/
Text
Н. М. РУДИН
ОТ МАГИЧЕСКОГО
КВАДРАТА
К ШАХМАТАМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1969
Н. М. Рудин
Р83 От магического квадрата к шахматам. М.,
«Просвещение», 1969.
48 с. с илл.
В брошюре говорится о математической природе шахмат, выдви
гается гипотеза, в которой «магический» квадрат рассматривается в
качестве вероятной основы возникновения шахматной игры
Автор приводит интересные примеры «скрытых магических ря¬
дов», обусловленных ходами шахматных фигур, дает оригинальное
объяснение возникновению начальной позиции фигур на шахматной
доске. Книга предназначена для внеклассных занятий учащихся
старших классов средней школы и для студентов.
2-2-12
350—69
7А9.1
ОТ РЕДАКЦИИ.
Шахматы в нашей стране стали увлечением миллионов. Многих
вновь и вновь интересует вопрос о происхождении этой интересной и
мудрой игры, вопрос, который более тысячи лет остается безот¬
ветным
В настоящей работе излагается гипотеза о математических исто¬
ках процесса возникновения шахматной игры. Идея окрепла и была
развита автором вследствие обнаруженной им удивительной связи
шахмат, ходов шахматных фигур, со свойствами известного в матема¬
тике «магического» квадрата' если ход каждой шахматной фигуры
интерпретировать соответствующей «линией» на магическом квадрате
восьмого порядка, то для определенного класса таких квадратов эти
линии оказываются «магическими» с одной и той же константой.
Связав эти наблюдения с фактами, относящимися к далекой истории
культуры периода формирования начальных космогонических пред¬
ставлений (4 стихии, 4 рода атомов, философия Платона и т. п.), ав¬
тор приходит к выводу о рождении шахматных фигур и их ходов в
процессе постепенной материализации свойств «скрытых магических
линий» магического квадрата. Шахматы как материализация опреде¬
ленных свойств некоторой матрицы чисел — такой взгляд на их проис¬
хождение больше по душе нам — материалистам и математикам, не¬
жели существующее до сих пор ничем не аргументированное пред¬
ставление о них как о продукте озарения гениального неизвестного
изобретателя.
Популярное изложение делает настоящую брошюру доступной
каждому, кто имеет первоначальное представление об игре в шахма¬
ты и о шахматной нотации.
Редакция считает, что книга Н. М. Рудина будет интересной и по
лезной для широкого круга читателей.
I. КАК ШАХМАТИСТЫ ПРЕДСТАВЛЯЮТ СЕБЕ
СОЗДАНИЕ ШАХМАТ?
Один из самых существенных вопросов истории шах¬
мат ни у нас, ни в других странах не только не разрешен,
но остается до сих пор неосвещенным: вопрос о проис¬
хождении игры. Никаких реальных и бесспорных дан¬
ных, говорящих о том, почему и как возникли шахматы,
не найдено. История шахмат вынуждена довольство¬
ваться легендами и предположениями. Почти каждое
руководство к изучению игры начинается с изложения
сказок об ее изобретении.
Однако, несмотря на отсутствие видимых историче¬
ских источников, которые могли бы открыть причину по¬
явления игры и указать мотивы, заставившие создать
причудливые элементы ее, в наши дни не утратила своего
значения мысль о необходимости доказать наличие в них
единства и основной идеи, а не случайности, разгадать
творческие замыслы, побудившие к созданию игры.
Немецкий проблемист И. Код указывал, что в ходах
фигур есть система, которую можно понять, если допу¬
стить, что ладья и слон ходили вначале через одну клетку;
тогда, делая ход с углового поля, ладья пойдет а1—аЗ,
слон а 1—сЗ; между ними остается поле ЬЗ, для занятия
которого и пришлось выдумать затейливый ход коня
а1—ЬЗ.
Один из русских шахматистов построил сложную ло¬
гику элементов игры, пытаясь разумно обосновать мате¬
риал шахматного искусства. Он указывает: доска — иде¬
альная планиметрическая фигура; движение фигур созда¬
но по единому плану, ходы построены так, что с какого-
либо центрального поля король владеет всеми прилегаю¬
щими полями, ферзь — некоторыми полями во втором ря¬
ду, а конь — остальными в том же ряду; ход слона а1—Ь8
делит пополам прямой угол, составленный двумя ходами
5
ладьи с того же поля, а ход коня а1—ЬЗ—с5—67 делит
по возможности пополам угол между ходами ладьи и
слона *,
Один современный советский шахматист в статье, оза¬
главленной «К вопросу о происхождении и развитии шах¬
мат» (заметим, что никакой гипотезы о происхождении
игры, ходов и других элементов игры в ней не сообщает¬
ся), пишет о том, что первоначальная идея о фигурах и
пешках «и разработка системы различных ходов, весьма
вероятно, принадлежали какому-то неведомому нам изоб¬
ретателю»,— разделяя, как видим, старинное убеждение
в изобретении игры **.
В «Шахматном словаре» указывается: «Шахматы воз¬
никли как плод народного творчества из живой потребно¬
сти человека в интересной форме умственного соревно¬
вания». ***
Это предположение, конечно, серьезнее, чем вера в
гениального изобретателя, однако допущение выхода
шахмат из фольклора также не имеет реальных осно¬
ваний.
Таким образом, кроме предположений, история игры
ничем не располагает.
Вполне понятно желание так или иначе обосновать
элементы игры и установить в них систему, однако все
попытки в этом отношении не дали результата.
Общим характерным моментом у всех исследователей
было допущение того, что элементы игры кем-либо изоб¬
ретены, а это означало их искусственность и случайность.
Высказывали соображения о том, изобретены ли они од¬
ним человеком или несколькими, придуманы ли сразу,
созданы ли по какому-либо плану и т. д., но никогда не
ставили вопроса об естественных началах, которые мог¬
ли бы родить шахматное искусство.
История шахмат не обладает точными данными ни о
месте, ни о времени возникновения шахмат. Общеприня¬
тое мнение о происхождении их в Индии подвергают со¬
мнению отдельные историки.
Предположение о рождении шахмат за несколько ве¬
ков до нашей эры также не разделяется всеми историка-
* См.: Е. А. 3 н о с к о-Б о р о в с к и й. Теория середины игры в
шахматах. Л., 1925, стр. 7—63.
** См. журнал «Шахматы в СССР», 1952, № 10 и 12 .
*** «Шахматный словарь». М., 1964, стр. 36.
6
ми. Некоторые из них допускали возникновение игры
лишь в IV—'V веках н. э., исходя из того, что первые
упоминания о шахматах в письменных памятниках от¬
носятся к этому времени. Однако шахматы могли су¬
ществовать и ранее. Высказываются соображения, что
шахматы существуют в Индии более полутора тысяч лет.
Допускалась возможность возникновения игры у буд¬
дистов. Буддизм зародился в Индии в конце VI века до
н. э. Впоследствии он был вытеснен из Индии господство¬
вавшей в те времена религией брахманизма, которая не
допускала никаких писаний о буддизме и связанных с
ним явлениях. Этим объясняли отсутствие ранних упо¬
минаний об игре в индийской литературе.
Таким образом, периодически меняются одни утверж¬
дения на другие.
В мою задачу не входит исследование вопросов о ме¬
сте и времени зарождения шахмат, поэтому я исхожу из
того, что родиной их является Индия. Поскольку уста¬
новлено, что шашечные игры существовали задолго до
нашей эры, постольку допустимо, что в той или иной
форме могли существовать в этот период и шахматы.
Я не даю гипотезу о происхождении шахмат на осно¬
вании каких-либо вновь открытых материалов, я подхожу
к рассмотрению вопроса с материалом общеизвестным,
относящимся к области математики и дающим возмож¬
ность получить решение, опирающееся на факты. Этот
материал остался совершенно неиспользованным и обой¬
денным историками игры, так как до настоящего време¬
ни не отмечен математикой. Он поможет правильно ре¬
шить вопрос о времени и месте рождения шахмат, но для
этого потребуются предварительные исследования в об¬
ласти истории древней математики, астрономии и фило¬
софии. Без этого невозможно отвести должное место
письменным памятникам и памятникам материальной
культуры, относящимся к шахматам.
Работа не претендует быть историческим исследова¬
нием, она описывает тот материал, который, как следует
думать, лег в основу шахматной игры и был ее источни¬
ком, открывая причину и весь процесс зарождения игры,
возникновения шахматных фигур, их ходов, количества и
расстановки. Он устанавливает не изобретение игры, не
случайность элементов ее, а закономерное открытие и
естественную основу их.
7
II. ЧТО ТАКОЕ МАТЕРИАЛ ШАХМАТНОГО ИСКУССТВА?
Для воплощения своей творческой мысли шахматисты
пользуются материалом, к которому обычно относят до¬
ску, фигуры и их ходы.
Один теоретик, отмечая эти три элемента, соответст¬
венно определяет их как пространство, силы и время. Та¬
ким образом, материал игры воспринимается как символ
физических понятий, имеющий глубокое и таинственное
значение.
Другой теоретик пишет еще определеннее: «Что такое
шахматный слон или ладья, как не иррациональная ве¬
личина, свойства и действия которой нами хорошо изуче¬
ны, но с которой нашему здравому смыслу и естествен¬
ным чувствам абсолютно нечего делать» *.
Здесь происходит распространенная ошибка: вместо
сущности явления берется впечатление от него. Это было
вечной помехой в поисках истоков игры. Материал пони¬
мался фантастично, он не был осознан. Исследователи
исходили из его внешних данных, а не из сущности. Они об¬
ращали внимание на военную терминологию в игре, на
сходство фигур и их расстановки с индусским войском
и т. п. Они полагали, что игра отражает военные части и
их операции, т. е. в какой-то степени схожа с игрой в
оловянные солдатики. Все это сбивало с правильного
пути и отвлекало внимание от основного характера шах¬
матного материала.
Чтобы выявить его сущность, надо удалить от него
свойства, созданные воображением, т. е. забыть всякие
«силы», «пространства», солдатиков, экзотику, забыть
выдумку об изобретении фигур.
Игра протекает в перестановке фигур (в широком
смысле слова) с одного поля доски на другое. Переста¬
новка фигур делается в результате мысленного проведе¬
ния линии между двумя полями, причем фигура переста¬
вляется с начального поля линии на конечное.
Из этого следует, что в основе шахмат лежит прове¬
дение линий, т. е. мысленное «черчение». То, что шахмат¬
ная игра является черчением, ясно видно из того, что хо-
* А. Смирнов. Новые идеи в шахматах. Статья в журнале
«Русский современник». М.—Л., 1924, №3.
8
ды любой фигуры или всех фигур в партии можно изоб¬
разить графически *.
Таким образом, два математических элемента — пло¬
скость и линия — являются материалом шахматного ис¬
кусства.
Доска и фигуры служат лишь для оформления этих
элементов.
Плоскость предстает в виде квадрата, разделенно¬
го на 64 клетки. Линии соединяют «точки» на плоскости,
т. е. клетки квадрата, по трем основным принципам: пря¬
молинейно («вертикально» или «горизонтально»), диаго¬
нально и «сверхдиагонально» (ходом коня; диаграмма
№ 1). Из семи «видов движений»
фигур шесть выполняются отдель¬
ными фигурами, а один — рокиров¬
ка— двумя фигурами сразу:
1. Король «проводит линию» на
соседнее поле «прямо» или по диа¬
гонали.
2. Ферзь — прямо или по диа¬
гонали на любое поле.
3. Ладья — прямо, на любое поле
4. Слон — на любое по диагонали.
5. Конь — на ближайшие поля по сверхдиагонали.
6. Пешка проводит линию на соседнее поле вперед по
вертикали, а с начального поля может через клетку; при
взятии фигуры — на соседнее вперед по диагонали; при
достижении предельного поля пешка проводит линии,
как любая фигура, кроме короля.
7. Рокировка выполняется двумя фигурами: король с
начального места проводит линию в любую сторону по
горизонтали через клетку, а ладья — навстречу ему и
кончает свою линию на пересеченной клетке.
Установив, что материал шахматного искусства за¬
ключается в двух элементах — плоскости и линии, мы
можем обратиться к поискам того источника, который
породил в шахматах эти элементы.
№ 1
Л
*
V
* Графика игры никого не интересовала, лишь как на курьез на
нее обратил внимание С. Тартаковер в книге «Ультрасовременная
шахматная партия» Д\, 1925—1926
9
III. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА ШАХМАТ.
В математике существуют таблицы чисел, называе¬
мые «магическими квадратами». В этих таблицах раз¬
личные натуральные числа ставятся в клетках квадра¬
та по определенному методу, благодаря чему сумма чи¬
сел в каждом ряду квадрата — горизонтальном, верти¬
кальном и диагональном — является величиной постоян¬
ной (константой). Так, например, в квадрате с 9 клетка¬
ми, изображенном на диаграмме № 2, в каждом ряду
три числа, сумма которых равна 15. В магическом квад¬
рате с 16 клетками (диаграмма № 3) в каждом ряду
4 числа, и сумма их, или константа, равна 34.
№ 2
2
1
9
к.
7
5
3
6
1
8
№ 3
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
к
15
14
1
Наличие константы, т. е. неизменяемой суммы чисел
в рядах, а также другие особенности таблицы, о которых
мы узнаем далее, настолько поражали древних ученых,
что они присвоили этим квадратам наименование «маги¬
ческие», доныне сохраняемое в математике. Для удобст¬
ва будем называть и ряды с константой магическими.
В зависимости от числа клеток меняется количество и
сумма чисел в каждом ряду, т. е. каждый квадрат имеет
свою константу. Количество возможных расстановок чи¬
сел в каждом квадрате колоссально.
Мы приводим одну из расстановок квадрата с 64
клетками (диаграмма № 4). Метод расстановки чисел в
квадратах указан в специальной литературе (список
которой приложен в конце книги).
В магическом квадрате с 64 клетками каждый маги¬
ческий ряд имеет 8 чисел, дающих в сумме 260. Кроме
горизонтальных, вертикальных и диагональных рядов,
математика знает в этом квадрате еще магический ряд,
составленный двумя дополнительными диагоналями (см.,
например, диаграмму № 5).
10
Однако, помимо этих, известных математике рядов,
во всех магических квадратах есть другие, внешне скры¬
тые магические ряды, дающие константу своего квадрата.
8
1
5
«
3
2
1
64
63
3
к
5
6
58
57
56
55
11
12
13
14
50
49
17
18
46
45
44
43
23
24
25
26
38
37
36
35
31
32
33
34
30
29
28
27
39
40
41
42
22
21
20
19
47
48
16
15
51
52
53
54
10
9
8
7
N
60
61
62
2
1
а 6 с с1 е * д Ь
В приведенном квадрате с 64 клетками также имеется
огромное количество подобных рядов. Среди них есть
такие, расположение чисел в которых соответствует опи¬
санным нами принципам черчения, или, просто говоря,
ходам всех шахматных фигур.
Наличие скрытых рядов в магических квадратах ни¬
кем отмечено не было, точно так же никто не указывал
на магический квадрат как на источник шахматной игры.
Весьма близко к этому подходили математики XVIII ве¬
ка, в том числе Л. Эйлер, которые, с одной стороны, изу¬
чали магические квадраты, а с другой — решали хорошо
известную теперь задачу о «Ходе коня» по шахматной
доске, но никакой связи между шахматами и квадратами
не заметили. Еще ближе к вопросу подошли русский ма¬
тематик и шахматист К. Яниш и австриец Венцелидес, со¬
ставившие такие магические квадраты, в которых числа
расположены по ходу коня, однако этим дело и ограничи¬
лось. Скрытые магические ряды, определявшие ходы
фигур, остались невыявленными.
К этим замечательным рядам мы теперь и обратимся,
останавливаясь лишь на тех из них, которые имеют отно¬
шение к шахматам.
Если поставить все 8 шахматных фигур на первона¬
чальные места и сделать ими один ход на их предельные
П
поля, имея направление вперед и к центру доски, то они
встанут так: Ла1—а8, КЬ1—сЗ, Сс1—-Ь6, ФА\—Й8,
Кре1—е2, СИ—аб, К&1—ГЗ, ЛЫ—Ь8 (диаграмма № 6).
На этих полях в магическом квадрате, изображенном
на диаграмме № 4, стоят определенные числа; если мы
№ 6
л
ф
л
с
с
к
к
Кр
их сложим, то сумма будет равна 260, т. е. мы получим
константу данного квадрата. Это значит, что фигуры со¬
ставили своим расположением магический ряд.
Мы сделали ход белыми фигурами, попробуем сде¬
лать черными. Оказывается, и они встали на поля с кон¬
стантой.
Если мы будем ставить фигуры на каждую из четырех
сторон квадрата, то, делая те же ходы, фигуры будут за¬
нимать поля с константой.
Из всего этого мы можем заключить, что ходы шах¬
матных фигур и их расстановка находятся в явном соот¬
ветствии с математическими свойствами магического
квадрата.
IV. ХОДЫ ФИГУР В МАГИЧЕСКОМ КВАДРАТЕ.
Принцип хода каждой фигуры заключен в многочи¬
сленных скрытых магических рядах. Мы приводим мно¬
гие из этих рядов, причем ход фигуры начинаем не с
первоначального места, а с любого поля, чтобы нагляд¬
нее выразить принцип ее движения. Движение ферзя,
12
ладьи и слона мы не ограничиваем одной прямой линией,
а ограничиваем магическим рядом, составленным по
принципам ходов этих фигур.
Принципы ходов шахматных фигур заключены в сле¬
дующих скрытых магических рядах:
1. Принцип хода коня. Начинаем с описания самого
необъяснимого хода, хода коня. Он всегда и всеми счи¬
тался явно выдуманным и искусственным. Если начер¬
тить некоторые ряды с этим ходом, то они будут напоми¬
нать стихийные явления — молнии, волны и пр.
а 1 —ЬЗ—с 1—<13—е 1—13— е 1—ЬЗ; а1—с2—аЗ—Ы—<12—ГЗ—<14—е2;
П—(12—13—(14—15—(16—17—(18; а 1—ЬЗ—14—с2—е1—13—Ь4—§2;
а1—с2—аЗ—с4—е5—§6—е7—§8; Ы—§3—И—Ь2 и а8—Ъ6—с8—а7;
с2—еЗ—с4—(12 и 17—16—15—е7; а1—ЬЗ—с5—с!7 и е1—13—§5—Ь7;
а1—ЪЗ—с!4—с2 и Ь8—17—е5—§6; а8—с7—еб— §5 и Ы—12—13—Ъ4;
а1—ЬЗ—а5—Ъ7 и с1—<13—с5—<17; а1—с2—<14—!5 и Ь8—17—е5—с4;
<11—Ь2—а4—сЗ и 15—Ь6—а8—с7; ЬЗ—а1— с2—14 и е5—17—Ь8— §6;
а1—ЬЗ—14—с2 и е7—§8—Ь6—15; а1—ЬЗ—14—с2 и е8—^7—Ь5—16
с1—а2—Ь4—13—с5—аб—Ь8—17; и др. (диаграммы № 7—14).
2. Принцип хода короля:
с4—с5—16—еб—15—14—еЗ—13; сЗ—с4—13—14—е5—еб—15—16;
с4—15—16—е5—15—е4—еЗ—14; а1—а2—Ы—Ь2 и §7— §8—Ь7—Ь8
11—12—е1—е2 и 17—18—е7—е8; и др. (диаграммы № 15, 16).
14
3. Принцип хода ферзя:
с 1—с2—сЗ— (34—е5—Гб—Г 7— 18; сЗ—(13—еЗ—е4—с!5—с16—еб—Гб;
еЗ—с4—с5—с16—еб—15— [4—ГЗ; а2—Ъ2—сЗ— <14—е5—Гб— ц7—Н7;
аЗ_Ь4—с5—(15—е4—14—е5—Ь6; сб—с5—с4—(15—е4—Г5—14—ГЗ
и др. (диаграммы № 17—19).
7‘
V
7
4
_ А
к А
V
К/
т—
V
1—1
—
_
4. Принцип хода ладьи:
<12—е2—еЗ—е4—е5—еб—е7—17; с2—сЗ—с4—<14—е4—Г4—13—12
а2—Ъ2—с2—12 и е7—[7—§7—Ь7; и др. (диаграммы № 20, 21).
15
5. Принцип хода слона:
(11 е2 ГЗ—и е8—с!7—сб—Ь5; а4—Ь5—сб— с15—е4—[3—^4—Ь5
а2 ЬЗ с4 (15—е4—[5—^6—Ь7; и др. (диаграммы № 22, 23).
6. Принцип хода пешки:
а 1 — Ь2—аЗ—Ь4—а5—Ь6—а7—Ь8; а 1 — а2—аЗ_а4—Ь5—Ъ6—Ь7—Ь8;
а2—а4—а5—аб и Ь7—Ь5—Ь4—ЬЗ; Ь2—ЪЗ—Ь4—сб и ^7—§6—^5—Г4
Ь6—Ь7—Ь8—(47 и &3—§2—§1—е2; и др. (диаграммы № 24, 25).
№ 24
—1
/
г
----
—
16
7. Принцип хода — рокировки. Он заключает в себе
ход ладьи и ход короля через клетку:
а1—с1—е1—^1—Ъ8—(18—!8—Ь8; а1— Ы—с1—е1 и Ь8—&8—18—(18
и др, (диаграммы № 26, 27).
№ 26
№ 27
Из всех описанных примеров следует вывод, что ме¬
жду магическими квадратами и шахматами имеется нео¬
споримая связь. Никаких случайных совпадений здесь
быть не может, так как ходы шахматных фигур не толь¬
ко содержатся в бесчисленных магических квадратах с
64 клетками, но, как увидим далее, и в квадратах всех
величин, поскольку у них одна и та же математическая
природа.
Таким образом, шахматы неразрывно связаны с мате¬
матическими явлениями.
В связи с открытием неизвестных магических рядов
все магические квадраты можно разделить на 3 кате¬
гории:
1. К первой категории отнести квадраты, имеющие
константу в горизонтальных и вертикальных рядах.
2. Ко второй — имеющие, кроме этих рядов, еще два
диагональных ряда и два в дополнительных диагоналях.
3. К третьей — имеющие не только магические ряды
первых двух категорий, но еще скрытые магические ря¬
ды, неизвестные математике. Одни из них соответствуют
ходам шахматных фигур, а другие всевозможным знакам
2 Заказ 2495
17
и эмблемам (звезды, кресты, пентаграммы и пр.), о чем
мы скажем в последней главе.
Говоря в дальнейшем о квадратах, мы будем иметь в
виду лишь магические квадраты третьей категории.
Для иллюстрации указанных категорий можно приве¬
сти следующие магические квадраты.
На диаграмме № 28 изображен магический квадрат,
имеющий горизонтальные и вертикальные ряды, но не
имеющий других рядов.
На диаграмме № 29 магический квадрат имеет
сверх того ряды по большим и дополнительным диагона¬
лям.
№ 28 № 29
63
14
37
24
51
26
35
10
22
39
62
13
36
11
50
27
15
64
23
38
25
52
9
34
40
21
16
61
12
33
28
49
17
60
1
44
29
48
53
8
2
41
20
57
6
55
32
47
59
18
43
4
45
30
7
54
42
3
58
19
56
5
46
31
1
63
62
4
5
59
58
8
56
10
11
53
52
14
15
49
48
18
19
45
44
22
23
41
25
39
38
28
29
35
34
32
33
31
30
36
37
27
26
40
24
42
43
21
20
46
47
17
16
50
51
13
12
54
55
9
57
7
6
60
61
3
2
64
На диаграмме № 30 в квадрате, кроме указанных ря¬
дов, есть еще ряды с ходами шахматных фигур.
№ 30
37
27
39
25
32
34
30
36
20
46
18
48
41
23
43
21
53
11
55
9
16
50
14
52
4
62
2
64
57
7
59
5
60
6
58
в
1
63
3
61
13
51
15
49
56
10
54
12
44
22
42
24
17
47
19
45
29
35
31
33
40
26
38
28
18
V. МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ СТАРШЕ ШАХМАТ,
Магический квадрат появился на заре истории. Древ¬
нейшее изображение его находится на «священной ки¬
тайской таблице Ло-шу», относящейся ко времени трех с
половиной тысяч лет до н. э. *.
Как полагает история математики, квадрат стал ра¬
но известен Вавилону и Индии.
Следовательно, магические квадраты являются табли¬
цами весьма древнего происхождения и, во всяком слу¬
чае, несравненно древнее шахмат.
В Европе магический квадрат впервые был опублико¬
ван во II веке н. э. греческим математиком Теоном
Смирнским в его книге, озаглавленной: «Что нужно
знать из математики, чтоб понимать Платона». Посколь¬
ку этот труд является комментарием к математическим
рассуждениям Платона, постольку можно заключить, что
магический квадрат был известен грекам во времена
Платона, т. е. в IV веке до н. э., а так как Платон свои
математические сообщения преимущественно заимство¬
вал у пифагорейцев (VI век до н. э.), то возможно они
первые знали в Греции магический квадрат.
Хотя опубликование магического квадрата состоялось
в Греции, как более просвещенной стране того времени,
тем не менее покорить Европу пришлось квадрату не от¬
сюда. Он был известен Индии, откуда попал к арабам и
иранцам, а оттуда в Восточно-Римскую империю. Здесь
популяризацией квадрата занимался византийский пи¬
сатель Мосхопуло (1-я половина XV столетия). Лишь
с этого времени из Византии квадраты быстро распро¬
странились по Западной Европе, где в течение ряда ве¬
ков привлекали к себе внимание виднейших матема¬
тиков.
В древности значение магического квадрата было
совсем не математическое. Математика, как и другие на¬
уки, во многом была сокровенным знанием, с ней связыва¬
лись суеверия, у разных народов существовала числовая
мистика. В связи с этим жрецы, в чьих руках была древ¬
няя наука, должны были хранить магический квадрат в
тайне, он был астрологической таблицей, оракулом, он
* См.* Д. Г. Цейтен. История математики в древности и в
средние века. М., 1932, стр. 209; проф. И. И. Чистяков. Число¬
вые суеверия. М.—Л., 1927, стр. 28.
2*
19
имел таинственный смысл. В Индии он употреблялся как
талисман. Талисманом он был и у арабов, «поэтому со¬
ставление их было одной из любимых тем арабской ма¬
тематики» *. Всем этим можно объяснить, что, рано по¬
явившись в истории, магический квадрат поздно получил
известность. Даже в Греции математические изыскания
пифагорейцев полностью не разглашались. Платон, ко¬
торый, как видно из указанной книги Теона Смирнского,
имел в виду в своих сочинениях магические квадраты,
нигде открыто о них не говорит. Сам Теон Смирнский
публикует квадрат только с 9 клетками, тогда как арабы
«занимались составлением квадратов из чисел до 49, 64
и 81» **.
Опубликование магического квадрата в Европе
стало возможным лишь во II веке н. э.
В средние века в Европе магические квадраты сохра¬
няли мистическое значение и употреблялись как талисма¬
ны. Квадрат-талисман с 64 клетками связывали с именем
Меркурия, что заимствовано у арабов, которые 7 квадра¬
тов разных величин связывали с 7 разными планетами,
признаваемыми древними народами: Солнце, Луна, Мер¬
курий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн.
Русский историк шахмат Д. И. Саргин, опираясь на
большой фактический материал, приходит в своем капи¬
тальном труде к заключению, что все шашечные игры
произошли из астрологии. Он пишет: «Не позволительно
ли, ввиду множества соприкосновений состава разных
шашечных игр с астрономическими понятиями, сделать
предположение, что самые игры на доске произошли из
астрологии, представляли первоначально в руках жрецов
орудия предсказаний, гороскопические аппараты, и лишь
позднее обратились в развлечения»... «Допустив эту гипо¬
тезу, мы путем дальнейшего ее развития должны были.бы
прийти к заключению, что игральные расчерченные доски
были аппаратами, на которых постановкой шашек начер¬
но записывались астрономические наблюдения над дви¬
жениями небесных светил, а позднее эти аппараты выли¬
лись в известные формы и стали служить уже гороско¬
пами» ***.
* Проф. А. В. Васильев. Целое число. Пг.. 1922, стр. 73.
** Т а м же.
***д ц Саргин. Древность игр в шашки и шахматы. М, 1915,
стр. 219.
Что такое гороскоп? Древние народы верили, чго рас¬
положение планет и звезд оказывает влияние на судьбу
каждого человека с момента его рождения, а поэтому
культивировали предсказания по звездам, создав соот¬
ветствующую ложную науку — астрологию, которая в
древности сливалась с астрономией. Астрологические
предсказания изображали на расчлененном квадрате, что
и называлось гороскопом. Позднее стали понимать, что
вся астрология — обман. В каждый момент рождаются
тысячи людей, а судьба у всех разная. Кодекс законов
восточно-римского императора Юстиниана (VI век) при¬
равнивает астрологов к отравителям. В последующие ве¬
ка на Западе снова появлялись наивные почитатели аст¬
рологии.
Вывод Д. И. Саргина о происхождении шашек и шах¬
мат из астрологии вполне основателен, но последующее
предположение о досках подтверждений не имеет, и Сар-
гин не мог объяснить, для чего нужно было на шашечных
досках примитивно изображать шашками астрономиче¬
ские явления и притом пользоваться для этого клетками,
когда древняя наука применяла в астрономии сложные
математические методы. Теон Смирнский и философ
Порфирий указывали, что египтяне при изучении движе¬
ний планет пользовались методом черчения, а халдеи
предпочитали вычисления. Эти методы не могла не знать
Индия.
Смысл шашечных досок надо искать не в клетках, а в
том математическом содержании, которым заполнялись
эти клетки.
На разграфленных досках изображался магический
квадрат, и только он один имел отношение к астрологии.
Указания о том или ином отношении шашечных игр к
астрономии и мистике встречаются в разных древних ис¬
точниках. В частности, в диалоге Платона «Федр» Сократ
рассказывает о египетском божестве, «которому посвя¬
щена была священная птица, называемая Ибисом, имя
же самого демона Февв, он первый изобрел число, счет,
геометрию, астрономию, сверх того игры в шашки и в ко¬
сти, а также и письмена» *. Римский эпический поэт Са¬
лей Басс сообщает в поэме- «Похвала Пизону» такие наи.
* П л а 1 о н. Федр, 59 Творения Платона, т 5 Пг., 1922,
стр. 160.
21
менования шашек в игре: Солнце, Сатурн, Марс, Юпитер.
В наиболее ранней иранской истории шахмат — в «Книге
о чатуранге» (VII век) обращает внимание рассказ о со¬
здании шашечной игры Нард: «Доску я уподобляю земле
Спандармад, и 30 камней — 30-ти дням и ночам... каждую
кость — движению звезд и небосвода», «движение камней
туда и сюда, направляемое костью, уподобляю тому, как
дух людей на земле связан со светилами» *. Арабский
писатель X века Масуди приводит в «Золотых лугах»
описание шахматной игры и отмечает один из видов ее—
астрономический. В книге игр испанского короля Аль¬
фонса Мудрого (XIII век) сообщается также об игре
«Астрономические шахматы». Немецкий историк шах¬
матной игры А. Ван дер Линде приводит указание санс¬
критолога А. Вебера о том, что в Индии четверная ша¬
шечная игра с костью вошла в число обрядов при празд¬
новании полнолуния и т. д.
Востоковед Борк доказывал (1935 г.), что происхож¬
дение шахмат надо искать в религиозных (астральных)
и космографических воззрениях древних народов, что ча-
турраджа была вначале «планетным оракулом», в нее иг¬
рали в новолуние или полнолуние**.
Японские шахматы сохранили для некоторых фигур
названия созвездий: Большая Медведица, Малая Медве¬
дица и др.
Если всевозможные факты косвенно указывают на
связь шахмат с астрономией и космографическими теори¬
ями в те далекие времена, то магические квадраты уста¬
навливают это непосредственно.
Шашечные игры существовали у разных народов
древности, они были известны Китаю, Японии, Вавилону,
Египту, Индии, Греции и другим. Древнейшими шашеч¬
ными играми являются китайские и японские. Рано эти
игры знал и Египет: найденное здесь изображение игры,
похожей на шахматную, относится к периоду трех тысяч
лет до н. э.
* И. Орбели и К. Тревер. Шатранг — книга о шахматах.
Л., 1936, стр. 51—52.
** Мысль о том, что чатуранга вышла из оракула и олицетво¬
ряла рождение 4-х стихий, впервые была высказана мной в 1926 г.
в статье, переданной в журнал «64. Шахматы и шашки в рабочем
клубе», а также известному шахматисту Н. Григорьеву.
22
VI. ПОЧЕМУ И КТО СОЗДАЛ ШАХМАТЫ?
Кто изобрел шахмаш? почему? и как?
На все вопросы, касающиеся происхождения шахмат,
история игры ответов не имеет, однако эти вопросы на¬
стоятельно требуют их решения.
Каким образом могло произойти, что человек, получив
мудрую игру на глазах истории в великом культурном
государстве, вдруг тут же и тогда же раз навсегда за¬
был, где и когда он получил эту игру?
Это объясняется тем, что необходимо было навеки
скрыть магический квадрат и ритуальное происхождение
из него шахмат. Чтобы замести следы ко всему этому и
отвлечь внимание от сокровенных знаний, одновременно
с выпуском игры во всеобщее обращение были опубли¬
кованы вымышленные рассказы об ее изобретении.
Обман необычайно удался. Эти рассказы так повлия¬
ли на историков игры, что они свыше тысячи лет не пред¬
ставляли себе никакого другого пути создания шахмат,
кроме изобретения шахматных фигур. Они не сомне¬
вались, что игра началась с шахматных солдатиков. Од¬
нако, как увидим далее, начало шахматам положила ма¬
тематика, а не деревянные игрушки, которые не начали, а
закончили создание игры, лишь оформив собой математи¬
ческие действия. История игры все века ожидала, что
тайну происхождения ее «поведают слоны и кони».
Шахматы никто не изобретал, они создавались многи¬
ми лицами в течение весьма длительного времени, может
быть веками, и без всякой мысли изобрести игру. У ин¬
дусских ученых были совсем не похожие на забаву цели,
когда они исследовали магическую таблицу чисел и нахо¬
дили в ней такие закономерности, которые они считали
божественными и которые со временем, помимо воли
жрецов, образовали игру.
Поскольку происхождение шахмат из астрономии (ас¬
трологии) вытекает из различных литературных источ¬
ников и памятников материальной культуры и неоспо¬
римо доказывается связью шахмат с магическим квад¬
ратом, постольку следует поставить вопрос о том, какова
же была та космографическая идея, которая заставила
древних исследователей выделить ряд различных эле¬
ментов из магического квадрата и соединить их в одно
целое, приведшее к шахматам.
23
В Индии существовала игра чатуранга, в которой сна¬
чала, как полагают некоторые историки, пользовались в
процессе игры игральными костями, а затем от них осво¬
бодились и ходы стали определяться только мыслью иг¬
роков. Для этой последней формы игры история шахмат
употребляет наименование четурраджа.
Из четурраджи образовалась игра шагранг, оконча¬
тельно вылившаяся в шахматы. Допускается, что шат-
ранг образовался в странах Средней Азии у таджиков и
хорезмийцев. Ранее предполагалось образование шатран-
га в Индии или арабских странах. Поскольку нас инте¬
ресует не развитие игры и ее правил, а причина возник¬
новения ее, постольку мы будем иметь в виду ее более
или менее древнюю форму — чатурангу.
№ 31 № 32
со
32
и
N
9
и
и
и
и
33
■о
73
а
о.
а
с;
п
П
п
п
пг
с
К
л
Кр
си
со
Она была четверной игрой. Каждый из 4-х игроков
имел 4 фигуры и 4 пешки. Фигуры ставились по углам на
левой стороне доски в следующем порядке: Са1, КЫ, Лс1,
КрсП. Пешки стояли перед ними (диаграмма № 31). Фи¬
гуры носили несколько иные названия, расцветка их бы¬
ла: черные, красные, зеленые, желтые.
Если взять 4 поля, занятых фигурами чатуранги на
одной какой-либо стороне доски, и 4 таких же поля на
противоположной, то получается магический ряд.
Здесь возникает вопрос, ответ на который ведет к раз¬
гадке тайны происхождения шахмат.
Четыре поля не в углу, а в середине первой линии, т. е.
с1—(И—е1—И, и четыре противоположных тоже состав¬
ляют магический ряд (диаграмма № 32).
24
Почему же в таком случае фигуры чатуранги постави¬
ли не в середине линии, что было бы бедственно и удоб¬
но, а по углам доски?
Эта особенность расстановки фигур чатуранги не
только привлекает к себе внимание, но и требует ответа.
Фигуры, расставленные по углам, отображают центро¬
бежное движение от центра доски. Они как бы отброше¬
ны туда вихрем. Иначе они оказались бы в середине ли¬
нии. Отсюда вытекает заключение, что фигуры вышли из
центра, т. е. там они зародились.
Так как законы математики универсальны, то древние
ученые для понимания некоторых небесных явлений при¬
бегали к особому методу: они искали и изучали в земных
явлениях соответствия небесным. Аристотель писал про
пифагорейцев: «Все, что они могли в числах и гармониче¬
ских сочетаниях показать согласующегося с состояниями
и частями мира и со всем мировым устройством, это они
сводили вместе и приспособляли» *.
Пифагорейцы жили в VI веке до н. э. Метод, о кото¬
ром пишет Аристотель, был известен древним народам.
Связь Индии с пифагорейцами не вызывает спора **.
Поскольку астрономия была математической наукой,
изучавшей небесные явления, постольку идея, которая
руководила жрецами, должна была иметь отношение к
вихревому космическому явлению.
Индусские ученые в магических квадратах и, в част¬
ности, в центробежном движении могли усматривать от¬
ражение каких-либо мировых процессов. Один из рисун¬
ков центробежного движения в квадрате с 64 клетками
привлекал особое внимание: движение исходило из цент¬
ра квадрата и изображало спираль (диаграмма № 33).
Каждые два противоположных крыла этого рисунка
составляют магический ряд. В каждом крыле 4 клетки.
Все четыре крыла центробежно относятся в 4 стороны.
В соответствии с этими данными древние ученые мог¬
ли считать, что 4 клетки каждого крыла соответствуют
* Аристотель. Метафизика. 1, 5. М., 1934.
** «Сочинения богословско-геометрического характера Сульва-
сутры, которые санскритологами относятся к VIII веку до н. э., за¬
ставляют думать, что теорема Пифагора была уже в это время из¬
вестна индийским жрецам. Основываясь на этом, многие ученые
считают несомненным влияние Индии на Пифагора, указывая и на
другие черты сходства между учением Пифагора и учением брах¬
манов» (Проф. А. В. Васильев. Целое число. Пг., 1922, стр. 64).
25
каким-либо 4 космическим потоком, несущимся во все
4 чает света.
Впоследствии «крылья» были отпрошены в углы
квадрата и там определили места для фигур чатуранги.
Какие же явления могли отражать 4 центробежных
потока?
№ 33
(
1
'Ч
\
Ч.
]
, )
Из астрономических, физических и философских зна¬
ний древней Индии наиболее вероятным можно признать
олицетворение 4 стихий. Как у всех древних народов,
разные философские системы Индии (чарвака, буддизм,
санкхья) признавали первосущностью 4 элемента или
стихии: земля, вода, огонь, воздух. Система вайшешик
допускала 4 рода атомов. Это влияние философии могло
натолкнуть мысль жрецов на то, что в магических квад¬
ратах заключается отражение центробежного движения
веществ, составляющих 4 стихии. Философская система
санкхья признавала круговращение вещества.
Мысль об образовании стихий в результате враща¬
тельных вихревых движений занимала философов и дру¬
гих древних стран, в частности философов Греции V—IV
века до н. э.
Из всего описанного можно допустить, что идеей, ко¬
торая повлияла на установку фигур по углам доски, была
мысль о том, что рисунок центробежного движения отра¬
жает в магическом квадрате космическое явление — рож¬
дение стихий. Эта мысль заставила жрецов тщательно
исследовать магический ряд с фигурой центробежного
движения и натолкнуться на неожиданное открытие.
26
VII. КАК РОДИЛИСЬ ФИГУРЫ И ИХ ХОДЫ?
Центральный рисунок центробежного движения в
каждом крыле имел 4 клетки. Эти клетки были располо¬
жены так, что одна находилась в центре доски, а три ос¬
тальные на рисунке были «ниже» ее. Такое расположение
позволяло думать, что вихрь рождался в центре, в верх¬
ней клетке, откуда стихии летели в нижние и далее.
Это допущение заставило провести три линии с верх¬
ней клетки на нижние (диаграмма № 34). Проведенные
линии изобразили три принципа движения: прямолиней¬
ный (ладья), диагональный (слон) и сверхдиагональный
(конь).
№ 34 № 35
Полученный чертеж давал повод полагать, что веще¬
ства трех стихий не только пришли на три нижние клет¬
ки, но должны по тем же принципам ходов продолжать
движение.
В связи с таким рассуждением на клетки были постав¬
лены шашки, получившие разные отметки. Затем каждую
из трех нижних шашек передвинули с ее клетки далее от
центра, но строго сохраняя присвоенный ей принцип хода.
Тогда шашка сверхдиагонального принципа (конь)
пошла сЗ—а2, шашка диагонального принципа (слон) —
63—с2 и прямолинейного (ладья) — еЗ—е2 (диаграмма
№35).
Шашка, которая была поставлена на центральное по¬
ле и до сих пор стояла неподвижно (король), теперь так¬
же сдвинулась и пошла или е4—еЗ, или е4—63. Оказа¬
лось, что в том и другом случае поля, занятые теперь все-
27
ми шашками, вновь составили магический ряд вместе с
подобными противоположными (диаграмма № 36).
Это было магической неожиданностью. Однако иссле¬
дователи пошли далее. Поскольку речь шла о круговра¬
щательном вихревом движении, постольку они попробо¬
вали направить движение по кругу, т. е. передвинуть все
фигуры с крайнего поля центробежно отброшенной фи¬
гуры сЗ к верхнему углу: КсЗ—Ь5, СсЗ—Ь4, ЛсЗ—ЬЗ,
КрсЗ—с4 или Ь2. Фигуры снова заняли с противополож¬
ными магический ряд.
Наконец фигуры пошли далее на крайнюю линию:
КЬ5—а7, СЬ4—а5, ЛЬЗ—аЗ, Крс4—Ь5 или Ъ4. И снова с
противоположными полями составился магический ряд
(диаграмма № 37).
№136 № 37
Здесь мы видим не отдельные фигуры, составляющие
своим ходом магический ряд, а комплекс разных фигур с
их разными ходами, которые при известной системе дви¬
жения образуют магические ряды совместно.
Магический квадрат «раскрыл свою тайну», он дал
прямое и ясное указание о движении стихий по четырем
различным принципам. После этого шашки должны бы¬
ли приобрести не только разные формы, но и особые на¬
звания. Так родились, а не были изобретены четыре фи¬
гуры с четырьмя своеобразными ходами. Только в опи¬
санном процессе рождения фигур были созданы причуд¬
ливый ход коня и двойной ход короля.
Превратившись в разные фигуры, шашки стали по
очереди двигаться по клеткам, сохраняя свои принципы
28
ходов и разыскивая те магические ряды, которые соответ¬
ствовали этим принципам. С опытом над каждой шашкой
магизм квадрата раскрывался вновь и вновь: шашка
сверхдиагонального принципа (конь) нашла всевозмож¬
ные простые и сложные ряды с константой. Шашки пря¬
мого и диагонального принципа, двигаясь лишь на сосед¬
нее поле, и центральная шашка (король) с двумя прин¬
ципами движения также открывали свои ряды, которые
мы рассмотрели ранее.
Описанный процесс рождения шахматных фигур уста¬
навливает не только принципы их ходов, но и количество
фигур. Это те фигуры и то количество, которые существо¬
вали в индийской игре чатуранге. Названия фигур были
иные, а ход ладьи и слона впоследствии не ограничивал¬
ся соседним полем.
Процесс рождения фигур, а в сущности — рождения
шахмат отвечает на безответные до сих пор вопросы об
игре: он открывает источник шахматной игры, причину
возникновения ее, происхождение всех ходов и фигур,
обосновывает их количество, расстановку по углам и пр.,
наконец, указывает причину движения фигур по доске,,
т. е. основание их динамики, которая до этого ниоткуда
не вытекала.
VIII. ПИФАГОРЕЙСКОЕ УЧЕНИЕ О РОЖДЕНИИ СТИХИЙ
И ОПИСАНИЕ РОЖДЕНИЯ ШАХМАТНЫХ ФИГУР
Эта глава отмечает соответствие, которое имеется ме¬
жду описанной гипотезой о рождении шахматных фигур
и учением древнегреческого философа Платона о рожде¬
нии атомов стихий.
Родоначальниками атомизма в Греции были два фи¬
лософа: Левкипп, о котором не сохранилось почти ни¬
каких сведений, и его ученик Демокрит, от которого ос¬
талось в литературе достаточно фрагментов (V—IV век
до н. э.). Они утверждали, что образование миров про¬
изошло в результате вращательных вихревых движений
атомов. Об атомах говорил Эпикур и другие мыслители.
Греческий атомизм представлял разработанную матери¬
алистическую систему.
Атомизм был известен Индии (первые секты джайны,
философская система вайшешика, буддизм и др.).
29
Платон также признавал атомы, называя их «столь
малыми частицами стихий, что они недоступны нашему
зрению».
Как мы знаем, три шахматные фигуры — конь, слон,
ладья — родились, сделав один ход с центрального поля
е4 на три рядом стоящих поля внизу: Ке4—сЗ, Се4—<33,
Ле4—еЗ. После этого хода занятые поля вместе с цент¬
ральным е4 образуют магический ряд с противоположны¬
ми (диаграмма № 34).
Три первые фигуры делают второй ход: КсЗ—а2,
СбЗ—с2, ЛеЗ—е2. Только теперь делает ход и король,
рождая 4-ю фигуру.
Все фигуры (с противоположными) заняли места с
константой.
Из этого видно, что король возник последним и от¬
дельно от трех первых фигур.
Центральное крыло рисунка центробежного движения
можно изобразить в форме треугольника, который будет
прямоугольным неравнобедренным (диаграмма № 38).
Три первые фигуры произошли из этого треугольника.
Король произошел из другого треугольника, имеюще¬
го форму прямоугольного равнобедренного (диаграмма
№39).
№ 38
>
Л
№ 39
л
А
А
В диалоге Платона «Тимей>» рассказчик излагает кос¬
могоническую. теорию о происхождении мира, о сотворе-
30
нии существ и объясняет происхождение малых частиц
(атомов) четырех стихий: земли, воды, воздуха и огня.
Атомы находились в нераздельном хаотическом состо¬
янии, хотя и «были определены видами и числами», а за¬
тем под влиянием разных сил стали разбрасываться туда
и сюда.
Тимей говорит, что атомы стихий — это тела, имеющие
тройное измерение и поверхность. «Построенная на пря¬
мых линиях поверхность состоит из треугольников. Тре¬
угольники же все получают начало из двух треугольни¬
ков» — прямоугольного неравнобедренного и прямоуголь¬
ного равнобедренного, и далее продолжает: «Идя по не¬
обходимости путем вероятного, в этом предполагаем мы
начало огня и прочих тел».
Самым прекрасным треугольником Тимей считает
прямоугольный неравнобедрениый.
«Так пусть же у нас избраны два треугольника как
формы, из которых слагаются тело огня и тела прочих
стихий».
«Из треугольников, которые мы отличили, происходят
четыре рода (четыре тела), и именно три — из одного,
имеющего стороны неравные, четвертый же один слагает¬
ся из треугольника равнобедренного».
«И дав рождение этим телам, один из основных тре¬
угольников на том покончил, равнобедренный же произ¬
вел природу четвертого вида».
Итак, Тимей сначала говорит о пространственных те¬
лах, а затем переходит к поверхности их, к треугольни¬
кам, т. е. планиметрическим фигурам.
Платон все свои сочинения покрывает дымкой таинст¬
венности, а в тех из них, где он прибегает ко всякого рода
пифагорейским рассуждениям, он прямо затуманивает
смысл. Видимо, как посвященный в тайны, он не мог раз¬
глашать различные знания. Мы уже указывали, что Теон
Смирнский в комментариях к сочинениям Платона при¬
водит магический квадрат, тогда как у Платона он откры¬
то нигде не упоминается.
Если мы сопоставим повествование Платона и наше
описание рождения фигур, то нетрудно заметить соответ¬
ствия. И тут и там имеются космогонические соображе¬
ния — рождение четырех стихий, числовая мистика, про¬
исхождение атомов стихий из двух прямоугольных тре¬
угольников, причем из одного — неравнобедренного —
31
произошли атомы трех стихий, а из равнобедренного —
атомы одной стихни, Совпадает последовательность рож¬
дения атомов: неравнобедренный родил атомы трех сти¬
хий и «на том покончил, равнобедренный же произвел
природу четвертого тела», т. е. король образовался
последним, и т. д. *.
По свидетельствам древности, Платон купил у пифа¬
горейца Филолая его сочинение, которое переработал и
поместил в диалог «Тимей», так что учение, изложенное
Платоном, было известно до него и о нем могли знать
другие народы **.
Хотя Теон Смирнский открыто дает понять, что Пла¬
тон знал магический квадрат, и хотя, как мы видели, есть
соответствие между пифагорейским учением и рождени¬
ем шахматных фигур, все же этого недостаточно, чтобы
утверждать, что Платон имел в виду не только магиче¬
ский квадрат, но и процесс зарождения того оракула,
который через огромное количество лет превратился в
игру.
Мы отмечаем близость описаний по более скромной
причине: эта близость дает основание полагать, что наша
гипотеза является характерной для подобных теорий
древности, а поэтому приближается к достоверности.
IX. ШАХМАТНЫЕ ХОДЫ В МАГИЧЕСКИХ
КВАДРАТАХ ВСЕХ ВЕЛИЧИН.
Помимо магического квадрата с 64 клетками, скры¬
тые магические ряды со своей константой заключены в
квадратах других порядков. При этом в них встречаются
ряды, соответствующие ходам шахматных фигур. Это
объясняется общими методами построения квадратов,
так как они представляют одно математическое явление
с одинаковыми свойствами. В связи с этим возникает
вопрос: какое отношение магические ряды разных квад¬
ратов могли иметь к зарождению чатуранги?
* См.: Сочинения Платона. Пер. Карпова, т. 6. М., 1879,
стр. 427—437.
** «Связь между индийской наукой, с одной стороны, греческой
и арабской, с другой, совершенно очевидна; особенно живой обмен
между индусами, греками и арабами существовал в области мате¬
матических и астрономических знаний». Ф. Даннеман. История
естествознания, т. 1. М., 1932, стр. 63.
32
Рассмотрим некоторые квадраты (которые относятся
к 3-й категории).
Квадрат с 25 клетками имеет в каждом ряду 5 чисел и
константу 65 (диаграмма № 40).
Если с центрального поля сЗ сделать ходы ладьей по
всем четырем направлениям и занять поля: аЗ, с5, еЗ, с1,
то они вместе с центральным полем дают константу. То
же будем иметь и с другими фигурами.
Квадрат с 49 клетками имеет 7 чисел в ряду и кон¬
станту 175 (диаграмма № 41). В нем имеются ряды с хо-
№ 10
3
16
9
22
15
20.
8
21
14
2
7
25
13
1
19
24
12
5
18
6
11
4
17
10
23
№ 41
4
29
12
37
20
45
26
35
11
36
19
44
27
3
10
42
18
43
26
2
34
41
17
49
25
1
33
9
16
4В
24
7
32
8
40
47
23
6
31
14
39
15
22
5
30
13
38
21
46
дом коня, например: Ы— 62—ГЗ—64—Ь5—66—18 и мно
гие другие.
Квадрат с 81 клеткой имеет 9 чисел в ряду и констан
ту 369 (диаграмма № 42).
№ 42
11
16
13
79
81
76
29
36
31
16
1*1
12
79
77
75
39
32
30
15
10
17
78
73
80
33
28
35
56
63
58
30
95
90
20
27
22
61
59
57
93
91
39
25
23
21
60
55
62
92
37
99
29
19
26
97
5*1
49
2
9
9
65
72
67
52
50
98
7
5
3
70
68
66
51
96
53
6
1
8
69
69
71
№ 43
С
? с
5 о
С
/А
[■ -
/
/ / I
/ |
\
1
с—
\
\
5 С
Г -1
\
1г -
3 Заклз 2495
33
Здесь фигуры могли родиться по тому же методу, как
в квадрате с 64 клетками. С центральной клетки е5 фи¬
гуры ходят так: сначала слон через одну клетку Се5—сЗ,
затем конь е5—63, ладья — через клетку Л е5—еЗ и ко¬
роль е5—е4. Если продолжить движение шашек по тем
принципам, по которым они встали на эти поля, то шаш¬
ки займут поля с константой: а1—с1—е1—еЗ—е5—е7—
е9—^9—19 (диаграмма № 43). Король может ходить по
диагонали, т. е. на с!4 и на сЗ.
В этом квадрате есть ходы коня, например: е1—д2—
13—§4—е5—сб—а7—с8—е9.
В магическом квадрате со 100 клетками также имеют¬
ся ряды с ходом коня.
Итак, ходы шахматных фигур соответствуют магиче¬
ским рядам в разных квадратах, поэтому нет ничего не¬
возможного в том, что фигуры с шахматными ходами
рождались на квадратах разных величин. На каком квад¬
рате впервые родились фигуры —неизвестно, но ясно од¬
но, что если даже они родились не на квадрате с 64 клет¬
ками, то они не могли быть переставлены на этот квад¬
рат, так как он сам рождал свои фигуры.
Надо думать, что все шашечные игры вышли из ма¬
гических квадратов и некоторые из них были в той или
иной степени близки чатуранге, являясь предшественни¬
ками ее, однако когда квадрат с 64 клетками родил 4
фигуры, олицетворявшие стихии, то прочие подобные иг¬
ры постепенно теряли значение-
В период формирования чатуранги в нее могли про¬
никнуть элементы других игр, даже в шахматах появля¬
лись на некоторое время фигуры, рожденные на других
квадратах, так, например, известно проникновение сло¬
на с пятисторонним ходом, т. е. ходившего с одного по¬
ля по четырем диагоналям и по одной прямой (диаг¬
рамма № 44). Такой слон мог родиться только в
квадрате с 36 клетками, где в каждом ряду 6 чисел
(константа 111). Действительно, в одном из квадратов
мы находим соответствующий магический ряд: Ь4—с4—
(14—сЗ—Ъ2—62 (диаграмма № 45).
В шахматах появлялся конь с ходом а1—Ъ4. Этот
ход имеется в магических квадратах с 64 и 81 клетками.
На квадрате с 64 клетками он зародиться не мог, так
как здесь был конь с ходом, установленным фигурой
34
центробежного движения, следовательно, дальнобойный
копь временно заносился в шахматы из какой-либо
другой игры.
В процессе развития чатуранги на игру могли влиять
разные магические квадраты, однако поскольку чату-
ранга была необычайно сильна своими четырьмя фи¬
гурами, рожденными, как 4 стихии, постольку никакой
нужды у нее заимствовать фигуры других игр не было,
поэтому если они проникали в чатурангу и шахматы, то
быстро отмирали.
№ 45
1
35
34
3
32
6
30
8
28
27
11
7
24
23
15
16
14
19
13
17
21
22
20
18
12
26
9
10
29
25
31
2
4
33
5
36
Высказывались мнения о заимствовании игры в са¬
мый ранний период одними народами у других, однако
теперь более вероятно, что заимствовали не игру, а ма¬
гический квадрат и метод рождения фигур, игра же каж¬
дым народом создавалась самостоятельно. Этим объяс¬
няется введение в Китае доски с 90 клетками (9X10),
а в Японии с 81 клеткой, чего не могло бы быть при за¬
имствовании всей игры. Этим же можно объяснить
сходство японских и китайских шахмат с индийскими в
отношении ходов лишь некоторых фигур.
X. ПОЧЕМУ 64 КЛЕТКИ?
Мы рассмотрели процесс рождения шахматных фи¬
гур и их ходов, т. е. самого основного и своеобразного
элемента игры, теперь встает вопрос: почему для шах¬
мат принят квадрат с 64 клетками?
Магические квадраты всех величин имеют свои маги¬
ческие ряды и, следовательно, могли породить свои фи¬
гуры и оформиться в игру. История шашечных игр знает
3*
35
игры, подобные шахматам, на досках других величин,
однако все эти игры не имели того международного зна¬
чения, которое получила чатуранга, вылившаяся в шах¬
маты. Все это говорит о том, что должны были быть осо¬
бые причины культивировать игру на доске с 64 клет¬
ками.
Число 4 было в почете в Индии, а возведенное в куб,
т. е. 64, считалось числом мистическим.
Греческий писатель II века н. э. Флавий Арриан в
своей книге об Индии, описывая ее великий город того
времени Палимботры (Патна), сообщает, что в нем
«башен же стена имеет 570 и ворот 64»*. Даже коли¬
чество ворот города определяется этим числом.
К этому присоединялось и другое соображение, когда
ученые исследовали квадраты разной величины. Если в
рисунке центробежного движения усматривалось соот¬
ветствие четырем стихиям, то требовался и рисунок, в
каждом крыле которого было бы 4 клетки, а это давал
только квадрат с 64 клетками.
Как мы отметили, число 4 имело особое значение.
Древняя индийская литература отмечает: 4 ступени
жизни, 4 вида существ, 4 состояния души, 4 истины,
4-ликий Брахма, 4 веды, 4 средства политики, 4 рода
пищи и пр. **.
Следовательно, шахматная доска имела мистическое
количество клеток, соответствовавшее той идее, которая
руководила исследователями.
Существующая расцветка полей появилась лишь в
средние века и к магическому квадрату отношения не
имеет.
В некоторых шашечных играх употреблялась про¬
долговатая доска, а также были игры с крестообразной
доской, в которой каждая конечность креста имела 4
клетки.
Такие доски соответствовали определенным магиче¬
ским квадратам, точнее, магическим прямоугольникам.
Приводим один из них, в котором по горизонтали 8 и
по вертикали 4 клетки. Константа в коротких рядах
равна 66, а в длинных 132 (диаграмма № 46).
* Хрестоматия по истории древнего мира. Арриан. Индия. М.,
1950, стр. 89.
** См. «Махабхарата», т. 1. М., 1950;
Т у л с и-Д а с. Рамаяна. М., 1948.
36
В приведенном прямоугольнике есть скрытые ряды
из 4 чисел, например: с1—е2—63-—14. В нем нетрудно
заметить отдельные ходы коня и слона.
Магические прямоугольники могут быть и других ве¬
личин.
№ 46
17
15
14
5
4
22
23
32
8
26
6
13
21
3
31
24
25
7
27
20
12
30
2
9
16
18
19
28
29
11
10
1
Все это говорит лишь о том, что разные игры были
неотделимы от магического квадрата.
XI. ПЕРВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ФИГУР.
Когда родились фигуры, встал вопрос: что же с ни¬
ми делать далее?
Сперва их стали двигать по квадрату присвоенными
им ходами и таким образом открывали скрытые маги¬
ческие ряды. Затем начали приписывать фигурам ка¬
чества тех явлений, которые они олицетворяли.
Атомы стихий, центробежно отбрасываемые в сторо¬
ны, должны были бесконечно двигаться. Индусская фи¬
лософская система санкхья, как мы уже указали,
признает круговращение вещества. При непрерывном
движении разных стихий неизбежны столкновения и
борьба. Эти явления индусы применяли в шашечной иг¬
ре нард (неварташир), ранее нами упомянутой, о кото¬
рой в «Книге о чатуранге» говорится, что движение
камней туда и сюда подобно тому, «как дух людей на
земле связан со светилами, которые по семи в 12 созвез¬
диях постоянно вращаются и пребывают, и когда насту¬
пает пора, один другого поражают и вытесняют, как
люди на земле один другого поражают и вытесняют»*.
В игру была введена борьба. Идея борьбы фигур не
возникала из свойств магического квадрата, следова-
* И. Орбели и К. Тревер. Шатранг — книга о шахматах,
стр. 52,
37
тельно, она была взята извне, из характера изобража¬
емых явлений.
Фигуры стали передвигать с целью борьбы, вводя
при этом те или иные правила. Так началось таинствен¬
ное гадание. Так родился оракул.
Древние ученые были служителями культа и на за¬
нятие с магическим квадратом смотрели как на свя¬
щеннодействие, через которое открывается воля богов.
Д. И. Саргин основательно полагает, что «все вообще
игры, как можно догадываться, первоначально были
способом жреческих гаданий и предсказаний и лишь
позднее перешли в форму забавы» *.
В период своего возникновения игра служила тай¬
ным культовым целям, процесс игры мог протекать как
ритуал: жрецы собирались в храме, ставя перед магиче¬
ским квадратом статуи божеств, читая молитвы и т. п.
Фигуры связывались сначала с мифологическими и
астрономическими образами. Затем они изображали го¬
ловы животных и получали мистические наименования.
Расстановка фигур в первое время могла быть слу¬
чайной, затем стали фиксировать начальные места. По¬
скольку центробежное движение отбрасывало фигуры
к углам, постольку естественно там и следовало ста¬
вить фигуры. Ранняя расстановка неизвестна, но в чату-
ранге она была во всех углах такая: Са1, КЫ, Лс1,
Крс11. Эта расстановка могла быть следствием разных
соображений, возможно она была принята с доски в 81
клетку, где фигуры шли от центра на первую линию
именно таким образом.
Вначале целью игры было взятие возможно более
фигур, а затем жрецы должны были обратить внимание
на ту фигуру, которая родилась отдельно от трех пер¬
вых. Следовательно, она должна олицетворять главней¬
шую стихию — землю и оцениваться как высшая фигу¬
ра. Со временем стали считать, что без нее невозможно
па доске существование прочих стихий, а поэтому ги¬
бель этой фигуры связывали с окончанием гадания.
Прошло много времени, когда заметили, что гадание
протекает слишком стремительно, доска быстро пустеет,
так как фигуры открыты для нападения. Потребова¬
лось прикрыть их щитами. Родились пешки, их поста-
* Д. И. Саргин. Древность игр в шашки и шахматы, стр. 295.
38
вили перед фигурами. Ходы пешек были ограничены в
сравнении с современными.
Мы получили расстановку фигур и пешек, которая
существовала в поздней чатуранге (диаграмма № 31).
Линии, занятые пешками, вместе с противоположны¬
ми дают константу. В некоторых расстановках магиче¬
ского квадрата числа дают константу тем 8 клеткам, ко¬
торые заняты фигурами и пешками в одном углу.
Жрецы продолжали гадать. Прежде всего гадали и
«открывали волю богов» относительно самых важных
событий: дождей, урожаев, войн. В связи с этими гада¬
ниями пришлось посвятить в игру властителей и полко¬
водцев, что стало отражаться на игре, она постепенно
отходила от религиозной формы и принимала военный
характер.
Интересно отметить характеристику шахмат, данную
в одной из статей русского литературного памятника
XIV столетия, так называемого «Паисиевского сборни¬
ка», и отражающую древнейшую христианскую оценку
игры: «Игра та от беззаконных халдеев, идольский
жрец тою игрою пророчествуют о победе царю от
идола».
Проходили годы или века, и по мере того как жре¬
цы все менее верили в игру, как в оракул, они удалили
с доски магический квадрат и игра стала выходить за
пределы храма.
Как мы уже говорили, выпуская игру для широкого
пользования, древние ученые, знавшие тайну оракула,
скрыли процесс рождения игры и ее источник — магиче¬
ский квадрат, распространив вымышленные легенды об
изобретении шахмат-
Мы нарисовали возможный путь развития доистори¬
ческих шахмат. Древняя астрологическая таблица мед¬
ленно сбрасывала с себя магическое покрывало, скры¬
вавшее ее простую математическую основу, и превраща¬
лась в замечательную игру.
В упомянутой «Книге о чатуранге» — наиболее ран¬
нем из иранских источников по истории шахмат — гово¬
рится: «Сколько ученых Индии эту игру чатуранг с
большим трудом и усердием создали» *. Эти слова ука-
* И. Орбелии К- Тревер. Шатранг — книга о шахматах,
стр. 51.
39
зывают на то, что шахматы не изобретались, а создава¬
лись и притом с большим трудом не одним человеком, а
многими учеными, и об этом было давно известно.
XII. ОРАКУЛ ПРЕВРАЩАЕТСЯ В ИГРУ
Поскольку в нашу задачу входит рассмотрение воп¬
роса лишь о происхождении шахмат, постольку мы кос¬
немся вопросов развития игры только с точки зрения
влияния на это магического квадрата.
Многие шашечные игры, в том числе и чатуранга,
применяли игральные кости. В отмечавшейся книге
Альфонса Мудрого описаны шахматы на досках со 100
и со 144 клетками, в которых употреблялись кости.
Поздняя чатуранга освободилась от костей и новую иг¬
ру назвали чатурраджа. Ходы в ней делались по воле
игроков. Чатурраджа из игры с четырьмя игроками
превратилась в игру с двумя игроками, которая стала
называться шатранг. Разные исследователи приписыва¬
ют эту реформу разным эпохам и народам.
Почему произошло изменение игры? Оно произошло
в тот период, когда чатуранга (чатурраджа) потеряла
культовое значение и стала распространенной игрой,
так что в ее развитие не вмешивались религиозные со¬
ображения, забыт был магический квадрат, олицетворе¬
ние стихий и пр., теперь принимали во внимание одни
игровые интересы: четверная игра была стеснительна,
требовала четырех игроков, усложняла творческие за¬
мыслы, правила игры и пр., ее надо было упростить.
Преобразователи взяли 4 фигуры 8-й линии и, не ме¬
няя их места, опустили на первую линию. Перед фигу¬
рами поставили пешки. На 8-ю линию поставили боко¬
вые составы, отразив там первую линию. У каждой сто¬
роны получилось по два короля. Пришлось одному из
них дать новое название ферзь с правом ходить на со¬
седнее поле по диагонали. Правила игры и ходы неко¬
торых фигур отличались от современных. Ладья и слон
ходили через клетку. Впоследствии ладья получила
право ходить по всей доске. Фигуры и пешки заняли ме¬
ста, на которых остаются до сих пор.
Реформа была произведена с нарушением требова¬
ний магического квадрата. В чатуррадже фигуры стояли
так, что, сделав 1 ход к центру доски и вперед, они за¬
нимали ряд с константой (с противоположными фигу-
40
рами). Теперь фигуры занимали поля без константы.
Этот «дефект» был исправлен не скоро.
Занесенные в IX веке в Европу шахматы всюду рас¬
пространились, сохраняя таинственное значение, наве¬
янное Востоком. В связи с этим церковные и граждан¬
ские власти христианских стран запрещали игру, как
языческую, бесовскую. Ее запрещает 6-й Вселенский со¬
бор; в XI—XIII веках она преследуется в разных стра¬
нах Европы. В XVI веке в России ее осуждает «Сто¬
глав» среди других «игрищ эллинского беснования».
Медленно шахматы завоевывали себе свободу.
Правила игры и ходы фигур в разной степени изме¬
нялись в течение ряда веков, кончая XIX. Все нововве¬
дения не только не противоречили свойствам магическо¬
го квадрата, но даже исправляли те погрешности про¬
тив него, которые были допущены ранее.
Введение начального хода пешки на одно или два по¬
ля вперед, взятие на проходе, прыжок короля соответст¬
вовали определенным магическим рядам. Введение хода
слона по всей диагонали (XV век) и хода ферзя по двум
направлениям на любое поле (XV век) также не проти¬
воречили магическим рядам. Лишь после введения ново¬
го хода ферзя исправлялся дефект всей расстановки. Те¬
перь все фигуры, делая один ход на предельные поля
вперед и к центру, занимали поля с константой.
Введение рокировки (XVII век) было лишь дополне¬
нием хода короля, существовавшего в XV—XVI столети¬
ях, который заключался в праве короля один раз в пар¬
тии ходить через клетку (прыжок). К этому ходу был
присоединен ход ладьи. Наконец современные правила
превращения пешки (XIX век) закончили формирование
шахмат. В настоящее время расстановка и ходы фигур
соответствуют магическим рядам.
XIII. МОЖНО ЛИ ВЫИГРАТЬ ПАРТИЮ
С ПОМОЩЬЮ МАГИЧЕСКОГО КВАДРАТА?
Имеет ли отношение к магическому квадрату и его
скрытым рядам шахматная партия? Соответствуют ли
ходы фигур в партии каким-либо математическим зако¬
номерностям и не протекает ли игра по пути, который
может определяться механически, без творческой
мысли?
41
Магический квадрат родил шахматные фигуры и их
ходы, он установил количество фигур и их расстановку,
т. е. создал материал шахматного искусства, общие же
правила игры никакого отношения к квадрату нс имеют.
Конечная цель партии — заматование короля противника
— не связана с математической таблицей. От нее не за¬
висят правила взятия фигур, выбор хода и т. п. Правила
игры созданы не магическим квадратом, а сначала куль¬
товыми, а потом игровыми соображениями. Материал
шахматного искусства имеет в основе математическое
начало, пользование же этим материалом происходит по
правилам, не имеющим к математике отношения. По
этой простой причине партия не может находиться в ка¬
кой-либо зависимости от магического квадрата и всегда
остается произведением творческого порядка.
Многочисленные попытки всякого математического
анализа шахматной игры и ходов фигур со стороны ино¬
странных и русских математиков (из русских —
К. А. Яниш и Н. В. Бугаев) не дали таких результатов,
которые могли бы влиять на игру.
При формировании игры индусы знали о связи шах¬
мат с магическим квадратом.
Если сделать два дебютных хода:
1. (12~с13, (17—(16,
2. е2—еЗ, е7—еб,
то окажется, что все 8 клеток, отмеченные в этих ходах,
составят ряд с константой.
Продолжим этот дебют, ]
(нечетный и четный) также
клетками магический ряд:
3. Ь2—ЬЗ, Ь7—Ьб,
4- &2—§3, 27—26,
5. с2—сЗ, с7—сб,
6. 12—И, 17—16,
7. сЗ—с4, сб—с5,
котором каждые два хода
составляют всеми восемью
8. 13—14, 16—15,
9. КЫ—сЗ, КЬ8—сб,
10. К&1—13, К§8—16,
11. Ла1 —Ы, Ла8—Ь8.
12. ЛИ1—21, ЛН8-28.
Мы получили расстановку фигур, известную по
арабским рукописям X века, т. е. самым древним запи¬
сям шахматных партий и дебютов, причем мы делали
ход пешкой лишь на одно поле по правилам того вре¬
мени. Эта расстановка относится к так называемым
«табия», т. е. к одной из готовых дебютных позиций, с
которых начиналась игра. Данная позиция, заменяю-
42
щая первые 12 ходов, имела, как и другие дебютные по¬
зиции, свое особое наименование: «альмуджаннлх» —
крылатое (диаграмма № 47) *.
Эта искусственная позиция замечательна симметрией
в расстановке фигур, ко¬
торая могла образовать¬
ся в результате ходов,
связанных с магическим
квадратом. Все ходы это¬
го дебюта не подчинены
стратегическим сообра¬
жениям, и только в силу
этого они попарно соот¬
ветствуют магическим ря¬
дам. Отсюда видно, что
применять магический
квадрат в партии можно
лишь при отказе от стра¬
тегических целей, т е. при
искусственных ходах, ко¬
торые для игры значения
не имеют.
В вариантах некоторых дебютов восемь полей, зани¬
маемых первыми двумя ходами, также дают константу.
Это имеет место лишь там, где ходы игроков симметрич¬
но располагают фигуры, например: Шотландская партия,
Дебют Понциани, Испанская партия, Венгерская пар¬
тия, Дебют четырех коней имеют одинаковые первые два
хода, поля которых дают константу:
1. е2—е4, е7—е5; 2. К^1—ГЗ, КЬ8—сб.
Сицилианская защита:
1. е2—е4, с7-со; 2. КЕ1—ГЗ, КЬ8-с6
и Венская партия:
1. е2—е4, е7—е5; 2. КЫ—сЗ, К^8—Гб
также в первых двух ходах дают константу.
Если бы мы захотели делать следующие ходы, свя¬
зывая их с магическими рядами квадрата, то неминуе¬
мо вошли бы в противоречие со стратегическими целями,
так как дальнейшая симметричная расстановка не соот¬
ветствует принципам дебютного развития.
* Л. Бахман. Шахматная игра в ее историческом развитии.
Л., 1925, стр. 9—13.
№ 47
л
с
в
ВСр
С
л
га
га
га
ЕС
га
!л)
ЕС
га
га
га
п
П
п
к
п
П
к
П
П
П
л
с
ф
Кр
с
л
43
Все это говорит о том, что открытие математической
основы игры никакого влияния на шахматное творчество
оказывать не может, а поэтому ни о каком «вычислении»
ходов говорить не приходится.
XIV. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МАГИЯ.
Нет сомнения, что магический квадрат получил свое
название не потому, что сумма чисел вертикальных и го¬
ризонтальных рядов является константой, а потому, что
древние математики знали наличие в квадратах бесчи¬
сленных скрытых магических рядов, из которых рожда¬
лись оракулы и разные фигуры — тайные и общеизвест¬
ные, которые распространялись по Индии и за ее преде¬
лами как священные и магические знаки.
В связи с этим сокровенным содержанием магических
квадратов они сами получили значение талисманов и
сохраняли его целые века в разных восточных странах, а
с XV века и в Европе. Люди верили, что квадраты прино¬
сят счастье, охраняют от болезней и пр.
На известной гравюре А. Дюрера (XVI век) «Мелан¬
холия» изображена крылатая женщина (Медуза), сидя¬
щая в окружении астрологических инструментов с глу¬
бокой мыслью на лице. На стене висит магический квад¬
рат, безмолвно хранящий тайну. Эта гравюра дает по¬
нять, что такой квадрат в то время рассматривался как
мистический и неразгаданный знак. Было ясно, что в нем
выражена древняя тайна высших познаний. Если бы все
дело ограничивалось наличием константы по вертикали
и горизонтали, что было всем известно, то квадрату не
придавали бы такого значения.
Теперь мы знаем, что в квадрате есть скрытые магиче¬
ские ряды, породившие «божественный оракул» — чату-
рангу. С ее помощью жрец вел «беседы с богами», полу¬
чая от них «важные указания». Сама чатуранга отража¬
ла вечное движение стихий. Но в квадрате таились не
только шахматные, но и всякие другие примечательные
ряды.
Христианская эмблема ~ крест — была известна в
Индии, Вавилоне, Египте, Иране, Греции за тысячелетия
до возникновения христианства. Знак креста находят на
монетах, вазах, намогильных памятниках у нехристиан¬
ских народов. С крестом изображались боги — Озирис,
Амур, Будда; весталки в Риме носили крест на шее.
44
Предполагается, что изображение креста возникло из
деревянных пластинок, употреблявшихся для извлече¬
ния огня. Однако разнообразие форм этого знака, воз¬
можно, исходит из магического квадрата, в котором мно¬
гие ряды отражают кресты разной формы, например:
Шестиконечный: в квадрате с 81 клеткой (диаграмма
№ 42) —64, 66, еЗ, е4, е5, еб, е7, 14, 16.
Восьмиконечный: там же — е2, е5, е9, 63, ГЗ, с5, Г5, 68,
Г8. Эти клетки следует соединить линиями: е2—е9, 63—
ГЗ, с5—&5, 68—18.
Магические ряды в квадратах всех величин породили
разные мистические знаки, уцелевшие до сих пор в раз¬
ных странах. В Индии они считаются священными.
Шестиконечная звезда («Щит Давида») также за¬
ключена в магическом квадрате с 36 клетками (диаграм¬
ма № 45): а2, а4, с1, с5, е2, е4. Клетки следует соединить
линиями: а2—е2, а2—с5, с5—е2, с1—а4, с1—е4, а4—е4
(диаграмма № 48).
В магическом квадрате скрыт знак пентаграммы, ко¬
торый маги употребляли при вызове сатаны и демонов,
изображали на монетах и считали магическим. Знак име¬
ется в квадрате с 25 клетками (диаграмма № 40): а 1, а4,
с5, е1, е4; соединим поля линиями: а1—с5, а1—е4, а4—
е1, а4—е4, с5—е1 (диаграмма № 49).
Отсюда вышли многие другие знаки и символы, а
иные остаются скрытыми и теперь, однако глубочайшей
тайной, содержание которой человечество забыло тыся¬
челетия тому назад, была тайна оракула — чатуранги.
Столько же времени была забыта и связь магическо¬
го квадрата с шахматами.
45
Известный французский математик XVII века Пьер
Ферма, который оказывал внимание магическим квадра¬
там, сообщает в письме Мерсенну: «Пользуясь теорией
магических квадратов, иногда делали замечательные
открытия».
XV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Подведем итоги рассмотренному материалу. Он уста¬
навливает три бесспорных основных факта:
1. Факт наличия в магических квадратах «3-й катего¬
рии» скрытых магических рядов, не известных матема¬
тике.
2. Факт соответствия ходов шахматных фигур и их
расстановки разным скрытым рядам в магических квад¬
ратах.
3. Факт возможности посредством скрытых магиче¬
ских рядов объяснить причину и процесс возникновения
шахмат и всех их причудливых элементов.
Кроме того, устанавливается, что магический квадрат
выполнял функцию оракула и являлся источником вся¬
ких магических знаков и талисманов *.
Гипотеза о происхождении шахмат из магического
квадрата основана на бесспорном материале. Выявление
математической основы игры дает познание шахмат в их
начальный древнейший период, объясняя те моменты, ко¬
торые остаются непонятными, вследствие чего открыва¬
ется возможность для историков игры перенести исследо¬
вания в новую область и в более раннюю эпоху. Создание
шахмат является делом не одного человека, но результа¬
том коллективной долголетней и отчасти международной
работы.
До сих пор предполагалось, что шахматы придуманы
и их элементы искусственны. Это снижало их авторитет
как искусства. Поскольку материал шахмат естественный
и подобно музыке и архитектуре имеет математическую
основу, постольку шахматное искусство достойно зани¬
мать высокое место.
* Некто В. Нейштадт, ознакомившись с настоящей работой,
частично изложил ее в своей статье, напечатанной в журнале
«64. Шахматы и шашки в рабочем клубе» за 1930 г., без указания
источника заимствования. Судом было признано, что работа Н. М.
Рудина написана ранее статьи В. Нейштадта.
46
ЛИТЕРАТУРА.
1. К. Б аше. Игры и задачи, основанные на математике, 1877.
2. Н. А м е н и ц к и й. Магические квадраты и арифметические
курьезы. М., 1912.
3. Г. Шуберт. Математические развлечения. Одесса, 1923.
4. Я. В. Успенский. Избранные математические развлечения.
М., 1924.
5. В. Аренс. Математические игры и развлечения. М., 1924.
6. М. М. Постников. Магические квадраты. М., 1964.
Кроме того, о магических квадратах помещались статьи в мате¬
матических журналах XIX века, а также в современных сборниках,
посвященных математическим развлечениям.
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции . , , • 3
I. Как шахматисты представляют себе создание шахмат? 5
II. Что такое материал шахматного искусства? .... 8
III. Математическая основа шахмат 10
IV. Ходы фигур в магическом квадрате 12
V. Магический квадрат старше шахмат. ....... 19
VI. Почему и кто создал шахматы? ■ . . 23
VII. Как родились фигуры и их ходы? 27
VIII. Пифагорейское учение о рождении стихий и опи¬
сание рождения шахматных фигур 29
IX. Шахматные ходы в магических квадратах всех
величин : 32
X. Почему 64 клетки? 35
XI. Первые движения фигур 37
XII. Оракул превращается в игру . . . 40
XIII. Можно ли выиграть партию с помощью магического
квадрата? . ■ 41
XIV. Математическая магия 44
XV. Заключение . .; ;. 46
Литература 47
Редактор Г. С. Умайский
Обложка художника В. К. Иванова, Художественный редактор В. С. Эрденко
Технический редактор Н. Ф. Макарова Корректор Т. М. Графовская
Сдано в набор 23/УН 1968 г. Подписано к печати 11 /XI 1968 г. 84ХЮ81/,
Бумага типографская № 2—3 Печ. л. 2,52 (1,5) Уч.-изд. л. 2,24.
Тираж 40 000 экз. (Тем. план 1969 г. № 350) А10638
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров
РСФСР. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Типография № 2 Росглавполиграфпрома, г. Рыбинск, ул. Чкалова, 8
Заказ 2495
Цена 6 коп.