/
Text
А.Б.ГОЛЫШЕВ, В.П.ПОЛИШУК, И.В. РУДЕНКО
РАСЧЕТ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ С УЧЕТОМ
ФАКТОРА ВРЕМЕНИ
А. Б. ГОЛЫШЕВ, д-р техн, наук
В. П. ПОЛИЩУК, канд. техн, наук
И. В. РУДЕНКО, инж.
а
РАСЧЕТ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
^ЖНЕВЫХ СИСТ
С УЧЕТОМ
ФАКТОРА ВРЕМЕНИ
Сканировал и обрабатывал
Лукин А. О.
Киев
«Буд1вельник»
1984
38.112+38.626
Г62
УДК 624.071.3 : 401.7
Расчет железобетонных стержневых систем с учетом фактора времени / Голышев А. Б.,
Полищук В. П., Руденко И. В,— К.: Буд1'вельник, 1984.— 128 с.
В книге изложены практические методы расчета статически определимых и неопре-
делимых железобетонных стержней и стержневых систем в эксплуатационной стадии
работы с учетом усадки, ползучести бетона, релаксации усилий и прогрессирующего
трещинообразования. Дана оценка характера влияния длительных процессов на
напряженно-деформированное состояние стержней и стержневых систем. Содержит-
ся теоретическое и экспериментальное обоснование эффективности предложенных
аналитических решений.
Приведены примеры расчета по определению параметров усадки и ползучести бето-
нов, которые необходимо иметь при проектировании реальных систем.
Рассчитана на инженерно-технических работников проектных организаций и научно-
исследовательских институтов.
Табл. 30. Ил. 43. Библиогр.: с. 125—126.
Рецензенты: д-р техн, наук Н. И. Карпенко', канд. техн, наук И. А. Русинов
Редакция литературы по строительным конструкциям, материалам и изделиям
Зав. редакцией инж. А. А. Петрова
г 3206000000—006 ол
Г-------------------го.оЧ
М 203 (04; — 84
1© Издательство «Буд1вельник», 1984
Введение
Широкое применение железобетонных конструкций в различных об-
ластях строительства делает актуальным при их проектировании учет
длительных процессов усадки и ползучести бетона.
Учет длительных процессов стал особенно необходим в последние
годы в связи с облегчением конструкций, устранением излишних коэф-
фициентов запаса при расчете на прочность, деформативность и тре-
щиностойкость, а также в связи со значительным расширением гаммы
применяемых бетонов, обладающих самыми различными деформатив-
ными свойствами.
ПоЛзучесть и усадка бетона во многих случаях существенно влияет
на напряженно-деформированное состояние железобетонных конструк-
ций. В одних случаях это влияние благоприятно отражается на рабо-
те конструкций, в других — неблагоприятно. В качестве примера бла-
гоприятного влияния ползучести можно указать на релаксацию внут-
ренних усилий, вызванных в статически неопределимых системах
смещением связей. Неблагоприятное влияние ползучести и усадки
выражается в росте прогибов, потерях предварительного напряжения,
резком уменьшении усилий, созданных в процессе регулирования.
В этих условиях умение воздействовать на деформативность бетона
или хотя бы правильно учитывать ее при проектировании является
совершенно необходимым для создания конструкций, наилучшим об-
разом удовлетворяющих эксплуатационным и экономическим требо-
ваниям.
Основная задача работы продиктована стремлением дать инженеру-
проектировщику предельно простой и одновременно надежный метод
расчета, позволяющий с должным пониманием физической сущности
явлений решать ряд важных задач современного железобетона.
Глава 1.
ПОЛЗУЧЕСТЬ И УСАДКА БЕТОНА. РЕЛАКСАЦИЯ
НАПРЯЖЕНИЙ В БЕТОНЕ И ЖЕЛЕЗОБЕТОНЕ
Ползучесть и усадка бетона во многих случаях существенно влияют на
напряженно-деформированное состояние железобетонных стержней и
стержневых систем.
При длительном действии внешней нагрузки ползучесть сопровожда-
ется перераспределением напряжений между бетоном и арматурой.
В случае же, когда внутренние усилия вызваны усадкой бетона, сме-
щением связей и вынужденными усилиями, она обычно приводит к
более или менее интенсивной релаксации напряжений.
Учет влияния ползучести и усадки бетона необходим при расчете
стержней по деформациям, а учет перераспределения и релаксации
напряжений — при расчете по образованию трещин.
Таким образом, учет длительных процессов ползучести, усадки и ре-
лаксации позволяет более рационально проектировать как отдельные
железобетонные стержни, так и системы в целом, обеспечивая их не-
сущую способность, жесткость и трещиностойкость, и во многих слу-
чаях дает возможность достичь экономии материалов.
§ 1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ФИЗИЧЕСКАЯ ПРИРОДА
Ползучесть бетона
Свойство бетона претерпевать неупругие деформации при длительном
действии напряжений получило название ползучести. Длительное на-
пряженное состояние может быть обусловлено как внешними силовы-
ми воздействиями, так и усадкой бетона, изменением температуры и
влажности среды, смещением связей или другими факторами.
Различают линейную и нелинейную ползучесть. Условно считают,
что связь между напряжениями и деформациями подчиняется линей-
ной зависимости, если напряжения в бетоне стб составляют достаточно
малую часть предела прочности бетона в момент нагружения /?Т1. Экс-
периментально установлено, что при сжатии такая зависимость при-
мерно соблюдается, если напряжения в бетоне не достигают нижней ус-
ловной границы образования микротрещин R® [3], т. е. если o6ARTj =
= n R./R^ При больших напряжениях деформации ползучести свя-
заны с напряжениями более сложной, нелинейной зависимостью.
При растяжении считается возможным распространять линейную
ползучесть практически до момента разрушения.
Для объяснения физической природы линейной ползучести можно
принять гипотезу, в соответствии с которой ползучесть бетона при сжа-
тии является следствием вязкости гелевой структурной составляющей
цементного камня, капиллярных явлений, протекающих в твердеющем
бетоне, и пластического течения кристаллического сростка цементно-
го камня. При растяжении механизм ползучести бетона отличается
лишь тем, что роль капиллярных явлений сводится на нет [9].
Линейная ползучесть сопровождается уплотнением материала и
затухает во времени, асимптотически приближаясь к определенному
пределу.
При о6 > на деформации собственно ползучести накладываются
деформации, связанные с нарушением структуры бетона, т. е. начи-
нается разуплотнение материала, разрыхление его структуры. Однако,
если напряжения в бетоне не достигают верхней условной границы
образования микротрещин процесс разуплотнения носит ограни-
ченный и часто скоропреходящий характер [3].
При об Rr процесс разрушения структуры бетона прогрессирует
и через некоторое время бетон разрушается.
Для количественного выражения ползучести бетона при сжатии и
растяжении удобно пользоваться мерой ползучести
^ = еп(0/аб (1.1)
или характеристикой ползучести
Ф/ = еп (0/8б = CtE6, (1.2)
где 8П (/) — относительная деформация ползучести к моменту време-
ни /; еб — относительная упругая (мгновенная) деформация в момент
нагружения (t = 0); Еб — модуль упругости бетона, соответствующий
моменту нагружения.
Закон изменения характеристики ползучести бетона с достаточной
для практики степенью точности может быть выражен аналитически
показательной функцией
<₽/= Фк[1 — ехр(—V)], (1.3)
где срк — конечная величина характеристики ползучести (/ -> оо);
Ап — опытный параметр, характеризующий скорость ползучести,
сут-1; t — время, сут.
Усадка бетона
Усадкой бетона принято называть объемное сокращение бетона при
твердении его на воздухе даже при условии постоянной температуры и
влажности среды.
Усадка в отличие от ползучести проявляется и при отсутствии внеш-
ней нагрузки. Вызывается она физико-химическими и капиллярными
явлениями, происходящими в гелевой структурной составляющей це-
ментного камня и обусловленными изменениями влагосодержания в
бетоне.
Качественный характер протекания усадки во времени подобен ха-
рактеру протекания ползучести. Усадка, как и ползучесть, затухает
во времени, приближаясь асимптотически к определенному пределу.
Процесс усадки бетона удобно выражать аналитически следующей
формулой [22]:
ву (0 = вУ к [1 - exp (- V)], (1.4)
где еу (t) — относительная деформация усадки бетона к рассматривае-
мому моменту времени /; еу.к — конечная величина деформации усадки
(t -> оо); Ху —опытный параметр, характеризующий скорость усад-
ки, сут-1.
Релаксация напряжений в бетоне
Явление последействия, выражающееся в изменении (уменьшении) во
времени усилий или напряжений деформированного материала, общая
деформация которого зафиксирована связями, называется релакса-
цией.
Условие релаксации напряжений математически может быть сфор-
мулировано в виде
£б (0 = £б + £п (/) = COnst, (1.5)
где еб (/) — полная деформация бетона к моменту времени t. При
этом еб у= const и еп (t) =/= const.
В настоящей работе термин релаксация будет употребляться в бо-
лее широком смысле, так как будет распространяться на железобе-
тонные стержни, в которых при сохранении постоянным определенно-
го вида вынужденной деформации (например, осадки опоры неразрез-
ной балки) постепенно падают напряжения в бетоне.
Физическая сущность явления релаксации в бетоне неразрывно свя-
зана с явлением ползучести и заключается в том, что если бетонный
стержень находится в таком деформированном состоянии, при кото-
ром дальнейший процесс деформирования невозможен, т. е. еб (t) =
= const, то увеличению деформаций ползучести еп (/) должно сопут-
ствовать непрерывное уменьшение упругих деформаций еб, в резуль-
тате чего напряжения в бетоне постепенно релаксируют.
8 1.2. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
Рассматриваемые в работе задачи решаются на основе технического
варианта феноменологической теории ползучести [6] — так называе-
мой «модернизированной теории старения» *. При построении этой
теории для области линейной ползучести приняты следующие основ-
ные предпосылки:
бетон рассматривается как однородный изотропный материал;
между мгновенными деформациями и напряжениями существует ли-
нейная зависимость;
между деформациями ползучести и напряжениями существует ли-
нейная зависимость;
для деформаций ползучести имеет место принцип наложения, кото-
рый заключается в том, что суммарная деформация ползучести при пе-
ременном напряжении может быть найдена как сумма деформаций пол-
зучести, вызванных соответствующими приращениями напряжений.
При этом считается, что величина деформаций ползучести, вызванная
* Называют часто «модифицированной теорией старения», что нельзя признать
удачным, поскольку речь в данном случае идет о наделении теории новым принци-
пиальным качеством, позволяющим учитывать частичную обратимость деформаций
ползучести (т. е. о ее модернизации).
приращением нагрузки, зависит от величины и длительности действия
этого приращения, но не зависит от величины и длительности дей-
ствия остальных приращений;
абсолютные величины деформаций как упругих, так и деформаций
ползучести принимаются не зависящими от знака напряжений.
Функции характеристик ползучести принимаются состоящими из
двух частей —одна часть (в виде вертикального отрезка 5 на рис. 1)
зависит только от возраста бетона в момент нагружения, вторая
определяет характер ее изменения во времени (кривая 2 на рис. 1); кри-
вая 4 на этом же рисунке отражает действительный закон изменения
Для криволинейной части считается справедливой гипотеза па-
раллельности кривых
ползучести (кривые 1 и 2,
ограничивающие заштри-
хованную часть, прини-
маются параллельными).
С учетом сказанного
Ф/,т = Фг — фт + афт,
где а — опытный пара-
метр, учитывающий влия-
ние возраста бетона в
момент нагружения *.
В частном случае, при а = 0, приходим к классической теории ста-
рения [25] (кривая 3 на рис. 1), когда
ф/,т = фг — фт. (1.7)
Для области нелинейной ползучести кроме указанных предпосылок
вводится еще предположение о том, что кривые ползучести для различ-
ных напряжений аффинноподобны. Это означает, что характеристи-
ка нелинейной ползучести, отвечающая напряжению огб, может быть
получена из характеристики линейной ползучести умножением послед-
ней на коэффициент подобия
еп (0 _ / (сгб) „
Фь
(1.8)
где f (об) — некоторая нелинейная функция напряжений.
Для выражения f (огб) обычно принимают степенную зависимость.
В простейшем случае [2]
/(аб) = Об + М, (1-9)
где р — параметр нелинейной ползучести, МПа-1.
* Идея приближенного учета частичной обратимости деформаций ползучести со-
держится в работах [5], [1] и [28], учета влияния возраста бетона в момент нагруже-
ния на величину обратимой части деформаций ползучести — в работах [12] и [27].
§ 1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЗУЧЕСТИ И УСАДКИ
В соответствии с [15] *, вводятся нормативные значения меры пол-
зучести Сн и деформаций усадки еу.н. Первые представляют собой пре-
дельную величину меры ползучести бетона естественного твердения
в образце сечением 10 X 10 См при нагружении в возрасте тх = 28 сут
и при выдерживании его в условиях относительной влажности среды
70 %, вторые — предельную величину деформаций усадки, развиваю-
щихся в таком же ненагруженнохМ образце после естественного тверде-
ния во влажных условиях в течение 7 сут.
При наличии данных о дозировке составляющих бетонной смеси
значения Сн и еу.н определяются по формулам
Сн = 20 • 10~~6 + ; (1.10)
еу н = 0,14 • 10-6(В + и)3/2, (1.11)
где RXi — кубиковая прочность бетона в момент приложения нагруз-
ки, МПа; А/? — увеличение прочности бетона после приложения на-
грузки, принимаемое равным 5 МПа; В, v—удельное (по объему)
количество соответственно воды затворения и вовлеченного воздуха,
л, на 1000 л уплотненной бетонной смеси.
Для бетонов, изготовленных без применения пластифицирующих,
воздухововлекающих или газообразующих добавок, допускается при-
нимать v = 0.
При отсутствии данных о дозировке составляющих бетонной смеси
значения Сн и еу.н для тяжелых бетонов и плотных бетонов на искусст-
венных пористых заполнителях (керамзите, аглопорите) рекоменду-
ется определять по табл. 1.1.
Определение промежуточных значений cpz и еу (/), соответствующих
заданному моменту времени /, в долях от конечных (предельных) зна-
чений указанных параметров, приведено в табл. 1.2.
Конечные значения параметров ползучести срк и усадки еу<к, соот-
ветствующие физическим условиям эксплуатации стержня, определя-
ются по формулам
Фк = (1’12) еу.к — еу.н^1^2^3» (1-13)
где h и — коэффициенты, учитывающие влияние отклонений дей-
ствительных условий работы бетона в железобетонных стержнях от
принятых средних; определяются по табл. 1.3.
Если силовые воздействия или вынужденные деформации прикла-
дываются к стержню последовательно в разном возрасте, то параметры
Фк и <рг определяют с учетом возраста бетона к моменту приложения
каждого из этих воздействий (см. табл. 1.3).
Если влияние усадки на напряженно-деформированное состояние
стержня начинается по истечении некоторого периода времени после
начала его высыхания, параметры еу.к и еу (/) следует уменьшить
на величину деформаций, проявившихся за этот период времени
(см. табл. 1.2).
* Этот раздел принадлежит Е. Н. Щербакову (ЦНИИС Минтранссгроя СССР).
Таблица 1.1. Нормативные величины параметров ползучести и усадки бетонов
Подвижность (удобоукла- дываемость) бетонной смеси Значения Сн • 10“ 1/МПа для бетона с кубиковой прочностью Rxe МПа Значения еу н • 10* для бетона проектной марки
осадка кону- са, см жест- кость, с 15 20 30 40 50 60 70 80 15—20 30—80
— 80—60 6,7 5,5 4,6 4,0 3,5 — 230
— — — — — — —
— 35—30 — — 9.5 7,3 6,2 5,2 4,5 — — 270
16,7 12,5 8,5 6,1 5,2 — — 310 370
1-2 — 17,8 14,0 9,9 7,7 6,2 5,3 4,5 290 330
19,5 14,8 9,8 7,0 6,0 — — 390 450
5—6 — 19,5 15,4 10,9 8,4 6,8 5,8 350 400
21,3 16,4 10,7 8,3 6,9 — 470 510
9—10 — 20,7 16,4 11,5 8,9 7,3 380 430
22,5 17,4 11,6 9 7,6 530 580
Примечания: 1. При загружении стержня в возрасте, большем 28 сут, прочность
бетона принимается равной его марочной прочности R.
2. В числителе приведены данные для тяжелых бетонов, в знаменателе — для бетонов на
пористых заполнителях.
3. Для бетонов, подвергнутых термовлажностной обработке, значения Сн и 8у н следует
уменьшить на 10 %.
4. Значения Сн и 8у н следует, кроме того: а) для бетонов, изготовленных на пуццолановом
портландцементе, увеличить на 35 %; б) для бетонов, изготовленных на шлаковом портланд-
цементе, увеличить на 25 %, если стержень загружен в условиях атмосферной влажности, или
уменьшить на 35 % при его загружении во влагонасыщенной среде.
Таблица 1.2. Промежуточные значения параметров ползучести и усадки бетона
/, сут 3 7 28 60 90 180 360 720 2000
Ф* 0,21 0,31 0,52 0,63 0,69 0,77 0,84 0,89 0,94
Фк 0,15 0,23 0,41 •0,53 0,59 0,69 0,77 0,84 0,91
«У (<) 0,09 _0,19 0,48 0,67 0,75 0,85 0,93 0,96 0,98
еу.к — 0,06 0,19 0,33 0,43 0,60 0,75 0,86 0,94
Примечания: 1. В числителе даны значения для стержней с величиной открытой
удельной поверхности 0,4 см—1 и более, в знаменателе — для стержней, у которых эта величи-
на составляет 0,1 см“1 и менее (для промежуточных значений открытой удельной поверхности
можно пользоваться линейной интерполяцией).
2. Открытая удельная поверхность стержней вычисляется как отношение открытого для
влагопотерь периметра поперечного сечения к его площади.
При решении задач нелинейной ползучести коэффициент 0 опреде-
ляют по табл. 1.4.
Пример 1. Определить (ркиеук бетона железобетонной балки (см. рис. 4). Бетон
М400 тяжелый с крупным заполнителем, естественного твердения. Осадка конуса
5—6 см. После изготовления балка в течение 28 Сут хранится во влажных условиях.
Нагружение балки осуществляется при = /? = 40 МПа и Е$ = 35 000 МПа
Таблица 1.3. Значения коэффициентов и &
Возраст бетона в момент загруже- ния Тр сут 28 и менее 45 60 90 180 360 720 и более
(для ползучести) 1 0,87 0,80 0,70 0,60 0,54 0,50
Возраст бетона к началу высыха- ния т0, сут 1 7 28 90 и
(для усадки) 1,05 1 0,95 болёе 0,90 — — —
Открытая удельная поверхность стержня, см""1 0 0,05 0,1 0,2 0,4 0,8 1 и более 1,20
|2 (для ползучести) 0,46 0,59 0,68 0,83 1 1,15
£2 (для усадки) 0,20 0,59 0,75 0,90 1 1,05 1,10
Относительная влажность среды, % 40 и 50 60 70 80 90 100
|3 (для ползучести) менее 1,45 1,31 1,15 1 0,85 0,70 0,54
£3 (для усадки) 1,45 1,31 1,15 1 0,85 0,64 0
Примечания: 1. Относительная влажность среды для эксплуатации стержней на
открытом воздухе принимается в зависимости от климатического расположения сооружения
согласно СНиП I -82 как средняя относительная влажность воздуха наиболее жаркого месяца;
при отсутствии данных о районе расположения сооружения, а также для стержней типовых
систем (элементов типовых конструкций) допускается принимать fe3 = £3 = 1;
2. Для районов, относящихся по СНиП 1-82 к IV климатической зоне (районы с сухим жар-
ким климатом), относительную влажность воздуха рекомендуется устанавливать как средне-
месячную влажность, соответствующую времени загружения (начала высыхания) элемента си-
стемы;
3. Для массивных стержней с открытой удельной поверхностью 0,05 см—1 и менее, а так-
же стержней, полностью гидроизолированных до начала загружения (высыхания), вне зависи-
мости от влажности воздуха следует принимать 63 = £3 — 1;
4 Для стержней, находящихся в воде или насыщенной влагой среде, вне зависимости от
размеров поперечного сечения следует принимать «2 = S2 — 1-
Таблица 1.4. Значения коэффициента 0, IjMIla
л Кубиковая прочность бетона МПа
^20 30—40 | 50—60 >60
0,4 0 0 0 0
0,5 0,02 0,015 0.01 0,005
0,6 0.035 0,025 0,015 0,01
0,7 0,05 0,035 0,025 0,015
0,08 0,07 0,05 0,035 0,02
Примечание. При загружении стержня в возрасте, большем 28 сут,- прочность бето-
на RT принимается равной его марочной прочности R
Относительная влажность воздуха находится в пределах 70 %. Открытая удельная
поверхность балки равна 0,2 1/см.
В соответствии с табл. 1.1 и 1.3 имеем:
Св = 8,4-10-5, 1/МПа; е = 400 • IO"6; g1=g3 = ^=l; g2 = 0,83; =
= 0,95; £2 = 0,90.
С учетом этого по формулам (1.12) и (1.13) находим:
<рк = 8,4 . 10~5 • 35 000 • 1 0,83 . 1 = 2,44; 8у к = 400 • 10-6 . 0,95.0,90 X
X 1 = 342 . 10~6.
Глава 2.
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО СТЕРЖНЯ
Процесс твердения бетона, протекающий длительное время, сопро-
вождается возникновением и развитием в железобетонных стержнях
собственных напряжений, вызванных усадкой бетона. Возникновение
указанных напряжений объясняется наличием арматуры, задержи-
вающей свободную деформацию усадки.
Выявление напряженного состояния, возникающего в армирован-
ных сечениях от усадки бетона, представляет большой практический
интерес.
Усадка вызывает потери напряжений в сечениях предварительно
напряженных стержней. Эти потери обусловлены тем, что сжимающие
напряжения в арматуре, возникающие из-за усадки бетона, наклады-
ваются на растягивающие напряжения, созданные в арматуре в про-
цессе предварительного напряжения. Одновременно с этим растяги-
вающие напряжения в бетоне, возникающие из-за усадки, наклады-
ваются на напряжения предварительного обжатия.
Поскольку усадка вызывает растягивающие напряжения в бетоне
армированных сечений, определение напряженного состояния от усад-
ки весьма важно с точки зрения исследования процессов трещино-
образования и проверки сечений по образованию трещин.
Напряженное состояние от усадки и сопутствующие ему деформа-
ции необходимо уметь оценивать при вычислении перемещений, т. е.
при проверке стержней по деформациям.
Ранее отмечалось, что ползучесть бетона при длительном действии
внешней нагрузки сопровождается перераспределением напряжений
между бетоном и арматурой (напряжения в бетоне уменьшаются, а в
арматуре увеличиваются), а при действии сил предварительного обжа-
тия — уменьшением напряжений в бетоне и арматуре. Таким образом,
вследствие ползучести бетона текущее напряженное состояние нор-
мальных сечений может значительно отличаться от начального.
Учет влияния ползучести бетона на напряженное состояние нор-
мальных сечений необходим при решении многих практически важных
задач: при определении напряженно-деформированного состояния же-
лезобетонных стержней и стержневых систем, подвергающихся дли-
тельному действию внешней нагрузки с последующей догрузкой или
разгрузкой; при оценке несущей способности сжатой зоны переарми-
рованных стержней, подвергающихся предварительному выдержива-
нию под нагрузкой и т. д.
Правильная оценка влияния ползучести крайне важна при опреде-
лении потерь напряжений в преднапряженных стержнях, т. е. при рас-
чете таких стержней по образованию трещин.
Ниже рассматривается напряженное состояние армированных сече-
ний, расположенных на достаточном удалении от концов стержня, где,
можно полагать, сечения остаются плоскими и не нарушается сцепле-
ние бетона с арматурой.
Считается также, что бетон работает как в сжатой, так и в растяну-
той зонах и что эпюры нормальных напряжений в бетоне от рассмат-
риваемых воздействий изменяются по высоте сечений по линейному
закону. Это допущение вполне оправдано как для преднапряженных
стержней, так и для ненапряженных, работающих без трещин.
В действительности при высыхании бетона влажность (и следова-
тельно усадка и ползучесть) по толщине стержня изменяется неравно-
мерно. При учете этого обстоятельства эпюры напряжений в бетоне
по сравнению с линейными приобретают иной характер (в большей
степени это относится к усадочным напряжениям, в меньшей — к на-
пряжениям, вызванным ползучестью). Однако для немассивных стерж-
ней с достаточным для практики приближением может быть при-
нят линейный закон изменения напряжений в поперечных сечениях
стержня.
§ 2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ УСАДКОЙ БЕТОНА
Рассмотрим несимметрично армированное сечение произвольной формы
с одной осью симметрии (рис. 2, а). Обозначим напряжения в армату-
ре А и А' через оау и аау, в бетоне на уровне арматуры через Обу и субУ,
а внутренние усилия, действующие в сечении, через МбУ, Мбу, Nay и
N'ay (рис. 2, 6).
Здесь и далее будем следовать правилу знаков, в соответствии с ко-
торым сжимающим напряжениям
гивающим — минус.
присваивается знак плюс, а растя-
Рис. 3. Схема к уравнениям со-
вместности деформаций бетона и
арматуры.
Рис. 2. Напряженное состояние
несимметричного сечения с двой-
ной арматурой от усадки бетона:
а — поперечное сечение; б — эпю-
ра напряжений; точка — центр
тяжести бетонного сечения.
относятся к категории собственных, они должны взаимно уравновеши-
ваться и удовлетворять следующим условиям:
В связи с тем, что напряжения и
усилия, развивающиеся от усадки,
Л^бу + Л^ау + А^ау — 0; (2.1) Л4бУ — Afay z/6 + Мау */б — 0, (2.2)
где N6y = (ОбуУб + а'буУб) ; (2.3) Мбу = (ОбУ — <тбу) -у- ; (2.4)
N3y = aayFa; (2.5) N3y = (2.6)
F6 и 1б — площадь бетонного сечения и момент инерции указанного
сечения относительно его центра тяжести; Fa и Fa — площадь по-
перечных сечений арматуры А и А'.
Так как уравнений равновесия два, а неизвестных четыре, необхо-
димо составить два дополнительных уравнения совместности деформа-
ций бетона и арматуры на уровне центров тяжести нижней и верхней
арматуры. При составлении указанных уравнений учтем ползучесть
бетона, старение и длительный характер процесса усадки.
Отметим, что в любой момент времени t относительные деформации
нижней и верхней арматуры должны быть равны свободным относи-
тельным деформациям усадки за вычетом относительных деформаций
бетона на уровне центров тяжести нижней (точка k) и верхней (точ-
ка k') арматуры, т. е. (рис. 3)
еау = еу(/)-Ду; (2.7) = еу (/) - Д^. (2.8)
Эти равенства вытекают из условия, что при отсутствии арматуры
точки k и k' претерпели бы свободную усадку и переместились бы в по-
зиции, соответственно kx и k\. В связи с наличием арматуры и ее тор-
мозящим действием на процесс усадки точки k и k' фактически пере-
местятся в положения k2 и k'2. Таким образом, сумма относительных
деформаций арматуры и бетона на уровне точек k и kr при их незави-
симом рассмотрении должна равняться относительным деформациям
свободной усадки бетона.
Расшифровывая значения еау, Ду, 8ау и Ду через напряжения и
рассматривая усадку как длительно протекающий процесс, можно
записать:
% _ = е
Еа
do6y (т)
=8
Еа
О
С do6y (т)
1 du
1 Ф; - Фт +
Еб (т) + Еб
1 Ф/ — Фт + афт '
Е б (т) + Е6
(2.9)
(2.Ю)
о
где Еб и Еа — начальный модуль упругости бетона и модуль упругости
арматурной стали.
Левые части уравнений (2.9) и (2.10) представляют собой деформа-
ции укорочения нижней и верхней арматуры за период времени от 0
до /, вызванные напряжениями в арматуре оау и оау.
Вторые члены правых частей уравнений выражают упругие дефор-
мации и деформации ползучести бетона, вызванные за тот же период
времени напряжениями в бетоне Обу и Обу (обе деформации при их не-
зависимом рассмотрении представляют собой удлинения).
В качестве начального модуля упругости бетона обычно в расчетах
принимают модуль, соответствующий проектной марке бетона. Такая
предпосылка равносильна некоторому искусственному «ожествлению»
стержня в начальный период. Более правильно при определении на-
пряженного состояния, вызванного усадкой, в качестве начального
принимать модуль, соответствующий возрасту бетона, когда заканчи-
вается его хранение во влажных условиях или термовлажностная об-
работка.
Условия (2.9) и (2.10) можно значительно упростить, если воспользо-
ваться заданной формой связи между усадочными напряжениями в
бетоне в промежуточный момент времени ти характеристикой ползу-
чести фх.
В простейшем случае связь между усадочными напряжениями и ха-
рактеристикой ползучести выражается линейной зависимостью [25].
Такая зависимость использовалась в последующем в работах [6; 7;
12; 21; 13].
Принятая форма связи может быть использована при решении многих
задач: при оценке напряженно-деформированного состояния сечений,
вызванного предварительным обжатием, усадкой бетона и длительным
действием внешней нагрузки; при определении лишних неизвестных
в статически неопределимых системах от указанных выше воздействий
и т. д. При решении всех этих задач результаты вычислений, выполнен-
ных «точным» способом и «упрощенным», отличаются незначительно.
Параметр а может быть представлен не как функция времени
(см. § 1.2), а как ряд дискретных числовых значений, каждое из которых
соответствует вполне определенному возрасту бетона в момент нагру-
жения (а = 0,5/^).
С учетом сказанного после интегрирования и некоторых преобразо-
ваний вместо (2.9) и (2.10) получим
-^-=еу(/) + ^-Т; (2.11) _^_=е(/)+^?, (2.12)
*-'3 *->а *-'0
где при (/) #= const
v = 4-[1 + ж+(1+а)4 (2ЛЗ)
а при Е6 (0 = Е6 = const
Т = 1+(1+а)Лг-. (2.14)
Поскольку учет роста модуля упругости бетона мало отражается
на интенсивности изменения напряжений х, здесь как и везде в даль-
нейшем, будем полагать, что Еб (/) = Еб = const.
Значения функции у в зависимости от ф, и возраста бетона в момент
нагружения Т! приведены в табл. 2.1.
Заслуживает внимания предложенная в работе [10] форма связи
между усадочными напряжениями в бетоне и характеристикой пол-
зучести в виде релаксационной кривой.
Решая совместно уравнения (2.1), (2.2), (2.11) и (2.12), получим:
в нижней и верхней арматуре
Pay=8y(0E,^-T-g« ; (2.15) <4 = 8у(/)£а а»~а* ; (2.16)
u5 и5
в бетоне на любом уровне
* /1 I \ ' f (1 УбУб \ /п
Обу — — ОауР I 1 zb g— I — ОауР I 1 — I . (2.17)
\ Гб / \ гб /
1 Следует отметить, что для расчета массивных конструкций (они в этой ра-
боте не рассматриваются) учет роста модуля упругости может иметь существенное
значение. Это объясняется тем, что в таких конструкциях в большинстве случаев
учет роста модуля упругости начинается с самого начала твердения бетона, в отличие
07 стержневых систем, где такой учет начинается со сравнительно зрелого возраста.
В этих формулах!
fli = Гб + пур/ (Гб + f/б); (2.18) а2 = пур' (г| — у6УбУ, (2.19)
ая = гб + «УН (Гб 4- t/б); (2.20) а4 = пур. (r26 — у6у6)\ (2.21)
. а6 = ri [1 + пу (р + р')] 4- пу(рг/б + p't/б 4- пурр'Л2);
p=Fa/F6; p' = FX; г2б= n = EJE6\ (2.22)
ye — расстояние от центра тяжести бетонного сечения до рассматри-
ваемых волокон.
Таблица 2.1. Значения коэффициента у
ф/ Т1, сут
3 7 4 28 40 90 180 360 и более
0 1 1 1 1 1 1 1 1
0,25 1,17 1,18 1,18 1,19 1,2 1,22 1,22 1,25
0,5 1,34 1,35 1,36 1,38 1,4 1,43 1,45 1,5
0,75 1,51 1,52 1,54 1,56 1,6 1,64 1,68 1,75
1 1,68 1,7 1,72 1,75 1,79 1,86 1,91 2
1,25 1,85 1,88 1,9 1,94 1,99 2,08 2,14 2,25
1,5 2,02 2,05 2,08 2,13 2,19 2,29 2,36 2,5
1,75 2,19 2,23 2.26 2,32 2,38 2,5 2,59 2,75
2 2,36 2,41 2,45 2,5 2;58 2,71 2,82 3
2,25 2,53 2,59 2,64 2,69 2,78 2,92 3,04 3,25
2,5 2,70 2,77 2,82 2,88 2,98 3,14 3,27 3,5
2,75 2,87 2,94 3 3,06 3,18 3,36 3,5 3,75
3 3,04 3,12 3.18 3,25 3,37 3,57 3,73 4
Верхние знаки в формуле (2.17) ставят, если рассматривают волокна,
расположенные ниже центра тяжести бетонного сечения, нижние —
если выше.
При симметричном армировании (центр тяжести сечения арматуры
совпадает с центром тяжести бетонного сечения)
Рау = ; <2-23> Обу=-ОауР. (2.24)
Здесь Fa — площадь поперечного сечения всей арматуры.
Из формул (2.15), (2.16) и (2.23) видно, что в армированных сечениях
при высоких процентах армирования и низких марках (модулях упру-
гости) бетона усадка армированного бетона может быть значительно
меньше неармированного.
В связи с тем, что напряжения в бетоне находятся в прямой за-
висимости от Ду = еу(/) — еау, где еау = оау/£а, чрезмерное насыще-
ние арматурой может привести к развитию напряжений, достигающих
предела прочности бетона при осевом растяжении 7?р. В этих условиях
трещины в бетоне могут появиться только от усадки, даже при отсут-
ствии внешней нагрузки.
Для того, чтобы можно было как-то воздействовать на деформа-
тивность бетона (а в ряде случаев это вполне реально), надо иметь
Рис. 4. Сечение стержня
к примеру 2 (размеры в
см).
представление о тех величинах относительных деформаций усадки,
при которых в каждом конкретном случае появится опасность разрыва
бетона.
Решение указанной задачи в строгой постановке достаточно затруд-
нительно, так как связано с наличием опытных данных о предельной
растяжимости различных бетонов. В настоящее время целесообразно
ограничиться упрощенным решением, связывая (в запас трещиностой-
кости) образование сквозных трещин с исчерпанием сопротивления бе-
тона осевому растяжению.
Если закон нарастания усадки задан, то для выявления возмож-
ности и определения момента разрыва бетона, окружающего нижнюю
арматуру в несимметричном сечении (см. рис. 2), можно воспользо-
ваться уравнением (2.17), полагая, что yl =
= f/б.к и 0бу = и решая задачу относитель-
но еу (/). В результате
8У (0 =
__ ________________^Pg5_________________
[''б (И + Н') + (Н*/б — Р-'У6) %.к +
(2.25)
а при симметричном армировании
= <2-26)
При невыполнении этих условий [т. е. при
усадки, превышающих значения еу (/), полу-
ченные по формулам (2.25) или (2.26)] следует ожидать появления в
бетоне сквозных трещин.
Так как эпюра усадочных напряжений по длине стержня близка
к прямоугольной, усадка бетона должна сопровождаться одновремен-
ным появлением многих трещин при равномерном распределении их по
длине стержня [7].
Пользуясь приведенными выше формулами, нетрудно получить эле-
ментарное (так называемое упругое) решение задачи, не учитываю-
щее влияние ползучести бетона. В этом случае у = 1 и еу (/) = еук,
так как при неучете ползучести величины напряжений в бетоне и ар-
матуре не зависят от закона нарастания усадки во времени.
Ползучесть бетона вызывает уменьшение усадочных напряжений.
Это уменьшение тем сильнее, чем больше характеристика ползучести
бетона, процент армирования и чем ниже марка (модуль упругости)
бетона. При высоких процентах армирования или низких марках бе-
тона ползучесть способна привести к двухкратному уменьшению уса-
дочных напряжений.
Пример 2. Определить напряжения в сечениях железобетонной балки (рис. 4),
вызванные усадкой бетона, к моменту времени t = оо.
Исходные данные: /45 = 0,2864 м2; /б = 0,035752 м4; г^ = 0,124832 м2; h =
= 0,89 м; f/б = 0,5706 м; уб = 0,3194 м; Fa = 0,004 м2; Fa = 0,001 м2; Еа — 2 х
X Юб МПа; ц = 0,014; ц'= 0,0035; п = 5,71. Остальные данные приведены в
примере 1.
По табл. 2.1 для <рк = 2,44 и Tj = 28 сут находим у = 2,83. По формуле (2.18) —
(2.22) вычисляем:
а± = 0,124832 + 5,71 . 2,83 0,0035 (0,124832 + 0,31942) = 0,137662 м3;
а2 = 5,71 • 2,83 • 0,0035 (0,124832 — 0,5706 • 0,3194) = — 0,003247 м2;
а3 = 0,124832 + 5,71 . 2,83 • 0,014 (0,124832 + 0,57062) = 0,22673 м2;
а4 = 5,71 • 2,83 • 0,014 (0,124832 — 0,5706 * 0,3194) = —0,01299 м2;
ав = 0,124832 [1 + 5,71 * 2,83 (0,014 + 0,0035)] + 5,71 . 2,83 (0,014.0,57062 +
+ 0,0035 • 0,31942 + 5,71 • 2,83.0,014 • 0,0035 0,892) = 0,249695 м2.
Напряжения в арматуре от усадки бетона определяем по формулам (2.15) и (2.16)
,.у = 342..0-°.2..0..°-'^ХГа7-^^
- 342 КГ» 2 • 10» °’22670”4зд95°1299 “ 657 МП’'
\ Напряжения в бетоне вычисляем по формуле (2.17): на уровне арматуры
ооС Л Л. л Л , 0,5706 • 0,5706 \
°бу ------------------3876 * °‘°14 +----0,124832 ) “
- 65,7.0,0035 (1 --^-^832-9"') = “1>84 МПа»
' ооЛ 0,5706 • 0,3194 \
бУ 38,6-0,014^1 0,124832 )
- 65,7 0,0035 (1 + -!3о^2;832194 ) = ~ °-17 МПа«
на уровне крайних волокон
ОО С лл.л/. , 0,5706 - 0,6306')
^у.к =- 38,6 0,014 ^1 +----------1 -
- 65,7.0,0035 (1 - -21-3194 • Q’^06 ) = - 1,96 МПа}
ОО С 0,5706 • 0,3694 \
%.к = ~ 38,6 • 0,014 (1 --0,124832—) “
- 65,7 . 0,0035 (1 + —о9^'.^6—) = - °-08 МПа.
J 2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ ДЕЙСТВИЕМ СИЛ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ОБЖАТИЯ
Эффект предварительного обжатия можно условно расчленить на две
стадии. Стадия 1 (t = 0) заключается в натяжении арматуры и упру-
гом обжатии бетона, которое имеет место либо при последующем от-
пуске арматуры (натяжение на упоры), либо в процессе ее натяжения
(натяжение на бетон). Напряжения в этой стадии допускается опреде-
лять по элементарным формулам теории упругого железобетона. Ста-
дия 2 (t > 0) охватывает весь последующий период существования
стержня. На протяжении этого периода происходит непрерывное
изменение напряженного состояния стержня вследствие ползучести бе-
тона, выражающееся в уменьшении напряжений в бетоне и арматуре
и приводящее иногда к заметному снижению эффекта обжатия бетона.
Стадия 1. Будем следовать правилу знаков, в соответствии с
которым сжимающим напряжениям присваивается знак плюс, растя-
гивающим — минус.
Начальные напряжения в бетоне и арматуре сечения, показанного
на рис. 5, а, определяются по формуле упрощенного способа замены
усилий в нижней и верхней преднапряженной арматуре их равнодей-
ствующей (рис. 5, б).
Рис. 5. Напряженное состояние несимметричного сечения с двойной предна-
пряженной арматурой от предварительного обжатия:
а — поперечное сечение; б — эпюра начальных напряжений; в — эпюра напряжений,
вызванных ползучестью бетона; г — эпюра текущих напряжений; точки и Оп —
центры тяжести, соответственно, бетонного и приведенного сечений.
Если арматура натягивается на упоры, равнодействующая сил натя-
жения указанной арматуры после проявления первых потерь равна
N = Л/о + Nq = o0Fa + оХ. (2.27)
Сила W приложена на расстоянии еп от центра тяжести приведенно-
го сечения
МоУп — ^оУп
еп “ N
(2.28)
Отпуск арматуры после бетонирования и приобретения бетоном тре-
буемой прочности сопровождается внецентренным обжатием сечения.
Напряжения в бетоне на любом уровне определяются по формуле
(2.29)
где Гп = /п/^п» и Ai — площадь приведенного сечения стержня и
момент инерции указанного сечения относительно его центра тяжести;
Уп — расстояние от центра тяжести приведенного сечения до рассмат-
риваемого уровня.
Если волокна бетона, в которых определяются напряжения, распо-
ложены ниже центра тяжести приведенного сечения, в скобках фор-
мулы (2.29) ставится знак плюс, если выше — минус.
Начальные напряжения в нижней и верхней арматуре после упру-
гого обжатия сечения равны:
ан = ао + паб‘> (2.30) Он = tfo + яоб. (2.31.)
При натяжении арматуры на бетон контролируемые величины на-
пряжений в арматуре А и А' принимаются равными соответственно он и
Он- В этом случае
N = NH + NH = oHFa + оХ. (2.32)
Сила N приложена на расстоянии от центра тяжести бетонного се-
чения
Напряжения в бетоне на любом уровне определяются по формуле
(2.34)
Стадия 2. Как уже отмечалось выше, предварительное обжа-
тие армированного стержня сопровождается уменьшением напряже-
ний в бетоне и арматуре вследствие ползучести бетона.
Эффект влияния ползучести на рассматриваемом среднем участке
стержня будет одинаков как для случая натяжения на упоры, так и
для случая натяжения на бетон (независимо от того, восстанавливается
сцепление между арматурой и бетоном путем инъекции раствора или
нет). Следовательно, напряжения, вызываемые ползучестью бетона,
для случаев натяжения на упоры и на бетон определяются по одним
и тем же формулам.
Обозначим напряжения в нижней и верхней арматуре, вызываемые
ползучестью бетона, через аап и оиП, в бетоне на уровне арматуры —
через Обп и Обп, бетон будет находиться под действием изменяющихся
по величине во времени внутренних сил (рис. 5, в):
N6n = (ОбпУв + а'бпУб) ; (2.35) Л4бп = (обп — обп) -у-; (2.36)
Van = tfan^a» (2.37) N ап = (JanF а. (2.38)
Рассматривая эти силы как некоторые дополнительные, нетрудно
доказать, что они должны взаимно уравновешиваться и удовлетворять
следующим условиям:
Nau + Nan + Van = 0; (2.39) Л1бп - Nany6 + Nany6 = 0; (2.40)
аап Об г । абп /л л i >. аап аб . абп ж /о л
и -£7=-^'+-^ <2-41) -ЁГ = -ё7<₽' + -£Г^.(2.42)
Решая совместно уравнения (2.39) — (2.42), получим:
в нижней и верхней арматуре
Оап = П (оба! — Об<г2) ; (2.43) ом = п (о^3 — оба4) ; (2.44)
аъ аб
л
Рис. 6. Попе-
речное сече-
ние стержня
к обоснова-
нию эффек-
тивности ме-
тодики рас-
чета.
напряжения,
в бетоне на любом уровне
♦ /. , УвУб \ ' z /1 УбУб \ /п
Обп-----ФапН[ 1 i 2— ) — I 1 -F 2— J ’ (2.45)
\ гб / \ гб /
при центральном обжатии:
°™ = "таг’ <2-46) Об" = - <2-47)
Текущие напряжения к произвольному моменту вре-
мени t (рис. 5, г) равны алгебраической сумме началь-
ных напряжений и напряжений, вызванных ползу-
честью бетона.
В преднапряженных стержнях в зависимости от коэф-
фициента армирования и деформативных свойств бетона
вызванные ползучестью, могут изменяться в широких
пределах. При увеличении характеристики ползучести бетона и содер-
жания арматуры напряжения, вызванные ползучестью, увеличивают-
ся, а с увеличением модуля упругости (прочности) —уменьшаются.
Таким образом, в высокопрочных бетонах эти напряжения могут быть
сведены к минимуму. В легких и иных бетонах с малыми значения-
ми Еб даже при умеренных характеристиках ползучести напряжения,
вызванные ползучестью, могут достигать заметных величин.
Таблица 2.2. Значения коэффициента изменения напряжений в бетоне Нд при р
t — т,, 0,01 | 0,02 I 0,03 | 0.01 I | 0,02 I 0,03
сут Т1, сут ф/ НТС МТС
14 0,46 0,09 0,15 0,18 0,09 0,15 0,18
28 60 0,36 0,07 0,11 0,14 0,07 0,11 0,14
240 0,23 0,05 0,07 0,09 0,05 0,07 0,09
14 1,54 0,27 0,41 0,49 0,26 0,38 0,46
120 60 1,18 0,21 0,33 0,40 0,20 0,30 0,36
240 0,76 0,14 0,22 0,27 0,14 0,21 0,25
14 2,99 0,44 0,60 0,68 0,43 0,59 0,68
ОО 60 2,3 0,35 0,49 0,56 0,34 0,48 0,55
240 1,48 0,24 0,34 0,40 0,24 0,34 0,40
В качестве иллюстрации эффективности изложенной в этой работе
методики учета влияния длительных процессов, протекающих в бето-
не, на напряженное состояние железобетонного стержня в табл. 2.2
приведены результаты вычислений относительных величин напряже-
ний в бетоне, вызванных его ползучестью Яд = | Обд |/сгб в широком
диапазоне изменения р, Tj и возраста бетона в момент наблюдения —
(/ — тх), выполненных на основе используемого в этой работе техни-
ческого варианта теории ползучести —МТС (модернизированная тео-
рия старения) и так называемого «точного» варианта — НТС (наслед-
ственная теория старения).
Дополнительные исходные данные: Еб = 2,9 • 10* МПа; п = 6,55;
характеристика геометрии сечения рг = (/б + ЕбУб)/ = 4. Попереч-
ное сечение стержня показано на рис. 6.
В соответствии с НТС [19]
Я, = -rj^- 1Л (0) ~ ?1 (' - *1) *1 (* - *1)Ь (2-48)
г*е ^=i-=s = 2; <2-49>
сл = 0,5С(оо, 28)Еб--^Р1- ; (2.50)
ай = 0.7С (оо, 28)Еб е~^. (2.51)
В соответствии с МТС
Н„ = «НРхФг (2.52)
коэффициент у определяется по табл. 2.1.
В табл. 2.3 приведены опытные значения суммарных величин сниже-
ния напряжений в предварительно-напряженной арматуре, вызван-
ного усадкой и ползучестью бетонов (средние по двум—четырем образ-
цам — близнецам соответствующей серии) и отношения теоретиче-
ских величин снижения напряжений, вычисленных по формулам
данной работы и по формулам НТС [19], к опытным.
В качестве предварительно напряженной арматуры в образцах се-
рий БСФ, БСДз, БС и ПС использовались стеклопластиковые
стержни.
Во всех опытах ползучесть протекала в «линейной» области.
Как видно из табл. 2.2 и 2.3, результаты вычислений по формулам
МТС и НТС практически совпадают. Из сказанного следует, что при
решении задач, рассматриваемых в гл. 2 и во всех последующих, пред-
почтения заслуживает технический вариант теории ползучести, ис-
пользование которого позволяет на порядок снизить трудоемкость вы-
числений.
J 2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ ДЛИТЕЛЬНЫМ
ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ
Работу преднапряженного стержня под длительно действующей внеш-
ней нагрузкой, как и в случае обжатия, можно условно расчленить на
две стадии. Стадия 1 (/ = 0) отражает напряженное состояние стерж-
ня в момент приложения нагрузки, причем напряжения в бетоне и
арматуре для этой стадии могут определяться по известным формулам
теории упругого железобетона. Стадия 2 (t > 0) охватывает весь по-
следующий период работы стержня под длительно действующей нагруз-
кой и отражает непрерывное изменение его напряженного состояния
вследствие ползучести бетона.
Стадия 1. Пусть в сечении (рис. 7, а) действует постоянная по
величине и внецентренно приложенная сжимающая сила W (рис. 7, б).
Напряжения в нижней и верхней арматуре определяются по формулам:
оа = Л(7б5 (2.53) оа = иоб; (2.54)
Таблица 2.3. Сопоставление теоретических величин снижения напряжений в
Ис- точ- ник Шифр серии Поперечное сечение (раз- меры в см) Вид бетона Кубико- ва я проч- ность в возрасте 28 сут МПа
125] бп14 Тяжелый мелкозернистый 21
БП2Ч
[23] ЭР — 1ф22Сг5 Тяжелый трехкомпонент- ный 46
ЭИР
ЭР 12 Тяжелый мелкозернистый 45
БПп — /0? Lol 0Сг.25Г2С Тяжелый трехкомпонент- ный 34
й
(6] БЖ (058-1 Тяжелый трехкомпонент- ный 55
БЖФ Тяжелый трехкомпонент- ный бензонепроницаемый 35
БСФ
БЖ3 Тяжелый трехкомпонент- ный 55
БЖДЯ БЖДз _ ю _ или wwpy Тяжелый трехкомпонент- ный на домолотом це- менте 76
БСД3
БЖ Керамзитобетон 23
БС
БС
ПС 4 ^№5,2 Тяжелый трехкомпонент- ный 41
24
ПС °Е Г——тг
предварительно напряженной арматуре с опытными
н Т1, сут t — Xi. сут еу <0 X X 101 <®ап + + °ау)оп> МПа ° ап + <’аУ>ТеОр (стап + стау)°П
МТС НТС
0,023 14 120 25,4 1,9д 91 0,83 0,77
28 10,1 1,06 50 0,81 0,77
0,027 4 247 14,5 1,40 60 0,93 0,90
0,0 1,30 27 1,19 1,13
244 36,7 2,50 108 0,99 0,97
0,016 17 283 16,0 1,39 60 1,00 0,98
0,0032 7 120 36,2 1,64 127 0,82 0,77
27,6 1,43 97 0,79 0,74
0,0039 17 0,93 0,87
0,0032 3 180 64,0 1,59 162 0,84 0,76
62,2 1,71 165 0,91 0,83
57,5 2,28 173 0,89 0,82
0,0039 62,2 1,71 38 0,83 0,76
0,0032 14 120 63,1 1,77 207 0,82 0,78
0,0039 38 1,00 0,95
40 0,93 0,89
0,0054 7 120 54,6 2,04 26 1,12 1,04
24 1,22 1,13
Ис- точ- ник Шифр серии Поперечное сечение (раз- меры в см) Вид бетона Ку бико- вая проч- ность в возрасте 28 сут МПа
ДН 4 _ ю _ 8ф5В,-1 61
Бр •о х 1Ф16М9 58
СМИ "С “Т. -“ТГ 1 4- Т1 Е>6Ф56-1 =>/ф58-]1 57
(18] БП к 16 ^2Ф15П19 Тяжелый трехкомпонент- ный 64
БН ^ЗФ58,1 ^2Ф10Лй 46
CMIV .2* ^2ф5В1 ^ЮФ56-1 57
[26] ЛНП ^WA-16 *~-Ю25А-Ц Шлакопемзобетон 39
Примечание. В числителе приведены данные для верхней арматуры, в знаменателе —
Продолжение табл. 2.3
№ т1# сут t — Т1. сут еу (О х X 10* «’ап + + аау)оп. МПа (Qan gay)Te°P
(°ап + °ау)°П
МТС НТС
0,032 36 413 69,6 1,76 409 0,67 0,67
0,022 11 1460 59,6 2,53 422 0,83 0,82
0,017 7 245 75,4 1,73 374 0,77 0,75
0,0084 15 375 49,7 1,72 231 0,89 0,86
0,003 29 336 43,в 1,97 159 0,85 0,81
0,0078 228 0,79 0,78
0,0016 0,0082 7 266 77,3 1,76 200 336 0,93 0,88 0,84 0,85
0,0052 0,019 18 194 31,2 1,25 86 114 1,20 0,91 1,17 0,88
для нижней.
напряжения в бетоне на любом уровне — по формуле:
Об — ^2 I • (2.55)
Если волокна бетона, в которых определяются напряжения, рас-
положены выше центра тяжести приведенного сечения, в скобках фор-
мулы (2.55) ставится знак плюс, если ниже — минус.
Стадия 2. Как в случае предварительного обжатия бетона,
длительное действие внешней нагрузки сопровождается возникнове-
Рис. 7. Напряженное состояние несимметричного сечения с двойной арма-
турой от внешней нагрузки:
а — поперечное сечение; б — эпюра начальных напряжений; в — эпюра напряжений,
вызванных ползучестью бетона; г — эпюра текущих напряжений; точки и Од —
центры тяжести, соответственно, бетонного и приведенного сечений.
нием и развитием деформации ползучести. Так как ползучесть проте-
кает в связанных условиях, в сечениях стержня возникает дополни-
тельное напряженное состояние (рис. 7, в).
Для определения указанного состояния необходимо составить сле-
дующие уравнения:
уравнения равновесия
Л^бд + Л^ад 4- Л^ад = 0; (2.56) Л4бд— Л^ад^/б + ^ад#б = 0» (2.57)
уравнения совместности деформаций бетона и арматуры на уровне ар-
матуры
= (2.58) -> = -£-<₽'+ -%-V- (2.59)
Здесь N6)i = (ОбдУб + <W6) • (2.60)
ЛГбд = (сГбд Обд) > (2-61)
Naa = СГад^а', (2.62) = (ТадГ?, (2.63)
<тад и (Тад, (Тбд и (Тбд — напряжения, вызванные ползучестью бетона,
в арматуре А и А' и в бетоне на уровне арматуры.
Придерживаясь последовательности, принятой в предыдущих раз-
делах, из уравнений (2.56) — (2.59) получим:
в нижней и верхней арматуре
сад = п — а'ба2) ; (2.64) = п (ст^з — стб«<) ; (2.65)
аь аъ
в бетоне на любом уровне
• /, , УбУб ) • , [, УбУб I ,п с?\
Обд — ^адН I 1 —L 2~” I ( 1 ~Р 2 I * (2.66)
\ Гб / \ Гб /
Верхние знаки в формуле (2.66) ставят, если рассматриваются во-
локна, расположенные ниже центра тяжести бетонного сечения, ниж-
ние — если выше.
При центральном сжатии
= 1+Х* : (2>67) ^д = -садИ. (2.68)
Значения аг — аб и ус расшифрованы в § 2.1.
Текущие напряжения к произвольному моменту времени t (рис. 7, г)
равны алгебраической сумме начальных напряжений и напряжений,
вызванных ползучестью бетона.
Напряжения в бетоне, вызванные его ползучестью при длительном
действии внешней нагрузки, будучи одного знака с напряжениями
в бетоне, созданными в процессе его обжатия, нейтрализуют отрица-
тельное влияние снижения предварительного обжатия бетона на его
трещиностойкость. Таким образом, ползучесть бетона при длитель-
ном действии внешней нагрузки оказывает благоприятное влияние на
трещиностойкость преднапряженных стержней.
С увеличением характеристики ползучести и коэффициента арми-
рования дополнительные напряжения, вызванные ползучестью, уве-
личиваются, с увеличением марки (модуля упругости) бетона —
уменьшаются.
Пример 3. Определить напряжения в бетоне и арматуре предварительно напря-
женной железобетонной балки (см. рис. 4), возникающие при длительном действии
внешней нагрузки.
Данные для расчета: Fn = 0,315 м2; /п = 0,043371 м4; == 0,137686 м2; i =
= 0,0356 м; уп = 0,535 м; у'п = 0,355 м. От внешней нагрузки в балке действуют
изгибающий момент М = 1 МН • м и центрально приложенная продольная сжимаю-
щая сила W = 0,5 МН. Остальные данные приведены в примерах 1 и 2.
Эксцентриситет продольной силы равен:
Л4 1 о
е" ~ N 0,5 2 “•
По формуле (2.55) находим начальные напряжения в бетоне: на уровне верхней
и нижней кромок сечения
, 0,5 Л . 2 • 0,405 \ 1П .
~ 0,315 ( + 0,137686 ) 0,93 МПа’
_ °’5 (1
к 0,315 \
2.0,595 \
0,137686 /
= —12,13 МПа;
на уровне верхней и нижней арматур
0,5 /, , 2 • 0,355 \ . __ м_
°б~ 0,315 ( + 0,137686 ) 9,77 МПа’
0,5
0,315
яб =
2 • 0,535 \ ждт-г
0J37686- =-Ю’75МПа-
Напряжения в арматуре вычисляем по формулам (2.53) и (2.54):
аа = — 5,71 • 10,75 = — 61,4 МПа; иа = 5,71 . 9,77 = 55,8 МПа.
Напряжения от ползучести бетона определим по формулам (2.64) — (2.66), ис-
пользуя значения а± — а5 из примера 2:
2 44
аад = 5,71 (— 1075 - 0,137662 + 9,77 - 0,003247) 0 = — 80,8 МПа;
, 2 44
аад = 5,71 (9,77 - 0,22673 — 10,75 - 0,01299) -q-^95 = 115,8 МПа;
абд = 80,8.0,014 (1 + _ 115,8.0,0035 X
I, 0,3194 • 0,5706 \
Х\ 0,124832 J-4,27 МПа;
' ОАО птлЛ 0,5706 • 0,3194 \
абд = 80,8.0,014(1---------) -
- 115,8.0,0035 (1 +—о9\‘4832194 ) = ~ 1 ’26 МПа;
«ао л п, л Л . 0,5706 - 0,6306 \
абд.к = 80,8 • 0,014 ^1 +-J -
- 115,8 • 0,0035 /1 - О,3о^2,4^з2306 ) = 4.64 МПа;
’ ЯП я nnuA 0,5706 • 0,3694 \
обд.к = 80,8.0,014^1 0,124832 )
- 115,8.0,0035 (1 +-°’3^ - 0.3694\ = _ 1>57 МПа.
Полные напряжения равны:
оа-|-аад = —61,4 — 80,8 = — 142,2 МПа; о' + аад = 55,8 4- 115,8= 171,6 МПа|
<4к + абд.к “ 10>93 — 1,57 = 9,36 МПа;
об.к + %.к = - 12,13 4- 4,64 = — 7,49 МПа; и'б 4- а^д = 9,77 — 1,26 = 8,51 МПа;
аб + абд =» — 10,75 + 4,27 = — 6,48 МПа.
5 2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕРЬ НАПРЯЖЕНИЙ В ПРЕДВАРИТЕЛЬНО
НАПРЯЖЕННОЙ АРМАТУРЕ. РАСЧЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ
НОРМАЛЬНЫХ ТРЕЩИН
В предыдущих разделах не встречался термин «потери предвари-
тельного напряжения». Это не случайно. Дело в том, что в строгой по-
становке потери предварительного напряжения, которые необходимо
иметь при расчете по образованию трещин, требуют учета влияния
снижения напряжений обжатия бетона во времени (рис. 8).
После проявления первых потерь в арматуре, натягиваемой на
упоры, действуют напряжения а0. В момент передачи усилия натя-
жения с упоров на бетон эти напряжения за счет упругого обжатия
бетона уменьшаются на величину паб. С течением времени вследствие
ползучести бетона напряжения в арматуре уменьшаются до величины
оа (0, а в бетоне —до величины об (0. Напряжения оап обычно назы-
вают потерями напряжений в предварительно напряженной армату-
ре. Фактически, как следует из рис. 8, эти потери равны сга (0 —<*0—
—/юб(0 или оап —побп, т. е. действительные потери напряжений в
арматуре больше, чем оап.
Все эти соображения справедливы и в отношении потерь, вызыва-
емых усадкой бетона и длительным действием внешней нагрузки (при-
менительно к последней термин «потери» используется условно, так
как ползучесть бетона от внешней нагруз-
ки сопровождается возникновением напря-
жений в арматуре одного знака с началь-
ными).
Теперь можем определить равнодейст-
вующую усилий предварительного обжатия
с учетом действительных потерь напряже-
ний от усадки и ползучести бетона.
В общем случае
N (0 = — Stfan) Fa + (его — 2аап) Fa,
где Saan и Soan — суммарные потери напряжений в арматуре А и А'
от усадки и ползучести бетона, вызванной совместным действием сил
предварительного обжатия и внешней нагрузки;
2аап = аау + аап — п ((Убу + сгбп); (2.70)
Scran = (Уау 4“ (Уап — Л (<Убу 4" ^бп) • (2*71)
В развернутом виде
Рис. 8. К определению потерь
напряжений в преднапряжен-
ной арматуре.
2стап = [6У (0 Еа (ав — а7) + n<pz (абав — a^)! ; (2.72)
= [6У (0 Еа (aa — а9) + «ф/ (<*бЯ8 — <М») 1 4~ . (2-73)
где ав = г1 + пц (rl + ify + пуц' (Гб + Уб + пц/i2); (2.74)
а7 = пц' (у — 1) (/-б — УбУбУ, (2.75)
а» = ri + пц' (ri + у’б) 4- пуц (Гб + Уб + пц'№)\ (2.76)
«9 = «и (У— РОб — УбУб), (2.77)
об и (Уб — начальные напряжения в бетоне на уровне арматуры А и А*
от совместного действия сил предварительного обжатия и внешней на-
грузки.
При центральном обжатии и центральном приложении внешней на-
грузки
N (0 = (<ГО — 1еу (0 Еа + Пфхоб] | F а.
(2.78)
0,043371
2,5 - 0,357 - 0,355
= 0,63 МПа.
0,043371
находим
Расчет по образованию трещин в сечениях, нормальных к продоль-
ной оси стержня, производится по формуле пп. 4.4 и 4.5 СНиП 11-21-75
с учетом замены N9 на N (/).
Из работы [17] следует, что при малых процентах армирования и
сравнительно высоких модулях упругости бетонов формулы в §§ 2.1 —
2.3 незначительно занижают величины напряжений в арматуре, вы-
званных ползучестью бетона. Однако с увеличением произведения пр
погрешность увеличивается и при определенных, но вполне реальных
условиях может достигать 20 % и более.
Пример 4. Определить равнодействующую усилий предварительного обжатия
и ее эксцентриситет с учетом потерь от усадки и ползучести бетона, проявляющихся
в сечении предварительно напряженной железобетонной балки (см. рис. 4).
Предварительное натяжение арматуры с учетом первых потерь а0 = g'q = 500 МПа;
остальные данные приведены в примерах 1—3.
Равнодействующая усилий предварительного обжатия с учетом первых потерь:
W = a0Fa + оХ = 500 * 0,004 + 500 ’ °,001 = 2»5 мн‘>
и ее эксцентриситет:
е„ = -у- (aeFa^n — о'оГаУ'п) = (500.0,004 . 0,535 - 500-0,001 - 0,355)=0,357 м.
Начальные напряжения в бетоне на уровне арматуры:
2,5 , 2,5 - 0,357.0,535 мп
06=-ст- -----------------------=,ft ок МПя'
2,5
°б~ 0,315
По формуле (2.74) — (2.77)
ав = 0,124832 + 5,71 • 0,014 (0,124832 + 0,57062) + 5,71 • 2,83 • 0,0035 X
X (0,124832 + 0,31942 + 5,71 . 0,014 - 0,892) = 0,17725 м2;
а7 = 5,71 • 0,0035(2,83— 1) (0,124832 — 0,5706 • 0,3194) = —0,0021 м2;
а8 = 0,124832 + 5,71 • 0,0035 (0,124832 + 0,31942) + 5,71 • 2,83.0,014 X
X (0,124832 + 0,57062 + 5,71 • 0,0035 • 0,892) = 0,234845 м2;
я* = 5,71 • 0,014(2,83— 1) (0,124832 — 0,5706.0,3194) = — 0,0084 м2.
Принимая а6 = 0,249695 м2 (см. пример 2), по формулам (2.72) и (2.73) вычис-
ляем:
2аап = [342 • 10~6 • 2 • 106 (0,17725 + 0,0021) +
+ 5,71 - 2,44 (18,95 - 0,17725 + 0,63.0,0021)]=- = 236,6 МПа;
и,4ь4УоУо
2о'п = [342 • 10“6 • 2 • 105 (0,234845 + 0,0084) +
+ 5,71 • 2,44 (0,63 • 0,234845 + 18,95.0,0084)) *nhn, = 83,8 МПа.
и,24УЬУо
Равнодействующую усилий предварительного обжатия с учетом потерь напряже
ний от усадки и ползучести бетона определяем по формуле (2.69):
N (/) = (500—236,6) • 0,004 + (500 — 83,8) . 0,001 = 1,47 МН;
ее эксцентриситет равен
еп (/) = [(500 — 236,6) . 0,004.0,535 — (500 — 83,8) 0,001.0,355] = 0,283 м,
Глава 3,
ДЕФОРМАЦИИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО СТЕРЖНЯ
Оценка деформаций железобетонных стержней в эксплуатационной
стадии весьма важна для практики проектирования. Как известно,
наступление одного из расчетных предельных состояний характери-
зуется именно развитием чрезмерных деформаций (прогибов).
Особую важность проверка деформаций приобретает в свете иссле-
дований, касающихся ползучести бетона. Опыты показывают, что пол-
ные деформации (упругие в сумме с дополнительными, вызванными
ползучестью бетона) изгибаемых и внецентренно нагруженных железо-
бетонных стержней могут значительно превышать упругие, возникаю-
щие в процессе нагружения.
Следует отметить, что деформации в железобетонных системах ин-
тересуют нас не только сами по себе при расчете по предельным состоя-
ниям второй группы. Оценка деформаций (угловых, продольных) не-
обходима и для определения внутренних усилий в статически неопре-
делимых системах. Это в особенности касается расчета таких систем
на воздействие негрузовых факторов, т. е. усадки бетона, смещения
связей.
Для расчета на длительную устойчивость .также необходимо уметь
определять деформации с учетом длительных процессов и трещино-
образования.
§ 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ УЧАСТКОВ БЕЗ ТРЕЩИН
Расчет на усадку бетона
В армированных сечениях с одной осью симметрии (см. рис. 2, а) под
влиянием усадки ось стержня искривляется, а сам стержень укора-
чивается. Если представить себе стержень невесомым, то от действия
одной лишь усадки он деформируется так же, как от внешней нагруз-
ки. Для получения наибольших возможных деформаций необходимо
к деформациям, вызванным нагрузкой, добавить еще деформации от
усадки.
К произвольному моменту времени t кривизна, вызванная усад-
кой, равна
1 м, 1 „Л*
т----(3.1) ИЛИ J- = ey(0-^-, (3.2)
Ру сб'б Ру ' 4-7
где (н«/6 — н'г/б). (3.3)
а5
Относительные значения продольных деформаций связанной усад-
ки на уровне центра тяжести приведенного сечения определяются по
формулам
AL-
еу = еу (0 + £б/?б у + £б/(. гу (3.4)
о/
или еу = еу (0 , (3.5)
где Ф" = 4г" + "V <^б&1 + И'^б</п)1, (3.6)
а при симметричном армировании — дЛ = —. (3.7)
Численные значения коэффициента а5 определяются по формуле
(2.22).
Пользуясь приведенными выше формулами, нетрудно получить эле-
ментарное (так называемое упругое) решение задачи, не учитывающее
влияния ползучести бетона. В этом случае у = 1 и еу (/) = еу.к, так
как при неучете ползучести деформации стержня не зависят от закона
нарастания усадки во времени.
Расчет на действие сил предварительного обжатия
В момент отпуска натяжных устройств (для случая натяжения армату-
ры на упоры) или в момент окончания натяжения арматуры (для слу-
чая натяжения на бетон) на армированное сечение (см. рис. 5, а) бу-
дут действовать внешняя сила W (в данном случае — сила предвари-
тельного обжатия), приложенная в центре тяжести указанного сече-
ния, и момент М = Nen.
Начальная (упругая) кривизна стержня от действия этого момента
определяется по формуле
1 М
Р ^бЛ]
Вследствие ползучести бетона деформации сжатой и растянутой (ме-
нее сжатой) зон сечения начинают расти во времени. Если не учиты-
вать связанных условий, в которых протекает ползучесть, то к рас-
сматриваемому моменту времени t кривизна увеличится и будет равна
(3.9)
Так как арматура препятствует свободному протеканию ползучес-
ти бетона, действительная кривизна будет меньше на
-^ = -^-у- <зло>
Таким образом = -~(1 + ф, + у) (3.11)
или _’_ = ±(1 + фа«), (3.12)
где Фм - -уу- {Ve [ 1 + «У (Н + И')1 + «У (р^б — Мб) (еп1 — г2„)} —
при внецентренном сжатии;
(3.13)
фм = -у- {Гб [1 + пу (И + Р')1 + «У (w/б — н'1/б) о — при изгибе. (3.14)
Аналогичным образом определяют и относительные значения теку-
щих продольных деформаций стержня от действия силы Л/.
Начальные (упругие) деформации на уровне центра тяжести приве-
денного сечения определяются по формуле
текущие деформации без учета связанных условий, в которых проте-
кает ползучесть — по формуле
е(0 = е(1 +ф<). (3.16)
Так как арматура препятствует свободному протеканию ползучести
бетона, действительные значения е (/) будут меньше на
/ ^бп . ^бп Л ZQ 1
е° ~ (“адГ + “адГ 1) V- (3-17)
С учетом сказанного
B(0 = .(l+V, + ^T + ^iV) (3.18)
или 8 (0 = 8(1 + <pN), (3.19)
где (f>N = -f— {Гп [Гб + пу (ру6у„ + и'убу„)] + еппу [Гб (W/n — И'1/п) +
*nfl»
+ » (РУбУп + Н'1/б^п)]} — при внецентренном сжатии; (3.20)
<fN = —— [Гб + пу (цУбУ„ + р'^бУп)] — при центральном сжатии. (3.21)
а»
Расчет на длительное действие внешней нагрузки
При действии в сечении внецентренно приложенной сжимающей силы
(см. рис. 7) начальные (упругие) деформации стержня, свободно ле-
жащего на двух опорах, определяются по формулам (3.8) и (3.15), те-
кущие деформации с учетом связанных условий, в которых протекает
ползучесть бетона,— по формулам
тНо- = т(1+'|”+2таг1'); (3-22>
,W.e(l+ft+ W.,) (3.23)
или по формуле (3.12) с учетом (3.13), (3.14) и (3.19) с учетом (3.20),
(3.21).
Текущие деформации рассматриваемого участка равны алгебраи-
ческой сумме деформаций, вызванных усадкой бетона, деформаций от
действия сил предварительного обжатия и деформаций от длительно-
го действия внешней нагрузки.
Основной причиной длительного нарастания деформаций участков
без трещин является ползучесть бетона.
Армирование сжатой и растянутой зон уменьшает деформации пол-
зучести бетона, а, следовательно, кривизну рассматриваемого участ-
ка и продольные деформации на уровне центра тяжести приведенного
сечения.
В табл. 3.1 приведены результаты вычислений относительных ве-
личин текущих кривизн участков железобетонного стержня без
трещин —
Расчет производился по формулам МТС и НТС [19]. Исходные дан-
ные взяты из § 2.2.
В табл. 3.2 содержатся опытные значения текущих выгибов внецент-
ренно обжатых элементов (средних по двум — четырем образцам-близне-
цам соответствующей серии) и отношения теоретических величин вы-
Таблица 3.1. Значения относительных величин текущих кривизн участков
без трещин при р
t — Т1, 0,01 | 0,02 I 0,03 0,01 | 0,02 I 0,03
сут Т1, сут НТС МТС
14 0,46 1,38 1,34 1,32 1,38 1,34 1,31
28 60 0,36 1,3 1,27 1,25 1,29 1,26 1,24
240 0,23 1,19 1,17 1,16 1,19 1,17 1,16
14 1,54 2,18 2,03 1,96 2,15 2,00 1,94
120 60 1,18 1,93 1,82 1,76 1,9 1,78 1,73
240 0,76 1,61 1,54 1,5 1,59 1,52 1,49
14 2,99 3,06 2,76 2,66 3,04 2,76 2,66
ОО 60 2,3 2,62 2,4 2,31 2,6 2,38 2,3
240 1,48 2,08 1,93 1,87 2,08 1,93 1,87
гибов, вычисленных по формулам данной работы и по формулам НТС
[19], к опытным.
Текущие значения выгибов определялись как сумма начальных де-
формаций, возникающих в момент обжатия, и деформаций, вызванных
ползучестью бетона.
Пример 5. Определить полный максимальный прогиб преднапряженной железобе-
тонной балки (см. рис. 4) пролетом L = 20 м. Нагрузка равномерно распределенная.
Исходные данные приведены в примерах 1—4.
Кривизну от усадки бетона определяют по (3.2) и (3.3):
<pM = (0,014 ’ °’5706 — °10035 • °.3194) = 1.085, Vm;
— = 342 • 10-6-Ь^- = 1,52 • 10—4, 1/м.
Ру 2,44
Кривизна в момент предварительного обжатия балки (выгиб):
1 - 2,5 • 0,357 4
р 3,5 • 10* • 0,043371 “ 5,88 ' 10 ’ 7
Полную кривизну от обжатия (после проявления ползучести) вычисляем по
формулам (3.12) и (3.13):
= О)2496954; 0,357 <-°’124832 ' О’357 В + 5’71 * 2'83 (°>014 + 0.0035)] +
4-5,71 • 2,83(0,014 • 0,5706 — 0,0035 • 0,3194) (0,0356 • 0,357 — 0,137686)} = 1,183;
—= — 5,88 • 10~4 (1 + 1,185) = — 12,85 • 10~4, 1/м.
Таблица 3.2. Сопоставление теоретических значений текущих выгибов
мщвнтренно обжатых элементов с опытными
Источник Шифр серии Поперечное сечение (раэмеры в см) Кубиковая проч- ность бетона в возрасте 28 сут, МПа хХо / — т„ сут (V, кН f (0ОП, мм он ‘ни по
МТС НТС МТС НТС
(25] бп14 8 1&18 21 14 120 1,99 32,0 1,34 0,76 0,79 0,57 0,59
бп28 28 120- 1,06 32,0 0,90 0,58 0,59 1 0,65 । 0,66
123] БПп ю - 1ф20 34 17 283 1,39 70,5 1,76 1,37 1,26 0,78 0,72
о]
[6] БЖ I0SB-I 55 7 120 1,64 10,0 0,97 0,97 0,98 1,00 1,01
БЖФ -[ “\ХГ" 35 1,43 6,7 1.12 0,73 0,73 п,65 0,65
БСФ 0,72 1,02 1,02
ю. 1,43 6,2 0,73 0,74
БЖэ 55 3 180 1,59 5,2 0,80 0,60 0,60 0,75 0,75
БЖДз 76 3 180 1.71 9,7 1,07 0,97 0,98 0,91 0,91
БЖДз 77 2,28 10,0 1,26 1,18 1,19 0,94 0,95
БСДз 76 1.71 10,6 1,23 1,16 1,16 0,94 0,94
БЖ 23 14 120 1,77 9,0 2,15 1,67 1,69 0,78 0,78
БС 9,2 1,84 1,99 2,00 1,08 1,09
БС 9,2 1,87 1,77 1,78 0,95 | 0,95
Кривизна от длительного действия внешней нагрузки — формулы (3.8), (3.14)
и (3.12):
~р~ = 3,5 . 10* • 0,043371 = 6,59 ' 10 4’ 1/М:
, 2;** г {0,124832 [1 + 5,71 • 2,83 (0,014 + 0,0035)] +
+ 5,71 • 2,83 (0,014.0,5706 — 0,0035 • 0,3194) 0,0356} = 1,60;
—L-= 6,59 • 10“4 (1 + 1,60) = 17,13 •’ 10“4, 1/м.
Р (О
Полный прогиб:
= • 1.52- Ю-4 —4-- 12,85» 10“4 + 4б~- 17.13. 10~4'l • 20» = 0,0147 м.
\ о о 4о у
Относительный прогиб:
20 L
= или /w=“i36o"-
§ 3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ УЧАСТКОВ С ТРЕЩИНАМИ
di 6
Рис. 9. Напряженно-деформированное
состояние внецентренно нагруженного
железобетонного стержня с трещина-
ми:
a — поперечное сечение; б — напряженное
состояние в момент времени /; в — эпюра
деформаций в момент времени t.
соответственно в крайних сжатых
При определении деформаций стержней, работающих с трещинами
в растянутой зоне, все предпосылки, принятые нами ранее, остаются
в силе. Помимо указанных предпосылок, при решении поставленной
задачи приняты следующие допущения [7]:
в момент приложения внешней нагрузки и в течение всего периода
эксплуатации для средних деформаций арматуры и бетона считается
справедливой гипотеза плоских сечений;
принимается треугольная эпюра нормальных напряжений в сжатом
бетоне;
влияние растянутого бетона, покрытого трещинами, на деформации
растянутой арматуры учитывается при помощи коэффициента фа, а
неравномерного распределения де-
формаций сжатой зоны — при по-
мощи коэффициента фб.
Поскольку речь идет не о расче-
те на прочность, а о вычислении
деформаций в эксплуатационной
стадии, использование формул
упругого железобетона является
вполне оправданным.
Рассмотрим напряженно-дефор-
мированное состояние внецентрен-
но нагруженного железобетонного
стержня произвольного сечения с
одной осью симметрии (рис. 9, а) к
произвольному моменту времени t.
Обозначим (рис. 9, б, в) об (/), ва (t)
и аа (0 — текущие напряжения
волокнах бетона, в сжатой и растя-
нутой арматуре в сечении с трещиной; еб (/), еа (I) и еа (/) — средние
значения текущих деформаций бетона и арматуры; х (?) — текущая
высота сжатой зоны сечения с трещиной.
Для отыскания неизвестных необходимо составить следующие урав-
нения:
уравнения равновесия
ад) + л^(/)-лиО = ±АГ;
(3.24)
Мб (/) + N\ (/) |х (0 - а'] + /V, (/) [h0 — X (/)] = М ± Ne (/); (3.25)
уравнения равенства угловых деформаций
Еб (0 еа <0 _ ea(Q
х (0 х (/) — a' h0 — x (/) ‘
(3.26) —(3.27)
В уравнениях (3.24) и (3.25)
= (3-28) Л1б(0 = об(0-^; (3.29)
/Va(0 = <Ja(0^; (3.30) Л\(0= a.(/)Fa. (3.31)
В уравнениях (3.26) — (3.27):
8б(/) = -^-ф6(1 +Ф,-у) + -^-фв(0т + 8у(0; (3.32)
М0 = -^-Ш0; (3.33) = (3.34)
ST.6 (0 и /т.б (0 — статический момент и момент инерции бетонного се-
чения сжатой зоны стержня относительно нейтральной оси при высоте
сжатой зоны, равной х (/); сгб — начальные напряжения в крайних
сжатых волокнах бетона (t = 0); % (t) = ф6 = 0,9.
Коэффициент фа (/), учитывающий работу растянутого бетона меж-
ду трещинами и над трещинами в произвольный момент времени /, оп-
ределяют по формуле [25, 4]:
Фа(0 = Фа[1+(а-Нв + ^а)-^-]. (3-35)
L Фк J
где Фа = 1 — £» _|_ 2,3nFa ’ (3.36)
F* — площадь бетонного сечения стержня высотой h0 без учета свесов
сжатой полки;
т = 0,65 1/ .... ; (3.37)
г М ± — (Л1т — flplF-r)
Таблица 3.3. Значения коэффициентов а, Ь, с
Вид напряженного состояния а ь С
Изгиб Внецентренное сжатие 2,26 1,8 3,7 L 2,75 1,45 0,95
Мт — изгибающий момент, соответствующий сопротивлению стерж-
ня, образованию нормальных трещин; WT — момент сопротивления
приведенного сечения стержня относительно растянутого края сече-
ния, определяемый с учетом неупругих деформаций растянутого бе-
тона; ея — расстояние от точки приложения силы N до ядровой точки,
наиболее удаленной от растянутой зоны; а, Ъ и с — опытные парамет-
ры, определяемые по табл. 3.3.
Методика определения коэффициента фа основана на четкой физи-
ческой предпосылке о том, что раскрытие трещин —это накопление
относительных взаимных смещений арматуры и бетона на участках
активного сцепления, расположенных по обе стороны от трещины.
Знак плюс перед N ставится, если сила сжимающая, минус —если
растягивающая.
Знак плюс перед моментами Ne (t) и Nen ставится, если они действуют
в одном направлении с М, минус —если в противоположном направ-
лении.
Решение аналогичной задачи, только в более общей постановке со-
держится в работе (7].
На практике можно пользоваться более простыми формулами, ос-
нованными на многочисленных экспериментальных данных, в соответ-
ствии с которыми интенсивность перераспределения напряжений
в стержнях с трещинами заметно меньше, чем в стержнях без тре-
щин [7].
Если учесть, что деформации во времени мало чувствительны к пе-
рераспределению напряжений, уравнение (3.32) можно перепи-
сать так:
М0 = = -^Цб(1 + Ф/)- (3.38)
С учетом сказанного из уравнений (3.25) — (3.27) и (3.38) будем
иметь;
(3.39)
Ъ (0 = n[M±Ne (01 -х-®^ (1 + ф<); (3.40)
•т \Ч
аа (0 = - «В (0 IM ± Ne (0] (1 + <₽<), (3.41)
где /т (0 = /т.б (0 + п [7т.а (0 + g (0 /т.а (0] (1 + <р,); (3-42)
1т.» (0 и /т.а (0 — моменты инерции сечений арматуры А' и А относи-
тельно нейтральной оси при высоте сжатой зоны, равной х (0.
= (3AS>
Высота сжатой зоны х (0 определяется из уравнения
где St (0 = ST,6 (0 + п [S;.a (0 - g (0 ST.a (0] (1 + Ф/); (3.45)
St., (0 и ST.a (0 — статические моменты сечений арматуры А' и А
относительно нейтральной оси при высоте сжатой зоны, равной х (0.
Текущую кривизну стержня и относительные значения текущих про-
дольных деформаций на уровне центра тяжести приведенного сечения
определяют по формулам
_^_=_1_(1 + фМ) (3.46) и 8(0«в(1+фЛ), (3.47)
гд«
1 М ± Ne ,о . оч Ne , ’ х
р" ~ Еб/Т ’ <3 48) 8 ~ ~Уа
<₽»- 11+ц) -1;
1т (0 (* — Уп.к)
(3.49)
(3.50)
(3.51)
/т, е и х — начальные значения /т (0, е (t) и х (0.
При тавровом сечении:
/т(0 = (b'„ — 5)Ох(0
+ + п (Fa [х (0 - а1]* + g (/) F. [х(0 -Ло]2} (1 + <р,); (3.52)
ST(0 = (bn-
b)h'n x(t) -4Ч +
+ 2£^ + n{F;[x(/)-a'] + g(/)Fa[x(0-M(l +фЛ (3-53)
Здесь Ь'п и Лп — ширина и высота сжатой полки; b — ширина ребра.
При прямоугольном сечении:
/т(0 „ .^L + п {F'a [х (0 - а']2 + & (0 Fa [х (0 - Ло]’} (1 + Ф<); (3.54)
$т (/) = + „ {// [х(0 _ д'] + g(/) Fa [х (/) _ Ло]} (1 + ф/). (3.55)
Начальное напряженное состояние и начальная высота сжатой зо-
ны определяются по формулам (3.39) — (3.55) при ф, = 0 и фа (/) =
= К
Основными причинами длительного нарастания деформаций стерж-
ней, работающих с трещинами, являются ползучесть бетона сжатой
зоны и прогрессирующее трещинообразование (увеличение количест-
ва трещин и ширины их раскрытия).
Вследствие ползучести бетона сжатой зоны нейтральная ось смеща-
ется в сторону растянутой зоны, напряжения в сжатом бетоне умень-
шаются, а в арматуре возрастают. Кривизна стержня и продольные
деформации на уровне центра тяжести приведенного сечения увеличи-
ваются. Таким образом, ползучесть бетона сжатой зоны оказывает
двойное влияние: она вызывает увеличение прогибов во времени и
перераспределение напряжений между бетоном и арматурой.
Появление трещин в растянутой зоне в большей или меньшей мере
выключает последнюю из работы, уменьшая таким образом момент
инерции сечения, а вместе с ним и жесткость. Вследствие прогресси-
рующего образования трещин нейтральная ось смещается в сторону
сжатой зоны бетона, напряжения в растянутой арматуре и в сжатом
бетоне увеличиваются. Поскольку ползучесть сжатого бетона сопро-
вождается увеличением напряжений в растянутой арматуре, трещины,
возникшие в момент загружения, раскрываются во времени и (в не-
значительном количестве) появляются новые.
Таблица 3.4. Значения относительных величин текущие кривизн участков
с трещинами при р
t — т, 0.01 0,02 I 0,03 0,01 | 0.02 | 0,03
сут Ti, сут Ф/ НТС МТС
14 0,46 1,10 1,14 1,17 1,10 1,13 1,16
28 60 0,36 1,08 1,11 1,13 1,08 1,10 1,13
240 0,23 1,05 1,07 1,08 1,05 1,07 1,08
14 1,54 1,34 1,46 1,55 1,30 1,42 1,50
120 60 1,18 1,26 1,35 1,42 1,23 1,33 1,40
240 0,76 1,17 1,23 1,27 1,16 1,22 1,26
14 2,99 1,61 1,85 2,02 1,53 1,77 1,94
ОО 60 2,3 1,46 1,65 1,78 1,42 1,60 1,74
240 1,48 1,29 1,4 1,49 1,29 1,40 1,49
Армирование сжатой зоны уменьшает деформации ползучести, в
связи с этим уменьшаются и прогибы. При соответствующим образом
запроектированной сжатой арматуре влияние ползучести может быть
в значительной степени нейтрализовано.
Усадка сжатого бетона мало отражается на величинах прогибов.
В табл. 3.4 приведены результаты вычислений относительных
величин текущих кривизн участков железобетонного стержня с тре-
щинами /V - (1 + = 1 + фм- Расчет производится по фор-
мулам МТС и НТС [19]. Исходные данные взяты из § 2.2. Допол-
нительно принималось фа (/) = фа = фб = 1.
В табл. 3.5 содержатся опытные значения текущих прогибов одно-
пролетных свободно опертых железобетонных балок (средние по двум —
четырем образцам-близнецам соответствующей серии) и отношения
теоретических величин прогибов, вычисленных по формулам данной
работы и по формулам НТС [19], к опытным.
Образцы серий Б и БД загружались сосредоточенной силой Р в
середине пролета, остальные —двумя равными силами Р в четвертях
пролета. Ползучесть протекала в линейной области. Влияние усадки
на прогибы не учитывалось.
Пример 6. Определить начальный и полный прогибы в середине пролета ненапря-
женной железобетонной балки от длительно действующей равномерно распределен-
ной нагрузки. Сечение балки показано на рис. 4.
Исходные данные: М = 0,6 МН. м; L = 20 м; Fa = 0,004 м2; Fa= 0,001 м2;
Еа = 2 • 10Б МПа; Е<$ = 3,5 • 104 МПа; п = 5,71; hQ = 0,94 м; h'u = 0,1 м; ЬП =
= 1,2 м; /> = 0,16 м; а = 0,06 м; а' = 0,05 м; 1ГТ = 0,12756 м3; /?р = 2,5 МПа;
Фг = 2,44; у = 2,83.
Определяем положение нейтральной оси. Так как в данном случае МТ = /?р1^т,
то по формулам (3.35) — (3.37) имеем:
т = 0,65 у °’12756 1 2’5 = 0,474; F* = 0,16.0,94 + (0,30 — 0,16) (0,16 —
— 0,6) =0,1644 м2;
Фа = 1
0,1644-0,474
0,1644 4- 2,3.5,71 . 0,004 ’ *
Таблица 3.5. Сопоставление теоретических значений текущих прогибов
железобетонных изгибаемых элементов с опытными
Источник 1 Шифр серии Поперечное сечение (размеры в см) Кубикова я проч- ность бетона в воз- расте 28 сут, МПа н t — Ъ сут & Р, кН f (0ОП, мм f if)™*, мм, по оп uo^) //doai^)^
МТС НТС МТС НТС
|25] Б 8 20 7 136 1,13 3,6 1,51 1,24 1,31 0,82 0,86
L^aocM
БД 8 20 7 142 1,13 3,6 1,28 1,07 1,11 0,83 0,87
is) '^2<t>8
^2<t>8
[И] Б1 10 1^200си 42 20 276 2,10 6,9 4,24 4,68 4,09 1,10 0,96
Б'1 42 20 304 2,10 6,6 3,89 4,32 3,74 1,11 0,96
гз* 1фЮ
БП _ /а L-ZOOcrt 42 20 272 2,10 14,3 4,14 3,74 3,65 0,90 0,88
^1Ф18
Б1Н L-гтсх '!фг 42 20 264 2,10 14,3 4,37 3,90 3,99 0,89 0,91
1фП
По табл. 3.3 для изгиба имеем: а= 2,26; Ь= 3,71 и с= 1,45, поэтому —
ем. (3.35):
[ 2 44 1
1 + (2,26 —3,71 • 0,641 + 1,45 • 0,6412) • = 0,947.
По формулам (3.42) — (3.45) и (3..48) находим начальную кривизну и начальный
прогиб балки при ф/ = 0 и фа (/) = фа:
О 9 Ьх2
5 = та- = 1 ’404; = -+ + «>п - hn (х - 0,5ЛП) =
= х» + (1,2 — 0,16) 0,1 (х — 0,5 -0,1) = 0,08х» + 0,104х — 0,0052;
Si а - Р\ (х — а') - 0,001 (х — 0,05) = 0,001х — 0,00005;
5т.а “ F» <Ло — х) = 0,004 (0,94 — х) = 0,00376 — 0,004х.
Так как в данном примере N = 0, то уравнение (3.44) примет вид
ST = 0,08ха + 0,104х — 0,0052 + 5,71 [0,001х — 0,00005 — 1,404 X
X (0,00376 — 0,004х)] = О
или 0,08ха + 0,1418* — 0,0356 « 0, откуда х = 0,223 м.
Следовательно,
/т = ±0,16 • 0,223» +-2-(1,2 —0,16) • 0,1» + 0,1 (1,2 — 0,16) X
о 12
( 0,1 \«
X 10,223------i-j + 5,71 [0,001 • (0,223 — 0,05)» + 1,404 • 0,004 (0,94 — 0,223)»] -
= 0,02045 м<;
V = 3,5 • 104 • 0,02045 = 8,38 ' 10 ’ 1/М!
f = -2- • 8,38 . 10~4 > 20» = 0,0349 м.
Диалогичным путем определяем полный прогиб балки
О 9
8(0 =- = 0,950; ST б (0 = 0,08х» (0 + 0,104х (0 - 0,0052;
si.a W = O.OOlx (0 — 0.00005; ST а (0 = 0,00376 — 0,004х (0;
$т (0 - 0,08х» (0 + 0,104х (0 — 0,0052 + 5,71 {0,001 х (0 — 0,00005 —
— 0,950 [0,00376 — 0,004х (/)]} . (1 + 2,44) = О
или 0,08х» (0 + 0,1983х (0 — 0,07634 - О,
откуда х (0 = 0,339 м;
/т(0- -2-0,16.0,339» + -i- (1,2 — 0,16) -0,1»+ 0,1 • (1,2 — 0,16) X
о 1а
/ 0,1 \«
X 10,339-----£-1 + 5,71 [0,001 • (0,339 — 0,05)* + 0,950 < 0,004. (0,94 — 0,339)»] X
X (1+2,44) =0,03945 м«;
S^2'44’-1’017831
^2_ - 8,38 • IO-4 • (1 + 0,783) = 14,94 . 10“4 1/м;
f (0 = 5 . 14,94 . 10“4 • 20* = 0,0623 и.
Глава 4
ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СИСТЕМАХ
Ползучесть в статически неопределимых железобетонных системах
помимо перераспределения усилий между бетоном и арматурой в се-
чениях стержней сопровождается перераспределением усилий между
самими элементами. От действия внешней нагрузки в большинстве
случаев перераспределение невелико, другое дело, если система на-
гружена вынужденными усилиями (силами предварительного напря-
жения) или вынужденными деформациями (смещением связей, изме-
нением схемы нагружения стержней при замыкании системы *).
В этих условиях под влиянием ползучести усилия в системе могут за-
метно изменяться, а в ряде случаев даже менять знак.
Реальные конструкции почти всегда оказываются нагруженными как
внешними силами, так и вынужденными усилиями или вынужденными
деформациями (а подчас теми и другими одновременно). Поэтому
приходится считаться с тем, что первоначально созданные в них уси-
лия могут претерпевать значительные изменения.
В системах из обычного железобетона и в преднапряженных систе-
мах, работающих в стадии эксплуатации с трещинами в бетоне, после
появления трещин и в процессе их развития происходит изменение
жесткости сечений стержней, которое также сопровождается перерас-
пределением усилий.
Определенного внимания заслуживают вопросы, связанные с уче-
том влияния усадки бетона на работу статически неопределимых же-
лезобетонных систем. Если в безраспорных системах (например, не-
разрезных балках) центр тяжести арматуры в сечениях стержней сов-
падает с центром тяжести бетона, деформации усадки не влияют на
естественное распределение усилий. При несимметричном армирова-
нии, в распорных системах (арках, комбинированных конструкциях
ит. д.) деформации усадки вызывают дополнительное перераспределе-
ние усилий.
§ 4.1. РАСЧЕТ УСИЛИЙ МЕТОДОМ СИЛ
Общее решение
Рассматривается и раз статически неопределимая система (рис. 10),
нагруженная внешними силами, вынужденными усилиями, мгновен-
ным смещением связей и усадкой бетона.
Задача решается в линейной постановке. Это позволяет применять
принцип независимости действия сил.
Наиболее распространенным методом расчета статически неопреде-
лимых железобетонных систем является, как известно, метод сил. При-
менительно к задаче определения напряженно-деформированного со-
стояния системы во времени метод сил заключается в том, что и раз ста-
* Имеются в виду системы, статическая неопределимость которых создается (или
увеличивается) уже после передачи на них значительных нагрузок.
тически неопределимая система, находящаяся под действием заданных
выше сил и деформаций, путем отбрасывания и связей превращается
в статически определимую, к которой в местах отброшенных связей
прикладываются силы Хг (/), Х2 (/), ...» Хп (/)—текущие реакции
связей. Эти силы — лишние неизвестные — определяются из уравне-
ний, выражающих равенство нулю текущих обобщенных перемещений
(соответствующих этим силам) от их совместного действия, заданных
нагрузок и деформаций.
При учете переменной жесткости сечений и неодинаковых условий
протекания усадки и ползучести в стержнях каноническая форма ме-
тода сил приводит к решению следующих уравнений:
Рис. 10. Фрагмент железобе-
тонной рамы.
при замыкании системы до нагружения
т
+ [А/р/ (0 + Д/c/ + Д/у/ (01= 0;
м
(Z = 1, 2 ... и); (4.1)
при замыкании системы после нагружения
п т J
/?=! /=1 0
т
8iki (t, т) d-t + J] [A,w (0 +
м
+ Д,у,•(/)] = 0; (i=l,2...n). (4.2)
В этих уравнениях 6/Лу- (/) — текущие перемещения в основной си-
стеме по направлению лишнего неизвестного XL (t) от усилия Xk (t) =
= 1, обусловленные деформативностью /-го участка; Д/р/ (t) —то же,
от внешних нагрузок или вынужденных усилий; Д/с/- и Д/у/- (/) — то
же, от мгновенного смещения связей и усадки бетона; X — усилие,
возникающее в системе в начальный момент времени и получаемое в
результате решения «упругой» задачи.
Придержи г а ясь последовательности, принятой в гл. 2, связь между
дополнительными величинами лишних неизвестных, вызванными пол-
зучестью бетона, и характеристикой ползучести бетона принимаем в
виде линейной зависимости. С учетом этого после интегрирования вмес-
то (4.1) получим
S S [*Дл/(О + ХдА*/(®)о1 +
Л=1 /=1
+ S [Аад (0 + А,с/ + Аад (01 = 0. (4.3)
а вместо (4.2)
S S ХдЛад (в)£ + S [А«ад (0 + А(у/ (/)] = 0, (4.4)
/=1
где dikj (6)о — средние значения (/) в интервале времени 0 — t.
При отсутствии трещин на рассматриваемом участке и замыкании
системы до нагружения текущие перемещения определяются по фор-
мулам:
£W0=S f —S f 6ki(t)Niidxf, (4.5)
M f=^Lf W Mil,
= J f -+-MtMXf + £ f zklNt^dXl-, (4.6)
/=> Ml AL, p* М^Ъ,
XA/p/(0=X ( -Ar^/+S f MW*/! (4.7)
-=' Mi p”(l) /= д*£,
Хд<у/(0=Х f + E f ^lNndXl (4.8)
/=1 /=1 AL^ У/ M AL^
ИЛИ
X (0 = S f (1 + ф") dXi + £ f (1 + Ф/) dxf,
/=, "Д еб/п/ мД EVF"I 1 (4.9)
S 6«/(6)i = S f Y^X/+ S f y^x,; (4.10)
mi Mil. 61 nl i~'&. 6i ni
Xw) = S f + + i f ^(1 + фр^.:
m "aJl, ' м1Д£б'п/ (4.11)
tn m n M m л A‘
X А/У/ (0 = S еУ/ (0 M‘i %- + S f еу/(0 N‘l ^/; (4-12)
Ml Ml AL, V</ Ml Al, Wti
при замыкании системы после нагружения — по формулам (4.6),
(4.8) и
т т п т п
SA/w(0 = 2 I -^-Mij(pMdXj 4- 2 l 6PINij^dXl (4.13)
Ml Ml д*£, Ppl Ml д^,
или (4.10), (4.12) и
ffl tn -- tn r
S Д1Р/ (0 = S J -ф^Г <№х1 + S J 4tdxl- (4.14)
' ' AL. I * AL»
Численные значения —, —
f> p(0
1 /л 1
, e, e(/), - и ey определяются по
формулам, соответственно, (3.8), (3.12),' (3.У15), (3.19), (3.2) и (3.5),
численные значения fpM и <pw — по формулам (3.14), (3.3) и (3.20)
(3.6), ум и yN —по табл. 2.1 (в зависимости, соответственно, от
и ф*).
При наличии трещин на рассматриваемом участке и замыкании
системы до нагружения текущие перемещения определяют по фор-
мулам:
™ tn m m
S (0 = S $*/ ($)о = S о ТА MijdXj + 2 [ еА/ (0 Nijdx,-;
'=* /=* /=>Д£. Pkl" (4.15)
m m m
SAw(0=S 0 (A ^iidXj + S f Rpj^Nijdxi (4.16)
/=i /=>д\. pp/{ > Мд!,
m m m (* M M
SWO = S6«/(€>)o=S -£~г- (1+ qf) dxt +
/-1 /=1 /-1 Д£. 6/ T'
(1 + фЛГ) dxf,
(4.17)
Saw(/)=S f + f ^-(i+^)dxf,
i~i j^JLj £б/т/ /=1д^ £б/т/ (4.18)
при замыкании системы после нагружения —по формулам (4.15) и
S А,„•(/) = £ f -L^qp^ + S [ tpiNi^dx, (4.19)
/=1 /=|Л£/ W '='д£у
или (4.17) и
ГП т ft КА АЛ т Г*
S А‘Р/ (0 = ZI J е”/" ^dxl + S J Vi^l- <4-20)
/=1 /=1 ДЬу о/ т; J=1 &L. 4
Здесь
Численные значения , е и е (/) определяют по формулам
(3.46) — (3.49); фм, фЛ^ — по формулам (3.50) и (3.51); Ц и х — по фор-
мулам (3.42) и (3.44) при t = 0.
При замыкании системы до нагружения за начало отсчета времени
при определении фЛГ, фм и ф/ принимают момент ее нагружения, при за-
мыкании системы после нагружения —момент замыкания.
Таким образом, при отсутствии трещин ход расчета статически не-
определимых систем сводится к следующему. Как и при решении упру-
гой задачи выявляется степень статической неопределимости систе-
мы, выбирается основная система, назначаются лишние неизвестные и
строятся эпюры изгибающих моментов и продольных сил для осевого
контура основной системы от единичных значений неизвестных и задан-
ной нагрузки. Для участков с одинаковыми сечениями'(геометрические
характеристики сечений, деформативные характеристики бетонов) на-
чальные и текущие перемещения в основной системе вычисляются на
основе известных приемов (правило Верещагина, способ Корноухова,
табличное интегрирование и т. д.). По найденным значениям изгиба-
ющих моментов и продольных сил по формулам гл. 2 определяются
нормальные напряжения в сечениях стержней системы.
В системах с трещинами решение задачи о перераспределении уси-
лий осуществляется методом последовательных приближений. Сначала
систему рассчитывают как упругую, а полученные усилия принимаются
в качестве первого приближения. Затем стержни разбивают на участ-
ки с постоянной величиной жесткости. На участках, работающих без
трещин, жесткость принимается равной Еб1и, на участках, заключен-
ных между ними,— Еб1тЛ, £б/т.2, ...» £бЛ.мин, где /т.мин —момент инер-
ции наиболее напряженного сечения на данном участке. Коэффициент
гра, учитывающий неравномерность распределения деформаций рас-
тянутой арматуры, на каждом участке с постоянной жесткостью вы-
числяется по формуле (3.36) по средним значениям усилий (Л4 и W)
соответствующих участков. Затем определяют высоту сжатой зоны х
и, наконец, жесткость Еб1т. Далее производится расчет системы мето-
дом сил для момента времени t = 0. Коэффициенты 6^/ и Ддр/ опреде-
ляют как сумму произведений соответствующих эпюр, поделенных на
соответствующую участку жесткость. После того как вычислены пе-
ремещения определяют лишние неизвестные и строят новые эпюры
М и У. В случае необходимости по полученным усилиям корректи-
руются жесткости и производится новый расчет.
Точно так решается задача для момента времени t. Так как на из-
менение £б/т (/) влияет не только ползучесть, но и неизвестные в рас-
сматриваемый момент времени усилия, определение длительных жест-
костей в первом приближении осуществляется с учетом уточненных
значений начальных усилий. Далее производится повторное вычисле-
ние жесткостей, но уже с использованием усилий, полученных в пер-
вом приближении и т. д.
Как уже отмечалось, перераспределение усилий во времени в си-
стемах с трещинами происходит вследствие ползучести бетона и про-
грессирующего трещинообразования. При этом в зависимости от
характера армирования опорные (узловые) усилия могут как увеличи-
ваться, так и уменьшаться. При расчете на длительное действие внеш-
ней нагрузки, если стержни системы выполнены из бетона одного со-
става и возраста и если процент армирования их не отличается особен-
но резко, а замыкание системы происходит до приложения нагрузки,
влияние ползучести мало отражается на перераспределении усилий.
В этом случае ползучесть учитывается только при проверке по дефор-
мациям (прогибам) и по ширине раскрытия трещин.
При расчете на смещение связей длительная жесткость определяет-
ся с учетом фа (/) = фа, так как при разгрузке сцепление между бе-
тоном и арматурой в зоне трещин не восстанавливается.
Пример 7. Определить начальные и полные усилия в предварительно напряжен-
ной железобетонной раме, вызванные длительным действием внешней нагрузки и уси-
лий предварительного обжатия, а также мгновенной осадкой опоры и усадкой бетона.
Расчетная схема рамы, сечения элементов и их армирование показаны на рис. 11.
Рама армирована предварительно напряженной арматурой класса A-IV. Правая
опора рамы в момент времени t = 0 получает вынужденное смещение вниз Ас =
= 0,04, м, не изменяющееся во времени.
Трещины в элементах рамы отсутствуют.
Исходные данные: = м2; у$ = у^ = 0,2 м; h = 0,4 м; /б = 0,0025 м4;
г2б = 0,0208 м2; Еб = 3,2 • 104 МПа; £а = 2 • 10» МПа; п = 6,25; <pt = 2,5; у =
«= 2,88; т, = 28 сут; еу (0 = 500 • 10“б; а0 = <Tq = 500 МПа.
Рис. 11. Железобетонная рама:
а — расчетная схема; б — конструкция и размеры рамы. см.
Для сечения I — I: Fa = 0,0004 м2; Fa = 0,0012 м2; Fn = 0,13 м2; i = 0,0077 м;
уп = 0,2077 м; у'п = 0,1923 м; 1„ = 0,0029 м4; г* =0,02225 м2; р = 0,00333; р' =
= 0,01; Еб1„ = 92,80 МН • м2; E6F„ = 4160. МН; = 0,8 МН; е„ = 0,0923 м.
Для сечения II — II: Fa = 0,0008 м2; Fa = 0,00024 м2; Fn = 0,1265 м2; i =
= 0,0055 м; уп = 0,1945 м; у'п = 0,2055 м; /п = 0,00276 м4; г2п = 0,02179 м2; р =
= 0,00667; р' = 0,002; £б/п = 88,3 МН • м2; E6Fn = 4048 МН; W = 0,52 МН;
еп = — 0,1022 м.
Основная система, единичные и грузовые эпюры М и N показаны на рис. 12.
Так как рама дважды статически неопределима, систему уравнений (4.3) можно
записать в виде:
(0 + [*1 (0 - хг] би (0g + х2б12 (0 +
+ [Х2 (0 - х2] 612 (0g + д1р (0 4- д(с + Д1у (0 = 0|
ХД, (0 + [X, (0 - xj б21 (0g + х2б22 (0 +
+ [Х2 (0 - Х2] 622 (0g + Д2р (0 + д2с + д2у (0 = 0.
Определим по формулам (2.22); (3.2) — (3.20) параметры деформативности элемен-
тов рамы:
а51 = 0,0208 [1 + 6,25 • 2,88 (0,00333 + 0,01)] + 6,25 • 2,88 X
X (0,00333 • 0,22 + 0,01 • 0,22 + 6,25 • 2,88 • 0,00333 • 0,01 • 0,42) = 0,03712 м2;
а5П = 0,0208 [1 + 6,25 • 2,88 (0,00667 + 0,002)] + 6,25 • 2,88 X
600-
t
Рис. 12. Эпюры моментов (кН • м) и поперечных
сил (кН) в основной системе:
а — основная система; 6, в, г, д — эпюры от единич-
ных усилий; е, ж — то же, от внешней нагрузки;
з, и — то же, от сил предварительного обжатия;
л к, — эпюры кривизны и продольных деформаций
от усадки бетона (размеры в см)
X (0,00667 • 0,22 + 0,002 • 0,22 + 6,25 . 2,88.0,00667 • 0,002 • 0,42 = 0,03098 м2;
— = 500 • 10~6 -у J-2.’?8 (0,00333 • 0,2 — 0,01 - 0,2) = — 3,233 Ю”4, 1/м;
Pyl U,Uo/
—— = 500 • IO”6 • 6,25n‘„„f8 (0,00667 • 0,2 — 0,002 • 0,2)= 2,711 • Ю’4, 1/м;
Pyjj и,иоОУо
evl = (0,0208 + 6,25 • 2,88(0,00333.0,2.0,2077 +
* U,Uo/IZ
+ 0,01 . 0,2.0,1923)j = 4,07 . 10“4;
®vll = [°*0208 + 6>25 ’ 2-88 (0,00667 • 0,2 • 0,1945 +
vjvOvvO
+ 0,002 • 0,2.0,2055)] = 4,35 . IO”4.
Параметры ползучести стержней для определения перемещений при изгибе и цен-
тральном сжатии:
фГ = лЛг.о (0,0208 [1 + 6,25 • 2,88 (0,00333 + 0,01)] —
и,ио/1Z
— 6,25 < 2,88(0,00333 • 0,2 — 0,01 • 0,2) • 0,0077} = 1,75;
Фп-----пкДя (0,0208 П + 6'25 ’ 2-88 (0,00667 + 0,002)] +
иииУО
+ 6,25 < 2,88 (0,00667 * 0,2 — 0,002.0,2) 0,0055} = 1,95;
фГ = ПЛИ19 (0,0208 + 6,25 • 2,88*(0,00333 • 0,2 • 0,2077 +
UjUOZ
+ 0,01 . 0,2 . 0,1923)1 = 2,04;
Фп "= nnJL [0,0208 + 6,25 • 2,88 (0,00667 • 0,2 • 0,1945 +
U^UoUyo
+ 0,002 • 0,2 . 0,2055)] = 2,17.
По табл. 2.1 находим
у^ = 2,32; у" = 2,46; у,Л = 2,53; Vn = 2.63-
Определяем перемещения в основной системе по направлению лишних неизвест*
ных. Вычисление интегралов Мора производим с учетом кусочно-переменной жест-
кости стержней подлине (см. рис. И и 12).
Перемещения от единичных усилий:
х 6-6.2 , 6-6.4 , 2 (6-6 + 5.5 + 6.5)-1 , 2.5.5-5
°f1 = 88 300 + 92 800 + 6 • 92 800 + 6 • 88 300 +
* <о«ооо + тгаЬиг-,8'151 +|5’517 +3’2® + 4-719 + "•°05 + X
х 10-4 =31,674. 10-4 м/кН;
$12 — $21 —
(6+4)-6-2 ,
2 • 88 300 **
+ ---(6,795 + 5,172) • 10-4 = 11,967 • 10“4 м/кН;
к 2 (6.6 + 4.4 + 6.4).2 , 2.4-4.4 , 1 . 1 • 1 ,
“ 6 • 88 300 + 6.92 800 + 4 160 000 +
+ = (5,738 + 2,299 + 0,002 + 0,012) . 10“4 = 8,051 • 10-4 м/кН;
4 U4o vUU
бп (/) = (8,154 (1 + 1,95) + 15,517 (1 + 1,75) + 3,269 (1 + 1,75) +
+ 4,719 (1 + 1,95) + 0,005 (1 + 2,17) + 0,010 (1 +2,04)]. 10’4 = 89,682 • 10-4 м/кН)
$П (0)о = (8,154 • 2,46+ 15,517.2,32 + 3,269.2,32 + 4,719.2,46 +
+ 0,005.2,63 + 0,010 . 2,53) . 10"’ = 75,288 . 10~4 м/кН;
612 (0 = 621- (0 = (6,795 (1 + 1,95) + 5,172 (1 + 1,75)] . 10-4 =
= 34,268 . 10-4 м/кН;
$i2 (6)о = $21 (0)о = <6>795 ' 2-46 + 5,172.2,32) . 10~4 = 28,715 • 10-4 м/кН;
$м (0 = [5,738 (1 + 1,95) + 2,299 (1 + 1,75) + 0,002 (1 + 2,04) +
+ 0,012 (1 + 2,17)] • 10“4 = 23,296 • 10~4 м/кН;
$22 (8)о = (5.738 • 2>46 + 2«299 • 2«32 + °'002 1 2*53 + °>012 ’ 2>$3) • 10-4 =
= 19,488 . 10-4 м/кН;
Перемещения от внешней нагрузки:
А _ 3. 125-5-5 3(180.6.6— 125.5.5)
12 • 88 300 12 • 92 800
180.6 . 4 180 • 6 • 2 60 • 1 • 4
92 800 88 300 4 160 000
____10’4
4 048 000
(88,477 + 90,383 + 465,517 + 244,621 + 0,577 + 0,296) =
= - 889,871 • 10-4 м;
А _ 180-4-4
2р 2 • 92 800
— 18о(6я^п-2 = — 172 + 204,082) = —359,254 - 10"4 м;
Z • оо oUU
д1р (0 = — Ю-4 [88,477 (1 + 1,95) + 90,383 (1 + 1,75) + 465,517 (1 + 1,75) +
+ 244,621 (1 + 1,95) + 0,577 (1 + 2,04) + 0,296 (1 + 2,17)] = — 2514,056 - 10-4 м;
Ч (0 = — •О-4 [155,172 (1 + 1,75) + 204,082 (1 + 1,95)] = - 1028,765 . 10~4 м.
Перемещения от усилий обжатия:
А _ 53,14-6-2 73,84-6 -4 , 73,84 (6 + 5) • 1
1р 88 300 + 92 800 + 2 - 92 800
53,14 - 5 - 5 520-1-2
2 - 88 300 4 048 000
—Т^бООДО = 72,217 + 190’966 + 43’763 — 75’227 “ 2>569 — 7'692) ’ 10-4 =
= 77,024 • 10~4 м;
Л 53,14 (6 + 4)-2 73,84-4-4 800-1-1 ,
2р~ 2-88 300 + 2-92 800 + 4 160 000 +
+ = (— 60,181 + 63,655 + I-923 + б-423) • 10-4 = 4,820 • 10-4 м;
Ч и+о UUU
Д1Р (0 = (— 72,217 О + 1.95) + 190,966 (1 + 1,75) + 43,763 (1 + 1,75) -
— 75,227(1 + 1,95) —2,569(1 + 2,17) — 7,692 (1 + 2,04)] • 10~4 =
= 179,018 • 10^4 м;
Д2р (/) = [— 60,181 (1 + 1,95) + 63,655 (1 + 1,75) + 1,923 (1 + 2,04) +
+ 6,423 (1 + 2,17)] - 10-4 = 23,724 . 10-4 м.
Перемещения от осадки правой опоры:
Д1С = Д1с (о = °-04 м = 400 • 10-4 м; Д2с = Д2с (0 = 0.
Перемещения от усадки бетона:
л1у (0 = 2,711 - 10-4 -6.2 — 3,233 - 10“4 - 6 - 4 — 3,233 • 10“4 • (5 +?6) ' 1 +
+ 2,711 10~4 - - — 4,35 - 10“4 - 1 - 2 — 4,07 • 10-4 • 1 • 4 =
= — 53,934 • 10^4 м;
а 6 4-4
Д2у (0 — 2,711 - 10-4 2 - ----
-3,233 • IO-4 • 4Д + 4,07 • 10“4 - 1 • 1 + 4,35 • 10“4 • 1 • 5 = 27,066 • 10~4 м.
Подставляя полученные значения перемещений в канонические уравнения, нахо-
дим величины лишних неизвестных. Сначала определяем начальные значения усилий
при ф/ = 0; 8У (/) = 0 и у = 1, затем полные к моменту времени
Для внешней нагрузки
31,674 • 10-4 • Xf+ 11,967 • 10“4 • Х2 —889,871 • 10-4 =0;
11,967 • 10“4 • X, + 8,051 • 10-4 • Х2 —359,254 . 10~4 = 0.
Решая эту систему, находим
Xt = 25,63 кН; Х2 = 6,53 кН.
К моменту времени t:
25,63 • 89,682 • 10-4 + 75,288 • IO-4 [X, (0 — 25,63] + 6,53 • 34,268 X
X Ю-4 + 28,715 • 10-4 [Х2 (0 — 6,53] — 2514,056 • 10-4 = 0:,
25,63 • 34,268 • 10-4 + 28,715 • 10-4 [Хх (0 — 25,63] + 6,53 • 23,296 X
X Ю-4 + 19,488 • 10-4 [Х2 (0 — 6,53] — 1028,765 • 10-4 = 0,
откуда Х^ (0 = 25,45 кН; Х2 (/) = 6,71 кН.
Для предварительного обжатия:
31,674 • 10-4 • X, + 11,967 • 10-4 • Х2 + 77,024 • 10-4 = 0;
11,967 • 10-4X! + 8,051 • 10~4 • Х2 + 11,820 • 10-4 = 0;
Из этой системы определяем:
Хг = — 4,28 кН; Х2 = 4,90 кН.
, К моменту времени t:
— 4,28 • 89,682 • 10-' + 75,288 • 10-4 [Xj (0 + 4,28] + 4,90 • 34,268 х
X Ю-4 + 28,715 • 10~4 [Х2 (0 — 4,90] + 179,018 • 10-4 = 0;
— 4,28 • 34,268 • 10-4 + 28,715 • 10-4 [Xt (0 + 4,28] + 4,90 • 23,296 • 10-4 +
+ 19,488 • 10“' [Х2 (0 — 4,90] + 23,724 • 10-4 = 0,
откуда Xi (/) = — 3,55 кН; Х2 (/) = 4,28 кН;
При осадке опоры поступаем аналогичным образом:
31,674 • 10-4 • X! + 11,967 • 10~4 • Х2 + 400 • 10-4 = 0;
11,967 • 10“4 • Х1 + 8,051 • IO-4 • Х2 = 0;
Xf = — 28,81 кН; Х2 = 42,82 кН.
— 28,81 • 89,682 • Ю-4 + 75,288 . 10-*4 [Х, (0 + 28,81} + 42,82 • 34,268 • 10~4 +
+ 28,715 • 10-4 [Х2 (0 — 42,82] + 400 • 10~4 = 0;
— 28,81 • 34,268 • 10~4 + 28,715 • 10-4 [Xj (0 + 28,81] +
+ 42,82 • 23,296 • 10~4 + 19,488 • 10-4 [Х2 (0 — 42,82] = 0;
Xt (0 = — 6,63 кН; Х2 (0 = 9,61 кН.
При усадке бетона:
75,288 • 10-4 Xj (0 + 28,715 • 10-4Х2 (0 — 53,934 . 10~4 = 0;
28,715 10~4Xt (0 + 19,488 . 10-4Х2 (0 + 27,066 • 10-4 = 0;
X, (0 = 2,84 кН; Х2 (0 = — 5,58 кН.
Для построения эпюр усилий в раме необходимо учесть изменение предваритель*
ного обжатия от усадки и ползучести бетона. По формулам § 2.4 определим потерн
преднапряжения, величину равнодействующей обжатия и ее эксцентриситет.
Для сечения 1 — 1: о^ = 11,05 МПа; Об = 0,865 МПа; аб = 0,03712 м2;
ав = 0,03361 м2; а7 = — 0,002256 м2; а8 = 0,028848 м2; п9 = — 0,000752 м2;
Saan = 119,35 МПа; Sa’n = 214,2 МПа; N (I) = 495 кН;
еп (0 = 0,0693 м; Мп (0 = 34,33 кН.м;.
Для сечения II — II: ag = 0,154 МПа; ag = 7,856 МПа; а6 = 0,03098 м2;
ав = 0,025762 м2; а7 = — 0,0004512 м2; ав = 0,029096 м2;
at = — 0,001504 м2; 2аяп = 186,72 МПа; So' = 107,0 МПа;
** all all 9 9
N (t) = 345 кН;
еп (/) = — 0,0851 м; Мп (/) = - 29,36 кН . м.
Суммарные эпюры усилий Л1, Af, Q и
М (/), W (/), Q (/) приведены на рис. 13.
Пример 8. Определить начальные и
полные усилия в ненапряженной железо-
бетонной раме, а также прогиб ригеля при
длительном действии внешней нагрузки.
Расчетная схема рамы, сечения элементов
и их армирование показаны на рис. 14.
Данные для расчета: арматура класса
А-Ш; Еа = 2 • 10в МПа;
Еб = 2,5 * 10* МПа; /?р = 2 МПа;
п = 8; ср/ = 2,0; = 28 сут; у = 2,50.
о=?0*Н]м
ниУншт.
0 0
Рис. 14. Железобетонная рама:
а — расчетная схема; б — конструкция
и размеры рамы, см.
Рис. 13. Эпюры начальных и текущих мо-
ментов (кН • м) и эпюры начальных и те-
кущих продольных и поперечных сил (кН)
в раме.
Ригель (сечения I — I и II — II): Гб = 0,18 м2; /б = 0,0054 м4; = 0,03 м2;
Уб = Уб = 0,25 м; h = 0,5 м; Га = 0,0018 м2; Г* = 0,00045 м2; ц = 0,01; ц' =
= 0,0025; Fn =ж 0,198 м2; i = 0,00341 м; уп == 0,24659 м; у'п = 0,25341 м; /п =
= 0,0065089 м4; = 0,0219458 м8; = 0,038405 м3; №тЯр = 0,07681 МН • м =
= 76,81 кН • м; Еб1п = 162,7225 МН* м2= 16,27 - 104 кН . м2; г® = 0,1108 м;
в6 = 0,055626 м2; <рм = 1,353; = 2,02.
Стойка (сечение III — III): Fg = 0,15 м2; /g = 0,003125 м4; = 0,02083 м2;
— Vc ~ м; Л = 0,4 м; Fa = F'a = 0,00075 м2; р, = jx' = 0,005; Fn = 0,162 м2;
i»0; уп =Уп = °>2 м; 7П = 0,003605 м4; Й7О = 0,01442 м2; Гт = 0,025235 мэ;
Гт/?р = 0,05047 МН • м = 50,47 кН • м; гя = 0,089 м; Е6/п = 90,125 МН • м2 =
=9,01 • 10* кН • м2; at = 0,0346 м2; <pM = 1,445; ум = 2,09.
Рама один раз статически неопределима.
Основная система, единичная и грузовая эпюры моментов показаны на рис. 15.
Сначала определим усилия в раме по упругому расчету.
к 6*6*6 П| 6*6*12 _ 1Л—4 / тт
611 ~ 3 • 9,01 • 10* ‘ 2 + 16,27 • 10* " 42,526 ’ ° М/кН:
2 • 6 • 360 • 12
Д|₽ - 3 • 16,27 • 10*
v 1061,931 • 1
42,526 • 10“4
= — 1061,931 • 10-4 м;
= 24,971 кН.
Следовательно Л4а = М3 = —6 • 24,971 = —149,826 кН • м.
Эпюра моментов, полученная в результате упругого расчета, приведена
на рис. 16, а.
Находим моменты образования трещин в нормальных сечениях элементов рамы.
В стойках действуют центрально приложенные продольные силы N = 1920 кН.
При /?р = 2000 кПа получим:
М°т = Л7Я + Н7т/?р = 1920 * 0,089 + 0,025235 * 2000 = 221,35 кН • м.
В ригеле продольная сила N = = 24,971 кН, поэтому: М?иг = 24,971 X
X 0,1108 + 0,038405 • 2000= 79,58 кН • м. Следовательно, в ригеле трещины обра-
зуются, а в стойках — нет. В процессе
дальнейших итераций будем считать мо-
мент трещинообразования в ригеле неиз-
менным, так как в даннсм случае величина
Ц~-20кН1п
тн н н н тт
0 ф
Рис. 15. Эпюры моментов
(кН • м) в основной системе:
а — основная система; б — эпю-
ра от единичного усилия; в — то
же, от внешней нагрузки.
Рис. 16. Эпюры моментов (кН • м)
в раме:
а — по упругому расчету; б — при
кратковременном действии нагрузки
после пятого приближения; в — то же,
при длительном.
продольной силы незначительно, на 3—4 %, увеличивает трещиностойкость ригеля.
Разбиваем ригель на 24 участка длиной 0,5 м, нумерация которых возрастает от
узла 2 к узлу 3.
Ординаты моментов в ригеле основной системы, а также данные для вычисления пе*
ремещений (полученные с помощью правила Верещагина) представлены в табл. 4.1.
На участках ригеля 2—5 и 20—23 трещины отсутствуют. Для этих участков жест-
кости определяем как произведение Е^1П. На остальных участках жесткость прини-
маем равной при значениях изгибающих моментов, действующих в середине
соответствующего участка.
С целью сокращения объема вычислительной работы предварительно найдем зна-
чения Е$1Т при различных величинах изгибающих моментов (табл. 4.2). В процессе
дальнейшего расчета действительные значения жесткости участков с трещи-
нами определялись с помощью данных табл. 4.2, используя в необходимых случаях
линейную интерполяцию.
С учетом данных табл. 4.1 и 4.2 определяем перемещения для каждого участка
ригеля 6П/ и Результаты вычислений (второе приближение) сведены в табл. 4.3.
При этом учтена полная симметрия как ригеля, так и рамы в целом.
Суммарные перемещения для второго приближения:
6 A fi 24
611 = ~9~дГ:- ю« • 2 + S бч/ “ 15’9822 ' ,0“'‘+ 49>032 *,(г4 =
24
= 65,0142 • 10~4 м/кН; Aip = £ &ipl-------2133,8432 • 1(Г4;
1=1
„ 2133,8432 • 10-4 „
с учетом этого Л, =-------------3— = 32,821 кН;
65,0142 • 10-4
= Мя = — 6 • 32,821 = — 196,926 кН • м.
По полученным значениям узловых моментов М2 и Л43 вновь определяем моменты
в середине каждого участка Л4/ и снова находим значения жесткостей и перемещений
(третье приближение).
Суммарные перемещения для третьего приближения:
6tl = 15,9822 • 10-4 + 48,252 • 10~4 = 64,2412 • 10-4 м/кН;
Д1р = — 2008,6496 • 10“4 м.
Следовательно,
= ,2008,6496 • Igy4 = 31 КН; /И, = /И, = — 6 31,267 = — 187,604 кН • м.
64,2412 • 10“*
В четвертом приближении:
= 64,4122 • 10“4 м/кН; Д1р = — 2021,216 • 10~4 м;
= 31,379 кН; М2 = М.Л = — 188,276 кН . м.
Пятое приближение:
= 64,4026 • 10-4 м/кН; Д1р = — 2020,462 . 10-4 м;
Xt == 31,372 кН; М2 = Мя-------- 188,234 кН • м.
Так как результаты вычислений в четвертом и пятом приближении практически
совпадают, ограничиваемся пятью приближениями.
На рис. 16, б приведена эпюра начальных моментов, полученная после пятого
приближения.
Используя в качестве первого приближения начальные значения изгибающих
моментов, а также данные табл. 4.1 и 4.2, вычисляем для каждого участка перемеще-
ния при длительном действии нагрузки. Результаты вычислений сведены в табл. 4.4.
При этом основное уравнение метода сил
ХЛ1 (I + ФМ) + [Xt (0 - Xf] бцт" + д1р (I + ФМ) = о
запишем в виде
Х^и (1 + фм - Vм) + Xi (0 + Д1р (1 + Фм) = о.
Таблица 4.1. Вспомогательные вели чины для расчета ригеля рамы методом
Номер участка / 1 (24) 2 (23) 3 (22) 1 (21)
Моменты в основ- ной системе от внешней нагрузки, кН • м в середине участка на границе участка слева то же, справа 29,376 0 57,5 84,375 57,5 110,0 134,375 110,0 157,5 179,375 157,5 200,0
бп/В/. М8 ^р1В), кН • м8 18,0 —87,5 18,0 —252,5 18,0 —402,5 18,0 -537,5
Примечание. Моменты на границе участков приведены для левой половины ригеля.
Таблица 4.2. Параметры жесткости для ригеля при наличии трещин в
Момент М, кН м 8(' 85 9и 95
Я’а 0,7171 0,7246 Кратю 0,7316 эвременное 0,7381
X, м 0,1974 0,1965 0,1958 0,1951
/т . 10s, м4 3,094 3,071 3,049 3,030
Еб/Т • 10~4< кН • м2 7,7358 7,6775 7,6243 7,5750
1Ы0 0,9646 0,9659 0,9671 Хлительное 0,9681
х (/), м 0,2544 0,2543 0,2542 0,2541
/т (0 . 108, м4 5,620 5,615 5,611 5,607
фМ 0,6519 0,6408 0,6303 0,6212
Таблица 4.3. Усилия в ригеле при расчете рамы методом последовательных
Номер участка / 1 (24) 2 (23) 3 (22) 4 (21)
Му, кН • м | —120,45 | —65,45 Первое приближен» | —15,45 | 29,55 8 1
В, IO—4, кН . м3 бцу • 10** м/кН 7,3718 16,27 16,27 Второ< 16,27
2,4417 1,1063 1,1063 1,1063
Д1р/ • 10** м —11,8696 —15,5194 -24,7388 —33,0363
Му, кН • м -167,55 —112,55 -62,55 -17,55
Bj . ПТ"4, кН • м3 7,1243 7,4285 16,27 Третье 16,27
дцу • 10*. м/кН 2,5266 2,4231 1,1063 1,1063
д1р/ ’ 10<* м —12,2819 —33,9907 -24,7388 -33,0363
Му, кН • м —158,23 —103,23 -53,23 —8,23
Bj . 10—4, кН . м* 7,1642 7,5031 16,27 Четвертое 16,27
011/ • 10*, м/кН 2,5125 2,3990 1,1063 1,1063
Д1ру 10*. м -12,2135 —33,6528 —24,7388 -33,0363
Му, кН • м —158,90 -103,90 -53,90 —8,90
5 (20) 6 (19) 7 (18) 8 (17) 9 (16) Ю (15) И (14) 12 (13)
219,375 254,375 284,375 309,375 329,375 344,375 354,375 359,375
200,0 237,5 270,0 297,5 320,0 337,5 350,0 357,5
237,5 270,0 297,5 320,0 337,5 350,0 357,5 360,0
18,0 18,0 18,0 18,0 18,0 18,0 18,0 18,0
-657,5 —762,5 —852,5 —927,5 —987,5 — 1032,5 — 1062,5 —1077,6
т. е. для участков —12.
растянутой зоне
100 110 120 140 160 180 210 240
действие нагрузки
0,7442 0,7555 0,7656 0,7830 0,7976 0,8101 0,8258 0,8390
0,1945 0,1933 0,1922 0,1905 0,1891 0,1879 0,1864 0,1852
3,011 2,978 2,949 2,901 2,862 2,829 2,789 2,756
7,5298 7,4470 7,3745 7,2540 7,1555 7,0738 6,9735 6,8918
действие нагрузки
0,9690 0,9706 0,9720 0,9741 0,9757 0,9771 0,9787 0,9800
0,2540 0,2538 0,2537 0,2535 0,2533 0,2532 0,2530 0,2529
5,604 5,598 5,593 5,585 5,580 5,574 5,569 5,564
0,6120 0,5960 0,5819 0,5582 0,5388 0,5225 0,5025 0,4860
приближений (кратковременное действие нагрузки)
5 (20) 6 (19) 7 (18) 8 (17) 9 (16) 10 (15) 11 (14) 12 (13)
1 1 Упругий расчет) | 69,55 | 104,55 | | 134,55 | | 159,55 | 179,55 | 194,55 | | 204,55 | | 209,55
1 1риближени< 16,27 е 7,4921 7,2868 7,1577 7,0747 7,0252 6,9917 6,9750
1,1063 2,4025 2,4702 2,5148 2,5443 2,5622 2,5745 2,5806
-40,4118 —101,7739 —116,9924 -129,5807 —139,5819 —146,9709 —151,9659 —154,4803
22,45 57,45 87,45 112,45 132,45 147,45 157,45 162,45
1 приближени< 16,27 е 16,27 7,6514 7,4292 7,2995 7,2491 7,1681 7,1454
1,1063 1,1063 2,3525 2,4229 2,4659 2,4831 2,5111 2,5191
-40,4118 —46,8654 -111,4175 -124,8452 —135,2832 —142,4315 —148,2262 —150,7963
31,77 66,77 96,77 121,77 141,77 156,77 166,77 171,77
। приближен hi 16,27 г 16,27 7,5590 7,3638 7,2453 7,1714 7,1275 7,1068
1,1063 1,1063 2,3813 2,4444 2,4844 2,5100 2,5254 2,5328
-40,4118 -46,8654 —112,7795 -125,9540 —136,2953 —143,9747 -149,0705 —161,6154
31,10 66,10 96,10 121,10 141,10 156,10 166,10 171,10
Номер участка / 1 (24) 2 (23) 3 (22) 4 (21)
Bj 10—*, кН м- 7,1609 7,4975 16,27 Пятое 16,27
дцу • I04, м/кН 2,5137 2,4008 1,106з 1,1063
А/р/ • Ю4. м —12,2191 -33,6779 —24,7388 -33,0363
Мд кН м -158,86 —103,86 -53,86 —8,86
-±- • 1<И, 1/м I 1 —22,184 I -13,852 Кривизны ригеля I -3,310 1 —0,545 I
Суммарные перемещения при длительном действии нагрузки для второго прибли-
жения:
(> + <РМ — /5 = 15,9822 • 10“4 (1 + 1,445 — 2,09) +
+ 1,3544 • 10-4 = 5,6737 • 10-4 + 1,3544 • 10-4 = 7,0281 • 10-4 м/кН;
611VM = 15,9822 • 10~4 « 2,09 + 79,7304 • 10~4 = 33,4028 • 10-4 +
+ 79,7304 • 10-4 = 113,1332 • 10-4 м/кН;
Д1р (1 + <рм) = — 3380,3552 • IO"4 м.
Следовательно, 31,372 • 7,0281 • 10~4 + Хх (0 • 113,1332 • 10-4 — 3380,3552 х
X КГ4 = 0,
откуда Хх (0 = 27,931' кН; М3 (0 = М3 (0 = — 167,583 кН • м.
В третьем приближении:
б1х (1 + — Vм) = 5,6737 • 10-4 + 1,0158 • 10-4 = 6,6895 • 10-4 м/кН;
<511?м = 33,4028 • 10—4 + 82,3726 • 10-4 = 115,7754 • 10-4 м/кН;
Д1р (1 + <рм) = — 3488,3294 • 10-4 м; 27,931 • 6,6895 • 10~4 +
+ Хх (0 115,7754 • 10-4 —3488,3294 • 10~4 = 0;
Хх (0 = 28,516 кН; /И2 (0 = М3 (/) = — 171,098 кН • м.
В четвертом приближении:
6ХХ (1 + фМ — Vм) = 5,6737 • IO"4 + 1,0158 • IO”4 = 6,6895 . 10“4 м/кН;
611VM = 33,4028 • 10“4 + 82,946 • 10-4 = 116,3488 • 10~4 м/кН;
Д1р (1 + фм) = — 3487,7964 • 10-4 м; 28,516 • 6,6895 • 10-4 +
+ Хх (0 • 116,3488 • 10-4 — 3487,7964 • 10-4 = 0;
Хх (0 = 28,338 кН; М2 (0 = Ма (0 = — 170,025 кН • м.
Пятое приближение:
5ХХ (1 + ФМ — Vм) = 6,6895 • 10-4 м/кН; 6ц/1 = 33,4028 • 10“4 +
+ 82,9688 • 10-4 = 116,3716 м/кН; Д1р (1 + фМ) = — 3487,9822 . 10-4 м;
28,338 • 6,6895 • 10-4 + Хх (0 • 116,3716 • 10-4 —3487,9822 • 10~4 =0;
Хх (0 = 28,344 кН; Ма (0 = М3 (0 = — 170,063 кН • м.
Продолжение табл. 4.3
5 (20) 6 (19) 7 (18) 8 (17) 9 (16) | 10 (15) 11 (14) 12 (13)
приближение
16,27 1,1063 -40,4118 31,14 16,27 1,1063 —46,8654 66,14 7,5651 2,3793 —112,6885 98*14 7,3679 2,4430 —125,8839 121,14 7,2486 2,4832 —136,2332 141,14 7,1747 2,5088 —143,9085 156,14 7,1303 2,5244 —149,0120 166,14 7,1096 2,5318 -151,5556 171,14
в середине участков
1 1,914 I 4,065 I 12,708 I 16,442 I 19,471 I 21,763 23,301 I 24,072
Ограничиваемся пятым приближением. Эпюра моментов в раме при длительном
действии нагрузки представлена на рис. 16, в.
Определим максимальные прогибы ригеля рамы.
При переменной жесткости ригеля по длине и наличии отрицательных опорных мо-
ментов прогиб в середине пролета может быть найден по формуле:
= /2 ___________1_
12m2 рлев
0,5m—1
+ (3m-2)-J-+ J +
Pep \ Р/ Pm—/ /
где ----- и----------кривизны ригеля соответственно на левой и правой опорах;
Рлев Рпр
111 »
—; ---------;--------кривизны ригеля на /-м и (tn— /)-ом участках, а также в
Р/ Ptn—j Pep
середине пролета; tn — четное количество равных участков, на которое разбит про-
лет ригеля; при этом m > 6.
v . 1111
Учитывая полную симметрию рамы, т. е. ---------= ------=------- и ----- =»
Рлев Рпр Роп Р/
1
=-------- , указанную выше формулу можно представить в виде:
Pm—/
/2 1 1 V1 1
f = -тк-т 2 —— + (3m — 2) —— + 2 У / —
12т* Pon Pep fa Pl
Определим сначала прогиб при кратковременном действии нагрузки. Используя
данные табл. 4.2, находим
Впп = 7,0463 • 10“4 кН • м2; В.п = 7,1068 • 104 кН • м2; —1— =
_оп ср Роп
- ' № - 24,170- 10-<./м-
Вычисленные значения кривизны приведены в табл. 4.3, следовательно
при tn = 24 имеем:
п
2/ • — = (— 1 • 22,184 —2 • 13,852 —3 • 3,310 —4 • 0,545 + 5 • 1,914 +
/=1 Р/
+ 6 • 4,065 + 7 • 12,708 + 8 • 16,442 + 9 • 19,471 + 10 • 21,763 +
+ 11 • 23,301) • 10-4 = 841,634 • 10“4 1/м;
192 . Ю-4
/ = J2>2^2 -I2 ' (- 26>714) + (3 • 24 - 2) 24,170 + 2 * 841,634] = 0,00692 м.
Таблица 4.4. Усилия в ригеле при длительном действии нагрузки (расчет
Номер участка / 1 (24) 2 (23) 3 (22) 4 (21)
Первое приближение
Mj, кН * м | —158,86 | —103,86 | —53,86 | —8,86 | Второе
4» я Ж к 7,1611 7,4978 16,27 16,27
0,5418 0,6058 1,353 ,353
1,5418 1,6058 2,02 2,02
6ц/ <* 4-Фу1—уМ 10», м/кН 0 0 0,1693 0,1693
«11/ • rf- 10*. м/кН 3,8754 3,8551 2,2347 2,2347
Д]р/ (1 + Ф/1) • «о*. “ —18,8399 —54,0778 —58,2104 —77,7343
Mj (/), кН • м —138,21 —83,21 —33,21 11,79 Третье
Вг • 10“4, КН • М« ФМ 7,2648 7,6984 16,27 16,27
0,5603 0,6448 1,353 1,353
м • у 1,5603 1,6448 2,02 2,02
«ц/ (1 + Ф^- vj4) • 10*. м/кН 0 0 0,1693 0,1693
6ц/ у№ 104, м/кН 3,8660 3,5458 2,2347 2,2347
д1р/ « + Ф/1» ' 104' м —18,7928 —53,9478 —58,2104 —77,7343
Mj (t), кН • м —141,72 —86,72 -36,72 8,28 Четвертое
Bj • 10~4, кН • м« Ф" уМ Ч 6ц/ (1 + фу1 — • 10<» м/кН 7,2455 7,6592 16,27 16,27
0,5565 0,6372 1,353 1,353
1,5565 0 1,6372 2,02 0,1693 2,02 0,1693
^ll/Vy1 • Ю4» м/кН Д^/О+Ф^) • Ю<, м 3,8668 3,8476 2.2347 2,2347
—18,7970 —53,9734 —58,2104 —77,7343
Му (/), кН • м —140,65 —85,65 —35,65 9,35 Пятое
в, . 10-4- кН • “• 7,2508 7,6706 16,27 16,27
фМ 0,5576 0,6394 1,353 1,353
7М 1,5576 1,6394 2,02 2,02
«11/ (1 + Ф*4 - у«) • 10*. м/кН 0 0 0,1693 0,1693
«11/ • Vy1 • 10*, м/кН 3,8667 3,8471 2,2347 2,2347
Д1р/(1+Ф«4) • Ю*, м —18,7965 —53,9656 —58,2104 —77,7343
Му (/), кН • м —140,69 —85,69 —35,69 К1 -9,31 эивизны ригеля
(1 + ф«*) • io*. 1/м р/ / —30,222 —18,309 -5,161 1,347
методом последовательных приближений)
5 (20) 6 (19) 7 (18) 8 (17) 9 (16) 10 (15) И (14) 12 (13)
(кратковременное нагружение)
| 31,14 66,14 96,14 121,14 | 141,14 | | 156,14 | 166,14 | 171,14
приближение
16,27 16,27 7,5647 7,3676 7,2484 7,1745 7,1301 7,1094
1,353 1,353 0,6191 0,5805 0,5571 0,5425 0,5338 0,5297
2,02 2,02 1,6191 1,5805 1,5571 1,5425 1,5338 1,5297
0,1693 0,1693 0 0 0 0 0 0
2,2347 2,2347 3,8526 3,8614 3,8668 3,8700 3,8721 3,8730
-95,0890 —110,2743 —182,4636 —198,9676 —212,1346 —221,9850 —228,5610 —231,8412
51,79 86,79 116,79 141,79 161,79 176,79 186,79 191,79
приближение
16,27 7,6584 7,3978 7,2452 7,1481 7,0861 7,0511 7,0344
1,353 0,6370 0.5864 0,5565 0,5373 0,5251 0,5180 0,5146
2,02 1,6370 1,5864 1,5565 1,5373 1,5251 1,5180 1,5146
0,1693 0 0 0 0 0 0 0
2,2347 3,8475 3,8600 3,8670 3,8712 3,8740 3,8751 3,8756
-95,0890 —162,9861 —182,8119 —199,2566 —212,3758 —222,2190 —228,7409 —232,0001
48,28 83,28 113,28 138,28 158,28 173,28 183,28 188,28
приближение
16,27 7,6976 7,4232 7,2644 7,1640 7,1006 7,0628 7,0461
1,353 0,6446 0,5914 0,5602 0,5405 0,5280 0,5203 0,5170
2,02 1,6446 1,5614 1,5602 1,5405 1,5280 1,5203 1,5170
0,1693 0 0 0 0 0 0 0
2,2347 3,8457 3,8589 3,8559 3,8706 3,8735 3,8746 3,8753
—95,0890 —162,9089 —182,7606 —199,2023 —212,3456 ^222,1868 —228,7080 —231,9819
49,35 84,35 114,35 139,35 159,35 174,35 184,35 189,35
приближение
16,27 7,6851 7,4155 /,2579 7,1587 7,0962 7,0593 7,0425
1,353 ’,6422 0,5899 0,5590 0,5394 0,5271 0,5196 0.5163
2,02 1,6422 1,5899 1,5590 1,5394 1.5271 1,5196 1,5163
0,1693 0 0 0 0 0 0 0
2,2347 3,8464 3,8592 3,8664 3,8707 3,8736 3,8747 3,8755
—95,0890 —162,9358 —182,7779 —199,2274 —212,3511 —222,1937 —228,7160 —231,9934
49,31 84,31 114,31 139,31 159,31 174,31 184,31 189,31
в середине участков
7,132 । ! 18,016 24,509 29,924 34,258 37,512 39,675 40,760
Аналогичным образом находим прогиб в середине ригеля при длительном действии
нагрузки:
Воп = 7,1139 < 104 кН-м2; Вср = 7,0406 • 104 кН ♦ м2;
Фо^ = 0,5306; = 0,5159; ~ ^д0,0^ (1 + 0,5306) = - 36,590 X
X 10"41/М: ~Р^Г = 7,04069-71(Н ° + °'5159) = 40’895 * 10-4,/м-
Значения кривизн 1/р. (/) приведены в табл. 4.4.
Следовательно, 7
и
У / —А =(— 1 • 30,222 — 2 • 18,309 — 3 • 5,161 4-4 . 1,347 4-5 • 7,132 4-
/±1 (t)
4- 6 • 18,016 4- 7 • 24,509 4- 8 « 29,924 4- 9 • 34,258 4- Ю • 37,512 4-
4-11 • 39,675) • 10“4 = 1597,643 • 10“41/м; /(0 = [2 (— 36,590) 4-
4- (3 • 24 — 2) • 40,895 4- 2 • 1597,643] = 0,01247 м = 1,247 см.
Многопролетные неразрезные балки
Одной из разновидностей статически неопределимых систем являет-
ся неразрезная балка. Если замыкание системы происходит до нагру-
жения, при обычном для такой балки выборе основной системы (рис. 17)
Рис. 17. К определению влияния ползучести и усадки бе-
тона на напряженное состояние многопролетных неразрез-
ных балок при их замыкании до нагружения.
и постоянных геометрических характеристиках стержней каждое
из уравнений (4.3), записанное для /?-й опоры, превращается в трех-
членное вида:
М„_,(0 Е У - 4-24,(0
Lnln । ^n+lY/H-l
^б(л)^п(п) ^б(п+1) ^п(п-Н)
4- М„+1 (0 __b±l^±L_
Сб(п+1/ П(л-М)
+ М
Г 1 р J
Z26(n)/n(n)
4-24.
Z-nd + ф^--^)
£б(п/п(п)
г.п+1(14-Ф^+1-т^+1)
£б(п+1/п(л+1)
4- м W+A Al), = _ б [Д (/) + д + Д (/)]( (4 22)
^бОг-НГпСн-Н)
где
Д<">₽ (0 = L EnZni <’ + + L ~ + <+>)•’ (4-23)
k*£6(nrn(n) Ln+lc6(n+lrn(n-|-li
A<«)y(0 = vL- -^ + ^—
P<n)y i Р(л+1)у
^«+1
2
При замыкании системы после нагружения:
м Ln^
™Д(П—1) р I
сб(п)уп(п)
+ 2Л/Д(П)
Ln4n
^б(л)^П(П1
L Vм
ьл+1 *п+1
^6(n+DZn(n4-D
L Vм
+л/д(п+1) п+1;п+1 = - 6 [д(„)р (о + д(л)у (oj,
Сб(л-Н) Уп(п-Н)
где
А /А _____ м I__________fyi+l2n+l______ м .
^(п)р \Ч — -f—p 7 Фп П 7 р- 7 Фл+1»
L^6i.n)1 п(п) Ьп+\^б(п-г\у Ъ(п + \)
(4.24)
(4.25)
(4.26)
Д(п)у(0 —см. (4.24).
В формулах (4.23) и (4.24)з
Qn иЙп+1 —площади эпюр изгибающих моментов в основной сис-
теме от заданной нагрузки для пролетов длиной Ln и Ln+r, ?пигп+1 —
ординаты единичной эпюры М в сечениях, соответствующих поло-
жениям центра тяжести площадей Qn hQ^i.
При неравномерном смещении опор (рис. 18):
А Д(п-Н)сД(п)с А(п)с А(п—1)0 /4 97ч
^(л)о = ----7----------------7------. (4-^')
Ln4-1 Ln
Если замыкание системы происходит до нагружения, при обычных
Рис. 18. К расчету многопролетных
неразрезных балок на неравномерное
смещение опор.
соотношениях геометрических характеристик сечений стержней и
деформативных свойств бетонов, из
которых они изготовлены, длитель-
ное действие внешней нагрузки не
сопровождается заметньш перерас-
пределением усилий.
В этих условиях ползучесть бе-
тона следует учитывать только при
проверке по деформациям (проги-
бам).
Усилия, возникающие при обжа-
тии балки, вследствие ползучести
изменяются во времени. Характер изменения усилий зависит в основ-
ном от расположения предварительно напряженной арматуры.
Ползучесть бетона вызывает релаксацию усилий, возникающих в
балке в результате смещения опор.
Интенсивность релаксации указанных усилий в значительной степе-
ни зависит от скорости ползучести. В бетоне, обладающем большой
ползучестью, релаксация может быть настолько интенсивной, что при-
ведет к почти полному исчезновению начальных усилий, возникающих
из-за смещения опор.
В качестве иллюстрации влияния ползучести бетона на напряжен*
ное состояние неразрезных балок при замыкании после нагружения
рассмотрим двухпролетную балку, собираемую из одновременно уста-
навливаемых на опоры одинаковых стержней (рис. 19, а). При установ-
ке стержней под действием собственного веса в сечениях стержней воз-
никают изгибающие моменты (рис. 19, б), а сами сечения поворачи-
ваются .
В момент времени t = 0 стык над опорой замоноличивается (момент
замыкания) и балка становится статически неопределимой (изменя-
ется статическая схема системы). С этого момента в силу симметрии
Рис. 19. К определению влияния ползучести бе-
тона на напряженное состояние двухпролетных
неразрезных балок при их замыкании после на-
гружения.
балки торцы стержней на
средней опоре уже не могут
поворачиваться. Для удер-
жания их в фиксирован-
ном положении необходимо
приложить дополнитель-
ные моменты (рис. 19, в).
В соответствии с (4.25)
и (4.26)
Л/д = -
Яц/1
APq/1
(4.28)
где М* — опорный момент,
получаемый в результате
расчета двухпролетной не-
разрезной балки по упру-
гой стадии.
Суммарная эпюра моментов в балке показана на рис. 19, г. Из это-
го рисунка видно, что ползучесть бетона стремится приблизить распре-
деление усилий к естественному, какое было бы, если бы балка нагру-
жалась после замыкания.
Интенсивность перераспределения усилий в балках, статическая
неопределимость которых создается после их нагружения, зависит в
основном от величины прикладываемой нагрузки и от растянутости
процесса сборки (т. е. от интервала времени между приложением на-
грузки и замыканием). Чем больше прикладываемая нагрузка и чем
меньше длительность процесса, тем больше отражается ползучесть на
конечном распределении усилий.
Практический интерес могут представлять приведенные ниже ва-
рианты расчета двухпролетных неразрезных балок на мгновенное сме-
щение средней опоры.
Если в балке (рис. 20, а) произошло мгновенное смещение средней
опоры на величину Дс, которое впоследствии остается постоянным во
времени, то вследствие ползучести бетона опорная реакция /?с, вызван-
ная смещением опоры, с течением времени будет непрерывно умень-
шаться.
Указанный случай может рассматриваться как случай релаксации
напряжений в железобетонной однопролетной балке при постоянном
прогибе До. При этом одновременно с релаксацией напряжений нагруз-
ка, необходимая для поддержания постоянного прогиба, должна по-
степенно уменьшаться (рис. 20, б).
При отсутствии трещин в растянутом бетоне решение выглядит
следующим образом.
Исходные уравнения (рис. 20, в, г)-.
Л^бД + NaR + = 0; (4.29)
Мбц — N алуб + д у 6 = Мд; (4.30)
°ад
£а
Муа m J_ °бд „•
(4.31)
(4.32)
°ад = МУп
Еа Еб^п
I ^бд
м
Еб^ п
м.
Рис. 20. К расчету двухпролетных неразрез-
ных балок на мгновенное смещение средней
опоры:
a — релаксация усилий при осадке опоры; б —
то же, при постоянном прогибе; в — напряженное
состояние сечения в момент времени t = 0; г —
напряженное состояние сечения, вызванное пол-
зучестью бетона.
Здесь М — начальный момент в опорном сечении, возникающий в
результате смещения опоры;
Мд— дополнительный момент в указанном сечении, вызванный пол-
вучестью бетона (уменьшение начального момента во времени).
Значения Мбд, Мбд, Мад и #ад расшифрованы в § 2.3.
Расчетные формулы для определения напряжений, вызванных пол-
вучестью бетона (см. рис. 20, г):
M<pf Г Уб
Al V
Обд —
т (м + И 1.
1 + пу (|4 + Ц') ] ’
_________M<$t Ус . т (ц + и
«Д /п у Т 1 + п? (р. + ц')
(4.34)
(4.35)
__ , ___ nMiyt
°ад “ °™ ~ /п(1+п?(н + ц')] ’
_ I 1 ni (нус — р.'у^) 1
z" I v '«I1 + «vO* + n')l J'
(4.36)
(4.37)
Текущие напряжения в бетоне и арматуре равны алгебраической
еумме начальных напряжений (см. рис. 20, в) и напряжений, вычислен-
ных по формулам (4.34) — (4.36).
Таблица 4.5. Значения коэффициента затухания опорной реакции Н (t)
t — сут Т1» сут Ф/ НТС МТС
14 0,46 0,63 0,65
28 60 0,36 0,70 0,72
240 0,23 0,80 0,81
14 1,54 0,22 0,27
120 60 1,18 0,33 0,4
240 0,76 0,50 0,56
14 2,99 0,11 0,05
ОО 60 2,3 0,21 0,21
240 1,48 0,39 0,38
Текущий момент
М (/) = М + Мд. (4.38)
В табл. 4.5 приведены результаты вычислений коэффициентов за-
тухания реакции средней опоры двухпролетной бетонной балки без
трещин, вызванной ее мгновенной осадкой — Н (/) = 7?0 (t)IRa.
Расчет производился по формулам МТС [см. формулу (4.38)] и НТС
[19].
Исходные данные взяты из § 2.2.
В табл. 4.6 приведены опытные значения коэффициентов затухания
усилий в призмах и в однопролетных свободно опертых балках, вы-
званного ползучестью бетона (средние данные по двум — трем образ-
цам-близнецам соответствующей серии), а также отношения теорети-
ческих величин Н (/), вычисленных по формулам данной работы и по
формулам НТС [19], к опытным.
Призмы нагружали осевой сжимающей силой Л\ балки —сосредо-
точенной силой N в середине пролета (т. е. моментом М = 0,5/Vx, где
х — расстояние от оси опоры до силы). После приложения нагрузки
продольные деформации призм и прогибы балок поддерживались (за
счет непрерывного уменьшения величины внешней нагрузки) посто-
янными, равными начальным.
Коэффициент затухания для призм определяли по формуле Н (/) =
= N(t)/N, где для бетонных образцов М(/) = ЛЦ1— Ф</у), а для
железобетонных N (/) = N (1 — ^бФ/^пТ)-
Хотя призмы и не имеют, казалось бы, прямого отношения к стати-
ческим неопределимым системам, результаты их испытаний решено
было использовать по той простой причине, что релаксация усилий в
таких образцах (в первую очередь, в бетонных) проявляется в наибо-
лее «чистом» виде и особенно выпукло.
Из сказанного следует, что опытные данные, полученные по цент-
рально сжатым призмам в условиях фиксированных деформаций,
могут рассматриваться как лучший критерий при оценке точности и на-
дежности той или иной теории ползучести применительно к статиче-
ски неопределимым железобетонным системам.
Пример 9. Определить начальные и полные усилия в трехпролетной предваритель-
но напряженной железобетонной балке^ показанной на рис. 21. Балка образована из
трех сборных элементов путем объединения их на промежуточных опорах. Элементы
Рис. 21. Конструкция и размеры железобетонной балки, см.
до замыкания нагружены собственным весом. После замыкания к балке приложена
внешняя нагрузка: в крайних пролетах сосредоточенная, в среднем — равномерно
распределенная. Одновременно с нагружением балки произошло мгновенное смещение
а*21№]н промежуточных опор: 1 — на 3 см вверх,
вмвл ill» г~1**1 i*~j—г 1 'н 2 на 4 вниз.
Сборные элементы изготовлены не од-
новременно. К моменту замыкания возраст
бетона в первом пролете составил 90 сут,
во втором — 7, в третьем — 28. Бетон про-
паренный М500, Eg = 3,2 • 104МПа. Мо-
дуль упругости арматуры Еа = 2 X
X 10бМПа; п — 6,25. Остальные данные
для расчета приведены в табл. 4.7.
Начальные и полные величины лишних
неизвестных (опорных моментов) находим
по уравнению (4.22) — рис. 22, а, б, в.
Т —-
Рис. 22. Эпюры моментов (кН • м) в балке
при длительном действии внешней нагруз-
ки, приложенной после замыкания:
а — основная система; б — эпюра моментов в
основной системе от внешней нагрузки; в — то
же, от единичных усилий; г, д — эпюры на»
чальных и текущих моментов (размеры в см).
При определении начальных усилий принимаем = 0 ум = 1.
По формуле (4.23):
400 • 102 • 15
°д1р “ 64 • 12,864 • 104 +
+ 4 . = 728,8 • 10“4 + 1182,7 . 10~4 = 1911,5 . 10“4;
«Л 20 • 303 _L
оа2р= 4 . J i4 i44 . )04 +
+ ~Тп4 - = 1182,7 ' 10-4 + 809,6 . IO"4 = 1992,3 • 10-4-
о • оо,оо4 * 10*
Уравнения трех моментов:
2Л11 ( 12,864 • 10* + 114,144 • 104 ) + Л1’ 114,144 • 104 + 1911 -5 • 10 4 = 0;
М* 114,144 • 104 + 2Л1’ ( 114,144 • 104 + 55,584 • 104 ) + 1992,3 ’ 10 * = °
или 2Мг (0,7774 + 0,2628) + Мг . 0,2628 + 1911,5 = 0;
Мг 0,2628 + 2М2 (0,2628 + 0,3598) + 1992,3 = 0.
Из этой системы Mj - — 736,3 кН • м; М2 = — 1444,6 кН • м.
Полные величины опорных моментов:
2МХ (0 (0,7774 • 1,52 + 0,2628 • 1,89) + М2 (/) < 0,2628 . 1,89 —
-2 • 736,3 [0,7774 (1 + 0,7 — 1,52) + 0,2628 (1 + 1,25 — 1,89)] — 1444,6 • 0,2628 X
X (1 + 1,25 — 1,89)+ 728,8(1 +0,7) + 1182,7(1 + 1,25) =0;
(/) • 0,2628 < 1,89 + 2Л42 (/) (0,2628 • 1,89 + 0,3598 ♦ 1,83) - 736,3 X
X 0,2628 (1 + 1,25 — 1,89) — 2 • 1444,6 [0,2628 (1 + 1,25 - 1,89) + 0,3598 X
X (1 + 1,10— 1,83)] + 1182,7(1 + 1,25)+ 809,6(1 + 1,10) =0;
(0 = — 805,5 кН • м; М2 (/) = — 1435,3 кН • м.
На рис. 22, г, д приведены эпюры М и М (/).
Таблица 4.7. Геометрические характеристики элементов балки
Вычисляемые Пролет балки Вычисляемые Пролет балки
величины 1 2 3 величины 1 2 3
F6’ м* 7б’ м< 0,15 0,3 0,24 i, м 0,0162 0,0444 0,02Ы 0,01737
0,003125 0,025 0,0128 /п. М< 0,00402 0,03567
4 ма У& м 0,02083 0,08333 0,05333 VnlO-4 12,864 114,144 55,584
0,2 0,4 0,3 кН-м* Ф/ 1.0 2,5 2,0
4 м h, м 0,2 0,4 0,35 V., 1,86 2,77 2,50
0,4 0,8 0,65 Г1 0,70 1,25 1,10
0,005 0,008 0,0075 1,52 1,89 1,83
0,02 0,03 0,025 1/Ру -10*. 1/м 1.8 2,6 2.0
Усилия,
возникающие в неразрезной балке от длительного действия нагрузки,
приложенной до замыкания, определяются по уравнениям (4.25) — рис. 23, а, б, в.
По формуле (4.26) определяем:
4 • 103 • 0,7 ( 8 • 303 • 1,25 л._ _ 1Л_4.
6Д1Р (0 = 4 . (2,864 • 104 + 4 - 114,144 • 104 645,8 ' 10 '
П1< ,л / 10 . 1,52 . 30 • 1,89 \ . .. ... 30 • 1,89 . . 1п_4 .
2Л11 ( 12,864 • Ю4 + 114,144 - 104 ) + W 114,144 - 104 + 645,8‘° “°’ 30
30- 1,89 ( 30-1,89 20 - 1,83 \ i л-4 = л
114,1-44 - 104 2Л1г ( 114,144 • 104 + 55,584 • 104 ) 828,9 ° °’
откуда Мх (/) — —143,8 кН • м; М2 (/) = —327,8 кН • м.
Эпюра М (0 показана на рис. 23, а.
Начальные усилия, вызванные смещением опор, определяем по уравнениям
(4.28) — рис. 24, а. При этом по формуле (4.27) находим:
^1о = 6^,04 + 0,03. -0.03-0,)=з20.10Л
О — 0,04
20
= — 260 • 10^4.
г
Рис. 23. Эпюра моментов (кН • м) в ба-
лке при длительном действии нагруз-
ки, приложенной до замыкания:
а — основная система; б — эпюра момен-
тов в основной системе от нагрузки; в —
то же, от единичных усилий; г — эпюра
текущих моментов (размеры в см).
Рис. 24. Эпюры моментов (кН X
X м) в балке при неравномерном
смещении опор:
а — основная система; б, в — эпю-
ры начальных и текущих моментов
(размеры в см).
Следовательно
2Л11 ( 12,864 -10* + 114,144 • 10* ) + Мг 114,144 • 10* + 320 ' 10 4 = °>
М1 114,144 • 10* + 2М* ( 114,144 • 10* + 55,584 • 10* ) ~260 ' 10 4=0
или 2Alj (0,7774 + 0,2628) + Л12.0,2628 + 320 = 0,
• 0,2628 + 2Мг (0,2628 + 0,3598) — 260 = 0.
Из этой системы находим = — 185,1 кН • м; М2 = 247,8 кН • м.
Полные усилия
2Mf (0 (0,7774 • 1,52 + 0,2628 • 1,89) + М2 (/) * 0,2628 • 1,89 + 320 = 0;
(0 • 0,2628 •1,89-4- 2М2 (0 (0,2628 • 1,89 + 0,3598 • 1,83) — 260 = 0.
Из этой системы:
(0 = — 115,6 кН * м; М2 (0 = 137,4 кН • м.
Эпюры начальных и полных значений изгибающих моментов приведены
на рис. 24, б, в.
Пример 10. Определить изгибающие моменты, возникающие в двухпролетной не-
разрезной балке (рис. 25, а, б). Балка изготовлена из двух сборных железобетонных
элементов, выполненных без предварительного напряжения, путем объединения их
на промежуточной опоре. Равномерно распределенная нагрузка = ^ = 20,0 кН/м
приложена до замыкания.
Исходные данные: Ел = 2 • 10е МПа; Еб = 3,2 • 104 МПа; п = 6,25; Ft =
= 0,18 м2; Уб = 0,3 м; Уб = 0,15 м; /б = 0,0057375 м2; = 0,031875 м2; Фг = 2,5;
тх = 28 сут; у = 2,88; /?р = 2,0 МПа.
Сечение I—1: Fn = 0,21 м2; i =
= 0,007883 м4; Wo = 0,02299 м8; Wr =
Сечение II—II: Гп = 0,21 м2; i =
= 0,0107 м; р = 0,00444; и' = 0,02222;
/п = 0,006729 м4; = 0,017445 м»;
WT = 0,03053 м8; №т/?р = 61,06 кН • м;
^ = 0,0314 м8; = 0,05495 м8;
= 109,9 кН . м.
Эпюры моментов, возникающих при
нагружении сборных элементов, при-
ведены на рис. 25, в.
Так как в средней части каждого
элемента имеются трещины, опорные
моменты определяем методом последо-
вательных приближений с помощью
уравнения (4.2). С этой целью раз-
биваем каждый пролет на 8 одинако-
вых участков длиной 1 м. Учитывая,
что балка симметрична относительно
средней опоры, будем рассматривать
только один пролет.
Рис. 25. Двухпролетная железобетон-
ная балка:
а — конструкция и размеры балки (см);
б — основная система; в — эпюра началь-
ных моментов (кН . м) до замыкания; г —
то же, от единичных усилий; д — оконча-
тельная эпюра полных моментов (кН • м).
0,0321 м; р = 0,02222; р' = 0,00444: /п =
0,04023 м8; WTRp = 80,46 кН • м.
Вычисляем значения изгибающих моментов в середине каждого участка и находим,
что на участках 0—1 и 7—8 трещины отсутствуют, а на остальных имеются. Поэтому
перемещения участков с трещинами определяем по формулам (4.15) и (4.19), а участ-
ков без трещин — по формулам (4.6) и (4.13).
Таблица 4.8. Вспомогательные величины для расчета балки
Вычисляемая величина Номер участка /
1(16) 2 05) 3(14) 4(13) 5(12) 6(H) 7(10) 8(9)
Д/у, м бцу-В/, м 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
0.00521 0,03646 0,09896 0,19271 0,31771 0,47396 0,66146 0,88021
кН м* Mpjt кН • м 3,021 18,646 43,021 68,646 88,021 93,646 78,021 33,646
37,Б 97,5 137,5 157,5 157,5 137,5 97,5 37,5
/т (0, м« — 0,00996 0,00995 0,00995 0,00995 0,00995 0,00345 —
Приме чание. Так как в любом сечении Фа (0 = 1, значения /т (0 вычислены заранее и
приведены в данной таблице.
Данные для вычисления перемещений, полученные с помощью правила Вереща-
гина, представлены в табл. 4.8. В табл. 4.9 приведены элементы перемещений
и по каждому участку. На основе данных этой таблицы имеем:
26П/ (0)$ = 8511,364 . 10—81 /кН • м; 2Д1р/ (/) = 48,20724 • 10-4.
Уравнение (4.2) примет вид 0,8511364 • 10—4Л11 (0 + 48,20724 • 10—4 =0, от-
.. ... 48,20724 _с .. „
куда М, (/) = - б 8511364 = - 56,64 кН . м.
Таблица 4.9. Результаты вычислений перемещений балки
Вычисляемая величина Номер участка /
1 (16) | 2 (16) 3(14) | 4(13) | 5(12) 6(11) | ЦЮ) | 8(9)
Первое приближение
/т/, м‘ — 0,00543 0,00473 0,00469 0,00469 0,00473 0,00142 —
1,38 0,91 0,665 0,65 0,65 0,665 0,4^ 1,676
м 2,04 1,91 1,665 1,65 1,65 1,665 1,44 2,26
By. 10—4. кН-м® 26,226 17,376 16,136 16,008 15,008 15,136 4,544 21,533
0ц/(6)q. 10«, 1/кН.м 4,213 40,077 108,859 211.868 349,295 521,369 2096,176 923,826
А]р/(0-Ю* 0,16527 0,97651 1,89013 2,97307 3,81221 4,11434 7,65485 2,61724
М. (/), кН • м 33,96 86,88 119,80 132,72 125,64 98,56 51,48 -16,60
Второе приближение
/ту. м4 — 0,00493 0,00479 0,00475 0,00477 0,00487 —
Л4 ф/ 1,38 0,73 0,685 0,67 0,68 0,71 1,675 1,675
2,04 1,73 1,685 1,67 1,68 1.71 2,26 2,26
B.-1Q— кН-м« 26,226 15,776 15,328 15,200 15,264 15,584 21,533 21,533
бцу (б)о'108’ VkH м 4,213 39,982 108,786 211,727 349,681 520,066 694,237 928,826
А1р/ (0 -10* 0.16527 0,86280 1,92259 3,02584 3,92127 4,26647 6,06906 2,61724
Afy (/), кН • м 32,49 82,48 112,47 122,45 112,44 82,43 32,41 —37,60
Третье приближение
/Т/. М‘ —• 0,00495 0,00481 0,00478 0,00481 0,00495 — —
1,38 0,74 0,69 0,68 0,69 0,74 1,676 1,675
у 2,04 1,74 1,69 1,68 1,69 1,74 2,26 2,26
кН м* 25,226 16,840 15,392 15,296 16,392 15,840 21,633 21,533
«11/(0)0 1°’. 1/кН-м 4,213 40,051 108,655 211,658 348,837 520,638 694,237 923,826
Л1р/ (<) • Ю‘ 0,16527 0,87109 1,92857 3,05173 3,94585 4,37488 6,06906 2,61724
М. (t), кН • м 32,46 82,37 111,28 122,19 112,10 82,01 31,92 -38,18
Четвертое приближение
ZT.-. м< — 0,00496 0,00481 0,00478 0,00482 0,00495 —
1,38 0,74 0,69 0,68 0,69 0,74 1,675 1,675
2,04 1,74 1,69 1,68 1,69 1,74 2,26 2,26
By 10—4, кН-м® 25,226 15,840 15,392 15,296 15,394 15,840 21,553 21,533
0ц/ (О)о-Ю®, 1/кН-м 4,213 40,061 108,655 211,658 348,792 520,638 694.237 923,826
Aip/CO-lO4 0,16527 0,87109 1,92857 3,05173 3,94534 4,37488 6,06906 2,61724
Mi (/), кН *м 32,46 82,37 111,28 122,19 112,10 82,01 31,92 -38,18
По результатам расчетов находим ординаты новой эпюры моментов и полученные
моменты принимаем в качестве первого приближения.
Аналогичным образом выполняем повторный расчет, используя моменты первого
приближения для уточнения значений перемещений.
Для второго приближения (см. табл. 4.9):
S6n/ (0)^ = 5705,036 • 10“81/кН • м;
2Д1р/ (/) = 45,70108 • IO"4; М, (f)= - =- 80,11 кН • м.
Для третьего приближения:
(0)' = 5704,23 • 10~81/кН • М|
Т2
(f) = 46,04738 • 10“4;
,л 46,04738 оп_о и
0,570423"----------8072 КН'М-
Для четвертого приближения:
26п/ (©)£ = 5704,14 . KT’I/kH • м;
2Д1р/ (/) = 46,04636 • 10“4;
= - Хш~~~80’72 кН-м-
Как видим, в дальнейшем уточнении нет необходимости.
Для определения лишнего неизвестного вполне можно было ограничиться тремя
приближениями. Окончательная эпюра моментов в балке представлена на рис. 25, д.
Комбинированные * конструкции и арки
Рассматриваются симметричные конструкции, нагруженные постоян-
ной внешней нагрузкой, вынужденными усилиями и усадкой бетона.
При соответствующем выборе основной системы и при действии
симметричной нагрузки в таких конструкциях возникает одно лишнее
неизвестное — усилие в затяжке (распор), приложенное в месте со-
ответствующего разреза затяжки. В двухшарнирных арках искомое
неизвестное проходит по линии, соединяющей пяты, в бесшарнир-
Рис. 26. К расчету комбиниро-
ванных конструкций на посто-
янную нагрузку:
1 — арка; 2 — затяжка.
ных — прикладывается в упругом центре.
Задача решается для комбинированных конструкций. Решение для
арок получается автоматически, путем приравнивания нулю взаим-
ного смещения концов разреза за-
тяжки.
Расчет на внешнюю на-
грузку. Пусть система, показанная
на рис. 26, а, нагружена длительно дей-
ствующей нагрузкой. За лишнее неиз-
вестное принимаем усилие X (/), разви-
вающееся в затяжке. Основной системой
будет служить арка, представляющая со-
бой криволинейную железобетонную бал-
ку (рис. 26, б).
При составлении канонического уравнения метода сил считаем, что
в момент времени / «= 0 происходит упругая деформация металлической
затяжки, которая немедленно вслед за раскружаливанием подверга-
ется омоноличиванию, причем трещины в бетоне омоноличивания в
дальнейшем не появляются.
С учетом сказанного
X [6П (0 + Д] + Хд [6П (0)£ 4- Д (0)$] + Д1Р (/) ж. О, (4.39)
где X и ХД — распор от внешней нагрузки, возникающий в затяжке
в момент времени t = 0, и изменение распора (дополнительный распор)
в связи с ползучестью, протекающей в условиях внешней и внутрен-
ней статической неопределимости; 6П (/),и Д1Р (/) —текущие взаимные
* Арки с затяжками на уровне пят, шпреигельные системы.
перемещения концов разреза в основной системе, вызванные дефор-
мациями этой системы (без учета деформаций затяжки) при ее нагру-
жении силами X = 1 и внешней нагрузкой; Д — абсолютная упругая
деформация металлической затяжки от усилия X = 1; Д (0)о — сред-
нее значение Д (t) в интервале 0 — t\ Д (t) — абсолютная деформация
железобетонной затяжки к моменту времени t от усилия X = 1;
* = <4-40>
Д(0)о = Ду^; (4.41)
Д(0 = Д(1+ф,аг);
Д= + :
W Фз/^3
фэ = EtF3+EaFay3 1
(4.42)
(4.43)
(4.44)
£а и F, — модуль упругости и площадь поперечного сечения металли-
ческой затяжки; Е3 и Fa —то же, бетона омоноличивания; <рэ/ —ха-
рактеристика свободной ползучести бетона омоноличивания.
Распор, вызванный ползучестью бетона,
X (6И (/) + Д] + д„ (О
«и (в)$ + Д(0)^
(4.45)
Текущий распор:
Х(О = Х + ХД. (4.46)
Численные значения 6П (/), 6и (0)о и Д|Р (/) определяются по
формулам (4.5) — (4.7) или (4.9) — (4.11), у? и у3 — по табл. 2.1 (в
зависимости от ф, и <ра/).
Ползучесть бетона незначительно отражается на напряженном со-
стоянии арок от внешней нагрузки и заметно — на напряженном со-
стоянии комбинированных конструкций. В результате ползучести рас-
пор, возникающий от внешней нагрузки в момент раскружаливания,
Р
%
£
увеличивается во времени, а распор от
упругой деформации затяжки уменыиа-
I* ется. В связи с этим уменьшаются и из-
гибающие моменты, возникающие из-за
Й деформации затяжки и обжатия арки.
Рис. 27. Схема и поперечное се-
чение двухшарнирной арки с за-
тяжкой (размеры в см).
Пример 11. Определить дополнительный рас-
пор в двухшарнирной арке с затяжкой. Ар-
ка имеет постоянное сечение, нагрузка в виде
сосредоточенной силы Р приложена посередине
пролета (рис. 27).
Данные для расчета: — 0,8 м2; /б а 0,23467 м4; = 0,2933 ма; р/ = р —
= 0,016; Уб == Уб = 0,7 м; Л = 1,4 м; Е& = 3,5 • 104 МПа; £а = 2,1 • 10* МПа;
п “6,0; ф/ = 3,0, возраст бетона в момент нагружения 28 сут, у = 3,25 (см.
табл. 2.1).
Затяжка металлическая: Fa « 0,048 м2 £а^2,1« 10Б МПа; 6^ ж 318,2 X
х ю-6 м/кН; йц = 1,5 • 10~в м/кН; Д = 4,46 • 10~6 м/кН; Д^ = 277 • 10—м;
Д* = — 0,368 • 10-6Р м; X = — 0.8534Р.
По формулам (2.22) и (3.14), (3.21) вычисляем: а« = 0,2953 [1 + 6 X
X 3,25 (0,016 + 0,016)] + 6 • 3,25 • (0,016 • 0,72 + 0,016 • 0,72 + 6 • 3,25 • 0,016» X
X 1,4») =0,973 м2;
<рм = Л3о?о • 0,2933 [1 + 6 • 3,25 (0,016 + 0,016)] = 1,47;
и,У / и
<fN = Лто • [0.2933 + 6 • 3,25 (0,016 • 0,7» + 0,016 • 0,7»)] = 1,85.
О,У/ о
По табл. 2.1 находим: уМ = 2,11; = 2,39; 6U (/) = (! + 1,47) • 318,2 10-6+
+ (1+ 1,85) • 1,5 • 10“6 = 790,23 • 10-6 м/кН; 6П (в)£ =2,11 • 318,2 • 10~6 +
+ 2,39 • 1,5 • 10“6 = 674,99 • 10-6 м/кН; Д,р (/) = (1 + 1,47) • 277 • 10-6Р —(1 +
+ 1,85) 0,368 • 10“6Р = 683,14 • 10~6 Р м; Д (0)'о = Д = 4,46 • 10-6 м/кН.
Дополнительный распор находим по формуле (4 • 45)
v - 0,85347» (790,23 + 4,46) • 10“в + 683,14- 10“eP
п — у 001 di •
674,99 • 10~6 + 4,46 • 10—6
Увеличение распора от ползучести составля-
ет менее 1 %.
Пример 12. Определить длительный распор в
системе из железобетонной балки с криволиней-
ным шпренгелем (рис. 28). Арматурные пучки
шпренгеля расположены внутри бетонного сече-
ния и лишены сцепления с бетоном.
Рис. 28. Схема шпренгельной
системы (размеры в см).
Исходные данные: = 1,95 м2; р = 0,0186; р,' = 0; = 1,0 м; /^ = 1,18 м4;
= 0,605 м2; Гаш = 0,0196 м2; £а = 2,1 • 10б МПа. Остальные данные взяты из
примера 11.
Для рассматриваемой системы tiff = 6^ = 0; поэтому
6 — 6м — $
611-6П“ 15 Еб1б
м/кН;
г 9Л
д = -T7ZT = 2,1-105.0,0196 = °’4859•10-5 м/кН-
Уравнение (4.39) примет вид X (би + А) + Д1р = 0,
следовательно А1р =—X (0,0258 + 0,4859) • 10“5 = — 0,5117 • 10“5Х м.
По формулам (2.22) и (3.14) вычисляем:
аь = 0,605 (1 + 6 • 3,25 • 0,0186) + 6 • 3,25 • 0,0186 • I2 = 1,187 м2;
ФМ = • 0,605 (1 + 6 • 3,25 • 0,0186) = 2,08.
1, 1о/
По табл. 2.1 находим ум = 2,56. По формулам (4.5) — (4.7) с учетом (3.12) и
(3.8) определяем:
5Г1 (/) = (1 + 2,08) • 0,0258 • 10“5 = 0,0795 • 10“5 м/кН; 6П (0)£ = 2,56 х
X 0,0258 • 10“5 = 0,066 • 10“5 м/кН; Д1р (/) = (1 + q>M) Д1р = — (1 +
+ 2,08) • 0,5117 • 10-5Х = — 1,576 • 10“6Х м; Д (0)£ = Д - 0,4859 • 10-5 м/кН.
Дополнительный распор равен — см. формулу (4.45):
х (0,0795 + 0,4859 - 1,576) . 10~5
Д = 0,066 • 10-5 + 0,4859 • 10-5
= 1,83Х.
Расчет на вынужденные усилия. Вынужденные
усилия в комбинированных конструкциях вводятся с целью нейтра-
лизовать изгибающие моменты, обусловленные упругим обжатием
балки, усадкой бетона, упругой деформацией затяжки, и обеспечить
более благоприятное распределение моментов от постоянной и пере-
менной нагрузок.
Пусть в системе, показанной на рис. 26, действует вынужденное уси-
лие X (0, введенное в момент времени t = 0 посредством предваритель-
ного напряжения затяжки.
Так как упругое перемещение Х6П, связанное с изгибом и обжа-
тием арки, и упругая деформация ХД неомоноличенной затяжки про-
исходят до момента закрепления затяжки в натянутом состоянии (а
этот момент принимается за начало отсчета времени), исходное урав-
нение для определения усилия X (/) будет иметь вид:
X [бп (/) - + Хд [бц (©)о + А (0)Й = 0, (4.47)
откуда Хд = — X ~6ц <4-48)
°п Wo । a Wo
Пример 13. Пусть в арке с затяжкой, рассмотренной в примере 11, в момент рас-
^ружаливания введено вынужденное усилие X путем натяжения затяжки домкрата-
ми. Необходимо определить изменение вынужденного усилия в результате ползу-
чести бетона.
По формуле (4.48) находим:
х (790.23-3,8.2-..5). Ю- _
(674,99 + 4,46) • 10“6
Рис. 29. Бесшарнирный свод:
а — схема и поперечное сечение свода (разме-
ры в см); б — основная система.
Пример 14. В бесшарнирный пара-
болический свод постоянного сечения
(рис. 29, а) в момент раскружаливания
введено вынужденное усилие X. Оп-
ределить изменение этого усилия от
ползучести бетона.
Исходные данные: F^ = 3,416 м2;
(1 = р/ = 0,0085; р, + р/ = 0,017; уъ =
® м» As = 0,1822 м4; —
= 0,0533 м2; Еб = 2,5 « 104 МПа; £а -
= 2,1 • 105 МПа; п = 8,4; <р/ -= 2,5:
возраст бетона при раскружаливании 28
суток; у = 2,88; dff = 20,5-10“6 м/кН;
6ft =0,238 • 10“6 м/кН.
Параметры длительной деформативности железобетонного свода определим по
формулам (2.22), (3.14) и (3.21):
а6 = 0,0533 (1 + 8,4 - 2,88 * 0,017) + 8,4 • 2,88 (0,017 • 0,352 +
. eg
+ 8,4 • 2,88 • 0,00852 • 0,72) = 0,14637 м2; = П1 ’ 0,0533 (1 +8,4 X
U! 1ЧОо/
х 2,88 • 0,017) = 1,29; <p'v = ——-----(0,0533 + 8,4.2,88 • 0,017 • 0,352) = 1,77.
0,14637
По табл. 2.1 при полученных выше значениях и находим ум = 1,97; yN =
- 2,33.
Изменение усилия вследствие ползучести определяем по формуле (4.48), учи-
тывая, что 6П (0 = 6ft (1 + <p") + 6ft (1 + ф"); 6n = 6ft + 6ft и Д (6)' = Д = 0.
Следовательно, Хд = —
(20,5 - 1,29 + 0,238 - 1,77) - 10~6
(20,5 • 1,97 + 0,238 • 2,33) . 10“6
X = — 0,656Х.
Расчет на вынужденные усилия в сочетании
с предварительным нагружением. Во избежание
появления трещин в бетоне затяжки в результате действия временной
нагрузки и усадки бетона широко пользуются методом предваритель-
ного нагружения.
Для введения сжимающих напряжений в бетон затяжки можно
применить предварительное (до натяжения затяжки) нагружение
конструкции балластом с последующим удалением его после омоноли-
чивания затяжки.
Рис. 30. К расчету комбинированных конструкций:
а — на предварительное нагружение системы балластом (/ — бал-
ласт; 2 — омоноличенная затяжка); б — на усадку бетона.
Распор, соответствующий нагрузке балластом, обозначим X*, а ос-
тавшийся после удаления балласта распор в невесомой системе с уже
омоноличенной затяжкой — X (рис. 30, а), тогда
Х6П + Д (X — X*) = 0 (4.49) или X* = X . (4.50)
Для момента времени t:
Х6П (0 + Хд [бп (0)J + Д (©)&] + (X - X*) Д (0 - 0. (4.51)
Распор, вызванный ползучестью бетона:
_Х611(0 + (Х-ху(0. (4.52)
д 6П (в)' + А (0)' ' >
Текущее сжимающее усилие в затяжке в произвольный момент вре-
мени t будет:
(X - X*) (/) = (X - X*) + Хд. (4.53)
Из формул (4.48) и (4.53) следует, что ползучесть бетона снижает
эффект от введения вынужденных усилий в комбинированных кон-
струкциях и практически не отражается на сжимающем усилии, вве-
денном в бетон затяжки в результате предварительного нагружения
системы балластом.
Эффект от введения вынужденных усилий в арках также уменьша-
ется вследствие ползучести.
Расчет на усадку бетона. Предположим, что затяжка
на опоре отсечена от арки (рис. 30, б). Тогда в результате усадки конец
арки к моменту времени t переместится на величину
= еу (/) ,
а У ' ' ф/ ’
(4.54)
а конец железобетонной затяжки к этому же моменту времени полу-
чит перемещение
Ч’я
еэ^ = езу (0 т; »
'З/
(4.55)
где езу (/) — относительные деформации свободной усадки бетона омо-
ноличивания затяжки.
Из условия неразрывности деформаций рассматриваемой системы
имеем
Хд [бц (0)о + A (0)ol + (еа - е3) I - 0.
Распор, вызванный усадкой:
_________(ga — ез) I
Д 6а(0)' + Д(0)< •
(4.56)
(4.57)
Пример 15. Определить распор от усадки в арке, рассмотренной в примере 11.
Свободная деформация усадки бетона арки ву (/) = 200 • 10~~6.
Продольную деформацию связанной усадки в арке вычисляем по формулам (3.5)
и (3.7):
е _____200j_10“6 6
а 1 + 6 • 3,25 • 0,032 1 ’ •
Деформация усадки затяжки е3 равна нулю, так как затяжка не обетонирована.
Распор от усадки бетона вычисляем по формуле (4.57):
-----123,2 . Ю-0.45_ 6кН
(674,99 + 4,46) • IO-*
Распор от усадки без учета ползучести можно найти по формулам (3.5), (3.7) и
(4.57) при 1 и ум = yN = 1. Тогда:
200 . 10-6 6.
8а0 1 + 6.0,032 — 67,8 10 ’ ЛД°
167,8 • 10“* • 45
(318,2+1,5 + 4,46) • 10~6
= — 23,29 кН.
Следовательно, Хд = 0,35Хд0.
Пример 16. Определить распор от усадки бетона в шпренгельной системе, рас-
смотренной в примере 12. Свободная деформация усадки бетона равна 200 • 10“6.
При ф/ = 3,0; у « 3,25; п = 6 и р = 0,0186 находим деформацию связанной усад-
ки железобетонной балки:
200 . 10-* 6
у = 1 +6 - 3,25.0,0186 ~ 46,8 ’ 10
Распор от усадки бетона определяем по формуле (4.57):
— 146,8 • 10-6 • 20
*д =
(0,066 + 0,4859) • 10“5
532,0 кН.
Распор от усадки без учета ползучести:
200 • 10-6 к
ev° Г+ 'б~ 0,0186 179,9 ‘ 10 : Хяо =
179,9 • 10“6 • 20
(0,0258 +0,4859) • 10 ~5
= —703,1 кН.
Таким образом, Хд = 0,757Хд0.
Пример 17. Определить распор от усадки бетона в бесшарнирном своде, рассмот-
ренном в примере 14.
Деформация свободной усадки бетона свода составляет 200 • 10“6. Прип = 8,4;
р + М-' ~ 0,017; ф/ = 2,6 и у = 2,88 находим деформацию связанной усадки:
о 200 • 10“6
8у = 1 4-8,4 . 2,88 • 0,017
= 141,7 « 10~6.
Для определения распора от усадки бетона используем формулу (4.57).
хд =
— 141,7 . 10“6 • 24
(20,5 • 1,97 4- 0,238 • 2,33) • 10“6
- — 83,1 кН.
Распор от усадки бетона без учета ползучести
„ 200 . 10~6 _в. у
еуо 1 4-8,4 • 0,017 ~ 75,0 ' ° ’ ХД°"
= — 202,5 кН.
Следовательно, Хд = 0,41Хд .
— 175«10~6-24
(20,5 4-0,238) < 10“6
Учет влияния бетона затяжки, покрытого
трещинами. В приведенных решениях принималось, что в про-
цессе эксплуатации железобетонная затяжка работает без трещин. Не-
трудно показать, что во многих случаях выполнение этого условия тре-
бует наличия бетонного сечения большой мощности или введения в бе-
тон затяжки предварительных сжимающих напряжений.
Если бетон затяжки покрыт трещинами, в формулах (4.45), (4.48) и
(4.52) принимаем
Д (0)о A TF^F.
(4.58)
имея в виду, что при наличии трещин ползучесть растянутого бетона
проявляется слабо. Величина коэффициента % приведена ниже.
О том, как будет работать затяж- F /F х
ка, — с трещинами или без них— а
можно судить приближенно, на ос- 4 ................J’J4
нове решения упругой задачи. При 9 и более..........1
решении такой задачи надо учиты-
вать не только постоянную нагрузку, но и временную и другие воз-
действия.
Расчет двухшарнирных и бесшарнирных
арок на горизонтальное смещение опор. Пусть
X — распор, возникающий в арке в момент времени t = 0 от мгновен-
ного смещения опор наружу на величину Дс
(рис. 31).
Вследствие ползучести бетона распор X
будет изменяться во времени и в момент
времени t составит
(4.59)
где Хд — приращение распора.
Это приращение может быть получено
принять Д1Р(0 = До и Д = А (0)о = 0. С учетом сказанного
Рис. 31. К расчету арок на
горизонтальное смещение
опор.
по формуле (4.45), если
X (/) = х + X
д
X6U (/) + д0
«и (9)£
(4.60)
Пример 18. Допустим, что в бесшарнирном своде, рассмотренном в примере 14,
произошло мгновенное горизонтальное смещение опоры наружу на 1 см. Необходимо
определить распор.
В момент смещения распор равен:
△с
Х =
— 0,01_________
(20,5 +*0,238) • 10“6
— 494,12 кН.
Изменение распора вследствие ползучести вычисляем по формуле (4.60):
х = - - 494,12 [20,5 (1 + 1,29)+ 0,238 (1 + 1,77)]. 10~6+ 0,01 = дзд 3 кН
д (20,5 • 1,97 + 0,238 • 2,33) • 10“6
Распор к моменту времени t будет составлять:
X (0 = — 494,12 + 330,3 = — 163,82 кН.
Таким образом, в результате ползучести бетона произошло уменьшение распора
в три раза.
§ 4.2. РАСЧЕТ УСИЛИЙ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Использование этого метода целесообразно, как известно, в тех мно-
гих случаях, когда продольными деформациями стержней можно пре-
небречь, а степень кинематической неопределимости системы меньше
степени ее статической неопределимости. Так бывает при наличии сим-
метричных условий (рамы с вертикальными стойками и горизонтальны-
ми ригелями), при большом количестве пересекающихся в узле стерж-
ней, при замене шарнирных опор на защемленные, так как в соответ-
ствии с методом сил каждая новая связь приносит дополнительное
неизвестное.
Рассмотрим п раз кинематически неопределимую систему (см.
рис. 10), нагруженную внешними силами, вынужденными усилиями,
мгновенным смещением связей и усадкой бетона. Задачу решаем в
линейной постановке.
При учете переменной жесткости сечений и неодинаковых условий
протекания усадки и ползучести в стержнях каноническая форма
метода перемещений приводит задачу к решению системы следующих
уравнений:
при замыкании системы до нагружения
п т т
S S izkrlkl (0 + ZRkrlki (0)J] + S IRipi (0 + Ric, ® + Riy, (01 = 0;
*=1 /=1 /=1
(4.61)
при замыкании системы после нагружения
пт т
S S ZRkrikl (0)£ + S [Ripi (0 + Riyi (0] = 0. (4.62)
*=1 /=1 /=1
В этих уравнениях rikj (0 — текущая величина реактивного усилия
в закреплении i основной системы от перемещения (угла поворота, ли-
нейного смещения); Zk(t) = 1 закрепления k\ Ripj (0 —то же, от
внешних нагрузок или вынужденных усилий; (0 и Ri7j (0 —то
же, от смещения связей и усадки бетона; гщ (0)о — среднее значение
гщ (0 в интервале времени 0 — t\ Z — начальное значение переме-
щения введенного закрепления, получаемое в результате расчета си-
стемы по упругой стадии.
Система уравнений (4.61) может быть представлена в виде
п т
S S {2* \rlkj (0 - riki (0)$] + Zk (0 riki (0)о) +
*=1 /=1
т
+ S iRipj (0 + (0 + Rlyl (01 = 0. (4.63)
Z=1
При отсутствии трещин на рассматриваемом участке и замыкании
системы до нагружения текущие величины реактивных усилий опре-
деляются по формулам
(4.64)
(4.65)
(4.66)
т т / м \
S Ria (0 = s Ria i - А- ; <4 67)
/=1 /=1 \ V/ )
т т
S Rw (0 = S I 7Г- Mi/dx, (4.68)
/=' д£,. Ру/
или
т m л Т7 17 / м \
S '<« «> - S J тй-* (1 - 5г “ч- <4-69>
Z=1 i=\ bL.
S RlPl (0 = S = S f -/H dxr> <4-71)
/=1 1=1 ,=1 д-£ сб/п/
m m C — фм
S R‘yi (0 = S ey/ (0 Mii -5- dxf, (4.72)
Z=1 /=1 д1.
Ricj (0 — см. формулу (4.67).
При замыкании системы после нагружения — по формулам (4.65),
(4.68) и
т т Г __ ФМ
<473)
или
/Л ТЛ -гг -rj М
(4.74)
/=1 /=1 Д£/ V V/
Здесь М„ и Mt — эпюры изгибающих моментов в основной системе
рассматриваемого метода от единичных перемещений (см. курс строи-
тельной механики упругих систем); Мр — эпюра изгибающих момен-
тов от внешней нагрузки в любой статически определимой системе, по-
лученной из заданной системы путем устранения лишних связей (см.
курс строительной механики упругих систем).
Численные значения 1/р и 1/ру определяются по формулам (3.8) и
(3.2), численные значения фм —по формулам (3.14) и (3.3), ум —по
табл. 2.1 (в зависимости от фм).
При наличии трещин в стержнях величины реактивных усилий оп-
ределяются методом последовательных приближений. Так же, как и
в методе сил (см. § 4.1), определяют элементы перемещений по каждо-
му участку. Затем вычисляют реактивные усилия, составляют систему
канонических уравнений (4.61) или (4.62) и вычисляют неизвестные
перемещения, а по ним — усилия. Полученные усилия используются
для уточнения жесткостей на участках с трещинами при последующих
итерациях.
Рассмотрим стержень а — Ь, защемленный на обоих концах, в кото-
ром от внешних воздействий образуются трещины. Разбиваем стер-
жень на т одинаковых по длине участков (обычно значение т прини-
мают равным от 10 до 20). Для каждого участка определяют сначала
элементы перемещений, а затем и суммарные перемещения стержня:
баа (6)о = 2 баа/Т/1; (4-75) баа (/) = £ ^aai (1 + <?/* - rf); (4.76)
/=1 /=1
бар (6)о = бьа (0)о = 2 6abj^ = 2 бра/у"; (4.77)
/«=1 1
Ьаь (0 = бра (0 = Д 6aW (1 + Ф/1 - у/*) = 2 бм (1 + ф," - у^); (4.78)
брр (6)о = 2 Ььь^; (4.79) брр (0 = £ 6bbj (1 4- - /); (4.80)
/=1 /«I
при замыкании системы до нагружения
Аар (0 = 2 Аар/ (1 + Ф/"); (4.81) Арр (0 = 2 Арр/ (1 + ф/1); (4.82)
при замыкании системы после нагружения
Аар (0 = 2 АарУф/М; (4.83) Лрр (0=2 Арр^. (4.84)
/=1 /=1
Для участков с трещинами принимается ум = 1 + фм. Числен-
ные значения фм определяют по формуле (3.50).
Зная суммарные перемещения, реактивные усилия на концах стерж-
ня можно определить по формулам:
от единичных перемещений, если Zk (/) — неизвестный угол поворота:
<4-85)
т ________ т <в)о . zz oR\
Шаь (0) — тЬа (в) — (в) — (в) , (4.86)
^ь(0) = -^^-; (4.87)
_ /А\ _ п /А\ _ <в>0 + еЬа <в>0 . (Л ооч
ЯЬа (6) — Qaa (6) — T~D 7S? ’ > (4.88)
„ , Ач _ „ z~ _ «аа (в)о + «аб (®>0 . ,, Д<Л
(fab (6) — (]ьь (v) — l ъ (в) ’ (4.89)
Шаа (О = Шаа (0) [Ш^аЬ (О — Маа&аа (01 +
+ ШаЬ (О) [/Паабьа (0 ~ mba6bb (ОК (4.90)
таЬ (0 = Шаа (0) [ШььЬаЬ (t) — ШаьЬаа (01 +
+ tnab (0) [ШаьЬьа (t) — mbb6bb (01; (4.91)
mba (0 = mbb (6) [ГПаа^Ьа (0 — ГПЬаЬЬЬ (01 +
+ тЬа (6) [тыАаЬ (0 — ГПааЬаа (ОК (4-92)
тьь (0 = tnbb (0) [ШаьЬьа (0 — mbbbbb (01 +
+ Шьа (0) [mbb8ab (0 — ГПаьЬаа (ОЬ (4-93)
ЯЬа (t) = —qaa (t) — ~Г~ [ГПаа (0 + (ОН (4.94)
»а6
Чаь (t) = — Яьь (0 = -г- [тЬЬ (0 + tnab (О); (4.95)
*аЬ
от единичных перемещений, если Zk (0 — неизвестное линейное пере-
мещение:
/Ач _ /Ач _ ^ьь (в)о + 6<й> <в)о . ,. QR4
tnaa (0) — fllah (0) — i n , (4.96)
m m /Ач_ 6аа(е)о + ^а(в)5 .
Hiba (^) = Mibb ($) — ^ab^ab ($) * (4.97)
Qaa (®) = Qab (®) = — Qba (®) = Qbb (®) 3=1
6afl (0)$ + 6ai (©)£ + 6ba (в)* + 6№ (0)‘
“ I2 D
labUab W
Шаа (0 = — mab (f) = {ГПаа (©) l(mbb + mba) &ab (0 —
— (tnaa + tnab) &aa (01 + tnab (в) [(tnaa + tnab) &ba (0 —
— (mbb + tnba) 6bb (/)]} ; (4.99)
тьь (0 = — тЬа (0 = [тьь (в) [(тьь + тЬа) вьь (0 — (таа + Шаь) 6ba (0] +
+ Шьа (в) [(Шаа + ГПаь) баа (0 — (mbb + тЬа) ЪаЬ (01) ~7~ 1 (4.100)
1аЬ
Цаа (0 = - ЧаЬ (0 = - ЧЬа (0 = ЧЬЬ (0 = (Р j ^а (О
тьь (0 + таЪ (О
lab '
(4.101)
от внешней нагрузки, вынужденных усилий и смещения связей:
Map (t) = таЬ (в) Aftp (0 — /Паа (О) Аар (0 — Мар [Шаа (6) баа (0 —
— таЬ (©) 6fta (0J + МЬр [Шаа (0) баО (0 — таь (0) 8ЬЬ (0]; (4.102)
МЬв (0 = тьь (0) Ajp (0 — тЬа (0) Аар (0 + Мар [тЬь (0) бЬа (0 —
— тьа (0) баа (0) — МЬр [тЬъ (0) 6i6 (0 — тЬа (0) бао (0J; (4.103)
Qap (t) = С&р + -г- [Мар (0 - МЬр (01; (4.104)
lab
Qbp (t) = QbP - {Мар (0 - МьР (0]. (4.105)
В формулах (4.85) — (4.89):
Dab (0) = баа (6)о бЬЬ (0)5 - ба6 (0)5 • бйа (0)о- (4.106)
Для стержня с трещинами, защемленного на конце а и шарнирно
закрепленного на конце &, реактивные усилия равны: от единичных
перемещений, если Zk (t) — неизвестный угол поворота:
Шаа (0) = 7 -ТТ J баа(0)5 (4.107) qba (0) = - qaa (©) = lab°aa (в>0 (4.108)
таа (0 — А А t , ^cufiaa ($)о (4.109) qba (0 = - qaa (0 = 5м/* < . lab^aa <в)о (4.110)
от единичных перемещений, если Zk (/) — неизвестное линейное пере-
мещение;
^t») - , . ‘ ; «ли» ц.(8)--,..(е)д 1
1аЬ^аа (W>0 lab°aa (W)o
(4.112)
fTlaa (0 / Л Л (R\t * ^ab^tufiaa ($)о (4.113)
^аа (0 qaa (0 — qba (0 — 2 fi fi ’ 1аЬ°аа°аа Vw)o (4.114)
от внешней нагрузки, вынужденных усилий и смещения связей!
баа (0)0 ap 6ao ’ (4.115)
Qap (0 = Qap , мар (0 . + lab ' (4.116)
QbP (0 — QbP Map(f) lab (4.H7)
В приведенных выше формулах: С^ар и ($>Р — значения попереч-
ных сил на опорах стержня а и &, определяемые как для статиче-
ски определимой балки; таа\ таь\ тьа\ тьь\ Мар и МьР — началь-
ные значения соответствующих реактивных усилий, определяемые
в предположении ф/1 = 0 и у^ = 1-
Для изгибаемых стержней, выполненных без предварительного на-
пряжения (например, неразрезные балки, ригели рам), допускается
принимать 8аа (0 = §ab (/) = $Ьа (0 = 8ЬЬ (0 = 0.
Значения реактивных усилий в закреплении i определяют по обыч-
ным правилам строительной механики, т. е. если Zk (/) — неизвестный
угол поворота, то:
rik (0) = Zmik (0); rlk (/) = Rip(t) ^^Mip(t).
Если же Zk (t) — неизвестное линейное перемещение, то
rik (9) = Zqik (0); rlk (/) = 2^ (/); Rlp (0 = ZQip (0.
Затем составляют систему канонических уравнений (4.61) или (4.62)
и вычисляют неизвестные перемещения. Полученные усилия исполь-
зуют для дальнейшего уточнения жесткостей и параметров фм и ум
на участках с трещинами при последующих итерациях.
Пример 19. Определить изгибающие моменты в железобетонной предварительно
напряженной раме при длительном действии внешней нагрузки, приложенной после
замыкания системы. Расчетная схема рамы, сечения элементов и их армирование по-
казаны на рис. 32. При заданной нагрузке трещины в элементах рамы отсутствуют.
Исходные данные: Е$ == 3,2 • 104 МПа; Еа = 2 • 10б МПа; п = 6,25; нагрузка
равномерно распределенная q = 32 кН/м приложена в возрасте бетона 28 сут; фе =
= 2,0; по табл. 2.1 находим у = 2,5.
Геометрические характеристики сечений:
стойки (сечение I—I) — Fq = 0,15 м2; у§ = уб = 0,2 м; h = 0,4 м; /б = 0,003125 м4;
г20 = 0,02083 м2; р = р,' = 0,00533; F„ = 0,16 м2; /п = 0,003525 м4; i = 0; Е61п =
= 11,28 • 104 кН • м2,
ригеля (сечение III — III) — F^ — 0,18 м2; уб = у'б = 0,25 м; h = 0,5 м; /б =
= 0,0054 м4; = 0.03 м2; р = 0,02222; р' = 0,00444; F„ = 0,21 м2; i = 0,0238 м;
/п = 0,007156 м4; Е61п = 22,9 • 104 кН • м2.
Для сечения II—II геометрические характеристики те же, что и для III—III,
необходимо лишь поменять местами р и р/.
При расчете рамы методом сил имеем два неизвестных, методом перемещений —
одно. Принимаем основную систему в виде, представленном на рис. 33, а, в качестве
неизвестного — угол поворота узла 1.
Начальные усилия в раме находим из расчета ее как упругой системы. Эпюры мо-
ментов от единичного перемещения Mi и от внешней нагрузки MD в основной си-
стеме приведены на рис. 33, б, в. *
Следовательно, гц = 56 400 + 68 700 = 125 100 кН • м,
/?! = —32я‘ 108 = — 400 кН . м.
о
Составляем каноническое уравнение метода перемещений:
125 lOOZj — 400 = 0,
откуда Zj = 3,197 • 10~3. Момент в узле 1 равен:
Mi = 68 700 • 3,197 • 10“3 — 400 = — 180,3 кН < м.
Эпюра моментов в раме по упругому расчету представлена на рис. 33, г.
Рис. 32. Конструкция и размеры (см)
железобетонной рамы.
Рис. 33. Усилия (кН • м) в железобе-
тонной раме:
а — основная система; б — эпюра моментов от единичного угла поворота; в — то же, от внеш-
ней нагрузки; г — эпюра начальных моментов; д — эпюра моментов при длительном дей-
ствии нагрузки (размеры в см).
[При длительном действии нагрузки по формулам (2.22) и (3.14), а также
по табл. 2.1 находим
для ригеля = 1,184; ум = 1,82; для стойки фМ = 1,515; ум « 2,186.
Реактивные усилия в основной системе при длительном действии нагрузки опреде-
ляем по формулам (4.64) — (4.66):
Гц (0 = 56 400 (1 - 44^-) + 68 700 (1 - = 41 320 кН • м;
\ 2,100/ \ 1,02 /
'и(в)о = -ТТЙГ + -тЙ2- = 63383 кН,м: Л1рЮ=Л1Р-----------400 кН-м.
Уравнение (4.61) принимает вид:
41 320 • 3,197 • 10~3 + [Zj (0 — 3,197 • 10”3] < 63 383 — 400 » 0,
откуда Zj (0 = 7,424 < 10—3.
, [ 1,184\
Следовательно, момент в узле 1: Мг (/) = 3,197 • 10 • 68 700 | 1 — -j I +
о 68 700
+ (7,424 — 3,197) . 10“3 ——-------400 = — 164,4 кН < м.
1,82
Эпюра текущих моментов приведена на рис. 33, д.
Пример 20. Определить усилия, возникающие в железобетонной раме в момент
приложения внешней нагрузки и при длительном ее действии. Нагрузка приложена
после замыкания системы.
Расчетная схема рамы представлена на рис. 34, а. Размеры поперечного сечения
стойки, а также опорных и пролетных сечений ригеля приняты такими же, как в при-
мере 8 (см. рис. 14). Элементы рамы выполнены без предварительного напряжения.
a i t г
Щ9
f67t0
Hi
Л,4
e
д
Рис. 34. К примеру 20:
— расчетная схема железобетонной рамы; б — основная система; в — эпюры мо-
ментов (кН • м) в раме от единичного угла поворота узла 1; г — тоже, от внешней на-
грузки; д — эпюры моментов в раме при расчете по упругой стадии; е — то же, при
кратковременном действии нагрузки после пятого приближения; ж — то же, при
длительном действии нагрузки после четвертого приближения (размеры в см).
Данные для расчета. Ригель рамы находится под длительным действием равномер-
но распределенной нагрузки q = 48 кН/м. Кроме того, по оси стойки от?расположен-
ных выше конструкций действует продольная сжимающая сила Р == 1800 кН. Осталь-
ные данные взяты из примера 8.
При расчете заданной рамы методом сил будем иметь три неизвестных, а методом
перемещений — одно. Принимаем основную систему в виде, показанном на рис. 34, б,
а в качестве неизвестного — угол поворота узла 1.
Сначала производим расчет рамы как упругой системы. Эпюры моментов от еди-
ничного перемещения Mi и от внешней нагрузки Л/р в основной системе приведены
на рис. 34, в, г.
ql*
Следовательно: «= 60 067 + 81 350 = 141 417 кН • м; =«=-------»
48 • 82
12
= — 256 кН • м.
Каноническое уравнение метода перемещений будет иметь вид:
256
141 417^ —256 = 0, откуда 2,=—-----------= 18,1025. 10-4.
141 417
По упругому расчету моменты в узлах равны:
Мй = 30 033 • 18,1025 • 10-4 = 54,37 кН • м; М'т = 60 067 • 18,1025 • Ю"4 .
= 108,74 кН • м; Л41рнг = 81 350 • 18,1025 • Ю"4 — 256 = — 108,74 кН . м|
= 40 675 • 18,1025 10~4 + 256 = 329,63 кН • м.
Продольные силы в стержнях рамы:
N„ = Р + ----- *,+ = 1800 + ДД-
*риг *
-1О8,74 + 329,63 = 1964>4 кН;
О
N = + = 54,37+ 108,74 = 27>2 кН.
риг Лст 6
Моменты образования трещин в стержнях:
в ригеле
Л4РИГ = Л^ригг® + П7тЯр = 27,2 - 0,1108 + 0,038405 « 2000 = 79,82 кН • м,
в стойке
Л^т = ,VCTr« + ]FT/?p = 1964,4 • 0,089 + 0,025235 • 2000 = 225,3 кН • м.
Таблица 4.10. Данные для вычисления перемещений ригеля
Номер участка / Моменты, кН-м, от внешней на- грузки в основной системе ж 8 °C •о X °C II *^ж fiQ мГХ ж 8 eqT ж X X 4 < ж X X С G. сч ж X X
СО 0 X u X со W X U св X >» О h 5 g 2 « и >» S X w w х g р Н CQ f , (J <0 «3 X С X
1 0 46,5 90 46,9401 2,0182 0,0651 22,0469 0,9531 —69,14
2 90 130,5 168 41,0807 4,2318 0,4557 58,7031 6,2969 1,06
3 168 202,5 234 35,6120 6,5755 1,2370 85,0469 15,9531 59,25
4 234 262,5 288 30,5339 8,2031 2,4089 102,2031 28,7969 105,44
5 288 310,5 330 25,8464 10,0911 3,9714 111,2969 43,7031 139,64
6 330 246,5 360 21,5495 11,2630 5,9245 113,4531 59,5469 161,83
7 360 370,5 378 17,6432 12,0443 8,2682 109,7969 75,2031 172,03
8 378 282,5 384 14,1276 12,4349 11,0026 101,4531 89,5469 170,22
9 384 282,5 378 11,0026 12,4349 14,1276 89,5469 101,4531 156,41
10 378 370,5 360 8,2682 12,0443 17,6432 75,2031 109,7969 130,61
11 360 346,5 330 5,9245 11,2630 21,5495 59,5469 113,4531 92,80
12 330 310,5 288 3,9714 10,0911 25,8464 43,7031 111,2969 43,00
13 288 262,5 234 2,4089 8,2031 30,5339 28,7969 102,2031 — 18,81
14 234 202,5 168 1,2370 6,5755 35,6120 15,9531 85,0469 —92,62
15 168 130,5 90 0,4557 4,2318 41,0807 6,2969 58,7031 — 178,42
16 90 46,5 0 0,0651 2,0182 46,9401 0,9531 22,0469 —276,23
Следовательно, в ригеле от внешней нагрузки образуются трещины, в стойке —
нет. Разбиваем пролет ригеля на 16 одинаковых участков длиной 0,5 м. Для каждого
участка, используя правило Верещагина, вычисляем интегралы Мора (табл. 4.10).
Моменты в середине каждого участка, полученные по упругому расчету, принимаем
в качестве первого приближения — см. последний столбец табл. 4.10. Используя ве-
личины этих моментов, а также данные табл. 4.2, находим жесткости ригеля на
каждом участке для второго приближения. Зная жесткости на участках, по данным
Таблица 4.11. Результаты расчета ригеля при кратковременном, действии
нагрузки
Номер участ- ка / в., ю—*. кНм* $11/* 10е’ l/кН -м в12/.10‘- » 621/ * Юв’ 1/кН-м $22/ Юв’ 1 /кН ♦ м Л1Р/10*. Дгр/Ю*. Мр кН-м
Первое приближение (расчет по упругой стадии) — см. последний столбец
табл. 4.10
Второе приближение
1 16,27 2,885 0,124 0,004 1,355 0,059 -132,82
2 16,27 2,525 0,260 0,028 3,608 0,387 -55,93
3 16,27 2,189 0,404 0,076 5,227 0,981 8,96
4 7,485 4,080 1,096 0,322 13,655 3,847 61,84
5 7,256 3,562 1,391 0,547 15,338 6,023 102,73
6 7,148 3,015 1,576 0,829 15,872 8,331 131,62
7 7,106 2,483 1,695 1,164 15,452 10,583 148,51
8 7,113 1,986 1,748 1,547 14,263 12,589 153,39
9 7,174 1,534 1,733 1,969 12,482 14,142 146,28
10 7,311 1,131 1,648 2,413 10,287 15,019 127,17
11 7,597 0,780 1,483 2,837 7,839 14,935 96,05
12 16,27 0,244 0,620 1,589 2,686 6,841 52,94
13 16,27 0,148 0,504 1,877 1,770 6,282 —2,17
14 7,599 0,163 0,865 4,687 2,100 11,193 -69,29
15 7,079 0,064 0,598 5.803 0,890 8,292 — 148,40
16 6,812 0,010 0,296 6,891 0,140 3,237 —239,51
Третье приближение
1 7,297 6,433 0,277 0,009 3,021 0,131 —113,46
2 16,27 2,525 0,260 0,028 3,608 0,387 -38,84
3 16,27 2,189 0,404 0,076 5,227 0,981 23,77
4 16,27 1,877 0,504 0,148 6,282 1,770 74,39
5 7,507 3,443 1,344 0,529 14,825 5,822 113,00
6 7,305 2,950 1,542 0,811 15,532 8,152 139,62
7 7,212 2,446 1,670 1,146 15,224 10,427 154,23
8 7,188 1,965 1,730 1,531 14,114 12,458 156,85
9 7,223 1,523 1,722 1,956 12,397 14,046 147,46
10 7,331 1,128 1,643 2,407 10,258 14,977 126,08
11 7,566 0,783 1,489 2,848 7,871 14,996 92,69
12 16,27 0,244 0,620 1,589 2,686 6,841 47,31
13 16,27 0,148 0,504 1,877 1,770 6,282 —10,08
14 16,27 0,076 0,404 2,189 0,981 5,225 —79,46
16 7,213 0,063 0,587 5,696 0,873 8,139 — 160,85
16 6,893 0,009 0,293 6,810 0,138 3,198 —254,23
Четьертсе приближение
1 7,422 6,325 0,272 0,009 2,971 0,128 — 114,24
2 16,27 2,525 0,260 0,028 3,608 0,387 —39,52
3 16,27 2,189 0,404 0,076 5,227 0,981 23,19
4 16,27 1,877 0,504 0,148 6,282 1,770 73,91
5 7,425 3,481 1,359 0,535 14,989 5,886 112,63
6 7,256 2,970 1,552 0,817 15,635 8,206 139,35
7 7,184 2,456 1,677 1,151 15,284 10,468 154,06
8 7,171 1,970 1,734 1,534 14,148 12,487 156,78
9 7,217 1,525 1,723 1,958 12,407 14,057 147 50
10 7,338 1,127 1,641 2,404 10,249 14,963 126,21
И 7,598 0,780 1,482 2,836 7,837 14,932 92.93
12 16,27 0,244 0,620 1,589 2,686 6,841 47,65
13 16,27 0,148 0,504 1,877 1,770 6,282 —9,64
14 16,27 0,076 0,404 2,189 0,981 5,227 —78,92
15 7,152 0.064 0,592 5,744 0,880 8,208 — 160,20
16 6.860 0,010 0,294 6,843 0,139 3,214 —253,48
табл. 4.10 определяем элементы перемещений 6щ; 612у = 621/«; 622у, Д1ру и Д2ру. Пе-
ремещения на концах ригеля находим как суммы соответствующих перемещений
(табл. 4.11):
6xi = 2«н/ = 26,799 . 10-6 1/кН • м;
612 = 621 «. 2612/ = 2621у = 16,041 • 10-6 1/кН • м;
622 = S622/ = 32,583 • IO"6 * 1/кН • м;
Д1р = 2Д|р/ = 122,964 • 10“4;
Д2р = 2Д2р/= 122,741 • 10-4.
По формуле (4.106) определяем
Z)12 (26,799 • 32,583 — 16,041«) • (10~12 = 6,1588 • 10~10 * 1/(кН • м)».
Далее по формулам (4.85) — (4.86) и (4.102) — (4.103) находим для ригеля:
32,583 • IO”6 „ ОЛС „
тц —----------------гт- = 52 905 кН • м;
1Х 6,1588 • 10-10 21
16’041 • 10~' -26046 кН • м
6,1588 • Ю-10
(122,741 • 16,041 — 122,964 • 32,583) • 10~10
6,1588 • Ю-10
(122,741 • 26,799— 122,964 16,041) • 1О~10
—330,85 кН • м;
= 213,82 кН • м.
6,1588 Ю-10
Учитывая, что для стойки Mip = 0 и (при отсутствии трещин) тп = 60 067 кН • я
определяем коэффициенты канонического уравнения во втором приближении:
rn = 60 067+ 52 905- 112 972 кН - м; Rip = М[р = — 330,85 кН - м.
Следовательно, Zt = • ~ 29,286 • 10 4.
Моменты в узлах рамы:
MQ = 30 033 • 29,286 • 10~4 = 87,95 кН • м; = 60 067 • 29,286 • 10-4 —
- 175,91 кН • м; A4fHr - 52 905 • 29,286 10“4 — 330,85 = — 175,91 кН • м;
Л12 = 26046 • 29,286 • 10“4 + 213,82 = 290,10 кН • м.
Моменты в ригеле (для середины каждого участка) во втором приближении приведе-
ны в табл. 4.11.
В третьем приближении:
26п/ = 27,802 • 10“8 * 1/кН • м; 2612/ = 2«21/ = 14,993 • 10“® 1/кН • м;
1622/ -= 29,650 • 10“6 1/кН м; 2Д ipf = 114,807 • 10“4; 2Д2р/ - 113,832 • 10-4;
- 5,9954 . 1О-10 1/(кН • м)2; тх1 - 49 455 кН • м; т21 = 25 008 кН • м;
Гц - 109 522 кН • м; Rlp = М1р = — 283,11 кН • м; М2р = 240,76 кН . м;
2Х - 25,850 • 10~4; Мл = 77,63 кН • м; Л4Х = 155,27 кН . м; М2 = 305,41 кН • м.
В четвертом приближении:
26п/ = 27,764 • 10~6 1/кН • м; 2в12/ = 262|/ - 15,023 . 10~6 1/кН • м;
2б22/ = 29,737 • 10-’ 1/кН • м; 2Д1р/ = 115,092 • 10-4; 2Д2р/ -
= 114,037 • 10~4; Dit = 5,9993 • Ю-10 1/(кН • м)2; ти = 49 569 кН • щ
m2i =*= 25 043 кН • м; = 109 636 кН • м; Rip = М[р = — 284,92 кН • м;
М2р = 239,55 кН . м; Zf = 25,988 • 10-4; Af0 = 78,05 кН -м;
М, = 156,10 кН • м; М2 = 304,63 кН м.
Ограничиваемся четвертым приближением, так как в дальнейшем уточнении нет
необходимости. Об этом свидетельствует проверочный расчет в пятом приближении
(здесь не приводится), в результате которого получено: Л)о = 78,03 кН • м;
Mt = 156,07; Ms = 304,67 кН • м.
Следует отметить, что на процесс сходимости существенное влияние оказывает
выбор количества участков, на которые разбивается стержень по длине. В данном
примере пролет ригеля разбит на 16 участков, и для определения начальных усилий
оказалось достаточно четырех приближений. Если же пролет ригеля разбит на 8 оди-
Таблица 4.12. Моменты в узлах рамы при количестве участков риееля т х= 8
Номер приближения Моменты в узлах, кН-м
Л*о | Mi м2
1 54,37 108,74 329,63
2 87,55 175,10 287,16
3 76,52 153,04 298,05
4 84,02 168,05 291,42
5 76,70 153,39 297,85
Среднее 4 и б 80,36 160,72 294,64
6 83,94 167,87 291,48
Окончательные при
м«= 16 78,03 156,07 304,67
наковых участков длиной 1 м, то трудоемкость вычислений на каждой итерации со-
кратится вдвое, однако количество приближений возрастает в несколько раз.
В табл. 4.12 приведены результаты расчета рамы при таком назначении участков.
После пятого приближения стало очевидным, что итерационный процесс является
медленно сходящимся — результаты вычислений в третьем и пятом приближениях
отличаются незначительно. С целью ускорения процесса сходимости жесткости на
участках ригеля были определены по моментам, средним из двух последних прибли-
жений — четвертого и пятого. Эта попытка ускорить сходимость не увенчалась успе-
хом — результаты расчета в шестом приближении почти совпадают с результатами
четвертого приближения. Для сравнения в последней строке табл. 4.12 приведены
моменты в узлах рамы, вычисленные после пятого приближения при т = 16.
При длительном действии нагрузки расчет производим аналогичным образом. В ка-
честве первого приближения принимаем результаты окончательного расчета при крат-
ковременном действии нагрузки. По величинам этих усилий и по данным табл. 4.2
находим значения и для каждого участка. Затем, используя данные табл. 4.10
определяем элементы перемещений во времени (табл. 4.13) для второго приближения.
Суммируя соответствующие элементы перемещений, находим по формулам (4.75) —
(4.82) для ригеля:
614 (0)J = 46,842 • 10-6 1/кН • м; 6П (/) = 2,350 • 10-6 1/кН • м;
«12 (9)' = 621 (0)J = 24,740 • 10—6 1/кН • м; 612 (t) 621 (0= 0,900 • 10-6 1/кН • м;
622 (0)$ = 48,609 • IO"6 1/кН • м; 622 (0 = 1,966 • 10-6 1/кН • м;
Д1р (0 = 196,428 • 10~4; Д2р (0 - 195,377 • 10“4,
а по формулам (4.106), (4.85) — (4.87), (4.90) — (4.93), (4.102) и (4.103) при тц —
и 49569 кН • м; /п12 = т81 = 25043 кН«м; т2а » 46279 кН • м
вычисляем: D12 (0) = (46,842 • 48,609 — 24,740») • 10~,2= 16,6488 X
X Ю~10 1/(кН • м)2; тп (0) = 48,609 ' 10 - 29 197 кН • м;
1 16,6488 • IO"10
Таблица 4.13. Результаты распета ригеля при длительном действии нагрузки
Номер участка / в., ю—4, кН-м» дп/Т/И-Юв, 1/кН«м ®12/V^10« = 1/кН *м 1/кН-м
Первое приближение (кратковременное действие
Второе
1 7,416 0,590 1,590 10,064 0,433 0,014
2 16,27 1,353 2,02 5,100 0,525 0,057
3 16.27 1,353 2,02 4,421 0,816 0,154
4 16,27 1,353 2,02 3,790 1,019 0,299
5 7,428 0,592 1,592 5,540 2,163 0,851
6 7,258 0,559 1,559 4,629 2,419 1,273
7 7,185 0,545 1,545 3,794 2,590 1,778
8 7,171 0,542 1,542 3,038 2,674 2,366
9 7,217 0,551 1,551 2,365 2,672 3,036
10 7,337 0,575 1,575 1,775 2,586 3,787
11 7,595 0,625 1,625 1,268 2,410 4,611
12 16,27 1,353 2,02 0,493 1,253 3,209
13 16,27 1,353 2,02 0,299 1,019 3,791
14 16,27 1,353 2,02 0,154 0,816 4,421
15 7,155 0,539 1,539 0,098 0,910 8,837
16 6,861 0,480 1,480 0,014 0,435 10,125
Третье
1 7,680 0,641 1,641 10,032 0,413 0,014
2 16,27 1,353 2,02 5,100 0,525 0,057
3 16,27 1,353 2,02 4,421 0,816 0,154
4 7,592 0,624 1,624 6,533 1,755 0,515
5 7,323 0,572 1,572 5,548 2,166 0,852
6 7,195 0,547 1,547 4,632 2,421 1,274
7 7,142 0,536 1,536 3,795 2,591 1,778
8 7,144 0,537 1,537 3,039 2,675 2,366
9 7,205 0,549 1,549 2,365 2,673 3,037
10 7,342 0,576 1,576 1,774 2,585 3,786
11 7,638 0,633 1,633 1,267 2,408 4,607
12 16,27 1 353 2,02 0,493 1,253 3,209
13 16,27 1,353 2,02 0,299 1,019 3,791
14 7,593 0,625 1,625 0,265 1,407 7,619
15 7,082 0,524 1,524 0,098 0,911 8,842
16 6,815 0,471 1.471 0,014 0,436 10,131
mi2 ($) = /п21 (0) = 24 *————[д’ = 14 860 кН • м;
12 21 16,6488 • Ю”10
т22 (О) =
46,842 - 10~6 _
16,6488 • 1О~10 Я
28 135 кН • м;
mu (/) = 29 197 (25 043 • 0,900 — 49 569 • 2,350) • 10-6 + 14 860 X
X (49 569 • 0,900 — 25 043 • 1,966) • 10-6 = — 2811,7 кН • м;
та1 (0 = 28 135 (49 569 • 0,900 — 25 043 • 1,966) • 10~в + 14 860 X
Л11/ <* +Ф/* — — V/S . 10Ф> l/кН *м в]2/ (• + ф/* — 10»- = в21/ 0 + Ф/*— - V^) • 10», 1/кН«м М ^22/ 0 + Ф/ — — v") • 10*. 1/кН'М Л1р/<1 + + ф/1) • 10* Л2р/« + + Ф/*)Х Х104 м, (0. кН-м
нагрузки)—см. четвертое приближение в табл. 4.11
приближение
0,0 0,0 0,0 4,727 0,204 —84,79
0,841 0,087 0,009 8,490 0,911 —13,74
0,729 0,135 0,025 12,300 2,307 45,92
0,625 0,168 0,049 14,781 4,165 93,27
0,0 0,0 0,0 23,854 9,367 128,62
0,0 0,0 0,0 24,370 12,791 151,98
0.0 0,0 0,0 23,611 16,172 163,33
0,0 0,0 0,0 21,815 19,255 162,68
0,0 0,0 0,0 19,244 21,803 150,03
0,0 0,0 0,0 16,143 23,569 125,39
0,0 0,0 0,0 12,740 24,273 88,74
0,081 0,207 0,529 6,320 16,096 40,09
0,049 0,168 0,625 4,165 14,781 —20,56
0,025 0,135 0,729 2.307 12,300 —93,20
0,0 0,0 0,0 1,355 12,627 — 177.85
0.0 0,0 0,0 0,206 4,756 —274,50
приближение
0,0 0,0 0,0 4,712 0,204 —87,42
0,841 0,087 0,009 8,490 0,911 -15,28
0,729 0,135 0,025 12,300 2,307 44,85
0,0 0,0 0,0 21,867 6,161 92,99
0,0 0,0 0,0 23,888 9,380 129,13
0,0 0,0 0,0 24,387 12,800 153,26
0,0 0,0 0,0 23,616 16,175 165,40
0,0 0,0 0,0 21,820 19,260 165,53
0,0 0,0 0,0 19,247 21,806 153,67
0,0 0,0 0,0 16,138 23,561 129,81
0,0 0,0 0,0 12,731 24,256 93,94
0,081 0,207 0,529 6,320 16,096 46,08
0,049 0,168 0,625 4,165 14,781 —13,79
0,0 0,0 0,0 3,413 18,192 —85,65
0,0 0,0 0,0 1,355 12,636 —169,52
0,0 0,0 0,0 0.206 4,759 —265,38
X (25 043 • 0,900 — 49 569 • 2,350) • 10~6 = — 1526,1 кН • м;
Mip (0 = 14 860 • 195,377 • 10-4 — 29 197 • 196,428 • 10-4 + 284,92 X
X (29 197 • 2,350 — 14 860 • 0,900) • 10~6 + 239,55 (29 197.0,900 —
— 14 860 • 1,966) • 10-6 = — 268,1 кН • м;
М2р (0 = 28 135 . 195,377 • 10-4 — 14 860 • 196,428 • 10“4 — 284,92 и
X (28 135 • 0,900 — 14 860 • 2,350) • 10“6 — 239,55 (28 135 . 1,966 —
— 14 860 • 0,900) • 10-6 = 250,5 кН . м.
Для стойки имеем:
(®) - у*--4W"= 14 370 кН •м:
т11<в) = -^ = ^§Г = 28 740 кН,м:
moi W = —0 + ф*1 ~ vM) = - ° + 11445 ~ 2>09) = “ 6101 кН - м’
«И (0 -----(1 + Vм - Vм) = - (1 + 1.445 - 2,09) =-10 203 кН . м.
Таким образом, коэффициенты канонического уравнения будут иметь вид:
Гц (в) = 29 197 + 28 740 = 57 937 кН • м; гп (0 = —2811,7 — 10 203 =
= — 13 015 кН . м; Rlp (0 = М1р (0 = — 268,1 кН . м.
Каноническое уравнение метода перемещений построено на основе (4.63):
— 25,988 • 10~4 • 13015,0 + Zx (0 • 57 937 — 268,1 = 0,
откуда Zj (0 = 52,11 • 10~4.
Узловые моменты в раме во втором приближении:
Л10 (0 = 14 370 . 52,11 • 10~4 — 5101 . 25,988.10~4 = 61,63 кН . м;
М" (0 = 28 740 «52,11. 10~4 — 10 203 • 25,988 . 10-4 = 123,25 кН . м;
Л4?иг (0 = 29 197 • 52,11 • 10~4 —2811,7 • 25,988 • 10~4 — 268,1 = — 123,26 кН • м;
М2 (0 = 14 860 • 52,11 • 10-4 — 1526,1 • 25,988 . 10~4 + 250,5 = 323,97 кН • м.
Моменты в середине каждого участка ригеля по второму приближению приведены
в табл. 4.13.
Для третьего приближения:
(в)' = 49,674 . 10“6 1/кН • м; 6ц (0 = 1,700 < 1(Г6 1/кН . м;
612 (6)о = «21 (в)о = 26-070 ' 1°-6 1/кН * м; 6ia (0 = 6ai (0 = 0,597 . 10~6 1/кН . м;
«22 (в)о = 52,033 * 10-6 1/кН . м; 622 (0 = 1,188 • 10-в 1/кН . м;
Л1р (0 = 204,655 • 10~4; Д2р (0 = 203,283 • 10“4; Dia (6) =
= 19,0504 . Ю-10 1/(кН • м)2; (0) = 27 313 кН . м; mia (0) = mal (0) =
= 13 685 кН • м; т22 (0) = 26 075 кН • м; Шц (0 = — 1897,7 кН • м;
m2i (0 = — 955,5 кН • м; М1р (0 = — 269,88 кН • м; М2р (0 = 246,73 кН • м;
(0) = 56 053 кН • м; (0 = — 12 100 кН < м; Rlp (0 = М1р (0 =
= — 269,88 кН • м; Zt (t) = 53,756 . 10"*4; Л40 (0 = 63,99 кН - м;
Мг (0 = 127,99 кН • м; М2 (0 =- 317,81 кН - м.
Ограничиваемся третьим приближением, так как в дальнейшем уточнении нет не-
обходимости — проверочный расчет (здесь не приводится) показал, что в четвертом
приближении получим Л40 (0 63,99 кН • м; (0 = 127,97; Л4а (0 = 317,89 кН X
X м.
Эпюры моментов в раме при расчете ее по упругой стадии, а также при кратковре-
менном и длительном действии нагрузок показаны на рис. 34, dt et ж.
Глава 5.
К РЕШЕНИЮ БОЛЕЕ ОБЩИХ ЗАДАЧ ОБЫЧНОГО
И ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
| 5.1. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ С ОДНОЙ ОСЬЮ
СИММЕТРИИ ПРИ МНОГОРЯДНОМ АРМИРОВАНИИ
В главе 2 были рассмотрены вопросы расчета напряжений в нормаль-
ных сечениях железобетонного стержня с двойной арматурой, сосредо-
точенной у сжатой и растянутой граней. Однако нередки случаи, ког-
да арматура расположена в нескольких ярусах. Подобные случаи
встречаются при проектировании пролетных строений мостов, тяжело
нагруженных конструкций промышленных зданий, электростанций,
гидротехнических сооружений.
В сечении с арматурой, расположенной в нескольких ярусах, внут-
ренняя статическая неопределимость возрастает пропорционально ко-
личеству ярусов арматуры. В связи с этим решение системы несколь-
ких уравнений совместности деформаций бетона и арматуры приво-
дит к весьма громоздким выражениям.
Для упрощения расчета обычно принимают нижнюю и верхнюю ар-
матуры условно сосредоточенными в их центрах тяжести, т. е. сводят
задачу к сечению с двумя условными ярусами арматуры. Однако, во
МНОГИХ случаях такое решение может дать существенно заниженные
величины напряжений для крайних по отношению к граням ярусов ар-
матуры. В связи с этим возможен способ определения напряжений
во всех ярусах' арматуры, основанный на гипотезе плоских сечений
и линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Этот
способ сводится к определению напряжений в двух условных ярусах
арматуры, а затем к аналитическому нахождению напряжений в дей-
ствительных ярусах арматуры.
Таким образом, задача сводится по существу к определению напря-
жений в сечении с двойной условной арматурой.
Напряжения от усадки и ползучести бетона, а также величины по-
терь предварительного напряжения в сечении с многоярусным арми-
рованием можно определять по уже известным формулам, если на ос-
новании простейших геометрических зависимостей напряжения в лю-
бом ярусе арматуры (при условии приведения всей арматуры к одному
модулю упругости) выразить через напряжения в двух условных
(фиктивных) ярусах арматуры.
К нижней арматуре будем относить все ярусы, расположенные ни-
же центра тяжести бетонного сечения, к верхней — ярусы, располо-
женные выше этой точки.
Определим местоположение центров тяжести сечений нижней и верх-
ней арматуры, т. е. местоположение условных ярусов арматуры
Fa - SFaZ (5.1) и F'a - S F*. (5.2)
Расстояние от центра тяжести бетонного сечения до центра тяжести
сечения всей нижней арматуры определяется по формуле
У а =
^^ai^aZ
Fa
(5-3)
в до центра тяжести сечения всей верхней арматуры — по формуле
У\ =
(5-4)
Напряжения в условных ярусах арматуры от усадки и ползучести
бетона, а также потери предварительного напряжения в указанных
ярусах определяются по формулам гл. 2 с учетом замены
F, на FA; F, на Fk; р. на рА = FA/F6; р.' на pk = Fk/F6;
Уб на уА', Ув на у а и h на ЛА = у а + Уа-
После того, как определены напряжения в условных ярусах арма-
туры, нетрудно найти напряжения и в действительных ярусах.
Так, если известны напряжения от ползучести бетона в условных
ярусах арматуры оАп и <тАп, напряжения в любом действительном яру-
се i будут равны:
OanZ ™ — (У A i У al) Н-— (УЛ “F Уа{), (5.5)
где yai — расстояние от центра тяжести бетонного сечения до центра
тяжести сечения i-ro яруса арматуры.
Верхние знаки в формуле (5.5) принимаются, если z-й ярус располо-
жен ниже центра тяжести бетонного сечения, нижние — если выше.
Деформации элементов с многоярусным армированием могут быть
найдены по формулам § 3.1 как для элементов с двойной арматурой.
Пример 21. Определить напряженное состояние предварительно напряженной
железобетонной балки на участке возможного образования наклонных трещин после
Таблица 5.1. Напряжения в балке с многоярусным армированием
Рассматриваемые волокна по высоте сечения балки Нижняя грань Ярус
Ai А2
1. Расстояние от нижней грани, м 0,0 0,05 0,10
2. Fal, * — 0.0012 0,0012
3. уя1, м 0,5975 0,5475 0,4975
4. ’az. И 0,5634 0,5134 0,4634
5. об/, МПа 16,30 15,62 14,94
6. aaZ, МПа — —375,0 -380,5
7. aayZ, МПа — 32,37 33,47
8. agy, МПа —1,437 — 1,382 —1,327
9. aanZ, МПа — 139,37 134,53
10. а^п, МПа —5,837 —5,534 —5,230
11. oaZ (/), МПа — —203,3 —212,5
12. (/). МПа 9,026 8,704 8,384
13. 2оап/, МПа — 227,02 220,41
>4- о0,-2аапР МПа — —273,0 —279,6
Рис. 35. Поперечное сечение
балки с многоярусным располо-
жением арматуры (размеры в см).
проявления деформаций усадки и ползучести бетона; вычислить потери преднапря-
жения в арматуре; найти равнодействующую усилий обжатия с учетом этих потерь
и ее эксцентриситет. Сечение балки показано на рис. 35.
Данные для расчета: бетон М500. Предварительно напряженная арматура из
стержней класса A-IV. Натяжение арматуры предусмотрено на упоры, обжатие —
при достижении бетоном полной прочности. С учетом первых потерь, проявивших-
ся до обжатия бетона, предварительное напряжение арматуры в любом ярусе со-
ставляет о0/ = 500 МПа; F6 = 0,3 м2; у6к = 0,5975 м; уб к = 0,4025 м; 1^ —
= 0,03835 м4; г2б = 0,1278 м2; Еб = 25000 МПа;
Еа = 200 000 МПа; п = 8.
Площадь сечения арматуры каждого яруса и
его положение по высоте балки даны в табл. 5.1.
Fn = 0,348 м2; упк = 0,5634 м;
упк = 0,4366 м; i = 0,0341 м;
/п = 0,046943 м4; = 0,1349 м2;
«у (/) = 30 • 10-5; <р, = 2,0; = 28 сут;
у = 2,5.
Равнодействующая сил предварительного об-
жатия после проявления первых потерь N =
= 3,0 МН, ее эксцентриситет относительно цент-
ра тяжести приведенного сечения е = 0,2134 м.
К нижней арматуре отнесем ярусы Ах — Ав; к верхней — А7—Ае. Следовательно,
по формулам (5.1) — (5.2) будем иметь (см. табл. 5.1):
Fa = 0,0012 + 0,0012 + 0,0009 + 0,0005 + 0,0003 + 0,0003 = 0,0044 м2;
F'a == 0,0003 + 0,0003 + 0,001 = 0,0016 ма.
арматуры Верхняя грань
Аз Л. 1 Ав Ае А, | А. | А,
0,15 0,0009 0,20 0,0005 0,30 0,0003 0,40 0,0003 0,85 0,0003 0,90 0,0003 0,95 0,0010 1,00
0,4475 0,3975 0,2975 0,1975 0,2525 0,3025 0,3525 0,4025
0,4134 0,3634 0,2634 0,1634 0,2866 0,3366 0,3866 0,4366
14,26 13,58 12,21 10,85 4,71 4,03 3,35 2,67
—385,9 —391,4 —402,3 —413,2 —462,3 —467,8 —473,2 —
34,57 35,67 37,46 40,07 49,97 51,07 52,17 —
—1,272 —1,217 —1,107 —0,997 —0,501 —0,446 —0,391 —0,336
129,69 124,85 115,16 105,48 61,92 57,08 52,24 —
-4,919 —4,622 —4,014 —3,407 —0,672 —0,369 -0,065 0,239
-221,6 —230,1 —249,7 —267,7 —350,4 —359,7 —368,8 —
8,069 7,741 7,089 6,446 3,537 3,215 2,894 2,573
213,80 207,19 193,89 183,76 121,28 114,67 108,07 —
-286,2 —292,8 —306,1 —316,2 —378,7 —385,3 —391,9 —
Расстояния от центра тяжести бетонного сечения до нижнего и верхнего условных
ярусов арматуры:
уА = O‘Q44 (0,0012 • 0,5475 + 0,0012-0,4975 + 0,0009 - 0,4475 +
+ 0,0005 • 0,3975 + 0,0003 • 0,2975 + 0,0003 • 0,1975) = 0,4555 м;
у'А = -г-г-77- (0,0003 • 0,2525 + 0,0003 • 0,3025 + 0,001 • 0,3525) = 0,3244 м.
А 0,0016
Расстояния от центра тяжести приведенного сечения до нижнего и верхнего услов-
ных ярусов арматуры:
1. =-----5--(0,0012.0,5134 + 0,0012 - 0,4634 + 0,0009 • 0,4134 +
А 0,0044
+ 0,0005 • 0,3634 + 0,0003 • 0,2634 + 0,0003 • 0,1634) = 0,4214 м;
А = 1-— (0,0003 • 0,2866 + 0,0003 • 0,3366 + 0,001 • 0,3866) = 0,3585 м;
А 0,0016
0 0044
hA = уА + уА = 0,4555 + 0,3244 = 0,7799 м; ,лА = --= 0,01467;
Иа = -°^-= 0,00533.
v
Напряжения в бетоне при обжатии на уровне нижнего и верхнего условных яру*
сов арматуры:
_ 3,0
Q6A“" 0,348
3,0 • 0,2134
0,046943
0,4214 = 14,37 МПа;
3,0
абА “ 0,348
3,0 • 0,2134
0,046943
0,3585 = 3,73 МПа.
По формулам (2.18) — (2.22) находим:
= 0,127827 + 8 • 2,5 - 0,00533 (0,127827 + 0.32442) = 0,152687 м2;
а, = 8 • 2,5 • 0,00533 (0,127827 — 0,4555 • 0,3244) = — 0,002127 м2;
а3 = 0,127827 + 8 • 2,5 • 0,01467 (0,127827 + 0.45552) = 0,226183 м2;
а4 = 8 • 2,5 • 0,01467 (0,127827 — 0,4555 • 0,3244) = 0,005848 м2;
аъ = 0,127827 [1 + 8 • 2,5 (0,01467 + 0,00533)] + 8-2,5 (0,01467 • 0.45552 +
+ 0,00533 • 0.32442 + 8 - 2,5 • 0,01467 • 0,00533 • 0.77992) = 0,270075 м2.
Напряжения в условных ярусах арматуры от усадки бетона находим по формулам
(2.15) и (2.16):
оАу = 30 - 10 - - 2 - 10* А-5^00212^ =
аАу = 30 - IO”5 - 2 - - = 51,55 МПа.
Напряжения в арматуре яруса находим по формуле (5.5):
0,3244 + 0,5475 0,4555 - 0,5475
°aly = 34’39 -0+799--+ 51 (55 --0 +799---- 32’37
В остальных ярусах арматуры напряжения от усадки находим аналогич-
ным образом. Результаты вычислений приведены в табл. 5.1 (строка 8). Там же пред-
ставлены и напряжения в бетоне от усадки, вычисленные по формуле (2.17) — стро-
ка 9. Например, краевые напряжения равны:
°бук = -34,39 • 0,01467 /1 +'°’40Д27827975 )-51,55 ’ 0,00533 Р “
0,3244 • 0,5975 \ , ,о, ы„
------0,127827—)^~ 1,437 МПа;
абук — 34,39 • 0,01467 (1 0,127827 )
— 51,55.0,00533 (1 + 0,3 n4f9’7oot°25 ) = ~ °-336 МПа-
I 0,127о27 /
Напряжения^ условных ярусах арматуры от ползучести бетона находим по фор-
мулам (2.43) и (2.44):
а п = 8 (14,37 • 0,152687 + 3,73 0,002127) ——— = 130,46 МПа;
ап ’ 0,270075
, 2,0
а.п = 8 (3,73 • 0,226183 + 14,37 • 0,005848)------= 54,96 МПа.
ап ’ 0,270075
Напряжения в действительных ярусах арматуры вычисляем по формуле (5.5).
Например, в ярусе Ах:
1Qn .„ 0,3244 + 0,5475 । гл 0,4555-0,5475 1QQ
"ап. = ,30-46-----OJ799----'+ 54,96------0J799-------- 139,37 МПа'
Вычисленные аналогичным образом напряжения в остальных ярусах арматуры
от ползучести бетона приведены в табл. 5.1 (строка 10).
Напряжения в бетоне на уровне краевых волокон определим по формуле (2.45):
г, ППМА7/1 । 0,4555 * 0,5975 \
абпк = - 130,46 • 0,01467 (1 +-----------------) -
— 54,96 • 0,00533 (1 — -°’3nVQ72;79751 = — 5,837 МПа;
I 0,12782/ j
,ОЛ 4С 0,4555 • 0,4025 \
"б™ = - 130,46 • 0,01467 (---------------j -
-54,96 • 0,00533 (1 +-°’3а4| 27яоУ25-) = + °-239 МПа.
I U,Iz/oZz /
На уровне соответствующих ярусов арматуры вычисленные напряжения в бетоне
от ползучести приведены в табл. 5.1 (строка 11). Полные напряжения в арматуре и
в бетоне к моменту затухания процессов усадки и ползучести помещены там же
(строки 12 и 13).
Для определения потерь преднапряжения от усадки и ползучести бетона вычис-
ляем коэффициенты я6—а9 по формулам (2.74) — (2.77):
ав = 0,127827 + 8 • 0,01467 (0,127827 + 0,45552) + 8 • 2,5 * 0,00533 (0,127827 +
+ 0,32442 + 8 • 0,01467 • 0,77992) = 0,199633 м2;
а7 = 8 • 0,00533 (2,5 — 1) (0,127827 — 0,4555 * 0,3244) = — 0,001275 м2;
а8 = 0,127827 + 8 • 0,00533 (0,127827 + 0,32442) +
+ 8 • 2,5 * 0,01467 (0,127827 + 0,45552 + 8 • 0,00533 • 0,77992) = 0,243753 м2;
а9 = 8 • 0,01467 (2,5 — 1) (0,127827 — 0,4555 * 0,3244) = — 0,00351 м2.
По формулам (2.72) — (2.73) находим потери преднапряжения в условных ярусах
арматуры:
2оАп = [30 * 10”6 * 2 • 10ь (0,199633 + 0,001275) +
4-8-2 (14,37 • 0,199633 4- 3,73 • 0,001275)1 -?----= 214,86 МПа;
" 0,270075
SoАп = [30 • 10“® . 2 . 10» (0,243753 4- 0,00351) 4-
4-8-2 (3,73 • 0,243753 4- 14,37 • 0,00351)]--!----=111,78 МПа.
0,270075
Вычисленные по формуле (5.5) потери преднапряжения в каждом ярусе арматуры
приведены в табл. 5.1 (строка 14). Там же (строка 15) содержатся сведения о предва-
рительном напряжении каждого яруса арматуры с учетом вторых потерь.
Равнодействующую усилий предварительного обжатия с учетом потерь напряже-
ний от усадки и ползучести бетона находим по формуле (2.69):
/V (0 = (500 — 214,86) * 0,0044 + (500— 111,78) • 0,0016 = 1,876 МН.
Эксцентриситет этой силы:
е (/) = ---1 - [(500 — 214,86) 0,0014-0,4214 — (500 — 111,78) 0,0016 * 0,3585] =
1,876
«= 0,1631 м.
§ 5.2. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ
(НАПОРНЫЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫЕ ТРУБЫ)
Ниже приведен приближенный способ оценки напряженного состоя-
ния стержня кольцевого сечения, возникающего в результате усадки
бетона, радиального предварительного обжатия и внутреннего дав-
ления.
Напряженное состояние определяется в рамках плоской задачи.
Это значит, что стержень рассматривается как двухслойный, состоя-
Рис. 36. Напряженное состояние кольцевого сечения:
а — расчетная схема; б, е, е — схема действия усилий, возникающих в бетоне*
в, д, ж — схема усилий, действующих на арматуру.
щий из металлической оболочки (арматуры) и бетонного цилиндра
(рис. 36, а), при условии равенства давлений и радиальных перемеще-
ний в соприкасающихся поверхностях [2].
Вывод расчетных формул основан на допущениях о том, что стер-
жень имеет достаточно большую длину, а толщина стенок сечения до-
статочно мала, и, следовательно, влиянием закрепления концов и
изменением толщины стенок можно пренебречь.
Задача решается в линейной постановке.
Напряженное состояние от усадки бетона
Рассмотрим бетонный цилиндр, наружная поверхность которого имеет
радиус г = Ь, а внутренняя —г = а. Наружная поверхность соприка-
сается с арматурой толщиной Д (защитным слоем пренебрегаем). Если
площадь поперечного сечения арматуры на единицу длины стержня
обозначить через Fa, то совершенно очевидно, что Fa = Д • 1.
Вследствие усадки между бетоном и арматурой при их совместной
работе возникают переменные по величине во времени радиальные уси-
лия qy, действующие на единицу длины окружности радиусом г =* Ь.
Эти усилия растягивают бетонный цилиндр и сжимают арматуру
(рис. 36, б, в). Касательные напряжения вследствие симметрии во всех
точках соприкосновения арматуры и бетонного слоя равны нулю.
Рассмотрим задачу Ляме отдельно для бетонного слоя и арматуры в
произвольный момент времени t.
Нормальные напряжения в бетоне и арматуре, возникающие вслед-
ствие усадки бетона, выражаются формулами [2]:
Ь • In —
абу = qy', (5.6) Обу = ь qy\ (5.7)
г In--- Г . In--
а а
аау = “д" <7у. (5.8)
Из условия совместности деформаций бетона и арматуры имеем
«бу 1г=6 = 9у’ где е^у “ еу <0 + "g'6y £g5v^y V. (5.10)
v—коэффициент поперечного расширения бетона (0,18—0,22).
Подставляя в уравнение (5.9) значения нормальных напряжений
из (5.6) и (5.7) и решая его относительно qy, получим
А , ь
п -7— 1П-
b а
9У = ®у (0 Еб — . (5.11)
In---п — (1 — 0,5v In — | у
а b \ а г
Усадка бетона способствует снижению трещиностойкости железобе-
тонных стержней кольцевого сечения.
Напряженное состояние от предварительного обжатия
При натяжении арматуры на бетонный цилиндр в бетоне возникают
начальные радиальные усилия q, действующие на единицу длины ок-
ружности г = Ь. Эти усилия сжимают бетонный цилиндр (рис. 36, г, д).
Рассмотрим задачу Ляме для бетонного слоя и арматуры в отдель-
ности — сначала для момента времени t = 0, а затем для произволь-
ного момента времени t.
В начальный момент времени нормальные напряжения о? и Об в бе-
тонном слое выразятся через усилие q следующим образом:
din —
а? =----b—q; (5.12) агб =----------q- (5.13)
г In — г In-
а а
напряжения же в арматуре будут равны
^н =—4'9- <514)
Вследствие ползучести бетона начальные усилия, действующие в
сечении, уменьшаются во времени. Если обозначить потери усилий q
и 6 Г
через qni то потери нормальных напряжении обп, огбп, #ап и радиальные
перемещения ц,п выразятся через qn зависимостями, аналогичными
(5.6) - (5.8):
b In —
<Тбп =-----b-r-q„; (5.15) Стбп =-------ar-qa; (5.16)
г In — г In-
а а
= (517) Van==-^-qnC=^-gn. (5.18)
Радиальные деформации ползучести бетона при плоском напряжен-
ном состоянии могут быть выражены уравнением
в <£n-0,5v^n
евп =----gr----<pz Н-------jr----у. (5.19)
С другой стороны Ббп = вап, (5.20)
где efn |г=б = -^д“ ^п- (5.21)
Подставляя значения ст®. 0бп, <Тбп и е®п из выражений (5.12), (5.13),
(5.15), (5.16) и (5.20) в уравнение (5.19) и решая его относительно qn,
окончательно получим
<7п = qB, (5.22)
где В----------ь---------------<5-23>
In-----п —— 1 — 0,5v In — I у
a by а ) '
Текущие напряжения в бетоне и арматуре к произвольному момен-
ту времени t равны алгебраической сумме начальных напряжений и
напряжений, определяемых по формулам (5.15) —(5.17).
Напряженное состояние от внутреннего давления
Рассмотрим цилиндр, находящийся под действием равномерного ра-
диального давления W, приложенного к внутренней поверхности ра-
диуса а (рис. 36, е).
В условиях совместной работы бетона и арматуры в момент прило-
жения давления между ними возникают начальные силы взаимодей-
ствия в виде радиального усилия q, действующего на единицу длины
окружности г = b (рис. 36, е, ж).
В начальный момент времени нормальные напряжения а?, (Тб и аа
в бетонном слое и арматуре выразятся через N и q следующим образом:
6 Na — qb /г г Na f Na — qb « г
Об =--------; (5.24) стб =----------— +--------In —; (5.25)
г In — г 1п--
а а
(5.26)
Переходим к определению дополнительного напряженного состоя-
ния, возникающего в результате ползучести бетона. Обозначим уси-
лия, вызванные ползучестью, через qA, а напряжения и радиальные
перемещения — через Обд, Обд, Оад и иад-
b In —
Тогда ----Ц—<7Д; (5-27) <4-----------(5-28)
г In — г In--
а а
оад = --^-<7я; (6-29) (5.30)
Из условия совместности деформаций бетона и арматуры имеем
Вбд |г«=ь = еад, (5.31) где вад |Лв5 в & д q*. (5.32)
€ другой стороны,
е °б - vg6 m I Обд-О'Мщ ft. QQ.
евд “ ---Ф/ Н----V • (5.33)
Подставляя в уравнение значения напряжений и деформаций из
(5.24), (5.25), (5.27), (5.28) и (5.30) и решая его относительно <?д, окон-
чательно получим
<7д =
N > 1 о
. b \ b ' + q В-
V In--- ---
а / а
(5.34)
Коэффициент В определяется по формуле (5.23).
Текущие напряжения в бетоне и арматуре к произвольному момен-
ту времени t равны алгебраической сумме начальных напряжений и
напряжений, определяемых по формулам (5.27) — (5.29).
Пример 22. Вычислить напряжения обжатия в предварительно напряженной же-
лезобетонной трубе с учетом потерь от усадки и ползучести бетона.
Данные для расчета: ан = 1000 МПа; £а = 1,8 • 10s МПа; Еб =• 3,6 • 104 МПа;
п = 5; в=1м; ft =» 1,25 м; Д = 0,0025 rf; v — 0,2; ev (f) = 3 • 10“4; <p< = 2,0;
у = 2,5. у
Предварительные вычисления:
Д_
ь
0„0025
1,25
= 0,002;
1 95
In -——-- = 0,22314.
По формулам (5.12) — (5.14) определяем: q = 1000 • 0,002 = 2,0 МПа;
= 1 25‘огзГГ• 2’° = 8’963 МПа: ’2-° = 2>° МПа
По формуле (5.23) находим коэффициент В, а по формулам (5.22) и (5.11) — изме-
нение начального усилия от ползучести и усадки бетона:
д___________5 - 0,002 (1 -0,2 - 0,22314)-2,0________
“ 0,22314 — 5 • 0,002 (1 — 0,5 - 0,2 • 0,22314) • 2,5 “ ’ '
q„ = 2,0 • 0,09616 = 0,1923 МПа; qy = 3 • 10~4 • 3,6 • 104 X
5 - 0,002.0,22314 -0 19ИМП
Х 0,22314 —5 • 0,002(1 —0,5 • 0,2 - 0,22314) • 2,5 ’ ’
Потери напряжений вычисляем по формулам (5.6) •— (5.8) и (5.15) — (5.17)г
Ъ —I.as.’o'kir-0'1213--0'5™ МПа'
г 1,25-0,22314 . А 1019 мп . „ °-1213 «А «МП.
абу = 1,25 - 0,22314 0,1213 0,1213 МПа, аау 0(Х)-2 60,65 МПа;
- -1.25'toH- “1923 - «Пэ:
г 1,25 - 0,22314 . 1ОО_ Л 1OOQ МП °-1923 Ай 1К МП
Сбп- 1,25-0,22314 •°>1923 - 0,1923 МПа, аап - 0(Ю2 -96,15 МПа.
Установившиеся напряжения в бетоне и в арматуре:
а® (/) = 8,963 — 0,5436 — 0,8618 = 7,5576 МПа; игб (/) = 2,0 — 0,1213 —
— 0,1923 = 1,6864 МПа; <та (/) = — 1000 + 60,65 + 95,15 = — 843,2 МПа.
$ 5.3. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ СОСТАВНОГО СЕЧЕНИЯ
(СТАЛЕБЕТОННЫЕ БАЛКИ)
Стержни составного сечения типа сталебетонная балка характеризу-
ются использованием в единой системе прокатной стали и бетона (же-
лезобетона). Относительная легкость стальных конструкций и просто-
та их монтажа сочетаются с эффективностью бетона, работающего на
сжатие.
Учет длительных процессов ползучести и усадки бетона при оценке
напряженно-деформированного состояния стержней составного сечения
указанного выше типа представляет особый интерес, так как деформа-
ции бетона в таких стержнях протекают во времени в сильно стеснен-
ных условиях и перераспределение напряжений между бетоном и
сталью проявляется особенно интенсивно.
Ниже приведены исходные уравнения и расчетные формулы для
определения напряженно-деформированного состояния стержня со-
ставного сечения (нормальных напряжений, касательных напряжений
на уровне шва сопряжения, кривизн), вызванного усадкой бетона и
длительным действием внешней нагрузки, а также напряженного со-
стояния двухпролетных неразрезных балок при деформациях (проги-
бах), остающихся постоянными во времени. Задача решается в линей-
ной постановке.
Напряженно-деформированное состояние от усадки бетона
а 5
Рис. 37. Напряженное состояние
составного сечения от усадки бе-
тона:
а — поперечное сечение; б — эпюрд
нормальных напряжений; 1 — бетон-
ная плита; 2 — стальная балка.
Рассмотрим составное сечение с одной осью симметрии (рис. 37, а).
Центр тяжести поперечного сечения балки обозначим через Оа, пли-
ты — через Об.
Так как балка препятствует свободному проявлению усадки бето-
на плиты, в нормальных сечениях возникает самоуравновешивающее-
ся напряженное состояние (рис. 37, б).
Для определения нормальных на-
пряжений в краевых волокнах плиты
и балки необходимо составить следу-
ющие уравнения:
уравнения равновесия
Af6y+2Vay = 0; (5.35)
Л^бу (Уа + Уб) + Мбу + -Мау = О’, (5.36)
уравнение совместности деформа-
ций плиты и балки на уровне шва
сопряжения
= <5-37>
уравнение равенства кривизн плиты и балки
gay gay __ g6y g6y
£a^a £б^б У*
(5.38)
Здесь W6y -= (Обуу6 + абу4/б) ; (5.39) Л4бу = (Обу — обу) ; (5.40)
Л^ау = (ОауУа OayZ/a) J (5.41) ^4ау = (Оау Оау) , (5.42)
Fa н 7а — площадь поперечного сечения стальной балки и момент инер-
ции указанного сечения относительно его центра тяжести.
Значения F6, I6, Е6, Ea, еу (t) и у расшифрованы в главе 2.
Из уравнений (5.37) и (5.38) находим:
а^у = еу (0 Еа + пуобу; (5.43)
оау = еу (/) Еа 4- (<j6yh — <Тбу/1а) • (5.44)
Из уравнений (5.35) и (5.36) получим:
аб ------------------------------------------СО/О,--- (54б)
оу C03(0e — СО i СО 4 ’ \ 7 °У (03(0в — СО^ ’
где ©! = F6y6 — nyFaya, (5.47) <о2 = еу (/) EaFah6; (5.48)
®з = рбУб (У» + Уб) + Лз + (5.49)
ю4 = F6y6 (y3 + y6) — I6 — nyla-,
we = F6y6 + nyFa (y'a 4- h6).
(5.50)
(5.51)
Кривизна, вызванная усадкой, может определяться как по кривиз-
не плиты, так и по кривизне балки, т. ел
(5-52) нли-^=-^. (5.53)
Усадка бетона в сталебетонных балках сопровождается развитием
растягивающих напряжений в нижних волокнах плиты и сжимающих
напряжений в верхних волокнах балки. В верхних волокнах плиты
%
Рис. 38. Схема действия уси-
и нижних волокнах балки в зависимости
от компоновки и геометрии сечения могут
возникать как сжимающие, так и растяги-
вающие напряжения.
Деформации усадки бетона передаются
балке посредством сил сцепления, возни-
лий на концевом участке кающих в плоскости сопряжения при за-
плиты- твердении бетона. Появление этих сил свя-
зано с естественной или искусственной
неровностью поверхности балки. Так как на концах стержня для обес-
печения совместности деформаций плиты и балки силы сцепления недо-
статочны, в плоскости сопряжения происходит некоторое перемещение
нижних волокон плиты по отношению к верхним волокнам балки.
Это перемещение, имеющее наибольшую величину на концах стерж-
ня, постепенно уменьшается и на некотором расстоянии от концов об-
ращается в нуль. В соответствии с этим силы сцепления возрастают
от концов стержня к его середине и вызывают постепенно увеличиваю-
щееся сжатие и изгиб балки и растяжение и изгиб плиты. В месте,
где силы сцепления достигают величины, достаточной для полного
обеспечения совместности деформаций плиты и балки, перемещения
прекращаются. На всем среднем участке стержень испытывает постоян-
ные напряжения [7].
Результирующее сдвигающее усилие Ту (рис. 38) на концевом участ-
ке в плоскости сопряжения должно уравновешивать нормальные уси-
лия iV6y ИЛИ АГау, поэтому
Ту = N6y = Nay. (5.54)
Если выходить из принятой схемы, нетрудно обнаружить, что на
концевых участках кроме горизонтальных усилий Ту должны возни-
кать изгибающие моменты
Шу = МбуУб + АТбу = Nayya + Мау. (5.55)
Моменты возникают как результат неодинаковой жесткости плиты и
балки при действии одинаковых сдвигающих усилий. Если бы момен-
ты ту не возникали, то под действием одинаковых сдвигающих усилий
кривизна плиты отличалась бы от кривизны балки.
В реальных условиях монолитность стержней составного сечения
типа стальная балка — бетонная (железобетонная) плита обеспечива-
ется в основном за счет специальной арматуры (или анкеров), выпус-
каемой в сторону плиты и воспринимающей все сдвигающие усилия
в плоскости сопряжения, так как ни искусственная обработка, ни (тем
более) естественная неровность не могут служить надежной гарантией
от сдвига плиты относительно балки.
Арматура концентрируется на концевых участках стержня. По-
скольку длина концевых участков невелика, напряжения сдвига на
Таблица 5.2. Сопоставление теоретических значений прогибов, вызванных
усадкой бетона, с опытными
них можно считать постоянными, а распределение выпусков равно-
мерным.
В табл. 5.2 содержатся опытные значения прогибов однопролетных
свободно опертых сталебетонных балок (по каждому образцу-близне-
цу соответствующей серии) и отношения теоретических величин про-
еу (/) = 4 • 10 4; ф/ = 2,75; = 7 сут; у = 2,94; Fa = 0,0182 м3; уа = 0,429 м;
у'а = 0,571 м; ha = 1,0 м; /а = 0,0023758 м4; Еа = 2,1 . 103 МПа; па = 6,25; h =
= 1,2 м.
По формулам (5.47) — (5.51) находим: <ох = 0,24 * 0,1 — 6,25 • 2,94 • 0,0182 X
X 0,571 = — 0,167 м3; ш. = 4 • 10-4 • 2,1 • 10» • 0,0182 • 0,2 = 0,30576 МН • м;
ш3 = 0,24 • 0,1 (0,571 + 0,1) + 0,0008 + 6,25 • 2,94 • 0,0023758 = 0,06056 м4; <о4 =
= 0,24 • 0,1 (0,571 + 0,1) — 0,0008 — 6,25 • 2,94 • 0,0023758 = — 0,02835 м4; =
= 0,24 • 0,1 + 6,25 • 2,94 • 0,0182 (0,571 + 0,2) = 0,28184 м3.
Напряжения в краевых волокнах бетона и стальной балки определяем по форму-
лам (5.43) — (5.46), вычислив предварительно величину:
юаюв — <^(04 = 0,06056 • 0,28184 — 0,167 • 0,02835 = 0,0123337 м’;
. 0,30576 (— 0,02835) п „оо мп .
а<5У 0,0123337 0,7028 МПа, обу
0,30576 • 0,06056
0,0123337
= —1,5013 МПа; o„ v = 4 • 10~4 -2,1 . 10» — 6,25 . 2,94 . 1,5013 = 56,413 МПа;
ау
а = 4 • 10-4 - 2,1 - 10s + (— 1,5013 • 1,2 + 0,7028 • 1) -6.’25'2,94 . =
ау 7 0,2
= — 16,949 МПа.
Кривизну конструкции находим по формуле (5.53) с учетом (5.42):
1 56,413+ 16,949
77 = 2,1 • 105 • 1 ' = 3.49343 . IO"4 • 1/м.
1 4
Прогиб балки /у = — • 3,49343 «10 4 - 12а = 0,0063 м = 0,63 см.
о
Напряженно-деформированное состояние от длительного действия
внешней нагрузки
Пусть в сечении (рис. 40, а) действует постоянный по величине изги-
бающий момент Л4. Центр тяжести сечения, приведенного к материа-
лу балки, обозначим через Оп.
Рис. 40. Напряженное состояние составного сечения от длительного действия
внешней нагрузки.
Начальные напряжения в нормальных сечениях (рис. 40, б) и на-
чальная кривизна определяются по формулам:
<5-56) аб = ±-^-уп; (5.57)
аа = ±-У-уп', (5.58) ая = _М (5.59)
zn ’п
где /п — момент инерции составного сечения, приведенного к матери-
алу балки.
Верхние знаки в формулах (5.57) и (5.58) ставятся, если точка Оп
расположена в балке, нижние — если в плите.
Особого внимания заслуживают касательные напряжения в плите
и балке на уровне шва сопряжения, так как только при надежной свя-
зи между плитой и балкой может быть обеспечена их совместная ра-
бота. Возникающие на уровне шва сопряжения сдвигающие усилия
воспринимаются поперечной арматурой (или анкерами).
Начальные значения касательных напряжений в нижних волокнах
плиты и в верхних волокнах балки определяются по формулам
<5-6» (5-62)
где Q — поперечная сила в рассматриваемом сечении;
S = -t-F6(y'n + y6y, (5.63)
Ьб и Ьл — ширина плиты и балки на уровне шва сопряжения.
Так как ползучесть бетона, вызванная длительным действием мо-
мента М9 протекает в связанных условиях, напряженное состояние
нормальных сечений изменяется во времени.
Для определения напряжений, вызванных ползучестью бетона
(рис. 40, в) необходимо составить следующие уравнения:
уравнение равновесия
Л^бд + ^ад = 0; (5.64) Л^бд («/а + !/б) + ^4бд + Л4ад = 0, (5.65)
где Л^бд = (<Тбд% + °бдУб); (5.66) Л4бд = (стбд —<Тбд)-^-; (5.67)
Л^ад (<Тад|/а + <^ад!/а)I (5.68) Л4ад = (<7ад — ®ад) J (5.69)
уравнение совместности деформаций плиты и балки на уровне шва со-
пряжения
= + (5.70)
уравнение равенства дополнительных кривизн плиты и балки
рад ~ °ад _ q6~~q6 q6fl~~q6A /г ?! х
Из уравнений (5.70) и (5.71) имеем
Оад = ЯОбдУ + Оаф/; (5.72) стад = (обдЛ — <ТбДЛа) -g- + Оаф/. (5.73)
Напряжения в бетоне, вызванные его ползучестью, определяют по
формулам:
Олп = 0)2(04 ~ 0)50)6 • (5 74) — 0)10)5 ~ /5 75)
бД Ш8<0в - СТбд “ й)эй)в - С01С04 ’
где «2 = (аау3 + оаул) -У-2- ф<; (5.76)
®5 = (Оа — Оа) ф,; (5.77)
дополнительная кривизна — по формулам:
1 М I . ^бдп^п \ ?- 7О\ 1 ^ад /Е 70\
^=здН’’‘ + “Ж“т) <5'78) "ST = Т57 ( ’
Численные значения коэффициентов <х>х, со3, со4 и ш6 определяют по
формулам (5.47) и (5.49) —(5.51).
Если центр тяжести приведенного сечения расположен в балке,
ползучесть бетона сопровождается развитием растягивающих напря-
жений в верхних и нижних волокнах плиты и сжимающих напряже-
ний в верхних волокнах балки. Если центр тяжести приведенного
Рис. 41. К определению касатель-
ных напряжений в плите и балке
на уровне шва сопряжения, вызван-
ных ползучестью бетона.
сечения расположен в плите, ползу-
честь бетона сопровождается разви-
тием растягивающих напряжений в
верхних волокнах плиты и балки и
сжимающих напряжений в нижних
волокнах плиты. В нижних волокнах
балки в зависимости от компоновки и
геометрии сечения могут возникать
как сжимающие, так и растягиваю-
щие напряжения.
Текущие напряжения (рис. 40, г) к
произвольному моменту времени t рав-
ны алгебраической сумме начальных
напряжений и напряжений, опреде-
ляемых по формулам (5.72) — (5.75),
текущая кривизна — алгебраической
сумме начальной кривизны и допол-
нительной кривизны, определяемой
по формулам (5.78) или (5.79).
Так же, как длительное действие
изгибающего момента в условиях связанной ползучести сопровожда-
ется возникновением дополнительных нормальных усилий, так и дли-
тельное действие поперечных сил сопровождается появлением и раз-
витием дополнительных усилий сдвига. Последние получаются из усло-
вия равновесия разности нормальных усилий, действующих в двух
соседних сечениях стержня. Применительно к напряженному состоя-
нию, вызванному ползучестью бетона, это означает, что под влиянием
приращений усилий dNcn и dNaa возникают дополнительные усилия
сдвига (рис. 41).
Если обозначить дополнительные усилия сдвига на уровне шва со-
пряжения через d7\ и принять во внимание, что распределение нормаль-
но
ных усилий по длине стержня следует кривой, подобной эпюре момен-
тов, то после рассмотрения отсеченной части стержня от плоскости со-
пряжения до нижней грани можно записать [7]:
dTa _ du dNn du dM du M ’ (5.80)
а до верхней грани —
dTj, du. dN6t du dM . du 24 M • (5.81)
Но
dT д = т6д&б = тад&а, (5.82)
где Тбд и тад — касательные напряжения в плите и балке на уровне
шва сопряжения, вызванные ползучестью бетона.
Таким образом:
ТбД=-Ж-^; <5-83) = (5.84)
Текущие значения касательных напряжений в плите и балке на
уровне шва сопряжения к произвольному моменту времени t равны
алгебраической сумме начальных напряжений и напряжений, опре-
деляемых по формулам (5.83) и (5.84).
Таблица 5.3. Сопоставление теоретических значений текущих прогибов
с опытными
О £ Шифр серии и номер образца Вид образца, по- перечное сечение (размеры в см) Кубиковая проч- ность бетона в возрасте 28 сут, МПа и t — тп сут ёГ | Р кН f(0on, мм f (ОтеоР, мм S 1
БП-1 Сталебетонные балки L = 280 см 31,7 10 150 1,84 28 5,61 6,72 1,20
БП-2 5,74 1,17
БП-3 6,48 1,04
D11-4 180 2,00 о ди 6,87 1,и/
БП-5 6,02 1.14
БП-6 6,93 0,99
Ползучесть бетона по-разному влияет на касательные напряжения
в плите и балке на уровне шва сопряжения. В зависимости от компо-
новки и геометрии сечения они могут как уменьшаться, так и увели-
чиваться во времени.
В табл. 5.3 приведены опытные значения текущих прогибов одно-
пролетных свободно опертых сталебетонных балок (по каждому образ-
цу-близнецу соответствующей серии) и отношения теоретических
величин прогибов, вычисленных на основе изложенной выше методи-
ки, к опытным.
Образцы загружались двумя сосредоточенными силами Р в третях
пролета. Ползучесть бетона протекала в линейной области.
Текущие прогибы определялись как сумма начальных прогибов
и прогибов, вызванных ползучестью бетона.
Пример 24. Определить напряженное состояние и прогиб сталебетонной бал-
ки, сечение которой представлено на рис. 39, при длительном действии внешней на-
грузки.
Данные для расчета: Fn = 0,0566 м2; уп к = 0,8842 м; у'пк = 0,3158 м; уп =
= 0,1158 м; /п = 0,0080633 м4. На балку действует равномерно распределенная на-
грузка q = 50 кН/м, приложенная в возрасте бетона Tj = 28 сут; ф/ = 2,0; у»
= 2,5. Остальные данные приведены в примере 23.
Максимальный изгибающий момент в середине пролета балки:
М = 50 ' 122 = 0,9 МН м.
О
Начальные напряжения в балке находим по формулам (5.56) — (5.59):
0,9.0,3158 ... 0,9-0,1158 . м_
a<s- 6,25 - 0,0080633 ~5’64 МПа’ а<5 6,25-0,0080633 2-07 МПа;
0,9-0,1158 1ОО„МГ1. -0,9 - 0,8842 ..
°а — 0,0080633 2,93 М ’ °* 0,0080633 98,69 МПа’
По формулам (5.47), (5.49)—(5.51), (5.76) и (5.77) вычисляем значения парамет-
ров со:
G)f = 0,24 > 0,1 — 6,25 <2,5 < 0,0182 -0,571 = —0,13838 м3;
0)2 = (12,93.0,429 — 98,69 - 0,571) А0182^’2- 2,0 = — 0,36 986 МН - м;
<о3 = 0,24 - 0,1 (0,571 + 0,1) + 0,0008 + 6,25 - 2,5 - 0,0023758 = 0,05403 м«;
0)4 = 0,24.0,1 (0,571 +0,1) —0,0008 — 6,25 - 2,5 • 0,0023758 = —0,02182 м4;
0 2
= (12,93 + 98,69) • 0,0023758 • • 2,0 = 0,106075 МН • м3;
= 0,24.0,1 + 6,25 • 2,5.0,0182 (0,571 + 0,2) = 0,24325 м3.
Напряжения в балке от ползучести бетона определяем по формулам (5.72) — (5.75);
0,39986.0,02182 — 0,106075 • 0,24325
°6а~ 0,05 403 - 0,24 325 — 0,13 838 - 0,02182 “ 1,/& М1И*
_ — 0,13838.0,106075 + 0,36986 • 0,05403
°бд ~ 0,05403 • 0,24324 — 0,13838 - 0,02182 “ 0,524 МПа;
а'л = 6,25 - 0,524 - 2,5 + 12,93 • 2,0 = 34,048 МПа;
оад = (0,524 - 1,2 + 1,752 - 1,0) J?-’25^2,5- —98,69 - 2,0 = - 11,407 МПа.
Текущие напряжения в балке:
(/) = 5,64 — 1,752 = 3,89 МПа; аб (0 = 2,07 + 0,524 = 2,59 МПа;
<4 (0 = 12,93 + 34,048 = 46,98 МПа; аа (0 = —98,69 — 11,407 = — 110,1 МПа.
Начальный прогиб балки:
5 0 9 • 122
= ~48 2,1 - 105 - 0,0080633 ~ 0,008 М = 0,8 См'
Дополнительную кривизну определяем по формулам (5.79) и (5.69):
Дополнительный прогиб балки:
/д = . 2,1645 ♦ 10-4 • 122 = 0,00325 м « 0,325 см.
м 48
Полный прогиб: / (0 = 0,8 + 0,325 = 1,125 см.
Напряженное состояние при деформациях, остающихся постоянны-
ми во времени
Умение определять напряженное состояние составных сечений при
деформациях, остающихся постоянными во времени, необходимо при
решении многих важных задач. К таким задачам относятся выявление
напряженного состояния в случаях осадки опор в неразрезных балках,
введение вынужденного выгиба сталебетонных конструкций путем сме-
щения опор или вынужденных сжимающих усилий при помощи
домкратов в плиты проезжей части мостов и т. д.
Решение всех этих задач сводится к определению напряжений в
однопролетной балке во времени при постоянном прогибе Дс. При этом
Рис. 42. Напряженное состояние составного сечения при постоянном прогибе:
а — поперечное сечение; б — эпюра начальных напряжений; в — эпюра напряжений, выз-
ванных ползучестью бетона; г — эпюра текущих напряжений.
одновременно с изменением напряжений нагрузка, необходимая для
поддержания постоянства прогиба Дс, должна постепенно уменьшать-
ся (рис. 42, б).
Начальные значения нормальных напряжений в составном сечении
(рис. 42, а, б) определяют по формулам (5.56) — (5.59), касательных —
по формулам (5.61) и (5.62). Следует только помнить, что усилия,
действующие в сечениях, вызываются в данном случае не внешней
нагрузкой, а таким «негрузовым» фактором, как осадка опоры.
Вид воздействия сильно влияет на напряженное состояние, возни-
кающее вследствие ползучести бетона, так как здесь ползучесть свя-
зывается не только стальной балкой, но и (главным образом) условия-
ми работы системы в целом.
В любой момент времени t имеем пять неизвестных (рис. 42, в): Обд,
Пбд, ад, <*ад и Л4Д, где Мд — изменение момента, необходимого для под-
держания постоянства прогиба.
Для отыскания указанных неизвестных составим следующие урав-
нения:
уравнения равновесия
Л^бд + Л^ад=0; (5.85) Мбд (Уа + Уб) + ^бд + = Мд, (5.86)
уравнение совместности деформаций плиты и балки на уровне шва
сопряжения
= _?<L ф + (5.87)
Еа Еб Еб '
уравнение равенства нулю дополнительных кривизн плиты и балки
аад °ад
Eaha
°б
Еб^б
ф/ +
-^Ч = °. (5.88),
(5.89)
Значения Мзд, Л4бд, Л/ад и Л4ад расшифрованы были выше.
Из уравнений (5.87) — (5.89) находим:
Оад = <4д = Обдпу + Оаф/; (5.90) Обд = Обд — (Об — Об) . (5.91)
Из уравнений (5.85) и (5.86) определяем:
обд = ^-; (5.92) Л4Д = -ш10, (5.93)
где «о, == F6 + nFлу\ (5.94)
®8 = ((Об — об) — о'аРл] ср,; (5.95) со8 = F6 (уа + у6); (5.96)
“ю = (Об — об) [1б + F6y6 (уа + £/б)] • (5-97)
Изменение касательных напряжений в нижних волокнах плиты и
верхних волокнах балки определяется по формулам (5.83) и (5.84)
с учетом (5.91) и (5.92).
Текущие напряжения (рис. 42, г) к произвольному моменту времени
t равны алгебраической сумме начальных напряжений и напряжений,
определяемых по формуле (5.83) —(5.84). Текущий момент опреде-
ляется по формуле
М (0 = М + Мд- (5.98)
Так как моменты и поперечные силы во всех сечениях убывают по
общему закону, то
Q(0 = Q-^r- (5.99)
В сталебетонных балках в условиях постоянных деформаций (про-
гибов) возможно значительное изменение напряженного состояния
во времени.
Если бетон плиты обладает большой ползучестью, нормальные на-
пряжения в плите и касательные напряжения на уровне шва сопря-
жения могут исчезнуть почти полностью, а нормальные напряжения
в стальной балке — увеличиться в 1,5—2 раза.
Из последнего вывода следует, что к оценке напряженного состоя-
ния балок составного сечения надо подходить более осторожно, чем
в отношении обычных железобетонных балок. В последних вследствие
Таблица 5.4. Сопоставление теоретических вначений коэффициента затухания
усилий с опытными
Источник Шифр серии и номер образца Вид образца, попе- речное сечение (раз- меры в см) Кубикова я прочность бетона в возрасте 28 сут, МПа сут * — Т1, сут Wc. кН с о 0) £ сх о 0) 5: н (Ооп 1
КР-1 КР-2 КР-3 КР-4 КР-5 КР-6 Сталебетонные балки, L = = 270 см 33,0 8 140 1,12 44,40 45,20 44,00 46,70 54,00 44,20 0,76 0,73 0,80 0,83 0,75 0,76 0,83 1,09 1,14 1,04 1,00 1,11 1,09
[7] — СЧ ОО L L L оГоГсГ СП U2 из 20 14 180 2,89 48,00 45,60 45,60 0,54 0,59 0,64 0,59 1,09 1,00 0,92
СП СП СП 11 ~| СЛ 4^ 25,5 30 1,90 47,60 48,00 40,40 0,63 0,68 0,71 0,67 1,06 0,99 0,94
от от от «J <1 1 1 1 со to — 47 148 2,20 54,00 52,80 46,30 0,60 0,62 0,61 0,72 1,20 1,16 1,18
ползучести бетона напряжения всегда уменьшаются. В балках же со-
ставного сечения облегчение условий работы одних элементов сопро-
вождается ухудшением условий работы других.
Влияние ползучести на процесс изменения напряжений при по-
стоянных деформациях более ощутимо, чем при длительном действии
внешней нагрузки.
В табл. 5.4 даны опытные значения коэффициентов затухания уси-
лий в однопролетных свободно опертых сталебетонных балках, вы-
званного ползучестью бетона (по каждому образцу-близнецу соответ-
ствующей серии), и отношения теоретических величин Н (/) = М (t)/M
к опытным.
Балки нагружались сосредоточенной силой Nc в середине проле-
та. После приложения нагрузки прогибы балок поддерживались (за
счет уменьшения величины внешней нагрузки) постоянными, равными
начальным.
Численные значения текущих моментов М (/) определялись по фор-
муле (5.98).
Пример 25. Определить напряженной состояние двухпролетной сталебетонной
балки, сечение которой приведено на рис. 39. В возрасте бетона = 28 сут средняя
опора получила мгновенное смещение вниз на величину Дс = 0,03 м. Пролеты балки
равны, т. е. 4 = /2 = 10 м. На средней опоре возникает начальный изгибающий мо-
мент М. = 1,524 МН • м. Остальные данные для расчета приведены в примерах
23 и 24.
Начальные напряжения в балке:
1,524*0,3158 оскмп. 1,524.0,1158 о мгт
°б ~ 6,25 • 0,0080633 “ 9,55 МПа’ °б “ 6,25 • 0,0080633 — 3,50 МПа’
1,524 - 0,1158 ооип. 1,524-0,8842
~ 0,0080633 2 ,8Э МПа’ °а 0,0080633 167,12 МПа.
По формулам (5.94) — (5.97) находим параметры со:
со7 = 0,24 + 6,25 * 2,5 * 0,0182 = 0,524375 м2;
In 94 . О 1 1
(9,55-3,50) — 21,89 > 0,0182 * 2,0 = —0,216 МН;
u,z • I
со» = 0,24(0,571 +0,1) = 0,16104 м3;
2 0
<of6 = (9,55 — 3,50) [0,0008 + 0,24 * 0,1 (0,571 + 0,1)] R = 0,409 МН * м.
Дополнительное напряженное состояние вычисляем по формулам (5.90) — (5.92),
а изменение момента на средней опоре — по формуле (5.93):
= -oSSI----------°’412 МПа: = - 0-412 - (9,55 - 3,50) =
= — 5,252 МПа; аяж = о' = — 0,412’> 6,25 * 2,5 + 21,89 * 2,0 = 37,344 МПа.
«Д ад >
.. -0,216-0,16104
=------0^24375--------°’409=---°’4754 МН‘М-
К моменту времени t:
аб (t) = 9,55 — 5,252 = 4,298 МПа; об (0 = 3,50 — 0,412 = 3,088 МПа;
о' (0 = 21,89 + 37,344 = 59,234 МПа; аа (/) = — 167,12 + 37,344 =
= — 129,776 МПа;
М (0 = 1,524 — 0,4754 = 1,0486 МН « м.
Следовательно, М (t) = 0,688 Л4.
§ 5.4. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
В НЕЛИНЕЙНОЙ ОБЛАСТИ
Нормы проектирования преднапряженных железобетонных стерж-
ней и стержневых систем допускают возможность развития достаточно
высоких напряжений в бетоне от сил предварительного обжатия и
внешней нагрузки. В этих условиях (в зависимости от марки бетона
и возраста его в момент нагружения) нелинейная ползучесть оказыва-
ется явлением не менее распространенным, чем линейная.
Вопросы, связанные с учетом нелинейности ползучести, заслужи-
вают серьезного внимания при определении усилий в статически не-
определимых системах, при оценке поведения некоторых видов стерж-
ней (например, переармированных) перед разрушением, при иссле-
довании различных вопросов теории деформаций железобетона в
условиях повышенных напряжений.
Предположение о нелинейной связи между напряжениями и дефор-
мациями ползучести приводит к значительному усложнению уравне-
ний ползучести. По этой причине приведенные в литературе решения
задач нелинейной ползучести ограничиваются простейшими случаями.
Ниже изложены упрощенные решения следующих задач:
определение потерь предварительного напряжения в центрально и
внецентренно обжатых стержнях;
определение деформаций изгибаемых стержней с трещинами при
длительном действии внешней нагрузки;
определение усилий в статически неопределимых системах —мно-
гопролетных неразрезных балках — при длительном действии внеш-
ней нагрузки.
Само собой разумеется, что потери предварительного напряжения,
деформации стержней и интенсивность перераспределения усилий в
статически неопределимых системах при нелинейной ползучести воз-
растают по сравнению с тем, что имеет место при линейной ползучести.
Определение потерь предварительного напряжения в центрально и
внецентренно обжатых стержнях
«Корректное» решение задачи по определению потерь предваритель-
ного напряжения в бетоне и арматуре внецентренно обжатого стерж-
ня (решение, при котором закон распределения потерь по высоте се-
чения определяется уравнением деформаций ползучести) приведено
в работе [8]. Такое решение, будучи простым с математической точ-
ки зрения, связано все же с громоздкой вычислительной работой.
Исследования показывают, что в реальных условиях, при проекти-
ровании конструкций, можно пользоваться упрощенным («некоррект-
ным») решением, основанным на допущении о том, что связь между
потерями предварительного напряжения в бетоне и деформациями
ползучести подчиняется линейной зависимости, т. е.:
2
— т(1 +<Р/) — -^-(1 — «<₽/)]; (5.Ю0]
аап /1 । । ^бп i ' । ^бп Р f а
£e-(1+P°r6)<P/ + -g-(VH-l) + -gr •—[1? -
— 7(1 + <Р/)~ -^-(1 — «<₽/)] > (5.101]
где ун = у + 20огб (у — 1); (5.102) у' = у + 2р'стб (у — 1), (5.103)
или практически с той же точностью (161:
-%Г = -Й_(1+Рдб)Фг4--^-(Тн-1); (5.104)
-%г = (I + ₽'Ьб) ф'+ -тт(v" “(5Л05)
Численные значения у определяются по табл. 2.1.
Решая совместно уравнения (2.39), (2.40) и (5.104), (5.105), после
преобразований получим
Оап = П [стб (1 4- 0об) Обн — Об (1 + Р'пб) а7н] ; (5.106)
а5н
Оап = П [Об (1 4- ₽'<Тб) а8н — Об (1 + Роб) а9н] , (5.107)
где овн = Ге + пц (гI 4- Уб) + (гб 4* Уб + пр,Л2); (5.108)
«7» = п(ун— 1)р/(Гб — УбУб); (5.109)
Я8н = Гб + пц' (Гб + Уб ) + «ТнИ (rl 4- yl + rm’h2); (5.110)
оэн = п(у'н — 1)р.(гб — УбУб); (5.1И)
йбн = ri [1 4- п (цун 4- р'у')] 4- п (цун«/б 4- р'ЧнУб 4- /гр.ц'?нТнЛ2). (5.112)
Эти формулы и рекомендуются для практического использования
при определении потерь напряжений в преднапряженной арматуре вне-
центренно обжатых стержней при высоких уровнях обжатия бетона.
Потери напряжений в бетоне определяются по формуле (2.45), зна-
чения р, ц', гб и п расшифрованы в § 2.1.
В частном случае, при Р' = 0 (в менее обжатой зоне сечения прояв-
ляется «линейная» ползучесть):
Стал = П [об (1 4- роб) ав — <тба7н] ; (5.113)
“бн
Пап = П [ОбОвн — Об (1 4- роб) ав] —ф— . (5.114)
Здесь а5н = г26 (1 4* п (цун 4- и'т)1 + « (НТнУб + н'Т^б2 4- w'?^2)-
(5.115)
Численные значения ав и а9 подсчитывают по формулам (2.74) и (2.77).
При центральном обжатии оап = по6 (1 4- Р<?б) -Ф< j---”- . (5.116)
1 -f- ЯУнР-
Указанное решение является «корректным», так как в данном слу-
чае закон распределения потерь предварительного напряжения по вы-
соте сечения не зависит от формы связи между потерями и деформа-
циями ползучести.
Если в формулах (5.106), (5.107), (5.116) и (5.102), (5.103) принять
Р = Р' = 0, получим решение для области линейной ползучести.
Пример 26. Определение потерь напряжений в предварительно обжатой балке
(см. рис. 4).
Данные для расчета: напряженная арматура класса AT-VI; Fa = 0,004 м2;
F'= 0,001 м2; £а = 2 • 105 МПа; Еб = 3,5 < 104 МПа; F6 = 0,2864 м2; /б =
= 0,035752 м‘; r% = 0,124832 м2; ув = 0,5706 м; у6 = 0,3194 м; Л = 0,89 м;
g = 0,014; g' = 0,0035; п = 5,71; RXi = R = 40 МПа; <р< = 2,44; = 28 сут;
7 = 2,83; Од = а0 = 800 МПа; F„ = 0,315 м2; /п = 0,043371 м4; уп = 0,535 м;
уп = 0,355 м.
Равнодействующая усилий обжатия (с учетом первых потерь) и ее эксцентриситет:
N = 800 • 0,004 + 800 • 0,001 = 4,0 МН;
е„ = -Ар (800 • 0,004-0,535 — 800 • 0,001 • 0,355) = 0,357 м.
Начальные напряжения в бетоне при обжатии:
4,0 ,
°б ' 0,315
4,0
°б 0,315
4,0 • 0,357
0,043371
0,535 = 30,31 МПа;
4,0 • 0,357
0,043371
• 0,355 = 1,01 МПа.
Таким образом, Об/Лт = 0,758 и <s6 /Rx = 0,025; по табл. 1.4 находим
«= 0 и р = 0,044 1/МПа*.
По формулам (5.102), (5.103), (5.108) — (5.112) вычисляем:
Ун = 2,83 + 2 • 0,044-30,31 (2,83 — 1) = 7,11; у'н = у = 2,83;
3'-
а6н = 0,124832+ 5,71 • 0,014 (0,124832 + 0.57062) + 5,71 - 2,83 X
X 0,0035 (0,124832 + 0.31942 + 5,71 • 0,014 • 0,892) = 0,17725 м2;
^„ = 5,71 (7,11 — 1) • 0,0035(0,124 832 — 0,5706 • 0,3194) =—0,00701 м2;
а8н = 0,124832 + 5,71 • 0,0035 (0,124832 + 0.31942) +
+ 5,71 . 7,11 • 0,014 (0,124832 + 0,57062 + 5,71 • 0,0035 • 0,892) = 0,39437 м2|
а9н = 5,71 (2,83— 1)0,014 (0,124832 — 0,5706 - 0,3194) = — 0,0084 м2;
а5н = 0,124 832 [1 +5,71 (0,014 - 7,11 +0,0035 - 2,83)] +
+ 5,71 (0,014 - 7,11 • 0.57062 + 0,0035 • 2,83 • 0.31942 +
+ 5,71 • 0,014 • 0,0035 - 7,11 • 2,83 • 0,892) = 0,41913 м2.
Потери в арматуре определяем по формулам (5.113) и (5.114):
9 44
оап = 5,71 [30,31 (1 +0,044 - 30,31) • 0,17725 + 1,01 • 0,00701] -fr 4^3- =°
= 192,6 МПа;
, 2 44
оап = 5,71 [1,01 • 0,39437 + 30,31 (1 + 0,044 - 30,31)0,0084] 7*, = 33,0 МПа.
1У1 □
Равнодействующая усилий обжатия и ее эксцентриситет (с учетом потерь от пол-
вучести бетона):
W (0 = (800 — 192,6) • 0,004 + (800 — 33,0) 0,001 = 3,2 МН;
еп (/) = -sL- [(800 — 192,6) 0,004 - 0,535 — (800 — 33,0) 0,001 • 0,355] = 0,3215 м.
Определение деформаций участков стержней с трещинами
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние изгибаемого
стержня (рис. 43, а) к произвольному моменту времени t. Пусть в се-
чении действует постоянный по величине изгибающий момент М. Эпю-
ра напряжений в бетоне принимается криволинейной *, что увязы-
* Точнее: ограниченной некоторой кривой, заключенной между треугольной и
прямоугольной эпюрами.
Рис. 43. Напряженно-дефор-
мированное состояние желе-
зобетонного изгибаемого
стержня:
а — поперечное сечение; б — на-
пряженное состояние в момент
времени t; в — эпюра деформа-
ций в момент времени t.
вается с напряженно-де-
формированным состоя-
нием при повышенных
напряжениях.
Для отыскания неизвестных необходимо составить следующие урав-
нения (рис. 43, б, в):
Ми (/) - N62 (/) + ЛГа (0 - Na (0 = 0; (5.117)
Nti (/) 8х (0 - М>2 (/) 6 [х (/) - h'n] + М (/) [х (/) - а'] +
+ Na(t)[h0-x(t)] = M-, (5.118)
86 (0 8а (0 = 8а (0
х (0 = х (0 — а' Ло — х (/)
В (5.117) и (5.118) имеем:
Уб1 (0 = ®аб (0 Ь'пХ (0;
(5.119), (5.120)
(5.121)
N62 (0 = состб (0 (6„ - Ь) -[-*(*(/)*пР . (5.122)
В (5.119) и (5.120):
8б(0 = -^-^Тн- (5-123)
Значения 6 и со заключаются в пределах 2/3 > 6 > х/2 и х/2 <
< со < 1. Левые пределы отвечают треугольной эпюре, правые — пря-
моугольной.
Значения Na (/), Na (/) и sa (/), еа (/) расшифрованы в § 3.2.
С учетом сказанного будем иметь:
-; (5-124) °* & = пМ Х(/т(0а' [1 + ФЛ1 + 2раб)];
(5.125)
аа (0 = - til (0 М [ 1 + ФД1 + 2раб)], (5.126)
где /т (0 = Ьх8 (0 + 3£в L (/) - Л-1 + б© +
+ п {F'a [х (0-аТ + |(0 Fa [h0 - х (0]а) [1 + ф, (1 + 2раб)] (5.127)
х(0 --------------------J- [Дх(0- 1^Л?(0-4Ла(0], (5.128)
где Лх (0 = {2<oF;b + п [F'a + % (0 Fa] [ 1 + (1 + 2|Ja6)]}; (5.129)
А (0 = —{<*F+ п а«' + % (0 FаМ [ 1 + (Ф* 1 +фД 1 + 2₽аб)]}.
(5.130)
Выражение для определения кривизны стержня
W - Т57Г(1 + Л <5J31>
8десь фМ = [1 + <р, (1 + 2роб)] - 1; (5.132)
/т — начальное значение ZT (/).
В момент времени t = 0 в формулах (5.124) — (5.132) фМ = ф, = О
и =
Численные значения | (/) определяются по формуле (3.43).
Форма эпюры напряжений в бетоне мало отражается на величинах
полных деформаций. При прямоугольной эпюре влияние ползучести
несколько переоценивается по сравнению с криволинейной, при тре-
угольной — недооценивается.
Пример 27. Определить начальный и полный прогибы в середине пролета ненапря-
женной железобетонной балки от длительно действующей равномерно распределен-
ной нагрузки. Сечение балки показано на рис. 4.
Исходные данные: q = 50 кН/м; Л4макс = 2,5 МН • м; R = 40 МПа. Остальные
данные приведены в примере 6.
По формулам (3.35) — (3.37) находим значения коэффициентов фа и фа (/):
т = 0,65 1/ °’12736' 2’5 = о,232; F* = 0,16 • 0,94 + (0,30 — 0,16) • (0,16 —
г 2,5
-0,06) = 0.1644 м2; ф. - 1 - = 0,824;
фа (/) = 0,824 [ 1 -|- (2,26 — 3,71 < 0,824 + 1,45.0.8242) j = 0,978.
Сначала определим прогибы балки при треугольной эпюре напряжений в сжатой
боне, т. е. при 6 = 2/3 и со = г/2. Тогда по формулам (5.127) — (5.130) имеем:
0 9
в момент нагружения балки, т. е. при ф/ = 0, £ = А- - = 1,092; =
0,о24
= ^73-[2 • 4- • 0,104 + 5,71 • (0,001 + 1,092 • 0,004)1 = 1,683 м; Л, =
0,0 • 0,1О 12 J
•=----А е а ' [0.5 • 0,104 • 0,1 + 5,71 • (0,001 • 0,05 + 1,092.0,004 • 0,94)] =
0,о • О,1о
«= — 0,362 м2; х = — -у- (1,683 — /1.6832 + 4.0,362) = 0,1930 м.
Так как х > расчет ведем для таврового сечения. По формулам (5.127) и (5.131)
находим
[0 I2 1 2 1
0,16 • 0,1933 + 3.0,104 . (0,193 — 0,5.0,1)2 + 0,104 *- -=-5- +
4 I о 2
+ 5,71 [0,001 • (0,193 — 0,05)2 + 1,092 < 0,004 • (0,94 — 0.193)2] = 0,01663 м4;
4- = 1П«'5П nififiq = 43>° " 10-4 1/М'
р 3,5 • 10* • 0,01ооо
5
Начальный прогиб f = « 43,0 • 10”4 • 202 = 0,179 м.
Напряжения в крайнем сжатом волокне бетона определяем по формуле (5.124):
2 Ч . Л 1Q3
Об = ЧИГ--------29,1 МПа = 0,728/?Tj.
По табл. 1.4 находим 0 = 0,039 1/МПа. Следовательно, ун = 2,83 + 2 • 0,039 X
X 29,1 • (2,83 - 1) = 6,98; £ (/) = = 0,92; (/) = (2 • 0,5 X
X 0,104 + 5,71 • (0,001 + 0,92 • 0,004) . (1 + 2,44 «(1 4-2.0,039.29,1)]} =4,299 м;
Л2 (/) =---1 - {0,5 • 0,104 • О,] + 5,71 • (0,001 . 0,05 + 0,92 • 0,004 X
0,0 • О,1о
X 0,94) • [1 + 2,44 • (1 + 2 • 0,039 • 29,1)]} = — 2,314 м2; х (/) =--(4,299 —
—/4,2992 + 4 • 2,314) = 0,484 м; /т (/) = [0,16 • 0,484s + 3 . 0,104 • (0,484 —
О 12 1 о 1
— 0,5 • 0,1)2 + 0,104 - ----~ + 5,71 . [0,001 • (0,484 — 0,05)* + 0,92 X
X 0,004 • (0,94 — 0,484)2] . [ 1 + 2,44 • (1 + 2.0,039 • 29,1)] = 0,07461 м«; =
= 0 0^ • [1 4- 2,44 • (1 + 2.0,039 • 29,1] - 1 = 1,00; = 43,0 • IO"4 X
X (1 + 1,00) = 86,0 • 10-4 1/м; f(t) =-jg- • 86,0 • 10~4 • 202 = 0,358 м.
При прямоугольной эпюре напряжений в бетоне сжатой зоны имеем 6 = х/$
и со= 1. Следовательно:
41 = -"б Уб I2 • 1 • 0.Ю4 + 5,71 . (0,001 + 1,092 . 0,004)] = 1,492 м;
Аг =-----1 . о 16 [1 • 0,104.0,1 + 5,71 . (0,001 • 0,05 + 1,092 . 0,004 • 0,94)] =
= — 0,2133 м2; х --------L . (1,492 — /1.4922 + 4 • 0,2133) = 0,1314 м;
/т= [о,16.0,1314s + 3 • 0,104 . (0,1314 — 0,5 • О,I)2+ 0,104 • | х
Х-у • 1 + 5,71 [0,001 • (0,1314 — 0,05)2 + 1,092 • 0,004 • (0,94 — 0.1314)2] =
- 0.01769 v ; 20°;17ю - 0.168 м,
2,5*0, 1314 о Л вхт-г Л А ПАП
°б = —0,1769— = 8,6 МПа = 0,464/?т1.
В табл. 1.4 находим 0 = 0,010 1/МПа; ун = 2,83 + 2 • 0,010 • 18,6 * (2,83 —
- 1) = 3,51; 4j (0 = 1 * 16 {2.1- 0,104 + 5,71 . (0,001 +
+ 0,92 . 0,004) . [1 + 2,44 (1 + 2 • 0,010 • 18,6)]} = 2,026 м;
А2 (/) =---1 ,"о~16' О • 0,104 • 0,1 + 5,71 . (0,001 • 0,05 + 0,92.0,004 • 0,94) X
X [1 + 2,44 • (1 + 2 • 0,010 . 18,6)]} = — 0,6095 м2; х (/) --1- (2,026—
—/2,0262 + 4 • 0,6095) = 0,2659 м; /„ (/) = р), 16 • 0,2659s + 3 • 0,104 х
X (0,2659 — 0,5 • 0,1)а + 0,104 • • Ц- . 1+5,71 • [0,001 . (0,2659 —
— 0,05)2+ 0,92.0,004 . (0,9 4 — 0,2659)*] [ 1 + 2,44 • (1 + 2-0,010. 18,6)]} «
= 0,05158 м4; ф^ = ц + 2,44 • (1 + 2.0,010 . 18,6)] — 1 = 0,49;
/ (0 = 0,168 . (1 + 0,49) = 0,250 м.
Таблица 5.5. Результаты расчета балки
Вид эпюры напряжений Тре- угольная Прямо- угольная Вид эпюры напряжений Тре- угольная Прямо- угольная
xt м 0,193 0,131 а6 (/), МПа 16,2 12,9
X (/), м 0,484 0,266 а', МПа 123 65
/, м 0,179 0,168
f (0. м 0,358 0.250 Пд (/), МПа 746 260
аб, МПа 29,1 18,6 аа, МПа —701 —713
аа (/), МПа —721 —746
Чтобы оценить влияние вида эпюры напряжений в бетоне сжатой
зоны на напряженно-деформированное состояние балки, используют
результаты расчетов как при треугольной, так и прямоугольной эпю-
рах (табл. 5.5). Из этой таблицы видно, что форма эпюры оказывает
неодинаковое влияние на различные величины. Так, треугольная эпю-
ра переоценивает начальные напряжения в бетоне и изменение этих
напряжений от ползучести. Такое же влияние эта эпюра оказывает
на напряжения в арматуре сжатой зоны. Влияние ползучести бетона
при треугольной эпюре на прогибы сказывается в большей степени,
чем при прямоугольной. С другой стороны, прямоугольная эпюра не-
дооценивает начальные напряжения в арматуре сжатой зоны.
Определение усилий в многопролетных неразрезных балках
Расчет многопролетных неразрезных балок при кратковременном дей-
ствии нагрузки изложен в главе 4. Сначала балку рассчитывают как уп-
ругую систему, затем разбивают на т участков с постоянной величи-
ной жесткости. Далее методом сил производится расчет балки с пере-
менной жесткостью. В итоге оказывается, что балку можно разбить
на зоны, включающие участки, на которых напряжения в крайних
сжатых волокнах сечений с трещинами больше т]/?0; зоны, состоящие
из участков с аб < т]7?0 и зоны, примыкающие к сечениям с нулевыми
моментами и работающие по стадии 1.
С известной точностью можно считать, что при длительном действии
внешней нагрузки на участках саб> т]/?0 будет протекать нелинейная
ползучесть, а на остальных —линейная. В процессе перераспределе-
ния усилий (в зависимости от схемы нагружения, насыщения армату-
рой и других факторов) длина зон может изменяться, а ползучесть бе-
тона на участках, покрытых трещинами, переходить из одной области
в другую.
В общем случае (при нелинейной ползучести и наличии трещин в
растянутых зонах) канонические уравнения метода сил могут быть
записаны в следующей форме:
п / т ( 1 Н т
S kХ 6lW + [8lkl(/) -6W] + J 2 8ikl +
£=1 \ /=1 k J 0 ( /=1
tn \ tn
+ S [^[УП/ (^/ (t, T) - dr J + S (0 = 0,
(i= 1, 2, ...n), (5.133)
где Xk и f (Xk) — начальное значение усилия и некоторая нелиней-
ная функция этого усилия.
В простейшем случае, по аналогии с [2],
f(Xk) = Xk + QX2k, (5.134) -где 0 = -^-. (5.135)
С учетом сказанного уравнение (5.133) преобразуется в алгебраи-
ческое
п ( т т
S X* 2 W1 - т£/ + (1 + 0/Х*) ф^] -b xk (/) s Ььгы +
А=1 к /=1 /=1
+ S Д/р/ (1 + Фу1*) = о. /=1 (5.136)
Здесь ф/1 = [1 + ф0(1 + 2Р/сгб/)] — 1; (5.137)
ТнЧ = Т/И + 20/ХИтГ-1). (5.138)
Численные значения /т (/), /т и аб определяются по формулам (5.127)
и (5.124), — по табл. 2.1 (в зависимости от фм и тх).
Для участков, на которых протекает линейная ползучесть, в форму-
лах (5.136) —(5.138) достаточно принять 0 = £ = 0.
Порядок расчета изложен в § 4.1.
В заключение следует отметить, что рассмотренный выше «ручной»
способ прост и нагляден, однако область его рационального примене-
ния достаточно ограничена, так как при п > 3 расчет неразрезных ба-
лок связан с кропотливой вычислительной работой. В реальных ус-
ловиях во многих случаях приходится иметь дело со сложными систе-
мами. Совершенно очевидно, что при расчете таких систем весь объем
вычислительной работы целесообразно передать на ЭВМ. Указанные
соображения нетрудно реализовать, если представить уравнения
(5.133) или (5.136) в форме, удобной для составления стандартных про-
грамм — например, в форме интегральных уравнений второго рода
модифицированного типа Вольтерра, для которых такие программы
уже имеются.
Список литературы
1. Александровский С. В. О методике исследований ползучести и влажностных де-
формаций бетона.— В кн.: Методика лабораторных исследований деформаций
бетона, арматуры и железобетонных конструкций : Тр. координационного сове
щания. М. : Госстройиздат, 1962, с. 20—50.
2. Арутюнян Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести.— М. : Гостехтеориз-
дат, 1952,— 323 с.
3. Берг О. Я.> Щербаков Е. Н., Писанко Г. Н. Высокопрочный бетон.—
М. : Стройиздат, 1971.— 207 с.
4. Бондаренко В. М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона.— Харь-
ков : Изд-во Харьк. ун-та, 1968.— 322 с.
5. Буданов И. А. Учет деформаций упругого последействия бетона при расчете по-
терь напряжения в арматуре преднапряженных железобетонных конструкций
от ползучести бетона.— В кн.: Межвуз. науч, совет, по вопросам теории и прак-
тики применения предварительно напряженных железобетонных конструк-
ций : Тез. и аннот. докл. Харьков; Изд-во Харьк. ун-та, 1961, с. 16—17.
6. Голышев А. Б. Расчет предварительно напряженных железобетонных конструк-
ций с учетом длительных процессов.— М. : Стройиздат, 1964.— 149 с.
7. Голышев А. Б., Полищук В. П., Колпаков Ю. А. Расчет сборномонолитных кон-
струкций с учетом фактора времени.— К. * Буд1вельник, 1969.— 218 с.
8. Голышев А. Б., Руденко И. В, К решению некоторых прикладных задач нелиней-
ной теории ползучести бетона.— В кн.: Строительные конструкции. К.: Будь
вельник, 1973, вып. 22, с. 120—125.
9. Карапетян К. С. Экспериментальное исследование ползучести бетона : Автореф.
дис. ... д-ра техн, наук.— Л. : ЛИСИ, 1967.— 29 с.
10. Кизирия Г. В. Расчет конструкций с учетом деформаций ползучести бетона.—
Тбилиси : Мецниереба, 1969.— 129 с.
11. Крылов С. М. Перераспределение усилий в статически неопределимых железо-
бетонных конструкциях.— М. : Стройиздат, 1964,— 167 с.
12. Лившиц Я. Д- Расчет железобетонных конструкций с учетом влияния усадки
и ползучести бетона.— К. : Вища школа, 1971.— 230 с.
13. Метелюк И. С. Совершенствование расчета сооружений, возводимых в сложных
грунтовых условиях.— К. : Буд1вельник, 1980.— 142 с.
14. Методические рекомендации по расчету несущей способности сборно-монолитных
конструкций по нормальным сечениям.— К. : НИИСК Госстроя СССР, 1980.—
39 с.
15. Методические рекомендации по учету влияния ползучести бетона при расчете
железобетонных стержней и стержневых систем.— К. .* НИИСК Госстроя СССР,
1981.— 73 с.
16. Полищук В. П. К расчету потерь предварительного напряжения с учетом нели-
нейной ползучести бетона.— В кн.: Исследования по бетону и железобетону:
Тр. Челябинского политехнич. ин-та. Челябинск, 1971, с. 106—109.
17. Полищук В. П., Черняева Р. П. К расчету потерь преднапряжения арматуры
от усадки и ползучести бетона.— В кн.: Железобетонные конструкции : Тр.
УралНИИстромпроекта. Челябинск, 1972, вып. 6, с. 152—156.
18. Полищук В, П. Экспериментальное исследование потерь преднапряжения от усад-
ки и ползучести бетона. — В кн.: Железобетонные конструкции : Тр. Урал-
НИИстромпроекта. Челябинск, 1972, вып. 6, с. 83—102.
19. Прокопович И. Е. Основы прикладной линейной теории ползучести.— К. :
Вища школа, 1978.— 141 с.
20. Рекомендации по определению потерь предварительного напряжения от усадки
и ползучести шлакопемзобетона.— Челябинск : УралНИИстромпроект, 1974.—
27 с.
21. Стороженко Л. И. Трубобетонные конструкции.— К..’ Буд1вельник, 1978.—
79 с.
22. Улицкий И. И. Расчет бетонных и железобетонных арочных и комбинированных
конструкций с учетом длительных процессов.— К..* Гостехиздат, 1950,—166 с.
23. Улицкий И. И., Киреева С. В., Фанстиль И. В. Потери предварительного напря-
жения от ползучести и усадки бетона в железобетонных конструкциях.— К. :
Госстройиздат УССР, 1962.— 206 с.
24. Улицкий И. И., Метелюк Н. С., Реминец Г. М. Жесткость железобетонных
изгибаемых элементов.— К-.’ Госстройиздат УССР, 1963.— 83 с.
25. Улицкий И. И., Чжан Чжун-яо, Голышев А. Б. Расчет железобетонных конструк-
ций с учетом длительных процессов.— К.: Госстройиздат УССР, I960.—
494 с.
26. Черняева Р. П., Попов В. К., Полищук В. П. Длительные испытания конструк-
ций из высокопрочного шлакопемзобетона.— В кн.: Железобетонные конструк-
ции : Тр. УралНИИстромпроекта. Челябинск, 1971, вып. 5, с. 57—66.
27. Щелкунов В. Г. Об учете обратимости деформаций ползучести в теории старения.—
В кн.: Строительные конструкции.— К»: Буд1вельник, 1965, вып. 2, с. 118—122.
28. Яценко Е. А. Исследование потерь предварительного напряжения от усадки и
ползучести бетона во внецентренно обжатых железобетонных элементах.— Изв.
вузов. Стр-во и архитектура, Новосибирск. 1963, № 3, с. 23—35.
29. Koss A. D. Creep of concrete under variable stress.—Journal of the American Conc-
rete Institute. 1958, Vol. 29, N 9, p. 19—23.
Огла вление
ВВЕДЕНИЕ.......................................... 3
Глава 1. ПОЛЗУЧЕСТЬ И УСАДКА БЕТОНА. РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯ-
ЖЕНИЙ В БЕТОНЕ И ЖЕЛЕЗОБЕТОНЕ..................... 4
Глава 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО СТЕРЖНЯ.......................... 11
Глава 3. ДЕФОРМАЦИИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО СТЕРЖНЯ...... 31
Г л а в а 4. ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТАТИЧЕСКИ НЕ-
ОПРЕДЕЛИМЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ СИСТЕМАХ.............. 43
Г л а в а 5. К РЕШЕНИЮ БОЛЕЕ ОБЩИХ ЗАДАЧ ОБЫЧНОГО И ПРЕД-
НАПРЯЖЕННОГО ЖЕЛЕЗОБЕТОНА........................ 95
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .............................. 125
Александр Борисович Голышев, д-р. техн, наук
Виталий Петрович Полищук, канд. техн, наук
Ирина Валентиновна Руденко, инж.
Расчет
железобетонных
стержневых систем
с учетом фактора времени
Редактор В. Н. Пархоменко
Обложка художника С. И. Райхли на
Художественный редактор А. А. Стеценко
Технический редактор 3. П. Золотарева
Корректоры Л. И. Римаренко, Ж. А. Медведь
ИБ № 2220
Сдано в набор 16.05.83. Подп. в печ. 17.11.83. БФ 04001. Формат бОХЭО’Ав. Бум. кн. журн.
Гарн. лит. Печ. выс. Усл. печ. л. 8. Усл. кр.-отт. 8,25. Уч.-изд. л. 8,87. Тираж 4000 экз. Изд.
№ 343. Заказ № 4—1148. Цена 55 к.
Издательство «Буд1вельник». 252053, Киев-53, Обсерваторная, 25.
Отпечатано с матриц Головного предприятия республиканского производственного объеди-
нения «ПолиграфкниГа» Госкомиздата УССР, 252057, Киев-57, Довженко, 3 на Киевской
фабрике печатной рекламы им. XXVI съезда КПСС, 252067, Киев-67, Выборгская, 84.
Голышев А. Б. и др.
Г62 Расчет железобетонных стержневых систем с учетом фак-
тора времени / А. Б. Голышев, В. П. Полищук, И. В. Руден-
ко.— К.: Буд1вельник, 1984.— 128 с., ил.— Библиогр.: с. 125—
126.
В книге изложены практические методы расчета статистически определимых *
неопределимых железобетонных стержней и стержневых систем в эксплуатационной
стадии работы с учетом усадки, ползучести бетона, релаксации усилий и прогрес-
сирующего трещинообразования. Дана оценка характера влияния длительных процес-
сов на напряженно-деформированное состояние стержней и стержневых систем. Содер-
жится теоретическое и экспериментальное обоснование эффективности предложенных
аналитических решений. Рассчитана на инженерно-технических работников проектных
организаций и научно-исследовательских институтов.
г 3206000000—006 26 84
М203(04)—84