Ряды вида
оо
у ап J (г) J п (z) (9)
/2 = 0
называются рядами Неймана второго рода. Если заменить здесь
произведение двух функций Бесселя соответствующим степенным рядом по формуле
7.2 (48), то получим соотношение
оо оо
z-v-»^anJ „(г) J „ (г) - 2 *» *'• (10)
и=о ^-2- v+j г=о
где
<7
Г (v + l+|)r(, + l + |-)^=2-'—"S(-l)-(/ + Vm+,l)-i-» (ID
и, следовательно, (Nielsen, 1904, стр. 292)
1^ _^ r(v + ^ + «-S)r(v + l-5 + |)r(n + l-5 + |)
X 2u 2 Sb"~2s sjr(v + H + n-2s + l) (12)
s=0

7.10] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 77
при условии, что ни \х, ни v, ни \i-{-v не являются целыми отрицательными
числами. Формула (12) дает преобразование степенного ряда в ряд Неймана,
и можно показать, что полученный таким образом ряд Неймана равномерно
сходится внутри круга сходимости степенного ряда.
Простым примером является разложение степени z. Из (12) легко
получаем
r(v+ 1)Г(ц + 1) ~"2j v + \x + n [ п jJv+nHJ^+niz). (13)
(Относительно дальнейших результатов см. Nielsen, 1904, гл. XXI; Ватсон,
1949, стр. 578; Banerjee, 1939.) Относительно рядов, содержащих
произведение любого числа функций Бесселя, см. Stevenson (1928).
Модифицированной формой рядов Неймана является ряд
оо
^anznJv+n(z). (14)
/2 = 0
Из контурного интеграла, см. 7.3 (5), непосредственно вытекает следующее
равенство:
оо
(S2 _ t,)-V/2 Jv (г ys2 _ т2) = V (гТ2)" Jv + n («). (15)
^™ 2 s п\
/2 = 0
Полагая здесь 5 = 1 и т2 = 1 — Я2, получаем теорему умножения для
функций Бесселя
оо
Jv (Kz) = ^2 —&п\)]П J^n (г)' (16)
/2 = 0
Отсюда, устремляя К к нулю, выводим, что
оо
( Z\V \Л Zn
(т) =Г^ + 1)^^Л+Й(4 (17)
/2 = 0
Эта формула аналогична формуле (2).
Равенство (17) полезно для преобразования степенных рядов в ряды
рассмотренного выше вида. Мы имеем
со оо
%btz2l = z-v %anz"Jv+n(z), (18)
/=0 л=0
где
«-- Sг та1} *'""'» (19)
$=о
и, следовательно,
/2
*=о
(Nielsen, 1904, гл. XXI).

78
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
7.10.2. Ряды Каптейна. Ряды вида
оо
/2=0
называют рядами Каптейна. Из неравенства (Ватсон, 1949, стр. 295)
sin ал
(21)
I Уа (а*) | < (l +
cm
)|*аваП-*Ч1+УТ=75)"а
(22)
очевидно, что ряд (21) сходится в области, в которой абсолютно сходится
ряд
оо
2 ап [<* (*)]я.
/2 = 0
(23)
где
w (г) =
ze
Vi-z2
l + Т71 — -^2'
Разложение степени z в ряд Каптейна
(24)
ОО
(25)
где v не является целым положительным, может быть проверено путем
замены каждой функции Бесселя в правой части равенства ее степенным
рядом 7.2 (2). Ряд (25) сходится в области
I w (z) | < 1.
(26)
С помощью равенства (25) можно преобразовать степенные ряды в ряды
Каптейна. Заменив каждую степень z в разложении
оо
(27)
соответствующим рядом Каптейна (25), мы получим, после некоторых
преобразований,
оо
/(*) = * V 2 ап Jv + n [(V + П) Z]
/2=0
(28)
(v не является положительным целым), где
^ 2
s = 0
V-f- п
2s-n-v-l
(29)
Ряд в (29) абсолютно сходится, если
\w (z)\<\ и \w(z)\ <\w (р) |,
где р — радиус сходимости ряда (27).

7.10]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ
79
Рядом Каптейна второго рода называют ряд типа
оо
/2=0
anJ
v+n
(v + 9 + 2n)z
J
P+n
(v + P + 2n) z
Можно показать (Nielsen, 1904, стр. 307), что
v+p
= (v + p)r(l + v)r(l + p)X
oo
xS
v + p +n—I
П
(v + p + 2n)
-v-p-1
X
/2 = 0
XJv+n[(v + P + 2n)z]Jp+n[(v + 9 + 2n)z],
где v, p, v-j-p не являются целыми отрицательными числами.
Далее, пусть
оо
/ (z) = ^ btzl.
f = 0
оо
Тогда (Nielsen, 1904, стр. 308) мы имеем
(v + 9 + 2n)z
*nJ v+nl 2
/i = 0 2
где
/(,) = ,-(v+P)/2^y^
У
р+я
(v + Р + п) г
v + p + /i\(v+p+2,,+2)/2
(V + p + /2)/2 _
"/г —
<%
2
6 = 0
2- /V + P4-2^-4^ \r/v + n-2s + 2\v/p + n-2s + 2
v -f- р + 2п
— s
'v + p + 2/2 — 25 — 2"
X
\
2
5
Vn — 2S'
(30)
(31)
(32)
(33)
X
(34)
Относительно дальнейших примеров и результатов см. Nielsen (1904,
гл. XXII, XXIII); Ватсон (1949, гл. XVII); Bailey (1932): Budden (1926).
7.10.3. Ряды Шлемильха. Ряды вида
оо
/(•*) =-if + £ amJa(mx)
(35)
m = l
были изучены Шлемильхом. Имеет место теорема разложения для
произвольной функции вещественного переменного х на отрезке (0, п) (Грей и
Метьюз, 1953, стр. 52; Ватсон, 1949, стр. 679).

80
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Если функция / (х), заданная на отрезке 0 <; х <; л, имеет на этом
отрезке непрерывную производную с ограниченным изменением, то она может
быть разложена в ряд вида (35), где
я
я
2
а, = 2 / (0) +
л
V
f (v sin ф) dq> dv,
V
о
(36)
am = —
2_
jt
я
я
2
f
с/
О
v cos (mi/) I /' (v sin ф) ^ф afo.
0
Обобщенный ряд Шлемильха имеет вид
У [am /v (тх) + &m Hv (/ил:)]
тх
-v
(37)
(38)
Теория таких разложений изложена в книгах: Ватсон (1949, гл. XIX) и
Nielsen (1904, стр. 134). В работе Кука (Cooke, 1928) установленные в книге
Ватсона результаты частично упрощены и обобщены. Теория основывается
на формулах
я
Т
v +1 — 2v
Jv (z sin 0) (sin 9) (cos 9) dQ =
о
^i_r(|_v),v-lsin,, -KRev-4,
(39)
Я
2
vi 1
■2v
0
Hv (z sin 9) (sin 9)w l (cos 9)"^v dd =
1 =r(±-v)zv-1 (1-cos*), -A<Rev<lf
2VV
n
которые легко вывести из равенств 7.7 (5) и 7.7 (9), полагая в них \к
р = — v — -у. Предположим, что имеет место разложение
(40)
■= v и
оо
/(•*) = 2л \ат Jv (™х) + bm Hv (MX)] №f\ ,
(41)
1 1
T<v<T,
— n < x <; л.
Заменим здесь x na x sin 9, умножим обе части на
(sin9)2v+1(cos9)-2v,

7.10] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 81
проинтегрируем по 0 от нуля до -^- и применим формулы (39) и (40). Тогда
мы получим формально
я
2
/ (х sin 9) (sin 0)2v+1 (cos 9)~2v dQ =
t/
о
CO
= 1 r/I-v) У '
V=T\'2~VI M ~^x~lamS[n(mx>> + bm(l~ cos mxW-
m = \
Следовательно, для коэффициентов разложения (41) имеем
П
Я 2
2v + l /,™ a\-2v
r(|-V)^ = W \ tS'm(mt)
-я О
я
я 7
1 \ . т <*
f (t sin 9) (sin 9)'v+1 (cos 9) ~zv clQ dt, (42)
r,T-vJ^=-7^j
£ COS (/72^)
/ (* sin 9) (sin9)2v+1(cos 9)_2vflT9^. (43)
t/
-я 0
Ряд (41) с коэффициентами (42), (43) называют рядом Шлемильха
функции f(x).
В упомянутой выше работе Кука доказано, что класс функций, для
которых разложение (41) с коэффициенгами (42) и (43) справедливо на всем
отрезке, исключая 0, ± л, совпадает с классом функций, к которым
применима теория рядов Фурье. Далее, установлены теоремы, аналогичные
теоремам Римана — Лебега, Парсеваля и Рисса — Фишера для рядов Фурье.
В этой связи см. также Cooke (1927, 1929, 1930b, 1936); Wilton (1927); Jes-
manowicz (1938); Wilkins (1950a).
Рассмотрим теперь некоторые простые примеры разложения
Шлемильха (41). Положим f (х) = (ax)~v Uv (ах) (а произвольно). Это — нечетная
функция от х (см. 7.5 (55)); из формулы (41) мы имеем ат —0. Принимая
во внимание равенство (40), мы получаем из (43)
nbm = т2 — а2 sin (ал)
и, таким образом,
оо
Jt(a^)-vHv(a^) = -2-v+1sin(a^) ^ (- 1)" m,™ а (-^-) \v (тх). (44)
\ -v
т — \
Разделим обе части равенства (44) на sin (an) и устремим а к нулю. Мы
получим (см. 7.5 (55))
оо
-V-1
г—зт+^-Инг)
Hv (тх) = 0,
(45)
з
0 < х < л, Re v > —-jj .

82 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
Пусть теперь f (х) = (cu:)-v/v (ах). Здесь / (х) — четная функция от х,
и, следовательно, Ьт = 0. Из равенств (42) и (39) получаем
лат = ^ /<м9 2>— sin (ал) т2
(_1)m2-v+i ^
a (m2 — a2)
и, таким образом,
л (cl*)~v /v (a*) = — 2" v+1cT * sin (ал) X
oo
-V
w V (—\)mm2 (mx\-v , , ч л _ 1
X 2^ /и2-a2 ("2") Jv {mx)i ° < * < л» Re v > - J' (46)
m =1
Устремляя в равенстве (46) a к нулю, получаем
оо
-V
2r(v + l) + S (_1Г ("Г1)" Jv (ШХ) = °' (4?)
m =1
— -у < v < у и 0 < х < л или v > -~- и 0 < л: < л.
Из равенств (45) и (47) видно, чго существуют сходящиеся обобщенные
ряды Шлемильха с неравными нулю коэффициентами, сумма которых почти
всюду равна нулю. Такие ряды называют нуль-рядами (Nielsen, 1904, гл. XXV;
Fox, 1926; Cooke, 1930). Существование нуль-рядов указывает, что если
даже существует разложение Шлемильха некоторой функции, оно не является
единственным.
Относительно других результатов и примеров, касающихся рядов
Шлемильха и связанных с ним рядов см. Pennell (1932); Bennet (1932); Doetsch
(1935); Erdelyi (1937); Kober (1935); Watson (1931); Infield (1947); Magnus и
Oberhettinger (1948, стр. 58—62). Разложения, в которых функции Бесселя и
Струве в (38) заменены их квадратами, даны в работе: Thielmann (1934).
7.10.4. Ряды Фурье — Бесселя и Дини. Пусть v > — 1, а х = ут и
х = уп — два положительных нуля функции /v (х) (в этом случае все нули
функции Jv (х) вещественны; см. п. 7.9). Используя 7.2 (56), получаем
из 7.14 (9) и 7.14 (10) соответственно, что
0, пф т,
tJv(ynit)Jv(ynt)dt = { [Jv + l (ут)]2 (48)
гъ , iL ~~~ Til •
Аналогично, если \т и Хп означают два положительных нуля (см. п. 7.9)
функции zj'v (z) -\- aJv (г), где v > — -=- и а — данная константа, из формул
7.14 (9), 7.14 (10), 7.2 (54) и 7.2 (55) следует, что
J t Jv (kmt) Jv (Xnt) dt = 0, пфт,
0
1 U2 f;' , 4I2 I /л2
2^
К [К (Kn)f + (*« - v2)[Jv (Яш)]2}, n = m. (49)

7.10] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 83
Интегральная формула (48) выражает свойство ортогональности функций
Бесселя и указывает на то, что произвольную функцию / (х) вещественного
переменного х можно разложить в ряд
оо
/(■*)= 2 Я/и-MY/h-*). (50)
т =1
где
1
/»
а
Uv + i (Ym)]2 ~f= tf{t)Jv (ymt) dt (51)
и Yi> Y2, Y3» •••—положительные нули функции Jv(x)} расположенные
в порядке возрастания их величины. Это разложение называется
разложением Фурье — Бесселя функции / (х).
Аналогично из (49) мы имеем
со
/(•*)=■ S bmJv{Xmx), (52)
т =1
где
К [К (K)f + К - v2) [Jv (К)]2} Ьт = 27?т ( t Jv (KJ) f (t) dt (53)
о
Здесь v;> — -~- и Xv X2y ••• —положительные нули функции zJ'v (г) -(-aJv (г),
расположенные в порядке возрастания их величины. Это разложение
называют разложением Дини функции / (х).
Теория разложений Фурье — Бесселя и Дини дана в книге Ватсона
(1949, гл. XVIII). Имеет место следующая теорема. Пусть функция Y~t f (t)
абсолютно интегрируема на отрезке (0, 1), и пусть v>—^-. Тогда, если
0 < х < 1, то разложения (50) и (52) имеют место одновременно с
соответствующими разложениями в обычный ряд Фурье (см. также Moore, 1911;
Stone, 1927; MacRobert, 1931; Титчмарш, 1960, стр. 97). Относительно
поведения около точек х = 1 и х = 0 см. Ватсон (1949, стр. 652, 660, 674) и
Young (1941). Относительно явления Гиббса см. Cooke (1927); Wilton (1928);
Moore (1930). Относительно рядов, аналогичных (50) и (52), но содержащих
квадраты функций Бесселя, см. Thielmann (1934).
Пусть, например, f(x) = xvy тогда мы получаем из (50), (53) и 7.7 (1)
оо
х^= У 2yv(Vm-*) о<*<1, (54)
^ YmA; + i(Ym)
т =1
оо
X
т
0<*<1, a + v>0.
v V 2Am Jv Ckmx) Jv + i (Am) ^
" * (4 - v2) и* (K)f+4 [/; (K)]2' ( }

84 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
Если f (х) =;/v (xz), то мы получаем из 7.14 (9)
оо
Jv (■**) = 2 V Ут А> (Vm-g) 0<*<1, (56)
ОО 2
^у (^/я*) [^//Л + 1 ft/я) Уу (*) ~ ^ Уу ft/и) «Vfl (*)]
0<*< 1.
У ^Wy ^/я*> i'Wv + l (дт^у У) ~^Jy ^т) Jv+l У2Ц ~
yv(^)-J ^J Л2 _ -24/,2 \г> п ч12 , Л2 _v24r7 ,, ^21 ' <0/)
Относительно дальнейших примеров см. п. 7.15.
Разложение в ряды по функциям Бесссля, которые пригодны для
положительных конечных отрезков, дано в работе: Titchmarsh (1923а, XIII—XVI)
(см. также MacRobert, 1931).
Пусть функция f (х) определена на отрезке а<х<Ь {а > 0). Тогда
искомое разложение имеет вид
со
/(*)= 2 ^mWv(ymX)yv(ymb) — Vv(ymx)Jv(ymb)]\ (58)
т =1
здесь г = ут является т-м положительным корнем уравнения
Jv (аг) Уу (bz) — Yv (az) Jv (bz) = 0
и
{[Jv(yma)]2-Vv(ymb)]2}am =
b
с
= f У2т [Jv (Ута)]2 [Jv (YmO »\ (Ym*) - ^v (Ут*) ^ Ml ' / (0 <«• (59)
Обобщенные ряды Дирихле. Ряды вида
со
/(5)= 2 anVKsKv(K*)
п=\
1
изучал Greenwood (1941). При v = -=- они сводятся к рядам Дирихле
со
/W-/lS^'V-
/1 = 1
Относительно различных теорем, касающихся этих рядов, см. Greenwood
(1941).
7.10.5. Интегральные представления произвольных функций. Теория
рядов Шлемильха (см. п. 7.10.3) дает метод для выражения любой
произвольной функции в виде ряда по функциям /v и Hv. Аналогичные методы
могут быть применены для того, чтобы получить соответствующие
выражения произвольной функции в виде интеграла, содержащего функции
Бесселя и связанные с ними функции. Мы будем в дальнейшем предполагать,
что / (t) является вещественной функцией вещественного переменного t,
имеющей ограниченное изменение в окрестности точки t = х. Если
функция / (х) имеет разрыв при t = х, то в дальнейших формулах надо заме-

7.10] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 85
нить / (х) на 7j [/ (х + 0) -|-/ (х— 0)]. Условия на v в некоторых из
следующих формул разложения были ослаблены Cherry (1949а).
Простейшим типом такого разложения является интегральная формула
Ганкеля
оо оо
/(*)= Г Jv(tx)tdt Г f(v)Jv(vt)vdv, (60)
о о
. 1
которая справедлива, если v>—— и интеграл
оо
fVi~\f(t)\dt
о
сходится, или если v > — 1 и сходятся интегралы
оо 1
f VT |/(0I dU ftv+1\f(t)\dt.
о о
Теория разложения (60) детально изучена в книгах Ватсона (1949, гл. XIV),
Титчмарша (1960, стр. 100) и Трикоми. В случае v= ± -=- разложение (60)
сводится соответственно к синус- и косинус-преобразованию Фурье.
Обобщение интеграла Ганкеля было дано Харди (1925), который доказал
формулу
00 оо
f(x) = Г Gv (xt) t dt Г Fv (vt) v f (v) dvy (61)
о о
где
1 z \v+2a+2m
f,, у (~1)СТЫ ^-ч,-,» ш
vK) ZA T(a-\-m + l)T(a-\-m-\-v-\-\) T(a)T(v + a) ' v°z;
m=0
Gv (z) = cos (an) Jv (z) -\- sin (ал) Yv (z)} (63)
справедливую при следующих условиях (Cooke, 1925):
3 3
I. a > — 1, a + v > — 1, v + 2tf < -=-, |v|<y.
II. t°f(t) интегрируема на (0,6), a = min 11 -(- v -{• 2я, -^-), 6 > 0.
III. Yt f (t) интегрируема на (6, оо).
Теория разложения (61) дана Куком (Cooke, (1925).
Частные случаи формулы Харди. Если я = 0, то мы получаем
Fv (z) = Jv (z), Gv (z) = /v (z). Этот случай сводится к формуле Ганкеля (60).
Если а = —, то получаем Fv (z) — Hv (z), Gv (z) = Yv (z). Это приводит к
оо оо
/ (х) = Г Yv (xt) tdt Г Hv (vt) v f (v) dv. (64)
о 0

86
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Если а =— -~-, то получаем
оо
/<*) =
ОО
с _
rv (xt) t dt
о
1
(vt)
v-1
oJ [ 2^^1^ + 1)
p--Hv(fO
v f (v) dv. (65)
Если v = -с? , то получаем
'v w = Y-h
2 /" 2
C2a+1 (г), Gv(s) = 1/ ^7 sin (г — ал),
Jt2
где C2a+1 (^) — функция Юнга 7.5 (85).
Формула Вебера — Oppa
оо
/1
/(•*) =
7V (fx) rv (aQ — yv (aQ Kv (^
t dt X
oo
X
[7V (irf) Kv (я*) — Kv (vt) Jv (at)] v f (v) dv (66)
oo
справедлива, если v вещественно и интеграл I ]/V I / (О I dt сходится. Она
a
сводится при v = ± 7j~ к синус-преобразованию Фурье (Titchmarsh, 1923;
Ватсон, 1949, стр. 516).
Другая формула, принадлежащая Титчмаршу (1925), имеет вид
оо
оо
/ (X) = П
rv (xt) t dt j 1АЛ [t Av (vt)] vf(v) dv,
0
где
Av (z) =
rv (z) = sin (an) {[Jv (z)]z — [Yv (z)]*) — 2 cos (an) Jv (z) Yv (z),
(_l)m TL + m + a + j\ z2v+ 2a+2m
U)=lv^
m-0
/it Г (a + m -f-1) Г (v + a + m + 1) Г (2v + a + m + 1)
(67)
(68)
(69)
Она справедлива при следующих условиях (Cooke, 1925):
а> — 1, a + 2v> —1, l>tf-fv> — у, |v|<l,
taf(t) интегрируема на (0,6), о = min (1 -\-2v-\-2a, 1), ^/(0 интегрируема
на (6, оо), б > 0. Теория разложения (67) дана Куком (Cooke, 1925).
Частными случаями формул (68) и (69) являются
а = 0, rv (г) = — 2 Jv (z) Yv (z), Av (z) = [Jv (z)] \
Av(z) = Jv(z)J_v(z),
a = — v,
a = — 2v,
Av (z) = [J_v (г)]*.

7.10]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ В ВИДЕ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ
87
Обобщение интеграла Лапласа, содержащее функции Бесселя, дал Meijer
(1940, стр. 599, 702):
/(*) = 7
1
С-\ i со
т
оо
г»
/v (xt) Yxt dt Kv (tv) ytv f (v) dv.
(70)
C — i oo
0
Так как Kv (z) = K-v (z) (см. 7.2 (14)), имеем также
C+i oo
1
oo
I*
/(*) =
2m
[/v (jtf) + /_ v (xt)] Yxt dt Kv (vt) Yvt f (v) dv (71)
C — i oo
0
(cm. Boas, 1942). В случае v = ±-^- формула (71) сводится к формуле Лапласа.
Другими интегральными представлениями произвольной функции являются
I оо оо
/(*)=-! J tJt(x)dt J Hf>{v)f(v)2£
—/оо 0
(72)
(Конторович и Лебедев, 1938),
оо
Г
оо
V
— оо
/W=-=5 e*(x+t)/2Ki{x+t)(a)dt e*^v^Ki{t+v)(a)f(v)dv, а>0 (73)
— оо
(Crum, 1940),
/W=4
ОО
/»
оо
sh (nt)
t dt J [Jit («") + У_« (*")] / (t,) rfw (74)
— OO
(Титчмарш, 1946, стр. 83),
oo
oo
Jt<
a:/ (*) = —J /¾ (x) t sh (jrt) atf
Kit (v) f (v) dv
0
(75)
(Лебедев, 1946),
/(-*) = ^7
1.
m
CT+i oo
oo
*/<, (*) fltf
a —/oo
v~xf (v)It(v)dv
V
0
(76)
(Лебедев, 1947). Относительно других примеров см. Hardy (1927) и Hardy
и Titchmarsh (1933).
Дуальные интегральные уравнения, содержащие
функции Бесселя. В некоторых задачах теории потенциала и теории
электромагнитных и акустических волн искомая функция удовлетворяет одному
интегральному уравнению на части луча (0, оо) и иному интегральному

88
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
уравнению на другой части этого луча (Nicholson, 1924; King, 1935, 1936; Som-
merfeld, 1943). Пара уравнений (Титчмарш, 1948, стр. 337; Busbridge, 1938)
оо
/У f{y)Jv(xy)dy = g(x), 0<*<1,
о
оо
/ / (У) Jv (ху) dy = О,
о
х>\,
(77)
имеет при а > 0 решение
Г (-J) / (*) = (2х)
1-S
1 а
1+т
1
£-1
t 'J „(xf)dt\ g (vt) vv+l (1 — i/2)2 dv. (78)
^2 0
В частном случае cc = l, v = l, g(x) = l имеем решение
л
— f (x) = x~2 sxn X — X~l COS X.
Пара уравнений (Tranter, 1951)
оо
j У Ф (У) Jv (ху) dy = f (x)t 0<х<\,
о
оо
/ Ф (У) -Л, (ху) dy = F (х),
х>1,
о
имеет решение
Ф (У) = Н (у)
где
+VtF
1
^2
* *L(f)J х (ty) dty
о
^2
оо
H(y) = F (1) 7V+1 (у) + у f х F (х) Jv (ху) dx,
(79)
(80)
(81)
l (о = (2).
/Э
-2v
л:
v+l
о
Vt2 —
X'
оо
/ И - у // (у) Уv (ху) dy
dx. (82)
Решением уравнений
оо
/ Ф (у) Л, (ху) dy = G (х), 0 < х < 1,
о
оо
/
У ф (У) Л> 0*7) ^У = ^ (-*)> х>\,
(83)

7.11]
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ
89
является
где
1
Ф (У) = К (У)
+/ЗЧ
1
у { t 2l(t)J г (ty)dt,
о
v
2
оо
К (у) = J * g (х) Jv (ху) dx,
(84)
(85)
JLt2*i(t) = M(0) + t
2
(г2 — *2) ' Af' (*)*/.*,
oo
Af
(x) = *v(/ (*) -*v f К (У) /v (*У) <*У-
о
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ФОРМУЛЫ
(86)
(87)
7.11. Элементарные соотношения и различные формулы
Сферические функции Бесселя. В формулах (1) — (13)
л = 0, 1, 2, ...
^ 2
7.+1(г)=VMf sin (г~f") £ (-1>m (л+т«2т)(2г)_2т +
2 L т=0
<
я-1
+ cos(*-^-) 2 (-1Г (^ + ^ 2т+ 1)(2г)
т=0
-2т-1
. О)
я+
_!>) = ]/
_2_
<
/г-1
Sln(*-™L) J] (_1>т (/i + -j . 2m+l) (г-г)-2"1-1—
т = 0
^ 2
-соз(г-^-)2(-1г(/1 + 1,2т)(2г)
т=0
-2т
(2)
/г
я1+±(г) ~V ~h r"~'*" 5]г-т (л+т •т)(2ггт-
2 т = П
(3)
/г
"fU(г)=Y -h in+le~iz S (-°т (л+i'т)(2ггт>
(4)
т=0

90 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл. 7
J ! (*) = (-1)п+1Г г (*); У г (г) = (-1)" У х (г), (5)
-«--2 *+7 -Л~ /1+"7
//(D 1 (г) = / (-1)" Я(1) ! (г); //<*' х (*) = - / (-1)" Я^ j (г), (6)
, 1ч„1/ 2 я+1 ( d \п sin г
у„ i <*> = <-*> У "S? г 73F "Г-' (7)
Я+пГ
2 „4-1 ( d \п cos г
яг \ z dz
|Л,/" 2 -+1/ rf \* ^
rf \л *'*
d \п е
п „- iz
JL (*) = Y_j_ (г) = у-1 sin г,
2 2
2
я(/} (г) = — т{\ (z) = - / у — лй
//?> (г) = /Я(2\ (г) = / i/JL
2 2
2 <Г".
(8)
/* "Г г)
(12)
(13)
(14)
Ki_(z) = — У_^ (г) = — у — cos г, (15)
2 2
±w=Yi^shz' (I6)
I- «"• (17)
(18)
Рекуррентные соотношения и формулы
дифференцирования для модифицированных функций Бесселя.
[тпТ[gV /v (z)]=zV~m '*-»(г)' (19)
{-Щ)т 1г"* ^ Wl = ^V_m yv+m (^), (20)

7.11] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ 91
-^) l*v К, (*)] = (-1)™ zv~m /Cv_m (г), (21)
ЫУ™u_v *v (г)1=(_1)m z~v~m Kv+m {z)' (22)
/v_,(*) —/v+i(*) = 2v*-'/v(*), (23)
/v-i(*) + 'v+i(*)=2/;C0, (24)
Kv_! (г) —/Cv+, (г) = — 2v*-i Kv (г), (25)
*v-1 (*) + ^v+1 (г> = - 2< (*)• (26)
Вронскианы и соответствующие формулы.
W (Wv W2) = ^2^2 — WxW2i
W (JVi /_v) = - JL sin W, (27)
W (Л- rv) = ^ - (28)
Г(У,,Я<1М2>)=±^, (29)
IF^Uf)-!, <30)
^(/v./-v) = -^^-, (3D
W(/V,/Cv) = — *-", (32)
7V (*) 7_v+1 (г) + 7_v (г) 7V_, (г) = 2sin(vn) (33)
Я« (г) Я<,21 , (z) - ЯW ! (г) Я<,2> (г) = - А, (34)
7V (г) Kv_, (г) - Kv (г) yv_, (г) = JL, (35)
yv_i W # lX) («) - А, (*) ^-1 <*) = ^:• (36)
А, (^) Я« ! (г) - yv_! (г) Я<,2> (г) = А-, (37)
/v (г) /_v+1 (г) - /_v (г) /v_, (г) = _ 2з1"<УЯ) (38)
ATv+i (*) 'v (*) + ^v (*) /v+i (г) = г-'. (39)
Функции переменного гг'лш (тга — це л ое).
Jv(zelmn) = elmnvJv(z), (40)
Kv (^'тя) = в"'"""' Yv (z) + 2i Si" ("^ cos (nv) yv (г), (41)
1 Sin(VJt) \ / v \ /» v
//(1) (**"**) ^ _ sln[(m —1)яу] (i) _ /JCV sin (mnv) (2)

92
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Я(2, {гешя) = sin [(т + 1) «v] Я(2) (г) + еш sin (мяу) <„
v sin (itv) v ' sin (nv) v \ /•
/v Ом'1»*) = е1тяу /v (г),
/Cv (**"»*) = 0-im™ Kv (z) - Ы ^^ /v (г).
Если v — целое число, равное /г, то
lim
sin (/jtv)
= /(-1)^(^1),
v_^,„ sin(jtv)
где / соответственно равно /и — 1, т или /и-|-1.
7.12. Интегральные представления
Коэффициенты Бесселя.
я
я
]п (z) = I cos (z sin ф — щ) dtp,
о
я
л/л (2) = Гл J ^'*C0S(P cos (/ар) А?ф|
о
я
т
я Л/г (^) = 2 I cos (г sin ф) cos (2/кр) а?ф,
о
_Я
2
яЛ/г-Ы (*) —
2j"sln(*sinV)sIn[(2n+l)q>]Ap.
о
В формулах (1)-(4) /г = 0, 1, 2,...
Интеграл Пуассона.
я
2
(1 \ 2 /z\v Г
v+-MvW = Т7^ I у) J c°s (* sin ф) (cos ф)2л? Жр,
1 /*\v
_Я
2
Vn \2
eiz sin ф (cos (p)2v ^
Я
2
1
1 /,\V Г v—-
1 /г^ «"<(!_**) 2
= —/-)
dt,
(43)
(44)
(45)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)

7.12]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
93
2 /*\v
Ул \2
_2
(1 — t2) 2 cos (zt)dt,
(8)
о
я
= -j=r (-У f «'* cos f (sin <p)2v rf<p,
(9)
Г 1, + 1)/,(.,--^
1
1
V
2
*-*' (l- а л.
(10)
-1
В формулах (5)-(10) Re v >—-^-.
Формула Гейне.
/л?я
я Yv (z) = e
я
0
-/,2 COS^
cos (yt) dt —
oo
-/
eiz ей r [ch ^ __ /vjtj _|_ e- ivn ch (w)] rf/
0
0 < arg 2 < я. (11)
Формулы Мелера — Сонина.
oo
r(l-vbw = 7^) i/t2~l)
V 2
sin (^0 Л,
(12)
r(l-v)M*>---^(!) J (^-1)
В обеих формулах л: > 0, — у < Re v < -^.
V 2
cos (xt) dt. (13)
oo
VJt
я /v (л:) = 2 sin 1л: ch t ?r ch (v^) dt,
(14)
о
oo
jiKv(ji;) = — 2 cosfjcch^ ^-Jch(vO
о
dt.
(15)
В формулах (14) и (15) x > 0, — 1 < Re v < 1.
oo :
* /*
Jt/vW= £~v'sinLvch* ^-\dt-\-
0 0
я
2
cos (л: sin ^ — vt) dt,
x > 0, Re v > 0.
(16)

94
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Л
Обобщения интегралов Шлефли (Lambe, 1931):
1 ?
(Х~^У)2 А, (V х^^У2) = j еу cos t cos (х sin t — vO <tf —
о
00
— sin (v:rt)
e-vte-ycht-xshtdtt Re(^ + y)>0, (17)
0
v
я
я (*j^) 2 Kv ()/> — y2) = гу cos' sin (x sin / — vO dt —
0
oo
(^+ych^^-v/-ych/cosvn;)^-jrsh/^ ReA:>Rey>0. (18)
о
Модифицированные функции Ганкеля.
oo «
r (i ~ v) ^ <*) = vn. (§)v J «"" (t2 - D~v~ л.
1
Re z > 0, Re v < ^-,
00
,-,2 ch^ /„v. /\2v
Г (1 +v) Kv (г) = V л (J)V J e-* cu' (sh *Г Л,
о
Re£>0, Rev> — ^-,
CO
Kv (г) = Г *~* ch t ch (vO Л, Re z > 0,
о
r(v + £)*„w-y f
_-./'
oo
zve~z
l
V >
1
oo
I*
(19)
(20)
(21)
Re г > 0, Re v > — ^-,
Kv (a*) = -у exp [-(^ —-T")/2] rV~l dt* Re * > °' Re (a2*) > °. (2¾
о
oo
*V7t v л
9 a
Kv (az) =e - -=-
exp
('-t)t
t~v~l dty
my
Ini г > 0, Im (a2z) > 0,

7.12]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
95
со
Kv (х) cos i^-j =
cos (x sh t) ch (vt) dty
о
oo
Kv (x) sin |-^-J =
0
sin (x sh tf) sh (vt) dt.
В формулах (25) и (26) x > О,
1 < Re v < 1.
oo
*,«-!£r(,+i
1
(t2 + г2) 2 cos / Л,
0
Rev>— -JJ-, \argz\<^t
oo
1%
Функции Ганкеля.
V 2
*#,
1
Im z > 0, Re v < 2 ,
oo
-v-T
1тг<0, Rev<y,
oo
v **
"(H"9«-M)
-2v *
izVl + t2
Vi+f<
dt,
1
Im г > 0, Re v < -^-,
_, r (i _v) «-w_^(i)'
oo
(v + 1)^(,) = /A
2 *
nz
.. 4z-2vjt-Jt °°f
/6
,-2v j_ df
Vi + t2
lmz<0, Re v<-^-,
о
l
/ V" 9"
(■+#)
l
V
2
(25)
(26)
(27)
(28)
dt, (29)
(30)
(31)
dt, (32)
Rev>—i, |6|<J, 6-|<arg*<6 + ^,
Г (v + 1) H® (*) =
—!.
4z-2vn-n °°f
/6
1
#7
о
о
(■-£)
V"T
rf/, (33)
я
Re v > — 2", | 6 | < -?-, — -y + 6 < arg г < ~- + 6.

96
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Представления Берне а.
-C+i оо
tvtt
2л2Н(У(г) = — е 2
v + 2s
— C—l оо
r(_v-5)r(-5)(--J) dst (34)
я
I arg (— iz) I < -g ,
2я2 H® (z) = *
ш -ctico
( iz\v+2s
r(_v_5)r(-5)(_) ds,
(35)
я
— С — i оо
I arg (iz) | < -^;
С — любое положительное число, большее, чем Rev.
I оо
V + 25
2jwVv(.*)= Г(— s)[r(v + 5 + l)]_1[^) ds, х>0, Re v > 0, (36)
у
— / оо
l/V //^ (г) = — el {z~VJt) cos (vjt) (2*)v X
l оо
X I Г (- s) Г (- 2v - s) Г (v + s+i)(_ 2te)*<te; (37)
— j oo
Зя
I arg (— /г) | < -^-, 2v не является нечетным целым числом.
YlfH® (z) = e-^z~vn) cos (vjt) (2z)v X
X
j oo
; Г Г (- s) Г (- 2v - s) Г (v + s +1) (2te)J rfs; (38)
— i oo
Зя
| arg (/г) | < -y, 2v не является нечетным целым числом.
2л2/ Kv (г) = "I/ -gj *~* cos (vjt) X
г оо
х
Зя
у
— i оо
Г (s)T (1 -s - v) Г (i-s + v) (2*)* rfs;
(39)
I arg 2 | <-jr-, 2v не является нечетным целым числом.
Интегралы, выражаемые через функции, связанные
с функциями Бесселя.
я
J
cos (z cos ф) cos (vq)) dtp = я
4 cos
vя
UvW+J-vWl-
vя
= — vsin l-g-J^-i,v (2-) = я
4 sin
vя
[Ev(*)-E_v(*)], (40)

7.12]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
97
я
2
sin (z cos ф) cos (vcp) dq> = л
о
4 sin
VJt
-l
VJt
= COS ( "2" ) S0,v(*) =: — Jl
4 cos
VJt
T
UvW-i-vWi =
-.-1
[Ev(*)-|-E_v(*)], (41)
я
I cos (2 этф) cos (Уф) д?ф = — v sin (vn) s_b v (z),
0
я
I cos (z sinф) sin (vф) я?ф = — v (1 — cos vjt) s_b v (г)
о
я
J sin (z sin ф) sin (уф) dip = sin (vjt) s0l v (г),
о
я
j sin (2 sin ф) cos (уф) dq> = (1 -|- cos vjt) s0> v (z),
о
oo
,«/-* 8h / ^ я 1 [5я(2г) _ лЕ||(2г) _ ^(^^
/г = 0, 1, 2, ..., Re г > О,
оо
о
я = 0, 1, 2, ..., Re 2 > О,
оо
__ *М<
5Ц fV (*) = *
/г F / 1— Ц + v 1— u.— v. J_.
2
• __ • t2\ dt
— *Ц + 1
оо
5ц. vW=^
**
-'* F /'1 — И + v !—f^ —v. 3.
^4 2 ' "
Re г > О,
; 4; -г2И,
2 ' 2
Re г > О,
со
I. V И = j
,—z sh /
r2MUch(v/)rf/,
оо
v S0, v О*) = * f *~*sh/ sh (vO ch t dt,
0
oo
S,, v (2) = z Г e~z sh' ch (vO ch f <#;
о
в формулах (50) — (52) Re z > 0.
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)

98
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
7.13. Асимптотические разложения
7.13.1. Большое значение переменного.
ГМ-1
#(1) (*) в у JL в1 (^-2^-я)/4 2 (v, т) (-2/*Г,д + 0( | г Г^)
Lm=0
О)
— л < arg -г < 2зх,
гм-i
H$)(Z) =l/ JL ^-/(4«-2vrt-rt)/4
зхг
2(v. »)(2te)"m + 0(|гГл)
Lm=0
(2)
— 2jt < arg г < л.
Относительно оценки М-го остаточного члена для комплексных v
зх Ззх Ззх зх
при — -g- < arg г < ~y и при g- < arg г < -j
см. Ватсон (1949, стр. 246). Эти результаты были распространены на
области — л < arg z < 2л и —2л; < arg ,г < л; Мейером (Meijer, 1932, стр. 656,
852, 948, 1079). Относительно асимптотического поведения функций,
выражаемых в виде бесконечных рядов функций Ганкеля, см. Meixner (1949).
Jv(z)=~\/~
2 Az — 2vrt — тС
— i cos л
nz \ \ 4
Г M-l
^(-\)m(v,2m)(2z)-2m+0(\z\)
2M
lm=0
Sin
'Az—2vл;— л^
M-l
^(-\)m (v,2m±l) (2z)-2m~l + 0(\ zr™'1)
m = 0
Ь (3)
— л < arg z < л,
K*(*) = VSS S,n( 4
M-l
2(-l)^(v,2m)(2^)-2w+0(|^r2^)
m=0
+
+ COS
'\z — 2vл;— л^
4
M-l
2 (-1)'" (v, 2m +1) (2*Г2/И-! + 0( | * Г2М-г)
Lm=0
> (4)
— л < arg г < я.
Относительно формулы для М-го остаточного члена см. Ватсон (1949,
стр. 229, 233) и в случае комплексного v — Meijer (1932), ссылка выше.

7.13]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
99
Дальнейшие формулы имеются в работе Burnett (1929).
1 ~z
м-\
^ (~l)m (v, т) (2*Гт + 0(| * Гм)
т = 0
+
-\-ie
tn-z+ivn
М-\
J](v, m)(2z)-m + 0(\ z\~M)
_m=0
. (5)
зх 3jt
— -2 <arg*< -^-,
f ATI
/v (г) - ,.2- cos (jtv) < У [** - i (—l)m г
\ m=0
— tnv — z
V2zn3
IX
X
r(M+T_v)r(M+T+v)
(2z)mm\
+ e*0(\*rM)\, (6)
I
Зл;
Jt
— "2~ < arg г < -,
*v (*) = ]/"■
2z
, — z
M-\
^(Vym)(2z)-m + 0(\z\-M)
Lm=0
(7)
Зл 3jt
— -у <arg*<-y.
В этих формулах положено
1
(v, т) = 227½ (4v2-l) <4v'-3').. .[4v'-<2m- 1)'] = —1^ '
m l Г l — -\- v — яг J
7.13.2. Большое значение порядка.
2л /р (л:) = —
п
Vp2 +
exp [К/?2 + х2 — р Arsh -£) X
X*
X
м-i
^ (-2)™ am Г (« + I) /(/>» + jt»)-™ + 0U-«)
Lm=0
, А х > 0, (8)
а0=1, «1 = __+_(i+^
х^"1
3 77 / Jf2\-'
Й2 ~ 128 " 576 ^1 + Т7/ +
385 / х
к 11 Т"^2
3456
^-2 I
» • • • I
У
(9)

100
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Относительно других разложений 1р (х) см. Lehraer (1944); Montroll (1946).
1
Кр(х) =
УЦр2 + х2)
г м-1
X
ехр(— Vp2 + x2 + р Arsh £\ X
Lm = 0
я^=7
V*
>=о
;р, х > 0, ат определено в (9),
ехрU/лг2 — р'2 + //>arcsin ^J expf— |b + J
(10)
X
Ух2 — р'
М-1
J] 2m6mr (« -(- I) (- от VY**-/*)-™ + 0(*-л)
- АИ = 0
.* > р > О,
24-1
*0-1, bl=**rll *
8 24
-l
3 77 / лг2\-1
2 =Т28 —576 ^1 "T2"] +
385
3456
P2)
-2
• >
nHf(x) = — i —^ exp f - "J//?2 — jc2 + p Arch ^-) X
У^=1* V x)
X
ЛГ-1
J] (-1)" 2¾ rU+i) /(/72 - x*)-m-+ 0(x~M)
Lm = 0
1/2
2^/^(^)^-
Ур2 — x2
p > x > 0, #m определено в (12),
ехр (У p2 — х2 — р Arsh £\ X
X
г М-1
2 2^тГ [ т
т = 0
/? > х > 0, #т определено в (12),
оо
яя«> w ~ - 4 s *2(т+1) я'/3 Вт (ех) sin
т = 0
Я
(да+1)-з
X
ХГ
т -\-\ \ (х
)
-(т+ 1)/3
р к х, р, х > О
, е=1— — , е= о \jc 3/,
X
(П)
(12)
(13)
(14)
(15)

7.13]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
101
В0 (гх)
Въ (гх)
Въ (гх)
1, Вх (гх) = гх, В2 (гх) = -^ (ел:)2 —•
6" ^)3~~ 15"ЕХ> В*^ = 24 ^"
"120 {гх)5 ~~ "60 (еЛГ)3 + 8400"ех'
1
20'
1
" 24
(ел-)2 +
*
1
280 '
Относительно В6, В7, Въ см. Airey (1916, стр. 520).
Чисто мнимый порядок.
2nJiD(x) =
п
У¥~=
х<
exp UVp2 + х2 — lP Arsh -j — j "tj X
гж-i
Xe
рЯ/2
2 (2/Г^г(т + 1)/(/+^2)"m+ 0(
л-"ж)
L m=0
Kip(x) =
p, x > 0, ят определено в (9),
exp I — У x2 — p2 — p arcsin — J X
X
У 4 (x2 — p2)
M-l
KiB(x) =
Lm=0
П
x > p > 0, bm определено в (12),
pjt
Ур2 — x<
Xsin
ГЖ-1
^ 2mbmT(m + j)V(P2--x2rmX
Lm = 0
/72 JT
Jt
+ jPArch ^--/р2_х2 + ^)+0(х-Ж)
оо
(16)
(17)
(18)
(19)
ff/p (x) - J ^72 J] (-1Г C„ (a*) sin [(m + 1)
p > x > 0, ^^ определено в (12),
т + \ \ ,x\-(nn-i)i3
3"
m = 0
/?«л:, /?, л:>0, e=l— —, е = о(л: 2/3),
(20)
С0 (ег) = 1, Сх (гх) = ел:, С2 (ел:) = — (ел-)2 + —,
С3 (гх) = -jr (гх)* + -^ ел:, С4 (ел:) = — (ел:)4 + -^ (ел:)2 + -^-,
15
1
1
43
Сь (гх) = Т20 (^)в + "60 (£")3 + ТШ ™>
(21)

102
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
«"К <*) =
V2
tp
Vp2 +
ехр (i Vp2 + -*2 — iParcsh —J X
x<
г ЛГ—1
Xe
(2p- i) л/4
J] (- 0W *тЬт Г (m + i) /(> f **)"'" +0(
2 , .2N— , nfx-M)
Lm = 0
py x > 0, bm определено в (12).
7.13.3. Переходные области.
Формулы Никольсона {х~-> п, п — натуральное).
1 1
AW-з "(i-
-s ш
1
Г„ (х) - 3
Ц)8ГЛ©-' ,(6)1.
л:
Ул (.*) ^ я-13
4 (1)^,(1).
з
1
М*)~-з 6(l)3r/lft) + / i(9
L з з
/?>*, 1 = -3 ]/
2 , / 2 (х — /2)з
л-
«я
.вя?(*)~з"в(18//«(Е), 6 = 4}/
2 (л- — пу
х
где arg (л: — п) = О при л: > л и arg (л: — я) = jt при х < п.
Формулы Ватсона.
w
w=w
J
pw'
^3
cos б — Y
pw
H 3
3
sin 6
w
r><x)~W
J
IV 3
3
^пб + Г.^созб
f X*
pw 3X ' JC
x > p, 6 = pw—±j /?arctg w + -g-, w=~l/ —2- —1
KpW = "Wwe
3
г
pw
pw
-V 3
3
x < p, a = piw-\-—x Arth да I, да = l/ 1 —
x'
.2 •
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
+ 0 (/>-•). (28)
+ 0 (/»-•). (29)
(30)
+ 0(p-'). (31)

7.14]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
103
7.13.4. Равномерные асимптотические разложения.
Формулы Лангера.
Jp(x)
./-
arctg до
w
j\ wcos[V\-ri (^)sin(l
+ 0\p
).
(32)
YpW
-Vх--
ctgw
w
Jl (^sinl^) + rl (*)cos(lf
+ 0\p
).
h(x)
x> p, W=Y -y — \, z =
= 1^1_arct^/c ( -4)
(33)
p (w — arctg до),
(34)
yp w = - ]/'
Artli и;
до
+ 0\р V,
(35)
х < р, ДО
=Y~
X*
, г ~ /? (Arth до — до).
7.14. Интегральные формулы
7.14.1. Интегралы по конечным отрезкам.
JVV+I /v(*)</* = *-v+l/v_,(*),
J*v+1Kv(*)rf*=-*v+l/Cvn(*).
JVV+1 /Cv (*) ^ = -*-v+1 tfv-i (*),
|^;vW^=2v-Y^rjv + ije[/vWHv , (*)-Hv(*)/v_,(*)], (5)
^/^)^ = 2^1 |/я Г (v + y) г [«vWLv-i (*) + Lv(2r)/fv_, (г)], (6)
JV 7V (г) dz = (|i + v — 1) z Jv (z) Зц_ь v_ !(z)—z Jv_x (z) S^ v (г). (7)
Формулы (5) и (7) сохраняют силу, если заменить в них функции Бесселя
первого рода функциями Бесселя второго рода или третьего рода.
0)
(2)
(3)
(4)

104
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
Пусть wv (z) и W^ (z) — любые функции Бесселя первого, второго или
третьего рода порядка v и \i соответственно; тогда
(р2 _ а2) г _|_
,2
\г \1'
™v (а20 W\i Ф2) dz =
[а Wp фг) »; (а*) - Р wx (az) W^ (Р*)]
az №u (Р*) wv_, (az) — р* U^i (Р*) ^v (а*) + (ц, - v) W^ (Р*) wv (az), (8)
z wv (az) Wv (Рг) dz
(9)
= w^(|J) r
г ze>v (az) Wv (az) dz
v+i (P*) wv (a2) — а ^V (P*) ^v+i (a2>)L
1 z2 [2 wv (az) U?v (az)
wv+l (az) W.
dz 1
wv (az) Wv (az) —=i^Wy> ^ W
v_! (a*) — ^v-i (a*) ^v+i (<**)]. (10)
v
(<**) +
, 1
w
'v+lfc*)
*—^)¾^]. (11)
dtt?v (агг)
Пусть vv (z) и Кц (г) — любые модифицированные функции Бесселя
первого или второго рода, имеющие соответственно порядок v и \л. Тогда
J [(P*-a*)* +
[Л2 — V2
J
vv (az) V^ ($z) dz =»
- z [- a ^ (P*) i>; (a*) + P tfv (az) V^ (P*)], (12)
z[vv(az)]2dz = ~^[[v'v(az)]2-[vv(az)]2(\+a-2z-i2v2)}. (13)
Относительно других неопределенных интегралов см. Ватсон (1949, стр. 146—
151); Thielmann (1929); McLachlan (1934, стр. 115); McLachlan и Meyers (1936;
стр. 437); Straubel (1941, 1942); Picht (1949); Horton (1950); Luke (1950).
Л
2
j У^ [z (sin 9)2] Jv [z (cos 9)2] (sin 9 cos 9)*1 dQ ==
0
2z
Re v > 0, Re ku > 0,
(14)
2
j
У^ [г (sin 0)2J yv [г (cos 9)2] clg 9 </9 =
2jx
(15)
Re v > — 1, Re ц > 0,

7.14] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 105
Л
2
J Уц [г (sin 9)2] Jv [z (cos 9)2] sin 9 cos 9 ^9 = i V (_i)*/v+M 8m+1 (*), (16)
0 m=0
Rev> —1, Rejx> — 1,
я
2
f Уц [* (sin 9)2] Jv [z (cos 9)2] (sin 9)2^1 (cos9)26_1 dQ (17)
о
(Bailey, 1930, стр. 419, 1930c, стр. 203; Rutgers, 1931),
я
2
f Д (г sin 9) /v (z sin 9) (sin 9)26+1 (cos 9)2^1 dQ, (18)
о
я
2
Г У*, (* sin 9) Jv {z cos 9) (sin 9)26+1 (cos 9)2fX+1 rf9 (19)
о
(Bailey, 1938, стр. 145),
я
Г [/v (г sin 8)]2 (sin B)26+1 (cosB)2^ ] dQ (20)
о
(Bailey, 1938, стр. 141),
я
2 оо
j lJv(zs\nO)Ys\nddQ=^iJ2v+2m+l(2z)z-\ Rev> —1, (21)
0 m = 0
z
С tK sin {z — 0 yv (t) dt, (22)
о
2
JVcos(* — t)Jv(t)dt (23)
о
(Bailey, 1930c, стр. 204, 205),
я
2
sin [я (v + |i)| А^+л, (2* cos 8) cos [([л — v) 9) dd
о
■jl'-iO'-iiW-'vW'iiW]. |Re(|i + v)|<l. (24)

106
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
7.14.2. Несобственные интегралы.
Интегралы, содержащие показательную функцию.
оо
Y2V (at) е'^ dt = - ¥jL еХр (-
a'
X
a'
LM8Y2
2Y
rg (vjt) +
8y!
X
1
Kv
a'
я cos vjt \ 8y2 j .'
|Rev|<I
oo
I*
e-H-^^f-
dt = 2Kv(2x)H^}(2x)
(25)
(26)
(Hardy, 1927),
OO
J'*
0
(at) е-ч2'2dt = V'n la
2Y
exp
a
1 v -5ГГ Ь Rev>-1, ReY2>0 (27)
8y2 / Л. \ 8y2
2
(см. также 7.14(60)-7.14(79).
Частные случаи интеграла Вебера — Шафхейтлина.
оо
I* <~Ч
-1 „I.
(at) sin (bt) dt — \к l sin
0
(i arcsi
"&
при b < a,
= aV_1 sin (-y-W + ^62-^) ** при b > a.
Re ц > — 1
(28)
OO
J r%(at) cos («)*-„-! cos
0
ц arcsi
in l±]
при b < a,
= Ц" V cos tej (6 + fb2 — a2) Ц при b > я,
Re [a > 0,
(29)
OO
0
0 cos (bt) dt =
1/V — b2
sin
cos
[Art
Ml
\x arcsin (—
при b < a,
(30)
= -^
|Л>2 - a2
(& + ]Л>2 — Я2) ^
OO
sin
t/
0
Уц (я*) sin (6/) d/ =
при b > a,
Re\i > — 1,
fi arcsin —
cos
fa2 - b*
при b < a
(31)
= ^
fV —
#'
(b ~{-Yb2 — a2) при 6 > я,

7.14]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
107
Относительно соответствующих интегралов для функции Неймана см.
Nielsen (1904, стр. 159).
оо
Л
— (V2 _ ^2)
dt
dt Ч
Jji (at) Jv (at) — = sin (v —ц)^-
(32)
OO
Ju(at)Jv(at)riv+ll)dt= -=-
Re (v + m) >0,
r- / a\v+li
{ + vt^(^j)r(v+>j
Re (v + ц) > 0,
■ (33)
OO
Г (v — fi) Г Уц (at) yv (bt) t^'v+] dt -
о
= 0 при b < a,
Re v > Re \i > — 1.
(34)
Интегралы, родственные интегралу Вебера — III а ф-
хейтлина.
оо
2Р+1Г (v + 1) av+1"p К^ (at) /v (bt) Г9 dt =
= £VI
хл
;r ( 1— P + ^ + V\ Г /1 — P — И + V
2 J I 2
1 — P + w + v 1—P — M- + v .
X
; v + l;
a?
)•
(35)
Re (v — p -{- 1 ± M-) > 0, a > b,
OO
2P+2r (1 -P) J Кц («0 Kv (PO /_P ^ =
и
-oP-»-'pv,(i + * + H-Pt 1 + v7^~p; i-p; i-g-)x
xr
(-
l+V + Ц — P \ r M + V — (i — P \ r / 1 — v-|-u— p\/l— V — (i— p
Г
H
■)•
(36)
Re (a + P) > 0, Re (p ± (i ± v + I) > 0
л
2"
OO
Yll(at)Jv(bt)t Pdt = sin ^(v —ц —p) x
и
OO
X
-p
K[i(at)fv(bt)t w dt, a>b, Re (v — p + 1 ± \x) > 0, (37)
о

108
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
оо
О
-Р
(bt) J^ (at) t к dt =
оо
- J [^ (<*) Jv (bt) +
о
Л'
COS
Mp + v + [x)
) /Сц (*0 /Cv
(bt)
t-pdt,
a>b, Re(p + v — \i) >— 1, Rep> —1, (38)
J Jv № K» («0 ^V+fX+1 dt = (2P)V (2°^ Г (v + Ц + 1) (a2 + p2) -v-ix- if
Re (v -f 1) > | Re \k |, Re a > | Im p |. (39)
Относительно других комбинаций см. Dixon и Ferrat (1930).
Интегралы, содержащие произведение трех и более
функций Бесселя.
о
оо
f ^^^(at) Jv(bt)Jh(ct)dt
(Watson, 1934),
о
оо
J^-%(^0/vW{^((2}^
О
оо
О
оо
f tv-%(at)Kv(bt)K9(ct)dt
(Bailey, 1935а, 1936),
о
оо
Г [/v (ах)]2 [Jv (bx)]2 xl~2v dx =
о
a2v~lT (v)
2:rt&r(v + l/2)r (2v+l/2)
2^(v, 1-v, 2v+I; -J),
0 < Re v,
oo
Jv (ax) Yv (ax) /v (bx) Yv (bx) x
)
a2vb-2-4vT(3v + l)
2v+1dx =
2nrh5--v Г 2v + ^.
ffr^.(v+J.av + l;2v + 45^.),
2> 1 „ 1
__<Rev<2-
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(относительно других формул см. Nicholson, 1920, 1927; Titchraarsh, 1927;
Mitra, 1933; Mayr, 1933; Sinha, 1943).

7.14]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
109
Интегралы типа Сонина — Гегенбауэра.
со
О
с»
= б»в-V-v+ > («' + ЬГ'^Х^- . (* У^+Т2), (46)
Re ц > —1, Re z > О,
Г Уц (W) Kv(аVfi — y*) V2-y2)~v/2 ^+ l dt =
о j (47)
-К" (V_" ^"V + ^V + *2f-^1,/2 //< \_, (у V?+?),
Rev<l, Reji>—1, arg/г2 — y2 ==0, если f > y,
arg (^2 — у2)^ = яа> если ^ < ^
1
где а = -^- и — v/2, соответственно,
со
(48)
f У„ (W) Я f (a Yt2 + х2 ) (t2 + *2Г V/2 <Н1Д.
О
= а-*Ь»Х^-Ча2-Ъ2Т-»-тН^_х{хУ7^) при д > 6,
-2/n-1ft'lfl-V+'l-v(*2-fl2)(v",l"1)/2/(v-n-.UV*2-e2) при fl<ft,
<f Re v > Re ц > —1, д; > О,
j Я®(а У 7+7) (t2 + x2)~V/2t2»+ldt =
о
-^0-^-^+^-^(4+I) H^L^ax), Re ^-!-> Re ц > - 1, (49)
OO
j Kv (a Vt2 + z2 ) (^2 + *2)"v/2 ^i+1 <tt =
0
« 2^-^- У+^г (ц, + 1) Kv-v-i (^)- й > °> Re ^ > —L (5°)
OO
j" y, (w) (^ + *2rv^+' dt = (A)v_' ,1+^-viWi!5f>
0
Re fev — -g-j > Re |x > —1, Re г > 0,
(51)
OO
,-«^2-y2
J0 (bt) * „ =- faW = *
о
я
/г2 — у2
-/у W + fc2
/я2+ 62
. arg ft2 — у2 = -£, если / < у, (52)
?- /уУа2 + £>2
оо
= 2 cos (60^о (я|^2 — У2 )<# =
о °°
= — яг
cos (bt) Hff (a Vr — t* ) dt. (53)
о

110
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
(Относительно аналогичных формул см. Ватсон, 1949, стр. 455—460; Мауг,
1932; Gupta, 1943b.)
/rt(p-v)
0
! (^_а2)т+1 (^2_i_y2)M-/2 Х
X
COS
зх (р — v)
зх (р — v)
/v (at) + sin ( ""vr2 T/j Kv (АО] ^ =
a1
p
_2 J^bV^+W)
Н<? (aa)
(a2 + y2)^2
a> ft, Re (± v) < Re p < 1m + 4 + Re \a, Re (ш) < 0, m = 0, 1, 2
J
0
(^^. p2)m+1^2_|_ y2)U/2 _
cos I v> ^—-1 Jv (at) +
= (-1)
+ sin(iii^)rv(^)]«e
c\ — m /л \tn
m + \ z ' "
ml \MP/
У
p
(y:
_ p2)H/2 *V (*P)
a>6, Re(± v) < Rep <2m f 4 + Reji, Re p > 0, ти = 0, 1, 2
a > 6, Re p > 0, — К Re v < 2 -(- Re ц,
OO
J" Tqr^r Л* (W) A> (at) dt = pv-»* 1^ m Kv (aP),
0
л > 6, Re v > —1, Re (v — \i) < 2, Re p > 0,
OO
0
я>0, Rep>0, _l<Rev<-|,
OO
J (^ + p2)<*+1 2"Г(ц + 1)
/<V_H(«P),
(54)
(55)
? P+1 Ja (bVt2 + y2 ) ja (ь Vy2 - P2)
J (^+^)^ + ^ J*(at) dt=pv w-w*' «*(йР)- (56)
(57)
(58)
(59)
—1 < Re v<2Ren+-^-.
Относительно аналогичных интегралов см. Ватсон (1949, стр. 476—479).

7.14]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
111
Произведения функций Бесселя.
оо
Kv{Z)Kv{z)= е
_(ii-v)/ iZe -\-ге
-t
v + \x
с/
— оо
Ze'1 + zel
X
2
XKviVil(Z2 + z2 + 2Zzch2t)^idty Re Z > 0, Re z > 0, (60)
V+fX
[cos vrt /jx+v (w) ~ sin vn ^V+fX (®01 ^ —
я
* /v0 /Л — xe~lQ\ 2
- я
X — *£
/e
CO
— 2 sin vn
_v, / X+xe*
V+fX
0
x + **
-г
[cosvлJ^x+v(Ф) — s\nvлYll±v(Ф)]dty (61)
*>*>(), Re(^ —v) < -i-, ^ = )/^2 +л:2 —2^-^ cosB,
(Dixon и Ferrar, 1933, стр. 193, 194),
Лг (*) A> (*) + У» (*) Yv (z) =
со
= 4л-2 Г /<fX+v(2^shO[^fX"vMcos vn + e'^-^tcos \in]dt,
Re г > 0, | Re (v + \i) \ < 1,
о
/pi (*) A, (*) + Kn (*) ^v (*) =
CO
= 4л - 2 Г /<fX_v (2* sh 0 {^i+v)' + ¢-^ + ^ ' cos [fti — v) t]} dt,
о
0
Re z > 0, | Re (v -f p) \ < I,
(62)
(63)
Re^>0, |Re(v — \x)\ < 1,
CO
J» W Jv (•*) — ^ (•*) >'v (•*) = 4л;-1 J K^v (2л: ch 0 ch [(\x - v) t\ dt, (64)
и
* > 0,
CO
Уц (*) Kv (*) + 7V (*) KM (*) = - 4лг' J У^ v (2л: ch 0 ch [(\i - v) t] dt, (65)
о
x> 0,
^ (*) ^v (*) - У v (*) *V (*> =
= 4я"^ Г Kvni (2z sh t) [е^-м f sin (\\n)-e(»~v)f sin (vn)]dt, (66)

112 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ [Гл.7
Уи (г) Yv (г) - Jv (z) K(J (z) =
OO
«4n;-2Sin[0i--v)n;] Г K^-» № sh t) e'{y^)t dt, (67)
о
Re^>0, | Re (v — |л) I < 1,
oo
Kv (a) /^ (a) = f /v + |i (2a sh 0 ^-^ / Л, (68)
0
3
Re(v — \x)< 2", Re(v + p)>—1, * > 0,
ou
[Kv W]2 sin (vji) = л Г У0 (2л: sh /) sh (2v/) Л, (69)
о
3
I Re v | < -, x > 0,
oo
[Kv (a)]2 cos (vjt) = — я Г K0 (2a sh t) ch (2vf) <#, (70)
о
3
|Rev|<j, a>0,
oo
/v (*) #n (*) + Jn (■*) *v (л:) = 2 J 7V+^ (2a sh 0 ch [(|i - v) t] dU (71)
0
3
Re(v + |u)>—1, IReOi —v)| <-j, a > 0,
oo
/v (a) Kn (a) - /^ (a) Kv (a) = 2 J Jv+]l (2a sh 0 sh [(ix — v) f] Л, (72)
0
3
Re (v + \i) > — 1, | Re (\i — v) | < -^-, x > 0,
I». (•*) #v (•*) — cos [(v — ц) Jt] /v (a) /(^ (a) =
oo
=*sin[jtfti —v)] Г Yv^]l(2xsht)e^v^)tdt, (73)
0
a > 0, | Re (v — \i) | < 1, Re (v + \x) > — -^,
uo
Jv (*) -¾^ - Yv (z) ^Jf>- = - 4я-' f Ко (2z sh t) e~ ™ Л, (74)
ОС;
0
Re z > 0,
= л K0 (2a sh /) sh (2v/) rf/ + cos (vjx) [/Cv (a)]2, (75)
о 3
a>0, |Rev| < j.

7.14] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 113
Относительно большинства из этих формул см. Dixon и Ferrar (1930) и
Meijer (1936, стр. 519),
Н& (х) Hf (у) =
оо . _( t у+ц (76)
-^/--^(¾¾^) ' ^(/^ + /+ **«**)<*.
— ОО
2яМ*)МУ) = ,Re(v-,)|<4,
v
-Я
,-/v.p/ *~У« ) 2 Kv+|i(/.*» + y»-2*ycos<p)<ftp-
* , -t v+fx
-2sln(vji) I е"(х + уе t ) 2 Kv+ll(Vx2 + y2 + 2xyrtt)dt, (77)
Dixon и Ferrar (1933), x>y>
oo
/vWXvia = J y2v (2/*gsh0«-(S"*)cll'<tf, (78)
о
Re v>-^-, Reg —*)>0,
oo
Kv (г) Kv (I) = 2 cos (vji) J /C2V (2 /¾ sh 0 e^+z) ch' Л, (79)
о
-I<Rev<l, Re(/F + /f)2>0;
см. также (25) — (27).
Интегралы, содержащие функции Струве.
7 , i (.£V—4gte)
^-v-> Hv (О Л - —i-=^ f^-, (80|
— 1 < Re |i< 1, Re v > Re (}x — y),
oo
НУ(0Нц(0< * dt= у рг - j-Г-,
* Г (n + v+2) Г (•* +т)Г (v + ^)
(81)
ОО .
Re (|i + v) > 0,
JHv(2^(^-l)'V^T^v^--^r(-i--v)^v[yv(^]2,
о 1
z>0, |Rev|<y.
(82)
Относительно дальнейших интегралов, содержащих функции Струве, см.
Mohan (1942); Morton (1950).

114
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
7.15. Ряды функция Бесселя
Ряды типа Неймана.
ОО
*V* = 2V Г (v) 2 (v + л) CI (у) /v4 я (*)i
/1 = 0
сю
[Т) v W ~ Zj /iir(v + l—[л —n)r(v + /i + l) ^+2/2 W
/1=0
(1)
(2)
Если v — \i — неотрицательное целое число, это выражение сводится к
конечной сумме.
2 ,. ffiVyWHr(«+i)
(Sin0)v 7 .
пг
п=о
оо
yv(^sine) = j/^(sin9)vJ]
r(« + v+l)
r(v + ^)x
1
X сЦ 2 (COS 6) J j (*), (3)
v+-j+2/z
oo
\ 2/ M^ л!(2л
(v_|_ 14.2л) Г (v + 1+/i)
+ 2v 4- 1)(2/14-1)
A> +1+2/1 (г)>
jv (г) л = sin vji
oo
2"
/1=1
oo
a'x6v V4
h (a^) yv (P*) = r(v + l) 2d (Y + 2W) /v+2m (г) X
m = u
(4)
(5)
X
OO
v (-1)»Г(у+т + я)а»« / „. vj_i. ii\
Ln=o
(6)
2 J ^ <«*) Л <P*) = r(|x+l)r(v+l7 X
OO
X^](Y + 2m)^l<y + m) FA-m, y + m, ц + l, v+1; a», P2)/Yf2m(*) (7)
/я = 0
(Bailey, 1935),
-^- Уц (г cos ф cos Ф) Jv (z sin ф sin Ф) =
CO
= (cos Ф cos ФУ (sin ф sin 0))v J] (- 1)" (ц + v + 2« + 1) Уц+у+2л+1 (г) X
Я = 0
vg Г(ц + у + я+1)Г(у + Я + 1) с. , .. .„,„_. i. „.,. /„.„„,411 v
Х ^!Г(и + « + 1)[Г(у+1)12 2 ' ' ' li + v + " + l- v+!' (sin(P)lX
X г/7, I- л, |i + v + и -)- 1, v + 1, (sin U>)2J, (8)

7.15] РЯДЫ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 115
[X и v не являются отрицательными целыми числами (Ватсон, 1949, стр. 403;
Bailey, 1929);
оо V
•'-»т(1+*)2тИтГЧ.«* |9>
/2 = 0 2 +П
оо
V-fX + rt
Hv-^A^^rGi + l)^ T(v + n + \)n\ Ы V«W, (10)
/2 = 0
v =^= ц, |л не является отрицательным целым числом;
( 2 \V + 2/2
V Tsin20)
Jv (z cos 9) /v (z sin 6) = 2j /iir(v + /i+l) 7v + 2rt (г)' (П)
/2 = 0
v не является отрицательным целым числом;
» и±\я
У (г + *)± Vv (/Т+й) = ^] l J2/ г * (v- ">* yv т m (/г), (12)
т=0
I А| <М,
- (±АГ
/(г + А)± v rv (/7+77) = J] "Ц^- ^(V_m)/2 ^v * ,п (Vz), (13)
m = 0
|А|<|*|,
m — v
™ ■ a2
OO
tf </>{zV\-a)= J r(J-v + l) "™-v(г)' (14)
Г(/?2 — V+l)
m = —oo
oo
//?> (* VT=-a) = /1^ 2 rfm-v + n^-v+iW» 0¾
Г(т — v + 1)
/72= —CO
CO
^003(^-2,0= 2 r(w-v+l)ym-v-JL(g)' (16)
tn= —со
oo
^ sin (^ + 2^)= J] TT-__fTyy _ (,), (17)
= —oo \ 2 /
CO
vv-,*)-//^*^^)-2-^^-^1,,,(-).. (18)
m=0
a)
/(S«-r»)-V/fv(^5»-r»)=24^rS"V",,,/CV + «<2rS)' ('9)

116
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
оо
sin(yn)_ = у_^ (г) + 2 V yn+v (Z) Jn_v (г),
V3X ^""
/2 = 1
оо
v_v (*)Т
. 2 J
/v (2* cos 6) = ГУ v (г)]2 + 2У^ (г) У v (г) cos (2лв),
л=1 у-"
(20)
(21)
т+«
Rev>0,-^-<6<|-,
ОО
л = 1
(22)
лУг
оо
А>+я (г) •> 1 (г)
V-y + Л
■/« (?*) = ^=- У, (" 1)й ,,/3 \
Ь1 я,г(т-я)
(23)
ОО
/о U /' -' - о = Л W 7о w + 2 к-')я + Г л] у« <*> 7* <*>•
/2 = 1
оо
/о [*(' + '-')] =■ [Jo wi2+ 2 (- iY4t2n + t-*n)Vn (*)]s.
Л-=1
оо
ber (/ 2л:) = J0 (*) I о (*) + 2 2 (- ^ Л/2 (*) /2/2 (*),
/2 = 1
00
bei (]^¾) =2^(- 1)" ■>»*+. (*) /Sn+I (*).
(24)
(25)
(26)
(27)
/2 = 0
Относительно дальнейших примеров см. Bailey (1935, 235); Wise (1935); Ba-
nerjee (1939); Bateman и Rice (1935); Fox (1927); Rice (1944); Rutgers (1942);
Nielsen (1904, гл. XIX — XXI).
Теоремы сложения и родственные ряды.
w = Y~z2-\-Z2 — 22Zcosq) и Cvn(z) — многочлены Гегенбауэра (см. п. 3.15).
оо
Л?
w~vH^ (2) («О = [Щ-)~ Г (v) J (v + ") CI (cos Ф) 7v+n (*)//<&J4(А (28)
v ,4=0,-1,-2 |z«±"pl<|Z|,
ОО
Я W- (2) (иг) = jQ (г) //</>• ® (Z) + 2 2 h (г> Яя'' <2) (z>cos (ЛЧ>)' <29>
l^'^Uizi,
ОО
t*-Vv (w) = (^)"Г Г (v) ^ (v + ")C^(cos cp)/v+n(г) Jv+n(Z), (30)
v=7=0, —1, —2, ...,
/2 = 0
oo
jo («o = л с*) л (^)+2 2 -/я (*) ^ (z>cos (лф^
/2 = 1
(31)

7.15] РЯДЫ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 117
ОО
-V
^-V/_VW = (^)" Г (v) ^ (_l)»(v + n)CV (cos ^)J_v_n(z)Jv,n(Z),
я=0
(32)
v^O, -1, -2 \ге±1*\<\2\.
Пусть el* = (Z - г*" "О/w и | г«± ^ | < | Z |.
ОО
Kv (•)«'**- 2 ^v+n (2) J„ (г) ein^, (33)
/г=-оо
оо
tfU), (2) (w) e/v* = 2 Wf'IffZ)^^^, (34)
/z = —oo
oo
Kv(w)elv*= 2 Kv+n(Z)In(z)elnv, (35)
/2 = -00
OO
/,(»)«'*♦= 2 (-D"/v+«(Z)/«(*)«'"*. (36)
/z = —oo
-V
^sin-|J 7V (2г sin -|.) =
oo
^2vT(v)^(v + n)[z^Jv+n(z)fCl(cos^ v=£0, -1, -2, ..., (37)
«=0
oo
У0 (2z sin -£-) = [/0 (z)Y + 2 J] [/« (*)]2 cos (mp) (38)
/2 = 1
ИЛИ
oo
*v A, ^04-^)1= 2 t2nJyl_n{z)Jn(z), (39)
/z=—oo
|П < 1 для v ф 0, ± 1, ± 2, ...,
oo
iVv^r'-Ol- 2 (-l)"*2"^-»^) •>«(*). (40)
П-— oo
Щ <1 для v=£0, ±1, ±2, ...,
exp(± //^2 + Z2 —2*Zg^) _
fz2 -\-Z2 — 2zZ cos ф ""
00
= ±
irw S ("+t) j i(г) я<!)' >2) (Z) p"(cos *>• (41 >
U*±,(p|< |Z|,
2v
(-5-) Г (2v) = Г (v) Г (1 + v) 2 (v + я) Г (2v + п) [Jv+n (г)]*/nl (42)
л=0

118
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
[Гл.7
V
2
(sin a sin Р)2 J j (z sin а sin Р) eiz cos а cos p =
v--
»4
oo
= 2. , у '""'<*,+ ") 7V+B <*) CJ! (cos a) C* (cos Ц),
/яг ^ T(2v + n)
n=0
(43)
OO
cos (г cos ф) = 2V Г (v) 2 (-l)n(v + 2n)*-Vv+2ll (*) С?я (cos q>), (44)
/2 = 0
OO
sin (г cos ф) = 2V Г (v) 2 (-D" (v + 2« + 1) *~v У,+2я+, (г) C£„+1 (cos q>).
/2 = 0
(45)
Ряды типа Каптейна.
vjt Jv (v,?) = sin (vjt)
OO
VJt
Ev(v*) = 2(sin^)2-4v2 2
/2 = 1
^ Л2 — V2
/2 = 1
OO
sin2 [(v + ri) я/2]
(46)
л2 — V2
•/» ("). (47)
OO
V\
==--1+2^1^ («*)]'.
(48)
n = l
OO
/2=0
(49)
OO
sin z
= 1-^(4^-1)-1 [Jn(nz)]\
(50)
/2 = 1
OO
-1-^1+2^^(/120.
(51)
/2 = 1
Ряды Шлемильха и родственные им.
оо
^(v + l) 2j ™$(т0 \^y~) Jv(mx) = — -2 ПРИ 0<x</<jt,
m = l
2^ x V x2
t*\v~-
при 0 < * < л: < л, (52)
1
Re v > — у (Cooke, 1928),

7.15] РЯДЫ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ 119
оо
-М- / mu \~v
m = l
+ ^7 ГТ 2^i(t-v;1; m + 1; £), (53)
n> у >x>0, [x, v > — у (Cooke, 1928),
00 --1 v + —-
v + ^) 2j cos (//г/) (~тт) Hv (/ил:) = —7^'
m = l '
0 < x < t < л, Re v > —1 (Cooke, 1930, стр. 58),
l
1 .,/-- , л t2 \V + T „/.11 , 3 , t*\
0 < ? < x < я, Re v > — 1 (Cooke, 1930, стр. 58),
(54)
CO
-v
,v = _2r(v+l)S(-ir(^)"-^v(^).
(55)
m = l
0<*<a, v>0,
oo
л Jv (x) = 23_v 2 ™l"v (4^2 — I)"1 Hv (2mx), (56)
m = l
0<л:<я, v> —-^-,
*v-iy^_rtrjv+^jjaj "VHv(a^) + ^r(v + l)(-j) \ (a*) =
00 1-
= 2r(v-t--ij^m(OT2_a2)-i[1_(_1)m^an]^\ yv(mjc)i (57)
m = l
0 < x <л, v>2".
Относительно (55)-(57) см. Pennel (1932).
Разложения типа Фурье — Бесселя. В последующих
формулах v и г произвольны, но v Ф — 1, —2, —3, ... Обозначим через ± Yv, п
(п— 1, 2, 3, ...) нули функции z~vJv(z), расположенные в порядке
возрастания величины Re (yv, п) > 0- Тогда имеют место формулы (Buchholz, 1947):
ffi(ff !А> (*) Yv (**) - Jv (Xz) Yv (z)] =
GO
- S A {*• Yv, «) Л- (^Yv, „) [A+l (Yv, «)r2(*2-Yv, „) \ (58)

120 ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
оо
v> п Jv v-^Yv» п)
7v & tfx (Yv, a — **) Jv +1 (Yv, n)
oo
-*v + 2^2 2 7v <Y*"* > -, 0<дг<1,
^ Yv, «(Yv,n — *)7v4i(Yv> n)
OO
oo
2" In X = — ^ 70 (xyn) J0 (Xyn) [y„Jl (yn)]~2,
/2 = 1
0<Х<Л<1, Y/z = Yo,/г»
OO j
[JQ(z))-l=l-22bo,n(z2-ylny +Уо\][Л(Уо, п)Г1>
oo
[У„ <*)]" 2 = 1 + 4 2 [Yo, „ (^2 - Yo, ») + (^2 - Yo, „) ] ['i (Yo, „)]
-1
[У, {z)]~' = 2z-' + 2г 2 [(*» - Yi, „) Л, (Yi, „)]' .
л = 1
-2
[/1(^)Г2-4^ + 1+42Кл(^-У1,яГ +
+ (^-yD"1][^(Yi,w)]
Относительно формул (62) — (65) см. Forsyth (1921).

ГЛАВА 8
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
И ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ
8.1. Введение
Пусть хь х2, хг— декартовы координаты в трехмерном пространстве.
Определим параболические цилиндрические координаты g, г\, £ с помощью
формул
I2 — у\2
и координаты параболоида вращения £, x\t ф с помощью формул
£2-Л2
Пусть
х{
=
1ц
COS ф,
Д =
х2 =
д2
' дх\
■Ъч
+
БШф,
д2 +
х3 =
Ох]
2
(2)
— оператор Лапласа, и пусть / — любая функция, зависящая только от хг>
Преобразуя дифференциальное уравнение в частных производных
&и + /(х3)и = 0 (3)
к параболическим цилиндрическим координатам, получаем следующее
уравнение:
.,„ . оч-1 / д2и . д2и\ , д2и , ,./вРЧ л
(4)
Оно имеет частные решения вида if (£) V (г|) W (£), где U, V, W
удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям
d2U d2V
d\2 ' v ъ ' ' ' di\2
d2W
dl
2
+ 1/(0 —о] W-0 (6)
с произвольными постоянными а, А.
Аналогично, если k2 постоянно, то дифференциальное уравнение в
частных производных
Аи + k2u = О,

122 ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА [Гл. I
преобразованное к координатам параболоида вращения, имеет вид
+ (^Г24^- + *г" = 0. (7)
(12+чгГ2
,_! д /с. ди \ . _j д ( ди
-Ь л-1 -^- л
д£, \ дс, ) дх\ \ дг\ /J ч ' дф
Оно обладает частными решениями вида U (£) V (ц) W (ф), где U
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
d>U +_-lM+ (^2 _ ^2,-2 + к) ц = а 8)
V удовлетворяет уравнению, аналогичному (8), с той лишь разницей, что
знак при А изменен, a W удовлетворяет уравнению
d2W
-ЗфГ + ^w = а <9>
Для того чтобы эти решения были однозначны и непрерывны на
параболоидах £= const и т] = const, 2u. должно быть целым числом.
В случае, когда пространство имеет более трех измерений, возможны
различные обобщения проведенного исследование уравнения (3).
Относительно некоторых из них см. Humbert (1920а, Ь, с, d).
Решения уравнений (5) и (8) можно выразить через вырожденную
гипергеометрическую функцию. Уравнение (8) содержит две существенно
независимые постоянные и, следовательно, обладает той же степенью общности,
что и вырожденное гипергеометрическое уравнение 6.1 (2), но для
большинства краевых задач важны лишь частные случаи, где 2\х — целое число,
а постоянные k и Л вещественны. Здесь будут изучены эти случаи, а также
решения уравнения (5).
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
8.2. Определения и элементарные свойства
Путем простой замены переменной уравнение 8.1 (5) можно
преобразовать в
dz*
+К14)^а
а)
Решения уравнения (1) называют функциями параболического цилиндра
или функциями Вебера — Эрмита. Их можно выразить через
вырожденную гипергеометрическую функцию. Если положить
У-1 Z1
Dv{*)-2~e~~*v(±=2-; -|; -£), (2)
V+1/2 __]_
2 ' 4

1.2] ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА 123
(относительно обозначений см. 6.1 (1), 6.9 (2) и п. 6.5), то ясно, что функции
Dv(*), Dv(— г\ D.v.,(£>)f D_v_,(— iz) (5)
удовлетворяют уравнению (1). Равенство (4) позволяет найти значения
функции Dv (-г) и ее производной при ^ = 0. Уравнение (1) имеет два линейно
независимых решения, поэтому его частные решения полностью
определяются своими значениями и значениями производной при z = 0. Отсюда
вытекают следующие соотношения:
v (} уы
vji/ \ni
le 2 D^x(iz) + e 2 D.v.!(—te)Jf (6)
(v+i) m
= e-v«/0v(_i) + _K^.e- 2 D_v_i(te)> (7)
(v+l)m
-evn«z)v(_2,) + _K^_e 2 D_v_i(_te)j (8)
а также соотношения, которые могут быть получены из них заменой z
на — z. Пользуясь этими соотношениями, можно установить зависимость
между любыми тремя из решений (5).
Функции параболического цилиндра являются целыми функциями от z.
Если v = п — неотрицательное целое число, то из равенства (4) следует, что
е4°Аг) = У¥НпШ (9)
является многочленом; Нп (х) называют многочленом Эрмита степени п
(см. гл. 10). Если v не является целым числом, то Dv (z) и Dv (— z) линейно
независимы. Для всех значений v функции Dv (-г) и D_y}_x (± iz) линейно
независимы. Определитель Вронского для этих решений дается формулами
Dv (z) A Dv (- z) - Dv (- г) -L Dv (z) = г^} , (Ю)
Dv (z) -j£ O-v-i (iz) — £>_v-i (iz) -j^- Dv (z) = — i exp f — -^-
(11)
Если v и -г вещественны, то значения Dv (z) тоже вещественны. Если
в дифференциальном уравнении 8.1 (5) а и Л вещественны, то оно имеет
вещественные линейно независимые решения, выражаемые через Dv. Если
предположить о > 0, то уравнение 8.1 (5) можно преобразовать к виду
d2y . (х2
dx''
+ (^-р)>- = о,
(12)
х X
где £ = —.— , р = т=> и мы получаем, что вещественные и мнимые
части функции
Vi^TT') ,13)

124
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
[Гл.
удовлетворяют уравнению (12). Другими решениями уравнения (12),
вещественными на вещественной оси, являются
Г [(3 - 2р)/4]
(2/р+З)
2 4 уи L
Г[(1-2/р)/2]
D
Ф-
т \ f in
,е х) -\- D j \— е х.
/р-2
= У о (*),
(2/р+З) __
4 У^Л (1 + /) L ф"2
*Я
D г\е х) +D
т
,— е х>
Ф-у
= У1 (-*)>
Re
— Im
зяр —_____ /_1+_Л /
/2* 4 УУ\+е-^+\е [2 s)
in v х
лг#
Ф--
= У 2 (*).
Ф-2
«я
Т"
= Уз (*)»
где у' = arg Г I—■ -|- /р); у0 и у! образуют фундаментальную систему в точке
л: = 0:
у0 (0) = 1, У! (0) = 0, Уо (0) = 0, у[(0) = \;
поведение у2 и у3 в окрестности точки х = со описывается так:
,— _Р_
"У 4 *' '/l+^2jtp+lsin[^W][l + 0(^-%
У2
_Р_ ——=———
У*=У л" У /l +^"2яр- 1 cos fc (х)] [1 + О (*-')],
где
Мы имеем также
х зх v
у3(— *) = y2W.
J. С. P. Miller использовал у2 и у3 для вычисления таблиц значений; у0 и ух
были исследованы в работах: Wells, Spence (1945) и Darwin (1949).
Из (2) и 6.6 (6), 6.6 (7) получаем
Dv+1 (г) - г Dv (z) -f v Dv_2 (2-) = 0,
(14)
а из 6.6 (10) находим
d
d
т
dz
т
[4
Г __
(«)J - (-1)" (-v)„ в 4Ov_m(^),
(15)
v («)J «(—1)™ « 0v+m(*). m-=1, 2, 3, ... (16)

•з]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЫ
125
Далее, из (15), (16) и формулы Тейлора вытекает, что
2*у+у» со
(— У)
£>v (■* + у) = е
2
/?г!
£*v+m (■*) =
га = 0
2лгу-ьу2 сю
= е
2UW--.W.
(17)
m=0
Это равенство при v = 0 дает производящую функцию для Dn (z) (то есть
для многочленов Эрмита, см. (9) и гл. 10):
z2- Azt + 2t2 со
ЧГ4 tn
(18)
л=о
Если v — отрицательное целое число, то Dv (,г) можно выразить через
функцию Гаусса
/ z1
D.m.l(z) = V2
° —-—£
т
т\
е Erfc -^=- 1,
dzm v у 2
(19)
1
а если v = ^ , то через модифицированную функцию Бесселя третьего
рода
d^i{2)^V]t
*1
2 *xi\ 4 Г
4
(20)
8.3. Интегральные представления и интегралы
Интегральные представления функций
параболического цилиндра Dv (£).
V
у £_
г — ^
2 «> ^2
Ч)
/
о
_i _v_ V-1
е 2 t 2 (1 + 0 2 &U
Rev<0, |arg^|<-^,
v-l
2 2
оо
r[(l-v)/2]
ze
tz2 -(1-l-v)
V
0
e 2 t 2 (1 + t) 2 Л,
Rev<l, larg^K-j,
0)
(2)
oo
r(-v) J
0
С -zt-
e
2rv-ldt, Rev<0,
(3)

126
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
[Гл.
°v <*> = ]/|
?2 °°
2
f* cos Izt — -^М dt, Re v > — 1,
»-(/*)-
a
2z
oo
vov-1 <*
*v2
322
£>v (2-) = 2
2 4 VTtf 4 (2л/)"1 X
^т- J е-**?'1 exp [- УШ] dt,
Re v > 0,
0
X
"r(5)r^ + 4-sb^-|-s
*2\S
—/oo
г11 + 1)гЦ-|
Зл
|arg^|<-^-
1
1
v=£ 2 , 2 , 2 '
• • >
oo
e~zt dt,
Dv (г) D_v_, (2г) = 2 j / j (t*) cos (** - -^-)
о v+7
Re*>0, Rev>—1,
Re v < 0, Re 2- > 0,
Dv \«г£
Dv \ze
r(-v) J
,-2/
rftf,
0
-v-2
/1
Г Я
r(-v) J
oo
/C (*2) cos (** — ^\e-zt dt, 0<-Rev<l,
oo
0
(ch 0V (sh 0V_1 exp (— -y- sh ^ Л,
(4)
(5)
rfs, (6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Jt
Rev>0, |arg^|<-j-.
Для доказательства интегральных представлений (1) — (5) достаточно
проверить, что их правые части удовлетворяют дифференциальному
уравнению 8.2(1) и принимают нужные начальные значения при £=0.
Равенства (1) и (2) можно вывести также из 6.5(2), 6.5(6) и 8.2(1). В равенстве (6)
путь интегрирования должен быть выбран таким образом, чтобы он отделял
полюсы функций Г (s) от полюсов двух других гамма-функций в числителе
подынтегрального выражения. Эта формула является следствием 6.11 (9).
Интегральные представления (7), (8), (9) доказаны Мейером (Meijer,
1935b, 1937а), а (10) доказано Бейли (Bailey, 1937). Здесь /v и /<v означают
функции Бесселя порядка v; см. 7.2 (2), 7.2 (13).
Существует большое число других интегральных представлений для
функций Dv или для произведений двух функций параболического цилиндра.
Относительно произведений Z)v см. Meijer (1934, 1935а, 1938а). Интегральные

8.3]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЫ
127
представления Dv, содержащие другие вырожденные гипергеометрические
функции, были даны в работе Meijer (1941). Относительно других
результатов, связанных с (7), (8), (9), см. также Meijer (1937b).
Интегралы, содержащие функции параболического
цилиндра:
00 6
e~ztt 2 D_v(2Vkt)dt =
V
о
V
2 2 Vn Г (Р)
(3
v-f-p + 1 \ {Z + k) l F\2 ' 2 ;
v P. v + p + 1 . z-k
' z + k
(11)
9
Re р > О, Re -| > О,
со
^1
г4 D_v(0*2c~!<D (я, с;
2
rf/ =
о
Г(2с)Г(2-с + а;
/7 [а, с + ^; a+^ + j; 1
J/jrt
2-Т г(^)г(, + 1+|
(12)
I—/?|<1, Rec>0, Re v > 2 Re (с — л),
со
г2
.4О„,(0^-2Ф(й, с; -4
dt =
О
1
1 —р|<1, Re с >-^, Re v > 2 Re (с — а) — 1,
со
"4
tve q D2V (t)Jv_l(tz)dt^
о
»v
1
= Г1у + ^гив 4Ф(-Ч -£-; ^-), Rev>-^, (И)
2/ /
л;
2 ' 2
2
со
}^2 яц »
-{х-у? у2
— оо
t/
— со
— ,7 Dv(y)rfy-(1 -,)v/2/2/(4-^ Dv (у=г), (15)
0< Ren < 1,
^У 4 Dv(y К^Х) rfy = ^2п1У е 4?l dv(/a- 1/1—1), (16)
Re X > 0,

128
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
[Гл.
ио
1 у2
1 х1
\ V-xyJv(xy) У в2 D_2v(y)dy-=x 2e4D_2v(x), Rev>— -=-,
с/
о
оо
■ V
U
»,(Я< ' цгр^'У
-/т
.V-1 л4
Re v > — 1,
? _^
V
\е А tv'x Dv{t)dt = 2 2 Г (v) cos №-\, Re v > О,
о
ОО .2
4 <tU-l
в *tv-lD_v{t)dt = -\;
(Ц + У)
]/л2 2
О
r[(H + v + l)/2]
Г М D
гтг. Re^>0,
оо
О
D[X(±t)Dv(t)dt
ц + v-H
зх2 2
(.1 ^— V
г(т-*М-т) -HMW)
Здесь Re ^ > Re v, если выбраны нижние знаки.
*(т-7)-*(-г]
J [Z)v (0]2 dt = "J/ -J-
Г (- v)
и
оо
Г [D п (t)]* dt = У"2я п\, я = 0, 1, 2, ...
о
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
В этих формулах F, Ф, У, ф означают гипергеометрические и
вырожденные гипергеометрические ряды, функции Бесселя первого рода и
логарифмическую производную Г-функции.
Равенство (11) следует из 6.11 (2) и формулы обращения для
преобразования Лапласа. В силу 2.1 (26), 2.1 (2) в случае, когда Р = v -(- 1 или v = — 2п,
гс = 0, 1, 2, ..., правая часть равенства (11) сводится к элементарным
функциям. Относительно доказательств формул (12) и (13) см. Erdelyi (1936).
Более общие формулы этого типа, содержащие pFq (см. п. 4.1) вместо Ф,
были даны Mitra (1946). Доказательство формулы (14) провел Meijer (1938).
Для того чтобы доказать (15), достаточно подставить вместо Dv
выражение (3) и изменить порядок интегрирования; если \л стремится к 1, то
правая часть (15) стремится к xv. Формула (16), по существу, совпадает с (15);
формулы (17), (18) принадлежат R. S. Varma (1936, 1937); Watson (1910)
доказал (19), а формулы (20), (21) принадлежат Erdelyi (1938); при v = \х из
(21) вытекают формулы (22) и (23). Из формулы (21) следует также, что
функции Dn(t), /2 = 0, 1, 2 образуют ортогональную систему функций
на оси (—оо, оо).

8.4]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
129
8.4, Асимптотические разложения
Из 8.3(6) находим, что (см. Уиттекер—Ватсон, 1951) для больших
значений |z | и фиксированного значения v справедливы асимптотические
разложения:
v\ / 1 V
Dv (z) — zxe
— ,V„ 4
N
s
/7=0
* In\ * * In
tl\
.2 \ П
+ 0\z'
-N-\
L.
Зл Зл
r<arg^<—,
(!)
Dv (г) = гув
V. 4
N
2
я=0
V
V
2 h\2 2 n
-N-l
±UL+0\z*r-1-
n\\ —
V2
-2 N
T(-v)
V) ^J
-1 (-+-
о 1 о \ о
/1 = 0
1.11¾.
л 5лх
-г- < arg z <
4 '
Dv (z) = Л
V,, 4
n [_Л (±_1
1
/1=0
* / п\ * * /п
-N-1
^L + okT"-1-
л! —
2
2 TV
V \ / 1 . V
/2л л^я# _v_i т V ULU + 2J„
T(-v)
*-VJt/* *" - *
/2=0
nlf
»2 \«
+ 01^1-^-1
\ 2
5л л
_<arg*<-T,
где использовано обозначение
(сс)0=1, (сс)„ = a (a -[- 1) ... (a -)- /г — 1), л = 1, 2, 3, ..,
(2)
(3)
(4)
Поведение Dv (г) при | v | -> оо и любых значениях г, удовлетворяющих
неравенству | z | < |/"|v |, было полностью изучено в работе: Schwid (1935).
Его результаты основаны на методе Лангера (Langer, 1932). В качестве
частного случая мы получаем следующий результат, который в
приведенной здесь форме был получен Cherry (1949).
л
Если | z | ограничен и | arg (— v) | < -^-, то при | v | -> со
Dv (z) « — exp
[•ь,(_^_^_^.][1+0( • )]
(5)

130
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
[Гл.
8.5. Выражение различных функций через Dv(x)
8.5.1. Ряды. В частном случае, когда х принимает положительные
вещественные значения, из 6.12 (3) следует, что
2
Dv (х) =
оо
2
(-1)" Dm (х) _
r(-j).To »>2»(л-|)
2(V -1)/2
СЮ
— v)/21 -J
Г[(1—v)/2]
л =о
(-1)" £>,„+, (*)
(1)
Эти формулы могут рассматриваться как интерполяционные формулы для
функции Dv (х) от v; узлами интерполяции являются неотрицательные
четные или нечетные числа. Выражение для Dv (х) D^ (х) через Dn (}^2х)
(/г = 0, 1,2, ...) дал Dhar (1935); Shanker (1939) доказал теорему
сложения
(х s\nt — у cos 02п
Dv (х cos t -\- у sin t) = exp
оо
X
Я=0
X
(tgt)nDv_n(x)Dn(y)(cost)v> (2)
jt
которая справедлива, если t, х, у вещественны, причем 0 ^t ^-, Re v ;> 0.
Erdelyi (1936) доказал разложение (см. 8.4 (4))
^*,ц
= 2-хУ г
S l А /JD2 1 « + **
.(3)
где через Rp обозначен остаточный член. Этот ряд обрывается, если 2|л
равно половине нечетного числа. Во всех остальных случаях ряд, вообще
говоря, расходится, но остаточный член допускает оценку. В частности, если
т
I arg г | < -j и р велико, то разложение имеет асимптотический характер.
Из разложения 6.12 (6) можно вывести разложение Dv (г) по функциям
Бесселя, причем функции Бесселя в этом случае сводятся к
элементарным функциям, поскольку их порядок является полуцелым числом. В
частности, мы имеем
Dv <*) =
Vn2v
-X^{cosS-2-V^[(l-f)sin£-,cosS]+...}-
U )
yfV j sin i - 2~6x-2 f(1 - E») sin E - 6 (l -
/хг(1-к) l L V
2?
&]+•••}.
где
* = -J+j>0, C = l/2xz,

.5]
ВЫРАЖЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ Dv(x)
131
и если £ ограничено, то члены, обозначенные многоточиями, имеют поря-
-3
док И
Задача Штурма — Лиувилля, связанная с уравнением 8.2(12), приводит
к некоторым ортогональным системам функций на конечном отрезке (0, х0).
Это, по сути дела, функции параболического цилиндра, порядок которых
1 / ч зх Ззт
имеет вид ф — -~- (р вещественно), а переменная имеет аргумент -j или —
(см. п. 8.2). Относительно приложений см. Magnus (1941). Относительно
задачи Штурма — Лиувилля в общем виде см. гл. X книги Айнса (1941).
8.5.2. Представления в виде интегралов по параметру.
Теорема Черри (Cherry, 1949). Если f (х) имеет ограниченное
изменение на любом конечном отрезке и если она абсолютно
интегрируема на оси (—оо, со), то
--+*оо
— 4т f (х) =
,(v+y2)m72
sin vjt
оо
dv [Dv(hx)D_v_l(ht) +
■ _-*oo
— со
где
+ Dv (— hx) D_v_, (— ht)} f (t) dt,
iji
iji
h = e4 , h = e 4.
Условие абсолютной интегрируемости f можно заменить на
/(") = ГТ(^ + ^)[1 + 0(иг1)]
i
(4)
(5)
(6)
при х-> ± оо, где а вещественно и больше -=- и где с1у с2 — постоянные
(которые могут быть различны для л:->-)-оо и х -> — со). Условие (6)
нужно в некоторых граничных задачах см. (Magnus, 1940). Равенство (4)
аналогично формуле обращения для интеграла Фурье. Оно может быть
упрощено, если / (х) является четной или нечетной функцией от х.
Cherry (1949) применил формулу (4) к функции / (х) = D^ (hx) при
х > О, f(x)==0 при х < 0. В формальном смысле (хотя в этом случае
условия (4) и (6) не выполняются) формула Эрдейи для выражения плоской
волны в параболических цилиндрических координатах является частным
случаем теоремы Черри, а именно:
— 2/ У~2п ехр
— — (£2 — if) cos tp — у £т! sin ф
-1+lco
- !
dv
Sin VJt
l
~2-'°о
5_
tgv2
Ф
cos^
+
/М-Л6)Я-у~1<Лл) +
ctg
V Ф
. ф
D_V.,(A|)Z>V(—Ат])
(7)

132
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
[Гл.
(см. Erdelyi, 1941). Здесь h определяется формулой (5), а равенство (7)
справедливо для всех вещественных значений g и т]. Для задачи о дифракции
плоской волны на полуплоскости Cherry (1949) вывел для отраженной волны
формулу
-2i Do^h^ cos i + Ti sin y)]D-
h [ к\ cos -|- — £ sin ^-
--+.oo
tgVJL
Sin VJt ф
cos ^-
^(-Л0О^_,(Лт1) (8)
---.oo
(«волна Зоммерфельда»).
Частным случаем равенства 6.15 (15) является выражение цилиндрической
волны через решение уравнения 8.2 (1), а именно:
V^Hf
k (l2 + т)2)
c+too
С— too
Dv Wk (l + 0 El Я-v-i l/л (l + 0 л! г (- у) г (^г1) ^v'
(9)
где —1 < с < 0, |, т] вещественны, Re /& ;> 0. Другие выражения левой
части равенства (9) через интегралы, взятые по параметру функции
параболического цилиндра, могут быть получены из теоремы Черри; см. также
Magnus (1941). Erdelyi (1941) доказал также следующие формулы, которые
могут рассматриваться как линейные и билинейные континуальные
производящие функции для Dv (см. также 6.2 (20)):
_1_
2ш
С + 1СО
(z2+4zt-r2t2)
Dv (z) tv T(—v)dv = e
с < 0, | arg 11 <
V
c—ioo
(10)
/я/2
2ш
C+loo
[Dv (x) D_v_, (iy) + Dv (- x) D_v_, (-iy)] 4r, V ^
c — ioo
sin (— vjt)
exp[-| ,Ц^(*2+Я + '^^1. -Kc<0, |arg*|<y. (11)
/l-f *2 Г[4 l_|_^2
8,6. Нули и дескриптивные свойства
При любом фиксированном значении v формулы 8.4(1)—8.4(3)
описывают поведение Dv (z) при больших значениях | г |; если v и г вещественны,
то Dv (z) также вещественно, хотя это, казалось бы, противоречит
формулам 8.4 (2) и 8.4 (3). Если v вещественно, то Dv (z) имеет [v -(-1]
вещественных нулей, где [v —|— 1] означает наибольшее натуральное число,
которое меньше, чем v -|-1, и равно нулю, если такого натурального числа не
существует. Это выводится обычным способом из дифференциального
уравнения 8.2(1). Если v = п — 0, 1, 2, ..., то Dn(z) имеет ровно п
вещественных нулей и не имеет других нулей. Относительно других результатов,

8.7]
РЕШЕНИЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
133
касающихся вещественных нулей таких решений уравнения 8.2 (1), которые
вещественны на вещественной оси, см. Auluck (1941); относительно
асимптотических формул для вещественных нулей Dv (х) при вещественном v
см. Tricomi (1947).
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ
В следующих двух пунктах приведена лишь малая часть формул,
полученных при решении граничной задачи для уравнения Ди -(- к2и = 0 в
координатах параболоида вращения. Относящиеся сюда вопросы были весьма
подробно изучены Бухгольцем; формулы, приведенные в п. 8.7 и 8.8, показывают,
какого типа результаты можно найти в работах, на которые сделаны ссылки.
8.7. Решения вырожденного гипергеометрического уравнения
в некоторых частных случаях
Если в уравнении 8.1 (8) k, \х, X являются произвольными комплексными
числами, то мы получаем дифференциальное уравнение, эквивалентное
вырожденному гипергеометрическому уравнению. Если же k и Я
вещественны, a 2fx — целое число, то уравнение 8.1(8) сводится к уравнению
^+Г'4^ + (4£2-/>2Г2-4т),=0,
(1)
d%2 ' ъ d
где
Р = 0, 1, 2, ... (2)
и т, | вещественны. Решениями уравнения (1) являются
ггм Л±и2\ г1^ р{±и2) (3)
±*т, -Z- ±tx> Т
(относительно обозначений см. п. 6.9). Эти решения связаны соотношениями
в' 4 М p(il) = e 4 М , (-0), (4)
"•- -/т-т
. / in (р 4-1)'
р! ехр I ят — '
=—п—р \ ' w . и-«>+
г(т+т-") "т'т
ы {р +1)
р! ехр I ят -\-
г(т+т+'гЧ) "'т^ ■
где g обозначает вещественное положительное переменное и arg(±/£) = ±-~-.
При |->оо и фиксированных значениях т, р мы имеем
И7 (¾ = |'Ъ-«Е+ят)/2 [ j + 0 (гi}]> (6)
it, f
w „ (- Ф = г'V'S-"^ [1 + 0 (г1)]- (7)

134
ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
[Гл.
Соответствующие выражения для Л1-функций в (3) могут быть выведены
из (4), (5), (6) и (7).
Функции
1Л(р+1)
Ы(р+1)
м
<т, т
р (¾ = е
-ф
(8)
вещественны при вещественных положительных значениях £ (если т и р
вещественны).
Если р и £ фиксированы и т велико, то 6.13 (8) приводит к следующим
асимптотическим выражениям:
_ /я 1 ят
±lr, f
X
--г lit
ХсЬ(т-2/т£±^
1 + 0
y-r)i'
(9)
К7
1_ ЯТ
(±® = V"2e±ixxTix(lx) 4е 2 X
—г Л
X cos ( + /т — 2 ~|Л;£
,+0'гт
(10)
где т, £ вещественны и положительны.
Erdelyi (1937) изучил случай, когда |т| и 1£| принимают большие
значения такие, что — является фиксированным отрицательным числом. Его
результат имеет вид
M_t „ [ix (2 sh Р)*] =
/я (ia+t)/2 /"2lh6
= Г(2ц+1)е V 2// T-^-i/£iiLP х
X sin Гт (sh 2P + 2P) — /|x — -] Jtl |~1 + О (^=
1
(И)
1
где т, р, И-+9* вещественны и положительны.
Для решения некоторых граничных задач используются следующие
функции. Пусть £0 — фиксированное вещественное положительное число.
Тогда существует такая последовательность вещественных чисел хп,
/2=1, 2, 3, ..., что
г, < т2 < т8 ... и М (¾) = 0.
Функции
/:
П ил
/Г 2
Р (¾)
(12)

ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ
135
ортогональны на отрезке (0, £0). Для того, чтобы вычислить хп при
фиксированном £0> и Для того, чтобы найти нормирующий множитель для
функций (12), Buchholz (1943) дал формулу
_1_^
(¾) 2 2 М (Ю =
/т' 2
оо
хП
г=0
1 +
Г 11+£)
т* ~1Г. /1С|
г 1+4 Zj г /
'('+*+*)(*)
ч
+ 1+4
/!
('+т+шГ'-;
-IV 2
+ TSf£ У
X
1С
*+1\ 2
(13)
где т, £ вещественны, т > 0, £ Ф 0, а также аналогичные формулы для
частных производных
д д д2
дт' д£' дх д^
функции (13).
8.8. Интегралы и ряды, содержащие функции
параболоида вращения
Как следствие из 6.15 (15) получаем
еЦх+у) _;
too
(*
х + у iVxy
W_St0(-2ix)Ws,0(-2iy)
ds
— loo
cos (jts)
(1)
Эта формула дает выражение сферической волны с центром в фокусе
параболоида через функции параболоида вращения. Формулу (1) впервые
доказал Meixner (1933), который также вывел формулу
toplpl г(р+1+2й»)Г(р + 1-2/а) (*У>(Р+1)/2
<?Р +1)!
М
(Х + У)Р+1 -21а, Р.
<* + У) =
Г [|- + -i-+'(« + *)] Г [|- + | + /(<х-т)]х
— ОО
Хг[|- + |-/(а + т)]г[-|+1-/(а-т)]х
X М (х)М (у) dr,
ia+ix,-Y ia-ix,p/2
Re x > 0, Re у > 0, р = 0, 1, 2, ...
(2)

136 ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА [Гл.*
Интегральные представления для более сложных типов волн, имеющих
особенность в фокусе параболоида вращения, были даны в работе:
Buchholz (1947). Один из содержащихся там результатов имеет вид
(-1)
р-\
2
a+ioo
Ш^ I г(' + $+тМ-'+*+т)х
2л р\
(J — ioo
X f2W в (-2lx) W D (— 2/у) dst (3)
р
где
1 п
*>у>0, a<Y + f
и где 3F2 определяется как
Л = Л(-Я + А п + р + 1, ~5 + 1 + |-; /7 + 1, р + \; lj
(см. 4.1 (1) для определения обобщенного гипергеометрического ряда).
Если я =/?, то (3) эквивалентно 6.15(15). Надо отметить, что
И1 j является элементарной функцией; см. 7.2 (6).
Выражение для сферической волны с центром в произвольной точке
через функции параболоида вращения дано в той же работе: Buchholz
(1947). Если
Л = {[(*i — Уi) — (Хо — Уо)]2 + 4-КоУо + *ххух — 8 Vxl^Wi cos (cPi — Фг)}''2,
причем д:0, у0, лгь yt—вещественные положительные числа и x0>xlt
1
Уо > Уъ т0 ПРИ вещественном а < —
•п °°
Vw*; .g —2 s (2 - бо.,)cos [^;гф^ х
р = 0
а-ноо
хш J г(' + М)г(-*+2-+£)*
а— /оо
х
м
р (-2/*,) М р (-2/у,) W „ (-2/Jto) W р (-2/Уо)
Л, (4)
где 60,0 = 1 и 60, р = 0, если рч> 0.

В.8] ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ 137
Для плоской волны Buchholz (1947) дал смешанное дредставление,
содержащее как ряды, так и интегралы:
ехр [/ (х — у) cos 9 + 2 Уху sin 9 cos ф] —
1 ^ 2-60,
Yxy sin 9 ^о Р1Р{
It pi pi l cos (p(() x
o + too
хсыо- j r(s+|+|)r(-s+l+£)(lg»fx
a— ioo
XM p{~ 2ix) M p (- 2/y) tfs. (5)
S'~2 S'T
Некоторым интегральным представлениям из этого пункта
соответствуют разложения в ряды. В простейшем случае формула,
соответствующая (1), имеет вид
оо
, = ~j=\{-\)nW ! {-2ix)W г (-2/у). (6)
Относительно большого числа других рядов и интегралов см. Buchholz
(1943, 1947, 1948, 1949).

ГЛАВА 9
НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
9.1. Введение
Многие функции, встречающиеся в работах по прикладной математике,
могут быть выражены через неполные гамма-функции
х
у (а, х) = Г е~Ча-1 dt, Re а > 0, (1)
о
оо
Г (а, х)= Г^-^а_1^ = Г(а) — y(<*> -*)> (2)
X
которые в свою очередь тесно связаны с частным случаем а = 1
вырожденных гипергеометрических функций Ф(#, с; х) и *F (я, с; л:). В силу 6.5(1),
6.5 (2) и 6.5 (6) мы имеем
Y (а, *)=а_1.Л"*Ф(1, 1+а; х) = а~1^аФ(а, 1+а; — •*)» (3)
Г (а, ^) = Л-Л'¥(1, 1+а; *) = г-^ (1 — а, 1—а; х). (4)
При а = 1 вырожденное гипергеометрическое уравнение 6.1 (2) имеет
элементарное решение
еххх~с.
Поэтому частные виды вырожденной гипергеометрической функции,
которые будут изучены в этой главе, удовлетворяют простому
дифференциальному уравнению первого порядка.
Во многих случаях предпочтительнее рассматривать в качестве основной
несколько модифицированную функцию
Y* (а, х) =
х
-а
Г (а)
e-Ha-xdt =
v
О
,-х
1
= Г(1+а)Ф(1' !+а; *>дГ(1+«)Ф(а' !+а; -*>' <5>
поскольку она является однозначной целой функцией как от а, так и от х
и вещественна при вещественных значениях аи^,

9.2]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
139
Через неполные гамма-функции можно выразить следующие функции:
интегральную показательную функцию и интегральный логарифм,
интегральные синус и косинус, интеграл вероятности, а также интегралы Френеля и
обобщения этих функций. Для этих функций существует много различных
определений и обозначений. Обозначения, используемые в этой книге, будут
введены в пунктах, посвященных соответствующим функциям.
НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ
9.2. Определения и элементарные свойства
Неполные гамма-функции изучались впервые при вещественных
значениях х Лежандром (Legendre, 1811, том 1, стр. 339—343 и последующие
работы). Значение разложения
Г(сс) = у(сс, *) + Г(<х, х) (1)
было выяснено Примом (Prym, 1877), который, по-видимому, был первым,
изучавшим функциональные свойства этих функций (он обозначал их через
Р и Q).
Для этих функций применяются различные обозначения. Помимо
обозначений, используемых в этой книге, чаще всего применяется в настоящее
время используемое в астрофизике и ядерной физике обозначение
ио
Еп (х) = Г е-хии~п du = хп~1Т (1 — пу х).
1
Иногда применяется и обозначение Кп (х). Относительно формул в этом
обозначении см. Placzek (1946), Le Caine (1948) и Busbridge (1950).
Результаты теории неполных гамма-функций, полученные в XIX веке,
изложены в книге: Nielsen (1906а, особенно гл. XV, и 1906b), где приведены
также ссылки на литературу. Более современное изложение дано Бемером
(Bohmer, 1939).
Принято определять неполные гамма-функции с помощью неполных
интегралов Эйлера второго рода 9.1 (1) и 9.1 (2). Однако для того, чтобы
избежать трудностей, связанных с расходимостью интеграла 9.1 (1) при
Re ее < 0, мы будем определять неполные гамма-функции равенствами 9.1 (3)
и 9.1 (4), в которых функции ха и *F однозначно определены условиями
из гл. 6. В иных обозначениях определение 9.1 (2) было известно Лежандру.
В то время как функция у* (ее, х) является целой функцией относительно а
Я х, функция y (а> х) не определена при се = 0, —1, —2, ... Функция Г (а, х)
является целой функцией от а, однако, за исключением случая, когда а — целое
число, она является многозначной функцией от х с точкой ветвления х = 0.
Рекуррентные формулы
Y (а + 1, х) = а у (а, х) — хае~х, (2)
Г (а + 1, х) = а Г (а, х) + хае~х (3)
являются простыми следствиями определений и могут быть выведены из
неполного интеграла Эйлера второго рода путем интегрирования по частям.
Они могут быть использованы для иного определения рассматриваемых
здесь функций.

140
НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ
[Гл.9
Имеют место сходящиеся разложения по возрастающим степеням х
оо оо
Y(а. *) = *-*2, -Щ^7=11 п1(а + п
я=0 л=0
оо
? (— 1)"ха+п
о '
r(aiX) = r(a)_^l_T±^-r,
л=0
(4)
(5)
которые справедливы при всех х и а Ф 0, —1, —2, ... Здесь положено
(<х0) = 1, (а)п= Г(г(^")Л) =«(а + 1) ••• (а + /г —1),
/г = 1, 2, ...
Справедливы также асимптотические разложения по убывающим степеням х
т-М-1
? (1-а)т+0(иГЖ)
Г (а, х) = ха~1е~х
2^
т=0
(-*)
т
(6)
|л:|->оо, о" < ar%x < "о"» М = 1, 2, ...,
гМ-1
Y (а, *) = Г(а)— ^""^"^
S-4^+0(^1-^)
/и = 0
(7)
Либо пользуясь степенными рядами, либо непосредственно из
определения получаем формулы дифференцирования
dy (ее, х) dT (а, л:)
dx
dx
= xa~le~x
dn
dxn
dn
dxn
dn
[x~ay(% *)] = (—l)nx'a~ny(a + n, x)y
[exy (а, л:)] = (-1)72 (1 — a)„ exy (a — л, л:),
dxn
dn
dxn
U_ar (a, x)\ = (—1)" лг-а_лГ (a + n, x),
[exY (a, x)] = (—1)Л (1 — a)n exT (a — n, x).
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Последняя формула справедлива при я = 0, 1, 2, ...
Лежандру принадлежит разложение в непрерывную дробь
Г (а, х) =
е~хха
х +
1—а
(13)
1 +
х +
2 —а
1 + ...
которое может быть выведено из равенства (3). Другие разложения в
непрерывные дроби были получены в работах: Schlomilch (1871) и Tannery (1882).

9.2]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
141
В случае, когда а — натуральное число, вырожденные
гипергеометрические функции Ф (я, с; х) и W (а, с; х) могут быть выражены через
неполные гамма-функции согласно формулам
а дп
ф(п+\,а + \;х) = — ^-^[еххп-ау(аух)]у п = О, 1, 2, ...,
¥(/1 + 1,0 + 1;.*) =
п\ дхп
1
(14)
дп
п\ (1 — а)п дх
_ [еххп-ат ((Xj х)^ п = Qj 1} 2j _ (15)
Первая формула теряет смысл при отрицательных целых значениях а; однако
если перед тем, как устремить а к такому значению, разделить обе части
формулы на Г(сс + 1), то мы получим формулу, имеющую смысл. Вторая
формула теряет смысл, если а — натуральное число.
9.2.1. Случай целого значения а. В этом пункте
п
*п (•*) = 2а
,тп
X'
я = 0, 1, 2,
(16)
т = о
является усеченным показательным рядом, а Еп(х)— интегралом,
определенным в п. 9.2. Мы имеем
Y (1 + пу х) = п\ [1 — е~хеп (х)],
Г (1 + /2, х) = п\ е~хеп (х),
Г(1— пу х) = х1-пЕп(х).
С помощью повторного интегрирования по частям получаем, что
п-\
(17)
(18)
(19)
Г (—л, х) =
(-1)"
Ех(х)
-х
2<-i>
m
ml
xm+l
m = 0
(20)
fl — 1, Z, o, ...
Функция y (a> x) не существует при ее = — п} но из 9.1 (5) следует, что
Y*(—"> х) = хп. (21)
Следует отметить, что при натуральных значениях а и целых
значениях с вырожденные гипергеометрические функции Ф (я, с; х) и Ч (а, с; х)
могут быть выражены через рассматриваемые здесь функции. При а = 1 + п
и с = 2, 3, ... это вытекает из равенства (14). Для других целых значений с
надо разделить равенство (14) на Г (с + 1) и выразить правую часть через y*.
после чего устремить с к целому значению. Для функции Ч? при а = 1 + п
и с = 1, 0, —1, —2, ... имеют место формулы (15) и (19). Случай с = 2, 3, ...
может быть сведен к разобранному здесь случаю с помощью равенства 6.5 (6).
Если а близко к целому значению, то можно получить полезные
приближения для неполной гамма-функции путем использования значений ее
производных по а при целых значениях а. Используя интегральное
представление 9.1 (5), получаем, что
<?y* (а» х)
да
а=о
= — In х — Ei (х).
(22)
Значения производных при других целых значениях а получаются путем
использования рекуррентных соотношений.

142
НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ
[Гл.9
9.3. Интегральные представления
и формулы интегрирования
Основными интегральными представлениями являются неполные
интегралы Эйлера второго рода 9.1 (1) и 9.1 (2). Первый из них расходится при
Re ее < 0. Его можно заменить контурным интегралом
Y (а, х) = —
(0+)
(2/sinroz)-1 *а Г e'xa(—u)a-ldut
1
,а-1
(1)
где вдоль пути интегрирования — л<arg (— w)< л, х произвольное Ф 0 и а
не является целым числом. Если выбрать в качестве пути интегрирования
окружность — и = cos 6 -f- / sin 6, — л; <; 9 <; л, то получаем
я
Y (а. х) =
х
а
sin (яа) ь
о
^cosecos(a9-f Jtrsin 9) йГ9.
(2)
При Recc^O, х^О из равенства 6.11(13) может быть получен
вещественный интеграл.
Для функции Г (а, х) основными интегральными представлениями
являются 9.1 (2) и
оо
г (a' х) = TJT=v J
0
-tj.-a
е~Ч
x + t
dt.
(3)
Последний интеграл получается, если применить к последней функции *F
в 9.1 (4) формулу 6.5 (2). Непрерывная дробь Лежандра 9.2 (13) является
следствием формулы (3).
Другими интегральными представлениями являются
оо
Y (а, х) = ха/2 j e~t t{a'2)2 Ja (2 Yxt ) dt, Re a > 0,
о
(4)
Г (a, x) =
2xal2e~x
Г(1-а)
оо
a
е-Ч 2 Ka(2Vx7)dt, Rea<l,
(5)
Г (2 — 2a) Г (a, — ix) Г (a, ix) =
uo
/»
= 2
e-xtt-2a
lt +
-2/ 2 4 2 ' 2 ' * + 2/ J"1-
+
* —2/
2^1 (1» 2") "2 a5
* —2/
dt, Re a < 1, Re x> 0. (6)
Последнее из них принадлежит Tricomi (1950а).

9.4]
РЯДЫ
143
Некоторыми из наиболее важных формул интегрирования являются
оо
-st.ft-
fi-\ (се, 0 dt = ^" + Р> 2F, (l, а + Р; а + 1; —|—), (7)
CC(l-fs)U + P \ 1+5/
Re (а -+ Р) > 0, Re 5 > О,
оо
О
Р(1+5)а+Р \ 1
+ S
(8)
1
Rep>0, Re(a + P)>0, Re 5 > — у,
оо
г_5'у(сс, ^2)^ = 21-аГ(2а)5"1^ 8 D_2a|-—,,
s
(9)
Re а > — —, а ^ 0, Re 5 > О,
Г (а) л:а-р Г ^--^^-Р-^ (Р, x — xt)dt = T (Р) Г (а — Р) у (а, *), (10)
Rea>ReP> —1, ар ф 0.
о
Если в формуле (7) р = 1 или в формуле (8) а = 1, то гипергеометрическая
функция сводится к элементарной функции; в формуле (9) D является
функцией параболического цилиндра. Следует отметить, что интегралы (3) — (9)
были выведены Лапласом. Относительно других интегралов см. Nielsen
(1906b, с), Le Caine (1948) и Busbridge (1950).
9.4. Ряды
Степенные ряды и разложения в непрерывные дроби были указаны
в п. 9.2. Используя в формуле 9.3 (3) разложение
оо
(-*)я
X-\-t -Л (х)п+1
л=0
— = У
, t > 0, Re х> О,
получаем разложение по обратным факториалам
оо
Г (а, х) = е~хха У , *п , Re х> О,
^™ \х)п + 1
п-0
О)
где
с„ =
1
со
оо
я"Т(1—а) J
о
Из 9.1 (1) получаем
e-tt-a(—t)ndt = (—l)n
п\
Г(1-а)
e~tt-a(t \dt.
п
о
Y(cc, х-\-у)—у(ау х) =£ хха l I е и
О
(■+£
а-1
flfw.

144 НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ [Гл.9
/ и\а~1
Если | у | < | х |, то можно разложить 1 -| ) в биномиальный ряд,
почленно проинтегрировать и использовать формулу 9.2 (17). Таким путем
получаем разложение
Г (а, х) — Г (а, х + у) = у (а, х -\- у) — y («> *) =
оо
= е-хха-1У21(\-а)п(-хГп[\-е-Уеп(у)1 \у\ <\х\, (2)
л = 0
полезное для вычисления значений Г (а, х).
Неполная гамма-функция допускает большое число разложений в ряды,
многие из которых могут быть получены путем выбора частных значений
параметра в разложениях гл. 6. Мы укажем лишь часть этих разложений.
Следует отметить, что при h = 0, а = — 1 коэффициенты в 6.12 (7) могут
быть выражены через усеченный показательный ряд; 6.12 (6) дает
а со л
Y (а, х) = Г (а) е~х х 2 2 *« (-1) * 2 Ai+а (2 Ух ). (3)
/1=0
Если а не является отрицательным целым числом, то полученный ряд быстро
сходится при всех х Ф 0. В разложении 6.12(11) коэффициенты могут быть
выражены через многочлены Лагерра.
Если ху у — положительные числа, причем х^у, то имеем
оо
Г (а, х) у (а, у) = *-*"* (ху)а ^ (я+1)'(а)<|+, ^ <■*) 4°' М- (4>
/1=0
Предельном случаем этого разложения при у->0 является
^ Иа)(х)
Г (a, x) = e-xxa2j яя+1 , *>0. (5)
/1=0
Эта формула совпадает с частным случаем a = 1 разложения 6.12 (3)
\Ег-функции в ряд по многочленам Лагерра.
Относительно других разложений см. Nielsen (1906а, 82 и 83).
9.5. Асимптотические представления
При сс->оо, х = о (\а\) первый ряд 9.2(4) является асимптотическим
разложением; при х->со и a = о (| л: |) получаем разложение 9.2 (6). Если
х к а имеют один и тот же порядок, то разложение может быть получено
из 6.13 (17); однако в этом случае нелегко найти общую форму такого
разложения или установить условия, при которых оно представляет функцию
у (ее, х)у когда и а и х возрастают. Значительные осложнения возникают
в случае, когда х и ее —|— 1 почти равны, более точно, если сс->оо и
* = a + l+o(ja|).
Трикоми (Tricomi, 1950) провел изучение этого вопроса. Он ввел
параметр
У~а
г=— (1)
х — a v '
и рассмотрел два случая, соответствующие тому, мало или велико г.

9.6]
НУЛИ И ДЕСКРИПТИВНЫЕ СВОЙСТВА
145
Зя
Если г->0 и |arg^|<-j-, то он доказал, что Г (1 -|— а, х)
асимптотически представляется рядом
оо
е~хх1+а^ 1п(а)п\(х — а)
п = 0
-п-\
(2)
коэффициенты которого
л! In («) = { -§г \e~at (1+0°] }Ы0=1п~П) («)
(3)
являются некоторыми многочленами степени
л
~2
по a. Tricomi (1951) изучил
эти многочлены. В частности, имеет место формула
а , 2а
Г(1+а,*) =
e~xxa¥l
х — а
(х — а)2 "■ (х — а)3
+ 0(|a|2U-a|-4)
• (4)
Если £->oo (т. е. х и а почти равны), то следует различать два случая,
в зависимости от того, положительно или отрицательно Re а. В последнем
случае Tricomi использовал функцию
Yi (а, х) = Г (а) ха\* (а, — х)у х> 0.
(5)
Он показал, что если а -> -|- оо и у ограничено, то
y(l+ata + V2ay)= Г(1+а)
\У а/.
уи
Г (а) Yi (1 — а, а + 2 |/*2а у) = — л ctg (ал) + 2 ]/" л Erfi (у) + О (-^=-)
При а = л имеем, в частности,
(6)
(7)
(8)
См. также Furch (1939) и Placzek (1946) (добавления, которые сделал Blanch).
9.6. Нули и дескриптивные свойства
Результаты, касающиеся нулей при вещественных а и х, могут быть
получены из результатов п. 6.16. Оттуда вытекает, что:
I. Если сс>-0, то y («, х) не имеет нулей (за исключением х = 0).
II. Если 1 — 2л < а < 2 — 2л, где л = 1, 2, 3, ..., то y (а, х) имеет один
отрицательный нуль хг и не имеет положительных нулей.
III. Если —2л < а < 1—2л, п—\, 2, ..., то у (а, х) имеет один
отрицательный нуль х' и один положительный нуль х"\
Общее поведение этих нулей как функций от а может быть получено
из карты рельефа (рис. 5) для у*.

146
НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ
[Гл.9
Приближенные формулы для нулей, справедливые для больших
значений а, были получены Tricomi (1950b); он доказал, что
х'
= -(l-a)[l + -j/T-^ у* (a)+ 0( |се Г1)
(1)
1 + т
jr
х = — та —
In
v~-
ая
т
4-OIIal-1 (Inlal)2].
(2)
1 —|— т sin (ал)
Здесь через у* (а) обозначен единственный положительный корень уравнения
Erf (у) = ]/ j ctg (ay), (3)
а через т = 0,278463 ... единственный положительный корень уравнения
1 + х + In х = 0. (4)
Зафиксируем значение a > 0; тогда у (а, х) при х > 0 является
монотонно возрастающей функцией от х. Ее значения пробегают полуотрезок
-3-2-fO / 2 3 4
'Нарта рельефа дляу *(сс, си)
Рис. 5.
от нуля до Г (а), когда х пробегает луч (0, оо). Можно показать, что при
фиксированном значении х > 0 функция —J, ' является монотонно
убывающей функцией от а при a > 0. Tricomi (1951) изучил поведение неполных

9.7] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 147
гамма-функций в других квадрантах вещественной плоскости а, х. Он ввел
новые функции с помощью равенств
Г (а, х) = — a~le~xxaG (а, х), а < 0, х > 0, (5)
Yi (а, х) = a~1exxagl (а, х), а > 0, х < 0, (6)
Y* (— а, — х) = Г (а + 1) exk (а, *), а > 0, * > 0, (7)
и доказал, что в области их определения выполняются неравенства
-£-<»• §<»■ -&<* *>* '"<■•
Кроме того, он доказал, что |^|<!-^- при сс>Л, а также что &,
рассматриваемое как функция от х, имеет только один максимум или минимум, если
О < а < 1, и два экстремума, если а > 1.
Карта рельефа (рис. 5) заимствована из работы Трикоми. Она дает линии
Y* (а, х) = const.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НЕПОЛНЫХ ГАММА-ФУНКЦИЙ
9.7. Интегральная показательная функция
и интегральный логарифм
Основными функциями, рассматриваемыми здесь, являются
оо
Ех (х) = — Ei (— х) = Г е~ьГ1 dt = Y (0, х) = е~хЧ? (1, 1, х), (1)
оо
£*(.*) = — -J- е~Н~х dt, х>0, (2)
II {х) =
-X
r dt
•У
О
In*
Ei (In х) = — Е{ (— In х). (3)
В формуле (2) интеграл понимается как главное значение в смысле Коши,
то есть
— 8 оо"
при е -> 0, е > 0.
В книге Янке — Эмде — Лёш (1964) эта функция обозначается через Ei (л:).
Мы имеем следующие соотношения между функциями, определенными
равенствами (1) и (2):
— El(xe±ist) = E*{x)±ln, х>0. (4)

148
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НЕПОЛНЫХ ГАММА-ФУНКЦИИ
[Гл.9
Следующие формулы, а также некоторые другие могут быть получены
из формул первой части этой главы путем предельного перехода;
оо
оо
Ei
«** 1
(5)
£•(■*) = Y +In * +J]-яти". (6)
/2 = 1
где y — постоянная Эйлера, см. п. 1.7.2,
Ех (х) = х~1е~х
Lm=0
т\
(-х)
т
+ 0(\х\-м)
(7)
\х\->со,
2~ <arg* < -^-, Af = 1, 2, ...,
-1^
£* (л:) = л: V
М-1
2-
Lm = 0
$+0(ИГж)
(8)
л:->оо, л: > 0, Af = 1, 2
d*Ei(— л:) , 1чЯ_!
^
= (-1)^^/1-1)1^-^-^.,(^), /1=1,2 (9)
/2-1
rf*[g*Ei(—*)] ^ Y1 (—1)т /гг! 1 0
АЛ х'
т=0
(10)
оо
Rep>0, Res > —-^-.
К этим соотношениям присоединим еще интегралы Раабе
(П)
оо
I
0
sin (xt)
a2 + t2
dt = 1l-[eaxEl(ax) + e-axE*(ax)l a > 0, * > 0,
2a
(12)
CO
\
0
tf COS {xt)
a2 + *2
Л =
■i- [^¾ (ax) — e~axE* (ax)]y a > 0, * > 0,
(13)

9.8] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СИНУС И КОСИНУС 149
которые могут быть непосредственно выведены из (1) и (2), а также
оо
j (b + О"1 e~Ct dt = *bcE\ l(a + Ь) с], Re с> О, (14)
оо
f *■** In *<ft ==.^^(^), Rex>0, (15)
оо
f ta-1E1(t)dt = a-1 [T(a, x) — xaEl(x)]} Re * > 0, а ф 0. (16)
Относительно других интегралов см. Nielsen (1906, в особенности гл. II
и IV), Le Caine (1948), Busbridge (1950).
Из 9,4 (5) мы получаем
оо
£1<*> = «~Х2-?Прр (17)
/2=0
а из 9.4 (2)
оо
£i(* + y)=£i(*) + *~*2 "K-*r*~4i~*-4(y)L ш<|*|. (18)
л = 0
Формулы для Н (л:) могут быть выведены из формул для Ех (х).
При изучении распространения волн в рассеивающей среде встречаются
некоторые обобщения интегральной показательной функции. Типичным
примером является
X
Г е~иц-х dt} где u=V<*2 + t2.
о
Относительно этой и родственных функций см. Harvard University (1949b).
9.8. Интегральные синус и косинус
В современных таблицах используются определения:
х
si х = Г ^j- dt = ±j [Ei (ix) - Ei (- ix)l (1)
CO
Six =
0
sin^ ,. jt . .
dt = -^- +six, (2)
t 2
C1jc =
cos£ ,, 1
I/
со
p Л - -j [El (to) + Ei (- ix)], (3)
Ei (± ix) = Ci x ± isi x. (4)

150
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НЕПОЛНЫХ ГАММА-ФУНКЦИЙ
[Гл.9
Здесь ± /= ехр ( ± -к")- Nielsen (1906) использовал то же самое
определение для si и писал ci вместо Ci. Некоторые авторы употребляют символы Ci,
Si в несколько ином смысле.
Si х} а также si х являются целыми функциями от х:
Si (— х) = — Si (х), si (— х) = — л — si х. (5)
Ci х является многозначной функцией с логарифмической точкой
ветвления при х==0. Так как
х
Ci х = у -{- In х —
1 — cos t
i
dt,
(6)
то Ci* — Inx является четной целой функцией от х. В частности, мы имеем
Cl(xe±isl) = Cix±in, *>0. (7)
Следующие формулы, а также многие другие могут быть получены
путем непосредственного использования определений или результатов,
полученных в этой главе выше:
оо
п „2п + 1
si -Hj_ 1 - V (—1)"*"^
ai.*-2-t-si.*-^ (2л +1)1(2/2+ 1)'
(8)
/2 = 0
ОО
и=1
(9)
si х = — cos х
М-\
2^=3^+00-.--)
-т=0
+
Г N-1
-(-sin*
S(~irjr~1)! + o(ur^)
_m = l
(10)
л < avgx < л, M, N = 1, 2, ...,
rw-i
Ci * = cos л:
./72 = 1
+
-{- sin л:
Ж-1
Lm=0
— jt < arg л: < я, Af, iV = 1, 2, ...,
(11)
CO
I e~stC[ (*)rf* = —i- In (1 + s2), Res>0,
0
(12)
uo
j e~ st si (0 ^ = arctg 5, Re s > 0,
0
(13)

9.9]
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ
151
оо
[e~stt-1 ln(l +f)dt = [Ci (s)]2+ [si (s)]2, Res > 0,
oo oo
sin x si x dx =
о о
oo
J-
cos x Ci x dx = —
Jt
oo
J
oo
xCix^x = —In2, | (slx)2dx = (Cix)2dx = ~.
о 0
(14)
(15)
(16)
0
Относительно других интегралов см. Nielsen (1906b, в особенности гл. IV).
Применяются также обозначения
х
Shix =
о
sh t — = — i Si (ix),
x
СЫл: = у + 1пх +
in
Chtt 1 dt = Ci (^)--¾
(17)
(18)
В литературе встречалось обобщение
sin а —, а = У a2 -)- £2,
о
(19)
а также некоторые аналогичные обобщения (Harvard University, 1949а).
9.9. Интеграл вероятности
Основными функциями этой группы являются
X
Erf х =
V
о
'-"M-hii-*)-**(■*• ?>-*)-
— X2 *
= хе Л ф
И;4
о)
оо
Erfc*= Je-'2rf< = l^-Erfx=ir(l ^)=-^^(^^4 (2)
л:
Erfi л: = — / Erf (ix) =
£/2 dt = хФ
щ)
о
2 , 2 ; *2 j,
(3)
Н(х) = -4= I ^"/2^ = -^=rErfx=l —
г о г
У~ъ
Erf
(4)

152
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НЕПОЛНЫХ ГАММА-ФУНКЦИИ
[Гл.9
Первые три чаще всего встречаются в математических работах; функция (2)
была впервые введена Крампом (Kramp, 179Э) в иных обозначениях.
Функция (4) более удобна для вычислений, а функция (5) часто используется
статистиками. Здесь также имеется большое разнообразие в обозначениях.
Все указанные выше функции являются целыми; Erf д: и Erfi х являются
нечетными функциями х. Многие из следующих формул либо
непосредственно выводятся из определения, либо получаются как частные случаи
ранее полученных результатов:
оо
Erf х = У
/2 = 0
оо
оо
(—1)Я.у2Л+1 _ _^2 ^ ^2/2+1
П\ (2/7 + 1)
= е
/2 = 0
Erfi
^•2/2+1
1 Х~ Za п\(2п
/2=0
Erfc х~-^е л"
(2/1 + 1)
= е
* In
Х2 \Ч (—1)Л^2Л+!
М-\ /_iyn(_L
Lm = 0
оо
S
/2 = 0
1_
^ 1Щ
3_
2)„
хчт + \
+ 0(1-^1-2^-1)
Re х > 0, л:->оо, Af = l, 2, ...,
1
Erfi лг =
iy л , 1 r2
-+2^
M-l
/72
+ 0(U|"^-])
x2m+l
L/72=0
л: > 0, л:->оо, Л1 = 1,2,..
оо
*-«*<•-»'Л = е-lexo
о
оо
Erf(fl0^"5/^ = 5"1 ехр[
о
-*М Erfc (±
Аа* ) *т 2а
Re я > 0,
. „ , Erfc , л
л
оо
Erf У at e~stdt =
| arg я | < —, Re 5 > 0,
У ал
о
2з|Лг + 5 '
Re 5 > 0, Re (a + s) > О,
оо
I
О
Erfc
а
п
-st ,i У Л -2ау~г
е st at = -— е v s,
25
я
I arg a | < j, Re s > 0,
oo
f
0
Erfi (at) e
— a212— st
dt =
—1
4я
exp (¾ El (-£r) •
я
Re s > 0, I arg a I < -j ,
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)

9.9]
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ
153
,-а2/2
dt
\+t<
— е
а1
4
4--(Erf а)*
, Re а > О,
(15)
Erf t dt = х Erf x —
1-е
-л-2
О
dnArl Erf*
__Y^ = (-1)" e-xHn (x), /i = 0, 1. 2,
rfA'
где //„—многочлен Эрмита (см. гл. 10).
Следующий ниже ряд является рядом типа Нильсена:
(16)
(17)
Erf(Vx + y)=Erl (У'х) +
СО
е-х у^
iV
х
1-3...(2я — 1) y(/i fl.y) (18)
/1 = 1
2•4 ... (2л) jr
I Л < \*\-
Имеют место следующие разложения в ряды по функциям Бесселя:
V:
СО
еп (-1) х"1 (2х),
(19)
и = 0
л 1-я
ОО
ш
Erf(^)=y|2(_1) 7 i(jc)>
(20)
л = 0
я~
m
Егн (y'l) = у -J 2j (_1Г "' i w'
n=0
(21)
"by
Первое из этих разложений является частным случаем разложения 9.4 (3),
а два других проверяются с помощью преобразования Лапласа.
Наиболее современной монографией, посвященной интегралам
вероятности, является книга: Rosser (1948), где изучается двойной интеграл
j е~р2у2 dy J e~xi dxt л=1, 2, ...,
о с
(22)
как функция комплексных переменных р и z, а также некоторые родственные
интегралы. Повторные интегралы от интегралов вероятности были изучены
Hartree (1936), который положил
со
1° erf с х = . Erf с х, in erf с х = I in 1
1/2я J
V2n
(Здесь / не является мнимой единицей!)
erfc t dt.
(23)
х

154
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НЕПОЛНЫХ ГАММА-ФУНКЦИИ
[Гл.9
9.10. Интегралы Френеля и обобщения
Интегралами Френеля называют
С(*) =
1
X
я
/St J Yt
cos t ,,
z=-dt,
0
x
1
5 (x) = -j=
/2л J
о
sin^
t
dt.
Вместо них мы будем рассматривать более общие интегралы, которые ввел
Bohmer (1939):
оо
я
та
та
С(Х,а)= ta~1costdt = ]re 2 Г (a, ix) + 4" е 2Г(а, —/л:), (1)
х
оо
S(x, а)= ta~l smt dt =—
та
е 2 Г (а, — u:) — — е
та
~~2~
Г (а, ix). (2)
Эти же функции в иных обозначениях изучал Bateman (1946). Очевидно, что
/яа
Y(ajx) = e2 [С(ху ее) — i S (х, а)].
(3)
Интегралы Френеля выражаются через эти функции следующим образом:
cos
cw-/4 J C0S(^=b7kcK) =
*
ybtL*
/Я / /Л \ ПТ_ / _/Я \*1
Erfl * 4 Yx) +
(4)
5 (л:) = 1/- Г s\n(t2)dt=- JL-six,-) =
w Г я J 2 /2ji \ 2/
о
1
1/¾
[
/Я
4
Erf
(«я \ in / in_ \"|
*~/* J - Л" Erf U~ 4 V~Z}\'
(5)
Приведем список формул, относящихся к рассматриваемым интегралам:
,пг J2,m + a
(6)
оо
С (х, а) - Г (a) cos (^-] - ^ (2w); (2w + а) >
т = 0
ОО
т „2т + 1+а
S (х, а) = Г (а) sin ^-j - ^ (2>n+ 1)| (2m +1+а)'
т = 0
С (х, а) = — ха [Р (х) sin х -f- Q (-*) cos л:],
S (х, а) = л:а [Р (х) cosx—Q (х) sinх],
(7)
(8)
(9)

9.10]
ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ И ОБОБЩЕНИЯ
155
где
и
ЛГ-1
fw-^-y^+oti^i-"-1)
m = 0
0(.) = ^(~1Г(^а)2т~'+0(|"г2Ж"2)'
т = 1
х->оо, —я < arg л: < я, AI = 1, 2, ...,
I
о
оо
J
e~stC(tya)dt = s Т (а)
cos
сш
.-5/
о
оо
о
оо
л»
Re s > 0, — 1 < Re a,
S(t,a)dt = s-lT{a)[nn^—^(s + l)-a + ^(s-C)-a],
Re s > 0, — 1 < Re a,
fi~lC (t, a) dt = р-ХГ (a + P) cos <g + P>" ,
Rep>0, 0<Re(a + P)<l,
Re p > 0, 0 < Re (a + P) > 1,
2 2 2
S(x) = J3(x)+J7(x) + Jn(x)+ ...
(10)
(H)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Интегральное представление для
[C(x,a)Y+[S(x,a)Y
вытекает из 9.3 (6).
Кривая с параметрическими уравнениями
l=C(t,a), r] = S(t,a), г>0,
(17)
при фиксированном а, 0 < а < 1, имеет форму спирали; ее изучал Bohmer
(1939). При a = -;г она сводится к спирали Корню. Интересно отметить, что
эта спираль имеет простое «натуральное уравнение»
1-1
a
р = (СС5)
где р — радиус кривизны из — длина дуги.
(18)

ГЛАВА 10
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Основной монографией по этому вопросу является книга Сеге (1962),
на которую мы будем часто ссылаться. Shohat, Hille и Walsh (1940)
составили систематическую библиографию работ до 1938 года. Хотя эта глава
посвящена лишь ортогональным многочленам, во вводном пункте мы
рассматриваем более общие ортогональные системы функций. Дальнейшие
сведения по этому вопросу читатель может найти в книгах Качмажа и Штейн-
гауза (1958), Tricomi (1948) и Vital! и Sansone (1946).
10.1. Системы ортогональных функций
Пусть задан отрезок (а, Ь) и на нем неотрицательная весовая
функция w (л). Мы можем сопоставить тогда им скалярное произведение
ь
(фп ф2> = J w (х) Ф1 (■*) Ф2 С*) dx, (1)
а
которое определено для функций ф таких, что Ушу имеет интегрируемый
квадрат на (а, Ь). Более общее скалярное произведение можно определить
с помощью интеграла Стилтьеса
ъ
(фь ф2) = J Ф1 (•*) ф2 (•*) da (х)} (2)
а
где а (х) — неубывающая функция. Если функция а (х) абсолютно
непрерывна, то (2) сводится к (1), где w (х) = а' (х). С другой стороны, если а (х)
является функцией скачков, то есть если она кусочно постоянна и имеет
скачки величины wi в точках х = xiy то интеграл (2) сводится к сумме
(фь Фг) = 2 ^^1 (•*') ^2 (*')» (3)
i
которая задает скалярное произведение функций дискретного переменного.
Приведенное выше определение относится к вещественным функциям
вещественного переменного, и на протяжении этой главы мы ограничимся
лишь этим случаем. Если рассматриваемые функции принимают комплексные
значения либо если область интегрирования является дугой в комплексной
плоскости, отличной от отрезка вещественной оси, то функцию ф2 (х) во всех
указанных определениях надо заменить комплексно сопряженным выражением.

10.1] СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 157
За исключением нескольких последних пунктов (где будет использовано
определение (3)), мы ограничимся определением (1) и будем предполагать,
кроме того, что функция w (х) почти всюду положительна и интегрируема.
Следует, однако, отметить, что многие из результатов вводных пунктов
сохраняют силу и при определении (2), а следовательно, и (3), для скалярного
произведения.
Две функции называются ортогональными, если их скалярное
произведение равно нулю. Семейство функций называют ортогональной
системой на отрезке (а, Ь) относительно веса w (х) (или распределения а(х)),
если для любых двух различных элементов этого семейства имеем (фьф2) = 0.
Так как пространство функций с интегрируемым квадратом сепарабельно,
то ортогональная система может содержать либо конечное число функций,
либо счетное множество элементов. Таким образом, любая ортогональная
система может быть записана в виде (конечной или бесконечной)
последовательности ф0 (х), ф! (х), ... либо, более кратко, {ф^ (х)}, а свойство
ортогональности может быть выражено следующим образом:
(ф/г> Ф*) = 0, ЬфЬ. (4)
Мы будем предполагать, что система {ц>п(х)} не содержит функций, почти
всюду равных нулю, то есть что при всех h скалярное произведение (ф , ф )
положительно. Легко видеть, что функции, принадлежащие любому конечному
подмножеству ортогональной системы, линейно независимы, то есть что
соотношение вида
соФо W + cib W + ' *' + СЛ М = ° (5)
может выполняться почти всюду на отрезке [а, Ь] лишь в случае, когда
с0—.с1= ... = Ck — 0. (Достаточно скалярно умножить обе части равенства
на ф (х) при h = 0, 1, ..., k.)
Функции {фя (х)} образуют о ртонор миро ванную систему, если
(4V ч>л)='
0, если пфк.
(6)
1, если h = k.
Каждую ортогональную систему можно нормировать, заменив ф (х) на
Конечную или бесконечную последовательность h\) (х)\ линейно
независимых функций можно ортогонализовать относительно скалярного
произведения (2), заменяя каждую из функций соответствующей линейной
комбинацией. Например, мы можем полржить рекуррентно
Фо (х) = ф0 М.
Ф1 (•*) = Ц10 фо (х) +ф! (х), ,
Фл (х) = |ХЛ0 Фо (х) + \1п1 ф, (х) + ... + \хП) п^х фл-1 (х) -f % (х).
Если положить
_ _ СФ/i» Фт) _ п 1 _ -. /R.
то функции {фя (х)} образуют ортогональную последовательность.

158
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
Эту задачу можно решить иначе, положив
Фл (•*) = ^лоФо (•*) + К\Ь (•*) + • • • + КгЛп (•*). Кп =7^0,
(9)
и определив коэффициенты X так, чтобы {цп(х)} образовали ортогональную
систему. Одно из таких определений приводит к
Фп (•*) =
(Фо, Фо)
(Фь Фо)
(Фо, ФО ..
(Фь Ф1) •■
■ • (Фо, Фл)
• (*i, Фл)
СФл-1. Фо) СФл-l. ФО ••• СФл-l. Фл)
Фо (•*) *1 (•*) • • • Фл (•*)
(10)
Очевидно, что функции {Фп(х)} образуют ортогональную систему, поскольку
функция (10) ортогональна функциям ф0 (х), tyi(x), ..., фл_1 (л:), а
следовательно, функциям Фт (х) при всех т < п. Кроме того, любая ортогональная
система вида (9) отличается от {Фп(х)} лишь постоянными множителями.
Для того чтобы нормировать систему (9), введем определитель Грама Gn,
который является алгебраическим дополнением функции фд+i (х) в
выражении (10) для Фп+\ (х). Определитель Gn является в то же время
дискриминантом положительно определенной квадратичной формы
ъ
J К0Ф0 (•*) + ... + блФл (*)]2 w (•*) dx
а
относительно |0> •••> \п и» следовательно, положителен. Мы положим чакже
G_l = \. Орюнормированная система вида (9), для которой Хпп > 0,
однозначно определяется формулой
/ ч Фп (х)
Фл(*) =
VGn-iGn
Далее можно установить следующее интегральное представление:
Фп(х) = [(п-1УГ1 f ^-1(60. .... bi-i)^(Eo. .••. Ел-i. *)Х
X w (lo) ...w (ln-i) dlo ... dln_u n = 1, 2, .
где интеграл является /г-кратным интегралом по параллелепипеду
я<^<Л 0<£<л —1,
и
Фо (•*<>) Ф1 (•*<>) • • • Фл (•*<>)
(И)
(12)
* л V-^o. •••. -*tz/ —
(13)
Фо (*л) Ф1 (*п) • • • Фл (-½)
(см. Сеге, 1962, п. 2.1).
В этой главе мы будем рассматривать системы функций, получаемые
ортогонализацией по формулам (9) функций фл (х) = хп. Таким образом,
мы получим последовательность ортогональных многочленов {рп(х)},
п = 0, 1, 2,..., где Pk(x) является многочленом от х, степень которого
в точности равна k, и (/?,, рЛ = 0 при h} k = 0, 1, 2, ... и h Ф k.
Задание отрезка и весовой функции (или распределения) определяет
систему ортогональных многочленов с точностью до произвольного
постоянного множителя для каждого рп (х). Путем выбора этого множителя можно
привести систему к одной из стандартных форм. Чаще всего встречаются

10.2]
ПРОБЛЕМА АППРОКСИМАЦИИ
159
следующие три дополнительных ограничения: I. Функции [рп (х)} образуют
ортонормированную систему, причем коэффициент при хп в рп (х)
положителен. II. Коэффициент при хп в рп (х) принимает предписанное значение,
обычно равное единице. III. Для заданного значения х0 (например, х0 = а)
Рп (хо) имеет заданное значение.
10.2. Проблема аппроксимации
Обозначим через L2W класс функций / (х)> для которых (лебеговский)
интеграл
f W (X) [f (х)}2 dx}
а
принимает конечные значения, и пусть {ц>п(х)}—ортонормированная
система в L2W. Мы будем рассматривать приближение функций / (х) из L?w
с помощью линейных комбинаций
Co<PoW+ ••• +спЧ>п(х)'
При этом как меру точности приближения мы используем
ъ
in (Ch) = j w (•*) [/ (•*) — ЗДо (x) — ... — спцп (x)]2 dx. (1)
a
Легко показать, что наилучшим возможным выбором коэффициентов сп
являются коэффициенты Фурье
ан = (/- "Р*> (2)
В самом деле, разлагая [...]2 в выражении (1), мы получаем
ъ п п
In (сн) = fw(x) [f (x)]2 <** + 2 <£ - 2 2 ahch =
b n n
= f w (x) [/ (*)]» dx - ^] 4 + 2 (c* - ^)2.
a h-0 h=0
Отсюда видно, что наилучшим приближением является (гс-|-1)-я частичная
сумма (обобщенного) ряда Фурье
ЯоФо (-*) + л,ф! (х) + ... (3)
функции f (х) и что мерой точности приближения является
п
In (ah) = j w(x) [f {x)]2 dx - ^ a\. (4)
л=о

160
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
2М отсюда, чти ряд т, а"
выполняется неравенство Бесселя
Так как /п (а^) !> О, то мы получаем отсюда, что ряд ^ а^ сходится, причем
оо
^a\^^w{x)[f(x)Ydx. (5)
/г-0 а
Может случиться, что для любой функции / (х) из L? справедлива
формула Парсеваля
оо ь
^4 = fw(x) \f (x)Y dx. (6)
h-0 a
Тогда ортонормированную систему {ф/г(^)} называют замкнутой в Llw.
В этом случае имеем, очевидно,
ь
I w (х)
а
п
/W- 5Хфл<*>
п=\
2
dx -> 0, когда п -> оо, (7)
2
w
то есть частичные суммы ряда Фурье (3) сходятся в среднем к / (х).
В пространстве L?w каждая замкнутая ортогональная система является
полной', если (/, ф ) = 0 для всех /г, то функция / (х) почти всюду равна
нулю. Это является следствием теоремы Рисса — Фишеря (см., например,
Качмаж и Штейнгауз, 1958 или Tricomi, 1948, п. 3.3).
Для конечного отрезка [а, Ь] каждая функция из пространства L
может быть с любой степенью точности приближена в среднем непрерывной
функцией, а в силу теоремы Веиерштрасса непрерывную функцию можно
аппроксимировать многочленом. Таким образом, если [а, Ь] — конечный
отрезок и \|?л (х) = хп или цп (х) = рп (х)} то мы можем сделать 1п (а/г) сколь
угодно малым, выбирая п достаточно большим. Другими словами, любая
система ортогональных многочленов на конечном отрезке замкнута. Это
утверждение, вообще говоря, перестает быть верным для бесконечного
промежутка (#, b) (Сеге, 1962, п. 3.1).
10.3. Общие свойства ортогональных многочленов
Весовая функция w (х) на отрезке [а} Ь\ однозначно определяет систему
ортогональных многочленов {рп(х)} с точностью до постоянного множителя
для каждого многочлена. Числа
ь
сп== \ w (х) хпdx (1)
а
являются моментами весовой функции, и при ^п (х) — хп имеем
СФт» *Ы = С/и + л- (2)

10.3]
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
161
В обозначениях п. 10.1 имеем:
п
'П
'/1+1
сп сп+\
-2/7
*■ п —
1 х
1 X
-к,
X
п
о
п
1
1 X
п
X
п
п
JJ (■*!■-**)■ (3)
r>s
Если обозначить (неопределенный) коэффициент при хп в рп (х) через /гт то
Рп (*) =
k
п
1п-\
Со
м • • • Cfl
С-2 • • • ^Я + 1
'Л-1
■п
• • • L-
2Л-1
л:
х
п
(4)
(Я)
/г
Рп{Х) = b1g"b_, I П (lr ~ ^ П [(* ~ lv) w(lv) ^-
/">£ V=l
Так как функции 1, х, ..., лг^"1 ортогональны рп(х), то
(5)
Л =
п — (Рп> Рп) — ^п г
ип-\
(6)
Для нормированных многочленов коэффициент kn имеет вид k
- l/°«-t
но мы не будем на этом этапе стандартизировать наши многочлены.
Любой многочлен степени т < п является линейной комбинацией
многочленов р0 (х), рх (х), ..., рт (х) и, следовательно, ортогонален к рп (х).
Это приводит к простому доказательству следующей теоремы о нулях
ортогональных многочленов: все нули рп (х) являются простыми и
расположены внутри отрезка [а, Ь]. В самом деле, если рп(х) меняет знак
на отрезке [а, Ь) лишь в т < п точках, то мы можем построить
многочлен пт(х) такой, что ^(^)яшИ>0 на отрезке [а, Ь]. Но это
противоречит тому, что (рп, лт) = 0. Можно показать также, что между двумя
последовательными нулями функции рп (х) расположен в точности
один нуль функции pn+i (х) и по крайней мере один нуль рт(х), для
которого т > п (Сеге, 1962, п. 3.3).
Любые три последовательных многочлена связаны линейным
соотношением. Мы будем использовать следующие обозначения: kn — коэффи-
/i-i
к п
циент при х , a kn — коэффициент при хп в рп (х); rn = -=£-
кп
hn = (рт рп). Мы докажем, что имеет место рекуррентная формула
и
Pn + i (х) = (Ап* + вп) Рп (*) — СпРп-х (х),
п
1 9 1
(7)
где
С
кП+1
Е>п — Ап (Гп
+ 1
Гп)>
-п
Аппп
п
Ап-\пп-\.
^n+i^n—inn
klhn-l
(8)

162
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
Для того чтобы доказать формулу (7), заметим, что при значении (8)
для Ап выражение рп+1(х)— Апх рп(х) является многочленом, степень
которого равна или меньше чем я, и, следовательно, этот многочлен
имеет вид
Yo/b(*)+YiAi-i(-*)+ ••• +УпРо(*)-
Из ортогональности семейства рп (х) получаем, что у2 = Уз = • • • = Уп = О»
и потому
— Ап(Рп* xPn-i) = yi(Pn-u Pn-i)-
Но хрп_х (х) —
Ьп-\
рп (х) является многочленом, степень которого не
'П
превосходит п — 1, и, следовательно,
k
^ппп Т.
Yi^/i-i»
п
или Yi = С/г- Наконец, сравнивая коэффициенты при хп в обеих частях
равенства (7), получаем значения для Вп. Рекуррентная формула (7) остается
справедливой для п = 0, если положить
^_! W = o.
(9)
Это условие будет применяться на протяжении всей этой главы.
Отметим, что, и обратно, система многочленов, удовлетворяющая
рекуррентному соотношению (7) с положительными Ап и Сп, образует
ортогональную систему.
Из (7) легко получить формулу Кристоффеля— Дарбу
п
V = 0
А-1 л fr\n /<л - kn Pn + l(x)Pn(y)—Pn(-X)Pn + l(y)
"v /м*)/чш- kn+ihn
х — у
(10)
и, переходя к пределу, когда у -> х, получим
п
2 hvl[Pv W]2 = Т^Гп \Рп <*> Р" + 1 <*> - Рп <*> рп+ 1 <*>]• <П)
V = 0
Пусть {рп(х)}—система ортогональных многочленов с весовой
функцией w (х), и пусть р (х) — многочлен степени /, неотрицательный на
отрезке [а, Ь] и имеющий простые нули в точках хъ х2, ..., х%.
Ортогональные многочлены qn (х), соответствующие весовой функции р (х) w (х),
задаются формулой Кристоффеля
сп Р (•*) Чп (•*) =
Рп(х) Pn+i(x) ... Pn+i(x)
Pn(*i) Pn+i (*i) ... Pn+l(*l)
Pn(Xl) Pn + \ (Xi) ... Pn + l(*l)
(12)
в которой cn являются произвольными постоянными множителями (Cere,
1962, п. 2.5). Если некоторые из нулей функции р (х) являются кратными,
то формулу (12) надо заменить вырожденной.

10.4]
МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ
163
Ортогональные многочлены обладают некоторыми важными
экстремальными свойствами. Первое из них может быть выведено из результатов,
указанных в начале п. 10.2. Оно гласит: интеграл
ъ
j \nn(x)\2w(x)dxt (13)
а
в котором через лп (х) обозначен любой многочлен степени п со
старшим членом хп, принимает минимальное значение тогда и только
тогда, когда nn(x) = zk~ рп(х), где е — постоянная величина, такая,
что | е | = 1.
Второе свойство связано с многочленами
п
КП (*. У) = S h7nPm (*) Рт (У). (14)
т- 1
которые определены для комплексных х, у (х—комплексно сопряженное х).
Отметим, что для конечных значений х0 и а, таких, что х0 <. а, многочлены
Кп (х0, х) ортогональны относительно веса (х — х0) w (х) (см. (10) и (11)).
Упомянутое экстремальное свойство может быть сформулировано следующим
образом (Сеге, 1962, теорема 3.1.3):
Пусть лп (х) является любым многочленом степени п с
комплексными коэффициентами, таким, что интеграл (13) равен единице. Для
любого фиксированного (возможно, комплексного) значения х0 максимум
\лп(х0)\2 достигается тогда и только тогда, когда
У Кп (х0, х0) '
где | в | = 1. Этот максимум равен Кп (х0, х0).
10.4. Механические квадратуры
Ряд интересных свойств ортогональных многочленов связан с задачами
об интерполяции и о механических квадратурах. В этом пункте мы дадим
краткое описание некоторых основных результатов и отошлем читателя
к книге Сеге (1962, п. 3.4, гл. XIV, XV), где имеется дальнейшая информация.
Пусть х{, х2, ..., хп — п различных точек на отрезке [а, Ь], и пусть
ft/2 (-Х) = (-Х — Х\) \х — х2) • • • \Х — -*7?)»
1V{X) = {X — XV) 1 ,П^Х) , V= 1,...,/2.
(О
Здесь /v (х) являются фундаментальными многочленами, связанными с
абсциссами хь ..., хп в интерполяционной формуле Лагранжа
п
1 (*) = 2 f (*v) 'v W (2)
\ --1
для функции f (x).
Пусть надо вычислить интеграл
ь
1= jw(x)f(x)dx, (3)
а

164 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
причем заданы лишь значения функции / (х) в точках xv. Для решения
этой задачи представляется естественным использовать выражение (2) и
принять
ь п ь
J = \ w (х) L (х) dx=y,f (xv) I w (x) lv (x) dx> (4)
a v = l a
за приближенное значение I. Разумеется, при произвольных хъ ..., хп
равенство I — J выполняется для всех многочленов / (х) степени <л—1.
Однако если выбрать в качестве xv п нулей функции рп (х), то есть п
нулей ортогонального многочлена степени п, связанного с весовой функцией
w (х), то равенство / = J будет справедливо уже для всех многочленов / (х),
степень которых •< 2п — 1. Именно, в этом случае / (х) — L (х) является
многочленом степени <. 2/г — 1, который обращается в нуль во всех нулях
функции рп(х) и, следовательно, имеет вид р,г(х) Лп-i (х)у ГДе %-iW —
многочлен степени < п—1. Тогда
ь
I — J= J w(x)[f(x) — L (x)] dx = (рПУ ял_0 = 0.
a
Принято писать
J = I w (x) L (x) dx = V Kvn f (xv), (5)
a v = l
где Xvn называют числами Кристоффеля. Они связаны с моментами
функции w (х) соотношениями
п
2*v4az = c/*' А = 0, 1, ..., л—1. (6)
v = l
получаемыми, если положить f(x) — xh. Числа Кристоффеля положительны,
и имеют место следующие формулы:
ЛуП —
ь ъ
14 w (х) рп (х) dx _
w (х)
kfi f l "-n 1
Рп (x) T
>'n(xv)(x-xv)\
dx, (7)
IP,
Xvn= ^Rj^n = ; ^ (8)
kn Pn (xv) Pn i 1 (*v) K (xv> xv)
Если обозначить n нулей функции pn(x) через xlni x2n, ..., xnnt а через
Ушу У2m • ••> Упп обозначить п чисел на отрезке [а, Ь], определяемых
формулами
У,
/
vn
w (x)dx= 1щ+ ... + AV„ = AV„, (9)
а
то имеют место теоремы разделения
xv-\* п ^ xv, П+1 ^ -^v» п> (aU)
Уч-ип< Уу,п+1 <Уът (11)
xv> п < yv> п < xv + i> п> \\£)
Av-i, п < Av, n+i < AVj п. (13)

10.5] НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ 165
10.5. Непрерывные дроби
Рекуррентная формула 10.3 (7) приводит к рассмотрению непрерывной
дроби
\ _ , (1)
Л0х + В0 ! г "
А.х + В,- ^°
J\<lX ~т~ D2 • • •
П
где Ат Вп, Сп задаются формулами 10.3 (8); п-я подходящая дробь —^~
определяется как конечная дробь, получающаяся, если мы останавливаемся
в (1) на члене Ап_хх-\-Вп_х. Таким образом,
/?0 = 0, S0 = l; /^ = 1, Sl = A0x + B0 = J±!j&. (2)
Как Rn, так и Sn удовлетворяют рекуррентному соотношению
Хп + i = (Апх + Вп) Хп — СпХп-\- (3)
Начальные условия:
для Rn:X0 = 0 Хг = \; для Sn: Х0 = 1 ^ =-£l£L. (4)
Принимая во внимание 10.3 (7), видим, что
(5)
Для того чтобы выразить так же и Rn, введем ассоциированный
многочлен
ь
Pn(x) — Pn(t)
Яп {*) =
V
а
X — t
w (0 dt, (6)
имеющий степень л—1. Из 10.3(7) следует, что
Ув+iW — (Ап* + Вп) Яп (•*) + Сп qn_x (х) ■=
ь
= — Anfpn (t) w(t)dt = 0, /2=1,2,...
a
b
Кроме того, #0(^)=0, Я\(.х) = \ kiw (0 dt = kxcQf и, следовательно,
a
,-1
Rn = (kic0) lqn(x). (7)
Мы видим, таким образом, что -^- является рациональной функцией
^п
от х, имеющей простые полюсы при х = xvn. Вычеты в этих полюсах
могут быть вычислены с помощью формулы
ь
г*
lim (х - xv) ЗлШ. = __L_
x+xs,n Рп W Рп (xv) J
Ph (t) w (t) dt = lvn,
* xvn

166 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
см. 10.4 (7). Мы получаем, таким образом, следующее разложение на
элементарные дроби:
п
4^=а. у Кп . (8)
v = l
Разложим правую часть этого соотношения в ряд по убывающим степеням х
и используем формулу 10.4 (6). Мы получим, что первыми 2п
коэффициентами являются моменты с^. Следовательно, получаем формально
оо
hm —- =- 2j~h+\* (9)
Марков доказал, что если отрезок [а, Ь] конечен и х — любая точка
комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрезка [а, Ь] вещественной
оси, то lim -—- существует и имеет место формула (9). Кроме того, в этом
случае
ш&-тпг\тг*т" (10)
а
(Сеге, 1962, п. 3.5). Случай бесконечного промежутка представляет весьма
значительные трудности, которые изучаются в проблеме моментов (Stiel-
tjes и Hamburger). Относительно этой теории см Shohat и Tamarkin (1943),
Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн (1938).
10.6. Классические многочлены
Особенно часто встречаются и хорошо изучены ортогональные
многочлены, соответствующие интервалам и весам, указанным в следующей
таблице. Они известны как классические ортогональные многочлены.
Классические ортогональные многочлены
Название
Многочлены Лежандра или сферические
Многочлены Гегенбауэра или ультрасферические
Многочлены Якоби или гипергеометрические
Многочлены Эрмита
Обобщенные многочлены Лагерра
Все эти многочлены облагают целым рядом общих свойств, наиболее
важными из которых являются следующие гри:
I. Функции [р'п (х)} образуют ортогональную систему многочленов.
II. рп (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
А(х)у" + В(х)у' + Х„у = 0,
где А (х) и В (х) не зависят от п, а Хп не зависит от х.
a b
-1 1
-1 1
—1 1
— оо оо
0 оо
0
w (х)
1
*-4
(1 - X*) 2
-xf(\ + xf
ехр (— х2)
хае~х

10.6]
КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
167
III. Имеет место обобщенная формула Родрига
'•«■тот£|в(х)П (1)
где Кп — постоянная и X — многочлен, коэффициенты которого
не зависят от п.
Обратно, любое из этих трех свойств характеризует классические
ортогональные многочлелы в том смысле, что любая система ортогональных
многочленов, обладающая одним из этих трех свойств, может быть
приведена к классической системе. Для I это доказали Hahn (1935) и Krall (1936),
для II Bochner (1939) (в эгом случае встречаются некоторые тривиальные
исключения) и для III Tricomi (1948а). Мы укажем кратко рассуждения в этом
последнем случае.
Пусть {рп (х)} — последовательность многочленов, причем рп (х) является
многочленом, степень которого в точности равна я, равенство (1)
справедливо для всех п, я==0, 1, 2, ..., и степень многочлена X равна k. Заметим,
что нет необходимости предполагать, что многочлены рп (х) ортогональны
или что w (х) является весом. При п = 1 из равенства (1) получаем
KxPi(x)^X'+Xw't{\) . (2)
\ / у w (х) v '
Положим сначала k = 0. Тогда X является постоянным и является
w
линейной функцией от х. С помощью линейной замены независимого пере-
w' п
менного можно сделать так, что —= —2х и, следовательно, w~exp (—х2).
В этом случае рассматриваемые многочлены являются многочленами Эрмита,
см. 10.13(7). Далее, пусть & = 1. Тогда линейная замена х преобразует
и>'(х) КхРх(х)—Х'
w(x) X
(3)
,/
W , . а ... . v Лл-х
к виду = — 1-| , так что X = х, w = х е , и мы получаем много-
члены Лагерра, см. 10.12 (5).
Рассмотрим теперь случай k^2. В этом случае мы можем положить
k
Х = П (* - агУ (4)
Предположим сначала, что все корни ат попарно различны. Из формулы (3)
имеем
k
w' (х) __ Y4 ar
w (x) ~~ £a x — ar "
Отсюда, в силу формулы (1), получаем
k г k
dn
Pn(x) = KnJ\^(x— ar) ar -j-p JJt* — ar)
r=l
n + ar
r = l
Но этот многочлен при n = 2 может иметь вторую степень лишь в случае,
когда k = 2. Случай совпадающих множителей в (4) может быть исключен

168
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
с помощью аналогичных рассмотрений, так что в (4) мы должны иметь
k = 2, а! Ф а2. Путем линейной замены переменного х можно сделать
#! = — 1, а2 = 1 и положить
Х=1— х2, w(x) = (\— x)a(\+xf.
Этот случай приводит к многочленам Якоби, см. 10.8 (10).
Следует отметить, что Хан (Hahn, 1949) существенно обобщил эти
результаты. Он заменил дифференциальный оператор ^ более общим
линейным оператором
J v (q — 1) x -\- со
и показал, что в этом более общем случае каждое из условий I, II, III,
а также каждое из двух других условий определяет одно и то же семейство
ортогональных многочленов. Классические многочлены являются
предельным случаем многочленов Хана, к ним же относятся и многочлены
из п. 22—25.
10.7. Общие свойства классических
ортогональных многочленов
Многие важные свойства классических ортогональных многочленов
легко следуют из обобщенной формулы Родрига 10.6 (1). Мы предположим,
что в случае многочленов Лагерра а > — 1, а в случае многочленов Якоби
а > — 1, Р > — 1.
Во всех случаях в 10.6 (1) функция w (х) неотрицательна и
интегрируема на отрезке \а, Ь]. Кроме того, так как все производные функции
w (х) Хп до (п — 1)-й включительно обращаются в нуль в точках а и Ь,
мы можем п раз проинтегрировать по частям выражение
ъ
(/. Рп) = Кх J / (*) -j^n [«- W х*\ dx.
Это приводит к
а
и
(/. Рп) = (-1)" К'1 f fw (х) w (х) X" dx.
a
Поэтому, если / является многочленом степени меньшей п, то (/, рп) = 0.
Иными словами, многочлены 10.6 (1) образуют ортогональную систему на
отрезке [а, Ь] относительно веса w (х), а потому все результаты предыдущих
пунктов справедливы для этих функций. В частности, мы имеем
рекуррентную формулу 10.3 (7) с обозначениями 10.3 (8), которую мы еще используем
в этом пункте.
При эыводе из 10.6 (1) дифференциального уравнения мы будем писать D
вместо — . Из 10.6 (1) и формулы Лейбница для дифференцирования про-
ал
изведения имеем
Dn+l [X D (wXn)\ =
= Кп [* £>2 (wpn) + (n + l)X'D (wpn) + £ (п + 1) X'wpn].

10.7] СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 169
С другой стороны, используя 10.6 (3), получаем
Dn + l [X D (wXn)] = Dn + l {[KiPi + (л — 1) X1] wXn) =
^KnilKtPt + in^^X^Dlwp^ + in + l^K^ + in^^^wp^,
так как K\P\-\-(n — 1) Л"' является многочленом от х не выше чем
первой степени. Сравнивая эти два результата, получаем для у = рп (х)
дифференциальное уравнение
где
А„ =-я [*,К,+1 («-!)*"]. (2)
Самосопряженная форма этого дифференциального уравнения имеет вид
d
dx
Xw{x)^-
dx
+ К™ (*) У = 0. (3)
Относительно деталей доказательства см. Tricomi (1948а, стр. 210 — 212).
Так как X является многочленом не выше чем второй степени, a Pi (х) —
линейным многочленом, то дифференциальное уравнение (1) может быть
сведено к гипергеометрическому уравнению или к одному из его частных
или предельных случаев.
Для классических многочленов имеем также формулу
дифференцирования
X^EdTL = (а« + Т Х"х)Рп (х) + Р" р"~1 {х)' (4)
где
а„ = пX' (0) -1 X"rn, Anh = -Сп [*,*, + (n--J-) Х"] <5)
и Ап, Сп, kn, гп имеют тот же самый смысл, что и в п. 10.3. С помощью
равенства 10.3 (7) правая часть формулы (4) может быть выражена через рп
и Рп+1-
Доказательство формулы (4) у Tricomi (1948а, стр. 212 — 215) основано
на том факте, что
Хр'а(х)—\х''хрп(х)
является многочленом степени не выше чем п и, следовательно, имеет вид
UnPtl (•*) + (Vrt- 1 (*) + У2РП-2 (•*) + ... + ЧпРо (х).
Коэффициенты аП} ..., уп определяются из свойства ортогональности. При
вычислении $п используется также дифференциальное уравнение (3).
Наконец, заметим, что путем я-кратного интегрирования по частям, как
описано в начале главы, получаем
ь
К = (Рп* Рп) = (- 1)л V1 Кп 1 { ХП™ (-*) dx. (6)
а

170 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл.10
Далее, из 10.4 (8), 10.3 (7) и (4) следует, что
^V» П == -^/1-1"/!-1 р~ [Рп-1 \XV> ПИ =
Рл
Рл
а из (6), что
(- \)nknKn > 0. (8)
Каждый из последующих шести пунктов посвящен одному из основных
семейств классических ортогональных многочленов. Каждый из этих шести
пунктов строится по следующему плану:
I. Стандартизация многочленов.
II. Вычисление постоянных
"л» &п> rw> Ап, пПУ Сп, 1\п, л,п, (ХП) рП) (9)
заданных формулами 10.7 (6), 10.3 (8), 10.7 (2), 10.7 (5).
III. Вывод рекуррентных формул, дифференциальных уравнений и
других соотношений. При этом мы исключаем слишком громоздкие
соотношения, а также те, которые читатель легко может
получить, подставляя значения постоянных (9) в общие формулы этого
и предыдущих пунктов.
IV. Связь с функциями гипергеометрического типа и полное
интегрирование дифференциального уравнения.
V. Производящая функция или производящие функции.
VI. Интегральные представления.
VII. Теоремы сложения, разложения в ряды и различные результаты.
Асимптотические свойства, нули и задачи разложения будут
рассмотрены в дальнейших пунктах.
Мы будем пользоваться обозначением
и положим
(«)0=1( (a)„=i^±^ = a(a + l). ..(« + »-1), (^^/'Ч
(И)
Теория классических ортогональных многочленов изложена в работах,
упомянутых во введении, а также в книге Magnus, Oberhettinger (1948, гл. V).
10.8. Многочлены Якоби
Мы будем использовать обозначение Cere Р^" ® (х) для
соответствующим образом нормированных ортогональных многочленов, отвечающих
значениям
0 = -1, 6 = 1, w(x) = (l— x)a(\+xf, X=l—x2. (1)
Для того чтобы вес был неотрицателен и интегрируем, потребуем, чтобы
выполнялось условие
а>—1, р> —1. (2)
Многие из формальных соотношений остаются справедливыми и без этих
ограничений.

10.8]
МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ
171
I. Стандартизация.
p(a,P»(1)=(" + «)=i^Llk. (3)
II. Постоянные.
{2л + ос + Р+1)^!Г(^ + а + Р + 1)л/г = 2а+р+1Г(/7-1-а4- 1)Г(л+р+ 1),
(4)
2(л+1)(л + а + р+1)Лв-(2л + а + Г- + 1)(2л + а + р + 2), (6)
2(я+1)(л + а + р+1)(2л+а+Р)Вя-(а»-р«)(2л + о + р + 1), (7)
(л+1)(л + а + р + 1)(2л + а+П)Св=-(л + а)(л + Р)(2л + а + р + 2), (8)
Кп = (—2)пп\, Я„ = л(л + а + р + 1), а„ = г„, (9)
(2л + а + Р)Гй = 2(л + а)(л + р).
III. Формула Рсдрига.
2пп\ Р<^ ® (х) = (— 1)" (1 — х)~а (1 +х)-Р D" [(1 — х)а+п (1 + xf* "]. (10)
Рекуррентная формула:
2(л+1)(л + а + р + 1)(2л + а + Р)Р<йР(.к)-
= (2л + а + I" + 1) [(2« + « + Р) (2л + а + р + 2) х + а2 — р2j />„"• Р) (л:) —
_ 2 (л + а)(л + Р)(2л + а + р+2)/^(^)- (11)
Из (10) получаем явное выражение:
Р<«-Р)(х) = 2-"2(Л+а)(^ + М(х-1)"-(х+1Г, (12)
которое показывает, что
/>£*. Р) (_ х) = (- 1 )л P<f» a) (*). (13)
Дифференциальное уравнение
(1 — х2) у" + [р — a — (a + р + 2) А у' + п (п + a + Р + 1) У — 0. (14)
Формула дифференцирования:
(2Л+ a + P) (1-^)-^-/^^)(^) =
= п [(а — р) — (2л + а + Р) *] Р%* Р) (*) + 2 (л + а) (л + Р) Pf>j>) (х). (15)
IV. Гипергеометрические функции. Уравнение (14) можно свести к
гипергеометрическому дифференциальному уравнению 2.1 (1). Многочлены

172 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл.10
Якоби — это решения уравнения (14), которые регулярны и принимают
значение (3) при х — 1. Из формул п. 2.9 следует, что
= <-1)Л (" tР)F (~ "• «+a+P + i; Р+1'- -Чг1
-("f)№)"'(- —* ■+' +r) =
Отсюда вытекает формула дифференцирования
2mDmPfr*Hx) = (n + a + p+l)mP%?:Z^+m)(x), *i = l, 2,...,/1, (17)
которая находится в соответствии с утверждением I п. 10.6.
Из 2.9 (14) вытекает, что функции Q*%"® (х), определяемые равенством
,wo . ,«.оч^(аб)/ч 2"+а+|3Г(л + а + 1)Г(л + Р + 1) ч/
r(2n + a + p + 2)Q^(*) = ^,^+aTi^y X
X/7
n + \t л + а+1; 2л + а + р + 2; 2
1—*
(18)
дают второе решение уравнения (14). Они известны как функции Якоби
второго рода. Эти функции не являются многочленами, однако они
удовлетворяют той же рекуррентной формуле (11) и формуле
дифференцирования (15), что и многочлены Якоби, за исключением того, что при п = О
эти соотношения неприменимы для Q; при Re (а -\- Р) > — п — 1 эти
функции обращаются в нуль на бесконечности. Относительно различных
преобразований гипергеометрических рядов в (18) и их аналитического
продолжения см. п. 2.1.4.
Многочлены Якоби и функции Якоби второго рода связаны многими
соотношениями. Из соотношения между различными решениями
гипергеометрического уравнения, см. п. 2.9, мы имеем
п(а, Р) / гч _ _ A p(a, Р) / ч . na+P-1 Г (а) Г (л+ Р +1)
Q" W~~ 2 sin (ал) ^л wt Г(л + а + р + 1)Л
Х(^-1)"а(^+1)"Э^(л+1. -л-а-Р; 1-а; -Ц^). (19)
Имеет место также интегральное соотношение
1
0(а, Р) / ч = 1 Г 0—0° 0 + 0 n(a, р) „ч ^ ,2(tt
Q» W 2(x~\f(x+\f ]{ x-t Fn {t)dti (20)
которое справедливо для всех точек комплексной плоскости, разрезанной
вдоль отрезка [—1, 1]. При этом функция Q^'®(x) принимает различные
значения в зависимости от того, стремится ли точка х к точке | разреза из
верхней полуплоскости (g-f-Ю) или из нижней полуплоскости (£—ДО).
Значения Q^' ^ (| ± /0) можно вычислить с помощью формулы (19), положив

10.8] МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ 173
arg (х — 1) — jt для х ==^ с, -)- ДО и arg (х — 1) — — я для х = | — ДО. В
частности,
Q(a,P)(g+/0)_Q(a,P)a_/0)_
foatPPin/^ Г(а)Г (/г-f р-j-l) 71 pv-a/i i t\-3w
= -<2 sin (ал) Г(л + а + р + 1) (1-6) (1+1) X
XWfl + l, -л-а-р; 1-а, -Ц^-), — 1 < £< 1. (2 Г
На самом разрезе можно использовать функцию
Q(„a'p)(i) = ^-fO?'p>(H-'0) + 0^p)a-'0)], -К6<1, (22)
принимающую вещественные значения, если а и р вещественные. Из (19)
следует, что
О (а, (3) /t\ я р(а, Р) /t4 i
ч" ls; 2sin(ajt) л vs~
+ 2 cos (ал) Г(л + а + р+1у-(1-Б) (1 + ¾ 'X
xW/i+1, — л — а-Р; 1— а; -ЦрЦ > — К Б < 1. (23)
Функции Якоби второго рода связаны также с многочленами
1
ep)w= Г (1 - о^а+о" [Р(а, и (0 _ Р(„, № (JC)j dtt (24)
-1
ассоциированными с многочленами Якоби в силу 10.5 (6); именно,
равенство (20) можно переписать в виде
Q(a, [3) {х) = _ 1 ?(а, Р) (JC) + Q(«, Р) (х) р<«, Р) {х) (25)
z (лг 1) (-£ -р 1)
Другие соотношения, связывающие Р и Q, имеют вид
Pf- И (X) Q^if» (х) - P^f (л-) Qf р> (х) =
-*»+»-'(2, + a+P) ^+^+¾ (^-П-а^ + 1)-р. (26)
рп'Р) w i Q{n'Р) <*> - <?«а*р) w w р«а'Р) (х) =
= _2а+р Г(я + а + 1)Г(П + Р + 1) (^-D-a-l^+D-P-l, (27)
П\ Г (Л-(- ОС —|— р —|— 1) \|/ v /
Они показывают, что QJf' ^ удовлетворяет той же формуле
дифференцирования (15), что и Pf>$\

174
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
Из теории гипергеометрических функций получаем интегральные
представления для Q^'^K Простейшим из них является представление
1
q(«, Р) (JC) = 2'п-! (х - 1)"а (х + 1)"Р f (х — tyn-x (1 - t)n+a (1 +t)n+$ dt,
-l
(28)
справедливое, если x лежит в комплексной плоскости, разрезанной вдоль
отрезка [ — 1, 1].
V. Производящая функция. Имеет место равенство
оо
2 Р$*®(х) *п = 2a**R-1 (\ — z + R)-a(\+z + R)-V, \г\ < 1, (29)
/1=0
где
R = Vl — 2x2 4- z2 (30)
и R=\ при г = 0. Относительно различных способов доказательства
равенства (29) см. Сеге (1962, п. 4.4). При частных значениях а, р
существуют другие производящие функции.
VI. Интегральные представления. Из формулы Родрига (10) имеем
где jc Ф ±1. а интегрирование ведется по простому замкнутому контуру,
охватывающему в положительном направлении t=x. Точки t— ±1
лежат внутри контура, и функции [-?——) и (т-77—) выбираются так,
чтобы при t = х их значения равнялись единице.
Дальнейшие интегральные представления могут быть получены из
интегралов, выражающих гипергеометрическую функцию с помощью
формулы (16).
VII. Различные результаты. Применим формулу Кристоффеля 10.3(12)
к случаю w (х) = (1 — х)а (1 -|- -*Л р (*) = 1 — х. В силу (3) получаем
(я+-Ц^ + 1)(1-^)Т1'Р)^)-
= (д -f- а + 1) />£*• И (х) — (я + 1) P<ftf (х) (32)
и аналогично
(„+£±i + i)(4.,)p(«.P+i)w =
= (л + р + 1) P<* р> (.г) + (л +1) Я<«: f > (*). (33)

10.9]
МНОГОЧЛЕНЫ ГЕГЕНБАУЭРА
175
Эти соотношения являются примерами соотношений между смежными гипер-
геометрическими функциями (см. 2.8(31) — 2.8(45)); другими соотношениями
той же природы являются
(1 — х) Р% + 1' Р) (х) + (1 + *) Pf> р+1) (х) = 2 Pf* Р) (x)t (34)
(2л + а + Р) Я^-1' р) (х) = (п + а + 0) Я^ N (*) - (п + Р) Я^ (*), (35)
(2л + а 4- Р) />£*• р-1} (л:) = (п + а + Р) Я<?' Р) (л:) + (п + а) Р<£ ® (х), (36)
Я<а, Р-1) w _ р(а-1, Р) (л-) = pfo Р) (Ху (37)
Повторное применение этих формул позволяет выразить p(®+fl> $+k) (х)
для любых целых h и k через Я^а' ^ (л).
Из формулы Родрига (10) имеем
х
2п Г (1 — у)а (1 + у)рЯ^а' Р) (у) dy =
/
= р(а + 1, р + 1) (0)_(1 -д;)а + 1(1 +JC)P+1 Я^1' Р + 1) W- (38)
Тоскано (Toscano, 1949) нашел аналог формулы Родрига в терминах
конечных разностей. Определим разностные операторы формулами
Да^ (а) = F (а + 1) - F (а), b.naF = Да (д£ " lF).
Результат Тоскано можно записать в виде
n\T(a + $ + n-\-l)Pf' й(*) =
(39)
(_1)ПГ(0 + Л+1)
[(1-*)/2]
а+1
Л*
а
Г(а + Р + л + 1) /1—^\а + 11
Г (а + 1)
(40)
Наконец, имеет место важное предельное соотношение
Игл
/z-»coL
п-ар(* Р)(с
OS
л
= lim
П > со
-а р(а, P)[i 2
п Г 2л2
2"
-а
J а (г), (41)
где Уа — функция Бесселя первого рода. Эта формула справедлива для
любых а и Р равномерно в любой ограниченной области комплексной
плоскости z.
10.9. Многочлены Гегенбауэра
Мы будем использовать обозначение Гегенбауэра С^ (х) для
соответственно стандартизированных многочленов, связанных с
я = —1, 6=1, w (*) = (! — л:2)
Ч
.V = 1 — х2.
(1)
Эти многочлены называют также ультрасферическими многочленами и
часто обозначают через Р^] (х) Очевидно, что многочлены Гегенбауэра
отличаются от многочленов Якоби при а = р = Я — ■=- лишь постоянным

176 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл.10
множителем. Для того чтобы весовая функция была вещественной и
интегрируемой, потребуем, чтобы выполнялось условие
Я>-у, (2)
хотя многие из формальных соотношений остаются справедливыми и без
этого ограничения. Относительно этих многочленов см. также п. 3.15.
I. Стандартизация.
^0) = (-+^-^ = ^. (3)
Сравнивая с 10.8 (3), получаем
(А+ъ)„с»{х) = (2Я)«р"'а)(А'Х а = х~i■ (4)
Выбранная стандартизация (3) утрачивает силу, если 2% есть нуль или
отрицательное целое число. Единственным исключением в области (2) является
точка А = 0. При А = 0 введем стандартизацию условием
С°(1)=1, С°(1) = |, я=1, 2, ... (5)
Тогда имеет место соотношение
С° {х) = Iim %~1С\{х)=.2 ("Г,1)!НГ2 ' 2^ (х).
К ->■ оо
(6)
Во многих формулах этого пункта значение Я = 0 должно быть исключено.
Этот случай будет отдельно рассмотрен в п. 10.10.
II. Постоянные.
(п + Х)п\Т(Х) й„ = У^ (2Л)„ Г (Я-f-i) , (7)
л1Ая = 2»(Л)да /-„ = 0, (2Я)„/<„ = (-2)" (я + 1) , (8)
(п+1)Ап = 2(п + Х), В„ = 0, (й+1)С„ = л + 2Я-1, (9)
Яп = я(л + 2А), а„ = 0, ря = я + 2Я —1. (10)
III. Формула Родрига.
2^/11^ + ^(1-^)^^^(^) = (-1)^(2^^ [(1 _лг»)л+г—5-]f (11)
CJ-(a-) = 1, С* (*) = 2U. (12)
Рекуррентная формула:
(я + 1) Cj;+1 (-г) = 2 (л + Я) a: Cj; (л:) — (я + 2Я — 1) Cj;_х (лс). (13)
Дифференциальное уравнение:
(1 _ Х2) у » _ (2Л + 1) ху' + п (п -\- 2Х) у = 0, (14)

10.9] МНОГОЧЛЕНЫ ГЕГЕНБАУЭРА 177
Формула дифференцирования:
(l-x*)-fLcxn(x) = -nxCln(x) + (n + 2X-l)C*n_l(x) =
==(n + 2X)xCxn(x)-(n + l)Cxn+l(x). (15)
Четность: „■, „ „i
CU-x) = (-l)"Ckn(x). (16)
Явные выражения:
п
С\ (COS 9) = У ^Y^n-m cos [(/1 _ 2т) е)] (1?)
п^ ' jtJi т\(п—т)\ J '
[у]
С\ (х) = V (-/)^^-^(2^-^, (18)
т=о
•Л,
f 0, если п — нечетное,
С*<0) = < (-1TW™ _., я_о-_.„«,„м d9)
[ m!
если п = 2т— четное.
IV. Гипергеометрические функции. Дифференциальное уравнение (14)
можно свести к гипергеометрическому уравнению. Функция Скп (х) является
его решением, регулярным в точке х = 1 и принимающим в этой точке
значение (3). Кроме того, в случае многочленов Гегенбауэра
соответствующие гипергеометрические ряды допускают квадратичное преобразование,
см. п. 2.1.5. Отсюда вытекают следующие представления:
nlCln(x) = (2X)nF([-ny П + 2К; Я + ^; -Ц^-
— (— 1)л (2Я)Я /^ (— л, п + 2К; Я + 1; !±*.
2
= 2«(Я)Л,-1)^ -«-А + 1; -2*-2X+l;i
— х
х — \
= (2Х)„ (1 + ^-)^(-«, -„-х + ^я+i; л + 1
с\т (*) = (- i)m -¾1 ^ (-«. « + *; j; *2) =
(20)
(2Я)
^-/=-(-/^, m + Л; А + ~; 1-х2) =
(2от)
-m р™ ' ^(2^-i), (21)
C$m+l{x) = l-l)m££±±2xF{-m, m + X + 1; J; *«) =
-^¥туг^(-л,,л,+х+1;Х+7! ^)-
2
—№±L^pm ' "(2л:2—1). (22)
m + i

178 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл.10
Используя эти представления и формулы (13) и (19), получаем:
DmCxn{x) = 2m{'K)mC)ltZ(x)1 т=\, 2, ..., я, (23)
D С\ _ j (х) = х D С\ (х) - пС\ {х\ (24)
DCkn+1(x) = xDCkn(x) + (n + 2X)Cln(x), (25)
2 (п + Я) j С\ (х) dx = Скп + 1 (х) - Скп_г (х), (26)
су { 0, если л-четное,
и пуу)) { 2(—\)т(Х)т+1/т\, если п = 2т -f 1 — нечетное.
Второе решение дифференциального уравнения (14) может быть
получено с помощью результатов п. 10.8 (IV) путем использования связей (4),
(6), (21) или (22) между многочленами Гегенбауэра и Якоби. В этом случае
отсутствуют общепринятые обозначения или стандартизация.
V. Производящая функция. Из 10.8(29) следует, что
оо (я + 4") * I
И (2Я)! С" W ^ = 2 " 2 /^-1 (1 _ ^ + Я)1/2~* (28>
/2 = 0
|*|<1, R = V 1 — 2хг + z\ Я = 1 при z = 0.
Однако в этом случае есть более простая производящая функция, а именно:
ОО л
2 с£ (*) 2я = (1 — 2^ +г2)" |*|<1. (29)
/2 = 0
Для доказательства этого равенства надо положить х = cos 9, записать
правую часть равенства в виде (1 — е г) (1—е~ г) , разложить по
биному Ньютона и использовать равенство (17). Третьей производящей
функцией является
ОО 1л
Sc«^-(ur=r(x+^)^cose(?siner" \.±(*sinG)- (30)
/1=0 2
Она связана с (29) с помощью преобразования Лапласа.
VI. Интегральные представления. Каждая из производящих функций
приводит к представлению многочленов Гегенбауэра в виде контурных
интегралов. Кроме того, мы имеем вещественные интегралы
я
Сп <*> = 21"Г|УщрЯ) I" ^ + ^^=1 cosф)"(sinф)2^1 % (31)
о
2*т(я,+ 2-)(2Я,)д 1 .. f6 cos[(n + A)(p] ,
C"(cos9)= ^,rw (s'n9) J (со5ф-созе)'-^ф' (3¾
справедливые при Л > 0. Относительно формулы (31) см. 3.15 (22), а также
Seidel и Szasz (1950). Равенство (32) является интегралом Мелера 3.15(23);

10.10] МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 179
существует второй интеграл, получаемый путем замены ф и 9 на л— фи
л— 9 соответственно. Интеграл Мелера связан с функциональным
преобразованием, которое преобразует ультрасферические многочлены в степени.
VII. Различные результаты. Из связи с функциями Лежандра
п! С\ (х) = Г [\ + ±) (2Л)Я (-¾^) 4 Р*^_i (*) (33)
получаем теорему сложения
С\ (cos 9 cos ф -|- sin 6 sin ф cos ф) =
п
= У 2т (2Я, + 2т — 1)(л — т)\
№mY
(2Л Чп + т + 1
т = 0
X
X(sine)'^+^(cos9)(sin^)^C^^(cos^)Cm 2 (cos Ф). (34)
Соотношения между смежными гппергеометрическими функциями имеют
вид
2Я (1 - х2) Скп±\(х) = (2 A, -f п — 1) С£_! (*) — л* С^ (*) =
= (п + 2Х)хС1п(х)-(п+\)Скп + 1(х\ (35)
(л + Л) С^-1 (л:) = (Я — 1) [С^ + 1 (л:) — С^_х (л:)| (36)
Из равенства (11) и линейных преобразований гипергеометрических
рядов в (21) и (22) вытекает формула дифференцирования
<*«-l)U2D»[<*f-l)-4=(-l)B«!C£(y==)
(37)
принадлежащая Трикоми (Tricomi, 1949). Отметим также интеграл Геген-
бауэра
я
Лг cos 6 г*\ /„ло а\ /о?« д\2^
п , Г eiz cos и Ск (cos е) (sin е)^ dQ =
0
= 2V^ Г (^ + 4) №)п Г*'* A+bW (38)
и разложение в тригонометрический ряд
оо
Г (A) C£(cos 9) = 2 % <ffi гУ^+^+2Д cos[(/» + 2m + 2*)e-to],
о<я<1, о < е < я (39)
(К)т Г(л + т + 2А,)
т = 0
(Сеге, 1962, стр. 106).
10.10. Многочлены Лежандра
Многочлены Лежандра Рп (х) являются соответственно
стандартизированными многочленами, связанными с
я = — 1, 6 = 1, w(x) = l, А = 1 —л:2. (1)

180 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
Эти многочлены называют также сферическими многочленами. Очевидно,
они являются частным случаем многочленов Якоби при а = (3 = 0, а также
частным случаем многочленов Гегенбауэра при К = -=-. Многочлены Лежан-
дра и более общие функции Лежандра были уже подробно изучены (см.
гл. 3).
I. Стандартизация.
Рп (1) = 1. (2)
Следовательно,
2
Рп (х) = С\ (х) = Pf °) (х). (3)
II. Постоянные.
hn-(n+~) \ kn = 2«gn = 2»-^L, г„ = 0, (4)
/Ся = (-2)я/11, (n + \)An = 2n + l, Вп = 0, (^ + 1)^ = -/2, (5)
^ = /2(/2+1), a„ = 0, рл=/2. (6)
III. Формула Родрига.
2nn\Pn(x) = Dn[{x*-\)*]y (7)
Я0(*) = 1, Л (*) =»*. Л>(*) = |*2--у. (8)
Рекуррентная формула:
(/2+1) P„+1 (х) = (2п + \)хРп (х) - пРп_х (х). (9)
Формула Кристоффеля — Дарбу:
п
__ /2+1
т=0
Дифференциальное уравнение:
(1—*»)у' —2*у' + л(л + 1)у«0. (11)
Формулы дифференцирования и интегрирования:
(1 —х2) Р'п(х) = л \Рп_х (х)-хРп<*)] = (л + 1) [хР„(х) -Pnf,(х)], (12)
хР'п(х)-Р'п_1(х)=пРп(х), (13)
Р;+, (х) -х Р'п (х) = (л + 1) Р„ (*), (14)
(2л + 1) f Рп (х) dx = РпАЛ (х) —Р„_, (*). (15)
</Яя (х)
^(2m + l)Pm(x)Pm(y)=Jl±±-[Pn+i(x)Pn(y)-Pn(x)Pn+l(y)]. (10)
В этих формулах Рп (х) =
rfx

10.10] МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 181
Явные выражения, четность, частные значения:
Ш
^)=2-2(-1)^)(^)^, (16)
т = 0
п
Рп (cos в) = 2 gmgn- т cos [(п - 2т) в], (17)
т = 0
Pni-x) = (-\)nPn(x), Рп(±1) = (±1)", (18)
^(0) = (-1^¾. Рш+1 (0)=0, (19)
Яа™ (0) = 0. ^,+1(0) = (^^(2/^+1)^. (20)
Здесь
2 //я п-2т ( 2/Л
IV. Гипергеометрические функции. См. также 10.9 (IV).
Я„ (х) = F (- п, п + 1; 1; !=^) =
= 2"gnx"F (- J, 1=^.; I; *~2), (22)
Я„ (cos 0) = W— л, л + 1; 1; sin2 -Л =
= (-1)»/г(-л;я + 1;1;со8*|-), (23)
Ргт (*) = (-Dm *т ^ (—т,т + ^; j; х2), (24)
Я2т+1 (*) = (-1Г (2т + 1) gmx f(- т, т + -|; |; х2), (25)
1
7-ЙГЯ„(х) = 2т/п!^тС„_т2(х), л>/я. (26)
Информация относительно второго решения дифференциального
уравнения Лежандра (11) может быть получена из 10.8 (IV). Этим вторым
решением является функция Лежандра второго рода
Qn (•*) = Q{n'0) (•*)• (27)
В комплексной лг-плоскости, разрезанной вдоль отрезка [—1, 1], имеем
2-п(2я + 1)!(л!Г2<?„(х) =
= (х-1)-й-1^(л+1, /г+1;2« + 2; -^^) =
= (х + I)"""1 f(n+ 1, « + 1; 2л + 2; -j^—j =

182 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
Функция Лежандра второго рода не является многочленом; она
удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению (9) и тем же самым формулам
дифференцирования (12)-(15), что и многочлены Лежандра, за исключением
того, что значение п = 0 в этих формулах недопустимо для Q.
Qn(~x) = (-Vn+lQn(x)> (29)
Qo (*) = у In-£±1 ¢^) = 1^10-^^1-.1, (30)
l
Qn (x) = 2-*-1 f (1 -t2f (x — f) -n~l dt, (31)
-l
oo
Qn (•*) = /(•* + Vх2 — ! ch ^) П 1 M> (32)
о
' ,-(-^) *
oo ■ m . ■ >
Q„(chC)= =-, Re*>Re£, Im*=Im£, (33)
У 2 (ch г — ch £)
l
Qn(x) = \ \ (* ~ 0 "! Лг (0 л, (34)
m
0«W = OoW^W- 2^ (2^-1) (/i — k + i) pn-2k+iM- (35)
fc = l
Последняя формула эквивалентна частному случаю а=р = 0 формулы 10.8 (25);
относительно доказательства в форме (35) см. Гобсон (1952, стр. 56).
Бесконечно удаленная точка является для функции Qn(x) нулем кратности п-\-\\
эта функция не имеет других нулей в разрезанной л>плоскости.
Отрезок вещественной оси от —1 до 1 является разрезом ветвления
для Qn (х)у при этом
Qn(l + ®)-Qn(t-iO)=-xtPn(l)> -1<Е<1. (36)
На этом разрезе можно определить второе решение уравнения Лежандра
формулой
Qn (I) = ^Qn (6 + /0) + 1 Qn (6-Ю), - 1 < I < 1. (37)
Мы имеем тогда
1
Qn(l)=^ j (t-t)-lPn(t)dt, -1<Е<1, (38)
-l
где интеграл понимается как главное значение в смысле Коши, то есть как
fc-е 1\
Игл | I -f- I I при е > 0, е -> 0.
-1 6+е/

10.10] МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 183
V. Производящие функции.
оо
SPn(x)zn = —- * ■ , -1<*<1, М<1, (39)
VI — 2xz 4- z2
/2=0
оо
S ж Яд (cos е) г*= **cos еу°(г sin е)' (40)
/2 = 0
^ -^-^j- Рп (cos 9) ^+1 = F sin |, Ф , (41)
я=о л + "2
-^ = ¾^ °<Ф<-^-' 0<в<я.
Первые две формулы являются частными случаями формул 10.9 (29) и 10.9 (30).
Последняя формула может быть выведена из (39). Здесь F (k, ф) означает
неполный эллиптический интеграл Лежандра первого рода с модулем k.
VI. Интегральные представления.
л
Рп (cos 9) = я * I (cos 9 -|- / sin 9 cos q>)n dq> =
о
я
= я г Г (cos9 + /sin9 собц))~п~1 dtp, (42)
о
е
Рп (cos 9) =
V2 Г cos
п + ~2 1Ф
л J "[^СОЭф — cos О
% 0 < 9 < л, (43)
(0 + )
P«W = ^J ?!
г-"-1^
- >
(44)
- 2xz -+- г2
/>„(*) =(-2)-^(2^/)-1 Г (1-^)^- x)-n~l dz. (45)
Равенство (44) вытекает из (39), а (45) — из формулы Родрига. Интеграл
в (45) называют интегралом Шлефли. Первый и второй интегралы Лапласа
в (42) могут быть выведены из (45), если преобразовать контур
интегрирования в окружность
z = x + Vx2 — \ei(V, ~л;<ф<л,
а интеграл Мелера (43) можно вывести из интеграла Лапласа (Уиттекер
и Ватсон, 1963, п. 15.23 и 15.231).
VII. Различные результаты. Функцию
1
т+—
Р™ (cos в) = (-2)'" т\ gm (sin %f Сп_* (cos 0) (46)

184 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
называют присоединенной функцией Лелсандра первого рода (см. 3.4 (1)
и 3.15 (4)). Из формулы 10.9 (34) вытекает теорема сложения для
многочленов Лежандра
Рп (cos 6 cos ф + sin 0 sin ф cos ср) = Рп (cos 9) Рп (cos ф) +
п
+ 2 2 (" + «)! Р" (C0S 9) Р" (C0S *> C0S "ф- (47)
Отметим также разложение в тригонометрический ряд
оо
Ра-, (cos 9) = -JL- ^] Wm *" sin [(я + 2m) 9], « = 2,3,..., (48)
формулы интегрирования
1
п v ' аГл: = — , (49)
J
V\—x 2л+1
— 1 1
я Jt
J P2w (cos 9) dQ = Kg2m, j P2m+l (cos 9) cos 9 dQ = jt^m £m+1, (50)
о 0
Г к (-1)m -т;
I xxP2m(x)dx = ,, \x/m, Re *,>—!, (51)
о
l2 + 2Jm+1
J
(-1)-(4-4
^n t ..\ л.. \ ^ ^ 1 m
xNP2m+\ (•*) ^ = " /14 — . Re Я > — 2, (52)
и билинейное разложение
0 2 ■ 'm+!
2"+1 Р„ (Jc)P„(y) = 2In2-1 -In [(1 -х)(1+У)],
OO
2d /2(/2+1)
л = 1
—1<*<у<1. (53)
10.11. Многочлены Чебышева
Часто (особенно в русской и французской литературе) ортогональные
многочлены вообще называют многочленами Чебышева. Имеется также
много частных систем ортогональных многочленов, называемых
многочленами Чебышева. В этой главе мы сохраним названия многочленов Чебышева
первого и второго рода для соответственно стандартизированных
ортогональных многочленов, связанных с
а = — 1, b=l, w(x)=(l—x2)T2, Х = \—х2. (1)
Очевидно, что многочлены Чебышева первого рода Тп (х) отличаются лишь
постоянным множителем ог многочленов Якоби таких, чтоа = р = — —,

10.11] МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА 185
и многочлены Чебышева второго рода Uп (х) — от многочленов Якоби, для
которых сс = (3=-^-. Эти многочлены Якоби являются ультрасферическими
многочленами (Я = 0 для многочленов первого рода и Я = 1 для
многочленов второго рода).
Соотношение ортогональности для многочленов Чебышева первого рода
имеет вид
1
dx
тт (•*) Тп (х) = О, тфп.
у \ —X2
V
-1
Подставим х = cos 9 и заметим, что cos л9 является многочленом степени л
от cos 9. Мы видим, что Тп (х) отличается лишь постоянным множителем
от cos (л9). Таким же образом можно показать, что Uп (х) отличается лишь
sin [(я+ 1)0] ,л
постоянным множителем от . ' —-. Мы стандартизируем наши
многочлены, положив
Тп (cos 9) = cos (л9), Un (cos 9) = Sin [&{+l) 9] . (2)
Многие соотношения, содержащие многочлены Чебышева, являются
парафразами хорошо известных тригонометрических тождеств. Например, мы
имеем соотношение между двумя видами многочленов Чебышева
Tn(x)^Un(x)-xUn^(x)t (3)
(1 -х2) Un_x (х) = х Тп (х) - Гл+1 (х). (4)
Многочлены Чебышева являются ультрасферическими многочленами,
для которых X = 0, 1. Из 10.9 (23) видно, что Сп (х) при натуральном А можно
выразить как производную соответствующего порядка от многочленов
Чебышева.
I. Стандартизация. Она дается формулой (2). Из нее следует, что
(_1 Л)
Tn(x) = ^C°n(x) = (gn)~lp)l 2' 2j(x), л = 1,2,..., (5)
(- -)
Un(x) = Cln(x)^(2gn + lylPy' 2j(x), /1 = 0,1, .... (6)
где С°п определено формулой 10.9(6) и gn— формулой 10.10(21).
II. Постоянные. Для Тп (х)
л
h0 = ny Ля = "2*, п= 1, 2, ..., (7)
kn = 2n'\ ^ = 0, K„ = (-l)n2nn\gn, (8)
Ап = 2, Вп = 0, Сл=1, (9)
Хп = п2, ссл = 0, Рл = л. (10)
Для Un (х)
hn = ^, kn = 2\ гл = 0, /Сл = (-1)Л2л + 1/1!^л+1, (И)
Ап = 2, Дл = 0, Сл=1, (12)
Ал = л(л + 2), сс„ = 0, рл = л+1. (13)

186
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
III. Формула Родрига.
(14)
(15)
Рекуррентная формула (гп (х) является либо Тп (х), либо Uп (х)):
*/i+i (•*) = 2-х *п (•*) — *п-\ (-*)• (16)
Формула Кристоффеля — Дарбу:
п
-1
2 ' 2т (•*) *т (У) = (-* — У) [*/я + 1 (•*) ^т (У) — *т (•*) ^тн 1 (У)]> (17)
где ^ является либо Тт либо £/^. В случае Тп первый член (m = 0) нашей
суммы надо разделить пополам.
Дифференциальные уравнения:
(1—*) у" -Ху/ + п2у= 0 для у = Тп(х), (18)
(1—^у77 —Зл:у, + ^(^ + 2)у = 0 для у = Un (х). (19)
Формулы дифференцирования (штрих означает дифференцирование по х)\
(1-л:2) Т,п(х) = п[Тп_1(х)-хТп(х)]} (20)
(I - х2) U'n (х) = (п + 1) £/„_! (*) - пх Un (х). (21)
Явные выражения:
Ш
*п(х)-224 m\(n — 2m)\ (ZX) ' "-W,..., (^)
т=0
Ш
(-1
(п — 2тга)
v ' ^J m ! (n — 2m)! v
(23)
m=0
VF. Гипергеометрические функции.
Tn (x) = 7» (- n, n; 1; 1 - -£■), (24)
V„ (*)«<«+1)/7 (-л, я + l; |; -5—J). (25)
Из этих соотношений и 10.9 (IV) следует
DmTn{x) = 2m-\m-\)\nC™_m{x), п> m, (26)
DmUn(x) = 2mm\C£+» (x), n> m, (27)
T'n(x) = nUn_1(x). (28)

10.11]
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА
187
V. Производящие функции.
оо
1+*%Тп(Х)гп=1_2хгг+22, (29)
/2 = 1
ОО
1 4- 2 2 л~' г/г (•*) гп = — Iп (1 — 2x2 + г2), (30)
/2=1
оо
2 tf л W ^ = (1 - 2^ + ^Г1 • (31)
/1 = 0
оо
2 £/»М*)*в-дТ^у1-** + /?, (32)
/1=0
со
У, gWi Un.(x) г" = (33)
/г = 0
Во всех этих пяти формулах
— 1 <х < 1, |*| < 1.
В последних двух формулах
R = Y\ — 2лтг + 212.
Равенство (31) является частным случаем равенства 10.9(29), а (30) —
предельным случаем этого соотношения. Равенство (29) можно вывести из (30).
При этом R= 1 и 1п/?2 = 0 при 2 = 0. Формулы (32) и (33) являются
частными случаями 10.9 (28).
VI. Интегральные представления. Контурные интегралы, выражающие
многочлены Чебышева, могут быть получены с помощью любой из
производящих функций.
VII. Различные результаты.
2 Тт (х) Тп (х) = Тп+т (х) - Тп_т (*), п > т, (34)
2 (х2 - 1) Um_x (х) Un_x (х) = Тп+т (х) - Тп_т (х), п > т, (35)
2 Тт (х) Un_x (х) = ип+т_г (x) + Un.m.x (х), п > т, (36)
2Tn(x)Um_l(x) = Un + m_l{x) — Un-m-l{x), п>ту (37)
2 [Тп (*)]2 = 1 + 2 Г2Л (х)у 2 Г, (*) £/л-1 (х) = ^/2/г-1 (*), (38)
2(1—лс2) [£/„-! (^)]2= 1 — 2 Т2п (х), (39)
/г /г-1
^Tbn(x) = ± + jU2n(x), ^iT2m+1(x)=^U2n.1(x), (40)
m = 0 m = 0
2(1- *2) 2 ^m W = 1 - T2n + 2 (X), (41)
/7Z =0
/г- 1
2(1-*2) 2^ + iW = ^-^i(4 (42)
m = 0
Все эти формулы являются парафразами тригонометрических тождеств.

188 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
Интеграл Мелера 10.10 (43) можно интерпретировать как связь между
многочленами Лежандра и Чебышева. Обращая это соотношение, Трикоми
(Tricomi, 1935) нашел, что
X
(« +1)VT+i j у=- = тпW + тя+1 (х),
1
(43)
(л + 1) VI - х [ у= = Тп (х) - Тп+1 (х). (44)
X
Из 10.9(21) и 10.9(22) получаем
Р\2' 2j(2x*-l) = gnU2n(x), (45)
(_1 I)
хР\ 2' 2J(2x*-l) = gnT2n+1(x). (46)
Наконец, отметим интегралы, понимаемые в смысле главного значения:
1
Тп (У) dy
f
1
Г Un-x(y)dy
_J (y__^)/l_>,:
= nUn_x (4 (47)
-^,,(4 /i=l, 2, .... (48)
которые являются парафразами тригонометрических интегралов и важны
в теории интегральных уравнений, называемых иногда уравнениями профиля
крыла.
10.12. Многочлены Лагерра
Многочлены Z," (х) являются соответственно стандартизированными
ортогональными многочленами, связанными с
я = 0, Ъ = оо, w {х) = е~хха, Х = х} а> — 1. (1)
Вместо L°n (х) часто пишут Ln (х). Эти многочлены были введены Лагер-
ром. Многочлены Z," (л) часто называют обобщенными многочленами
Лагерра, но мы будем называть их просто многочленами Лагерра.
Эквивалентные многочлены были также изучены Сониным (1954, стр. 68).
I. Стандартизация. Мы будем употреблять стандартизацию kn = -—^—.
Иногда используется также стандартизация kn = (— \)п и менее часто kn = 1.
II. Постоянные.
n\hn = T(a + n + l)} n\kn=(-\)n,
nrn = — (п + ее), Кп = п I, (2)
(л + 1Мя = —1, (п + 1)Вп = 2п + а+1, (п+\)Сп = п + а, (3)
кп = п, апг=п} Ря = — (л +а). (4)

10.12] МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА 189
III. Соотношения.
п ! Lan (х) = exx~aDn (е~ххп+а\ (5)
1%(х) = 1, Ц(х) = а+1—х, (б)
п
m=0
(л + 1) LanU (х)-(2л + а + 1 -х) Lan (*) + („ +а) l*_t (x) = 0, (8)
П
2л Г(/я + а + 1) Lro (•*) Lm (?)
*/ + (а+1--«)/ + пУ = 0, y = iSW, (10)
, . a
(*0'+(«+^^-¾-■£)* = <>, z = e * x* L%(x), (11)
X-^Lan(x) = n Ll (x) - (n + a) £^ (*) =
= (л + 1)^и(дс)-(л + а+1-дс)1«(л), (12)
,«(0) = (^«) = i^lk. (13)
IV. Гuneргеометрические функции. Многочлены Лагерра связаны с
вырожденными гипергеометрическими функциями гл. 6. Из явного
выражения (7) вытекает, что
^ <•*>=( " 1" ° ) Ф (~ "* "+1; ■*) =-¾^ * (-« - «. 1-<Ч*). (И)
Отсюда мы имеем равенство
А £«(*)=_£«+}(*), (15)
согласующееся с утверждением (1) п. 10.6,
d
dx
[L°(x)-L*+1(x)\ = l° (х) (16)
и многие другие формулы, вытекающие из соотношений между смежными
вырожденными гипергеометрическими функциями.
Общее решение дифференциального уравнения Лагерра (10) может быть
получено из теории вырожденных гипергеометрических функций.

190
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
V. Производящие функции.
со
^/ЭДг'^О-гГ^'ехр^Нр | г \ < 1, (17)
л=0
°° La(x)zn -— _
= (хг) е* Ja (2 Ухг\ (18)
S
Г(/г + се+1)
л = 0
оо
2 ^-^(^)^ = ^-^(1 + ^, |*|<1, (19)
п = 0
оо
/1=0
а
r(» + a + l)WW-
= (1 - г)"1 ехр (- г ^±J) (*у*) 2 /а (2 -fei.), | г |< 1. (20)
Функция в правой части равенства (17) является наиболее обычной
производящей функцией и может быть выведена с помощью равенства (7).
Равенство (18) принадлежит Дёчу и получается из (17) с помощью
преобразования Лапласа. Равенство (19) вытекает из (7), оно принадлежит Эрдейи.
Равенство (20) является билинейной производящей функцией и известно
как формула Хилле — Харди (см. также Myller-Lebedeff, 1907).
VI. Интегральные представления. Контурные интегралы, выражающие
многочлены Лагерра, могут быть очевидным образом получены из формулы
Родрига (5) и из любой из производящих функций. Кроме того, можно
использовать связь (14) с вырожденцыми гипергеометрическими функциями
(см. п. 6.11). Мы отметим только следующие интегралы:
_а_ оо а
п\ Lan (х) = ехх 2 j е~ЧП+ 2 Ja (2 Vtx) dU (21)
о
. (1+)
xz . „ . . k a -1
2ju 2a L% {x) = (- If в 2 J в " (4¾) (1 - *2) * dz,k = n + ^ + l.
(22)
Первый из них является следствием 6.11 (5), второй принадлежит Трикоми.
VII. Различные результаты. Число относящихся сюда результатов
громадно. Многие из них были многократно переоткрыты. Мы дадим лишь
небольшую выборку из этих результатов, без указания на то, кому они
принадлежат.
Смежные многочлены. Помимо рекуррентной формулы (8) мы
имеем
xLan + \x) = (n + a+\)Lan{x)--{n+\)Lanil{x) =
= {п + а) I*_г {х) -(п-х) I* (х), (23)
Lan'l(x)^Lan(x)-Lan^(x)t (24)
(л + a) Lan-] (х) = (п + 1) /.J х (х) - (л + 1 - х) L*n (х). (25)

10.12]
МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА
191
Формулы дифференцирования и неопределенные
интегралы. Кроме (5) и (12) имеем
Dn\x-a~lexp(— -М = {—\)пп\х
—а—п—\ га
<^Ы-4)> (26)
Dm [ха Lan (х)] = (п-т + а+ \)тха~т Lan~m (х),
п! Dm [е~хха L°n {х)] = {т + п)! е~хха-т Lam~+mn (х),
оо
f в-У Lan (у) dy = е~х [Lan (х) - Z.«_1 (*)],
X
X
Г(се+Р + л+1) f (x-yf-lyaLan(y)dy =
(27)
(28)
(29)
о
= Т(а + п+\)Тф)ха^Ьап^{х)у Rea>-1, Re |3 > О, (30)
X х
j Lm (у) Ln (x — y)dy=f Lm+n (у) dy = Lm+n {x) — Lm+n+l {x). (31)
о
Дальнейшие неопределенные интегралы можно получить из теоремы о
преобразовании Лапласа для произведения.
Интегралы Лапласа. Мы будем применять обозначение
ОО
-24^(01 = f e~stF{t)dt.
о
Имеем
^[taLan(t)]=V ^+^+^ 1)", Rea>-1, Re s > 0, (32)
= Г (Р + 1) Г (а + л + l)s-V-lF(-n, р + 1; а+1; S'1), (33)
Rep>—1, Res>0,
J?
i 2 +"ja (2 УЫ)\ = n\k2 s-a-n ~le ~Lan Ш.
Предельные формулы.
lim
/z->oo
yaLan(^)] = x-"ja(2Vx-).
(34)
(35)
(36)
Выражение через конечные разности. Справедлива
формула
п
Аг/(о)=2М)я-и(Л/(а + я). "=1,2,...,
га=0

192
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
где положено
Да/ (а) = / (а + 1) - / (а), Д* f lf (а) = Да (д£/ (а)), /1=1,2,...
Следовательно, имеет место равенство
л
(37)
л!л:а а Г (а
(а + 1)
Конечные суммы. Помимо указанных выше, имеем
п
2 Lam (х) = Lan+\x) = х-1 [(* - п) Lan (х) + (а + л) L^ (*)], (38)
m =0
^2 w = 2 (« г1 («- P)m ig_/n w, (39)
m =0
/г
^ (**) = 2 ( " i tt ) ^^ (1 - ХУ" Lan-m <■*>. (40)
2 ^ (*) Z-tm (У) = i"+P+1 <* + У). (41)
m =0
n\ Lan(x) Lan{y) =
a /At\
n
= Г(а + /1+1) 2 Hirfa + m+lM-^^r^lr^ + y). (42)
m = 0
Бесконечные ряды. Производящие функции указаны выше
((17) — (20)). Разложения бесселгвых функций см. в п. 10.15, а другие
примеры бесконечных рядов, содержащих многочлены Лагерра, см. в п. 10.20.
10.13. Многочлены Эрмита
Многочлены Эрмита являются ортогональными многочленами,
связанными с вещественной осью (—со, со) и экспоненциальной весовой
функцией. К сожалению, обозначения, применяемые различными авторами,
весьма разнообразны. Простейшей формой экспоненциальной весовой
функции является ехр (—х2), но для приложений к математической статистике
более удобно выбрать ехр I ~-1. В наиболее важных книгах,
посвященных этому вопросу (Курант — Гильберт, Дёч, Сансоне, Сеге), использовано
ехр (—х2). Однако Аппель и Кампе де Ферье, Янке — Эмде — Лёш,
Магнус — Оберхетингер, Полна и Сеге и Трикоми применяют весовую
функцию ехр I pj-j. Мы будем пользоваться в этой главе обозначением
Сеге (1962) и рассматривать многочлены Эрмита Нп (х) как соответственно
стандартизированные ортогональные многочлены, связанные с
а = —со, Ь = со, w (х) = ехр (—х2), X = 1. (1)
Ортогональные многочлены, связанные с весовой функцией expf ^-),
будут обозначаться Иеп (х). Эти многочлены можно также выразить через
функции параболического цилиндра (см. 8.2 (9)).

10.13] МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА 193
I. Стандартизация. Мы будем употреблять стандартизацию Кп = (—\)п.
Она совпадает с стандартизацией, применяемой, в частности, в книгах:
Курант — Гильберт, Фельдгейм — Хилл и Сеге. Стандартизация Кп = 1
применялась Дёчем, Эрдейи, Сансоне и другими.
Так стандартизированные многочлены Эрмита могут быть выражены,
согласно Сеге и Кошмидеру, через многочлены Лагерра
_]_
H2m(x) = (-\)m22mm\Lm2(x2), (2)
H2m+,{x) = (-\)m22m+1mlxL2m(x2). (3)
Эти выражения показывают, что Нп (х) является нечетной или четной
функцией от xf в зависимости от того, нечетно или четно п. Эти формулы
аналогичны (точнее, являются предельными случаями) формулам 10.9 (21)
и 10.9(22).
II. Постоянные,
hn = Vn2nn\t kn = 2"t r„ = 0, (4)
Кп = {-\)п\ Лп = 2, Вп = 0, Сп = 2п, (5)
Хп = 2п, ал = 0, р„ = 2л. (6)
III. Соотношения.
Hn(x) = (-\)nex2Dne-x\ (7)
//„(*) = 1, Н1(х)=2х, (8)
Ш
Нп(х) = п\\. { /■ W .. . (9)
v ^ т! (п — 2т)! v '
=г или
2
или нечетным.
Нп+1 (х)-2хНп(х) + 2пНп_1(х) = 0, (10)
SHm (х) Нт (у) ^ Нп+1 (х) Нп (у)-Нп (х) Нп+Х (у)
2тт\ 2п + 1п\(х-у) ' К }
f _ 2ху' + 2пу = 0, у = Нп (*), (12)
z" + (2л + 1 - *2) г = 0, z = exp (- ^-) Яя (л:), (13)
Яя(-*) = (-1)я//„(*), Н'п{х)=2пНп_х(х\ (14)
Я2т(0) = (-1Г-^, Л21Я+1 (0)=0. (15)
о Гя"| я л— 1
Здесь — =-pj- или —~—, в зависимости оттого, является ли п четным

194
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
IV. Г'ипвргеометрические функции. Многочлены Эрмита связаны с
функциями параболического цилиндра, которые являются частными случаями
вырожденных гипергеометрических функций
Нп (х) = У2п ехр [^ Dn(V 2 *) = 2* У (—£, ±; **), (16)
тI Н2т (х) = {-\)т (2т)! Ф (- т, 1; *2) , (17)
^!Я2т-ы (*) = (-1Г(2т + 1)!2*ф(-/и, |; jc2J. (18)
Общее решение дифференциального уравнения Эрмита (12) или его
самосопряженной формы (13) (которая, по-видимому, принадлежит Веберу) может
быть получено из теории функций параболического цилиндра.
V. Производящие функции.
оо
^ Нп (х) -^- = ехр (2xz — г2),
(19)
п = 0
оо
2j (-1 )т Н2т W -^-^ = ехр (*') cos (/ 2 «),
т = 0
оо
(20)
т = 0
СО | _£
П \2
2 (LTdi Нш+1 (х) z2m+l=ехр {z2) sin (/**гХ
(21)
2
л=0
л!
«я (х) Нп (у) =
УТ=
ехр
( 2лгуг — (jc2-f у2) г2 1
1 —г2
■ (22)
Равенство (19) является хорошо известной производящей функцией. (20) и (21)
могут быть выведены из (19), а (22) является формулой Мелера.
VI. Интегральные представления. Контурные интегралы получаются
обычным образом из равенства (7) или из любой производящей функции.
Кроме того, можно использовать связь с функциями параболического
цилиндра (см. п. 8.3). Мы имеем, например,
со
.-X2
n/1+l Г /
Нп (х) = ^j=- e~t2tn cos \2xt —
У л 0 \
пл
dt.
(23)
VII. Различные результаты. См. замечания к 10.12 (VII).
Пределы:
[(—\)mVm
lim
т->оо
22mm!
lim |<=^
m-»oo 22mm\
H
[
H
2m + 1
\2Vm J
COS X
2 sin x
(24)
(25)

10.13]
МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА
195
Интегралы:
л
f е~У2Нп (у) dy = Нп_х (0) - е~х*Нп_, (х),
о
х
f Нп (у) dy = [2 (п + I)]"1 [Нп+1 (х)-Нп + 1 (0)],
о
оо
— оо
оо
I*
V
— оо
оо
e~yiH2m (ху) dy = У я -£gi <*» - 1)»
е~у2у Н2т+1 (ху) dy = Уя {<1т + Х)' х <*» - 1)«
j е~у2уп Нп (ху) dy = Vn п\Рп (х).
— оо
Здесь Рп (х) — многочлены Лежандра.
Преобразования Гаусса. Формула
&*[F(y)\ =
1
оо
У2пи
F (у) ехр
—оо
[-
(* -У)2
2и
]
rfy
определяет преобразование Гаусса (с параметром и). Мы имеем
*?\НпО] = /(1 -2«)" Яя (у==)- 0<М<1
_1_ _1_
»1 [Нп (У)] = (2л;)Л <^ [уЛ] = (2*) -л Я „ (U:).
(26)
(27)
(28>
(29).
(30>
(31)
Связь с многочленами Лагерра. Помимо формул (2) и (3)
мы имеем
п
2 (I ) H2k W H2n_2k (у) = (-1)« п\ Ln <** + у2),
й=0
оо
/ *~у2 [Нп(У)? cos(V2xy)dy = Vn 2n-ln\Ln(x2\
(32)
(33)
о
i
2
2
Г(я + а+1) О — *2) ' H2n(Vxt)dt =
-l
= (-1)" \Гп (2л)! Г (а + ^) К <*). Re а > —1.
(34)
Первые две формулы принадлежат Фельдгеиму, последние — Успенскому-
(1927).

196 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
Конечные суммы. Помимо указанных выше формул справедливы
следующие соотношения:
п
^ {2mm\yl [Нт(х)]2 = (2п + 1п\Т1 {[Нп+1(х)]2-Нп(х)Нп+2(х)}, (35)
т = 0
т'т(т, п)
^] (-2)'*ij")(J)ffm.,w//n-jW = wm+„(4
(36)
k = 0
min (m, n)
S 2kk'\™){l)Hrn+n-2k(x) = Hm(x)Hn(x\ (37)
k=0
m
%(™)нк(}Г2х) Hm_k (V2 y) = V2m Hm (x + y), (38)
k=o
m
ft = 0
= 2т-1[//2пг(^ + у) + Я2т(х-у)], (39)
Sax l arr
H^\ ''' "T^T Hmi (xd '" Hmr (XJ =
m.+ ... +m =n
V(<%+ ... + <£)" „ /¥l+ ••• + <V*r\ //!m
" "' "iv4+...+4Г m
Равенство (35) принадлежит Демиру (Demir) и Хсу (Hsu). Последние три
формулы являются теоремами сложения и легко могу г быть доказаны
с помощью производящей функции (19). В равенстве (40) сумма
распространена на все неотрицательные целые значения mh ..., тг, сумма которых
равна п.
Бесконечные ряды. Производящие функции указаны выше
((19) — (22)). Относительно разложений по сферическим функциям Бесселя
см. п. 10.15, а относительно других бесконечных рядов, содержащих
многочлены Эрмита, см. п. 10.20.
10.14. Асимптотическое поведение многочленов Якоби,
Гегенбауэра и Лежандра
Поведение многочленов Якоби, когда п->оо ив то же время
определенным образом х->\, дается формулой 10.8(41). Соответствующее
поведение, когда х->—1, вытекает из 10.8(13), а поведение многочленов
Гегенбауэра и Лежандра может быть получено с помощью 10.9 (4) и 10.10 (3).
Поведение многочленов Якоби, когда Р->оо, ах стремится определенным
образом к единице, дается формулой 10.12(35).
Для изучения вопроса о сходимости бесконечных рядов, содержащих
многочлены Якоби, и для многих других целей полезно изучить поведение

10.14]
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ
197
многочленов Якоби, когда а, р, х фиксированы и п -> оо. Пример
многочлена Чебышева
Тп (cos 9) = cos я9, х = cos 9,
подсказывает, что это асимптотическое поведение будет различным в
зависимости от того, лежит ли х на отрезке [—1, 1] (9 — вещественное) или
вне этого отрезка (9 — комплексное). Следует также отдельно рассмотреть
концы указанного отрезка. В этом пункте мы полностью опускаем случай,
когда х лежит вне отрезка [— 1, 1], отсылая читателя по этому поводу
к книге Сеге (1962, гл. VIII). Мы укажем некоторые результаты для
промежутка — 1 < х < 1; все оценки, данные в этом пункте, выполняются
равномерно на любом отрезке —1-|-£ <-* <i 1—£ (е > 0). Мы укажем также
некоторые важные результаты для случая, когда х находится в окрестности
точек ± 1.
Доказательства приводимых здесь результатов основаны либо на явных
выражениях соответствующих многочленов или на их интегральных
представлениях (в случае интегральных представлений часто применяется метод
наискорейшего спуска), либо проводятся с помощью производящих функций
(метод Дарбу) или с помощью дифференциальных уравнений (метод Лиувилля
и его дальнейшие обобщения).
Дарбу доказал (исходя из производящей функции), что
ДГ-1
Рп (cos 9) = 2gn
Sm 1 о
COS
m
/2-/72 + -^)9
2^4
я
m = 0
П
M + -0
+
m
(2 sin 9)
m + S
+ 0\n
-*-4
0<9<л, (1)
где gn определяется равенством 10.10(21).
Подобная формула была получена Стилтьесом, способ которого позволяет
дать оценку остаточного члена
М-1
Рп (cos 9) = ~-
n\g
cos
m
п + т + ±\в
-0- + T л
яя(-+{)1+1
(2 sin 9)
l
+ л„(е),
M
где
l^(fl)|<7
n\
&M
tt
^ + -5-)
A = 2 sin 9, если
-l
A = | cos 91 , если
(2 sin 9)
sin2Q>i
sin2 9<i
M+2
0 < 9 < л, (2)
(3)
(4)
л
5л
так что во всех случаях 1 < А < 2.
j
Если 2 sin 9 > 1, то есть если ~ < 9 < -^-, то в равенствах (1) и (2
можно перейти к пределу, когда М->со, и получить тем самым сходящиеся
тригонометрические разложения многочленов Лежандра.

198
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
В окрестности точки к = 1 имеем формулу Хилба
г-
е
Рп (COS В) = 1/ s- J
п v ' Г COS 6
" + у)в
+ о U
2
(5)
которая справедлива равномерно при 0<9<я— £ (& > 0). Относительно
более точной оценки остаточного члена см. Сеге (1962, стр. 203).
Относительно разложений многочленов Лежандра в ряды по функциям Бесселя
см. Szego (1933). Если взять частный случай формулы 10.14 (11) при а = р = 0
и выразить вырожденную гипергеометрическую функцию в виде ряда по
функциям Бесселя с помощью 6.12 (6), то получим следующий результат:
Рп (х) =
4 \ (2/1 + 1)
х + 3
Уо(2/Б) + -§|гЛ(2/Б) + 0(/1-»)], (6)
где
2 (л- + 3) I = (1 — х) (2л + I)2.
Некоторые из этих результатов могут быть распространены на
многочлены Гегенбауэра, а часть — даже на многочлены Якоби.
>л
Скп (cos 9) =
= 2
Мл
ж-i
(Х)т (1 — К)т cos [(л — т + X) 9 — (т + Я) я/2]
п\ ~0{п — т-\-Х)тт\
(2sin0)
\\-rn
+ 0\п
-M-j
Ckn (cos G) -
ХфО, — 1, — 2, ..., 0<9 < л, (7)
М-1
= 2
Г (2А + л) v (1 — l)m c°s [{п + /и + А) В — (/я + Я) я/2]
2
[Г(Ч]2 ^0(^ + ЯЬ41ш!
(2sin9)A+m
+ я„ (0),
ж
^(в)|<2
Г (п + 2Л) (1 — А)
ж
ж
[Г (Я)]2 (M + l)n^M\ (2sin0)
О < Я < 1, 0 < 0 < я, (8)
(9)
а,*-ж '
где Л определяется равенством (4),
р(а, ft (cos в) = со5{[«+(а+Р + 1)/2]9-(2а+1)я/4) + Q (^4)
|К яп I sin •=-
cos2
(10)
а, р — вещественные, 0 < 0 < я.

10.15] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАГЕРРА 199
Формула типа Хилба для многочленов Якоби была дана Szegu и Rau,
см. Сеге (1962, стр. 205). Tricomi (1950а) получил разложение
оо
р{%&(л-р-*(1±Л\~" V T(N + m)T(a + n+\)
^п К*)-* \ 2 ) Zd n\T{N)T{a + m + \) Л
т = 0
XAm\k} ^±1|^|Шф(-я-р, а + т + 1\ г), (11)
где
Л = л+Я±1, tf = /i + a + p + lf ^=1-2Ff7' I*K2IH (1¾
Здесь Ф является вырожденным гипергеометрическим рядом и Ат —
коэффициентами, определенными в п. 6.12. Используя разложение (6.12) (6), можно
получить разложение многочленов Якоби по функциям Бесселя. В частном
случае а = р = 0 оно приводит к формуле (6).
10.15. Асимптотическое поведение многочленов
Jlareppa и Эрмита
Общие замечания, сделанные в начале предыдущего пункта, применимы
и в этом случае, однако ситуация является более запутанной из-за того, что
промежуток бесконечен. Многочлены колеблются на части промежутка и
монотонны вне этой части.
Асимптотическое поведение многочленов Лагерра и Эрмита, когда п -> оо
и в то же время х определенным образом стремится к нулю, дается
формулами 10.12(36), 10.13(24) и 10.13(25).
При вещественном а и фиксированном х > 0, или же равномерно
в 0 < е <; х <; со < оо, мы имеем формулу
Vх (х)=.—г=е х п cosl2ynx )+0 \п /. (1)
Эта формула была обобщена Перроном (см. Сеге, 1962, стр. 206). Sansone
(1950) дал двучленную аппроксимацию с оценкой ошибки. Его формула
перестает быть верной при малых значениях х, однако в этом случае
справедлива формула типа Хилба
/*Ag(*)=. Г(;+^+1) ja(v^)+o(n^), (2)
It) nl
которая имеет место при а > — 1 равномерно на отрезке 0 < х <! со < оо.
В формуле (2) использовано обозначение
v = 4л + 2а -j- 2. (3)
Это обозначение будет применяться на протяжении данного пункта.
Поведение многочленов Лагерра, когда п -> со, а х принимает любые
значения, было изучено многими авторами (см. п. 6.13) Мы ограничимся
кратким изложением этих результатов, основанным на мемуаре Tricomi (1949).
Трикоми различает четыре случая в зависимости от того, будет ли х близко

200
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
к нулю, лежит в области колебаний, близко к v или лежит в области
монотонности.
Разложение
X
~2
п\е 2Lan(x) = T(a + n + \) ^
а оо
"2
т
^лК^У j
V
а+т
(У™). (4)
т = 0
являющееся частным случаем 6.12(11), в котором положено
л* __ 1 л* — п л* — аН~ 1
v ,*
(m + 2)Am+2 = {m + a-\-\)Am^^-Am_v т = \, 2, ...,
(5)
равномерно сходится в любой ограниченной области комплексной плоскости х.
Рассматривая величины последовательных членов, усматриваем, что если
х= 0(п ), где А, < -я-, то разложение (4) имеет при п->со асимптотический
характер. Это описывает поведение функции Lan (х) около начала.
Аналогичное разложение
а
ОО
т
п\ {их)2e~hx
1£ (*) = Г (а + л +1) J] Am W (J) 2 Ja+m (2 Vax)
(6)
m=0
с соответствующими коэффициентами было дано Toscano (1949), а в случае
и = п — Tricomi (1941).
В области колебаний 0 < х < v Трикоми положил
я
jt = vcos29, 0<9<у, 4e = v(29 —sin'20) -f л;
и доказал, что при фиксированном Э имеем
(7)
е 2 Lan (х) = 2 (—\)п (2 cos 9)"а (jtv sin 29)"1/2 X
V л£> (9)(-1 sin 26
X
-т
Lm = 0
sin (в +^) + О (л"*)
где
А^ (9) = 1, 4а)(9) =
1
12
4 sin2 9
— (1 —За2) sin2 9 — 1
Относительно общего выражения для А$ см. Tricomi (1949).
Вблизи точки перехода v имеем
(
х_
2 Та
е 'Z£(*)=Yi
Л(0 +
4
3v2
t2
Ъ A' (t) +
i 3 + 5а ,
A(t)
+ 0\п
_5
3
(8)
Ф)
(10)

10.15]
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАГЕРРА
201
где
'-'т
з
(V — х),
яу, = (-1)л 2
л о-а
1 1
63v-3+ l±5«__Uf v-'+OU 3
5\
10
>■'!
A(t) =
- Ш /4
У
-i(2/(*)'KM
о
м8
3
(И)
(12)
(13)
является функцией Эйри и A' (t) означает производную функции A (t).
Наконец, в области монотонности имеем
* = vch29, Э>0, 48 = v (sh 29 — 29),
(14)
2 #<х
м~-@
е г L%{x) = {—l)Vw(2ch 9)"а (rcvsh 29)
лг—1
-1/2
X
X
^ (-Dm AW (9) (J sh 29) "Ш + О (n'M)
m = 0
(15)
где
4е' (в) = 1, A™ (6) = -1. Г-Ag- _ (1 _ За») sh* 9 + 1
(16)
В нижеследующем изложении соответствующих результатов для
многочленов Эрмита мы будем пользоваться сокращенными обозначениями
f «
! "2'
i п — 1
I ~^~
если п — четное,
если п — нечетное.
(17)
При фиксированном вещественном х (или равномерно на любом
ограниченном отрезке) имеем
Г (j+i)exp (-£)*.(*) «
= Г (л+ 1) \zo%{YWx —
1 Vn
(18)
Cere (1962, стр. 207) дает явное выражение второго слагаемого, а также
общую форму асимптотического разложения.
Для оценки поведения многочленов Эрмита, когда я->оо, а х
принимает любое значение, мы имеем формулу Планшереля — Роташа (Сеге, 1962,
стр. 208). Из формул 10.13(2) и 10.13(3) видно, что этот случай охватывается
упомянутой выше работой Трикоми. Если а=± -=-, то функции Бесселя,
входящие в формулу (4), являются так называемыми сферическими
функциями Бесселя и могут быть выражены в замкнутой форме.

202 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
Если при некотором X < -^ величина п Nx ограничена, когда я-»оо, то
о
эта формула является асимптотическим разложением.
Областью колебаний является 0 < | х | < 2 Ут . Здесь может быть
использовано разложение (8), где а= ± -~-. В окрестности переходных точек
х= ± 2Y*n имеет место равенство (10), а в области монотонности | х\ >
> 2}/т —равенство (15).
Основные разложения в ряды по сферическим функциям Бесселя
являются частными случаями более общих разложений, принадлежащих
Tricomi (1941):
оо
е-^2Н2т (х) = (-1)« 22™+1 (I)^2 JJ (2/и)1-' С'г*г_г (2 Vmx), (19)
оо
е- Нх'Нш ИМ = (-1)» 22т+! (|) х ^] (2т) "г С>г (2 /^Г *), (20)
где
«^0 (г) = г-1 sin z, &_х (z) = z~2 cos г, (21)
^иМ = (2г + 1)^М-^г.,(г), r = 0, 1,2,..., (22)
и коэффициенты СТ также удовлетворяют некоторым рекуррентным
соотношениям. Разложения (19) и (20) сходятся. Они могут быть также
использованы как асимптотические представления при m ->оо. Для этой цели удобно
положить h = 72'
10.16. Нули многочленов Якоби и связанных
с ними многочленов
Определим многочлены Якоби для всех значений а, р, х формулой
10.8 (12) и обозначим через Nx (а, Р) число нулей Р^'|5) (х) на отрезке
[—1, 1]. Если а> — 1 и Р > — 1, то многочлены Якоби являются
ортогональными многочленами с соответствующей весовой функцией 10.8 (1).
Поэтому, в силу п. 10.3, все их нули являются простыми и лежат на
отрезке [—1, 1]. Для других вещественных значений аир число нулей,
лежащих на отрезке [—1, 1], указано на рис. 6.
Мы видим из 10.8 (12), что при отрицательных целых значениях а
функция Р^' ^ (х) имеет нуль порядка | а | в точке х ~ 1, а при отрицательном
целом р — нуль порядка |Р| в точке х — — 1. На луче (—со, —1) лежат
N{ (1—а—р—2л, Р) нулей, а на луче [1, оо) расположены Л^ (1—а—р—2л, а)
нулей. Все нули, не указанные в этом перечислении, встречаются в виде
комплексно сопряженных пар.
Многочлены Гегенбауэра были определены для всех значений Я, х
формулой 10.9(18). Если А, > — -=-, то эти многочлены ортогональны, а
потому все их нули являются простыми и лежат на отрезке [—1, 1]. Для
остальных вещественных значений А, число нулей может быть выведено
из результатов о многочленах Якоби с помощью формулы 10.9 (4).

10.16]
НУЛИ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ
203
Расположение нулей ортогональных многочленов Якоби и их частных
случаев на отрезке [—1, 1] было изучено многими авторами. Мы отсылаем
читателя к книге Сеге (1962, гл. VI) и к более современным работам,
в частности работам: Gatteschi, Геронимус, Lowan, Davids и Levenson,
Tricomi, перечисленным в
библиографии к этой главе.
Положим
а > — 1, Р > — 1,
Я > — -^-, х= cos9,
fi
ос=-п сс=-л+/ сс=-л+<?сс=-<? ос=-/ |
О
J
О
1
О
лЧ
л-2
л-3
О < 9 < л, (1)
и расположим нули в порядке
возрастания:
pf р) (cos eOT) = о,
0< Oj < 92< ... < 9Л < л, (2)
— 1 < *„ < .*„_! < ... < Х{ < 1,
■*/и = C0S 9m- (3)
Для ультрасферических многочленов имеем
хт v хп-т == ^»
и, следовательно, достаточно изучить положительные нули
Для многочленов Якоби
хт — *т (а, Р, л)
0
Л£ (сс,£)Й7Я £ещестбеншх ос uJ5
Рис. 6.
/?
л-/
п-2
/
—^ ее
-fi-3
(4)
(
1 < m^
n
2'
я
и для многочленов Гегенбауэра
xm = xm(kt п) = хт U — ~2> Х
Если т и л (а в случае многочленов Якоби также один из параметров
а, Р) фиксированы, то имеем следующие свойства монотонности:
хт (а, р, п) \ — 1 при а -> оо, f 1 при Р -> оо, яг = 1, ..., я, (5)
-*m (^» я) ф О при К -> оо,
/и = 1, ...,
(6)
Последнее из этих соотношений означает, например, что /w-й
положительный нуль многочлена Гегенбауэра является строго убывающей функцией А
(при Л> — 7f) и стремится к нулю, когда А-»оо. Из (5) и (6) вытекают
соответствующие утверждения для 9т. Так как формулы 10.11 (5) и 10.11 (6)
позволяют найти значения 9т I ± -^, ±-=-, /г), то имеем следующие
неравенства:
(2т — 1)я<(2я + 1)9т (а, р, л) < 2/ия, — п"<а, Р <-g-. I </и < л, (/)
1
(т _ |) £ < вт (*, л) < -
/ил
4-1*
0<А<1, 1</я<
п
1'
(8)

204
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
О дальнейших результатах см. Сеге (1962, гл. VI). Tricomi (1947)
заметил, что асимптотическое поведение нулей любой функции может быть
выведено из асимптотического поведения самой функции, и применил этот
принцип ко многим функциям, в частности, к ортогональным многочленам
(см. Tricomi, 1960; Gatteschi, 1949, 1949а). Оказалось, что асимптотическое
распределение нулей около середины отрезка зависит от нулей
тригонометрических функций (см. 1.14(5)), а нули около конечных точек зависят
от нулей функций Бесселя (см. замечание, следующее за формулой 10.14 (12)).
Асимптотические формулы для чисел Кристоффеля могут быть выражены
из асимптотических формул для нулей с помощью формулы 10.7(7).
Относительно числовых значений нулей и чисел Кристоффеля для
многочленов Лежандра см. Lowan, Davids и Levenson (1942, 1943).
10.17. Нули многочленов Лагерра и Эрмита
Многочлены, определяемые для всех значений а и х формулой 10.12(7),
имеют при а> — 1 п положительных нулей, при —я<а<;—1 [я-|-а]
положительных нулей и не имеют положительных нулей, если а<; — п\ они
имеют нуль порядка k в точке х = 0, если а = — k, k = 1, 2, ..., л, и имеют
один отрицательный нуль, если (а-\-\)п < 0. Все нули, не перечисленные
в этом списке, распадаются на комплексно сопряженные пары. Многочлены
Эрмита степени п имеют п вещественных нулей, которые расположены
симметрично относительно начала координат.
Детальная информация о расположении нулей ортогональных
многочленов Лагерра (то есть при а > — 1) и многочленов Эрмита имеется в книге
Сеге (1962, гл. VI) и в работах: Greenwood и Miller (1948); W. Hahn (1934);
Salzer и Zucker (1949); Spencer (1937) и Tricomi.
Положим
a> —1, x > 0 (1)
и расположим нули многочлена Lan (х) в порядке возрастания так, что
Ln(^m) = °. 0<хг<х2< ... <хп, хт=хт(а}п). (2)
При фиксированных тип мы снова получаем, что хт является
возрастающей функцией от а. Относительно границ для нулей см. Сеге (1962,
гл. VI) и W. Hahn (1934). Асимптотические представления многочленов
Лагерра и Эрмита могут быть использованы для того, чтобы найти
приближенные значения нулей (Tricomi, 1949). Из п. 10.15 ясно, что надо различать
три случая. «Первые» нули — это такие, для которых т остается
ограниченным, когда п->оо; они изучаются с помощью формулы 10.15(2). «Сред-
п
ние» нули — это такие, для которых
т
остается ограниченным, когда
/2->оо; их можно вывести из 10.15(8). «Последние» нули, для которых п—т
остается ограниченным, когда гс->оо, выводятся из формулы 10.15(10).
Получающиеся приближения дают удовлетворительные численные
результаты уже при сравнительно небольших значениях п, например п = 10.
Асимптотические формулы для чисел Кристоффеля могут быть
выведены из 10.7 (7).
Относительно числовых значений нулей и чисел Кристоффеля для
многочленов Лагерра Ln (х) см. Salzer и Zucker (1949).

10.18]
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
205
10.18. Неравенства для классических многочленов
Относительно неравенств для общих ортогональных многочленов и их
приложений к классическим многочленам см. Сеге (1962, гл. VII).
В обозначениях п. 10.3 справедлив следующий результат для
монотонной весовой функции (Сеге, 1962, теорема 7.2). Если функция w (х) не
убывает (не возрастает) и b [а] конечно, то функция У w (х) | рп (х) | достигает
наибольшего значения на отрезке [#, Ь] в точке b [а].
Применяя это утверждение к классическим ортогональным многочленам,
весовая функция которых монотонна, получаем неравенства
|ЯЛ(^)|<1, -1<л:<1, (1)
l-^\2+4,p„,ow <1} _1<JC<1| а>-1 (2)
(■
е 2 |L„(-*)I<1, *>0. (3)
Другой плодотворный путь вывода неравенств связан с теоремой
Сонина — Пойа (Сеге, 1962, теорема 7.31.1 и сноска). Если в дифферен-
циальном уравнении [t(x),']'+?Wy = 0 (4)
функции k (х) и ф (х) положительны и имеют непрерывные производные
и если k (х) ф (х) монотонно, то последовательные (относительные)
максимумы | у | образуют возрастающую или убывающую последовательность
в зависимости от того, убывает или возрастает функция k (х) ф (х).
Следующие ниже результаты могут быть получены путем
конструирования дифференциального уравнения, которому удовлетворяют
рассматриваемые функции, и последующего применения теоремы Сонина — Пойа.
Последовательные максимумы для \Рп(х)\} гс!>2, при возрастании х
от 0 до 1 образуют возрастающую последовательность. (Это соответствует
неравенствам (1).) Последовательные максимумы "J^sin 9 | Рп (cos 0) |, п > 2,
когда 9 возрастает от 0 до -~ , образуют возрастающую последовательность.
В качестве приложения можно доказать, что
УШпв | Рп (cos 9) | < 2
Далее,
лп
Р'п W I <
п(п + \)
6 < 9 < л.
— 1<^<1.
Для многочленов Гегенбауэра
max |CJ(*)| = C£(1) =
(2 А) п
п\
Л>0,
max
-1 < х < 1
cL <*)
>к
С*т (0)
(Я)
т
max
-1<лг<1
^2m + l М
<
— т < X < 0,
Mm-f-il
не целое,
т
!l/"(2m + l)(2A, + 2m + l) '
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
— т
-у < X < 0, Я — не целое,
?i-i
(sine)* Cj(cos9)|<T) [Г (Л)]"1, о<Х<\у 0<9<я. (10)

206 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
Для многочленов Якоби положим
q = max (а, Р) (11)
и получим
max \Р^(х) =maxP(«'|3)(± 1) = ( П + Я
-1 <* < 1 \ п
_(n + q-l , (12)
а> —1, Р> —1, q> — Y-
Если —1 < а, Р<—рр то абсцисса точки наибольшего максимума для
I Р^' ® (х) I является одной из двух ближайших к xQ = . fl абсцисс
1 п ' (a-rPi-l)
1
точек максимума, и этот максимум имеет порядок -у=г, когда гс->оо. Из
у п
оценок при больших значениях п мы отметим лишь
J^L Pf'®(x) = 0(rfl\ ^ = max(2w + a, 2w + p, m-i-j, n->oo. (13)
Для частного случая многочленов Яагерра L?n мы уже имели оценку (3)
Границы для Lan могут быть получены отсюда путем использования
соотношения 10.12 (39) при р = 0. В результате получаем
X
££(.*) |<(a+l)„(nI)-1*1", «>0, (14)
X
Ю*)|< [2-(а +1)п№1]еТ> ~К«<0. (15)
Следующие результаты могут быть доказаны путем применения теоремы
Сопина — Пойа к дифференциальным уравнениям, которым удовлетворяют
соответствующие функции.
При любом вещественном а последовательные максимумы функции
х а 1
e~TxT+*\Lan(x)\
образуют возрастающую последовательность, если 2/г -(- a -f-1 > 1 и
/л а2 — 1 \
*>maxfc 2„ + а+1).
Последовательные максимумы функции
х _а_ 1
е~2хТ J\Lan(x)
образуют возрастающую последовательность при условии, что х>0 и
х2 > max (О, а2 — — J.

10.18] НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ 207
Последовательные максимумы функции
X
Т
^ (*)
образуют убывающую последовательность, когда а > — 1 и
О <х < {2а+\)(2п + а+{)
^ а -)- 1 '
и возрастающую последовательность, когда а > — 1 и
(2а+1)(2к + а + 1)
Последовательные максимумы функции
х а
е 2 х 2 Lan (х)
образуют убывающую последовательность, если
О < х < 2л-]-а-|- 1,
и возрастающую последовательность, если
х >2п-\-а-\-\ > 0.
Все эти утверждения содержатся в следующих более общих результатах.
При вещественных а и (3 последовательные максимумы при х > 0 функции
е~2^
К (•*)
образуют возрастающую, или убывающую последовательность в зависимости
от того, имеет ли выражение
40 (,3 — а) (а — 2(3) + (2п + а + 1) (2а — 40 + 1) х — (а — 2|3 -f 1) х2
отрицательные или положительные значения.
Относительно асимптотических оценок см. Cere (1962, теорема 7.6.4);
улучшение этих оценок может быть выведено из разложения Трикоми
10.15(4).
Границы для многочленов Эрмита можно вывести из (14) и (15) с
помощью соотношений 10.13(2) и 10.13(4). См. также Sansone (1950а).
exp (- -f) I Нш (х) | < 2"*т! (2 - gm\ (16)
exp (- ^) | H2m + l (х) | < 2"»+* (m + 1)! gm+b (17)
где
еа-Щл.= 1+о(п~?). (18)
п\ У таг
Крамер (Н. Cramer) доказал, что
exp (- 4^ I //„ (х) | < k УШ, (19)
х~1

208
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
где k — постоянная, для которой Charlier (1931) дал приближенное
значение 1,086435. Sansone (1950) дал границы, справедливые при комплексных
значениях переменных.
С помощью теоремы Сонина — Пойа можно доказать, что при х !>0
последовательные максимумы функции \Нп(х)\, равно как и максимумы
Пусть \ir, п есть f-й относительный максимум функции / (х) \рп(х)\у
где / (х) — фиксированная неотрицательная функция и {рп
(х)}—последовательность ортогональных многочленов. С помощью теоремы Сонина — Пойа
можно доказать свойство монотонности \хГ} п, когда г возрастает и п
фиксировано. Изучение числовых таблиц привело Джона Тодда к некоторым
предположениям относительно свойств монотонности \хГ} п при
фиксированном г и возрастающем п. Эти результаты были позже доказаны. Пусть
f(x) = 1, рп (х) = Рп (х)
и максимумы нумеруются от точки х = 1 (влево). Cooper (1950) доказал,
что \xr, п является убывающей функцией от п при достаточно больших
значениях п. Szego (1950) доказал, что это справедливо для всех п^г-\-\. При
/С*) = 1, рп(х) = Скп(х)
Szasz (1950) доказал, что . ' , " является убывающей функцией
1 (/2 —|— zA)
от п. Для
X
f(x) = e 2, рп (х) = Ln (х).
J. Todd (1950) доказал, что \хГзП является возрастающей или убывающей
функцией от п, в зависимости от того, нечетно или четно г.
P. Turan заметил, что
"п = рп(х), —1<*<1,
удовлетворяет неравенству
и1 — "п-1ип + 1>0' (2°)
Szeg6 (1948) привел много доказательств этого неравенства и показал,
что оно удовлетворяется также для функций
ип = ^х ... =—^7Г. » — 1 <-*<!,
L"n(x) n\L»(x)
Un = —7, = ; > х > °»
^(0) (а+1)л
ип = Нп (х).
Эти результаты были передоказаны, уточнены и обобщены. Рассматривались
определители, элементами которых являются ортогональные многочлены,
а также были проведены относящиеся сюда исследования. Их
выполняли Madhava Rao и Thiruvenkatachar (1949), Sonsone (1949), Szasz
(1950a, 1951), Beckenbach, Seidel и Szasz (1951), Forsythe (1951). См. также
J. L. Burchnall (1951, 1952).

10.19]
ЗАДАЧИ РАЗЛОЖЕНИЯ
209
10.19. Задачи разложения
Разложение заданной «произвольной» или аналитической функции в ряд
по ортогональным многочленам весьма детально изучалось многи^ и
авторами. Этот вопрос не относится в полном объеме к содержанию настоящего
руководства, и поэтому будет достаточно дать краткие указания на
наиболее важные результаты. Дальнейшую информацию можно найти у Сеге
(1962, особенно гл. IX), Качмажа и Штейнгауза (1958).
Пусть функции [рп(х)} образуют систему ортогональных многочленов
относительно весовой функции w (х) и промежутка [а, Ь]. Предположим,
что выполнены предположения п. 10.1 и 10.2, и обозначим через L^t р^>\,
класс функций, для которых существует и конечен интеграл Лебега
ъ
J \f(x)fw (х) dx.
а
Положим
ъ
Ьп= J lPn(x)]2w(x) dx (1)
а
и назовем
ь
an = hnl f f(x)pn(x)dx (2)
a
коэффициентами Фурье,
2 anPn С*) (3)
(обобщенным) рядом Фурье функции / (х) относительно системы {рп(х)}
ортогональных многочленов. Мы будем говорить, что ряд (3) сходится
в пространстве L2W функций / (x)t если имеет место соотношение
ъ
( I / (■*) — sn (х) \р w (х) dx -> 0 при п -> оо, (4)
а
где sn(x) — п-я частичная сумма ряда (3).
Г)
Приближения в L были изучены в п. 10.2, и из полученных там
результатов следует, что в случае конечного промежутка [а, Ь] ряд (3) сходится
в L2W к / (х) для любой функции / (х) из L?w. Сходимость в U^} была
изучена в работах: Pollard (1946, 1947, 1948, 1949) и Wing (1950). Для
многочленов Якоби, определяемых формулой 10.8 (1), Поллард доказал сходимость
в Lpw при условиях
a>--j> P>~Y (5)
и
/а+1 Р+1\ л . (а+1 р+1
4тЗХЫ + 3' Ж+з)<Р<4т1П1^+Т' 2FH
Для многочленов Гегенбауэра имеем 10.9 (1) и сходимость в UL при
(6)
*>°- t+t<p<~х— (7)

210
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
Наконец, для многочленов Лежандра w (х) = 1, и мы имеем сходимость в LJ
при
■у < Р < 4. (8)
В п. 10.2 было отмечено, что случай бесконечного промежутка приводит
к дополнительным затруднениям. Тем не менее при р = 2 сходимость в L^
была доказана для многочленов Лагерра при а > — 1 и для многочленов
Эрмита.
Будем говорить, что ряд (3) сходится к / (х) при фиксированном
значении х или на заданном отрезке, если для данного х или для всех х из
данного отрезка выполняется равенство
sn (х) -> / (х) при п -> со,
где через sn (х) снова обозначена /2-я частичная сумма ряда (3). Этот тип
сходимости (называемый иногда «поточечной сходимостью») налагает гораздо
более строгие ограничения на функцию / (х), чем сходимость в Lpw,
Rau (1950) изучил сходимость разложений функции / (х) в ряд по
многочленам Якоби, таким, что а > — 1, Р > — 1 Он доказал, что функция f (х)
непрерывна и имеет кусочно непрерывную производную, если разложение
равномерно сходится к f (х) на любом отрезке вида — 1+е<^<!1 — е,
е > 0.
Caton и НШе (1945) с помощью интеграла Лапласа изучили
суммируемость по Абелю рядов по многочленам Лагерра.
Асимптотические формулы, такие, как 10.14(1), 10.14(7), 10.14(10) и
10.15(1), 10.15(18), позволяют установить связь между сходимостью
ортогональных разложений и сходимостью некоторых связанных с ними рядов
Фурье. Это является предметом так называемых теорем равносходимости.
В качестве примера приведем теорему равносходимости для многочленов
Лежандра (Нааг, 1918). Она формулируется следующим образом:
Пусть функция \f(x)\2 интегрируема на отрезке [—1, 1], и пусть sn(x)
является /2-й частичной суммой разложения / (х) по многочленам Лежандра,
а оп (6) — /2-й частичной суммой разложения функции /(cosO) в ряд Фурье
по косинусам кратных дуг. Тогда имеет место соотношение
sn (cos 0)—а„(6)->0 при /г->оо, 0 < 6 < л.
Такие теоремы равносходимости в сочетании с условиями сходимости
рядов Фурье позволяют исследовать сходимость ортогональных разложений.
Теоремы равносходимости для многочленов Якоби, Лагерра и Эрмита даны
Сеге (1962, гл. IX). Сеге принадлежат также некоторые результаты,
касающиеся поведения таких рядов в конечных точках основных промежутков.
Рассмотрим теперь разложения аналитических функций. Областью
сходимости рядов по многочленам Якоби являются эллипсы с фокусами в
точках ± 1. Любая функция, аналитическая внутри такого эллипса, может быть
разложена в нем в ряд по многочленам Якоби (а, р > —1). Если функция
аналитична вне такого эллипса и обращается в нуль на бесконечности, то
ее можно разложить в этой области в ряд по функциям Якоби второго рода
Q{n' Р)(а, Р> —1) (см. Сеге, 1962, п. 9.2).
В случае многочленов Лагерра область сходимости ограничена
параболой, симметричной относительно вещественной оси, с фокусом в начале
координат и обращенной вершиной влево. В случае многочленов Эрмита
областью сходимости является полоса, симметричная относительно веще-

10.20]
ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЙ
211
ственной оси. В обоих случаях область сходимости не ограничена. Поэтому
для того, чтобы функцию можно было разложить в ряд по многочленам
Лагерра или Эрмита, она, кроме условия аналитичности в соответствующей
области, должна удовлетворять некоторым условиям на рост в
бесконечности. Разложение в ряды по многочленам Лагерра изучал Pollard (1947а),
а в ряды по многочленам Эрмита — Giuliotto (1939) и НШе (1939, 1939а,
1940).
10.20. Примеры разложений
В этом пункте мы перечислим некоторые ряды по ортогональным
многочленам, суммы которых могут быть даны в замкнутой форме. Число
известных в настоящее время таких рядов невелико, за исключением рядов
по многочленам Лежандра, Эрмита и Лагерра. Многие из рядов,
приведенных здесь, были вычислены Трикоми. Вычисление коэффициентов таких
разложений основывается на формуле 10.19 (2). При этом для того, чтобы
упростить полученный интеграл, часто используется формула Родрига (или
ее обобщение) с последующим интегрированием по частям (ср. второй
абзац п. 10.7).
В следующих ниже формулах мы будем часто использовать введенные
в гл. 6, 8, 9 обозначения для вырожденной гипергеометрической функции
и некоторых связанных с ней функций.
Ряды по многочленам Якоб и. Обозначения п. 10.8. Мы
предполагаем всюду, что а, р > — 1, a hn определено равенством 10.8 (4).
со
sgn х = с0 + ^ -^ /f Л1* р+1) (0) Р£> 3) (*), - К х < 1. (1)
л = 1
Здесь
{ 1 при х > 0,
sgnx= у • (2)
^ — 1 при х < 0
и
1
С°=Г(а+ПГ(р + 1) 2"8"Р"1 J ttl-J0o(l+^P-(l+*)tt(I-*)PWx
о
Заметим, что в разложение (1) на самом деле входят лишь члены,
соответствующие нечетным значениям п.
(1—л:)Р = 2рГ(а + Р + 1)Х
со
v V Г(2/1 + а + р + 1)Г(/1 + а + р+1)(-р)я (а> р)
A^J Г (л +а + 1)Г(л + а + Р + Р + 2) л W» W
/2 = 0
— p<min(a+l, -J + -4"). —1<х<\,
со
**> = сиуу^т-г £ ^+ffi+'> Mki т (2/у) Я<«. » (*) (4)
/2 = 0
— \<х<\у
где
и а—Р , а+Р+1

212 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
О производящей функции см. 10.8 (29); о билинейной производящей функции
см. Watson (1934), Erdelyi (1937а) и Bailey; о некоторых разложениях в
произведения многочленов Якоби см. Bateman (1904, 1905).
Ряды многочленов Гегенбауэра. Обозначения п. 10.9.
Постоянные hn определяются формулой 10.9 (7).
оо
sgn х - 4 V (-0mWm-H СХ (х) (5)
sgnx-4 2j (2т + 1)(2т + 2Я+1)1в!А2т+1 °2m+iW. W
11-1
1
I >— "о , — 1 < X < 1,
22Л н p
оо
(1 "^ 7Г Г W Г (Я + Р+ ^ S Г (?+2X + p +1) C^w- <6>
Г /1 = 0
— 1<л:<1, —p<—^—, если Л>0,
— р<-^+Л, если — -^-<Х ^0,
оо
-А,
/1 = 0
*/жу = Г (*)(-£-) %inin + k)Jn + x(y)C*(x)t -\<х<\, Л>0, (7)
4-х
(у sin Ф sin 0)2 У J (у sin Ф sin 0) *'У cos Ф cos е =
со
л=0
XVx(>')C£(cosq>)C£(cos0), 0<Ф, 6<я, Я>0, (8)
оо
о-^х(®)=2хГ(Л)2(я + ^)^"^"^я4х^)в«+х(г)^(С08Ф). (д)
л=0
где
\ze±i(v\<\Z\, a2 = 22 + Z2 — 2zZcosq>
и
(¾ (о) = Cl Л (о) + с2 /-л (а)
является произвольной цилиндрической функцией в смысле Сонина и Ват-
сона (Ватсон, 1949, п. 3.9). В случае с2 = 0 ограничения на г, Z могут быть
опущены.
Некоторые разложения в ряды по многочленам Гегенбауэра были
указаны в п. 10.9; о билинейной производящей функции см. Watson (1933b).
Ряды по многочленам Лежандра. Обозначения п. 10.10.
Постоянные gn определяются формулой 10.10 (4). Все разложения справедливы

10.20]
ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИИ
213
при —1 < х < 1 или 0 < 0 < я, за исключением особо отмеченных случаев.
'2« + т) (-7
(-Вст ' /п /т Рг„(4 р>-1, (Ю)
со
X
Р _
£-4-1
2^2
х
psgn,=2,(-^(^+1-) л2, ЛУт
™=° l+2Jm+I
Лт+i W, Р > — 1, (И)
со
(1—лг)Р = 2р У
Л 2я + 1 (-р)Л
л = 0
л + Р + 1 <l+P)„P|lW' р>~4'
(12)
]Л — *2 =
л;
со
1 _ V 4т+ 1 2 р
2 -J (2m — \)(2m + 2)gm2m{X)
m = l
(13)
со
= ^ein(VPn(cosQ), 0<ф<9<л;, (14)
2 1/ cos2 ^j —cos2 ^у| л=о
со
In
1 +
1
sin |-^-
= 2 (n+ir^ntcose).
(15)
/2=0
Полагая в формулах (7), (8) и (9) к = -^-, получаем ряды, содержащие
функции Бесселя. Производящие функции даны в формулах 10.10 (V) и 10.10 (VIII).
Ряды многочленов Лагерра. Обозначения п. 10.12. Мы
предполагаем повсюду а > — 1, х > 0.
со
х* = Г (« + р + 1) ^ г (а( +pn>"+ 1} L\ (л), _p<l + min(a1-|-1),(16)
л = 0
со
1|,(а + 1)-1п*=Г(а+1)^ rfa + H + l) ^W'
СО
/2=1
-1
(17)
— **+УЕ1[—max(*f у)]= ^ («+1Г^М^(Л *, у > 0, (18)
/2 = 0
СО
ехх~аТ(а, х)= ^ (л + 1)"1^^)»
/1 = 0
(Щ)
£*+y (лгу) а Г [а, max (л:, у)] у [а, min (л:, у)] =
СО
/2 = 0
п!
(Л+1)(а)/1 + ;
^W^W, (20)

214 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
/ ч-а ifv Lr / ч-i Г (а, л:) Г (а, у) )
(лгу) а ** f > | Г [а, max (х, у)] ^ у f =
оо
= £ (П + 1)Г"л + а + 1) L" W L" (У)' *' У > °' (21)
/1 = 0
оо
^min(x, у) = 1+ ^ [^W-^^W] [M^-^z-lOOL (22)
/z = l
a U+y)
(лгу) е е anty [а, £гя min (х, у)] =
оо
(23)
(24)
= Yi -т—i—чг?! , гтг L« (•*) ^ (У). Re а > 0,
^J (я-|-а) Г (п-\-а-{-1) /*v ' /*v/"
/1 = 0
оо
Г(а+1,*) _// /* _ v) _ v«+ie-y V ("-!)' £«и 1 /„ч ла fjrt
Г(а+1) 1 У,-:У Zi Г(а + « + 1) n_l(y) п( }'
0 < х, у.
В формуле (24) х, у > 0; Я (г) = 0, 1/2, 1, в зависимости от гого, имеем
ли мы г < 0, г = 0, -г > 0.
(а-Р) (а+Р) оо
* 2 / 2 ^«+P(/^)=S Г («"+» + !) ^(^-"(У). (25)
/1=0
оо
Г (д) ¥ (а, а + 1; х) = ^ (" + ^Г1 Ln W- <*<-!, (26)
л=0
со
(1 - у)~а Ф (а, с; -J2L.) = ^ ^ У^Г' <*)■ * > 0, | у |< 1, с > 0. (27)
/1 = 0
Другие ряды многочленов Лагерра см. в 10.12 (V) и 10.12 (VII).
Разложения 10.14(11) в случае, когда р является целым числом ^ — я,
превращаются в разложения по многочленам Лагерра.
Ряды многочленов Эрмита. Обозначения п. 10.13.
'*|Р= v* Ъ{-1)тЫМтЩт{х)' 9>~1' (28)
r т=0
Г 1 + V °°
2/ VI , „„. 2 2
l*lpsgn = V ; ^] (-1Г (2m+1)| ^'W- Р>-1. (29)
га = 0
со
/я Erfi [min (*, у)] = ^ "2т+Лх)Н2т+1(У) х,у>0, (30)
^1 22m+1(2m + l)(2m + l)! '
от=0

10.20]
ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЙ
215
ехр
х2
2V v 1/2,
^v <*> = Т1^) 2 Гт-^22»«! ' ' (31)
4;~JVV/ r(-v) ^ (m-v)22m/rci
exp
v+4 oo {—\)mH
W-r(_v)Jj гт-^22'^3т! ' (32)
ra = 0
oo
('+л^(4;11т1=21Й!^(4 m<1-
(33)
ra = 0
oo
m = 0
(34)
Другие ряды по многочленам Эрмита см. в 10.13 (V).
Ниже приводится список, указывающий методы вывода этих
разложений; здесь даны также ссылки на дальнейший материал, касающийся
бесконечных рядов классических многочленов.
Ряды многочленов Якоби. Коэффициенты были вычислены
с помощью интегрирования по частям. Относительно других примеров см.
Brafman (1951). Ниже указано, как получены соответствующие формулы.
(5) Из (1) с помощью 10.9 (4).
(6) Из (3) с помощью 10.9 (4).
(7) Из (4) с помощью 10.9 (4); Ватсон (1949, стр. 401).
(8) Ватсон (1949, стр. 403).
(9) Ватсон (1949, стр. 398).
Ряды многочленов Лежандра. Многие примеры получаются
из рядов для многочленов Якоби или рядов по многочленам Гегенбауэра
с помощью 10.10(3). Много других примеров содержится в книгах о функ
циях Лежандра. Некоторые примеры см. у Tricomi (1936, 1939—1940).
(16) Tricomi (1948, стр. 332).
(17) Toscano (1949).
(18) Neumann (1912).
(19) 9.4(5).
(20) 9.4(4).
(21) Watson (1938).
(22) Tricomi (1935), Doetsch (1935).
(23) Erdelyi (1936).
(24) Tricomi (1948).
(25) Toscano (1949).
(26) 6.12 (3).
(27) 6.12(5).
Некоторые примеры рядов по многочленам Лагерра см. у Erdelyi
(1937, 1938).
(28), (29) Из (16) с помощью 10.13(2) и 10.13(3).
(30) Из (3) с помощью 10.13(2) и 10.13(3).
(31), (32) Tricomi (1950а).
(33), (34) Из (27) с помощью 10.13(2) и 10.13(3).

216
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
10.21. Некоторые классы ортогональных многочленов
Помимо классических ортогональных многочленов существуют иные
классы специальных ортогональных многочленов, теория которых детально
изучена. Мы опишем некоторые из них, ограничившись лишь кратким
упоминанием для многочленов, изученных в книге Сеге, и приводя детали
для многочленов, изложение теории которых менее доступно.
Многочлены С. Бернштейна и Г. Сеге. Эти многочлены
соответствуют отрезку [—1, 1]. Их весовая функция w (х) имеет одну из
следующих форм:
1 УУ^х1 1 -,/1- х
р (х) Vl—x2 ' р (х) ■ р (х) У 1 + X '
где р (х) — многочлен степени /, положительный на отрезке — 1<!л:<;1.
Формула Кристоффеля 10.3 (12) указывает на наличие связи между этими
многочленами, с одной стороны, и некоторыми многочленами Якоби, с
другой стороны.
Эти многочлены были введены Szego (1921) и изучены Бернштейном
(1930, 1932). См. Сеге (1962, п. 2.6).
Многочлены Гейне и Ахиезера. Многочлены Гейне
соответствуют отрезку [0, а] и весовой функции
w (х) — 0<а<Ь. (1)
у х (а — х) (Ь — х)
Они связаны с эллиптическими функциями Якоби.
Heine (1878—1881, том 1, стр. 294—296) показал, что многочлены
степени п удовлетворяют дифференциальному уравнению вида
2Ц(х)(х-у)^+[(х-у)хУ(х)-2Ц(х)]^ +
+ [а + §х — п (2л — 1) х2] у = 0, (2)
где
г|) (х) = х (а — х) (Ь — х)
и а, р, у — некоторые постоянные. Это дифференциальное уравнение имеет
четыре особые точки регулярного типа и, следовательно, относится к
уравнениям типа Гейне.
Ахиезер (1934) изучил ортогональные многочлены, связанные с
отрезком (—1, 1) и весом
| с — х
w (х) = ■
. , —1 < х < а или Ь < х < 1,
V(l— х2)(а — х)(Ь— х)
0, а < х < Ь.
Здесь — \ < а < b <\ и с зависит от а и Ь. Эти многочлены также
связаны с эллиптическими функциями.
Многочлены Полачека. Недавно Полачек определил некоторые
семейства ортогональных многочленов, которые являются обобщениями
классических ортогональных многочленов. Весовые функции, связанные
с многочленами Полачека, не удовлетворяют некоторым условиям, которые
обычно налагаются в общей теории. (Грубо говоря, они слишком быстро
убывают в окрестности концов промежутка.) Таким образом, эти многочлены
важны, как легко получающийся пример некоторых «нерегулярных»
феноменов в общей теории ортогональных многочленов.

10.21] НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 217
Конечный отрезок. Пусть а, Ь, А — вещественные параметры, а ;> | b \
Х> — 1. Положим
— 1<^ = cos9<1, 0<9<я, (3)
и введем сокращенные обозначения
a cos 9-(-6 _ ax-\-b
~~ sine ~ y\zrj2"
Многочлены Рп (х\ а, Ь) определяются с помощью рекуррентных
соотношений
/*1==0, РК0 = 1 (5)
п Pln-2[(n-l + X + a)x + b]Pln_l + (n + 2l-2)PKn_2 = 0, (6)
/2=1, 2, ...
Эти многочлены были введены в статьях Pollaczek (1949а) для ^ = -^
и (1949с) для Re \ > 0 и изучены Szego (1950а). Некоторые связанные с ними
многочлены также были изучены в работах: Pollaczek (1949b, 1950а).
Умножая равенства (6) на гп и суммируя, получаем простое
дифференциальное уравнение первого порядка для производящей функции. Отсюда
выводим, что
2^(^А.*)гя = (1-«я)"Х+"(1-гв-'в)-"-", |*|<1. (7)
/1 = 0
Сравнение с 10.9(29) и 10.10(39) показывает следующие связи с
многочленами Лежандра и Гегенбауэра:
Pln (х- 0, 0) = С\ (*), Р2п (х- 0, 0) = Рп (х). (8)
Эти многочлены ортогональны на отрезке (4), весовая функция имеет вид
w{k) {х\ а,Ъ) = — 22^-y26-*)' (sin е)2^-1 | Г (X + it) |2. (9)
1
■ t)
Cere изучил асимптотическое поведение многочленов Рп (х; я, Ь), когда
х — фиксированное число, лежащее между —1 и 1, и /г->оо.
Используя производящую функцию (7) или рекуррентное
соотношение (6), можно доказать, что
п\Р1п(х\ a, b) = (2X)neinQ2Fl(—n, X + it; 2Х; \ — е~т). (10)
Это выражение через гипергеометрические многочлены приводит к многим
дальнейшим формулам для многочленов Полачека. Следует отметить, что t
зависит от х, а потому Р^ не удовлетворяет никакому дифференциальному
уравнению. Формулы, связывающие Р\ с различными значениями А,
вытекают из (10), как следствия формул, связывающих смежные
гипергеометрические ряды.

218 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
В работе: Pollaczek (1950с) введена более общая система многочленов,
зависящих от вещественных параметров я, Ь, с, к, где
либо а>\Ь\, 2Х-\-с>0, с>0, |
либо а>\Ь\, 2Л + с>1, О— 1. ] (П)
Многочлены Р\ (х\ а, Ь, с) удовлетворяют рекуррентным соотношениям
Pli-О, я£=1, (12)
{n + c)PKn-2[(n-l + X + a + c)x + b]Pln_l + (n + 2X + c-2)PKn_2 = 0,
л=1, 2, .., (13)
(Здесь использованы для краткости обозначения (3) и (4).)
Полачек вывел производящую функцию для этих многочленов и
доказал, что они ортогональны на отрезке (4) относительно весовой функции
вида
wik) (х\ #, Ьу с) =
(14)
Рекуррентное соотношение (13) является уравнением в конечных
разностях для Я, рассматриваемого как функция от п Это равенство позволяет
выразить Рк (х\ а, Ь, с) через гипергеометрические функции. Это выражение
слишком сложно, и входящие в него гипергеометрические ряды не являются
многочленами. Полагая
А"- г'с+п\СцЛх) еЦС+П)д^Л-С-П' * + '« 2к Х-е~Ш)'
Вп = rd-X + Wl-X-ft) (2 sin0)i-2X ei w+c+n-neх
ХгЛО— 2А — с — п, l—X + it; 2 —2Я; 1 -е~т),
получаем выражение
***b-*-idE=bfc- (15)
Это выражение справедливо, если 2Х не является целым числом. Существует
другая форма записи, справедливая и при целых значениях 2К. Если с = 0,
то Л_! = 0. В этом случае равенство (15) сводится к (10).
Бесконечный промежуток. Для бесконечного промежутка —со < х < оо
Pollaczek (1950b) ввел систему многочленов Р^(х\у)у где
Л > 0, 0<ф<л (16)
являются параметрами и
/*!=<), /# = 1, (17)
п Р\ - 2 \{п — 1 + A) cos Ф + х sin Ф] рЬ_г + (п - 2 + 21) Р£_2 = 0, (18)
л=1, 2, ...

10.22] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ДИСКРЕТНОГО ПЕРЕМЕННОГО 219
Очевидно, что эти многочлены могут быть получены из многочленов,
определенных формулой (6), путем замены 9 на ф и t на х. Производящая
функция имеет вид
оо % < • 1 /
2я£(^Ф)*я=(1-м/ф) (1-м-,ф) . 1*|<1, (19)
/1=0
а весовая функция
w{l) (х; ф) = — (2 sin ф)2^-1 e-^-W х | Г (Я + /*) |2. (20)
«I V
Эти многочлены могут быть выражены через гипергеометрические ряды
в виде
п\ Р1п (х; Ф) = (2Х)п ein(? 2FX (- л, X + ix; 2Л; 1 - е~2^). (21)
Их ввели Meixner (1934) и W. Hahn (1949). Для этих многочленов
существуют представления с помощью конечных разностей, аналогичные
формуле Родрига (Toscano, 1949). Полагая
bF{x) = F(x+*^-F(x-
bk F(x)=b [б*"1 F (x)l k = 2, 3, ...,
i
21'
мы имеем
где
^;ф) = -Ц^ 0(M ' (22>
Ga *) = г (* + **) 2уХ
и (a, ^ Г(1_А + /ДГ) * •
10.22. Ортогональные многочлены дискретного переменного
Конец этой главы мы посвятим краткому рассмотрению некоторых
систем ортогональных многочленов, для которых функция распределения
а (х) в п. 10.1 является функцией скачков и соответствующее определение
скалярного произведения имеет вид 10.1 (3). Точками, в которых функция а (х)
разрывна, являются х-ь и мы будем использовать функцию скачков j (х):
скачок а (х) в точке х = x-t равен j (х{). Таким образом, соответствующее
определение скалярного произведения имеет вид
(ф|. фг) = 2W (*') ^1 <•*') ^2 (•*')' (1)
и функция скачков соответствует весовой функции, использованной в
предыдущих пунктах. Мы будем предполагать, что функция скачков
положительна, причем сумма 2 J (•*/) конечна. Многие результаты вводных пунк-
тов этой главы остаются справедливыми для скалярного произведения
вида 10.1 (2), и, следовательно, они справедливы и при определении
скалярного произведения (1).
Мы будем выбирать точки x-t целыми, a^xi^b. Чаще всего
встречаются промежутки и функции скачков, указанные в приводимой ниже

220
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
таблице. Связанные с ними ортогональные многочлены соответствуют
классическим ортогональным многочленам дискретного переменного и, как
правило, детально изучены.
Многочлены дискретного переменного
Название: Многочлены
Чебышева
Кравчука
Шарлье
Мейкснера
В. Гана
а
0
0
0
0
0
ь
N— 1
N
оо
оо
оо
J(x)
1
X ff-X I N
Pq (x
e~aax
Г(* + 1)
rx (P)jt
№)x (y)x
*l(6).
Все эти многочлены имеют много общих свойств, среди которых мы
отметим лишь конечно-разностный аналог формулы Родрига
,„, А" Ц (х-п) X (х) X {х- 1) ... X (х-п + 1)]
Рп (Х) Kjlx) ' (Z)
где Кп — постоянные, X (х) — многочлен от х, коэффициенты которого
не зависят от п, и Д — разностный оператор вида
Д /(•*)=/(•*+ 1) - / (•*). Дл+1/ (•*) = А [Ал / (х)1 /1 = 1,2,... (3)
Обратно, это свойство характеризует перечисленные выше
ортогональные многочлены в том смысле, что любая система ортогональных
многочленов, для которых справедлива формула Родрига, может быть сведена
к одной из перечисленных выше систем (Hahn, 1949, Weber и Erdelyi, 1952)
Доказательство аналогично проведенному в п. 10.6 и потому опущено
Доказательство свойства ортогональности этих многочленов может
быть основано на формуле (2) и «суммировании по частям» (то есть на
преобразовании Абеля). С другой стороны, может быть использован метод
производящих функций.
10.23. Многочлены Чебышева дискретного переменного
и их обобщения
Многочлены Чебышева tn (х) применяются для уравновешивания
наблюдений по способу наименьших квадратов. О свойствах этих многочленов
см. в работах: Сеге (1962, п. 2.8), Jordan (1921 и 1947, гл. VIII), а также
сделанные там ссылки.
Определение и свойство ортогональности:
п)\ п
tn(x)= п\Ьп
/1 = 0, 1, ..., N — 1 (1)
7V-1
2 и W и W = ^-1^-2^..(^-,^ (2)
x=Q
т, п = 0, 1, .,., N— 1.

^2/724 1 I ~ I 0«
10.24] МНОГОЧЛЕНЫ КРАВЧУКА И АНАЛОГИЧНЫЕ ИМ 221
Симметрия и «центральные значения»:
tn(N-l-x) = (-\y4n(x), (3)
N — 1
2
Разностное уравнение:
(x + 2)(x-N + 2)Mn(x) +
+ [2x~N + 3- п (п + 1)] д*л (*) - л (л+ 1) *л (*) = 0. (5)
Рекуррентная формула:
(n+\)tn+l(x)-Vn + \)(2x-N + l)tn(x) + n(NZ-n*)tn_l(x)=Q, (6)
/2=1, 2, ...
Связь с многочленами Лежандра:
Km N-ntn(Nx) = Pn(2x — \). (7)
7V->oo
Обобщение многочленов Чебышева может быть получено с помощью
следующего определения:
" " '"' " (Р)х (У)х
р"{х; Р) Y'б) - ^ГШЖ Л"L(x-«)i(6)x-J
В частности,
/?„(*; 1, а + 1, а+ 1)=-^-Ля
х\ ( х-\-а
п 1\ п
(8)
(9)
Из этой записи непосредственно видно, что
рп (х\ 1, 1 —N, \-N) = tn (х). (10)
Некоторые многочлены, которые ввел Bateman (1933), также являются
частным случаем (8). Многочлены (8) ввел Hahn (1949). Они связаны
с функцией скачков
Л*;М,б) = -<Ы^. (Н)
Явную формулу
Рп(* P. y. <*) = Ф)пп?)п зМ-я, —*. P + y-6 + я; P. y; 1), (12)
и рекуррентные соотношения дали Weber и Erdelyi (1952).
Имеется связь с многочленами Якоби
Нш ТпРп (Y* « + 1. Y. У ~ Р) = ( П tК ) Pf Р) (2jc + 1).
(13)
10.24. Многочлены Кравчука и аналогичные им многочлены
Многочлены, связанные с биномиальным распределением в теории
вероятности, были введены Кравчуком (1929). Их изучали Aitken и Gonin (1935),
перечень их свойств можно найти в книге Сеге (1962, п. 2.8.2).
Положим
р > 0, q > 0, p-\-q=\f N — положительное целое. (1)

222
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл. 10
Определение, функция скачков, свойство ортогональности:
l-l)"xUN-x)l
Л)~ n\pxqN~x
~хqN-хл п
(x — n)l(N — x)!
, п = О, 1, ..., N. (2)
Л*) = (
N \ х N—x
х -р q •
(3)
л
5] j{x) kn(x) km (х) = ( N\ pnq%mn, т, п = 0, 1 N.
х=0
(4)
Явное выражение, производящая функция:
*«W = <7n(*)^(-". x-N; х-п; -£-),
N
2 k„(x) zn = (I + qzf (\ - pZ)
n=0
N-x
(5)
(6)
Явное выражение указывает на связь с многочленами Якоби; Сеге
(1962, стр. 48) показал (предельные) связи с многочленами Эрмита и
многочленами Шарлье.
Частный случай p = q=— изучали Gram (1882) и Greenleaf (1932).
Многочлены
т
***-*-тс~'~яЛ-№
х_
П)\_
(?)
изучены в работах: Meixner (1934), Gottlieb (1938, р = 1) и других (см.
ссылки в работе: Hahn, 1949, стр. 32). Существуют обобщения многочлена
Кравчука
рптп (х; — N, —l-\=:n\kn (х).
Явное выражение, функция скачков, свойство ортогональности:
«я (•*; Р. с) = (Р + х)п F (— п, — х\ 1 — р — « — а:; -Ц =*
= (Р)«^(-л, -х\ Р; 1-у).
;ix)~-jU^t
(8)
(9)
(10)
оо
2 ] (х) тп (х\ (3, с) пи (х; р, с) - п\ (р)д <ГЛ (1 — c)~f5 5Л/, р > 0, 0 < с < 1.
х=и
(И)

10.25]
МНОГОЧЛЕНЫ ШАРЛЬЕ
223
Симметрия, производящая функция:
(P)jr тп (х\ Р, с) = (Р)л тх (л; р, с),
(12)
оо
^тп(х; р, С)^ = (1-~)Х(1-^)-^-Р, |*|<mln(l, |С|). (13)
/1=0
Явное выражение (9) приводит к следующим связям с многочленами
Якоби, Лагерра и Шарлье:
(14)
(15)
lim
-1")" «„ (*; Р- |-)] = "I L*~n {a) = (- a)" c„ (x; a). (16)
Рекуррентные соотношения и уравнения в конечных разностях привел
Meixner (1934).
10.25. Многочлены Шарлье
Многочлены, введенные Шарлье, являются ортогональными
многочленами, связанными с распределением Пуассона в теории вероятностей.
Они были изучены многими авторами, среди которых упомянем Мейкснера
(Meixner, 1934, 1938) и Дёча (Doetsch, 1933). Относительно перечисления
их свойств см. Сеге (1962, п. 2.8.1) и Jordan (1947, п. 148).
Функция скачков, определение, свойство ортогональности:
yW = rfli., я>0, х = 0, 1, 2, ...,
•Л* !
х\
сп (*; a)=-jA"
aj
а
х—п
(х—п)
оо
2 J (•*) ст С*; а) сп (-*; а) = аг11 п\ Ьгп.
х = 0
Явные выражения, производящая функция:
х\ ( а)~"
с "(х'> д) = (х _„у ф (— п> х — п+\; а),
0)
(2)
(3)
СЮ
^сп (х; a)^j=ez \\ — j\ , \z\<a.
я»0
(4)
(5)
(6)

224 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл. 10
Билинейная производящая функция была указана в работе: Meixner
(1938).
Симметрия, рекуррентные соотношения, конечные разности:
сп (-*; я) = Сх (п'> а), (7)
асп+ х(х\ а)-\-(х — п — а) сп (х\ а) -\-псп_х (х\ а) = 0, (8)
асп (х -\-1; а) -\- (п — х — а) сп (х; а) -\- хсп (х — 1; а) = 0. (9)
Из явного выражения (5) вытекает связь с многочленами Лагерра
сп (х; a) = (- а)~п п\ Lxn~n (а). (10)
Связь с многочленами Мейкснера указана выше, в 10.24(16).

ГЛАВА 11
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ
ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ *)
11.1. Предварительные замечания
11.1.1. Векторы. Точки в (/? + 2)-мерном евклидовом пространстве
(/7 = 1, 2, 3, ...) мы будем задавать с помощью векторов
£ = (XU Х2> •••» Хр + 2) (1)
и будем писать и (тс) для функции и> зависящей от хь х2, ..., хр+2- Длину
вектора % обозначим через || £ || или г. В явном виде она записывается так:
В п. 11.7 нам встретятся как векторы с тремя, так и векторы с четырьмя
компонентами. Мы будем их записывать в виде ||j||3, || t) ||4, указывая число
компонент векторов £, ty соответственно.
Точки единичной гиперсферы Qy то есть гиперсферы г = 1 в (р-\-2)~
мерном пространстве, задаются единичными векторами
l = r-^ = (lu ga, ..., lp+2). (2)
Мы будем использовать буквы |, т], £ для единичных векторов, имеющих
р + 2 компоненты.
Если Xj = (yu У2> • ••> Ур+2) является вторым вектором, то определим
скалярное произведение £ и t) формулой
(S> 9)=-^1+-^2 + ... +Хр+2Ур + 2- (3)
Если единичные векторы £, г) образуют угол 0, то имеем (£, ч\) = cos 6.
В дальнейшем мы будем пользоваться матрицами (то есть линейными
операторами, применяемыми к векторам). С теорией матриц можно
познакомиться, например, по книгам: И. М. Гельфанд (1951), А. И. Мальцев (1956)
и Ф. Р. Гантмахер (1954). Мы будем пользоваться лишь квадратными
матрицами. Если М — матрица с общим элементом \i-k (у, £ = 1, 2, ...,/? +2),
то обозначим определитель матрицы М следующим образом:
det М = det \х .
*) При подготовке этой главы были использованы неопубликованные
записи курса, прочитанного Герглотцем (О. Herglotz). Идеи и разработка
многих доказательств также принадлежат ему.

226 СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл.11
Единичная матрица будет обозначаться через /; матрицу О называют
о р тог опальной, если
(У0 = 1, (4)
где через О' обозначена транспонированная матрица О. Отсюда легко
следует, что ООг также является единичной матрицей. Вектор,
получающийся при применении матрицы О или М к вектору £, будет обозначаться
соответственно Of, М$, Матрица О ортогональна тогда и только тогда,
когда для всех f выполняется равенство
(¾ Of) - fo 5) (5)
Матрицу I можно определить тем свойством, что /с = £ для всех f.
Функция, зависящая от хь х2, ..., хр+2, будет называться функцией
от i и обозначаться через / (f). (Функции, зависящие от двух или большего
числа векторов, определяются аналогичным образом.)
Функция / (f) называется ортогонально-инвариантной, если для всех £
и всех ортогональных матриц О имеем
/ (Qs) = / (5)- (6)
Аналогично функция, зависящая от двух векторов, называется ортогонально-
инвариантной, если для всех £, I) и всех ортогональных матриц О
выполняется условие /(Of, Ocj) = f (f, 1)).
В дальнейшем мы будем использовать гиперсферические полярные
координаты
г, 0Ь ..., 0р, ф,
определяемые равенствами
Х\ = г cos Эь
лг2 = г sin 0j cos 02,
хъ = г sin 9i sin 02 cos Э3,
хр=* г sin 0j sin 02 ... sin 0p_ j cos 0p,
лгр+i = r sin 0j sin 02 ... sin 0p cos ф,
xp+2 = г sin 0j sin 02 ... sin 0/; sin ф,
(7)
где г >• 0 и
O<0y<jt (7=1,2,...,^), 0<ф<2л. (8)
(/?-|-2)-мерный элемент объема задается в этих координатах формулой
rfK = r/7 + 1(sinB1)^(sin02)/7"1 ... (slnep)drd0, ... ^Эр% (9)
а элемент поверхности единичной сферы dQ — формулой
da = (sin в,)*7 (sin Bg)^"1 ... (sin Qp) dQ{ ... dQp dy. (10)
Полная поверхность со единичной сферы У может быть вычислена с
помощью этой формулы или из того замечания, что
оо оо / оо \ р-\-2
I ... I ехр (— х\— ... —xP^2)dxx .. , dxp^2 — \ \ р~х' dx
- ОО — ОО \ — оо
оо
= f f Iехр (~г) ^к ^ w f r/7 ' le'r2 dn
о

11.1]
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
227
В результате вычисления получаем
0) =
2л
'Ч-
г(1 + 4
(")
Здесь, равно как и далее в этой главе, мы использовали знаки тройного,
двойного или простого интеграла, чтобы обозначить интегралы, взятые по
(р -|-2)-мерным, (р~\- 1)-мерным или /7-мерным многообразиям соответственно.
Функции, определенные на единичной сфере Q, можно рассматривать
как функции F (|) от компонент единичного вектора £. Выражение
f f F (I) d& (I)
(12)
a (D
означает (/?+ 1)-кратный интеграл, который получается, если заменить
компоненты вектора I их выражениями через 0Ь ..., Вр, ф и dQ (|) —
соответствующим выражением по формуле (10).
Если /7] (|), F2 (I) являются определенными на единичной сфере
функциями, такими, что интеграл
//МБ)М£)<яа(Б)
Q
существует и равен нулю, то функции Fx (|), F2(Q называют
ортогональными на О, (£). Мы будем писать Q вместо Q (£), если переменный вектор
очевиден из контекста.
Если явно не будет указано иное, то оператор Лапласа А берется
относительно компонент £, то есть
д2
(13)
Имеет место формула
А [rl (j, иЛ =
дхг дх2 дхр+2
m(m—~\)(q, \j) , 1(1 \- р-\-2т)
(£. V)!
г'(г, Г))
/п
(14)
Оператор А инвариантен относительно ортогональных преобразований,
то есть
р + 2 /7 + 2
Za дх2 2и
k=\ к к=1
d2
ду
<) »
9 = Qj.
&
где О—ортогональная матрица.
В полярных координатах (3) мы имеем
Aw
- /-'-1 ^: ('' + 1 |г«) + ^2 (sin 00"" ^- [(sin В,)'
+ r"*2(sin01)"2(sin02)1"/7
ае.
(sin Вг)"'1-^-и
dQ4
и
+
сЮ<
d
+ г"2 (sin BL sin В2)~2 (sin Вз)2"^ ~ (sin Og)*"2
дд
3 L
+
<ЮЯ
+ г"2 (sin В! ... sin Эр_ ^-2^-° ^1 ^
-fr~"2 (sin Bt ... sin 0^)"
d2
дОЛ
sin В
p dQ
и
и
р -J
+
+
+
дц)'
и
(15)

228
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл.11
11.1.2. Многочлены Гегенбауэра. Многочлены Cvn (х), определяемые
с помощью производящей функции
оо
(1-2^ + 0^=2^ С*)'". v^°- (16)
/1 = 0
называют многочленами Гегенбауэра или ультрасферическими
многочленами степени п и порядка v. Cere (1962) обозначает их через Р^ (х).
Гегенбауэр (1877, 1884, 1890, 1891, 1893) изучил эти многочлены для
произвольных значений v. Очерк их теории дан в п. 3.15. Мы будем
рассматривать здесь лишь случай, когда 2v является целым числом, 2v = /?= 1, 2, ...
В этом случае имеем
(2/)! dxl (я+ /)(2/)1 dxntZL
су-1 А-\\
ci+\ (JC) = ± ±_^ Tn + l+l (x), (18)
n v ; ц(п + 1+\) dxM n + l+iy ' V '
где / = 0, 1, 2, ...,
P„ (x) = -^ ~ (*2 - 1)" = 2F, (- л, л + 1; 1; -Цр£) (19)
является многочленом Лежандра степени л, и
Тп С*) = -i [(* + / уТ=ГГ*)я + U - / уТ=^)л] =
(20)
= cos (п arccos х) (22)
— многочлены Чебышева степени п. При v = 0 место ультрасферических
многочленов занимают многочлены Чебышева. Их производящей функцией
является
оо
--i In (1-2** + **) - ^ (/i + I)-1 Гя+1 (х) t» + \ (23)
/г-0
Из (20) получаем при п = 0, 1, 2, ...
(* + , УТ—Р)я + * = т-в4 , (*) + / Vl~f -^ Тп+1 (х). (24)
Для любого значения v Ф 0 имеем также
CVW = (_2)-«(l_,2)-V^r^L-gr(l-,2rV". (25)
Здесь
(fl)o = 1, (л)л = л (а + 1) ... (а + п — 1), л = 1, 2, ...
Равенство (25) вытекает из 3.15(3) и 2.8(23).

11.2] ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ 229
Между числами со в (6), h (п, р) в 11.2(22), квадратом нормирующего
множителя для многочленов Гегенбауэра
N
Сп (■*)
тТ • <26>
-\ л!(/>+2л)
г.*
полной поверхностью единичной сферы в (р-\- 1)-мерном пространстве
9тг 2
«>' = 7? , „■. (27)
Г
!+/>'-
и значением
2 ;
существует соотношение
®'N аС£ (1) 4л 2
cf(1) ""> <2»+rtr(f)
(29)
Доказательства формул этого пункта приведены в книге Аппель —
Кампе де Ферье (1926).
р_
Функции С 2 можно изучать, исходя из рассмотрения частных решений
уравнения Au-\-k2u = 0 (к которому сводится волновое уравнение в (р-\-2)-
мерном пространстве); относительно этого см. А. Зоммерфельд (1956) и
W. Magnus (1949).
11.2. Гармонические многочлены
Назовем многочлен Нп (j) гармоническим многочленом степени п,
если он является однородным многочленом степени п от хи х2, -.., хр+2*
так что Нп (Л$) = hnHn ($), и удовлетворяет уравнению Лапласа Шп (%) = 0.
Очевидно, что многочлен г~пНп ($) = Нп (|) является однозначной
непрерывной функцией на гиперсфере Q (г = 1) и может быть выражен в виде
тригонометрического многочлена от 9Ь ..., 9р, ф. Обозначения те же, что
и в п. 11.1.
Дифференциальное уравнение в частных производных вида ku~\-f(r)u = 0,
где / (г) является заданной аналитической функцией, зависящей только
от г, а и = и (j), имеет решение вида и= Rn (г) Нп (|), где Ип ($) —
произвольный гармонический многочлен степени п и Rn (г) — решение
обыкновенного дифференциального уравнения
-^ + ^ "^ + ^ С> - я <я +'> г~*1 * - а (D
Мы докажем сейчас, что существует
Л (я, Р) = (2п + />)(" + f~1}' (2)

230
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл.11
линейно независимых гармонических многочленов степени /г, зависящих
от р-\-2 переменных хъ х2) ..., хр+2.
Чтобы доказать это, вычислим сначала число g (п, р) линейно
независимых однородных многочленов степени п от /? + 2 переменных.
Очевидно, что
g(n, P) = g(n, p-l) + g(n-l} р-\)+ ... +£(0, /7-1), (3)
5-(/1,0)=/2+1, (4)
и соотношения (3) и (4) однозначно определяют выражение g (л, р):
g {п'р) - -тцр+w ~ \ п )• (5)
Но уравнение Лапласа налагает некоторые условия на коэффициенты
многочлена Нш причем, поскольку А//п является однородным многочленом
степени п—2, мы имеем не более чем g (п — 2, р) независимых условий,
а потому
h (п, p)>g (л, p) — g(n — 2, р). (6)
С другой стороны, следующие g (п — 2, р) линейно независимых
многочленов
Х\Р(xv •• •» Хр+2)>
где Р обозначает любой однородный многочлен степени п — 2, не
удовлетворяют уравнению Лапласа, а потому
h (/2, р) <g(ny p) — g(n — 2, р). (7)
Из неравенств (6) и (7) вытекает (2).
За исключением случая /2=0, не существует гармонических
многочленов, инвариантных относительно всех ортогональных преобразований *).
Но существует многочлен Нп (j), инвариантный относительно всех
ортогональных преобразований, при которых одна из точек единичной сферы
остается неподвижной. Поскольку для ортогональных преобразований,
оставляющих неподвижной точку rj, имеем (0$, rj) = (j, rj), достаточно
доказать следующую лемму:
Лемма 1. Для каждого единичного вектора ч\ существует один
и только один гармонический многочлен Нп (j), такой, что
I. Нп (г) зависит лишь от г и (£, <\)\
II. Яя(т]) = 1.
Этот многочлен определяется формулой
2
Сп (1)
, ■ (8>
X 2
где | = —, а Сп определяется формулой 11.1(16).
*) G. Polya и В. Meyer (1950) изучили орюгональные многочлены
от трех переменных, инвариантные относительно любой данной конечной
подгруппы ортогональной группы.

11.2]
ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
231
Р_
9
Так как Сп (х) может быть выражено через четные или нечетные
степени от х, в зависимости от того, четно или нечетно п, правая часть
равенства (8) является многочленом от хь ..., хр + 2, хотя гп может и не являться
_£_
2
многочленом. Так как Сп (1) Ф О, то многочлен (8) удовлетворяет
условию II. Следовательно, нам осталось показать, что условие I определяет
многочлен Нп (%) с точностью до постоянного множителя. Поскольку
многочлен Нп {%) однороден и имеет степень п, то он имеет вид
Со($,Юп + cir(hn)n'x+ ... + спгп,
где с0, ..., сп — постоянные.
Так как АНп = 0, то из 11.1(14) получаем соотношения
(п — т) (п — т — 1) ст -f (т + 2) (2л — т — 2 + Р) ст+2 = 0, (9)
где т = О, 1, 2, ..., и
с, = 0. (10)
Таким образом, Нп однозначно определяется значением с0, причем сх = с3 = ...
... =0. Чтобы построить многочлен НП} заметим, что из 11.1 (14) мы имеея
Аг~р = 0 и, следовательно, для всех значений г справедливо равенство
А||тл-$|Г/7 = А
Г р + 2
2 (х\ - хиУ
2=0. (11)
При т = t мы получаем, что коэффициент при tn в разложении
_р_
[1-2(|, r\)rt + r*t*] 2 (12)
удовлетворяет уравнению Лапласа. Это завершает доказательство леммы i
при р = 1, 2, ... В случае р = 0 будем исходить из соотношения 11.1 (23>
вместо 11.1(16). Мы получим вместо (8), что при р = 0 многочленом,
существование которого утверждается в лемме 1, является
r"T„ [(6. л)]- (13)
Теперь можно построить полную систему линейно независимых
гармонических многочленов степени п. Пусть
"m,k{xfa xk + \> •••> хр + 2) (14)
обозначает любой однородный гармонический многочлен степени т} который
не зависит от хи ..., х^_х. Можно проверить, что для всех значений
параметра t выполняется соотношение
А Ц1 - 2xxt + гЧ*) 2 Нт, 2J = 0. (15)
-+-J-а
Это позволяет найти все однородные гармонические многочлены, зависящие
от р-{-2 переменных, если уже известны многочлены от р-{-1 переменных.
Из h (m} p—l) линейно независимых многочленов Hm> 2 мы получаем

232 СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл.11
h(m, р—1) линейно независимых многочленов Hn{l)i степень которых
относительно п—т равна Х\, а именно:
гП-тст+Т1хЛн
п — пг \ f J m, 2» v '
где /и = О, 1, ..., п. Поскольку из равенства (3) и
h (п} р) = g (п, p) — g(n — 2, р)
следует, что
h(n, p) = h(ny р—\) + 1г(п—\у р—\)+ ... + h(0, р — 1), (17)
то мы получаем из (16) все многочлелы Нп (j).
Поскольку
(xp+l±ixp+2)m (18)
образуют полную систему линейно независимых многочленов Нт,ру получаем
по индукции следующую теорему:
Теорема 1. Пусть т0}...} тр — такие целые числа, что
и пусть гь определяется формулой
где k = 0, 1, ..., р и r0 = г. Тогда функции
И (mk} ±; i) = H (л, ти ..., тр-и ± тр\ хи ..., хр+2) =
±т /7 — 1 р k
У k=0
образуют полную систему h (п, р) линейно независимых гармонических
многочленов степени п. Разумеется, Н {т^ -\-\ %) = Н (т^ —; £), если
тр = 0.
Следствие. В гиперсферических полярных координатах 11.1 (7)
имеем
Н {mk, +; 5) = rn Y (mk\ вл, ± Ф), (22)
где
Y{mk; efc, ± ,,) = ** "V Ц (^k+ifk+1 ^-1^~~ (cos6fc+1> (23)
11.3. Сферические гармоники
Если Нп (j) является однородным гармоническим многочленом степени пу
то будем называть функцию
г-я//я(5) = //я(В = Гя(в, Ф) (1)
сферической гармоникой степени п. Здесь мы пишем 9 вместо 9Ь ..., 9«,
а через | вновь обозначаем—. Сферические гармоники являются однознач-

11.3]
СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ
233
ными непрерывными функциями на Q (единичной гиперсфере г = 1). В
частности, из 11.2(22) и 11.2(23) вытекает, что сферические гармоники степени
п = т0 имеют вид
г~пН (п, ти ..., ± тр\ хи ..., хр+2) = г~пН (ть ±; s) =
= #(л, ти ..., ± тр\ 1и ..., 1р+2) = Н {ть ±; |), (2)
= Y(ny ти ..., тр\ 9Ь ..., 9^, ±ф) = Y' (mk\ 9, ± ф). (3)
Мы установим сейчас свойства ортогональности для функций (2), (3)
(определения см. в п. 11.1). Положим для любых целых / и т, таких, что
/> т > О,
Ek (/, т) =
я
2k-2m-p у (/ _|_ т _|_ ^ _|_ ! _ ^
/ + *=№-! ('—»
Г /и -f
Л + 1
(4)
и для любых четных т0} ти ..., тр, удовлетворяющих 11.2(19),
N (т0у тъ ..., тр) = 2п JJ Ek (тк_и т#).
(5)
Имеет место следующее утверждение:
Теорема 2. Любые две различные функции (2) или (3) ортогональны
на сфере Q, за исключением случая, когда они комплексно сопряжены.
В случае комплексно сопряженных функций (или в случае квадрата
вещественных функций (2) или (3)) имеем
f f\H(mkt ±; Q\2dQ=ff\Y(mk\ 9, ±Ф)|2Ж =
Q
Q
= N (m0t mu...t mp)=^N(mk). (6)
В частности, любые две сферические гармоники различных степеней
ортогональны на единичной гиперсфере.
Функции (2) или (3) образуют полную систему ортогональных функций
на сфере Q. Докажем следующее утверждение:
Теорема 3. Если функция f (|) всюду непрерывна на сфере О, и
ортогональна на этой сфере ко всем функциям Н (тк> ±; £), то она
тождественно обращается в нуль на Q.
Для доказательства предположим, что / (rj) = 2а > 0, где г\ —
фиксированный единичный вектор (то есть точка сферы 0>). Так как / (g)
непрерывна, то найдется такое положительное число 6, что /(5)^># для всех |,
б2
лежащих в окрестности || | — rj || <; 6, то есть / (|) > а, если 1 — (|, г\) <; -^-.
Применим к функции
ф (х) = <
1 —
2(1-*)
О
б2
при 1 — X <. -~- ,
при 1 — х > -к-
теорему Вейерштрасса о приближении многочленами (см. Натансон, 1949,
стр. 19). Мы получим, что для любого е > 0 найдутся натуральное число п
и многочлен Fn (х) степени п такие, что
I^W-fWl<e, — 1 < х < 1.

234
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл.11
Тогда
Г I f (I) Ф [й, Ч)1 dQ > д* > О,
И
где а* — положительное число, зависящее от а и 6, но не зависящее от п
и е, и, следовательно,
Hm f [ f (I) Fn [(1 л)1 dQ = а\ (7)
е->о JQJ
Так как функция / (|) ортогональна ко всем функциям (2) или (3) и,
р_
в силу теоремы 1, С£ [(£, rj)] является линейной комбинацией этих функций,
р_
Г)
то f (I) должно быть при всех k ортогонально к Ck [(£, rj)]. Кроме того,
поскольку степень С^ (г) относительно z в точности равна ky то Fn (z)
2
должно быть линейной комбинацией функций Сл (г), & = О, 1, ..., nt
Следовательно, функция /(g) ортогональна к /^ [(£, rj)], что противоречит
равенству (7). Полученное противоречие доказывает теорему 3.
Из доказательства теоремы 3 вытекает утверждение, касающееся
приближения некоторых классов непрерывных функций с помощью сферических
гармоник. Мы имеем следующее утверждение:
Лемма 2. Пусть F (х) — функция вещественного переменного ху
непрерывная на отрезке — 1 ^ х <! 1. Положим при п = 0, 1, 2,., ♦
п £.
2
ФлКБ, Л)1 = 2 атСт US. Л)], (8)
т = 0
гдя
р р
С* (1) Л (л» Р) ап = f f С% [(£, Л)] F [(I Л)] 4Q (g) (9)
W
2
Л (л, p)C„2 (1)= J/\Crt2 [(6, л)1 ^
rfQ (6). (10)
Тогда функция F [(£, i])] является непрерывной функцией от I на Q а
может быть приближена функциями уп в том смысле, что
Hm Г Г|/Ч(£, Л)1-Фл[(Б. Л)]|2^-=0. (11)
/г-»оо i/ •/
Отметим, что А (пу р) не зависит от фиксированного единичного век*
тора ту, значение этой постоянной определяется равенством 11.4(13).
Для того чтобы доказать эту лемму, выберем в (8) коэффициенты ап так,
JL JL
чтобы минимизировать интеграл (11). Так как С% [(£, rj)] и С,2 [(£, rj)] при
k Ф т ортогональны на сфере й (см. замечания после теоремы 2), то мы

11.4]
ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ
235
получаем именно значения (9) для ап. С другой стороны, из теоремы Вейер-
штрасса о приближении функций многочленами мы знаем, что при
соответствующем выборе ап и достаточно большом п подынтегральная функция
в (11) может быть сделана произвольно малой; следовательно, минимум
интеграла в (11) стремится к нулю, когда я->оо.
Задача разложения функций, заданных на Q, в ряды по сферическим
гармоникам изучалась многими авторами. При р — 1 см. Гобсон (1952), где
имеется много ссылок. Случай р = 2 был изучен в работах: Kogbetlianz (1924)
и Koschmieder (1929), а случай любого р в работе: Koschmieder (1931).
Разложения функций в ряды по сферическим гармоникам называют иногда
рядами Лапласа. Вообще мало известно относительно сходимости рядов
Лапласа непрерывных функций. Однако доказана их суммируемость по Чезаро
(достаточно большого порядка).
11.4. Теорема сложения
При фиксированном г\ сферическая гармоника С„ [(g, rj)] может быть
выражена через S (т^} ±; |), где т0 = п. Имеет место более общее
утверждение:
Теорема 4. Пусть Sn (|), /—1, 2,..., /г, —система, состоящая
из h — h (п, р) линейно независимых вещественных сферических гармоник
степени п} и пусть система Sn ортонормальна на Q, то есть при
/, т = 1, 2, ..., h выполняется соотношение
Я» „т v ГО, если пфт.
Sln{l)S*{l)d& = \ ' ^ (1)
п п 11, если п = т.
Тогда для любого фиксированного единичного вектора ч\ имеет
р
2
Сп КБ, л)1
h
«(D2sU>s;w>. (2)
с] (1) ых
Обозначения те же, что и в 11.1(11), 11.1(12), 11.2(2), 11.1(16).
В качестве частного случая разложения (2) получаем из теоремы 2
4- 1 jf(o v £ (тр)
С2п [<Ь П)\ = 2W+W1 МШ ^ (»ь +; D Н <«». -; г,) +
+ «(iBfc-;E)W(iBs,+; л)Ь (3)
где сумма берется по всем целым значениям т& таким, что п = т0 >■
>/«!> ... >//гр>0, и где
£(0) = 1, е(т) = 2, т>0. (4)
Из 11.2 (21) получаем, что S (т^, ±; g) обращается в нуль, если
последние р-\-2 — / компонент вектора | равны нулю, то есть если

236
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл.11
за исключением случая, когда
/72, = /72,,,= ... =//2=0.
I 1л \ р
Следовательно, если положить в формуле (3)
|= (cosp, sin р, 0, ..., 0),
т) = (cos a, sin а, 0, ..., 0),
то получим, что при р > 1
4 Т , Г (,-1)^-^(1)
С„ (cos р cos а -{- sin р sin а) — Сл [cos (р — о)] = ;-—-—г—; X
/Z
р
г (f)г ш
х ^ вя> m (sin p)m С„_ш2 (cos p) (sin a)'"Cn_m2 (cos a). (5)
m = 0
где
<lm
ri«+4
12
Вя,т-^(Я-»Я)!(Р + 2т-1)^ + я + ^)
Если положить в (3)
\ = (cos a, sin a cos р, sin a sin р, 0, ..., 0),
г\ — (cos р, sin р cos a, sin Р sin а, 0, ..., 0),
то получим из (5) при р> \ и р — а = ф
Г (/7-1)
(6)
Сл" (cos a cos Р + sin a sin р cos ф) = -
т\4-
X
п
\
т=0
р
р
~ Z. Вл, « (sin «)'" С«-ш (C0S О) (sin Р) С«-т <sin Р) Ст~> (C0S Ф>. (7>
где /^ т задается формулой (6). При р = 1 имеем
Рп (cos a cos р -\~ sin a sin p cos ф) = Pn (cos a) Pn (cos P) -\-
n
+2 2 ferarp™(cos a) p™(cos P) cos Мф'
m=0
(8)
где
P„ (*) = C\ (x)
являются многочленами Лежандра и
(9)
m 1
Р« (at) = ±=Щ1 Г (m + i) 2m (1 - Л^с"'+Т (*)
(Ю)
111
—присоединенные функции Лежандра.

11.4]
ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ
237
Обычно формулу (7) или в случае /? = 1 формулу (8) называют
теоремой сложения для ультрасферических многочленов. Мы можем
получить равенство (3) (но не теорему 4 во всей общности) путем
последовательного применения равенств (7) и (8). В модифицированной форме
соотношения (7) и (8) остаются справедливыми и для общих функций С^, где
2v уже не является обязательно целым числом (относительно этого см.
3.15(19) и 3.11 (2)).
р_
Доказательство теоремы 4 основано на том, что Сл2 [(£, т])] является
ортогональным инвариантом от £ и ц (определения см. в п. 11.1.1). Мы
р_
докажем сначала, что с точностью до постоянного множителя С% [(£, т])]
является единственным инвариантом среди сферических гармоник степени п.
Для этого нам понадобится следующее утверждение:
Лемма 3. Пусть F ($, X)) — многочлен от компонент £ и t), и пусть
F(Oh Oi)) = /45,« (И)
для всех ортогональных преобразований О (см. п. 11.1.1). Тогда
существует многочлен Ф (и, v, w) от трех переменных и, v> w такой, что
Р (г, 9) = Ф [($, $), fe, », (9, «] (12)
тождественно относительно компонент ь и \).
Доказательство. Если ь и t) фиксированы, то можно выбрать
такую ортогональную систему координат, что
5 = (а, 0, 0, ..., 0), g = (P, Y> 0, ..., 0),
(h I) = а2, (s, W = <*Р, (9, 9) = Р2 + Y2
и, следовательно,
а = У^и, Р = , \ = — }Лш — i/2.
/и
и
Так как F является ортогональным инвариантом, то его можно записать
как многочлен
F = F* (а, Р, у) = F* /V", -£=г, — Vuw —v2)
\ у и и ]
от а, р, Y- Из существования ортогональных преобразований, при которых
а-> — а, Р-> — р, Y~>Y
или
а -> а, Р -> Р, Y -> — Y.
вытекает, что Z7* является многочленом от y2» а2> Р2> °Ф> и потому можно
записать Т7* в виде
-* — /77 -*-*
Г =^-/77Ф-(и, w, ш), (13)
где т — целое число и Ф* — многочлен от и, v> w.
Меняя ролями £ и t), получаем, что
w~k Ч? (и, v, w) = и~т Ф* (a, v, w), (14)

238 СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл.11
где k — целое число и W — многочлен. Так как ау v, w алгебраически неза-
висимы, из (14) следует, что и~тФ является многочленом. Это завершает
доказательство леммы 3.
Лемма 4. Пусть |, т], £— любые единичные векторы в {р-\-2)-мер-
ном пространстве. Тогда
j j С% КБ. Л)] С? [ft, Б)] dQ 0!) - А (Я| р) Cl [ft, С)], (15)
О СП)
гй?
1 j_ /7
А (п, р) = С„2 (1) ® . -= 2~ ——. (16)
у/ п у ' h(tl, р) („ ^ Р_\Г (_£_"
(п +
Лемма 4 имеет характер теоремы о свертке для основных сферических гар-
р_
моник С* [(Б, Т])].
Чтобы доказать эту лемму, возьмем любые два вектора $ и з и положим
|=ш'с = 1шГ Так как функции
JL JL
h IIя С} [(|,Ti)], ||3||"C„2 [(ri, 01
являются гармоническими многочленами, зависящими соответственно от
компонент i и §, то произведение левой части равенства (15) на норму || $ Ц711| g If1
является гармоническим многочленом как от £, так и от §, имеющим
по каждому множеству переменных степень я. Кроме того, этот
гармонический многочлен является ортогональным инвариантом от % и §, поскольку
он остается неизменным при одновременном ортогональном преобразовании
j, § и т] (и, следовательно, £, £ и т]), а интеграл остается неизменным при
любом ортогональном преобразовании переменной ч\. Таким образом, в силу
леммы 3 наш гармонический многочлен является многочленом от ||j|P,
IIЬII2 и (£> 8) = 115 II II6II (Б» £)• Таким образом, в силу леммы 1 это выражение
является кратным
р_
ПГНРС* [(Б, О].
Отсюда следует лемма 4. Мы можем определить множитель А (я, /?), положив
Б = С = (1, о 0).
Отсюда получаем
£. +1Г JL V
А(п,р)С? (1) = о' J |СЛ2 И J (1 -x2)(p~mdx,
(17)
-i
где через ©' обозначена площадь поверхности гиперсферы в (р -[- 1)-мерном
пространстве. Из 3.15(17), 11.1(26), 11.1(29) и 11.2(2) получаем (16).
Мы можем теперь выяснить, как действуют на сферические гармоники
ортргональные преобразования переменной |.

11.4] ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ 239
Лемма 5. Пусть Sn(l), /=1, 2, ..., /г, образуют полную систему
ортогональных сферических гармоник степени п, для которых
выполняется условие (1), и пусть О—некоторое ортогональное
преобразование в (р-\-2)-мерном пространстве. Тогда имеет место равенство
/г
^ <0» = S S,ftS* (Б), (18)
где матрица G с h2 элементами g. является ортогональной
матрицей, содержащей h~h(n, р) столбцов, то есть
G'G = GG' = /. (19)
Здесь G' — транспонированная матрица G и / — единичная матрица порядка
h (п, р).
Доказательство. Так как оператор Лапласа инвариантен относи*
тельно ортогональных преобразований (см. п. 11.1), то Sln(OQ является
сферической гармоникой степени п и, следовательно, может быть, в силу (15),
выражено через полную систему 5* (I).
Так как интеграл в левой части равенства (1) остается инвариантным
при замене | через (% то функции Sln(OQ также образуют ортонормиро-
ванную систему, а потому GG' = I. Но хорошо известно, что тогда мы
имеем также G'G = /.
Для доказательства теоремы 4 достаточно показать, что
h h
2 Sln (l) Sln (n) = 2 Sn (ОБ) sn (©Л) (20)
1 = 1 /3:1
является ортогональным инвариантом от £ и г\. Это вытекает из леммы 5,
в частности из равенства GG' = /. Из доказательства леммы 4 видно, что
р_
выражение (20) отличается от Сл [(£, т])] лишь постоянным множителем.
Этот множитель можно вычислить, интегрируя квадрат выражения (20) по ч\
по всей единичной сфере Q. Принимая во внимание равенство (1), получаем,
что результат интегрирования равен
2 \s'n ®Y- (21)
l = \
С другой стороны, полагая в равенстве (12) Б—Л» убеждаемся, что этот
р_
интеграл равен С^ (1), умноженному на некоторый постоянный множитель.
Интегрируя (21) по О. (£,) и принимая во внимание (1), получаем значение h.
Это в силу (2) приводит к теореме 4.
Из теоремы 4 мы получаем, что для любой сферической гармоники Sm (|)
степени m имеет место равенство
0, пфт,
| Cl [(I, л)] Sm (¾ dil (I)
u (I)

240 СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл.11
Из леммы 2, в частности из равенств 11.3(8), 11.3(11), получаем в силу
неравенства Шварца, что
Ит Г Г {F [& л)] - фя [(£, л)]} Sn (1) d& (I) = О,
П->оо J J
Й (I)
где /7 и фя определены в п. 11.3, 11.3(8). Комбинируя это соотношение
с равенством (22), получаем (ср. Funk, Неске, 1916, 1918):
Теорема Функа — Гекке. Пусть F (х) — функция вещественного
переменного ху непрерывная на отрезке —1<;л:<;1, и пусть Sn(Q —
любая сферическая гармоника степени п. Тогда для любого единичного
вектора ч\ имеет место равенство
f f F Кб, Л)1 Sn (1) dQ (I) = KnSn (r0, (23)
Q (6)
где интеграл в формуле (23) берется вдоль всей поверхности единичной
гиперсферы Q, и где
} Л £=±
К = —" | F (х) Сп (х) (1 - х2) 2 dx. (24)
cj (1) -1
Здесь через о' обозначена полная площадь поверхности единичной
гиперсферы в (р -)- 1)-мерном пространстве:
р
Р+1 ... 2 . „ / v \
, 2зх
ну —
ЛГУ
©'
р
Сп* (1)
(4 Я) Л! 1
Itj
■ i)i '
Erdelyi (1938) доказал также, что достаточно предполагать интегрируемость
по Лебегу функций | F (х) \ и | F (х) |2 на отрезке — 1 -^ х ■< 1, и показал, что
1+4 °°
Я„ = г"(2я) 2 Г t 2 У (t)f(t)dt,
—оо 2
где
/(0 = -2^ j e-ixiF(x)dx.
-l
Здесь через / обозначена функция Бесселя. Заметим, что
р р оо | *
< 2У .(0 = ^2 2 У
является однозначно определенной функцией от t.

11.5] случай р = 1, h(n,p) = 2п + 1 241
11.5. Случай р = 1, h (#, р) = 2п-{-\
11.5.1. Производящая функция для сферических гармоник в
трехмерном случае. Обозначим через
£ = (Х\, -#2> -*з) (1)
вектор с тремя компонентами. Определим многочлены Н™ (j) формулой
[^ + а3-2^-(х2-а3)^ = /й 2 нп (*)*"- (2)
т = —я
Подстановка £ = — 1/т показывает, что
Я»' = (-1)™ Я"™, (3)
где черта обозначает комплексно сопряженный многочлен. Левую часть
равенства (2) можно записать в виде (и, %)п, где
и = (— 2*. 1 — *2, / + И2)- (4)
Так как (и, и) = 0, то получаем из 11.1(14), что обе части равенства (2)
при всех значениях t удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому Н™ (j)
является однородным гармоническим многочленом степени п. Линейная
независимость многочленов Н™ вытекает из алгебраической независимости
х2 ~г г-*з> — 2.^1, — (лг2 — ix%).
Положим г = |] 11|, I =■ —. Тогда функции
r-nH™ fe) = S% (g), т = О, ± 1, ..., ± п, (5)
образуют полную систему линейно независимых сферических гармоник
степени п. Из равенства (3) имеем
s„-m(i) = (-i)ms^). (6)
Справедливо соотношение ортогональности
[О, т Ф т'',
Q
г (т)Г'" + '> , 2» , , О
/и, т' =0, ±1, ..., ± /г,
2зх —-—/ —, . \, т = т',
т -\- п )
где интеграл берется по всей поверхности единичной сферы й. Оно может
быть доказано следующим образом. Введем вектор
b = (— 2s, 1 — s2, / + is2) (8)
и рассмотрим интеграл
f f (it, gy (to, 6У ДО (g). (9)
8

242
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл.11
Этот интеграл является ортогональным инвариантом от и и to (см.
доказательство леммы 4 в п. 11.4). В силу леммы 2 этот интеграл является
многочленом от (и, и), (to, to) и (и, to), и, поскольку (и, и) = (t), to) = 0, интеграл (9)
отличается лишь постоянным множителем от (it, to)12. Подставляя в
интеграл (9) разложение (2) для (и, %)п и соответствующее разложение для (to, Qn,
получаем, что
п
(is)" 2] t'sm f fsln (6) S™ (|) dQ = (x (u, ti)n = (x2n (1 + stf. (10)
I, m = —n Q
Значение постоянной (i можно вычислить, положив s = t — 0 и
£=(cos6, sin 6 cos ф, sin 0 sin (p), di2 = sin В dti dy. (11)
Это дает
2я я
2'V= dcp dQ (sin 0)
и
f
,2n M
2jtrl-i-l/i!
■'(<■+!)'
(12)
Сравнивая коэффициенты при tlsm в обеих частях равенства (10), получаем (7).
Для того чтобы получить явное выражение для S™ (|), применим к (2)
формулу Коши. Мы получим
(с + )
1
Я7<*>~Ж7
(u, i)nt-n-m-ldt =
(0+)
= -Уг <*- lx*)n J [(' +¾¾)^^^^^
-2
пя
*
-я-га-1
dt. (13)
Если положить
то получим
t+
X
= т,
-*i
ЛГ2 — IJC'.
= 0.
Я™ (j) --= (2шт1 (ix3-x2)n J [т2-г2 (^-^-^"(т-а)-"-'4-1 dx =
(-1)
m
(w-j- m)
- (x2 — глг3)л —— t2 — — =
Г dxnim I \xj _
Г" IXt-tXj\m dn'm , ay, =Xj_
(Я + /Я)! \ r ) <+ffl ^ l}' Sl r "
Если определить присоединенные функции Лежандра Р™ (х) равенством
(14)
(15)
(16)
т tfti + m
Км-(-1)я+я|2-я(Л!)-1 о-*2)2 -т^йй-а-^г,
^
(17)
/И = 0, ±1, ..., ± /2,
2л/21
то получаем, что
S™ /ь\ ~ г~пнт (\Л — г—Пл+Ш *'""пх к — /? ^ fi ?2>1 2 Рт к \ пя\
^nlsJ — г пп{1) — {—1) {п-\.т)\ ^2 ^ \ Ч) л (Si)" (lb)
Для соответствующих функций в сферических полярных координатах

11.5] случай р = 1, h(n,p) = 2тг + 1 243
(см. п, 11.3) имеем
С (О, Ф) - S"n! (I) = (-1)"+'" (д ^, e-"»<PP» (cos 0). (19)
В силу (3) и (18) получаем
р-т (х) = (-1)« ^~^,! Р£ (*).
Теорема сложения для функций Р™ (х) дается равенством 11.4(8).
Соотношение ортогональности (7) дает
+1
[Р£<*)12 dx = -^гт ^Щ-- (20)
1 п V '1 2/г-|-1 (/2 — /И)! V ;
Из (2) получаем производящую функцию
_- оо 2п
[\ — st cos е-1(1 — *») sine] «J] 2"ггр*"Л(С08в)5,!Л (21)
/2 = 0 £=0
Другие свойства функции Р™ см. в п. 3.6.1.
11.5.2. Теория полюсов Максвелла, Пусть хи х2, хъ — независимые
-. Г п о о
переменные, f = у Xi~^x2~{-x^ и пусть дифференциальный оператор Dk
определяется равенством
Dk = -£-y £=1,2,3. (22)
Так как
Дг"1 = (0?+ ^+0^ = 0, (23)
то очевидно, что D^Db2Dczr^1 удовлетворяет уравнению Лапласа. Кроме
того, ясно, что это выражение имеет вид однородного многочлена степени
п = а-\~ Ь -\-с, умноженного на г~2П"х. Наконец, можно проверить, что для
любого однородного многочлена Нп степени п утверждения
АНп = 0 и АЯ/-2й"'=0
эквивалентны. Таким образом, мы получили, что
D^DbDc3r~l = Нп (хг, х2, х<6) г~2п~\ п = а + Ь + с. (24)
Из этого замечания вытекает, что каждому однородному многочлену
степени п от трех переменных Dlt D2, D3 таких, что
D\ + D\ + D\ = 0, (25)
соответствует гармонический многочлен от хи х2) хъ степени п. Если
сравнить это утверждение с замечанием, сделанным после формулы 11.7 (12),
то представляется весьма правдоподобным, что все гармонические
многочлены можно представить в виде (24). В самом деле, можно показать,
что (см. Гобсон, 1952, гл. 4)
D\-m {D2 ± ID J* 1 = (-1)П~™1"-т)[ e± im* P» (cos 6), (26)
m = 0, 1, ..., n,
где
xx = r cos 6, x2 =*= r sin 6 cos ф, x3 = r sin 0 sin ф, (27)

244
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл.11
В силу (19) это показывает, что все сферические гармоники могут быть
представлены в форме (24).
В силу геометрических соображений сферические гармоники в (26)
называют зональными, если т = 0, секториальными, если т = п, и тессе-
ральными, если 1 <; т <; п—1. Относительно этого и дальнейших
замечаний о результатах Максвелла см. Гобсон (1952) и Максвелл (1873, 1892).
Пусть
являются единичными векторами, которые, таким образом, определяют точки
на единичной сфере. Эти точки мы будем называть полюсами. Тогда
сферическая гармоника степени п с полюсами ть определяется равенством
= Г— Ппгп+1
Sn (¾) = (-!)" г
П
k = l
-I
(29)
Вводя п параметров tx tnt находим, что это выражение является
коэффициентом при tx ... tn в разложении функции
1
п\ п
2 h (Ь •%)
где
п
^=2^(¾.¾). 6-(^-.-^.
X,
(30)
(31)
k, 1=1
причем сумма в (30) берется по k = \, 2, ..., п. Это выражение является
функцией от косинусов углов между векторами |, т^, ..., ч\к. Стандартные
сферические гармоники (26) получаются, если векторы ч\к совпадают с
координатными осями.
Van der Pol (1936) и Erdelyi (1937) распространили выражение (26)
на решения волнового уравнения Au-{-k2u — 0. Они показали, что
(п-т у
л
п+1
дх
д , . д
т
дХ'.
р("0
п
dXi
sin kr
(32)
где Р{^ обозначает т-ю производную многочлена Лежандра Pw, а PJJ1
определяется формулой (17), J ! обозначает функцию Бесселя первого рода
1
п+1
порядка л-[--у, а г, 6, ф, хъ х2, х3 связаны соотношениями (27).
11.6. Случай р = 2, h(n, р) = (п-\-\)2
В этом пункте мы будем обозначать через X) четырехмерный вектор
9= (Уи У2, Уз, У*) (1)
и положим
(2)

11.6]
случай р = 2, h(n,p) = (п + 1)'
245
Введем векторы
it = (/ — itst — it —is, —t +s, 1 + ts),
\) = (i — /та, — /т ~ /a, — т -\- o, I -j- та),
для которых выполняются соотношения
(it, u) = (b, t)) = 0, (u, *Г) = 2 (1 + tx) (1 + so).
Из соотношений (5) находим, так же как это было сделано в п,
что (лг —|— I)2 многочленов Hkn'1 (\)), определяемых равенством
п
(3)
(4)
(5)
11.5.1
(«• ^"= S (&) Нп '(9) '**'•
(6)
k, /=о
являются гармоническими многочленами степени п.
Те же рассуждения, что и в п. 11.5.2, показывают, что
(u,tj)" (о,г|)" dQ(r\) =
Q СП)
2*~У
/2+1
(и, ^)'г.
(7)
Таким образом, сферические гармоники
5*''(ri) = p-"//*''(9)
(8)
образуют ортогональное множество, состоящее из h (п, 2) = (л+ I)2 линейно
независимых сферических гармоник, удовлетворяющих соотношениям
о.
л
| 0, k ф k! или / ф /',
Sy{x\)S^[\x\)dil = \ 2я2 (п\/(п\ и и, , „ (9)
( л+1 \l)l \k)y
Из соотношения (6) вытекает также, что
5"*'1 (л) = (—1)* + / Snn~k> п~1 (л).
&= Л'. / = /7.
(10)
Для того чтобы найти явное выражение для S^ , введем числа а, Ь, с, d:
я = У4 + 0'ь b = y3 — iy2, c = — y3 — iy2, d = y4 — iyl. (11)
Тогда
р = || ^ || = У ad — 6с, (u, 1)) = a + bs +- (с + tfs) t, (12)
и мы получаем из (6), что
п
(0+)
Я«''(1>)=4т (a + bsf-Uc + dsfs
2ni
"-*'- ' ^*--'-' rfs.
(13)
(14)
«/

246
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл.11
Полагая
s (be — ad) /1Е-Ч
а== ы ' (15)
ad У1+У4 1Ш
а0 — = —5 п 9 «г \1С)/
flflf —6с Я + Уз + Уз + У4
и выражая а, #, с, d через у., получаем
* 2« 1р/ Ы J (а —а0)'+1
(17)
М>'_ р« (J!iZlU. )*+' -Й ( *=!*■ V"* * с- (1 - а0)*, (18)
/! V Р / \ Р / do
о
где а0 определяется равенством (16). В полученном равенстве можно
выразить /-ю производную через гипергеометрическую функцию (в данном случае
являющуюся многочленом Якоби), и окончательный результат принимает
следующий вид (см. 2.8(27), 2.1 (2), (1) и (2)).
Если /г>& + /, то
s*>' (г!) = Р-»л*'' (ч) - (-D* (" 7 *) (\ -Н ^i)"-*-' (¾ + 'Ла)*-' х
X 2^(-/, « — /+1; л —* —/ + 1; Г14 + Л?). (19)
= (-1)* (% + All)""*"' Ob + <%)*""' X
ХРГк-1'к-1)Ы+4-1й-1$). (20)
Если п< k~\-ly то
S*'' (Л) = p-"«5'' (?) = М)""' (л 1 /) (¾ - *li)*+'~" (¾ ~ %/"* X
x^i('-n, / + 1; / + *—л + 1; Л4+л?). (21)
«= р-'1//*'' (9) = (-I)"-'(¾ - и,/ f '""{\ - i\)l~k X
ХР{'1ГП-1-к)(4+4-^-гй), (22)
где Р[^' ^ обозначает многочлен Якоби (см. гл. 10).
В полярных координатах выражения (20), (22) для S*'L принимают
довольно сложный вид, и в этих координатах лучше использовать
функции 11.2(23) для частного случая /7 = 2. Но для преобразования сфериче-
Ту 1
ских гармоник весьма удобны функции Sn> (при четных значениях л); эти
функции, кроме того, удовлетворяют некоторым соотношениям, не имеющим
аналогов в случаях, когда р ф2. Эти соотношения (которые будут
доказаны в п, 11.7) имеют следующий вид (мы записываем их для функций Н\^
вместо :
oft, а
э2л J

11.7]
ФОРМУЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
247
Пусть t), §— два четырехмерных век гора, и пусть to — вектор с
координатами
™1 = ^1*4 + У 4*1 — ^2*3 + )½
w2 = у2г4 + У4*2 — У*г\ + У i*3-
W3 = y3Z4 + ^4*3 — ^1^2 + У 2*1,
^4 = ^4*4 — У 1*1 — У 2*2 — Уз*3.
(23)
Если использовать кватернионы (см. Курош А. Г., 1965, гл. 4), то вектор
можно представить в виде
w, + iw2 +jw3 + kw{ = (г4 + iz2 + у>3 + kz\) (У a + 0>2 + Лз + ^1). (24)
где 1, /, у, &— основные единицы. Тогда имеет место теорема сложения
"&'<*) = 2/4т («''(«•
га=0
Определитель матрицы
[tf^;/(t))j, Л, /==0, 1,. . .,2л,
где & — индекс строки, а / — столбца, равен
(у1 + у1 + у1+уТ2"+1)-
Характеристические числа этой матрицы имеют вид
т = 0, 1,. . ., In,
(25)
(26)
(27)
л га у2п — т
(28)
где Ки К2 являются корнями уравнения (см. (4))
а — Л Ь
d — X
= 0.
(29)
След этой матрицы равен
2п
(30)
где 7^ + i означает производную многочлена Чебышева 11.1 (20).
11.7. Формула преобразования для сферических гармоник
Пусть j — трехмерный вектор, at) — четырехмерный вектор. Мы будем
применять обозначения
£ Мз = Л
9IU = Р. 6 = 7-. Л = ^-
(1)
Покажем, что любое ортогональное преобразование О в трехмерном
пространстве векторов £, определитель которого равен -|~1, можно однозначно
описать с помощью единичного вектора rj. Если det 0 = +1, то существует
такой вектор £0 Ф 0 (ось вращения), что
U = <%о- (2)

248
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл.11
Преобразование О однозначно определяется заданием вектора £0 и угла
вращения af>. Так как —$0 также является осью вращения, то можно
выбрать 50 так, чтобы выполнялось неравенство О^ф^л;. Если ip равно нулю,
то любой вектор £0 является осью вращения, и в этом случае мы положим
5о = 0. Поскольку вектор £о определен только по направлению, мы можем,
не теряя общности, положить, что
So ||3 = sin-~, 0<ф<л.
Тогда компонентами х0> ь х0> 2, xQi 3 вектора £0 будут
гЬ
x0t i = cos щ sin ~2 , / = 1, 2, 3,
где через щ обозначен угол между осью вращения и осью Х[.
Определим теперь четырехмерный единичный вектор
(3)
ч
ф
*
*
cos ct[ sin -=-, cos ct2 sin-i-, cos a3 sin 0,
cos
*
(4)
и положим t) = рт]. Тогда ортогональную матрицу О можно записать в виде
О
(у41-Л)(у,1 + АГ1=1
Л
п+п
2У1У2 + 2У3У4
2У1У3 — 2^2^4
У^
(р»/-2у4Л+2Л2) =
2У1У2 — 2у3У4 2у!у3 + 2у2у4
У4 + Уг ~ У\ - У\
%У2Уз + 2ухУ4
(5)
2у2Уз — 2У1У4
У24 + у1-У21-у1
(6)
где
/ =
(7)
Эти формулы определяют представление Кели ортогональной группы (см.
Г. Вейль, 1947, стр. 84 и след.). Представление в виде (6) справедливо во
всех случаях, в том числе и тогда, когда определитель матрицы у J -f- Л
обращается в нуль.
Используя обозначения (1), (2), (4), (5), 11.5(18), 11.5(19), 11.6(8), мы
получаем следующий результат:
Формула преобразования сферических гармоник.
S* (01) = У (-1)
п
X
1= —п
,fc+l
2п
l/in + l)8^'^^^^ (8)
Эта формула показывает действие ортогонального преобразования О в
трехмерном пространстве на сферические гармоники и задает коэффициенты
линейного преобразования функций S„ через сферические гармоники
в четырехмерном пространстве. При этом переменными являются параметры
Кели преобразования О.
Формула, эквивалентная формуле (8), была доказана в работе: A. Schmidt
(1899) (см. также Hoenl, 1934). В неопубликованной заметке Бейтмена по-

11.7] ФОРМУЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК 249
казано, что коэффициенты при Sln в (8) можно выразить через
гипергеометрический ряд. В форме (8) это равенство дано Герглотцем,
доказательство которого приведено выше.
Для того чтобы доказать равенство (8), заметим следующее:
I. Гармонические многочлены Н™ (j) можно отобразить на произведение
степеней переменных wu w2, полагая
хх = wxw2, х2 -\- 1хъ = w\, — х2 + ix3 = w\. (9)
В самом деле, в силу 11.5(2) получаем
(w21-2w1w2t + wlt2)n= £ HZ(s)t"+m (10)
т= — п
и, следовательно,
«?fc) = (-i>m(„ + J<-'V+m- (И)
Несмотря на то, что соотношение (9) налагает условия на координаты хи
х2у х3, а именно:
•*? + *2 + *з = 0 (12)
(см. 11.5(25)), мы видим из равенства (11), что полное множество Н™ (j)
линейно независимых гармонических многочленов отображается на
множество линейно независимых произведений степеней w1 и w2.
II. Если определить а, Ь, с, d равенствами 11.6(11), то линейное
преобразование
w[ = awx -\- bw2, w2 = cwx -\- dw2 (13)
9 9
индуцирует линейное преобразование переменных wv w2> wly w2,
определяемое формулами
w[w2 = {ad -\- be) wxw2 -\- acw\ -J- bdw\y
w[ = 2abwlw2 -f- c?w\ ~\- b2wl>
w2 — 2cdwlw2 -f- c2w\ -\- d2w\.
(14)
Если положить wiw2 = xv wx = x2 -f- iXty w2 — — x2 -f- 1хг и
предположить, что
ad — be = y2 + y22 + y2 + y24= \,
то (14) является линейным преобразованием
j' = Oj, $' = (х[, х'2, х'3), (15)
где О задается формулой (6). Мы получили, таким образом, представление
трехмерной ортогональной группы линейными унитарными преобразованиями
в двумерном комплексном пространстве (см. Гельфанд, Минлос и Шапиро,
1958, стр. 14).

250
СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
[Гл.11
III. Подставляя в 11.6(13) выражение 11,6(11) для я, Ь, с, d и полагая
w
W2
s ~ —-, получаем
2п
2Н&1 (« w\n~lw\ = (awx + bw2)2n~k (cwx + dw2)K (16)
Если ||ty|| = l, то из (11), (13), (14), (15), (16) и (6) вытекает формула
преобразования (8).
Формулы 11.6(25) —11.6(30) являются следствиями того, что
равенство (8) можно рассматривать как представление трехмерной ортогональной
группы (относительно используемых здесь понятий см. Гельфанд, Минлос
и Шапиро, 1958). В частности, 11.6(30) вытекает из того факта, что
характеристические числа ортогональной матрицы О, для которой 0=1,
однозначно определяются углом вращения, то есть числом —. Поскольку
характеристические числа матрицы U, соответствующей О при представлении
ортогональной группы унитарными матрицами, зависят лишь от
характеристических чисел самой матрицы О, то след матрицы U (который равен
сумме харакхеристических чисел матрицы U) зависит лишь от —. В соот-
Р
ветствии с леммой 1 единственной сферической гармоникой,
удовлетворяющей этим условиям, является, с точностью до постоянного множителя,
правая часть равенства 11.6(30).
Y. Sat6 (1950) выразил преобразование О в виде произведения трех
простых преобразований, доказал равенство (8) для этих преобразований
и дал таблицу коэффициентов (8) для п < 7.
11.8. Многочлены Эрмита — Кампе де Ферье
Иной подход к изучению сферических гармоник принадлежит Эрмиту,
Дидону и Кампе де Ферье. Далеко развитая и важная теория, построенная
этими авторами, весьма полно изложена во второй части книги: Appell и
Kampe de Feriet (1926). Мы не будем давать детальное изложение
полученных ими результатов и ограничимся кратким указанием на то, что
содержится в этой книге, отсылая читателя к самой книге для полного
знакомства с теорией.
Обобщая конструкцию Максвелла сферических гармоник в
трехмерном пространстве, определим следующие функции, зависящие от р-\-2
компонент вектора ц:
/ луг лп
w (г) = i—J. - (r~p) (\)
i р Mv ••' тР' дх 1 ... дхТ)Р
Г
I
где г = || 11| и неотрицательные целые числа /иь ..., mp удовлетворяют
условию
тп\-\-т2-\- ... -\-тр = п. (2)
Функция в левой части равенства (1) удовлетворяет уравнению Лапласа.
Она является коэффициентом при
ax{ci22...apP (3)

11.8]
МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА-КАМПЕ ДЕ ФЕРЬЕ
251
в разложении функции
[(*i-*i)2+ ••• +(-^-^)44+1+4+2] 2 №
в степенной ряд по степеням переменных аь ..., ар.
Тогда
Vmv..., mp($v—> lp) = r"+Pwm1 тр (S> (5)
является сферической гармоникой степени п, которая зависит лишь от пер-
вых р компонент вектора —. Производящей функцией для этих гармоник
является
(1-2^- ... —2ар1р + а2г+ ... +а2р) 2 =
«1 ' ■■■aP"Vm1 mp(ll tp)> (6)
где сумма распространена на все неотрицательные целые значения т{,..., тр.
Явное выражение, а также выражение через гипергеометрические функции р
переменных для функции V были получены Аппелем и Кампе де Ферье.
Связь с ультрасферическими многочленами дается формулой
2
1 т. тп\/ /t t
а\ ••• apPVmv..., т Q=V ' "» ьр) =
-м+ -• +«»' ci ^+---+^), (7)
V«i+ ••• +4
р
где сумма берется по всем неотрицательным целым числам mh ..., mp,
удовлетворяющим условию (2). Отсюда могут быть получены рекуррентные
формулы.
Введем обозначения
где 5, # — 1, 2, 3, ... Можно показать, что в качестве полной системы
линейно независимых сферических гармоник степени п можно выбрать
функции
(1-^-...-^,-^(^)^(1, у, (9)
где неотрицательные целые числа /, /ь ..., 1р удовлетворяют условию
/ + Л+ ... +lp = n (10)
и
г-ф lp+i + llp + 2 1р+1+%р+2
е^ — —_ г =—г =-. (11)
1^1 ?2 _?2 lA2 J-?2
Однако функции системы (9) не образуют ортогональной системы на
единичной сфере; интеграл

252 СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ [Гл.11
обращается в нуль лишь в случаях, когда либо
/j-f ... + lp=£ml + ... + тр,
либо все разности 1Х — /иь ..., 1р— тр являются нечетными числами.
Поэтому было введено второе множество функций L/, определяемых с
помощью производящей функции
W1 amPU® (l П-
l_
*=[(«& + ...+attla-lf + (<% + ... +aj)(l-l\- ... — ij)]2. (12)
Эти функции являются сферическими гармониками в (р-\-1-\-1)-мерном
пространстве. Функции U и V образуют биортогональную систему, так
что имеет место равенство
за исключением случая, когда тх = /ь m2 = l2j •.., mp = lp. Таким образом,
функции £/ можно использовать для того, чтобы найти коэффициенты
разложения функции на гиперсфере и, в частности, выразить через функции (9)
все сферические гармоники данной степени.
Многие другие результаты, касающиеся функций U и V, в частности
дифференциальные уравнения в частных производных, выражения через
обобщенные гипергеометрические ряды Лауричелла и разложения в ряды
функций по функциям U и Vy см. в книге: Appell, Kampe de Ferriet (1926).
Обобщение функций V% ... т на значения /, отличные от натуральных
чисел, см. в книге: A. Angelescu (1916).
Обобщение сферических гармоник, связанное с операторами, отличными
от оператора Лапласа, было изучено в работе: М. Prolter (1949).

ГЛАВА 12
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
12.1. Введение
Пусть R—область в я-мерном евклидовом пространстве и хи ..., хп—
декартовы координаты в этом пространстве. Обозначим через w (х) =
=т (хи ..., хп) неотрицательную весовую функцию, определенную в R. Для
любых двух функций f (хь ..., хп) и g (хъ ..., хп) положим
(/. g) = J • • • J f (хь • • •, хп) g (хи ..., хп) w (хи ..., xn)dx{ ... dxn (1)
R
и назовем это выражение скалярным произведением функций / и g. Оно
заведомо определено, если функции fug определены в R и интеграл (1)
существует. Две функции называют ортогональными (относительно веса w),
если их скалярное произведение равно нулю.
Пусть задана весовая функция и любая последовательность линейно
независимых функций af>b af>2,. •., таких, что определены все скалярные
произведения (%, а|)у). Тогда к этим функциям можно применить описанный в п. 10.1
процесс ортогонализации относительно скалярного произведения (1). Этот
процесс приводит к ортогональной системе функций, каждая из которых
однозначно определена с точностью до постоянного множителя. Если
функции занумерованы несколькими индексами, то процесс ортогонализации
должен быть несколько изменен. Прежде чем применять его в этом случае,
необходимо преобразовать множество функций в обычную
последовательность. Каждому возможному упорядочению соответствует ортогональная
система, причем, вообще говоря, различные упорядочения приводят к
различным ортогональным системам. Таким образом, если множество функций
занумеровано несколькими индексами, то мы не можем, вообще говоря,
однозначно определить ортогональную систему. Кроме того, во многих
случаях преобразование в обычную последовательность нарушает симметрию,
существующую в исходной системе функций. По этим причинам часто
предпочитают для заданной системы линейно независимых функций
\^mv ..., mn(xV • • •' хп)}>
занумерованных несколькими индексами, построить две системы
[4rnv ..., rnn(xV • • •» хп)\ И {^mv .,., тп(х1> •••» хгд\*

254 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [Гл. 12
биортогочальные друг другу, то есть такие, что интеграл
V т\ тп mv ■••■ тп)
обращается в нуль, за исключением случая т1 = т[, т2 = т^ ..., тп = /и^.
Биортогональные системы дают большую свободу выбора, которую можно
использовать для сохранения симметрии.
Мы применим эти замечания к ортогональным многочленам от
нескольких переменных. Для того чтобы ортогонализовать множество
одночленов
т{ т т
необходимо упорядочить эти одночлены. За исключением случая, когда
области и весовые функции имеют весьма частный вид, не существует
(единственной) системы ортогональных многочленов, и любая система
ортогональных многочленов, получаемая с помощью упорядочения одночленов (2),
необходимо несимметрична по переменным хъ ..., хп, Однако, используя
биортогональную систему многочленов, можно обойти эти затруднения.
По-видимому, не существует развернутой общей теории ортогональных
многочленов от нескольких переменных. Однако хорошо известны и детально
изучены некоторые частные виды биортогональных систем, соответствующие
классическим ортогональным многочленам одного переменного. Изложению
этой теории посвящена книга: Appell, Kampe de Feriet, содержащая
обширную библиографию по исследованиям, проведенным до 1925 года.
В этой главе мы дадим краткий очерк общих свойств ортогональных
многочленов двух переменных и изучим несколько детальнее все системы
биортогональных многочленов от двух и большего числа переменных,
которые соответствуют классическим системам ортогональных многочленов
одного переменного или являются их обобщениями. Есть много точек
соприкосновения между материалами этой главы и глав 10 и 11.
12.2. Общие свойства ортогональных многочленов
от двух переменных
Общие свойства ортогональных многочленов от двух переменных были
изучены Джексоном (Jackson, 1937), который рассматривал также
ортогональные многочлены от трех и от двух комплексных переменных (Jackson,
1938, 1938а). В этом пункте и в п. 12,3 мы ограничимся случаем двух
вещественных переменных. Соответствующие свойства ортогональных
многочленов от п переменных легко могут быть сформулированы по аналогии
читателем.
Пусть задана область R в х, у-плоскости и неотрицательная весовая
функция w (х, у). Если область R ограничена, то будем предполагать, что w
интегрируема по области ft ав случае, когда область R не ограничена,—
что сходятся все интегралы
J \ w {х, y)xmyndxdy, /и, л = 0, 1, ... (1)

12.2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА 255
Свойства ортогональности, нормированности и т. д. будут пониматься отно*
сительно скалярного произведения
(/> g) — J J f (*. у) g (x} y) w (x, y) dx dy. (2)
R
Так как fug являются многочленами, то интеграл (2) всегда существует.
Упорядочим одночлены хту11 следующим образом:
хтуп выше, чем xkyl} если
(3)
либо т-\-п> k-\-l}
либо т-\-п=. k-{-l и I > п.
Упорядоченная последовательность одночленов имеет вид
1, х, у, х'\ хуу у2, х\ х2у} ... (4)
Упорядочение (3) индуцирует частичную упорядоченность многочленов
от х и у. Мы будем говорить, что многочлен q (х} у) выше, чем р (ху у),
если старший член (с ненулевым коэффициентом) в q выше, чем любой
член (с ненулевым коэффициентом) в р.
Следует отметить, что упорядочение (3) выбрано произвольно и
несимметрично относительно хну. Мы будем рассматривать ортогональные
многочлены, связанные с упорядочением (3); вообще говоря, иное упорядочение
приводит к другим системам ортогональных многочленов.
Применяя процесс ортогонализации, описанный в п. 10.1, к
последовательности (4) и к скалярному произведению, определяемому равенством (2),
получаем систему ортогональных многочленов. Мы будем записывать ее
в виде
#00» #10». #11» #20» #21» #22» #30» #31» •••» (¾
так что qnm (х, у) имеет степень п по совокупности переменных х и у и
степень т по переменному у, гс=^0, 1, 2, ..., т = 0, 1, ..., я, Свойство
ортогональности имеет вид
где bTS = 0, если г Ф s, и ЪТ5 = 1, если r = s. При этом qnm выше, чем qk
если либо п > k, либо п = k и m > L
Существует п -\-1 многочленов степени п по совокупности
переменных х и у, а именно:
#/го» #/г1» • • •> Япп'
Любой многочлен степени пу ортогональный ко всем многочленам меньшей
степени, является линейной комбинацией #л0»--»» Япп- Заметим, что такой
многочлен не обязательно является ортогональным ко всем многочленам,
которые ниже его (разумеется, «ниже» в смысле, определенном в (3)).
Для любой вещественной ортогональной постоянной матрицы (сг-у), го
есть такой, что
п
2 ciJc*J = 6^' '» £ = 0, 1, ..., л, (7)
многочлены
п
рп. (х, У) = 2 ctJqnJ (х, у), / = 0, 1, ..., п> (8)

256 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [Гл. 12
попарно ортогональны, нормированы и ортогональны ко всем многочленам
меньшей степени (но не обязательно ко всем более низким многочленам).
Обратно, любые п -j- 1 попарно ортогональных нормированных многочленов,
которые ортогональны ко всем многочленам меньшей степени, могут быть
представлены в виде (8), где коэффициенты сгу удовлетворяют
соотношениям (7). Заметим, что в pni (х} у) индекс п указывает на степень по
совокупности переменных х и у, в то время как индекс / уже не указывает на
степень по у.
Предположим, что существует аффинное преобразование
х1 = сиг + Ру, у' = ух-\-Ьу, аб —Py=1i (9)
отображающее область R на себя и оставляющее инвариантной весовую
функцию. Тогда для любого п
Рпо (•*', /), Рт (•*'. У')> • • .. Рпп (•*', у')
образуют систему, состоящую из /г -J- 1 попарно ортогональных и
нормированных многочленов, которые ортогональны ко всем многочленам меньшей
степени. Таким образом, многочлен pni (ах -f- Ру, ух-\-Ьу) может быть
получен с помощью вещественного ортогонального преобразования,
примененного к многочленам qni (х, у) и, следовательно, к pn-L (х, у). Любое
аффинное преобразование (9), оставляющее инвариантным Rum, задает
для любого п ортогональное преобразование системы многочленов
Рпо> • • ■» Рпп- Различные системы pni (для тех же самых R, w, п и а, р, у, 6)
преобразуются подобным образом. Группе аффинных преобразований (9),
сохраняющих R и w инвариантными, соответствует для каждого п группа
ортогональных преобразований. Дальнейшие детали и ссылки на работу
A. Sobczyk имеются в книге: Jackson (1937).
Если R—прямоугольник
я<*<6, c<y<rf (10)
и w (ху у) = и (х) v (у), то можно положить
где {рп} — система ортогональных многочленов, связанная с весовой
функцией и на отрезке (а} Ь) и, [qn) — система ортогональных многочленов,
связанная с весовой функцией v на отрезке (с, d).
12.3. Дальнейшие свойства ортогональных многочленов
от двух переменных
Пусть {pni (х, у)} является системой многочленов, ортонормальных
относительно весовой функции w и области R и имеющих вид 12.2 (8). Для
каждого / pni (х, у) является многочленом степени п относительно
совокупности переменных х и у, и любой многочлен степени п может быть
выражен в виде линейной комбинации многочленов pmi (х, у), 0 < / ^ т,
0<;т<«. Многие из общих свойств ортогональных многочленов одного
переменного (см. п. 10.3) имеют аналоги для случая двух переменных, хотя
соответствующие формулы становятся менее простыми.
В первую очередь докажем существование рекуррентного
соотношения, позволяющего выразить (ах -\- by) pni (х, у) в виде линейной
комбинации многочленов степеней /г —|— 1, п и п — 1. Доказательство аналогично
доказательству в 10.3 (7). Для фиксированных п, i произведение
{ах + by) рт (х, у)

12.3] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА 257
является многочленом степени /г —{-1 и, следовательно, имеет вид
/г-f-l т
(ах + by) pni (xt у) = 2 2 ymjPmj С*. )0. (1)
га=0у=0
Ym;" = J J (аХ^~ ЬУ>* Pni (*' ^ Pmj ^' У) W ^' ^ ^ rf^' (2)
R
Так как (ял: -f- бу) /?my (л:, у) является многочленом степени т-\-\, а /?ш-
ортогонально ко всем многочленам, степень которых меньше степени п,
мы получаем, что
ymj*=0, т = 0у 1, ..., л — 2. (3)
Таким образом, в разложение (1) входят лишь члены, соответствующие
значениям т = п — 1, п, п -\- 1.
По-видимому, неизвестно, какими должны быть многочлены /?„/, то есть
коэффициенты сц в 12.2 (8), чтобы полученный результат приводил к
простому рекуррентному соотношению; неизвестно также, при каких условиях
система многочленов, удовлетворяющая рекуррентному соотношению
описанного выше вида, является системой ортогональных многочленов,
соответствующих неотрицательной весовой функции (см. замечания, следующие
за 10.3 (9)).
Как и в случае одного переменного, рекуррентное соотношение можно
использовать, чтобы вывести соотношение, соответствующее формуле Кри-
стоффеля — Дарбу. Если рп-ь имеют вид 12.2 (8), то положим
п k
Кп (х, у, и, v) = 2 2 Ры (•*» У) Рм (и, *0> (4)
k=Q i=Q
1п С*. У у и> v) = Кп (•*. У'. w> о) —/Сл-1 (•*, У, и. w) —
/г
= 2 /'я' (*' У) Рт (И, W), (5)
/ = 0
А^я (•*. У, и, f. Л 5) = Ln+X (a, v, г, s) Ln (х, у, г, s) —
— Ln (и, v, г, s) Ln+l (х, у, г, s). (6)
Хотя многочлены рп-ь определены лишь с точностью до ортогонального
преобразования, многочлены (4) — (6) однозначно определяются весовой
функцией w (х} у) и областью R. «Формула Кристоффеля — Дарбу» имеет вид
[(au + bv) — (ax + by)]Kn(x> У* и> v) =
= 1) (ar + ^5) мп (•*, у, и, v, г, s) w (г, 5) dr ds. ф
R
Доказательство см. в книге: Jackson (1937).
Относительно минимальных свойств ортогональных многочленов двух
переменных см. Grobner (1948)»

258 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [Гл. 12
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
12.4. Многочлены Аппеля
Пусть Т—треугольник
х>0, у>0, х + у<1 (1)
и
t (х) = х^-1 yV -l (1-х - yf-V-V (2)
— соответствующая весовая функция Эта весовая функция интегрируема,
если имеют место неравенства
Rev>0, Re/ > 0, Rea > Re (y + y') — 1. (3)
Однако многие из формальных результатов сохраняют силу и без этого
ограничения.
Аппель (Appell, 1881) ввел многочлены
^(a,Y,y,,,,)-(l-,-y,V+v'-.^^.x
X ддх1'д"уП [JgV+m-y4-B-l(1_Jf_y)a+m+fl-v-V'], (4)
которые являются аналогами многочленов Якоби (см. 10.8 (10)). Здесь, как
и далее в этой главе, положено
(а)0 = 1, (а)л = а(а + 1).. .(а + л — 1), /г =1,2,..., (5)
_ Г(а + У)
Wv " Г (а) '
Относительно детального изучения этих многочленов и ссылок на литературу
см. Appell, Катрё de Feriel (1926, гл. VI и библиография).
Из равенства (4) видно, что ¥тп является многочленом степени т-\-п
Относительно совокупности переменных х и у. Выражение ¥тп через
гипергеометрический ряд Аппеля F2 дано в 5.13 (1).
Используя область (1) и весовую функцию (2) в определении
скалярного произведения 12.1 (1), получаем, что
Mm (Y')« (Р> ?тп) =
Т
Последовательное интегрирование по частям показывает, что ¥тп
ортогонально ко всем многочленам, степень которых меньше т-\- ru В частности,
(Ртп, ¥ui) = 0, m + n^k + L ' (6)

12.4] МНОГОЧЛЕНЫ АППЕЛЯ 259
С другой стороны, путем последовательного интегрирования по частям
получаем, что
Kfmn. Ski)- (y)miY)n дхтду11 X
X / S хУ+т~1УУ' +П'г (1 —х- y)a+m+n-v-v' dxdy =
_ Г(У)Г(У/)Г(а+т + /»+1-У-У/) r nmfw дта+*Лг m
~ Г(а + 2т + 2л+1) V } дхт dyn ' K)
m-{-n = k-{-1,
и так как это выражение, вообще говоря, отлично от нуля, то
многочлены <¥тп не образуют ортогональной системы. По-видимому, неизвестно
ни одной ортогональной или биортого-нальной системы многочленов,
связанных с весовой функцией (2).
Из 5.13(1), 5.11(8) и 5.9(10) можно вывести систему дифференциальных
уравнений в частных производных, одним из решений которой является
функция
(l-x-y)a-V-v'/m„(a, Y> у', х, у).
Используя обозначения
дг dz d2z d2z d2z
* дх ' * ду ' дх2' дхду ' "" ду2 '
эту систему можно записать в виде
x(l — x)r — xys -\-[у — (2y -\- у' — a — я + 1) х] р — |
— (у -{- tri) yq — (у -\- т) (у -\- у' — a — т — п) z — 0, I
У О — У) t — xys + [у' — (У + 2у' — a — т + 1) у] q —
— (y' + п) ХР — (y' + п) (У + Y' — a — т — п) z = 0.
(9)
Если a = v + Y/i то выражение весовой функции (2) упрощается и
принимает вид
t0 (х) = j^-y'"1- Re у, Re у' > 0. (10)
Для этой весовой функции Appell (1882) рассмотрел две системы
многочленов:
Лвл(У, Y', х, у) = ?тп (Y + У', Y, Y'. х, У) =
(Y)m(Y)« дхтдуп ' "
= F2(—m — n, у+т, у' + п, у, у'; х, у), (И)
Ещц (Y, Y'» *, у) = ^ (Y + Y' + ю -f л, — т, — п, y, у'; х, у), (12)

260
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[Гл. 12
(13)
где F2— ряды, определенные в 5.7(7). Из 5.9(10) можно вывести
дифференциальные уравнения в частных производных, которым удовлетворяют
функции Fmn и Етп. Они имеют вид
для Fmn:
x(l — x)r — xys+[y — (y — n + \)x]p — (y+m)yq +
-\- (т -f- п) (у -\- т) z = 0,
У (1 — У) t — xys + [Y' — (Y — m + l)y]q — (Y' + n) XP +
+ (т + п)(у' + п)г = 0,
ДЛЯ tLftift.
x(\—x)r — xys + [y — (y + Y' + n + О x] p -f
-f- myq -\- m (y -f- y' -f- m -f- /г) ,г = 0,
У (1 — У) t — xys + [у' — (y + Y' + m + 1) y] q +
-f- «л:/? -(- n (у + y' + ^ + л) * = 0.
Складывая каждую из этих пар уравнений, видим, что как Fmm так и Етп
удовлетворяют дифференциальному уравнению в частных производных
^(l-^)r-2^y5 + y(l-y)^+[Y-(Y + Y, + l)^]^ +
+ W - (Y + Y' + 1) У] д + (m + n)(y + yf + т + п) г = 0. (15)
Это дифференциальное уравнение можно использовать для того, чтобы
доказать, что интеграл
\
(14)
J Jху V' lFmn{y, У', х, у)Еы(у, у', х, y)dxdy
(16)
обращается в нуль, за исключением случая, когда т = k и п — /. Это
показывает, что две системы многочленов (11) и (12) образуют биорто-
гональную систему в области (1) относительно весовой функции (10).
Формула
xy V lFmn (Y. Y', x, у) Еш (y, y', x, y) dx dy =
m\n\(m + n)\Y(y)Y (yr)
y + y' + 2m + 2n (y)« (/)л Г (Y + Y/ + ^ + «)
<*W fi/il
(17)
доказана в книге: Appell, Кагарё de Feriet (1926, стр. 110, 111). Ее можно
использовать, чтобы вычислить коэффициенты в разложении любой функции
в ряд по системе Fmn или в ряд по системе Етп. Двумя примерами таких
разложений являются
(к + 1)Цу+т)ь(У' + п)г
Fmn (У* Y', х, у) = 2^
k + l = m + n
оо оо
AI/!<Y + Y' + *-h')*+i
£« (Y, Y'. *. У). (18)
0 - х - у)*-1 =. ^ Ц (-l)m+"(Y + Y' + 2m + 2n)X
m = 0 л = 0
(1 - *)m m (Y)m (Y')« Г M Г (Y + Y' + m + n)
X
m\ n\ (rn-fn)! Г (y + Y' +Л+ от + и)
- £m„ (y, Y'. *■ У) (19)

12.5]
МНОГОЧЛЕНЫ V
261
(Appell, Kampe de Feriet, 1926, стр. 112, 113). В формуле (18) суммирование
распространено на все неотрицательные целые k и /, для которых
k -j- I = т -\- п.
Относительно случая у = у' = 1, а = 2, когда весовая функция постоянна,
см. Grobner (1948, п. 5).
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НА КРУГЕ И ШАРЕ
12.5. Многочлены V
В этом и следующих пунктах мы будем использовать обозначения,
аналогичные обозначениям гл. 11. Через
5 = {хь ..., хп) (1)
будем обозначать вектор с (вещественными) компонентами хъ..., хп в
n-мерном (вещественном) пространстве, и через
\\l\\ = r=Yx\+...+xl (2)
— длину этого вектора. Двум векторам
а = (alf ..., ап)у j = (хь ..., хп) (3)
сопоставим скалярное произведение
(a, J) = аххх + ... + апхп (4)
и угол 0, где
(а, j)
cos В =
II а || || 51|
(Скалярное произведение (4) двух векторов следует огличагь от скалярного
произведения двух функций, встречающегося в 12.4 (17), 12.6 (4) и
аналогичных соотношениях.) Через S мы будем обозначать единичный шар || % || < 1
в нашем пространстве, а через dx—элемент объема Таким образом,
ff(t)dx
s
является сокращенным обозначением для
1..,1 j \Х\Л . . ., -Xfi) иХ\ . . . ClXft.
xl+...+x2n<l
Будем рассматривать ортогональные многочлены в области S
относительно весовой функции
(1-гУ'-т=(1-4-...-*$'-т. (5)
При п = 2 область является кругом на плоскости, при п = 3 — шаром
в трехмерном пространстве и при п > 3 — гипершаром.
Многочлены
Vm ($) = Vniv т2, ,.., т \х\> х* •••' хп) (^)

262 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [Гл. 12
определяются с помощью производящей функции
[1—2(а, 5) + 1^11^-^+-^ = 2^1 ...^Х,^,..., ^(^1^--^ ^)-
(7)
В этой сумме, как и в аналогичных суммах, суммирование ведется по всем
неотрицательным целым значениям ть ..., тп. Очевидно, что Vsm(i)
является многочленом степени т/г от х& причем этот многочлен четный или
нечетный по х^ в зависимости от того, четно или нечетно mk\ при этом
т = /Wj -[-••• + тп (8)
является степенью многочлена Vsm (х).
При п = 1 сравнение с формулой (7) и 10.9 (29) показывает, что
S
Vsm(x) = cl(x), л = 1. (9)
При п = 2 и 5 = 0, 2 многочлены (6) были введены Эрмитом (Hermit, 1865,
1865а), а при любом п — Дидоном (Didon, 1868). Эти многочлены и
связанные с ними вопросы весьма детально изучены во второй части книги: Appell
Kampe de Feriet (1926), где содержится также подробная библиография.
Дополнительные ссылки даны в библиографии к этой главе, см. Angelescu,
Appell, Brinkman и Zernike, Caccioppoli, Chen, Dinghas, Erdelyi, Koschmieder,
Орлов, Schmeidler.
Разлагая производящую функцию (7) по степеням аи ,.,, ат, получаем
явное выражение
ln-\-s — \\ 2 ххх ... хпп
Vmv ...,тп 0*1' ----^) = ( 2 )т тх\...тп\ Х
\/f /__^ — Шл \ — тх \ — тп n + s—3. 1 1
В
" 2
п
(10)
где
Fв («г . •. i «л. Рр • • •. Рл» YI ^!i • • • i 2п)
-s
\Щ)т\ • • • \®п)тп (Pi)mi • • • \Vn)mn т^ т
^Н ... тпНУ)т1+...^пп Zl '"*п
является одним из гипергеометрических рядов Лауричеллы от п переменных
(Appell, Kampe de Feriet, 1926, гл. VII). Существуют также представления Vsm
через гипергеометрические ряды по возрастающим степеням х^ (иногда
по убывающим степеням). Эти представления имеют различный вид в
зависимости от четности т^ (см. также 10.9 (21) и 10.9 (22)).
Если положить в (7) a^=^tbfl и сравнить коэффициенты при im в обеих
частях, то получим соотношение
im т г1~*~ \ (Ь'^1- V Ьт* Ьт'гУ* (х, х\ (Y)\
т. \ .,.+тп-т

12.5]
МНОГОЧЛЕНЫ V
263
С помощью явной формулы можно проверить, что многочлен,
определяемый равенством (10), удовлетворяет следующей гипергеометрической
системе дифференциальных уравнений в частных производных:
д I dV
dxi \ дх
х
п
(m + n + s-l)V+^
xk
дхъ
k = i
} +
+ (my + l)
п
(m + n + s-\)V+^xk
dV
дх
k = i
k
= 0, У= 1 л, (13)
где т — степень, определяемая формулой (8) Складывая эти п уравнений,
мы видим, что все многочлены степени т удовлетворяют
дифференциальному уравнению в частных производных
YH д \ dV
; = 1 '
X
J
ft
(s-l)V + 2
xk
dV
n\
дх
k = \
k
> = 0.
(14)
Существует замечательное символическое представление наших
многочленов
'л + s—Г
)1П
Vs (г) =
т
т1\ ... тп\
,,,(:
+ ч-^)№...^"). 05)
где q/7! — обобщенный гипергеометрический ряд (см. 4.1(1)) и
д2
д2
дх2, дх2
(16)
п
— оператор Лапласа. Это представление можно вывести с помощью связи
между многочленами Vs и гиперсферическими гармониками (см. п. 11.8),
Эту же связь можно использовать для того, чтобы доказать, что интеграл
(s-l)
(1-г2) 2 Vsm{s)Vsml(s)dx (17)
s
/
обращается в нуль, если т Ф т'} а также если т = th' и некоторые из
разностей mt— mi являются нечетными числами. Так как этот интеграл не
обращается в нуль, если т = т' и все разности mi — т1 четные, то функ*
ции Vs не образуют ортогональной системы многочленов.
Формула, соответствующая формуле Родрига (равенство 10.9 (11) ),
имеет вид
m^... л»л!(1-г3) 2 Vsmi Лй(дг, *„)=*
n + s-l
дт —2—
(-Dm— —V-r>) 2 . (18)
*Г« • • • *£«

264 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [Гл. 12
где в правой части
yt = г^-^=> /=1,...,п, (19)
/1 — Г2
являются независимыми переменными и
1-г*-(l+HII2)"1. (20)
Эта формула может быть выведена из производящей функции (7) путем
подстановки (19) и замены а,- на щ ]' 1 — г2.
Производящая функция лежит также в основе вывода соотношения
Vrn»m1!...i»„ir(|-)vJl(i)=/'»(« + s-l)mr(-^-)
X
X
4-1
*"•...*"» (1 - г*)2 ~ [n\\ + i(hb)rm-"-s+1dx. (21)
Относительно других интегралов см. Dinghas (1950).
Рекуррентные соотношения, формулы дифференцирования и аналогичные
соотношения также вытекают из производящей функции; они собраны
в книге: Appell, Kampe de Feriet (1926, п. LXXVI).
12.6. Многочлены U
Вторая система многочленов
Umto = Usmi тп(Х[у...уХп) (1)
определяется с помощью производящей функции
S
(к j)-i]2+imi2o -ш2)Гт=;2«Г' ■■■"п"^ «„о*!.•••. хп\ (2)
При п=\ мы имеем
S
Кг (*) = Cl (*)• П = 1- (3)
При п — 2, 5 = 1, 2 эти многочлены были введены Эрмитом; для
произвольного п см. литературу, указанную в п. 12.5.
Наиболее важным свойством этих многочленов является то, что они
образуют систему, биортогональную к системе Vsn> Интеграл
^{\-r2){S~mVsm{l)Usl{l)dx (4)
s
обращается в нуль, за исключением случая, когда т{ — lh ..., tnn — ln и
s
21^ rbfl) (s)m g)
2m -f n + 5 — 1 Г [(л +5— 1)/2] /^1 ... m„! "

12.6]
МНОГОЧЛЕНЫ U
265
Это свойство биортогональности может быть доказано путем использования
производящей функции (см. соответствующее доказательство для
многочленов Эрмита в п. 12.9). Обратно, Кампе де Ферье (Kampe de Feriet, 1915)
постулировал биортогональное свойство и вывел отсюда производящую
функцию.
Теория многочленов U напоминает теорию многочленов V, и мы
ограничимся лишь перечислением относящихся сюда формул.
Явное выражение
U
га, га„ (л1. ' • •» хп)
(s)m*
га
га-М
. X
т
п
п
V
т{\ ... тп\
X
XF
в
п
, . . . , , 1 ,...)1 , J п
2 2 2 2 2
1 — г2'
, . . . ,
х
1
X
п
(6)
с соответствующими рядами по возрастающим степеням хъ
т s
\{Ь,1У + \\ЬГ(\-г>)\~с1
, хп.
(6.S)
т
V (b. J)2 + II б |2 (1 - г»)
- 2
т. итптт8
Oj ... оп Um^ t т^ (хь . .., хпу
(7)
mt -f-... -bmw = m
Многочлены Usm удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
в частных производных
п
(1 - г»)
дл:
У
J \ k = l
dU
dxk
+
n
-(s-1)
+ TTlj (1 — r2) Mt/ — 5]
J \ k = l
Xk
dU
dxk
mjU
= 0, у = 1,...,/i. (8)
Все многочлены степени /и удовлетворяют дифференциальному уравнению
в частных производных
п I Г л I
= 0,
(9)
которое получается путем сложения п уравнений (8) и идентично
соответствующему уравнению 12.5 (14) для Vsn.
Символическое представление может быть записано в виде
Usm <5) =
тх\ ... тп\ ° *
5 + 1 . __ 1
4
; —-:-(1—г2) Д2
\х\ • • • хпП)>

266
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[Гл. 12
где k-я степень (1—г2) А2 понимается как (1—r2)k А2 . Существует также
соотношение, соответствующее равенству 12.5 (17), но оно менее важно.
Аналог формулы Родрига в этом случае проще, чем в случае
многочленов V
т
)ТП
S+1
5-1
) тх\ ... тп\(\— г2) 2 U
/т
= (-1Г (s)
т1 mn(xV • • •» хп) —
т
^ т. ^ т
UX\ ... их„
(1 «^^+(5-1)/2 в (П)
Кошмидер (Koschmieder, 1925) получил выражение для Usm через част-
2
ные производные по xt„
Интегральное представление, соответствующее 12.5 (21), имеет вид
5-/2-1
Уп« тх\ ... тп\ Г (* " + {) Usm (a) = <s)m Г ( S + l
/•
(1 - г*)
X
с/
5
X [г, + «i /1 - II5 IP P ... [*„ + /*„ P-|Ull2P Лг. (12)
m
Две системы многочленов Usm и V^ связаны друг с другом. Эта связь
может быть выражена в следующих двух эквивалентных формулах:
(2 — 2т — п—s)m(r2— I)2 V
т
2 Т75
т
Уг*-\,
.— 2mln^!~S — ^ jj2-2m~n-s
U
т
т
№
(— т —
5—1
(r2-l)2 U
т
"2" rrS
т
(s).
(13)
'2-2m-n-s
т
У г2 — 1
= (*),« ^~""_"-л(£). (И)
Свойство биортогональности было установлено в (4) и (5). Из соотношения
биортогональности вытекает также следующая связь между
рассматриваемыми функциями. Определим функции R^ (j) формулой
.9-1
Эти функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в
частных производных
д \ dR ,
дх, j dxi~tXj
n
(1Я+5-1)Л-2
•«ft
+ my
ft = i
/2
ft
+
(т + 5-1)У?-2
•«ft
ft = i
dR
dxk
= 0, ,/ = 1,2,...,/2, (15)
которая может быть выведена из (8). Легко видеть, что эта система
сопряжена с системой 12.5 (13) дифференциальных уравнений в частных
производных, которой удовлетворяют функции Vsm (j).

12.7] ПРОБЛЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ И ДАЛЬНЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 267
12.7. Проблема разложения и дальнейшие исследования
Свойство биортогональности систем U и V делает вероятным
предположение, что произвольную функцию / ($) можно разложить как в ряд вида
S*mtfm(5). (1)
так и в ряд вида
2*»Os)- (2)
Из 12.6 (4) и (5) получаем выражение для коэффициентов этих разложений:
5-1
Kflm = / 0 - Г2) 2 / (J) VSm (5) dx, (3)
5-1
Om=/0-^)2 f(*)U8m{x)dx. (4)
Общие исследования этих разложений содержатся в книге: Appell:
Kampe de Feriet (1926, ч. II, гл. V). Более точные результаты были
получены позднейшими авторами.
При изучении проблемы разложения обычно предполагают, что в
формулах (1) и (2) 5 является положительным целым числом. Кошмидер
называет ряды (1) и (2) рядами Аппеля, если s!>2, рядами Дидона, если 5=1.
Он показал, что ряд Аппеля для п переменных можно свести к ряду Дидона
от п-\-s— 1 переменных. Кроме того, кратные ряды (1) и (2) сводят к
обычным рядам, группируя все члены одинаковой степени. Таким образом, ряд (1)
интерпретируют как
оо
5
2
т = 0
Lm2+ ... +т =т
v ..., ...Umv..., mn(xV '••' Хп)
ат т
(5)
аналогичную интерпретацию допускает ряд (2). Ряды с переставленными
членами можно связать с разложением Лапласа функций на единичной
гиперсфере в пространстве n-\-s-\-\ измерений; эта связь часто
используется.
Сходимость рядов (1) и (2), расположенных, как указано выше, была
изучена при п = 2, 5=1 в работах: Caccioppoli (1932) и Koschmieder (1933).
Каччиополи суммировал ряды и изучал их сходимость с помощью
сингулярного интеграла. Он доказал сходимость для функций, имеющих
непрерывные производные. Кошмидер использовал теорию интегральных
уравнений и доказал абсолютную сходимость для функций, обладающих
непрерывными вторыми производными.
Случай произвольного п и (натурального) 5 изучил Koschmieder (1934).
Используя интерпретацию (5) ряда (1) и соответствующую интерпретацию
ряда (2), Кошмидер показал, что эти ряды являются равносходящимися
с некоторыми разложениями по многочленам Гегенбауэра. Koschmieder (1934а)
также получил теорему равносходимости разложения Лапласа с рядом Фурье
как рядом сравнения.
Суммируемость по Чезаро рядов Лапласа была изучена Ченом (Chen,
1928) и Кошмидером (Koschmieder, 1929). Результаты были применены
к рядам Аппеля в работе: Koschmieder (1931).

268 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [Гл. 12
Если выполняется условие
6 > п + 5—1, (6)
а функция / (у) интегрируема в S, то ее ряд Аппеля (С, 6)-суммируется
в /($) почти всюду в 5 и во всяком случае в точках Лебега функции /
в S. Если выполняется условие
—!~2 <6</2 + 5—I, (7)
то ряд Аппеля (С, 6)-суммируем во всех точках ty таких, что
n + s—l
IIS-9II ~I/(S)I
является интегрируемой функцией от j в 5.
Следующие примеры разложения взяты из книги: Appell, Kampe de
Feriet (1926, п. LXXXVIH и XCI).
(-1Г(-*)тШ
\ г /ik-.
(а>*)k = Z ("+*+i\ ^• • • в.щ""аl|fc_mк-(s)- (8)
\ 2 }(k + m)/2
где & — натуральное число и суммирование ведется по всем значениям
ть ..., тп таким, что k—т является положительным четным числом;
exp [/ (a, $)] = 2 2 Г (""^д""1) X
/1 + 5 — 1
(9)
rfs+^-)exp(a, £)У(,_1)/2[||а||(1-г2)] =
j || а || (1 - г»)]'-1* J] ^- Л ... e W ft). (Ю)
В последних двух разложениях суммирование производится по всем
неотрицательным целым ти ..., тп.
Случай п = 2 был детально изучен (см. Appell, Катрё de Feriet, 1926,
ч. II, гл. VII и работы, упомянутые в п. 12.5—12.7 этой главы). Другой
подход к ортогональным многочленам в шаровых областях был использован
в работах: Brinkman, Zernike (1935) и Grobner (1948). Многочлены,
связанные с дифференциальным уравнением в частных производных AqF = 0
в шаровой области, были изучены Ciulotto (1939), который получил для
этого случая биортогональную систему. Devisme (1932) ввел многочлены,
определяемые с помощью производящих функций
(1 — Зах + 3а*у — a3)"v, [1 — Зах + 3 (а2 — Ь) у — a3]"v, (11)

12.8] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЭРМИТА 269
и использовал их для изучения дифференциального уравнения в частных
производных
д^и д^и fflu д^и
Аз" = ^ + "57" + "^~"3 дхдудг ""а (12)
Многочлены Usm, Vsm можно обобщить, использовав фиксированную
квадратичную форму ф (у), взаимную форму ф (^) и билинейную форму ф ($, g)
(см. 12.8 (6)—(8)). В этом случае производящая функция имеет вид
S
1[ф(а,£)-1]2 + ф(й)[1-ф(£)]}~Т = 2<' ...ЛК! (I), (13)
n + s-l
[1-2(а,5) + г|)(а)]_ 2 =%а™1 ... ayvs (s). (14)
*• tV ill
Эти многочлены были введены Эрмитом и изучены в работе: Angelescu (1916).
Если ф ($) = (£, j) = Ф (j), то многочлены, определяемые равенствами (13)
и (14), совпадают соответственно с Usm и Vsm.
МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
12.8. Определение многочленов Эрмита
Как и в предыдущих пунктах,
£ = (xit ..., хп) (1)
означает (вещественный) вектор,
и $ II = V4+ ■•■ +*1 (2)
длину вектора j и
(а, £) = аххх + ... + апхп (3)
скалярное произведение двух таких векторов. Через С мы будем
обозначать фиксированную положительно определенную симметричную квадратную
матрицу с вещественными элементами, то есть
С= [Cijl '. У= 1, ...» п, (4)
/2
С/у = Cji — вещественные, 2 cijxixj > О» 5 ¥= 0«
Обратная матрица будет обозначаться через С-1. Ее элементами являются
д • где
A = detq;-, /, у= 1, ..., п, (5)
определитель матрицы С и у£-7-—алгебраическое дополнение элемента с.
в А. С матрицей С связана положительно определенная квадратичная
форма
п
ф te) = (Q. j) = (5. Q) = 2 ^у-**-*/ (6)
/../=1

270
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[Гл. 12
и симметричная билинейная форма
п
Ф (£, 10 = (Сх, \)) = (5, СЦ) = 2 с*7**»
/,7 = 1
Мы имеем также взаимную форму
(7)
(8)
которая также является положительно определенной квадратичной формой,
и взаимную симметричную билинейную форму
ф(5, ?) = (С V ^) = (5, С ^).
Эти формы связаны друг с другом следующими соотношениями:
Ф (£ + « = Ф (5) + 2ф (5, 9) + Ф ОЙ,
*(5 + 9) = * (5) +2^ (г, 9) + Ф (9). >
Ф (£) = ^(00, Ф(5) = ф(С~15), J
ф(* + СГЧ) = ф(5) + 2(5| 9) + Ф (9).
Ф (5 + Сд) = ф (Й + 2 G?, 9) + Ф (Ч).
Наконец, упомянем интегральную формулу
(9)
(10)
(И)
(12)
(*
ехр
1
п
1
— "2 Ф (5) + (а> 5)
2 2
rf* = (2я) Д ехр
ф(а)
(13)
где интегрирование ведется по всему пространству, dx означает dx{ ... dxn
и а — постоянный вектор. Эта формула может быть доказана путем
применения формулы (11) и преобразования квадратичной формы ф (у -|- С~1а)
в сумму квадратов.
Введенные здесь обозначения будут использованы на всем протяжении
этого и последующих пунктов.
Многочлены Эрмита от многих переменных являются биортогональной
системой многочленов, связанной с весовой функцией
1
п
2 2
w (j) = А (2л;) ехр
Ф(5)
(14)
причем областью определения является все л-мерное пространство. Из
равенства (13) вытекает соотношение
/
w (х) dx = 1.
(15)
Эти многочлены являются, очевидно, я-мерным обобщением ортогональных
многочленов, определенных равенством 10.13(1). Они были введены Эрми-
том (Hermite, 1864) и изучены далее многими авторами. Аппель и Кампе
де Ферье (Appell, Катрё de Feriet, 1926, ч. Ill) дают детальное изложение
этой теории вплоть до 1926 года и библиографию. Дополнительные ссылки
указаны в библиографии, см. работы: Caccioppoli, Erdelyi, Feldheim, Grad,
Kosch rnieder, Mazza, Picone, Thijssen и Tortrat. Обобщение на
бесконечномерное пространство дали Cameron и Martin (1947) и Friedrichs (1951, см.,
в частности, стр. 212 и след.).

12.9]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЭРМИТА
271
Определим две системы многочленов
Gm($) = Gm., ..
тп 0*1» • • •» хпр
"«, (5) = "
т
тп (*1
J • • • >
.V
я)
(16)
с помощью производящих функций
ехр
(Са. г) — -J Ф (а)
= ехр
уфСь')— ~2 Ф (5 — а)
-s
ехр
(л, 5) — 2" Ф (а)
= ехр
_j
т{\
л 1
Л
П
тп\
Нт (5), (17)
mi!
Л
/г
Gm(5); (18)
эти производящие функции являются многомерным обобщением
производящей функции 10.13(19), Во всех суммах ть ..., тп пробегают все
неотрицательные целые числа, за исключением случая, когда явно указана
другая область суммирования. Многочлены, определяемые равенствами
(17) и (18), имеют степень mL по переменному х^ и их (полная) степень
равна
т~т{-{- ... -|- тп. (19)
Мы следовали в этих определениях книге: Appell, Kampe de Feriet (1926,
п. CXV1II). При л = 1 и ctl == 2 мы получаем многочлены чЭрмига,
определенные в п. 10.13.
Если вычислить коэффициенты при ат\ ... атп в производящих функ-
циях (17) и (18) с помощью теоремы Тейлора, то получим формулы
Нт (г) = (-!)'" ехр
Gm(C_1j) = (-!)'" ехр
1
"2 Ф (-*)
\т
J ОХх l . . . dxr^ л
л дх1 l ... ах:^ п
ехр
ехр
— уф (S)
- 2" * te)
(20)
(21)
соответствующие 10.13 (7). Кошмидер (Koschmieder, 1925) дал другое
выражение для некоторых многочленов Эрмита от двух перемен 1ых в терминах
частных производных. Либо (17) и (18), либо (20) и (21) можно
рассматривать как определение многочленов Эрмита от многих переменных.
Другие обозначения в случае квадратичных форм частного вида были
использованы Градом (Н. Grad, 1949).
12.9. Основные свойства многочленов Эрмита
Наиболее важным свойством многочленов Эрмита является свойство
биортогональности
s
w (s) О/ (г) Нт (i) dx = 6,^ ... \п,пт^. .../»„!,
(1)

272 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [Гл. 12
где w (i)—определенная формулой 12.8 (14) весовая функция, bpq
определено в п. 12.2 и
/ = 1\ -\- ... -\-1п-
Для того чтобы доказать свойство биортогональности, заметим, что в силу
12.8 (14), (17), (18) интеграл з левой части равенства (1) является
коэффициентом при
а
а« ft,
lx\ '" 1п\ тх\ '" тп\
(2)
в выражении
п
1
(2л;) 'А ' ехр
В силу 12.8 (13) выражение (3) равно
ехр
- у Ф (5) + (а. $)-^(а) + (СЬ, 5)-1ф(&)
dx. (3)
^ф(а+СБ)--1ф(а)-1ф(Ь)
(4)
и в силу 12.8 (12) это выражение имеет вид
ехр [(а, Ь)] = 2^
? (Mi)
т
гп\!
(5)
Коэффициент при (2) в ряду (5) и дает правую часть равенства (1).
Билинейная производящая функция, соответствующая формуле Ме-
лера 10.13 (22), может быть получена аналогичным образом. Для этого нужно
вычислить двумя различными способами интеграл
(я t\ ... tn)
-l
ехр
п
- 2 ("? + W?)A/ +^ ф te>—2*ф (5 ""u ~~/b) +
; = i
+ 2"ф(9) —-J ф (9 — u+ /Ь)
tfw dto, (6)
при достаточно малых положительных значениях
в первый раз используя 12.8 (13), а во второй -
12.8 (18) и непосредственно интегрируя. Полагая
tu .... tn, а именно,
используя 12.8 (17) и
Ф1 00 =
П о
Ф2 te) =
/г о
У = 1
(7)
заметим, что при достаточно малых положительных tu .,,,tn
квадратичные формы q>k (j), k = 1, 2, положительно определены. Обозначим опре-

12.9]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА многочленов эрмита
273
делитель формы (pft через Aft и взаимную квадратичную форму через ф. (j).
Мы получим тогда, что
2
г1
mil
=
• •
<*1
L п
тп\
... /
Нт
«)-'
(S)
(Д
/Л»
■A2)
(9)
-½
-
ехр
i ij), (Q + С9) -1ф2 (Cj - С«
(8)
В этой форме результат был получен Эрдейи (Erdelyi, 1938а) вместе
с соответствующим результатом относительно производящей функции для
Нщ (£) Gm (9)- Таким образом, был обобщен результат, содержащийся
в работе: Koschmieder (1938, 1938а), в которой дана явная формула при
я = 2. Билинейная производящая функция изучалась также в работах:
Tortrat (1948, 1948а).
Система дифференциальных уравнений в частных производных, которой
удовлетворяют функции Нт (j), также может быть выведена из
производящей функции. Функция в левой части равенства 12.8 (17) удовлетворяет
системе дифференциальных уравнений в частных производных
п п п
V д2р V V JUL _ л dF
2и ytJ dxt дх; ~~ Zu CMxk 2d yi) dxf < dat
/ = 1 k=l / = 1
= 0, i = 1, 2, ..., я,
где A — определитель матрицы с. и Y-,- — алгебраическое дополнение эле-
i j i j
мента Cji в Д. Разлагая по степеням #/, мы получаем следующую систему
дифференциальных уравнений в частных производных для Нт (j):
п
Ъуи
д2Н
п
dxi дх
kXk
дН
дх
J
— mi Mi = 0, i = 1, ..., п. (9)
Дифференциальное уравнение в частных производных
п
д2Н
п п
2d2dyiJ дх^дх;
/=iy=i
*k
дН
dxk
— mAH=0
(10)
может быть получено путем сложения п уравнений (9). Оно
удовлетворяется всеми многочленами рассматриваемого вида, имеющими одинаковую
степень т.
Доказательство того, что система дифференциальных уравнений в
частных производных
п
2-
d2G
п п
/=1/=1
И dxi dxj
— кХ;
dG
dxt
'-|-m/AG = 0, / = 1, ..., n,
(id
n
JAdyU dxtdx, Lk
= 1 7=1 k = l
xk~AZ—\-mkG = 0
дх
k
(12)
удовлетворяется многочленами Gm (5), проводится точно так же.

274 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [Гл. 12
Рекуррентные формулы и формулы дифференцирования также могут
быть получены из производящих функций. При п — 2 соответствующие
результаты указаны в книге: Appell, Kampe de Feriet (1926, п. СХХП).
Существует много связей между многочленами Эрмита от одного и
от многих переменных. Заменяя в формулах 12.8 (17) и (18) а на ta и
разлагая по степеням t с помощью формулы 10.13(19), получаем, что
2
Ш\ пПП
а\ 1 ап
Ш\
• •
ШпХ Итх, ..., mn(xV ••" Хп)-
т. + ... +тп = т
т
~2~
_ [ф (а)/2] ' ( Ф (а, е)
(13)
s
т\ пШП
тх\ '" тп\ mi rnn(xv '••' хп)-
т1 + ... + тп = т
т
~2~
№ВД //J <*iL). (14)
ml \У2Ц>(а) )'
Относительно других связей между многочленами Эрмита от одного и
от многих переменных см. книгу: Appell, Kampe de Feriet и работы Фельд-
гейма (Feldheim), указанные в библиографии. Заметим, что обозначения
Фельдгейма отличаются от наших обозначений.
Теорема сложения для многочленов Эрмита от двух переменных была
получена в работе: Koschmieder (1930а).
12.10. Дальнейшие исследования
Путем сравнения производящих функций легко показать, что
многочлены Эрмита от многих переменных являются предельным случаем
многочленов, определенных равенствами 12.7 (13) и (14).
т
Ига s 2W_i=)= —! -Нт
(5). (1)
Um s" 2 V'm l-L=) = —J Gm <5). (2)
s->oo \y s J m{\ ... mn\
Для дальнейшего изучения многочленов Эрмита можно использовать
многомерное преобразование Гаусса
»1\Г Ш = Уфф J F 00 exp [- ^- Ф (I - «1 dy
(3)

12.10]
ДАЛЬНЕЙШИЕ исследования
275
(см. равенство 10.13(30), (31)). Первая из формул
т
Х]с
У\ — Х2и
п
п
П ( 2 V/ I = rmHm{is)
ft=l\/=l
(4)
(5)
(6)
может быть доказана с помощью производящей функции 12.8 (17) и
интегрального уравнения, которому удовлетворяют многочлены Эрмита. Вторая
является предельным случаем первой, а третья, которая также является
предельным случаем (А->оо) первой формулы, дает интегральное
представление многочленов Эрмита. Соответствующие формулы для Gm имеют вид
^[Gm(At))] = (i-xV om(T/TJL_
п
7 = 1
Sr\
n
Ш
L/ = i
= rmGm(/j).
(7)
(8)
(9)
Фельдгейм (Feldheim, 1942) использовал более общее определение
К И9)] =
П
1 VI
=yW„,... J ^^KS
^-^ ^у-Уу
'*У ■■/—
',7 =1
Ущ y»j )
^ (Ю)
и изучил поведение многочленов Эрмита при функциональном
преобразовании, определяемом равенством (10).
Биортогональное свойство 12.9(1) показывает, что любую функцию /($)
можно разложить в ряды по многочленам Эрмита как вида
так и вида
При этом
^ЬтНт(ъ).
тх\...тп\ат = J w(j) /(г) tfm(j) dx,
Щ! • • • тп \bm = J w ($) f (r) Gm(j) rf*.
(11)
(12)
(13)
(14)
Сходимость таких разложений была изучена в работах: Thijssen (1926, 1927)
для случая п = 2 при условии, что функция / (j) финитна (то есть
тождественно обращается в нуль вне некоторой ограниченной области) и
удовлетворяет некоторым условиям непрерывности в этой области. Задача

276
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[Гл. 12
приближения в среднем квадратичном (см. п. 10.2) была изучена Кач-
чиополи (Caccioppoli, 1932а) для функций класса L2W, то есть для таких
функций, что интеграл
1
j \ / (¢) |2 ехр — уф (j) dx
Сходится. Приближение произвольных функций в неограниченных областях
было изучено Picone (1935). Mazza (1940) также изучал многочлены Эрмита
и построил ортогональную систему. Devisme (1932) определил систему
многочленов, которая в некоторых отношениях аналогична многочленам
Эрмита. Для них производящими функциями являются
гЗ
ехр ах — а2у -\-
ас
ехр
а
ах — (а2 — Ъ)у-\--х
(15)
Многочлены, порождаемые производящими функциями (15), связаны с
некоторыми дифференциальными уравнениями в частных производных,
содержащими дифференциальный оператор 12.7(12).

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
К главе 7
AI rey J. R., 1916: Philos. Mag. 31, 520—528; 32, 7—14, 237-238
A i г е у J. R., 1935: Philos. Mag. 19, 230—235.
A i г e у J. R., 1935a: Philos. Mag. 19, 236—243.
Ai rey J. R., 1937: Philos. Mag. 24, 521-552.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
В ai ley W. N.
BanerjeeD.
В a n e r j e e D.
Banerjee D.
В a s u K., 1923:
1929: Proc. Cambridge Philos. Soc. 25, 48—49.
1929a: Proc. Cambridge Philos. Soc. 26, 82—87.
1930: Proc. London Math. Soc. (2) 30, 415-421.
1930a: Proc. London Math. Soc. (2) 30, 422—424.
1930b: J. London Math. Soc. 5, 258—265.
1930c: Proc. London Math. Soc. (2) 31, 200-208.
1932: Proc. London Math. Soc. 33, 154—159.
1935: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 6, 233—238.
1935a: Proc. London Math. Soc. (2) 40, 37—48.
1936: J. London Math. Soc. 11, 16—20.
1937: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 6, 241—248.
1938: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 9, 141-147.
P., 1935: J. Indian Math. Soc, N. S., 1, 266-268.
P., 1936: J. Indian Math. Soc, N. S., 2, 211-212.
P., 1939: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 10, 261—265.
Bull. Calcutta Math. Soc. 14, 25-30.
Bateman Harry and S. O. Rice, 1935: Proc Nat. Acad. Sci. U
Baudoux P., 1945. Acad. Roy. Belgique Bull. CI. Sci. (31), 471—478.
Baudoux P., 1945a: Acad. Roy. Belgique Bull. CI. Sci. (31), 669—681.
Baudoux P., 1946: Acad. Roy. Belgique Bull. CI. Sci. (32), 127—131.
Bell E. Т., 1926: Philos. Mag. 1, 304-312.
В e n n e t W. R., 1932: Bull. Amer. Math. Soc. 38, 843—848.
В i с к 1 e у W. G., 1943: Philos. Mag. 34, 37-49.
Bickley W. G. and J. С. P. Miller, 1945: Philos. Mag. 36, 121-133,
В i j 1 Jan, 1937: Dissertation Groningen.
В i г к h о f f G. D., 1908: Trans. Amer. Math. Soc. 9, 219—231.
Blumenthal Otto, 1912: Arch, der Math, und Phys. 19, 136—152.
В о a s R. P., 1942: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 28, 21—27.
1942a: Bull. Amer. Math. Soc. 48, 286—294.
1944: Bull. Calcutta Math. Soc. 36, 126.
1945: Bull. Calcutta Math. Soc. 37, 77.
1948: Bull. Calcutta Math. Soc. 40, 8-14.
1946: Bull. Calcutta Math. Soc. 38, 177-180.
1946a: Bull. Calcutta Math. Soc. 38, 181-184.
Bradley W.F., 1936: Proc. London Math. Soc. 31, 209-214.
В r u i j n N. G., 1948: Philos. Mag. 39, 134-140.
В r u i j n N. G., 1950: Duke Math. J. 17, 197—225.
S. A. 21. 173-179.
200-210.
Boas R.
В о s e B.
В о s e B.
В о s e B.
В о s e S.
В о s e S.
P.
N
N.
N.
K.,
K.,

278
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Buchholz Herbert, 1939: Philos. Mag. 27, 407—420.
Buchholz Herbert, 1947: Z. angew. Math. Mech. 25/27, 245-252.
В u d d e n R. F., 1926: Proc. London Math. Soc. 24, 471—478.
Burchnall J. L., 1951: Canadian J. Math. 3, 62—68.
Burn ett В. H., 1929: Proc. Cambridge Phil. Soc. 26, 145-151.
Busb ridge I. W., 1938: Proc. London Math. Soc. (2) 44, 115—129.
Car si aw H. S. and J. C. Jaeger, 1940: Proc. London Math. Soc. 46, 361—388.
С h a u n d у T. W., 1931: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 2, 144—154.
CherryT. M., 1949: J. London Math. Soc. 24, 121-130.
С h e г г у T. M„ 1949a: Proc. London Math. Soc. 51, 14—45.
CherryT. M., 1950: Trans. Amer. Math. Soc. 86, 224—257.
Cooke R. G., 1925: Proc. London Math. Soc. 24, 381—420.
Cooke R. G., 1927: Proc. London Math. Soc. 27, 171—192.
Cooke R. G., 1928: Proc. London Math. Soc. 28, 207—241.
Cooke R. G., 1929: J. London Math. Soc. 4, 18—21.
Cooke R. G., 1930: J. London Math. Soc. 5, 54—58.
Cooke R. G., 1930a: J. London Math. Soc. 5, 58—61.
С о о к е R G., 1930b: Proc. London Math. Soc. 30, 144—164.
Cooke R. G., 1932: J. London Math. Soc. 7, 281—283.
Cooke R. G., 1936: Proc. London Math. Soc. 41, 176—190.
Cooke R. G., 1937: J. London Math. Soc. 12, 180—185.
С о p s о n E. Т., 1932: Proc. London Math. Soc. (2) 33, 145—153.
С о p s о n E. Т., 1933: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 4, 134—139.
С о p s о n E. Т., 1935: Functions of a complex variable, Oxford
С op son E. T. and W. L. F e r r a r, 1937: Proc. Edinburgh Math. Soc. 5, 160—168.
С о r p u t Van der, J. G., 1934: Compositio Math. 1, 15—38.
С о r p u t Van der, J. G., 1936: Compositio Math. 3, 328—372.
Costello J. C, 1936: Philos. Mag. 2, 308-318.
Coulomb M. J., 1936: Bull. Sci. Math. 60, 297—302.
С r urn M. M., 1940: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 11, 49-52.
D a 1 z e 11 D. P., 1945: J. London Math. Soc. 20, 213-218.
D a v i s H. Т., 1924: Amer. J. Math. 46, 95-109.
Debye Peter, 1909: Math. Ann. 67, 535—558.
Dixon A. L. and W. L. F e r r a r, 1930: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 1, 122—145.
Dixon A. L. and W. L. F e r r a r, 1930a: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 1, 236—238.
DixonA. L. and W. L. F e r r a r, 1933: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 4, 193-208; 297-304.
Dixon A. L. and W. L. F e r r a r, 1935: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 6, 166—174.
Dixon A. L. and W. L. F e r r a r, 1937: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 8. 66—74.
Doetsch Gustav, 1935: Compositio Math. 1, 85—87.
Doetsch Gustav, 1937: Theorie und Anwendung der Laplace Transformation,
J. Springer, Berlin.
Dougall John, 1919: Proc. Edinburgh Math. Soc. 37, 33—47.
E m d e Fritz and Rudolf Ruhle, 1934- Jber. Deutsch. Verein 43.
E m d e Fritz, 1937: Z. angew. Math. Mech. 17, 324-346.
Emde Fritz, 1939: Z. angew. Math. Mech. 19, 101—118.
Erdelyi Arthur, 1937: Compositio Math. 4, 406—423.
Erdelyi Arthur, 1939: Proc. Edinburgh Math. Soc. 6, 94—104.
Erdelyi Arthur and W. O. Kermack, 1945: Proc. Cambridge Philos. Soc. 41»
74-75.
Falkenberg Hans, 1932: Math. Z. 35, 457—463.
Falkenberg Hans and Ernst H i 1 b, 1916: Goettingener Nachrichten, p. 190—196.
FerrarW.L, 1937: Compositio Math. 4, 394—405.
F о r s у t h A. R., 1921: Messenger of Math. 50, 129—149.
Fox Cyril. 1926: Proc. London Math. Soc. 24, 479—493.
Fox Cyril, 1927: Proc. London Math. Soc. 26, 35—87, 201—210.
Fox Cyril, 1929: Proc. Cambridge Philos. Soc. 25, 130, 13L

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
279
Gatteschi L., 1950: Revista di Mathematica della Universita di Parma 1, 347—362.
Greenwood R. E., 1941: Ann. of Math. 42, 778—805.
GuptaH.C, 1943- Proc. Nat. Acad. Sci. India, Sect. A, 13, 225—231.
Gupta H. C, 1943a- Proc. Benares Math. Soc. 5, 1—16.
Gupta H. C, 1943b: Bull. Calcutta Math. Soc. 35, 7—11.
Hardy G. H., 1921: Messenger of Math, 50, 165-171.
Hardy G. H., 1925: Proc. London Math. Soc. 23, IX.
HardyG. H, 1926: Messenger of Math. 55, 140—144.
Hardy-G. H., 1927: Messenger of Math. 56, 186—192.
Hardy G. H., 1927a: Messenger of Math. 57, 113—120.
Hardy G. H. and E. С. T i t с h m a r s h, 1933: Proc. London Math. Soc. 35, 116—155.
H i 1 b Ernst, 1922. Math. Z. 15, 274-279.
H i 1 1 e E i n a r and Gabor Szego, 1943: Bull. Amer. Math. Soc. 49, 605—610.
Hillmann Abraham, 1949: Bull. Amer. Math. Soc. 55, 198—200.
Horn Jakob, 1899: Math. Ann. 52, 271—292.
H or ton C. W., 1950: J. Math. Physics 29, 31—37.
Infield L., Smith V. G. and W. Z. С h i e n, 1947: J. of Math, and Phys. 26, 22—28.
Jeffreys Harold, 1925: Proc. London Math. Soc 23, 428—436.
Jesmanowicz L., 1938: С R. Soc. Sci. Varsovie 31, 43—59.
Jordan Henri, 1930: J. reine angew. Math. 162, 17—59.
К i n g L. V., 1935: Proc. Roy. Soc. A, 153, 1—16.
King L. V., 1936: Philos. Mag. (7) 21, 118-144.
К i s h о r e Raj, 1929. Bull. Calcutta Math. Soc. 21, 187—190.
Klein Felix 1933: Vorlesungen uber die hypergeometrische Funktion, J. R. Sprin*
ger, Berlin.
Kline Morris, 1948: J. Math. Phys. 27, 37-48.
Kline Morris, 1950: Proc. Amer. Math. Soc. 1, 543—552.
Kober Hermann, 1935: Math. Z. 39, 609—624.
Kober Hermann, 1937. Quart. J. Math. Oxford, Ser. 8, 186—199.
Korn Arthur, 1931: S. B. Preuss. Akad. Wissensch., Phys. Math. Kl., H. 22/23,
437-449.
К о s h 1 i а к о v N. S., 1926: Messenger of Math. 55, 152—160.
Krall H. L. and O. F r i n k, 1949: Trans. Amer. Math. Soc. 65, 100—115.
Lambe С G., 1931; J. London Math. Soc. 6, 257—259.
L an ger R. E., 1931: Trans. Amer. Math. Soc. 33, 23—64.
L a n g e r R. E., 1932: Trans. Amer. Math. Soc. 34, 447—480.
L a n g e r R E., 1934: Bull. Amer. Math. Soc. 40, 545—582.
Lehmer D. H., 1944: Math, tables and other aids to computation 1, 133—134.
LenseJosef, 1933: Jber. Deutsch. Math. Verein 43, 146—153.
Luke Y. L., 1950- J. Math. Physics 29, 27—30.
McLachlan N. W., 1934: Bessel functions for engineers, Oxford.
McLachlan N. W. and A. L. Meyers, 1936: Philos. Mag. 21, 425—436, 437—448.
McLachlan N. W. and A. L. Meyers, 1937: Philos. Mag. 23, 762—774.
McLachlan N. W., 1938: Philos. Mag. 26, 394—408, 457-473.
MacRobert Т. M., 1930: Proc. Edinburgh Math. Soc, Ser. II, 1, 28.
MacRobert Т. M., 1931: Proc. Roy. Soc. Edinburgh 51, 116—126.
MacRobert T. M., 1936: Philos. Mag. 21, 697—703.
M а с R о b e r t Т. M., 1937: Proc. Roy. Soc. Edinburgh 57, 19—25.
MacRobert T. M., 1940: Quart. J. Math. Oxford, Ser. II, 95—99.
MacRobert Т. M., 1947: Functions of a complex variable, Macmillan & Co., Ltd.,
London.
Magnus Wilhelm and Fritz Oberhettinger, 1948: Formeln und Satze fiir
die speziellen Funktionen der mathematischen Physik, second edition, Springer,
M а у г K-, 1932. Akad. Wiss. Wien. S. B. 141, 227-265.
M а у г К-, 1933: Akad. Wiss. Wien. S. B. 142, 1—17.
M а у r K.t 1935: Akad. Wiss. Wien. S. B. 144, 277-292,

280
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Mcdonald J. Н., 1926: Trans. Amer. Math. Soc. 28, 384—390.
M e i j e г С S., 1932 Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 35, 656—667, 852—866, 948—958,
1079-1096.
MeijerC. S„ 1933. Math. Ann. 108, 321.
M e i j e г С. S., 1933a: Dissertation, Groningen.
M e i j e г С. S., 1934- Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 37, 805-812.
Me i j er C. S.. 1935: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 6, 241-248, 528—535.
Meijer C. S., 1935a: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 38, 628—634, 744—749
M e i j e г С. S., 1935b: Proc. London Math. Soc. 40, 1—22.
M e i j e r C. S., 1936: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 39, 394—403, 519-527.
MeijerC. S., 1936a: Math. Ann. 112, 469—489.
Meijer C. S., 1938: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 41, 151-154.
Meijer C. S., 1939: Compositio Math. 6, 348—367.
Meijer C. S., 1939a: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 42, 355—369, 872—879, 938-947.
Meijer C. S., 1940: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 43, 198—210, 366—378, 599—608,
702—711.
Meixner Josef, 1949: Math. Nach. 3, 9-13.
Mitra Subodchandra, 1925: Bull. Calcutta Math. Soc. 15, 83—85.
Mitra Subodchandra, 1933: Bull. Calcutta Math. Soc. 25, 81—98.
Mitra Subodchandra, 1936. Math. Z. 41, 680—685.
Mohan Brij, 1942: Bull. Calcutta Math Soc. 34, 55-59, 171-175.
Mohan Brij, 1942a: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 13, 40-47.
Mohan Brij, 1942b1 Proc. Nat. Acad. Sci India 12, 231—235.
Mont roll E. W., 1946: J. Math. Physics 25, 37-49.
M о о г e С. N.. 1920: Trans. Amer. Math. Soc. 21, 107—156.
Moore C. N.. 1926: Trans. Amer. Math. Soc. 12, 181—206.
Moore С N.. 1930: Trans. Amer. Math. Soc. 32, 408—416.
M о r d e 1 1 L. J., 1930: J. London Math. Soc. 5, 203—208.
Miiller R., 1940 Z. angew. Math. Mech. 20, 61—62.
NewsonC V. and A. F r a n k, 1940: Bull. Mat. 13, 11-14.
Nicholson J. W., 1920: Quart. J. Math. 48, 321—329.
Nicholson J. W„ 1924: Philos. Trans. Roy. Soc. A, 224, 303-369.
Nicholson J. W., 1927: Quart. J. Math. 50, 297—314.
Nielsen Niels, 1904: Die Zylinderfunktionen und ihre Anwendungen, Leipzig,
B. G. Teubner.
Obreschkoff Nikolai, 1929: Jber. Deutsch Math. Verein 38, 156—161.
О 1 ve r F. W. J., 1950: Proc. Cambridge Philos. Soc. 46, 570—580.
Pennel W. O., 1932: Bull. Amer. Math. Soc. 38, 115-122.
Picht Johannes, 1949: Z. angew. Math. Mech. 29, 155—157.
Pol Balthasar van der and K. F. N i e s s e n, 1932: Philos. Mag. 13, 537—572.
Polya Georg, 1926: J. London Math. Soc. 1, 98—99.
Polya Georg, 1929: Jber. Deutsch. Math. Verein 38, 161 — 168.
Poole E C, 1934: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 5, 186-194.
R а у 1 e i g h J. W., 1945: The theory of sound, Dover, New York.
Ramanujan Srinivasa, 1920: Quart. J. Math. 48, 294—310.
Ramanujan Srinivasa, 1927: Collected papers, Cambridge.
Rice S. О , 1935. Quart. J. Math. Oxford, Ser. 6, 52—64.
Rice S. O., 1944: Philos. Mag. 35, 686—693.
Rosen Joseph, 1939: Tohoku Math. J. 45, 230—238.
Rutgers J. G., 1931: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 34, 148—159, 239—256, 427—437.
Rutgers J. G., 1941: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 44, 464—474, 636-647, 744-753,
840-851, 978-988, 1092-1098.
Rutgers J. G., 1942: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 45, 929—936, 987—993.
Schlesinger Ludwig, 1907: Math. Ann. 63, 277—300.
Schobe Waldemar, 1948: Arch. Math. 1, 230—232.
Shabde N. G., 1935: Bull. Calcutta Math. Soc. 27, 165—170.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
281
S h a b d е N. G., 1938- Bull. Calcutta Math. Soc. 30, 29, 30.
S h a b d e N. G., 1939: Proc. Benares Math. Soc. 1, 55—59.
S h a s t г i N. A , 1938: Philos. Mag. 25, 930-950.
Siegel С L., 1929: Abh. Preuss. Akad. Wiss., Nr. 1.
S i n h a S., 1942—43: Bull. Calcutta Math. Soc. 34, 35, 37—42. 67—77.
Sircar H„ 1945: Bull. Calcutta Math. Soc. 37, 1—4.
Sommerfeld Arnold, 1943: Ann. Phys. 42, 389—420.
Stevenson Georg, 1928: Amer. J. Math. 50, 569—590.
Stone M. H., 1927: Ann. Math. (2) 28, 271—290.
Straubel Rudolph, 1941: Ing. Arch. 12, 325—336.
Straubel Rudolph, 1942: Ing. Arch. 13, 14—20.
S z a s z Otto, 1950: Proc. Amer. Math. Soc. 1, 256—267.
Szego Gabor, 1933: Proc. London Math Soc. 36, 427.
Szymanski Piotr, 1935: Proc. London Math. Soc. 40, 71—82.
Temple G., 1927: Proc. London Math. Soc. 26, 518-530.
T h i e 1 m a n n H. P., 1929: Proc. U. S. A. Acad. 15, 731—733.
T h i e 1 m a n n H. P., 1934: Bull. Amer. Math. Soc. 40, 695—698.
T i t с h m a r s h L. C, 1923: Proc. London Math. Soc. 22, 15—28.
T i t с h m а г s h E. C, 1923a: Proc. London Math. Soc. 22, xiii—xvi.
Titchmarsh E. C, 1925: Proc. London Math. Soc. 23, xii.
T i t с h m а г s h E. C, 1927: J. London Math. Soc 2, 97—99.
Titchmarsh E. C, 1948: Introduction to the theory of Fourier integrals, Oxford.
Tranter C. J., 1951: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 2, 60-66.
Tricomi Francesco, 1935: Rend. Lincei (6) 22, 564—576.
Tricomi Francesco, 1949: Atti Accad. Sci. Torino, CI. Sci. Fis. Mat. Nat., 83,
3-20.
T г u e s d e 11 С A., 1947: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 33, 82—93.
T г u e s d e 1 1 c. A., 1948: A unified theory of special functions, Princeton University
Press, Princeton, N. J.
V а г m a D. S., 1936: Proc. London Math. Soc. 42, 9—17.
V а г m a D. S., 1936a: Bull. Calcutta Math. Soc. 28, 209—211.
Veen S. C, 1927. Math. Ann. 97, 696—710.
W a t s о n G. N , 1928: J. London Math. Soc. 3, 22-27.
Watson G N.. 1931: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 2, 298-309.
Watson G. N.. 1934: J London Math. Soc. 9, 16—22.
Watson G. N.. 1938: J. London Math. Soc. 13, 41--44.
Weinstein Alexander, 1948: Trans. Amer. Math. Soc. 63, 342—354.
Weyrich Rudolf, 1937: Die Zylinderfunktionen und ihre Anwendungen, Leipzig,
B. G. Teubner.
Widder D. V., 1941: The Laplace transform, University Press, Princeto^ N. J«
W i 1 к i n s J. E., 1948: Bull. Amer. Math. Soc. 54, 232-234.
W i 1 к i n s J. E , 1948a: Trans. Amer. Math. Soc. 64, 359—385.
W i 1 к i n s J. E., 1950: Trans. Amer. Math. Soc. 69, 55—65.
Wilkins J. E., 1950a: Amer. J. Math. 75, 187—191.
Wilson R., 1939. Proc. Edinburgh Math. Soc. 6, 17-18.
Wilton J. R., 1925: Proc. London Math. Soc. 23, VIII.
Wilton J. R., 1927: Messenger of Math. 56, 175—181.
Wilton J. R., 1928: Proc. London Math. Soc. 27, 81—104.
Wilton J. R., 1928a: J. Math. 159, 144-153.
W i s e W. H, 1935: Bull. Amer. Math. Soc. 41, 700-706.
Wright E. M., 1934: Proc. London Math. Soc. 28, 257-270.
Wright E. M., 1940: Philos. Trans. Royal Soc. (A) 238, 423—451.
Wright E. M., 1940a: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 11, 3G-48.
YoungL. C, 1941: Proc. London Math. Soc. 47, 290—308.
Young W. H., 1912: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 43, 161-177,
V о u n g W. H., 1920: Proc. London Math. Soc. 18, 163-200*

282
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Айне И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков, 1941.
В а т с о н Г., Теория бесселевых функций, т. 1, ИЛ, 1949.
Грей А., М е т ь ю з Г., Функции Бесселя и их приложения к физике и механике,
ИЛ, 1953.
Камке Е., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, «Наука», 1965.
К о н т о р о в и ч М. И., Лебедев Н. Н., 1938; Журнал экспер. и теор. физ. 8,
1192—1206.
Лебедев Н. Н., 1946: Доклады АН СССР, Н. С, 52, 655—658.
Лебедев Н. Н., 1947: Доклады АН СССР, Н. С, 58, 1007-1010.
Светлов А., 1934: Доклады АН СССР, Н. С, 2, 445—448.
Титчмарш Э., Разложения по собственным функциям, связанные с
дифференциальными уравнениями второго порядка, т. I, 19G0; т. II, ИЛ, 1961.
Уиттекер Э., Ватсон Г., Курс современного анализа, т. I, 1962; т. II, Физмат-
гиз, 1963.
Фок В., 1934: Доклады АН СССР, Н. С, 1, 99-102.
Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции, Физматгиз, 1964.
К главе 8
Ар pell Paul and М. J. Kampe de Feriet, 1926: Fonctions hypergeometriques
et hyperspheriques. Polynomes d'Hermite. Gauthier-Villars.
Au luck F. C, 1941: Proc. Nat. Inst. Sci. India 7, 133—140.
Bailey W. N., 1937: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 8, 51-53.
Buchholz Herbert, 1943: Z. angew. Math. Mech. 23, 47—58, 101 — 118.
Buchholz Herbert, 1947: Z. Physik 124, 196-218.
Buchholz Herbert, 1948: Ann. Physik (6) 2, 185—210.
Buchholz Herbert, 1949: Math. Z. 52, 355—383.
Cherry Т. M., 1949: Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 8, 50—65.
Darwin С G., 1949: Quart. J. Mech. Appl. Math. 2, 311—320.
DharS. C, 1935: J. Indian Math. Soc. (N. S.) 1, 105-108.
Erdelyi Arthur, 1936: Math. Ann. 113, 347—356.
Erdelyi Arthur, 1937: Akad. Wiss. Wien. S.-B. Ha, 146, 589-604.
Erdelyi Arthur, 1938: J. Indian Math. Soc. (N. S.) 3, 169—181.
Erdelyi Arthur, 1941: Proc. Royal Soc. Edinburgh 61, 61—70.
Humbert Pierre, 1920a: C. R. Acad. Sci. Paris 170, 564.
Humbert Pierre, 1920b: C. R. Acad. Sci. Paris 170, 832.
Humbert Pierre, 1920c: C. R. Acad. Sci. Paris 170, 1482.
Humbert Pierre, 1920d: C. R. Acad. Sci. Paris 171, 428.
L a n g e r R. E., 1932: Trans. Amer. Math. Soc. 34, 447—480.
Magnus Wilhelm, 1940: Jber. Deutsch. Math. Verein 50, 140—161.
Magnus Wilhelm, 1941: Z. Physik 118, 343—356.
MeijerC. S„ 1934: N. Archiv. V. Wiskunde (2) 18, 35—57.
Meijer С S., 1935a: Proc. Kon. Akad. Wetensch. Amsterdam 38, 528—535
Meij er C. S., 1935b: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 6, 241-248.
Meijer С S., 1937a: Kon. Akad. Wetensch. Amsterdam 40, 259—262.
Meljef С S„ 1937b: Kon. Akad. Wetensch. Amsterdam 40, 871—879.
Meijer C. S., 1938: Kon. Akad. Nederl. Wetensch. 41, 744—755.
Meijer C. S., 1938a: Proc. Kon. Nederl. Akad. Wetensch. Amsterdam 41, 42-44.
Meijer С S., 1941: Proc. Kon. Akad. Wetensch. Amsterdam 44, 590—598.
Meixner Joseph, 1933: Math. Z. 36, 677—707.
M i t г a S. C, 1927: Proc. Benares Math. Soc. 9, 21—23.
M i t г a S. C, 1946: Proc. Edinburgh Math. Soc. 7 (2), 171—173.
S с h w i d N., 1935: Trans. Amer. Math. Soc. 37, 339—362.
Shanker Hari, 1939: J. Indian Math. Soc. (N. S.) 3, 226—228.
Shanker Hari, 1939: J. Indian Math. Soc. (N. S.) 3, 228—230.
TaylorW.C, 1939: J. Math. Physics 18, 34-49,

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
283
Tricomi Francesco, 1947: Ann. Mat. Рига Appl. (4) 26, 283—300.
V a r m a R. S., 1927: Proc. Benares Math. Soc. 9, 31—42.
Varma R. S., 1936: Proc. London Math. Soc. (2) 42, 9-17.
Varma R. S., 1937: J. Indian Math. Soc. (N. S.) 2, 269-275.
Watson G. N., 1910: Proc. London Math. Soc. 8, 393—421.
Wells С P. and R. D. S p e n с e, 1945: J. Math. Phys. Mass. Inst. Tech. 24, 51—64.
А й н с H., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков, T94I.
Уиттекер Э., Ватсон Г., Курс современного анализа т. I, 1962; т. II, Физмат*
гиз, 1963.
К главе 9
Bateman Harry, 1946: Proc. Nat. Acad. Sci. 32, 70—72.
Bohmer Eugen, 1939: Differenzengleichungen und bestimmte Integrate, Leipzig.
В u s b r i d g e I. W., 1950: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 2, 1, 176-184.
F u г с h R., 1939 Z. Physik 112, 92—95.
H a r t r e e D. R., 1936: Manchester Memoirs 80, 85—102.
Harvard University, 1949a: Annals of the Computation Laboratory, Vols. XVIII and
XIX. Generalized sine- and cosine-integral functions. Parts I and II. Harvard
University Press, Cambridge, Mass.
Harvard University, 1949b: Annals of the Computation Laboratory, Vol. XXI. Tables of
the generalized exponential-integral functions, Harvard University Press, Cambridge,
Mass.
Kramp Christian, 1799: Analyse des Refractions, Strasbourg and Leipzig.
L e С a i n e J., 1948: National Research Council of Canada, Division of Atomic Energy,
Document No. MT-131 (NRC 1553), 45 pp.
Legendre A. M., 1811: Exercises de calcul integral, Paris.
Nielsen Niels, 1906a: Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Leipzig, 326 pp.
Nielsen Niels, 1906b: Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transcen-
denten, 106 pp., B. G. Teubner, Leipzig.
Nielsen Niels, 1906c: Monatsch. Math. Phys. 17, 47—58.
Placzek George, 1946: National Research Council of Canada, Division of Atomic
Energy, Document No. MT-1, 39 pp.
P г у m F. E., 1877: J. Math. 82, 165-172.
R о s s e r J. В., 1948. Theory and application of
z z у
\ e~x* dx and J e~p2y2dy f e~*2 dx,
0 0 0
Mapleton House, Brooklyn, New York.
Schlomilch Oskar, 1871: Z. Math. Phys. 16, 261—262.
Tannery Jules, 1882: Comptes Rendus 94, 1698—1701.
Tricomi F. G., 1950a: Boll. Un. Mat. Ital. (3) 4, 341—344.
Tricomi F. G., 1950b; Z. Math. 53, 136-148.
Tricomi F. G., 1951: Ann. Mat. Рига Appl. (4) 28, 263—289.
Tricomi F. G., 1951: J. d'Analyse Math. 1, 209-231.
Я н к e E., Э м д e Ф., Л ё ш Ф., Специальные функции, Физматгиз, 1964.
К главе 10
Achyeser N., 1934: Comm. Inst. Sci. Math. Мёс. Univ. Kharkoff (Zapiski Inst. Mat.
Mech.) (4) 9, 3-8.
Aitken A. С and H. T. G о n i n, 1935: Proc. Roy. Soc. Edinburgh 55, 114—125,
Bateman Harry, 1904: Messenger of Math. 33, 182—188.
Bateman Harry, 1905; Proc. London Math. Soc. (2) 3, 111—123,

284
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Bateman Harry, 1933: Tohoku Math. J. 37, 24—38.
Beckenbach E. F., Wladimir Seidel and Otto S z 5 s z, 1951: Duke J. 18,
1-10.
Bernstein S., 1930: Comm. Soc. Math. Kharkoff (4) 4, 79—93.
Bernstein S., 1932: Comm. Soc. Math. Kharkoff (4) 5, 59—60.
Bochner Salomon, 1929: Math. Z. 29, 730—736.
Brafman Fred, 1951: Proc. Amer. Math. Soc. 2, 942—949.
В u г с h n a 1 1 J. L., 1951: Proc. London Math. Soc. (3) 1, 232—240.
В u г с h n a 1 1 J. L., 1952: Quart. J. Math. Oxford (2) 3, 151-157.
С a t о n W. B. and E i n a r H i 1 1 e, 1945: Duke Math. J. 12, 217-242.
С h a r 1 i e г С V. L., 1931: Application de la theorie des probabilites a l'astronomie,
Gauthier-Villars.
Cooper R., 1950: Proc. Cambridge Philos. Soc. 46, 549—554.
Doetsch Gustav, 1933: Math. Ann. 109, 257—266.
Doetsch Gustav, 1935: Atti Accad. Naz. Lincei Rend., CI. Sci. Fis. Mat. Nat.
(6) 22, 300-324.
Erdelyi Arthur, 1936: Atti Accad. Naz. Lincei Rend., CI. Sci. Fis. Mat. Nat.
(6) 24, 347-350.
Erdelyi Arthur, 1937: Math. Z. 42, 641-670.
Erdelyi Arthur, 1937a: J. London Math. Soc. 12, 56—57.
Erdelyi Arthur, 1938: Akad. Wiss. Wien. S.-B. Ha, 147, 513—520.
F о r s у t h e G. E., 1951: Duke J. 18, 361-371.
Gatteschi Luigi, 1949: Boll. Un. Mat. Ital. (3), 4, 240—250.
Gatteschi Luigi, 1949a: Rend. Mat. e applicazioni Roma (5) 8, 399—411.
Giuliotto Virgili o, 1939: 1st. Lombardo Rend. 72, 37—57.
Gottlieb M. J., 1938: Amer. J. Math. 60, 453—458.
Gram J. P., 1882: J. Math. 114, 41-73.
G r e e n 1 e a f H. E. H., 1932: Ann. Math. Statistics 3, 204—255.
Greenwood R. E. and J. J. Miller, 1948: Bull. Amer. Math. Soc. 54, 765—769.
H a a r Alfred, 1918: Math. Ann. 78, 121-136.
Hahn Wolfgang, 1934: Jber. Deutsch. Math. Verein 44, 215—236.
Hahn Wolfgang, 1935: Math. Z. 39, 634—638.
Hahn Wolfgang, 1949: Math. Nachr. 2, 4—34.
Heine E m i 1, 1878—1881: Handbuch der Kugelfunktionen, second edition, Riemer,
Berlin.
H i 1 1 e E i n a r, 1939: С R. Acad. Sci. Paris 209, 714—716.
H i 11 e E i n a r, 1939a: Duke Math. J. 5, 875—936.
H i 11 e E i n a r, 1940: Trans. Amer. Math. Soc. 47, 80—94.
Jordan Charles, 1921: Proc. London Math. Soc. 20, 297—325.
Jordan Charles, 1947: Calculus of finite differences, Chelsea Publishing Co.
KrawtchoukM., 1929: С R. Acad. Sci. Paris 189, 620—622.
К r a 1 1 H. L., 1936: Bull. Amer. Math. Soc. 42, 423—428.
Lowan A. N., Norman Davids and Arthur Levenson, 1942: Bull. Amer.
Math. Soc. 48, 739—743.
Lowan A. N., Norman Davids and Arthur Levenson, 1943: Bull. Amer.
Math. Soc. 49, 939.
Madhava Rao B. S. and V. R. Thiruvenkatachar, 1949: Proc. Indian
Acad. Sci., Sect. A, 29, 391—393.
Magnus Wilhelm and Fritz Oberhettinger, 1948: Formeln und Satze
fur die speziellen Funktionen der mathematischen Physik, Springer, Berlin.
Meixner Joseph, 1934: J. London Math. Soc. 9, 6—13.
Meixner Joseph, 1938: Math. Z. 44, 531—535.
Myller-Lebedeff Wera, 1907: Math. Ann. 64, 388—416.
Neumann Richard, 1912: Die Entwicklung willkiirlicher Funktionen noch den
Hermiteschen und Laguerreschen Orthogonalfunktionen auf Grand der Theorie der
Integralgleichungen, Ureslau.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
285
Pollaczek Felix, 1949а: С. R. Acad. Sci. Paris 228, 1363—1365.
Pollaczek Felix, 1949b: C. R. Acad. Sci., Paris 228, 1553-1556.
Pollaczek Felix, 1949c: C. R. Acad. Sci. Paris 228, 1998—2000.
Pollaczek Felix, 1950a: C. R. Acad. Sci. Paris 230, 36—37.
Pollaczek Felix, 1950b. С R. Acad. Sci. Paris 230, 1563—1565.
Pollaczek Felix, 1950c: С R. Acad. Sci. Paris 230, 2254—2256.
Pollard Harry, 1946: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 32, 8—10.
Pollard Harry, 1947: Trans. Amer. Math. Soc. 62, 387—403.
Pollard Harry, 1947a: Ann. of Math. (2) 48, 358-365.
Pollard Harry, 1948: Trans. Amer. Math. Soc. 63, 355—367.
Pollard Harry, 1949: Duke Math. J. 16, 189-191.
R a u Heinz, 1950: Arch. Math. 2, 251—257.
Salzer H. E. and Ruth Z u с к e r, 1949: Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1004—1012.
Sansone Giovanni, 1949: Boll. Un. Mat. Ital. (3) 4, 221—223 and 339-341.
Sansone Giovanni, 1950: Math. Z. 53, 97—105.
Sansone Giovanni, 1950a: Math. Z. 52, 593—598.
Seidel Wladimir and Otto S z a s z, 1951: J. London Math. Soc. 26, 36—41.
Shohat J. A., Einar Hille and J. L. Walsh, 1940: A bibliography on
orthogonal polynomials, Washington.
Shohat J. A. ar d J. D. T a m a г к i n, 1943; The problem of moments, Mathematical
Surveys 1, New York.
S p e n с e r V. E., 1937: Duke Math. J. 3, 667—675.
S z a~ s z Otto, 1950: Boll. Un. Mat. Ital. (3) 5, 125-127.
S z a" s z Otto, 1950a: Proc. Amer. Math. Soc. 1, 256—267.
Szdsz Otto, 1951: J. d'Analyse Math. 1, 116-134.
Szego Gabor, 1921: Math. Z. 12, 61-94.
Szego Gabor, 1933: Proc. London Math. Soc. (2) 36, 427—450.
Szego Gabor, 1948: Bull. Amer. Math. Soc. 54, 401—405.
Szego G3bor, 1950: Boll. Un. Mat. Ital. (3) 5, 120—121.
Szego Gabor, 1950a: Proc. Amer. Math. Soc. 1, 731—737.
Todd John, 1950: Boll. Un. Mat. Ital. (3) 5, 122-125.
Toscano Letterio, 1949: Boll. Un. Mat. Ital. (3) 4, 398—409.
Tricomi Francesco, 1935: Boll. Un. Mat. Ital. 14, 213—218; 277—282.
Tricomi Francesco, 1935a: Atti Accad. Naz. Lincei Rend., CI. Sci. Fis. Mat.
Nat. (6), 21, 332-335.
Tricomi Francesco, 1936: Boll. Un. Mat. Ital. 15, 102—105.
Tricomi Francesco, 1939—40: Atti Accad. Sci. Torino, CI. Sci. Fis. Mat. Naf.,
75, 369-390.
Tricomi Francesco, 1941: Giorn. 1st. Ital. Attuari 12, 14—33.
Tricomi Francesco, 1947: Ann. Mat. Рига Appl. (4) 26, 283—300.
Tricomi Francesco, 1948: Serie Ortogonali di Funzioni, Torino.
Tricomi Francesco, 1949: Ann. Mat. Рига Appl. (4) 28, 263—289.
Tricomi Francesco, 1950: Ann. Mat. Рига Appl. (4) 31, 93—97.
U s p e n s к у J. V., 1927: Ann. of Math. (2) 28, 593-619.
Vitali Guiseppe and Giovanni Sansone, 1946: Moderna Teoria delle
Funzioni di Variabile Reale, parte secanda, Bologna.
W a t s о n G. N., 1933: J. London Math. Soc. 8, 189—192.
W a t s о n G. N., 1933a: J. London Math. Soc. 8, 194—199.
Watson G. N., 1933b: J. London Math. Soc. 8, 289—292.
Watson G. N., 1934: J. London Math. Soc. 9, 22—28.
Watson G. N., 1938: Akad. Wiss. Wien, S.-B. Ha, 147, 151-159.
Weber Maria and Arthur Erdelyi, 1952: Amer. Math. Monthly 59, 163— 1G8.
W i n g G. M i 1 t о n, 1950: Amer. J. Math. 72, 792-808.
Ахиезер H. И.Дрейн M. Г., О некоторых вопросах теории моментов, Харьков, 192*}.
В а т с о н Г., Теория бесселевых функций, т. I, ИЛ, 1949

286
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Геронимус Я., 1944: Доклады АН СССР, Н. С, 44, 355—359.
Г о б с о н Е., Теория сферических и эллипсоидальных функций, ИЛ, 1952.
Качмаж С, Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов. Физматгиз, 1958.
С е г е Г., Ортогональные многочлены, Физматгиз, 1962.
Т р и к о м и Ф., Дифференциальные уравнения, ИЛ, 1962.
Уиттекер Э., Ватсон Г., Курс современного анализа, т. I, 1962; т. II, 1963.
К главе 11
Angelescu Aurel, 1916. Sur les polynomes generalisant les polynomes de Le-
gendre et d'Hermite et sur le calcul approche des integrales multiples. These
no. 1579, Paris.
A p p e 1 1 Paul and J. Kampe de Feriet, 1926: Fonctions hypergeometriques
et hyperspheriques, Polynomes d'Hermite, Gauthier-Villars.
Birkhoff Garett and Saunders MacLane, 1947: A survey of modern
algebra, New York.
Erdelyi Arthur, 1937: Physica 4, 107-120.
Erdelyi Arthur, 1938: Math. Ann. 115, 456-465.
Funk Paul, 1916: Math. Ann. 77, 136-152.
Gegenbauer Leopold, 1877: Akad. Wiss. Wien., S.-B. Ha, 75, 891—905.
Gegenbauer Leopold, 1884: Denkschriften Akad. Wiss. Wien., Math. Naturw,
Kl., 48, 293-316.
Gegenbauer Leopold, 1888: Akad. Wiss. Wien., S.-B. Ha, 97, 259—270.
Gegenbauer Leopold, 1890: Denkschriften Akad. Wiss. Wien., Math. Naturw.
Kb, 57, 425—480.
Gegenbauer Leopold, 1891: Akad. Wiss. Wien., S.-B. Ha, 100, 225—244.
Gegenbauer Leopold, 1893: Akad. Wiss. Wien., S.-B. Ha, 102, 942—950.
Hecke Erich, 1918: Math. Ann. 78, 398-404.
H о e n 1 H., 1934: Z. Physik 89, 244-253.
Kogbetliantz Ervand, 1924: J. Math. Pures Appli., IX, Ser. 3, 107-187.
Koschmieder Lothar, 1929: Math. Ann. 101, 120-125.
Koschmieder Lothar, 1931: Math. Ann. 104, 387—402.
Magnus Wilhelm, 1949: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 16, 77—94.
Maxwell J. C, 1873, 1892: A treatise on electricity and magnetism, Vol. 1, Chapter 9,
Oxford, third edition, 1892.
Nielsen Niels, 1911: Theorie des fonctions metaspheriques, Gauthier-Villars.
Polya George and Burnett Meyer, 1950: С R. Acad. Sci. Paris 228, 28—30,
1083-1084.
P г о 11 e r M. H., 1949: Trans. Amer. Math. Soc. 63, 314-341.
Sat6 Yasuo, 1950: Bull. Earthquake Res. Inst. Tokyo 28, 1—22, 175—217.
Schmidi Adam, 1899: Z. Math. Phys. 44, 327—338.
Sommerfeld Arnold, 1943: Math. Ann. 119, 1—20.
Van der Pol Balthasar, 1936: Physica 3, 385—392.
Van der WaerdenB. L., 1932: Die gruppentheoretische Methode in der Quanten-
mechanik, Berlin.
W i d d e r D. V., 1947: Advanced calculus, New York.
Гельфанд И. M., M и н л о с Р. А. и Шапиро 3. Я-, Представления группы
вращений и группы Лоренца, их применения, Физматгиз, 1958.
К У Р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962.
К главе 12
Angelescu Aurel, 1915: С. R. Acad. Sci. Paris 161, 490—492.
Angelescu Aurel, 1915—16: Bull. Math. Soc. Roumaine Sci. 4, 30—35.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
287
(N. S.) 31,
CI. Sci. Mat. Nat.,
Angelescu Aurel, 1916: Sur des polynomes generalisant les polynomes de Le-
gendre et d'Hermite et sur le calcul approche des integrales multiples. Thesis,
Paris, 140 pp.
Appell Paul, 1881: Arch. Math. Physik (1) 66, 238—245.
A p p e 1 1 Paul, 1882: J. Math. Pures Appl. (3) 8, 173—216.
Appell Paul, 1901: Arch. Math. Physik (3) 1, 69-71.
Appell Paul, 1903: Arch. Math. Physik (3) 4, 20-21.
Appell Paul and Joseph Kampe de Feriet, 1926: Fonctions hypergeo-
metriqucs et hyperspheriques, Polynomes d'Hermite, Gauthier-Villars, Paris.
В r i n к m a n H. С and Frits Z e r n i к e, 1935: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 38,
161-170.
Caccioppoli Renato, 1932: Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 3, 163—182.
Caccioppoli Renato, 1932a: Giorn. 1st. Ital. Attuari 3, 364-375.
Cameron R. H. and W. T. Martin, 1947: Ann. of Math. 48, 385—389.
С h e n K. K. 1928: Sci. Rep. Tohoku Imp. Univ., Ser. I, 17, 1073-1086.
Devlsrae Jacques, 1932: C. R. Acad. Sci. Paris 195, 437—439, 936—938.
D idon Francois, 1868. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (1) 5, 229-310,
Dinghas Alexander, 1950: Math. Z. 53, 76—83.
Erdelyi Arthur, 1938: Math. Ann. 11, 456-465.
Erdelyi Arthur, 1938a: Math. Z. 44, 301-311.
Feldheim Ervin, 1940: Ann. Scuola Norm. Super. Pisa (2) 9, 225—252.
Feldheim Ervin, 1941: C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS
534—537.
Feldheim Ervin, 1942: Pont. Acad. Sci. Comment. 6, 1—25.
F r i e d r i с h s К- O., 1951: Comm. Pure Appl. Math. 4, 161—224.
Giulotto Virgili o, 1939: 1st. Lombardo Sci. Lett. Rend,,
72, 37—57.
Grad Harold, 1949: Comm. Pure Appl. Math. 2, 325—330.
Grobner Wolfgang, 1948: Monatsh. Math. 52, 38—54.
Hermite Charles, 1864: С R. Acad. Sci. Paris 58, 93-100, 266—273.
Hermite Charles, 1865: J. reine angew. Math. 64, 294—296.
Hermite Charles, 1865a: С R. Acad. Sci. Paris. 60, 370—377, 432, 440, 461—466,
512-518.
Jackson Dunham, 1937: Duke Math. J. 2, 423—434.
Jackson Dunham, 1938. Duke Math. J. 4, 441—454.
Jackson Dunham, 1938a: Ann. of Math. (2) 39, 262—268.
Kampe de Feriet Joseph, 1915: Sur les fonctions hyperspheriques, Thesis,
Paris, 111 pp.
Koschmieder Lothar, 1924: Math. Ann. 91, 62—81.
1925: Jber. Deutsch. Math. Verein 34, 57-64.
1926: Revista Mat. Hisp.-Amer. (2) 1, 97—107.
eder Lothar, 1929: Math. Ann. 101, 120—125.
eder Lothar, 1930: Revista Soc. Mat. Espanola (2) 5, T—14.
eder Lothar, 1930a: Revista Soc. Mat. Espanola (2) 5, 274—280.
eder Lothar, 1931: Math. Ann. 104, 387—402.
1933: Monatsh. Math. Phys. 40, 223-232.
1934: Math. Ann. 110, 734—738.
1934a: Monatsh. Math. Phys. 41, 58—63.
1938: Math. Z. 43, 248—254.
1939 a: Math. Z. 43, 783—792.
1940: Anz. Akad. Wiss. Wien.,
Ci. Argentina 130, 137—148.
some polynomials in one or
К о s с h m
К о s с h m
К о s с h m
К о s с h m
К о s с h m
К о s с h m
К о s с h m
К о s с h m
К о s с h m
К о s с h m
К о s с h m
К о s с h m
M a z z a S
eder Lothar,
eder Lothar,
eder Lothar,
eder Lothar,
eder Loth ar,
eder Lothar,
eder Lothar,
eder Lothar,
C, 1940' An. Soc.
Orloff G. A., 1881: On
St. Petersburg, 124 pp.
Or low G. A., 1881a: Nouv. Ann. (2) 40, 481-489.
Picone Mauro, 1935: Giorn, 1st. Ital. Attuari 5, 155-195,
Math.-Nat. Kl. 41-43.
several variables, Thesis.

288
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Schmeidler Werner, 1941: J. reine angew. Math. 183, 175—182.
Thij s sen W. P., 1926: Verslagen Amsterdam (2) 35 1100-1111.
Thljssen W. P., 1927: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. (1) 30, 69-80.
Tortrat Albert, 1948 C. R. Acad. Sci. Paris 226, 298—300.
Tortrat Albert, 1948a: C. R. Acad. Sci. Paris 226, 543—545, errata 758—759.
Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, ИЛ, 1947.
Гельфанд И. М., М и н л о с Р. А., Ш а п и р о 3. Я., Представления группы
вращений и группы Лоренца, Физматгиз, 1958.
Г о б с о н Е., Теория сферических и эллипсоидальных функций, ИЛ, 1952.
Зоммерфельд А., Строение атома и спектры, Гостехиздат, 1956.
Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1956.
Натансон И. П., Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949.
С о н и н Н. Я-, Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах,
Гостехиздат, 1954.

Ангелеску 269
Аппель 258
Ахиезер 216
Бейли 63, 126
Бейтмен 76, 154, 221, 248
Бернштейн 216
Бессель 9, 10, 22
Бёмер 154, 155
Бохнер 167
Бринкман 268
Бурже 72
Бухгольц 133, 135, 136, 137
Бьюил 38
Ван Вии 36
Ван дер Корпут 38
Ван дер Поль 244
Варма 128
Ватсон 38, 128
Вебб 76
Вебер 194, 221
Ганкель 24
Гегенбауэр 43, 63, 228
Гейне 216
Герглотц 225, 249
Град 271
Грёбнер 268
Гринвуд 84
Гупта 63
Гурвиц 71
Дарбу 197
Дебай 33
Девизм 268, 276
Демир 196
Дёч 190
Джексон 254
Джулиотто 211, 268
Дидон 250, 262
Диксон 63
Дхар 130
Зигель 72
Зоммерфельд 39
Кампе де Ферье 250, 265
Каптейн 76
Катон 210
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Каччиополли 267, 276
Когбетлианц 235
Коломб 72
Корн 76
Кошмидер 193, 235, 266, 267,
271, 274
Кравчук 221
Крамер 207
Крамп 152
Кролл 167
Key 196
Кук 54, 80, 81, 85, 86
Купер 208
Лагерр 188
Лагранж 9
Лангер 39, 129
Лаплас 143
Лежаидр 139, 140
Ломмель 21, 52
Макдональд 13, 64
Максвелл 244
Марков 166
Масза 276
Мейер 36, 87, 98, 126, 128, 230
Мейкснер 135, 219
Миллер 124
Митра 128
Никольсон 37, 64
Нильсен 150
Перрон 199
Пиконе 276
Пойя 230
Полачск 216—219
Поллард 209, 211
Прим 139
Пуассон 10
Рамануджан 66
Pay 210
Сансоне 199, 208
Сасе 208
Сато 250
Сеге 70, 192, 193, 208, 210,
216, 217, 222, 228
Сонин 63, 188
Стильтьес 197
Таннери 140
Тиссен 275
Титчмарш 76, 86
Тодд 208
Тортра 273
Тоска но 175, 200
Трикоми 38, 71, 142, 144, 146,
167, 179, 188, 190, 199, 200,
204
Туран 208
Уилкинс 76
Успенский 195
Фалькенберг 73
Фельдгейм 195, 274, 275
Феррари 63
Хан 167, 168, 219, 220.
Харди 85
Хартри 153
Хил б 71, 73
Хилле 210, 211
Чен 267
Чернике 268
Черри 40, 85, 129, 131, 132
Шар лье 208
Швид 129
Шенкер 130
Шёбе 38
Шлемильх 79, 140
Шмидт 248
Эйлер 10
Эйри 32
Эрдейи 128, 130, 132, 134, 190,
221, 240, 244, 273
Эр мит 250, 262, 264. 26У

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ангера функция 44
, асимптотические разложения 46
, рекуррентные соотношения 45, 46
— —, связь с функцией Вебера 45
Аппеля многочлены 258
— ряд 267
Ахиезера многочлены 216
Бассе функция 13
Бернса интегралы 30
— интегральные представления Ф, -.'ыи
Бесселя 96
Бернштейна и Сеге многочлены 216
Бесселя дифференциальное уравнение 12
— коэффициенты 14, 15, 22
, интегральные представления 92
— неравенство 160
— функции 10, 12
, аналитическое продолжение 21
.асимптотические разложения 98-103
, — формулы 37—39
, вронскианы 20, 91
второго рода 12
, нули 73
, выражение через функции Лежандра
67, 68
, выражения Гейне 29
, дифференциальные уравнения 21
. дуальные интегральные уравнения
87, 88
— —, интеграл Ганкеля 69
, — Пуассона 92, 93
, — разрывный Вебера—Шафхейтлина
61, 62
, интегралы Бернса 30
, — Гегенбауэра 63
, — Зоммерфельда 27
, — из произведений функций Бесселя
108
, — неопределенные 55
, — определенные по конечным
отрезкам 55, 57, 103—105
, — несобственные 106—112
, — по индексу 66
, — родственные интегралу Вебера—
Шафхейтлина 107, 108
, — с бесконечными пределами,
содержащие показательную функцию 58
, —, содержащие функции Струве
ИЗ
, - Сони на 56, 63
, — типа Сонина—Гегенбауэра 109, 110
, - Эйри 31
, интегральная формула Ганкеля 85
, Гейне 93
, Харди 85, 86
— —, интегральные представления Бернса
96
, — — Ганкеля 24, 25
, — - Гублера 26
— —, — — типа Пуассона 22
, функций 84—87
— —, — — через функции Лежандра 69
, Шлефли 25
, — формулы 57, 58
, Мелера—Сонина 93
модифицированные, асимптотические
разложения 32—36
, выражение через функции
Лежандра 67, 68
первого рода 13
, рекуррентные соотношения и
формулы дифференцирования 90, 91
третьего рода 13, 74
— целого порядка 17
— —, обобщение формулы Неймана 57
, обобщения интегралов Шлефли 94
, обозначения 11
первого рода 12
1 нулп 70, 71
переменного zemm 91, 92
полуцелого порядка 18
—, обозначения Зоммерфельда 18
— —, представления с помощью контурных
интегралов 23
, произведения 19
, равномерные асимптотические
разложения 39, 103
, разложение в ряд Неймана 75
, разложения типа Фурье — Бесселя
119, 120
, рекуррентные соотношения 20
, ряды 114—120
, свойство ортогональности 82
сферические 17, 89, 90
, теорема умножения 77
, теоремы сложения 53, 54, 116
— — третьего рода 12
— —, нули 73
формула Вебера—Орра 86
— Макдональда 64
,— Неймана 57
— Рамаиуджана 66
— Титчмарша 86
— удвоения 54
формулы Ватсона 102
— дифференцирования 20
— Лангера 103
— Никольсона 65, 102
целого порядка 14, 15
, частные случаи интеграла Вебера—
Шафхейтлина 106, 107
Биортогональная система 252, 254
Биортогональные системы многочленов от
двух переменных 254
Бурже гипотеза 72
Ватсона формулы 38, 102
Вебера—Орра формула 86

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
291
Вебера функция 44
, асимптотические разложения 46
, рекуррентные соотношения 45, 46
, связь с функцией Ангера 45
Вебера—Шафхейтлина разрывный
интеграл 61, 62, 106, 107
Вебера—Эрмита функция 122
Вронскианы функций Бесселя 91
Гамма-функция неполная 138
, асимптотическое представление 145
, дескриптивные свойства 146, 147
— —, интегральные представления 142
, карта рельефа 146
, нули 145, 146
, обозначения 138, 139
, определение 138, 139
, разложение в непрерывную дробь 140
, — по обратным факториалам 143
, рекуррентные формулы 139
, связь с вырожденными
гипергеометрическими функциями 138
, сходящиеся и асимптотические
разложения 140, 144
, формулы дифференцирования 140
, — интегрирования 143
•, частные случаи 147—155
Гана многочлены 220
Ганкеля интеграл 59
— интегральная формула 85
— интегральные представления функций
Бесселя 24, 25
— символ 33
— функции 69
, интегральные представления 95
модифицированные И
, интегральные представления 94, 95
, нули 73
(первая и вторая) 12
Гармонические многочлены степени п 229—
232
Гаусса многомерное преобразование 274
Гегенбауэра интегралы 63
— многочлены 116, 166, 175, 180, 228
— —, асимптотическое поведение 196
— —, гипергеометрические функции 177
, дифференциальное уравнение 176
, интеграл Гегенбауэра 179
, интегральные представления 178
, нули 202, 203
, оценки 205
, постоянные 176
, производящая функция 178
, разложение в ряд 179, 209
, рекуррентная формула 176
, стандартизация 176
, сходимость blJ 209
, теорема сложения 179, 236, 237
, формула дифференцирования 177, 179
, — Родрига 176
, четность 177
, явные выражения 177
— обобщение интеграла Пуассона 69
— теорема сложения для функций Бесселя
53
Гейне выражения функций Бесселя 29
— интегральная формула 93
— многочлены 216
Гипергеометрические многочлены 166
Гипергеометрические функции
вырожденные, выражение через неполные гамма-
функции 141
Гиперсферические полярные координаты 226
Грама определитель 158
Графа теорема сложения для функций
Бесселя 53, 54
Гублера интегральные представления
функций Бесселя 26
Гурвица теорема о нулях функции
Бесселя первого рода 71
Дидона ряд 267
Дини ряд 83
, разложение степени z 83
Дирихле ряд 84
— — обобщенный 84
Зоммерфельда интегралы 27
— обозначения функций Бесселя
полуцелого порядка 18
Интеграл вероятности 151—153
, разложения по функциям Бесселя 153
, ряд типа Нильсена 153
— Лапласа; обобщение, содержащее
функции Бесселя 87
— Мелера 183, 188
— Пуассона 92, 93
Интегралы, выражаемые через функции,
связанные с функциями Бесселя 96, 97
— Гегенбауэра 63
— Зоммерфельда 27
— по конечным отрезкам 103
—, содержащие функции Бесселя,
вычисление 57
—, параболического цилиндра 127
—t параболоида вращения 135
— Сонина 56, 63
— Френеля 154—155
— Эйлера неполные второго рода 138
— Эйри 31
Интегральная показательная функция 147,
148, 149
— формула Гейне 93
Интегральный косинус 149—151
— логарифм 147
— синус 149—151
Каптейна ряд 78
второго рода 79
, разложение степени z 78
Кели представление ортогональной
группы 248
Кельвина функции и их обобщения 14
Координаты гиперсферические полярные 226
— параболические цилиндрические 121
— параболоида вращения 121
Кравчука многочлены 220, 221—223
Крама формула, частный случай 66
Кристоффеля числа 164
Кристоффеля—Дарбу формула 162
Лагерра многочлены 188
, асимптотическое поведение 199
, бесконечные ряды 192
, выражение через конечные разности
191
, гипергеометрические функции 189
, дифференциальное уравнение 189
, интегралы Лапласа 191
, — неопределенные 191
, интегральные представления 190
, конечные суммы 192
, нули 204
— — обобщенные 166, 188
, оценки 206
— —, постоянные 188
, предельные формулы 191
, производящие функции 190

292
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лагерра многочлены разложение в ряд 210
, рекуррентная формула 189, 190
смежные 190
,стандартизация 188
, сходимость в Ьщ 210
, формула Хилле—Харди 190
, формулы дифференцирования 189
Лангера формулы 39, 103
Лапласа интеграл; обобщение, содержащее
функции Бесселя 87
— ряды 235
Лежандра многочлены 166, 179
, асимптотическая формула Хилба 198
— —, асимптотическое поведение 197
, гипергеометрические функции 181
, дифференциальное уравнение 180
, интегральные представления 183
— —, постоянные 180
, производящие функции 183
, разложение в тригонометрический
ряд 184, 198, 210
, рекуррентная формула 180
,стандартизация 180
.сходимость в Lpw 210
, теорема сложения 184
, формула равносходимости Кристоф-
феля—Дарбу 180
, — Родрига 180
, формулы дифференцирования и
интегрирования 180, 184
, частные значения 181
, четность 181
, явные выражения 181
— функции второго рода 181, 182
, интегральные представления через
функции Бесселя 68
присоединенные 242, 243
первого рода 183—184
, разложение по функциям Бесселя 70
Ломмеля многочлены 43, 44
— преобразование 21
— функции 50
, асимптотические разложения 51
двух переменных 52
, интегральные представления 51
, разложение в ряд Неймана 76
, рекуррентные соотношения 51
,частные случаи 51
Макдональда формула 64
Максвелла теория полюсов 243
Матрица единичная 226
— ортогональная 226
Мейкснера многочлены 220
Мелера интеграл 183, 188
Мелера—Сонина интегральные формулы 93
Многочлен, см. соответствующее название
Момент весовой функции 160
Наискорейшего спуска метод 33
Неймана многочлены 41, 42, 43
— ряд 74
второго ряда 76
, модифицированная форма 77
, разложение произвольной функции 76
, — степени z 77
— формула 57
- , обобщение 57
— функция 12
Никольсона формулы 37, 65, 102
Нули комбинаций произведений функций
Бесселя первого и второго рода 73
Нули модифицированных функций Бесселя
третьего рода 74
— неполной гамма-функции 145, 146
— функций Бесселя второго рода 73
первого рода 70, 71
третьего рода 73
— — Ганкеля 73
параболического цилиндра 132
Нуль-ряд 82
Ортогонализация относительно скалярного
произведения 253
Ортогональная функция на Q (£) 227
Ортогонально-инвариантная функция 226
Ортогональные многочлены в треугольнике
258
двух переменных 254, 256
— — дискретного переменного 219
классические 166
, формула дифференцирования 169
на круге 261—264, 267—269
на шаре 264—269
, рекуррентная формула 161
, упорядоченная система 255
, экстремальные свойства 163
Vsm 264-269
Vsm 261—264, 267-269
— функции 157, 253
Остаток функции Бесселя 31
Параболического цилиндра функции 122
, асимптотические разложения 129
—, выражение через
модифицированную функцию Бесселя третьего рода 125
, функцию Гаусса 125
—, интегральные представления 125
,интерполяционная формула 130
— , нули и дескриптивные свойства 132
, производящие функции 125, 132
, разложение по функциям Бесселя
130
, ряды 130
— , теорема сложения 130
, — Черри 131
Параболоида вращения функции 133—137
Парсеваля формула 160
Полачека многочлены 216—219
Полюс 244
Порядок функции Бесселя 12
Преобразование Гаусса многомерное 274
Произведение функций Бесселя 19, 111
— , представления несобственными
интегралами 64
Пуассона интеграл 92, 93
, обобщение Гегенбауэра 69
Равносходимости теорема 210
Рамануджана формула 66
Родрига формула, конечноразностный ан-
лог 220
Ряд, см. соответствующее название
Ряды по многочленам Гегенбауэра 212
Лагерра 213
Лежандра 212, 215
— Эрмита 214
Якоби 211, 215
— типа Каптейна 118
Неймана 114
— функций Бесселя 114—120
Система ортогонализованных функций
замкнутая 160
— ортогональных многочленов 158
, рекуррентная формула 161

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
293
Система ортогональных многочленов, фор*
мула Кристоффеля — Дарбу 162
функций 157
полная 160
— оргонормированных функций 157
Скалярное произведение функций 253
Скачков функция 219
Сонина интегралы 56, 63
— формула 75
Степенной ряд, преобразование в ряды
Неймана, Каптейна 77, 78
Струве функции 46, 47, 113
, асимптотические представления 48
, дифференциальное уравнение 48
, интегральная формула 57
модифицированные 47
— —, представление в виде степенного
ряда 47
, формулы дифференцирования 48
Сферическая волна, выражение через
функции параболоида вращения 135—137
Сферические гармоники 244
зональные 244
, производящая функция 241
— — секториальные 244
степени п 232—235
тессеральные 244
, формула преобразования 248
— многочлены 166, 180
— функции 66
Бесселя 17, 89, 90
Сходимость в среднем 160
— поточечная 210
Теорема о нулях ортогональных
многочленов 161
— о разложении произвольной функции в
ряд Шлемильха 80
—, см. также соответствующее название
Титчмарша формула 86
Трикоми асимптотическая формула 38
— формулы для нулей функций *Бесселя 71
Уиттекера контурный интеграл, связь с
интегралом Ганкеля 69
Ультрасферические многочлены 166, 175,
185, 228
, теорема сложения 236, 237
Упорядоченная последовательность
одночленов 255
Формула, см. соответствующее название
Френеля интегралы 154, 155
Функа—Гекке теорема 240
Функция, см. соответствующее название
Фурье—Бесселя ряд 83
, разложение степени z 83
Харди интегральная формула 85
,частные случаи 86
Хилба асимптотическая формула для
многочленов Лежандра 198
Цилиндрические волновые функции 66
Чебышева многочлены 228
, гипергеометрические функции 186
дискретного переменного 220, 221
, дифференциальные уравнения 186
, интегральные представления 187
первого и второго рода 184, 185
, постоянные 185
, производящие функции 187
, рекуррентная формула 186
, соотношение ортогональности 185
•<■- —, стандартизация 185
Чебышева многочлены, формула
Кристоффеля — Дарбу 186
— —, формулы дифференцирования 186
— —, — Родрига 186
, явные выражения 186
Черри теорема 131
Шарлье многочлены 220, 223, 224
Шафхейтлина теорема о нулях функций
Бесселя второго рода 73
Шёбе асимптотическая формула 38
Шлемильха ряд 79, 81
и родственные ему 118, 119
обобщенный 80
— —, примеры разложения функций 81
— —, разложение произвольной функции 80
Шлефли интеграл 94, 183
, обобщения 94
— интегральные представления функций
Бесселя 25
— многочлены 43
Эйлера неполные интегралы второго рода
138
Эйри интегралы 31
Экспоненциальная весовая функция,
простейшая форма 192
Эрмита многочлены 123, 166, 192, 274
, асимптотическое поведение 199, 201
, бесконечные ряды 196
, выражение через многочлены Лагер-
ра 193, 195
, гипергеометрические функции 194
, дифференциальное уравнение 193
, интегралы 195
— —, интегральные представления 194
— —, конечные суммы 196
многих переменных 270—276
, нули 204
, оценки 207
, постоянные Т93
— —, пределы 194
, преобразование Гаусса 195
— —, производящая функция 125, 194
, разложение в ряд 210
, рекуррентная формула 193
,связь с функциями параболического
цилиндра 194
, стандартизация 193
, сходимость в Ьщ 210
, теоремы сложения 196
— —, формула дифференцирования 193
, — Мелера 194
Юнга функция 51
Якоби многочлены 166, 170—173, 180, 184,
185, 258
— —, асимптотическое поведение 196
, ассоциированные с ними 173
, гипергеометрические функции 171
— —, дифференциальное уравнение 171
— —, интегральные представления 174
, нули 202, 203
, оценки 206
— —, постоянные 171
, производящая функция 174
, разложение в ряд Фурье 209
, рекуррентная формула 171
— —, стандартизация 171
, сходимость в Lw 209
, формула дифференцирования 171, 172
— —, — Родрига 171
— функции второго рода 172—174
Якоби—Анкера формула 15

УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Латинский алфавит
be! (х), ber (х) — функции Кельвина 14
bei (z), ber (-г) —обобщение функций
Кельвина 14
С (х) — интеграл Френеля 154
С (х, а) —обобщение интегралов Френеля 154
С': (л;) —многочлены Гегенбауэра (ультрасфе-
рические многочлены) 175; 228
Р_
2
С * — l(£, rj)] —сферическая гармоника 235
(if
с —моменты весовой функции 160
Cv (0 —Функция Юнга 51
Chi х — интегральный косинус мнимого
аргумента 151
Ci х— интегральный косинус
Dv(z), Dv(-z), D_v_l(iz), D_v_l(-iz)-
функции параболического цилиндра 122
det M = <Xet ц ,^- определитель матрицы М
с общим элементом ц.- 225
Ех (х) = — El (— х), Е*(х) — интегральная
показательная функция 147
Е (х) — неполные гамма-функции 139
Е (г) —функция Вебера 44
Егглг, Erfc х, Erfi х— интегралы вероятности
151
Erfc——
V2
функция Гаусса 125
х
ехр х=е —экспоненциальная функция 192
F (z) — функции, связанные с функциями
Бесселя 11
Оп — определитель Грама 158
Gm^ = Gmv т2 тп (xv ХТ •••. хп)~
многочлены Эрмита от многих
переменных 271
G (а, х), gi (а, .*■) —функции, связанные с
неполными гамма-функциями 147
Gv (z) — функции, связанные с функциями
Бесселя 11
И (х) — интеграл вероятности 151
Hm^ = Hmv т2, ..., тп{ху *2 *„)-
многочлены Эрмита многих
переменных 271
На(ху
гармонический многочлен степени п
229
Hfi (■*)> Не^ (дс) — многочлены Эрмита 123, 192
Н)у (г), Н^/ (z) — функции Бесселя третьего
рода (первая и вторая функции Ган-
келя) 12
Н (г) —функция Струве 46, 47
hel (z), her (г) —обобщение функций
Кельвина 14
/ — единичная матрица 226
/ (г), / (г) —модифицированные функции
Бесселя первого рода 13
j (a, y. Y't х> У) —многочлены Аппеля 258
J_„(z), ./(2)-функция Бесселя первого
рода целого порядка 14, 15
/ (г) —функция Бесселя первого рода 12
J (г) —функция Ангера 44
Л, ~ (г) — остаток функции Бесселя 31
К„(X) — неполные гамма-функции 139
К (z), КQ(z) — модифицированные функции
Бесселя третьего рода целого
порядка 17
К 1 (г) —функция Бесселя полуцелого по-
n+j
рядка 18
К«,(£) — модифицированная функция Бесселя
третьего рода (функция Бассе) 13
Кv{z) — модифицированная функция Ганке-
ля 11
kelv(z), ker (г) —обобщение функций Кель.
вина 14
k (а, х) — функции, связанные с неполными
гамма-функциями 147
£% (х), Л (*) = L (х) — многочлены Лагерра
/ £ fir I if
188
о
£—класс функций, для которых существует
интеграл Лебега 159
I? /?>1 —класс функций, для которых
существует и конечен интеграл Лебега 209
L (г)—модифицированная функция Струве 47
& \F (^)1 — интегралы Лапласа 191
11 („v) = El (In х) — интегральный логарифм 147
М р (± /£) —функции параболоида вра-
±*t, -у
щения 133
т (х; |3, с) —многочлены Кравчука 222
О (г) —многочлены Неймана 41, 43

УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
295
Р (х) — многочлены Лежандра (сферические
(if
многочлены) 180
Р„ (х) — присоединенные функции Лежандра
228
Р™ (cos 0) — присоединенные функции Ле-
жандра 183, 184
р(а, Р)(д.)_ многочлены Якоби 170
РКп{х; а, Ь), рЬ{х; а, Ь, с), р\{х- Ф) -
многочлены Полачека 217, 218
ip„(*)) —система ортогональных
многочленов 158
Рп^х' ^' ^' 6) —обобщение многочленов Че-
бышева дискретного переменного 221
Q„(X) = Q„ (*) — функции Лежандра вто-
рого рода 181
Qn' (■*) — функции Якоби второго рода 172
^п (^)"~MHOr04>rieHbI» ассоциированные с
многочленами Якоби 173
Rm v (z) — многочлены Ломмеля 43
r-nHn(x) = Hn(l) = Vn(Q, q>) -сферическая
гармоника степени п 232
5 rmk, ±; 1у 5Л, (£) — сферическая гармоника
235
S (х) — интеграл Френеля 154
S (х, а) —обобщение интегралов Френеля 151
S (г) —многочлены Шлефли 43
Sn (11ь) — сферическая гармоника степени п
с полюсами у). 244
Sn v{z), S^ v (2) — функции Ломмеля 50
Shi х 151
si х, Si jf —интегральный синус 149
Г (д?) —многочлены Чебышева первого рода
184
/ (#) — многочлены Чебышева дискретного
переменного 220
Uп (х) — многочлены Чебышева второго рода
185
^i(t)=r5
Um (г) ит{, т2 mft (xv S хп)~
ортогональные многочлены на шаре 264
Uv{w, -г-) —функции Ломмеля двух
переменных 52
с
У т — обобщенные ортогональные системы
на шаре 269
т ^'-' ту т2, ..., тп (xv Х2 хп)~
ортогональные многочлены на шаре 261
Vv(w, г) —функции Ломмеля двух
переменных 52
у т — обобщенные ортогональные системы
на шаре 269
W р (±i£) — функции параболоида вра-
-+• IX •——
- 1' 2
щения 133
w (х) — весовая функция 156
^л (*)» ^__л (^)-функции Бесселя второго
рода целого порядка 15—17
Vv (*)» vv (*). Yv (г)-функция Неймана 11, 12
Греческий алфавит
а (х) — интеграл вероятности 151
у {а, х), у* (а, х), Г (а, *) —неполные гамма-
функции 138, 139
*т №' ^т № — ФУ»кции, связанные с
функциями Бесселя полуцелого индекса 18
Л (г) —функция, связанная с функциями
Бесселя 11
К —числа Кристоффеля 164
(v, т) — символ Ганкеля 18
Ф {а, с; л;) —вырожденные
гипергеометрические функции 141
х¥ (а, с; х) — вырожденные
гипергеометрические функции 141
ф (г)—функции, связанные с функциями Бес-
селя полуцелого индекса 18
q (z) — многочлены Неймана 41, 43

Г. Бейтмен и А. Эрдейи
Высшие трансцендентные функции.
Функции Бесселя,
функции параболического цилиндра,
ортогональные многочлены.
(Серия: «Справочная математическая библиотека»)
М., 1966 г., 296 стр. с илл.
Редактор М. Я> Ворновицкий
Техн. редактор Л. Л. Пыжова
Корректор Т. С. Плетнева
Сдано в набор 6/1 1966 г. Подписано к печати
29/IV1966r. Бумага 60х90716. Физ. печ. л. 18,5.
Условн. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 22,51.
Тираж 14 000 экз. Цена книги 1 р. 34 к. Заказ № 20.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров
СССР. Измайловский проспект, 29.

правочная
АТЕ/ШИЧЕСКАЯ
ИБЛИОТЕКА
ВЫСШИЕ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ
ФУНКЦИИ
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
ФУНКЦИИ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
ЦИЛИНДРА
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
МНОГОЧЛЕНЫ