Ivar Ekeland


Le Calcul,
l'Imprévu


Les figures du temps
de Kepler à Thom


Éditions du Seuil




EN COUVERTURE
Les anneaux de Saturne.
Collection PPP. Droits réservés.
ISBN 2-02-009557-2
(ISBN 1 re publication: 2-02-006683-1)
@ ÉDITIONS DU SEUIL, JANVIER 1984
La lOI du Il mars 1957 interdit les copies ou reproductlom detInees à une utilIsation
collective. Toute représentation ou reproduction Integrale ou partielle faite par quelque
procedé que ce SOit, sans le consentement de l'auteur ou de es ayants cause, est illicite
et comtltue une contrefaçon sanctionnee par le article 425 et sUivants du Code pénal.

A Catherine.

Introduction
Ce qui m'avait été demandé, voici longtemps déjà, c'est
un livre sur la théorie des catastrophes. J'avais répondu, à
l'époque, que la théorie des catastrophes n'était qu'un
chapitre d'un livre beaucoup plus vaste, traitant des progrès
spectaculaires qui avaient été faits dans la mathématique du
temps. Déjà les idées nouvelles s'étaient introduites en
physique ; il était temps que le grand public, à son tour, fût
initié aux attracteurs étranges et à la bifurcation de Feigen-
baum. C'est ce livre que j'écrirai, et j'y annoncerai la
révolution que les idées nouvelles allaient introduire
dans la pratique de la science et dans notre conception du
saVOIr.
Puis je m'aperçus que les idées nouvelles avaient bien
cent ans, et que mon livre avait déjà été écrit, et même
plusieurs fois. Poincaré, au début du siècle, avait déjà mis
en évidence les phénomènes les plus significatifs, et il s'était
donné la peine de les exposer dans une série d'ouvrages de
vulgarisation qui sont restés des modèles du genre. Berg-
son, lui aussi, avait compris bien des choses et écrit des
pages définitives sur la manière dont les sciences exactes
rendent compte du temps. Qui plus est, l'un et l'autre
avaient été tirés à un nombre impressionnant d'exemplai-
res, et on peut donc présumer qu'ils avaient été lus.
A quoi bon recommencer? Et ma déception même était
9

Le calcul, l'imprévu
vieille comme le monde : « Rien de nouveau sous le soleil.
Est-il quelque chose dont on dise: "Tiens! Voilà du
nouveau! ", cela existait déjà aux siècles qui nous ont
précédés. Nul souvenir des anciens, pas plus que de leurs
successeurs, il n'y aura de souvenir chez ceux qui sui-
vront. »
Pourtant, je pense qu'il reste quelque chose à dire, et
surt9ut qu'on peut le dire autrement. Des faits nouveaux
sont venus étayer les intuitions géniales des précurseurs.
Précisées par le travail de plusieurs générations de cher-
cheurs, augmentées par l'apport des maîtres contempo-
rains, Thom, Arnold, Smale, illustrées d'expériences
curieuses et de surprenants paradoxes, elles sont aujour-
d'hui plus facilement communicables au non-spécialiste,
comme les pays lointains, cent fois visités et étudiés,
révèlent des aspects nouveaux quand on les voit par
l'objectif d'un photographe de talent.
C'est là ce qu'il faudrait faire: résumer en quelques
instantanés ce qui constitue désormais le paysage où s'édifie
la science contemporaine.
Les trois lois de Kepler ont été bien plus qu'une curiosité
astronomique, et l'image des planètes décrivant des orbites
elliptiques autour du Soleil s'est imposée à des générations
de chercheurs, bien au-delà des frontières des sciences
exactes. C'est une des références constantes et implicites de
la pensée moderne, et les découvertes de Newton ont été
jusqu'à présent le prototype de toute connaissance scienti-
fique. De la même manière, on peut résumer les progrès
récents en quelques images frappantes, le chat d'Arnold, le
fer à cheval de Smale, la fronce de Thom. Elles ont réveillé
un écho dans tous les domaines de la science et sont
visiblement destinées à faire partie de notre bagage cultu-
rel. Ce seront les « portraits de famille» des générations
montantes, des images si connues qu'on ne les regarde
10

Introduction
même plus, malS dont l'absence ferait sentir l'impor-
tance.
C'est donc ce que je vais essayer de présenter: quelques
photos extraites de l'album de famille de la science d'au-
jourd'hui.
Certes, il serait plus facile de se laisser porter par le
courant et de participer à la course aux articles. Les progrès
actuels sont rapides, les problèmes en cours passionnants;
il est d'autant plus dur de prendre du recul que l'on est
davantage dans le coup. Alors, pourquoi écrire ce livre? Là
encore, je laisserai la parole à un très vieil auteur, que
d'aucuns reconnaîtront peut-être:
« Dis-moi! Où sont-ils, tous les anciens maîtres que tu as
bien connus alors qu'ils vivaient encore et qu'ils prospé-
raient dans leurs études? Déjà d'autres possèdent leurs
prébendes, et je ne sais s'ils se souviennent d'eux. »
D'autre part, je sens bien le besoin qu'éprouvent nos
contemporains d'entendre parler de science. Celle-ci a trop
transformé nos vies, par l'intermédiaire de la technique,
pour n'avoir pas des comptes à rendre. Malheureusement,
ce besoin de communication est peu ou mal satisfait. Trop
souvent les scientifiques s'enferment dans leur métier, et
des gens cultivés vont disant qu'ils ne comprendront jamais
rien aux mathématiques.
Or, un meilleur contact serait nécessaire de part et
d'autre. Il nous débarrasserait de certaines idées reçues
sous couleur de science, qui sont périmées depuis cent ans,
ou pure élucubration d'un compilateur à succès. Il répan-
drait surtout une image plus fidèle de la science et de ses
exigences; la première étant de comprendre par soi-même.
Si ce livre peut y amener un lecteur, il aura atteint son
but.

1. La musique des sphères
Les lois de Kepler
La figure que voici nous est familière depuis bien
longtemps. Elle représente une planète gravitant autour du
Soleil, sur une orbite dont le dessin exagère l'aplatissement,
pour bien montrer qu'il s'agit d'une ellipse et non d'un
cercle. Dans les manuels élémentaires, elle illustre inno-
cemment l'idée que la Terre tourne autour du Soleil et
convainc les jeunes générations d'une vérité que leurs aînés
ont mis deux ou trois mille ans à découvrir. Les potaches
plus mûrs auront droit à l'énoncé des trois lois de
Kepler :
1 - Les orbites planétaires sont des ellipses dont le
Soleil occupe l'un des foyers.
II - Le segment (immatériel) SP reliant le Soleil à la
planète décrit des aires égales en des temps égaux.
III - Si l'on prend deux planètes P (période T, grand
axe a) et P' (période T', grand axe a'), les rapports Tlla 3 et
T'2Ia'3 sont égaux.
La première loi donne la forme des orbites. La deuxième
détermine les vitesses le long de la trajectoire: la planète
accélère quand elle se rapproche du Soleil, ralentit quand
13

Le calcul, l'imprévu
Figure 1. Orbite elliptique. S occupe l'un des foyers.
p;
p;
Figure 2. Loi des aires. Les arcs P t P 2 et P 1 P 2 prennent le même temps de
parcours.
14

La musique des sphères
b'
, T'
Figure 3.  = 2, donc T = 2,8. Les ellipses képlériennes ont même
foyer S, mais non même centre. Leur forme, c'est-à-dire la valeur de b
ou b', n'a pas d'importance.
elle s'en éloigne. La troisième relie ces vitesses aux dimen-
sions de l'orbite, indépendamment des caractéristiques
physiques des planètes: plus elles sont éloignées, plus elles
tournent lentement.
Si on adjoint aux trois lois de Kepler le fait que les orbites
des neuf planètes sont situées pratiquement dans un même
plan, on obtient une description complète des mouvements
planétaires. Neuf ellipses emboîtées, de Mercure à Pluton,
sur lesquelles les planètes tournent dans le même sens.
Eternel manège aux proportions du système solaire (Pluton
est 100 fois plus éloigné du Soleil que Mercure et met 1 000
fois plus de temps à faire un tour), ce qui interdit bien
entendu de le représenter à l'échelle.
C'est en 1605 que Kepler découvrit que l'orbite de Mars
15

Le calcul, l'imprétJu
S
1
J
1
S
1
U
1
N
1
P
1
Les planètes de Jupiter à Pluton.
S M V T
1 1 1 1
M
1
J

Les planètes de Mercure à Jupiter.
Figure 4.
était elliptique. Il énonce ses deux premières lois dans
l'Astronomia nova (publiée en 1609), la troisième dans ses
Harmonices Mundi (1618). On peut dire sans exagération
que c'est la plus grande découverte scientifique de tous les
temps. Kepler apporte une réponse complète à des ques-
tions qui ont mobilisé depuis des siècles les meilleurs esprits
de l'humanité, Eudoxe de Cnide, Aristarque de Samos,
Ptolémée, Copernic. Écoutons le chant de victoire de
Kepler (Harmonices Mundi, préface) : « A présent j'ai été
illuminé, au sein d'une très admirable contemplation, il y a
dix-huit mois par une première lueur, il Y a trois mois par un
j our distinct, et voici très peu de j ours par le Soleil
lui-même. Plus rien ne me retient de m'abandonner à un
transport sacré et d'affronter les mortels en confessant
ingénument que j'ai dérobé les vases d'or des Égyptiens
pour en faire un autel à mon Dieu, si loin des frontières de
l'Égypte. Si vous me croyez, je m'en réjouirai; si vous vous
emportez, je le supporterai. Le sort en est jeté, j'écris mon
livre, qu'il soit lu maintenant ou par la postérité, peu
importe : il peut bien attendre cent ans son lecteur, si Dieu
lui-même a attendu six mille ans un contemplateur pour son
œuvre. »
16

La musique des sphères
Quiconque a suivi, dans un planétarium ou un atlas, la
valse hésitante de la planète Mars dans la bande zodiacale,
deux pas en avant, un pas en arrière, ne trouvera pas
excessif l'enthousiasme de Kepler. Elle se déplace certes
dans la direction générale de l'écliptique, mais oscille
irrégulièrement autour, repartant carrément en arrière
avant de reprendre sa progression, si bien que l'écheveau
des trajectoires, constellé de mouvements rétrogrades,
ressemble à ces lignes de fond qu'un pêcheur novice a laissé
s'emmêler. De même pour Jupiter et Saturne. Les planètes
intérieures, Vénus et Mercure, par leur proximité du Soleil,
posent d'autres problèmes encore à l'observateur. Recon-
naître, par exemple, que 1'« étoile du matin» et 1'« étoile du
soir» ne sont qu'une seule et même planète, Vénus, dans
des positions différentes par rapport au Soleil, suppose déjà
toute une théorie astronomique.
Figure 5. Positions de Saturne du 1 er janvier au 31 décembre 1982. On
remarquera le mouvement rétrograde (Annuaire du Bureau des longi-
tudes, Éphémérides 1982, Gauthier-Villars).
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17

Le calcul, l'imprévu
Le débrouillage des orbites planétaires a requis infini-
ment plus de patience que celui d'une ligne enchevêtrée
avec ses hameçons, fût-elle aux dimensions du système
solaire. Kepler bénéficiait des théories, déjà très précises,
de Ptolémée et de Copernic, et des observations de Tycho
Brahé. Il n'en a pas moins dû s'atteler à des calculs
monstrueux, étalés sur des années. Point de calculatrices
électroniques, point de tables de logarithmes. Les calculs
manuscrits, conservés à la bibliothèque de Pulkova, se
comptent en milliers de pages. Dans l'Astronomia nova, il
conclut quinze pages in-folio de calculs en invitant le lecteur
à plaindre le malheureux auteur, qui a dû les recommencer
soixante-dix fois avant d'arriver à la solution. Encore le
pêcheur, qui a vu filer droit sa ligne en la mettant à l'eau,
a-t-il quelque raison de croire qu'elle peut être démêlée s'il
la remonte enchevêtrée. Un Ptolémée ou un Kepler n'ont
pour soutenir leurs efforts qu'une foi conquérante en
1 'harmonie cachée du cosmos.
Les trois lois de Kepler constituent le triomphe de
générations d'astronomes qui, dans les temps les plus
reculés et les endroits les plus divers, des Chinois aux
Mayas, des Chaldéens aux Arabes, ont persisté à mettre
harmonie et régularité là où ils n'en voyaient pas. A l'œil
nu, les mouvements des planètes sont réguliers comme l'est
le flot d'une rivière agitée de remous. Pourquoi ne pas se
contenter de cette impression d'ensemble, d'un déplace-
ment uniforme dans la direction générale de l'écliptique, et
vouloir à tout prix expliquer les moindres accidents des
mouvements individuels des planètes?
Certes, ce savoir n'était pas purement désintéressé.
Depuis l'Antiquité la plus reculée, les besoins de l'astrolo-
gie avaient fait de la prévision des positions des planètes
dans le zodiaque un problème d'une très grande importance
pratique. Kepler lui-même, en tant que mathématicien
18

La musique des sphères
impérial, était chargé d'établir des horoscopes et de faire
des pronostics. Au début de sa carrière, il eut la bonne
fortune de prédire un hiver très froid, des révoltes paysan-
nes et la guerre contre les Turcs, ce qui fit plus pour sa
réputation que tous les traités scientifiques qu'il publia par
la suite. Le comput du calendrier, particulièrement la
détermination de la date de Pâques, posait également des
problèmes astronomiques fort ardus, dont la solution
requérait une connaissance précise des mouvements respec-
tifs de la Terre, du Soleil et de la Lune.
Mais, au-delà de ces considérations pratiques, pour nous
bien périmées, il y a un profond désir de théorie, une
certitude que le cosmos possède une harmonie, que Dieu a
créé le monde avec sagesse, et que cette harmonie ou cette
sagesse s'expriment de manière simple, bien que dissimu-
lée. Ces convictions sont les nôtres aujourd'hui encore, et
c'est en cela que nous sommes les héritiers de Kepler et de
toute la tradition dont il est l'aboutissement. Avec leurs
convictions, ils nous ont légué leur méthode, car ils nous
ont appris que les secrets de la nature se dévoilent le mieux
dans un langage mathématique. Comme le dit Galilée, le
livre de la nature est écrit en caractères géométriques,
cercles, triangles et carrés.
On remarquera que Galilée ne parle pas d'ellipses; cela
paraît insignifiant, mais cela a son importance. En mathé-
matiques, les figures, sur lesquelles s'appuie l'intuition,
sont plus importantes que le texte, qui ne fait que la
développer. Or, les astronomes classiques, jusqu'à Kepler,
se sont refusés à considérer d'autre figure que le cercle et
d'autre mouvement qu'uniforme. Les moyens techniques
de faire autre chose existaient depuis fort longtemps : pour
les propriétés géométriques des ellipses, Kepler se réfère à
Apollonius (262-180 av. J.-C.), et, pour l'étude du mouve-
ment suivant la loi des aires, à Archimède (287-212 av.
19

Le calcul, l'imprévu
J.-C.). Mais jusqu'à l'Astronomia nova, tous les systèmes
du monde seront des combinaisons plus ou moins ingénieu-
ses de cercles et de mouvements uniformes.
Figure 6. Le système d'Aristarque. Les orbites sont circulaires, le Soleil
est au centre, et les planètes sont animées de vitesses constantes.
Le plus simple est le système d'Aristarque, qui met le
Soleil au centre du monde, les planètes décrivant autour de
lui des orbites circulaires, parcourues d'un mouvement
uniforme. C'est là une conception étonnamment moderne,
exigeant notamment que la Terre soit ronde et tourne sur
elle-même, pour un homme qui vivait à Samos au Ille siècle
av. J. -Co En outre, les cercles constituent d'excellentes
approximations des orbites képlériennes: de toutes les
planètes connues à l'époque, Mars a l'orbite la plus aplatie,
et la différence entre le petit aAe et le grand axe n'est que de
0,5 %. Mais il ne faut pas placer le Soleil au centre de
l'orbite : l'écart avec les foyers képlériens atteint 9 % du
grand axe. Et, surtout, le mouvement n'est pas uniforme
sur l'orbite: conformément à la loi des aires, la planète va
d'autant plus vite qu'elle est plus près du Soleil. Le cumul
de toutes ces erreurs aboutit à situer Mars, à certaines époques,
20

La musique des sphères
à 15° de sa position réelle. Cet écart entre la théorie et
l'expérience était inacceptable, et le modèle d'Hipparque
fut rejeté au profit d'autres constructions, plus fragiles,
mais serrant de plus près les données d'observations.
Le système de Ptolémée, par exemple, conduit à des
erreurs de l'ordre de quelques degrés. Les tables astrono-
miques les plus précises connues à l'époque de Kepler, les
Tabu/œ Pruthenicœ (1551), établies d'après le système de
Copernic, comportent des erreurs de 4 à 5°, comme le
relève Kepler lui-même. La légende veut que Copernic se
soit donné comme objectif d'atteindre une précision de
l'ordre des erreurs d'observations, soit 10 minutes d'arc, un
sixième de degré. On voit qu'il en était encore loin.
Mais, pour Copernic, comme pour tous les astronomes
jusqu'à Kepler, la perception du problème était faussée par
des images préconçues, issues de leur bagage culturel. La
question qu'ils se posaient n'était pas: « Comment décrire
au mieux le mouvement des planètes? » Il fallait construire,
mais en se servant uniquement des matériaux qu'ils avaient
sous la main. Le même chantier était ouvert depuis vingt
siècles, les générations d'ouvriers se succédaient, se léguant
leurs outils et recyclant les mêmes matériaux, sans que
personne n'ait eu l'idée d'aller chercher du neuf.
L'obsession de certaines images, l'élan conquérant
qu'elles suscitent au moment de leur jeunesse et l'obstruc-
tion qu'elles font aux progrès ultérieurs quand elles ont
vieilli sont le thème principal de ce livre. L'image, si simple,
du mouvement circulaire uniforme - un point se déplaçant
sur un cercle à vitesse constante - en est ici un excellent
exemple. Elle a engendré le système de Ptolémée, qui est
une des constructions majeures de l'esprit humain. Il
repose sur trois inventions géniales :
- L'épicycle. Il s'agit d'un petit cercle dont le centre se
déplace uniformément sur un grand cercle fixe. Si mainte-
21

Le calcul, l'imprévu
M
Figure 7. Un épicycle. Le centre C du petit cercle se déplace uniformé-
ment sur le grand. Pendant ce temps, le point M se déplace uniformé-
ment sur le petit cercle. La composition des deux mouvements imprime
au point M une succession d'accélérations et de décélérations.
nant un point se déplace uniformément sur le petit cercle,
son mouvement, vu d'un point fixe, aura les mêmes
alternances d'accélération et de décélération, voire de
rétrogradation, que les planètes vues de la Terre.
- L'équant. Imaginons un cercle fixe et un point inté-
rieur, décalé du centre: ce sera le point équant. Imaginons
un mouvement sur le cercle, uniforme non par rapport au
centre, mais à l'équant, c'est-à-dire que la vitesse angulaire,
mesurée du point équant, est constante. Alors le point
mobile n'aura pas une vitesse constante sur le cercle: il
accélérera en se rapprochant de l'équant, ralentira en s'en
éloignant, comme les planètes sur leur orbite.
- L'excentrique. La Terre n'est pas nécessairement
placée au centre du système. Ptolémée lui attribue une
position symétrique de celle du point équant dans chaque
orbite planétaire, approchant ainsi inconsciemment les
deux foyers des ellipses képlériennes.
Grâce à l'épicycle, à l'équant et à l'excentrique, vers le ne
22

La musique des sphères
M3
Figure 8. Un point équant. Le point M se déplace sur un cercle de centre
O. Vu du point E, il parcourt des angles égaux en des temps égaux, Il
n'en serait pas de même si, par exemple, on mesurait les angles à partir
du centre O.
Figure 9. Le système de Ptolémée: composition d'un épicycle et d'un
équant.
siècle de notre ère, les mouvements circulaires uniformes
ont permis de prédire les positions des planètes avec une
précision de l'ordre du degré. Aucun progrès notable ne
sera plus réalisé pendant quatorze siècles, ce qui indique
clairement qu'il fallait d'autres méthodes. Mais, au
23

Le calcul, l'imprévu
contraire, l'image du mouvement circulaire uniforme,
accréditée de tout le poids de la tradition et de ses succès,
fussent-ils antiques, ne s'en est ancrée qu'avec plus d'insis-
tance dans l'esprit des chercheurs.
En a-t-on donné de bonnes raisons! Invoquant l'autorité
d'Aristote, Copernic démontre que le mouvement circu-
laire uniforme est le plus parfait et le plus naturel, et par
conséquent seul ressort que puisse admettre la mécanique
céleste. Moins dogmatique mais aussi péremptoire, Tycho
Brahé écrit à Kepler en 1600 : « Car les circuits des astres
doivent être composés entièrement de mouvements circu-
laires ; autrement, ils ne reviendraient pas perpétuellement
et uniformément sur eux-mêmes et seraient privés de
pérennité. Sans compter que ces circuits seraient moins
simples et plus irréguliers, et ne se prêteraient pas à l'étude
ni au calcul. » Quant à Kepler lui-même, l'Astronomia nova
consigne les diverses étapes de sa pensée : il commence par
attribuer aux planètes (autres que la Terre) des orbites
parfaitement circulaires, puis les complique d'un épicycle,
avant de songer à l'ellipse. Laissons-lui la parole: «Ma
première erreur a été d'avoir admis que l'orbite des
planètes est un cercle parfait. Cette erreur m'a coûté
d'autant plus de temps qu'elle a été soutenue par l'autorité
de tous les philosophes et était métaphysiquement tout à
fait plausible. »
Une idée si bien implantée ne devait pas non plus se
laisser déraciner facilement. Il faudra attendre un siècle, et
l'appoint de la mécanique newtonienne, pour que tous les
astronomes soient képlériens. Tant une représentation
géométrique simple et éprouvée frappe l'imagination et
modèle l'intuition. Tant l'ouvrier répugne à se séparer de
vieux et fidèles outils auxquels sa main s'est faite.
Mais, un siècle plus tard, la révolution astronomique est
accomplie. Les ellipses képlériennes et la loi des aires ont
24

La musique des sphères
chassé du ciel les mouvements circulaires uniformes. Un
nouveau mode d'explication s'est cristallisé en une repré-
sentation géométrique simple, une image qui, à son tour, va
modeler l'intuition des chercheurs pour des générations.
Elle aussi connaîtra son heure de gloire, accumulant les
succès au point que les contemporains croiront posséder la
clef de l'univers, et nous aurons à nous demander si nous ne
vivons pas aujourd'hui l'époque de son déclin.
La mécanique céleste
Les cercles de Ptolémée et les ellipses de Kepler sont
deux traductions en langage géométrique d'une commune
exigence: nous voulons que les phénomènes naturels soient
permanents et réguliers, en un mot: prévisibles.
Quand le XVIIIe siècle compare l'univers à une horloge,
peu importe que l'on se réfère aux derniers avatars du
modèle de Ptolémée ou aux premières ébauches du méca-
nisme newtonien. L'important est que la comparaison soit
possible, et donc rassurante. On n'hésite d'ailleurs pas à la
pousser plus loin: pour Voltaire, comme pour ses contem-
porains, « l'horloge implique l'horloger ». Il faudra atten-
dre la fin du siècle pour obtenir d'un savant une profession
de foi délibérément athée; c'est la fameuse réponse de
Laplace à Napoléon, lui demandant ce qu'il faisait de Dieu
dans son système: «Sire, je n'ai pas eu besoin de cette
hypothèse. »
Mais d'autres divinités se sont levées. C'est l'époque où
l'on commence à parler de la Science, avec un grand S.
C'est une nouvelle religion, dont les adeptes ont le zèle
souvent étroit et borné des nouveaux convertis. Écoutons
25

Le calcul, l'imprévu
sur quel ton ce même Laplace nous parle : « On était loin de
penser, dans ces temps d'ignorance, que la nature obéit
toujours à des lois immuables. Suivant que les phénomènes
arrivaient et se succédaient avec régularité, ou sans ordre
apparent, on les faisait dépendre des causes finales, ou du
hasard; et lorsqu'ils offraient quelque chose d'extraordi-
naire et semblaient contrarier l'ordre naturel, on les regar-
dait comme autant de signes de la colère céleste 1. »
Le message est clair: il y a un ordre naturel immuable.
Les phénomènes sont réguliers et, si désordre il y a, il n'est
qu'apparent. Certes, à l'époque de Laplace, le credo a
trouvé sa forme définitive, le mystère de la gravitation
universelle a été dévoilé, et la science a accompli ses
premiers miracles. Mais la croyance remonte beaucoup plus
haut et conditionne en fait tout le développement de
l'astronomie depuis l'Antiquité. Si l'on a sans cesse perfec-
tionné les modèles et raffiné les observations, c'est que l'on
croyait à une adéquation possible des unes aux autres, et
que l'on espérait même qu'elle pouvait être parfaite.
Kepler, par exemple, rejette une hypothèse qui lui a coûté
des années de travail parce que, pour certaines positions de
planètes, les écarts extrêmes enregistrés entre les calculs et
l'observation atteignaient 8 minutes d'arc. C'est le diamètre
apparent d'une assiette vue de 100 mètres; bien peu de
chose, et certainement en dessous de la limite de précision
de l'astronomie antique. Malheureusement, les observa-
tions étaient dues à Tycho Brahé (1546-1601) ; selon les
mots mêmes de Kepler: « Pour nous, à qui la grâce divine a
donné en Tycho Brahé un observateur d'une telle valeur
que ses observations nous révèlent l'erreur de 8 minutes
commise par Ptolémée, il nous convient d'accepter avec
reconnaissance ce bienfait de Dieu et d'en tirer profit. Ce
1. Exposition de système du monde, livre IV, chap. IV.
26

La musique des sphères
qui veut dire que nous devons nous donner la peine de
découvrir enfin la structure vraie des mouvements céles-
tes. »
La recherche d'une plus grande précision va donc de pair
avec la quête d'une hypothétique «structure vraie », qui
révélera une fois pour toutes l'ordre caché de la nature. Le
miracle fut de voir cette quête aboutir et Newton ramener
le Saint-Graal. A la fin du XVIIIe siècle, Pope écrit:
La Nature et ses lois étaient cachées dans les ténèbres
Dieu dit: que Newton soit! Et tout fut lumière
et Laplace reconnaît aux Principes mathématiques de la
philosophie naturelle, œuvre majeure de Newton, parue en
1687, « la prééminence sur les autres productions de l'esprit
humain ».
C'est une œuvre d'autant plus impressionnante que la
tradition veut que Newton ait obtenu ses principaux résul-
tats dès 1666, à vingt-quatre ans, alors qu'il s'était retiré à la
campagne pour échapper à la grande peste qui ravageait
Londres et ses alentours. Le titre lui-même est révélateur:
il ne s'agit plus de décrire de l'extérieur, mais de compren-
dre de l'intérieur. Les trois lois de Kepler décrivent les
mouvements des planètes et permettent de les prévoir,
jusqu'à une certaine limite de précision. Mais ni Kepler ni
personne jusqu'à Newton n'avait pu répondre à la ques-
tion : « Qu'est-ce qui fait courir les planètes? »
On peut dire que Newton n'y répond pas non plus:
l'illustre loi de la gravitation universelle montre de quelle
manière les planètes sont mues par le Soleil, mais elle ne dit
pas comment ni pourquoi cette action s'exerce. Dire que
« la matière attire la matière en raison directe des masses et
en raison inverse du carré des distances» n'épuise pas
toutes les questions: qu'est-ce que la matière? pourquoi
cette force d'attraction? comment peut-elle s'exercer entre
27

Le calcul, l'imprévu
des corps séparés par le vide? Newton lui-mêlne considé-
rait l'attraction gravitationnelle comme un artifice mathé-
matique plutôt que comme une réalité physique. Il fut bien
vite dépassé par des disciples enthousiastes qui firent de la
« loi de Newton» l'u/tima ratio de la connaissance scientifi-
que. Mais, au XIX e siècle, le même problème se posa pour
les forces électriques, régies par la loi de Coulomb, comme
les forces gravitationnelles sont régies par la loi de Newton.
Cette fois, Faraday puis Maxwell, refusant de s'arrêter au
simple constat d'une action à distance, élaborèrent la
notion de champ électrique, médiateur des actions entre
corps, et se propageant à vitesse finie. Du champ électrique
au champ gravitationnel il n'y a qu'un pas, et la théorie des
champs, triomphe de la physique classique, allait ironique-
ment saper les bases de l'édifice newtonien en conduisant à
la révolution relativiste. Si, aujourd'hui, la physique new-
tonienne reste utilisable, c'est comme une phénoménologie
remarquablement précise dans son domaine d'application,
mais dépourvue de justification interne.
En attendant, cette explication qui n'en est pas une
permit des succès inespérés, au point que l'on crut disposer
de la clef de l'univers. Newton lui-même démontre les trois
lois de Kepler à partir de la loi de la gravitation et explique
les marées et la précession des équinoxes par l'attraction du
Soleil et de la Lune. Il fonde ainsi une discipline nouvelle,
la mécanique céleste, qui allait être servie jusqu'à nos jours
par les plus grands noms des mathématiques, Euler,
Lagrange, Laplace, Poincaré, Siegel, et dont les succès
spectaculaires allaient être pendant plus d'un siècle l'exem-
ple et l'inspiration de tout le développement de la
SCIence.
Curieusement, la première chose que l'on démontre en
mécanique céleste, c'est que les trois lois de Kepler sont
fausses; plus exactement, elles ne sont qu'approchées.
28

La musique des sphères
Figure 10. La mécanique céleste: la planète T ne subit pas seulement
l'attraction du Soleil S, mais aussi de la grosse planète J. Sa trajectoire
sera déviée de l'orbite képlérienne de référence. .
Chaque planète est calée sur son orbite képlérienne par
l'attraction du Soleil, et déviée de celle-ci par l'attraction
des autres, principalement de la plus grosse, Jupiter.
Heureusement, ces déviations sont accessibles au calcul.
Très vite, les astronomes développèrent les méthodes
mathématiques nécessaires pour prévoir la position d'une
planète avec une précision donnée pour une date donnée.
C'est ce que l'on appelle le calcul des perturbations,
marqué par deux documents, la Mécanique céleste de
Laplace (1798-1825) et les Méthodes nouvelles de la méca-
nique céleste de Poincaré (1892-1899). Pour donner une
idée de la précision atteinte, disons qu'on peut placer
Mercure à quelques kilomètres près plusieurs mois à
29

Le calcul, l'imprévu
l'avance. Et n'oublions pas les mISSIons Apollo, ni les
sondes spatiales, qu'il n'aurait pas été possible de guider
sans le calcul des perturbations.
Si ces méthodes permettent de déduire les positions
futures des planètes de leur position et de leur vitesse
aujourd'hui, elles permettent aussi de remonter le temps
pour obtenir la situation à telle date du passé que l'on
désire. En d'autres termes, le passé et le futur du système
solaire sont entièrement inscrits dans son présent. Pour
connaître l'état de l'univers à une certaine date du passé ou
du futur -les mathématiques ne font pas de différence -,
il suffit de connaître son état présent avec une précision
suffisante et de disposer d'une puissance de calcul adé-
quate.
Ainsi le temps se volatilise, enfermé tout entier dans
l'instant présent, cet intervalle évanescent qui sépare le
passé qui n'est plus de l'avenir qui n'est pas encore. Le
passé et l'avenir sont équivalents, car entièrement contenus
dans le présent, et l'on peut aussi facilement remonter le
cours du temps que le descendre, comme on remonte le
cours d'une rivière gelée. Cet univers improbable est
pourtant celui de la physique newtonienne, et les savants du
XIX e siècle ont cru que, par leurs calculs, ils touchaient
l'origine comme la fin des temps. A quelques calculs près,
ils croyaient tout savoir, y compris l'avenir de l'humanité et
de leur propre science.
Voici par exemple quelles tâches Laplace assigne aux
astronomes des temps futurs : cataloguer les étoiles et les
nébuleuses, leurs mouvements et leur éclat, et les variations
qu'on y décèlera; découvrir de nouveaux objets dans le
système solaire, principalement des comètes, et déterminer
leurs orbites. Il y a là de quoi faire mourir d'ennui plusieurs
générations d'astronomes, condamnés à ramasser les miet-
tes d'un festin dont d'autres auront dégusté les meilleures
30

La musique des sphères
parts. «Comme il n'y a qu'un seul univers à expliquer,
personne ne peut refaire ce qu'a fait Newton, le plus
heureux des mortels 1. » On n'hésite même pas à analyser
les raisons des progrès de l'astronomie future, déclarant
hardiment qu'ils « dépendent de trois choses, la mesure du
temps, celle des angles, et la perfection des instruments
d'optique », les deux premières ne laissant malheureuse-
ment presque rien à désirer, dixit Laplace, ce qui charge la
troisième de toutes nos espérances. Pas question de spec-
troscope, de radiotélescope; les trous noirs, les quasars,
l'univers en expansion sont inimaginables.
C'est pourtant dans cet univers étouffant, où tout était
connu d'avance, qu'a vécu le XIX e siècle. C'est dans cette
atmosphère que s'est développée la philosophie du siècle
des Lumières et que sont nées bien des doctrines politiques,
économiques et sociales qui nous encombrent aujourd'hui.
C'est à cette époque enfin que l'on a pris l'habitude
d'expliquer sans comprendre: la gravitation universelle
fournissait un modèle mathématique qui, moyennant des
calculs souvent pénibles et toujours impénétrables, permet-
tait à quelques experts de prévoir exactement n'importe
quelle situation astronomique, sans que personne ne puisse
dire ce qu'était cette force d'attraction, ni comment elle
pouvait s'exercer à travers le vide en franchissant instanta-
nément des distances énormes. C'est de ce moment que
date le clivage entre la pensée scientifique et l'intuition
naturelle, entre le quantitatif et le qualitatif.
La doctrine nouvelle était irrésistible. Elle compensait
ses faiblesses philosophiques par une incontestable effica-
cité pratique. Le zèle de ses adeptes était sans cesse attisé
par de nouveaux succès. Rappelons-nous par exemple la
1. Lagrange, cité par Koyré.
31

Le calcul, l'imprévu
découverte de la planète Neptune. Les irrégularités du
mouvement d'Uranus avaient été attribuées à la présence
d'une planète extérieure encore inconnue. Indépendem-
ment l'un de l'autre, Le Verrier à Paris et Adams à
Cambridge s'attelèrent aux quelques années de calcul
nécessaires à la localisation de la planète inconnue, et, en
septembre 1846, Le Verrier put écrire à l'un de ses
collègues, à Berlin, d'observer telle région du ciel. Neptune
était au rendez-vous. Un astronome avait découvert une
planète nouvelle sans même lever le nez de ses calculs.
Le retentissement fut immense. Il fut quelque peu terni
lorsque Le Verrier appliqua sa méthode aux irrégularités
du mouvement de Mercure et découvrit une nouvelle
planète, baptisée, bien entendu, Vulcain, qui refusa obsti-
nément de se montrer. Mais Pluton fut découvert en janvier
1930, à peu près dans les mêmes circonstances que Nep-
tune. Et, en ouvrant mon journal l'autre jour, je lis que la
masse de Pluton n'est pas suffisante pour expliquer les
perturbations observées dans l'orbite de Neptune, et que
les astronomes soupçonnent la présence d'un objet trans-
plutonien, planète ou étoile dégénérée.
Aujourd'hui encore retentit le cri des astronomes du XIX e
siècle: « Donnez-moi un crayon et du papier, et je recons-
tituerai le monde ! »
Le déterminisme classique
Ces grandes ambitions trouvent très vite un code, qui
dirigera l'esprit scientifique jusqu'à nos jours. Dès la
première - rarissime - édition des Principes, Newton
formule deux règles:
32

La musique des sphères
1) On ne doit pas admettre plus de causes des choses
naturelles que celles qui sont à la fois vraies et suffisantes
pour l'explication de leurs phénomènes, car la nature est
simple et n'est pas prodigue de causes superflues.
2) C'est pourquoi les causes des effets naturels du même
genre sont les mêmes.
Tout cela sera beaucoup perfectionné plus tard, pour
donner le déterminisme classique, mais on reconnaît déjà la
filiation linéaire de la cause à l'effet, si adéquate aux
sciences physiques et si mal adaptée à la biologie et aux
sciences humaines. Tout ce qui se produira demain a une
cause aujourd'hui, et une connaissance assez précise de la
cause permettra de prédire l'effet. Le développement de la
mécanique statistique ne troublera guère cette conception
du monde. Le hasard résulte non de l'absence de causes,
mais de l'addition d'une multitude de petites causes indé-
pendantes. On garde ainsi l'espoir que, dans l'avenir, une
analyse plus poussée et des méthodes de calcul plus
puissantes permettront de révéler le déterminisme caché de
phénomènes apparemment aléatoires, étant bien entendu
que, suivant l'expression d'Einstein, Dieu ne joue pas aux
dés. En attendant, le calcul des probabilités et les méthodes
statistiques permettent de se tirer d'affaire plus qu'honora-
blement.
Mais l'outil classique, parfait, achevé, c'est l'équation
différentielle. C'est le langage mathématique par lequel
s'exprime le déterminisme. Si un système est régi par une
équation différentielle, son évolution est entièrement ins-
crite dans son état présent: la connaissance parfaite de
celui-ci permet de reconstituer son passé et de prédire son
avenIr.
Une équation différentielle est une relation instantanée,
valable à chaque instant, entre la position d'un mobile, son
accélération et sa vitesse. Intégrer - ou résoudre
33

Le calcul, l'imprévu
l'équation, c'est en déduire la trajectoire du mobile et son
déplacement sur celle-ci.
Pour faire comprendre cette notion, le premier moyen
est géométrique, littéraire même, et évoqué imparfaite-
ment dans la figure Il. Il s'agit de faire appel à l'expérience
de Planchet, qui commença sa brillante carrière au service
de d'Artagnan lorsque celui-ci, parti à la recherche d'un
valet, le rencontra sur le pont de la Tournelle, d'oÙ il
crachait dans l'eau pour faire des ronds. Porthos prétendit
que cette occupation était la preuve d'une organisation
réfléchie et contemplative, et d'Artagnan embaucha Plan-
chet sans autre recommandation.

M
,
Figure 11. Les équations de Newton. Les mobiles M et M' , de masses m
et m' , sont animés à l'instant d'observation de vitesses v et v'. S'ils ne
s'attiraient pas, ils poursuivraient leur mouvement en ligne droite à
vitesse constante, suivant les tirets. D'après la loi de Newton, ils
s'attirent, et la force F exercée de part et d'autre est la même. Mais cette
même force se traduit par des accélérations différentes, y = F/m et
y' = F/m'. Puisque m' > m, on aura y' < y, et la trajectoire du corps
le plus massif, M', sera moins incurvée que celle de M.
Il est en effet fascinant d'observer du haut d'un pont les
remous de l'eau, particulièrement lorsque ceux-ci sont
stationnaires et que le flot dissimule son impétuosité sous
34

La musique des sphères
l'immobilité des lignes du courant. Combien il est alors
tentant de révéler ce mouvement caché en faisant tomber
quelque chose à la surface de l'eau! On peut même se livrer
à des expériences scientifiques, en larguant successivement
deux esquifs au même endroit et en observant qu'ils auront
exactement la même trajectoire. L'équation différentielle,
c'est la direction et la force du courant en chaque point, et
une solution de l'équation, c'est la trajectoire d'un objet
abandonné au fil de l'eau.
Pour les esprits moins poétiques, les ordinateurs par
exemple, qui ont leur mot à dire, il reste la ressource du
calcul. Considérons par exemple un mobile qui se déplace
sur une droite, en s'éloignant d'une origine fixe, de telle
sorte que sa vitesse v à chaque instant soit inversement
proportionnelle à sa distance x à l'origine, par exemple v =
l/x. On a là une très belle équation différentielle, en
dimension un, alors que la précédente était en dimension
deux, et il se pose immédiatement une série de questions,
entre autres celle de savoir si le mobile peut s'éloigner
indéfiniment, ou s'il s'immobilisera à une certaine dis-
tance.
L'ordinateur, qui ne voit pas si loin, procède comme suit.
Il demande la position à l'instant initial t = O. On la lui
fournit, c'est x = 2. La vitesse à cet instant est donc v = 1/2.
L'ordinateur, considérant que cette vitesse restera
constante entre les instants t = 0 et t = 1 (ce qui n'est vrai
qu'approximativement) donnera 1/2 comme chemin par-
couru et Xl = 2 + 1/2 = 5/2 comme nouvelle position. La
nouvelle vitesse à l'instant t = 1 est donc 2/5, le chemin
parcouru entre t = 1 et t = 2 sera 2/5, et la nouvelle position
X2 = 5/2 + 2/5 = 2,9. On peut ainsi calculer approximative-
ment les positions du mobile aux instants t = 0, 1, 2, 3...
En prenant des pas de 0,1 ou 0,01 au lieu de 1, on obtient
des approximations meilleures. La solution exacte vaut
35

L e calcul , l'imprévu
V 2t + 4 à l'instant t, donc 2,45 à l'instant 1 au lieu de 2,5.
Ce qu'il importe de retenir, c'est l'idée qu'une relation
instantanée entre la position et la vitesse permet de
déterminer complètement l'une et l'autre, pourvu que l'on
connaisse la position à l'instant initial t = O.
Le prototype, une fois de plus, est le problème de
Kepler: décrire le mouvement d'une planète autour du
Soleil. Si l'on introduit l'attraction gravitationnelle et si l'on
connaît la relation fondamentale de la dynamique newto-
,
Figure 12. Intégration des équations de Newton: le Soleil S est si massif
que ses mouvements gravitationnels propres peuvent être négligés. Il est
considéré comme immobile, les planètes se déplaçant sous l'influence de
son attraction. A chaque instant, la planète a tendance à s'échapper en
ligne droite, mais sa trajectoire est incurvée et son mouvement accéléré
suivant les équations de Newton. La résolution de celles-ci montre que
la trajectoire réelle est une ellipse dont le Soleil occupe un des
foyers.
36

La musique des sphères
nlenne, force = masse X accélération, ce problème se
ramène à une équation différentielle. L'intégration de
celle-ci donne précisément les ellipses képlériennes et la loi
des aires.
C'est ce que fait Newton dans les Principia. Pour en
arriver là, il a dû fonder une discipline nouvelle, l'analyse
mathématique, susceptible de formuler et de résoudre des
équations différentielles. Les difficultés techniques et
conceptuelles étaient considérables. Comment définir une
vitesse instantanée? Qu'est-ce que la vitesse d'un mobile à
un instant donné, sachant que, par définition, un instant ne
dure pas, et que donc le mobile n'aura pas le temps de se
déplacer pendant cet instant? Et comment passera-t-on
d'une relation instantanée à une solution globale? Tout
cela constitue le calcul différentiel et intégral, dont les
rudiments s'enseignent aujourd'hui à des gamins de seize
ans. Un peu plus tard, ils apprendront que la solution d'une
équation différentielle est entièrement déterminée par
l'état initial. Ainsi, on leur aura inculqué, sous forme de
théorème mathématique, l'idée que le passé et le futur sont
totalement inscrits dans la configuration à l'instant pré-
se nt.
Dorénavant, tous ceux qui utilisent les équations diffé-
rentielles - et il n'y a pas d'autre outil mathématique qui
modèle le temps - s'imagineront avoir enfermé l'éternité
dans l'instant présent. Le chercheur qui représente un
système physique par une équation différentielle a sur son
papier toute l'évolution de ce système, pourvu seulement
qu'il puisse observer son état actuel avec assez de préci-
SIon.
Mieux encore, ayant en mémoire le premier et le plus
grand exemple, la solution par Newton du problème de
Kepler, il s'attendra à trouver des mouvements simples et
réguliers, ou en tout cas proches de ceux-ci. Cette convic-
37

Le calcul, l'imprévu
Figure 13. Une équation différentielle du premier ordre est une relation
instantanée entre la position x du mobile et sa vitesse v. Si la position
initiale Xo est connue, on peut alors en déduire les positions successives
Xl à l'instant 1, X2 à l'instant 2, et ainsi de suite: le mouvement est
complètement déterminé. On obtient ce que l'on appelle une courbe
intégrale. Ainsi, quand on voit couler l'eau du haut d'un pont, on
s'imagine la surface parsemée d'une multitude de petites flèches qui
indiquent la direction du courant. Si une particule tombe à l'eau, ces
flèches l'aiguilleront sur une trajectoire, qui sera une ligne de courant.
Les flèches représentent l'équation différentielle (en chaque point de la
surface, une flèche), et les lignes de courant, les courbes intégrales.
tion s'instaure facilement dans un esprit auquel les lois de
Kepler ont été présentées comme des vérités premières, et
elle sera affermie par l'enseignement et l'expérience. C'est
que l'enseignement est héritier d'une tradition, même en
mathématiques: on ne présente que ce que l'on sait faire,
ce qui est bien compris et a beaucoup servi, et on passe sous
silence les points obscurs et les faits gênants. Le fait que la
solution d'une équation différentielle est complètement
38

La musique des sphères
déterminée par ses conditions initiales, c'est-à-dire que la
position et la vitesse à chaque instant, passé ou futur, ne
dépendent que de la position et de la vitesse à l'instant zéro,
est mathématiquement bien établi. Jamais on ne se livre à
une analyse critique de ses implications: implique-t-il
nécessairement un mouvement ordonné, ou est-il compati-
ble avec un comportement chaotique? En revanche, on
multiplie les exemples, tirés de situations variées, où les
calculs, menés à leur terme, montrent effectivement un
comportement global régulier, ponctué de points fixes et de
trajectoires périodiques. Le jeune chercheur ne pensera
avoir fait œuvre utile que s'il présente à ses collègues un
modèle ayant les propriétés de régularité que l'on attend.
Ce faisant, il contribue à augmenter le stock d'exemples et à
appesantir l'idéologie ambiante.
Dans la recherche scientifique comme ailleurs, nombreux
sont les techniciens, mais rares sont- les créateurs, ceux
véritablement capables d'innover, de sortir des sentiers
battus. Il n'est que trop facile, et tentant, de juger un
problème intéressant parce que les trois quarts des collè-
gues travaillent dessus. Alors que les problèmes véritable-
ment profonds et difficiles, ne promettant guère de succès
faciles, n'attirent pas les professionnels de la publication.
Poincaré distinguait les problèmes qui se posent des problè-
mes que l'on se pose. C'est Poincaré justement qui devait
faire la critique du déterminisme classique et ouvrir ainsi
l'ère moderne. Il allait faire porter son analyse destructrice
non sur des régions périphériques, mais sur le bastion le
plus formidable de l'édifice newtonien, la mécanique
céleste.

2. Le cristal brisé
Les calculs impossibles
Le XI Xe siècle voit donc le triomphe spectaculaire de la
mécanique céleste et de la conception du monde à laquelle
désormais s'attache le nom de déterminisme. Les noms de
Lalande et de Le Verrier s'installent au panthéon des
gloires nationales. Les découvertes astronomiques divisent
les nations: les Anglais, qui pourtant ont déjà Newton et
Halley, ne cherchent-ils pas une mauvaise querelle à notre
Le Verrier, au nom de l'antériorité d'un certain Adams? Il
est fantastique, pharamineux même, que des savants à
lunettes puissent découvrir des mondes nouveaux sans
quitter leur chambre ni même lever le nez de leur grimoire.
Christophe Colomb, lui, partit avec trois caravelles sans
être sûr de revenir, et il toucha terre en Amérique en
croyant arriver aux Indes. Une découverte par hasard, en
somme, alors que les découvertes de nos astronomes sont
voulues, prévues, programmées, calculées.
Prestige du calcul. Élaboration du mythe du savant,
homme distrait, absent des soucis quotidiens parce que
plongé dans ses calculs, savant Cosinus ou professeur
Tournesol, détenteur d'une puissance magique et familière.
Car tous nous savons calculer, d'autant mieux que nous
41

Le calcul, l'imp rév u
avons été de bons élèves. Nous ne sommes ni Lalande ni Le
Verrier, mais nous avons eu en main l'outil qu'ils manipu-
lent si bien et, qui sait, peut-être n'a-t-il manqué qu'un peu
de persévérance pour que nous le maîtrisions aussi bien
qu'eux? Ainsi la gloire scientifique apparaît-elle comme le
prix d'excellence pour adultes, l'ultime récompense du bon
élève. Mais même ceux à qui elle a été refusée peuvent se
joindre à l'immortel cri de don Juan, repris par
M. Homais : « Je crois que deux et deux sont quatre, et que
quatre et quatre sont huit. »
Malheureusement, le ver est déjà dans le fruit. Les
colonnes du temple magnifique qui s'élève à la gloire de
Newton sont déjà fissurées, et ce sont ces fissures, présentes
dès le premier instant, qui conduiront à l'écroulement de
toute la construction. Oh ! elles étaient loin d'être invisi-
bles. Il fallait y regarder d'un peu près, mais on pouvait les
voir, sinon y porter remède. Les hommes de l'art ont
préféré tout recouvrir d'enduit et de peintures d'agréable
apparence, et les touristes n'y ont vu que du feu. On ne les a
même pas prévenus quand l'édifice est tombé en pous-
sière.
Ils auraient dû pourtant se douter! On leur cachait
visiblement quelque chose. D'abord les calculs, ces fameux
calculs, étaient longs, si longs qu'apparemment une seule
personne pouvait les faire, et qu'il était hors de question de
les vérifier. Lalande commence ses calculs en juin 1757 et
annonce ses résultats en novembre 1758. Adams met deux
ans, Le Verrier un an, à découvrir Neptune. Il était clair
que personne n'irait consacrer un ou deux ans de sa vie à
chercher des poux dans leurs calculs.
Pis encore, ces calculs si longs étaient peut-être faux, en
tout cas peu fiables. La comète de Halley passa au périhélie
un mois avant la date annoncée par Clairaut et Lalande. Un
mois d'écart sur soixante-quinze ans (période képlérienne
42

Le cristal brisé
de la comète), ou plutôt sur six cent dix-huit jours (pertur-
bations qu'il s'agissait de calculer), ce n'est pas énorme.
Mais cela met quand même une limite à la puissance des
calculs. Adams et Le Verrier annoncent deux orbites
différentes pour Neptune ; celle de Le Verrier est meilleure
(ô joie), mais n'est pas vraiment bonne non plus. Il calcule
une distance moyenne de 35 à 38 fois le rayon de l'orbite
terrestre, et une période de 207 à 233 ans, alors que les
vraies valeurs sont de 30 et 164. De mauvais esprits font
même remarquer que si Le Verrier avait fait ses calculs
quarante ans plus tôt ou plus tard (un quart d'année pour
Neptune), l'écart aurait été tel qu'il aurait pratiquement été
impossible de retrouver la planète. Comme le dit pudique-
ment l'Astronomie populaire (édition de 1955): «Ces
grandes discordances jetèrent le trouble dans les
esprits. »
On eut tôt fait de ramener le peuple à la vraie foi. Encore
lui cachait -on le pire, pour ne pas le scandaliser. Comment,
par exemple, Adams et Le Verrier avaient-ils commencé
leurs calculs? Il leur fallait absolument la masse de la
planète perturbatrice. Ils l'avaient devinée, tout simple-
ment, au pif, comme un mauvais élève qui ne sait pas faire
son problème. C'est même pour cela que leurs réponses
étaient si mauvaises: Adams avait pris pour la masse de
Neptune 45 fois celle de la Terre, Le Verrier 32, alors que la
valeur réelle est de 17. Tous leurs calculs prestigieux ne
faisaient en définitive qu'habiller, on peut même dire
camoufler, le pari initial. C'est construire une maison en
commençant par le toit, et les scientifiques, malheureuse-
ment, sont coutumiers du fait.
Je ne puis me défendre de penser que mes illustres
collègues du siècle passé, mathématiciens et astronomes,
auraient été plus avisés de s'interroger sur les raisons
profondes qui rendent les calculs de perturbations si diffici-
43

Le calcul, l'imprévu
les, et leurs résultats si incertains, plutôt que de répandre
sans discernement l'idée que la loi de gravitation, et
quelques autres semblables, permettraient de tout expli-
quer et de tout prévoir. Car cette possibilité est purement
virtuelle: pour descendre de la théorie à la pratique, elle
nécessite que l'on sache mener à bien les calculs correspon-
dants.
Le principe des calculs de perturbations n'est pas très
difficile. Si, par exemple, on a besoin de l'orbite réelle de la
Terre, on commence par utiliser l'orbite képlérienne
comme première approximation. Si celle-ci se révèle insuf-
fisante pour le problème considéré, on prendra en considé-
ration l'attraction de la plus grosse planète, Jupiter. La
perturbation que celle-ci apporte au mouvement képlérien
sera calculée grâce à deux simplifications:
- on oubliera l'influence réciproque de la Terre sur
Jupiter, c'est-à-dire que l'on considère que celui-ci décrit
son orbite képlérienne en négligeant les perturbations
apportées par l'attraction terrestre ;
- les perturbations apportées au mouvement étant par
définition petites, on se permettra de les calculer en
linéarisant les équations autour de la trajectoire képlé-
rienne de référence, comme on remplace une courbe au
voisinage d'un point donné par la tangente en ce point.
Pourtant, ces calculs, on ne sait pas vraiment les faire.
Nous avons parlé des brillants succès du XI xe siècle.
L'avènement des ordinateurs a amélioré la situation, puis-
que la durée d'un très long calcul, bien plus complexe que
ceux de Lalande ou Le Verrier, est maintenant de quelques
heures. Mais il ne l'a pas fondamentalement changée: les
prédictions ne sont valables qu'en deçà d'une certaine
limite de précision, qui a été repoussée, mais qui reste
étonnamment proche. Et les calculs restent très délicats à
mener. Le programme Apollo, par exemple, a nécessité la
44

Le cristal brisé
mise en œuvre d'une puissance de calcul considérable et
l'élaboration de méthodes numériques très sophistiquées,
faisant largement appel aux acquis de la mécanique céleste
depuis deux siècles. Tout cela pour calculer la trajectoire
d'un engin dans une toute petite région de l'espace, entre la
Terre et la Lune. Et pourtant, les corrections de trajectoire
ont été bien utiles !
Il faut vraiment la force de l'habitude pour se résigner à
l'impuissance de la mécanique céleste. Les questions les
plus fondamentales restent sans réponse depuis le temps de
Newton. Quelle est la trajectoire de la Terre? Ne va-t-elle
pas graduellement se rapprocher du Soleil pour y terminer
sa carrière? Va-t-elle au contraire s'en éloigner petit à petit
pour s'échapper dans fespace interstellaire? Personne n'en
sait rien. L'orbite képlérienne n'est qu'une approximation,
suffisante pour donner une idée de la trajectoire pendant
quelques années. Le calcul des perturbations dues aux
grosses planètes porte cette limite de validité à quelques
siècles ou quelques millénaires. C'est beaucoup à l'échelle
de 1 'humanité - on peut ainsi dater les éclipses observées
dans l'Antiquité -, mais ce n'est rien à échelle astronomi-
que. Le passé et l'avenir du système solaire nous échappent
totalement.
Autre question encore sans réponse: d'où vient la
structure fine des anneaux de Saturne? Ils sont plans, plus
ou moins brillants, séparés par des interstices obscurs, dont
le plus important est la division de Cassini. On sait depuis
longtemps qu'ils ne sont pas d'un seul tenant, mais formés
d'une nuée de particules indépendantes gravitant ensemble
autour de Saturne. On sait aussi que la gravitation n'est pas
la seule force qui agit sur eux : les chocs (non élastiques)
entre particules jouent un rôle important, en particulier
dans l'aplatissement de l'anneau. Mais pourquoi ces inters-
tices ?
45

Détail des anneaux de Saturne phtotographiés le 17 août 1981 par
Voyager 2 à une distance de 8,9 millions de kilomètres. On distingue sur
cette image des dizaines d'anneaux brillants et sombres, de composition
fort variable (coll. PPP/IPS).
46

Le cristal brisé
La question est fort controversée, la plupart des spécia-
listes s'accordant à attribuer ces lacunes aux perturbations
gravitationnelles apportées par les gros satellites de
Saturne, tout en s'opposant sur la manière dont ces
perturbations pourraient produire les phénomènes obser-
vés. Les uns voient des résonances là où les autres n'en
voient pas, ce qui est négligeable pour l'un ne l'est pas pour
l'autre, et ainsi de suite. Depuis, bien entendu, on est allé
voir. Voyager 1 et Voyager 2 nous ont montré non pas trois,
mais des centaines d'anneaux emboîtés, certains étant
même tressés, jusque dans la fameuse division de Cassini,
qui ressemble maintenant à la place de l'Étoile pendant
J'heure de pointe. On y trouve de tout, des petites lunes de
quelques kilolnètres de diamètre, et des cailloux de quel-
ques centimètres, et personne n'y comprend plus grand-
chose.
Heureusement, il nous reste toujours les calculs, ces
fameux calculs, et si nos astronomes ne savent pas les faire,
nous avons de splendides ordinateurs construits à grands
frais qui s'en chargeront. Il suffit de répartir uniformément
des petites particules dans un plan autour de Saturne, de
placer les gros satellites, de rentrer le tout dans la machine
et de faire tourner. Sûr qu'on verra les anneaux se former
progressivement et la structure fine apparaître. On pourra
même en faire un film éducatif, propre à émerveiller petits
et grands !
Malheureusement, il faut déchanter. Ceux qui se sont
attaqués à cette entreprise ont atteint les limites de leur
budget (il faut payer les calculs) avant d'observer la
moindre division. Pour expliquer cet échec, on invoque les
durées énormes qui seraient nécessaires pour obtenir des
résultats perceptibles: l'échelle des temps astronomiques
serait trop grande. C'est rejeter sur la nature la responsa-
bilité de sa propre insuffisance. C'est reconnaître l'impuis-
47

Le calcul, l'imprévu
sance des calculs en mécanique céleste. Mais cela ne donne
pas la raison profonde pour laquelle ces calculs marchent si
mal.
L'œuvre de Poincaré
Dans l'œuvre considérable de Henri Poincaré (1854-
1912), la mécanique céleste tient une place de choix. Elle
lui valut même les plus grands honneurs, puisque son
mémoire de 1889, Sur le problème des trois corps et les
équations de la dynamique, lui valut un prix créé pour
l'occasion par le roi Oscar II de Suède. Les prix Nobel
n'existaient pas encore, et l'événement fit grand bruit. Les
trois tomes des Méthodes nouvelles de la mécanique céleste,
publiés de 1892 à 1899, font partie des références obligées,
toujours cités et rarement lus.
Il faut dire que la mécanique céleste constituait un terrain
de choix pour le déploiement de l'arsenal que Poincaré
avait construit pour attaquer d'autres places fortes, comme
la géométrie des surfaces ou la classification des équations
différentielles. D'une manière générale, Poincaré, qui est
un calculateur sans pareil, commence par faire aller ses
calculs aussi loin qu'ils peuvent le porter. Arrivé sur cette
frontière, il commcnce par jeter un coup d' œil critique sur
le chemin parcouru, puis il essaie de percer le brouillard qui
s'étend devant lui. La route se perd dans le sable ou dans les
herbes. Il ne voit ni bornes kilométriques ni poteaux
indicateurs, mais il discerne d'amples accidents de terrain,
noyés dans les brumes.
Il faut donc, sur cette frontière de la connaissance, un
changement d'optique. Aux méthodes quantitatives, pré ci-
48

Le cristal brisé
ses mais limitées, on essaie de suppléer par des méthodes
qualitatives, qui portent plus loin mais donnent une image
moins distincte. La position historique de Poincaré est
d'avoir été un maître des premières, et l'inventeur des
secondes. Il sera donc le plus pénétrant critique des
méthodes quantitatives, et le grand précurseur des métho-
des qualitatives. Le titre même de son grand ouvrage
n'est-il pas significatif? Si méthodes nouvelles il y a, qui
donc se souciera des anciennes?
La critique de Poincaré (sans que lui-même, semble-t-il,
ait désiré la porter jusque-là) s'attaque à l'idée même qu'un
modèle quantitatif, aussi précis et exact soit-il, permette de
prévoir l'avenir. Ce sont les fondements du credo détermi-
niste qui se trouvent ainsi sapés, et l'on comprend que
Poincaré n'ait pas voulu, à l'époque, tirer toutes les
conclusions de sa critique.
Aussi la renferme-t-il prudemment dans le domaine
spécialisé de la mécanique céleste et la voile-t-il sous un
langage technique. Il se contente de montrer que les
équations de la dynamique ne sont pas complètement
intégrables et que les séries utilisées pour les résoudre
approximativement sont toutes divergentes.
Pour comprendre ce que cela veut dire, il faut commen-
cer par se demander ce que l'on attendrait d'une solution
complète, du problème des trois corps par exemple. Étant
donné trois points matériels, dont les positions et les
vitesses initiales sont connues et qui s'attirent suivant la loi
de Newton, il s'agit de calculer leur position à un instant
donné du futur (ou du passé). On voudrait une formule
mathématique, dépendant du temps t et des conditions
initiales; la configuration cherchée devra s'en déduire en
donnant à la variable t la valeur qui nous intéresse. C'est
ainsi que la formule x = sin t détermine complètement x en
fonction de t ; s'il me prend fantaisie de connaître le sinus
49

Le calcul, l' imp révu
de 10, je prends mon calculateur de poche, je forme 10 et
j'appuie sur la touche sin, et je vois sortir - 0.54402111.
C'est une dépendance de ce type, notée x = f (t), que nous
voudrions, un peu compliquée par le fait qu'il faut neuf
nombres au lieu d'un seul pour décrire les positions de trois
points dans l'espace. Une solution complète du problème
des trois corps serait donc constituée de neuf relations Xl =
f 1 ( t),... ,X9 = f 9 ( t) permettant de calculer les positions à
chaque instant du temps par simple substitution.
Ce que démontre Poincaré, c'est qu'une telle solution
n'existe pas. Entendons-nous, nous ne nions pas qu'il y ait
une relation entre le temps et la configuration, ni même que
cette relation détermine complètement celle-ci. Nous
concédons que, si l'on arrivait à reproduire exactement les
mêmes conditions initiales, on observerait exactement le
même mouvement, c'est-à-dire les mêmes configurations
aux mêmes instants. Ce qui est en question, c'est la
possibilité effective pour nous, pauvres mortels, de dégager
cette relation et de la traduire, intégralement et fidèlement,
en termes calculables, donc utilisables. Certes, on peut
faire quelques pas, on peut même quelquefois aller assez
loin dans cette direction, mais on ne peut pas aller jusqu'au
bout. Le modèle newtonien de la mécanique céleste
contient une vérité qui nous restera toujours en partie
cachée.
Dire qu'il n'y a pas de solution complète au problème des
trois corps signifie donc qu'il n'y a pas de solution effecti-
vement calcul able pour toutes les valeurs du temps t. Cela
peut sembler étrange à tous ceux qui ont manipulé des
fonctions, au lycée, et qui se souviennent de t 2 , lit, sin t,
cos t, et, bref, ce que l'on appelle les fonctions usuelles:
on connaissait parfaifement leur allure pour les grandes
valeurs de t, et on pouvait toujours les calculer aussi loin
que l'on en avait besoin. Le malheur, c'est que la liste des
50

Le cristal brisé
fonctions usuelles est très courte (ce sont celles qui figurent
sur tous les calculateurs scientifiques de poche) : fractions
rationnelles, lignes trigonométriques, fonction exponen-
tielle, et leurs combinaisons, bien entendu. Pour les gens
savants, il y a en plus les fonctions hypergéométriques, mais
c'est vraiment tout.
Le premier résultat de Poincaré, c'est que la relation
entre le temps et les positions, dans le problème des trois
corps, ne peut justement pas s'exprimer à l'aide des
fonctions usuelles. Ce premier résultat négatif n'est pas
encore décisif. Car ces fonctions usuelles n'ont rien de
magique. Il se trouve simplement que l'on a des recettes
simples et efficaces pour calculer leur valeur. Ce sont les
célèbres formules:
et = 1 + t + t 2 /2 + t 3 /6 + t 4 /24 + t 5 /120...
cos t = 1 - t 2 /2 + t 4 /24 + t 6 /720 - ...
Les sommes infinies qui figurent au second membre sont
appelées des séries. On dit qu'elles sont convergentes pour
exprimer qu'elles peuvent effectivement servir au calcul des
premiers membres, et c'est le procédé utilisé dans les
calculateurs de poche. On pourrait donc songer à court-
circuiter le problème : au lieu de chercher à exprimer les
neuf relations x = f(t) à l'aide des fonctions usuelles, il
suffirait de les obtenir directement sous la forme de séries
analogues aux précédentes:
x = ao + al t + a 2 t 2 + a3 t3 + ...
dont les coefficients successifs ao, al, a2, ... seront détermi-
nés de proche en proche pour satisfaire aux équations du
problème des trois corps.
Le second résultat de Poincaré, c'est que les séries
obtenues de cette manière sont divergentes, c'est-à-dire
que les sommes infinies écrites au deuxième membre
51

Le calcul, l' imp révu
croissent indéfiniment. On ne peut donc pas s'en servir
pour définir et calculer la solution du problème des trois
corps.
Le procédé n'en garde pas moins une certaine valeur,
pour effectuer des calculs de perturbations valides pendant
un temps pas trop long. Il a suscité et continue de susciter
d'innombrables travaux, et Poincaré lui-même y a beau-
coup contribué. Suivant ses propres termes, la divergence
des séries obtenues « importe peu pour le moment, puis-
qu'on est assuré que le calcul des premiers termes donne
une approximation très satisfaisante; mais il n'en est pas
moins vrai que ces séries ne sont pas susceptibles de donner
une approximation indéfinie. Il viendra donc aussi un
moment où elles seront insuffisantes. D'ailleurs, certaines
conséquences théoriques que l'on pourrait être tenté de
tirer de la forme de ces séries ne sont pas légitimes à cause
de leur divergence. C'est ainsi qu'elles ne peuvent servir à
résoudre la question de la stabilité du système solaire».
Poincaré assigne donc au non-calculable un domaine
inaliénable au sein du modèle mathématique le plus rigou-
reux et le plus ambitieux, l'univers newtonien. Il y aura
toujours des événements qui échapperont à la prévision:
certains d'entre eux sont même de grande conséquence,
comme le devenir du système solaire. Mais les mathémati-
ques continuent quand les calculs s'arrêtent. La limite du
quantifiable n'est pas la limite des mathématiques: par des
méthodes nouvelles, qualitatives et non plus quantitatives,
on cherchera moins à faire des prévisions exactes en toutes
circonstances qu'à se faire une idée générale des possi-
bles.
Avant d'en venir là, revenons à l'aspect critique de
l'œuvre de Poincaré. Dans le premier volet, que nous
venons d'examiner, il montre que certains événements
physiques ne sont pas calculables, donc prévisibles. Dans
52

Le cristal brisé
un second volet, il montre mieux encore: certains événe-
ments prédits par le modèle mathématique ne se produiront
pas dans la réalité physique !
Une expérience simple (et fictive) nous le fera voir. Soit
une boîte étanche, séparée en deux compartiments par une
cloison. L'un est vide, l'autre rempli de gaz. Perçons cette
cloison: aussitôt, le gaz s'échappe d'un compartiment dans
l'autre, jusqu'à ce que l'équilibre des pressions soit établi,
et, à partir de cet instant, il ne se passe plus rien.
Certainement, quiconque verrait de ses yeux le gaz repasser
spontanément d'un compartiment dans l'autre croirait
assister à un miracle.
Cette situation physique a un modèle mathématique
universellement accepté. On considère le gaz comme une
collection de molécules s'entrechoquant comme autant de
billes. Le système est alors décrit par la position et la vitesse
de chacune des molécules. Un résultat fameux, le théorème
de récurrence de Poincaré, s'applique à cette situation et
montre que le système repassera au voisinage immédiat de
sa configuration initiale. Pour faire bonne mesure, il y
repassera même une infinité de fois.
Le modèle prédit donc que le premier compartiment,
après s'être rempli, se videra entièrement dans le second,
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Figure 14. Le mouvement perpétuel. D'après Poincaré, le gaz une fois
libéré retourne indéfiniment à sa place initiale dans le compartiment
supérieur.
53

Le calcul, l'imprévu
puis se remplira de nouveau, et ainsi de suite, indéfiniment.
Un phénomène aussi contraire à l'expérience physique ne
peut être considéré que comme un paradoxe. La solution
du paradoxe réside dans le temps nécessaire à l'accomplis-
sement d'un cycle. L'intervalle de temps séparant deux
remplissages successifs peut être calculé, et se trouve être
de beaucoup supérieur à l'âge du Soleil, ce qui explique que
les cycles prédits soient difficiles à observer.
Ainsi, les mathématiques nous donnent une manière
originale de réparer un pneu crevé: il suffit d'attendre qu'il
se regonfle spontanément. On imagine Poincaré faisant
breveter une méthode originale pour remplacer l'usage des
pompes à vélo: on soulève la roue pour que le boyau
reprenne sa forme, et on attend, rustine à la main, que l'air
veuille bien rentrer à nouveau par le trou d'où il est sorti.
Dans le même ordre d'idées, il n'est pas bien grave d'avoir
trop sucré son café. Pour réparer ce petit malheur, il suffit
d'attendre patiemment que le morceau de sucre qu'on a mis
en trop et qui s'est dissous veuille bien se reformer, afin de
le retirer. Car la théorie mathématique prédit qu'il se
reconstituera, aussi sûrement qu'il s'est dissous, et que le
pneu crevé se regonflera.
On aurait tort de ne voir dans cette expérience qu'un
paradoxe amusant. Elle complète la critique de Poincaré,
qui nous montre d'une part des modèles exacts mais
incapables de prédire, d'autre part des modèles qui prédi-
sent l'impossible avec certitude. Ainsi prépare-t-illa voie à
des modèles d'un type nouveau, qui montreront les possi-
bilités dont est gros l'avenir, sans peut-être annoncer
laquelle viendra au monde. Il y a, entre ces modèles
qualitatifs et les modèles quantitatifs, toute la différence
entre un croquis et un calcul.
C'est Poincaré qui a introduit les méthodes qualitatives
dans la théorie des équations différentielles. Dans le
54

Le cristal brisé
domaine plus particulier de la mécanique céleste (ce qu'il
appelle les équations de la dynamique), il a mis en évidence
la complexité globale du mouvement en analysant certaines
trajectoires particulières et la situation au voisinage immé-
diat de celles-ci. Il a ainsi découvert des situations d'une
complexité absolument insoupçonnée et démontré que les
équations de la dynamique pouvaient recouvrir des mouve-
ments extrêmement irréguliers, ceux-ci étant d'ailleurs la
règle plutôt que l'exception. Sous la régularité apparente,
macroscopique, de l'approximation képlérienne, Poincaré
a mis en évidence un foisonnement d'accidents microsco-
piques, comme une particule qui nous paraît au repos
se révèle sous le microscope agitée par le mouvement
brownien.
Notons ici que les trajectoires de référence choisies par
Poincaré, celles au voisinage desquelles il pourra tenter son
analyse, sont le plus souvent périodiques. Ce sont celles qui
se referment sur elles-mêmes après que s'est écoulé un
temps T, plus ou moins long, appelé la période. En d'autres
termes, une trajectoire est T -périodique si le mobile qui la
décrit repasse exactement aux mêmes endroits à des inter-
valles de T. L'orbite de la Terre, par exemple, est périodi-
que dans l'approximation képlérienne, avec une période
d'un an, mais ne l'est probablement plus (on n'en sait rien,
sinon que la période devrait être très longue) si l'on prend
en compte les perturbations planétaires.
Dans son langage, que les scientifiques d'aujourd'hui ont
perdu l'habitude d'utiliser, Poincaré déclare que « ce qui
nous rend ces solutions périodiques si précieuses, c'est
qu'elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous
puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu'ici
réputée inabordable». Elles ont en effet deux avantages :
on sait décrire la situation autour d'elles, et on sait les
calculer. C'est sur ce dernier point que je voudrais insister,
55

Le calcul, l'imprévu
car il rejoint nos préoccupations antérieures: comment
donner explicitement une relation x = f (t), valable à tous
les instants t du temps, même très grands? Si l'on sait que f
est T-périodique, il suffira de donner la relation entre les
instants a et T, c'est-à-dire sur un intervalle fini: elle s'en
déduira aisément pour les autres valeurs du temps. C'est
ainsi que, sur mon calculateur, si j'appuie sur la touche
1 000 puis sur la touche sinus, je vois apparaître la lettre E
- erreur; mais si je désire vraiment connaître le sinus de
1 000, il me suffit de diviser 1 000 par la période 2Jt, et de
prendre le sinus du reste, ce qui me donne 0.82687954.
Ainsi, les solutions périodiques du problème des trois corps
sont, en principe, accessibles au calcul. Toutefois, même si
on les connaissait toutes, ce qui est loin d'être le cas, on
n'en déduirait pas pour autant une solution complète du
problème des trois corps, car celui-ci a bien d'autres
solutions que périodiques.
Pour décrire commodément la situation au voisinage
d'une trajectoire périodique de référence, on procède
comme suit. La trajectoire périodique choisie, soit T, est
une courbe fermée de l'espace à trois dimensions. On la
coupe transversalement par un plan vertical Jt, qui rencon-
tre T en un point que nous baptisons 0 (et en un ou plusieurs
autres points qui ne nous intéressent pas). Si maintenant T'
est une trajectoire voisine de T, elle rencontrera Jt en des
points Ao, A}, A 2 ... voisins de O. Ces points constitueront
une suite infinie, sauf si la trajectoire T'elle-même est
périodique. L'idée est de substituer à la trajectoire T' la
suite de ses points d'impact avec le plan Jt. On se ramène
ainsi à une situation bidimensionnelle, que l'on peut
aisément décrire graphiquement.
En d'autres termes, on imagine que la feuille de papier
est le plan Jt, et que le point 0 est le point d'intersection de JI
avec la trajectoire périodique de référence. Si maintenant
56

Le cristal brisé
Figure 15. La situation au voisinage d'une trajectoire périodique T.
on prend un autre point Ao dans le plan, la trajectoire issue
de Ao dans l'espace viendra de nouveau frapper 1t au
voisinage de 0, définissant ainsi un nouveau point Al du
plan. Cette même trajectoire, continuant sa course dans
l'espace après Al, viendra une deuxième fois frapper 1t au
voisinage de 0, définissant ainsi un nouveau point A 2 . C'est
la suite des impacts Ao, Al, A 2 ... que l'on représentera sur
la feuille et qui permettra de visualiser la trajectoire issue
de Ao dans l'espace. Si par exemple Ao = An, le énième
point d'impact coïncidant avec le point de départ, c'est que
la trajectoire correspondante est périodique: elle boucle en
n tours, alors que la trajectoire de référence bouclait en un
seul tour.
Avec les moyens modernes, micro-ordinateurs et tables
57

Le calcul, l'imprévu
traçantes, il est facile et amusant de faire ce travail. Le
lecteur est invité à s'y essayer lui-même, en définissant la
transformation An  An+l dans le plan 1t muni des
coordonnées (x, y) de la manière suivante :
Xn+l = X n cos a - (Yn-X) sin a
Yn+l = X n sin a + (Yn-X) cos a
où l'angle a est un paramètre que l'on fixera librement. Cet
exemple simple et célèbre (Hénon, 1969) a l'avantage de ne
pas nécessiter le calcul de la portion de trajectoire comprise
entre An et A n + t dans l'espace. Ou plutôt, ce calcul est déjà
fait et son résultat exprimé dans les formules de Hénon.
Les figures que voici montrent donc une situation typique
au voisinage d'une trajectoire périodique, représentée par
le point O. Elles ont été tracées en prenant a = 76.11 0 dans
les formules de Hénon et en variant le point de départ.
Dans la première, on a représenté simultanément plu-
sieurs trajectoires. Les trois ronds centraux appartiennent à
trois trajectoires distinctes. Pour le rond le plus intérieur,
les points d'impact sont si voisins qu'ils créent l'illusion
d'une courbe continue. A mesure que l'on s'écarte de 0, les
impacts se séparent, et la «courbe» perd de sa netteté,
pour finalement se dissoudre complètement. L'espèce de
halo qui enveloppe la figure est formé des points d'impact
d'une seule trajectoire, la plus extérieure. Entre celle-ci et
les trajectoires intérieures se place une région intermé-
diaire, siège de phénomènes curieux, voire bizarres.
On y voit apparaître cinq « îlots », de sommets SI, S2, S3,
S4, Ss, séparés par cinq « cols », CI, C 2 , C 3 , C 4 , Cs. Dans
chacun des îlots, les « courbes de niveau»., de plus en plus
nettes à mesure que l'on se rapproche du sommet, sont
créées par les impacts successifs d'une trajectoire. On voit
donc se répéter autour de chacun des sommets S la
structure que l'on avait autour de 0, à ceci près que tout
58

Le cristal brisé
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Figure 16. Cette figure a été tracée sur ordinateur à partir des formules
de Hénon. Elle semble séparer nettement une région intérieure où
règne la régularité d'une région extérieure où les trajectoires paraissent
aléatoires. Mais cela n'est qu'apparence, comme le montre la figure
suivante (d'après Topics in Nonlinear Dynamics, a Tribute to Sir
Edward Bullard, New York, American Institute of Physics, 1978).
prend cinq fois plus de temps. Une trajectoire issue d'un
point voisin de SI ira d'abord frapper un point voisin de S2,
puis de S3, S4 et S5, avant de revenir au voisinage de SI. Elle
construira donc simultanément cinq « courbes de niveau»,
une dans chaque îlot. En particulier, la trajectoire issue de
SI passe par S2, S3, S4, S5, puis repasse par SI. Elle est donc
59

Le calcul, l'imprévu
périodique, de période quintuple de la période de réfé-
rence.
Les « cols» CI, C 2 , C 3 , C 4 , Cs appartiennent aussi à une
orbite périodique. On a donc trouvé, autour de la trajec-
toire de référence, une région intérieure où le comporte-
ment est régulier, une région extérieure où le comporte-
ment est irrégulier, et une région intermédiaire qui contient
deux orbites périodiques de période quintuple.
On est cependant loin d'avoir épuisé toute la complexité
de la situation. La figure suivante est un agrandissement:
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0.575
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Figure 17. Agrandissement de la région avoisinant le point C z de la
figure 16. Les points représentés appartiennent à une seule trajectoire.
On remarquera l'apparition d'une structure fine faite d'îlots d'ordre
entourés d'une mer chaotique (source: voir figure 16).
60

Le cristal brisé
elle représente le voisinage du point C 2 à une échelle vingt
fois plus petite. Les points que l'on voit en nuage appartien-
nent tous à une même trajectoire. On voit apparaître une
structure fine qui était indiscernable à l'échelle précédente:
les courbes apparemment nettes se dissolvent en un halo de
points parsemé de chapelets d'îlots. Un agrandissement
plus poussé montrerait que chacun de ces îlots reproduit, à
une échelle réduite, la structure globale de la figure
précédente autour du point O. Chaque îlot est un micro-
cosme, image fidèle de l'ensemble: il contiendra donc
d'autres îlots, plus petits, qui eux-mêmes refléteront la
structure générale, et ainsi de suite.
On voit donc apparaître une structure hiérarchisée extrê-
mement complexe, que l'on peut envisager de différentes
manières. On peut l'assimiler à une éponge, structurée par
des trous de toutes tailles. On peut aussi songer à ces
affiches où un personnage montre l'affiche où le même
personnage montre la même affiche, ou à ces miroirs placés
face à face où l'on peut se voir indéfiniment reflété, la
succession des images convergeant vers un point de fuite. Il
y a aussi ces poupées gigognes que l'on rapporte d'URSS.
Les figures 16 et 17 contiennent leur propre image en réduc-
tion. Le microscopique est identique au macroscopique.
Cette structure ménage une transition continue entre le
mouvement régulier, prévisible, décrit par la trajectoire de
référence et les trajectoires centrales, et le mouvement
irrégulier, cahotique et chaotique, représenté par les trajec-
toires périphériques. Elles sont toutes déterministes, puis-
que provenant d'une équation différentielle, mais quel
observateur, confronté aux halos des figures 16 et 17, n'y
verrait pas plutôt l'effet d'un phénomène aléatoire? De ce
point de vue, le mouvement réalise un mélange très intime
de l'ordre et du désordre, une trajectoire apparemment
régulière apparaissant profondément perturbée à une
61

Le calcul, l'imprévu
échelle inférieure, mais ménageant toujours, au sein du
désordre, des îlots d'ordre, qui eux-mêmes recèlent des
plages de désordre où la même structure se perpétue en
miniature. L'ordre et le désordre, le régulier et l'irrégulier,
le prévisible et le chaotique s'imbriquent comme la terre et
la mer le long de ces côtes découpées où les promontoires
rocheux alternent avec les plages de sable, et où les flaques
et les récifs font que l'on ne saurait dire où commence l'eau
et où finit le sol.
Les trajectoires périodiques, elles aussi, qui pourtant
devraient être le parangon de la régularité, montrent
l'insidieuse instauration du désordre. Les dessins précé-
dents en recèlent un grand nombre. Nous en avons signalé
deux, la trajectoire de référence, issue de 0, et une
trajectoire de période quintuple passant par les sommets
des îlots (plus une troisième passant par les cols). Comme
les îlots reproduisent la structure globale en miniature, ils
doivent contenir eux aussi une trajectoire de période
quintuple de la trajectoire SI, S2, S3, S4, Ss, soit vingt-cinq
fois la période de référence. On fait ainsi apparaître autour
de la trajectoire de référence des trajectoires périodiques
de période de plus en plus grande, 5, 25, 625, 3 125, et ainsi
de suite. Dès la quatrième, il faudra construire plus de trois
mille points sur la figure pour s'apercevoir que la trajectoire
correspondante est périodique. Un observateur non pré-
venu a peu de chances de s'en apercevoir, et d'y voir autre
chose qu'une trajectoire cahotique tout à fait ordinaire.
S'en douterait-il qu'il serait facile, en allant plus loin, de
trouver une trajectoire de période tellement grande qu'elle
dépasse ses moyens de calcul.
Poincaré fut conduit aux figures 16 et 17 non par des
simulations numériques, pratiquement impossibles avec les
moyens de l'époque, mais par des méthodes qualitatives. Il
divisa les trajectoires périodiques en deux grandes classes,
62

Le cristal brisé
qu'il baptisa elliptiques et hyperboliques, et démontra que
la situation locale autour d'une trajectoire périodique
elliptique était décrite par des figures analogues à 16 et 17
(à condition toutefois d'exclure certains cas exceptionnels,
donc rares). Son analyse implique en particulier l'existence
d'une famille de trajectoires périodiques de période de plus
en plus grande, chacune d'elles donnant naissance à des
îlots et à des cols, et démontre donc rigoureusement les
conclusions auxquelles nous étions arrivés par l'inspection
des dessins.
On ne trouvera pas cependant cette analyse dans les
Méthodes nouvelles. C'est que Poincaré n'y arriva que
beaucoup plus tard. Il lui resta même toujours quelque
chose à démontrer. Tout restait suspendu à un théorème
géométrique, qu'il savait démontrer dans nombre de cas
particuliers, mais non dans le cas général, et qu'il se résolut
à publier vers la fin de sa vie pour le proposer aux efforts
d'autres mathématiciens. Il fut finalement démontré en
1913 par l'Américain Birkhoff (ce fut probablement la
première incursion des États-Unis sur la scène mathémati-
que internationale) et reste depuis connu comme «le
dernier théorème de Poincaré».
Ce que l'on trouvera, en revanche, dans les Méthodes
nouvelles, c'est l'analyse d'un autre type de trajectoires,
non périodiques celles-là, que Poincaré appelle trajectoires
homoclines. Voici ce qu'il en dit: « On sera frappé de la
complexité de cette figure, que je ne cherche même pas à
tracer. Rien n'est plus propre à nous donner une idée de la
complication du problème des trois corps, et en général de
tous les problèmes de Dynamique où il n'y a pas d'intégrale
uniforme et où les séries de Bohlin sont divergentes. » Le
lecteur intéressé trouvera dans l'annexe 1 une introduction
aux orbites homoclines, avec la figure que Poincaré renon-
çait à tracer.
63

Le calcul, l'imprévu
Déterministe mais aléatoire
Nous en arrivons au moment où il nous faut être
constructif. Nous avons démoli la vieille maison: que
construirons-nous à la place? L'icône ancienne était l'or-
bite képlérienne, plane, elliptique et périodique, peut-être
légèrement altérée par de petites perturbations, en tout cas
essentiellement prévisible et calcul able : la Terre tourne
autour du Soleil, aujourd'hui, demain, éternellement.
Cette icône s'est révélée menteuse, l'orbite képlérienne
s'est dissoute dans un halo, et personne ne sait si la Terre
tournera toujours autour du Soleil. Quelle nouvelle image
proposons-nous?
La première image qui me vient à l'esprit est le lancement
des dés. Image beaucoup utilisée depuis Jules César, mais
qui traduit néanmoins quelques traits importants des mou-
vements que nous venons de décrire. Comme eux, c'est un
phénomène déterministe mais aléatoire. Plus précisément,
ses lois sont purement déterministes, mais, chaque fois
qu'elles s'exercent, le résultat est perçu comme aléatoire.
Quoi de plus déterministe que le lancement d'un dé ? Ce
petit cube homogène quitte la main du lanceur, est soumis à
la gravitation terrestre et à la résistance de l'air, rebondit
sur une surface que l'on choisit exprès élastique et plane, et
s'immobilise après avoir perdu son énergie dans les chocs et
les frottements. Il n'est soumis qu'à des lois mécaniques
bien connues, abondamment étudiées, et, en principe, une
fois donnée l'impulsion initiale, tout le reste du mouvement
peut être déterminé par le calcul. D'un autre côté, quoi de
plus aléatoire que le lancement d'un dé ? Le mot même
d'aléa désigne les dés en latin. Il n'y a pas, je pense, de
définition abstraite du hasard ; aucune en tout cas qui soit
64

Le cristal brisé
cohérente. On y supplée par des définitions concrètes, qui
en dernière analyse renvoient à l'expérience du lancer des
dés.
C'est bien ce caractère ambigu que nous avons remarqué
dans les problèmes de mécanique céleste. Les mouvements,
régis par la loi de Newton, sont purement déterministes.
Mais certaines trajectoires sont si irrégulières, le nuage de
points de la figure 17 par exemple, ou la trajectoire
extérieure de la figure 16, qu'elles prennent un caractère
aléatoire.
Mais l'analogie n'est pas très bonne. On discerne facile-
ment, dans le lancement des dés, une question d'échelle. Le
phénomène est déterministe à petite échelle et aléatoire à
grande échelle. C'est qu'il résulte de l'addition d'une
multitude de causes microscopiques: l'effet individuel de
chacune pourrait être parfaitement décrit, mais leur
conjonction rend tout calcul impossible. Il y a également
une question d'instabilité, sur laquelle nous reviendrons
plus tard, et qui affecte l'impulsion initiale.
Il n'en est pas de même pour les problèmes de mécanique
céleste. Nous avons déjà souligné que la structure révélée
par les figures 16 et 17 se trouve répétée à toutes les
échelles: les phénomènes microscopiques et macroscopi-
ques sont essentiellement les mêmes. Il nous faut donc une
image qui reflète ces traits, et d'autres encore dont nous
n'avons pas parlé.
Cette image existe. Elle n'est pas le fruit du hasard, ni de
vagues réminiscences littéraires, mais le résultat du travail
de trois générations de mathématiciens depuis Poincaré.
Elle est exposée, dans les ouvrages spécialisés sur les
systèmes dynamiques, sous le nom de « transformation du
boulanger» ou de « décalage de Bernoulli ». Il est curieux
de voir ainsi évoqué un mathématicien suisse du XVIIe siècle
dans un domaine qui, au xx e , a été l'apanage des Améri-
65

Le calcul, l'imprévu
cains (Birkhoff, Smale, Ornstein) et des Russes (Kolmogo-
rov, Sinai, Arnold).
Voyons d'abord le boulanger à l'œuvre. Il prend de la
pâte, l'étale au rouleau jusqu'à réduire son épaisseur de
moitié, la replie sur elle-même pour retrouver l'ancienne
épaisseur et recommence. En fait, nous demanderons à
notre boulanger de couper la pâte en deux, une fois étalée,
et de poser les deux feuilles obtenues l'une sur l'autre. De
cette manière, elles gardent toujours le même sens, alors
qu'en pliant on retourne la seconde feuille sur la première.
Nous compliquons peut-être la cuisine, mais nous simpli-
fions les mathématiques.
On schématise cette opération sur la figure 18. Le carré
initial représente la masse initiale de pâte. Elle est abaissée
au rouleau jusqu'à diminuer sa hauteur de moitié, donc
doubler sa largeur. On reconstitue un carré en coupant la
moitié de droite et en la posant sur la première. Tout cela
devient beaucoup plus frappant si, comme Arnold, on
dessine une tête de chat sur le carré initial, et si on figure ses
avatars successifs. Précisons immédiatement qu'Arnold a
d'autres titres pour passer à la postérité!
Si l'on réitère l'opération en abaissant le second carré,
puis en superposant ses deux moitiés, on obtient un
troisième carré constitué de quatre bandes horizontales. Le
chat est véritablement charcuté et très difficile à tracer. On
remarquera l'alternance des bandes: la première et la
troisième n'en faisaient qu'une au carré précédent, et elles
sont à présent séparées par la deuxième. On remarquera
aussi les discontinuités possibles: les points A et B, très
voisins, ont des transformés A" et B" très éloignés.
La situation se corse quand on itère la transformation.
Disons que le boulanger cherche à faire un millefeuille et
reprend indéfiniment sa pâte. Au bout de dix opérations, ce
n'est pas mille feuilles qu'il aura, mais 1 024, et plus d'un
66

Le cristal brisé
-J
Figure 18. Le chat d'Arnold.
B
. .
A
-
-
-
B'
. .
f:\
Figure 19. La transformation du boulanger. On a indiqué les transfor-
més successifs de A et B.
67

Le calcul, l'imprévu
million au bout de vingt. Toutes ces feuilles, bandes
horizontales de plus en plus fines, sont Inélangées, battues
et rebattues comme un jeu de cartes. Le chat d'Arnold est
émincé, haché, désintégré, réduit en chair à pâtée. Rappe-
lons-nous le chat que Lewis Carroll avait fait rencontrer à
Alice au pays des merveilles: il se matérialisait et s'éva-
nouissait aux moments les plus incongrus, et son sourire
restait suspendu en l'air longtemps après que le reste du
corps eut disparu. Le chat d'Arnold se cache dans le carré
d'une manière moins jolie, mais tout aussi efficace.
Pourtant, il est toujours là, et on peut le faire réap-
paraître. Il suffit que le boulanger étire son carré de pâte au
lieu de l'aplatir, le coupe en deux à mi-hauteur et pose côte
à côte les deux morceaux obtenus. Cela revient à procéder
comme ci-dessus, étaler et superposer, à condition d'avoir
au préalable renversé le bloc de pâte sur son côté. Cette
opération permet de revenir en arrière, de diviser par deux
le nombre de bandes, de passer du carré à 1 024 bandes au
carré à 512 bandes, et, au bout de dix opérations, de
retrouver le chat d'Arnold souriant dans son carré origi-
nel.
On a là un phénomène typiquement déterministe. Le
présent détermine entièrement l'avenir, par l'application
réitérée d'une loi simple. La connaissance de la situation à
un instant donné permet de reconstituer n'importe quel état
antérieur. L'avenir et le futur sont tout entiers enfermés
dans le présent. Et pourtant, l'effet observé est si irrégulier
qu'il appelle irrésistiblement le qualificatif d'aléatoire. On
songe à un jeu de cartes, de mieux en mieux battu entre des
mains expertes. Grâce aux efforts des mathématiciens que
nous venons d'évoquer, ce caractère aléatoire est aujour-
d'hui bien compris et s'exprime par un nombre, l'entropie
de la transformation.
Nous ne nous embarquerons pas dans une discussion de
68

Le cristal brisé
cette notion, fort technique, et peu utilisable hors de son
contexte. Heureusement, l'examen des trajectoires indivi-
duelles, c'est-à-dire des transformés successifs d'un point,
suffit à mettre en évidence l'aspect aléatoire du phéno-
mène. C'est dans cette direction que nous nous engageons à
présent.
8. 2. 1. 2. 1.
7. .0 5. .0
4. 6. 4.
9. 3. 9. 3.
6.
5.
7.
8.
Figure 20. Figure 21.
Le point initial 0 Le point initial 0
a pour coordonnées a pour coordonnées
x = y = 0,840675437... x = y = 0,846704216...
La première idée qui vient à l'esprit est de reporter dans
le carré initial les transformés successifs du point choisi.
Dans les figures 20 et 21, on voit les neuf premiers itérés Al,
..., Ao et BI, ..., B9 de deux points Ao et Bo initialement
voisins. On remarque que les itérés d'un même point
tendent à se répartir uniformément sur le carré et que les
itérés de deux points voisins mais distincts se séparent assez
vite. Une expérience plus poussée, où l'on ferait figurer
cent ou mille itérés au lieu de neuf, conduirait aux mêmes
observations.
La méthode graphique devient évidemment insuffisante
69

Le calcul, l'imprévu
si l'on veut étudier les trajectoires sur des durées beaucoup
plus grandes, voire infinies. Il faut alors recourir à une autre
méthode, fort astucieuse. Commençons par changer quel-
que peu notre mode d'opération: à chaque fois, le boulan-
ger fera dix bandes au lieu de deux. Le carré initial sera
réduit au dixième de sa hauteur, sa base sera décuplée, et
les dix bandes ainsi obtenues seront superposées dans
l'ordre.
.0, .04 .03
Co .00
0,33 C,
C3 C2 .02
0,33
Figure 22. Transformation du boulanger décimale, appelée aussi déca-
lage de Bernoulli.
Fixons la longueur des côtés à l'unité. Chaque point du
carré est alors repéré par deux nombres décimaux, le
premier donnant sa projection sur la base et le second sa
hauteur. Par exemple, le point Co indiqué sur la figure, situé
à mi-hauteur et au tiers de la distance du bord de gauche,
sera repéré par les nombres 0,333333... et 0,500000. D'une
manière générale, si l'on se donne deux nombres décimaux
quelconques, ayant 0 comme partie entière, il leur corres-
70

Le cristal brisé
pondra un point dans le carré. Par exemple, je peux tirer
ces nombres au hasard à l'aide d'un calculateur de poche. Je
sors le mien, je décide de me limiter à six décimales,
j'appuie deux fois sur la touche RANDOM, je tire 727 puis
756, et j'écris le nombre 0,727756... ; de la même manière,
je tire 0,578675... Je peux alors reporter dans le carré le
point Do correspondant, avec une précision qui ne dépasse
pas la deuxième décimale.
La transformation du boulanger s'écrit maintemant très
simplement: elle revient à retirer la première décimale du
premier nombre (projection horizontale) pour en faire la
première décimale du second (hauteur). Ainsi, le trans-
formé CI de Co est donné par :
Co: 0,333333... et 0,500000
CI : 0,333333... et 0,350000
et le transformé Dl de Do par:
Do: 0,727756... et 0,578675...
Dl: 0,27756... et 0,7578675...
On calcule très facilement, par le même procédé, les
images successives de Co et de Do :
C 2 : 0,333333... et 0,335000...
C 3 : 0,333333... et 0,333500...
C 4 : 0,333333... et 0,333350...
et :
D 2 : 0,7756... et 0,27578675...
D3: 0,756... et 0,727578675...
D4: 0,56... et 0,7727578675...
Écrite ainsi, la transformation prend le nom de décalage
de Bernoulli: elle consiste simplement à décaler la virgule
d'un rang vers la droite dans le premier chiffre (projection
71

Le calcul, l'imprévu
horizontale) et d'un rang vers la gauche dans le second
(hauteur). C'est une représentation particulièrement com-
mode de la transformation du boulanger (où nous avons
imposé un facteur de 1/10 au lieu de 1/2).
Imaginons maintenant que notre connaissance se limite à
celle du second chiffre, le premier nous restant caché. On
peut, par exemple, placer l'observateur sur le côté, de
manière qu'il voie le carré par la tranche. Il repérera
parfaitement les déplacements verticaux mais ne discernera
pas les mouvements horizontaux. On a occulté pour lui
l'une des deux dimensions de la transformation.
Voyons ce que donnent les exemples précédents. En ce
qui concerne la première série, issue de Co, l'observateur
voit un point placé en 0,500000... se déplacer en
0,350000..., puis en 0,335000, et ainsi de suite. Remar-
quons que les transformés successifs se rapprochent de plus
en plus du point 0,333333... = 1/3, sans jamais l'atteindre.
Remarquons aussi que, si l'observateur remontait le temps.,
il verrait le point 0,500000 venir se placer en 0,000000... et
ne plus en bouger. L'histoire du mouvement, pour lui, est
donc celle-ci : un point, immobile en 0 durant tout le passé.,
se met brusquement à bouger à la date zéro ; il se déplace
en 1/2, puis quitte cette position pour se rapprocher
progressivement de 1/3, sans jamais cependant l'attein-
dre.
Les observations liées à Do conduisent à un mouvement
extrêmement irrégulier: l'observateur ne peut ni formuler
de loi simple ni discerner l'histoire pour le phénomène, qui
lui paraît donc totalement aléatoire.
On peut réaliser ce dispositif par une lanterne magique,
en éclairant notre carré par le côté et en recueillant sur un
écran l'ombre portée des itérés successifs. On obtiendrait
une version moderne du mythe platonicien de la caverne.
Chez Platon, elle change la réalité en phénomènes. Ici, elle
72

Le cristal brisé
change le déterministe en aléatoire. Ces deux interpréta-
tions du mythe sont liées: c'est parce que l'on n'a pas accès
à une partie de l'information qu'un phénomène détermi-
niste paraît aléatoire.
Rendons-nous bien compte à quel point l'observateur est
impuissant à rendre compte du phénomène. Il a à sa
disposition toutes les observations antérieures depuis la
nuit des temps, c'est-à-dire qu'il connaît parfaitement le
passé. En effet, la connaissance de la deuxième coordonnée
à l'instant zéro, 0,578675... par exemple, implique qu'à
l'instant - 1 immédiatement antérieur elle était 0,78675...,
à l'instant - 2 0,8675..., et ainsi de suite. Si l'on connaît
tous les chiffres représentés par des points de suspension,
on peut ainsi remonter indéfiniment le temps.
En revanche, on est incapable de le descendre, ne
serait-ce que d'une étape. Savoir que la valeur à l'instant
zéro est 0,578675... nous laisse à l'instant suivant dix
possibilités, de 0,0578675... à 0,9578675... en passant par
0,1578675..., 0,2578675..., et ainsi de suite. Il se trouve
que, si les phénomènes observés correspondent au point
Do, la valeur suivante sera 0,7578675..., mais rien dans les
observations présentes et passées ne permet de le prévoir.
Elles donnent toutes les décimales, sauf la plus importante,
la première. On est donc incapable de dire de quel ordre de
grandeur sera la prochaine valeur observée. Cela ne fera
bien entendu que s'accentuer à mesure que l'on cherche à
aller plus loin dans le futur: de la valeur observée à l'instant
n on ne peut prédire que la (n + 1) ième décimale, les
précédentes - et donc la région où situer l'observation -
nous restant inaccessibles.
Montons encore une expérience fictive. Notre observa-
teur, toujours tourné vers son théâtre d'ombres, a à ses
côtés un petit singe qui le distrait de la monotonie du
spectacle. L'animal, en furetant, trouve un dé et le lance. Si
73

Le calcul, l'imprévu
notre homme note les chiffres obtenus successivement, par
exemple 436345..., ne dira-t-il pas qu'ils sont obtenus de
manière aléatoire? Et si, maintenant, ce sont ces mêmes
chiffres dans le même ordre qui apparaissent dans ses
observations, ne dira-t-il pas que le phénomène qu'il
mesure est lui aussi aléatoire? Or, la série d'observations
que voici est parfaitement possible :
(instant 0) 0,000000... (pour fixer les idées)
(instant 1) 0,400000... (apparition du 4)
(instant 2) 0,340000.. . (apparition du 3)
(instant 3) 0,634000... (apparition du 6)
et ainsi de suite, à l'infini. Pour faire apparaître cette série
sur l'écran, il suffit que le meneur de jeu place sur le carré
initial un point matériel aux coordonnées 0,436245... et
0,000000.. .
Ce sont des mécanismes de ce genre qui se mettent en jeu
quand on appuie sur la touche RANDOM d'un calculateur
de poche. Quoi de plus déterministe qu'un ordinateur?
Comment peut-il donc fabriquer de l'aléatoire? En fait, il
fabrique du déterministe qui passe pour de l'aléatoire,
comme le nuage de points de la figure 17 semble être réparti
au hasard, ou comme les déplacements verticaux d'un point
dans la transformation du boulanger sont imprévisibles. Les
procédés pour obtenir ces successions erratiques existent ;
l'un des plus simples est la multiplication tronquée, qui
consiste à obtenir un nombre de six chiffres en multipliant
deux nombres de six chiffres et en effaçant du résultat les
trois premiers chiffres et les trois derniers. Ainsi, le nombre
obtenu par la touche RANDOM est toujours le résultat
d'un calcul, ce qui n'empêche pas de le. considérer comme
aléatoire.
Récapitulons. La transformation du boulanger est pure-
ment déterministe. Mais, en l'observant d'une certaine
74

Le cristal brisé
façon, incomplètement il est vrai, mais exactement (les
observations ne sont nullement entachées d'erreur), on
obtient une série de mesures qui a un caractère aléatoire. Il
nous reste à savoir si nous coupons les cheveux en quatre ou
si nous décrivons une réalité physique. La transformation
du boulanger est-elle autre chose qu'un amusement pervers
de mathématicien? Peut-elle révéler un aspect aléatoire
autrement que dans des expériences fictives?
Grâce aux travaux des mathématiciens que nous avons
évoqués, particulièrement de Birkhoff et de Smale, on sait
aujourd'hui que les mouvements de la mécanique céleste se
ramènent, dans certaines régions, à des décalages de
Bernoulli. La figure 17, par exemple, représente les points
d'intersection successifs d'une même orbite avec un plan de
référence; elle pourrait aussi bien figurer les images
successives d'un même point par la transformation du
boulanger. Cette analogie n'est pas simplement formelle:
en un sens très précis, on démontre que c'est la même
chose. Tous les phénomènes que nous avons décrits vont
donc être reproduits dans le contexte de la mécanique
céleste.
On pourra donc mettre en évidence un caractère aléa-
toire dans certains mouvements, pourtant régis par les lois
newtoniennes de la gravitation. Un dernier refuge reste aux
tenants du déterminisme classique: peut-être ce caractère
aléatoire n'apparaît-il qu'à l'échelle microscopique, laissant
aux phénomènes macroscopiques leur rigoureuse certi-
tude? Disons immédiatement qu'il n'en est rien. Comme
nous l'avons vu, le mouvement conduit à la même structure
à toutes les échelles, chaque phénomène microscopique à
son pendant macroscopique.
Voici un exemple bien connu. Deux corps célestes de
masse égale, une étoile double par exemple, tournent
autour de leur centre de gravité commun. Soit P le plan de
75

Le calcul, l' imp rév u
leur orbite. Un troisième corps, de masse négligeable,
astéroïde ou comète par exemple, est soumis à l'attraction
des deux premiers. Il se déplace sur la droite D perpendi-
culaire au plan P passant par le centre de gravité. D'après
les lois de Newton, si le mouvement commence sur cette
droite, il s'y maintiendra indéfiniment. Plus précisément, si
la comète se trouve sur la droite D à l'instant zéro, avec une
vitesse dirigée suivant D, à tout (autre) instant elle se
trouvera en un (autre) point de D.
Une année, bien sûr, ce sera la période du mouvement
des deux astres, c'est-à-dire le temps qu'ils mettent à
parcourir leur orbite. On se demande combien d'années
s'écoulent entre deux apparitions successives de la comète
dans le plan P, plus précisément au point G où P rencontre
D.
c
G
D
Figure 23. On observe les passages de la comète dans le plan P de
l'orbite commune aux étoiles El et E 2 .
76

Le cristal brisé
Précisons un peu. Imaginons une planète peuplée d'êtres
intelligents, gravitant dans le plan P de notre étoile double.
Ces extraterrestres observent le ciel depuis des généra-
tions ; ils peuvent voir la comète à son passage dans le plan
de l'orbite, et ils ont noté son retour à certaines dates du
passé, il y a 17, 35,143,230 et 305 années, par exemple. On
peut même être généreux, déclarer qu'ils ont observé la
comète depuis la nuit des temps et qu'ils ont la liste
complète de ses apparitions. Avec toutes ces données, ils
vont trouver leur astronome et lui demandent: «Quand
reverrons-nous la comète? »
Il ne peut que répondre: « Je n'en sais rien. » La comète
peut repasser aujourd'hui, dans un an, dans dix ans, dans
mille ans ou jamais. Toutes ces dates sont compatibles avec
l'information, pourtant importante, dont il dispose. Le
calcul ne lui permettra pas de trancher entre ces possibili-
tés, ni même de penser que l'une est davantage plausible.
En effet, les lois de Newton, dans cette configuration
particulière (les calculs ont été faits par Chitnikov et
Alekseev), affirment justement que toutes les séries sont
possibles! Une série d'observations comme celle que j'ai
indiquée :
... - 305, - 230, -143, - 35, -17
peut être continuée de manière parfaitement arbitraire:
0, 1,2,3,4,5,6,7,...
ou bien :
10, 100, 1 000, 10 000...
ou bien :
72,757,8675,9431...
Les séries ainsi complétées peuvent toutes être réalisées
77

Le calcul, l'imprévu
physiquement: il y a toujours une trajectoire de l'astéroïde
qui se pliera aux caprices d'une série de nombres choisis
arbitrairement et qui traversera le plan P de l'orbite
précisément aux dates indiquées. En d'autres termes, les
observations futures sont totalement indépendantes des
observations passées. La connaissance des unes ne peut
aider à prévoir les autres, pas plus que la connaissance de
mille numéros tirés successivement à la roulette ne peut
aider à prévoir le mille et unième. Cette indépendance du
passé et du futur, c'est bien ce que l'on appelle l'aléatoire,
par opposition au déterminisme.
Dans un système planétaire tel que celui-ci, la philoso-
phie naturelle qui se dégagerait de la pratique de l'astrono-
mie serait fort différente de la nôtre. La voûte étoilée, au
lieu d'être la salle de bal où les planètes effectuent leur
danse bien réglée, serait le tapis vert où un croupier
inconnu tire ses numéros. La première expérience du
physicien serait que Dieu joue aux dés, contrairement à
l'opinion d'Einstein !
Il n'y a là rien que nous n'ayons déjà vu. Ces séries
infinies dans le passé, que l'on peut compléter arbitraire-
ment dans le futur, et qui sont donc totalement imprévisi-
bles, nous les avons déjà rencontrées, dans notre théâtre
d'ombres, au fond de la caverne platonicienne. Elles se
déploient ici sur une scène plus vaste. Mais, dans un cas
comme dans l'autre, c'est bien le même phénomène, issu de
la transformation du boulanger.
L'aspect aléatoire vient du fait que l'on a une information
exacte, mais incomplète. Une partie de l'information est
occultée. Pour le spectateur devant son écran, c'est la
position horizontale du point dont il suit les déplacement
verticaux. Pour notre astronome, c'est la vitesse de la
comète quand elle traverse le plan de l'orbite. La
connaîtrait-il que tous ses doutes seraient levés: il pourrait
78

Le cristal brisé
calcu]er, en principe tout au moins, toute la trajectoire de la
comète, annoncer ses prochains passages et vérifier les
anciens. Ce qu'il y a de remarquable, c'est que l'absence de
cette information, qui peut d'ailleurs être difficile à obtenir,
interdit toute prévision sur le phénomène. C'est d'autant
plus remarquable que le renseignement que l'on demande,
la daye du prochain passage, ne fait aucunement référence
à l'information manquante, la vitesse de traversée. Il
semblerait plutôt s'insérer dans la série des passages anté-
rieurs, que l'on connaît parfaitement, mais qui s'avère
n'être d'aucune utilité.
Le déterminisme, au sens où le présent détermine le futur
et contient le passé, est donc une propriété de la réalité,
prise dans son ensemble. Dès que l'on isole, dans cette
réalité globale, dans le système du monde, une série de
phénomènes que l'on prétend observer et décrire, on court
le risque de ne voir de cette réalité déterministe qu'une
projection aléatoire. Mais il est bien difficile de faire
autrement: la réalité profonde, si tant est qu'elle existe, se
dérobe à nous, et c'est bien le rôle de la science que de
monter des écrans où elle veuille bien se projeter. Or,
même si l'inaccessible réalité est déterministe, les phéno-
mènes observés, voire suscités, peuvent être aléatoires.
On retrouve là des sentiers bien battus : la connaissance
scientifique n'est pas un regard direct porté sur la chose en
soi. Dans la tradition platonicienne, reprise par Kant, la
chose en soi est le noumène, qui se manifeste dans le temps
et dans l'espace en une succession de phénomènes sensi-
bles. Le noumène est accessible à la spéculation intellec-
tuelle seule - encore s'agit-il plutôt d'une révélation que
d'une découverte - mais on peut lui tendre des pièges pour
le forcer à se manifester dans l'univers sensible. C'est là,
par exemple, le rôle de l'expé)imentation en science.
De nos jours, même si l'on hésite à reconnaître l'exis-
79

Le calcul, l'imprévu
tence d'une réalité non sensible, on arrive à la même
situation par une autre voie. D'un point de vue étroitement
scientifique, on ne peut reconnaître qu'une seule réalité, et
même qu'une seule chose: c'est l'univers sensible dans sa
totalité, l'ensemble de tous les phénomènes depuis les
origines. Il n'y a pas, en toute rigueur, de système fermé
auquel on puisse appliquer les lois de la physique isolément.
Le moindre électron, situé aux confins de l'univers connu,
exerce encore une influence sur la Terre, dans le modèle
newtonien (par son champ de gravitation et son champ
magnétique) comme en mécanique quantique (puisque sa
fonction d'onde ne s'annule pas). Certes, ces effets sont
minimes, mais affirmer qu'ils sont négligeables est une
pétition de principe. Nous reviendrons sur ce point dans la
suite. Contentons-nous ici d'affirmer qu'en droit le seul
objet de la physique est l'univers tout entier: lui seul
contient toute l'information nécessaire à l'application
rigoureuse des lois de la physique. · Cet univers, dont une
description complète, totale et détaillée serait nécessaire
pour faire de la science en toute rigueur, nous est tout aussi
inaccessible que les noumènes kantiens. Aussi est-on forcé
d'y découper des sous-systèmes, auxquels on applique
isolément les lois de la physique, comme on étudie le
système solaire sans tenir compte des autres étoiles. C'est là
encore une projection, qui peut être faite avec plus ou
moins de bonheur: on se prive délibérément d'une partie
de l'information. On abandonne l'inaccessible et seule
réalité pour des phénomènes que l'on découpe dans sa
globalité. On rentre dans la caverne, on place le projecteur,
et on regarde l'écran.
On peut donc fort bien affirmer des lois déterministes et
observer des phénomènes aléatoires. Le déterminisme est
bon prince, sa suzeraineté s'étend en droit sur de vastes
domaines, où gouvernent des vassaux indépendants de fait,
80

Le cristal brisé
dont certains vont jusqu'à se ranger sous les bannières
ennemies. La magnifique régularité des lois de Kepler est
un accident, même dans l'univers de Newton. A une autre
échelle de temps ou d'espace, le mouvement des planètes
paraîtrait aléatoire. Le modèle qui s'impose aujourd'hui est
la transformation du boulanger, et, avec elle, l'idée qu'une
loi purement déterministe peut, si l'information est partiel-
lement occultée (comme elle l'est nécessairement en pra-
tique), se manifester par des phénomènes entièrement
aléatoires.
Instable mais stable
Il était une fois un météorologiste qui s'appelait Lorenz.
Il vivait - et il vit toujours - à l'époque où les ordinateurs
commençaient à transformer les conditions de la recherche
scientifique: on pouvait dorénavant se livrer à ce que l'on
appelle de la « simulation numérique », c'est-à-dire tester
un modèle mathématique par des calculs qui auraient
demandé une vie de travail à un chercheur normalement
constitué.
A l'époque (il s'agit des années cinquante), pas plus
qu'aujourd'hui, le public n'avait pas confiance dans les
prévisions météorologiques. Les météorologistes n'étaient
pas plus contents d'eux-mêmes que les autres. Et pourtant,
les équations étaient là, compliquées certes, fort compli-
quées même, mais elles étaient là, et elles auraient dû
permettre de prévoir le temps avec un peu de précision.
Mais le problème ne se laissait pas résoudre : on pouvait à
peu près annoncer le temps du lendemain, mais s'il fallait
prédire le temps de la semaine prochaine, les modèles
81

Le calcul, l'imprévu
mathématiques et les ordinateurs de la dernière génération
ne valaient pas mieux que la grenouille d'Albert Simon.
Décidé à lutter contre cette concurrence déloyale,
Lorenz commença par simplifier les équations de la météo-
rologie. Il les simplifia au point que l'on peut douter que le
résultat ait encore grand-chose à voir avec le temps qu'il
fait, mais enfin il obtint un système de trois équations
différentielles à trois inconnues (x, y, z) dépendant de trois
paramètres (a, b, c) :
dx
dt = - ax + ay
 = bx - y - xz
dt
dz
dt = - cz + xy
Cela ne dit évidemment rien au non-initié, sinon qu'il n'y
a pas beaucoup de lettres, mais je vous assure que l'on peut
difficilement faire plus simple. La seule complication est
introduite par les termes croisés, produits de deux varia-
bles, xz dans la deuxième équation et xy dans la troisième.
Si on les supprime, les termes restants ne contiennent
qu'une variable à la fois, et on obtient un système très
élémentaire, que l'on peut résoudre explicitement et com-
plètement. En résumé, le système de Lorenz est le plus
simple qui ne soit pas résoluble immédiatement.
En fait, il n'est pas ré soluble explicitement, c'est-à-dire
que l'on ne peut pas donner les variables x, y et z en
fonction du temps t et des positions initiales (c'est encore un
de ces cas de « calculs impossibles» que nous avons évoqués
antérieurement). A défaut, on peut faire une simulation
numérique, c'est-à-dire donner les positions initiales Xo, yo,
82

Le cristal brisé
zo, et faire calculer par l'ordinateur les positions successi-
ves, Xl, YI, Zl à l'instant t= l, X2, Y2, Z2 à l'instant t = 2, et
ainsi de suite.
C'est ce que fit Lorenz. Il mit en œuvre un certain
nombre de simulations, avec des positions et des durées
différentes, allant jusqu'à plusieurs heures. Désireux de
répéter une simulation particulièrement longue, et plus
précisément sa phase finale, il imagina de commencer à
mi-parcours. En rentrant dans l'ordinateur la position
intermédiaire, et en reprenant les calculs à partir de là, on
devait normalement reproduire la phase finale de la pre-
mière simulation. Mais laissons-lui la parole:
« i\u cours de notre travail, nous décidâmes d'examiner
l'une des solutions de manière plus détaillée; nous prîmes
des données intermédiaires qui avaient été imprimées par
l'ordinateur et les introduisîmes comme nouvelles données
initiales. A notre retour, une heure plus tard, après que
l'ordinateur eut simulé environ deux mois de temps, nous
découvrîmes qu'il était en désaccord total avec la solution
qu'il avait fournie antérieurement. Notre première réaction
fut de suspecter une panne de machine, ce qui n'avait rien
d'inhabituel, mais nous comprîmes rapidement que ces
deux solutions n'émanaient pas de données identiques.
L'ordinateur faisait les calculs avec six décimales mais n'en
imprimait que trois, si bien que les nouvelles conditions
initiales étaient égales aux anciennes, plus de petites
perturbations. Ces perturbations s'amplifiaient exponen-
tiellement, doublant tous les quatre "jours" du temps
simulé, si bien qu'au bout de deux mois les solutions
allaient chacune de leur côté. J'en conclus immédiatement
que, si les véritables équations régissant l'atmosphère se
comportaient comme ce modèle, il serait impossible de
faire des prévisions météorologiques détaillées à long
terme. »
83

Le calcul, l'imprévu
Les équations de Lorenz ont une propriété d'instabilité
par rapport à la position initiale. Une modification imper-
ceptible de celle-ci est amplifiée au cours du mouvement,
pour finalement aboutir à une trajectoire complètement
différente. Si maintenant on se rappelle comment Lorenz a
obtenu ses équations, on tient la raison pour laquelle les
prévisions sont si difficiles en matière de temps. C'est que
les équations de la météorologie ont elles-mêmes cette
propriété d'instabilité: la moindre erreur d'observation, le
moindre changement des conditions initiales se traduiront à
terme par un tableau complètement différent. On peut
même préciser le taux d'amplification des petits écarts: ils
sont multipliés par 4 chaque semaine, par 300 chaque mois.
C'est ce que Lorenz appelle joliment 1'« effet papillon» : le
vol capricieux d'un papillon provoque un déplacement d'air
qui influera sur le temps, non pas demain sans doute, mais
dans un an. D'où la difficulté de faire des prévisions
météorologiques à long terme: il faudrait tenir compte
absolument de tout! Aucune influence, si minime soit-elle,
n'est négligeable a priori.
On connaît maintenant beaucoup de systèmes mécani-
ques ou physiques qui manifestent le même type d'instabi-
lité, c'est-à-dire qui amplifient les écarts initiaux au cours
du mouvement. Si l'on reproduit exactement la même
condition initiale, il y aura nécessairement une petite
erreur, un léger écart. Celui-ci s'amplifiera avec le temps, et
l'on observera à long terme une évolution complètement
différente. En ce sens, le système n'est pas déterministe:
on ne pourra jamais le faire passer deux fois par le même
chemin. Les expériences ne sont pas reproductibles, à
moins d'une précision absolue, donc impossible à réaliser.
Si on lance un dé deux fois de la même façon, on tirera deux
fois le même nombre. Malheureusement, personne ne peut
lancer un dé deux fois de la même façon, et c'est pourquoi
84

Le cristal brisé
le jeu de dés est considéré comme un jeu de hasard et non
d'adresse. C'est le lieu de citer Héraclite: « On ne peut pas
descendre deux fois dans le même fleuve ni toucher deux
fois une substance périssable dans le même état. »
Ce type de systèmes, déterministes mais imprévisibles
parce que instables, était connu depuis longtemps, et les
maîtres, Maxwell et Poincaré, en avaient déjà mesuré les
conséquences. Citons Maxwell: « C'est une doctrine méta-
physique que les mêmes antécédents produisent toujours
les mêmes conséquents. Nul ne saurait le contredire. Mais
ce n'est que de peu d'utilité dans un monde tel que celui-ci,
où les mêmes antécédents ne se retrouvent jamais, et où
rien ne se reproduit jamais deux fois (...). L'axiome
physique qui lui ressemble est que des antécédents sembla-
bles produisent des conséquents semblables. Mais ici nous
sommes passés de l'exactitude à la similitude, de la préci-
sion absolue à une approximation plus ou moins grossière.
Il y a certains types de phénomènes (...) où une petite
erreur dans les données n'introduit qu'une petite erreur
dans le résultat (...). Il Y a d'autres types de phénomènes,
plus compliqués, où l'on peut rencontrer des cas d'instabi-
lité, la fréquence de ceux-ci augmentant extrêmement
rapidement avec le nombre de variables» (1873). On
pourrait également citer Poincaré dans le même sens.
Cela devrait nous inciter à réfléchir sur la manière dont
nous appliquons les lois physiques. Nous avons dit il y a un
instant qu'en droit on ne peut les appliquer qu'au système
du monde tout entier. En fait, on les applique à des
sous-systèmes que l'on isole par la pensée, ou par un
dispositif de laboratoire, en décrétant que l'influence du
reste de l'univers sur le sous-système considéré esfnégligea-
ble. C'est ainsi par exemple que, dans les calculs des orbites
planétaires, on ne s'avise point de faire intervenir les
perturbations apportées par les étoiles proches ou les
85

Le calcul, l'imprévu
galaxies lointaines. Mais ce procédé peut conduire à des
surprises, quand on a affaire à des systèmes instables.
Nous sommes par exemple dans une salle de billard et
nous regardons la partie. Un des joueurs est en train de
calculer son coup pour un carambolage. Il néglige bien
entendu la perturbation que le champ gravitationnel des
spectateurs, et le mien en particulier, apportera au mouve-
ment des billes. En fait, il a raison, mais pas de beaucoup.
Le calcul montre que la perturbation apportée par la
présence d'un spectateur au bord de la table est effective-
ment négligeable s'il n'y a que deux chocs, mais deviendrait
importante s'il y en avait neuf! En d'autres termes, si l'on
cherchait un carambolage de neuf billes au lieu de deux, il
serait indispensable de tenir compte de la position des
spectateurs dans la salle. Maintenant, chacun sait que
l'agitation thermique d'un gaz peut être considérée comme
une partie de billard à trois dimensions et un nombre
colossal de billes. Si on lui applique le même calcul, on
s'aperçoit qu'un électron situé aux confins de l'univers
connu, soit 10 10 années-lumières, fait sentir son influence
dès le cinquante-sixième choc! Tout cela dans le cadre
déterministe de la physique newtonienne, sans faire appel
au principe d'incertitude de la mécanique quantique.
Pour des systèmes à ce point instables, il est donc vain de
vouloir calculer les trajectoires. On peut bien tenter une
simulation numérique pour un billard à trois ou dix billes
(on est loin des 6.10 23 billes qu'il faudrait pour représenter
une mole de gaz), rentrer dans l'ordinateur les positions et
les vitesses initiales, et en sortir les positions et les vitesses
ultérieures. Le résultat perdrait vite toute signification.
D'abord, parce que l'ordinateur fait des erreurs d'arrondi: il
travaille avec douze ou vingt-quatre décimales et néglige les
décimales supplémentaires qui apparaissent à chaque mul-
tiplication ou division. Ces erreurs s'amplifient rapidement,
86

Le cristal brisé
comme dans le problème de Lorenz, et dénaturent le
résultat final. En outre, dans la réalité, le système n'est pas
isolé mais soumis à une multitude de perturbations (pré-
sence de l'expérimentateur dans la pièce, mouvement d'un
électron sur Sirius) que néglige le modèle mathématique.
Or, comme nous l'avons vu, ces perturbations deviennent
vite significatives, si bien que le résultat calculé, fût-il exact,
n'en serait pas moins fort éloigné du résultat observé.
Au paragraphe précédent, nous avons vu comment un
système déterministe peut paraître aléatoire si une moitié
convenable de l'information est occultée. La situation
présente est légèrement différente. Toute l'information est
disponible ; le problème est que l'on ne peut pas l'engran-
ger tout entière. On peut mesurer une position et une
vitesse avec autant de décimales que l'on veut: il manquera
toujours des décimales pour définir la position et la vitesse
exactes. L'écart minime entre les données mesurées et les
données exactes s'amplifiera vite et aboutira à un écart
important entre le résultat prédit et le résultat observé. Le
système apparaît comme déterministe, mais n'en est pas
moins imprévisible à long terme.
Le dé est à notre disposition, ainsi que les équations
différentielles qui régissent son mouvement. Il ne tient qu'à
nous de le lancer pour tirer un six. Malheureusement, c'est
un système instable, et nous ne pourrons jamais le lancer de
manière assez précise pour garantir sa position finale.
Voilà donc un autre aspect de l'échec des méthodes
quantitatives, ce phénomène de l'impuissance du calcul,
que nous relevions déjà à propos de la mécanique céleste.
Maintenant encore, il nous reste le recours aux méthodes
qualitatives : même si l'on renonce à prédire les trajectoires
individuelles, reste-t-il encore quelque chose à étudier?
Que peut-on dire de scientifique sur un système imprévisi-
ble ?
87

Le calcul, l'imprévu
Pour le lancement des dés, la réponse est connue depuis
longtemps. Il faut considérer non pas chaque lancer indivi-
duel, mais l'ensemble de tous les lancers possibles. On peut
alors dire que les six issues possibles sont également
fréquentes. On décrète que chacune a une probabilité de
1/6, et l'on fonde sur cette base le calcul des probabili-
tés.
Des résultats analogues ont été obtenus à partir de 1960
pour les systèmes instables les plus généraux, du type des
équations de Lorenz. Ici, outre les noms déjà évoqués, en
particulier Smale et Sinai, il faut citer le mathématicien
Anosov et le. physicien Ruelle.
Le premier problème est de décrire de manière adéquate
l'ensemble des comportements à long terme possibles pour
le système. Dans le cas du lancement des dés, c'est très
facile, car les dés lancés finissent par s'immobiliser sur une
face, et l'on a six positions finales possibles. Dans le cas
général, les équations de Lorenz par exemple, c'est beau-
coup plus compliqué, car le mouvement se poursuit indéfi-
niment et ne présente pas d'issue naturelle. On arrive
néanmoins à définir un ou plusieurs «mouvements à
l'infini» vers lesquels tendra le système, quelle que soit sa
position initiale. Ces mouvements à l'infini sont en général
d'une grande complication. Chacun d'eux a lieu sur une
partie de l'espace qui lui est propre, intermédiaire entre une
surface et un volume, et qui porte le nom évocateur
d'« attracteur étrange ».
Comme leur nom l'indique, les attracteurs étranges sont
difficiles à représenter. L'image la plus évocatrice est le
fameux « fer à cheval» de Smale (figure ci-contre).
Pour mieux comprendre celle-ci, reprenons l'image du
boulanger pétrissant sa pâte; mais, cette fois, il la pétrira si
bien qu'HIa comprimera, la tassera, bref, la fera diminuer
de volume. Il prend donc le carré de pâte, l'étire et
88

Le cristal brisé
( --- J

!
ç;- .
Figure A. Le fer à cheval de Smale.
l'abaisse, puis le replie sur lui-même, obtenant ainsi une
sorte de fer à cheval que l'on n'a pas de peine à replacer
dans le carré initial, tant il a été diminué.
On définit ainsi une transformation du carré dans lui-
même, transformation qui contracte les aires, contraire-
ment au décalage de Bernoulli, dépeint dans la figure 18.
En reprenant la figure A, on peut se demander où vont
les points qui, dès le départ, appartiennent au fer à cheva1.
En suivant pas à pas la transformation, on s'aperçoit que
le fer à cheval lui aussi est étiré, contracté et replié, et que
son image finale dans le carré initial a deux bandes dans
chaque branche du fer à cheval, soit au total quatre bandes
(figure B)..
On peut évidemment continuer et chercher les itérés du
89

Le calcul, l'imprévu

0>
. . . .... . . .' . '.
. ...':...........
.......  . \
. ,"  :. : : -.: .
.'.......::.;...:...
1
..
Figure B. L'image du fer à cheval.
fer à cheval, c'est -à -dire ses images successives dans le carré
initial: on trouvera qu'elles sont contenues dans les autres
et qu'elles se dédoublent à chaque fois. A l'intersection de
tous ces itérés (et c'est là que notre intuition nous aban-
donne) se cache un objet étrange, composé d'une infinité
de bandes et pourtant connexe, commun à tous les avatars
du fer à cheval: c'est l'attracteur étrange. Il échappe à
notre géométrie intuitive, bâtie à partir de notre expérience
courante, mais il est là : pour le mettre en évidence, il suffit
de suivre la trajectoire d'un point quelconque du carré. On
la verra dessiner un objet hybride, ni courbe ni surface:
c'est l'attracteur étrange.
Les attracteurs étranges jouent le rôle d'issue naturelle
90

Le cristal brisé
du système, comme les six positions finales au lancement
des dés. Ils sont porteurs de « mouvements finals », analo-
gues à la transformation du boulanger, et non de positions
finales: en dehors de cela, la similitude est parfaite. Ils sont
aussi porteurs de probabilités, plus difficiles à exprimer que
le (1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6) du lancement des dés, mais qui
existent quand même et qui jouent un rôle analogue. Nous
ne pourrions guère en dire plus sans déborder le cadre de
cet ouvrage; nous rentrerions d'ailleurs dans un domaine
où beaucoup de questions sont encore sans réponse, en
dépit d'actives recherches. Aussi laisserons-nous au lecteur
le soin de se faire sa propre idée des attracteurs étranges,
en lui proposant en annexe 2 un exemple simple, la
bifurcation de Feigenbaum. On y verra comment l'appari-
tion d'un attracteur étrange instaure le chaos dans un
système dont le comportement était jusque-là parfaitement
régulier. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle les physi-
ciens s'intéressent tellement à ces questions: ils espèrent
relier les phénomènes de turbulence dans les écoulements
fluides à la présence d'attracteurs étranges dans les équa-
tions correspondantes, et obtenir ainsi des modèles mathé-
matiques de phénomènes qui échappaient jusque-là à
l'analyse.
Ainsi, loin de n'être qu'un parent pauvre des méthodes
quantitatives, invité faute de mieux, l'approche qualitative
aura permis un progrès considérable dans des domaines
aussi importants que la mécanique des fluides. Elle bénéfi-
cie même de la stabilité qui est refusée aux méthodes
quantitatives. En effet, Anosov a montré en 1961 que, dans
les systèmes du type des équations de Lorenz, instables par
rapport aux conditions initiales, l'effet d'une petite pertur-
bation était essentiellement d'échanger les trajectoires. En
d'autres termes, chaque trajectoire du système perturbé se
trouvera voisine d'une trajectoire du système primitif. Ces
91

Le calcul, l'imprévu
.
o
-
-
......
'"
'"
'"
.....
......
......
......
.....
"
Instabilité. On a représenté en trait plein la trajectoire du système de
référence issue de la position initiale O. Une légère perturbation du
système peut suffire à modifier complètement cette trajectoire (en
pointillé). Le système perturbé n'en aura pas moins une trajectoire qui
restera voisine de la trajectoire de référence (trait fin) : mais elle est
issue d'une position initiale différente (point 0' au lieu de 0).
deux trajectoires n'auront pas les mêmes conditions initia-
les: à l'instant zéro, comme aux suivants, les positions
seront voisines, mais distinctes. Ainsi se trouve sauvegar-
dée la propriété d'instabilité que nous avons décrite: elle
affirme que la trajectoire du système perturbé, issue des
conditions initiales du système primitif, va vite se perdre
loin des deux autres, comme l'indique la figure ci-dessus.
L'instabilité des trajectoires individuelles est donc compa-
tible avec une stabilité globale de l'ensemble des trajec-
toires.
Ainsi, sera stable tout ce qui dépendra de l'ensemble des
trajectoires, et instable ce qui dépendra d'une trajectoire
individuelle. Par exemple, les attracteurs étranges et les
probabilités dont ils sont porteurs ne seront que peu
modifiés par une petite perturbation. Pour comprendre ce
92

Le cristal brisé
qui se passe, songeons au lancement des dés. Si l'on fausse
légèrement un dé, on ne changera pas les six issues
possibles, et on ne modifiera que peu leurs probabilités
respectives de 1/6. En revanche, le résultat d'un lancer
particulier, c'est-à-dire le numéro qui sortira si le dé est
lancé de telle position avec telle vitesse, pourra être changé,
d'un six à un deux par exemple, ce qui est considérable.
Voilà donc une raison de plus pour nous attacher à
l'approche qualitative dans l'étude des systèmes dynami-
ques: dans certaines catégories de systèmes, elle seule
permet d'approcher la réalité physique. Les méthodes
quantitatives, si tant est que les calculs soient faisables, sont
irréalistes, car leurs résultats ne s'appliqueraient qu'à un
système isolé de la moindre influence extérieure, si minime
soit-elle. Seule l'approche qualitative permet alors d'accé-
der à des objets stables, c'est-à-dire insensibles aux petites
perturbations. Le prix à payer est élevé: il faut renoncer à
prévoir l'avenir dans les cas individuels. Si l'on tient
absolument à faire de la prévision, on peut se contenter du
court terme, ou se rabattre pour le long terme vers les
méthodes statistiques.
Il ne faudrait cependant pas sous-estimer les renseigne-
ments qu'apporte l'approche qualitative. L'identification
d'un attracteur étrange, par exemple, permet de compren-
dre le devenir d'un système, même si elle ne permet pas de
prévoir son avenir. Nous nous tournons maintenant vers un
domaine où l'approche qualitative montrera d'autres possi-
bilités : la théorie des catastrophes.

3. Le retour de la géométrie
Préambule
On hésite à prendre la plume et à écrire, après tant
d'autres, sur la théorie des catastrophes. Et pourtant, en
dépit de tant d'explications et de commentaires, je ne puis
me défendre de l'impression que le succès foudroyant de
cette théorie et l'audience qu'elle a trouvée dans des
milieux d'ordinaire peu accessibles aux découvertes mathé-
matiques reposent en partie sur un malentendu initial,
suscité par la magie des mots.
Aussi vais-je dire d'abord ce que n'est pas la théorie des
catastrophes. Elle n'annonce pas les catastrophes : si l'on
veut connaître la date de la fin du monde, ou savoir s'il y
aura une troisième guerre mondiale, il faut s'adresser
ailleurs. La théorie des catastrophes ne prédit même rien du
tout, catastrophe ou pas: ce n'est donc pas une théorie
physique, comme la théorie de la relativité. Elle n'établit
pas de relation nécessaire entre le présent et l'avenir ; elle
ne permet pas d'affirmer que, si on en est là aujourd'hui,
telle chose se produira demain.
C'est une théorie scientifique, mais au sens où la théorie
de l'évolution en est une. C'est-à-dire qu'elle regroupe
certains faits connus et donne un cadre abstrait pour les
95

Le calcul, l'imprévu
comprendre simultanément. C'est un code de décryptage,
une grille que le savant pose sur les phénomènes, et qui fera
surgir du bruit de fond un langage intelligible.
Laissons la parole à Darwin: «Pendant le voyage du
Beagle, j'avais été profondément frappé, d'abord en décou-
vrant dans les couches pampéennes les grands animaux
fossiles recouverts d'une armure semblable à celle des
tatous actuels; puis par l'ordre selon lequel des animaux
d'espèces presque semblables se remplacent les uns par les
autres à mesure que l'on avance vers le sud du continent, et,
enfin, par le caractère sud-américain de la plupart des
espèces des îles Galapagos, plus spécialement par la façon
dont elles diffèrent légèrement entre elles sur chaque île du
groupe : aucune de ces îles ne paraît très ancienne du point
de vue géologique.» Voilà un ensemble de faits qui
paraissent aussi contingents que l'inventaire de Prévert. Le
travail du savant paraît devoir se limiter à les consigner le
plus exactement possible.
Mais arrive le génie qui les distingue d'une multitude
d'autres, en apparence tout aussi contingents, les rassem-
ble, les ordonne et les fait parler un langage que nul autre
n'avait entendu. «J'étais bien préparé à apprécier la lutte
pour l'existence qui se rencontre partout, et l'idée me
frappa que, dans ces circonstances, des variations favora-
bles tendraient à être préservées, et que d'autres, moins
privilégiées, seraient détruites. Le résultat de cela serait la
formation de nouvelles espèces. J'étais enfin arrivé à
form uler une théorie. »
Nul ne conteste que la théorie de l'évolution ne soit une
théorie scientifique. Ses partisans, ses détracteurs, et ceux
qui la contestent au nom d'une interprétation littérale de la
Genèse, s'accordent sur ce point. Et pourtant, ce ne devrait
pas en être une, si on la compare à la théorie de la
gravitation. Newton rassemble des faits divers, le mouve-
96

Le retour de la géométrie
ment des planètes, la chute des corps, les marées, et les
rattache à une loi commune, qui les détermine complète-
ment. Il n'explique rien, il est même sceptique quant au
réalisme physique d'une action à distance, mais il donne un
modèle mathématique normatif, qui décrit parfaitement et
complètement les phénomènes considérés, leur passé et
leur avenir.
Darwin, lui, découvre une logique interne, là où semblait
régner l'arbitraire d'un Créateur, insère des phénomènes
apparemment disparates dans une succession harmonieuse
et les éclaire ainsi l'un par l'autre. Mais son modèle n'est
pas normatif, en ce sens qu'il ne trace pas de chemin à
l'évolution. La fameuse loi « survival of the filtest » est loin
de déterminer révolution des espèces animales au sens où
la loi de l'attraction newtonienne détermine les mouve-
ments planétaires.
Le principal mérite de la théorie de l'évolution est
d'abord de discerner un fait central, l'évolution des espè-
ces, sous lequel viennent se ranger une multitude de
phénomènes. Il est ensuite de fournir des idées qui permet-
tront de penser certaines transitions. Pour Lamarck, ce sera
le développement des organes par l'usage que l'on en fait,
et la transmission héréditaire des caractères acquis. Pour
Darwin, ce sera la survie du mieux adapté dans la compé-
tition pour la vie. Pour l'un comme pour l'autre, l'idée de
l'adaptation des espèces au milieu.
Nul ne songe à faire grief à la théorie de l'évolution de ne
pas pouvoir prévoir le sens de celle-ci. A quoi ressemble-
ront nos descendants dans un million d'années? Curieuse-
ment, la question n'intéresse personne. L'intérêt se porte
plutôt sur le passé: qui étaient nos ancêtres? D'ailleurs, la
théorie de l'évolution ne peut pas plus répondre à cette
question qu'à la précédente, même en allant sur le terrain:
la paléontologie humaine est toujours à la recherche du
97

Le calcul, l'imprévu
«chaînon manquant» qui attacherait l' homo sapzens à
l'arbre de toutes les généalogies.
Comme la théorie de l'évolution, la théorie des catastro-
phes est une théorie scientifique. Par suite d'un malen-
tendu, on voudrait la rattacher plutôt au modèle newto-
nien, c'est-à-dire en faire une théorie normative et prédic-
tive, ce qu'elle n'est pas. Cela vient du fait qu'elle repose
sur un modèle mathématique très sophistiqué, la classifica-
tion des singularités de fonctions. On songe immédiatement
au modèle newtonien, qui est dans toutes les mémoires,
alors que la théorie de l'évolution n'a pas de support
mathématique.
Cela est une erreur à double titre. D'une part, un modèle
mathématique, même exact, peut n'être pas prédictif. C'est
ce que je me suis efforcé de montrer tout au long du
chapitre précédent. Nous avons vu, au sein même du
modèle newtonien, les méthodes quantitatives, visant à
déterminer complètement l'avenir en fonction du présent,
s'effacer devant les méthodes qualitatives, se contentant de
lui tracer un cadre général. La théorie des catastrophes,
bien qu'elle repose sur un modèle mathématique très
élaboré, n'a pas de vocation à être normative ou prédictive.
D'autre part, le jour n'est peut-être pas loin où l'on
disposera d'un modèle mathématique pour la théorie de
l'évolution. La notion de viabilité, par exemple, s'exprime
très bien en langage mathématique, grâce aux travaux de
J . - P. Aubin. Elle exprime que les systèmes biologiques ou
sociaux ont une grande inertie d'évolution: ils conserve-
ront la même direction tant qu'elle est viable, c'est-à-dire
jusqu'à ce qu'elle mette en péril la survie même du
système.
98

Le retour de la géométrie
Systèmes dissipatifs
Nous allons maintenant nous tourner vers une catégorie
très spéciale de systèmes dynamiques : les systèmes dissi-
pa tifs.
Ce sont ceux dont la dynamique est particulièrement
simple: tout mouvement s'atténue avec le temps et tend
vers une position de repos. Les quelques positions de repos
possibles sont appelées des équilibres.
Détaillons cela. Un système dissipatif peut présenter une
ou plusieurs positions d'équilibre. Si, à l'instant initial, le
système est placé sur une position d'équilibre, avec une
vitesse nulle, il ne s'en écartera jamais: le mouvement se
résume alors d'une station indéfinie sur la position d'équi-
libre. Pour toute autre condition initiale, soit que le système
soit placé ailleurs qu'à l'équilibre, soit qu'on lui imprime
une certaine vitesse initiale, le mouvement se déclenche.
Mais il s'amortit progressivement: la vitesse devient de plus
en plus faible, et le système se rapproche indéfiniment
d'une position limite, qui se trouve être un équilibre.
Un système dissipatif a donc une dynamique particulière-
ment simple: la connaissance des équilibres la résume
entièrement. Quelles que soient les conditions initiales,
position et vitesse, le système se retrouvera toujours au
voisinage d'un équilibre, au bout d'un certain temps. Il n'y
aura donc pas de trajectoire périodique, comme dans le
problème de Kepler, où le mobile repasserait indéfiniment
par les mêmes points, mais les quitterait aussitôt. Encore
moins y aura-t-il de trajectoires plus compliquées, à carac-
tère stochastique, comme on en avait observées en mécani-
99

Le calcul, l'imprévu
que céleste. Pour un système dissipatif, toutes les trajectoi-
res se dirigent vers un équilibre et restent indéfiniment à
son vOIsInage.
L'exemple le plus familier d'un système dissipatif est le
pendule amorti. Donnons-lui une tige rigide, ce qui facili-
tera l'observation des grandes oscillations. Le montage
consiste donc en une tige rigide, pivotant autour d'une de
ses extrémités, et portant à l'autre une boule en cuivre,
pour respecter la tradition.
On repère immédiatement un équilibre: pendule verti-
cal, boule en bas. Effectivement, si on lâche le pendule
dans cette position, sans vitesse initiale, il n'en bougera pas.
Ce qui est moins évident, c'est qu'il y a un autre équilibre:
pendule vertical, boule en haut. Si on lâche le pendule
dans cette position exacte, sans lui imprimer la moindre
vitesse, il ne bougera pas. En fait, c'est un équilibre qui
existe, certes, mais qui est instable, et qui, comme tel, sera
difficile à observer expérimentalement. Le plus petit écart
de la verticale, la moindre impulsion initiale s'ampli-
fieront et conduiront à la chute du pendule vers l'autre
équilibre.
Si maintenant on imprime au pendule un mouvement
quelconque, soit en l'écartant de la verticale et en le
lâchant, soit en le lançant, on verra le mouvement s'amortir
pour arriver finalement à l'équilibre: quelques tours com-
plets si le lancer a été assez violent, puis quelques grandes
oscillations qui s'amortissent, et enfin de petites oscillations
autour de la position verticale qui vont en s'amenuisant. On
constate par la même occasion que la position verticale,
boule en bas, est un équilibre stable, donc facile à réaliser
expérimentalement: si le pendule s'en écarte légèrement,
le mouvement l'y ramène de lui-même.
L'amortissement du mouvement est assuré par les divers
frottements inhérents au système, particulièrement la ré sis-
100

Le retour de la géométrie
tance de l'air. On peut les augmenter, par exemple en
plongeant notre montage dans l'eau: on verra alors le
pendule se diriger directement vers sa position d'équilibre,
sans même osciller autour. Ces frottements opèrent en
dissipant l'énergie du système sous forme de chaleur:
l'énergie cinétique, c'est-à-dire la part investie dans le
mouvement, ne peut que diminuer. Lorsqu'elle tombe à
zéro, le mouvement s'arrête en une position d'équilibre.
D'où le nom de système dissipatif.
Cet exemple simple nous montre déjà qu'il faut distin-
guer entre équilibres stables et instables. Les uns et les
autres sont des positions où le système peut rester indéfini-
ment, mais seuls les premiers peuvent attirer d'autres
trajectoires, et donc jouer un rôle dans la description
globale du mouvement. Cette distinction apparaîtra de
manière encore plus claire si nous prenons un exemple à
deux dimensions.
Plaçons une bille dans un bol: elle va rouler, glisser
peut-être, le long des bords. En fin de compte, toujours à
cause des frottements, elle finira par s'immobiliser au fond.
Compliquons maintenant la forme du bol. Nous le
voulons dissymétrique; le fond présentera deux bassins
séparés par un seuil. Si nous lâchons de nouveau notre bille,
son mouvement sera sans doute plus compliqué, mais elle
finira quand même par s'immobiliser an fond. Mais, cette
fois, il y aura deux positions d'équilibre possibles, une au
fond de chacun des bassins, stables l'une et l'autre. Il y en
aura même une troisième, instable celle-là, quelque part
sur le seuil séparant les creux: en effet, quelque part sur ce
seuil doit se situer un col, où la bille resterait en équilibre,
ne sachant de quel côté tomber. Il sufit de la moindre
impulsion pour lever son hésitation et précipiter- sa chute
vers l'un des deux équilibres stables.
On peut compliquer encore, augmenter le nombre
101

Le calcul, l'imprévu
B
Figure 24. Le bol dissymétrique. On a indiqué les trois positions
d'équilibre: deux stables (A et B) et une instable (C).
d'équilibres. On arrive alors à un paysage réparti en
bassins, séparés par des chaînes montagneuses, et COmITIU-
niquant par des cols. Les traits fondamentaux du relief sont
d'une part le fond des bassins, d'autre part les lignes de
crête. Ces dernières sont ponctuées alternativement de
sommets et de cols: sur une ligne de crête joignant deux
sommets, il doit toujours se trouver un col.
Une analogie physique du mouvement est alors fournie
par le ruissellement de l'eau de pluie. Celle-ci descend le
long des pentes pour aller stagner au fond des bassins, où se
forment les lacs : voilà les équilibres stables. Les lignes de
partage des eaux, frontières naturelles entre deux bassins,
sont justement les lignes de crête. Elles sont ponctuées
102

Le retour de la géométrie
d'équilibres instables, cols ou sommets, d'où l'eau coule
indifféremment vers un bassin ou l'autre.
C'est ainsi qu'il faut se représenter les systèmes dissipa-
tifs en général. Un certain travail peut être nécessaire pour
définir de manière adéquate ce que l'on appellera l'état du
système. Par exemple, pour les systèmes dits du second
ordre, comme le pendule, ou la bille dans son bol, l'état
sera le couple position/vitesse, et non uniquement la
position. Cette précaution prise, le mouvement du système
dissipatif, c'est-à-dire la succession temporelle des états,
sera fidèle à l'analogie du ruissellement. On aura un certain
nombre d'équilibres stables, qui se partageront l'espace des
états en bassins d'attraction. Tout mouvement commencé
dans un bassin tend inéluctablement vers le repos sur
l'équilibre stable correspondant, comme le ruisseau coule
vers le lac. Les frontières entre les bassins sont ponctuées
d'équilibres instables, qui ne savent de quel côté pencher.
Ces équilibres instables sont de peu d'importance pour une
description globale. Seul importe le tracé des bassins
d'attraction. A moins de se situer exactement sur une
frontière, cas exceptionnel et de toute façon instable, l'état
initial appartiendra à un bassin d'attraction, qui détermine
l'équilibre vers lequel tend le système.
Il est tentant - et réaliste, si les mouvements sont assez
rapides - de mettre entre parenthèses toute l'évolution
intermédiaire et de résumer la dynamique par la transi-
tion :
état initial  équilibre final
Il faut remarquer deux choses. La première est que cette
correspondance n'est pas continue: de petites variations de
l'état initial peuvent conduire à un équilibre final différent.
Il suffirait pour cela que l'état initial soit situé près d'une
frontière; un petit déplacement lui ferait alors sauter le pas
103

Le calcul, l'imprévu
et tomber dans un bassin d'attraction différent. La seconde
est que l'on observera rarement autre chose que des
équilibres: si les mouvements sont assez rapides, la transi-
tion vers l'équilibre ne durera que peu de temps, alors que
ce dernier, en principe, subsistera éternellement.
o
o
o
/
Figure 25. Le potentiel d'un système dissipatif, représenté par ses
courbes de niveau. Le système « coule» naturellement jusqu'à l'un des
deux équilibres stables, BI ou B 2 , au fond des bassins. S'il est placé en
l'un des sommets SI ou S2, ou au col C, il y restera en équilibre instable.
On a tracé la ligne de crête séparant les deux bassins, et une trajectoire
typique, partant de Eo: elle doit être perpendiculaire aux lignes de
nIveau.
Pour des systèmes dissipatifs complexes, l'espace des
états a bien plus de deux dimensions: dix, cent, mille, plus
encore. Cela signifie qu'il faut dix, cent ou mille variables
104

Le retour de la géométrie
indépendantes pour décrire complètement un état du
système. Mais l'analogie avec la situation bidimensionnelle
que nous venons de décrire, avec le ruissellement sur un
relief, reste toujours parfaite. Ce relief porte même un
nom: c'est ce que l'on appelle le potentiel du système. De
manière précise, chaque état du système est associé à un
point de base, et l'altitude du relief au-dessus de ce point est
mesurée par un nombre, qui est justement la valeur du
potentiel pour cet état.
L'idée si élémentaire que l'eau coule jusqu'au fond des
cuvettes et y stagne s'énonce en termes savants: «Les
équilibres stables sont les minima du potentiel.» Un
minimum est le point le plus bas d'un bassin, un maximum
est le point culminant d'un sommet. Nous parlerons doré-
navant de potentiel plutôt que de relief: cela fait plus
scientifique, cela évoque moins l'alpinisme. Au lieu de dire
que l'eau descend le long des pentes, nous dirons que le
potentiel décroît le long des trajectoires du système. Plus
précisément, si l'on part d'un état initial Eo à l'instant 0, les
états ultérieurs Et sont entièrement déterminés par les
équations différentielles. Si l'on compare la valeur V(Et) du
potentiel à l'instant t à sa valeur V(E T ) à un instant ultérieur
T>t, on constatera qu'il aura décru, c'est-à-dire que V(E T )
est plus petit que V(E t ). Il ne saurait y avoir égalité que si,
en fait, l'état lui-même est resté inchangé entre t et T,
c'est-à-dire que Et = ET est un équilibre. Cette hypothèse
mathématique a plusieurs conséquences, en particulier
l'irréversibilité du mouvement. Dès que le mouvement aura
commencé et que l'on aura quitté l'état initial, on ne pourra
plus le retrouver. En effet, le potentiel, ne pouvant que
décroître, ne repassera pas deux fois par la même valeur.
Cela exclut, par exemple, l'existence de trajectoires pério-
diques qui repasseraient indéfiniment par les mêmes
états.
105

Le calcul, l'imprévu
Les exemples de systèmes dissipatifs abondent dans la
nature, et le potentiel associé a en général une signification
physique reconnue. Dès qu'un système mécanique perd son
énergie par frottement, sans que ces pertes soit compensées
par une source extérieure, il est de ce type, et le potentiel
n'est autre que l'énergie. D'autres le sont de manière plus
détournée. La thermodynamique classique, par exemple,
associe aux systèmes physiques diverses fonctions (énergie
libre, enthalpie libre, potentiel chimique, entropie) qui,
dans des circonstances bien définies, joueront le rôle de
potentiel. D'où, justement, l'irréversibilité du temps en
thermodynamique.
Cela s'applique par exemple aux gaz. Le potentiel sera
une fonction du volume, de la pression et de la tempéra-
ture. L'équilibre est obtenu en cherchant l'état où ce
potentiel est minimal. On obtient alors une relation entre
ces trois variables, qui sera la loi de Mariotte PV = RT pour
un gaz parfait, légèrement compliquée pour un gaz réel.
Insistons sur le fait que cette relation n'est valable qu'à
l'équilibre, mais que le potentiel thermodynamique, en
principe, porte sur tous les états concevables du gaz, en
particulier ceux qui ne vérifieraient pas la loi de
Mariotte.
Or, ces derniers ne sont jamais observés, à moins de
montages particuliers. Ils n'apparaissent que durant la très
brève période de transition vers l'équilibre, si l'on a su
réaliser physiquement un état initial qui ne soit pas un
équilibre, c'est-à-dire qui ne vérifie pas la loi de Mariotte. Il
faut par exemple réaliser une surpression locale ou ouvrir
au gaz un volume supplémentaire. Encore ces états transi-
toires seraient-ils mal décrits par les trois variables, pres-
sion, volume, température, qui ne sont bien définies et
homogènes qu'à l'équilibre, justement. Il faudrait intro-
duire une description beaucoup plus fine du système par des
106

Le retour de la géométrie
variables supplémentaires, ou même revenir au modèle de
Boltzmann, c'est-à-dire aux mouvements individuels des
molécules.
La dynamique sous-jacente à la réalisation et à la stabilité
de l'équilibre thermodynamique n'a donc qu'un caractère
virtuel. Les variables thermodynamiques sont pertinentes à
l'équilibre mais non ailleurs. Le potentiel thermodynami-
que donne bien les équilibres, mais on ne peut en tirer
aucun modèle réaliste de l'évolution des déséquilibres vers
l'équilibre. C'est une statique sans dynamique.
On se trouve ainsi ramené à l'idée que, dans les systèmes
dissipa tifs, seuls importent les équilibres stables, la dynami-
que sous-jacente pouvant être ignorée. Cette idée part de la
simple constatation d'un fait d'expérience: les systèmes
réels seront toujours observés à l'équilibre, donc au repos.
Mais elle est lourde de conséquences. Il sera légitime de
proposer un modèle dynamique d'un phénomène visible-
ment statique: on le décrira par un système dissipatif, en
arguant de l'idée précédente. Mieux encore, peu importera
que le potentiel proposé paraisse davantage un être mathé-
matique qu'une réalité physique (quel instrument mesurera
directement l'entropie ou l'enthalpie, comme le thermomè-
tre mesure la température ?), voire même que la dynami-
que qu'il dessine pour rendre compte des transitions vers
l'équilibre soit irréaliste.
En thermodynamique, ce n'est jamais bien grave, car on
peut toujours se rabattre sur d'autres modèles, plus fins,
pour décrire les déséquilibres. Mais la tentation est grande
de plaquer sur des phénomènes dont le mécanisme nous
échappe un modèle mathématique sous forme de système
dissipatif, sans rechercher pourquoi un tel modèle devrait
convenir, ni appuyer le potentiel proposé sur quelque
fondement phénoménologique. On se bornera à vérifier
que le potentiel proposé présente autant de minima que le
107

Le calcul, l'imprévu
phénomène étudié a de formes stables, et à affirmer sur
cette base une vague correspondance des uns aux autres. Il
est clair qu'une telle méthode ne peut pas donner grand-
chose de bon. C'est pourtant une tentation qui a fait
beaucoup de victimes, particulièrement lorsque l'on a
cherché des applications de la théorie des catastrophes aux
sciences humaines, alors que c'est le domaine entre tous où
il faudrait être prudent en affirmant l'existence de poten-
tiels, puisque l'on n'en a ni justification théorique ni
confirmation expérimentale.
Catastrophes
Cela dit, les systèmes réels ne manquent pas que l'on
peut décrire par un système dissipatif avec quelque réa-
lisQ1e. Le modèle mathématique, si tant est qu'on puisse
l'écrire complètement, se présente alors sous forme d'un
potentiel qui régit l'évolution d'une multitude de variables.
Ces variables, que nous appellerons dorénavant variables
internes, définissent l'état du système. Si le système est tant
soit peu complexe, sa description complète nécessitera un
grand nombre de variables internes, qui toutes intervien-
dront dans le potentiel. Peu nous importe quelle est
l'expression mathématique de celui-ci: il nous suffit dç
savoir qu'il existe. Ses minima sont des équilibres stables, et
le système se placera naturellement au repos sur l'un
d'eux.
Agissons maintenant de l'extérieur sur le système. Pour
être précis, disons que le système dépend d'un certain
nombre de paramètres extérieurs et que nous agissons sur
deux d'entre eux. Les valeurs de ces deux paramètres
108

Le retour de la géométrie
interviennent dans l'expression du potentiel, et les modifier
revient à modifier le potentiel, et donc à déplacer les
équilibres.
Pour comprendre cela, il est bon de reprendre l'analogie
géographique. Modifier le potentiel, c'est modifier le relief.
On peut exhausser les crêtes ou au contraire les éroder,
creuser les bassins ou les combler. On verra alors les bassins
se déformer et leur fond se déplacer. Si celui-ci est occupé
par un lac, sa position changera avec les mouvements du
terrain. Les frontières entre les bassins seront elles aussi
déplacées, et tel ruisseau qui allait se jeter dans un lac ira
dorénavant dans un autre.
On s'aperçoit alors que ces changements, pourtant pro-
gressifs et réguliers, peuvent se traduire par des phénomè-
nes soudains, du moins à l'échelle des temps géologiques. Si
un col ferme le bassin d'un lac de montagne, il pourra
s'abaisser sans grande influence sur ce dernier. Si, toute-
fois, il s'abaisse jusqu'à atteindre l'altitude du lac lui-même,
il ne retiendra plus les eaux en amont, et le lac disparaîtra.
La frontière entre son bassin et le bassin aval disparaît, et ils
n'en font plus qu'un.
Il y a donc une valeur critique qui est l'altitude du lac
lui-même. Tant qu'on ne la franchit pas, les variations
d'altitude du col n'ont que peu d'influence. Si, au contraire,
on la franchit, dans un sens ou dans l'autre, on observe un
changement important: apparition ou disparition d'un
lac.
C'est ce que Thom a baptisé catastrophe.
Détaillons cela sur un modèle à une dimension, c'est-à-
dire sur un système décrit par une seule variable interne. Si
le potentiel est celui de la figure A, on voit que le système
présente deux équilibres stables. Déformons doucement ce
potentiel; les figures suivantes marquent les étapes. Peu de
changements notables, tout au plus un déplacement continu
109

Le calcul, l'imprévu
Figure 26. La position de la bille durant le changement A--+B--+C--+D est
indiquée en noir. Si l'on revient en arrière, D--+C--+B--+A, la position de
la bille est indiquée en blanc.
des équilibres, jusqu'à la position C. C'est le moment où le
col séparant les deux bassins s'efface. L'un des équilibres
disparaît au profit de l'autre. A partir d'ici, le système ne
présente plus qu'un seul équilibre stable et un seul bassin.
On peut agrémenter tout cela d'une bille posée initiale-
ment sur l'équilibre supérieur. Au cours de la déformation,
elle ne bougera guère, jusqu'au moment où' cet équilibre
disparaîtra (position C). Elle tombera alors sur l'équilibre
inférieur et y restera. Si, maintenant, on revient en arrière,
c'est-à-dire si on revient par les mêmes étapes au potentiel
initial, il faut remarquer que la bille ne reviendra pas à sa
position initiale ! C'est que le bassin inférieur ne se vide
jamais dans le bassin supérieur. Quand on repassera par C,
la bille ne sautera pas vers le haut, elle restera en bas, et on
se retrouvera finalement en A avec la bille posée sur
l'équilibre inférieur.
On peut maintenant dire ce que l'on appellera catas-
trophe, pour un système dissipatif général : c'est la dispari-
tion d'un équilibre stable et l'établissement d'un autre,
consécutifs à une modification continue du potentiel.
La manière dont on procède à cette modification est
importante. Point n'est besoin de connaître l'expression
110

Le retour de la géométrie
mathématique du potentiel, ni même le nombre ou la
nature des variables internes au système. Il suffit de savoir
qu'ils existent: on a affaire à une boîte noire que l'on se
résigne à ne pas ouvrir. On renonce à décrire le système de
l'intérieur, mais on cherchera à le cerner par ses réponses à
des stimuli extérieurs. Ce sera une description de l'exté-
rieur, purement phénoménologique : le système n'est que
la virtualité de toutes ses réponses possibles aux sollicita-
tions du monde extérieur.
Bien entendu, il ne s'agit pas de tout faire varier à la fois.
Il est essentiel, pour l'application de la théorie des catastro-
phes, que l'on choisisse un petit nombre de paramètres, un,
deux ou trois, que l'on pourra faire varier simultanément,
toutes choses étant maintenues égales par ailleurs. Les
valeurs prises par ces paramètres extérieurs sont alors
repérées par un seul point d'un espace à une, deux ou trois
dimensions. Si on modifie continûment ces valeurs, c'est-à-
dire si le point représentatif se déplace, le potentiel du
système sera modifié de manière concomitante. Le sys-
tème, initialement en un équilibre stable, suit les variations
de celui-ci. Elles sont continues, sauf si cet équilibre vient à
disparaître au profit d'un autre. Cela peut se produire pour
certaines valeurs critiques des paramètres, les valeurs
catastrophiques. Elles forment, dans l'espace des paramè-
tres, une frontière dont le franchissement fait sauter le
système d'un équilibre à un autre. Ce passage doit donc se
signaler par une discontinuité dans les observations, quel-
quefois même par un changement qualitatif, changement
de phase par exemple.
Zeeman a construit une machine à catastrophes. Elle
consiste en une roue, fixée à plat sur un tableau, et tournant
librement autour de son centre. A un point de sa périphérie
sont fixés deux forts élastiques. L'un a son autre extrémité
fixée au tableau, assez loin de la roue pour être toujours
111

Le calcul, l'imprévu
tendu. L'autre a une extrémité libre, entre les mains de
l'expérimentateur, qui la place où il veut sur le tableau.
Il n'y a pas de doute que le système soit dissipatif ; il est
tout à fait élémentaire de calculer son potentiel en fonction
de la seule variable interne, qui décrit la position de la roue.
Disons simplement que l'équilibre résulte de la tension des
élastiques. La position d'un point sur un plan, en l'occur-
rence de l'extrémité libre sur le tableau, dépend de deux
nombres. Voilà les deux paramètres qui agissent sur la
machine de Zeeman. L'espace des paramètres est on ne
peut plus concret : c'est le tableau. Faire varier les paramè-
tres signifie promener l'extrémité libre sur le tableau.
Si on réalise le montage, on s'aperçoit vite de l'existence
d'une zone curieuse, sorte de quadrilatère aux sommets
effilés. Si l'on franchit ses côtés de l'intérieur vers l'exté-
rieur, on observe une catastrophe: la roue, qui jusque-là
suivait docilement le mouvement, part brusquement dans
l'autre sens et se retrouve après un demi-tour dans une
nouvelle position d'équilibre.
Nous laissons au lecteur le soin de réaliser son propre
montage. Il pourra ainsi se convaincre qu'à chaque point
intérieur au quadrilatère correspondent deux positions
possibles pour la roue, et, à l'extérieur, une seule. Dans le
cas d'ambiguïté, la position de la roue dépendra non
seulement de l'endroit où se trouve placée l'extrémité libre,
mais aussi du chemin qu'elle a pris pour arriver là. Si, par
exemple, on lui fait traverser le quadrilatère de part en
part, puis si on la fait revenir sur ses pas, en prenant soin de
repasser exactement par les mêmes points, la roue ne
retrouvera pas les mêmes positions. Ainsi, la réponse du
système dépend non seulement des valeurs présentes des
paramètres, mais aussi de leur historique.
La machine de Zeeman est un système dissipatif à une
seule variable interne, sur lequel on agit par l'intermédiaire
112

a
K
b
La machine de Zeeman. La partie gauche (a) représente le montage: la
roue mobile, l'élastique inférieur fixe, l'élastique supérieur mobile. En
promenant dans le plan l'extrémité libre, on s'aperçoit de l'existence de
points particuliers, qui délimitent un quadrilatère. Par exemple, si l'on
déplace l'extrémité libre de gauche à droite suivant la ligne horizontale
tiretée, on verra la roue effectuer un demi-tour brutal lorsque l'on
atteindra le point Q2. Si l'on fait le même trajet de droite à gauche, c'est
en 01 que la roue sautera. Le point K est une fronce.
La partie droite (b) suggère comment attacher les élastiques à la roue et
montre le quadrilatère que délimitent les points catastrophiques,
dessiné par un ordinateur (T. Poston et A. Woodcock). (E.C. Zeeman,
Catastrophe Theory, Addison-Wesley, 1977.)
113

Le calcul, l'imprévu
de deux paramètres extérieurs. Il est remarquable que les
phénomènes principaux se retrouvent pour les systèmes
dissipatifs les plus complexes, pourvu que l'on n'agisse que
sur deux paramètres à la fois. La théorie des catastrophes
fournit un modèle général de cette situation: c'est la
fronce.
-
1
1
1
1
1
1
1
1
- 1 1 1 1
-_1 1 1 1
1- - - _1_ _ .-J_ ...... a
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....... 1
,,/m2 1 m3
,
-"
-"
x-"
y-
-
........
Figure 27. La fronce: comment la franchir.
114

Le retour de la géométrie
Le dessin est maintenant célèbre. Une surface, repliée
sur elle-même, se projette sur un plan horizontal. Le pli se
termine par une fronce, A, dont la projection horizontale,
a, est un point de rebroussement pour le contour apparent.
Ce dernier se compose de deux demi-courbes, ax et ay,
projections horizontales d'une même courbe X A Y tracée
sur la surface, à tangente verticale en A. L'arc A X délimite
la nappe supérieure de la surface, l'arc A Y la nappe
inférieure, les deux nappes fusionnant au-delà du point
A.
Le plan horizontal est l'espace des paramètres. De la
multitude de variables internes du système considéré, on
n'en retient qu'une seule, considérée comme significative:
c'est la troisième dimension de notre dessin. La surface
pliée représente alors F ensemble des équilibres possibles du
système ; on en retire la partie comprise entre les nappes
supérieure et inférieure, délimitée par la courbe X A Y, qui
correspond à des équilibres instables. Alors, tout point du
plan de base a un ou deux points de la surface au-dessus de
lui. Cela signifie qu'à chaque couple de valeurs des paramè-
tres correspond un ou deux équilibres. La hauteur du point
au-dessus de la base donne la valeur de la variable interne
retenue.
On peut maintenant faire varier les valeurs des paramè-
tres, c'est-à-dire promener le point représentatif m. Partons
de la position initiale ma, à laquelle correspond sans
ambiguïté l'état Mo. Déplaçons-nous vers la frontière ay,
que nous franchissons sans dommage au point ml : l'état
suit le mouvement, franchit l'arc A Y au point Ml et
continue sur la nappe supérieure. Si, maintenant, le point m
franchit la frontière ax, au point m2 par exemple, l'état M
ne pourra plus suivre continûment, mais devra tomber sur
la nappe inférieure, de M 2 en M. L'équilibre antérieur
disparaît, et l'état est recueilli par un autre. A partir de là,
115

Le calcul, l'imprévu
on rentre dans une région de non-ambiguïté, et l'état suit
docilement les variations des paramètres ; au point m3 par
exemple correspond l'état M3.
Si l'on désire à présent revenir à l'état initial Mo, on a le
choix entre deux chemins. Le premier contourne le point de
rebroussement a, et évite ainsi les frontières: on n'obser-
vera pas de catastrophe. Le second traverse de nouveau la
fronce, mais dans l'autre sens. Cette fois, le franchissement
de la frontière ax passera inaperçu, et c'est au passage de ay
que se produira la catastrophe, saut de l'état vers la nappe
supérieure de la surface d'équilibres. On remarquera qu'à
l'intérieur de la fronce, région comprise entre ax et ay,
l'état du système sera fort différent au retour de ce qu'il
était à l'aller.
En un point tel que n, le système a deux états possibles, N
et N'. Pour lever l'ambiguïté, il faut savoir par quel chemin
on est arrivé au point n. La figure 27 en présente deux,
conduisant l'un à N et l'autre à N'. C'est un phénomène
d'hystérésis: le système se détermine en fonction de son
histoire. Les conditions actuelles ne déterminent pas sa
réponse, mais lui laissent plusieurs options entre lesquelles
il choisit d'après son expérience passée.
Théorie
La théorie des catastrophes, dans le cas de deux paramè-
tres extérieurs, nous enseigne que, si on agit sur un système
dissipatif par l'intermédiaire de deux paramètres, toutes
choses égales par ailleurs, les valeurs catastrophiques se
rassembleront en fronces dans le plan des paramètres.
L'énoncé est purement phénoménologique : on fait varier
116

Le retour de la géométrie
les paramètres, et on note les valeurs pour lesquelles le
système saute d'un état à un autre. Il pourra ne pas y en
avoir, c'est-à-dire que, dans tout le domaine expérimental,
le système réagit continûment aux variations des paramè-
tres. Mais s'il y en a, elles s'aligneront sur des courbes (les
plis) qui pourront se croiser et présenter une ou plusieurs
fronces. La machine de Zeeman, par exemple, dessine
quatre fronces.
La théorie ne donne pas de précision sur la forme des
courbes de catastrophe. C'est en ce sens qu'elle est qualita-
tive. Elle exclut seulement des situations plus compliquées.
On pourrait imaginer, par exemple, que les valeurs catas-
trophiques soient des points isolés, ou au contraire qu'il y
ait un domaine du plan dont tous les points soient catastro-
phiques.
La théorie affirme qu'en général il n'en est rien.
Attention à ce mot: en général. C'est le talon d'Achille
de la théorie. Ses conclusions ne sont pas valables pour tous
les systèmes dissipa tifs, mais seulement pour la plupart. Il
peut fort bien se faire qu'un système particulier ne vérifie
pas ces conclusions et que les valeurs catastrophiques
refusent de s'aligner. La théorie affirme simplement que, si
l'on pouvait rentrer dans le système et modifier tant soit
peu ses équations, on pourrait tout faire rentrer dans
l'ordre. En d'autres termes, une petite perturbation, menée
de l'intérieur, suffirait à rétablir le schéma général et à faire
apparaître les fronces prévues par la théorie.
Il va sans dire que nous sommes plutôt habitués à étudier
les équations qui nous sont données qu'à les modifier à
notre fantaisie. La nature nous fournit le système, et elle ne
modifiera pas son potentiel pour nous faire plaisir. D'un
autre côté, si presque tous les potentiels sont adéquats, on
ne voit pas pourquoi elle en aurait choisi précisément un qui
échappe à la théorie des catastrophes. Si tel est le cas, il doit
117

Le calcul, l'imprévu
y avoir une raison physique (symétrie sous-jacente, rela-
tions inconnues) qu'il doit être intéressant de trouver.
Partie sur cette base, la discussion peut durer longtemps;
elle dure depuis plus de dix ans, et nous aurons l'occasion
d'y revenir.
La théorie donne un énoncé analogue dans le cas de trois
(et même de quatre, cinq et six) paramètres extérieurs.
L'espace des paramètres est alors l'espace usuel à trois
dimensions, et les valeurs catastrophiques doivent y dessi-
ner des surfaces qui appartiennent à l'un des trois types
suivants:
- la queue d'aronde,
- l'ombilic hyperbolique (la vague),
- l'ombilic elliptique (le poil).
Les noms imagés, mis entre parenthèses, viennent de
Thom, et un coup d' œil sur les dessins suffit à les justifier.
Figure 28. La queue d'aronde.
118

Le retour de la géométrie
Fïgul'e 29. L'ombilic hyperbolique. A partir du point 0, les sections se
plient (la vague déferle). En fait, pour obtenir un ombilic complet, il
faut rajouter à cette figure sa symétrique par rapport à la section
médiane.
o
o
a
1
,
Figure 30. L'ombilic elliptique et quelques sections.
119

Le calcul, l'imprévu
Pour l'ombilic hyperbolique, il faut retirer une des feuilles;
celle qui reste évoque alors une vague qui commence à
déferler.
Ces «catastrophes élémentaires» ont des propriétés
analogues à la fronce. Voyons par exemple la queue
d'aronde. Ses frontières sont perméables dans un sens
seulement et délimitent des régions qui présentent zéro, un
ou deux équilibres stables. La région intérieure aux deux
arêtes de rebroussement en présente deux.
Ces dessins manifestent déj à (et résolvent) les contradic-
tions internes de la théorie des catastrophes. En effet,
supposons que nous ayons la chance de tomber sur un
système dissipatif, qui, soumis à l'action de trois paramètres
pl, pz, P3, réagisse de la manière prédite par l'ombilic
elliptique. Les valeurs catastrophiques, dans l'espace des
(Pl, P2, P3), forment donc une surface analogue à celle de la
figure 29.
Fixons maintenant le troisième paramètre à une certaine
valeur, P3 = a par exemple, et faisons varier les deux autres.
Les valeurs catastrophiques seront à l'intersection de l'om-
bilic avec le plan horizontal de hauteur a. La figure donne
trois possibilités ; on constate que, si a = 0 est la valeur
choisie pour le paramètre P3, les valeurs catastrophiques
de (pl, Pl) se réduisent à un seul point, le sommet de
l'ombilic. Or, si l'on ne fait varier que Pl et P2, P3 étant fixé,
on n'a que deux paramètres extérieurs à agir sur le système
et la théorie nous dit qu'on devrait observer des plis
agrémentés de fronces, et non des points isolés.
La réponse est que ces affirmations ne sont valables
qu'en général: si elles sont fausses pour un système
particulier, il suffit d'une légère perturbation pour les
valider. Si l'on fixe P3 à 0, on contredit les conclusions de la
théorie des catastrophes en dimension deux. Qu'à cela ne
tienne. Changeons quelque peu les conditions de l'expé-
120

Le retour de la géométrie
rience : fixons P3 à une valeur petite, mais non nulle, a. La
section par P3 = a, c'est-à-dire la nouvelle frontière
catastrophique, n'est plus un point. Elle peut être réduite à
néant, c'est-à-dire qu'il n'y a plus de valeurs catastrophi-
ques de (Pl, P2) pour P3 = a. Elle peut aussi être constituée
de trois lèvres, dont les commissures seront des fronces.
Dans l'un et l'autre cas, les prédictions faites pour la
dimension deux seront vérifiées.
A ce sujet, il est intéressant de remarquer comment la
théorie à trois paramètres contient la théorie à deux ou à un
paramètre. Si l'on coupe par un plan (c'est-à-dire si l'on
n'étudie que deux paramètres à la fois), on obtient en
général une section composée de fronces. C'est en ce sens
que l'on dira que les arêtes de rebroussement de l'ombilic
elliptique sont des fronces. Si l'on coupe par une droite
(c'est-à-dire si un seul paramètre varie à la fois), on obtient
en général des points isolés sur cette droite. Le franchisse-
ment de ce point le long de la droite entraîne la disparition
(ou l'apparition) d'un équilibre stable. C'est ce que l'on
appelle le pli, catastrophe élémentaire en dimension un. La
surface de l'ombilic elliptique, à l'exception des arêtes et du
sommet, est constituée de points plis.
Un dernier point. On peut modifier artificiellement
l'allure des frontières de catastrophes, en changeant simple-
ment la façon de mesurer les stimuli extérieurs. Si on prend
des unités plus grandes, par exemple, on réduira les valeurs
nominales et on comprimera donc la figure. Des change-
ments de paramétrage plus compliqués aboutiront à des
déformations plus considérables, un plan deviendra une
surface lisse (sans arête), une droite une courbe régulière
(sans point anguleux). Mais on reconnaîtra toujours les
catastrophes élémentaires. Les changements de paramé-
trage, si compliqués soient-ils, ne peuvent faire apparaître
une queue d'aronde là où il n'yen a point, ni la faire
121

Le calcul, l'imprévu
disparaître là où il y en a une. Ils peuvent étirer, compri-
mer, courber, mais non plier.
On voit que la théorie des catastrophes, contrairement à
la rumeur publique, n'apporte pas de connaissance a priori,
antérieure à toute expérience. Même si l'on a un bon
systènle dissipatif, et trois paramètres à notre disposition,
on ne peut pas savoir s'il y aura une queue d'aronde, un
ombilic elliptique ou hyperbolique, des fronces, des plis,
rien du tout, ou autre chose, avant d'avoir essayé (ou
calculé, si l'on connaît le potentiel). Même s'il se révèle une
queue d'aronde, la théorie est incapable de prédire sa
position, ses dimensions ou même sa forme exacte.
Ce qu'elle apporte, c'est l'idée d'étudier un système
complexe de l'extérieur, par ses réponses à un petit nombre
de stimuli bien caractérisés. C'est l'attention portée à
certains phénomènes, saut d'un équilibre vers un autre,
ambiguïté, hystérésis, inattendus dans des systèmes déter-
ministes, mais pourtant fort généraux. C'est enfin un
cadre conceptuel où l'on pourra classer les résultats expé-
rimentaux, sept figures de géométrie (nous n'en avons
donné que cinq) à porter avec soi et à reconnaître dans la
nature.
Critique
La théorie des catastrophes a été l'un des épisodes les
plus marquants de la vie scientifique de ces dernières
années. La parution, fort attendue, en 1972, de son livre
Stabilité structurelle et morphogenèse, au titre pourtant peu
alléchant, propulsait immédiatement René Thom au hit-
parade des magazines internationaux et manquait lui coû-
122

Le retour de la géométrie
ter, auprès de ses collègues mathématiciens, une réputation
pourtant acquise sur des terrains plus techniques et mar-
quée par une médaille Fields en 1962. Parallèlement,
Christopher Zeeman appliquait la théorie à une foule de
sujets, des battements du cœur aux mutineries dans les
prisons, et soulevait dans son sillage autant de critiques que
de disciples.
Il Y eut des instants de franche comédie. Certains
catastrophistes ne reculaient devant rien pour aligner sur
une fronce des points expérimentaux qui, à l'œil non
prévenu, formaient plutôt un nuage qu'une ligne. Pour ma
part, je chéris l'aphorisme de Sussmann : « En mathémati-
ques, les noms sont arbitraires. Libre à chacun d'appeler un
opérateur auto-adjoint un " éléphant", et une décomposi-
tion spectrale une "trompe". On peut alors démontrer un
théorème suivant lequel " tout éléphant a une trompe ".
Mais on n'a pas le droit de laisser croire que ce résultat a
quelque chose à voir avec de gros animaux gris. » Il est
certain que le vocabulaire choisi, à commencer par le mot
« catastrophe », n'était pas neutre.
Maintenant que la polémique s'est apaisée, on peut
tenter de porter un jugement sain. La première remarque à
faire est que l théorie des catastrophes existe à défaut
d'autre chose. Ce que Thom appelait, et bien d'autres avec
lui, était une théorie plus générale, applicable à des
systèmes dynamiques plus généraux que les systèmes dissi-
patifs. Une telle théorie aurait dû décrire bien d'autres
« catastrophes » que la destruction d'un équilibre stable au
profit d'un autre. Un système non dissipatif n'est plus
contraint au repos sur un équilibre : il peut tourner indéfi-
niment sur une trajectoire périodique ou parcourir un
attracteur étrange. Ce sont les transitions entre ces diverses
possibilités qui constitueraient les véritables «catastro-
phes ».
123

Le calcul, l'imprévu
On est très loin d'une telle théorie des catastrophes
généralisée. La seule chose qui soit bien comprise est la
formation d'une trajectoire périodique aux dépens d'un
équilibre stable (bifurcation de Hopf). Il est même douteux
qu'une telle théorie puisse exister un jour; en tout cas, elle
ne conduira pas à un catalogue aussi simple que celui des
sept catastrophes élémentaires. On sait déjà qu'il y a une
liste infinie de modèles pour les catastrophes généralisées,
même si on n'en connaît que quelques-uns.
La théorie des catastrophes, telle qu'elle existe aujour-
d'hui, est donc pour longtemps encore le seul outil dont
nous disposions pour décrire l'influence de paramètres
extérieurs sur les systèmes dynamiques. Elle ne s'applique
qu'aux systèmes dissipatifs, et encore dans certaines condi-
tions, dont on ne sait jamais si elles sont réunies. L'ensem-
ble est si restrictif que les exemples bien authentifiés ne
courent pas les rues - si l'on excepte les machines
fabriquées ad hoc. Du point de vue strictement scientifique,
c'est une théorie en quête d'applications.
Mais le projet de Thom était métaphysique plutôt que
scientifique. La thèse qu'il développe dans son livre est que
les formes décrites par la théorie des catastrophes, et en
particulier les sept catastrophes élémentaires, sont les
éléments dont les combinaisons permettent de recréer
l'infinie variété des formes naturelles. Thom a écrit le
Timée des Temps modernes; à deux mille ans d'intervalle,
il se fait l'écho de la grande voix qui disait: «En toute
raison, et en toute vraisemblance, le tétraèdre est l'élément
et le germe du feu, l'octaèdre celui de l'air, l'icosaèdre celui
de l'eau », te cube étant réservé à la terre et le dodécaèdre
étant la figure de l'univers.
Ce sont ces cinq solides réguliers qui ont constitué depuis
les Grecs le substrat géométrique de notre perception de
l'espace. Encore aujourd'hui, nous ne concevons pas de
124

Le retour de la géométrie
meilleure manière de l'occuper que par des cubes. L'acte
d'empiler des cubes n'est pas seulement un jeu enfantin,
c'est aussi l'acte générateur de l'espace euclidien, qui n'est
pas autre chose que la possibilité de poursuivre ce geste
indéfiniment. Il trouve son accomplissement dans le
fameux repère absolu de la physique classique, qui enserre
dans ses mailles tout l'univers newtonien. Et l'art lui-même
n'est jamais resté indifférent à la géométrie des polyèdres:
l'ècole cubiste en peinture, et son effort pour retrouver sous
le bouillonnement des volumes leur architecture polyé-
drale, n'est que l'avatar le plus spectaculaire de ce souci
permanent.
Ce que propose Thom, c'est un renouvellement, ou du
moins un enrichissement, de notre bagage intuitif. Dans
son monde, comme dans celui de Platon, nul n'entre s'il
n'est géomètre. Chacun d'eux explore, avec les moyens que
les mathématiques mettent à sa disposition, les grands
problèmes posés par la science de son temps, cosmologi-
ques pour l'un, biologiques pour l'autre. Pour Platon, le
démiurge construit le monde en se pliant à la nécessité des
cinq solides réguliers. Pour Thom, la nature parle un
langage dont les sept catastrophes élémentaires sont les
mots.
Le postulat central de la métaphysique de Thom est qu'à
tout objet naturel est associée une certaine dynamique. La
forme sous laquelle il apparaît à l'observateur n'est autre
que la frontière de catastrophes associée à ce système, dont
l'objet naturel occupe l'espace des paramètres. Thom, et
c'est là un aspect étonnamment platonicien de sa théorie,
ne requiert nullement que ce système dynamique ait une
réalité physique. On peut soit le rejeter dans l'au-delà
des Idées, soit y voir une catégorie a priori de notre enten-
dement, liée à la structure neurologique du cerveau.
C'est aÎnsi, par exemple, que la forme d'une vague défer-
125

Le calcul, l'imprévu
lant sur une plage évoque l'ombilic hyperbolique; mais
il n'y a aucune justification hydrodynamique à cette ana-
10 gi e .
Un tel postulat paraît moins contestable dans le domaine
biologique que physico-chimique. On conçoit aisément que
la matière vivante soit le théâtre permanent d'une myriade
de transformations simultanées qui, pour invisibles qu'elles
soient à l'échelle des observations, n'en déterminent pas
moins les propriétés en chaque point. Voici longtemps que,
pour décrire la morphogenèse, c'est-à-dire la succession des
formes, de l'œuf à l'embryon, les biologistes ont introduit
l'hypothèse d'un potentiel morphogénétique. Ainsi peut-
être pourra-t-on assigner au système dissipatif que postule
la théorie des catastrophes une réalité physico-chimique.
Lorsque apparaît une frontière différenciant deux tissus, on
peut y reconnaître une catastrophe du type pli. Elle peut se
creuser d'un sillon, s'exfolier en une cloque, émettre un cil,
auquel cas il faudra faire appel à la fronce, à la queue
d'aronde, à l'ombilic elliptique.
Il nous reste un dernier point à souligner: le rôle du
temps. Certes, le mathématicien peut se contenter de dire
que le temps est simplement le quatrième paramètre, t, les
trois autres étant les coordonnées d'espace, et parler des
catastrophes se déployant dans un espace à quatre dimen-
sions. Ce qu'observe le physicien ou le biologiste, ce n'est
pas cet espace-temps, mais ses sections à t constant, ce n'est
pas cette magnifique catastrophe quadridimensionnelle,
mais une succession temporelle de catastrophes tridimen-
sionnelles.
Or, il existe deux catastrophes élémentaires en dimen-
sion quatre: l'ombilic parabolique et le papillon. Leurs
sections à t constant combinent des queues d'aronde, des
ombilics elliptiques et hyperboliques, suivant des règles
strictes. Qui ne les connaît pas, qui n'a pas reconnu
126

Le retour de la géométrie
le centre organisateur voit simplement naître, changer,
mourir des formes dans l'espace, sans règle apparente. A
qui le connaît est donnée la clef de cette histoire, le sens de
cette évolution: il voit les formes danser un ballet aux
règles aussi strictes que le quadrille des lanciers.
Si l'on coupe une queue d'aronde ou un ombilic elliptique
par un plan passant par son centre, on observe une figure
simple, point ou courbe. Si l'on déplace ce plan, la figure
explose, révélant toute une complexité cachée. C'est ainsi
qu'une succession de formes dans l'espace peut être com-
prise comme une seule forme dans l'espace-temps, dont on
observerait les sections à t constant. Une catastrophe de
l'espace-temps se manifeste en déployant, ou au contraire
en repliant, une forme relativement simple, observée en
t = 0, en formes plus complexes aux instants ultérieurs.
Thom voit ce processus à l'œuvre dans les développements
embryonnaires, particulièrement dans les différents stades
de la segmentation de l'œuf (blastula, gastrula, morula).
Il y voit le modèle mathématique de la morphogenèse,
construction de l'embryon par différenciations successives à
partir d'un germe simple, processus centrifuge, alors qu'un
processus centripète aurait consisté à monter des organes
d'origines diverses sur un support commun.
IJa théorie des catastrophes est un regard posé sur le
monde. Ce regard ne date pas d'hier, c'est le regard même
d'Héraclite, pour qui le combat, Polemos, était le père de
toutes choses, et qui voyait dans le monde le théâtre sans
cesse changeant de l'affrontement des contraires. La théo-
rie des catastrophes exprime cela aujourd'hui en disant que
toute forme résulte d'un conflit d'attracteurs. A sa racine,
on trouve un regard chargé d'émerveillement naïf, comme
au premier jour du monde. C'est l'aventure d'un grand
savant, qui non seulement retrouve cette vision présocrati-
que, préscientifique du monde, mais réussit à nous la faire
127

Le calcul, l' imp rév u
partager. « Finalement, le choix des phénomènes considé-
rés comme scientifiquement intéressants est sans doute
largement arbitraire. La physique actuelle construit des
machines énormes pour mettre en évidence des états dont
la durée de vie n'excède pas 10 -23 seconde. On n'a sans
doute pas tort de vouloir, par l'emploi de tous ]es moyens
techniques disponibles, faire l'inventaire de tous les états
accessibles à ]' expérience. On peut néanmoins se poser
légitimement une question : quantité de phénomènes fami-
liers (au point qu'ils n'en attirent plus l'attention) sont
cependant de théorie difficile: par exemple, les lézardes
d'un vieux mur, la forme d'un nuage, la chute d'une feuille
morte, l'écume d'un bock de bière... Qui sait si une
réflexion mathématique un peu poussée sur ce genre de
petits phénomènes ne se révélerait pas, finalement, plus
profitable à la science? »
Si nous ne suivons pas Thom sur le terrain métaphysique,
que reste-t-il de la théorie des catastrophes? Son apport
concret, immédiat, à la science, nous l'avons vu, est sans
commune mesure avec les espoirs qu'elle a suscités et le
langage que ses pionniers ont tenu. La raison tient sans
doute au fait que, finalement, dans la nature, il y a peu de
systèmes dissipatifs bien authentifiés, la plupart des dyna-
miques étant beaucoup plus complexes.
Il reste qu'elle ouvre les yeux sur les mutations qui se
produisent dans la connaissance scientifique. C'est le pro-
totype des modèles à venir  qualitatifs bien que mathéma-
tiques. C'est aussi le retour de la géométrie, la revanche de
la figure sur les calculs.
Tout cela part d'un fait central, longuement analysé au
chapitre précédent: l'impossiblité d'effectuer certains cal-
culs et donc de connaître certains systèmes dont la dyna-
mique, quoique déterministe, est trop complexe. Devant
cette constatation s'instaure l'idée qu'une connaissance
128

Le retour de la géométrie
qualitative est possible, connaissance qui ne permettrait pas
de prédire les phénomènes, mais de les répertorier.
C'est ce que fait la théorie des catastrophes, dans un
domaine hélas trop restreint. En se limitant aux systèmes
dissipatifs, les plus simples de tous les systèmes dynami-
ques, elle donne un modèle mathématique cohérent de
systèmes déterministes que l'on qualifierait volontiers de
créatifs: ils ne se répètent pas (hystérésis), ils ordonnent
des formes (morphogenèse).
Elle le fait en évacuant le temps, en le chassant hors des
constructions qu'elle bâtit. L'architecte s'enferme dans son
édifice. Le Temps reste dehors, et ce n'est que sa statue qui
trône dans ces vastes palais glacés.
Il est chassé de la théorie des catastrophes dès la
première minute, par la décision de ne retenir de l'évolu-
tion des systèmes dissipatifs que leur état d'équilibre. C'est
réduire la dynamique à la statique; la dynamique des
systèmes dissipatifs, quoique pauvre, n'en recèle pas moins
nombre de phénomènes intéressants, comme en témoigne
la thermodynamique. Le Temps fait sa rentrée plus tard,
comme quatrième dimension de l'espace-temps où se
déploie une catastrophe.
Cette image géométrique, reflet stationnaire d'un temps
irréversible et fugitif, en évoque une autre, l'ellipse de
Kepler. Les catastrophes élémentaires de Thom, comme les
ellipses de Kepler, sont des tentatives pour enfermer le
temps dans l'espace et le saisir par la géométrie. Alors que
Kepler construisait avec les outils mathématiques légués
par les Grecs, Thom bénéficie de la topologie moderne.
L'un utilise le Traité des coniques d'Apollonius ; l'autre la
théorie des singularités de fonctions.
Mais, alors que le modèle de Kepler, traduit mathémati-
quement par Newton, aboutit à un univers fermé, un
universel présent qui renferme, de manière explicite, tout
129

Le calcul, l'imprévu
passé et tout avenir, un univers sans surprise à qui sait
calculer, la théorie des catastrophes voit un univers ouvert,
où le mathématicien discerne et classe des formes, bien
heureux s'il sait les attraper au passage, tel un chasseur de
papillons.

4. Fin et commencement
Nous VOICI arrivés au terme de notre voyage. Nous
sommes partis de l'univers de Ptolémée, agencement com-
plexe et raffiné de mouvements circulaires. Nous avons vu
cette construction, devenue anarchique et fragile avec le
temps, abandonnée au profit de la simplicité des orbites
elliptiques et des trois lois de Kepler. Alors s'ouvre l'âge
d'or de l'univers newtonien, organisé jusque dans le moin-
dre détail par la loi de la gravitation. C'est l'époque de la
transparence parfaite: le temps s'inscrit dans l'espace, le
passé et l'avenir sont écrits dans l'instant présent, pour qui
sait les lire. Le mouvement des planètes sur leurs orbites
se réduit, grâce à la loi de Newton, à une propriété géomé-
trique des ellipses.
On retrouve ce point de vue dans la théorie de la
relativité générale, qui est aujourd'hui l'héritière directe de
la cosmologie newtonienne. Einstein introduit un espace-
temps à quatre dimensions, dont les propriétés géométri-
ques se traduiront, pour nous qui n'en voyons que trois à la
fois, par une apparence de mouvement. Certes, de Newton
à Einstein, on est passé de trois à quatre dimensions, et la
courbure de l'espace-temps est autrement compliquée à
étudier que la géométrie des coniques. Il reste que la
tentative est la même: réduction du temps à l'espace,
substitution au mouvement d'une géométrie. Ce sont des
131

Le calcul, l'imprévu
univers clos, régis par un déterminisme strict, où l'écoule-
ment du temps n'apporte rien de nouveau, rien que l'on ne
sache déjà, et que l'on n'aurait pu prédire de toute
éternité.
La critique de Poincaré et les acquis de la théorie
moderne des systèmes dynamiques ont montré les insuffi-
sances d'une telle conception. L'image que nous laisse leur
analyse est celle d'un temps totalement imprévisible et donc
foncièrement novateur, qui refuse obstinément de se laisser
enfermer dans le présent. Le modèle, très concret, de la
transformation du boulanger nous montre comment une
telle conception du temps est compatible avec des lois qui
seraient déterministes. Au sein même de la mécanique
céleste la plus étroitement newtonienne, on a pu mettre en
évidence des phénomènes qui s'apparentent davantage au
lancer des dés qu'à la belle régularité des mouvements
képlériens. L'observateur est devant ce genre de situation
comme au bord d'un fleuve qui coule en tourbillons et dont
il cherche à noter les états successifs et changeants.
C'est là un univers ouvert, où le temps est insaisissable.
On peut reprendre la phrase d'Héraclite: «Nul ne peut
descendre deux fois dans le même fleuve. » Mais, de cet
universel passage, on peut aussi tenter de sauver quelques
images, on peut reconnaître quelques-unes de ces formes
fugitives que le courant emporte, et les retenir. C'est ce que
nous faisons tous, car du temps perdu notre mémoire ne
garde que quelques souvenirs épars, et quelquefois incons-
cients. Dans un autre domaine, c'est ce qu'essaie de faire la
théorie des catastrophes. Certaines dynamiques très parti-
culières se cristallisent en fronces, en ombilics ou en
papillons, et l'expert saura identifier ces formes dans le flot
du changement, même s'il ne peut expliquer leur genèse ou
prévoir leur passage.
On assiste ainsi, en fin de course, à une résurgence de la
132

Fin et commencement
géométrie. Car les catastrophes élémentaires sont des
figures géométriques, qui résument une dynamique pauvre,
si pauvre qu'elle reste cachée. Mais le rôle de la géométrie
est ici bien moins ambitieuse que dans la cosmologie de
Newton ou d'Einstein. On lui demande non pas de fournir
un modèle global et exhaustif de la réalité spatio-tempo-
relle, mais un cadre permettant de reconnaître certaines
situations, où la dynamique s'efface devant la statique.
C'est au fond un aveu d'impuissance.
Les mathématiques oscillent entre deux conceptions du
temps. L'une, se traduisant naturellement dans un langage
géométrique, est une conception globale, où le présent
appelle l'avenir et répond au passé, comme les galaxies les
plus lointaines influent par leur attraction newtonienne
sur l'agitation des molécules ici-bas. L'autre voit dans
l'écoulement du temps une succession d'états, indépen-
dants dans une large mesure, si bien que les traces du
passé s'estompent très vite, et que chaque instant apporte
quelque chose de fondamentalement nouveau par rapport
au précédent.
La vraie nature du temps échappe aux mathématiques,
qui ne peuvent que manifester la tension entre ces deux
extrêmes. Leur opposition n'est d'ailleurs pas nouvelle et
déborde largement le cadre de la science. Pour ma part,
j'en vois l'illustration la plus émouvante dans le couple
antagoniste que forment l' IUade et ['Odyssée. Le lecteur
acceptera peut-être une incursion dans cette œuvre, qui a
marqué des générations.
D'un bout à l'autre de l'Odyssée, le temps est d'un seul
tenant. Le présent appelle l'avenir et se réfère au passé. Le
futur est annoncé et préfiguré, le passé conditionne le
présent.
Toute l'œuvre est tendue vers le retour d'Ulysse, VOO"[L-
tJ.ov fltJ.aQ, le jour du retour, éminemment désiré, toujours
133

Le calcul, l'imprévu
attendu et jamais atteint depuis vingt ans. Dès les premiers
vers du poème, Ulysse:
Aspirant à voir, ne serait-ce que la fumée
Montant du sol de sa patrie, appelle la mort.
De ce retour, Télémaque va s'enquérir, à Pylos auprès de
Nestor, à Sparte auprès de Ménélas. Quand Ulysse
apparaît enfin, chez les Phéaciens, c'est pour demander ]es
moyens de rentrer. Il interrompt ses récits, au moment le
plus captivant, sa visite au séjour des morts, juste avant de
parler d'Agamemnon, au moment où, dit Homère, « tous
se taisaient dans l'ombre de la salle et, tenus sous le
charme, gardaient le silence », pour rappeler l'essentiel:
Mon départ est entre vos mains, et celles des dieux.
Ce jour du retour, Ulysse ne le verra jamais: c'est de
nuit, en dormant, qu'il arrivera à Ithaque, et les pilotes
phéaciens le déposeront sur la grève, où il se réveillera le
lendemain matin, entouré de ses bagages, sans même
reconnaître sa terre natale. Une fois dissimulés les cadeaux
des Phéaciens, Ulysse déguisé en mendiant par Athéna et le
navire qui le transportait changé en rocher avec tous ses
hommes par Poséidon, aucune trace ne subsiste plus de ce
VOOt'LtJ.OV fltJ.ae, qui reste donc inaccessible, magnifique
symbole: nul ne peut saisir l'instant fugitif où le futur
devient passé.
Si bien que l'incantation du VOOt'LtJ.OV fltJ.ae se poursuit
même après le retour effectif d'Ulysse à Ithaque. Les signes
annonciateurs se multiplient, les prophéties aussi: la der-
nière, la vision de Théoclymène, annonce le massacre des
prétendants quelques instants avant qu'il ne commence. Le
retour d'Ulysse ressemble à la toile de Pénélope: il n'est
jamais achevé quand on croit qu'il va l'être. Dans le poème,
d'ailleurs, l'achèvement de la toile de Pénélope coïncide
134

Fin et commencement
Pénélope à son grand métier, conversant avec Antinoos, l'un de ses
jeunes prétendants (coll. part.).
avec l'arrivée du mendiant et rend possible, par l'épreuve
de l'arc, l'élimination des prétendants et le retour définitif
d'Ulysse. Cela prouve bien qu'il y a plus qu'une analogie
entre cette toile et ce retour: l'une est l'image de l'autre. La
toile de Pénélope n'est jamais achevée, et le retour d'Ulysse
n'est jamais complètement réalisé. En rejetant perpétuelle-
ment son point de référence dans un avenir, fût-il proche,
l'œuvre est tendue vers le futur.
Mais elle est aussi tendue vers le passé. Voici dix ans que
Troie a été prise et saccagée, mais les survivants, Nestor,
Ménélas, Ulysse lui-même, et les fantômes, Tirésias, Aga-
memnon, Achille, déterminent par leurs conseils les actions
des vivants. C'est l'exemple d'Agamemnon, massacré par
Clytemnestre et Égisthe à son retour à Argos, qui incite
Ulysse à la prudence envers tous, même Pénélope. C'est le
devin mort, Tirésias, qui prédit à Ulysse qu'il tuera les
135

Le calcul, l'imprévu
prétendants. Et n'oublions pas les chants des aèdes qui, à
plusieurs reprises, à Ithaque ou chez Alcinoos, relatent les
exploits des héros de la guerre de Troie, brossant ainsi une
toile de fond devant laquelle se déroulent les événements et
faisant de leurs acteurs les héritiers d'une tradition.
De cette permanence du passé, et de son influence,
Pénélope est le symbole le plus marquant. Elle est devenue
l'image de la fidélité, le signe que le passé n'est pas mort, ni
réduit à d'impuissants souvenirs, mais qu'il peut encore agir
aujourd'hui. C'est possible grâce à l'arc d'Ulysse, autre
vestige du passé, oublié au fond d'un grenier, qui devient
l'instrument de la vengeance, le moyen qui permet enfin le
retour d'Ulysse, la clef qui ouvre le VOO,,[LtJ.OV 'YItJ.aQ. Il fallait
d'abord qu'en partant pour Troie voici vingt ans, Ulysse
laisse son arc, geste prémonitoire, puisque nul autre que lui
ne sait s'en servir. Il fallait ensuite que Pénélope ait l'idée
du concours de l'arc pour mettre cette arme redoutable
entre les mains d'Ulysse, devant des prétendants méfiants
et sans scrupules.
Le passé et le futur se reflètent: l'un est l'image de
l'autre. Entre eux, l'instant présent disparaît, escamoté
comme le VOO,,[LtJ.OV 'YItJ.aQ qui arrive à Ulysse pendant son
sommeil. Dès le début de l'Odyssée, Athéna prédit à
Télémaque le retour d'Ulysse et la mort des préten-
dants :
Tel qu'alors je le vis, qu'il rentre, cet Ulysse, parler aux préten-
dants ! Tous auront la vie courte et des noces amères.
C'est dans l'univers de la nécessité que se situe l'Odyssée.
Les cartes sont abattues au début de la partie, le déroule-
ment de l'épopée montrera l'inéluctable réalisation de ce
qui est annoncé de toutes parts, et confirmé par tant
d'illustres exemples. Les différentes parties de l'œuvre
renvoient l'une à l'autre et au tout. L'auteur lui-même,
136

Fin et commencement
Homère, a son pendant dans l' Odyssée: ce sont ces illustres
aèdes, Phémion, Démodocos, qui captivent l'assistance et
font pleurer les héros.
Dans cet univers, le passé et l'avenir sont confondus dans
un éternel présent. Ils sont d'ailleurs inséparables: Téléma-
que part à Pylos et à Sparte chercher des nouvelles du
retour de son père, et il y rencontre Nestor et Ménélas qui
lui relatent leurs souvenirs de la guerre de Troie. Mieux,
l'extrême passé rejoint l'extrême futur. C'est Tirésias, le
devin thébain, mort dans des temps mythologiques, bien
avant la guerre de Troie, qui annonce à Ulysse quelle sera
son expiation après le massacre des prétendants et lui prédit
une mort douce au terme d'une heureuse vieillesse, mort E;
aÀ.oç, «venant de la mer» ou «loin de la mer», les
exégètes sont partagés. Le personnage de Tirésias et la
mort d'Ulysse sortent tous deux du cadre de l'Odyssée mais
se rejoignent dans une éternité indistincte.
Il en est tout autrement dans [' lliade, qui est une épopée
du présent, un présent qui n'est pas commandé par le passé
et qui décide du futur en toute liberté.
Déesse, chante-nous la colère d'Achille, de ce fils de Pélée, colère
détestable qui valut aux Argiens d'innombrables malheurs et jeta
dans l'Hadès tant d'âmes de héros, livrant leurs corps en proie aux
oiseaux et aux chiens.
Ce sont les premiers vers de [' lliade, et ils décrivent bien
le poème. C'est l'histoire d'une colère, instant bref et fugitif
par excellence: l'action ne durera que quelques jours. Les
héros vivent dans l'instant, Achille ne pense qu'à sa colère
jusqu'à la mort de Patrocle, puis à venger celui-ci quand
Hector l'aura tué. Il n'y a pas de poids du passé sur les
personnages, pas de souvenirs ni de revenants. Il n'y a pas
non plus d'objectif à atteindre pour les héros.
Certes, cela fait neuf ans que l'on se bat autour de Troie
137

Le calcul, l'imprévu
pour les beaux yeux d'Hélène, et il serait temps pour les
Grecs de prendre la ville. Mais ces considérations ne pèsent
pas d'un grand poids aux yeux d'Achille. Les diverses
ambassades que lui enverra Agamemnon, invoquant le
péril imminent où se trouve l'armée grecque, et l'amende
honorable que celui-ci lui propose ne feront pas fléchir la
volonté d'Achille, tout à sa colère. D'un autre côté, après la
mort de Patrocle, une fois prise la décision de tuer Hector,
Achille sait qu'il mourra, et qu'il n'aura donc aucune part à
la prise de Troie. L'Iliade est un instant isolé, chargé de sa
propre signification, qui ne doit rien au passé ni à l'avenir.
Ainsi en témoigne son dernier vers, coupure abrupte, porte
refermée :
Ils honorent ainsi la dépouille d'Hector aux chevaux bien
domptés.
L'intrigue de [' lliade est simple, bâtie sur deux décisions
individuelles d'Achille. La première est de se retirer sous sa
tente après l'insulte qui lui a été faite. Il aurait pu tuer
Agamemnon; l'intervention d'Athéna, qui le retient par sa
chevelure, l'en dissuade, aussi se borne-t-il à une flopée
d'injures d'anthologie. Dans cette maîtrise de soi, il rentre
une part d'influences extérieures et de bons conseils. Mais
la deuxième décision, la plus cruciale, appartient à Achille
seul : il décide de venger Patrocle en tuant Hector, bien que
cette mort doive entraîner la sienne à brève échéance. Il
pourrait épargner Hector, quitte à tirer vengeance des
autres Troyens, et rentrer dans son royaume pour une vie
longue et prospère: c'est ce que sa mère le supplie de faire.
De son chef, il décide de passer par la voie étroite.
Rien ne laissait prévoir cette décision. Elle n'est pas
annoncée à l'avance: elle est prise par Achille, qui y
persistera jusqu'au dernier moment, où il tiendra Hector
sous sa pique et où Zeus, mettant leurs âmes dans une
138

Fin et commencement
Priam, suivi de porteurs de présents, se rend chez Achille pour lui
remettre la rançon du cadavre d'Hector (colI. part.).
balance d'or, voit le plateau d'Hector plonger vers l'Ha-
dès.
Rien non plus ne laisse prévoir la troisième et dernière
décision d'Achille: rendre à Priam le corps de son fils.
Cette décision est totalement inattendue, venant d'un
homme encore accablé par la mort de Patrocle, alors qu'il
avait égorgé douze prisonniers troyens sur son bûcher et
traîné trois jours durant le corps d'Hector par les pieds
autour des remparts de Troie. Elle crée une situation
fondamentalement nouvelle par rapport à l'histoire passée
et au milieu ambiant.
Et voilà illustrée cette autre conception du temps. Le
présent n'est réductible ni au passé ni à l'avenir, et chaque
instant crée un fait nouveau. L'Achille de l'Iliade, qui vit
dans l'instant présent, s'oppose à l'Ulysse de l'Odyssée, qui
consulte le passé et calcule l'avenir. Si cette comparaison
n'est pas trop osée, c'est celle que je voudrais adopter pour
caractériser les conceptions du temps qui se dégagent de
l'indéterminisme moderne et du déterminisme classique.
D'une part, un perpétuel devenir, où le présent construit
139

Le calcul, l'imprévu
l'avenir de manière imprévisible; d'autre part, un éternel
présent, où l'écoulement du temps n'est qu'une apparence,
déroulant un programme enregistré à l'avance, comme la
bande d'un piano mécanique.
Entre ces deux conceptions, nous avons celle de Thom:
reconnaître quelques formes types, dont le flot du temps
pourra nous apporter d'autres exemplaires. Elle aussi a son
pendant en littérature. C'est Proust qui, renonçant à retenir
le temps perdu, en sauve néanmoins quelques épisodes qui,
chaque fois qu'ils entreront en résonance avec l'instant qu'il
vit, lui procureront une ineffable jouissance et la victoire
finale sur la mort. « L'être qui était rené en moi quand, avec
un tel frémissement de bonheur, j'avais entendu le bruit
commun à la fois à la cuiller qui touche l'assiette et au
marteau qui frappe sur la roue, à l'inégalité pour les pas
des pavés de la cour Guermantes et du baptistère de
Saint-Marc, cet être-là ne se nourrit que de la substance
des choses, en elle seulement il trouve sa subsistance, ses
délices. Il languit dans l'observation du présent où les sens
ne peuvent la lui apporter, dans la considération d'un passé
que l'intelligence lui dessèche, dans l'attente d'un avenir
que la volonté construit avec des fragments du présent et du
passé auxquels elle retire encore de leur réalité en ne
conservant d'eux que ce qui convient à la fin utilitaire,
étroitement humaine, qu'elle leur assigne. Mais qu'un
bruit, qu'une odeur, déjà entendue ou respirée jadis, le
soient de nouveau, à la fois dans le présent et dans le passé,
réels sans être actuels, idéaux sans être abstraits, aussitôt
l'essence permanente et habituellement cachée des choses
se trouve libérée, et notre vrai moi, qui, parfois depuis
longtemps, semblait mort, mais ne J'était pas entièrement,
s'éveille, s'anime en recevant la céleste nourriture qui lui
est apportée. Une minute affranchie de l'ordre du temps a
recréé pour nous, pour la sentir, l'homme affranchi de
140

Fin et commencement
l'ordre du temps. Et celui-là, on comprend qu'il soit
confiant dans sa joie, même si le simple goût d'une
madeleine ne semble pas contenir logiquement les raisons
de cette joie, on comprend que le mot de " mort" n'ait pas
de sens pour lui; situé hors du temps, que pourrait-il
craindre de 1 ' avenir ? »
C'est une entreprise parallèle que tente la théorie des
catastrophes, sur le terrain de la création scientifique, et
non plus de la psychologie individuelle. Engranger dans
l'inconscient collectif des formes où l'on pourra reconnaître
des résultats classiques comme des situations nouvelles,
établissant ainsi entre des phénomènes apparemment très
éloignés dans le champ de l'expérience des relations impré-
vues et d'autant plus exaltantes: voilà ce que propose
Thom. L'entreprise est peut-être folle, et les sept catastro-
phes élémentaires forment sans doute un répertoire beau-
coup trop limité. Mais elle mérite d'être tentée, et édifie un
point de vue original sur le temps, à mi-chemin entre la
géométrie souveraine et statique de Kepler et Newton, et
l'informe et mouvant chaos de Poincaré. Du naufrage de la
géométrie surnagent quelques épaves.
Il resterait beaucoup à dire sur le temps. La théorie de
l'évolution, par exemple, nous met sous les yeux des
systèmes dynamiques dont on n'a pas d'exemple en physi-
que. Ils ne sont pas déterministes. Ils le seraient si le stade
suivant de l'évolution d'une espèce était entièrement déter-
miné par l'état où elle se trouve. Or, il n'en est pas ainsi: à
chaque génération, l'espèce explore tout le champ des
possibilités qui s'offrent à elle, lançant dans le champ clos
de la lutte pour la vie des individus dotés d'un patrimoine
génétique différent, et s'en remettant à l'environnement
pour sélectionner les meilleures solutions. Le résultat est en
général si parfait, si bien adapté à cet environnement que la
tentation est grande d'y voir une finalité: l'œil est merveil-
141

Le calcul, l'imprévu
leusement fait pour voir, et le but de l'évolution qui a fait
passer d'une photosensibilité rudimentaire à un organe
aussi perfectionné était donc de construire un œil. Les
spécialistes repoussent cette interprétation trop entachée
d'anthropomorphisme: à leurs yeux, l'évolution a des
règles, issues d'un jeu complexe entre les gènes et l'envi-
ronnement par l'intermédiaire de l'individu, qui donnent
bien plus de renseignements qu'un prétendu finalisme. Ils
se font l'écho de Newton, et de Lagrange: « Nous n'avons
pas besoin de cette hypothèse. » L'œil est un fruit, non un
but, de l'évolution, et celle-ci en a élaboré plusieurs
modèles.
S. Jay Gould, entre autres, ne se lasse pas d'illustrer ce
point et de dénoncer la tentation finaliste. Le grand cerf
fossile irlandais possède des bois qui font plus de deux
mètres d'envergure et dont le maniement devait poser de
sérieux problèmes. Est-ce vraiment le but de l'évolution
que de produire de pareils appendices, dont l'utilité est au
moins contestable, puisque la femelle en est dépourvue?
La réponse de Gould est double. D'une part, la dimension
des bois est un caractère génétique indissolublement lié à
d'autres, comme la taille de l'animal. Ils ne peuvent varier
qu'ensemble, si bien qu'une évolution globalement favo-
rable à une meilleure adaptation de l'espèce à son milieu
peu t se traduire, sur certains plans particuliers, par une
inadaptation apparente. D'autre part, la dimension des bois
est un caractère sexuel secondaire, signalant le mâle à la
concupiscence des femelles et lui permettant d'impression-
ner ses rivaux. Ainsi, le porteur de grands bois aura plus de
chances de se reproduire, et donc de perpétuer ses gènes.
La logique propre de l'évolution encourage donc le déve-
loppement des bois, sans que l'on puisse dire en quelque
manière que le but de l'évolution soit de produire des
individus dotés des plus grandes cornes possibles.
142

Fin et commencement
Cette évolution se poursuivra dans le même sens jusqu'à
atteindre un point où elle devient franchement nuisible à la
survie de l'espèce, soit que l'environnement ait changé,
transformant un paysage de plaine ouverte en une forêt
dense, soit que toute accentuation des caractères généti-
ques favorisés devienne insupportable, l'animal étant litté-
ralement cloué au sol par le poids de ses bois. L'évolution
doit alors chercher d'autres solutions. Si elle n'en trouve
pas, l'espèce s'éteint. Si elle en trouve, l'évolution repart
dans une autre direction, où elle persistera jusqu'à ce que,
de nouveau, on atteigne un point de non viabilité.
La théorie de la viabilité modélise de tels systèmes. Ils ne
sont ni déterministes, ni finalistes, ni chaotiques; ils sont
darwiniens. A chaque stade de leur évolution, leur état
actuel apparaît comme le terme naturel vers lequel ten-
daient les états antérieurs, sans toutefois être complète-
ment déterminé par eux. Mais cet état d'apparent achève-
ment est fallacieux, car il est inéluctablement dépassé au
stade suivant de l'évolution, qui le fera apparaître comme
un moment dans une marche sans fin ni but, où chaque
étape se suffit à elle-même.
Ainsi, de toutes parts se précipitent les peintres pour
nous brosser un tableau de cet insaisissable modèle, le
Temps. Chacun ne saisit qu'un aspect de sa riche et fuyante
personnalité, mais la vérité n'est-elle pas dans la juxtaposi-
tion et la comparaison de tous ces portraits? Nous savons,
nous aussi, de notre expérience quotidienne, que le Temps
est nécessité mais aussi liberté, qu'à côté de grandes
régularités il laisse la place à l'irruption du véritablement
nouveau. Nous avons appris, depuis Proust, à rejoindre le
passé et le présent dans le vécu d'une expérience commune,
dans un souvenir parfois inconscient dont la forme abstraite
rentre en résonance avec un épisode concret du quotidien.
Cette angoisse du Temps, ce désir de retenir son cours qui
143

Le calcul, l'imprévu
s'écoule inéluctablement vers la mort, la science la mani-
feste aussi, à sa manière.
Au musée du Prado, un petit panneau de Jérôme Bosch
représente une tentation de saint Antoine. Il est baigné
d'une lumière étrange et diffuse mais cristalline, qui ne
laisse pas d'ombre mais crée des reflets. Elle semble
sourdre de l'arrière du tableau, où se profilent à travers les
frondaisons d'anachroniques gratte-ciel. Au premier plan,
cerné par le vert d'une berge et le brun de sa robe de bure,
le vieil ermite est assis au creux d'un tronc d'arbre. Derrière
lui s'étend un paysage miraculeux, fait d'ocres clairs et de
verts tendres. Une barrière s'ouvre sur un chemin qui court
entre les vallons creux et les collines boisées. Une chapelle
rustique se blottit au bord d'un canal, adossée à un rideau
d'arbres.
Une séparation presque matérielle est marquée par trois
arbres, dont les troncs lisses et verticaux barrent ce
domaine merveilleux et enferment saint Antoine sur sa
berge. Mais lui, adossé à son arbre, courbé vers l'avant, le
menton et les mains reposant sur le pommeau de son bâton,
ne voit rien de tout cela. Son regard est posé sur le fleuve
qui coule à l'avant-plan, et où flottent d'étranges êtres,
mi-vivants, mi-mécaniques, dont certains ont grimpé sur la
berge et le menacent. Leurs semblables, armés d'échelles et
de grappins, ont débarqué à l'abri d'un coude du fleuve et
montent à l'assaut du monde lumineux de l'arrière-plan.
Nous aussi, nous sommes condamnés à tourner le dos au
monde dont nous faisons partie et dont la connaissance
objective et directe nous sera toujours refusée, comme
saint Antoine ne peut se relever et se retourner pour
contempler sa maison et le paysage qui l'entoure, et comme
les prisonniers de Platon sont enchaînés au fond de leur
caverne. En échange, notre regard se porte sur le Temps,
qui coule extérieur à nous, ou plutôt sur ce bref morceau de
144

Fin et commencement


t


, ,


".


\


.,,' ,


Jérôme Bosch. lu Tentation de saint Antoine (Prado, Madrid).


145




Le calcul, l'imprévu
son cours, entre un coude supérieur à demi caché par la
berge et un coude inférieur qui s'efface dans le coin du
tableau, que nous appelons le présent. Notre savoir y
suscite d'étranges créatures, qui se retournent contre nous,
et dont notre imagination peuple une réalité qui lui
échappe.
Mais l'homme est perdu dans sa contemplation. Il a
abordé aux rives de l'éternité. Ses assaillants eux-mêmes,
attaquant en ordre dispersé, semblent manquer de convic-
tion. Il ne voit pas la tour pattue qui s'approche en
brandissant un maillet. Il ne voit pas les créatures étranges
qui contournent son arbre. La flèche braquée à l'avant-plan
ne l'atteindra pas, ni la griffe du démon tendue vers lui.
Partout, le ciel est bleu.

ANNEXES

ANNEXE 1
Prélude et fugue sur un thème de Poincaré
Voici le thème que nous allons développer :
u
Figure 1. La courbe stable S et la courbe instable U se croisant en un point
fixe O.
Cette figure est apparue à Poincaré lors des études que nous avons
décrites au chapitre II. Nous avons vu qu'il ramenait un système
dynamique dans l'espace à une transformation du plan. Plus précisé-
149

Le calcul, l'imprévu
ment, en coupant une trajectoire périodique de référence par un plan, il
pouvait remplacer les trajectoires voisines de celle-ci par la suite
doublement infinie (vers le passé et vers l'avenir) de leurs intersections
avec le plan transversal.
Ici, il nous suffit de savoir que la figure 1 représente une transforma-
tion du plan: à un point Mo (instant 0), elle associe un point Ml (instant
1), puis un point M 2 (instant 2), et ainsi de suite. Si l'on désire remonter
le cours du temps, on obtient un point t, puis un point 2, et ainsi
de suite.
Le point 0 est particulier (il provient de l'intersection du plan choisi
avec la trajectoire de référence, qui est périodique) : c'est un point fixe
de la transformation, qui l'envoie indéfiniment sur lui-même. Aux
instants 1, 2... comme aux instants -1, -2... on le retrouve dans sa
position initiale.
Les deux branches de courbes U et S qui se croisent en 0 rassemblent
elles aussi des points particuliers. La courbe S rassemble tous les points
dont les itérés positifs tendent vers 0 : si on choisit sur S un point Ao, on
s'apercevra que les points At, A 2 ... se retrouvent tous sur la courbe S et
se rapprochent indéfiniment de O. De même, si l'on prend sur S un
autre point Ab. En revanche, si l'on a le malheur de partir d'un point qui
n'est pas sur S, en fût-il extrêmement voisin, comme le point Mo de la
figure 1, on s'apercevra que les itérés successifs Mt, M 2 ... restent voisins
de S et se rapprochent de 0 pendant un certain temps, mais qu'un
moment arrive toujours où ils commencent à s'en écarter, et qu'une fois
entamée la chute vers l'extérieur se précipite.
Quant à la courbe U, elle rassemble les points dont les itérés négatifs
tendent vers O. Ce sont en quelque sorte les points qui émanent de 0
dans la nuit des temps. Leurs itérés positifs se retrouvent sur la même
courbe U, de plus en plus loin de 0, dont ils s'écartent très rapide-
ment.
Le thème est posé, commençons donc à jouer: il s'agit de compléter
la figure, de développer le thème proposé. La première chose à faire est
de prolonger S et U. Cela peut se faire de plusieurs manières, dont
certaines ne manquent pas d'intérêt.
150

Annexe 1
Figure 2. La transformation présente deux points fixes qui se raccordent: la
courbe stable de l'un devient la courbe instable de l'autre.
Figure 3. Les branches stable et instable issues de a se raccordent pour
former une seule et même courbe.
151

Le calcul, l'imprévu
s
Figure 4. Les courbes stable S et instable U s'éloignent à l'infini sans se
couper.
Les deux premières sont visiblement assez particulières, faisant
miraculeusement de la courbe S d'un point fixe la courbe V d'un autre
(ou du même). La troisième requiert qu'un point puisse partir à l'infini
le long de la courbe V (ou arriver de l'infini le long de la courbe S). Or,
dans nombre de systèmes physiques ou mécaniques, le point est confiné
dans une région finie de l'espace, par des considérations d'énergie, et
une telle évolution est donc impossible.
Un cas plus général, et beaucoup plus intéressant, est celui qu'a choisi
Poincaré: les courbes S et V issues du point 0 se coupent transversale-
ment. Le point obtenu, H, est appelé par Poincaré point homoc/ine. Il
nous est revenu ces dernières années sous le nom de point homoclini-
que, après une double traduction, du français en anglais, et de l'anglais
en franglais.
Cette figure innocente va exploser sous nos yeux en un jaillissement
de volutes contournées.
Le point H appartient à la courbe S. Ses itérés positifs HI, Hz, tendent
vers 0 sur S (figure 5).
La courbe V passe par H. Donc le transformé VI de la courbe V passe
par HI. Si l'on prend sur U I un point M voisin de HI, il est le transformé
d'un point P voisin de H sur V (figure 6) :
wL l  p
152

Annexe 1
Hl
H-l
Figure 5. Les courbes stable et instable issues du point fixe 0 se coupent en
un point H, appelé point homocline. Il n'est pas lui-même un point fixe: on
a représenté ses premiers itérés positifs et négatifs.
Les points M.- l et P sont donc les transformés d'un même point de V,
ce qui donne M.- 2 = P -1. En prenant les transformés successifs, on
obtient M.-3 = P -z, puis  = P -3 et ainsi de suite. Mais comme P
appartient à V, les itérés négatifs P -1, P -z... tendent vers O. et il en sera
donc de même des itérés négatifs M.- 1 , z... de M. Or, il n'y a dans le
plan que fort peu de points dont les itérés négatifs tendent vers 0 : ce
sont exactement les points V. Cela montre que M appartient à V, et
donc que VI n'est qu'une branche de V.
On arrive ainsi à la conclusion remarquable que par HI, Hz..., il passe
des arcs VI, V 2 ... de la courbe V. Comme les points HI, Hz... eux-mêmes
appartiennent à S, ce sont des points homoclines. De même, bien
entendu, pour ILl, I1- z ...
Nous étions partis avec un seul point homocline, et nous nous
retrouvons maintenant avec une double infinité de tels points. Mais là ne
s'arrête pas notre développement, car il va falloir maintenant connecter
153

Le calcul, l'imprévu
Ul
M
H,
Pl
5-1
Figure 6. Par chacun des itérés positifs HI, H 2 ... de H, situés sur la courbe
stable S, il passe un arc de la courbe instable U.
tous les arcs VI, V 2 ... avec la courbe V (et tous les arcs S-l, S_...
passant par lL.I, lL. 2 ... avec la courbe S). On fera attention qu'il y a sur
chacun de ces arcs un sens de parcours à respecter : on va de H à P, donc
de Hl à Pl = M, puis de H 2 à P 2 , et ainsi de suite.
Procédons tout simplement, comme sur la figure 7 :
Cette figure est évidemment fausse. Si nous prenons sur V un point P
très voisin de H, ses transformés positifs Pl, P 2 ... appartiennent tous à U.
Par ailleurs, comme P est très voisin d'un point de S, à savoir H, sans
toutefois appartenir à S, nous connaissons le comportement des itérés
successifs Pt, P 2 ... : ils vont rester près de S et se rapprocher de 0, et,
une fois parvenus au voisinage de ce point, ils vont changer de rail et
repartir le long de V (voir la figure). Il existera donc un itéré P n de P qui
se retrouvera de l'autre côté de S par rapport à tous les itérés P, Pl'"
jusqu'à P n-1.
154

Annexe 1
,
Figure 7. Premier essai de raccord, en tenant compte du fait qu'aux points
HI, H 2 ... la courbe U doit traverser la courbe S du bas vers le haut.
Figure 8. Deuxième essai de raccord, en passant par les itérés successifs du
point P.
155

Le calcul, l'imprévu
Mais Pn fait partie d'un arc Hn Hn+1 dont les extrémités Hn et Hn+l sont
situées sur S, au voisinage de 0, et qui doit donc s'étirer démesurément
pour passer par Pn. Il devra donc franchir la frontière S en deux points M
et 0 voisins de P. Bien entendu, l'arc suivant Hn+l Hn+2 sera encore plus
étiré le long de S, le suivant Hn+2 Hn+3 plus encore, et déjà la complexité
de la situation commence à défier les possibilités d'une représentation
graphique.
Mais ce n'est pas tout! C'est que les points M et 0 sont de nouveaux
points homoc1ines, qui ne font pas partie de la série... iL. 2 , ILl, 0, Hl,
Hz...
En développant les mêmes arguments que précédemment, nous
voyons que les itérés positifs (Mt, 01), (M z , Oz)... et négatifs (M- 1 ,
0-1)' (M- z , O-z)... sont également des points homoc1ines. Cela signifie
que non seulement l'arc HnHn+t, mais ses itérés positifs et négatifs,
c'est-à-dire en fait toute la série d'arcs... ILzILt, ILIH, HHt, HIH2'"
doivent venir couper la courbe U en deux points. S'il est assez clair que
les arcs qui succèdent à HnHn+ 1 sur S couperont la courbe U en des points
qui seront de plus en plus voisins de H, imposer que les arcs qui
précèdent Hn H n + 1 eux aussi coupent la courbe U exige que celle-ci
« aille les chercher» : il faut que la branche de la courbe U qui succède à
l'arc OH se replie subtilement pour couper Hn-1 Hn, Hn-2 Hn-I'"
jusqu'à Hl H.
Bien entendu, on peut échanger les rôles de S et de U, et obtenir ainsi
une nouvelle et double série de points homoclines. On obtient ainsi une
figure véritablement « tissée» ou « tricotée», où les deux courbes S et U
s'entrelacent en un réseau de plus en plus serré, et qui défie bien
entendu notre imagination. Si l'on se dit que cette figure n'est qu'un pâle
reflet de la complication des mouvements de la mécanique céleste, on
comprendra mieux les difficultés auxquelles se heurtent les mathémati-
ciens depuis deux cents ans.

Annexe 1
Figure 9. Troisième et dernier essai de raccord. La figure est inachevée, les
plis de la courbe U doivent s'accumuler indéfiniment le long de la courbe S,
et les plis de la courbe S doivent s'accumuler indéfiniment le long de la
courbe U. On voit apparaître une multitude de nouveaux points homocli-
nes.

ANNEXE 2
La bifurcation de Feigenbaum
Les divers concepts qui ont été présentés au cours de ce livre -
trajectoires périodiques, chaos, équilibres - peuvent également être
mis en évidence par des chiffres. Pour cela, il est nécessaire de disposer
d'un calculateur de poche, programmable de préférence.
Ces dernières années, on s'est aperçu qu'un modèle particulièrement
simple recelait beaucoup de la complexité des systèmes dynamiques. Il
s'agit de la transformation de l'intervalle [-1,1] dans lui-même, qui au
point x associe le point 1-1J.X2. Cette transformation dépend, bien
entendu, du choix du paramètre , qui sera fixé entre 0 et 2.
Une fois choisi , on peut itérer la transformation. C'est-à-dire que
l'on choisit un point initial "0, dont le transformé est Xl = 1-, dont le
transformé est X 2 = 1-JA.xi, dont le transformé est X 3 = 1-1J.X, et ainsi
de suite, suivant la formule de récurrence:
xn+l = 1 - IJ.X
Voyons ce que cela donne.
A. Valeurs de  comprises entre 0 et 0,75
Prenons  = 0,5 pour fixer les idées. Le lecteur est invité à refaire les
calculs avec une valeur de  de son choix entre 0 et 0,75.
Voici une première série de valeurs, obtenue en partant de
Xo=O:
159

Le calcul, l'imprévu
Xo = 0
Xl = 1
X z = 0,5
X 3 = 0,875
X 4 = 0,6171875
X 5 = 0,809539795
X 6 = 0,67232266
X 7 = 0,77399112
Xs = 0,700468872
X 9 = 0,754671679
X IO = 0,715235328
X ll = 0,744219212
x 12 = 0,723068881
X 13 = 0,738585696
X 14 = 0,727245584
X 15 = 0,735556929
et ainsi de suite, on trouve
X zo = 0,731312469
X Z5 = 0,732205977
X 30 = 0,732018182
Les itérés convergent vers un point limite
x = 0,732050807
On peut partir d'un autre point initial. Prenons par exemple Yo
- 0,5 et voyons ce que cela donne:
Yo = - 0,5
YI = 0,875
Yz = 0,6171875
Y3 = 0,809539795
Y4 = 0,67232266
Y5 = 0,77399112
Y 10 = 0,723068881
Y 15 = 0,733930922
Y20 = 0,731655187
Y25 = 0,732133965
Y30 = 0,732033324
Les itérés convergent vers un point limite :
y = 0,732050807
160

Annexe 2
C'est le même que le précédent. On s'aperçoit ainsi que l'on a affaire
à un système dissipatif, au sens du chapitre III : quel que soit le point de
départ "0, l'évolution naturelle du système l'amène inéluctablement au
repos sur le point 0,732050807.
Le point 0,732050807 est donc un équilibre stable du système, pour la
valeur  = 0,5 du paramètre. On peut montrer que, pour toutes les
valeurs du paramètre JA. comprises entre 0 et 0,75, le système possède un
équilibre stable unique, dont la position exacte dépend continûment
de .
On peut même donner une formule explicite reliant x à . Il suffit
d'écrire que x est un point fixe de la transformation:
x = 1 - JA.X 2
ce qui nous donne une équation du second degré:
Jri2 + x - 1 = 0
dont x est la seule racine comprise entre -1 et 1 :
x =  (-1 + yi 4JA. + 1 )
2JA.
Pour  = 0,5, cette formule donne bien:
x = -1 + V3 = 0,732050808
B. Valeurs de  comprises entre 0,75 et 1,25
Prenons  = 1 pour fixer les idées. Le lecteur est de nouveau invité à
choisir une autre valeur de  dns cet intervalle et à faire ses propres
calculs.
Voici une première série de valeurs, obtenue en partant de
"0=0:
Xo=o
Xl = 1
X 2 = 0
X 3 = 1
161

Le calcul, l'imprévu
On s'aperçoit vite que les valeurs prises sont alternativement 0 et 1.
En termes de systèmes dynamiques, on a affaire à une trajectoire
périodique de période 2.
Mais peut-être ne l'a-t-on découverte que par hasard, parce que le
point initial Xo = 0 se trouvait être juste dessus. Pour voir cela.
initialisons à une autre valeur, 0,5 par exemple:
Yo = 0,5
YI = 0,75
Y2 = 0,4375
Y3 = 0,80859375
Y4 = 0,346176147
Y5 = 0,880162075
Y6 = 0,225314721
Y7 = 0,949233276
Ys = 0,098956187
Y9 = 0,990207673
YI0 = 0,019488764
Yll = 0,999620188
Y12 = 0,0007594796
Y13 = 0,999999423
Y14 = 0,0000011536
Y 15 = 1
Y16 = 0
et on est donc retombé très rapidement sur la trajectoire 2-périodi-
que.
Il est curieux de remarquer que la formule
x = .l (- 1 + V 4 J.t + 1 ) reste toujours valable et donne un point fixe
2
de la transformation, ici,
x = 1- (-1 + YS) = 0,618033988
2
Notre calculateur nous confirme effectivement que ce point est un
équilibre: en rentrant Xo = 0,618033988, on sort indéfiniment cette
même valeur.
Mais c'est un équilibre instable! Pour voir cela, écartons-nous de lui
d'aussi peu que possible: changeons la dernière décimale, et partons de
162

Annexe 2
Yo = 0,618033989. Observons comment l'écart se creuse et la chute se
précipite :
Yo = 0,618033989
YI = 0,618033988
Y2 = 0,618033989
Y3 = 0,618033988
Y4 = 0,618033989
Ys = 0,618033988
Y6 = 0,618033989
Y7 = 0,618033987
YB = 0,61803399
Y9 = 0,618033987
YlO = 0,61803399
Yll = 0,618033986
Y12 = 0,618033991
Yl3 = 0,618033985
Y14 = 0,618033993
YI5 = 0,618033983
YI6 = 0,618033995
YI7 = 0,61803398
Y18 = 0,618033999
Y19 = 0,619033975
Y20 = 0,618034005
Y21 = 0,618033968
Y22 = 0,619034014
Y21 = 0,618033957
Remarquons que les termes impairs sont plus petits que x et
diminuent, et que les termes pairs sont plus grands que x et augmentent.
Les uns tendent vers 0, les autres vers 1 :
Y <)q = 0,065162952
YlOO = 0,995753789
Les alternances entre 0,618033989 et 0,618033988 que présentent les
six premiers termes de la suite sont dues au fait que le calculateur
n'affiche qu'une partie des décimales qu'il connaît. Ainsi le 0,618033988
affiché pour YI n'est que la partie émergée d'un iceberg, et c'est la partie
immergée qui prend de l'importance et finit par déstabiliser le système.
163

Le calcul, l'imprévu
On voit combien ces questions de stabilité peuvent avoir d'importance
dans les calculs numériques.
C. Valeurs de  comprises entre 1,25 et 1,368
Prenons  = 1,3 par exemple. Nous laissons au lecteur le plaisir de
découvrir une trajectoire de période 4, vers laquelle tendent toutes les
autres trajectoires. Elle passe (dans l'ordre) par les points:
- 0,01494637
0,999709587
- 0,29924503
0,88358813
Le point x = 0,573069199 est un équilibre instable.
Il existe aussi une trajectoire 2-périodique, passant par les points:
1- (1 + y' 4  - 3 ) = 0,955092191
2
1- (1 - y' 4 J.t - 3 ) = - 0,18586142
2J.t
Elle est instable, comme on le vérifiera aisément.
C'est le moment de récapituler: nous avons franchi deux catastro-
phes. Nous sommes bien dans la situation générale décrite au cha-
pitre III, à savoir un système dynamique dépendant d'un paramètre J.t.
Tant que le paramètre  reste dans l'intervalle [0, 0,75], le comporte-
ment qualitatif du système ne change pas: il présente un équilibre
stable, variant continûment avec , vers lequel convergent toutes les
trajectoires. Tant que le paramètre J.t reste dans l'intervalle [0,75, 1,25],
le comportement qualitatif du système ne change pas : il présente une
trajectoire stable de période 2, vers laquelle toutes les autres trajectoires
convergent. Mais le franchissement de la valeur J.t = 0,75 change le
comportement qualitatif du système, en ce sens que l'équilibre stable est
détruit (ou plutôt, il subsiste sous forme d'équilibre instable, donc sans
intérêt pour la dynamique) au profit d'une trajectoire 2-périodique.
164

Annexe 2
Ainsi,  = 0,75 est une valeur catastrophique, au sens général du
chapitre III (et non au sens restreint de la théorie des catastrophes
élémentaires, puisque le système cesse d'être dissipatif).
De même,  = 1,25 est une valeur catastrophique, puisque la
trajectoire 2-périodique perd sa stabilité au profit d'une trajectoire
4-périodique.
D. Valeurs de  comprises entre 1,368 et 1,401
On observe des doublements de période successifs. Plus précisément,
il existe une suite infinie de valeurs catastrophiques n tendant vers 1,401
en croissant:
1,368 =  <3 <... <n <n+l <... < 1,401
et telles que, si  est comprise entre n et n+ l' le système possède une
trajectoire stable de période 2 n + 1 vers laquelle convergent toutes les
autres. Ainsi, le franchissement de ces valeurs catastrophiques dans le
sens des  croissants correspond à un doublement de la période.
On a, avec une excellente approximation:
1,401 - n = Constante x (4,6692...)-n
ou, si l'on préfère :
1,401 - n = 4,6692...
1,401 - n+l
Le nombre 4,6692... est la constante de Feigenbaum, qui est
maintenant connue avec une excellente précision, et qui est apparue
dans bien d'autres circonstances. Elle semble avoir une signification
physique profonde, relative à des phénomènes de bifurcation en
cascade.
165

Le calcul, l'imprévu
E. Valeurs de tJ. comprises entre 1,401 et 2
Cette région est très mal connue. C'est une région inexplorée où l'on
cherche un fil conducteur. Deux choses sont certaines :
a) Pour la plupart des valeurs de  prises dans cette région, le système
a un comportement chaotique. Toutes les trajectoires périodiques que
l'on peut trouver sont instables, et le système erre au hasard d'un bout
de l'intervalle [-1,1] à l'autre. Le lecteur est invité à choisir une valeur
de  à sa guise, ainsi qu'un point initial, et à former les itérés successifs.
Il y a de grandes chances qu'il n'observe qu'une succession désordonnée
de valeurs sans autre loi apparente que celle du hasard.
b) Il existe toutefois, dans ce désert où règne le désordre, de petites
oasis d'ordre et de stabilité. Le lecteur est invité à explorer par lui-même
la région 1,75 <  < 1,7685 (prendre par exemple Il = 1,76). Nous lui
laissons la surprise de ce qu'il y trouvera.
Cette imbrication de l'ordre et du chaos, cette transition progressive
de l'un à l'autre par le phénomène du doublement des périodes, ces
parcelles d'ordre récupérées dans le désordre établi, tout cela ne peut
que nous rappeler les figures 16 et 17 du chapitre II et les analyses de
Poincaré. Tant il semble vrai que l'ordre et le chaos sont inséparables et
toujours présents ensemble, que ce soit en mécanique céleste ou dans
des jeux de nombres.

Indications bibliographiques
Le premier chapitre doit beaucoup à Alexandre Koyré. Ma
connaissance de Kepler et de Newton a été en grande partie acquise
à la lecture des œuvres magistrales que sont la Révolution astrono-
mique (Paris, 1961) et les Etudes newtoniennes (Paris, 1968).
Le chapitre 2 touche à des questions d'actualité, qui sont au centre
des préoccupations de nombreux spécialistes en mathématiques et
en physique. L'ordre, le chaos, la turbulence, l'entropie sont les
mots clés en ce domaine et ont inspiré de nombreuses tentatives de
vulgarisation. Celles de Poincaré (la Science et l'Hypothèse, Science
et Méthode, la Valeur de la Science) restent toujours d'actualité. Il
faut citer aussi l'ouvrage d'Ilya Prigogine et Isabelle Stengers, la
Nouvelle Alliance (Gallimard, 1979).
Sur la théorie des catastrophes, l'ouvrage de base est celui de
Thom, Stabilité structurelle et Morphogenèse, complété par celui de
Poston et Stewart, Catastrophe Theory. Aucun des deux n'est
véritablement accessible au non-spécialiste, mais nombre d'articles
de vulgarisation ont paru à l'époque, en particulier celui de Zeeman
dans Scientific American et celui de l'auteur dans la Recherche. dont
certains échos se retrouvent dans le chapitre 3. Tout récemment
enfin est paru un nouveau livre de Thom (Paraboles et Catastrophes,
Flammarion, 1984), entretiens sur les mathématiques, la science et
la philosophie.
Est-il besoin de dire que le chapitre 4 ne reflète que les opinions
personnelles de J'auteur? C'est le beau livre de Robert Delevoy
(Rosh, chez Skira) qui m'a fait découvrir la tentation de saint
Antoine.
Enfin, ce livre procède d'une curiosité intellectuelle qui a été
stimulée, à des époques et dans des circonstances différentes, par
Jean-Pierre Aubin, Jean-Marc Lévy-Leblond et René Thom. Qu'ils
en soient ici amicalement remerciés.

Table


Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1. La musique des sphères ..........................
2. Le cristal brisé ......................................
3. Le retour de la géométrie .......................
4. Fin et commencement ............................
Annexe 1. Prélude et fugue sur un thème de
P . ,
Oln care ..............................................


Annexe 2. La bifurcation de Feigenbaum ...
Indications bibliographiques ....................


9
13
41
95
131


149
159
167