/
Author: Богданов И.И. Агаханов Н.Х. Кожевников П.А. Городецкий С.Е.
Tags: математика учебные пособия и учебники по математике задачи по математике вступительные экзамены математические олимпиады
ISBN: 978-5-89155-327-9
Year: 2020
Text
МФТИ л СТАРШЕКЛАССНИКАМ
ФИЗТЕХОВСКАЯ
МАТЕМАТИКА
для абитуриентов
J_J Ы . - 1 1 1 1 I I ! 1 !__! LLL
Задачи вступительных экзаменов п МФТИ
и олимпиады «Физтех»
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЗАДАЧИ
1 Системы алгебраических уравнений 5
2.Системы алгебраических неравенств .....20
з! Алгебраические уравнения 21
4. Алгебраические неравенства 22
5. Тригонометрические уравнения и неравенства 30
6. Системы тригонометрических уравнений 45
7. Разные тригонометрические задачи 47
8. Показательные и логарифмические уравнения 49
9. Показательные и логарифмические неравенства 52
Ю.Системы логарифмических и показательных уравнений 62
11-Разные задачи, содержащие логарифмическую и показательную функции..67
12.3адачи по планиметрии 69
13.3адачи по стереометрии 96
14.Задачи с параметрами 133
15.Теория чисел и комбинаторика 151
^Комбинированные задачи ,157
17. Текстовые задачи н прогрессии 161
18. Множества на координатной плоскости 164
ОТВЕТЫ
1. Системы алгебраических уравнений и неравенств
2. Системы алгебраических неравенств
3. Алгебраические уравнения
4. Алгебраические неравенства
5. Тригонометрические уравнения
6. Системы тригонометрических уравнений
7. Разные тригонометрические задачи
8. Показательные и логарифмические уравнения
9. Показательные и логарифмические неравенства
Ю.Системы логарифмических и показательных уравнений
11. Разные задачи, содержащие логарифмическую и показательную
12. Планиметрия
13. Стереометрия
J4.Задачи с параметрами
*5.Комбинаторика и теория чисел
‘^•Комбинированные задачи
“ Множества на координатной плоскости
174
193
194
195
210
239
241
243
247
268
функции.274
277
314
384
408
415
420
423
ББК 22.1я73
Ф48
УДК 51(075.8)
Составители:
Агаханов И. X.,
Богданов И. И., Городецкий С. £., Кожевников П. А., Подлипский О. К.
ФИЗТЕХОВСКАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ. Задачи всту¬
пительных экзаменов в МФТИ и олимпиады «Физтех» (1991-2014). —2-е
изд испр. - М.: Физматкнига. 2020. - 436 с. - ISBN 978-5-89155-327-9.
Сборник содержит задачи, предлагавшиеся абитуриентам на вступительных
экзаменах по математике в Московском физико-техническом институте (МФТИ)
и на олимпиадах «Физтех» с 1991 по 2014 год.
Задания структурированы по тематическим разделам. Рядом с номером каж¬
дой задачи указан год, в котором она была предложена абитуриентам. Ко всем
задачам даны ответы, к части задач приведены решения.
Задания не выходят за рамки действующей школьной программы и ФГОС,
однако для их решения требуется повышенный (профильный) уровень подготовки
по математике. Решения задач, которые приведены в сборнике, дают возможность
получить представление о способах и методах их решения и призваны помочь чи¬
тателям в самостоятельной подготовке по математике, в том числе к олимпиадам
по математике различного уровня и олимпиаде «Физтех», а также к Единому
государственному экзамену по математике профильного уровня.
Для школьников старших классов, учителей математики школ и преподавате¬
лей математических дисциплин вузов; абитуриентов, студентов младших курсов
технических вузов, техникумов, и лиц, занимающихся самообразованием.
Интернет-магазин специализированной литературы www.fizmatkniga.org
Уважаемые читатели! Наше издательство постоянно работает над улучшением качества
издаваемых книг. Если вы заметили в нашей книге опечатку или ошибку, напишите нам
об этом по электронной почте publishers@mail.mlpt.ru. Это поможет сделать следующие
издания книги лучше!
© Авторский коллектив, 2020
© Издательство «Физматкнига* (оформление), 2020
ОТ СОСТАВИТЕЛЕЙ
В настоящий сборник включены задачи, предлагавшиеся на вступи¬
тельных экзаменах по математике и физико-математических олимпи¬
адах для абитуриентов в Московском физико-техническом институ¬
те с 1991 по 2014 г. В период постепенного введения Единого госу¬
дарственного экзамена абитуриенты МФТИ могли при поступлении
помимо результатов ЕГЭ использовать (по своему выбору) также ре¬
зультаты вступительных экзаменов или результаты, полученные на
олимпиаде «Физтех-абитуриент» (которая проводилась в той же фор¬
ме, что и письменные вступительные экзамены). После перехода к ис¬
пользованию для поступления в вузы только результатов ЕГЭ опыт
проведения вступительных экзаменов и олимпиад был перенесен на
проведение олимпиады «Физтех», результаты которой также могут
быть зачтены в качестве вступительных испытаний.
Следует отметить, что задания не выходят за рамки действующей
школьной программы и ФГОС, однако для решения большинства из
них требуется повышенный (профильный) уровень подготовки по ма¬
тематике. При этом задания олимпиады «Физтех», безусловно, отли¬
чаются от задач, ранее предлагавшихся на письменных вступитель¬
ных экзаменах в МФТИ, в сторону большей «олимпиадности».
Задания, приведенные в сборнике, — результат коллективного
труда преподавателей кафедры высшей математики МФТИ, чле¬
нов соответствующих комиссий или оргкомитетов. В разные годы
ими являлись сотрудники кафедры Агаханов Н. X., Балашов М. В.,
Богданов И. И., Букин К. А., Бунаков А. Э., Городецкий С. Е., Ду-
бинская В. Ю., Иванов Г. Е., Карлов М. И., Кожевников П. А., Ко¬
новалове. П., Константинов Р. В., Подлипский О. К., Полякова. П.,
Резниченко С. В., Самарова С. С., Сидоров Ю. В., Трушин Б. В., Тру¬
шин В. Б., Чехлов В. И., Шабунин М. И. и другие.
Все задания были ранее опубликованы в официальных изданиях
МФТИ («Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ»
и «Задачи физико-математических олимпиад МФТИ “Физтех”*), еже¬
годно выходивших после завершения приемной кампании. Однако
в этих сборниках задания были приведены в виде тех же экзаме¬
национных билетов, которые предлагались абитуриентам на экзаме¬
нах или олимпиадах, что не вполне удобно для практической работы.
В данном сборнике задания сгруппированы по тематическим разде¬
лам. В качестве «исторической справки* рядом с номером каждой
задачи указан год, в котором она была предложена абитуриентам. Ко
всем задачам даны ответы, к части задач приведены и решения, кото¬
рые дают возможность читателям получить представление о способах
и методах решения предлагаемых заданий.
Составители надеются, что данный сборник станет удобным прак¬
тическим пособием для подготовки к олимпиадам различных vpob-
”епй'к °лимпиаде «Физтех*. Сборник может быть также использован
и для самостоятельной работы по совершенствованию навыков реше-
ния задач. *
ЗАДАЧИ
1. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1.1.11991' Решить систему уравнений
бхг 4- Зх = 2z - 2,
ху 4- zy = 2(z - х + 1),
zy — 6x2 4- у = Зх + 3.
12 (1991] решить систему уравнений
(4х 4- у)(2 4-1) 4- 42 = О,
ху + у - х = -1,
ху ~ zy + 2z = 1 + х.
1.3. Р99^ Решить систему уравнений
{3x2 4- 1 = 4х 4- Зг,
4ху — 3x2 = 4у — Зг 4- 9,
ху — zy = х + 3 — 2г.
1.4. Р9911 Решить систему уравнений
{(х 4- 2y)(3z 4-1) = 11 4- 8у,
ху — zy 4- 3 = 2х + 2,
ху - 2х = у - 1.
1.5. (19961 Решить систему уравнений
Г х2 4- ху — 2у2 4- 8х 4- 10у 4-12 = О,
|х2 4- Зху + 2у2 - х + у - 6 = О.
1.6. t1996I Решить систему уравнений
Г 8х2 — 2ху — у2 — ЗОх - 9у — 8 = О,
^8х2 -f бху 4- у2 — 2у — 8 = О.
1.7.119961 Решить систему уравнений
Г 2х2 - ху - у2 - 10х - 8у - 12 = О,
|2х2 + Зху 4- у2 4-х — у — 6 = 0.
1.8. !19961 Решить систему уравнений
Гх2 4- 2ху — 8у2 4- 9х 4- ЗОу 4-8 = 0,
\х2 + бху 4- 8у2 — 2х — 8 = 0.
1.9.119"1 Решить систему уравнений
Гх2 — 4х — 2у - 1 = О,
уу2 — 2х 4- 6у 4-14 = 0.
6
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ « ЗАДАЧИ
1.10.119"!
1.11. 119991
1.12.119991
1.13.120001
Решить систему уравнений
I2 — 4х -f 4у + 27 = О,
у2 4- 2х + 8у + 10 = 0.
Решить систему уравнений
х2 - 6х - Зу - 1 = О,
у2 4- 2х + 9у + 14 = 0.
Решить систему уравнений
х2 + 7х — у + 11 = О,
у2 + Зх - у + 15 = 0.
Решить систему уравнений
-— 2ху = 16,
У
~ + Зху = 25.
1.14.120001 Решить систему уравнений
1.15.120001
1.16.120001
р + ху = 72,
ч^ + ху = 9.
Решить систему уравнений
~ + Зху = 25,
~ 2ху = 16.
Решить систему уравнений
,3
.2
^ + ^ = 2,
у
8у
ч х:
4х
Ьх е
2 .. — 5.
1.17. 120011
1.18.120011
Решить систему уравнений
5х - 6у + 4z + ху = О,
Зх - 5у + г — у2 = О,
х - 4у - 2г — yz = 0.
Решить систему уравнений
{Зх - у - 5z - 2yz — О,
х — 5 у — г — 2z2 = О,
х + 9у — Зх + 2xz = 0.
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ • ЗАДАЧИ
7
1.19. 120011 Решить систему уравнений
Зх + у + 2г — х2 = О,
Юж — Зу — Ъг + xz = О,
16х — у + z — ху = О.
1.20. 120011 Решить систему уравнений
6х — 5у + 92 — 2у2 = О,
х — 2у + 4г — 2ху = О,
4х — у + z — 2yz = 0.
1.21.12002' Решить систему уравнений
Г у/х + у + у/х + 2у = 10,
\у/х + у + 2х + у = 16.
1.22. 120021 Решить систему уравнений
/ v/Tlx - у - у/у-х = 1,
\7у/у^х + 6у- 26х = 3.
1.23. 120021 Решить систему уравнений
(у/х - 4у - 2-у/ЗуТх = 1,
|7v/3y + х + 22у + 5х = 13.
1.24.120021 Решить систему уравнений
\ у/х - Зу - V51 ~ У - 2>
\15V5x- у + 22х + 4у = 15.
1.25.120021 Решить систему уравнений
i*» + £ = 7 + у2’
i + 4+^-о.
у * 1
1.26.120021 Решить систему уравнений
, х3 _ у! I
У+ 3 = Т +
I
yJ * ' У
i+£+s=°-
V V * 1
1.27.120021 Решить систему уравнений
'^ + Х4У=^ + Х2,
- + х2у2 + 4у2 = 0.
1.28.120021 Решить систему уравнений
х + 375
А — -г ^
I + *у + 10y2 = 0.
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ » ЗАДАЧИ
>ешить систему уравнении
х3 + у3 - г3 - хуг + 11=0,
х3 — у3 + г3 — хуг — 21 = 0,
у3 + г3 - х3 - хуг -3 = 0.
’ешить систему уравнений
'2х3 - у3 - 2г3 + хуг + 5 = 0,
у3 + 2г3 - х3 — 2xyz -2 = 0,
х3 — у3 — г3 + хуг + 4 = 0.
5ешить систему уравнений
' х3 + 2 у3 + г3 + 2хуг + 22 = 0,
2х3 - 2у3 — г3 + хуг + 2 = 0,
у3 — х3 — г3 + хуг — 13 = 0.
1.32.12002' Решить систему уравнений
Зх3 — Зу3 + г3 — хуг — 3 = 0,
< Зу3 — х3 — г3 — хуг + 5 = 0,
х3 — у3 + г3 — хуг — 2 = 0.
1.33. l2003! Решить систему уравнений
{
2 + бу = i — у/х - 2у,
у/х + у/х — 2 у — х + Зу — 2.
1.34. t2003' Решить систему уравнений
Зх — 1 = ^ + 2 у/х + у,
f
лит
{:
ЛИ'
{:
y/у + у/х + у = у - Зх - б.
1.35. f2003! Решить систему уравнений
1 ~5У="6%/х-у,
у/х - у/х^у = х - 5у - б.
1.36.12003! Решить систему уравнений
3 + 21х = ^ + А у/у — Зх,
. VУ ~ y/у-Зх = у + 7х - 2.
1.37.120031 Решить систему уравнений
( 2ху3 + 8zx2 - 4уг2 = бхуг,
< 8хг2 - 4ух2 + 2zy2 = бхуг,
( 2ху - 4хг + 2уг = 3.
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ * ЗАДАЧИ
1.38.12003' Решить систему уравнений
{Azx2 - yz2 + 2ху2 = Зхyz,
zy2 + 2 xz2 — 4 ух2 = 3 xyz,
2 ху — 2 xz + yz = 3.
1.39. l2003l Решить систему уравнений
{8zx2 - 2ху2 + 4 yz2 = б xyz,
4ух2 + 2 zy2 — 8 xz2 = 6 xyz,
2 xy + 4xz — 2 yz — 3.
1.40.I2003' Решить систему уравнений
2yz2 - 4xy2 + zx2 = 3xyz,
* 2yx2 + 4zy2 — xz2 = 3xyz,
2xy + xz - 2yz — 3.
1.41.12004' Решить систему уравнений
(Xs + 4x4 + by2 = 0,
(x3 - ^ = xy - y2.
1.42. I2004! Решить систему уравнений
(У7 + У6 — 6х2 = 0,
у5 + з = х2 + ху2.
{
СИ.
{:
1.43. t2004) Решить систему уравнений
( х9 — х8 - 2у2 — О,
[я7 + рг ~У2 + уя3-
1.44.12004J Решить систему уравнений
Г у7 + 2у6 + Зх2 = О,
14 X3 X2
К~жу = 7~7-
1.45.12004^ Решить систему уравнений
( (2х — у)2 = 4 + z2,
< (z - у)2 = 2 + 4х2,
[ (г + 2х)2 = 3 + у2.
1.46.12004) Решить систему уравнений
'(Зу — х)2 = 2 + г2,
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ • ЗАДАЧИ
1.29.520025 Решить систему уравнений
fx3 + у3 - z3 - xyz +11 = 0,
а:3 - у3 + г3 - xyz -21 = 0,
у3 + г3 - х3 - xyz -3 = 0.
1.30. 520025 Решить систему уравнений
[2х3 - у3 - 2z3 + xyz + 5 = 0,
< У3 + 2z3 - х3 - 2xyz -2 = 0,
[ х3 - у3 - z3 + xyz + 4 = 0.
1.31.120021 Решить систему уравнений
"х3 + 2у3 + г3 + 2xyz + 22 = 0,
< 2х3 - 2у3 - z3 + xyz + 2 = 0,
у3 — х3 — z3 + xyz — 13 = 0.
1.32.12002' Решить систему уравнений
’Зх3 — 3 у3 + z3 — xyz — 3 = 0,
< Зу3 - х3 - z3 - xyz + 5 = 0, 1
х3 — у3 + г3 — xyz -2 = 0.
1.33.12003! Решить систему уравнений '
р + 6у = |- /х-2у,
1 л/хТ^/Т^Щ = х + 3 у - 2.
1.34.12003! Решить систему уравнений
f Зх - 1 = * + 2^х + у, 1
( \/у + Vx + У = у - Зх - 6.
1.35.120035 Решить систему уравнений
J1 - 5у = - - бл/х- у,,
\^х - ^х - у = х - 5у(— 6.
1.36.520031 Решить систему уравнений
Г3 + 21х = ~ + 4^/у - Зх,
\\/у — \/у~—Зх = у + 7х - 2.
1.37.520035 Решить систему уравнений j
2ху2 + 8zx2 — 4yz2 = 6xyz,
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ • ЗАДАЧИ
9
1.38.12003' Решить систему уравнений
{4zx2 - yz2 + 2ху2 = Зхyz,
zy2 + 2xz2 - 4ух2 = 3xyz,
2ху - 2xz + yz — 3.
1.39. l2003' Решить систему уравнений
{8zx2 - 2ху2 + 4yz2 = 6xyz,
4yx2 + 2zy2 - 8xz2 = 6xyz,
2xy + 4xz — 2yz = 3.
1.40.12003' Решить систему уравнений
2yz2 - 4ху2 + zx2 = 3xyz,
< 2yx2 + 4zy2 — xz2 = 3xyz,
2xy + xz — 2yz = 3.
1.41.[20041 Решить систему уравнений
(хь + 4х4 + 5у2 = О,
Vх3 - р = ху - у2.
1.42. t2004' Решить систему уравнений
Гу7 + У6 — 6х2 = О,
|у5 + ^ = х2 + ху2.
1.43.12004' Решить систему уравнений
Гх9 - Xе - 2у2 = О,
|х7 + ^ = у2 + У*3-
1.44.120041 Решить систему уравнений
(У + 2 у6 + Зх2 = О,
<4 X3 X2
[У ~ху = -;- —•
1.45.12004) Решить систему уравнений
((2х — у)2 = 4 + z2,
< (-г - У)2 = 2 +
|k(z + 2x)2 = 3 + y2.
1.46.120041 Решить систему уравнений
(Зу — х)2 = 2 + z2,
< (Зу + z)2 = 3 + х2,
(z — х)2 = 4 + 9 у2.
10
иямив ypAgSHai!!g!L
1.47.120041 Решить систему уравнений
/<х + y)2 = 3-f4z2,
■ (2г - у)2 = 4 + г2,
(2z - х)2 = 2 + у2.
1.48. !2004^ Решить систему уравнений
'(х - 2у)2 = 4 + 22,
- (z - 2у)2 = 3 + х2,
(z + х)2 = 2 + 4у2.
1.49. f2005! Решить систему уравнений
~ = i*fT +-JEV-,
zy х2уг X — у ’
х-у
ху
у/х-у = 2 - ху.
1.50.[20051 Решить систему уравнений
1 , *V I 2i -!/
1+is=5г^; + “ST’
2х — у
ху
-у'Зх — у = 4 — Зху.
1.51.{2005^ Решить систему уравнений
1 +
— ху
X '
+
- 5у
*у
V* -"5у х — 2у
1.52. f2005) Решить систему уравнений
1.53. f2005j Решить систему уравнений
Г 9х4 + 4х2у = -3,
|9х2у2 + 4у3 = —27.
1.54. t2005l Решить систему уравнений
Г2х2у - х4 = 3,
\2у3 - х2у2 = 4.
1.55. f2005* Решить систему уравнений
/х4 +4х2у = -3
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ » ЗАДАЧИ
1.56. 120051 Решить систему уравнений
Г 8х2у — 3i4 = 4,
\8у3 - 3i2y2 = 2.
1 57. 120061 Решить систему уравнений
|J(l + v) = 2* + 3 у,
\х2 + 2х у = х-у2.
1.58. 120061 Решить систему уравнений
f^(2 + x) = 4y-3x,
|2у2 - Зху = 4у - х2.
1.59.12006' Решить систему уравнений
|^(1 -2у) = 4х + 2у,
^2х2 + ху = х + у2.
1.60.120061 Решить систему уравнений
f £(3 + 2х) = 3 у-х,
\у2 + 2ху = Зх2 - 2у.
1.61.120061 Решить систему уравнений
ГЗ-УРу5 = 4(у2 - х2),
\b\ffiy = х2 + у2-
1.62.120061 Решить систему уравнений
Г5^/2х^ = 2(х2 + у2),
\3^45^ = 4(у2-х2).
1.63.120061 Решить систему уравнений
Г5^7 = 4(х2 + У2),
\3^ = х2-у2.
1.64.120061 Решить систему уравнений
Гб^УНЗу* = 4(х2 + у2),
\з^/2хЗр = 2(х2 - у2)-
1.65.120061 Решить систему уравнений
2ху +- + 3 = 0,
и
У*
+ 1-2 = 0,
xz + - + 2 — 0.
у
12
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ » ЗАДАЧИ
1.66.120061 Решить систему уравнений
2 yz + - + 3 = 0,
ху + ~ ~ 2 = 0,
xz + - + 2 = 0.
< у
1.67.120061 Решить систему уравнений
f2xy + | + 3 = 0,
Х2 + - - 2 = О,
v
|^г + | + 2 = 0.
1.68. *2006) Решить систему уравнений
Г 2x2 + - + 3 = 0,
у
3/2 + - - 2 = О,
у
1.69.12007)
1.70.12007!
1.71.12007!
1.72.12007!
1.73.12008)
1.74. l2008l
6
^xy + 2+ 2 = 0.
Решить систему уравнений
J ху + 2х + Зу = 2,
|2х2у + Зху2 + 12х + 18у = 16.
Решить систему уравнений
ху + х + Зу = 1,
х2у + Зху2 + Зх + 9у = 4.
Решить систему уравнений
( 2ху + 4х + Зу = 2,
\4х2у + Зху2 + 12х + 9у = 8.
Решить систему уравнений
f ху + 2х - Зу + 2 = О,
\2х2у - Зху2 - 12х + 18у = 16.
Решить систему уравнений
2 у2 = х4 + х,
У = — - 5х2.
у
Решить систему уравнений
Зх2 = у4 + у,
5x = 3v
+ у2
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ • ЗАДАЧИ
13
1.75.12008* Решить систему уравнений
'Ау2 = х4 + х,
1.76. I2008' Решить систему уравнений
'Зх2 = у4 - у,
Hi = Зу2 - —.
{
:ст.
С
10у = — — х2.
v
1.77. ^°08* Решить систему уравнений
42
Х + у’
fl + =
< V * + »
[ху — X = 16.
1.78.12008* Решить систему уравнений
1 Г~*~ 42
х + ,/ = ,
Y I - у I - у
ху — Ах = 9.
1.79. '200в* Решить систему уравнений
(у +
{:
у _ 42
X + у х + у ’
I ху — X = 16.
1.80. f2008' Решить систему уравнений
Гу~ - 42
у+ Vv-* v-*’
ху - 4у = 9.
1.81.12008' Решить систему уравнений
х2 + ху — 2у2 + 8х + Юу + 12 = 0,
- У2 - 7 = 0.
1.82.120081 Решить систему уравнений
х2 — 3 ху + 2у2 + 5х — 9у + 4 = 0,
у2 _ 5 = 0.
1.83. !20081 Решить систему уравнений
' ху + у2 — 2х2 + 10х + 8у + 12 = О,
х‘ — у2 + 7 = 0.
1.84.120081 Решить систему уравнений
'2х2 - Зху + у2 - 9х + 5у + 4 = О,
i х2 — у2 + 5 = 0.
С
гигтемы ЛЛГЕЬРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ » ЗАДАЧИ .
1 85.1200,1 Решить систему уравнений
(у/Р + у* - 1Ьх + Ь4 + у/хг + V* + 12У + ль = 10>
\5х2-8у2 = 8.
1.86.1200.1 Решить систему уравнений
Гу/т7 + у7 + 6х +~У + у/х2 + у* ~ + 16 = 5t
\4х2 - у2 = 5.
1.87.1200.1 Решить систему уравнений
Г v/x2 + у2 + 12х + ЗЬ + у/х2 + у2 - 16у + 64 = 10,
\5у2 - 8х2 = 8.
1.88.1200.1 Решить систему уравнений
(у/х7 + у7 - 8х + 16 + у/х2 + у2 + 6у + 9 = 5,
|4у2 - х2 = 5.
1.89.120081 Решить систему уравнений
х2 - у2 = 2х + 4у - Зг,
у2 - г2 = х - Зу + 4г,
*2 _ т-2 — _ к.
у2 - г2 = х - Зу + 4z,
z2 - х7 = -Зх + у - 5г.
1.90.120081 Решить систему уравнений
х2-г2 = 2х-3у + 4г,
< г2 - у2 в х + 4у - Зг,
х2 - г2 = 2х - Зу + 4г,
< г2 - у2 * х + 4у - Зг,
У2 - х2 = -Зх - 5у + г.
Зх - 5у + г.
1.91.120081 Решить систему уравнений
х2 - у2 = -2х - 4у - Зг,
Уа - г2 * -х -f Зу + 4г,
х2 - у2 = -2х - 4у - 3;
У2 - г2 = -х + Зу + 4г,
г2 - х2 = Зх - у - 5г.
1.92.120081 Решить систему уравнений
1.93.120081 Решить систему уравнений
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ • ЗАДАЧИ
IS
1.94.iJ0091 Решить систему уравнений
{2х3 = уг + 2х,
2У2 = xz + 2 у.
2гг = ху + 2г.
1.95.12009* Решить систему уравнений
I** + \J\xl ~ v = J+*,
1.96. t3009' Решить систему уравнений
' 2х3 = yz — 2х.
2 у7 = -xz + 2у,
2г3 = -ху + 2г.
1.97.13009' Решить систему уравнений
tit I
{;
{
v/j*’+ ^ -9"' - Ы1-
y/j; -Jx-4u = 1 + 4».
1.98. I3009' Решить систему уравнений
{2х3 = yz + х,
2у3 = хг + у,
2г3 = ху + г.
1.99.[30091 Решить систему уравнений
1.100. t3009l Решить систему уравнений
2-г3 = -уг + х,
2у3 = хг - у,
2 г3 = — ху + г.
1.101.1300®! Решить систему уравнений
(х + у){х* + У2) = "5,
(у - *)(уа + г*) = 13’
(х-г)(х3 + х3) = 40.
{I
{:
16
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ « ЗАДАЧИ
1.102.120091 Решить систему уравнении
(у ~ я) (я2 + У2) =
(у + z)(y2 + z2) = ~
(z - х)(х2 + z2) = -20-
ПОЗ. I20091 Решить систему уравнений
(х - у)(х2 + у2) = 5,
(у + z){y2 + z2) =
(z - х)(х2 + z2) = 40.
1.104.120091 Решить систему уравнений
(х + у)(х2 + у2) = -15,
< (у - z)(y2 + z2) = 13,
(х — г) (х2 + z2) = 20.
1.105.120101 Решить систему уравнений
(/25-х2-/25-у2 = 1,
\/25-х2 + /25 - у2 = у2 - 2х2 + 2х + 3.
1.106.120101 Решить систему уравнений
f >/25 - х2 + /25 - у2 = 7,
1 /25 — х2 — /25 — у2 = \{у2 ~ 2х2 + 2х + 3).
1.107.120101 Решить систему уравнений
/ /25 - у2 - /25 - х2 = 1,
\/25 - у2 + /25 - х2 = х2 - 2у2 + 2у + 3.
1.108.120101 Решить систему уравнений
Г /25 - у2 + /25 - х2 = 7,
|/25=1? - /25^ = ±(х2 - 2у2 + 2у + 3).
1.109.120111 Решить систему уравнений
( /х2 - 2у = 3у - х,
jjy2 + х3 = 2х+ 1.
1.110.120111 Решить систему уравнений
< \[х2~\У = У~х,
Jy2 + x3 = 2х + 1.
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ « ЗАДАЧИ
\ _
1Д11. t20Ill Решить систему уравнений
[ у/у* - 2х -Зх-у,
у~х2 + у^2у + 1.
1.112. f2011* Решить систему уравнений
Uy2-\x = x-y,
| ~х2 + у3 = 2у + 1.
1.113.12011' Решить систему уравнений
х2 + 4 = У2 + 1-
у
1.114.Р0111 Решить систему уравнений
f yjMfi + " = -х- 2у,
\*2 + -2
\ V
1.115.l2011^ Решить систему уравнений
Ь! + ;М + 1'
1.116. !20П) Решить систему уравнений
/ / ~ ~ т
fv^ —
| 4х2 + А = 4у2 + 1.
1у
\
1.117. t2012I Решить систему уравнений
Г Ау2 — 15 ху + 14а:2 + 12у — 24х = О,
\ у/х\ 12 - 7х + Ау) + 36 + у/х2 + 8х + 32 = 6.
1.118. f2012J Решить систему уравнений
Dx2 — 1 Зху + 2 у2 + 42х — 14у = О,
х(7х — 2 у + 14) + 49 + Vx2 + 5х+ 12 = 7.
1.119. (20I2i Решить систему уравнений
(2х2 — 19 ху + 45у2 — 12х + 60у — О,
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ • ЗАДАЧИ
1.120.[2012) Решить систему уравнений
(Зх2 +11 ху+ Юу2 + Юх + 20 у = 0,
| ^25 - у(3х + 5у + 10) + \/у2 ~ 1°У + ^ = 5-
j 121. t2012! Решить систему уравнений
( 5£ _ + ю = -1
) у х ху
й + ?г + 4 = Х.
I V * *V
1.122.12012* Решить систему уравнений
У
(5£ + 2у + 1 = 8гу>
J У х
) 1* _ JL + б = 12ху.
V У 1
1.123. f20121 Решить систему уравнений
Г — + — + 4= —
\ У X X У
Зх + 2у +6 = А.
к у I ху
1.124.120121 Решить систему уравнений
4 ху,
'7 + т-5
— + — — 10 = Зху.
у *
1.125. *20141 Решить систему уравнений
/х2 — 4ху + 4у2 = 2х - 4у + 3,
\v/3x - 6у = 2 - ху.
1.126.[2014) Решить систему уравнений
/ х2 + 4у2 + 4ху = 2х + 4у + 3,
\ч/3х + 6у + ху = 4.
1.127. Р0141 Решить систему уравнений
/ 4х2 + у2 - 4ху = 4х - 2у + 3,
\v5x — 3 у = 2 — ху.
1.128. [20141 Решить систему уравнений
Г4х2 + у2 + 4ху = 4х + 2у+3,
} у/$х + Зу + ху = 4.
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ • ЗАДАЧИ
19
1.129. I2014' Решить систему уравнений
f 2х3 + Зху + Зу2 = 16,
\i3 - х2 + xy + 2y2 = 8.
1.130.12014' Решить систему уравнений
JV - x2 - xy + 1 = 0,
^2y3 - 3x2 — 5xy - 2y2 + 2 = 0.
1.131. t2014' Решить систему уравнений
f x3 -f x3 + xy — 2y2 + 8 = 0,
\2x3 + 3xy - 3y2 + 16 = 0.
1.132. *2014^ Решить систему уравнений
fy3 + x2-xy = l,
^2у3 + х2 + ху- 2у2 - 2.
2. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
2.1. Р001* Решить систему неравенств
(х2 + 9у7 - 18 у < О,
\2х + 3 - 2ху ^ О.
2.2. f200^ Решить систему неравенств
(у2 + Зту + 1 < О,
|9х2 — 12х — 8у < О.
2.3. I2001* Решить систему неравенств
f 4х2 + у2 + 8х ^ О,
\*1/ + у + 1 < О.
2.4. t20011 Решить систему неравенств
Г Зх2 + 2 ху + 3^0,
1У + 6у + 18х ^ 0.
3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
3.1. *1997' Решить уравнение
|х - у/х - 3| + |^х + 7 - х| = 6.
3.2.1.9971 Решить уравнение
\2у/х -I- 1 - х| + |х - 2у/х + 2| = 7.
3.3. t1"7* Решить уравнение
|х - у/х - 2| + \у/х + 6 - х| = 8.
3.4.1.9971 Решить уравнение
|3у^ + 2 — х| + |х — З^х + 3| = 9.
3.5. Р001! Решить уравнение
у/2х2 + 4х — 23 — >/х2"+ 2х — 8 = 1.
3.6. l2001' Решить уравнение
у/2х7 - 8х + 25 - у/х7 - 4х + 13 = 2.
3.7.120011 Решить уравнение
у/2х2 — 12х + 46 — у/х2 — 6х + 22 = 3.
3.8.13001! Решить уравнение
v/2^2TT8F+49 _ >/х2 - 4х + 21 = 4.
3.9. I2007! Решить уравнение
Ъу/\ + |х2 — 1| = 3 + |3 — 5х|.
3.10. l2007! Решить уравнение
у/2Ъ + 116ха - Щ = 4 + 4(х + 1\.
3.11.12007! Решить уравнение
Ъу/l + |х2 - Ц = 3 + |5х + 3|.
3.12. I2007! Решить уравнение
v/25+|16x2 — 25|*4 + 4|1-х|.
I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
4.1. f1997* Решить неравенство
13 - Зх + у/х*
5 — 1
4.2. ^,9971 Решить неравенство
> 1.
7 - Зг + Уд2 + Зг - 4
г-3
4.3. f1997^ Решить неравенство
13 - 6х + у/4х2 - 2х - 6 j
5 — 2г
4.4. *,9971 Решить неравенство
26 - Зг + Уг2 - 2х - 24
1-10
4.5.119981 Решить неравенство
\/2х2 - 7х - 4 > —х —
4
4.6.11998) Решить неравенство
л/3х2-8х-3>
4.7.119981 Решить неравенство
\/2х2 + 7х — 4 > х — i
4.8.119981 Решить неравенство
V3x2 + 8х - 3 >
и
4.9.11999' Решить неравенство
УЗг3 - 22х2 -I
х — 4
4.10. t19"l Решить неравенство
V3x3-22xj+40x ^ Зх _ 10
х - 4
V2x3 - 22х'/ + 60х
1-6
4.11. Р9991 Решить неравенство
V3X3 - 27х2 + 60х
^ 2х - 10.
х — 5
4.12.119991 Решить неравенство
л/2хэ — 27х2 + 90х
2х -15
4.13. (200°) Решить неравенство
у/—X1 + 1 + 6
^ Зх - 12.
^ X - 6.
\х2 - 7х + 6| - lx2 - х - 2|
^0.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
23
4.14.12000' Решить неравенство
у/—х2 + 7х — 6
4.15.12000* Решить неравенство
у — РУ — О ^ Q
|х2 + I - 2| - |х2 + 7х + 6| ^
4.16. l2000^ Решить неравенство
У-х2 - бх - 5
у —X* ^ Q
|х2 + 2х — 3| — |х2 + 6х + 5|
V—х2 — 2х + 3
4.17.12001' Решить неравенство
1 - _ < _! .
2 — у/х2 — х — 2 44 у/х2 + 3
4.18. t2001l Решить неравенство
1 1
2 — Vx7—"Зх ^ у/х2 — 2х + 4
4.19.12001' Решить неравенство
4.20.12001' Решить неравенство
1 ^ 1
2 - у/х2 + Зх Vx2 + 4х + 7
4.21. t2001' Решить неравенство
у/х2 + Ьх + 6 < 1 + у/х2 + х + 1.
4.22. t2001' Решить неравенство
у/х2 + 4i + 3 <1 + Vi2 - 2х + 2.
4.23.120011 Решить неравенство
■у/х2 - 5х + 6 < 1 + у/х2 - х + 1.
4.24. Г2001] Решить неравенство
1 < i
4 — у/х2 — 2х — 8 44 у/х2 + 12
у/х2 - 4х + 3 < 1 + у/х2 + 2х + 2.
4.25.120021 Решить неравенство
.пГСКрЛИЧЕСКИЕНЕРЛВЕНСТВАОАДЛЧИ
4 26.[20021 Решить неравенство
/500 + ЗОх
V 2х +
^2- > 10 - |х|.
4.27.120021 Решить неравенство
/х2 + ЗОх-675 > 15 _ |х|.
У х - 3
4.28.[2002) Решить неравенство
/243 + 9х
У 2х +
-2х‘<
>9-|х|
4.29.[2003' Решить неравенство
1
,/х2 — 4х — 5 — 4 2|х + 2| 5
4 30. I2003) Решить неравенство
1 1
%/х2 + 2х - 8 - 4 2|х — 3| — 5
4.31.,2003' Решить неравенство
<
у/х2 + 4х - 5 - 4 2|х + 6| — 5’
4.32.12003' Решить неравенство
<
yjx2 - 2х - 8 - 4 2|х — 5| — 5'
4.33.12003' Решить неравенство
У^9 —V76- llS < 3 - х.
4.34.12003! Решить неравенство
^б-ч/Ш^бх3 < 4 - х.
4.35.120031 Решить неравенство
\/э - 2ч/1{Г+ 81х3 < 3 + Зх.
4.36. f2003) Решить неравенство
л V33 + 32*3
,4 < 2 + х.
4.37.12004) Решить неравенство
5
1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРЛВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
25
4.38.120041 Решить неравенство
+
*-2 6 - 3V4 + Зх - х2 1 + |х — 2|'
4.39. t2004l Решить неравенство
+
*-1 6-3V6 + x-x2 1 + |х-1Г
4 40.12004' Решить неравенство
_J_ + 5 !
х + 1 б - 3V4 -Зх-х2 1 + |х+1|
4.41.12005' Решить неравенство
23 ^
_ 23 ^ Г _
32 Vх
4.42.12005' Решить неравенство
1
1 •
4
\/ _ 23 ^ /Г 1 '
у х 27 Vх 3
4.43. t2005l Решить неравенство
/ч^-Ь 1
V*-8
4.44. Р005' Решить неравенство
1
1 •
\/ 55 ^ (Z _ 1
Vх 64 V* 4
4.45.12005! Решить неравенство
lx2-3x + 2l + |2x+ll-5 ^ п
у/4х3 + Зх2 + 4х + 3
4.46. f2005' Решить неравенство
|х2 - 5х + б[ + |9 ~ 2х| - 5 < 0
у/ 19х2 — 4х3 — 4х + 19
4.47.120051 Решить неравенство
1х2-2х + |М2х + 2]-5^л
^2х3 + |х2 + 2х + ®
2* ' — ' 2
4.48.120051 Решить неравенство
|x2-2x+f| + |6-2x|-iS^n
13
^х2-2х3-2x+f
26
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА ♦ ЗАДАЧИ
4.49.120061 Решить неравенство
у/8х3 - 6х +~2
2х + 1
4.50. 120061 Решить неравенство
у/Ах3 - 12х + 8
х + 1
< у/2х + 3.
< у/Ах + 7.
4.51.120061 Решить неравенство
у/х3 - Зх + 2
х+2
4.52.12006' Решить неравенство
у/4х3 — Зх + 1
1—1
4.53.120061 Решить неравенство
< у/х + 1.
< у/Ах + 10.
^+ 2 ^ х'
4.54.120061 Решить неравенство
\j\/бх+ "'+5 > х.
4.55.12006) Решить неравенство
\J\/16х + 36 + 6 > х.
4.56.120061 Решить неравенство
^12x+lfVS>x
4.57. 120071 Решить неравенство
/з — 2х , у/1 + 2s v
Y 1 + 2s + 2%/3 - 2s - *
4.58.120071 Решить неравенство
“4x + Г . > 0.
/Ц
Y 5 + 4s ' 2л/3 - 4s - 2
4.59. 120071 Решить неравенство
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
27
4.60. t2007' Решить неравенство
4.61. '2007* Решить неравенство
(у/х + 3 + х - 3)(\/4i + 5 + 1-4) ^ Q
V4 + 4х — х2 — х$
4.62. I2007' Решить неравенство
(у/х + 4 + х - 2)(у/4х + 9 + х - 3) ^ ^
у/6 — х — 4х2 — I3 ^
4.63. t2007' Решить неравенство
(■у/з - х - х - 3)(У5 — 4х - х - 4) ^ п
у/хъ — х2 — 4х + 4
4.64. f2007' Решить неравенство
(у/4 — х - х - 2)(V9 - 4х — х — 3) ^ л
у/х3 — Ах2 + х + 6
4.65.12008' Решить неравенство
4.66.120081 Решить неравенство
4.67.12008' Решить неравенство
4.68.120081 Решить неравенство
4.69.120081 Решить неравенство
4.70. t2008l Решить неравенство
28
1 nrrr^rmF. НЕРАВЕНСТВА * ЗАДАЧИ^
4 л poos] решить неравенство
k—lh<x-i.
у 2 — 1
4 72.12008! Решить неравенство
1 + 5х
/
^ 1 — X.
1 + 2х
4.73.12010' Решить неравенство
18 — х
> -х.
2 + х
4.74. Р01°1 Решить неравенство
/х + 4
V > х-
V 2 — х
4.75. I2010! Решить неравенство
3 - х
1 + х
4.76.12010' Решить неравенство
> —х.
/х+ 14
]1—Х>Х-
4.77.12011' Решить неравенство
ю - 2|х|
х' + 9х + 11 — 3
4.78.12011' Решить неравенство
20 - 4|х|
|х2 + Их + 2l| — 3
4.79. l20u' Решить неравенство
8 ~ 2М
|х2 + 7х + з| — 3
4.80. t20ul Решить неравенство
6 ~ 2]х[
|х2 + 5х - 3| - 3
4.81.120121 Решить неравенство
ху/2 + l
1 — у/х^ — 4х + 5
<1.
< 1.
<1.
<1.
5$ 1.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
29
4.82.120121 Решить неравенство
з* + з
з — у/х2 — 2* + ю
4.83.120121 Решить неравенство
ху/Ь + 1
<1.
1 - у/х2 - 2х + 2
4.84.120121 Решить неравенство
<1.
2х + 8
8 — у/х2 — 2х + 65
4.85.12013' Решить неравенство
£1.
1 < 1
yj\x + l| - 2 9 + х
4.86.12013' Решить неравенство
1 £ 1
VI* - 3| - 1 6-х
4.87. t2013' Решить неравенство
1 « 1
VI* + 2| - 1 5 + 1
4.88. t2013' Решить неравенство
1 < 1
VI* + з| - 2 7 + х
5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
5 j [1992] реШить уравнение
arctg3i = arccos 8х.
5 2 [1992] реШить уравнение
2arcsin2x = arccos 7х.
5.3.119921 Решить уравнение
arcsin5x = arcctg6x.
5 4.11992] решить уравнение
2 arccos х = arccos | x.
5 5 [2oo2] решить уравнение
2т — l • л
arctg ——- + arcsm x = ^ •
5 6 [2002] решить уравнение
arcctg + arccos 2x =
5.7.12002' Решить уравнение
arctg + arcsin 3x =
5.8.12002' Решить уравнение
, 3i-l , л
arcctg h arccos x = -.
f л X «
5.9. >,99,< Решить уравнение
yj 8 sinx + у = 2 cosx + 2 tgx.
5.10.11991' Решить уравнение
y/btgx + 10 = | sinx 4——.
noon 2 cosi
5.11. ‘199IJ Решить уравнение
\Д-4V2 sinx = 2 cosx — V2tgx.
5.12.11991! Решить уравнение
\j\2 — 6V2tgx = 3 sinx ——.
5.13. l1993l Решить уравнение
sin3x + |sinx| = sin2x.
5.14. t1993! Решить уравнение
cos3x + |cosx| = sin2x.
5.15. l1993l Решить уравнение
sin3x — |sinx| = sin2x.
5.16.11 31 Решить уравнение
| cosx | — cos3x = sin2x.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
31
5.17.119931 Найти все решения уравнения
sin6x cos 6а;
sinx + cosx cosx — sinx ’
принадлежащие интервалу (0; я/2).
5.18.119931 Найти все решения уравнения
Уз cosx — sinx _ Уз sinx + cosx
созбх ~ sin6x ’
принадлежащие интервалу (-я/2; 0).
5.19.119931 Найти все решения уравнения
sin6x cos6x
sinx—cosx cosx + sinx’
принадлежащие интервалу (-я/2; 0).
5.20.119931 Найти все решения уравнения
Уз sinx — cosx _ Уз cosx + sinx
sin6x совбх ’
принадлежащие интервалу (0;я/2).
5.21.119931 Решить уравнение
yj\ — 3 sin2 х = sinx + cosx.
5.22.119931 Решить уравнение
+ cos2x + ctgx = 0.
5.23.119931 Решить уравнение
yj| + cos2 x = sinx — cosx.
5.24.119931 Решить уравнение
y| — cos2x + tgx = 0.
5.25.119941 Решить уравнение
cos2x + cosx _ 4._9x
sin2x — tgx
5.26.119941 Решить уравнение
. ctga;-tg* = ctg2x.
3sinx + cos2x
5.27.119941 Решить уравнение
2 cosx + Sin2 X _ t 2x.
ctgx - sin2x
5.28.119941 Решить уравнение
ctgx - tgx _= 2д
cosx + 3 cos2x
32
Tpurnur>MFTPH4ECKHE yPABHEH^HHEPABEHCTBA « ЗАДАЧИ
5.29.
5.30.
5.31.
5.32.
5.33.
5.34.
5.35.
5.36.
5.37.
5.38.
5.39.
5.40.
5.41.
5.42.
5.43.
1994] решить уравнение
у/5 — cos2x = cosx — 3 sinx.
1994] решить уравнение
у/П - 7sin2x = 3 cosx - 5 sinx.
1994] решить уравнение
v/5 + cos2x = sinx + 3 cosx.
1994] решить уравнение
v/l7 + 7sin2x = 3 sinx + 5 cosx.
1995] решить уравнение
2sin3x + sin5x _ ^
|sinx|
i"5] решить уравнение
(УЗ + 1) sin3x + sin5x _
|sinx|
1995] решить уравнение
2 cos3x — cos5x _ ^
i"5] решить уравнение ^
(УЗ + 1) созЗх — cos5x
1996] решить уравнение ^
= Vz.
У 4. + 3 cosx — cos2x = \/б sinx.
1996] решить уравнение
\/4 sinx + cos2x + 5 = 2\/2 cosx.
i"6) Решить уравнение
у/7 — cosx — 6 cos2x = 4 sinx.
19961 Решить уравнение
2 sinx + 3 cos2x = 2\/3 cosx.
i»®7] Решить уравнение
cosx cos5x
cos3x cosx
19971 Решить уравнение
sin3x _ sinx
sinx sin3x
19971 Решить уравнение
= 8 sinx sinЗх.
= 2 cos2x.
smi , sin 5x 0
sin3x + “ 8 COSX <X*3z.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » ЗАДАЧИ
33
5.44.11997' Решить уравнение
sin3x _ cos3z _ 2
sin2x соэ2х созЗх
5.45. 119981 Решить уравнение
sin3x _j_ 3sinz _ _2
|sinx| sin3x
5.46.11998' Решить уравнение
соаЗх _j_ 2cosx _
|cosx| cos3x
5.47.11998' Решить уравнение
5.48. 119981 Решить уравнение
созЗх _j_ 2|созх| _
COSX созЗх
5.49. 119981 Решить неравенство
^5 + 3cos4x > _sina
5.50. 119981 Решить неравенство
зтЗх _j_ 3|sinx| 2
sinx sin3x
5.51.119981 Решить неравенство
5.52.119981 Решить неравенство
> —cosx.
5.53.119991 Решить уравнение
cos3x — sinx _ |
cos5x — sm3x
5.54.119991 Решить уравнение
sin3x — cosx
cos3x — sin5x
5.55.119991 Решить уравнение
cos5x + sin3x _ j
созЗх + sinx
5.56.119991 Решить уравнение
cos3x + sin5z _
соях + sin3x
5.57.119991 Решить уравнение
2 + >/3 sin2x — |cos2x| = 4sin2 |.
5.58.
5.59.
5.60.
5.61.
5.62.
5.63.
5.64.
5.65.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА « ЗАДАЧИ
[1999] Решить уравнение
2+ \/3cosx + |sinx| = 4sin2x.
[1999] Решить уравнение
2 + %/3sinx + |cosx| = 4 cos2 x.
[1999] решить уравнение
л/2 + cosx — |sinx| = 2>/2sin2 x.
[2000] решить уравнение
si- 27x- = 16 cos4x(l + 2cos4x) -f cos 7l
sin x
[2000] решить уравнение
cos2 x
sin 9x _ jg ctg2x sinlOx + cos 9l
sin2 x
cos2 x
[2000] решить уравнение
sin2 5x
. 9
sin X
= 24 cos2x +
cos2 5x
cos2 x
12000] решиТь уравнение
sin2 3x
sin2 x
= 8cos4x +
cos2 3x
cos2 x
12000] решить уравнение
sinx i sinx
cos 2x cos 3x cos 3x cos 4x
5.66.12000' Решить уравнение
sin3x sin3x
cos2x cos5x cos5x cos8x
[2000] решить уравнение
= sin4x — tg2x.
5.67.
5.68.
5.69.
sinx
sinx
cos6x cos7x 1 cos7x cos8x
[2ooo] Решить уравнение
sinx
cos4x cos5x cos5x cos6x
l2°oi] Решить уравнение
= sin8x — tg2x.
= sin8x — tg6x.
= sin6x — tg4x.
cos x sin3x
sinx
+ sin2 x cos3x = 6 cos2x cos2 x.
5.70.12001l Решить уравнение
cos^x sin3x . sin3 x cos3x _ g sjn2x COSX.
cos2x cos2x
5.71. l20011 Решить уравнение
sin3x cos3x + C0S2X sjnЗх = б cos2x sin2x.
cosx
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА « ЗАДАЧИ
35
5.72.12001' Решить уравнение
81П3Х СОЗЗх + cos2 х gin Зх + 6 cos 2х sin2 х = 0.
COSX
5.73. l2001* Решить уравнение
tgx + tg3x = 4|sinx|.
5.74. I2001} Решить уравнение
ctgx + ctg3x = y/i + ctg2 x.
5.75. I2001l Решить уравнение
ctgx + ctg3x = 4|cosx|.
5.76. t2001' Решить уравнение
tgx + tg3x = s/l + tg2 x.
5.77. t2001' Решить уравнение
cos4x + cos3x + cos2x + cosx _ >/211 — 2 sin2 x|
sin4x + sin3x — sin2x — sinx sinx sin (f — x) *
5.78. I2001* Решить уравнение
sin4x + sin3x — sin2x — sinx |cos2x|
cosx + cos 2x + cos 3x + cos 4x %/2 sinx sin (x + J)
5.79.12001' Решить уравнение
cos4x — cos3x + cos2x — cosx л/2|2 cos2 x — Ц
sin4x — sin3x — sin2x + sinx sinx cos (x + J) ’
5.80. [20011 Решить уравнение
sin4x — sin3x — sin2x + sinx |cos2x|
cos4x — cos3x + cos2x — cosx >/2 sinx cos (x — ’
5.81.12002^ Решить уравнение
3 + cos4x — 8 cos4 x 1
4(cosx + sinx) sinx *
5.82. t2002l Решить уравнение
3 + cos4x — 8 sin4 x _ 1
4(sinx + cosx) cosx ‘
5.83.l2002' Решить уравнение
3 + 4 cos2x — 8 cos4 x _ 1
sin2x — cos2x sin2x ‘
5.84. t2002l Решить уравнение
3 — 4 cos2x — 8 sin4 x _ 1
sin 2x + cos 2x sin 2x ’
5.85.12002' Решить уравнение
sin2 2x + sin2 4x = 1 — -os?r.
5.86.12002' Решить уравнение cos x
sin2 x + sin2 2x = 1 — COS;fe.
cos2x
36 т УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА^*
- я7 [2002] Решить уравнение
cos2 х + cos2 2х = 1 + ctg3x.
5.88.120021 Решить уравнение cosI
cos2 х + cos2 2х = 1+ ~os^x-
5.89.120031 Решить уравнение
sinx + |cosx| + sin4x = cos2x.
5.90.120031 Решить уравнение
cosx + |sinx| + cos2x = sin4x.
5.91.120031 Решить уравнение
sinx + |cosx| = sin 4x + cos2x.
5.92.120031 Решить уравнение
cosx + |sinx| + sin4x = -cos2x.
5.93.120031 Решить уравнение
(1 - sin2 x cos2x - 2 sin2 x) = 1.
5.94.120031 Решить уравнение
cos5- (—1 — sin2x cos2x + 2 cos2x) = 1
COS I 4
5.95.120031 Решить уравнение
(1-2 sin2 x - sin2 x cos2x) = 1.
cosx v
5.96.120031 Решить уравнение
cos3x ^ cos2 x _ sin2 x cos2x — 1) = 1.
cosx
5.97.120031 Решить уравнение
sin3xcos5x + |sin5xcos3x|
. , sin2x
5.98.120031 Решить уравнение
cos3x cos5x + | sin5x sin3x|
sin 2x
5.99.120031 Решить уравнение
cos3x sin5x + |cos5x sin3x|
cos2x
5.100.120031 Решить уравнение
|cos5xcos3x| — sin3x sin5x _ .
—2~ = 2 sm2x
5.101.120041 Решить уравнение
sin3x + cos2x = cos4x — 3|sinx|.
5.102. l2004l Решить уравнение
cos3x + cos2x = 3|cosx| — cos4x.
5.103. l2004l Решить уравнение
sin3x — cos2x = 3|sinx| — cos4x.
= 2 cos2x.
= 2 cos2x.
= 2sin2x.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
37
5.104.12004' Решить уравнение
созЗх — cos2x = cos4x — 31 cos а: |.
5.105. [20041 Решить уравнение
siniV'l — cosx — 2 sinx = sinx + cosx.
5.106. I2004l Решить уравнение
cosx\/l + sinx — 2 cosx = cosx — sinx.
5.107.12004l Решить уравнение
suixn/1 + cosx — 2 sinx = sinx — cosx.
5.108.12004' Решить уравнение
cosxv/1 + sinx + 2 cosx = sinx + cosx.
5.109. l2004J Решить уравнение
2 sin За; _ |cos6x|
sinx cos2x
5.110. t2004' Решить уравнение
sin6x _ cos3x
|sin4x| cosx ‘
5.111. l2004l Решить уравнение
2sin3x _ cos6x
|sinx| ~ cos2x‘
5.112. ^°°4' Решить уравнение
sin6x _ cos3x
sin4x |cosx|*
5.113. *2005' Решить уравнение
(3sinx + 4cosx)(20 + 12sinx + 5cos2x) = 143.
5.114.120051 Решить уравнение
(5sinx + 12cosx)(100 + 48cosx — 13cos2x) = 1757.
5.115.12005* Решить уравнение
(8sinx + 15cosx)(53 + 32sinx + 17cos2x) = 1318.
5.116.120051 Решить уравнение
(24sinx + 7cosx)(75 + 28cosx — 25cos2x) = 2598.
5.117. t2005i Решить уравнение
sin | sin sin \ sin Щ- 2 sinx sin 2x 1
cosxcos2x cos2xcos3x cosx cos 3x 4cos3x*
5.118.120051 Решить уравнение
sin sinsin^sin 2sinxsin2x 1
cosxcos4x cos4xcos3x cosx cos3x 5cosx ’
38
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА » ЗАДАЧИ
5.119.12005] Решить уравнение
sin jsin3f sin Щ sin Щ _ 2sin2xsin4x
cos2а:cosЗх cos3xcos6x cos2xcos6x
5.120. f2005^ Решить уравнение
^inxsin 2x sin \ sin % _ 2sin f sin f
cos2xcos3x cos3xcos2x cosxcos2x
1
3cos6x‘
1 + 2уД
2cos2x
5.121.12005' Решить уравнение
cos5 x - sin5 x , cos5 x + sin5 x _ 9 ,
n/2cos(x+|) + v^cos(x - f) “ 8 + COS/X-
5.122.12005' Решить уравнение
cos3x — sin3x _ cos3 x + sin3 x 1 + 2cos4 2x
\/8cos(x+!) \/8cos(x — |) 3sin2x
5.123.120051 Решить уравнение
sin5x — cos5x , sin5x + cos5x _ 7 _ 3 9
V^sin(x-f) v^sin(x+f) 8 2COS X'
5.124.12005) Решить уравнение
соз3x + sin3x _ sin3x — cos3x 1 — 2cos42x
\/8sin(x+J) %/8sin(x — |) sin2x
5.125.120061 Решить уравнение
8cos2xsinx + cosx = cos3x + 6sinx.
5.126. t2006l Решить уравнение
5sin3x + 16cosx + 5sinx = 12cos3x.
5.127.12006! Решить уравнение
20 sin3 x + 3cosx = 3cos3x + 4sinx.
5.128. t2006l Решить уравнение
8sin2xcosx - 3sin3x = 3sinx - 2cosx.
5.129.120061 Решить уравнение
sin Зх^/ctg - x) = cos (2x - f) - cos ^4x + .
5.130. t2006) Решить уравнение
sm3x^tg(5 + I) = cos(2x + 5) _ cos ^4x _
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА « ЗАДАЧИ
39
5.131.12006' Решить уравнение
созЗхУ-ctg (х + j) = cos (Ах + f) - cos (2х + .
5.132. I2006' Решить уравнение
совЗх^^) = cos (2х + ^) - COS (ах + 5) .
5.133.12006* Решить уравнение
ctgx ctg2x _ ctg4x ctg3x
ctg2x — ctgx ctg4x — ctg3x ’
5.134.120061 Решить уравнение
tg2x ctg3x _ ctg4x tg3x
tg 2x + ctg 3x ctg 4x + tg 3x ’
5.135.120061 Решить уравнение
tg4x tg5x _ tg3x tg2x
tg5x — tg4x tg3x — tg2x’
5.136. t2006l Решить уравнение
ctg2x ctg3x _ tgx tg2x
ctg3x - ctg2x ~ tgx - tg2x'
5.137. I2006l Решить уравнение
(-\/3cos2x + sin2x)2 =
7 + 3cos
(2x -
I).
5.138.120061 Решить уравнение
\
(■\/3sin2x — cos2x)2 =
6 — 2cos (
^2x —
f).
5.139.12006' Решить уравнение
(>/3sin2x + cos2x)2 =
8 — 4cos |
% +
f).
5.140.12006) Решить уравнение
(\/3cos2x — sin2x)2 =
= 5 + cos (
2x +
?)•
5.141. t2007l Решить уравнение
<
sin2x = 2 sin3
1 Ixl + sin2xcosx.
5.142. I2007) Решить уравнение
sin2x = 2sin3x + sin|2x|cosx.
5.143.120071 Решить уравнение
2cos2x = 2sin3 |x| + sin2xcosx.
5.144. t2007) Решить уравнение
2cos2x = 2cos3x + sin2xsin|x|.
40 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
5.145.120071 Решить уравнение
cos9x - 2cgsfa+J = |cos3ll
cos3x — 1 1
5.146. 120071 Решить уравнение
sin3x - 2cos2x - 1 _ i . i
: : = Sin I .
1 — Sinx ' 1
5.147. 120071 Решить уравнение
sin9x + 4sin23x — 3 i • о i
= 1*43x1.
5.148. 120071 Решить уравнение
cos3x + 4sin2x - 1 , ,
—; = cosx .
COSX — 1 1 1
5.149. 120071 Решить уравнение
(2я cos2 x + л | . /я , л А
\ 4cosex + 1 / g \ 6 + 4cos6x+ 1) ~
tgl
4cos°x +
5.150.120071 Решить уравнение
2л sin2 х
(* _ 2л sin2 х + л A ( л
g V6 4sin6x + 1 ) tg (,4sin6x+l) ~ °-
4sin6x +
5.151.12007' Решить уравнение
ctg
(Зл , 2л cos2 x 4-
4
+
1 ) +tg(4cos6x+l 12) °‘
4cos6x +
5.152.120071 Решить уравнение
. (2я sin2 x + л _ л A _ t (5 5 A _ 0.
gV4sin6x+l 3) 4sin6x+l)
5.153.120071 Решить уравнение
3 + созбх = 2g|§ - 4tg24z.
5.154.120071 Решить уравнение
9 + cosl2x = 10^ - 8 ctg2 5x.
sin5x
5.155.120071 Решить уравнение
11 + cos8x = -12^^^|^ - 10ctg23x.
■ _nn_. SUl3l °
5.156. 120071 Решить уравнение
11 + coslOx = -105£§£ - 12tg2 6x.
5.157.120081 Решить уравнение
4cos22xcos4x + 3cos2x 4- cos6x _ q
cos3x
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
41
5.158. '20081 Решить уравнение
4 sin2 2х sin 4х — sin 6х 4- 3 sin 2х _ q
sin2x
5.159.12008' Решить уравнение
4соз4х соз2 2х — 3cos2x — созбх _ q
2sin2x - 1
5.160. t2008^ Решить уравнение
64 sin3 х cos5 х 4- sin6x — 3sin2x _ q
sinx cosx
5.161.120081 Решить уравнение
sin3x созЗх 4- соз3х sln3x _ 3
|sin2x| 4'
5.162.12008' Решить уравнение
sin3x cos3x — coe3x sin3x 4- \ sin6x 3
|sinx| 4‘
5.163. l2008l Решить уравнение
sin3x cos3x 4- cos3x sin3x _ 3
|cos2x| 4"
5.164.12008* Решить уравнение
sin3x созЗх — cos3x sin3x + \ sin6x 3
|cosx| 4‘
5.165. [20081 Решить уравнение
\J 7 — VEtgx + n/7cosx = 0.
5.166. f2008^ Решить уравнение
\Ja. + V3ctgx + 2sinx = 0.
5.167.120081 Решить уравнение
^/9 + V&tgx + 3cosx = 0.
5.168.12008' Решить уравнение
11 — %/lOctgx + vTT sinx = 0.
5.169. l2008l Решить уравнение
tgx 1_ _ 1 _ ctgx
2 sinx sin3x 2
5.170. t2008l Решить уравнение
ч2* ~ sb = лк - ***•
5 171.120081 Решить уравнение ^
tgx'iib=CtgX"^'
5 172.120081 Решить уравнение
tez + -V --г-- ctg2x.
1ьх ^ sin3a: smx
5 173.120091 Решить уравнение
= tff2 x
sin3x — 2sinx 6
5.174. 120091 Решить уравнение
Sin4i—__ _ _4sjn3x.
4 cosx + cos3i
5.175. 120091 Решить уравнение
— sin3f = ctg2 x.
cos3x + 2 cosx
5.176.120091 Решить уравнение
91п4д. ■ = 4cos3x.
4sinx — sm3x
5.177.120091 Решить уравнение
‘в31 - =tsi -
5.178.120091 Решить уравнение
— = tgx +
1
sin4x
cosx
cosx cos3x‘
1
sin4x
cosx
cosx cos3x'
1
sin8x
cos2x
cos2xcos6x
1
sin8x
cos2x
cos2xcos6x
tg31+
5.179.120091 Решить уравнение
tg6l-^=tg21-
5.180.120091 Решить уравнение
tg6l+5k=tg2i+
5.181.120101 Решить уравнение
sin3xcos5x — sin2xcos6x _
cosx — '
5.182.120101 Решить уравнение
sin5xcos3x — sin7xcosx _ n
cos2x + sin2x — '
5.183.120101 Решить уравнение
8in2xcosl0x - sin4xcos8x _ n
cos2x ~
5.184.120101 Решить уравнение
sin7xcosx — sin5xcos3x _ ~
cos2x — sin2x ~ ‘
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
43
5.185.12010' Решить уравнение
sin3x + 3|sinx| = cos4x — cos2x.
5.186.12010' Решить уравнение
sin3x — 3|sinx| = cos4x — cos2x.
5.187. t2010' Решить уравнение
3|cosx| — cos3x = cos4x + cos2x.
5.188.12010' Решить уравнение
3|cosx| + cos2x + cos3x + cos4x = 0.
5.189.12011' Решить уравнение
\/8tgx + 22ctgx = — yf\b (sinx + cosx).
5.190.12011' Решить уравнение
V^4tgx — 14ctgx = y/b (sinx — cosx).
5.191.12011' Решить уравнение
■y/7tgx"+^3ctgx = 2y/b (sinx + cosx).
5.192.12011' Решить уравнение
^/2tgx"^T2ctgx = у/Ъ (cosx — sinx).
5.193. t2012' Решить уравнение
cos2 2x + cos2 4x = 1 + ctg6x.
5.194. t2012' Решить уравнение
sin2 2x + sin2 x = 1 + ctg3x.
5.195.12012' Решить уравнение
cos2 2x + cos2 x = 1 + ctg3x.
5.196. *2012' Решить уравнение
sin22x + sin24x = 1 + ctg6x.
5.197.12013' Решить уравнение
y/S + 4cos2x = + 3cosx.
5.198. I2013' Решить уравнение
y/l + 7sin2 x = 2cosx — y/Z sinx.
5.199. t2013' Решить уравнение
y6 + ysin2x = 3cosx + -2= sinx.
5.200. f2013' Решить уравнение
3 + Ysin2;c = ч/б cosx - -^=sinx.
5 201.120131 Решить УРавнение
2^7 sin (| - §) = ^27 + sin (З^ + §).
5 202.[2013) Решить уравнение
V58cos(| + f) = V37^itote.
5.203.120131 Решить уравнение
2v/6 cos(| + f) = ^23 +sin(Зх - 5).
5.204.120131 Решить уравнение
\/29 + sin3x = \/30 sin — •
5.205.120141 Решить уравнение
cosx cos(x + f) cosx sin(x + 3) _ tg2x
7cos2x + 5sin2x — 6 6 — 5cos2x — 7sin2x \/2
5.206.120141 Решить уравнение
cosx cos(x+g) cosx sin(x+§) _ — >/3tg2x
6cos2x + 4sin2x — 5 5 — 4cos2x — 6sin2x 2
5.207.120141 Решить уравнение
coax cos(x- jj) coexsin(x-f) _ tg2x
9cos2x + 7sin2x — 8 8 — 7cos2x — 9sin2x \/2
5.208.120141 Решить уравнение
cosx cos(x + jgs) cosx sin (x + ^)
8cos2x + 6sin2x - 7 7 — 6cos2x — 8sin2x
y/Z tg2x
2
5.2U9.
гешигь уравнение
\/3 (-— + tg2x^ = —
\sinx — cosx b J si
cosx
sinx + cosx'
5.210.120141 Решить уравнение
C0SI + te2x = >/3sinx
sinx + cosx sinx —cosx"
5.211.120141 Решить уравнение
-^cosx . _ t 2x -1- sins
nx + cosx l6ZX+Sinx-cosx*
sinx + cosx
5.212. 120141 Решить уравнение
-1 -Ч=г?=г+ «•**)■
sinx — cosx
6. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
6.1.11992' Решить систему уравнений
/10 cos 2х — 2 = 7 cosx cos2y,
^sinx = \/cosi sin у.
6.2.11992' Решить систему уравнений
Г v/2tgi - 4 ctgx = 3 tgy,
\\/2sin2x = | sinx cosy.
6.3.11992* Решить систему уравнений
Г17 cos2x - 7 = 21 sini cos2y,
\cosi = \/3 sini cosy.
6.4. t1992' Решить систему уравнений
Гу/ctgx - 3 tgx = 4 ctgy,
| sin2x = cosi siny.
6.5. l1996l Решить систему уравнений
jcos ^Зх + ^ | = — \/2 cosy,
cos2y + 2 sin2x + | = 2 sin3 2x.
6.6. [19961 Решить систему уравнений
|sin3x| = —v/2siny,
{
cos2y + 2 cos2x sin2 2x = |.
6.7. l1996l Решить систему уравнений
|sin ^3x + ^ | = siny _ cosy,
sin2y + 2 sin2x = | + 2 sin3 2x.
6.8. i1996i Решить систему уравнений
{|cos3x| = siny + cosy,
2 sin2 2x cos2x + | = — sin2y.
6.9. i1997l Решить систему уравнений
Г 3 cosx cosy + 7 sinx siny = 4,
cosx cosy — 3 sinx siny = 3.
46
СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ » ЗАДАЧИ
6.10.119971 Решить систему уравнений
Гб sinx cosy + 2 cosx siny = -3,
|5 sinx cosy — 3 cosxsiny = 1.
6.11.119971 Решить систему уравнений
Г9 cosx cosy - 5 sinx siny = -6,
1 7 cosx cosy — 3 sinx siny = —4.
6.12.119971 Решить систему уравнений
f3 sinx cosy — 7 cosx siny = 6,
^7 sinx cosy -f 5 cosx siny = —2.
6.13.120101 Решить систему уравнений
{sinx + V^cosy = |,
\/2siny + >/3cosx = |.
6.14.120101 Решить систему уравнений
{\/2sinx — л/Zcosy = |,
siny -f \/2cosx = —
6.15.120101 Решить систему уравнений
{\/3sinx - \/2cosy = |,
V^siny — cosx = |.
6.16.1 01 Решить систему уравнений
f v^cosx - \/3siny =
|cosy — \/5sinx = —|.
7. РАЗНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
7.1.11995* Найти наименьшее натуральное число п, при котором
выполняется равенство
sin(п° + 80°) + sin(n° - 40°) + sin(n° + 70°) — cos25° = 0.
7.2.11995' Найти наименьшее натуральное число п, при котором
выполняется равенство
cos(n° + 20°) — cos (n° + 80°) — sin(n° + 80°) + sin 15° = 0.
7.3.11995' Найти наименьшее натуральное число п, при котором
выполняется равенство
sin(n° + 100°) + sin(n° — 20°) + sin(n° + 50°) + cos 5° = 0.
7.4. i1995' Найти наименьшее натуральное число п, при котором
выполняется равенство
cos(n° — 50°) — cos(n° + 10°) — sin(n° + 130°) — sin75° = 0.
7.5.11996' Дана функция
Л\ sin4 х + cos4 x
x) = —s s—.
sin6 x + cos6 x
Найти:
1) корни уравнения f(x) = 10/7;
2) наибольшее и наименьшее значения функции /(х).
7.6.11996' Дана функция
Л\ 2 sin4 х + 3 cos2 х
о 4 . 2
2 cos х + sin х
Найти:
1) корни уравнения /(х) = 15/7;
2) наибольшее и наименьшее значения функции /(х).
7.7. t1996' Дана функция
Л\ _ sin6 х + cos6 х
х) ”. 4 ; 4 •
sin X + cos X
Найти:
1) корни уравнения /(х) = 7/10;
2) наибольшее и наименьшее значения функции /(х).
7.8.11996' Дана функция
f(x) = 2 cos4 х + sin2 х
.. 2 sin4 x + 3 cos2 x'
Наити:
1) корни уравнения /(х) = 7/15;
2) наибольшее и наименьшее значения функции /(х).
7 9.120091 Найти решения уравнения
cosi _ cos5i __ gsinI sin3x,
cos3i cosi
удовлетворяющие неравенству sinx ^ 0.
7.10.120091 Найти решения уравнения
sini , cps5i + 4(sin4i + sin2x) = 8cosx sin3x,
cos3i sin i
удовлетворяющие неравенству cosx > 0.
7.11.120091 Найти решения уравнения
cosx_ _ cos5i + 8sinI sin3l = 0>
cos3x COSI
удовлетворяющие неравенству sinx ^ 0.
7.12.120091 Найти решения уравнения
sin5 + ^5- + 4(sin4x + sin2x) + 8cosx sin3x = 0,
cos3i sin i ' '
удовлетворяющие неравенству sin3x < 0.
7.13.120121 Найти наименьший корень уравнения
принадлежащий отрезку [8л/17; 40л/17].
7.14.120121 Найти наименьший корень уравнения
tgl2x + tg7x=ji-,
принадлежащий отрезку [46л/31; 92л/31].
7.15.120121 Найти наибольший корень уравнения
tg7x-tgl0x=^,
принадлежащий отрезку [2л/13; 4бл/13].
7.16.1 0121 Найти наибольший корень уравнения
ctgl2x + tg5x = —-—,
cos5i’
принадлежащий отрезку [-47л/19; -9л/19].
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
8.1.11991* Решить уравнение
log7(3 - 2z) • logl(3 - 2х) = log7(3 - 2х) + log712.
8.2. 119911 Решить уравнение
log3 3i + log3 (4i + 1) = log4l3+I 9.
8.3. P991' Решить уравнение
2 log5 (4 - x) • log2l (4 - z) = 3 log5 (4 - z) - log5 2z.
8.4. ^1991' Решить уравнение
log2 f + 1°62 (21X — 2) = 2 log21za_2j. 8.
8.5.11996' Решить уравнение
log49 (z - l)2 + \ logV7 (^|) = 0.
8.6.l1996' Решить уравнение
log9(x-4)2 + ilog^ (!±|)=0.
8.7. l19961 Решить уравнение
log4 (z - 8)2 + i logV2 = 0.
8.8. t1996' Решить уравнение
log25 (* - 2)2 + | \ogvE (ff±|) = 0.
8.9.12007' Решить уравнение
l°gn-z2 (2T - 6 + 3 • 22_x) = logI_1(2* - 6 + 3 • 22-x).
8.10. f2007l Решить уравнение
log7-«*(2 • 3X+2 - 10 + 3~x) = logI+1(2 ■ 3X+2 - 10 + 3"x).
8.11. l2007l Решить уравнение
bg19_l3(3x - 12 + 4 • 32-x) = logl_,(3x - 12 + 4 • 32~x).
8.12.120071 Решить уравнение
!°giз-х»(3 • 4X+2 - 18 + 4“x) = logI+1(3 • 4X+2 - 18 + 4~x).
8.13.120071 Решить уравнение
21og3(z2 - 4) + 3-y/log3(z + 2)2 - log^z - 2)2 = 4.
8.14. l2007l Решить уравнение
21og2(z2 - 1) + 2v/log2(z - 1)2 - log2(z + l)2 = 3.
50
MwmTWlbHblE И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ « ЗАДАЧИ
8.15.|2007) Решить уравнение
2log5(я2 - 4) + 4v/log5(x - 2)“2 - log5(x + 2)2 = 5.
21og3(x2 - 1) + 5v/log3(x + l)2 - log3(x - l)2 = 6.
8.17. f200^ Решить уравнение
8.18. I2008' Решить уравнение
+ l0gfX| (_I " 5) =
8.19. I2008' Решить уравнение
Ч-i (*s - 5)+log,.-i (* - 3) = 4
8.20.12008' Решить уравнение
’°®(Н,в~1’) + к®1-**^"х) =
8.21. l20l3l Решить уравнение
l°g3*-j(x2 - 11® + 19) + log37*-iX3 =
8.22. *20131 Решить уравнение
logs* (х2 + 9х + 15) + log125* х3 =
«t
8.23. I2013' Решить уравнение
8.16. *2007) Решить уравнение
8.24.120»1 решить
Решить уравнение
log2*(x2 - бх - 15) + log8* х3 = ~-
X
ши<м
8.25. f20«] Решить
logB,-.(xa - 7х + 11) + logus*-! х3 = -Ц-
1—1
21 —.
Решить уравнение
Iog6*-3х2 + log36l_,(i _ 5)4 _ —2_
8.26.1»*Ч РеШИТЬ
Решить уравнение
8-27. ОШ реШиТЬ
Решить уравнение
WI.U
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ • ЗАДАЧИ
51
8.28.12013’ Решить уравнение
log2x+t х2 + log4,+t(i + З)4 =
8.29. t2014^ Решить уравнение
log2x+i4-i(3x "Ь 4х 3) = logio—2,_х (Зх "l” 4х 3).
8.30. t2014' Решить уравнение
l°gx*-2x(2 - 34l~ia) = 1оёб_г(2 - 34~’).
8.31. t2014' Решить уравнение
log6_22-*(3^2 2i — 4) = logj'5.|.2z-i(3x 2х 4).
8.32. 12014] Решить уравнение
log,.„(5 - 4-’-3-9) = 1обг„4(5 - 41,+3х-9).
8.33.12014' Решить уравнение
loggx—5 (бх2 ~ Пх + 5) * log*_i(x3 “ !) =
= 1о6бх-5 fa2 - 111 + 5) + logx_i(x3 - 1).
8.34.I2014) Решить уравнение
log7l_6 (7а;2 + х ~ 6) ‘ logI+i(z3 + 1) =
= bg7l_6 (7х2 + х - 6) + logI+1(x3 + 1).
8.35.12014' Решить уравнение
1о8эх-8 (9х2 - 26х + 16) • logI_2(x3 - 8) =
= log9x-s (9х2 - 26х + 16) + logl_2(x3 - 8).
8.36.120141 Решить уравнение
bg2l+9 (2х2 + 13х + 18) • logI+2(x3 + 8) =
= log2l+9 (2х2 + 13х + 18) + logI+2(x3 + 8).
9. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИ!?
НЕРАВЕНСТВА с
9 i [1991] решить неравенство
х . 3log,/»(16i4-8ia + D < I
9 2.119911 Решить неравенство
/i\lo*»(?"6+9ia) ъ 1
, ы ^ *■
9.3.119911 Решить неравенство
2*°S4 (25i4 — 10ta+l) ч,
9 4 [1991] решить неравенство
9.5.119921 Решить неравенство
ilogl(|-2-7-*)>l.
9.6.119921 Решить неравенство
xlog1/2(|-2^)>l.
9.7.119921 Решить неравенство
llog5(f-5-)>l.
9.8.119921 Решить неравенство
xlog1/3(f -3-3,/1)>1.
9.9.119931 Решить неравенство
^log5 (31 — 6 • 52-1*) > х.
9.10.119931 Решить неравенство
l°gi/2(3 - у/2~х - 1) > х.
9.11.119931 Решить неравенство
^/log4(21 - 5 • 42_lJ) > х.
9.12.119931 Решить неравенство
log1/3 (4 - V3"1 - 2) > х.
9.13.119941 Решить неравенство
V32* + 4 - у/\32х - 7\ < 1.
9.14.119941 Решить неравенство
гх{у/91~х - 1 + 1) < 3 • |3Х - 1|.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА » ЗАДАЧИ
53
9.15.11994' Решить неравенство
>/13* + 3 - у/\13х -4\ < 1.
9.16.11994' Решить неравенство
4г(\/161-1 - 1 + 2) < 4 • |4* - 1|.
9.17.11994' Решить неравенство
4log2|i|+i \/5хТЗ - log^/55+д (2|х| + 1) > 0.
9.18.11994' Решить неравенство
log2|x|+i (Зх + 2) - log3l+2 (2|х| + 1) > 0.
9.19. 11994] Решить неравенство
4 bg3|x|+1 V4x + 3 - logv^p3 (3|х| + 1) > 0.
9.20. '1994' Решить неравенство
bg2|x|+i (7х + 4) - log7l+4 (2|х| + 1) > 0.
9.21. [1994' Решить неравенство
(log|2,*|| (з - *) - х) |о«» (з - *) >1о®
9.22.11994' Решить неравенство
1-х
log, (i - *) log^n (| - х) > log, -jl— - .
9.23. t1994l Решить неравенство ' 3
(l0*|.+l| (з - *) - X) lo«u> (j - x) > log,
9.24.11994l Решить неравенство
к®” (I"*)'logHI (i"x)>log= /,
\\x+ 3J
9.25.11995) Решить неравенство
log(l+AI)x-21°gx(1 + ^x)>1.
9.26. U«»] Решить неравенство
logx > 2 logx±i x.
3 ~д
>3 '2x + h\
12
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
и г,-»ОДИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА «ЭАДАЧИ_
9.27. 119951 Решить неравенство
loge,+1 (25*) - 2 log25l (6* + 1) > 1.
9.28.119951 Решить неравенство
lo«6*-iforT>2,og^6a;~1^
9.29. 119951 Решить неравенство
5 __ з . |3* — 1| < v'iQ — э*+1.
9 30.119951 Решить неравенство _
2 . |2* - 4| - 5 > \/2*+1 -Л-
9 31.119951 Решить неравенство
7 - 2 • |2* - 2( < VI7 - 2*+*.
9.32.119951 Решить неравенство
3 - |3Х — 51 — 7 > V3I+1 -2.
9.33.119961 Решить неравенство
log,,+2, (4“* - 1) < log„+2| (2"z + 1) + log|,+2| (2~х~г + 1).
9.34.119961 Решить неравенство
bgt*_2| (9* ~ 4*) < lo6|i-2| (3* + 2*) + loS|*-2| (З1 2 + 2*)-
9.35.119961 Решить неравенство
tog|2*+2| (1 - 9') < log,2*+2| (! + Зт) + bg|2l+2| (I + 31 *)'
9.36.119961 Решить неравенство
bg|3*-3| (25* “ 9*) < log|3i-3| (5* + 3Z) + log|3l_3, (5I_1 4- 3* *)■
9.37.119971 Решить неравенство
loS|2i+i| х ^ 2.
9.38.119971 Решить неравенство
fog*’ J3® + Ц <
9.39.119971 Решить неравенство
fog|3*-(-2| ® 2*
9.40.119971 Решить неравенство
fog*’ |5х + 2| < |.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
55
9.41.11999' Решить неравенство
bgi/3bg2 х'+3 ->0.
9.42.11999' Решить неравенство
bg7logi/3 х + 6 ~ < °-
9.43.11999' Решить неравенство
logi/з 1оё4 7^4 > 0
9.44.11999' Решить неравенство
, . I2 - \х + 1| - 55 _
logs 1<«1/3 < 0.
i + 7
9.45.1200°1 Решить неравенство
1 < 1 .
|log2 2х| — 2 ^ |log4x2| — 1
9.46. *2000' Решить неравенство
1 < 1 .
|l°g2 f | - з |log8x3| - 2
9.47. t2000l Решить неравенство
1 < 1
|log39l| - 3 ^ |log9X2| - 1
9.48.12000' Решить неравенство
1 < l
|log27x3| - 2 ^ lbg3f I - 1
9.49.12001' Решить неравенство
log(2l+9) (24 + 2x - x2) + log^24+2a._Ta (2x + 9) < 3.
9.50.12001! Решить неравенство
log(2o-2*) (99 - 2x - x2) + log4/99_2l_xa (20 - 2x) ^ 3.
9.51. l2001l Решить неравенство
log(l+3) (6 + x - x2) + logve+Бг? (x + 3) ^ 3.
9.52.12001l Решить неравенство
lo6(¥-.) (“ -1 - *2) + l0«vT^ (t - *) <3-
9.53. t2002l Решить неравенство
log^1 (j-V-з) + 2 ^ °-
q 44 (2002] решить неравенство
, (_£±®—) + - < 0.
bg(i-i)s уз + 2i — I2/ 3
9.55.120021 Решить неравенство
{ i-10_ ) +3^0.
log^r5^2_6l + 5J
9.56.120021 Решить неравенство
lo6(*+i)B (i2 + 2i^—з) + 5 ^ °-
9.57.120021 Решить неравенство
21og2l_12(Vx + 1 _ “ x) < 1-
9.58.120021 Решить неравенство
2]og2l_8 (\/i + 3 — %/7 — x) < 1.
9.59.120021 Решить неравенство
21og2l_10(Vx + 2 - л/8-i) < 1.
9.60.120021 Решить неравенство _ _
21og4l,16(V2^T - VU ~2x) < 1.
9.61.120031 Решить неравенство
y^lg2 x2 + lg2 (x + 2) >lgx2 + lg(x + 2).
9.62.120031 Решить неравенство
^3 In2 (x — 2)2 4- In2 x > In (x — 2)2 + In x.
9.63.120031 Решить неравенство
\]z\gx2 + lg2(2 - x) > lg x2 + lg(2 - x).
9.64.120031 Решить неравенство
yl3 In2 (x — l)2 + In2 (x + 1) > ln(x — l)2 + ln(x + 1).
9.65.120041 Решить неравенство
1о8х2 9 > v/2
^+logl2(i + i) 1о8з(* + 1) “
9.66.120041 Решить неравенство
1о8х» 4 ^
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА » ЗАДАЧИ
57
9.67.12004' Решить неравенство
logr216 > 2
+ logz*(i +1) log4^x + ^ " logi6x4
9.68. I2004* Решить неравенство
toga* 25 ъ v!
Jf+ logie(l-x) - уД ' bg5(l - х) - log25I4 *
9.69. f2004J Решить неравенство
logi/2 l°g8 ЕЩ~~Т > °-
9.70.12004' Решить неравенство
logs bg1/2 V-r' <0-
9.71. !20041 Решить неравенство
logi« log* ? °-
9.72.12004l Решить неравенство
1о8’1оЕ‘«ЙРТ?<0-
9.73.12005l Решить неравенство
фоё1_х (x2 + l) < log(l_1)a (x2 - | + I - X3) .
9.74. t2005l Решить неравенство
^bg2-x (*2 + J) < log(l_2)3 (2x2 - f + \ ~ x3) .
9.75. l2005l Решить неравенство
< ioS(,-|)’ (2i2 - т+5 - *3) •
9.76. I2005) Решить неравенство
\/1°g4-x (x2 + J) < log(l_4)a (4x2-| + l_ x3) .
9.77.12006) Решить неравенство
2
lo6l+x(6 + 4x- 2x2) ^2- 1о^_21(1 + X)'
58
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА « ЗАДАЧИ
9 78 Р°°61 Решить неравенство
2 , < . 1
log3+x(6 - 4х - 2х2) ^ 2 - log2_2z(3 + х) ‘
9.79.12006* Решить неравенство
2 . < 1
logj_2l(6 ~ 8х - 8х2) ^ 2 - log6+4Z(l - 2х)'
9.80.120061 Решить неравенство
- < 1 __
log*-i(12x - 10 - 2х2) ''г - log10_2l(r - 1) *
9.81.120061 Решить неравенство
5х«|*1
2
2 + 3) Н—4== ^ logr+3|x| (4д2 + 3).
vlxl 2
9.82.120061 Решить неравенство
y/bgx+3|r| (Д2 + 1) + Щ ^ bgx+3|x| (Ж2 + 1).
9.83.120061 Решить неравенство
^/log5|x|-3* (5z2 + 2) 4- ^|з < log5|x)-3i (5a2 + 2).
9.84.120061 Решить неравенство
^Qg2|x|-x(2a:2 4- 3) -f -7-^= < log2ix|-x (2x2 + 3).
9.85.120071 Решить неравенство
log(,-i)«(4 - *)* + to8ci-«)*(* + 1) ^ L
9.86.120071 Решить неравенство
bg^-x)^1 " x)2 + loS(t-4)3(6 ” ^ 1*
9.87.120071 Решить неравенство
l°g(x-3)4(6 “ x)2 + log(3_,,.(* - 1) ^
9.88.120071 Решить неравенство
Ь^а-.)*(1 + *)2 + l°g(l_2),(4 - s) < 1.
9.89.120071 Решить неравенство
1о8Л+1(1 ~ *) + 4 ^ ^°8(x+i)» ^ •
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
9.90. 120071 Решить неравенство
bg(1+l)a(3i-x) + i ^log^
9.91. I2007' Решить неравенство
59
/1 — X
logyi^(l + х) + 4 ^ loS(i-*) 1 + X ■
9.92.12007* Решить неравенство
9 ^ 1 VI - х
logyr^U + ^ + e^ 8л=* 1+х'
9.93. l2008' Решить неравенство
log2=* (4 - х) < 2.
1—X
9.94.12008' Решить неравенство
logx+4(z + 16) < 2.
i+i
9.95.12008' Решить неравенство
logi^i^ - х) < 2.
I—*
9.96.120081 Решить неравенство
logx+5 (а? + 25) < 2.
х+1
9.97.120081 Решить неравенство
^/l°g(x+io)(z2 - 2® - 8) + ^log(l3_2l_8)(x + 10)2 < 1 + \/2.
9.98.120081 Решить неравенство
\/log(i2-3x)(9a:2 - 6х - 8) + yW(9x’-6x-8)(12 - Зх)2 ^ 1 + л/2.
9.99.120081 Решить неравенство
\/log(i3+2x)(4a:2 + 8х - 5) + ^/log(4ia+8l_5)(13 + 2х)2 < 1 + у/2.
9.100.120081 Решить неравенство
Ф°&б-Х(х2 + Юх + 16) + ^log(ia+10l+i6)(6 ~ *)2 <1 + ^2-
9.101.120091 Решить неравенство
|2v^T-i _ х
9.102.120091 Решить неравенство
Lv^+5 _ i\ + е 1.4Vi+5+i _ з . igv^+5
I О I v
S Wx-1+3 r-—r- 1
+ §<?-5 4^-2.
60
и логлрифмически^равенства^задлч^
9 103 120091 Решить неравенство
/—ж о о , 10 ^ 2^2+2 _
2^-2 _ 2 + у ^ 3 *
9 104 120091 Решить неравенство
4^1_2+И<£ф1-И'/я»-*.
9.105.120091 Решить неравенство
log|,|(>/® + 5 + 4) ^ 21ogxa(2x + 8).
9.106.120091 Решить неравенство
l°g|,-i,(v^+4 + 4) > 21og(l_1)a(2x + 6).
9.107.120091 Решить неравенство
logw(v/5^x + 4) ^ 21ogla(8 - 2х).
9.108.120091 Решить неравенство
1°g|I-i|(v'6-x + 4) > 21og(l_1)3(10 - 2х).
9.109.120091 Решить неравенство
bgI+i2 + log2| + |log2(4x + 4) + logI+12| < 5
9.110.120091 Решить неравенство
|logI+13 + log3 + 11о6з(9х + 9) + logI+13| < f.
9.111.120091 Решить неравенство
|bgI+22 + log2 + | log2(2x + 4) + logI+22| < 5.
9.112.120091 Решить неравенство
|bgI+23 + log3^±2| + |log3(9x + 18) + logI+23| < у
9.113.120101 Решить неравенство
l°gI+2(v/x"+3 + 1) ^ 1.
9.114.120101 Решить неравенство
logI+5(v^+8 + 3) 1.
9.115.120101 Решить неравенство
logI+1 (n/x + 4 + |) ^ 1.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • ЗАДАЧИ
61
9.116. 120101 Решить неравенство
l°gI+4(>/xT5 + 1)^1.
9 117.12011' Решить неравенство
2
logx-i(§ -*)
9.118. 120111 Решить неравенство
2 < 1.
^1.
log 5(2-1)
в
9 119.120111 Решить неравенство
2
bgl4.1(1-*)
1+5
<1.
^ 1.
*
9.120.120111 Решить неравенство
2
4+10"*)
9.121.120121 Решить неравенство
log 1 /2 (|т§) - loSi/2 (у + 4х + 9) ^ 2 • log4(x2 + 5х + 6).
9.122.120121 Решить неравенство
|log2 (у + 8х + Зз) < -log1/4(x2 + 13х + 42) + log4 (^) .
9.123.120121 Решить неравенство
bgi/7 (ff*) < 1оё1/7 (т - 10х + 51) + 2 W*2 - 17х + 72).
9.124.120121 Решить неравенство
logi/5 (“I) + 2 log25 ^у - 6х + 19^ < log5(x2 - 9х + 20).
9.125.120131 Решить неравенство
>,
\ х2 + 21 /
9.126.120131 Решить неравенство
\ 4х2 + 15 )
9.127.120131 Решить неравенство ,
/ I X+V^XS—3
(fcj) >1.
\ х2 + 10 /
9.128.120131 Решить неравенство
10. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
10.1. fl990J Решить систему уравнений
|log2(i2y + 2ху2) - logi ±) = 4,
logs
I ЕЕ I
6
= 0.
10.2
[1998] решить систему уравнений
j logs (7 + *) + bgl + у) = 2.
[log2 |х + у| = 1.
10.3.|1998) Решить систему уравнений
logs (*2У + ^) - log! (г + j) = 3,
log, fl.o.
5 0
10.4.119981 Решить систему уравнений
flogs (£-*)+logl (у-£)= 2,
llogz \х - у| = 1.
10.5.1200°1 Решить систему уравнений
f 2 log2 (х + 2у) = log 1 (х + 2у) log 1 (х - у) + log* (х - у),
I х2 + ху - 2у2 = 9.
10.6.1200°1 Решить систему уравнений
(log2 (х + у) + log 1 (х + у) logi (г - 2у) = 2 log2(1 -
< 2 2
|х2 — ху - 2у2 = 4.
10.7.1200°1 Решить систему уравнений
Гlogj(х + 2у) + logi (х + 2у) logi (х ~ У) = 21о6з(х " у^
|х2 + ху - 2у2 = 4.
10.8.1200°1 Решить систему уравнений
f 2 log2 (х + у) = logi (х + у) logi (х - 2у) + log2 (х - 2у)>
< „ 2 2
^х2 — ху — 2у2 = 9.
СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ • ЗАДАЧИ
63
10.9.120011 Решить систему уравнений
Г 3*+у+1 + 7.3у-2 _ 8?
\y/F+y! = х + у.
10.10. '2001' Решить систему уравнений
f 2I+V+1 + 7 • 2V-S = 4,
\v/2xTy5 = x + у.
10.11.12001' Решить систему уравнений
( 5*+v+i + 1б . 5v-2 _ ю,
\у/х + у* = X + у.
10.12.12001' Решить систему уравнений
^3*+у+1 + 16.зу-з = ю,
\у/2х + у* = х + у.
10.13. t2003) Решить систему уравнений
11og5(5x - Зу - 1) _ log2(5 + 4у - Зх) - 1
log5(2y -1 + 3) log2(3x - у + 1) ’
2х2 + у2 = Ъху + х + 1.
10.14. '2003' Решить систему уравнений
{log2(i + 2у - 5) _ log3(2x - у) - 1
log2(3x - 2у + 1) log3(2x + у - 4)’
у2 + ху + 1 = 2х2 + 2 у + х.
10.15.12003! Решить систему уравнений
{log2(4 - Зх - 2у) - 1 _ log7(3x + 5у — 1)
log2(x + Зу + 1) — log7(3 - у - 2х) ’
х2 + Зху + 2у2 = у + 1.
10.16.120031 Решить систему уравнений
log3(2 - Зх - 4у) - 1 _ log5(2x - у - 5)
< log3(x - 2у - 4) log5(l - 2х - Зу) ’
2 у2 + ху + 2х = х2 + у + 1.
10.17.120041 Решить систему уравнений
Г(х - 2)(х + 3) = у{у - 5),
|logl(2 - у) = ±
64 СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ •
10.18. 120041 Решить систему уравнений
f(x-4)(x+ l) = t/(t/ + 5),
[lo«*-a(2 + y) =
v у*
10.19.1Ш41 Решить систему уравнений
((х~ 3)(х + 4) = у(у — 7),
|bgr_1(2-y) = £^i.
v у
10.20. <20041 Решить систему уравнений
f(*-l)(* + 5) = y(y + 6),
|bg^i(2 + y)«5+i.
♦л
10.21.120051 Решить систему уравнений
' ху
4-
Х2
yz
4
9
” 25
3
4
+
yz
25
XZ
9
У*
XZ
ху
.25
f
9
4
5х
1¥>
ю’
15
10.22. t2005' Решить систему уравнений
'Ш + *£_ И£ = 1+21п —
49 + 4 9 1 14>
£У + _ Н = 1 + ?1гЗ
49 + 9 4 1 + ^ш21’
Н + ££_£У = 1 . obi*
9^ 4 49 + /Ш 6 '
10.23. Р005' Решить систему уравнений
(ху
, iz _ уг _ . 2х
25 + 49 4 “ 1 + 21п35’
^ + Н _ ££ _ 1 . oir, 7У
25 + 4 49 - 1 + 21пш>
yz Х2 хУ-14_91п§£
.Т + 49'Й“1 + 21ПЙ'
10.24. t200Sl Решить систему уравнений
S
9
'*У + xz _ У£ = 1 + 21п^
^ 25 49
СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ » ЗАДАЧИ
65
10.25.12006' Решить систему уравнений
Г8у logy х + (у - 4х) logj. у = 16х + 2у,
\ 16х logy х + (у - 7х) logz у = 8х.
10.26. *20061 Решить систему уравнений
Г 16у log* у + (х - 7у) logy х = 8у,
\8х logху + (х - 4у)logyх = 2х + 16у.
10.27. 12006' Решить систему уравнений
Г8у2 logyх + (у2 - 4x2)log*y = 16х2 + 2у2,
\l6x2 logyX + (у2 - 7x2)logxy = 8х2.
10.28. I20061 Решить систему уравнений
Г16у2 log*у + (х2 - 7y2)logyx = 8у2,
\8х2 logIy + (х2 - 4y2)logyX = 2х2 + 16у2.
10.29. ^20°9' Решить систему уравнений
Г 1®62i+i(4х2 - у2 + 8х - 6у - 4) = 2,
\logy4.2(y2 + 6у - х + 14) = 2.
10.30.1200Э1 Решить систему уравнений
П°§2х-5(4г2 ~У2 ~ 16х - 8у - 7) = 2,
Uogv+3(3/2 + 8у - х + 24) = 2.
10.31.120091 Решить систему уравнений
П°б2у+з(43/2 -X2 + 16у + 6х + 13) = 2,
11обх-4(а;2 - 6х - у + 13) = 2.
10.32.120091 Решить систему уравнений
П°б2у-з(4У2 - х2 - 8у - 4х + 1) = 2,
Uogx+ifa2 + 4х - у + 11) = 2.
10.33.1201°1 Решить систему уравнений
flogх(у + 1) = 4logx+2 VУ ~ 1,
\logv_1(x + 2) = loge(^).
10.34. [20101 Решить систему уравнений
riog2v_! у/х + 2 = log2y+1x,
llog* feh)=log2v-i(x + 2)-
66
СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ • ЗЛДдчи
10.35.120101 Решить систему уравнений
flogv(x + 1) = logy+2(x - l)2,
fl°gr-i (У + 2) = logy .
10.36.f2010) Решить систему уравнений
rbgr_, Vy + % = l°gx+i У,
,ogy (£l) = log*-i^ + 2)-
11. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩИЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ И ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ ФУНКЦИИ
11.1.11992) Найти все решения уравнения
\/log2 (8х2 + 8х) = log^ (х2 + х),
удовлетворяющие неравенству cosx < tg3x.
11.2. 119921 Найти все решения уравнения
\/1°ё4х*-х 5 • log5 ^4i2 = 1»
удовлетворяющие неравенству sinx > ctg2x.
11.3.11992' Найти все решения уравнения
ф- l°gv3 (3*2 ~ 24х) = logg (х2 - 8х),
удовлетворяющие неравенству sinx < tg2x.
11.4. 119921 Найти все решения уравнения
ф°ц(х2+1х) ■ 1о8звх3+бх 6 = 1,
удовлетворяющие неравенству sinx > tg6x.
11.5.119931 Найти область определения функции
у = у log4 (1 + 6х) + | log| (1 + 7х)
11.6. 119931 Найти область определения функции
У = у bg27 (l + |*)| - log| (1 + 2х).
11.7.119931 Найти область определения функции
у = y/|log8 (l + - logi (1 + Зх).
11.8.119931 Найти область определения функции
У = ^og4(\ + Зх) + logjL ^1 + yx)|-
11.9.119961 Выразить log600 900 через а и Ь, где a = log52 и Ъ
= log2 3.
11.10.119961 Выразить log140 350 через а и Ь, где а = log7 5 и Ь
~ log5 2.
11.11.119961 Выразить log300 120 через а и Ь, где а = log2 3 и Ъ
~ bg3 5.
log«o 700 через а и Ь, где a = log, 7 „ ^
“ '11.13. [■»»»! Нейти решения (х, у) системы уравнений
flog3 (5jr — х - 2) - logs (х — к)2 = 1,
(logs (1 - ; - 4l) - 1о8з= l'
которые удовлетворяют неравенству х-у<0.
11.14.I19"1 Найти решения (х,у) системы уравнений
nog2 (Зу — Зх + 1) ~ bg4 (я ~ Зу)2 = 1,
\log2 (1-J —Зх) -log4x2 = l,
которые удовлетворяют неравенству х - Зу < 0.
11.15.[19991 Найти решения (х,у) системы уравнений
|log3 (10у - х - 2) - log9 (х - 2у)2 = 1,
\log3 (l - J - 4х) - logg х2 = 1,
которые удовлетворяют неравенству х — 2у < 0.
11.16.11999' Найти решения (х,у) системы уравнений
Jl°g2(y-3x+ 1) -log4(x-y)2 = 1,
\log2 (l ~ J ~ 3x) - log4 x2 = 1,
которые удовлетворяют неравенству x — у < 0.
11.17.12005' Найти все пары действительных чисел (х, у), для ко¬
торых справедливо равенство
bgjv^rr (2^ - yfiy/y- 1^ = zVx+y~2^.
11.18.12005) Найти все пары действительных чисел (х, у), Для к0’
торых справедливо равенство
log3vTTv (з^ + у/уу/x+lj = 2~у/х~у-2^.
11.19. f 51 Найти все пары действительных чисел (х, y)i ДлЯ
торых справедливо равенство
bg5%/jnTj (b'Sy+b - yj—2Ху/у - 1^ = 4n/v-2x-2^_
TODMX СППЯпРл1^аЙТИ BCe паРы Действительных чисел (х, у). дЛЙ К
торых справедливо равенство '
Ч^тду ^4^5 + j = 3-V^T-
у-4т/х
12. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
12.1.11991' В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана
жружность. Через точку М, лежащую на стороне АВ, проведена касатель-
[ая к окружности, пересекающая прямую АС в точке N. Найти боковую
торону треугольника АВС, если AC = CN = a, МВ = \АВ.
12.2.11991' В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана
жружность. Прямая, параллельная стороне АВ и касающаяся окружно-
:ти, пересекает сторону АС в точке М такой, что МС = § АС. Найти
)адиус окружности, если периметр треугольника АВС равен 20.
12.3.11991' В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана
жружность. Через точку М, лежащую на стороне ВС, проведена каса¬
тельная к окружности, пересекающая прямую АС в точке К. Найти АК,
>сли АС = а, АВ = § а, МВ = ^ а.
12 4 I1"!] в равнобедренный треугольник АВС(АВ = ВС) вписана
жружность. Прямая, параллельная стороне ВС и касающаяся окружно¬
сти, пересекает сторону АВ в точке N такой, что AN = \АВ. Найти
>адиус окружности, если площадь треугольника АВС равна 12.
12.5. t1991' Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного тре¬
угольника ABC (ZC = 90°). Окружность радиуса ч/15 проходит через
гочки А, С, D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ: АВ =
= 3:5. Найти площадь треугольника АВС.
12.6.11991' Отрезок BD является медианой равнобедренного тре¬
угольника АВС (АВ = ВС). Окружность радиуса 4 проходит через точ¬
ки В, A, D и пересекает сторону ВС в точке Е так, что BE : ВС = 7:8.
Найти периметр треугольника АВС.
12.7.119911 Отрезок BE является биссектрисой прямоугольного тре¬
угольника ABC (ZA = 90°). Окружность проходит через точки В, А, Е
и пересекает сторону ВС в точке D так, что BD : ВС = 5 :13. Найти
отношение площади треугольника АВС к площади круга.
12.8. t1991l Отрезок АЕ является высотой равнобедренного треуголь¬
ника АВС (АВ = АС). Окружность проходит через точки А, С, Е и
пересекает сторону АВ в точке D так, что AD : АВ = 7:9. Найти отно¬
шение длины окружности к периметру треугольника АВС.
12.9.119911 На диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD (Z.D =
— 90°, ВС || AD) взята точка Q так, что BQ : QD = 1:3. Окружность
с центром в точке Q касается прямой AD и пересекает прямую ВС в
точках Р и М. Найти длину стороны АВ, если ВС = 9, AD = 8, РМ = 4.
12.10.119911 Точки М и N являются серединами боковых сторон АС
и СВ равнобедренного треугольника АВС. Точка L расположена на ме¬
диане ВМ так, что BL: ВМ = 4:9. Окружность с центром в точке L
касается прямой MN и пересекает прямую АВ в точках Q и Т. Найти
периметр треугольника MNC, если QT = 2, АВ = 8.
12.11.119911 На диагонали АС параллелограмма ABCD взята точка Р
так, что АР : PC = 3:5. Окружность с центром в точке Р касается пря-
70
задачи ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ^
д г) о точках К и L. Точка /С лежит мвжоь
мой ВС и^пересекает отрез A w = n Найти периМетр параллело?
точками А и L, лл —
rpa^a,o?S точки К и L являются серединами боковых сторон АВ и
оавнобедренного треугольника АВС. Точка М расположена на Ме.
™что АЛ/: Л/L = 13 :12. Окружность с центром в точке М
касается прямой АС и пересекает п$мУ“*£^_1°4чках Р И Q’ Найти
периметр треугольника АВС, если I<L - 10, PQ -4.
12 13 119921 В прямоугольном треугольнике АВС из точки Е, распо¬
ложенной в середине катета ВС, опущен перпендикуляр EL на гипотену¬
зу АВ. Найти углы треугольника АВС, если АЕ = \Д0 EL и ВС > АС.
12.14.119921 В ромбе ABCD из вершины на сторону AD опущен
перпендикуляр BE. Найти углы ромба, если 2\/3 СЕ = \/7 АС.
12.15.119921 В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона в
у/2 раз меньше меньшего основания ВС, СЕ — высота. Найти периметр
трапеции, если BE = %/5, BD = \/10.
12.16.119921 В ромбе ABCD из вершины D на сторону ВС опущен пер¬
пендикуляр DK. Найти длину стороны ромба, если АС = 2л/б, АК = \/14.
12.17.119921 В остроугольном треугольнике АВС точка D выбрана на
стороне АВ так, что ZDCA = 45°. Точка D' симметрична точке D от¬
носительно прямой ВС, а точка D" симметрична точке D' относительно
прямой АС и лежит на продолжении отрезка ВС за точку С. Найти
площадь треугольника АВС, если ВС = \fbCD", АВ = 4.
12.18.1,9921 В параллелограмме ABCD угол А тупой, AD > АВ, AD=
= 7. Точка А' симметрична точке А относительно прямой BD, а точка А"
симметрична точке А' относительно прямой АС и лежит на диагонали
BD. Найти площадь параллелограмма ABCD, если В А" = \BD.
12.19.1,9921 В треугольнике АВС угол С тупой, а точка D выбрана
на продолжении стороны АВ за точку В так, что Z.ACD = 135°. Точка
D' симметрична точке D относительно прямой ВС, точка D" симмет¬
рична точке D' относительно прямой АС и лежит на прямой ВС. Найти
площадь треугольника АВС, если у/ЗВС = CD", АС = 6.
12.20.119921 В параллелограмме ABCD угол А острый, АВ > AD,
АВ = 14. Точка С симметрична точке С относительно прямой BD, а
точка С симметрична точке С' относительно прямой АС и лежит на
продолжении диагонали BD за точку D. Найти площадь параллелограм*
ма ABCD. если ВС" = | BD.
1 9 1 Высоты равнобедренного остроугольного треугольника
АВС, в котором АВ = ВС, пересекаются в точке О. Найти площадь
треугольника АВС, если АО = 5, а длина высоты AD равна 8.
12.22.1 1 Около трапеции ABCD описана окружность центр кото*
рои лежит на основании AD. Найти площадь трапеции если АВ = 3/4.
АС = 1. ’
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
71
12.23.*1992' В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и
AD диагонали пересекаются в точке О. Найти периметр трапеции, если
ВО = 7/8, OD = 25/8, IABD = 90°.
12.24.11992' В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ яв¬
ляется диаметром окружности, которая пересекает боковые стороны АС
и СВ в точках D и соответственно. Найти периметр треугольника АВС,
если AD = 2, АЕ = 8/3.
12.25.11993' Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются
в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через
вершину В, касается стороны АС и пересекает сторону АВ в точке К
такой, что В К : АК = 5:1. Найти длину стороны ВС.
12.26.11993' Биссектриса AD и высота BE остроугольного треуголь¬
ника АВС пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром
в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересекает
сторону АВ в точке К такой, что АК : КВ = 1:3. Найти длину стороны
ВС.
12.27.11993' Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются
в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через
вершину А, касается стороны ВС и пересекает сторону АС в точке М
такой, что AM : МС = 4:1. Найти длину стороны АВ.
12.28.119931 Биссектриса ВК и высота CZ остроугольного треуголь¬
ника АВС пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром
в точке О проходит через вершину В, середину стороны ВС и пересе¬
кает сторону АВ в точке М такой, что AM : МВ = 2:1. Найти длину
стороны АС.
12.29.119931 Внутри параллелограмма ABCD взята точка К так, что
треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки К
до прямых AD, АВ и ВС равны соответственно 3, 6 и 5. Найти периметр
параллелограмма.
12.30. t1993l На стороне CD параллелограмма ABCD с тупым уг¬
лом при вершине D построен равносторонний треугольник CDE так,
что точки А и Е лежат по разные стороны от прямой CD. Известно,
что растояния от точек D и Е до прямой ВС равны соответственно 3
и 8, а расстояние от точки Е до прямой АВ равно 13. Найти площадь
параллелограмма ABCD.
12.31.119931 Внутри параллелограмма KLMN взята точка Р так, что
треугольник KPN равносторонний. Известно, что расстояния от точ¬
ки Р до прямых KL, LM и MN равны соответственно 10, 3 и 6. Найти
периметр параллелограмма.
12.32.119931 На стороне KN параллелограмма KLMN с тупым уг¬
лом при вершине М построен равносторонний треугольник KTN так,
что точки Т и М лежат по разные стороны от прямой KN. Известно,
что растояния от точек Т и К до прямой MN равны соответственно 8
и 5, а расстояние от точки Т до прямой LM равно 10. Найти площадь
параллелограмма KLMN.
И пт г» планиметрии *ЗАДАЧИ-
секают описанную около нет РУ к _ 3.2. Найти углы треугольника
но, причем АЕ: AM = 2 :1. ве ■
^ ,4 И"31 Продолжения высоты СН и биссектрисы CL треугольни-
12.34. продолл нег0 окружность в точках Р и М
ка АВС пересекают У сд/ _ 9СХ. Найти углы треуголь-
соответственно, причем 4
Продолжения медиан ЛЯ и CF треугольника АВС пере¬
секают описанную около него окружность в точках D и N соответствен¬
но причем AD -. АЕ = 2А, CN : CF = 4: 3. Найти углы треугольника
АВС
12 36.119931 Продолжения высоты BD и биссектрисы BF треугольни¬
ка АВС пересекают описанную около него окружность в точках К и L
соответственно, причем BK = 2BD, BL = \BF. Найти углы треуголь¬
ника АВС.
12.37.119941 Дан ромб ABCD с тупым углом при вершине А. На
продолжении стороны AD за точку D взята точка К. Отрезки ВК и
CD пересекаются в точке L. Найти площадь треугольника АВК, если
BL = 2, KL = 5, а высота ромба равна 1.
12.38.119941 Даны треугольник АВС и ромб BDEF, все вершины
которого лежат на сторонах треугольника АВС, а угол при вершине
Е — тупой. Найти площадь треугольника АВС, если АЕ = 3, СЕ = 7,
а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1.
12.39.119941 На продолжении стороны ВС ромба ABCD за точку В
взята точка М так, что угол MDC — тупой. Отрезки АВ и DM пере¬
секаются в точке N. Найти площадь треугольника CDM, если DN = 3,
MN = 4, а высота ромба равна 2.
12.40.11994! Даны треугольник АВС с тупым углом при вершине А
и ромб CDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника
АВС. Найти площадь треугольника АВС, если АЕ = 2, BE = 7, а ра¬
диус окружности, вписанной в ромб, равен 1/2.
лвг'^лв d ^едиана и высота СЕ равнобедренного треугольника
АВС если~СР 2?е^^ка^тся в точке Я. Найти площадь треугольника
угадка'Твс^ив- wf* " б"ссект>жса CD прямоугольного тре-
тоеугоТни^5лвп ~ Пересекзются в точке О. Найти площадь
треугольника АВС, если СО = 9, OD = 5.
ка АВС1АВ-лАТ ^ И высота СН равнобедренного треугольни-
^\в{св точке *■Найти площадь W°*b'
12.44.11994) Медиана’ АП « л
угольника ABC UB = Qft°\ виссектРиса СЕ прямоугольного тре-
треугольннка АВС, если CM В Т0ЧКе М' Найти площадь
12 45 (1994] о — 5.
Р»* *В взята Spy”'
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
73
ности, проходящей через вершину С, касающейся стороны АВ в точке
В и касающейся окружности, описанной около треугольника АВС.
12.46.11994) В треугольнике АВС угол А равен л - arcsin а длина
стороны ВС равна 8. На продолжении СВ за точку В взята точка D так,
что BD= 1. Найти радиус окружности, проходящей через вершину А,
касающейся прямой ВС в точке D и касающейся окружности, описанной
около треугольника АВС.
12.47.11994* В треугольнике АВС угол В равен arccos Щ. На стороне
АС взята точка К так, что АК = 12, КС = 4. Найти радиус окружности,
проходящей через вершину В, касающейся стороны АС в точке К и
касающейся окружности, описанной около треугольника АВС.
12.48.11994' В треугольнике АВС угол А равен arccos а длина
стороны ВС равна 12. На продолжении ВС за точку С взята точка М
так, что СМ = 6. Найти радиус окружности, проходящей через верши¬
ну А, касающейся прямой ВС в точке М и касающейся окружности,
описанной около треугольника АВС.
12.49.11995! Через вершины А, В и С трапеции ABCD (AD || ВС)
проведена окружность. Известно, что окружность касается прямой CD,
а ее центр лежит на диагонали АС. Найти площадь трапеции ABCD,
если ВС = 2, AD = 8.
12.50. t1995l Окружность с центром О проходит через вершину В ром¬
ба ABCD и касается лучей СВ и CD. Найти площадь ромба, если
DO=\,OC=\.
12.51.119951 Через вершины В, С и D трапеции ABCD (AD || ВС)
проведена окружность. Известно, что окружность касается прямой АВ,
а ее центр лежит на диагонали BD. Найти периметр трапеции, если
ВС = 9, AD = 25.
12.52.119951 Окружность с центром О проходит через вершину С ром¬
ба ABCD и касается лучей DC и DA. Найти площадь ромба, если
О А = 4, OD = 5.
12.53. !19951 Через середину гипотенузы АС прямоугольного треуголь¬
ника АВС проведена прямая, пересекающая катет ВС в точке D, а про¬
должение катета АВ за точку А — в точке Е. Найти площадь треуголь¬
ника АВС, если CD = 1, АЕ = 2, LCAB = arccos |.
12.54.11995) Через середину стороны АС равнобедренного треугольника
АВС (АС = ВС) проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке
а продолжение стороны АВ за точку А — в точке Р. Найти площадь
треугольника АВС, если С К = 2, АР = 5, А АВС = arccos
12.55. t1995l Через середину катета АВ прямоугольного треугольни-
Ка АВС проведена прямая, пересекающая гипотенузу АС в точке Е, а
продолжение катета ВС за точку В — в точке F. Найти площадь тре¬
угольника АВС, если АЕ = 2, BF = 3, ZACB = 60°.
12.56.1199®1 Через середину стороны ВС равнобедренного треуголь¬
на АВС (АВ = ВС) проведена прямая, пересекающая сторону АВ
74
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ * ЗАДАЧИ
в точке D, а продолжение стороны АС за точку С в точке Е. Наити
площадь треугольника АВС, если BD - 3, СЕ - 4, ZВАС arccos 5.
12.57.119951 В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) впи¬
сана окружность с центром О. Касательная к окружности пересекает
стороны ВС и С А треугольника в точках М и N соответственно. Найти
радиус окружности, если LMNC = 2LNMC% ОМ = vlO* ON = 15/4.
12 58.11995) Вокруг окружности с центром О описана трапеция
ABCD, в которой ВС || AD, ВС < AD. Продолжения боковых сторон
трапеции пересекаются в точке М. Найти радиус окружности, если
МВ = ВС, ОВ = у/Ь, ОС = \/2.
12.59. t1995' В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) впи¬
сана окружность с центром О. Касательная к окружности пересекает
стороны АВ и АС треугольника в точках D и Е соответственно. Найти
радиус окружности, если ZADE = 2ZAED, OD = 3\/5, ОЕ = Ау/2.
12.60.119951 Вокруг окружности с центром О описана трапеция
ABCD, в которой ВС || AD, ВС < AD. Продолжения боковых сторон
трапеции пересекаются в точке К. Найти радиус окружности, если ВС =
= КС, ОВ = 2,ОС = у/ь.
12.61.11996' Равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписан в
окружность. Прямая CD, перпендикулярная АВ, пересекает окружность
в точке Р. Касательная к окружности, проходящая через точку Р, пе¬
ресекает прямую АВ в точке Q. Найти длины отрезков РА и PQ, если
АС = 5, ZABC = 2 arccos yj|.
12.62.11996! Около равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС)
описана окружность. Биссектриса угла ВАС пересекает окружность
в точке D. Касательная к окружности, проходящая через точку D, пе¬
ресекает прямую АС в точке Е. Найти длины отрезков CD и DE, если
АВ = 8, ZBAC = 2arcsin-^».
12.63.11996' Равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписан в
окружность. Прямая AD, перпендикулярная ВС, пересекает окружность
в точке М. Касательная к окружности, проходящая через точку М, пе¬
ресекает прямую ВС в точке N. Найти длины отрезков МС и MN, если
АС = 8, ZABC = 2 arccos .
12.64. t1996l Около равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС)
описана окружность. Биссектриса угла ВСА пересекает окружность
в точке К. Касательная к окружности, проходящая через точку К, пе¬
ресекает прямую АС в точке L. Найти длины отрезков К А и KL, если
АВ = 12. ZBCA = 2arcsln
12'65‘ Ч?61 В РавнобедРенном треугольнике АВС (АВ = ВС) бис-
4*/,и вк пересекаются в точке О. Площади треугольников
^ соотв®тственно равны 25 и 30. Найти площадь треуголь¬
ника АВС и проекцию отрезка ОМ на прямую ВС.
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
75
12.66.119961 В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) бис
сектрисы AM и пересекаются в точке О. Площадь треугольника
СОК равна 3, угол ВС А равен arccos^. Найти площадь треугольника
СОМ и проекцию отрезка AM на прямую ВС.
12.67. 119961 В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) бис¬
сектрисы СМ и ВК пересекаются в точке О. Площади треугольников
ВОМ и АОМ соответственно равны 25 и 40. Найти площадь треуголь¬
ника АВС и проекцию отрезка ОМ на прямую АВ.
12.68.119961 В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) бис¬
сектрисы СМ и ВК пересекаются в точке О. Площадь треугольника
АОК равна 10, угол ВС А равен arccosj|. Найти площадь треугольника
АОМ и проекцию отрезка СМ на прямую АВ.
12.69.119961 Окружность с центром на стороне АС равнобедренного
треугольника АВС (АВ = ВС) касается сторон АВ и ВС. Найти радиус
окружности, если площадь треугольника АВС равна 25, а отношение
высоты BD к стороне АС равно §.
12.70.119961 Центр окружности, касающейся катетов АС и ВС прямо¬
угольного треугольника АВС, лежит на гипотенузе АВ. Найти радиус
окружности, если он в шесть раз меньше суммы катетов, а площадь
треугольника АВС равна 27.
12.71.119961 Окружность с центром на стороне АС равнобедренного
треугольника АВС (АВ = ВС) касается сторон АВ и ВС, а сторону
АС делит на три равные части. Найти радиус окружности, если площадь
треугольника АВС равна 9>/2.
12.72.119961 Центр окружности, касающейся катетов АС и ВС прямо¬
угольного треугольника АВС, лежит на гипотенузе АВ. Найти диаметр
окружности, если он в четыре раза меньше суммы катетов, а площадь
треугольника АВС равна 16.
12.73.119971 В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна основа¬
ниям AD и ВС. Окружность касается стороны АВ в точке К, лежащей
между точками А и В, имеет с отрезком ВС единственную общую точку
С, проходит через точку D и пересекает отрезок AD в точке Е (Е Ф D).
Найти расстояние от точки К до прямой CD, если AD = 48, ВС = 12.
12.74.11"7! Окружность касается сторон АС и ВС треугольника
АВС в точках А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежа¬
щей внутри треугольника, расположена точка К так, что расстояния от
н*е до сторон АС и ВС равны 6 и 24 соответственно. Найти расстояние
от точки К до стороны АВ.
12.75.119971 В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна основа-
ниям AD и ВС. Окружность касается стороны АВ в точке К, лежащей
между точками А и В, проходит через точки С н D, пересекает отрезки
AD и ВС в их внутренних точках. Найти расстояние от точки К до
пРямой CD, если AD = 49, ВС = 36.
12.76.119971 Окружность касается сторон АС и ВС треугольника
АвС в точках А и В соответственно. На дуге этой окружности, ле-
76
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ « ЗАДАЧИ
жяШей вне треугольника, расположена точка * так, что расстояния 0т
*ее до продолжений сторон АС и ВС равны 39 и 156 соответственно.
Найти расстояние от точки К до прямой АВ.
12 77 В треугольнике АВС нз сторонзх АС и ВС рзсположены
точки D и Е соответственно так. что BD — биссектриса треугольника
ABC, DC = CE= BD = 2, /.АВС = /ADB. Найти ВС и площадь
5 треугольника АВС.
12 78.119971 В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС расположены
точки С и Е соответственно так, что CD — биссектриса треугольника
ABC, DE — биссектриса треугольника ACD, ЕС = ED = |, ВС = 1.
Найти CD и площадь 5 треугольника АВС.
12.79.119971 В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС расположены
точки Е и D соответственно так, что СЕ — биссектриса треугольника
ABC, ED = AD = |, С А = 4, /АСВ = /СЕВ. Найти СЕ и площадь S
треугольника АВС.
12.80.119971 В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС расположены
точки Е и D соответственно так, что AD — биссектриса треугольника
ABC, DE — биссектриса треугольника ABD, АЕ = ED = CD = |.
Найти АС и площадь 5 треугольника АВС.
12.81.119971 Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треуголь¬
ник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья па¬
раллельна одной из сторон ромба и равна 5. Найти сторону ромба.
12.82.119971 Около окружности описаны ромб со стороной 3 и тре¬
угольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья
параллельна одной из сторон ромба и равна 7. Найти радиус окружности.
12.83.119971 Около окружности радиуса 1 описаны ромб и треуголь¬
ник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья па¬
раллельна одной из сторон ромба и равна 7. Найти сторону ромба.
12.84.119971 Около окружности описаны ромб со стороной 4 и тре¬
угольник, две стороны которого параллельны диагоналям ромба, а третья
параллельна одной из сторон ромба и равна 9. Найти радиус окружности.
12.85.119981 В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямо¬
го угла С проведена медиана CD. Найти расстояние между центрами
окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, если ВС = 4, а
радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5/2.
12.86.119981 В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого
угла С проведена медиана CD. В треугольник ACD вписана окружность,
а около треугольника BCD описана окружность. Найти расстояние меж¬
ду центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около
треугольника АВС окружности равен 5/2.
^ ^ Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точ-
Srn^uutHTI1Я!л"*ду Центрами окружностей, вписанных в тре¬
угольники АОВ и ВОС, если ВС = 8, ВD = 10.
rn 9981 ® пРямоугольном треугольнике АВС из вершины прямо¬
го угла С проведена медиана CD. Около треугольника ACD описана
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ ♦ ЗАДАЧИ
77
ружность, а в треугольник BCD вписана окружность. Найти расстоя-
2 между Центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус опием-
ОЙ ОКОЛО треугольника АВС окружности равен 5/2.
Н 12.89.119981 Сторона ромба ABCD равна 6. Расстояние между центра¬
ми окружностей, описанных около треугольников АВС и BCD, равно 8
Найти радиусы этих окружностей.
12.90.[19981 Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных око¬
ло треугольников ABD и ACD, равны 3 и 4. Найти расстояние между
центрами этих окружностей. У
12.91.11998' Сторона ромба ABCD равна 4. Расстояние между центра¬
ми окружностей, описанных около треугольников ACD и ABD, равно 3.
Найти радиусы этих окружностей.
12.92.11998' Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных око¬
ло треугольников АВС и BCD, равны 1 и 2. Найти расстояние между
центрами этих окружностей.
12.93.11999' Окружность с центром на диагонали АС параллелограм¬
ма ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти сто¬
роны параллелограмма, если его площадь S = л/2, а /.ВАС = arcsinj.
12.94.11999' Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти сто¬
роны параллелограмма, если его площадь S = 2\/5, а /ВАС = arctg-^-.
12.95.119?9! Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти сто¬
роны параллелограмма, если его площадь S = 4, а /ВАС = arccos |.
12.96.119"1 Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти сто¬
роны параллелограмма, если его площадь S = 2\/7, а /ВАС = aictg^-.
12.97.119"1 Медиана АЕ и биссектриса CD равнобедренного тре¬
угольника АВС (АВ = ВС) пересекаются в точке М. Прямая, проходя¬
щая через М параллельно АС, пересекает АВ и ВС в точках Р и Q
соответственно. Найти MQ и радиус окружности, описанной около тре¬
угольника PQB, если АС = 4, /АСВ = arctg(2\/2).
12.98.119"] в треугольнике АВС, где АВ = ВС = 3, /АВС —
= arccos 1, проведены медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся
8 точке М. Через М проведена прямая, параллельная АС и пересекаю¬
щая стороны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно. Найти РМ и
Радиус окружности, вписанной в треугольник PQB.
12.99.119") Медиана АЕ и биссектриса CD равнобедренного тре¬
угольника АВС (АВ = ВС) пересекаются в точке М. Прямая, проходя
^ чеРез М параллельно АС, пересекает стороны АВ и
" Q соответственно. Найти EQ и радиус окружности, описанной окол
РеУгольника PQB, если АВ = 4, а /САВ = arccos 5.
задачи ПО ПЛАНИМЕТРИИ « ЗАДАЧИ^
12 100 I19"1 в треугольнике АВС, где АВ ВС 5. /АВС ^
— 2 arcsin ^ проведены медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся
= 2arcsm у прш, « прямая, параллельная АС и пересев.
о аГчрпрз М проведена прямая, параллельная ас и пересека-
■Гая“Доны S к ВС . точках Р к Q соответственно. Найти АР ,
радиус окружности, вписанной в тРеУго^ь”ик555с
12 101 120001 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Д лежат на
окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке D. Наити радиус
12 102.120001 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на
окружности которая пересекает отрезок ВС в точке D. Найти длину
отрезка CD, если ZАВС = 2 arcsin а радиус окружности R = 5.
12.103.120001 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на
окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке D. Найти радиус
окружности, если АС = 3, CD = 2.
12.104.120001 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на
окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке D. Найти радиус
окружности, если ZАВС = 2arctg^, CD = 8.
12.105.120001 Окружности С\ и С2 внешне касаются в точке А. Пря¬
мая I касается окружности Ci в точке В, а окружности С2 — в точке D.
Через точку А проведены две прямые: одна проходит через точку В и
пересекает окружность С2 в точке F, а другая касается окружностей С\
и С2 и пересекает прямую I в точке Е. Найти радиусы окружностей С\
и С2, если AF = Зу/2, BE = у/Ь.
12.106.120001 Окружности Ci и С2 внешне касаются в точке А. Пря¬
мая I касается окружности Сх в точке В, а окружности С2 — в точке
D. Через точку А проведены две прямые: одна проходит через точку В
и пересекает окружность С2 в точке Е, а другая касается окружностей
Ci и С2 и пересекает I в точке F. Найти радиусы окружностей Ci и С2,
если АВ = 4, EF = УШ.
12.107.120001 Окружности Ci и С2 внешне касаются в точке А. Пря*
мая I касается окружности Cj в точке В, а окружности С2 — в точке D-
ерез точку А проведены две прямые: одна проходит через точку В и пе¬
ресекает окружность С2 в точке F, а другая касается окружностей С\
2 и пересекает прямую I в точке Е. Найти радиусы окружностей Ci
и С2, если АЕ = 3, AF = 4>/3.
мая^кягя» * Окружности Ci и С2 внешне касаются в точке А. ПрД'
^ез T04KV j Г™0™ Cl В Т0ЧКе а окружности С2 - в точке D.
ресекает окоужногт1!1г’Ы АВС прямые: одна проходит через точку В ип®
^ 2 в точке Е, а другая касается окружностей Ci
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
79
и Сг и пресекает I в точке F. Найти радиусы окружностей Сг и С2, если
АЕ = 1. ef=72-
12.109.12001' Через точку А проведены две прямые: одна из них ка¬
сается окружности в точке В, а другая пересекает эту окружность в
точках С и D так, что D лежит на отрезке АС. Найти АВ, CD и радиус
окружности, если ВС = 4, BD = 3, /ВАС = arccos
12.110.120011 Через точку А проведены две прямые: одна из них каса¬
ется окружности в точке В, а другая пересекает эту окружность в точках
С и D так, что точка С лежит на отрезке AD. Найти АС, ВС и радиус
окружности, если BD = 5, /.ВАС = arcsin /BDC = arccos у^.
12.111-120011 Через точку А проведены две прямые: одна из них ка¬
сается окружности в точке В, а другая пересекает эту окружность в
точках С и D так, что D лежит на отрезке АС. Найти AD, CD и радиус
окружности, если АВ = 3\/П, ВС = 8 и /ABD = arcsin \ .
12.112.120011 Через точку А проведены две прямые: одна из них ка¬
сается окружности в точке В, а другая пересекает эту окружность в
точках С и D так, что С лежит на отрезке AD. Найти АВ, ВС и радиус
окружности, если CD = 1, /ВАС = arcsin -^=, /BCD = arccos у^.
12.113.120011 В треугольнике АВС таком, что АВ = ВС = 4 и АС =
= 2, проведены биссектриса AAi, медиана BBi и высота СС\. Найти
площадь треугольника, образованного пересечением прямых:
1) АС, ААх и СCi,
2) АА\, ВВ\ и СС\.
12.114.120011 В треугольнике АВС таком, что АВ = ВС = б и АС =
= 2, проведены медиана AAi, высота ВВ\ и биссектриса СС\. Найти
площадь треугольника, образованного пересечением прямых:
1) BBi, CCi и ВС\
2) AAi, BBi и CCi.
12.115.120011 В треугольнике АВС таком, что АВ = ВС = 4 и АС =
= 2, проведены медиана AAi, биссектриса BBi и высота CCi. Найти
площадь треугольника, образованного пересечением прямых:
1) АВ, AAi и BBi,
2) AAi, BBi и CCi.
12.116.120011 В треугольнике АВС таком, что АВ = ВС = б и АС -
= 2, проведены биссектриса AAi, высота ВВi и высота CCi. Найти пло¬
щадь треугольника, образованного пересечением прямых:
1) АВ, AAi и ВВй
2) AAU BBi и CCi. ^ .
12.117.120011 Окружность Ci радиуса 2^6 с центром Оi и окруж¬
ность С2 радиуса \/б с центром 02 расположены так, что Oi 2 — ■
Прямая li касается окружностей в точках Ai и А2, а 2 ой i
Ках Bi и В2. Окружности Ci и С2 лежат по одну сторо у Р
во
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ » ЗАДАЧИ
и по оазные стороны от прямой 12, А\ е Сх, Вх € Сх, Л2 € С2, В2 <Е С2,
?о™и л” и ВХ лежат по разные стороны относительно прямой 0,0,.
Через точку В проведена прямая i3, перпендикулярная прямой:Пря-
маТ', пересекает прямую h в точке Л, а прямую 1Э - в точке В. Найти
АХА2, ВХВ2 И стороны треугольника АВВ2■
12.118.120011 Окружность С\ радиуса 2v3 с центром Ох и окруж¬
ность Сг радиуса Jb с центром 02 расположены так, что ООх = 2\/Гз.
Прямая /1 касается окружностей в точках Ах и Л2, а прямая 12 — в точ¬
ках Вх и В2. Окружности Сх и С2 лежат по одну сторону от прямой 1Х
и по разные стороны от прямой l2, Ах е Сх, Вх SCX, Л2 е С2, В2 е С2,
точки Ах и Вх лежат по разные стороны относительно прямой 0Х02.
Через точку Вх проведена прямая /3, перпендикулярная прямой 12. Пря¬
мая 1Х пересекает прямую 12 в точке Л, а прямую 13 — в точке В. Найти
Л1Л2. ВХВ2 и стороны треугольника АВВХ.
12.119.120011 Окружность Ci радиуса 2\/б с центром Ох и окруж¬
ность С2 радиуса %/б с центром 02 расположены так, что 0i02 = -/70.
Прямая 1Х касается окружностей в точках Ах и Л2, а прямая 12 — в точ¬
ках Вх и В2. Окружности Ci и С2 лежат по одну сторону от прямой 1Х
и по разные стороны от прямой 12, Ах е Сх, Вх е. Сх, А2 е С2, В2 е С2,
точки А2 и В2 лежат по разные стороны относительно прямой 0i02.
Через точку Вх проведена прямая /3, перпендикулярная прямой 12. Пря¬
мая 1Х пересекает прямую 12 в точке Л, а прямую /3 — в точке В. Найти
Л1Л2, ВХВ2 и стороны треугольника АВВХ.
12.120.120011 Окружность Ci радиуса 2>/3 с центром Oi и окруж¬
ность С2 радиуса y/z с центром 02 расположены так, что 0i02 — 2y/lZ.
Прямая 1Х касается окружностей в точках Л1 и Л2, а прямая 12 — в точ¬
ках Вх и В2. Окружности Ci и С2 лежат по одну сторону от прямой 1Х
и по разные стороны от прямой 12, Ах е Сх, ВхеСх, Л2 € С2, В2 € С2,
точки А2 и В2 лежат по разные стороны относительно прямой 0i02-
Через точку В2 проведена прямая /3, перпендикулярная прямой 12. Пря¬
мая /1 пересекает прямую 12 в точке Л, а прямую 13 — в точке В. Найти
Л1Л2. ВХВ2 и стороны треугольника АВВ2.
12.121.120021 В равнобедренной трапеции ABCD (ВС || AD) окруж¬
ность касается основания ВС, боковых сторон АВ и CD и проходит
через точку пересечения диагоналей АС и BD. Найти радиус окружно¬
сти, если AD: ВС = 9: 7, а площадь трапеции 5 = 8.
12.122.120021 В равнобедренной трапеции ABCD (ВС || AD) окруж¬
ность касается основания AD, боковых сторон АВ и CD и проходит
через точку пересечения диагоналей АС и BD. Найти радиус окружно¬
сти, если AD^ ВС = 7: 5, а площадь трапеции 5 = 4.
12.123.120021 В равнобедренной трапеции ABCD (ВС II AD) окруж¬
ность касается основания ВС, боковых сторон АВ и CD и проходит
стГе^Л "еРд^чения диагоналей АС и BD. Найти радиус окружно¬
сти, если ли . ВС = 5:4, а площадь трапеции 5 = 3.
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
81
12.124.120021 в равнобедренной трапеции ABCD (ВС II AD) окгт*
ность касается основания AD, боковых сторон АВ и BD и проходит
через точку пересечения диагоналей АС и BD. Найти радиус окружно¬
сти, если AD : ВС — о : 3, а площадь трапеции S = 9.
12.125.120021 Один из углов треугольника равен Зя/4, радиус впи¬
санной в него окружности равен 4, а периметр треугольника равен
16(6 + у/2). Найти радиус окружности, описанной около этого треуголь-
12.126.120021 Один из углов треугольника равен л/4, радиус вписан¬
ной в него окружности равен 2 (2-^2), а радиус описанной вокруг него
окружности равен 3. Найти площадь этого треугольника.
12.127.120021 Один из углов треугольника равен л/6, радиус описан¬
ной окружности равен 3 (2^3-1), а периметр треугольника равен 16\/3.
Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
12.128.120021 Один из углов треугольника равен 5л/6, радиус вписан¬
ной окружности равен 1, а площадь треугольника равна 13^3. Найти
радиус окружности, описанной около этого треугольника.
12.129.120021 Окружность с центром на стороне АВ равнобедренного
треугольника АВС (АВ = ВС) касается отрезка АС в точке F, пересе¬
кает отрезок ВС а точке G, проходит через точку В и пересекает отрезок
АВ в точке Е, причем АЕ = a, ZBFG = у. Найти радиус окружности.
12.130.120021 Окружность с центром на стороне АВ равнобедренно¬
го треугольника АВС (АВ = ВС) проходит через точку А, пересекает
отрезок АС в точке F, касается отрезка ВС в точке G и пересекает
отрезок АВ в точке Е, причем GC/BG = >/3 — 1, FG = а. Найти радиус
окружности.
12.131.120021 Окружность с центром на стороне АВ равнобедренного
треугольника АВС (АВ = ВС) касается отрезка АС в точке F, пересе¬
кает отрезок ВС в точке G, проходит через точку В и пересекает отрезок
АВ в точке Е, причем GC = a, Z.BFG = у. Найти радиус окружности.
12.132.12002) Окружность с центром на стороне АВ равнобедренного
треугольника АВС (АВ = ВС) проходит через точку А, пересекает отре¬
зок АС в точке F, касается отрезка ВС в точке G и пересекает отрезок
АВ в точке Е, причем GC = BG, FC = а. Найти радиус окружности.
12.133. t2003l Окружность с центром на диагонали АС трапеции
ABCD (BC\\AD) проходит через вершины А и В, касается стороны
CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е. Найти площадь
трапеции ABCD, если CD = 6\/13, АЕ = 8.
12.134. [2ооз] Окружность с центром на диагонали АС трапеции
jDCD (BC\\AD) проходит через вершины А и В, касается стороны
°D в точке С и пересекает основание AD в точке Е. Наити площадь
трапеции ABCD, если BE = 26, DE = 9\/l3.
12.135.120°з] Окоужность с центром на диагонали АС трапеции
(БС|И^) пРроГит через вершины А и В, касается стороны
ЗАДАЧИ ™ планиметрии» задачи_
СЛ . точка С и „ерасак- ~0^° ™“ * Н"™
'рапеаии 'с „а диагонали АС трапеции
ЛЯСО ШСМО) ""ходит через вершины А и S касается стороны
cf. то'чкГс и пересекает основание^ в точке Е. Наити „лошадь
ABCD с меньшим основанием ВС и пло¬
щадью. равной 2. прямые ВС и AD касаются окружности диаметром^
в точках Ви£) соответственно. Боковые стороны трапеции АВ и CD
точках М и N соответственно. Длина MN
пересекают окружность в точках и j» ции.к.ц.икппы, ^
равна 1. Найти величину угла MBN и длину основания AD.
12 138 I2003* В трапеции ABCD с большим основанием ВС и площа¬
дью. равной 4л/3. прямые ВС и AD касаются окружности диаметром 2
в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции АВ и CD
пересекают окружность в точках М и N соответственно. Длина MN
равна Л Найти величину угла MDN и длину основания ВС.
12.139.120031 В трапеции ABCD с меньшим основанием ВС и пло¬
щадью. равной 4, прямые ВС и AD касаются окружности диаметром 2
в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции АВ и CD
пересекают окружность в точках М и N соответственно. Длина MN
равна Л Найти величину угла MBN и длину основания AD.
12.140.120031 В трапеции ABCD с большим основанием ВС и пло¬
щадью, равной \2-Л, прямые ВС и AD касаются окружности диамет¬
ром 2\/3 в точках В и D соответственно. Боковые стороны трапеции АВ
и CD пересекают окружность в точках М и N соответственно. Длина
MN равна 3. Найти величину угла MDN и длину основания ВС.
12.141.120031 Дан треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 5. медиана
AD = л/97/2. На биссектрисе СЕ выбрана точка F такая, что CF =
-СЕ/5. Через точку F проведена прямая /, параллельная ВС. Найти
расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС,
до прямой I.
12.142.120031 Дан треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 5, а ра¬
диус описанной окружности равен 25/8. На высоте CD выбрана точка Е
И через Т0ЧКУ & проведена прямая I, параллель-
ник АВС.^'Г °Т ЦеНТр3 0кружности- вписанной в треуголь-
12.143.120031 Дан треугольник АВС, в котором АВ = ВС АС = 6-
™Тг\Тз',а сТ*сд/И5 Т"3/2' На “'диаие с6 выбрак,а
параллельная ВС Няйти no D Через точку Е проведена прямая /.
около треугольника” БС, доТрям^йГ ОКружности' описанн0Й
12.144 120031 Пои . ф М0И 1.
высота AD = 24/5 На биггТ"ЬНИК ™С' в К0Т0Р0М АВ = ВС, АС = б-
- CE/t. Чаразточв св точка F токая, iro СЕ -
Р дена прямая I, параллельная ВС. Найти
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
83
расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник АВС, до
прямой /.
12.145. '2 В параллелограмме ABCD прямые 1\ и /г являются бис¬
сектрисами углов А и С соответственно, а прямые mi и ш2 - биссек¬
трисами углов В и D соответственно. Расстояние между Zi и /2 в /3 раз
меньше расстояния между mi и т2. Найти угол BAD и радиус окруж¬
ности, вписанной в треугольник ABD, если АС = ,/22/3, BD = 2.
12.146.12004* В параллелограмме ABCD прямые 1\ и /г являются бис¬
сектрисами углов А и С соответственно, а прямые mi и ш2 - биссек¬
трисами углов В и D соответственно. Расстояние между Zi и /2 в /3 раз
больше расстояния между mi и т2. Найти угол BAD и радиус окруж¬
ности, вписанной в треугольник АВС, если АС = 4, BD = V22.
12.147. t2004l В параллелограмме ABCD прямые 1\ и Z2 являются бис¬
сектрисами углов А и С соответственно, а прямые mi и т2 - биссек¬
трисами углов В и D соответственно. Расстояние между Zi и Z2 в /3 раз
меньше расстояния между mi и т2. Найти угол BAD и радиус окруж¬
ности, вписанной в треугольник ABD, если АС = /41/3, BD = 3.
12.148.120041 В параллелограмме ABCD прямые Zi и Z2 являются бис¬
сектрисами углов А и С соответственно, а прямые mi и т2 - биссек¬
трисами углов В и D соответственно. Расстояние между Zi и /2 в /3 раз
больше расстояния между mi и т2. Найти угол BAD и радиус окруж¬
ности, вписанной в треугольник АВС, если АС = 3, BD = /59/3.
12.149.12004) Какая наименьшая площадь может быть у треугольника
АОС, вершина О которого лежит на катете ВС прямоугольного тре¬
угольника АВС и является центром окружности радиуса R, касающейся
гипотенузы АС и проходящей через точку 5?
12.150.120041 Какая наименьшая площадь может быть у прямоуголь¬
ного треугольника АВС, в котором окружность радиуса R с центром на
катете АВ касается гипотенузы АС и проходит через точку В?
12.151.120041 Какая наименьшая длина может быть у гипотенузы АС
прямоугольного треугольника АВС, в котором окружность радиуса R
с центром на катете ВС касается стороны АС и проходит через точку 5?
12.152.120041 Какое наименьшее значение может быть у суммы длин
катета ВС и гипотенузы АС прямоугольного треугольника АВС, в ко¬
тором окружность радиуса R с центром на катете АВ касается стороны
•4С и проходит через точку В?
12.153.120041 Четырехугольник, один из углов которого равен arctg|,
вписан в окружность радиуса /6 и описан около окружности радиуса 1.
Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями.
12.154. [20041 Четырехугольник, один из углов которого равен arcsin|,
вписан в окружность радиуса /15 и описан около окружности радиуса 2.
**зйти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями.
ЗАДАЧИ ПЛ ПЛАНИМЕТРИИ «ЗАДАЧИ.
12.155.
[2004|
углов которого равен
в^кружнГГраТиус^УЗ и описан около окружности
раГуса 1' НайГи плоЕ^четырехугольника и угол между его Диагона-
[2004] четырехугольник, один из углов которого равен
arccos^ вписан в окружность радиуса 2v/l0 и описан около окружности
радиуса^ Найти площадь четырехугольника и угол между его диагона-
ЛЯМ1И; 157.120051 Через центр О окружности ft, описанной около тре¬
угольника АВС. проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая
стороны АВ и АС в точках В, и С, соответственно Окружность «
проходит через точки Вь С, и касается ft в точке К. Наити угол меж¬
ду прямыми АК и ВС. Найти площадь треугольника АВС и радиус
окружности ft. если В^ = 6, АК = 6, а расстояние между прямыми
ВС и В\С\ равно 2.
12.158.120051 Через центр О окружности ft, описанной около тре¬
угольника АВС, проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая
стороны АВ и АС в точках Bi и Сх соответственно. Окружность <о
проходит через точки Вь Ci и касается ft в точке К. Найти угол меж¬
ду прямыми АК и ВС. Найти площадь треугольника АВС и радиус
окружности ft, если ВС = 9, АК = 8, BjCi = 6.
12.159.120051 Через центр О окружности ft, описанной около тре¬
угольника АВС, проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая
стороны АВ и АС в точках В\ и С\ соответственно. Окружность о
проходит через точки Вь С\ и касается ft в точке К. Найти площадь
треугольника АВС и радиус окружности ft, если В\С\ = 6, АК = 6,
а расстояние между прямыми ВС и BiCi равно 1.
12.160.120051 Через центр О окружности ft, описанной около тре¬
угольника АВС, проведена прямая, параллельная ВС и пересекающая
стороны АВ и АС в точках В\ и С\ соответственно. Окружность о)
проходит через точки Вь С\ и касается ft в точке К. Найти угол меж¬
ду прямыми АК и ВС. Найти площадь треугольника АВС и радиус
окружности ft, если ВС = 8, АК = 5, BjCi = 5.
12.161.12005! Найти стороны параллелограмма ABCD, в котором ра¬
диусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ABD, рав¬
ны 5 и уДз соответственно, а расстояние между центрами этих окруж*
ностеи равно 2.
120051 Н,аЙТИ СТ0Р0НЫ параллелограмма ABCD, в котором ра¬
диусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ABD, рав-
ноЫстей^вно4ООТВеТСТВеНН0, 3 расстояние меж*У «играми этих окруж-
диусы"OKDVTKHocTf^fi Йпп Стороны паРаллелограмма ABCD, в котором ра¬
ны 17 и /55 Й' описанных около треугольников АВС и ABD, раз¬
ностей равно C10°TBeTCTBeHHO’ 3 расстояние между центрами этих окруж*
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
85
12.164.|2005) Найти стороны параллелограмма ABCD, в котором ра¬
диусы окружностей, описанных около треугольников АВС и ABD, рав¬
ны 13 и V29 соответственно, а расстояние между центрами этих окруж¬
ностей равно 10.
12.165.120051 В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и CD.
Найти длины отрезков CD, СЕ, DE и расстояние между центрами
окружностей — вписанной в треугольник АВС и описанной около тре¬
угольника АВС, — если АС = 2, ВС = 4, ZACB = arccosjg.
12.166.120051 В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и CD.
Найти длины отрезков AD, СЕ, радиус окружности, описанной около
треугольника BCD, и расстояние между центрами окружностей — впи¬
санной в треугольник АВС и описанной около треугольника АВС, —
если АС = 2, ВС = 4, ZACB = 2arccos^^.
12.167.120051 В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и CD.
Найти длины отрезков АВ, СЕ, DE и расстояние между центрами
окружностей — вписанной в треугольник АВС и описанной около тре¬
угольника АВС, — если АС = 2, ВС = 4, CD = \/б.
12.168.120051 В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и CD.
Найти длины отрезков BD, АЕ, радиус окружности, описанной около
треугольника CDE, и расстояние между центрами окружностей, впи¬
санной в треугольник АВС и описанной около треугольника АВС, если
АС = 2, ВС — 4, CD = у/6.
12.169.120061 Пятиугольник ABCDE описан около окружности. Из¬
вестно, что АВ = ВС, CD = DE, АЕ = 6, АС = 8, СЕ = 7. Найти ра¬
диус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол BCD.
12.170. 120061 Пятиугольник ABCDE описан около окружности. Из¬
вестно, что АВ = ВС, АЕ = DE, CD = 7, АС = 8, AD = 9. Найти ра¬
диус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол ЕАВ.
12.171.120061 Пятиугольник ABCDE описан около окружности. Из¬
вестно, что АВ = АЕ, ВС = CD, DE = 5, BD = 7, BE = 9. Найти ра¬
диус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол АВС.
12.172.120061 Пятиугольник ABCDE описан около окружности. Из¬
вестно, что ВС = CD, АЕ = DE, АВ = 8, AD = 9, BD = 10. Найти ра¬
диус окружности, вписанной в пятиугольник, и угол CDE.
12.173. 120061 Треугольник АВС вписан в окружность О радиуса R,
точки К, L, М — середины отрезков АВ, ВС, АС соответственно.
Окружности ОьС>2 и Оз проведены через точки К, L и М соответ¬
ственно, касаются окружности О и каждая имеет с треугольником АВС
единственную общую точку. Найти радиус окружности Оз, если радиусы
дружностей Oi и Оз равны 1Д и {я соответственно.
12.174.120061 Треугольник АВС вписан в окружность О радиуса R,
точки К и М — середины отрезков АВ и АС соответственно, угол ВАС
Равен л/3. Окружности Oj и Оз проведены через точки К и М соответ¬
ственно, касаются окружности О и каждая имеет с треугольником АВС
86
задачи по ПЛАНИМЕТРИИ » ЗАДАЧИ
единственную общую точку. Найти радиус окружности О», если радИус
°КР12 1^5 Треугольник АВС вписан в окружность О радиуса Rt
точки К и М - середины отрезков АВ и АС соответственно, отрезок
ВС оавен «Я Окружности Ох и 02 проведены через точки К и Л/ со¬
ответственно, касаются окружности О и каждая имеет с треугольником
АВС единственную общую точку. Найти радиус окружности О2, если
радиус окружности 0\ равен 3R■
12.176.120061 Треугольник АВС вписан в окружность О радиуса R,
точка А/ - середина отрезка АС, отрезок АВ равен R, угол ВАС равен
gjcsin 1. Окружность 0\ проведена через точку М, касается окружно¬
сти О и имеет с треугольником АВС единственную общую точку. Найти
радиус окружности 0\.
12.177.120061 В треугольнике АВС угол АСВ прямой, АВ = 21. Бис¬
сектриса угла ВАС и медиана ВР пересекаются в точке О. Окружность
радиуса 3 с центром О пересекает сторону АВ в точках К и L (К лежит
между А и L), пересекает сторону АС в точках М и N (М лежит между
А и N) и касается стороны ВС в точке Т. Найти АС, угол KON, AM.
12.178.120061 В треугольнике АВС угол АСВ прямой, АВ = 55. Бис¬
сектриса угла АВС и медиана АР пересекаются в точке О. Окружность
радиуса 5 с центром О пересекает сторону АВ в точках К и L (L лежит
между А и К), пересекает сторону ВС в точках М и N (М лежит между
В и N) и касается стороны АС в точке Т. Найти ВС, угол KON, ВЫ.
12.179.120061 В треугольнике АВС угол АСВ прямой, АВ = 36. Бис¬
сектриса угла ВАС и медиана ВР пересекаются в точке О. Окружность
радиуса 4 с центром О пересекает сторону АВ в точках К и L (К лежит
между А и L), пересекает сторону АС в точках М и N (М лежит между
А и N) и касается стороны ВС в точке Т. Найти АС, угол MOL, СМ.
12.180.120061 В треугольнике АВС угол АСВ прямой, АВ = 12. Бис¬
сектриса угла АВС и медиана АР пересекаются в точке О. Окружность
радиуса 3 с центром О пересекает сторону АВ в точках К и L (L лежит
между А и К), пересекает сторону ВС в точках М и N (М лежит между
в и N) и касается стороны АС в точке Г. Найти ВС, угол MOL, СМ.
12.181. 120061 Найти острые углы и площадь прямоугольного треуголь¬
ника, если угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вер¬
шины прямого угла треугольника, равен а, а длина биссектрисы равна I-
12.182. 20061 Найти острые углы и площадь прямоугольного треуголь¬
ника, если угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вер¬
шины пРям°г£Угла треугольника, равен а, а длина медианы равна тп.
12.183. J Площадь прямоугольного треугольника равна S, угол
между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого уг-
Л3’ °СТрЫе УМЫ тРеУгольника и Длину биссектрисы,
movrnnuuuvo Г°Л между меДианой и биссектрисой прямоугольного
треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен а, а длина
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
87
медианы равна т. Наити острые углы треугольника и расстояние от
вершины прямого угла до центра окружности, вписанной в треугольник.
12.185.1 Окружности a>i и to2 лежат внутри треугольника АВС,
в котором АВ — ВС — 1, АС — 2, а радиус o>i в два раза больше ра¬
диуса 0)2- Окружности 0)1 и о)2 касаются внешним образом, причем o)i
касается сторон АВ и АС, а о)2 - сторон ВС и АС треугольника АВС.
Найти радиус окружности о)Ь если I = 6. Найти все значения I, при ко¬
торых существуют указанные окружности.
12.186.12007) Окружности o)i и 0)2 лежат внутри треугольника АВС,
в котором АВ = ВС = I, АС = 3, а радиус o)i в три раза больше ра¬
диуса 0)2. Окружности o)i и 0)2 касаются внешним образом, причем o)t
касается сторон АВ и АС, а 0)2 — сторон ВС и АС треугольника АВС.
Найти радиус окружности шг, если I = 9. Найти все значения I, при ко¬
торых существуют указанные окружности.
12.187. t2007J Окружности o)i и 0)2 лежат внутри треугольника АВС,
в котором АВ = ВС = I, АС = 4, а радиус o)i в полтора раза больше
радиуса о)2- Окружности o)i и 0)2 касаются внешним образом, причем o)i
касается сторон АВ и АС, а шг — сторон ВС и АС треугольника АВС.
Найти радиус окружности шь если 1 = 8. Найти все значения I, при
которых существуют указанные окружности.
12.188. 120071 Окружности coi и шг лежат внутри треугольника АВС,
в котором АВ = ВС = I, АС = 6, а радиус coi в четыре раза больше
радиуса о)2- Окружности toi и 0)2 касаются внешним образом, причем coi
касается сторон АВ и АС, а ш2 — сторон ВС и АС треугольника АВС.
Найти радиус окружности шг, если I = 15. Найти все значения I, при
которых существуют указанные окружности.
12.189. Р0071 Окружность со с центром в точке О на стороне АС
треугольника АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и Е соответ¬
ственно. Известно, что AD = 2CE, а угол DOE равен arcctgj. Найти
углы треугольника АВС и отношение его площади к площади круга,
ограниченного окружностью со.
12.190. t2007) Окружность ш с центром в точке О на стороне АС
треугольника АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и Е соответ¬
ственно. Известно, что AD = 3CE, а угол DOE равен arcctg^. Найти
углы треугольника АВС и отношение его площади к площади круга,
ограниченного окружностью о.
12.191.12007) Окружность со с центром в точке О на стороне АС
треугольника АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и Е соответ¬
ственно. Известно, что AD = 4CE, а угол DOE равен arcctg5. Найти
углы треугольника АВС и отношение его площади к площади круга,
°граниченного окружностью со. п
12.192.12007) Окружность ш с центром в точке О на стороне АС
треугольника АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и ^соответ¬
ственно. Известно, что AD = ЪСЕ, а угол DOE равен arcctgj. Найти
АВС и отношение его площади к площади круГа,
углы треугольника
12 195.120071 Окружность касается стороны AD четырехугольника
ABCD в точке D, а стороны ВС - в ее середине М. Диагональ АС
пересекает окружность в точках К и L (АК < AL). Известно, что АК =
= 5, KL = 3. LC = 2. Лучи AD и ВС пересекаются в точке 5, причем
AASB = 2arctg5- Найти радиус окружности и площадь ABCD.
12.196.120071 Окружность касается стороны AD четырехугольника
ABCD в точке D, а стороны ВС - в ее середине М. Диагональ АС
пересекает окружность в точках К и L {АК < AL). Известно, что АК =
= 8, KL = 6, LC = 1. Лучи AD и ВС пересекаются в точке S, причем
Zi45B = 2arctg-^. Найти радиус окружности и площадь ABCD.
12.197.120071 В треугольнике АВС с периметром 40 и площадью 60
сторона ВС равна 16. Внутри треугольника АВС взята точка D, уда¬
ленная на расстояние 1 от прямой АВ и на расстояние 2 от прямой АС.
Найти угол ВАС и расстояние от D до центра окружности, вписанной
в треугольник АВС.
12.198.120071 В треугольнике АВС с площадью 132 и периметром 66
сторона АС равна 30. Внутри треугольника АВС взята точка D, уда¬
ленная на расстояние 2 от прямой АВ и на расстояние 3 от прямой ВС.
Найти угол АВС и расстояние от D до центра окружности, вписанной
в треугольник АВС.
12.199.1 71 В треугольнике АВС с пеоиметоом 50 и плот я лью 75
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
89
АВ, ВС и прямой CD в точках М, N и К соответственно. Найти радиус
этой окружности и стороны параллелограмма ABCD, если ~ = 3.
12.202.1200®] Параллелограмм ABCD имеет площадь 6. Окружность
с центром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрезков
АВ, ВС и прямой CD в точках М, N и К соответственно. Найти радиус
этой окружности и стороны параллелограмма ABCD, если ^ = 5.
12.203. f2008' Параллелограмм ABCD имеет площадь 5. Окружность
с центром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрезков
АВ, ВС и прямой CD в точках М, N и К соответственно. Найти радиус
этой окружности и стороны параллелограмма ABCD, если = 4.
12.204.12008J Параллелограмм ABCD имеет площадь 7. Окружность
с центром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрезков
АВ, ВС и прямой CD в точках М, N и К соответственно. Найти радиус
ск
этой окружности и стороны параллелограмм ABCD, если = 6.
12.205. (200®1 В треугольнике АВС медиана ВМ = 2, угол АВМ ра¬
вен arctgf, угол СВМ равен arctgf. Найти стороны АВ, ВС и биссек¬
трису BE треугольника АВС.
12.206.120081 В треугольнике АВС медиана ВМ = 3, угол АВМ ра¬
вен arctgf, угол СВМ равен arctgf. Найти стороны АВ, ВС и биссек¬
трису BE треугольника АВС.
12.207.120081 В треугольнике АВС медиана ВМ = 4, угол АВМ ра¬
вен arctgf, угол СВМ равен arctgf. Найти стороны АВ, ВС и биссек¬
трису BE треугольника АВС.
12.208.1200®] в треугольнике АВС медиана ВМ = 5, угол АВМ ра¬
вен arctgf, угол СВМ равен arctgf. Найти стороны АВ, ВС и биссек¬
трису BE треугольника АВС.
12.209.1200®) Высота равнобедренной трапеции ABCD равна 16, а ее
диагонали пересекаются в точке О. Окружность радиуса 3 с центром
в точке О касается меньшего основания ВС и боковой стороны CD
трапеции. Найти основания трапеции.
12.210.1200®) Диагонали равнобедренной трапеции ABCD пересека¬
ются в точке О, а ее меньшее основание ВС равно 2. Окружность ради¬
уса 3/2 с центром в точке О касается меньшего основания ВС и боковой
стороны CD трапеции. Найти основание AD и боковую сторону трапе¬
ции.
12.211.1200®1 Диагонали равнобедренной трапеции ABCD пересека¬
ются в точке О, а ее высота равна 4. Окружность радиуса 3/4 с центром
в точке О касается меньшего основания ВС и боковой стороны CD тра¬
кции. Найти основание ВС и диагональ трапеции.
12.21 2.120081 Меньшее основание ВС равнобедренной трапеции
ABCD равно 8, а ее диагонали пересекаются в точке О. Окружность
. d тлике О касается основания ВС и боковой стор0-
радиуса б с ЦентромйтиОснование AD и высоту трапеции.
Н“ 1^213 :К трапеции ABCD основания AD и ВС равны а и
12.213. Р ен а Окружность, проходящая через
Ь ;acaeTCfl прямей АВ. Найти радиус этой окружности.
ТОЧК12 2Ы В трапеции ABCD основание ВС равно Ь, угод ABD
равен а Окружность диаметра d, проходящая через точки В, С и Д
касается прямой АВ. Найти основание трапеции AD
12 215 [20081 В трапеции ABCD основания AD и ВС равны а и 6 со¬
ответственно. Окружность, проходящая через точки В, С и А касается
прямой АВ. Найти диагональ трапеции BD.
12.216.12008) В трапеции ABCD основание AD равно а, угол ABD
равен а. Окружность диаметра d, проходящая через точки В, С и Д
касается прямой АВ. Найти основание трапеции ВС.
12.217.12009) Медианы ААЪ ВВ\ и СС\ треугольника АВС пересе¬
каются в точке О, а их длины равны соответственно 30, 24 и 18. Найти
площадь треугольников АВС и ОАхС, а также радиус окружности, опи¬
санной около треугольника ОА\С.
12.218.120091 Медианы AAi, BBi и CCi треугольника АВС пересе¬
каются в точке О, а их длины равны соответственно 18, 24 и 30. Найти
площадь треугольников АВС и AOCi, а также радиус окружности, опи¬
санной около треугольника AOCi.
12.219.12009! Медианы АА\, ВВ\ и СС\ треугольника АВС пересе¬
каются в точке О, а их длины равны соответственно 30, 24 и 18. Найти
площадь треугольников АВС и АОС\, а также радиус окружности, опи¬
санной около треугольника АОС\.
12.220.120091 Медианы AAi, BBi и СС\ треугольника АВС пересе¬
каются в точке О, а их длины равны соответственно 18, 24 и 30. Найти
площадь треугольников АВС и OAiC, а также радиус окружности, опи¬
санной около треугольника OAiC.
12.221.12009! В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АС,
а точка Е лежит иа отрезке AD. Известно, что углы ABE, DBE и
CBD равны, а длина отрезка DE вдвое меньше длины отрезка CD и
втрое меньше длины отрезка АЕ. Найти углы АВЕ и АС В.
12.222. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АС,
а точка Е лежит на отрезке AD. Известно, что углы ABE, DBE и
ZzR, раВНЫ' 3 длина отрезка DE влвое меньше длины отрезка CD и
£ °тр'зка ж Най™углы dbe » bda.
, точка Г ак»ч, ч?Т“Ь“ЙК!п',®Г точка 0 **»т и стороне^.
CSDraL*?” На 0трмке AD Известно, что умы ABE. DBE «
с° “
1
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
91
CBD равны, а длина отрезка DE вдвое меньше длины отрезка CD и
втрое меньше длины отрезка АЕ. Найти углы АВС и ВЕС.
12.225.120091 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, дли¬
на стороны АС равна 30, угол АВС равен arccos(—Щ). Найти радиус
окружности, вписанной в треугольник АВС, и расстояние от точки пе¬
ресечения медиан до точки пересечения высот треугольника АВС.
12.226.120091 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны 17, угол
АВС равен arccos(-2§5). Найти радиус окружности, описанной около
треугольника АВС, и расстояние от центра этой окружности до точки
пересечения высот треугольника АВС.
12.227.120091 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, высота
ВО равна 8, угол АВС равен arccos(-^f|). Найти радиус окружности,
вписанной в треугольник АВС, и расстояние от центра этой окружности
до точки пересечения высот треугольника АВС.
12.228.120091 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны 17, угол
АВС равен агссоз(-^|). Найти радиус окружности, описанной около
треугольника АВС, и расстояние от точки пересечения медиан до точки
пересечения высот треугольника АВС.
12.229.120101 В равнобедренном треугольнике АВС основание АС
равно 1, угол АВС равен 2arctg5. Точка D лежит на стороне ВС так,
что площадь треугольника АВС вчетверо больше площади треугольника
ADC. Найти расстояние от точки D до прямой АВ и радиус окружности,
описанной около треугольника ADC.
12.230.120101 В равнобедренном треугольнике АВС основание АС
равно 1, угол АВС равен 2arctg3- Точка D лежит на стороне ВС так,
что площадь треугольника АВС втрое больше площади треугольника
ADC. Найти расстояние от точки D до прямой АВ и радиус окружности,
описанной около треугольника ADC.
12.231.120101 В равнобедренном треугольнике АВС основание АС
равно 1, угол АВС равен 2arctg3- Точка D лежит на стороне ВС так,
что площадь треугольника АВС вчетверо больше площади треугольника
ADC. Найти расстояние от точки D до прямой АВ и радиус окружности,
описанной около треугольника ADC.
12.232.120101 В равнобедренном треугольнике АВС основание АС
равно 1, угол АВС равен 2arctg£. Точка D лежит на стороне ВС так,
что площадь треугольника АВС втрое больше площади треугольника
ADC. Найти расстояние от точки D до прямой АВ и радиус окружности,
описанной около треугольника ADC.
12.233.1201°) В трапецию ABCD можно вписать окружность. Дли-
ны ее боковых сторон АВ и CD равны соответственно 3 и 5, а длина
основания AD больше длины ВС. Средняя линия трапеции делит ее
На две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти радиус
Писанной в трапецию окружности и длины ее диагоналей.
12.234.1201°1 В трапецию ABCD можно вписать окружность. Длины
ее боковых сторон AD и ВС равны соответственно 6 и 10, а длина
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ «ЗАДАЧИ ^
х ив плины АВ средняя линия трапеции делит ее
CD больше длины м. V 5/11. Найти длии.
ее боковых сторон ВС и AD равны соответственно 12 и 20, а длина
основания CD меньше длины АВ. Средняя линия трапеции делит ее
на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины
оснований трапеции и радиус вписанной в нее окружности.
12.237.120111 В параллелограмме ABCD окружность радиуса 1/4
с центром на отрезке CD проходит через точку D и касается отрезка
ВС в точке Е такой, что угол BED равен arctg|. Найти:
1) высоту параллелограмма BF и длину отрезка CD\
2) плошадь параллелограмма, если АВ = BE.
12.238. |20111 В параллелограмме ABCD окружность радиуса 1 с цен¬
тром на отрезке ВС проходит через точку С и касается отрезка АВ
в точке Е такой, что угол АЕС равен arctg2. Найти высоту параллело¬
грамма CF и длину отрезка ВС. Найти площадь параллелограмма, если
AD = АЕ.
12.239.120и1 В параллелограмме ABCD окружность радиуса 1/2
с центром на отрезке АВ проходит через точку В и касается отрезка
AD в точке Е такой, что угол BED равен arctg§. Найти:
1) высоту параллелограмма BF и длину отрезка АВ\
2) площадь параллелограмма, если CD = DE.
12.240.120111 В параллелограмме ABCD окружность радиуса 2 с цен¬
тром на отрезке AD проходит через точку А и касается отрезка CD
в точке Е такой, что угол АЕС равен arctg3. Найти:
1) высоту параллелограмма AF и длину отрезка AD\
2) площадь параллелограмма, если ВС = CF.
если АС = BD.
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
93
12.243.12011' В треугольнике АВС окружность радиуса 13/2 с цен¬
тром на отрезке АС проходит через точку С и касается отрезка АВ
в точке D такой, что угол BDC равен arccos-^L. Найти:
1) высоту CF треугольника АВС и длину отрезка AD;
2) плошадь треугольника АВС, если AD = ВС.
12.244.12011' В треугольнике АВС окружность радиуса ^ с цен¬
тром на отрезке АС проходит через точку А и касается отрезка ВС
в точке D такой, что угол ADB равен arcsin^==. Найти:
1) высоту AF треугольника АВС и длину отрезка CD\
2) площадь треугольника АВС, если АВ = CD.
12.245.12012' Две окружности разных радиусов касаются внешним
образом. К ним проведены две общие внешние касательные АС и BD.
Их точки касания с меньшей окружностью — А и В, с большей окруж¬
ностью — С и D. Найти радиусы окружностей, если известно, что АВ =
= 24/5, АС = 12.
12.246.120121 Две окружности разных радиусов касаются внешним
образом. К ним проведены две общие внешние касательные KL и MN.
Их точки касания с меньшей окружностью — L и М, с большей окруж¬
ностью — К и N. Известно, что KN = 64/5, MN = 8. Найти радиусы
окружностей.
12.247.12012) Две окружности разных радиусов касаются внешним
образом. К ним проведены две общие внешние касательные PS и QT.
Их точки касания с меньшей окружностью — S и Т, с большей окруж¬
ностью — Р и Q. Найти радиусы окружностей, если известно, что PQ =
= 1^1, QT = 2x/6.
12.248. !20121 Две окружности разных радиусов касаются внешним
образом. К ним проведены две общие внешние касательные CD и EF.
Их точки касания с меньшей окружностью — D и Е, с большей окружно¬
стью - С и F. Известно, что DE = 8, EF = 20. Найти радиусы окруж¬
ностей.
12.249.120121 В трапеции ABCD основание ВС равно 5, боковая сто¬
рона АВ равна 10. Биссектриса угла BAD пересекает сторону CD в точ¬
ке Е, а прямую ВС — в точке F, причем АЕ LCD, EF = 4. Найти
длины отрезков АЕ и AD, а также площадь трапеции.
12.250.12012) В трапеции ABCD основание ВС равно 5, боковая сто¬
рона CD равна 10. Биссектриса угла ADC пересекает сторону АВ в точ¬
ке Е, а прямую ВС — в точке F, причем DE X АВ, BE = 4. Найти
Длины отрезков DE и AD, а также площадь трапеции.
12.251.12012) Основание ВС трапеции ABCD равно 5, боковая сто¬
рона АВ равна 10. Биссектриса угла BAD пересекает боковую сторону
в точке М, а прямую ВС — в точке К, причем АК X CD, СМ = 3.
Найти длины отрезков AM и AD, а также площадь трапеции.
12.252.12012) В трапеции ABCD основание ВС равно 5, боковая сто¬
рона CD равна 10. Биссектриса угла ADC пересекает сторону АВ в точ-
94
ЗАДАЧИ пп ПЛАНИМЕТРИИ * ЗАДАЧИ
а прямую ВС - В точке N. причем DN 1 AM, MN = 3. НайТн
ке М, а пфцювь ^ ?акже площадь трапеции.
ДЛИ1Н2 25Т3 I20131 В^араляелограмме ABCD угол ADC равен arcsin^.
Окружность ft, проходящая через точки А, С и D. пересекает стороны
и 5С в точках N и L соответственно, причем AN = 11, В£, = 6
Й2ии площадь параллелограмма ДВСО и радиус окружности П.
12.254.120131 В параллелограмме ABCD угол BCD равен arctgv/l5.
Окружность П. проходящая через точки В, С н D, пересекает стороны
ля и ЛО в точках Т и Е соответственно, причем ВТ = 10, Л£ = 7
Найти площадь параллелограмма ABCD и радиус окружности ft.
12.255. l201^ В параллелограмме ABCD угол АВС равен
arcsin(\/l5/4). Окружность П, проходящая через точки А, В н С, пересе¬
кает стороны AD и CD в точках Р и М соответственно, причем АР = з,
СЛ/ = 6. Найти площадь параллелограмма ABCD и радиус окружно-
сти ft. __
12.256.12013' В параллелограмме ABCD угол BAD равен arctg V15.
Окружность ft, проходящая через точки А, В и D, пересекает стороны
ВС и CD в точках F и N соответственно, причем BF = 7, DN = 1.
Найти площадь параллелограмма ABCD и радиус окружности ft.
12.257.12013! Дана прямоугольная трапеция ABCD с основаниями
ВС и AD, причем ВС < AD, ZBCD = 90° Точка М — середина отрезка
CD. Известно, что окружность радиуса 5 проходит через точки А и В
и касается стороны CD в точке М, a cos /.ВМС = 2\/2/3. Найти длины
отрезков АВ и ВС, а также площадь трапеции.
12.258.12013! Дана трапеция ABCD с основаниями ВС и AD, причем
ВС < AD, ZАВС = 90°. Точка М — середина отрезка АВ. Известно, что
окружность радиуса 4 проходит через точки С и D и касается стороны
АВ в точке М, a cosZ.MDC = 2\/2/3. Найти длины отрезков CD и АВ,
а также площадь трапеции.
12.259.12013! Дана трапеция ABCD с основаниями ВС и AD, причем
ВС < AD, Z.ADC = 90° Точка К — середина отрезка CD. Известно, что
окружность радиуса 3 проходит через точки А и В и касается стороны
CD в точке К, a s'mZKAD = 1/3. Найти длины отрезков АВ и CD, а
также площадь трапеции.
То3! ,?ана тРапеция ABCD с основаниями ВС и AD, причем
^BAD — 90°. Точка К — середина отрезка АВ. Известно, что
окружность радиуса 6 проходит через точки Си Ли касается стороны
™жр' 3 "я*ксв = V3. Найти длины отрезков CD и АВ, *
также площадь трапеции. г
Окружность fJna^3”3 „рапеция ABCD с основаниями ВС и АВ-
К0Т°Р0Й ЛеЖИТ На ДИаГ0НЗЛИ £
Известно А 8 Т0чках М. N и К соответственно.
. о ЛС _ 4n/5, а четырехугольник KOCD вписан в окрУ#'
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
95
НОСТЬ ft. Найти угол ВОС, площадь трапеции ABCD и радиус окруж-
И°С 12.262.120141 Дана трапеция ABCD с основаниями ВС и AD.
Окружность ш радиуса 2, центр О которой лежит иа диагонали BD,
касается отрезков ВС, CD и AD в точках М, N и К соответственно. Из¬
вестно, что ВМ — 3, а четырехугольник КОВ А вписан в окружность ft.
Найти угол COD, площадь трапеции ABCD и радиус окружности ft.
12.263.120141 Дана трапеция ABCD с основаниями ВС и AD.
Окружность со радиуса 2, центр О которой лежит на диагонали АС,
касается отрезков ВС, АВ и AD в точках М, N и К соответственно. Из¬
вестно, что AN = 3, а четырехугольник KOCD вписан в окружность О.
Найти угол АОВ, площадь трапеции ABCD и радиус окружности О.
12.264.120141 Дана трапеция ABCD с основаниями ВС и AD.
Окружность со радиуса %/5, центр О которой лежит на диагонали BD,
касается отрезков ВС, CD и AD в точках М, N и К соответственно. Из¬
вестно, что BD = 10, а четырехугольник КОВА вписан в окружность О.
Найти угол СОВ, площадь трапеции ABCD и радиус окружности ft.
12.265.120141 Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором
IBCD = 90° На стороне CD выбрана точка К. Окружность со ради¬
уса 2, описанная вокруг треугольника ВСК, касается отрезка AD и
прямой АВ. Известно, что четырехугольник ABKD вписан в окруж¬
ность ft радиуса \/Тз. Найти длину отрезка АВ, угол BAD и площадь
четырехугольника ABCD.
12.266.120141 Четырехугольник ABKD вписан в окружность ft ра¬
диуса \/37. На стороне KD выбрана точка С так, что /.BCD — 90°.
Окружность со радиуса 6, описанная вокруг треугольника ВСК, каса¬
ется отрезка AD и прямой АВ. Найти длину отрезка АВ, угол BAD и
площадь четырехугольника ABCD.
12.267.120141 Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором
/BCD = 90°. На стороне CD выбрана точка К. Окружность со ради¬
уса \/5, описанная вокруг треугольника ВСК, касается отрезка AD и
прямой АВ. Известно, что четырехугольник ABKD вписан в окруж¬
ность ft радиуса 5. Найти длину отрезка АВ, угол BAD и площадь
четырехугольника ABCD.
12.268.120141 Четырехугольник ABKD вписан в окружность ft ра¬
диуса л/17. На стороне KD выбрана точка С так, что /BCD = 90°.
Окружность со радиуса 4, описанная вокруг треугольника ВСК, каса¬
ется отрезка AD и прямой АВ. Найти длину отрезка АВ, угол BAD и
площадь четырехугольника ABCD.
13. ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
„, ,1М,| KMVC расположен внутри треугольной пирамиды SASC
ГГпДи%мГ/^и д!а Образующей конуса равна 1. ZABS = *,X
I19®1! Сфера вписанная в треугольную пирамиду KLMN, каса¬
ется одной из граней пирамиды в
ности. Найти объем пирамиды, если МК - ZNMti - 2, Z.KML ~
= 3 aretg у ZNML = f - aretg 3.
13 3 119911 Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC
так что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней
пирамиды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти
объем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, ABAC = я/2,
£SBA = л/6, ZASB = я/4.
13.4.119911 Сфера, вписанная в треугольную пирамиду EFGH, каса¬
ется одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань окруж¬
ности. Найти объем пирамиды, если FG = 3-ч/5, ZHFG = ZEFG =
= у - 3 aretg у/Ъ, ZEFH — aretg у/Ъ.
13.5.119911 В четырехугольной пирамиде SABCD основанием явля¬
ется трапеция ABCD (ВС || AD), ВС = \AD, ZASD = ZCDS — §. Все
вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, высота
которого равна 2, а радиус основания равен 5/3. Найти объем пирамиды.
13.6.119911 В четырехугольной пирамиде SABCD основанием явля¬
ется параллелограмм ABCD, ZBSC = ZASB = я/2. Все вершины пи¬
рамиды лежат на окружностях оснований усеченного конуса, высота ко¬
торого равна 4/3, а радиусы оснований равны 1/2 и 5/6. Найти объем
пирамиды.
13.7.119911 В четырехугольной пирамиде SKLMN основанием явля¬
ется трапеция KLMN (Ш || KN), LM = § KN, ZKSN = ZMNS = \-
Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, вы¬
сота которого равна 3, а радиус основания равен 5/2 Найти объем пи¬
рамиды. '
*3'8'119911 В четыРехУг°льной пирамиде SKLMN основанием явля-
ГЛГЛ0ГраММ KLMN' ZLSM = ZKSL = f. Все вершины пира-
TODoro оайна н?/пКружностях оснований усеченного конуса, высота ко-
пирамиды.Н3 3/2’ 3 раАИусы осн°ваний равны 1 и 5/4. Найти объем
ромб^СЛгпгтпН0ВЗНИИ четыРехУгольной пирамиды SABCD лежит
пересечений егГдЕяГд "P" ВерШИНе Выс'та р°мба равна 4. точка
ны S на плоскость осноиаии Г"™ °Ртогональной проекцией верши
плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
97
граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от центра
сферы до прямой АС равно АВ.
13.10.1199^ В сферу радиуса 5/8 вписана четырехугольная пирамида
SABCD, основанием которой служит параллелограмм ABCD. Точка пе¬
ресечения диагоналей параллелограмма является ортогональной проекци¬
ей вершины S на плоскость ABCD. Плоскость каждой грани пирамиды
касается второй сферы, расстояние от центра которой до прямой AD
вдвое больше расстояния до прямой ВС. Найти радиус второй сферы и
расстояние от ее центра до вершины S, если AD : АВ = 5:3.
13.11. [1991) В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
ромб ABCD с тупым углом при вершине А. Высота ромба равна 2, точка
пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией верши¬
ны S на плоскость основания. Сфера радиуса 1 касается плоскостей всех
граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от центра
сферы до прямой BD равно АВ.
13.12. t1991l В сферу радиуса 13/3 вписана четырехугольная пирамида
SABCD, основанием которой служит параллелограмм ABCD. Точка пе¬
ресечения диагоналей параллелограмма является ортогональной проекци¬
ей вершины S на плоскость ABCD. Плоскость каждой грани пирамиды
касается второй сферы, расстояние от центра которой до прямой АВ
втрое больше расстояния до прямой CD. Найти радиус второй сферы и
расстояние от ее центра до вершины 5, если АВ : AD = 1:4.
13.13.119921 В правильной треугольной пирамиде SABC (S — верши¬
на) точки D и Е являются серединами ребер АС и ВС соответственно.
Через точку Е проведена плоскость р, пересекающая ребра АВ и SB и
удаленная от точек D и В на одинаковое расстояние, равное 1/2. Най¬
ти длины отрезков, на которые плоскость делит ребро SB, если ВС = 4,
SC—3.
13.14. t1992) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (5 —
вершина) AD =1/5 и SD = 1. Через точку В проведена плоскость а,
пересекающая ребро SC и удаленная от точек А и С на одинаковое
расстояние, равное 1/10. Найти длины отрезков, на которые плоскость а
целит ребро SC, если известно, что а не параллельна прямой АС.
13.15.119921 В правильной треугольной пирамиде SABC (S — верши¬
ла) точки К и L являются серединами ребер АВ и АС соответственно.
Через точку L проведена плоскость р, пересекающая ребра ВС и SC и
/даленная от точек К и С на одинаковое расстояние, равное 1/3. Найти
мины отрезков, на которые плоскость Р делит ребро SC, если АВ = 4/3,
>В = 4/5.
13.16.11992) в правильной четырехугольной пирамиде SABCD (5 —
1еРШина) АВ = 5, SA = 4. Через точку А проведена плоскость а, пересе-
:ающая ребро SD и удаленная от точек В и D на одинаковое расстояние,
явное 5/4. Найти длины отрезков, на которые плоскость а делит ребро
)D, если известно, что а не параллельна прямой BD.
задачи ™гтгреометрии«задачи_
13.17.[1992) СФ®ра ^ИтСсаяНатрапТцТяРЖд а такж^ вписана в пр^
основанием которой явл ся р совпадает с боковой гранью
JEW- если 0б«„ пирамид. SMBcS
РЗВ1Ч it [1992] сфера вписана в правильную треугольную пирамиду
сляг IS- вершина), а также вписана в прямую треугольную призму
КШК^М'у которой KL-КМ-Л а боковое ребро К К' лежит
на прямой АВ. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SC па¬
раллельна плоскости LL'M'M.
1319. f19921 Сфера вписана в четырехугольную пирамиду SKLMN,
основанием которой является трапеция KLMN, а также вписана в пра¬
вильный тетраэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гра¬
нью пирамиды SKLMN. Найти радиус сферы, если площадь трапеции
KLMN равна 3\/3.
13.20.|1992) Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду
SKLM (S— вершина), а также вписана в прямую треугольную призму
АВСА'В'С', у которой АВ = АС, ВС = 4у/2, а боковое ребро АА' ле¬
жит на прямой KL. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SM
параллельна плоскости ВВ'С'С.
13.21.11992) Основание прямой призмы АВСА'В'С' — равнобедрен¬
ный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 5, /.АВС = 2 arcsin |.
Плоскость, перпендикулярная прямой А'С, пересекает ребра АС и А'С'
в точках D и Е соответственно, причем AD = AC/Z, ЕС' = А'С'/3. Най¬
ти площадь сечения призмы этой плоскостью.
13.22.119921 Основание прямой призмы ABCDA'B'C'D' — равнобед¬
ренная трапеция ABCD, в которой ВС || AD, ВС = 1, AD = 5, /BAD =
= arctg|. Плоскость, перпендикулярная прямой A'D, пересекает ребра
AD и A'D' в точках Е и F соответственно, причем АЕ = FD' = §. Най¬
ти площадь сечения призмы этой плоскостью.
13.23.11992) Основание прямой призмы АВСА'В'С' — равнобедрен¬
ный треугольник АВС, в котором АС = СВ = 2, /АСВ - 2 arcsin |.
Плоскость, перпендикулярная прямой А'В, пересекает ребра АВ и А'В'
в точках К и L соответственно, причем АК = ^ АВ LB' = А'В'. Най¬
ти площадь сечения призмы этой плоскостью. ’ 16
13.24. 19921 Основание прямой призмы ABCDA'B'C'D' — равно-
ABCD' в второй ВС\\AD, ВС = 5, AD =
ребоа АйТл'п' .оскость. Iперпендикулярная прямой AD', пересекает
=1 Найти пеоиметГКаХ " И N соотве™енно. причем MD = A'N -
liMT* ИЯ ПРИЗМЫ 9Т0Й носкостью.
рамиды SABC IS***ребРа правильной треугольной пи*
которых oepait "Р“Мени <■ » I "I
пирамиды SABC плоскостямиПЛОС1й>СТЬЮ Найти площади сечений
стями аир, если эти сечения имеют общую сто-
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
99
рону длины 1. лежащую в грани АВС, а плоскость а перпендикулярна
оебрУ
13.26.11993^ На сторонах ВС и AD правильной четырехугольной пи¬
рамиды SABCD (5 — вершина) взяты точки Р и Q. Сечения пирамиды
SABCD двумя взаимно перпендикулярными плоскостями аир, прохо¬
дящими через прямую PQ, — трапеции с равными основаниями. Грань
SAB образует угол л/4 с пересекающей ее плоскостью сечения, а угол
между гранями SAB и ABCD равен arctg2. Найти площади сечений
пирамиды плоскостями аир, если PQ = 13.
13.27.11993* Через середину ребра ВС правильной треугольной пи¬
рамиды SABC (S — вершина) проведены плоскости аир, каждая из
которых образует угол arctg | с плоскостью АВС. Найти площади сече¬
ний пирамиды SABC плоскостями аир, если эти сечения имеют общую
сторону длины 3, лежащую в грани АВС, а плоскость а перпендикулярна
ребру SC.
13.28.11993* На сторонах АВ и CD правильной четырехугольной пи¬
рамиды SABCD (5 — вершина) взяты точки К и Z. Сечения пирамиды
SABCD двумя взаимно перпендикулярный плоскостями аир, прохо¬
дящими через прямую KZ, — трапеции с равными основаниями. Грань
SAD образует угол л/4 с пересекающей ее плоскостью сечения, а угол
между гранями SAD и ABCD равен arctg3. Найти площади сечений
пирамиды ABCD плоскостями аир, если KZ = 19.
13.29. (1993J Основание прямой призмы KLMNK'L'M'N' — ромб
KLMN с углом 60° при вершине К. Точки Е и F— середины ребер
Ы! и LM призмы. Ребро SA правильной четырехугольной пирамиды
SABCD (5— вершина) лежит на прямой LN, вершины D и В — на
прямых ММ' и EF соответственно. Найти отношение объемов призмы
и пирамиды, если SA = 2АВ.
13.30.11993) Точки Е и F— середины ребер СС и CD' прямоуголь¬
ного параллелепипеда ABCDA'B'C'D' Ребро KL правильной треуголь¬
ной пирамиды KLMN (К — вершина) лежит на прямой АС, а вершины
N и М — на прямых DD' и EF соответственно. Найти отношение объ¬
емов призмы и пирамиды, если АВ : ВС = 4:3, KL : MN = 2:3.
13.31. (19931 Точки Р и Q— середины ребер KL и LM правильной
треугольной призмы KLMK'L'M'. Ребро SB правильной четырехуголь¬
ной пирамиды SABCD (5— вершина) лежит на прямой QK, а вершины
^ н С — на прямых К'Р и LL' соответственно. Найти отношение объе¬
мов призмы и пирамиды, если SA = ЬАВ.
13.32.11993) Основание прямой призмы PQRP'Q'R' — треугольник
PQR, в котором Z.PQR = 90°, PQ :QR = 1:3. Точка К — середина ка¬
тета PQ. Ребро АВ правильной треугольной пирамиды ABCD (А — вер-
Шина) лежит на прямой PR, а вершины С и D- на прямых Р'К и QQ'
соответственно. Найти отношение объемов призмы и пирамиды, если
4В : CD = 2 : 3.
13.33.11"3) Внутри правильной треугольной пирамиды расположена
1РЯМая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней приз-
ЗАДАЧИ по стереометрии « ЗАДАЧИ
иияллежит основанию пирамиды, другая грань боковой грани
2ZSЕй ««больший объеи может «меть призму если ре,и
пирамид . л а оысота пирамиды равна 2\/2?
0СН?3 зГ(®3Внутри правильной четырехугольной пирамиды располо-
жена прямая призма KLMNK'L'M'N' ,в основании которой лежит ромб
S/Tc углом 60° при вершине L. Ребро КК принадлежит основанию
пиоамнды а ребро LL' - диагонали этого основания. Какой наибольший
объем может иметь призма, если диагональ основания пирамиды равна 6,
а высота пирамиды равна \/5?
13.35.(1993) Внутри правильной треугольной пирамиды расположена
прямая призма, в основании которой лежит ромб. Одна из граней приз¬
мы принадлежит основанию пирамиды, другая грань — боковой грани
пирамиды. Какой наибольший объем может иметь призма, если ребро
основания пирамиды равно 2, а высота пирамиды равна 1?
13.36.119931 Внутри правильной четырехугольной пирамиды располо¬
жена прямая призма ABCDA'B'C'D', в основании которой лежит ромб
ABCD, в котором BD = \/2АС. Ребро АА! призмы принадлежит ос¬
нованию пирамиды, а ребро ВВ' — диагонали этого основания. Какой
наибольший объем может иметь призма, если ребро основания пирами¬
ды равно 2, а высота пирамиды равна 1?
13.37.11994! В основании прямой призмы ABCDA\B\C\D\ лежит
ромб ABCD с углом BAD, равным 2axccosg. Сфера касается всех зве¬
ньев ломаной ABCCiAi и пересекает ребро BBi в точках В\ и М.
Найти объем призмы и радиус сферы, если В^М = 1.
13.38. (19941 Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA\BiC\D\,
у которого АВ ВС = 2:3. Точки F и F\ — середины ребер ВС и BiCi
соответственно. Сфера касается всех звеньев ломаной AFDDiAi и пе¬
ресекает отрезок FiF в точках Fi и Е. Найти объем параллелепипеда
и радиус сферы, если F\E = 3/2.
13.39. !1994J Сфера пересекает ребро ССХ правильной треугольной
призмы АВСА\В\С\ в точках С\ и К и касается всех звеньев лома¬
ной BCAAiBi. Найти объем призмы и радиус сферы, если С\К = 4.
13.40. [19941 Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAiBiCiDi,
у которого АВ ВС = у/б. Точки К и Ki — середины ребер AD и А\В\
соответственно. Сфера пересекает отрезок КХК в точках К\ и М и ка¬
сается всех звеньев ломаной СКВВ\С\. Найти объем параллелепипеда
и радиус сферы, если К\М = 1.
13.41. (l994J В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ребр0
АВ вдвое больше высоты пирамиды. По одну сторону от плоскости грани
ABCD расположен цилиндр, окружность основания которого проходи*
через центр этой грани. Ортогональные проекции цилиндра на плоскости
SCD и SBC - прямоугольники с общей вершиной в точке С. НайтИ
отношение объемов цилиндра и пирамиды. г
13.42. ^1994| Боковое ребро правильной треугольной пирамиды л
имеет длину т и составляет с плоскостью основания АВС угол, равны»1
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
101
aictg^- Цилиндр расположен так. что окружность одного из его осно¬
ваний проходит через середину ребра АС и не пересекает грань SAB.
Ортогональные проекции цилиндра на плоскости SAB и SBC — прямо¬
угольники с общей вершиной в точке 5. Найти объем цилиндра.
13.43.11994* В правильной четырехугольной пирамиде SABCD дву¬
гранный угол при ребре АВ равен arccosj. По одну сторону от плоско¬
сти грани ABCD расположен цилиндр, окружность основания которого
проходит через центр этой грани. Ортогональные проекции цилиндра на
плоскости SAB и SBC — прямоугольники с общей вершиной в точке В.
Найти отношение объемов цилиндра и пирамиды.
13.44.11994' Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна
v/7/3, а боковая грань составляет с основанием АВС угол 60° Цилиндр
расположен так, что окружность одного из его оснований проходит через
середину ребра ВС и не пересекает грань SAC. Ортогональные про¬
екции цилиндра на плоскости SAB и SAC — прямоугольники с общей
вершиной в точке 5. Найти объем цилиндра.
13.45.11994) Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет
единственную общую точку с окружностью его нижнего основания и
делит ось цилиндра в отношении 2:6:1, считая от центра одного из
оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается
двух его образующих, находящихся на расстоянии 2\/б друг от друга.
13.46.119941 Сфера, касающаяся нижнего основания цилиндра, имеет
единственную общую точку с окружностью его верхнего основания и
делит ось цилиндра в отношении 16 2, считая от центра одного из
оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается
двух его образующих, находящихся на расстоянии 8 друг от друга.
13.47.11994! Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет
единственную общую точку с окружностью его нижнего основания и
делит ось цилиндра в отношении 2:6:1, считая от центра одного из
оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается
двух его образующих, находящихся на расстоянии \/б друг от друга.
13.48. t1994l Сфера, касающаяся нижнего основания цилиндра, имеет
единственную общую точку с окружностью его верхнего основания и
делит ось цилиндра в отношении 1:6:2, считая от центра одного из
оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается
Двух его образующих, находящихся на расстоянии 4 друг от друга.
13.49. t1995) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S—
вершина) АВ = 3\/5, высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды дву-
мя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку
•4, а другая — через точки В и D, имеют равные площади. В каком от¬
ношении делят ребро SC плоскости сечений? Найти расстояние между
плоскостями сечений и объемы многогранников, на которые пирамида
Разбивается этими плоскостями.
13.50.11995) Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости
АВс- АВ = 2, АС = 1, ZBAC = 120°, SA = 3V2. Сечения пирамиды
102
задачи ™стереометрии «задачи
...'льными плоскостями, одна из которых проходит через точ.
ДТисереГинУ ребра АВ, а другая - через точку В, имеют равные
КУп1яи Виаком отношении делят ребро 5Л плоскости сечении? Haft.
тПи объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости
сечений а также расстояние между этими плоскостями.
13 51. '1995) В основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD, реб.
по SD перпендикулярно плоскости основания, SD — б, BD = 3, АС = 2.
Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых
проходит через точку В, а другая - через точки А и С, имеют равные
площади. В каком отношении делят ребро SD плоскости сечений? Най¬
ти расстояние между плоскостями сечений и объемы многогранников, на
которые пирамида разбивается этими плоскостями.
13.52.119951 Ребро SB пирамиды SABC перпендикулярно плоскости
АВС, АВ = 4, ВС = 2, LACB = 90°, SB = 3. Сечения пирамиды двумя
параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку С и
середину ребра АВ, а другая — через точку А, имеют равные площади.
В каком отношении делят ребро SB плоскости сечений? Найти объемы
многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости сечений, а
также расстояние между этими плоскостями.
13.53.11995) В правильной четырехугольной призме ABCDAiB\CiDx
боковое ребро равно Vl4, длина стороны основания ABCD призмы рав¬
на 6. Окружность основания прямого кругового конуса вписана в тре¬
угольник BCiD, а вершина конуса лежит в плоскости ABCi. Найти
объем конуса.
13.54.11995) Окружность основания прямого кругового цилиндра впи¬
сана в боковую грань SAB правильной четырехугольной пирамиды
SABCD (S— вершина), центр другого основания цилиндра лежит в
плоскости SBC. Найти объем цилиндра, если АВ = б, SB = 5.
13.55.119951 В правильной четырехугольной призме ABCDAiByCiDi
сторона основания ABCD равна 2, боковое ребро равно л/14. Основание
прямого кругового конуса вписано в треугольник ABiDi, а вершина ко¬
нуса лежит в плоскости АВ\С\. Найти объем конуса.
13.56.11995J Окружность основания прямого кругового цилиндра впи¬
сана в боковую грань SBC правильной четырехугольной пирамиды
SABCD (5— вершина), центр другого основания цилиндра лежит в
плоскости SBD. Найти объем цилиндра, если ВС = 4, SA = 3.
л dп Ре^Ре А-С правильной треугольной призмы
АВСА1В1С1 взята точка К так, что АК = А, СК = Через точку К
проведена плоскость, образующая с плоскостью АВС угол arctg | и РаС‘
секающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых
равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих
многогранников можно описать сферу, а около другого - нет.
13'58, д гВ основании Прямой призмы ABCAiBiCi лежит тр£
угольник АВС со сторонами АВ = АС = 25, ВС = 40 На ребре №
взята точка М так. что ВМ = 15. Через точку М проведена плоскость.
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
103
образующая с плоскостью АВС угол arctgjA и рассекающая призму на
два многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем
призмы, если известно, что около одного из этих многогранников можно
описать сферу, а около другого — нет.
13.59.119951 На ребре АВ правильной треугольной призмы
ABCAiBiCi взята точка D так, что AD = ±, BD = §. Через точку D
проведена плоскость, образующая с плоскостью АВС угол arctg-y и рас¬
секающая призму на два многогранника, площади поверхностей которых
равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих
многогранников можно описать сферу, а около другого — нет.
13.60. !19951 В основании прямой призмы ABCAiBiCi лежит тре¬
угольник АВС со сторонами АВ = ВС = 5, АС = 6. На ребре ВС взята
точка D так, что DC = 4. Через точку D проведена плоскость, образую¬
щая с плоскостью АВС угол arctg| и рассекающая призму на два мно¬
гогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем призмы,
если известно, что около одного из этих многогранников можно описать
сферу, а около другого — нет.
13.61.11996' В основании призмы ABCDA\BiC\Di лежит прямо¬
угольник ABCD. Острые углы D\DA и D\DC равны между собой, угол
между ребром D\D и плоскостью основания призмы равен агссоз-^-,
a CD = 5у/Е. Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти дли¬
ну ВС, угол между плоскостями DiDC и АВС, а также расстояние от
точки D до центра сферы.
13.62.11996) Все грани призмы ABCDA\B\C\Di касаются некоторого
шара. Основанием призмы служит квадрат ABCD со стороной, равной 5.
Угол C\CD — острый, a Z.C\CB = arctgf. Найти Z.C\CD, угол между
боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также расстояние от
точки С до точки касания шара с плоскостью AA\D.
13.63.119961 В основании призмы ABCDA\B\C\D\ лежит параллело¬
грамм ABCD. Длина АВ равна 8, a LBAD = л/З. Острые углы А\АВ и
A\AD равны между собой, а угол между ребром А\А и плоскостью ос¬
нования призмы равен arcsin ^/|. Все грани призмы касаются некоторой
сферы. Найти длину ребра AD, угол между плоскостями АА\В и АВС,
а также расстояние от точки А до центра сферы.
13.64.11996) Все грани призмы ABCDA\B\C\D\ касаются некоторого
шара. Основанием призмы служит ромб ABCD. Угол В\ВС — острый,
£ВхВА = arctgf, ZABC = §, а АВ = Найти ZBiBC, угол между
боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также расстояние от
точки В до точки касания шара с плоскостью D\DC.
13.65. (19961 В кубе ABCDAiBiCiDi, ребро которого равно 6, точ-
ки М и N— середины ребер АВ и BiCi соответственно, а точка К
Расположена на ребре DC так, что DK = 2 КС. Найти:
1) расстояние от точки N до прямой АК\
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ » ЗАДАЧИ^
2) расстояние "e“JKJp“““"шетосга треугольника UNK.
Й'Я" кубе ABCDA,B,C,D„ ИР° «<™Р«™ Р“"« 4. то,«„
В серелииы W ** « ** ~нЕГ"* * Т°ЧКа * Р,С-
„"и на ребре СО так. что CP = ЗРО. Нанти.
1) расстояние от точки F до ПР™°Й ^ А.
2) оасстояние между прямыми Et н At',
3Расстояние от точки Ах до плоскости треугольника EFP.
13 67.119961 В кубе ABCDAiBxCiDi, ребро которого равно 6, точ¬
ки Л/ и N— середины ребер АВ и В\С\ соответственно, а точка К
£„1же»а на £бре DC так. что СК = 2KD. Найти:
1) расстояние от точки N до прямой АК,
2) расстояние между прямыми MN и АК\
3) расстояние от точки Ах до плоскости треугольника МKN.
13.68.119961 В кубе ABCDAxBxCxDx, ребро которого равно 4, точки
Е и F — середины ребер АВ и В\С\ соответственно, а точка Р распо¬
ложена на ребре CD так, что PD = ЗРС. Найти:
1) расстояние от точки F до прямой АР\
2) расстояние между прямыми EF и АР\
3) расстояние от точки a4i до плоскости треугольника EFP.
13.69.119961 В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона ос¬
нования АВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность
основания которого вписана в треугольник ACD, а вершиной конуса яв¬
ляется точка О, лежащая на высоте BE треугольника АВС так, что
BE : ОВ = 3. Найти радиус основания конуса и радиус шара, касающе¬
гося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой В.
13.70.119961 В правильной треугольной пирамиде AJBCD сторона ос¬
нования АВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность
основания которого вписана в треугольник ABD, а вершина конуса рас¬
положена на средней линии треугольника АВС, параллельной стороне
АВ. Найти боковое ребро пирамиды и радиус шара, касающегося конуса
и трех граней пирамиды с общей точкой С.
13.71.119961 В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона ос¬
нования АВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность
основания которого вписана в треугольник ACD, а вершиной конуса яв¬
ляется точка О, где OD — высота пирамиды. Найти радиус основания
конуса и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с
общей точкой В.
13.72.119961 В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона ос¬
нования АВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность
основания которого вписана в треугольник ABD, а вершиной конуса яв¬
ляется точка О, лежащая на медиане СЕ треугольника АВС так, ч*9
СЕ . ОЕ = 4. Найти боковое ребро пирамиды и радиус шара, касакзД16
гося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой С.
13.73. 1997 Внутри цилиндра лежат два шара радиуса г и один ui*
радиуса Зг/2 так, что каждый шар касается двух других и боковой 11
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
105
верхности цилиндра, причем первые два равных шара касаются нижнего
основания, а третий шар касается верхнего основания цилиндра. Найти
радиус основания цилиндра, если его высота равна 4г.
13.74.11997' Внутри цилиндра лежат два шара радиуса г и один шар
радиуса г/2 так, что каждый шар касается двух других, нижнего ос¬
нования цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус основания
цилиндра.
13.75.11997' Внутри цилиндра лежит шар радиуса г и два равных шара
радиуса Зг/2 так, что каждый шар касается двух других и боковой по¬
верхности цилиндра, причем шар радиуса г касается нижнего основания
цилиндра, а два других шара касаются верхнего основания цилиндра.
Найти радиус основания цилиндра, если его высота равна 4г.
13.76.11997! Внутри цилиндра лежат два шара радиуса г и один шар
радиуса 2г так, что каждый шар касается двух других, верхнего ос¬
нования цилиндра и его боковой поверхности. Найти радиус основания
цилиндра.
13.77.119971 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боко¬
вое ребро равно а и равно диагонали основания ABCD. Через точку А
параллельно прямой BD проведена плоскость Р, образующая с прямой
AD угол, равный arcsin^. Найти площадь сечения пирамиды плоско¬
стью Р и радиус шара, касающегося плоскости Р и четырех прямых,
которым принадлежат боковые ребра пирамиды.
13.78.119971 В кубе ABCDAiBiC\D\ с ребром а через точку А па¬
раллельно прямой BD проведена плоскость Р, образующая с прямой
АВ угол, равный arcsin Найти площадь сечения куба плоскостью Р
и радиус шара, касающегося плоскости Р и граней ABCD, ВСС\ВХ и
DCCXDX.
13.79.119971 В треугольной пирамиде SABC все ребра, кроме SA,
равны а, а ребро SA равно высоте треугольника АВС. Через точку А
параллельно прямой ВС проведена плоскость Р, образующая с прямой
АВ угол, равный arcsin Найти площадь сечения пирамиды плоско¬
стью Р и радиус шара с центром на прямой, проходящей через точку S
перпендикулярно плоскости треугольника АВС, касающегося плоскости
Р и плоскости треугольника SBC.
13.80. I1997) В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX
сторона основания АВ равна а, боковое ребро ААХ равно а.у/2. Через
точку А параллельно прямой BD проведена плоскость Р, образующая с
прямой АВ угол, равный я/6. Найти площадь сечения призмы плоско¬
стью Р и радиус шара, касающегося плоскости Р и граней AXBXCXDX,
АВВХАХ и ADDxAx
13.81. t1997l В треугольной пирамиде ABCD ребра АВ и CD взаим-
Но перпендикулярны, AD = ВС, расстояние от середины Е ребра АВ до
плоскости ACD равно h, ZD АС = л/2, ZACD = л/4, угол между реб-
Ром DC и гранью АВС равен л/6. Найти расстояние от точки Е до
106
задачи по СТЕРЕОМЕТРИИ « ЗАДАЧИ
плоскости BCD, угол между ребром АВ и гранью ACD, а также угод
между гранями ABD и АВС. п Л а г u вп«
13 82 I19971 В треугольной пирамиде ABCD ребра АС и BD взаимно
перпендикулярны. АВ = BD = AD — а, середина ребра АС равноудаЛе.
на от плоскостей ABD и BCD, угол между ребром АС и гранью С££)
равен arcsin Найти длину ребра CD, угол С7Ш и угол между ребром
BD и гранью ACD.
13 83 Jl997) В треугольной пирамиде ABCD ребра ВС и AD взаимно
перпендикулярны. АВ = CD, расстояние от середины О ребра ВС д0
плоскости ABD равно Л. ACAD = ACD А = л/6, угол между ребром
AD и гранью АВС равен arccos Найти расстояние от точки О до
плоскости ACD, угол между ребром ВС и гранью ABD, а также угол
между гранями АВС и BCD.
13.84.119971 В треугольной пирамиде ABCD ребра АВ и DC взаимно
перпендикулярны, AADB = л/2, AABD = л/6. угол между ребром CD
и гранью ABD равен л/3, AD = а, середина ребра CD равноудалена от
плоскостей ABD и АВС. Найти длину ребра ВС, угол CDB и угол
между ребром АВ и гранью BCD.
13.85.119981 Сторона основания АВС правильной треугольной призмы
ABCAiBiCi равна 6. а высота равна 3/\/7. На ребрах АС, A\Ci и BBi
расположены соответственно точки Р, F и К так, что АР = 1, А\Р =
= 3 и BK = KBi. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей
через точки Р, F и К. Найти площадь сечения и угол между плоскостью
основания призмы и плоскостью сечения.
13.86.119981 Правильная треугольная призма ABCA\BiC\ пересечена
плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, A\Ci, ВВ\. Постро¬
ить сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между
плоскостью основания АВС и плоскостью сечения, если сторона основа¬
ния равна 2, а высота призмы равна \/7/7.
13.87. Г1998) Сторона основания АВС правильной треугольной призмы
АВСА\В\С\ равна 12, а высота равна 6\/б/\/7. На ребрах АС, А\С\
и АВ расположены соответственно точки Р, F и Е так, что АР = 2>
A\F = 6 и АЕ = 6. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей
через точки Р, F и Е, найти площадь сечения и угол между плоскостью
основания призмы и плоскостью сечения.
13.88.11998J Правильная треугольная призма ABCAiBiCi пересечена
плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, A\Ci, ВВ\. Постро¬
ить сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между
плоскостью основания АВС и плоскостью сечения, если сторона основа¬
ния равна 4, а высота призмы равна \/42/7.
13.89. f1998^ Две противоположные боковые грани четырехугольной
1ирамиды SABCD перпендикулярны основанию, высота пирамиды раВ'
а у/5. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция
AD = ВС), описанная около окружности и такая, что АВ = 6, ABAD "
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
107
_ /3. Найти расстояние от точки D до плоскости SAB. Внутри пира¬
миды расположен конус так, что окружность его основания вписана в
треугольник SCD, а вершина принадлежит грани SAB. Найти объем
кОНУСЗ.
13.90.119981 в основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит
оавнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая,
|,т0 км = LM = 4, MN > KL и угол между прямыми KN и LM равен
/3 Две противоположные боковые грани этой пирамиды перпендику¬
лярны основанию и SM = 12. Найти расстояние от точки М до плоско¬
сти SKL. Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его
основания вписана в треугольник SMN, а вершина принадлежит грани
SKL. Вычислить высоту конуса.
13.91.119981 В четырехугольной пирамиде SABCD две противопо¬
ложные боковые грани перпендикулярны основанию, расстояние от вер¬
шины S до прямой АВ равно 4%/2. В основании пирамиды лежит равно¬
бедренная трапеция ABCD {AD = ВС), описанная около окружности и
такая, что CD = 2, ZADC = 2л/3. Найти расстояние от точки С до плос¬
кости SAB. Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его
основания вписана в треугольник SCD, а вершина принадлежит грани
SAB. Найти объем конуса.
13.92.119981 В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит
равнобедренная трапеция KLMN (LM = KN), описанная около окруж¬
ности радиуса л/3, ZMLK = 2л/3. Две противоположные боковые гра¬
ни этой пирамиды перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна
бл/З. Найти расстояние от точки N до плоскости SKL. Внутри пира¬
миды расположен конус так, что окружность его основания вписана в
треугольник SMN, а вершина принадлежит грани SKL. Вычислить вы¬
соту конуса.
13.93.119991 Ребро правильного тетраэдра ABCD равно о, точка К —
середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED = 1:2,
точка F— центр грани АВС. Найти угол между прямыми ВС и КЕ,
расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через
точки А, В, Е и F.
13.94.119"1 Ребро правильного тетраэдра ABCD равно о, точка К —
середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED = 1:3,
точка F— центр грани АВС. Найти угол между прямыми ВС и КЕ,
Расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через
т°чки А, в, Е и F.
13.95.119991 Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К —
®Редина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED = 2:1,
очка F— центр грани АВС. Найти угол между прямыми ВС и КЕ,
гппСТ0ЯНие ме*АУ этими прямыми и радиус сферы, проходящей через
г°чки А, В, Е и F.
... 119991 Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка Д'
" Р дина Ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED - 3:1.
108
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
точка F— центр грани АВС. Найти
расстояние между этими прямыми и
точки А, В, Е и F.
13.97. (1999J Сторона основания
угол между прямыми ВС и Ке
радиус сферы, проходящей через
ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 2, высота пирамиды, опущенная на основание, равна 2у/г,
На ребрах SA и SD расположены точки Е н F так, что АЕ = 2ES, SF г;
_5DF. Через точки Е и F проведена плоскость а, параллельная CD.
Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоско¬
стью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью АВС.
13.98.119"! Сторона основания ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 2, угол между боковым ребром и основанием равен
arccos На ребрах SA и SD расположены точки Е и F так, что АЕ =
= 2ES, DF = 8SF. Через точки Е и F проведена плоскость а, парал¬
лельная АВ. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоско¬
стью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью АВС.
13.99.119"1 Сторона основания ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 2, длина бокового ребра равна %/10. На ребрах SA и
SD расположены точки Е и F так, что SE = ЪАЕ, DF = 2SF. Через
точки Е и F проведена плоскость а, параллельная CD. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоско¬
стью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью АВС
13.100. (19"i Сторона основания ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 2, двугранный угол между основанием и боковой гра¬
нью равен arccos 5. На ребрах SA и SD расположены точки Е п F так,
что АЕ = 8ES, DF = 2SF. Через точки Е и F проведена плоскость а,
параллельная АВ. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоско¬
стью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью АВС.
13.101.12000) В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона ос¬
нования АВС равна 12, ZADB = 2arctg|. В треугольнике ABD прове¬
дена биссектриса ВАу, а в треугольнике BCD проведены медиана ВС\
и высота С By. Найти:
1) объем пирамиды AyByCyD;
2) площадь проекции треугольника АуВуСу на плоскость АВС.
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
109
13.102.120001 В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона ос¬
нования АВС равна 6, угол между боковыми гранями равен arccos -L
В треугольнике ABD проведена биссектриса ВАХ, а в треугольнике
BCD проведены медиана ВС\ и высота СВХ. Найти:
1) объем пирамиды AXBXCXD;
2) площадь проекции треугольника АХВХСХ на плоскость АВС.
13.103.[20001 В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона ос¬
нования АВС равна 3, угол между основанием и боковой гранью равен
arccos(%/3/4). В треугольнике ABD проведена биссектриса ВАХ, а в тре¬
угольнике BCD проведены медиана ВСХ и высота СВХ. Найти:
1) объем пирамиды AXBXCXD;
2) площадь проекции треугольника АХВХСХ на плоскость АВС.
13.104.120001 В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона ос¬
нования АВС равна 12, высота пирамиды DO = >/§3. В треугольнике
ABD проведена биссектриса ВАХ, а в треугольнике BCD проведены
медиана ВСХ и высота СВХ. Найти:
1) объем пирамиды AXBXCXD\
2) площадь проекции треугольника АХВХСХ на плоскость АВС.
13.105.12000) В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADC
равен 2arcsing, а сторона основания АВС равна 2. Точки К, М, N —
середины ребер АВ, CD, АС соответственно. Точка Е лежит на отрезке
КМ и 3ME = КЕ. Через точку Е проходит плоскость V перпендикуляр¬
но отрезку КМ. В каком отношении плоскость V делит ребра пирамиды?
Найти площадь сечения пирамиды плоскостью V и расстояние от точки
N до плоскости V.
13.106.12000! В правильной треугольной пирамиде ABCD угол ADB
равен 2arcsin 5, сторона основания АВС равна 2. Точки К, М, N — се¬
редины отрезков АВ, DK, АС соответственно. Точка Е лежит на отрезке
СМ и 3ME = СЕ. Через точку Е проходит плоскость V перпендикуляр¬
но отрезку СМ. В каком отношении плоскость V делит ребра пирамиды?
Найти площадь сечения пирамиды плоскостью V и расстояние от точки
N до плоскости V.
13.107. (20001 в правильной треугольной пирамиде ABCD длина бо¬
кового ребра равна 12, а угол между основанием АВС и боковой гранью
равен arccos Точки К, М, N — середины ребер АВ, CD, АС соот¬
ветственно. Точка Е лежит на отрезке КМ и 2МЕ = КЕ. Через точку
В проходит плоскость V перпендикулярно отрезку КМ. В каком от¬
ношении плоскость V делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения
пирамиды плоскостью V и расстояние от точки N до плоскости V.
13.108.1200°] в правильной треугольной пирамиде ABCD сторона ос¬
нования АВС равна 4, угол между плоскостью основания и боковой гра-
НЬ|о равен arccos ^=. Точки К, М, N - середины отрезков АВ, DK,
АС соответственно. Точка Е лежит на отрезке СМ и 5МЕ = СЕ. Через
ТочкУ В проходит плоскость V перпендикулярно отрезку СМ. В каком
■,1П...ЦПп стереометрии «З*д*чи_
. v делит ребра пирамиды? Найти площадь сечения
отношении плоскость ^ ояние 0Т точки N до плоскости V.
пчрамнды пло^| тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами
d1pho гоанью АВС на плоскость. Точка F— середина ребра CD,
тПо°чСГ5 лежит" на прямой Л5, 5/ Л АВ = В5. В точку 5 сажают
муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им
путь был минимальным?
13 110 120011 Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами
поставлено гранью АВС на плоскость. Точка F — середина ребра CD,
точка 5 лежит на прямой АВ, 2АВ = BS и точка В лежит между А и
5. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F,
чтобы пройденный им путь был минимальным?
13.111.12001^ Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами
поставлено гранью АВС на плоскость. Точка F - середина ребра CD,
точка 5 лежит на прямой АВ, АВ = 255, точка 5 лежит между А и
5. В точку 5 сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F,
чтобы пройденный им путь был минимальным?
13.112.12001) Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми ребрами
поставлено гранью АВС на плоскость. Точка F лежит на ребре CD и
2DF = FC, точка 5 лежит на прямой АВ, АВ = 355 и точка 5 лежит
между А и 5. В точку 5 сажают муравья. Как должен муравей ползти в
точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным?
13.113. l2001! Сторона основания АВС правильной пирамиды ABCD
равна 4>/3, Z.DAB = arctg^/^. Точки Ах, 5,, (7, — середины ребер AD,
BD, CD соответственно. Найти:
1) угол между прямыми ВАХ и АСХ\
2) расстояние между прямыми ВАХ и АС\,
3) радиус сферы, касающейся плоскости АВС и отрезков АС\, ВАу
и (75,.
13.114.120011 Сторона основания АВС правильной пирамиды ABCD
равна 8л/3, высота пирамиды DO = 6. Точки Ах, 5Ь (7, — середины ре¬
бер AD, BD, CD соответственно. Найти:
1) угол между прямыми ВАХ и АСХ\
2) расстояние между прямыми ВАХ и АСХ\
3) радиус сферы, касающейся плоскости АВС и отрезков АСХ, ВА\
и СВ\.
13.115. t2001) Боковое ребро правильной пирамиды ABCD с основа¬
нием АВС равно 8у/Ш, ЛАВВ = arcsin 4Д. Точки АХ,ВХ,СХ- сере¬
дины ребер AD, BD, CD соответственно, ^айти:
1) угол между прямыми ВАХ и АСХ,
2) расстояние между прямыми ВАХ и АСХ-
и ДРаДиУС сферы, касающейся плоскости АВС и отрезков АСХ, BAi
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
111
13цб.[2001) Боковое ребро правильной пирамиды ABCD с основа¬
нием АВС равно 20, ZDAB = arcsin Точки Ах, Вх, Сх - середины
н V AD, BD, CD соответственно. Найти:
ре 1) угол между прямыми ВАХ и АСХ\
2) расстояние между прямыми ВАХ и АСХ\
3) радиус сферы, касающейся плоскости АВС и отрезков АСХ, ВАХ
СВ
И 13.117.12001* Три шара радиуса г касаются друг друга и шара ради¬
уса R внешним образом. При каком соотношении г и Л это возможно?
Считая, что R> г, найти радиус шара, касающегося всех четырех шаров
внешним образом.
13.118.120011 Три шара радиуса г касаются друг друга внешним об¬
разом и каждый шар касается внутренним образом сферы радиуса R.
При каком соотношении между г и R это возможно? Найти радиус наи¬
меньшего из шаров, касающихся трех шаров радиуса г внешним образом,
а сферы радиуса R внутренним образом.
13.119.12001' Три шара радиуса г касаются друг друга и шара ра¬
диуса R внешним образом. При каком соотношении между г и Я это
возможно? Считая, что R>r, найти радиус сферы такой, что все четыре
шара касаются ее внутренним образом.
13.120.12001) Три шара радиуса г касаются друг друга внешним обра¬
зом и каждый шар касается внутренним образом сферы радиуса R. При
каком соотношении между гий это возможно? Найти радиус наиболь¬
шего из шаров, касающихся трех шаров радиуса г внешним образом, а
сферы радиуса R внутренним образом.
13.121.12001) Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2,
боковое ребро образует с основанием ABCD угол, равный axctgy/bj2.
Точки Е, F, К выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC так,
что АЕ/ЕВ = AF/FD = SK/KC = 1/2. Найти:
1) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK\
2) расстояние от точки D до плоскости EFK\
3) угол между прямой SD и плоскостью EFK.
13.122.12001) Сторона основания ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 1, боковое ребро образует с основанием угол, равный
apctg4. Точки Е, F, К выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC
так что АЕ/АВ = AF/AD = SK/SC = 2/3. Найти:
1) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK;
расстояние от точки D до плоскости EFK\
3) угол между прямой SD и плоскостью EFK.
ем *2°01^ Высота правильной пирамиды SABCD с основани-
ABCD равна 3, угол между соседними боковыми ребрами равен
и Cq9,s То- Точки Е, F, К выбраны соответственно на ребрах АВ, AD
ЙС так. что АЕ/АВ = AF/AD = CK/SC = 1/3. Найти:
) площадь сечения пирамиды плоскостью EFK;
J расстояние от точки D до плоскости EFK\
' УГОл между прямой SD и плоскостью EFK.
И2
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ « ЗАДАЧИ
13124 I20011 Сторона основания ABCD правильной пирамиду
SABCD равна 2. боковая грань образует с основанием угол равный
trrtol Точки Е F, К выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и Sc
S.чтоАЕ/ЕВ = AF/FD = CK/KS = 2. Найти.
1) площадь сечения пирамиды плоскостью hr К,
2) расстояние от точки D до плоскости Е F Е}
3) угол между прямой SD и плоскостью EFK.
13.125.12002' Сторона основания ABCD правильной пирамиду
SABCD равна 2. Плоскость а, параллельная прямым SC и AD, пере¬
секает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность, причем
периметр сечения равен 32/5. Найти:
1) в каком отношении плоскость а делит ребра пирамиды;
2) отношение объемов частей, на которые плоскость а разбивает пи¬
рамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плос¬
кости а.
13.126.120021 Сторона основания ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 2. Плоскость а, параллельная прямым SB и AD, пере¬
секает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность, причем
периметр сечения равен 48/7. Найти:
1) в каком отношении плоскость а делит ребра пирамиды;
2) отношение объемов частей, на которые плоскость а разбивает пи¬
рамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плос¬
кости а.
13.127.120021 Сторона основания ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 2. Плоскость а, параллельная прямым SB и AD, пере¬
секает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность радиуса
•\/15/5. Найти:
1) в каком отношении плоскость а делит ребра пирамиды;
2) отношение объемов частей, на которые плоскость а разбивает пи¬
рамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плос¬
кости а.
13.128. f2002! Сторона основания ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 2. Плоскость а, параллельная прямым SC и AD, пере¬
секает пирамиду так, что в сечение можно вписать окружность радиуса
V35/7. Найти:
1) в каком отношении плоскость а делит ребра пирамиды;
2) отношение объемов частей, на которые плоскость а разбивает пи¬
рамиду;
3) расстояние от центра описанной около пирамиды сферы до плос¬
кости а.
13.129.12002! Расстояние от центра О шара радиуса 12, описанного
эколо правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно
1л/2. Найти:
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
ИЗ
1) высоту пирамиды,
о) расстояние от точки О до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
13.130.[2002] Расстояние от центра О шара радиуса 6^, описанного
около правильной четырехугольной пирамиды, до боковой грани равно 3.
Найти:
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки О до бокового ребра пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
13.131.120021 Расстояние от центра О шара, описанного около пра¬
вильной четырехугольной пирамиды до бокового ребра, равно 2%/2, а от О
до боковой грани равно 6/>/5. Найти:
1) высоту пирамиды;
2) радиус описанного вокруг пирамиды шара;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
13.132.120021 Расстояние от центра О шара радиуса 9, описанного
около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра в \/Тб/3
раз больше расстояния от точки О до боковой грани пирамиды. Найти:
1) высоту пирамиды;
2) расстояние от точки О до боковой грани пирамиды;
3) радиус вписанного в пирамиду шара.
13.133.120021 Сторона основания ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 8, высота SO равна 3. Точка М— середина ребра SB,
точка К — середина ребра ВС. Найти:
1) объем пирамиды AMSK\
2) угол между прямыми AM и SK\
3) расстояние между прямыми AM и SK.
13.134.120021 Сторона основания ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 4\/2, угол между боковым ребром пирамиды и плоско¬
стью основания равен arctgi. Точка М— середина ребра SD, точка
К - середина ребра AD. Найти:
О объем пирамиды CMSK;
2) угол между прямыми СМ и SK\
3) расстояние между прямыми СМ и SK.
13.135.120021 Диагональ основания ABCD правильной пирамиды
SABCD равна 8%/2, угол между боковой гранью и плоскостью осно-
ва«ия равен arctgf. Точка М - середина ребра SA, точка К - середина
РебРа АВ. Найти:
11 объем пирамиды DMSK\
J Уг°л между прямыми DM и SK\
) Расстояние между прямыми DM и SK.
S^3A3e-|2°°2] Диагональ основания ABCD правильной пирамиды
Ребп £-.Равна высота пирамиды SO равна 1. Точка М середина
Ра С, точка К — середина ребра CD. Найти:
АРЕОМЕТРИИ «ЗАДАЧИ
I) объем пирамиды BMSK;
2} угол между прямыми ВМ и SK;
3) расстояние между прямыми ВМ и SK.
ГАЛЛО] ц
" ■""•““"а ARCD и ц;
13
К^?ЛаТы'пий»им ABCD " 0кр',жто”ь НИ*.
3.137.даны ' рвпи<.яна в грань АВС. Окружность верхнее
него основания ЦИЛИ"ЛР кает ребра DA, DB и DC, а ее центр лежит
основания ии^ндра РилиндраРраРен 3 объем пирамиды Авсв ^
НЗТт« Л AR- 24 Найти двугранный угол между гранями АВС „
^’иРГаГиус опйса4ннойИоколо УвСО сферы.
,*11(2003] Даны пирамида ABCD и цилиндр. Окружность ниж-
1 п0ання цилиндра вписана в грань АВС. Окружность верхнего
оТо.ГиГГ-»“7з"^стет ребра D.4, DB и DC. а ее центр а,*»,
на грани Радиус цилиндра равен 2, двугранный угол между граня¬
ми АВС и ABD равен arctgv'l ребро АВ = 20. Найти объем пирамиды
ABCD и радиус описанной около ABCD сферы.
13.139.120031 Даны пирамида ABCD и цилиндр. Окружность ниж¬
него основания цилиндра вписана в грань АВС. Окружность верхнего
основания цилиндра пересекает ребра DA, DB и DC, а ее центр лежит
на грани ABD. Радиус цилиндра равен 2, объем пирамиды ABCD равен
28\/2, ребро АВ = 12. Найти двугранный угол между гранями АВС и
ABD и радиус описанной около ABCD сферы.
13.140.120031 Даны пирамида ABCD и цилиндр. Окружность ниж¬
него основания цилиндра вписана в грань АВС. Окружность верхнего
основания цилиндра пересекает ребра DA, DB и DC, а ее центр лежит
на грани ABD. Радиус цилиндра равен 4, двугранный угол между граня¬
ми АВС и ABD равен arctg^g, ребро АВ = 24. Найти объем пирамиды
Гсантв 0|10Л0 ABCD сферы.
сферы, касающейся:^0 ^ ABCDAiBiCidi равно 1. Найти радиус
а) ребер BA ВВ,. ВС и плоскости A,DC.
йы? [»; lBu вс * пря“ой л»,
сферы; касак,Шейс'ебР° ABCDA,B,C,D, равно 1. Найти радиус
«3? AD. °DCc : Z^rBc'BCli
13.143 f2003] г>л<к„ " ПРЯМ0И ВС\.
сферы, касаюшейсю° ^ ABCDA,B,C,D, равно 1. Найти радиус
6) ребер АВ’ Ал\' AD " ПЛ0СК0.СТИ
13.144 I2003! Paft* и прямой CD..
Сферы, касающейся: Куба **”*,8,0,0, равно 1. Найти радиУ'
а) ребер СВ, ССХ, CD
б) ребер СВ, CCu CD
и плоскости BiADi;
и прямой AD\.
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
115
13.145.120031 Основание прямой призмы АВСА1В1С1 — треугольник
.ос, в котором АВ = ВС = 5, АС = 6. Высота призмы равна %/б. На
сторонах АС, ВС и АхСх выбраны соответственно точки D, Е н D\ так,
0 вС=^г> ВЕ = СЕ, AiDi = А&., и через эти точки проведена
плоскость П. Найти:
1) площадь сечения призмы плоскостью П;
2) угол между плоскостью П и плоскостью АВС;
3) расстояние от точек С\ и С до плоскости П.
13.146.120031 Основание прямой призмы ABCAiBxCi — треугольник
ЛВС, в котором АВ = ВС = 5, АС = 6. Высота призмы равна у/б. На
сторонах AiC\, В\С\ и АС выбраны соответственно точки Dlt Е\ и
В так, что C\Di = В\Е\ = С\Е\, AD = 4р, и через эти точки
проведена плоскость П. Найти:
1) площадь сечения призмы плоскостью П;
2) угол между плоскостью П и плоскостью АВС;
3) расстояние от точек С\ и С до плоскости П.
13.147.120031 Основание прямой призмы АВСА\В\С\ — треугольник
АВС, в котором АВ = ВС = 5, АС = 6. Высота призмы равна %/б. На
сторонах АС, ВС и А\С\ выбраны соответственно точки D, Е и D\ так,
что AD=^~-, АЕ = ВЕ, CiD\ = ^р-, и через эти точки проведена
плоскость П. Найти:
1) площадь сечения призмы плоскостью П;
2) угол между плоскостью П и плоскостью АВС;
3) расстояние от точек Ai и А до плоскости П.
13.148. !20031 Основание прямой призмы ABCAiBiCi — треугольник
АВС, в котором АВ = ВС = 5, АС = 6. Высота призмы равна %/б. На
сторонах AiCi, А\Вх и АС выбраны соответственно точки D\, Е\ и
D так, что AiDi = А\Ех — B\Ei, CD = 4р, и через эти точки
проведена плоскость П. Найти:
1) площадь сечения призмы плоскостью П;
2) угол между плоскостью П и плоскостью АВС;
3) расстояние от точек А и А\ до плоскости П.
13.149.120041 В пирамиде ABCD длина отрезка BD равна 5/2, точка
В — середина АВ, a F — точка пересечения медиан грани BCD, причем
р^ = 8. Сфера радиуса 5 касается плоскостей ABD и BCD в точках
д и В соответственно. Найти двугранный угол между гранями ABD и
BCD, площадь грани BCD и объем пирамиды ABCD.
13.150.120041 В пирамиде ABCD длина отрезка BD равна 8/3, точка
середина АВ, a F — точка пересечения медиан грани BCD, причем
= 6. Сфера радиуса 5 касается плоскостей ABD и BCD в точках
ВРп' соответственно- Найти двугранный угол между гранями ABD и
D, площадь грани BCD и объем пирамиды ABCD.
13.151.12004) в пирамиде ABCD длина отрезка BD равна 6, точка
середина АВ, a F — точка пересечения медиан грани BCD, причем
116
r n.un ПО СТЕРЕОМЕТРИИ » ЗАДАЧИ
EF - 10 Сфера радиуса 25/4 касается плоскостей ABD и BCD в точка*
Ги> соответственно. Найти двугранный У™ между данями АВд
BCD плошадь грани BCD и объем пирамиды ABCD.
1Я 152 I20041 в пирамиде ABCD длина отрезка BD равна 4/3, тоЧк,
Е-'середина АВ, a F- точка пересечения медиан грани BCD, причем
EF = 8 Сфера радиуса 20/3 касается плоскостей ABD и BCD в точках
Е и F соответственно. Найти двугранный угол между гранями ABD и
BCD, плошадь грани BCD и объем пирамиды ABCD.
13.153.120041 Вписанные окружности граней SBC, SAC и SAB тре.
угольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы V3,
v/5 и уД соответственно. Точка К является точкой касания окружностей
со стороной SA, причем SK = 5. Найти длину отрезка АК, периметр
и радиус вписанной окружности треугольника АВС.
13.154.120041 Вписанные окружности граней SBC, SAC и SAB тре¬
угольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы уД,
v/б и \/7 соответственно. Точка К является точкой касания окружностей
со стороной SA, причем SK = 3. Найти длину отрезка АК, периметр
и радиус вписанной окружности треугольника АВС.
13.155.120041 Вписанные окружности граней SBC, SAC и SAB тре¬
угольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы
у/й и у/\Ъ соответственно. Точка К является точкой касания окружно¬
стей со стороной SA, причем SK = 5. Найти длину отрезка АК, пери¬
метр и радиус вписанной окружности треугольника АВС.
13.156.120041 Вписанные окружности граней SBC, SAC и SAB тре¬
угольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы уД,
у/П и у/Ы соответственно. Точка К является точкой касания окружно¬
стей со стороной SA, причем SK = 7. Найти длину отрезка АК, пери¬
метр и радиус вписанной окружности треугольника АВС.
13.157.120041 Задан куб ABCDAiBiCiDi с ребром длины 1. Найти:
а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину Вь
середину ребра AD и параллельной прямой А\С\,
б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину В\
и параллельной прямой AiCi, у которой площадь проекции сечения на
плоскость AiCiA максимальна.
13.158.120041 Задан куб ABCDAiBiCiD1 с ребром длины 1- Найти.
а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину
середину ребра AiBi и параллельной прямой BD; q
б) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину
и параллельной прямой BD, у которой площадь проекции сечения
плоскость BDBi максимальна. и.
13.159.120041 Задан куб ABC DAiBiCiDi с ребром длины 1-
а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину
середину ребра ВС и параллельной прямой AyCi\
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
117
б) пдотадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину D
„ параллельной прямой А&, у которой площадь проекции сечения на
и L>CTb А1С1А максимальна.
ПЛ 13.160. I200** Задан куб ABCDA\B\C\D\ с ребром длины 1. Найти-
а) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину А
середину ребра C\D\ и параллельной прямой BD\
5) площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину А
и параллельной прямой BD, у которой площадь проекции сечения на
плоскость BDBi максимальна.
13.161.[20051 Прямой круговой конус с вершиной О имеет высоту
4 и образующую длины 5. Пирамида ABCD вписана в конус так, что
д и С принадлежат окружности основания, В и D принадлежат боко¬
вой поверхности, причем В принадлежит образующей О А. Треугольники
ОАС и OBD равносторонние, причем ОВ = 3. Найти объем пирамиды
ABCD, двугранный угол при ребре АВ и радиус сферы, описанной около
ABCD.
13.162.120051 Прямой круговой конус с вершиной О имеет высоту 4
и радиус основания 2. Пирамида ABCD вписана в конус так, что А
и С принадлежат окружности основания, В и D принадлежат боковой
поверхности, причем В принадлежит образующей ОА. Прямая BD па¬
раллельная плоскости основания конуса, ОВ/ВА = 1/2, АС = \fl, BD =
= \/7/3. Найти объем пирамиды ABCD, двугранный угол при ребре АВ
и радиус сферы, описанной около ABCD.
13.163.120051 Прямой круговой конус с вершиной О имеет высоту
2 и образующую длины \/Тз. Пирамида ABCD вписана в конус так,
что Л и С принадлежат окружности основания, В и D принадлежат
боковой поверхности, причем В принадлежит образующей О А. Точки В
и D равноудалены от плоскости основания конуса, ОВ = \/13/3, АС =
= 4\/2, BD = А\/2/Ъ. Найти объем пирамиды ABCD, двугранный угол
при ребре АВ и радиус сферы, описанной около ABCD.
13.164.12005) Прямой круговой конус с вершиной О имеет высоту 3
и радиус основания 2. Пирамида ABCD вписана в конус так, что А и
С принадлежат окружности основания, В и D принадлежат боковой по¬
верхности, причем В принадлежит образующей О А. Известно, что ОВ —
= OD = АВ, АС = 2уД, BD = ч/2. Найти объем пирамиды ABCD, дву¬
гранный угол при ребре АВ и радиус сферы, описанной около ABCD.
13.165.12005! Сфера касается боковых граней четырехугольной пи¬
рамиды SABCD в точках, лежащих на ребрах АВ, ВС, CD, DA.
звестно, что высота пирамиды равна 2у/Ь, АВ = 6, SA = 5, SB = 7,
*C = 2v/T6. Найти длины ребер ВС и CD, радиус сферы и двугранный
угол пРи ребре SD.
13.166.120°5] Сфера касается боковых граней четырехугольной пи-
Рамиды SABCD в точках, лежащих на ребрах АВ, ВС, CD, DA.
авестно, что высота пирамиды равна -ч/б, АВ — 8, SA — 4,
lie
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ « ЗАДАЧИ
SC = 4v/6. Найти длины ребер ВС и CD, радиус сферы и двугранный
угол при ребре SD.
13 167.120051 Сфера касается боковых граней четырехугольной пи¬
рамиды SABCD в точках, лежащих на ребрах АВ, ВС, CD, £)д
Известно, что высота пирамиды равна у/5, АВ = 12, SA = 5, SB = ц
SC = у/85. Найти длины ребер ВС и CD, радиус сферы и двугранный
угол при ребре SD.
13.168.120051 Сфера касается боковых граней четырехугольной пи¬
рамиды SABCD в точках, лежащих на ребрах АВ, ВС, CD, Da.
Известно, что высота пирамиды равна 2>/3, АВ = 9, SA = 6, SB = gt
5С7 = 2\/Й. Найти длины ребер ВС и CD, радиус сферы и двугранный
угол при ребре SD.
13.169.120051 Сторона основания АВС правильной треугольной пира¬
миды ABCD равна 6, двугранный угол между боковыми гранями пи¬
рамиды равен arccos^. Точки Ai и В\ — середины ребер AD и BD
соответственно, ВСХ — высота в треугольнике DBC. Найти:
1) угол между прямыми АВ и ВХС\,
2) площадь треугольника AxBiCi\
3) расстояние от точки В до плоскости AiBiCi,
4) радиус вписанного в пирамиду AXBXCXD шара.
13.170.120051 Сторона основания АВС правильной треугольной пира¬
миды ABCD равна 3, двугранный угол между боковой гранью и плоско¬
стью основания пирамиды равен arccos^|. Точки Ах и Сх — середины
ребер AD и CD соответственно, АВ\ — высота в треугольнике ABD.
Найти:
1) угол между прямыми АС и А\Вх,
2) площадь треугольника AxBxCi,
3) расстояние от точки А до плоскости АХВХС\,
4) радиус вписанного в пирамиду AXBXCXD шара.
13.171.120051 Сторона основания АВС правильной треугольной пира¬
миды ABCD равна 6, угол между боковым ребром и плоскостью основа¬
ния пирамиды равен arccos2^). Точки Вх и С\ — середины ребер BD
и CD соответственно, СА\ — высота в треугольнике ACD. Найти:
1) угол между прямыми ВС и А\Сх,
2) площадь треугольника AiBiCi,
3) расстояние от точки С до плоскости AiBiCi,
4) радиус вписанного в пирамиду AiB^CiD шара.
13.172.120051 Сторона основания АВС правильной треугольной пира
миды ABCD равна 4, угол между боковыми ребрами пирамиды раве
arccos^. Точки Aj и С\ — середины ребер AD и CD соответственно,
СВ\ — высота в треугольнике BD. Найти:
1) угол между прямыми АС и BiC\\
2) площадь треугольника AiBiCi,
3) расстояние от точки А до плоскости AxBiC\,
4) радиус вписанного в пирамиду AiBxC\D шара.
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
119
13.173.120061 "Ри!.“ы ABCDA.ByC.Dy лежит равнобо¬
кая трапсцп- .. PW"yca3 с центром в плоскости
aA,D\D касается плоскостей ABCD, AyByCyDi и прямых ААУ, ВВл
гг DDИзвестно, что 7, ВС = 5. Найти: Ь
Оугол между прямыми AD и ВВг,
2) двугранный угол между гранями ВВУСУС и CCyDyD\
3) объем призмы.
13.174.120061 В основании призмы ABCDAiBiCyDi лежит равнобо¬
кая трапеция ABCD (AD || ВС). Сфера радиуса 2 с центром в плоскости
AAiDiD касается плоскостей ABCD, AiByCiDi и прямых ААу, ВВу,
СС\, DD\. Известно, что AD = 7, ВС = 3. Найти:
1) угол между прямыми ААУ и ByCi,
2) двугранный угол между гранями AAiBiB и AAyDyD\
3) объем призмы.
13.175.120061 В основании призмы ABCDAiByCiDy лежит равнобо¬
кая трапеция ABCD (AD || ВС). Сфера радиуса 3 с центром в плоскости
AA\DiD касается плоскостей ABCD, AiByC\Di и прямых AAi, ВВу,
CCi, DD\. Известно, что AD = 8, ВуСу = 1. Найти:
1) угол между прямыми ВС и DDy,
2) двугранный угол между гранями AAiB\B и ВВУСУС;
3) объем призмы.
13.176.120061 В основании призмы ABCDA\B\C\D\ лежит равнобо¬
кая трапеция ABCD (AD || ВС). Сфера радиуса 2 с центром в плоскости
AAiDiD касается плоскостей ABCD, AyBiC\Di и прямых ААУ, ВВУ,
CCi, DD\. Известно, что AyDy =6, В\С\ = 1. Найти:
Оугол между прямыми СС\ и AD;
2) двугранный угол между гранями CCyD\D и DDyAiA\
3) объем призмы.
13.177.120061 В треугольной пирамиде ABCD сфера касается граней
ACD и BCD в точках В\ и А\, являющихся основаниями высот пира-
миды, и пересекает ребро АВ в точках К и L. Известно, что АВ = ■УЩ
XL - у ■у, ВС = AD = 5. Найти расстояние между ребрами АВ и
^Д радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью АВС, и объем
пирамиды ABCD.
13-178. t2006) в треугольной пирамиде ABCD сфера касается граней
£ и BCD в точках Ву и А\, являющихся основаниями высот пира-
*,лы, и пересекает ребро АВ в точках К и L. Известно, что АВ = 4,
и гп4/^’ Вс = 2'Л, AD = 6. Найти расстояние между ребрами АВ
Д радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью АВС, и
объем
пирамиды ABCD.
лр1?’179.120061 В треугольной пирамиде ABCD сфера касается граней
и BCD в точках Ву и Ау, являющихся основаниями высот пира
ИДы- и пересекает ребро АВ в точках К и L. Известно, что АВ = V14.
1 * v/7, ВС = AD = у/42. Найти расстояние между ребрами АВ
120
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ «ЗАДАЧИ
и CD. радиус окружности, высекаемой иа сфере плоскостью АВС. ,
объем пирамиды ABCD.
13.180.120061 В треугольной пирамиде ABCD сфера касается граней
ACD и BCD в точках В\ и А\, являющихся основаниями высот пира.
МИДЫ, и пересекает ребро АВ в точках К и L. Известно, что АВ =
KL = 3»/§, ВС = 3Wy. AD = Зу/7. Найти расстояние между pe6paMH
АВ и CD, радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью АВс,
и объем пирамиды ABCD.
13 181 120061 В пирамиде SABC каждый из углов ASB и ASC равен
arccos ^, угол BSC прямой, ребро SB равно о. Центр сферы, вписанной
в пирамиду SABC, лежит на высоте SD. Найти SA, SD и радиус сферы,
вписанной в пирамиду SABC.
13.182.120061 В пирамиде SABC каждый из углов ASB и ASC равен
arccos^==, угол BSC прямой, ребро SB равно о. Центр сферы, вписанной
в пирамиду SABC, лежит на высоте SD. Найти SA, SD и радиус сферы,
вписанной в пирамиду SABC.
13.183.120061 В пирамиде SABC каждый из углов ASB и ASC равен
arccos^-, угол BSC прямой, ребро SB равно о. Центр сферы, вписанной
в пирамиду SABC, лежит на высоте SD. Найти 5Л, SD и радиус сферы,
вписанной в пирамиду SABC.
13.184.120061 В пирамиде SABC каждый из углов ASB и ASC равен
arccos^-, угол BSC прямой, ребро SC равно а. Центр сферы, вписанной
в пирамиду SABC, лежит на высоте SD. Найти SA, SD и радиус сферы,
вписанной в пирамиду SABC.
13.185.120061 Внутри конуса с вершиной А и высотой 8 расположены
сфера Si с центром 0\ радиуса 1 и сфера S2 с центром 02 радиуса 1/4,
причем 0102 =3/2- Сфера Si касается плоскости основания конуса в его
центре О. Обе сферы Si и 52 касаются образующей конуса АВ в точках
i4i и А2 соответственно. Прямые 0!02 и АВ пересекаются в точке L.
Плоскость П касается обеих сфер и пересекает отрезок AiA2 в его се¬
редине Л/. Найти длины отрезков AiA2 и 02L, а также расстояния от
точек L и А до плоскости П.
13.186.12006) Внутри конуса с вершиной Т и высотой 8 расположены
сфера Si с центром Oi радиуса 1 и сфера S2 с центром 02 радиуса
1/4, причем 0102 = 3/2. Сфера Si касается плоскости основания конус*
в его центре О. Обе сферы Si и S2 касаются образующей конуса
в точках Ki и К2 соответственно. Прямые 0102 и ТА пересекают,
в точке L. Плоскость П касается обеих сфер и пересекает отрезок К\ 2
в его середине М. Найти длины отрезков АТ и О^, а также расстоян
от точек L и А до плоскости П. ^
13.187.120061 Внутри конуса с вершиной А и высотой 8 расположу
сфера Si с центром Ох радиуса 1 и сфера S2 с центром 02 P^L
1/4, причем 0Х02 = з/2. Сфера 5, касается плоскости основания конУ*
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
121
его центре О- Обе сферы 51 и S2 касаются образующей конуса АВ
8 точках Ai и А2 соответственно. Прямые 0i02 и АВ пересекаются
В точке L. Плоскость П касается обеих сфер и пересекает отрезок А\А2
8 его середине М. Найти длины отрезков АА\ и OiL, а также расстояния
“ Точек L и А до плоскости П.
° 13.188.12006* Внутри конуса с вершиной Т и высотой 8 расположены
сфера S\ с центром 0\ радиуса 1 и сфера S2 с центром 02 радиуса
1/4 причем 0102 = 3/2. Сфера S\ касается плоскости основания конуса
вег0 центре О. Обе сферы 5i и S2 касаются образующей конуса ТА
в точках К\ и К2 соответственно. Прямые 0iO2 и ТА пересекаются
в точке L. Плоскость П касается обеих сфер и пересекает отрезок КХК2
в его середине М. Найти длины отрезков ТК2 и 02Ь, а также расстояния
от точек L и А до плоскости П.
13.189.120071 В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX
четыре числа — длины ребер и диагонали АС\ — образуют арифметиче¬
скую прогрессию с положительной разностью сЕ, причем AAi <АВ<ВС.
Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного ра¬
диуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда,
причем первая сфера касается граней АВВХАХ, ADDXAX, ABCD, а вто¬
рая — граней BCCiBi, CDDXCX, AXBXCXDX. Найти:
а) длины ребер параллелепипеда;
б) угол между прямыми CDi и АСХ,
в) радиус R.
13.190.120071 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1
четыре числа — длины ребер и диагонали АС\ — образуют арифметиче¬
скую прогрессию с положительной разностью d, причем АВ < АА\ < AD.
Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного ра¬
диуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда,
причем первая сфера касается граней АВВХАХ, ADDXAX, ABCD, а вто¬
рая — граней BCCXBX,CDDXCX, AxBiCiDi. Найти:
а) длины ребер параллелепипеда;
б) угол между прямыми CDX и АСХ,
в) радиус R.
13.191.120071 В прямоугольном параллелепипеде ABCDAxBiC\D\
четыре числа — длины ребер и диагонали .401 — образуют арифметиче¬
скую прогрессию с положительной разностью d, причем AD<AB< ААХ.
Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного ра¬
диуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда,
пРичем первая сфера касается граней АВВХАХ, ADDXAX, ABCD, а вто-
Рая ~ граней ВССХВХ, CDDXCX, AXBXCXDX. Найти:
а) длины ребер параллелепипеда;
) Угол между прямыми CDX и АСХ;
в) Радиус R.
чет13"192' *2°07' В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX
Числа — длины ребер и диагонали .401 — образуют арифметиче-
Ую прогрессию с положительной разностью d, причем ААХ <AD<AB.
122
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ « ЗАДАЧИ
Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного ра.
диуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда1
причем первая сфера касается граней АВВ\А\, ADD\A\, ABCD, а вто’
рая — граней ВСС\В\, CDD\C\, A\B\C\D\. Найти.
а) длины ребер параллелепипеда;
б) угол между прямыми CDi и АСй
в) радиус R.
13.193.120071Внутри прямоугольного параллелепипеда АВСИА^С^
расположены два шара o)i и ш2, касающиеся друг друга внешним обра¬
зом; кроме того, шар o)i касается граней ABCD, АВВ\А\, ADD\A\, а
шар о)2 касается граней A\B\C\D\, ВСС\В\, CDD\C\. Известно, что
АВ = 6 - y/2,AiD\ = 6 + \/2, CCi = 6. Найти расстояние между центра¬
ми шаров oil и о)2- Найти наибольший и наименьший суммарный объем
шаров.
13.194.120071Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\CiI\
расположены два шара o)i и о)2. касающиеся друг друга внешним обра¬
зом; кроме того, шар coi касается граней ABCD, ABB\A\, ВСС\В\,
а шар о)2 касается граней A\B\C\D\, ADD\A\, CDD\C\, Известно,
что j4iSi = 14 — v/З, ВС = 14, СС\ = 14 -I- \/3. Найти расстояние между
центрами шаров o)i и о)2- Найти наибольший и наименьший суммарный
объем шаров.
13.195.120071Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDAiBiCiDi
расположены два шара o)i и о)2, касающиеся друг друга внешним обра¬
зом; кроме того, шар касается граней ABCD, CDD\Ci, ВСС\В\, а
шар о)2 касается граней AiB\C\D\, ADD\A\, АВВ\А\. Известно, что
C\D\ = 20 - у/П, AD = 20, ВВ\ = 20 -I- \/ТТ. Найти расстояние между
центрами шаров o)i и о)2- Найти наибольший и наименьший суммарный
объем шаров.
13.196.120071Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\Di
расположены два шара o)i и а)2. касающиеся друг друга внешним обра¬
зом; кроме того, шар o)i касается граней ABCD, CDD\C\, ADD\A\,
а шар о)2 касается граней BCC\BU ABBxAi. Известно,
что C\D\ = 22 — v/2, ВС = 22, АЛi = 22 + у/2. Найти расстояние между
центрами шаров o)i и ш2. Найти наибольший и наименьший суммарный
объем шаров.
13.197.120071 В пирамиде ABCD грани АВС и ADC являются ра»'
нобедренными треугольниками с общим основанием АС. Сфера радиуса
R с центром в точке О, лежащей на грани АВС, касается всех ребер пи*
рамиды ABCD. Найти длины отрезков, на которые точки касания сфер11
делят ребра пирамиды, и объем пирамиды ABCD, если угол АВС Ра'
вен 2а. Найти значение угла АВС, при котором объем пирамиды
будет наименьшим. Найти это наименьшее значение объема пирамид
ABCD.
13.198. f2007! В пирамиде ABCD грани АВС и ADC являются РаВ*
нобедренными треугольниками с общим основанием АС. Сфера радиУ
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
123
центром В точке О, лежащей на грани АВС, касается всех ребер пи-
ииды ABCD. Найти длины отрезков, на которые точки касания сферы
лит ребра пирамиды, и объем пирамиды ABCD, если угол САВ ра-
де А Найти значение угла САВ, при котором объем пирамиды ABCD
^удет наименьшим. Найти это наименьшее значение объема пирамиды
^13199.[20071 в пирамиде ABCD грани АВС и A DC являются рав¬
нобедренными треугольниками с общим основанием АС. Сфера радиуса
в с центром в точке О, лежащей на грани АВС, касается всех ребер пи¬
рамиды ABCD. Найти длины отрезков, на которые точки касания сферы
делят ребра пирамиды, и объем пирамиды ABCD, если угол OBD ра¬
вен а. Найти значение угла OBD, при котором объем пирамиды ABCD
будет наименьшим. Найти это наименьшее значение объема пирамиды
ABCD. ,
13.200.120071 В пирамиде ABCD грани АВС и ADC являются рав¬
нобедренными треугольниками с общим основанием АС. Сфера радиуса
Л с центром в точке О, лежащей на грани АВС, касается всех ребер пи¬
рамиды ABCD. Найти длины отрезков, на которые точки касания сферы
делят ребра пирамиды, и объем пирамиды ABCD, если угол OCD ра¬
вен р. Найти значение угла OCD, при котором объем пирамиды ABCD
будет наименьшим. Найти это наименьшее значение объема пирамиды
ABCD.
13.201.120071 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD реб¬
ро основания ABCD равно 1, а боковое ребро равно На ребре SB
выбрана точка К так, что В К = 3 KS. Сфера to с центром на отрезке DK
проходит через точки 5 и С. Найти, в каком отношении центр сферы to
делит отрезок DK, радиус сферы со и длину отрезка, который со отсекает
от прямой CD.
13.202.12007) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD реб¬
ро основания ABCD и высота равно 2. На ребре 5Л выбрана точка К
так, чт° SA = AKS. Сфера со с центром на отрезке СК проходит через
точки S и В. Найти, в каком отношении центр сферы со делит отрезок
РаДиус сферы со и длину отрезка, который со отсекает от прямой
13.203. t2007) в правильной четырехугольной пирамиде SABCD реб-
РО основания ABCD равно 3, а угол между боковым ребром и плоско-
^основвния равен arctg \Д. На ребре SC выбрана точка К так, что
q Сфера со с центром на отрезке АК проходит через точки S и
аити> в каком отношении центр сферы со делит отрезок АК, радиус
Ры о и длину отрезка, который to отсекает от прямой AD.
* ** ^20°71 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD реб-
°снова°Вания ABCD равно 4, а угол между боковой гранью и плоскостью
Равен arctg2. На ребре SD выбрана точка К так, что SK —
* ■ Сфера со с центром на отрезке ВК проходит через точки и
124
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ » ЗАДАЧИ
А Найти, в каком отношении центр сферы а> делит отрезок В*, рад
сферы о) и длину отрезка, который ш отсекает от прямой АВ. ДИ*
13.205.120081 На основании ABCD четырехугольной пирамид
SABCD расположена точка О. Сфера с центром в точке О касаетсо
прямых SA, SB, SC, SD в точках А, В, К, L соответственно. Извест
но что AB = KL = 2 A AL = 2. В К = 6. а отрезок SO составляет с
плоскостью ABCD угол arccosf. Найти длины отрезков АК, OS и SD
13.206.120081 На основании ABCD четырехугольной пирамиды
SABCD расположена точка О. Сфера с центром в точке О касается
прямых SA, SB, SC, SD в точках А, В, К, L соответственно. Извест¬
но, что АВ = KL = 5у/2, AL = 6, ВК = 8, а отрезок SO составляете
плоскостью ABCD угол arccosf-. Найти длины отрезков АК, OS и
SD.
13.207.120081 На основании ABCD четырехугольной пирамиды
SABCD расположена точка О. Сфера с центром в точке О касается
прямых SA, SB, SC, SD в точках А, В, К, L соответственно. Извест¬
но, что АВ = KL = 10v/2, AL = 16, ВК = 12, а отрезок SO составляет
с плоскостью ABCD угол arccosf. Найти длины отрезков АК, OS и
SD.
13.208.120081 На основании ABCD четырехугольной пирамиды
SABCD расположена точка О. Сфера с центром в точке О касается
прямых SA, SB, SC, SD в точках А, В, К, L соответственно. Известно,
что АВ = KL — 2\/Гз, AL = 6>/2, ВК = 4\/2, а отрезок SO составляет
с плоскостью ABCD угол arccosfНайти длины отрезков АК, OS к
SD.
13.209.120081 В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм
ABCD. Сфера о) радиуса || с центром О касается ребер AS, BS, AD,
ВС пирамиды SABCD соответственно в точках К, L, М, N, пересекает
ребро АВ в точках Р и Q и касается грани CDS. Известно, что прямая
SO перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает ее в точке Я, ~
= ~7i' if = §• Найти Z.SAB, Z.SBH, высоту пирамиды и ее объем.
13.210.120081 В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм
ABCD. Сфера о) радиуса ^ с центром О касается ребер AS, BS, AD,
ВС пирамиды SABCD соответственно в точках К, L, М, N, пересекав
ребро АВ в точках Р и Q и касается грани CDS. Известно, что прдма^
SO перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает ее в точке Я, дв
= \[Щ' TF5 = 5* Найти Z.SAB, Z.BSH, высоту пирамиды и ее объем.
13.211.120081 В основании пирамиды SABCD лежит параллелограм^
ABCD. Сфера о) радиуса Щ с центром О касается ребер AS, BS,
ВС пирамиды SABCD соответственно в точках К, L, М, N, пересеК8 я
ребро АВ в точках Р и Q и касается грани CDS. Известно, что прям
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ » ЗАДАЧИ
125
50 перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает ее в точке Н, Ав _
s Jf. = ^ НаЙТИ ASBA’ ZSAH< ВЫС0ТУ пирамиды и ее объем9
” 13.212.120081 В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм
ABCD- Сфера (о радиуса -5- с центром О касается ребер AS, BS, AD
ВС пирамиды SABCD соответственно в точках К, L, М, N, пересекает
ребро АВ в точках Р и Q и касается грани CDS. Известно, что прямая
50 перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает ее в точке Н, £2 =
= \/М’ Ш ~ §■ Найти ZSBA, ZASH, высоту пирамиды и ее объем.
13.213.120081 В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник
ABCD, причем АВ = 1, ВС = 2. Пусть N — середина SB, М — сере¬
дина SC, причем BN = МС = 3MN. Каким может быть минимальный
радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD? Найти объем пира¬
миды SABCD, вписанной в эту сферу (минимального радиуса).
13.214.120081 В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник
ABCD, причем АВ = 3, SC = 8. Пусть N — середина SB, М — середина
SC, причем BN = МС = 4MN. Каким может быть минимальный ради¬
ус сферы, описанной около пирамиды SABCD? Найти объем пирамиды
SABCD, вписанной в эту сферу (минимального радиуса).
13.21 5.120081 В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник
ABCD, причем АВ = 3, ВС = 2. Пусть N — середина SB, М — сере¬
дина SC, причем BN = МС = 3MN. Каким может быть минимальный
радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD? Найти объем пира¬
миды SABCD, вписанной в эту сферу (минимального радиуса).
13.216.120081 В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник
ABCD, причем АВ = 1, SC = 8. Пусть N — середина SB, М — середина
SC, причем BN = МС = 4MN. Каким может быть минимальный ради¬
ус сферы, описанной около пирамиды SABCD? Найти объем пирамиды
SABCD, вписанной в эту сферу (минимального радиуса).
13.21 7.120081 Грани АВС и ABD пирамиды ABCD ортогональны и
являются равными равнобедренными треугольниками с общим основани¬
ем АВ. Известно, что АВ = 1, CD = 2. Найти угол между прямыми Ж7
и BD, расстояние между прямыми АС и BD и радиус сферы, описанной
вокРуг пирамиды ABCD.
13.218.120°8] Грани АВС и ABD пирамиды ABCD ортогональны и
являются равными равнобедренными треугольниками с общим основани-
ем ЛВ. Известно, что АВ = 2, CD = 1. Найти угол между прямыми АС
иПп - . .л.— описанной
8 D, расстояние между прямыми АС и BD и радиус сферы,
ВокРУг пирамиды ABCD.
13-219. t2°08) грани двс и ABD пирамиды ABCD ортогональны и
ецЛд е»ТСгЯ Равными равнобедренными треугольниками с обшим основани
и BD' Известн°. что АВ = 3, CD = 2. Найти угол межДУ"рЯ“““Ин^0й
вокп расстояние между прямыми АС и BD и радиус сферы, описанной
РУГ пирамиды ABCD.
126
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ * ЗАДАЧИ
13.220.120081 Грани АВС и ABD пирамиды ABCD ортогональны „
являются равными равнобедренными треугольниками с общим основаНи.
ем АВ. Известно, что АВ = 2, CD -1/2. Наити угол между прямым„
АС и ВD, расстояние между прямыми АС и BD и радиус сферы, опи.
санной вокруг пирамиды ABCD.
13.221.12009' В основании прямой призмы ABCDA\B\CiDx лежит
трапеция ABCD, в которой AB = BC = CD = 2, AD = 4. Точки К, L
М лежат на отрезках АгВ, В^С, CiD соответственно так, что
МК _ B\L _ С\М _3
КВ ~ LC MD
Сфера радиуса R = 2 касается прямых АХВ, В\С, CxDb точках К, L, М
соответственно. Найти радиус окружности, описанной около треуголь¬
ника KLM, расстояние от центра сферы до плоскости KLM и объем
призмы.
13.222.120091 В основании прямой призмы ABCDAiBiCiDi лежит
трапеция ABCD, в которой АВ = ВС = CD = 2, AD = 4. Точки К, L,
М лежат на отрезках AiB, В^С, CiD соответственно так, что
А\К _ BiL _ CjM _4
КВ ~ LC ~ MD ~
Сфера радиуса R = 2 касается прямых А\В, В\С, CiD в точках К, L, М
соответственно. Найти радиус окружности, описанной около треуголь¬
ника KLM, расстояние от центра сферы до плоскости KLM и объем
призмы.
13.223.120091 В основании прямой призмы ABCDAiBiCiDi лежит
трапеция ABCD, в которой АВ — ВС = CD = 2, AD = 4. Точки К, L,
М лежат на отрезках А\В, В\С, C\D соответственно так, что
AjK _ B\L _ CiM _ 5
КВ ~ LC ~ MD ~ З'
Сфера радиуса R = 2 касается прямых А\В, ВуС, C\D в точках К, L, М
соответственно. Найти радиус окружности, описанной около треуголь¬
ника KLM, расстояние от центра сферы до плоскости KLM и объем
призмы.
13.224 I2009! В основании прямой призмы ABCDAiBiCiDi лежит
трапеция ABCD, в которой АВ = ВС = CD = 2, AD = 4. Точки К,
лежат на отрезках А\В, BiC, CjD соответственно так, что
AiK _ BiL
KB~~LC
= __ = CiM
MD
UKs MU
ЙетсТвеннп^н ■ Касается ПРЯМЫХ AiB> ВгС, CXD в точках К, ^
ника KLM oarr ЗИТИ ^адиУс окРУЖности, описанной около треуг ел
призмы ’ р СТ0ЯНИе 0Т центРа сФеРы ДО плоскости KLM и <**
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
127
' 77225.120091 На Ребре АВ тРеУгольной пирамиды ABCD выбрана
а v такая, что АХ : ХВ = 2. Точки К и L — проекции точки X на
Т°Ч ости ACD И BCD соответственно. Известно, что КС = 2, KD = 6
S' 8 LC = 7, DB = 5. Надите длину отрезка LD, высоту пирамиды’
К шенную из вершины А, и угол между ребром АВ и плоскостью BCD.’
°ПУ13 2 26.120091 На РебРе АВ треугольной пирамиды ABCD выбрана
пика X такая, что АХ : ХВ = 4. Точки К и L - проекции точки X на
скости ACD и BCD соответственно. Известно, что КС = 3, KD = 7,
й = 13, LC = 9, LB = 2 Надите длину отрезка LD, высоту пирамиды’,
опушенную из вершины А, и угол между ребром АВ и плоскостью BCD.
13.227.120091 На ребре АВ треугольной пирамиды ABCD выбрана
точка X такая, что АХ : ХВ = 2. Точки К и L — проекции точки X на
плоскости ACD и BCD соответственно. Известно, что КС = 2, KD = 7,
КА = 11, LC = 6, LB = 6. Надите длину отрезка LD, высоту пирамиды,
опушенную из вершины В, и угол между ребром АВ и плоскостью ACD.
13.228.120091 На ребре АВ треугольной пирамиды ABCD выбрана
точка X такая, что АХ : ХВ — 4. Точки К и L — проекции точки X на
плоскости ACD и BCD соответственно. Известно, что КС = 3, KD = 9,
КА = 12, LC — 1,ЬВ = 2. Надите длину отрезка LD, высоту пирамиды,
опущенную из вершины А, и угол между ребром АВ и плоскостью BCD.
13.229.120101 Основанием треугольной пирамиды SABC является
правильный треугольник АВС со стороной 8. Боковое ребро SC пер¬
пендикулярно основанию и имеет длину 15. Сфера, центр О которой
лежит в плоскости SBC, касается ребер SA,AB и АС в точках Ai,B\
и Ci соответственно. Найти ААЬ расстояние от точки О до ребра ВС
и радиус сферы.
13.230.120101 Основанием треугольной пирамиды SABC является
правильный треугольник АВС со стороной 5. Боковое ребро SC пер¬
пендикулярно основанию и имеет длину 12. Сфера, центр О которой
лежит в плоскости SBC, касается ребер SA,AB и АС в точках Ai.Bi
и С1 соответственно. Найти AAi, расстояние от точки О до ребра ВС
и радиус сферы.
13.231.120101 Основанием треугольной пирамиды SABC является
Равильный треугольник АВС со стороной 16. Боковое ребро SC перпен-
икулярно основанию и имеет длину 30. Сфера, центр О которой лежит
плоскости SBC, касается ребер SA,AB и АС в точках А]_,В\ и Ci со-
сферыТВеНН° -А-Аь расстояние от точки О до ребра ВС и радиус
пдави ^°10^ ®снованием треугольной пирамиды SABC является
ДикулЛЬНЫ^ тРеУгольник АВС со стороной 10. Боковое ребро SC перпен-
в плГРН° основанию и имеет длину 24. Сфера, центр О которой лежит
ответ "ОСТи SBC‘ касается ребер SA,AB и АС в точках A1(Bi и Ci со-
сферы Венно> Найти ААь расстояние от точки О до ребра ВС и радиус
ч пачИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ » ЗАДАЧИ
14 243 I20101 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD СТо.
‘ „ л агп павна v/2, высота SO равна 2. Точка К ле*и
КашотеТо. прич?мKS: КО- 1:3. Через точку К проведена л»*!
ёёстГп перпендикулярная прямой SA. Наити площадь сечения пира„„.
ёы плоскосёью П, расстояние от точки D до плоскости П и угол „е*ду
плоскостью П и прямой SD. „
13 234 I20101 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD б0.
новое ребро SA равно Л высота SO равна 2. Точка К лежит на высоте
SO причем KS: SO = 1: 4. Через точку К проведена плоскость П, пер-
пендикулярная прямой SB. Найти площадь сечения пирамиды плоско-
стью П, расстояние от точки А до плоскости П и угол между плоскостью
П и прямой SA.
13.235.120101 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сто¬
рона основания ABCD равна \/2, угол между боковым ребром и плос¬
костью основания равен arctg2. Точка К лежит на высоте SO, причем
КО : SO = 3 :4. Через точку К проведена плоскость П, перпендикуляр¬
ная прямой SC. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью П, рас¬
стояние от точки В до плоскости П и угол между плоскостью П и прямой
SB.
13.236.1201°1 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD бо¬
ковое ребро 5д4 равно л/5, угол между боковым ребром и плоскостью ос¬
нования равен arctg3. Точка К лежит на высоте SO, причем KS: SO =
= 1:4. Через точку К проведена плоскость П, перпендикулярная прямой
SD. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью П, расстояние от
точки С до плоскости П и угол между плоскостью П и прямой SC.
13.237.12011] В правильной треугольной пирамиде SABC сторона ос¬
нования АВС равна 1, боковое ребро равно 2. Сфера с центром О на
прямой Si4 касается ребер SB, SC и ВС. Найти расстояния от центра
сферы до плоскостей BSC и АВС, а также радиус сферы.
13.238.12011) В правильной треугольной пирамиде SABC сторона ос¬
нования АВС равна 2, боковое ребро равно 3. Сфера с центром О на
прямой SB касается ребер SA, SC и АС. Найти расстояния от центра
сферы до плоскостей ASC и АВС, а также радиус сферы.
13.239.120111 В правильной треугольной пирамиде SABC сторона ос
нования АВС равна 1, боковое ребро равно 3. Сфера с центром О на
прямой SA касается ребер SB, SC и ВС. Найти расстояния от центр3
сферы до плоскостей BSC и АВС, а также радиус сферы.
В пРавильной треугольной пирамиде SABC сторона
поямпа РЗВНа 2’ боковое РебР° Равно 5- сФеРа с центроМ ?тоа
сФеоы л™ КЗСаеТСЯ, ребеР SA' SB и ЛВ. Найти расстояния от иенА*
сферы до плоскостей ASB и АВС, а также озлите с<Ьеоы.
рон^основания ЛВСПИЛЬН°Й четыРехУГ0ЛЬН0Й пирамиде SABCD
- О SK >
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
129
стояния от центра сферы до плоскостей АВС и ADS, а также радиус
^13 242.120111 в правильной четырехугольной пирамиде SABCD сто-
1 оСНования ABCD равна 1, боковое ребро равно 3. Сфера с цен-
м О на плоскости ADS касается ребер SB, SC и ВС. Найти рас¬
сеяния от центра сферы до плоскостей АВС и ABS, а также радиус
^Тз 243.120111 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сто-
она основания ABCD равна 2, боковое ребро равно 5. Сфера с цен¬
зом О на плоскости ABS касается ребер SC, SD и CD. Найти рас¬
стояния от центра сферы до плоскостей АВС и BCS, а также радиус
сферы.
13.244.120111 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сто¬
рона основания ABCD равна 1, боковое ребро равно 4. Сфера с цен¬
тром О на плоскости BCS касается ребер SA, SD и AD. Найти рас¬
стояния от центра сферы до плоскостей АВС и CDS, а также радиус
сферы.
13.245.120121 На ребре CCj правильной треугольной призмы
АВСА\В\С\ выбрана точка М так, что центр сферы, описанной око¬
ло пирамиды MAAiBiB, лежит в грани AAiBiB. Известно, что радиус
сферы, описанной около пирамиды МАВС, равен 5, а ребро основания
призмы равно 4\/3. Найти:
а) отношение объема пирамиды МАА\В\В к объему призмы;
б) длину отрезка МС\
в) площадь полной поверхности призмы.
13.246.120121 На ребре ВВ\ правильной треугольной призмы
АВСА\В\С\ выбрана точка Q так, что центр сферы, описанной око¬
ло пирамиды QAA\C\C, лежит в грани АА\ССх. Известно, что радиус
сферы, описанной около пирамиды QABC, равен 2, а ребро основания
призмы равно у/Ъ. Найти:
а) отношение объема пирамиды QAA\C\C к объему призмы;
б) длину отрезка QB\
в) объем призмы.
АВгл^ ^2°12' Ре^Ре CCi правильной треугольной призмы
выбрана точка S так, что центр сферы, описанной око-
пирамиды SAAiBiB, лежит в грани AAiBiB. Известно, что радиус
феры, описанной около пирамиды SABC, равен у/2, а ребро основания
"РЧЗМЫ равно v/З. Найти:
{отношение объема пирамиды SAAiBiB к объему призмы;
П/Длину отрезка SC;
пл°|дадь полной поверхности призмы.
АВсар 2012) На РебРе BBl правильной треугольной призмы
Ло пип1 1^'1 ВЬ|брана точка Т так, что центр сферы, описанной око-
ярзмиды ТАА^С, лежит в грани ААХСХС. Известно, что радиус
сферы, описанной около пирамиды ТАВС. равен УЩ а ребро осном^
ПР\То“тнТениеУ!бммаТп"нрамнды ТАА,С,С к объему призмы;
б) длину отрезка ТВ\
в) объем призмы.
13 249.120121 Рассматриваются всевозможные правильные четырех.
угольные пирамиды, у которых медианы боковых граней, проведен^
из вершины пирамиды, равны а.
а) Найти наибольший возможный объем рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объема найдите угол между соседними
боковыми гранями.
13.250.120121 Рассматриваются всевозможные правильные треуголь¬
ные пирамиды, у которых медианы боковых граней, проведенные из вер¬
шины пирамиды, равны а.
а) Найти наибольший возможный объем рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объема найдите угол между соседними
боковыми гранями.
13.251.120121 Рассматриваются всевозможные правильные шести¬
угольные пирамиды, боковые ребра которых равны а.
а) Найти наибольший возможный объем рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объема найдите угол между соседними
боковыми гранями.
13.252.120121 Рассматриваются всевозможные правильные четырех¬
угольные пирамиды, боковые ребра которых равны а.
а) Найти наибольший возможный объем рассматриваемых пирамид.
б) Для пирамиды наибольшего объема найдите угол между соседними
боковыми гранями.
13.253.120131 В основании треугольной пирамиды SABC лежит пря¬
моугольный треугольник АВС с гипотенузой ВС = 2%/3. Сфера ш ка¬
сается плоскости основания пирамиды и касается всех трех ее боковых
ребер в их серединах. Пусть П — сфера, описанная около пирамиды
а) Найти расстояние между центрами сфер шиЛ.
б) Найти отношение радиусов сфер ииП.
в) Пусть дополнительно известно, что ZSAB = arccos(l/4). Найти
объем пирамиды SABC.
13.254.120131 В основании треугольной пирамиды SABC лежит пря¬
моугольный треугольник АВС с гипотенузой ВС = 4. Сфера о) касается
их г*™™ осн<!!?ания пирамиды и касается всех трех ее боковых рареР
Ж™ ' УСГЬ П ~ с*Ч“- около**пирамиды SABC.
а Наити расстояние между центрами сфер со и П
б Наити отношение радиусов сфер со и V
АВС равен wcte^” Най**”0^ЗВССТН0, ЧТ0 угол междУ гРанямИ S
равен arctg2. Наити объем пирамиды SABC.
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ • ЗАДАЧИ
131
13 255.120131 в основании треугольной пирамиды SABC лежит пря¬
моугольный треугольник АВС с гипотенузой ВС = 2. Сфера о касается
плоскости основания пирамиды и касается всех трех ее боковых ребер в
их серединах. Пусть О — сфера, описанная около пирамиды SABC.
и а) Найти расстояние между центрами сфер о и О.
б) Найти отношение радиусов сфер ш и П.
в) Пусть дополнительно известно, что ZSAB = arccos(>/3/4). Найти
объем пирамиды SABC.
13.256.[20131 В основании треугольной пирамиды SABC лежит пря¬
моугольный треугольник АВС с гипотенузой ВС = 2>/3. Сфера о ка¬
сается плоскости основания пирамиды и касается всех трех ее боковых
ребер в их серединах. Пусть П — сфера, описанная около пирамиды
SABC.
а) Найти расстояние между центрами сфер со и П.
б) Найти отношение радиусов сфер со и П.
в) Пусть дополнительно известно, что угол между гранями SAB и
АВС равен arctg(2v/3). Найти объем пирамиды SABC.
13.257.12013' Правильная треугольная призма АВСАхВхСх вписана
в цилиндр (основания призмы вписаны в окружности оснований цилин¬
дра). Плоскость а имеет ровно одну общую точку с каждым из оснований
цилиндра и пересекает ребра AAi, ВВ\ и СС\ в точках К, N, Р соот¬
ветственно. Найти отношения АК : К Ах и СР : РСх, если BN : NBx =
= 3:4.
13.258.12013! Правильная треугольная призма АВСАхВхСх вписана
в цилиндр (основания призмы вписаны в окружности оснований цилин¬
дра). Плоскость а имеет ровно одну общую точку с каждым из оснований
цилиндра и пересекает ребра AAlt ВВх и СС\ в точках К, N, Р соот¬
ветственно. Найти отношения АК : КА\ и BN: NBx, если СР : РСх =
= 3:25.
13.259. 120131 Правильная треугольная призма ABCArBrCi вписана
в Цилиндр (основания призмы вписаны в окружности оснований цилин¬
дра). Плоскость а имеет ровно одну общую точку с каждым из оснований
Цилиндра и пересекает ребра АА\, ВВх и ССх в точках К, N, Р соот¬
ветственно. Найти отношения СР : РСх и BN : NBx, если АК : К Ах =
= 1:12.
13.260.120131 Правильная треугольная призма АВСАхВхСх вписана
в Цилиндр (основания призмы вписаны в окружности оснований цилин-
ДРа). Плоскость а имеет ровно одну общую точку с каждым из оснований
Цилиндра и пересекает ребра ААи ВВх и ССх в точках К, N, Р соот-
^ Найти отношения АК : К Ах и BN : NBx, если СР : РСх =
пи 13 261*120141 Даны пирамида ABCD и сфера радиуса 3. Ребро АВ
рамиды является диаметром сферы; прямые, содержащие три других
C(j. 1>а' касаются сферы, а середины двух оставшихся ребер лежат на
Ре- Найти угол АСВ, длину ребра CD и объем пирамиды ABCD.
132
ЗАДАЧИ по СТЕРЕОМЕТРИИ * ЗАДАЧИ
13 262 I20141 Даны пирамида ABCD и сфера радиуса %/3. ребро -
пиоамиды является диаметром сферы; прямые, содержащие три Дру£
Sa касаются сферы, а середины двух оставшихся ребер
сфере. Найти уго* АВС. длину ребра BD и объем пирамиды ABCD
13 263 I20141 Даны пирамида ABCD и сфера. Ребро АВ пирамид,,
является диаметром сферы; прямые, содержащие три других ребра, каСа.
ются сферы, а середины двух оставшихся ребер лежат на сфере. Найти
угол АСВ, длину ребра CD и объем пирамиды ABCD, если АВ = 2^
13.264. (20141 Даны пирамида ABCD и сфера. Ребро АС пирамиду
является диаметром сферы; прямые, содержащие три других ребра, каса¬
ются сферы, а середины двух оставшихся ребер лежат на сфере. Найти
угол АВС, длину ребра BD и объем пирамиды ABCD, если АС = 6.
13.265. t2014l В треугольной пирамиде SABC из вершины S опустили
высоту SH. Известно, что АВ > ВС, АВ > АС. Сфера, построенная на
отрезке SH как на диаметре, проходит через середины четырех ребер
пирамиды, и ее радиус равен 3.
а) Найти длину ребра АВ и угол АСВ.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вер¬
шину С и середину ребра SA, касается сферы. Найти объем пирамиды
SABC.
13.266.12014) В треугольной пирамиде SABC из вершины 5 опу¬
стили высоту SH. Известно, что SH = 6, АС > ВС, АВ < АС. Сфера,
построенная на отрезке SH как на диаметре, проходит через середины
четырех ребер пирамиды.
а) Найти длину ребра АС и угол АВС.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вер¬
шину В и середину ребра SC, касается сферы. Найти объем пирамиды
SABC.
13.267. (20ul В треугольной пирамиде SABC из вершины S опустили
высоту SH. Известно, что АС >ВС, АВ < АС. Сфера, построенная на
отрезке SH как на диаметре, проходит через середины четырех ребер
пирамиды, и ее радиус равен \/3-
а) Найти длину ребра АС и угол АВС.
б) Пусть дополнительно известно, что прямая, проходящая через вер-
И С6реДИИу Ре^Ра ЗД касается сферы. Найти объем пирамида
13.268. t 1 В треугольной пирамиде SABC из вершины S опус™
ли высоту SH. Известно, что SH = 2>/3 АС > ВС АВ > АС. Сфер3-
как на ™ «я- “ред""“
а) Найти длину ребра АВ и угол АСВ.
шину С иТс^ед^нНуИр^ра°5дВе^Н0, ЧТ° ПрЯМЗЯ’ пРоходящая
SABC. у Р р ЬВ> касается сферы. Найти объем пирами
14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
l4 1 (19911 При каких значениях параметра а уравнение
log5x + 4(1 - a2) log25x 5-2 = 0
имеет два корня, расстояние между которыми больше 24/5?
14 2. I1991' Найти все значения параметра а, при которых расстояние
между корнями уравнения
2 log0 я + 3 logaij a + 5 = 0
меньше 6/25.
14.3.11991^ При каких значениях параметра а уравнение
log3x + (а2 - 4) log3l | - 3 = О
имеет два корня, расстояние между которыми больше 8?
14.4. f1991* Найти все значения параметра а, при которых расстояние
между корнями уравнения
9/9 Ioga х + 8 logai3 х - 3 = О
меньше 3/2.
14.5.119911 При каких значениях параметра а вершина параболы
у(х) = х2 — (2VE cos a — 3)х — ^ cos 4а
лежит на прямой у = Зх, причем парабола пересекает ось OY в точке с
отрицательной ординатой?
14.6. (199IJ Найти все значения параметра а, при которых парабола
у(х) = х2 — 8 ctga • х + 5 cos2a
касается прямой у = —7, причем абсцисса точки касания отрицательна.
14.7.11991) При каких значениях параметра а вершина параболы
у(х) = х2 + (2 sin a — V3)x + cos 4a
лежит на прямой у = —у/Зх, причем парабола пересекает ось OY в точке
с положительной ординатой?
14.8. t1991J Найти все значения параметра а, при которых парабола
у(х) = |х2 - 6tga • х - 10cos2a
касается прямой у = —ц, причем абсцисса точки касания положительна.
14.9. (1992] цисла х и у являются решениями системы уравнений
(ах + у = а + 1,
„ 1х + 4ау = 3,
х2 _ g параметр. Какое наибольшее значение принимает выражение
^ • При каком а это происходит?
134
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ЗАДАЧИ
14.10.119921 Числа х и у являются решениями системы уравнений
Г-х + ау = 2а,
|ах — у = За — 5,
где а — параметр. Какое наименьшее значение принимает вью
х2 + у2? При каком а это происходит? Ра*ен«е
14.11. p992J Числа х и у являются решениями системы Уравнений
(ах + 9у = а + 3,
\х + ау = 2,
где а — параметр. Какое наибольшее значение принимает выраже
Зу2 - х2? При каком а это происходит? ННе
14.12. t1992J Числа хну являются решениями системы уравнений
Гх + ау = За,
[ах + у = а + 4,
где а — параметр. Какое наименьшее значение принимает выражение
2х2 + у2? При каком а это происходит?
14.13.11993J Числа х ^ 0, у > 0 — решения системы уравнений
_
Зх2 — 8 ху — Зу2 =
4р2 + 9 ’
x2-5xy + 6y2 = i^,
значение^^няимй КЗКИХ р выРажение х2 + у2 принимает: а) наибольшее
7.7; 13?ИМеНЬШее ЗНачение? Вычислить эти значения.
Числа х > 0, у > 0 — решения системы уравнений
2х2 + Эху - 5у2 = “р ~ 4р2
. р2 + 4 ’
х2 + бху + 5у2 = -11 ~4Р
р2 + 4 ’
значени^^^на^мр» ЗКИХ Р выражение х2 + У2 принимает: а) наибольшее
1415. ££ Чи ЗНЭЧеНИе? Вычислить эти значения.
исла х > 0, у > 0 — решения системы уравнений
Г 2х2 + 7ху + 6у2 =
4р2 + 1 ’
• а) наИ
Р параметр. При каких р выражение х2 + у2 принимает, ' H„*.
большее значение; б) наименьшее значение? Вычислить эти зн
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ЗАДАЧИ
135
14.16.(19931 Числа X < 0, у > о - решения системы уравнений
_ __ параметр. При каких р выражение х2 + у2 принимает: а) наи¬
большее значение; б) наименьшее значение? Вычислить эти значения.
14.17.119931 При каких значениях р каждое решение неравенства
I°gx+i(3 - рх) > О
удовлетворяет также неравенству
14.18. t1993l При каких значениях р каждое решение неравенства
l°gi-pi(x + 2) <0?
14.19. f1993) При каких значениях р каждое решение неравенства
fogi-x (2 + рх) > О
14.20.119931 При каких значениях р каждое решение неравенства
8х2 + (12 — 2р2)х — р2 + 4 < О
Удовлетворяет также неравенству
logi+px (2х + 2) < О?
14.21.11994] Найти все значения параметра а, -л<а<л, при ко
ТоРых система уравнений
Г (4 — х2 — у2)(у2 — 4х + 28) = О,
х2 + (3 - 2р2)х - 2р2 + 2 < О
удовлетворяет также неравенству
удовлетворяет также неравенству
х cosa + у sina = 2
ИМеет Ровно три решения.
136
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ » ЗАДАЧИ
14.22.I1994! Найти все значения параметра а, -л < а < л
торых система уравнений
при
ко.
I
(1 - 4х2 - 4у2)(4х2 + 15- 12у) = О,
у соsa -t-xsina = ^
имеет ровно три решения.
14.23. Р"4) Найти все значения параметра а, -л < а < л, nD
liv лилтоиа vnamiAHUM ^ КО»
торых система уравнений
1 (*2 + У2 - 9) (j2
+ х + 15
у sin a — х cosa = 3
i) =0,
имеет ровно три решения.
14.24. (1994) Найти все значения параметра а, -л < а < л, при ко¬
торых система уравнений
Г(9х2 + 9у2 - 1)(24у + 9х2 + 32) = О,
I xsina — у cosa = |
имеет ровно три решения.
14.25.11994) На координатной плоскости даны точки А(0\ 2) и 5(4-3)
При какихзначениях параметра р,р< 5, ближайшая к графику функции
у=у/х + р точка прямой АВ лежит на отрезке АВ?
nriowT11"41 На кооРдинатной плоскости даны точки А(2;-3) и
. ’ I' каких значениях параметра р, р> —5, ближайшая к гра-
+ ^ точка прямой АВ лежит на отрезке АВ?
п™ На К00Рдинатн°й плоскости даны точки Л(-4;2) и
(Ьункиии Изначениях параметра р, р< 8, ближайшая к графику
14 м ^19эУ?1+ Р точка прямой АВ лежит на отрезке АВ?
При каких * К°0рДИНатной плоскости даны точки А(2; 0) и 5(4; 3).
иии и- Гз ИЯХ паРаметРа Р> Р> —2, ближайшая к графику фУнх'
н™" ПрЯМ0Й АВ лсж"т "а »'Р«ке АВ‘
корней уравнения™™ ^ ЗИачеиия параметра р, при которых сумма вей
(Х~4р) ~4р(Р-1)(х-;р)2-р3(2р-3) = 0
меньше ^ + 1^ +7
14.30.11"5) Най a
корней уравнения ™ ВСе значения параметра р, при которых суммавС
“"ьше - V5+- ЗР)2 - 2р V - 9) = 0
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ЗАДАЧИ
137
— |1995) Найти все значения параметра р, при которых сумма всех
14.31-
корней УРа^н_ 12^4 _ 6р(р _ _ 12р)2 + р3(р + 4) = О
.ие -р2 + 48р + 25.
МвН 32 119951 Найти все значения параметра р, при которых сумма всех
корней уравнения
(х-1р)4 + №-!)(*-\р) -pV-25) = 0
2«2 i4p *f 9*
[1996] Найти все значения о, при которых неравенство
8х2 - 20х + 16 ^ „
4х2 — Юх + 7 ^ °
является верным при всех значениях х.
14 34 119961 Найти все значения а, при которых неравенство
6х2 - 2х+_1 ^ 0
9х2 — Зх + 1
является верным при всех значениях х.
14.35.119961 Найти все значения а, при которых неравенство
8х2 — 4х + 3 ^ „
является верным при всех значениях х.
14.36.119961 Найти все значения а, при которых неравенство
Зх2 — 4х + 8 ^ а
9х2 — 12х + 16
является верным при всех значениях х. _
14.37.11998) Найти все значения а, при которых уравнение sinx -
~ (4а - 2)2 имеет корни, а числа являются целыми.
14.38.119981 Найти все значения а, при которых уравнение cosx =
= (6° ~ 2)2 имеет корни, а числа являются целыми'
14.39. UW81 Найти все значения°а, при которых уравнение вшх =
" (2а ~ 2)2 имеет корни, а числа 16^7о4 являются целыми'
14.40. (1998) Найти все значения а, при которых уравнение cosx-
~ 4)2 имеет корни, а числа явЛЯЮТСЯ цеЛЫМИ‘
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ » ЗАДАЧИ
14 41 120001 Найти все значения а, при которых уравнение
logte(l+e®) = 5
имеет единственное решение.
14.42.120001 Найти все значения о, при которых уравнение
log2x (1 - ах) = 2
имеет единственное решение.
14.43.120001 Найти все значения а, при которых уравнение
log9l (1 + а*) = 5
имеет единственное решение.
14.44.120001 Найти все значения о, при которых уравнение
logx-! (х - о) = \
имеет единственное решение.
14.45.120001 Найти все значения а, при которых уравнение
у/х — 9 = ах + 7а — 3
имеет единственное решение.
14.46.120001 Найти все значения а, при которых уравнение
у/х — 9 = 3 — ах — 7а
имеет единственное решение.
14.47.120001 Найти все значения а, при которых уравнение
у/х - 8 = ах — Зо — 2
имеет единственное решение.
14.48.120001 Найти все значения о, при которых уравнение
у/х — 8 = —ах + Зо + 2
имеет единственное решение.
14.49.120011 Найти все а, при которых уравнение
log5 (х + у/2-а) + log1/5 (а - 1 - х) = log25 9
имеет решение.
14.50.120011 Найти все а, при которых уравнение
log3 (х + у/5 - а) + logj/з (о - 2 — х) = log9 4
имеет решение.
14.51.120011 Найти все а, при которых уравнение
l°g2 (х + V3 - а) + log1/2 (а + 1 - х) = log4 9
имеет решение.
14.52.1 00,1 Найти все а, при которых уравнение
log<(х + у/4 -а) + log1/4(а + 2 - х) = log16 9
имеет решение.
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ЗАДАЧИ
139
^4 53.12002] Найти все значения а, при которых система
flog2 (3 - х + у) + 3 = log2 (25 - 6х + 7у),
*-у + 2 = (х - 2а)2 + а + 2х.
имеет ровно два решения.
14.54. '2002' Найти все значения а, при которых система
(log3 (2 - х - у) + 2 = log3 (17 - 8х - 10у),
'■(х -а)2 + х = у + а + 6
имеет ровно два решения.
14.55.12002' Найти все значения а, при которых система
Г log2 (5х + 7у + 2) = log2(x + 2у + 1) + 2,
Чу + 2а)2 + у = х + а + 1/2
имеет ровно два решения.
14.56. (20021 Найти все значения а, при которых система
f log3 (7х + 4у - 11) = log3 (2х + у - 3) + 1,
Чу + а)2 + х + у + а = 7
имеет ровно два решения.
14.57.120021 Найти все значения параметра а, при которых уравнение
(а + 3 — |х + 2|)(а + х2 + 4х) = О
имеет: 1) ровно три корня; 2) ровно два корня. „nQnHPHV(p
14.58.120021 Найти все значения параметра а, при которых ур
(а - 6 + |х - 1|)(а - х2 + 2х) = О
имеет: 1) ровно три корня; 2) ровно два корня. „мвн»иие
14.59. t2002l Найти все значения параметра а, при которых ур
(а - 2 - |х + 3|)(а + х2 + 6х) = О
имеет: I) ровно три корня; 2) ровно два корня. ^ уравнение
14.60.120021 Найти все значения параметра а, np Р
(а — 3 + |х + 2|)(а-х2-4х)=0
имеет: 1) ровно три корня; 2) ровно два К0РНЯ _ ма уравНений
14.61.120031 Найти все значения а, при которы
Пх1 + 2|у| + |2у - Зх| = 12,
\х2 + У2 - °
имеет ровно два действительных решения.
14 62 120031 Найти все значения а, при которых система УравнеНиц
/2|х| + |у| + |3х - 4у| = 10,
\х2 + у2 = а
имеет ровно два действительных решения.
14.63.120031 Найти все значения а, при которых система уравнений
/3|х| + |у| + |х + 3у| = 9,
\х2 + у2 = а
имеет ровно два действительных решения.
14.64.120031 Найти все значения а, при которых система уравнений
Г2|х| + 3|у| + |3х + 2у| = 11,
\х2 + у2 = а
имеет ровно два действительных решения.
14.65.120031 Найти все значения а, при которых уравнение
4ах2 + (4а — 3)х + а — 14 = 0
имеет на отрезке [0; 1] единственный корень.
14.66.120031 Найти все значения а, при которых уравнение
Зах2 + (6а - 5)х + За — 2 = 0
имеет на отрезке (—3; 0] единственный корень.
14.67.120031 Найти все значения а, при которых уравнение
ах2 + (2а - 5)х + а - 6 = 0
имеет на отрезке [0; 2] единственный корень.
14.68.120031 Найти все значения а, при которых уравнение
ах2 + (4а - 7)х + 4а — 5 = 0
имеет на отрезке [-4; 0] единственный корень.
14.69.120041 Найти все значения параметра а, при которых систем»
неравенств Гх2 + 2х-а<0,
\х2 - 4х + 6а < 0
систем
имеет единственное решение.
14.70.120041 Найти все значения параметра а, при которых
неравенств Гх2-х + а<0,
\х2 + 2х - 6а ^ 0
имеет единственное решение.
14.71.120041 Найти все значения параметра а, при которых систе*4>
неравенств 2 .
ГЗх2 + х - а < О,
l&r2 - 2х + 6а ^ О
имеет единственное решение.
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ЗАДАЧИ
141
14 72.120041 Найти все значения параметра а, при которых система
неравенств (зх2 - бх + 2а < О,
\х2 + 4х - 4а < О
имеет единственное решение.
14 73.120041 Найти все значения параметра а, при которых уравнение
log7 (71 - log7 а) = 2х
имеет единственное решение.
14.74.120041 Найти все значения параметра а, при которых уравнение
log5 (25* - log5 а) = х
имеет единственное решение.
14.76.120041 Найти все значения параметра а, при которых уравнение
log3 (З1 + log3 а) = 2х
имеет единственное решение.
14.76.120041 Найти все значения параметра а, при которых уравнение
log2 (4х + log2 а) = х
имеет единственное решение.
14.77.120051 При каких значениях параметра а уравнение
|х5| — х + а = О
имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех найденных
значений а.
14.78.120051 При каких значениях параметра а уравнение
2х — |х3| + а = О
имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех найденных
значений а.
14.79.120051 При каких значениях параметра а уравнение
Зх — |х5| + а = О
имеет единственное решение? Решить это уравнение для всех найденных
значений а.
14.80.120051 При каких значениях параметра а уравнение
|х3| — х + а = О
значе е^инственное решение? Решить это уравнение для всех найденных
memrw*’ '2005' ^а^ти значения параметра а, при которых множество ре-
и \х\ у) системы неравенств
Гх2 + х + (у-а)2^11,
со е \х + а + у2 < О
ДеРЖит отрезок с концами в точках (1; 0) и (1; 1).
142
ЗАДАЧИ г ПАРАМЕТРАМИ » ЗАДАЧИ
14 82 120051 Найти значения параметра о, при которых множество ^
шений (х; у) системы неравенств
Г(х-о)2 + х + у2<3,
\х - а + у2 < О
содержит отрезок с концами в точках (1;0) и (1; 1).
14.83.120051 Найти значения параметра а, при которых множество ре.
шений (г; у) системы неравенств
Гх2 + х + {у - а)2 < б,
\х-а + у2<0
содержит отрезок с концами в точках (1; 0) и (1; 1).
14.84.120051 Найти значения параметра а, при которых множество ре¬
шений (х; у) системы неравенств
Гх2 + (у - а)2 + у <3,
\у-а + х2<0
содержит отрезок с концами в точках (0; 1) и (1; 1).
14.85.120061 При каких значениях параметра t система уравнений
Г (х — 1 — At)2 + (у - 1 - 3t)2 = 9t2,
\(х-5)2 + (у-3)2 = 4
имеет единственное решение?
14.86.120061 При каких значениях параметра t система уравнений
Г(х + 1 - 2г)2 + (у - 1 + 5t)2 = 4t2,
\(х + 2)2 + (у —6)2 = 1
имеет единственное решение?
14.87.120061 При каких значениях параметра t система уравнений
Г (х — 1 — 3i)2 + (у + 1 + 2t)2 = 4t2,
\(х + 5)2 + у2 = 1
имеет единственное решение?
14.88.120061 При каких значениях параметра t система уравнений
r(x + l-t)2 + (y + l_3t)2 = t2,
\(х - 2)2 + (у - 5)2 = 9
имеет единственное решение?
ыалкмл»9^ * Для каждого значения параметра а € [0; я] найти
мальное значение g(а) функции /(* у) = х(х + 2) + ify-4) на мно#«
ТИХ ЧТ° 12^У^с^у^Найтн зна^
[0, я], при которых g(a) принимает наименьшее зна
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ЗАДАЧИ
14.90.120061 Для качждого значения параметра о € [-я;0] найти мини¬
мальное значение g(a) функции /(х,у]l = x(x + l) + у(у-6) на множе-
тве точек (х; У) таких, что х2 + у2 ^ 4 (х cos a + у sin а). Найти значения
араметра а е [-я; 0], при которых g{a) принимает наибольшее значение.
14 91.120061 Для каждого значения параметра а € [-л/2; л/2] най¬
ти максимальное значение g(a) функции /(я, у) = х(х-1) + у(у + 2) на
множестве точек (х; у) таких, что х2 + у2 < xcosa + ysina. Найти значе¬
ния параметра а € [-я/2; я/2], при которых g(a) принимает наименьшее
значение.
14.92.[20061 Для каждого значения параметра а € [л/2; Зя/2] найти
минимальное значение g(a) функции /(х, у) = х(х-2) + у(у-1) на мно¬
жестве точек (х; у) таких, что 3(х2 + у2) ^ 2(xcosa + ysina). Найти зна¬
чения параметра а € [л/2; Зя/2], при которых g(a) принимает наибольшее
значение.
14.93.l20D6) Найти все значения параметра Ь, при которых для любого
значения параметра а существует тройка действительных чисел (х; у; z),
удовлетворяющая системе уравнений
(ах + у = z + Ь,
\4х + ay = z2.
14.94. t2006l Найти все значения параметра Ь, при которых для любого
значения параметра а существует тройка действительных чисел (х; у; z),
удовлетворяющая системе уравнений
Гх + ay = z2 - 1,
\ах + у = z + Ь.
14.95. l2006! Найти все значения параметра Ь, при которых для любого
значения параметра а существует тройка действительных чисел (х; у; г),
удовлетворяющая системе уравнений
( ах + 9у = z — Ь,
\х + ау = z2.
14.96.120061 Найти все значения параметра Ь, при которых для любого
значения параметра а существует тройка действительных чисел (x;y;z),
Удовлетворяющая системе уравнений
(ах + 4у = г2 + 1,
\х + ay = z - Ь.
14.97. t2007) ]^айти все значения параметра а, при которых наиболь-
е значение величины х2 + у на множестве пар действительных чисел
^’^’Удовлетворяющих одновременно двум неравенствам у^у/ 1-х5
мп в I1 ~ a| ^ 1, будет максимально возможным. Найти это максималь-
значение.
ме„ 071 Найти все значения параметра а, при которых наи-
нц* Шее знацение величины у - х2 на множестве пар действитель-
Чисел {х;у), удовлетворяющих одновременно двум неравенствам
144
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ » ЗАДАЧИ
. 5 * „ „ „ + 8 » |х - «I. <Я»« “»"ЙММЬН0 %
у + v/4-i2 ^0 лУппчможное значение.
ти это «as^u-н- паРаметра пр-которых
14.99.120071 Наити все % 2 на множестве пар действительных чисед
шее значение велиЧИ” одновременно двум неравенствам у < ^
(*; 5? максимально возможным. Наити это максима*
но возм^%змчение. ^ значения параметра а, при которых нгИ-
14100 овпнчины «-7 на множестве пар действитель.
меньшее значе^е ®овлетворяюших одновременно двум неравенства*
НЫ+ о и 1у + 4 ^ |4х - о|. будет минимально возможным. Най-
^Лхо мде а при которых суще-
с„“т Дно ».е поры действительных чисел (л; у), удовлетворят»
системе уравнений + у2 - 1)(у - v^N) — О,
\2ау +1 = 1 + а2.
14.102. 520075 Найти все значения параметра а, при которых суще¬
ствует ровно две пары действительных чисел (х;у), удовлетворяющих
системе уравнений
Г(у + 8-х2)(2х + |у|)=0,
(2ах - у = 8 + а2
14.103.520075 Найти все значения параметра а, при которых суще¬
ствует ровно две пары действительных чисел (х; у), удовлетворяющих
системе уравнений „ _
Г(х-у2 + 4)(у + %/3|х|) = 0,
(2ау — х = 4 + о2.
14.104.520075 Найти все значения параметра а, при которых суш^
ствует ровно две пары действительных чисел (х; у), удовлетворяют
системе уравнений , „ _
Г(у + х2 — 9)(2х — %/7|у|) = О,
[2ах + у = 9 + а2.
14.105.120075 Найти все значения параметра а, при которых УР
1 2 2
i(cosx)3 + (sinx)3 = а
имеет единственное решение на отрезке [0, я/2]. ненк«
14.106.520075 Найти все значения параметра а, при которых УР
2 2
(cost) 5 + 2(sinx) 5 = а
имеет единственное решение на отрезке [-л/2, 0]. .оавИ€нИ*
14.107.520075 Найти все значения параметра а, при которых УР
4 4
4(cosx)1 •+• (sinx)5 =а
имеет единственное решение на отрезке [л/2, я].
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ЗАДАЧИ
145
14 108.12007) Найти все значения параметра а, при которых уравнение
14' 4 1 4
(cosx)5 + -(sini)5 = а
4
имеет единственное решение на отрезке [-л, -л/2].
14 109.12008* Найти все значения параметра а, при которых уравнение
\ах2 + 3| = |2ai| + |3a|
имеет хотя бы одно действительное решение.
14.110.12008^ Найти все значения параметра а, при которых уравнение
| ах2 — 5| = |3arr| + |2a|
имеет хотя бы одно действительное решение.
14.111.120081 Найти все значения параметра а, при которых уравнение
|ax2 + 4| = |3ax| + |a|
имеет хотя бы одно действительное решение.
14.112. f2008) Найти все значения параметра а, при которых уравнение
|ах2 — б[ = |2ax| + |3a|
имеет хотя бы одно действительное решение.
14.113. f2009) Найти все значения параметра а, при которых система
(х2 + у2 + 31 < 8(|х| + М),
\х2 + у2 - 2у = а2 - 1
имеет хотя бы одно решение.
14.114.12009) Найти все значения параметра а, при которых система
(х2 + у2 + 49 < Ю(|х| + Ы),
\i2 + у2 — 4i = a2 — 4
ИМеет Хотя бы одно решение.
14.115.12009) Найти все значения параметра а, при которых система
Jx2 + j/2 + 17<6(|x| + b/|),
\х2 + у2 + 2х = а2 — 1
НМеет хотя бы одно
решение.
146
ЭАПАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ » ЗАДАЧИ
14 116.120091 Найти все значения параметра а, при которых
fx2 + У2 + 7 < 4(М + Ivl). еМЗ
{
х2 + у2 + 2у = а2 - 1
имеет хотя бы одно решение.
14.117.120091 Найти, при каких значениях параметра а система у
нений Гх2 — у + а = 0, ^
\х + у2 + а = О
имеет единственное решение.
14.118.120091 Найти, при каких значениях параметра а система
нений Гх2 - у - а = О,
Гх2 - у - а = О,
\х + у2 + а = О
имеет единственное решение.
14.119.120091 Найти, при каких значениях параметра а система урав¬
нений Гх + у2 + а = О,
\х2 + у + а = 0
имеет единственное решение.
14.120.120091 Найти, при каких значениях параметра а система урав¬
нений Гх - у2 - а = О,
\х2 - у + а = О
имеет единственное решение.
14.121.120091 Найти все значения параметра а, при которых уравнение
2ху/х — а + (х — а)у/х + 1 = О
имеет единственное решение.
14.122.120091 Найти все значения параметра а, при которых уравнение
ху/х — а — 3(х — а)у/х~+Т = О
имеет единственное решение.
14.123.120091 Найти все значения параметра а, при которых уравнени
3 ху/х + а + (х + а)у/х + 1 = О
имеет единственное решение. нНе
14.124.12009) Найти все значения параметра а, при которых урзвН
ху/х + а - 2(х + а)у/х + 1 = О
имеет единственное решение.
14.125.120101 Найти все значения параметра а, при которых с
уравнений гг
Г|х
\х2
-1| + |х + 1| —2у = 0,
2 + У2 - 2ау + 2а = 1
имеет ровно три различных решения.
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ЗАДАЧИ
147
14.126.[20101 Найти все значения параметра а, при которых система
уравнений Г|х| + |х - 2| - 2у = О,
\х2 - 2х + у2 - 2ау = -2а
имеет ровно три различных решения.
14.127.120101 Найти все значения параметра а, при которых система
уравнении Г|х-1|+ |х-3|-2у = 0,
\х2 - 4х + у2 - 2ау + 2а = -3
имеет ровно три различных решения.
14.128.120101 Найти все значения параметра а, при которых система
Пх| + |х + 2|-2!, = 0,
\х2 + 2х + у2 — 2ау = —2а
имеет ровно три различных решения.
14.129.120111 Найти все значения параметра 6, для каждого из кото¬
рых существует число а такое, что уравнение
х2 + (sina + 3cosa)x + 6 = 0
имеет действительное решение.
14.130.120111 Найти все значения параметра 6, для каждого из кото¬
рых существует число а такое, что уравнение
х2 + (2sina - cosa)x - 6 = О
имеет действительное решение.
14.131. 120111 Найти все значения параметра 6, для каждого из кото¬
рых существует число а такое, что уравнение
х2 + (cosa — 4sina)x + 6 = 0
имеет действительное решение.
14.132.12011] Найти все значения параметра 6, для каждого из кото¬
рых существует число а такое, что уравнение
х2 + (3cosa + 2sina)x -6 = 0
имеет действительное решение.
14.133. Рои] найти все значения параметра 6, при которых система
"Равнений
Гу = |6-х2|,
\у = а(х - ь)
**е*т Решение при любом значении параметра а.
148
3АДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ « ЗАДАЧИ
14 134.(20Ul Найти все значения параметра Ь, при которых
уравнении
/х = | Ь + у*
1 у = а(х - Ь2)
имеет решение при любом значении параметра а.
14.135.12011) Найти все значения параметра Ь, при которых
уравнений Гу = _|5 + х2|,
\у = а(х + Ь)
СИстема
имеет решение при любом значении параметра а.
14.136.120111 Найти все значения параметра Ь, при которых система
уравнений 2 *
Гх = -\Ь — у|,
\у = а(х + Ь2)
имеет решение при любом значении параметра а.
14.137. t2012* Найти все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
(х2 + у2 — а2 < 6х — 4у — 13,
\х2 + у2 — 4а2 ^8у — 10х + 4а — 40
имеет ровно одно решение.
14.138.12012) Найти все значения параметра а, при каждом из которых
система неравенств
Гх2 + у2 — а2 < 2х - 4у — 5,
\х2 + у2 - 9а2 < 8у - 14х - 61 + 12а
имеет ровно одно решение.
14.139.120121 Найти все значения параметра а, при каждом из которы*
система неравенств
Гх2 + у2 - а2 < 4у - 2х - 5,
\х2 + у2 - 4а2 < Юх - 12у + 12а - 52
имеет ровно одно решение.
14.140.120121 Найти все значения параметра а, при каждом из кот Р
система неравенств
Гх2 + у2-а2^4у-6х- 13,
\х2 + у2 - 9а2 < Юх - 8у + 6а - 40
имеет ровно одно решение.
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ЗАДАЧИ
149
1.4.141-120121 Найти все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнении
(х2 + (2а - 2)х + а2 - 2а - 3 = О,
1 s/x2 + (у~ а)2 + ^/(ж + 4)2 + (у - а)2 = 4
имеет ровно одно решение.
14.142. [2012] Найти все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
(х2 — (4а + 2)х + 4а2 + 4а - 3 = О,
\у/х2 + (у + 2а)2 + у/(х + 4)2 + (у + 2а)2 = 4
имеет ровно одно решение.
14.143. [2012) Найти все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
(х2 + (2а + 2)х + а2 + 2а - 3 = О,
\у/х2 + (у + а)2 + у/{х - 4)2 + (у + а)2 = 4
имеет ровно одно решение.
14.144.12012! Найти все значения параметра а, при каждом из которых
система уравнений
(у2 + (4а + 2)у + 4а2 + 4а - 3 = О,
| у/(х + 2а)2 + у2 + >У(х + 2а)2 + (у - 4)2 = 4
имеет ровно одно решение.
14.145. t2013) При каких значениях параметра а существует един¬
ственная пара чисел (х; у), удовлетворяющая системе неравенств
Г (х2 -ху + у2)(х2 - 36) ^ О,
\ \х - 2 + у\ + |х - 2 - у| ^ а?
14.146.12013l При каких значениях параметра а существует един¬
ственная пара чисел (х; у), удовлетворяющая системе неравенств
[{х2-ху + 3у2){у2- 25) ^ О,
\|® + 2 + у| + |у+ 2 —®| ^а?
14.147.12013) При каких значениях параметра а существует един-
ственная пара чисел (ж; у), удовлетворяющая системе неравенств
Г (2ж2 + Зху + 2у2)(49 — х2) ^ О,
\|ж + 3 + у| + |® + 3- у| <?<*?
cm14'148,120131 ПРИ каких значениях параметра а существует един-
енная пара чисел (х; у), удовлетворяющая системе неравенств
Г (2ж2 + 4ху + Зу2)(64 — у2) ^ О,
\|ж-3 + у| + |у-3-жКа?
14.149.120,3] При каких значениях параметра а существ
ственная пара чисел (х; у), удовлетворяющая системе ^ет едН()
Л '* ' ^ л
f
(г2 - ху + у2)(|х - у| - 6) > О,
х(х + 2) + у(у - 2) = а?
14.150. При каких значениях параметра а существу
ственная пара чисел (х; у), удовлетворяющая системе ует е4иц-
f(Зх2 + Зху + 2у2)()х + у) - 8) > О,
tx(x-4) + y(y-2)=a?
14.151. I2013) При каких значениях параметра а существует ед
ственная пара чисел (х; у), удовлетворяющая системе Дин‘
Г(х2 - 4ху + 7у2)(10 - )х - у|) < О,
\х(х - 2) + у(у + 6) = а?
14.152.12013! При каких значениях параметра а существует един¬
ственная пара чисел (х; у), удовлетворяющая системе
Г(2х2 - 5ху + 4у2)(7 - |х + у|) < О,
\х(х - 6) + у(у + 4) = а?
16. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И КОМБИНАТОРИКА
15 1.119991 Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера¬
венства Зу - х < 5, х + у > 26, Зх - 2у < 46.
15 2.11999' Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера¬
венства Зу — 5х > 16, Зу — х < 44, Зх — у > 1.
15.3. t1999^ Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера¬
венства Зу — 2х < 45, х + у > 24, Зх — у < 3.
15.4.11999' Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера¬
венства у — Зх < 1, 2у — Зх > 19, 4у — х < 78.
15.5.11998' Найти все пары целых чисел х, у, при которых является
верным равенство
х3 — 6х2 — ху + 13х + Зу + 7 = 0.
15.6.11998' Найти все пары целых чисел х, у, при которых является
верным равенство , „
к к х3 - ху - 7х + 2у + 23 = 0.
15.7. !19981 Найти все пары целых чисел х, у, при которых является
верным равенство
х3 — х2 — ху — 17х — Зу + 8 = 0.
15.8.1199®] Найти все пары целых чисел х, у, при которых является
верным равенство
х3 — Зх2 — ху — 8х — 2у + 27 = 0.
15.9.12004) Найти все пары целых чисел, при которых является вер¬
ным равенство
Зху + 16х + 13у + 61 = 0.
15.10.12004) Найти все пары целых чисел, при которых является вер-
Ным равенство
—Зху — 10х + 13у + 35 = 0.
н,. *'*’**• ^°04' Найти все пары целых чисел, при которых является вер-
п«м равенство
Зху + 19х + 10у + 55 = 0.
НЬ|м раве Найти все пары целых чисел, при которых является вер-
—Зху + 10х — 16у + 45 = 0.
152 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И КОМБИНАТОРИКА » ЗАДАЧИ
15.13.12Ш1 Найти все пары целых чисел (х; у), ^уаовл^2 ^
системе уравнений РЯ|°Щце
ГЗх2 - 8ху -у2 = 18,
(х2 + у2 - 2х + 8у + 16 = 0.
15.14. f2007J Найти все пары целых чисел (х; у), уД0Вле
системе уравнений ’ Тв°Ряющи.
{Г
[ х2 4- ху - у2 = 4,
(х2 + у2 - 4х - 2у + 4 = 0.
I & v
15.15.12007) Найти все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющие
системе уравнений
(«г-2 х R-rti — 4- 16 = 0,
Гх2 + 8ху - у2 + 16 = О,
1 х2 + у2 + 8х - 2у + 16 = 0.
15.16.120071 Найти все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющие
системе уравнений
Г 2х2 — ху — у2 = 8,
\х2 + у2 + 4х - 2у + 4 = 0.
15.17.120021 Дано число а = 22002 + З2002. Найти последнюю цифру
числа а и остаток от деления о на 11.
15.18.120021 Дано число а = З2002 + 72002. Найти последнюю цифру
числа а и остаток от деления числа а на 11.
15.19.120021 Дано число а = 22002 + 132002. Найти последнюю цифру
числа а и остаток от деления числа а на 11.
15.20.,2002' Дано число а = 22002 + 72002. Найти последнюю цифру
числа а и остаток от деления числа о на 11.
15.21.12012! Последнюю цифру шестизначного числа переставил
в начало (например, 123456 -» 612345) и полученное шеетнэначиое чисто
вычли из исходного числа. Какие числа из промежутка (618222; 61»
могли получиться в результате вычитания?
15.22.12012' Последнюю цифру шестизначного числа перестав
в начало (например, 123456 -»612345) и полученное шестизначное ч^
вычли из исходного числа. Какие числа из промежутка [429454;
могли получиться в результате вычитания? „„и
15.23.120121 Последнюю цифру шестизначного числа перестз^
в начало (например, 123456 -* 612345) и полученное шестизначное ^
вычли из исходного числа. Какие числа из промежутка (382340;
могли получиться в результате вычитания? вИди
15.24.120121 Последнюю цифру шестизначного числа пеР^е чцсл°
в начало (например, 123456 -»612345) и полученное шестизначн
вычли из исходного числа. Какие числа из промежутка (584548;
могли получиться в результате вычитания? е&*ь*Я*
15.25.120121 Последнюю цифру шестизначного числа пеР зНачН®*
в начало (например, 456789 -»945678) и полученное шесТ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И КОМБИНАТОРИКА • ЗАДАЧИ
153
исходному числу. Какие числа из промежутка
[«41870; 89isy»j могли получиться в результате сложения?
18У . [2012] Последнюю цифру шестизначного числа
456789 —»945678) и полученное
ЯЕйДиЙ "°rJ
в
переставили
шестизначное
15.26.
начало (например,
■-о прибавили к исходному числу. Какие числа из промежутка
(375355; 375380] могли получиться в результате сложения?
15.27.120121 Последнюю цифру шестизначного числа переставили
начало (например, 456789 -> 945678) и полученное шестизначное
число прибавили к исходному числу. Какие числа из промежутка
[427411; 427434] могли получиться в результате сложения?
15.28.120121 Последнюю цифру шестизначного числа переставили
в начало (например, 456789 -+ 945678) и полученное шестизначное
число прибавили к исходному числу. Какие числа из промежутка
[639619; 639647] могли получиться в результате сложения?
15.29.[2012' Найти количество пар целых чисел (а; 6) таких, что
К а < 700, 1 ^ 6 < 700, сумма а + 6 делится на 7, а произведение аЬ
делится на 5. При а Ф Ь пары (а; 6) и (6; а) считаются различными.
15.30.120121 Найти количество пар целых чисел (а; Ь) таких, что
1 < а ^ 600, 1 < 6 ^ 600, сумма а + Ь делится на 8, а произведение аЬ
делится на 3. При а ф Ь пары (а; 6) и (6; а) считаются различными.
15.31.120121 Найти количество пар целых чисел (а; Ь) таких, что
1 ^ а < 840, 1 < Ь < 840, сумма а + Ь делится на 6, а произведение аЬ
делится на 7. При афЬ пары (а; 6) и (6; а) считаются различными.
15.32.120121 Найти количество пар целых чисел (а; 6) таких, что
1<а^1100, 1^а<1100, сумма а + Ь делится на 4, а произведение
аЬ делится на 11. При афЪ пары (а; Ь) и (Ь; а) считаются различными.
15.33.120121 На клетчатой доске размера 22 х 25 (длина стороны клет¬
ки равна 1) требуется отметить тройку клеток так, чтобы центры этих
клеток образовывали прямоугольный треугольник с катетами длины 7 и
4 (катеты параллельны краям доски). Сколькими способами это можно
сделать?
15.34.120121 На клетчатой доске размера 31 х 19 (длина стороны клет-
Ки Равна 1) требуется отметить тройку клеток так, чтобы центры этих
клеток образовывали прямоугольный треугольник с катетами длины 5 и
сделаТе?Ы паРаллельны краям доски). Сколькими способами это можно
15.35.120121 на клетчатой доске размера 28 х 24 (длина стороны клет-
рэвна 1) требуется отметить тройку клеток так, чтобы центры этих
5 (к°К °®Разовывали прямоугольный треугольник с катетами длины 9 и
сАелать>Ы ПаРаллельны краям доски). Сколькими способами это можно
ки пяви6’ клетчатой доске размера 34 х 27 (длина стороны клет
клетп* тРебУется отметить тройку клеток так, чтобы центры эт
°бразовывали прямоугольный треугольник с катетами длин
154
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И КОМБИНАТОРИКА » ЗАДАЧИ
11 (катеты параллельны краям доски). Сколькими способами это мо^
сделать? _ 0
15 37.120131 Число 72350 написали 7 раз подряд, при этом no*
лось 35-значное число 72350723507235072350723507235072350. Из эт4"
35-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы получ
ное после вычеркивания 33-значное число делилось на 15. Скольки
способами это можно сделать? Мн
15.38.120131 Число 84605 написали 7 раз подряд, при этом полч„
лось 35-значное число 84605846058460584605846058460584605. Из эт "
35-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полуЧен°
ное после вычеркивания 33-значное число делилось на 15. Сколькими
способами это можно сделать?
15.39.120131 Число 94850 написали 7 раз подряд, при этом получи-
лось 35-значное число 94850948509485094850948509485094850. Из этого
35-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы получен¬
ное после вычеркивания 33-значное число делилось на 15. Сколькими
способами это можно сделать?
15.40.120131 Число 83105 написали 7 раз подряд, при этом получи¬
лось 35-значное число 83105831058310583105831058310583105. Из этого
35-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы получен¬
ное после вычеркивания 33-значное число делилось на 15. Сколькими
способами это можно сделать?
15.41.120131 Число 58964 написали 8 раз подряд, при этом получилось
40-значное число 5896458964589645896458964589645896458964. Из этого
40-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полу¬
ченное после вычеркивания 38-значное число делилось на 6. Сколькими
способами это можно сделать?
15.42.120131 Число 52168 написали 8 раз подряд, при этом получилось
40-значное число 5216852168521685216852168521685216852168. Из этого
40-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы полу¬
ченное после вычеркивания 38-значное число делилось на 6. Сколькими
способами это можно сделать?
15.43.120131 Число 51746 написали 8 раз подряд, при этом получило^
40-значное число 5174651746517465174651746517465174651746. Из эт
40-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, чтобы
ченное после вычеркивания 38-значное число делилось на 6. Сколь
способами это можно сделать?
15.44.120131 Число 96182 написали 8 раз подряд, при этом
40-значное число 9618296182961829618296182961829618296182. из
40-значного числа требуется вычеркнуть две цифры так, ч™б“кимн
ченное после вычеркивания 38-значное число делилось на 6. Ско
способами это можно сделать? _ец
15.45.120131 Дан правильный 18-угольник. Найти количество1^
его вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором *
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И КОМБИНАТОРИКА • ЗАДАЧИ
155
лин угол равен 40° (Две тройки вершин, отличающиеся порядком вер-
0Д считаются одинаковыми.) к
ШИ15 46.[2013) правильный 24-угольник. Найти количество троек
гп вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором хотя бы
лИН уГол равен 45°. (Две тройки вершин, отличающиеся порядком вер¬
ни считаются одинаковыми.)
Ш 15.47.120131 Дан правильный 30-угольник. Найти количество троек
его вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором хотя бы
один угол равен 30°. (Две тройки вершин, отличающиеся порядком вер¬
шин считаются одинаковыми.)
15.48.120131 Дан правильный 36-угольник. Найти количество троек
его вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором хотя бы
один угол равен 45° (Две тройки вершин, отличающиеся порядком вер¬
шин, считаются одинаковыми.)
15.49.120131 Дан правильный 16-угольник. Найти количество четве¬
рок его вершин, являющихся вершинами выпуклого четырехугольника,
в котором хотя бы один угол равен 90°. (Две четверки вершин, отлича¬
ющиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)
15.50.120131 Дан правильный 18-угольник. Найти количество четве¬
рок его вершин, являющихся вершинами выпуклого четырехугольника,
в котором хотя бы один угол равен 90°. (Две четверки вершин, отлича¬
ющиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)
15.51.120131 Дан правильный 20-угольник. Найти количество четве¬
рок его вершин, являющихся вершинами выпуклого четырехугольника,
в котором хотя бы один угол равен 90° (Две четверки вершин, отлича¬
ющиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)
15.52.120131 Дан правильный 14-угольник. Найти количество четве¬
рок его вершин, являющихся вершинами выпуклого четырехугольника,
в котором хотя бы один угол равен 90°. (Две четверки вершин, отлича¬
ющиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)
15.53.120141 Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение
х3у2 = 1515 • 2020?
15.54. t2014) Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение
х5у3 = 1850 • Ю33?
15.55.120141 Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение
х7у2 = 1255 • 1530?
15.56.12014) Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение
хУ = 4540 • Ю22?
сУЩерт57' *20U* ^сть семь каРточек с цифрами 0; 1; 2; 3* ^ 4’|!‘ ^п^оме
*•0*11 В^ет Различных шестизначных чисел, делящихся на 1 , Р
0 сложить из этих карточек?
" ~~"7карточек с цифрами 0; 3; 4; 5; 6; 7; 8 .
ЕсТь восеМцьнЫ® семизначных чисел, делящихся „а {:
0; 1; 2; 2; 3; 4; 5 С**,
SV120141 ^^шестизначных чисел, делящихся на 15, котор*
с да*,ра""0; 1; 2; 2; 3; * м
15 60.120141 Есть ^Гчных семизначных чисел, делящихся на 15,
16. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ
. , [1992] Решить уравнение
16' / 1 \
log4 (cos2x - yqJ + 1 = log2 tgx.
!6 2 119921 Решить уравнение
logi2s(sin2x — sinx) + I ~ bg5(-2 sinx).
16.3.119921 Решить уравнение
logyg ctgi = 1 + log6 “ cos2xj.
16.4.119921 Решить уравнение
l°g27 ^sin2x — i cos x^ = g + log3(—cosx).
16.5.119951 Решить уравнение
log3 (sin3x — sinx) = 2 log9 (17 sin2x) — 1.
16.6.119951 Решить уравнение
log^ (sinx — cosx) +1 = log7 (7 + 3 cos4x).
16.7.119951 Решить уравнение
log6 (cosx + cos3x) = 2 log36(sin2x) — 1.
16.8.119951 Решить уравнение
log^ sin (x + j) = logu (6 + cos4x) - 1.
16.9. Il997l Решить уравнение
4 (6 sin x + 4) log5 (6 sin x + 4) = log3 (6 sin x + 4) + log5 (6 sin x + 4).
16.10.119971 Решить уравнение
log2 (4 cos x + 3) log6 (4 cos x + 3) = log2 (4 cos x + 3) + loge (4 cos x
16.11.119971 Решить уравнение
4$ (5 sinx + 6) log7 (5 sinx + 6) = log3 (5 sinx + 6) + log7 (5 smx + 6).
16.12. ll997l Решить уравнение
4(7 cosx + 8) log9 (7 cosx + 8) = logs (7 C0SI + 8) + log9 (7 C0SI + '
16.13.119941 Корни уравнения 15 - 0
X3 - (logp/s P)^2 + |i log4Pr ' 8 ' корнИ уравнения
являются длинами сторон некоторого треугольник .
~1у/рХ2 +
2РХ_ Р-=0
* —* i_ 1 А
15
р+ 14
156
КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ • ЗАДАЧИ
— длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь т
ника. РеУголь.
16.14.11994) Корни уравнения
с3 - 5?х2 +
15=0
у/Р 64~°
являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнен
X3 - i|log2p|x2 + (log8N^pp)x- =0 Я
— длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь треуголь
никэ.
16.15.11994! Корни уравнения
х3 - (2 logpN/5 х2 + log2 | х - ^ = 0
являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения
х3 — ^-х2 + -J-y х - 7 1 = 0
Зр ЗОр2 7р +1
— длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь треуголь¬
ника.
16.16. t1994l Корни уравнения
хз_&х2 . Рх_ 15 =0
являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения
*3 - 511об%/5 (5Р)Iх2 + (п logp/y/5 (5Р)) х~5ё=0
— длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь треуголь¬
ника.
16.17.11994' При каких х числа arcsin(3_x) и arctg(5 • 3х - 7) явля¬
ются величинами двух углов прямоугольного треугольника?
16.18 J1994! При каких х числа arccos(4-x/\/2) и arcctg(2 ■ 4х - 3)
являются величинами двух углов прямоугольного треугольника?
16.19.119941 При каких х числа arcsin(2 • 7~х) и arctg(7x —2) явля
ются величинами двух углов прямоугольного треугольника?
16.20.11994! При каких х числа arccos(5-x/>/5) и arcctg(3^- 5
являются величинами двух углов прямоугольного треугольника.
16.21.120081 Найти все пары вещественных чисел (х; у), уд°влеТ
ющие неравенству
l°g3«+2-« (З - cos4x + sin^) < Iog(|ooe||+|eln||) (|sin3xcos2yl)-
16.22. t2008) Найти все пары вещественных чисел (х; у)> УДоВ
ющие неравенству ,ч
lo8|coe*|+|d„x| (4 - 2cosy - sin^j < log4v+3-y (|sin-^cos6H/
16.23. 'ми| На*™ к» пары вещественных чисел (*;„). Удоы
„шве неравенству
».«-.(»-200821+2Й"ЭД«l06(hf н.ы| |) (h¥«H)-
16.24.120081 Найти все пары вещественных чисел (х; у), удовлетворя-
Ю1цие неравенству
l°g|co»f I+I^tI COS 3 4sm6lj ^log(6v+4-v)(|sinycos8x|).
16.25. I2008' Решить систему уравнений
fx + у4 - 2у2 = 1пх,
\2arctgx + arcsiny = 0.
16.26.12008* Решить систему уравнений
Гх + 2у2 - у4 = ет,
\arccosx + 2arctgy = 0.
16.27.12008! Решить систему уравнений
Г4х4 — 4х2 + у = 1пу,
\arcsinx + arctgy = 0.
16.28.120081 Решить систему уравнений
Г 4х2 — 4х4 + у = еу,
\2arcsinx + arccosy = 0.
16.29.120111 Решить уравнение
logtgI(ctgx - 2) + logctgI_2-\/tgx = §•
16.30.120111 Решить уравнение
l°gtgi(2 - ctgx) + 21og2_ctgi %/tP = §•
16.31.12011) Решить уравнение
togctgiftg* " 2) + bgtgi-2 = r
16.32.12оп) РеШ„Ть уравнение
logctgi(2 - tgx) + 21og2_tgiV^tgx= 2‘
^33.1»i41 Найти все значения переменной *. при каждом из кото-
/(1 ТЖеНИЯ 2х-1
~W^ + 2N/3tex + 4 и «(*) = 7!6 + te^ 21 1
%хТслНЫ' ПРИЧ6М меньшее из значений ВЫр!ГяелюбоГизПРнихТ А
ли Даа числа равны, то меньшим считав
160
■^МИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ » ЗАДАЧИ
16 34.120141 Найти все значения переменной х, при каждом из КоТо
оых оба выражения 2х — 3 , aZ *
/(*) = dk-2VW И g{x) = j9 + 8~-x>+-~
sin2 x
определены, причем меньшее из значений выражений не превосходи
двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них). 1
16.35.120141 Найти все значения переменной х, при каждом из кот0.
рых оба выражения
^ = A+2^tgI " g(l)='/21+4x-,i + ^SSTf5
определены, причем меньшее из значений выражений не превосходит
двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).
16.36.120141 Найти все значения переменной х, при каждом из кото¬
рых оба выражения
/<i)“^-2'/3ctgi+4 ■
определены, причем меньшее из значений выражений не превосходит
двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).
16.37.120141 Найти все значения переменной х, при каждом из кото¬
рых оба выражения
/М = 1ег(2ср)+«ег(гср) „
определены, причем меньшее из значений выражений не превосходит
двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).
16.38.120141 Найти все значения переменной х, при каждом из кото¬
рых оба выражения
/W=tgl(w)+Ctg2(w) и ^> = vi5~2v4±a±i
определены, причем меньшее из значений выражений не превосходит
двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).
16.39.120141 Найти все значения переменной х, при каждом из кото
рых оба выражения
/M = tg2(ifi)+ctg*(up) „ =
определены, причем меньшее из значений выражений не превосхоД
двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них)- ^
16.40.120141 Найти все значения переменной х, при каждом из ко
рых оба выражения
определены, причем меньшее из значений выражений не прев°сХ°АИТ
двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них;-
17. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ПРОГРЕССИИ
l7 1 I1992) Два велосипедиста движутся по кольцевой велотрассе дли-
с 1/5 часть которой проходит по стадиону, а оставшаяся часть - по
нЫ й’(,м улицам. Скорость первого велосипедиста на стадионе равна v,
я*городских улицах равна 16v/3. Скорость второго велосипедиста на
3 дионе равна 4v, а на городских улицах равна 16v/5. Велосипедисты
овременно въезжают на стадион. Через какое время после этого один
«"них впервые совершит обгон другого?
17 2.11992* Автомобили «Вольво» и «Мерседес» движутся по кольце¬
вой дороге, 1/3 часть которой проходит по городу. Скорость «Вольво» в
городе равна v, а за пределами города равна 3v/2. Скорость «Мерседе¬
са* в городе равна 3v/4, а за пределами города равна 5и/3. Автомобили
одновременно въезжают в город. Через какое время один из них впер¬
вые совершит обгон другого, если длина городского участка кольцевой
дороги равна 5?
17.3.119921 Два лыжника бегут по кольцевой лыжне длины 5, 1/6
часть которой проходит по стадиону, а оставшаяся часть — по лесу. Ско¬
рость первого лыжника на стадионе равна v, а в лесу равна 5и. Скорость
второго лыжника на стадионе равна 8v/5, а в лесу равна 4v. Лыжники
одновременно вбегают на стадион. Через какое время после этого один
из них впервые совершит обгон другого?
17.4.119921 Автомобили «Рено» и «Крайслер» движутся по кольцевой
дороге, 1/4 часть которой проходит по городу. Скорость «Рено» в горо¬
де равна 2и, а за пределами города равна 9и/4. Скорость «Крайслера» в
городе равна и, а за пределами города равна 3v. Автомобили одновремен¬
но въезжают в город. Через какое время один из них впервые совершит
обгон другого, если длина городского участка кольцевой дороги равна S?
17.5.119921 На берегу реки шириной 81 вниз по течению на расстоя¬
нии 1 друг от друга расположены пункты По, Пь ..., Пюо- От По до Пмо
со скоростью 6и и с остановками только в пунктах По,...,Пюо идут авто'
(Лп ’ котоРые отправляются из По один за другим с интервалом времени
Ij v' Турист, находящийся на противоположном берегу реки напротив
авт £тплывает в лодке одновременно с отправлением из По очередного
до П ^СЭ ‘^оплыв по прямой до одного из пунктов, турист добирается
воде100 Н3 автобУсе- Скорость течения реки и скорость лодки в стоячей
На Ве£авны v■ В какой пункт должен доплыть турист, чтобы затратить
стояи„Ь П^ТЬ до Пию наименьшее время? Найти все решения. (Временем
176 [1В992?ц°В пРенебРечь)-
янии i "а беР€гУ реки шириной 91 вниз по течению на рассто-
wr от Друга расположены пункты П0,П1,...,П40. От П4о до
ДИлижан°^°СТЬЮ и с остановками только в пунктах П4о,...,По идут
вР®мени ш К0т°рые отправляются из П4о один за другим с интервалом
ty реки JПутешественник, находящийся на противоположном бере-
апротив П0, отплывает в лодке одновременно с отправлением
162
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ПРОГРЕССИИ « ЗАДАЧИ
из П40 очередного дилижанса. Доплыв по прямой до одного из пунКТОй
путешественник добирается до П0 в дилижансе. Скорость течения pj*
и лодки в стоячей воде v. В какой пункт должен плыть путешествеи
ник чтобы затратить на весь путь до П0 наименьшее время? Найти Z
решения. (Временем стоянки дилижансов пренебречь).
17.7.119921 На берегу реки шириной 6( вниз по течению на расстоя
нии I друг от друга расположены пункты По, Пя, —, Пюо. От П0 до ц
со скоростью 5v и с остановками в пунктах П1, ..., Пюо идут электрик
ки, которые отправляются из П0 одна за другой с интервалом времени
21/1 lv. Студент, находящийся на противоположном берегу реки напро-
тив П0, отплывает в лодке одновременно с отправлением из П0 очередной
электрички. Доплыв по прямой до одного из пунктов, студент добирается
до Пюо в электричке. Скорость течения реки и скорость лодки в стоячей
воде равны v. В какой пункт должен плыть студент, чтобы затратить на
весь путь до Пюо наименьшее время? Найти все решения. (Временем
стоянки электричек пренебречь).
17.8.11992' На берегу реки шириной Ш вниз по течению на расстоя¬
нии I друг от друга расположены пункты П0, Пь..., П25. От П25 до По
со скоростью 4v и с остановками только в пунктах П25, ..., П0 идут
кабриолеты, которые отправляются из П25 один за другим с интервалом
времени l/Zv. Курьер, находящийся на противоположном берегу реки
напротив По, отплывает в лодке одновременно с отправлением из n2s
очередного кабриолета. Доплыв по прямой до одного из пунктов, курьер
добирается до По в кабриолете. Скорость течения реки и скорость лод¬
ки в стоячей воде равны v. В какой пункт должен плыть курьер, чтобы
затратить на весь путь до По наименьшее время? Найти все решения.
(Временем стоянки кабриолетов пренебречь).
17.9.11991! Числа -sinx, 4 sinx • ctg2x, cosx являются членами ариф¬
метической прогрессии с номерами к, к +1, к + 2 соответственно. Найти
все значения хи fc, если седьмой член этой прогрессии равен 1/5.
17.10.11991! Числа \/2cosx, \/cos2x, icos(x+?) являются членами
геометрической прогрессии с номерами к, jfc + 1, к + 2 соответственно-
16&
Найти все значения х и к, если пятый член этой прогрессии равен
17.11.11991) Числа 2cosx, -sinx, ^ cosx • ctg2x являются членами
арифметической прогрессии с номерами к, к +1, к + 2 соответственно.
Найти все значения х и к, если пятнадцатый член этой прогрессии ра
вен 2
17.12.11991) Числа ^ sinx, у/-cos2x, 3cos(x - *) являются членами
геометрической прогрессии с номерами к, к+1, к + 2 соответственно-
Найти все значения х и А:, если четвертый член этой прогрессии равен 57s
17.13.1200в1 Среди первых ста членов арифметической прогрессии
положительной разностью есть числа Ц и 3|£. Найти разность э
прогрессии. Найти наименьшее из возможных значений первого 4
этой прогрессии.
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ И ПРОГРЕССИИ « ЗАДАЧИ
163
среди первых ста десяти членов арифметической про-
17-14- яожительной разностью есть числа Y и Т- Найти
ссии с п0. р0Гпессии. Найти наименьшее из возможных значений
Р,,вЛТДлеМ "той "РогреССт
>р°греСГ
«■5Т0Й "PSl Среди первых восьмидесяти членов арифметической про-
1Т'16' „.питательной разностью есть числа ^ “ и Най™
грессии С П0: •; грессии. Найти наименьшее из возможных значений
SSo^a этой прогрессии.
18. МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
18.1.119911
состоящая из
стеме неравенств
На координатной плоскости рассматривается фигура
всех точек, координаты (ж; у) которых удовлетворяют си’
' Д-25 . _1_
112 + у2 — 625 ^ 26
Изобразить фигуру М и найти ее площадь.
18.2.119911 На координатной плоскости рассматривается фигура М
состоящая из всех точек, координаты (ж; у) которых удовлетворяют си
(
| у2 + 25 ^ 10у + |ж2,
(ж2 + у2 + Юж < 0.
Изобразить фигуру М и найти ее площадь.
18.3.119911 На координатной плоскости рассматривается фигура М,
состоящая из всех точек, координаты (ж; у) которых удовлетворяют си¬
стеме неравенств
VT >2х - У’
у-8
х2 + у2 - 64
>W
Изобразить фигуру М и найти ее площадь.
18.4.119911 На координатной плоскости рассматривается фигура М,
состоящая из всех точек, координаты (ж; у) которых удовлетворяют си¬
стеме неравенств f
у/ъ(У* ~х*)>2ху,
х2 + у2 + 4у < О,
, у2 - 16 ^ ж2 — 8ж.
Изобразить фигуру М и найти ее площадь. Ф
18.5.119911 На координатной плоскости рассматривается Фиг^ек)а
состоящая из всех точек, координаты (а; Ь) которых таковы, что с
уравнений
(ах + (Ь - 4)у = 2,
< (а - 4)ж + by = 3,
,bx - (а + 6)у = 3.
-»рЗВН®"
имеет единственное решение. Изобразить фигуру Ф и составить wegr
ния всех прямых, каждая из которых проходит через точку (0! '
с фигурой Ф единственную общую точку.
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ . ЗАДАЧИ
11*911 На координатной плоскости Тассматои^Г~Т
« кеХ Т0ЧеК• К°0рДИНа™ <<Ч »> которых таксы.
уравнений fax + 4j/ = 2,
bx + ay = —1,
к (b + 3)x + (a + 8)y = -3,
имеет
ных
CJ решение. Изобразить фигуру Ф „ составить уравняй
каждая из которых проходит через точку Г-н Лр Внения всех пря-
-=ouuvm nfiiuvio точку. 3 ' ^ и имеет с фигурой
мыл, •««•■■■— -
Ф единственную общую точку.
,8.7. На координатной плоскости рассматривается фигура *
„стоящая из всех точек, координаты (о; 6) которых таковы что [Е
»—* ((o + 2)x + tp = l,
ах + (6 - 2)у = 2,
с (ft + 4)х — ау ~ 2,
имеет единственное решение. Изобразить фигуру Ф и составить упав-
нения всех прямых, каждая из которых проходит через точку По• 0) и
имеет с фигурой Ф единственную общую точку. v ’ ;
18.8.11991) На координатной плоскости рассматривается фигура Ф
Ж?ий И3 ВСеХ Т°ЧеК’ К°°РДИНаты («! *) К0Т0Р“х таковы, что система
fax -f by = 1,
Зх + ay = -1,
(а - 1)х -f (ft + 2)у = -2,
мыхеТкя1ШеНИе' ^зобРазить фигуру Ф и составить уравнения всех пря-
д рп’м *Дая из К0т°рых проходит через точку (4; 3) и имеет с фигурой
¥ единственную общую точку.
18 9 (1992J п ' *
относите досматриваются всевозможные параболы, симметричные
Р4бол нап ЬН° Прямо^ х ~2 и касающиеся прямой у = 1- 8х; ветви па-
ось „ равлены вверх. Найти уравнение той из них, которая пересекает
18.10 им? С наименьшей ординатой.
°сис)1Ип Рассматриваются всевозможные параболы, касающиеся
нение той РЯМ0^ у ~ I ~ 3; ветви парабол направлены вниз. Найти урав-
гочек пере113 НИХ’ ДЛЯ К0Т0Р0Й сумма расстояний от начала координат до
18 ц р992)НИЯ пара^олы с осями координат минимальна.
Носитель досматриваются всевозможные параболы, симметричные
Раб°д нарпя ° прямой * = 1 и касающиеся прямой у = -2х - 3; ветви па-
Оу в PQ Влены вниз. Найти уравнение той из них, которая пересекает
j8-12 Пэм? С наибольшей ординатой.
^ Ог и досматриваются всевозможные параболы, касающиеся
Уравнение тт”М°Й у= Iх+ 8; ветви парабол направлены вверх. Найти
Д° т°Чек пйпИ И3 Них» для которой сумма расстояний от начала коорди
"Усечения параболы с осями координат минимальна.
166
[)||mrrTP. UA КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ . ЗАДАЧИ
10 14 11993] ua координатной плоскости изображена фигура и
стоящая из точек, координате. (*; у) которых таковы, что выра* ”'Л
12 + 2р(у - х2 + §) ~ 2 р (®2 + 4х + У)
неотрицательно при всех р. Из точки А проведены лучи а! и а2, а изТо<,
ки С - лучи с, и с2. каждый из которых касается границы множества
Лучи а, и с, пересекаются в точке В, а лучи а2 и с2 - в точке D, ПрИ15
ABCD — прямоугольник, одна из диагоналей которого параллельна оси
^ Изобразить на координатной плоскости фигуру М, найти координату
центра прямоугольника ABCD и его площадь.
18.14.119931 На координатной плоскости изображена фигура Л/, со.
стоящая из точек, координаты (х; у) которых таковы, что выражение
4 + р2 (2у - х2 + 14) - р-2 (х2 + 4х + 2у)
неотрицательно при всех рф 0. Из точки А проведены лучи ai и аг,
а из точки С — лучи ci и с2, каждый из которых касается границы
множества М. Лучи ai и ci пересекаются в точке В, а лучи а2 и с2 -
в точке D, причем ABCD — прямоугольник, одна из диагоналей которого
параллельна оси Ох.
Изобразить на координатной плоскости фигуру М, найти координаты
центра прямоугольника ABCD и его площадь.
18.15.119931 На координатной плоскости изображена фигура М, со¬
стоящая из точек, координаты (х; у) которых таковы, что выражение
8 + 5-р (2у — х2 + 26) — 5Р (х2 + 4х + 2у)
неотрицательно при всехр. Из точки А проведены лучи а\ и а2, а из точ¬
ки С — лучи ci и с2, каждый из которых касается границы множества Al-
Лучи ai и Ci пересекаются в точке В, а лучи а2 и с2 — в точке D, причем
ABCD — прямоугольник, одна из диагоналей которого параллельна оси Ох-
Изобразить на координатной плоскости фигуру М, найти координаты
центра прямоугольника ABCD и его площадь.
18.16.119931 На координатной плоскости изображена фигура М,с0
стоящая из точек, координаты (х; у) которых таковы, что выражение
6 + \/р(у ~ х2 + ^) - -1= (х2 + 4х + у)
неотрицательно при всех р > 0. Из точки А проведены лучи 0l |JMUy
а из точки С — лучи ci и с2, каждый из которых касается гр ^
множества М. Лучи ai и ci пересекаются в точке В, а лучи о00го
в точке D, причем ABCD — прямоугольник, одна из диагоналей к
параллельна оси Ох. аТц
Изобразить на координатной плоскости фигуру М, найти коорА
ЦеН1оа.^п^[]Г0льника ABCD и его площадь. йИ у*
^ве паРаллельные касательные к графику "
пересекают оси координат: первая — в точках А и В>
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ • ЗАДАЧИ
1+2 пересекают оси координат: первая - в точках А и В, вторая -
%Uax С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если известно что
в в 4 раза меньше площади треугольника COD.
она18 (1993J две параллельные касательные к графику функции у =
з + I пересекают оси координат: первая — в точках Л и В, вторая -
Гточках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если известно, что
она в 4 раза меньше площади треугольника COD.
18.20.11993* Две параллельные касательные к графику функции у =
1 _ з пересекают оси координат: первая — в точках Л и В, вторая —
'точках С и В. Найти площадь треугольника АОВ, если известно, что
она в 4 раза меньше площади треугольника COD.
18.21.11995' В прямоугольном треугольнике АВС точка D — сере¬
дина гипотенузы АВ, а медианы треугольника пересекаются в точке Е.
Треугольник АВС расположен на координатной плоскости Оху так, что
точка А лежит на оси Оу, точка D симметрична точке С относительно
оси Оу, а точки С, D и Е лежат на графике функции у = (х2 - 5)2.
Найти уравнение прямой CD и площадь треугольника АВС.
18.22. f1995l Медианы прямоугольного треугольника ABC (ZC = 90°)
пересекаются в точке D. Треугольник АВС расположен на координатной
плоскости Оху так, что точка А лежит на оси Оу, начало координат О яв¬
ляется серединой гипотенузы, а точки В и С лежат на графике функции у =
=z{i-4)(x-8). Найти уравнение прямой ОС и длину гипотенузы АВ.
18.23.119951 В прямоугольном треугольнике KLM точка Р — середи¬
на гипотенузы КМ, а медианы треугольника пересекаются в точке Q.
Треугольник KLM расположен на координатной плоскости Оху так, что
точка К лежит на оси Оу, точка Р симметрична точке L относитель¬
но оси Оу, а точки Р, Q и L лежат на графике функции у = (i2 -1)2.
Найти уравнение прямой PL и площадь треугольника KLM.
1824.1-1 Медианы прямоугольного треугольника KLM {ZM =
'УО ) пересекаются в точке Р. Треугольник KLM расположен на ко-
РДИНатноЙ ПЛОСКОСТИ О™/ ТЯ1* итп тпикя К ЛРЖИТ НЗ ОСИ Ov. НЗЧЗЛО
п»«нтЫьил 'jsrsx ‘:?.сим"е.т?игаи^гг:
168
|||||ПТГТП. ЯЛ КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ . ЗАДАЧИ
1Я I1995' Парабола П2 симметрична параболе Щ у ах2, a
дую из пзР360^0^ _ ямой. касательная к параболе Пь провед*^1
так, чтоП , се2кает ок BiS2 в Точке L. Определить, в каком?
^ ^чк L делит отрезок Вфг- Найти значения параметров «
^которых длина отрезка KL минимальна, если площадь треугольн^
BiB2K равна 1/9.
18 27 119951 Парабола П2 симметрична параболе ГЦ у = ах2, а>0
относительно точки М(Ь;аЬ2), где Ь > 0. Некоторая прямая пересекает
каждую из парабол ровно в одной точке. Пт в точке Ль П2 — в точ-
ке А7 так, что угол AiA2M - прямой. Касательная к параболе Пь про-
веденная в точке Ль пересекает отрезок Л2М в точке К. Определить, в
каком отношении точка К делит отрезок Л2М. Найти значения парамет¬
ров а и Ь, при которых длина отрезка А\К минимальна, если площадь
треугольника ЛтЛ2Л/ равна 3.
18.28.119951 Парабола П2 симметрична параболе Пт у = ах2, а>0
относительно точки Г(6; аЪ2), где Ь > 0. Некоторая прямая пересекает
каждую из парабол ровно в одной точке: Пх — в точке А\, П2 — в точке
Аг так, что угол А\А2Т — прямой. Касательная к параболе Пь прове¬
денная в точке Г, пересекает отрезок А\Аг в точке К. Определить, в
каком отношении точка К делит отрезок Л1Л2. Найти значения пара¬
метров а и Ь, при которых длина отрезка ТК минимальна, если площадь
треугольника А\А2Т равна 1/4.
18.29.119951 На координатной плоскости рассматривается фигура Ф,
состоящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют си¬
стеме неравенств ,
Гlogy-x (2у — 2а:у) ^2,
1м <4- у.
Изобразить фигуру Ф и найти ее площадь.
18.30.119951 На координатной плоскости рассматривается фигура •
состоящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют с
стеме неравенств
( kgx’+y’-itey) >
> + у|<3.
Изобразить фигуру ф и найти ее площадь. а ф,
18.31. 19951 На координатной плоскости рассматривается Фи^ сц-
состоящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетвор
стеме неравенств '
flogv+I(2xy + 2x)^2,
Ы + 1уК2.
Изобразить фигуру ф и найти ее Площадь
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ » ЗАДАЧИ
169
. по I19951 На координатной плоскости рассматривается фигура Ф
1 ашая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют си-
^»ерз=енств
flogI+v_2(x2 + y2-4)>2,
\|у-х| <3.
июбразить фигуру Ф и найти ее площадь.
18 33.119961 График функции у = /(х), где
/(х) = —2х3 — 8ах2 - 4а2х + 5, а < О,
и прямая I, заданная уравнением у = 4а2х + 5, имеют ровно две общие
1) Найти о, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции
« = /(х) и прямой I, равна 27/2.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика
функции у = /(х) в точке с положительной абсциссой. Среди этих пря¬
ных выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наименьшей орди¬
натой. Найти эту ординату.
18.34.119961 График функции у = /(х), где
/(х) = х3 + 2ах2 + -а2х + 1,
4
а < О,
2
н прямая I, заданная уравнением у = ^ +1, имеют ровно две общие
точки.
1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции
У = /(х) и прямой I, равна 27/4.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика
функции у = /(х) в точке с положительной абсциссой. Среди этих пря¬
ных выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наибольшей орди¬
натой. Найти эту ординату.
18.35.119961 График функции у = /(х), где
/(х) = 6х3 + 12ах2 + 7а2х — 2, а > О,
;0;р;мая ^ заданная уравнением у = а2х — 2, имеют ровно две общие
у а> если площадь фигуры, ограниченной графиком функции
2у р и ПРЯМ0Й 1> равна 1/2.
Функ[щаССМаТ1)Иваются пРямые- каждая из которых касается графика
вь1бРан,И у = А1) в точке с отрицательной абсциссой. Среди этих прямых
Найти,Та’ КотоРая пересекает ось Оу в точке с наименьшей ординато .
^этуордии
18.3(J [1996] г i
I рафик функции у = Дх), где
и Пр / (я) = -х3 - 4ах2 - За2х + 2, а > О,
т°чки. Я ^ Данная уравнением у = а2х + 2, имеют ровно две общие
170
п|,^ггтйА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ « ЗАДАЧИ
I) Найти а. если лиошадь фигуры, ограниченной графиком фу#
и = /(х) и прямой I. равна 1/12.
* 2) Рассматриваются прямые, каждая ш которых касается граф
функции у -- /(х) в точке с отрицательной абсциссой. Среди этих пр,^
выбрана та. которая пересекает ось Оу в точке с наибольшей ордин^
Найти эту ординату.
18.37.11997' Графику функции у-х +ах +Ьх + с принадлежа
точки А и В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательно
к этому графику в точке А к В параллельны между собой. Одна из
этих касательных проходит через точку (0; -1), а другая - через точку
(0; -5). Найти значения а, Ь и с. ’
18.38.119971 Графику функции у - -х3 + ах2 + Ьх + с принадлежат
точки А и В, симметричные относительно прямой х = -2. Касательные
к этому графику в точках А к В параллельны между собой. Одна из
этих касательных проходит через точку (0; -2), а другая — через точку
(0; -6). Найти значения а, Ь и с.
18.39.119971 Графику функции у = х3+ах2 + Ьх + с принадлежат
точки А и В, симметричные относительно прямой х = -2. Касательные к
этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих
касательных проходит через точку (0; 1), а другая — через точку (0;5).
Найти значения а, Ь и с.
18.40.119971 Графику функции у = —х3 + ах2 + Ьх + с принадлежат
точки А к В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к
этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих
касательных проходит через точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6).
Найти значения а, 6 и с.
18.41.119971 К графику функции у = \— х + | проведена касатель¬
ная, пересекающая график функции у = | - 2|х + 2| в точках А и В.
Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами
в точках .4, В и С (-2; |), если ZCAB = 2 arccos + ZCBA.
18.42.119971 К графику функции у = — fj+x — -у проведена каса¬
тельная, пересекающая график функции у = 3|х + 6| - | в точках А и
В. Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершина
мн в точках А, В и С (-6; -?), если ZCAB = 2 arccos ^ ^сВА'
18.43.119971 К графику функции У = т- §х+3 проведена касатель
ная, пересекающая график функции у = 1 - §|х + 1| в точках А и
Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершин
в точках А, В и С(-1; 1), если ZCAB = 2 arccos-fa + ZCBA.
18.44.1,9971 К графику функции у=-^-х-| проведена касате^
ная, пересекающая график функции у = 3|х-3| - I в точках А„
Найти радиус окружности, описанной около треугольника с верш
в точках А, В, и С (3; - J), если ZCAB = 2 arccos ^ + &ВА.
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ • ЗАДАЧИ
171
[1997] Пусть М — множество точек плоскости с координатами
\ аких ЧТО числа х, у и б - 2х являются длинами сторон некоторого
(х; У)т нИК’а. Найти площадь фигуры М.
IP*0» Ф состоит из точек множества Л/ таких, что неравенство г2 +
Ф + 4г - у > 0 выполняется при всех значениях параметра Найти
+ !шадь фигуры Ф.
18 46.119971 ПУСТЬ ^ _ множество точек плоскости с координата-
) ' таких, что числа Зх, 2у и 9 - у являются длинами сторон
МИ tifii/o Найти rrnnnranL /hummLr \Л
МИ ооого треугольника. Найти площадь фигуры М.
НеКфигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство
,, о,/г - 9) 4- 7 - у > 0 выполняется при всех значениях параметра t
Lw '„лошадь фигуры Ф.
18 47.119971 Пусть М — множество точек плоскости с координатами
, у\ таких, что числа 2х, у и 3 — х являются длинами сторон некоторого
треугольника. Найти площадь фигуры М.
V Фигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство
1г - 2tx + 2х - у 4- 3 > 0 выполняется при всех значениях параметра t.
Найти площадь фигуры Ф.
18.48. (19971 Пусть М — множество точек плоскости с координата¬
ми (х; у) таких, что числа Зх, у и 18 - 2у являются длинами сторон
некоторого треугольника. Найти площадь фигуры М.
Фигура Ф состоит из точек множества М таких, что неравенство
fJ + 2fx + 4x + у-6>0 выполняется при всех значениях параметра t.
Найти площадь фигуры Ф.
18.49. f1998l Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками
функций у = Зеах и у = 7 — 2е~ах и имеет единственную общую точку с
прямой у = 9х + 3. Найти а и площадь фигуры М.
18.50.1199®] Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками
Функций у = 9е~ах и у = 15 - 4е01 и имеет единственную общую точ-
КУ с прямой у = -18х + 9. Найти а и площадь фигуры М.
■ Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками
Функций у = 2еах и у = 7 — Зе~ах и имеет единственную общую точку с
18 У lxtX ^а^ти а и площадь фигуры М.
Функ '5-2- 1998^ Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками
Ку с ^Ии У~ 4е-а* и у = 12- 5еах и имеет единственную общую точ-
18 «М<г?чо,1= ~^х + 4- Найти а и площадь фигуры М.
ось оплн * График функции у = х3 + ах2 + Ьх + с, с < 0 пересекает
абсц„сс пТ В точке А и имеет ровно две общие точки М и N с осью
точку 4 Р®мая. касающаяся этого графика в точке М, проходит через
18 «и 11эад1И а’ с’ если площадь треугольника AMN равна 1.
«Госьопли График функции у = -х3 + ах2 + Ьх + с, с<0 пересека-
«сцисс п Нат в точке М и имеет ровно две общие точки А и В с осью
т°чку bf >?я^ая' касающаяся этого графика в точке А, проходит через
аити а., Ь, с, если площадь треугольника АВМ равна .
172
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ » ЗАДАЧИ
-гЗ
18.55. (1998] График функции у = I3 + ах2 + Ьх + с, с > о п
ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки М илРесека«г
абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке , npoxo^ С °Сью
точку А. Найти а, Ь, с, если площадь треугольника AMN Dan ДИ|Т ЧеРез
18.56.11998] График функции у = -х3 + ах2 + Ьх + с, с > о*3 '
ет ось ординат в точке D и имеет ровно две общие точки А ° 'д ресека-
абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке В, поо И ° с °Сью
точку D. Найти а, 6, с, если площадь треугольника ABD павн04!^ ЧеРез
18.57. (19"1 Дана система неравенств 3 '
>1 + \У\ <2.
< х2 + у2 ^4(х + у - 1),
Ху - Зх - 2)(3у - х + 2) ^ 0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют-
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
18.58.119"! Дана система неравенств
(W + lvl <з,
< х2 + у2 > 3(2у - 2х - 3),
Ц2х + у — 3)(х + 5у + 3) < 0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
18.59. t19"l Дана система неравенств
ГМ + М
< х2 + у2 > —8(х + у + 2),
Ц7у — х — 4)(3у - 5х + 12) ^ 0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют.
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
18.60.119") Дана система неравенств:
Мх| + |у|^5,
< х2 + у2 > 5(2х - 2у - 5),
Ц7х + Зу + 15)(х + 4у - 5) ^ 0. т;
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлет
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
МНОЖЕСТВА НЛ КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ « ЗАДАЧИ
173
18.61
(2003] Дана система неравенств
'х2 + у2 < 4|х|,
W + М ^ 2,
,х2 - у2 + 16 - 8х ^0.
Найти плошадь фигуры, координаты точек которой удовлетвоояют-
а) первому неравенству системы; 3 отворяют.
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
18.62.[200Э| Дана система неравенств
(х2 + у2 < 4|у|,
\ 1*1 + Ы ^ 2,
[у2 ~х2 + 16 -8x^0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют-
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
18.63. |20031 Дана система неравенств
'х2 + у2 < 4\х\,
' 1*1 + \У\ > 2,
,х2 -у2+ 16+ 8x^0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
18.64.12003! Дана система неравенств
Найти
'х2 +у2 < 4|у|,
- 1*1 + \у\ > 2.
х2 _ у2 + 16 + 8х > 0.
8™ плошадь фигуры, координаты точек которой удоалетеоряют.
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы,
в) всем трем неравенствам системы.
ОТВЕТЫ И ИЗБРАННЫЕ РЕШЕНИЯ
1. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
1.1. (2; -3; -I). (|; 4;-§).
Решение. Складывая первое уравнение системы с третьим
пишем систему в виде
пере.
'6 xz + Зх = 2z — 2,
< ху + zy = 2z — 2х + 2,
кгу + у = 2z + 1.
Выразив из первого уравнения х через z, а из третьего — у через г
подставим эти выражения во второе уравнение:
Т - 2*-2
х ~ 62+3'
V = 21±1
У Z+1 >
10 z2 + 23 2 + 12 = 0.
(1)
(2)
(3)
Исходная система равносильна системе (1)-(3). Уравнение (3) имеет
корни z\ = —5, z2 = Подставляя найденные значения z в уравнения
(1), (2), находим два решения исходной системы.
1.2. (0;-1;А); (-2; 3; -5).
1.3. (-i;-l;f); (§; 3; 2).
1-4- (|;5; *).
1.5. (—2; 0); (-3; 3); (-4; 2).
Указание. Решить каждое из уравнений системы как квадратное
относительно х или у. Тогда исходная система преобразуется к виду
Ux + 2у + 2)(х - у + 6) = 0,
\(х + 2 у- 3)(х + у + 2) = 0.
и равносильна совокупности четырех систем линейных уравнении.
1.6. (0,5;-3), (2;-4), (§;-5).
1.7. (3; -3). (2; -4), (0; -2).
1.10. (1; -6).
Ml- (2; -3).
С1Г-ТГМЬ1 алгебраических уравнений и неравенств . ОТВЕТЬ.
решение. Запишем систему в виде
у = 16 + 2ху,
^- = 50 - 6ху.
175
(•)
(**)
Перемножив почленно уравнения этой системы, получим уравнение
13(ху)2 - 4ху - 800 = 0, (***)
которое вместе с одним из уравнений системы (*). (**) образует систему,
равносильную системе (*), (**).
Из уравнения (***) находим
ху =
т.е. ху = 8 или ху =
2 ± у/4 + 10400 2 ± 102
13
13
Если ху = 8, то из (*) следует, что х4 = 28, откуда xi = 4, х2 = -4
и тогда 2/1 = 2, 2/2 = -2.
Если ху = то х4 = —f§§- Это уравнение не имеет действитель¬
ных корней.
1.14. (4; 2), (-4; -2).
U5. (2; 4), (-2; -4).
1.16. (2: 4) ?358- _20481
ш- (0; 0; 0), (|; -5; -f), (7; -7; -7).
Решение. Вычитая из второго уравнения, умноженного на два, пер-
вое и третье, получаем
y{z — х — 2у) = 0. (1)
Уравнение (1) вместе с первыми двумя уравнениями данной системы об-
либо°Т системУ> равносильную данной. Из (1) следует, что либо У = 0.
g z = х + 2у.
Есл = °’ Т0 х = 0> z = 0 и (0; 0; 0) - решение исходной системы.
"ой См и спРавелливо равенство (2), то из первых двух уравнений исход¬
ами получаем (3)
Г 9х + 2у + ху = О,
в \4х — Зу — у2 = 0. W
^«Hoe^aQ Из Уравнения (3), умноженного на 4, уравнение (4), умно
у. находим
35у + 4ху + 9у2 = у(4х + 9у + 35) = Oi
176
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ « ОТВЕТЫ
0ТКУда 4х = —9у — 35.
Из (4) и (5) следует, что у2 + 12у + 35 = 0, откуда
1/1 = -5, 1/2 = ~7.
(5)
Если у = -5, то из
(5) и (2) находим
5
х
15
7’
а если у = -7, то х = 7, г = —7.
1.18. (0; 0;0), (—§; — ji — О* ( 6' — 6 > —г)-
1.19. (0; 0; 0), (4; 12; -4), (1; 6; -4).
1.20. (0; 0; 0). (-$; -2; §), (±; £; J).
1.21. (-4; 20).
Решение. Пусть и = yjx + у, v = уfx + 2у, тогда
i + 2у = и2, откуда л: = 2u2 - v2, у = v2 - и2. Поэтому исхо
примет вид
1 + У = tiJ,
исходная система
(и + v = 10,
\u + 3u2 — v2 = 16,
откуда 2и2 + 21и - 116 = 0, ui = -29/2, щ = 4. Так как и > 0, то и = 4,
т.е. v/x + у = 4, v = у/х + 2у = 6, откуда х + у = 16. х + 2у = 36, х = -4,
у = 20.
1.22. (1/2; 3/2).
1.23. (13; -3).
1.24. (1/7; -58/7).
1.25. (4;-2).
Решение. Так как ху ф 0, то систему можно записать в виде
/У (х2 + у3) = х(х2 + у3),
\х2 + у3 = —4у.
Если х2 + у3 = 0, то из второго уравнения следует, что у = 0-
у2 = х, то из второго уравнения системы следует, что у3 + У +4'
или (у + 2)(у2 — у + 2) = 0, откуда у = -2 (уравнение у2 — У + 2 =
имеет действительных корней). Итак, у = —2, х = у2 = 4.
1.26. (4; -2).
1.27. (-2,1/4).
1.28. (-2; 1/4).
1.29. (1; —2; 2), (-щ; -^=;
Решение. Складывая уравнения попарно, получим систему
{х3 = xyz + 5,
у3 = xyz - 4,
z3 = xyz + 12,
^^РМЫ алгебраических уравнений и неравенств . ОТВЕТЬ.
ильную ис_х0^н1йп^"еме' Перемножив уравнения этой системы
= (t + 5 )(t - 4)(i + 12) = t3 + Ш2 -St- 240,
П0ЛУЦИМ
ИЛИ
I3f
Если
, = 2.
2 _ 8t - 240 = о, откуда tx = -4, t2 = f§.
— 01 J 1 13 •
t = —4, TO x3 = l, г = -8, z3 = 8, откуда ц = l, «. = _
-2,
Если t = 60/13, то х3 — » у3 — 1® . — Щ, откуда х2 = у2 -
= ( К Га Г\
1.30. (-v^i-v/S; —2), (-Д; - Д; -\/Т)-
1.31. (-2^1 -3; 2«^), (-2^1; -^1; -2^5).
132- (-У4; -У?; -У1). </!).
1.33. (|l I). (121 -2).
Решение. Область определения уравнения — множество точек та¬
ких, что
х ^ 2у, у ф 0, х + лД - 2у ^ 0. (1)
Преобразуем первое уравнение системы:
2у + 6у2 = х — у Ух - 5у (Д - 2у)2 - у Ух - 2у - 6у2 = 0 -й-
(Ух - 2у - 3у) (Ух - 2у + 2у) = 0.
1) Если ух - 2у - Зу = 0, то
Д - 2у = Зу, у ^ 0. (2)
^Нз (2) и второго уравнения системы получаем Ух + Зу = (х + Зу) -
VHli (Д + Зу - 2)(ух + Зу +1) = О, откуда Ух + Зу = 2, так как
+ 1 > 0. Тогда х + Зу = 4, х = —Зу + 4. Отсюда и из (2) находим
v ' 5у = 3у, 9у2 + 5у 4 = о, ух = -1, у2 = Так как у > 0, то yi
Расываем, а если у = то х = §.
ара чисел (|; 1) удовлетворяет условиям (1).
имя нахппИиХ/5^Дд -2у, то у ^ 0 и х - 2у = 4у2. а из второго уравне^
-5у, 2 __Д.?М 2У = х + Зу - 2. Поэтому х + Зу - 2 - -2у, х
Паоа'ии^ = V’2/1 = 4 (не годится), у2 = -2, х2 = 12.
1, Сел (^> —2) — решение исходной системы.
'34> (6,30), ^2=g!IS; 29-^85^
l'35> (42,6V 2+^/229\
1,0 V 5 > 25 J-
e> (|; $), (-5±^И. зз+уйту
178
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ • ОТВЕТЫ
1.37. (£; -1; -1)’ И;1’'J)' (5; 2: 2)- (~Ь -2; -i), (1; 1; ^
(-1; -1; £)•
Решение. Вычитая из первого уравнения второе, получим
2 + 4x2z - 2yz2 - 4xz2 + 2х2у - y2z = 0.
).
ху
Разложим левую часть этого уравнения на множители:
у2(х - z) + 4xz(x - z) + 2у(х2 - z2) = 0,
(х - z)[y(y + 2z) + 2x(у + 2z)\ = 0,
(x-z)(y + 2z)(y + 2x) = 0. ^
Заметим, что исходная система, равносильная системе, состоящей из
первого и третьего уравнений и уравнения (1), равносильна также сово*
купности трех систем, получаемых присоединением к первому и третьем
уравнениям соответственно уравнений У
х = z,
у = -2г,
У = ~2х- (4)
1) Подставляя из (2) х = z в первое и третье уравнения исходной си¬
стемы, получаем
х(у2 - 5ху + 4х2) = х(у -х)(у - 4х) = 0,
4ху — 4х2 = 4х(у — х) = 3.
(2)
(3)
(5)
Если i = 0 или у = х, то из (5) следует, что 0 = 3.
Если у = 4х, то из (5) находим х2 = |, а: = ±^. В этом случае система
имеет два решения:
(i;2;i) и
2) Подставляя у = — 2z (см. (3)) в первое и третье уравнения исходно*
системы, получаем
z(2z2 + 5х z + 2х2) = z(z + 2х){х + 2 z) = 0,
-4z(z + 2х) = 3.
(«)
Если z — 0 или z + 2х = 0, то из (б) следует, что 0 = 3. Если х
то из (6) находим z2 = z = ±|. В этом случае система имеет ре
i\n (1; 1; ~1) и (-1; -1; \)- исХОдко*
3) Подставляя у = — 2х (см. (4)) в первое и третье уравнения
системы, получаем
х(2х + 5 xz + 2 z2) = х(х + 2z)(z + 2х) — 0»
~4х(х + 2г) = 3.
(А
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНримП
^Л!^£НСГВ • OTBFTU
Если х = 0илих + 2г = 0,то из (7) CJIZT —
Если г = -2х, то из (7) находим х2 = 1йует' ч^о 0 = з,
В этом случае система имеет два реше^Г ?i±2‘
1.39. (1; 1; г)« (-1; -1; -j), (2; _2- i) / i
(-k-*i)- u ’ -4- Им, i). (j. 2
5.40. (* ; 1), (-2; -i; (I. J>
M’ 5. 2). (_i; i. _2)
Ul. (-9; 81). (-5; 5vS), (_6; _5^, U
Решение. Второе уравнение Uf,. »
лому из уравнений днои системы равносильно каж-
(х2 - у) (я + {£) = 0.
(1)
а) Если х2 = у, то из первого уравнения исходной системы получаем
iyJ + 4у2 + 5у2 = 0, откуда следует, что либо у = 0, либо х = -9. Но
если у = 0, то х = 0, а при х = 0 уравнение (1) теряет смысл. Итак, х =
= -9, у = х2 = 81.
б) Если х + ^ = 0, то х3 + у2 = 0. Из первого уравнения системы
находим х5 + 4х4 - 5х3 = 0 или х2 + 4а; — 5 = 0 (х ф 0), откуда xi = -5,
*2 = 1. Пусть х = — 5, тогда у2 = 125, откуда у = ±5%/5- Пусть х = 1,
тогда у2 = -1. Это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, система имеет три действительных решения: (-9; 81),
(~5;5v/5), (-5; -5^5).
142. (125; 5), (4>/5; 2), (—4л/5; 2).
1'43. (3; 81), (2; 8\/2), (2; -8>/2).
1-44. (-125; -5), (9n/5; -3), (-W3; -3).
1.45. (■!• _1- Г_Х- j. _§).
V121 6/ * V 12 ’ 1 6/
Рв ... - —
е ш е н и е. Обозначим 2х = и, —v = v и запишем исходную систему
1СлеАУющем виде:
г 4|
ТА Ч" V ■“ Z '
V + z - и= '„+*+*>
Z + U-V=^+J-
(1)
Уравн°^® УР|внения системы 0) и обозначив u + v + г ^
ц0п - - t • откуда ti = 3, t2 = -3. , - в систему 0). най‘
Лем Дставляя найденные значения суммы ь +
Искомые значения и, о, *.
^30 СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ • OTBFtl^
Если t = u + v + z = 3, то г = 5 (*-<) = б>
u = H‘-?) = g’ « = Н*-!) = 1,
х= f = -£, y = -v = -1.
Аналогично, если t — —3, то х = —У = 1. z = —
1.46. (-1; ■&', g). (1; “ё)1
1.47. (|; I; -I), И; ~Ь ?)■
1.48. (1; |). (-1; ~б)-
1.49. =^), (^;
Решение. Пусть и = у/х - у, v = ху. Тогда система примет вид
1 + Г = Ъ + ST>
(1)
(2)
где и > 0 (х > у), v Ф 0 (ху ф 0).
Уравнение (1) можно записать в виде u2v2 — u* = v3- vu2, или
(u2 — v2)(u2 — v) = 0,
Если w = и2, то из уравнения (2) получаем уравнение и2 - и + 2=0,
не имеющее действительных решений.
Если v = и, то из (2) следует, что и2 + и - 2 = 0, откуда и = 1 (и >0),
и = 1.
Если v = —и, то и2 + и + 2 = 0. Это уравнение не имеет действитель¬
ных решений.
Итак. и = 1, v = 1, т.е. y/x-у = 1, ху = 1, откуда у2 + у - 1 =0.У =
_ -1±^5 _ _ 1 _ 1±у/5
~ 2 <х~ у ~ 2~-
1.50. (1, 1). (-1/2,-2).
1.51. (-1,-1), (2, 1/2).
1.52. (1, 1), (-1/2,-2).
1.53. (-1,-3). (1,-3).
Решение. Запишем систему в виде
(х2(9х2 + 4у) = —3,
[у2(9х* + 4у = -27.
Учитывая, что левые части уравнений (1) не обращаются в нуль.^
делим второе уравнение этой системы на первое. Получим уравН
у2 = 9х2,
являющееся следствием системы (1) и равносильное совокупи**1
уравнений у = Зл и у = -Зл.
(П
.Р*
г|,,-тгМЫ алгебраических уравнений и НЕРАВЕНСТВ » ОТВЕТЫ
= 31, ТО из первого уравнения системы (1) получаем
9х* + 12х3 4-3 = 0, (i4 1)(Зх3 4-12 - i 4-1) = 0,
(x 4- l)2(3x2 + 2x + 1) = 0.
к как уравнение Зх2 4- 2x + 1 - 0 не имеет действительных корней,
1 и тогда у = —3.
Т° б^Если у = -Зх. т0 3x4 ~ 4х3 -f 1 = 0, (х - 1)2(3х2 + 2х + 1) = о, от-
* _ / /5. !-,/%■ -1
1).
1.55. (\/3; -1). ( >/3;
156 (v/2; — i), (—V2; i;-
1*57. (1/4; 1/4), (-9/4; 3/4).
Решение. Из системы следует, что ху Ф 0, а ее первое уравнение
можно записать в виде х2 + х2у = у(у2 + 2ху) 4- 2у3, откуда, используя
второе уравнение, получаем
х2 4- х2у = ху- х2у 4- 2у3,
х2 - ху 4- 2у(х2 - у2) = 0,
(х - у)(х + 2ху + 2у2) = 0.
Исходная система равносильна совокупности двух систем:
Гх - у = 0, Гх + 2ху 4- 2у2 = 0,
\х2 + 2 ху + у2 = х, \х2 4- 2 ху 4- у2 = х.
Из первой системы находим 4х2 = х, откуда х = 1/4, так как х#0,
у = х = 1/4. Из второй системы, складывая ее уравнения, получаем х2 +
4-4ху 4 4у2 = у2, откуда следует, что либо х 4- 2у = у, и тогда х = -у,
i = 0 (из второго уравнения этой системы), либо х + 2у = -у и тогда
?,7 4^2 = Ъу,у = 3/4, х = -9/4. Итак, система имеет два решения
W4; 1/4), (-9/4; 3/4).
158- (-8/15; 16/15), (6; 9).
и®. (-1/4; i/2), (4/9; 2/3).
}'JJ- (-12/35; 8/35), (-1/2; 1/2).
р®1- °)« (2; 4), (-2; 4).
%сть Ш1Н и е- Если х = 0, то у = 0 и система имеет решение (0; 0).
1 г 0. Перемножив почленно уравнения системы, получим
15х2у2 = 4(у4 -х4).
^KakVc!>у!х)2 > 0, тогда 4t2 - 15t - 4 = 0, откуда t = (15 ± 17)/8.
Уравнения и °* Т° * = У2/*2 = 4, у2 = 4х2. Если у = 2х, то из второго
сходной системы следует, что
5^ = 5^
х = 2, у = 4.
182
СИСТЕМЫ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ уравнений и неравенств » отяртн
Если у
= -2х, ТО = !. 1 У = 4- Таким образом
систе
«ч
имеет три решения: (0; 0) (2, 4), ( 2’ 4)‘
1.62. (0; 0). (-2; '4). (2; 4 •
1.63. (0; 0). (4; 2), (4;-2).
1.64. (0; 0), (4; -2), (4; 2).
1.65. (-1; 2; 3).
Решение. Если хуг Ф 0, то исходная система равносильна слеп
шей (xyz = -§(1 + z), ^°’
хуг = -2(1 + у),
xyz = 2(х — 2).
Выразим из этой системы z и у через х. Получим
у = 1-х, z = i(5-4x).
Подставив найденные значения у и z в третье уравнение системы
получим
4х3 - 9х2 - х + 12 = 0 или (х + 1)(4х2 - 13х + 12) = 0,
откуда х = -1, у = 2, г = 3.
Уравнение 4х2 - 13х + 12 = 0 не имеет действительных корней.
1.66. (3; 2; -1).
1.67. (2; —1; 3).
1.68. (—1; 3; 2).
1.69. (-1; 2), (3; -§).
Решение. Пусть 2х + Зу = и, ху + 6 = v. Тогда левая часть первого
уравнения системы равна и + v — 6, а левую часть второго уравнение
можно преобразовать так:
ху(2х + Зу) + 6(2х + Зу) = (2х + Зу)(ху + 6).
Получаем систему уравнений
(и + v = 8,
(т> = 16,
откуда находим u = v ~ 4, т. е.
|2х + 3у = 4,
\ху = -2.
шсе
Исключая из системы х, получаем уравнение Зу2 - 4у - 4 = иМб
корни ух = 2, у2 = а затем находим xi = —1, хг = 3.
1.70. (-1; 1), (3; -$).
1.71. (-§; 2), (§; _}).
| |1ГТСМК1 АЛГЕБРАИЧЕСКИХ уравнений и НЕРАВЕНСТВ « ОТВЕТЫ
183
J.TS. 'т*7*) •
н
7V3
(1)
решение. Вычитая из первого уравнения, умноженного на 2 ВТп.
„пе уравнение, умноженное на у, где уф 0, получаем уравнение
^ 3 у2 = 2х4 + 5 х2у,
которое можно преобразовать к виду
(2х2 - у)(х2 + 3у) = 0.
уравнение (2) можно получить, решая уравнение (1) как квадратичное
относительно х .
Система, состоящая из уравнения (2) и второго уравнения исходной
системы, равносильна исходной системе.
Если 2х2 - у = 0, то х2 = \ и из второго уравнения исходной си¬
стемы находим Ц = 2*, откуда следует, что х - \уг, х2 = Щу4. Итак,
г2 = 2 = Тб^2’ 0ТКУДа У3 = 35 • Это уравнение имеет единственный дей¬
ствительный корень J/1 = , и тогда xi = у/% =
Если I2 = ~3у, то из второго уравнения исходной системы найдем
У=7 + 15у. т.е. х = —7у2, откуда х2 = 49у4. Итак, х2 = -3у = 49у4,
откуда у = — 5д, так как уф 0. Это уравнение имеет единственный дей¬
ствительный корень 2/2 = — и тогда х2 = ~7У2 = "7173
1.74. (2-2/3; 2'1/3), (-2 • 11“2/3; 11-1/3).
1.75. (З-1/3
1.76. (2-2/3
-3'2/3)| G; §)•
-2~1/3), (-4-47-2/3; -47-1/3).
177- (4; 5), (~1±УЩ
п \ ^ , 33 / *
Решение.
з) Пусть j ч Л
^писать в виде ' х У •> Т0ГДа первое уравнение системы можно
х(х + у) + \/х(х + у) = 42.
*°р»и <, = 'х —7Т П0ЛУчаем Уравнение t2 -f-1 — 42 = 0, имеющее
дельно, t =1 ft2 ' *ак как / ^ 0. то f2— посторонний корень. Следо-
• т-е- Vx(x + у) = б, откуда х(х + у) = 36, т. е.
Из Уо ху = 36-х2. (1)
?j ^Равнения Ml
"20=so « И ВТ0Р0Г0 уравнения исходной системы получаем
8НеНия (1) нлиТКУДа х~* и х = “5. Так как х>0, то х = 4 и из
к ^ Пусть х из второго уравнения системы находим у = 5.
'Х + У<°> тогда уДх+~у)* = -(* + у), и первое урав-
*1 У). Эт Истемы можно записать в виде t2 - t = 42, где t —
0 Уравнение имеет корни 7 и —6, из которых второй
184
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
* 0ГВЕТЫ
посторонним (t ^ 0). Итак, у/х(х + у) = 7, х(т + .
сюда и из второго уравнения исходной системы получаем **49' 0Г.
0 ■ - о<1 _ П ....Ot^ifioo u-nnuu —. ИЗ KOTfinklV тп„ ... УРЭВНеЧкр
является
х2 + х _ зз = о, имеющее корни
_ -1+уТзз удовлетворяет условию х < 0. В этом случае у. *
из которых только корень"^'
= 1 -
, 32(%/Ш-1) _ 41-8У133
= 1 132 “ яа
*Г:
зз
1.78. (9; 5), ^2 - \/б2, 2Ы~^).
1.79. (5; 4), (1Ь§УШ,-1±УШ).
1.80. (5; 9), )■
1.81. (-S; S), (4; -3), (-§; -$).
Решение. Первое уравнение можно записать в виде
(х — у + 6)(х + 2у + 2) = 0.
Эту запись уравнения можно получить, либо разложив левую часть щ
множители (методом группировки слагаемых), либо решив первое ура-
нение как квадратное относительно х. Отсюда следует, что исходна
система равносильна совокупности двух систем:
Гх-у + 6 = 0, (х + 2у + 2 = О,
\х2 - у2 = 7, \х2 - у2 = 7.
Первая из этих систем равносильна системе
Гх - у = -6,
\х + у = ~1,
имеющей решение х = - у = Щ.
Из второй системы имеем х = -2у - 2, 4(у2 + 2у + 1) - У2 ~7 И,1И
Зу2 + 8у - 3 = 0, откуда у = ^±УНН, У1 = -3, у2 = \, и тогда •
Итак, система имеет три решения: (—у§; у§), (4; -3), (~з' зг
1.82. (3; 2), (-1; -§), (-V; £).
1.83. (-3; 4), (1; -|). (g; -g).
1.84. (2; 3). (-§; -{). ft; -f).
1.85. (4; —3).
Решение. Запишем первое уравнение системы в виде
у(х — 8)2 + у2 + у/х2 + (у + б)2 =
= 1U.
(1) “ сумма расстояний от точки М(х; у) ДО т 0*К. ^
(О, 6), а расстояние между точками А и В равно 10. ОтсЮД2
(|1ГТ.ш,1 АЛГЕБРАИЧЕСКИХ уравнений и НЕРАВЕНСТВ » ОТВЕТЫ
185
м точка М не принадлежит прямой АВ, то левая часть (1) боль-
что йеоавенство треугольника), а если точка М принадлежит этой
ше 1 - т0Рравенство (1) является верным только для точек отрезка АВ
"^Запишем уравнение прямой АВ в виде
^ = 1 или 4у = Зх — 24. (2)
множество точек отрезка АВ задается уравнением (2) и условием
Тогда
О < х < 8.
Из (2) и второго уравнения исходной системы получаем уравнение
10х2 - (Зх ~ 24)2 = 16 или х2 + 16 « 9х - 16 • 37 = О,
(3)
откуда х = -72 ± v/722 + 16-37 = -72 ± 76.
Условию (3) удовлетворяет х = 4, а из (2) находим у = -3.
1.86. (—§; 2).
1.87. (—3; 4).
1.88. (2; —§)-
1.89. (0; 0; 0), (1; -2; -1), -*»#;);
/'/37-4-17. у/37-1.
{ 6 1 3 * 6 ')
Решение. Сложив уравнения системы, получим 0 = 2y-4z, откуда
У = 2 z. (1)
Сложив первое и третье уравнения системы, находим г2 - у2 =
= -x + 5y-8z, откуда с учетом (1) получаем
х = 3z2 + 2z. (2)
Уравнения (1) и (2) вместе с третьим уравнением образуют систему,
равносильную исходной. Подставляя х из (2) и у из (1) в третье уравне-
чие, получаем
z2 - z2(3z + 2)2 = —9z2 - 9z. (3)
Jf" z = 0, то из (1) и (2) находим х = у = 0. Если z^O, то из (3)
Дует, что z - z(9z2 + 12z + 4) = -9z - 9, или
3z3 + 4z2 - 2z - 3 = 0. (4)
аоватк ^ имеет корень z = —1, и это уравнение можно преобра-
*0 к ЗК 3 2 "^z2) + z2 + z~3(z + l) = 0, откуда (z + l)(3z2+z-3) =
°Рнями этого уравнения являются числа -1, и Зе_1-
Ьсли г = -с1±Уз7
6—• то из (2) находим
!3гг
+ z-'3 + z + 3 = 2 + 3 =
17 - у/37
1 = 2 г = —
1 + ^37
Нели г = Уз7-1 ,
'Xi-i,TOX = Z + 3 = ^lI,y =
/37-1
3 •
186
СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ > ОТВГтч
У
1.90. (0; 0; 0). (-1; -1; -2), -!±р
(N/37+17. %/37-1. >/57-Л
^ 6 * 6 * 3 у
1.91. (0; 0; 0), (1; 2; -1), -*±^2);
( s/37+17. l-y/37. л/37-Л
^ 3*3*6 ^
1.92. (0; 0; 0), (-2; 1; -1), (-i±^;iZ^37;
/у/37-l. ^/37±17. у^7~Л
\ 3 > 6 ’ 6 )•
1-93. (-*; -А).
Решение. Если система имеет решения, то должны выполнятьс
условия я
f+2x>0, (1) 1 + fy^O, (2) 9х2 — у2 ^ 0. (3)
При выполнении условий (1) и (3) первое уравнение системы равно¬
сильно каждому из уравнений
4х2 + у/9х2 — у2 = 4х2 + Зх + (|)2,
9х2-у2 = 9х2 + 6хф2 + (|)\
6* = -(5У)2- И-
(4)
Второе уравнение системы при условии (2) равносильно каждому из
уравнений
15
16
+ 6х- §у = 1 + §у + (§у) ,
6х= (!з/)2 + 4у+ те-
Из (4) и (5), полагая z = |у, получаем уравнение
2z2 + 3z + - = 0 или 16z2 + 24z + 5 = 0.
8
(5)
а
Это уравнение имеет корни z\ = — Z2 = —\, и тогда yi^'i®'
^2 Те- г, то
Если у = —то не выполняется условие (2), а если у —"16'
1 + fy > 0, а из (4) получаем
6х = -—- —= -5 =- —
16 16 ~ * ~~
Пара чисел х = -^, у = _А удовлетворяет условиям О)"^)
этому -^) — решение исходной системы. 2< 6. §).
1-94. (0; 0; 0), (1; 0; 0). (0; 1; 0), (0; 0; 1). (2; 2; 2), ("т:
"7 ш е и и е. Вычитая яочлянно из первого уравв„„
НЛН (х-У)(2х + 2у + г-2)^о.
Аналогично, вычитая из второго уравнения трет^ , W
при этом уравнение в виде н тье* впишем получаемое
(У ~ г)(1у + 2z + х - 2) — о
Присоединяя к уравнениям (1) и (2) одно из уравнений „ ^
например, третье, Уравнений исходной системы
2г = ху + 2г,
получаем систему равносильную исходной системе (3)
Система (1)-(3) равносильна совокупности™!'
стем ^ ности следующих четырех си-
О
II
р>
1
и
н
1
II
о
< у - z = 0,
(4) «
2у + 2z + х - 2 = 0,
(5)
I2z2 = ху + 2 z;
, 2z2 = ху + 2z;
2х + 2у + z — 2 = 0,
(2x + 2y + z-2 = 0,
y-z = 0,
(6)
< 2у + 2z + х — 2 = 0,
(7)
,2л2 = ху + 2z;
|.2z2 — ху + 2z = 0.
Система (4) имеет решения (0; 0; 0) и (2, 2, 2)- __ _ г) и „од-
Из первых двух уравнении системы (5) _ . _ 2 = о, име-
ставляем в третье уравнение. Получим уравнени
идее корни 1 и __ _ $
Если г = 1, то х = у = 0, а если г = -у. то х — У — г g _2\
Следовательно, система (5) имеет решения (0, 0, ) и г^т ^
Аналогично находим решения системы (6). (1> ^ и_ г^у1 |х,
Из первых двух уравнений системы (7) следует, что ^ ^ откуда
* тогда третье уравнение этой системы принимает ви
в 7‘ (й- й- --V
Этом случае система имеет два решения: (0; 1, ) и v?’ т' 7
1-95. __з\ в вч
(Л <М; 0; 0), № 1; 0), № * «• <-* * 2>’ ^
, j.
1вя , ’ 16'■ и /1.1.1) (-4; 7> 7J’
з,(";а°!°). (4: 0; 0). (0;4;0). (0; 0; 4). (U. ^ 1
7> т), (2. 3. 1\
1-вв. «:7з\71 "7)-
Va. I).
Bfl СИСТЕМЬ1 ^ГР.БРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
1.100. (0; 0; 0), {\\ 0; о), (0; 0),
Ч; -М). № * »• № -«■
* ш п. -О- -31.
ний системы
1.Ю1. (1; -2; -3).
Решение. Умножим обе части первого, второго и третьего vn,
мы соответственно на х - у, у + z и — х — г. Получим сисп!!?
[х4-у4 = 5(у-х),
у4 - г4 = 13(у + х),
1г4 — х4 = —40(х + г),
систему
О)
откуда
равносильную исходной системе, так как значения х, у, z, при котори»
выполняется хотя бы одно из равенств х = у, y = -z, г = ~х, Не JJ.
влетворяют исходной системе. Сложив почленно уравнения системы (1)
получим 18у - 45х — 27z = 0, откуда
2у = 5х + 3z. ^2)
Пусть * = и, | = V, тогда уравнение (2) примет вид
u=i(2u-5). (3)
Разделив почленно первое и третье уравнения исходной системы, по-
ЛУЧИМ (х + у)(х2 + у2) = _ 1
(х — х)(х2 4- х2) 8 ’
(■+;)(■+£) 1
(*-f)(‘+S) 8’
8(u + l)(u2 + 1) = (и — l)(v2 + 1),
Исключая v из системы (3), (4), находим
8(u3 + u2 + u + 1) = (§и - §) ($(2u - 5)2 + 1).
откуда получаем уравнение
52ti3 + 72и2 - Зи + 122 = 0,
имеющее корень и = -2.
Учитывая это, преобразуем уравнение (5):
52(u3 + 2u2) - 32(и2 + 2и) + 61 (и + 2) = 0,
(и + 2)(52и2 - 32и + 61) = 0.
Ш как уравнение 52»’ - 32» + 61 = 0 не имеет действите«в“» ^0-
Тлгпа uwji ^ единственный действительный корень ура
Тогда из (3) следует, что v = -3, т. е. у = -2х г = -Зх. ппЛ^
уравнТниеВЛЯЯ у и х во ВТ0Р°е уравнение исходной системы,
х • 13х2 = 13, I3 = !,
(О
(5)
^ГТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРДВЕНГти . отты
„евшее единственный действительный корень х = 1, и тогда у=~2х =
!!“: й 3 -V
1105. (3; 4). (3; -4), (-1; 2^6), (-1; -2^).
решение. Перемножая почленно уравнения исходной системы, по¬
лучаем
у2 -х2 = у2 - 2х2 + 2х + 3 или х2 - 2х - 3 = 0.
Это уравнение, имеющее корни х\ = 3 и хг = —1, является следствием
системы. Если х = xi = 3, то из первого уравнения системы находим
у/гГ- у2 = 3 или 25 - у2 = 9, у = ±4. Найденные пары чисел (3; 4) и
(3; -4) удовлетворяют второму уравнению системы. Если х = -1, то из
первого уравнения системы находим
у/25 - у2 = ч/24 - 1 = 2ч/б - 1, 25-у2 = 25- 4^,
у2 = 4 ч/б, у2 = ±2^6.
Обе пары чисел (—1; 2^6) и (—1; —2\/Ь) удовлетворяют второму урав¬
нению системы.
1.106. (3; 4), (3; -4), (-1; 2чДУб - 12), (-1; -2х/тТб^12).
1.107. (4; 3), (-4; 3), (2^6; -1), (-2^6; -1).
1.108. (4; 3), (-4; 3), {2у/ъТ^2\ -1), (-2чЛ\/б - 12; -1).
1Ю9. (—1; 0), (i=*S;0). (^Й=8;
Решение. Возводя в квадрат обе части первого уравнения, полу¬
чаем!2 -2у = 9у2 — 6ху + х2, откуда у(9у - 6х + 2) = 0.
а) Если у = 0, то из второго уравнения следует, что
х3 — 2х — 1 = 0,
х3 -I- х2 — (х2 + х) — (х + 1) = 0,
(х + 1)(х2 — х — 1) = 0, х = —1,
х =
1 + ч/б
X =
1 - у/ъ
Пары чисел (-1; о) и f 1~2>/^; о) — решения системы, a "
иенияР°ННее решение> так как ПРИ х ~ ^2^ пРавая часть первого ура
J E«"W?-te + 2 = 0, то » » ^ор°™ДаГГо"
*Ует' Что тг (ix2 - Ах + -4-) -I- х3 = 2х + 1 или х
81 /
*(г2
+ ~ 8) = о, откуда хо = 0, xi — _ 9 г *12
/Пз-9
2
190
rur.TRMbl алгебраических уравнений и неравенств » ОТВЕТЫ
Пара чисел (0; -|) не удовлетворяет первому уравнению.
т = ТО 3vi -Xl =*1 " 3 <0 И V1!'» 2/l) — Посте
Если X = хь то 3yi - XI = XI - f < U ^v*i\yii~ постороннее ре.
шение. а если х = х2. то Зу2 - х2 = х2 - 5 § > 0, так Ка»
1017 > 961 Следовательно. (х2; у2) - решение системы. как
/ , л\ /1-у/Ь.п\ (%/ПЗ—9. ЗуТГЗ—29\
1.110. (-1; 0), 3 /'
1.111. (о
-1). (О; J^).
1.112. (0; -1). (О; (ЬДН=2;^).
1.113. (0; -1). {Д Д), (-\/2; -Д).
Решение. Возводя в квадрат обе части первого уравнения системы
у2 - ^ = х2 - 2ху + у2 или х (х — 2у + 2J = 0.
а) Если х = 0, то из второго уравнения следует, что
у2 —\ + 1 = 0»
у
откуда, полагая у2 = t, получаем
f2 + t-2 = 0, t\ = —2, t2 = 1.
Так как t > 0, то t = у2 = 1, откуда yi = 1, у2 = —1.
Пара чисел (0; 1) не удовлетворяет первому уравнению системы,
а (0; -1) — решение исходной системы.
б) Если х-2у+р=о, т.е. х = 2у-^, то из второго уравне¬
ния следует, что 4^у2 - 2 + ^ = у2 + 1 или у2 + -р - 3 = О,
*2-3t + 2 = 0, где t = у2. Отсюда находим ii = 1, t2 = 2, т.е. у2 = 1.
у2 = 2.
Если у = 1 или у = —1, то х = 2у — ^ = 0. Пары чисел (0; 1) и (0; -1)
были получены выше.
Если у=±у/2, тох = ±\/2. Обе пары чисел (v^, Д) и (—■Д, —Д) ~
решения системы.
1.114. (0;-1).
-2)> (-75; -2Д).
(-75: 75). (75; -75).
1.117. (-7;-14), (-4;-8). '
Решение. Перепишем первое уравнение системы в виде
4У2 ~ 05х - 12)у + (14х2 - 24х) = 0 _
и ре^им^его ка^вадратное уравнение относительно у. Получаем,
При У — 2х второе уравнение системы принимает вид
>/х2 + 12х + 36 + yjx1 + 8х + 32 = 6
1.115. (0
1.116. (0
( ||ГТС»ЛЫ алгебраических уравнений
= 6 - I* + 6|. Если х ^ -6. то получаем уравнение
9гГз2 = -х. решая которое, находим, что х = -4. Если г ^ Т
qaeM уравнение \Jx2 + 8х + 32 = 12 + 1, откуда х = -7
- Пр'у = (7х - 12)/4 второе уравнение системы принимает вид
б + у/х2 + 8х + 32 = 6 +> X2 + 8х + 32 = 0.
г -.япяательно, в этом случае решений нет.
^118 (-12/5; -36/5). (-8; -24).
Uie.' (35; 7); (И; И/5).
1120. (-14; 7); (-6; 3).
1.121. (1; 1), (-1; —1)> (3; -1). (-3; 1).
Решение. Вычитая из первого уравнения системы, умноженного на
три, второе уравнение, умноженное на два, получаем ^ + =&* + 22 =
= 0. Обозначим * = t. Тогда уравнение принимает вид lit - & + 22 = 0,
откуда находим, что t = 1 или t = -3.
Если t -1, то х = у, и из первого уравнения системы следует, что
5-9+10= откуда у = ±1. Получаем два решения системы: пары
чисел (1; 1), (-1; -1).
Если t = -3, то х = —3у, —15 + 3 + 10 = -^, откуда следует, что
у=±1. Получаем два решения: (3; -1), (—3; 1).
1.122. (1; 1), (-1; -1), (Ш; if), (-Ш; -Ш).
1.123. (2; -1), (-2; 1), -3^), (-^; Зу^).
П24. (2; 1), (-2; -1), (1/2; 1), (-1/2; -1).
1125. (1; -1), (2; -1/2).
Решен и е. Первое уравнение можно переписать в виде
(х - 2у)2 - 2(х - 2у) - 3 = 0,
^УДа следует, что х - 2у = 3 или х - 2у = -1. Если х - 2у = -1. то
Моренное выражение во втором уравнении отрицательно и система
имеет решений. Если х — 2у = 3, то второе уравнение принимает вид
РeLu (2j/ + 3)’ °™УДа У = -1 или у = -1/2. В итоге получаем два
11; rffif2)'
i'!*- (2; -2);(_i; _2): (-4-2V6; -8-4V^): H+2A-8+W6).
нне- Вычитая из первого уравнения второе уравнение^уыно
Если J Ь п°ЛУчае" 2*2 + «V - У2 = ". '» “ f £"J16, откуда
*^2, у Z. х> то из первого уравнения следует, что i
И ^ ^х> то первое уравнение системы принимает вид
2х3 + 18х2 - 16 = 0,
^^алгебраических УРАВНЕНИЙ и НЕРАВЕНСТВ » 0ТВЕТК1_
ТРИ решен.
192 СИСТЕМЫ Ajii
лткула х = -1 или х = -4±2\/б. В итоге получаем
(-1- -2), (-4-2%/§; -8-4\/б). (-4 + 2>/б; —8 + 4\/б).
1.130. (1; -1). (-2; *); (-v/5~i;
1.131. (-2; -2), (1; -2); (4 + 2v/6; -8-4>/б); (4-2^; ^8+
1.132. (l; l), (-2; -1); (-i~V5; (-l + v'S;
2 СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
„ (4; ! +
*' Складывая первое неравенство со вторым, умно-
р е ш е н и е‘ находим х2 - бху + 9у2 + 6(х - Зу) + 9 < О, или
#енным HJ2 <’« откуда * - Зу + 3 = 0. Подставляя х = Зу - 3 в ис-
((*'3у)истем^ получаем систему неравенств
f9y2 - 18у + 9 + 9у2 - 18у ^ О,
G
которую
бу - б + 3 - 2(3у - 3)у < О,
можно записать в виде
{
2у2 - 4у + 1 ^ О,
2у2 - 4у + 1 > О,
откуда
{■
следует, что 2у2 — 4у + 1 = 0. Решив систему уравнений
х = Зу — 3,
2у2 -4у + 1=0,
найдем два ее решения, которые являются решениями исходной системы
неравенств.
2.2. (^2; 1 — -4/2); l + v/5).
23- (_1 + 72’ (-1 ~ 72’^)■
2.4. (-1 -(- ^/2; -3\/2); (-1 - n/2; 3%/2).
3. алгебраические уравнения
3.1. Ц = 4, 12 " 2
3 2. I-9- получаем уравнение |t + 2U
решение. Полагая *
V 1| = 7. откуда *1 -п% I 4 = о. Это уравнение не имеет действ*
+ 1* 1 f 4 то х ~ 2V1 +
Если t -
тельных «Чили. ^ __ 3 в О, откуда х = 9.
ЕМ1 0А = ¥',)'1
3.3. XI = О, Х2 2
3.4. I = 16-
3.5. хг = ‘"6>12 " ' П/Г+Ъх -8, тогда 2х2 + 4х - 23 = 2t2 -7,
Решение. Пусть — _е
и уравнение можно записать в виде
v^ry=(+1.
Возводя обе част полученного уравнения . я
ГРа“««ния в квадрат, имеем
“ -7 = (2 + 2*+1, „ли **_2(_s_n
откуда (,=-2, <2=4 8-°.
Так как (>0, то yST+UTTo _2
“ корнямит.не4„:„°’
?!• ii=-3,i2=9;
3.8. х, = -е, х2 = ю.
39
Решение.
J) Если х<-i т„
-^jro уравнение примет вид
5v 1 +х2 — 1—й_с /—
В этом случае уравнение 5n/x2 = 6 - 5i, -5х = 6-5х.
2) Если "Т^шен»й-
+ 25л2. 25л2 - зох 1 г=7= 6 ~ 5л, 25(2 - л2) = 35 - «**
гворяет условию х€( ,37 )(5х ~7) = 0. Корень *, = ул«*
условию. *’ 5J. а корень *2 = J не удовлетворяет этому
12 = -1. Условию"* € = 5*. 25(2 - *2) = 25х2, х2 = I« ^
4) Вели х> j т с5/-? Удовлетворяет только корень х\-
ЗН3^Я г> 1. Х ~^х- Этому уравнению удовлетворяю*все
з» *
312-
4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
,i ,<-2, 3<z<5, х>7.
а. *<-4.1<*<3,*>5.
решение. Исходное неравенство равносильно неравенству
4 — 2х 4- у/х2 + 3z — 4
1 — 3
<0,
(1)
неравенств:
у/х2 + Зх - 4<2х - 4,
х > 3,
(2)
л/х5 + Зх — 4 > 2х - 4,
х<3.
(3)
Множество допустимых значе¬
ний х для систем (2) и (3) опре¬
деляется условием х2 + Зх — 4 ^ О,
откуда х^-4, х^1.
а) При х>3 обе части первого
неравенства системы (2) положи¬
тельны, а система (2) равносильна
каждой из систем
h2 + За; - 4 < 4(х — 2)2,
\х>3,
|(х-5) (х- ±)>0,
1*>3,
откуда следует, что х > 5.
б) Системе (3) удовлетворя-
т значения х^-4, так как при
\-4 левая часть первого нера-
стаз системы (3) определена и н
Ч Значение а ....
Система7гтЯ Х И3 отРезка I1» 2] удовлетворяют системе ,
) равносильна каждой из систем
■2)2, Г(1-5)(х-|)<0,
\2<х<3,
/я2 + Зх - 4<4(х
\2<х<3,
WuV aHHe- Системы "(2) и (3) можно решить, построив графики
ЦпИ 7/ s О». Л /А" Л "7 /... >М1Л \
^ n v‘ \&) и yoj mu/suiw pv—
4'3. ^ 4 и У = х/^+ £с - 4 (см. рис.).
^ ^ 1 о * — '
196
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА » ОТВЕТЫ
4.4. х<-4, 6<х<10, х>14.
4.5. Х<1*=Ш,Х>4.
4.6. х<^°У?, Х>3
4.7. х <-4, i>
4
4.8.
х<-3,х>2^.
Решение. Так как уравнение Зх2 + 8х - 3 = 0 имеет kod
= -3, Х2 = §, то область Е допустимых значений неравенства™** **%
купность интервалов Е, = ( ~ Сов°-
*-а.+~).
Решить данное неравенство -
это
значит найти все значения
при которых график функции у~
= \/Зх2 + 8х - 3 лежит выше прямой
у = (см. рис.). Значения хеЕ,
является решением неравенства, так
как \/Зх2 + 8х - 3^0 при х<-3, а
<0 при х<-3.
Пусть х^\, тогда \/Зх2 + 8х — 3^0, ^^^>0 и исходное нера¬
венство равносильно каждому из неравенств Зх2 + 8х — 3 > (Цр)\
23х2 + 68х - 28 >0. Уравнение 23х2 + 68х - 28 = О имеет корни xi и х2,
где xi = - 34+зоУг <о, х2 = . х2 > з-
Поэтому решениями исходного неравенства на множестве Ег являют¬
ся все точки интервала (х2,+оо).
4.9. 0^х< |, х = -у, 4<х^5.
Решение. ОДЗ неравенства определяется условиями
Зх3 — 22х2 + 40 = Зх (х — -у) (х — 4) > 0, х ф 4,
откуда 0<х^-у, х>4.
Обозначим /(х) = 3 (х - ^) (х - 4). w
а) Пусть х>4, тогда /(х)>0. В этом случае исходное неравен
равносильно каждому из следующих неравенств
\/х/(х)>/(х), у/х^у/Лх), х >/(*),
Зх2 - 23х + 40 = 3 (х - |) (х - 5) <0,
откуда, учитывая условие х > 4, получаем 4 < х < 5. енСтв°
б) Пусть 0^х< тогда х - 4<0, /(х)^0 и исходное неР^я ре¬
равносильно неравенству y/xf(x)^f(x). Значение х = т яВ венств°
шением этого неравенства, а если 0<х<-у, то /(х)>0 и неР
примет вид
Зх2 — 23х + 40 = 3 (х — |) (х — 5) ^ О,
откуда, с учетом условия 0^х<^, получаем О^х^з-
алгебраические НЕРАВЕНСТВА « ОТВЕТЫ
<4, 1 = 5, 6<х< у.
I'll.
12 0^Х^'Х — 2 <х^9.
413 -2^х<'2 —%/2, з<х^З.
ревеняе Так как неравенство |/(х)|> \g(x)\ равносильно каждому
неравенств /(*)>£ (х)> (f(x)+g(x))(f(x)-g(х))>0, то исходное
^равенство равносильно системе неравенств дное
Г —х2 + х + 6>0,
|(2х2 — 8х + 4)(—6х+ 8)>0. М
Квадратный трехчлен -х2 + х + 6 имеет корни -2 и 3, корнями
квадратного трехчлена х2 - Ах+ 2 являются числа хх = 2 - у/2 и х2 =
г2 + \/2. а система (1) равносильна системе
Г 0е + 2)(х — 3) <0, (2)
\(x-xi)(x-|)(х-х2)<0, (3)
где-2<X1<5<3<X2 (см. рис.).
Множество Ei решений неравенства (2) — отрезок -2^х^3. Мно¬
жество Еч решений неравенства (3), определяемое методом интервалов,
является объединением интервалов x<xi и | <х<х2, а множество ре¬
шений системы (2), (3) — пересечение множеств Е\ и Ег (см. рис.).
4.14. Кх<2, 2 + \/3<х<6.
415. -5^х<-2-V2,-|<х<-1.
416. -3^х<—2, —2 + \/3<х<1.
о *14/3
К задаче 4.13
3 х2 х
-2 -1 2
К задаче 4.17
J17- х<—2, х = —1, х>3.
е ш е н и е. Область Е допустимых значений неравенства опреде-
^Условиями х2 - X - 2 = (х - 2)(х + 1)5*0 и yjx2 - х -2 ф2,т.е.
^еДИНение промежутков х<-2, —2<х<-1, 2^х<3, х> •
-2 н з ^ ~~ внешность интервала (-1,2) с выброшенными то
СМ0ТРИМ два возможных случая:
2- \/х2 — х — 2<0 и 2- у/х2~х-2>°-
)Пусть2-ч/^!_х_2<()) т е
2< л/х2 — х — 2.
(1)
198
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • ОТВЕТЫ
На множестве Е неравенство (1) равносильно каждому из и ' —
4 <I2 — х — 2, (х + 2)(х — 3) > 0. Поэтому числа из промежутк?386^*
и х > 3 — решения исходного неравенства, так как левая часть и
неравенства отрицательна при условии (1), а правая положител*°ДНого
ROPY Т Прц
(2)
Решений
всех х.
б) Пусть
2> у/х2 — х — 2.
Множество Ei решений неравенства (2) — это множество
системы
{
х2 — х — 2 ^ О,
4>х2 — х — 2.
Следовательно, Ех — объединение промежутков (-2,1] и [2,3). На
жестве Е\ исходное неравенство равносильно каждому из неоавенг°
2 — у/х2 —х — 2 > у/х2 + 3 , ТВ
2 — у/х2 + 3 ^ у/х2 — х — 2.
(3)
На множестве Ех левая часть (3) отрицательна при х Ф -1 и равна
нулю при х = —1. Правая часть (3) положительна при х е Е\, х Ф -1 и
равна нулю при х = —1. Следовательно, х = —1 — единственное решение
исходного неравенства при выполнении условия (2).
4.18. х<—1, х = 0, х>4.
4.19. х< —4, х = — 2, х>6.
4.20. х<—4, х = —3, х> 1.
4.21. хС-3,-2<х<^Ь^Ы.
Решение. Область допустимых значений неравенства определяется
условием х2 + 5х + 6 ^ 0, откуда
х<—3, х ^ —2. ^
На множестве (1) исходное неравенство равносильно каждому из нерз
венств
х2 + 5х + 6 < 1 4- 2у/х2 + х + 1 + х2 + х + 1,
, (2)
2(х + 1)<уя2+х + 1.
/п\ являет1"
Если х<-1 и выполняются условия (1), то неравенство W ^
верным, и поэтому значения х из промежутков х^—3 и —2^
решения исходного неравенства. иЯ (!).т,г‘
Если левая часть (2) положительна и выполняются УсЛ0*
х>—1, то неравенство (2) равносильно каждому из неравен
4(х2 + 2х + 1) < х2 + х + 1,
Зх2 + 7х + 3 < 0.
(3)
алгебраические неравенства • ОТВЕТЫ
КЭК У г— г**'» ^
Ta-l+jfi2, где х2>-1. то решения неравенства (3) уловл*™
= Условию х > -1. Образуют интервал -1 < * < *_ W’ УДОВЛетв°-
РГИ!У1г_3.-1<х<-^
4.22. х^"3.
4.23. <*<2, *^3.
4.24. х^З.
4.25. -18<х<-3, 0<х<2, х>9.
Решение. Так как х2 + 9х - 162 = (х + \aw
венства - совокупность двух промежутков -18 <ЙД9)* Т0 °ДЗ нера-
») Если "18<х<~9 или х> 9, то левая часть'J^9’
и неотрицательна, а правая отрицательна Позт!! °ДНОго "еравен-
„ня! являются решениями исходного неоавенгт^ и указанные значе-
является решением этого неравенства, а чиш 1 = '9пп«
не есть решение
ства
ння
неравенства.
б) Пусть -9 < х < 0, тогда исходное неравенство равносильно каждому
нз неравенств х2+^~162 > (х + 9)2, х2 + 9х -162 > (х2 + 18х + 81)(х -
-2), х3 + 15х2 + 36х > 0, х(х + 12)(х + 3) > 0, откуда, с учетом условия
-9<х<0, находим -9<х<—3.
в) Пусть 0 < х < 2, тогда исходное неравенство равносильно каждо¬
му из неравенств > (9 — х), > V9 - х, >9 -х,
х2 — 12х<0. откуда, с учетом условия 0<х<2, получаем 0<х<2.
4.26. х<-10, —5/2<х<0, 5/2<х<25.
4.27. -45^х< —5, 0<х<3, х>15.
4.28. х<-9, —3/2<х<0, 9/2<х^27/2.
4.29. -4-V6<x<-|, -3<х<=^^, 5^х<7.
Решение. Область определения неравенства — множество Е точек
^удовлетворяющих условиям
1 4х 5^°» Vx2 - 4х - 5 ф 4, |х + 2|^-.
2
^>5), кРоме точТ° ^ Т множество точек, расположенных вне интервала
На Рисунке Ч6К ~2’ ~3,
Беловой прЯМойУ^3'Ны знаки левой части исходного неравенства (над
х) и правой части (под прямой Ох).
+ I —
{ t
+ г! {3 J1 о
I I I
I — I — I
— I
ччЧЧЧЧУ
+
I ij| I iVi*i1*iv4v ^
17 х
К задаче 4.29
200
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА « ОТВЕТЫ
1) Пусть х € [5,7), тогда левая часть неравенства отрицательна а
вая положительна. Поэтому значения х из промежутка [5,7) являю?'
решениями исходного неравенства. с*
2) Пусть х > 7, тогда обе части исходного неравенства положитель
и оно равносильно (при х>7) каждому из неравенств ЬНы-
у/х2 — 4х — 5 > 2х + 3, х2 — 4х — 5> (2х + З)2, Зх2 + 16х + 14
8«4-\/22 —-84-\/22
откуда х 1 <х<Х21 где ii = — 3—. *2 = 3 корни уравнения
Зх2 + 16х + 14 = 0, которое является следствием уравнения
у/х2 - 4х — 5 = 2х + 3.
(1)
Так как х2<7, то значения х>7 не являются решениями исходного нера¬
венства.
3) Пусты< -§, тогда |х + 2| = -х - 2, обе части исходного неравен¬
ства положительны, и при х<-| это неравенство равносильно каждому
из неравенств
у/х2 — 4х - 5 — 4> —2(х + 2) — 5, у/х2 — 4х — 5 > —2х - 5,
х2 — 4х — 5 = (—2х — 5)2, х2 + 8х + 10<0,
откуда хз <х<х4, где хз = — 4 - \/б, х4 = —4 + %/б — корни уравнения
х2 + 8х + 10 = 0, являющегося следствием уравнения
у/х2 — 4х — 5 = —2х — 5.
(2)
На промежутке х<— | исходному неравенству удовлетворяют значе¬
ния х е (х3, -§).
4) Пусть х€ 3), тогда левая часть неравенства положительна,
4 * ' f 9 нб
а правая отрицательна. Поэтому значения х из интервала (—з>
являются решениями исходного неравенства. и
5) Пусть х е (-3, -1]. Тогда обе части неравенства отрицательны,
поэтому исходное неравенство в этом случае равносильно неравенст у
\/х2 - 4х — 5 - 4>2|х + 2| —5.
Чтобы решить это неравенство, заменим его следующим равносиль
неравенством
ч/х^ — 4х — 5>2|х + 2| — 1,
(3)
левая часть которого неотрицательна, а правая меняет знак в
и -§•
точках
й ПГЕРАИЧЕСКИ£ НЕРАВЕНСТВА « ОТВЕТЫ
201
""рТ 5\ то обе части неравенства (3) положитель-
ИЛИ ^'2- (<*• П'3> На ЭТ0М ™теР““ »'Р=»№
, 01,0 pa,Ln откуда хз<х<х,. Так как -4-,/6<-з<-5<
11 1 l.AI+1U ’ _ С о. 5\ namouua UAnanaur-roa Пл...
«л г + 8*
СТвУ * *
, 1Л<0' откуд й 2
+ 8* + ения s е (_з; _|) - решения неравенства (3). Если
д т0 зна^евая часть (3) положительна, а правая отрицательна
-1)'™/ 31 „ пЛпашается в нуль на концах этого интервала.
/-4+ • -I _0 левая
еЙ’ '5*'/ s 3] и обращается в нуль на концах этого интервала.
>'РИ*«ИЯ ЛHi -II - Реше""я »еРменства f>- „
Поэтому значени неравенств0 (3) равносильно (см. п. 2) нера-
БСЛИ %\ ite + 14<0, откуда хх<х<х2. Так как -S±^S<-|<
***>£ +, то значения х е (-§; =*У®) - Р"1 "4““*™
»*<-*“ ^межутки' пмуча;г™ ’яяг иера‘
(3). Объед образуют интервал (дЗ, —) ■
кнства (3) ПРР ’ нахождеиия решений неравенства ©при
3Д% можно «снользовать графики функции *»V*-te-S
‘,!ЙМ - 1 («• Р"с )'
К задаче 4.29
точках ^ ^
Из рисунка видно, что эти графики пере^каютс _ На интервале
'«сцксами 13 и х2 (это корни уравнении W и i графИка функ¬
ции ^ гРафик функции у = v'x5’- ^^7/3^x2) - решениЯ неРавеН
ti**21* + 21-1. Поэтому значения х € (-3, хг)
w) на промежутке (—3; —1]- /г
«О- -в<*<-4, Я=Ш<х<А.. у<х<5 + '/6-
4.31 „я /г 317 1<*<3-
4,; ~8-V6<x<-f.-7<х<—
2 ~4<i<2, 5<Х<6, f<x<7 + >/6-
t ПГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА » ОТВЕТЫ
4.33.
Решение. Пусть Е - область определения неравенства. ТоГда р
множество решений системы неравенств
{
76- 12х3>0,
76- 12х3<81,
откуда следует, что Е= [-^ ^]- Так как 3> то На МН(^
стве Е исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
9 - л/76 - 12х3 < (3 - х)2,
х(6 - х) < \/76 - 12х3.
(1)
1) Значения хеЕ такие, что х(6 - х) ^ О, т. е. числа х € [- р, О
решения исходного неравенства, так как в этом случае левая часть нера¬
венства (1) неположительна, а правая принимает положительные зна¬
чения.
2) Пусть х е (о, , тогда неравенство (1) равносильно каждому
из неравенств х4 — 12х3 + 36х2 < 76 — 12х3, х4 + 36х2 — 76 = (х2 + 38)х
х (х2 - 2) < 0, х2 < 2, откуда 0 < х < %/2. Так как -ч/2 < то множество
решений неравенства (1) — интервал (0, у/2).
4.34. -^ix<s/2.
4.35. <К-^.
4.36.
4.37. —3^х<—2, —| <х < —1, 1 <х<2.
п о ' V знЗ'
Решение. Область определения неравенства — множество
чений х, удовлетворяющих условиям
х/1, х2 + х - 6 = (х — 2)(х + 3) ^ 0, \/б — х -^х2 Ф
Решив уравнение V6 — х — х2 = 2, находим его корни х —
из
_ v v — х — х- = i, находим ei и лирп" -
Отсюда следует, что множество Е - отрезок Г-3,2] с выброшенн*
него точками -2, -1,1 дНОе
а) Пусть х е [-3,1) и хф-2, тогда I* + 1| =*-х - 1. и ИС*
неравенство примет вид
б 3 фв — х —
> -
х2 + *
но1
алгебраические НЕРАВЕНСТВА • ОТВЕТЫ
Подага я1’"Г'“у
«и» »'Раквст8У
х2 + х = 4, получаем неравенство > _i
203
t • которое рав-
54 + 6 — 3 у/ё -1
6 - з v/6 -t
>0,
(1)
каК t=а:24-х € (0,6] при х€ [-3, -1). Обозначим qp(t) = 6-3N/6^I =
*5(2 - v^)' тогда <0 при 1 6 (°*2) и ЧР(0 >0 при 4 6 (2,6).
Пусть g(t) = bt + 6-3y/6=t, рассмотрим уравнение s(4) = 0, т.е
Я*1'""' 51 + 6 = ЗЛ=1.
Возводя обе части уравнения (2) в квадрат, получаем уравнение
2542 + 604 + 36 = 9(6 - 4)
или 2542 + 694 - 18 = 0. (3)
Уравнение (3), являющееся следствием уравнения (2), имеет корни
I, = 42 = -3, где 4i € (0, 6], а 42 $ (0,6]. Если 4 е (0, ^), то g{t) <
О, а если 4 6 (^,6], то </(4)>0. Итак, функции <р(4) и g(t) принимают
значения одного знака на промежутках (0, и (2,6] и значения разных
знаков на интервале (^,2). Поэтому множество решений неравенства
(1) - совокупность промежутков (0, и (2,6].
Если х 6 [-3, -1) и 4 6 (0, ^), т.е. 0<х2 + х<^, то х 6 (-§, -1),
а если х € [-3,-1] и 4 € (2, 6], т.е. 2<х2 + х<6, то -3<х<-2.
Итак, если х € [—3, —1], то множество решений исходного неравен¬
ства - совокупность промежутков [-3, -2) и (-§, -1).
б) Пусть -1<х^2и1^1. Тогда исходное неравенство равносильно
неравенству
5 1 t 1
6 — 3 \/б — х — я? х + 1 х + 2
(4)
равая часть неравенства (4) положительна при х> —1, а левая часть
знаиЦаТеЛЬНа ПРИ 1 € (—1) 1) и положительна при хб(1,2]. Поэтому
1с и* о? 1е(~1>1) не являются решениями неравенства (4). Пусть
*М- Обозначим /(X) = ezivfer?. М*) = = Ш ^ Так как
жГсяп”Я ^~х — х2 является убывающей на промежутке (1,2], то этим
ваЙШрйСТВ0М облаДает функция /(х). Функция h(x) также является убы-
ФуНк. На промежутке (1,2], этим же свойством обладает функция f(x).
этим также является убывающей на промежутке (1,2], так к
oil"'0" °бладают ФУ»1»»» ^ и
Да следует, что если х 6 (1,2], то
н По /(х)^/(2) —
Иерав1нств/(5)>S(l) ПрИ Х 6 (1,21*
$(x)<ff(l) = f>
т.е. значение хб (1,2] — решения
204
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • ОТВЕТЫ
4.38. —1<х<0, 2<х<у, 3<х^4.
4.39. —2^х<—1. 1<х<§. 2<х<3.
4.40. —4^х<—3, — 1<х< — |, 0<х<1.
4.41.
1<x<i2±^II.
Решение. Обозначим t = у/х, тогда t>0 и исходное неравен
примет вид —
• ^ —U-. t> о
‘-3
Область определения неравенства (1) — множество Е решений
мы неравенств
" >0, (2)
,2 _ 23
1 32
tz о,
Л Ф 4’
>ство
(1)
смете-
откуда Е = [0, U (*, ±] U +оо).
На множестве Е\ = [0, |), неравенство (1) не имеет решений, так как
при t € Е\ левая часть (2) неотрицательна, а правая — отрицательна.
Пусть f € Е2 = (£, 5] U [у/Щ, +оо), тогда неравенство (2) равно¬
сильно неравенству
(3)
,2 _ 23
1 32
(*-*Г
а) Если t G (£, |], то \~^t, §§>t2. и неравенство (3) равносильно
каждому из неравенств
(1 - 2t)(4« - 1)2<23 - 32t2, 16t3 - 32t2 + 5t + 11 >0,
{t - l)(16t2 - 16t - 11) ^0, (t - ti)(t - l)(t - t2) >0,
* /” ^4- У}!
где ti, t2 — корни уравнения 16t2 - 16t - 11 = 0, t\ = -"p5. *2 = 'T'
ti <0, t2> 1. я
Из (I) следует, что решениями неравенства (1) являются все зна
t € (i, i]. Но если то ^<х<
б) Если t^J|§, то неравенство (2) примет вид
(4)
(*-ti)(t-i)(t-t2)<o, ^
так как 23 — 32t2<0. Поэтому из (4) получаем l^t<t2> т-е- ^
откуда 1 < х < —
4.42. К1^15±|Л1.
4.43. \<х
алгебраические НЕРАВЕНСТВА » ОТВЕТЫ
-5у
32
4.44.
* *=#<*<2 ■
(1)
^ X -5S
4.45’ 2 Область допустимых значений неравенства определяется
решен*6-
и3 условия 4з.з + Зх2 + 4х + 3 = 4(х2 +1) (х + \) > О,
„_л т>-4. Если х>-§, то исходное неравенство рав-
„„ гпедует. что х 4 «
:т*»“еРа№иству /(.)<^«).
„ , _ ,J _ 3i + 21 = К*'-1)(* -2)1. SW = 5 - I21 + Ч-
Н равенство (1) сводится к квадратному на промежутках
х<-1/2, -1/2<*<1, 1<х<2, х^2.
дадим геометрическое решение, по;
графикй (СУИ+С6, tT-T/2,
у = /(х)иу = 9(*)- |4_2х, х> —1/2-
Эти графики имеют две общие точки:
точку А(х0, Уо). где х0 - корень Уравне¬
ния 2х + 6 = х2 — Зх + 2. т. е. уравнения
: — 5х + 4 = О
(2)
К задаче 4.45
такой, что хо<0, и точку В(2, 0). Из
уравнения (2) находим
5- %/41
хо = •
Решения неравенства (1) —
ВД отрезка (хо, 2]. Так как хо>—3/4 s—/ц >._з. 13>2\/41.
(это следует из равносильных неравенств г отрезка (хо, 2], яв"
169>164, то решения неравенства (1), т.е. числа из
ляются решениями исходного неравенства.
4-46. 2<x<2±^S.
4.47.
4-48.
4-49. х> 4= - 5- „рнства определяетсЯ
Решение. Область допустимых значении нера (1)
Пенями 8х3-6х + 2^0, (2)
(3)
2х + 3 > О,
х ф 2'
206
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА « ОТВЕТЫ
Неравенство (1) равносильно каждому из неравенств ^
8х3 - 8х + 2(х + 1)^0, (® + 1) (8х2 - 8х + 2) > о,
8(х + 1)(х-^)%0,
откуда х>-1. Поэтому из (2), (3) и условия ®>-1 следует, что On
исходного равенства — промежуток ®>-1 с выброшенной точкой 1/
Значения х G [-1; -1/2) - решения исходного неравенства, так '2'
его левая часть отрицательна при х € (-1; -1/2) и равна нулю при КЗК
= -1, а правая часть положительна при х € [—1; —1/2). Р i =
Пусть х>-1/2, тогда исходное неравенство равносильно каждому
неравенств ^Из
8х3 - 6х + 2*$ (4х2 + 4х + 1)(2х + 3), 20х2 + 20х + 1 >0.
Так как уравнение 20х2 + 20х + 1=0 имеет корни ц = -I _ i и
*2 = ~5 + где xi <-^, х2>-\> то на промежутке ®>-1 решения¬
ми исходного неравенства являются значения х>®2.
4.50. -|^х<-1,
4.51. -1^х<-1, х> 3VY~17.
4.52. -1<х<1, х>
4.53. -9/8*$х*$2.
Решение. Для нахождения ОДЗ исходного неравенства нужно
решить неравенство \j2x + | > —|, которое равносильно неравенству
2х + |^0, откуда ®^-§.
Значения х € [—|; 0] удовлетворяют исходному неравенству, а при
х > 0 оно равносильно неравенству
л Дх + - > х2 — -.
V 4 2
Этому неравенству удовлетворяют значения ® 6 ^0; ^/§) > а П*)И
/Т g 4 __ От2 4*
x>v2 оно Равносильно каждому из неравенств 2х+4^а:
+ |. ®4 - З®2 - 2® ^0, ®3 - Зх - 2 ^0. (® + 1)2(® - 2) *£0, откуда
Итак, решениями неравенства являются значения ® е [—§! ®]> 3 та
значениях ® € (о; и значения ® е г], т.е. множество РеШ
ний неравенства — отрезок [—|; 2].
4.54. -49/24 *$х<3.
4.55. —9/4^®^4.
4.56. -169/48^x^4.
4.57. -|<®<|.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА » otrftki
РеШемНаяИ условиями Е Д°ПуСТИМЫХ ЗНачений 1 «иного неравенства,
определяемая у
3-2х>0, 1 + 2х > 0, 2\/3~^2х ф
«ляет из себя объединение интервалов (-!• й\ и Г5. зт u
”#S Е исходное неравенство равносильно каждому из нёраве!^"0'
./ТГ^у/Г^ - у/2) + 1 + 2х ^ - -
2у/Г^~ \/2 " ’
ТакКак7-2х>\/б-4х при всех х<§ (см. рис.),
то неравенство (1) равносильно на множестве Е
каждому из неравенств
2/3 - 2х > \/2, у2(3 —2х)>1, 6 — 4х>1,
откуда х < f.
Таким образом, множество Е\ решений исход¬
ного неравенства — пересечение множества Е с
множеством (-оо; §), т.е. Ei — интервал (-А; |).
4.58. -|<x<i.
4.59. — ? <х < 1.
У
«4
\ %
0
1 д *
2 2 \
К задаче 4.57
4.60. -|<x<i.
4.61. i = l, 4
Решение. Пусть /(х) = у/х + 3 + х - 3, р(х) = у/4хТб + х-4.
а)Цое из уравнений /(х) =0, д(х) = 0 имеет единственный корень х = 1.
дикции /(х) и д(х) определены соответственно при х>-3 и
^-4, причем /(х)<0 при х е [—3,1) и /(х)>0 при х>1, £(х)<0 при
Iel~i.l] и д(х)>0 при х > 1.
ледовательно, неравенству /(х)р(х) ^0 удовлетворяет только х = 1.
- ^Ун*ция 4х) = у/4 + 4х — х2 — х3 определена при х = 1 и Л(1) =
4.62 П°_ЭТ0МУ 1 = 1 ~ единственное решение неравенства.
4-бз! 1 = ^
4®4. х = о.
Pet Х<~3, 1 <*<!§. х>4.
1едяр»«!,И е‘ 0бласть Е допустимых значений х данного неравенства,
Яемая условиями
»Peflc.
Являет
*2+2x-3 = (3 + x)(x-1)>0, хф 4,
Из Себя объединение промежутков
(-оо;-3), (1; 4) (4;+оо).
208
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА » ОТВЕТЫ
Пои х>4 левая часть неравенства положительна, а правая — 0г
тельна. Поэтому значения z>4 - решения исходного неравенства^
Если х&Е и х<4, то неравенство равносильно каждому Из'
венств ера'
v/x2 + 2x^K4-x, х2 + 2х — 3 ^ х2 — 8х + 16, 10x^19,
В этом случае решениями исходного неравенства являются знач '°
xG Е такие, что х<4 и т.е. ения
х € (—оо; —3) и xe(l;—1.
4.66. К-2, ^<х<1, х>5.
4.67. х<—х>2.
4.68. x<-i, ^х<1, х> 3.
4.69. f^x^f,z>72.
Решение. Область Е допустимых значений х неравенства опреде-
8— ~
ляется условием —1->0, откуда следует, что
2“ 4
Е = (—оо; 8) U [72; +оо).
а) Пусть хб£их^2, тогда левая часть неравенства положительна,
а правая меньше или равна нулю. Поэтому указанные значения х не
являются решениями неравенства.
б) Пусть х € Е и х > 2. Тогда исходное неравенство равносильно каж¬
дому из неравенств
f — 8<(х —2)2(|—2), x(£-3x+f)>0, *(*-т)(х-т)>°-
Решая это неравенство методом интервалов на множестве Е при х>2,
находим, что множество решений исходного неравенства — объединение
промежутков [-у; и [72;+оо).
4.70. х<-§, -I^x^O.
4.71. i^x^lf.x^f.
4.72. х<-1, -±s$x<0.
4.73. (-2; 18].
Решение. ОДЗ неравенства — промежуток (-2; иа.
х€(0; 18], то левая часть неравенства неотрицательна, а правая о Р^.
тельна. Поэтому все значения х из промежутка (0; 18] — решения н
ного неравенства. Пусть х е (-2; 0], тогда х + 2>0 и исходное
ство равносильно каждому из неравенств 1%+х + ®
Так как х = 2 — корень многочлена Р(х) = х3 + 2х2 + х - 1®' д°нст8°
можно представить в виде (х-2)(х2+рх + а). Используя 9? %)*
Р(х) = х* - 2х2 + 4х2 - 8х + 9х - 18 = (х - 2)(х2 + 4х + 9) - (*
х ((х + 2)2 + 5), заключаем, что Р(х) < 0 при х < 2.
алгебраические НЕРАВЕНСТВА > ОТВЕТЫ
гледовательно, все значения х € ( 2; 0] - решения исходного неги.
Сл д а искомое множество решении - объединение пп«. ра‘
венсТ®а,и (0; 18], т.е. промежуток (-2; 18]. Ромежутков
[-4; 2).
-1; з].
[-14; 1).
х<-8, —7<х< —3, —2<х<—1,
(-2;0]
1 4.74
4.75
4.76
4.77
4.78
4.79
4.80
4.81
(-оо; -9) U (-8;
(_оо; -7) U (-6;
(-оо; -6) U (-5;
J; -4) U (-3; -2) U +00).
5; -2] U (-1; 0) U [Щл. +оо).
5; —1] U (0; 1) U [^=Z; +оо).
х € [-5; 2) U (2; +оо).
Решение. Так как х2 - 4х + 5 = (х - 2)2 + 1 ^ 1 и равенство до¬
стигается только при х = 2, то знаменатель левой части неравенства от¬
рицателен при всех х ф 2. (Значение х = 2 не входит в ОДЗ неравенства,
так как знаменатель обращается в ноль.)
При х Ф 2 исходное неравенство равносильно каждому из следующих
неравенств:
ху/2 + 1 > 1 — у/х2 — 4х + 5,
\/х2 — 4х + 5 > —х\/2.
Если х^0, то полученное неравенство выполняется на ОДЗ (т.е. при
1^2). Если х<0, то, возводя обе части в квадрат, получаем равносиль¬
ное неравенство х2 — 4х + 5>2х2, откуда -5<х< 1. С учетом условия
КО получаем -5<х<0.
Объединяя полученные результаты, получаем х € [-5; 2) U (2; +оо).
4.82. х€
4.83. х £
4.84. х €
4.85. х€
-5/4; 1) U (1; +оо).
-1; 1) и (1; +оо).
-5; 1) U (1; +оо).
Р (~9; ~71'
Этомешение- При отрицательной правой части решений нет, по-
г + 9>0. Умножаем обе части неравенства на положи-
!р!!£1__£Ьфажение (х + Э^х + 1| - 2 и получаем неравенство
~ ^ ^1 "*■ 9’ равносильное исходному. Поскольку правая часть
нием пНуля> В03ведение в квадрат является равносильным преобразова-
• ПолуЧаеМ |х + 1 -2>х2 + 18х + 81 |х+1|^х2 + 18х+83 <=>
xi Т 1ч О 1 ' 1
^;>*2 + 18х + 8з/
+ К -х2 - 18х - 83,
л^ае|!ГитпНерав,енство совокупности не имеет решений, а из ВТ0Р°™
входим Х е 1~12; —7]. Учитывая ограничение х + 9>0, оконч
4.87
х2 + 17х + 82 ^ 0,
х2 + 19х + 84^0.
по-
1 е [5; 6).
5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
5-1- ёТ5-
5.2. I
53 з^-
5.4. Нет решений.
5.5. х = 4/5.
Решение. Данное уравнение, ОДЗ которого определяется условия
ми |х| ^ 1, х Ф 0, равносильно уравнению arctgu = arccosx, где и а 2г~Г
Отсюда получаем уравнение х2 = j^s или 2
х2 = —ГТТ ’ ®2 + (2х — I)2 = 1, 5х2 — 4х = 0, 1 = 4/5.
l+(V)
5.6. х = 2/5.
5.7. х = 1/5.
5.8. х = 3/5.
5.9. х = ±f + 2л*. к € Z.
Решение. Возводя в квадрат обе части уравнения, получаем
или
13
8sinxH— =4cos2x + 8sinx + 4tg2x,
3
12 cos4x — 25 cos2x +12 = О,
откуда
2 3 2 4
COSX = -, COSX = -.
4 3
Поскольку cos2x < 1, TO COSX = ±^,
x = ±— + лк, к € Z.
6
Непосредственная проверка показывает, что при х = ±т +
вая часть исходного уравнения отрицательна, и решениями яв
лишь х = ±§ + 2л*. Jfc eZ.
5.10. х = -arccos + лк; х = arccos + 2лАг, А: € 2.
5.11. х = -*+кл, keZ.
5.12. х = arccos -у- + лк\х = л- arccos -j- + 2лк, к€&
5.13. х = лп;,х = § + 2лп,х = | + лп,пб2.
5.14. х — 5 + лп, х = л + 2лп, х = g + лn, п € 2.
Решение. Рассмотрим два случая: a) cosx ^ 0, б) cosx ^ gitf)'
a) cos3x + cosx = sin2x, 2 cosx cos2x = sin2x, 2 cosx (соя* ^ ^ и*"
- О, откуда cosx = 0, либо 1 - 2 sin2 x - sinx = 0 и тогда sin* "
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЙ • ОТВЕТЫ
0тсюдз. с учетом неравенства cosx ^ 0, получаем; х = 5 -j..
&sr,r0itn. п 6
+ 2 лп;
^Объединяя ответы в случаях а) и б), получаем:
Jt
х = - +яп; х = л + 2лп; х = - + лп, п 6 2.
2 б
,15 х^лп;х = -\ + 2лп;х = -$ +яп> neZ
5э1б; * s | + лп; х = 2лп; х = § + лп, п € Z.
' - я . £я
5.17. jo > 20"
Решение. Исходному равносильно уравнение
sin6x(cosx - sinx) = cos6x(sinx + cosx)
при условии (sinx + cosx)(cosx — sinx) Ф 0, т. e. cos2x ф 0. Имеем:
sin 6x cosx — cos 6x sin x = cos 6x cosx + sin 6x sinx,
. _ _ , „ Л Лп _
sin5x = cos5x. tg5x = l, x = —| , n€Z.
20 5
Условиям 0 < x < %, cos2x Ф 0 удовлетворяют i = |hi=|.
5.18. -3>.
519- -ft; -Щ-
5.20. j**.
5.21. x = 2 -f 2лп, x — л — arctg5 + 2лп, n€Z.
Решение. Исходное уравнение равносильно системе
| — 3 sin2 х = (sinx + cosx)2,
sinx + cosx > 0.
(2)
вменив \ на |(sin2 x + cos2 x), из (1) получаем
Тещ
ерь, с
- sin2 x + 2 sinx cosx — - cos2 x — 0,
2 2
tg2x + 4 tgx — 5 = 0, tgx = l, tgx = -5.
учетом неравенства (2), находим ответ:
2 = ^ + 2лп, х = л-апЛ§5 + 2лп, n€Z.
5 22
5.гз I = 7“CtE^ + I'”'n£Z-
* ~ ~4 + 2лп, х = л — arctg3 + 2лга. л ^
212
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
5.24. х = - arct.g у/2 + яп, п € Z.
5 25. х = ±arccos | + 2лп, п € Ъ
5.26. х= = + ^, x = (-l)nf + лп, neZ.
5.27. х = л ± arccos 5 + 2лп, n € Z.
5.28. х = f + тр, х = ±arccos | + 2яп, n € Z.
5.29. х = -1 + 2я£, х = - у + 2яЛ, А: € Z.
5.30. х = - arctg(\/2 -1) + 2л*. х = я + arctg(у*2 +1) + 2пк к с 7
5.31. х = -| +2л*, x = f + 2лк, keZ. ’
5.32. х = -1 + 2лАг, х = у + 2лк, к€ Z.
5.33. х = а + 2лп, п € Z, а € {f, f-^}.
5.34. х = а + 2лп, а€ {f, т> “5* “if > “Й)- n € 2-
5.35. х = а + 2лп, а € {±|, 0, ±^}, n € Z.
5.36. х = а + 2лп, а € (О, ±^, ±^}, n € Z.
5.37. х = л + 2лп, х = arccos | + 2лп, п € Z.
5.38. х = —| + 2/гл, х = arcsin | + 2кп, к € Z.
5.39. х = 2/гл, х = arccos (-+ 2Лл, к € Z.
5.40. х = 5 + 2/гл, х = — arcsin | + 2fat, к G Z.
5.41. х = лп, х = f + 71 n€Z.
5.42. x = 5 + f,neZ.
5.43. х = § + лп, x = f + *p, neZ
5.44. х = ±5 + лп, п 6 Z.
Решение. Преобразуем исходное уравнение:
sin3x cos3x
sin2z cos2x
совЗх
sin Зх cos 2х — sin 2х cos Зх
2sin2xcos2x
smx
созЗх
вш4х cos3i
а допустимые значения х для уравнения (1) определяются условием
sin4xcos3x Ф 0.
При выполнении условия (2) уравнение
sinxcos3x = sin4x
является следствием уравнения (1) и равносильно уравнению
(3)
уравн*'
бшЗх cosx = 0.
Корнями уравнения (1) являются все те и только те корни
ния (3), которые удовлетворяют условию (2).
Так как sin3x = sinx(3 — 4sin2x) = sinx(l + 2cos2x), a sin^
в силу (2), то из (3) следует, что
(4
cos2x = —.
2
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ « ОТВЕТЫ
213
«оавнения (4) удовлетворяет условию (2) и являются корнями
Кго уравнена
„схоДн°г _ | + 2яп, п € Z.
5-^®' __ ^зя + 2яп, n € Z.
, 5 -f- 2яп, i = -f + 2лп, n € Z.
5.46-
6.47. * =
_ 4-22 4- 2яп, X - я + 2лп, п е Z.
5.48. cog3l
решение. Пусть * cos* •
Если cosx > 0, то * + f = -1 или t2 +1 + 2 = 0.
L уоавнение не имеет действительных корней,
б) Если cosx < 0, то t - f = -1 или t2 +1 - 2 = 0,
откуда tx = -2,
* - 1 3
»J ■ л соеЗх _ о tv ни 4coe*x-3cosx n
Пусть t = -2, тогда 73^- - -l или — _ -2.
Так как cosx Ф 0, то 4 cos2x - 3 = -2, cos2x = 1/4, cosx = -1/2, x =
= ±| + 2яп.
Пусть t = 1, тогда 4 cos2x -3 = 1, cos2x = 1, cosx = -1, x = л + 2лп.
5.49. - J + 2лп < x < y + 2лп, n € Z.
Решение. Найдем решения неравенства на отрезке длиной 2л. Все
значения х из интервала (0, л) — решения неравенства, так как sinx > 0
яри 0 < х < л, а левая часть неравенства определена и неотрицательна
при всех х.
Пусть sinx < 0, тогда исходное неравенство равносильно каждому из
неравенств
5 + 3 cos4r л о \
> sin4 х, 5 + 3 cos4x >2(1-2 cos2x + cos'* 2x),
cos2x(l + cos2x) > 0, cos2x > 0, sin2 x < -,
sinx < —p.
Ф
Так как sinx < 0, то - -j- < sinx < 0, откуда -£<x<0, л<х<у.
Итак, на отрезке [—|, М] решениями исходного неравенства являют-
ся все числа из интервала (-*, &).
5.50. -Зр + 2яп < х < + 2лп, п е Z.
5.51. - з + 2лп < х < ^ + 2лп, п € Z.
553 7 + 2лпсх< f + 2лп, п 6 Z.
Реш Х = ПП’Х:=1 + f,neZ.
е н и е. Уравнение равносильно каждому из уравнений
-!^(г ~ Зх) — sinx cos (J — х) sin (£ “ 2х) _ j
Sin (2 ~ 5i) — ein3x ’ cos (Z — x) sin (j — 4*)
K°pHH ~ 5) + sin (2 _ 2x) = 0, или sinx cos (3x - J) =
среднего уравнения удовлетворяют условию
cos(t -4x)^°-
214
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ • ОТВЕТЫ
5.54. х = 5 + лп, х = - f + ЛП, х = (~1)п й + n € 2.
5.55. х = лп, х = + яп. х = (—1)” уз + • n € 2.
5.56. х = § + лп, х = f + лп, х = (-l)n+1 й + Т* п € 2.
5.57. х = — § + 2лfc, х=уЯ + 2лА:; х=|л + 2лЛ, га4.
к€ г. 3 ^
Решение, а) Пусть cos2x ^ 0, тогда уравнение можно после
тельно преобразовать так: Дов*
2 + v/3 sin2x - cos2x = 2-2 cosx, ^ sin2x - \ cos2x = - C0SI
cos(2x + |) — cosx = 0, 2 sin (=y + g) sin(f + s) =0,
откуда получаем две серии корней
л 2 л _
х 1- - лп, х = — + 2лп, п G 2.
9 3 3
Корни первой серии при п = Зк +1 не удовлетворяют условию
cos2x ^ 0 и удовлетворяют этому условию при п = ЗА: и п = ЗА + 2.
Для корней второй серии условие cos2x > 0 не выполняется,
б) Пусть cos2x < 0, тогда уравнение можно записать в виде
cos ^2х — “) + cosx = 0 или 2 cos cos =0,
откуда
4Л 2 4Л
х = — + - лп, х 1- 2лп, п €
9 3 3
Корни первой из этих двух серий удовлетворяют условию cos2x<0
только при п = 3к, а корни второй серии не удовлетворяют условию
cos2x <0.
5.58. х = f + 2лn, х = ff + 2лп, х = ^ + 2лп, х = f§ л + 2яп, п 61
5.59. х = -|+ 2лп, х= =+2лп, х = f+2лп, х = f+2лп,пб2-
5.60. х = 5 +2лп, х = ^у+ 2лп, х = уу + 2лп, х = 2р+2яп,
5.61. x = § + 5p,x = ±g + s&, neZ. •
Решение. Заметим, что
sin2x Ф 0
и воспользуемся равенствами
sin8xsin6x 16 cos4x sin2x cos2xein6x
(1)
о
sin 7x
2
сое 7x
. 2
8Uj X
2
COS^X
sin2 x cos2 x
sin
2 2x
cos2x sin6x = д (sin8x + sin4x) = \ sin4x(l + 2 cos4x) =
= sin2x cos2x(l + 2 cos4x).
Тогда исходное уравнение можно записать в виде
16соб4хВш22хсов2х(1+2соБ4х) = lg cos4jc(l + C0S4*)-
sin2 2х
(2)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
уравнение (2) при условии (1) равносильно уравнению
costa(1 + 2 costa) cos2x = costa(1 + 2 costa),
(3)
з уравнение
(3) равносильно совокупности уравнений
costa = О,
(4)
costa = —,
2
cos2x = 1.
(5)
(6)
уравнения (4) и (5) имеют корни * = f + sptn€ZHx = ±5 + m
„ег соответственно, и эти корни удовлетворяют условию (1), а из (6)
следует, что sin2x = 0.
5.62. х = f х = I5. * # 5р, n € Z, fc € Z, р € Z.
5.63. х = f + Т’ n е
5.64. х = Зр, п ф 3 к, neZ,keZ.
5.65. х = яп, пв Z.
Решение. Используя формулу ^^=tga-tgp, преобразуем
исходное уравнение в виду
tg3x — tg2x + tg4x — tg3x = sin4x - tg2x. (1)
Область допустимых значений x для уравнения (1) определяется усло¬
виями
cos2x^0, cos3x^0, cos4x^0, (2)
> при выполнении условий (2) исходное уравнение равносильно уравне¬
нию
tgta = sin4x. (3)
Уравнение (3) равносильно совокупности уравнений
sin4x = 0, (4)
cos4x = 1, ®
^ чем все корни уравнения (5) содержатся среди корней уравнения (4).
(итогпз едУет- что либо sinx = 0 и тогда х = лп, п 6 Z, либо cosx —
5.66 C0S'*1 = либо cos2x = 0.
5 1 = If. п Ф 2 + 4fc, n Ф 4 + 8k, n € Z, к € Z.
5 gg 1 * n ^ 2 + 4fc, n Ф 4 + 8k, n € Z, к € Z.
5.60 "e"* 717^ 3 + 6fc, n G Z, к G Z.
Рещ I== 2 + лп, x = 2 4. x = + 2лп, nG Z.
e н и e. Из формул для cos3x и sin3x следует, что
00811 = j (cos 3i + 3 cosx), sin3 x = j (3 sinx - sin3x).
216
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ > ОТВЕТЫ
Поэтому
COS
;з х sin3i + sin3 х cos3x = - (sin3x cosx + sin a: cos За:) =
= - sin4x = 3
sinxcosiCOs2i)
и исходное уравнение при условии sinx ф 0 равносильно каждом
уравнений ^ Из
3 sinx cosx cos2x = б sinx cos^ x cos2x,
cosxcos2x ^cosx — ^ = 0.
5.70. r= f,x = ±|+ 2лп, n G Z.
5.71. x = лп, x = f ™, x = (-1)” | + лп, n € Z.
5.72. x = лп, x = f + ^, x = (-l)n+1 f + лп, n e Z.
5.73. x = лп, x = t? + лп, x = тр + лп, n € Z.
Решение. Допустимые значения x определяются условием
cos3x ф 0, (1)
так как все корни уравнения cosx = 0 являются корнями уравнения
cos3x = 0.
Функции tgx, tg3x и |sinx| — периодические функции с периодом л и
поэтому достаточно найти решения исходного уравнения на промежутке
[0; л).
Если 0<х<л и выполняется условие (1), то исходное уравнение
равносильно каждому из уравнений
sinx вшЗх
Ь
cosx созЗх
sin 4х
4smx,
cosx соэЗх
4 sinx,
4 smx cosx cos2x . о \ n (2)
=4 smx, smx (cos 2x — cos3x) = u>
cosx cos3x
.x . 5x
smx ■ sm - • sin — =0.
2 2
• __ Q 3
Все корни уравнения sin § = 0 удовлетворяют уравнению sinx -
решения уравнения (2) задаются формулами
, 2пк ^
х = лfc, х = , к € Z.
5 а0>!
Из множества чисел (3) промежутку [0; я) принадлежат 4HC^op’My
и 4р. Поэтому множество решений исходного уравнения задается
лами х = яп, х = f + лп, х = ^ + лп, n G Z.
5.74. х = j + лп, х = тр + яп, х = у + яп, п G Z.
5.75. х = | + лп, х = + лп, х = + лп, п € Z.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » Ответы
.22 + лп, а; = п + лп, х = || + nrii п е;
' xz=- arctg \ + ЛП, х = — arctg § + лп, п е Z.
реш е н и е. Преобразуем левую часть уравнения, пользуясь тем,
F c0S4i + cos2i = 2 cos3x cosx, cos3x + cosx = 2 cos2x cosx, ’
sin4x - sin2x = 2 cos3x sinx, sin3x — sinx = 2 cos2x sinx.
Получим 2 соз x (cos 3x + cos 2x)
2 sinx (cos3x + cos2x)
Что
При преобразовании правой части уравнения воспользуемся форму-
лами 1 _ 2 sin2x = cos2x = (cosx + sinx)(cosx - sinx),
sin (| — x) = -j- (cosx — sinx).
Область допустимых значений уравнения определяется условиями
cos3x + cos2x = 2 cos - • cos — Ф О,
2 2
sinx Ф 0, sin ^х — ^ Ф 0. (1)
а) Если cos2x ^ 0 и выполняются условия (1), то исходное уравнение
равносильно уравнению
з
cosx = 2 cosx + 2 sinx, откуда tgx = —, (2)
2
х = — arctg - + лп,
2
neN.
Значения x, определяемые формулой (2), удовлетворяют условию
и является решениями исходного уравнения,
б) Если cos2x < 0 и выполняются условия (1), то исходное уравнение
равносильно уравнению
cosx = —2(cosx + sinx), откуда
57йЗНаЧения 1 также являются решениями исходного уравнения.
5 ' 1 = 5 arctg2 + лп, п € 2.
580 I = ~arctei + лп, х = - arctg § + лп, п € Z.
5-81 * I! * + лп, п ^ Z.
р ’ 1== 2 + ЛП, п € Z.
е н и е. Так как
х = - arctg - + лп,
2
п€ Z.
= 2(1 +
/ l + cos4x\
cos2x)2 = 2(1 +2cos2xH )
У =3 + 4cos2x + cos4s,
ТПШ-ЛНПМЕТРИЧЕСКИЕ уравнения • ОТВЕТЫ
то исходное уравнение равносильно уравнению
cos2x 1
sinx + cosx smx
Используя формулу cos2x = (cosx + sinx) (cosx — sinx) и
что sinx ф о, sinx + cosx ф 0, преобразуем уравнение (1):
(1)
Учитывая,
1
sinx — cosx = -—,
smx
cosx(sinx + cosx) = 0,
откуда cosx = 0.
5.82. x = лп, n e Z.
5.83. x = | n€ Z.
5.84. x = J neZ.
5.85. x=| + f,x=2f,neZ.
Решение. Исходное уравнение равносильно каждому из уравнении
1 — cos4x 1 — cos8x ^ cos2x
2 2 cos3x’
cos4x + cos8x cos2x cos2z
= , COS 6x COS 2x = ,
2 созЗх cos3x
а при выполнении условия cos3x ф 0 равносильно уравнению
cos2x(cos3x • cos6x — 1) = 0.
Уравнение cos2x = 0 имеет корни х=|+ тр, n€ Z, а уравнение
cos3xcos6x = l может иметь корни тогда, когда cos3x = l, откуда х=
_ 2лп
5.86. х — | + х = 2лп, п € Z.
5.87. x=f + ^,n€Z.
5.88. х = 2 + лп, х = 2лп, п € Z.
5.89. х = —^ + 2лп, х = лп, х = —§ + 2лп, х = + 2лп, J " а
+ 2лп, п G Z.
Решение. 1) Пусть (1)
cosx >■ 0.
Тогда уравнение можно записать в виде
sinx + cosx + (sinx + cosx)(cosx — sinx)(2 sin2x — 1) "
так как cos2x = (cosx + sinx)(cosx — sinx), sin4x = 2 cos2x sin2
Из (2) следует, что либо cosx + sinx = 0 и тогда
Ф
X =
л л
-— + 2лп,
4
п € Z,
(3)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ « ОТВЕТЫ
либо l + (cosx-sinx)(2sin2x-1) = п
(4)
♦«« (з)
лько у «оавнению (4). Полагая cost - sin *• - *
Если sin f - и, ТО х - *лп, и с iL,, эти значения X УДОВЛетяпттт
, (I) И являются корнями исходного уравнения р ют Усл°-
Если cosf + sinf = 0, то tgf = -l, * = -|+2лп _
«сходного уравнения. 2 К0РН«
2) Пусть
cosx<0.
_
Тогда исходное уравнение можно записать в виде
(sin* - cosx)(l + (1 - 2 sin2x)(sinx + cosx)) = 0,
откуда следует, что либо sin а; - cosx = 0 и тогда
л
х = - + лк, k€Z,
4
(6)
либо
1 + (1 — 2sin2x)(cosx + sinx) = 0. (7)
Условию (5) удовлетворяют значения х, определяемые формулой (б)
^лько при А: = 2n + 1, т. е. значения х = ^ + 2лп, п 6 Z.
Заменой £ = cosx + sinx преобразуем уравнение (7) к виду 2£3 - 3t
'1 ~ 0 или (t + 1)(212 - 2f - 1) = О, откуда либо t = -1 и тогда х = л
^ п £ 2 — ' ' " ■+■
+ <**- tvs РНИ ««ОДНОГО уравнения, либо т.е. sinx +
з Й"(1 + 7)“ТХ- «
■^ЭМвТИм и
То sini2 *= sin (f — f) as Поэтому из (8) следует, что
^-" + (-1)^^^ *€Z. (9)
при д. удовлетворяют значения x, определяемые формулой (9)
а з°- х JV + т-е- значения х = у + 2лп, л € Z.
'^ + 2лп 4 +2^> х = л + 2яп, х=5+лп, х = -| + 2лп, х =
п е 2 2
220
тпыгпНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
5.93. х = лn,neZ.
U. * — ...г, -- -
Решение. Так как 1 - 2sin2x = cos2x и cosx^o
равносильно каждому из уравнений ^ ’ То Уравнен^
cosx cos2x cos3x = 1.
(1)
Уравнение (I) имеет решения только в том случае, когда IcostU
= |cos2x| = |cos3x| = 1.
J) Если cosx = 1, то x = 2лп, cos2x = cos3x = 1.
2) Если cosx = -1, то x = л + 2лп, cos2x = 1, cos3x = -1.
5.94. х = лп, п £ Z.
5.95. х = лп, л е Z.
5.96. х = лп, п € Z.
5.97. х = ^ + лп, х = у! + х = -jj + лп, п € Z.
Решение. Обозначим /(х) =sin5xcos3x и рассмотрим два воз¬
можных случая: /(х) ^ 0, /(х) < 0.
1) Пусть
Так как sin2x^0, то уравнение (2) равносильно уравнению
откуда следует, что либо cos2x = 0, либо cos4x = \ -
Если cos2x = 0, то sin8x = 0, |sin2x| = 1, и из (1) следует, чт
/(х) = sin5x cos3x = ^ (sin8x + sin2x) ^ 0.
Тогда исходное уравнение можно записать в виде
О)
sin2x
2 cos2x cos4x = cos2x,
(3)
ко*
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
77 провести отбор корней уравнений (3) с учетом условиТт
Чт0 в следующем виде: 3 швия U).
запиши №
/(х) = - sin2x(4 cos2x cos4x + 1). ^
каК cos4x = b to f(x) = \ sin2x(2 cos2x + 1).
Отсюда и из (3) следует, что /(*) > 0 тогда и только тогда,
«а sin2х cos2x > 0, так как |2 cos2x| = \/3 > 1. Следовательно, либо
Г ,т = A sin2x = b либо cos2x = - sin2x = -4, откуда 2х = а +
w»" 2 я neZ. 6
+ яя, х= и + 2 1
2) пусть /(х) < 0, тогда исходное уравнение примет вид ~г|п|г =
s2cos2x или j
cos2x = —(5)
Тогда cos4x = 2 cos22x - 1 = - \ и из (4) следует, что /(х) = sin2x.
Решив уравнение (5) при условии /(x) = sin2x<0, получим 2х =
= + 2лп, откуда х = —§ + лn, п е Z.
5.98. х = +лп, х = ^ + лп, х = Щ + —, neZ.
5.99. х = ™, х = х = | + лп, п € Z.
5.100. х = ^ + лп, х=|2 + 2Щ, я = Is + лп, п € Z.
5.101. х = лп, х = ^ + 2лп, п G Z.
Решение. Обозначим sinx = t, тогда sin3x = 31 — 4(3, cos2x-
-cos4x = 2 sin3x sinx = 2t(Zt — 413). Исходное уравнение примет вид
8t* + At3 - 6t2 - 3(t + |t|) = 0.
(1)
*)Пусть i = sinx<0, тогда уравнение (1) равносильно уравнению
+ 2t - 3) = 0.
Если t = 0, т. е. sinx = 0, то х = лп, п е Z. Эти значения х являются
"°Рнями исходного уравнения.
Решив уравнение At2 + 2i - 3 = 0, найдем его корни ti = —ta =
где ti < t2 > 0. В этом случае исходное уравнение не имеет
ннй
j) Пусть t > о, тогда уравнение (1) равносильно каждому из уравне
At*
+ 213 - 3t2 - 3t = 0, it2(t - 1) + 6t(t - 1) + 3(< - 1) = °-
(2)
y (t - l)(4i2 + 6t + 3) = 0.
s 1. T.e6*1-16 ^ имеет единственный действительный корень t
5.102 Sinf = to x = \ + 2лп, n e Z.
~~ ^лп, x = Д + 2лп, n G Z.
222
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
5.103. х - ЯП, х = Y + 2яп’ n е z-
5.104. х = * + яп, х = я + 2яп, п €
5.105. х = iarccos + 2яп, п 6 !
Решение. Возводя обе части данного уравнения в квадрат
чаем уравнение
sm
!х(1 — cosx — 2 sinx) = 1+2 sinx cosx,
"Оду.
О)
являющееся следствием данного уравнения.
Преобразуем уравнение (1):
2sin3x + sin2x cosx + cos2x + 2 sinx cosx = 0,
2 sinx (sin2x + cosx) + cosx (sin2x + cosx) = 0,
(2 sinx + cosx)(sin2x + cosx) = 0.
а) Если 2 sinx + cosx = 0, то исходное уравнение примет вид sini-
= sinx + cosx, откуда cosx = 0, и тогда sinx = 0, что невозможно.
б) Если . 2 , п
sm x + cosx = 0, до
т.е. cos2x-cosx - 1 = 0, то cosx = 1^&, где > \t и поэтому
1-V5
— 2 ’
COSX =
х = ± arccos
1 - v/5
+ 2лп, nez.
(3)
При выполнении условия (2) имеем
\Л — cosx — 2 sinx = у/\ + sin2 х — 2 sinx = 1 — sinx,
и поэтому исходное уравнение принимает вид
sinx — sin2x = sinx + cosx, или sin2x + cosx = 0.
Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению (2). По¬
этому значения х, определяемые формулой (3), и только эти знамени,
являются корнями исходного уравнения.
5.106. х = (—1)" arcsin + лn, n € Z.
5.107. х = ±arccos + 2лп, n € Z.
5.108. х = (-1)" arcsin + лп, п € Z. -
5.109. х = arccos + лп, х = arccos + яп, « е
Решение. Воспользуемся формулами
sin3x = sinx(3 — 4 sin2 х) = sinx(2 cos2x — l)i ^
cos6x = cos2x(4 cos2 2x — 3) ^ npH
и рассмотрим два возможных случая: cos6x > 0, cos6x < 0, УчИ
этом, что (*'
cos2x ф 0, sin х Ф 0.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » птогТ||,
— влМ случае нужно решить уравнение
а) В пер»01"
2(2 cos2x + 1) = 4 cos2 2х - 3
прН условии
cos6x > 0.
(3)
(4)
Положим cos2x — t, тогда уравнение (3) примет вид it2 - ц - ч - п
Это уравнение имеет корни «т = и t2 = >L Ъ ~ °‘
Итак, cos2x = i=^ < 0, откуда
,1 1 — ч/б
х = ±- arccos 1- лп, n € Z.
2 2
(5)
Из равенства (1) следует, что созбх = <х(4^ - 3), где 4^-3 =
= (1 - ч/б)2 — 3 = 4 — 2\/б < 0.
Поэтому cos6x > 0, если cos2x = ti = 4^- где t\ < 0. Итак, условие
(4) выполняется, и значения х, определяемые формулой (5), являются
корнями исходного уравнения.
б) Во втором случае (cos6x < 0) нужно решить уравнение 4t2 +
+4< -1 = 0, < = cos2x. Это уравнение имеет корни = и
Проверим выполнение условия созбх < 0, используя формулу (1). По¬
лучим cos6x = ti{4t\ - 3), где 4f? - 3 = (у/2 - I)2 - 3 = -2уД < 0.
Так как h >0, то cos6x < 0, и поэтому корни уравнения cos2x =
= iTi, т.е. числа х — ±± arccos + лп, п € Z являются корнями
исходного уравнения.
5.110. х = ±| + лп, х = \ arccos (—5) + лп, п € Z.
к J111 Х ~ arCCOS (iz2^) +лк>х= ^г12~~ arCC0S (:^i) + як'
5112. x = ±| + л*:, x = ±1 arccos (~\) + n(2fc + 1). fc e 2-
*113- x = arcsin § + 2лп, n € Z.
.—27 \w} = 5соб(х ~ ^
‘огда f(x) = 5 (|sinx + \ cosx) = 5(sm*SmpaBtoT5. тогда И1пТ„к как
и Дх) принимает наибольшее значен > ^ где Ф = arcsl *’
г“. когда х - Ф = 2лп, т. е. х = <Р + 2лп< " П0Лный квадрат-
4=1, созф ^ 1. Преобразуем *(*). выделив
*5(1-2 sin2x) + 12 sinx + 20 = ^ _lQ ^ , !)
= -lo(sin2x-|smx + ^) +25 + Т" 5
224
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ • ОТВЕТЫ
Отсюда следует, что функция д(х) принимает наибольшее *7'''''^
равное Ц?, тогда и только тогда, когда smi= Поэтому левая Ни«.
вая части уравнения совпадают в том и только в том случае к **
= arcsin | + 2лп, п € Z. 0г^а I *
5.114. х = arcsin ^ + 2лп, п € Z.
5.115. х = arcsin ^ + 2лп, n G Z.
5.116. х = arcsin || + 2лп, п € Z.
5.117. х = ±5 arccos f + лп, n € Z.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения к виду
cos х — cos2x cos2x — cos Зх
2cosxcos2x 2cos2xcos3x
1 1
2cos2x 2 cosx
+
1
2cos3x
1
2cos2x
cosx — cos3x
2 cos x cos 3x
Если выполняется условие
sinx sin 2*
cosx созЗх
cos x cos 2x cos Зх ф 0, (1)
то исходное уравнение равносильно каждому из уравнений
6inxsin2x 1
= , 4 sinx sin2x = cosx,
совхсовЗх 4совЗх
8 sin21 = 1, 1 — cos2x = 1/4, cos2x = 3/4,
откуда x = ±5 arccos | + лп, neZ. Эти значения x удовлетворяют усло¬
вию (1) и являются корнями исходного уравнения.
5.118. х = ±5arccos® + лп, п 6 Z.
5.119. х = arccos| + j, п€ Z.
5.120. х = ± arccos (l - ) + 2лп, п € Z.
5.121. х = ±| + лп, neZ.
Р е ш е н и е. Так как у/2 cos (х + J) = cosx - sinx, у/2 cos(x'^t
= cosx + sinx, то область допустимых значений уравнения опред
условием (1)
(cosx - sinx)(cosx + sinx) = cos2x ф 0.
Используя формулы
а5 - Ьь = (а - Ь)(а4 + аЧ + аЧ2 + аЬ3 + Ь4),
а5 + 65 = (а + 6)(а4 — а36 + аЧ2 — ab3 + &4)'
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ « OTRftm
veM левую часть f(x) исходного уравнения:
„реобразу
- 2(соз4 х 4- sin4 х) +2 cos2 х sin2 х =
= 2-2 sin2х cos2x = 2 - - sin22x = - +
/(i):
2 22
cos^2x.
При выполнении условия (1) исходное уравнение равносильно урав-
нени1° 4 cos2 2х — 8 cos 2х 4- 3 = О,
откуда cos2x = 5. * = ±| + яп, п € Z.
5.122. x = + Z.
е 123. х = 4- яп, nez.
5.125. х = лп, х = f 4- яп, х = -arctg| 4- лп, n € Z.
Решение. Так как cosx — созЗх = 2sinxsin2x, то исходное урав¬
нение можно записать в виде
2sinx(4cos2x + sin2x — 3) = 0.
Уравнение sinx = 0 имеет корни х = лп, n€Z, а уравнение 4cos2x +
+sin2x -3 = 0 равносильно каждому из уравнений
3sin2x — 2sinx cosx — cos2x = 0,
3tg2x — 2tgx -1 = 0,
(3tgx + l)(tgx - 1) = 0,
откуда
x = — arctg - + лп,
3
x = - 4- яп,
4
n € Z.
5-126. x = 2 + ли, x = —^ + яп, x = — arctg j + лп, n € Z.
5127. x = лп, x = -2 + ли, x = arctg j + лп, n € Z.
5-128. x = 5 + лп, x = 5 + яп, x = arctg £ 4- лп, n € Z.
ш e н и e. Преобразуем правую часть уравнения:
C0S^1 ~~ l) ~ c°s (4х 4- j) = 2sin3xsin (x 4- j) -
= 2sin3x cos ~ x)'
^ *°Дное Уравнение равносильно совокупности двух УРа
880 и yctg(f^) = 2cos(2 - х) при условии. ЧТО ctg(4
226
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ • ОТВЕТЫ
к е
Первое из этих уравнений имеет корни х = f, „ е 2. Если „
z то х = лк и ctg (5 - лк) = ctg 5 > 0. Есл и п = 3* ± 1, то * Ч
’ - - Л ««is
3
„ctg(i-Kt±S) = (««3:f5)<0
Второе уравнение равносильно уравнению
ctg f? - х) = 4cos2 - х) , если cos
Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
cos(j-x)=°
до
4sin ^ - xj cos ^ — х^ = 2sin ^ — 2х^ = 2cos2x = 1.
Если cos (| - х) = 0, то х = — | + лк, к € Z. Эти значения х являются
корнями исходного уравнения.
Уравнение 2cos2x = 1 имеет корни х = ±| + лп.
Если п = 2к, то х = ±§ + 2лк и cos (5 =F §) > 0, а если п = 2к +1,
то x = ±jj + л + 2лА: и cos(-^p т |) < 0.
Таким образом, уравнение имеет три серии корней: х = лк, х = -J +
+ лк, х = + 2лк, к € Z.
5.130. х = лп, х = 5 + лп, х = ±| + л(2п + 1), п € Z.
5.131. х = | + лп, х = | + лп, х = — ^р + 2лп, х = -§+2лп,
п 6 Z.
5.132. х=2 + лп,х = з+ лп, х = тр + 2лп, х = § + 2лп, п е Z.
5.133. х = 21, п ф 5к, п € Z, к е Z.
Решение. Преобразуем знаменатели дробей левой и правой частей
уравнения:
ctg2x — ctgx =
ain2x
6ШХ
sinx sin2x
sinx
sin 2x
sinx Ги'
ctg4x-ctg3x = — = _.
ein4x sin3x sin3xsin4x
ОДЗ уравнения определяется условиями
sinx ф 0, sin2х sinЗх sin4х Ф 0,
откуда
6in4x ф 0, sin3x ф 0.
Так как sin3x = sinx(3 - 4sin2x) = sinx(l + 2cos2x), то
Кения - значения х такие, что sin4x ф 0, соз2х ф -1/2. “ли
0081 ф О, cos2x Ф о, cos2x ф -1/2.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ • ОТВЕТЫ ^
"Гонении этих условий исходное уравнение равносильно каж-
!,павнений
д0мУ и3 cosicos2isin2i _ cos Зхсоз 4х sin Зх sin 4х sin т
—^jSin'2i s»n 3x sin 4x sin x ’
0Sx cos2x = cos3x cos4x, cos3x + cosx = cos7x + cosx,
C°S cos 3x - cos 7x = 0, sin 5x sin 2x = 0, sin 5x = 0,
X = nn/5, n€Z.
отпущенные значения x являются корнями исходного уравнения, если
«Д-*62
01.,~ _ = + n€Z-
5.135. х = Зр, п 6 Z, п Ф 7т, т € Z.
5.136. x = f + x>neZ-
5.137. х = § + яп, n€Z.
решение. Пусть cos (2х -§)=<, тогда \fb cos2x + sin2x =
= 2cos(2x-g) =2< и уравнение примет вид 4t2 — 3t — 7 = 0, откуда
{] = -1, ^2 = 4 •
Следовательно, cos (2х - §) = -1, откуда 2х - | = л + 2яп, х = Ц +
+ лп, n€ Z.
5.138. х = | + лп, п £ Z.
5.139. х = + лп, пб Z.
5.140. х = Щ + лп, п е Z.
5.141. х = лп, n G Z, х = у + 2яп, n € Z, n ^ -1; х = -у + 2яп,
ne Z, п^о.
Решение. 1) Пусть х ^ 0, тогда уравнение примет вид
sin2x = 2 sin3x + sin2x cosx, или
2 sin x (sin2 x + cos2 x — cos x) =0, sinx(l-cosx) = 0.
Если sinx = 0, to x = ли, n € Z, n ^ 0.
Если
Итак,
cosx = 1, то x = 2лп, n > 0.
при x>0 уравнение имеет корни
x = лп, п > 0.
2) Пусть х < 0, тогда 2 sinx (cos2 х — sin х cosx)
smx(cos2x - cosx) = 0, sinx(2 cos2x - cosx )
p sinx (cosx — l)(2cosx + 1)
«ли sin i = о, to
x = лп, ne z. n<0-
(3)
(4)
Ec
:ли _
0Sl 351, то X = 2лп, n € Z, n < 0. Эти корни входят в
серию (4)-
тг„гпцпМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ « ОТВЕТЫ
Если cos* = -I то условию * < 0 удовлетворяют следуЮЩиГ^
Две Се>
х = — + 2т, n€Z, п<-1,
з
2Л _
х + 2лп, п € Z, п < 0.
3
Так как серии корней (3) и (4) можно объединить в одну
х = яп, n € Z,
(5)
(6)
(7)
то все решения исходного уравнения определяются формулами (5)-(7).
5.142. I = лп, n € Z, * = | + 2яп, п € Z, п ^ —1; х = -S + 2Л|^
^ ^ ^ О
5.143? х = § + 2лп, n G Z; х = f + 2яп, n6Z;i = f + 2яп, n € Z.
n^0;i=i + y.n€Z,n< —1; ® f + 2яп, n € Z, n ^ -1.
5.144. I = 2лп, п € Z; ж = f + 2лп, n е Z, п ^ 0; х = + 2лп,
neZ, 1»^1;х = 5 -hf.neZ, n^-l.
5.145. x = f + 3f,neZ.
Решение. Пусть t = cos3x, тогда cos 9x = 413 - 3t, cos6x = 2(2 -1
и уравнение примет вид
413 - 4t2 — 3t + 3
t - l
= 1*1-
= 2>0.
Так как 413 - 4t2 - 3t + 3 = (t - l)(4t2 - 3) и t ^ 1, то исходное равнение
равносильно уравнению
4<2 - 3 = |<|, где t = cos3x ф 1-
Если t 2 0, то 4t2 -1 + 3 = 4(t - l)(t + f) = 0, откуда t = -f <°- ВэТ°И
случае исходное уравнение не имеет корней.
Если t < 0, то 4£2 +1 — 3 = 0, откуда t\ = — 1 < 0.
Итак, cos3x = -1, откуда х = | , n € Z.
5.146. х = ^ + 2лп, п € Z.
5.147. х = | + n € Z.
5.148. х = я + 2лп, n € Z.
5.149. х = ^ п е Z.
Решение. Пусть Р=т^и-
= ~ctg(f + Р) = tg+ Р), откуда
Тогда
tg°s
а - Р = ^ + кл, к€ Z.
(3)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
jncgsl* где cos2x Ф 0, так как значения х,
Ноа-Р * удовлетворяют исходному уравнению.
<os' = 0'* 2l = t, тогда
2 cos4 х +
Рассмотрим функцию
2 cos2 а
№ = а2 +1.
(4)
Так как /(О = 4* ” 2t* = Ь (*3 ~ то f'<t) = Q ^
/(<)>0 ^ Поэто«У /Of)wrV)//(3)<0
t€ (0; 1). < Ф откуда следует, что Л ' 'W = | при
f€ (0; 1), t ф откуда следует, что
0<7®<Т "р” ‘е(0;1)-
Тогда из (4)-(6) получаем
О < а ~ В < ~
3
.«ому равенство (3) выполняется только при * =о, т.е.
откуда
а — (3 — 2jtcos2x _ 2л
4cos6z + 1 ~ 3 '
4 cos6x — 3 cos2x + 1=0.
Полагая t = cos2x, получаем уравнение
4*3 — ЗГ + 1 = о.
(7)
(8)
ЕслиФ(<) = 4^3 ч* , 1
а/равнев„е>7()310 ' Т0 Ф'0> = 3(4*2 - 1).
?• Ф'(Г) < 0 ппи г с Гп Лет На отРезке (0; 1] единственный корень Го =
>*"ельно 1°: i)/ f (<) > 0 при t £ (J; I), ф-(1) = 0. «(}) = 0.
тРеэке[1; jj fj03TQ Ция Убывает на отрезке [0; |] и возрастает на
^Реэке (0; 1], а СОд2М^ 2 ~ единственный корень уравнения (8) на
**&едие c°s2x «In, — единственное решение уравнения (7). Так
flH°r° Уравнен^ ~ 2 Равносильно уравнению cos2x = 0, то все корни
определяются формулой
230
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ • ОТВЕТЫ
5.152. х
f + т-пе
5.153. х = —§ + 2лn, п 6 Z.
Решение. Если cos4x^0, то исходное уравнение рав
каждому из уравнений н н°Сильи0
4(1 + tg2 4х) + cos6x — 1 = 2 — 3* t
coe4x
—\ 2 sin2 Зх = 2 -n3j.
cos14х cos4x
Полагая sin3xcos4x = t, получаем уравнение t2 + t — 2 = n
корни «1 = -2, t2 = 1. Меющ««
Так как |t| ^ 1, то t = 1, т. е.
sin3x cos4x = 1.
Уравнение (1) равносильно исходному, а уравнение
sin 4х cos Зх = 0.
является следствием уравнения (1). Из (1) и (2) получаем:
sin4x cos3x — sin3x cos4x = —1, т. e.
sinx = —1. №
Уравнение (3) является следствием уравнения (1) и имеет корни
х = —— + 2лп, п € Z. ^
2
Проверка показывает, что значения х, определяемые формулой (4),Я8ЛЯ
ются корнями уравнения (1) и исходного уравнения. на
Указание. Стандартный способ решения уравнения (1) оСН°ВнаеНнИй
том, что уравнение (1) равносильно совокупности двух систем ура
Jsin3x = 1,
\cos4x — 1;
5.154. х =-5 + 2лп, n G Z.
5.155. х = | + 2лп, п € Z.
5.156. х = § + 2лп, n € Z.
5.157. i = J + Z.
Г sin3x = —1,
\cos4x = —1.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
име Так как cos3a = 4cos3a - 3cosa то о
■0. а »“мное >'>>авнение Равносильно каждому изур^ =
4 cos2 2х cos 4х + 4 cos3 2х = 0,
cos2 2х (cos4x + cos2x) = 0,
cos2x cos3x cosx = 0.
УСЛОВИИ, что cos3x Ф 0.
"PHo если cosx = 0, то cos3x = 0. Поэтому исходное уравнение при
овии cos3x ф 0 равносильно уравнению cos2x = 0, откуда х = д + й
Ге I. 42’
Найденные решения х удовлетворяют условию соэЗх^О и являются
решениями исходного уравнения.
5.158. х = ±§ + яп, п € Z.
5.159. х = 1?. n€Z.
5.160. x = f + ^у, n€ Z.
5.161. х = § + ^у, & G Z.
Решение. Так как sin3x = 3£|.n*-,in3*, cos3x = ^SI+C0831, то
sin3 x cos 3x + cos3 x sin 3x = | (sin x cos 3x + cos x sin 3x) = § sin 4x, и ис¬
ходное уравнение равносильно уравнению
sin 4х
18in2x|
= 1.
(1)
а) Если sin2x>0, то из (1) следует, что cos2x = y откуда
1 = ±| + пп, п G Z. Условию sin2x > 0 удовлетворяют следующие зна¬
чения:
(2)
я
х = —I- пп, п € .
6
6) Если sin2x < 0, то cos2x = -±, х = ±§ + яп, n € Z, а условию
<0 удовлетворяют значения
х = — — + лп, n G Z.
з
(3)
Заметим, что серии корней (2) и (3) можно объединить в одну серию.
(4)
а: = - -h -А:, к£%.
6 2
1%2п°~1ДеЛе* если & = 2п, то из (4) следует, что х - g +яп’ а е
• т° из (4) получаем
х = —- + яп, n G Z.
з
232
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ • ОТВЕТЫ
5.162. у + 2лп, -§ + 2лп' n е Z.
5.163. i+лп. Щ+яп,п€Х.
5.164. -| + 2лп. f + 2лп, neZ.
5.165. х = я + 2л*, х = л + ± arcsm ^ + 2л*. * = f . 1
+ 2л*. * € Z. Г+
Решение. Каждое из уравнения
7 — \/б tgx = 7 cos2x, 7 sin2 х = %/б tgx
равносильно исходному при условии, что cosx < 0.
1) Если sinx = 0, то х = лп, n € Z. Так как cosx<0, то коо
исходного уравнения являются числа х = л + 2лк, к е Z. '
2) Если 7sinx = ^L, то sinx = откуда
1 . . 2у/в лп
х = - • (-1) arcsm у + —, n € Z.
Пусть п = 2р, р € Z, тогда значения х = | arcsin 2^1 + лр, р€ Z ую-
влетворяют условию cosx < 0 при р = 2к + 1, т. е. в этом случае корням
исходного уравнения являются числа
1 • 2^/5 „ , ,
х = л + - arcsm (- 2лк. к € Z.
2 7
Пусть п = 2р + 1, тогда числа
1 . 2у/б л
х = — arcsm |- — + лр, р € Z
2 7 2
удовлетворяют условию cosx < 0 при р = 2к + 1, т. е. в этом случае шр-
нями исходного уравнения являются числа
ЗЛ 1 . 2у/б л ,
х = arcsm + 2л ж,
2 2 7
AreZ.
5.166. у + 2яп, + 2лп, + 2лп, п € Z. ^
5.167. я + 2лп, — arctgS + (2п + 1)л, -arctg^g + (2п + О31* " ^
5.168. у + 2лп, arctg\/l0 + (2п + 1)я, arctg-^j + (2л + я
5.169. х=™, кф7т, keZ, meZ. ^
Решение. Область допустимых значений х уравнения
условиями sinx ф 0, cosx ф 0, sin3x ф 0, которые равносильн
совх^О, бшЗх^О,
"Мк как все корни уравнения sinx = 0 являются корня**14
ашЗх = 0.
УР»
а
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ « ОТВЕТЫ
выполнении условий (I) исходное уравнение ра=„ос„Л1то
„ранении
1
sinx
sinx —sinx ,
—— •_ О- »
— sln3x + 5^tgI + ct6z) = О,
sinx sin3x
in 4х + sin3.
"sin2x sin 3x
sin2x
= 0,
2cos2x
+
1
sinjx + sin3x _ 0) sin Ц- спя £ = n 7*
sin3x 'r sin2x ~
f cos | = 0, sin ~ = 0,
венств cosf =0 следует равенство sinx = 0. Итак, нужно
5ти к°РнИ УРавнеНИЯ sin 1±=Q, (2)
ровлетворяющие условиям (1).
Уравнение (2) имеет корни
X-25S, ке Z.
(3)
Из (3) следует, что равенство cosx = cos ^ = 0 выполняется, если
Si s 5 + лш, т € Z, откуда 4fc = 7 + 14m. Это равенство не выполня¬
ется ни при каких целых Ьт(в левой его части четное, а в правой —
нечетное число). Итак, cosx Ф 0, если х определяется формулой (3).
Из (3) следует, что равенство sin3x = sin^i =0 выполняется, если
Jj* = лп, п € Z, откуда 6 к = 7п,к~ 7 то, т € Z. ^Ta^3”afc4^H^I^n Д.
шяемые формулой (3), удовлетворяет условиям (1), если ф
5.170. f + «*;fc€Z. f(2n + l),n^7m + 3,n6Z,meZ.
5.171. s + fe е Z, 2^, n # 5m, n € Z, m € Z.
5.172. Ц2к + 1), к ф 7n + 3, к 6 Z. n € Z.
5.173. * + яп> ngZ.
Решение. cos3x = cosx(4cos2x- 3),
6in3x — 2sinx = sinx — 4sin3x = sinx(4cos x
соб2х - 3 = 2cos2x - 1-
sinx ф 0, cos2x Ф 0, cos2x Ф T-e-
81п2х^0, cos2x ф 2>
*a°JHoe уравнение равносильно каждому из УРав
ctgx = tg2x, tg3x = l.
**УДа
X = 5 + ЛП,
4
п € Z.
234
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
5.174. дп, nez.
5.175. f -f-лп, ле
5.176. §+лп, п€
5.177. яп, (-1)пага>т*ЗЫ + лп> п €
Решение.'Допустимые значения х данного уравнения оПределя1от
с, условвем costal так как корни уравнения соа* = о co«p*J
срыв корней уравнения соаЗх = 0.
sin2x
>s х cos
исходное уравнение равносильно
Так как tg3x - tgx = С0**ПС0531. то при выполнении условия сочз,j
эсильно каждому из уравнений 1,4(1
sin2x = cosx — cos3x — sin4x,
sin2x = 2sin2x sinx — 2sin2x cos2x,
sin2x(l — 2sinx + 2cos2x) = 0.
Если sin2x = 0, то либо sinx = 0, либо cosx = 0, и тогда не выполня¬
ется условие cos3x ф 0.
Если 1 — 2sinx + 2cos2x = 0, то 4sin2x + 2sinx — 3 = 0, откуда
6inI=^H.
Так как -1 - \/13 < -4, а корни уравнений sinx = 0 и sinx =
удовлетворяют условию cos3x^0, то эти корни являются корнями ис¬
ходного уравнения.
5.178. яп, (—l)n->~1arcsin >/^~1 + яп, п € Z.
5.179. (-1)"- larcsin^Sbi + ?f, п € Z.
5.180. if, (-l)n+1 • iarcsin^J^- + n € Z.
5.181. яп, ±| + яп, n € Z.
Решение. Так как sin3xcos5x = ^(sin8x — sin2x), sin2xcos6i-
= 5(sin8x — sin4x) и cosx Ф 0, то уравнение равносильно каждому
уравнений
sin 4х — sin 2x n
- = U,
2 cosx
sin2x(2cos2x — 1) _ n
— — U,
2 cosx
sinx (2cos2x — M = 0.
' 2 _= ±5 +J|fl'
Если sinx = 0, to x = яп, n € Z, а если cos2x = 5’ T0 X
n€Z.
5.182. f, | + f,„ez.
5.183. ±£ + f,ne Z.
5.184. Zf, -f + *f, neZ.
5.185. яп, § + 2яп, n € Z.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ « Qtbftm
"■а нце. Используя формулы
реШеН
235
8«4 + 4«3 - 6й2 - 3(t + |tl) = 0. (
а) Если 12 0 (sina: > °)» т0 УРавнение (1) примет вид
t(4t3 + 2t2 — 3t — 3) = 0. (2)
разложим на множители многочлен P(t) = 4t3 + 2t2 - 3t - 3 уЧИты
m, что i = 1 - его K0PeHb- Имеем
Pit) = 4(t3 - t2) + 6(t2 -t) + 3(t -1 ) = (t- l)(4t2 + Ы + 3).
Так как уравнение 4t2 + 6t + 3 = 0 не имеет действительных корней
то корнями уравнения (2) являются числа 0 и 1. Если t = 0, т.е. sinx = 0,’
тох = лп, n G Z, а если t = 1, to x = § + 2яп.
б) Если t < 0 (sinx < 0), то уравнение (1) можно записать в ви¬
де t2(4t2 + 2t-3) = 0. Уравнение 4t2 + 2t-3 = 0 имеет корни ^ =
t2 = > о. В этом случае исходное уравнение не
имеет решений.
5.186. лп, (~l)narcsin 4- лп, п € Z.
5.187. 2лп, f + 2лп, пб2.
5.188. 5 + лп, iarccos + 2лп, п € Z.
5189. + 2лк, arctg2 + л + 2лк, к £ Z.
Решение. Возводя в квадрат обе части уравнения, получаем
22
8tgx -( = 15(1 + sin2x).
tgx
Полагая tgx = t и пользуясь формулой sin2x = получаем
n vw AVI' AVV |
брззуем это уравнение, учитывая, что t = 1 — ег0 корень. Имеем
8(f4 - t3) - 7{t3 -t)- 22(t - 1) = 0,
8i4 - 15t3 - 15i + 22 = 0.
15« + 22 = 0.
(t ~ 1)(813 - 7t(t + 1) - 22) = 0,
(< - 1)(813 - 712 -71- 22) = 0.
236
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
Преобразуем второй множитель левой части последнего ypaeri ^
учитывая, что t = 2 — корень многочлена P(t), где енНя,
P(t) = 813 - 16t2 + 912 - 18* + Ш - 22 = (* - 2)(812 + 9t + П)
Так как уравнение 8t2 + 9t + И = 0 не имеет действительных корней то
а) Если t = tgx = 1, то х = f + лк, к € Z, откуда sinx = COSj.^
= ±72-
Исходному уравнению удовлетворяют только значения х такие
sinx = cosx = откуда х = ^ + 2лп, п € Z. ' 0
б) Если t = tgx = \/2, то х = arctg %/2 + л к, к € Z.
Первому уравнению удовлетворяют лишь значения х такие, что
sinx < 0, cosx < 0, т.е. значения
х = arctg %/2 + л + 2лп, п € Z.
5.190. + 2лк, arctg2 + 2лк, к € Z.
5.191. j + 2лк, arctg3 + 2лк, к € Z.
5.192. —S + 2лк, arctg3 + л + 2лк, к Е Z.
5.193. x = £ + f,neZ.
Решение. Данное уравнение равносильно каждому из следующих:
1 + cos4x , 1 4- cos8x _ , , cos6x
2 2 — sin6x ’
cos6x cos2x = CQSgX, cos6x •
sm 6x ’
i(cos4x + cos8x) = fJ§,
(cos2x = 0.
\ sin ox/
а) Если cos6x = 0, to x = + sp, к € Z (при этом условие sin6x
выполняется).
б) Рассмотрим уравнение cos2xsin6x = 1. Поскольку Ico^xKj
|sin6x| < 1, то |cos2x| = 1. Но тогда sin2x = 0 и, следовательно, sinox-
= 0. Поэтому уравнение cos2xsin6x = 1 не имеет решений.
5.194. * = ! + X’ n6Z.
5.195. х- 5 + 2^, n € Z.
5.196. + keZ.
5.197. х = | + 2лА:, х = - arctg & + 2лк, к € Z.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
• 2 (1)
3 + 4cos2x = -1" х + 2%/3 sinx cosx + 9cos2a;
при условии + 3cosx ^ 0. Используя основное тригонометри
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
237
/o~3cos2x + 3sin х) и приводя подобные слагаемые поли
„„ство " ’ 'т-
2cos2x + 2%/3sinxcosx - §sin2x = 0.
кой убеждаемся, что при sinx = 0 решений нет. Если разделить
И**" уравнения (1) на 2sin2x, то получается уравнение ctg2x +
об«гчас _ 4 о, решая которое, находим, что ctgx = -4. или ctgx =
, 1 Следовательно, х = - arctg ^ + л* или х = § + л*, х 6 Z.
Условию ^ + Зсозх ^ О удовлетворяют только значения х =
s_arctg# + 2л* и х = § + 2лЛ.
519g д. _ _2 + 2лА, х = arctg + 2лА, А: € Z.
5.199. х = - arctg ^ + 2лк, х = - arctg & + 2лА, А: 6 Z.
5.200. х = -g + 2лА:, х = arctg ^ + 2лА:, А: € Z.
5.201. х = 2л + 4лА, А: € Z.
Решен ие. Данное уравнение равносильно уравнению
27 + sin (Зх + |) = 28 sin2 (f - 5)
при условии sin (| - |) > 0.
С помощью формул приведения, формул понижения степени и фор-
вулы косинуса тройного угла получаем
27 + cos3x = 14 — 14cos(x — л), 13 + 4cos3x — 3cosx = 14cosx,
4cos3x — 17cosx + 13 = 0.
ним «копC°^X ~ y ^ *)» получаем уравнение4y3 - 17y + 13-0,од-
рнеи которого является у = 1. После деления на (у - 1) остается
едНнИц " + Ау ~ 13 = 0. Его корни (у = =^/И) по модулю больше
С’ЛеГаТеЛьно’ их нужно отбросить.
П°лставля ’ T05os^ = 1> х = 2лш, m € Z. , . л
^ещ sjn / поденные значения х в неравенство sin(§ - 5) ^ п0*
1*ечетные зна^ " Ю ^ 0. Последнему неравенству удовлетворяют только
202 т> т- е- m = 2к + 1, к € Z, откуда х = 2л + 4лА. к € Z.
5'203. ~ ' Т + 4лА:, ™
А: € Z.
238
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ » ОТВЕТЫ
Ре ш е н и е. На ОДЗ данное уравнение равносильно
дующих:
Ка*Д°му „з
cosx cos (x+f) cosx sin(x + |) _ sin2i
cos2i cos2i V^cos2x’
cosx ^cos (x + I) + sin (x + J)) = y/2 sin2x cos2x,
cosx ■ \/2 cosx = \/2 sin2x cos2x.
откуда cosx = 0 или tgx = l, t. e. x = § + лк или x = 2 + .
Условию cos2x Ф 0 удовлетворяют только значения я = 2+л* Jfce7
5.206. х = § + лк, к € Z. ’
5.207. х = § + лк, к € Z.
5.208. х = \ + лк, к€Ъ.
5.209. х=*+лк, keZ.
Р е ш е н и е. На ОДЗ данное уравнение равносильно каждому из с«.
дующих:
/о [ sinx 2sinxcosx ^ _ cosx
^sinx - cosx (sinx - cosx)(sinx + cosx) J ~ sinx + cosx’
v/3 (sinx(sinx + cosx) — 2 sinx cosx) = cosx(sinx - cosx);
v/3sinx(sinx — cosx) = cosx (sinx — cosx).
У последнего уравнения можем сократить обе части на sinx - cosx, так
как из ОДЗ следует, что sinx — cosx Ф 0. В итоге получаем уравнение
\/3sinx = cosx, откуда ctgx = \/3, х = $ + л к, к € Z. Эти корни входят
в ОДЗ. 6
5.210. х = + лк, к € Z.
5.211. х = § + лк, к€Х.
5.212. х = —§ + лк, k€Z.
6. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
= arccos § + 2лк, Гх = -arccos § + 2л(:
jy = (-l)marcsiny§ +лт, 1Р = (-1Г*‘агсйП;/|+лт
keZ, теZ.
Гг = arctg4 + 2jtAr, Гж = arctg4 + (2к + 1)п,
6'2' U = arccos f + 2jim> U = arccos l + (2тп+ 1)л,
к € Z, me Z.
03 f* = arcsiog + 2>«*. fx = -arcsing + (2A + l)n,
| у - ± arccos jq- + 2лт, | у = ± arccos ^ + (2m + 1)л,
к € Z, m € Z.
6.4. /* = arct€5 +2лт, Гх = arctg* + (2m + 1)л,
(у = arctg2%/2 + 2лп, [у = arctg2\/2 + (2n + 1)л,
m € Z, n € Z.
an i + ±7л + 2лп), к €Z, n6Z-
Решение. Выводя в квадрат обе час™ пеР™™ J«в2у +1.
чая из полученной системы у с помои*»0 | Р yc0S22x, которое сводит-
придем к уравнению cos'4 (Зх + 4 J — i системы.
СЯ к уравнению sin2x = —5, являющемуся следствиеми^^ __ ^
откуда
Тогда из второго уравнения исходной системы по У системы. Итак,
«> = -4,, так как cosy ^ 0 в силу первого уравнения
= Н cosy = —4». Из последних равенств находим г
*»■ I = ±1 + лк. у = (-1)"+If + *"• к6Ъ■ "Д , п£2.
6.Т. * = (Д)» JL + S к, у = 3 + (-1)* I + »■ ‘
6.8. х = ±| + й, У2= _| + (-1)” 5 + лп. Е «f- "ДД
I. х = ±|+яп + ^,у1 = ±1+лп-лЕ.п€г,к€А
I «ДО. х ^ * я * 9 — () ' — -- -г
€г*Пб/"? + (-1)*й + ^ + лп,у = -| + (-1)к+1й"Т + ™>
УРавне^л Н И е‘ ^олагая sinx cosy = u, cosx sin у = v, получаем систему
Нений
°ТкУ4а u = _ 1
4* V
Г 6u + 2v = -3,
\5u — 3v = 1,
3
4 ■
240 СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ » ОТВст>||
Исходная система равносильна каждой из следующих снст ^
rsinxcosy =^sin(x + у) =
cosxsiny = — 4»
sin(x - у) = I.
6.11. х = ±* + *+лп + пк,у = ±* + *-лп + лк,П£Х .
6.12. х = 5 + (-1)"+1 £ + ^+лЛ,у = -2 + (_!)«+! а / ** I
п €Z,kez. 12 + т-~л*,
6.13. (| + 2nfc; f + 2яп), к, пб2.
Решение. Разделив обе части каждого из уравнений сис
• п ж! > а • i #11 n pti> л a ''Wbi на 2
запишем эту систему в виде
[sinx sin | + cosy cos ^ |,
sin у sin j + cosx cos f = 7.
Складывая полученные уравнения почленно, находим
«*(*- f) + cos(y~ f) = 2-
Это уравнение является следствием исходной системы и имеет решения
тогда и только тогда, когда cos(x — |) = 1 и cos (у — J) = 1, откуда
х = ^ + 2лк, Л 6 Z, у = ~ + 2лп, п € Z.
Найденные значения х и у, как показывает проверка, удовлетворяют ис¬
ходной системе.
6.14. (2р +2лк\ + 2лп), к, п е Z.
6.15. (у + 2л&; Зр + 2лп), к,п е Z.
6.16. (! + 2я*; ~^+2лп). к,пе%.
7. РАЗНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
71. п=105-
7 2. п = 235-
7.3. п =1б5,
74. п = 65.
7 5. 1) X = ±f + Т* П ^ ^ ^mftx ~ 2. /min = 1.
ре ш е н и е. Используя тождества
• б„ 4. COS6! = sin4! + COS4! — sin2x COS2 X =
Sin * T wo
= 1 — 3sin2xcos21 = 1 - 2sin22i
4 1
sin4 x + cos4 x = 1 — | sin2 2x
i полагая sin22i = t, получаем
1 - 5 _ 2t-2 _ 2 (*~ |) - | _ 2 9 1 ...
4 “£(0i
3 t-i 3
4*-f
f(x) - 1 _ 3t 3 f
1 4 -
где 0 ^ t ^ 1.
Функция g(t) является возрастающей на отрезке [0; 1], и поэтому g^ =
=г(0) = 1. £тах =£(!) = 2- Если /0е) = Т- Т0 S{t) = т- т е- =
= у, откуда t = |. Следовательно, sin2 2х = | или cos4x = откуда
* = ±f + у, n€Z.
7.6. X = ±2 + Лк, к е Z, /max = /mi„ = §•
7.7. ! = ±f + f, А: е Z, /тах = 1, /min = i.
7.8. X — ±- -(- Л/с, fc G Z, /max = §> /min = is-
7.9. лАс, § + =т + 2nJk, А: е Z, т = 0,1,2, 3.
Решение. Если выполняется условие
cos3x Ф 0,
10 исходное уравнение равносильно каждому из уравнений
cos2 X - cos3x cos5х = 8sin! COS! sin3x cos3x,
|(1 + cos2x) — i(cos8x + cos2!) = 2sin2isin6i,
cos8x — 2cos4! +1 = 0,
2 cos2 4x — 2 cos 4! = 0,
cos4x(l — cos 4!) = 0.
(1)
a) Нели
cos4x = 0, to
^th
Л , ЯП
X=8+T'
п
ez.
(2)
ацения х удовлетворяют условию (1)
ид>ц0TBI5T*
. ,„ачения I. определяемые: формулой (2).
Выясним, какне эиаяени ^ дюб0е „ £ Z можно записать
рают условию ain* > < ** может принимать значения о, 1 >
"ePaMHCTS” 8Ш m = 4'5.M’!
неравенство sinx < 0. х = ш», п 6 Z- Если ” = 2* + 1. то * в а +
б) Пусть cos4а: - *> т T02I - nfc, cos3x ?£ 0, sinx =0. 2 +
+ л*. cos3x = 0, а есл« , •овлетворЯют условию (1) и неравенств,
Поэтому значения х
Sinl^°' я « o.2»fc fc€Z.m = 0,1.6,7.
Tin - + 5 ЯГ + 4Я/С, * ^ >
' ‘u . o*jk »±а+2як,л-а + 2лк, fc € Z, а= ;jarccos(-|)
7 11. як, а+2лк, 2 xu-г
. «_а + 2„fciJi + a + 2nfc,fceZ,a=iarccosb5.
7.12. —о + ^лк* 2
решение1 Сое УРаинеиие равносильно каждому из следу»»,
cos6x _ sin5x 1 —
sin6x cos5x cos5x’
cos6i cos5z — sin6x sin5x 1
cos5x’
1
sin6xcos5x
cos 1 lx
sin 6x cos 5x cos 5x
Последнее уравнение равносильно уравнению cos^* ~ S1"6„j^
условии sin 6х cos 5x^0. Уравнение cos Их = sm6x равносил
му из следующих:
cos Их - cos (бх — §) = Оз
-2sin - 5) sin (^ + f) = °-
Если sin (тр + а) = о, то ^ + \ = я*, к G Z, откуда 5х - 2^ 0
к€ Z. Эти числа не являются корнями исходного уравн
нарушается условие cos5x Ф 0. и оТре-
Если аи(1? + })=0. то На данный в
зок попадают числа 17л/34,21я/34,25я/34,... Первое излед0вательИ(|'
влетворяет условию cos5x Ф 0 (так как 17я/34 = л/2) и, с услов*4®
не является решением уравнения. Число 21я/34 удовлетвор и*
sin6x cos5x Ф 0; значит, именно оно является минимальн
данном отрезке.
7.14. х = 97л/62.
7.15. х = 87л/26.
7.16. х = -23л/38.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
__ 1
решение. Заметим, что функции, входящие в уравнение, опреде¬
лены при 0<х<^, хф\. ^
Переходя к логарифмам по основанию х, преобразуем уравнение к
виДУ logj(3 - 2х) = logx(3 - 2х) + 2,
откуда
Iog.,.(3 - 2х) = 2, logx(3 - 2х)
0 первом случае^ _2Х = х2? Xl = -3, х2 = 1.
Во втором случае 2 i
3 — 2х = -, х3 = 1, 14 = г*
X *
Условиям (1) удовлетворяет лишь х =
8.2. х = ■jj I х 4 ■
8.3. х= |, х = 2.
8.4. х= g, х = §.
8.5. xi = —7, Х2 = 0, Хз = 3.
Указание. Исходное уравнение равносильно уравнению
log7|x-l| + log7^-j^ = 0,
которое равносильно совокупности двух систем:
fx>l, Гх< 1,
\(2х + 9)(х — 1) = 7х + 9 И \(2х + 9)(1-х) = 7х + 9.
8.6. xj = 0; х2 = 2; х3 = 5.
JI- xi = 0; х2 = 7; х3 = 10.
Jo 11 = -2; х2 = 0; х3 = 3.
° Xi = log23, х2 = 3.
опоеле ш е н и е- Область допустимых значений х данного уравн
Шляется условиями
1*1 < VIT, |х| Ф л/10, *>!> х^2,
Л(х) = 21 — 6 + 3 • 22-1 > О-
4 Ь»» h(x) e lf то
(2*)2 - 7 • 2х + 12 = (2х - 3)(2* - 4) = О,
(1)
(2)
%aIas
*°82 3,1 — 2.
244
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ . |
Число х = Iog23 удовлетворяет условиям (1) и является
,ного уравнения, а число * = 2 не удовлетворяет условиям тРНем *•
г.... I./,-'* J. 1 и ВЫПОЛНЯЮТСЯ УСЛОВИЯ ТП ....
ние равносильно уравнению
И -х2 = х- 1 или х2+х-12 = о,
Уравне.
откуда х = -4, х = 3.
Число х = -4 не удовлетворяет условиям (1), а число х-з
творяет условиям (1)-(2), А(3) ф 1 и поэтому х = 3 - коренГисхГ^'
уравнения. ДНОго
8.10. xi =-log32, х2 = 2.
8.11. xi = log34, х2 = 4.
8.12. xi = -Iog43, х2 = 3.
8.13. х = -2-уД.
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется
условием |х| > 2, при выполнении которого исходное уравнение равно¬
сильно каждому из уравнений
Пусть t = i/log3(x + 2)2, тогда t2 + 3t — 4 = 0, откуда t\ = -4, t2 = 1. Так
как *>0, то t = v^log3(x+2)2 = 1, откуда log3(x + 2)2 = 1, (х + 2)2 =
= 3, xi = -2 + у/Ъ. х2 = -2 - л/З. Корень xt не удовлетворяет условию
|х| > 2, а корень х2 удовлетворяет этому условию и является корнем
исходного уравнения.
8.14. х = 1 + л/2.
8.15. х = 2 + у/ъ.
8.16. х = -1 - V3.
условиями
условиями
ИСКАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ . ,
/ i\3 о i ■
t = 3. то (х + з) = х3 + I ИЛИ 27*2+9*-8-п
ГП2Т27 _ 1 _L У105 \г ... и> от-
ТГ- УсЛ0виям 0) Удовлетворяет Л
1 + а/§
8.18. XI = -1' 3:2 з(]
- „ _ lWI
,.I9. п = 1.« 4 •
520. i,=0.*2 ’
8.21- * = у-
решение. Преобразуя левую часть, получаем уравнение
—log3(x2 - 11а: + 19) + — 3 log3x = ——.
1 — х 3(1 — 1) 1 — 1
которое равносильно на ОДЗ (х ф 1, х > 0, х2 — 11х + 9 > 0) каждому из
следующих уравнений:
log3(x2 — 11а: + 19) + log3x = 2,
log3(x3 — 1 la:2 + 19а:) = log39,
х3 — Их2 + 19а: — 9 = 0.
Одним из корней кубического уравнения является х = 1. Выделив множи¬
тель (i - 1), получаем уравнение (х — 1)(х2 — 10х + 9) = 0, откуда х = 1
или I = 9. В ОДЗ входит только корень х = 9.
8.22. i = l.
8.23. 1 = 8.
8.24. г = 5.
9.125. 1 = 3, х = -1, х = 6.
Решение. Данное уравнение равносильно каждому из следующих:
7^2 1о6б1*1 + 2(i4_ 2) log6|a: - 5| = ^
/ 1оёе |*| + log6 |х - 5| = 1, jlog6 \х2 - 5*1 = logo 6>
\*-25&0 * 1x^2.
** - 5г = Яе I1 - 5х| = б эквивалентно совокупности двух УР 3
1 ~ 5х = 6, решая которые, находим, что *
9 i*L ~ ”• Значение х = 2 не входит в ОДЗ.
« , 8- * = -1- т_ -5±ч/4Т
9l27. ’ * fr-
9.128 ;~1: * = 2±v/\
*29.
1 ~ ~2; х- -з±у/Г7
Г П О
X =
2/3.
246
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ и логарифмические уравнения
i^BETbl
Решение. На ОДЗ данное уравнение равносильн
двух уравнений 0 СОв°ку(1нГх
г 2X+1 + 1 = 10 - 22-*, **
Зх2 + 4х — 3 = 1,
которую можно записать в виде
2 • 221 - 9 • 2* + 4 = 0,
Зх2 + 4х — 4 = 0.
Из первого уравнения получаем 2* = 1/2 или 2х = 4, откуда
I х = 2. Из второго уравнения следует, что х = -2 или х = о
. _ Л _ Л /Л */w. С
ИЛИ
удовлетворяют только значения х = 2 и х = 2/3.
8.30. х = 4; х = —2.
2/3. ОДЗ
8.31. х = 3; х = 5/3.
8.32. х = 2; х = — 1.
8.33. х = 3.
Решение. Заметим, что log6r_5(6x2 - 11х + 5) = 1 4- 1о&^(хч),
log^j (х3 -1) = 1 + log*.! (х2 + х +1).
Если обозначить и = log6l^(x — 1), и = log*.! (х2 + х +1), то уравне¬
ние примет вид (u+l)(v+l) = (u + 1) + (v + 1), откуда ии = 1.
Возвращаясь к исходным переменным, получаем
l°gI_1(x2+х+1) • log6*^(x-1) = 1,
откуда log6*_5(x2 + x + l) = 1, х2 —5х + 6 = 0, х = 2 или х = 3. ВОД
входит только корень х = 3.
8.34. х = 7.
8.35. х = 4.
8.36. х = 5.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
о1 х Ф 0 < х < 5’ х > *•
9 и м е Так как 16х4 - 8х2 + 1 = (4х2 - П2 тп
неравенство, определены при |х| # J, а само\ер!кнстю „“Г"
J'lll0 каыому из следующих: " Р«но-
1^2-ч>зх. (])
Левая часть (1) неотрицательна, поэтому все значения х такие, что
х <0, х ф ,
2
являются решениями неравенства.
При х > 0 возникают две возможности, связанные со знаком числа
4iJ -1.
1) х> 5, тогда 4х2 - 1 > 0, и неравенство (1) эквивалентно
4х2 — 1 > Зх, или (х - 1)(4х + 1) > О,
откуда с учетом условия х > | получаем х > 1.
2) 0<х < ±, тогда 4х2 - 1 < 0 и 1 - 4х2 > Зх, или (х + 1)(4х-1) <0,
откуда 0 < х <
*€ {(-со; -*) U (-*; 0) U (1; *) U (fc *)}.
».з.1 € {-75)и (-fr s)и 0; +°°)}-
9-4. х е {(-оо; -V2) U (—ч/2; 0) U (О; U [2; +оо)}.
II' log7 | < х < log7 |, 0 < х < log7 4.
°®5/2 2 < х < 1, х < —1.
J‘7‘ log5 В < * < logj i, 0 < X < logs 3-
*°S28/93 < X < 1, X<—
9 in 1 ^ ^log5 6 < X < \/2.
Рещ "l062 < 1 < —1-
e н и e. Неравенство равносильно системе неравенств
2~х — 1 ^ О,
3 - \/2~х -Т > О,
3 П0лоЖив ,^0_
3 - у/2~х - 1 < 2~х.
У к \/у^ТУ * ^~Х‘ полУчаем неравенства у
>1, у^<3-
248
ппу^атгльные и логарифмические неравенства
ОТВЕТЫ
Отсюда
1<у<10
и з _ (z2 + 1) < г, где г = y/у - 1 > О
Имеем: г + г — 2 > О,
о:
-log2 10 < х < —1
0)
г > 1, так как г > 0, т. е. v/jT^T > i
Учитывая (1). получаем 2 < у < 10, 2 < 2~х < 10|’ у > 2.
. лт
9.11. х^-1, \/1°®4 5 < х < V2.
9.12. -log3 18 < х < —1.
9.13. x<log323±^1, х> 1.
9.14. log3^<x<l.
X < logi3i±^, Х>1.
2 - log4 5 < х < 1.
-1 < х < -§, -f < х < О, х > 0.
-1 < х < -£, -^ < х < О, х > 0.
-| < х < -| < х < О, х > 0.
0ТкУда
9.15.
9.16.
9.17.
9.18.
9.19.
9.20.
9.21.
9.22.
-5 <х<-|, —I < х < 0, х>0.
х<-|, <х<0.
х < -§, 0 < х < ^.
Указание. Заменой u = log2 — х) , v = log2 |2х + неравенство
сводится к виду |^ > и - § v или v(u — v)(u — 2v) > 0. Здесь, если v >О,
то u < v или и > 2v, если же v < 0, то 2v < и < v.
9.23.
9.24.
9.25.
9.26.
9.27.
9.28.
9.29.
9.30.
9.31.
9.32.
—2 < х < —§, -1 < х < 0.
1<х<1 -1<х<-|.
25 <х< 25
9 ^ Х ^ 4 1
| <Х< 1.
5 < х < 1, 3 < х < И.
9 < X < 4> ^)<X<5g-
9
1 < X < 1 1
\ < X < 1.
4 ^ ^ 3’ *
X < -1, log3 2 < х < log3 10 - 1.
-1^х<0, x>log217-l.
х < 1, 2 < х ^ log2 17 — 1.
log3 2 - 1 ^ х < log3 2, х > 2.
9.33. (-3,-2) U (-1,0). ющихс"'
Указание. Неравенство равносильно совокупности следу
стем неравенств:
Г2"1 - 1 < 2-*"1 + 1,
и~х>\,
l|x + 2| > 1;
9.34. (0,1) U (2,3).
'2~х - 1 > 2-1-1 +
- 4-1 > 1,
.0< |х + 2| < 1-
9.35
9.36
9-37
9.38
^^гельные и логарифмические неравенств, . ^ПГТ||1
(0.S)uM)-
_i < х < 0.
_1 < х < ~ 5< — 4 <х<0, 0<х<1.
_1 <х< -з-
-1 < X < “5 < х < °. 0 < X < 1.
решен ие. Данное неравенство равносильно неравенству
logl2 |5х + 2| < logj.a 1*|,
которое равносильно совокупности следующих двух систем неравенств
m ГО < |*| < 1,
\|5х + 2|>|х|. ®
{
|х| > It
|5х + 2| < |х|
Чтобы решить системы (1) и (2), построим графики функций у = \х\
иу = |5j + 2| (см. рис.).
Эти графики пересекаются в точках
h и В, абсциссы Xi и х2 которых яв¬
ляются корнями соответственно урав¬
нений 5х + 2 = — х и — 5х — 2 = —х, от¬
куда находим X! = -i, х2 = -5.
1) Если |х| > 1, то график функции
у=|5х + 2| лежит выше графика функ-
чии у = |х|. Поэтому система (1) не
имеет решений.
2) Если 0 < |х| < 1, то график функ-
“■ии У = |5х + 2| лежит выше графика
функции у = |х| на интервалах Дк =
Поэт!:.1^' Л’ = (Xl- 0) и Дз = (0, 1).
I», 0МУ множество решений системы
„^объединение интервалов Дь Д2
J'41, < х < ±=*51, 5 < х < 6.
е ш е н и е. Исходное неравенство равносильно следующему.
к'
f > 0, тогда - III - 12 = (х - 4)(х + 3) и нераве-стю (D
б) Пусть -< “ 4 < 2* откуда 5 < х < 6.
(1)
- ^ откуда ~
1 < 0, тогда неравенство (1) записывается в
.г II ППГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • ОТВЕТЫ
'
!52— — д п неравенство (2) равносильно
Если -3<3f<u’
х +
3 < х2 + х - 12 < 2(х + 3), или системе неравенств
НеРав(
е«ст*
(х2 - X -
\х2 - 15
с2 _ х - 18 < о,
>0,
где xi =
Х2 =
_ иУ73
Система неравенств
откуда
Г|х| > /15,
\-3 < х <
/*1 <*<*2,
IW > >/15,
0
несовместна.
Если х < -3, то система (2) равносильна системе
f(x-xi)(x-x2) >0,
t|x|</l5,
откуда —/15 < х < Xi, так как xi > —/15.
9.42. 1 - /37 < х < ^ < х < 6.'
9.43. < х < 1 - /19, 4 < х < 7.
9.44. -1±^Ш < х < -/61, ™ < х < 9.
9.45. g < х < 1, х ^ 1, х Ф 2.
Решение. Полагая log2 х = t и учитывая, что х > 0, log4 х2 = log2i
(при х > 0), преобразуем исходное неравенство к виду
! < _J_. (1)
|t+l|-2 |i| - 1
Рассмотрим три возможных случая: t < —1, — 1 < t < 0, t > О-
1) При t ^ — 1 неравенство (1) равносильно каждому из
венств ^2^, (t+3f{t+T5 ^ 0, откуда -3<t< ■
—3 < log2 X < —1, g < X < 3. !
2) Если -1 < t < 0, то из (1) следует, что *п ^ q
^ °> 0ТКУДа t < -1 или 0 ^ t < 1. В этом случае неравенств
не имеет решений. являет01
3) При t ^ 0 из (1) следует, что ^ < ^гт- Это неравенств
верным при всех t > 0, кроме t = 1, т. е. при х > 1 и х / 2.
9.46. О < х < 1, 1<х<1, 4 < х < 16.
9.47. аЗз<х<1, 1<х<3, х>3.
9.48. £<х<1,х^3,х#9.
9.49. —4 < х < 1 — 2/6, -/I5^x^-f -
ИЛИ
(1)
1 + 2/6 < х < 6
Р
ется условиями
Решение. Область F „
допустимых значений неравенства
2х + 9 >0, 2Х + 9/1,
оПр^
24 + 2^"^
показательные и ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕнгтр» . .ТПП1|
_ х) > 0, 24 + 2х - х2 ф 1. Отсюда
*Р?7ь) с выброшенными точками x^l-2^, х "717 «н'
азлИ’ ' *4,8. 1 + 2V6,
11 'обозначим (- 1о&«+9 (24 + 2х -1 ), тогда неравенство примет
... ..... Ч=ц—1 <0. откуда следует, что либо (<о
1 +
з < 3 или
Т < у О
а) Пусть
где
вид
• либо
t < 0, т. е.
Если
log2i+9 (24 + 2х - х2) < 0.
х е Е, то 2х + 9 > 1 и неравенство (1) на множестве Е
(1)
равно¬
сильно неравенству 24 + 2х - х2 < 1 или
(х - хх)(х - х2) > 0.
Поэтому множество решений неравенства (1) — объединение интер¬
валов (-4; хО и (х2; 6).
б) Пусть 1 ^ t < 2, т. е.
1 ^ log2l+9 (24 + 2х - х2) < 2.
(2)
Так как 2х + 9 > 1 на множестве Е, то неравенство (2) равносильно
неравенству
2х + 9 ^ 24 + 2х — х2 < (2х + 9)2,
которое равносильно системе неравенств
{
5х2 + 34х + 57 = 5(х + 3) (х + f) ^ О,
х2 < 15.
(3)
(4)
Множество решений неравенства (3) — объединение промежутков
и х^ а множество решений неравенства (4) — отрезок
Щ, где xi < -у/ТЕ <~™< -3, >/П< х2. Следовательно,
множество решений неравенства (2) состоит из отрезков
*1~3, \ЛН). __
’■50- -11 < х < -1-З^П, -т/?5<х<Т.
1 + 3ЛТ<х<9.
!'**• '2<х< IxxS, _V3<x<-§, -1«x«n/3.
9-53 Ц '2‘
ъ. f ^х<:
2, х > 8.
**» Услов": е‘ 0бласть допустимых значений неРа®еНСТВЗда следует.
* i = xrfifai > 0. х > 1. * ^ °”У* т„ как
^единение интервалов 1<х<2, 2<х
252 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА . о^ГТ|,|
2 = logv^rr(* - !) ПРИ х>1' то исходное неравенство
равносильно неравенству На мно*»
(х-8)(х-1) Т*Ч
bgv^ri _
<0.
(х - 3)(х + 1)
Рассмотрим два возможных случая: 1<k2hi>2
1) Неравенство (1) равносильно каждой из систем неравенств
(1)
(х - 8)(х - 1) ^ ,
(х-3)(х-ГТ)
1 <х< 2;
) (х - 3)(х + 1) < °«
[l < х < 2,
откуда следует, что у < х < 2.
2) Неравенство (1) равносильно каждой из систем неравенств
(х - 8)(х - 1)
(х — 3)(х + 1)
<1,
х > 2;
< (х - 3)(х + 1) > °’
х > 8,
откуда получаем, что х > 8.
9.54. х < —6, 0 < х ^ 3/7.
9.55. 25/7 ^ х < 4, х > 10.
9.56. —3/7 ^ х < 0, х > 6.
9.57. 6 < х < ^, 7 < х < 8.
Решение. Область Е допустимых значений неравенства опре¬
деляется условиями х ^ —1, х < 9, у/х + 1 > у/9 — х, 2х - 12 > .
2х -12 ф 1, откуда следует, что Е — объединение промежу
6 < х < 6,5 и 6,5 < х ^ 9. На множестве Е исходное неравенство р
носильно неравенству
2 log2l_i2(\/x + 1 - \/9 - х) < log2s_12 (2х - 12). ^ ^
1) Пусть хб(б,у), тогда неравенство (1)
из неравенств (у/х + 1 - \У9 — х]2 > 2(х — 6),
121 — 22х + х2 > 9 + 8х — х2, х -15х + 56=(х венет»»'"
следует, что значения х из интервала (6, у) — решения нерав н£Т8у
2) Пусть хб (^1 9], тогда неравенство (1) равносильно не
(х - 7)(х - 8) < 0, откуда 7 < х < 8.
9.58. 4 < х < 9/2, 5 < х < 6.
9.59. 5 < х < 11/2, 6 < х < 7.
9.60. 4 < х < 17/4, 9/2 < х < 5.
9.61. —2 < х < —1, —1 < х < 0, 0 < х < 1. х > 2. ^0^
Решение. Область определения неравенства ” множ
ний х таких, что
равносильно каждому
11 — х > у/9+8х-х*.
— 7)(х — 8) > 0, откуда
—»« //),
х > -2, X ^ 0.
253
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФмииг.^^-^
,) Пусть lg(x + 2) < 0,
_ ~2» Jgz(ar + 2) .7" -55
\/3lS2*2 + lg2(z + 2)>vbilgx2j>^^ °' lk**lH
Следовательно, значения х из интеовэ** / + ^ + 2)‘
0О неравенства. н ала (-2, -п
2) Пусть lg(x + 2) = 0, тогда x = ~i я Р Шения исход.
грзиис™обращаются в нуль <*^л «сход.
3) Пусть ЯВЛяется вер.
lg (х + 2) > 0.
Тогда исходное неравенство равносильно неравенству
\/3t2 + 1 > t + 1,
(1)
(2)
46 ~ Jg (х + 2)'
Неравенство (2) будем решать л
= v^+Tny = t + l (см. рис.) М°ЩЬЮ гРаФИк°в функций у*
Графики пересекаются при t =
-BHt-t0, где to — положитель-
ныйкорень уравнения (%/З^нП)2 =
=1от^ое=ТВНеНИЯ 2г2-2* =
ч"*»*»»*
1(3 функции у = г +7пВЫШе ГраФи-
жество DeuiJuu/i + ПоэтомУ мно-
неРав^™« (2) -
(>1/ ь промежутков i<0 и
Неравенство t ~ lg х2
№ом VcjIntm /f 5Тх+1) <0 c
^Равенству ^ Ф равносильно
°<|х|<1У J§*2<0, откуда
действо t=_Jgx^_
из Не ig(x + 2j > 2 с учетом условия (1) равносильно каж-
9^2 "2 в силуТ(1)6 *2 > te(x + 2)> х2 -х-2> 0, откуда х>2, так
If. * <-2 -I1 <Х < 2* 2 < * < 3, х > 4.
9„ ‘ '2 < х’< о п Х < °* 0 < х < 2> 1 < * < 2-
Р 5- ^<т 7 <Х<1’ 1<*<2.х>3.
Чтение. Об<0’ °<*< 1 <х<^1.
а) ’ Уд°влетвопо,^асть определения неравенства — множество значе-
*^-1, РЛ пИХ УСЛ0ВИЯМ:
х^0, х^1; (1)
254
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
ОТВЕТЫ
б) i + lQg,a(x + 1) > О?
в) знаменатели дробей в обеих частях исходного неравенств ^
рашаются в нуль. ^ об.
Найдем сначала решения неравенства (2), равносильного нрп,
псравен
log|T|(x + 1) > -1.
Если X > 1, то |х| > 1, X + 1 > 2, logxa(x + 1) > 0, и
Ютву
(3)
Если X > 1, ТО |Х| > 1, X + 1 > A 10gxa^x + 1J > 0, и поэтому значе
X > 1 - решения неравенства (3). Если 0 < |х| < 1, то неравенство^
равносильно неравенству ”)
* + 1<Гг
*
'(3)
(4)
Значения х€(—1;0) — решения неравенства (4), а при xg(o п
из (4) следует неравенство х2 + х - 1 < 0, решениями которого, с уче¬
том условия 0<х<1, являются значения х € (0, хо], где т0-УЦ
0 < х0 < 1. 2 ’
Итак, множество Е решений неравенства (2), удовлетворяющих усло¬
виям (1), представляет из себя совокупность промежутков
—1<х<0, 0 < х ^ ~~2—х > 3* (5)
Считая, что х € Е, преобразуем исходное неравенство, умножив обе
его части на <р(х) = yj1 + log^^x + 1) + \/3, где <р(х) >0 при х е Е, к
переходя к логарифмам по основанию |х|. Получим равносильное нера¬
венство
\/2ф(з0 log|T| 3 \/21og|x|3 (6)
h(x) h(x)
где h(x) = logw (x + 1) - 2 = log,x| sjl.
Отсюда следует, что указанное выше условие в) для области опр
ления неравенства выполняется, если h(x) Ф 0. Неравенство (6) Р
сильно на множестве Е неравенству
Ьадз (О
h(x)
так как <р(х) - 1 = ^1 + log|X,(x + 1) + %/3 - 1 > 0. ^
Если |х| < 1, то log|z|3 > 0, и неравенство (7) равносильно на
стве Е каждому из неравенств h(x) = log|l( ^ > 0, s£r>1'
х2 - х - 1 < 0.
(8)
... ,с и ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • ОТВЕТЫ
—
9.66. -"2 " 2 - ~ ~ -ч л v ^
9.67. ^=f^<x<0, Ocr^-^L^ 1<а;<;у5;ц2
б9 4<i<6.
ение. Пусть \х\ = t. Тогда исходное неравенство равносильно
да*му и» неравенств
0<log8^rj^l,
1 < ^ 8- (1)
Неравенство (1) равносильно каждой из следующих систем нера-
1ЛТО'
венств:
’ Г - т + 24 ^ л
г-з ^и’ Гг>з,
-зг + з ^ п \(г-4)(г-б)^о,
г - з ^ и’
откуда следует, что 4 ^ t ^ б, т. е. 4 ^ |х| ^ 6.
9.70. -1, 1 <1^ 1-
9.71.
9.72. -!<«<-?. ?<*<!■
9.73. x<-i^ZI, _ 1±уЪ <х^ V2'0<1 2енс’тва^ учитывая, что
Решение. Преобразуем правую часть и р
¥(х) = х2-! + 1_хз = (х2 + 1)(1_х) }
Тогдв log(l_1)2 ф(х) = ^ log,a_i| (х2 + 2) ^!Т0орЯет условиям
Область D определения неравенства удо
х<1,
logu-,,^4)^0' до равносильно нера-
*№твуЫП0Лнении этих Условий ИСХОАНОе неРавенсТ
^<5(1+*)’
0)
(2)
Ч01
,ga-i)(x2 + i).
0ТкУДа
«*■
«)
256 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛУ1 псгацьнСТВА » ^ТПГТ|||
Неравенство (3) равносильно неравенству {уД - i)2 > Q
дует, что t Ф 1, т.е.
logo-*) (х2 + ф 1.
Таким образом, исходное неравенство равносильно систем
(4). Так как 1 - х - основание логарифма в (2) и (4), то нужно ^ (2).
реть два случая: 0 < х < 1 их<0. Рассмот-
Если х е (0, 1), то 0 < 1 - х < 1 и неравенство (2) равносилен
венству 0 < х2 + 5 < 1, откуда |х| < ^ и, с учетом условия О <° Нера‘
получаем 0 < х ^ <
Если х<0, то1-х>1и тогда х2 -f 5 > 1, откуда |х| > „
^ . х 1 1 ^ 7г и>с Уче¬
том условия х < 0, получаем х ^
Таким образом, множество D — объединение промежутков 0<г<
и х < —
72-
75
Остается найти корни уравнения
l°6(i-i) (l2 + 5) =
равносильного при выполнении условия (1) каждому из уравнений
откуда
х2 + ± = 1 - х, 2х2 + 2х — 1 = О,
_ 1 + уД
Xi = -
2 ’ 12 ~ 2
Так как х\ < 0 < х2 < ^=, то искомое множество решений нера¬
венства — множество D с выколотыми в нем точками хх и хг-
9.74. х<-\-у/2, - у/2 < х ^ ^<x<n/2-|'
\/2 - i < X < 1.
V3- 1
9.75.
х < -
~з + ТЕ <x1*h-
75*
-5 <X<'2+i‘
9.76. х<-|, ^<х<|, | < х < 3.
9-77. 1-уД<х<0, 0 < х < 1, 1+у/1<х<3-
Решение. Так как 6 + 4х - 2х2 = (6 - 2х)(1 + х), то, п°лага*
°6i+x(6 — 2х) = t, запишем исходное неравенство в виде
1 + t
или
2—1
А t
1 +1 ^ 2t - 1 ’
t2 - 3t + 2
2(* ~ + *)
^0,
iLziKlzi). > о
in
ДАТЕЛЬНЫЕ и логарифмические неравенства .
'^сдо^ений »еРавенсги 0) -
2, £ < —1
2 (2)
Пои решении неравенства (2) нужно учитывать, что ОДЗ исходного
действа определяется условиями 1 + х > 0, х ф 0, б - 2х > О хТ*
£, «елУ«, что ОДЗ - интероал выброшенном?к’э
„еготочками 0 и 2-
п Пусть t 2 2. Рассмотрим неравенство t = log1+I(6 - 2х) > 2, равно¬
сильное неравенству
(3)
logi+*(6 - 2х) ^ log1+I(l +х)2
Если -1 < х < 0, то из (3) следует, что 6 - 2х < х2 + 2х +1 или х2 +
+4х - 5 > 0, откуда х < -5 или х ^ 1.
В этом случае решений нет, так как х е (-1, 0). Если 0 < х < 3,
хф |, то из (3) следует неравенство
х2 + 4х - 5 < О,
откуда -5 < х < 1 и, с учетом того, что х > 0, получаем множество ре¬
шений 0 < х < 1.
2) Если ± < £ < 1, то
bg1+x VI + х < log1+x(6 - 2х) ^ log1+I(l + х). (4)
^ Пусть -1 < х < 0, тогда неравенство (4) равносильно системе нера-
Гб - 2х > 1+ х, до
\1 + х > (6 — 2х)2.
Из первого неравенства системы (5) следует, что х ^ §, а второе нера-
нство равносильно неравенству 4х2 — 25х + 35 < 0, откуда xi < х < хг.
Де^ = 25^б| > ^ _ 25+V65 g этом СЛуЧае решений нет.
Усть 0 < х < 3, х ф |t тогда неравенство (4) равносильно системе
<
X > -
X * з>
4х2 - 25х + 35 > 0.
(6)
*0в г ^еяия Вт°рого неравенства системы (6) —
Итак 1 И Х > l2> где х2 > 3, X! < §.
*i < 25-^Н°Жество решений системы (4) —
совокупность промежут-
промежуток [|; xi). где
3) Если t < -Ь т0 х
log1+I(6-2x)<lo6l+I—. (
Пусть 16 (-1, 0), тогда 6 - 2х > ьЬ и 2x2 ~ Ах ~ 5 < 0, откуда
*,<*<*„ хз = 1 - \/I. ^ = 1 + V5. -1<Хз<0, 1<>0
В этом случае множество решений неравенства (7) -
(13;0).т.е. (1-\/М)-
Пусты € (0; 3), хф тогда неравенство (6) равносильно неравен-
ству
2х2 - 4х - 5 > О,
откуда х < хз и х > Х4, где ха > 2- ® этом случае множество решений
неравенства (7) — интервал (ха! 3), т. е. ^1 + \J~21 3^.
9.78. \-yJl<x<-2, -2 < х < -1, у^-1<
<х < 1.
9.79. -|<х<-5~У|, ^6'^ <ж^ “5<*<0,0<*<
9.80. 3 - < х < 2, 2 < х < 3, 3 + у^<
<х< 5.
9.81. х< -1, х> А.
Решение.
а) Пусть х > 0, тогда исходное неравенство примет вид
^og2l(4x2 + 3) + -L < log2l(4x2 + 3).
(1)
Если 0<х<^, то правая часть (1) отрицательна, а левая
определена, либо неотрицательна. В этом случае неравенство (1J
решений. J
Если х > то неравенство (1) равносильно неравенству
Vх
(2)
ГЛСнГl0g2,(4*2 + 3)> log2x 4x2 = 2. , поэто-У
если t > 2, то t2 > 2t. Кроме того, -4- < при * > 5' П ^
вепн?и< ^+ ^ < 21 < откуда следует, что неравенство (2)яВ
верным при х > I.
п^АТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА^^,
■^усть X < 0, тогда исходное неравенство примет вид
y/iog-*(4x2 + 3) + -ф= < log.^x2 + 3)
ИЛИ
у/ьфр + 3) + ^ ^ lo&t(4t2 + з), где t > 0, t Ф1. (3)
Если 0 < t < 1, т0 неравенство (3) не имеет решений.
Пусть Ь > 1. В этом случае обе части (3) положительны и неравенство
(3) равносильно неравенству
№
где u = logt(4£2 + 3) > logt t2 = 2, ^- < 1. Отсюда следует, что и2 > 2и >
>u+}t, и поэтому неравенство (4) является верным при всех t> 1,
т.е. при -х > 1, откуда х < -1.
Итак, множество решений неравенства состоит из промежутков
г<—1,1 >
9.82. х < —2, х > 1.
9.83. х < —х > 2.
9.84. х < —1, х > 3.
9.85. -1 < х < — 0<х<1, 1<х<2, 3<х<4, х>4.
Решение. Область Е допустимых значений неравенства определя¬
ется условиями
х>-1, хф\,хфА, |х —1|/1, хуП, х^2,
I ®' ^ ~ промежуток (—1;+оо) с выброшенными из него точками
1(2,4.
еенств^ х ^ Е> то исходное неравенство равносильно каждому из нера-
1о6(1-1)з(Ь - 4|) + log(l_1)2(x + 1) < 1.
1°е(1-1)»(1а;-4|(а; + 1))^1-
0)
-10 12 4
К задаче 9.85
-ц2>1. т.е. |х-1|>1. Этому
^ = £0 р* СТВ0 El т°чек, лежащих вне отрезка [О, ]• н0.
С||льно поп ь указанном штриховкой на рисунке, нера
НеРавенству (1}
|х — 4|(х + 1) < (х — 1)
(2)
260
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
ОТВЕТЫ
При я > 4 неравенство (2) примет вид
я2-3я-4<я2 -2я + 1, т.е. я+ 5^0.
Поэтому все значения х > 4 — решения исходного неравенства
При х G (-1; 0) U (2; 4) из (2) получаем неравенство
-I2 + Зя + 4 ^ х2 - 2х + 1,
т.е. 2я2-5я-3 = 2(х-3)(цЛ^о
Поэтому все значения я € (-1; -£) U [3; 4] - решения исходного
венства. неРа'
б) Пусть (я I)2 < 1, т.е. я 6(0; 2). Тогда на множестве Е
= (0; 1) U (1; 2) неравенство (1) равносильно неравенству 2я2-5х-з<п
которое является верным при всех я 6 Е3. Поэтому все значени
х € Ез — решения исходного неравенства. '
9.86. я < 1, 1 < я < 2, 3 < я < 4, 4 < я < 5, ^^я<6.
9.87. 1<я<§, 2 < я < 3, 3 < я < 4, 5 < я < 6, я>6.
9.88. я < —1, —1 < я < 0, 1 < я < 2, 2 < я < 3, *<я<4.
9.89. -^<я<0, ^|=1<я<1.
Пусть выполнено условие
0 < |я| < 1.
Тогда полагая t = log(1+I)(l — я), запишем исходное неравенство в виде
3 , 1 .
< — t или
2* + 4 2 t + 2
2(‘ + 1)(< + ^<о,
откуда следует, что либо t < -2, либо -1 < t <
а) Пусть я € (0; 1). Тогда неравенство t = log(1+2)(l - я) < -2
сильно каждому из неравенств
1 — я <
(1+*)2’
я3 + я2 - я > 0, я2 + я - 1 > 0>
откуда v^~1 < я < 1. Найденные значения я — решения исходног
венства. нерз-
Неравенство -1 ^ t ^ \ при я е (0; 1) равносильно двойному
венству
^ 1 я ^ |
1 + X yj 1+ *
откуда следует, что 1 < 1 - я2. Это неравенство не выполняет®
я € (0; 1). В этом случае исходное неравенство не имеет рeU,e
пр"
ПИТАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВВНгт.. ,
ОТВЕТЫ
ИЗ
•е (_1; 0)'Тогяа Гравенство ‘" '2 ра~
нера
1 - х >
(1 +х)
1 2
2. S+Z-lX).
1 0). ТО неравенство -1 < U -} равносильно ,юйно>>
его неравенства не удовлетворяют условию х € (-1; 0)
исходное неравенство не имеет решений
~ ^ 1 ~ X ^ j_j.jp>
которое равносильно системе неравенств
’1 - х2 < li
{х2 - 2х + l)(i +1) > !•
Первое неравенство этой системы является верным при х р ( i. п\
Не'ИВеНСТВ^ «*-*-!<«. откуГ с yiei S
te(-l; 0), находим множество решений исходного неравенства:
1 - у/5
^ х < 0.
9.90. 0<х<^.
9.91. -1<х<^, 0<х<з£Ь1.
9.92. < х < 0, ^ х < 1.
9.93 0 < х < 1 2<х< .
Решение. Область Е допустимых значений х данного неравенс
определяется условиями
- £ > О
1 - -г > и>
2 — х
ф 1, 4 — х > 0,
X ' 1 — X
^УДа следует, что х < 1, 2 < х < 4, т. е.
£ = (-оо; 1) U (2; 4).
1 < 1. то —■ > 1 и исходное неравенство равносильн
из неравенств
4-
(|гт) 2 (х2 - 2х + 1)(х - 4) £ -х2 + 4х - 4,
Поел* х* ~ 5x2 + 5х > о, х(х2 - 5х + 5) > 0.
11риqoBie)HCTBO не имеет Решений прих<0иявляется вер
2б2 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА • пт»ГТ|||
б) Пусть 2 < X < 4, тогда 0 < frf < 1 и исходное неравенств
сильно каждому из неравенств 0 Равно.
4-г^(г^т)2 *(z2-5x + 5K°- *2-5х + 5^о,
откуда xi ^ х < Х2, где xi — 2 • Хз 2 • в эт°м случае мнп*,
решений неравенства - пересечение интервала (2; 4) и отрезка |СТв°
где Х!<2, 2<х2<4, а искомое множество решений - П0О111*1,Ч
(2,И^]. еЖУТ0К
9.94. - 17-ЬЗ*Ж ^ х < -4, х > -1.
9.95. О < х < 1, 3 < х ^ 5 + 2\/3.
9.96. -13 - 8у/2 ^ х < -5, -1 < х < 0.
9.97. — гг ^ х < —3, х ^ 6.
Решение. Область допустимых значений х неравенства определя¬
ется условиями
х + 10 > 0, хф -9, х2 — 2х — 8 > 0,
t = logx+10(x2 - 2х - 8) > 0.
(1)
Исходное неравенство при условии t > 0 равносильно каждому из нера¬
венств
\/t -Ь \/| ^ 1 -Ь V2, t — (1 + \/2)>/i Ч- л/2 < 0, t-Vt-y/2(Vt-l)0,
(Vt-l)(Vt-V2)^0, откуда l<\/t<\/2, 1<^2.
Итак, исходное неравенство при условиях (1) равносильно неравенству
1 < logx+10(x2 - 2х - 8) ^ 2, (2
а из (1) следует, что хеЕ, где
Е = (-10, -9) U (-9, -2) U (4, +оо).
1) Если -10 < х < -9, то 0 < х + 10 < 1 и неравенство (2) равносиль
но неравенству (х + 10)2 < х2 - 2х - 8 < х + 10, откуда
'х<-54
I5Ss 11’
v—3 ^ х < 6.
В этом случае исходное неравенство не имеет решений. /о) р&'
2) Если х 6 (-9, -2) U (4, +оо), то х + 10 > 1 и неравенств
носильно неравенству х + 10 < х2 - 2х - 8 < х2 + 20 + есечен#е
В этом случае множество решений неравенства (2) ■" ^ е проН?
промежутков [-f*; +оо) и (-оо, -3] и [6, +оо), т.е. объединен
жутков [-fi; -3) и [6,+00).
9.98.
х < — 4
Х 5=5 з •
<ТС 26
^ Х ^ зз-
1ГГ ^ТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА .
8? ^ х —3» 27 ^ 5 '
263
9Л01-
решение
примет вид
' s 1 (О 1) и исходно, иердо,^
-10, -
<5.
Если 2v/*rT = t, то
(1)
Пусть ДО = J* ~ 2|, g(t) = уТ - у -(2, где (> 1. Построим графики
фрииЛнй У = /(*) " » “ «« <см- Рис >- Из Р»Ч™в видно, что нера£и ™
, _ г. . х 1 рпо /. и to — абсциссы
/(t) < g(t) удовлетворяют значения t 6 [ ь ЬЬ л чт0 tl < 2, a t2 -
точек А и В, П - корень уравнения 2 t gu
корень уравнения t - 2 = g(t) такой, что 2 • „ю 3^ _ I9t + 16 =
Первое из этих уравнений, равносильн УР ВНОСИЛЬНое уравнению
=0, имеет корни 1 и -д-, а второе, к
* - Ш + 4 = 0, имеет корни 4 и I решений иеравенстиз (1) -
Следовательно, tx = 1, t2 = 4, а множеств и 2
врезок Ut^4,T.e.U 2'/*ГГТ < 4, откуда 0 '
9.102. -2^x^-f
9103. 2<х<18.
9.104.
9.105. -44< х < —14, -1 < х < 0, 0 < х < !• определяется
^е ш е и и е. Область допустимых значений нерав
Пенями _4 V
х#0, |х| ф 4. * * '5', аиброшеиным» « “tro
^™ТоТ1СОбОЙ Пр0МеЖуТ°К (_4; +0° „ожио «"“М,Ь ’
Е«и |ij > 1_ то „сходное неравенство, которое до
logll,(vST5 + 4)?l»6|.|(2l: + 8)’
264
Н^ИТРЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА » Otbftv,
равносильно неравенству
: + 5 > 2х + 4.
Построим графики функций у = %/х + 5 и у = 2Х х л ^
Из рисунка видно, что неравенству (3) удовлетвори! (см- РНс)
X € (-5; х0], где х0 - корень уравнения х + 5 = (2х + Значе»ь'
4х2 + 15х + 11 = 0) такой, что -2 < х0 < 0. 'т'е- Уравнен^,
Так как это уравнение имеет копи
Z7' т0 *о—1 и решениями непаи*'111
(3) являются значения х € (-5- Я,Веист*»
с учетом условий (1) и нераве^ ?*»»
находим множество решений ( з
венства (2) при условии Ы > Г ’ НеРа‘
б) Пусть |*| <1. Тогда неравенство
(2) равносильно неравенству ./ггг.,
<2х +4 откуда (см. рис.) следует, *
х > -1. С учетом условий (1) и неравенств!
|х| < 1 находим множество решений нера¬
венства (2), которое является объединением
интервалов (-1; 0) и (0; 1).
9.106
9.107.
9.108.
9.109.
-3 < х < 0, 0 < х < 1, 1 < х < 2.
—1 < х < 0, 0 < х < 1, 1<х<4.
0<х<1, 1<х<2, 2<х<5.
^-1, %/5-1<х<3.
г <х<
Решение. Пусть log2(x + !) = «. Тогда неравенство примет вид
t + --2 + t + -+2 <5.
t t
HepsHcT'°ы-г>+>*+21* *■
* <»л**т е2№ ■5|"+2<ои’
-2<log2(x + l)<:° совокупности двух неравенств
и второго неравенств ~ ^интервал + ^ < 2‘ Множества решений первой
и (у/2 — 1; 3).
9.110. 27 < х < ^ - 1. \/3 ~ 1 < х < 26.
9.111. -i<*<75—2, у/2-2<х<2.
9.И2. -W<x<-^-2. ^3-2<x<79.
9.113. -2<x<-l, x^l.
„^ТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСПЦ^^,
вНие. ОДЗ неравенства определяется условиями
Реше“"з откуда получаем х ^ -2, хф -1. усЛ0ВИЯМ« *^-2,
, И' * ^ИМ два возможных случая: х > -1 И -2 < х < 1R
Исходное неравенство равносильно каждому из неравенств"*1*0”
случае »
vx + 3 + 1 < х + 2,
у/х + 3 < х + 1.
(1)
ко-
Построим графики функций у = уД + Зиу = х + 1 (см. рис.). Из ри-
1а видно, что множество решений неравенства (1) при х > -1 _ „L
Гжуток [хо; +оо). где х,° ~ положительный корень уравнения у£+3 =
* +1 Тогда х + 3 = (х + 1) или х + х - 2 = 0. Положительный
«нь этого уравнения - число х0 = 1.
” Во втором случае, т. е. при х € (-2; -1),
исходное неравенство равносильно неравенству
+ которое является верным, как
видно из рисунка, при всех х € (-2; -1).
9.114. -5 < х < —4, х > 1.
9.115. -1 <х<0, х>
9.116. -4 < х < -3, х ^ 1.
9.117. (1; §) U [и# j) и (2; §)■
Решение. ОДЗ неравенства определяется
условиями х > 1, х ^ 2, х < |, х ^ § и представ¬
ляет собой объединение интервалов (1; §), (§; 2), (2; §).
1) Пусть х е (1; |), тогда |-х>1, х -1 < 1, log^.j) (§ - х) < 0.
Так как в этом случае левая часть отрицательна, а правая положительна,
то все значения х из интервала (1;§) — решения неравенства.
2) Пусть х е (§; 2), тогда х<1, х-1<1. В этом случае левая
н правая части неравенства положительны и исходное неравенство рав-
носильно каждому из неравенств
lo8i-i - xj ^ 2, (х - I)2 > | - х, х2 - х - | > 0,
°ТКуАа с Учетом условия | < х < 2 находим множество решений неравен-
етва: 1^т ^ х < 2
^Пусть х е (2; |). Тогда | - х < 1, х - 1 > 1. lofc-i (2 ~ Xll ° "
®118
9119.
®120.
в-121.
У все значения х из интервала (2; |) - решения неравенства.
■' (I; 1) и [| + *] и (¥; 2).
Но)и[-| + у|;|]и(|; 1).
^ 8* U |] U (§; $)•
1 е (-оо; -3) U [7+V§7; +00).
Ре ше
показательно и логарифмические НЕРАВЕНСТВА • ОТРГД,
Н и е. ОДЗ неравенства задается системой
-5
>0,
х + 3
х2 + 5х + 6 > 0,
Y + 4х + 9 > 0,
решая которую, получаем х € (-оо; -3) U (5; +оо).
Перепишем неравенство в виде
logi/2(]hjrf) + *°Si/2((х + 2)(х + 3)) ^ logi/з + 4х + gj_
На ОДЗ оно равносильно каждому из следующих неравенств:
l°Si/2 ((х + 2)(х - 5)) ^ logi/2 + 4х + 9 j ;
х2 - Зх - 10 ^ у + 4х + 9;
4 - 7х - 19 ^ 0.
Решения последнего неравенства есть х 6 (—оо; 7—>/87] U [7+>/87; +оо).
Пересекая это множество с ОДЗ, получаем х € (—оо; -3) U [7+\/87; 4оо).
9.122. х € (-оо; -7) U [З+л/87; +оо).
9.123. х € (-оо; -l-v^7] U (9; +оо).
9.124. х 6 (-оо; —5—>/87] U (5; +оо).
9.125. х 6 (-оо; -3) U (-3; -\/б).
Решение. Запишем неравенство в виде
Обозначим /(х) - 4,т ~221. Заметим, что функция /(х) положит
при всех х из ОДЗ (значение х = 2 не входит в ОДЗ). Рассмотрим
НОСТЬ /(х) — 1 = 6]*-2|-г*-21
При х^2 она принимает вид
6х - 12 -12 _ ол _ _х2 + 6т _ зз _ (х - З)2 -Jj
х* + 21 х2 + 21 " х2 + 21
Если 2 <2,
то получаем
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ^АРИФМИЧЕСКИЕНрр^,^ #
„и образом, раесттриъаемая РазностГ^^Г^^ —-Л7
Т*КЙ* I -3. Отсюяа следует, что f(x)<i пРпиЦ^тельна при всех -г
''^ста'»8»0* >,б<!Жшемся’ '•">*» -3 решением"*^4""' * - Т
L всех остальных х неравенство равносильно Л е,с’1'
я*®* к***в*
.^<0, х/^<-*, ^>0
)_2 :*°L *^-V6.
из еле-
1+'
•б<ха
Исключая значение х — -3, получаем
9.126. ^ € [1; 3/2) U (3/2; +оо).
9.127. г € (—оо; -2) U (-2; —у/5).
9.128. х € fV5; 2) U (2; +оо).
X€(~°°; -3) U (-3; -V5j.
10. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫ,
10.1. (2; -3), (-6‘. !)■
Решение. Первое уравнение системы можно записать в вИде
log2 [ху(х + 2у)] + log2 + 2у = 4,
ху
а множество допустимых значении х, у определяется условием
ху{х + 2у) > 0. J
При выполнении условия (1) исходная система равносильна системе
Г(х + 2у)2 = 16,
il?l=i. й
а система (1)—(2) равносильна совокупности двух систем
Гх + 2у = 4,
\ху = 6
(3) и
Гх + 2у = -4,
\ху = -6.
№
Исключая х из системы (3), получаем уравнение у2 — 2у + 3 = 0, не
имеющее действительных корней. Поэтому система (3) не имеет действи¬
тельных решений.
Из системы (4) получаем уравнение у2 + 2у — 3 = 0, имеющее корни
Vi = -3, У2 = 1.
Поэтому исходная система имеет два решения: (2; —3) и (-6; 1)-
Ю-2. (§;*). М;1).
10.3. (1;-6), (-3; 2).
10 4- Н;4). (3;1).
10.5. (3; 0), (1159. _™>
Решение. Исходную систему запишем в виде
| П°Ез (х -у)~ log3 (х + 2у)] [log3 (х - у) + 2 log3 (х + 2у)] ' м)
1(х-у)(х + 2у) = 9.
Из (1) следует, что либо ^
либо х - у = х + 2у, ^
(х ~ !/)(х + 2у)2 = 1.
Если выполнены условия ^
х - у > 0, х + 2у > 0,
^^ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ^
^тема (О- (2) равносильна совокупности сис™7(^
то С « из этих систем имеет единственное решение (3- 6) vL»„(4)’ {2)‘
ПерВ условиям (5), а вторая система, равносильная системе* TB°P"'
х + 2у =
х - у = 81,
ДЛЯ
которой выполняются условия (5), имеет решение _тм\
/л г,\ {*3.21\ ’ 27 ’’
10.6. (2; о), (^;т)-
10.7. (2; о), ; т)-
п\ 1731. 728 \
.8. (3; 0), ( 27 > 27 / ‘
q£V /« At
10.О. \“1 '•п \ И • *1 /
10.9. (0; log3 ff). 0°g3 Щ\ log3f).
Решение. Возводя в квадрат обе части второго уравнения системы,
получаем х + у2 = х2 + 2ху + у2 или
х(х + 2у — 1) = 0, (1)
откуда следует, что либо х = 0, либо х = 1 - 2у.
Уравнение (1) равносильно второму уравнению исходной системы, если
х + У> 0. (2)
а) Пусть х = 0, тогда из первого уравнения получаем
Зу = —. откуда у = log,-.
Пара чисел (0; log3 у|) удовлетворяют условию (2) и является реше¬
нием исходной системы.
б) Пусть х = 1 — 2у, тогда из первого уравнения системы получаем
3 + 7 • 3V~2 = 8 или t + 7 = 8, где t = 32-v. Уравнение t2 - 8t + 7 = О
имеет корни = 1, t2 = 7.
Если t = 1, то 32—м = 1, откуда у = 2, х = —3. Пара чисел (—3, 2) не
Удовлетворяет условию (2). Q , 49
Если t = 7, то 32-м = 7, Зу = у = log3 f, х = 1 - 2log3 ? - log3 27-
решен? ЧИССЛ (1о£зЦ; log3f) удовлетворяет условию (2) и является
,пн"е“ исходной системы.
О-10- (0; log2^), (2 log2 7 — 6; 4 — log2 7).
lnlJ' !°:log5m). (2 log58 — 3; 2 — log58).
12- (0; log3 ^), (2 log3 8 - 4; 3 - logs 8).
13' (-fc2).
ИножеитЩеен и e- Разложив левую часть второго уравнения сис
ли> запишем его в виде
(2х-у+1)(х-у-1) = 0>
270
nuuFCKHX и ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ » OTBFTk.
Г^Т^-4, Зх-у+ПГ
, = 2i + 1' J0H5^> О несовместны, то в этом случае
■I "" ^ ^
1) Если ,,'о и л>0 несовместны, то в этом случае!“*««
неравенства -л ' „ правая части первого уравнении „е ц>
« "“.KLPi™ определении).
обшей области « е уравНение системы примет вид
2) Если у = х- 1. то 11 г
loge. 2 + tOg& {X + О _ 1о82 (Х + 1) 1 ^
tog5(x+lj 1о«2 (* + 1) + Г
откуда
log5 2 + 1о& 2 ■log2 (x + l^ + 21ogs (х + !) = о,
log52 + 31og5(x + l) = 0, 2(х + I)3 = 1,
X =
:-1
10.14.
(^3
+1;
1
Уз
+*)•
10.15.
(2-
1 .
1
т*
-1)-
10.16.
(2 +
1 .
W
-1
10.17.
<4; -
2).
у = х-1 = -2 +
1
И’
(1)
(2)
(3)
Решение. Первое уравнение можно записать так: х2 у2+х+
+ 5у _ 6 = 0 или (х + у - 2)(х - у + 3) = 0, откуда
х = у - 3
или х = 2 - у.
Из второго уравнения системы следует, что
2 - у > 0, х > 0, х#1.
а) Если справедливо равенство (2), то из второго урзвнения сн^ ^ ^
находим х = у2, откуда, используя равенство (2), получа «ело-
или (у - 1)(у + 2)= 0. Пусть у = 1, тогда х = 1, и не в^олн
вия (3). Пусть у = -2, тогда х = 4 и (4; -2) — решение д „ < 2, что
б) Если справедливо равенство (1) и условия (3), то у >
невозможно.
10.18. (6; 2).
10.19. (5; -2).
10.20. (3; 2).
»•«•«••¥;¥)• „в систем-'”0”'
Решение. Складывая попарно уравнения исходно
чаем систему
- — КАННЕНИй « ОТВЕТЫ 27|
'^^Гиую исходной, откуда следует, что задача своп^! '
аВн°сИЛ уравнения /(<) = t - 1 - Ы = о. Так как т\ п нахо*де-
!-»fS при * * (0. 1) и /'(<) > о при о г Г/М- ft,* -
О, f»41- Спидопательно, t = l - единственный ко^ГуР1вТ
""’пм наем систему др = 4, yz = 25, хв = 9. Перемножив уравнен»,
• гистемы. получаем хух = 30, откуда находим х = & = S „ _ зо
9Т0И зо is v* s>V-Tt =
5^,z = g = T-
„„ /14 21 6\
10.22. (Т’ 2 ’ 7/-
_л /35 12 14 \
10.23. (у* 7’ 5/-
/15 21 35\
10.24. (т> Т> 3/-
10.25. (2; 16), (64; 256).
Решение. ОДЗ системы определяется условиями х>0, у>О,
Будем исключать из этой системы log„x. С этой целью вычтем из
второго уравнения системы, умноженного на у, первое уравнение, умно¬
женное на 2х.
Получим уравнение
(У2 + 8х2 - Эху) logz у = 4ху - 32х2,
которое можно записать в виде
(У - х)(у - 8х)log*у = 4х(у - 8х). (1)
Так как ху ф 0, то исходная система равносильна системе, состоящей из
уравнения (1) и второго уравнения исходной системы.
Из (1) следует, что либо
у = 8х, (2)
Ли6° у Ф 8х и тогда (у - х)logzу = 4х > 0, откуда уфх и
(3)
^сли спРаведливо равенство (2), то из второго уравнения исходной
темы следует, что
161og8lx + logx(8x) = 8,
К Как 1 ^ 0- Тогда t2 - 8t + 16 = 0, где t = logx(8x), откуда
Пара
ts=bgl(8x)=4, 8х = х4, х3 = 8, х = 2, У-16-
б) ЕсГСел (2; 16) ~ решение исходной системы. исходной
сИстеМы с Сп^аве^ливо равенство (3), то из второго ур
следует, что
(4)
1/ + 5х
ГЛ СИСТЕМЫ ЛОГАР^МИЧЕСКИЗС И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ .
Перемножая уравней". Р> “ <4>- пм>'чаем
ipriisrrfr1 “ z<v + 5l) = (v'х)2' отк№
У2 - 3ху - 4х2 = {у- 4х)(у + х) = о.
Так как х > 0, у > 0. то х + у > 0 и из (5) следует, что
У = 4х.
Тогда из (4) и (6) получаем
log*(4*) = f. 4х = х4'3, 4 = х1/3, х = 64, у = 256.
10.26. (16; 2), (256; 64).
10.27. (\/2; 4), (8; 16).
10.28. (4; \/2), (16; 8).
10.29. (24; 7).
Решение. Если выполняются условия
*>”. х^О, у > —2, уф-1 (1)
то исходная система равносильна каждой из следующих систем:
Г4х2 - у2 + 8х - 6у - 4 = 4х2 + 4х + 1, (у2 + 6у = 4х - 5,
\у2 + 6у-х + Ы = у2 + 4у + 4, \х = 2у + 10,
откуда у2 - 2у - 35 = О, У1 = -5, у2 = 7.
Если у = -5, то не выполняются условия (1), а если у = 7, то х = * •
Пара чисел х = 24, у = 7 удовлетворяет условиям (1) и поэтому (24; V
решение исходной системы.
10.30. (27; 6).
10.31. (13; 23).
10.32. (8; 26).
10.33. HVTfj. ^5+v/T7. з+УГ7^
Решение. ОДЗ системы определяется условиями
*>0, У > 1, хф 1, уф 2.
мо°вТолучГемб1(У + 1),и = ,ogv-i(* + 2) и используя свойства
u = 2,0?*+2(1/ - 1) = ; ОТ
bgv_x(x + 2)
v = 3 - log2(y + 1) = 3 — u.
..ОМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ • ОТВЕТЫ т
^МЫЛОГАР ____
^„зясис««а v = 3
\uv = 2
еет Д»з Реи,еН”*: i^.^logiy + 1) = 1. log„-i(® + 2} = 2, откуда
и* a) Если « '
у + 1 — X,
х + 2 = (у-1)2-
_ из этой системы х, получаем
Исключая из э
, о - 0 откуда у = —2 ■1" Д. •
,2 .. Зу - 1 ~ и' „ (ь+УП. З+ч.
» ^по „ovonuM оешение \ —^ т j
(y-l)2 = V + 3,
или
„ о - о откуда у — 1 ' . * „ л-=\
- Зу ' 2 / 5+-Л7. З+УГП
, ппз находим решение 2
7;Tu°". - г.»•->*,(»+w ^ +*> - *•
у 4" 1 — ® >
х + 2 = у — 1-
О ллччае х2 = х + 4 или х2 - х — 4 = О, откуда
В этом случае х * ^
1±^й ,,=i±£i.
*=• I с/ о
2 2
X =
С учетом ОДЗ находим решение Т+а)'
10.34. (U#; *#> l54#' “Зр)
10.35. (2±^И; 5±г2)
1036. (з±^Е; 1±^Е); (и#;
if РДЧНЫЕ ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЛОГАРИФМИЧсг,
и. РАЗНЫЬ ^ идПОКАЗАТЕЛьную функции ЧесКую
11.1.
11.2.
-2.
5
4'
11.3.
11.4.
11.5.
-1.
1
х >°-
Решение. Область определения функции записывается
стемы неравенств
{1 + 6х > О,
1 + 7х > О,
log4(l + 6х) + |logl/8 (1 + 7х)| > О,
в виде си-
равносильной системе
fi> -у,
\з log2(l + 6х) + 2 |log2 (1 + 7х)| > 0.
(1)
Рассмотрим два случая: а) х ^ 0, б) —1 < х < 0.
а) В этом случае 1 + бх ^ 1, log2 (1 + бх) > 0 и неравенство (1) спра¬
ведливо в силу того, что оба слагаемых в левой части неотрицательны.
б) 1 + 7х < 1, тогда log2(l + 7х) < 0 и неравенство (1) принимает вид
3 log2 (1 + 6х) - 2 log2 (1 + 7х) >0, (1 + бх)3 > (1 + 7х)2,
. 1
216х3 + 59х2 + 4х ^ О, 216х2 + 59х + 4 < 0 (х < 0),
Таким образом, область определения функции задается неравенства
ми .
х>0 и - j <х< -g.
П.6. <х<-1, х^о.
И-7. -f <xs*-i, х^О.
И-8. -£<«<-1х>0.
11.9. + tt +1)
+ За + 2 ‘
11.10 j+2a + ab
И-а + 2вЬ-
11.11. -3 + « + аЬ
2 + о + 2аЬ ‘
11.12. 1+ « + 2аЬ
1 + 2а + аД'
... ^ЖЛИИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ И ПОЩ.ЩьнУК, .Мш|и , ,
1J' . м и р Потенцируя, получаем систему
решен"-
Гv (с.. — о _ -- I
Г5у - х - 2 = 3|х - у|,
\у-2 —
4ху = Зу|х|,
следствием исходной системы.
(1)
ввЯйк>1иУюсЯ —q тогда 1x1 = х и, с учетом условия х <у из первого
a) ПУстЬ *Стемы (1) получаем у = 1 - х.
УРавнеИИЯ^орое уравнение этой системы преобразуется к виду
Т0ГАЗ 7у2 — 6у — 2 = О,
откуДа
3W23
У1 - 7 ’
3 — л/23
У2 = 7 .
Xi =
= 4 — у/23 _ 4+ур
х2 =
При х = Х2, у = Уг не выполняется условие х < у, а при х = хь у =
выражение под знаком логарифма в первом слагаемом левой части
первого уравнения исходной системы отрицательно.
6) Пусть х < 0, тогда из системы (1), с учетом условия у > х, получаем
Л=1 - х, а из второго уравнения следует, что у5 = 2, откуда
уз = -v/2, У4 = У2, хз = 1 + \/2, Х4 = 1 - \/2.
Пара чисел (хз; уз) не удовлетворяет условию х < у, а пара чисел
(х4; у4) удовлетворяет этому условию и исходной системе.
U.14. (i-v/3;^)-
IMS. (l-v^;^).
11.16. (1 - v/З; ч/З).
11.17.
Решение. Исходное равенство имеет смысл, если выполнены
Условия
у ^ 0, у - х > 0, Xy/у -l^o, ф
> ^jxjy _ lt х + у - 2^/у ^ 0-
Пусть
2\/*г» = a, V^TT = 6( =
Да Исх°Аное равенство можно записать в виде
где
при
ПОЛнении условий (1)
о — b = ас,
о > 1, Ь^О, с
>1
(2)
(3)
(4)
„г„йфМИЧеск»и^^
«eottAUlHE ^ ^
c№m'T-что a a - ~ a‘ > “•«>
Иэ р»»е»стй (3) *
этому
Так как b>°
тогда
a = ct'b = a • ^
tlo (д\\ то равенство (5) является
к как • . - * >^аСГ= 0, с = I. Из равенств (2) получаем с**,
и только тогда, 1 + у-2^ = 0,
УР , г .s.2l + i = o,(x-iK^ + *-n=«ic
«0+ >.-л V—»-„г % V"™'Ew
Если I -l> У так как х > 0 (х\/У г>-
2 . _ 1 = 0, то * ® г ' г±Л Найденная пара чисел (i, у)
1 + г _ 4 = г^Тб " 2 '
Тогда V® 5» ' и исходному уравнению.
11.18.
11.19. 3 2 5)-
11.20. (рЗ-
12. ПЛАНИМЕТРИЯ
12-1
pel
!• * Пусть окружность касается АВ, АС и MN соответ-
ш€Нлчкак F, S и Т (см. рис.). Обозначим ЛВ = *, /ВЛС =
8енно 0 По свойству касательных AS = AP = |, щ> =
MP + BM) = z-(t + i) = !*-i.NT = NS = NC +
*МТГ« + * - |а. MN = NT + МГ = §а+|х-|=а + |х.
+ По К^лг"У=°АМ2 + АЛ'2 - 2AM ■ AW • саза,
или
- - 2 . \ 2
(a+Js) =(|х) + 4а2 — 2 • | х • 2а • cosa,
7 7
- х = За - -I cosa,
AS а 4 2
где cosa = jg = 2?.
Следовательно. fx = 3o - откуда х = |а.
12.2. г =
.. 7S-
12.3. АК= JU
12.4. г =. 3
12.5. 5 = 32.
Р ^
*Zm?D*¥, Поскольку по условию /LACD = §, то /Ш - диаметр
^ 4С£) и Рис1- Так как Л£> — биссектриса, то треугольни¬
ках, CbZ1Р,аВНЫе- ПУСТЬ ^ = 3*, тогда Л£ = 3х, ЛВ = 5*.
и £dr та 'по те£Реме Пифагора). Из подобия треугольников
= оп™ DB=!*• CD°iz-
"ЙС- пп ~~ 2 Х ~ 2у/15- Значит, х = -4-,а искомая площадь 5 =
£?■ PpS*mtL
•7- Iй-= 216
15 я 1 р
^ = 3п
12.9. It Т*
р. ^^3.
Иа «Р*му£%пУСТь CD = X (см. рис.). В1 и Q' - проекции точек В и
^•D, а q« _ проекция точки q на прямую ВС. Тогда
ПЛАНИМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
// _ lx% Q"M = yJ{QM)2 - (QQ"]2 __
= 2Q"M = * откуаа * = 2т/2. Поэтому
278 _
QQ< = QM = \x' QQ
v2'
W+Tbc^ad)2^z
12.10. Pmnc = 2(2 + ^3^‘
12.11. pabcd = 5°-
12.12. pabc~ 20(1+ v5).
12.13. IB AC ~ arctg 2, ZABC =
12.14. IA = \> lB = \n.
12.15. 6 + 2n/2-
12.16. AB = 2s/2.
12.17. 4.
12.18. 15\/5-
12.19. гЛ
12.20. 60%/3.
12.21. 40.
12.22. 12/25.
12.23. 62/5.
12.24. 80/9.
12.25. ВС = ЗЯ (АВ ~ 2^§Я, АС — cos ZB АС = ^)-
12.26. ВС = ^ Я, (АВ = 6Я, АС = ЗЯ, cos ZB АС = g )• ^
Решение. По условию АВ = 4АК (см. Рис^‘ ^р!\^гда Л#5
сота равнобедренного треугольника АОК (АО = OK — ^q£ i
= 4АК - 8AF. Из равенства прямоугольных треуголь ^ g^£t т-*-
AOF (АО - общая, IF АО = LEAO) следует, что А* ^
caelBAC = }. Отсюда cosZCAC = значит, АЕ == 4 "• р£ на^
* 6Я и АС = 2AL =4А£ = ЗЯ (L - середина АС). Сторону
из треугольника АВС по теореме косинусов: ВС = j .
12.27. АВ = 2ч/2Я (АС = y/bR, ВС = ЗЯ, cost АС В ^ ^
12.28. АС = 5Я (cosZCBA=i. cosZCBC^^’ В
ВА = ЦШД).
ПЛАНИМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
^ „е. Пусть CD~ X> £KDA = а, тогда /LKCB.
РеШ /KDC~-a = ?-а (см. рис.).
пяию KN = 3. КМ = б, КР = 5, где М, N. L, Р _ проекции
Поусловиюпаоаллелогоамма. Из
0ВИю KN = л/и - о. лг ~ ГАе м- N. L, Р - проекции
По Ус г-тоооны параллелограмма. Из треугольников KDN и ЯСР
точ^и * тН!:п а = 3. X Sin {% - а) = 5. Отсюда
н8*олим 5йпа* 3sin a), tga = ^~,
, „ 196 13 , iJi
1 — tir2a + l = —i cos а = —, sina=~.
T »'4
т м образом, x = CDKL- 2CD 7, ML-13. Площадь
' ограмма вычисляется по формулам S=ML • CD и S=JVP • АД
парадл&яо периметр параллелограмма равен
откуда ли - \Д
К задаче 12.29
12.30. 28\/3 BCD = arccos CD = AD = ^|).
_0123113 Т'/З URLM = arccosZPATL = arccos IPNM-
-arccos!i
|2.32. i4x/3 UMNK = arccos &KN= 4L. = 1^).
pe'33' 2> 5 _ arctg2.
сечения дел ** ^ условия следует, что хорды ВС н АЕъ точке М пере-
10кРУЖнос ЯТСГ П°П0ЛаМ> П0ЭТ0МУ АСЕВ — параллелограмм, вписанный
Итак, ЛЬ^ЛеТаТеЛЬН°- он является прямоугольником (см. рис.).
<1 условно и М — центр окружности. Пусть KF-x, тогда
Д*х окпу»илЛед^ет* что — 2х. По теореме о пересекающихся хор-
А?УНгВК KF^AK- КС. Но КС = АК, поэтому ЛЯ2 =
-/ВГ2—прямоугольного треугольника ВАК находим АВ =
^.поэт ^ Итак> катеты треугольника АВС равны х\2 и
12.34 »МУ 6Г? углы Равны з, arctg2 и f - arctg2.
12-35 Г V5‘ ? -artsin^.
12Зв r"«ev/2. 3 -M«gv/2.
?• arcsin -4=- г _ arpcin L
12.*7. « 4a 2 arcsm7To-
~~ 15^3 — 5^, s'mZABC — )<
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
12 38. S = S^(BD=-Bs’^ZABC=^
Указание- Диаметр окружности - расстояние от точки г
мых АВ и СВ, поэтому синусы углов А и С треугольника ЛВп Пр*
”ы соответственно i и 2- Длина стороны ромба *ВС ^
синусов.
с _ 49
“"•С
S = |V3 (cd-j^.
sm^Bcoa
sin^CB5
i. Длина стороны ромба находится
12.39.
= ¥)■
12.40.
_ з^)
12 41- 5= ¥4^: ^ = 4:3,003^1
AB=f, АС=^). у
12.42. 5=^ (AO:OM = 5:2,cos^BAC~
= 5* л"-571о' ВС ~ ТТо^
Указание. Если К — середина биссектри¬
сы CD, то треугольники ОКМ и OIM подоб¬
ны. Следовательно, AD : КМ = 5 :2. С другой
стороны, BD : КМ = 2:1, поэтому СА:СВ=
= AD: BD = 5:4.
12.43. 5 = 30 (АК : КМ = 1:2, cosZB = |, DC = 10, ЛС = 2^10).
|^-т 4 4 г> 52
375
К задаче 12.46
12.44. 5 = (ЛМ : MD = 10 : 3, cos/.В АС = |,
АВ = Л,ВС=
- 26 ч
-
12.45.
12.46.
г = 3.
-§•
Решение. По теореме синусов найдем радиус окружности Si(0i)-
R = 2пп1вас = Т (см. рис.). Пусть Р — середина ВС, тогда OiP-i-BC
и из треугольника 0\СР находим 0\Р=у. Из условия задачи следуй
что окружности Si(Oi) и S2(02) касаются внешним образом, поэт
му С1О2 = Л + г = ^ + г. Пусть К — основание перпендикуляра.^^
шейного из точки Сх на прямую 02D. Тогда 02К = 02D + 0\г =
+ у и OiK = PD = PB + BD-Ъ. Из треугольника 0\02К нахоД
(¥+г) = (г + у)2 + 25, откуда г = §.
12.47. г = 12 2
г = 6.
5 = 10 >/3.
О _ 24
b ~ 25-
•Р = 66.
12.48.
12.49.
12.50.
12.51.
12.52.
12.53.
е_ 216
* 25 •
$= 25
25’
^РеШ\еНИе’ ВыбеРем на стороне АС точку Р так, из £
см. рис.), тогда СР= DP = f. Пусть АК =
Добия треугольников D>tf и ЕАК следует, что
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
, ,S):*»!:VTKyM 1 = 2' Т°™ Л3С = 4^=Т^В^
1 е <*, *„ . COSO -8- ™ “ак slno = §£ = 5. COSO ^= I
„ /ГГ/in 5
• lAc2 sinaj25 Jib Jab = §, ас = 5)'
1 — 16 _ л-
l2‘5g 5 = 32\/2 (АС = 8, ВС = 12).
I 4 Cs Те V •*“ V*" — 9’ -*w — ui.
!*W s »S = ЗА вс = 3, лс = 6).
12.56-
12.57. г = 3.
Реш
(см. рис
ил.. - гг _ т0чка касания окружности с прямой MN
решение. Пусть условию, ZMNC-2а,
>М, ПОЭТОМУ •да.ои-й-)-*-- И’
=0Msm^2 2/ ,5 / 2 а Л
уравнения cos ® = — cos а = — \2 cos 2 /
vTl0cos 2 4 4 V как острый угол.
вашим cos
(^md = ZADM =MCSiQ|)'
12.59. rs4.
12.60. r=^j.
12.61. PA = , PQ = 6. .с M ~ точка nepe-
Решение. Пусть К — середина отрезка^ ^^ где p = atccos^|-
«чення АВ и PC (см. рис.), ZABK = zCB ’ ца оДНу дугу).
т*гм ZABC = LAPC ~ 2р (эти Углы ^аикулярными сторонам^
Мер = LABK - (J (углы со взаимно пеР х0рдой), ' За
^PQ^ACP = p (угол между поэтому
да (внешний угол в треугольнике АРМ) и дрQ, полу
вменяя теорему синусов к треугольникам А р
ein U + *lL = Aj ‘
АР = ас 8inft _ 5 рп=АР—^
Так
**->=*• p«=APi^S
как
^cosp^y? sinp_yr> cos2p = 2cos2p-l = |. c°s3p =
*-*>'№» AP-ft.PQ.r
:6.
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
К задаче 12.65
12.62. СОХЛОЕ-*.
12.63. МС = 2>Д М* = 15-
12.64. KA = 2\fl$< KL <•
12.65. Плошадь треугольника АВС равна 176, проекция 0т
ОМ на прямую ВС равна 2yj^. рез|Ч
Решение. 1) Пусть Sb S2, S3 и я
щади треугольников BOM, СОМ, СОК "
соответственно (см. рис.). Тогда = 5 _Ив^Вс
другой стороны по свойству би5ссектрисКгС
треугольника, Ш = 4Щ. Пусть АК = КС
ZBAO = ZOAC=ZBCO = ZOCA = а Тош а'
= АВ cos2а и поэтому § = откуда cosj!
= 75- ПУСТЬ Ее ВС и OD1BC, тогда 0D =
= OK = г, где г — радиус вписанной в
треугольник АВС окружности, поэтому $3 =
= § КС - г, Si + S2 = | ВС • г и, следовательно,
sI+sT = вс = cos2a = §’ откУда 53 = 33 и S=
= 2(S1+S2+S3) = 176.
2) По построению DM — проекция ОМ на ВС. Заметим, что точка D
расположена либо на отрезке ВМ, либо на отрезке МС. В первом случае
DM = OD ctg ZAMC = OD ctg(n — 3a) = — OD ctg3a, во втором случае
DM = ODctgp, где (5 = ZOMB = 3a (по свойству внешнего угла в тре¬
угольнике АМС). Тогда DM = OD|ctg3a|, где ctg За = = П'
так как tga= 1, tg2a= |. Поэтому DM = - = пг- РадиУс впи’
санной окружности найдем из треугольника СОК: S3 = ^ОК • КС=
= \г-КС=\г2 ctga, т.е. 33= \ • 2 иг = %/33, таким образом, Ш =
= Ш,
12.66. S =2§;Р=Ц.
12.67. S = 234; р = 6^.
12.68. S = m-,p=*m.
2уД.
3.
2.
4.
24.
12.
12.69.
12.70.
12.71.
12.72.
12.73.
12.74.
12.75. 42.
12.76. 78.
ныД? е н и ПУСТЬ E,Fh М — основания перпендикуляр® j W
из точки К на прямые ВС, АС и АВ соответственно (сМ‘F
,опУ'
ш*н’
ПЛАНИМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
как
^^КДВ. то АКАМ подобен ЛКвЁ^^^
что
КМ _ КЕ
К А КВ'
(1)
г/С s:\56-
^Аналогично, из подобия треугольников KAF и КВМ следует.
KM_KF
КВ К А'
ЧТО
(2)
где
Перемножая равенства (1) и (2), получаем
KM2 = KEKF = 39 -156,
откуда КМ - 78.
в
К задаче 12.78
12.77. ВС = 3, 5 =
12.78. D=§, 5=^.
Решение. Пусть ZBCD =ZACD = а, тогда ICDE=IADE-
вч. £BDC = n- 2а. ZBAC=n- За, ZABC = a (см. рис.), DC-
~2DEcosa = | cos а. 2
Из ABDC по теореме синусов находим 0ТКУда cosa_
= I. coSa = |, sina =&, DC = t
Рименив теорему синусов в треугольнике ADC, получаем
АС _ DC
sin 2a sin 3a’
_з£
- 8 '
* 'Sa3a®8lna(3-4sin2a) = sin2a = 2sinacosa-\
" = l Искомая плошадь 5 = £ ВС • Ж? sin2a = 20 •
“>n3a
12.79
!2.80
5- Искомая площадь 5
C£ = 3.S =
12 Я," ДС = 1, 5= 2^5
2-81- 25/12. 7 '
*2.82,
V6.
АС =
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
284 —
Решение. Центр О окружности, совпадает с точкой
диагоналей ромба ABCD (см^рис.).Так как диагонали DoJ?PeCe^Hw
перпендикулярны, то стороны КЕ и KF треугольника Кв£ба
около окружности, также перпендикулярны. Пусть ^ВПл °ПИсзцн1
= а, г — радиус окружности, S и Si — площади
треугольника KEF соответственно. Тогда 5 = 4 • I. зг ~1 AbCq *
= ± 2a sin a ■ 2o cosa, где a = 3, т.е. 6r = 9 sin 2a, откуда ~
r — § sin 2a.
Аналогично, S} = \ KF ■ KE = ^ • 7 sin a ■ 7 cosa = « • ^
гой стороны, Si = |r(7 + 7sin a + 7 cosa), откуда " 4 SUl2a‘ C %•
r(I + sina -f cosa) = | sin2a.
Из (1) и (2) следует, что sina + cosa =4 откуп» i ®
sin 2a = |,r = fsin2a= |. 3 УДа 1 + *2а. £
К задаче 12.88
12.83. 49/16.
12.84. 9/8.
12.85. ^.
12.86. g§.
12.87. Ssp.
12.88.
5y^4
12
[санной
Решение. Пусть О
в тпы1Р*УГ0Льника ACD- о Ц6НТр окружности радиуса R, описан**
АВ УГ°1ЬНИК BCD. Е L ЦеНТр окружности радиуса г, вписанmf
nJ’C? = BV~S АГ ВС■ T°™> 0,01 АС. DElX.
Пусть 5 — ппл...^,*’ SinH == 3 — CD 25 _ fi. П
?A*S=l Аг площадь треугольника rtAn ~ ~ n '
ВО, - А* 'Вс = Ьр=*4 яТ BCD' Р ~ его лолупериметр. *
2~De-02e= 5 и 4’ 5- ГР. откуда r = $=02E,DE*f'2,
4- искомое расстояние
УЙО,*#
"* ^ «л
12
12-89- у^б.ЗуТо.
ПЛАНИМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
265
е Н И е. Пусть К - середина ВС, О - Т0ЧКа Пвп
- - центры окружностей, описанных
ре ш v.
ЯР Oi н О2 — Uenipm
L BCD И ABC соответственно (см. рИс ) т •
пресечения перпендикуляра к ВС в точке г 7°™ °1 * сТ-Т"''’
ответственно. с прямыми СО\ д1х0Чки
Пусть Виг- радиусы окружностей, описав Со‘
ЛВС и BCD соответственно, г!В АС - /£а*ИЫх 0K0JI° tnevrnn
й?= г - ОС = 6cosa, Д = jkiCJ? =X ТОШ
Т« +О.С. то 6с«о “”/а-„?Го8М'"“' '
+ 3 = 6cos2a, 3sm2 a - 3 cos2 a + 8sina cosa- n c^' 8 «'*»<■ «*<, +
Полагая tga = t, получаем 3t2+8t~ 4 +
< о < f, TO tSa « j, cosa = sjna = i <> = -3, Та,
Tio > r ~ v/Щ Я = ЗуТо
как О
Л
/ \
12.90.
12.91. 2<Д, >/5.
12.92. 2^.
12.93. V5 и \/3. пяпичс F — осно-
«:^,Хоп7^Гита
^сЛьа= ~ Bi
АВСД то
5 = 2 • -х • АС sin а = n/2,
2
где Я_ , д _ 4Д.
* = 20С cosa = 2Я cosa, АС = АО + ОС -
Следовательно, 16>/2
v/2 = 2Я cosa • 4Я cosa = —
3 по теореме косинусов находим
2V2
Чдауа
у2 = 9 + 2 — 2-3-v^*~~~ ^ 3’
V3.
ПЛАНИМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
12.94.
12.95.
12.96.
о &
г, 2 ■
2
*• 3
2 5
£’3‘
12 45\/2
7 • 28 ’
12.97.
Решение. Пусть /.АСВ — а, тогда tga -'
.„ = 1 sin а=*£.АВ = ВС = -2--*‘
— ' SU1U = -Г» АВ = ВС ~~ cosa ~ ® (см. рис.).
ПосвойстЧГ биссектрисы в треугольникелгг
а)Им£ = €С= 4. откуда Щ = $
AS
ЛС£
ЧТО
К задаче 12.97
12.99.
12.100
4 40s/7
3’ 63 -
10 тЛ
9 > 27 •
ИМ<Из подобия Треугольников MEQ и ЛЕС следует
, М2 _ = St откуда MQ =
б^Пусть Д - радиус окружности, описан¬
ной около треугольника BPQ, тогда Д=^ =
_ з qq рде BQ = BE + EQ = 3 + EQ, EQ*
1з£С='|, в<з=т-я = ^-
12.98. }f. н#-
12.102.
12.103.
12.104.
12.105.
i6i/S
25 •
27у/2
16 •
27i/2
4 •
12.101.
и
Решение. Пусть В К и ЛД — высоты в тре¬
угольнике АВС (см. рис.) и пусть /АВК = /СВК=
— а, тогда /FАС = a, /DBE = /DAE = а (эти умы
опираются на одну и ту же дугу).
Из равенства прямоугольных треугольников DAF
и CAF следует, что AD = Л С. Найдем АС, пользу¬
ясь тем, что треугольники ADC и АВС подобны. По-
лучим = |§, откуда ЛС2 = 4 • 9, ЛС = 6, sina =
~ в§ ~ |. cosa = 2^1. Пусть Д — радиус окружи
стн, тогда = 2R, где Л/? = 6, sin2a = и по¬
этому r = аМ
12 ./Is
з- ут-
■*S£
Решение. Заметим, что АЕ = В£ и АЕ = DE. таК “**оМу *"7
ные, проведенные к окружности из одной точки, равны- /с(1. рис *'
о 2п 2У^' ПУСТЬ °i и 02 - центры окружностей Ci и 2
OiB = О,Л = х. q2F = 02Л = у, АВ = t.
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
По теореме о касательной и —
^ «л»
Из подобия треугольников OlAB иП а ' ге.
зАР бедует, Что * =
1 V2> От-
Из
,1 = ?У-
где х =
У = \/т> х =
К задаче 12.105
гуда х ЗУ-
’для получения еще одного уравнения
связывающего хну, воспользуемся творе¬
ной Пифагора в треугольнике O^AT, где
К _ основание перпендикуляра, опущен¬
ного из точки Oi на прямую ДО,. Пп.
пучим 0\К = BD = \/(х + у)2 — (у — х)2 =
= 2у^у = 2%/5, откуда zy = 5,
= Следовательно, у2 =
•lt/f=Д
Замечание. Можно показать, что точки D n v
прямой и вместо теоремы о касательной и секушей ’п™ЖаТ На одной
Пифагора к треугольнику BDF. се«ущеи применить теорему
12.106. 2^,
12.107. ^,3v/2.
12.108. yi, зф
12.109. АВ = 4L
V17
CD = jrrR=%S-
Решение. Обозначим АВ = х, AD —
= 11, <:BAD = а, ZACB = ф. Тогда ZABD =
= ф. Из подобия треугольников АВС и
MD (см. рис.) следует, что = в§ =
а1 откуда АС=§х. Из треугольни-
и АВС по теореме косинусов полу¬
чаем ВС2 = АВ2 + АС2 - 2АВ • АС • cosa,
те. 16 = i2 + ^i2_2x 4х 1 =11х2, от-
Туг’
вТ*Уи AD = ^, DC = АС-AD = 16 7
пУсть R
80ЙСТВУ касательной и секущей АВ2 = АВ • АС, т.е. х2 — у • з1*
71?. “ АС - AD = ^ ^ = ^5.
""Мвп РЗДИУС 0круж"ости' ™гда Д= Из треугаль-
"° теореме синусов имеем ^ гае sina=
110' ‘4С=32\/1.ВС = 4Дд = зД.
28$
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
12.111. AD = ^CD=^,R=fy/^.
12.112. АВ = ВС= R = -Ц^.
12.113. 1) ф 2) ^
Решение. Пусть А2В2С2 — треугольник, образованный
чением прямых AAi, ВВ\ и СС\ (см. рис.), Z.BAAX =
ZABBi = Р- Тогда LB.BC = ZCXCA = р, sinp = Cos2a = I( со 1
Перес*,
a.
4 ' ООЗЦ а; ^
sina = cosp = АСХ = АС • sinp = АА2 = ^ 2 г
1) Если Si - площадь ААА2С, то Sx = \АА2 • АС • sina = ids
2) Если S2 - площадь АА2В2С2, то S2 = \А2В2 . а2С2.щ
где ф = ZB2A2C2 = = /.С\А2А = | — а, и поэтому sin9 = Cosa=J^
Так как А2В2 = АВ2 - АА2 = ^ Л2С2 __ ^ _
- СС2 = ylCcosp - АА2 sina - ^ то 52 = ^.
12114 3v^33 еУ33
х«.хх«. 7 I 105 •
12.115. 41- *4Г-
12.116.
В
- - —1—^ — -ж, пи2 — А, — *v, * Л 1|
и Г) дШение- Пусть Б н F — проекции точки 02 на пРйМЫ5) n2s
« Т
{ъ
= r 0,0 -ГтВеНН0^(СМ- рис )’ ©Mi « Oift ® А ^'оугол
г, их02-1 тогда О^^д-г, О^Я + r и H3JJ«U
ных треугол^иков 0l£0 н 0 pQ ш А А =
-\/70-U/6)2 = 8i Б Б = Л2-_-(д + г)2= /^Г2"4' ^
еГД^ГалЛ;6’ ^ = С г5о свойству -^4^
1 5ь = ЛЛ2, откуда Л:Л2 - 6 = + *• 8
ПЛАНИМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
^/подобия треугольников А2В02 и ВМ слеяуеГ^Г~
’ г.» Я* = S' 0ТКУМ с + 2 = ¥■ По свойств, касательнойн «
"5 проведение к окружности С2 из тонки В. имеем е(„ + 1"'
пущей, 2 fl2> откуда а = 4%/б, с = 10. v + 2г) ~
S^12 118. i4i4i = 7. BiB2 = 5, h45i = 6, з4В = 12, вв, = 6%/з
12Д19. ^1^2 = 8* В'В* = 4* = 2. >15 = ВВ! = Safi
l2 120. дМг = 7- 5i52 = 5, ВВ2 = ДВ = If, АВ2 =6.
7 УН
12.121. г — 16 •
решение. Пусть М — точка пересечения
„иагоналей трапеции (см.рис.), К и L - сере¬
дины отрезков ВС и AD, О - центр окружно¬
сти радиуса Л, F — точка касания окружности
со стороной CD, МР || AD, Р € CD. Обозначим
a=LD,b = КС, тогда LD = bt, где t = 9/7.
Из подобия треугольников МСР и ACD, а
также треугольников MDP и BDC следует, что
МР =
2 ab
2 bt
а + 6 1 4- t
(1)
Так как ОС 1 ОР {ОС и ОР — биссектрисы
углов, сумма которых равна л), a OF J. СР, то
OF2 = PF ■ CF = МР ■ КС (PF = МР, CF =
= КС), т.е. р? = мР Ь.
Из (1) и (2) следует, что
(1 + t)R2 = 2 ЬН
(2)
(3)
Площадь S трапеции ABCD выражается формулой S = {КС + LD)x
*(КМ + ML), где = £ = t, откуда КМ + ML = 2Я(1 + 0.
S2 = 462Я2(1 + О4-
Из (3) и (4) находим Я4 = 5^, где S = 8, t = §, т.е. Я = Чг-
12.122. Aj/Ia
12 ут-
*2.123. т* — 4
12124. Я=1|^з.
р2125 5 = 26^2 + 4.
и и е- ПУсть AuBuCi- точки, в которых 0КРУ*Н0С]^ = у,
^ 2 ается сторон треугольника АВС (см. рис-)- A \ZJ/r АО ~
■ 2! ь ’ в ~~
»• В\А =
треугольника лаи icm. pnv-■)•£ _ ££хАО ■
Радиус описанной окружности, тогда
*• BAi = Vt CAi = z, BC = y + z.R = ^'^'
ПЛАНИМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
ta& = t тогда tg х _ T^t7 — 1» откуда t
06МНа,“” 0 , = ОС. •'«*«¥ = 1*5 ='4(^- ■>>• По
Г(*+Г+')“16'(в+’/5)’ ОТКУДа у+г = 8(6 + '/5) _I = 52 + 4As
= 26 +4-
1 + \/2,
УСЛовщ
12.126. 5 = 20(\/2-1).
12.127. r = v/3.
12.128. Л = 2(7ч/3-1).
12.129.
_ osln(f + *)
1-sin (f + v'
Решение. 1) Пусть О — центр окружности радиуса R, ZOBG=if
(см.рис.), тогда LBOG = 2у, 2<р + 2у = я, откуда <р = § - у, £А = \-
- 2 = \ + ?■ И3 треугольника OAF находим R = (R 4- a) sin Л откуда
Д(1-sm.4) = asin.A.
12.130. R = .
12.131. R =
‘(? + z)
2 sin3
R=-^
12.132. n = 7f5-
12.133. 204. прОХод«т
P e ш e н и e. Так как
через точки А и С, а ее ^ ^ (см- РиС]‘
АС, то АС - диаметр окруж.
откуда следует, что LABC-/LAEC- 5> ^^Z-lED + АЁ)Е^'Т
ВС = 8. По свойству касательной и секущей C.D — V
£D2 + 8EJ0 - 36 • 13 = 0, откуда ££> = 18- шины прям°г« У
По свойству перпендикуляра, опушенного из веР _» сЕ^^‘
на гипотенузу, СЕ? = Д£ • ED, т.е. СЕ2 = 8 • 18.
Искомая площадь S — С£ = -12 — 20
12.134. 663.
12.135. 270.
12.136. 135.
12.137. /.MBN = Зр, AD = \/б.
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
Так как ВС II AD и окружность касается прямых ВС и
п»ше* иг, то BD - диаметр окружности (см. рис.).
р -лчках В ”,0*7-0). /BDC = a. /.BAD = р, тогда /NBC = а
^»ачВ“ка««льной и хордой), с + Р + Ф - «■
(,г«лмеЖЯУ
1) По теореме синусов ^~=BD, откуда sinqp = -^. Но <р =
= ШВБ + f — а, где ZMBD > а, так как AD > ВС. Поэтому <р > 5 и
?= 2р, а + Р = §, так как а + р + <р = л.
2) Площадь трапеции S — 2 = ^ (AD + BC)BD, где AD = BD ■ tga,
BC = BD ■ ctga, откуда
2 = tga + ctgp = tg(f-p)+ct6p=±^ + ^,
3tg2 р = 1, tgp=73.
12.138. /MDN=^, BC = 2v^7
12.139. /MBN=&, AD = 2%/3
12.140. /MDN=f, BC = 2y/21
«■Ml. fi.
Решение. Пусть О — цент
дружности с радиусом R, onv
с*нной около треугольника АВС
у ~ середина АС, /ВСА = 2'
рис.). Тогда OB - R, 0D 1 ВС
WO = 2а, КС = ВС- cos2а =
^cos2a, АС = 10cos2а, а искомо
Р»вн°л«Ие 0Т точки 0 до прямой
нця qjj™ ' где М — точка пересече
&ADC по теореме косинусов
AD = \J2ctgP = >/6-
Л£)2 = ЛС2 + £>С2 - 2ЛС • DC - cos 2a,
292
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
т. е.
97 _ юО cos2 2а + х ” 2 ‘ ^ cos^a ' 2 cos2a, откуда
cos2a = 11 cosa = ^=, sina- sm2a - gl 2Я =
AB
sin 2a
BE BC 5
По свойству биссектрисы хё = лс = 6> 0ТКУДа АЕ = ^ АВ =- зо
ТТ-Из
рл Ар 11
ААЕС по теореме синусов -^5 = откуда ЕС = АЕ • 2 cosa - зм
FC = iEC=^r5.
Проведем через точку F прямую, параллельную OD и переспи
' „ р тпгла FP = MD = FC • sina = Н. ОМ — пп .?К)|
ВС в точке Р, тогда FP
OD = R- cos2a=
Следовательно, ОМ = т _ §5 = ff§
55' = OD - Mq
Шую
где
12.142.
12.143.
12.144.
12.145.
291
250 •
279
200'
21
22-
ZBAD:
Решение. Пусть А\ и С( -
точки пересечения прямых и
12 со сторонами 2? С и ЛД (си.
рис.), а В\ к Di — точки пересечения прямых гпх и тп2 со сторонами
AD и ВС. Обозначим ZBAD = 2a, АВ = а, ВС = b, h — расстояние
между прямыми ^ и l2, d — расстояние между прямыми mi и тп2.
Тогда ZBAAi = a, ZABC = я - 2a, ZABBi = § - a, откуда следует,
что mi _L li. Ho l2 || h, m2 || mi и поэтому mi _L l2, m2 -L h, тп2^12-
Кроме того, BAi = АВ = a, DC\ = DC = a, так как ZBA\A~
= ZCC\D = a. Следовательно, AABAi = ACDC\. Аналогично.
AABBi = ACDDi (AB = CD, ZABBi = Z.D1DC, ZBABi =
а) Пусть S, Si, S2 — площади параллелограммов ABCD, AAi 11
BBiDDi, a S3 и 54 — площади треугольников ABB\ и CCDi-
где
S — 2S3 + Si = 2S4 + S2,
Si=AAih = 2 ah cos a, S2 = BBi d = 2 ad sin a,
5з = ~ a2 sin(n - 2a) = — sin 2a, S4 = -7 sin2a-
• 2 *
Следовательно, Sx = S2, T.e. hcosa = dsina, где h = <fv/3- °тС10Да **
~ — 73' a = §• ^-BAD = 2a = |. aBp,*
***** радиус г окружности, вписанной в треугольник er«
йжййг г=-гда°- n~ ^гмьяика А
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
По условию АС - y/f, BD = ~
мьникэм АВС и ABD, получаем Я Т*°РЩ коСИНу
пл л л /СОВ
4 = а* + У-2а6сова=>-‘‘ +* + '1
+ b ~аЬ.
ктре-
41 i
S751
5 = — (ctg а + tg 2а).
Обозначим ф(а) = ctga + tg2a, тогда
1 2 cos2 2a + cos 2a — l
(1)
<P,(a) = —4- +
stn2 a cos2 a
Решая Vd3r si“2 « ' cos2 2a u
ф'Ы-л пп Нение cos 2a -f- cos 2a — 1 = 0, равносильное уравнению
-C032- , . Л/ЧЗеМ cos2a = откуда следует, что -cos22a-
рень ^ т .2 />то уравнение ф'(а) = 0 имеет единственный ко-
т^(а) > 0 при°а "Т° cos2ao = причем ф'(а)<0 при а<ао и
^но при а ®0, так как cos2а — убывающая функция. Следова-
41 ^(cteo , °° *УНкЧия 5(a) принимает наименьшее значение Smm =
'*£:**>■
"Т" Чэ2a = —PSS I sin2а соза ctga
81na cos2a sin a cos 2а cos2а'
c°s2a0 = & *, то cosao =
cos2ao =
ПЛАНИМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
Следовательно,
r2 ctgao __ л
5min = "£* «мгао 2
(у/Е+1)3/2
2у/2
+ 1 __ Я2
2 ~ 8^2 ^ + V^)5/2.
12.150. 2# Я2-
12.151. = К1 +
>/5)(\А/5 + 2).
12.152. Зч/ЗЯ.
12.153. 57; arcsin ±2.
Решение. Пусть О - иеитв
окружности, вписанной в чети?
угольник ABCD, Аи Вь Сь а
точки касания этой окружности «
сторонами четырехугольника (см.рис)
Обозначим /.ВАС — 2а, /CDA = 2р
тогда /АхАО = ZIMO = a, /CiD0=
= /D\DO = (3. Будем считать, что
/Л = 2а = arctg
По свойству вписанного в окруж¬
ность четырехугольника
/BAD + /BCD = /АВС+/ADC=%.
Отсюда следует, что /В\ОС = /С\ОС = а, /ВОА\ = /ВОВ\ -р.
Так как tg2a = |, то | = т. е. 2 tg2 a + 3 tga — 2 = 0, откуда
tg2a = 5, ctga = 2. Кроме того, OA\ = OB\ = OC\ = OD\ = 1-
Пусть S — площадь четырехугольника ABCD, тогда
S = tga + ctga+ tgP + ctgp. ^
Это сумма площадей четырех пар прямоугольных треугольников, ка
дая пара состоит из равных треугольников.
Пусть tgP = a, ctgP = Ь, тогда АВ = ctga + tgP = 2 +
= 2 + ctgP = 2 + b. По теореме косинусов
BD2 = (2 + о)2 + (2 + b)2 - 2(2 + a)(2 + b) cos2a,
где cos 2d = щ ^ i i — 3 откупа
Vl+tg3 2a 5* 0ТКУДЗ
BB2 = o2 + 62 + 4(a + &) + 8-g(4 + 2(a + &)+fli’)-
Так как ab = tgp ctgp = 1, to a2 + b2 = (a + b)2 ' 2a* 88 (°
+*)'
Полагая a + b = x, получаем
(2)
BD2 =x2 + -x.
5
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
ник
С ДРУГ** СТ0Р°НЫ’ П° Те°РеМе СИНУС0В Й = 2V6, так как тг.
0D вписан в окружность радиуса у/В. Отсюда ^Уголь-
BD2 = 24 sin* 2а = 24 • -
25
в,
16
(3)
„ (3) следует, что х“ + !*- ¥ ' Ч;=«. °т«У*а
ф _ угол между диагоналями BD и АС, тогда 5 =
inO ^C sinql, где BD = ^. ^7% = 2VS. Hox = tgp+ctgp= !
5 2P=a = !,4C = ^.g = i-a#-^
откуда
зшср, sinqp = 15,
12.154. тр arcsin 50.
12.155. y| ; arcsin §§•
12.156. f ; arcsin Ц.
12.157. AK 1 BC,S = 25, R = \/29.
Решение. Рассмотрим гомотетию с
центром в точке А и коэффициентом к =
= В\С\/ВС. Тогда треугольник АВС пе¬
рейдет в треугольник АВ\С\, окружность U
перейдет в окружность <оь описанную око¬
ло треугольника АВ1С1 и касающуюся О
в точке А (см. рис.). Окружность о)2. сим¬
метричная (Ох относительно прямой В1С1,
проходит через точки Bi и Ci и касает¬
ся П в точке Аи симметричной А относительно BiC\. Следовательно,
юг является окружностью о, а точки Ai и К совпадают. При этом, по
построению Ль отрезки АК и В\С\ перпендикулярны, а точка их пере¬
ценил М делит АК пополам. АК _
Пусть D — точка перечесения АК и ВС, тогда DM = 2, AM = — -
*\№ -:5' М: = Ш = |. откуда ВС = 10.
рЛощадь § треугольника АВС равна \ВС • AD, т.е. S-5 -10 ^
адиУс В окружности Q найдем из треугольника где -j_
"^Рэтой окружности, Е — середина ВС. Тогда R = VOE2 +
'^=V29.
,58- АК 1 ВС, 5 = 27, R = >/§7/2.
12160 AK±BC>S = 16,R = V}7.
12 ift0' АК 1 S = 16. R = ^/2*
р. 81- AB = b,AD = 9j2/5. uU« около
;<неиНки е- Пусть Oi и 02 - центры окружностей, описан^^ ^
S оН"к®в и ЛВ£> соответственно (см. рис).JЕ £ £ерез точку
^Пуст-1 дР2 лежат на перпендикуляре к АВ, пр°* na-£DBC = $<
= 2х, ВС = 2у, /ЛСЯ = ZCЛГ> = а. ^ADti
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
296
О - точка пересечения АС и ВD. Тогда ЛО, - 5 д
= ВЕ = х, 0,Е = у/2р^, 02Е=хЛз^2 о’ °2 = vl3
= v^5^?-v/l3^=21 откуда 25-** *4 , Ли* **0,^ '
vT3^F = 2,i = 3, Л£ = 6. Х +4vJT^
Так как 4±г- = in лв
aina ?UTt =
»in? ' 2vT5
sma=|, cosa=f. sinf)^,
= in' Из ^голышка BOC no te
синусов находим ™
ВО _ СО _ 2у
sin a sin P sin(a + P)’
где sin(a + P) =sinacosp + cosasmp=
= 5Йз- Т°ГДа B0 = ^- С0 = !у По
свойству сторон и диагоналей паралле¬
лограмма 4{ВО2 + СО2) — 8(х2 +/) или
(f + f) у2 = 2(9 + у2)’ откуда »* = §•
У=^ВС = 2«=^=9Л
12.162. Л£ = Ю, Л1)=^.
12.163. АВ = \6, AD =
12.164. ЛВ = Ю. AD = 7^2. R
12.165. СР = \/б. С£ =§,££= ^. P = 2vV
Решение. .
а) По формуле для биссектрисы (см. рис.)
CD =
2АС ■ ВСcosa
АС + ВС ’
К задаче 12.165
где cos2a — Д) cosa = ^fi+cos2a _ ^/27 _ 3yg
Следовательно, CZ) = з-з-^з-л/ЗГ _ ^
синусов-Т°4 д2НЗЙТи вь,числим ЛЯ по теореме w
как И Л = 1+ 16 - 2'2'0 • й = »■ ^ = 3. *
яс-лс-5, то BE =%ЕС, ВС = ЕС+ВЕ'
Ь = ЕС + \ЕС,ЁС = \.
в) Отрезок DE найдем, используя теорему косину
DE2 = DC2 + ЕС2 - 2 DC • ЕС cosa =
= 6 + ?l-2v/6
25
8 3 /з _ 34
5 * 4 V 2 25’
ной ^
ло
нетооктп^ И ~ чентры вписанной в ДАВС и оП^() ^ ^
ружностеи, OOi = р — искомое расстояние. ТогД
ПЛАНИМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
АЕ И DC, а точка Оу расположена на перпенпи^,
"(01 ~
Д^бн"™' ."дЗл? ^СМ”' °W ■ 0С“°.
Так как
0С =
2/1С • ЕС cos а
/1C + ЕС
2 - 2 • - • ЗУ-3 _
5 JT2 _ 2\/б
2+|
2\/б 3%/3 3
СМ = ОСсжа = — =
ОМ = ОС sin а,
А 27 _ I, fi ом = . i ., Д - ^21 _
sina = V1 " 32 "" 4V 2’ 3 4 V 2 ~ 6 -
SmO=Y1_ 32 - 4 V 2’ --- з 4 У 2 6 ~2^5-
Если Л = C0i - радиус окружности, описанной около треугольника
АВС. то Я = 5ЕЙ5■ где sin 2a = откуда находки R =
ОМ = ■JCOi - NC2 - = fa
Тогда
p = OOi = y/MN2 + (OiiV - ОМ)2 =
i/hFaT-vr-m
Л/) = 1, СЯ = §, Д = 4Д
ЛВ = 3, С£ = §, DE = ^*,
BD = 2, АЕ=*&, R=t-4,
12.166.
12.167.
p=2\/l-
12.168.
Рг2Д
12.169. г = _и_( /.BCD = 2arcsin|g.
^НИ^ок^' ПуСТЬ M' L' K'G'F~ Т0ЧКИ к задаче 12.169
НиМдлп.;жности> вписанной в пятиуголь- о-
Ч*нтр г £ со ст°Ронами ЛВ, ВС, СВ, DE и ЯЛ соответственно, 0
l/flss Радиус этой окружности (см. рис.). Обозначим AF
~ у• Так как ЛВ = ВС, то ЬС = хн КС = х. г<7 =
^ЛТ° из равенств CD = DE, KD = DG следует, что EG
К Так как n£a Ae = 2^ = 6, откуда х = 3. рд = о£.
^°Ме того ^ ~~ ВЫсота и медиана треугольника АО . nepece-
ТОГО- в Равнобедренном треугольнике АВС прямая ВО, пер
298
ПЛАНИМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
кающая АС в точке^ лелИ] пополам угол АВС и поэтому
mZ::^ OAfoL oC = R. ,, точка О paBBOyj>j ^
вершин треугольника ЛЕС, a R - радиус окружности, описа”’?"1»
этого треугольника. 0|<а*о
Пусть 5 — площадь треугольника АЕС, а Л - радиус о*
сти, описанной около этого треугольника, АЕ = а, ЕС = b, AcT**
_ (а+Ь+с| Тогда "с,р5
52 = р(р - а)(р - 6)(р - с) = (?~)
где а = 6, Ь = 7, с = 8, р = у.
Из равенства f • | • | • § = С1*1)2 находим R = -JJL, а из До^,
котором OF = г, EF = 3, OF = R, имеем
Найдем угол BCD. Из равенства треугольников АОВ и ДОС следу¬
ет, что /ОСВ = /ОАВ = ZO.AF = а.
Аналогично из равенства треугольников FOF и ООО следует, что
ZOSB = /ОАВ = /.OAF = а.
Следовательно, ZFOO = ZOCF = /OCD = 2а, где а = arcsin£ =
= arcsin у±. т. е. /BCD = 2arcsin||.
12.170. г = , /ЕАВ = я — 2arccos| =
Ш vV/V/lJ g •
12.171.
= л — arccos
12.172. г
= arccos^.
= 5^-,/ЛОО = л - 2arccos| =
7_
- - 52 /CDE = л - 2 arccos J0
v231 ’
12.173. 1=&6R.
Решение. Пусть Fi, Fi. Mi ~ ^
ки, в которых окружности Oi, Ог. 3‘ Tltf
саются окружности О. Тогда центрам ^
окружностей являются середины 0 „
FFlt LLj и MMi (см. рис.), Пус^^
/CPL-/RPT о л центР окружности О, /ВРК = £- адИ-
ус гокружности^' lAPM = ZC™ - V. тогда а + Р + Г =
РМ - о опРеделяется формулой г = 5 (Я — FA/)>
cosy Дсов(а + р), т.е. г = + COs(a + Р))* R ^ ^
Так как cosa = Ш - R-kk d -d л~ 1 ==51
1
ПЛАНИМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
Тогда
12.174-
12.175-
12.176-
12.177
lo
*±Mr.
AC = 7, ZKON = л — arccosl, AM = 3
решение.
I) Пусть AE - биссектриса угла ВАС (см пис ) до , „
тогда СР= АР = V2- Так как 45 = 21, то по^войст « 5С = “■
треугольника АВС находим ВЕ/СЕ = АВ/АС = 21/Ь откУ5^5СеКТрисы
BE = -СЕ.
6
(1)
Из подобия треугольников В PC и 0ТД
дует, что U = где ОТ = 3, РС=* ВС = Ь
откуда ВТ -
Аналогично, из подобия треугольников АСЕ и
ОТЕ находим
ТЕ
СЕ
ОТ
АС
откуда
ТЕ = -СЕ.
ь
(2)
(3)
Из (1)-(3) следует, что ^ = вт - вВ
= f СЕ, СЕ = ЕЕ = ^-СЕ, ВС = BE + СЕ
*05(1 + ¥) = 5 С1 + т) = откуДЗ Ь = 7’
АС = 7
2) Пусть ZCAE = ZBAE = a, D и F - ос¬
нования перпендикуляров, опушенных из
О на АВ и ЛС, тогда D и F ' Л
отрезков EL и MJV соответственно, Ol>-ur.
ОK = MF = OL = ON, АК = АМ, KL- ЫМ,
MOD = ZjVOE. Так как ZCAB + ZFOD - т_
2а + ^ПАг_-
К задаче 12.177
= 4£ = 1 2а =
— То 3*
2а + 7vnu* - ,ак как ZCAB + Z-FOD = л* Т0 ас
=arc 1 =Л’ откуда ZKON = n- 2а, где cos2а = jg
,.С08з- Следовательно, ZKON = л - arccos5.
°й~прЙДеМ aM = AK = AD-KD, где ЕВ = а/9-0^-°
• faff = Р7 = - Г£ = СЛ • tga - OTJga - 4 <*«•“** .
aU°5C *’tga = 75’0£> = 2v^’ = = hAD'°D 8
3 """* ^ ^ j~y _ ^
fan В п!!аНие- Решение можно упростить, применив r°M°lfTH
12.17о Реаодяи1УЮ треугольник ВОТ в треугольник ВВС.
78- = п, /Ky0N = л_ arccos 1, ВЫ = 5.
ПЛАНИМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
12.179.
12.180.
12.181.
АС = 9, ZMOL = л- arccos CM = 5
ВС = 8, ZMOL = я - arccos §, CM = 5.
It . c _ 1* cos2 a
s - a, j + Cl. * - cos 2a ■
Решение. Пусть CD
ce
высота, биссектриса и медиана
ные из вершины прямого угла с Проведен-
ника АВС (см. рис.), ВО = дпРеуг°Лк-
= m, CD = h. Тогда ZBCE~/pr°^
= s, ZCAB = ZOCA = f - a,
- ZCAB = f + a, ZDCE + '
= | + a, откуда ZDCE = a T. е'биссе
Co
DEO
К задаче 12.181
СЁ делит пополам угол DCO.
Пусть 5 - площадь треугольника АВС, тогда 5 = ±2m/i = m^
fc = icosa, m = откуда S =
12.182. 5 + a> i ~ a‘. m2 cos 2a-
где
12.183.
12.184.
В
у/ S cos 2a
cos a
\ + a. f ~ a:
2 + a, j - a; my/2(y/2cosa — 1).
12.185. i?! =
/ > 5
1 ^ 7-
20
3v/35+10v/2’
Решение. Пусть Oi и 02 — центры окружно¬
стей o)i и 0)2 (см. рис.), 2Д и R — их радиусы, D\ н
1>2 — проекции точек 0\ и От. на АС, Е - проек¬
ция точки От на OiDi, Z В АС = ZAC В = 2а. То¬
гда \АС = АВ cos2а, т. е. 2 = АС = 21 cos2a, отку¬
да cos 2 а = т.
Если 1 = 6, то cos2a=g или 2 cosza = g. от¬
куда cos a = yj~^, sin a = yflfe, ctga = \j\- Чтобы
найти R, выразим АС через R. Так как ZO\ADi-
= ZOtCDt = a, то ADi=2Rctga = 2R^l<СОг*
= Д ctga = rJ\. Пусть E — проекция тоЧКИ ^
на 0\D\. Учитывая, что DiD2 =
из прямоугольного треугольника OiEU2>
0i02 = 3R, ОхЕ = OxDx ~ <№ = А ТогДЗ
D\Dt = ОтЕ = = 2R^' «
AC = 2 = 2rJ\ +2RV2 + R^I = r3 5
V ® v стй ом
откуда д - гл&.л-а радиус л‘окр1' .
и,. равен 2R. „и0СтИ ®
и о>2 реализуй Значение ^in. при котором существуют окрУ^писаНн°
“I. реализуется в случае, коги окружность в), "
ПЛАНИМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
а ЯС В этом случае точка D\ - середина отрезка АС,
''".«голь Н*« А° биссектриса угла АС В и ZOiOjE =о. Тоги tina =
°i°l Г cos2a = 1. AB = = ? = U,. Такин обрами. ара
’ $ 7“ГВ,ЮТ'
i2.187. Я1=5^6^
12.188.
12.189.
D — l* l > —
Л2 - 5^8’ 1 * 7 •
S _
яД1 ~
W6+8 - /
ZABC = n — arctg3, ZACB = s /плп
.та '• /fi-4C = arctgj,
** бя
Решение. Пусть ZBAC = a, ZACB = 8
= arctg3, R - радиус окружности (о ЕС = x(Z ~ ZR°E = "cctgi =
угловчетырехугольника ODBE равна 2л a vrZ n,' Так как сумма
прямые, то ZAC В = л-ZDOE = л- arct* 3 По “ Р веРШинах D и £-
- tgP= я arctg3.n° условию AD=2EC=2x
прямые.
Тогда tgo 2х * _
откуда tgP = 2 tga. Из ри¬
сунка следует, что \ -
-а + <р+§ — Э = 7Г, отку¬
да a + р = ф, tg(a + Р) =
= teco т е -l6-a+tgP - я
т.е. i-tgatgp—o,
i-2tgja= 3,2 tg2 a + tg a —
-1 = 0, tga = 1, tgp = 1.
Следовательно, ZBAC =
= arctg 1, ZACB = f
Найдем
Д
К задаче 12.189
4 •
^... площадь 5 треугольника АВС. Так как BE=BD,
то 1ВОЕ= ZBOD = §, и значит, BD = BE — Rtg\, 5=j(5C +
+ ДВ)Я=|(2£1>-|-£;С-|-АР), где ЕС = Rctg$ = R, AD = Rctga =
= 2Д. Найдем tg| из уравнения
3 = tg9 =
2tgf
i-tg2f
или
ф уДд — 1
= 3
stff + stgS-s-o,
Следовательно, S = § (2fitgf +Й+2Д)-^ V 3 аравно1±!^'
‘отношение площади треугольника АВС и площ ^ ^ аг(,(р 4: Ог
U. ^ А 3 />Т% Я- /
.19П / л г%п
12 Г пл°Щади треугольника АВС и площади круга 1*юп» 6Я
12 ю! ZABC ~ * ~ arctg 2; ZAC В = f; ZBAC = arctg
12,190 = 51 ~ ««tgf; = f;
12 in, - я - arctg§; ZACB = f; ZBAC = arctgf;
Pe ' E ~ - y/15; 5 = 50^5^3
C"‘ Рис-).Нт11е' Так как AD и CM - касательные к
П0 теореме о касательной и секущей АО =
302
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
= 5.9,СМ2 = СК-СЬ = 5-1,откуааАО = Зу/5,СМ = ,д в ^
ВС = 2у/5. Пусть SC = *, тогда SM = SD = х + ^ Щ *
= х + 4\/5. По теореме косинусов из треугольника AS С ° +
п°луЧае
АС2 = AS2 + CS2 - AS CS- cos 120°,
т.е. 100 — (х + 4у/5)2 + х2 — 2(х -f 4\/5)х(—I)
Зх2 + Uy/Ex -20 = 0, ' * ’
откуда х = Так как х > 0, то х =
I) Пусть О - центр окружности, Л - ее радиус В четып
ODSM углы при вершинах D и прямые. Поэтому /по л/е*уго;!ьни|№
= 180°, откуда Z.DOM = 60° и ZP50 = 60°. Из товут?. +
ходим • ™ треугольника^.
DO = R=DS- tg60° = \/3(х + VE) = 4у"? - д/15
2) Пусть 5, 5i и S2 - площади четырехугольника Айпп
ников AS В и DSC соответственно. Тогда и тРеУголь-
5 = Si - В2 = -(Л5 • SB - DS ■ SC) sin 120° =
= Т |(х + 4v^)(x + 2\/б) - (х + V5)X] = ^(5v/5x + 40) = 50 ~5^
Л= 2УО-^2 с
,2195- Я = ьА;£1 s-я/—
um. С ^
12.197. ^м,-, * • f-aOv^-lOv^.
2к«^=агш„||, Ш
!"??«’ * - Я
») Пусть ^
Угольник ЛВС, со ctodohJi?4^ касания окружности, вписанной в ^
Це»тР окружности Г И ДВ- АС н соответственно (<*■£ .
’ ~ ее Радиус, ABAC — а, СЬ = *> В*
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
_ - яп 303
' &***• = г = - = щ = вр=у.
ТоГДа х + у = М,2АК + 2(х + у) = 40, AK = 4<tg*_OK 3
*яС*10, к' и L' - проекции точки Д на АВ и ЛГ а if
я zi J» °ш0Ки OL Тоги M'=^=fw -
0М*2'к сумма углов четырехугольника AKOL равна 2л, а /АКп-
}аЬО = л/2, Т° ^К0Ь-л~а- По теоРеме косинусов из ДMON
нахоДиМ MN2 = 4 + 1 — 2 • 2 • 1 • сов(л - а),
2 а i-cosg = ±,
где t? J i + cosa 16
cosa = —, MN2 = — = 3v^
25 25 5 '
Заметим, что ОД = 2Я, где Л - радиус окружности, описанной около
треугольника DMN. Тогда ОД = 2Я = Ш = b£Z, так как sina = g
12.198. /АВС = 2arctg|,
12.199. /.ВАС = 2arctg|,
12.200. /ЛДО = 2arctg|,
12.201. Л = v^3, AD = -^=.
Решение. Пусть R — радиус окружности, AB = CD = a, ВС =
=AD = b, /АОМ = а (см. рис.), S — площадь параллелограм¬
ма ABCD. Тогда OM = ON = OK = R, /BAD = /ADK = f - а.
mc=
=я- /BAD = | + а, /МВО = /NBO = \/ABC = f + § (&OMB =
= &ONB), /NCO = /КСО = i/ВОД = \/BAD = i - f. MOD =
=а(СЯ|| AB, OK — перпендикуляр к прямой CD). Из равенства пря¬
ноугольных треугольников АОМ и DOK следует, что АО = OD = \.
ПО условию 5 = 4, где 5 = AD • ON = bR. С дру-
"Жны* ^ = где ^i — площадь треугольни-
пл (0 “ сеРедина AD), Si = ±АВ ■ ОМ = Ш
■«™»у5 = 2аЛ,01куда6 = 2а.г
нахождения Я воспользуемся условием
Й0НахИз прямоугольных треугольников ВМО и
Oki
а ft
ВА1
= tefn 4 /л а\
ч^ + »)- 5i? = ^=tgU-5)'
К задаче 12.201
304
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
Из треугольника АОМ находим АО = § = а = Ш откуд>
т Q-4- 2аД = —, Д2 = 2 cosa = 2 • 9
Тогда S — 4 — *a/l cosa l+tK3 5 — 2
6 2
О 4 Л-6 = 2^3-3 _ ^ откуда Д = ’Уз, a = -| = 2 . __ т'
= 2- £ГТ7з 1-Л л Уз’ °~2a = j
12.202. Д=^.х4Д = 3-5-1/4,ДС = 6.5-1/4. *!■
12.203. Д = \/2, ЛВ = ВС -
12.204. Д = v/б. ЛД = ДС =
12.205. ЛВ-&.ЛВ-#.ВВ-*<^&.
Решение. Пусть АВ = с, ДС = о, АС = 6, а = arctg 2 = ^
Р = arctg1 = АСВМ (см. рис.). Тогда АВ = а + р, tgВ = -ii2+!st '
2,1 l^*
= -2—з5- = 1, откуда АВ = j.
1_ 15
Обозначим ф = АВМА, у = АВМС, тогда у = п — ф.
а) Из треугольников АВМ и СВМ по теореме синусов находим
Ь а Ь
где cosa =
с
8Шф
3
2sina’ sin у 2sinP’
— 2 олс ft — 5
(1)
ТыГ* = 7П' sina = -ТГг cosP = ^6’ sinP = Ш
Тогда из (1) следует, что £ = |£§ = откуда a = 2уДс.
Пусть S, Si и 5г — площади треуголь¬
ников АВС, АВМ и ВСМ соответствен¬
но. Тогда S = Si +52. где S = 5acsin(a+P) =
= \ -c^^sin* =<?, Si = ±c-BMma =
= 7i3' ^2 = \а.- BMsinp = 2v^c^5 = ^-
Следовательно, с2 = откуда с=ЛД=^3'
a = ВС = 2у/2с =
б) Биссектрису угла В вычислим по формуле 1в — ""a+T*' ^
I = в, а 2cos21 = 1+cosf = откуда cosf =
a + c=J_„ ^ ... Л-4
7!з(1 + 2\/2),
= гЛз V^4 + V^)(2v/2 - 1)2 = 8у/20+2Л
' w. / in •
lB ~ ЛЗ(1+2ч/2) V2^" ~^Г+2
/5)
7ЛЗ
12.206. АБ = 6,Д RC- зо „г 30л/2Л(1±^1
1г-207- "-*.*?-»#. л» -
ПЛАНИМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
■и е н и ®' Пусть Е и F середины сторон Rp ’—■
ре лр = 2а, ВС = 26, ZCIM = а (см. рис ) л/ " ^ С00твет-
ственН ’ ти со стороной CD. Тогда EF = 16, О£ = п^Т0чока Касания
ggj,® /<70М = §. Из подобия треугольников OEcl OF А 13,
^nvabV - проекция точки С на AD. Тогда М>«в-Ь.Ж
. ctgct = 16 ctgo, откуда 6 = £ ctga. з ®*
Иэ треугольника СМО находим СМ = 6 = 3tgf, „ поэ
Bdga-3tgf. Пусть tg§-t, тогда ctga = Л. = |tg« ц£ = Г
= 2 А-Чт.сгД =0 „ - Ш- 28 d/"i j 2* 81,
12.210.
12.211.
12.212.
= §, 6 = 3 tgf = 2, a = f 6 = f, BC = 4, 40- В
K /ч г\ 26 Л *
= = tgf = з- &
12.210. AD = CD = т.
— w — J
5(7 = 1, BD=^.
AD=^,h = 32.
12.213.
2sina‘
Решение. j3K как окружность проходит через точку В и касается
"рямой АВ> то касание происходит в точке В (см. рис.). По свойству
“«тельной и секущей угол ABD измеряется половиной дуги BED»
ен a- Кроме того, Z.CBD = ZBDA = р. Отсюда следует, что ДABD
поэтому jjj = откуда BD2 = AD - ВС = BD -
УГ0Ь \ ~ радиус окружности. Эта окружность описана около тре
ка BCD, и поэтому
12-214.
12-215.
12-21б.
12-217.
R =
AD = losing)3
BD
2 sin a
Be = (dsina)3
1) 288; 2)48; 3) f.
2 sin Ot
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
медиана
п'пустьАС^В-* <“• Рис )- Так ка« ОАу -
угольника ОВС, в котором тр,.
ОД, = = Ю, BO=iBB,= 16, CO=?CCI=12
то lx1 + 40А? = 2(ВО2 + СО2), т4*2 + 400 = 512 + 288, отк
= 10. Плошадь Si треугольника А\ОС можно найти либо по а! 5
ле Герона, либо пользуясь тем, что ОАу = АХС = Ю, а высота
= v/To5-36 = 8. , lK
Тогда Si = ОС • А\К = | • 12 • 8 = 48.
2) Пусть 5 - площадь треугольника АВС, тогда S = 6SX = 288
3) Пусть R - радиус окружности, описанной около треугольник»
I./? Тпгпа
OAi • ОС • АХС _ 10 • 12 • 10 _ 25
4 '
ОАхС. Тогда
R =
4 Si
4 • 48
12.218. 1) 288; 2) 48; 3) f.
12.219. 1) 288; 2) 48; 3)
12.220. 1) 288; 2) 48; 3) f.
12.221. ZABE = J, ZAC В = axctg^.
Решение. Пусть ZABE = ZDBE = ZCBD = a, ZACB = $,ED =
= i, BD = у (см. рис.). Тогда AE = 3x, CD = 2x.
По свойству биссектрисы AB =
= Зу, СВ = 2х. По теореме синусов
из треугольников АВС и DBC нахо¬
дим
3* Б X D
К задаче 12.221
6х
ЗУ
sinP ’
2х
sin a
У
sin Р ’
sin за
откуда
sin3a = sina, 3sina — 4sin3a = sina,
3 - 4sin2a = 1, sin2 a = -, sina = -7=, a = 7'
2 V2 4
Из ДВЕС по свойству биссектрисы находим = 2 = gs■ оТ ^
J 2-
огда из прямоугольного треугольника СВЕ имеем
. я 1 1
8P=iS = i' Р = «с‘85-
12.222. ^DBB = a,caxyJ^l£BDC = tacax\.
BE _ .
~ 2
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
„ ,23 ICBD = f, IB АС = arctg |.
и#*- lABC^f.^BEC-ucttf.
12 225. "24" ..
«> * \С/М йен (см. рис.). Т0,и "'(«««««я
•Сточка лежит на продолжении высоты ВО треугольника две .
тгя точкой пересечения высот треугольника АВС.
’“если MB°r*,7/FBN' то 2соа> = 1 +
. «,2* - 1 - Ш “ Ш. откУда “"Р = *• = {?. ЛВ = ВС=
, ifi. = 17, CB = ABcos<p = 8.
* "аТПусть 5 - площадь треугольника АВС, р - «•
его полупериметр, г - радиус окружности, вписан¬
ной в треугольник АВС.
Тогда г = f, где 5 = \ОВ • АС = 120, р = АВ +
+ i40 = 17 + 15 = 32, откуда г = ^ = ^.
б) Пусть В — точка пересечения медиан тре¬
угольника АВС, тогда BE = \ОВ = ^.
/М
/ I 4
* I \
7 '
I I
I
I
I
7 Чж \
Если ZBAC = а, то а = § - <р, AiV = АС • cosa =
if, BN = AN - AB = 30
15
17
-17 =
л b c
К задаче 12.225
= 30sin<p = 30
_ 161 op BN — 161
“ 17 ’ Dr совф 8
Искомое расстояние p между точкой пересечения медиан Е и точкой
пересечения высот F треугольника АВС равно BE + BF, где BE =
= |ВО = | • 8 = ^. Следовательно, р = ур- + у = Щ.
12.226. Щ-. В
12.227. ijp.
12.228. 212 Ш
16 > 24 •
12.229. -2- *565
2Vs' 32 •
Решение. Пусть E и F — проекции точек
/поНа ^ и ^ соответственно, ZABF =
= ф (см рис ) Торда AF = CF= 1,
103ф=Л- sin<P = ^ АВ = ВС =
~ «и = 2 . BF = АВ • cosep = 1.
tcjjii Со т
АВр и д по ,1 ~ площади треугольников
АВ
I , _ ^ — расстояние от точки В до
•™S = BF.C7F=.,s1 = 55=1.A = £D = S=* .„с
%даСТь ^ ~~ радиус окружности, описанной около треугольника
308
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
Найдем AD из &ADC по теореме косинусов. Так как
- — v/5 / АПТ) = ? — (Р, ТО ^ 51 1,
= \ВС=&, £ACD=l~y
AD2 = i4C'2 + PC'2 — 2ЛС • PCsin qp = \ y/5
64T
откуда AD = R= &. зШ — ^65
® 4 8 32 •
1223°- fa #•
12231 *fe. #•
12232 iA?. ^
Oc.
1
v/5
53
64’
12.233. ^.2^,2^.
Решение. Пусть M, К, N, E — точки касания вписанной
в трапецию окружности со сторонами АВ, ВС, CD и DA соот¬
ветственно (см. рис.), PQ — средняя линия трапеции, F и Г -
проекции точек В и С на AD
Н = КЕ = BF = СТ — ее высота,
R — радиус окружности, О - ее
центр, ВМ = В К = х, СК = CN =
= у. Тогда AM = АЕ = 3 - х, DN =
= DE = 5 — у, ВС = х + у, AD = 8-
-(х + у), PQ = SC±AD = 4, ок =
= ОЕ = R, Н = 2R, AF = 3 - 2х, £>Г=
= 5-2 у.
Если 5i и 5г — площади трапеций PBCQ и APQD соответственно,
Т0 S1 = ±(BC + PQ).R = (x + y + 4)f,
S2 = i(PQ + AD)R = (4 + 8 - (x + y))f -
По условию ! = £, т- e. = i откуда x + у = 1- ?
Для нахождения x и у воспользуемся равенством BF2—CT . №
РР2 = 4Д2 = AB2-AF2 = 9-(AE-x)2 = 9-(3-2х)2 = 4(3х-^
СГ2 = 4Я2 = CD2 - DT2 = 25 - (5 - 2у)2 = 4(5у - у2)- Тогда 3* -* '
~ъу у , где х = 1 - у. Получаем уравнение 3(1 —у)-0-~У> " ,,
- у2, откуда у = I, х = §, R = = ЛГ = ^ + ^1
-1 + У = |. PP = PP + £F = 5~2y + x=f, АС2 = СТ
= 4fl2 + f = f + f = f- АС = 1\Щ, BD2 = BF2 + DF2~§£ + r
= ¥■ BD = 2jf.
12.234. 2, 14,
12.235. >/Г4, 2-\/30, 2\/78.
12.236. 4, 28, 4vT4
3
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
В 8 1$
12.237. 25-7-25
решение. Пусть О - центр окружности, тогда 0£ = 0D = i
(С- IBED = Ф. то Z.DEO = /.EDO = а, где а = s _ ф t_m _ 3'
3 Ез cosa = 5. sina -1' ED = 20E' cosa = 2-1.1- 2Ф’ 8Ф <•
K - проекция точки E на AD, то EK = ED • cosa = | e Bf
В E
C
К задаче 12.237
5) Пусть /BCD = p, тогда p = § - 2a, sinp = cos 2a = 2 cos2 a -1 =
_ i Если DC = AB = BE = x, то для нахождения x и ЕС воспользу¬
емся теоремой синусов в треугольнике DEC:
х _ ЕС_ _ РЕ
(5+a) sina 8in|J’
откуда находим
DE • sina
ЕС =
sinp
sin
2
5 ’
25
7
рл , 6 4 8
х = ЕС ctga=
25'
в) Пусть S — площадь параллелограмма ABCD, тогда
S = (x + EC)EK = 2- £ = ^
12.238. CF = |, ВС = |, 5=f.
12.239. BF = ±, АВ = \, S = §.
12.240. 4F = И ВС = §, 5 =
12.241. В£ = 6, CD = f, 5= f (36 + ^451)
Решение. Пусть О — центр
=0nH0D™ iiCM‘ Рис >- Т0ГАа В0 =
Если /OBD = /ODB =
^Q, ТО п — я . о о
з~ 5 ~ откудз tga = §,
~ sina =
К задаче 12.241
|j vl3
'из треугольника OBD
з _
находим
л 13 . з_
BD = 2 ■ OD cosa=2- 3 7П
5А !— - \у лу ЬУ полидшн — у 3
,:6 13, а иэ треугольника BDE имеем BE = BD • cosa = 2V13 • 753
"Усов 0тРеэка DC найдем из треугольника DBC по теореме си
' учитывая, что /DOC = /ЕВС = 2а. Тогда
2а,
/BCD = 5
2
DC
sinct
6Ш
BD _
(f-м)
BD_
cos 2a
310
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
да дай»-2«Л-1 = А' °™«* "“О»»- BC = 2Vi3. > „
V13 ' f %
= f j Из прямоугольных треугольников АВЕ и DBE, где ^ п
= 52, Я£ = 6, Я£> = 2л/13, находим
дг = Jab> - = \/(“)2 - 36 = Ну®.
££> = у/вБ^ВЁ2 = v/52 - 36 = 4.
Искомая площадь
5 = ^ЯЯ(Л£ + ED + ОД = 3 (^n/451 + 4 + = ! (Зб +
12.242. AF = ЗЛ BD = 5 = £(36 + ^451).
12.243. CF = 9,AD=f,S= £(36 + у/Ш).
12.244. AF = 2Л CD=^~,S= §(36 + V^5l).
12.245. г = 3, Л = 12.
Решение. Пусть О — центр меньшей окружности, Q — центр боль¬
шей окружности, г — радиус меньшей окружности, R — радиус большей
окружности, Я — точка пересечения прямых OQ и АВ, К — проекция
точки О на CQ (см. рис.).
Тогда О К = АС = 12, OQ = R+т,
KQ = R — г, и по теореме Пифагора
для треугольника OQK получаем, что
ОК2 = (Я + г)2 - (Я - г)2 = 4Дг, отку¬
да Яг = 36. Прямоугольные треуголь¬
ники АОН и OQK подобны по дву**
углам (если обозначить ZKOQ=a<
то ZAOH = 180° - ZAOK -
= 90° - а, откуда ZHAO = а)' =
го подобия следует, что OKI ч
= АН/АО, т.е. 12/(Я + г) = 12/(
ы (так как АН = АВ/2 = 12/5-
Из последнего уравнения получаем, что Я + г = 5г, Я = 4г. Но
4Г • г = 36, откуда г = 3, Я = 12.
12.246. г = 2, Я = 8.
12.247. г = 2, Я = 3.
12.248. г = 5, Я = 20.
12.249. = 9, AD = 15, S = 96. - оавНо-
ешение. Так как ZBFA = ZFAD = ZFAB, то
"’-"-1* CF = АВ-^ВС = 5,
прямоугольных т„!ЫС0Та тРеУгольника ЛЯЯ (см. рис.).
х треугольников BTF и CEF следует, что FT -
К задаче 12.245
ПЛАНИМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
трале-
- дт = TF = 8. ТЕ = EF = 4, АЕ = 12.
Далее ^^треугольников AED И CEF = АЕ'EF = 3) следУет-
15. оавна сумме высот треугольников CEF и £AD,
<*£с0та тРаПеТппшны £• Высота EL треугольника CEF равна EL =
0овеаеННЫХ3И43 - Высота трапеции h = 4 • EL = Площадь
^ cjS'-'ь^Л'. 4в=9б.
i . (5 “J" 5 л QC
“ЙН12.250.
;f2 :^=12'AD=5i
1 !;3 5=бо^.н=^-
12 Тпапеиия ЛИС# вписана в
ре ш е н и е- PJ она равно6окая, CN -
»^жН?СТЬ'оис ) Противоположные сторо-
*AD («*■ -пгоамма равны: ВС = ЛВ. Сле-
- ВО. »°™CB*T,ADC-«<.*-
»^C -^^JZ bNC. Тогда 1/5 = соа/НВС =
Пусть ся ' высот тр У = 5Xt тогда BN = 2х.
Im/BC .
Hs 10 RLC и BNA. По теореме
ИЫ секущие BLC * цто bn.BA =
О двух секущих получав , откуда
= BL -ВС, T e R2^ +7B = 15. поэтому
i=2. Значит, ВС • arf'D оавна
площадь S параллелограмма Равна
Afl.BC.sinZ^C = 15-10-¥=^KO.
Окружность П являйся опи д
" ’"У'МЬН“Ка Строну АС находим
4С
пп т„ 2sin^ADC
по теореме
■» .сиреме косинусов из треугольника
АВС: АС2 = 100 + 225-2-10-15 • 5 -
Поэтому АС = >/265, ай= \/265 : = 4$"
12.254. S = 28>/l5, Д = 4\/ГГ/v^jL
12.255. S = 20>/15, Д = WS/v^L
12.256. S = 15\/Т5, Д = 2л/106/v 15‘
12.257. АВ = 10, ВС = 10/9, S=200>/2/ • ее центр С леж
Решение. Поскольку окружность ^Тстороны, О ле*аТсе£едние
Перпендикуляре к С1> в точке М- С ДРУ пересека»тсЯ Р^ти.
«ном перпендикуляре к АВ. Эти две дВ — диаметр о Р
JCM- рис.). Значит, О - середина АВ
- ЛВ = 2Д = Ю.
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
312 —-
/пмс = Ф- Тогда дуга ВМ равна 2<р (теопРи,
^.ЛМ^ЫОpe„V„ 22
ВПИсанно Щ
- «мчанном
между что IBM А = 90° «(опирается hiа диаметр), ^>
ле). Далее находим ± вМ< ADLCM. Значит, прямоугол^
= IВМС = Ф-/,а,кяК АРМ И МСВ подобны. Ль«*
треугольники ам^- Вычисляем основания и высоту Тра
ции: ВМ = АВsin<p=f, BC^BMsL"!
_ И, £)М = CM = ВМcosФ=20\/2/9, дп!
= MDctg(p = 80/9.
Тогда площадь трапеции S равна
1 /10 80\ 40-^2 _ 200у/2
2 \ 9 9 / 9 9
12.258. CD = 8, AB = ^,S = m,
К задаче ,2.257 12.259. АВ = 6, CD = *£. S = 8^2.
12.260. CD = 12, АВ = 5 = 32>/2-
12.261. ZBOC = 90°, S = 30, г = ч/10.
Р р in е и и е Так как окружность вписана в углы Л и В трапеции
, Р^Гто ее центр О лежит на пересечении биссектрис этих уг-
(см. рис.), то ее центр Л,,„01,тпмгами внутренних односторонних
лов. Поскольку угол между б р /АОВ = 90° и поэтому
углов при параллельных прямых равен 90 , то LAW
/ВОС = 90°. Треугольник АВС равнобедрен¬
ный, так как ВО является его №
сотой и биссектрисой. Значит
также является медианой поэтому
АП-ПО = 2\/5- Пусть LbW-
^IaLIbCaU
угольного треугольника ^2,
ходим, что МС-4.
cosy = 2/\/5. sinT — / .ыпехуг0^'
Поскольку WKpyr^JJPj^
ника KOCD можно описать окружность, сумма его ПР°^ льВого тре'
углов равна 180°. Следовательно, LOCD = 90° Из__пРя“°^ = Ф №
угольника ACD находим, что AD — ^ = 1°. ~~ " л0щадь тР3’
треугольника ВОС получаем, что ВС = — 5- Находим п
пеции: S = %МК{ВС + AD) = 1 • 4 • 15 = 30. треуг°'1ьИ'"?.
Отрезок OD является диаметром окружности ^ „.ДО.
COD получаем OD2 = СО2 + CD2 = 20 + 20 = 40; OD =
вательно, радиус г окружности П равен \/Тб.
12.262. LCOD = 90°, В = 26, г = 5>ДЗ/6.
12.263. LAOB = 90°, S = 26, г = 5%/13/6.
ПЛАНИМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
313
$32
25
—"Т АСОВ = 90°, 5 = 75/2, г = Ъ/у/2.
12 5 АВ = 6; ABAD = 2arctgi = arccosf, ^
l2'26 и и e Обозначим центры окружностей ft и ш через О и л
Ре Ш 1 через Янг соответственно (см. рис.).
а РадиуСЬ1 ильный треугольник ВСК с прямым
ПРяМ°у _шИне С вписан в окружность ю, сле-
углом при 0 иторона ВК, лежащая против прямого
довательн°- *дИаметр0м этой окружности. Пря-
Угла,/оВ^сается окружности о> - значит, у окруж
изя Ad к*1 Л „яиигтпрнняа пЛпгяя тпш/э и
точка
маЯЛ и прямой единственная общая точка, и это
* П ЛПЯЛАТ»Л»а ТЛИ I/A1J |/*1ЛЯ»тя П
I
[В
‘'Та? как“ четырехугольник ABKD вписан в
КОСТИ и -
в, т.е. Я является точкой касания Поя
«зя АВ перпендикулярна диаметру, проведенном
' касания, поэтому угол АВК ~ npmob
окружность,
мена 180е
сумма его противоположных углов
к D
К задаче 12.265
^Следовательно, ZADC = 90°, отрезок АК является диаметром
окружности ft, а четырехугольник ABCD — это прямоугольная тра¬
пеция. В прямоугольном треугольнике АВК известно, что АК = 2R =
= 2\ЛЗ, ВК = 2г = 4. По теореме Пифагора находим, что АВ = 6.
Окружность о вписана в угол DAB, поэтому ее центр Q лежит на
биссектрисе этого угла. Значит, ZBAD = 2 ■ ZBAQ = 2arctgl. Тогда
1-1 0.1
cosZBAD = —f = f, sin ZB AD = —\ = I.
1+5 5 1+5
Обозначим ZB AD = у. Тогда ZCBA = 180° - y, ZCBK = ZCBA -
- 90° = 90° - у, ZCKB = 90° - ZCBK = Y-
Из треугольника СВ К находим, что СВ = ВК sin у = у. Опустим из
точки В высоту ВН на сторону AD. Тогда из треугольника АВН получа¬
ем: АН = АВ cosy = у, ВН = ABsvny = Тогда площадь 5 трапеции
ABCD равна \(AD + ВС)ВН = \ (2ВС + АН)ВН = 5 • у • у = W•
12.266. АВ = 2; ZBAD = 2arctg3 = л - arccosf, 5=
12.267. Л£ = 4>/5; ZBAD = 2arctgj = arccosjf. *5 = ijjg •
12-268. ЛВ = 2; ZBAD = 2arctg2 = я - arccosf, S =
13. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Всем
11 2
Решение. Так как вершина конуса^должна принадлежать
. пакостям касающимся его боковой поверхности, то онаV'41
74“ с Si ю ”ИР»«>«Ы- Основание конуса прн»аМе* “»>;
дает с одни г тнволежашен этой вершине грани а 7 Пр°"
I* конуса совпадает с высотой пирамиды^
шенной на эту грань. Поскольку £ав$ Й
IS ВС = я - (/BSC + ZSCB) = 3* > Г1
вершина конуса совпадет с точкой’ »
(см. рис.). ®
Образующие конуса, по которым
к задаче ходит касание боковой поверхности конуса
с гранями пирамиды, являются апофемами
ВК, ВМ и BL соответствующих граней, при этом
/SBL = ZSBM = | - ZBSC =
/КВА — ZMBA — /.SBА — /SBM ~ 2 ~ Т2 = Т2’
/КВС = /ЬВС = f - /ЬСВ «
Так как BAf = BL = В/4 = 1, то
AS = AM + SM = tg(ZABM) + tg (ZMBS) = tg ^ + tg
Аналогично, „ e_ я
A7-tgf+tg§, 5C = tgff+tgI.
Заметим, что r.
tgiS. = tef- - -^1 = = 2 — л/З,
tgl2 t6\3 4; v'S+l
откуда
5я
>W
tgll -Ctg 12
A—— = 2 + "'/З-
«-'“‘Мг 2-v^ +
Поэтому AS = 4, AC — 3 — \/3, S = 3 4- л/З» P — 2
где p — полупериметр AASC. По формуле Герона
W = уМ? ' лз)<р- AV)(f^SC) = 5
Окружность основания конуса вписана в треугольник
ее радиус МО = ^asc - ысоту
Из прямоугольного треугольника В МО находим
2
ВО = \/ВМ2 - МО2 = ^=-
13.2. 5/18.
13.3. 2 -3'5/4.
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
решение. Заметим сначала, что если гипотенуза прямот
Р п.ника является хордой круга радиуса R, то место™! У °ЛЬног°
треуГ°^ямого угла этого треугольника до плоскости KDvra » Р °Т веР’
с12ом деле, р < Л < I < Я. где Л - перпеадиКулЯп „ Превосх<>-
вершины прямого угла на гипотенузу, 21 - длина гипотенГ^*
1,3 пГ условию задачи узы'
.ten прямоугольный, а
Стояние между плоско-
Smh оснований цилин-
ра равно 2 и больше ра-
Щуса основании, равного
5/3 Поэтому либо верши-
д и D находятся на
ны
разных основаниях цилин¬
дра, либо &ASD лежит в
плоскости одного из осно¬
ваний. К задаче 13.5
Первый случай невоз¬
можен, так как тогда плоскость ABCD пересекает плоскости оснований
цилиндра по параллельным прямым, т. е. АВ || CD и ABCD - паралле¬
лограмм, а не трапеция.
Таким образом, вершины прямоугольного треугольника ASD находят¬
ся на окружности одного из оснований цилиндра, причем AD — диаметр
(см. рис. а), а точки В и С на окружности другого основания.
Пусть В' и С — проекции точек В и С на плоскость ASD (см. рис. б).
Совпадение точек С и D' невозможно, так как условие ВС || AD влечет
33 собой в этом случае равенство ВС = AD, что противоречит условию
задачи.
Так как /LCDS = |, то по теореме о трех перпендикулярах C'D 1SD.
о тогда ASDC' — прямоугольник и AS = C'D. Трапеция AB'C'D впи-
”55 °кРУЖность, следовательно АВ' = C'D. Таким образом, АВ' = AS
^означим через К точку пересечения AD и SB' Тогда
U* Уровню задачи AD = В'С = ВС = \AD = §.
L * равн°беДренного треугольника В'ОС' (OB' и ОС' — радиусы,
Редина В'С') находим:
SK = OL = v/(<DC')2 - (LC? = 1-
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
I (AD + ВС)ВК • SK sin ZBKB' =
6 = |(AD + BC)SK • ВВ'
13.6. 8/39.
13.7. 8.
13.8. 48/73.
13.9. V = 8\ft.
Решение. Заметив, что центр сферы, касающейся new
шихся плоскостей, лежит в биссекторной плоскости одно Пересека«-
ных углов, образованных этими плоскостями, найдем сн° И3 ДвугРаи-
ство точек, равноудаленных от плоскостей граней AS В пс!Ла МНо*е-
(см. рис. а). Для этого проведем через апофемы STT и ям и ^0
£>5С плоскость а. Тогда DC 1а и АВ 1а, поэтому а„в1Я?Ней ASs»
плоскостям ABS, DSC и ABCD. У ерпендИкУлярна
сам внутренних и внешни»Т?>НЫе плоскости пересекают а по биссектри-
(см. рис. б). Проведем игр равнобедренного треугольника KSH
°ь 02, 03, Oit и только в hmy биссектРисы. Тогда в каждой из точек
нз каждой вершины) nnu„« ^ ^®Р®секаются три биссектрисы (по одной
= S01. Р ИНЫ>' причем 0Х02 /I KN, S € 0Х02, 025 = SN = S**
Отсюда следует
ASB, DSC и АВСП „ Т0ЧКи’ РавноУДаленные от плоскостей граней
02, <93, о и папам* *0ДЯТСя на прямых, проходящих через точки
Отметим, ,го „ Ы-Х ребРам ^ " сА
/ы^в.иям теиичи, так кат мои, проходящей через <Э4, не удовлетвори®
£?"S * !• что нмо,™ °^ = 2.«N=lJ(f/ = 2. a £кдоват«м»
но. Это же утверждение справедливо в
в
К задаче 13.9
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
i'B>П> TV
317
— л'я'C'D' подобен ABCD с коэффициен-
Sвгя
мляется цен,^...
ом *«« ^
.-AW. Для
подобия /777 "
Т А' и С' »е подходят, так как тогда 2^Ш = 2 и АВ = з „,
Т° | точек В' и D' имеем Тг <4 =
ВЯ2 = 15'52 = | (Я'Я2 - 5Я2) = | АВ2 - 2)
^.2 ВЯ2 = | ((А5 - VAB* - 1б)2 + 16) =
= 5 (АВ2 - ABVAB2 _ jgj
Отсюда получаем АВ = 3\/2, V = ±АВ■KN■ SH = 8^2.
13.10. Я = 2/5, d = >/66/10.
13.11. 5/3.
1312. Я = 3, d. = V 35.
1313. SE = 12/5, BE = 3/5, B = pnSB.
1314. SE = 7/8, СЕ = 1/8, Я = аП SC.
1315. SE = 3/7, СЕ = 13/35, Я = pn SC.
13.16. SE = 7/3, DE = 5/3, E = aHSD.
13.17. УЗ.
13.18. УЗ-1.
13.19. 3/4.
13.20. 2УЗ-2.
13.21. 40/3. Сечение — пятиугольник.
13.22. 12. Сечение — шестиугольник.
13.23. 27/20. Сечение — пятиугольник.
13.24. 31. Сечение — шестиугольник.
13.25. 3/8 и 54/49.
13.26. 23У16/2 и 69>/10/2.
„ ,[*е ш е н и е. Пусть а — та из плоскостей, которая пересекает грань
В, и KL — отрезок, по которому они пересекаются. Точки К и L не
*ат на Ребре АВ (в противном случае плоскости а и АВС совпадают),
’ГМ- что К 6 SA, L 6 SB (см. рис. а). Если плоскость пересекает
Winv ДВугРанног° Угла по параллельным прямым, то она паРалл®
то а^1°Г° угла‘ Поэтому, если бы прямые LP и KQ были паралл’
эти "ала бы с плоскостью АВС. Итак, KL || PQ, и. СЛДА°В13 дна!
<0 п'е паРаллельны АВ. Отсюда следует, что AB-PQ _езКу
ЧТ, ftv и ^Учаем, что плоскость (J пересекает грань SC я
•г2[С°- По условию KL = КТ. это означает, ™
ЛеЖат оковые ребра пирамиды в одинаковом отнош
в ^моттПЛ0СКости’ параллельной грани ABCD- г-середи-
“Ребер Л“ ^ч®ние пирамиды плоскостью ESF, ™ ярна граням
^й,АВсг>И CD ^см- Рис- б)- Эта плоскость перпенд 4,
°D и CSD, поэтому ISEF = ZSFE = arctg2. W
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
ZTTTm^nTg - середины отрезковРп~~ГГ^^
lNMG'uJo'w3 треугольника ENM, где tgZ/= l, tg^fo’ ^ ^
°ТТ7з-«(*-*- & = ' tg(Z/ + Z2) = 3- Но || £р‘ >а.
ем: tg/iJ -11 г > поэтов
укгмп = 3.
e„:tg^ = tg(*
- высота прямоугольного треугольника NMG »,
ПГ Д/Й - 3i MiG = 91, su = 2NU = 10*. 50 = п” Л *
-2E0 = EF^U> поэтому я = 1. Отсюда M/V = 7Io, MG JJjlj?*
высоты трапеций KIPO и с основаниями PQ = Ц и ^
Итак, площади сечений равны у \/Тб и у \/lO.
13.27. Сечения — треугольник и трапеция; 5треуг. = § л/^Т^. 5тр»п.=
= 8у/5/3 (ЛВ = 6, средняя линия треугольника ЛВС — их общее
основание, другое основание трапеции — 5, hrpeyr. = 3\/з/5. Крп -
=*2у/Щ).
13.28. 5j = 51Л 52 = 102VS (KL || AD, АК = 5, ВК =:IJ.
разует с плоскостью ЛВС угол arctg2; основания трапеции —
высоты — 3^ и бл/5).
13.29. л/21/4. ног0 й3
Решение. Пусть Р — основание перпендикуляра, 0П^^”йКудяр'
точки В на ребро 5Л (см. рис. а). Тогда плоскость PBD перп„р следует,
на прямой 5Л, так как из равенства треугольников DSP и & ^дП1.
что и DP — перпендикуляр к 5Л. По условию прямые SA и уЛЯрной
дают, следовательно, точки В и С лежат в плоскости, перпенд рйС. 6)1
прямой LN. Этой плоскостью является плоскость КММ ^ ,дг лер1,е11
силу того, что точка D лежит на прямой ММ', а прямая Та*4"^
дикулярна пересекающимся прямым ММ1 и МК этой плос пЛОСко^?
точка ^ является точкой пересечения прямой ое3ка
Ат , следовательно, точка В лежит на продолжении (5/*
за точку М и ВМ = I ММ'. Далее, точка Р лежит на прям
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
^тпэтому по теореме о трех перпендикулярах MPi LN
р _ точка пересечения диагоналей ромба КЩя.
и артель*10’ г Наконец, точка Р равноудалена от точек В и
с*еД0 - D, поэтому D - середина ребра ММ\ а точка
М — середина отрезка BD - является центром
основания ABCD пирамиды.
Теперь искомое отношение находится неслож¬
ными вычислениями.
Пусть АВ = а, тогда, по условию, SA = 2а,
поэтому AM = а/у/2, SM = аДЦ2 н объем пи¬
рамиды равен Даа3/6. Далее, из треуголь¬
ника SMA находим МР = {SM ■ AM):SA =
_ а\/7/4. Отсюда следует, что МК =2МР =
__ _ ./7/0 KN = аДИ/Ъ (KNL - равнобедрен-
ный треугольник. в котором IKNM = 120°),
площадь основания призмы равна 7V3o/24, а ее
высота ММ' = 2MD = BD = Таким обра¬
зом, объем призмы равен 7ч/бо3/24, а искомое
отношение равно >/21/4.
13.зо. к
. т/ _ 25у/5
• К™Р- — 16
XO.OU. кпр. . К пир. — .
(KL1MN =*• MtN €(DD') =*MD' = \Diy, JVD = §DD/. Пусть
rlAC,T£[AC], AD = 3x, KL = 2y=>CD = 4x, PT = fz, MN -
h. DT1 MN и DT _L KL => DT = H ■ LD/KL, где H - высота пи-
i»; я -, *, - ** К. - «л К. - ¥ '/5Л
- ЬЛ м-SI£i* t = ^ ■
QL SB = SL-BL, QL = = so
=ф3).
18-M. V : \W = f л/3. „ D _ Г «= OQ' CQ~ QQ>'
(ABi CD=>C e{TQD), где QT ±PR=>C ®
®*-AB,QTLCD=> D = Q'. „л_зх,
Пусть PQ - x, AB = 2y => QK - 3l> ~~ 7®’ __ 3^ x
-AO-bq, где AO — высота пирамиды; АО—У
aJ?y,V„D =135^3 у =3^3 3).
ПР* 32 » упир. — 4 * '
13'33- 5#. vrMNK'l'W'
* " " «• Пусть SABC - М«ная пирам"^ • „„«„ость■««£
и«ан призма няиЛлн,-..^, R гилу тел
упир.
, kIMNK'L'W '
искома^"пие- пусть SABC - данная пирамида. плоСКОСтьоснова-
нна и Пг,П^ИЗма наибольшего объема. В силу то ’ нЫ и не перпе
%рНц0СК0сть боковой грани пирамиды не пар оинадлежать т°льК0
’ее основанию и боковой грани могут р
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
320
соседние боковые грани призмы. В этом случае общеГГ^Г^^\
граней призмы принадлежит ребру основания пирамиды ?вбр°
Кроме того, из перпендикулярно- 1см. рИс \
сти прямой К К' и плоскости LKN
следует, что Z.NKL — это угол а
между гранями АВС и ASC, рав¬
ный arctg2v/6 (если SO — высо¬
та пирамиды, Т — середина АС, то
SO = 2& ОТ=\ВТ=\&АС =
= 7з)-
Призма имеет максимальный объ¬
ем, когда вершины М и М' принад¬
лежат граням SAB и SCB. Пусть
DEF — сечение пирамиды плоско¬
стью M'MN, KL — х, SE — ySB.
Плоскость DEF делит высоту SO
точкой Р в отношении у : (1 - у)г
считая от вершины S, поэтому РО = 2\/2П - ,л
ны, РП — FNsinn — 2у^г ' У)- С другой сторо-
’/У AYvsina-х, следовательно, у = l _ *3,.
jAC-2y, MN = x, поэтому DN = N'F=j. 5 энашТ’да-
Г^ТГ2'1^1' °бММ "РИЗМ“ 1' = Их xKNtma m'*
“ „ ^ 9,3 ФУНКЦИ" ПрИ 1 > 0 "Р«"И«ает наибольшее
ченне, равное когда х = х0 = ^.
зна-
13.34.
(Пусть а и Я — ребро основания и высота пирамиды, a --_°с
рый угол ромба, h — высота призмы, у —• ребро ее основания.
плоскость верхнего основания призмы делит высоту пирамиды в о _
нии х: (1 -х), считая от вершины. Тогда V = у2 sina • h, где у
= # • (1 -х), и £ + у + у cosa = ^2, £ + §У = З2,
х = 1 - *, Л = 6-6у, V = ЗуД(у2 - у3), Уо = §)•
13.35.
75у/3 . ц — ОСТ
(Пусть а и Я — ребро основания и высота пирамид . ^сТЬ
рый угол ромба, h — высота призмы, у — ребро ее оСНОВ в оТноше*
плоскость верхнего основания призмы делит высоту пирами sjna5
нии х: (1-х), считая от вершины. Тогда V = y^sina • «, г ^
,, мч/шппя. iylAfl г ^ SS 2
= Я(1-х), и h = ax-/i = 2x--^У. У 2 "
V = л/Зу2 — |у3, Уо = 5^>0). ^ ой*
13.36. 1/9. „ипамиды- а Ъ*
(Пусть а и Я — ребро основания и высота V осНОваниЯ‘
рый угол ромба, h — высота призмы, у — ребро е
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
321
верхнего основания призмы делит высоту пипаи
#сК0С/1-х), считая от вершины. Тогда V = у2 зЬдРа/1Мидь* в отн0ще.
"If,.,), и $+» + »«»«=**. с<ка:?^ Л;“ =
*7,’т К = 4^/3,Я=уЗ/2(ЛВ = 3/2,М=4/3) ^
: 8: К - 12/15. Я - VU/4 (ЛЯ - 1, ЯС--ад
оашение. Пусть О - центр сферы, Ки tf2i К к Л
.которых сфера касается звеньев ломаной AFDDXAX, G Л
’1°бра Л/? («*• Рис )‘ Из С00бРажении симметрии точка О лежи? в
1 кости GFF.K*, а из того, что точка О равноудалена от точек /
?Б следует, что она лежит в плоскости а, проходящей через точк!
/: середину отрезка [FXE] и перпендикулярной FXF. Но из условия
сания ОКз -L D\D, следовательно, К3 е а, и, значит, K3Dx=MfZ
-I/2SF1 =3/4. По свойству касательных к сфере ад4 = ад3, отс ‘
$,«201*4 = 3/2. Тогда ЯС = 3/2, AlB1=AB = l, FdJ5/1™Z
ребро параллелепипеда находим из теоремы о касательной и секущей-
FKl=FFi-FE. Пусть DK3=x, тогда FM = DK3=x, FlF=DxD=
=i + 3/4, FE = x - 3/4, DK2 = DK3=x, FK3 = 5/4 -x. Таким образом,
(5/4 - х)2 = (x - 3/4) (x + 3/4), откуда x = 17/20 и DiD=8/b.
К задаче 13.38
"Их Tpev-^ точка пересечения прямых МО и GK*- 6 Пд Мд/р, =
%^УЯ°/ЛлЬНИКах 0MF1 и <>NK3 имеем OF^O^R, ^
*vfe^-P03T0My OM = ON. Итак, 0М = \/2МВ\- '
‘ V = 18%/3, R = V7(AB = 4, BB, = 9/2).
322 -^ГГ7Г^/Г(^= & AD = 1( AAi = 9/5)
» ЛЛ V^ = 9v6/5, . /X
13.4°- v <v e*/iA
13 41. 'U ;m,p
13 42. ^ = 70я' „ _ т0чка, в которой плоскость т, проходяще ч.
Решение. П^ К ребру пересекает это ребро (рис.а)
реэточкуАиперпен^ У пирамиды SABC, IS ВО - а. По ^
£* ° 'ST no-»V !Ф = «.
вию tga= 4V
- BOv/3 = I v^- np6oa дс. тогда С, T € t. следовательно, TK -
Пусть T-середина p ^KoTopoM SB = Tf i ТВ — § >/66. а высота SO
высота треугольника ’ ГОЛЬНИка TSB равна SO • ТВ и ри-
равна Удвоенная пл ^ т ь из треугольника АКС находим
на ТК • SB. °1кУда Г .^г = 11АКС. Отсюда cosp = |, СК =
о АТ = зШ., где р * 2
tgP -тк *
_ тк= 1\/2.
"" OOSp ® с
Определим теперь расположение цилиндра,
дра на плоскость е является прямоугольник ’ стЯМ SAB и s
е. Таким образом, ось цилиндра параллельна и S приняв ^ ?
т.е. она параллельна прямой SB. Кроме того, т ^ ^ равна S^‘ н
плоскостям оснований цилиндра, поэтому его вы ^ пЛОСкости S^.
H-VSC»-CJP = {. Далее,проекции шикндр»^ „роек^« ,
SCB - прямоугольники с общей стороной Вл. ^ с 0бшим
него основания цилиндра на эти плоскости — оТР^_ цИлиНДРа 0 угол
К. Это значит, что окружность нижнего основан ~ меТиМ. 4 HOga-
в угол EKF, где ЕК ±СК, FK X АК (см. рис-О)- Q Цтз*., ° , Н»
АКС — острый в силу того, что cos2ji = 2 cos Р "”пу}КНость SA
ние цилиндра — либо окружность Si(Oi), либо окру
СТЕРЕОМЕТРИЯ » Of bet Ы
основанием Si пересекает грань SAB niWTn
«»»«*ДР_ окру*««ть s*- Если й = ОР - ее ращу" "у
*2 « - О,К «I» - № + ™> соар = | (Д +Р ^ ™ « f О ^
По формуле V = яЛ2Я находим объем цилин^рТ^"0’ Л =
51 13 43. Уцил.: ^"р- _ &75'
13.44. V = 9^
13.45. ^ = -ГЯ^
23 46. V*98«V6.
решение. Пусть А - общая точ-
сАеры и окружности верхнего основа-
1 цилиндра, KN - ось цилиндра, О -
ентр сферы, Е - точка касания сферой
нижнего основания цилиндра. Точки А и
£ лежат в плоскости а = (OKN), сечение
цилиндра плоскостью а — прямоугольник
ABCD со сторонами AD = Н, АВ- Яц,
сечение сферы плоскостью а — окруж¬
ность радиуса R — Ясф, проходящая через
точку Л, касающаяся стороны CD в точке
Е и пересекающая отрезок KN в точках
L и М так, что KL : LM : MN = 1:6:2,
так как KL < MN (см. рис.).
Проекции сферы и цилиндра на плос¬
кость основания цилиндра — круги,
окружности которых пересекаются в точ¬
ках R и Q, RQ = 8 (сфера касается обра¬
зующих цилиндра, их проекции — точки R и Q), а расстояние между
Центрами О' и 0\ кругов равно EN = ОР, где Р — середина [LM\.
Пусть G — точка пересечения сферой отрезка [АВ] (G Ф A), F -
точка пересечения прямых ОЕ и АВ. Тогда OF 1 АВ, следователь-
fp ~ середина отрезка [АС?]. Пусть KL=z, DE=AF=FG\=x,
«е ft У' Тогда Ш - б2’ MN = 2-г, LP = 3Z,NP = R = 5z. По теоре-
NM ельн°й и секущей KG КА = КЬ- КМ, т. е. у(2г + у) = 7г;
'h rvrT ^2' т,е- (e + 1/)2 = 16z2. Отсюда x = 3z, у = г, йц = 2х+у-
1 = ^= ^2- Пусть Т — середина отрезка [Дф]. Тогда из
находим (7z)2 = (5z)2 + (4z)2 - 2 • 5z • 4z cosp, где ■
ЮДа ПолУчаем cosp = I sin^ = Тогда 5z = O’R = ^КГ' П0ЭТ0‘
/а 5 5
V*.
Раэбц.
СТЕРЕОМЕТРИЯ ♦ ОТВЕТЫ
Решение. Пусть 5| и S2 — площади сечений V-
соответственно объемы пирамиды и частей, на kotodw ' Ц
дается плоскостями сечений, считая от вершины Пи ПирамИДа
ння симметричны относительно плоскости ASC ИрамВда и л
чения — дельтоид AKLM (АК — AM. LK = L\i\ J РИс-). Поэ с^
где AL1 КМ, ОЕ1BD (О — центр основание ТреУг°льнии ^
образом. Si * | КМ • Al. S2 = | BD • ОЕ и значит П^ачиЩ т£°-
как = Отсюда следует, что SL = гг ЧИт’ = i “"к
= 1:1:1, так как = ЕС. Это означает что „ *УДа S£ = IТа*
точки 5 до плоскости о = (а4ЕХ), между плоской рассто«нияк
сечений, от точки С до плоскости В. Отсюда еЛ ТЯМи а и в-АЛ;07
к« 5, « 5,. Но ч - | К, ток как площадь треу^"' ,то И = V? £
меньше площади квадрата ЛВСД а отношение Ика fiC/) ’ ^
рзмид EBCD и SABCD равно ЕС- SC-iо £Ысот ^ н So*
V2 = V-Vi-V2 = Z2. ^ ^-1:3. Поэтому ц
Найдем ОЕ. Имеем: 0Г: ОС = ££•о ~
- 10 .<?„ — 10 и из п^о ПОЭтомУ ОТ^2 Ет
и из Равенства V,-itс Т=
3~%nS наш».
_ 3u-
ДИМ п.
13.50. 1:1:1; V1 = K3 = 5Jg.V2 = ^;/i=3?- ис) m
ение. Сечения — треугольники CED и BFG
FCHCE. DE^BG+FG-\CE + SG-<X->
Реше
В°№Е, w
’ шГ\V,aTv cb=e‘d=^-cd~Si=s2
' J • 1, Ц = Ц * А у _ 4 . , _ ^
13.53. V^hm„ ^ 75'h- 2-
г, 20~*-
Решение. Пусть п . р-
иентр основания игами t/ центР окружности основания конус*»
нобедренный, следует См„рис )- Из того, что треугольник
*<*"< «ходим ЧТ0 06Радиус г= ОР вписанной «V*
Ри«етр тг*уг1Л S==r* £ ~ плошадь. р -
H0,rs:J}- Далее nn£ClD' Имеем: Р = 8\/2 и £ = 24, CJ,e309S-{P
основания конуса' К0СТЬ перпендикулярна плоскости
У ' П0ЭТ0«У она содержит вершину К конус*
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
325
„ к а АС\. Высота КО конуса находится ад
^уга-
j£ = -4. откуда tea = h£? , rj.
*г,с ^ . 25 иКО*2з£. п' =: J
«лта находим по формуле V = 1 *з {Ц/> . Л- tgyss
, , злО.Яг2 ; = rv
льника
13.54. ^ - ьс\-
церез точку 5. HI
Прямой- проходяще
13.55. V = ^я (г = 1,Ко« = ^. AT е U = АС,).
13.56- ^ = Й75Л (г~7ь'
А" е 5Р, р __
центр грани
ЖР}.
13.57. К = 3/8.
решение. Пусть Л/i и Л/2 — мно-
гогрзнники, на которые рассекает призму
плоскость сечения а. и около Мх можно
описать сферу, а около Л/2 — нельзя, Si
и 5, - плошали их поверхностей. Каж¬
дая грань вписанного в сферу многогран-
ииха - вписанный в окружность много¬
угольник, так как сечение сферы плоско¬
стью грани — окружность, содержащая
все вершины этой грани. С другой сторо¬
ны, около прямоугольной трапеции нель-
я описать окружность. Поэтому плос-
юсть а пересекает грань АА\С\С приз-
и либо по отрезку [KN], N е [СС\\ (см.
и/ какг^ и’ соответственно, треугольник KCN либо треуголь-
к KANx — грань многогранника Mi (эта грань не может являться
Ч*ноугольником, так как в противном случае a 1 (АВС)). Если плос-
о не пересекает ребро ВВ\, то многогранник АЛ — треугольная
ttuewfi напримеР’ A^/fCLi, но тогда Si < S2. Таким образом, a пере-
•«ит *>Сб*)0 и имеет два параллельных ребра, одно из которых
bxnJl* прямой BBi, другое — на одной из прямых: ААХ либоСС|.
„сЯГГ гРанью A/i будет один из прямоугольников AA\MB,
Кг if г* ,| Отсюда следует, что а пересекает грань АВС по отрезку
* и IIАВ, либо по отрезку KL, KL || ВС. В первом случае
5i = 5
К задаче 13.57
рис.), либо по отрезку
■^СЛЛГ, + SliBM + SabMNi + •?«-. <
<д5о + |5г + ^г + < 5т»
<п'!®6разомЦ^ Упования, $. — площадь боковой грани призмм.
Т, •р еРесекает призму по трапеции KLMS (KL Я МЛ).
•7т"1ребервс и в'с'' R*E~
1 “^тоцу тГ ,r отрезков АТ и MN. По условию ’
~ значит, Sbcnu = skcs = 5*BV *
326
СТЕРЕОМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
S ckl ~ и Равенств0 ^ можно пеРеписать в виде
J^ + 2WS + ^ = 5(2^+3AA0-
Отсюда AAi = и Y = 3/3'
13.58. V = 2100 (AAl = 7, се
где
13.58. V = 'пукуху- сечение трапеция MNKL, AM: щ
_ ди. CN = 2 :3, BL: £iL = . Охл — 33.2). °
1« ко V = 3/4 (55i = А сечение - трапеция DEFG, BE -ъ *
_ CF: С> - И : 1. Л0: W» = ЛС: СО = 1: 2). ' ' fl>*
13.60. К = 132/25 (ЛЛх = 11/25, сечение - трапеция Z)£Fr
: АЕ = BD : CD = 1:4, AF : AXF = CG : Ci<? = Ю : 1).
Решение.1) Плоскость сечения а не может пересекать толькоолн
из ребер AAi, ВВХ, ССХ.
2) Плоскость а пересекает два из этих ребер, поэтому а параллельна
одной из прямых АВ или АС, значит, грань Мх, лежащая в плоско¬
сти АВС — вписанная трапеция, тогда она — равнобедренная трапеция
следовательно, а || АС.
13.61. ВС = 5ч/б, угол между плоскостями DXDC и АВС равен
arccos^, расстояние от точки D до центра сферы равно 12.
Решение. Пусть /LDXDA =/.DxDC = а, где а — острый угол (см.
рис.). Тогда двугранные углы при ребрах DA и DC равны между собой
и являются острыми (каждый из этих углов углов обозначим ft).
Для доказательства этого утверждения достаточно построить проек¬
цию L точки Dx на плоскость ABCD, затем опустить из точки L перпен¬
дикуляры на AD и CD и воспользоваться равенством соответствующих
прямоугольных треугольников.
Пусть О — центр вписанной в призму сферы, Ох и 02 — проек¬
ции точки О на грани AXBXCXDX и ABCD. Тогда ООх = 002 = Я. где
R — радиус сферы. Рассмотрим сечения Фх и Фг призмы плоскостями,
перпендикулярными ребрам AD и DC. Фигуры Фх и Фг являются парал¬
лелограммами, каждый из которых описан около окружности радиуса Я
Поэтому фигуры Фх и Фг — ромбы, высота каждого из них равна •
а острый угол равен 0. Стороны этих ромбов равны соответствуюши
сторонам прямоугольника ABCD и из равенства ромбов следует. 4
ABCD - квадрат.
_ ,лУпЬ Di ~ пРоекция точки Dx на плоскость ABCD, тогда D\Di'
- ■ Проведем через DXD2 плоскость, перпендикулярную DC и пер
кающую DC в точке К. Тогда DXD2K, DXD2D и DXDK — пР*МО/п,5
ные треугольники, £DXDD2 = у = arccos-4- (по условию), ^>1**
0. Так как отрезок DXK равен стороне ромба, т. е. DiK 'ср
* * = s*nP- Последнее выражение в и
DB-, ~ ппР Во С0Те ромба фь АД>2 = DxК sin0 = DDi — кваД-
рата АВСП 8Шу' Заметим eu*e. что точка D2 лежит на диагон
L V n И П°ЭТ0Му = l DxD2 = DD2tgy, где *
К~ DDi с™ а. и поэтому DXD2 = DDX ОтсЮД3
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
q^eM
327
= 5.Р =
у£- \ .
/
/» \
\ л
I/ \ £
-_1 / \
0» Л,/"'!
\ \ /
—i—\ \
\ /—
\ /
°2 Г "у
\ /
в
А
sinflsinP = Sin^ =7- 1ёТ ,да COSY = its. sinv = 2 /7 J
,Л cosa-T = ^’S;na=^sinP = ^ = M V38Y'
ss2v* ^ gp sing _ 5^6 . 2n/6 _ g
^arcC0Sin,TDHM, наконец, прямо-
paccf треугольники Я002,
Лвы „ WO <M - T04-
которой одно из прове-
ка' L сечений пересекает реб-
деН4£) т е является верши-
Ьммго ю построенных ром-
й си.рис ). Так как сфера ка-
граней двугранного угла -г—.„
Л**? f0M?r
4 C02 = «otg|-y, СО =
_ Jr? + POf. Подставляя най- К задаче 13.61
денные значения Р и R, находим
DO -12.
13.62. KCiCD = arctgf, угол между боковым ребром и плоскостью
основания призмы равен axccos^==, расстояние от точки С до точки
касания шара с плоскостью AAXD равно 4\/3.
13.63. AD = 8, угол между плоскостями ААХВ и АВС равен 60°,
расстояние от точки А до центра сферы равно 3%/Гз.
13.64. £В\ВС = 60°, угол между боковым ребром и плоскостью ос¬
нования призмы равен arccos ^=, расстояние от точки В до точки касания
шара с плоскостью D\DC равно \/1о.
13.65. бл/if; 4L- бб_
V зз* Тбз > ТТТз-
Решение.
£ ^ Пусть Nx — проекция точки N на плоскость ABCD (см. рис.),
~ основание перпендикуляра, опущенного из точки Nx на АК, Si -
пеппЗДЬ тРеУгольника ANiK, hi - расстояние от точки N до АК (NE
уЛДИКуляРен АК по теореме о трех перпендикулярах). Используя
н N й?ЗДачи- на^дем площади S2, S3, S4 треугольников ADKX, КС i
*Г.?0ГДа 5l = 36 ~ № + S3 + St) = 12, NiE =^, где АК =
Т„+1 = 2^3, N,E = 42.. А, = VW+Ж = 6\/л
ля нахождения расстояния г между MN и АК воспользуемся
0)
6v
Г =
АК • MN втф
^ » ts Звс*
^ систем^ п^РамиДЫ AMNK, <р - угол меЖ^п^)Ил/(о|з;0).
У оординат, указанную на рис. Тогда А( » •
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
328
N = (3; 6; 6), ЛГ(6; 4; 0), MN = (3; 3; 6),
= 366J^4 = 7т»' sm(P = у/Щ- Если *5Ь - площадь треуг
" * У°ЛЬНи^
то ^1-^6 = 9, v = |-50-6-18 и по формуле (1) находи*'
J
(;
AtoKi
что
3) Если плоскость перпендикулярна в
11 = (о; 6; с) и проходит через точку щх •
то уравнение плоскости записывается в виде’
Ф - х0) + Ь(у - у0) + с(г - г0) = о* ,»
а расстояние h от точки Аг(Х1-у1; гл '
плоскости выражается формулой ои
. _ |о(Д1 ~ ДО) + Ь(У 1 ~ УО) + c(zi - г„)|
Va2 + Ь2 + с2 ■ (3)
Вектор п, перпендикулярный плоскости MNK
найдем^пользуясь тем, что ti -L МК ип1 MlJ. Так как МЙ = (6; 1;о),
MN = 3(1; 1; 2), то
[(п, МК) = 6о + Ь = О,
[fn, MW) = 3(a + 5 + 2с) = 0.
Полагая a = 2, из этой системы найдем Ь = —12, с =5, и поэтому
"п = (2; -12; 5). Взяв в качестве М0 точку Л/(0;3;0), запишем уравне¬
ние (2) в виде 2х - 12у + 5г + 36 = 0, а затем по формуле (3) найдем
расстояние h от точки Ai(0;0;6) до плоскости MNK:
h _ 5-6 + 36 _ 66
у/ТТшТк ~ v/l73
Указание. Эту задачу проще решать с привлечением понятия
«проекция вектора ~а на направление вектора Ь *. Пусть угол между в6*
тором а и вектором Ь равен а, тогда проекция р вектора а^на напРав
ление^вектора Ь равна р= 17?| cosa, а так как (~а , b )|"а>| • I М ‘cosa'10
Р = ^ |-j| ^ ■ Покажем, как решается задача 5.65 при помощи нахождени
проекции. _
1) Найдем проекцию рх вектора AN на вектор АК: р\ =
Так как AN = 3(1; 2; 2), АК = 2(3; 2; 0), то Pl = ~ Л* ^
ПО теореме Пифагора = y/AN2-tf = Jsi - = 6g(l0
расстоянию^6 МеЖДУ сбивающимися прямыми MN и ^ f ipr
расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими эти
ние нппК°е расстояние Равно модулю проекции вектора АЛ^ на на
мали к указанным плоскостям (вместо вектора м°жН
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
т.е
{!
^<^гоЙ вектор с началом на одной и концом на другой
0**%*{а\Ъ\с) нормали найдем из условия Ъ ±]& и
2(3 о + 26) = О,
3(в + Ь + 2с) = 0.
тИм что AM = (0; 3; 0), АК = 2(3; 2; 0) и MTV = з^. j. 2\ п
1, Wl™ И3 СИСТе““ « = 4' 6 = -6. Т. е. И = (4; -6; 1?Т0?И
Д»Г,Я® гам 31Ы _ 18 Д3
„ Jlijp = ^4+6*+? ^53'
Г'з/)ЙсстояниеЛ от точки ^ до плоскости MNK равно модулю про¬
екции вектора AMi на направление нормали г? к плоскости MNK (вме-
** вектора M^i можно взять любой другой вектор с концом в точке
J и началом, лежащим на плоскости MNK). Так как гг = (2; -12-5)
Ш1 = (0; -3;6). ТО Л - = &
13.66. бу/§\
13.67. зД; 7^-
13.68. 2v/5:
13.69. Радиус основания конуса г = |, радиус шара Д =ov^^3v/5).
Решение. 1) Пусть Oi — центр основания конуса, г — ра¬
диус основания конуса, 02 — центр грани АВС, Е — сере¬
дина АС, F — точка пересечения окружности основания кону¬
са с DE (см. рис.), Z.DAC = 2а, ZBED = р. Тогда OOxlDE,
М2-L BE, 02Е = ВО = ^=, OF = ОЕ = ZOFB = р, ZOiAF = а,
r=0£cosp = cosp = f tga, ВЯ = f tg2a = ^ откуда tg2a =
tea = ^ cosp, tg2a tga = §, 4tg2 a= 1, tga = cosP = x,
CtSP = >/S* r = f tga = i■
Hov»a 16HTP P вписанного шара лежит в плоскости BDE. Точка Р рав-
«вугп»!На -°Т и и принадлежит плоскости, делящей пополам
при ребре А „ ВЕЯ
4» ;/ д ~ Радиус шара, М и К - проекции точки F на и
^оГГ2ТвТпеННО JCM' рис'*' Тогда 1РКМ = 2- ^Лзто'му
Ohf^n Р По свойству внешнего угла треугольника FUE).
c'flDvrSP’ КМ~ Лс^§, ВМ = 2ЛГМ = 2iZctg§.
РУгои стороны, ВМ = ВО - ОМ = ^ - Bctgfi. Следоват
V5 ~ tfctgp,
откуда
rTFPEOMETPMfl « ОТВЕТЫ
D
13.70. Боковое ребро пирамиды равно радиус шара Д=
_ о(%/55->/33)
~ 13.71. Радиус основания конуса г= радиус шара Д=
2q(2V2T-9)
3 *
13.72. Боковое ребро пирамиды равно РадиУс шаРа Я
- ау/ЭЗ(2-i/g)
16 •
13.73.
13.74. 9r/4.4
13.75. г
13.76. 11±Г^г
12 г*
* € ш в н и с. Пусть 4 Д л
радиусов г, г и 2г соотве ’ ° пРоекции на основание цилиндра шаров
середина АВ, М, N и г>™ТВеНН0, ^ ~ Центр основания цилиндра, К-
с боковой повеохнолтчп лР°екции на основание точек касания шаров
радиусов гн2г D ^ цилиндРа (см. рис. а), Ох и Ог - центры шаров
середина С03 (см. рис.б). Тогда 0Х03 = Зг,
= 03D = г. OjD = АС =ч/9г* - г* =2%/2г. ОМ
Пусть I — радиус основания цилиндра, тогд ,
(рк..). КС=jAfr-ж . т/5^3=^ та“ я - х. <м'
= г; ОС = OP - PC = х — 2г, ОК = КС — ОС = r(v7 + L>
— ОМ - АА/ = I - г. пмчи» ОК7=ОЛ
Из треугольника ОАК по теореме Пифагора полу
- ЛК’, т.,. (г(,/7 + 2) - *)’ = (I - г)’ - г’, откуда найдем
13.77. s=aljS, я, = Мфп, д2 = г!^±И.
13.78. К, -ф-т.
V3’ 2-ЙЛ+Тз'
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
АЗ. находим LQAN = f, и поэтому АК = ЛС-Ц. = Ы.
» соя 4* 3
Пусть 5 - площадь сечения куба плоскостью Р. тогда 5 =
= \АК ■ EF, где EF = BD = а>Д и ^0 шара лежит
на биссектрис^угла Тас1см™ рис б), а проекция I точки О на грань
ABCD принадлежит АС. i /к ап = 4. OL = R,
Из треугольника AOL, в котором ^АЬ а 1 и тп-
„ .я i-и»* - 2 + т/З. Так как LL -
находим AL = R ctg-j^, где ctg ^ = einf
= Нт/2, AC = AL + LC. то ач/2 = Я (ctg^ +^)' чт0 0н ра-
Замечание. Искомый радиус можно на ' KCEiFi. где
*н радиусу шара, вписанного в треугольную т0ЧКа пересечения
- точка пересечения прямых КЕ и СВ^ 1 „ __ о0ъеМ пирами-
"рямых KF и СВ, используя формулу Я - где
411 KCEiFlt S„ — ее полная повеохность.
К задаче 13.78
Я* fn ^
так как АВ^ЛР- Кро*
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
триса и медиана треугольника At и, поэтому
перпендикуЛярно
К
А
др = рс. Из равенства прямоугольных тре- а
угольников AFD и CFD следует, что CD =
= AD = о. ъл—-rf
2) Перпендикуляр, опущенный из точки A —'-"'"l Р7
на плоскость CBD, лежит в плоскости AFC, \ /
а его основание М — на прямой CF (рис. б). \ /£
Поэтому ZFCA = L.FAC — Р, где sinP = А-/
Так как FA = FC=*&, то АС = 2ЕС= 6
= 2FC cosp = av/2. Но ЛС2 = CD2 + AD2 =
= 2a2 (рис. а). Поэтому ДADC — равнобед- К задаче 13.82
ренный и прямоугольный, а Z.CAD =
3) Основание перпендикуляра, опущенного из точки F на плоскость
ACD, лежит на прямой DE. Поэтому угол между ребром BD и гранью
ACD равен углу FDE (на рис. а этот угол обозначен у). В треугольнике
EFD имеем ED = j.,FD = §, EF = CFsinp = = = §.
Применяя теорему косинусов для треугольника EFD, получаем j =
= Т + т -2f ^cosy, откуда cosy = 75. У = f•
13.83. Л, л/3, л — arctg^.
13.84. о\/3, axccosj, arctgi
13.85. 39/4, л/6.
13.86. 13/12, л/6.
13.87. 117/2, axccos -Д.
>/з’
Н,ИД- ^ Построение сечения. Пусть Е, F а К — сеРедИ
Р ер Л.В, Л1С1 и BBl тптИвТ/<тоаи||Л Пппп/uiaU'
13.88. arccosy/2/З, 13у/2/4.
а Пх/гт г— плоскостью осноеипи» -
• усть ^ - середина ЛС, G - основание перп'
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
„пушенного из точки Ех на РЕ. так „а „ —
% АВС. а прямая РЕ перпенди^Л ^ Зза
icFGl РЕ (теорема о трех перпенЛТ* Проекиии ?ХИнУ^р7Г^'
лежащие в плоскостях а и АВССООтп»УЛ*рахУ Итак lG
*** пересечения этих иоскосге”£?**«», *№«?““'гч?
рт, Явного ума между плоскостям °Му
F .I 0 и АВс а * ^ лннейи[.Т
—^с< •**« jg. *“*
JvCTb уПэ ‘
из РавенсТва тТ л т
?3 ПоДобия TDev ’ 0
ром ^Г<М;»»*= Л , „
"^ь4а-4«-г
2 2
PE2 = a- + a~-2е
К задаче 13.88
36 4 в 2
откуда РЕ = ^- =
Пусть 5, 5i и ^ — площа¬
ди треугольников ABC, AEfi и
P£f\ соответственно. Так как FFi — средняя линия в треугольнике
АВС, то Si = jS, a S2 = |Si = gS (АР = |AFj). С другой стороны,
& = |Р£ ■ FiG, откуда
FXG=^ =
РЕ
2с 1а!^1
2*2 3 4
о%/7
6
tgqp
: агссов
£
h М 1 " /I ф®
' = К5 = -^ = Т5’ “’"V*’
2V 7 ь о и Oi площади соответ-
в) Вычисление площади сечения. Тогда о = ^5ei-
«твенно сечения и его проекции на плос ^(7 является пят
Заметим, что проекцией сечения на плос ^ плоскость
№ьник PFXNXBE (Nx - проекция точ ^ р£
втором FXNX |1 РЕ, так как FXNX \\^'QF = AP = t- ?£глеЛт, что
Если Q — середина PFi, то PQ Ч,рц по, откуда сл У®
«иния в треугольнике ABQ и поэтому Fb «
lWi IIBQ, так как FxNi || -PF- Г(ЭВ следует- что
Из подобия треугольников CF\N\ и ®
^УДа
__ CFX
Св CQ ’
где СВ = а,
CFi = =
находим CNi = |а.
334
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
и N.
Si - "Д0“ади ТР«У°'"’НИК0В АРЕ и
„о. Тоги Ss = iS.-&S, S. = H = fS, ^
о1 = 5-(5з + 5’4) = М5=М21^ = ^,
„ /з_13^
откуда о = о 1 у 5 — 4 •
,0 00 VI2
13.89. •*4_1 28
Решение. Пусть Е - точка пересечения ВС и Л£>, ^
середины отрезков CD и ЛЯ соответственно (см. рис.).
To™a АВЕ ~ правильный ц*
угольник, NE = &AB = 3>/3, mn
= |ЯЯ = 2^3, МЕ = Д так к;к
MN — диаметр вписанной в треуголь¬
ник АВЕ окружности, радиус которой
равен \ NE.
Заметим, что перпендикулярными
основанию пирамиды являются грани
SBC и SAD, а линия их пересечения
(прямая SE) — перпендикуляр к осно¬
ванию и SE = у/Ъ.
Пусть МК — высота в треуголь¬
нике SMN, тогда МК — перпенди¬
куляр к плоскости ABS (КМ 1SN и
КМ LAB, так как АВ - перпенди¬
куляр к плоскости SNE). Прямая CD параллельна плоскости SAB к
поэтому расстояние от точки D до плоскости SAB равно МК.
Если ZSNM = ф, то КМ = MN этф, где tg ф = = 5^31 оТК),4а
*™4> = ife'KM = 2y/3jfa = ^. ^ v ольник SCD>
2) Пусть О — центр окружности, вписанной в треуголь 0
Р — точка пересечения отрезка SN с перпендикуляром к стор
треугольника SMN, проведенным через точку О. вЬ1Сота
Радиус г этой окружности равен радиусу основания кону
Н конуса равна ОР, а его объем V = т*Н. хо0*
Если о — площадь треугольника SCD, р — его п0ЛУп^В^^Т/^==
= \CD^SM,p = SD + где CD=\AB = 2,SM = по-
= >/5 + 3 = 2у/2, SD = y/SM* + MD2 = v/8T7 = 3, р = 4- 0 '
этому г = 2 = дЗ go = ЗМ-г = 2у/2-4 = Ч1- „г
Пусть ZNSM = а, тогда Я = SO tga = ^ tga. НаЙАеМ
менив теорему косинусов к треугольнику SMN. ПолУ4 icffi'
= SJV? + - 2SN -SM сою. ?де SW = #
4\/2. SM = 2т/2, откуда cosa = tga = Я = ^ г
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
Wfil
>з9° 3V
*зИ- Ь w
13 92- Н»т^’ 65 у, /—
13 93. arccos 2^9’ 9 *aV6-
,. u и е. а) Пусть М - середина АС, Z.DCF = „ m „
р;;ымй и /Г£ (см. рис.). Тогда ’ ф угол ме*‘
ZEKM = ф, cos а = — = -L
со ^
Из треугольников КЕМ, СЕМ и /Ш7 по теореме косинусов получаем
ЕМ2 = КЕ2 + /ГМ2 - 2КЕ ■ КМ • cos?)
еМ^еС> + МС>-2ЕС.МС. c«2-£ + £-2j.i.i.I*
KjjV _ Д2 ! За2 2 а а\/з 1 19а2
9 4 3 2 Уз 36 ’
ДУ
откуда следует, что
_
36
19<Г
36
+ -— 2
4
- СОЗф, СОЭф —
3 /з
8Шф = 2^
б) Расстояние р между прямыми ВС и
КЕ равно расстоянию h от точки С до
плоскости КЕМ, так как прямая ВС па¬
раллельна этой плоскости.
Вычислим двумя способами объем V
пирамиды КЕМС:
Г=1Р51 = 1Л52,
Lи ^2 — площади треугольни-
~рт , и КМС соответственно, h =
'L (L£KC,EL\\DF), h = ±DF =
1Т'К Как **
то р = /1 = а^.
ЦоСТь 0 ~~ Центр сферы, проходящей чеРе^очк"^’5ном через
?НтР N пЖИТ На пеРпендикуляре к плоскости ABF, пр' , м рИС.).
^ли л _ кРУжности, описанной около треугольника
Радиус этой окружности, а х — радиус сферы,
то
0В =
СТЕРЕОМЕТРИЯ * ОТВЕТЫ
336
Пусть ON = у, ЮNЕ = ZNEL = 0. Тогда~из~т^Г
теореме Пифагора имеем 2 и У 0льника ^
x* = V7 + \>
С)
а из треугольника ONE по теореме косинусов находим
x2 = y2 + NE2-2yNE- cosp,
raetgp«ff. М = № + + =
Следовательно, ^ _ 2 ■ 2 ev/2
= у2 + a2 - 2ay—
з>/з
Из (1) и (2) находим у = Ov/2p, х = а^/П/б
(2)
13.94. arccos §, 755. s
13.95. arccos 57-5,
2^2 а/р
^Т’ 4V2 '
13.96. f ^
13.97. 1)Ц; 2)^; 3) arccos
Решение. При пересечении пирамиды плоскостью а получается
равнобедренная трапеция ENMF (см. рис.), где EN || FM || CD,
а) Пусть Р и Q — середины сторон FM и EN, о — площадь сечения.
Т°ГАа a = ±(EN + FM)PQ,
ГАв EN=\AB = \, FM — §CD = |.
Если О — центр основания ABCD, L — точка пересечения ДО11
PQ, <р = ZQSL = APSL, К - середина CD, то SK = VS&TOK =
= v/8TT=3, SP=%SK = 5g = |5Ar = l,tg9=f^ = i75-00S?'
= sirup = I, соэ2ф = sin2<p =
Из ASPQ по теореме косинусов находим
тогда
PQ2 = l + f-2-l-f-i = ^,
рд= “
в >
б,и“^*Илиге
rJ 1Г — Где х — оасгтл равен Расстоянию от точки А до плос№
ПустГп 8ЫС0Та * греуРп1ТИес» Т0ЧКИ * до плоскости * ,
1~~ площадь TDevrnjr ** пРове№нная из вершины S
- - Реугольн««а SPQ, тогда 0l = \SQ- SP&*
_ 5V5 '
*~,г~т = ‘ '
в) Угол в МР 33 ’ Г ~ 2г = ^<5.
BKnlntгак и* “,и плоск°стью /ШС£> равен уиУ “'*$
С|,м«уе«с, форму^“'« J- «*0 = А. Дл!, Выч»ме»»«5
пссектрисы в треугольнике SPQ-
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
_ 2S® ' SP ' созФ __ 40V2
SQ + SP
о1КуДа С ч 16Л- 9) 2^й- 3) arccos 1
l398. ОтГ-э ’ ^arccos^-
,399. l)S;2)4#;3)arccosi
,3100. 1)^2) 4#; arccos^.
Я4ч/39
55
1632\/3
275
13.Ю1.
Решение.
1) Пусть Е - середина АВ, ZBDE =
/ADE = а (см.рис.), тогда tga = f,
4 sina = I, AD = BD = = 10.
cosa-g.sma 5. «mg
По свойству биссектрисы xtf = f# = §,
„ Mi _ A
откуда од -ii-
Из подобия треугольников BCBi и
0В£ следует, что Щ = |§ или - =
= 1 откуда = f, Z?5i = ^, ^ По условию Щ = <?£,,
ПЛ 1
поэтому -ос=2-
Найдем высоту DO пирамиды ABCD. Так как ВО = А| = 4\/5,
BD = 10, то DO = VBD2 — 502 = 2л/ГЗ, а объем пирамиды ABCD равен
y=li452^ • = 24\/39. Пусть V\ — объем пирамиды i4iS1Ci£>i,
Ъа=Р’Щ- = Я> ^ = г, тогда
Vi = Vpqr = 24\/39 • — = —.
11 25 2 55
^Вычислим площадь S проекции треугольника j4iJ3iCi на плоскость
С. Пусть А2, В2, С2 — проекции точек А\, В\, С\ соответственно.
™ыа2,в2,с2 лежат на соответствующих высотах треугольника АВС.
110 теореме Фалеса %1 = Ш.=Г< откуда ОС2 = г- 4 А Аналогично,
~Р' 4v3, OBi = q • 4\/3. Следовательно,
2sin f {ОАг • OBi + OBi • OCi + OCi • OAi) =
- 'K (A /412/ 5 7 7 . l , 1. = l632v^
4~ (4V3) (n‘25 + K 2 + 2 U>/
13.102. 20Уз
lo M ’ ~2i •
13ЮЗ. 2W3| 102^з
Ю _ 88Ц * ~275 •
bdl 80^3
. 7_ ’ ^1 •
0/1
s
275
13.104.
13.105.
ш e u
П* H
. г, — Д1О _ 7 CxD _ 21. 49y/65. _]3,,
BIT ~ 12> CD ~ 32’ 576 ’ 2ч/10 /KMC**
1 РИС ) ет ПуСТЬ ZKDA = a> ZKCD=An l8D-CV = 6' =
m Так как sina = AK = 1. to AD = BD- cu
СТЕРЕОМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
338
—^ЗеП=М ь«.0 " %* TWn““"“ "с. го ос.
:3/V«sP=«§=3j5'5mp=b-
— у/3
То
Применяя теорему косинусов в треугольниках КМС и Кщ
чаем:
flOjfy.
ц КМ2=КС2 + МС2-2КС-МС-cost = 3 + 9-2.
откуда КМ = у№,КЕ=\КМу-^,МЕ = \КМ = ^ ^
2) С05ф = ^кмС'мс — = - 57Го- откуда ^
_ г 1 Т-
— у cos3 Ф 8
Ц «У - - М - ! >/? • «куда tgy = Л
Пусть Ait Вг - точки пересече¬
ния плоскости V с ребрами AD и fin
Так как КМ1АВ (ВМ = АМ)
/^М -L a4i5x (А'М — перпендикуляр
к плоскости V), то Лх#! || АВ. Ес¬
ли Сх — точка пересечения плоскости
V и прямой DC, то ЛхЯхСх - рав¬
нобедренный треугольник (ХхС^
= 5хСх)- Покажем, что точка С\ ле¬
жит на ребре DC, а не на его продол¬
жении за точку Ci, вычислив длину
DC\. Пусть L — середина AiBh то¬
гда C\L _L КМ, так как КМ - пер¬
пендикуляр к плоскости V. Из пря¬
моугольных треугольников LEK и
МЕС\ находим:
') ^ ■ |$ = = A KD, откуда DL = & КО Ч-
= KE-tgy=^.0L = M;
2) MCi = ~ = ^ ■ - !!_ откуда следует, что точка С\ ле*011
на ребре CD, причем £>С, = 3 + if = Щ, = §.
Таким образом, в сечении пирамиды плоскостью V получается ^ __
нобадренный треугольник Л, fix С,. Далее находим ECi=ME- 8J
= .. / „г . „ пКАследует'
*. , в - 16“• Из подобия треугольников DLA\ и ил
ЧТО ^ - DL _ 7 л . . 7
АК DA ~ DK = Т2. Откуда AyL =
Пусть S — площадь треугольника AiBiCi, тогда
• - -
Найдем ' **А1ЦЕЕ + рп Г
~ "аРаЛЛМ‘»У»
• ~ -л naccrofiio*
через
F {F —
г — середина ь'-'/Ч т”г ““пт~ n „асст81
« г11 Ав■а АВ11 мв"
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
что высота FG, проведенная из точки F
' d (FG 1 LCi и FG L AiB:).
339
"
flCi> вхождения d достаточно найти площадь sn
Пусть Si, S2, S3, S4 — площади треуголки ре^ГОльни'
Тогда%Ж""“'^.
(**
sjV5
3V3 |l=]f=i-“лй.и т*. 7 17;SS|' *•
гдеPs ** «' ^ И£т Д’ 2^‘ 4 ,312«Sl- Следовательно,
-*51 64 6- а-1сГ = 57!5-
'' !,£> _ gig - 5 - -5 ■ 25V^. 7
f = Я5ь 53 = ё-&-Д
2 — 24
_ DCi _ 21
8Щ0 =
U « 11 с л
2 б4^Ь 1S4 s
13.106.
13.107-
13.108-
А,Р _ gig — |
ifo-BD 6"
£g_glg = iZ
-AD ~ BD 27
>4ig — — 12
"ЯО" яя
CiE> _ A- 25V23. 7
CP II* 99 1 8‘
C\D _ 17. /17\2
18’
W = & (k) v^5;
CiO _ 13. /26\2 J23. 25
CD ~ 33’ \ 9 ) lT’ 12-
13109. Минимальный путь состоит из отрезков SP и PF, где
реВС,ВР = ъВС.
Решение. При решении задачи следует иметь в виду, что:
1) кратчайший путь между двумя точками — отрезок, соединяющий
эти точки;
2) для нахождения кратчайшего пути мура¬
вей должен сначала ползти в плоскости АВС
по прямой до некоторой точки М ребра ВС
(см. рис.), а затем — в плоскости В DC по пря¬
ной из точки М в точку F.
Задача сводится к нахождению такой точ¬
ки Р на ребре ВС, чтобы для любой точ¬
ки М 6 ВС выполнялось неравенство SM +
+ MF$SP + PF.
Для нахождения точки Р развернем грань
°ОС так, чтобы отрезок ВС остался на ме-
jj6'3 вершина D совпала с точкой А. Так как
где К — середина АС, то длина пути муравья равна SM +
и . ' ^тот_ пУть будет минимальным, если точки 5, М и К лежат на
,оч пРям°й. Точка Р, в которой пересекаются отрезки ВС и SK, есть
"еРДчения медиан треугольника ASC, поэтому ВР = | ВС-
Нпп nr, Минимальный путь состоит из отрезков SP и PF, где
,^’Р5 = §ВС.
Р$ВС Минимальный путь состоит из отрезков SP и PF, где
Р,Вс12Вр Минимальный путь состоит из отрезков SP
13.ЦО i\ ®
• v arccosii; 2) _зв_; 3) 2.
К задаче 13.109
и PF, где
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
Реше
н и е. 1) Пусть ZDAB = IDCB = а, тогда tg« =*
с°8<и
Если С2 - серединэ отрезка DClt т° лiC2 || ЛС1 п' ' '
между прямыми BAi и АСу равен углу между прямыми о .°ЭТ0!ЧУ уг0.
Так как DC = 5^ = СС2 = J DC = 3vTo то^ д
теореме косинусов имеем
I.
2 По
вс\ = сс\ + вс2 - 2 • СС2 • вс • cosa = 102.
D
Пусть АС2АуВ — р. Тогда из AAiC2B по теореме косинусов находки
ВС\ = АуВ2 + AyCl - 2АуВ • AiC2 cosfr
гдеЛ1С2 = Алс1 = 1л,В.
* /. т^езок можно найти либо по теореме косинусов из АААуВ, ли-
!!°о°п2ЬЮ Р?Д!нства 4AiB2 + AD2 = 2(АВ2 + DB2), где АВ
_ 4 1п0 _ й- 1б°- Следовательно, АуВ2 = 64, AiB = 8, Аф-
и 102 _ 64 + 16-2-8-4cosp, откуда cosp = -ё и угол Ф меЖДУ
прямыми В* и АСХ равен arccos^-
- _ бГЬ х Расстояние между прямыми ВАу и АС\. Тог^ г.е
I/ вд1'Дс1-б>п<р’ гДе Ц — объем пирамиды АВА1С1. Но Vi* г*'1
объем пирамиды ABCD.
ап™ Е ~ центР основания ABCD. то DE - высота пирами^
СД пРичем ^ = VBCTT^2( где ЕС=лв^ 4. Следовав
«о. М = ц у=1 МВ)2 ^ = 48к/Т, И - * '
8 8-Ц1КР» где sin фаг у/1 _ (Ц\2 — зб
V V327 - 12 > X-
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
3) Пу^ь о -центр Сферы, касающейся^
»г, BAi и СВ\. Сфера касается основаu Плос*ости Лйп
% **»Т на высоте DE пираМНДЫ ан"» ""Рзми,„ ДС к о,*,
* Ем и F - точка касания сферы с ото., W Е •«
в£(касательные, проведенные к глГ " B*i. л пг
F-BB = ЕС = 4, a BAi = $ “С*?Р*«>однойто° °fХ«
С сферы, тогда ОЕ = OF = г, о А2 ~ Галина ВА Рп Нь,)- Так
—в и., дп^.^Г + г2 - 16 Л"?* Г ~
г -С %rofi
BF
как
как ~BF = BE = лъ = ч
радиус сферы, тогда 0£ = о/- = r< UAf в
стороны, по теореме косинусов из Ann д ^ +
^л1 имеем
о^-^ + до'-^.во.^
3 Y ТТо- Следовательно.
16 + г2 = 40 + П2 ~г2\ о « /—
1 Г }-2-2v^0.(i2_r)J_
JVio'
откуда г = 2.
13.114. 1) arccos-^; 2)
13.115. 1) arccos^; 2)
13.116. 1) arccos-^; 2)
36
; з) |.
.^59
fe: 3> 4-
**-; 3) зл.
^59’
R[ R+r-JR*+2Rr-^
--‘-у Я5+2Яг— у-Я
Решение. Пусть О* — центр А:-го шара
радиуса г (fc = 1( 2,3), А — центр треуголь¬
ника O1O2O3, В — точка касания шара ра-
Уса R с одним из трех одинаковых шаров г
ДнусаТп С первым)- С — UeHTP шара Ра*
^ Л‘ 0 — Центр шара, касающегося всех
Тоща п ^ар0?Р ^см- Рис-). х - его радиус.
00 -°1Л = Й- °iC = r + R, OC = R + x,
ПеРпенли+ Х‘ "Рочки С и О должны лежать на
te«H0M иКуляРе к плоскости ОтОгОз, прове-
Чтоб 6ре3 Т°Чку А~
Са г плЫ- Шар РаДиУса R касался трех г , . »г
jp Жно выполняться условие OiC^OiA, т.е. R х 7з
+авг-т>о.
К задач* 13.117
равных шаров
радиу-
или
Об,
ЗНачим a = ^OiCA, тогда sina =
гг _ cosajl - ЦЕиТ1
7з(Я+0
^•гДе Ь =./]
Р2
I о г>_
г»
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
342
Применяя теорему косинусов в треугольнике О,Со, поЛу^
0,0' = СО, + СО2 - 2 • СО, • СО - cosa,
т.е.
(г+х? = (R + г)2 + (Л +1)2 - 2(Я + г)(л + ,
й+?.
RIR+r-b)
откуда х = г+ь-н'
^Я- г— )
13.118- Я>г(1 + 7з)’ T-^R?-2Rr-
^ ^ Я+г+У Яа+2Яг- j
13.119. Я^г(тЗ_1)' Уя*+2Яг-^ + Я-г
/ л я^ Я-г+у/ Яа-2Яг- ^ J
13.120. Я£г(1 + ;^). г+я+уя1_2Яг-£
13.121.
Решение. Пусть О — центр ос¬
нования ABCD, Q и Т - проек¬
ции точек S и О на плоскость £FK,
L — проекция точки К на плоскость
АВСР (см. рис.). Так как £F||BA
то плоскость EFK пересечет плос¬
кость SBD по прямой MN{Mt
SB, N € SD), параллельной BD,b
в сечении образуется пятиу ль
EMKNF, составленный из Р _
бедренной трапеции EMNF {^.
= т и Ра®н^б.едр/сТл J^TOTAa
ника MKN (MK = KN). Пусть АВ = а, SO-И, £.о .
/7 . /з и - 2^2. Но л + 4
AO = frh^f2t%a,mtgo.= yj\,sma= у/-g. 2
= a, a2 = 4, a = 2, Л = л/3- Точка пересеченИ
1) Пусть Р — точка пересечения и АО, о
SO и РК (G — середина MJV), тогда ОР = §-ДО = з ’ qq=.\^'
= ^. Из подобия треугольников PGO и PKL следует, что
где JCL = | Л. Поэтому GO = | \/3. fl ?G 9
Пусть ZOPG=p, тогда tgp = Щ = ^f, sin\/|2 coS^
op *»./тк -
Op _ , • -
alpn , % 2 г, V» .
3 ° Следом,». **' P0MeTor°. MN=iBD=>*p.
„К еЛ1Н0- «оадд» «чеИНЯ
' '^’•e+lMN.irc^A
2 9 Уз
СТЕРЕОМЕТРИЯ > ОТВЕТЫ
т — угол между боковым ребром пирамияы „
' "ГДа - ft ™ 50 - SC. cosP UG%ZoP
Следовательно,sin(p = cospsina = fl(p = arC8in3
^-.SC/.ina ~
P),
2) Пусть <P
jSfX.roa.
. с/7-J-. Следовательно, sin m —~
^iC,''"a °in<P C0SP sin a —э 4
3) Пусть d — расстояние от точки Dn0n„ ~ 4>=z arcsin3
„г* до параллельна плоскости EFK, то л?Кост« г 5
- -4r- ' * d, где or *«Кэк пря.
oi.-2) ^3)m3i„_u =0f,si"P=
13-123. 1) §; 2) |; 3) arcsin -12 ^
5vTo '
13.124. 1) 2) £~m; 3) arcsin
13.125. 1)§ и §; 2) §; 3)
Решение. Плоскость о параллельна плоскости
B(7MZ? II «>, а в сечении пирамиды плоскостью а образуй (5С|,а'
/1,Р|1?2^2 (см. рис. с) такая, что AAIISC А,А и Д ?Трапеция
MAi = А А 11 ’ Л]Лг К SB< A\Di J| AD,
I) Пусть Е, Ei и К — середины сторон Л£> у4,п „ j п
стЕенно, М - точка касания вписанной в трапециюА ппа С°°ТВет'
«сети со стороной А А>, г - радиус этой окружност^^2'42 °КРУЖ'
Тогда Е!А = AM, МА = ^ т е. r =* ^ s fi'
^УДа EiA = Кроме того, г = что % * ^ *
>Кз подобия треугольников SAA и 5£:£> и DSC наХ°ДИ
о!’ № * I Тогда из подобия треугольнике
^ = = откуда РА -t 'DC Т.5кЛИн с основанием^ 2 sg
^ Плоскость а отсекает от пирамид „„^ные
Мк» -
ДР п ь,“"
г,« ^ Г • Л
н плоскости разбивают клин на ПрямУ10 пр
и JDAQiQ (см- Рис- о)
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
Пипги h и v — высота и объем пирамиды SABCD h ,
сота и объем пирамиды A\A^Pl^f ^ Т 0 р*м "Ризмы,1 „3 ^ " в*,
клина. Тогда = \АР' РР£" г« ?Q ~ AD - 2АК>*
„ _ Ж- V* = kPPi • Л1 ‘Р<?’ где АР = АЕ~ ЛхЕг. = | рп т.е
_< 4i = Mi = I, т. е. «г = §т Л- Тогда из = 2uj + и, — щ . =
" 5' h SO 5 _ 26 * З^^ЗИСКпь
отношение объемов — 9д • °«ое
3) Пусть F - середина ВС, О - середина EF, Од - ценТ1) л„
около пирамиды SABCD сферы, R - радиус этой сферы
(см. рис. б). Тогда О, е SO, SOi = R, а расстояние р 0т точ*и
плоскости а равно 0\G, где G € Е\К, OiG _L Е\К. До
Пусть 71 - точка пересечения прямых 50 и ЕХК. Так как £ ^
(плоскость SEF пересекает параллельные плоскости SCB и а пл SF
лельным прямым), то АЕ\КЕ = ZSFO = р. Кроме того, в = /л$5?*
= /JGO\T (углы с перпендикулярными сторонами). ’
Из подобия треугольников Е\ЕК и SSF находим -$F = £г
Ехк £jf, где
5^ = 2г = 2^/| (см. рис. a), SF = 2, ЕК = ОД* = 4. Следователь¬
но, SF = yfi5, SO = h = VSF2-OF* = V14, cosp = §£ = -i,i tg^ =
= ^ = УП, SC = v/50^+002 = V14 + 2 = 4.
Так как радиус сферы Л равен радиусу окружности, описанной около
треугольника SAC, то Л = 5С^, где s = ± АС • SO = 2 n/7 - площадь
треугольника SAC, откуда SOi = Л = 4лШ.
Из AOjGT находим 0XG = р = OiTcosp, где 01T = OCi+OT =
= Л - Л + КО • tgp, КО = ОЕ — ЕК = ±.
Отсюда находим р =
13.126. 0|и?;2)й;3)1^|.
13-127. 1) | и |; 2) $ 3)
13.128. 1) »«?:*> ft; 3){g$i.
13.129. l)f;2)3^;3)|(2V5-l).
Решение. Пусть ABCD — основание пирамиды, S " еД ВлИ,Ц.
„Лц'см> Рис )’ К и Е — середины соответственно DC и АС, i
R9uua !"1!^.НН0Г0 в "ПРЕЙДУ шара, г — его радиус^ М и К
вания перпенлйк«п^Г‘китпд/ ш^а< т ~ с,и — - „ .
и 0,P±sk t°B’ 0ПуЩенных из точки О на SK и SC, -
SArLXTcV-7?y^^M = 0£ = r- OS = ОС = 12, ^==4^
- — „ °'^5С!=РТогдасо8р = |^ = ^,8тр=#.'1-^
■ -г Й-Cl
= SCcosp = f, SC = SC sinp= Ц3, ЕК = ТД ~~ 3 ’
= -fa, cos a = yf\, sina =
СТЕРЕОМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
Расстояние от точки О д0 боковой „
nu=SO sin a = 3s/2. гРаии nnpaZ,
Из треугольника SOlP Находим Иды Равн°Ол^Гд
Яг; = sin а,
1
[з!зг. О 2; 2) 3) 4(Vs - 2).
ОТКуДа Г=Д2!Да _
1+eina s
13.133. 1) 8; 2) arccosf; 3) Ц.
Решение. По условию АВ = а = 8, SO = h=3, BM=MS, ВК-
=КС (см. рис.). _ „,„т-
1) Пусть V, vlt v2, V3 - объемы пирамид SABCD, SABK, АВКМ,
SAM К. Тогда v=±a2h = 64, vl = \v,v2 = £г>1 = = Ъ - i” -*■
2) ПустьKi — середина ВК, тогда МК\ || SK, МК\ 1 ВКтлМК^--
= \SK, где SK = \Jh2 + (a/2)2 = 5, МКХ = AKi = фР + (Ф? =
=2^.
Если ф — угол между 5Л" и AM, то ААМК\ = Ф- По теореме коси
иусов , m
АК2 = AM2 + МК\ - 2AM • Mtfi созф. ^
^ак как AM — медиана в треугольнике ABS, в котором
*SA*)[№f ~+SK2 = >/51, то 4АМ2 + BS2 = 2AS2 + 2АВ2, отку-
Alf
= Т- Из равенства (1) находим
68=1^ + ^- 2- ¥- §- соэф,
Откуда РЛ . 4 4 (он лежит
'прел S<^ —5’ а искомый угол между прямыми
31 У* °Т ® до я/2) равен arccos | = а.
^стояние р между AM и Stf находим по формуле
6v3
346
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
1) 1; 2) arccosp; 3)
1) 8; 2) arccosf; 3)
1) 2) arccosf; 3) ^.
ф = arctgR =
Решение. 1) Пусть Ait B\, C\ — точки пересечения sen»
I и я цилиндра с ребрами DA, DB и DC соответственно frll Нег°(
13.134.
13.135.
13.136.
13.137.
вания цилиндра с ребрами и А, и а и и С соответственно (см""^ 0Сн°‘
К - центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, тогда оР’0и
высота цилиндра. Так как треугольник А1В1С1 вписан в окруж''*1'
ее центр К лежит на AiBu то AXB\ — диаметр этой окружности^’а
его середина, Z.BxC\Ai = 5. Из подобия треугольников и‘ /L'
следует, что LBCA = §, а коэффициент подобия к = = i 1 С
ГГ,.„-., Л/~, I «5. 4"
Пусть АС = 6. „с = 0.5-»
щадь треугольника АВС. Тогда S
= ±ab = rp = 3(24 + а + Ь).1|0ТК¥'.
Но
j. отцу-
да = а + Ь + 24. Но в прямо¬
угольном треугольнике сумма кате¬
тов равна сумме диаметров вписан¬
ной в треугольник и описанной около
него окружностей, т.е. а + Ь = 24 +
+ 6 = 30, и поэтому ab = 162.
По условию объем пирамиды о =
= ~ ■ ^ab - Н = 27\/2, откуда высо¬
та пирамиды DM = Я = \/2. Пусть
ON±AB, NeAB, <p - величи¬
на двугранного угла между граня¬
ми АВС и ABD. Тогда tg<p= ок "
А _ ЛЛ1 = 2 откуда Л =
И — AD 4 '
1 _ Л 9-
= ■ т.еш — гт!
£
= i где
= |Я = tg<p = 575
2) Так как DM || ОК, а
редина А1В1, то плоское 0[
денная через DM и ОК, пересечет ребро АВ в его середине ’ одяШей
сферы, описанной около пирамиды ABCD, лежит на прямо . радиус
через точку L и перпендикулярной плоскости АВС. Д£”* + U?-
сферы, то R = 0iD = 0iC. Пусть L0X =х, тогда 0\С -1'1
где LC = 4®, откуда
Я2 = z2 + 144.
(О
R и X, npjj
Чтобы получить еше одно уравнение, связывающее юи1ую
дем через точку 0\ прямую, параллельную LM и пер
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
Тогда Л/Л/i -х, 0\М\ =LM, 0,D2 ""
яг- -- -ЧЩ' + Л/,£>2
S- л/2 + т- е
где
Д2 = LM2 + (х + у/2)2.
(2)
г и выразим через LO, пользуясь тем, что fg = A = j
Отрезок _
^yja * медиана в АЛОВ, и по свойству сторон и диагоналей
-• 1,0
(3)
Но -
„раллелогра ^^2 + = 2(ОЛ2 +
Пусть Л2 н А - точки касания вписанного в треугольник АВС
дуга, тогда СЛ2 = ^2 - £ - d. ВВ2 = а - г, ЛЛ2 = 6 - г, ОЛ2-
JjJ-З)2 + 9. ов = (° ~ 3) + 9 и равенство (3) примет вид ~
4IC2 + 242 = 2(Ь2 + а2 + 36 - 6(а + 6)) = 2(242 + 36 - 180),
впгулз 4L02 = 288, LO = 6у/2, LM = | LO = 8\/2. Тогда уравнение (2)
примет вид д2 = 128 + ^ + ^2 (4)
Вычитая почленно из (4) уравнение (1), находим 2х^Д- 14 = 0. отку-
мг=^. Подставляя найденное значение х в уравнение (1), получаем
й2= у +144 = 2|Z, откуда Д =
13.138. V = Д = § .[т
о 4 у 2 '
13.139. ф = axctg у/2, R = §
13-140. V = ll2v/f, д= 11дД.
Dl
Ct о
)\ii и не. _ -gjKHT в> дк®
'Чщд]? сФеры, касающейся ребер В А, ВВ\* ' дд ВС уе®*
В0> «Уба, обрааующей с каждым на ребер ВЛ. в
348
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
а = arccos ^ (см. рис. а). Если сфера касается плоско ""
точка касания Р есть центр равностороннего треугол СТИ
РВ1 AiDCv Пусть О - центр этой сферы, г - ее оаИКа *iDc Ц
касания сферы с ребром BBi. По свойству касательной ДИус> £ '8
-ВПВР-гг), mBP^BD, =так как
DPB и DiPK (К - середина 01Д) следует, что Вр '^КОл
Кроме того, ВЕ = ОЕ ctga=^-. Тогда d. - ^ ^ 2Pl)j-
75- Тогда
Зг2 + 8г>/3 — 8 = 0, откуда г = ~47з+бт/2
3
Или
б) Пусть R - радиус сферы, касающейся ребер В А, ВВХВС\
прямой
DAu 0i - ее центр, тогда ВОг - ^ - Ry/%-
Рассмотрим треугольную пирамиду с основанием A\DCi и вершимо»
В (см. рис. б). Пусть М - середина AXD. Тогда OjM 1 Д,Д 0,Af = J
MP-£iD - _ig. Из AOiMP по теореме Пифагора находим Л2 = 1 +
+ ^ -Ryjff или R2 - 4у/2R + 3 = 0, откуда R = 2у/2 - уД,
13.142. а) gVbjV5; 6)2y/2-у/ъ.
13.143. а) ^~1V3. б) 2у/2 - у/ь.
13.144. а) 6vd-4V3; б) 2уД - %/5.
13.145. 1) 2) arccos §; 3) ^ и
Решение.
1) Пусть М и Mi — середины АС и А\С\
(см. рис.), К ~ точка пересечения ЛЩ
и DDi, F G В В1 и KF || ВМ, Д € АД
и D\E\ || DE. Тогда сечение призмы плос¬
костью П — пятиугольник DDiE\FEj*-
кой, что DE = \ ВМ = \ \JbC2-{т) "
= iv/52^P=2, DiEi = lBiMi = \BM*
= §, KF=BM = A. " D «
Этот пятиугольник составлен из двух трапеций, в которых
KD — высоты, так как KF — перпендикуляр к плоскости s
Из подобия треугольников KD\M\ и К DM следует, что TfP '
stts|- И П0ЭТ0Му Л-0! = §00!, KD =|001- Пусть В
и 01N _L АС. По теореме Пифагора 00i = \/ND[ + JV 0 » г^е
= 5 AM + |МС = 1 + § = §.
Поэтому 00, = ^б+2й = 1, КD\ = \,KD = }».
Площадь сечения
К задаче 13.145
<г^ ?iBi +kf
KDl +
7 2 + 4 21:
5+~Г'1°
3J9
lo
2
2
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
349
■'’’"Тпигть ф — величина двугранного угла между плоскостями П и
г Так как D\D С П, D\D 1 DE, AD 6 ABC, AD 1 DE, a DE -
ABc- пеоесечения плоскостей П и АВС (ребро двугранного угла),
^"lADDi^V (см. Рис)- Из &DiND находим cos<p = ££ = §, ф=
518зТпусть pi и р - расстояния
т тоЧек Ci и С до плоскости П.
ТакDELAMC^ HD£cn,
то плоскости П и ААхСхС пер¬
пендикулярны. Поэтому перпендику¬
ляры, опушенные из точек Ci и
С на плоскость П, лежат в плос¬
кости ААхСхС. Пусть L - ос¬
нование перпендикуляра, опущен¬
ного из точки Ci на DD\ (см.
рис.). Тогда pi = C\L = C\D\ sin<p =
= 4. b3. = 3&. Так как ^gDiCi =
= $. Top=|pi = 2#
К задаче 13.149
Замечание. При нахождении
площади сечения можно воспользоваться формулой 5 = ^
площадь проекции сечения на плоскость АВС. Здесь 51 = •
13.146. 1) 2) arccos f; 3) ^ и
13.147. 1) 2) arccos $; 3) && и 3^.
13.148. 1) 2) arccos f; 3) ^ и
13.149. arcsin 25;
Решение.
а) Пусть О — центр сферы. Проведем через точки О, Е и F плоскость
Q. Пусть Р — точка пересечения плоскости Q с ребром BD (см. рис.).
Плоскость Q перпендикулярна граням ABD и BCD (ОЕ и OF — пер¬
пендикуляры к этим плоскостям), поэтому плоскость Q перпендикулярна
линии их пересечения BD, a ZEPF = 2ф — величина двугранного угла
между плоскостями ABD и BCD. Треугольники ОЕР и OFP являют¬
ся прямоугольными (OF LPF, ОЕ _1_ РЕ), имеют равные катеты (OF =
= ОЕ = 5) и общую гипотенузу ОР. Следовательно, AOEP = AOFP и
Пусть К — точка пересечения EF и РО, тогда ЕК = FK =
~ Т = 4 и РК _L EF. Так как ZKEO = ОРЕ = <р, то coscp = = §,
sinqp = 11 sin2qj = |4 Искомый двугранный угол равен arcsin §§.
б) Пусть V — объем пирамиды ABCD. Докажем, что
2 SiS2sin2Cp
3 BD ’
Где и 5г — площади граней ABD и BCD.
(1)
стереометрия « ОТВЕТЫ
Если н - высота пирамиды ABCD, опущенная из веРШин1Г^
~ г,т:
НЫ C.ToV-зЛ-й. 8,1,241 2 2sin2(p* я = 2Sj^
откуда следует формула (l)-£jf _ ^ ®В^1
Но Si = BD • РЕ — § ■ — 350, где S0 - площад.
угольника BFD, 50 = \BD - FP = f ; Pf = ! ' f = f,
ставляя найденные значения Si, S2 и sin2pp в формулу (l),
,, 2 50 ос . 24 2 _ 320
25 5 ~ ~-
у — 2 . 5Й
к 3 3
, TPe-
пГа'Ч
получаец
13.150. д - arcsin§|, 15, Зб.
13.151. arcsin ||, 50, 400.
13.152. д - arcsin Ю, 32.
13.153. 7; 24; уД.
Решение. Пусть Е, F — точки, в кото¬
рых окружности, вписанные в соответству¬
ющие грани пирамиды, касаются ребер SB
и SC (см. рис.). Так как SK = 5, то $Е =
= SF = 5 (по свойству касательных, прове¬
денных из одной точки).
Обозначим АК = a, BE = b, CF = с. То¬
гда Si4 = a +5, SB = b+ 5, SC = с + 5, АС = а + с, АВ = a + Ь, ВС =
= Ь + с. Если S — площадь треугольника, г — радиус вписанной в него
окружности, р — полупериметр треугольника, то г = j.
Используя эту формулу, а также формулу Герона для площади тре¬
угольника, получаем
К задаче 13.153
,/3_ \/5Ьс(5 + Ь + с) / 5Ьс ./? / 5ac -Л -
V3 “ Т+ьТс ~ у 5+ТГс’ V5-y5+7ГТБ' V5+e+
Отсюда следует, что
5 + b + с = | be, 5 + a + с = ac, 5 + a + b = fab.
Выразим из первых двух уравнений b и а через с и подставим
ченные выражения в третье уравнение:
а =
5 + с
с-1'
Ь=^ГТ
3 с — 1
5 , 15 + Зс 5 + с _ 15 (5 + с)2 _
5с- 3 с- 1 “ 7 (с- 1)(5с- 3)
(1)
Уравнение (1) можно преобразовать к виду
9с2 - 8с - 20 = О,
откуда с = 2, и тогда 6 = 3, a = 7.
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
351
Полупериметр треугольника АВС равен а + Ь + с^ю
ша,ь равна VT2777372-6VM. Следователь™
диус окружности, вписанной в треугольник АВС г — вч/П /7
13.154. 1; 32; ^/f. ’ 12 “ V **
13.155. 11; 42; у/Ц.
13.156. И; 36; у/Ц.
13.157. MZ;2v^(v^-l).
Ci
Л
К задаче 13.157
Решение. Пусть Е и F — середины ребер AD и DC (см. рис. а),
а) Так как секущая плоскость а параллельна А\С\ и проходит через
точку Е, то она содержит прямую I, проведенную через точки Е и F.
Если L и К — точки пересечения прямой I с прямыми В А и ВС, то
плоскость а содержит прямые В\Ь и В\К, пересекающие ребра А\А и
С\С в точках N и М.
Отсюда следует, что в сечении куба плоскостью а образуется пя¬
тиугольник ENBiMF. Пусть Р — точка пересечения EF и BD, то¬
гда ВР = | BD = \ у/2, АВ\РВ = ф — линейный угол двугранного уг¬
ла между плоскостью а и плоскостью ABC, tga= соэср =
- -- г _ 1 _ з
\Л+‘ва v L, 8 ■'/17'
с „ V 1+ 9
если S — площадь сечения, Si — площадь проекции этого сечения
на плоскость АВС, то S = где Si = I, так как проекция сечения —
СОЭ ф о 4
Пятиугольник EABCF. Следовательно, S = * • & =
352
СТЕРЕОМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
гмений, проходящих через точку Вг, параллельны»
б>^Тперес«ак>дах ребра АВ к ВС, наибольшую npoejL^
МОЙ А\С\ И Пересе имеет сечение, проведенное через Тп}ь
чения на ПЛ0С ^твую1Цее наибольшее значение площади
рис. б), а соотве равно Ф-
нлошада треугольника В,АС, т.е. р
сечения
(сц.
Равно
Рнс
пусть плоскость сечеииа 0 Р° AD » ™ке В. (с. v
пусть пли тогда EiFi Ц АС.
«) и ребро CP a w 1 BD „ B,Fi н АЕ, =х, т0 CF
Если Pi - Т0ЧКа " Н __ /о _ 1-Х _ 1±х гпр 1~1’
, _ BPl = BD - DP\ - v2 -77 где 0 ^ i ^ 1.
I. „ „м - площадь сечения, oj = oi(x) — площадь
этоГененнГн(а'нлос"кость АВС. Тогда
DP]
проекции
«1 = 1-
(1 - х)2 1 + 2х - х2
о = d
СОЗф
где tg<p - вк=н1- Если s = s(z) - площадь проекции сечения
плоскость AiCiAb то
на
„ . . 1 1- АХ — X-
S = osmtp = Oitgcp = — .
>/5(1 + *)
Задача сводится к нахождению значения хо 6 [0,1], при которой
функция S(x) принимает наибольшее значение. Найдем корни уравнения
S'{x) = 0, где
(2 - 2х)(1 + х) - (1 + 2 - х2)
(1 + х)2
х2 + 2х — 1
(1 +
Уравнение S'(x) = 0, т. е. уравнение х2 + 2х — 1 — 0 имеет на °г?ез№
[0,1] единственный корень хо = V2 — 1, причем S'(x) > 0 при х е >10
и S'{x) < 0 при х € (*0,1]. -пишее значение
Следовательно, S(x) принимает при х = хо наиоольш
Smax. Так как х§ = 1 - 2х0, то
s„„ = аы = '-±П57Г^ =210 = 2(^ '^
V2(l + хо) г
) ~ *>и
Искомая площадь сечения о(хо) равна где
= 1, <р(х0) = ^. smcp(xo) = Следовательно, о(хо)—
= 4-2\/2. Заметим, что о(х0) > ф.
13.158. ЬШ.- 4-2V2.
13.159. 4 — 2у/2.
13.160. Z^Z; 4 - 2>/2-
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
353
13.161. У = ^.а = 2агсзтуй,я = чЛб.
п« in р н и е а) Продолжим 0D до пересечения с окружностью осно
L бонуса в точке Е (см. рис.). Так как OB = OD = 3. О А = ОЕ, а
*/3. то АЕ = О А = АС = ОЕ = 5. _
/АОЕ = я/3,
Пусть ZAEC = а. 1САЕ = $, тогда зта»-^-
диус основания цилиндра, т.е. sina=|
где г = 3 — ра-
Р = л — 2а, sin0 = sina =
Заметим, что Р - угол между
скрещивающимися ребрами АС и BD
(АЕ || BD), а объем пирамиды ABCD
равен
V=-АС■BD
6
psinP,
где р — расстояние между АС и BD.
Так как прямая BD параллельна
плоскости основания конуса, в которой
лежат прямые АС и АЕ, то р равно рас¬
стоянию от любой точки BD до плоско¬
сти основания конуса, т.е. равно §/v, где
/i = 4 — высота конуса.
Следовательно, V = ^ ■ 5 • 3 • | • .
б) Для нахождения двугранного угла ф при ребре АВ опустим из то¬
чек С и Е перпендикуляры на АВ. Они пересекутся в точке Р € АВ, так
как ДАОС = ДАОЕ и эти треугольники являются равносторонними, а
Р — середина АО.
Тогда LCPE = ф, sin® = Щр, где СР = АС • & = &А,
СЕ = 2rsinP = 6
5л/п 5л/11
18
откуда находим
• Ф
зт| =
5уЛ
3 • 5>/з
= Ф = 2агсзт
в) Центр Q сферы, описанной около пирамиды ABCD, лежит на
Defipn* рПепРеСТ"ИЯ двух плоскостей, которые проходят через середины
OnnL и АС и перпендикулярны этим ребрам. Следовательно, точка
оапииларЛеЖИТ прямой ОМ, где М — центр основания конуса, а искомый
Радиус R описанной сферы равен AQ.
__ Пусть Т ~ «редина АВ, тогда TQ _1_ АВ, _ OMt где ОА _
I ~ 4' ОТ ~ ОА ~ = 4. откуда OQ = = 5, QM =
= |0М - 0Q\ = 1, R = AQ = у/AM* + QM2 = V9TT = v/lO.
354
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
13.162. V = ^, <p = 2arcsinyi|, Д = 2^
13.163. V = 2^, Ф = 2arcsin R -
13.164. V = l, q> = 2arcsiny^§, R = ^1.
u 165- и=ф вс=9.CD - *• *=
v Решение. Пусть О —
"“"РЧ*
на ""«кос,.
=-*±С
ры, Oi — его проекция
ABCD, тогда Ох - центр вписав
в ABCD окружности (см. рИс.). пГ
мая SO перпендикулярна плоскости
в которой лежат основания касатель
ных, проведенных из S к сфере, т е
SO -L ABCD. Поэтому SOx - высота
пирамиды. Тогда, обозначив через К,
L, М, N точки касания сферы с АВ,
ВС, CD, DA, получаем, что SK при
проекции на ABCD переходит в 0ХК,
и по теореме о трех перпендикуляра
SK -L АВ. Таким образом, касательные из точки 5 есть высоты боковых
ГраПлощадь треугольника ABS равна а = V91-2:• 3Ж*
= Ж с 2т/6. откуда следует, что радиус вписанной в ABCD окружи"
АВ Голп.—й - 2 так как h = SOx = 2\/5. Далее, треугольник
равен n = y/SK2 -п? = 2, так как я oc/i v _ ^ откуда Я=
SKO - ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ С ВЫСОТОЙ КОХ, ПОЭТОМУ SK - SO! - 1
= cf-tr-WESF-i. вк=вь=
tg^OxAK = 2, tg^OiCT — i '/SC* — SX2 = 4. Заметим, что
= LtBcp+tBADi * 1 поэтому ZOjCi + ZCM# = § =
" ZOlB£ + ^ii?Af а значит, ДО*
+ | BK 5‘ Таким образом, ВС = 5 + 4 = 9, £0 = 4 +
Наконец, заметим
ках SMD и 5ЛГВ пи*70 8 Равных прямоугольных треугольни-
НУ точку я. Слелонят<ГпСОТЫ И3 веРщин Ы и N падают в #
SD равен ZWPju т ЬН°’ искомый Двугранный угол при
»»=«D.mZZ: “
S° v 7т* а sin/LOxDN - 5
4 V 25 l/jP
V55’ то £NPM ~ 2arcsin -it* - оя • PPf
13.166. д=3/г “!'"’-2“csmvS- _
V >• Вс “ 1*. CD = и ф » 2arcain y/jf.
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
355
13.167. R = 4^/f, ВС = 18, CD = f. ф = 2arcsin>/fg.
13.168. Я = 4yf. ВС = 17, CD = f,<f = 2arcsinyj-
7ч/59
104
13.169. 1) arccosf ; 2) 3; 3) 2\оо^'.
d p ш e н и e. Пирамида — правильная. Пусть
7r = ВС = ЛС = 6, 6 = BD = DC = Ш,
aZBCi = ACi, ADAB = ZDBA = $ (см. рис.).
По теореме косинусов из треугольника ЛВСЬ
в котором по условию cos/Л Ci В = 32, полу¬
чаем
,2 . _7_ _ 25
32
161
откуда С
36 = 2с2 - 2с:
= ^. Тогда из AADC sin Р = f =
откуда cosP=§ и по свойству высоты
b=2^P=5-
1) Пусть ф — угол между прямыми ЛВ и
BiCi, тогда ф — угол между прямыми Л1В1
и В1С1, так как Л1В1 || ЛВ.
Из ЛВССь в котором BCi ± CCi и ZBCCi = Р, находим
CCi = acosP=^, тогда DCx = b-CCi = \. Из AB1C1D, в кото¬
ром DBi = | = §, ZCDB = л - 2р, находим BiC\ = Ц + т “ 2 ' I '
•|cos(n-2p), где cos(n - 2Р) =-cos2P = 1 - 2cos2p = ^. Следова¬
тельно, BiC2 = Щ, В1С1 = |.
Итак, В1С1 = Л1С1 = | = J, Л1В1 = | = 3, откуда следует, что рав¬
нобедренные треугольники ABD и Л1В1С1 подобны и поэтому ф = р =
= arccos|. При этом ЛЛ1В1С1 = AA1B1D.
2) Пусть Si — площадь треугольника Л1В1С1, тогда
Si = 5Л1В1 • В1С1 • этф = 5 • 3 • § • 5 = 3.
3) Пусть х — расстояние от точки В до плоскости Л1В1С1, тогда х
равно расстоянию от точки D до этой плоскости, так как DBi = BBi.
Если Е и Ei — середины ЛВ и Л1В1 соответственно, a DDi — высота
в треугольнике DEiCx, то DDX = х, DE = yjb2 - = 4. DEi = ^ =
- CiBi = 2 (DE 1 и CiBi — высоты в равных треугольниках), DDX =
= х = -DCiSmy, где у = cosy = = i siny = Jl - & =
= # = Ш т_ 7 = 21>/39
1? п 2V 1 - 5 Sln Y йо“ •
; пусть V — объем пирамиды A1B1C1D, R — радиус вписанного в
нее шара, S2 — площадь треугольника CxDBi. Тогда
356
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
о/С _1_ = 25^ R = 3’21\/ЗЯ 7ч/з5
Следовательно, 2(Si + Ъ2) 2ъ'J1 4 234 ~ хоГ-
з. л\ 3. о\ 2Ь/39. 7у/39
13.170. 1) arccosj, £) 4. 200 • 208 •
3 л\ о. о\ 21V39. 7\/39
13.171. 1) arccoSji I) о, о) 100 , 104 .
• \ 3. о! 4• Yt ЪШ. 7у^Э9
13.172. 1) arccosj, I) 3, *) 50 > 156 •
13.173. I) arcsinf ; 2) л - arctgv^; 3)
Решение. Пусть О - центр сферы, г = 3 - ее ради7(. _
= В\С\ = а = 5, AD = AlDl = 7. Проведем через точку о пло *
П, перпендикулярную боковым ребрам призмы и пересекающую „СК°СТь
ААъ ВВи ССх, DDi в точках А1, В', С, D' соответственно^^Р"МЫе
Эти точки являются точками касания сферы с указанными прямТ'’
а центр О сферы лежит на отрезке A'D'. Следовательно, A'D' _ЫМи’
Рис.).
метр сферы и диаметр окружности,
А'В'C'D', т. е. D'D' = 2г = 6.
описанной около четырехугольн
дна.
ика
Так как при проектировании
на плоскость П параллельные от¬
резки AD и ВС переходят в па¬
раллельные отрезки A'D' и В'С',
то вписанный в окружность че¬
тырехугольник A'B'C'D' являет¬
ся равнобокой трапецией {А'В' =
= C'D').
1) Пусть ф — угол между пря¬
мыми AD и ВВ\. Этот угол ра¬
вен углу между AAiADi, так как
ВВ\ || АА\. Чтобы найти угол q>,
проведем в плоскости AA1D1D
через точку D прямую, перпендикулярную АА\ и пересекающую АА\
в точке Е. Так как D'A' _L АА\ и D'А! = 2г = 6, то DE = D'A! = б и из
LADE находим зтф = В§ = ф = arcsin fQ
2) Пусть а — двугранный угол между гранями ВВ\С\С и DC\B\ •
Тогда а = ZB'C'D\ так как СС\ — перпендикуляр к плоскости П. на
логично, если р — двугранный угол между гранями AAiByB и АА\ i •
то р = ZB'А'С, причем а + р = л (сумма противоположных углов 4
рехугольника, вписанного в окружность, равна л. Для нахождения
Р опустим из точек В' и О перпендикуляры В'К и OF на основ*
трапеции A'B'C'D' (см. рис.).
Тогда tgp = где А>к = UA'D> _ в'С), A'D' = 6,
В'С’ _ А'ГУ
Вс — AD — 81ПФ,
B'C' = BCs\пф = 5-| = f>
А'К = ±( 6-М) =
OF = <J{B'0)2 - (iВ'С')2 = \]ъ- {тТ = ^'
Следовательно, tgp = %/б, р = arctg а = л - arctg\/6-
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
357
'^TnvcTb V - Объем призмы, S - площадь ее основания, Si -
3) итоапеции A'B'C'D', h - высота призмы. Тогда h = 6, Si =
*£g£.0P.!$.y-4fl.V-8H.
пЫ?тьМ и ^-середины AD и ВС соответственно, тогда МЫ AD,
« ABCD - равнобокая трапеция. Заметим, что A'B'C'D' - орто-
^иалцная проекция ABCD на плоскость П, а прямая OF - проекция
Sl на э?у же плоскость. Так как OF ± A'D', то ML 1 A'D'
Таким образом, прямая ML перпендикулярна двум непараллель¬
ным прямым AD и A'D', лежащим в плоскости AAiDiD, и поэтому
A4L ±.АА\ Отсюда следует, что проекцией прямой AAi и ABCD явля¬
ется прямая AD, а угол у между ААг и ABCD равен углу <р между AAi
и AD, причем sincp = siny = т = §,а^=*^Р = СлеД°вательно*
V = Sh = 7Si
_ 21бТб
— 7 •
13.174. 1) arcsinf; 2) arctg У§; 3)
13.175. 1) arcsin|; 2) n-arctg-^=; 3)
13.176. 1) arcsin§; 2)arctg3) 14^s.
13.177.
25
275'
5 75
72’ 2 '
Решение.
1) Пусть О — центр сферы (см. рис. о). Тогда
отрезки OBi и OAi перпендикулярны соответ¬
ственно граням ACD и BCD и поэтому лежат
в одной плоскости. Следовательно, высоты АА*
и ВВ1 пересекаются в плоскости Q, которая пе¬
ресекает CD в точке Е и перпендикулярна CD,
так как AAi 1 CD к ВВi _L CD.
Кроме того, ЕВ\ = DAlt так как отрезки
FBX и EAi являются касательными к сфере,
проведенными через точку Е.
Так как ОВ\ = OAi = R, где R — радиус сферы, и /.В^ОА = /.AiOB,
то прямоугольные треугольники В\ОА и AiOB равны, откуда следует
что АЕ = BE.
К задаче 13.177
Прямоугольные треугольники ВЕС и SEC равны, так как они имеют
Щии катет СЕ и АЕ = BE, откуда следует, что АС = ВС.
Англогичио, из равенства прямоугольных треугольников BED и
следует, что BD = AD.
Прямая ЕО, образующая равные углы с прямыми BE и АЕ, пересе-
OKnv отРезок АВ в его середине М, причем М — середина хорды LK
Ружности радиуса Я, проходящей через точки Ai, Вь К, L.
358
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
По теореме о касательной и секущей, проведенных к этой
ИЗ ТОЧКИ В, чо lKH°CTt|
1 „Г- nr (АВ . КЬ\(АВ_КЬ\_АВ2~КТ? Ю-Й
BA\ = BK BL= 1-J-+ 2 А 2 2) 4 = 3
4 = 2
откуда BAi = у/Щ-
Пусть АО = ВО = х. Тогда по теореме Пифагора из треугт,
AAiB и А\ОВ находим льчнков
(х + Л)2 + | = Ю, *2 = Я2 +1,
откуда х + R = В = х = \/3.
Заметим, что ME LCD и ME 1 АВ. Поэтому ME - расс
между ребрами АВ и CD. Для нахождения ME воспользуемга .
что АВМЕ ~ AABBi. Тогда = §^-, где ВВу = х + R = ^ - ем’
= Д, BAi = Д откуда ME=-fe.
2) Рассмотрим треугольник СЕМ. Пусть Q и Р — проекции точек £
и О на СМ (см. рис. б). Так как
СМ
= у/ВС*-ВМ* = у/Ц--§ = >/15, EN = -fc, СЯ = Д,
то из равенства СМ ■ EQ = ЕМ • СЕ находим EQ =
Из подобия треугольников ОРМ и MEQ следует, что щ = §$,
где ОМ = у/ОВ4 - ДМ2 = Д — § = откуда О Я = Пусть г -
радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью АВС. Тогда г =
= VB^op5 = v/|TX = ^.
3) Пусть V — объем пирамиды ABCD, тогда V = \BBiS, где 5 -
площадь треугольника ADC.
Так как АЕ = у/ME2 + МА2 = + § = Vl5 = BE, СЕ =
= у/ВС*-ВЕ> = у[&-15 = Д, DE = y/AD*-A& = J25^5 = ^'
то S = IЛЕ(СЕ + DE) = (*То + ^ = f у = I. ^ ^= :¥•
13.178. 4. 2Д. 16.
13.179. т 735 «
75* 4 > 575-
13ш>- 7s- In/!.
13.18!. SA = ^.SD = aJl,R = jA.. „
* ш е VIе \ 1ак как центр вписанной в пирамиду сфеРь,а^т,||Я
«ЖЛ1*'’' Т0 80 Равные угл“ s^-‘
• О, Я5С. Кроме того, из симметрии следует, что Ь
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
359
Проведем плоскость через SD перпендикулярно АВ. Пусть
АВ- кость пересекает АВ в точке С\. Аналогично построим точки
ПЛОс П. А. Яаметим итп Tnpvrnjibuu-
эта
Bi, А\. Заметим, что треугольни¬
ки SDCi, SDBi, SDAi равны, так
как они прямоугольные, имеют об¬
щий катет SD, а углы DSC\, DSBi,
DSAi равны (как углы между SD и
плоскостями ASB, ASC, BCS). То¬
гда SCi = SBi = SAi и эти отрезки
являются высотами боковых граней
пирамиды. Из прямоугольного тре¬
угольника SBC находим его высоту
SAi = 75.
Рассмотрим треугольник ASB. Пусть SA = b, /.ASB — а. Тогда cosa —
= -1. и по теореме косинусов
АВ — у/а,2 + Ь2 — 2obcosa = уо2 + Ь2 — аb. (1)
Так как SCi = SAi = ^ и АВ • SCi = SA- SB- sin а, то получаем
72^а2 + Ь2_ vE = аЬ?5’ °ТКуДа a2+i>2~ ТьаЬ = 1Ь2‘ Полагая ! =
= I, получаем уравнение х2 — 7-х — | = 0, откуда х = 7- + yj\ + § =
= 75 ,SA = b=* = »g.
Тогда из (1) получаем АВ = Так как SB = SC, то А\ являет¬
ся серединой ВС, а из равенства АВ = ВС следует, что AAi является
высотой треугольника АВС, причем
Пусть г — радиус вписанной окружности треугольника АВС. Тогда
r = DAi = DBi = DCi. Из равенства (АВ + АС + BC)r = AAi • ВС,
т.е. + ау/2^ г = §• о\/2, находим г = DAX =
Тогда SD = x/SATTDA? = - £ = e>/f.
Рассмотрим треугольник SDA\. Отразив точку А\ симметрично SD,
олучим точку А2. Пусть радиус сферы равен R. Заметим, что он
равен радиусу окружности, вписанной в треугольник A2SAi. Тогда
(2г + 2SAi)R = 2т • SD, т.е. (a*/f + a>/2) = aJ| • a-J^, откуда R =
г= -«'/З 4 V У V V
т+Т?-
13.182. SA=SD = a^s, R = f&.
360
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
13.183. 5Л = ^. SD = ayf^, Я=т|^.. "" \
13.184. SA = s^r, SD = ayJl, R =
13.185. АХА2 = ^> 02L=itp(L, П) = §, р(Л, П) = 51
Решение. 15
1) Рассмотрим сечение конуса плоскостью ОАВ (см. рис ч
К — проекции точки 02 на ОхАх, тогда ' а)- Пус^
ОхК = ОхАх - 02А2 = 1 - I =
аха2 = о2к = у/охо\ - охк* = уГТХ = з^З
Пусть /.ОАВ = а, тогда sina = так как ОхА = ОА-00 -
= 8-1 = 7. Из треугольника ОАВ находим О В = Л1В = 0А / =
где tg—jJ,. Тогда ОВ-;}, = >£, ЛВ = = JLT. = ШЗ т„ £
/ЦВ = ^ < Л1Л2, то точка Л2 находится на отрезке АХА, а не на
Из подобия треугольников Ь02А2 и Ох02К следует, что
02L 0j02
02А2 ~ Olif ’
где 02А2 = I, ох02 = §, 0ХК =
Отсюда находим 02Ь = А л т0чек
) Пусть л , I/, 0[, 0'2 — проекции на плоскость П (см. Ри<^ ^ (jJ и
- * Uj и 02 соответственно, D - точка пересечения прямых
LOn
СТЕРЕОМЕТРИЙ • ОТВЕТЫ
361
—а д/ _ точка пересечения прямых АВ и VА'. Из подобия тре¬
угольников OxO'xD и 020'2D следует, что
O1O2 - DO2 OlOi
do2
о2о2
0l02 = §, OiOi = 1. 020'2 = i Отсюда находим § - L>02 = 4D02,
DO2 = -DL = 002 + O2L = + j = 5.
Аналогично из подобия треугольников DLL' и D0202 следует, что
4
JJL = т.е. ^ = 4* откуда LL' = §.
OjO, 00а 4 10
Наконец, из подобия треугольников МАА' и ALL' следует, что =
= ЛМ. Найдем AM и ML. Из треугольника L02A2 находим A2L =
= yjL02 - о2а2 = у \ Тб = 4 ■
Так как МА2 = ^ХЛ2 = ^1, то ML = ^.
Далее, AM = АВ - (ВА, + \А,А2) = ^ - (*# + *#) =
Следовательно, АА' = = ff-
13.185. АТ = OiL = 2, p(L, П) = р(А, П) = Щ.
13.186. АХА2 — 4\/3, 0\L — 2, p(L, П) = р(А, П) —
13.187. TK2 = ^,02L = \, р(L, П) = §, р(А, П) = ±&.
13.189. a) ААХ = dv/2, АВ = d(v/2 + 1); б) агссоз -^±М==;
в)Я =
Решение.
а) Пусть AAi = 1, тогда AB=x + d, ВС = х + 2d, ACi = 1 + 3d. По¬
лучаем АА? + АВ2 + ВС2 = АС\, т. е.
I2 + (ас + d)2 + (® + 2d)2 = (х + 3d)2 откуда х2 = 2d2, х = d\/2,
AAi = dv/2, АВ = d(l + v/2), BC = d(2 + v/2).
б) Проведем через середину Е ребра A1D1 плоскость П, перпенди¬
кулярную AiBx (см. рис.). Пусть О — точка пересечения диагоналей
рямоугольника, полученного при пересечении параллелепипеда плоско-
СТЬЮ IX.
и Аг’К Т ^ то Угол АОЕ равен углу ф между прямыми CDi
1. Для нахождения угла ф воспользуемся теоремой косинусов в
треугольнике АОЕ. Получим
АЕ2 = АО2 + ЕО2 - 2АО • ЕО • соэф,
^ AE=yfAA2 + \BC> = y/2±|^d, ЕО = ±СВХ = ±v/AB2 + АА2 =
' 5 Vi+ivl, АО = ±АСХ = у/А^ТаВ^ТвС^ = ^\/ll + 6v/2.
362
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
Итак, 2±§£ = Ш?5 + - 2
откуда Cos(p = ^g^.
в) Рассмотрим систему координат,
в которой Л(0; 0; 0), лучи АВ, Л£> и
ЛЛх — положительные координатные
полуоси.
В этой системе точка Сх имеет ко¬
ординаты (d(\/2+l); d(\/2+2); d\f2).
Пусть Л — радиус каждой из сфер.
Тогда центр первой сферы имеет ко¬
ординаты (Я; Я, R), а центр второй
сферы — координаты (d(>/2 +1) -
(И + +
П'
/ ! Я
* .,0^
*
*
А
*
*
*
*
*
*
*
К задаче 13.189
-R; d{s/2 + 2) - Я; d\/2 - Я). Так как сферы касаются, то расстояние
между их центрами равно 2Я, т.е.
(d(v/2 + 1) - 2Я)2 + (d(2 + %/2) - 2Я)2 + (dv/2 - 2Я)2 = 4Я2.
Полагая 2Я = t, получаем уравнение
212 - d(6%/2 + 6)t + (11 + 6\/2)d2 = 0,
откуда находим .
t (3 + 3y/2)d ± <fy 5 + 6у2
~ 2~ 4
По условию центры шаров лежат внутри параллелепипеда, поэтому
Я < у/2. Следовательно, Я = 3+3v^~V5+6v^ d.
13.190. а) АВ = dy/2, ААХ = d(V2 + 1), Л.Р = d(%/2 + 2);
6)arccos-^^_; в) Я = 3+3ч/з~/5+6—<*•
13.191. а) ЛГ> = d%/2, ЛЛ1 = d{y/2 + 2), ЛВ = d(%/2 + 1);
б) arccos-т-3^ ; в) Я = 3+3^-\^Wl d,
V 171+120v/2 4
13.192. а) ЛГ> = d(%/2 + 1), ЛЛг = dJ%_AB = d(V2 + 2);
6)arccos-2*2^ ; в) д= 3+3V2-y^±6gd
V 34+23 >/2 7 ’
13.193. d = 4, «,«. = И». = (If _ 1бл/2) я. <r,|,
Решение. Пусть rj и r2 — радиусы шаров (считаем,
а = АВ = 6-у/2,Ь = СС1 = б, c = AxDx = 6 + n/2, тогда а ^ д
Рассмотрим прямоугольную систему координат с центро ^ Д0,
и осями Ox, Оу, Oz, направленными соответственно вдоль 0рдина*
ААХ и AD. Если Ох и 02 — центры шаров, то они имею в cJie-
ты (п; rj; гх) и (а —г2; а-г2; а-г2). Из условия касания .2 + (п +
Дует, что 0,02 = (Г1 + г2)2, т. е. (п + г2 - а)2 + (п + г» "
+ г2-с)2 = (п + г2)2.
СТЕРЕОМЕТРИЯ * ОТВЕТЫ
363
Полагая t = rj + г2, запишем полученное равенство в виде
2t2 - 2(а 4- b + с)* + (а2 + 62 4- с2) = 0, т. е.
*2 - 18* 4- 56 = 0.
Так как шары принадлежат параллелепипеду, то
0<гк <2 = ^ = 3-^, * = 1,2.
(1)
(2)
При условиях (1), (2) можно вписать шары в трехгранные углы при
вершинах А и С\ и будут выполняться условия задачи.
Уравнение (1) имеет корни tt = 4, t2 = 14. Но * = п+г2$а =
= 6 - -\/2, поэтому t = 4.
Сумма объемов шаров равна
v = f(ri + га) = т(г* + ra)((ri + г2)2 - 3rjr2) =
• 4 1 £• / ,
= 1£(16 - 3rj(4 - п)) = Ц* (4 + 3(п - 2)2),
*31
откуда следует, что vmin = v(n = 2) = 64л/3.
Так как 0 < гх < § = 3 - то из (3) следует, что
W- V (!) - 4s (“ + 3(1 - Т!)г) > f1 (¥ - Зх/2) = (1?
13.194. d = 9, vmax = (495 — 90т/3)я, t>min = 243л.
13.195. d = 13, w = (*f* - 182ч/П)л, vmi0 = Црл.
13.196. d = 14, tw = (Цр - 224v/2)n, omin = Цй!я.
13.197. a = Д ctga, 5= c=f^, v =
° l-ema’ 2-sma* 3
Vmi„ = 2Л3.
Л.
(l+sina)a .
(2—Bin a) Bin a’
Решение. Пусть Ai, Вi, С2, A2,
Di, C2 — точки, в которых сфера ка¬
сается ребер ВС, АС, АВ, AD, BD и
CD соответственно (см. рис.). Тогда рас¬
стояние от центра сферы О до каждой из
этих точек равно R, а отрезки, соединяю¬
щие точку О с точками касания, перпен¬
дикулярны соответствующим ребрам. Обо¬
значим ВС\ = а, АСх = Ь, DDx = с. То¬
гда В Ах — BDx = о, АА2 = АВх= СВх=
~САх = СС2 = 6, DA2 = DC2 — с.
Из равенства прямоугольных треугольников ОВАх и OBDi следует,
что Z.D\BO = a.
Так как ВВХ1 АС и DBX 1 АС, то плоскость BDBX перпендику¬
лярна плоскости АВС. Поэтому высота h пирамиды, проведенная из
вершины D на основание АВС, равна высоте в треугольнике BDBx,
опущенной на сторону ВВ\, причем
h = BD sin a.
(1)
364
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
I) Найдем отрезки а, 6 и с. Из треугольника OBD, Ня»Л
= Rctga, т.е. а = Bctgct. aX°AH*B0j;
Из треугольника ABBi имеем b = ABi = BB,teo
= ОВ\ + ОВ = Д + тогда b = R (tga + т е 1 ГДе Bfi,
b = R
1 + sin a д 1 sin^a Д cos a
cos a
cosa(l — sin a)
1 -
sin a
Для нахождения DDi = с выразим DBi из прямоугольного топ
ника ADBi и по теореме косинусов из треугольника DBB, р уголь-
Так как ВВ? = AD2 - АВ\, где AD = DA2 + АА2 = ь + с Ла
Т° DB2 = (6 + с)2 - 62 = с2 + 26с. 1
(2)
Из треугольника DBB\ находим
DB2 = BD2 + ВВ2 — 2BD • BBi cosa, ^
где BD = ДА + £>£>i = a + с. Обозначим d = ВВЬ тогда равенство (3)
примет вид
DB2 = (а + с)2 + d2 - 2(а + с) d cos а =
= о2 + d2 - 2adcosa + с(с + 2а - 2dcosa),
где а2 + d2 - 2adcosa = АД2, т. е.
DB\ = АД2 + (? + 2ас — 2adcosa. (4)
Найдем отрезок BiA из треугольника ОАА. в котором OBi = OD\ =
= A ZAOA = f + а (это внешний угол в треугольнике АОД)-
Тогда А А = 2jRsin(j + §),
А А2 = 4B2sin2 f- + -) = 4д2 1-008 (§ +.g)t
\4 1) 2
т.е.
(5)
АД? = 2А2(1 + sina).
Из равенств (2), (4) и (5) следует, что
26с = 4В2(1 + sina) + 2ac — 2adcosa,
где d = ДА = R(1 + jjb), a = Rctga, 6 = 0тсюда НаЙДеМ’
с =
Л cosa
2 — sin a
2) Найдем объем „
а ^ьника ЛвГГ ABCD по формуле t/ = *5Л, где 5'
—л- Л опРеделяется формулой (I), = * + в:
2-sino ’
S = \АС • BBi = 6d = д2 (l + einajL.
2 (2-sin a) sin a
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
365
^Нахождение наименьшего значения объема сводится к нахождению
именьшего значения функции /(*) = на интервале (0; 1); здесь
(s sina. Так как
№■
. + (-!) = ацйётИ'
уравнение /'(*) = 0 имеет на интервале (0; 1) единственный корень
tv£ причем /40 < о при t € (0; \) и f'(t) > 0 при t € (£; 1).
Отсюда следует, что наименьшее значение на интервале (0; 1) функ¬
ция /(f) принимает при t = Тогда соответствующее значение а равно
» LABC = §, а наименьший объем ит;п = §Д3/ (5) = 2Д3.
6
13.198.
Vmin = 2Д3-
13.199.
Vmin = 2Д3.
13.200.
Vmin = 2Я3.
13.201.
D, ft » и Р _ R sin ft 2Д3 (1+соа
о — iZtgp, О — iictg2, С 2—cos8 * V 3 (2-С08р)
о = Д ctga,
„ Я сова
2—sina’
3 (2—со8р)совР’
2Я3 (1+sina)3 .
v 3 (2—sin a) sin а’
0 = ЛТг2Э, 6 = fl«g|J, с=Й£|.
КО _ о р _ \ЯП ; _ 19
DO — ’ П “ 1275’ 12-
Решение. Проведем через середину Е ребра 5С плоскость П, пер¬
пендикулярную SC (см. рис.).
Пусть L и N — точки пересечения 5
плоскости П с ребрами SD и SB соот¬
ветственно. Тогда центр О сферы явля¬
ется точкой пересечения прямых KD и
LN. Пусть ZDSC = ф, ZSBD = a, Q, Т
и F - проекции точек К, S и О на плос¬
кость ADCD.
Тогда SL = = -Bs = 1/3 1
cos<p 2 cost? 2\f 2cos<p-
По теореме косинусов CD2 = 2SC2 —
- 25С2созф, т. е. 1 = 3(1 — соэф), откуда
cos ф = ^, SL = SN = | BS.
из ABST находим cosa = §|, где ВТ = ^ = 2^, BS = JI, откуда
cosa = -L V *
V3'
ти °rfe3K°‘ко и °°■»такж* дл»"ь' от-
ко _ KN UD' Из подобия треугольников SNL и SBD следует, что
05 nb>tbs KN = SN - SK = \SB - ±SB = ±SB NB = ±SB Сле¬
довательно, £2 = 2 2 ’ 4 ^ле
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
366
По теореме косинусов KD2 = КВ2 + BD2 ~2Кв~~Вв—
К*= (I v/f / + ^ ^ = I + 2 - |^
откуда KD = OD = \KD = -^5|L 3J>
4v2 ^ 12v2
2) Пусть R=OS — радиус сферы. Найдем Л Из тп
по теореме косинусов: тРеугольцИка ^
S02 = SW2 + JV02-2SAr NO cos а,
где 5ЛГ = 2 , ЛГО = §RD = § ч/2. Следовательно,
1_27
7з
= 21 + 8 _ 1 _ 211
32 ' п 1 —
32-9*
о У2П
откуда R = ^2-
3) Пусть М — основание перпендикуляра, опущенного из точки О
на прямую CD, СМ = х. Тогда длина отрезка, отсекаемого сферой от
прямой CD, равна 2х.
Из треугольника ОСМ по теореме Пифагора имеем R' = OM2 +
+ х2. Так как OF — перпендикуляр к плоскости ABCD и ОМ 1 CD,
то FM 1 CD и FM=^. Из треугольников OFM и OFD по тео¬
реме Пифагора находим ОМ2 = OF2 + FM2, FD2 = OD2 - OF2, где
0D=T§k’ 0F = iST- ST = y/BS^BT2 = = l => OF = \,
12\/2 ’
rn2 _ 43 1 _ 5 FM"1 FD* 25 DM2 — (—\2 -L JL г1 =
* U — 2Л2* 16 ~ 12^1’ — 2 ~~ 24*’ \24/ + 16’
16
2
25 1 _ 361
12*^4 16 24*'
КО — О P — v^Tl i _ 19
co — Л — , l 6 •
коо — У5П i = IS.
= Я2-ОМ2 = ^-
ko _о p _
rvo Z, Л —
25
24*
X =
19
24
2x = —
ZX — 12-
13.202.
13.203. i£Q-o r>
Ao — R= ——
13.204. m~o n
BO *. Л = Х±П ^ 19
13-205 а/г-л лт 3v^’ ~ 3 '
Решение йт^'05'7'*0-^-
aeteTH“e “ SA- SB‘ SK » « <«. *
и cr % ННЫм из Центра сфеоы п т’ РЗВНЫ и перпендикулярны радиусам,
Точки 7 £авные пРямоугадьныетпЧКИ л< В' к' L’ ™ ЛЮ. 5&. SK0
ку л/с ол ^^ лежат в плоскплРеуГ°ЛЬНИки с общей гипотенузойS0-
принял п*^ И пеРПенДикуляпнпй сД’ проведенн°й через некоторую то4-
ка ЛлТ7/^7КружностиУ(см оис5м' °НИ равноУдалены от Т0ЧКИ М *
okdv»^ ^ ~ дентр эТОй п р” • описанной около четырехуголья*
пГт,СТИ Равны> w д Гя 4?УЖВ0СТИ>- Тв^ «к хорды л/и **
тип? ' - радиУс опис1^И “ равнобокая трапеция.
серединЫ°У/Жности. описанной Т°Л° трапеции окружности (он РвВ
редины А1ИВК h данной около треугольника АВК), Ей?'
ВЫс°та трапеции.
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
367
= \/лв2 - ! '/®ri‘ “•
Jjf + (BK±ALj2 _ ./16 + 16 = 4ч/2, г = лвв*алк.
К задаче 13.205
Пусть JV — середина АВ, di, di, di, d4 — расстояния от точки
М до сторон АВ, ВК, KL и LA трапеции ABKL. Тогда dx = MN =
, = /10^5 = A <1, = = ,/Ш^9 - 1. d, =
= di = V5, = \/r2 - (^) = V10 — 1 = 3.
2) Обратимся к рис. а. Так как ОВ = ОА = R, где R — радиус сферы,
а JV — середина ее хорды АВ, то ON _L АВ. Аналогично, из равнобед¬
ренного треугольника ВМА (см. рис. б) следует, что MN ± АВ, поэтому
АВ — перпендикуляр к плоскости OMN.
Прямая MN лежит в плоскости ABKL, которая перпендикулярна
SO, откуда следует, что MN A. SO. Так как АВ — перпендикуляр к
плоскости OMN, то ON — проекция ОМ на плоскость АО В (т. е. на
плоскость ABCD) и ON — ортогональная проекция OS на плоскость
ABCD.
По условию прямая SO образует с плоскостью ABCD угол, равный
arccos|, и поэтому ZNOM = arccos| = а, откуда cos а = |, sin а =
Из прямоугольного треугольника ONM (Z.OMN = |), в котором
MN = У5, находим ON=^=3, ОМ = s/ON2 - MN2 = 2, а из пря¬
моугольного треугольника О AS (ZQAS — прямой), в котором ОМ =
— 2, AM J. SO, SA _L О А, О А = yfON2 + N А2 = у/9 + 5 = \/14, нахо-
ftHM S0 = mr = T=7-ТогАа SA = VSO2 - АО2 = ^49_- 14 = V35.
Пусть Si — основания перпендикуляра, опущенного из точки S на
плоскость ABCD. Тогда SSi = SO sinct = 7 • ^ = ^1.
•АВрг?Т0^Ы На^ти вычислим расстояние от точки L до плоскости
D. Пусть Li и Li — основания перпендикуляров, опущенных из
368
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
точки L на плоскость ABCD и прямую АВ. Тогда LL 2s—
площадь треугольника ABL, S2 = \АЬ -/1 = 4 (См р '£§, где ^
LL* = Тъ-о С' а)’ И
Пусть р — угол между плоскостями ABCD 1
P=|-a = ZLL2Lb Для вычисления SD воспользуе!^- т0Гла
а). Тогда Ш = У Мся *
SL IS^trr. гДе
A55iD~ALLiD (см. рис.
Ы\ - Lb ■ cosa = 75 • § = 375. 5Д = SA = ,/35.
Следовательно, 5D = \/35 • —
7>/5-
_ 35\/35
27
75
13.206.
13.207.
сп 6750
Тб9~-
13.208.
во-ЧР-
13.209.
у — м
21 ■
АК—1\/2, OS = и^Д
АК = 14>/5, OS = i5
Л’
АК = 10, OS = 14V2,
arccos §, arccosf, К=2,
Решение. Пусть F и р
К задаче ,3.209 ДИНЫ реб JCD соответГт2
которым сфера ш пересекается граня мТая^Л2^ °“РУ»и, по
Тогда шх касается AD и ВС в точках М к N л соответственно
А5 и BS в точках к и т очках М и Я, а со2 касается отрезков
Так как ?л * ИЬ И пересекает АЯ в точках Р и Q.
высота пирамиды П^™НД"КУЛЯР к плоскости ABCD, то SH = h-
вий AD II ВС AD и ВГ _ЦСНТр окРУжности сох. Кроме того, из уело-
MN - диаметп зтпй ° касательные к окружности оц, следует, что
Пусть О' нРр™ окРужности- перпендикулярный AD и ВС.
О' - цеНто пкп ~ проекции точек О и Я на плоскость ABS, тогда
AShBS треугольник?AS? У™ *** Т*3 °' РавноУдалена от СТОрг!!
ASB а точка F'rn К3 ABS' Т0 точка 0 принадлежит биссектрисе ума
= Bo\ZLWMT с “Р«»"0Й Е отрезка АВ. AS = Ю, № *
лежит между А и ^СИММетРична относительно 5Я (на рисунке точка ?
AmL РАК = Тв^~тГлгАК' SKz=sl> AS = BS, BL = BN следует.
(АГЯ 1 ВС н MiV 1 аЬ)°ЭТ0МУ ЛВ '* MN’ 3 ABCD “ прЯМ0УГ°
= 7 = t. AM = AK = BL = BN = а. Так как ^
2^o - 2Я5 = |(>15 _ n „ ро_з5 ито^а
из равенства *1 - EQ ’ AS За’ П° Условию ~
АЕ ав следует, что РЕ = QE = ^t.
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
369
к окружности (1)Х теорему о касательной и секущей, прове¬
денных из точки А, получаем
АК
= у/АР AQ = у/{АЕ - РЕ)(АЕ + EQ) =
= ч/ЛЕ2 - РЕ2 = yjt* - £t2 = Ц,
откуда находим о = cos /.SAB = li§ = it = 9-
2) Пусть ASBH = a, тогда AS АН = a, cosa=^f, где AS = За. ЛЯ =
= УЛ7Я2 + ЛЛ^ = у/АЕ2 + a* = = -у/(|а)2 + а2 = f, откуда
находим cosa= |. _
3) Объем V пирамиды SABCD выражается формулой V =
= ±ЛВ • АВ ■ SH, где SH = h = у/AS2 -АН2 = ^(За)2- (^)2 =
Для вычисления а воспользуемся тем, что ASOK ~ AS АН. Получим
ок = ан где ок = 1|, SK = AS - АК =_За - а = 2а, АН = Отсю¬
да находим SH = ^ • 2а • = f а2 = ^а, а = ^, h = 2.
Найдем стороны прямоугольника ABCD. Из равенства треугольников
SOK и SON следует, что AOSK = AOSN, поэтому ASEH = ASNH.
Тогда AD = ВС = ЕН + HF = AM + АН = о+ j = у = -^=, АВ =
— Of — 8a _ 8 у — 64
- И — з — , V — 21 •
13.210. ZSAB = arccos , ZBSB = arcsin±i, h = 8, V =
13.211. ASBA = arccos ASAH = axccos-^, h = 3, V = 2^5.
13.212. AS В А = arccos 2^2, AASH = arcsin |, h = 6, V = 28>/l4.
13.213.
Решение.
1) Так как MN — средняя линия в треугольнике SBC (см. рис.),
то МЛГ = iBC = 1, откуда следует, что BN = МС = 3MN = 3, SB =
~ ^ ~ ®. Пусть Е — середина ВС, ASCB = a, Bi — радиус окруж¬
ности, описанной около треугольника SBC, Ог — центр этой окруж¬
ности. Тогда Ох € SE, SE = yfsc2 - (iBC)2 = УЗб^Т = >/35, sin а =
^ SS _ з/35
SC — 6
Я, =
_ 18
2sina 35 ‘
явп^ентр0м °2 0КРУЖН0С™» описанной около прямоугольника ABCD,
ляется точка пересечения его диагоналей, а радиус R2 этой окруж-
cihwvu РЗВеН ~ те' ^2 = ^коло пирамиды SABCD можно описать
Kvn™ так как пеРпенликуляр к плоскости ABCD в точке Оа и перпенди-
чеоеч К плоск®сти BSC в точке Oi лежат в одной плоскости, проходящей
точку Е и перпендикулярной ребру ВС. Точка пересечения этих
370
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
fjl V
перпендикуляров является центром сферы, описяйТ^ —
SABCD. Ннои около Пц
Радиус R этой сферы не меньше наибольшего из и РаМиДц
плоскость SBC расположена так, что точка О. Леж ЧИсе''1 и д
к плоскости ABCD в точке О, ПерПеНдик. н
* ноудалена от асах верш„н ди^дыТх g.
довательно, в этом случае радиус SABcD, и рав‘
пирамиды сферы будет наименьшим °ПИСанн°« ош
как R > Rlt R > д2) д < з им5 и равным д, ;ло
= ^ ^Г). Итак.
2) Пусть Оу02 = Л, F _
плоскость ЛВСД тогда SF = я ЦИЯ Точки S »,
пирамиды (см. рис.). Если Д = д' ГДе Я " высот,
0102 ± BF. Из подобия треугольников 1 Ёр и
следует, Что ф = О о Г
= Л?-Д2 = ^_ 5= 1121 с_ __1Л -0*АК
^ °1Е=И-
SF = H = ^./Jm- 35 yW
17 V 740 34 у ~35 "
Искомый объем пирамиды V = Ад,# где 9 -9
площадь прямоугольника ABCD. Следовательно,
т/ 2 35, /Ц2Г 35 /п|1.
V = з • 34 V 35 51 V 35
13.214. Длин = У =
13.215. =
13.216. Лпш, = ^. ^ = fr\/W-
13.217. l)arccosi;2)^;3)3|i. д _ pac-
Решение. Пусть <p — угол между прямыми АС " • оПИсанной
стояние между этими прямыми (см. рис.), R — радиус с<’ едИИа $'
вокруг пирамиды ABCD, AD = BD — АС ~ ВС — о., ^ и д#£>
СК= DK = h. Так как DK 1АВ, СК X АВ, а плоскости А+ сК»,
ортогональны, то СХ ± DK и по теореме Пифагора D
т. е. 4 = 2Л2, откуда Л = %/2. „япаллельная
1) Пусть 1Х — прямая, проходящая через точку С и Р^ точК
h — прямая, проходящая через точку В и параллельная
пересечения прямых li и 12. ^
Тогда дCDBE равен ф или л - ф. поЯмой
Так как проекция КС наклонной CD перпендикуляр ^ ^ || А '
по теореме о трех перпендикулярах CD -L АВ и т0Г^ __ pn =s 1. ^
a ZZ?CB = 2. Из треугольника СВВ, в котором СВ —
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
371
2 находим DE = VI + 4 = V5, а из треугольника DBK имеем BD =
jpf(T+ вкг = у2 + з = |. Тогда BD = АС = BE = а из равно¬
бедренного треугольника DBE следует, что sinf = ^ cos<p =
— 1 — 2 sin21 = — э • Искомый угол между прямыми АС и BD равен
arccos 5.
2) Пусть V — объем пирамиды ABCD,
тогда V = \-\AB-h-h, где АВ = 1, h =
= v/2, откуда V = |. С другой сторо¬
ны, V = \АС ■ BD ■ rsinqp, где BD = AC =
= §. sincp = ^/l-& = *#■ откуда \ = т-^,
3) Пусть О — центр сферы, описанной око¬
ло пирамиды ABCD, 0\ — центр окружно¬
сти радиуса р, описанной около треугольника
АВС (см. рис.). Тогда точка О лежит на пер¬
пендикуляре к плоскости АВС, проходящем
через точку 0\, О А = OD = R.
Пусть 00\ = |х|. Тогда если точка О лежит в той же полуплоскости,
что и точка D, то х > 0 (в противном случае х < 0). Найдем р из А АВС.
Если Z.CAB = Z.CBA = р, то р = где sinP = -fa, откуда р = 4^ =
= Из AOAOi находим Я2 = р2 + х2, а из ADOF, где F е KD и
OF 1КD, получаем
R2 = (h±\x\)2 + K02ly где К02 = р2-(^)2 = р2-!.
Отсюда получаем
h2 ± 2\x\h + х2 + р2 — з = р2 + х2, N = ^5 (N>0).
Тогда R2 = р2 + |х|2 = H±il = m = §5 о _ VH
13.218. 1) arccos2) 3)
13.219. 1) arccos^; 2) 3)
13.220. 1) arccos §; 2) 3)
13.221. 1) % 2) % 3"б.
Решение.
1) Так как точки К, L, М делят отрезки А^В, В\С и C\D в отно-
ении 3 :1, то расстояние от каждой из этих точек до плоскости ABCD
Чей*10 "4”’ ГЛе ^ ~ высота призмы, и поэтому плоскость П, проходящая
ерез точки К, L, М, параллельна плоскости ABCD.
BR ' ^/’ ^ ~ точки пересечения плоскости П и ребер АА\,
ь CCl и DD* соответственно (см. рис.), Р, Р' и Рг - середины
D
372
СТЕРЕОМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
ребер AD и A'D' и A\D\, В2 — проекция точки В' на л»
= <р. Тогда А'В' = 2, А'В2 = 1, cosqp = 1/2, ф = п/я Л ' ^В'А'ъ
л = = /3'высот>^
Найдем KL из треугольника KB'L, в kotodom ьгъ, "
= 1/2, B'L = (тВ'С’ = 3/2, /LKB'L = 2я/3. По теоремГ
KL2 = \ + ! - 2 • М (-А) = 13 Р КОСНнУсов *
откуда JTL = -/13/2. 4 *
Из равенства треугольников KB'L и LC'M ел*™*,.
/.C'LM - AB'KL, поэтому /LKLM = Z.KB'L=: 2п/3*Т' ЧТ°
Пусть Й! - радиус круга, описанного около Toevm-
тогда 2Й1 = AX/sin §, так как ZLMK = Z.LKM = лМГ°гЬНика *£Аг
iii = КХ = уТз/2. /Ь' Сле«°ватеЛь„0;
2) Заметим, что ХР' = + (В> В2)2 = + (А1 В')2-(А1 В2? =
= ^1+4^=^, (ЯР')2=4+|-2-2-|.А = И (MP')!»4+i'
~2_2'2'2 • 5 *= откуда ХР' = Ар' e МР' = ^1.
падае?ПочТо7Рр°'ПИпСпГОЙ °К0Л0 угольника *ХМ окружности^
центг) О „LI Р' пРиналлежащей грани AA\D\D призмы. Так »
пуляркой плп Лежит На нрямой, проходящей через точку Р' и перп
Пусть т1°™ КШ' то точка О лежит на прямой РА- пя
= ОР' Иа ТГ, РаССТ0ЯНие от точки О ДО ПЛОСКОСТИ KLM- о -
= 2Лр, Р УГ0ЛЬНИКа ОР'К' 8 котором ОЙ = Д = 2, КР1^
2 ’ * Нах°ДИМ й2 г= X2 -I- Bf, откуда
ж2 = 4 - м = 3 _ _
4 4* л — 2 ■
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
373
о\ для нахождения высоты Я призмы выразим ВО2 из прямоуголь-
и* тоеугольников ОКБ (ОК 1 КВ) и ОВР (OP J. РВ). Из треуголь¬
ника ОКБ получим ВО2 = R2 + ВК2, где
**-(*)а + (¥)а,
^q2 _ 4 + I + у2, где у = ". Из треугольника ОРВ имеем
ВО2 = ОР2 + РВ2,
OP = OP' ± РР' = if ± у,
РВ2 = (Р'В')2 = (2P'A'sin|)2 = 4,
ВО2 = 4 + у2 + 2 ± у v/3.
Из уравнения , , , , /-
4+i + y2=4+f+y2±y\/3
находим (нужно взять знак минус) у = Н = 4у =
Пусть S — площадь основания, У — объем призмы. Тогда S =
= ±(ВС + AD)h = 3V3, V = S • Я = 6.
13.222. 1) 2^1; 2) 3) 3\/3.
13.223. 1) 2) 3)
13.224. 1) 2) 2^1; 3) 3^1-
13.225. LD = 9, Я = 3\/3, а = arcsin y/Z/28.
Решение. Пусть ХК = a, XL = b. По теореме Пифагора из тре¬
угольников ХКС, XLC, XKD и XLD (см. рис.) находим ХС2 =
= а2 + 4, ХС2 = 62 + 49, XD2 = а2 + 36, XD2 = Ь2 + LD2, откуда по¬
лучаем а2 — Ь2 = 45, а2-Ь2 = LD2 - 36, LD2 = 45 + 36 = 81, LD = 9.
2) Из прямоугольных треугольников ХКА и XLB следует, что
ХА2 = а2 + 64, ХВ2 = Ь2 + 25, где АХ = 2ХВ. Поэтому 4ХВ2 =
= а2 + 64 = 4(Ь2 + 25), откуда а2 — 4Ь2 = 36, где а2 = 45 + Ь2. Тогда
45 - ЗЬ2 = 36, b = V3, а = ч/45ТЗ = 4л/3.
Если AM — Н — высота пирамиды, опущенная из вершины А, то
Я — расстояние от точки А до плоскости BCD. Так как АВ = ЗХВ,
374
СТЕРЕОМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
, расстояние от точки X до плоскости BCD равно .
AM = Н ~ 36 = 3\/3.
3) Пусть а - угол между АВ и плоскостью BCD. Тогда 5та==4Аг
W АВ = 3 ХВ = 3 \/XLW = 3VT+25 = 64/7,
То
ojf
-fS'i
откуда
sin а =
п _
/7
= \/Й. а = arcsin \/~
13.226. И, 5\/3, arcsin ^/12/61.
13.227. 9, §л/35, arcsin т/35/156.
13.228. И, Ю\/2, arcsin-^/2/3.
13.229. 6; f
Решение. Пусть АВ = ВС = АС = 26, SC=h
OAi = OBi = OCi = R (радиус сферы), E и К -
проекции точки О на прямые ВС и SC соответ¬
ственно, ОЕ = х (см. рис.). Тогда КС = ОЕ = х
SK = h — х.
Так как ОЕ ± АВС и ОВ\ ± АВ, то EBi 1 АВ
(теорема о трех перпендикулярах). Аналогично,
ЕС\ -L АС. Прямоугольные треугольники OCiE и
OBtE равны (ОВх = ОС\ — R, ОЕ = х — их об¬
щий катет), откуда следует, что В\Е = С\Е. Из
равенства прямоугольных треугольников ВВ\Е и
CCiE (ZB = ZC =\, BiE = CiE) следует, что
BE = СЕ = \ВС = Ь. Тогда ВВ\ = ^ (ZBEBi =
= |) и ВВ\ = СС\ = |. Из равенства отрезков ка¬
сательных, проведенных к сфере из точки А, следует, что АА\ = АВi =
= §Ь = 6.
Для нахождения х и h выразим SO из прямоугольных треугольников
SKO и SOAi. Так как ОК = СЕ = Ь, SK = h — х, то
SO2 = (h — х)2 + Ь2,
SO2 = ОА\ + SA\ = К2 + (SA - ААх)2,
К задаче 13.229
где R2 = ОЕ2 + В\Е2 = х2 + U2, SA = s/h2 + 4Ь2, АА\
получаем уравнение
Отсюда
или
х2 + Л2
откуда
(Л - х)2 + Ь2 = х2 + |Ъ2 + (у/К2 + 4Ъ2 - р)2
-2xh + b2=x2 + р2 + h2 + 4Ь2 + р2 - 3Ьу/& + &’
х=Ш(у/к2 + 4Ь2 -2Ь).
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
375
Если
ь = 4, h = 15, то * = ^(^225 + 64 — 8) = |(17-8) = ^,
R=Jx> + W2 = y/W + I •16 = §^ГТ75 = | V39.
13.230. т; i;
13.231. 12; f;
13.232.
15.
2 ’
1
5- ^5
°i 2
3
13.233. 575; 75;
arcsin
5'
Решение. Пусть j4i.BiCi.Di — четы¬
рехугольник, полученный в сечении пира¬
миды плоскостью П (см. рис.). Так как
SA — перпендикуляр к плоскости П, то SA ±
ArBi, SAlAxCi, SAlAiDi.
1) Из равенства прямоугольных треуголь¬
ников SA1D1 и SA1B1 следует, что А1В1 =
= A\Di, SBi = SDi и поэтому B\D\ || BD.
Так как К — середина основания BiD\ в
равнобедренном треугольнике D\A\B\, то
А\К 1 BiD\ и А1С1JL BiD\, а искомая пло¬
щадь сечения о = \B\D\ • А\СХ.
Из подобия треугольников SB\D\ и
SBD следует, что BXD\ = \BD = 1.2 = 5,
а из подобия треугольников SAiK и SAO
следует, что ^ = |%, где 50 = 2, SK = \SO = \-2 = \, SA =
= \М02 + 502 = \/1 + 4 = л/5, поэтому 5j4i = 5 • 2 • = А-, AiCi =
К задаче 13.233
= 5A1tg2a, где a = Zj450 = Z05C, tga = = §, tg2a =
575’
поэтому = -A
0= 1.1. 4 _ 1
2 2 575 375'
2) Пусть p — расстояние от точки D до плоскости П. Тогда ~
ПП. лг/ _ Ml
- DD\
~ = Ш = 3, откуда р = 3 • SAX =
3) Пусть ф — угол между плоскостью П и прямой SD, т. е. это
Угол, образуемый 50; и ее проекцией AiDx на плоскость П. Тогда ф =
® Z5z?i^b cos<p = ^ = sin2а, где 2а = Z.ASD. Так как sin a = ^ =
_ ^2 * 4
~2^ = 7Г ^ —
- arcsin 1.
13234 575: 7s•»arcsin5-
13235 575'
13,236, з75; 75'* arcsin |.
7П)’ cosa ~ 7То> то sin2« = 2 * w ~ I' cos<P = f. вшф = ф =
376
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
Зу15
14 '
13.237. fy/fifv/f;
Решение. Пусть О — центр сферы, Сх н Е
сферы с ребрами SB, SC и ВС соответственно (см ои7\Т°ЧКи кася
проходящая через точки В\, С\ и Е и полученная пои ^кРУ>кн Ия
плоскостью SBC, вписана в равнобедренный TDevr« "еРесечении са4'
середина ВС. тРеугольник BSCt
1) Пусть D - центр ЭТОй о. ’ "
DE — г — ее радиус. Тогда OD 1 &*Н°Стн, а
расстояние от точки О до ПлпZSBC'°bl
OD = SDtga, где а = ^ASE, SD°~LBSc и
" ‘-’•С — £)£
S£=V^7r(¥jI=v7r7=^
£>£ = Г = -§£SB_ _ J/jT * '
SD = __ 2^15
Для нахождения величины сова воспой
ся теоремой яосииусо. я треугольник
Так как АЕ = SE = ^, AS = 2,
-Г7*
то * =
cosa, откуда cosa = ^j=,
К задаче 13.237
= 4 + ^ -2-2- Ур
s*na = 2^’ Следовательно, 0D =
— 2л/15 УТГ __ 2 /зГ
5 7 -тут-
2) Пусть Р и (? - проекции точек О
Гпя пр н ° соответственно на плоскость АВС, то-
Д ор Расстояние от точки О до плоскости АВС. Так
как где Л0 = м45-50 = 2-^ =
= ^ = ^’Л5==2. то ОР=уй.2.1 = 1уД.
23^ЛУСТЬ Л - радиус сферы. Тогда Я = VOD2 + DE2~, где 0Д =
~ iy¥< DE= MI, Следовательно, Я = i = MI.
13-238. p(0, Л5С) = | p(0) ^c) = i Д. л = M.
13-239. Р(0,Я5С) = m ABC) = ; Я = *#•
13-240. p(0, ASB) = *p(0, ЛЖ7) = 4f5; Я =
13-241. >(0,ABC) = ±^p(0fADC) = ^R=>41- ^
МИДЫ Яд!?/? и лдТгЬ Ль Я - точки касания сферы с Р^Р^^ная
в сечении сЛепы nf соответственно (см. рис.). Окружность, n°f/Agff в
точках Лт В и Р 0СК0СТЬЮ касается сторон треугольни дИна
Ь И Е и вписана в этот треугольник, причем Е - се^
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
377
= SB). Если L — центр этой окружности, а г — ее радиус, то
lE = г- где _ ab-se _ 1 • \JA~ 4 _ Vis
г ~ 2AS +АВ 4 + 1 10 '
Центр О сферы лежит на линии пересечения плоскости CDS с плос-
стью, перпендикулярной отрезку A^Bi, в его середине. Поэтому точка
О лежит на прямой SF, где F — середина CD, a OL 1 ASB. Покажем,
что точка О лежит на отрезке SF.
Пусть Z.ESF = а, тогда sin§ = ff, где К — середина EF
(5# - высота пирамиды), ЕК = \, SE = \jSA2 - (Af)2 = \ =
sinf = соз§ = У5- cosa = 2cos2f — 1 = Ц, sina = ^p.
Так как SL = SE - г = & - & = \ Vl5, SO = ^ • if =
_ 1 to SO < = SF, поэтому точка О лежит на SF.
1) Пусть 0i — проекция точки р
О на SK, х — расстояние от точки
О до плоскости АВС, тогда OiК =
= i(O0i || АВС).
Так как
SK = JSE*-EK‘ = j4-i-Jl,
SO, = SO.
то 0!К = SK - SO! = 41 - =
= _ 1 гг
26 - 13 V 2-
2) Пусть у — расстояние от
точки О до плоскости ASD, z —
расстояние от точки Oi до плос¬
кости ASD, тогда у = z (001 ||
ASD). Но точка Oi равноуда¬
лена от всех боковых граней пирамиды, поэтому
°снование перпендикуляра, опущенного из точки Ох на
° 6 5F). Из треугольника SOiM находим 0iM = 50isin§ =
3) Пусть R - радиус сферы, тогда R = OE = y/OL2 + LF2, где OL =
^ SO ■ sin a = . 2^14 _ 12>/П tip — r — УЦ
r 13 !5 13-/15’ 10 •
Следовательно,
у = OiM,
точки Oi
где
на
+ i_ Зу/7
т 20 ~ 26 •
Д - ./121214
Л V 13-13-15
13.242. р(0,АВС) = р(0,ЛВ5) = £^/Й°; д = S$I.
378
СТЕРЕОМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
13.243. р(0, АВС) = р(0.5С5) = тт Д = 1*21
13.244. р(0, ЛВС) = р(°’CDS) = я =
13.245. a) VmaAiBiB : V = 2 : 3; б) МС = 6; в) S = 144^/3.
Решение. Пусть К — точка
медиан грани АВС\ L — середина ребп!ЧеИи*
Q - центр сферы, описанной около лиД 4В;
МАА\В\В (т.е. Q - центр грани ААуВ^в?л4*
центр сферы, описанной около пирамиды ШтГ
(см. рис.); V - объем призмы АВСА^С v
Vi - объемы пирамид МАВС и МА^С соц "
ственно. ^
а,7"з cci’ v~3 ccf* следовательно
V — з cci ~ з- Значит, объем пирамиды
МАА\В\В составляет две трети объема призмы
б) Сторона равностороннего треугольника АВС
равна 4у/3, следовательно, CL = 6, С К = 4,
В прямоугольной трапеции СКОМ известны
стороны СК = 4, ОМ = 5 и диагональ ОС = 5. Из
прямоугольного треугольника ОС К находим, что ОК = 3. Пусть Н -
проекция точки О на МС. Тогда МС = 2 СН = 2 КО = 6.
К задаче 13.245
в) Обозначим ВВ\ = h. Тогда QL = h/2, QB = y/h?/4 +12, QM =
= у/С1? + ЩГ^МС? = ^/36 Ч- (Л/2 — 6)2. Отрезки QB и QM рав¬
ны как радиусы сферы, откуда Л2/4 +12 = (Л/2 — 6)2 + 36. Решая это
уравнение, находим, что h = 10. Тогда площадь поверхности призмы S =
= 2 • (л/3/4) • (4>/3)2 + 3 • 10 • 4-Д = 144%/3.
13.246. a) VQAAlCiC : V = 2 : 3; б) BQ = 2v/3; в) V = 81/16.
13.247. a) VSAAlBiB : V = 2 : 3; б) SC = 2; в) S = 39v/3/4.
13.248. a) VTAAlClC : V = 2 : 3; б) ВТ = 2v/3; в) V = 216.
13.249. Vm„ = f£,Y = arccos(-§).
Решение. Пусть РО — высота правильной четырехугольной №
рамиды РABCD', К — середина ребра AD (см. рис.), тогда
= о. Если 10КР = р, то РО — aeinf), tfO = acosP. а плошадь в
нования ABCD равна 4a2 cos2 р, объем V пирамиды ABCD Раве
= ^4a2cos2p-asinp = ifi(8inp-sm3p). , #
Обозначим sinР = t и рассмотрим функцию /(0 =
‘ »l^!1;T°r" m =1 - 3(2 = 3( Л - 0(^3 + ')• Поскольку / W
- 0. ПО > о при t < И /'(f) < 0 при t > получаем, что ФУ ^
/(0 достигает своего наибольшего значения при t = -73 ■ Подставл" ^
денное значение sinp == в формулу для объема пирамиды* п
Ушлх = ^Гг
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
379
П иа»ождения угла у между соседними боковыми гранями пира-
ДЛ:пу^и^ перпендикуляры АН и СИ из точек А и С на ребро РЯ
^ пеопендикуляра попадают в одну точку на ребре PD. так как боко-
(оба пеРпенд у ; _ это равные равнобедренные треугольники). То-
TvLAHC-у-искомый у?ол, a IaHO = у/2, tg(y/2) = АО ЮН. где
Р
АО = ОК • n/2 = %/2КРсозр = а\/2со8р = 2а/ч/3. Прямая ОН лежит
в плоскости АНС, перпендикулярной ребру PD, поэтому ОН L PD.
Отрезок ОН найдем, выразив двумя способами площадь треугольни¬
ка OPD: Si = рр2— = —2—, где OD = OA = -^-а, РО = РКsinP =
= PL> = VP05T0D5=X/t^? = *>/§• ТогДа оя = =
= ТТ5-^2 = ^ = >/5. 0ТКУДа cosY = = -§•
13.250. V = 2а3/3, у = 120°.
13.251. V = а3/3, у = arccos(—4/5).
13.252. V = |^, у = 120°.
13.253. a) 0; 6)1:2; в)
Решение. Пусть О — центр сферы ш; К, L, М — основания пер¬
пендикуляров, опушенных из точки О на ребра AS, BS, CS соответ¬
ственно; SH — высота пирамиды SABC\ г и Л — радиусы сфер ш и П
соответственно (см. рис.).
а) Поскольку точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку
AS, она равноудалена от концов этого отрезка, т. е. О А = OS. Аналогич¬
но OB = OS и ОС = OS. Значит, О А — ОВ — ОС = OS, поэтому точка
О является центром сферы П. Следовательно, расстояние между центра¬
ми сфер равно нулю.
б) Из равенства прямоугольных треугольников SOK, SOL и SOM
~ OL — ОМ ~ г, OS — общая сторона) следует, что SK = SL =
— SM. Поскольку точки К, L, М — это середины боковых ребер пира¬
миды, то ее боковые ребра равны между собой. Тогда высота пирамиды
проходит через центр окружности, описанной около основания (действи¬
тельно, треугольники SHA, SHB и SHC равны по катету и гипотенузе,
380
СТЕРЕОМЕТРИЯ « ОТВЕТЫ
диусами рассмотрим прямоугольный
угольник SHC. Точка М - середина гипо!Г
нузы SC, на катете SH находится точка л
причем 50 = СО = R, ОН = ОМ = г. Тп.!
угольники С НО, С МО и SMO равны по
катету и гипотенузе, следовательно, СЯ =
= СМ = SM. Значит, СН = ±SC, IHSC =
= 30°. Тогда из треугольника SOM находим,
С что г : R = 1: 2.
в) SC = 2СН — ВС = 2\/3, поэтому тре¬
угольник 5ВС — равносторонний, Stf =
= 5Л = 2^3 и угол при основании Z.SAB = arccos^. Отсюда находим,
что AB = 2SA- cos/.SAB = \/3. По теореме Пифагора для треугольни¬
ка АВС находим, что АС = 3, поэтому Sabc = 5 • 3 • \/3; объем пира¬
миды V равен i • 3 • ^ = 2^з
13.254. а) 0; 6)1:2; в) 4.
13.255. а) 0; 6)1:2; в) 1/2.
13.256. а) 0; 6)1:2; в)
13.257. АК: КАг = 3: 25, CP: PCi = 27 : 1 или АК : K^i =27:1.
CP: PCi = 3:25.
Решение. Пусть, для определенности, АВС — нижнее 0CH0BBHX.
призмы. Пусть р и Рх — точки касания плоскости а с нижним и
ним основаниями цилиндра соответственно. Из соображений^симм ^
прямая FF\ пересекает ось цилиндра. Обозначим через F пР°®иИя
точки Р на нижнее основание; тогда FF' — диаметр нижнего осн
(см. рис. а).
Пусть К1, N', Р' — проекции точек К, N, Р на осевое ^е^Иа д',
линдра (см. рис. б), содеожашее FF, ^тпгпя они лежат на t J 1 rtn0.
К задаче 13.253
= SB • & = 3. В равнобедренном треуголь¬
нике SAB известны боковые стороны SB =
avikA^FK'IK’Fi^FA'IA'F' и, аналогично, BN/NB1 =
Значит, лл/л^1_ _ ^ т?с'ЧС'1Р1
" _ ‘е нижнег0 основания (см. рис. в), и ZFOB =
ПУБ?з ограничения общности можно считать что Радиус »иж-
= Ф- Без и„а павен 1 Тогда FB = 1 — cosq>. Поскольку ZAOB =
Не/0ОС°= 2я/3,Р получаем, что длины отрезков FA' и FC' равны
1 "йГусловия^задачи следует, что FB' = 2 ■ coscp = f
Тогда sin cp = откуда
cos (<р + т) = созф cos т — s^n<P sin т = — и
и соэ(ф — = cosqjcos^ + cosq>sin^ =
Значит, один из отрезков FA! и FC1 равен 27/14, а другой — 3/14,
откуда следует, что одно из отношений АК:КА\ и СР:РС\ равно
3:25, а другое — 27 :1.
13.258. АК : КАх = 27 :1, BN : NBi = 3:4 или АК : КАг = 3:4,
BN:NBi= 27:1.
13.259. CP : PCi = 25 :27, BN : NBX = 49 : 3 или CP : РСх = 49 :
3, BN : NBx = 25 :27.
13.260. АК : KAx = 4:3, BN : NBi = 25:3 или AN : К Ax = 25 : 3,
BN ; NBx = 4:3.
13.261. ZACB = 45°, CD = 12. V = 18\/3.
Решение. Предположим, что сфера касается прямых АС и AD.
Тогда АВ перпендикулярно плоскости ACD, поэтому сфера имеет един¬
ственную общую точку А с плоскостью ACD, и значит, не имеет общих
точек с ребром CD. С прямыми В А, ВС, BD сфера будет иметь по две
точки пересечения, что противоречит условию.
Аналогично доказывается, что сфера не может касаться одновременно
ребер ВС и BD. Значит, сфера касается ровно одной из двух прямых
382
СТЕРЕОМЕТРИЯ » ОТВЕТЫ
лг или AD — пусть, для определенности, ребра AD (см. рис
iepa также касается прямых ВС и CD и проходит через с%ед«^Т>
L ребер АС и BD соответственно. и«ь, н ц
Из касания сферы с прямой ВС следует, что ВС ХАВ. Так
ОК - средняя линия треугольника АВС (С> - центр сферы), То Кй*а*
- 20К = 2Я = АВ, откуда следует, что АВС — прямоугольный d 54
бедренный треугольник и /АСВ = 45°. Равн°'
Аналогично доказывается, что BAD - равнобедренный прямоугп
ный треугольник с гипотенузой BD. Пусть М - точка касания г*
с ребром CD. Тогда СМ = СВ и DM = DA (как касательные к С*!РЫ
проведенные из одной точки). Значит, CD = AD + BC = 2R + 2Я-~4Рд
2R А х ц
1R
С 1R В
Опустим из вершины D высоту DH на плоскость АВС. Точка Я
лежит на прямой, проходящей через точку А параллельно СВ. Пусть
DH = h, АН = I. Тогда СЯ2 = (2Я)2 + (2Я + xf (см. рис. б). По тео¬
реме Пифагора из треугольников ADH и CDH получаем
х2 + h2 = 4Я2, (i + 2 Я)2 + (2Я)2 + h2 = (4Я)2.
Решая эти уравнения, находим, что х = Я, h = Я\/3. , ^
Тогда объем V пирамиды ABCD равен ± • ЯуД • 2Я2 = % ® l8V '
13.262. /.АСВ = 45°, BD = 4\/3; Г = 6.
13.263. /АСВ = 45°, CD = 4v/3, V = 6.
13.264. /АВС = 45°; BD = 12; К = 18>/3.
13.265. АВ = 12, /АСВ = 90°, V = 36%/3. каК
Решение, а) Поскольку сфера построена на высоте nHPaJ|'^a име¬
на диаметре, она касается плоскости основания АВС. Значит, С<Р деТся
ет с плоскостью АВС ровно одну общую точку Я, и эта т°чка т чере3
серединой одного из ребер (см. рис.). Поскольку сфера про*°Ди gAt
оТДсДЫ четыРех ребер пирамиды, она также пересекает отр
’ ЪС в их серединах - точках К, L, М соответственно.
СТЕРЕОМЕТРИЯ • ОТВЕТЫ
383
Из условия касания сферы с плоскостью АВС следует, что АН 1 SH
ВН1 SH, СН 1 SH-Значит, треугольники AHS, BHS и CHS прямо¬
угольные. Отрезки OK, OL, ОМ являются их средними линиями. Следо¬
вательно, АН = 2 ОК = 2R, ВН = 2R, СН = 2R. По теореме Пифагора
находим, что SA — SB — SC — 2R\/Q,.
Предположим, что Н Е ВС. Тогда получаем, что в треугольнике АВС
медиана АН равна половине той стороны, к которой она проведена. От¬
сюда следует, что треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом
при вершине А, т.е. отрезок ВС является его самой длинной стороной,
S
что противоречит условию. Аналогично доказывается, что Н не может
принадлежать АС. Поэтому Я € АВ. Значит, АВ = АН + НВ = AR =
= n/2, LACB = 90°.
6) Прямые СН и СК — это две касательные к сфере, проведенные из
одной точки. Следовательно, СК = СН = 2R. По формуле для медианы
в треугольнике SAC получаем уравнение 4КС2 + SA2 = 2SC2 + 2АС2,
т е. 16R2 + 8R2 = 2 • 8R2 + 2АС2, откуда АС = 2R. По теореме Пифа¬
гора из треугольника АВС находим, что ВС = 2Я\/3. Значит, объем
пирамиды V равен | • 2Я • ^ • 2Я • 2Я\/3 = ^36\/3.
13.266. АС = 12, /.АВС = 90°, V = 36\/3.
13.267. АС = 4\/3, ZABC = 90°, V = 12.
13.268. АВ = 4\/3, ZACB = 90°, V = 12.
14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
14.1. а <-1/2, а >1/2-
Решение. Область определения уравнения задается условиями
I>0’ l,ts- (1)
Преобразуем уравнение, переходя к логарифмам по основанию 5:
logs * + з8гЙ “ 2 = °» откуда logs х = ±2а>
и = б2а, х2 = 5"2а.
Из (1) следует, что уравнение имеет два различных корня тогда и
только тогда, когда афЪ,аф±1. Выясним, при каких значениях пара¬
метра а выполняется неравенство
|б2а - 5
-2а
24
> —.
5
(2)
Если а ^ 0, то 520 ^ б_2а и неравенство (2) равносильно каждому из
следующих неравенств
52° - 5-* > f, (520)2 — тр 52° — 1 > О,
(52о-5)(52а + ±) >0, б2а > 5,
откуда а > 1/2.
Если а < 0, то неравенство (2) равносильно каждому из следующих
неравенств
5-2» _ 52q > (52а)2 + И • 52а — 1 < 0,
(б2" + 5) (б2* - ±) < О, 52а - | < 0,
откуда а < -1/2.
14.2. a G {(|; l) U (l; |) U (|; +оо)}.
Корни уравнения: ц = 1; х2 = 4 (а > 0, а ф 1).
14.3. а е {(—оо; -2) U (-2; -1) U (1; 2) U (2; +оо)}.
Корни уравнения: хг = 31+°; х2 = 31_в (а ф ±2).
14.4. а G {(А; 1) и (1; 2)}.
14.5. а = ±1 8ICC09 (-|) + яп, п € Z.
Решение. Вершиной параболы является точка (хо! Уо)> г^е 10
= V5cosa-§,у0 = _(5C0S2a_ 3v/5cosa+^ c0S4a.
По условию задачи уд = Зхо, поэтому ^ cos4a + 5 cos2 a — 4 " ’
50cos2 2a + 10coe2a - 24 = 0, откуда cos2a = —4, cos2a — §• i
УСЛ°ВИЮ У(0) = cos4a < 0. то есть cos4a > 0 или cos 2^ 3
^2^ _н®РавенствУ удовлетворяют лишь значения а, ДлЯ
5 *
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
385
' Тдб а = -arctg2 + лп, n$Z\ 16ctg2a - 5cosa -7 = 0, (tg2a)x =
* ^ * 2 \ __ ^
* "i4 7.g о = ±\ arccos (- i) + яг». n G Z\ sin2 а - cos4a - § = 0;
/ -9n)i = s. (соз2а)г = —§•
14.8. а ^ arctg^ + nk, к € Z\ 27tg2 а + 10 cos2a - 11 = 0, (tg2 a), =
= _i, (tg2 01)2 = §•
149 27, a = 5, {х + 2у = 3}. Локальный максимум — 3, a = 0,
= §§+f’y = 2a+1 } ■
1410. 2, o = l. {y-x = 2}. Локальный минимум — о = 5,
f _ 3a_ .. — 2a+5 \
— a+l ’ ^ “+1 / .
14.11. 2, a = 3, {x + 3y = 2}. Локальный максимум — a = 5,
{* = = S+з}-
14.12. 6, o = -l, {у = х + 3}. Локальный минимум — a = 4,
{*=*.»=£?}•
14.13. /щах = 40 (P = 2/т^п 7 (P=l)-
Решение. Данная система имеет вид
(Зх + у){х — Зу) =
{х-2у)(х-3у) = $£.
Разделив первое уравнение на второе (это можно сделать, так как
Зх+ц
х—2 у
х _ 2р + 1
V
(1)
х < 0, у > 0, следовательно, х — 2у < 0 и х — Зу < 0), получим = р.
Отсюда
р-з
(2)
где -^<р<3, так как | < 0. Подставив соотношение (2) в уравне-
НИ* ,(1>- думаем х2 = у* = откуда х2 + у2 = /(р) =
" 7(4P'+9) • Исследовав функцию /(р) на максимум и минимум при
ре 3), получаем, что fmax = ^ (р= -1); /mln = \ (р= 1).
14-14. /min = I, р = 1; /тах = |.р=-1 (i=|±iy, Х2 = у2 _
2 14п5 /т‘П = 1'Г^: fmax = *' Р=5 д2 = 3((V+1)■
(р42^6 ^т1П =}‘Р== ^ ^ = I' Р = _1 Й 3/1 Х’ = 9&»+4)- V2 =
386
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ > ОТВЕТЫ
14.17. -f 0<°
Решение. Из определения логарифма следует что
рое неравенство приводится к виду (х + 1) (х _ jj\ г ^ 0. fj
— "«моонгтвпм ' 2р/ ^ п°ЭТощу ег
второе
можно заменить неравенством
х - - > О,
2Р
(1)
_ пешения второго неравенства, являющиеся также
В силу того, что ищутся Р н енсТВ0 равносильно совокупности двух
решениями первого, мен
систем:
ГО < х + 1 < 1,
\0 < 3 - рх < 1
при р > 0 принимающих вид
-1 < х < 0,
Гх + 1 > 1,
\3 - рх > 1,
/-><
I
а при р < 0
Г-1 < а
-1 < х < О,
2
(2)
(4)
/х > О,
\*<S.
/х >0,
W
(3)
(5)
Система (2) несовместна, (3) имеет решение 0 < х < 2, не удовле¬
творяющее неравенству (1). Система (5) имеет решение х > 0, удовле¬
творяющее (1) при любом р < 0. Таким образом, искомыми являются те
значения р < 0, при которых система (4) несовместна либо каждое ре¬
шение системы (4) удовлетворяет неравенству (1). Система (4) имеет ре¬
шение | < х < | при р ^ -3 и промежуток ^ < х < §р не удовлетворяет
(1); -1 < х < | при —3 < р ^ —2 — удовлетворяет (1), если §р < -1.т е-
— § ^ р < -2 не имеет решений, если —2 < р < 0. Объединяя найденные
значения р, получаем ответ: — | ^р < 0.
14.18. -Up<-^, 0<р<4
14.19. < р < 0.
14.20. V2<P<2,-n/2<P<0 ^ „ч и (-
14.21. а 6 (-я + arccosi; и (-5? ~з) и '3> 2)
(“3 < сова < 5, cosa ф 0). 3. 5^1 U (5! 9
14.22. а € -§) U (-§; -aiccosf) U (arccos4, 2) ^
(-* <сова<2, cosa^O). а + xsina* 5’
Решение. Прямая I, задаваемая уравнением У с<^ ^ пося°л^е
касается окружности, задаваемой уравнением 1 — 4х _твеНное Ре1Цепря-
ку система, задаваемая этими уравнениями, имеет еди СЯ| если ^
I = й|а, у = г|а. Таким образом, условие задачи выполни^ _ \2у **и’
мая I пересекает параболу, задаваемую уравнением 4х
1)
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
387
"■ ГоЧках, не совпадающих с точкой А (^; ^). Если а = ±|, то
двУх т явЯЯется вертикальной и пересекает параболу в одной точке. Если
пР^ т0 прямая пересекает параболу в двух точках, если квадратное
н^н’ие 1 х2 + 5 = тгг:— — х tga имеет два различных решения.
2 сова
различных решения.
+ 2 _1 8 >0
' 3 сова 3 ^
Имеем: D — tg2 ot 3 (5 2сова) ^ сов3а т 3 сова
яros2 а - 2 cosa — 3 > 0, -l<cosa<f. cosa^O.
14.23. а € (—n+arccos^; —5) U (—§; —§) U (§; 5) U (j. л—arccos^);
/_ 1 < cosa < 5, cosa Ф 0).
14.24. a G (—; ~5) U (—5* — arccos §) U (arccos |; §) U (5; -3)',
(_I<cosa< cosa Ф 0).
14.25. -7/2 ^ p < 3/4.
14.26. -10/3 <p«$ 1.
Указание. Условие выполняется, если точка графика, в которой
касательная параллельна прямой АВ, при проектировании на эту прямую
попадает на отрезок [АВ].
14.27. 1/2 < р 19/4.
14.28. -1/3 «$р^ 4.
14.29. -7/10 < р 0, 4/3 ^ р < 7/5, 3/2 р < 2.
Решение. Обозначив x-\p = t, получим квадратное уравнение
у2 - 2By + С = 0, где В = 2р(р - 1), С = -р3(2р - 3). Пусть yi и у2 —
корни квадратного уравнения, причем yi < у2. Для того чтобы данное би¬
квадратное уравнение имело решения, необходимо, чтобы дискриминант
квадратного уравнения D = 4(В2 - С) был неотрицателен. Таким обра¬
зом, имеем: ^ = р2(2р — 1)(3р - 4) > 0, откуда р < р ^ §. Рассмотрим
четыре случая. В первых трех D > 0.
а) С < 0, тогда yi < 0 < у2, откуда следует, что уравнение (х — |р)2 =
= 1/1 не имеет корней, а уравнение (х — |р)2 = у2 имеет два различных
корня, сумма S которых, согласно теореме Виета, равна |р. Из неравен¬
ства S <Т, где Т = —5р + 11р + 7, следует —7/10 <р < 2 и, с учетом
условия С < 0, получаем —7/10 < р < 0, 3/2 < р < 2.
б) С = 0, тогда р = 0 или р = 3/2. При р = 0 исходное биквадратное
Уравнение имеет один корень х = 0 и неравенство 0 = S < Т = 7 выпол-
нено а при р = 3/2 — три корня с суммой 5 = 81/8, меньшей Т = 49/4.
в) С > °> тогда ух и у2 одного знака, причем 0 < уь у2 > 0, если
> 0. При этом исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня
с сУмм°й 5 = 9р, поэтому из неравенства S <Т следует —1 <р< 7/5 и
с Учетом условий С > 0, В > 0 получаем 4/3 < р < 7/5.
г' D = 0* тогда если р = 1/2, то yi = у2 = —1/2 и исходное биквад¬
ратное уравнение корней не имеет, а если р = 4/3, то yi = у2 = 8/9 и
о = 6 < Т.
14.30. 0 ^ р ^ 1, 7/3 ^ р < 5/2, 3 ^ р < 5.
14.31. -5 < р < -4, -1 < р ^ 0, 9/4 < р < 5.
388
ЗАДАЧИ с ПАРАМЕТРАМИ » ОТВЕТЫ
неравен
СТву
ЯВ-
s i д < я < 9/2, 5 ^ Р ^
14.32. (КР^3,4^Р
14.33.0^14/3- неравенство равносильно ,.^ви
Указ3 Н Дп 1Па)х + 7а - 16 0. При а = 2 это неравенство « Яв
(4а - 8)Х2 + (2°' 1 \ф2 справедливо при всех х € R тогда и только
ляется верным, а "Р" ^J10(21 e)j* - 16(о - 2)(7а - 16) < 0. ЛЬКо
тогда, когда а > i и и i
14.34. а ^ 2/3.
14.35. а > Ю/З.
14.36. а ^ 1/3-
К0РГ тог“ » ™ь-
Р ™гпя’г4а-2)2<1. т.е. а-\\^ i откуда ± задача
ко тогда, к (ждени^ всех зНачений а, при которых функция /(а) =
1Т£„ртимает целые значения на отрезке [}; }]. Уравнение /'(«),
I Х^4а-5 + 12а-4) = £а-5(За - 1) = 0 имеет на отрезке [?; |] един-
стмнный корень o = J, причем /'(«)<» при •<! «№)>» при
о>1 Следовательно, функция /(о) убывает при «С fа> а) “ ««рас-
«/при „<=($;}]. Так как /Ц)=0 и /(|) - «пые числа, а
_1<j(_3^ = _^<o, то искомое множество значении а состоит из
чисел ^ и |.
14.38. 1/4,1/6.
14.39. 2/3, 1/2.
14.40. 3/2, 1.
14.41. а < 0, а = 1.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
1 -+■ ох = 2у/х
при условиях I > О
х*\'
Полагая ^x = t, запишем уравнение (1) в виде
at2 - 2t + 1 = 0.
(1)
(2)
(3)
Если а = о, то t=l ,_i
ствител?и в ^ ТОгда Уравнение П1ВоП°ЛНЯетСя втоРое из условий (2).
а< т р НЫе К0Рни тогда и толи*! является квадратным и имеет дей-
if 1 ЕЯИ D = 0 (a =, n J K0 Т0ГДа- когда D~4-4a>0 т.е. при
удовлвтвп ^ ^ 1, а уравнение /it (3) имеет единственный положи-
Пусть (1) имеет единственный корень х~1
к нахождецКОрНЯ‘ Так как * = ^ЯН®Ние (3) имеет два действительных и
Положитрл ИЮ Тех ЗНачений Т° Задача в случае £> > О сводится
тельные копНЫ^ Корень (лругойкета КОТОрых Уравнение (3) имеет один
тогда коглГп разн,ых знаков отРи^ат^н), т.е. имеет действи-
’ когда D>0l 1 <0> ткеовп Это условие выполняется тогда и только
Р а<1иа<0. Итак, в этом случае а<
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
389
14.43. а < 0, а = 9/4.
14.44. о = -3/4, а > 1.
14.45. О <а< 3/16, а = 1/4.
Решение. Полагая х + 7 = t, получим уравнение
y/t =16 = at- 3. (1)
Требуется найти все значения а, при которых графики функций у =
= y/t - 16 и у = at — 3 имеют при t > 16 единственную общую точку
(см. рис.).
Если а < 0, то прямая у = at — 3 не
имеет общих точек с параболой у =
— y/t - 16. Заметим, что угловой коэффи¬
циент прямой у = at - 3 равен а. Найдем
угловые коэффициенты ах и аг прямых Zi
и h (обе задаются уравнением вида у =
= at - 3), первая из которых проходит че¬
рез точку (16; 0), а вторая касается пара¬
болы у = y/t — 16. Подставляя в уравнение у = 3 — at значения t = 16,
У~ 0. находим ах = 3/16.
Число аг является тем значением а, при котором уравнение (1) име-
ет единственный корень t\ > 16. Возводя обе части (1) в квадрат, по¬
лучаем уравнение a2t2 — (6а -I-1)4 + 25 = 0, дискриминант которого D =
а (6а + I)2 _ (Юа)2. Уравнение D — О имеет единственный положитель¬
ный корень а = 1/4. Следовательно, аг = 1/4. Если ^ < а < 1/4, то пря-
ыая у sat — 3 и парабола у = y/t — 16 имеют две общих точки, а при
а:> 1/4 они не имеют общих точек.
14.46. О < а < 3/16, а = -1/16.
390
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ » ОТВЕТЫ
14.47. в*1/2. 0 <а< 2/5.
14.48. 0<а< 2/5, а = -1/Ю.
14.49. * ^ <а^2.
Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению
logs (х + v^2 - а) = logs (а — 1 — ®) + log5 3,
а уравнение (1) равносильно системе
(1)
{
х + у/2 — а = 3(а — 1 — х),
а - 1 > ®,
откуда следует неравенство
1 - а < n/2 - а. (2)
Для решения неравенства (2) построим графики функций у = 1 - в и
- П-а (см рис) Из рисунка видно, что множество решений нера¬
венства (2) - промежуток (а1? 2], где аг - корень уравнения
1 — о = у/2 — а
такой, что ai < 0.
(3)
Из (3) следует, что (1 - а)2 = 2 - а,
или а2 - о — 1 = 0, откуда а\ =
14.50. < а ^ 5.
14.51.
З-л/ТЗ
_3±^7<a<3.
14.52. -5 < о < 4.
14.53. -1 <а<3.
Решение. Первое уравнение ис¬
ходной системы равносильно уравнению
8(3 — х + у) = 25 — 6х + Ту или уравне-
„ПЛ11> НИЮ у = 2х + 1, если у + 3 - х > 0, от-
_ / <ч У?7! ЧТ0 5 ^ второе уравнение примет вид 2® + 3 =
-\х- га) +а + 2х, или
О А Ш
х2 — 4ах + 4а2 + а — 3 — 0, ^
и задача сводится к нахождению тех значений а, при которых^
(1) имеет ровно два корня i! и ®2 такие, что ®i > — 4 и *2 , a - 3)31
Обозначим /(х) = х2 - 4ах + 4а2 + а — 3, 1> = 16а — v поЛняютСЙ
= 4(3 - а) и воспользуемся тем, что указанные условия 2а "
тогда и только тогда, когда D > 0, /(-4) >0, ®о > —4> . q, Д-4) =*
абсцисса вершины параболы у = /(х). Итак, D = 4(3 - а> ' fl <3.
= 4a2 + 17a + 13 = 4(a+^)(a + l)>0, 2a> -4, откуда -i
14.54. -5<a<2- 2#.
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
391
14.57. 1) а = -з, о = 4; 2) а < -3, а > 4, а = Щ-1.
решение. Пусть t = х + 2, тогда уравнение примет вид
(а + 3 - |t|)(e - 4 + t2) = 0. (1)
Построим графики функций а = 4 - t2 и а = |i| - 3 (см. рис.).
1) Прямые а — 4 и а = — 3 имеют ровно три общие точки с графиком
уравнения (1), т. е. с совокупностью графиков а = 4 - t2 и а = \t\ - 3. Это
означает, что при а = -3 и а = 4 уравнение (1) имеет равно три корня.
2) Если о > 4 и а < -3, то уравнение (1) имеет ровно два корня.
Два корня уравнение (1) имеет и в том случае, когда графики функций
а _ 4 _ t2 и а = \t\ — 3 имеют общие точки, т. е. если 4 — t% = |t0| — 3,
где to > 0, или 4 - z2 = z - 3 (z = |i0|)- Отсюда z = v^~1-, a0 = z - 3 =
_ ■'/%>—7
14.58. 1) a = б, о = -1; 2) a < -1, a > 6, a = 13-~^.
14.59. 1) a = 2, a = 9; 2) a < 2, a > 9, a = .
14.60. 1) a = -4, о = 3; 2) a < -4, a > 3, a =
14.61. 9/2, 117/4.
Решение. Графиком первого уравнения системы является замкну¬
тая ломаная L (граница прямоугольника) с вершинами в точках, лежа¬
щих на прямых х = 0, у = 0, у = | х.
Найдем эти вершины. Если z = 0, то \у\ = 3 (у = 3 и у = -3), если
V-0, то \х\ = 3, если у = §х, то |х| =3, |у| = |.
Ломаная L изображена на рисунке, где yli (—3; 0), Л2(3; 0),
i(0, —3), В2(0; 3), С\ (—3; —|), С2 (3; |). Графиком второго уравне¬
ния при о > 0 является окружность с радиусом ja с центром 0(0; 0).
Данная система имеет ровно два решения в следующих случаях:
1) окружность касается отрезков AiB2 и А2ВХ, тогда у/а = а = §;
392
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ » ОТВЕТЫ
2) радиус окружности равен расстоянию от точки О до
тогда а = З2 + (§) ~~Т-
14.62. 2, Ш
т°чек с, „ с
4»
14.63.
14.64.
81 81
32' 10‘
121 121
13 ’ 50
14.65. ^ ^а^14.
Решение. Если а = 0, то уравнение примет вид Зх + 14 = п
да х0 = и *о t [0; 1]. Пусть а ф 0, Дх) = 4ах2 + (4а - 3)х +
D = (4а - З)2 - 16а(а - 14) = 200а + 9.
Если D = 0, то а = -jgg, х0 = < 0, х0 £ [0,1].
Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, а есл
D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. И
Интервалу (0; 1) принадлежит только один из этих корней тогда и
только тогда, когда числа /(0) и /(1) имеют разные знаки, т.е. при
условии
Д0)/(1) < о.
Заметим, что равенства /(0) = а - 14 = 0 и /(1) = 9а - 17 = 0 не мо¬
гут выполняться одновременно, а если /(0) = 0 или /(1) = 0, то уравне¬
ние имеет единственный корень на отрезке [0; 1] в том и только в том
случае, когда
Д0)/(1) <0,
т.е. (а - 14)(9а - 17) ^ 0, откуда находим Щ- ^ а < 14.
14.66. -£<а<§.
14.67. ^ < а ^ 6.
14.68. -f <а<§.
14.69. а = -1, а = 0.
Решение. Исходная система неравенств равносильна следующей-
{
х2 + 2х < а,
(2)
4д-*1 = д{ х)
6
Построим графики функций а = х2 4- 2х = fix) и а
(см. рис.). ,
Эти графики пересекаются в точках с абсциссами —8/7 и 0, f\x) '
«*(*)< 2/S при хев. 0/,вер).
При а < -1 неравенство (1) не имеет решений, а при о.> ч
венство (2) не имеет решений. шеНий
При каждом значении а = оо, где а0 ^ -1 множество Е\ Р__
неравенств (1) состоит из абсцисс тех точек графика функции а~1
орые лежат ниже прямой а = ао и на этой прямой.
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
393
Аналогично, при каждом а = ао, где а0 < 2/3, множество Е2 решений
венства (2) состоит из абсцисс тех точек графика функции а = д(х),
вторые Лежат выше прямой а = оо и на этой прямой.
К Если а0 € (0, 2/3], то множества Ег
_ отрезки (при ао = 2/3 множе¬
ство Е2 — точка х = 2), не имеющие
общих точек (El и Е2 лежат по разные
стороны от точки х = 0). В этом случае
система (1)-(2) несовместна (не имеет
решений).
Если ао = 0, то множества Е\ и
имеют единственную общую точку х =
= 0, т. е. при а = 0 система (1)—(2) име¬
ет единственное решение.
Если -1 < ао < 0, то пересечение Е
множеств Ei и Е2 — отрезок. В этом случае система имеет бесконечное
множество решений (каждая точка х е Е — решение системы (1)—(2)).
Наконец, при а = — 1 система имеет единственное решение х = —1.
14.70. а = 0, а = 1/4.
14.71. а = -1/12, а = 0.
14.72. а = 0. а = 3/2.
14.73. а = #7, 0 < а < 1.
Решение. Если выполняются условия
а > 0, 7х > log7 а, (1)
то исходное уравнение равносильно уравнению
7х — log7 а = 72х. (2)
Пусть t = 7х, log7a = q, тогда ОО и задача сводится к нахождению
таких значений а, при которых уравнение
t2-t + q = 0 (3)
имеет единственный положительный корень ti > q.
Дискриминант уравнения (3) £> = 1 - 4д; D ^ 0 при q < А, т.е.
bgTO^i, откуда 0<а£#7. Если £> = 0, то 9 = i log7a = A ti =
= \ > Ч-
Итак, при a = \/7 исходное уравнение имеет единственное решение.
Пусть D > 0, тогда уравнение (3) имеет единственный положитель¬
ный корень в случае, когда q ^ 0, т. е. log7 а ^ 0, откуда 0 < а ^ 1.
При a = у/7 и 0 < a ^ 1 условия (1) выполняются.
14.74.0 = ^,01.
14.75. а = тр», а ^ 1.
14.76. а = \/2, 0 < a ^ 1.
14.77. a = 4 • 5-5/4, х = 5-1/4.
чаДАЧИ с ПАРАМЕТРАМИ » ОТВЕТЫ
14.80. а = ^,х = ^-.
14.81. а = —2.
Решение. Если точка М{х\ у) принадлежит отрезку с конца
(1; 0) и (1; 1), то х = 1, (К у ^ 1. Полагая в исходной системе *
получаем „
Г(у-о)2<9,
\у2 + а + 1 < 0.
Эта система равносильна следующей:
и имеет решения при любом у € (0, 1] тогда и только тогда, когда
откуда следует, что а = — 2
14.82. а = 2
14.83. а = 2
14.84. о = 2.
14.85. t = 1, f = 7±^зз
Р ^
стей С1Шс”ентмниоТ13?а/,1<е,Н"еоС1,<:тем“ задает «ножестео окружи
» » ур«иtT4„‘i1-+I3f)," р4диусами *■ - *w-Ем »-
окружность ими, С прямой Э означает, что каждаятак
+ 41; 1). т.е. касается прямой р = , ^?7У,° 0бЩуЮ Т0,К)' А(‘
фон 0(5,е 3)Р31готораяСтаСтеМи **“” окРУж»*ть С радиуса Л = 2 с «
Систем ^«ГЛи-ст"" КаСается ">>"м°й V - 1 в точке Л(5; 1).
нственное решение тогда и только тогда, ког
у-3^а<у + 3,
а < -у2 - 1
{
-2 < а $ 4,
а ^-2,
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
395
,4.86. t—i. *-=*&*■
14.87. (—2.*-
,4.88. 1 - 2, 1 = Щ£. г
14.89. у(а) = (\/6 + 2cosa - 4sina + l) -5;
Решение. Пусть К — множество точек
Л/(х; !/)• удовлетворяющих неравенству
х2 + у2 < 2(xcosa + j/sina).
Это неравенство равносильно неравенству
(х — cos о)2 + (у — sin a)2 ^ 1
н поэтому К есть круг (вместе с его грани¬
цей) радиуса 1 с центром ,A(cosa; sina). Заме¬
тим, что значение функции /(х, у) = (х -I-1)2 +
+ (у - 2)2 - 5 равно р2 - 5, где р — расстояние
от точки В(-1; 2) до точки М. Точка В лежит
вне круга К, так как
л — arctg2.
АВ2 = г2(о) = (—1 - cost»)2 -I- (2 — sina)2 =
= 6-1- 2 cos a — 4 sin a = 6 +
1 2 ■ \
—p cos a =sina =
Vb V5 )
= 6 -I- 2%/5cos(a + ф) > 6 — 2%/5 > 1.
Функция /(x; у) примет наибольшее значение на множестве К то¬
гда и только тогда, когда р = ВМ будет наибольшим. Это наибольшее
значение /тах равно ВС = В А + АС, где В А — г(а), АС = 1 (см. рис.),
С — точка пересечения прямой ВА с границей круга К, В и С лежат
по разные стороны от точки А.
Следовательно,
Ртах = r(a) -I-1 = у/6 + 2 cos а — 4 sin а + 1,
э
/тах = Ртах — 5 = g(a) — {V6 + 2 cos a - 4sina + l)2 — 5.
Наименьшее значение функция д(а) примет в той же точке, что
и функция Л(а) = 2cosa - 4sina. Уравнение h'(a) = —(2sina -I- 4coea) =
= 0 имеет на отрезке [0; л] единственный корень ао = л — arctg2, при¬
чем h(ao) = --JJ = ~2у/5. Так как Л(0) = 2, Л(л) = -2. то h(л) < Л(0) и
Мао) < Л(л). Следовательно, наименьшее значение функция Л(а), как и
Функция д(а), принимает при а = л — arctg2.
14.90. д{а) = + 2cosa — 12sina — 2^ — -arctg6.
14.91. д(а) = ^ + sina + ^ -arctg2.
14.02. 9(«)=(у|Т^ГГ^_ .+ arctgj.
396
ЗАДАЧИ с ПАРАМЕТРАМИ » ОТВЕТЫ
14.93.
— 5 ^ ^ 2 ■
Решение. Будем решать систему методом исключения
из неизвестных. С этой целью из второго уравнения вычтем „°ДНог*
умноженное на о. Получим уравнение (4 - а2)х = г2 - а(г + Л80*.
4-а2ф0, т.е. |а|^2, то из системы однозначно определяются Есл"
т.е. система имеет единственное решение при любых фиксиров* И У'
значениях г и 6. анны*
В этом случае системой задается пара пересекающихся прямых
Пусть а = 2, тогда система примет вид *•
Г 2х + у = z + 6,
\4х + 2у = г2,
откуда получаем г2 - 2(z + 6) = 0. Это уравнение имеет действительны*
решения тогда и только тогда, когда
D = 4+ 86^0, т.е. при 6^--.
2
Аналогично, при а = -2 получаем уравнение z2 + 2z + 26 = 0, ко¬
торое имеет действительные решения тогда и только тогда, когда
4-86^0, т.е. при 6^5. Таким образом, система имеет решения при
любом значении а только в том случае, когда выполняются условия
6^ и 6«$ £, т.е. при 6 € [-5; 5].
14.94. -|<$6<|.
14.95.
14.96. 6 = 0.
14.97. |а| < f.
Решение. Ha множестве пар, удовлетворяющих только одному
неравенству
у < \/l - х2,
величина у + х2 принимает наибольшее значение, равное Со. в
чае, когда парабола у = Со — х2 касается полуокружности в двух точках
(*о; 1Л>) и (—х0; уо), где 0 < х0 < 1.
Условия касания можно записать в виде
Съ- х2 = J\ - х* = у0, —2х0 г*° ~jr
у 1 Х0
Первое из этих условий означает равенство координат паРа^о8.
|уокружности, а второе означает равенство угловых коэффин
•—,,„А уишвии означает равенство коор>
полуокружности, а второе означает равенство угловых
Отсюда получаем: х0 = ^ Un = I /?п = I + 3 = 5
На множестве М(а) пар & у), удовлетворяющих одновременно
пГнВиеиНаС™“ V * v^~l2 и У + |* - e| < 1, величина у + ** не
принимать значение, большее С0.
двУ**
tto**
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
397
Следовательно, когда одна из точек (х0; |/о). (-*о; Уо) принадлежит
лшргтву М(а), наибольшее значение величины у + х2 равно С0 и будет
максимально возможным.
Выясним, при каких значениях параметра а одна из точек (х0; уо),
( . уо) принадлежит М(а). Для этого нужно решить неравенство
3 + |±
£-а
< 1, т. е. неравенство
И-aUi.
I 2 I 2
Отсюда следует, что точка ^ принадлежит множеству М(а),
+ а точка (—^1 з) принадлежит М(а) при
Г_^1; 1^31.
если
14.98. ^ |0| ^ Щьз.
14.99. 4<Л - 2 < |a| < + 2; 10.
14.100. 8\/3 - 2 < |a| < 8v/3 + 2; -5.
14.101. a = уД, a = уД, -jjg <“<275-
Решение. Пусть П — парабола, задаваемая уравнением у2 = 1 — х,
L — ломаная, задаваемая уравнением у = л/б|х|, li и I2 — лучи, опре¬
деляемые уравнениями у = — \/бх, у > 0 и у = \/бх, у > О, I — прямая
2ау + х = 1 + а2 (см. рис.). Решая систему уравнений
Гу2 = 1-х,
\2оу — a2 = 1 — х,
найдем общие точки прямой I и параболы П.
Из этой системы следует, что у2 — 2ау + а2 = (у — о)2 = 0, у = а, х =
= 1 - а2, т. е. система имеет единственное решение при любом а € R. Это
означает, что прямая I касается параболы П в точке С(1 — а2; а).
Рассмотрим три возможных случая: а = 0, а > 0, а < 0.
а) Если а = 0, то прямая I задается уравнением х = 1. Эта прямая
касается параболы П в точке (1; 0), пересекает луч /2. но не пересекает
луч 1\. Поэтому при а = 0 исходная система уравнений имеет ровно два
решения.
б) Если а > 0, то прямая I пересекает ось Оу в точке с по¬
ложительной ординатой ^20“' а также пересекает лучи ii и fa
(см. рис.). Найдем сначала значения а > 0, при которых прямая I про¬
ходит через точки А и В, являющиеся точками пересечения лучей fa
н ^ с параболой. Координаты точек А и В определяются из системы
Уравнений
Гу2 = 1 - х,
\у = у/б\х\.
398
.ЧАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ » ОТВЕТЫ
Отсюда получаем уравнение г ——i ^-а г
= 1. Числа п и и - ^“»ссы J04e“ ЛиВ'а значе""" «. при
’ илпаа тли ИМ А и В. — КООНИ vnanupuurt 1 HNX
6х* = 1 - X, имеющее корни ®! _i
' - ~ 2' *2%
’ Л2 гг .
I
2'
_ А Числа XI и Х2 - ~ -П"» «I Г
прямая I проходит через точки А и Е^- корни уравнений 1
1 _ а2 = I. Так как а > О, то at = \/3/2, а2 = у/2/3.
При а = а1 и а = а2 пряма.,
пересекает ломаную L в ДВу. !?
ках. одна из которых - об1°4’
точка ломаной L и параболы п
Поэтому при а = а1 и прив~а
исходная система уравнений име-
ет ровно два решения.
Если^ л/2/3 < a < -у/3/2 иЛи
a > \/3/2, то прямая I не прохо¬
дит через точки Л и В и пере¬
секает ломаную L в двух различ¬
ных точках. Это означает, что си¬
стема уравнений имеет три раз¬
личных решения.
Пусть к, fci, к2 — угловые коэффициенты прямой I и лучей I, и 12
соответственно. Тогда
к = —- (а / 0), к\ = — ч/б, к2 = ч/б.
2а
Если 0 < а < У§, то прямая { пересекает 12 и не будет пересекать
li только в том случае, когда к = к\, т.е. —^ = —>/б, откуда а =
Поэтому при a = ~д исходная система уравнений имеет ровно два ре¬
шения.
Если a € (575; \/i) то ПРямая I пересекает ломаную L в двух точках,
не лежащих на параболе П. В этом случае система имеет три различных
решения.
Пусть 0 < о < jfc, тоги 4 > VS. —4 < -V6. т.«. * < *■•
прямая I не пересекает fb но пересекает 12. В этом случае система и
два различных решения. а.
в) Пусть а < 0, тогда прямая I пересекает ось Оу в точке с отр
тельной ординатой. Если < а < 0, т. е. < >/6, то к < к2 и * >
(к >0, ку < 0). В этом случае прямая I пересекает луч 12 и не персе
лун Ji. и поэтому система имеет ровно два различных решения. эТ0„
Наконец, если а ^ —-т-, то прямая I не пересекает ломаную-
случае система имеет единственное решение.
14.102. а = -4, а = -2, а € Г—1; 1).
14.103. о--А а.- 4.,- * <а< JL.
..... г- „ аТз4 чг7з
14.104. а = v/7, а = 0 _..х
:7?’~7т<а<
х
7?-
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
399
14.105. \ < о < 1 и а = Hl + 23/3)2/3
решение. Пусть и = v = sin2x. Тогда
8и + v = 1, О 0, v ^ 0,
а исходное уравнение примет вид
и1/3 + и1/3 = а, и ^ 0, v ^ 0.
Исходное уравнение имеет единственное решение
на отрезке (0; §] тогда и только тогда, когда кривая
j заданная уравнением (2), и отрезок 12, заданный
уравнением (1). имеют единственную общую точку.
Если а < 0, то уравнение (2) не имеет решений. Изоб¬
разим кривую и отрезок 12 при о ^ 0 на координат¬
ной плоскости (см. рис.). Если 0 < а < 5* то кривая
/, и прямая 12 не имеют общих точек.
Пусть а е [5; 1), тогда li и 12 имеют единственную
общую точку.
При а ^ 1 кривая li и отрезок 12 будут иметь един¬
ственную общую точку в случае, когда графики функций vi(u) = 1 — 8u
и v2{u) = {а — и1/3)3 касаются в точке (uo; Vo)-
Тогда должны выполняться равенства
Vi(uo) = v2(u0) = v0, uHuo) = v2(u0) = -8.
Второе из этих равенств означает, что
= т.е. (а-<4/3)2 = 8м?/3,
а первое можно записать в виде (о — t^/3)2 = о^3, откуда следует,
что 8uJ/3 = VJ/3, Vo _ gWuo, Щ + 8bo = 1. Uo(8 + 29'1) = 1, о = «У3 +
+ <13 = mJ/3(1 + 23'2) = = |(1 + 23/2)2/3 > 1.
Итак, исходное уравнение имеет на отрезке [0; *] единственное реше¬
ние при a € (5; 1) и при a = 5(1 4- 23/2)2/3.
14.106. 1 ^ a < 2, a = (1 + 25/4)4/6
14.107. 1<а<4, о=(1 + 2в)1/3.
U.108. i<a<l,a = i(l + 45/3)3/5
14.109. а < 0. а ^
Решение.
1) Пусть о = 0, тогда уравнение не имеет решений.
2) Пусть о > 0, тогда уравнение примет вид ax2 + 3 = 2а|х| -I- За, или
~ 2а* + 3(1 - о) = 0, где t = |х| ^ 0. Нужно найти значения о > 0, при
(1)
(2)
400
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ * ОТВЕТЫ
которых полученное квадратное уравнение имеет хотя л
нательный корень. Найдем его дискриминант- 0ь* °Дин Н(,п
отРи-
D = 4(а2 — За(1 — о)) = 4а(4а — 3)
Если D 5» 0. т. е. а ^ f, то уравнение имеет действительные ко
торых один положителен, а другой отрицателен (их произведи РНИ’ Из Ко'
,3 о ■ отрицательно при а > НИе’ Равное
3) Пусть а < 0. Если |х| = *, 6 = -а = |а| Тп .
уравнение примет вид 1 то °>0и
|3 — bt2\ = 6(2t + 3).
(1)
Рассмотрим графики функций у = |3 - Ь42| и у = 6(2t +
+ 3) (см. рис.). Из рисунка видно, что прямая у = 6(2t +
+ 3) при 4 > 0 пересекает график функции у = |з - bta|
в двух точках при Ъ ^ 1 и в одной точке при Ъ > 1. д0-
кажем, что если 6 > 1 и 4 > yjто уравнение (1) имеет
корень. В этом случае уравнение (1) примет вид
Ы2 - 264 - 3(1 + 6) = 0.
(2)
К задаче 14.109 Дискриминант квадратного уравнения (2) D = 4(4Ьа +
+ 3) > 0. Кроме того, — < о при 6 > 1, и поэтому
уравнение (2) имеет один положительный корень. Итак, исходное урав¬
нение имеет хотя бы одно действительное решение при а < 0 и при а}\.
14.110. o^-f2, а>0.
14.111. а<0, Ojf.
14.112. а ^ а > 0.
14.113. 4^1*11^4/41 + 1.
Решение. Неравенство системы можно записать в виде
х2 - 8|х| + 16 + у2 - 8|у| + 16 ^ 1
или
(1*1 - 4)J + (М - 4)г«1- Ki
Множество Е решений этого неравенства — объединение ^^рзми
К2, К$, Ki (вместе с их границами) радиуса 1 (см. рис.) с
Oi(4; 4). 02(4; -4), 03(-4; 4) и 04(-4; -4).
Запишем уравнение системы в виде
«(0;иаИ«аднаТжте™аРиыИ°СТЬ £ ради!та М с ие,,тр0“.‘
"" “• "р" "»р« *
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
401
При этом достаточно (ввиду симметричного расположения кругов)
нить, ПрИ каких значениях а окружность L имеет общие точки с
ВЬ1 ами, центрами которых являются точки Oi и 02.
КР Проведем из точки М лучи 1Х и 12 в направлении точек 0\ и 02.
Пусть Ах и В\ — точки пересечения /i и окружности с центром Оь
а' и _ точки пересечения 12 и окружности с центром 02. Тогда
МО\ = 5. М02 = \/25 + 16 = \/5Т, МАх = 4, МВ\ = 6, МА2 = у/41 - 1,
МВ2 = +1-
Так как V41-1 < 6, то объединение
отрезков [4; 6] и [>/41—1; >/41+1] есть
отрезок [4; >/41 + 1], а искомое множе¬
ство значений о определяется неравен¬
ством 4 ^ |а| < >/5Т + 1.
14.114. >/34 - 2 ^ |аК >/74 + 2.
14.115. >/13 - 1 < |а| < 6.
14.116. >/5-l^|a|«S у/13 + 1.
14.117. а = 1/4.
Решение. Заметим, что если
(х,у) — решение системы при некото¬
ром значении а, то (-у, -х) также яв¬
ляется решением этой системы.
Поэтому система может иметь един¬
ственное решение только в том случае, когда у = — х.
Но если у = —х, то каждое из уравнений системы имеет вид
х2 + х + а = 0 или (х + |)2 + а - £ = 0.
Если а < 1/4, то это уравнение имеет два действительных решения,
а если а > 1/4, то уравнение не имеет действительных решений.
Если а = 1/4, то х = —1/2, и тогда у = 1/2.
Итак, только при а = 1/4 система имеет единственное решение
(-1/2; 1/2).
14.118. а = 1/4.
14.119. 0 = 1/4.
14.120. 0 = 1/4.
14.121. о<-1, о>0.
Решение.
виями
Область допустимых значений
х>а, х > —1.
(1)
Если х ^ а, то х — а = у/х — а • у/х — а, и поэтому исходное уравне
Ние, записанное в виде
у/х — а(2х + у/х - а • у/х + 1) = О,
Рзвносильно при условиях (1) совокупности двух уравнений
у/х — а = 0,
у/х — а • у/х + 1 = —2х.
(2)
(3)
402
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ » ОТВЕТЫ
Рассмотрим следующие возможные случаи.
а<-1, а = —1, -1 < а < 0, а
= 0. а > о.
1) Если а < -1, то -а > 1, х а > х+ 1 > 0, х > а, и поэтому
<не (2) не имеет решений. Уравнение (3) может иметь решений,Урав'
ненне (2) не имеет решении, «>ил\ст иметь решения т«
в том случае, когда -1 < * < 0. Возводя обе части уравнения (3) B
рат, получаем Вад‘
Н 4х2 = (х — а)(х + 1).
Так как функция /(х) = 4х2 является убывающей на промежит
[-1; 0) и /(-1) = 4, /(0) = 0, а функция д(х) = (х - а)(х + 1)
ся возрастающей на этом промежутке и д(—1) — 0, д(0) = — а > о, то ппн
а < —1 уравнение (3) имеет единственное решение. ’ ри
2) Если а = -1, то уравнение (2) имеет корень х = -1, а уравнение
(3) , равносильное уравнению Зх + 1 = О, имеет корень х = -I. Следова¬
тельно, при а = -1 исходное уравнение имеет два решения.
3) Если 1 < а < 0, то уравнение (2) имеет корень х = а, удовлетворя¬
ющий условиям (1).
Как и в случае а < —1, уравнение (3) можно преобразовать к виду
(4) , где а < х < 0, так как х > а (условие (1)), а при х < 0 уравнение (3)
не имеет решений.
На промежутке а < х < О функция /(х) = 4х2 убывает, причем /(а) =
= 4а2 > 0, /(0) = 0, а функция д(х) = (х — а)(х 4-1) на этом промежутке
возрастает, причем д(а) = 0, д(0) = — а > 0. Поэтому уравнение /(х) =
= д(х), т.е. уравнение (4), имеет на промежутке — 1 < а < 0 единственное
решение, а исходное уравнение имеет два решения.
4) Если а = 0, то уравнение (3) имеет решение х = 0; уравнение (3),
записанное в виде у/х(2у/х + у/х + 1) = 0, имеет единственное решение
х = 0.
Следовательно, при а = 0 исходное уравнение имеет единственное ре¬
шение.
5) Если а>0, то уравнение (3) имеет решение х = а, а при х?а
(условие (1)) уравнение (3) не имеет решений, так как его левая часть
неотрицательна, а правая отрицательна (х > а > 0).
14.122. -Ю^О.
14.123. as* 0, а> 1.
14.124. Os*as£ 1.
14.125. 2 + у/2.
Решение. Первое уравнение системы запишем в виде
У =
1*1 < 1.
1*1 > 1-
График этой функции изображен на рисунке. Q ^
_ / УРавнение системы, записанное в виде * + (У
— (a - 1) . является при а ф 1 уравнением окружности с иентро
(0; а) радиуса |а - 1|. При любых а ф 1 эта окружность проходи
о)2*
точк«
чер«3
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
403
А(Ош 1) и касается прямой у = 1 в точке А. При а = 1 окружность
т°чкУ «тгя в точку А, и в этом случае система имеет единственное
вырождаете
реШЕсли а < Е т0 окружность лежит (при о Ф 1) ниже прямой у = 1;
ом случае система имеет единственное решение (0; 1).
В * Пусть в > 1. Тогда окружность распо¬
ложена (при у т*1) выше прямой у = \,
система будет иметь, кроме решения
{О- 1). еще два Решения т0ГДа и только
тогда, когда окружность касается прямых
j'h у = —х. Достаточно рассмотреть
одну из этих прямых, например, прямую
« = I.
Если М(0; а) - центр окружности ра¬
диуса г, касающейся прямой у = х в точ¬
ке В, то МА = МВ = г, ОМ = г + 1 =
= а. Так как прямые у = х и у = —х пе¬
ресекаются в точке О под прямым уг¬
лом, то ZMOB = |, ОМ = ВМ\/2, т.е.
г + 1 = г\/2, откуда г = = \/2 + 1,
а = г + 1= 2 + \/2.
14.126. 2 + уД.
14.127. 2 + v/2.
14.128. 2 + v/2.
14.129. 6^§.
Решение. Уравнение имеет действительное решение тогда и
только тогда, когда выполняется неравенство D = (sina + 3cosa)2 -
-4Ь^0. Пусть <p(a) = (sina -I- 3 cosa)2. Так как sina + 3cosa =
= vT0 (sina • -(- cosa ■ = -v/To sin(a + ф), где ф = arccos то
ф(а) ^ 10, причем существует а = * — ф такое, что ф(а) = >/То. Поэто¬
му для любого 6 такого, что 10 — 46 ^ 0, т. е. 6 ^ |, существует а, для
которого D ^ 0. Если 6 > | т. е. 10 — 46 < 0, то для любого а справед¬
ливо неравенство D < 0, и поэтому уравнение не имеет действительных
решений.
14.130. Ъ>-\.
14.131. 6^ П
14.132.
14.133. 0 ^ 6 ^ 1
Р е ш е н и е. Рассмотрим три возможных случая: 6 < 0. 6 =
з) Если 6 < 0, то, полагая d = —6, запишем систему в вид<
fy = z2 + d,
г . \y = a(x + d),
“ > 0. Эта система не имеет решений при а = 0.
0. 6 > 0.
404
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ » ОТВЕТЫ
б) Если Ъ = 0, то система примет вид
(у=22,
\у = ах.
Она имеет решение при любом а.
Гу= |х2 -6|,
\у = х - Ь.
Эта система не имеет решений, так как прямая у = х — b не пересе¬
кает график функции у = \х2 - Ь\ (см. рис. а).
Если 0 < Ь < 1, то у/b $s Ь.
В этом случае прямая у = а(х — Ь) пересекает график функции у -
= |х2 - 6| при любом а (на рис. 6 представлен случай а > 0).
14.134. Ь 6 (—оо; 0] U [1; +оо).
14.135. Ь€[-1;0].
14.136. Ь € (-оо; -1] U [0; +оо).
14.137. а = -11/3, а = 3.
Решение. Запишем систему в виде
(х - З)2 + (у + 2)2 ^ а2,
(х + 5)2 + (у - 4)2 < (2а + I)2.
е yi(3;
Первое неравенство системы задает круг с центром в т ^ ^ радиуса
радиуса |а|. Второе неравенство задает круг с центром ’ ^
|2а + 1| (границы кругов включаются). точку- РаССМ!1-
При а = 0 и а = -1/2 один из кругов вырождается ^ первого
рим эти значения параметра отдельно. Если а — 0, то неравекс
венства системы следует, что х = 3, у = -2. Но тогда вт Р еМ невер
не выполняется (при подстановке а = 0, х = 3, у = "2 по у
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
405
енство 64 + 36 < 1). Значит, при а = 0 система не имеет решений,
диалогично доказывается, что решений нет и при а = -1/2.
АН Пусть теперь а Ф 0, а Ф —1/2. Система неравенств имеет единствен-
ое решение, когда круги касаются внешним образом, т.е. когда сумма
Н° усов равна расстоянию между центрами: АВ = х/^^+Т-б)2 = ю.
Получаем уравнение |а| + |2а + 1| = 10, решая которое, находим, что а =
__ _Ц/3 или а = 3.
14.138. а = -3, а = 2.
14.139. а = -13/3, а = 7/3.
14.140. а = -11/4, а = 9/4.
14.141. а 6 [-1; 3) U (3; 7].
Решение. Геометрический смысл выражения ^/(х+4)2 + (у-a)2 —
это расстояние на координатной плоскости между точками М(х\у) и
Д(-4;а). Аналогично, геометрический смысл выражения л/х2 + (у-a)2 —
это расстояние на координатной плоскости между точками М(х; у) и
5(0; а). Поэтому левая часть уравнения есть сумма длин отрезков МА
и МВ. Поскольку расстояние между точками А н В равно 4, второму
уравнению системы удовлетворяют точки отрезка АВ, т.е. точки вида
(t; а), где -4 ^ t < 0.
Решая первое уравнение как квадратное относительно х, находим, что
ii - -а - 1, х2 = -а + 3. Таким образом, первое уравнение задает две
различных вертикальных прямых на плоскости. Для того чтобы система
имела ровно одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ровно одна
из этих двух вертикальных прямых пересекала отрезок АВ.
Первая прямая пересекает АВ при —4 ^ xi < 0, т.е. при — 1 ^ а ^ 3;
вторая прямая — при —4 < х2 < 0, т. е. при 3 ^ а < 7. Следовательно,
система имеет ровно одно решение при а е [—1; 3) U (3; 7].
14.142. a G [-7/2; -3/2) U (-3/2; 1/2].
14.143. a G [-7; -3) U (-3; 1].
14.144. а G [-7/2; -3/2) U (-3/2; 1/2].
14.145. 4 ^ а < 8.
Решение. Рассмотрим выражение А(х~, у) = х2 — ху + у2 и запи¬
шем его в виде А{х\ у) = (х — |у)2 + |у2. Из этого представления сле¬
дует, что Л(х; у) > 0 при всех значениях (х; у), кроме пары (0,0).
Следовательно, первое неравенство системы равносильно сово¬
купности
*2 - ху + у2 = 0, х = у = 0,
. I2 - 36 ^ о X е (-оо; -6] U [6; +оо).
на I/ 30®Разим множество точек, удовлетворяющих этой совокупности,
поямп^АИНаТ*е^ плоскости (см- Рис.). Получаем все точки, лежащие на
T04KWrv rv\~° И левее нее> точки на прямой х = 6 и правее нее, а также
406
ЗАДАЧИ с ПАРАМЕТРАМИ » ОТВЕТЫ
- папрнствУ- Проведем на координатной пл0С-
wu ко второму нераве j 0ни разбивают плоскость на
П^.«ыех-2 + »=0в*;зИак’ .ырижмий "<* и«ВД»«и
кости прямые* ой из которых знаки
4 ^"возможны 4 случая. Если ^2 + ^0 и х-2-у>д
яниы.Возм неравенство принимает — -
+ у + *-2-»0
аид х — о д!
* <2 + о/2.
б) Аналогично, если х - 2 + у < о
х - 2 - у ^ О, то -х + 2- у + 1_2”
- у < a & У ^ “f •
в) Если х-2 + у <Оих — 2 — у<ото
—х + 2-у —х + 2 + у ^ а о <=> х>2-
— а/2.
г) Если х-2 + у>Оих-2-у<о, то
х-2 + у-х + 2 + у ^ а «- у ^ а/2.
Окончательно получаем, что при а=
= 0 второе неравенство исходной системы
задает точку (2; 0), при a > 0 - квадрат с центром в точке (2; 0) и
стороной а, а при a <0-пустое множество.
Значит если a < 0, система не имеет решении. Если a > 0, то для
того чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы точка
(0;0) попадала в квадрат и при этом квадрат не пересекал прямую х -6.
откуда следует, что 2 4 а/2 < 4, т. е. 4 ^ а < 8.
14.146. 4 s* а <6.
14.147. 6 < а < 8.
К задаче 14.145
14.148. 6s$a<10.
14.149. a = 0; a = 6.
Решение. Рассмотрим выражение А(х; у) = х2 — ху + у и запи¬
шем его в виде А(х; у) = (х — |у)2 + |у2. Из этого представления сле¬
дует, что А(х; у) > 0 при всех значениях (х, у), кроме пары (0, 0).
Значит, неравенство системы равносильно совокупности
х2 - ху + у2 = О,
>-у|^б
х = у = О,
х-у ^ 6,
х -у s* -6
4=>
х = у = О,
у < х - 6,
у ^ х + 6.
Изобразим на ко
ряющиХ зтой совокУпР„осТиТНпЙо;ЛОСКОсти множество точек, удовлетво-
TO«v m m ,8UU,e »«. тонки 2ТаеМ.Ие ттт- "• "Р*в0*
п4°Ьп1Ы !>*•). Р М0Й S' =1 - 6 и ниже нее, а также
Фиаполные каалратыЯо v^~^=a- Преобразуем леву"
ку A/ff]7n T0 уравнение задае^’п УЧИМ + I)2 + (у - I)2 = a +u2'
Радиуса /—При в > -2 - OKnvyCTOe множество, при a = -2 - т0,
yfti + 2. РУжность с центром в точке М(~Ь '
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ • ОТВЕТЫ
407
ПрйТ< -2 система не имеет решений. При о>-2 единственна
решение возможно в двух случаях: окружность проходит через то?™
0(0; 0) или окружность касается прямой у = х + б У
В первомслучае радиус окружности должен быть равен длине ото*™*
ОМ, т. е. у/а + 2 = у/2, откуда о = 0. н
Во втором случае радиус равен
расстоянию от точки М до прямой
х-у + 6 = 0. Это расстояние нахо¬
дим как разность длин отрезков ОН
и ОМ, где ОН есть высота треуголь¬
ника АВО.
Треугольник АВО прямоугольный
и равнобедренный, поэтому ОН =
= \АВ = 3%/2. Тогда НМ = ОН -
- ОМ = 3\/2 - у/2 = 2\/2. Решая урав¬
нение Va + 2 = 2>/2, получаем, что
а = 6.
14.150. а = 0, о = 7,5.
14.151. а = 0; а = 8.
14.152. а = 0; а = 5.
15. КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
£ше*я»Гумм*«« первое неравенство на 3 и складывая с
тьн» вручаем Тр<И. откуда У<Ц- *■"<»“« »Т°Р<* «оравенс,^,
я «' складывая с третьи», получаем -5у < -32. откуда у > 6|. Ит1к
6<9. Исходной системе удовлетворяет только значение у = 8. и £
гдах = 20.
15.2. х = 6, у =
15.3. х = 7, у =19-
ill а'эт)Д2;2-17). (22; 423). (-16; 307).
il l J и 1 -17). (13; 397), (-15; 191).
ls'7 -2; 30) -4; 4). (20; 316). (-26; 774).
ill; и! 31)! (-3; 3), (21; 339), (-25; 751).
Решение. Выразим у через х, получим:
х3 - Зх2 - 8х + 27
х + 2
Выделим целую часть, преобразовав дробь:
х3 + 2х2 - 5(х2 + 2х) + 2(х + 2) + 23 2
• х — 5х + 2 +
23
х + 2 х + 2
Целые значения у примет при целых х тогда и только тогда, когда
примет целые значения, т. е. в следующих случаях: х + 2 = 1, х +
+ 2 = -1, х + 2 = 23, х + 2 = -23. Отсюда находим х\ = -1, хг =
хэ = 21, Х4 = -25, а затем соответствующие значения у.
15.9. (-6; —7), (-4; 3), (4; —5).
Решение. Умножив исходное уравнение на 3, преобразуем полу¬
ченное уравнение:
9ху + 3 • 16х + 3 • 13у + 3 • 61 = 3у(3х + 13) + 16(3х + 13)+
+ 3 • 61 - 16 • 13 = (Зх + 13)(3у + 16) - 25 = О-
Исходное уравнение равносильно следующему:
(Зх + 13)(Зу + 16) = 25. ^
Так как делителями числа 25 являются числа ±1, ±5, ±25, то
жество всех целочисленных решений уравнения (1) содержится во
жестве целочисленных решений следующих шести систем:
(Зх +13 = 1, (Зх +13 = —1, |
\3у +16 = 25; \3у +16 = —25; \
(Зх + 13 = -5, (Зх +13 = 25, (
\3у + 16 = -5; \3у +16 = 1; \
Зх + 13 — 5,
Зу + 16 = 5;
Зх + 13 = -25,
Зу + 16 = -1;
КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ • ОТВЕТЫ
409
Первая, четвертая и пятая из этих систем имеют целочисленные решения
Л 3), (-6;7) и (4; -5) соответственно. Остальные системы не имеют
ашрний в целых числах.
Ю. (6; -5). (4; 5), (-4; -3).
15.11. (—5;—8), (—3; 2), (5; —6).
15.12. (—7; 5), (—5; 5), (3; 3).
15.13. (1; -5), (1; -3).
решение. Запишем второе уравнение в виде (х - I)2 + (у + 4)2 =
= 1, откуда (х - I)2 < 1 и |х - 1| ^ 1. Поэтому х может принимать толь¬
ко значения 0, 1 и 2. Если х = 0, то из второго уравнения получаем
У = -4. Пара чисел (0; -4) не удовлетворяет первому уравнению. Если
X = 1, то \у + 4| = 1, откуда у2 = -5, у\ = -3. Обе пары чисел (1; -5) и
(1; -3) удовлетворяют первому уравнению. Если х = 2, то у = -4. Пара
чисел (2; —4) не удовлетворяет первому уравнению.
15.14. (2; 0), (2; 2).
15.15. (-5; 1), (-3; 1).
15.16. (-2; 0), (-2; 2).
15.17. 3 и 2.
Решение. 1) Последние цифры чисел 2к повторяются через 4 (21 =
= 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64 и т.д.). Поэтому последняя
цифра у числа 22002 такая же, как и у числа 22 (2000 делится на 4),
т.е. 4.
Аналогично, последняя цифра у числа З2002 такая же, как и у числа
З2, т.е. 9. Следовательно, последняя цифра числа а такая же, как у
суммы 4 + 9 = 13, т. е. тройка.
2) Остатки от деления на И чисел вида 2" повторяются с периодом 10.
Поэтому остаток от деления числа 22002 на 11 равен остатку от деления
на И числа З2, т.е. равен 4.
Аналогично, остатки от деления на 11 чисел вида 3fc повторяются с
периодом 5. Поэтому остаток от деления числа З2002 на 11 равен остатку
от деления на 11 числа 22, т.е. равен 9.
Следовательно, остаток от деления на 11 числа а равен остатку от
Деления на 11 суммы 4 + 9, т.е. равен 2.
15.18. 8 и 3.
15.19. 3 и 8.
15.20. 3 и 9.
15.21. 618228, 618237, 618246.
Решение. Пусть ABCDEF — данное шестизначное число. Обо-
значим пятизначное число ABODE через х. Тогда ABCDEF —
~ FABCDE = (Юх + F)~ (100000F + x) = 9x - 99999F. Таким обра¬
зом, полученная разность делится на 9. Из промежутка [618222; 618252]
На 9 делятся числа 618228, 618237, 618246.
410
Покажем что эти числа могут быть получены в результате
Для этого надо показать, что каждое из уравнений
9x-99999F = 618228,
9x-99999F = 618237,
9x-99999F = 618246
имеет целочисленное решение, где х - пятизначное число, a F - ииА
отличная от нуля. Для этого достаточно в каждом из уравнений попг
вить F = 1 и убедиться, что получающееся значение х является п *'
значным числом. Действительно, первому уравнению удовлетворяет па*1
х = 79803, F = 1; второму - пара х = 79804, F = 1; третьему - n JJ
х = 79805, F = 1. Значит, если в качестве исходных чисел взять 798031
798041, 798051, то в результате перестановки и вычитания мы получи»!
числа 618228, 618237, 618246. 1 им
15.22. 429462, 429471, 429480.
15.23. 382347, 382356, 382365.
15.24. 584550, 584559, 584568.
15.25. 891880,891891.
Решение. Пусть ABCDEF — данное шестизначное число. Обо¬
значим пятизначное число ABODE через х. Тогда ABCDEF +
+ F ABODE = (10х + F) + (100000F -f x) = llx + 100001F = ll(x +
+ 9091F). Таким образом, полученная сумма делится на 11. Из проме¬
жутка [891870; 891899] на 11 делятся числа 891880, 891891.
Докажем, что эти числа могут быть получены в результате сложения.
Для этого надо доказать, что каждое из уравнений
ll(x-f 9091F) = 891880,
ll(x + 9091F) = 891891
имеет целочисленное решение, где х — пятизначное число, a F — цифра,
отличная от нуля. Для этого достаточно в каждое из уравнений подста¬
вить F = 1 и убедиться, что получающееся значение х является пяти¬
значным числом. Действительно, первому уравнению удовлетворяет пара
х = 71989, F = 1; второму — пара х = 71990, F = 1. Значит, если в каче¬
стве исходных чисел взять 719891, 719901, то в результате перестановки
и сложения мы получим числа 891880, 891891.
15.26. 375364,375375.
15.27. 427416, 427427.
15.28. 639628,639639
15.29. 25200.
Р е ш е н и е. Рассмотрим два случая. „ 140
”Пусть а Делится на 5 (на отрезке [1; 700] имеется 700-Д^ко
тй ’НаЧеГ а^‘ '^ля кажДого такого значения а подходят те ^ j
Мв ЧпТ \ П^И К0Т0РЫХ сумма остатков от деления а на льнЫ*
значений bV’ Т'в‘ подходит °ДН0 из каждых семи последов h^b.
того для каждого значения а получаем по 100 в Р
КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ • ОТВЕТЫ
411
2) Пусть а не делится на 5 (на отрезке [1; 700] имеется 700 — 140 =
-560 таких значений а). Для каждого такого а подходят те и только
Ге значения Ь, кратные 5, при которых сумма остатков от деления а
на 7 и Ь на 7 равна 0 или 7, т.е. подходит одно из каждых 5-7 = 35
последовательных значений 6. Итого для каждого значения а получаем
по 20 вариантов.
Суммируем количество пар: 100 • 140 + 560 • 20 = 25200.
15.30. 25000.
15.31. 31200.
15.32. 52500.
15.33. 2556.
Решение. Пусть сторона длины 25 — горизонтальная, сторона дли¬
ны 22 — вертикальная. Дополним каждую нужную тройку клеток чет¬
вертой клеткой так, чтобы центры этих четырех клеток образовывали
прямоугольник 4x7. Достаточно посчитать количество к таких четве¬
рок и результат умножить на 4.
Пусть катет длины 7 направлен по вертикали. Тогда положение прямо¬
угольника однозначно определяется его левой нижней вершиной, которая
может быть расположена в любой из 22 — 7 = 15 нижних строк доски и
в любом из 25 — 4 = 21 левых столбцов доски. Итого 15 • 21 = 315 вари¬
антов.
Если катет длины 7 направлен по горизонтали, то аналогично находим
количество способов: (25 — 7) (22 — 4) = 324. Итак, к = 324 + 315 = 639;
в итоге получаем 4к = 2556.
15.34. 2592.
15.35. 2824.
15.36. 4192.
15.37. 216.
Решение. Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и
достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5. Для делимости на 5 нужно,
чтобы последней цифрой числа были 0 или 5. Значит, полученное число
будет делиться на 5, если мы вычеркнем любые две цифры, кроме двух
последних.
Перейдем к делимости на 3. Если в числе заменить все цифры 7
на 1, цифры 3 на 0, а цифры 5 на 2, то остаток от деления чис¬
ла на 3 не изменится (остаток от деления числа на 3 равен остат¬
ку от деления суммы цифр этого числа на 3). Таким образом, нужно
Узнать, сколькими способами можно вычеркнуть две цифры из числа
X =12020120201202012020120201202012020 так, чтобы полученное чис¬
ло делилось на 3. Сумма цифр числа X равна 35. Чтобы после вычеркива¬
ния сумма цифр делилась на 3, мы можем вычеркнуть либо две единицы,
либо двойку и ноль.
Количество способов вычеркнуть две единицы равно С% = 21; коли¬
чество способов вычеркнуть один ноль и одну двойку равно Cj4 • С}4 =
= 14 -14 = 196.
УПМБИНАТОРИКА и теория ЧИСЕЛ « ОТВЕТЫ
412
Две последние цифры вычеркивать нельзя, поэтому полуЧаем 1о
+ 21-1 = 216 способов. *96 +
15.38. 216.
15.39. 216.
15.40. 216.
15.41. 247.
15.42. 219.
15.43. 219.
15.44. 247.
Ре ш е и и е. Для того чтобы число делилось на 6, необходимо
статочно, чтобы оно делилось на 2 и на 3. Для делимости на 2 НужД°'
чтобы последней цифрой числа были 0, 2, 4, 6 или 8. Значит, получен»,?’
число будет делиться на 2, если мы вычеркнем любые две цифры, Кро*
двух последних.
Перейдём к делимости на 3. Если в числе заменить все цифры 4
на 1. цифры 9 и 6 на 0, а цифры 5 и 8 на 2, то остаток от деления
числа на 3 не изменится (остаток от деления числа на 3 равен остат¬
ку от деления суммы цифр этого числа на 3). Таким образом, нужно
узнать, сколькими способами можно вычеркнуть две цифры из числа
X = 2200122001220012200122001220012200122001 так, чтобы полученное
число делилось на 3. Сумма цифр числа X равна 40. Чтобы после вы¬
черкивания сумма цифр делилась на 3, мы можем вычеркнуть либо две
двойки, либо единицу и ноль. Количество способов вычеркнуть две двой¬
ки равно С?6 = 120; количество способов вычеркнуть один ноль и одну
единицу равно С}6 • С\ = 16 • 8 = 128.
Две последние цифры вычеркивать нельзя, поэтому получаем 128 +
+ 120 - 1 = 247 способов.
15.45. 216.
Решение. Опишем вокруг 18-угольника окружность. Будем счи¬
тать, что длина окружности равна 18 (тогда длина дуги между соседни¬
ми вершинами равна 1). Вписанный угол в 40° стягивает дугу длиной 4.
Значит, для данной вершины А найдутся 18 - 4 - 1 = 13 (неупорядочен¬
ных) пар вершин (В, С), для которых /.ВАС = 40°. Суммируя по все
вершинам, получаем 13 • 18 = 234 тройки вершин. При таком подсч
Учтены I® равнобедренных треугольников с углами 4 . •
100 (положение равнобедренного треугольника однозначно __ 216
ся положением его вершины), поэтому в итоге получаем 234 —
способов расположения точек
15.46. 384.
15.47. 690.
15.48. 900.
15.49. 364. „я
Решение. Опт,,*., .иика. ВписанН
Угол, равный 90«° оп 0КРУЖН0СТЬ вокруг 16-угольника ^
является пиан* ’ 0ПИРается на диаметр, поэтому одна и дЯТсВ
является диаметром окружности, а две другие вершины нахоД
по
КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ • ОТВЕТЫ
413
„ые стороны от этого диаметра. Всего есть 8 диаметров; каждую из
р х других вершин можно выбрать семью способами. Тогда получает-
А у8.7.7 = 392 четвёрки точек. Но при таком подсчёте прямоугольники
/т е. четырёхугольники, у которых обе диагонали являются диаметра-
\и) посчитаны дважды. Каждый прямоугольник однозначно определяет¬
ся своими диагоналями (т.е. двумя диаметрами). Прямоугольников вы¬
ходит С| = 28 штук, и в итоге получаем 392 - 28 = 364 варианта.
15.50. 540.
15.51. 765.
15.52. 231.
15.53. 126.
Решение. Правая часть представляет собой произведение нату¬
ральных степеней чисел 2, 3, 5. Следовательно, в разложении левой части
на простые множители также будут содержаться только множители 2, 3,
5. Тогда числа х и у можно записать как х = 3“ • 5Р • 2V, у = 3х • 51* • 2V,
где все показатели степеней есть целые неотрицательные числа. Уравне¬
ние принимает вид З3а+2Х • 5зр+2и . 23y+2v _ 315.535.24о эт0 равносиль.
но системе уравнений
За + 2Х = 15,
< ЗР + 2р = 35,
Зу + 2v = 40.
Чтобы все переменные принимали целые неотрицательные значе¬
ния, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия а е {1; 3; 5},
Ре {1; 3; 5; 7; 9; 11}, уе {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12}. Получаем три варианта
для первого уравнения, шесть вариантов для второго и семь для третье¬
го. В итоге 3 • 6 • 7 = 126 решений.
15.54. 126.
15.55. 144.
15.56. 189.
15.57. 276.
Решение. Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно
Делится на 3 и на 5.
Для делимости на три необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр
этого числа делилась на три. Значит, чтобы полученное число делилось
на три, из всех данных цифр мы должны отбросить либо ноль, либо
тройку.
Чтобы число делилось на 5, на последнем месте должны стоять либо
5. либо 0. Рассмотрим все варианты.
а) Отбрасываем цифру 3, на последнее место ставим цифру 0. Тогда
из первые пять мест в произвольном порядке надо расставить цифры 1;
^ 3; 4; 5, что можно сделать 5! = 120 способами.
б) Отбрасываем цифру 3, на последнее место ставим цифру 5. Тогда
На первые пять мест надо расставить цифры 0; 1; 2; 3; 4. Этот случай
отличается от предыдущего тем, что на первом месте не должен стоять
Jlf. W Tf ПРИЯ ЧИСЕЛ « ОТВЕТЫ _____
К0«БИНАТ0РИК1]1Д^ " —~
_ U2^ ^LraTb так-, из общего количества пер*.
^1обов можно п°счиТесТВ0 перестановок, в которых ноль
зк в итоге "олу,мм 5"41 ■
цифр, находяЩих меСТО ставим 5. Тогда на остав-
1; * 2; 5; 4-370 кожно
ТТ»^' + 96 + 60 - *6 способов.
1 В*Г,Г“
16. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ
16.1. i=5 arccos j + лк = arctg + лк, к G Z.
16.2. х = arccos £ + (2n + 1)л, nGZ.
16.3. x = | arccos § + яп = arcctg>/5 + яп, n G Z.
16.4. 1 = arcsin | + (2n + 1)я, n G Z.
16.5. x = я + arccos g + 2яп, n G Z.
16.6. 1=3 + 5 arcsing + 2яп; x = л - 5 arcsing + 2лп, nG Z.
16.7. x = я + arcsin | + 2яп; x = arcsin g + 2яп, n G Z.
16.8. x = 5 arcsin g + 2яп; x = g — £ arcsin 5 + 2лп, n G Z.
16.9. x = (-l)n+1g + яп, n G Z.
16.10. x = + 2лп, n G Z.
Решение. Преобразуем уравнение к виду t2 log6 2 = t log6 12, где
t — log2 (4 cosx + 3).
Если t = 0, to 4cosx + 3 = 1, т.е. cosx =—\ и x = + 2лп, n G Z.
Если t = ^ 2 = log2 12, to 4cosx + 3 = 12. Это уравнение не имеет
корней.
16.11. х = -\ + 2лп, nGZ.
16.12. х = я + 2яп, nGZ.
16.13. р = 16, S = 5 (р = 1, р = I — посторонние корни уравнения
bgiP = logp/8 р).
16.14. р = 16, 5 = g (р = 1,р = 2 1512 — посторонние корни уравне¬
ния log2p = 301og8N/2p).
Решение. Пусть а,Ь,с — длины сторон, ha,hb,hc — длины вы¬
сот треугольника, S — его площадь, тогда ha = /»ь = ™, hc =
Если Х1,х2,хз — корни кубического уравнения, то оно может быть за¬
писано в виде (х - xi)(x - х2)(х — х3) = 0 или х3 — (ii -I- х2 + хз)х2 +
+ (zix2 + х2х3 + x3xi)x — Х]Х2х3 = 0. Таким образом, а + b + с = —,
а4 + Ьс + са= ф, abc=\31 + ™ + Ц. = ||log2p|. ^ =
^ = ТТ+^р- Последние три уравнения можно переписать
' виде 2S = J | log, р|, 4S2 ^ = log**, р, ^ ». «с-
ключив переменные а, b и с, мы получаем систему уравнений
15
64
= 853(11 -I- у/р),
ч = 452 5 |log2 р|(11 + у/Р),
[ ” = 25(log8v^p р)(11 + у/р).
Перемножив первое и третье уравнения и разделив на квадрат вто-
^Го» получаем log2 р = 30 log8v/2P Р, т-е- l°g2 Р = 30 log2 р/ log2 (8\/2р).
КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ • ОТВЕТЫ
416
Положив logip = t. получаем t -30t/(i + t) или((( +2t-30)
откуда !,=0. (в -4, (з = -¥- Корвнь ( = 0 - посторонний, так
тогда Л„ + /* + А. = 0. ■>« Д™ К°РН» ( = -f получам,
2-15/2 и последние два уравнения системы принимают вид
5.215/4 = 4S2 • | (П + 2-15/4),
32 • 215/2 = 2S ■(11 + 2-15/4).
I;
Полученная система несовместна.
Наконец, если t = 4, то р = 16. Получаем совместную систему, из
которой находим S.
16.15. р = i, 5 = 5 (р = 4,р = 16V2 - посторонние корни уравнения
logH = f 1о8р^5 <)•
16.16. P = 5,S = i(p=iP = S75- посторонние корни уравнения
log2y5(5p) = 41ogp/vs(5P))-
16.1Т. i = log3|-
16.18. х = log4 §, х = l°g4 5-
16.19. x = log7y-
16.20. x = log5 f,x = log51. c , 10 .
16.21. i = |+nfc, у = л + 12:is или у = 5я + 12лз, k,s££.
Решение. Заметим, что 3* + 2“*>1 при всех х, 3-cos4x+
+8in^>l, причем равенство 3 - cos4i + sin-^ = 1 является верным
только в том случае, когда
cos 4л: = 1,
(1)
Далее, при всех х и у справедливо неравенство |sin3xcos2y| < 1. а Ра*
венство |sin3xcos2y| = 1 имеет место тогда и только тогда, когда
|sin3x| = l, | cos 2у | = 1. ^
Наконец, при всех у справедливо неравенство
у
соз-
3
+
. У
sin-
3
>1,
так как |cos§| ^cos2£, |sin|| ^sin2| причем равенство
у
COS-
+
. У
sin -
3
3
является верным только в том
= 0, т. е. когда
К
случае, когда либо cos \ = 0, либо sin 3
(3)
2 у
sm ~ Ф 0, sin Зх cos 2у ф О,
<5
равна нулю, если справедливы равенства (2) и выполняются условия
ъ,
sin — ф 0.
3 г
(5)
Итак, задача сводится к нахождению решений системы, содержащей
уравнения (1), (2), с учетом условия (5). Если cos4x = l, то х=^,
п € Z и равенство | sin3x| = |sin ^ | = 1 имеет место, если n = 2к + 1, и
тогда х = §(2к + 1) = § + лк, к € Z. Если sin^ = -1, то ^ ^ + 2лп,
ysji+^y1. Равенство |cos2y| = |cos (2л + §|й)| = 1 является верным,
если 2л + Щр- = лк, к € Z, откуда 8n = 3(fc - 2), тогда п = 31,1 € Z, у =
= л + 4лI, I G Z.
Остается выяснить, при каких 1 выполняется неравенство (5).
Если sin Ц- = 0, то ^ = Зг, г G Z, у = 25г, и тогда Зг = 2 + 8i или
3(3i -г)+ 2 = 1.
Это равенство не выполняется, если I = 3s или I = 3s + 1, s € Z. Итак,
у = л + 4л1 = л + 12лв или у = л + 4л(3з + 1) = 5л + 12лз, а € Z.
16.22. + 4лтп; 2я + 4л£), (1у* + 4лтп; 2л + 4л£); fc, тп G Z.
16.23. (л + 2лк\ | + блт), (л + 2лк\ тр + блпг); к, т £ Z.
16.24. (^р + Злтп; ^ + Злк), + Злят; Зр + ЗлА:); к,т G Z.
16.25. (1; —1).
Решение. Пусть /(х) = х - 1пх, тогда /'(х) = 1 - j, откуда сле¬
дует, что функция /(х) убывает на промежутке (0,1], возрастает на про¬
межутке (1, +оо), и поэтому /(х) > /(1) при х > 0, причем равенство
Дх) = х — lnx = 1 достигается только при х = 1.
Из первого уравнения системы следует, что Дх) = х - lnx = 2у —
- У4 = 1 — (у2 — I)2 ^ 1, причем равенство 1 — (у2 - I)2 = 1 имеет ме¬
сто только в случае, когда у2 = 1, т.е. при у = 1 и у = -1. Таким об¬
разом, первому уравнению системы удовлетворяют две пары чисел (1,1)
и (1; —1), из которых только вторая пара чисел удовлетворяет второму
Уравнению системы, Итак, система имеет единственное решение (1, - )•
16.26. (0; -1).
!6-27. (J=; 1).
16.28. (-^;0).
16.29. arctg(\/2 - 1) + лп, arctg ^ + лп,п€ Z.
16.30. arctg + лп, arctg + лп, n G Z.
16.31. arctg(>/2 + 1 ) + лп, arctg ^ + яп, n G Z.
418
КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ » ОТВЕТЫ
ГiWl + ЯП arctg1^ + ЯП, п € Z.
1632. arctg 2 „ 1\|,/2д. о. 5я\
16 33 хе(-2;-з)иН; 2)и1т- з >•
Решение Меньшее из значений выражении не превосходит дйух
„гГГко тогда, когда зкзчение котя бы одного из выражп1
^восхода двух- Получаем совокупность неравенств
7(х) ^ 2,
Д(х) ^ 2.
Первое неравенство равносильно каждому из следующих:
1 + tg2 z + 2\/3 tgx + 4 ^ 2, (tgx + %/з)2 ^ О,
откуда tgx = -v/3, х = —§ + лк, к 6 Z.
„ 2х — 1 , V16 + 6х — х2 ^ „
Рассмотрим неравенство ^======у Н 2х - I ^ 2.
В его левой части записана сумма двух взаимно обратных чисел. Она
не превосходит двух в одном из двух случаев:
Ол* ^, 1
а) каждое из чисел отрицательно, т.е. г. == < 0, откуда
v 16 + 6х — х2
хб(-2; 1/2);
п_ 1
б) каждое из чисел равно единице, т. е. , == = 1, откуда
у/16 + 6х — х2
4х2 - 4х + 1 = 16 + 6х - х2, х2 - 2х - 3 = 0, х = 3.
За счёт области определения функции /(х) получаем ограничение
* ф | + лтп, т € Z, а за счёт области определения g(x) — ограничение
х€ (-2; 8) \ {i}. Объединяя решения и учитывая ОДЗ, получаем, что
хе(-2; -f)U(-§; 1) U {f; 3; $}.
16.34. х 6 (-1
16.35. х 6 (-3
16.36. х € (-4
16.37. х 6 [-4
0)U(0; |) U {4; f; %}
-5)UH; -?)u{2;
(-л; -|) U {f; 1;*?}.
* ^ Г"*' ~ъ) и (“!' -1) U Ф 2я’’ ПРВОСХОДИТ двуХ
Решение. Меньшее из значений выражений не пр ^ций ие
тогда и только тогда, когда значение хотя бы одного из в р
превосходит двух. Получаем совокупность неравенств
№ < 2,
5(х) ^ 2.
КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ « ОТВЕТЫ
419
Второе неравенство равносильно каждому из следуЮщих:
Зх — х2 + 2i + 2 V2HT4 *
1 + 1 < 2 <=> VJSJ: Зд -1?
I + Г ^0
Г28 + Зх - х2 = О,
\х + 15^0,
Г28 + Зх - х2 > О,
\х + 1 < О,
х = -4,
х = 7, хе(-4;-1)U{7).
-4 < х < -1
функция /(х) представляет собой сумму двух взаимно обратных
положительных чисел. Она не превосходит двух только в одном слу¬
чае — если каждое из чисел равно единице. Таким образом, неравенство
/(х) < 2 равносильно уравнению tg2 = 1, откуда — ”д = 5 +
+ y, к е Z, созх = 1 + 2к, к € Ъ. Учитывая, что -1 ^ cosx < 1, получа¬
ем, что решения есть только при к = -1 и к = 0, и эти решения задаются
формулой х = nl, I е Ъ.
За счёт области определения функции /(х) получаем ограничение
х ф | + пт, т е Ъ, а за счёт области определения функции g(x) — огра¬
ничение х € [-4;7) \ {-1}.
Объединяя решения и учитывая эти ограничения, находим, что
х€ [-4; -|) U (-|; -1) U {0; л; 2л; 7}.
16.38. х € [-5; -&) U (-$; -2) U {-=; 1,ЦУ, 3.
16.39. х е [-4; -л) U -л; 0) U (0; 1){§; f 8}.
16.40. х € [-3; 0) U (0; л) U (л; 4) U *р; 8}.
17. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ПРОГРЕССИИ
23 s Второй велосипедист обгонит первого впервые, проехав
5 ПТГ Г^'воГв'о^совершит обгон «Мерседеса*, пройдя 12 полных
кругов и If' лыжник обгони, первого впервые, проехав 14 пов-
17.0. 9 t» ‘ г
ных кругов^еше^ о6гон ,Крайслера*. пройдя 10 полных
17.4. з
кругов И еше 55. т ист ДОЛжен сесть в автобус №66. если в
17 5. Цд, *М0» **11* «» - Nfo О
момент отплытия 0^"ра^"СеЯСт^нник должен сесть в дилижанс №21.
м°7г8°ТП8ЫТП9.^ВкурьеР Должен сесть* в кабриолет №22. если в
момент отплытия отправляется кабриолет^ 2 j,
17.9. х = -arctg | + 2лп, n € Z, к -11 (ai - 5, wi*
Т = л - arctg 7 +2лп. п€ Z, к = 15 (aj - $,<*- wi¬
pe ше ни е. Воспользовавшись свойством последовательных членов
арифметической прогрессии, получим
откуда
8 sin х ctg 2х = cos х — sin х,
4 tg2 х - tgх - 3 = 0, tgx = l, tgx = -|.
В первом случае
Bin х = cosx = ctg2x = 0
и разность арифметической прогрессии d = T-fy-
Далее имеем
aT = i = ai + 6<£ = oiq:^, <*1 = 5 ±73*
Поскольку . . . ,Ч/|
a* = -sin х = = ai + (А: — 1)а,
то ?{к -1) ^ = Tj. - i и ±у/2 = (к - 8) • 5. к € N, ЧТО невозможно в
силу иррациональности числа у/2.
Во втором случае существуют две возможности: 7 ^ J>,
1) х = -arctg j + 2лп, n € Z, тогда sinx = — §. ctg2x = "24' 1
<*1 = -|. ak = ~l + = |. Отсюда fc = 11. . d*
2) x = я - arctg 2 + 2лп, n€Z, тогда sinx = | в ctg2x— ?*'
= “B-e» = 3.°k = 5-^ = -| и* = 15.
1T.10. l = -aretg{ +2„n, fc = 7,
17.11. x- arctg 4 + 2лт», n€Z, fc = 7; (<ц = 2» d = _2\.
x = л - arct6 3 + 2лт», n 6 Z, Jfc = 7, (<ц = -Ip,/J 2). B/>
17.12. x = -arctg2 + (2n + 1)л, n e Z,k = 8, (at = ,= ^
17.13. d = 2/3, minai = -7/6.
Решение. Путь a* - А:-й член арифметической прогрессии, d - ее
разность, d > 0 по условию.
Если ат = 13/6, а„ = 75/2, ар = 389/6, то 1^т<п<р^100 и
справедливы равенства
13
75
7=a, + (m-lK ~ = a! + (т» — l)d, ^=ai + (p_1)d.
Обозначим а = п - т t = р - п, тогда а > 0, t > 0 и 2 < а +1 ^ 99,
T-f = ¥=sd- W~T = 1T = td> откуда £ = Ш = 55, 53 • t = 41 • а.
Так как t и а — натуральные числа, а 41 и 53 — взаимно простые
числа, то t делится на 41, а а делится на 53.
Пусть t = 41г, где г 6 N, тогда а = 53г и 2 ^ а +1 = 94г < 99, откуда
следует, что г = 1, а = 53 и разность прогрессии
_ 212 _ 212 _ 2
6s ~ 6- 53 ~ з'
Так как ai = -у - |(m -1) и р = т + 94 $ 100, то наименьшее из
возможных значений ai достигается при наибольшем из возможных зна¬
чений т, которое равно 6. Следовательно, minai = ^ | • 5 = -j.
17.14. d = 3/4, minai = -39/2.
17.15. d = 3/5, minai = —193/15.
17.16. d = 4/7, minai = —13/2.
Решение. ОДЗ уравнения определяется условиями
tgx > 0, tgx ф 1, ctgx — 2 > 0, ctgx Ф 3. (1)
Обозначим logtgI(ctgx — 2) = 11, тогда уравнение примет вид
ц + — =2u2 — 3u + 1 = 0,
2ti 2
откуда ui = 1, и2 = „ пj._2_ ,
а) Если и = 1. т. е. !og,.,(ctg* - 2) = ‘. то tg* = ctg* - 2. 2 tg х +
+♦ 1 -—
Уравнение tgx = \/5-l имеет решения *4rctg(>/5-») + ■“•
«€Z.
б)ЕСЛИ” „ЛИ tg3x - 4tg2x + 4tgx -1=0,
! _4_+4 = tgI *ЛИ
** '“ (tgI -«(tg’x-stgx +D=o.
. „ удовлетворяю1 условиям 0). в уравнение «g’x-
Значения tgx = l не уА &Л. Если tgx = -*?-, то ctgx =
- 3tg! +1 “ 0 ““МТ Княются условия (I). Если tgx = то ctgx =
- ивыимияются условия (1). а это уравнение имеет корни
I2«cW+*n'n€Z-
18. МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
18.1. S — 625 (arctg ^ + arctg §) - § • 169. Фигура М заштрихована
(рис. в)
Решение. Второе неравенство системы равносильно неравенству
(а - 13)г + у2 - 144
х2 + у2 — 625
Точки, координаты которых ему удовлетворяют, лежат внутри круга
радиуса 25 с центром в точке (0; 0), но вне круга радиуса 12 с центром в
точке (13; 0). Множество всех этих точек указано штриховкой на рис. а.
Неравенство
Vis ^У~2х
(1)
имеет смысл, если ху > 0, то есть для точек (х; у), лежащих в первом
или третьем квадрантах.
При у <2х правая часть неравенства (1) отрицательна, поэтому все
точки (х; у) такие, что ху > 0, у < 2х являются его решениями.
К задаче 18.1
Если ху > 0, у ^ 2х, то неравенство (1) равносильно каждому из сле¬
дующих неравенств;
> У2 - 4ху + 4х2
15
откуда 2х ^ у < ^х при х ^ 0 и 2х ^ у ^ |i при х <0.
Таким образом, неравенству (1) удовлетворяют точки, отмеченные
штриховкой на рис. б.
Заметим, что прямая у = ^х имеет единственную общую точку А —
= (if: fs) с окружностью (х - 13)2 + у2 = 144.
Поэтому фигура М имеет вид, указанный штриховкой на рис. в.
Площадь фигуры М равна сумме площадей двух секторов (соответ
ствующие центральные углы равны arctg -g- и arctg 3) минус площа
полукруга радиуса 12.
424
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ « ОТВЕТЫ
",82 S=^irt^i+20+^ = f("-«ctg2V2)+20 + 2ba
Фигура М заштрихована (см. рис.). 4-2; 4). В(-10/3; -10V5/I).
У>
8
yji>г
XT's.
bglggl
0 ух
Уя
■lx
У,
0
= V5х
в
*4
J у
-4
К задаче 18.2
К задаче 18.3
К задаче 18.4
18.3. S = 32(arctgf+arctg3)-§n. Фигура М заштрихована
(см. рис.), Л(12/5; 16/5) - точка касания.
18.4. 5 = 4 arctg ^- + ^ + 4 = 2 arctg ^ + ^ + 4. Фигура М за¬
штрихована (см. рис.), А(2; -2), В{—2л/5/3; —10/3).
18.5. Фигура Ф — окружность (а + 13)2 + 62 = 169 с исключенной
точкой (—1; 5). Прямые: 6 = -§уа + 7, а = 0 — касательные, 6 = 2а + 7
проходит через точку (-1; 5).
Решение. Найдем х и у из первых двух уравнений системы. С
этой целью вычтем из первого уравнения, умноженного на 6, второе,
умноженное на (6 - 4):
4(о + 6-4)1 = 12-Ь. (1)
Кроме того, вычтем из второго уравнения, умноженного на а, первое,
умноженное на (а - 4):
4(а + 6 — 4)у = а + 8. (2)
Рассмотрим случай а + 6 ф 4. Тогда система, состоящая из первых
двух уравнений исходной, имеет единственное решение
12-6 в + 8
X = ; у = .
4(в + 6 — 4) 4(в + 6 — 4)
Подставляя выражения для х и у в третье уравнение, после преобра¬
зований получаем уравнение окружности (а + 13)2 + 62 = 169.
Условие а + 6 Ф 4 означает, что из этой окружности необходимо ис¬
ключить точки (-8; 12) и (-1; 5).
В случае а + 6 = 4 из соотношений (1) и (2) вытекает, что решение си¬
стемы может существовать лишь для а = -8, 6 = 12. При этих значениях
а и 6 исходная система принимает вид
( -8х + 8у = 2,
< ~12х + 12у = 3,
и имеет единственное решение!+ ^ ^
К задаче 18.5 К задаче 18.6 К задаче 18.7
Легко видеть, что искомыми прямыми будут:
1) b = -§у а + 7, а = 0 — касательные к окружности, проведенные из
точки (0; 7),
2) 6 = 2а + 7 — прямая, проходящая через точку (0; 7) и исключенную
точку Р (—1; 5).
18.6. ^ (о2-а+6)}/{(|; ^)} — парабола с исключенной
точкой Р = (§; (см. рис.). Прямые: о = -6 - параллельная оси, 6 =
= —ifa-f — касательная, 6=-±£a+f — проходит через искомую
точку.
18.7. Ф = {а2 + (Ь + 5)2 = 25} /{(-3; -1)} — окружность с исклю¬
ченной точкой Р= (—3; —1) (см. рис.). Прямые: 6 = 0 — касательная,
6 = | (а — 10) — касательная, 6 = ^ (а — 10) проходит через искомую
точку.
18.8. Ф = {б=^(а2—а —2)}/{(—6; 12)} —
парабола с исключенной точкой Р = (-6; 12)
(см. рис.). Прямые: а = 4 — параллельная оси,
6= — касательная, 6 = ^ —
проходит через исключенную точку.
18.9. у = 2(i + 2)2 + 25.
18.10. у = -^(х-8)2.
18.11. у = -{х - I)2 - 6.
18.12. у = ±(х + 9)2.
18.13. S = jv/17 (Фигура М ограничена параболами П1: у = х2 -
- §, П2: у = —х - 4х; точка Р(-1,-\) - центр прямоугольника, коэф¬
фициенты наклона его сторон fci>2 = вершины B(|>/l7 - 1; -*).
D(-l-§4/l7;-l)).
18.14. S = y л/17. Фигура М ограничена параболами у = -5- - 7 и
у = _ (*+2)а + 2. Центр прямоугольника - точка (-1; -§).
Решение. Обозначим коэффициенты при р2 и р~2 через а и с со¬
ответственно. Пусть t = р2. По условию множество М состоит из точек.
Для которых f(t) = 4 + at + f^0 ПРИ всех * > 0 /( )
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ « ОТВЕТЫ
426
. с и 1 т = с(\)2 + 4 • i + а - квадратные трехчлены относительно
* и 1 соответственно, для неотрицательности которых необходимо, что¬
бы а> О 0. Эти условия и достаточны, так как при их выполнении
f(t) ^4, если t >0. Итак, М - множество точек, координаты которых
удовлетворяют системе неравенств
(2у - х2 + 14 > 0,
{-(х2 + 4х + 2у) ^ 0,
т.е. является фигурой, ограниченной параболами у = ^ - 7, п2: у =
_ + 2 (см. рис.).
Парабола П1 получена из параболы у = ^ сме¬
шением на 7 вниз, а парабола П2 — из симметричной
ей относительно начала координат параболы у = -
смещением ее на 2 влево и на 2 вверх, поэто¬
му множество М имеет центр симметрии — точку
Р(—1; — |) (точку Р можно найти и как середину
отрезка, соединяющего вершины парабол П1 и П2).
Из центральной симметрии множества М следует,
что центр прямоугольника ABCD совпадает с точ-
К задаче 18 м кой Условию ЯВ II Ох, поэтому точки В и D
имеют координаты В(х0; — §), D{-2-х0; -§); то¬
гда прямая СВ имеет уравнение у = к(х — хо) - §,
а перпендикулярная ей прямая АВ — у = -£(х - х0) - §.
Прямая СВ касается параболы Пь а прямая АВ — параболы П2,
поэтому дискриминанты квадратных уравнений
к(х - х0) - - = -— 7
2 2
(х + 2у
+ 2,
задающих абсциссы точек пересечения прямых с параболами, равны ну¬
лю, т. е.
Di = k2 — 2кх0 + 9 = 0, /)2 = -^ - - — — + 9 = 0.
к* к к
Решив эту систему, получаем
k=l-±fi <*>0), x„ = ?vT7-l.
4 4
Отсюда BD = | v/l7, 5 = j4B • ВС = BD2 sina cosa, где a = ^DBC,
tga = k, t. e. S = BD2 tgacos2a = BD2k ^ = f vT7.
^18.15. S—-y-y/2 (множество M ограничено параболами Ш- У ~~
= 2х -13, П2: У == —5Х2 — 2х; Р(-1; -Д) - центр прямоугольни¬
ка, коэффициенты наклона его сторон ку 2 = Щ&; вершины В(42Г '
-1;^).В(-1-^;-Д)). • 7
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ • ОТВЕТЫ
427
18.16. S = Ц^у/2 (множество М ограничено параболами у =
= я2 I’ У = ~%2 ~ 4Х< В(-1; — — центр прямоугольника, коэф¬
фициенты наклона его сторон ki,2 = вершины В(|§ %/2 — 1- -11)
D(-
18.17. Si = §91/3, S2 = |.
Решение. Пусть М(х0; уо) и N(xi; уг) — точки, в которых прямые
АВ и CD касаются графика Г функции у = х3 - 6 (рис. а, б), тогда
уравнения касательных
АВ: у - уо = 3xl{x - х0), CD: у-у1 = Ъх\(х - Xi),
или, с учетом того, что уо = х%- 6, yi=x\- 6,
АВ : у = 3xqX - (2zo + 6). СТЭ: У — Зх?х - (2х3 + 6).
Параллельность касательных АВ и CD означает, что Зх§ = 3xj, т. е.
Xl = -Хо, (1)
а условие на площади треугольников АОВ и COD означает, что OD =
= 20В, т. е.
|-(2*? + 6)|=2|-(2х8 + 6)|, (2)
или х3 + 3 = ±2(xjj + 3).
Система уравнений (1), (2) имеет два решения хо = —1, xi = 1 и хо =
= -91/3, ц = 91/3, а прямая АВ — уравнения у = Зх - 4 (рис. б) и
У = 9 • 31//Зх + 12 (рис. а) соответственно. Для этих прямых О А = 5 и
Тэт, ОВ = 4 и 12 соответственно, поэтому треугольник ОАВ имеет
площадь f (случай б) или § 91/3 (случай а).
18.18. Si = § (у = -9х —4, х0 = з), S2 = 8(y = -gx + 3’x°
428
ЦЦПШГГТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ » ОТВЕТЫ
18.19. Si =
хо = 1).
*§£ (у=з^ + 1* *0 = 957т). $2 = Т7 (У = Зх — 4(
18.20. 5i = 8 (у = - f - 2, хо = 2), 5г = | (у
= -^Х + 6, ХО = §)•
18.21. CD. у = 16, 5 = 18 \/3.
Решение. По условию точки С и D симмет¬
ричны относительно оси Оу (см. рис.), поэтому они
имеют координаты С(х0, уо). D(-x0, Уо)- Тогда точ¬
ка Е пересечения медиан треугольника имеет коор¬
динаты £(-хо/3, уо). так как CD = 2 • DE. Точки
С и Е лежат на графике, поэтому
Уо = —~) ~ 5) = (хо - 5)2»
откуда хо = ±3, уо = 16.
Далее по свойству медианы прямоугольного тре¬
угольника CD = AD, но AD = АС, значит, иско¬
мая площадь вдвое больше площади равносторон¬
него треугольника ADC со стороной 2|хо| = 6.
18.22. у = 5х, АВ = 18%/26. ф(3; 15), С(9; 45)).
18.23.
18.24.
18.25.
К задаче 18.25
PL-.y = ^,S=^f.
у = Зх. KL = 12%/ТО.
NL : LB = 1 : 2, а = -±, Ь = \.
Решение. Прямая пересекает параболу
ровно в одной точке, если она параллельна ее
оси, либо касается параболы. Оси парабол па¬
раллельны оси Оу (см. рис.), поэтому либо
В\В2 || Оу, либо В\В2 — общая касательная
к параболам, что невозможно, так как един¬
ственная общая касательная данных парабол
проходит через точку N. Итак, В\В2 || Оу, то¬
гда NB2 || Ох, поэтому если точка М — точ¬
ка пересечения NB2 с Пь то MN = 2Ь, и из
симметрии парабол следует NB2 = 2Ь, откуда
B2(3b,ab2), B\(3b,9ab2) — координаты точек
В2 и В\. Тогда касательная В\Ь имеет уравне¬
ние у = 6abx — 9ab2 и она пересекает прямую
НВ2: у = аЬ2ъ точке L(|b, ab2). Отсюда полу-
чаем что NL -§ Ь, В2Ь = | Ь, т. е. NL : В2Ь = 1 ; 2. Далее, из равенства
^ ~iNB2‘BiB2 = 6\a\b3 следует, что U = JU. Поэтому
B\L2 - BiB\ + LB\ = 64а2Ь4 + ™ь2 = 1
чение этой функции достигается при
следует, что |а| = ^
: = 5(£ + Ш2). Наименьшее зна-
&2 = *. т.е. Ь = ± и тогда а = -$■
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ • ОТВЕТЫ
429
Замечание. Искомые значения параметров а и Ъ можно было най¬
ти иначе. Из того, что В2Ь = \B2N, следует, что SB,BlL = §SBiBjn =
= |, поэтому В\Ь — диагональ прямоугольника LB2BXK площади 4/9
и она имеет наименьшую длину, если прямоугольник — квадрат т. е.
ЬВ2 = В2В\.
18.26. BXL : В2Ь = 1 1, а = -3, 6 = ± (В2(36; аЬ2), Вг{ЗЬ; 9аЬ2),
L(36; 5ab2)).
18.27. = ±, а = I Ь = § (А2(ЗЬ; аЬ2), ЛДЗЬ; 9аЬ2), К (§ Ь; аЪ2)).
18.28. А!К:А2К = 1 1, а = 2, Ь=\ (A2(Zb,ab2), ЛД36; 9а62),
К(ЗЬ\ 5аЬ2)).
18.29. 5 = 10-f.
Решение. При 0 < у — х < 1 первое неравенство принимает вид
2у - 2ху 2(у - х)2, а при 1 < у - х — вид 0 < 2у - 2ху ^ (у - х)2. Та¬
ким образом, первое неравенство задает на плоскости множества
Гх < у < х + 1
\х2 + {у - I)2 ^ 1
и М2:
х + 1 <у,
х2 + {у- I)2 1,
у(х - 1) < 0.
Второе неравенство задает угол
у ^ 4 — |х|. Фигура Ф изображена на
рисунке. Для нахождения площади фи¬
гуры Ф осталось заметить, что она
равна сумме площадей треугольника
АВО и трапеции BCDE без площади
четверти круга, так как треугольники
EFO и ОЕК равны.
18.30. 5 = л — 1.
18.31. 5 =
18.32. 5 = Яг - л.
18.33. 0> = 2> 1/min П.
Решение.
1) Так как уравнение
—2х3 - 8ах2 - 4а2х + 5 = 4а2х + 5
равносильно уравнению х(х + 2о) = 0, то точки .4(0; 5) и В( 2а, 5 8а )
являются общими точками графика функции у = /(х) и прямой I, задан¬
ной уравнением у = д{х), где у(х) = 4а х + 5.
Площадь S рассматриваемой фигуры определяется формулой
-2а
-2о
Г о
5 =
[ (<?(*) - f^))dx
/ (2х3 + 8ах2 + 8a2x)dx
J
0
0
з
430
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ » ОТВЕТЫ
„ , . а И поэтому „ = ™ как а < 0. а /(х) = -2*з +
По условию S - 2 и 1
+ 6х2 - 9х + 5. гпа(ьику функции у = /0е) в точке Хо, задаваемая
2) Касательная к графту g _ ^ пересекает ось Оу в точке с ор-
уравнением у = /(х°) + в задаче требуется найти наименьшее
динатой 6(хо) - /Ы-JXTf it)- х/'W- Та» как Ь'(*) = -х/"(х) =
значение 6mi„ функции о\х) j \ имеет единствеНный положи-
= -х(-6х + 12). то о при X < 2 и 6'(*) > 0 при X > 2.
тельный корень х» 2, причем 0 1 )
Следовательно, bmin —
18.34. а = -3, = £
18.35. в — 1. 5/min — — ^ '
18.36. а = |, Углах - 2 27-
18.37. о = -6, Ь = Н. с - 5-
18.38. о = -6, 6 = -И* с- 6-
18.39. а = 6, 6 = П, с-5.
18.40. а = 6, 6 = -И. с = 6.
Решение. Пусть /(х) = -х3 + ах2 + 6х + с, ij и х2 — абсциссы
точек Aw В. Так как точки А и В симметричны относительно прямой
х = 2, то их ординаты одинаковы, а х\ = 2 — t, х2 = 2 + £, где £ > 0. Итак,
Л (2 — j/о). B(2 + t;y0).
По условию f'(xi) = /'(х2), т.е.
—3(2 — £)2 + 2а(2 — 4) + 6 = —3(2 + £)2 + 2а(2 + t) + 6,
откуда 24* = 4at,a = 6, так как t > 0. Следовательно,
f(Xl) = /'(*2) = -3(2 +t)2 + 12(2 + t) + b = -312 + 12 + 6. (1)
Ho /(xi) = /(x2). т.е.
-(2-t)3 + 6(2 -1)2 + 6(2 -1) + c = -(2 +1)3 + 6(2 +1)2 + 6(2 + e) + c.
Это равенство можно записать в виде 213 — 2М — 2б£ = О, откуда
b = t2 —12, Ф
так как t > 0.
Из (1) и (2) следует, что
/'(*i) = f’(x2) = -212 < О,
и поэтому касательная Ji к графику функции у = /(х), проходящая че¬
рез точку А, лежит ниже касательной 12, проходящей через точку
Поэтому прямая /j проходит через точку С(0; 2) и задается уравнение
У ~ Уо - -2t2[x - (2 - £)],
а прямая 12 проходит через точку D(0; 6) и задается уравнением
У — Уо = —2t2[x - (2 +1)].
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ . ОТВЕТЫ
431
Так как точки С и D принадлежат соответственно прямым 1Х и t2, то
2 - Уо = 2f2(2 - *),
6 - уо = 2t2(2 + *), (3)
откуда получаем
4 = 4t3, t = 1, ii = 2 -t = 1,
а из (2) находим 6= -11.
Подставляя * = 1 в уравнение (3), находим у0 = 0. Так как /(хО =
= /(1) = Уо = 0. то -1 + 6 — 11 + с = 0, откуда с = 6.
18.41.
18.42. 4^.
Решение. Построим графи¬
ки функций У = - j2 + х - y и
у = 3|х + 6| - | (см. рис.), заме¬
тив, что С (-6; -1) — точка ми¬
нимума функции у — 3|х -)- 6| — |.
Пусть I — касательная к
параболе у = /(х) = -^ + х- -у.
D(xo\yo) — точка касания пря¬
мой I с параболой, к — угло¬
вой коэффициент прямой I. Тогда
к = / (хо) = 1 — а уравнение
прямой I можно записать в виде
У- f(xо) = к(х-хо).
Пусть A(xx-,yi) и В(х2;у2) -
точки пересечения прямой I с прямыми у = Зх + и у = —Зх — у со¬
ответственно, ZCBA = a, /ZCAB = р, /ZBCA = 2у (см. рис.).
По условию р = а + 2у. С другой стороны, Р = я - (а + 2у), откуда
следует, что Р = т.е. прямые АС и I взаимно перпендикулярны. Так
как угловой коэффициент кх прямой АС равен 3, то к = — ^ = — j, т.е.
1 - ^ откуда хо = 8, /(8) = -1 и поэтому уравнение прямой I
примет вид у + § = — |(х — 8), т.е. у = -\х.
Найдем координаты точки В, решив систему уравнений
у = -3х- f,
У = “3Х-
Получим Х2 = - Ц-, У2 = §5- п
Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника лои,
тогда R=$f, где
432
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ » ОТВЕТЫ
18.43. •
18.44.
18.45. 6, f.
18.46. 18. f.
Решение.
1) Так как указанные в условии задачи числа являются длинами сто¬
рон треугольника, то эти числа положительны и удовлетворяют неравен¬
ству треугольника, т.е.
О < Зх < 2у + 9 - у,
О < 2у < Зх + 9 - у,
О < 9 - у < Зх + 2у,
или
у - Зх + 9 > О,
у — х — 3 < О,
у + х - 3 > О,
х > 0, у > 0, у < 9.
(1)
Условиям (1) удовлетворяют точки треугольника АВС (см. рис.), где
Л(0; 3), В(б; 9), С(3; 0), а площадь 5 фигуры М равна - 52 - 53’, где
51 — площадь трапеции OABD, D{6; 0), 5г — площадь треугольника
О АС, 53 — площадь треугольника BCD. Так как S\ = £ (3 + 9)6 = 36,
52 = I, S3 = £ • 3 • 9 = Щ-, то 5 = 18.
2) Неравенство
t2 + 2 t(x — 2) + 7 — y>0
является верным при всех t е R тогда и
только тогда, когда
(Х_2)2 — (7 — у)<0,
Т'е- у < 7 — (х — 2)2. (2)
Условию (2) удовлетворяют все
точки, лежащие под параболой у =
= 7 - (х — 2)2 с вершиной Е(2; 7).
Пусть Ii,l2,h — прямые, заданные
соответственно уравнениями у = Зх -
-9, у = 3 — х и у = х + 3. Парабола пересекает прямую li в точке
F(4; 3), а прямую 13 - в точках Л и 1С(3; 6).
Если о — площадь фигуры Ф, то о = Oi + 02 + о3, где ai — площадь
треугольника ACF, 02 — площадь треугольника АКМ, М(3; 3), 0з —
площадь криволинейного треугольника KMF. Так как а* = \ • 4 ■ 3 = 6,
= §• °з = /(-*2 + 4x)dx = (2х2 _ id)|4 = 5 то а =
18.47. 6, f.
18.48. 18, ^
18.49. 3, lialzio
• 3
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ • ОТВЕТЫ
433
18.50. 2, 15 In 2 - 9.
18.51. 2, - 5.
18.52. 4 In 5 — у.
Решение. Точка Л(0; 4) при любом а является общей точкой пря¬
мой у = —12х + 4 и фигуры М. Поэтому эта прямая должна быть каса¬
тельной к графику функции ух = 4е"ох в точке х = 0. Так как у{(0) =
= —4а, то —12 = —4а, откуда а = 3.
Найдем общие точки кривых у\ = 4е-3х и у2 = 12 — 5е3х, решив урав¬
нение f = 12 — 5£, где t = е3х. Это уравнение имеет корни ti = |, t2 = 2.
Если t = |, то е3х = |, откуда xi = А 1п §, а если t = 2, то е3х = 2, откуда
Х2 = g In 2. Искомая площадь
13 *а
S = J(у2 ~ y\)dx = J(12 — 5е3х - 4e_3x)dx =
и и
+ - е
з
-)1
и
= 4 In 5
16
3 '
18.53. а = — 4, Ь = 5, с = — 2.
Решение. Пусть xi и хг — абсциссы то¬
чек, в которых график функции у = /(х) = х3 +
+ ах2 + Ьх + с, где с < 0, пересекает ось Ох. То¬
гда xi и хг — корни многочлена /(х), а /(х)
делится на (х — xi)(x — хг), откуда следует, что
fix) = (х - xi)(x - хг)(х — а), где а — одно из
чисел xi, Хг (уравнение /(х) = 0 по условию
имеет ровно два различных корня). Таким об¬
разом, многочлен f{x) имеет вид /(х) = (х —
- xi)2(x — хг), откуда находим fix i) = 0 и ка¬
сательная к графику функции в точке (х1( 0) сов¬
падает с осью Ох.
По условию ордината точки А равна с, где
с < 0, а касательная к графику функции у = /(х)
в точке М проходит через точку А. Поэтому абс¬
цисса точки М равна хг, а абсцисса точки N равна xi (см. рис.). Задача
сводится к нахождению чисел xi и хг- Так как /'(хг) = (хг - xi)2 = к,
то уравнение прямой, касающейся в точке А/ графика функции у = fix),
имеет вид у = Цх - х2). Эта прямая проходит через точку Л(0,с), где
с = -кх2 и х2х\ = х2(х2 - xi)2, откуда х2 = 2xi (х2 ^ 0) и с = -2х\.
Пусть S — площадь треугольника AMN, тогда 5 = 1 =
= -сА (х2 - xi) = -5 схь откуда с = = -2х?, Xi = 1, х2 = 2. fix) =
= (х - 1)2(х - 2) = х3 - 4х2 + 5х - 2.
18.54. а = —4, Ь = —5, с = -2.
18.55. а = 4, 6 = 5, с = 2.
К задаче 18.53
434
uunwrrTBA НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ •
ОТВЕТЫ
: = 2.
18.56. о = 4, 6 = -5, с
18.57. а) 8; б) 10 - л; в) б - л.
Решение, а) Первому неравенству удовветворвют тонки, лежащие
в квадрате (см. рис.) с вершинами »(-1,0). В(0,1). С(1,0). £>(0;-J)
Площадь этого квадрата Si 8.
бГвторому неравенству, которое можно записать в виде
(х - 2)2 + (у - 2)2 ^ 4,
удовлетворяют точки, лежащие вне круга радиуса 2 с центром в точке
Е(2; 2).
Площадь заштрихованного на рисунке сегмента равна л — 2, а пло¬
щадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют первым двум
неравенствам, равна S2 = 8 - (л — 2) = 10 — л.
в) Прямые у-3х-2 = 0и3у-х + 2 = о
пересекаются в точке F(—1; —1) и проходят
соответственно через точки В и С.
Третьему неравенству удовлетворяют точ¬
ки двух вертикальных углов с вершиной F,
один из этих углов — угол, образуемый лу¬
чами FB и FC и содержащий точку О.
Пусть 5з — площадь фигуры, координа¬
ты точек которой удовлетворяют всем трем
неравенствам системы, — сумма площа¬
дей треугольников ABF и CDF. Тогда S4 =
= 5 Si = 4, S3 = S2 — S4 = 6 — л.
18.58. а) 18; б) | (10 - л); в) f (6 — л).
К задаче 18.57
18.59. а) 32; б) 4(10 - л); в) 4(6 - л).
18.60. а) 50; б) f (10 - л); в) f (6 - л).
18.61. а) 8л, б) 6л, в) 4л -(- 4.
Решение, а) Первому неравенству, равносильному совокупности
двух неравенств (х - 2)2 + у2 ^ 4, (х + 2у + у2 < 4, удовлетворяют ко¬
ординаты точек, находящихся внутри и на границах двух кругов радиуса
2 с центрами (-2,0) и (2,0) (см. рис.). Площадь этой фигуры Sj =
= 2 • л • 22 = 8л.
б) Второму неравенству удовлетворяют координаты точек, располо¬
женных вне (и на границе) квадрата с вершинами (—2,0), (0,2), (2,0),
(0, —2). Площадь S2 фигуры Ф2, координаты точек которой удовлетворя¬
ют первым двум неравенствам системы, равна Si - S0, где S0 — половина
площади круга радиуса 2. т. е. S2 = 8л - 2л = 6л
/ *' ТРе™е неРавенство можно записать в виде (х - 4)2 - у2 2 О, илИ
ты mupif new* V ~ ЭтомУ неравенству удовлетворяют координа-
Внутри Н На границе одной из ДВУХ паР вертикальных
-4 = OjKSftft iT леРесет“"» "Р«»ж х +У -4 = 0 и *-»-
( 1 ) решение третьего неравенства системы, то э
МНОЖЕСТВА НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ • ОТВЕТЫ
435
му неравенству удовлетворяют координаты точек фигуры Ф2, лежащих
в прямом угле с вершиной (4,0), таких, что х < 4. Площадь S3 фигу¬
ры Фз равна |S2 + оо, где о0 — площадь прямоугольного треугольника
с вершинами (2,2), (4,0), (2, -2), т.е. о0 = 4.
Следовательно, S3 = 4л + 4.
К задаче 18.61
18.62. а) 8л; б) 6л; в) 4л + 4.
18.63. а) 8л, б) 6л, в) 4л + 4.
18.64. а) 8л; б) 6л; в) 4л + 4.