Text
                    УДК 517(076.1)
ББК 22.161я73
3-15
Коллектив авторов:
Г. С. Бараненков, Б. IL Демидович, Б. А. Ефименко, С. М* Коган, Г. С. Лунц, Е. Ф. Поршнева, Е. П. Сычева, С. В. Фролов, Р. Я. Шостак, А. Р. Янпольский
Задачи и упражнения по математическому анализу для 3-15 втузов: Учеб, пособие для студентов высш, техн, учеб, заведений / Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б* П. Демидовича. — Мл ООО «Издательство Астрель &: ООО «Издательство ACT*, 2004 — 495, [1] с.: ил.
ISBN 5-17'002965-9 (ООО «Издательство ACT*)
ISBN 5-271-01118'6 (ООО «Издательство Астрель»)
Данный сборник содержит свыше 3000 задач и охватывает все разделы втузовского курса высшей математики. В сборнике приводятся основные теоретические сведения, определения и формулы к каждому разделу курса, а также решения особо важных типовых задач.
Задачник предназначен для студентов втузов, а также для лиц, занимающихся самообразованием.
УДК 517(076.1)
ББК 22.161я73
Подписано в печать с готовых диапозитивов 08.12.2003. Формат OOXOtP/is- Бумага офсетная. Печать офсетная. У ел. печ. л. 31,0. Тираж 8000 экз. Заказ 15.
ISBN 5-17-002965-9 (ООО «Издательство ACT*)
ISBN 5-271-01118 6 (ООО «Издательство Астрель*)
© ООО «Издательство Астрель *, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................6
Глава!. Введение в анализ....................................7
§ 1,	Понятие функции.........................................7
§2.	Графики элементарных функций...........................12
§ 3,	Пределы................................................17
§ 4.	Бесконечно малые и бесконечно большие..................28
§5.	Непрерывность функций..................................31
Глава IL Дифференцирование функций..........................37
§ 1,	Непосредственное вычисление производных................37
§ 2.	Табличное дифференцирование............................41
§ 3,	Производные функций, не являющихся явно заданными......51
§ 4.	Геометрические и механические приложения производной...54
§ 5.	Производные высших порядков............................60
§ 6,	Дифференциалы первого и высших порядков................65
§ 7.	Теоремы о среднем......................................69
§ 8.	Формула Тейлора........................................71
§ 9.	Правило Лопиталя—Бернулли раскрытия неопределенностей..72
Глава III. Экстремумы функции и геометрические приложения производной..................................77
§ 1,	Экстремумы функции одного аргумента....................77
§ 2.	Направление вогнутости. Точки перегиба.................85
§ 3.	Асимптоты..............................................87
§ 4.	Построение графиков функций по характерным точкам......89
§ 5.	Дифференциал дуги. Кривизна........................... 94
Глава IV. Неопределенный интеграл..........................100
§ 1.	Непосредственное интегрирование.......................100
§ 2.	Метод подстановки.....................................107
§ 3,	Интегрирование по частям......................*.......110
§4.	Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен...112
§ 5,	Интегрирование рациональных функций...................116
§6.	Интегрирование некоторых иррациональных функций.......121
§ 7.	Интегрирование тригонометрических функций.............124
§ 8.	Интегрирование гиперболических функций................129
§9* Применение тригонометрических и гиперболических подстановок для нахождения интегралов вида Jhx + bx + c)dx t
где R — рациональная функция.............................130
§ Ю. Интегрирование различных трансцендентных функций........131
§11. Применение формул приведения............................132
§ 12, Интегрирование разных функций..........................132
4
Глава V. Определенный интеграл.............................135
§ 1, Определенный интеграл как предел суммы................135
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных..........................................137
§ 3,	Несобственные интегралы...............................140
§ 4.	Замена переменной в определенном интеграле............144
§ 5,	Интегрирование по частям..............................146
§ 6.	Теорема о среднем значении............................147
§ 7.	Площади плоских фигур.................................149
§ 8.	Длина дуги кривой.....................................154
§ 9,	Объемы тел............................................157
§10	.	Площадь поверхности вращения........................161
§11	.	Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена...........163
§12	. Приложения определенных интегралов к решению физических задач.......................................................168
Глава VI. Функции нескольких переменных....................174
§ 1,	Основные понятия......................................174
§ 2.	Непрерывность.........................................178
§ 3.	Частные производные...................................179
§ 4.	Полный дифференциал функции...........................182
§ 5.	Дифференцирование сложных функций.....................185
§ 6,	Производная в данном направлении и градиент	функции...189
§ 7.	Производные и дифференциалы высших порядков...........192
§ 8.	Интегрирование полных дифференциалов..................198
§9.	Дифференцирование неявных функций.....................200
§ 10.	Замена переменных....................................207
§11.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности........213
§12.	Формула Тейлора для функции нескольких переменных.....217
§13.	Экстремум функции нескольких переменных..............219
§ 14.	Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций.....................................................225
§15.	Особые точки плоских кривых..........................227
§ 16.	Огибающая............................................229
§17, Длина дуги пространственной кривой....................231
§18, Вектор-функции скалярного аргумента...................231
§ 19.	Естественный трехгранник пространственной кривой.....235
§ 20.	Кривизна и кручение пространственной кривой........  239
Глава VII. Кратные и криволинейные интегралы...............242
§ 1.	Двойной интеграл в прямоугольных координатах..........242
§ 2.	Замена переменных в двойном интеграле.................248
§ 3.	Вычисление площадей фигур.............................251
§ 4.	Вычисление объемов тел................................253
§ 5.	Вычисление площадей поверхностей......................255
§ 6.	Приложения двойного интеграла к механике..............256
§ 7,	Тройные интегралы.....................................258
§ 8.	Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобственные кратные интегралы.............................264
§9.	Криволинейные интегралы...............................268
§10.	Поверхностные интегралы..............................279
5
§ 11.	Формула Остро градского—Гаусса......................282
§ 12.	Элементы теории поля................................283
Глава VIII. Ряды..........................................288
§ 1.	Числовые ряды........................................288
§2.	Функциональные ряды..................................300
§ 3, Ряд Тейлора..........................................307
§4* Ряды Фурье............................................315
Глава IX. Дифференциальные уравнения......................319
§ 1, Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений семейств кривых. Начальные условия....................319
§2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка...............322
§ 3,	Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории.....................324
§4, Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка....327
§ 5.	Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли........................................329
§ 6.	Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.................................................332
§ 7.	Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной..................................334
§ 8.	Уравнения Лагранжа и Клеро...........................337
§9, Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка.....339
§ 10.	Дифференциальные уравнения высших порядков..........343
§11.	Линейные дифференциальные уравнения.................347
§ 12.	Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами..............................349
§13, Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше 2-го......................355
§ 14.	Уравнения Эйлера....................................356
§ 15.	Системы дифференциальных уравнений..................358
§ 16.	Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. ...............................          360
§17.	Задачи на метод Фурье...............................362
Глава X. Приближенные вычисления..........................366
§ 1.	Действия с приближенными числами.....................366
§ 2.	Интерполирование функций.............................371
§ 3.	Вычисление действительных корней уравнений...........375
§ 4.	Численное интегрирование функций.....................382
§ 5, Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.............................................385
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье..........394
Ответы, решения, указания.................................396
Приложения................................................484
I- Греческий алфавит....................................484
П. Некоторые постоянные..................................484
III.	Обратные величины, степени, корни, логарифмы.........485
IV.	Тригонометрические функции ..........................487
V.	Показательные, гиперболические и тригонометрические функции488
VI.	Некоторые кривые.....................................489
ПРЕДИСЛОВИЕ
В сборнике подобраны задачи и примеры по математическому анализу применительно к программе общего курса высшей математики высших технических учебных заведений. Сборник содержит свыше 3000 задач, систематически расположенных в главах (I—X), и охватывает все разделы втузовского курса высшей математики (за исключением аналитической геометрии). Особое внимание обращено на важнейшие разделы курса, требующие прочных навыков (нахождение пределов, техника дифференцирования, построение графиков функций, техника интегрированйя, приложения определенных интегралов, ряды, решение дифференциальных уравнений). Включены, кроме того, задачи на теорию поля, метод Фурье и приближенные вычисления. Приведенное количество задач, как показывает практика преподавания, не только с избытком удовлетворяет потребности студентов по практическому закреплению соответствующих разделов курса, но и дает возможность преподавателю разнообразить выбор задач в пределах данного раздела и подбирать задачи для итоговых заданий и контрольных работ.
В начале каждой главы дается краткое теоретическое введение и приводятся основные определения и формулы, относящиеся к соответствующему разделу курса. Здесь же показаны образцы решений особо важных типовых задач. Это обстоятельство в значительной мере облегчит студенту пользование задачником в самостоятельной работе. На все вычислительные задачи даны ответы; в задачах, отмеченных звездочкой (*) или двумя звездочками (**), в ответах приведены соответственно краткие указания к решениям или решения. Для наглядности часть задач иллюстрируется чертежами.
Сборник сложился в результате многолетнего преподавания авторами высшей математики в высших технических учебных заведениях г. Москвы. В нем кроме оригинальных задач и примеров помещены общеизвестные задачи.
Глава I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Понятие функции
1°, Действительные числа. Числа рациональные и иррациональные носят название действительных или вещественных чисел. Под абсолютной величиной действительного числа а понимается неотрицательное число |а|, определяемое условиями* |а] - а, если а > 0, и |а| = -а, если а < 0. Для любых вещественных чисел а и Ъ справедливо неравенство
|а + bj С |а| 4- |Ь|,
2а. Определение функции. Если каждому значению } переменной величины х, принадлежащему некоторой совокупности (множеству) Е, соответствует одно и только одно конечное значение величины р, то у называется функцией (однозначной) от х или зависимой переменной, определенной на множестве Е; х называется аргументом или независимой переменной. То обстоятельство, что у есть функция от х, кратко выражают записью: у = /(х) или у = F{x) и т.п.
Если каждому значению х, принадлежащему некоторому множеству Е, соответствует одно или несколько значений переменной величины уь то у называется многозначной функцией от х, определенной на множестве Е. В дальнейшем под словом «функция* мы будем понимать только однозначные функции, если явно не оговорено противное,
3°, Область существования функции. Совокупность значений х, для которых данная функция определена, называется областью существования или областью определения этой функции.
В простейших случаях область существования функции представляет собой: или отрезок (сегмент) [а; д], т. е. множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а С х < или промежуток (интервал) (а, 6), т. е, множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь. Но возможна и более сложная структура области существования функции (см., например, задачу 21),
Пример 1. Определить область существования функции
1 у=ТГт-
л/Х - 1
Решение. Функция определена, если
*)
В дальнейшем все рассматриваемые значения величин будут предполагаться вещественными, если явно не оговорено противное.
8
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
т* е* если |х| > 1. Таким образом, область существования функции представляет собой совокупность двух интервалов: —со < х < — 1 и 1 <х <
4°. Обратные функции. Если уравнение у = f(x) может быть однозначно разрешено относительно переменного х, т. е. существует функция х = такая, что у s f[g(y)], то функция х = g[y), или в стандартных обозначениях у = g(x), называется обратной по отношению к у = f(x). Очевидно, что £[Дх)] = х, т. е. функции f(x) и g(x) являются взаимно обратными.
В общем случае уравнение у = f(x) определяет многозначную обратную функцию х = f 1(у) такую, что у = f(f 1(у)) для всех у, являющихся значениями функции /(х).
Пример 2. Для функции
У = 1 - 2~х	(1)
определить обратную*
Решение. Решив уравнение (1) относительно х, будем иметь
2-^1-уих = ^(1-У)*>.	(2)
*	1g 2
Область определения функции (2), очевидно, следующая: -со < у < 1,
5°* Сложные и неявные функции. Функция у от х, заданная цепью равенств у = /(и)* где и = <р(х) и т. п., называется сложной или функцией от функции.
Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно завйси-3	3
мой переменной, называется неявной* Например, уравнение х + у = 1 определяет у как неявную функцию от х.
6°. Графическое изображение функции. Множество точек (х, у) плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением у = Дх), называется графиком данной функции.
Доказать, что если а и b — действительные числа, то
2* Доказать следующие равенства: а) |ай| = |а|  |&|;
в) ? =
б) |а|2 = а2;
3.	Решить неравенства:
(& * 0);
= |а|.
б)	|х + 1| > 2; г) |х - 1| < |х + lj.
4.	Найти Д-1), ДО), Д1), Д2), ДЗ), Д4), если Дх) = х3- 6хг+ Их- 6.
5.	Найти ДО), , Д-х),	, если Дх) = J1 + х2 *
х. 4;	<х> Дх)
f )
lg х = log j 0 x, как всегда, обозначает десятичный логарифм числа х.
§ 1. Понятие функции
9
6.	Пусть f(x) arccos (1g х). Найти > Л1)» ЛЮ)*
7.	Функция Дх) — линейная. Найти эту функцию, если f(-1) = 2 и f{2) - -3,
8,	Найти целую рациональную функцию ftx) второй степени, если /(0) = 1, /(1) - 0 и 7(3) - 5,
9.	Известно, что /(4) = -2, /(5) = 6, Найти приближенное значение 7(4, 3), считая функцию 7(х) на участке 4 < х < 5 линейной (линейная интерполяция функции).
10,	Функцию
0, если х < 0, = J ’
/v 7 х, если х > О,
записать при помощи одной формулы, пользуясь знаком абсолютной величины.
Определить области существования функций:
11. а) у = л/1 + х ; б) у = Ш + х .	i7. У = !g	
12. у = 4-х	2 18. у = 1g х ~3J + g. А*	А
13. а) у = Jx2 - 2 ; б) у = xjx2 - 2 .	19. у = arccos	. у	1 + X
14**. у = 72 + х-х2.	20. arcsin ^lg .
15. у = *J-x + -	. J2 + X	21, у = л/з1п2х .
16. у = fjx — х3 .
22.	Пусть 7(х) = 2х4 - Зх3 - 5ха + 6х - 10. Найти ф(х) = i [/(х) + ft-x)] И у(х) = | [/(х) - Я-х)].
23,	Функция f(x), определенная в симметричной области -I < х < Z, называется четной, если f(~x) = f(x), и нечетной, если f(^x) = -f(x).
Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие нечетными:
а)	/(х) = 1 (ах + ах);	г) f(x) = 1g ;
J- •V
б)	f(x) = Jl + x + x2 - J1-X + X2 ; д) /(х) = 1g (х + Jl+ x2 ).
в)	f(x) = 37(х+ I)2 + 37(х -1р ;
10
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
24*. Доказать, что всякую функцию f(x), определенную в интервале -I < х < I, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.
25,	Доказать, что произведение двух четных функций или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.
26* Функция f(x) называется периодической, если существует положительное число Т {период функции} такое, что f(x + Г) f{x) для всех значений х, принадлежащих области существования функции f(x).
Определить, какие из перечисленных ниже функций являются периодическими, и для периодических функций найти наименьший их период Т:
s)	= Ю sin Зх;	г) f{x) = sin2 х;
б)	f{x) = asin Хх + dcos Ъ;; д) f(x) = sin (Jx).
в)	/(х) = 7tg X ;
27* Выразить длину отрезка у = MN и площадь S фигуры AMN как функции от х = AM (рис* 1)* Построить графики этих функций.
Рис. 1.
д,А.с,А..£|,А,в
Ч---->+* ,-ло, ък   
"х“
Рис, 2.
28* Линейная плотность (т, е* масса единицы длины) стержня АВ = I (рис. 2) на участках АС = lv CD “ /g и DB = (lr + l2 + Z3 I) равна соответственно (?13 q2, g3* Выразить массу m переменного отрезка AM = x этого стержня как функцию от х. Построить график этой функции*
29.	Найти Ф[чЧ*)] и у[(р(х)], если (р(х) - х2 и \|/(х) = 2х*
30.	Найти f{f [ftx)]}, если fix) = —— .
31* Найти f(x + 1), если f(x - 1) = х2*
32* Пусть f(n) есть сумма п членов арифметической прогрессии* Показать, что
Яп+3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) - 0.
33. Показать, что если
f{x) = kx 4- b
и числа хр х2, х3 образуют арифметическую прогрессию, то числа Дх^, f{x2), f(x3) также образуют арифметическую прогрессию.
§ 1. Понятие функции
11
34. Доказать, что если f(x) есть показательная функцият. е. /(х) = ах (а > 0), и числа хг х2, х3 образуют арифметическую прогрессию, то числа f(x1), f(x2) и Дх3) образуют геометрическую прогрессию-
35* Пусть
4.
Показать, что
/(х) + to) -	.
36.	Пусть ф(х) = Ча* + а *) и у(х) = i(a* - а~х). Показать, что
<р(х + у) = (р(х)ф(у) + ф(х)ф(у) и
\|/(Х 4- у) - (р(х)у(у) + (р(у)у(х).
37* Найти /(-1), /(0), /(1), если
arcsin х при -1 < х < 0,
~ arctg х при 0 < х < +°о*
38* Определить корни (нули) области положительности и области отрицательности функции у, если:
а)	у = 1 + х;	г) у = х3 - Зх;
б)	у = 2 + х - х2;	Д) У = 1g •
1 т X
в)г/=1-х + х;
39.	Для функции у найти обратную, если:
а)	у = 2х + 3;	г) у = 1g 5 ;
б)	у = X2 - 1;	д) у = arctg Зх.
в)	у = 371 - X®;
В каких областях будут определены эти обратные функции?
40.	Для функции
х, если х < 0, у х , если х > 0, найти обратную.
41.	Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое звено которой содержит простейшую элементарную функцию (степенную, показательную, тригонометрическую и т, il):
а)	у = (2х - 5)10;	B)y = lgtg£;
(	2 )
_ -	"COS X	х __	 I о—I
б)	у = 2	;	г) у — arcsin 1-3 J -
12
Глава L ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
42.	Сложные функции, заданные цепью равенств, записать в виде одного равенства: .	2
а)	у = и , и = sm х;
б)	у = arctg iz, u Vi;, и 1g х;
в) У = 
2и, если и < 0,	2
л	п и = х
и, если и > U;
43.	Записать в явном виде функции yt заданные уравнениями: а) х3 - arccos у = л; б) 10х 4- 10у = 10; в) х 4- |г/| = 2у.
Найти области определения данных неявных функций.
§ 2. Графики элементарных функций
Построение графиков функций у = f(x) в основном производится путем па-метки достаточно густой сетки точек Af.(xp у.), где = /(х.) (; = 0, 1, 2, и соединения последних некоторой линией, характер которой учитывает по
ложение промежуточных точек.
Построение графиков облегчает знакомство с графиками основных элементарных функций (см, приложение VI). Исходя из графика
У = Г(х),	(Г)
с помощью простых геометрических построений получаем графики функций: 1)	=
= -f(x) — зеркальное отображение графика Г относительно оси ОУ; 2) у2 = f(-x) — зеркальное отображение графика Г относительно оси ОУ; З)у3 = f(x - а) — график Г, смещенный
вдоль оси ОХ на величину а; 4)	= b 4- /(х) — график Г, смещенный вдоль
оси OY на величину Ъ (рис. 3).
Пример. Построить график функции
- ( Л у = Sill X - -
Решение. Искомая линия есть синусоида у = sin х, сдвинутая вдоль оси ОХ вправо на величину - (рис, 4).
4
Рис. 4.
§ 2, Графики элементарных функций
13
Построить графики линейных функций [прямые линии):
44,	у = kx, если k = 0, lt 2, |, -1, -2,
45,	у = х + &, если Ь = 0, 1, 2, -1, -2,
46,	у == 1,5 х + 2,
Построить графики целых рациональных функций 2-й степени (параболы):
2	1
47,	у — ах , если а =* 1, 2, - , -1, -2, О,
2
48,	у = х + с, если с = 0, 1, 2Г -1*
49,	у = (х - х$)2, если xQ = 0, 1, 2, -1,
50,	у = уц + (х - I)2, если yQ = О, 1, 2, -1,
2
51*. у ах + Ьх + с, если:
	1) а = 1, b = -2, с = 3; 2) а - 2t b = 6, с = 0,
52, у = 2 + х - х2. Найти точки пересечения этой параболы с осью ОХ.
Построить графики целых рациональных функций степени выше второй:
53* у = х3 (кубическая парабола). 56,	х4*
54, у = 2 -F (х - I)3,	57, у == 2х3 - х4,
55, у = х3 - Зх + 2,
Построить графики дробно-л инейных функций (гиперболы):
58<У=1.	61*. у = у0 + —? , если х0 = 1, у0 = -1, т = 6. X — х0
Л' бо^-:;2-	62*. у = 2х~3 . *v	Зх + 2
Построить графики дробных рациональных функций:
63, у = х + i. У	X	67*. у = 10 - (локон Аньези). хг + 1
2 64, у = -Л- ,	о „ 68, у = 	 (серпантин Ньютона). X +1
65*. у = .1. А X 66. У = А. X	69. у = х + А. X 70, у — х2 + - (трезубец Ньютона).
14
Глава L ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Построить графики иррациональных функций: 71*. у = Jx.
73*. у = ь/x (парабола Нейля).
74, у = ±х Jx (полукубическал парабола).
75*. у = ±р 7^5 - х2 (эллипс).
5
76. у = ±*}х
77‘у“тгЬ
- 1 (гипербола).
—— (циссоида Диоклеса).
тк “ X
79. у = +х^25-хг.
Построить графики тригонометрических функций:
80** у = sin х*	83*.
81*. у = cos х.	84** у
82*. у = tg х.	85*.
86. у = A sin хт если А = 1, 10,
78*.
У - -2 2’
87** у = sin пх, если п = 1, 2, Зт * 88, у = sin (х - ф), если ф = 0, 5	,
89*. у = 5 sin (2х - 3).
90** у = a sin х + b cos х, если а = 6, b = -8. 91. у = sin х + cos х.
92*. у = cos2 х*
= ctg X.
=* sec x.
= cosec x.
-tt 71 n,--
93*. у = х + sin х.
96* у = 1 - 2cos х.
97* у = sin х — — sin Зх.
*	3
98. и = cos х + - cos 2х* v	2
99*. у «= cos -.
94*. у = х sin х.
95. у = tg2 х.
Построить графики показательных и логарифмических функций:
101. у = ах. если а = 2, , е (е == 2,718...) \ £
102** у = loga х,если а =* 10, 2, , е*
100. у = ±7sinx.
3О числе е подробнее см* с. 19.
У
§ 2. Графики элементарных функций
15
103*. У = sh х, где sh х = i (е* - е *).
104*. у = ch х, где ch х = | (еЛ + е *).
105*. у = th xt где th х =	.
он х
1
106.	10х.
107*. у = е-г (кривая вероятностей).
1
108. у =	2	113.1/ =	1g-. X
109.у =	1	2 1g X .	114. у =	1g (-Х).
110. у =	I 2 1g X.	115. у =	log2 (1 + x).
111. У =	1g (1g *)	116.у =	1g (cos x).
112.у =	1	117.у =	2 х sin x.
	1g X ‘		
Построить графики обратных тригонометрических функций:
118*. у =	arcsin х.	122.	у = arcsin i.
119*. у =	arccos x.	123.	и - arccos i. X
120*. у = 121*. у =	arctg x. arctg x.	124.	у = x + arcctg x.
Построить графики функций:
125.	у = |х[.
126.	у = 1(х + И). £
127,	а) у = х|х[; б) у = log^ |х| .
128.	а) у = sin х + |sin х|; б) у = sin х - |sin х|.
3-х2 при |х| < 1;
129.	у = 2	  п
г-г	при х -> 0.
1|х|
130.	а) у = |х|> б) у = х - |х|, где |х[ — целая часть числа х, т. е.
наибольшее целое число, меньшее или равное х.
Построить графики функций в полярной системе координат (г, (р)
(г > 0):
131,	г = 1 (окружность).
132* г= Т 2
(спираль Архимеда).
16
Глава L ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
133*. г = еф {логарифмическая спираль).
134*, г = - {гиперболическая спираль).	|
135,	г	“	2 cos ср {окружность).	|
136.	г	= {прямая линия).	f
sintp	4
137.	г	=	sec2 5 (парабола).	1
Zj	ж
138*, г = 10 sin 3<р {трехлепестковая роза).	1
139*. г = а(1 + cos (р) (а > 0) {кардиоида).	|
140*. г2 a2 cos 2(р (а > 0) (лемниската).	1
Построить графики функций, заданных параметрическим способом: £ 141*. х = р {полукубическая парабола).	I
142*. х = 10 cos f, у = sin t (эллипс).	|
143*. х = 10 cos t, у =* 10 sin t (астроида).	|
144*. х = a(cos f + t sin f), у == a(sin t - t cos t) (развертка круга). |
г	I
145*4 х = -а , у = —— (декартов лист).	’
1 + Г	1 + t3	|
146.	х =	, у = (полуокружность).	|
Ji+t2	7i+t2	|
147.	х =	2f + 2 , у = 2 - 2 * (ветвь гиперболы).
148.	х =	2 cos t, у = 2 sin21 (отрезок прямой линии).	|
ч .~	,	.2	,2	.3	I
149.	х =	t - t > у - t - t .
150.	х =	а{2 cos t - cos 21), у = a(2 sin t - sin 2t) (кардиоида).	|
Построить графики функций, заданных неявно:
151*. х2 + у2 = 25 (окружность). 155. у2 = х2(100 - х2). 2	2	2
156*4 х3 + i/3 = а (астроида).
157*4 х + у = 10 1g у.
158.	х2 — cos у.
159*4 Jxz + yz = е х (логарифмическая спираль). ь з 3
160** х + у — 3xi/ = 0 (декартов лист).
161,	Составить формулу перехода от шкалы Цельсия (°C) к шкале Фаренгейта (°F), если известно, что 0° С соответствует 32 °F и 100 °C соответствуют 212 °F.
Построить график полученной функции.
152. ху — 12 (гипербола). 153*. у2 = 2х (парабола).
154. Z
100
2
У_
64
— 1 (эллипс).
.Arctg £
§ 3. Пределы
17
162* В треугольник, основание которого b = 10 и высота h = б, вписан прямоугольник (рис* 5)*
Выразить площадь этого прямоугольника у как функцию от основания его х*
Построить график этой функции и найти наибольшее ее значение*
163-	В треугольнике АСВ сторона ВС = а, сторона АС = Ь и переменный угол ЛАСВ = х (рис* 6).
Выразить у = пл* Л АВС как функцию от х* Построить график этой функции и найти наибольшее ее значение.
Рис. 5*
164.	Решить графически уравнения:
а)	2х2 - 5х + 2 = 0;	г) 10 * = х;
б)	х3 + х - 1 = 0;	д) х = 1 + 0,5 sin х;
в)	1g х = 0,1х;	е) ctg х = х (0 < х < л).
165* Решить графически системы уравнений:
а) ху = 10, х + у =	7;	г) х2 + у = 10, х + у2 =	6;
б)ху = 6, х3 + у2 =	13;	д)y = smx,i/ = cosx(0<x<27t).
в) х2 - х + у = 4, у2 - 2х = 0;
§ 3* Пределы
1°* Предел последовательности* Число а называется пределом последовательности х., х01	хп, *.*:
Li	rt
lim ха = а, Л —* UC
если для любого Е > 0 существует число TV = 7V(e) такое, что
|xrt - а| < £ при п > N.
Пример 1. Показать, что
V 2П + 1 Q	Л Ч
lim ----- =2.	(1)
/] -» ио П + 1
18
Глава I* ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Решение. Составим разность
2 n + 1 _ 2 = - 1 п+1	п + 1 '
Оценивая эту разность по абсолютной величине, будем иметь 2n + l _ 1 п + 1	п+1
(2)
если
п > 1 - 1 = Me). £
Таким образом, для каждого положительного числа е найдется число
N = - - 1 такое, что при п > N будет иметь место неравенство (2). Следо-Е
вате л ьн о, число 2 является пределом последовательности xn = (2n + l)/(n + 1), т. е. справедлива формула (1).
2+ Предел функции. Говорят, что функция fix) —> А при х —> а (Ала — числа), или
lim f(x) = At х —• а
если для любого е > О существует 5 = 5(e) > 0 такое, что |/(х) — А| < е при 0 < [х - а| < 5.
Аналогично, lim f(x) - А, х -> СО
если \f(x) - А| < е при |х| > N(e).
Употребляется также условная запись lim f(x) = °о, х — а
которая обозначает, что |/(х)| > Е при 0 < |х - а| < 5(E), где Е — произвольное положительное число.
3°. Односторонние пределы. Если х < а и х —> а, то условно пишут х —> а - 0; аналогично, если х > а и х —> а, то это записывается так: х —> а + 0, Числа
f(a - 0) = lim f(x) и f(a + 0) = lim f(x) x — a ’ О	x —с + 0
называются соответственно пределом слева функции f(x) в точке а и пределом справа функции f(x) в точке а (если эти числа существуют).
Для существования предела функции f(x) при х -+ а необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство
/(а - 0) = f(a + 0).
Если существуют lim Д(х) и lim Л(х), то имеют место следующие тео-
х -► а	х - * а
ремы:
1)	lim [^(х) + Л(х)] = lim Д(х) + lim f2(x); х > а	х ' и	х а
2)	lim Щх) • Л(х)] = lim Л(х)  lim /г(х); х —> а	х —- а	х —" а
3)	lim [/j(x)//(дг)] = lim / (x)/lim /2(х) (lim f2(x) * 0). r — а	x^-u	X — а	x д
§ 3. Пределы
19
Частое применение находят следующие пределы:
х 1
lim (1 + -^ = lim (1 4 «)" = е = 2,71828.,. . х > оа V XJ	а -* О
Пример 2, Найти пределы справа и слева функции
f(x) = arctg -х
при х —> 0.
Решение. Имеем:
Д+0) = lim (arctg х - -о к	х) 2
и
Д-0) = lim farctg	.
x--OK xJ 2
Предела же функции /(x) при x —> 0 в этом случае, очевидно, не существует.
166. Доказать, что при п оо предел последовательности ill 1
’4’9’ ’’ п2 ’ равен нулю* Для каких значений п будет выполнено неравенство
(е — произвольное положительное число)?
Произвести численный расчет, если: а) е = 0,1; б) е = 0,01; в) е — 0,001.
167* Доказать, что предел последовательности
х = -2!_ (П = 1, 2, *.*) п n+1 v
при п —> ос равен 1. При каких значениях п > N будет выполнено неравенство
К - 1| < Е
(е — произвольное положительное число)?
Найти N, если: а) е = 0,1; б) £ = 0,01; в) е = 0,001*
168.	Доказать, что
hm х -4,
х- 2
Как подобрать для заданного положительного числа е какое-нибудь положительное число 5, чтобы из неравенства
\х - 2| < 8
20
Глава L ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
следовало неравенство
|ха - 4| < Е?
Вычислить 6, если: а) е = 0,1; б) е = 0,01; в) е = 0,001.
169.	Выяснить точный смысл условных записей:
a) lim lg х =-оо; б) lim 2х = в) lim f(x) = х +0	г — +0	х -- оо
170.	Найти пределы последовательностей:
рл 2 4 6	2п
J 1 ’ 3 ’ 5 ’	2п-1 ’
в)	72 ;	, ...;
г)	0,2; 0,23; 0,233; 0,2333; ... .
Найти пределы:
г- 12	3	п-1
171.	lim —+ - +	+ ——
п п	п
172,	lim + 1)(к + 2)(п + 3) . п со	и 3
173* lim
И. —> оо
1 + 3+ 5 + 7 + *,. + (2п-1) 2 п -t-1 л+ 1	2~^_
174. lim
П -* оо
176. lim
л -*00
П + (~1Г
fl 1 1	1)
” + — + — + ... + -
^2 4 8	2"J
175. lim
п оо
2n + 1 + 3rt + 1 2Л + Зп
178. lim 12 + 22tg2.t - +2L,
Л - ОФ
179. lim (Jn + 1 - д/й ). п со
180. lim л —* О?
nsinnl п2 + 1
При отыскании предела отношения двух целых многочленов относительно х при х оо оба члена отношения полезно предварительно разделить на хл, где п — наивысшая степень этих многочленов.
Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.
§ 3* Пределы
21
Пример 1.
]hn (2х - 3)(3х + 5)(4х - 6)
г ' ” Зх3 + х - 1
При	мер	2. lim 			
		^~3Л3 + 1о
181.	lim. X — <»	(х+1)\ х2 + 1
182.	lim	IQOOx 2	1	’ X - 1
183.	lim х -* ™	х -5x4-1 Зх + 7
184.	lim -Г — W	2х2-х + 3 х3 -8x4-5
185. lim (2x + 3)3(3x-2)\ xJ+5
= lim ----1-- = 1,
L 10
з 1 +
\ х
186.	lim 2x2 ~ Зх—
Л4+1
187.	lim 2x4^3 _
х-°° x + 3Jx
2
188.	lim — 10+х7#
3 /т 2 , 1
189.	lim	.
д- —• со X 4“ 1
190. lim
X -> +DC
Если Р(х) и Q(x) — целые многочлены и Р(а) 0 или <?(а) * 0, то предел рациональной дроби
г ^(х)
Inn -2—
х - д Q(x) находится непосредственно.
Если же Р(а) = Q(a) = 0, то дробь —-—- рекомендуется сократить один
Q(x)
или несколько раз на бином х - а.
Пример 3. 2 л lim --f....-.4 = 2 х - Зх + 2			Um (x-2)(x + 2) = x- 2 (x - 2)(x - 1) 195. lim x - 1	lim	= 4. X — 2 X - 1 x3 - 3X4- 2 x -4x4-3
191.	lim jc — -1	x3 + 1 X2 -F 1		
192.	lim x — 5	Xй- 5x+ 10 x2 - 25	196. lim x ’ a	x2 “ (a + l)x 4- a 3	3 x -a
193.	lim x — л	x2 - 1 x2 + 3x + 2	197. lim h о	(x 4- /1) - X h
194.	lim x ' 2	x2 - 2x x2 “ 4x + 4	198. lim X -+ 1	V CO ’ CO । 1 К i—l j
22
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной*
Пример 4* Найти
	lim Vl + x-1
Решение. Полагая
1	।	6
1 + X = у ,
имеем	1.	71 + х-1 г а3-1 г у2 + у + ^ з lim 		 = hm Ц	 = lim 2	Ц— = - * + y+1 2
199.	lim r/l’1 .	201. lim	. x - 1 X - 1	x -> 1	_ 1
200.	lim	8.	202. lim ^-2^+1. jc-^64 ^Jx — 4	x-*l	(x —1)
Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.
Пример 5*
lim x —► a	= lim — x — a	x a (x		x - a	= - a)(7x + 7a)	lim — a 7	- -L (a > 0). x + 7a	27«
203.	lim x —7	2~Jx-3 xZ ~49	210.	lim 5 x - 3	/x2 - 2x + 6 - 7x2 4- 2x -6 2	4	D x "4x4-3
204.	lim x-8	x-8 Vx-2	211.	lim X +°°	(Jx + a - Jx ).
205.	lim x -1	7x- 1 Vx- 1	212.	lim x -> 4-cu	[7x{x + a) - x].
206.	lim x-4	3-75 + x 1 - 75 - x	213.	lim x -> + co	(JxZ -5x4-6 - x).
207.	lim	71 + x- 71 -X	2E.	214.	lim x *4-00	x(Jx2 +1 - x).
208.	lim h -> 0	Jx + h - Jx h	215.	lim 1 X ~+ co	[x + Vl ” )
209.	lim ft-0	Ух + h - Vx h			
При вычислении пределов во многих случаях используется формула
smx
Пт
§ 3* Пределы
23
и предполагается известным, что lim sinx = sin а и lim cosx = cos а. т —1 а	х * а
Пример		„ v sin5x v fsin5x c 6. lim 	 = hm ’	 5 x — 0 X	* — о l x	J		i = 1	5 = 5.	
216.	а) Нт	; б) lini	. х -* 2 X	х — оо X		229.	lim x- 0	ctg 2x ctg	- xl \X	J
217.	lim г >0	sin3x X	230.	lim X — It	1'sln2 Л - X	
218.	lim х-0	sin5x 2x '	231.	lim Л •TJ3	1 - 2 cosx я- 3x	
219.	lim х- 1	sinnx sinSrcx	232.	lim x - 0	C0SJ71X - cosnx 2 X	
220.	lim п •* со	f  n sin - . \	nJ	233.	lim x - 0	tg x - sin x 3 X	
221.	lim х - 0	1 - cosx 2 X	234.	lim x -0	arcsin x X	
222.	lim х а	sinx - sina x-a	235.	lim x ‘ 0	arctg 2x sin3x	
223.	lim г а	cosx “ cosa x-a	236.	lim X - 1	1~X2 sinrcx	
224.	lim х—“-2	tg ЛХ X 4- 2	237.	lim x - 0	x - sin2x x + sin3x *	
225.	lim й-0	sin(x + A) - sinx h	238.	lim x- 1	ЛХ cos — 1 - Jx	
226.	lim п 4	sinx - cosx 1 - tg X	239.	lim x -0	1 - JCOS X 2 X	
227.	a) lim x sin 1; 6) lim x sin x — 0	X	x -		1.240. X	lim x-0	Vi + sinx - X	71 sinx
228.	lim x^ 1	(1 - x)tg . a				
При нахождении пределов вида
lim [<p(x)]4'W = C
х — а
(3)
следует иметь в виду, что:
1) если существуют конечные пределы lim <р(х) = А и lim ц/(х) = Я,
X -* а	.г —* а
’ГО С = АД;
24
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
2) если lim <р( х) "А* 1и lim ф(х) = ±оо, то вопрос о нахождении пре-х — а	х —- а
дела (3) решается непосредственно;
3)если lim ф(х) = 1 и lim ф(х) - оо, то полагают ф(х) = 14- ct(x), где х а	х — а
а(х) чО пр их чаи» следовательно»
г	1 ч
(	——; 1	lim а(х}ф(х) Нш [ф(х)-1]цг(х)
С = lim [1 + а(х)]“(1’ 1	= е1	- е"’
г — а I
где е 2,718,,, — неперово число*
Пример 7* Найти
fsin2xV+* lim ------
х — о к х J
Решение* Здесь
lim f= 2 и lim (1 + х) = 1;
х-ок х J	х—••О
следовательно,
lim f^l2xy + I = 21 = 2.
х —0 к X )
Пример 8* Найти
lim
X OG
_	2
х+1 V 2х + 1J
Решение. Имеем
lim
х-» оо
X + 1
2х + 1
lim -£
* '4-1
X
2
lim х = 4-оо*
Поэтому
lim
х — го
ч 2 х + 1 V 2X4-1J
= О,
Пример 9. Найти
и
х -* СО
1
2
Решение. Имеем
Нш ^4 = lim —~т = 1-
X -* 00 х +*1 X — оо 1
14-
X
§ 3. Пределы
25
Произведя указанное выше преобразование, получим
В данном случае, не прибегая к общему приему, можно найти предел проще:
Вообще, полезно помнить, что lim 1 + -	“ е .
Найти следующие односторонние пределы:
241.	lim f—V-
х —о V3— х)
242.	iim pLz!Y + 1.
x-i
2x
243.	lim flf*.
X-oo
81ПХ
244.	lim [*2-2x + 31 1
\x2-3x + 2)
247.	lim f 1 + ?V.
X-*DO \ Xj
248.	lim f—Y.
X —' oo \X + 1/
249.	lim fSz2Y+2.
x —* CO k.x + 3/
/	1 > Л
246. lim (1 - - ] .
n —* co V YlJ
250.	lim f 1 + ?Y .
П oo V Fl)
1
251.	lim (1 + sinx)* .
x —* 0
1	1
7	v3
252**. a) lim (cosx) ; 6) lim (cosx) . x—о
При вычислении приведенных ниже пределов полезно знать, что если существует и положителен lim /(х), то х —* а
lim [ln/(x)] = in lim f(x) X —* a	lx —- а
Пример 10. Доказать, что lim 111|1+^ - 1, X — 0 X
(*)
26
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Решение, Имеем
lim 1П<1 + У.) х-* О X
Формула (*) часто используется при решении задач.
253.	lim [In (2х 4-1) - In (х + 2)].
X О0
254.	lim lg(1 + 10A:).
х ' > 0 х
255.	lim fl In .
x->o <x Nl-xJ
256.	lim x[ln (x + 1) - In x].
x + ™
257.	lim ln^cos^ . хг
258*. lim .
x-0 x
259*. lim
x ' 0
5-11 (a > 0). X
260*. lim n(nJa - 1) (a > 0).
261.	lim
x —- 0
262.	lim M-.
X *0 smx
263.	a) lim	; 6) lim ch x~ 1
x-0 x	x>0	X2
(cm. №№ 103 и 104).
x -> OO
X
Найти следующие односторонние пределы:
264. а)	lim Д- ’• * —оо	x . 7x2+1	6)	lim X 4-00	X Jx2 + 1
265. а)	lim х -сс	th x; 1	6)	lim X -> +-oo	th x, где th x == e "e— x e +e
266. а)	lim х- -0	1 1s l-hex	6)	lim x -* +0	1 1 * 1 + e1
267. а)	lim	ln(l +er) ф X	6)	lim X —> 4-co	ln(l + eJ) X
268. а)	lim x — * -0	|sinx| ф X	6)	lim i -*+o	sinx X
269. а)	lim 1 -	X-l .	6)	lim x — 1 + 0	x -1
		0 |x- 1| ’			1 X " 1^'
270. а)	lim x -* 2 -	x . о x-2’	6)	lim x *2 + 0	X i x - 2
Построить графики функций:
271**. у = lim (cos2rt х).	274. у = lim (arctg nx).
л со	Л -> оа
272*. у = lim - х (х > 0).	275. у = lim nJl+Tn (х > 0).
Л-'Ж 1 + .г"
273. у = lim 7х2 + а2. а — °°
§ 3. Пределы
27
276. Превратить в обыкновенную дробь данную смешанную периодическую дробь
а = 0,13555..,.
рассматривая ее как предел соответствующей конечной дроби, 277. Что делается с корнями квадратного уравнения
2
ах + bx -I- с = 0, если коэффициент а стремится к нулю, а коэффициенты Ь и с постоянны, причем b * 0?
278.	Найти предел внутреннего угла правильного п угольника при п —> 00.
279.	Найти предел периметров правильных п-угольников, вписанных в окружность радиуса /г и описанных вокруг нее, при п —> сю.
280.	Найти предел суммы длин ординат кривой у = е *cos пх, проведенных в точках х = 0, 1, 2, .... и, при и —>
281.	Найти предел суммы площадей квадратов, построенных на ординатах кривой
П1 - х
У = 2
как на основаниях, где г s 1, 2, 3, .... п, при условии, что п —>
282.	Найти предел при п —> сю периметра ломаной М^МГ„М 3 вписанной в логарифмическую спираль
-ф г = е ,
если вершины этой ломаной соответственно имеют полярные углы
О.л ТЕ	___ Л-ТЕ
’ Ф1 “ 2 ’	~~ ~2 *
283.	Отрезок АВ = а (рис. 7) раз-делен на п равных частей, и на каждой получившейся части, как	‘
на основании, построен равнобед-	рис*
ренный треугольник с углами при основании, равными а = 45°. Показать, что предел периметра образовавшейся ломаной линии отличен от длины отрезка АВ, несмотря на то что в пределе ломаная линия «геометрически сливается с отрезком АВ».
284.	Точка С\ делит отрезок АВ = I пополам; точка С2 делит отрезок АСг пополам; точка С3 делит отрезок СгСг пополам, точка С4 делит отрезок С2С3 пополам и т. д. Определить предельное положение точки Сл, когда п —> оо.
28
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Рис. 8.
285.	Катет а прямоугольного треугольника разделен на п равных частей, и на получившихся отрезках построены вписанные прямоугольники (рис. 8). Определить предел площади образовавшейся ступенчатой фигуры, если п —> °о.
286.	Найти постоянные k и b из уравнения
lim kx + b - х + 1
г -	X + 1J
(1)
Выяснить геометрический смысл равенства (1)*
287*. Некоторый химический процесс протекает так, что прирост количества вещества за каждый промежуток времени т из бесконечной последовательности промежутков (iT, (i + 1)т) (i = 0, 1, 2, ...) пропорционален наличному количеству вещества, имеющемуся в начале этого промежутка, и величине промежутка. Предполагая, что в начальный момент времени количество вещества составляло Qo,
определить количество вещества через промежуток времени г, если прирост количества вещества происходит каждую n-ю часть t
промежутка времени т = - . и
Найти Q = lim .
X -* сс
§ 4. Бесконечно малые и
бесконечно большие
1°г Бесконечно малые. Если
Нт а(х) = О, х — а
т. е. если |ct(x)j < е, при 0 < jx - а| < 5(ё), то функция а(х) называется бесконечно малой при х —> а. Аналогично определяется бесконечно малая <х(х) при х —> 00.
Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при х —> а есть также бесконечно малые при х —> а.
Если а(х) и р(х) — бесконечно малые при х —> а и
Игл = С, х-д р(х)
где С — некоторое число, отличное от нуля, то функции а(х) и р(х) называются бесконечно малыми одного и того же порядка', если же С = 0, то говорят, что функция ос(х) есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с ₽(х). Функция а(х) называется бесконечно малой порядка п по сравнению с функцией Р(х), если
lim	= С,
1р(х)Г
где 0 < |С| -роо.
§ 4, Бесконечно малые и бесконечно большие
29
Если
И» 5И - 1, х — а р ( X )
то функции ос(х) и Р(х) называются равносильными (эквивалентными) бесконечно малыми при х а:
а(х) ~ Р(х).
Например, при г 0 имеем:
sin х - х; tg х - х; In (1 + х) - х
и т, п.
Сумма двух бесконечно малых различных порядков равносильна тому из слагаемых, порядок которого ниже.
Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены отношения заменить равносильными им величинами, В силу этой теоремы при нахождении предела дроби
lim
х —* а
сс(х) Р(х) ’
где сс(х) —> 0 и Р(х) —> 0 при х —> а, в числителе и знаменателе дроби можно откидывать (или добавлять) бесконечно малые высших порядков, подобранные так, чтобы оставшиеся величины были равносильными прежним. Пример 1,
з/ 3 п 4	1
ч. мХ т ZX 1 < AJ X X hm —--------- = lim —— = - .
j —oln(l + 2x)	i — о 2x 2
2d, Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно большого числа А существует такое 8(ЛГ), что при 0 < |х - а| < 5(Х) выполнено неравенство
i/(x)| > N,
то функция /(х) называется бесконечно большой при х —> а.
Аналогично определяется бесконечно большая f(x) при х —> 00, Подобно тому, как это сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно больших различных порядков.
288, Доказать, что функция
f(x) - S X
является бесконечно малой при х со. Для каких значений х выполнено неравенство
|/(х)| < Е,
если е — произвольное число?
Произвести расчет для: а) е = 0,1; 6) е = 0,01; в) е = 0,001.
289. Доказать, что функция
f(x) = 1 - X2
30
Халава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
является бесконечно малой при х —> 1. Для каких значений х выполнено неравенство
|/(х)| < е,
если £ *— произвольное положительное число? Произвести численный расчет для: а) е = 0,1; б) £ = 0,01; в) Е 0,001*
290* Доказать, что функция
является бесконечно большой при х 2* В каких окрестностях |х - 2) < 3 выполнено неравенство
|f(x)| > N,
если N — произвольное положительное число?
Найти 6, если: a) N = 10; б) У = 100; b)N = 1000.
291. Определить порядок малости: а) поверхности шара; б) объема
шара, если радиус шара г есть бесконечно малая 1-го порядка* Каковы будут порядки малости радиуса шара и объема шара по отношению к поверхности этого шара?
292* Пусть центральный угол ct кругового сектора АВО (рис. 9) радиуса Я стремится к нулю. Определить порядки бесконечно малых относительно бесконечно малой ос: а) хорды АВ; б) «стрелки» СВ; в) площади A ABD.
293.	Определить при х —> О порядки малости относительно х функций:
г) 1 - cos х;
д) tg х - sin х.
294.	Доказать, что длина бесконечно малой дуги окружности постоянного радиуса равносильна длине стягивающей ее хорды*
295* Являются ли равносильными бесконечно малый отрезок и бесконечно малая полуокружность, построенная на этом отрезке, как на диаметре?
Пользуясь теоремой об отношении двух бесконечно малых, найти:
296.	lim Sin3x sin5x _	2g8 Ит lr:x _
х~°	(х-х3)2
* X arcsin -
297* lim 299. lim ^^-cos2x х-0	1п(1-х)	1-cosx
§ 5, Непрерывность функций
31
300* Доказать, что при х 0 величины и + х - 1 равно-а
сильны между собой. Пользуясь этим результатом, показать, что при [х| малом имеет место приближенное равенство
+	(I)
а
Применяя формулу (1), приближенно найти:
а) 71,06 ; б) 70,97 ; в) 710 ; г) 7120
и сравнить полученные значения с табличными данными. 2 301. Доказать, что при х ч 0 с точностью до членов порядка х
имеют место приближенные равенства:
а) —= 1 - х;
1 + х
б) + х ~ а + ™ (а > 0);
2а
в)(1 + x)n = 1 + пх (п — натуральное);
г) 1g (1 + х) « Мх, где М = 1g е = 0,43429...
Исходя из этих формул, приближенно вычислить:
1) Л* ; 2) Лг ’ 3> ’ 4> > 5>	6) °’9з4; 7) lg
ltvZ	U,У/	J.UO
Сравнить полученные значения с табличными данными.
302.	Показать, что при х —> 00 целая рациональная функция Р(х) = похп + а±хп 1 + >„ + ап (а0 Ф 0) есть бесконечно большая величина, равносильная старшему члену п аох .
303* Пусть х —> оо. Принимая х за бесконечно большую величину 1-го порядка, определить порядок роста функций:
а)	х2 - 100х - 1000; в) 7х + Jx ;
б)	;	Г) 2х2 .
х + 2
§ 5. Непрерывность функций
Определение непрерывности. Функция Дх) называется непрерывной при х = (или точке ^»), если: 1) эта функция определена в точке т. е. существует число 2) существуетконечныйпредел lim f(x); 3) этот предел равен значению функции в точке т* е.
lim Дх) = Д4).	(1)
Полагая
х-+ А
32
Глава L ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 5. Непрерывность функций
33
31
Я и
е
F
где Д Е -> 0, можно переписать условие (1) так:
М -о д /(Е) = дИто f/(E + Д Е) - /(£)] = 0,	(2)
™да „ этой малое приращение функции.	₽ У “ответствует бесконечно
ла.	гке ”ев"тор” °6™" <-»₽«-
Пример 1. Д„аХ™™к“и "Ре'’“““ '
у sin х
непрерывна для любого аргумента х. Решение, Имеем
А У sin (х + Дх) - sin х
= 2 sin
2
Так как
z	sin^
COS J Г 4- -	] —	2	( Дд;
cos X +	=	-- ♦ COS X + —
\	> дх ls 2
~2
Рис. 10.
2
lim
Дл о
то при любом х имеем
и
( Дх cos х +----
V 2
Пример 3. Функция /(х) = s^n.x имеет разрыв 1-го рода при х 0. 1*1
В самом деле, здесь
/(+0) = lim = +1, х- *о х
lim Ах —0
Следовательно, функция sin х непрерывна при -оо < х < +то.
разрыв непрерывнмти^^че^х^х^^^0 Фу*КЦИЯ f(x) теР™™ ”=^~=
Пример 2, Функция /(х) =
Эта функция не определена в тг--/(1), пополненная функция f(x)
Если для функции Дх) существуют Пт /(х) = /(х0 - 0) и *	-* о и
&У = 0.
2 (рис. 10, а) разрывна при х = 1 (1-х)
точке х = 1, и как бы мы ни выбрали число । не будет непрерывной при х = 1.
конечные пределы
- [»/w + “)• причем не все три числа /(л,).	- 0), f( + 0)
mo,Koil ра1рт р<х)а в	”6"»’ Ч
/(Хо - 0) = /(х0 + 0), то х0 называется устранимой точкой разрыва.
Для непрерывности функции /(х) в точке г
чтобы	71 7 точке ХО необходимо и достаточно,
Дхп) = /(х0 - 0) = /(х0 + 0).
fl~0) = lim 55^ = -k г — -0 X
Пример 4, Функция у = Е(х), где Е(х) обозначает целую часть числа х (т. е. £(х) есть целое число, удовлетворяющее равенству х — Е(х) 4* д, где 0 < q < 1), разрывна (рис. 10, б) в каждой целочисленной точке: х = О, +1, +2, причем все точки разрыва 1-го рода.
В самом деле, если п — целое, то Е(п - 0) = п - 1 и Е(п + 0) = л, Во всех остальных точках эта функция, очевидно, непрерывна.
Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода, называются точками разрыва 2-го рода.
К точкам разрыва 2-го рода относятся также точки бесконечного раз-pbieat т, е. такие точки х0, для которых хотя бы один из односторонних пределов f(xQ - 0) или /(х0 + 0) равен (см, пример 2).
Пример 5. Функция у = cos - (рис. 10, в) в точке х = 0 имеет разрыв 2-го рода, так как здесь не существуют оба односторонних предела:
lim cos— и lim cos -.
х -0 X X - +0 X
3°, Свойства непрерывных функций. При исследовании функции на непрерывность нужно иметь в виду следующие теоремы:
1)	сумма и произведение ограниченного числа функций, непрерывных в некоторой области, есть функция, непрерывная в этой же области;
2 Задачи
и упражнения
34
Глава Е ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
2)	частное от деления двух непрерывных в некоторой области функций есть непрерывная функция при всех значениях аргумента из этой области, не обращающих делитель в нуль;
3)	если функция f(x) непрерывна в интервале (а, &), причем множество ее значений содержится в интервале (А, В), и функция <р(х) непрерывна в интервале (А, В), то сложная функция ф[/(х)] непрерывна в интервале (а, д).
Функция f(x), непрерывная на отрезке [а, £?], обладает следующими свойствами:
1)	f(x) ограничена на [а, £>], т. е. существует некоторое число М такое, что С М при а < х < Ь;
2)	f(x) имеет на [а, Ь] наименьшее и наибольшее значения;
3)	f(x) принимает все промежуточные значения между двумя данными, т. е. если /(а) *= А и ДР) *= В (а < а < Р < Ь) и А В, то, каково бы ни было число С, заключенное между числами А и В, найдется по меньшей мере одно значение х = у (а < у < р) такое, что /(у) - С,
В частности, если /(сх)/([3) < 0> то уравнение
Дх) *= О
имеет в интервале (ос, р) по меньшей мере один вещественный корень.
304.	Показать, что функция у = х непрерывна при любом значении аргумента х*
305.	Доказать, что целая рациональная функция
Р(х) = аохл +	1 + ... + ап
непрерывна при любом значении х.
306.	Доказать, что дробная рациональная функция
непрерывна для всех значений х, за исключением тех, которые обращают знаменатель ее в нуль.
307*. Доказать, что функция у = Jx непрерывна при х > 0.
308.	Доказать, что если функция Дх) непрерывна и неотрицательна в интервале (а, &), то функция
F(x) = 7ft*)
также непрерывна в этом интервале.
309*. Доказать, что функция у = cos х непрерывна при любом х.
310* Для каких значений х непрерывны функции: a) tg х и б)ctg х?
311*. Показать, что функция у = |х| непрерывна. Построить график этой функции.
312. Доказать, что модуль непрерывной функции есть функция непрерывная.
§ 5. Непрерывность функций
35
313- Функция задана формулами
f(x) = <
2 _ 4
-—при х Ф 2, х - 2
А при х = 2.
Как следует выбрать значение функции А === /(2), чтобы пополненная таким образом функция f(x) была непрерывна при х = 2? Построить график функции у = f(x).
314, Правая часть равенства
Дх) — 1 - х sin -
X
теряет смысл при х = 0, Как следует выбрать значение /(0) для того, чтобы функция Дх) была непрерывна при х = 0?
315-	Функция
Дх) = arctg J—
теряет смысл при х = 2, Можно ли так определить значение Д2), чтобы пополненная функция была непрерывной при х = 2?
316* Функция Дх) не определена при х = 0. Определить ДО) так, чтобы Дх) была непрерывна при х = 0, если:
а)	Дх) = (1 + Л:) ~ 1 (п — натуральное); г) Дх) = —	;
х	х
б)	f(x) «	;	д) f(x) = Хг sin 1;
х	х
в)	Дх) =	;	е) Дх) = X Ctg X.
X
Исследовать на непрерывность функции:
317-	ал =	.
*	х-2
318* у = 1 + х\
*	1 4- х
319.	у =	+
ха~4
320.	у = * * |х|
321.	a) iy — sin — ; б) у = х sin — . х	х
322.	у = А.. .
sinx
324.	у = In tg £ . £
325.	у = arctg - .
326.	у = (1 + х) arctg —1—. 1-х2
327.	у = ex+i .
-1
328.	у = е ".
323. у = In (cos х).
330. у = х при X < 3, [ 2х + 1 при х > 3.
Построить график этой функции.
36
Глава I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
331* Доказать, что функция Дирихле х(х)* равная нулю при х иррациональном и равная 1 при х рациональном, разрывна для каждого значения х.
Исследовать на непрерывность и построить графики функций:
332* у = lim —— (х > 0),
•п -Ъ |ПП
П —* СО 2 + X
333* у = lim (х arctg пх).
71 СО
334. а) у = sgn х, б) у = х sgn х, в) у = sgn (sin х), где функция sgn х определяется формулами
4-1, если х > 0,
sgn х =	0, если х = 0,
-1, если х < 0*
335* а) у = х - Е(х), б) у = хЕ(х), гдеЕ(х) есть целая часть числа х.
336* Привести пример, показывающий, что сумма двух разрывных функций может быть функцией непрерывной.
337*, Пусть а — правильная положительная дробь, стремящаяся к нулю (0 < ot < 1)* Можно ли в равенство
Е(1 4- сх) == Е(1 “ а) + 1,
справедливое для всех значений о, подставить предел величины ос? 338. Показать, что уравнение
х3 - Зх 4- 1 == О
имеет в интервале (1, 2) действительный корень* Вычислить приближенно этот корень.
339* Доказать, что любой многочлен Р(х) нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень*
340. Доказать, что уравнение
tg х = х
имеет бесконечное множество действительных корней*
Глава П
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 1.	Непосредственное вычисление производных
1°. Приращение аргумента и приращение функции. Если х и Xj — значения аргумента х, а у = f(x) и уг = f(xr) — соответствующие значения функции у = f(x), то
Дх Xj - х
называется приращением аргумента х на отрезке [х, xj, а
~ Уг~ У
&У = /(х1) - /(х) = f(x + А х) - f(x) (1)
— приращением функции у на том же отрезке [х, XJ (рис. 11, где Ах = МА и Ар - ЛАГ)* Отношение
Дх
= tgct
представляет собой угловой коэффициент секущей МАГ графика функции р = f(x) (рис. 11) и называется средней скоростью изменения функции у на отрезке [х, х -1 Дх],
Пример 1. Для функции
2
у = х - 5х + 6
вычислить А х и Д г/, соответствующие изменению аргумента:
а)	от х = 1 до х = 1,1;
б)	от х = 3 до х = 2.
Решение, Имеем:
я)Ах = 1,1 - 1 = ОД,
Ду - (1,12 - 5  1,1 + 6) - (1г - 5 • 1 4 6) = -0,29;
б)Дх == 2 - 3 = -1,
Дг/ = (2й - 5 - 2 4- 6) - (З2 - 5  3 4- 6) = 0.
Пример 2. Для гиперболы у = 1 найти угловой коэффициент секу-X
Щси, приходящей через точки с абсциссами х = 3 и х: = 10.
Решение, Здесь Дх = 10 - 3 = 7, у = 1 , уг = А- ; Др = -L - |
□	1U	J.U О
7
30
Следовательно k =
Дх 30
38
Глава IL ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
2°. Производная. Производной у' = от функции у = f(x) по арах
Ду *
гументу х называется предел отношения , когда Дх стремится к нулю, т. е.
Дх у' = lim , Дх -»о Дх
если этот предел существует.
Величина производной дает угловой коэффициент касательной МТ к графику функции у = /(х) в точке х (рис* 11):
у' = tgq>.
Нахождение производной yf называют дифференцированием функции. Производная yf = f'(x) представляет собой скорость изменения функции в точке х.
Пример 3* Найти производную функции
2 у = х ,
Решение. По формуле (1) получаем:
Д у — (х + Л х)2 - х2 - 2хД х + (Д х)2 и
= 2х + Д х.
Дх
Следовательно,
yf = lim = lim (2х + Дх) = 2х, Дх— о Дх Дл о
3°. Односторонние производные. Выражения
/'(*) = Ит ftx + Ax)-f(x)
Дх -> -о	Дх
и
Л(х) = Urn м— - о Дх
называют соответственно левой или правой производной функции /(х) в точке х. Для существования f'(x) необходимо и достаточно, чтобы
f'Ax) = f'Ax).
Пример 4. Найти f (0) и (0) для функции
f(x) = 14
Решение. Имеем по определению
Л(0) = lim = -1, /' (0) = lim = 1. дл — -о Дх	дх —+оДх
4°, Бесконечная производная. Если в некоторой точке имеем lim Kx + ^x^f(x) =
Дх — о Дх
то говорят, что непрерывная функция Дх) имеет бесконечную производную в точке х, В этом случае касательная к графику функции у = Дх) перпендикулярна оси ОХ.
§ 1. Непосредственное вычисление производных
39
Пример 5. Найти/'(0) для функции Ух.
Решение. Имеем
f(0) = lim = lim -J— =
341.	Найти приращение функции у = х , соответствующее переходу аргумента:
а)	от х = 1 до х( = 2;
б)	от х = 1 до хг = 1,1;
в)	от х = 1 до хт *= 1 4- Л.
342.	Найти Ду для функции у =	, если:
а)	х = 0, Дх = 0,001;
б)	х = 8, Дх = -9;
в)	х = а, Дх = h.
343.	Почему для функции у = 2х + 3 можно определить приращение Ду, зная только, что соответствующее приращение Дх = 5, а 2
для функции у = х этого сделать нельзя?
344.	Найти приращение Ду и отношение — для функций:
Дх
а)	у = —----- при х = 1 и Дх == 0,4;
(хг-2)
б)	у = а/х при х = 0 и Дх = 0,0001;
в)	у = 1g х при х = 100 000 и Дх *= -90000.
345.	Найти Ду и , соответствующие изменению аргумента от х
до х 4- Дх для функций: а)у ах + &;
3
б)	у = X ;
ч 1
в> у = - ’
X
г) у = 7*;
Д) У = 2Г;
е) у = 1п х.
346.	Найти угловой коэффициент секущей к параболе о 2 у = 2х - х , если абсциссы точек пересечения равны:
а)	хх =* 1, х2 2;
б)	хт =« 1, х2 = 0,9;
в)	Xj “ 1, х2 = 1 + Л.
К какому пределу стремится угловой коэффициент секущей в последнем случае, если h —* 0?
347.	Какова средняя скорость изменения функции у = х3 в промежутке 1 С х С 4?
40
Глава П. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
348.	Закон движения точки есть s = 2t2 + 3f + 5, где расстояние s дается в сантиметрах, а время t — в секундах. Чему равна средняя скорость точки за промежуток времени от t = 1 до 5?
349.	Найти средний подъем кривой у = 2х на отрезке 1 < х < 5.
350.	Найти средний подъем кривой у = f(x) на отрезке [х, х + Дх].
351.	Что понимают под подъемом кривой у = f(x) в данной точке х?
352.	Дать определение: а) средней скорости вращения; б) мгновенной скорости вращения.
353.	Нагретое тело, помещенное в среду с более низкой температурой, охлаждается. Что следует понимать под: а) средней скоростью охлаждения; б) скоростью охлаждения в данный момент?
354.	Что следует понимать под скоростью реагирования вещества в химической реакции?
355.	Пусть т f(x) — масса неоднородного стержня на отрезке [0, х]« Что следует понимать под: а) средней линейной плотностью стержня на отрезке [х, х + Дх]; б) линейной плотностью стержня в точке х?
356.	Найти отношение для функции у = - в точке х = 2, если: Дх	х
а) Дх = 1; б) Дх == 0,1; в) Ах = 0,01. Чему равна производная у' при х - 2?
357**. Найти производную от функции у = tg х.
358.	Найти у' = lim для функций:
дх —»о Дх
а) у = х3; б) у = А ; в) у = Jx ; г) ctg х. j£j X
359.	Вычислить Л(8), если Дх) = \[х.
360.	Найти Г(0), Г(1), /'(2), если />(х) = х(х - 1)2(х - 2) .
з
361.	В каких точках производная от функции /(х) = х численно совпадает со значением самой функции, т. е. Дх) = f{x)l
2
362.	Закон движения точки есть s = 5f , где расстояние s дано в метрах, а время t — в секундах. Найти скорость движения в момент времени t = 3.
363.	Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = 0,1х3, проведенной в точке с абсциссой х = 2.
364.	Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = sin х в точке (тс; О).
365.	Найти значение производной от функции Дх) = i в точке х = Хо (х0 * 0).
§ 2. Табличное дифференцирование
41
366** Чему равны угловые коэффициенты касательных к кривым и = L и у — х в точке их пересечения? Наити угол между этими у х
кас ате л ь н ы ми 
367**. Показать, что следующие функции не имеют конечных производных в указанных точках:
О /
а)	у = Ух в точке х = 0;
б)	у = %/х- 1 в точке х = 1;
в)	у = |cos х| в точках х = ^-511 п (/г — 0, ±1, ±2, ,„)•
^2
§ 2. Табличное дифференцирование
1°. Основные правила нахождения производной. Если с — постоянная и и = ф(х), и =	— функции, имеющие производные, то
1) (с)' = 0;	5) (ни/ = u'v + v'u;
2)(х)'=1;	6)Н - u'v-Su {^Q);
\ n !	4
3) (и + и)' = и' ± у';	7) (4 = (у * 0).
К JJ /	4
4) (си)' = си';
2°, Таблица производных
L (хп)' = пх1 \
II.	(Л)' = -^= (х> 0). 2Д
III.	(sin х)' = cos х.
IV,	(cos х)' == - sin х.
v. (tg х)' = -L- .
COS X
VI	. (ctgx)' = L- .
sin x
VIL	(arcsin x)' =	\  (|x| < 1),
JTV
VEIL (arccos x)' =	(|x| <
TTv
IX, (arctgx)'= —Ц.
1 + x
X, (arctg x)'=--------
x2 + 1
XL (a*)' = aTln a.
XIL (er)' = e*.
сновныхфункций
XIII.	(lux)' = 1 (x > 0).
XIV.	(log x)' = -J- = a xlna x (x > 0, a > 0),
XV.	(shx)' = chr.
XVL {ch x)' = sh x,
XVII.	(th xy = -L-. ch x
XVIII.	(cthx)' = L. sh x
XIX.	(Arsh x)' =	1	.
7i+x2
XX.	(ArchxY= —!-— (|xj>l).
77^1
XXL	(Arth x)'= —1— (|x[ < 1).
1-x
ХХП. (Arcthx)' = -V— (Ы> I)-x -1
42
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
3°. Правило дифференцирования сложной функции. Если J
у = /(и) и и = <р(х), т. е. у = /[<р(х)]5 где функции у и и имеют производные, то
О) 5
или в других обозначениях	J
dy = dy в du dx du dx '	।
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа диф- i ференцируемых функций.
Пример 1» Найти производную функции у = (х2 - 2х + З)5.
Решение, Полагая у — и5, где и = х2 - 2х + 3, согласно формуле (1) будем иметь
у' = (и\(х2 - 2х + 3); = 5и4(2х - 2) = 10(х - 1)(х2 - 2х + З)4.
Пример 2, Найти производную функции
у = sin 4х.
Решение, Полагая
4/ == и ; u = sin и; о = 4х, находим
yf = 3u£ * cos и ’ 4 — 12sin2 4х cos 4х.
Найти производные следующих функций (в №№ 368—408 правило дифференцирования сложной функции не используется):
А. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
368. у = х - 4х° + 2х - 3.	' 375. у - v 369. у=1 - 1 х + х2 - 0,5х4.	376*. у 4	3 370. у = ах2 + Ъх + с,	" 377. у = < 371. у =	* 378. у = а 372.	у = atm + btm + \	379. у = 373.	у = ах6±Р .	380. у = Ja3 + Ъ2 374.	у - 5 + In 2.	381. у -	= Зх - 2х + х . 2зЛ~2 = х Ух . а _ b а + Ьх c + dx* 2х + 3 х2 - 5х + 5 =	2	_ 1 2х- 1 х* 1 + Jz 1 - л
§ 2. Табличное дифференцирование
43
Б. ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ КРУГОВЫЕ
382. у = 5 sin х + 3 cos х. 383* у = tgx - etgx. лл.	sinx + cosx 384. у = 		 w	sinx-cosx	386.	у = arctg x + arcctg x. 387.	у = x etg x. 388.	у = x arcsin x>
385. у = 2tsin t - (t2 - 2) cos t.	389 у = (l + ^2)arctgx-x 2
В. ФУНКЦИИ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
390. у = x‘ex.	396* у = ex arcsin x. A
391. у = (x - l)e*.	z 397. у =	. v Inx
392.	у =	. X 393.	у = — . "	X e 394.	f(x) = ex cos x. 395.	у = (x2 - 2x + 2)ex.	3	r3 398.	у = x In x - * v	3 399.	y=-  21n x - ln-I. X	X 400.	у = In x 1g x - In a loga x.
Г. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
401. у = x sh x. 2 402. i/ = — . chx	405* у = arctg x - Arth x. 406. у = arcsin x Arsh x.
403. у = th x - x.	407. у =	. y	X
404. у == 3cthx . Inx	4 AO	Arcthx 408.у =	 - 1-x2
Д. СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ
Найти производные следующих функций (в Ns№ 409—466 необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции с одним промежуточным аргументом):
409**. у = (1 + Зх - 5х2)30.
Решение. Обозначим 1 + Зх -- 5х2 = и; тогда у = у30. Имеем: у'и = ЗОи29, н' = 3 - 10х;
у'х = ЗОи29 * (3 - 10х) = 30(1 + Зх - 5х2)29 * (3 - 10Ц.
410.	у - (+	+
с
44
Глава IL ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
411.	Ку) = (2а + 3fey)2.
412.	у = (3 + 2х3)4.
Л10	_	3	1-1
413* Е/-------------- -------------- —-----------5 *
56(2х - 1)	24(2х- 1)	40(2х - 1)
414* у = 71 - хй .
415* у = 3Ja 4- Ьх3 .
Л С г 2/3	2/ЗчЗ/2
416* у (а - х ) .
417* у = (3 - 2sin х)\
Решение* у' = 5(3 - 2sin х)4 • (3 - 2sin х)' = 5(3 2sin x)4(-2cos х) = = -lOcos х (3 - 2sin х)4.
418. у = tg х - i tg3 x + 1 tgS x. О	□
419* у = Vctgx - Vctga * 420* у = 2x + 5cos3 x.
421*. x — cosec2 t 4- sec2 t.
422. f(x) = -------*-----2.
6(1 - 3cosx)
1 _ 1
3cos3x COSX
(Ssinx - 2 cosx V 5	
423.у =
424.у =
425* у = Vsin\ 4- —	*
cos x
426.	у = 71 + arcsinx *
427.	у = 7&rctgx - (arcsin x)3
428.	у =	1	.
arctg x
429.	у = Jxe* + x .
430.	у = Sj2ex-2X+1 + In5 x.
X (X
Решение. yr = cos 3x * (3x)' - sin - -5 к 5,
+	(Л)' -
COS 7x
~ 3cos 3x - - sin-
5	5
432.	у = sin (x2 - 5x + 1) 4- tg -'	x
433.	f(x) = cos (cex 4 P)*
434.	f(x) = sin t sin (t 4 cp)*
435.	у =	.
1 - cos 2x
436* f(x) = a ctg * * а
jrtw	1	/к 24	1	2
437* у - — cos (5x ) “ j cos x -
§ 2. Табличное дифференцирование
45
438.у =	arcsin 2х.		
Решен	, 1 и е. у — 		 (2x)' = 			2	
	71 ~(2х)2	7i	-4x2
439.у =	arcsin Д. X	447.	у = arccos ex>
440. /(х)	= arccos Jx .	448.	у = In (2x + 7).
441.у =	arctg i. X	449.	у - 1g sin x.
442.у =	arcctg	. 1 -x	450.	У = In (1 - x2).
443. у =	_y2 5e	451.	у - In2 x - In (In x).
444.у =	1 v2 * 5	452.	у = In (er + 5sin x - 4arcsin x).
445. у =	2-n2x x 10 .	453.	у = arctg (In x) + In (arctg x).
446. f(t)	= tsin2(.	454.	у - 71nx + 1 + In (Jx + 1)*
Е. РАЗНЫЕ ФУНКЦИИ
455**. у = sin3 5х cos2 5 . *	3
2(х~2у
457.	у = -—^— -
4(х-3)4	З(х-З)3	2(х-3)
8
458.	у = -------.
5	9 4
8(1 - X )
459.	у = ^2х2~2х + 1 ,
460.	у = .—.
2 Г5 2 а + я
461.	у =
3 J{ 1 + х2)
462/у = |V? + ^х«/х + |х37Г2 +
463. у = 1 <177? - 1 V(l + x3)S . о	О
46
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
465. у = х (а - 2х ) .
466.у =	'	L. Л> а •+ dx_	т ч
	а -ЬхП;	
5(х + 2)5 (х + 2)4 (х + 2)3	2(х + 2)2’
468.	у = (а + х) л/а - х .
469.	у = <У(х + а)(х + Ь)(х + с).
470.	z = sJy + -/y .
471.	f(x) = (2t + l)(3t + 2)3УЗГ+2 .
472.	х =	1— .
У2ау~у
473.	у = In (71 +ех - 1) - In (71 + ех + 1).
474.	у = -Г cos3 х (3cos2 х - 5).
15
475.	у = (tg2jc~ l)(tg4x + !0tg2x + 1)
3tg3x
476.	у = tg2 5x.	487. у =	.
TbV
477.у =	1 .	, 2Ч - sin (X ). £	488.у =	— arcsin Jb	ыэ 
478.у =	 2 sin (t )*	489. у =	I 2	2 *ja -х	+ a arcsin - . а
2	3
479. у = 3sin x cos x + sin x. 490. у
/2	2
= xJa - x
.	2	, x
+ a arcsin - . а
480. у = | tg3 x - tg x + x. d
491. у = arcsin (1 - X) + J2x - x2.
481. у	+4ctgI 3sin х *
482. у	= Jex sin2x + p cos2x .
483. у	2	2 = arcsin x + arccos x .
484. у	= (arcsin x)2 arccos x*
485. у	2 _ i = arcsin	. X
486. у	= arcsin x . 71 + x2
493.
494.
495.
у = In (arcsin 5x).
у = arcsin (In x).
„ 4 . xsina
у = arctg ---------
1 - x cos а
496. у = | arctg V
5tg± + 4
3
§ 2, Табличное дифференцирование
47
497.	у = 3b2arctg - (ЗЬ + । О X1
498.	у = “д/2 arcctg - х.
72
499.	у =	.
. 2 _ Л _	В1П X
500.	у = е
501.	ЭД = (2татх + Ъ/.
502.	F(t) = eaicos pt.
503.	У =	(otsinflx - pcospx)eajc
		a2 + p2
504.	У =	e *(3sin 3x - cos 3x).
505.	У =	2 Д -X x a
506.	У =	/	Vcosx V cosx a
507. у = 3ctgI.
2x)Jbx-x*.
508.	In (ax2 + bx + c).
509.	у In (x + Ja2 + x2 )*
510,	у = x - 2^/x + 2 In (1 + Jx ).
511.	i/ - In (a + x + J2ax + x .
512.	у = Ц-.
In x
513.	у = In cos — .
X
514*. у = In (3C~ 2)5 .
(x+1)3
515. у = In ад!)3(х-2).
516. у = -—4 + In tg x.
2sin x
518.	у = In In (3 - 2x3).
519.	у = 5 In3 (ax + b).
520.	у = In	.
Г~2	2
Vx + a -x
521.	y = ^ln(x3-a2) + #.lnl^.
2	2a x + a
522.	у = x ' sin fin x - 5) .
l~2	2 ^1
Vx - a L
524.	/(x) = 7x2+l - In 1 + 7^+i.
X
525.	у = lln \~2Х±1-d X +X+ 1
eoe oarcsin3x . z-	o .2
526.	у = 2	+ (1 - arccos 3x) .
fiinax
527.	и = 3C0S&* + 1 sill3QX .
3 3cos3#x
tg? + 2-T3
528.	у = xl In —i- ______.
73 tg^ + 2 + 7з
529.	у = arctg in x.
48
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
1	2
530.	у = In arcsin х + - In
х + arcsin In х.
531.	у = arctg In 1Ф
S32.	„-^arCtgA + 'ln^l.
533.	у = In 1 +	+ 2arctg Vsinx .
1 - Vsinx
534.	у = ? In + 1 In ^-1 + 1 arctg x.
4 X - 1	4 X+l 4
535.	flx) = 1 In (1 + x) - 1 in (x2 - x + 1) + ± arctg L
3	6	7з 7з
536.	flx) = x arcsin x + In 71	.
537.	у = sh2 2x.
538.	у = e^ch fix.
539.	у = th3 2x.
540* у = In sh 2x,
541. у = Arsh ?-= .
£
a
542.	у = Arch In x*
543.	у Arth (tg x).
544.	у = Arctg (sec x).
545.	у = Arth -2*-.
1 +X
546.	у = | (x2 - l)Arth x + | x.
547.	у = f-x2 + 1) Arsh x - ^xjl + x2. k2	4У	4
548.	Найти у', если:
а) У = И;	б) у = х|х|.
Построить графики функций у и у'.
549.	Найти yf, если
У = In |х| (х * 0).
550.	Найти Д(х), если
[1-х при х < О, /(х)	। е х при х > О*
551.	Вычислить f'(0), если
f(x) = е xcos Зх.
Решение. fix) ~ е Д-З sin Зх) - е xcos Зх. /'(0) = е°(-3 sin 0) - е°сов 0 = -1.
§ 2. Табличное дифференцирование
49
552.	Ях) = In (1 + х) + arcsin . Найти /*(!)*
553.	у = tg3 ~ . Найти Ж
Ь	\Q^/t=2
554.	Найти /' (0) и f 1(0) для функций:
a)	f(x) = 7sin(x2);
б)	f(x) = arcsin а х ; л	ь
а + х
В)/(Х)= —. X 0;/(0)	0;
1 + е
г) f(x) = х2 sin - , х * 0; f(0) = 0; х
Д) f(x) = *sin -, х # 0, /(0) = 0. х
555.	Для функции f(x) е * найти /(0) + xf(0).
556.	Для функции f(x) == J(l + x) найти /(3) + (х - З)Д(З).
557.	Даны функции Дх) - tgx и (р(х) = In (1 - х), найти	.
558.	Для функций Дх) = 1 - х и ф(х) = 1 - sin найти	•
2	f (1)
559.	Доказать, что производная четной функции — функция нечетная, а производная нечетной функции — функция четная.
560.	Доказать, что производная периодической функции есть функция также периодическая.
561.	Показать, что функция у хе 1 удовлетворяет уравнению ху' = (1 - х)у.
2
X
562. Показать, что функция у = хе 2 удовлетворяет уравнению ХУ' = (1 - х2)(/,
563. Показать, что функция у = *  V. - удовлетворяет уравне-
1 + х + 1п х
нию ху' = у(у In х - 1).
Ж. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
Логарифмической производной функции у = Дх) называется производная от логарифма этой функции, т. е.
(In у)' =
У f{x)
Применение предварительного логарифмирования функции иногда упроща-ет нахождение ее производной.
50
Глава 1L ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Пример. Найти производную сложно-показательной функции
где и = ip(x) и и = ц/(х).
Решение. Логарифмируя, получим
In у = t?ln и.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х:
(In уУ = i/ln и + а(1п и)',
или
- у’ = pin и + L?i
У	и
отсюда
у = у и In и 4- -и , \	U /
или
, of /1 r U Д
и = U и In U + -U .
к и )
564.	Найти у', если
я Г1 1 -х .з 2 'Ух -----sin X COS X.
1+/
2	2
Решение, In у — ~ In х + In (1 - х) “ In (1 + х ) + 3 In sin х + 2 In cos х; о
1 ,	2 1,-1 2х . Q 1	. 2sinx
- у —----+ ----- — ------- 4- о----cos х - -----,
у Зх 1-х	1 _|_ х2 sinx	cosx
:уда у' = у (- Д— -	+ 3ctgx - 2tgx).
1-х 1 + х	)
565.	Найти у', если у - (sin х)Д
Решение. In у = xln sin х; -у' — In sin х + xctg х;
У
у' = (sin x)A(ln sin х + х ctg х).
Найти у', применяя предварительно логарифмирование функции У = /(*):
I ~
566.	у = (х + 1)(2х + 1)(3х + 1). 569. у = х3 Д—.
Чх + 1
2
567. у =	----4.
(х + 1) (х + 3)
568. у = К*",? 
* N х - 2
570.	у = -- (х 2)9 — . /(х - l)s(x - З)11
571.	у =
_______Дх -Д1________
V(x + 2) */(х + 3)
§ 3* Производные функций, не являющихся явно заданными
51
572.	у = Xх.
573.	у = Xх .
574.	у = Xjx.
575.	у =	.
576.	у = хг.
Sill X
577.у = х
578. у = (cosx)si,1JC.
579. у = f 1 + IT .
\ х}
580* у = (arctg х)\
§ 3. Производные функций, не являющихся явно заданными
1°, Производная обратной ф у н к ц и и. Если для функции у = f(x) производная у' 0, то производная обратной функции х = f (г/) есть
, 1
X, = —г " /л
ИЛИ
dx = 1
Не/ dr/ ‘
dx
Пример 1. Найти производную х' если
у = х + In х.
Решение. Имеем цг = 1 1 - = ? + ; следовательно, х' == —* хх	& х 4-1
2°. Производные функций, заданных параметрически* Если зависимость функции у и аргумента х задана посредством параметра f
I х=* ф(0,
V(f)> то
или в других обозначениях
<1у dy _ d£ dx dx df
Пример 2* Найти , если dx
j x = a cos it t/ = a sin t*
52
Глава IL ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Решение. Находим = ~а sin t и = a cos i. Отсюда dx	di
dy = а cost = _ctg t_ dx —a sin/
3°, Производная неявной функции. Если зависимость меж-ду х и у задана в неявной форме
F(x, у) = 0,	(1)
то для нахождения производной у' “ / в простейших случаях достаточно: 1) вычислить производную по х от левой части уравнения (1), считая у функцией от х; 2) приравнять эту производную нулю, т. е. положить
Ъ(г,у) = 0,	(2)
ах
и 3) решить полученное уравнение относительно у'.
Пример 3* Найти производную у'х, если
г3 +	- Заху = 0*	(3)
Решение. Составляя производную левой части равенства (3) и приравнивая ее нулю, получим
Зх2 + Зу2у' - За(у + ху') = О, отсюда 2 , х-ау У	2 '
ах - у
581.	Найти производную х', если:
х
а)	у = Зх + х3; б) у = х - 1 sin х; в) у = 0,1х + е2 . £
Определить производную у' = для функций у, заданных па
раметрически:
587.	1
! у =	
i Jt2 +1
§ 3. Производные функций, не являющихся явно заданными
53
х = a (cos t 4- t sin t), у = a (sin t - t cos f).
| x — arccos
592.
у — arcsin i
2 t x = a cos f, r . 2 . у = p sin f.
590.
X = cos t9
L »	3 ,
у = 0 sin t.
lx = a(ln tg t + cos t - sin t),
594.	2
\y = a(sin t + cos t)*
X =
591, <
У =
cos t
... Z J
Jcos 2 t
* 5 , sin t
7cos2£
595, Вычислить при t = -dx	2
если
sint (di/i	2
1 - cos t \dx)t = i л л 2	1 - COS "
2
х = t In t,
I x = a(t - sin f), j у = a(l - cos t), du a sinx Решение. ~ = -------------
ax a(l - cost)
596* Найти при t = 1, если <! ,, _ hit dx	£/ — — *
X*
[	t J.
Kci^r "lt " du x tl	I x “ e cos tt
597, Наити при t - - , если t . , dx	4 [y = e sm t*
598, Доказать, что функция у, заданная параметрически уравнениями
ix - 2t + 3t2,
U = t2 + 2t3, удовлетворяет уравнению
у =	+ 2[^V.
VdxJ \dx/
599, При х = 2 справедливо равенство х2 = 2х.
Следует ли отсюда, что
При x = 2?
54
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
/2	2
600, Пусть у = л/а -х . Можно ли почленно дифференцировать
равенство	X2 Н
Найти производную у" 601, 2х - 5у 4- 10 = 0* 2	2 602. * + 2_ - 1. 2	 2 а Ь 3,3	3 603, х 4- у = а , ллл	3 ।	2	1	2	л 604, х 4- х у + у = 0.	= dx
605, Jx + Jy = Ja* вое. V? +	= 37<Л
607.	у3 =	.
x + y
608.	у - 0,3 sin у = x.
609,	a cos2 (x + y) = b.
У2 = a2?
от неявных функций у:
610,	tg у = ху.
611, ху = arctg * у
612,	arctg (х + i/) = х,
613,	еу = х + у.
614,	In х + е х = с,
615.	In у -Н - = с.
У
616,	arctg | In (х2 4- у2).
X ы
617,	Jx? + у2 = с arctg * х
618,	х? = у\
619, Найти у' в точке М(1; 1), если
2у - 1 + хгД
Решение, Дифференцируя, имеем 2у' = у3 + Зху2у'> Полагая х = 1 и у = 1, получим 2yf = 1 + откуда у' = -1,
620* Найти производные у' заданных функций у в указанных точках:
а) (х + у)3	27(х - у) при х - 2 и у = 1;
б)	уе? = е* + 1 при х = 0 и у = 1;
в)	у2 = х 4- In - при х — 1 и у = 1 *
х
§ 4. Геометрические и механические приложения производной
1°, Уравнения касательной и нормали. Из геометрического смысла производной следует, что уравнение касательной к кривой у = /(х) или F(x, у) = 0 в точке М(х0, #0) будет
У - f/o = у'о(х " хо)’
где у'ц есть значение производной у' в точке М(х0, у0). Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой. Для нормали получаем уравнение
х - х0 + у’^у - у0) = 0.
§ 4. Геометрические и механические приложения производной
55
2°. Угол между кривыми, Под углом между кривыми
У = /\(*)
И
у = /£(я)
в их общей точке Л/д(х0, (рис. 12) понимается угол w между касательными М^А и М0В к этим кривым в точке JVf0.
По известной формуле аналитической геометрии получаем
tg со =	.
1+ Л(*о)  /2(^0)
3°. Отрезки, связанные с касательной и нормалью, для случая прямоугольной системы кооординат. Касательная и нормаль определяют следующие четыре отрезка (рис, 13):
£ = ТМ — так называемый отрезок сателъной,
St ~ ТК — подкасательная, п = NM — отрезок нормали, Sn = KN — поднормаль.
Так как КМ — |р0| и tg ф = у'о, то

t ~ ТМ ~
Уо
п = NM =
st - тк -
4 : 5« = М-
4е. Отрезки,
л ' Л U-U'
Уо
связанные с касательной и нормалью, дляслучая полярной системы координат. Если кривая задана в полярных координатах уравнением г = /(<р), то угол ц, образованный касательной МТ и полярным радиусом г = ОМ (рис, 14), определяется следующей формулой:
м
X
S,
Рис. 14.
х b dtp г tg Ц = г = -dr г
Касательная МТ и нормаль MN в точке М вместе с полярным радиусом точки касания и перпендикуляром к полярному радиусу, проведенным через полюс О, определяют следующие четыре отрезка (см. рис. 14):
£ = МТ — отрезок полярной касательной, п = MN — отрезок полярной нормали, Sf = ОТ — полярная подкасательная, Sft = ON— полярная поднормаль.
56
Глава И. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Эти отрезки выражаются следующими формулами:
t = мт = r l2 + (r'f .S 0T=L--, |г|	[г|
п = MN = Jr2 + (г')2 , Sn-ON |r'|.
621.	Какие углы (р образуют с осью ОХ касательные к кривой у —
2
= х - х в точках с абсциссами: а) х — 0; б) х =
1; в) х = 1?

Рис. 15.
кает прямую х =
Решение. Имеем у" — 1 - 2х. Отсюда: a) tg ф — 1, Ф = 45й; б) tg ф = 0, ф = 0°; в) tg (р == -1, Ф = 135э (рис, 15),
622.	Под какими углами синусоиды у = sin х и у = sin 2х пересекают ось абсцисс е начале координат?
623.	Под каким углом тангенсоида у = tg х пересекает ось абсцисс в начале координат?
624.	Под каким углом кривая у = е ,1>х Пересе* 2?
625. Найти точки, в которых касательные к кривой
у = Зх4- + 4х3 - 12х2 + 20
параллельны оси абсцисс.
626.	В какой точке касательная к параболе у = х2 - 7х + 3 параллельна прямой 5х 4- у - 3 = 0?
627.	Найти уравнение параболы у = х2 4- Ьх + с, касающейся прямой х = у в точке (1; 1).
628.	Определить угловой коэффициент касательной к кривой х3 + у3 - ху - 7 = 0 в точке (1; 2).
2	3
629.	В какой точке кривой у = 2х касательная перпендикулярна прямой 4х - Зу + 2 = 0?
630.	Написать уравнение касательной и нормали к параболе
У Л
в точке с абсциссой х = 4.
Решение. Имеем у* =-----; отсюда угловой коэффициент касательной
2jx
k =
. Так как точка касания имеет координаты х = 4, у = 2, то
уравнение касательной есть у - 2 = - (х - 4), или х - 4у + 4 = 0.
4
В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент нормали
*4 = -4,
откуда уравнение нормали у -2 — -4(х - 4), или 4х + у - 18 = 0»
§ 4. Геометрические и механические приложения производной
57
631- Написать уравнение касательной и нормали к кривой у = х3 + 2х2 - 4х - 3 в точке (-2; 5).
632* Найти уравнение касательной и нормали к кривой
у = 3Jx-l
в точке (1; 0)*
633-	Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках:
а)	у = tg 2х в начале координат;
V _ 1
б)	у = arcsin   в точке пересечения с осью ОХ;
в)	у = arccos Зх в точке пересечения с осью ОУ;
г)	у = In х в точке пересечения с осью ОХ;
д)у = е в точках пересечения с прямой у = 1.
634.	Написать уравнения касательной и нормали в точке (2; 2) к кривой
635.	Написать уравнения касательной к кривой
х = t cos у = f sin f
в начале координат и в точке t = - .
4
636.	Написать уравнения касательной и нормали к кривой х3 + у2 + 2х - 6 = 0
в точке с ординатой у 3.
637.	Написать уравнение касательной к кривой х5 + у5 - 2хе/ = 0 в точке (1; 1).
638.	Написать уравнения касательных и нормалей к кривой У = (х - 1)(х - 2)(х - 3) в точках ее пересечения с осью абсцисс.
639.	Написать уравнения касательной и нормали к кривой 4	4
У = 4х + 6x1/ в точке (1; 2).
640*. Показать, что отрезок касательной к гиперболе ху - а2, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.
641.	Показать, что у астроиды х2/3 Н- у2?3 - отрезок касательной, содержащийся между координатными осями, имеет постоянную величину, равную а.
58
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
642.	Показать, что нормали к развертке окружности х = a (cos t + fsin t), i/ a (sin t - tcos f)
2 . 2 a являются касательными к окружности х + р ~ a .
643.	Найти угол, под которым пересекаются параболы р = (х - 2) и р = -4 4- 6х - лЛ
644,	Под каким углом пересекаются параболы у х и у = х ?
645.	Показать, что кривые у = 4х + 2х-$иу=^х - х + 10 касаются друг друга в точке (3; 34). Будет ли то же самое в точке (-2; 4)?
646.	Показать, что гиперболы
2	2	2	,2
ху — а их -у = О пересекаются под прямым углом.
2
647.	Дана парабола у = 4х. Вычислить в точке (1; 2) длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.
648.	Найти подкасательную кривой у = 2х в любой ее точке. 2	2	2
649.	Показать, что у равносторонней гиперболы х - у — а длина отрезка нормали в любой точке равна полярному радиусу этой точки.
2	2	2
650.	Показать, что поднормаль гиперболы х - у = а в любой ее точке равна абсциссе этой точки.
2	2
651.	Показать, что подкасательные эллипса	1и окруж-
л	1 <£*
а о
2	2	2
ности х + у = а в точках, имеющих одинаковые абсциссы, равны между собой. Какой прием построения касательной к эллипсу отсюда вытекает?
652.	Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали у циклоиды
х = a (t - sin О»
у = а (1 - cos t)
в произвольной точке t = tQ.
653.	Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания у логарифмической спирали
г = пе .
654.	Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания у лемнискаты г = a cos 2<р.
655.	Найти длины отрезков полярных касательной, нормали, подкасательной и поднормали, а также угол между касательной и полярным радиусом точки касания у спирали Архимеда
г = а(р
в точке с полярным углом (р = 2л.
§ 4. Геометрические и механические приложения производной
59
656.	Найти длины отрезков полярных подкасательной, поднормали, касательной и нормали, а также угол между касательной и полярным радиусом у гиперболической спирали г = - в произволь-Ф
ной точке ф = срп; г =* rQt
657.	Закон движения точки по оси ОХ есть х = 3t - t3.
Найти скорость движения точки для моментов времени: i0 = 0, tj = 1 и L = 2 (л выражается в сантиметрах, t — в секундах). £
658.	По оси ОХ движутся две точки, имеющие законы движения х = 100 + 5t
и
х=Ь2,
&
где f > 0* С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в момент встречи (х выражается в сантиметрах, t — в секундах)?
659.	Концы отрезка АВ = 5 м скользят по перпендикулярным прямым ОХ и ОУ (рис. 16)* Скорость перемещения конца А равна 2 м/с. Какова скорость перемещения конца В в тот момент, когда конец А находится от начала координат на расстоянии ОА = 3 м?
660*. Закон движения материальной точки, брошенной в вертикальной плоскости ХОУ (рис* 17) под углом а к горизонту с начальной скоростью и0, дается формулами (без учета сопротивления воздуха)
2
X = vQt cos сс, у — vQt sin Ct -	,
где у — время, g — ускорение свободного падения. Найти траекторию движения и дальность полета. Определить также скорость движения и ее направление.
661* Точка движется по гиперболе у = — так, что ее абсцисса х
растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду* С какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положение (5; 2)?
Рис. 16.
Рис. 17.
60
Глава 11. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
662. В какой точке параболы у2 = 18х ордината возрастает вдвое скорее, чем абсцисса?
663* Одна сторона прямоугольника имеет постоянную величину а = 10 см, а другая b изменяется, возрастая с постоянной скоростью 4 см/с* С какой скоростью растут диагональ прямоугольника и его площадь в тот момент, когда b = 30 см?
664,	Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с. С какой скоростью растут площадь поверхности шара и объем шара в момент, когда радиус его становится равным 50 см?
665.	Точка движется по архимедовой спирали
г — сир
(а = 10 см) так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равна 6 град/с. Определить скорость удлинения полярного радиуса г в момент, когда г = 25 см.
666.	Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части AM растет пропорционально квадрату расстояния текущей точки М от конца Л и равна 10 г приАМ = 2 см. Найти массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке М. Чему равна линейная плотность стержня в точках А и В?
§ 5. Производные высших порядков
1°, Определение высших производных. Производной второго порядка или второй производной функции у = f(x) называется производная от ее производной, т. е,
&)'•
Обозначается вторая производная так:
d2 у”, или —, или f"(x).
dxz
,2
Q X
Если х = f(t) — закон прямолинейного движения точки, то —- есть ус-dr
кореяие этого движения.
Вообще, производной п-го порядка от функции у = f(x) называют производную от производной порядка (л - 1). Для n-й производной употребляются обозначения
или —- , или f (л\х).
dx*
Пример 1. Найти производную 2-го порядка от функции
У In (1 - х).
п	, -I	( -1 Y 1
Р е ш е н и е. у = --; у - ---- = -------5 ,
1-х	11-xJ	(1-х)2
§ 5. Производные высших порядков
61
2°. формула Лейбница, Если функции и = <р(х) и и = \|/(х) имеют производные до n-го порядка включительно, то для вычисления n-й производной произведения этих функций можно пользоваться формулой Лейбница
/ Цл) (и)	. (л - 1} , . н(л-1) (л-2) ,, ,	.	(п)
(ио) = и v + пи и 4* ——2 и v + ... + ии .
£ * £
Зг. Производные высших порядков функций, заданных параметрически. Если
X = ф(*), у = v(0,
то производные	,
У xx
.2
d У
, 2 1 dx
... последовательно могут быть
вычислены по формулам
*4
( Ухх )f ----— И т. д.
Для производной 2-го порядка имеет место формула
„ х'/Ун ~
_ . ' f   I V Z I	If U Г
г/
Пример 2, Найти у”, если
х “ a cos /, у “ b sin L
Решение. Имеем
. (d sin/K
У = 1-----77
(a cosf)t
b j cos/
-a sint
Ъ
— - cos t a
3
и
“’Ctg t
„ k a J
У SS ~1---—77
(a cos/)f
b. -1 a sin2/
-a sin/
b a2sin3/
А. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Найти производные 2-го порядка от следующих функций:
667, у = х8 + 7х6 - 5х + 4,
668, у = ех .
669, у == sin2 х.
670.	у = In V1 + .
671.	у = In + Уа2 + х2 J
672.	/(х) = (1 + х2) arctg х
673.	у = (arcsin х)2.
674.	у = a ch - ,
62
Глава IL ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
х ' । 2 х i 2
675.	Показать, что функция у =* ---— удовлетворяет диффе-
£
ренциальному уравнению 1 + у'2 + 2уу”.
1 2 х
676.	Показать, что функция у = -х е удовлетворяет дифферент £
циальному уравнению у" - 2у* + у = е*.
677.	Показать, что функция у = С\е х + С?е 2х при любых постоянных С. и Со удовлетворяет уравнению у" + 3yf + 2у = 0. 1	м
678* Показать, что функция у = е2х sin 5х удовлетворяет уравнению у" -	+ 29у = 0.
679.	Найти у"', если у = х3 - 5х2 -F 7х - 2.
680.	Найти Л"(3), если ftx) - (2х - З)5.
681.	Найти у"' от функции у = In (1 + х).
682.	Найти у от функции у = sin 2х.
683* Показать, что функция у == е х cos х удовлетворяет диффе-ренциальному уравнению у + 4z/ = 0*
684.	Найти /(0),	/"(0) и если
f(x) = ех sin х.
685.	Уравнение движения точки по оси ОХ есть
х = 100 + 5t - 0,001Л
Найти скорость и ускорение точки для моментов времени £0 = 0,
t, = 1; t„ = 10* 1 £
686.	По окружности х2 + у2 = а2 движется точка М с постоянной угловой скоростью сп. Найти закон движения ее проекции на ось ОХ, если в момент t = 0 точка занимает положение Мц(а, 0) (рис. 18). Найти скорость и ускорение движения точки Mv
Чему равны скорость и ускорение точки в начальный момент и в момент прохождения
начала координат?
Каковы максимальные значения скорости и ускорения точки Мt?
687.	Найти производную п-го порядка от функции у = (ах + Ь)п (п — натуральное число)*
688.	Найти производные n-го порядка от функций:
а) У = —; б) у = Ух .
§ 5. Производные высших порядков
63
689- Найти п ю производную от функций:
а) у = sin х;	я}у~ iL;
б) у = cos 2х; ч	-Зх в) у = е ; г)у = 1п(1 + х);	e)9-i±i; 1 — X ж) у = sin2 х; з) у = in (ах + Ь),
690- Применяя формулу Лейбница, найти у , если:
а) у = х ех;	Vx
2 -2х б) у = х е ; в) у = (1 - ха) cos х;	д) у = х3 In X,
691- Найти f (л)(0), если Дх) = In —— .
1-х
Б. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
,2
Найти —от следующих функций:
da
692, а)
х = In t
А у = t
x = arctg £, у = In (1 4- t2);
jx = arcsin tt
в) 1 Г. Л
У = Vi - 
693, а)
х = a cos t, у = a sin t;
з , _ , x = a cos t, О) 1	. 3 4
у = a sin t;
x = a {t - sin t)t
у = a (1 - cos t);
x = a (sin t - t cos t), у = a (cos t + t sin t),
694, a)
695, a)
x = cos 2t, ’	2 .t
у = sin f;
x = arctg t,
\V =
i «
j2
696, Найти —4, если d?
6)
6)
x = e cos t5 у = e*sin t.
-at x = e
at y = e ,
X = In t5
1 y=T^t-
697. Найти при t = 0, если 1X In (1 + f )s dx2	\y = t*
698, Показать, что у как функция от х, определяемая уравнениями х = sin t, у = aef^ +	, при любых постоянных а и b удов-
летворяет дифференциальному уравнению
2
(1 - x2)li -	- 2у.
dx их
64
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
1 £|
Найти у'" == —Е от следующих функций: dx2
699.
х = sec t, У = tg t.
700,
j. x = e cos t, у = e (sin t.
701.
x = e у-/
702, Найти , если < X dZ	-
703, Зная функцию у - f(x)t найти производные x", xf" обратной функции X === f \y).
704.	Найти y"t если x2 4- у2 = 1.
Решение. На основании правила дифференцирования сложной функ-
ции имеем 2х 4- 2уу* = 0; отсюда у' — -- и у" —	-1 = - -—• Подставляя
У	4V* у
вместо у' его значение, окончательно получим
2.2	1
" = ~у -А
Определить производные у" от следующих функций у - f(x)4 за данных неявно:
705.	у2 = 2рх.
2	2
706.	* + 2_ - 1. Jri	1 6
а о
707.	у = х 4- arctg р.
d2 d2x
708.	Имея уравнение у = х 4- In у, найти —Е и —Д .
dx2 dy
709.	Найти у" в точке (1; 1), если
х2 + 5ху + у2 - 2х + у - 6 = 0.
710.	Найти у" в точке (0; 1), если
X - ху 4- у = 1-
711.	а) Функция у задана неявно уравнением
х2 -Ь 2ху 4- у2 - 4х 4- 2у - 2 = 0.
,з
Найти Е в точке (1; 1). dx3
_ тТ « d3V	2.2	2
б) Наити —, если х 4- у = а • dx3
§ 6, Дифференциалы первого и высших порядков
65
§ 6, Дифференциалы первого и высших порядков
1°. Дифференциал первого порядка. Дифференциалом пер* вого порядка функции у = /(х) называется главная пасть ее приращения, линейная относительно приращения Дх - dx независимой переменной х.
Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной: dy = y'dx.
Отсюда
dx
Если MN — дуга графика функции у = f(x) (рис. 19), МТ — касательная в точке М(х, у) и
PQ = Дх = dx, то приращение ординаты касательной
АТ = dy
и отрезок AN = Ду.
Пример 1, Найти приращение и дифференциал функции у = Зх2 - х.
Решение. 1-й способ:
Ду = 3(х + Дх)2 - (х + Дх) “ Зх2 + х
или
Ду = (6х - 1)Дх 4- 3(Дх)2.
Следовательно,
dy = (6х - 1)Дх = (6х - l)dx.
2-й способ:
у' = 6х - 1; dy = y'dx = (6х - l)dx.
Пример 2. Вычислить Ду и dy функции у = Зх2 - х при х = 1 и Дх = 0,01. Решение. Ду = (6х - 1)•Дх + 3(Дх)2 = 5  0,01 + 3 • (0,01)2 = 0,0503 и dy = (6х - 1)Дх = 5  0,01 = 0,0500.
2°. Основные свойства дифференциалов:
1)	de = 0, где с = const.
2)	dx = Дх, где х — независимая переменная.
3)	d(cu) =* cdu.
4)	d(u ± u) = du ± du.
5)	d(uu) « udv 4- udu.
6)	df	*
I uj-
7)	df(u) fr(u)du.
3 и упражнения
66
Глава IL ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
3°. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Если приращение Дх аргумента х по модулю мало, то^ дифференциал dy функции у - /(х) и приращение by функции приближенно! равны между собой:	1
by = dy, т. е.	]
f(x	L	Дх)	-	Дх) ~	f'(x)Ax.	I
откуда	
f(x	4	Дх)	=	Дх) +	Л(х)Дх*	(1))
Пример 3, Насколько приблизительно изменится сторона квадрата,
2
если площадь его увеличилась от 9 до 9,1 м ?
Решение. Если х — площадь квадрата, у — сторона его, то у = Л •
По условию задачи, х = 9; Дх == 0,1.
Приращение Ду стороны квадрата вычисляем приближенно:
Ду ~ dy = у?Дх =	' 0,1 = 0,016 м.
279
4Р. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
d2y = d(dy).
Аналогично определяются дифференциалы третьего и т. д- порядков.
Если у = /(х) их — независимая переменная, то
d2y = //"(dx)2,
d3y = ^'"(dx)3,
V  * пЛ	(л), J л
d у = у '(dx) .
Если же у = /(и), где и = ф(х), то
.2	г ft , -.2	/ ,2 j3	iff/j ,3 I о ffj	।
d i/ У (du) + у d u, d у = у (du) + 3y du • d и + у d и
и т. д. (Здесь штрихами обозначено дифференцирование по и.)
2 Я
712.	Найти приращение Ду и дифференциал dy функции у = 5х 4- х 1
при х	= 2	и Дх =	0,001.	I
713.	Не	вычисляя производной,	найти	1
d(l	-	Г3)	I
при х	= 1	и Лх =	- i .	я
и	Я
714.	Площадь S квадрата со стороной, равной х, выражается поя формуле S = х\ Найти приращение и дифференциал этой функциив и выяснить геометрическое значение последнего.	я
§ 6- Дифференциалы первого и высших порядков
67
715.	Дать геометрическую интерпретацию приращения и дифференциала следующих функций:
а) площадь круга S = лх2; б) объем куба о л:3*
716.	Показать, что при Дх —» О приращение функции у = 2*, соответствующее приращению х на величину Дх, при всяком х эквивалентно выражению 2*Дх 1п 2.
2
717.	При каком значении х дифференциал функции у = х не эквивалентен приращению этой функции при Дх —> О?
718* Имеет ли функция у = х| дифференциал при х = О?
719.	Пользуясь производной, найти дифференциал функции
у cos х при х = - и Дх = —* р	6	36
720.	Найти дифференциал функции
при х = 9 и Д х -0,01*
721.	Вычислить дифференциал функции
t/Mgx
при X = - и Лх =	*
к 3	180
Найти дифференциалы следующих функций для произвольных значений аргумента и его приращения:
722.
727* у = х In х - х.
723. у =
1-х
728. у = In 1—?
724* у - arcsin
' у 14-х*
729* г = cig <р + cosec <р.
а
725* у = arctg
а
730* s = arcctg е .
„г
726, у = е“х *
731.	Найти dy, если х2 + 2ху - у2 = а2,
Решение, Пользуясь инвариантностью формы дифференциала, получим 2xdx 4- 2(ydx -I- xdy) - 2ydy = 0. Отсюда
dy = -^dx* X-y
Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно:
732. (г + у)г(2х + у)3 = 1.
733* у — е у ,
734, 1п 7х2 + у2 = arctg £ .
68
Глава Л. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
735. Найти йу в точке (1; 2), если у3 - у = 6х2* 736. Найти приближенное значение sin 31°.
Решение. Полагая х = аге 30° =
(см. 3°) имеем sin 31° = sin 30° +
~ и Д х = аге 1° =	, из формулы (11
= 0,500 + 0,017 *	= 0,515J
2	*
дифференциалом, приблин
11 180
функции
cos 30°
737, Заменяя приращение женно вычислить:
a) cos 61°; б) tg 44°;
738, Насколько приблизительно увеличится объем шара, если его
радиус Н = 15 см удлинится на 2 мм?
739.	Вывести приближенную формулу (для |Дх|, малых по сравнению с х)
в)е0’2;
д) arctg 1,05.
Дх
и с ее помощью найти приближенные значения для 75 ; 717 ; Ттб; 7640.
740.	Вывести приближенную формулу
Vi + Дх ~ Vx -Ь
- 4х2 + 5х + 3 при х = 1,03;
71 + х при х = 0,2;
и найти приближенные значения для V10 , д/ТО , 3/200 . 741. Найти приближенные значения функций:
а)	у = х3
б)	f(x) =
при х = 0,1;
1	2
г) у = е при х = 1,05.
742.	Найти приближенное значение tg 45°3'20".
743.	Найти приближенно arcsin 0,54.
744.	Найти приближенно 1/17 .
745.	Показать, основываясь на формуле закона Ома I = —, чт( л
малое изменение тока, обусловленное малым изменением сопротив ления, может быть найдено приближенно по формуле
§ 7. Теоремы о среднем
69
746.	Показать, что относительная погрешность в 1% при определении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность приблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности шара,
747,	Вычислить d у, если у = cos 5х.
решение. d2y = £/"(dx)2 = ~25cos 5x(dx)2.
748.	и = л/1 — х2 , найти d2u,
749.	у = arccos х, найти d2у,
2
750.	у = sin х In х, найти d у.
751.	z = — , найти d2z*
х
752.	г = х2е х, найти d3z.
4
753.	2 = —— , найти d г.
2-х
754.	и = 3 sin (2х + 5), найти drtu.
755.	у — е sin (х sin а), наити а у.
§ 7. Теоремы о среднем
1Л Теорема Ролля. Если функция /(г) непрерывна на отрезке а < х < bt имеет производную f\x) в каждой внутренней точке этого отрезка и
/(а) = f(b).
то для аргумента х существует по меньшей мере одно значение где а < £ < Ъ, такое, что
f'&) = 0-
2°. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрез-ке а < х < b и имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то
f(b) - f(a) - (d - a)f'(q),
где a < с < b,
3е. Теорема Коши. Если функции f(x) и Е(х) непрерывны на отрезке а х С Ъ при а < х < b и имеют производные, не обращающиеся в нуль одновременно, причем F(b) £ F(a)f то
F(b)-F(a)	F'&)
где а < с, < b.
756, Показать, что функция f(x) = х - х3 на отрезках -1 С х С 0 < х < 1 удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти соответствующие значения
Решение. Функция f(x) непрерывна и дифференцируема для всех значений х; кроме того, /(—1) = Л °) = 7(1) = 0- Следовательно, теорема Ролля
70
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
применима на отрезках -1 Ч х С ОиО С х < 1, Для нахождения числа 2	/1
составляем уравнение: f'(x) = 1 - Зх = 0* Отсюда = - к ;	=
-1 <	< 0; 0 <	< 1,
-, причем
757.	Функция f(x) = 3J(x - 2)2 на концах отрезка [0, 4] принимает разные значения:
Г(0) = /(4) = V4 .
Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?
758.	Выполнены ли условия теоремы Ролля для функции Дх) = tg х на отрезке [0, л]?
759.	Пусть
Дх) = х(х + 1)(х + 2)(х + 3).
Показать, что уравнение
f'(x} = 0 имеет три действительных корня.
760.	Уравнение
* -I । е = 1 + х,
очевидно, имеет корень х = 0. Показать, что это уравнение не может иметь другого действительного корня.
761.	Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для функции
Дх) = х - х3
на отрезке [-2,1] и найти соответствующее промежуточное значение
Решение. Функция Дх) х - х3 непрерывна и дифференцируема для всех значений х, причем /Дх) = 1 - Зх * Отсюда по формуле Лагранжа имеем /(1) - /(-2) = 0 - 6 = [1 - (-2)]/'(Е), т. е. f'(c) = -2. Следовательно, 1 -	= -2и^ = ±1; годится только значение £ = -1, для которого спра-
ведливо неравенство -2 < Е, < 1.
762.	Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа и найти соответствующую промежуточную точку t, для функции /(х) = х на отрезке [-1, 1].
763* Для отрезка параболы у = х2, заключенного между точками А(1; 1) и В(3; 9), найти точку, касательная в которой параллельна хорде АВ.
764.	Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать формулу sin (х + h) - sin х = h cos где x < < x + h.
765.	а) Для функций f(x) = x2 + 2 и F(x) = x3 - 1 проверить выполнение условий теоремы Коши на отрезке [1, 2] и найти
б) то же для f(x) = sin х и F(x) = cos х на отрезке
ч-
§ 8. Формула Тейлора
71
§ 8. Формула Тейлора
Если функция f(x) непрерывна и имеет непрерывные производные до (п - 1)-го порядка включительно на отрезке а < х < b (или b < х < а), причем в каждой внутренней точке этого отрезка существует конечная производная f[то на этом отрезке справедлива формула Тейлора
,	-2	з
f{x) = /(fl) + (х - a)f'(a) + <£^2_/"(a) + И_Л2_	+ ...
& I	o'
z	ч Л- 1	/
- + (Га „ /(n l)w+ (л-1)?	л!
где £ = a + 0(x - а)иО <0 < L
В частности, при a - 0 имеем {формула Маклорена)
f(x) = /(0) + х/'(0) +	/"(0) + ... +	/(п ' ”(0) +
2!	(Л - 1)!	Л’
где — 0х, 0 < 0 < 1.
3	2
766.	Многочлен f(x) = х - 2х + Зх + 5 разложить по целым положительным степеням бинома х - 2.
Решение. /?(х) =* Зх2 - 4х + 3; f"(x) = 6х - 4;	= 6; /л)(х) = 0
для л > 4. Отсюда
/(2) = И; Г(2) = 7; f"(2) - 8; Г\2) = 6.
Следовательно,
х3 - 2х2 + Зх + 5 = 11 + (х - 2)  7 +	* 8 + <5. 6
2!	3!
или
X3 - 2х2 + Зх + 5 = 11 + 7(х - 2) + 4(х - 2)2 + (х - 2)3.
767.	Функцию f(x) = ех разложить по степеням бинома х + 1 до члена, содержащего (х + 1) •
Решение, f (nJ(x) = е* для всех л, /”\-1) = - - Следовательно, е
е1 = 1 + (х + 1)1 +	1 +	1 + (£±1Z Д
е	е 2! е 3! е 4!
где - -1 + G(X + 1), 0 < 6 < 1.
768.	Функцию /(х) = In х разложить по степеням х - 1 до члена С (х - 1)2.
769.	Функцию Дх) = sin х разложить по степеням х до члена с xJ и До члена с х .
770.	Функцию f(x) = ех разложить по степеням х до члена с хп \
72
Глава II. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
771.	Показать, что sin (а 4- h) отличается от sin а + h cos а
д	11%
не более чем на - Л .
2
772.	Выяснить происхождение приближенных формул:
а)	71 + х = 1 + -х - lx2, |х| < 1» 2	8
б)	У1 + х = 1 + i х - i х2, |х| < 1, О	У
— и оценить их погрешность.
773.	Оценить погрешность формулы
774.	Тяжелая нить под действием собственного веса провисает по
цепной линии у = a ch - . Показать, что для малых |х| форма нити а
приближенно выражается параболой
2
А , х у = а + — . * 2а
775*. Показать, что при |х| « а с точностью до I имеет место \О/
приближенное равенство
1а+1х
*ja - х '
§ 9. Правило Лопиталя—Бернулли раскрытия неопределенностей
1°. Раскрытие неопределенностей типа - и — . Пусть од-0	00
позначные функции f(x) и ф(х) дифференцируемы при 0 < [х - а| < ht причем производная ф'(х) не обращается в нуль.
Если /(х) и ц>(я) — обе бесконечно малые или обе бесконечно большие f(x)
при х —> а, т. е. если частное   7 представляет в точке х = а неопределен-Ф(х)
О	оо
ность типа - или — , то
О	&
и Лх) г f'(x) lim - lim ' Д 2 x -в ф(х) г-д <р (х)
при условии, что предел отношения производных существует (правило Лопиталя—Бернулли). Правило применимо и в случае, когда а =
§ 9- Правило Лопиталя—Бернулли раскрытия неопределенностей
73
Если частное —-—- вновь дает неопределенность в точке х — а одного из Ф (*)
двух упомянутых типов и f'{x) и ср'(х) удовлетворяют всем требованиям, ра-нее сформулированным для f(x) и ср(х), то можно перейти к отношению вторых производных и т. д.
Однако следует помнить, что предел отношения ——L может существо-Ф(*)
вать в то время, как отношения производных не стремятся ни к какому пределу (см. № 809)*
2\ Прочие неопределенности* Для раскрытия неопределенностей типа 0 ’ 00 преобразуем соответствующее произведение /Jx) • /2(x)t
где hm /\(х) = 0 и lim /2(х) = °°, в частное -А-— тип- или —-—
г —•и	х -* а	1	\ UJ	1
/ ОО1 тип — .
В случае неопределенности типа 00 - °° следует преобразовать соответ-Г ствующую разность fr(x) - fz(x) в произведение f^x) 1 -
и раскрыть
f2(*)	г /2(^)	1
сначала неопределенность —— ; если lim -- = 1, то приводим выраже-
f^x)	x-af^x)
ние к виду
ад
Л(х) f 0> 1 I о;
А(*)
Неопределенности типов 1 , 0 , °о раскрывают с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела логарифма степени
(что потребует раскрытия неопределенности типа 0 ' <*>)
В некоторых случаях правило Лопиталя—Бернулли полезно комбинировать с нахождением пределов элементарными средствами.
Пример 1* Вычислить
1л х (	©о\
lim ---- неопределенность типа — ,
т—о ctg х к	°°7
Решение. Применяя правило Лопиталя—Бернулли, имеем
2 lim -2Н- = lim (W _Ит sinjc. j — 0 ctg X X-O(ctrgx) x-0 X
Получили неопределенность типа , однако применять правило Лопиталя—
Бернулли нет надобности, так как . 2
V Sin X ,* Sinx . inn lim ---- = hm -----  sin x = 1 * 0 = 0.
x—о x	r-0 x
74
Глава И. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Таким образом, окончательно находим
lim = 0.
х “* 0 ctg X
Пример 2.
Вычислить
lim
. 2	2
^Sin X X
(неопределенность типа °° - оо),
Решение.
Приведя дроби к общему знаменателю» получим
lim
* -► о
. 2	2
\sm х х
х^ — sin2x f	(П
lim — ---— неопределенность типа - .
t-_t.n2.2l	О/
х и X sin X 4	v/
Прежде чем применить правило Лопиталя—Бернулли, заменим знаменатель последней дроби эквивалентной ему бесконечно малой (гл. I, § 4) x2sin2 х ~ х . Получим
lim
х -*о
1 1
. 2	2
^sin X X
2.2/	Лч
X SIH X г	Vi
= lim ------ неопределенность типа - ,
Z-0	/ I	0J
По правилу Лопиталя—Бернулли»
lim
х 0 ^sin/x
г 2x-sin2x = пт ---------
4х3
= lim х —0
2 - 2соэ2х 12х2
1
2
2
Далее, элементарным путем находим
lim х — о
 2
^sin x
= lim
X - 0
1 - cos2x 6х2
Q  2 v 2sin х = lim ---—
6?
2
3 ‘
Пример 3. Вычислить
з
- оо.
lim (cos2x) (неопределенность типа 1 ).
Логарифмируя и применяя правило Лопиталя—Бернулли, й.
2 lim ln(cos2x)* х —о
= lim х — о
3lncos2x = _6цт tg 2х 2х
получим
2
= -6.
£
2
Следовательно, lim (cos2x) x^O
-6 = е
Найти указанные пределы функций: 776. lim ^3-2^-^ + 2
Решение.
х3 - 7х + 6
lim xj-2*2-* + 2 = Um
х - 7х + 6	1
Зх2~4х- 1
Зхг-7
2
§ 9. Правило Лопиталя—Бернулли раскрытия неопределенностей
75
777.	lim x * 0	xcosx - sinx 3 X	782.	lim Л	tg r tg 5x 
778.	lim x - 1	1 - X л	* ПХ 1 - sin	 2	783.	lim x «	e “5 ' X
779.	lim x —L 0	ch x -1 1 - cosx	784.	Hm	Inx Vr '
					Tt
780.	lim x >0	tg x - sinx x - sinx	785.	lim x^ 0	X . ГСХ ctgT
781.	lim Л x —* -	sec2 x - 2tg x 1 + cos4x	786.	lim x - 0	In(sinmx) In sinx
4
787. lim (1 - cos х) ctg х. — О
Решение, lim (1 - cos x)ctg х = Km " cosx)cosx х^О	х * О sinx
1-	1 - cosx 1 	.. sinx -	~
= hm —;------- * lim cos x - lim ----- '1 = 0.
x — о sinx x-0	x-0 cosx
788.	lim	(1 -x)tg^.
	X - 1	2
789.	lim	arcsin x ctg x.
	x-0	
790.	lim	(xne *), n > 0.
		
794.	lim	< X	1
	x - 1	Vx - 1 lnx7
791.	lim x sin - , x  - ™ x
792.	lim xn sin - , n > 0* x ™	x
793.	lim In x In (x - 1).
X -* 1
Решение, lim ( X  -	= lim	=
jc-* 1 \X — 1 1HX>	(x-l)lnx
x i + Inx - 1	1
- lim - x i_____ = lim ln* = lim	1 .
lnx+-(x-l) X^lnx-i + l	+	2
X	X	X
797. lim
д \ctg x 2cosx
X^2
796. lim -----------—--------------.
|_2(1 " Vx) 3(1 -37x)
76
Глава IL ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
798. lim Xх.
х-0
х	In X
Решение. Имеем х = у; In. у = х In х; lim In у = lim х In х = lim -
' х -* о	х - * о 1
X	х
— lim —— — О, откуда lim у “ 1, т. е. lim х = 1* х - о 1	х — О	х О
799. lim хх.
X -+ +О0
1 804. lim х1-\ х >1
з
800. lim x4 + ini.
X -О
805. lim
x^l
801. lim xsinx.
x-0
802. lim (1 - x) x^ i
806. lim (ctgx)ln\ X - 0
„	/ I \ tg
807. lim A r -> c \x>
2
803. lim (1 + x2)\ x -* о
808. lim (ctg x)SLtlx. x^O
809. Доказать, что пределы:
2 . 1 x sin-
a) lim ------ = 0;
x -> о sinx
6) lim *~sinx - 1 x + sinx
— не могут быть найдены по правилу Лопиталя—Бернулли. Найти
эти пределы непосредственно.
810*. Показать, что площадь кругового сегмента с малым центральным углом ос, имеющего хорду АВ = Ъ и стрелку CD = h (рис. 20), приближенно равна
s~lbh
со сколь угодно малой относительной погрешностью при о 0.
Глава III
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента
1°. Возрастание и убывание функций. Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале (отрезке), если для любых точек х7 и х2, принадлежащих данному интервалу (отрезку), из неравенства хт < х2 следует неравенство f(x^) < f(x2) (рис, 21, а) (/(Xj) > [(х2) (рис, 21, б)), Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а, &] и f'(x) > 0	< 0) при а < х < Ьу то f(x) возрастает (убывает) на отрезке
[а, 6],
Рис. 21.
Рис. 22.
В простейших случаях область существования функции f(x) можно разбить на конечное число промежутков возрастания и убывания функции (гсро-межутки монотонности). Эти промежутки ограничены критическими точ’ ками х (где f'(x) = 0 или же f'(x) не существует).
Пример 1. Исследовать на возрастание и убывание функцию
у = х2 - 2х + 5,
Решение, Находим производную
/ = 2х - 2 = 2(х - 1).	(1)
Отсюда у' = 0 при х — 1. На числовой оси получаем два промежутка моно-тонности: (-ос, 1) и (1, Из формулы (1) имеем: 1) если -’©о < х < 1, то У < 0 и, следовательно, функция /(х) убывает в промежутке (-°°, 1); 2) если ^<^<+оо,тоу'>0и, следовательно, функция f(x) возрастает в промежутке (1- +оо) (рис. 22).
78 Глава III. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Пример 2. Определить промежутки возрастания и убывания функции
У я + 2 ‘
Решение, Здесь х = -2 — точка разрыва функции, у' = ------ < О
(х + 2/
при х -2. Следовательно, функция у убывает в промежутках < х < -2 и -2 < х <
Пример 3. Исследовать на возрастание и убывание функцию
Решив уравнение х4 — х% = 0, найдем точки Xj = -1, х% = 0, х3 — 1, в которых производная у7 обращается в нуль. Так как у' может изменять знак только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит разрыв непрерывности (в данном случае точки разрыва для у* отсутствуют), то в каждом из интервалов (-°°, -1), (-1, 0), (0, 1) и (1, производная сохраняет постоянный знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов функция возрастает, а в каких — убывает, нужно узнать, каков знак производной в каждом из этих интервалов. Для того чтобы выяснить, каков знак у' в интервале -1), достаточно узнать знак yf в какой-нибудь одной точке этого интервала; взяв, например, х = -2, получим из (2) у' = 12 > 0, следовательно, / > Ов интервале -1) и функция в этом интервале возрастает. Аналогично найдем, что / <0в интервале (-1, 0) ^для проверки можно, например, взять х = -- 1 , у' < 0 в интервале (0, 1) [здесь можно
использовать х = i ] и у' > 0 в интервале (1, +°°)й 2 /
Таким образом, исследуемая функция возрастает в промежутке -1), убывает в промежутке (-1, 1) и опять возрастает в промежутке (1, Ч °°).
2°. Экстремумы функции. Если существует такая двусторонняя окрестность точки х0, что для всякой точки х х0 этой окрестности
имеет место неравенство /(х) > /(х0), то точка х0 называется точкой минимума функции у *= Дх), а число /(х0) — минимумом функции у - Дх). Аналогично, если для всякой точки х * xt некоторой окрестности точки хх выполняется неравенство f(x) < /(х:), то х} называется точкой максимума функции /(х), a f(xx) — максимумом функции (рис. 23). Точка минимума или максимума функции называется ее точкой экстремума, а минимум или максимум функции — экстремумом функции. Если х0 — точка экстремума функ^
§ 1. Экстремумы функции одного аргумента
79
ции /(#)i то / (Ло) = 0 (стационарная точка) или же f'(xQ) не существует (необходимое условие существования экстремума). Обратное предложение не верно: точки, в которых f'(x) = О или же f'(x) не существует (критические точки), не обязательно являются точками экстремума функции f(x). Достаточные признаки существования и отсутствия экстремума непрерывной функции f(x) даются следующими правилами:
1. Если существует такая окрестность (хй “ 5, х0 + 6) критической точки х0, что f'(x) > 0 при х0 - 8 < х < х0 и f'(x) < 0 при х0 < х < Ху + 8, то хд — точка максимума функции /(х); если же f'(x) < 0 при х0 - 8 < х < х0 и f'(x) > 0 при х0 < х < х0 + 8, то х0 — точка минимума функции f(x).
Если, наконец, найдется такое положительное число 8, что f'(x) сохраняет неизменный знак при 0 < jx - xg| < 8, то точка х0 не является точкой экстремума функции Дх).
2. Если f'(xQ) = 0 и /"(хд) < 0, то х0 — точка максимума функции /(х); если f'(xQ) - 0 и f"(xQ) > 0, то х0 — точка минимума функции Дх); если же /7(Ху) = 0, f"(xG) = 0, a f'"(xG) 0, то точка не является точкой экстремума функции /(х).
В более общем виде: пусть первая из не равных нулю в точке х0 производных функции /(х) имеет порядок k. Тогда если k — четное, то точка является точкой экстремума, а именно точкой максимума, если / (х0) <
(М
и точкой минимума, если f (х0) > 0. Если же k — нечетное, то точка не является точкой экстремума.
Пример 4. Найти экстремумы функции
х0
О,
О
Решение. Находим производную
у' = 2 + — = — 0jx + 1).
Приравнивая производную у' нулю, получаем
Отсюда находим стационарную точку х; = -1. Из формулы (3) имеем: если х *=	- h, где h — любое достаточно малое положительное число, то у' > 0;
если же х = -I + h, то у* < 0 \ Следовательно, Xj = -1 есть точка максимума Функции у, причем утдх = 1,
Приравнивая нулю знаменатель выражения yf из (3), получаем
отсюда находим критическую точку функции х2 — 0, где производная у' не существует. При х = ~h, очевидно, имеем у' < 0; при х = h имеем у' > 0,
Если определение знака производной у' затруднительно, то можно произвести арифметический расчет, взяв в качестве h достаточно малое положительное число.
80 Глава HL ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ, ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Следовательно, х2 “ 0 есть точка минимума функции у, причем pm.n = О (рис. 24), Исследование поведения функции в точке х1 = —1 можно также провести с помощью второй производной
" = 2 _
3x3Ji
Здесь у" < 0 при xr = -1 и, следовательно, xt = -1 есть точка максимума
функции,
3°. Наименьшее и наибольшее значения. Наименьшее
(наибольшее) значение непрерывной функции f(x) на данном отрезке [а, Ь] достигается или в критических точках функции, или на концах отрезка [а, Е>].
Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
у = х3 - Зх 4- 3
1 1 <	< о1
на отрезке -1~ < хч 2-.
Решение. Так как
у' = Зх2 - 3, то критическими точками функции у являются = —1 и хй 1. Сравнивая значения функции в этих точках и значения функции на концах заданного отрезка
е/(-1) = 5; у(1) = 1; 1/-1Г) =4^; ^<211 = 111,
заключаем (рис. 25), что наименьшее значение функции тп — 1 достигается в точке х = 1 (в точке минимума), а
наибольшее М = 11 - достигается в точке х = 2 - (на правом конце отрезка). 8	2
Определить промежутки убывания и возрастания функций:
811.	у = 1 - 4х - х2.
812.	у = (х - 2)2.
813.	у = (х + 4)3.
814.	у = х2(х - 3).
816. у = -J-j.
(Х-1)2
817. у =	----.
X -6х - 16
819.	у= i - </х.
у 3
820.	у — х sin х.
821.	у = х In х,
822.	у = arcsin (1 + х).
823.	у = 2ex*~ix.
1
824.	у = 2х“а.
825. у = L .
X
818. у = (х - 3)Jx .
§ 1, Экстремумы функции одного аргумента
81
Исследовать на экстремум следующие функции:
826.	у = х2 + 4х + 6»
Решение. Находим производную данной функции у' = 2х + 4. Приравняв у' нулю, получаем критическое значение аргумента х = -2, Так как у' < 0 при х < -2 и у' > 0 при х > ~2, то х = -2 является точкой минимума данной функции, причем ymin = 2. Тот же результат мы получим, используя знак второй производной в критической точке: у" = 2 > 0.
827.	у = 2 + х - х2.
828.	у = х3 - Зхй + Зх + 2.
829.	у = 2х3 + Зх2 - 12х + 5.
Решение. Находим производную
у' = 6х2 + 6х - 12 = 6(х2 + х - 2).
Приравнивая производную у' нулю, получаем критические точки — —2 и х2 = 1. Для определения характера экстремума вычисляем вторую производную у" = 6(2х 4- 1). Так как у'1{-2) < 0, то = -2 есть точка максимума функции у, причем = 25. Аналогично имеем у"(1) > 0; поэтому х2 = 1 есть точка минимума функции у и ymiti = -2.
830.	у = х2(х - 12)2.
831.	у = х(х - 1)2(х - 2)3.
832.	у = -х-— .
х2 + 3
833.	у = x~2x + 2 .
v х- 1
834.	у =	.
*	2
X
835.у =	16 2 .
х(4 - х )
836. у =	4	.
Jx2 + 8
837.у =
838.у -
х
840.	у = 2 cos - + 3 cos - . 2	3
841.	у = х - In (1 + х).
842.	у = х In х.
843.	у = х In2 х.
844.	у = ch х.
845.	х = хе*.
846.	у = х2е *.
847.	у =	.
9 х
848.	у = х - arctg х.
839. у = 2 sin 2х + sin 4х.
82 Глава III, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Определить наименьшие и наибольшие значения функций на указанных отрезках (если отрезок не указан, то следует определить наименьшее и наибольшее значения функции во всей области существования):
849.1/	...
1 + х
850.	у = 7^(Ю - х).
851.	у = sin4 х + cos4 х.
852.	у = arccos х.
853. у = х3 на отрезке [-1, 3].
854. у - 2х3 + Зх2 - 12х + 1;
а)	на отрезке [-1, 5];
б)	на отрезке [-10, 12]*
855. Показать, что при положительных значениях х имеет место неравенство
X + - >2.
X
856* Определить коэффициенты р и q квадратного трехчлена у = х2 + рх 4- q так, чтобы этот трехчлен имел минимум у = 3 при х = 1. Объяснить полученный результат геометрически*
857. Доказать неравенство
ех > 1 + х при х Ф 0.
Решение. Рассмотрим функцию
f(x) = /- (1 + х).
Обычным приемом находим, что эта функция имеет единственный минимум ДО) = 0. Следовательно,
fix) > /(0) при х * О,
т. е.
е* > 1 4- х при х 0, что и требовалось доказать.
Доказать неравенства: з
858. х -	< sin х < х при х > 0.
2
859* cos х > 1 - при х 0.
2
860* х - 5*- < In (1 + х) < х при х > 0.
2
861. Данное положительное число а разложить на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим*
862* Кусок проволоки данной длины I согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей*
§ 1» Экстремумы функции одного аргумента
83
863,	Какой из прямоугольных треугольников с заданным периметром 2р имеет наибольшую площадь?
864,	Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наивыгоднейшая (в смысле площади) форма площадки, если имеется I погонных метров сетки?
865,	Из квадратного листа картона со стороной а требуется сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся крестообразной фигуры.
866.	Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать V литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести?
867.	Какой из цилиндров с данным объемом имеет наименьшую полную поверхность?
868.	В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.
869.	В данный шар вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.
870.	В данный шар вписать конус с наибольшим объемом,
871.	В данный шар вписать прямой круговой конус с наибольшей боковой поверхностью.
872,	Около данного цилиндра описать прямой конус наименьшего объема (плоскости и центры их круговых оснований совпадают).
873.	Какой из конусов, описанных около данного шара, имеет наименьший объем?
874.	Полоса жести шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (рис. 26), Каков должен быть центральный угол <р, чтобы вместимость желоба была наибольшей?
875.	Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости.
Рис. 26.
876.	Открытый сосуд состоит из цилиндра, заканчивающегося снизу полусферой; толщина стенок постоянна. Каковы должны быть
размеры сосуда, чтобы при данной вместимости на него пошло ми
нимум материала?
877-	Определить наименьшую высоту h = ОВ двери вертикальной башни ABCD, чтобы через эту Дверь в башню можно было внести жесткий стержень MN длины Z, конец которого М скользит вдоль горизонтальной прямой АВ. Ширина башни d < 1 (рис. 27).
878.	На координатной плоскости дана точка Л^0(хо, у0), лежащая в первой четверти. Провести
Рис. 27.
84 Глава Ш* ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ, ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
через эту точку прямую так, чтобы треугольник, образованный ею с положительными полуосями координат, имел наименьшую площадь.
879.	В данный эллипс вписать прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными осям эллипса.
880.	В сегмент параболы у2 = 2рх, отсекаемый прямой х = 2а, вписать прямоугольник наибольшей площади.
881.	На кривой у = ——- найти точку, в которой касательная со-1 + х2
ставляет с осью ОХ наибольший по модулю угол.
882.	Гонцу нужно добраться из пункта А, находящегося на одном берегу реки, в пункт В, находящийся на другом. Зная, что скорость движения на берегу в k раз больше скорости движения по воде, определить, под каким углом гонец должен пересечь реку для того, чтобы достичь пункта В в кратчайшее время* Ширина реки — h, расстояние между пунктами А и В (вдоль берега) — dt Скоростью течения реки пренебречь*
883• На прямолинейном отрезке АВ = а, соединяющем два источника света А (интенсивность и В (интенсивность 12), найти точку М, освещаемую слабее всего (освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света).
884* Лампа висит над центром круглого стола радиуса г* При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)
885.	Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать балку прямоугольного сечения* Каковы должны быть ширина г и высота у этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление: а) на сжатие, б) на изгиб?
Примечание* Сопротивление балки на сжатие пропорционально площади ее поперечного сечения, а на изгиб — произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты.
1р 886. Однородный стержень АВ, который может вращаться около точки А (рис* 28), несет груз
-л а г ।	массы М на расстоянии а от точки А и удержива-
Йф	ется в равновесии вертикальной силой Р, прило-
женной к свободному концу В стержня* Погонная Рис. 28. плотность стержня q. Определить длину стержня х
так, чтобы сила Р была наименьшей, и найти Pniin.
887*. Центры трех упругих шаров А, В, С расположены на одной прямой. Шар А массы М со скоростью и ударяет в шар В, который, получая известную скорость, ударяет в шар С массы пг* Какова должна быть масса шара В, чтобы скорость шара С оказалась наибольшей?
§ 2, Направление вогнутости. Точки перегиба
85
888- Имея N одинаковых электрических элементов, мы можем различными способами составить из них батарею, соединяя по и эле-
ментов последовательно, азатем полученные группы числом — — \	л у
параллельно. Ток, даваемый такой батареей, определяется формулой
г = Nn£
1	-----2~ ’
И + п Г
где S' — электродвижущая сила одного элемента, г — его внутреннее сопротивление, R — внешнее сопротивление*
Определить, при каком значении п батарея даст наибольший ток, 889- Определить, при каком диаметре у круглого отверстия в плотине секундный расход воды Q будет иметь наибольшее значение, если Q = су Jfi- у, где h — глубина низшей точки отверстия (h и эмпирический коэффициент с постоянны).
890, Если хр х2, хп — результаты равноточных измерений величины х, то ее наивероятнейшим значением является то, при котором сумма квадратов погрешностей
л
а = V (х - X;)2
i	= 1
имеет наименьшее значение (принцип наименьших квадратов). Доказать, что наивероятнейшее значение величины х есть среднее арифметическое результатов измерений.
§	2. Направление вогнутости. Точки перегиба
1°. Вогнутость графика функции. Говорят, что график дифференцируемой функции у /(х) вогнут вниз на интервале (а, Ь) (вогнут вверх на интервале (ар Е^)), если при а< х <Ъ дуга кривой расположена ниже (или соответственно при а1 < х <	— выше) касательной, проведенной в любой
точке интервала (а, Ь) (или интервала
(рис. 29). Достаточным условием вогнутости вниз (вверх) графика у = f(x) является выполнение на соответствующем интервале неравенства
Г(х) < 0 (Г(х) > 0),
Вместо того чтобы сказать, что график вогнут вниз, говорят также, что он направлен выпуклостью вверх. Аналогично график, вогнутый вверх, называют также направленным выпуклостью вниз.
86 Глава III. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
2°. Точки перегиба. Точка (х0, /(х0)), в которой изменяется направление вогнутости графика функции, называется точкой перегиба (рис, 29),
Для абсциссы точки перегиба х0 графика функции у = /(х) вторая производная f”(xQ) - 0 или f"(x0) не существует. Точки, в которых f"(x) — О или f'\xQ) нс существует, называются критическими точками 2-го рода. Критическая точка 2-го рода х0 является абсциссой точки перегиба, если f*(х) сохраняет постоянные знаки в интервалах х0 - 8 < х < х0 и х0 < х < < х0 + 8, где 8 — некоторое положительное число, причем эти знаки противоположны, и не является точкой перегиба, если знаки f\x) в указанных выше интервалах одинаковы.
Пример 1. Определить интервалы вогнутости и выпуклости, а также точки перегиба кривой Гаусса
2
-X У = е >
Решение. Имеем
/ о у = -2хе и
2	-х2
у" = (4х - 2)е	.
Приравняв вторую производную у" нулю, находим критические точки 2-го рода:
1 1
X] = и х2 - — .
J2
Эти точки разбивают числовую ось — со < х < +°° натри интервала: I(-°°t xt), II (хр х2) и Ш (х2, Ч-со), Знаки у” соответственно будут +т + (в этом можно убедиться, взяв, например, по одной точке в каждом из указанных интервалов и подставив соответствующие значения х в у"). Поэтому: 1) кривая вог
нута вверх при -оо < х < -— и — < х < +«?;
72 72
2) вогнута вниз при < х <	. Точки
72	72
— точки перегиба (рис* 30).
Заметим, что ввиду симметрий относительно оси OY кривой Гаусса исследование знака вогнутости этой кривой достаточно было производить лишь на полуоси 0 < х < +™.
Пример 2. Найти точки перегиба графика функции
у = Ух + 2 .
Решение. Имеем
_5
,,	2, , з -2
У =--(х + 2)	= —-	(1)
9	937(ж + 2)5
Очевидно, у" в пуль нигде не обращается*
§ 3, Асимптоты
87
Приравнивая нулю знаменатель дроби в правой части равенства (1), получаем, что у" не существует при х = -2. Так как у" > 0 при х < -2 и у" < О при х > -2, то (-2, 0) есть точка перегиба (рис, 31), Касательная в этой точке параллельна оси ординат, так как первая производная у' при х — -2 бесконечна.
Найти интервалы вогнутости и точки перегиба
графиков функций:
891.	у = / - 6х2 + 12х + 4.
892.	у = (х + I)4.
893.	у = -Ц.
х “И 3
894.	у =	— .
х +12
896.	у = COS X.
897.	у = х - sin х,
898.	у - х2 In х.
899.	у = arctg х - г.
895.	у = V^x3 - 12х .	900. у = (1 + х2)е\
§ 3. Асимптоты
Iе. Определение. Если точка (х, у) непрерывно перемещается по кривой у = /(х) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к бесконечности, и при этом расстояние точки от некоторой прямой стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой,
2й. Вертикальные асимптоты. Если существует число а такое, что
lim f(x) = оо, х > а
то прямая х = а является асимптотой (вертикальная асимптота).
3°. Наклонные асимптоты. Если существуют пределы
lim =h
х-	X	1
И
lim [/(х) - &..Х] = д.,
то прямая у = krx + b± будет асимптотой (правая наклонная или, в случае = 0, правая горизонтальная асимптота).
Если существуют пределы
lim = k г - -ос- х £
И
lim [/(х) - й9х] Ь,,, х — -со	*
88 Глава III. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
то прямая у = k9x +	— асимптота (левая наклонная или, в случае k9 ~ О,
левая горизонтальная асимптота). График функции у — f(x) (функция предполагается однозначной) не может иметь более одной правой (наклонной или горизонтальной) и более одной левой (наклонной или горизонтальной) асимптоты.
Пример 1, Найти асимптоты кривой
2
-1
Решение. Приравнивая знаменатель нулю, получаем две вертикаль* ные асимптоты:
х - -1 и х = 1.
Ищем наклонные асимптоты. При х +°° получаем:
k. = lim “ lim —х __ ~ 1,
1	X х	/ 2 7
Xtjx -1
b. = lim (у - х) — lim -——1 = qt
1 * h +°° ।
следовательно, правой асимптотой является прямая у - х, Аналогично при
х —> -оо имеем:
k9 = lim = -1, х—-со х
b9 = lim (у И- х) = О,
Таким образом, левая асимптота есть у = -х (рис, 32), Исследование на асимптоты данной кривой упрощается, если учесть симметрию этой кривой.
Пример 2. Найти асимптоты кривой
у = х + In х.
Решение, Так
как
lim у = -оо, х- +о L
то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой (нижней). Исследуем кривую только на наклонную правую асимптоту (так как х > 0),
Имеем:
k = lim £ = 1, х-*+с» X
b = lim (у - х) = lim In х = X —» + со	х 4-СО
Следовательно, наклонной асимптоты нет.
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = q>(t); у ~ то сперва исследуют, нет ли таких значений параметра t, при которых одна
§ 4. Построение графиков функций по характерным точкам	89
из функций <p(t) или ф(/) обращается в бесконечность, а другая остается конечной. При (р(у = ™, а =* с кривая имеет горизонтальную асимптоту у = с. При Ч>(tQ) ~ a (p(tg) с кривая имеет вертикальную асимптоту х = с* Если ср(£0) = vU{j) = 00 и притом
lim = fe; lim [y(t) - Йф(О] = i “k fjj <p(t)	t — t0
то кривая имеет наклонную асимптоту у = kx + b.
Если кривая задана полярным уравнением г — /(ф), то можно найти ее асимптоты по предыдущему правилу, преобразовав уравнение кривой к параметрическому виду по формулам х ~ г cos ф = /(ср) cos ф; у = г sin ф = /(ф) sin ф*
Найти асимптоты кривых:
1	2
901.	у = —.	908. у = х - 2 +	---
(*-2)г	7779
902.	у = ——*-----.	909. у = е"1* + 2 .
х2 - 4х + 3
2	-
903.	у	910.у =  1 
х- 4	1 - еж
з	1
904.	у = * .	911. у = е*.
х +9
905.	у = 7/1 •	912. у =	.
х
906.	у = х .	913* у = In (1 + х).
Jx2 + 3
907.	у = х + 1 .	914. х — t\ у = t + 2 arctg t.
ТаЛ
915. Найти асимптоту гиперболической спирали г = - * Ф
§ 4, Построение графиков функций по характерным точкам
При построении графика функции следует прежде всего найти область определения этой функции и выяснить поведение функции на границе ее области определения. Полезно также предварительно отметить некоторые особенности функции (если они имеются), как-то: симметрия, периодичность, постоянство знака, монотонность и т. п.
Далее, нужно найти точки разрыва, точки экстремума функции, точки перегиба, асимптоты и т. д. Найденные элементы позволяют выяснить общим характер графика функции и получить математически правильный эскиз его.
90 Глава III. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Пример 1. Построить график функции
Решение. а) Функция существует всюду, кроме точек х — ±1.
Функция — нечетная, поэтому график функции симметричен относительно точки 0(0; 0). Это обстоятельство упрощает построение графика,
б) Точками разрыва являются точки х — -1 и х = 1, причем lim у -
х — И-оо
= +оо и ]im_ у = следовательно, прямые х = ±1 являются верти-Х-к -1+00
кальными асимптотами графика,
в) Ищем наклонные асимптоты. Имеем
k, = lim = О,
1 х- I X
= lim у =
следовательно, праной наклонной асимптоты нет. Из симметрии графика следует, что левая наклонная асимптота также отсутствует.
г) Находим критические точки 1-го и 2-го рода, т, е, точки, в которых обращается в нуль или не существует первая или соответственно вторая производная данной функции.
Имеем
у” = 2х(9 х ) 937(л:2-1)7
Производные yf и у" не существуют только при х = ±1, т, е, только в тех точках* где не существует и сама функция у, поэтому критическими точками будут лишь те точки, где yf или y,f обращается в нуль.
Из (1) и (2) следует:
у‘ — 0 при х = ± а/з ;
у" = 0 при х = 0 и х = +3,
Таким образом* у' сохраняет постоянный знак в каждом из интервалов (-^, — а/3 ), ("а/3, -1), (-1, 1), (1* л/3 ) и (7з, 4 °°), а у" - в каждом из интервалов (-°0, -3), (-3, -1), (-1, 0), (О, 1), (1, 3) и (3, +°о).
Для того чтобы выяснить, каковы именно знаки у' (или соответственно у") в каждом из указанных интервалов, достаточно определить знак у' (или у”) в какой-нибудь одной точке каждого из этих интервалов.
Результаты такого исследования удобно свести в таблицу (табл, I)* вычислив также ординаты характерных точек графика функции. Заметим, что ввиду нечетности функции у вычисление достаточно провести лишь при х > 0; левая половина графика восстанавливается по принципу нечетной симметрии.
§ 4. Построение графиков функций по характерным точкам
91
Таблица I
X	0	(0, 1)	1	о, 73)	Л =1,73	(7з, з)	3	(3, +оо)
У	0	—	+сх>	4-	4	=1т37 */2	+	1,5	Ч-
У'	—	—	не сущ.	—	0	+	ч	4“
г/ У	0	—	не сущ.	+	+	+	0	Тп
Выводы	Точка перегиба	Функция убывает; график вогнут вниз	Точка разрыва	Функция убывает; график вогнут вверх	Точка минимума	Функция возрастает; график вогнут вверх	Точка перегиба	Функция возрастает; график вогнут вниз
д) Пользуясь результатами исследования, строим график функции (рис. 33).
Рис. 33.
Пример 2. Построить график функции
1пх
Решение, а)Область существования функции: 0 < х < +оо, б) В области существования точек разрыва нет, но при приближении к
граничной точке (х = 0) области существования имеем
lim у = lim = -оо. х —* 0	л* -* 0 X
Следовательно, прямая х = 0 (ось ординат) является вертикальной асимптотой.
в)	Ищем правую наклонную или горизонтальную асимптоту (левая наклонная асимптота отсутствует, так как невозможно, чтобы х —* -оо);
k ™ Иш = 0, b = Кт у = 0.
X —- I со X	X -* +ОО
Следовательно, правой горизонтальной асимптотой является ось абсцисс: У = 0.
г)	Находим критические точки. Имеем
, _ 1 —Inx uff - 21пх-3,
х	х
92 Глава IIL ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
у' и у" существуют во всех точках области существования данной функции и /-О при In х = 1, т. е. при х = е;
// Л I	3	3/2
у =0 при In х = - , т. с, при х = е
&
Составляем таблицу, включая характерные точки (табл, П). При этом кроме найденных характерных точек полезно найти также точки не ресече-ния графика с осями координат. Положив у = 0, находим х - 1 (точка пересечения кривой с осью абсцисс); с осью ординат график не пересекается.
Таблица II
X	0	(0,1)	1	(1, е)	е~2,72	э (е, е )	3 2 е « -4,49	3 (е2 , +<»)
У	—оо	—	0		1 е -0,37	+	3	+
							-0,33	
	не сущ.	4-	4*	4-	0	—		—
г	не сущ.	—	—	—		—	0	+
Выводы	Граничная точка области определения функции. Вертикальная асимптота	Функция возрастает; график вогнут вниз	Функция возрастает; график вогнут вниз	Функция возрастает; график вогнут вниз	Точка максимума, функции	Функция убывает; график вогнут вниз	Точка перегиба	Функция убывает; график вогнут вверх
д)	Пользуясь результатами исследования, строим график функции (рис. 34).
Построить графики указанных ниже функций, определив для каждой функции область ее существования, точки разрыва, точки экстремума, интервалы возрастания и убывания, точки перегиба ее графика, направление вогнутости, а также асимптоты графика.
916.	3 Q 3 у = х - Зх .	920. у =	2	3 (х -5) 125
917.	у = бх2 - х4 .	921. у =	X2-2.Г + 2 X “ 1
918.	у = (г - 1)2(х + 2).	922. у =	X4 - 3 X
919.	= (х-2)2(х + 4) &	4	923.у =	х4 + 3 X
§ 4» Построение графиков функций по характерным точкам
93
924.	у
925.	у
926.	у
927.	у
928.	у
929.	у
930.	у
931.	у
932.	у
933.	у
934.	у
935.	у
936.	у
937.	у
938.	у
939.	у
940.	у
941.	у
942.	у
943.	у
944.	у
2.2 х + -. X 1	945^ у = 946 и =	х __ V(x-2)2 -ж
о	иъи, у	
X +3		
8 2 л * х -4	947.у =	z	2ч - (а + е\ k	a J
4х о '	948.у =	8х-/- 14 е
4 + х		
4х-12 о ‘	949.у =	9	_ Y2 (2 + х )е .
(х-2)2		
X о	*	950. у =	2|х - х2.
х - 4		
16	951.у =	1пх
х (х - 4)		Jx
Зх4 + 1	952.у =	2 Lin?.
3 X		2 а
Jx + а/4 - X .	953.у =	X 1пх
а/8 + х - а/8 - х .	954. у =	(х + 1) In2 (х + 1).
х Jx + 3 .	955. у =	1П(Х2 - 1) + -J-.
		х -1
7х3 - Зх *	956. у =	X
Vi - х2.	957.у =	111(1 + е-1).
371-х3.	958.у =	f е 4- - L к xJ
2х + 2 - З37(х+ I)2.	959.у =	sin х + cos x.
V* +1 - Vx -1.	960.у =	sin X +	.
V(x + 4)2 - V(x-4)2.	961. у =	2 cos х - COS X.
сч 1 + 03 1 Н «Г?	962. у =	. 3	3 Sin X + COS Хл
4	963л у =	1
Л-х2		sinx + cosx
8	964л и =	sinx
/ 2 л x*jx “4	tZVjT-Жл у	 Г	TtA sin x + - к	4J
I
.	965. у = sin х  cos 2х.
Ш2 -1
94 Глава III. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
966. у ~ cos x ' cos 2x.	977.	У =	sin X е
967. у = x + sin x*	978.	У =	arcsin Jx е
968. у = arcsin (1 - ^Jx2 ).	979.	У =	arctg х 6	*
969. у = arcsin x .	980.	У =	In sin x.
7i-x2			
970. у = 2x ~ tg x.	981.	У =	1 4 (я x'\ 111 tg 14’2?
971. у = x arctg x*	982.	У =	In x - arctg x*
972. у = x arctg - при x ? 0	983.	У =	cos x - In cos X.
и у = 0 при x = 0.	984.	У =	arctg (In x).
973. у = х + 2 arctg х.	985.	У =	2 arcsin In (x 4- 1).
974. у = | + arcctg х.	986.	У =	X X .
975. у = In sh х.			1
976. у = Arch fх + -'l * I x)	987.	У =	X X .
Рекомендуется также построить графики функций, указанных в №№ 826—848.
Построить графики функций, заданных параметрически:
988. х == t2 - 2t, у = t2 + 2t.
989. x = a cos3 t, у = a sin t (a > 0).
990* x - te, у = te t.
991. x = t + e f, у = 2t + e
992. x = a(sh t - £), у = a(ch t - 1) (a > 0).
§ 5* Дифференциал дуги. Кривизна
Iе. Дифференциал дуги. Дифференциал дуги 5 плоской кривой, заданной уравнением в декартовых координатах х и у, выражается формулой
ds = 7(dx)2 + (dy)2 ;
при этом, если уравнение кривой имеет вид:
I f di/V
а) и *= f(x), то ds = /1 + —£ dx при dx > 0;
tJ \dxJ
2
б) x = f^y), TO ds =
dp при dy > 0;
§ 5, Дифференциал дуги. Кривизна
95
в) х = фО), У * v(£), то ds =
<1лЛ2 J fdiA2 i. j. . Л — + — di при di 0:
^Idt; VdtJ н
Обозначая через ос угол, образованный положительным направлением касательной (т. е. направленной в сторону возрастания дуги кривой s) с положительным направлением оси ОХ, получим:
sin а =	.
В полярных координатах
ds = J(dr)2 + (rd<p)2 *=
dtp.
Обозначая через Р угол между полярным радиусом точки кривой и ка-
сательной к кривой в этой точке, имеем
r dr cos Р = -г- , ds
sin р =	.
ds
2°. Кривизна кривой. Кривизной К кривой в ее точке М называется предел отношения угла между положительными направлениями касательных в точках М и N кривой (угол смежности)
к длине дуги	= As, когда?/ —* М (рис. 35), т. е.
Рис. 35.
К = lim = da , Де о As ds
где a — угол между положительными направлениями касательной в точке М и оси ОХ,
Радиусом кривизны R называется величина, обратная модулю кривизны, т. е,
R
Линиями постоянной кривизны являются окружность [ К = - , где а — ра-k а
Диус окружности и прямая (X = 0).
96 Глава Ш, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Формулы для вычисления кривизны в прямоугольных координатах следующие (с точностью до знака):
1) если кривая задана уравнением в явной форме у = f(x)t то
У .
(1+/2)3"2’
2) если кривая задана уравнением в неявной форме F(x, у) = 0, то
F" F" рг
F" F" F'
* ух * уу * у
F' Ff О гг -	* у
,	-,2.3/2 ’
3)	если кривая задана уравнениями в параметрической форме х — ф(/), у ф(0, то
Я =
где
х' =
dr , dr/ di’y = d7
х" -
d2x „ = d2y dt2 ’ dt2 '
В полярных координатах, когда кривая задана уравнением г = /(<р), имеем „ _ г2 + 2г,2-гг"
, 2 л А3/2
(г 4- Г )
где
3°.Окружность кривизны. Окружностью кривизны (соприкасающейся окружностью) кривой в ее точке М называется предельное положение окружности, проведенной через точку М и две другие точки кривой Р и Q, когда Р -+ М и Q М.
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр окружности кривизны (центр кривизны) находится на нормали к кривой, проведенной в точке М в сторону вогнутости кривой*
Координаты X и У центра кривизны кривой вычисляются по формулам:
,2	2
X = X -	, Y = у +	.
У	У
Эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны.
Если в формулах для определения координат центра кривизны рассматривать X и У как текущие координаты точки эволюты, то эти формулы дают параметрические уравнения эволюты с параметром х или у (или же если сама кривая задана уравнениями в параметрической форме).
§ 5. Дифференциал дуги. Кривизна
97
Пример 1. Найти уравнение эволюты парабо-2
ДЫ У ~~ Х '
4 3-1 \.4>
V	j 3	1 + (>Х Тт
решение, X = -4х , У = —-— , Исключив параметр х, найдем уравнение эволюты в явном виде:
У ' 1	2
Эвольвентой (инволютой) кривой называется такая кривая, для которой данная кривая является эволютой.
Нормаль МС эвольвенты Г2 является касательной к эволюте Гр длина
дуги ссг эволюты равна соответствующему приращению радиуса кривизны
CCj = jM1C1 - ЛГС|, поэтому эвольвенту Г2 называют также разверткой кривой Гр получающейся разматыванием натянутой нити, намотанной на Tj (рис. 36). Каждой эволюте соответствует бесчисленное множество эвольвент, отвечающих различным первоначальным длинам нити.
4°,Вершины кривой. Вершиной кривой называется точка кривой, в которой кривизна имеет максимум или минимум. Для определения вершин кривой составляется выражение кривизны Л' и находятся ее точки экстремума. Вместо кривизны К можно взять радиус кривизны R ~ i и искать его точки экстремума, если в этом случае вычисления проще.
Пример 2. Найти вершину цепной линии !/ s fl ch (а > 0). а
X	1 X	1
Решение. Так как yf = sh - , а у" = - ch - , то 7Г — --- и, сле-
а	а а	, 2 х
a ch -
а
2 X	6 jf? 2 X
доватсльно, 7? - a ch - . Имеем — = sh — . Приравнивая производную а	ох а
dJ?	I л
ч—	нулю, получаем sh — =0, откуда находим единственную критическую ах	а
точку х = 0. Вычисляя вторую производную —- и подставляя в нее зна-dx
чение х — 0, получаем —~	? ch —	= - > 0, Следовательно, х == 0
dr я а л а
есть точка минимума радиуса кривизны (или максимума кривизны) цепной
линии. Вершиной цепной линии у = a ch — , таким образом, является точка а
А(0, п).
'^Лйчц ц упражнения
98 Глава III, ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Найти дифференциал дуги, а также косинус и синус угла, обра зованного с положительным направлением оси ОХ касательной j каждой из следующих кривых:
993, х2 -Г у2 = а2 (окружность).
2	2
994.	+ У- 1 (эллипс).
а	Ъ2
995.	у2 = 2рх (парабола).
996.	х + у = а (астроида).
997.	у = a ch - (цепная линия), а
998.	х = a(t - sin 0; У = а(1 - cos t) (циклоида).
999.	х = a cos3 tt у = a sin3 t (астроида).
Найти дифференциал дуги, а также косинус или синус угла, об разованного полярным радиусом и касательной к каждой из еле дующих кривых:
1000.	г = аф (архимедова спираль).
1001-	г = 2 (гиперболическая спираль). Ф
1002.	г = a sec2 - (парабола).
2
1003.	г = a cos2 5 (кардиоида). £
1004.	г = йф (логарифмическая спираль).
1005* г2 = a2 cos 2ф (лемниската).
Вычислить кривизну данных кривых в указанных точках:
1006.	у = х* - 4х3 “ 18х2 в начале координат.
1007.	х2 4- ху 4- у2 = 3 в точке (1; 1).
з 2
1008.	L + L = 1 в вершинах А(а, 0) и В(0, Ь). &	1 Z
а о
1009.	х = t\ у = t3 в точке (1; 1)-
2	2
1010.	г = 2а cos 2<р в вершинах с полярными углами ф = 0 и ф — я
1011.	В какой точке параболы у = 8х кривизна равна 0,128?
1012.	Найти вершину кривой у = е\
Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных линий: 1013. у = х3 (кубическая парабола).
2	2
1014.	= 1 (эллипс),
а b
§ 5, Дифференциал дуги. Кривизна
99
н i e
Ю15. х - L- - 11».
1016.	х = a cos3 t; у = a sin3 / (астроида).
1017.	х = n(cos t + t sin t); у = a(sin t - t cos 0 (эвольвента круга).
1018.	г = ае*ф (логарифмическая спираль).
1019.	г = а(1 + cos <р) (кардиоида).
1020.	Найти наименьшее значение радиуса кривизны параболы У2 - 2рх.
1021.	Доказать, что радиус кривизны цепной линии у == a ch равен длине отрезка нормали.
Вычислить координаты центра кривизны данных кривых в указанных точках:
1022.	ху = 1 в точке (1; 1),
1023.	ау = х в точке (а; а).
Написать уравнения окружностей кривизны данных кривых в указанных точках:
1024.	у = х2 - 6х 4- 10 в точке (3; 1).
1025.	у = е* в точке (0; 1).
Найти эволюты кривых:
1026.	у2 = 2рх (парабола). 2	2
1027.	2L + £_ = 1 (эллипс).
а4 Ъ
1028.	Доказать, что эволютой циклоиды
х = а(£ - sin 0; У — я(1 “ cos t) является смещенная циклоида.
1029.	Доказать, что эволютой логарифмической спирали
г = ае
является также логарифмическая спираль с тем же полюсом.
1030,	Показать, что кривая (развертка окружности) х = a(cos t + t sin 0; у = a(sin t - t cos t) является эвольвентой окружности X — a cos J; у = a sin t.
Глава IV
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Непосредственное интегрирование
1Л Основные правила интегрирования, 1) Если F'(x) = /(х), то
j /(х) dx F(x) 4- С,
где С — произвольная постоянная.
2)	J Af(x) dx = A J /(х) dx, где А — постоянная величина,
3)	J [/j(x) ± /2(х)] dx = /\(х) dx ± j* /г(х) dx.
4)	Если J Дх) dx = F(x) 4 С и и = ф(х), то
| /(w) du - F(u) + С.
В частности,
f f(ax 4- b) dx = - F(ax + b) + C (a* 0).
J	a
2°. Таблица простейш
г	п + 1
L xndx = *-- + С, n
J	a+1
их интегралов,

§ 1. Непосредственное интегрирование
101
X
VII. | / dx + С (а
J	Ina
0); I e* dx = e1 4- C.
VIII*
IX.
J sin х dx = “cos x 4- С. cos x dx — sin x + C.
dx
2 COS X
= tg x + C.
XII.
---— = -ctg x + C. sin x dx sinx
dx
cosx
IX	l	i
tg - + C = In jcosec x - ctg x| + C.
4- C = In |tg x 4- sec x| + C.
XIV.	j sh x dx = ch x + C.
XV.	f ch x dx = sh x 4- C.
XVI.	Г -V-
J ch х
XVII.	[ -Д£-
J sh х
Пример 1.
= th x + C.
= -cth x + C.
2	Г	Г
ах dx + &х dx + с dx =
2 x
= a
*	3	2
x dx + c dx = a+ ex 4- C.
J	О	л
Применяя основные правила 1), 2)s 3) и формулы интегрирования, найти следующие интегралы:
1 - n
1031, J 5a2xb dx.
 1032. | (6х2 + 8х + 3) dx.
1033. х(х + a)(x + b) dx. «
 1034. | (a + t>x3)2 dx.
1035, J J2px dx.
1036.	f .
J '/x
1037.	j (nx) n dx.
( ~ -V
1038.	f a3-x3 dx.
J I J
1039.	; (л/х + l)(x - Jx + 1) dx.
9	9
1040.	Г +1)(* ^2j dx. J зО
1041.	f (x ~ x > dx.
J Jx
1042.	f	dx.
J Jax
102
Глада IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1043.
J х+7
1044.	f .
J х2-10
1045.	f -Д^=.
J 7о7
1046.	f .d* 
J 7e-x2
1047.
1048*. a) f tg2 x dx; 6) f th2 x dx.
1049. a) [ ctg2 x dx; 6) f cth2 x dx.
1050. f 3 V dx.
3°.Интегрирование путем подведения под знак дифференциала. Правило 4) значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А именно* в силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.
Пример 2. f	1 f (5х - 2)1/2 d(5x - 2) =
J 757^2 5 J
= 1	= 1 .u_^ + c=l(5x-2)1/2 +c=2^~2
5 J	5 1/2	5	1/2	5
где было положено и = 5х - 2. Использовались правило 4) и табличный интеграл I.
ПримерЗ. f *dx = 1 Г  d(x >	- 1 In (xz + Jl + x4) + С.
J 7Г77 2 j 7i+(x2)2
2
Неявно подразумевалось u — х , причем применялись правило 4) и табличный интеграл V.
Пример 4. J* х2 е* dx = J е* d(x3) = ^е* + С
в силу правила 4) и табличного интеграла VII.
В примерах 2, 3, 4, прежде чем использовать тот или иной табличный интеграл* мы приводили данный интеграл к виду
J Яф(х))ф'(*) dx = J f(u) du, где и — ф(х).
Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала.
Полезно отметить часто применяемые преобразования дифференциалов, которые, в частности, использовались в примерах 2 и 3:
1	12
a) dx = - d(ax + b) (а * 0); б) х dx = ± d(x ) и т. п,
я	z
§ 1» Непосредственное интегрирование
103
Применяя основные правила и формулы интегрирования, найти следующие интегралы:
1051**.	* adx a — x *	1068. |	2  x- dx* x +2
1052**.	fl^ dx. J 2x + 1	1069. 	 x dx. 2	2 a - x
1053.j	dx. 3 + 2x	1070.	‘s2-5* + 6 dx. 2	J x + 4
1054. j	xdx	1071.	dx
	a + bx '		7? + 8x2
1055. j	dx. (XX -T p	1072.	1 dx
			7?-5x2
1056. j	x"+ 4 dx. x - 1	1073.	Г a^Adx. 3x -2
1057. j	x + 5x + 7 x + 3	1074.	' 3~2x dx. 5x2 4- 7
1058. f b	х*+ *г.+_2 dx. x - 1	1075.	?*.+ * dx* ^5x2 +1
1059. j	Г ь у , a +	 dx. V x-aj	1076.	x + 3 . dx. Jx2 “ 4
1060*.	'	dx. (x+ 1)	1077.	’ xdx 2	’ x - 5
1061. j	Mi/	1078.	Г xdx
	71 — y		2x2 + 3 Г ax + b dx. a2x2^b2
1062. j	Ja - bx dx*	1079.	
1063*.	' , x dx. 7x2 +1	1080.	Г xdx
			/4	4 Va -x
1064. f 1	^ + 1,H dx. X	1081.	f x2 dx. 1-ьх6
1065. j	dx	1082.	1 x2dx
	3x2 + 5		7x6 -1
1066. j	dx	1083.	Г i^sinx d
	7x2-8		Ji	2 1 - X
arctg
1067. f ____________________ (0 < Ъ < а). 1084. | -------------* dx.
J (a +- Ь) - (а - b)x	4 4- х
104
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1085
— dx.
axdx
Г" 1 +а
1086.|		dx 4- x2)ln(x-i- У1 + X2)	1102.	f e ,r dx. J l_e-2^
1087.j	-nx • ae dx.	1103.	Г e(dt 71-e2'
1088. (	4	dx.	1104.	sin (a 4- bx) dx.
1089.j	e - e () di. / X	X	1105.	j* cos — dx.
1090. j	(2	<J	, e + e dx. к	7	1106.	(cos ax + sin ax)
1091.j	dx. X , X a b 2x	1107.	[ cos Jx — . Jx
1092. Г	dx. 4ax	1108. «	sin (1g x) — . X
1093. J	-(r2 + l) , e	x dx.	1109*.	J sin2 x dx.
1094.j	r  Iх* dx. 1	1110*.	J cos2 x dx.
1095. j	— dx. 2 X	1111.	sec2 (ax + b) dx.
1096.j 1097. Г J	5^ ^x. Jx dx. X 4 В ~ 1	1112 J 1113. *	ctg2 ax dx. • dx sin^ a
1098. J exJa-bex dx*		1И4. j	'	dx 3 cos I 5x - у ] \	47
2
ч 1
-	3 £
еа + 1J еа dx.
1115. f------------
J sin (ах + £>)
1116. f .
1100**
dx
2х 4-3
2	2
COS X
§ 1, Непосредственное интегрирование
105
А	2
1117. х sin (1 - х ) dx.
1131, f 71 + 3cos2 xsin 2x dx.
1132. f tg3 £ sec2 £ dx. Jo о
1119. f tg х dx.
1133.
1121. | ctg -5Ц- dx.
J fl - 0
dx. 2
COS X
- x 2/3
f ctg 2 x dx.
' sin x
f 1+s;n3x dx.
’ cos 3x
1122.
(cosax + sinax) sinax
1123.
2
x ctg (x + 1) dx*
dx
1125.
sinxcosx
cos sin - dx. a a
sin 6x cos 6x dx.
dx.
sin ax
sin3x
3 + cos3x sinxcosx
I ~2	~2
a/COS X - sin
dx.
1137.	• cosec Зх b - actg 3x
1138.	(2sh 5x - 3ch 5x)dx.
1139.	sh2 x dx.
1140. j	• dx
	sh x
1141. j	' dx
	ch x
1142.	• dx
	sh xch x
1143.	th x dx.
1144.	cth x dx*
Найти неопределенные интегралы:
1145. j x575-x2 dx.	1148. j xe’? dx.
1146. f x ' 1 dx.	1149. 3" 7^ + 3x2 dXi
J x4-4x + 1	2 + 3x
1147. f x  dx,	1150. f -—dx.
I 8 ~	J X + 1
106
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1153.
л arclg x , i/i 2.	-
1167. f 5___________+..*.!n(1 + * ) + 1 dx.
2
1 - sinx
x + cosx
1168.
sinx—cosx d^_ sinx + cosx
/ v
l-sin^
3x-ctg3x dx_
sinSx
dx
1154.
X In" X
-	2
11 etc f sec x
2
1170.
dx.
1156.
tg x “ 2
x sin —
72
2
dx.
x*~2
+ dx.
/i .	24
dx.
x
dx
2x2+1J 2x2 + 1
. 1172.
. 2 Sin X .	~ T
e sin Zx dx.
1157. f asinxcos x dx.
2 X
xdx
7“4
ax dx.
1161. sin
2 * dx.
2
1162.
2 sec
x dx
Г~2
a).
1163.
dx
COS -a
2 x(4-ln x)
1164.
371+ ln* dx. X
X arccos —
2
Л
1165.
dx
1181. fe tgJCsec2xdx.
1166.
* xdx
T ~ 2?
J sm(x )
sinx cosx J2 - sin4x
§ 2. Метод подстановки
107
1186.
1184.
dx
2"	2
sin х cos x
arcsin x + x
- x 2
sec x tg x
cos2x
4 + cos2 2x
1187.	f —
J 1 + COS X
p Jln(x++ 1) .
1188.	f -*  ;----- dx,
J 4 l + xa
1189.	J x2ch(x3 + 3)dx.
* rtth x
1190.	f dx.
J ch2 x
§ 2.	Метод подстановки
1°. Замена переменной в неопределенном интеграле. Полагая
х = q>(t), где t — новая переменная, ср — непрерывно дифференцируемая функция, будем иметь
| Дх) dx = | Яф(01ф?(0 dt.	(1)
Функцию ф стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть форму-лы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид.
Пример 1. Найти
J х Vx - 1 dx.
х - 1 , отсюда x = t + 1 и dx “ = 2t dL Следовательно,
j dx = J (t2 + l)i  2t dt = 2J (t4 + Г) dt =
5	3
= 2t5+2t3 + C=|(x-l)2 +|(x-l)2 +C. □ о	о	о
Иногда применяются подстановки вида
и = ф(х).
Допустим, что нам удалось подынтегральное выражение f(x) dx преобразовать к такому виду:
f(x) dx = g(u) do, где и = <р(х).
Если J g(u) du известен, т. е.
У g(u) du = F(u) + С, то
Дх) dx = Г[ф(х)] + С.
108
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Этим способом мы уже, собственно говоря, пользовались в § 1, 3°,
Примеры 2, 3, 4 (§ 1) можно было решить следующим образом:
Пример 2. и = 5х - 2; du = 5dx; dx =
5d“'
2
’ dx =lf^=l!L+c= - -Убх- 2
V5TT2 5j 4~u	5 1	5*
2
Пример 3. и — x2; du = 2x dx; xdx = —.
xdx If du 1 i / i /Г7 2 < ,	1 , , 2 , /- , 4. , „
---7 = ~	.	= Un (u + VI + u ) + C = - In (x + VI + * ) + C.
l+X	Д + г? 2	Z
3	2	2
Пример 4. u = xl; du = Зх dx; x dx
du
2 x3 j 1 Г u ,	1 u .	1 x3
xe dx = - e du=-e + C = - e + C.
3 J 3	3
2°, Тригонометрические подстановки.
1)	Если интеграл содержит радикал л] а - х , то обычно полагают х = a sin t; отсюда
П2
Va - х
= a cos t.
2)	Если интеграл содержит радикал л/х -а , то полагают х = a sec I; отсюда
f~2	X
Vx - а = a tg L
3)	Если интеграл содержит радикал Jx2 + а2 , то полагают х = a tg t; отсюда
/”й	2
Vx + а = a sec t.
Заметим, что тригонометрические подстановки не всегда оказываются выгодными.
Иногда вместо тригонометрических подстановок удобнее пользоваться гиперболическими подстановками^ которые имеют аналогичный характер (см. Ке» 1209).
О тригонометрических и гиперболических подстановках более подробно см. в § 9.
Пример 5. Найти
•	+ 1 iv.
j X
§ 2. Метод подстановки
109
d t
решение. Полагаем х = tg t. Следовательно, dx = -------—
cos* t
sec tcos2 J dt
~**2	"	2
sin. t cos t
dt
— 2~	“
sin. t cost
 sinil+cos^t d( Г f _£^L di - In |tg t + sec t] - J-sin2i-cosi J cost sin2 I	slnf
In |tg t + 71 + tg2 11 - £±£1 + C = In |x + 7x2 + l j - £— tg t	X
+ c =
+ c.
1191. Применяя указанные подстановки, найти интегралы: г) f -it, I - JTT1;
xjx2 - 2	Jx+i
б) Г , х = -In t;	д) f CQSxd±- , t = sin x.
J £ + 1	J 71 + sin2 x
в) f x(5x2 - 3)T dx, 5x2 - 3 = t;
Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
1192. [ х(2х + 5)10 dr.	1197. f (ar^sin5). dr.
'	Vi - r2
1196.
1194.
dx xj2x + 1
1193.
1198.
1199.
2x -4— dx. Je’ + l
dr.
л/COS X
1195.
Г In2x dx
J ln4x x
dx
Применяя тригонометрические подстановки, найти интегралы:
1201.	f	.
J 71-х2
1202.	f	.
72 - г2
1203.	f J*2 ~ д2 dx.
J X 1204* f.
1205. f Vх2 + 1 dr.
J X
1206*. f —.
.	2 Г. 2
x л/4-x
1207. f 71-x2 dx.
по
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1208. Вычислить интеграл f dx
J л/х (1 “ Х)
с помощью подстановки х = sin2 t.
1209. Найти
а2 + х2 dx,	1
применяя гиперболическую подстановку х	= a sh t.	j
Решение. Имеем 7а2 + хг = Jo2 + a2 sh2 t = a ch t и dx a ch dt. 0т1 сюда	|
J */а2 + х2 dx и J a ch t - a ch t dt = a2 J ch2 t dt = a2 J	=
2 ri	\
= 5- ish 2t+tl
2 12	J
+ C = (sh t ch t + t) + C.
Так как
I 2	2
sh t = * , ch t = ±a -+x a	a
и
Г~2	2
e = ch t + sh t = х + ча +x , a
то окончательно получаем
[ 7a2 + x2 dx = ^7a2 + x2 + ^-ln fx +	+	+ Cp
J	a	2 k	)	1
2
где Ct = C - — In a — новая произвольная постоянная.
1210. Найти
-	2,
Г х dx J Га а <х -а
полагая х = a ch L
§ 3. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям. Если и = ф(х) * v = ф(х) — дифференцируемые функции, то
u du = ну - и du.
§ 3. Интегрирование по частям
111
Пример 1. Найти
J х In х dx*
Полагая и = In х; du = х dx, имеем du ~	; и = — * Отсюда
х 2
2	.	2 ,	2	2
* j х , Г х dx х , х , л xinxdx= — 1пх----------= — Inx - — + С*
2 J 2 х 2	4
Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, приходится применять формулу интегрирования по частям несколько раз. В некоторых случаях с помощью интегрирования по частям получают уравнение, из которого определяется искомый интеграл.
Пример 2* Найти
J еЛ cos х dx*
Имеем
J X	нС	I X
е cos х dx = е d(sin х) = е sin х - е sin х dx =
в* sin х 4- с* d(cos х) cxsin х 4- excos х -
excos х dx.
Следовательно,
e*cos х dx = exsin x 4- excos x - excos x dx,
откуда
*	x
excos x dx = (sin x 4- cos x) 4 C*
Применяя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:
1211.	1п х dx.	1218**.	Г 2 Зх 1 x e dx*
1212.	arctg х dr*	1219*.	J (x2 - 2x 4- 5)e x dx*
1213.	arcsin x dx*	1220*.	f 3 "3 , x e dx.
1214.	x sin x dx*	1221.	x sin x cos x dx*
1215.	x cos 3x dx*	1222*.	(x2 + 5x + 6)cos 2x dx*
1216.	dx*	1223. I	x2 In x dx*
 1217.	e x  2 x dx *	1224.	In2 x dx.
112
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1225. *	dx. X
1226.	Г dx.
	л/X
1227.	х arctg х dx.
1228.	х arcsin х dx.
1229.	in (x + JI + x2) dx.
1230.	
 2 sm X
1231.	Г dx. J sin х
1232.	J е* sin x dx.
1233.	J 3х cos x dx.
1234.	J sin bx dx.
1235.	fsin(lnx)dx.
Применяя различные методы,
найти интегралы:
1236.	Г 3 'x2 л x e dx.	1246.	Г arcsin Гх dx '	- X
1237.	f Л* л e dx.	1247.	Г x tg2 2x dx*
1238.	(x2 - 2x + 3) In x dx*	1248.	1	dx. [ я e
1239.	x Ln 1—- dx. 1 + X	1249.	Г cos2 (In x) dx.
1240. 1241.	dx. X Г in(lnx) dx.	*	2 1250**. [ —2	 dx 1	2	2 J (X +1) 12S1* Г dx	
	X		J (x2+a2)2
1242.	* 2 x arctg 3x dx.	1252*.	j 7a2 - x2 dx.
1243.	x(arctg x)2 dx.	1253*.	J + x2 dx.
1244.	(arcsin x)2 dx. Г arcsin x dx_ 2	1254*	Г x2dx
1245.			J 7э-х2
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
1°. Интегралы вида Г —dx. Основной прием вычисле-J ах2 + Ьх + с
ния — приведение квадратного трехчлена к виду ах2 + Ьх 4 с = а(х Н A’)2 + I,
(1)
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
113
где £ и / — постоянные. Для выполнения преобразования (1) удобнее всего цз квадратного трехчлена выделить полный квадрат. Можно также пользоваться подстановкой
2ах + b = t.
Если т = 0, то, приводя квадратный трехчлен к виду (1), получаем табличные интегралы Ш или IV (см. §1,2°, таблицу простейших интегралов). Пример 1.
d * - т
dx == 1 f ___________dx_____ _	= 1 Г \
2?- 5х~7	2J/ 2	5	25Л /7 25>	2 L	5у,,31
Г ~ 4Ж + 1бГи 16,1 k	4j 16
X - -
= 1-J— arctg   + С == —~ arctg __$ + С.
2731	Л1	Л1 731
4	4
Если т & 0, то из числителя выделяется производная 2ах т b квадратного трехчлена
~—(2ах + Ь) + л - тг— тх + n dx - f _——-__—dx
ах2 + Ьх + с
2	7-
ах +ох+с
= ~ In |ах2 + Ьх 2а 1
Г dx
J ах2 + бх-нс
и таким образом мы приходим Пример 2.
к интегралу, разобранному выше.
2
i(2x-i)-l
1 dx
dx —
- i In |х2
2	1
V-2J 1? 5
2
1
2 .
= 1 In |хг - х - 1| -
-^-1п 275
2х- 1 + 75
тх + п
2е. Интегралы вида
__________ dx.
- / 2 Z Г~
Vax 4-dx + c
Методы вычислений аналогичны разобранным выше. В конечном итоге интеграл приводится к табличному интегралу V, если а > 0, и VI, если а < О, Пример 3, dx
dx
1	. 4х-3
== — arcsin ----
72	5
114
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 4.
	Х+А.. dx = 1 [ .. 2х+2_. dr + 2 f dx_ =
J Jx +2x + 2	2 J 7x2 + 2x + 2 J /(x + 1)2 + 1
= 7x2 + 2x + 2 + 2 In (x + 1 + Jx2 4 2x^2 ) + C,
□	f	dx
3°.Интегралы вида —---------——	-— . С помощью обратной
(тх + n)Jax2 + bx + c подстановки
—i— = t
тх + и
эти интегралы приводятся к интегралам вида 2°,
Пример 5, Найти
Г dx
(х + 1) Ух2+ 1
Решение. Полагаем
х + 1 = А, t
отсюда
dx - -Ц .
t2
Имеем
4е.Интегралы вида J Jax2 + bx + с dx. Путем выделения из квадратного трехчлена полного квадрата данный интеграл сводится к одному из следующих двух основных интегралов (см. №№ 1252 и 1253):
1) f Ja2 - х1 dx = i Ja2 -x2 -f- 2- arcsin - + C (a > 0);
J	2	2 c
2) f л/x2 + A dx |7x2 -hA + ^ln|x + 7x2 -rA| 4 C. «J	*5	Z
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен 115
Пример 6,
j Jl-Zx-x2 dx = j 72-(1 + х? d(l + х) =
1 + X /7 л 2 .	1 + X ।
= ---Jl - 2x - x + arcsin —— + C.
2	72
Найти интегралы: 1255. f -5-^---.
1256.	f ,dx 
J x2 + 2x
1257.	f -- -----
J 3x -x+1
1258.	f , *—-----
J x -7x+13
1268.
1269.
1259.	f 93x~2 dx.
J x -4x + 5
1260.	f *x~1)2- dx.
J x + 3x + 4
1261.	[ , *2d*----
J x2-6x+10
1262.	f ——---------.
J ^2 + 3x - 2x2
1263.	f dx .
J Vx - x2
1264.	f d* - .
J Jx2 +px + q
1265.	Г 3*~6 dx.
J Jx2 - 4x + 5
1266.	f , 2x dx.
J Jl - X - x2
1267.	f x dx.
J5x2 - 2x+ 1
1273.
dx.
1274. f 72-x-x2 dx.
x4-4x2 + 3
1276. | —5—------------ dx.
J sin2 x - 6sinx+ 12
1277.
e*dx
Vl + e^ + e21
sinx dx
7cos2 x + 4 cos x + 1
Inx dx_____
xjl - 41nx - ln^ x
116
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 5. Интегрирование рациональных функций
1°. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби
(1) Q(x)
где Р(х) и Q(x) — целые многочлены, причем степень числителя Р(х) ниже степени знаменателя Q(x). Если
Q(x) (х - а)а ... (х -
где а, ,.м I — различные действительные корни многочлена Q(x); cz, X — натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби (1) на простейшие дроби:
Р(х) _ А! +	+ +	+ + L2 + L2 + + Lt
Q(x) х-а (Х_в)а '	х-1	(х-Г)2 (x-lf
Для вычисления неопределенных коэффициентов .... обе части тождества (2) приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной х (первый способ). Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве (2), или ему эквивалентном, х равным подходяще подобранным числам (второй способ).
Пример 1. Найти
Г xdx _ jr
j (х- 1)(х +1)2
Решение. Имеем
*	= А	+ В2
(х-1)(х+!)2	Х-1	Х+1
Отсюда
х = А(х + I)2 + В^х - 1)(х + 1) + в2(х - 1).	(3)
а)	Первый способ определения коэфф иц и ент о в. Перепишем тождество (3)в виде
х = (А + в.)хг + (2А 4- ВАх + (А - В, - В,).
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим: О - А + В  1 = 2А + В  0 = А - В. --Ь	1	fr
Отсюда
б)	Второй способ определения коэффициентов. Полагая х ~ 1 в тождестве (3), будем иметь
1 — А * 4, т. е. А — - .
4
§ 5. Интегрирование рациональных функций
117
Полагая х = -1, получим
 1 = -Вг • 2, т. е. В2 = 1.
Далее, полагая х = О, будем иметь
О = А - В. - В„, т. с. В. = А - В = -1. 1 л	1	z 4
Следовательно,
1 Г dx _ -1 dx + 1 f dx 4 J x-1 4J x + 1	2 J
= 1 hi |x - 1| - | In |x -b 1| 4	4
Пример 2. Найти
j* dx _ j 3 o 2 x ~ 2x + x
Решение. Имеем
1	_	1 Л + A + c
x3-2x2 + x x(x-1}2 x x - 1	(x-1)2
и
1 = A(x - I)2 +- Bx(x - 1) +- Cx.	(4)
При решении этого примера рекомендуется комбинировать два способа определения коэффициентов. Применяя второй способ, полагаем х 0 в тождестве (4); получим 1 = А* Затем, полагая х = 1, получим 1^С. Далее, применяя первый способ, приравняем в тождестве (4) коэффициенты при х . Будем иметь
О = А + В, т. е. 5 = -1.
Таким образом,
А-1,В = -1иС = 1.
Следовательно,
I = Г d* - Г j+l. + [ —4* .. = In |rl - In к - 1| -	+ с.
J jc J г-1 J (х_Х)2	Х-1
Если многочлен <?(х) имеет комплексные корни а ± lb кратности А, то в разложение (2) дополнительно войдут простейшие дроби вида
Afl.r + A\ + h м„х+ьгк	,5)
X 4-pX+q	(х +px+g)
где
х2 + рх + q = [х -- (а + tb)][x -- (а - id)]
lid
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
и Mj, АГ ,	Nk — неопределенные коэффициенты, определяемы®
способами, указанными выше. При k = 1 дробь (5) интегрируется HenoJ средственно; при k > 1 применяется метод понижения, причем предва^ рительно квадратный трехчлен х2 + рх + q рекомендуется представить
/	рАг	f р2\	п
в виде х + £	+ <7^ j и сделать подстановку х + £ « г,
\	л/	\	4 J	2
Пример 3. Найти
f *+!
J (хй + 4х + 5)2
Решение. Так как
х2 + 4х + 5 = (х + 2)2 + 1,
то, полагая х + 1 e zT получаем
I = f _*zL_ dx = f ..gd*-..
J (z2 + 1) J (zz+l)
Г (1+Л-22
J (? + l)2
dz =
-------- - arctg z - ----i arctg z = -	1	- i arctg z + C =
2(zz + l)	2(zz+l)	2	2(za+l)	2
• ~---* + ------ - 5 arctg (x + 2) + C.
2(x3 + 4x + 5)	2
2°. Метод Остроградского. Если Q(x) имеет кратные корни, то
f^)dx= ад + г ад dx J <?(*) Qi(x) J Q2(*)
(6)
где Q2(x) — общий наибольший делитель многочлена Q(x) и его производной Q'(x);
0г(х) = Q(x): Qjtx);
X(x) и У(х) — многочлены с неопределенными коэффициентами, степени ко* торых соответственно на единицу меньше степеней <?г(х) и Q2(x).
Неопределенные коэффициенты многочленов Х(х) и У(х) вычисляются при помощи дифференцирования тождества (6).
Пример 4* Найти

Решение*
dx _ Ахг + Вх + С , f Dx2 + Ex + F .
(x3-if г-i J x3-i х'
§ 5. Интегрирование /рациональных функций
119
Дифференцируя это тождество, получаем
1	_ (2Ах + В)(х3-1)-Зх2(Лх2 + Вх + С) Dx2+Ex + F
(х3-1)	(х3-1)	х -1
ИЛИ
1 = (2Ах + B)(xS - 1) - Зхг(Ах3 + Вх + С) + (Dx2 + Ex + F)(x3 - 1). Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях г, будем иметь:
D = 0; Е - А = 0; F - 2В ~ 0; D 4- ЗС = 0; Е 4 2А = 0; В + F = -1; отсюда
А = 0; В = С = 0; D = 0; Е = 0; F = -|
и, следовательно, Г	dx _ 1 х _ 2 Г dx	/уч
J -	“ sj х3._1’
Для вычисления интеграла в правой части равенства (7) разлагаем дробь — на элементарные дроби:
х5- 1
1 L + Мх+М X3 - 1 X - 1 Xй + X + 1 *
т. е.
1 = L(x2 4 X + 1) + Мх(х - 1) + ЛГ(х 1 1).	(8)
Полагая х = 1, получаем L = | .
о
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях равенства (8), находим:
L + М = 0; L - N ~ 1.
т. е.
М = -1; У = 3	3
Поэтому
Г dx = 1 Г dx _ 1 Г	# + 2
J хй - 1	3 J х - 1	3 J	+ х + 1
111 -ii 11/2,	|1\	1	। 2х + 1	.
= - In |х - 1| - - In (х + х + 1)	— arctg —-г С
______	 = -_____+ - In х +xtl 4- JL arctg 2ж + 1 (х3-1)2_________________________________3(х3-1)	9	(х-1)2	3j3 УЗ
120
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Найти интегралы:
1280. f-----dx - .
J (x + a)(x + b)
1281. f \~5x + 9 dx
J x - 5x + 6
1282 f_________dx________
J (x - l)(x + 2)(x - 4) ’
1283.	f -	dx>
J (x - l)(x + 3)(x - 4)
1284.	f , 5x3 + 2 dx.
I 3 e 2	.
x - 5x + 4x
1285.	f —dx	.
J x(x + I)2
-	3	1
1286, f dx.
J 4x -x
з
^-V+1 dx.
у 2 . , ч
1292. Г dx. J х4-1
1293 f___________dx__________
J (x2 - 4x + 3)(x2 + 4x + 5)
1294, Г  J x+1
1296.
1297.
dx
4
dx
2
dx
—“М *
х4 - 6х3 + 12х2 + 6 j —з---э--------- dx,
х - 6xz + 12х - S
5хг + 6х + 9
2	2 иЛ”
(х-3) (х+ 1/ х2-8х+ 7	.
2	2 иЛ'
(х2 - Зх- 10) 2х-3 j ~т~——dx-(х “Зх + 2)
1298.	f —3x + 5- dx.
J (xa + 2x + 2)
1299.	f -— dx —
I	2	2
J (X+ 1)(X + X + 1)
1300.	f —^±2— dx, J (x2-4x + 5)2
Применяя метод Остроградского, найти следующие интегралы:
1301. [-----—-------.	1303. f__—___.
J (X + 1)V + I)2	J (X2 + I)4
1302. f —.	1304. f xi~2xZ + 2 dx>
J (x<l)	J (x3-2x + 2)2
(х3 + 1)(х2 + 8)
„7 .	3
Применяя различные приемы, найти интегралы:
*	5	2	1 л
х -* + 14 dx.
(х-4)3(х-2) dx 4. 3 , - .2 '
12	4
х - 2х
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
121
dx x3 - 4x2 + 5x - 2
* dx
z 7	- 4 *
1313.
* 2j
x dx
(x- 1)
dx x(xS+ I)2
1314. f
J r + X
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций
1°. Интегралы вида
dx,
(1)
где Я — рациональная функция;	д2,... — целые числа.
Интегралы вида (1) находятся с помощью подстановки
ах + b п ---з = 2 > сх + а
где n — общее наименьшее кратное числе t?r ... .
Пример 1. Найти Г-------—-------.
J 72x^1 - 1/2х - 1
1 = г приводит интеграл к виду
_ 9 Г z2dz
J z -1
+ 1/2х - 1 )2 + In (У2х-1 - I)2 + С.
Решение. Подстановка 2х -
* dx	Г 2z3d2
“2 z — z
J л/2х - 1 - l/2x - 1
= (3 4- I)2 + 2 In |г - 1| + C = (1 Найти интегралы:
з
---т dz ~
z - 17
Jx - i xdx
-^±- dx.
х + 2
dx
(2 -х)71 - х jx-1 _j
x I---r dx.
dx
1324.
/Л Т Л. 1 з/—г dx.
ч X - х
з
dx.
/ + 3 dx.
xW2x + 3
dx.
122
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2°.Интегралы вида
f р^х)
J / 2~7
*jax -f-c>x + <?
где Рл(х) — многочлен степени п.
Полагают
dx,
(2)
Г п dx = Qft l(x) Jax2 + Ь х -^с + лГ	,	(3)
Jax2 + bx + c	Jax2 + Ъх + с
где Qn __ Jx) — многочлен степени (а - 1) с неопределенными коэффициентами; л — число.
Коэффициенты многочлена 0Л _j(x) и число X находятся при помощи дифференцирования тождества (3).
Пример 2. _______ 4	g
f x2Jx2 + 4 dx = f * +4* dr = Их3 + Bx2 + Cx + Д)У/ + 4 + A f dx— .
J	J J^4	J J7T~4
Отсюда
4	2	j—___	3	2
x +45 = (3Ax2 + 2Bx + C)/x2+ 4 + +Bx + Cx + D)x
Jx2 + 4	Jx2 + 4	Jx2 + 4
Умножая на Jx2 ±4 и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем:
А= 1; В = 0; С “ L D = 0; л = -2.
4	2
Следовательно,
x2Jx2 + 4 dx = х +.2:xJx2 + 4 - 2 In (х + 7zZ + 4 ) + С.
J	4
3°. Интегралы вида
dx
(х - a) *Jax + Ьх + с приводятся к интегралам вида (2) с помощью подстановки
(4)
—= i
X - ft
Найти интегралы:
1327. Г , * - dx.
J 71-х2 .	6
1328, | t х dx.
J 7Г+ х 2
1329.	f —dx	.
xJ7x2 - 1
1330.	f-------dx
J ,	1 .3 / 2	~
(x 4-1) VX + 2x
1331.	f *2 + * + * dx.
J Г~^	7
Хл/х - X 4- 1
§ 6. Интегрирование некоторых иррациональных функций	123
4°, Интегралы от дифференциальных биномов
J xm(a + bxnf dxt	(5)
где т> пир—рациональные числа.
Условия Чебышева. Интеграл (5) выражается через конечную комбинацию элементарных функций лишь в следующих трех случаях:
1)	если р — целое число;
/71+1	п	♦ t. Л я
2)	если-----целое число. Здесь применяется подстановка а + ох = г т
П
где s ’— знаменатель дроби р;
771+1
3)	если---+ р — целое число. В этом случае используется подстановка
п
—п . т s ах + и = z .
Пример 3. Найти
Г dx - I.
J Jx
Решение. Здесь тп = -х; п = -; р = - ; — 2	4	3 л
вательно, имеет место случай 2) интегрируемости. Подстановка
1
4
~ 2. Следо*
1
. 1	4	3
1 + X — Z
дает: х = (z3 - I)4; dx = 12z2(z3 - I)3 dz. Поэтому i
_i ( 1ДЗ	3 з
l=fx’5 1+x4 dx = 12 f ~ \> dz = 12f(z®-z3)dz = ^zT-3z4 + C,
J v у J (23-i)z J	7
где z = 371 + Vx .
Найти интегралы: _з 1332. fx3(l + 2x2) 2 dx.
1333. [ d— .
J 1/1 + x4
1334. f____d*
J 4 /77 2 x VI + x
1335.
1336. f-------d* к?я.
I 2 * З^Л/Я J X (2 + x )
1337.
124
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 7.	Интегрирование тригонометрических функций
Iе. Интегралы вида
(* ftl	И	г
sin х cos xdx I„
I	ffl, л
(1)
где тип — целые числа.
1)Если т = 2k 4- 1 — нечетное положительное число, то полагают
л = " J sin2* xcos” х d(cos х) = -J (1 - cos2 x)*cosrt x d(cos x).
Аналогично поступают, если n — нечетное положительное число.
Пример 1.
J sin10 х cos3 х dx = J sin10 x(l - sin2 x) d(sin x) =	+ c.
2)	Если тип — четные положительные числа, ражение (1) преобразуют с помощью формул:
2	1	2	1
sin х = - (1 - cos 2х), cos х = - (1 4- cos 2х) z	z
то подынтегральное вы-
sin х cos х = - sin 2х.
2
Пример 2.
f cos2 Зх sin4 Зх dx = (cos Зх sin 3x)2sin2 Зх dx - s^n cos6x == *	ч	«	4	2
- sin2 6x cos 6x) dx =
1 - cosl2x , 2 p „ 4 , -sin ox cosox dx =
2
1 [x sinl2x
8U 24
—sin3 6x^1 4- C.
18	7
3)	Если m = -ц и n = -v — целые отрицательные числа одинаковой чет-
ности, то
’ dx . Ц	V
J sin XCOS X
п
cosecM x secv 2 x d(tg x) =
f 1 + —(l + tg2x)2 d(tgx) = f (1 + tg ------------------- d(tgx).
j tg XJ	J tgM X
В частности, к этому случаю сводятся интегралы
dx
sin X
1
2м-1
sin - cos -2	2
dx cos4 x
d[x + ?l
X
. V f , я
sin X 4- “
Пример 3.
dx
Г"
cos x
Г 2	Г	2	1 Q
sec x d(tg x) =	(1 + tg x) d(tg x) = tg x + tg x + C.
J	J	о
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций
125
Пример 4.
If dx
О3 J . 3 ЗХ v sm xcos -2
1 f , -3 X 6 X 1
X tg sec - dx =
8 J 2	2
J-4-
J sin X
4)	Интегралы вида J tgm x dx или J ctgm x dx J , где m — целое положительное число, вычисляются с помощью формулы
,2	2
tg х sec х — 1
(или соответственно etg х = cosec х — 1).
Пример 5.
| tg4 х dx = J tg2 x (sec2 x - 1) dx -	- J tg2 x dx =
з	, з
-	- f (Sec2 x - 1) dx =	- tg x - tg x + x + C.
3 J	3
5) В общем случае интегралы Im п вида (1) вычисляются с помощью формул приведения (рекуррентных формул), выводимых обычно интегрированием по частям.
Пример 6.
Г _d^_ = sm х + cos^r dx = f sin x . srn dx + f _dx_ =
1	3	3 J COS X J	cos x	J	cos3r	•> cosx
= sin X 	1	- 1 f	dx + 2	9	2 2cos x	j cos x	1	= sinx + 1 ln [tg x J. sec X| + C. cosx 2cos x
Найти интегралы: 1338. cos'3 xdx, *	1341. f sin3 cos° ~ dx, J	2	2
1339, J sin5 x dx.	1342. Г	dx. J sin’ x
 1340. f sin2 x cos3 x dx.	1343. f sin4 x dx.
126
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1344.	f 2	2 sin x cos x dx.
1345.	sin x cos x dx.
1346.	j" cos6 3x dx.
1347.	f dx
	1	4
	’ sin4x
1348.	Г dx
	
	f cos X
	
1349.	Г EOS*
* V sin X
dx . 2	4
sin xcos X
1351.
dx
. 5 Г" ’ sin XCOS X
dx
* X 3 X sin-cos -
2	2
1355. J sec5 4x dx.
1356. J tg2 5x dx, 1357. | ctg3 x dx.
1358, f ctg4 x dx.
1359. j (tg3| + tg4g dx.
1360.	J x sin2 x2 dx.
1361.	f dx.
J sin x
1362.	J sin5 x 37cosx dx.
1363. f
7sinxcos3x
sin x + -1353. f ——4 dx. J sinxcosx
1364. f -Mi_. j Ttgx
1354.
dx . 5 4 sm X
2°. Интегралы вида
J sin mx cos nx dx, J sin mx sin nx dx и J cos mx cos nx dx.
В этих случаях применяются формулы:
1) sin тх cos nx == i [sin (m + n)x + sin {m - n)x];
2) sin mx sin nx =
- [cos (m - n)x - cos (m 4- n)x]; &
3) cos mx cos nx —
- [cos (m - n)x 4- cos (m 4- n)x]. £
Пример 7.
sin 9x sin x dx -
- cos lOx] dx
J- sin 8x - A sin lOx 4- C.
16	20
§ 7, Интегрирование тригонометрических функций
127
Найти интегралы: 1365. f sin Зх cos 5x dx.		1369.	Г cos (ax + b) cos (ax - d) dx.
1366.	sin lOx sin 15x dx.	1370.	sin tot sin (cot + (p) dt.
1367.	cos cos | dx. Z	о	1371.	Г cos x cos2 3x dx.
1368. «	sin cos dx.	1372.	[* sin x sin 2x sin 3x dx.
3°. Интегралы вида
J P(sin х, cos х) dx,	(2)
где ^—рациональная функция,
1) С помощью подстановки
tg - - Л ё 2
откуда
2t	I-/2	. 2df
sm х = ---, cos x = ---, dx ~	,
l + t2	1 + t2	1 + t2
интегралы вида (2) приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной t.
Пример 8. Найти
Г	dx	_ jr
J 1 4- sinx + cosx
di
Решение. Полагая tg - = t, будем иметь
2dt
/= Г i + t2 j 1 2t 1-t2
1 + ~^ + 7~2
= In |1 + /[ + C = In l + tg£ 4- C. £
2) Если имеет место тождество
7?(-sin х, -cos x) s 7?(sin xT cos x)t
т<> для приведения интеграла (2) к рациональному виду можно применить подстановку tg х = t.
Здесь
t	t
sm х =	, cos x =	
Л7?	JT77
И
х = arctg t, dx =
dx
1 + i2
128
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 9. Найти
dx
-у-1 4- SIH X
(3)
Решение. Полагая
,	.	. 2	/2
tg х = t, sm х = -----------
j dt dx = ------ ,
1 + Г
будем иметь
d£
1 + ~2
df
2 '
2
l + 2t2
2
Дг arctg (t*/2 ) + С = — arctg (7^ tg х) + С*
72	72
Заметим, что интеграл (3) вычисляется более быстро, если прсдваритсль-,	2
но числитель и знаменатель дроби разделить на cos х.
В отдельных случаях полезно применять искусственные приемы (см., например, К? 1379).
Найти интегралы:
1373. 1374-J 1375. J 1376. [ 1377. f 1378. 1379** 1380. [ 1381*.	<U .	1382* f	dx	
	3 + 5cosx	J 3sii?x + 5cos2x dx	1.ЧЙЧ* f	dx	
	sinx + cosx -	cosx dx.	1384*. 1 + cosx 5in* dx,	1385. f 1 - sinx	J ' 0	.	d*	•	1386. [ 8 - 4sinx 4- 7cosx	J 		.	1387. f cosx + 2 sinx + 3	J Г 3sinx + 2coSx dx<	1388 Г J 2sinx + 3cosx	J } + tgx dx.	1389*. 1-tgx ’ -  - d;'-—- .	1390*. J 1+3cos x	1.2 sin x + 3sinxcosx- ’	dx . 2	- . sin x - osinxeosx  sin-x dx. (1 “ cosx)3 sin2x dx. 1 + sin x cos2x	i 		 dx. 4	. 4 cos x + sm x 2 cosx	dx. sin x- 6sinx + 5 ’	dx	 (2 - sinx)(3 - sinx) * 1 - sinx + cosx 1 -1- sinx - cosx
2 cos х
§ 8. Интегрирование гиперболических функций
129
§ 8» Интегрирование гиперболических функций
Интегрирование гиперболических функций вполне аналогично интегрированию тригонометрических функций.
Следует помнить основные формулы:
1) ch2 х - sh2 х = 1;	3) ch2 х = (ch 2х + 1);
A	I	1
2) sh х = 1 (ch 2х - 1);	4) sh х ch х = i sh 2х.
Z	Z
Пример 1. Найти
ch2 х dx.
Решение. Имеем
г э	г 1	1	1
ch х dx -	- (ch 2х -I- 1) dx =* - sh 2x + 4 x + C.
J	J 2	4	2
Пример 2. Найти
ch3 x dx.
«
Решение. Имеем
ch3 x dx = J ch2 x d(sh x) = J (1 + sh2 x) d(sh x) =
qh^X
= sh x 4-	4- C.
3
Найти	интегралы:
1391. •	sh3 x dx.
1392,	i ch4 x dx.
1393.	I sh3 x ch x dx.
1397. f th3 x dx.
1398. j cth4 x dx.
1399. f d*
J sb2 x ch x
1394. J sh2x ch2 x dx.
1395. Г dx 2 .
J shx ch x
2 shx + 3chx
1401*. tf——г
J thx - 1
1396. f___________
t2 v 2 J sh x ch x
1402.
Г shxdx
J >/c h 2x
5 ааДачи и упражнения
130
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 9* Применение тригонометрических и гиперболических 1 подстановок для нахождения	интегралов вида	]
J 7?(х, *jax2 + bx + c ) dx,	(1) 
где	— рациональная функция.	j
2	’
Преобразуя квадратный трехчлен ах + Ьх 4- с в сумму или разность квад- • ратов, сводим интеграл (1) к одному из интегралов следующих типов:
1)	| В (г, Jm2 - z2) dz;
2)	J Я (z, Jm2 + г2 ) dz;
3)	J 7? (z, Jz2 ~ m2 ) dz.
Последние интегралы берутся соответственно с помощью подстановок:
1) z = т sin I или z = т tg I,
2) z = т tg t или z = т sh t, 3) z = т sec t или z = лг eh t.
Пример 1. Найти f	= I
(x + 1) л/х' + 2x + 2 Решение. Имеем
x2 f 2x + 2 = (x + l)2 + 1.
Положим x + 1 tg t, тогда dx sec2 t dt и
f = Г	dx	_ Г sec2tdt = f cost _ 1	-j- C
(r + l)27(x+ 1)2 + 1 tg2* sect J sin2t sint
_ _ f/x- + 2x + 2 । q
x + 1
Пример 2, Найти
J x Jx2 + x + 1 dx = I.
Решение. Имеем
2 , , 1 < n2 . з х + х+1=х + -	+-.
<	2)	4
Полагая
х + - = — sh t и dx — ch f dt, 2	2	2
получим
I = f (~sht —	ch t  — ch t dt = 3*-^ Г sh t ch2 t dt - - f ch2 t dt
Jl2 2j 2	2	8 J	8 J
- sJs.dA _зп8Ь,С|,,41л +c
8	3	8 k2 2 J
§ 10* Интегрирование различных трансцендентных функций
131
Так как
ah t = — ( х + -1 , ch t = —Jx2 + x + 1 2>	a/3
и
/	1	r~2—  \	2
t = ln X + “ + 7* +X+1 + In — ,
\ 2	>7з
то окончательно имеем
a	________
I = l(x2 + x + l/ - i (x + Jx2 + x + 1 --^lnfx + | + 7*3 + x +11 + C.
3	4 \	lb \	/
Найти интегралы: 1403. j 7з-2х-х2 dx.
1404. ^2 + x3 dx.
Л 2 1405. f  dx.
J Jq + x2
1406.	J Jx2 - 2x + 2 dx.
1407.	J Jx2-4 dx.
1408.	J Jx2 + x dx.
1409.	J Jx2 - 6x - 7 dx.
з
1410.	j (x3 + x + l)2 dx.
1411.	f-------dx
J (x - l)Jx2 -3x4-2
dx (x2-2x + 5)3/2
dx
(1 + x2) /1 -x2 dx (1-х2)Л + х2
§ 10* Интегрирование различных трансцендентных функций
Найти интегралы:
1415. j (х2 + l)2e2* dx.	1419* J e*sin x sin 3x dx.
1416* | x2cos2 Зх dx.	1420* J xe*cos x dx.
1417. х sin х cos 2x dx* <«	1421. f -— . J e +e'-2
1418* J e2*sin2 x dx*	1422. f dx . J Je2x + ex + l
132
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1423»
x3ln I*-* dx. 1-х
1425. х arccos (5х - 2) dx.
1424. 1п2 (х Ч- J1 + х2 ) dx.
1426. sin х sh x dx.
§11. Применение формул приведения
Вывести формулы приведения для интегралов:
1427. 1п
1428. 1п =
1429.1п =
1430.7„ =
dx
-------; найти Д и Л.
2	2 л.
sinn х dx; найти /4 и /5.
dx ~ т г ----; наити Д и Л.
Л	0	1
COS X
Л -х j	„ г
х е dx; наити /10.
§ 12. Интегрирование разных функций
1431.	' . dx
	2x2- 4x + 9
1432.	[ 2* * dx. X - 2x + 2
1433.	* з 		 dx. 2	1 X + X + -
1434.	' dx
	x(x2 + 5)
1435. «	*	dx
	(x + 2) (x + 3)
1436.	Г	dx
	(x+ l)2(x2 + 1)
1437.	’ dx
	(x2 + 2)2
1438.	*	dx
	4 о 2	- ’ x - 2x +1
1439. f	P x dx
	' f 2	. 43 ' (x - X 4- 1)
1440. f 3~4* dx.
J (1 “ 2 Vx)
1441. f	dx.
J X
1442.   .
Jx3 + x + 1
§ 12, Интегрирование разных функций
133
1449,
1466.
1452*
2	4
-X
2	3/2
dx
2 - s
2 X
1467. jtg3[| + J dx.
1468.
dx
2sinx + Scosx - 5
1453, ( 7х-4х2 dx.
1454. f -----------_
J X*JX +X+1
1455* J x Jx2 + 2x4-2 dx.
1469. f----"%- .
J 2 + 3cos x
147°. f 2 dx-------------------
J cos x + 2sinx cosx + 2sin x
1471. f----<l’r - .
J sinxsmzx
1456.
1460,
dx
4 / 2	.
X л/X - 1
dx
xjl - x3
dx
з/7 7 r3 1 “r x
5x
a/1 + x4
cos1 x dx.
dx*
dx
. 5 cosxsin x
1 + 7ctgx
. 2 sin X
1463. f а™3*- dx.
J Vcos3x
cosec5 5x dx.
1465. f “HJE dr. j cos x
1475.
1478.
dx
(2 + cosx)(3 + cosx)
2
sec * dr. /tg2x + 4tgx +1
cosgx dx*
!	. 2
+ sin ax
* x dx
J COS 3x
x sin2 x dx.
2 X3 I x e dx.
1480.	f xarcM5dx.
л/1 + x2
1481.	f sin2 £ cos ~dx.
J 2	2
1482.	(------
J (sinx+ cosx)
134
Глава IV. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1483.	1	dx
	2 (tgx 4-1) sin X
1484.	sh x ch x dx.
1485.	rsbji-x dx.
	д/1 - X
1486.	’ shxehx sh2x + ch2x
1487.	r^dx.
	sh2x
1488.	' dx
	2x o x e - 2e
	_ *
1489.				.— dx.
	е21-6еж + 13
	•	2r
1490.	——jTj dx. (e' + l)
1491.	‘^Ldx.
1-4
1492.	J (х2 - 1)10 2х dx.
1493.	j Je2 + 1 dx.
1494.	f ££*** dx. I 2
J X
1495.	f x3arcsin dx. J	x
1496.	J cos (In x) dx.
1497.	J (x2 - 3x) sin 5x dx.
1498.	J x arctg (2x + 3) dx.
1499.	j arcsin Vxdx.
1500.	f |x| dx.
Глава V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
Г, Интегральная сумма. Пусть функция /(х) определена на отрезке а<х<6иа = х0<х1< ... <хп = b — произвольное разбиение этого отрезка на п частей (рис. 37). Сумма вида
s-=X (1) i = О
где Xl<^<xi + г; Дх, = х. + , - х(;
г = 0, 1, 2,	, п - 1,
называется интегральной суммой функции f(x) на [а, 6]. Геометрически Sn представляет собой алгебраическую сумму площадей соответствующих прямоугольников (см. рис. 37).
Рис. 37,
2°, Определенный интегра
л. Предел суммы Sn при условии, что число разбиений п стремится к бесконечности, а наибольшая кз разностей Дх. — к нулю, называется определенным интегралом функции f(x) в пределах от х - а до х = Ь, т. е.
п-1
lim У М()Дх.
max Axj —» О
1 = 0
f(x) dx.
(2)
Если функция f(x) непрерывна на [а, &], то она интегрируема на [а, Ь], т. е* предел (2) существует и не зависит от способа разбиения промежутка интегрирования [а, Ь] на частичные отрезки и от выбора точек на этих отрезках. Геометрически определенный интеграл (2) представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, составляющих криволинейную трапецию аАВЬ, в которой площади частей, расположенных выше оси ОХ, берутся со знаком плюс, а площади частей, расположенных ниже оси ОХ, — со знаком минус (см. рис. 37),
Определения интегральной суммы и определенного интеграла естественно обобщаются на случай отрезка [а, Ь], где а > б.
136
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 1, Составить интегральную сумму S для функции /(х) = 1 + х
на отрезке [1, 10], деля этот отрезок на п равных частей и выбирая точки совпадающими с левыми концами частичных отрезков [х.,	+ 1]. Чему
равен lim S4?
10 — 19	о?
Решение. Здесь Дх. =------ = - и £. = х. = хп + £Дх. = 1 + — . Отсюда
1 п п 1	1 и 1 л
/(L) -1 + 1+ ~= 2+ —. Следовательно (рис. 38),
’	п п
п - 1	п - 1
Sn= у дуд«,.= У (г + ^ ? = 18„ + 81(0 + 1 + ... + п - 1) = X. п ) п п п2
1=0	1 = 0
= 18 + §1 lj - 18 + — f 1 - 1} = 58- - — , №	2	2 k nJ 2 2n
lim Sn = 58|.
Пример 2, Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугой параболы у = х2, осью ОХ и вертикалью х = а (а > 0).
Решение, Разобьем основание а на п равных частей Дх = - . Выбирая п
значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь: z ч 2	г-	п2
У1 = О;У„= ? ;уч= |2 ?	; ...; уп = (л-1)? .
L kn/J	L /и
Площади вписанных прямоугольников вычисляются умножением каждого yk на основание Дх — - (рис. 39), Суммируя, получим площадь ступенчатой фигуры
[1 + 2* + З2 + ... + (п - I)2].
nJ
§ 2, Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 137
Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел
V1 ь2 _ п(^ + 1)(2л + 1)
* = 1 находим
о _ а3(л - 1)л(2я - 1) ,
отсюда, переходя к пределу, получим
S = lim S = lim а^.7. ^.Ч2^" п -* <» n п --*•с,=|	6п3	3
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм, ь	ю
1501. j dx.	1504. | 2rdx.
а	О
Т	5
1502, J (v0 4- gt) d£, и g постоянны, 1505*, J x3dx* о	i
i
1503, J x2 dx,
-2
1506*, Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой
1
У = Л* осью ОХ и двумя ординатами: х = а и х = b (0 < а < Ь).
1507** Найти
X
f(x) = | sin t dZ* о
§ 2* Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных
1Л Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Если функция /(£) непрерывна на отрезке [а, £?], то функция
F(x) = Г f(t) dt
а
есть первообразная для функции fix), т, е,
F\x) = fix) при а < х < Ь.
138
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2°. Фор мула Ньютон а—Л ей бнкца. Если ^'(х) - /(х), то ь
j f(x) dx = F(x) = F(b) - F(a). a
Первообразная ^(x) вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла
j f(x) dx = F(x) + С.
3
Пример 1» Найти интеграл J х4 dx,
-1
1508* Пусть
Р е ш е н и е.
35_ (-1)5
5	5
48t
г>
1= f (& > a > 1).
J Inx a
Найти: 1)	; 2)	.
da d&
Найти производные следующих функций:
X	хг
1509. F(x) = | In t dt(x > 0).	1511. F(x) = f e-'* di.
1
0
1510. F(x) = Г 71 + t4 di, 1512. 7 =
X
1513* Найти точки экстремума функции
J cos (t2) dt (x > 0)* i
x
X
у = J dt в области x > 0, о
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти интегральй
I	X
1514. f _**_ .	1516. Г e! di.
J 1 + х
о	~х
-1	х
1515. f d*	1517. f cos t dt.
J X3	J
”2	0
$ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных
139
С помощью определенных интегралов найти пределы сумм:
1518**. lim f4 + Л > со
П - 1
П2
1519**^1™ (-L + -L + ... + -L-
1S20. lim	-ьп'' (р > 0).
п со	дР
Вычислить интегралы:
2
1521. Г (х2 - 2х + 3) dx.
1
4
1530. f —	
J x2-3x+2
3
8
1522. j (J2x + Vx) dx.
0
1523. f dy. y2
6
1524. j 7x-2dx.
2
-3
1525. f dx— .
J 725+ 3x
-3
1526. Г dx .
J x2 - 1
-2
1
1527. f xdx	.
x2 + 3x + 2
о
1
Г ?з 1531. -J— dz.
J zs+l 0
It 4
1532. | sec2 a da.
П 6 72 2 1533. f ,dx 
J 7i -x2 3,5
1534. f dx —
J 75 + 4r-x2 fa
1 1535. Г	.
J 7y6 + 4
i
1528. f
J У + 2
-1
1
1529. f______dx_____.
J x2 + 4x + 5 о
4 f 2
1536.	cos a da*
о
л
2
1537.	J sin3 <p dtp.
О
e2
1538.	f 4^-
J xlnx
140
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1539. f sin<lnx) dx.
J я
1
л 4
1540* tg х dx,
л
“4
1
1543* J ch x dx. о
in3
1544. f .
/_ ch x Jn 2
я 3
1541* I я 6
1542. j
0
. 4	,
ctg <p dtp*
—4- dx, 14-e2*
1545, J sh2 x dx* о
л
§ 3* Несобственные интегралы
1°, Интегралы от неограниченных функций. Если функция f(x) не ограничена в любой окрестности точки с отрезка [а, Ь] и непрерывна при а<х<еис<х<Ь,топо определению полагают
(1)
Если пределы в правой части равенства (1) существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. При с = а или с = b определение соответствующим образом упрощается*
Если существует непрерывная на [а, £?] функция Е(х) такая, что F'(x) = f(x) при х с (обобщенная первообразная), то
ь
j f(x)dx = F(b)-F(a).	(2)
t2
Если |/(х)| < С?(х) при а х Ъ и J G(x) dx сходится, то интеграл (1) а
также сходится (признак сравнения).
Если f(x) >0 и lim {/(х) |с - х|т} = А * °о, А * 0, т. е. /(х) -	при
* •> с	|с - х|”1
х —* с, то: 1) при т < 1 интеграл (1) сходится, 2) при т > 1 интеграл (1) расходится*
§ 3, Несобственные интегралы
141
23. Ин тегралы с бесконечными пределами. Если функция /(х) непрерывна при а < х < оо, то полагают
J f(x) dx = и
lim
fr-* ос
/(х) dx
(3)
а
и в зависимости от существования или несуществования конечного предела н правой части равенства (3) соответствующий интеграл называется сходящимся или расходящимся.
Аналогично,
f(x) dx.
Если |/(х)| Дх) и интеграл j Дх) dx сходится, то интеграл (3) тоже а сходится.
Если f(x) > 0 и lim {/(х)х™} = А °о, А ф 0, т. е, /(х)	— при х —*
£ —У	X
то: 1) при т > 1 интеграл (3) сходится, 2) при m С 1 интеграл (3) расходится.
Пример 1.
1	-I	1
Г	dx v	Г	dx . v	f
— = lim — + hm
J x2 fj — о J x2 l — о J
-1	-1	e
— = lim fi-1) P lim f~-l x2	>	n-0 kt]
co
— интеграл расходится.
Пример 2,
UO	fr
'	= lim Г
J 1 + X2 ft - ос J 1 + х2
О	U
= lim (arctg b - arctg 0) = - .
ft - ос	2
Пример 3. Исследовать сходимость интеграла Эйлера—Пуассона
ос
| е”1 dx.	(4)
о
Решение. Положим
•30	1	ОС
е~* dx = Г е~х dx 4-	е”* dx.
о	о	1
Первый из двух интегралов в правой части не является несобственным,
2
а второй сходится, так как е
< е х при х > 1 и
следовательно, интеграл (4) сходится.
142
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 4» Исследовать на сходимость интеграл
DO
(5)
Решение» При х —*	имеем
Так как интеграл
оо
dx X3'2
1
сходится, то наш интеграл (5) также сходится» Пример 5. Исследовать на сходимость эллиптический интеграл
1 Г dx
О	* 4	/
Решение. Точка разрыва подынтегральной функции: х - 1» Приме-
нив формулу 1 ” X4 = (1 - х)(1 + х)(1 + X2), получим
(6)
1 =______________1_________ _ 1 1
71-х4	7(1 - х>(1 + х)(1 + х2)	(1-х)1'2 7(1 + х)(1 + х2)
Следовательно, при х 1 будем иметь
I ~ 1Г 1 ТьГх4 2 11 - х) Так как интеграл
сходится, то данный интеграл (6) также сходится.
Вычислить несобственные интегралы (или установить их расхо-
димость):
1546»
1547.
dx
dx
*/1 “ х2
1551.
00
1 dx
. х
§ 3, Несобственные интегралы
143
1552.
ОС
’ dx
J X2
1
1553.
1554,
1555*
ОС?
' dx
J х? '
1
со
Г dx
J 1 + х2 — ОС
со
Г dx
J х2 + 4х 4- 9 — СО
1556.
1557,
1558.
Jsin 1 dI-о
1
2
Г dx
J xlnx о
2
’ dx
J х In 2х О
co
1560. f -Ц- (a > 1).
J xln 2X
a
П
2
1561, J ctg x dx.
0
c?Q
1562. J e~kx dx (k > 0).
0
<Xi
1563. f arctg* dr.
J X2 + 1
0
oo
1564 f dx
J (x2 - I)2
2
co
1565. [ tlr .
J X3 + 1
0
1
1566. f d* o.
J x3- 5x2 0
1559,
4^ (“ > D. xlnx
Исследовать сходимость интегралов:
1567*
100
— оо
1568. f _______. -d— .___.
* 2х +- £/х3 + 1 + 5
1569, j
1 1571. [ d* .
j Vl - x-
2
1572. f .
J mx 1 co
1573. f dr.
J X2 Л 2
1570*
0
144
Глава V, ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1574*, Доказать, что эйлеров интеграл 1-го рода (бета-функция)
1
В(р, 7) = | ^ " \1 - х)? ‘ 1 dx
о
сходится при р > О и q > 0.
1575*, Доказать, что эйлеров интеграл 2-го рода (гамма-функция)
QO
Г(р) = |	" *е х dx
о
сходится при р > 0.
§ 4. Замена переменной в определенном интеграле
Если функция Дх) непрерывна на отрезке а < х С b и х = ф(£) — функция, непрерывная вместе со своей производной ф'(£) на отрезке а < t С (3, где а = ф(а) и Ь = ср(Р), причем /[ф(0] определена и непрерывна на отрезке Ct < £ < р, то
j f(x)dx= j Я<р (*)]фЧО dt а	а
Пример 1. Найти
а
J х2 Ja2-x2 dx (а > 0).
о
Решение. Положим
х = a sin t;
dx = а cos £ dt
Тогда t « arcsin - и, следовательно, можно принять а = arcsin 0 = 0, а
Р = arcsin 1 =
5 < Поэтому будем иметь л 2
dx = Г а2\
sin2 £ 7о2 ” а2sin 21 a cos
л 2
Г	д4
J (1 - cos 41) dt = “ о
1576, Можно ли интеграл
2
л
2
Г 2	2
I sin t cos t dt
0
n
4 2
па4
16
а
О
X
2
о
п
2
4 Г
о
о
о
вычислить с помощью подстановки х «= cos t?
§ 4. Замена переменной в определенном интеграле
145
Преобразовать определенные интегралы с помощью указанных подстановок:
4
3	3
1577. f Vx+1 dx, х = 2t - 1. 1579. f , x « sh t.
J	J	2++1
1	£
4
л
1	2
1578. [ —djU , x =* sin t. 1580. f f(x) dx, x arctg t.
i	о
2
1581. Для интеграла
ъ
J Дх) dx (b > a) a
указать целую линейную подстановку
х = at + р, в результате которой пределы интегрирования сделались бы соответственно равными 0 и 1*
Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интег
ралы:
4
1582.| о
tg | = -2. z
29
1583. [  (*~2J'3 dx, х - 2 = z3. J (x-2)2/3 + 3
3
1585. |
0
dt
3 + 2 cos t
л 2
1586. f --d*_,tgx=t
J 1 + adsm zx 0
1л2
1584. J 7ex'- 1 dx, ex ~ 1 = z2. о
С помощью подходящих подстановок вычислить интегралы
1587.	[ dx.
J X2
2
1588.	f dx.
J X 1
In 5_______
1589.	f ^-^2 dx.
J	ex + 3
о
5
1590.	f-----^Д=.
J 2x + J3x + 1
146
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислить интегралы:
3	а
1591, Г — dy - .	1593. f Jax - х* dr.
* X Jx2 4- 5X + 1	J
1	2я
1592. f ——— .	1594. f u?; .
J (1 + x2)2	J	5-3cosx
-1	о
1595* Доказать, что если f(x) — четная	функция, то
а	а
J f(x) dr = 2 J f(x) dr*
-a	0
Если же f(x) — нечетная функция, то
J /(х) dx = 0*
1596* Показать, что
f e л dr 2 f e-x dx = f — dr.
1597, Показать, что л
1	2
f -	d^~ = f	dx
J arccos r	J x
о	о
1598. Показать, что
2	2
f /(sin r) dx - /(cos r) dx*
о	о
§ 5. Интегрирование по частям
Если функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, £?], то ъ	ь
u(x)e/(x) dr и(х)у(х)- | г(х)е//(х) dr.	(1)
4	а
Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить интегралы: к 2
1599* х cos х dr.
о е
1600, In х dr*
1
1601, J х3е2л dx* о
1602, e^sin х dx.
о
§ 6. Теорема о среднем значении
147
оо	оо
1603. J хе х dx.	1605. J е **sin bxdx (а > 0).
о	о
со
1604. J e “vcos bx dx (а > 0). о
1606**. Показать, что для гамма-функции (см. № 1575) справедлива формула понижения
Г(р + 1) = рГ(р) (р>0).
Отсюда вывести, что Г(л 4* 1) — л!, если п — натуральное. 1607. Показать, что для интеграла тс	л
2	2
I = Г sinn х dx = j cos* x dx
Л-	J	I
о	0
справедлива формула понижения
Найти 7п, если п — натуральное. Пользуясь полученной формулой, вычислить и 71{Г
1608. Применяя многократное интегрирование по частям, вычислить интеграл (см. № 1574)
1
В(р, q) = J х^ 1(1 - х)7 1 dx, о
где р и q — целые положительные числа.
1609*. Выразить через В (бета-функцию) интеграл я 2
у	С ’ 7F1	1
I = sin х cos х dx, rt |	'
0
если тип — целые неотрицательные числа.
§ 6. Теорема о среднем значении
Iй. Оценки интегралов. Если f(x) < F(x) при а < х < Ъ, то ь	ь
J f(x) dx < J F(x) dx. a	a
Если f(x) и ф(х) непрерывны при а < х С b и, кроме того, ф(х) > 0, то ь	ъ	ь
mJ ф(х) dx С J /(х) ф(х) dx С М ф(х) dx, a	a
(1)
(2)
148
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
где т — наименьшее, а М — наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, j В частности, если ф(х) = 1, то ь
m{b - а) J f(x) dx < M(b - а).	(
а
Неравенства (2) и (3) можно соответственно заменить эквивалентными 1 равенствами: ь	&
f(x) ф(х) dx = f(c) J ф(х) dx а	а
II b
J f(x) dx = f(&)(b - а), а
где с и £ — некоторые числа, лежащие между а и Ъ, Пример 1, Оценить интеграл
г	У
2	________
/ = f 1 + isin2x dx. J 4 2 о
Решение. Так как О С sin2 х < 1, то имеем
71 < 7 < 5 щ
2	2 V2 ’
т, е.
1,57 < I < 1,91,
2е, Среднее значение функции. Число
ъ
ц = —L_ f f(x) dx о - a J
а
называется средним значением функции /(х) на отрезке а < х С Ь.
1610*. Не вычисляя интегралов, определить их знак:
2	я	2л
а) [ х3 dx; б) f х cos х dx; в) f dx.
J	J	J х
-io	о
1611.	Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
1	1
а)	|7Г+ хй dx или J х dx;
о	о
1	1
f	2 . 2	,	f	.	2	j
б)	х sin х dx или х sin х dx;
о	о
2	2
л д-2	л д.
в)	е dx или е dx.
1
1
§ 7* Площади плоских фигур
149
Найти средние значения функций на указанных промежутках: 1612. f(x) = х2, 0 < х < 1.
1613.	/(х) = а + Ь cos х, -п < х С тг.
1614.	ftx) = sin2 х, 0 < х < л,
1615.	f(x) = sin1 х, 0 < х < л.
1
Г dr	2
1616* Доказать, что	заключен между 5 - 0,67 и
J J2 + X- х2	3
к - 0,70* Найти точное значение этого интеграла*
Л
Оценить интегралы: 71 1	4
1617* j 74 + ха dx*	1620*. j xTtgx dx*
о	о
л + 1	2
_Ё2_.	1621. f dx.
8 + х3	J х
л 4
dx
10 + 3cosx
1622* Интегрируя но частям, доказать, что
1618*
-1
2л
1619* j о
200 л
о <	dx <
J X 100л
1
100л ‘
§ 7* Площади плоских фигур
1°. Площадь в прямоугольных координатах, Если не-
прерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением у = /(г)
|/(х)	0], то площадь криволинейной трапеции, ог-
раниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках х = а и х = b и отрезком оси абсцисс u С х < & (рис. 40), определяется формулой
S = jf(x)dx.	(1)
Л
a b X
Рис. 40.
150
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = прямыми х = 1 и х = 3 и осью абсцисс (рис, 41),
Решение. Искомая площадь выражается интегралом
S = f — dx = 4* , J 2	3
1
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную кривой г s 2 - у -и осью ординат (рис, 42),
Решение, Здесь изменены роли осей координат и поэтому искома! площадь выражается интегралом
1
-8= j (2-у-у2) dy = 41,
-2
где пределы интегрирования = -2 и у2 = 1 найдены как ординаты точек пересечения данной кривой с осью ординат,	'
В более общем случае, если площадь 5 ограничена двумя непрерывными кривыми у = Д(х) и у = /Дх) и двумя вертикалями х = а и х = Ь, где L
/Дх) < /Дх) при а < х < b (рис, 43), будем иметь
ъ
8 = j С/2(х) - /Дх)] dx,	(2)
а
Пример 3, Вычислить площадь S, заключенную между кривыми
л 2	3	2
{/ = 2- хиу=х	(3)
(рис. 44),
Решение, Решая совместно систему уравнений (3), находим пределы интегрирования: Xj = -1 и х2 1. В силу формулы (2) получим
*	/	3 о
S = f (2 - х2 - х2/3) dx = f 2х -	- Зх5/3
J	<	3 5
-1
-1
= 2*
15
Если кривая задана уравнениями в параметрической форме х = (р(£), у = то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вер*
Рис, 41-
Рис. 42.
Рис. 43.
Рис, 44.
§ 7, Площади плоских фигур
151
т11калями, соответствующими х = а и х = 6, и отрезком оси ОХ, выражается интегралом
S = J '4/(t)cp'(t) dx,
*1
где и ^2 определяются из уравнений
а = (p(tj и b - <p(ta) [ф(£) > 0 на отрезке [tp #2]]>
Пример 4. Найти площадь эллипса S (рис, 45), используя его параметрические уравнения
х = a cos t, у = b sin#.
решение. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении х - a cos t сначала х = 0, затем х - at получим пределы интегрирования tx = и ta = 0.
Поэтому
я 0	2
i S = J b sin a (-sin #) dt = ab J я	О
2
sin2 f dt -
nab
и, следовательно, S = nab.
2°. Площадь в полярных координатах. Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением г = /(ф), то площадь сектора АОВ (рис, 46), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами ОА и ОВ, соответствующими значениям (pj = а и ф2 = Р, выразится интегралом
₽
S = И [Л<?}]2 dtp-
а
Пример 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли г2 = a£ cos 2ср (рис. 47).
Рис. 45.
Рис. 46.
Рис. 47.
152
Глава V, ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Решение* В силу симметрии кривой определяем верть искомой площади:
п 4 1 "If?
- 8 = - a cos2wd(p = — -sin2(p
4	2 J	2	12
о
ТЕ
4
сначала одну
а2
о
Отсюда 5 = а2.
1623* Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 4х -и осью абсцисс*
1624* Вычислить площадь, ограниченную кривой у = In х, ос ОХ и прямой х = е*
1625** Найти площадь, ограниченную кривой у = х(х - 1)(х -; и осью ОХ.
1626* Найти площадь, ограниченную кривой у = х, прямой у =» и вертикалью х = 8*
1627* Вычислить площадь, ограниченную одной полуволной cl нусоиды у = sin х и осью ОХ*
1628. Вычислить площадь, заключенную между кривой у = tg;
осью ОХ и прямой х = 5,
1629, Найти площадь, заключенную между гиперболой ху = т, вертикалями х = а н х — За (а > 0) и осью ОХ.
1630* Найти площадь, содержащуюся между локоном Аньез а3
у = —---- и осью абсцисс,
х2 + а2
1631.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у х прямой у = 8 и осью OY.
2	2
1632.	Найти площадь, ограниченную параболами у = 2рх и х = 2д
1633* Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 2х - : и прямой у = —х*
1634* Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у = 3 - 5
от параболы у = х2*	
1635.	Вычислить площадь, заключенную между параболами у = х х2
у = — и прямой у - 2х.
£
1636* Вычислить площадь, заключенную между параболами у — -
л 2 г
и и = 4 - - х *
У 3
1637* Вычислить площадь, заключенную между локоном Анье:
----5 и параболой у = — * 1 + х2	2
§ 7. Площади плоских фигур
153
2
ь2
1638. Вычислить площадь, ограниченную кривыми у е*, у = е * И прямой X = 1.	22
1639. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой	= 1
и прямой х = 2а.
1640** Найти площадь, ограниченную астроидой х2/3 + ^2/3	a2/3t
1641* Найти площадь между цепной линией у = a ch* ,
осью OY и прямой у = ~(е2 + 1). б
1642* Найти площадь, ограниченную кривой а2у2 = х (а
1643* Вычислить площадь, содержащуюся внутри кривой
* + m - 1.
а
2
1644* Найти площадь между равнобочной гиперболой х2 - у2 - 9, осью ОХ и диаметром, проходящим через точку (5; 4).
1645* Найти площадь между кривой у = Д , осью ОХ и ординатой
xz
и ее
и ее
х 1 (х > 1).
1646*. Найти площадь, ограниченную циссоидой у = —— Д “ X
асимптотой х = 2а (а > 0)*
1647*. Найти площадь между строфоидой у = -X-—X :
асимптотой (а > 0).
1648.	Вычислить площади двух частей, на которые круг х + у разделен параболой у2 = 2х.
1649.	Вычислить площадь, содержащуюся между окружностью
х + уЛ = 16 и параболой х2 = 12{у - 1).
1650.	Найти площадь, содержащуюся внутри астроиды
з ,	* * з .
х = a cos f; у = b sm t.
1651.	Найти площадь, ограниченную осью ОХ и одной аркой циклоиды
3 = 8
х = а(£ “ sin t)t у = а(1 - cos t).
1652.	Найти площадь, ограниченную одной ветвью трохоиды
х = at — bsinf,	,
(0 < 6 < a)
| у - a — b cos t
11 касательной к ней в низших ее точках.
154
Глава V, ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Рис, 48.
1653. Найти площадь, ограниченную кардиоидой
х = a(cos£ - cos2t), у - a(sin£ - sin2t)-
1654*. Найти площадь петли декартова листа
г = 3af - п = l + f3’у 1 + t3’
1655*. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
г = а(1 + cos ср).
1656*. Найти площадь, содержащуюся мез ду первым и вторым витками спирали Архиме; г = аф (рис. 48).
1657. Найти площадь одного лепестка кр вой г = acos 2ф*
1658. Найти площадь, ограниченную кривс 2	2
г = a sin 4ф.
1659*- Найти площадь, ограниченную кривой г = a sin 3<р.
1660. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля
г = 2 + cos ф.
1661. Найти площадь, ограниченную параболой г — a sec2 2 £
ИП
лупрямыми ф = ~ И ф = .
1662. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом
1).
И
г= —Р_____
1 + ССОБф
1663. Найти площадь, ограниченную кривой г = 2а cos Зср жащую вне круга г = а.
1664*. Найти площадь, ограниченную кривой х* + у* = х2 + у*

§ 8, Длина дуги кривой
1°. Длина дуги в прямоугольных координатах. Длинам дуги гладкой кривой у = Дх), содержащейся между двумя точками с afif циссами х == а и х = 6, равна
*
s = f J1 + г/2 dx.
а
§ 8, Длина дуги кривой
155
- тт «	2/3 .	2/3	2/3 z
Пример!. Наити длину астроиды х + (/	= а (рис. 49).
Решение. Дифференцируя уравнение астроиды, получаем
У1/3
х1/3'
Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем
Рис. 49.
Отсюда s = 6а.
2°.Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если кривая задана уравнениями в параметрической форме х = (p(t) и у —	)
и i|t(t) — непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги а кривой равна
s - J Jx'2 + y'2 dt,
где tj и t2 — значения параметра, соответствующие концам дуги.
Пример 2. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 50)
х = a(t - sint), у = а(1 - cost).
т1»	т»	' dX	.v < dtf
Решение, Имеем х - а(1 - cos t) и у = _£ = dt	dt
= a sin t. Поэтому
2тг	2п
8 = f л/а 3 (1 ~ cos t)3 4- а2 sin21 dt = 2а f sin ~ dt = 8а, J	J	“
о	0
Пределы интегрирования = 0 и t2 — 2п соответствуют крайним точкам арки циклоиды.
Если гладкая кривая задана уравнением г — /(ф) в полярных координатах г и (р, то длина дуги s равна
8
гДе а и Р — значения полярного угла в крайних точках дуги.
П
ример 3. Найти длину всей прямой г =
(Рис. 51). Вся кривая описывается точкой (г, <р) при вменении ср от 0 до Зтг.
. з ф a sin -
3
156
Гла&а V* ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Решение.
тт ,	. 2 w (р
Имеем г = a sin. J cos , поэтому длина всей дуги криво:
Зтг_________________________
la2sinG¥ + a2sin4-coss-
J V 3	3	3
о
Зл
Г  2 с , Зла
J sm I d<p = — о
1665. Вычислить длину дуги полукубической параболы у* == х от начала координат до точки с координатами х — 4, у = 8.
1666** Найти длину цепной линии у = a ch - от вершины А(0; a a
до точки B(b; h).
1667. Вычислить длину дуги параболы у = 2jx от х = 0 до х = 1,
1668. Найти длину дуги кривой у = ел\ содержащейся между точками (0; 1) и (1; е),
1669. Найти длину дуги кривой у = In х от х = 73 до х - 78.
1670. Найти длину дуги у = arcsin (е ) от х = О до х — 1.
1671* Вычислить длину дуги кривой X
In sec у 7
содержащейся
между // = 0 и
1672. Найти длину дуги кривой х
~ У 2 ~ “ In У от у = 1 до у = е 4	&
1673. Найти длину дуги правой ветви трактриссы
х Ja2 - у2 + a In
д + Ja2-y2 У
от у = а до у = b (0 < b < а).
s =
я
Г
2	2
1674* Найти длину замкнутой части кривой 9ау = х(х - За) .
1675. Найти длину дуги кривой у = In
(О < а < Ь)*
от х = а до х = &
1676*. Найти длину дуги развертки окружности х = a( cost + f sin t),	л m
v	Чот^Одо^Т.
у - afsinf - tcosf) J
1677. Найти длину эволюты эллипса
С2 з d с2 , 3	2	2	.2<
х = — cos t; у = — sm t (с = a - о ). а	b
1678. Найти длину кривой
х = а(2cost - cos2t), у = a(2sint “ sin2t).
1679. Найти длину первого витка спирали Архимеда г = atp.
§ 9. Объемы тел
157
1680. Найти всю длину кардиоиды г = а(1 + cos <р),
1681* Найти длину дуги части параболы г = a sec2 , отсекаемой от параболы вертикальной прямой, проходящей через полюс,
1682, Найти длину дуги гиперболической спирали пр = 1 от точки
1^2; до точки [	21 *
'ч 2/	\2 /
1683, Найти длину дуги логарифмической спирали г = ает<₽ (т > 0), находящейся внутри круга г = а.
1684. Найти длину дуги кривой ср = i fr + от г = 1 до г = 3»
§ 9.	Объемы тел
Г, О б ъем тела вращения. Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = /(х), осью ОХ и двумя вертикалями х = а и х = вокруг осей ОХ и ОУ, выражаются соответственно формул ами: ь	ъ
1)	Vx = nJ у2 dx; 2) VY = 2л J ху dx*\ а	а
Пример 1. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin х и отрезком 0 < х С л оси ОХ вокруг: а) оси ОХ и б) оси ОУ.
Решение.
ГС
Г 2
a)	Vx = и I sin х dx = — ;
J	А
о
*	л
б)	VY = 2л f х sin х dx - 2п(-х cos х + sin х) = 2п2.
Jo	0
Объем тела, образованного вращением около оси ОУ фигуры, ограниченной кривой х = £(у), осью ОУ и двумя параллелями у = с и у — d, можно определять по формуле
cf
Vy = nJ X2 dy, с
Пусть тело образовано вращением около оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной кривой у == /(х) и прямыми х = а, х = Ьиг/ = 0.3а элемент объема этого Т(?ла принимают объем части тела, образованного вращением около оси ОУ прямоугольника со сторонами у и dx, отстоящего от оси ОУ на расстоянии х» Тогда элемент
объема dVy. = 2пху dx, откуда Vy *= 2л J ху dx.
158
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
получающейся из приведенной выше формулы 1) путем перестановки я ординат х и у.	1
Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных коо] динатах и т. д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствуя щую замену переменной интегрирования.	]
В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры, d раниченной кривыми уг = и у% = /а(х) (причем /Jx) < /й(х)) и прямые х = а, х — Ь, вокруг координатных осей ОХ и ОУ, соответственно равный ь	ь	;
Vx = Л f (у2 - у2)dx, VY = 2л j х(у2 ~ У() dx.	j
а	:
а
Пример 2. Найти объем тора, образованного вращением кру: 2	2	2
х + (у - Ъ) < а (5 > а) вокруг оси ОХ (рис. 52).
N
Решение. Имеем
Поэтому
-it
и У2
а2 - х2 )2 - (Ь ” ^а2 - хг )2] dx =
а
х а
-а О
Рис. 52.
X
а
= 4гс& f Ja2 - х2 dx = 2n2a2b
-u
(последний интеграл берется подстановкой х = a sin t).
Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дуг кривой г F((p) и двумя полярными радиусами <р = сс, ср = £, вокруг полярн оси, может быть вычислен по формуле
а
г
Р
Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, ш лученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоТ1 рой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.
Пример 3. Определить объем, г = a sin 2ф вокруг полярной оси.
Решение.

образованный вращением криво
л
2
п
а
з Г
о
г3 sin ф dtp =
4
зпа
о
32 _
3
л
2
3 Г
о
64 з
— ла .
105
§ 9. Объемы тел
159
2'. Вычисление объемов тел ни известным попереч-н bi м сечениям. Если 8 = S(x) — площадь сечения тела плоскостью, 11ергг[н1дикулярной к некоторой прямой (которую принимаем за ось ОХ), в точке с абсциссой х, то объем этого тела равен
х2
V = | S(x) dx,
где Xj и х2 — абсциссы крайних сечений тела*
Пример 4* Определить объем клипа, отсеченного от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклоненной к основанию под углом ct* Радиус основания равен 7? (рис, 53)*
Решение. Примем за ось ОХ диаметр основа-нвя, по которому секущая плоскость пересекает осно-найме, и за ось ОУ диаметр основания, ему перпен- --------
дикгтляриый. Уравнение окружности основания будет
х - у - К .	О / }
Площадь сечения АВС, отстоящего на расстоянии	А\ Xs
х от начала координат О, равна	РХк
О ть-Л
1	I	U
8(х) = пл. Д АВС = - АВ  ВС =	= тг	г-
* '	2	2У'	2	Рис. 53.
Поэтому искомый объем клина есть
r	п
Р = 2 + - у tg ct dx = tg u (7? - x ) dx = - 7? tg a.
2	J	J	3
о	о
1685* Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг оси ОХ площади, ограниченной осью ОХ и параболой у — ах — хЙ (а > 0),
1686, Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллип-х2 и2
са — 4- г_ = 1 вокруг оси ОХ*
а2 Ь2
1687, Найти объем тела, получающегося при вращении вокруг
оси ОХ площади, ограниченной цепной линией у = a sh - , осью ОХ Ct
и прямыми х = ±а.
1688* Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси ОХ кривой у = sin2 х в промежутке от х = 0 до х = п.
1689* Найти объем тела, образованного вращением площади, ог-раниченной полукубической параболой у = х , осью ОХ и прямой х = 1, вокруг оси ОХ.
1690* Найти объем тела, образованного вращением той же площади, что в задаче 1689, вокруг оси ОУ*
1691, Найти объемы тел, образуемых вращением площади, ограниченной линиями у = ет, х — 0, у = 0, вокруг: а) оси ОХ и б) оси ОУ.
160
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1692, Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Св
-	й	2 л	1
той части параболы у = 4ах, которая отсекается прямой х — а. Д 1693, Найти объем тела, образованного вращением вокруг прЯ -	-	2 л	1
мои х = а той части параболы у = 4ах, которая этой прямой отс| кается,	j
1694, Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямей
2	»1
у = -р фигуры, ограниченной параболой у ” 2рх и прямой х = cd
2 j
1695, Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОД
-	2	г и
площади, содержащейся между параболами у = х и у = Jx ,	>
1696, Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОД
2	'
петли кривой (х - 4а)у = ах (х - За) (а > 0).	J
1697* Наити объем тела, производимого вращением циссоид^ а х3	
у = ---- вокруг ее асимптоты х = 2а*
2 а — х
1698* Найти объем параболоида вращения, радиус основания ко торого Р, а высота Н.
1699, Прямой параболический сегмент, основание которого 2а i высота Л, вращается вокруг основания* Определить объем тела вра щения, которое при этом получается («лимона Кавальери)*
1700* Показать, что объем части, отсекаемой плоскостью х = 2а О' тела, образованного вращением равнобочной гиперболы х — у = а вокруг оси ОХ, равен объему шара радиуса а,
1701, Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ог раничениой одной аркой циклоиды х = a(t - sin t), у = a(l - cos t и осью OX, вокруг: а) оси ОХ, б) оси ОУ, в) оси симметрии фигуры
1702* Найти объем тела, образованного вращением астроидь х = a cos3 у, у = a sin3 t вокруг оси ОУ,
1703, Найти объем тела, которое получается от вращения карди оиды г = a(l + cos (р) вокруг полярной оси*
1704, Найти объем тела, образованного вращением криво!
2	„	J
г = a cos <р вокруг полярной оси.
1705, Найти объем обелиска, параллельные основания которого прямоугольники со сторонами А, В и а, Ь, а высота равна Л,
1706.	Найти объем прямого эллиптического конуса, оснований которого есть эллипс с полуосями а и Ь, а высота равна А,
1707.	На хордах астроиды х + у = а , параллельных ocf ОХ, построены квадраты, стороны которых равны длинам хорд I плоскости которых перпендикулярны плоскости XOY. Найти объем тела, образованного этими квадратами.
§10. Площадь поверхности вращения
161
1708.	Деформирующийся круг перемещается так, что одна из тОчек его окружности лежит на оси OY, центр описывает эллипс iZ + — = 1, а плоскость круга перпендикулярна плоскости XOY-(J2
Найти объем тела, образованного кругом,
1709.	Плоскость движущегося треугольника остается перпендикулярной неподвижному диаметру круга радиуса а. Основанием треугольника служит хорда круга, а вершина его скользит по прямой параллельно неподвижному диаметру на расстоянии h от плоскости круга. Найти объем тела (называемого коноидом), образованного движением этого треугольника от одного конца диаметра до другого.
2	2	2
1710.	Найти объем тела, ограниченного цилиндрами х + z = а
2,2	2
и у -Hz = а .
1711.	Найти объем сегмента, отсекаемого от эллиптического па-
раболоида — + — С х плоскостью х = а. 2р 2q
1712.	Найти объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом ^-+Е_-£_=1и плоскостями х = 0 и z = h„ a2 b2 с2
2	it 2	^2	<
1713.	Найти объем эллипсоида —- + £- + — — 1.
а2	Ь2	с2
§10. Площадь поверхности вращения
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги гладкой кривой у = f(x) между токами х = а и х = Ъ, выражается формулой
ь	ь
SY = 2л f dx — 2л f yjl + у’2 dx
А	J	dx	J
a	a
(1)
(d$ диференциал дуги кривой).
В случае иного задания уравнения кривой площадь поверхности получается из формулы (1) путем соответствующей замены переменных.
Пример 1. Найти площадь поверхности, образованной вращением во-
2	2
круг оси ОХ петли кривой - х(3 - х) (рис. 54).
Решение. Для верхней части кривой при 0 < х С 3 имеем у — (3 - х) Jx .
Отсюда дифференциал дуги ds =	* dx. На основании формулы (1) пло
щадь поверхности
з
S = 2л f 1 (3 - x)Jx ^±1 dx = Зя. J 3	2jx
и
e Задачи и упражнения
162
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением о«и ной арки циклоиды х = a(t — sin £), У = а(1 ~ cos О вокруг ее оси симметрии (рис. 55),
Рис. 54.
Решение. Искомая поверхность образуется вращением дуги ОА во* круг прямой АВ, уравнение которой х = па. Принимая у за независимую переменную и учитывая, что ось вращения АВ сдвинута относительно кек ординатной оси OY на расстояние ла, будем иметь
2а
S = 2к ( (ла - х) ~ dy. J dy о
Переходя к переменной t, получим
•1
8 = 2n J (rta ~ at + a sin t) о
2
dt =
п
= 2л J (ла - at 4- a sin t) 2а sin 1 dt = о
.	2
= 4ла
. t + ♦ t t , , . л sin - - tsin- + smtsm
2
о
-2л cos - + 2t cos - - 4sin - sin3 -
2	2	2	3	2
“1Я
= 8nf я - | W-
I 3 J
4
1714. Размеры параболического зеркала AOB указаны на рис. 56,^ Требуется найти площадь поверхности этого зеркала.

t
2
А

о

1715, Найти площадь поверхности «веретена», кото1-^ рое получается в результате вращения одной полуволну; синусоиды у = sin х вокруг оси ОХ,
1716. Найти площадь поверхности, образованной вра?
щением части тангенсоиды у = tg х от х = 0 до х = -
а
В
Рис. 56.
вокруг оси ОХ.
1717, Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой у = е х, от х = О д<
1718. Найти площадь поверхности (называемой к теноидом), образованной вращением цепной линии a ch в< а
круг оси ОХ, в пределах от х ~ 0 до г — а.
§11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена
163
Л „	2/3 .	2/3
1719.	Наити площадь поверхности вращения астроиды х + У = а2/3 вокруг оси ОУ.
12	1
1720.	Найти площадь поверхности вращения кривой х = - у - - In у 4	£
вокруг оси ОХ, от у = 1 до у = е.
1721*. Найти поверхность тора, образованного вращением окруж-2	2	2
ности х + (у - (?) = а вокруг оси ОХ (Ъ > а)*
1722.	Найти площадь поверхности, образованной вращением эл-
липса	= 1 вокруг: 1) оси ОХ; 2) оси ОУ (а > Ь).
а2 Ь2
1723.	Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды х = a(t - sin t), t/ — ct(l — cos t) вокруг: а) оси OX; б) оси OY; в) касательной к циклоиде в ее высшей точке.
1724.	Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ кардиоиды
х = а(2cost - cos2t),
у = a(2sint - sin2f).
1725.	Определить площадь поверхности, образованной вращени-2	2 Л
ем лемнискаты г — a cos 2ф вокруг полярной оси.
1726.	Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды г = 2п(1 + cos (р) вокруг полярной оси.
§11. Моменты. Центры тяжести.
Теоремы Гульдена
lq. Статический момент. Статическим моментом относительно оси I материальной точки А, имеющей массу m и отстоящей от оси I на расстоянии d, называется величина = md.
Статическим моментом относительно оси I системы п материальных точек с массами т2, тп называется сумма
п
Ml - У m d.,	(1)
i = 1
пРичем расстояния точек, лежащих по одну сторону оси I, берутся со знаком плюс (+), а по другую — со знаком минус (-). Аналогично определяется ста-^ический момент системы точек относительно плоскости.
Если массы непрерывно заполняют линию или фигуру плоскости XOY, то статические моменты Мх и MY относительно координатных осей ОХ и QY вместо сумм (1) выражаются соответствующими интегралами. Для слу-Чая геометрических фигур плотность считается равной единице.
164
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В частности: 1) для кривой х = x(s); у p(s), где параметр s есть дли: дуги, имеем
L
L
(2
= i
х 2
(3)
о	о	$
(ds = 7(dx)2 + (dz/)2 — дифференциал дуги);	j
2) для плоской фигуры, ограниченной кривой у = у(х), осью ОХ и двумя? вертикалями х - а и у = 6, получаем ь	й
| уЫ dx; мг = j а	а
Пример 1. Найти статические моменты относительно осей ОХ и OY
треугольника, ограниченного прямыми - +	= 1, х = О, */ = 0 (рис. 57)/
а b
& 1 — . Применяя формулы (3), получаем
\ CZ J а
Решение, Здесь у =
Mv
Л
6
о
и
М
а = ъ[
о
2°* Момент инерции. Моментом инерции относительно оси I материальной точки массы т, отстоящей от оси I на расстоянии d, называется число if = md .
Моментом
с массами mL,
инерции относительно оси I системы п материальных точек т2, /пл называется сумма
л = У тА 1^1
dn — расстояния точек от оси I. В случае сплошной массы получаем соответствующий интеграл.
2. Найти момент инерции треугольника с основанием b и вы-
где dv dv
вместо суммы Пример
сотой h относительно его основания.
Решение. Основание треугольника примем за ось ОХ, а его высоту — за ось ОУ (рис. 58).
У
Ь
О
Рис, 57.
Рис. 58.
й Л
§11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена
165
Разобьем треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски толщины dt/, играющие роль элементарных масс dm. Используя подобие треугольников, получаем:
dm - bL-E dy
Л
И
dZv
у2 dm = |у2(й - y)dy. а £
Отсюда

х
-1&/Л
12
о
3°. Центр тяжести. Координаты центра тяжести плоской фигуры (дуги или площади) массы М вычисляются по формулам
Му _	Мх
Х ~ АГ ’ У	"КГ *
где Мх и Му — статические моменты массы, В случае геометрических фигур масса М численно равна соответствующей дуге или площади.
Для координат центра тяжести (х , у) дуги плоской кривой у = f(x) (а С х С &), соединяющей точки А(а; /(а)) и	имеем
в	ь	В
d
+(i,')2d
e_______________
b
S
a
6
х =
5
, у = — S
X
и
ь
а
Координаты центра тяжести (х , у) криволинейной трапеции а С х С bt О < у < Дх), могут быть вычислены по формулам ь
^pdx а
г = £___
S
> У
&
где S = J у dx — площадь фигуры. а
Аналогичные формулы имеют место для координат центра тяжести тела.
Пример 3. Найти центр тяжести дуги по-
луокружности х2 + у2 = а2 (у 0) (рис. 59).
Решение. Имеем
и
У
2 .

—X
2_ v 2
ds = Jl + (.t/')2
dx =
adx
2
166
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Отсюда
а	а
а	а	а
М = [ у ds = [ 7й2 - X2 adx = 2а2, м = f -д^	= ла.
J	J	д/а2 - х2	J Уа2 - х2
-а	-я	'	-а
Следовательно,
-2
х - 0; у = - а.
4°, Теоремы Гульдена.
Теорема 1* Площадь поверхности, полученной от вращения дуги плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в одной плоскости с кривой и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой центром тяжести дуги кривой.
Теорема 2, Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в плоскости фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести фигуры.
1727.	Найти статические моменты относительно осей координат отрезка прямой
заключенного между осями координат.
1728.	Найти статические моменты прямоугольника со сторонами а и б относительно его сторон.
1729.	Найти статические моменты относительно осей ОХ и ОУ и координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми х + у = а, х = 0 и г/ 0.
1730.	Найти статические моменты относительно осей ОХ и ОУ и координаты центра тяжести дуги астроиды
2/3 .	2/3	2/3
х + у = а , лежащей в первом квадранте.
1731.	Найти статический момент окружности г — 2а sin tp относительно полярной оси.
1732.	Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии
и = a ch -а
от х = -а до г = а.
§11* Моменты. Центры тяжести, Теоремы Гульдена
167
1733.	Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а, стяги-вающей угол 2сс.
1734.	Найти координаты центра тяжести дуги первой арки циклоиды
х = a(t - sin 0; У = а(1 “ cos t)
(О < i < 2л).
1735.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
эллипсом	= 1 и осями координат ОХ и ОУ (х > 0, у > 0).
а2 Ь2
1736.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривыми
У = у = Jx.
1737.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды
х a{t - sin t)t у = а(1 - cos f)
и осью ОХ.
1738**. Найти центр тяжести полусферы радиуса а с центром в начале координат, расположенной над плоскостью ХОУ*
1739**. Найти центр тяжести однородного кругового конуса с радиусом основания г и высотой h.
1740**. Найти центр тяжести однородного полушара радиуса а с центром в начале координат, расположенного над плоскостью ХОУ.
1741.	Найти момент инерции окружности радиуса а относительно ее диаметра.
1742.	Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и b относительно его сторон*
1743.	Найти момент инерции прямого параболического сегмента с основанием 2Ъ и высотой h относительно его оси симметрии.
1744.	Найти моменты инерции площади эллипса -h ^- = 1 а2 Ъ*
относительно его главных осей.
1745**. Найти полярный момент инерции кругового кольца с радиусами JL и R„ (Я* < т. е. момент инерции относительно оси, проходящей через центр кольца и перпендикулярной к его плоскости*
1746**. Найти момент инерции однородного прямого кругового конуса с радиусом основания J? и высотой Н относительно его оси,
1747**. Найти момент инерции однородного шара радиуса а и массы М относительно его диаметра*
1748. Найти поверхность и объем тора, получающегося от вращения круга радиуса а вокруг оси, расположенной в плоскости круга й отстоящей от центра его на расстоянии b (Ь > а).
168
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1749» а) Определить положение центра тяжести дуги астроидьн
2/3 .	2/3	2/3	J
х -г I/ = а , лежащей в первой четверти.	fl
б) Найти центр тяжести фигуры, ограниченной кривыми г/2 = 2рх|
и х = 2ру.	I
1750**. а) Найти центр тяжести полукруга, пользуясь теоремой] Гульдена.	I
б) Доказать, пользуясь теоремой Гульдена, что центр тяжести тре-j угольника отстоит от его основания на одну треть высоты.	1
§ 12, Приложения определенных интегралов к решению физических задач
1°. П у т ь, пройденный точкой. Если точка движется по некоторой кривой и скорость ее и — f(t) есть известная функция времени f, то rai/tfib, пройденный точкой за промежуток времени [t,, t9], равен
f2
rtOdt.
n
Пример 1. Скорость точки равна
и = 0, It3
(о выражена в м/с). Найти путь s, пройденный точкой за промежуток времени Т— 10 с, протекший от начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток?
Решение. Имеем
\°	л ю
s =	0,It dt = 0,1^-	- 250 (м)
J0
и
vcp = ~ = 25 (м/с).
2°. Работа силы. Если переменная сила X = f(x) действует в направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке [х., xJ равна
X
*2
А = J f(x) dx.
Пример 2, Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила 1 Н растягивает ее на 1 м?
Решение, Согласно закону Гука сила X, растягивающая пружину ня х, равна X = kx, где k — коэффициент пропорциональности.
§ 12, Приложения определенных интегралов к решению физических задач 169
Полагая х = 0,01 м и X = 1 Н, получим k — 100 и, следовательно, X = 100х,
Отсюда искомая работа
0,06
Л= j 100xdx = 50x2[G'°G - 0,18 (Дж).
О
3°, Кинетическая энергия. Кинетической энергией материал ь-ной точки, имеющей массу т и обладающей скоростью и, называется выражение
ти2
Кинетическая энергия системы п материальных точек с массами тр пг2, й1 m , обладающих соответственно скоростями и., и9, и. равна ’ /1'	L £	Л
(1)
Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом разбивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек), а затем, суммируя кинетические энергии этих частиц, в пределе вместо суммы (1) получают интеграл.
Пример 3, Найти кинетическую энергию однородного кругового цилиндра плотности 5 с радиусом основания Я и высотой Л, вращающегося с угловой скоростью w вокруг своей оси.
Решение. За элементарную массу dm принимаем массу полого цилиндра высоты Л, с внутренним радиусом г и толщиной стопок dr (рис, 60), Имеем
dm = 2лг * ЛЗ dr,
Так как линейная скорость массы dm равна и = rto, то элементарная кинетическая энергия есть
,„ o2dm з j ал •* —-— = пг со no dr.
2
Рис. 60.
Отсюда
й
гу 2тС Г з, л<1)23/?4/г
К = тгео ЛЗ г dr = --------------------
J	4
о
4q. Давление жидкости. Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на площадку S с глубиной погружения Л равна
Р = yghS,
где у — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.
170
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
— ~ П--------------
Рис. 61.
Пример 4, Найти силу давления, испиты-j
*) 1
ваемую полукругом радиуса г, погруженным! вертикально в воду так, что его диаметр совпа-1 дает с поверхностью воды (рис. 61).	$
Решение. Разбиваем площадь полукруга 1
на элементы — полоски, параллельные поверх-
ности воды. Площадь одного такого элемента (от-брасывая м. высшего порядка), находящегося ! на расстоянии h от поверхности, равна	•
dS = 2х dh = 2 Jr2 - h2 dh.
Сила давления, испытываемая этим элементом, равна dP = ygh d5 = 2yghjr2 -h2 d/i, где у — плотность воды.
Отсюда вся сила давления есть
Р - 2yg f hjr2 -h2 dft = yg(r2 - ft2)3 2£ = |gr3. J	и	O
О
1751.	Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью о0, без учета сопротивления воздуха, дается формулой
г = г0 - gtt
где t — протекшее время, g — ускорение свободного падения. На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через время t от момента бросания?
1752.	Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0> с учетом сопротивления воздуха, дается формулой
v = с ' tg (-? t + arctg , \ с	с J
где t — протекшее время, g — ускорение свободного падения, с — постоянная. Найти высоту поднятия тела.
1753.	Точка оси ОХ совершает гармонические колебания вокруг начала координат, причем скорость ее дается формулой
и = v0cos (Dt,
где t — время, о0, си — постоянные.
Найти закон колебания точки, если при t = 0 она имела абсциссу х = 0. Чему равно среднее значение скорости точки за период колебаний?
1754.	Скорость движения точки о = te (и — в м/с). Найти путь, пройденный точкой от начала движения до полной «остановки».

В этом примере, а также в задачах № Ns 1768—1771 под плоскими поверхностями понимаются тонкие тела (оболочки), у которых один из характерных размеров много меньше двух других.

§12. Приложения определенных интегралов к решению физических задач 171
1755, Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая, что при постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет уменьшения
ее веса растет по закону j =----
(а - Ы > 0)5 найти скорость ракеты
в любой момент времени t, если начальная скорость ее равна нулю. Найти также высоту, достигнутую ракетой к моменту времени t = fr
1756*. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус основания R и высоту Н.
1757. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз, радиус основания которого равен 7? и высота Н.
1758. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из полусферического котла, имеющего радиус R.
1759* Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны, имеющей форму цилиндра с горизонтальной осью, если плотность масла у, длина цистерны Н и радиус основания 7?.
1760**- Какую работу надо затратить, чтобы тело массы т поднять с поверхности Земли, радиус которой/?, на высоту /Г? Чему равна эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность?
1761**- Два электрических заряда g0 = 1 Кл и — 2 Кл находятся на оси ОХ соответственно в точках х0 = 0 и 1 см. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку х2 == 10 см?
1762**. Цилиндр с подвижным поршнем диаметра D = 20 см и длины I = 80 см заполнен паром при давлении р — 10 Па. Какую работу надо совершить, чтобы при неизменной температуре (изотермический процесс) объем пара уменьшить в два раза?
1763**. Определить работу, произведенную при адиабатном расширении воздуха, имеющего начальные объем 1 м
= 1 Па, до объема V1 = 10 м3?
1764*** Вертикальный вал веса Р и радиуса а опирается на подпятник АВ (рис. 62). Сила трения между небольшой частью а основания вала и прилегающей к ней поверхностью опоры равна F = црст, где р - const есть давление вала на поверхность опоры, а ц — коэффициент трения. Найти работу силы трения при одном обороте вала.
1765**. Вычислить кинетическую энергию диска массы М и радиуса 7?, вращающегося с угловой скоростью со около оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости.
и давление
Рис. 62*
172
Глава V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1766. Вычислить кинетическую энергию прямого круглого кону- £ са массы М, вращающегося с угловой скоростью со около своей оси, г если радиус основания конуса /?, а высота Н,
1767*. Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный шар радиуса R - 2 м, вращающийся с угловой скоростью со = 1000 об/мин вокруг своего диаметра? (Плотность железа у = 7,8  103кг/м\
1768.	Вертикальный треугольник с основанием d и высотой h погружен в воду вершиной вниз так, что его основание находится на поверхности воды. Найти силу давления воды.
1769.	Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычислить силу давления воды на всю плотину, если известно, что верхнее ос* нование плотины а = 70 м, нижнее основание Ъ = 50 м, а высота плотины h = 20 м.
1770.	Найти силу давления жидкости, удельный вес которой у, на вертикальный эллипс с осями 2а и 2d, центр которого погружен в жидкость на уровень d, причем большая ось 2а эллипса параллельна уровню жидкости (h > d)*
1771.	Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус с радиусом основания R и высотой Н, погруженный в воду вершиной вниз так, что его основание находится на поверхности воды.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1772.	Найти массу стержня длины I = 100 см, если линейная плотность стержня на расстоянии х (см) от одного из его концов равна
5 = 2 -г 0,001х2(г/см).
1773* Согласно эмпирическим данным удельная теплоемкость воды при температуре /°C (0 < t < 100°) равна
с = 0,9983 - 5,184  10 5 t + 6,192 • 10’Y,
где с выражена в Дж / (г ь°С). Какое количество теплоты нужно затратить, чтобы 1 г воды нагреть от температуры 0 °C до температуры 100 °C?
1774.	Ветер производит равномерное давление р на дверь, ширина которой d и высота ft. Найти момент силы давления ветра, стремящейся повернуть дверь на петлях,
1775.	С какой силой притяжения действует материальный стержень длины I и массы М на материальную точку массы т, находящуюся на одной прямой со стержнем на расстоянии а от одного из его концов?
1776**. При установившемся ламинарном (струйном) течении жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость те
§12* Приложения определенных интегралов к решению физических задач 173
чения v в точке, находящейся на расстоянии г от оси трубы, дается формулой
р f 2 2Ч v = /- (а - г ),
где р — разность давлений жидкости на концах трубы, ц — коэффициент вязкости, I — длина трубы* Определить расход жидкости Q, т* е* количество жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени*
1777". Условие то же, что и в задаче № 1776, но труба имеет прямоугольное сечение, причем основание а велико по сравнению с высотой 2Ь. В этом случае скорость течения и в точке М(х, у) определяется формулой
^[Ь2-(Ь-У)2].
£ Ц I
Определить расход жидкости Q.
1778**. При изучении динамических свойств автомобиля часто используется построение диаграмм специального вида: на оси абсцисс откладываются скорости щ на оси ординат — величины, обратные соответствующим ускорениям а, Показать, что площадь S, ограниченная дугой этого графика, двумя ординатами и = и и = и2 и осью абсцисс, численно равна времени, необходимому для того, чтобы увеличить скорость движения автомобиля от до и2 (время
разгона).
1779* Горизонтальная балка весом Q и длиной I находится в равновесии под действием направленной вниз вертикальной нагрузки, равномерно распределенной по длине балки, и опорных реакций
А и В
2 Г
направленных вертикально вверх* Найти изги
бающий момент Мх в поперечном сечении х, т* е* момент относительно точки Р с абсциссой х всех сил, действующих на часть балки АР.
1780. Горизонтальная балка длины I находится в равновесии под действием опорных реакций А и В и распределенной по длине балки нагрузки с интенсивностью q = kx, где х — расстояние от левой опоры, k — постоянный коэффициент* Найти изгибающий момент Мх
в сечении х. Примечание* Интенсивностью распределения нагрузки называется
нагрузка (сила), отнесенная к единице длины*
1781** Найти количество теплоты, выделяемое переменным синусоидальным током
1 = Josin 1'у * ” 4>j
в течение периода Т в проводнике с сопротивлением В.
Глава VI
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1» Основные понятия
Г. Понятие функции нескольких переменных. Обозначения функций. Переменная величина z называется однозначной функцией двух переменных х, у, если каждой совокупности их значений (х, у) из данной области соответствует единственное определенное значение z. Переменные х, у называются аргументами или независимыми переменными. Функциональная зависимость обозначается так:
Z = f(x. у), или Z = F(xt у) и т. п.
Аналогично определяются функции трех и большего числа аргументов. Пример 1. Выразить объем конуса V как функцию его образующей х и радиуса основания у.
Z

Z
Рис. 63.
м
Решение. Из геометрии известно, что объем конуса равен
V = l^y2h,
3 *
где h — высота конуса. Но А = Jx2 - у2 . Следовательно, г—2	2
х -у .
*

1
3
Это и есть искомая функциональная зависимость.
Значение функции z - f(xt у) в точке Р(а, £?), т. е. npj х = а и у = Ь, обозначается /(а, Ь) или /(Р). Геометрическим изображением функции г = = f(x, у) в прямоугольной системе координа! X, У, Zt вообще говоря, является некоторая поверхность (рис. 63).
2	2
* +У
2х*/ * .Y
Пример 2. Найти /(2, -3) и / 1, - , если f(x, у) = < xJ
Решение. Подставляя х - 2 и у ~ -3, находим
V.
Подставляя х = 1 и заменяя у на — , будем х i+f^f _ х\	\Х)
13
12
иметь
2  1[ -
2 ,	2
= х + У 2ху
т. е. /I 1, У) = f(x, у).
§ 1, Основные понятия
175
2й. Область существования функции. Под областью существования (определения) функции z = f(x, у) понимается совокупность точек (х, у) плоскости в которых данная функция определена (т. е. принимает определенные действительные значения). В простейших случаях область существования функции представляет собой конечную или бесконечную часть координатной плоскости XOY, ограниченную одной или несколькими кривыми (граница области).
Аналогично для функции трех переменных и = f(xt у, z) областью существования функции служит некоторое тело в пространстве OXYZ.
Пример 3. Найти область существования функции
1
z =	— .
Га %2
74-х -у
Решение. Функция имеет действительные значения, если 4 - х2~ у2 > О 2	2
или х + у <4. Последнему неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Область существования функции есть внутренность этого круга (рис. 64).
Пример 4. Найти область существования функции
г — arcsin -£
+ Jxy .
Решение. Первое слагаемое функции определено при -1 < - < 1 или
-2 < х < 2. Второе слагаемое имеет действительные значения, если ху > О,
т. е. в двух случаях: при
х > О, У>о
или при
Область существования всей функции изображена на рис. 65 и включает границы области.
3°. Линии и поверхности уровня функции. Линией уровня функции z = /(х, У) называется такая линия f(xf у) = С на плоскости ХОУ, в точках которой функция принимает одно и то же значение z “ С (обычно проставляемое на чертеже в виде отметки).
Поверхностью уровня функции трех аргументов и — f(xf у^ z) называется такая поверхность /(х, у, z) = С, в точках которой функция принимает постоянное значение и - С.
Пример 5. Построить линии уровня функции z = х у.
2	С
Решение. Уравнение линий уровня имеет вид х у — С или у = — . х
Полагая С = 0, ±1, +2, получим семейство линий уровня (рис. 66).
Рис. 64.
Рис. 65.
Рис. 66,
176
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1782, Выразить объем V правильной четырехугольной пирамиды как функцию ее высоты х и бокового ребра у,
1783, Выразить площадь S боковой поверхности правильной шестиугольной усеченной пирамиды как функцию сторон х и у оснований и высоты z<
1784.	Найти З), /(1, -1), если
У
f(r, у) = ху + ? .
1785.	Найти f(x, у), f(-x, -у), f f-, i'l ,	1 , если
у) f(x,y)
1786.	Найти значения, принимаемые функцией ftx, у) = 1 + х - у
2
в точках параболы у = х t и построить график функции ад = дх, х2).
1787.	Найти значение функции
4 о 2 2 (	4
х н-2х у + у -	2	2
1-х -у
2	2	2
в точках окружности х + у = R , 1788*. Определить Дх), если
I 2	2
(ху > 0).
чх>	у
1789*. Найти Дх, у), если
f(x + у, х - у) = ху + у2.
1790*. Пусть z = Jz + Д Jx - 1). Определить функции f иг, если г = х при у = 1.
1791**. Пусть г х/ И. Определить функции f и z, если z =*
- Jl + уй
при х = 1.
§ 1 * Основные понятия
177
1792. Найти и изобразить области существования следующих
функций:
a) z =
и) z = л/ysin х ;
б)	г = 1 + J-(x-y)2;
в)	z = In (х + у);
г)	z = х 4- arccos у;
д)	2 = 71-х2 + 71 -у2;
е)	z — arcsin ;
ж)	г = Jx2 -4 4- л/4 - J;
к) z = In (х2 + у);
л) z = arctg	!
1 + х у
н)г 1
Vy-Vx
<	/,2	2 2Ч/С 2	2 2Ч
з)	г = у(х +у -а )(2а - х -у )
(а > 0);
1793. Найти области существования следующих функций трех
аргументов:
a)	u = Jx + Jy + Jz;
б)	u = In {xyz)\
в)	u = arcrsin x 4- arcsin у 4- arcsin 2;
ч Г 2	2	2
r) a = yl-x ~y — 2 .
1794. Построить линии уровня данных функций и выяснить характер изображаемых этими функциями поверхностей:
а)г =	х + у;	г) z	=	Jxy ;
б) z =	ха + у2;	д) z	=	(1 + х + у)2;
в) z =	х2 - у2;	е) г	=	1 - |х| - 1у|;
1795. Найти линии уровня следующих функций:
а) г = In (х2 4- у); r) z = /(у - ах);
ж)	z =	;
X
з)	2 = JL ;
л/Х
и)	2 —
2х
2 2
X +у
б) z = arcsin ху; д) z = Л
I / 2 ~ э!
4- у I ;
в) z = f
1796. Найти поверхности уровня функций трех независимых переменных:
а) и х + у + г, б) и = х2 + у2 4- в) и = х2 4- у2 - z2.
178
Гланя VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 2. Непрерывность
j
1°.Предел функции- Число А называется пределом функции г = /(х, у) при стремлении точки Р'(х, у) к точке Р(а, Ь), если для любого е > 0 существует такое 5 > О, что при 0 < р < 5, где р = J(x - а)2 + (у-Ь}2 — расстояние между точками Р и Р', имеет место неравенство
I/U, у) * А| < е.
В этом случае пишут:
lim f(x,y)=A.
х —> а
У > й
2°. Непрерывность и точки разрыва. Функция z = f(x, у) называется непрерывной в точке Р(а, Ь), если
lim f(x, у) = f(a, b).
х — а y-b
Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется
непрерывной в этой области.
Нарушение условий непрерывности для функции f(x, у) может происходить как в отдельных точках (изолированная точка разрыва), так и в точках, образующих одну или несколько линий (линии разрыва), а иногда и более сложные геометрические образы.
Пример 1. Найти точки разрыва функции
_ ху + 1
Z	~	.
X -у
Решение, Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в 2	2
нуль. Но х - у = 0 или у = х — уравнение параболы. Следовательно, данная .	-	2
функция имеет ликиеи разрыва параболу у “ х .
1797*. Найти следующие пределы функций:
a)	lim (х2 + y2)sin-?- ; х-о	ху
б)	lim
X -> то у ^оо
в)	lim sinx^; х-о х jf-2
г)	lim 11-ь-] и-ь
Д) lim -Л- ; х -* О X + у У * О
2	2
е) lim	—У- ,
х +у2 у-о
х + у .
2	2 ’
х + у
1798. Исследовать на непрерывность функцию
f(x, У) =
при \+у2< 1, при X + у > 1.
§ 3. Частные производные
179
1799* Найти точки разрыва следующих функций:
a)z = In Jx2 + y2;	в) z =---1---
1-х - у
6)2 = ----- ;	г) 2 = cos — .
(х-у)2	ХУ
1800*. Показать, что функция
2ху	2	2 . п
_	2	>, прих + у #0,
+ у
|	0 при х = у = 0
непрерывна по каждой из переменных х и у в отдельности, но не является непрерывной в точке (0, 0) по совокупности этих переменных*
§ 3. Частные производные
1°* Определение частных производных. Если z = f(x, у), то, полагая, например, у постоянной, получаем производную
Эг = Um /(х + Дх,у)-/(х^) = f (Х)
ОХ Дх '0	Дх	х
которая называется частной производной функции z по переменной х, Аналогично определяется и обозначается частная производная функции г по переменной у. Очевидно, что для нахождения частных производных можно пользоваться обычными формулами дифференцирования*
Пример 1* Найти частные производные функции
z = In tg - *
У
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим
Э? = 1	1	1	2
Эх * „2Х У А;и2х‘ tg- cos - у sin---------
У У	У
Аналогично, рассматривая х как постоянную, будем иметь
дг = 1	1	=
Эи .х 2Х \ .,2J	2 . 2х
& tg- cos -У у sin —
У У	У
Пример 2. Найти частные производные функции трех аргументов
и = x3y?z + 2х - Зу + г + 5.
Решение.
— = Зх и z 4- 2,
dx *
180
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2°-Теорема Эйлера. Функция f(x> у) называется однородной функцией измерения гц если для любого действительного множителя k имеет место равенство
f(kx, ky) = knf(x, у).
Целая рациональная функция будет однородной, если все члены ее одного и того же измерения.
Для однородной дифференцируемой функции измерения п справедливо соотношение (теорема Эйлера)
Xf'x(x, у) + yf'fx, у) = nf(x, у).
*	9
Наити частные производные функции:
1801. z = х3 + уг - Заху.
1802. z =	.
х + у
1803, 2 = У .
X
1804, z = Jx2- у2 .
1805, z = , х .
/~2“ 2
а/х +у
1806. z = In (х + 7х2 + у2).
1807* z = acrtg У-. X
1808* z =
sinif
1809.	2 = е х.
12	2
1810.	z = arcsin Чх +у
1811.	z = In sin .
Vy
1812.	и = (ху)г.
1813.	и =
1814. Найти f' (2; 1) и /'(2; 1), если f(x, у) = ху + - . у	V У
1815. Найти Г(1; 2; 0), Г71; 2; 0), Г (1; 2; 0), если Л	у	*
f(x, У, Z) = in (ху + 2).
Проверить теорему Эйлера об однородных функциях (№№ 1816 1819):
1816. f(x, у) = Ах2 + 2Вху + Су2. 1818. f(x, у) = х + у
з I 2	2
Vx +</
1817. 2 =	.	1819. Дх, у) = In .
х +У	__________ х
1820. Найти Д f-\ где г Jх2 у2 ¥ z2 .
Jx < г;
1821. Вычислить
йх Эх Эг Эф ду ду дг Эф
если х = г cos ф и у — г sin ф.
§ 3, Частные производные
181
1822. Показать, что х~5 4- у|? — 2t если Эх ду
z — In (х2 + ху 4- у2).
1823.	Показать, что х~ 4- у^ = ху + z, если Эх dy
у
z = ху -F хе*.
1824.	Показать, что 4- — +	= 0, если
Эх dy dz
и == (х - у)(у - z)(z - х).
1825.	Показать, что 4- ~	=1, если
Эх Эу Эг
। х “ у и — х + ----~ .
У~г
1826.	Найти z = z(xr у), если
dz х
1827.	Найти г = z(xt у), зная, что
Эг х2 + и2
— “ ----И 2(х, у) — sin у при х ~ 1.
Эх х
1828.	Через точку ЛГ(1; 2; 6) поверхности z = 2х + у проведены плоскости, параллельные координатным плоскостям XOZ и YOZ. Определить, какие углы образуют с осями координат касательные к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке М*
1829, Площадь трапеции с основаниями а, b и высотой h равна
S =	+ b)h. Найти	и, пользуясь чертежом, выяснить
2	da dt? Эл
их геометрический смысл.
1830*. Показать, что функция
2ХУ	2	2 , п
если х 4- у # 0,
/(х, у) = 1х2 + у
О, если х = у = О,
имеет частные производные f'x (х, у) и (х, у) в точке (0; 0), хотя и Разрывна в этой точке. Построить геометрический образ этой функции вблизи точки (0; 0).
182
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 4. Полный дифференциал функции
1°. п о л н о e приращение функции. Полным приращением) функции z = f(x, у) называется разность
Аг = Af(x, у) = fix + Дх, у + Ду) - f(x, у).	'
2°. П олный дифференциал функции. Полным дифферен- 3 циалом функции z = /(х, у) называется главная часть полного приращения я Аг, линейная относительно приращений аргументов Дх и Ду.	j
Разность между полным приращением и полным дифференциалом функ- j ции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению ср- л/дх2 + Ду2 . i
Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности  ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то  она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных, по определению, совпадают с их приращениями, т. е. dx = Дх и dy = Ду. Полный дифференциал функции z = /(х, у) вычисляется по формуле
dZ = ^dx + ^d^.	;
dx dy
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов и = Дх, у, z) вычисляется по формуле
j	du , , Эи , . Эи ,
du = — dx 4- ^-dy 4- т—dz. dx dy dz
Пример 1. Для функции
f(x, у) = X2 + ху - у2
найти полное приращение и полный дифференциал.
2	2
Решение, /(х + Дх, у + Д у) * (х 4- Дх) 4- (х 4- Дх)(у 4 Ду) - (у 4- Ау) ; ;
2	2	2	2-
&f(x, у) = [(* + Лх) + (х + Дх)(у + Ду) - (у + Ду) ] - (х + ху - у ) = 2	2
= 2х • Дх + Дх + х * Ду + у  Дх + Дх  Ду - 2у - Ду - Ду =	/
[(2х + у)Дх + (х - 2у)Ду] + (Дх2 + Дх ’ Ду ~ Ду2).
Здесь выражение d/ = (2х + у)Дх 4 (х - 2у)Ду есть полный дифференциал" 2	2
функции, а (Дх 4- Дх  Ду - Ду ) есть бесконечно малая высшего порядка<
/22
по сравнению с бесконечно малой р = *j&x + Ду .
Пример 2. Найти полный дифференциал функции
гэ	dz
Решение. — dx
dz
dz -
-—dx г 2
У _ .
Г1~ 2 ’ yx 4- у
У d = xd* +t/dy
Z 2	Г~2	2
х
2


§ 4. Полный дифференциал функции
183
3°. Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям. При достаточно малых |Дх| и |Ду|, а значит, при достаточно малом р = J^x2 + Ду2 для дифференцируемой функции z = f(x, у) имеет место приближенное равенство Дг ~ ds или
Дг Ах + Ду. dx dy
Пример 3. Высота конуса Н = 30 см, радиус основания /? = 10 см. Как изменится объем конуса, если увеличить Н на 3 мм и уменьшить Я на 1 мм?
1	2
Решение, Объем конуса равен V = - тгТ? Н, Изменение объема заменим о
приближенно дифференциалом
ДГ = dl' = 1 <LR + Д2 dH) =
= i п(-2  10  30 ♦ ОД 4- 100 ’ 0,3) = -Юл ~ -31,4 (см3), и
Пример 4. Вычислить приближенно 1,023+<П.
Решение. Рассмотрим функцию z - ху. Искомое число можно считать наращенным значением этой функции при х-1,у = 3,Дх = 0,02, Ду = 0,01.
з
Первоначальное значение функции 2-1 =1,
Az dz = yxv Дх + x^ln хДу = 3  1  0,02 + 1 • In 1 • 0,01 = 0,06>
Следовательно, 1,О23101 ~ 1 + 0,06 = 1,06.
1831.	Для функции Дх, у) = х2у найти полное приращение и полный дифференциал в точке (1; 2); сравнить ихт если:
а) Дх = 1, Ду 2; б) Дх = 0,1, Ду = 0,2.
1832.	Показать, что для функций и и v нескольких (например, двух) переменных справедливы обычные правила дифференцирования:
a)	d(u + и) = du 4- du;
б)	d(uu) = udu + udu;
v сЛ udu-udu
в)	d - = ~---------
1837. z ~ уху.
1838. z = In (х2 + у3).
Найти полные дифференциалы следующих функций: 1833. z = х3 + у3 - Зху.
1834. г — х2у3 .
2	2
1835.г= х .
х£ + у3
1836. г = sin2 х +- cos2 у.
1840. z = arctg + arctg * х	у
184
Глава VI* ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1841.	2 = In tg £ . х
1842.	Найти d/(l; 1),
если f(x, у) =	.
У
1843.	и = xyz.
1844.	u = Jx2 + у2 + z2*
1845.	и — [ ху + - . к ' у)
1846.	и = arctg —.
1847. Найти d/(3; 4; 5),
если Дх, у, г) = —
I 2	2
а/х + у
1848. Одна сторона прямоугольника а = 10 см, а другая b = 24 см. Как изменится диагональ I прямоугольника, если сторону а удлинить на 4 мм, а сторону b укоротить на 1 мм? Найти приближенную величину изменения и сравнить с точной.
1849* Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 10 см, 8 см и 6 см, сделан из фанеры толщиной 2 мм. Определить приближенно объем затраченного на ящик материала.
1850*. Центральный угол кругового сектора, равный 80°, желают уменьшить на 1°. На сколько надо удлинить радиус сектора, чтобы площадь его осталась без изменения, если первоначальная длина радиуса равна 20 см?
1851.	Вычислить приближенно:
а) (1,02)3 • (0,97)2; б) 7(4, 05)2 + (2, 93)2 ; в) sin 32° • cos 59° (при переводе градусов в радианы и при вычислении sin 60° брать три значащие цифры; последний знак округлить).
1852.	Показать, что относительная ошибка произведения приближенно равна сумме относительных ошибок сомножителей.
1853.	При измерении на местности треугольника АВС получены следующие данные: сторона а = 100 м ± 2 м, сторона b = 200 м ± ± 3 м, угол С = 60° ± 1°* С какой степенью точности может быть вычислена сторона с?
1854.	Период Т колебания маятника вычисляется по формуле
7’ = 2<r
где I — длина маятника, g — ускорение свободного падения. Найти погрешность в определении Т, получаемую в результате небольших ошибок Д/ = а и Ag — Р при измерении I и g.
1855.	Расстояние между точками Р0(х0, у$) и Р(х, у) равно р, а
--->
угол, образованный вектором PQP с осью ОХ, равен сс. На сколько изменится угол се, если точка Р, при неизменной точке Ро, займет положение Pr(x + dx, у + dt/)?
§ 5. Дифференцирование сложных функций
185
§ 5. Дифференцирование сложных функций
1°, Случай одной независимой переменной. Если 2 = Дх, у) есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t:
* = Ф(0, У = ФЮ»
то производная сложной функции z = /[ip(t), V(0] может быть вычислена по формуле
dz = dzdx + rtedt/
di Эх di d^dt
В частности, если t совпадает с одним из аргументов, например х, то « полная о производная функции z ко х будет
dz _ дг +dzdy
dx Эх dydx
d z
Пр и м е р 1. Найти — , если
dt
Зх Г 2у	,	(2
2 = е , где х = cos t, у = / ,
Решение. По формуле (1) имеем
— = е * 3(-sin t) 4 е ' • 2 ♦ 2t = е (4t - 3sin t) -di
Seos i + j rt  = e (4( - 3sin t).
Э2
Пример 2. Найти частную производную =— и полную произвол-Эх
dz
ную —, если
dx
2 ** еху, где у = ф(х).
Решение. = уе*у. На основании формулы (2) получаем Эх
— = уе 4- хе (р (х).
dx
2°. Случай нескольких независимых переменных. Если г есть сложная функция нескольких независимых переменных, например г = /(х, у), где х = <р(и, р), у = у) (н и р — независимые переменные; /, <р, ц/ — дифференцируемые функции), то частные производные z по и и и выражаются так:
Э2 _	ЭгЭх . Э2Э1/
Эц	ЭхЭи	дуди
и
Эг =	дгдх	дгду
Эь1	ЭхЭс>	Oi/du
186
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Во всех рассмотренных случаях справедлива формула dz = dr + dy dx dy
(свойство инвариантности полного дифференциала).
Пример 3. Найти и , если du du
z = f(x, у), где x = ио, у = -. '	V
Решение, Применяя формулы (3) и (4), получим
= /; (х, y)v + f'(x, у) 1 du *	и
и
= £(х, у)и - r/х, у)£ .
Пример 4. Показать, что функция z = ф(х2 + у2) удовлетворяет урав-dz dz л нению у — ~ Хтг- - О, 1дх Эу
Решение, Функция ф зависит от х и у через промежуточный аргумент 2,2
х + у — t, поэтому
- ££ - Ф'(«2 + />2«
dx dtdx и
£ -	- ф'<«! + V2».
dy d £ dy
Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь
- х|^ = у<р'(х2 + у2)2х - хф'(хг Ъ yZ)2y = дх ду
= 2ху<р'(х2 + у2) - 2ху<р'(х3 + у2) = О, т, е, функция г удовлетворяет данному уравнению.
1856.	Найти , если dt
z =	, где х = е\ у = In L
У
1857.	Найти — t если dt
и In sin , где х = 3t2, у = Jt2 +1, Jy
1858.	Найти , если di
2 и = xyz, где х t + 1, у = In t, z = tg t.
§ 5- Дифференцирование сложных функций
187
1859.	Найти ~ , если dJ
и “ ,	, где г = Я cos L у = й sin t. z = Н.
гъ-*
V# + у
1860.	Найти , если а*
z = < где и = sin х, v = cos х.
1861.	Найти и если dx dx
z = arctg и у = х2. х
1862.	Найти ~ и ~ , если dx dx
2 = х\ где у = (р(х).
1863.	Найти и , если ox dt/
z = f(ut о), где и = х2 - у2, и = е*Л
1864.	Найти и , если dw do
z = arctg -, где х = и sin о, у = ucos о* У
1865.	Найти и , если
ОХ <71/
2 = f[u)> где и = ху + * X
1866» Показать, что если
Ж/ Й ,	2 , 2V
и = Ф(х + у + 2 ),
где х = R cos (р cos ф, у = R cos ф sin \|/3 г = R sin ф, то
= о и = О.
Оф	dip
1867.	Найти — , если dx
и = f(x, у, z), где у = ф(х), z - ф(х, у).
188
Глава VI, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1868.	Показать, что если г = f(x + ay). где f — дифференцируемая функция, то
= а~, ду дх
1869.	Показать, что функция со = f(u. v), где и = х + at. и = у + bt, удовлетворяет уравнению
Эм „Эм . пйш — = а + р — . of Эх оу
1870.	Показать, что функция z = уср(х3
удовлетворяет уравнению
1 Эя 1 Эи хЭх уду
2.
~У )

2
2 * У
1871. Показать, что функция

Z = ху + Хф! У-
удовлетворяет уравнению
+	= ХУ + г'
ОХ Эу
1872* Показать, что функция
а.

Z = еу(р^уе удовлетворяет уравнению
(X2 - у2)^ + ху~ = xyz.	|
Эх Эг/	1
1873.	Сторона прямоугольника 20 м возрастает со скоростью | 5 м/с, другая сторона у = 30 м убывает со скоростью 4 м/с. С какой | скоростью изменяются	периметр и площадь прямоугольника?	I
1874.	Уравнения	движения материальной	точки	|
x = t, y^t.z = t,	|
С какой скоростью возрастает расстояние этой точки от начала ко-1 ординат?	|
1875.	Два теплохода, вышедшие одновременно из пункта А, дви-1 жутся один на север, другой на северо-восток* Скорости движения теплоходов: 20 км/ч и 40 км/ч* С какой скоростью возрастает рас- i стояние между ними?	4
§ 6* Производная в данном направлении и градиент функции
189
§ 6. Производная в данном направлении и градиент функции
1°. Производная функции в данном направлении. Про-изводной функции z = f(x, у) в данном направлении 1 = РРХ называется
]im
Э/ PjP-o РХР
где f(P) и /(Рт) — значения функции в точках Р и Рг Если функция z дифференцируема, то справедлива формула
dz Э/
dz , dz .
= _ cos a 4 =— sin a, ox ay
где a — угол, образованный вектором 1 с осью ОХ (рис. 67).
Аналогично определяется производная в данном направлении I для функции трех аргументов и = /(х, у, г). В этом случае
(1)
Рис. 67.
Эи	Эи ~	,	Эи	п	1	Эи	KJ	/fn
—	=	— cos a	+	—	cos	p	4-	—	cos	y,	(2)
a/	dx	dy	3г
где a, p, у — углы между направлением I и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении.
Пример 1, Найти производную функции z = 2х2 - Зу2 в точке Р(1; 0) в направлении, составляющем с осью ОХ угол 120°,
Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке Р:
dz
Эх
dxjp
Здесь
Эг й ч- = -бу;
Эу
= о.
cos a = cos 120° = -i ,
sin ot = sin 120° = — .
2
Применяя формулу (1), получим
Знак минус показывает, что функция в данной точке и в данном направлении убывает.
190
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2°. Градиент функции. Градиентом функции г = /(х, у) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные данной функции:
j dz . , dz . gradz = -—14- — j, dx dy
Производная данной функции в направлении I связана с градиентом функции следующей формулой:
dz	j
— = nPj grad z,
(7L
(3)
т, е. производная в данном направлении равна проекции градиента функции на направление дифференцирования.
Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня функции. Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой
точке, т. е. при I = grad z производная — принимает наибольшее значение, dt
равное
dzV < dzV
Kdx/ IdyJ
Аналогично определяется градиент функции трех переменных и — f(x, у. z):
1 Эи * . Ou s . du -grad и=^-1+5-|+н-к. dx dp dz
(4)
Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
Пример 2, Найти и построить градиент функции z - х2у в точке Р(1; 1), Решение, Вычислим частные производные и их значения в точке Р:
- 2ху. дх	fdz^ = ldxJP
dz	2	=1.
р
Р(1; 2)
в точке
Следовательно, grad z — 2i + j (рис. 68), 2	2
1876» Найти производную функции z = х - ху - 2у в направлении, составляющем с осью ОХ угол 60°.
1877. Найти производную функции z = х3 - 2х2у 4 ху2 + 1 в точке М(1; 2) в направлении от этой точки к точке N(4; 6).
1878. Найти производную функции z = In Jx2 + у2 в точке Р(1; 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла.
§ 6* Производная в данном направлении и градиент функции
191
1879. Найти производную функции и — х2 - 3yz + 5 в точке М(1; 2; -1) в направлении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями.
1880, Найти производную функции и — ху + yz + zx в точке М(2; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке N(5; 5; 15).
1881.	Найти производную функции и = In (ех 4- еу + е ) в начале координат в направлении, образующем с осями координат ОХ, ОУ, OZ углы, соответственно, се, р, у.
1882.	Точка, в которой производная функции в любом направлении равна нулю, называется стационарной точкой этой функции. Найти стационарные точки следующих функций:
2	2
a)	z = х + ху + у - 4х - 2у\
б)	2 - X3 4- у3 - Зху;
в)	и = 2у2 + z2 - ху - yz 4- 2х*
2
1883.	Показать, что производная функции z — У- , взятая в любой х
2	2	2
точке эллипса 2х + у = С вдоль нормали к эллипсу, равна нулю* 1884. Найти grad z в точке (2; 1), если
з.з о
2 = х + у - оху.
1885. Найти gradz в точке (5; 3), если
Г~2	2
г = Ух -у .
1886. Найти grad и в точке (1; 2; 3), если и = xyz.
1887* Найти модуль и направление grad и в точке (2; -2; 1), если
2 .	2.2
и = х 4- у i г .
1888. Найти угол между градиентами функции z = In в точках х
А|1; у иВ{1; 1).
1889* Найти угол наклона наибольшего подъема поверхности
z t л 2 z = х 4- 4у
в точке (2; 1; 8).
1890. Построить векторное поле градиента следующих функций: а)г х + у;	в) z = х 4- у ;
б) z = ху;	г) и =  	1 -т *
ГТ"22
V X + у + Z
192
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков
1°, Частные производные высших порядков. Частными производными 2-zo порядка функции z *= f(x, у) называются частные производные от ее частных производных 1-го порядка.
Для производных 2-го порядка употребляются обозначения
Д О) -	<* »>•
0 <02^ д2 z /ft . л
— — = ---------- = г (х, у) и т. Д.
0i/ W дхду	*
Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше 2-го.
Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.
Пример 1. Найти частные производные 2-го порядка от функции
z = arctg % ,
Решение. Найдем сначала частные производные 1-го порядка:
0z =	1	, 1 = у
ха У %2 + у2
У
dz _	1	____х
2 t 2J 22
W X V у } X ^у
1 + 2
У
Теперь дифференцируем вторично:
02z _ Э ( х _ 2ху
5?	777Р’
Заметим, что так называемую «смешанную» частную производную мож* но найти и иначе, а именно:
a2z = Э2г =	( х
дхду дудя Эх k
-I / 2 . Л л	2	2
1 > (х ) - 2х • х _ х -у
74 77	74 7
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков
193
2°. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалом 2-го порядка функции z = /(х, у) называется дифференциал от дифференциала (1-го порядка) этой функции
d2z “ d(dz).
Аналогично определяются дифференциалы функции z порядка выше 2-го, например
d3z = d(d2z) и» вообще,
(Г? = d(dn *z).
Если z = /(х, у), где х и у — независимые переменные и функция / имеет непрерывные частные производные 2-го порядка, то дифференциал 2-го порядка функции 2 вычисляется по формуле
2,2	-12	-,2
d z = —- dx + 2-—- dx dt/ 4- —- dy .	(1)
Эх2	дхдУ	dyi
Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива символическая формула
irt / , Э । , Э V d z = [ах—+ au=r- z, у dx dyj
которая формально развертывается по биномиальному закону.
Если z = /(х, у), где аргументы х и у еугъ функции одного или нескольких независимых переменных, то
12	dZZ Л 2 . Q (Tz л J . d2Z J 2 . dz ,2 t dz 12
d z = — dx 4- 2-—dx dy + — dy 4 — d x 4 — d y.	(2)
dx	UXdy	dx	dy
Если x и у — независимые переменные, то d2x = 0, d2y = 0 и формула (2) становится тождественной формуле (1),
Пример 2. Найти полные дифференциалы 1-го и 2’ГО порядков функции
2 = 2х - Зху - у .
Решение, 1-й способ. Имеем
- 4х - Зу, = -Зх - 2у* дх	ву
Поэтому
dz = ™ dx 4 ~ dy = (4х - Зу) dx - (Зх 4 2у) dy. dx dy
Далее,
-12	-12
d z = . dz = о d z = 2
Эх2 ’
откуда следует
-12	-12
d2z dx2 4 2 dx dy + —dy - 4dx2 - 6dx dy - 2dy2,
Эх2	Зхду	Эу2
‘ Злдачи и укрлжиения
194
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2-й способ. Дифференцированием находим
cb = 4х dx - 3(у dx + xdy) - 2ydy — (4х - Зу) dx - (Зх + 2y)dy.
Дифференцируя еще раз и помня, что dx и dy не зависят от х и у, получим d2z = (4dx - 3dy) dx - (3dx + 2dy) dy = 4dx2 - 6dx dy - 2dy2,
1891.	Найти	, если
Эх2 дхдУ ду2 
1892.	Найти	, если
Эх2 дх3У Эу2
г = In (х2 + у).
2)2
1893.	Найти JLX > если дхду
z = ^2ху + у2.
1894.	Найти , если dxdy
г = arctg . 1 - ху
д2
1895.	Найти —~ , если dx2
/”2 ,	2“	2
Г = а/ X + у + Z .
1896.	Найти все частные производные 2-го порядка функции и = ху + ух + XX.
если а В у и = хух.
1898. Найти ——-, если
ЭхЭу2	. . .
г = sin (ху).
1899. Найти /4(0, 0), f"y(Q, 0), f"y (0, 0), если
/(х, у) = (1 + х)т(1 + уЛ
1897. Найти ^4—, dxdyds
-'В
л2	'.2
1900. Показать, что 44 = ^-4 ♦ если дхду дудх
z — arcsin -—. х
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков
195
д2	Я2
1901. Показать, что ? = _ ? , если dxdy	dydx
1902*, Показать, что для функции
f(x, у} = ху^^~ х +У
с добавочным условием ДО, 0) == 0 имеем
/;;<о, о) =-I, o> = +i.
й2 д2
1903. Найти	~ , если
дх2 дхду ду2
г = f(u, и),
2 .	2
где и = х + у , и = ху.
1904* Найти —, если
Эх2
и = f(x, у, г), где z = ф(х, у).
Л2 Д2 Л2
1905- Найти —| , 5-^-, ~ , если
Эх2 д*дУ Э/
z = f(u. и), где и - <р(х, у), и = <|/(х, у).
1906, Показать, что функция
и = arctg х
удовлетворяет уравнению Лапласа
a2u + d2u = q
Эх2 Эу2
1907. Показать, что функция
и = In - , г
где г - J(x - а)2 + (у - Ь)2 , удовлетворяет уравнению Лапласа
-ч2	-.2
d и д и = q Эх2 ду2
196
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1908- Показать, что функция
u(x, t) = A sin (aXt + ср) sin Хх удовлетворяет уравнению колебаний струны _ 2 д2и
У	2 *
dt Эх
1909, Показать, что функция
(X - Х0)а-г(Е/-#0)2 + (.2-£(У
/ 1 ц(х, у, 2, t) = ------ е
(2aTnt)
(xQJ у0, zOj а — постоянные) удовлетворяет уравнению теплопроводности
'1	„ М2 ^2 л2 \
du _ 2 d и , d и . d и
а М2+^24"12 '
ai I dx dy dz J
1910, Показать, что функция
и = ср(х - at) + v(x + af)»
где ф я ip — произвольные дважды дифференцируемые функции, удовлетворяет уравнению колебаний струны
Эйи = 2дги TJ	*
dt ох
1911. Показать, что функция
z — х<р [ — j + ip I j
удовлетворяет уравнению
+ 2ху^1- +у2^ = 0.
Эх	дхду
1912, Показать, что функция
и = <р(ху) + Jxy v |
кх/
удовлетворяет уравнению
202и
Зх2
, 7
-/4 - о-
§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков
197
1913.	Показать, что функция г = f[x + ф(г/)] удовлетворяет уравнению
5г Э2г __ Эгд2г
ЭлгЭхдг/ ду£х2
1914.	Найти и = и(х, у). если
±JL = 0. дхду
1915.	Определить вид функции и = и(х, #), удовлетворяющей уравнению
= 0. дх2
1916.	Найти d2z, если
г = е *
1917* Найти d2u, если
и = ху2.
1918* Найти d2z, если 2	2
г = р(0, где t = х + у .
1919. Найти dz и d2z, если
У	X
2 = и , где и = - , о = ху.
У
1920* Найти d2z, если z = /(и, о), где и = ах. v = by.
1921* Найти d2z, если
z = /(и, и), где и = хе^, и = уех.
1922. Найти d3z, если
2 = еЛ сое у.
1923.	Найти дифференциал 3-го порядка функции z = х cos у + у sin х,
определить все частные производные 3-го порядка.
1924.	Найти df(l, 2) и d2/(l, 2), если
/(х, у) = х2 -I- ху + у2 - 4 In х - 10 In у.
1925.	Найти d2/(0, 0, 0), если
f(x, у, 2) х2 + 2t/2 + 3z3 - 2ху 4- 4x2 + 2у2.
198
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов
1°. Условие полного дифференциала. Для того чтобы выражение Р(х, у) dx 4- Q(x, у) dy, где функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны в односвязной области D вместе со своими частными производными 1-го порядка, представляло собой в области D полный дифференциал некоторой функции и(х, у), необходимо и достаточно выполнение условия
Э<? дР Эх ду '
Пример 1. Убедиться в том, что выражение
(2х 4- у) dx + (х 4- 2у) dy
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию*
Решение. В данном случае Р " 2х 4 у, Q = х + 2у* Поэтому == ~ = 1 dx tty
и, следовательно,
(2х + у) dx 4- (х 4- 2у) dy = du = ~ dx 4- dy, dx cty
где и — искомая функция*
Эн
По условию, тг- = 2х 4- у, следовательно, dx
и - J (2х 4- у) dx = х2 4- ху + ф(£).
Но, с другой стороны, = х + ф'(р) = х + 2р, откуда ф'(р) = 2у, ф(у) = у2 + С и ду
и = X2 4- ху 4- у2 + С.
Окончательно
(2х 4- у) dx + (х + 2р) dy = d(x2 4- ху + у2 4- С)*
2°, Случай трех переменных* Аналогично, выражение
Р(х, у, 2) dx 4- Q(x, у, z) dp 4- Я(х, у, z) dz,
где Р(х, у, z), Q(x, у, z), /?(х, у, z) — непрерывные, вместе со своими частными производными 1-го порядка, функции переменных х, у и г, тогда и только тогда представляет собой полный дифференциал некоторой функции и(х, у, z) в пространственно односвязной области £), когда в D выполнены условия
эд = эр	эя в эд	ЭР = ЭЛ
Эх ду	Эр dz	Эг Эх
Пример 2. Убедиться в том, что выражение
(Зх2 4- Зр ~ 1) dx 4- (z2 4- 3z) dp 4- (2pz + 1) dz
есть полный дифференциал некоторой функции, и найти эту функцию*
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов
199
Решение. Здесь Р — Зх2 4- Зу - 1» Q z2 + Зх, 7? = 2yz + 1. Устанавливаем, что
эд = эр = . эд = ад = 2 эр = эд 0
Эх ду ' ду dz ’ dz Эх и, следовательно,
(Зх2 + Зу - 1) dx +- (г2 + Зх) + (2yz + 1)dz =
Эи i I Эи j . Зи v = _ dx + ^- dy + — dz, Эх Эу dz где и — искомая функция.
Имеем
= Зх2 + Зу - 1, Эх
значит,
и = J (Зх2 4- Зу - 1) dx = х3 4- Зху ~ х + <р(у, г),
С другой стороны,
= Зх +	= г2 + Зх,
Эу Эу
Эи Эф oil - 2yz 4- 1, dz dz
откуда = zs и 2yz + 1, Задача сводится к отысканию функции двух Эу dz
переменных <p(y, z), частные производные которой известны и выполнено условие полного дифференциала.
Находим <р:
<p(y, z) = | z2 dy = уг2 +
= 2yz + \|Л(з) == 2yz + 1, dz
\|P(z) = 1, v(z) - z + С,
т. о, <р(у, z) = yz2 + z -i- С. Окончательно получим и = х3 + Зху - х + уг2 4- z + С,
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными Дифференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1926. у dx + х dy.	1929. -'"2у dx - dy.
“j*	4	«
X +у	X +у
1927. (cos х + Зх2у) dx + (х3 - у2) dy. 1930. - dx - ~ dy.
у У
1928. (*+2y)dx + ydy _	1931. „ х dx + j;   dy
200
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1932. Определить постоянные а и b так, чтобы выражение
2	2	2	2
(а* ч- 2ху + у )dx-(x + 2ху ч- by )dp 7^ М (х + .у )
было полным дифференциалом некоторой функции 2, и найти последнюю.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными дифференциалами некоторых функций, найти эти функции.
1933. (2х + у + z) dx + (х + 2у + z) dy + (х + у 4- 2г) dz.
1934. (Зх2 + 2у2 + 3z) dx 4- (4ху + 2у - г) dy + (Зх - у - 2) dz.
1935. (2xyz - 3y2z + Зху2 + 2) dx + (x2z - Gxyz + Sx2i/ + 1) dy 4-+ (x2y - 3xy2 4- 3) dz.
1936. dx +	dz.
I j/ 2 i	7	2I & l r 2 J
x 7	' У 7
1937 *dx + ydy + zdz
Г~2	2	2
УХ + у +2
1938*. Даны проекции силы на оси координат:
_ у , у________ Хх
(Х + У)2'	(* + У)2'
где X — постоянная величина. Каков должен быть коэффициент X, чтобы сила имела потенциал?
1939. Какому условию должна удовлетворять функция Дх, у), чтобы выражение
f(x, у) (dx + dy)
было полным дифференциалом?
1940. Найти функцию и, если du = /(xy)(ydx + xdy).
§ 9. Дифференцирование неявных функций
1°, Случай одной независимой переменной. Если уравнение Дх, у) = 0, где Дх, у) — дифференцируемая функция переменных х и у, определяет у как функцию от х, то производная этой неявно заданной функции при условии, что /' (х, у) * 0, может быть найдена по формуле
dy = Jx У)	ц.
dx fy (х,у) '
Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием формулы (1).
§ 9, Дифференцирование неявных функций
201
d d
Пример 1* Найти —и —если
dx2
(х + у ) - 3(х 4- у ) 4" 1 = 0.
Решение, Обозначая левую часть данного уравнения через f(x, у), найдем частные производные
f'x (х, у) = 3(? + у2)2 -2х~3-2х = 6х[(х2 + у2)2 - 1], Г (х, у) = 3(? + у2)2  2у — 3  2у = 6у[(х2 + у2)2 - 1].
Отсюда, применяя формулу (1), получим
9	2 2
dy fx'(x,y) = 6хЦх + у ) -11 = _х
dx /; (х,у)	6y|(x2 + y2)2-ll У'
Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную первую производную, учитывая при этом, что у есть функция х:
,2 j / к 1 У "ХТ^ V п 2	2
d у _ d f хЛ _ _ dx _ W _ у 4- х
J 2 — dx I МI	2	“	2	3	'
dx v	у	у	у
2°. Случай нескольких независимых переменных. Аналогично, если уравнение ^(х, у, z) = 0, где F(x, у, г) — дифференцируемая функция переменных х, у и г, определяет г как функцию независимых переменных х и у и 7^(х, у, z) / 0, то частные производные этой неявно заданной функции могут быть найдены по формулам
dz = _?х (*	dz = _Fy (* У,*)	(2)
Эх г;(х,у, z)’ ду Р'г(х.,у,г)‘
Другой способ нахождения производных функции z следующий: дифференцируя уравнение F(xt у, z) = 0, получим
dF , . dF , dF j n dx 4- dy + — dz = 0.
dx dy dz
~	j	dz dz
Отсюда можно определить dz, а следовательно, — и т—.
дх ду
Пр и мер 2. Найти и если dx dy
х2 - 2у2 + 3z2 - yz + у = 0.
Решение* 1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения через F(x, у, z), найдем частные производные:
(*> У» = 2х, Fy (х, у, z) = -4у - z -J- 1, F' (х, у, z) = 6z - у.
Применив формулы (2), получим
dz = К (х, у, z) = 2х . dz _	= 1 -4y-z
dx F'(x?y, z) 6z-y’ dy F'(x,y, z) dz --y
202
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получаем 2х dx " 4у dy + 62 dz - у dz - 2 dy 4- dt/ = 0, Отсюда определяем dz, т. е. полный дифференциал неявной функции:
dz ~ 2xdx4-(l-4y-z)dt/
y-6z
Сравнивая с формулой dz =
dz j I Эи л
_ dx + — dp, видим, что dx dy
dz = 2x dz = 1-4y-z
Эх у - 6z ’ ду у - 6z
3°. Система неявных функций. Если система двух уравнений Р(х, у, и. 0 = 0, G(x, у, и, 0 - О
определяет и и и как дифференцируемые функции переменных х и у и якобиан
	3F	3F	
D(F, G) =	ди	ди	* 0,
F>(u, и)	ЙО	30	
	Эи	Эи	
то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные) могут быть найдены из системы уравнений
dF , , dF , 3F ,	3F,
_dx 4- —-dt/ + —du + —du = 0, dx	dy	du	do
dGj	,dG.	dG1	dG,
dx	dt/	du	du
(3)
Пример 3. Уравнения
u + u = x + ^,xu + i/v = l
определяют и к и как функции от х и у; найти	, — и —
dx dj/ Эх Эу
Решение, 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по хт получим du = п di ~ ’
Эи п Уу- = О, dx
du
dx
и + х~¥
dx
отсюда
ди _и + у дх х~у’
Аналогичным образом найдем
du
Эх
и 4- х

§ 9. Дифференцирование неявных функций
203
2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех четырех переменных:
du + du = dx + dy> xdu + udx + ydv + vdy = 0.
Решив эту систему относительно дифференциалов du и du, получим:
du = „ (u + y)dx + (u + y)dy du = (u + x)dx + (u + x)dy
х-у ’	*~У
Отсюда
Эн = _и + у ди _ _ и_+ у
дх х-у' ду х - у'
ди = и + х ди _ и + у дх х - у * ду х~ у
4й. Параметрическое задание функции. Если дифференцируемая функция z от переменных х и у задана параметрически уравнениями х = х(и, и), у = у(и, и), z = z(u, и)
и
дх дх
У) = ди ди * Q, ду ду ди ди
то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений
du du
< dy = ^Hdu + ^du,	(4)
* du dv
dz = ^du + ^du,
du du
Зная дифференциал dz = pdx 4- pdy, находим частные
dz производные — = p dx
Пример 4. Функция z аргументов x и у задана уравнениями ।	2,2 з । з , ч
X = U + U, у = U + и , Z = U + р (и* и).
Найти — и * дх ду
Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных:
f dx = du 4- du,
J dy = 2u du + 2u du, dz = 3u2 du + 3u2 du.
204
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Из первых двух уравнений определим du и du:
du _ 2udx-dy dv _ dy-2udx 2(u-u) ’	2(u-u)
Подставим в третье уравнение найденные выражения du и du:
2	2
+ g^2dy™2udx _ 6uu(u - u)dx + 3(и -u )dy _ 2(u - и)	2(v “ u)
-3uu dx + (u + u) dy.
и
dz =
2(и- I/)
Отсюда
dz
Эх
= -Зии,
dz
Зу
= |(“ + 1>). £
2-й способ. Из третьего заданного уравнения можно найти:
Эз	□ 2 Эи	, о 2 Эи	dz	о 2	Эи	.	о 2	Эи	,_ч
- =	Зй —	+ Зи —;	-	-	3w	-	+	3v	-	,	(5)
Эх	Эх	Эх	Эу	Эу	Эу
Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у:
- _ Эи Эи	п _ Эи Эи
Эх Эх’	Эу Эу’
л о Эи г о Эи	п п Эи , п Эи
О = 2и~ + 2и~,	0“2и— + 2и—,
Эх Эх	Эу Эу
Из первой системы найдем
Эи _ и Эи = и
Эх v - и Эх и - v
Из второй системы найдем
Эи _	1 Эи __	1
Эу 2(u-v)’ Эу 2(и-и)
Подставляя выражения —
Эх
dz ,
и — в формулу (о), получим Эу
dz о 2 L? . г. 2 и п
v’ = 3u ----- + Зи ----- = -Зии,
Эх и - и и — и
1941. Пусть у есть функция х, определяемая уравнением
Найти
d* dx2
d у
. а ’ dx
и
§ 9. Дифференцирование неявных. функций
205
1942. Пусть у есть функция» определяемая уравнением
х2 + у2 + 2аху = 0 (а > 1),
] л
Показать, что = 0, и объяснить полученный результат, dx
1943* Найти , если у = 1 + у*. dx
1944. Найти и , если у = х + 1п у. dx dx2
,	<л2 Л
1945. Найти и — dxx = i ^dx2j
если
х2 - 2ху + у2 + х + у - 2 = 0.
Пользуясь полученными результатами, приближенно изобразить график данной кривой в окрестности точки х — 1.
1946* Функция у определяется уравнением
In Jx2 + и2 = a arctg (а* 0). х
Найти — и .
dx2
1947. Найти и , если dx dx2
1 + ху - In (ё*у + е *у) = 0*
1948* Функция z переменных х и у задана уравнением х3 + 2у3 + ? - Зхуг - 2у + 3 = 0.
Наити — и — .
0Х <71/
1949. Найти и ~ , если дх ду
х cos у + у cos 2 + z cos х = 1.
1950. Функция z задана уравнением
X + у -2 - ху = О*
Найти и для системы значений х = — 1, у = 0, z = 1.
дх ду
-	-	~2	^2	-12	2	2	2
1951* Найти ,	+ 4 + ’-г -1.
'Ь	Эу	Ъхду	а?	ьг	с?
206
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1952.	Дх, г/, z) = 0. Показать, что	4 || = -1-	Д
1953.	z = ф(х, у), где у есть функция х, определяемая уравнением
ф(х, I/) = 0. Найти .
И.
1954.	Найти dz и d2z, если
2,2.2	2
х + у 4- z = а ,
1955.	Пусть z есть функция переменных х и у, определяемая уравнением
2х2 + 2у2 + z2 - 8xz -2 + 8 = 0.
Найти dz и d2z для системы значений х = 2, у = 0, 2 = 1.
1956.	Найти dz и d2z, если lnz = x + y + z- l* Чему равны производные 1-го и 2-го порядков функции z?
1957.	Пусть функция z определяется уравнением х2 + у2 + z2 = ф(ах + by + cz), где (р — произвольная дифференцируемая функция, а, Ь, с — постоянные. Показать, что
(су - bz)^- + (az - ex) = bx - ay. dx	dy
1958.	Показать, что функция z, определяемая уравнением F(x — az, у - bz) = О,
где F — произвольная дифференцируемая функция своих аргументов, удовлетворяет уравнению
^dz . hdz -t
‘X -1-
1959.	F| i = 0. Показать, что x— +	= z.
\.z z)	dx *dy
1960.	Показать, что функция z, определяемая уравнением у = = хф(з) + ф(г), удовлетворяет уравнению
d2z fdz>2 _ 2dzdz d2z d2z	q
kdt/J dxdydxdy k3x7
1961.	Функции у и z независимой переменной х заданы системой уравнений
2.2	2Л2|О2.О2,
х + у - 2 = 0, х + 2у + 3z = 4.
Найти	, ^-4 при x = l,i/ = 0, 2=1.
dx2 dx2 dx2
§ 10. Замена переменных
207
1962.	Функции у и 2 независимой переменной х заданы системой уравнений
xe/z = а, х + у + z — Ь.
2	2
Найти dy, dz, d у, d 2.
1963.	Функции и и и независимых переменных х и у заданы неявно системой уравнений
и = х 4- yf uv = у.
ди	ди	д2 и	д2и	д2и ди	ди	д2 и	д2 и	д2 и	= п
Эх	ду	дхг	дхду дх	ду	Эд.2	дхду	Sy2
У = 1-
1964.	Функции и и v независимых переменных х и у заданы неявно системой уравнений
и + и = х, и — yv = 0.
2	2
Найти du, do, d u, d и*
1965. Функции и и v переменных х и у заданы неявно системой уравнений
х = <р(и, и), у =- у(и, и).
Найти ох оу ох
1966* Найти:
ду ‘
а)	и , если х = и cos и, у = и sin р, z = со;
их оу
б)	— и 2^ , если х~ и + и,у = и- и,2 = up;
ох оу
XT	u+u	U - У
в)	dz, если x = e , у = e , 2 = up.
1967* z = F(r, ф), где гиф — функции переменных х и у, определяемые системой уравнений
х = г cos <р, у = г sin ср.
Найти и .
<7Х оу
м	t)z
1968* Рассматривая z как функцию х и у, наити — и — , если
ох оу
х u cos <р cos ф, у = b sin <р cos 4/, z = с sin ф*
§ 10. Замена переменных
При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в них производные следует выразить через производные по новым переменным, используя правила дифференцирования сложных функций*
208
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1°, Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные.
Пример 1» Преобразовать уравнение
2	2
х2Ц + 2х^ + ^у = 0, dx	%
1 полагая х = - , t
Решение. Выразим производные от у по х через производные от у по t. Имеем
dy dy
dy = dt _ dt = _^dy dx dx 1 dt1
d?
= А И =	= -f2t^ + t2^ (-f2) = 2t3	+t4^.
dx2 dx Ux; dx	dt df2j	dt dt2
dt
Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и за-
1
меняя х через - , получим
/	2 \
+2-1- t2^+a26 = 0
t I dt dt2J * dt/
или
, 2
d у . 2	_
+ a у = 0.
dt2
Пример 2. Преобразовать уравнение
Х^У +	- dy =0,
dx2 ldx7 dx
приняв у за аргумент, а х за функцию.
Решение. Выразим производные от у по х через производные отх по у;
dy = 1 . dx dx ’
dy
					d3x		J2 d x
d2у = d	f 1 '	d	f 1%	dy _	> 2 djt	1	dy2
dx2 dx	dx	dy	dx	dx	fdxy	dx	
	ldyj		vdy;		lldyj J	dy	l-d^J
§ 10. Замена переменных
209
Подставив эти выражения производных в
г 12 и а х
г -2Z.
fdxV IdyJ
dxV dyj
данное уравнение, будем иметь
i = 0, dx
dy
или окончательно х~ - 1 +	0.
dy2 vd.yj
Пример 3* Преобразовать уравнение dx _ х+у dy х-у’
перейдя к полярным координатам х = г cos ф, у = г sin <р.	(1)
Решение. Рассматривая г как функцию ф, из формул (1) получим dx = cos ф dr - rsin ср йф, d*/ = sin ф dr + rcos ф бф, отсюда
dy _ sinфйг н-rcosфdф dx соэфЗг - rsinфdф
dr
5Н1ф— + rcostp dtp_____________
dr
созф— - rsinq) dtp
Подставляя в данное уравнение выражения для х, у и , будем иметь dx
dr
51Пф— + ГСОВф d ф_________
dr
COS ф- - Г81ПФ
dф
_ гсозф 4- rsincp
гсовф - rsinф
или после упрощений
dr dф
2°. Замена переменных в частные производные.
Пример 4. Уравнение колебаний
^2
2d и
а —
dx
^2 d а
dt2
ыражениях, содержащих
струны
(а * 0)
в
Преобразовать к новым независимым переменным аир, где а — х - at, 3 *= х + at.
210
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Решение. Выразим частные производные от и по х и t через частные производные от и по ос и р. Применяя формулы дифференцирования сложной функции
du = duda + du dp du = du da	du dg
dt	dadt dP dt * dx detdx	dp dx *
г
получим
1 ,5b
Эи dt
du , v i du (du duA
^^“ЧаГИ-
du = ____
dx det
du 1 , du 1 = du du dp ' da dp ‘
Дифференцируем вторично, применяя те же формулы:
d2u dt2
_ д <Эи^ _ д fduA Эос dt I dt J da IdtJ dt
д КЭи^ ЭР = Эр I dt ) dt
32	32
du d u z 4	~
ЧТ -----5 (-a) + a —9 _
dadp
d2u d2u 4dp2 ЭссЭ₽
32u 2 d2u d2u da2 dadp
2 du a
dp2J
а
а =

г
d2u = Э fdiZi _ Э <duA dot dx ^dxj da IdxJ dx
d2u d2u dadp
д2и д2и
ЭаЭр+ эд2
->2	-.2
du , Q d и
да 3ct3₽
d2u
dp2 '
>
-jy
TT	d2U
Подставив ----
dt2
j2 о u
И ™
dx2
данное уравнение, будем иметь
или
2d u
2 da2
"l2	л 2
2AjL + L± =a 9a9₽ Эр2
*.2	-^2	2.2
2d и	a d u	du
9a2 ' » <
\2 о и dadp
2 dz
Пример 5. Преобразовать уравнение x — дх
2dz y dy
2
z , приняв
за
новые
независимые переменные u = x, u = -У
и за
новую функцию »
 1
в
Л

0.
1
X
X
w = -z
§ 10* Замена переменных
211
Решение. Выразим частные производные и ±— через частные про-дх ду
div div тт	, ,
изводные и — . Для этого продифференцируем данные соотношения du do
между старыми и новыми переменными:
du = dx, du =	, du> =	.
’	2	2*	22
X	у	X	z
С другой стороны,
1	du? । du? л du; ~ тг— du + — dv*
Эи	Эи
Поэтому
Эи; , j Эи? 1 _ dx _ dz
ди	ди	х2 22
ИЛИ
Эи* v _j_ dw (dx _ djf\ = dx _ dz
Эи ' Э/j \ 2	2 J	2	2 <7U	Of кд	у >	x	2
Отсюда
,	2( 1 div 1 ЗиЛ ,	, z23ttfj
<x du x23v'	y2dv
и, следовательно,
dz 2(1 dw 1 ЗиЛ

dx lx2 du x2duJ
и
= z2dw
Эу	у* ди*
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
а 2< 1 div _ 1 ЗиЛ . 2 div _ 2
lr2 Эи г2ди) ди
Л*	Л*
или
=0. du
1969* Преобразовать уравнение
2
хгЦ +2х^+у = 0,
dx dx
Полагая х — е*.
212
Глава VI, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1970, Преобразовать уравнение
2
(1 - х2)Ц = О, dx2 d*
полагая х = cos t.
1971, Преобразовать следующие уравнения, приняв за аргумент у:
-.2 а)!Ц dx2
2
= О,
б) - з d*dx3
= 0.
Рис. 69.
1972. Тангенс угла щ образованного касательной МТ и радиусом-вектором ОМ точки касания (рис. 69), выражается следующим образом:
*v
tgp =
1 + -у'
Преобразовать это выражение, перейдя к полярным координатам: х = г cos ф, у = г sin ф.
1973. Формулу кривизны линии
к = ... -У".--
выразить в полярных координатах х = rcostp, у = rsintp.
1974. Преобразовать уравнение
новым независимым переменным и
«г -4 - °-
ох оу
2 t 2
если и = х, I? — х + у .
1975. Преобразовать уравнение
новым независимым переменным и
уд/ - 2 = о, ду
если и = х, и =	,
х
1976. Уравнение Лапласа
-j 2 О U
э?
преобразовать к полярным координатам г и ср, полагая
х = г cos ср, у = г sin <р*
d у
и
о
X
к
к

+ ^ = о
и
и
и
v
§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
213
1977. Преобразовать уравнение
= О
2	“	2, 2
dx di/
полагая и = ху и и = - . У
1978. Преобразовать уравнение
У“ -	= (у - х)2’
dx ф
введя новые независимые переменные
2 ,	2 Ijl
U = X + У , о — - + -
х У
и новую функцию w = In 2 - (х + у)г
1979. Преобразовать уравнение
-12	^2	^2
Ц - 2^Л- + Ц = о,
Зх2	дхдУ	Зу2
приняв за новые независимые переменные и = х + у, и = и за новую
,	2
функцию IV = - * X
1980. Преобразовать уравнение
-12	"j2	-.2
d Z I 9 0 Z । 0 Z _ л
Эх2 ЗхЗу Зу2
полагая и = х + у. v — х - у, w = ху
- z, где w =	и).
§ 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
1Э, Уравнения касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности. Касательной плоскостью к поверхности в точке М (точка касания) называется плоскость, в которой лежат все касательные в точке М к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.
Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано в явной форме z = Дх, у), где /(х, у) ~ дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости в точке Л/(х0, z/0, z0) поверхности есть
% ~ zo =	~	+ fУ0)(У “ Уд)-	(1)
Здесь 20 = f(xQ, yQ), а X, Ft 2- текущие координаты точки касательной Плоскости.
214
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Уравнения нормали имеют вид	J
~хо =	_ %"г<у	(2)
f'x(.x0,y0)	fv(x9,y0)	-1 ’	5
где X, У, Z — текущие координаты точки нормали.	;|
Пример 1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к 2	?!
X 2 поверхности z =	- у в ее точке М(2; -1; 1).
Решение* Найдем частные производные данной функции и их значения в точке М:
dz =
Зх Xj l3rJAf
“ -2у,
Отсюда, применяя формулы (1) и (2), будем иметь г - 1 - 2(х - 2) I 2(г/ +1)
а,а	1 п	“	Х-2у+1
или 2x + 2y-z-l = u — уравнение касательной плоскости и —— = g	=
Zi	z
г-1
= —j— — уравнения нормали, 2°,Уравнения касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности. В том случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме
F(x, у, z) = О
и F(x0, yG, г0) = 0, соответствующие уравнения будут иметь такой вид:
<(*0, У0’	~ X0*+Fy Цг Уо’ Му -	+	г<№ ~ го> = 0 <3> ;
— уравнение касательной плоскости и
^~хо =	(4)
К (*о* Уо< *о) Fy У& zo) К Уп>2о) — уравнения нормали*
Пример 2, Написать уравнения плоскости и нормали к поверхности :> 3xyz - г3 = а3 в точке, для которой х = 0, у = а.	:<
Решение, Найдем аппликату точки касания, подставив х = 0, у — d S в уравнение поверхности: -г3 = а3, откуда z = -а* Таким образом, точка £ касания есть Af(O, а, -а).	Ц
Обозначив через F(x, у, г) левую часть уравнения, найдем частные про- J изводные и их значения в точке М:	|
9
Fx = 3yz,	(FI )м	= -За ,	5
^Зхг,	(Г;)л/	= 0.	|
F' = Зху - ЗгЙ,	(Ff U	= -За2,	1
г	*	 z 'М	Я
§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
215
Применяя формулы (3) и (4), получим
-За2(х - 0) + 0(1/ - а) - 3a2(z + а) = 0
или х + z -I- а = 0 — уравнение касательной плоскости, х - 0 = у -а = z + д
-За2 0 -За2
х	и — а	2 + а
или - =  Q— = —1— — уравнения нормали,
1981.	Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к следующим поверхностям в указанных точках:
а)	к параболоиду вращения z - х + у в точке (1; -2; 5);
2	2	2
б)	к конусу + L - L = 0 в точке (4; 3; 4);
2	2	2
в)	к сфере х ' + у +Z — 2Rz в точке (/? cos сс; Л sin а; Я).
1982, В каких точках эллипсоида
2	2	2
~	+ L = 1
2	т2	2
а л с
нормаль к нему образует равные углы с осями координат?
2	2	2
1983.	Через точку М(3; 4; 12) сферы х  + у +2 = 169 проведены плоскости, перпендикулярные осям ОХ и ОУ, Написать уравнение плоскости, проходящей через касательные к получившимся сечениям в их общей точке М.
1984.	Показать, что уравнение касательной плоскости к центральной поверхности 2-го порядка
ах + by + с z = к
в ее точке М(х0, #0, z0) имеет вид
ахцХ + by^y + czQz = k.
1985.	К поверхности х2 + 2у2 + Зх2 = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости х + 4у + 6z = 0.
2	2	2
1986.	К эллипсоиду £_ -5- ^- + ?- = 1 провести касательные плос-£	7 £	ш
а о с
кости, отсекающие на координатных осях равные по величине отрезки.
2	2	2
1987.	На поверхности х + у - z — 2х = 0 найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.
1988.	Доказать, что касательные плоскости к поверхности xyz = аг образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема.
216
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1989, Показать, что касательные плоскости к поверхности Jx
+ Jy + Jz = Ja отсекают на осях координат отрезки, сумма которых В
постоянна.
1990, Показать, что конус
х	+	У_	£
2	12
а	b	с
и сфера
9	2	(
х + У + j z -
,2	2, 2
Ь + С А
С )
Ь-2(Ь* + с2)
касаются друг друга в точках (О, ±Ь, с).
1991, Углом между двумя поверхностями в точке их пересечения
называется угол между касательными плоскостями, проведенными | к данным поверхностям, в рассматриваемой точке,	|
Под каким углом пересекаются цилиндр	>
2 I 2	„2
х + у = R
и сфера
(х - R)2 + у2 + г2 Д2
в точке	-I
£
1992. Поверхности называются ортогональными г если они не-1 ресекаются под прямым углом в каждой точке линии их Пересе-& чения.	|
Показать, что поверхности х2 + у + г2 = г (сфера), у = xtgv j (плоскость) и z2 = (х2 + i/2)tg2 \|/ (конус), являющиеся координат-1 ними поверхностями сферических координат г, ср, МЛ взаимно ор-4 тогональны,	$
1993. Показать, что все плоскости, касательные к конической п0*^ верхности 2 - Б ее Т(>чке Af(x0, у0, z0), где х * 0, проходят череЗ^ начало координат.	Ж
1994*. Найти проекции эллипсоида	гЖ
2 .	2 а 2	1 п
х+г/Н-2-ху~1=0	Я
на координатные плоскости.	ж
1995. Доказать, что нормаль в любой точке поверхности враШе'Ж ния г = г(Ух2+уг) ел 0) пересекает ось вращения.	>Я
§12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
217
§12. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Пусть функция f(x, у) имеет в окрестности точки (а* Ь) непрерывные частные производные всех порядков до (л -I- 1)-го включительно. Тогда в рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:
fix, у) = f(a, ft) + А [/'(а, Ь)(х - а) + f'(a, b)(y - ft)] 4-11	*
+ УК'Аа’ -	+ 2Оа' ь)<х ~ а^У - Ь) + /''(а. &)(у - ft)2] +
+ ... + 1 Г(х - а) А + (у - ft) Э Г f(a, ft) + лп(х, у),	(1)
п! L ох	ttyj	п
где
1 Г Л	Д "Р+1
Лп(х, у) =  (х - а)— + (у - b)~ f[a + 0(х - а), ft + 0(у - ft)] (п+1)! L dx dyj
(О < G < 1).
В других обозначениях:
fix + h, у + k) = fix, у) + A. [hf'^x, у) + kfy(x, у)] +
+ ^сл2С(х’ у) + 2Лй£'(*. у) + &г/"и.+ +
+ 1(л A+k р) fix, у) + _!_(й jL+ /эу+1Лх + е/[.	eft)j (2)
n! \ dx ду)	(п + 1)! k dx dyj
или
&fix, У) = df(x, J/) + ^йг/(х, у) + ... +
+ А dV(x. У* + 7 d" " 'К* + ЖУ + О*)-п!	(п + 1)!
(3)
Частный случай формулы (1) при а = Ъ - 0 называется формулой Макларена.
Аналогичные формулы справедливы для функции трех и большего числа переменных.
Пример. Найти приращение, получаемое функцией /(х, у) = х3 - 2р3+ + Зху при переходе от значений х = 1, у = 2 к значениям хг = 1 + Л, yY = 2 + k.
Решение. Искомое приращение можно найти, применяя формулу (2). Вычислим предварительно последовательные частные производные и их значения в данной точке (1; 2):
Гх (х, у) = Зх2 + Зу, f'y (*> У) = “бу2 + Зх, S') ” 6х’ /" (х- У) = з, fyyix’ А = -12у,
С (1; 2) = 3 • 1 + 3  2 = 9, л; (1; 2) = -6 4 + 3 - 1 = -21, /"(1; 2) = 6  1 = 6, С(1;2) = з, (1; 2) = -12  2 = -24,
218
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
у) = 6,	f- (1; 2) = 6,
О У)-0,	С/1;2) = о,
С(х,у)-0,	С(1;2) = о,
f-(x,y) = ~12,	Q(l;2) = -12.	*
Все дальнейшие производные тождественно равны нулю. Подставляя найденные результаты в формулу (2), получим
bf(x, у) = /(1 4- й, 2 4- k) - /(1, 2) = h  9 + й(-21) +
+ 1 [Л2  6 + 2hk  3 + k2(-24)] + 1 [Ла  6 + 3h2k  0 + 3hk2  0 + А3(-12)] =
= 9Л - 21fe + ЗЛ2 + ЗЫг - 127г2 + Л3 - 27г3.
1996» Разложить f(x 4- й, у 4* й) по целым положительным степе-ням h и fe, если
Дх, у) = ах + 2Ьху + су2.
1997.	Функцию
f(x, у) = —х2 + 2ху + Зу2 - бх - 2у - 4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (-2; 1).
1998.	Найти приращение, получаемое функцией f(x. у) х2у при переходе от значений х = 1, у = 1 к значениям
X = 1 4- й, у = 1 4-
1999.	Функцию
/(х, у, z) = х2 4- у2 4-	+ 2ху - yz - 4х - Зу - z + 4 i
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1; 1).
2000.	Разложить f(x + й, у + й, z 4- Z) по целым положительным степеням й, й и Z, если
Дх, у, z) = х2 4- у2 + z2 - 2ху - 2xz - 2yz.
2001.	Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка включительно функцию
Дх, у) = е* sin у.	$
2002.	Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядка включительно функцию
/(х, у) = cos х cos у, 2003. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; Ц до членов 2-го порядка включительно функцию /(х, у) - /.
2004. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; до членов 3-го порядка включительно функцию
f(x, у) = е* + у.
§13, Экстремум функции нескольких переменных
219
2005- Вывести приближенные формулы с точностью до членов 2-го порядка относительно величин ос и (3 для выражений:
a) arctg 1±“;	6) ^<1+ “)'" +<1 + Р)* ,
если |а[ и ||3j малы по сравнению с 1.
2006*. Используя формулу Тейлора до членов 2-го порядка, вычислить приближенно:
а) 71,03 , Ж 98 ; б) (О,95)2,01.
2007, Пусть 2 есть та неявная функция от х и у, определяемая уравнением z3 - 2xz + у = 0, которая принимает значение 2 = 1 при х = 1 и у = 1. Написать несколько членов разложения функции z по возрастающим степеням разностей х - 1 и у = -1.
§ 13. Экстремум функции нескольких переменных
1°, О и редело нис экстремума функции. Говорят, что функция f(x, у) имеет максимум (минимум) f(a, Ъ) в точке Р(а, £>), если для всех отличных от Р точек Р'(х, у) в достаточно малой окрестности точки Р выполнено неравенство f(a, ft) > f(x, у) (или соответственно f(at b) <. /(х, у)). Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Аналогично определяется экстремум функции трех и большего числа переменных,
2°. Необходимые условия экстремума. Точки, в которых дифференцируемая функция f(x, у) может достигать экстремума (так называемые стационарные точки), находятся путем решения системы уравнений
У) = 0,	е/) = 0	(1)
(необходимые условия экстремума). Система (1) эквивалентна одному уравнению d/(x, у) = О, В общем случае в точке экстремума Р(а, Ь) функции f(x, у) или df(a, b) = 0, или d/(a, д) не существует,
3°. Достаточные условия экстремума. Пусть Р(а, Ъ) — стационарная точка функции f(x, у), т. е, df(a, b) — 0. Тогда:
а)	если d2/(a, Ь) < 0 при dx2 4- dy2 > 0, то Да, Ь) есть максимум функции fix, у);
б)	если d2/(a, b) > 0 при dx2 + dt/2 > 0, то f(a, £>) есть минимум функции f(^ У)\
в)	если d2f(a, Ъ) меняет знак, то /(а, 6) не является экстремумом функции Лх, у).
Приведенные условия эквивалентны следующим: пусть f'x (а, Ь) = (а, Ь) = О и А - Г'(а, £>), В = /7	b), С = /'7(а, &). Составим дискриминант
хх	ху	уу
А = А ’ С - В2.
Тогда: 1) если Л > 0, то функция имеет экстремум в точке P(af £>), а именно ^вксимум. если А < 0 (или С < 0), и минимум, если А > 0 (или С > 0); 2) если
220
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Д < 0, то экстремума в точке Р(а, Ь) нет; 3) если Д = 0, то вопрос о наличии экстремума функции в точке Р(а, &) остается открытым (требуется дальнейшее исследование).
4°. Случай функции многих переменных. Для функции трех и большего числа переменных необходимые условия существования экстремума аналогичны условиям 1°, (1), а достаточные условия аналогичны условиям 3°, а), б), в).
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию
х = х3 + Зху2 - 15х - 12у.
Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1):
= Зх2 + Зу2 - 15 = 0, s вху - 12 - О
ах	di/
или
! х2 + у2 - 5 = О,
1 ху - 2 = 0.
Решая систему, получим четыре стационарные точки:
РД1; 2);	Рй(2; 1);	Р3(-1; -2);	Р/-2; -1),
Найдем производные 2-го порядка
^2
a z л
—5 =
дх
д2z _ fif
ЪЛу У'
-\2 а z
Т"2
= 6х
2
и составим дискриминант Д = А  С - В для
каждой стационарной точки.
1) Для точки Pj:A =
d z
= 6;
2
Д “ AC - b — 36 - 114 < 0. Значит, в точке экстремума нет.
2)	Для точки Рй: А - 12, В = 6, С - 12; Д - 144 - 36 > О, А > 0. В точке Р2 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при х = 2, У = 1:
г . = 8+ 6-30-12 = -28.
3)	Для точки Рэ: А = -6, В = -12, С = -6; Д = 36 - 114 < 0. Экстремума нет.
4)	Для точки Р4: А = -12, В = -6, С = -12; Д = 144 - 36 > О, А < 0.
В точке Р4 функция имеет максимум, равный
z - -8 - 6 + 30 + 12 = 28. шах
5°. Условный экстремум. В простейшем случае условным экстремумом функции Дх, #) называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением <р(х, у) = 0 (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции
§13. Экстремум функции нескольких, переменных
221
Дх, i/) при наличии соотношения <р(х, у) = 0, составляют так называемую
функцию Лагранжа
F(x, у) = f(x, у) + Л  ср(х, у),
где X — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений:
= — + лЭ<р - О
Эх Зх Ъ
aF = ^ + i3(P-0
^8j + A^"0'
Ф(Х. у) = О
(2)
с тремя неизвестными х> у, Л, из которой можно, вообще говоря, определить эти неизвестные*
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
<^(х, y)^d? + 2^dxd,+ ^d/
Эх2	дхду	Эу2
для испытуемой системы значений х, у, X, полученной из (2) при условии, что dx и dt/ связаны уравнением
dx + dy = О (dx2 + dy2 * 0).
dx dt/ 2 А именно, функция /(x, t/) имеет условный максимум, если d F < 0, и ус* ловный минимум, если d F > 0* В частности, если дискриминант Д для функции F(xf у) и стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции Дх, у), если А < 0 (или С < 0), и условный минимум, если А > 0 (или С > 0)*
Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи.
Пример 2, Найти экстремум функции
г = 6 - 4х - Зу
при условии, что переменные хну удовлетворяют уравнению
2.2	-
X + у = L
Решение. Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений аппликаты z плоскости г = 6 - 4х - 3z/ для точек 2	2
пересечения ее с цилиндром х 4- у =1.
222
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Составляем функцию Лагранжа:
2	2
F(x> у) 6 4х - Зу + Х(х + У ~ !)
тл 3F j . о*. _ cLF
Имеем — = -4 + 2Хх, т— dx	cty
уравнений
- -3 + 2Ху. Необходимые условия дают систему
-4 + 2Хх = О,
J -3 + 2Xi/ - О,
2.2-
I * + У = 1> решая которую найдем:
7 = 5	= 4	= 3
Л1 2* Х1 5' У1 5
и
; _ _5	= jL = 3
2	2’ *2	5’	5’
Так как
Ц=2>.. £.-0. ^-2» а»
ТО
d3F - 2X(dx2 + dy2).
р 1	5
Если А = -
2

4	3s
- Ht/=-tTodF>On, следовательно, в этой точке функция 5	5
5 имеет условный минимум. Если X = -- , х
следовательно, в этой точке функция имеет Таким образом,
= -1 и у = - ? , то d2F < 0 и, 5	5
условный максимум.
2 max
2 min
= 6+ ** о
= 6-1* 5
9
5
9
5
= 11,
6°, Наибольшее и наименьшее значения функции-функции, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке, или в точке границы области.
Пример 3» Определить наибольшее и наименьшее значения функции
2 .	2	.	,
Z = X + у - ху X -i- у
в области
x<0,t/<0, х+г/^ —3,
§ 13. Экстремум функции нескольких переменных
223
Рис. 70.
Решение. Указанная область есть тре уголь ник (рис. 70).
1)	Найдем стационарные точки: z’x = 2х - у + 1 = О, zfy ^2у-х + 1 = 0;
отсюда х = -1, у = -1; получаем точку -1).
В точке М значение функции z^f = -1. Исследование на экстремум не обязательно,
2)	Исследуем функцию на границах области.
При х = 0 имеем г = у + у и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений этой функции одного аргумента на отрезке -3 < у < 0, Проведя исследование, найдем, что __ Л = 6 в точке (0; -3); Мх-о = в точке (0;~).
При у - 0 получаем z = х2 + х. Аналогично найдем, что (2начб)^ 0 = 6 в точке (-3; 0); (2	) л = -- в точке |-^;0
При х + у ~ -3 или у = -3 - х будем иметь z = Зх2 + 9х -Р 6. Аналогичным 3	/ з ЗА
образом найдем, что (гнаим)г + . _3 = -- в точке	; (гн«иЛ + у = -з = 6
совпадает с (гяаи6)* = 0 и (^наиб)у = 0* На прямой х + у « -3 можно было бы исследовать функцию на условный экстремум, не приводя к функции одного аргумента.
3)	Сопоставляя все полученные значения функции z, заключаем, что ги(|т, “ 6 в точках (0; -3) и (-3; 0); z „„ = -1 в стационарной точке Af* tlctllu	' НЯИМ
Исследовать на экстремум следующие функции двух переменных:
2008. г = (х - I)2 + 2уй,
2009. z - (х - I)3 - 2уг.
2010. г = х3 + ху + у2 - 2х - у.
2011. г = xSy2(6 - х - у) (х > 0, у >
2012. z = х4 + у4 - 2х2 + 4ху - 2у3.
1	2	2
2013. г = ху 1-^-^.
а b
2014. z = 1 - (х2 + у2)2/3.
ОЛ1 с	/2	2. -(х +и ) 2015. г = (х + у )е	.
2016. г =  1 +	.

224
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2016.1. г = 8 +? + у (х > 0, у > 0). * У
2016.2. г = ex-i/(x2 - 2yZ).
Найти экстремумы функций трех переменных:
2017, и = х2 + у2 + г2 - ху 4- х - 2z.
2	2	9
2018, г/ = х + ^ + L + t (х > 0, у > 0, z > 0), 4х у г
Найти экстремумы функций z, заданных неявно:
2019*. х2 + у2 + z2 - 2х + 4у - 6z - 11 = 0.
2020.	х3 - у2 - Зх + 4у + z2 + z - 8 = 0.
Определить условные экстремумы функций:
2021.	z = ху при х + у = 1,
2022.	z = х + 2у при х2 + у2 — 5.
2023.	z — х2 + у2 при - 4-	= 1.
у н 2	3
2024.	z - cos2 х + cos2 у при у - х = .
2025, и — х - 2у + 2z при х2 4- у2 + z2 = 9.
2026. и — х + у + z при — + У- 4- — = 1 (а > Ъ > с > 0). а b с
2027. и = ху2z3 при х 4- у 4- г = 12 (х > 0, у > 0, z > 0). 2028* и — xyz при условиях х + у 4- z = 5Т ху 4- yz + zx = 8.
2029.	Доказать неравенство
> aJw,
если х > 0, у > 0, 2 ? 0.
Указание, Искать максимум функции и = xyz при условии х 4 у 4- 2 = 5*
2030.	Определить наибольшее значение функции z = 1 + х + 2у в областях:
а) х > 0, у > 0, х + у < 1; б) х > 0, у < 0, х - у < 1,
2031.	Определить наибольшие и наименьшие значения функция a) z = х2у и б) z = х2 - у2 в области х2 4- у2 < 1,
2032.	Определить наибольшее и наименьшее значения функции
2 sin х 4- sin у + sin (х 4- у) в области 0<х<~,0<у<-*
2033.	Определить наибольшее и наименьшее значения функции z = х3 + г/3 - 3xi/ в области О < х < 2, -1 у < 2,
§14, Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций 225
§ 14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций
Пример 1. Положительное число а требуется разбить на три неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Решение, Пусть искомые слагаемые будут х, р, а- х~ у. Ищем максимум функции f(x, у) = ху(а - х~ у).
По смыслу задачи функция f(x, у) рассматривается внутри замкнутого треугольника я > О, х + у<а (рис, 71).
Решая систему
Рис. 71.
/' (ЯС. У) =	- 2х - у) = О,
" fy (*, У) = Х(а - X - 2у) = О,
получим для внутренности треугольника единственную стационарную точку
f	ТТ	ТТ
. Для нее проверяем выполнение достаточных условии» Имеем
\ о и /
(*, У) = -2у,	у) = а - 2х - 2у, f'y (х, у) = -2х.
Следовательно,
а
3’ 3J
В =
и
Л = А-С - В2 > О, А < 0.
тт	[ а а
Итак, в точке -<3 3.
функция достигает максимума. Так как на контуре тре
угольника функция /(х, у) = 0, то этот максимум будет наибольшим значением
функции, т, е. произведение будет наибольшим, если х = у = а- х- у:=
а
3 ’
причем наибольшее значение произведения равно
з а
27
Примечание, Задачу можно было решать методами условного экстремума, отыскивая максимум функции и = xyz при условии х + у 4- z = а.
2034. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный объем V, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.
2035. При каких размерах отрытая прямоугольная ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверхность?
2036. Из всех треугольников данного периметра 2р найти тот, который имеет наибольшую площадь.
& Задачи к упражнения
226
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2037, Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью поверхности S, имеющий наибольший объем,
2038.	Представить положительное число а в виде произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы их сумма была наименьшей.
2039.	На плоскости XOY найти точку М(х, у), сумма квадратов расстояний которой от трех прямых х = 0, у = 0, х “ г/ + 1 = 0 была бы наименьшей.
2040.	Найти треугольник данного периметра 2р, который яри вращении около одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
2041.	На плоскости даны три материальные точки Р1(хр i/J, Р2(х2, у2), Р3(х3, е/3) массами тп2, лг3. При каком положении точки Р(х, у) квадратичный момент (момент инерции) данной системы точек относительно точки Р (т. е. сумма /п1|Р1Р [2 + т^Р2Р |2 4- т^Р^Р |й) будет наименьшим?
2042.	Через точку М(а, bt с) провести плоскость» образующую с плоскостями координат тетраэдр наименьшего объема.
2043-	В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема,
2044.	Определить наружные размеры открытого прямоугольного ящика с заданной толщиной стенок S и емкостью (внутренней) Vтак, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.
2045.	В какой точке эллипса
2	2
* + у_ = 1 2	,2
а и
касательная к нему образует с осями координат треугольник наименьшей площади?
2046*. Найти оси эллипса
5х2 + 8ху 4- 5у2 = 9.
2047. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
2048. Русла двух рек (в пределах некоторой области) приближенно представляют параболу у = х2 и прямую х - у - 2 = 0* Требуется соединить данные реки прямолинейным каналом наименьшей длины. Через какие точки его провести?
2049, Найти кратчайшее расстояние от точки М(1; 2; 3) до прямой
* = у = £
1	-3	2'
§ 15. Особые точки плоских кривых
227
2050*. Точки А и В расположены в различных оптических средах, отделенных одна от другой прямой (рис. 72). Скорость распространения света в первой среде равна во второй — п2* Пользуясь принципом Ферма, согласно которому световой луч распространяется по линии АМВ, для прохождения вдоль которой требуется минимум времени, вывести закон преломления светового луча*
2051* Пользуясь принципом Ферма, вывести закон отражения светового луча от плоскости в однородной среде (рис. 73)*
2052*. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление R, течет ток I, то тепловая мощность в цепи равна I R. Определить, как следует разветвить ток I на токи I,, /9, Д при Л	С"
Рис. 72*
Рис. 73.
помощи трех проводов, сопротивления которых Rv /?3, чтобы
тепловая мощность была бы минимальной.
§ 15. Особые точки плоских кривых
1°* Определение особой точки. Точка у0) плоской кривой /(х, у) — 0 называется особой точкой, если ее координаты одновременно удовлетворяют трем уравнениям:
Кх0, Уо) = 0, f'r (Хо, у0), f’y (Хо> (/0) = 0.
2°* Основные типы особых точек. Пусть в особой точке М(х$, #0) производные 2-го порядка
А С
& ~ Ку
С = Ку
не все равны нулю и Д = А ' С - В2, тогда:
а)	если Д > 0, то М — изолированная точка (рис* 74);
б)	если Д < 0, то М — узел (двойная точка) (рис* 75);
в)	если Д - 0, то М — или точка возврата 1-го рода (рис. 76), или 2-го рода (рис. 77), или изолированная точка, или точка самоприкосновения (рис. 78).
Рис. 77.	Рис. 78.
228
Глава VL ФУНКЦИИ НИСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
При решении задач этого раздела предполагается обязательным постро- Ш ение кривых,	Ж
Пример, Показать, что кривая у2 = ах2 + г3 имеет: узел, если а > 0; ж-изолированную точку, если а < 0; точку возврата 1-го рода, если а — О, Ж 2	3	2	4*
Решение. Здесь f(x, у) = ах + х - у , Найдем частные производные ж
и приравняем их нулю:
f'x (х, у) = 2ах + Зя2 = О, f’(x, у) = -2у = 0.
&
Эта система имеет два решения:
0(0; 0) hN
но координаты точ*
ки N не удовлетворяют уравнению данной кривой. Значит, имеется единственная особая точка 0(0; 0).
Найдем вторые производные и их значения в точке О: f"xx(x, !/) = 2а + 6х, А = 2а, у) = °,	в = о,
/"/х, у) = -2,	С = -2,
А = А-С - В2 - -4а.	1
Следовательно,	-1
если а > 0, то Д < 0 и точка О — узел (рис. 79);	-а
если а < 0, то А > 0 и точка О — изолированная точка (рис, 80);	Ж
если а — 0, то Д = 0* Уравнение кривой в этом случае будет у2 = х или
i 3	м Я
у — ± ух , где х >0; кривая симметрична относительно оси ОХ, являющейся 1
Выяснить характер особых точек кривых:	Я
2	2.4	плес * 2	2 4	6
2053, у = -х + х ,	2055. а у = а х - х .
/	2.2	5	ПЛЕГП 2 2	2	2 л
2054. (у - х ) = х .	2056, х у - х - у =0.
3	3
2057. х + у - Заху = 0 (декартов лист).
О	Q
2058. у (а - х) = х (циссоида).
§16. Огибающая
229
2059. (х2 4- у2)2 = а\х2 - у2) {лемниската}.
2060. (а + х)у2 = (а - х)х2 (строфоида),
2061. (х2 + у2)(х " а)2 — Ь2х2 (а > О, b > 0) (конхоида). Рассмотреть три случая: 1) а > д, 2) а = &, 3) а < Ъ.
2062. Выяснить изменение характера особой точки кривой у2 = (х “ а)(х - Ь)(х - с) в зависимости от значений а, Ь, х (а < b < с вещественны)*
§ 16* Огибающая
1°. Определение огибающей* Огибающей семейства плоских кривых называется кривая (или совокупность нескольких кривых), которая касается всех линий данного семейства, причем в каждой своей гонке касается какой-нибудь линии рассматриваемого семейства*
2° .Уравнение огибающей* Если зависящее от одного переменного параметра ct семейство кривых
f(x, у, а) = О
имеет огибающую, то параметрические уравнения последней определяются из системы уравнений
/(ж, у, а) = 0,
7; (ас, у, а) = 0.	( '
Исключая из системы (1) параметр а, получим уравнение вида
О(х, у) = 0.	(2)
Следует отметить, что формально получаемая кривая (2) (так называемая дискриминантная кривая) наряду с огибающей, если таковая имеется, может содержать геометрическое место особых точек данного семейства, не входящее в состав огибающей этого семейства*
При решении задач этого параграфа рекомендуется делать чертежи.
Пример. Найти огибающую семейства прямых
х cos ct 4- у sin а - р = 0 (р = const, р > 0)*
Решение. Данное семейство прямых зависит от параметра а. Составим систему уравнений (1):
j х cos с< 4- у sin ft - p = 0, | -x sin cc 4- у cos a - 0* X
Решив систему относительно x и yt получим параметрические уравнения огибающей:
х = р cos ct, у = р sin a.
Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, исключим параметр ct:
230
Глаза VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рис. 82.
Таким образом, огибающей данного семейства прямых служит окружность радиуса р с центром в начале координат. Данное же семейство прямых есть семейство касательных к этой окружности (рис. 82),
2063. Найти огибающую семейства окружностей
,	!	2 а2
(X - а) + у = —.
2064. Найти огибающую семейства прямых
= kx + £-
У
(k — параметр, р = const).
2065.	Найти огибающую семейства окружностей одинакового радиуса Rf центры которых находятся на оси ОХ.
2066.	Найти кривую, которую огибает отрезок длины I, когда его концы скользят по осям координат.
2067.	Найти огибающую семейства прямых, образующих с осями координат треугольник постоянной площади S.
2068.	Найти огибающую эллипсов постоянной площади S, оси симметрии которых совпадают.
2069* Исследовать характер «дискриминантных кривых & семейств следующих линий (С — параметр):
а)	кубических парабол у = (х — С) ;
б)	полукубических парабол у2 = (х - С)3;
в)	парабол Нейля у3 = (х - С)2;
г)	строфоид (а + х)(у - С) = х (а - х).
2070. Уравнение траектории движения снаряда, выпущенного из точки О с начальной скоростью под углом а к горизонту (без учета сопротивления воздуха), будет
_ 2
у = X tg а - Iх г
2l>0COS Gt
Принимая угол ос за параметр, найти огибающую всех траекторий снаряда, расположенных в одной и той же вертикальной плоскости (парабола безопасности) (рис. 83).
§ 17, Длина дуги пространственной кривой	231
§ 17* Длина дуги пространственной кривой
Дифференциал дуги пространственной кривой в прямоугольных декартовых координатах равен
ds = Jdx2 + dt/2 4' dz2 ,
где х, у, z — текущие координаты точки кривой.
Если
г = х(£), У = y(t), ? = *(*)
параметрические уравнения пространственной кривой, то длина дуги участка ее от t - / j до t = t2 равна
t. а
В задачах №№ 2071—2076 найти длину дуги кривой:
2071* х = t, у т t z = — от t = 0 до t = 2. 3 о
2072.	х = 2 cos t, у = 2 sin £, z ^ - £ от £ = 0 до t == л. я
2073.	х = e^cos t, у = e^sin £, z = ъ от t = 0 до произвольного £*
2	з
2074.	у = — , z = — от х = 0 до х = 6. 2	6
2075* х2 = Зу, 2ху = 9z от точки 0(0; 0; 0) до точки М(3; 3; 2).
2076. у = a arcsin -, z = - In от точки 0(0; 0; 0) до точки а 4 а - х
^0’
2077* Положение точки для любого момента £ (£ > 0) определяется уравнениями
х = 2£, у = In t, z —
Найти среднюю скорость движения между моментами = 1 и - 10*
§ 18* Вектор-функции скалярного аргумента
1°. Производная вектор-функции скалярного аргумента. Вектор-функция а а(£) может быть определена путем задания трех скалярных функций ах(£), ау^ И — ее пР°екЦИЙ на координатные оси:
а = ах( £)i + a^Oj + a^t )k.
Производная вектор-функции а = а(£) по скалярному аргументу t есть новая вектор-функция, определяемая равенством
da = ljm a(t + AQ-a(t) =	. + da^t) + dfl,(t)
d£ дг — о Д£	d£ d/ d£
232
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Модуль производной вектор-функции равен
da Нал2 fdaS2 /daA2 dt A/\ dt ) I dt ) I dt J
Конец переменного радиуса-вектора г *= r(t) описывает в пространстве кривую
г = x(t)i + i/(t)j + z(t)k,
называемую годографом вектора г.
dr	м
Производная — представляет собой вектор, касательный к годографу в dt
соответствующей точке, причем
dr = ds dt dt’
где а — длина дуги годографа, отсчитываемая от некоторой начальной точ-
ки. В частности, 1^£ Ids
Если параметр t есть время, то — = v — вектор скорости конца век*
^2	,
dr dv
тора г, а —- =—=со — вектор ускорения конца вектора г. dtz
2°, Основные правила дифференцирования вектор* функции скалярного аргумента,
1)	d (a f Ь - с) - <1а  ,1Ь - <1С ;
dt	dt dt dt
d	da
2)	— (ma) = m—— , где m — постоянный скаляр;
dt	dt
3)	(<pa) = a + (p^ , где (p(f) — скалярная функция от t;
dt	dt dt
5)
d dt
(a x b) =
da
dt
xb + ax—; dt
6) £ а [ЧЧО] = ^ • S; dt	dtp dt
7)a^5 = 0} если lai *= const.
at
Пример 1, Радиус-вектор движущейся точки в любой момент време
ни задан уравнением
г = i - 4f2j + 3t2k*
(1)
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.
§18. Вектор-фуакции скалярного аргумента
233
Решение, Из уравнения (1) имеем;
х = 1, у - -4t2, z = 3t2.
Исключая время Л находим» что траектория движения есть прямая
X-1 = У = 2
О -4	3'
Из уравнения (1), дифференцируя, находим скорость движения
— = -8tj + 6tk
и ускорение движения
.2
d, Г = -8j + 6k. dt
Скорость равна
dr
-	+ (6t)2 - 10|*|.
Отметим, что ускорение постоянно и равно
= 7(-8)2 + 62 = 10.
2078.	Показать, что векторное уравнение г - r2 = (г2 - rjt, где гг и г2 — радиусы-векторы двух данных точек, является уравнением прямой.
2079.	Определить, какие линии являются годографами следующих вектор-функций:
а)	г = at + с;
б)	г = at2 + bt;
в)	г = a cos t + b sin t;
г)	г = a ch t + b sh t,
где a, b и c — постоянные векторы, причем векторы а и b перпендикулярны друг другу.
2080.	Найти производную вектор-функцию от функции a(t) = a(t)a°(t), где a(t) — скалярная функция, a a°(t) — единичный вектор, в случаях, когда вектор а(£) изменяется: 1) только по длине, 2) только по направлению, 3) по длине и по направлению (общий случай)* Выяснить геометрический смысл полученных результатов.
2081.	Пользуясь правилами дифференцирования вектор-функ-Ции по скалярному аргументу, вывести формулу для дифференцирования смешанного произведения трех вектор-функций а, b и с.
234
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2082.	Найти производную по параметру t объема параллелепипе-  да, построенного на трех векторах:
а = i + tj 4- t2k;
b = 2ti - j + t3k;
c = -f2i 4 t3j + k.
2083.	Уравнение движения
г — 3i cos t 4- 4j sin t,
где t — время. Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения. Построить траекторию движения и векторы ско-
рости и ускорения для моментов t = 0, t = и t =
2084.	Уравнение движения
г = 2i cos t + 2j sin t + 3kt.
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения. Чему равны скорость и ускорение движения и каковы их направления для моментов t = О nt = ~ ?
2085.	Уравнение движения г 1 cos a cos cot -г j sin а cos ot + k sin int, где ct и 0) — постоянные, t — время. Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения и их направления.
2086.	Уравнение движения снаряда (без учета сопротивления воздуха)
2
г = Vot - ~ к,
где vn{vn .	} — начальная скорость. Найти скорость и ускоре-
'w' rV	Чf "Z А
ние снаряда в любой момент времени.
2
2087.	Доказать, что если точка движется по параболе у = — , Л
z — 0 таким образом, что проекция скорости на ось ОХ остается по-о fdx	\
стояннои = const I, то и ускорение точки остается постоянным*
2088.	Точка, находящаяся на нарезке винта, завинчиваемого в балку, описывает винтовую линию
х = a cos 0, у = a sin 0, z = ДО,
где 0 — угол поворота винта, а — радиус винта, a h — высота подъема при повороте на один радиан. Определить скорость движения точки* 2089. Найти скорость точки на окружности колеса радиуса а5 вра-щающегося с постоянной угловой скоростью (о так, что его центр прИ этом движется прямолинейно с постоянной скоростью on.
§19. Естественный трехгранник пространственной кривой
235
§ 19* Естественный трехгранник пространственной кривой
лЗ
Рис. 84.
Во всякой неособенной точке М(х, у, г) пространственной кривой г = r(t) можно построить естественный трехгранник (триэдр)t состоящий из трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 84):
1) соприкасающейся плоскости
ит	-	dr d2r
содержащей векторы — и —- ;
dt2
2) нормальной плоскости л О
<.	dr
перпендикулярной вектору ;
dt
8) спрямляющей плоскости перпендикулярной двум первым плоскостям.
В пересечении получаются три прямые: 1) касательная ММр 2) главная нормальММ2; 3) бинормаль ММЭ, определяемые соответственно векторами:
dr
1) Т = — (вектор касательной); dt
d г d2 г
2) В = — х — (вектор бинормали); dt d?
3|N = В х Т (вектор главной нормали). Соответствующие единичные векторы
т=Т.	v=N
|т|	|В|	|N|
могут быть вычислены по формулам
dx
ds ’ dx ds
Р = т х v.
Если X, У, Z — текущие координаты точки касательной, то уравнения касательной в точке М(х, у, и) имеют вид
X-xY-uZ-г	м ч
* х	1 у	1 г
где Т =—,Т =	, Т = —; из условия перпендикулярности пря-
* dt dt 2 dt
моЙ и плоскости получаем уравнение нормальной плоскости
Тх(Х - х) + Г (У - у) + Т (X - г) = 0.	(2)
ьА*	Lp	4-
Заменяя в уравнениях (1) и (2)	Т£ на В*, Вг и N*,	по-
лУчим уравнения бинормали и главной нормали и, соответственно, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости*
236
Глава VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пример 1. Найти основные единичные векторы т, v и Р кривой
X = t, £ = t, 2 = t
в точке 1,
Написать уравнения касательной, главной нормали и бинормали в этой точке.
Решение. Имеем:
г = И + t2j + t3k
~ = i + 2ti 4- 3t2k, d£ J
d2r
= 2j + 6tk.
Отсюда при t = 1 получим Т		_ dr d£	= i + 2j -ь 3k;		
В=	х df	(Г d	• 'г z= t2	i 1 0	j 2 3 2 6	= 6i - 6j 4- 2k;
		1 j	k		
N = В х Т	=	6 -6	2	=	-22i - 16j -b 18k,
		1 2	3		
Следовательно,					
т i + 2j -ь 3 k jlA	0	= 3*	-3j+k Лэ		V = ~ lli-8j + 9k 7266
Так как при £ = 1 имеем х	=	1, У	= 1	, г =	1, TO
X - 1 _ y- 1 _ 2 - 1
T“ 1“ "T”
—	уравнение касательной,
x - 1 _ у - 1 _ 2 - 1
з	"Т"
—	уравнение бинормали, х — 1 у - 1 _ z - 1
-11	“V
—	уравнение главной нормали.
Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхностей
Р(х, у> г) = 0, <7(х, у, г) = О,
§ 19. Естественный трехгранник пространственной кривой
237
то вместо векторов
dr
dt
d2r di2
можно брать векторы dr{dx, dy, dz} и
и
d2r{dSx, d2y, d2z}, причем одну из переменных я, у, z можно считать независимой и полагать ее второй дифференциал равным нулю.
Пример 2. Написать уравнение соприкасающейся плоскости окружности
х2 + у2 + z2 = 6, х + у + z = 0	(3)
в точке ее М(1; 1; -2).
Решение. Дифференцируя систему (3), считая х независимой переменной, будем иметь:
xdx + ydy + zdz = О, dx + dy + dz - 0
и
dx2 + dy2 + yd2у 4- dz3 + zd3z — 0, d2y + d3 z = 0,
Полагая x~l,y = l,z = ~2, получим:
dy = -dx; dz = 0;
,2	2 j 2 ,2	2 . 2
d у = -- dx ; d z = - dx .
y 3	3
Следовательно, соприкасающаяся плоскость определяется векторами
{dx, -dx, 0} и
0, -?dx3, ?dx3 3	3
или
{1, -1, 0} и {0, -1, 1},
Отсюда нормальный вектор соприкасающейся плоскости есть
и, следовательно, ее уравнение
—1(х - 1) - (у - 1) -- (z Ч 2) = 0,
т. е,
х 4' у + z = 0,
что и должно быть, так как наша кривая расположена в этой плоскости.
2090.	Найти основные единичные векторы т, v, (3 кривой х =* 1 - cos t, у sin t, z = t
в точке t = - ,
2
238
Глаиа VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2091.	Найти единичные векторы касательной и главной нормали конический спирали
г = ef(i cos t -h j sin t + k)
в произвольной точке» Определить углы, составляемые этими прямыми с осью OZ.
2092.	Найти основные единичные векторы т, V, р кривой у = х2, z = 2х
в точке х = 2»
2093.	Для винтовой линии
х = a cos t, у = a sin tf z = bt
написать уравнения прямых, составляющих ребра естественного трехгранника в произвольной точке линии. Определить направляющие косинусы касательной и главной нормали»
2094.	Написать уравнения плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой
х + у + z =6, х ~ у + г =4
в точке ее М(1; 1; 2).
2095» Составить уравнения касательной, нормальной плоскости и соприкасающейся плоскости кривой
х = t, у = t2f z = t3 в точке М(2; 4; 8).
2096. Составить уравнения касательной, нормальной плоскости и соприкасающейся плоскости кривой
Найти точки, в которых касательная к этой кривой будет параллельна плоскости х + Зу 4 2z - 10 = 0»
2097. Составить уравнения касательной, соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали кривой
х = t, у = -t, 2= 1-
в точке t = 2. Вычислить направляющие косинусы бинормали в этой точке.
2098» Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к следующим кривым:
а)	х = Л cos2 tf у = R sin t cos t, z = R sin t при t = ;
6)	z = x2 + y2, x = у в точке (1; 1; 2).
в)	х2 + у2 + z2 — 25, х + z = 5 в точке (2; 2>/3 ; 3)*
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой
239
2099.	Найти уравнение нормальной плоскости к кривой z *= х - у , у = х в начале координат.
2100.	Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой х — eiy = et4z — t^2 в точке t = 0.
2101* Найти уравнения соприкасающейся плоскости к кривым:
а)	х2 + у2 + г2 = 9, х2 - у2 = 3 в точке (2; 1; 2);
б)	4t/, х3 = 24г в точке (6; 9; 9);
в)	х2 -Ь z2 = а2, у2 4- г2 = ЬЛ в любой точке кривой (х0> yQi z0).
2102. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали к кривой
у2 = х, х3 = z в точке (1; 1; 1)*
2103. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали к конической винтовой линии х = t cos t, у = t sin t, z = bt в начале координат. Найти единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали в начале координат.
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой
1\ Крив изна. Под кривизной кривой в точке М понимается число
где (р — угол поворота касательной (угол смежности) на участке кривой ^MN, As — длина дуги этого участка кривой. 7? называется радиусом кривизны. Если кривая задана уравнением г - r(s), где s — длина дуги, то
1 = ^2г
R ds2
Для случая общего параметрического задания кривой имеем
1 R
dr х d2r а/ d#2 dra di
(1)
2й. Кручение. Под кручением (второй кривизной) кривой в точке М понимается число
Т - 1 = ]im — , р Дя - О Д8
240
Глава VL ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
где 0 — угол поворота бинормали (угол смежности второго рода) на участке кривой ^MN. Величина р называется радиусом круче ныл или радиусом второй кривизны. Если г = r(s), то
1 = + d₽ P
ds
dr d2r d3r
ds ds2 ds3
,2 A2 d г
ds2>
где знак минус берется в том случае, когда векторы — и v имеют одинаковое ds
направление, и знак плюс — в противоположном случае.
Если г = r(t), где t — произвольный параметр, то
dr d2r d3r
1 dt2 dt3
Р
_ x—Y dt2;
Пример 1. Найти кривизну и кручение винтовой линии г = ia cos t + ja sin f + kdt (a > 0).
Решение. Имеем:
dr dt d2r dt2 d3r dt3
(2)
= ~ia sin t + ja cos t + kd,
= -ia cos t — ja sin t,
= -ia sin f - ja cos L
Отсюда
и
dr
dt
,2
dt2
i
-asint
-a cos t
j
a cost
-asint
.	,	2
= lad sin t ~ jad cos t + a k
dr d2r d3r
-a sin J
a cost
-acost
asint
“dsint
-acost
2, = a d.
к b 0
b
0
0
Следовательно, на основании формул (1) и (2) получим
-	Г~2 Г2
1 = ал/a +о _ а
й	^.3/2	2 12
(а 4- d ) а + о
и
1 а2Ь	ft
о 2,2	, 2-.	2	1.2 1
Р	а(а+д)	а+Ь
т. о. для винтовой линии кривизна я кручение постоянны.
§ 20. Кривизна и кручение пространственной кривой
241
3е. Формулы Френе
dx = v dv =	+ Р dp = _v
ds R" ds R p* ds p
2104.	Доказать, что если кривизна во всех точках линии равна нулю, то линия — прямая.
2105.	Доказать, что если кручение во всех точках кривой равно нулю, то кривая — плоская.
2106.	Показать, что кривая
х - 1 + 3t + 2?, у = 2 - 2t + 5t2, z = 1 - t2
— плоская; найти плоскость, в которой она лежит.
2107.	Вычислить кривизну линий:
а)	х = cos t, у	= sin t, z = ch t при t = 0;
6)	x3 - y2 + z	= 1, y2 - 2x + z = 0 в точке	(1;	1;	1).
2108.	Вычислить кривизну и кручение в любой точке кривых:
а)	х = е cos t,	у - е sin J, z = е ;
б)	х = a ch £, у	— a sh t, z = at (гиперболическая	винтовая ли*
ния).
2109.	Найти радиусы кривизны и кручения в произвольной точке (х, у, z) линий:
а)	х2 = 2ayt х3 = 6а3з;
б)	х3 = Зр2у, 2xz = /Л
2110.	Доказать, что тангенциальная и нормальная составляющие вектора ускорения w выражаются формулами
.	2
W = -Нт, W = ^V, т df v R
где v — скорость, R — радиус кривизны траектории, т и V — единичные векторы касательной и главной нормали к кривой.
2111.	По винтовой линии г = ia cos t + ja sin t + btk движется рав-
номерно точка co скоростью о. Вычислить ее ускорение
2112.	Уравнение движения есть
г = £i +	+ £3k.
Определить в моменты времени t — 0 и t — 1:
1) кривизну траектории;
2) тангенциальную и нормальную составляющие вектора ускорения движения.
Глава VII
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
1°. Непосредственное вычисление двойных интегралов,! Двойным интегралам от непрерывной функции /(х, у)> распространенным * на ограниченную замкнутую область S плоскости XOY, называется предел 3 соответствующей двумерной интегральной суммы
J f(x, у) dx dy =	Ук) &У,
(S)	-0 1 k
где Дх, = х. 4 2 - xfJ &yk - yk + г - ykn сумма распространена на те значения S: । i и k, для которых точки (х.т у^ принадлежат области S*	ж
2% Расстановка пределов интегрирования в д во й ном | интеграле* Различают два основных вида области интегрирования* >
1) Область интегрирования S (рис, 85) ограничена слева и справа пря- Д мыми х = хг и х = х2 (х2 > Xj), а снизу и сверху — непрерывными кривыми > у - срх(х) (АВ) и у = ф2(х) (СР) [<рг(х) > Ф1(х)], каждая из которых пересекается :1 с вертикалью х = Х(х1 < X < х2) только в одной точке (см* рис. 85). В области Ж , S переменная х меняется от Xj до х2, а переменная у при постоянном х ме- Ж няется от у г — Ф2(х) до у % = Ф2(х). Вычисление интеграла (1) может быть S произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле	®
j f(x, У) dx dy = J dx | f(x, y) dy,	1
(S)	*1	<[>!(*)
Фг(^)	>
где при вычислении J f(x, у) dy величину x полагают постоянной. i
Рис, 85.
Рис. 86.
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
243
2) Область интегрирования S снизу ограничена прямыми у = и g 1/2 (i/2 > yj), а слева и справа — непрерывными кривыми х = ^(у) (АВ) и х — у2(у) (CD) [ф2(у) VjQOL каждая из которых пересекается с горизонталью у - У (ух < У < у2) только в одной точке (рис, 86).
Аналогично предыдущему имеем
У 2
11 Дл\ у) dx dt/ = J dy | f(xt y) dx,
($)	У]
Ч'а(у)
где при вычислении интеграла J f(x, у) dx величина у считается постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых от
носится к одному из этих двух видов.
Пример 1* Вычислить интеграл
1 1
7 = f dx (х + у) dy.
т.	Ох
Решение.
1
dx =
у = *
2 х
Пример 2. Определить пределы интегрирования интеграла
Г f(x, y)dxdy,
(S)
2	2
если область интегрирования S (рис. 87) ограничена гиперболой у - х = 1
и двумя прямыми х = 2 и х = -2 (имеется в виду область, содержащая начало
координат).
Решение. Область интегрирования ABCD (рис, 87) ограничена прямыми х -2 их = 2 и двумя ветвями гиперболы:
у =	+ х2 и у - - 71 + х2 1
т. е, принадлежит к первому виду. Имеем
| Дх, у) dx dy = j
(S)	-2
A 4 № dx j Дх, у) dy.
Рис, 87.
Вычислить следующие повторные интегралы:
2	1
2113. Г dy (х2 + 2у) dx,
О	о
4	2
2114. f dx f	.
J (x + y)2
3	1
1
2115.
о
2
2116. j
1
1
dx J о x
dx
r 2
x2 dy
1 + y2 '
x2 dy
У2
244
Глава VIL КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
-3
уг - 4
п 2 Зсозф
2119, Г dtp | г2 sin2 ср dr. о
2л
2118. j dtp
О
а
г dr.
2120.
л
“2
1
dx
71 - хг
3~У2 dy.
3
5
a siiitp
О
О
Написать уравнения линий, ограничивающих области, на которые распространены нижеследующие двойные интегралы, и вычертить эти области:
2121.
-6
2--у
dy j
х + 9
3
f dx
2х
х
3 725-х2
2122.
dx
х3
10-У
/(*, у) dy.
* о
x + 2
-1
Расставить двойном интеграле
пределы интегрирования в
том
и другом порядке в
2
з
4
о
1
з

С
2
У
2
(5)
для указанных областей S.
ri
О
Рис. 88.
B(-/;2)Y\ А(/;2)
О
Рис. 89.


2127. S — прямоугольник с вершинами 0(0; 0), А(2; 0), В(2; 1), 0(0; 1).
2128, S — треугольник с вершинами 0(0; 0), А(1; 0), ВЦ; 1).
2129. S — трапеция с вершинами 0(0; 0), А(2, 0), В(1; 1), С(0; 1).
2130. S — параллелограмм с вершинами А(1; 2), В(2; 4), С(2; 7), 0(1; 5).
2131. S — круговой сектор ОАВ с центром в точке 0(0; 0), у которого концы дуги А(1; 1) и В(-1; 1) (рис, 88).
2132. S — прямой параболический сегмент АОВ, ограниченный параболой ВОА и отрезком прямой ВА, соединяющим точки В(-1; 2) и А(1; 2) (рис. 89).
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
245
2133.S — круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов г = 1 и Я = 2, с общим центром 0(0; 0).
2134, S ограничена гиперболой у2 ~ х2 = 1 и окружностью х2 + у2 = 9 (имеется в виду область, содержащая начало координат),
2135, Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
(5)
если область S определяется неравенствами:
а)	х > 0; у > 0; х + у < 1; г) у > х; х > -1; у < 1;
б)	х2 + у2 < а2;	д) у С х < у + 2а;
в)	х2 + у2 < х;	0 < у < а.
Переменить порядок интегрирования в следующих двойных ин-
тегралах:
4	12х
2136, | dx J /(х, у) dy.
о	Зх2
1 Зх
2137, f dx Г /(х, у) dy.
О 2х
a	Ja2 - х2
2138, dx J /(х, у) dy.
0 а2 -X2 2а
2а	J4ax
2140, j dx j f(xt у) dy.
А	- x2
1
2141. j dy 0
1
2142, Г dy
о
i-y
j f(x. y) dx.
-Ji-y2
f(x, y) dx,
2
a	^2 ax - л 2
2139, j dx	j	/(x, y) dy.
a	0
2
J?j2
2	X	R
2143, J dx f(x, y) dy + J dx 0	0
9 Ы
7T	sinx
2144. dx f f(x, y) dy.
о о
7л2 - x2
*
/(x, y) dy.
0
Вычислить следующие двойные интегралы:
2145. J J х dx dy, где S — треугольник с вершинами 0(0; 0), A(l; 1)
(S)
и S(0; 1).
246	Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ	£
------------—------------------------------------------------- <_• • н
2146.J х dx dy, где область интегри-
(S)
рования S ограничена прямой, проходящей через точки А(2; 0), В(0; 2), и дугой окружности с центром в точке С(0; 1), радиус 1 (рис. 90).
2147. f f dx dy , где S - часть JgJ Ja2~x2-y2
круга радиуса а с центром в точке 0(0; 0), лежащая в первой четверти.
dx dy, где S — треугольник с вершинами 0(0; 0),
(S)
А(1; -1) и В(1; 1).
dx dy, где S — треугольник с вершинами 0(0; 0),
(S)
А(10; 1) иВ(1; 1).
Рис. 91.
2150.J J e^dxdy, где S— криволи-(£)
нейный треугольник ОАВ, ограниченный параболой у^ = х и прямыми х = 0, у = 1 (рис. 91).
2151. [ [ х , где S— параболи-J J х2 + у2
(S)
чес кий сегмент, ограниченный параболой
х2
у = — и прямой у = х.
2152. Вычислить интегралы и вычертить области, на которые они распространены: л 1 + cosx
V Г , Г	2 .
a)	dx у sin х dy;
о о я 2	1
б)	J dx j t/4 di/;
О	cosx
л
2	Зсозу
Г	Г	2	2
в)	dy х sin у dx.
it	о
2
§ L Двойной интеграл в прямоугольных координатах
247
При решении задач №№2153—2157 рекомендуется предварительно делать чертеж.
2153. Вычислить двойной интеграл
J j ху2 dx di/,
если S есть область, ограниченная параболой у =* 2рх и прямой х
2154*. Вычислить двойной интеграл
Jjxydxdj/,
(5)
распространенный на область S, ограниченную осью ОХ и верхней 2	2
полуокружностью (х - 2) + у - 1.
2155. Вычислить двойной интеграл f f _dx di/ , * J
(S).
где S — круг радиуса а, касающийся осей координат и лежащий в первом квадранте.
2156*. Вычислить двойной интеграл
J J У dx dy,
(S)
где область S ограничена осью абсцисс и аркой циклоиды
х = R(t - sin t), у « J?(l - cos t) (0 < t < 2л).
2157. Вычислить двойной интеграл j j xy dx dyt
(S)
в котором область интегрирования S ограничена осями координат и дугой астроиды
х =* R cos3 t, у = R sin3 t f 0 < £ <	-
\	U /
2
2158. Найти среднее значение функции f(xt у) = ху в области S {0 < х < 1; 0 < у < 1}.
Указание. Средним значением функции f(x, у) в области S называется число
7 = -™ f f /(*, у) dx dy. ял. S J J
(S)
2159, Найти среднее значение квадрата расстояния точки М(х, у)
2 Й 2
кРУга (х - a) + у С R от начала координат.
248
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
1°. Двойной интеграл в полярных координатах. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат г, у к полярным г, (р, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
х = rcos фт у = rsin <р, имеет место формула
J f(x, y)dxdy = J J ftrcos ф, rsin ф) r dr дф.	(1)
(S)
Если область интегрирования S ограничена лучами г=аиг“|3(сс<р) и кривыми г = г2(ф) и г = г2(ф), где гт(ф) и г£(ф) (гДф) С г£(ф)) — однозначные функции на отрезке ct < ф < р, то двойной интеграл может быть вычислен по формуле
J | Дф, г) г dr dф = dtp | Дф, г) г dr,
(5)	« п(ф)
/гг(ф)
где Дф, г) ^(r cos ф, rsiinp). При вычислении интеграла J г) г dr величину ф полагают постоянной.
Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то ее разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.
2°. Двойной интеграл в криволинейных координатах. В более общем случае, если Дх, у) непрерывна, и в двойном интеграле j j f(x, y)dx dy ($)
требуется от переменных х, у перейти к переменным и, V, связанным с х, у непрерывными и дифференцируемыми соотношениями
х = ф(и, и), у - ф(щ о), устанавливающими взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области S плоскости XOY и точками некоторой области S' плоскости UO'V, при этом якобиан
Зх Зу
= Р(х,у) = ди ди
Р{и, р) дх 3i£
Зи Зи
сохраняет постоянный знак в области S, то
справедлива формула
j J f(xt у) dx dy = J j f [ф(п, о), ф(и, и)] |/| du dt>.
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
249
Пределы нового интеграла определяются по общим правилам на основании вида области S',
Пример 1. Перейдя к полярным координатам, вычислить
х2 - у2 dx dy,
(S)
где область 8 — круг радиуса R = 1 с центром в начале координат (рис. 92).
Решение. Полагая х = rcos (р, у = rsin ф, получаем
/С- Х2~у2 — 71 - (fCOStpj^ - (ГБШф)2 == Jl^r2 ,
Так как в области 8 координата г при любом ф изменяется от 0 до 1, а ф изменяется от 0 до 2л, то
2ft	1
j j 71 - х2 - у2 dx dy = (S)
о
dtp rjl - г2 о
Перейти к полярным координатам г, ф и расставить пределы интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:
1
1 2160.
о
2
2161. Г
о
о
dx j f(Jxz + у2) dy.
О
2162.	JJ /(х, у) dx dz/s где S — треугольник, ограниченный пря-(S)
МЫМИ у = X, у = —X, у ” 1* 1	1
2163.	f dx Г /^)dy.
•I	! V, «ЗС/
-1
2164.	j j ftx, 9) dx d9, где область 8 ограянлека лемнискатой
(S) z 2 ,	2.2 2Z 2	2.
(X + у ) = а (X “ у ).
2165.	Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл
(S)
где 8 — полукруг диаметра а с центром в точке с|^ ; б) (рис. 93).
250
Оттава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2166.	Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл
| J (х3 4- у2) dx dy,
(S) 2	2
распространенный на область, ограниченную окружностью х + у -= 2ах.
2167.	Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл
J J л/а3 - х2 - у2 dx dy, (5)
где область интегрирования S — полукруг радиуса а с центром в начале координат, лежащий выше оси ОХ.
2168.	Вычислить двойной интеграл от функции ft г, ф) = г по области, ограниченной кардиоидой г = а(1 + cos (р) и окружностью г = а. (Имеется в виду область, не содержащая полюса.)
2169.	Переходя к полярным координатам, вычислить
a Ja2 -х2
J dx J Jx2 + у2 dy. о о
2170, Переходя к полярным координатам, вычислить f Ja2- х2 - у2 dx dy,
где область S ограничена лепестком лемнискаты
(х + у ) = а (х - у ) (х > 0).
2171*. Вычислить двойной интеграл
(S)
X3	У 1
распространенный на область S, ограниченную эллипсом — +	= Ъ
переходя к обобщенным полярным координатам г и (р по формулам - = г cos ср, = г sin (р. а	о
2172**. Преобразовать
С pjf
| dx j f(x, y)dy 0 ax	/
'	.4.
(0 < at < p и c > 0), введя новые переменные и — х + у, ии — у.
§ 3. Вычисление площадей фигур
251
2173*- Выполнить замену переменных и = х + у, и = х - у в интеграле
1 1 j* dx J f(x, у) dy.
О о
2174**. Вычислить двойной интеграл
j dx dy,
(5)
где S — область, ограниченная кривой
b2) h2 k2
Указание, Произвести замену переменных
х — ar cos ср, у = br sin <p.
§ 3. Вычисление площадей фигур
1°. Площадь в прямоугольных координатах. Площадь плоской области S равна
пл. S =
(S)
Если область 5 определена неравенствами а < х < bf ф(х) < у < ф(х), то
пл. S =
&	Ж(.'х)
J dx J dj. а	ф(х)
23, Площадь в полярных координатах. Если область S в полярных координатах гиф определена неравенствами ос ср < [3, Дер) < г < ^(ф), то
пл. S =
(S)
£
г йф dr =
а
-W
8ф г dr.
2175. Построить области, площади ралами:
которых выражаются интег-
2 л -г 2	a Ja2 - у2
a) J dx J dy;	б) J dy j* dx.
1 x2	О a-у
вычислить эти площади и изменить порядок интегрирования.
252
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2176, Построить области, площади которых выражаются интег
ралами:
arctg 2	3 see ср
a) dtp Г г dr;
л	О
4
<2(1 + СО8(р)
г dr*
2
Вычислить эти площади*
2177, Вычислить площадь, ограниченную прямыми х = у, х 2у, х + у = а, х -г Зу = а (а > 0),
2178* Вычислить площадь, лежащую над осью ОХ и ограниченную этой осью, параболой у2 = 4ах и прямой х + у = За,
2179*. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом
(у - х) + х - 1*
2180, Найти площадь, ограниченную параболами t/2 = 10х + 25 и у2 = -6х + 9,
2181, Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями
2 ,	2 п 2,2.	о
х + у = 2х, х -т- у = 4х, у = х, у = 0,
2182, Найти площадь, ограниченную прямой г cos <р = 1 и окружностью г = 2, (Имеется в виду площадь, не содержащая полюса,)
2183* Найти площадь, ограниченную кривыми г = а(1 + cos <р) и г = a cos ф (а > 0),
2184, Найти площадь, ограниченную линией	/?
< 4	9 J 4	9 '
2185** Найти площадь, ограниченную эллипсом	;
(х - 2у + З)2 + (Зх +	- I)2 = 100.
2186, Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного дугами парабол х2 = ay, х2 by, у2 = ах, у2 = (О < а < Ь, $ 0 < а < (3).	|
Указание. Ввести новые переменные и и г, полагая	+
2	2	g?
X = иу, у = 1>Х.	>
2187* Найти площадь криволинейного четырехугольника, огра-ничейного дугами кривых у2 — ах, у2 = Ьх, ху = а, ху = [3 (0 < а < Ьг.М 0 < а < 0)*	g
Указание. Ввести новые переменные и и vt полагая	Ж
2	; ;?Д
ху - и,	у =- DX,	-..Д
§ 4. Вычисление объемов тел
253
§ 4. Вычисление объемов тел
Объем V цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z - /(г, у), снизу плоскостью 2 - 0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости XOY область S (рис. 94), равен
f(x, у) dr dy*
Рис. 95,
2188. Выразить при помощи двойного интеграла объем пирамиды с вершинами 0(0; 0; 0), А(1; 0; 0), В(1; 1; 0) и С(0; 0; 1) (рис. 95). Расставить пределы интегрирования.
В задачах №№ 2189—2192 нарисовать тела, объемы которых выражаются данными двойными интегралами:
11-х	2	/1 -Р
2189, J dx (1 - х - у) dy. 2191. J dx J (1-х) dy. оо	оо
2	2-r	2	2
2190, J dx J (4 - x - y) dy. 2192. j j (4 - x - y) dy, 00	0	2-x
2193* Нарисовать тело, объем которого выражается интегралом
<i	X2
J dx f Ja2 - х3 - у2 dy, и из геометрических соображений найти о о
значение этого интеграла.
2194. Найти объем тела, ограниченного эллиптическим парабо-2	2
лоидом z = 2х 4- у +1, плоскостью х + у = 1 и координатными плоскостями.
2195* Тело ограничено гиперболическим параболоидом z ~ х2 - у2 и плоскостями у = 0, 2 = 0, z = l. Вычислить его объем.
2196* Тело ограничено цилиндром х2 + z2 =* а2 и плоскостями у = 0, г 0, у = х. Вычислить его объем.
254
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями: | 2197. az ₽ у2, х2 + у2 г\ 2 = 0.	|
2198.	I/ = Jx, г/ 2jx, х + г 6, 2 =	0,	|
2199.	z = х2 + гД у = х3, у = 1, z = 0.	|
2200.	х + у + z = а, Зх + i/ = а, | х + у	= а, у = 0, z = 0.	I
2	is
v2	*2	А	«
2201.	*- +	= 1, у = °х, у = 0, z = 0.	I
az	с2	а	।
2202.	хй + у2 = 2ах, z = ах, г = [Зх (а > 0).	I
В задачах №№ 2203—2211 использовать полярные и обобщенные I полярные координаты.	I
2	2 S
2203.	Найти весь объем, заключенный между цилиндром х + у = * 2	2	2	2	2	«
= а и гиперболоидом х 4- у - z = -а .	|
2204.	Найти весь объем, заключенный между конусом 2(х2 + у2) - | г2 = 0 и гиперболоидом х2 4- у2 - z2 = -a2.	1
2	2 f
2205.	Найти объем, ограниченный поверхностями 2az « х + у , t
2 | 2	2	2 n	f
х + у - z - а , z = 0.
2206.	Определить объем эллипсоида	|
х2
а2
„2	72
V- + —
Ь2	с2
2207.	Найти объем тела, ограниченного параболоидом 2az = х + у2 и шаром х2 + у2 + г2 = За2. (Подразумевается объем, лежащий внутри параболоида.)
2208.	Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOY^ цилиндром X + у — 2ах и конусом X + у = Z .	;
2209.	Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУ, пО< Ч*2 + У2)	2 .	2 п2
верхностью z - ае	и цилиндром х + у = Я .	;
2210.	Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУ, па-:
X2	U2	X2	U2	лХ
раболоидом z ~ — + 5- и цилиндром — +	= 2 - .
а2	Ъ2	а2	Ь2 а
2211.	В каком отношении гиперболоид х2 + у2 - z2 = а2 делит, объем шара + у^ + z2 < За2?
2212*. Найти объем тела, ограниченного поверхностями г = х + У^ ху = 1, ху = 2, у = х, у = 2х, z 0 (х > 0, у > 0).	J
§ 5, Вычисление площадей поверхностей
255
§ 5, Вычисление площадей поверхностей
Площадь о гладкой однозначной поверхности z = f(xt у), имеющей своей проекцией на плоскость XOY область S, равна
_ г г L 7^2у /эу2 j , J 4 W *
(3)
2213* Найти площадь части плоскости - +	= 1, заключен-
а Ь с
ной между координатными плоскостями.
2214. Найти площадь части поверхности цилиндра х2 4“ у2 = R2 (г > 0), содержащейся между плоскостями г = тих и z = пх (т > а > 0).
2215*. Вычислить площадь части поверхности конуса х2 “ у2 = г2, расположенной в первом октанте и ограниченную плоскостью у + г = а.
2216.	Вычислить площадь части поверхности цилиндра х2 + у2 = ах, вырезанной из него сферой х2 + у2 + z2 = а2,
2217.	Вычислить площадь части поверхности шара х2 + у2 + z1 = а2,
X2 £/2
вырезанной поверхностью ~ 4-	=1.
а2 62
2218.	Вычислить площадь части поверхности параболоида у2 4- z = = 2ах, содержащейся между цилиндром у1 ах и плоскостью х = а.
2219.	В ычисл ить п л ощад ь части поверхн ост и цил ин др ах + у — 2а х, содержащейся между плоскостью X0Y и конусом х2 + у2 = z2,
2220.1*. Вычислить площадь части поверхности конуса х2 “ у2 = z2, лежащей внутри цилиндра х2 4- у2 = 2ах.
2*. Найти площадь части цилиндра у2 = 4х, вырезанной сферой
+	= 5х.
3*. Найти площадь части конуса z = Jx2 + у2, вырезанной ци-ittjtt / 2 ,	2.2	2/ 2	2.
линдром (х 4- у ) = а (х - у ).
2221*. Доказать > что площади частей поверхностей параболоидов х у3 = 2az и х2 - у2 = 2az, вырезаемых цилиндром х2 4- у2 = I?2, Равновелики.
2222*, Шар радиуса а прорезан двумя круглыми цилиндрами, Диаметры оснований которых равны радиусу шара и которые касается друг друга вдоль одного из диаметров шара. Найти объем и цлощадь поверхности оставшейся части шара.
2223*. В шаре радиуса а вырезан просвет с квадратным основа-сторона которого также равна а. Ось просвета совпадает с диа
256
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
метром шара. Найти площадь поверхности шара, вырезанной npo^i светом.
2224*. Вычислить площадь части винтовой поверхности z
- с arctg , лежащей в первом октанте и заключенной между ци-
X	1
2	2	2	2	2 2	]
линдрами х +у=а их	+у=Ь,	]
§ 6. Приложения двойного интеграла к механике
Г, Масса и статические моменты пластинки. Если S — j область плоскости XOYt занятая пластинкой, и р(х, у) — поверхностная> плотность пластинки в точке (х, у), то масса М пластинки и ее статические-# моменты и Му относительно осей ОХ и OY выражаются двойными ин-W тегралами	. >
М =
(3)
= J | г/ р (z, dx dz/, Му j р (3)	(S)
Если пластинка однородна, то р(х, z/) ~ const.
2й. Координаты центра тяжести пластинки. Если С(х , у) — центр тяжести пластинки, то
(1)
$
Му - Мх х = тг’ у = -th м м
тд,е М — масса пластинки, Mv — ее статические моменты относительно ' осей координат (см. 1°). Если пластинка однородна, то в формулах (1) можно положить р = 1.
3°. Моменты инерции пластинки. Моменты инерции плас-тинки относительно осей ОХ и ОУ соответственно равны
| j у2р(х, у) dx dy, IY = (S)
x2p(x, у) dx dy.
(S)
(2)
Момент инерции пластинки относительно начала координат
2о = j j (х2 4 У2)Р<Х’ у) dx dy = тх + Jy	(3*.
(S)	i
Полагая р(х, у) = 1 в формулах (2) и (3), получаем геометрические менты инерции плоской фигуры.	?^
2225.	Найти массу круглой пластинки радиуса К, если плотности;
ее пропорциональна расстоянию точки от центра и равна 6 на кра*° пластинки.
§ 6. Приложения двойного интеграла к механике
257
2226.	Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами ОВ = а и ОА = by причем плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА. Найти статические моменты пластинки относительно катетов ОА и ОВ.
2227.	Вычислить координаты центра тяжести фигуры ОтАпО (рис. 96), ограниченной кривой у = sin х и прямой ОА, проходящей через на-
чало координат и вершину Al - ; 1 синусоиды.
2228.	Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой г — а(1 + cos (р).
2229.	Найти координаты центра тяжести кругового сектора радиуса а с углом при вер-шине 2а (рис. 97).
2230.	Вычислить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболами у2 = 4х + 4 и у2 = -2х + 4.
2231.	Вычислить момент инерции треуголь-
ника, ограниченного прямыми х + у = 2, х 2, у = 2, относительно оси ОХ.
2232.	Найти момент инерции кругового кольца с диаметрами d и D (d < D): а) относительно его центра и б) относительно его диаметра.
2233.	Вычислить момент инерции квадрата со стороной а относительно оси, проходящей через его вершину перпендикулярно плоскости квадрата.
2234*. Вычислить момент инерции сегмента, отсекаемого от па-
^2
раоолы у = ах прямой х = а, относительно прямой у “ —а.
2235*. Вычислить момент инерции площади, ограниченной гиперболой ху = 4 и прямой х + у = 5, относительно прямой х = у.
2236*. В квадратной пластинке со стороной а плотность пропорциональна расстоянию от одной из ее вершин. Вычислить момент инерции пластинки относительно стороны, проходящей через эту вершину.
2237. Найти момент инерции кардиоиды г = а(1 + cos (р) относительно полюса.
2238. Вычислить момент инерции площади лемнискаты г = = 2а2 cos 2ф относительно оси, перпендикулярной ее плоскости в полюсе*
2239*. Вычислить момент инерции однородной пластинки, ограниченной одной аркой циклоиды х = aft - sin f)» У а(1 “ cos 0 и осью ОХ, относительно оси ОХ.
® Задачи и упражнения
258
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 7. Тройные интегралы
1Л Тройной интеграл в прямоугольных координатах, > Тройным интегралом от функции f(x, у, z), распространенным на область F, ; называется предел соответствующей трехкратной суммы:
ШПх- "21 dxd!Z d2 ‘	-« ZXX Kx>' yi’ vг>-
max 0	*	' Л
max iZj — 0
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех обыкновенных (однократных) интегралов или к вычислению одного двойного и одного однократного.
Пр и мер 1, Вычислить
ш
7-
3 2
х у xdx dy dz,
где область V определяется неравенствами
О < х < 1, 0 < х, 0 < z < хуг
Решение. Имеем:
Пример 2, Вычислить
2
х dx dt/ dz,
(V)
д-2	у2	^2
распространенный на объем эллипсоида — +	+ — = 1.
а2	Ь2	с2
Решение,
ш
(Ю
2
х dx dy dz ~
и2 где Syz есть площадь эллипса
2^	X2
+ — = 1 - -- , х «= const, равная с2	а2
S
У?
X2 = Ttb /1 ““7 а2
Поэтому окончательно имеем
ш
(П
а
х2 dx dy dz = лЬс f x2f 1 - —'I dx = — ка^Ьс. J k a2J 15
§ 7* Тройные интегралы
259
2°. Замена переменных в тройном интеграле. Если в тройном интеграле
|| | f(x. у, z)dxdydz
(Л
от переменных х, у, г требуется перейти к переменным и, и, и\ связанным с х. У* z соотношениями х = ф(и, у, tu), у = ф(и, и, ev), z = ft(u, v, w)t где функции ф, ф,
1)	непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка;
2)	устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области интегрирования V пространства OXYZ и точками некоторой области V' пространства O'UVW;
3)	функциональный определитель (якобиан) этих функций
ytz)
D(u, t\ ip)
Эх дх дх ди Эу dw tytyty. Эи Эу Эи> dz dz dz Ъи Эи Эы>
сохраняет в области У постоянный знак, то справедлива формула
ИИ
, у, г) dx dy dz
(И
-ШЯф<“
(Г)
, у, до), ф(и, у, iu), %{и, у, ш)] |l| du du diu.
В частности:
1) для цилиндрических координат г, ф, h (рис. 98), где
х = rcos ф, у — rsin ф, z - й, получаем, что I — г\
2) для сферических координат ф, ф, г (ф — долгота, ф — широта, г — радиус-вектор) (рис. 99), где
х = rcos ф cos ф, у = rcos ф sin ф, z = rsin ф,
т 2
имеем I = г cos ф.
Рис. 98.
Рис. 99.
Пример 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить
x2 + y2 + z2 dxdydz,
(И)
где V — шар радиуса R.
260
Глава VIL КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Решение, Для шара пределы изменения сферических координат ф (долготы), у (широты) и г (радиуса-вектора) будут:
О < ф < 2л, у , 0 < г < Я. 4	2 т 2
Поэтому будем иметь я 2л 2 Я
dtp J dy J rr2cos у dr = nJ?4,
(У)	о ТЕ о
2
3°, Приложен ия тройных интегралов. Объем области трех мерного пространства OXYZ равен
V = J dx dy dz, (П
Масса тела, занимающего область У,
М ~ J J у(г> у, z) dx dy dz,
(У)
где у(х, у, z) — плотность тела в точке (х; у; г).
Статические моженты тела относительно координатных плоскостей:
Координаты центра тяжести:
zx
— _ MYZ - _ Mzx - _ MXY х м ’ у м ’ м
Если тело однородно, то в формулах для координат центра тяжести мож но положить у(х, у, z) = 1,
Моменты инерции относительно осей координат:
х, у, z) dx dy dz;
z
(V}
j j j Y dx dy d2;
f ’ f (X2
(V)
2
у )Y(X, y, z)dxdydz.
Положив в этих формулах у(х, у, z) = 1, получим геометрические мо менты инерции тела.
§ 7, Тройные интегралы
261
А. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле J f(x, у, z) dx dy dz
для указанных областей V:
2240. V— тетраэдр, ограниченный плоскостями х -т у + z = 1, х = 0, у = 0, z ~= 0.
2241, V— цилиндр, ограниченный поверхностями 2 ,	2	а гт
х + у = R , z = 0, z = Н.
2242*. V — конус, ограниченный поверхностями
4'	~ г г
а2 Ь2 с2’
2243. V— объем, ограниченный поверхностями
1	2	2 л
z = 1 - х - у , z = 0.
Вычислить следующие интегралы:
2248. Вычислить
Hdx dy dz
(X + у + 2 + I)3 ’ (Ю
где V— область интегрирования, ограниченная координатными плоскостями и плоскостью х + у 4- z = 1.
2249. Вычислить
Г Г Г	2
(х + у + z) dx dy dz,
где V — общая часть параболоида 2az > х2 4- у2 и шара х 4- у 4- z2 < За2.
262
Глава VII, КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2250. Вычислить
2 ,	,	,
г dx dy dz,
где V — общая часть шаров х2 + у2 + z2 < R2 и х2 + у2 + z2 ч 2Rz.
2251. Вычислить
z dx dy dz,
где V — объем, ограниченный плоскостью 2 = 0 и верхней половиной
*2 ц2
эллипсоида — +	= 1.
а2 Ь2 с2
2252. Вычислить
JШ+Й+гО <1Id"dz’ (V)
д.2	1г2	22
где У — внутренность эллипсоида — + н- — = 1. а2	Ь2	с2
2253. Вычислить
J J J z dx dy dz, (П
где V — область, ограниченная конусом г2 =
h2 / 2 . 2Ч
— (х + у ) и плоскостью
2 = Й.
2254. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить
JJJd*d9
(Ю
dz,
где V — область, ограниченная поверхностями х + у + z 2	2	2
х + у = z и содержащая точку (0; 0; В).
2255. Вычислить
= 2Rzr
2	J2x-x2	а
dx	J	dy |	zjx2 + у2 dz,
')	0	0
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
2256. Вычислить
2r J2rx - х2
| dx |
° -J2rx-x2
J4r2 - x2 - у2
dy j dz, о
преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам.
§ 7. Тройные интегралы
263
2257. Вычислить
r	Jr? - х2
J dx J
-Я	-jR^x2
Jr* -x*-y*
J	Г	/ 2 .	24 j
dy	I	(x + у ) dz,
0
преобразовав его предварительно к сферическим координатам.
2258. Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл
J J | Jx2 + у2 + z2 dx dy dz,
(П
Т7	2.2.2^
где и — внутренность шара х 4- у 4- 2 С х.
Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ С ПОМОЩЬЮ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
2259. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями
у2 = 4а2 - Зах, у2 = ах, z = ±Л.
2260*. Вычислить объем части цилиндра х2 4- у2 = 2ах, содержащейся между параболоидом х2 + уЛ — 2az и плоскостью XOY.
2261*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х2 4 у2 4 22 = = а и конусом z = х 4 у (внешнего по отношению к конусу).
2262*. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х2 4 у2 + z2 = = 4 и параболоидом х 4 у2 = За (внутреннего по отношению к параболоиду).
2263. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью XOY, цилиндром х2 + у2 = ах и сферой х2 4- у2 4 z2 = а2 (внутреннего по отношению к цилиндру).
2264. 1. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом
4 — = 2- и плоскостью х = а.
£4 с2 а
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
fX2 |	| 2^12 _ X2 |	_ 22
1а2 Ь2 с2) а2 Ь2 с2
3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
т*2 ту2	л v2 1/2
2L + SL + *_ = 2,	+ »-
а2 Ь2 с2 а2 Ь2
-2
z- = 0, z > 0.
с2
В. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
2265. Найти массу М прямоугольного параллелепипеда 0 < х < а, 0 < у < Ь, 0 < z < е, если плотность р(х, у, z) в точке (х, у, z) численно Равна х + у 4 Z,
264
Глава VII, КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рис. 100.
тт	2 .	2 .	2	2
2266. Из октанта шара х + у + z с , г > 0, у > О, z > О вырезано тело ОАВС, ограниченное координатными плоскостями и плос-
костью - + = 1 (а С с, Ъ < я) (рис. 100). Найти а й
массу этого тела, если плотность его в каждой точке (х, yt z) равна аппликате этой точки.
2267*. В теле, имеющем форму полушара
уЛ + z2 < a2, z > 0, плотность изменяется
пропорционально расстоянию точки от центра. Найти центр тяжести
этого тела,
2268. Найти центр тяжести тела, ограниченного параболоидом у 1 2z = 4х и плоскостью х = 2.
2269. Найти момент инерции круглого цилиндра, высота которого Л и радиус основания а, относительно оси, служащей диаметром основания цилиндра.
2270*. Найти момент инерции круглого конуса, высота которого Л, радиус основания а и плотность р, относительно диаметра основания.
2271**. Найти силу притяжения однородного конуса высоты h с углом ос при вершине (в осевом сечении) к материальной точке единичной массы, расположенной в вершине конуса.
2272**. Показать, что сила притяжения, действующая со стороны однородного шара на внешнюю материальную точку, не изменится, если всю массу шара сосредоточить в его центре.
§ 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобственные кратные интегралы
1°. Дифференцирование по параметру. При некоторых ограничениях \ налагаемых на функции /(х, а),	(х, а) и на соответст-
вующие несобственные интегралы, имеет место правило Лейбница
со	оо
A j /(Х1 a) dx = j fa (х, a) dx. а	а
Пример 1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить
?-- dx (а > 0, р > 0).
J X
о
* Смп Л. Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа, т. 2, гл. 5, § 49, 50. — Висагинас: «Alfa#, 1998.
§ 8. Несобственные интегралы
265
Решение. Пусть
со
f р-а*2— р-рл2
£----------- dx = F(r, Р)
J	X
о
Тогда
Отсюда F(a, Р) = -In ст + С(р). Чтобы найти С(Р), полагаем в последнем
равенстве а = р. Имеем 0 = 1л £ + С(р). Z
Отсюда С(Р) = 1л Р, Следовательно, Z
F(a, р) = -1 In а + | In Р = In 2 Z	Z	Z р
2°. Несобственные двойные интегралы, а) Случай бесконечной области. Если функция f(xt р) непрерывна в неограниченной области S, то полагают
И f(x, у) dx day — lim j j /(x, y) dxdy,	(1)
(S)	(O
где n — конечная область, целиком лежащая в S, причем ст —* S означает, что мы расширяем область ст по произвольному закону, так чтобы в нее вошла и осталась в ней любая точка области S. Если предел в правой части существует и не зависит от выбора области сс, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Если подынтегральная функция f(x, у) неотрицательна (f(x, у) > 0), то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы предел в правой части равенства (1) существовал хотя бы для одной системы областей ст, исчерпывающих область S,
б) Случай разрывной функции. Если функция /(х, у) непрерывна в ограниченной замкнутой области 5 всюду, за исключением точки Р(а; Ь), то полагают
j j f(x, у) dx dy = lim (S)
(2)
где £?£ — область, получаемая из 5 путем удаления малой области диаметра г, содержащей точку Р> В случае существования предела (2), не зависящего от вида удаляемых из области S малых областей, рассматриваемый несобственный интеграл называется сходящимся, а в противном случае — расходящимся.
Если f(x, у) > 0, то предел в правой части равенства (2) не зависит от
266
Глава ТО. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
вида удаляемых из области S областей; в частности, в качестве таких об-
ластей можно брать круги радиуса с центром в точке Р. Li
Понятие несобственных двойных интегралов легко переносится на случай тройных интегралов.
Пример 2. Исследовать на сходимость
И<Ь ду (1 + X2 + у2)р
(S)
где S — вся плоскость ХОУ.
Решение. Пусть а — круг радиуса р Переходя к полярным координатам, при р 2п
(3)
* dx dy
. (1 + х2 + у2)^
центром в начале координат, имеем
р
dtp
г dr (1 + г2У
о
Если р < 1, то lim ст -> S
+ г2)1 1-р
р
dtp =
о
1(о) =
71
1-Р
[(1
со и интеграл расходится. Если же
р> 1, то
lim До) =
р • оо р
1(a) = lim
71 и интеграл сходится. При р = 1 имеем р-1

2 гг
2m
1 + Г2
о
С
*
1
о
2)1~р-1].
2
= л In (1 + р ); lim Да) = со, т. е. интеграл расходится, р- 0С-
о о
Таким образом, интеграл (3) сходится при р
2273. Найти если
f(x) = J е dy (х > 0). X
2274. Доказать, что функция
U =	—— dz
J + (у - 2)z — СО удовлетворяет уравнению Лапласа д2и д2ы = q ckr2 Эу2
2275. Преобразование Лапласа F(p) для функции f(t) определяется формулой
со
F(p) = j eP?(t) dt.
О
Найти F(p), если: a) ftt) = 1; б) /(t) == e‘d; в) f(t) = sin pt; г) f(t) = cos pt.
§ 8, Несобственные интегралы
267
2276. Пользуясь формулой
1
f хп 1 dx = i (n > 0), J	fl
0
вычислить интеграл 1 f и - 11	1
x In x dx.
о
2277*. Пользуясь формулой
co
о вычислить интеграл
е pt dt - 1 (р > 0), Р
DO
Г .2 -pt j . t e dt,
о
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие интегралы:
2278.
е-аж-е-р*
dx (сс х
0).
2279.
0
co
р — 1Ы р — рх
---------- sin тх dx (а
с
CO
2280.
arctgax , х(1 + X2)
0
co
dx (|а| < j,.
X2J1 - х2
о
i
e
-ах sin[Jx х
2283.
о
Вычислить следующие несобственные интегралы:
ОО	СО	1	у2
2284. J dt/ | ех/^ dx.
о о
“(* + У) л е dt/.
о о
2285.
, где S — область, определяемая неравенствами &
(S)
2
268
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ос сс-
2286* [ dx f	(a >0).
J	J (x2+-r + a2)2
0	0
2287, Интеграл Эйлера—11 у ассона, определяемый формулой
I = е *2 dx? может быть записан также б виде I = е~у2 dy. Пе-о	о
ремножая эти формулы и переходя затем к полярным координатам, вычислить I,
СХ)	ОС	ОС'
2288, Вычислить dx Г di/
ООО
dz ____________
х2 + у2 -+ г2 + 1 )2
Исследовать на сходимость несобственные двойные интегралы: 2289** ( f In Л2 + у2 dx dy, где S — круг х'2 4- у2 < 1.
d* , где S — область, определяемая неравенством ±у2У‘
2290.
2 ством X
2 . а х + у >
2291*.
J (х2 (£)
1 («внешностью круга).
f	, где S — квадрат |х| < 1, |у|	1.
* 3У(Г^Г2
—— т где V — область, определяемая неравен-(х2 Т у2 +
m
2	2
-I' у + z >1 («внешностью шара).
§ 9. Криволинейные интегралы
1°, Кри в о л инсйп ы й интеграл первого типа. Пусть /(хт у) — непрерывная функция, у ф[а < х С Ь] — некоторая гладкая кривая С.
Построим систему точек М.(х., yf) (i = 0t 1, 2, .	л), разбивающих кривую С на элементарные дуги	= A s, и составим интегральную сумму
л
/(х., 1/.)Д s.. Предел этой суммы при л * га и max A s. 0 называется
волинейним интегралом первого типа
f(x., y.)&s. = J [{х, у) ds
i
§ 9. Криволинейные интегралы
269
(ds — дифференциал дуги) и вычисляется по формуле
F»
J f(x, у) ds = |
С	и
fix, ф(х))71 + (ф'(х))2 dx.
В случае параметрического задания кривой С: х = (р(£), у = ф(£) [а < t С р] имеем
Р	_______________
f(x, у) ds = f V(O)7<p'2(t) +dt.

Рассматривают также криволинейные интегралы первого типа от функции трех переменных f(xt у, 2), взятые по пространственной кривой, которые вычисляются аналогично. Криволинейный интеграл первого типа не зависит от направления пути интегрирования; если подынтегральную функцию f интерпретировать как линейную плотность кривой интеграции С, то лот интеграл представляет собой массу кривой С.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
(х 4- i/) ds,
где С — контур треугольника АВО с вершинами А(1; 0), В(&; 1) и 0(0; 0) (рис, 101).
Решение, Здесь уравнение АВ: у = 1 — х, уравнение О В: х = О, уравнение ОА: у = 0.
Поэтому будем иметь
О АХ
Рис. 101 +
(х + v) ds =
*
с
1
(х 4- у) ds = J
ОЛ	о
J (х 4 у) ds +
АВ	ВО
(х -Г у) ds 4
1
х dx = а/2 4 1.
о
2й. Криволинейный интеграл второго типа. Если Р(х, у) и Q(xT у) — непрерывные функции, у = ф(х) — гладкая кривая С, пробегае-мая при изменении х от а до Ь, то соответствующий криволинейный интеграл второго типа выражается следующим образом:
| Р (х, у) dx + Q(x, у) dy = | [Р(х, Ф(х)) 4 cp'U)Q(x, <р(х))] dx. С	а
Б более общем случае, когда кривая С задана параметрически: х = ф{1), У ф(0, где t изменяется от ct до Р, имеем
J Р(х, у) dx Q(x, у) сП/ =	[P(<p(t), чЧОф'СО d Q(<₽(0. Ч'(О)Ж'(0] dt.
С	г.?
270
Глава VIL КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Аналогичные формулы справедливы для криволинейного интеграла второго] типа, взятого по пространственной кривой.	j
Криволинейный интеграл второго типа меняет свой знак на обратный при изменении направления пути интегрирования. Механически этот интеграл можно интерпретировать как работу соответствующей переменной силы {Р(х, у), <?(хт у)} вдоль кривой ин-| теграции С.
Пример 2, Вычислить криволинейный
J у2 dx + х2 dy, с
где С — верхняя половина эллипса х — a cos часовой стрелке.
Решение, Имеем
и
Г 2	2 Г 2	2
у dx + х di/ - [ft sin t * (-a sin t)
С	л
о	0
= -ab2 f sin3 t dt + a2b
интеграл
t,
3 cos
у = b sin t, пробегаемая no#
2	2
a cos
t  b cos t j dt =
t dt =* -3
,2
ab ,
Л	П
3°. Случай полного дифференц ное выражение криволинейного интеграла дифференциал некоторой однозначной функции U = С7(х, у), т. е. В Р(х, у) dx + Q(x, у) dy-dU(x, y)t то этот криволинейный интеграл не зависитg от пути интегрирования и имеет место формула Ньютона—Лейбница	J
Уа)
j Р(х, у) dx + Q(x, у) dy = (7(х2, у2) - U(xv уг),
где (х}; уг) — начальная и (хй; у2) — конечная точки пути. В частности, еслиЦ контур интегрирования С замкнут, то
| Р(х, у) dx + Q(x, у) dt/ = 0. с
Если 1) контур интегрирования С содержится целиком внутри некоторой односвязной области S и 2) функции Р(х, у) и Q(x, у) вместе со своими ча-^ стными производными 1-го порядка непрерывны в области 8, то необходи-Я мым и достаточным условием для существования функции U является тож-: дественное выполнение в области 8 равенства
3Q = дР Эх ду
(см, § 8 гл, VI). При невыполнении условий 1) и 2) соотношение (3) еще Н’ гарантирует существования однозначной функции U и формулы (1) и (2 могут оказаться неверными (см. задачу Ху 2332). Укажем способ нахожденМ функции 17(х, у) по ее полному дифференциалу, основанный на исполь зовании криволинейных интегралов (т. е. еще один способ интегрирован»
Если подынтеграль-#
нала.
второго типа есть полный?
(Df
(2)
(з:
§ 9. Криволинейные интегралы
271
полного дифференциала). За контур интегрирования С возьмем ломаную	(рис. 102), где
Р0(х0; у$) — фиксированная точка, М(х; у) — переменная точка. Тогда вдоль Р$Рг имеем у = у0 и dy = 0, а вдоль PLM имеем dx = 0. Получаем
у)
U(x, у) - U(xQ, у0) = j Р(х, у) dx + Q(jt, у) dy = (х0; Уо)
*	У
У
Уо
рг(х0;у)
--,М(х;у)
о х0
К ,  , ipi(x;y0) \ро(*е-Уе) :
I	М.^
х X
Рис. 102.
U{x, у) - U(Xq, yQ) =
*0	Уо
Аналогично, интегрируя па ломаной Р^Р2М, имеем у	*
Q(x0, у) dy + | Р(х, y)dx.
Уо	Г0
Пример 3. (4х -1- 2у) dr 4 (2х - бу) dy dC\ Найти U.
Решение. Здесь Р(х, у) = 4х -1- 2у и Q(x, у) = 2х - 6#; причем условие
(3), очевидно, выполнено. Пусть х0 = 0, у0 = 0, Тогда х	у
U(xt у) = J 4х dx + J о	о
9	9
= 2х 4- 2ху - Зу + С
или
У	X
Щх. у> - J -6sd9 + J (4. + 2!/)dx + С - -3? + 2х! + 2«„ + С. о	о
где С = 27(0; 0) — произвольная постоянная.
4°. Формула Грина для плоскости. Если С — граница области S и функции Р(х, у), Q(x, у) непрерывны, вместе со своими частными производными 1-го порядка, в замкнутой области S + С, то справедлива формула Грина
Р dx + Q dy = ;
с	(S)
dx dy,
где обход контура С выбирается так, чтобы область S оставалась слева.
5°, Приложения криволинейных интегралов. 1) Площадь, ограниченная замкнутым контуром С, равна
S = у dx “ х dy с с
(направление обхода контура выбирается обратным движению часовой стрелки).
272
Глава VJL КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Более удобна для приложений следующая формула площади:	®
к ।
S = (xd« -	’ П ? df^ .	I I
Z J	Z J	S- i
С	С	E
2) Работа силы, имеющей проекции X = Х(х, у, z), У — У(х, у, z), 1 Z = Z(x, у, z) (или соответственно работа силового поля), вдоль пути С вы- j
ражается интегралом
А = J X dx + У dy + Z dz.	V
с	;
Если существует функция I/ = U(x, у, z) (потенциальная или силовая функция)такая, что
ЙС/ _ v Ж __ v ЭГ7 _ „ дх	ду	dz	<'
то работа, независимо от вида пути С, равна	 !
(т2п Уг- zaJ
А= J Xdx + У dy + Z dz - J dt/ = Cr(x2, y2, z2) - Lr(xp yv zj, <Лг Zj)	У1-	'
где (xr t/j, Zj) — начальная, (x2, y2, x2) — конечная точки пути.	1
J. J
А. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА
Вычислить следующие криволинейные интегралы:	<
2293. ху ds, где С — контур квадрата |х| + |у| = а (а > 0).	£
с	
Г ci s	Л
2294.	-—-' — , , где С — отрезок прямой, соединяющей точки <
J 7х2 +i/2 + 4	 |
0(0; 0) и А(1; 2).
2295.
•	г2	I/2
ху ds, где С — четверть эллипса —4-^=1, лежащая в a2 t>2
с

первом квадранте.
2296.	| у2 ds, где С — первая арка циклоиды х = a(t - sin t)» о	-ж
у = а(1 -	cos О*	ж
2297.	Jx2 + у2 ds, где С — дуга развертки окружности•«
с	S
х = a(cos	t -г	t	sin t), у = a(sin t - t cos i) [0 < t < 2л].	Ж
Г 2	22
2298.	(х + у ) ds, где С — дуга логарифмической спиралиЖ с
г = аеШф (пг > 0) от точки Д(0; а) до точки О(-°°; 0),	»
§ 9. Криволинейные интегралы
273
2299, J (х с
2	2 г,
г = a cos 2<р.
+ у) ds, где С— правый лепесток лемнискаты
Г	4/2	3
2300. (г 4- z) ds, где С — дуга кривой х = t, у = — , z = t
J	72
с
[О < t < 1], 2301, с
ds
х2 + у2 + z2 ’
где С — первый виток винтовой линии
х = acos f, у = a sin z bt.
2302, J 72y2 + z3 ds, где С — окружность x + y2 4- z3 = a2, x - y. c
2303*, Найти площадь боковой поверхности параболического ци-
о 2
линдра у = х , ограниченной плоскостями z = 0, х = О, z = х, у = 6.
2304, Найти длину дуги конической винтовой линии х = aef cos у = ае sin f, z =* ае от точки 0(0; 0; 0) до точки А(а; 0; а).
2305, Определить массу контура эллипса 4- У- = 1, если ли-а2 Ь2
нейная плотность его в каждой точке М(х, у) равна |у|,
2306, Найти массу первого витка винтовой линии х = acos t, у = a sin t, z = bt, если плотность в каждой точке численно равна значению радиуса-вектора этой точки,
2307, Определить координаты центра тяжести полуарки циклоиды х = a(t - sin t),y = а(1 “ cos t) [0 < t < л].
2308, Найти момент инерции относительно оси OZ первого витка винтовой линии х = a cos t, у = a sin t, z = bt.
2309, С какой силой масса М, распределенная с постоянной плотностью на окружности х2 4- у2 = a2, z = 0, воздействует на массу т, помещенную в точке А (0; 0; &)?
Б. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2310, | (х2 - 2ху) dx 4- (2ху + у2) dy, где АВ — дуга параболы лв
У — х от точки А( 1; 1) до точки В(2; 4).
2311, | (2а - у) dx + х dy, где С — дуга первой арки циклоиды х = a(t - sin t), у = а(1 - cos t), пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
274
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Г	2	i
2312.	2ху dx - х dyt взятый вдоль раз- ]
ОА	|
личных путей, выходящих из начала Koopj динат 0(0; 0) и заканчивающихся в точке А(2; 1) (рис. 103):	”]
а)	прямой OtftA;	|
б)	параболы ОпА осью симметрии которой I является ось ОУ;	<
в)	параболы ОрА, осью симметрии кото- j
рой является ось ОХ;
г) ломаной линии ОВА;	&
д) ломаной линии ОСА.	$
2313. Г 2ху dx 4- х£ dy в условиях задачи № 2312,	£
оа	.
2314*. X+	~ (х -у) dy , взятый вдоль окружности х2 4- у2 = а®”1
J	х2 + у2
против хода часовой стрелки.	.J
Г 2	2
2315.	у dx + х dy, где С есть верхняя половина эллипса * с	'/А
х = a cos t, у = b sin t, пробегаемая по ходу часовой стрелки.
2316.	J cos у dx - sin х dy, взятый вдоль отрезка АВ биссектрисы лв	: >
второго координатного угла, если абсцисса точки А равна 2 и орди- ' ната точки В равна 2.	/;
2317.	£	.4*—?_dy), где с — правый лепесток лемнискаты ?
J х2 + у2 с
2	2 л -
г == a cos 2(р, пробегаемый против хода часовой стрелки.
2318.	Вычислить криволинейные интегралы от выражений, яв- Я ляющихся полными дифференциалами:
(2'3)	'	' Л
а)	f xdy + ydx,
(-1; 3)	.
(3:4)	4
б)	|* х dx + у dy,
(0; 1}	. .Ж
fl;1)	В
в)	J (х + у) (dx 4- dy),	Ж
(0; 0)	Ж
(2Л)	>
г)	J У dx -х dy (п0 нртн, не пересекающему ось ОХ), ж
(1;й} У	.  1
§ 9. Криволинейные интегралы
275
(*; у)
д)	Г ~~	(по пути, не пересекающему прямую х + у = 0),
J Х + У
I'M
U 2j
(*2; yz)
ф(х) dx 4- щ(у) dy.
е)
(*й> ^1)
2319.	Найдя первообразные функции подынтегральных выражений, вычислить интегралы:
(3,0)
а)
✓ 4	j 3\ , , * л 2 2 г* 4Ч j
(х + 4ху ) dx 4- (бх у - 5у ) dy,
(1; 0)
б)	f х dy-y dx (ПуТЬ интегрирования не пересекает пря-
J (х-у)2
(0,-1)
мой у = х),
(3: 1)
в)	f + dx + y dy (ПуТЬ интегрирования не пересекает
J	(Х + у)2
(Г 1)
прямой у = ~х),
(!;1)
г)	f ( Х + yl dx 4* f .	— + х | dy.
J Jx2 + y2 ’ ' Jx2 + y2 /
(0; 0)	У	*
2320. Вычислить
/ = f X dx - у dy j a/1 + Xs + y2
взятый по ходу часовой стрелки вдоль четверти эллипса 4-	= 17
а2 Ъ2
лежащей в первом квадранте.
2321.	Показать, что если f(u) есть непрерывная функция и С — замкнутый кусочно-гладкий контур, то
£ f(x2 + у2)(х dx + у dy) = 0. с
2322.	Найти первообразную функцию U, если:
a)	du = (2х + Зу) dx + (Зх - 4у) dy;
б)	du = (ЗхЙ - 2ху + у2) dx - (х" - 2ху + 3yJ) dy;
в)	du = е1 “ у[(1 + х + у) dx + (1 - х - у) dy];
г)	du = ^ + ^ .
X + у х + у
276
Глава VI1. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль пространственных кривых:
2323. (у - z) dr + (z - х) dt/ -г (х - у) dz, где С — виток винтовой
с
линии
х = a cos t, < у a sin t,
z = btt
соответствующий изменению параметра t от 0 до 2л.
2324, £ у dx + z dt/ + х dz, где С окружность с
i х 7? cos a cos i, у = R cos ct sin /,
\ z = R sin а (a = const).
пробегаемая в направлении возрастания параметра.
2325. ху dr + yz dr/ + zx dz, где (14 — дуга окружности ОА
х т у + z = 27?х, г = г,
расположенная по ту сторону от плоскости XOZ, где у > 0.
2326. Вычислить криволинейные интегралы от полных дифференциалов:
(б; 4: 8)
а)	| х dr + у dt/ - z dz,
(1: О' -8)
Ь\ с)
б)	уz dr 4- zx dy 1 ху dz,
(1: 1; 1)
(3: 1: 5)
р х dx + у di/ + z dz
л/х2 Ь у- + Z2
t/z dx + zx di/ + xv dz	. л ~ . л	л„„
2---------------2— (путь интегрирования располо-
xyz
(1; 1' 1)
жен в первом октанте).
(.0; 0: 0)
'х; у: ~
г)
§ 9- Криволинейные интегралы
277
В. ФОРМУЛА ГРИНА
2327. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный интеграл
Jx2 + у2 dx Ч- у[ху + In (х -	+ у2)] dy,
где контур С ограничивает область S.
2328. Применяя формулу Грина, вычислить
р о 9	2
о 2(х + у ) dx + (х + у) dy,
где С — пробегаемый в положительном направлении контур треугольника с вершинами в точках А(1; 1), В(2; 2) и С(1; 3). Проверить найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно.
2329. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
Г 2	,	2 г
о -х у dx -I ху dy, с
2	2	2
где С — окружность х + у = R , пробегаемая против хода часовой стрелки.
2330. Через точки А(1; 0) и В(2; 3) проведены парабола АтВ, осью которой является ось ОУ, и хорда ее АиВ, Найти
у) dx - (х - у) dy

непосредственно и применяя формулу Грина.
2331, Найти е^[у2 dx + (1 + xy)dy], если точки А и В лежат Л m В
на оси ОХ, а площадь, ограниченная путем интеграции AjhB и отрезком АВ, равна S.
2332*. Вычислить о
х dy - у dx X2 + у2
Рассмотреть два случая:
а) когда начало координат находится вне контура С, б) когда контур окружает п раз начало координат.
2333**. Показать, что если С — замкнутая кривая, то
о cos (X, п) ds = 0, с
где s — длина дуги, п — внешняя нормаль.
278
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2334. Применяя формулу Грина, найти интеграл
I = £ [х cos (X, п) + у sin (X, rz)] ds, с	;
где ds — дифференциал дуги, п — внешняя нормаль к контуру С.
2335*. Вычислить интеграл
dx -dt/ х + у с
взятый вдоль контура квадрата с вершинами в точках А(1; 0), В(0; 1)5 С(" 1; 0) и D(0; —1), при условии обхода контура против часовой стрелки.
Г. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Вычислить площади фигур, ограниченных следующими кривыми:
2336.	Эллипсом х = a cos t, у = b sin t,
2337.	Астроидой х — a cos3 t, у = a sin3 t.
2338.	Кардиоидой х = а(2 cos t - cos 27), у = a(2sin t - sin 2t). о	3	3
2339*. Петлей декартова листа x + у - Заху — 0 (а > 0),
2340. Кривой (х -I- у)3 “ аху.
2341*. Окружность радиуса г катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса Л, оставаясь вне нее. Предполагая, что — целое число, найти площадь, ограниченную кривой (эпицик- : лоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности. Разобрать частный случай г — 7? (кардиоида).
2342*. Окружность радиуса г катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса J?, оставаясь внутри нее. Предполагая, что - — целое число, найти площадь, ограниченную кривой (гипоциклоидой), описанной какой-нибудь точкой подвижной окружности ти. Разобрать частный случай, когда г = — (астроида).
4
2343.	Поле образовано постоянной силой F, направленной вдоль положительной полуоси ОХ* Найти работу поля, когда материальная точка описывает по ходу часовой стрелки четверть окружности' 2	2	2
х + у = 7? , лежащую в первом квадранте*
2344.	Найти работу, производимую силой тяжести при перемещении материальной точки массы т из положения А(х}; у^, в положение В(х2;	z2) (ось OZ направлена вертикально вверх)*

§ 10- Поверхностные интегралы
279
2345.	Найти работу упругой силы, направленной к началу координат и пропорциональной удалению точки от начала координат, если точка приложения силы описывает против часовой стрелки чет-
верть эллипса — +	= 1, лежащую в первом квадранте.
а2 Ь2
2346.	Найти потенциальную функцию силы В{Х, У, Z} и определить работу силы на данном участке пути, если:
а)	X = О, У = 0, Z -nig (сила тяжести) и материальная точка перемещается из положения Afx., у1Т 2.) в положение В(х9,	г9);
б)	X =	, У =	, Z =	, где ц = const и г = Jx2 + у2 + z2
^*4*1	^*ч5
(сила ньютоновского притяжения) и материальная точка из положения А(а, Ь, с) удаляется в бесконечность;
2	2	2
B)X — ~k x,Y=~k y,Z=-k 2, где k = const (упругая сила), причем 2	2	2	2
начальная точка пути находится на сфере х + у ' + z = В , а
конечная — на сфере хЛ + у2 4- %2 г2 (R > г).
§10. Поверхностные интегралы
Г. Поверх н остн ы й интеграл первого типа. Пусть f(x, у, z) — непрерывная функция, 2 = <p(jc, у) — гладкая поверхность S.
Поверхностный интеграл первого типа представляет собой предел интегральной суммы
| f(x,y,z)dS = lim V f(x у tzs)^S t
J J	г L '	1
S	i = 1
где AS. — площадь i-го элемента поверхности S, точка (xp y.y z.) принадлежит этому элементу, причем максимальный диаметр элементов разбиения стремится к нулю.
Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности S, по которой производится интегрирование.
Если проекция о поверхности S на плоскость XOY однозначна, т. е. всякая прямая, параллельная оси OZ, пересекает поверхность S лишь в одной точке, то соответствующий поверхностный интеграл первого типа может быть вычислен по формуле
Jj* f(x, у, z) dS — j f[x, у, <р(х, у)] Jl + (р;2 (х, у)+1 + (х у) d.r dy.
Пример 1. Вычислить поверхностный интеграл
j (х 1 у + z) dS,
s
где S — поверхность куба 0 < х £ 1, 0 С е/ 1, 0 < z С 1.
280
Глава MI* КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислим сумму поверхностных интегралов по верхней грани куба (z = 1)	'
и по нижней грани куба (г 0):	
11	11	11	I
f Г	(х + у 4- 1) dx dy +	f f	(x 4- у) dx dy =	f Г	(2x 4- 2y 4- 1) dx dy = 2*	|
0 0	0 0	0 0	Й.	
t '
Очевидно, что искомый поверхностный интеграл в три раза больше и § 1 равен	|
| (х + у 4- z) dS = 9,
s
2°, Поверхностный интеграл второго типа. Если Р = Р(х, у, z), '
Q = Q(x, у, z), 7? = 7?(х, у, z) — непрерывные функции, S — сторона гладкой < поверхности S, характеризуемая направлением нормали n{cos a, cos р, cos у}, то соответствующий поверхностный интеграл второго типа выражается 5 следующим образом:
Р dy dz 4- Q dz dx 4- R dx dy = J J (Pcos ct 4- Qcos |3 4- R cos y) dS* S ’s’	5
При переходе на другую сторону S поверхности этот интеграл меняет  | свой знак на обратный*	1
Если поверхность S задана в неявном виде F(xt у, z) = 0, то направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам
1 dF .	1 3F	1 0F
~ n 5“ » COS р = “ — , cos у = — y D dx	P du	D dz
где
D = ±
AjVdx; [dyj kdzj
и выбор знака перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхности S*
3°. Формула Стокса. Если функции Р - Р(х, у, z), Q = Q(x, уу z)t Я = 2?(х, у, z) непрерывно дифференцируемы и С — замкнутый контур, or- : раничивающий двустороннюю поверхность St то имеет место формула Стокса
у Р dx 4- Q dy 4- 7? dz = с
07?	(дР	дЯ\	r .
— - -г2- cos а + — “ — cos р 4-dy	dz/	\ dz	oxj
cos у
(LS, •<
s
где cos ct, cos [3, cos у — направляющие косинусы нормали к поверхности S, причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормалиН':
обход контура С совершался против ординат).
часовой стрелки (в правой системе КО'
§ 10, Поверхностные интегралы
281
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого типа:
f f / 2 ч 2х j о	о л.	2.2.2	2
2347. (х + у ) dS, где S — сфера х + у + z « а .
Ь]-
s
2348. Vx5 + у2 dS, где S — боковая поверхность конуса s
х2 + У2 _
а2 Ь2 с2
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго типа:
2349* Г yz dy dz + xz dz dx + xy dx dy, где S — внешняя сторона
s
поверхности тетраэдра, ограниченного плоскостями х = 0, у = 0, г = 0, х + у + z = а.
2350. JJ z dx dzy, где S — внешняя сторона эллипсоида s
а2
2 .
Ь*
2
с2
2351, j х“ dy dz + у* dz dx + z2 dx dz/, где S — внешняя сторона s
2	2	2	2
поверхности полусферы x + у + z a (z > 0).
2352, Найти массу поверхности куба 0<х<1,0<у<1, 0<z<l, если поверхностная плотность в точке М(х; у; z) равна xyz.
2353.	Определить координаты центра тяжести однородной параболической оболочки аг х2 + / (0 z < а).
2354.	Найти момент инерции части боковой поверхности конуса / g 2
г = <х + у [0 < z < /г] относительно оси OZ.
2355.	Применяя формулу Стокса, преобразовать интегралы:
a)	j) (х2 - уг) dx + (у2 - zx) dy + (z2 - ху) dz; С
б)	£ у dx + z dz/ + х dz.
с
Применяя формулу Стокса, найти данные интегралы и проверить результаты непосредственным вычислением:
2356.	£ (у + z) dx + (z + х) dy + (х + у) dz, где С —окружность
С	2.2.22	,	п
х + у + z = а , х + у + z = 0.
2357. £ (у -
z) dx + (z - x) dz/ -h (x - y) dz, где С — эллипс
2 ,	2	.	. d
X + z/ =1, x + z = l.
282
Глава VIL КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2358* £ х dx 4- (х + у) dy + (х + у + z) dz, где С — кривая х - a sin с
у = a cos t, z = a(sin t 4- cos f) [0 < t < 2n],
2359* j) y2 dx 4- z2 dy 4- x2 dz, где ABCA — контур Д ABC с верши-
нами A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a).
2360. В каком случае криволинейный интеграл
I - у Р dx + Q dy 4- 7? dz с
по любому замкнутому контуру С равен нулю?
§ 11.	Формула Остроградского—Гаусса	|
?'V
Если S — замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая объем V, и ) Р = Р(х, у, 2), Q = Q(x, ут z), В =- В(х, yf z) — функции, непрерывные вместе / со своими частными производными 1-го порядка в замкнутой области V, то V имеет место формула Остроградекаго—Гаусса	
dxdydz, dt/ ozJ
s	(Ю
где coset, cos p, cos у — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.
Применяя формулу Остроградского—Гаусса, преобразовать еле- 4 дующие поверхностные интегралы ио замкнутым поверхностям S, ограничивающим объем V (cos a, cos Р, cos у — направляющие коси-  нусы внешней нормали к поверхности S).
2361*
s
ху dx dz/ + yz dy dz + zx dz dx.
2 * , . 2 , , . 2 * , x dy dz 4- у dz dx 4“ г dx dy*
s
2363* J
8
x cos a + у cos P + z cos у
2
cos a 4- cos Р 4- cos у 1 dS* dx	dy	U2 J
вычислить следую
2364.
s
С помощью формулы Остроградского—Гаусса щие поверхностные интегралы:
2365.	Г f х2 dy dz + уЛ dz dx + z2 dx dy, где S — внешняя сторона


s
поверхности куба О
§ 12. Элементы теории поля
283
2366.	j х dy dz + у dz dx + z dx dyT где S — наружная сторона пи-s
рамиды, ограниченной поверхностями x + y + z = a,x = 0, у = 0, г = 0.
2367.	JJ х3 dy dz + у3 dz dx + z3 dx dy, где S — внешняя сторона s
2	2	2	2
сферы x + у + z = а .
П2	2	2
(х cos ct + у cos Р + z cos у) dS, где S — внешняя полная
поверхность конуса
г2 и2
-2 + Ч - h =0 г° <2 < *1-
a* az b*
2369. Доказать, что если S — замкнутая поверхность и I — любое постоянное направление, то
’ J cos (п, Z) dS — О,
s
где п — внешняя нормаль к поверхности S.
2370. Доказать, что объем тела У, ограниченного поверхностью S, равен
V = |JJ (х cos а + у cos р + z cos у) dS,
s
где cos сс, cos Р, cosy — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности SL
§ 12.	Элементы теории поля
I3.	Скалярное и векторное поля. Скалярное поле определяется скалярной функцией точки и = f(P) = f(u, у, г), где Р(х, у, г) — точка пространства. Поверхности /(х, у, z) = С, где С = const, называются поверхностями уровня скалярного поля.
Векторное поле определяется векторной функцией точки а = а(Р) = а(г), где Р точка пространства, г ~ xi 4- yj 4- zk — радиус-вектор точки Р. В координатной форме а =	4*	+ агк, где = ах(х , у, z), ау = а^(х, у, z),
= ^г(х, у, z) — проекции вектора а на координатные оси. Векторные линии (силовые линии, линии тока) векторного поля находятся из системы дифференциальных уравнений
dx _ dy _ dz
<*х
Скалярное или векторное поле, не зависящее от времени t, называется стационарным, а зависящее от времени — нестационарным.
284
Глава УП. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2°. Гр ад и е нт. Вектор
grad 17 (Р)
dL' . , ЗС7 . . 31/ з vrr
! + J 4 — k - VC, dx di/ dz
оператор Гамильтона (набля), называется гра~ *1
Г7  3	।  3 .id
где V = i—- + j,— + k5--
dx d?/ dz диентом поля 17 = /(Г) в данной точке Р (ср. гл. VI, § 6). Градиент направлен Ж но нормали п к поверхности уровня в точке Р в сторону возрастания функции*^ 17 и имеет длину, равную

3U 1'ди}г^[с)и>2 ^(ди\г
— = i — i +1 v-1 + HH dra y^dx? '<dyj \ dz /
Если направление	задано единичным	вектором /{cos	<"tt	cos	Р,	cos у}, то
3<7	,	гт	.	, тт	31/	.	'ди	„	3[7
—	=	grad	L		1	=	grad, L ~	— cos О',	т	— cos	[j	+	—	cos	у
d/	dx	ду	dz
(производная функции U по направлению I).
3е. Дивер ге нция и вихрь. Дивергенцией векторного поля
а(Р) = a i + a j -> а к А	I/	*•
'da,f
За.
Л dz
, Эаг называется скаляр div а ~ —— +-Зх
Вихрем векторного ноля а(Р) = ayi + arJ
/Эа_	Зал	/За,.	Зал
rota ₽--=	li Л	j
V Зу	dz /	\ oz	дх./
= Va.
4- а.к называется вектор л*
<да„ даДх _
- -vJbVXa.
\ Зх Зу )
4°. П о т о к вектора. Лотоксои векторного поля а(Р) через по* верхность S н сторону, определяемую единичным вектором нормали г n{cosa, cos Р, cosy} к поверхности S, называется интеграл
а
?i
cos а + aycos р + azcos у) d*S,
Если S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем Г, ап — единичный нектор внешней нормали к поверхности S, то справедлива формулаf Остроградского—Гаусса, которая в векторной форме имеет вид
л
5е, Ц и р к у л я ц и я вектора; работа поля. Лтшейный unmet** рал от нектора а ио кривой С определяется формулой
a dr =
ач ds a* dx i а^ dy 1 а? Зз
и представляет собой работу поля а вдоль кривой С (ач — проекция вектора
а на касательную к С),
Если кривая С - замкнутая, то линейный интеграл (1) называется цир’.’| куляииси векторного поля а вдоль контура С.	~,3Д
§ 12. Элементы теории ноля
285
Если замкнутая кривая С ограничивает двустороннюю поверхность S, то справедлива формула Стокса, которая в векторной форме имеет вид
n rot a dS —
а
(rot а)л dS,
где п — вектор нормали к поверхности S, направление которого должно быть выбрано так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению п, обход контура С совершался в правой системе координат против часовой стрелки.
6°. Пот енциальное и со л ено и дальнее поля. Векторное поле а(г) называется лотс/щпалъкьыц если
а = grad U,
где U /(г) — скалярная функция (потенциал поля).
Для потенциальности поля а, заданного в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т. с. чтобы rot а = 0. В этом случае существует потенциал определяемый из уравнения
d?7 = a dx + a di/ + a dz.
г	у J
Если потенциал U — однозначная функция, то J a dr = ЩВ) 1ГИ);
АВ
в частности, циркуляция вектора а равна нулю: a dr — 0.
с
Векторное иоле а(г) называется соленоидальным, если к каждой точке поля div а = 0; в этом случае поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Если поле является одновременно потенциальным и соленой дальним, то div(grad U) = О и потенциальная функция является гармонической, т* е.
^2тг	ДПг
удовлетворяет уравнению Лапласа --- + ----- + ---- *= 0, или А V 0,
дх2 Зу2 dz2
2 Э2	с)2	Ь2
где А = V — —~ 4- _—_ +	— оператор Лапласа,
dx2	dp2	dz2
2371, Определить поверхности уровня скалярного поля U = [(г), где г = Jx2 4- р2 + z2. Каковы будут поверхности уронил поля U = F(p), где р Jx2 + у2 ?
2372. Определить поверхности уровня скалярного поля
Т Т	‘	2
с/ = arcsin ——---.
Jx2 + y~
2373, Показать, что векторными линиями векторного поля а(Р) = с, где с — постоянный вектор, являются прямые, параллельные вектору с.
2374. Найти векторные линии поля а = -toyi -ь a>xj, где ш— постоянная,
286
Глава VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2375* Вывести формулы:
a)	grad (С* U + C9V) = С.grad U + C.grad V, где С1 и С — по-стоянные;
б)	grad (LrV) - C/grad V + Vgrad U\
в)	grad ([/2) = 2I7grad V\
r)grad^ ^Hgrad.^gradT.
д) grad <p( (7) = (p'(^)grad (7*
2376* Найти модуль и направление градиента поля гг з . з ь з о U = х + у 4- z - Зхуг
в точке А(2; 1; 1)* Определить, в каких точках градиент поля перпендикулярен оси OZ и в каких точках равен нулю*
2
2377. Вычислить grad [7, если U равно соответственно: a) rt б) г , в) - , г) /(г) (г = 7х2 + #2 + z2 )* г
2378* Найти градиент скалярного поля U = сг, где с — постоянный вектор* Каковы будут поверхности уровня этого поля и как они расположены относительно вектора с?
2379* Найти производную функции Lr=^-+^r+^-B данной а2	с2
точке Р(х, у, z) в направлении радиуса-вектора г этой точки* В каком случае эта производная будет равна величине градиента?
2380.	Найти производную функции V = ~ в направлении
г
l{cos ct, cos Р, cosy}* В каком случае эта производная равна нулю?
2381* Вывести формулы:
a)	div (С1а1 + С3а2) = C^div а} + C2div а2, где С2 и С2 — постоянные;
б)	div (£7е) = grad U  с, где с — постоянный вектор;
в)	div (t7a) = grad U - a 4- CZdiv a*
2382* Вычислить div .
2383* Найти div а для центрального векторного поля а(Р) = /(г)	,
_________ \г/
где г = Jx2 + у2 4- 22 .
2384.	Вывести формулы:
a)	rot (С*а, + С9а„) = C*rot а. + C9rot a9J где С* иС9- посто- .. явные;
б)	rot (17с) = grad 17 X с, где с — постоянный вектор;
в)	rot (?7а) = grad [7 X а 4- tZrot а*
2385.	Вычислить дивергенцию и вихрь вектора а, если: а) а = г; , б) а = гс; в) а = Дг)с, где с — постоянный вектор*
§12* Элементы теории поля
287
2386.	Найти дивергенцию и вихрь поля линейных скоростей точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью си вокруг оси OZ в направлении против хода часовой стрелки.
2387.	Вычислить вихрь поля линейных скоростей v = со X г точек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью со вокруг некоторой оси» проходящей через начало координат.
2389.	Доказать, что div (rota) = 0.
2390.	Пользуясь теоремой Остроградского—Гаусса, доказать, что
поток вектора а - г через замкнутую поверхность, ограничивающую произвольный объем V, равен утроенному объему.
2391.	Найти поток вектора г через полную поверхность цилиндра
2 .	2	„2 Л .	. гт
2392. Найти поток вектора а = x3i + y3j + z3k через: а) боковую ^2 -4-	2 3
поверхность конуса - —, 0 < z < И; б) через полную поверх
ность этого конуса.
2393*. Вычислить дивергенцию и поток силы притяжения F = -~
г3 точки массы тп, помещенной в начале координат, через произвольную замкнутую поверхность, окружающую эту точку.
2394. Вычислить линейный интеграл вектора г вдоль одного витка винтовой линии х = R cos t; у = R sin t; z = ht от t = 0 до t = 2л.
2395. С помощью теоремы Стокса вычислить циркуляцию вектора а = x2y2i + j + zk вдоль окружности х2 + у2 = 7J2; г 0, приняв в качестве поверхности полусферу z = JR2 -х2 - у2 .
2396* Показать, что если сила F — центральная, т* е* направлена к неподвижной точке 0 и зависит только от расстояния г до этой точки: F = где /(г)— однозначная непрерывная функция, то поле — потенциальное. Найти потенциал U поля*
2397.	Найти потенциал U гравитационного поля, создаваемого материальной точкой массы т, помещенной в начале координат:
а г. Показать, что потенциал U удовлетворяет уравнению Лап-г3
ласа Д17 = 0.
2398.	Выяснить, имеет ли данное векторное поле потенциал Z7, и найти 17, если потенциал существует:
а)	а (5x2j/ - 4xi/)i + (Зх2 - 2#)j;
б)	а yzi + zxj + xyk;
в)	а = (У + я)1 + (х 4- z)j 4- (х + у)к*
2399.	Доказать, что пространственное центральное поле а = f(r)r
будет соленоидальным только при f(r) = Д , где k = const*
г3
2400.	Будет ли соленоидальным векторное поле а “ r(c X г), где с — постоянный вектор?
§ 1, Числовые ряды
289
В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать геометрическую прогрессию
Глава VIII
У aqn (а * О),
л = О
которая сходится при |</| < 1 и расходится при j^| > 1, и гармонический ряд
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды
Iе. Основные понятия. Числовой ряд
оо
«1 +	+ ... = ^ап	(1)
п 1
называется сходящимся^ если его частичная сумма
S = а, + а? + ... + а Л 1 z	п
имеет предел при п —* ос. Величина S = lim Sn называется при этом суммой f rt > оо
ряда, а число
R = S - S = а , , i ari . „ + Л	Л- Д 4 1 Л т Z
— остатком ряда. Если предел lim S не существует, то ряд называется п — с»	j
рас ходящ имея.
Если ряд сходится, то lim а = 0 (необходимый признак сходимости), п — 0О *	'
Обратное утверждение неверно.	”
Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа Е можно было подобрать такое N, что при п > N и с любом положительном р выполнялось неравенство
(а . . + a ... + а I < е	'!
1 Н - 1 П 4- 2	Л-гр1	;
(критерий Коши).
Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов,
2°. Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.	;
а)	Признак сравнения I. Если 0 ап < Ьп начиная с некоторого v п = а0 и ряд	j
f Л
Со	-r' I
\ + ь2 +...+ \ +... =	(2) ;
' I
n ‘1
41 сходится, то ряд (1) также сходится. Если ряд (1) расходится, то расходится | и ряд (2).	I
yl. Xj л л = 1 являющийся рядом расходящимся.
Пример 1. Ряд 111 1 - ~ + ... + - + ... 12 22	3 2	л-2
сходится, так как здесь 1 1 а =	 < —
" п  2п 2п
причем геометрическая прогрессия
знаменатель которой q =
Пример 2. Ряд
1
- ,сходится.
1п2
—— +
1пЗ
3
In п
4- ... 4-----------+
п
расходится, так как его общий член больше соответствующего члена л
- гармонического ряда (который расходится).
б)	Признак сравнения IL Если существует конечный и отлич-/ а \
ный от нуля предел lim (в частности, если ~ Ьд), то ряды (1) и (2)
Л. — со
сходятся или расходятся одновременно. Пример 3. Ряд
1 1
3 + 5
2л-1
расходится, так как
,11тД2^т
1) = I * °.
в то время как ряд с общим членом - расходится, л
10 Задачи и упражнения
290
Глава V1H. РЯДЫ
Пример 4. Ряд
2-1 + 22-2 + 23-3+	+2'‘-п +
сходится, так как
lim -------
— - 1, т. е, ---- ~	,
2nJ	2л-а 2П
а ряд с общим членом — сходится.
2п
в)	Признак Д а лам б ера. Пусть существует предел
ап > 0 (начиная с некоторого п) и
an+1
hm------
1-со ап
= Ъ
Тогда ряд (1) сходится, если q < 1, и расходится, если q > 1. Если q = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым. Пример 5. Исследовать сходимость ряда
Решение. Здесь _ 2п - 1	_ 2п + 1
°" 2п ’ л ' 1 2rtfl и
1 + —
lim = hra	= 1 lim	= 1.
rt->oc ал л"да2ч+1(2п-1)	2
2п
Следовательно, данный ряд сходится.
г)	Признак Коши. Пусть ап > 0 (начиная с некоторого гс0) существует предел
lim = Q. л «
Тогда ряд (1) сходится, если q < 1, и расходится, если q > 1. В том случае, когда q = 1, вопрос о сходимости ряда остается открытым,
д)Интегральный признак Коши. Еслиад = /(п), где функция f(x) положительна, монотонно убывает и непрерывна при х > а > 1, то ряд (1) и интеграл
J f(x) dx д
сходятся или расходятся одновременно.
§ 1. Числовые ряды	291
С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле
(3)
сходится, если р > 1, и расходится, если р < 1. Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле (3).
Пример 6. Исследовать сходимость ряда 1 1 1 1 1  2 + 3  4 + 5- 6+ ' + (2п - 1)2п +
Решение. Имеем
а = ____1________1___5— ~ J-.
л (2п-1)2п	4п2!_±	4п2
2п
Так как ряд Дирихле при р “ 2 сходится, то на основании признака сравнения II можно утверждать, что и данный ряд сходится.
3°. Признаки сходимости знакопеременных рядов. Если ряд
laj + |а2| + ,.. + |aj +	(4)
составленный из модулей членов ряда (1), сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (1) сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (1) называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Для исследования на абсолютную сходимость ряда (1) можно использовать для ряда (4) известные признаки сходимости знакоположительных рядов. В частности, ряд (1) сходится абсолютно, если
lim + * < 1 или lim "/|aj < 1.
n — °©	л 1	'
В общем случае из расходимости ряда (4) не следует расходимость ряда (1), д, “hl	j
Но если lim —------ > 1 или lim > 1, то расходится не только ряд
п -> со ап	л —	1	1
(4), но и ряд (1).
Признак Лейбница, Если для знакочередующегося ряда ^-^ + 63-64 + ... (Ьп > 0)	(5)
выполнены условия: 1)	> ...; 2) lim &	0, то ряд (5) сходится,
1	6	п -» ею п
Для остатка ряда 7?л в этом случае справедлива оценка
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
..5J
- 1)
+ ...+ (-1) 2
п уг
2п - U
292
Глава V111. РЯДЫ
Решение. Составим ряд из модулей членов данного ряда:
4-
п
Так как
lim
л — ос
П 4
2п- 1J
Т1	1 	1	1
lim ------- -• lim ------- = -
: -* ™ 2/1—1 П - -<• rt 1	2
& ~ п
то данный ряд сходится абсолютно*
Пример 8* Ряд
1 -1 + ± -... + (-1)п 1  4 +... £ о	77
сходится, так как выполнены условия признака Лейбница* Этот ряд сходится неабсолютно (условно), так как ряд
расходится (гармонический ряд)*
Примечание. Для сходимости знакочередующегося ряда недостаточно, чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает лишь, что знакочередующийся ряд сходится, если модуль общего члена ряда стремится к нулю монотонно. Так, например, ряд
расходится, несмотря на то что его общий член стремится к нулю (монотонность изменения модуля общего члена здесь, конечно, нарушена). Действительно, здесь S.Jb = SI + 87, где Zri	rfr	rfr
причем Иш = 00 (S'k — частная сумма гармонического ряда), в то время — те
как предел lim 87 существует и конечен (87 — частная сумма сходящейся
геометрической прогрессии), следовательно, Ит S2fr = °0.
ft > оо
С другой стороны, для сходимости знакочередующегося ряда выполнение признака Лейбница не необходимо: знакочередующийся ряд может сходиться, если абсолютная величина его общего члена стремится к нулю нс монотонно.
Так, ряд
1 - — + — - ~ + ... 4 ---------- - —3— + ...
22 3й 42	(2п-1)	(2п)
сходится, и притом абсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен: аб
§ 1. Числовые ряды
293
солютная величина общего члена ряда хотя и стремится к нулю, но не монотонно, 4°. Ряды с комплексными членами. Ряд с общим членом = afj + ibn (г = -1) сходится тогда и только тогда, когда одновременно
сходятся ряды с действительными членами ап и Ьл, причем в этом /1=1	п = 1
случае ОС	IX1'	со
£ s,= X'Xь"-	(6)
П = 1	rt = 1	п 1
Ряд (6) заведомо сходится и называется абсолютна сходящимся^ если сходится ряд
У К! ~ У ^2 + ь2, п = 1	л - 1
членами которого являются модули членов ряда (6).
5е. Действия над рядами.
а)	Сходящийся ряд можно умножать почленно на любое число k, т. е. если й. 4- йо 4- ... 4- й + ... = S, Li	П
то
ka^ 4- ka2 4- • + йй + ... kS>
б)	Под суммой (разностью) двух сходящихся рядов
аг т а% 4- ... 4- ап + ... = S1,	(7)
+ **	= ^2	(8)
понимается соответствующий ряд
(а2 ± bj + (а2 ± 62) + ... + (ал ± Ъп) 4- ... = S\ ± S2.
в)	Произведением рядов (7) и (8) называется ряд
4- с2 4 ... 4- сг + ...,	(9)
где с = а,Ь + aJj . + ... 4 а b, (п = 1, 2, л 1л Z /г - 1	л. 1-	f
Если ряды (7) и (8) сходятся абсолютно, то ряд (9) сходится также абсолютно и имеет сумму, равную S.S9.
г)	Если ряд сходится абсолютно, то его сумма не изменяется при перестановке членов ряда. Это свойство не имеет места в случае, если ряд сходится неабсолютпо.
Написать простейшую формулу /z-го члена ряда по указанным
членам:
2401. 1 4- 1 + 1 + - + ... .	2403. 1 + - + - + - ... .
3	5	7	2	4	8
2402.1 + 1 + 1 + 1 + ... .	2404. 1 + 1 + 1 + X ...
2	4	6	8	4	9	16
294
Глава VIII, РЯДЫ
2405.	3	+	4 +	5	+ Х	+ ... . 2406. - + -	+ X + А + ...
	4		9	16	25	5	8	11	14
2407.	1	X	1 +	1	. 1 “Г 		+ Х + Х + ....	
	2		6	12	20	30	42	
2408.	1	X	1  3	X	1-3 5	+ 1'35-7	
			1  4		1-47	1 ► 4 * 7 10	
2409.	1	—	1 + 1 —		1 + 1	- 1 + ....	
2410.	1	X	1 + 3 -		X +	5 4- - + ... .	
			2		4	6	
В примерах №№ 2411—2415 требуется написать 4—5 первых членов ряда по известному общему члену ап.
2411.
п + 1
2412. а = Х1)Х. л
2414. а = -------.
Л	п Д
[3 + (-1) ]
(2 + sin cos пл
2415. а = ----------~-------
Я	н I
2413* ап
2 х (-1)"
2 П
Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения (или необходимый признак):
2416.	1-1 + 1-1 + ... + (-1)п-1 + ... .
2417.	? + 1 И2 + 1 Г?? + ... + 1	+ . .
5	2 IX 3	п Ы
2418.	? + 5 + 1 + ... + А±1 + ... .
3	5	7 2п +1
2419.	Х_ - Х_ + Х_ - ... + LXX2 +....
Ло здо 4Ло n + Vio
2420.	1 + 1 + 1 + ... + X + ... .
2	4	6 2п
2421.	X + X + X + ... + .—*— + ... .
11	21	31 10га + 1
2422.	Х_ + -Х_ + _Х_ + ... + .-------+ ... .
УГ~2 ТГЗ У3^4 Jn(n+1)
9^	9З	„П
2423.	2 X — X X ... X — X ... .
2	3	п
2424.	1 + 1 + 1 4.Л 1 X ... .
J2 73 J"n
§ 1. Числовые ряды
295
2425.	+ J_ + ... + -----------1— + ... .
2	5	8	(Зл-1)
1	3/5 З/о	з /z
2426.	± +	4-	+ ... +--+ ... .
2	3^2	4^3 O + l)77i
С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов: 2427. А. + § + JL + ... + Alzl + ... .
72	2	272	(72)”
2428 ~ + А1 + 2'5._§ +	+ 2'5'8- -(Зп - 1) +
1	1-5	15 9	1-5-9...(4п-3)
С помощью признака Коши исследовать сходимость рядов:
2429. ? + Pi2 +	+ ... + f-^±JLV + ... .
1 Ш Ы	l2rc-V
2430. i
2
Исследовать сходимость знакоположительных рядов:
2431. 1 + 1+1			+ ... А	1a.... n\
	2!	3!		
2432. 1 +	1	+ А	А ... А	1
3	8	15		(+1-17-1
2433. -А_	+	1	+ 1	+ ... + —			 + ...
1  4		4  7	7  10	(Зл - 2)(3n A 1)
2434. 1 +	4	+ А	+ ... +	2 л
3	9	19		2n +1
2435. i +	2	+ А	+ ... +	+....
2	5	10		n2 A 1
2436. —3		+ -А	— А —	7	,	,	2n+l 	 A- ... “r 	 A
2 • 1	)2	з2.	42	4:	2,52	(л + 1)2(п + 2)2
2437. ? +	ff		f _9_у	ь ... + f-AL_y 4.... .
4				кЗл + 1У
1			3	
2438. fl)2		 5 +	fA|2 -	f ... 1		 + ... .
		7	110J	<3л + V
2440. 1 + — + А + ... +	+ ... .
л 2	.->3	п
296
Глава VIII. РЯДЫ
2441. -1L + —2— +	.
2	+	1	2г+	1 23 + 1	2" + 1
2442. 1	+	1	+ А	+ ... +	2П-^-	+ ... .
1!	2!	(л-1)!
2443 1	I	1	3 I	1~3-5	_|_	_|_	1  3  5. ..(2л — 1) _|_
‘ 4	4-8	4-8-12	4-8- 12..,4л
2444 <1^+^+^+	+ <^ + ... .
’ 2!	4!	6!	2л!
2445 1000 + 1000 1002 + ЮОО-ЮО2 1004
14	1-4-7
+ 1000-1002 1004,..(998+2л) + 1-4- 7...(Зп-2)
2446 2 + 2 5 8 +	+ 2  5  8  11 - 14...(6л - 7)(6л - 4) +
’1	1-5-9	1 - 5 - 9 -13 - 17...(8га - 11)(8га - 7)
2447 - + 1 ° +	1  5 • 9...(4л - 3)	_|_
‘2	2-4-6	2-4-6-8...(4л-4)(4л-2)
2448 - + 1'11 + 1 11 21 +	+ 1 И ' 21...(Юл-9) +
1!	3!	5!	”	(2л-1)!
co	
2450. у	arcsin .
П = 1	J к
00	
2451. У Л ™ 1	sin — . n
2452. у
л = 1
2453. у
rt = 1
оо
2457. £ л = 2 оо
2458. у п = 2 оо
2459. У п = J ес
2460. у л = 1
п  Inn * In In n *
+ i)
+ l)(n + 2)
1
2 П - П
1
1
1
§ 1. Числовые ряды
297
сю
2464. V fl-cos^V к п)
л = 1
оо
2469. Доказать, что ряд
л = 2
1) сходится при произвольном еслир > 1, и при q > 1, еслир = 1;
2) расходится при произвольном q, если р < 1, и при q < 1т если
Р ~ 1*
Исследовать сходимость следующих знакопеременных рядов. В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимости.
2470. 1 - 1 + 1 - ... + 3	5
2п-1
2471. 1 - -L + Л
2472. 1 - i + 1 - ... + ^~1)П~1 + ... .
<	9	п2
2473. 1	+ i---1)'11? + ... .
7	13	6л-5
2474.
1  2
7	_	+ (— j/1"1
3~4	(	} n(n + l)
2475
12	3	4
— — — -4- — -I- -
2 4	8	16
1
2476. -—?— + —-— - —-—
2^2-1 з73-1 4Л-1
+ ... + (- 1)”	------+ 
(zi + 1) Jrt + 1 - 1
rt	q	/ 7 \3
2477.-- 4- - - —
4 Ш llOJ
+ 1Y1 За + V
2478 3 - 3~ 5 + 1  4  7 _	+ , jy - 1 3-5- 7...(2л + 1)
2	2-5	2 5 8	V 2 5 8,..(3a-l)
2479 i - 1'4 + 1'4	-	+ (-1)"” 1 1-4	- 2) _p
' 7	7-9	7-9 11	K 7-9  ll...(2n + 5)
2480 sinq + sin 2 a +	+ sin/to
' 11110 (InlO)2	(InlO)'* ’
298
Глава VI И. РЯДЫ
ос	ОФ
2481. V (-1)"^.	2482. У (-1)" ’ 4g .
п	njn
и - 1	л = 1
2483, Убедиться в том, что признак сходимости Даламбера не ре-
шает вопроса о сходимости ряда	где
п = 1
Q fe — 1	- 1
a2k - 1 ТТЛ ’	(k = 1, 2, ...),
О	о
в то время как с помощью признака Коши можно установить, что этот ряд сходится,
2484*. Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим к знакочередующимся рядам а) — г). Выяснить, какие из этих рядов расходятся, какие сходятся условно, какие сходятся абсолютно:
а) -J— - -±- + —+ -Д- -	+ ...
72-1	72 + 1	73-1 7з + 1	74-1	74 + 1

§ 1. Числовые ряды
299
1
п + 1
2489. У
/1=1
2490. у
п= 1
2491. у------------1-------
(n + (2n-l)ij2
сто
2492. у
ГС = 1
~ 77(2-0+1 Г .71(3 -2i)-3L
2493. Между кривыми
у = -3 X
и у =	, справа от точки из пере-
&
X
сечения, построены отрезки, параллельные оси ОУ и отстоящие один от другого на одинаковом расстоянии. Будет ли сумма длин этих отрезков конечной?
2494. Будет ли конечной сумма длин отрезков, о которых шла речь
в предыдущей задаче, если кривую у —
<2
X
заменить кривой у = - ?
2495. Составить сумму рядов У
= 1
1 + 71 зп
ли эта сумма?
со
И У П  Сходится
ГС =: 1
3"
2496. Составить разность расходящихся рядов У —~
2п -1
л = 1
и V ±
Zj 2п
н = 1
и исследовать ее сходимость*
2497* Сходится ли ряд, образованный вычитанием ряда У -------
2 zz ™ 1 л = 1
из ряда У i ?
2-j п
п - 1
2498, Подобрать такие два ряда, чтобы их сумма сходилась, а разность расходилась.
2499. Составить произведение рядов у
ГС = 1
1
I
ГС = 1
----. Сходит-2
ся ли это произведение?
\2
2500. Составить ряд
1
2/г 1
, Сходится ли
4
этот ряд?
2501. Дан ряд -1 + ~
1	(—1У
— И- ... + -F .... Оценить ошибку,
допускаемую при замене суммы этого ряда суммой первых его четырех членов, суммой первых пяти членов. Что можно сказать о знаках этих ошибок?
300
Глава V1IL РЯДЫ
2502** Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
1 +1 ш2 +1 ш3 + ... + i F + ...
2	2! Ш 3J 12;	п! 12;
суммой его первых п членов*
2503* Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
14 1+1 +**.!-.**
2!	3! а!
суммой его первых п членов* В частности, оценить точность такого приближения при п = 10.
2504*** Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
1
22
суммой его первых п членов* В частности, оценить точность такого приближения при п " 1000*
2505*** Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда
m2 т4
1 + 2 i + 3 - +
z-i\ 2л - 2
+ 71 — |	+ *. *
суммой его первых п членов.
*	х * S Л - 1
2506, Сколько членов ряда V ---------- нужно взять, чтобы вы-
п
а - 1
числить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001?
оо
2507. Сколько членов ряда > —-—— нужно взять, чтобы вьь " (2п-Ы)5л
числить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001? до 0,0001?
2508*. Найти сумму ряда Л- + Л_ + Л_ + ... + — 1 . + ... . 1'2	2-3	3-4	zi(zt 4-1)
2509. Найти сумму ряда
%Jx + (Vx-Vx) -ь (Vx-Vx) + .*. + (2/f + Vx~ 2k~ Vx) + ... *
§ 2, Функциональные ряды
1°. Область сходимости. Множество значений аргумента г, для которых функциональный ряд
/г(х) + 4(х) +	+ f^x) + **.	(1)
сходится, называется областью сходимости этого ряда* Функция
S(x) = lim £л(х),
rt • ’ ос
где Sft(x)	И f?(x) + - л- fn(x)T а х принадлежит области сходимости,
называется суммой ряда, a Rn(x) S(x) - S^(x) — остатком ряда*
§ 2. Функциональные ряды
301
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая х фиксированным.
Пример 1. Определить область сходимости ряда
.Г + 1 + (х + I)2 + (х + I)3 +	+ (х + if +
12	2  22	3  23	л  2Л
Решение. Обозначив через общий член ряда, будем иметь
+ 1|	|х+1)п + 12пп |х + 1|
11 щ J—p——1 = И m —3--------!--------- = !----1 .
^°°	rt ^2n^(n + l)!r+l|rt 2
На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (и притом абсолютно), если -Т + 11 < 1, т. е. при -3 < х < 1;
2
1х + 11 м
ряд расходится, если 3—-—1	1, т. с. если
Расход. Сход. Расход. ----
-3-10/ X
Рис, 104.
-го < % < -3 или 1 < х < оо (рис. 104). При х = 1 получаем гармонический ряд
, который расходится, а при х = -3 — ряд -1 +
который (в соответствии с признаком Лейбница) сходится (неабсолютно). Итак, ряд сходится при -3 < х < 1.
2е. Степенные ряды. Для всякого степенного ряда
с^ + сДх - а) + сЛх ~ а)2 + ... + с (х - а)л + ...	(3)
U 1	£	г*
(сл и а — действительные числа) существует такой интервал (интервал сходимости) |х - а| < F с центром в точке х = а, внутри которого ряд (3) сходится абсолютно; при |х - а[ > Я ряд расходится. Радиус сходимости R может быть в частных случаях равен также 0 и со, В концевых точках интервала сходимости х = а ± R возможна как сходимость, так и расходимость степенного ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши, применяя их к ряду, членами которого являются абсолютные величины членов данного ряда (3).
Применив к ряду модулей
е0| + k'Jix - а| I- ... + |сп||х - аГ + ...
признаки сходимости Даламбера и Коши, получим для радиуса сходимости степенного ряда (3) соответственно формулы
^♦1
R = ---—----- и R = lim
lim	°
Л —’ 30
Однако пользоваться ими следует весьма осторожно, так как пределы, стоящие в правых частях этих формул, часто не существуют. Так, например, если бесконечное множество коэффициентов сд обращается в нуль (это, в частности, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или только с нечетными степенями (х а)), то пользоваться указанными фор
302
Глава VIII. РЯДЫ
мулами нельзя. В связи с этим рекомендуется при определении интервала сходимости применять признаки Даламбера или Коши непосредственно, как это сделано выше при исследовании ряда (2), не прибегая к общим формулам для радиуса сходимости.
Если z = х + iy — комплексное переменное, то для степенного ряда
С0 + СДг - го) 4 С2(г “ 20>2 +	+ Сп<2 ~ 2о)" +	<4)
(c,t = ап + ibn, z0 = х0 1 1уц) существует некоторый круг (круг сходимости) |z - з0| < В с центром в точке z — z0, внутри которого ряд сходится абсолютно; при |з - 20| > 2? ряд расходится, В точках, лежащих на самой окружности круга сходимости, ряд (4) может как сходиться, так и расходиться. Круг сходимости обычно определяют с помощью признаков Даламбера или Коши, примененных к ряду
kol + lcil ' I2 “ го1 + 1е21 ' !2 “ 2о|2 +	' 1г “ 2оГ +
членами которого являются модули членов данного ряда. Так, например, с помощью признака Даламбера легко обнаружить, что круг сходимости ряда 2+1 . (г + 1)г , (г + 1)3 +	. (г + 1)'1
12	2  2г 3  23	п -2"
определяется неравенство \z 4- 1| < 2 (достаточно повторить приведенные на с, 301 выкладки, служившие для определения интервала сходимости ряда (2), заменив лишь х на z). Центр круга сходимости находится в точке z = -1, а радиус 7? этого круга (радиус сходимости) равен 2,
3°. Равномерная сходимость. Функциональный ряд (1) сходится на некотором промежутке равномерно, если, каково бы ни было в > 0, можно найти такое N, не зависящее от х, что при п > N для всех х из данного промежутка имеет место неравенство < с, где 7?п(лг) — остаток данного ряда.
Если |/„(х)|< сп (n = 1, 2, ...)приа С X < b и числовой ряд сп сходится,
п = 1
то функциональный ряд (1) сходится на отрезке [а, Ь] абсолютно и равномерно (признак Вейерштрасса).
Степенной ряд (3) сходится абсолютно и равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости. Степенной ряд (3) можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимости (при х - а| < /?), т, е, если
<?о + Cj* - 1) + с2(х - а)2 + ... + Сп(х - а)п + ... = f(x),	(5)
то для любого х из интервала сходимости ряда (3) имеем:
с. + 2с7(х - а) 4- ... I- пс (х - а)п 1 + ... *= ff(x), л	£	Л
(7)
§ 2. Функциональные ряды
303
(число х0 также принадлежит интервалу сходимости ряда (3)), При этом ряды (6) и (7) имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (3).
Найти область сходимости ряда:
2510.	00 ХЛ-, П л-1
2511.	J“	л п = 1
2512.	У (-1)" ]пх П
2513.	V sin(2n - 1)х 1	(2м-1)г Л = 1	4	'
2514.	У 2rt sin — . 4-i	о" л = 0	d
ею
2518. V
п!хп
л = 1
2519. У ------i.
/Д (2п -1)/*
2520. у
rt = 1
2521. £
л = 0
Jn
2 тг + 1
у	ы г 5 2 Л
(п + 1) X
со
2515**. У CQSftx .
Grt* л = 0
сю
2516. у (-1)" + 1e“nBinx
п = 0
Во
2517. V «1.
Z-J л X л - 1
2525. ухп
л - -1
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:
2526. у п = 0 оо 2527. у п = 1 2528. у Л Г= 1 2529. у Л = 1	оо 	 , - ч л ' 1 л хп.	2530. У (-И-- х . л = 1 сю 2531. У (^±П_£_2. п- 2Л	2п+1 п = 0 °° „ У—Т .	2532. У (-1)п(2л + 1) х. 2п -1 л = 0 лл-1 2л-1	”	« 		2533. У -. (4п - 3)
304
Глава VIII* РЯДЫ
2534. уп!х".
п = 1
оо л
2535. у ~.
гсл
л = 1
n
(х+3)л
2 ГС
2л-1 д
X
л = 1
2537‘ У3”2*12*
п. = О
2538 У
Л = 1
2539. у
п = 1
2540. у л = 2
со
2541  У л — 1
2542*. у п’х"1.
п
2
гс!хп
л ГС
л — 1
X________
л Зп  In л
л!
л = 1 □о 2543*. У -л- 1 се 2544*. у . . пГ1 rt = 1 с» 2545. у (-if-1 ^-^2 п	гс  3
л = 1 оо 2546. у п = 1 ио 2547. у О = 1
2 н
X________
п - 1 Л ГС
л
,.Д
(х-3)я п ГС * О
(х-1)
г>л и  9
rt
2548. V (-1)" 1(*~2)2П 2гс
Л 1
2549. у
П = 1
2550. упп(х + 3)". л = 1
2551. у
Л — 1
2552. у л = 1
2553. у (-1)
л = 1
2554. у
II = 1
2555. У
Х|ц^ л = 1
2556. у
л = I
2557. У (-1)’
л = 1
255S. у
л = 1
(х 4- О)
2ГС
(х-2)п
(2п- 1)2"
П + 1(2л-1)2"(х (Зл-2):
п!(х+ 3)” л ГС
(x + lf_ _
(л + 1)1п2(гс + 1)
(*-3)2в
(гс + 1 )1п(гс + 1)
1	(х-2)“
(гс + 1)1п(гс
г
(х + 2)П п ГС
г' 1V2
J1.1)
п 1
ео
2560. у
п - 1 сс
2561. У	- 2)”
AU	П 4' 1
а = О
(2гс - 1/\х + 1)”
оп-1 Л ' ГС
§ 2. Функциональные ряды
305
2562. £
/! =0
(3п-2)(х-3)“ (n+ 1)22'! + 1
оо
2563. УН)"—'-г.
“	(2п + 1)7п+1
Определить круг сходимости:
оо
2564. У"/.
л = 0
2566. у
п = 1
(*-2Qn n-3rt
2565.	(1 + ш)гл.
2568. (1 °+ 20 + (: ,..(2n + 1 + 2i)zn + ...
2567. у
л = 0
2n
Z__
2n
+ 20(3 + 2i)z + ... +
(1 + 2i)(3 + 20...
2 Z
n Z
2569. 1 + -?
(1-
4” ... .
(1 - i)(l -	- ni)
V P + 2L I n + 21 J
n = 0
2571. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать, что ряд
2
n
не сходится равномерно в интервале (-1, 1), но сходится равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри этого интервала.
Решение, Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, получим при |х| < 1
/1+1
J-Jzv Л- "Г 1  л 2 ।	_ X
Л (х) = X -I- X + ... = ------.
л	1-х
Возьмем лежащий внутри интервала (-1, 1) отрезок [^1 + сс, 1 - а], где а — сколь угодно малое положительное число. На этом отрезке |х|	1 — сс,
!1 - х| а и, следовательно,
(1~аГ1 а
I<
Для того чтобы доказать равномерную сходимость данного ряда на отрезке [-1 + а, 1 - а], нужно показать, что к любому е > 0 можно подобрать такое зависящее только от е, что при всяком п > N будет иметь место неравенство |/?N(x)| < Е для всех г из рассматриваемого отрезка.
Взяв любое е > 0, потребуем, чтобы ------ < е; отсюда (1 - а)п < £а,
(«
1- l)ln (1 - а) < In (са), т. е. я + 1 >
(так как In (1 - а) < 0) и
In (1 - а)
306
Глава VIII. РЯДЫ
п > 1тт./еос) _ । Положив, таким образом, N = JjLprc) _ мы у^еж_ In(l-a)	1п(1-а)
даемся, что при п > N, действительно, < е для всех х из отрезка [—1 + ct, 1 - сс] и равномерная сходимость данного ряда на любом отрезке, лежащем внутри интервала (-1, 1), тем самым доказана.
Что же касается всего интервала (-1, 1), то он содержит точки, сколь
п + 1
угодно близкие к точке х = 1, а так как lim R (х) = Ит ----- == 03, то как
ж -1 л	1-х
велико бы ни было п, найдутся точки х, для которых Вп(х) больше любого, сколь угодно большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое N, чтобы при п > N неравенство j/?rt(x)| < е имело место во все х точках интервала (-1, 1), а это и означает, что сходимость ряда в интервале (-1, 1) ire является равномерной.
2572, Исходя из определения равномерной сходимости, доказать, что: а) ряд
сходится равномерно во всяком конечном интервале;
б) ряд 246	,	2п
* __	+ £_ -	+ ("И * +
12	3'" п
сходится равномерно во всем интервале сходимости (-1, 1); в) ряд
1 + — + — +...+ 1 + ... 2J 3J	п*
сходится равномерно в интервале (1 + 6, оо), где 5 — любое положительное число;
г) ряд
(х2 - х4) + (х4 - х6) + (х6 - х8) +	4- (х2п - х2п + 2) +
сходится не только внутри интервала (-1, 1), но и на концах этого интервала, однако сходимость ряда в интервале (-1, 1) — неравномерная*
Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в указанных промежутках:
— на отрезке [-1; 1].
л
2573. у
л =7 1
2574. у
л = 1
sinnx
----- на всей числовой оси,
2я
_ 1 л
2575. у (-1)л на отрезке [0, 1], л ₽ 1
§ 3. Ряд Тейлора
307
Применяя почленное дифференцирование и интегрирование, най-
ти суммы рядов:
2 2576. л- + —		2 + + ... 3	2 4- — + ... . п
	2		
	2	2	5 -Л
2577. х -	Л	+ ^ -...	+ (-1)	— 4- ... .
	2	3	п
	3	5	2л - 1
2578.х +	X	+ — + .	.. 4- 	+ ... .
	3	5	2п-1
	3	5	,	2и- 1
2579. х -	X	+ V -	 + (“I)	£	7 + - •
	3	5	2п-1
2580.1 +	2х	+ Зх2 + ...	. 4- (п + 1)х^ + **, *
2581.1 -	Зх2	: + 5х4 - ..	. + (-1)" ' \2п - 1)х2п" 2 + ... .
2582.1 • 2 +		2 * Зх + 3	 4х2 + *** + п(п + 1)хп 1 4* **.
Найти суммы рядов:
2583. -	+ — + ... .
V 2	3	л
Л X X	X
Ь S	4п - 3
2584. х + ^ + ^- + ... + ------- + ... ,
5	9	4п- 3
2586* - + — + — + *.*4-	1 4- ...
2
§ 3* Ряд Тейлора
Iе. Разложение функции в степенной ряд* Если функция fix) допускает в некоторой окрестности |х - а| < R точки а разложение в степенной ряд по степеням х - а, то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид
f(x) = f(a) i Г(а)(х - а) + (х - а)2 + ... + -—(х - а)" + ... * (1) Ы [	Л’’ •
При а 0 рад Тейлора называют также рядом Маклорена. Равенство (1) справедливо, если при |х — я| < 2? остаточный член ряда Тейлора
Ял(я) fM -
ОС
Ла) 4
k = 1
(X -а/ -0
при П ОС.
Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой
Я (х) ==	. f ' Ч[а + 0(х - а)], где 0 < G < 1	(2)
(д + 1)1
(форма Лагранжа).
1 1Л’ i
308	Глава VIII. РЯДЫ	й
Пример 1. Разложить функцию f(x) = ch х в ряд по степеням х. ж > Решение. Находим производные данной функции /(х) = ch х, f'(x) sh х, ж f"(x) = ch х, = sh x, **.; вообще f{n\x) = ch x, если n — четное, и « 3i(x) = sh x, если n — нечетное. Полагая я = 0, нолу^шм /(0) = 1, f\0) — Ж 0, /”(0) = 1, Л"(0) = 0, вообще /л)(0) = 1, если п — четное, и /<л)(0) 0, если п — нечетное. Отсюда на основании (1) имеем	.1
2	4	2н
VVV	к-
chx = 1 + — + — < ... +• —— + ... .	(3) 1
2]	4!	(2/1)!	|
л
Для определения интервала сходимости ряда (3) применим признак Далям- ;; бера. Имеем
2л+2 2л	2
ч-	X	X	v	X	п
11ГП ------: --- = 11П1 -------------- =0	•: [
л^=о (2п + 2)! (2ц)! Л— (2/1т1)(2л + 2)
I при любом х. Следовательно, ряд сходится в интервале -™ < х < Оста- v точный член в соответствии с формулой (2) имеет вид	/Г
л + J	-=
R (х) = ----- ch Ох, если и — нечетное,
п (п + 1)'	j
и	л
R (х) ~ -------- sh Ох, если п — четное.
л (71 + 1)!
Так как 0 > 6 > 1, то
|ch (Эх| =
(? .г -G X с + е
2
и	°* -н*
< с jsh 8х| = £______________£____
1	2
и поэтому |7?п(х)| <
X |х| n r	X	А
-1—*—-— е . Ряд и общим членом сходится при любом (ц+1)[	/г!
х (в этом можно легко убедиться с помощью признака Даламбера), поэтому н соответствии с необходимым признаком сходимости
। I л +1 lim ---------- = 0,
л — ™ (л + 1)!
а следовательно, и lim /?л(х) = 0 при любом х. Это означает, что сумма ряда Л —» ОО
(3) для любого х действительно равна ch х.
2й. Приемы, применяемые при разложении в степенные ряды.
Пользуясь основными разложениями:
т х 1 . х I. е = 1 + — 1!	2 - 2!	4 ...	Л -L-	_ а!	(-ОО < .г < Г2Х))?	А* i •
тт	X II. sin X = — -1!	3  н 3!	-5 X +	-... 1 (-1)"	2л - 1 (2ц+1)!	ъ	
TIL cos х = 1 -	2	4 X 4!	- + (-1)"	2 и —	 +	, (-оо < х < (2пу.	1	Х Ь	&
§ 3* Ряд "Гейлора
309
IV. (1 4 xf = 1 +	4 ... -D-^-» + i)z + ...
1		21	л* •
(-1 < Х< if,
2	3	л
V. In (1 + X) = х -	- ... + (-If1 — I ... (-1 < х < 1),
£j	О	Л
а также формулой для суммы геометрической прогрессии, можно во многих случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточного члена. Иногда при разложении полезно использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать эти функции на простейшие дроби.
Пример 2. Разложить по степеням х > функцию
(1 -х)(1 + 2х) ‘
Решение, Разложив функцию па простейшие дроби, будем иметь
1 if
Так как
—-— = 1 + х + х2 +	= V* х11	(4)
1-х
« -о и
-Д- = 1 - 2х + (2х)2 - ... = V (-1)'2"хл,	(5)
1 + 2х
п = 0
то окончательно
f(x) = У Хп + 2 у (-1)'*2'х'г м = 0	л = О
оо
У [1 V (-l)rt2rt + ^х'1.
л = 0
(6)
Геометрические прогрессии (4) и (5) сходятся соответственно при [х| < 1 и
1
2
следовательно, формула (6) справедлива при |х| <
т. е. при
1
2
г
1
2
’ На границах интервала сходимости (т. с. при % - -1 и при х = 1) разложение IV ведет себя следующим образом: при т > 0 абсолютно сходится на обеих границах; при О > /71 > -1 расходится при х — -1 и условно сходится при № I; при т<-1 расходится на обеих границах.
Ч А-)
Здесь и в дальнейшем подразумевается епо целым и положительным степеням» ►
310
Глава VIII. РЯДЫ
3°. Ряд Тейлора для функции двух переменных. Разложение функций двух переменных f(xt у) в ряд Тейлора в окрестности точ-ки (а; 6) имеет вид
flx, у) = f(a, b) + зр- Г (х - а) + (у - b) f(a, Ъ) + -у- Г (х - а) у- + 1! L dx	(h/J	2! L ох
Л	1г	Л	Л in
+ (У - Ь) г	Ла, ft) + ... + i (X - а) ± + (у - ft) ± \ f(a, ft) + ... . (7)
dyj	п! L ox	dyj
Если а = b = 0, ряд Тейлора называют также рядом Макларена, Здесь приняты следующие обозначения:
(х - а)+ (у - Ь) J-] f(a, Ъ) =
dx	dpj	^2
(х-а)2 +
* = а
У = Ь
+ 9d2f(x.y) дхду
X^a(x-a)(y-b)
У -
+ d2f(x, у)
, ч2
(х- а) и т. д.
-t = а
У - b
Разложение (7) имеет место, если остаточный член ряда
I»
R^x’ У) “ Лх’ У> ~ f(a’ Ь) + У
k = 1
при п —>• се. Остаточный член может быть представлен в виде
/? (х, у) = -—i—	(х - а) + (у - ft) п + 1 f{x, у)
(n + l)l L Эх	ду J v г = а + 0(у-«:
if =	- Ь)
где 0 < 9 < 1.
Разложить по целым положительным степеням х указанные функции, найти интервалы сходимости полученных рядов и исследовать поведение их остаточных членов:
2587. а (а > 0).	2590. sin2 х.
2588. sin (х +	.	2591*. In (2 + х).
2589. cos (х + а).
Пользуясь основными разложениями I—V и геометрической прогрессией, написать разложение по степеням х следующих функций и указать интервалы сходимости рядов:
2592.	.	2594. хе’2\
(х-1)2
2593. ~/х ~ 5 .	2595. ех*.
х - 4х + 3
§ 3. Ряд Тейлора
311
2596. sh х.
2597. cos 2х.
2598. cos2 х.
2599. sin Зх + x cos Зх.
2600.	,
9 + x
2601.	1	.
Гл ~ у 4 - x
2602.	In 1±^ .
1 - X
2603.	ln(b -r 2x\
Применяя дифференцирование, разложить по степеням х следующие функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место:
2604. (1 + х) In (1 + х).	2606. arcsin х.
2605. arctg х.	2607* In (х + 71 + х2).
Применяя различные приемы, разложить по степеням х заданные функции и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место:
2608* sin2 х cos2 х.	2614. —. 4-x
2609. (1 + x)e“T.	2615. In (r2 4- 3x + 2).
2610. (1 + eV.	2616. f	dx. J X 0 AJ
2611. V8 + x.	2617. e * dx. o
2612	~ 3jg — 2	, c X - DX + 6	2618. f ln(1 + xl^x _ J	X 0
2613. ch3 x.	2619. f d^- . о 71 - x2
Написать три первых отличных от нуля члена разложения в ряд по степеням х функций:
2620. tg х.	2623. sec х.
2621. th х.	2624* In cos x.
2622. e™x*	2625. exsinx.
2626*. Показать, что для вычисления длины эллипса можно пользоваться приближенной формулой
/ 2'
s ~ 2па I 1 - vl >
I 4J
где е — эксцентриситет, 2а — большая ось эллипса.
312
Глава VIIL РЯДЫ
2627. Тяжелая нить под влиянием собственного веса провисает по |: V	FJ	I 
ценной линии у = ach -, причем а “ — , где 7/ — продольное натя- 11 а	Я	||
жение нити, ад — масса единицы длины. Показать, что при малых 4
х, с точностью до величин порядка х , можно принять, что нить про- | а	|!
висает по параболе у — а + —.	Т
2а	£•
3	2	*
2628. Разложить функцию х - 2х - 5х - 2 в ряд по степеням х + 4, <
2629. Дх) = 5х3 - 4х2 ~ Зх + 2. Разложить f(x + А) в ряд по степеням А.
2630. Разложить 1п х в ряд по степеням х - 1.
2631.	Разложить 1 в ряд по степеням х - 1. X
2632.	Разложить в ряд по степеням х + 1.
X
2633.	Разложить —— ---- в ряд по степеням х + 4.
х£ + Зх + 2
2634.	Разложить    —— в ряд по степеням х + 2* х +4x4-7
2635.	Разложить е* в ряд по степеням х + 2.
2636.	Разложить Jx в ряд по степеням х - 4.
2637* Разложить cos х в ряд по степеням х -
тс
2 ‘
2	тт
2638. Разложить cos х в ряд по степеням х - - .
4
2639*. Разложить In х в ряд по степеням -.
1 + х
2640. Разложить —---в ряд по степеням --.
71 + х	1 + х
2641. Какова величина допущенной ошибки, если приближенно
положить
2642. С какой точностью будет вычислено число - , если восполы
4
зоваться рядом
3	5
arctg х — х —	- .**,
о и
взяв сумму его первых пяти членов при х = 1?
§ 3, Ряд Тейлора
313
2643*. Вычислить число с точностью до 0,001 при помощи раз-6
ложения в ряд по степеням х функции arcsin х (см. № 2606).
2644. Сколько нужно взять членов ряда
2
COS X = 1 -	+ ....
чтобы вычислить cos 18° с точностью до 0,001? 2645. Сколько нужно взять членов ряда з
sin х = х - — 4- ...,
3!
чтобы вычислить sin 15° с точностью до 0,0001?
2646.	Сколько нужно взять членов ряда
2 еЛ = 1 + Л + £. + 1!	2!
чтобы найти число е с точностью до 0,0001?
2647.	Сколько нужно взять членов ряда
2
In (1 + х) = х - у + ...,
чтобы вычислить In 2 с точностью до 0,01? до 0,001?
2648.	Вычислить 1/7 с точностью до 0,01 с помощью разложения
функции V8 + х в ряд по степеням х.
2649.	Выяснить происхождение приближенной формулы
Ja? + х = а 4- (а > 0),
вычислить с ее помощью а/23 , положив а = 5, и оценить допущенную при этом ошибку.
2650.	Вычислить 1/19 с точностью до 0,001.
2651.	При каких значениях х приближенная формула
2
COS X - 1 - “
Дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001? 0,0001?
2652.	При каких значениях х приближенная формула
sin х = х
Дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001?
314
Глава VIII. РЯДЫ
1/2
2653. Вычислить f dx с точностью до 0,0001. J х
о
1
2654. Вычислить | е х dx с точностью до 0,0001. о
2655. Вычислить j Vx cos xdx с точностью до 0,001. о
1
2656. Вычислить f dx с точностью до 0,001.
о Тх
1/4
2657. Вычислить 71 + х3 dx с точностью до 070001*
о 1/9
2658, Вычислить J Ухе* dx с точностью до 0,001. о
2659. Разложить в ряд по степеням х и у функцию cos (х - у),
найти область сходимости полученного ряда и исследовать остаточ
ный член*
Написать разложения по степеням х и у следующих функций и указать области сходимости рядов:
2660* sin х • sin у.
2661. sin (х2 Ч- у2).
2662*.	+ .
1 + х- у
2663*. 1п(1-х-у + ху).
2664*. arctg .
1 “ху
2665. fix, у) = ах2 + 2Ьху + су2. Разложить f(x + h, у + k) по степеням h и fe.
2666* f(x, у) = х3 - 2у3 + Зху, Найти приращение этой функции при переходе от значений х = 1, у = 2 к значениям x = l + hty = 2 + k*
2667* Разложить функцию ех + у по степеням х - 2 и у + 2*	;
2668.	Разложить функцию sin (х + у) по степеням х и у -	.
А
Написать три — четыре первых члена разложения в ряд по> степеням х и у функций:	}
2669.	e*cos у.
2670.	(1 + х)1	*
§ 4. Ряды Фурье
315
§ 4.	Ряды Фурье
Р. Теорема Дирихле. Говорят, что функция Дх) удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (а, Ъ), если в этом интервале функция:
1)	равномерно ограничена, т. е. |Дх)| при а < х < Ь, где М — постоянная;
2)	имеет не более чем конечное число точек разрыва и все они 1-го рода (т. е. в каждой точке разрыва 5, функция f(x) имеет конечный левый предел ДЕ - 0) ~ lim ДЕ - е) и конечный правый предел ДЕ, + 0) = lim ДЕ, 4 е) (е > 0));
' е — о	е — о
3)	имеет не более чем конечное число точек строгого экстремума.
Теорема Дирихле утверждает, что функцию Дх), удовлетворяющую в интервале (—л, л) условиям Дирихле, во всякой точке х этого интервала, в которой Дх) непрерывна, можно разложить в тригонометрический ряд Фуръе:
Л Л f(x) =
+ a,cosx + b.sin х 4 ancos2х 1 bosin 2х 4’ ... + a cos пх 4- Ь sin пх + „.,(1) 1	1	2	2	Л-	П	’V/
где коэффициенты Фуръе ап и Ъп вычисляются по формулам: я
ал = - J/(x)cosrtxdx (п = 0, 1, 2, ...);
•л
л
Ъ = - ff(x)sinnxdx (п = 1, 2, ...) л я J
-я
Если х — принадлежащая интервалу (-п, л) точка разрыва функции Дх), то сумма ряда Фурье $(х) равна среднему арифметическому левого и правого пределов функции:
S(x) = I [f(x - 0) + f(x + 0)]. £
В концах интервала х ~ -л и х ~ л
S(-7t) = S(n) = | [Я-я + 0) + f(n - 0)].
jLi
2°. Неполные ряды Фурье. Если функция Дх) — четная (т. е, Д -х) = Дх)), то в формуле (1)
ЬЛ = 0 (n = 1, 2, .„) и л
2 Г
а = - Дх)соз nx dx (п = 0, 1, 2, ...).
п nJ
о
Если функция Дх) — нечетная (т. е. f(~x) = -Дх)), то
ап = 0 (п = 0, 1, 2, ...) и
я
2 Г
= - Jf(x)sin пх dx (п = 1, 2, ,..).
о
316
Глава VIIL РЯДЫ
Функция, заданная в интервале (0, л), может быть по нашему усмотрению продолжена в интервал (-я, 0) либо как четная, либо как нечетная; следовательно, ее можно по желанию разложить в интервале (О, л) в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам кратных дуг.
3°. Ря д ы Фурье периода 2L Если функция Дх) удовлетворяет условиям Дирихле в некотором интервале (—Z, Z) длины 2Z, то в точках непрерывности функции, принадлежащих атому интервалу, справедливо разложение
г/ \	, Л 71Х
f(x) = V aicos т ы	I
,	- ДЛ
C>1Sin —
т t>2sin
+ a2cos
nnx
cos ---
ft sin
Д71Х
где
i
tt" = 7 f ^x^cos
-I
!
b„ = | J /(x)sin
-I
~ dx(n = 0, 1, 2, С*
>	(2)
dx(n = 1, 2, ...).
В точках разрыва функции f(x) и в концах х = ±1 интервала сумма ряда Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении в интервале (—л, л).
В случае разложения функции f(x) в ряд Фурье в произвольном интервале (а, а -г 21) длины 21 пределы интегрирования в формулах (2) следует заменить соответственно через а тл а + 21.
Указанные ниже функции разложить в ряд Фурье в интервале (-л, л), определить сумму ряда в точках разрыва и на концах интервала (х = -л, х = л), построить график самой функции и суммы соответствующего ряда (также и вне интервала (^тг, л)):
2671. f(x) = s
с1 при -л < х < 0, с2 при 0 < х < л*
Рассмотреть частный случай, когда с1 = — 1, с2 = 1,
ах при -л: < х < 0,
2672. f(x)^i
I ох при и Ч X < л.
i
Рассмотреть частные случаи: а) а = b = 1; б) а = -1, b = 1;
в)а = 0, b = 1; г)а = 1, b 0.
2673. f(x) =	х2.	2676.	f(x)	=	cos	ах.
2674. f(x) =	е°Л	2677.	f(x)	=	sh ax.
2675, f(x) =	sin ax.	2678,	fix)	=	ch ax.
2679, Функцию Дх) = {0, 2n).
разложить в ряд Фурье в интервале
§ 4, Ряды Фурье
317
2680. Разложить в интервале (0, л) по синусам кратных дуг функ
цию f(x) = - . Полученное разложение использовать для суммиро-
вания числовых рядов:
а)1-	1 3	+1 5	-А +. 7	*  j
б) 1 +	1	_ 1	-А. +	А А
	D	7	11	13 ' 17
в) 1 -	1	4- 1	-А +	А
	5	7	и	13
Указанные ниже функции разложить в интервале (0, л) в неполные ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг; б) по косинусам кратных дуг. Нарисовать графики функций и графики сумм соответствующих рядов и области их существования.
2681, f(x) = х. Найти с помощью полученного разложения сумму ряда
1 зг
52
2682, f(x) = х2, Найти с помощью полученного разложения суммы
числовых рядов:
1)1 + 2 2	+	X д з2	2	3	4
2683. f(x) = е	ах		
	1	при	0<х<5,
2684. f(x) = <	0 Ц	при	- < х < л, 2
	г X	при	0 < х < 2
2685./(х)-			•7Г
	л	- х при - < X < л.	
Разложить в интервале (0, л) по синусам кратных дуг функции:
х при 0 < х <	,
2686. f(x) =
О при - < х < л,
2687. f(x) - х(л - х),
2688, f(x) = sin ,
318
Глава VIII. РЯДЫ
Разложить в интервале (О, л) по косинусам кратных дуг функции:
2689. Дх) -
2690. f(x) =
л.
0 при h
при 0 < х < 2ft,
О при 2h < х < л. х*
1 -
2691. Дх) х sin
л
COS х при 0 < X 1 л “COS х при - < X
2693. Используя разложение функций х и х2
2692. f(x) =
л.
в интервале (0, л) по косинусам кратных дуг (см. №№ 2681, 2682), доказать равенство
2	2
Хп COSttX Зх -6ЛХ + 2Л /п s' „X
—	(0 С х С л).
12
2 п
2694**. Доказать, что если функция Дх) — четная и при этом д 5 + х j = -ц - х I, то ее ряд Фурье в интервале (-л, л) представляет собой разложение по косинусам нечетных кратных дуг, а если функция Дх) — нечетная и f\ + х! = Д - х], то она разлагается в ин-тервале (-л, л) по синусам нечетных кратных дуг.
В указанных интервалах разложить в ряд Фурье функции:
2695. Дх) = |х| (-1 < х < 1).
2696. Дх) = 2х (0 < х < 1).
2697. f(x) = е (-1 < х < I).
2698. f(x) = 10 - х (5 < х < 15).
Разложить в указанных интервалах в неполные ряды Фурье: а) по синусам кратных дуг, б) по косинусам кратных дуг следующие функции:
2699. Дх) = 1(0 < х < 1).
2700.	Дх) = х(0 < х < Z).
2701.	f(x) = х2(0 < х < 2л).
х при 0 < х < 1,
2702.	/(х) =
2-х при 1 < х < 2.
/о X
2703* Разложить по косинусам кратных дуг в интервале | 3J функцию
п= 1
Дх) = <
3
при - < X &
Глава IX
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1, Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений семейств кривых. Начальные условия
1°, Основные понятия. Уравнение вида
F(x, у, у',	j/n)) = 0,	(1)
где у — у(х) — искомая функция, называется дифференциальным. уравнением п-го порядка. Любая функция у = (р(х), обращающая уравнение (1) в тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции — интегральной кривой. Если решение задано в неявном виде Ф(х, у) = 0, то оно обычно называется интегралом.
Пример 1. Проверить, что функция у - sin х является решением уравнения
у" + У = 0.
Решение. Имеем
у' = cos х, у" = sin х
и, следовательно,
у" 4- у = - sin х + sin х = 0,
Интеграл
Ф(х, у, Ср	С j = 0	(2)
дифференциального уравнения (1), содержащий п независимых произвольных постоянных С\, С и эквивалентный (в данной области) уравнению (1), называется общим интегралом этого уравнения (в соответствующей области), Придавая в соотношении (2) постоянным Ср Сп определенные значения, получаем частный интеграл уравнения (1).
Обратно, имея семейство кривых (2) и исключая параметры Ср ..., Сл из системы уравнений
ф = °,	=0,	— = о,
dx	cbn
получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида(1), общим ин-тегралом которого в соответствующей области является соотношение (2).
320
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 2, Найти дифференциальное уравнение семейства парабол у = сг(х - с2/.	(3)
Решепи е* Дифференцируя два раза уравнение (3), будем иметь / = 2CJx - С2) и у” = 2СГ	(4)
Исключая из уравнений (3) и (4) параметры Cj и Cs, получим искомое дифференциальное уравнение
2уу" = У'2-
Легко проверить, что функция (3) обращает это уравнение в тождество. 2\ Н ача л ь н ы е условия, Если для искомого частного решения у = #(х) дифференциального уравнения
(л) zz	,	(л - ])ч
у = f(x, у, у , у )	(5)
заданы начальные условия (задача Коти)
У(х0) - Уо, У'(хо> = У'о.У " 'W = УоЯ ’ °
и известно общее решение уравнения (5) у = ф(х, Cj...........................сч),
то произвольные постоянные Ср Сп определяются, если это возможно, из системы уравнений
у0 = Ф(х0,С1..Сп),
у'0 = ф'(х0,С1.С„),	I
{,о'л-1> = ф(«-1>(Хо,С1.Сд).
Пример 3. Найти кривую семейства у = су + Сге~2х,	(6)
для которой у(0) = 1, у'(0) = -2.
Решение, Имеем у' = су - 2сугх.	(7)
Полагая в формулах (6) и (7) х = 0, получим 1 = С, + С9, -2 = С, - 2С9, откуда
С. = 0, С2 = 1 L	4Ы
и, следовательно, -2г У =* е .
Выяснить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные функции:
2704. ху' = 2 г/, у = 5х2.
2705.у” = г2 + /, у = 1.
§ I. Проверка решений. Составление дифференциальных уравнений
321
2706, (х 4- у) dx + xdy = 0, у =	.
2х
2707* у" + у = 0, у = 3 sin х - 4 cos х.
2
2708.	—- 4 со х = 0, х — C.cos cot 4- C9sin tot.
df2	1	3
2709.	у" - 2yf + у — 0; а) у = хе\ б) у = х%\
2710.	у" - (Л., + Х2)/ +	= 0, у = С1еХ|* + С2еЛгХ.
Показать, что для данных дифференциальных уравнений указанные соотношения являются интегралами:
2711.	(х - 2у)у' = 2х - у, х2 - ху + у2 = С2.
2712.	(х - у + 1)/ = 1, у = х + Се\
2713. (ху - х)у" + ху'2 + уу' - 2у' = 0, у = In (ху).
Составить дифференциальные уравнения заданных семейств кривых (С, Сг С2, С3 — произвольные постоянные):
2714.	у = Сх.
2715.	у = Сх2.
2716.	у2 = 2Сх.
2717.	х2 + уг = С2.
2718.	у = Сех.
2719.	х3 = С(х2 - у2).
2
JL
2720.	у2 + 1 = 2 + Се 2 .
X
2721.	In - = 1 + ay (а — параметр).
У
2722.	(у - у0)2 = 2рх (у0, р — параметры).
2723.	у = Сге2х + С2еЛ
2724.	у = CTcos 2х 4- C2sin 2х*
2725.	у = (С. + С,х)ех + С,.
J	Z	о
2726.	Составить дифференциальное уравнение всех прямых на плоскости XOY.
2727.	Составить дифференциальное уравнение всех парабол с вертикальной осью на плоскости X0Y.
2728.	Составить дифференциальное уравнение всех окружностей па плоскости XOY.
И За^&чи и упражнения
322
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для данных семейств кривых найти линии, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
2729.	х2 - у2 = С, у(0) = 5.
2730.	у = (Ст + С2х)е2\ у(0) = 0, у'(0) = 1.
2731.	у = CjSin (х - С2), у(п) = 1,	= 0.
2732. у =	+ С2ех + С^2х у(0) = 0, у'(0) = 1, у"(0) = “2-
§ 2.	Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Г’. Виды дифференциальных уравнений 1-г о порядка. Дифференциальное уравнение 1-го порядка с неизвестной функцией у, разрешенное относительно производной у', имеет вид
у' Дх, у),	(1)
где Дх, у) — данная функция. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную х и записывать уравнение (1) в виде
хх = g(x, у),	(I7)
где g(x, у) =	1  .
Учитывая, что у' ~ и х' =	, дифференциальные уравнения (1) и
ах ау
(I7)	можно записать в симметрической форме:
Р(х, у) dx + Q(x, у) dy = 0,	(2)
где Р(х, у) и Q(x, у) — известные функции.
Под решениями уравнения (2) понимаются функции вида у - ф(х) или х = удовлетворяющие этому уравнению. Общий интеграл уравнений (1) и (I7), или уравнения (2), имеет вид
Ф(х, у, С) = О,
где С — произвольная постоянная.
2°. Поле направлений. Совокупность направлений
tg ct = Дх, у)
называется полем направлений дифференциального уравнения (1) и обычно изображается при помощи системы черточек или стрелок с углом наклона а.
Кривые Дх, у) = k, в точках которых наклон поля имеет постоянное значение, равное называются изоклинами. Построив изоклины и поле направлений, в простейших случаях можно приближенно нарисовать поле интегральных кривых, рассматривая последние как кривые, которые в каждой своей точке имеют заданное направление поля.
§ 2, Уравнения 1-го порядка
323
Пример 1. Методом изоклин построить иоле интегральных кривых уравнения у' =
Решение. Построив изоклины х = k (прямые линии) и поле направлений, приближенно получаем поле интегральных кривых (рис* 105). Общим решением является семейство парабол
2 у =	+ С.
*	2
Методом изоклин построить приближенно поле интегральных кривых для указанных ниже дифференциальных уравнений:
2733, у' = -х.
2734.	у' =	.
У
2735.	у' = 1 + у2.
2736.	у' =	.
х-у 2737. у' = х2 + у2.
3°. Теорема Коши. Если функция f{x, у) непрерывна в некоторой области U{a < х < А, b < у < В} и имеет в этой области ограниченную производную /^(х, у), то через каждую точку (х0, yG), принадлежащую U, проходит одна и только одна интегральная кривая у = ф(х) уравнения (1) (ф(х0) = у$).
4е, Метод ломаных Эйлера. Для приближенного построения интегральной кривой уравнения (1), проходящей через заданную точку у0), эту кривую заменяют ломаной с вершинами М.(х., у^, где
х . , = х. 4 А х., у * = у. 4 Ду..
А х. = h (шаг процесса),
Ду, = hf(x., у.) (i = 0, 1, 2, .„),
Пример 2* Методом Эйлера для уравнения
найти у(1), если у(0) - 1 (Л = 0, 1),
Составляем таблицу:
i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X.	0	од	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
У;	1	1	1,005	1,015	1,030	1,051	1,077	1,109	1,148	1,194	1,248
1	20	0	0,005	0,010	0,015	0,021	0,026	0,032	0,039	0,046	0,054	
Итак, у(1) = 1,248* Для сравнения приводим точное значение у(1) = е1 4 - 1,284,
324
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методом Эйлера найти частные решения данных дифференциальных уравнений для указанных значений х:
2738. у' = у, у(0) = 1; найти t/(l) (ft = 0,1).
2739. у' = х + у, у(1) = 1; найти у(2) (Л = 0,1).
2740. у' =	у(0) = 2; найти у(1) (й = 0,1).
1 4- X
2741, у' - у - —, у(0) = 1; найти у(1) (Л = 0,2),
§ 3, Дифференциальные уравнения 1-го порядка
с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
1°, Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение 1-го порядка вида
/ = (1) или
Х(х)У(р) dx 1 X^xJYJy) dr/ = 0.	(Г)
Разделив обе части уравнения (1) на g(y) и умножив на dx, будем иметь = f(x) dx. Отсюда, интегрируя, получим общий интеграл уравнения (1)
в виде
/(х) dx + С.
(2)
Аналогично, разделив обе части уравнения (1') на XJxjyft/) и проинтегрировав, получим общий интеграл уравнения (1') в виде
[ 2^1 dx + Г dy = С.	(2')
J Х,(х) J Y(y) *
Если для некоторого значения у = мы имеем g(y^) = 0, то функция у - является также, как непосредственно легко убедиться, решением уравнения (1), Аналогично, прямые х = а и у = b будут интегральными кривыми уравнения (1')> если а и b являются соответственно корнями уравнений Х-^х) = 0 и У(р) = 0, на левые части которых приходилось делить исходное уравнение.
Пример 1. Решить уравнение
/ = -й.	(3)
X
В частности, найти решение, удовлетворяющее начальному условию:
У(1) = 2,
§ 3- Уравнения 1 ’го порядка с разделяющимися переменными
32&
Решение. Уравнение (3) можно записать в виде
= -У. dx х
Отсюда, разделяя переменные, будем иметь dy = dx У х и, следовательно,
In |у| = -In + In Cp
где произвольная постоянная In С3 взята в логарифмическом виде* После потенцирования получим общее решение
^=х’	(4)
где С = ±СГ
При делении на у мы могли потерять решение у = 0, но последнее содержится в формуле (4) при С = 0.
Используя заданное начальное условие, получим С = 2, и, следовательно, искомое частное решение есть
2°. Некоторые дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися перемен-н ы м и. Дифференциальные уравнения вида
у' = f(ax + by + с) (b 0)
приводятся к уравнениям вида (1) при помощи замены и = ах + by + с, где и — новая искомая функция,
3°. Ортогональные траектории — кривые, пересекающие линии данного семейства Ф(х, у, а) = 0 (а — параметр) под прямым углом. Если F(xt у, у') ~ 0 есть дифференциальное уравнение семейства, то
f(x, у, 0
к 1 у)
— дифференциальное уравнение ортогональных траекторий.
Пример 2. Найти ортогональные траектории семейства эллипсов 2	2	9
х I- 2у = а ,	(5)
Решение. Дифференцируя обе части уравнения (5), находим дифференциальное уравнение семейства
х + 2уу' = 0.	\Y I
Отсюда, заменяя у' на , получим дифферен- \ЗгА r-V/ у
Цнгпыюе уравнение ортогональных траекторий	/ /	\ \
2 у Л /	2 у	\ \
х - —- 0 или и = — ,	X vTSL ДлУ /
Интегрируя, будем иметь у Сх2 (семейство парабол) (рис, 106).
Рис. 106.
326
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4°. Составление дифференциальных уравнений. При составлении дифференциального уравнения в геометрических задачах часто может быть использован геометрический смысл производной как тангенса угла, образованного касательной к кривой с положительным направлением оси ОХ; это позволяет во многих случаях сразу установить соотношения между ординатой у искомой кривой, ее абсциссой х и у\ т. е, получить дифференциальное уравнение, В других случаях (см. 2783, 2890, 2895) используется геометрический смысл определенного интеграла как площади криволинейной трапеции или длины дуги. При этом непосредственно из условия задачи получается простейшее интегральное уравнение (поскольку искомая функция содержится под знаком интеграла), однако путем дифференцирования обеих его частей можно легко перейти к дифференциальному уравнению.
Пример 3, Найти кривую, проходящую через точку (3; 2), для которой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.
Решение. Пусть М(х, у) есть середина касательной АВ, по условию являющаяся точкой касания (точки А и В — это точки пересечения касательной с осями OY и ОХ). В силу условия ОА = 2у и ОВ = 2х. Угловой коэффициент касательной к кривой в точке М(х, у) равен
dy = __ОА = у
dir ОВ х '
Это и сеть дифференциальное уравнение искомой кривой. Преобразовав, получим
х у и, следовательно,
1п х + In у = In С или ху = С.
Используя начальное условие, определим С = 3  2	6. Итак, искомая
кривая есть гипербола ху = 6.
Решить дифференциальные уравнения:
2742.	tg х sin2 у dx + cos х ctg у dy = 0,
2743.	ху'-у = у3.
2744.	хуу' = 1 - х2.
2745. у - ху' = а(1 + х2у').
2746. Зе* tg у dx + (1 - е*) sec2 у dy = 0.
2747. у' tg х = у.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
2748, (1 + е*)  у - у' = е*; у 1 при х = 0,
2749, (ху2 + х) dx + (х2 у - у) dy = 0; у = 1 при х = 0,
2750, у'sin х = yin у; у = 1 при х = ,
§ 4, Однородные уравнения 1-го порядка
327
Решить дифференциальные уравнения, использовав замену переменных:
9
2751. у' = (х + у).
2752. у' = (8х + 2у + I)2.
2753. (2х + Зу - 1) dx + (4х + бу - 5) dy = 0.
2754. (2х - у) dx + (4х - 2у + 3) dr/ = 0.
В №№ 2755 и 2756 перейти к полярным координатам:
2755. у' =	~ х .	2756. (х2 + у2) dx - ху dy = 0.
2757** Найти кривую, у которой отрезок касательной равен расстоянию тонки касания от начала координат*
2758. Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке кривой, заключенный между осями координат, делится пополам в этой точке*
2759* Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоянную длину а.
2760* Найти кривую, у которой подкасательная вдвое более абсциссы точки касания*
2761*. Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат, этой кривой и ординатой любой ее точки, равна 3/4 абсциссы этой точки*
2762* Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ делится пополам в точке пересечения с осью OY.
2763* Найти уравнение кривой, проходящей через точку (2; 0), если отрезок касательной к кривой между точкой касания и осью OY имеет постоянную длину 2*
Найти ортогональные траектории данных семейств кривых (а — параметр), построить семейства и их ортогональные траектории,
2764. х2 + у2 = а2.	2766. ху = а.
2765. у2 = ах.	2767. (х - а)2 + у2 = а2.
§ 4* Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
1е.Однородные уравнения, Дифференциальное уравнение
Р(х. у) dr + Q(x, у) dy = 0	(1)
называется однородным, если Р(х, у) и Q(x, у) — однородные функции одинакового измерения. Уравнение (1) может быть приведено к виду
328
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и при помощи подстановки у = хи, где и — новая неизвестная функция, преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными* Можно также применять подстановку х = уи.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
у' =	+ 2 .
X
Решение* Полагаем у — их; тогда и + хи' - е“ + и или
-и j dx е аи = — *
х
с
Интегрируя, получим u = Чп In - , откуда х
1 1 С у = -xln 1л - * я
2°. Уравнения, приводящиеся к однородным. Если
ахх + Ь1у4-е1
а2х + Ь2у + с2
(2)
G1 Ъг
а2 Ъ2
Ф 0, то, полагая в уравнении (2) х == и + а, у = v 4- 0, где
постоянные а и 0 определяются из системы уравнений
а1а 4- bt0 +	= 0, а2а 4' Ь20 + с2 = О,
получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных и и и* Если 5 - 0, то, полагая в уравнении (2) агх 4- Ьгу « и, получим уравнение с разделяющимися переменными*
Проинтегрировать дифференциальные уравнения: 2768. у' = й - 1.
X
2769. у' =	.
X
2770. (х - у)у dx - х2 dy =* 0.
2771* Для уравнения (х2 + у2) dx - 2ху dt/ = 0 найти семейство интегральных кривых, а также выделить кривые, проходящие соответственно через точки (4; 0) и (1; 1)*
2772. у dx 4- (2jxy - x)dy 0.
2773* х dy - у dx л/х2 + у2 dx.
2774* (4х2 + 3xt/ 4- у2) dx -h (4i/2 4- Зхр + х2) dz/ = 0*
§ 5н Линейные уравнения 1-го порядка* Уравнение Бернулли
329
2775. Найти частное решение уравнения (хЙ - Зу2) dx + 2ху dy = О
из условия, что у = 1 при х = 2.
Решить уравнения:
2776. (2х - у + 4) dy + (х - 2у -F 5) dx = 0.
2777. у' = 1 ~3г~ 3У .
1 + г + у
2778. у' =	- \ .
2x + 4t/ + 3
2779. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ОУ, равен полярному радиусу точки касания.
2780**. Какую форму следует придать зеркалу прожектора, чтобы лучи от точечного источника света отразились параллельным пучком?
2781. Найти уравнение кривой, у которой подкасательная равна среднему арифметическому координат точки касания.
2782. Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый на оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию этой точки от начала координат.
2783*. Найти уравнение кривой, для которой площадь, заключенная между осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, одна из которых постоянная, а другая — переменная, равна отношению куба переменной ординаты к соответствующей абсциссе.
2784. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсекаемой любой касательной, равен абсциссе точки касания.
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли
1°. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение вида у' + Р(х)у - Q(x)	(1)
относительно у и у' называется линейным.
Если функция Q(x) = 0, то уравнение (1) принимает вид
У' + Р(х)у = 0	(2)
и называется однородным линейным дифференциальным уравнением. В этом случае переменные разделяются и общее решение уравнения (2) есть
У = Се '	(3)
Для решения неоднородного линейного уравнения (1) применяем так называемый метод вариации произвольной постоянной; этот метод состоит в
330
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том, что сначала находим общее решение соответствующего однородного линейного уравнения, т. с. соотношение (3).Затем, полагая в атом соотношении величину С функцией от х, ищем решение неоднородного уравнения (1) н виде (3). Для этого подставляем в уравнение (1) у и у', определяемые из (3), и из полученного дифференциального уравнения определяем функцию С(х). Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) получаем в виде
-(PCdx
у = С(х)е
Пример 1. Решить уравнение
у' = tg- х * у + cos х.	(4)
Решение. Соответствующее однородное уравнение есть
у' - tg X  у = О*
Решая его, получим
cosx
Считая С функцией от х, дифференцируя, находим
1 dC + sinx q cosx dx r<ric.2 ~
Подставляя у и у' в уравнение (4), получим
1 dC cosx dx »ne2
sin х z-.	. С
С = tg х-----
cosx
4 cosx, или — — COS X, dx
откуда
2	,	1 t
cos x dx = - x 4 2
- sin 2x -+ C7.
4	1
Следовательно, общее решение уравнения (4) имеет вид
(-х 4 -sin2x + С?! k2 4
1
cosx
Для решения линейного уравнения (1) можно также применить подстановку
у = ии,	(5)
где и и и — функции от х. Тогда уравнение (1) примет вид
[u' + Р(х)и]и + v'u = Q(x).	(6)
Если потребовать, чтобы
и' 4 Р(х)и = 0,	(7)
то из (7) найдем затем из (6) найдем г, а следовательно, из (5) найдем у.
2°. Уравнение Бернулли. Уравнение 1-го порядка вида
yf 4- Р(х)р - Qfx)i/\
где ос 0 и ct ± 1, называется уравнением Бернулли. Оно приводится к линейному с помощью подстановки г у1 н. Можно также непосредственно
§ 5. Линейные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли
331
применять подстановку у = ии, или метод вариации произвольной постоянной.
Пример 2. Решить уравнение
У' =	+ я Ту 
Решение.
Это — уравнение Бернулли
. Полагая
у = ии.
получим
/	/4	/—	( , 4 \	j—
и V 4 V и — - I/O + XVUO ИЛИ U И-U + о и = Хл/iW .	(8)
X	\ X J
Для определения функции и потребуем выполнения соотношения
и' - - и = О, х
откуда 4
и = X .
Подставляя это выражение в уравнение (8), получим
/ 4	/	4
UI = Хл/УХ ,
отсюда находим с:
<1	V
и =	+	;
следовательно, общее решение получим в виде
4<1	V
у = х ^1п|хЕ + С .
Найти общие интегралы уравнений:
2785.	= х.
dx х
2786.	= х3.
dx х
2787*. (1 + у2) dx = (J1 + у2 sin у - ху) ду.
2788.	у2 dx - (2ху + 3) dy = 0.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям:
2789.	ху' + у - ех == 0; у = b при х — а.
2790.	у' - —г - 1 - х = 0; у = 0 при х = 0.
]-х
2791.	у' - у tg х ; у = 0 при х = 0. '	cosx
332
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Найти общие решения уравнений:
2792.	= - ху2.
&Х X
2793.	2ху^ - / + х = 0.
2794.	у dx 4- | х - х у \ dy = 0.
2795.	Зх dy = у(1 4- х sin х - Зу3 sin х) dx.
2796.	Даны три частных решения у, у}, у2 линейного уравнения.
Доказать, что выражение ——- сохраняет постоянное значение при У^У1
любом х. Каков геометрический смысл этого результата?
2797.	Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного осью ОХ, касательной и радиусом-вектором точки касания, постоянна*
2798.	Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, равен квадрату ординаты точки касания*
2799* Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен поднормали.
2800. Найти уравнение кривой, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, пропорционален квадрату ординаты точки касания*
2801. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной равен расстоянию точки пересечения этой касательной с осью ОХ от точки М(0, а).
§ 6* Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Г.У равнения в полных дифференциалах. Если для дифференциального уравнения
Р(х, у) dx 4 Q(x, у) dy = 0,	(1)
выполнено тождество	, то уравнение (1) может быть записано в виде
dy dx
d(7(r, у) — 0 и называется уравнением в полных дифференциалах. Общий интеграл уравнения (1) есть U(xt у) = С. Функция U(x, у) определяется способом, указанным в гл* VI, § 8, или по формуле
и - J Р (х, у) dx + | Q(r0. у) dy
(см. гл. VII, § 9)*
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 333
Пример 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (Зх2 4- бху2) dx -5- (6х2у + 4r/3) dp = О.
Решение. Это — уравнение в полных дифференциалах, так как Э(3х2 + 6ху2) й(6х2у + 4у3) Чг>
j.-------2_/ = ----г---= 12ху и, следовательно, уравнение имеет вид
dy	дх
dU = 0.
Здесь
dU „ 2 . е 2 dU с 2 , л з
—- = Зх + бху и — = 6х у + 4.у ;
dx	dy
отсюда
U - J (Зх2 4- бху2) dx 4- (р(у) = х3 4 Зх2у2 + ty(y)-
Дифференцируя U по yt найдем	= 6х2у 4-	= Ьх2у + 4у3 (по условию);
ох
отсюда <р'(у) - 4у3 и ф(у) = у4 + CQ. Окончательно получим Щх, у) = х3 4-
I-	Зх у + у Со, следовательно, х I Зх у 4- у = С есть искомый общий интеграл данного уравнения.
2°, Интегрирующий множитель, Если левая часть уравнения (1) не является полным дифференциалом и выполнены условия теоремы Коши, то существует функция ц = ц(х, у) (интегрирующий множитель) такая, что
ц(Р dx 4- Q dy) = d(7.	(2)
Отсюда получаем, что функция ц удовлетворяет уравнению
~ (gp) = A (MQ). dy dx
Интегрирующий множитель р. легко находится в двух случаях:
1Ч 1 fdP 5Q^ г, .	, ч
=F(X)’ T<w = HW;
2)	7 {IT ~	1 = тогда и =
Р\dy дх) 1
Пример 2. Решить уравнение
(	з'
о	2 У
2ху + х у + ^-
dx 4- (х2 4- у2) dy 0.
D	о П d I 2 У гъ 2 .	2	1 (дР 6Q
Ре шени е. Здесь Р = 2хи + ху-г^-,<?^х + у и — v - Vs 3	Q\oy dx
»	2	2
-X +- X + U - 2х	/v
—  ——— = 1, следовательно, ц щх).
X +у
т, Э(цР) d(pQ) дР ridu 3Q
1ак как -4=—-	или р— = Q—+ ц^,то
dy dx	dy dx dx
dp	1 <3P dQ'i jin	x
— 7— - i dx = dx и In ц = x, p = e . p	Q^dy dx)
334
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Умножая уравнение на р = е\ получим
х	2
е 2ху ix у +
з\ L_ 3
dx е*(х2 + у2) dy = О
— уравнение в полных дифференциалах. Проинтегрировав его, будем иметь общий интеграл
уе
= С.
Найти общие интегралы уравнений:
2802, (х 4- у) dx + (х + 2у) dy = О*
2803.	(х3 4- у2 4- 2х) dx + 2ху dy == 0.
2804.	(х3 - ЗхуЛ + 2) dx - (Зх2у - у2) dy = 0.
2805.	xdx + ydy =	-
х2+у2
2806.	+ У. r.gx2 dy = 0.
3	4
У	У
2807.	Найти частный интеграл уравнения
у х + е
dx 4- еу [1-“]	= О,
удовлетворяющий начальному условию у(0) — 2,
Решить уравнения, допускающие интегрирующий множитель вида ц ц(х) или ц = р(у):
2808.	(х + у2) dx - 2ху dy = О*
2809.	у(1 + ху) dx - х dy = 0.
2810.	dx 4- (у3 - In х) dy = 0.
2811. (xcos у - ysin у) dy + (xsin у + ycos у) dx = 0.
§ 7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
1°.Дифференциальные уравнения 1-го порядка в ьгс ш их
степеней. Если дано уравнение F(x, у, у') = О,	U);
например, второй степени относительно у', то, разрешая уравнение (1) от< носительно у', получим два уравнения:	>
у' = f^x, у), у' = f2(x, у).	(2)
§ 7.Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной	335
Таким образом, через каждую точку M0(x0, t/0) некоторой области плоскости проходят, вообще говоря, две интегральные кривые. Общий интеграл уравнения (1) в этом случае имеет вид
Фи, у. С) S Ф^х, у, С)Ф2и, у, С) = О,	(3)
где и Ф, — общие интегралы уравнения (2).
Кроме того, для уравнения (1) может существовать особый интеграл. Геометрически особый интеграл представляет собой огибающую семейства кривых (3) и может быть получен в результате исключения С из системы уравнений
Ф(х, у, С) = 0, Ф'(х, р, 0 = 0	(4)
или в результате исключения р- / из системы уравнений
Я*, У, р) = 0, ?'р (*, Р) = 0,	(5)
Заметим, что кривые, определяемые уравнениями (4) или (5), не всегда являются решениями уравнения (1); поэтому в каждом отдельном случае необходима проверка.
Пр и м ер 1. Найти общий и особый интегралы уравнения ху'2 + 2ху' - у = 0.
Решение. Решая относительно у\ имеем два однородных уравнения:
/ -1 + /1 + ^, у' = -1 - /1 + ^,
L	х *	f'J х
определенных в области
х(х + у) > О, общие интегралы которых
f O-lf =С; ( /Г^ + lf
k'V х / х kw %	/ х
или
(2х + у - С) -2 Jr2 + ху = 0, (2х ч- у - С) + 2 Jx2 + ху = О,
Перемножая, получаем общий интеграл данного уравнения
(2х 4- у - С)2 - 4(х2 + х^) = О
Или
(у - С)2 = 4Сх
(семейство парабол).
Дифференцируя общий интеграл по С и исключая С, найдем особый интеграл
х + у “ 0.
(Проверка показывает, что х I у = 0 есть решение данного уравнения.)
Особый интеграл можно также найти, дифференцируя хр2 4- 2хр - у = О по р и исключая р.
336
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2°. Решение дифференциального уравнения методом введения параметра. Если дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид
х = ф(1А у'), то переменные у и х могут быть определены из системы уравнений
1	х-ФЙ/.р),
р ду др ds
где р = у' играет роль параметра*
Аналогично, если у = ^(х, у'), то х и у определяются из системы уравнений
+|^, 5-Ф<х,₽).
di/ dp ах
Пример 2, Найти общий и особый интегралы уравнения
Решение, Делая подстановку у' = р, перепишем уравнение в виде
2
у = р2 - хр + у . £
Дифференцируя по х, считая р функцией от х, имеем
р =	+ х.
dx	dx
или ^(2р - я) = (2р - х), или — = 1. Интегрируя, получим р = х 4- С. ах	'	ах
Подставляя в первоначальное уравнение, имеем общее решение: 2	2
у = (х + С) - х(х + С) 4- или у =	+ Сх + С2.
Дифференцируя общее решение по С и исключая С, получаем особое реше-2	2
ние: у = — . (Проверка показывает, что у = — есть решение данного урав-4	4
нения*)
Если приравнять нулю множитель 2р - х, на который было произведено
i.
сокращение, то получим р = - и, подставив р в данное уравнение, пол учим-j 2
2
X
у - — —- то же самое особое решение* 4
Найти общие и особые интегралы уравнений (в №№ 2812, 2813^ построить поле интегральных кривых):
2812. у'2 — — у' + 1 = 0.
9
УУ' - Uy + 1)у' + X = о.
2814*
2
2813. 4у' - 9х = 0.
2815*
о
У!/' - 2ху' + у - О*
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро
337
2	2
2816, Найти интегральные кривые уравнения у' + у = 1, про-
ходящие через точку м( 0;	.
\ & /
Вводя параметр у' = pt решить уравнения:
2817. х = sin у' + In у',	2820. 4у = № + у'2.
2	2
2818. у = у'2^'.	2821. ех =	.
2819. у = у'2 + 21п у'.
§ 8. Уравнения Лагранжа и Клеро
1°. Уравнение Лагранжа, Уравнение вида
у = хф(р) + \р(р),	(1)
где р — у', называется уравнением Лагранжа. При помощи дифференцирования, учитывая, что dy = р dx, уравнение (1) сводится к линейному относительно х:
р dx = ф(р) dx + (х<р'(р) 4- v'(P)]	(2)
Еслир = tp(p), то из уравнений (1) и (2) получаем общее решение в параметрическом виде:
х = Cf{p) + g(p), у = [Cf(p) + £(р)]ф(р) + V(p),
где р — параметр, f(p), g(p) — некоторые известные функции. Кроме того, может существовать особое решение, отыскиваемое обычным приемом,
2й. Уравнение Клеро. Если в уравнении (1) ф(р) = р, то получаем
уравнение Клеро
У = хр 4- ф(р).
Общее решение его имеет вид у = Сх 4- ф(С) (семейство прямых). Кроме того, существует особое решение (огибающая), получающееся в результате исключения параметра р из системы уравнений
х--1|ф),
У = рХ + ф(р).
Пример. Решить уравнение
у = 2у'х 4-	.	(3)
Решение. Полагаем у' = р, тогда у = 2рх + - ; дифференцируя и за-Р
меняя dy на р dx, получим
р dx = 2р dx + 2х dp -
Р
или
dx 2,1
— = — — х 4- — .
Р г?3
338	Гла	ва IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	|
Решив это линейн	□е уравнение, будем иметь	| X = ^т(1пр + С).	I	: р	1
Следовательно, обл	дий интеграл	будет	1 х	= -^(lnp + С)	| ? 1	1 ' у	= 2рх + ~.	$ 	Р	1
Для нахождения тему:	особого интеграла по общему правилу составляем сие- ? у - 2рх + - , 0 = 2х -	f р	Р
Отсюда	1	2 х= —5, У~~ 2рг	Р
и, следовательно,	у = +2^2х.
Подставляя у в является решением рала.	уравнение (3), убеждаемся, что полученная функция не л и, следовательно, уравнение (3) не имеет особого интег-
Решить уравн 2822. у = - х( *	2 1	ения Лагранжа: у' + А).	2824. у = (1 + /)х + /2.
2823. у = у' +	h-y'\	2825*. у =	+ </')• &
Найти общий и особый интегралы уравнений Клеро и построить
поле интегральных кривых:
2826. у = ху' + у'2 „
2827. у = ху' + у'.
2828. у = ху' + Jl + (y'f.
2829. у = ху' + 1.
2830. Найти кривую, для которой площадь треугольника, образованного касательной в любой точке и осями координат, по-стоянна.	f
2831. Найти кривую, если расстояние данной точки до любой ка- 1 сательной к этой кривой постоянно.	1
2832. Найти кривую, для которой отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, имеет постоянную длину L 1
§ 9- Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка
339
§ 9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка
2833. Определить типы дифференциальных уравнений и указать
методы их решения:
а)	(х + у)у' - xarctg ;
б)	(х - у)у' = у2;
в)	у' = 2ху + х3;
г)	у' = 2ху + у3;
д)	ху' + у = sin у;
в)	(У - ху ) = у ;
S.	у'
ж) у = хе ;
з)	(у' - 2xy)Vy = X3;
и)	у' = (х + у)2;
к)	xcos у' + ysin у' = 1;
л)	(х2 - ху)у' - у ;
м) (х2 -г 2ху3) dx + (у2 + Зх2у2) dy = 0;
н) (х3 - Зху) dx + (х2 + 3) dy = 0; о)(ху + In х) dx = у dt/.
Решить уравнения:
2834. а) I х - у cos dx + х cos & dy = 0; б) х In * dy - у dx = 0.
V	xj	X	у
Z 2 Ч >	2
2835, x dx = I — - у 1 dy, 2837. xyr + у = xy In x.
У  /
2836. (2xy2 - y) dx + x dy = 0. 2838. у = xy' + y'Jn y'.
2839. у = xy' + J-ay'.
2840. x2(y + 1) dx + (x3 - l)(y - 1) dy = 0.
2841. (1 + y2)(e2jc dx - e!' dy) - (1 + y) dy = 0.
2842. у' - у2х~Г = 1-	2845. (1 - x2)y' + xy = a.
хг
2843. yey = (y3 + 2xey)y'.
2846. xy' -	- x = 0.
J x + 1
2844. y' + ycos x = sin x cos x. 2847. y'(x cos у + a sin 2y) = 1.
2848. (x у - x2 + у - 1) dx + (xy + 2x -- 3y - 6) dy 0.
/	«-I-2
2849.	/ = [14^j -
2850.	xy3 dx = (x2у 4- 2) dy.
2851.	y' =	---.
x у +1
2852.	2 dx + J| dy - J| dx =
2853.	y' =	+tg2,
X	X
2854.	yy' + y% = cos x.
2855.	x dy + у dx = y2 dx.
2856, y'(x < sin y) = 1,
0.2857. y^ = ~p + ’ dy
2858. x3 dx - (x4 + y3) dy = 0.
340
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2859. ху'2 + Зхуу' + 2у2 = 0.
2860.	+ У&У 4^
/“Т" 2
а/Х + у
2861. еу dx 4- (хе^
xdy- ydx q
2
У
- 2у) dy = 0.
2862. у 2ху' 4- 71 + у'2 -
2863. у" = У- (1 + In у - In х). X
2864, (2ех + у4) dy - уех dx = 0.
2865. у' = 2( + 2 У, кх + у - 1J
2866. ху(ху2 + 1) dy - dx 0.
2867. а(ху' + 2у) хуу'.
2868. х dy - у dx = у2 dx.
2869. (х2 - 1)3/2 dy 4- (х3 + 3xyjx2 ~ 1) dx = 0.
2870. tg х - у = а.
dx
2871. 7а2 4- х2 dy + (х + у - Ja2 + х2 ) dx = 0.
2872. хуу'2 - (х2 + у2)у' + ху = 0.
2873. у = ху' + ~ .
у'2
2874. (Зх2 4- 2ху - у2) dx 4- (х2 - 2ху - Зу2) dy = 0.
2875. 2ур = з/ + 4у2.
Найти решения уравнений при указанных начальных условиях: 2876. у' -	; у = 0 при х = 1.
«X*
2877. е* *у' = 1; у = 1 при х = 1.
2878. y'ctg х 4- у = 2; у = 2 при х = 0.
2879. еу(у' + 1) = 1; у = 0 при х = 0.
2880. у' + у = cos х; у — -
2
при х = 0.
2881. у' - 2у = -х2; у = - при х = 0.
4
2882. у' + у = 2х; у — -1 при х = 0.
2883. ху' - у; а) у = 1 при х = 1; б) у = 0 при х = 0.
2884. 2ху' = у; а) у = 1 при х = 1; б) у = 0 при х = О*
2885.	2хуу' + х3 - у2 = 0; а) у = 0 при х = 0; б) у = 1 при х = 0; в) у = 0 при х — 1.
2886.	Найти кривую, проходящую через точку (0; 1), у которой
подкасательная равна сумме координат точки касания.
2887.	Найти кривую, зная, что сумма отрезков, отсекаемых касательной к ней на осях координат, постоянна и равна 2а.
2888.	Сумма длин нормали и поднормали равна единице. Найти уравнение кривой, если известно, что кривая проходит через начало координат.
2889". Найти кривую, у которой угол, образованный касательной
и радиусом-вектором точки касания, постоянен.
§ 9. Смешанные дифференциальные уравнения 1-го порядка
341
2890. Найти кривую, зная, что площадь, заключенная между осями координат, этой кривой и ординатой любой точки на ней, равна кубу этой ординаты.
2891, Найти кривую, зная, что площадь сектора, ограниченного полярной осью, этой кривой и полярным радиусом любой ее точки, пропорциональна кубу этого радиуса.
2892. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ОХ, равен длине этой касательной.
2893, Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам параболой у2 = 2х,
2894. Найти кривую, у которой нормаль в любой ее точке равна расстоянию этой точки от начала координата.
2895*. Площадь фигуры, ограниченной кривой, осями координат и ординатой какой-либо точки кривой, равна длине соответствующей дуги кривой. Найти уравнение этой кривой, если известно, что она проходит через точку (0; 1).
2896* Найти кривую, у которой площадь треугольника, образованного осью абсцисс, касательной и радиусом-вектором точки ка-2
сания, постоянна и равна а .
2897* Найти кривую, если известно, что середина отрезка, отсекаемого на оси ОХ касательной и нормалью к кривой, есть постоянная точка (а; 0).
При составлении дифференциального уравнения 1-го порядка, особенно в физических задачах, часто бывает целесообразно применять так называемый метод дифференциалов, заключающийся в том, что приближенные соотношения между бесконечно малыми приращениями искомых величин, справедливые с точностью до бесконечно малых высшего порядка, заменяются соответствующими соотношениями между их дифференциалами, что не отражается па результате.
Задача. В резервуаре находится 100 л водного раствора, содержащего 10 кг соли. Вода вливается в резервуар со скоростью 3 л в 1 мин, и смесь вытекает из него со скоростью 2 л в 1 мин, причем концентрация поддерживается равномерной посредством перемешивания. Сколько соли будет содержать резервуар по истечении 1 ч?
Решены е. Концентрацией с данного вещества называется количество его, заключенное в единице объема. Если концентрация равномерна, то количество вещества н объеме Кранио сК,
Пусть количество соли, находящееся в резервуаре по истечении времени t (в минутах), есть х, Количество смеси в резервуаре в этот момент
будет (100 4
0 л и, следовательно, концентрация с =
х
100
кг/л.
В течение промежутка времени di из резервуара вытекает 2dt литров смеси, содержащих соли 2с dt кг. Поэтому изменение dx количества соли н резервуаре характеризуется соотношением
2 л”
-dx 2с dt, или -dx = ----------dt.
100-bt
342
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Это и есть искомое дифференциальное уравнение. Разделяя переменные и интегрируя, получим
1п х = -2 In (100 + t) + In С
или
(100 + t )г
11
Постоянное С определится из условия, что при t = 0 х = 10, т. е. S С = 100 000. По истечении часа в резервуаре будет содержаться соли Ц.!
100000 on
х = ----- кг = о,У кг.	=$
160	v
'll
2898*, Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся около f вертикальной оси, свободная поверхность имеет форму параболоида } вращения.	|;
2899*. Найти зависимость давления воздуха от высоты, если из- j вестно, что это давление равно 10эПа на уровне моря и 9,2’ 104Па |г на высоте 500 м.	f
2900*. Согласно закону Гука, эластичный шнур длины I под дей- £ ствием растягивающей силы F получает приращение длины klF :i (k = const). На сколько увеличится длина шнура под действием его веса W, если подвесить шнур за один конец? (Начальная длина шнура Z.)
2901. Решить ту же задачу при условии, что к концу шнура подвешен груз Р,
При решении задач №№ 2902—2903 использовать закон Ньютона, ио которому скорость охлаждения тела пропорциональна раз- Г, ности температур тела и окружающей его среды*
2902. Найти зависимость температуры Т от времени tt если тело, / нагретое до температуры T$t внесено в помещение, температура ко- / । торого постоянна и равна а.
2903, Через сколько времени температура тела, нагретого до 100°С, понизится до 303С, если температура помещения равна 20°С и за первые 20 мин тело охладилось до 60°С?	/
2904. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти за- | висимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении £ 1 мин вращается со скоростью 60 об/мин*	S
2905*. Скорость распада радия пропорциональна наличному ко- ж личеству его. Известно, что по истечении 1600 лет остается половина Ф первоначального запаса радия* Найти, какой процент радия окажет-ся распавшимся по истечении 100 лет.	Ц
§ 10. Дифференциальные уравнения нысших порядков
343
2906*. Скорость истечения воды из отверстия на расстоянии h по вертикали от свободной поверхности определяется формулой
и = с J2gh ,
где с 0,6 — безразмерный коэффициент, определяемый экспериментально, и g — ускорение свободного падения*
В какое время вода, заполняющая полусферический котел диаметра 2 м, вытечет из него через круглое отверстие на дне радиуса ОД м?
2907*. Интенсивность света, проходящего через тонкий слой воды, уменьшается пропорционально интенсивности падающего света и толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м интенсивность света вдвое уменьшается, то какова будет интенсивность на глубине 30 м?
2908*. Сила сопротивления воздуха при падении тела с парашютом пропорциональна квадрату скорости движения. Найти предельную скорость падения тела.
2909*, Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто смесью соли и нерастворимого вещества. Допуская, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли на 3 л воды) и что данное количество чистой воды растворяет 1/3 кг соли в 1 мин, найти, сколько соли будет содержать раствор по истечении 1 ч.
2910*. Электродвижущая сила е в цени с током ц имеющей сопротивление R и индуктивность L, складывается из падения напря
жения RI и электродвижущей силы самоиндукции L— . Определить
ток i в момент времени J, если е — Е sin wf {£ и 0) — постоянные) и i = 0 при t = 0.
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков
1е. Случай непосредственного интегрирования. Если
(П)	j, ч
у = Л*),
dx ... | /(х) dx
У
|	/"Т	I	I
С,х 4 С„х 4- ... + С .
п раз
2е. С л уч а и понижения порядка. 1) Если дифференциальное Уравнение явно не содержит у, например
F(x, у") - 0,
Ж полагая у' = р, получим уравнение порядка на единицу ниже
Г(х, р, р') = 0.
344
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пример 1, Найти частное решение уравнения ху" + у! + х = О, удовлетворяющее условиям
у = 0, у' = 0 при х = О, Решение. Полагая у' = р, имеем у" — р\ откуда xpf + р + х = 0.
Решая последнее уравнение как линейное относительно функции р, получим 2
х
Px = Ci~ ~2‘
Из условия yf = р = 0 при х = 0 имеем 0 =	— 0, т. е. Cj = 0, Следовательно,
или
dy х
dx 2 *
откуда, интегрируя еще раз, получим
X2 _
У ~ J + С2-
Полагая у = 0 при х = 0, находим С2 = 0. Следовательно, искомое частное решение есть
2) Если дифференциальное уравнение явно не содержит х, например F(x, у\ у") = 0,
то, полагая yf - р, у" = р^ , получим уравнение порядка на единицу ниже dy
Р, = 0’
V dy>
Пр и м е р 2. Найти частное решение уравнения ,f /2	4
УУ ~У = У
при условии у = 0 при х = 0.
Решение, Полагаем у' = р, тогда у" = разуется в следующее:
и наше уравнение преоб-
УР
d£ dy
2	4
~ Р = У *
§ 10. Дифференциальные уравнения высших порядков
345
Мы получили уравнение типа Бернулли относительно р (у считаем аргументом). Решая его, найдем
Р =	+р2 
Из условия у' = р = 0 при у = 1 имеем Сх = -1. Следовательно, р = ±yjy2- 1 или
= ±у 7у2-1. цх
Интегрируя, имеем 1 + п arccos - ± х - Со.
У 2
Полагая у = 1 и х = 0, получим С2 = 0, откуда - = cos х или у — sec х.
Решить уравнения:
2911. у" = 1.
X
2912. у" = --Ц.
2913. у" = 1 -у'2.
2914. ху” + у' = 0.
2915. уу" = у'2.
2916. уу" + у'2 = 0.
2917.(1 + х2)у" + у'2 + 1 = 0.
2918. у'(1 + У'2) = ау".
2919. х2у" + ху' = 1.
2920. уу" = у2у' + у2.
2921.уу"-/(1+/) = 0.
2922. у" = - Д.
У
2923. (х + 1)у" - (х + 2)у' + х + 2 = 0.
2924. ху" = у' In £ .
2926. ху"' + у" = 1 + х.
2925. у’ + 1 (у")2 = ху". 2927. у'"2 + у"2 = 1. 4
Найти частные решения при указанных начальных условиях:
2928. (1 + х2)у" - 2ху' = 0; у = 0, у' = 3 при х = 0.
2929. 1 + у'2 = 2уу"\ у = 1, у' = 1 при х = 1.
2930, уу" + у'2 ~ у'2; у = 1, у' = 1 при х = 0.
2931. ху" = у'; у = 0, у' = 0 при х = 0.
Найти общие интегралы уравнений:
2932. уу' = Jy2 + y'2y" - у'у". 2934. у'2 - уу" = у2у'.
2933. уу" = у'2 + y'Jy2 + y'2  2935. уу" + у'2 - у'2 In у = 0.
346
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Найти решения, удовлетворяющие указанным условиям:
2936. у" y?J - 1; у ----- 1, yf = 1 при х = &
2937. уу" + у'2 = 1; у - 1, у' - 1 при х = О*
2938. ху" = л/1 // 2; у = 0 при х = 1; у = I при х = е2.
2939. у"(1 - In х) 4-	’ у' = 2 - In х; у = - , у' = 1 при х = 1,
х	2
2940. у" =	1 + In П; у
X \	X 2
у' = 1 при X = 1.
2
2941. у" - у'2 + у'(у - 1) = 0; у = 2, у' - 2 при х = 0.
2942. Зу'у" = у + у'3 - 1; у = -2; у' - 0 при х = О,
2943. у2 + у'2 - 2уу" ~ 0; у ~ 1, у' = 1 при х - 0.
2944. уу' + у'2 + у у" ~ 0; у -- 1 при х = 0 и у - 0 при х = — 1*
2945. 2у' + (у'2 - бх) ♦ у"	= 0; у' = 2	при х	= 2.
2946. у'у2 + уу' - у'2 = 0;	у = 1,	у' =	2 при	х = 0.
2947. 2уу" - 3yf2 - 4t/2; у *- 1, у' ~ 1 при х = О,
2948. 2уу" - у2 - у'2 = 0;	у = 1,	у' =	1 при	х - 0.
2949. у" - у’2 - у, у =	, у'	=	1 при х =	1.
2950. у" + ~ еу у'
У
 2УУ'2 = 0; у = 1, у’ = е при х = - X
2с
2
2951. 1 уу" 4- у' = 0; у = 0, у' = 1 при х = 1.
2952. (1 + уу')у" = (1 - у'2)у'; у = 1, у' = 1 при х = 0.
2953. (г - 1)у" + ху'2 = у'; у = -2, у' = 4 при х = 1.
Решить уравнения:
2954. у' •= ху"2 -Ь у"2.
2955. у' = ху" - у" - у"2.
2956. у'"2 = 4у".
2957.	у у у" = у' + у" . Выделить интегральную кривую, проходящую через точку (0; 0) и касающуюся в ней прямой у + х = 0.
2958.	Найти кривые постоянного радиуса кривизны,
2959.	Найти кривую, у которой радиус кривизны пропорционален кубу нормали.
2960, Найти кривую, у которой радиус кривизны равен нормали,
2961.	Найти кривую, у которой радиус кривизны вдвое больше нормали.
§11. Линейные дифференциальные уравнения
347
2962.	Найти кривые, у которых проекция радиуса кривизны на ось ОУ постоянна.
2963, Найти уравнение каната подвесного моста, предполагая, что нагрузка распределена равномерно по проекции каната на горизонтальную прямую. Весом каната пренебречь.
2964*. Найти положение равновесия гибкой нерастяжимой нити, укрепленной концами в двух точках и имеющей постоянную нагрузку q (включая вес нити) на единицу длины,
2965*. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклонной плоскости. Найти закон движения, если угол наклона равен а, а коэффициент трения ц.
Указание. Сила трения равна где N — сила реакции плоскости.
2966*. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно считать пропорциональной квадрату скорости. Найти закон движения, если начальная скорость равна нулю,
2967*. Моторная лодка массой 300 кг движется прямолинейно со скоростью 66 м/с. Сила сопротивления воды пропорциональна скорости лодки и равна ЮН при скорости 1 м/с. Через сколько времени после выключения мотора скорость лодки будет равна 8 м/с?
§ 11. Линейные дифференциальные уравнения
1°, Од нородные уравнения. Функции фг(х), у % =	Уп =
- Фл(х) называются линейно зависимыми на (a, b)t если существуют постоянные Ср	не все ранные нулю, такие, что
C1i/L + С2у2 + ... Спуп = 0 при а < х < Ь;
в противном случае данные функции называются линейно независимыми. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения
yi,,} + Pl(x)y{'1 ~ 1J 4- ... + Рп(х)у = 0	(1)
с непрерывными коэффициентами РДх) (i - 1, 2.п) имеет вид
У = ciVi +	+  +
где у2, yft — линейно независимые решения уравнения (1) (фундаментальная система решений),
2°, Неоднородные уравнения. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения
У ,!} -г рг(х)у{п ’	+ ... + Р,,(х)у - f(x)	(2)
с непрерывными коэффициентами Р.(х) и правой частью f(x) имеет вид
У = Уа 1
где yQ — общее решение соответствующего однородного уравнения (1); У — Частное решение данного неоднородного уравнения (2).
348
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если известии фундаментальная система решений t/2, уг1 однородного уравнения (1)т то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (2) может быть найдено по формуле
У = Ci(x)yl + С2(х)уг + ... + Сп(х)уп,
где функции С.(х) (? = 1, 2, га) определяются из системы уравнений
С[ (X)yi + с2 (х)у2 + ... + С'п(х)уп = О, С"1'+ С2(х)у'2 + ... +Сп(х)у'п =0,
у )>	(3)
с; + с' му^'1~г} +... 1 с'п (х)у^~2} = о,
с; ° ; q (х)У;п ’u +... + с; (х)уп{п п = я*)
IX	ыь	/ ►	J Ь	У
(метод вариации произвольных постоянных).
Пример. Решить уравнение ху" + у' = X2.	(4)
Решение. Решая однородное уравнение ху" у' - 0, получаем у = С, In х + С9.	(5)
1	А
Следовательно, можно принять - In х и у,, = 1 и решение уравнения (4) искать в виде у =- СДх) In х -i- С2(х), Составляя систему (3) и учитывая, что приведенный вид уравнения (4) есть у + 2- — х, получим х
Cj (х)1п X + С'2 (х) 1-0, ci (х)~ + С'2(Х)  о = X. 1 X z
Отсюда Я	3	3
C1(^) = V ! А и с2(х) "-~-lnx + ~ + В О	и	У
и, следовательно, з и = — I A In х -г В, 9
где А и В — произвольные постоянные.
2968.	Исследовать на линейную зависимость следующие системы функций:
а)	х? х 4- 1;	в) 0, 1, х;
2	,;|
б)	х , -2х‘;	г) х, х -г 1, х + 2;
§12. Линейные уравнения 2-го порядка
349
,23	ч .	-
д) х, х , х ;	ж) sm х, cos х, 1;
е) е , е , е ;	з) sin х, cos х, 1.
2969* Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, зная его фундаментальную систему решений:
a)	= sin х, у2 = cos х;
б)	У! = е\ У2 = хе*;
в)У1 = X, у2 = х ;
г) ух = е\ у2 = exsin х, i/3 = eJcos x.
2970, Зная фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения
2 з
t/1 х, у2 = х , у3 = х , найти его частное решение yf удовлетворяющее начальным условиям
- 1 = О’ У L - 1 = У L = i=2-
2971** Решить уравнение
у" + ?у' + </ = 0,
X
зная его частное решение у. =	*
1 X
2972. Решить уравнение
х2(1п х - 1)у" - ху' + у О,
зная его частное решение = х*
Методом вариации произвольных постоянных решить неоднородные линейные уравнения:
2973* х2у" “ ху' = Зх3*
2974*. х2у" + ху' - у = х2*
2975. у"' + у' = sec х.
§ 12, Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
1°. Однородное уравнение. Линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами р и q без правой части имеет вид
у" + ру' + qy - 0.	(1)
Если и k2 — корни характеристического уравнения
ф(/г) = k2 f pk + q 0T	(2}
350
Клана IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
то общее решение уравнения (1) записывается в одном из следующих трех видов:
1)	у	, если k} и k2 вещественны и &2;
Y
2)	у = е 1 (С1 + С2х), если k2\
3)	у = e^CjCOS (Зх + C2sin (Зх), если = ot + |3i и а - |3i (|3 0), 2°. Неоднород иое ура н и ен ие. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
у" + ру' + ЧУ = f(x)	(3)
можно записать в виде суммы
У = Уо '• у> где у0 — общее решение соответствующего уравнения (1) без правой части, определяемое по формулам (1)—(3), и Y — частное решение данного уравнения (ЗУ
Функция У может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:
1. f(x) = еахРп(х)1 где P^(x) — многочлен степени п.
Если а не является корнем характеристического уравнения (2), т. е. (р(а) Ф 0, то полагают У = еи\?п(х), где <2;[(х) — многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.
Если а есть корень характеристического уравнения (2), т. е. <р(а)	0, то
У = xfen*Qn(x), где г — кратность корня а (г = 1 или г =* 2).
2. f(x) = efl*[Prt(x)cos bx + Qm(x)sin bx].
Если <p(a ±	/ 0, то полагают
У = ca*[S v(x)cos bx + Tv(#)siTi frx],
где jSv(x) и УД;(х) — многочлены степени N = max {и, m}>	I
Если же <p(a + fri) = 0, то	||
У == xredl,[SjV(x)cos bx + Tv(x)sin bx], где г— кратность корней а + bi (для уравнений 2-го порядка г - 1).
В общем случае для решения уравнения (3) применяется метод вариации	i
произвольных постоянных (см. § 11). 2х	?
Пример 1. Найти общее решение уравнения 2у" - у' - у = 4хе . -L
2
Решение. Характеристическое уравнение 2k — /? — 1 = О имеет корни
— 1 и h2 —	. Общее решение соответствующего однородного уравнения
£
(первый вид) = C1cJC + С2е 2 . Правая часть заданного уравнения Дх) = = 4хе2* в еяхРп(х), Следовательно, У = е3*(Ах + В), так как п = 1 и г = 0. Дифференцируя У два раза и подставляя производные в данное уравнение, получаем
2е2\4Ах + 4В + 4А) е2х(2Ах 1- 2В + А) - e3jc(Ax + Я) = 4хс2\
§ 12. Линейные уравнения 2-го порядка
351
Сокращая на е и приравнивая друг другу коэффициенты при первых степенях х и свободные члены в левой и правой частях равенства, имеем
5А = 4 и 7А + 5В = 0, откуда А = и В = -™ .
5	25
m й	TZ %*( 4	28^ й
Таким образом, У = е -х-т— , а общее решение данного уравнения <5	25/
есть
<т г а <т 2* . 2х(4	28А
у = сге +с2е +е
Пример 2. Найти общее решение уравнения у" - 2у' + у = хе\
Решение. Характеристическое уравнение k - 2k 4- 1 = 0 имеет двукратный корень k — 1, Правая часть уравнения имеет вид Дх) = хе*; здесь а = 1 и п - 1. Частное решение У = х е (Ах + В), так как а совпадает с двукратным корнем k = 1 и, следовательно, г - 2.
Дифференцируя У два раза, подставляя в уравнение и приравнивая ко-
эффициенты, получим А = - , В = 0. Следовательно, общее решение данного 6
уравнения запишется в виде
/п । п \	, 1 Зя
У = (С\ + С2х)е + - х е .
Пример 3. Найти общее решение уравнения у" + у ~ х sin х.
Решение. Характеристическое уравнение k2 + 1 = 0 имеет корни = I и = -L Общее решение соответствующего однородного уравнения будет [см. (3), где ct = 0 и Р = 1]:
” СдОое х + C3sin х. Правая часть вида
/(х) = еа*[Рл(х)соз bx + Qm(x)sin &х], где а — О, Ь = 1, Рп(х) = 0, Qm(x) = х. Ей соответствует частное решение У = х[(Ах + B)cos х + (Сх + U)sin х]
(здесь N = 1, а = 0, b = 1, г = 1),
Дифференцируя два раза и подставляя в уравнение* приравниваем коэффициенты в обеих частях равенства при cos х, х cos х, sin х и xsinx. В результате получатся четыре уравнения 2А + 2D — О, 4С = О, -2В + 2С = О, -44 = 1т из которых и определяютсяА - -1/4, В = О, С = О, D = 1/4. Поэтому 2 у = - cos г _ sin х, 4	4
Общее решение
2
ц = С,cos х + CnSin х - — cos х + - sin х.
*	1	2	4	4
352
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3°. Принцип наложения решений. Если правая часть уравнения (3) есть сумма нескольких функций
f(x) = /Дх) + /Дх) + ... + fn(x)
и У. (i ~ 1, 2, л) — соответствующие решения уравнений
у" + ру' + qy = /Дх) (i = 1, 2, ..., п),
то сумма
у = У1 + У2 + ... + У является решением уравнения (3).
Найти общие решения уравнений:
2976. у" - 5у' + бу = 0.
2977. у" - 9у = 0.
2978. у" - у' = 0.
2979. у" + у' = 0.
2980. у" - 2у' + 2у = 0.
2981. у" + 4у' + 13у = 0.
2982. у" + 2у' + у = 0.
2983. у" - 4у' + 2у = 0.
2984. у" - ky = 0 (fe # 0).
2985. у = у" + у'.
2986.	= 3.
У
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям:
2987. у"	-	5у' 4-	4у = 0; у	= 5, у" = 8 при х	=	0.
2988. у"	+	Зу' +	2у = 0; у	= 1, у' = -1 при	х = 0.
2989. у" 4- 4у = 0; у = 0, у' = 2 при х = 0.
2990. у"	4-	2у' =	0; у = 1,	у' = 0 при х = 0.
2991. у"	=	; у	= а, у' =	0 при х = 0.
а
2992. у" -г Зу' = 0; у = 0 при х = 0 и у = 0 при х = 3.
2993. у" 4- п2у = 0; у = О при х = 0 и у — 0 при х = 1.
2994. Указать вид частных решений для данных неоднородных уравнений:
х fi А 2 2г
а)	у - 4 г/ = х е ;
б)	у" + 9у == cos 2х;
в)	у" - 4у' -h 4у = sin 2х + е2х;
г)	у" + 2у' + 2у = e*sin х;
д)	У" ” 5е/' 4- бу = (х2 4- 1)е* 4- хе2*;
е)у" - 2у' + 5у = xe*cos 2х - x2e*sin 2х.
Найти общие решения уравнений:					X “ У = е -
2995.	у"	- 4у' + 4у = X .	2999.	у"	
2996.	У"	- у' + у = х3 + 6.	3000.	у"	-И у = cos X.
2997.	у"	+ 2у' + у = е2г.	3001.	у"	4- у' - 2у = 8sin 2х.
2998.	у"	- 8у' + 7у = 14.	3002.	t f У	4- у — (и/ = хе .
§ 12. Линейные уравнения 2-го порядка
353
3003. у" - 2у' + у = sin х + sh х,
3004. у" 4- у' = sin2 х.
3005. у" - 2у' -г 5у = eVos 2х.
3006* Найти решение уравнения у" + 4у = sin х, удовлетворяющее условиям у = 1, у' = 1 при х = 0.
Решить уравнения:
d 2
3007* *— + со х = Asin pt. Рассмотреть случаи: 1)р Ф ш; 2)р = со. dt2
3008. у" - 7у' + 12у = -е4х.
3009. у" - 2у' = х2 - 1.
ЗОЮ. у" - 2у' + у = 2ех.
ЗОН. у" - 2у' = е2х + 5.
3012. у" - 2у* - Sy = е* - 8cos 2х.
3013* у" + у' = 5х 4- 2ех*
3014* у" - у' = 2х - 1 - Зе*.
3015* у" + 2у' + у- е + е-\
3016* у" - 2у' + 10у = sin Зх 4- е\
3017. у" - 4у' + 4у = 2ех + |.
3018* у" - Зу' = х + cos х.
3019* Найти решение уравнения у" - 2у' = е2х + х2 - 1, удовлет-
воряющее условиям: у =
у' = 1 при х = О.
Решить уравнения:
3020* у" - у = 2xsin х,
3021* у" - 4у = e2xsin 2х*
3022* у" 4- 4у = 2sin 2х 3cos 2х + 1*
3023. у” “ 2у' + 2у = 4eVin х*
3024. у" = хе* + у.
3025. у" + 9у = 2xsin х + хе3**
3026. у" - 2у' - Зу = х(1 + е3*)*
3027* у" - 2у' = Зх + 2хе*.
3028* у" - 4у' +4у = хе2**
3029* у" + 2у' - Зу - 2хе'3< + (х + 1)ех.
3030*, у" + у 2xcos х cos 2х*
3031. у" - 2у = 2xe*(cos х - sin х).
^2 Задачи
и упражнения
354
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Применяя метод вариации
произвольных постоянных, решить
уравнения:
3032.	у" + у - tgx.
3033.	/' + i/ = ctg х.
3034.	v" - 2y' + I/ =	.
X
3035.	у" + 2y' + у = ^ .
3036.	y" + y = —.
COSX
3037.	у" + у = — .
sinx
3038.	a) y” - у = th x;
6)y" - 2y = 4xV2
3039. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины* Найти уравнение движения, которое будет совершать один из этих грузов, если другой оборвется.
Решение. Пусть увеличение длины пружины под действием одного груза в состоянии покоя равно а и масса груза т. Обозначим через х координату груза, отсчитываемую по вертикали от положения равновесия при наличии одного груза. Тогда
_.2
т~- = mg - k(x + а),
dt2
где, очевидно, k = —- и, следовательно, ---- “ --х. Общее решение есть
a	df2 а
х = С-, cos - t 4- С., sin - t, Начальные условия дают х = а и —% = О при
1 А|а 2 л|а	dt
/ = 0; отсюда = а и С2 = 0, следовательно,
х = a cos
3040*. К пружине с коэффициентом жесткости k подвешен груз массой т. Найти период колебательного движения, которое будет совершать этот груз, если его слегка оттянуть от положения равно
весия и затем отпустить.
3041*. Груз массой М подвешен на пружине с коэффициентом жесткости Л. Найти уравнение движения груза, если верхний конец пружины совершает вертикальное гармоническое колебание у = Asin cot и в начальный момент груз находился в покое (сопро
тивлением среды пренебрегаем).
3042. Материальная точка массы т притягивается каждым из £ двух центров с силой, пропорциональной расстоянию {коэффициент || пропорциональности равен fe). Найти закон движения точки, зная, т что расстояние между центрами 2Ь, в начальный момент точка на-ходилась на отрезке, соединяющем центры, на расстоянии с от се-редины его, и имела скорость, равную нулю.	1
§ 13. Линейные уравнения порядка выше 2-го
355
3043, Цепь длины 6 м скользит вниз с подставки без трения* Если движение начинается с момента, когда свисает 1 м цепи, то во сколько времени соскользнёт вся цепь?
3044*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью ш около перпендикулярной к ней вертикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения* Найти законы движения шарика относительно трубки, считая, что:
а)	в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси вращения и начальная скорость шарика равна нулю;
б)	в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел начальную скорость и().
§ 13.	Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше 2-го
Г. Од норо д н ое уравнение. Фундаментальная система решений .,*, уп однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
У{Л} +	’ п + ... + ар гу' + апу = 0	(1)
строится на основе характера корней характеристического уравнения kn + axkn 1 + ..* + a^k +	= 0*	(2)
А именно: 1) если h есть вещественный корень уравнения (2) кратности т, то ему соответствует т линейно независимых решений уравнения (1): kx	kx	ml ^x
уг - e , У2 = хе ..... Ут	= X е ;
2) если (X ± Pi — пара комплексных корней уравнения (2) кратности м, то ей соответствует 2т линейно независимых решений уравнения (1):
ах л	их . п	«х л	ах . л
t/l = е cos рх, у2 е sm рх, = хе cos Рх, у4 = хе sin рх, ... , m - 1 ах о	m - 1 ах . л
У 2т - 1 " Х е C0S	= Х е Sin ₽Х-
2°, Неоднородное уравнение* Частное решение неоднородного уравнения
уМ +	“ u + ... + ап . гу' + апу = f{x)	(3)
отыскивается на основе правил § 12, 2° и 3е* Найти общие решения уравнений:
3045.	у"'	- 13у" 4- 12у' = 0.	3050.	IV У	+ 4у = 0.
3046.	у"'	- у' = 0.	3051.	IV У	г 8у" + 16у = 0.
3047.	у"'	+ i/ = 0.	3052.	IV У	+ у’ = 0.
3048.	IV У	- 2у" - 0.	3053.	IV У	- 2у” + у = 0.
3049.	У'”	- Зу" + Зу' - у = 0.	3054.	IV У	- аАу = 0.
356	Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3055.	IV У	—	бу" + 9у = 0.	3057. yIV	4-	2у"' + у" = 0.	
3056.	IV У	4-	а у" = 0.	3058. yIV	+	2у" + у = 0.	
3059.	(л) У	+	Л (П - 1) , п(п - 1) 12	/"г’ + ...	+	^у' + у = о.	
3060.	TV У	—	2у"' + у" = е*.	3064.у'"	+	у" = х2 + 1 4- Зхе\	• •<
3061.	TV У	—	2у'" + у" = г3.	3065.у'"	4-	л f ।	X j У + У + У = хе .	£ .'з
3062.	У"'	—	у = х3 - 1.	3066.у'"	+	у' = tgx sec х.	у £
3063.	IV У	4-	у"' = cos 4х.				л» .м ь«а
3067. Найти частное решение уравнения у'" + 2у" + 2у' + у = х, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = у'(0) = у”(0) = 0.
§ 14. Уравнения Эйлера
Линейное уравнение вида
(ах + Ь)пу(п} + А/ах + Ь)п~ Гу{п Г) + ... + Ап _ г(ах + b)y' + Апу = Дх), (1)
где а, Ъ, Ар Art _ р Дд — постоянные, называется уравнением Эйлера.
Для области ах + b > 0 вводим новую независимую переменную t, полагая । t * ах + о = е .
Тогда
. ' tdy
(/ = ае at
и т. д.
и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными коэффициентами. При ах + b < 0 полагаем ах 4- b = -е\
Пример 1. Решить уравнение х2у" 4- ху' + у - 1.
Решение. Полагая х = е\ получим
dy _ -tdy dy Р2‘[^Я_^У
d* dt ’ d/2 ^df2 ‘
Следовательно, данное уравнение примет вид
,2
о у ।	1
—% + У =
dt2
откуда
у = Cj cos i 4- C? sin t + 1
§ 14. Уравнения Эйлера
357
или
у = С2 cos (In х) + С? sin (In х) 4- 1.
Для однородного уравнения Эйлера
х у ' + Axx у + ... + Ап._1ху + А^у = 0	(2)
при х > 0 решение можно искать в виде
У = х*-	(3)
Подставляя в (2) у, у‘,	у^\ определяемые из соотношения (3), получим
характеристическое уравнение, из которого можно найти показатель k.
Если k — действительный корень характеристического уравнения кратности т, то ему соответствуют т линейно независимых решений
i/j = х , y2 = xlnx, р3 = х(1пх)1 ... , уга = х(1пх)
Если а ± pi — пара комплексных корней кратности т, то ей соответствует 2т линейно независимых решений
Vi = х* cos (Р In х), у2 = х£ sin (р In х), у$	#cos (pin х),
у4 = ха In х sin (Р In х), ... , у2т 1 = xa(ln х)т ~ 1 cos (pin х),
У2т = Х<1(1П	1 Sin (₽ 1П
Пример 2, Решить уравнение xZy" - Зху' + 4у = 0.
Р е ш е н и е. Полагая
У ~ х\ у' = kxk ~ \ y,f = k(k - Y)xk й.
Подставляя в данное уравнение, после сокращения на хк получим характеристическое уравнение
k2 - 4fe + 4 = 0.
Решая его, находим
А’ = й = 2,
J	А
следовательно, общее решение будет
л 2 . „	21
у = Схх 4- С2х In х.
Решить уравнения:
3068. х2^ + Зх^< + у = 0.	3072. (Зх + 2)у" + 7у' = 0.
dx2 ах
3069. х2у" - ху' - Зу = 0.	3073. у" =	.
х2
3070. х2у" -г ху' + 4у = 0.	3074. у" + / i = 0.
X х
3071- х*у"' - Зх2у" + bxyf - бу = 0. 3075. х2у" — 4ху' 4“ бу = х.
358
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3076. (1 + х)2у" - 3(1 + х)у' + 4у = (1 + х)3.
3077. Найти частное решение уравнения Х2у" - ху' + у = 2х,
f
удовлетворяющее начальным условиям: у = 0, у' = 1 при х — 1.
§ 15. Системы дифференциальных уравнений
Метод исключения. Для нахождения решения, например, нормальной системы двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, т. е. системы вида
= Кх, у, г),	= g(x, у, г),	(1)
ах	ах
разрешенной относительно производных от искомых функций у и z, дифференцируем по х одно из них. Имеем, например,
_ df + df , . df
dx2 дх ду dz
(2)
Определяя z из первого уравнения системы (1) и подставляя найденное ВЫ’ ражение
z - ср
в уравнение (2), получим уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функ-цией р. Решая его, находим
у =	С2),	(4)
где С, и С9 — произвольные постоянные. Подставляя функцию (4) в формулу 1	м
(3), определяем функцию z без новых интеграций. Совокупность формул (3)
и (4), где у заменено на у, дает общее решение системы (1).
Пример. Решить систему
Решение. Дифференцируем первое уравнение по х:
+	4 4— = 4.
Лу2 dx dx
Из первого уравнения определяется z
- [1 + 4х -	- 2 у | и тогда из
4 k dx ;
r	dz 3 2	1
второго будем иметь — = - х -г х -dx 2	4
3	Icly т-r	dz
- у -	• Подставляя z и — в
2	4dx	dx
§15. Системы дифференциальных уравнений
359
уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к уравнению 2-го порядка с одной неизвестной у:
^-4	- Ъу = 6х2 - 4х + 3.
dx2 ^х
Решая его, найдем ~ 2х . ~ Яг .	2 .
у = Cte + С2е + х + х
и тогда
1 (. , л dp о А	2х , ^2 -Зх 12
4... dx	1	4	2
Аналогично можно поступать и н случае системы с большим числом уравнений.
Решить системы:
3078.<	d£ dx dz dx	—			dx dz cfr	= У + z, = X + у + z.
			-y.	3083.<		
	&	—	у + 5z,		dp	+ 2y + z = sin x,
	dx				dx	
3079.< ।	dz dx	+	у + 3z = 0.	3084.<	dz dx	- 4y - 2z = cos x.
	dy dx	=:	-3y - z,		d£ dx	+ 3y + 4z = 2x,
3080. <;	dz			3085. <<	dz	
			у - z.			- у - z ~ x;
	dx				dx	
					У =	0, z = 0 при x = 0.
	f dx					
	| dt 1		Уу		dy	- 4x - и 4 36t = 0,
3081. <	' dy d/	=		3086. <	dx dz	+ 2x - у + 2ef = 0,
	dz				dx	
		—1	X.			
	dt					
	dx		у + Z,			
	dt				dy	2
3082, <	dj/ *1 .	—	X + 2,	3087. <	dx	> Z
	dt				dz	1
	dz	—	X + I/.		dx	- 2^
	dt					
360
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3088* а)  dx -г + Зху
dy „ dg , о 3 О 2	’
2у 2у z
х-у	х + у	2
в) = _^iL =	, выделить интегральную кривую»
y-z	z-x	х-у
проходящую через точку (1; 1; — 2)-
	+ dx
3089. <	dz + dx
2=1,
4 у= 1п х* X
3090, 5

,2
5Ц + 2у + 4z = ех, dx2
d32	о
—- - у - 3z = - х.
dx
3091**. Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью под углом а к горизонту. Найти уравнение движения снаряда, принимая сопротивление воздуха пропорциональным скорости.
3092*. Материальная точка М притягивается центром О с силой, пропорциональной расстоянию. Движение начинается из точки А на расстоянии а от центра с начальной скоростью перпендикулярной отрезку ОА. Найти траекторию точки М.
§ 16. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
Если интегрирование дифференциального уравнения при помощи элементарных функций не удается, то его решение в некоторых случаях можно искать в виде степенного ряда оо
у = у ’ *0Л	(О
п - 0
Неопределенные коэффициенты сп (п = 0, 1, 2, ...) находятся путем подстановки ряда (1) в уравнение и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях бинома х - х0 в левой и правой частях полученного равенства.
Можно также искать решение уравнения у' = /(ж, у), где у(х0) = 1/0,	(2)
в виде ряда Тейлора 00 fH 1 (.Л ) у X
у(х} =	— n!*0 (х - ЖО)П.	(3)
л =0
§16. Интегрирование уравнений
361
где у(х0) = у0, у'(х0) = Лт0, у1}) и дальнейшие производные уМ(х0) (п = 2, 3, ...) последовательно находятся при помощи дифференцирования уравнения (2) и подстановки вместо х числа xQ.
Пример 1* Найти решение уравнения у" - ху = О, если у = j/v, у' = у'о при х = 0.
Решена е. Полагаем
У = с0 +
отсюда, дифференцируя, получаем
у" = 2 ’	+ 3 ’ 2с3х 4-	+ п(п - 1)сдхп ' 2 + (л + l)racrt л. i*n 1 +
+ (л + 2)(л + 1)сп + 2хп + • „ .
Подставляя у и у” в данное уравнение, приходим к тождеству [2 * 1с2 + 3 * 2е3х + ... + п(п - 1)спхп 2 4- (л 4- 1)ясп + jXrt 1 4-+ (л 4- 2)(п 4- l)cfl + 2хп 4- ..] - х[с0 4-	4- спхл + .. J О,
Собирая в левой части полученного равенства члены с одинаковыми степенями х и приравнивая нулю коэффициенты при этих степенях, будем иметь:
Сл	<?1
с, = 0;	3 * 2сч	- сп	= 0, с, - —; 4 * Зсл - с. = 0, сл-	-—- ;
z ’	<> о ’ з Я-2	4	*	’4	4’3
5  4с5 - с2 = 0, с5 = — ит. д.
Вообще, с	со	е = ._________£1__________
Зк 2-3-5-6...(3fe-l)3fe ’ 34 + 1	3-4-6-7...3fc(3bl) ’
c3it + 2 = 0 (^ = 1, 2, 3, ...).
Следовательно,
/36	3k	ч
У °1	2 - 3	2 - 3 - 5-6	2-3<5-6.„(Зй-1)ЗА "J
z	4	7	3k+l	х
+ С1 х + ^~ +	/	 + ... +	+ - ’ <4>
k t>  4	d‘40-7	о  4  о - i	4-1)	7
где с0 - yQ и <4 = у'г
Применяя признак Даламбера, легко убедиться, что ряд (4) сходится при
< х <
Пример 2, Найти решение уравнения
У' = * + yG= Z/W = 1-Решение, Полагаем
. /	I ^0 2 L ^0 3 .
У = Уо + У йх + 27 х +	+ -
362
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Имеем = 1,/о = О1 1 = 1. Дифференцируя обе части уравнения у' = х 4 у, последовательно находим у" — X 4- у\ у"$ = 14-1 = 2, у'" = у'\ у'"'	2 и
т. д. Следовательно,
</= Ц- х +	+ £ X3 -Г ... .
Для разбираемого примера найденное решение можно записать в конечном виде
у = 1 4- х 4 2(е* -1-х) или у 2е*	1 - х.
Аналогично следует поступать в случае дифференциальных уравнений высших порядков. Исследование сходимости полученных рядов, вообще говоря, сложно и при решении задач этого параграфа обязательным не предполагается.
Найти с помощью степенных рядов решения уравнений при указанных начальных условиях.
В №№3097, 3098, 3099f 3101 исследовать сходимость полученных решений.
3093.	у' = у 4- у = -2 при х = 0.
3094.	у' = 2у + х ~ 1; у = i/Q при х = 1.
3095.	yf = у2 4- х3; у = | при х — 0.
£
3096, у' = хй - у2\ у = 0 при х = 0.
3097. (1 - х)у' = 1 + х-у; у = 0 при х = 0.
3098*. ху" 4- у = 0; у - 0; у' = 1 при х = 0.
3099. у" 4- ху = 0; у = 1; у' = 0 при х = 0.
3100*. у" + -у' + у = 0; у = 1, yf = 0 при х = 0.
3101*. у" + -у' 4- у = 0; у = 1, у' = 0 при х = 0. ’ X
3102. ^4 + xcos £ = 0; х = а, = 0 при t = 0.
dt2
§ 17. Задачи на метод Фурье
Для нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных по методу Фурье сначала отыскивают частные решения этого уравнения специального типа, каждое из которых представляет собой произведение функций, зависящих только от одного аргумента. В простейшем случае имеется бесконечная совокупность таких решений ип (п = 1, 2, ...), линейно независимых в любом конечном числе между собой и удовлетворяющих заданным граничным условиям. Искомое peine-
§17, Задачи на метод Фурье
363
нис и представляется в виде ряда, расположенного по этим частным решениям:
11 = X Спип-	(!)
п = 1
Остающиеся неопределенными коэффициенты С?1 находятся из начальных условий.
Задача. Поперечное смещение и ~ и(х9 t) точек струны с абсциссой х в момент времени t удовлетворяет уравнению
du 2d и	,пч
— = а — > dt dx
2 Л) //р
где а == — (7V — сила натяжения, р — линеи- // р
пая плотность струны). Найти форму струны в момент времени t, если концы ее х = 0 и х = I закреплены и в начальный момент t = 0 струна
имела форму параболы и =	х(1 - х) (рис. 107)
Г
и точки се имели скорость, равную нулю.
Решение. Согласно условию задачи требуется найти решение и = u(x, t) уравнения (2), удовлетворяющее граничным условиям:
u(0, t) = 0,	0 = 0	(3)
и начальным условиям:
и(х, 0) = — х(1 - х), и' (х, 0) = 0.	(4)
Г
Ищем ненулевые решения уравнения (2) специального вида и = X(x)T(t), Подставив это выражение в уравнение (2) и разделив переменные, получим
и
a2T(t)
Так как переменные х и t являются независимыми, то тождество (5) возможно лишь в том случае, когда общая величина отношения (5) будет постоянной. Обозначая эту постоянную через -А2, найдем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
T"(t) + (ал)2 T(t) = 0 и Х"(Х) + /ЛХ(.г) = 0.
Решая эти уравнения, получим
T(t) = Ac os aAt 4 Bsin а/Л,
Х(х) = Ceos Ах + Dsin Ах, где А, В, С, I) — произвольные постоянные. Из условия (3) имеем АГ(О) = 0 и *(0 - о, следовательно, С = 0 и sin УЛ = 0 (так как D не может одновременно с С быть равно нулю). Поэтому Afe =	, где k — целое число. Легко у бе-
364
Глава IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛ Ы1ЫЕ УРАВНЕНИЯ
диться, что мы не потеряем общности, взяв для k лишь положительные зна-чения (£ = 1, 2,3,.,.). Каждому значению соответствует частное решение |
( . &U7U . „ . kan ,V;„ = cos	sin —— t I sm —— ,
удовлетворяющее граничным условиям (3),
Составим ряд
. kant , о kant А . Ляд: и = Ч Ад cos------ + В* sin —j— sm —— ,
\	/	I J I
k = 1
сумма которого, очевидно, удовлетворяет уравнению (2) и граничным условиям (3),
Подберем постоянные А, и В. так, чтобы сумма ряда удовлетворяла на-
Гь
чальным условия^ (4). Так как
Эи ЧТ1 kan ( л . kant . n feant \ . £лх
57 - Z -ТГ-’*””— +В.0»» —Js-n—.
Jt = 1
то, полагая t = 0, получим
и(х, 0) = A sin
* = 1 1 и
ди(х, 0) = Y В sin — = О dt	I к I
k = 1

Следовательно, для определения коэффициентов Ак и Bk надо разложить в 4h
ряд Фурье ио одним синусам функцию и(х, 0)	— х(/ - я) и функцию
i2
du(x, 0) = q
dt
По известным формулам (гл. VIII, § 4, 3°) имеем
§17. Задачи на метод Фурье
365
3103*. В начальный момент t = 0 струна, закрепленная на концах х — 0 и х — I, имела форму синусоиды и = A sin ~ , причем скорости точек ее были равны нулю. Найти форму струны в момент времени t.
3104*, В начальный момент t — 0 точкам прямолинейной струны
О < х < I сообщена скорость = 1* Найти форму струны в момент
времени t, если концы ее х = 0 и х = I закреплены (см* № 3103),
3105*. Струна длиной I — 100 см, закрепленная на концах х = 0 и х в начальный момент оттянута в точке х = 50 см на расстояние Л = 2 см, а затем отпущена без толчка. Определить форму струны для любого момента времени t,
3106*, При продольных колебаниях тонкого однородного прямолинейного стержня, ось которого совпадает с осью ОХ, смещение и = u(x, t) поперечного сечения стержня с абсциссой х в момент времени t удовлетворяет уравнению
д2и _ 2д3и
2 а 2 * dt дх
2 Е
где а = — (Е — модуль Юнга, р — плотность стержня). Определить продольные колебания упругого горизонтального стержня длины I = 100 см, закрепленного на конце х = 0 и оттянутого на конце х = 100 на длину AZ = 1 см, а затем отпущенного без толчка,
3107*. Для прямолинейного однородного стержня, ось которого совпадает с осью ОХ, температура и = u(x, t) в сечении с абсциссой х в момент времени t при отсутствии источников тепла удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди = „2д2 и
dt Эх2 ’
где а — постоянная* Определить распределение температуры для любого момента времени t в стержне длины I = 100 см, если известно начальное распределение температуры
и(х, 0) = 0,01х(100 - х).
Глава X
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1* Действия с приближенными числами
Iе. А б с о л ю т н а я погрешность. Абсолютной погрешностью (абсолютной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точное число А, называется абсолютная величина разности между ними. Число А, удовлетворяющее неравенству
|А - а| А,	(1)
называется предельной абсолютной погрешностью. Точное число А находится в границах а — Д А < а + Д или» короче, А = а + Д.
2°, Относительная погрешность. Под относительной погрешностью (относительной ошибкой) приближенного числа а, заменяющего точное числоА (А > 0), понимается отношение абсолютной погрешности числа а к точному числу А. Число 5, удовлетворяющее неравенству
И—21 с 5,	(2)
А
называется предельной относительной погрешностью приближенного числа а. Так как на практике А ~ а, то за предельную относительную погреш-й А ностъ часто принимают число о = - .
а
Зп.Чис ло верных десятичных знаков. Говорят, что положительное приближенное число а, записанное в виде десятичного разложения, имеет п верных десятичных знаков (цифр) в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает - единицы п-го разряда.
В этом случае при п > 1 за предельную относительную погрешность можно принять число
1	< 1 V ’" 1
3^11
2К10/
где k — первая значащая цифра числа а. Обратно, если известно, что
_1	<1У[ -1
2(fc + l)UoJ
, то число а имеет п верных десятичных знаков в узком
смысле. В частности, число а заведомо имеет п верных знаков в узком смыс-
ле, если б	,
2	k ю;
§ 1. Действия с приближенными числами
367
Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превышает единицы последнего разряда (таковы, например, числа, возникшие при измерении с точностью до соответствующей единицы), то говорят, что все десятичные знаки этого приближенного числа верные в широком смысле. При наличии большего числа значащих цифр в приближенном числе последнее, если оно является окончательным результатом вычислений, обычно округляют так, чтобы все оставшиеся цифры были верными в узком или широком смысле,
В дальнейшем мы будем предполагать, что в записи исходных данных все цифры верные (если не оговорено противное) в узком смысле. Что касается результатов промежуточных вычислений, то они могут содержать одну-две запасные цифры.
Заметим, что примеры этого параграфа, как правило, представляют собой результат окончательных вычислений и поэтому ответы к ним даются приближенными числами, содержавшими лишь верные десятичные знаки.
4°, Сложение и вычитание приближенных чисел. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих чисел. Поэтому, чтобы иметь в сумме небольшого количества приближенных чисел, все десятичные знаки которых верны, лишь верные цифры (по меньшей мере в широком смысле), следует подравнять все слагаемые по образцу того слагаемого, десятичная запись которого обрывается ранее других, сохраняя в каждом из них запасной знак. Затем сложить полученные числа, как точные, и округлить сумму на один знак.
Если приходится складывать неокругленные приближенные числа, то их следует округлить, сохраняя в каждом из слагаемых один-два запасных знака, а затем руководствоваться приведенным выше правилом сложения, удерживая соответствующие лишние знаки в сумме до конца выкладок.
Пример 1, 215,21 I 14,182 + 21,4 = 215,2(1)+14,1(8) 4 21,4 = 250,8.
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не превышает наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
Относительная погрешность разности не поддается простому учету. Особенно неблагоприятна в этом смысле разность двух близких чисел.
Пример 2. При вычислении приближенных чисел 6,135 и 6,131, с четырьмя верными десятичными знаками, получаем разность 0,004, Предель-
4-0.001 + 4. о, 001
2	2	1
пая относительная погрешность ее равна 8 =--- 4--------- = - =0,25;
0,004	4
следовательно, ни один знак разности не является достоверным. Поэтому следует по возможности избегать вычитания близких между собой приближенных чисел, преобразуя, в случае надобности, данное выражение так, чтобы зга нежелательная операция отсутствовала,
5°, Умножение и деление приближенных чисел. Предельная относительная погрешность произведения и частного приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей этих чисел. Исходя из этого и применяя правило числа верных знаков (3й), мы сохраняем в ответе лишь определенное количество знаков.
368
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Пример 3. Произведение приближенных чисел 25,3 ’ 4,12 = 104,236.
Предполагая, что все знаки сомножителей верные, получаем, что предельная относительная погрешность произведения
8 =	0,01 + -Ц 0,01 = 0,003.
Отсюда число верных знаков произведения равно трем и результат, если он является окончательным, следует писать так: 25,3'4, 12 = 104 или точнее 25,3 ’ 4,12 = 104,2 + 0,3.
6°. Возведение в степень и извлечение корня из приближенных чисел. Предельная относительная погрешность т -й степени приближенного числа а равна m-кратной предельной относительной погрешности этого числа.
Предельная относительная погрешность корня т-й степени из прибли-
женного числа а составляет — -ю часть предельной относительной погреш-т
ности числа а.
7°, Вычисление погрешности результата различных действий над приближенными числами. Если Дар Л — предельные абсолютные погрешности приближенных чисел ар ап, то предельная абсолютная погрешность A S результата
s = f(a1..ая)
приближенно может быть оценена по формуле
AS =
а/
ЭЯ!
А + ... +
а/
'дап
А а . л
Предельная относительная погрешность S тогда равна
5S = ££ -	а/	Да1 —-1+	+	аг		3 1п /	А	. +	a in г	А а .
|s|		и	da„	1Л	да ]_		<tan	л
Пример 4, Вьгчислить5 = In (10,3 + Т<4 ); приближенные числа 10,3 и 4,4 верны в написанных знаках.
Решение. Подсчитаем сначала предельную абсолютную погрешность AS в общем виде: S = In (а + Jb ), AS = —-— f Да +	. Имеем Да - Ad ~	;
л/i, 4 = 2,0976...; мы оставляем 2,1, так как относительная погрешность ,	Га~а 11	1 й
приближенного числа a/4s 4 равна 2 ' 40 80 ’ абсолютная погрешность тогда равна = 2 *	; за десятые доли можно поручиться. Следова-
тельно,
271) ' 12, 4  20 (? + 47г) “ 2604 ~ °’005’
10. 3 + 2, 1 120 + 2 ’ 20 
Значит, сотые доли будет верны.
§ 1. Действия с приближенными числами
369
Теперь ведем вычисления с одним запасным знаком:
1g (10,3 + JO ) = 1g 12,4 = 1,093; In (10,3 + ЛЛ ) = 1,093  2,303 = 2,517,
Получаем ответ: 2,52*
8°. Установление допустимых погрешностей приближенных чисел при заданной погрешности результата действий над ними* Применяя формулы пункта 7 ири заданных нам величинах AS или 5S, считая при этом равными друг другу все
частные дифференциалы
э/
Эа^
Да,
или величины
df
да, \f\
мы вычисляем
допустимые абсолютные погрешности Да1...Д ап, **. приближенных чисел
ар ,*,, ап, входящих в действия (принцип равных влияний).
Следует отметить, что иногда при подсчете допустимых погрешностей аргументов функции невыгодно пользоваться принципом равных влияний, так как последний может предъявить практически невыполнимые требования* В этих случаях рекомендуется разумно перераспределить погрешности, если это возможно, с таким расчетом, чтобы суммарная погрешность не превышала заданной величины* Таким образом, поставленная задача, строго
говоря, неопределенна*
Пример 5* Объем «цилиндрического отрезка», т* е* тела, отсеченного от кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания,
2 з
равный 2/?, под углом а к основанию, вычисляется по формуле V = -R tg а* и
С какой точностью следует измерять радиус R ~ 60 см и угол наклона ct, чтобы объем цилиндрического отрезка был известен с точностью до 1%?
Решение. Если AV, ДЯ и Да — предельные абсолютные погрешности величин И, R и а, то предельная относительная погрешность вычисляемого объема V есть
§ = ЗЛЯ + 2А<х 1 7? sin2a 100'
_	ЗАЯ	1 2Да <1 п
Полагаем —- С —- и .	ч —— * Отсюда
Я 200 sin2a 200
Я 600
60 см
600
= 1 мм;
sin2(X
400
1 400
рад = 9'.
Итак, мы обеспечим требуемую точность ответа в 1%, если будем измерять радиус с точностью до 1 мм, а угол наклона а с точностью до 9'.
3108* В результате измерения получены верные в широком смысле в написанных знаках приближенные числа:
а) 12°07'14"; б) 38,5 см; в) 62,215 кг*
3109* Вычислить абсолютные и относительные погрешности приближенных чисел, верных в узком смысле в написанных знаках:
а) 241,7;	6)0,035; в) 3,14*
370
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
3110.	Определить число верных знаков и дать соответствующую запись приближенных чисел:
а)	48 361 при точности в 1%;
б)	14,9360 при точности в 1%;
в)	592,8 при точности в 2%.
3111.	Произвести сложение приближенных чисел, верных в написанных знаках:
а)	25,386 4 0,49 4 3,10 4 0,5;
б)	1,2  102 + 41,72 + 0,09;
в)	38,1 + 2,0 + 3,124.
3112.	Произвести вычитание приближенных чисел, верных в написанных знаках:
а) 148,1 -- 63,871; б) 29,72 - 11,25; в) 34,22 - 34,21.
3113*. Вычислить разность площадей двух квадратов, стороны которых по измерению равны 15,28 см и 15,22 см (с точностью до 0,05 мм).
3114.	Вычислить произведение приближенных чисел, верных в написанных знаках:
а) 3,49 * 8,6; б) 25,1  1,734; в) 0,02  16,5.
Указать возможные границы результатов.
3115.	Стороны прямоугольника равны 4,02 м и 4,96 м (с точностью до 1 см). Вычислить площадь прямоугольника.
3116.	Вычислить частное приближенных чисел, верных в написанных знаках:
а) 5,684 : 5,032; б) 0,144 : 1,2; в) 216 : 4.
3117.	Катеты прямоугольного треугольника равны 12,10 см и 25,21 см (с точностью до 0,01 см). Вычислить тангенс угла, противолежащего первому катету.
3118.	Вычислить указанные степени приближенных чисел (основания степеней верны в написанных знаках):
а) 0,41582; б) 65,23; в) 1,52.
3119.	Сторона квадрата равна 45,3 см (с точностью до 1 мм). Найти площадь квадрата.
3120.	Вычислить значения корней (подкоренные числа верны в написанных знаках):
а) 72/715 ; б) 37б5, 2 ; в) 781,1 .
3121.	Радиусы оснований и образующая усеченного конуса равны: R = 23,64 см ± 0,01 см, г = 17,31 см ± 0,01 см; Z = 10,21 см ± 4 0,01 см; число л = 3,14. Вычислить по этим данным полную поверхность усеченного конуса. Оценить абсолютную и относительную погрешности результата.
1 Верные знаки понимаются в узком смысле.
§ 2. Интерполирование функций
371
3122. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15,4 см ± г 0,1 см; один из катетов равен 6,8 см ± 0,1 см. Как точно могут быть определены по этим данным второй катет и прилежащий к нему острый угол? Найти их значения,
3123. Вычислить плотность алюминия, если масса алюминиевого цилиндра диаметром 2 см и высотой 11 см равна 93,4 г. Относительная погрешность измерения длин равна 0,01, а относительная погрешность взвешивания равна 0,001,
3124, Вычислить силу тока, если электродвижущая сила равна 221 В ± 1 В, а сопротивление равно 809 Ом ± 1 Ом.
3125.	Период колебания маятника длины I равен
Т = 2л Д,
4g
где g — ускорение свободного падения. С какой точностью следует измерить длину маятника, период колебаний которого близок к 2 с, чтобы получить период его колебаний с относительной погрешностью в 0,5% ? Как точно должны быть взяты числа л и g?
3126.	Требуется измерить с точностью в 1% площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого 2 м и 1 м, а образующая 5 м (приближенно). С какой точностью следует измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками следует взять число п?
3127.	Для определения модуля Юнга по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула
г 1 1^Р 4 d*bs’
где I — длина стержня, b и d — основание и высота поперечного сечения стержня, s — стрела прогиба, Р — нагрузка. С какой точностью следует измерить длину I и стрелу s, чтобы погрешность Е не превышала 5,5% при условии, что Р известна с точностью до 0,1% , величины d и b известны с точностью до 1%, I ~ 50 см, s ~ 2,5 см?
§ 2, Интерполирование функций
Г. Интерполяционная формула Ньютона, Пусть хр ♦ хл — табличные значения аргумента, разность которых h = Дх. (Дх. = х. _ э - х.; г 0, 1, п 1) постоянна (шаг таблицы), и у0, уц — соответствующие значения функции у. Тогда значение функции у для промежуточного значения аргумента х приближенно дается интерполяционной формулой Ньютона
У = У0 * ?  Л.У0 + —9, ^Уй * - +	У(>’ Г)
372
Гл а на X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
х - х0	2
где q = —-— и Ае/0 ух т А у(} = Аут - AyQ, ... — последовательные ко-
нечные разности функции у. При х х. О = О, 1, .п) полином (1) принимает соответственно табличные значения yL (i 0, 1, ..., п). Как частные случаи формулы Ньютона получаем: при п = 1 — линейное интерполированием при п = 2 — квадратичное интерполирование. Для удобства пользования формулой Ньютона рекомендуется предварительно составлять таблицу конечных разностей.
Если у = /(х) — многочлен л-й степени, то
А*;/. = const и Дл 1у. = О
и, следовательно, формула (1) является точной,
В общем случае, если f(x) имеет непрерывную производную f{n+ 1J(x) на отрезке [а, д], включающем точки х0, хр хп и х, то погрешность формулы (1) равна
Rn(x} = y-	(2)
i = О
где £,— некоторое промежуточное значение между х. (г = 0, 1, л) и х. На практике пользуются более удобной приближенной формулой
дП + 1
" < .^0(/(д 	 to  п)-
(п + 1)1
Если число п можно взять любым, то его следует выбирать так, чтобы .» + 1	л
разность A у0 ’ О в пределах данной точности; иными словами, разности Art должны быть постоянны в заданных десятичных разрядах.
Пример 1. Найти sin 26° 15 \ пользуясь табличными данными sin 26й = = 0,43837, sin 27° = 0,45399, sin 28° = 0,46947.
Решение, Составляем таблицу:
J		У*		А
0	26°	0,43837	1562	-14
1	27е	0,45399	1548	
2	28 е	0,46947		
„	,	26“15'-26°	1
Здесь h = 60 , q = —	.
Применяя формулу (1), используя первую горизонтальную строку таблицы, имеем
sin 26°15' = 0,43837 I- i 0,01562 + z - (- 0,00014) - 0,44229.
§ 2. Интерполирование функций
373
Оценим погрешность /?2. Используя формулу (2) и учитывая, что если у = sin хт то |е/п>| С 1, будем иметь
If i _ 1Y1 _ 2)
। , „ 4И Л4	) (JL? = _7______1	„ 1 . 10-в
1 г‘ '	3!	<18СМ	128 57, ЗЗ3 4
Таким образом, все приведенные знаки sin 26°15' — верные.
С помощью формулы Ньютона можно также по заданному промежуточному значению функции у находить соответствующее значение аргумента х (обратное интерполирование). Для этого сначала определяем соответствующее значение q методом последовательных приближений, полагая
(О = У ~ У о q АУо
И
(у - I) = (0) _ д^(д^ - 1) . Дг.^о _	_	П. + 1)ДлУо
44	2 Д1/о	Д!/о
(I = 0, 1, 2, ...)
За q принимаем общее значение (с заданной точностью!) двух последова-
тельных приближении g = q . Отсюда х = х0 t q - п.
Пример 2. Пользуясь таблицей
X	у = sh д:		А2 А у
2,2	4,457	1,009	0,220
2,4	5,466	1,229	
2,6	6,695		
приближенно вычислить корень уравнения sh х. = а.
Решение. Принимая z/0 = 4,457, имеем
(°) = 5-4, 457 = 0^543 = 0 538
1, 009	1, 009
(1) = J0’ +	~	=
4	4	2 Ду0
= о,538 4 °’538	462 -	= 0,528 + 0,027 = 0,565;
2	1 j 009
(f! = 0,538 4 Q; 565;°^ 435 . 0^220 = Q538 + 0027 == 0>565
2	1, 0 0 9
Таким образом, можно принять
х ~ 2,2	0,565 - 0,2 - 2,2 + 0,113 = 2,313.

374
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
2\ Интерпол яционпая формула Лагранжа. В общем случае полином степени п, принимающий при х = х. заданные значения у. (i - О, 1, .	п), дается интерполяционной формулой Лагранжа
и = — ---п + —------------------------------—*----— Щ 4
(xo-x1)(xo-x2)...(xo-xj (хг -х0)(х! -x2)...(xL -х„)
(х-х0)(х-х1)...(х-хА_1)(х-х^1)..:(х -хп) (Xfe-XoKx^-Xi)^.(x^x^JCx^-x^iK<(Х*-ХЛ) k
(ХП-ХО)(ХП-Х1)„
3128. Дана таблица значений величин х и у:
X	1	2	3	4	5	6
У	3	10	15	12	9	5
Составить таблицу конечных разностей функции у.
3	2
3129, Составить таблицу разностей функции у = х - 5х + х - 1 для значений х — 1, 3, 5, 7, 9, 11. Убедиться в том, что все конечные разности 3-го порядка равны между собой.
3130*. Используя постоянство разностей 4-го порядка, составить таблицу разностей функции у = хА - 10ха + 2х2 + Зх для целых значений х, заключенных в промежутке 1 < х < 10.
3131. Дана таблица
1g 1 = 0,000,
1g 2 = 0,301,
lg 3 - 0,477, lg 4 = 0,602. lg 5 - 0,699.
Вычислить с помощью линейного интерполирования числа 1g 1,7, 1g 2,5, 1g 3,1 и lg4,6.
3132. Дана таблица
I.
-5
X
& i
 [
- I
I
sin 10°	= 0,1736	sin 13°	= 0,2250	
sin 11D	= 0,1908	sin 14°	= 0,2419	. 'V s\
sin 12°	= 0,2079	sin 15"'	= 0,2588	f
Уплотнить таблицу, вычислив по формуле Ньютона (при п = 2) значения синуса через полградуса.
3133. Составить интерполирующий многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей
X	0	1	2	3	4
у	1	4	15	10	85
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
375
3134*, Составить интерполирующий многочлен Ньютона для функции, заданной таблицей
X	2	4	6	8	10
У	3	11	27	50	83
Найти у при х = 5,5, При каком х величина у = 20? 3135, Функция задана таблицей
X	-2	1	2	4
У	25	-8	-15	-23
Составить интерполирующий многочлен Лагранжа и найти значение у при х = 0,
3136, Из опыта найдены удлинения пружины х в зависимости от нагрузки Р на эту пружину:
X, мм	5	10	15	20	25	30	35	40
Р, н	49	105	172	253	352	473	619	793
Найти нагрузку, дающую укорочение пружины на 14 мм, 3137. Дана таблица величин х и у
X	0	1	3	4	5
У	1	-3	25	129	381
Вычислить значения у для х = 0,5 и для х = 2: а) с помощью линейного интерполирования; б) по формуле Лагранжа,
§ 3, Вычисление действительных корней уравнений
1°. Установление начальных приближений корней. Приближенное нахождение корней данного уравнения
/(*) = о	(1)
складывается из двух этапов: 1) отделения корней, т, с, установления промежутков, по возможности тесных, внутри которых находится один и только один корень уравнения (1); 2) вычисления корней с заданной степенью точпости.
Если функция f{x) определена и непрерывна на отрезке [а, &] и f(x)' f(b) < 0, то на отрезке [а, Ь] находится по меньшей мере один корень уравнения U). Этот корень будет заведомо единственным, если f'(x) > 0 или f'(x) < 0 ври а < х < Ь>
Для приближенного нахождения корня Е, рекомендуется на миллиметровой бумаге построить график функции у = Дх), Абсциссы точек Пересе-
376
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
нения графика с осью ОХ и являются корнями уравнения f(x) = 0, Иногда! удобно данное уравнение заменить равносильным ему уравнением ф(х) = 1 — xg(x). Тогда корни уравнения находятся как абсциссы точек пересечения ? графиков у = ф(х) и у = у(х).	|
2°. Правило пропорциональных частей (метод х о р д). | Если на отрезке [а, Ь] находится единственный корень £ уравнения f(x) = О, | где функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то, заменив кривую у — Дх) | хордой, проходящей через точки (а; /(а)) и (b; получим первое при- J ближение корня	£
“ - WWW16 -0)-
Для получения второго приближения с2 формулу (2) применяем к тому из отрезков [а, cj или [с1? д], на концах которого функция f(x) имеет зна- : чения противоположных знаков. Так же строятся и следующие приближе- = ния. Последовательность чисел сп (n = 1, 2, ...) сходится к корню т, е, lim еп =
Вычисления приближений ср с2, вообще говоря, следует производить 5 до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые нами в ответе де- j сятичные знаки (в соответствии с заданной степенью точности!); для про- < межуточных выкладок надлежит брать один-два запасных знака. Это заме-чание имеет общий характер.
Если функция f(x) имеет отличную от нуля непрерывную производную f'(x) на отрезке [а, 6], то для оценки абсолютной погрешности приближенного корня сп можно воспользоваться формулой
где р = min |/'(х)|. а < х С д
3°, Способ Ньютона (метод касательных). Если f'(x) * 0 J и f"(x) 0 при а < х < Ь, причем < О, f(a)f"(b) > 0, то последовательные z приближения хп (п = 0, 1, 2, ,..) корня уравнения f(x) — 0 вычисляются ’ по формулам	;
х0 = а, хц = хп _ L -	- (л =	2, *.-)*	(3) у
1	-t
При данных предположениях последовательность хл (п - 1, 2, .,.) — монотонная и
lim хп = £.
Для оценки погрешностей можно воспользоваться формулой

где ц = min |Л(х)|. а С х < b
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
377
Практически удобнее пользоваться более простыми формулами
*о = а. хп = Хп_ ! - nf(xK _ j) (п=1, 2,	(3')
где й =	, дающими примерно ту же точность, что и формулы (3)*
f W
Если f(b)f"(b) > 0, то в формулах (3) и (3У) следует положить х0 = Ь.
4°. Способ итерации. Пусть данное уравнение приведено к виду
х = ф(х),	(4)
где ]<р'(#)| г < 1 (г— постоянная) при а х < Ъ. Исходя из начального значения х0, принадлежащего отрезку [я, 6], построим последовательность чисел ip х3, ,,, по такому закону:
*1 = Ф(*(Л х2 = х« - 1Ь — -	С5)
Если а < хп < Ъ (п = 1, 2, то предел
£ = lim х„ п —- ею
является единственным корнем уравнения (4) на отрезке [а, Ь], т. е. хп суть последовательные приближения корня Е,.
Оценка абсолютной погрешности п-го приближения хл дается формулой
£ - х [ < ix"+1~x"l.
п 1 - г
Поэтому если хп их,, совпадают с точностью до е, то предельная абсо-Л Л "с J-
лютная погрешность для хп будет
Е
1 -г’
Для преобразования уравнения /(х) = 0 к виду (4) заменяем последнее эквивалентным уравнением
х = х - ХДх),
где число X Ф 0 выбирается так, чтобы функция [х - Х/(х)] = 1 _ X/'GO dx
была малой по абсолютной величине в окрестности точки х0 (например, можно положить 1 - Xf'(#0) = 0)-
Пример 1, Привести уравнение 2х - In х - 4 == 0 при начальном приближении корня х0 = 2,5 к виду (4).
Решение. Здесь f(x) = 2х - In х - 4; f'(x) = 2 - - . Пишем эквивалентное х
Уравнение х = х — л(2х ~ In х — 4) и в качестве одного из подходящих значений
* берем 0,5 — число, близкое к корню уравнения 1 - xf 2 - -\ х
г = 2, 5
= О, т. е.
“ ylj - о,в.
378
ГлаваХ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Исходное уравнение приводится к виду
х = х - 0,5(2х - In х - 4) или
х = 2 4 - In х.
&
Пример 2. Вычислить с точностью до 0,01 корень предыдущего уравнения, заключенный между 2 и 3.
Вычисление корня по способу итерации. Используем результат примера 1, полагая х0 = 2,5. Вычисление ведем по формулам (5) с одним запасным знаком:
X = 2 + - 111 2,5 = 2,458,
1	2
х2 = 2 + 4п 2,458 = 2,450,
х3 = 2 + | In 2,450 = 2,448,
х = 2 + — In 2,448 = 2,448. 4	2
Итак, Е, ~ 2,45 (процесс дальнейших приближений можно прекратить, так как третий десятичный знак (тысячные) закрепился).
Приведем оценку погрешности. Здесь
ср(х) = 2 + 4п х и (₽'(х) =	.
Считая, что все приближения лежат на отрезке [2,4; 2,5], получим г = max |ф'(х)| =	*	= 0,21.
2	' 2, 4
Следовательно, предельная абсолютная погрешность приближения в силу приведенного выше замечания есть
Д = 0, 001 = 0 0012 0 оок
1-0.21
Таким образом, точный корень Е, уравнения содержится в границах 2,447 < Е < 2,449;
можно принять Е; - 2,45, причем все знаки этого приближенного числа будут верными в узком смысле.
Вычисление корня по способу Ньютона, Здесь
f(x) = 2х - In х - 4, f\x) = 2-4 f''(х) = 4_ .
На отрезке 2 < х < 3 имеем: f'{x) > 0 и f'ix) > 0; f(2)/'(3) < 0; f(3)/"(3) > 0.
Следовательно, условия пункта 3й при Л'о = 3 выполнены.
Принимаем
/ V1 а = [2^±|	-0,6.
§ 3, Вычисление действительных корней уравнений
379
Вычисления ведем по формулам (3') с двумя запасными знаками:
= 3 - 0,6(2 * 3 -	1пЗ - 4)	2,4592;
= 2,4592	- 0,6(2		2,4592	-	In 2,4592	-	4) =	2,4481;
- 2,4481	- 0,6(2	'	2,4481	-	In 2,4481	-	4) =	2,4477;
х4 2,4477	- 0,6(2		2,4477	-	In 2,4477	-	4) =	2,4475,
На этом этапе вычисления прекращаем, так как число тысячных больше не изменяется. Даем ответ: корень = 2,45, Оценку погрешности мы опускаем.
5°. Случай системы двух уравнений. Пусть требуется вычислить, с заданной степенью точности, действительные корни системы двух уравнений с двумя неизвестными
[ f(x, у) = 0, ] ср(х, у) = 0,
(6)
и пусть имеется начальное приближение одного из решений (^, р) этой системы х = и = ц„.
Это начальное приближение можно получить, например, графически, построив (в одной и той же системе декартовых координат) кривые f(x, у) = 0 и <р(х, у) = 0 и определив координаты точек пересечения этих кривых.
а)	Способ Ньютона. Предположим, что функциональный определитель
т = д(Д ф)
д(х. у)
не обращается в нуль вблизи начального приближения х = х0, у = yG. Тогда, по способу Ньютона, первое приближение решения системы (6) имеет вид Л1 = Yo +	=	где ₽о — решение системы двух линейных
уравнений
f(xu, -I aof'x(x(), Уо) + рог;(х0, yQ) = О, Ф(х0, Уо) + “оФ'Л’ Уо) + Р()Ф7ж0’ Уо) = °'
Второе приближение получается тем же приемом: х2 =	+ avy2 = уг + Рр
где ссх, Pj — решение системы линейных уравнений
I f(xv yj +	(/J + yj = О,
1 <р(Хр t/J + a^\(Xp у,) + Р^Хр 0) = 0. Аналогично получаются третье и последующие приближения.
б)	Способ итерации. К решению системы уравнений (6) можно применить и способ итерации, преобразовав эту систему к эквивалентному виду
х = F(xt y)t	{7
’ ^ф(х, у)	1 '
и предполагая, что
\F'X (х, 0| + |ф; (.г, .01 < г < 1; |Г (Л-, у)\ I |Ф^ (х,	< г < 1	(8)
380
Глава X, ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
в некоторой двумерной окрестности U начального приближения (х0, #0), содержащей и точное решение (£,, р) системы.
Последовательность приближений (хд, yfl) (п = 1, 2, ...), сходящаяся к решению системы (7), или, что то же, к решению системы (6), строится по
следующему закону:
= F(*0’ х2 =	у,),
х3 = Р(х2, уг),
уг = Ф(х0, у0), Уг = Ф(хГ уД i/3 = Ф(х2, у2),
Если все (хл, у ) принадлежат U, то lim х?1 = с, lim ул гр
Для преобразования системы уравнений (6) к виду (7) с соблюдением условия (8) можно рекомендовать такой прием. Рассмотрим систему уравнений
af(x, у) + Р<р(х, у) = 0, у/(х, у) + 8(р(л, у) = О,
эквивалентную системе (6) при условии, что
«5 н
Y, 3 |
0. Перепишем ее так:
х = х + af(x, у) + 0<р(х, у) = FUi У), У = У ' у) + 5ф(х, у) = Ф(х, у).
Выберем параметры сс, 05 у, 5 такими, чтобы частные производные функций Дх, у) и Ф(х, были равны или близки к нулю при начальном приближении, т, е, находим ct, р, у, б как приближенные решения системы уравнений
1 + аОхо’ + Уо> = °’ Уо> * (ЧМ’ Уо> = °’
Y^(x0- Уд) + 8<Uq- Уо) = °>
1	1 У<л> + 5<Р^хо’ ^о) = °-
При таком выборе параметров сх, у, б в предположении, что частные производные функций /(х, у) и ср(х, у) изменяются не очень быстро в окрестности начального приближения (xQ, условие (8) будет соблюдено.
Пример 3. Привести систему уравнений
2	2 т п
X 4- и -1=0, з л
х - х = О
при начальном приближении корня х0 = 0,8, yQ = 0,55 к виду (7).
Решение. Здесь f(x, у) = х2 + у2 - 1, <р(х, у) = х?* -- у; /' (х0, у0) = 1,6, /' Ц). Уо) = 1’1’ Ч’х С*0’ Уо) = 1>92’ (хо- у^ “ -1‘
Записываем систему, эквивалентную исходной:
ct(x2 1 у2 - 1) -т - у) = 0
У(^ + У 1) + 6(rL - у) 0
§ 3. Вычисление действительных корней уравнений
381
в виде
х = Х’1- о(х2 + у2 - 1) -г Р(х3 - у),
У “ У + ?(х Ч у - 1) -г 3(х - у).
Выбираем в качестве подходящих числовых значений ct, Р, у, Д решение системы уравнений
1 + 1,6сс+ 1,92р= О,
1,1а-р-О,
1,6у + 1,926-0,
1 4- 1,1у-5 = 0,
т. е. полагаем ос ~ -0,3, р - -0,3, у - -0,5, 5 ~ 0,4.
Тогда система уравнений
[ х = х - 0,3(х2 + у2 1) - 0,3(х3 - у), \у = у- 0,5(х2 + у2 - 1) + 0,4(хЛ - у),
эквивалентная исходной, имеет вид (7), причем в достаточно малой окрестности точки (х0; у0) условие (8) будет выполнено.
Методом проб отделить действительные корни уравнений и с помощью правила пропорциональных частей вычислить их с точностью до 0,01.
3138.	х3 — х + 1 = 0.
3139.	х4 + 0,5х - 1,55 = 0.
3140.	х2 - 4х - 1 = 0.
Исходя из графически найденных начальных приближений, способом Ньютона вычислить с точностью до 0,01 действительные корни уравнений:
3141.	х3 - 2х - 5 = 0.	3143. 2х = 4х.
3142.	2х - In х - 4 = 0.	3144. 1g х = - .
Используя найденные графическим путем начальные приближения, способом итерации вычислить с точностью до 0,01 действительные корни уравнений:
3145.	х3 - 5х + 0,1 = 0.
3146.	4х = cos х.
3147.	х5 - х - 2 = 0.
Найти графически начальные приближения и вычислить с точностью до 0,01 действительные корни уравнений и систем:
3148. х3 “ Зх -И 1 = 0.	3151, х ’ In х - 14 = 0.
3149. х3 - 2х2 + Зх - 5 = 0.
3150. х4 + х2 - 2х - 2 = 0.
3152. х3 + Зх - 0,5 = 0
3153. 4х - 7 sin х = 0.
382
Глава X, ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
3154. х +
2х - 6 = Ох
3155. е +
“3* Л А е -4^0.
3156.	н н со to 1 - ГС II ' Р II а
3157.<	х2 '+ у - 4 = 0,
[y-lg х - 1 = U.
3158. Вычислить с точностью до 0,001 наименьший положительный корень уравнения tg х — х.
3159. Вычислить с точностью до 0,0001 корни уравнения х ' th х = 1.
§ 4. Численное интегрирование функций
1е.Формула трапеций. Для приближенного вычисления интеграла
h
f(x) dx
а
(/(х) — непрерывная на [а, ft] функция) делим промежуток интегрирования
[a, ft] на п равных частей и выбираем шаг вычислений h = -—- . Пусть п
х. = ху + lh (х0 = а, хп = ft, t = 0, 1, 2, и) — абсциссы точек деления, у. = = f(x) —соответствующие значения подынтегральной функции у = Дх), Тогда по формуле трапеций имеем ъ
/(x)<lx-=fti—-— + .уА т у2 + ...

(1)
а
с абсолютной погрешностью
h2
«Л ^(Ь-а)М2,
&
где М2 — max j/"(x)| при а < х С ft.
Для достижения заданной точности £ при вычислении интеграла числений ft определяется из неравенства
12е_ _
(ft - а)М2 '

шаг вы
(2)
было целым числом, и это дает нам число делений п. Установив h и п по формуле (1), вычисляем интеграл, беря значения подынтегральной функции с одним или двумя запасными десятичными знаками,
т. е. й должен иметь порядок Ji . Полученное значение h округляется в сто- Д' рону уменьшения так, чтобы
= п
h
§ 4. Численное интегрирование функций
383
2е. Формула Симпсона (параболическая формула). Если п — четное число, то в обозначениях 1° справедлива формула Симпсона
ь
[ f(x) dx = [у0 + уп) + 4Q/-L + у, + ... + у ) + 2(у2 + у + ... + у 2)] (3)
J	*5
а
с абсолютной погрешностью
(4)
где = шах при а х b
Для обеспечения заданной точности е при вычислении интеграла шаг вычислений h определяется из неравенства
М
А^(6-а)М4<е,	(5)
т. е. шаг h имеет порядок 1/Ё , Число h округляется в сторону уменьшения так, чтобы п = -—- было целым четным числом.
h
Замечание, Так как определение шага вычислений h и связанного с ним числа п из неравенств (2) и (5), вообще говоря, затруднительно, то на практике h определяют грубой прикидкой. Затем, получив результат, удваивают число п, т. е. половинят шаг h. Если новый результат совпадает с прежним в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисление заканчивается, В противном случае этот прием повторяют и т. д.
Для приближенного вычисления абсолютной погрешности R квадратурной формулы Симпсона (3) можно также использовать принцип Рунге, согласно которому
R-
R~ ЛГ ’
где L и I — результаты вычислений по формуле (3), соответственно с шагом h и Н = 2h.
3160. Под действием переменной силы F, направленной вдоль оси ОХ, материальная точка переместилась по оси ОХ из положения £ = 0в положение х = 4. Вычислить приближенно работу А силы F, если дана таблица значений ее модуля F:
X	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
F	1,50	0,75	0,50	0,75	1,50	2,75	4,50	6,75	10,00
Вычисление провести по формуле трапеций и но формуле Симпсона.
384
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
1
3161, Вычислить приближенно J (Зх2 - 4х) dx по формуле тра-о
пеций, полагая п = 10, Вычислить этот интеграл точно и найти абсолютную и относительную погрешности результата. Установить верхнюю границу А абсолютной погрешности вычисления при п = = 10, используя формулу погрешности, приведенную в тексте.
1
-4	Г
3162, Вычислить с точностью до 10 по формуле Симпсона
х dx
х+1 ’
принимая п = 10, Установить верхнюю границу Д абсолютной погрепь ности, используя формулу погрешности, приведенную в тексте.
Вычислить с точностью до 0,01 следующие определенные интегралы:
1
3163, f
о
1
3164* j о
1
3165, [ о
dx 14-х*
dx
1 + х2
dx
1 + х3 '
2 3166, х lg xdx, i
2
3167. f dx.
J X
1
2
3168. f dx.
J X
0
3169,
о
2
3170, j
i
dx, X
3173, Вычислить
со
точностью до 0,01
л
2
3171. f dx.
J 1 + X
0
1
3172. j e’*2 dx.
0
несобственный интеграл
С
Г dx	1
-----, применив подстановку х = - , Проверить вычисление, при-
J 1 + х2	t
ь
л d х менив формулу Симпсона к интегралу -------------, где Е? выбрано так,
J 14-х2
1
-|- со
чтобы
ь
„dx < 1 . ю
1 + х2 2
3174, Плоская фигура, ограниченная полуволной синусоиды у = sin х и осью ОХ, вращается вокруг оси ОХ. Ъычислптъ по формуле Симпсона с точностью до 0,01 объем тела вращения,
3175** Вычислить по формуле Симпсона с точностью до 0,01 дли-1
х2	1J 2
ну дуги эллипса — + gggg)2 Расположенн^ю в пеРв°й координатной четверти*
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных уравнений
385
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений
1°. Метод последовательных приближений (метод Пикара). Пусть дано дифференциальное уравнение 1-го порядка
у' ~ Л*, у)	(1)
при начальном условии у = у$ при х - х0*
Решение у(х) уравнения (1), удовлетворяющее заданному начальному условию, вообще говоря, может быть представлено в виде
у (х) = lim^(x),	(2)
i —f pc
где последовательные приближения у^х) определяются по формулам Уо(*) = Уо-
= Уо + j ft*- У; _ J*)) dx
G = о, I, 2, Если правая часть /(х, у) определена и непрерывна в окрестности J?{|x - Хо| < а, |у - у0| < д} и удовлетворяет в этой окрестности условию Липшица I/U, У1) - fix, t/2)| < L\y± - У2|
(L — постоянная), то процесс последовательных приближений (2) заведомо сходится в промежутке
- х0| < h,
где h = min [а, и М = max |/(х, и)|*
R \ М)	я у 1
При этом погрешность
I. а "г j. р если только
I* - Хо| < h.
Метод последовательных приближений (метод Пикара) с незначительными видоизменениями применим также к нормальным системам дифференциальных уравнений* Что касается дифференциальных уравнений высших порядков, то их можно записывать в виде систем дифференциальных уравнений.
2°. Метод Рунге — Кутта. Пусть требуется на данном промежутке % < х С X найти решение 1/(х) задачи (1) с заданной степенью точности е*
X - х
Для этого сначала выбираем h = -- (шаг вычислений), деля отрезок
п
1 3 Задачи
и упражнения
386
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
4
[х0, X) на и равных частей так, чтобы h < е. Точки деления х. определяются но формуле
х.? = х0 4 ih (i = 0, 1* 2,	п).
Соответствующие значения у. = у(х.) искомой функции по методу Рунге-Кутта последовательно вычисляются по формулам
где и
У, + I = + ду>-
Д yt = | (k® + 2k^ + 2k^ +	),
i = 0, 1, 2, n = f(xry.)ti,
fe(3 =	+ ’ Vi + v)*’
\	Zl у
= f(x. + h, У). +	)h.
(3)
Метод Рунге—Кутта имеет порядок точности h4. Грубую оценку погреш-ности метода Рунге—Кутта на данном промежутке [х0, X] можно получить, исходя из принципа Рунге:
R = 1^2 рт ^л]|
15
где п ~ 2т, у2(п и ут — результаты вычислений по схеме (3) с шагом h и шагом 2h.
Метод Рунге—Кутта применим также для решения системы дифференциальных уравнений
у' = f(x, у, z), z‘ = ф(х, у, з)	(4)
с заданными начальными условиями: у = у0, 2 ж zg при х xQ.
3°. М е т о д Милна. Для решения задачи (1) по методу Милна, исходя из начальных данных у = у$ при х - х0, находим каким-нибудь способом последовательные значения
Уг = У(Х))? У2 = Уз = У(хз^
искомой функции у(х) (например, можно воспользоваться разложением решения у(х) в ряд (гл. IX, § 17) или найти эти значения методом последовательных приближений, или применить метод Рунге—Кутта и т. nJ. При
§ о. Численное интегрирование обыкновенных уравнений
387
ближения I/. и у. для следующих значений (i = 4, 5, а) последовательно находятся по формулам
=^-4+ ^(2Л_3 - Л_ г + 2r(_1)s , (5)
=Уг-г+ ИА + 4/;	, +/(_2),
tJ
л
где
А = Л* > У) и А = У У
Для контроля вычисляем величину
Ег = ~ I yt ~ у> b	(6)
Если е. не превосходит единицы последнего сохраняемого нами в ответе десятичного разряда 10 m для у(х), то в качестве у{ берем yt и переходим к вычислению следующего значения уН1, повторяя процесс* Если же с. > 10 т, то следует начать работу сначала, уменьшив шаг вычислений. Величина начального шага приближенно определяется из неравенства Л4 <10"".
Для случая решения системы (4) формулы Милна отдельно пишутся для функций у(х) и z(x). Порядок вычислений остается прежним*
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение у' = у - х с начальным условием р(0) = 1,5, Вычислить с точностью до 0,01 значение решения этого уравнения при значении аргумента х = 1,5, Вычисления провести по комбинированному методу Рунге—Кутта и Милна.
Решение. Выбираем начальный шаг вычислений h из условия Л4 < 0,01, Избегая сложной записи /г, остановимся на h = 0,25, Тогда весь участок интегрирования от х = 0 до х — 1,5 разобьем на шесть равных частей, длиной 0,25, с помощью точек x.(i = 0,1, 2, 3, 4, 5, 6); соответствующие значения решения У и производной у' обозначим через щ и у'г
Первые три значения у (не считая начального) вычислим по методу Рунге—Кутта (по формулам (3)); остальные три значения — уг у& у$ — по методу Милна (по формулам (5)).
Значение будет, очевидно, ответом задачи.
Вычисления проведем с двумя запасными знаками по определенной схе-состоящей из двух последовательных таблиц 1 и 2, В конце таблицы 2 мы получаем ответ.
Вычисление значения Здесь
/(х, у) = -х + уу х0 = 0,	~ 1,5, h = 0,25,
388
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Имеем
Д„о-|< +2*7 +2»'“ +*»’)-
= ±(0,3750 + 2 * 0,3906 + 2  0,3926 + 0,4Ю6) = 0,3920;
fc(i0) = y^h (-0 4- 1,5000)0,25 = 0,3750;
h k{Q\
*4°’ = /I + 9^0 + “Н h = (-0,125 4-
№ л = (“°’125 +
= /(х0 4- А, yG + А^0)) h = (-0,25 +
1,5000 4- 0,1875)0,25 = 0,3906;
1,5000 -И 0,1953)0,25 = 0,3926;
1,5000 + 0,3926)0,25 = 0,4106;
1/1	i/0 4- Д1/о = 1,5000 4- 0,3920 = 1,8920 (первые три знака в этом при-
ближенном числе гарантированы).
Аналогично вычисляются значения у2 и Результаты вычислений приведены в таблице 1»
Таблица 1
Вычисление yv у2, у3 по методу Рунге—Кутта.
fix, у) = -х 4- у; h = 0,25
Значение 1			= /(< Vt)		2 г 2 ;	
0	0	1,5000	1,5000	0,3750	1,5625	0,3906
1	0,25	1,8920	1,6420	0,4105	1,7223	0,4306
2	0,50	2,3243	1,8243	0,4561	1,9273	0,4818
3	0,75	2,8084	2,0584	0,5146	2,1907	0,5477
Значение i	У/ + -2_]		Дх. н ft,	«4		
0	1,5703	0,3926	1,6426	0,4106	0,3920	1,8920
1	1,7323	0,4331	1,8251	0,4562	0,4323	2,3243
2	1,9402	0,4850	2,0593	0,5148	0,4841	2,8084
3	2,2073	0,5518	2,3602	0,5900	0,5506	3,3590 — —
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных уравнений
389
Вычисление значения Имеем: f(x, у) = -х + yf h = 0,25, х4 = 1;
yQ = 1,5000,	уг = 1,8920,	у2 - 2,3243,	у3 = 2,8084;
y'Q = 1,5000, у[ = 1,6420, у'2 = 1,8243, у'3 = 2,0584,
Применяя формулы (5), находим:
-	4Л
У1 = У0 +	-У'2 + 2^) =
= 1,5000 + — 0’ 25 (2 • 1,6420 - 1,8243 + 2  2,0584) = 3,3588;
У; = /(*<> У4) = -1 + 3,3588 = 2,3588;
У4 = У2 + |(/4 + 4У'з +	=
= 2,3243 +	(2,3588 4- 4 • 2,0584 4 1,8243) = 3,3590;
О
_ У4 - Уд _ 13, 3588 - 3, 3590| „ „ . , n-e 1 ,	.
4	29	29	2
следовательно, пересмотр шага вычислений не требуется.
Получаем у4 - у4 = 3,3590 (первые три знака в этом приближении гарантированы).
Аналогично производим вычисления значений р. и у$. Результаты вычислений даны в таблице 2.
Таким образом, окончательно имеем
у(1,5) = 4,74.
4°, Метод Адамса. Для решения задачи (1) по методу Адамса, исходя из начальных данных у(х0) = у$ мы находим каким-нибудь способом следующие три значения искомой функции у(х):
У1 = у(х1) = у(х<з + Л),
У2 = у(х2) = у(х0 + 2h), Уз = У<хз) = У<хо + ЗЛ)
(эти три значения можно получить, например, с помощью разложения У(х) в степенной ряд (гл. IX, § 16), или найти их методом последовательных приближений (и. 1°), или применяя метод Рунге—Кутта (и. 2°) и т. п.).
С помощью чисел х0, х,, х2, х3 и у0, yv у2, у3 мы вычисляем величины 9(Р q±, qr д3, где
% = ЛУо = ЙЛ^О> Уо>’	У1 hy\= Л^х1> У?’
q2 = hy2 = hf(x2, !/J,	q3 = hy's = hf(x3, y3).
Вычисление у4, у5, по методу Милна. f(x, У) =	*/; h 0,25.
(курсивом обозначены входные данные)
§ 5. Численное интегрирование обыкновенных уравнений
391
Составляем, далее, диагональную таблицу конечных разностей величины у:
Л’	У	Ду -у st -1 ~	у' - Лт, у)	7 = y‘h	Ду = = <7л 1 1 -	. 2 Д У “ - \qfi + i - д?л	Д у-а2	*2 = Д <}„ , 1 - Л
х0	Уч	д^о		%		А2 Мо	Л3 A
	У1	ДУ:	К*!,	91	д<7.	а2 A q±	А3 А
_Г2	У2	д^	f(x2, у2)	<h	д92	,2 Д q2	Л3 Д q2
*3	Уз	ДУз	/С3- у3)	^3	д93	А 2 А	
*4	У.	ДУ4	У4)				
и	Уй	Д93	Кхь-	9з			
*6	Уч						
Метод Адамса заключается в продолжении диагональной таблицы разностей с помощью формулы Адамса
Ду„ = g i i До 1 + — Д2д „ + -Д3о	(7)
у « *п g 'х и -1	12 4 л • • 2 g * л - з	17
Так, используя числа q3, А?2, Д2уг расположенные в таблице разностей по диагонали, .мы с помощью формулы (7), полагая в ней и = 3, вы-
1	5 2	3 з
числяем Ду3 = i?3 + -Д<?2 + — Д I- -Д q^ Найдя значение Ду3, мы вы-£J	1Z	О
числяем у4 = у.Л + Ду3- Зная же х4 и у4, мы вычисляем q4 = /г/(х4, у4), вносим y v Ду3 и q4 в таблицу разностей и пополняем затем ее конечными разностями 2	2
Дс/3, Д у2, Д расположенными вместе с q4 по повой диагонали, параллельно прежней.
Затем, используя числа новой диагонали, мы с помощью формулы (8), полагая в ней п = 4, вычисляем Ду4, у5 и q§ и получаем следующую диагональ: </5, Д(?4, Д2?3, Д3#2- С помощью этой диагонали мы вычисляем значение искомого решения у(х) и т, д.
Формула Адамса (7) для вычисления Ду исходит из предположения, з
что третьи конечные разности Д q являются постоянными. В соответствии с гЭтим величина h начального шага вычислений определяется из неравенства /г4 < 10 m (если мы желаем получить значение у(jt) с точностью до 10 т).
В этом смысле формула Адамса (7) эквивалентна формулам Милна (5) и формулам Рунге—Кутта (3).
Оценка погрешности для метода Адамса сложна и практически бесполезна, так как в общем случае дает сильно завышенные результаты. На практике следят за ходом третьих конечных разностей, выбирая шаг h столь малым, чтобы соседние разности Д3д; и Д3</. j отличались между собой не более чем од ну-две единицы заданного разряда (не считая запасных знаков).
392
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Для повышения точности результата формула Адамса может быть пополнена членами, содержащими четвертые и высшие разности величины q. При этом возрастает число первых значений функции у, нужных нам для начального заполнения таблицы. Формулы Адамса повышенной точности мы не будем здесь приводить.
Пример 2, Вычислить при х — 1,5 с точностью до 0,01 по комбинированному методу Рунге—Кутта и Адамса значение решения дифференциального уравнения у' = у - х с начальным условием у(0) =1,5 (см. пример 1),
Решение. Используем значения yv у2, у3, полученные нами при решении примера 1* Их вычисление приведено в таблице 1.
Последующие значения yv yG мы вычисляем по методу Адамса (см. таблицы 3 и 4).
Таблица 3
Основная таблица для вычисления y-t у$ по методу Адамса. f(x, у) = -X + (/; h = 0,25 (курсивом обозначены входные данные)
Значение i		Vi		у\ = f(xit у)	Ъ = y'J1		дг9.	*з Л (ц
0	0	1,5000		1,5000	0,3750	0,0355	0,0101	0,0028
1	0,25	1,8920		1,6420	0,4105	0,0456	0,0129	0,0037
2	0,50	2,3243		1,8243	0,4561	0,0585	0,0166	0,0047
3	0,75	2,8084	0,5504	2,0584	0,5146	0,0751	0,0213	
4	1,00	3,3688	0,6356	2,3588	0,5897	0,0964		
5	1,25	3,9944	0,7450	2,7444	0,6861			
6	1,50	[4,7394						
Ответ: 4,74
Таблица 4
Вспомогательная таблица для вычисления по методу Адамса
А	Г 1 А	г 5 i 2	,3 12
= </,- + 2 ч -! + Л - 2 + g А <7г - з
Значениеi		। <3 ’-1|СЧ [	5 а2	w & 00 1 00	by.
3	0,5146	0,0293	0,0054	0,0011	0,5504
4	0,5897	0,0376	0,0069	0,0014	0,6356
5	0,6861	0,0482	0,0089	0,0018	0,7450
Значение ув = 4,74 будет ответом задачи*
§ 5* Численное интегрирование обыкновенных уравнений
393
Для случая решения системы (4) формула Адамса (7) и схема вычислений, показанная в таблице 3, применяются отдельно для обеих функций у(х) и z(x).
Найти три последовательных приближения решений указанных ниже дифференциальных уравнений и систем:
3176. у' = х2 + у2; у(0) = 0.
3177. у' = х + у + z, г' = у - 2; у(О) = 1, z(0) = -2.
3178. у" = -у; у(0) = 0, /(0) - L
Методом Рунге—Кутта, полагая шаг h = 0,2, вычислить приближенно для указанных промежутков решения данных дифференциальных уравнений и систем:
3179. / = у - х; 1/(0) = 1,5 (0 < х < 1).
3180. у'=1 - у2-, у(1) = 1 (1 < х < 2). X
3181. у' = z 4- 1, 2' - у - х, 1/(0) = 1, z(0) = 1 (0 < х < 1).
Применяя комбинированный метод Рунге—Кутта и Милна или Рунге—Кутта и Адамса, вычислить с точностью до 0,01 значения решений указанных ниже дифференциальных уравнений и систем при указанных значениях аргумента:
3182.	у" = х 4- у; у = 1 при х = 0. Вычислить у при х = 0,5.
3183.	у' = х2 + у\ у = 1 при х = 0. Вычислить у при х = 1.
3184.	yf = 2у - 3; у = 1 при х = 0. Вычислить у при х = 0,5.
3185.	J V,	У =	2 = -2 при х = 0.
р = х 4-2у + 3z; у
Вычислить у и z при х = 0,5.
уг = “Зу - z.
3186.	< ,	у = 2, z = -1 при х = 0.
р = у ~ г;
Вычислить у и z при х = 0,5.
3187.	у" = 2 - у; у = 2, у' = -1 при х = 0.
Вычислить у при х — 1.
3188.	у3у" 4- 1 = 0; у = 1, у' = 0 при х = 1.
Вычислить у при х = 1,5*
3189.	— + - cos 2t = 0; х = 0, г' = 1 при t = 0.
dt2 2	н
Найти х(я) и x'(ti).
394
Глава X. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
Л м
= — отрезка [0, 2л], причем
6
Схема 12 ординат* Пусть уп = (я = 0, 1, .12) — значения функции у = f(x) п равноотстоящих точках У о = У12* доставим таблицы:
У а У1 У 2 Уз У& Уз
Уъ Уе.
Суммы (S)
Разности (А)
“о
ui
У1
w6
и2 *3 *4 “5
	к £ t? с Си	”1 1’, из
	£ с? С -j К 20	с С >и
Суммы	S., S-< S.J з*	Суммы	П1 @2 °3
Разности	t0 t2	Разности	Т1 '2
Коэффициенты Фурье ап, (п = 0, 1, 2, 3) функции у = f(x) приближенно могут быть определены по формулам:
6а0 з0 4- s1 4- s2 4- s3,
= tQ 4- 0,866^ + 0,6/3, 6а2 *= s0 - s3 4- 0T5(sT - s2), 6аз = t0~ h’
гдс0.86в-^ «1-i-A.
Имеем:
з
'W-T+ Z
n =- 1
6^ =	4- 0,866q2 4- a3,
669 - 0,866(r. 4- r ), Z	J. £
6b3 = O1 - Orp
(aftcos nx + nx).
(1)
Употребительны также другие схемы. Для облегчения вычислений используются шаблоны (см,, например: В. И. Смирнов, Курс высшей математики» т* II, 1962, гл. VI, 424—430).
Пример. Найти полином Фурье для функции у == f(x) (0 < х < 2л), заданной таблицей:
Уо	у.	у2	Уз	Уа	У-э	ув	У7	у»	У»	У™	Уи
38	38	12	4	14	4	-18	-23	-27	-24	8	32
Решение. Составляем таблицы:
У	38	38	12	4	14	4	-18 32	8	-24	-27	-23
и V	38	70	20	-20	- 13	-19	18 6	4	28	41	27
и	38 18	70 -19	20 -13	-20	£?	6 27	4 41	28
$	20	51	7	-20	С7	33	45	28
1	56	89	33		Т	21	37	
§ 6. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье
395
По формулам (1) имеем:
а0 = 9,7; ал = 24,9; а2=10,3; а3 = 3,8;
Ь* - 13,9; b = - 8,4; Ьч = 0,8.
Следовательно,
/(х) ~ 4,8 4- (24,9cos х 4- 13,9sin х) 4- (10,3cos 2х - 8,4sin 2х) + + (3,8cos Зх 4- 0,8sin Зх),
Пользуясь схемой 12 ординат, найти полиномы Фурье для следующих функций, заданных на отрезке [0, 2л] таблицами своих зна-
чений, соответствующих равноотстоящим (Уо= У1й);				значениям аргумента	
3190. Уо	= -7200	= 4300	Уй = 7400	Уэ :	= 7600
У1	= 300	f/4 = о	у7 = -2250	Ую	= 4500
у2	= 700	у5 = -5200	У& = 3850	Уп	= 250
3191. Уо	= 0	У3 = 9,72	У<\ = 7,42	У9 "	- 5,60
У]	= 6,68	У< = 8-97	У7 - 6,81	Ую	= 4,88
У2	= 9,68	J/5 = 8,18	У8 = 6,22	Уи	= 3,67
3192. Уо	= 2,714	У3 - 1,273	Уе = 0,370	У$"	- -0,357
У1	= 3,042	у, = 0,788 .74	Г	У7 = 0,540	У}Ц	= -0,437
У2	= 2,134	у. = 0,495	J/B = 0,191	Уч	= 0,767
3193* Вычислить несколько первых коэффициентов Фурье по схеме 12 ординат для следующих функций:
а)	/(х) = -^Ц(х3 - Злх2 + 2л 2х) (0 < х < 2л),
2л2
б)	f(x) = ~(х - л)2 (0 < х С 2л).
Л2
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Глава I
1* Так как а - (а - Ь) + Ь, то |aj < |а -	+ |Ь|. Отсюда |а - б| > |а] - [б|
и |а - Ь| = - а| > ]b| - [а|. Следовательно, |а - b\ > ||а| - [б[|. Кроме того, |а -- b\ = = |а -1 ( b)| ja| + |-bj = ja| + |fr|, 3, а) -2 < х < 4; б) х < -3, х > 1; в) -1 < х < 0; г)х > 0. 4.-24; -6; 0; 0; 0; 6. 5.1; 1|; 71 +х2; |х| 171 + х2 ; 1/71 +х2. 6. я; 0, 7. Дх) = -1 х + | . 8. f(x) = 1 х2 - х + 1. 9.0,4. 10. i (х + |х|).
2	о 3	о о	2
11. а) -К х < 4-оо; б) -оо < х <	12.	(-оо, -2), (-2, 2), (2, +^). 13. а) -оо <
< х С " а/2 , J2 < х < +оо; б) х = 0, |х| > л/2 * 14. -1 С х < 2, Должно быть 2 + х - х2 > 0, или х2 - х - 2 < 0, т. с, (х 4- 1)(х - 2) £ 0. Отсюда или х 4 1 > 0, х - 2 < 0, т. е. -1 < х < 2; или же х + 1 < 0, х - 2	0, т. е. х < -1, х > 2,
что невозможно. Таким образом, -1 < х =С 2. 15. -2 < х < 0. 16, -°° < х < 1, 0 < х < 1. 17. -2 < X < 2. 18. -1 < х < 1, 2 < х < +°о. 19.	< х < 1.
О
20. 1 < х < 100. 21. Ал < х С йя + 2 (k = 0, ±1, ±2, ...). 22. ф(х) = 2х‘ - 5х2 -- 10, \|/(х) - -Зх3 4- 6х, 23. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная; д) нечетная. 24, Использовать тождество f(x) = - [/(х) 4- /(_х)] 4- 1 [/(х) - Д-х)}. £j	2d
2	2 л
26. а) Периодическая, Т = - п; б) периодическая, Т =	; в) периодическая,
<5	А
Т = п; г) периодическая, Г = л; д) непериодическая. 27. у = ~ х, если 0 < х < с; с
У
,	-- п b 2	т Ьс	_-'
= о,	если с < х ч	а; о	= — х ,	если 0 < х с; S = ох	- —	, если с < х <	а.
2с	2
28. m = qAx при 0 С х < Zj пг = q1Z1 I q^{x - lr) при	/2; m =	+ q2l2 4-
4- 73(x Zj - Z2) при lr + l2 < x < Zj 4- l2 +	= 1. 29. (p(\g(x))	22*; \|/((p(x)) = 2* .
30. x. 31. (x 4- 2)2. 37, -“ ; 0;	. 38. a) у = 0 при x = -1, g > 0 при x > -1,
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
397
у < 0 при х < -1; б) у = О при х = -1их = 2, i/>0 при -1 < х < 2, у < О при -оо <х<-1и2<х< +оо; в) у > 0 при -оо < х < 4 ™; г) у 0 при х = 0, х = - 73 и х = л/з , у > О при -л/З <х<Оил/з < х < у < О
при -оо < х < и 0 < х < а/З ; д) у = 0 при х = 1, у > 0 при -оо < х < -1
б) х =	+ 1 и х = ~Jy+ 1 (-1 С у < 4-0°); в) х = 2Jl-y3 * * * < у < +°°);
40. х = у при
-оо < у ч 0; х = Jy при 0 < у < +оо, 41, а) у = и10, и - 2х - 5; б) у = 2й, и = cos х; в) у = 1g и, и = tg и, о = х/2; г) у = arcsin и, и = 3\ р = -х2, 42. я) у = sin2 х\ б) у = arctg Jlgx ; в) у = 2(х2 - 1), если |х| < 1, и у = 0, если
|х| > 1. 43, а) у = -cos х2, Jn < |х| < Узй; б) у = 1g (10 - 10*), -оо < х < 1;
в)^ = з 3
при -оо < х < 0 и у = х при 0 < х < +оо. 46, См. приложение VI,
рис. 1. 51, Дополнив квадратный трехчлен до полного квадрата, будем иметь У = у$ + а(х - х0) , где х0 = -Ь/2а и у$ - (4пс - b )/4а. Отсюда искомый график есть парабола у = ах2, сдвинутая вдоль оси ОХ на величину х0 и вдоль оси ОУ на величину у0- 53. См, приложение VI, рис. 2. 58. См. приложение VI,
рис. 3. 61. График представляет собой гиперболу у = — , сдвинутую вдоль
оси ОХ па величину хд и вдоль оси 0Y на величину у0* 62. Выделив целую 2	13 н	2'\
часть, будем иметь у = - - — / х 4- - (см. К? 61). 65. См. приложение VI,
О	У г \	О/
рис. 4. 67. См, приложение VI, рис. 5. 71. См. приложение VI, рис. 6. 72. См. приложение VI, рис. 7. 73, См. приложение VI, рис. 8. 75. См. приложение VI, рис. 19. 78, См, приложение VI, рис. 23. 80. См. приложение VI, рис. 9. 81. См. приложение VI, рис. 9. 82. См, приложение VI, рис. 10. 83. См. приложение VI, рис. 10. 84, См. приложение VI, рис. 11. 85. См. приложение VI, рис. 11. 87* Период функции Т = 2л/л. 89. Искомый график есть синусоида у = 5sin 2х с амплитудой 5 и периодом л, сдвинутая вправо
вдоль оси ОХ на величину 1 . 90. Полагая а = Acos <р и b = -Asin ф, будем
/22	/СМ
иметь у = Asin (х - ср), где А =	£ и ф «= Arctg — LB нашем случае
2	1
А-10,ф = 0,927, 92, сов х = - (1 4 cos 2х). 93, Искомый график есть сумма
графиков уг = х и у2 = sin х. 94. Искомый график есть произведение графиков
У L ~ х и у2 sin х. 99, Функция — четная. Для х > 0 определяем тотгки, в которых
1)у = 0; 2) у = 1 и 3) у *= -1. При х +оо у 1» 101. См. приложение VI,
398
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
рис, 14, 102, См. приложение VI, рис. 15, 103. См, приложение VI, рис. 17. 104, См, приложение VI, рис. 17,105. См. приложение VI, рис, 18. 107, См. приложение VI, рис, 18. 118. См. приложение VI, рис. 12. 119. См. приложение VI. рис. 12. 120. См. приложение VI, рис. 13. 121, См. приложение VI, рис. 13. 132. См. приложение VI, рис. 30.133, См. приложение VI, рис. 32. 134. См, приложение VI, рис. 31. 138. См. приложение VI, рис. 33. 139, См. приложение VI, рис. 28. 140* См. приложение VI, рис. 25. 141. Составим таблицу значений:
t	0	1	2	3	4 4 	-1	-2	-3
X	0	1	8	27	t в в	-1	-8	-27
У	0	1	4	9	* * №	1	4	9
Построив найденные точки (х, у), получим искомую кривую (см. приложение VI, рис, 7), (Параметр t при этом геометрически не откладывается!) 142. См. приложение VI, рис. 19.143. См. приложение VI, рис. 27.144. См, приложение VI, рис, 29. 145. См. приложение VI, рис, 22. 150. См. приложение VI, рис. 28. 151. Разрешив уравнение относительно у, получим у = ±725 — х2, Теперь искомую кривую легко построить по точкам. 153. См, приложение VI, рис. 21.156. См. приложение VI, рис. 27. Достаточно построить точки (х, у), соответствующие абсциссам х = 0,	, ±а, 157. Разрешая уравнение отно-
&
(*)
сительно х, будем иметь х = 101g у - у , Отсюда получаем точки (х, у) искомой кривой, давая ординате у произвольные значения (у > 0) и вычисляя по формуле (*) абсциссу х. Следует иметь в виду, что 1g у —►	при у 0.
159, Переходя к полярным координатам г = Jx2 + у2 и tg ф = , будем иметь х
г = еф (см. приложение VI, рис. 32). 160. Переходя к полярным координатам 3 sine coscp ,	,гт
х = rcos ф и у = rsin ф, будем иметь г = —— т(см. приложение VI, cos ф + sin ф
рис. 32). 161. F = 32 + 1,8С. 162. у = 0,6 х(10 - х); утах = 15 при х = 5* 163. у = у sin х; утях = у при х = | . 164. a) Xj = 1/2, х2 = 2; б) х = 0,68; в) х1 = 1,37, х2 = 10; г) х = 0,40; д) х = 1,50; е) х = 0,86. 165. а) хт = 2, у} = 5; х^ — 5, у2 2, б) Х| — — 3, уг — 2; х2 — 2, у% '3; х^ “ 2, у^ — 3, х4 — 3, у4 = 2; в) хт = 2, у1 = 2; ха 3,1, у2 -2,5; г) Xj « -3,6, уг = -3,1; х2 = -2,7,
у2 = 2,9; Х3 = 2,9, у3 = 1,8; х4 = 3,4,	= -1,6; д) х, = j , yt =	; х2 =	’
у2 = -7? . 166. п >	. а) п > 4; б) п > 10; в) п > 32. 167. п > 1 - 1 = N.
2 Ji.	Е
a) N = 9; б) N = 99; в) Л7 = 999. 168. 5 = - (е < 1). а) 0,02; б) 0,002; в) 0,0002.
5
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
399
169* a) 1g х < -Я при 0 < г < S(A); б) 2* > N при х > Х(А); в) |/(x)j > при [х| > X(N). 170, а) 0; 6)1; в) 2; г) 7/30, 171,1/2. 172,1. 173,-3/2, 174,1, 175,3, 176, 1. 177,3/4. 178, 1/3, Указание: использовать формулу 1£ + 22 4 + ... + п ~ i п(п 4- 1)(2п 4 1). 179. 0. 180. 0. 181. 1. 182. 0. 183.	184. 0.
6
185, 72, 186, 2* 187, 2* 188* се. 189. о. 190* 1, 191, 0, 192. оо, 193* -2* 194* се.
195.1/2. 196. “^1. 197. Зх2. 198.-1. 199. 1/2. 200.3. 201.4/3. 202.1/9. За
203. -1/56. 204. 12. 205. 3/2. 206. -1/3. 207. 1. 208. — . 209.	1 .
2^	з37?
210. -1/3. 211. 0. 212. а/2. 213. -5/2. 214. 1/2. 215. 0. 216. a) | sin 2; б) 0. 217.3. 218.5/2. 219.1/3. 220. л. 221.1/2. 222. cos а. 223.-sin а. 224. тг. 225. cos х. 226. -1/72 .227. a) 0; б) 1. 228. 2/71. 229. 1/2. 230. 0. 231. -1/*/3 .
232. | (п - т\ 233. 1/2. 234. 1. 235. 2/3. 236. 2/л. 237. -1/4. 238. 71. 239. 1/4.
240.1, 241*1* 242. i* 243*0. 244*3/2* 245,0, 246, е"1* 247* еЙ* 248, е’1.
249. с 4* 250* е*. 251. е* 252, a) 1* lim (cos x)1/JC - lim [1 — (1— cos =
= lim [ 1 - 2sin2 - ] 1/jr = lim x • - 0 \	2/ x ~(
. Так
как lim
= -2 lim
о x
= -2’1' hm - = 0, to lim (cos x)1/3C x->o4 x — о
I 2
2 sin2 -4
2
e° = 1* б) 1/ Je * Аналогично предыдущему, lim (cosx)1/x2 = e x >0
1
2 ’
Так как lim x —о
“ 2 lim
to lim (cosx)1J x — о
k 2 ;
= l/V^ * 253, In 2, 254. 101g 2* 255* 1. 256, 1* 257* -1/2, 258. 1, Положить er - 1 = ct, где ex 0. 259* In а. Использовать тождество a = ellia* 260, In a, Положить i = a, где a 0 (cm. № 259). 261. a - b. 262. 1. 263. а) 1; 6) 1/2.
400
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
264. а) -1; б) 1, 265. а) -1; б) 1. 266, а) 1; б) 0. 267, а) 0; б) 1. 268. а) -4; б) 1.
269. а) -1; б) 1, 270. а) -оо; б) +°°, 271. Если х * fen (fe = 0, ±1, ±2, ...), то cos2 х < 1 и у = 0; если же х = fen, то cos2 х = 1 и у = 1, 272. у = х при 0 х < 1;
у = - при х = 1; у = 0 z
при х > 1. 273. у = |х|. 274. у «
? при х < 0; у = 0
л я
при х = 0; у = -£
при г > 0. 275, у ~ 1 при 0Сх^1;у = х при 1 < х <
276.61/450. 277.x. -> -£; х, — оо. 278. л. 279. 2л П. 280.	. 281.1-.
1 b *	е- 1	3
282. — +1  284. lim АС = -. 285.	. 286. k = 1, Ь = 0; прямая у = х
ел/2 _ ।	п... оо	п 3	2
+1	(п)	( kt\n
является асимптотой кривой у = —------. 287, Qj - QJ 1 + — I , где k —
х +1
коэффициент пропорциональности («закон сложных процентов*); Qt = QQe\
288. |х| > - ; а) |х| > 10; б) |х| > 100; в) |х| > 1000. 289. |х - 1| < - при 0 < е < 1;
£	2
а) [х - 1) < 0,05; б) |х - 1| < 0,005; в)|х - 1| < 0,0005. 290. |х - 2| <	=5;
а)	5 = 0,1; б) 5 = 0,01; в) 6 = 0,001. 291. а) Второй; б) третий. 1 /2, 3/2. 292. а) 1; б) 2; в) 3. 293. а) 1; б) 1/4; в) 2/3; г) 2; д) 3. 295. Нет. 296. 15. 297, -1. 298. -1.
299.	3. 300. а) 1,03 (1,0296); 6)0,985 (0,9849); в) 3,167 (3,1623). До = = 79 + 1 =3 JT+|; г) 10,954 (10,954). 301. 1)0,98(0,9804); 2) 1,03(1,0309); 3)0,0095 (0,00952); 4)3,875 (3,8730); 5)1,12 (1,125); 6)0,72 (0,7480); 7) 0,043 (0,04139). 303. а) 2; б) 4; в) 1/2; г) 2/3. 307. Если х > 0, то при |Дх[ < х имеем |а/хТДх - Jx\ = |Дх|/( Jx + Дх + Jx ) |Дх|/ Jx . 309. Воспользоваться
неравенством [cos (х + Дх) - cos х| |Лх|, 310. а) х * ~ + fen, где fe — целое z
число; б) х feK, где fe — целое число, 311, Воспользоваться неравенством ||х + Дх| - М < |Дх|. 313. А = 4. 314. /(0) = 1. 315. Нет. 316. а) ДО) = п;
б)	/(0) = 1; в) /(0) = 2; г) /(0) = 2; д) /(0) = 0; е) ДО) = 1. 317. х = 2 - точка
разрыва 2-го рода. 318. х = -1 — устранимая точка разрыва, 319, х = -2 — точка разрыва 2-го рода; х = 2 — устранимая точка разрыва. 320. х - 0 — точка разрыва 1-го рода. 321. а) х - 0 — точка разрыва 2-го рода; б) х = 0 — устранимая точка разрыва. 322. х - 0 — устранимая точка разрыва, х = fen (fe = ±1, ±2, ..,) —
л
точки бесконечного разрыва. 323. х = 2nfe ± - (fe - 0, ±1, ±2, ,.,) — точки бес-£
конечного разрыва. 324, х — fen(fe = 0, ±1, ±2, .♦.) — точки бесконечного разрыва. 325, х =* 0 — точка разрыва 1-го рода. 326. х = -1 — устранимая точка разрыва; х = 1 — точка разрыва 1-го рода. 327. х = -1 — точка разрыва 2-го рода. 328. х = 0 — устранимая точка разрыва, 329. х = 1 — точка разрыва 1-го рода.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
401
330. х = 3 — точка разрыва 1-го рода. 332. х - 1 — точка разрыва 1-го рода. 333, Функция непрерывна* 334* а) х = 0 — точка разрыва 1-го рода; б) функция непрерывна; в) х = (А — целое) — точки разрыва 1-го рода. 335* а) х = k (k — целое) — точки разрыва 1-го рода; б) х = k (k * 0 — целое) — точки разрыва 1-го рода* 337* Нет, так как функция у = Е(х) разрывна при х = 1* 338* 1,53. 339, Показать, что при х0 достаточно большом имеем Р(-х0) Р(х0) < 0.
Глава II
341. а) 3; б) 0,21; в) 2h + h1 2. 342. а) 0,1; б) —3; в) У а + h -	. 344. а) 624;
1560; б) 0,01; 100; в) -1; 0,000011. 345. а) а&х; а; б) Зх2&х 4- Зх(Ах)2 + (Дх)3 * * * *; „ 2 , „ .	.	,2	. 2хАх+(Дх)2 2х + Дх , * г~ Л„ г.
Зх + ЗхАх 1 (Дх) ; в)-—— -------; г)7х + Дх - -ух,
х (х + Дх) х (х + Дх)
1-----; д) 2x(2iJC - 1);	; е) In —Ах ; In (1 + ~ Y
+ Дх + jx	х Дх V х J
346. а) -1; б) 0,1; в) -й; 0. 347. 21. 348.15 см/с. 349. 7. 350. Лх + Дзс)-/(х} .
351. /'(х) = lim Лх + йх) . 352. а) ; б) = lim , где <р - угол
дх — о Дх	At dt At — о At
AT dT AT
поворота в момент t. 353, a) — ; 6) — - lim — , T — температура
H	At dt At -o At
в момент t* 354. z dt
355. a)—; 6) lim
Ax дх — о 6Ax
y' _„ = -O,25. 357* sec^x* у' = x~*	Ax -0
1
lim — , Q— количество вещества в момент /, д< —о At
,356.a)-i = -0,16; 6)-^- =-0,238; в) o	zi	zui
Hm tg(.r + A.r) - tgx _	sin Ax
Ax
=-0,249;
lim «ПЛ*, пт / л ,
Дх — О Ax дх-»о cosxcos (x + Ax)
2 COS X
lim	,	_ 4
Ar * о Ax cosx cos (x + Ax)
2 sec
2	2
X. 358. a) 3x ; 6)-^; d
X
B) -i- ; г) -Ц- . 359. -t. Г(8) = lim Д8 + А*)_а8)
9 /у cin r	12	Ax — 0	Ax
& -v X sin X
= lim
Ax — 0
8 + Ax — 8
Ax[Д/зТдх2 4- У8 + Ax8 + j#?]
= lim  _	—-----—	-----
iix ’0 *V(8 + Ax)2 + 2'У(8 + Дх) + 4
= A- . 360. /'(0) - -8, /'(1) = 0, /"(2) = o. 361. x, = 0; x2 = 3. Уравнение 12
ff{x) ~ f(x) для данной функции имеет вид Зх2 = х3. 362. 30 м/с. 363* 1, 2*
364* -1, 365* Л(х0) = —  366* -1; 2; tg ф 3, Использовать результаты х2
402
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
примера 3 и задачи 365. 367. a) f'(0) =
дх —о Дх
= lim —L- = оо; ° ?/Кх
/2&+1
COS --~--7Г + Дх
lim ------- = J-oo;
Д1-О57(д?Р
и™ = _1;
Дг —о Дх
= iim Ы21М
Дх — I о Дх
= 1. 368. 5х4 - 12х2 + 2. 369.	+ 2х - 2х3. 370. 2ах + Ь.
и
371. -15^. 372. таГ 1 + b(m + n)tm " л ’ \ 373. 6дд-- . 374. - —.
а	П	Y3
л/а + Ь	х
375. 2х1/3 - 5х3/2 - Зх4. 376. |х5/3. Указание: у = х2х2/3 = х8/3.
О
377.
.378.
be - ad (с + dx)2
379.
-2х2-6х + 25 „оп 1-4х
9	2 * doU,	,
(х2-5х + 5)	xj(2x-1)3
381.-------— , 382. 5cos х - 3sin х. 383, —-— . 384, -—-—-----
i—	j— 2	2	2
^2(1-7^)	sin 2x (sinx-cosx)
385. / sin t. 386. у — 0, 387. ctg x - - x— . 388. arcsin x + x . 389. x arctg x. sin x	Ji _
390. x e (x + 7). 391. xe*, 392. e* x . 393. x . 394. e*(cos x - sin x). x	e*
395. x2ex. 396. e* arcsin x -f-
397	Inx — 1)
ln2x
398. 3x2 In x.
399. ? + 1!^ - 2 400.	- 1.401. sh x + xch x. 402. 2xchx-x%hx
x x* x2 xlnlO x	•	ch2x
403.-th2 x. 4O4.^ln* + sh*cM. 405.	. 406,- 1 - Arsh x +
x In x  sh x	1 - x4	Jl-xz
4-—1 aresin ,r. 407. ~	~ lArch x.	1 + 2x Arcthx 3a f ax + bV
71 + x2	x27x2-1	(l-x2)2 c I c J
411.12b + 18bZy. 412. 16x(3 + 2x2)3. 413. x " 1 . 414. ~x . (2x-l)8
415. -~^2----. 416. - Ш - 1 . 418. ^tA + tA 419	_
37(a + bx3)2 N Nx2	eos2x	2sin2xjetgx
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
403
2	— 1firri=12t	-2	-2
420,2 - 15 cos xsinx, 421, ----------—----. Указание: л: = sin i 4 cos t.
sin32f
422, ____sin—-----
(1 - 3 cosx)3
. з 423 sni x
4 COS X
Scosx + 2sin x 2 715 sin x - 10 cos x
3sinx 42g ____________1_________
cos x 2//1 - x2л/l + arcsinx
427,---- _x ... —
2(1 + x ) Jarctgx
2cosx
3?/sinx
3(arcsin) 71 - %2
428. -----^4----------- . 429. e 4~xe "1
(1 + x )(arctgx)	2<Jxe2 + x
.„n	(2eI-2I)ln2	, 51n4x
43U* —	т -----
З^е1 -21 + 1)2 X
432, (2x - 5)cos (x2 - 5x + 1) - -—-—- . 433, ctsin (ftx 4- p), 434, sin (2t + cp). 2 2a
435. -2-£2i£. . 436. —— , 437. xcos 2x2 sin 3x2. 439. —— . 440. - , 1	.
sin -	sin -	x*jx -1 2л/х-х
a	a
441.	. 442. -i- . 443. -Юхе-1'. 444. -2x  5~x‘ In 5. 445. 2x • 102jt x
i	2	-i	2
1 4 X	1 4 X
x(l + xlnl0). 446.sin2( + 2ftcos2fln2. 447. c -.448.	. 449.ctgx 1ge.
Г.77 2x + 7 JI - e
-2x	4C1 2lnx	1
450,------. 451.-------- -	-----.
1	2	X	Х1ПХ
X r*V
453. —-Ц-------- + -----------4--------
(14 In x)x (1 + x ) arctgx
(eJ + 5cosx)71 - x2 " 4
452.______________________________
(ex 4- 5sinx - 4arcsinx)J 1 - x
1	_l	1
4з4, —-—-—	+-------тт""— <
2xTlnx +1	2{Jx + x)
455, Решение: у' = (sin3 5x) о
. 2 -	2
4- sin 5x cos
o . 2 r	t 2 X .
= 3sin 5x cos ox 5cos - +
3
. 3 t О x - sin 5x ’ 2cos -«Э
-sin - I - = 15sin2 5x cos 5x cos3
3) 3	3
2.3k	x		x
- sin 5x cos	-	sin	-	.
3	3	о
456.	.	457. x + 4 6 .	458. —------ .	459.---,
(Jc-2)3	(x-3)a	(l-x2)J	x2hx2-2x + l
460.	1	.	461. x .	462. O..t 'fo. .	463. x5 sJ(l + x3)2 .
J(a2 + .rV 7(1 + .rV
464.	1	— . 465.4x3(a - 2?)(a- 5x3). 466. 2ab^x +	_
V(x-l)3(x + 2)5	(a-6Z)
467. -J—Ц .	468. S—— .
(x 4 2)G	- X
3x242(a4 6 + c)x + a^4/;c + ac 2 7(x 4 n)(x + b)(x 4 c)
404
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
470. --1	. 471. 2(7t + 4)V3i + 2.472. у . 473. —-1— .
6Л ^(У + Л)2	J(2ay~y2')3	7е* + 1
474. sin3 x cos2 x. 475. ——-—~ .	476. lOtg 5x sec2 5x.	477. xcos x2.
sin x cos x
478. 3t2sin 2t3.	479. 3cos x cos 2x.	480. tg4 x. 481. £2^ .
sm x
(a - p) sin2x
27tTsin2x + (3 cos2x
.1 arcsinx(2arccosx - arcsin x)
2	7i -x2
485. r 2	486.^—.	487. *-arccQS x ~	.	488.	1 - .
xjzx2-!	1 + *2	(l-x2)3/2	Ja- bx2
489. /-—- (a > 0). 490. 2^a2 - x2 (a > 0). 491. ———X	. 492. arcsin Jx
Ча+х	Г2
л/2х - x
493.	5— -------,	494. -- 1	.	495. — sin^---------
71 “ 25x2 arcsin 5x	xjl - ln2x	1 ~ 2xcosq + x
—- 	2 flJt
496.	— • 497- 4x h^- • 498. ~^n X>  499. % 2 .500. (sin 2х)ез],Л
5 + 4sinx	^-x l + cos2x 2
501. 2rn2p(2mamx + bf Iamilna. 502. eat(acos 0t — psin (3/). 503. e'^sin Px.
504. e *cos 3x. 505.x" 1a'1 (n - 2x2lna). 5O6.-|ytgx(l + 7cosx In a).
507.	.	508.	+	.	509. ---1 — .	510.	.
(xsin(l/x))	ax t&r + c	Ja2 + x2	1 + Jx
511.	1	. 512. '—. 513. -itg -—i . 514.	. Указание:
720x77 xln3x X2 x	x2-x-2
у = 5 In (x - 2)
31n (x -I-
1).
515. ——-----16x+ W_ 516 ----------1----
(x - l)(x - 2)(x-3) sin3xcosx
517. Jx2-a2. 518.-—------------ . 519. l.^ln7ajL±b) 52o — 2 —
(3 - 2x3) In(3 - 2x3)	ax + t>	+ a2
52L	522. 72 sin In x. 523.^-. 524.	. 525.^-.
x —a	sin' x	x	x3 -1
Q	 c	f	. 2	>
526. —1__________[2flrcsin31 In 2 -k 2(1 - arccos 3x)]. 527. 3"^in 3 +
71 - 9x3	I	cos bx;
a cos ax cosbx +- d sin ax sinfcx
X •-	——
2, cos bx
528. ----i----.
1 + 2 sinx
529. -----------
2
x(l + In x)
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
405
530. -----1+	1	. 531. -	1 g . 532. -т^-2----•
Jl - x^arcsinx Х х71-1п2х	х(1-ь1п х) х + х -2
533.-----_ 534 х2- Зх . 535_ _Ц _ 536. arcsin Х3 537. 6sh2 2х. ch 2д.
cosx Jsfnx х4 -1	1+Х	ц_х2)
538. e”(ach [Зх + |3sh |3х). 539. 6th2 2х(1 •• th2 2х). 540. 2cth 2х. 541. 2х -.
I 4 ,	4
л/a + х
542. — 1	543.—-!—.	544. .L.	545.--2 .	546. xArthx.
[~2	7	cos2x	SH1X	1 _ v2
xvln x - 1	1 л
547. x Arsh x. 548. а) у *= 1 при x > 0; у = -1 при x < 0; y'(O) не существует;
б) у' = |2х|. 549. у' = 1. 550. f’(x) = j -1 "ри x °’ 552. J + ^ - 553. 6л. x	! -e при x > 0.	*
554. a) f' (0) = -l, Л(°)= 1;б)Л (0)= - , ЛД0) = — ; в) <_(0) = 1, f+(0) = 0; a	a
r) ft (0) = f_ (0) = 0; д) ff_. (0) и f+ (0) не существуют. 555. 1 - x. 556. 2 4- X .
557. -1. 558. 0. 561. Имеем у = е’х (1 - x). Так как е 1	, то у = (1 - х)
'	х ‘ х
или ху = х/(1 - х). 566. (1 + 2х)(1 + Зх) + 2(1 t- х)(1 1 Зх) + 3(х 4 1)(1 + 2х).
(х + 2)(5х2 + 19х + 20)	х2“4х + 2	Зх2 + 5 х2
(х+1)4(х-3)'	2д/х(х- 1)(х-2)3	3(х +1)^х +1
570.---(х-2)*(х2-7х + 1)	<	571. _ —	у__ьх-2^----- .
(х - 1)(х - 3)7(х - 1)5(х - З)11	3(х - 1)Ь 2(х + 2) /3(х + 3)5/
иЛ--
572. х*(1 + In х). 573. х*^ 1 (1 + 2In х). 574.	1	. 575. х 2 fl + |lnx\
х	<	2	;
576. Xх хх f- + Inx 4- ln2x I . 577. x5LI1 J f —-1 r + cos x In x 1 . 578. (cos x)slR x x \X	/	\ X	J
x(cos x In cos x- sin x tg x), 579. f 1 + ln( 1 + - "1 - --. 580. (arctg x) x
\xJLkxJ14-Xj
X lna.rctgx + ------“--------j. 581. a) x" = ----; 6) x' =
(1 + x ) arctgxJ	3(lt x )	3 cosx
B) x' = ---.	582. t2.	583. ~ .	584.	-	585.	.
v l + 5cX2	2	< + 1	1-/	l-2(3
586. — - 587. ——— . 588. tg t. 589.	. 590. -~tg t. 591. -tg 3t.
зУг t(/2 + i)	a	a
406
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
592. у; -
1 при t < О, 593,-2e3f. 594. tg I. 596.1. 597. со. 599. Нет. 1 при t > 0.
600. Да, так как равенство является тождеством. 601,	602,-^—^.
5	а у
603.. 604.-*(3*—.2^ . 605. -Jy7i . 606. -\1у7х . 607.	2^------ =
У	х +2у	3(х -у2)4-2ху
=------------Z. 608.	10---. 609.-1. 610. ycos2y . 611.	.
1 4-Зху + 4у Ю-Зсову	l-xcos2y х 14-х2 4-у2
612. (х + у)2. 613. у' =	=----1— . 614.	+ е»/х. 615. -%— . 616.	.
еу~1 х + у-1 х	х-у х-у
617. ey + xjx +у[ . 61g х\пу-у . у. 620. 0.	1	0 622.
arctg 2 = 63°26'. 623.45°. 624. arctg - = 36=21'. 625. (0; 20); (1; 15); (-2; 12).
626. (1; -3). 627. у = хг - х + 1. 628. k = — . 629. f -
11	<8
631.!/ - 5 = 0; lb>
х + 2 - 0. 632, х - 1 = 0; у - 0. 633. а) у = 2х; у = -х; б) х - 2у - 1=0;
2х + у - 2 = 0; в) 6х + 2у - я = 0; 2х - бу 4- Зл = 0; г) у = х - 1; у = 1 - х; д)2х + у- 3 = 0;х-2у+1 = 0 для точки (1; 1); 2х - у + 3 = 0; х + 2у - 1 = О для точки (-1; 1). 634. 7х - 10у I- 6 = 0; 10х + 7у - 34 = 0. 635, у = 0;
2 &
(л + 4) х + (л - 4)у -	= 0. 636. 5х + бу - 13 = 0, 6х - 5у + 21 = 0.
637. х + у - 2 - 0. 638. В точке (1; 0): у = 2х - 2; у = 1 ~ ; в точке (2; 0): 2
у = -х + 2; у = х - 2; в точке (3; 0): у = 2х - 6; у =	. 639.14х - 13t/ + 12 =
“ 0, 13х + 14у - 41 = 0. 640. Уравнение касательной { -У— = 1, Слс-
довательно, касательная пересекает ось ОХ в точке А(2х0, 0) и ось OY в точке 2у0). Находя середину отрезка АВ, получим точку (х0, у0). 643, 40°36'.
644. В	точке (0, 0) параболы	касаются;	в точке	(1,	1)	— пересекаются под
углом	arctg | = 8 8'.	647.	S( = Sn	= 2; t	=	n =	2^2. 648.—.
'	1 n 2
652. T	= 2a sin	~ tg ;	X =	2a sin |= 2a	sin2 tg	; S = a sin t.
653. arctg 1.	654.	2cp.	655. S( - 4tA;	Sn	= a;	t » 2ла71 -4л2 ;
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
407
71 + 4?t2 ; tg р -= -ф0. 656. 8, = а\ Sft =	; t = Ja2 +	; п =- — Ja2 + р^ ;
<Ро	а
tg Li = --(р^ 657. 3 см/с; -9 см/с. 658. 15 см/с. 659. —3/2 м/с. 660, Уравнение
02	sin 2а
траектории у = х tg сх - ——-—х . Дальность полета равна -----------------.
2ny cos ex
12	2 2
Модуль скорости - 2uogt since + g / ; угловой коэффициент вектора ско-
i>o since-gt
рост и ----------. Для определения траектории нужно исключить параметр t
и0 coset
из данной системы. Дальность полета — абсцисса точки А (рис. 17). Проекции скорости на оси: ^у и . Модуль скорости ^у] + f 1 I вектор скорости направлен по касательной к траектории. 661, Убывает со скоростью 0,4. 662. (9/8, 9/2). 663. Диагональ растет со скоростью - 3,8 см/с, площадь — со скоростью 40 см /с. 664. Площадь поверхности растет со скоростью 0,2л см /с, объем — со скоростью 0,05л м /с, 665, л/З см/с. 666. Масса всего стержня составляет 360 г, линейная плотность в точке М равна 5х г/см, в точке А равна 0, в точке В есть 60 г/см. 667. 56xS 4- 210х4. 668. е*2 (4х2 + 2).
669. 2cos 2х. 670. 2(1 - х2)/3( 1 + ж2)2. 671. -х//(а2 + х2/ . 672. 2 arctg х +
+ -I*—	. 673. ——	+ 2*.a^sni?x	, б74 1 ch	х	67Q. у,„ = 6 ggQ. = 4320.
1 + Х2 1-х2	(1-г2)3'2 а	а
681, у" = ——— . 682. i/1 = -64sin 2х. 684. 0; 1; 2; 2. 685. Скорость и = 5; (х+1)а
4,997; 4,7. Ускорение а *= 0; -0,006; - 0,06. 686. Закон движения точки М1
есть х — acos саг; скорость в момент t равна - aw sin (Ct; ускорение в момент t: -аш cos cot. Начальная скорость 0; начальное ускорение равно -аса ; скорость при л: = 0 равна ускорение при х = 0 равно 0. Максимальное 2 Г. (п)	« И
значение скорости асо; максимальное значение ускорения аш . 687. у = Ша .
688. а)л!(1 - х) (л + П; б)(-1Г"1 1 ’ 3--Ld-2f? 3). 689. a) sin (х + п(л/2)); 2/1	/1 J ' £»
 X
б) 2ncos (2х + п(л/2)); в) (- 3)че 3l; г) (-1)'1 ’ 1	; д) (	;
(1 + х)"	(1 + х)п 1
ж) 2 4 1sin 2х + (п - 1)2"|; _	2 4
з) (-^Ли-!)!^ (ах н- Ь)п
Г* Л/Ч \	X	X	\	1	rt/ Ч'.Л I О /	1 > I Л- ( Ji 1 ) / . vrt  2
690. а) а- ' е + не ; о) 2 е 2(-1) х 4- 2л(-1) х 4-	' (-1)
408
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
в) (1 - x2)cos (х +
\
- 2nx cos
/	1 v (	(n - 2) л
- zi(n - l)cos x + 1-------—
„Л-D'1 ‘  1-3 ... (2ra-3) .	1V1	. (-l),I6(n-4)!	. ,
г) (2. + l)A------------- Iх - (2n - Д) Лз ПРИ п > 4-
2 х	х
691. у("’(0) = (га - 1)! 692. а) 9?; 6)2? + 2; в)-71-?. 693. а) -1 з ; a sin t
б)------; В)--------------; г) 1 з .	694. а) 0;	6) 2е3а(.
За cos t sin/ 4а sin (t/2) at sin t
695. a) (1 + ?)(1 + 3?); 6)	. 696.----™-------- . 697. Имеем у - e* - 1
(1 - ty	(C08t + sin/)3
и А
dx2
t =о
= 1. Обычное правило дифференцирования тут неприменимо.
699. (3ctg4 t)/sin t. 700. 4e <2sint C°5S*> . 701. -6e3t(l + 3t + ?). 702. rai"tm.
(sint + cost)
703. __ = -~Z -(*:)_. x _ 3 [ / (x)] ~ f (x)f (^) 1 yog _ P 70g _ b dy [/(лс)] dy	[f(x)]	У ay
707.- 2У + 2. 708.^ = —К—;	= 1 709.111/256. 710.-1/16.
v	1 a	ч. чЭ	т a	£
у	dx (1 ~y) dy у
711. a) 1/3; 6) -3a2x/y5. 712. Ay = 0,009001; dy - 0,009. 713. d(l - x3) = 1 при x = 1 и Дх = -1/3. 714. Д8 = 2хДх + (Дх)2; dS = 2хДх. 717. При х = 0. 718. Нет. 719. dy = -л/12 = -0,0436. 720. dy = 1/2700 = 0,00037. 721. dy = л/45 = 0,0698, 722.	. 723. dx . 724. . dx . 725. -~-Х - .
d-х? 77Т?
726. -2хе’? dx. 727. In х dx. 728.	. 729. -1 + C°S(P dcp. 730. -	.
12	«2	,	21
- х	sm ф	1 + e
732. - 10x + 8^ dx. 733.	-	= -Л— dx. 734. dx. 735. — dx.
7x + 5y	xe‘ ’ Х~У	Х~У	U
737. a) 0,485; 6) 0,965; в) 1,2; г) -0,045; д) n/4 + 0,025 == 0,81. 738. 565 см3. 739. ?5 = 2,25; 717 = 4,13; ?70 = 8,38; Тб40 = 25,3. 740. 3Дб = 2,16; V70 = 4,13; V200 = 5,85. 741. a) 5; 6)1,1; в) 0,93; г) 0,9. 742.1,0019. 743. 0,57. 744. 2,03. 748. "<dx)	. 749. ~x^dxj;- . 750. (-sin x In x +
(1-x2)	(1-x2)	V-
 (dx)2. 751. 21nx~ - (dx)2. 752. -e-1 (x2 - 6x + 6) (dx)3. x'
2 cosx	sjnx >
X	Vй /
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
409
753.	-3jj4(dx)	754. з * 2rt sin ( 2х + 5 4- — 1 (dx)n. 755* eXC0S“sin (х sin а +
(2-х)5	'	2>
-b aa)(dx)rt, 757. Нет, так как f(2) не существует. 758. Нет, Точка х = л/2 — точка разрыва функции. 762. х = 9* 763. (2, 4). 765. а) = 14/9; б) = л/4. 768. In х = (х - 1) - i(x - l)2 +	где E, = 1 + 0 (x - 1), 0 < 0 < 1.
2	3£3
3	5	3	5
769. sin x = x -	cos L, где = (kx, 0 < 0. < 1; sin x = x - -r + “ -
3!	51	31	51
- cos ^2, где ^2 = 02x, 0 < 02 < 1. 770. er = 1 + x +	+ ... +-2L_L +
+ £-Лгде£=6х,О<0< 1.772. Погрешность: a)—x	; 6) — —*• -- ;
n!	16 (i+^5/2	81 (i + ^e/3
3	1
в обоих случаях <; = Ox; 0 < 0 < 1. 773. Погрешность меньше — = — .
2
775. Решение* Имеем = (1 4- (х/а)^2(1 - (х/а)) 1/2 * Разлагая оба множила - х
1- -а
1
8
1 х
2 а
1/2
теля по степеням х, получим: (1 + (х/а))
-1/2
2 * а
-14“-- 4— “ , Перемножая, будем иметь: -+-х ~ 1 + - +	, Далее,
2 а 8 а2	уа- х а 2а
2 х/а	,	х/а - X . X
разлагая е по степеням х/а, получаем тот же многочлен е = 1 + - + —- . а 2аг
777. -1/3. 778. со. 779. 1. 780. 3. 781. 1/2. 782. 5. 783. оо. 784. 0. 785. п/2. 786* 1. 788* 2/тг. 789. 1. 790. 0. 791, а. 792. оо для а > 1; а для п — 1; 0 для п< 1.793. 0.795. 1/5.796. 1/12.797.-1.799. 1.800. е3.801. 1.802. 1.803. 1. 804. 1/е. 805. 1/е. 806. 1/е. 807. 1. 808. 1. 810. Надо найти lim g J* , где ct — 0 2/о Dfl
S = — (ct - sin а) — точное выражение площади сегмента (/? — радиус со-2
ответствующей окружности).
Глава III
811* (-°°, -2) — возрастает; (-2, оо) — убывает, 812. (-°°, 2) — убывает; (2, оо) — возрастает. 813, (-°°; °°) — возрастает. 814. (-оо, 0) и (2, оо) — возрастает; (0, 2) — убывает* 815, (-“< 2) и (2, °°) —- убывает. 816, (-°°, 1) — возрастает; (1, оо)— убывает. 817. ( ™, -2), (-2, 8) и (8, °0)— убывает.
410
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
818. (0, 1) — убывает; (1;	— возрастает* 819*	-1) и (1, ^о) — возрастает; (-1, 1) — убывает. 820. (	°°) — возрастает. 821. (0, 1/е) — убывает;
(1/е, ею)— возрастает* 822. (-2, 0)— возрастает. 823. (-°°, 2)— убывает* 824, (—оо, а) и (а, ею) — убывает, 825* (-°°, 0) и (0, 1) — убывает; (1, °°) —
9	1
возрастает, 827, t/ v = - при х = - , 828. Экстремума нет. 830. у = О при J'lilX	’ JH1JJ
т 0;	= 0 при х = 12;	у|[1ах = 1296 при х = 6. 831. yniin	-0,76 при х = 0,23;
t/]nax - 0	при х = 1; t/min	= -0,05 при х =	1,43, При х	2 экстремума нет.
832* Экстремума нет. 833.	у = 2 при х =	0; у .	2 при х = 2. 834* у = —
-1	'	& max	1	* ^nun 1	-чпах 1С
при х = 3,2.835.//
СIJ с1Л
— ; у . = 3 73 при х = — , 836. у
TynU31	1	, WV .^П1ЯХ
при х = 0. 837, у v = -7з при х = 2л/3 ; у = >/3 при х = 2л/3.838* у . = 0 с	”тпах *	чт "пип	1	^шш
при х =	±1; у = 1	при х = 0.	839. у = - ——	при х	(k - - /; у = 32*/3
г	7 ^тах	1	'“min	г	х f) *’niax	v
при.г = jfe + lj л(/г = 0, ±1, +2, ...). 840. утах
= 5 при х = 12£л: у = 5cos — “	’ “max	с
при
2/	** 2л
зр; = -°cos у 1,ри
х = 12 [ k ± -1 л; у . = 1 \	X J ’ Э!ПП1
при
х = 6(2ft + 1)л (k = 0, ±1, ±2, ...)* 841. ^min 0 при х = 0. 842, i/inin = -1/е при X = 1/е. 843. утах = 4/е2 при х = 1/е2; t/min = 0 при х = 1. 844. t/min = 1
при х = 0. 845. Ут.п =
2
-1/е при х = -1, 846, у . =* 0 при х = 0; и = 4/е < г	итп	’ Ущах
при х = 2. 847, уп1.п = с при х = 1. 848, Экстремума нет* 849, Наименьшее
значение т = -1/2 при х = -1; наибольшее значение Л1 = 1/2 при х = 1,
850* т = 0 при х = 0 и х = 10; М = 5 при х = 5* 851. т = 1/2 при х = (2ft + 1)- ;
4
М = 1 при х = (ft = 0, ±1, ±2, ,..), 852* т = 0 при х = 1; М = л при х = -1. £
853, m = -1 при х ~ -1; М = 27 при х - 3. 854. а) т = - 6 при х - 1; М = 266 при х = 5; б) т = -1579 при х = -10; М = 3745 при х = 12* 856* р = -2, д = 4,
861, Каждое из слагаемых должно быть равно - * 862, Прямоугольник дол-2
жен быть квадратом со стороной 1/4. 863, Равнобедренный, 864. Сторона площадки, примыкающая к стене, должна быть вдвое больше другой стороны. 865. Сторона вырезаемого квадрата должна быть равна а/6. 866, Высота должна быть вдвое меньше стороны основания* 867. Тот, высота которого равна диаметру основания* 868, Высота цилиндра 2R/ л/3 , радиус его основания R^2/3 , где 7? — радиус данного шара. 869. Высота цилиндра
где /? — радиус данного шара* 870, Высота конуса где 7? — радиус
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
411
4
данного шара. 871, Высота конуса -Я, где Я— радиус данного шара, о
3
872,	Радиус основания конуса - г, где г — радиус основания данного цилиндра. 2
873.	Тот, высота которого вдвое больше диаметра шара. 874. ф — л, т. е. сечение желоба — полукруг. 875. Центральный угол сектора 2 л J2/3,876. Высота цилиндрической части должна быть равна нулю, т. е. сосуд должен иметь форму полусферы. 877. п = (/2/3 - d2/3)3/\ 878,	4	- 1. 879. Стороны
прямоугольника а^2 и b J2 , где а и b — соответствующие полуоси эллипса.
880* Координаты вершин прямоугольника, лежащих на
— ,	882. Угол равен наибольшей из величин arccos - и arctg - .
/я 4;	k d
883* АЛ1 = а
. 884. — . 885. а) .г =	; б) х =	; у = dJlT?,.
72	72 Уз
886.	х = </2aMVq ; Р|1йп = g j2aqM (g — ускорение свободного падения), 887, jMm . При вполне упругом ударе двух шаров скорость, которую приобретает неподвижный шар массы после удара о него шара массы т2*
2/n2L?	t-----
двигавшегося со скоростью и, равна---— , 888* п = jNR/r (если это число
т j + т2
не целое или не является делителем числа АГ, берут ближайшее к найденному значению целое число, являющееся делителем числа М). Так как внутреннее
2
сопротивление батареи равно — , то физическии смысл найденного решения Лг
таков: внутреннее сопротивление батареи должно быть возможно ближе к 2
внешнему сопротивлению. 889, у = - ft, 891. (-°°, 2) — вогнут вниз, (2, °°) — 3
вогнут вверх; М(2; 12) — точка перегиба. 892,	°°) — вогнут вверх.
893* (-°0; -3) — вогнут вниз, (-3, °°) — вогнут вверх; точек перегиба нет, 894, (-°°т -6) и (0, 6) — вогнут вверх, (-6, 0) и (6,	— вогнут вниз; точки
перегибам,(-6; -9/2), 0(0; 0), М/6; 9/2). 895. ~Уз ) и(0, УЗ) — вогнут вверх; (-*/3 ; 0) и( Уз ; ос) — вогнут вниз; точки перегиба 2(±УЗ ; 0)иО(0; 0). 896, [(4ft + 1) , (4ft 4- 3)^ — вогнут вверх, f (4ft + 3)^ ,
— вогнут
вниз (k = 0, ±1, +2, ...); точки перегиба — ((2k + 1)^ , 0). 897. (2/гя, (2k + 1)л) — вогнут вверх, ((2ft - 1)тг, 2ftTt) — вогнут вниз (ft = 0, ±1, -2, ,..); абсциссы точек перегиба равны х ftrc. 898. (0, 1/7? ) — вогнут вниз, (1/7? » °°) —
412
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
/о	3
вогнут вверх, М(1/<е ; -3/2е )— точка перегиба. 899. (-сю, 0)— вогнут вверх, (0, х) — вогнут вниз; 0(0, 0) — точка перегиба. 900. (с*\ 3) и (-1, оо) — з
вогнут вверх, (-3, -1) — вонут вниз; точка перегиба М^-3; 10/е ) и М2(-1; 2/е). 901. х = 2; у = 0. 902. х = 1, х = 3; у = 0, 903. х - =2; у = 1. 904. у = х, 905. if = -х (левая), у = х (правая). 906.1/ = -1 (левая), у = 1 (правая). 907. х = ±1, у = -х (левая), у = х (правая), 908, у = -2 (левая), у = 2х - 2 (правая). 909,1/^2. 910. х = О, у = 1(левая), у = 0 (правая). 911. х = 0, у = 1. 912. у = 0. 913. х = —1. 914. у = х - л (левая); у = х + л (правая). 915, у = а. 916‘ Утах = ° ^Р11 х = °’ Утт = прк х = точка перегиба М Д1; -2). 917. утах = 1
'шт " О при * = 0; точки перегиба М1 2 ±1; - • 918. yjnax = 4 у	/
при х = -1; ymin = 0 при х = 1; точка перегиба М2(0; 2). 919. t/max 8 при х = -2; i/ra-n = 0 при х = 2; точка перегиба ЛЛО; 4). 920. i/miii = -1 при х = 0; точки перегиба 2(+>/5 ; 0) и J ±1;	* 921. утлх = -2 при х - 0;
1	’ ч 125/
pmiR ~ 2 при х = 2; асимптоты x = l,i/ = x- l. 922. Точки перегиба ML 2(±1; ±2); асимптота х = 0. 923. I/ = -4 при х = -1; и . =4 при х = 1; асимптота х = 0. 924. у , = 3 при х = 1; точка перегиба — Af(~V2 ; 0); асимптота х = 0.
925, у
1/3 при х = 0; точки перегиба 2 ±1; - ; асимптота у = 0.
926. i/max = -2 при х = 0; асимптоты х = ±2 и у = 0. 927. t/(nin = -1 при х = - 2;
I	а/3
^max = 1 ПРИ х = %* точки перегиба — 0(0; 0) и Мт J +2 7з ; ±— 1; асимптота
у = 0, 928, £/max = 1 при х = 4; точка перегиба — М 5; - ; асимптоты х = 2
и t/ « 0. 929. Точка перегиба— 0(0; 0); асимптоты х = ±2 и у = 0. 930. г/1н!с£ = “27/16 при х = 8/3; асимптоты х = 0, х = 4иу = 0. 931,	= -4
при х = -1; t/min = 4 при х = 1; асимптоты х = 0 и у = Зх. 932, А(0; 2) и
В(4; 2)—- концевые точки i/max = 2j2 при х — 2. 933. А(-8; -4) и 5(8; 4) — концевые точки. Точки перегиба 0(0; 0). 934. Концевая точка А(-3; 0); у - = “2 при х — -2. 935. Концевые точки А(-л/3 ; 0), 0(0; 0) и В(*/3 ; 0);
^тах
2 при х = -1; точка перегиба — М a/з г 2*/3\
I I 2
6 1 + -== .936. у = 1
V V J3y тах
при х = 0; точки перегиба —	2(±1; 0). 937. Точки перегиба — Мг(0; 1)
и М2(1; 0); асимптота у =* -х. 938. t/max = 0 при х = -1; y]]tin = 1 (при х = 0).
939, i/lhax = 2 при х = 0; точки перегиба 2(±1; V§); асимптота у = О, 940, t/]Tlill = 4 при х = - 4; t/]t|.,x = 4 при х = 4; точке перегиба — 0(0; 0);
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
413
асимптота у = 0. 941.	= 3Д при х - 2, ypjin = ?/4 при х = 4;	= 2
при х = 3. 942, ym.n 2 при х = 0; асимптоты х = 12* 943. Асимптоты х = ±2
944. .„ = 7з А^2 при х 73 ; у = - 73 / V2 при х = — J3 ; точки 1X11JI	f	И1О^ъ	f
перегиба — МА -3;
, 0(0; О) и М2(3; 3/2); асимптота х = ±1. 945. ymin =
= 3/?/2 при х = 6; точка перегиба — ЛТ(12; 12/5/100); асимптота х = 2* 946*	= 1/е при х = 1; точка перегиба — Л1(2; 2/е2); асимптота у = О,
947* Точки перегиба — М/-За; и М^-а; —Ъ асимптота у = О, \ е /	\ е J
лла	2	*	.	(812/2	3/2)
948* t/ „ - е при х = 4; точки перегиба — М. „ -д ; е ; асимптота
у = 0. 949. t/max = 2 при X = О; точки перегиба — М1 1; 3/е)* 950* ymax = 1 при х = ±1; у . = 0 при х = 0. 951* и v = 0,74 при х = е2 *= 7,39; точка xJ 11J с	J11аЛ
2
перегиба — М(е8/3 = 14,39; 0,70); асимптоты х - 0 и у = 0. 952, у . = - —
ПИП д а
а
при X =*
; точка перегиба —> М
о г
3
. 3
4е /
 953, ymin == с при х = е; точка
перегиба — М(е2; е2/2); асимптота х = 1; у —* О при х 0, 954, у1пах - 4/е2 ~ 0,54 2
при х = (1/е ) - 1 ~ -0,86; ymin = 0 при х = 0; точка перегиба — М((1/е) - 1 ~ ~ -0,63; 1/е = 0,37); у —► 0 при х 1 + 0 (предельная концевая точка). 955, yndn = 1 прих = ±/2 ; точки перегиба /11,89; 1,33); асимптоты х = ±1. 956, Асимптоты ху = 0. 957* Асимптоты у = 0 (при х —* +оо) и у - -х (при х —* -оо)ь 958* Асимптоты х ~ -1/е; х = 0; у = 1; функция не определена на отрезке [-1/е, 0], 959* Периодическая функция с периодом 2л. ymin - -J2 при х — 5л/4 1 2йл; утах = /2 при х = л/4 + 2kn (k = 0, ±1, ±2, *.*); точки перегиба — М/Зл/4 Ч- 2£л; 0), 960* Периодическая функция с периодом 2л. Ут- = -ЗТЗ /4 при х = 5л/3 ± 2&л; и v = З/З /4 при х = л/3 ± 2kn (k = О, ±1, 12, ,,.); точки перегиба — Mk(k7t; 0) и Afe(arccos (-1/4) + 2^л; 3/15 /16). 961. Периодическая функция с периодом 2л. На отрезке [-л, л] = 1/4
при х === ±-j; y]nin = -2 при х = ±л; yrain 0 при х = 0; точки перегиба — о
Af* /±0,57; 0,13) и .(±2,20; -0,95). 962* Нечетная периодическая фупк-1 1 Х-i	О q ЪХ
Ция с периодом 2л. На отрезке [0; 2л]:	= 1 при х = 0; ymin = 0,71 при
я
х ’л/4; Утах = 1 при х =л/2; у,™ = -1 при х = у,..*. = -°’71 при х =
414
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
3
у- = ^1 НРИ х = - л; и „ == 1 при х = 2л; точки перегиба — М,(О,36; 0,86); 1Е11Т1	2	j 11 а X	х
М,(1,21; 0,86); AW, 36; 0); 2И,(3,51; -0,86); М,(4,35; -0,86); Мг(5,50; О), Х-i	ЙХ	О	(j
72
963. Периодическая функция с периодом 2л. у	при
+ 2Ал;
4
ушах = при х = -" л 4- 2Ал (А = 0, ±1, 12, ...); асимптоты
964. Периодическая функция с периодом л; точки
3
О, ±1, +2, »..); асимптоты х = - л + Ал.
4
+ Ал;
х = - л + Ал, 4
перегиба —
965» Четная
периодическая функция с периодом 2л, На отрезке [0, л]: у1пах
4
—- при зТз
1	4
х = arccos — ; у = 0 при х = л; у =----------------— при х = arccos
Js	max	зТз
(' J2 4а/7
y1Ilin = 0 при х = 0* точки перегиба — Мт(л/2; 0); MJ arcsin \	и	I
. а/2 л - arcsin — 3
. 966. Четная периодическая функция с периодом 2л.
2	( 1
На отрезке [0; п]: у = 1 при г = 0; у = —- при г = arccos —~ ;
max	I. Jj.)
arccos
2	1	-
у = —— при х = arccos — ; у , = -1 при х = л; точки перегиба —
111111 зТё	Тб П11П
( arccos 713/18 ; -713/18 ) ;
2 \	9	)
967. Функция нечетная. Точки перегиба— МД Ал; Ал) (А = 0, ±1, ±2, ...)» 968. Функция четная. Концевые точки —	Д±2,83, -1,57); у111ах- 1,57 при
х *= 0 (точка возврата); точки перегиба —	3(z 1,54; -0,34). 969. Функция
нечетная. Область существования -1 < х < 1. Точка перегиба 0(0; 0); асимптоты х = ±1. 970. Функция нечетная. упах = л/2 - 1 + 2Ал при х = л/4 4- Ал; ^min Зп/2 + 14- 2Ал при х - Зл/4 4- Ал; точки перегиба — МД Ал, 2Ал); асимптоты х =* (2А + 1)/2л (А = 0, ±1, =2, ...). 971. Функция четная; == 0 при х = 0; асимптоты у = -(л/2х) - 1 (при х -* -оо) и у = (л/2х) - 1 (при х —* 4-сю). 972. уга1л = 0 при х 0 (угловая точка); асимптота у = 1, 973. ymin = 14- л/2 при X = 1; ушах = Зл/2 - 1 при xs-l; точка перегиба (центр симметрии) (0; л); асимптоты у = х + 2л (левая) и у х (правая). 974. ymin = 1,285 при х = 1; утах ~ 1,856 при х = -1; точка перегиба — Л4(0, л/2); асимптоты у = х/2 4’ л (при х -* -оо) и у = х/2 (при х —> +оо). 975. Асимптоты х 0 и у = х - In 2. 976, ymin ~ 1,32 при х = 1; асимптота х = 0. 977. Периодическая функция с периодом 2л. угп]п = 1/е при х = Зл/2 4- 2Ал; утах = е при х - л/2 4- 2Ал
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
415
(k = 0 ±1, т2, ...); точки перегиба — Mk
. 75-1 arcsin	-—
+ 2kn; eCjA-1)/2j и
У^-arcsin 1 + (2k + 1)л; e{^ 1J/2 J, 97g, Концевые точки A(0; 1) и B(l; 4,81), Точка перегиба — М(0,28; 1,74). 979, Точка перегиба — М(0,5; 1,59); асимптоты у ~ 0,21 (при х —* и у ~ 4,81 (при х +°°)* 980. Область определения функции — совокупность интервалов (2£л, 2йл +л), где k = 0, ±1, ±2, **. Функция периодическая с периодом 2л; ртах = 0 при х = л/2 + 2krc (k = О, ±1, ±2, ,..); асимптоты х = krc. 981. Область определения — совокупность интервалов ((2k - 1/2)л, (2k Н- 1/2)л), где k целое число. Функция периодическая с периодом 2л. Точки перегиба — Л1Д2/?л; 0) (k = 0, +1, +2, „,); асимптоты х = ±л/2 + 2£л* 982. Область определения х > 0; функция монотонно возрастающая; асимптота х = О* 983, Область определения |х - 2&л| < л/2 (k = 0, ±1, ±2, ...). Функция периодическая с периодом 2л; pniin = 1 при х - 2kn
л
2
(k = 0, ±1, ±2, .*.); асимптоты х =
4 йл, 984. Асимптота у = 1,57; у —» —л/2
при х 0 (предельная концевая точка). 985. Концевые точки —Aj 2(±1,31; 1,57);
= О ПРИ х = 0. 986. ymin = (1/е)1/е = 0,69 при х = 1/е ~ 0,37; у “* 1 при х +0. 987. Предельная концевая точка — А(+0; 0); угпах = е1е ~ 1,44 при х = е ~ 2,72; асимптота у = 1; точки перегиба — Mj(0,58; 0,12) и М2(4,35; 1,40). 988, х^^ = - 1 при i = 1 (у = 3); ^т1п = -1 при t = -1 (х = 3). 989. Для получения графика достаточно изменять t в пределах от 0 до 2л; xmin = -а при t = л {у 0); х1пах а при t 0 (у = 0); t/iuin = -а (точка возврата) при t = +Зл/2 (х = 0); t/max = +а (точка возврата) при t = л/2 (х = 0); точка перегиба при t = л/4, Зп/4, 5л/4, 7л/4 (х = ±а/2л/2 , у = ±а/ J2 ). 990* xr[lin = -1/е при t = -1 (у = е); утя^ = 1/е при t = 1 (х = е); точки перегиба (-л/2/е^ ; -*/2е^ ) при t = -л/2 и (У2е^; л/2/е"^ ) при t = J2 ; асимптоты х = 0 и у - 0. 991. xmill - 1 и i/min = I при t = 0 (точка возврата); асимптота у = 2х при
t -t-оо, 992. i/min = 0 при t = 0. 993. ds - dx; cos ос - у/a*, sin а = -х/а. <5/
I 2 2	/ 2	2	j
.	1 а - с х 1	а<а — х	Ьх	/з Г2
994. ds = - -------dx; cos а = у _ . - ; sin а = -	....	, где с = ащ - о *
а J 2	2	^4	Г~2	/2	22
Ч а -х	*Ja -с х	>ja -с х
995. ds = (1/у) Jp2 + у2dx ; cos а = yf Jp2 + у2 ; sin а = р/ Jp2 ±у2.996. ds =
= Ух7а dx; cos ct = Vx/ а ; sin ct = - Уу/a . 997, ds * chi ch ~ 1 dx; cos а =
/ <	V	t	f	t
- 1 / ch	-	; sin а =	th - .	998. ds = 2a sin	-	di; cos а = sin	-	; sin а = cos	-	.
\	а/	а	2	2	Z
999. ds = 3asin t cos t dt; cos а = cos t; sin ot = sin t. 1000. ds = ajl + фЭ dip;
416
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
cos 0 =	1	, 1001, ds = L + q? dtp; cos р = -	. 1002. ds —
71+ Ф2	Ф2	71 + Ф
—---------dtp; sin p = cos ®
cos tp/2
. 1003, ds = acos - dtp; sin p = cos 2
1004. ds -
2
= rjl + (Ina)2 dtp; sin 0 =	1 — . 1005. ds =	; sin 0 = cos 2<p.
71 + (Ina)2	rd(p
1006. К = 36. 1007. К = — . 1008. К = а/Ьг-, KR = b/a. 1009. К = 6/(13 /13 ).
3/2
1010. К = 3(a J2 ) в обеих вершинах. 1011. (9/8; 3) и (9/8; -3), 1012. (Чп 2/2;
72/2). 1013, Я =
л 4 3/2 (1 + 9х }
6х
,,4 2	4 2.3/2	2 , d .2
1014. Л =	. Ю15. R =	+1) ,
aS4 5
1016.7?-
-asin2f
2
1017. 7? = |at|. 1018. R ~ |r71 + ^ 1019, 7?
4	ср
-a cosj
3	2
1020. Я м = [р|- Ю22. (2; 2). 1023. а; ^а/ 1024. (х - З)2 + (у - |) = 1
1025. (х + 2)2 4- (у - З)2 8. 1026. рУ2 = ~ (X -р)3 (пол у кубическая парабола). Z (
1ЛЛГ? / тг%2/3 . ,1^2/3	4/3	2	2	,2
1027. (аХ) 4 (ЬУ) = с , где с = а - b ,
Глава IV
В ответах этого отдела ради краткости произвольная аддитивная постоянная С опущена,
1031. - ах. 1032. 2х3 + 4л:2 + Зх. 1033. — + (д+^Х +	. 1034. ах +
7	4	3	2
. 4	>2 7	л ______ (п-1)/л
4-	4- — . 1035. — J2px, 1036. —------------, 1037. nJnx , 1038. ах -
2	7	3 F	п- 1
з
- 9	+ 9 Зх7/3 х_ _ 1039
5	7	3
2х2а/х 5
о „4 з о 3/7	1—
+ х. 1040. - у- -	- 6 Vx.
13	7
1041.
о 2m Г"
2х ух
4/П + 1
. m + « г~
4х ух
2т + 2п+ 1
п 2п Г"
2х
4и + 1 '
1042. 2ajax - 4ах + 4.x Jax - 2х2 +
+	. Ю43. — arctg . 1044. 4=
5/ах /7 Л 2/10
х Лб 1045 1п + /4 + х2 )
1046. arcsin . 1047. arcsin — - In (х + 7х2 + 2 ). 1048*. a) tg х - х. 2j2	J2
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
417
Положить tg* x = sec2 X - 1; 6) x - th x. Положить th2 x - 1 -	1
chZx
1049. a) -cth x - x; 6) x - cth x. 1050. 	.
In3 + 1
1051. aln
л
----ax
a - x
-a f ——— = -aln la x; + aln x = aln J a - x
. 1052. х + in |2х + 1|.
Решение. Разделив числитель на знаменатель, получим
Г 2x 4- 3
Отсюда -------
2dx = % + Г d(2x + 1)
2x + 1 J 2x 4-1
1053. - I x + ^1 In |3 + 2x|. 1054. £ - — ln|a + t>x|. 1055. - x + 2	4	b	a
2	2
+ hi j2x + 1|.
a2
1056. у + x + 2In jjr - 1|. 1057. у + 2x + In |x + 3). 1058. ~-
—- aPln[ctx4 Й.
а - х
а - х
х
3 X
3
2
2
4- 2x H 3 In |x - 1|, 1059. a2x + 2abln |x - al - —— . 1060. in |x h 11 +	.
x-a	x+1
^7 " f ~dX  1061’ "2^71^ -
'+1 J (x + 1)
f = 1 f d(52+l) =
= ‘(х + П-!
J (x + 1)2
. 1063, Jx\
Указание: I —----
j (x+1)2
1062. - A /(a-bx f
3O
+ 1 . 1064. 2 Ji
Ц-* . 1065. arctg (х^/зТб) . 1066. -J— x
2	715	4Л4
X In
.1067.
—- In
-b2
. 1068. х - Л arctg— . 72
xjl + 2 J2
z 2	2
1069.-f^- + In |a2 - л к 2	2	1
x1el(27^ 4 j7 + 8x2). 1072. —arcsin (x75/7)- 1073. - hi |3
75	3
Z|'j . 1070. x - In (x2 + 4) + arctg - . 1071. -1— x >	2	2	272
2 “ 2|-
. 1074. -JL arctg (j5/7x) ~ - In (5x2 + 7). 1075. - л/5х2+1 + ./35	5	5
х7з+ V2
- — in
2*/б
- 4- In (x75 + УбР + 1). 1076. Ух2-4 + 31n |x + Ух2-4 I. 1077. - In lx2 - 5|.
../5	1	2 1	1
2
1078. hn(2x2 + 3). 1079. + In (a2x2 + b2) + 1 arctg— . 1080. arcsin ,
4	2a	a b 2	2
44*
/ Л 2
1081. | arctg X3. 1082.1 In [x3 + Ух6 - 11.1083. |7(arcsinx)3 . 1084.
3	2	3	4
U Задачи и упражнения
418
ОТВЕП'Ы, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1085. -In (1 + 4ж2) - ‘^r(Ag2x\t , 1086_ 2./1п(х+71+ *г) . 1087.--е™ 8	3	т.
Ю88.------— 42 ’ 3l. 1089. е + е"'. 1090. - e2l/“ + 2х - £ e"2jc/a. 1091.  -Ц—- х
31п4	2	2	1пд-1п6

- 2х. 1092. Д (1 aW " 2* + а 1/2*), 1093. - —Д . 1094. -Д- 7^ .
Ina 3	2ex+1	21n7
1095. -е1л. 1096. ~5^ . 1097. In |е* - 1(. 1098. --^(а - be*)3. 1099. х 1п5	Зс>	4
х (ех/а + 1)4/3. 1100. £ - in (2* + 3). Указание: —— = i 1 - —— .
3	31п2	2* + 3 3 ^ 2r + 3j
1101. — arctg (a1). 1102. — In	. цоЗ. arcsine*. 1104. cos (a + bx).
Ina	2b i-e~bx	я
1105, 72 sin — , 1106, x - — cos 2ax. 1107, 2sin Jx ,1108, 4n lO-cos(lgx), 72	2a
1109, | - s^n^x й Положить sin2 x = | (1 - cos 2x), 1110. | + sii^2x указание к задаче 1109, 1111, ^tg(ax 4- &), 1112, -ct^ax - x. 1113, aln tg^- ,

1115. — In a
1	7
1117, ±cos(l -x ), 1118. x -
— ctgxT^ - 72 In 72
, Xa/2 ^2
me. hg(A &
1119. -In | cos x|-
1120, In |sin x|, 1121, (a-fr) In
sin
1122, 51n
sin -5
1123. “ 21n |cos Jx |,
x a
1124. hn|sin(xz + 1)|. 1125. In |tg ж|. 1126. £ sin2 1127. Z a
1128.-----Ц— .	1129.In (3 i- cos 3x).	1130. -|7cos2x .
4asin ax
1131.--7(1 +3eos2x)3. 1132. - tg4 £ . 1133. |7tg®x. 1134.-3ctg x. 9	4	3	3	5
1135. - ftg 3x +	1Д . 1136. - (In tg— + 2sin ax . 1137. Д In |& - a ctg 3x|.
3 <	cos3x7	a <	2	7 3a
1138. I ch 5x - 3 sh 5x. 1139. £ 5o	2
+ -sh2x. 1140, In th-4	2
1141. 2arctg ex.
1142, In |th x|,	1143, In ch x. 1144, In |sh x|.	1145,	- x2) ,
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
419
1146. i In |х4 - 4х + 1|. 1147. -i-arctg — . 1148. --е	1149. Т3?2 х
4	4л/б 75	2
х arctg (хТЗ/2) - In (хТз + 72 + з/ ). 1150. — - — + х - 2 In |х 4- 1L 7з	3	2
1151.-2/7^. 1152. In |х 4- cos х|. 1153. | fin [see Зх + tg Зх| + о к
sin3x
1154.
Inx
1155.1п tgx + 7tg3x - 2 » 1156. 72 arctg (х J2 ) -
4(2хг+1)
SillJT
1157.	
Ina
1158.
2
1159. 1 arcsin (х2). 1160. - tg ах 2	а
х.
1161 5	Igx --
2	2	2
1	2
1165. -2 In |cos 7x-l |. 1166. | In tg£-2	2
1168. -In |sin x + cos x|, 1169. J2 In tg—— 2^2
. 1162. arcsin -“— . 1163» aln о "7 2	12a 4
» 1167. e
. 1164. - V(l + bx)4 . 4
1 2 f 2 ч in (1 + x ) <	.
—	* + arctg x.
4
- 2x - 72 cos — . 1170. x + — x 72	72
‘ 2
x In
. 1171. In |x| + 2arctg x, 1172. esin21, 1173. — arcsin
73	2
- 74-Зх2 . 1174. X
ln(l + 7),
1175.	1 arctg |x
J a2 ~b2
1176. In (7 + 7e2x- 2 ).
1177, - In |tg ax|, {2*
„_о T	(2nt	\
1178. -—cos I -=- 4-ф01.
u 71	\ •*	z
1179. i In 2+ 1t1iv
4	2-Inx
1180. -1 [ arccos s')2. 1181. -e“tei. 1182. i arcsin
2 \	27	2 к ./?.
1183. -2ctg 2x. 1184. <arcsin-r)
2	I 2
- x , 1185. In (sec x + 7sec x + 1 ).
1186. In
475	75 - sin 2 x
1187. arctg  Оказание: f —— a/2 к 72	J 1 + cos x
dx
= ’ 2 d* - = Г C0/X-  1188. |7tln(x+T177k? • 1189. | x
J sin x + 2cos x J tgx + 2
x sh (x3 + 3), 1190. —— 3th \ 1191» a) arccos — при x >	; 6)"ln(l + e x);
1113	J2
1	2	o.8
— (5x - 3) ;
. 2	/	, 1чЗ
r) -  (x+1)
о
2 7* + 1 J д) In (sin x + Jl+sin2x).
420
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1 Г(2х + 5)12 _ 5(2x4- 5)П~ * 4 L 12	11
1193. 2
-| + 2Ух-21п(1 + >/х) £
1194. In
V2TT1- 1
. 1195. 2arctg - 1 . 1196. In х - In 2 In |ln x + 21n 2|.
1197. (arcsin x)3/3.
1200. hi
1198. ^(e1 - 2)7ex+ 1. 1199.-(cos2 x - 5)7cosx. 3	5
1. 1201.	71- x2 + “ arcsin x.
t	2	2
. Положить x = 
t
х
2 i-----
1202. V2-x
3	3
2 . 1203. 7x2 - a2
2
- |a|arccos —. 1204. arccos -,
x	x
если x > 0, и arccos , если x < 0 \ Положить x = ~ . 1205. Jx2 + 1 -к xJ	t
- In
1 4- fjx + 1
X
1206. -
Примечание. Вместо тригономстри-
1 x I 2	1
ческой можно применить подстановку х = -. 1207. - у! - х + - arcsin х.
1208. 2arcsin Jx . 1210. - *jx2 -а2
2
2	I------
^-ln|x -1 Jx2 - а2 |. 1211. xln х - х. £
1212. xarctg х -
In (1 + x2). 1213. xarcsin x + x2
1214. sin x - xcos x.
1215. xsin3x + cos3x . 1216.	.1217,-xIr2 + 1 1218, ?_ (9/ - 6x 1 2).
3	9	ex	21ln22	27
Вместо многократного интегрирования по частям можно применять следующий способ неопределенных коэффициентов:
J х2е3* dx = (Ах2 + Вх + С)е3*
или, после дифференцирования,
х2е3х = (Ах2 + Вх 4- C)3e3J 4 (2Ах + В)с3\
Сокращая на е3х и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях хт получим:
1 = ЗА; 0 = 3S + 2А; 0 = ЗС 4 В,
откуда А = 1/3; В = -2/9; С — 2/27. В общем виде J Рп(х)ед* dx = (?л(х)еа*, где — данный многочлен степени n; Qn(jr) — многочлен степени п
В дальнейшемт в аналогичных случаях, иногда будет указываться ответ, годный лишь для какой-нибудь части области существования подынтегральной функции.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
421
_t 2
с неопределенными коэффициентами. 1219. - е (х 4- 5). См. задачу 1218**.
1220. -Зе''/3(х3 + Эх2 4- 54х + 162). См. задачу 1218**. 1221. -xcos2x +
4
, sin2x юоо 2хг-ь10+11 . о . 2х + 5 о
+ —-—. 1222. -------------sin 2 г + ----cos 2х, Рекомендуется также
8	4	4
применить способ неопределенных коэффициентов в виде
Pn(x)cos рх dr = Q;i(x)cos рх + 7?n(x)sin рх.
где Pn(x) — данный многочлен степени н, Qff(r) и Вп(х) — многочлены степени п с неопределенными коэффициентами (см. задачу № 1218**). зз	.	-
1223. In х -	1224. xln2 х - 2х1п х + 2х. 1225,-— - —.
3	9	2х2 4xS
S 1	2	1
1226. 2 r/x In х - 4,/х . 1227. --arctg х - - . 1228. — arcsin х - - arcsin х +
2*22	4
+ 71-х2 . 1229. xln (х +л/1+~Р ) - 71 + ? . 1230. -xctg г 4- In |sjh х|.
1232 еХ(Ё*пх ~ c_os?) 1233 3 (sinx + cosxIn3)
1231 +ln tg -sinx	2
1234.е (usmbx - bcosbx) 1235b [sin (Jn x) _ cos (Jn 1236 _e_ ^2 +
a + b	2	2
Г	/ 3	.	\	3
1237. 2eJx(Jx - 1). 1238. ^--x2 + 3x Inx-
+ — - 3r. 1239. x 2	2
x In 1__£ - x. 1240. -
ln£x _ 21nx X X
2.1241. [In (In x) - 1]  In x. 1242. x
X	d
x arctg 3x -
4 -1_ In (9X2 -t 1). 1243. - (arctg x)2 - xarctg x I i In (1 + x2). Io loZ	Z	Z
1244. x(arcsin x)2 +	- x2 arcsin x - 2x. 1245. - агс8*пх 4. in
r
1247.
xtg2x
X
i+Ti’T?
In|cos2x|	x2
4	2
1248. — 2
cos2x-2sin2x
1250,----------
2(x3 + l)
+ arctg x. Полагая и = x и
du =
xcos(21nr) + 2xsin(21nx) 10
, получим du = dx A
5
2
2
x
2
1	Г Y d Г	Y
и u = - -———- , Отсюда —-------- = -------
2U -^1)	J (x£+l) 2(xa + l)
dx = _ r 2(x2 + 1)	2(x2 + 1)
422
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1	1 /1 х х А
4- - arctg х + С. 1251. - -arctg — + —---- . Использовать тождество
2	2а	а	x2 + aZJ
2	_____ 2
1 =	[(х2 + а2) - х2], 1252, Ja2 - х2 + — arcsin - (а > 0), Положим
/22	X d X	Г / 2	2
и = л/а ~ х и du = dx; отсюда du = —г	и и = х; имеем - х dx =
/2	2	J
л/а - х
-x2dx
/"2	2
л/а - х
X
, 2	2 у 2	!—“---Т
(а ~х >~a dx - X
/2	2
л/а - х
г 2	2
а - х
Следовательно, 2 а — х dx =
+ а2arcsin - . 1253, - + Ja + x2 а 2
1252*. 1254.	7э-х2 + | arcsin - . См. задачу 1252*. 1255. | arctg .
2	2	3	2	2
1256. - In . 1257. -L arctg . 1258. - In (х2 - 7 + 13) + ~ х
2 х + 2 УИ JH 2	Л
х arctg Г 7  1259. - In (х2 - 4х + 5) + 4arctg (х - 2). 1260. х - | In (х2 + Зх + 4) + л/з	"
+ — arctg 2^ + 3	1261.x + 31п (х2 - 6х + 10) + 8arctg (х - 3).
Л л
1262. arcsin	1263, arcsin (ах - 1). 1264. In | х 4	4- д/х2 4-рх -i- q\ .
1265. з7-7-4х +5 . 1266. -2 71 -х-х2	- 9arcsin ^±1. 1267. 1 х
J5	5
х 7бх2- 2х+ 1 + ~ In (Ха/5 - — + 7зх2- 2х+ 1 1 1268. In----------.
575 V 75	' l + TTV
1269. -arcsin . 1270. arcsin 2 ~ ж (х > 72). 1271. -arcsin . х75	(1-х)72	Х + 1
1272. ^±1 Тх2 + 2х + 5 + 21п(х + 1 4- 7г2 + 2х + 5). 1273.	1 Jx-xZ +
+ | arcsin (2х - 1). 1274. 2х + ^2-х - х2 + | arcsin 8	4	8
2ж + 1 . 1275. - х 3	4
xln
2	1
X - 1
1276.-—arctg 3 sinx . 1277.1nfex + 1 4 71 + eI + e2x
7з 7з	2
1278. -in Icos х + 2 I- Jcos2x + 4 cos x 4- 1 1.	1279. - 71 -41nx-ln2x - 2 -
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
423
- 2arcsin 1 2 +'nx _ 1280. —— • In 1 +—
75	а-b х + а
(а * Ь). 1281. х + 31п |х ~ 3| -
- 31п |х - 2|. 1282. -Цп 1	12
1/2,	. Л61/6
х (£-4)
,	4 s 7/iS
х In
(2х - 1)7(2х + I)9
(х-1)(х + 3)3 (х + 2)4
1285. -1
2
1287. —
2
1283. In 1)4<х~4)Д . 1284. 5х + (х + 3)'
1286. 1 х +	— х
4	16
—	1288. - —-----
(х-2)	х-2	2(х —3)
. 1289.
27	30 ,
-----------1-----1п
49(х + 2) 343
. 1290. -— х --
2(ха~Зх + 2)2
1291. х 1
In
X
Jx2 + 1
. 1292. X + 1 In *-_1
4	x+1
- | arctg x. 1293. In |x - 3| -2	52
- In |x - 1| + In (x2 + 4x + 5) + —~ arctg (x + 2), 1294
. 1	+ 2x -1
+ — arctg —— .
7з 7з
1296. In * +x + 1
4 x2 - x + 1
1298. -------------
2(x2 + 2x+ 2)
,	5 2x + 1
+ —- arctg — Зл/з /з
1 QQE 1	, X + X ^/2 + 1	;	л/2 J X ,j2
1295. —= In -------arctg —.
4^2 хг-х/2 + 1	4	1-x2
+ -Д arctg	1297.-----2--- + arct^ .
2/3	x./3	2(l + x2)	2
+ arctg (x + 1). 1299. In |x + 1| + -----*+-— —
3(x2 + x + 1)
1 In (x2 + x + 1). 1300. -Д--17  + - In (.? - 4x + 5) +
2	2(x — 4x + 5)	2
+ Д arctg (x-2). 1301.
4(x+l)(x2 + l)
1302. I arctg x --—- - A in .1303. 15x +40x3 + 33x + 15	*
8	4(x4-l) 16 x + 2	48(l + x2)	48
1304. x--,г x 3— + 21n (x2 2x + 2) + arctg (x - 1). 1305. — (81n lx3 + 81 -
x2-2x + 2	21
- In |r3 + 11). 1306. In [x4 - 1| - i In |x8 + x4 - 1| - J- In 2*4 + 1~ V5 .
2	4	275	2/+1 + ./5
1307.— + -3- + 21n ^L4 2(x-4/	x“4	x-2
1308.
- f 21n
3 I
1
3 X
X - 2
x - 1
1309. -1— + In x -1
1310. hi |x| - I In |xr + 1|. Положить 1 = (x* 4- 1) - x7.
424
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1311. In |х| - i In |х3 + 1| + -. 1312. | arctg (х + 1) - arctg .
5	5(х5+ 1)	3	Ь	2
1313.  ------- - --------- -----—— . 1314. --Ц + —Ц - 1 - arctg х.
9(х-1)э	4(х-1)8	7(х-1)7	5я Зх х
1315. 27»-1
—1)_	3(х I)2 Я 1316	3
7	5 J 10й2
23J(ax + bf - 5t> х
х V(ax + (>)2 ] . 1317. 2arctg Jx+1 . 1318. 6G*/x + 337x + 2jx - 61n (1 + A )•
1319.
3
2
l/x2 + 2rjx - 37х - f>6-/x  31n |1 + -l/x | +
+ Garctg Ух *
1320, In
(Jr+1-1)2 x + 2 + Jx + 1
Aa„tg2^±l+1>
7з Л
1321,	- 2 72 arctg Jx72 , 1322. -2arctg 71 - x , 1323,	1 (x - 2) +
+ 1 In |x + 7x2-l |, 1324. i In —+Z\-
2	3	(z-1)
lx + 1 loos	72 x -f 3
где 2 =	/----,	1325. --------.
у x - 1	x
- - In (2x - 1 + 2^X2 -x + 1). 1327. --8
.2	+ 2z+1	, 2z
+ — arctg ——	+ -------,
7з 73 z -1
1326. Jx2 ~x + l -4
A + 3x4 Ц _^2 1328 (	„
15	116.
’ |rx3 + lx5") 71 !n (x + 71	)• 1329. f-Ц +	7x2-l -
24	6 J	16	4x 8x 7
- - arcsin - . 1330.------—- Jx2 + 2x  • arcsin * . 1331. R + In |x| +
8 x 2(x + l)2	2 X + 1
+ 3 in	f x - 1	+ R1	- in ( 1 - *	1- J?], где Я =	JxZ-x + l. 1332. i A±£_	.
2	2 >	1 2 J	2 7i7^?
1333. 1 in + 1 + 1	_	1 arctg 4/x-4 + 1,	1.334. i2x "1)71+_^_ _
4 47x’471 -1	2	3*
1 , (z-lS2 , A x 2z + l з/, , „5 1OCC 1	4 + 3x2
1335. — In	+ V a1"01® —F“ , где z = 1 + x . 1336. -  -- .
10 z +z+l 5 J3	8x(2 + x3)
1337.-2 37(> 3/1 + I)2. 1338. sinx - | sin3 x. 1339. -cos X -F - COS3 X - - COSJ x, v	7	3	3	5
1340.	1341. — cos3 - - AosG 1342. — - —Ц— -
3	5	4	2	3	2	2 2gin2x
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
425
- 2]n|sinx|, 1343, ~
sin2x . sin4x ю., x
----- + ——  1444. -
4	32	8
sin4x	x sin4x
1345' 16 " “
sin32x ю-c 5
. 1346, — x
16
48
sin 6x + sin 12x -
—^sin 144
3 6x, 1347, -ctg x -
3
_ ctgjc _ 1348 tg x + g tg3 x + 1 tg5 x 1349 _
3	3	5
ctg3x
3
_ ctg5x
□
J, 3 ,1350.tgx+	-
3
-2ctg 2x, 1351, - tg &
2 x + 31n |tg x|
3 2tg2x
—4-, 1352. 4tg x
——— + 21n
2X COS -
2
tg
х
2
1353, In tg
2 L
х
2
- 1
4) .
, 1354,
4 sin x
3 cosx
o . 2 8sm x
iln|tB
х
2
1355. sin4/
16cos 4x . 2
1357.
3sin4x 32cos24x
Лln tg f2x + о tl	\
к
. 1356. Itg 5« - x. 5
- In |sin х|. 1358, -
1x3	. ,	.	. oern	3 , 2	X . , 3	x
-ctg x + ctg X +	X. 1359.	- tg	-+tg	-
o	Z	о	о
- 3tg i + 31n
3 з/ io
“ VCOS X
5
— arctg
J2
sin5x
10
xcos 2Ъ
2
1372- й
cos - + х. 1360,	-
3
3 я/ 16 — Vcos x .
16
z2 - 1
sin2x , 1361, -£*8-? . 1362, -- Vcos4x 4	8	3	4
1363. 2Ttgx .
2	t—
1364,	+^V2+1
2J2 z -zV2 + l
.где г= Jt^.1365.-^
16
cos2x	sin25x
• 1366‘—50~
4
1367. -
5
, 1370,
< 5x sin----
6
f coscp 2
+ 3sin -. 1368. - cos £ 6	2	3
3	2 C°S
юпп sin2ax x. 1369, —----
4а
sin(2ci)t + ф)	jз71 sinx
2
c 1 , 1
cos ox - — cos 4x - - cos 16	8
1375, x-tg
4 со
sin5x
20
sin7x
28
2x, 1373, - In 4
I . 1376- -x + tg x + sec x. 1377. In
2 + tg^ Zd
1374,
2-tg^ &
t^-5 Zl
.1378. arctg (1 + tg 5).
tg--3 &2
1Z	D	b
1379. x - ~ In |2sin x + 3cos xl. Положим 3sin x + 2cos x
13	13	1
ct(2sin x + 3cos x) -t
P(2sin x + 3cos х/. Отсюда 2ct - 3(3 == 3, 3ci 4 2[3^2 и, следовательно, ct = — ,
P = - —, Имеем
3 sinx 4 2 cosx	= 12 f	Г (2sinx + 3 cosx)7
2sinx + 3cosx 13 J 13 J 2sinx + 3cosx
426
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
= ?! л’ - А 1° l2sin х + 3cos х1- 1380* -In |cos х - sin х|. 1381. arctg (
1 о 13	2\2
2
Числитель и знаменатель дроби разделить на cos х. 1382,
См. задачу 1381. 1383. In
Лз
2tgx + 3-ЛЙ
2tgx + 3 + ЛЗ
См, задачу 1381.
1384. 1 In
5
tgx - 5 tgx
, См, задачу 1381. 1385.	--------- , 1386, In (1 + sin2 х).
2(1- cosx)
1387* — In Л + зт2х 13g8 1 Jn □—sinx 13gg A arctg--------? 
272	,/2-sin2x	< 1-smx	73	73
- —— arctg--------. Использовать тождество —----------------=---------
72	2J2	(2 - sinx)(3 - sinx) 2-sinx
----;—- . 1390. —x + 21n -, Использовать тождество + sinx + cosx
3-sinx	x „	1 +sinx-cosx
tg2+1
2
1 + sin x - cos x
1391.
3x + sh2x	sh4x
8	4	32
1393. sh* 1394.+ 5^. 1395. In th- + — . 1396.-2cth 2x. 4	8	32	2 chx
1397. In (chx) - y~. 1398.x - cth x -	. 1399. arctg (th x).
9
1400* arctg
75
f3th- + 2^ 2
Л
. 1401.
2
sh 2x _ x
4	2
Использовать тождество —--— = sh x + ch x* 1402* — In (J2 ch x + 7ch2x ),
shx - chx	72
1403. Уз - 2x - x2 + 2 arcsin ^7  1404' 3 ^2 + x2 + In (x 1 Л + х2 ).
1405. | 79 + x2 - |ln(x 4 Уэ+Р). 1406. ^7 7*^2x + 2 + + |ln(x - 1 + 7P~- 2x+2).	1407. | У?-4 - 21n|x + Jx2-4\.
1408. 2x + 1 Jx2 + x - -lnl2x I 1 + 27x2 + x|. 1409. —- 7xa - 6x - 7 -4	8	2
- 81n |x - 3 4- 7x2-6x- 7 |.	1410. i(2x + l)(8x2 + 8x I 17)Vx3 + x + 1 +
64
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
427
+ ™ln(2x + IZo	1	4 2 Jx2 + x+ 1 ).	1411, 2	. 1412. —		x -1
				Л/ X “ 1	4^	Gc2 -2xh-5
1413, — arctg	x-^ . 1414.	In		/1	2 fjL-rX	+ x72	2x 141*‘ V	( 4	о 3 . x - 2x 4
72	71	2	272	71 + X2	-x72	2	
+ bx2 - bx 4 1-2	J „	1416 i(X3 4 £-sin6x 6	2		4	; COS 6x -	1 . л . x-sin 6x),
1417 gcosSx 6	4	sin3x xcosx 18	2	. i4i8- ? 2		2x g" (2 - sin 2x - cos 2x),	
2х
1419,
2sin2x 4 cos2x
Э
4sin4x 4 cos4x
17	~
2x
1420* — [x(sin x 4 cos x) -£
- sin x]. 1421, i In |e* - 1| 4 In (er4 2). 1422. x - In (2 4 ex 4 2 7e2* 4X41), 2 3	6
1423, - Гх31п
з L 1 ” x
In (1 - X2) 4 x2 1, 1424, xln2 (x 4- 71 4- x2 ) - 2 71 4 x2 x
x In (x 4- 71 4x2) 4 2x, 1425*	arccos (5x - 2) -	x
x 720x-25x2-3 . 1426. S1T1X-^—cosxshjc. 1427* I 2	"
9
2(n - l)a
x
, 2	2 «-I
_(x 4a )
4 (2a 3)7л_1 ;/г-
^r(3x2 + ^a2) ~2a2(x2 + a2)2
। 3	. x
4 —; arctg -
2a3 a
3
j _ 3x _ cosxsin x _ 3 sin2x .
4 “ T 4	16 ’
1428. J
n
. n - 1 cosx sin X	_i_	n -1	r
n	T	n	
4	.28
—- COS X sin X - — COS X
15	15
. 4 cosx sm x
1429.1й =			sinx	5• 1 n-1 "	2’	_ sinx	+ 4n	Й" t7i7	+ J	
	(n	—	l)cosn *x		a 2 2 cos x	+ 2 111			
т __ sinx 4 0 з 3cos x	4	2 3	tg x, 1430,1л -	Л -r 1 T -x e 4 nl ,; rt — I	Ло = e (x	Ш + 1OX9	+ 10	9x8	4
4 ... 4 10 • 9  8 	 2x + 10 ♦ 9 	 1). 1431. -L arctg.
714
1432, In 7x ^2x 4 2 - 4 arctg (x - 1). 1433,	+ x +	+
4 i arctg (2x 4 1).	1434, i In
&	о
1435, 2 In
X 4 3
x 4 2
1 _ 1
X 4 2 x 4 3
428
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1436. 4 In
1439. 1----*—?------
6 (х2 - х + I)2
1440.	+ 2*А) 1441 -1 _ 4
1-2Тх	х Зха/х
4- 1	—L_	4. arctg	—1
6 х2 - х 4-1 Зл/З	л/3
- — . 1442. In f jc + - + Jx2 + х + 1
2х2	<2
1443.	- ?ь7(2х? 1444, - 3	. 1445. Lx 1 - . 1446, -2(Vo-x -
0	Уя + 1	J4x2-2x + l
- I)2 - 41n (1 + V5 - х ). 1447. In х +
. 1448.-4
х
1
1	2
1449. “ arcsin x —
2	72
1450. X 1
1451.
11И 8
х2-2^
1
8л/3
х arcsin
Указание:
Ш
4\х
1452.
9 ,
- - In X 4-
2
-9 .
1453-й
1454. In
1457. j In
1) л/х - 4x2
1	 re
т — arcsin (ox
64 v
1455	+ 2x4- 2) f/x + 2x4-2
‘	3
(8х
- In (х + 1 +
+ 2х + 2). 1456.
-1 x
1)>
u + l) x
-I)'
3
- X3 + 1
. 1458. -- In \z - 1] + - In (z2 + z +
1)
— arctg ——
Уз J3
1	3
. 1459.
x	2
I In (x2 + Jl + x4 ). 1460,— + 2	8
1461. In |tg x| - ctg2 x - - ctg4 x. 1462. -ctg x - 2^ctg x) 4
где z
sin2x sin4x
4	'	32
(cos X -
л\э/ ~ 1104 cos5x
- 6) л/cos x . 1464. ------
20sin45x
3cos5x . 3 , .n . 2. + 46 Ь
40sin ox ±v
tg — . 1465.
6 2	3
+ tg x
1
2
х
2
-9
з
3
 й
1466. i sin 2x. 1467. tg2 f £ + 5) + 21n 4	\2 4>
(x л V CC4 2 + 4.h
1 1468. -—arctg-----
1469. —arctg f ^tg^l 1470. arctg (2tg x + 1). 1471. - In Itg x + sec x| -
JlO 710 '	2
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
429
совссх. 1472. — arctg' —“ J3
1473. In |tg х + 2 + t\, где
t	Jtg2x + 4tg x+1 . 1474. - In (sin ax 4-
a
n	1
+- sin ax ). 1475, - xtg 3x + 3
1	r2
+ ±ln|cos 3x|. 1476. ~ 9	4
1479. ^In 71R+ - iln \x - 1| -3	6
-ln(x -+- У1 +- x2 ). 1481. | sin О z
xsin2x 4
з X
18
cos2x 8
2
12
1483. In |1 4- ctgx| - ctgx. 1484.
sh2
2
1 r3	P
. 1477. |e , 1478.	(2x - 1).
1480. Jl + x2 arctg x -
1 . 5x — sin — 10	2
-sin-, 1482.-——
2	2	l-+tgx
МвЗ.-гсЬл/Г^х. 1486. - In ch 2x.
4
x
6
1487.-x cth x + Inlshxl.	1488-^-	- -	+ -ln|ex-	2|. 1489. arctg - -	.
11 2er 4	4	22
1490. - V(eI+l)7  - л/(е^+1)3.	1491. hi .	1492.- +0 1 x
7	3	lr»4 i-2*	21nlO
x C x2 - 1 +	4 —+—'1.1493. 2 7e* + l + In + 1	. 1494. In ___ -
'	11110 2UV10J	^?1 + 1	7+772
_ arctgx 1495 1 / x4arcsin 1 4- x + %	"1 1496. - (cos In x +- sin In x).
x	4 k	x 3 ,	J 2
1497. | f-x2cos	5x + - xsin	5x + 3xcos 5x + — cos	5x - f sin	5x ]	.
5 k	5	25	5 у
1 Г 9
1498. - (x - 2)arctg (2x + 3) + 2 _
- In (2x2 F 6x +- 5)
4
. 1499. Jx - x2 2
i | arcsin ,Jx . 1500. 2)
Ф1
2
Глава V
T2	210 - 1
1501. b - a. 1502. v.T -	. 1503. 3. 1504. —2 , 1505. 156. Отрезок
u 2	In 2
оси OX от x = 1 до x = 5 разбить на части так, чтобы абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию: х0 — 1, х1 = х0^> х2 = xoq .
430
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
п	Ь
хп xq7 • 1506, - , См, задачу 1505, 1507, 1 - cos х. Использовать формулу
sin а + sin 2а + ,.. + sin аа - -----------— cos - - cos n + - а .
2sin(a/2) L 2 I 2) J
1508.1) ~ =-_L ;2) 41 = J_ , 1509. In x. 1510.-71 + x4.1511. 2xe-/ - e’*“. da Ina db Ina
1512. £2^ + — cos — . 1513. x = mt (n = 1, 2, 3, ...). 1514. In 2. 1515. -- . x2 x2	8
1516. e1 - e 1 = 2sh x. 1517. sin x. 1518. ~ . Сумму sn = + + JL + ... + 5—1 = n n	n
1 <
n I
+ -+... + Ц n	nJ
можно рассматривать как интегральную для функции
1
/(х) = х на
отрезке [0, 1]. Поэтому lim
Дх — о
1
п + 2
1 п + п
- , 1519, In 2, Сумму 2

о
71+1
1
1
+ -
п
1
п
+ -
71
можно
п
2
п
рассматривать как интегральную для функции Дх) =
на отрезке [0, 1],
где точки деления имеют вид х = 1 + — (fc = 1, 2..гс). Поэтому lim. s =
*	71	Дх о n
1
=	= in 2. 1520,	, 1521, - . 1522, — - 33 i , 1523, - , 1524, И*,
J 1 + х	р+1	3	3	3	4	3
о
1525. -- . 1526.	- In - . 1527. In - .	1528. Зэ+ -	321п	3.	1529. arctg 3 -
3	2	3	8	45
-	arctg 2 = arctg	1. 1530.	In |. 1531.	~	. 1532. 1 -	+ .	1533. 2 . 1534. 5 .
1535. - in	. 1536. -	+ i . 1537.	- .	1538. In 2.	1539. 1	- cos 1. 1540. 0.
3	2	8	4	3
1541.	+ • - . 1542. arctg e - + 1543. sh 1 = - ( e -	. 1544. th (In 3) -
9Л 6	4	2 k
-	th (In 2) = - . 1545. - - + - sh 2n. 1546. 2. 1547. Расходится. 1548. —-— , 524	1-p
71
если p < 1; расходится, если p > 1, 1549. Расходится, 1550,-,
1551, Расходится. 1552. 1, 1553, -, если р > 1; расходится, если р < 1,
р-1
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
431
1554, л. 1555.	.	1556. Расходится. 1557. Расходится. 1558* —— -
J5	In 2
1	1	2	1
1559. Расходится. 1560. -— . 1561, Расходится. 1562. - . 1563. — . 1564. - + Ina	k 8	3
-	f- i In 3.1565.	. 1566. Расходится. 1567. Сходится. 1568. Расходится.
4 зЛ
1569—1571. Сходится. 1572. Расходится. 1573. Сходится. 1574. Указание: 1/2	1
В(р, q) = J /(x)dx 4- J /(x)dx , где f(x) =	xf \ так как
о	1/2
lim /(х)х1 р = 1 и lim (1 - х)1 $f(x) = 1, то оба интеграла сходятся при
Дх — о	Лх-^0
I
1-р<1и1-д<1,т. е, при р > О и q > 0. 1575. Указание: Г(р) = Jf(x)dx 4-о
-5- J f( x)dx , где f(x) — xf 4 J. Первый интеграл сходится прир > 0, второй — 1
2	тг/2
при р произвольном. 1576. Нет. 1577. 2-/2 Гл/tdt dt. 1578. f	.
i	п/б У1 4- sin t
1Т13	со
1579. f dt. 1580. f ^arctg dt. 1581. x = (b - a)t + a. 1582. 4 - 21n 3. J	J	14-1
ln2	о
1583.8 - -9-Л. 1584.2 -	1585.—. 1586.	• л - . 1587.1 -
2j3	2	75	2JT77	4
1588. Л - £. 1589. 4 - л. 1590. 1 In 112. 1591. In 7 + 2^ . 1592. i + - . 3	5	9	2	4
1593. — . 1594.	1599, ~ - 1. 1600. 1. 1601.	. 1602. ^(ел + 1).
8	2	2	8	2
1603, 1. 1604. / 9 . 1605. b . 1606. Решение: Г(р + 1) = f Л *dx.
a +b2 a\b2	J
Применяя формулу интегрирования по частям, полагаем х? = и, е хdx = du.
Отсюда
dw = рх? 1 dx, и = -е х и
Г(р + 1) - [	+/>1^ Je * dx = рГ(р).	(*)
о
432
ОТВЕТЫ, РРШ1ЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Если р является натуральным числом, то, применяя формулу (*) р раз и учитывая, что
е х dx = 1,
о
получим
Г(р 4 1) = р!
1607. Л. = 1	если п = 2k — число четное; Л. , =
2к	2-4-6...2k	2	2k ’ 1
2-4-6, ..2k л	л к । 1	г 128 г 63л
 l-3-5...t2bl) 2 ' еС™ " ’ 26 + 1 “ ™“°	- 315 ;	’ 512 ’
1608. (f ~	. 1609. 1вГЛ±1,
(₽ + q - 1)!	2 I. 2
1610. а) Плюс; б) минус; в) плюс. (Надо начертить график подынтегральной функции для значений аргумента на отрезке интегрирования.)
1611. а) Первый; б) второй; в) первый. 1612.	1613, а. 1614.	1615.
о
2 7Л’
П + П тт	2
---- . Положить sm х
2 У
t.
1616. 2arcsin i .
3
я2
32
1620. О
,	. ,	_	з ’	2
<-992 1617. 2 < I < 75 . 1618.	< I <	. 1619. Л л < I
9	7	13
(Подынтегральная функция монотонно растет.) 1621.
1
/9
. 1623. s
2
49	1	1
“ . 1624. 1- 1625. - . Учесть знак функции. 1626. 4± .
1627.2. 1628.1112. 1629.т21пЗ. 1630. ла2. 1631.12. 1632. ±р2. 1G33.1 1 .
3	2
1634. 10- . 1635. 4. 1636. — . 1637. -
3	3	2
± . 1638. е 4- - - 2 = 2(ch 1 - 1).
3	е
1639.	~ In (2 4- а/З )]. 1640. -ла2. См. приложение VI, рис. 27.
8
1641. 2а е-1. 1642. - а2. 1643.15п. 1644. | In 3. 1645.1. 1646. Зла2. См. прило-
3	2
О f	•тг \	А
жение VI, рис. 23. 1647. а 2 4- - . См, приложение VI, рис. 24. 1648. 2л + -
\	2 7	о
и 6л - - . 1649. — л - и л 4-	. 1650. - nab. 1651. Зла2. 1652. л(й2 +
3	3	3	3	3	8
2	3 2
4- 2ад). 1653. бла . 1654. - а . Для петли параметр t меняется в пределах 2
3	2
О < t С Ч-оо, См. приложение VI, рис. 22. 1655. -ла . См, приложение Vlt £
2 рис. 28.	1656. 8тг3аЙ. См. приложение VI, рис, 30.	1657.
о
о
1658. а -
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
433
1659.	. См. приложение VL рис. 33. 1660. -л, 1661. ——
4	2	3
2
1662. —кр....
м V/2
(1-е)
. 1663, a2f^ +	. 1664. л/72 . Перейти к полярным ко-
v. □	/
ординатам. 1665. Д(ЮДо - 1). 1666. Jh'2 -а' Л (
. Использовать формулу
ch2 а - sh2a = 1. 1667.72 + In (1 + 72). 1668. 71 + е2 - 72 +
, (Jl + e2 -1)(72 + 1)	1 о	г^~
+ in ------------------ . 1669.1 4 51п • 1670.111 (е + 7е - 1).
е	Zj
1	9	2Ь 1
1671. In (2 + 73 ). 1672. i (7 + 1). 1673. aln 2 . 1674. 2a ^3 . 1675. In ^1 + 4	b	o2a_i
+ a - b = In . 1676. ~aT2. См. приложение VI, рис. 29. 1677.
sh.<i 2	ab
1678. 16a. 1679. ла 71+4л2 + ?1п(2л + Т1 + 4лЪ- 1680. 8а. 1681. 2а[72 + £
+ In (72 4- 1)]. 1682. & + In . 1683.	+ т2 . 1684. 1 [4 + In 3].
*	&	Ж	<£
1685.	. 1686. | nab2. 1687.	(е2 + 4 - е-2). 1688. - л2. 1689. и = 5 .
30	3	2	8	х 4
1690. и - 1 л. 1691. V = 5 ; и = 2л. 1692. 1^5®! . 1693. ~ па3. 1694. 1 пр3.
*7	2 &	5	15	3
1695. + л. 1696.	(15 - 161п 2). 1697. 2л2а3. 1698.	. 1699. пЛ2а.
Ю	2	2	15
1701. а) 5л2а3; б) 6я3а3; в) — (9л2 - 16). 1702. ла3. 1703,- па3 6	105	3
1704. + ла3. 1705. АВ + АЬ+~аВ + а&\ 1706.	1707. —а3.
21	3 \	2	J	3	105
1708. |na26. 1709. 1ла2й. 1710.	a3, llll.na2 Jpq. 1712. nabh{l +
4	2	3	\
1713. ^nabc. 1714. ^(Jl+ - 1); ^лаг(575 - 8). 1715.2л[Т2 + «3	о	3
+ 111(72 +1)]. 1716. л( 75 - 72) + Л1П 217111). 1717. л[72 + In (1 + 72 )1.
75 + 1 2	2
1718.	(е2 - е-2 + 4) =	(2 + sh 2). 1719. па2. 1720. - (е - 1)(е2 + е + 4).
4	2	5	3
15 Задачи и упражиения
434
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
2	/22
1721» 4л аб. Здесь у = b ± л/а - х - Взяв знак плюс, получим внешнюю ПО’
верхность тора, а знак минус — получим внутреннюю поверхность тора.
1722, 1) 2nd2 + 27Eflk arcsin е; 2) 2ла2 4 е
центриситет эллипса). 1723. а) fefoe.- ;
.2	Г1 ?2
яЬ , 1 + е	-о z
— In-------, где £ = --------- (экс-
£	1 - е	а
б) 16л а ; в) — ла , 1724, -—ла , 3	о
1725. 2ла3(2 - «/2). 1726. ~ ла. 1727. М х = £ 7<4 + Ъ3 ; Му = № + Ь3 . а	Л 2	г 2
2	2	3
1728. М =—-,М=—. 1729. Mv = Mv = — ; х = и = - . 1730. MY = ту = а 2 ь 2	ху6	3	а у
3 2 -	-	2	.„n-t ~ 2	Л “ a 2 + sh2 17Qf} - asinct.
= “а;х = у= -а. 1731. 2ла . 1732. х = 0; у =----------. 1733. х = -----;
5	□	4 shl	а
й-0. 1734. х-ла; а- -а. 1735.x- —	. 1736. х = й = — , 1737. х = ла;
*	* 3	Зл * Зл	* 20
_	5	/	а л
у = -а. 1738. 0; 0; - . Разбиваем полусферу на элементарные шаровые 6	\	2 J
пояса площади da горизонтальными плоскостями. Имеем da = 2nadz, где
a
2я azdz
dz — высота пояса. Отсюда z = -—. В силу симметрии х = у = 0. 2ла
3
1739. На расстоянии - высоты от вершины конуса. Решение. Разбиваем конус 4
на элементы плоскостями, параллельными основанию. Масса элементарного слоя dm* = улр dz, где у— плотность, z — расстояние секущей плоскости
г *
Г Г 3, я —z dz ,2 г	“ л"	3	f 3 )
от вершины конуса, р - - 2. Отсюда 2 « —2- “ - /к 1740. 0; 0; +- а .
л	12,4	к 8>
-лг А 3
Решение. В силу симметрии х = у = 0. Для определения г разбиваем полушар на элементарные слои плоскостями, параллельными горизонтальной плос-2
кости. Масса такого элементарного слоя dm = улг dz, где у— плотность»
Г~2	2
z — расстояние секущей плоскости от основания полушара, г =	-2 —
а
ttj(a2 “ 22)zdz
радиус сечения. Имеем 2 = —---
2 з -ла 3
= 5 а. 1741.1 = ла3. 1742.1 = - а&3;
8	“3
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
435
1Ь = |<Л. 1743.1= Y^hb3. 1744./о = nab3-, 1Ь = ^ла3Ь. 1745.1 =	- r\).
Разбиваем кольцо на элементарные концентрические кольца. Масса такого
я*
элемента dm = y^nrdr и момент инерции I = 2п Г r3dr = - л(1?2 - J?4 ) (у = 1).
J
*1
1746.1 = тгК4Ну. Разбиваем конус на элементарные цилиндрические трубки параллельно оси конуса. Объем такой элементарной трубки dV = 2nrk dr, где г — радиус трубки (расстояние до оси конуса), h — Hl 1 - I — высота
(1 И r3 dr = уяД И
I R)	10
я трубки; тогда момент инерции I = у 2пН о 2	2
плотность конуса. 1747.1 = -Ма , Разбиваем шар на элементарные ци-5
линдрическис трубки, осью которых является данный диаметр. Элементар-
I 2
ный объем dV = 2nrh dr, где г — радиус трубки, h = 2а 1 —- — ее высота, а
о '
,,	4 з
шара, а так как масса М = - ла у, то о
— - 9	— - а
1749. а) х = и = 7 а; б) х = у — — р.
Тогда момент инерции I — 4лау Г /1 - г3 dr = — na\t где у — плотность 1 J а	15
1 = -Ма2. 1748. V = 2na2b; S = inab.
5
1750* а) х = 0, у = - - (оси координат 3 71
выбраны так, что ось ОХ совпадает с диаметром, начало координат — в центре круга); б) х = ^ * Решение* Объем тела — двойного конуса, полученного
1	2
от вращения треугольника вокруг его основания, равен V - - nbh , где Ь — о
основание, h — высота треугольника* По теореме Гульдена тот же объем V =
= 2лх  bh9 где х — расстояние центра тяжести от основания* Отсюда х =	*
2	о
1751. vnt-^~ . 1752. — In {1 +	. 1753. х = — sin cot; п = - vn. 1754. s =
u 2	2^	<	2	CD	cp л u
/
- 104 m. 1755* V = -In f——4	—4“
b \..a-bt) b2 L 1	1 a-ixj
1756. A -
Указание: элементарная сила тяжести равна dF = ул/?2£ dx,
436
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
где у — плотность воды. Следовательно, элементарная работа силы dA = = ynjffH-xyg dx, гдех ™ уровень воды, 1757. А = ^yR2H2, 1758, А = ^R4g,
1759. А - yg7itf3H. 1760. А =
= mgR. Решение. Сила, действующая ч
на тело массы т, равна F — km^ г
где г — расстояние от центра Земли.
Так как при г = R имеем F = mg, то kM — gif. Искомая работа равна А =
R + h
= f k^-^- dr =* ктм( ± - —“ j ~	. При h — имеем Ам mgR.
j г	кН 7? *+* h) h
i г	1+~
1761. 1,6 ’ 1012Дж* Сила взаимодействия зарядов F = —— •	, где ел -
4лг&	0
12 КЛ2
1=1 8,85 й 10	--- — электрическая постоянная. Следовательно, работа
Нм
QntJ I
при перемещении заряда <7. из точки х. в точку х9 будет А - v 4
1	1	4	4тсе0
*a
f 2
J X *i
=	~	~ 1,6  11)12 Дж. 1762. A = 0,08л In 2 (Дж). Для изотерми-
0 I- 2
чес ко го процесса pV = р0Р0- Работа при расширении газа от объема до
7	v
объема равна А = I р р070 In ~ . 1763. А 1,5 Дж. Для адиабатного J	*о
^0
процесса справедлив закон Пуассона pVk = где k 1,4. Отсюда
П -jt
dv= s г1 “ к л L
11	4
. 1764. A = - iqiPa. Если a — радиус J	d
основания вала, то давление р = Р/(ла2). Сила трения от кольца шириной dr, удаленного от центра на г, равна г dr. Работа силы трения на кольце & а
при полном обороте есть dA = r2 Дг. Поэтому полная работа А = а
f г2 dr= лрРа. 1765. - Mlf со2. Кинетическая энергия элемента диска
» 4	3	4
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
437
u2dm rV
dA? ™ —т— —	— da, где do 2тгг dr — элемент площади, г — расстояние
4	£
его от оси вращения, р — поверхностная плотность, р = М/ШГ. Таким образом, Т>
2	2	2 2
dA? = г2 do. Отсюда К = Г г3 dr - М-^	* 1766. А? - ™ MRV.
2nR2	R2 J	4	20
2
1767. К = 1 МВ2ш ~ 5,8 • 107 Дж. 1768. р = bhz/6. 1769. Р = О.+ 2b)k =
5	6
7	TlR? Н
“ 11,3 ’ 10 Н, 1770. Р = aby7ih. 1771* Р = ' 3 '' (BeP™KajIbH^ составляюзДая
силы давления направлена снизу вверх)* 1772. 533± г. 1773. « 419, 16 Дж. О
2	4
1774. М =	. 1775. GMm (G — постоянная тяготения). 1776.	.
2	a(a + Z)	8 ц/
“	о *	rt	г 2 2.	4_а	4
Решение: Q = 2лг dr = Г (а2 ~ г ) dr =	= пРа .
J	4ц/ J	2ц/ L 2 .	4 Jo 8ц/
о	о
2&
1777, Q = J va dp = о
2 ab2 А	а
“ р —- . (Ось абсцисс направить по большой нижнеи сто-й ЦI
роне прямоугольника, ось ординат — перпендикулярно к ней» в середине*)
1778. Решение: S —
1 \	du	f 1 \
- du, с другой стороны, — = а, откуда dt — [ - ] du, a;	dt
”2
, Г du а следовательно, время разгона t -	—
J а
X
= S. 1779. мх = - f § (х -1) d( + X = Ji о
X 2 г = = fl -
2	2 L
X
1780* Mj. = - J (x - t)kt di + Ax -о
kx
6
(I2 - z2). 1781. Q = O^TRJ^ , Использовать закон Джоуля—Ленца*
Глава VI
1782. V= | (у2 - х2)х. 1783. 8 = | (х + у)^4г2 + 3(х - у)2 . 1784. /Q; 3^ =
е	2	2	2	2 п
f ; f(l;-1) =-2. 1785. Ji—V. ,	. 1786. f(x, х2) = 1 + х - х2.
о	^ху	£хр	д.
438
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1787. z =	. 1788. f(x) =	+,х
1-R2	1*1
Указание. Представить данную функцию
/ ч ГГТ	2 _
в виде Л I = ± / и заменить на х, 1789. f(x, у) = Х . Обозначим \\Х7	х	'	2
~ . 1( ti „ t t m	u 4- и и - v . u + и u-u.
x + у = u, x — у ~ и* Тогда x =	, у = ——- ; f(u9 u) = ——- ♦ ——- +
JU	JU	£-i	&
/	-.2	2
t (U - U] U - IW ~
+ —r—	= —-— Остается переименовать аргументы и и i? в х и у.
1790. f(u) = и2 + 2и\ 2 = х - 1 + Jy .В равенстве х = 1 4- /(Jx - 1) положить Jx - 1 и; тогда х = (и 4- I)2 и, следовательно, f(u) = и2 + 2и. 1791. f(y) -
2 х / 2	2	/2
+ у ; г = j—г *Jx 4- у . При х = 1 имеем равенство а/1 4- у = 1
т. е. f(y) = 71 + у2  Тогда /
1792. а) Единичный круг с центром в начале координат, включая окруж-2	2
ность (х + у < 1); б) биссектриса I и Ш координатных углов у = х; в) полуплоскость, расположенная над прямой х + у = 0 (х 4- у > 0); г) полоса, заключенная между прямыми у = ±1, включая эти прямые (-1 < у < 1); д) квадрат, образованный отрезками прямых х = ±1 и у = ±1, включая его стороны (—1 < х С 1, — 1 < у < 1); е) часть плоскости, примыкающая к оси ОХ и заключенная между прямыми у = +х, включая эти прямые и исключая начало координат (-х < у С х при х > 0, х х < у < -х при х < 0); ж) две полосы х£ 2,	2их< -2, -2 С у < 2; з) кольцо, заключенное между
окружностями х2 4- у2 = а2 и х2 + у2 = 2а2, включая границы; и) полосы 2пя < х < (2га 4“ 1)л, у > 0 и (2п 4- 1)к < х < (2л + 2)п, у < 0, где п — целое число; к) часть плоскости, расположенная выше параболы у = -х2(х2 + у > 0); л) вся плоскость ХОУ; м) вся плоскость ХОУ, за исключением начала коорди-нат; н) часть плоскости, расположенная выше параболы у = х и вправо от оси ОУ, включая точки оси ОУ и исключая точки параболы (х 0, у > */х); о) вся плоскость, за исключением точек прямых х = 1 и у = 0; п) семейство концентрических колец 2 л/? < х2 4- у2 ч л(2А + 1) (& = 0, 1, 2, 1793. а) I октант (включая границу); б) I, III, VI и VIII октанты (исключая границу); в) куб, ограниченный плоскостями х = +1,у = ±1из = ±1, включая его грани; г) шар радиуса 1 с центром в начале координат, включая его поверхность. 1794. а) Плоскость; линии уровня — прямые, параллельные прямой х + у = 0; б) параболоид вращения; линии уровня — концентрические окружности с центром в начале координат; в) гиперболический параболоид; линии уровня — равносторонние гиперболы; г) конус 2-го порядка; линии уровня — равносторонние гиперболы; д) параболический цилиндр, образующие которого параллельны прямой х + у 4- 1 = 0, линии уровня — параллельные прямые; е) боковая поверхность четырехугольной пирамиды, линии уровня —
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
439
контуры квадратов; ж) линии уровня — параболы у = Сх2; з) линии уровня — параболы у = С Jx ; и) линии уровня— окружности С(х2 + у2) = 2х. 1795. а) Параболы у = С -х2 (С > 0); б) гиперболы ху = С (jC| С 1); в) окружности х2 + у2 = С2; г) прямые у = ах + С; д) прямые у = Сх (х Ф 0)* 1796. а) Плоскости, параллельные плоскости х 1 у + z = 0; б) концентрические сферы с центром в начале координат; в) при и > 0 — однополостные гиперболоиды вращения вокруг оси OZ; при и < 0 — двуполостные гиперболоиды вращения вокруг той же оси; оба семейства поверхностей разделяет конус х + у2 - z = 0 (и = 0). 1797. а) 0; б) 0; в) 2; г) е*; д) предел не существует; с) предел не существует; в пункте б) перейти к полярным координатам; в пунктах д) и е) рассмотреть изменение х и у вдоль прямых у = kx и показать, что данное выражение может стремиться к разлившим пределам в зависимости от выбранного k. 1798. Непрерывна, 1799. а) Точка разрыва при х = 0, у - 0; б) все точки внутри прямой х - у (линия разрыва); в) линия разрыва — окружность х2 + у2 = 1; г) линии разрыва — координатные оси. 1800. Положив z ч 2Х£Л
у = у^ ~ const, получим функцию ф1(х) = —--- , которая непрерывна всюду,
* +У1
так как при уг * 0 знаменатель х2 + гД 0, а при = 0 фДх) - 0. Аналогично, при х = х} = const функция z имеет разрыв в точке (0, 0), так как не су-
ществует lim z. Действительно, перейдя к полярным координатам (х = г cos (р> х - о
У — 0
у = г sin ср), получим z = sin 2ф, откуда видно, что если х 0 и у —* 0 так, что ф = const (0 ср 2п), то z —► sin 2ф, Так как эти предельные значения функции dz
1801.
Эх
z зависят от направления ф, то z не имеет предела при х dz ду
dz 1803.
Эх
= 3(? - ау), ду
dz
ду
2	dz
3(у - ах). 1802, Эх
- . 1804.
х	I
dz
дх
d?
1805.
Эх
2
У
2.	2,3/2’
dz ду
ху
2	2 3/2
х dz
3	2 ’ Эи
-у
1806.	=
О и у 0.
_ 2х
,	ч2 '
(* + */)
. У __
Г~2	*
VX -у
dz
Эу
dz . 1807.
Эх
У_ 2 2 х + у
dz
<Эу
dz . 1808.
Эх
= уху 1, — " х,с/ In х. 1809. Эу
dz
Эх
sin^ х
18Ю.	= ху2Лх2-2у
2 dz lyl(*4-y4)	Э?/
dz  х + а ctg х + а . lgl2 dz ®У 2yjy 4~У
COS
За
ду
sin^
х У
COS -
X
dz . 1811. ~ Эх
4у
rt. х + а etg —— ,
7у
2 е X
2 ЛГ 2 а 2 ух а/2х -2у
1у1Ч4 -у4)
, .z-i ди ,	.2 1 Эи
yz(xy) , — = xz(xy) , — dy	dz
= (xyf In (ху).
2, .
2 X
1
2
У х
X _ 2	2
X + у
— е х
440
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1813, ~ = yzxy In z, ~ xzxy In z, = xyzx* 1, 1814, f' (1, 2) = 1/2, dx	dz	х
1)	= 0. 1815. /; (1; 2; 0) = 1, ^(1; 2; О) = 1/2, f'(l; 2; 0) = 1/2.
2
1820, —-------------— . 1821, г. 1826, z - arctg	-3- ф(х). 1827. z = — + у In х +
(х + у ь z )
+ sin у - |, 1828, l)tga - 4, tg Р = <*>, tgy = 1/4; 2) tg a tg P = 4, tgy =
= 1/4. 1829,	T7 = 7: ft, = -(a + ft), 1830, Указание, Проверить,
da 2 dft 2 dft 2
что функция равна нулю на всей оси ОХ и на всей оси ОУ, и воспользоваться определением частных производных. Убедиться в том* что /'х(0т 0) = = / у(0, 0) = 0, 1831, Л f = 4Дх + Ду -И 2Дх2 + 2Дх Ду 4- Дх3 Ду; df = 4dx + dy; а) Д/ - d/ = 8; б) Д/ - d/ = 0,062. 1833, dz = 3(x2 - y)dx 4- 3(y2 - x)dy. 1834, dz = = 2xy3 dx + 3x2y3 dy. 1835. dz = ——- (ydx - xdy). 1836. dz = sin 2x dx -,2	2,2
(x +y )
- sin 2y dy, 1837, dz y£x^ 1 dx 4- xy(l 4 yin x) dy, 1838, dz - ——- (x dx + X + y
+ у dy), 1839, df---— f dx - * dy Y 1840, dz = 0, 1841, dz = ------1--- x
x + у \ у J	xsin(2y/x)
x f dy ~ dx j. 1842, df(l* 1) — dx - 2dy. 1843, du = yz dx 4- zx dy + xy dz, \ X1 J
лалл j xdx + ydy + zdz j ( x"\z 1 Г f 1^ j , Л 1^ 1844, du = — y y —— , 1845, du = xy + - y + - z dx+1 —- x j~2	2	2	\ У/ A yJ V AJ
*Jx +y + z	*	У
2
x xz dy + ( xy + - ] In [ xy + -1 dz . 1846. du =-— \ у dx + x dy - dz ].
k yJ V y) J	x2y2 + zi[ ' z >
1847. d/(3, 4, 5) = 4_ (5dz - 3dx - 4dy). 1848. dZ = 0,062 см; Л/ = 0,065 cm.
з	1
1849, 75 см (относительно внутренних размеров), 1850, - см. Положить диф-8
ференциал площади сектора равным нулю и найти отсюда дифференциал радиуса, 1851, а) 1,00; б) 4,998; в) 0,273. 1853. С точностью до 4 м (точнее 4*25 м), 1854.	1855. da = i(dt/cosa - dxsina). 1856. — =
gjlg	Р	dZ Hn2f
2
1857,	= J-ctg (6 “	’ 1858’ — 2*ln tg t + (t +1)tgf +
d/ Vy Vy 2y2^
2
4-	. 1859,	= 0. 1860. “ — (sin x)™&A(cos x ctg x - sin x In sin x).
cosf	d£	dx
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
441
1 юсе dz у 1 dz J/ —- . 1862. — ух* ; — = х' .	дх	dx
фДх)1п X 4- -
1861.^
Эх т2+ JJ2 dx ►V I If
1863.	= 2х/; (и, и) + уе1у/'и (и, и);	= -2yfu (и, и) + x^f '(и,и) . 1864.	= 0;
дх и	ду	ди
д Z 1 -л &£* г? д Z fi 1 \ ft ( I	У \ dz f .ll -/ f . i/'l -i о/» ft d и
--	1. 1865. —	=р : 1 - — И	хр+ ; —	= х + - / х</+ М . 1867. —	= de----------------------------------------------------------------------------------dx <	\ xj ду xj \ xj dx
= /' (X, у, 2) + <р'(х)/' (х, р, Z) + f’z (х, у, z)[v\(x, у) + \|/у(х, y)cp'(jc)]-1873. Периметр возрастает со скоростью 2 м/с, площадь возрастает со скоро-стью 70 м2/с. 1874.	, 1875. 20^5- 2 ^2 км/ч. 1876.	. 1877. 1.
Л L <2 . ,4	2
1878.	. 1879.	. 1880. 68/13. 1881. cosct + C0SP + C0SY . 1882. а) (2; 0);
2	3	3
б) (0; 0) и (1; 1); в) (7; 2; 1), 1884. 9i - 3j. 1885. 4 (5i - 3j). 1886. 6i + 3j 4- 2k
1887. |grad и] = 6; cos ct = 2/3, cos р = -2/3, cos у 1/3. 1888. cos ф = 3/710 . 1889. tg (p = 8,944; ср ~ 83°37\ Поскольку вектор grad z в точке (2, 1, 8) и вектор к лежат в одной плоскости, то |grad z| в рассматриваемой точке опре-д2г наклона наибольшего подъема поверхности. 1891. —- = дх
аосх_____
z, 2 2	2 2.3/2’
(ох + а у )
деляет тангенс угла
= abcy2 ,
,, 2 2	2 2.3/2 
(Ь X у )
1892, — = 2^”— Эх2
22 d Z
дхду
2.	-.2
____	) г Э 2 2___2 2 ’ дхду
abcxy
, ’f 2	2 2 3/2 f
(b X +а у )
2х t
. 2	2.2’
-12 d z
з 2
2	2
. 1894.	= 0.1895. !Ц =
3хдУ	Зх2
□2 d и
dxdz
д и — 1 1897. д и
дхдх	дхдудг
/7
Эу2
2
. 1893.
2.2 d z
дхду
з2
. 1896.
дх2
л2
d_u
ду2
,, а-1 3 • 1 у - 1
= арух у z
1898.
2 . 2 2
2
з г
= (TU ЭГ
d z _
дхду2
2xsin(xy). 1899. f"x (0, 0) - m(m - 1); /''у (0, 0) = тп;
= ХУ (2ху + ^й)3/2
= 0;
дхду
2	/ х
= -X ycos (ху) ’
(0, 0) = п(п - 1). 1902. Проверить, пользуясь правилами дифференцирования
и определением частной производной, что /\(х, у) = у
Г 2	2’
X -У 2	2
.X +у
-22
4 х £/
2 .	2 2
(при х2 4 у2 0), f (0, 0) = 0 и, следовательно, f (0, у) = -у при х = 0 и X	X
при любом у. Отсюда f' (0, #) = -1, в частности f' (0, 0) = -1. Аналогично
*	*У	*.у
находим, что f" (0, 0)и1.
.V "
-.2
1903. Ц = 2/'(м, и) + 4x7" («. у) + 4xyf'u'u(u, ”) + J/7" (и, и);
dx
442
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
= f'ju, и) + 4xyf'u(u, и) + 2(/ + у2)/"ц(и, и) + xyf”,(и, и);
~ 2/'u(u, и) + 4у7" (и. и) + 4xyf", (и, и) + x2f” (и, и).
Эу
1904.	= /" + 2/" < + /" «4Г + гг ф';.
дх
^2
1905.	= f' (ф' )2 + 2f" m' 1/ + f" (и/ )2 + /'<р" + f ф" ;
-2 'uu^A7	'cit4YX7 7 UTJCX >
дх
д = fr ф' ф' 4 f” (ф? ф' 4 у/ ф' ) 4 f” 1/ 1/ 4 f <р" 4 f ф" ; дхди г ии Гх 	*иtJ vх Y & 4 * х 4 иz L4J Yх Y &1	**L? ч ху
л2
= f" (ф' )2 + 2f" ф' (/ + f" (т/ )2 + f <р" + f' ф" -
_ 2	' UN У'	1 UV у*? у	* L>L’ ' + I/7	' U туц I v T yy
1914, a(xf у) = ф(х) 4- ф(у). 1915, u(x, у) = x<p(y) 4 V(y)- 1916. d2z = = e^[(ydx 4 xdy)3 4 2dx dy], 1917, d2zi = 2(xdy dz 4 ydx dz 4 zdx dy).
1918, d2z = 4<p"(t)(xdz 4- ydy)2 4 2tp'(0(dx2 4 dy2), 1919, dz =
xV*
xy X
„ ( i ex j , , Xj^j2	(xYy Г f 2} 2 ex , x] .2 , V т ex
x yin — dx 4 xln — dy ; d z = - У In — 4 - dx 42 xym — x
V У	ey J ky7 LV У У J < У
x In + In -1 dx dy + j x2ln2 — - 4 d/ ey yj	к ey yj
1920. d2z = a‘f'' (u, t?)dr2 +
+ 2ai>/". (u, u)dx dy + b2^ (u, v)dy2.1921. d2z = (ye1/' + e2y/" +	+
+ A4" )dx2 + 2(eyf'u de1/' + ^7" + e1’71 + xy)f"v +yexf”. )dxdy + + (xe4u + *2e2yf"u + 2xex " yf”u + e2xf'Jv )dy2. 1922. d3z = ex(cos у dx3 -- 3sin у dx2 dy — 3cos у dx dy2 4 sin у dy3), 1923. d3z = —yens x dx3 — 3sin x dx2 dy -- 3cos у dx dy2 + xsin у dy3.1924. d/(l; 2) = 0; d2/( 1; 2) = 6dx2 + 2dx dy + 4,5dy2. 1925. d2/(0, 0, 0) = 2dx2 + 4dy2 + 6dz2 - 4dx dy + 8dx dz + 4dy dz. 1926. xy + C.
3	1
1927. x3y -	4	sin x + C. 1928.	4 In (x 4 y) 4 C, 1929. | In (x2 4 y2) 4
+ 2arctg - 4 C. 1930. - 4 C, 1931. 7x2 + y2 4 C. 1932. a = -1T b = -1T z = У	У
=	4 C. 1933. x2 4 у2 4 z2 4 xy 4 xz 4 yz 4 C. 1934. x3 4 2xy2 4 3xz 4
X 4y
4 y2 - yz - 2z 4 C, 1935. xyz - 3xy2z 4 4x2y2 4 2x 4 у 4 3z 4 0. 1936. - 4 У
4	4 - 4 C. 1937, Jx2 4 y2 4 p 4 0. 1938. X = -1. Написать условие полного
z x
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
443
ху
дифференциала для выражения X dx 4 У dy. 1939, fx^f^ 1940. и = J /(z) dz + С.
(j
7	9
ил а у dx
/	,3
о„ d =  3d х
2 3 ’ -V 3	4 5
а у dx а у
1942, Уравнение, определяю-
щее у, есть уравнение пары прямых. 1943,	. 1944,	;
dx 1-х/’1 dx У-1
У . 1945. Ж =3 или -1; f= 8 или -8. 1946.	=
dx2 (1 -у)3 <d*A=i	Id* 4^	d*
= х + ау. d2y = (д2+ 1)(х2 + у2) 1947 dy = у. d2y = 2у ig48 dz ах-у' d/ (ах-у)3	'	' d* *’ dx2 х2'	'дх
= х2 - уг . dz = бу2 - 3xz - 2 ^g4g dz = zsinx - cosy dz = xsiny - cosz Xy - z2 dy 3(xy “ z2)	cosx — ysinz dy cosx-ysinz
1950. ^=-1-^=1. 1951.	= -£J( • <?г = - Ab2-/).
Э* ’ dy 2	’ dx a\ ’ dy ь2г ’ Эх2 //z3
->2 d Z_
dxdy
4 с xy
2)2 d z
2т 2 3 ’ T~2
a b z dy
2
-- У dy; /г = г	z3
4Z 2	2.	,
= -£-<"---, 1953. — =
dx
2,2 з a b z
2
2^ dxdy + 3	3
Z	2
Ф\ Ф\
<v
, 1954, dz ——— dx—
z
dy2. 1955, dz = 0; d2z =
2
2
2
- — (dx2 + + dy2). 1956. dz = Id
—^— (dx 4- dy); d2z = —(dx* + 2dx dy + dy2). T~2	(l^)3
2
1961. ^=оо;^=1;Ц=±. 1962. dy = У(г~х) dx; dz = dx; dx dx 5	25	x(y-z)	x(y-z)
dZy = -dZz = -—-- [(X - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] dx2. 1963. ^=1^=1;
x3(y-z)3	dy
^2 (7 U
0X2
->2 d и
dxdy
^2
d и
dy2
= 0;	= -1;	= 0;	= 2;	= 1; — = 0.1964. du =
dx dy dx2 dxdy
—“—- dy2. 1965. du (1+У)
^ydx-tp^dy ф'и
,1966.а)*
,	,	dx


444
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
csinu dz ecosu dz 1 ,	.	4 dz 1,	4 v ,	1
= —7“ = -----------------; 6) — = -(u + u); — = -(v - Lt); s)dz = —- x
и dy и dx 2	dy 2	2e2 *
x (eu u(u + u) dx 4- e“ '	- w) dt/]. 1967. ~ = F' (r, <p)cos ф “ F' (г, ф) ;
dx г	ф r
дг с .	,
; Г---Sintpctgtp.
ду b
2	3
М “2^ =0;б)5Ц =0.
dy ^У dy
2
= Ff (r, cp)sin ср 4-Х (г, ф)С05Ф й 1968.	-- cos (pctg ф;
dt/	ф r	dx a
= 0* 1970.	= 0. 1971. a)
dr
+ и = df2 dt У
1972. tgp =	1973. К =
r
Г2 + 2®2 -w/ dtp
2 + ( — \<1ф
2n3/2
1974. ~ = 0. 1975. а — -z = 0. du	du
1976.
дг2
-.2
1979. —
Эи2
=	; б) Зх + 4у - 6г = 0;
т ^2
1 d и
2	2
Г d(p
= 0* 1980.
1^= 0. 1977. г dr
d2z _ 1 dz
dudv 2u dv 4
1978. ~ = 0. du
д2ш du2
± . 1981* a) 2х - 4у - z - 5 = 0;
х-1 = у-к2 =
2	-4
х - 4 = у - 3 _ z — 4
3
—- ; в) xcos а 4- t/sin ct - А = О, —6
4
2 а
т 2 . 2
х - Acoscx cosa
у -Asina sin а
z-R
0
1982. ±
2
С
Г? 2
+ д 4- С
1983. 3x +
4y + 12z
- 169 = 0. 1985. x +
4y + 6z = ±21.
________________
, 2 . 2
0) касательные
1986. x ± у ± z = ± 4a + b2 + c2 . 1987. В точках (1; ±1;
плоскости параллельны плоскости XOZ; в точках (0; 0; 0) и (2; 0; 0) — плоскости YOZ, Точек, в которых касательная плоскость была бы параллельна плоскости ХОУ, на поверхности нет. 1991* п/3. 1994ц Проекция z ~ О
2 , ’2	„ Л Проекция на плоскость yOZ:
x±i/-X£/-l = 0,
на плоскость ХОУ:
x = 0,
2
< 3y + ^2 _ i = q Проекция на плоскость XOZ\
l^0-
j ? - 1 - 0.
Указание. Линия касания поверхности с цилиндром, проецирующим эту поверхность на какую-нибудь плоскость, представляет собой геометрическое место точек, в которых касательная плоскость данной поверхности перпендикулярна плоскости проекции. 1996. fix + /г, у + /г) = ах2 4 2£xt/ 4- су2 + 4- 2(ах 4- by)h ± 2(bx + ey)k + ah2 4- 2bhk 4- ck2. 1997* /(x, у) = 1 - (x + 2)2 4-+ 2(x + 2)(p - 1) + 3(# " I)2. 1998. &f(x, y) = 2h 4 k 4- h2 4 2hk 4- h2k. 1999. Дх, (/, z) = (x ~ l)2 4- (у - l)2 + (г - I)2 + 2(x - l)(t/ - 1) - (y - l)(z - 1).
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
445
2000. f(x + й, у 4- z + 1} = /(х, у, z) 4- 2[Л(х - у - г) 4- k{y - х - z) 4- l(z -
О2 3	2 J2 4 д 2 2	4
- х - у)] + f(h, k, I). 2001. у + ху +	у у . 2002.1 - *	+ х +У .
2003. 1 + (у - 1) + (х - 1)(у - 1). 2004. 1 + [(х - 1) + (у + 1)] + Ц* ~ *) + + I)]2 + з
+ Изе-!> + («/+ г)1	_ 2005. a)arctg	2 + 1 (а + Р) _ 1 (ct2 + р2);
01	1 - р 4	2	4
б) /<1+а)т + (1+^£ = 1 + 1 (met + np) + ~ [(Зи? - 4m)a2 - Зтпеф + (Зп2 -a	ии
- 4п)р2]. 2006. а) 1,0081; б) 0,902. Применить формулу Тейлора для функций: a) f(x* У) ~	34у в окрестности точки (1; 1); б) f(xy у) = ух в окрестности
точки (2; 1). 2007, г = 1 4- 2(х - 1) - (у - 1) - 8(х - I)2 + 10(х - 1)(^ - 1) -~ 3(у - 1)Й 4- ... 2008, zmijl - 0 при х = 1, у = 0. 2009, Экстремумов нет, 2010. zmhi = “1 при х = 1, у = 0. 2011. гшах = 108 при х = 3, у = 2. 2012. zmin = = -8 при х= J2 , у — -д/2 и при х = —J2 ,у— J2 . При х = у = 0 экстремумов ла-, о	db	а	а	Ь
нет. 2013. z = —— в точках х=—,и= — их —	, и — —— ; г , =
тах зТз	7з Л Л Л П,1П
— — в точках х = — , у = и X = -4 , у = 4 • 2014‘ гтах = 1 °РИ
зУз	7з Уз 7з 7з
х — у — 0. 2015, zmin = 0 при х = у = 0; нестрогий максимум z = 1/е в точках окружности х2 + у2 = 1, 2016, zmax = Уз при х = 1, у = -1, 2016, 1, zmin - 6 при х = 4, у - 2. 2016.2. 2тдх = 8е 3 при х = -4, у = -2; экстремума нет при х = 0, у ~ 0. 2017. umin = -4/3 при х = -2/3, у = -1/3, z = 1. 2018, umin = 4 при х = 1/2, у = 1, z = 1. 2019. Уравнение определяет две функции, из которых одна имеет максимум (zmax = 8) при х = 1, у = -2, другая — минимум (zmin = -2) при х = 1, у = -2; в точках окружности (х - 1)£ 4- (у 4- 2)£	25
каждая из этих функций имеет краевой экстремум z = 3. Упомянутые в от-Г	g	2
вете функции определяются явно равенствами z = 3±V25-(x — 1) —(1/4*2) и существуют, следовательно, только внутри и на границе окружности 2	2
(х - 1) 4- (у 4- 2) = 25, в точках которой обе функции принимают значение 2 = 3. Это значение является наименьшим для первой функции и наибольшим для второй. 2020. Одна из функций, определяемых уравнением, имеет максимум (г = -2) при х = -1, у = 2, другая — минимум (з .	1) при
х = —1, у — 2; обе функции имеют краевой экстремум в точках кривой 4х3 - 4t/2 - 12х + 16ц -33- 0. 2021. z = 1/4 при х = у = 1/2. 2022. г =5 при x = 1, у = 2; zmin = -5 при x = “1, у = -2. 2023. zmin = 36/13 при x= 18/13, j/ = 12/13. 2024. г,1шх =	при x =	+ kn, у =	+ fen;
Z	(JO
446
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
z . = -----— при х = — + Ал, у *= ~ 4- kn. 2025. и = -9 при х =*= -1,
mm 2	1	8	'	8	111111
у = 2, г = -2; umfljr = 9 при х -	1,	у -2, z = 2.	2026. umax = а при х = г.а,
у = г = 0; umin - с при х = у =	0,	г ~ ±с. 2027.	= 2 ' 4г ' 63 * * * * 8 *	при х - 2,
у = 4, z = 6. 2028. umftx = 4^	в	точках (4/3;	4/3; 7/3), (4/3;	7/3; 4/3),
(7/3; 4/3; 4/3); umin = 4 в	точках (2; 2;	1), (2; 1; 2),	(1; 2; 2).
2030. а) Наибольшее значение z = 3 при х = 0, у = 1; б) наибольшее значение 2
2^2 при х “ 1, у ~ 0. 2031. а) Наибольшее значение z = —— при х = + л/2/3 , ЗТЗ
у = 71/3; наименьшее значение z = -—— при х = ±72/3 , у = "71/3 ; зТз
б) наибольшее значение г = 1 при х ~ ±1, у = 0; наименьшее значение z = — 1
зТз
при х = 0, у = ±1. 2032. Наибольшее значение z = —- при х = у = л/3 &
(внутренний максимум); наименьшее значение z = 0 при х = у = 0 (краевой минимум). 2033. Наибольшее значение г = 13 при х = 2, у = -1 (краевой максимум); наименьшее значение г = -1 при х = у - 1 (внутренний минимум) и при х = 0, у — — 1 (краевой минимум). 2034. Куб. 2035. i/2V; %/2V;	.
4
2036. Равносторонний треугольник. 2037. Куб. 2038. а = i/a ’ \[а ’ \[а  i/a .
2039. M(-l/4; 1/4)т 2040* Стороны треугольника:	2041. х =
4	4	2
+ m2x2 + msxg =	2042 х + у + z = g
+	+	*	m j + m2 +	a b с
2043. Измерения параллелепипеда: ~ т ~ , ™ , где а, Ъ и с — полуоси 7з 7з 7з
эллипсоида. 2044. х - у = 28 + V2P, z — х/2. 2045. х = ±а/72 , у = ±Ь/ 72 * 2046. Большая ось 2а = 6, малая ось 2Ь = 2. Квадрат расстояния точки (х, у) эллипса от его центра (начала координат) равен х + у . Задача сводится к отысканию экстремума функции х2 + у2 при условии 5х2 4- Зху + 5у2 = 9.
2047. Радиус основания цилиндра — 2 + — , высота R 2 —— , где R — 2 \	75	А/ 75
радиус шара. 2048- Канал должен соединять точку параболы (1/2; 1/4) с точкой
прямой (11/8; -5/8); его длина * 2049. — 72730 . 2050.	.
8	14	sinp и2
Очевидно, точка АГ, в которой луч переходит из одной среды в другую, должна
находиться между А. и В., причем AM	, ВМ	= atg ct,
1	1	cosa	cos p 11
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
447
Ь о
------ * Задача
и2cosР
+. ь
U2cosp
В.М = btg р. Время распространения луча равна —-— + tjjcosa
сводится к отысканию минимума функции Да, р) = —-—-t^coscx
условии, что atg а + Mg р = с. 2051* а = |3, 2052* Ц : 12 : 1Я
при
r2
1
Яо
Найти минимум функции /(lp I2, Z3) = I2 RY -i- I2 R2 4- I2 при условии, что I2 + I2 + Z3 “ 1* 2053* Изолированная точка (0; 0)* 2054* Точка возврата 2-го рода (0; 0)* 2055* Точка самоприкосновения (0; 0)* 2056. Изолированная точка (0; 0). 2057* Узел (0; 0)* 2058* Точка возврата 1-го рода (0; 0)* 2059, Узел (0; 0). 2060, Узел (0; 0)* 2061* Начало координат — изолированная точка, если а > Ъ; точка возврата 1-го рода, если а = £>, и узел, если а < Ь. 2062. Если среди величин а, b и с нет равных между собой, то кривая не имеет особых точек* Если а = Ь < с, то А(п, 0) — изолированная точка; если а < b = с, то В(Ь, 0) — узел; если а = b = с, то А(п, 0) — точка возврата 1-го рода. 2063. у = ±х. 2064. у2 = 2рх. 2065. у = ±R. 2066. x2/S + уг/я = l2/s.
2067* ху = S, 2068* Пара сопряженных равносторонних гипербол, уравне-£
ния которых, если оси симметрии эллипсов принять за оси координат, имеют вид ху = +5/2л, 2069* а) Дискриминантная кривая у = 0 является геометрическим местом точек перегиба и огибающей данного семейства; б) дискриминантная кривая у = 0 является геометрическим местом точек заострения и огибающей семейства; в) дискриминантная кривая у = 0 есть геометрическое место точек заострения и не является огибающей; г) дискриминантная кривая распадается на прямые: х = 0 (геометрическое 2	2
место узловых точек) и х = а (огибающая)* 2070* у = — -	* 2071* 7- .
2vl 3
2072*	+	, 2073* Л (ef - 1), 2074* 42* 2075* 5. 2076* х0 + 20* 2077* 11 4-
+	♦ 2079* а) Прямая; б) парабола; в) эллипс; г) гипербола* 2080. 1) — а°;
У	dt
лч	da	q*	dп	о * da	oaqi d	Zda^	A	। f	db	k	f , dс
2)a—- 3) — a 4- a—r— * 2081. — (abc) = — be + a— c + ab— *
dt	df dt dt	Idt	/ I	dt	J	k dt	J
2082* 4t(t2 -1 1), 2083* x - 3cos f; у = 4sin t (эллипс); v - 4j, w = -3i при t = 0;
v = i 4- 2д/2 j, w = i - 2 J2 j при f = л/4; v = -3i, w = -4j при t -£	л
= я/2* 2084* x = 2cos f, у = 2sin t, 2s3t (винтовая линия); v = -2isin t 4-+ 2jcos t 4 3k; и = У13 при любом t; w = -2icos t - 2jsin t, w = 2 при любом t; v = 2j + 3k, w = -2i при t = 0; v = -2i + 3k, w -2j при t = n/2. 2085* x = “ cos ot cos cot; у = sin ct cos cot; г = sin OJt (окружность); v = -wicos ot sin tot — - toj sin ct sin cut + cokcos ш/; c = |w|; w = -o/icos a cos cot - ci)2jsin a cos cat -
2	2	О 2	2
- co ksin u)f; w = ш . 2086, v =	+	- £t) J wx = 0;	=
448
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
tv = g. 2088, со JdZ +	, где со = — — угловая скорость вращения винта,
de
2089.	+^о - 2aaw0sinwt. 2090. т = ^(i 4- k); v = “j; Р = ~ (i - k).
2091. т = — [(cos t - sin t)i + (sin t + cos t)j + k]; v = - [(sin t + cos t)i + 73	72
+ (sin t - cos t)j]i cos (t, z) = 73/3 ; cos ( v, z) = 0. 2092. т = *+ + 2— ; v = 721
-2i±k 2093, x-ncosi = у-asint = z bt (касатель. -asint acost a
v x-acost у-asint z-bt	< x-acost у-asint
о suit	-ocost a	cost	sint
4i + 5j-8k о
---- f — 5 P
7105
---- (главная нормаль). Направляющие косинусы касательной: cos a =
asint о acost	b „
= - 	; cos p - ——= ; cos у “ -	, Направляющие косинусы
/2.2	/2.2	/2,2
Va +o	л/a +b	л/a + a
главной нормали: cos = cos t; cos = sin t; cos — 0. 2094, 2x - z = 0
(нормальная плоскость); у - 1 = 0 (соприкасающаяся плоскость); х + 2z -
__ 2 у__	2__Q
— 5 = 0 (спрямляющая плоскость). 2095. —— s	(касательная);
(соприкасающаяся плоскость). 2096.
х + 4.у + 12z “ 114 = 0 (нормальная плоскость); 12х - бу + х-(?/4) = y-(t3/3) =
г *
z-8 = 0 z-(?/2)
,	а v х-(?/4)
(к асате л ьн ая); -1-<
t +21
у-(//з)
1-t4
z~(+/2) ,
---1----- (главная
-2t -t
нормаль);
х~(?/4)	у-(//3)	z-(?/2)	. л, .. ..	1 .„ ,
---z	(бинормаль); ЛГ1(1/4; —1/3; 1/2);
1	-Zt
М2(4; -8/3; 2). 2097.	(касательная); х + у = 0 (сопри-
X	r -L	£
касающая плоскость); —-— = “	=
у+2	z-2	.
=	(бинормаль); cosa9 =
1	л	*
z-2
(главная нормаль);
1/V2; совР2 1/72, cos у2 = О-
2098. а) *	= 2—= z"(V2g?/2)) {касательная). х,/2 - 2 = 0
—лу Z
Д- _ 1 ту __ 1	_ 2
(нормальная плоскость); б) —-— = 2--------- - —-— (касательная); х + у + 4z ~
- 10 = О (нормальная плоскость); в) -—- =	= ——*1 (касательная);
2j3	1	-2j3
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
449
2Уз х + у - 2л/3 г = 0 (нормальная плоскость). 2099* х 4- у = 0, 2100* х - у -- £а/2 - 0* 2101* а) 4х - у - z - 9 = 0; б) 9х - 61/ I-2^ - 18^ 0; в) Ъ2х\х -- а2у\у + (а2 - b2)z^z =* а2й2(а2 - £2)* 2102* 6х - 8г/ - z + 3 = 0 (соприкасающаяся плоскость); *= 2 %% (главная нормаль); *	g г
(бинормаль)* 2103. bx - z = 0 (соприкасающаяся плоскость); х (главная z = 0
<* \* x+bz OJ	i + i>k г* bi + k	. О1ЛС Q l
нормаль); „J (бинормаль); т =	; В = —_	; v - 1* 2106* 2x +
У ~u	/- . l2 Л . , 2
t- 3y + 19z - 27 = 0. 2107, a) Jz ; 6) /6 /4, 2108, a) К =	; T =	; б) К =
= T = —, 2109, a) R = p = (^ + a)2 ; 6) R = p =	, 2111.	.
2ach t	a	8p x	a +b2
2112.	a) К = 2, wt = 0, wn = 2 при t - 0; К = | /19/14 , u; = 22//14 , wn = = 2719/14 при £ = 1.
Глава VII
2113.	4- .	2114, In — .	2115, —	. 2116. - .	2117, 50,4. 2118. —	.
3	24	12	4	2
2
2119* 2,4* 2120* ~ * 2121* x =	- 1; x = 2 - p; у = -6; у = 2. 2122* у = x2;
у = x + 9; x = 1; x = 3* 2123* у = x; у = 10 - x; у ™ 0; у = 4* 2124* у =	;
о
у = 2х; х - 1; х = 3* 2125* у = 0; у = ^25 - х2 ; х = 0; х = 3* 2126. у = х2;
у “ х 4 2; х = -1; х
1	2
= 2. 2127* ’ dy f f(x, y)dx =
о о
2	1
dx Г Дх, p)dp,
о о
1	1
2128* J dy J f(x, у) dx о	у
1	1
- j dx j /(х, у) dy I о	о
1	х	1	2-у
dx J Дх, у) dp* 2129. j dt/ Дх, у) dx =
О	О	0	0
2
dx
о
2-г
j f(x, у) dy.
О
2	2x^3
2130* J dx j Дх, y)dy =
1	2х
450
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
£ 4	2	5	2	7	2
= dy f(x, у) dx + dy ftx, y)dx + dy f(x, y) dx.
2	1	4	1	5 2
1	У	"tSl Ki' l <ez M О ha") * 1
2131. dy /(x, y)dx 4- I dy f(x, y) dx = dx ftx, y) dy +
0	-у	1	-72-/	"1	~x
1 + j dx j f(x, y) dy. 0	x	1	2	2 2132. j dx fix, y) dy = dy j fix, y) dx. 2xZ	°
-1	Л - Xz	1	-^l-.r2	1
2133. dx f(xy y) dy + dx f(xy y) dy + dx f(x, y) dy +
1 1 X N	-1	/4	2	-1	/7	2 -л/4-Х	л/l
1	7Г	2 - X	1	74-/	1	-7i -y2
4-	dx	fix, y) dy =	dy j	fix, y) dx F j dy j fix, y) dx 4-
1	-77				J - x2	2 -7Г7	-1	Га	 -№~y
	1	Л “ у	2	2	74- /		-2	7s - j	2
+		dy j	fix, y) dx +	dy j	/(x, y) dx. 2134* dx			fix, y) dy +
		Vi-y	2	1	-74 -y2		-Ei	-7^	"2 r
	2	7i + хг		3 7э -	x2	-1	7/-1	
+		dx j	f(x, y) dy +	j dx J		fix, y) dy = j dj	f	fix, y) dx +
		2	2 X	2	-7^	s X	-7&		
		-1 7s	2 "J*	1 7s	£	T&		
+		f dy	fix, y) dx +	f dy		fix, y) dx + dt	/ j	fix, y) dx +
	-	& -Jy	2-i	-1 -77	-y	1	-7e-ft	
		□	79-	2 У	1		1 -X	(1-	
+		dy j	f(x, y) dx. 2135. a)		dx	f fix, y)dy =	dy	fix, y)dx;
	i	/ 2 Vy -	1	0		0		}
	U	/ 2 Va -	^.2	/ 2 д	Va -	s У	1	7,-x2	
6)		dx J	fix, y) dy -	fdy J		/(x, y) dx; в) dx		fix, y) dy =
		i	/ 2 -Va ’	2 X	-7Z	2 -у	0	I - Vx - x	
		l + Jl-4y2						
		1/2	2	1		1	1	У
=		j dy	Г fix, y) dx; г) 1		d^	j fix, y)dy =	J dy	j /(x, y) dx;
		1/2	к	-71-4/	-I		X	-1	-I
2
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
451
	А/ +	2а	<з	х
		
д)	dy	f(x, у) dx = J dx J Дх, у) dy
		/	0	0
За
2а а
dx f(x, у) dy +
а О
а	48 ЧЯ	2 ч2
f f(x, у) dy. 2136* J dz/ J f(x, y)dx. 2137, J dy J f(x, y) dx -t-
2a	r- 2a	0	JL 12	0	£ 3
3	1		a 2	/22 -Ja -i/	Г"й "/a	2 -y
+ j d„ J	f(x, y) dx. 2138. dy 4		j Дх, у) dx +	dy	
3		0	/ 2 o J a -2a.v	i г	3
					
2	a		a	a	a - JI	2 -y
2139. j	dy J f(x,y)dx \	dy	j f(x, y) dx. 2140. j	dy	
0	Si	a*	&	/'2	2	0 • “1/	2 JL	
	2	?		4a	
a	2a	2^	2a	o Ji	2
+ j dy	Г Дх, у) dx + [		dy J f(x, y) dx. 2141.	J	
0 a	1 2	2 + V* -г/	0	2 k_	-i	0
			4a 1		
1	1-r		2	/2x		
+ f dx	[ f(x, y) dy.	2142.	f dx f Дх, у) dy +	dx	[ft
f(x, 0 dy +
x, y) dy +
о
f(x, y)dx.
f(x, y)dx +
dy
Jfj/- yi 2 *	1	n-arcainy
f(x, y) dx. 2144. j dy J f(x, y) dx.
i/	0 arcsiny
2145.1/6. 2146.1/3. 2147. -a. 2148. тг/6. 2149.6. 2150.1/2. 2151. In 2.
2
2152* a) 4/3; б) 15л 16 ; в) 2 - . 2153*	у5. 2154* f dx
' 7	' 150	5	21 F J
i
71-(x-2/
0
.	4
xy dy = - * <5
2155* -aj2a. 2156. Указание: 3	2
у dx dy
2n.fi y = f(x) dx Г	у dy =
о о
2n
J 7?(1 - cos /) df
0
Я(1 '• cos О
ydy, где последний интеграл получается из преды-
о
i	2	R2
ДУЩего в результате замены х = R(i - sin £), 2157* — . 2158. - . 2159, а + — .
80 Ь	2
452
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
л/4
l/cosq»
п/2
2160.
dtp
rftrcos (р, rsin
2161.
2163.
Зя/4
5lt
Зя 4
о
я/4
йф
о
л/4
0
О l/costp
r/(r) dr.
о
/(tg ф) Йф
2 аалф/ссз ф
f г dr
о
2 sincp/cos ср f(tg ф) dtp j
О
| г/(гсов ф, о
г dr.
я/4
Зл/4
2162.
л/4
Зп/4
4-
4
ТЕ
"4
rsin ф) dr. 2165.
п/4
о
я
2
О
1 / sin q>
J г/(гсозф, rsin ф) dr. о
1/81ПФ
rsin ф) dr.
о
l/sintp
г dr
о
rsin ф) dr +
асовф
Г 2 .	,
I Г 81П Ф dr
о
Q3
12
2166. ? па4. 2167. — . 2168. f — + ^ а3, 2169. — . 2170. (- -	~ 20 | — .
2	3 I 9 2)	6	1,3	9 J 2
2
2171. - тгай. Указание. Якобиан / = а£>г. о
Пределы интегрирования: 0 ф < 2л,
1 + 0	1-и
(К К 1, 2172. J du J f(u - uv, uv)u du. Решение. Имеем x = u(l - и) а	о
l + a
и у — uv; якобиан I = u. Определяем пределы и как функции от и: ы(1 - и) = О
при х = 0, откуда и = 0 (так как 1 - о * 0); и = —— при х = с. Пределы 1 - v
изменения и: так как у = ах, то uv ctu(l - и), откуда и = ——; для 1 + а
1	2- v
+р„ J	do
О j;
. После замены переменных уравнения сторон
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
453
2 а
квадрата будут и = и; и 4- и =
2; и - и =* 2; и = -и. 2174. аЬ
,2	I-
р . ak ,
- — arctg — 1
/,2 bh
, ab hk
,,	„ 4	:
. Уравнение кривом г = г
( 2	,2
2 а	2 Ь . 2
 —cos ср - — sm ф
к
откуда нижний предел
2	2
Л	а * b  2 гп
г = 0 и верхний г = —-cos ф —-sm Ф . 1ак как г должно быть вещественным, 4k2 к2
а2	2 b2 . 2
то — cos ф - sin ф
ft	k2
0; отсюда для первого координатного угла имеем
a к
tg Ф , Вследствие симметрии области интегрирования относительно осей
можно вычислить - всего интеграла, ограничиваясь первым квадрантом:
2180. у Лб . 2181. 3jy
+ 11. 2182.	-
2178. а. 2179. я (-1 х < 1) О
Г~	5	2
- 73.2183, - тш . 2184. 6, 2185, 10л, Сделать замену переменных х - 2у и,
1 1
Зх + 4у = и. 2186. | (Ь - а)(р - а). 2187. 1 (Р - а)1п - . 2188. и = Г ф/ f (1 - х) ах -
3	3 а	J ' J
о у
1	*	3	3	4
= [dr |(1 - г) df/. 2193.^. 2194,3/4. 2195.1/6. 2196,^ , 2197..
3	4а
о о
2198.	 2199. 88/105. 2200. %- . 2201.	.
5	18	□
2203. i тш3(2 J2 - 1). 2204. тш3( ./2	1). 2205
2202. па (а - р).
па^	4-
. 2206. -nabc. 3	и	3	3
2207. — (6 ./3 - 5). 2208. — а. 2209. па(1 - еЯ"). 2210.	. 2211. Зл^ ~2 .
3	9	2	2
/2 г~
2212. —(2 72 - 1). Сделать замену переменных ху = S v*
3	'	г
454
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
2213. | Ja2b2 + Ьгс2 + С2а^ . 2214. 4(т - п)/?2. 2215. а. Интегрировать в плоскости YOZ. 2216. 4а2. 2217. 8а2arcsin - . 2218. - яа2(3 73 - 1). 2219. 8а2. а 3
2220. 1, Зла2. Перейти к полярным координатам. 2. Спроецировать поверхность
2 /—
на координатную плоскость ХОУ, 3, а л/2 > 2221,
~ _ 2	2
з ла
16 3	2
Перейти к полярным координатам. 2222. —а и 8а . Перейти
к полярным
2	*/2
координатам. 2223. 8а arctg . Указание: о = 5
а/2	и/2
‘ dr f ad#.
о о Ja2~x2-y2
а/2
= 8а arcsin — а dx. Интегрировать по частям, а затем сделать подста-о 2 Ja2 - х2
новку х -	; ответ преобразовать. 2224. ~ bJb^
2smf	4
. 2, Ь + с In —
Перейти к полярным координатам.
/ 2	2
а а/ a + С +
2225	.
3
3	2 2
2226. у ; «А. 2227.x =	! У =	• 2228. х = |а; у = 0.
12	<£14	3(4-я)	6(4-л)	6
2229. х -- 2tlsl— ; у = 0. 2230. х = | ; у = 0. 2231.I = 4. 2232. а) I =
О Ct	и
=	(Л4 - /); б) I = £ (£>4 - с/4). 2233.1 = % а4. 2234. f а4. Указание: I =
<32	Ь4	3	□
+ a)2 dy. 2235. 161п2 - э|.
Расстояние точки (х, у) от прямой
2
- 1
2
х = у, равное d = Х V , находится с помощью нормального уравнения прямой.
2236.7 = -~ka*[7 J2 + 31п(У2 + 1)], где k— коэффициент пропорцио-
нальности. Поместив начало координат в ту вершину, расстояние от которой пропорционально плотности пластинки, направим оси координат но сторонам квадрата. Момент инерции определяется относительно оси ОХ.
л/4 u&ecq)
Переходя к полярным координатам, имеем 1х Г dtp Ar(rsin <p)V dr +
о
о
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
455
п/2 acoseco
| dtp j fer(rsin<p)2rdr. 2237. ZQ= Цпа*1. 2238./0=	2239. Цла4.
о
я/ 4
Принять за переменные интегрирования
1
2240. f
t
f Дх, у, z) dz. 2241. f
и у (см. задачу 2156).
Jrs - г2 н
о
о
о
-я
О
а
2242. Г dx
b f 2 Z
-7<i -jc а
1
Дх, у, z) dz. 2243. f
71-х2
f(xt у, z) dz.
2 2 * -Р
-а _о а
-1
2
2 s
а d
2 Г
о
2 2 я а
8
2244. ~ (31
15
+ 1272
. 2246.
3
2248.
11п2
2
г	5 /
— . 2249. — 1!
16	5 k
. 2250.
6 J
59
480
. 2247. -4-720
, 2 лаЬс
4
2251.
2252.
4 p лаЬс, 5
2253. RZ
4
2254. лй3.
2255. -9
2257.
4 Ds
15 nR'
2а
2258.	.
10
2 Я X +У 2а
2259. — ah, 9
2260.
л/2 2,0-cijstp
3 _ - ла .
4
2а
Решение:
п
2 2асоаф
dx
з , г dr
2а
(2 асов ф)4
dtp = - па3. 2261. 4
----. Перейти к сферическим о
ксюрди-
~5 п7? .
2 X
2 а .
л
3
з
и
= 2
О
Я
2
о
о
2
о
о
о
о
о
а J о
4
19	ы.	а3
натам. 2262. — л. Перейти к цилиндрическим координатам. 2263. — (Зл — 4).
6	9
2264. 1. ла&с. 2.	. 3. у (72 - l)abc. 2265. (а + Ъ + с). 2266. || (6? -
2	2	—	—	—	2
-а ' Ъ ).	2267.x	= 0; у	= 0; г	= -а.	Ввести сферические координаты.
5
_	j ___ _	£.
2268. х=5;у = 0;г = 0. 2269. — (За2 + 4h2).
3	12
Ось цилиндра принимается за
ось OZ, плоскость основания цилиндра — за плоскость XOY, Момент инерции вычисляется относительно оси ОХ, После перехода к цилиндрическим коорди-2	2	2
натам квадрат расстояния элемента гdфdrdz от оси ОХ равен г sin ф + г .
h 2
2270.	— (2h + За ). Основание конуса принимается за плоскость XOY, ось
456
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
конуса — за ось OZ. Момент инерции вычисляется относительно оси ОХ. Переходя к цилиндрическим координатам, для точек поверхности конуса имеем
г = - (h, - z), причем квадрат расстояния элемента г dtp dr dz от оси ОХ равен Л
r2sin2 ф + и2. 2271. 2лАрЛ( 1 — cos сс), где k — коэффициент пропорциональности, р — плотность. Решение. Вершина конуса принимается за начало координат, а его ось — за ось OZ. Если ввести сферические координаты, то уравнение боковой поверхности конуса будет ф = - - ос, а уравнение плоскости основания г — —— .
а	зшф
Из симметрии следует, что результирующее напряжение направлено по оси OZ. Масса элемента объема dm ~ pr2cos ф dip йф dr, где р — плотность. Компонента но оси OZ силы притяжения этим элементом единицы массы, находящейся в
точке 0, равна - sin ф Apsin ф cos ф йф dtp dr. Результирующая сила притя-г
— с(
2rt 2	Acosecy
жения равнаJ dtp J йф J Apsin ф cos ф dr. 2272. Введем цилиндрические ио о
координаты (р, ф, z) с началом в центре шара и осью OZ, проходящей через материальную точку, массу которой полагаем равной т. Расстояние этой точки от центра шара обозначим через Пусть г =* Jp2 +	z)2 — расстояние от
элементарного объема do до массы т. Сила притяжения элементарного объема do шара и материальной точки направлена вдоль г и численно равна -Аут^— , £ г
где у =	----плотность шара, du = р dip dp dz — элементарный объем. Проек-
3
ция этой силы на ось OZ будет df =
femydu cos^j =	—- pd9clpdz. От-
г2	г3
271 н	-гг
сюда F - J dip J (<; ’ z) dz J о -л	о г
4 з 1
’ - нН — , но так как
3 е
^ул.й3 = М, toF =
. 2273.
5* 2
[ у2 е dy - е J . 2275. а) 1 (р > 0); б) ——
J	р	р-сс
г
при р > а; В) —Р— (Р > 0); г) (р > 0). 2276. Ц . 2277. 2//. (Продиф-Р2 + Р2	/ + ₽	«
ференцировать два раза
е pt dt = - .)
J Р о
2278. In а
2279. arctg - arctg — .
т	т
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
457
2280. 
2
"1п(1 + ы). 2281.п(л/Г-а3 - 1). 2282. arcctg 2. 2283.1. 2284. i . Р	2
2285. -
2286.	. Надо перейти к полярным координатам. 2287. — .
4а	2
2 71
2288. — . 2289. Сходится. Исключим из S начало координат вместе с его о
е-окрестностью, т. е. рассмотрим = Jj In *jx2 + y2 dx dt/, где удаляемая (SE)
область — круг радиуса ь с центром в начале координат. Перейдя к полярным 2-я	1	2я
координатам, имеем	=	J	dtp	J	rln	г dr = f
о	с
7 | .	Отсюда	lim	Д
е-* о *
= 2Tif- - — In £ -14	2
2291. Сходится,
(5) ^J{x y)2
Окружаем прямую у = х
1	х —
= lim dx £ — О J , о
5 2
узенькой полоской и полагаем
1
+ lim [
8- о J о
2290. Сходится при а
2292. Сходится
при а > |. 2293. 0.
2294. In
2296. — г3
2
а. 2297. ^-[(1 + 4лг)3/г
О
1].
75 + 3 2295	+ д^ +
2	’	’	3(а + д)
5 /7“ 2
2298. а v . 2299. a J2
5m
о
2
О
1
ч2
1
Е
е
2
arctg . 2302. 2ла2. 2303. || (ЮДО - 1).
1	/ 2	.2
2300. -±- (56 Л - 1). 2301.
54	ab
Указание: J f(xr у) ds можно геометрически интерпретирвоать как площадь ци-с
линдрической поверхности с образующей, параллельной оси OZ, основанием — контуром интегрирования и высотами, равными значениям подынтегральной f	3 2
функции. Поэтому х ds, где С — дуга О А параболы у ~ - х , соединяющая J	о
с
2. а о
точки (0; 0)
и (4; 6). 2304. а^З. 2305.2 b
----	/ 2 I 2
.2	. уа -о
— о arc sin ---------
a
/ 2 , L2 I 2 t . ,2	. a2 j 2nb + Ja2 + 4л&2^ oorw 4 A
2306. у a + b nya +4ni>	+ — In----------- . 2307. -a; -a .
2 O	(2	j	\o3y
2308. 2na2Ja2 + b2. 23M).kMmb/ J(az + b2/. 2310-40^. 2311.-2лаг.
458
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
2312. а) - ; б) 0; в) ; г) -4; д) 4. 2313. Во всех случаях 4. 2314. -2л. Исполь-
3	5
4	2
зовать параметрические уравнения окружности. 2315. - ab . 2316. -2sin 2, о
2317.0. 2318. а) 8; 6)12; в) 2; г) |; д) in (х +
2
*2
^2
2319. а) 62; б) 1; в) - + In 2; г) 1 + 72 .2320. /1+4 - Jl + b2 . 2322. а) х2 + 4
4 Зхг/ - 2у2 4 С; б) х3 - х2у 4 ху2 - / 4 С; в) е* у(х 4 у) 4 С; г) In |х 4 у| 4 С.
2323. -2ла(а 4 Ъ). 2324. -tl^cos2 а. 2325.
Л3. 2326. а) ~2;б)ддС“ 1;
в) 5 J2 ; г) 0. 2327.1= Jj / dx &/* 2328. -4/3. 2329. tlR4/2. 2330. -1/3. 2331. 0.
2332. а) 0; б) 2 пи. Б случае б) формула Грина применяется в области, заключенной между контуром С и кругом достаточно малого радиуса с центром в начале координат. 2333. Если считать, что направление касательной совпадает с
направлением положительного обхода контура, то cos (X, а) = cos (У, t) =	,
ds
следовательно, £ cos (X, и) ds = £ ds = £ du = 0. 2334. 28, где 8 — площадь, J	J ds J
с	с	с
ограниченная контуром С, 2335. -4. Формулу Грина применять нельзя. Данный интеграл несобственный, так как в точках пересечения контура интегрирования
с прямой х 4 у = 0 подынтегральное выражение принимает вид , 2336* nab.
3 Р	2	Q 9
2337. - па .2338. бла . 2339. ~ а * Указание. Положить у = £х, где t — пара-8	2
метр. 2340* а2/60. 2341. n(R 4 r)(R 4 2г); блТС2 при 7? = 4. Уравнение эпицик-
лоиды имеет вид х = (R 4 r)cos / - rcos + - t, у = (R 4 r)sin t - rsin t, где г	г
t — угол поворота радиуса неподвижного круга, проведенного в точку касания.
3
2342. п(7? - гХТ? -2г); - лТг при г = /?/4. Уравнение гипоциклоиды получается о
из уравнения соответствующей эпициклоиды (см, задачу 2341) заменой г на -г. 2343. FR. 2344, mg^ -	2345, (а2 - Ь2), где k — коэффициент про-
порциональности. 2346. а) Потенциал U = -mgz, работа mg(z1 - z2); б) потенциал
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
459
U = р/r, работа - —-	; в) потенциал U = - — (х2 4- и2 4- работа
/2 Г2~ 2	2
Va + р + с
~(Л2 - Г2). 2347. | па. 2348. 2na_J° +b . 2349.0. 2350. - nabc.
2	3	3	3
2351.^. 2352.3/4. 2353. 2о_^ + 1 а. 2354. ^Т2/Л 2355. а) 0; 2	10(5^5-1)	2
6) -1| (cos а + cos р + cosy) dS. 2356. 0. 2357. 4л. 2358. -ла2. 2359. -а3.
2360.	= ^,	=	=¥. 2361. 0. 2362. 2f [ (х + у + z)dxdydz.
dy dz dz дх дх ду	J J
(П
Vtf 52t7 з 2 +	2
2 i
+ ~ dx dy dz. 2365. За4.
2363. 2111 dxd^dg . 2364. HI
(V) <х +г
19 Г	2,2
2366. a3/2. 2367, — 7taJ. 2368.	. 2371. Сферы; цилиндры. 2372. Конусы.
О	2
2374. Окружности х2 + у2 - с2 , г = с2- 2376. grad Е7(А) = 9i - 3j - 3k;
|grad 17(A)| = 799 = 3 Л1 ; г2 = ху\ х ~ у = z. 2377. a) r/r; б) 2r; в) -г//; г) f (г) £. г
2378. grad (ег) = с; поверхности уровня— плоскости, перпендикулярные век-
тору с. 2379.	= |grad U\ при а = b = с. 2380.	г);
dr г dr	dZ J
— = 0 при 11 г, 2382. 2/г. 2383. div a ~ (2/r)f(r) + f'(r), 2385, a) div г = 3,
rot г - 0; 6) div (rc) = — , rot (re) ; в) div (Дг)с) -	(cr), rot (/(r)c)
r	r	r
= c x r. 2386. div v = 0; rot v — 2w, где co = (ok, 2387. 2соп°, где n° —
единичный вектор, параллельный оси вращения. 2388. div grad U —
=	: rot grad (7 = 0. 2391. Зл/ГИ. 2392. a) — RZH(3I^ + 2Н\
Ъх2 dy2 dz2	Ю
б) Д- + 2H2). 2393. div F = 0
во всех точках, кроме начала координат.
Поток равен При вычислении потока использовать теорему Остроград-
6	Г|
СКОРО—Гаусса. 2394. 2nh2. 2395.	. 2396. U = Г r/(r) dr. 2397. т/г.
8	J
гг»
2398. а) Не имеет; б) U = xyz 4- С; в) 17 = ху 4- xz 4- yz 4- С, 2400. Да.
460
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Глава VIII
2401. —~ . 2402. — . 2403. -2- . 2404. — . 2405. п + 2 . 2406. 2п  .
2п-1 2п 2"-1	„2	(ге+1)г Зп + 2
2407.  1 - .	2408. 1 3'5-„(Зп^Г) _	2409.	2410. n(n-1),1+1,
п(п + ])	1 ‘ 4 7..,(3п- 2)
2416. Расходится. 2417. Сходится. 2418—2424. Расходится. 2425—2433. Сходится, 2434. Расходится. 2435. Расходится. 2436. Сходится. 2437. Расходится. 2438—2440. Сходится. 2441. Расходится. 2442—2449. Сходится. 2450. Расходится. 2451. Сходится. 2452. Расходится. 2453. Сходится, 2454, 2455. Расходится. 2456. Сходится. 2457. Расходится. 2458. Сходится. 2459. Расходится. 2460. Сходится. 2461. Расходится. 2462. Сходится. 2463. Расходится. 2464—2466. Сходится. 2467. Расходится. 2468. Расходится. Указание, д + 1
—--- > 1. 2470. Сходится условно. 2471. Сходится условно. 2472. Сходится
ап
абсолютно. 2473. Расходится, 2474. Сходится условно, 2475. Сходится абсолютно, 2476. Сходится условно. 2477. Сходится абсолютно. 2478. Сходится абсолютно. 2479. Расходится. 2480, Сходится абсолютно, 2481. Сходится условно, 2482. Сходится абсолютно. 2484. а) Расходится; б) сходится абсолютно; в) расходится; г) сходится условно. Указание. В примерах а) и г) рас-
ОО
смотреть ряд (a2fe _ т + а2й), а в примерах б) и в) исследовать отдельно k - 1
ряды a2k _ 1 и	2485. Расходится. 2486, Сходится абсолютно.
k - 1	k = 1
2487. Сходится абсолютно. 2488. Сходится условно. 2489, Расходится.
2490, Сходится абсолютно. 2491. Сходится абсолютно. 2492. Сходится абсолютно	оо
но. 2493, Да, 2494. Нет. 2495, X* +	; сходится, 2496. X* -----;
П = 1	п = 1
сходится. 2497. Расходится. 2499. Сходится. 2500. Сходится. 2501. [й.| < -
4	120
< О, R > 0. 2502. 7? < ——п—- =---~ . Указание. Остаток
'20	" 2п + 1	2\2п+На-
ряда можно оценить с
помощью суммы геометрической прогрессии, превы-
ш а тощей этот остаток: Rn
а Г1' 1
Ч2.п 4-1
+ 1
1.2) (п + 1)(гс + 2)
42
1
(П + If
+ ,
2503. Rn <
< 2/
п - 1
____. о <- о , i р| 8
(Лч-1)(п+1)Г w	'
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
461
2504. —< Л < i . Решение: R* =------—- +---------ь >-------------- +
п + 1 п п	(п+1)2 (п + 2)2	(» + 1)(л + 2)
+ 1 + ... = (_1_ -(п + 2)(п + 3)	**' 1п + 1.	_j_) +	+... = га+ 27 <п + 2 п + 37	п + 1
R <	1	+	1	+... л п(п + 1)	(п+1)(п + 2)	= - . 2505. Для данного ряда легко можно п
найти точное значение остатка:
	' , 15А И + 	 — 167 UJ
/1 \ 2л	/1 \ 2п + 2
Решение: R - (п + 1) ~	+(ге4 2) -	+ ...
\4>	<47
Умножим на
1	/1\2л + 2	/’i\2nt4
Тй =	+ М 7 J + (^ + 2)l-j	+ -•- 
16	<47	<47
Вычитая» получим
1б
i6> ( r?rt
157 UJ
Отсюда находим приведенное выше значение Полагая п = 0, находим
сумму ряда S =
. 2506» 99; 999. 2507» 2; 3; 5. 2508. S = 1» Указание:
ал -  -----—. 2509. S = 1 при х > О, S = -1 при х < 0; S = 0 при х = О»
л л п + 1
2510. При х > 1 сходится абсолютно, при х < 1 расходится. 2511. При х > 1 сходится абсолютно, при 0 < х С 1 сходится неабсолютно, при х С 0 расходится. 2512. При х > е сходится абсолютно, при 1 < х < е сходится неабсолютно, при х < 1 расходится* 2513. -оо < х < оо. 2514»	< я < оо.
2515. Сходится абсолютно при х > 0, расходится при х < 0. Решение:
1) KI , а при х > 0 ряд с общим членом сходится; 2) -i- > 1 при елх	елх	е
х < 0, a cos пх не стремится к нулю при п оо, так как из cos пх —► 0 следовало бы, что cos 2пх —* -1; таким образом, при х < 0 нарушен необходимый признак сходимости. 2516. Сходится абсолютно при 2kit < х < (2k + 1)тг (А = 0, ±1, ±2, ...); в остальных точках расходится. 2517. Расходится везде. 2518. Сходится абсолютно при х * 0. 2519. х > 1, х С -1* 2520. х > 3, 1	2
х<1. 2521. х > 1, х<-1. 2522. х > 5^. х<4^ . 2523. х > 1. х < -1.
’	3	3
462
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1
2
1
2
2524, -1 < х <
< х < 1. Указание. При этих значениях х сходится
как ряд
х\ так и ряд
k= 1
При |х| > 1 и при |х| < - общий член
ряда не стремится к нулю, 2525, -1 < х < 0, 0 < х < 1. 2526*	< х < 1,
2527. -2 < х < 2. 2528.-1 < х < 1. 2529.-— < х < — . 2530.-1 < х < 1.
72	72
2531. -1 < х < 1. 2532. -1 < х < 1. 2533. -°о < х < °°. 2534. х - 0. 2535. -оо <
< х < оо. 2536. -4 < х < 4. 2537. -- < х < i . 2538. -2 < х < 2. 2539. -е < х < е. 3	3
2540. -3 < х < 3, 2541, -1 < х < 1, 2542, -1 < х < 1. Расходимость ряда при |х| > 1 очевидна (интересно, однако, отметить, что расходимость ряда на концах интервала сходимости х = +1 обнаруживается не только с помощью необходимого признака сходимости, но и с помощью признака Даламбера),
При |х| < 1 имеем lim
« — о
(n+ l)!x(]f+1)r
И,]х"
lim |(/г + 1)хл < lim (л 4- 1 )|х|п = л -* О	п ' О
= lim n + 1 = 0 (последнее равенство легко получить с помощью правила д-0 IIд
|х
Лопиталя). 2543, -1 < х < 1, С помощью признака Даламбера можно не только найти интервал сходимости, но и исследовать сходимость данного ряда на концах интервала сходимости. 2544.-1 х < 1. С помощью признака Коши можно не только найти интервал сходимости, но и исследовать сходимость данного ряда па концах интервала сходимости, 2545. 2 < х С 8, 2546. -2 < х < 8. 2547. -2 < х < 4. 2548. 1 х 3. 2549. -4 х < -2.
2550. х = -3. 2551. -7 < х < -3. 2552. О < х < 4. 2553. -- < х < —. 4	4
2554. -с-3<х<е- 3. 2555. -2 < х < 0. 2556. 2 < х < 4. 2557, 1 < х < 3,
2558, -3 х -1, 2559. 1 - - < х < 1 4- - . При х = 1 ± - ряд расходится, ее	е
Л г/
1 4 “ I
так как lim -----— = — 0. 2560. -2 < х < 0. 2561* 1 < х ‘С 3. 2562.1 < х < 5.
еп Л
2563. 2 £ х 4. 2564. \z\ < 1. 2565, И < 1, 2566, \z - 2г[ < 3, 2567, |z| < 72 *
2568, z = 0, 2569, |г| <	2570, |г| <	2576, -In (1 - х) (-1 < х < 1),
&
2577. In (1 + х) (-1 < х С 1). 2578. | In £
(|х| < 1). 2579. arctg х (jx) < 1).
2580.^— (М<. 1). 2581. 1 х\ (|х| < 1). 2582.—^— (|х| < 1).
(*-1Г	(1 + х2)	(1-х)3
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
463
2583.--(|х| > 1). 2584. i ( arctg х - In (|х| < 1). 2585.	, Рас*
(х-1/	2V	2	1 + х>	6
3	5	-
смотреть сумму ряда х - — 4 — - ... (см, задачу 2579) при х= — . 2586. 3.
35	Уз
2587.ах
3!
.	л. п	z	к
1 + у X In а (х < оо), 2588. sin f х + 5 1
Zj и! 1	k 4J
« = 1
1 4- х -
+ £_ +	_ 4- (-1) 2	*_ +
4!	5!	7 п!
. 2589. cos (х 4- а) - cos а -
- xsin а - т~ cos а 4 sin а + — cos а 4- ... + ~ sin Га 4 (ZL±JJ5 2!	3!	4!	д! L 2
2	2х2	23х4	25х6
(-оо < * < <*). 2590. sin х =	- — 4-	-
2!	4!	6!
4- ... (-оо < х < оо). 2591. In (2 4 х) = In 2 4- * 2
а  2Л
4 ... (-2 < х < 2). При исследовании остаточного члена вос
пользоваться теоремой об интегрировании степенного ряда. 2592.
2х-3
(х-1)2
со
= - (n + 3)х" (|х| < 1), 2593.
н = 0
Зх-5 х2 - 4х + 3
х” <М <
О
, «чп-1ол--1 л	___ 2j
2594. хе 21 = х + V tl!--------1---L. (-оо < х < °о). 2595. е12 = 14- V —
Z^ (п -1)!	2-/ д!
п = 2	л = 1
(-ОО < х < СО). 2596. V х — (-оо < х < ос). 2597. 1 + У
(2п4-1)!	(2п)!
л = 0	л = 1
, dJi/n ч2л	____ / л.гчЗл 2л + 1
2598.1 4 - V (^1  (-оо < х < со), 2599. 2 У	х —
2 Zj (2п)Г	1	}	2^	*	(2п + 1)!
и = 1	л = 0
°°	2л + 1	1	1	2
(-со < х < ОО). 2600. У (-1)"^ г (-3 < х < 3). 2601. ± + А • \ + д/! + 1	2	2	23
л = О
+ 1 3	+ 1 3  5 х_ +	+ 1-3-5...(2»-1) xZn +	(_2 < х < 2)
2  4 25	2  4  6 27	2-4-6. ,.2п	22" + 1
464
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
465
2 л 4 1
2602. 2 У -Z 2п н I
л = О
1). 2603. У 4-1 п
X
л =- 1
" 2J
— оо
h < то). 2630. ^(-1)п 1 л - 1
(о
Л
2604. х 4-	(-1)"
л - 2
л X
(л - 1)п
(W
_	2n + 1
< 1). 2605. V (-1)"^-_______
2/1 + 1
п = 0
3
2606. х 4
2
3
з
2607. х -
2
3
1  3 х"
24 5
J3 х^
2-4 5
1
1-3 5..,(2п-1) х2,1 + 1
2’4-6.,2л
л1-3-5...(2ге-1) х2л + 1
(-1)
24-6. ,.2л
2608. £(-1)
Л 1
4 л - 3 2 л
(2л)!
< х < то). 2609. 1 +	(-1)
л = 2
л
( то <х < то), 2610. 8 + 3	( оо < < оо) 2611. 2 +
Л = 1 3
л'
]2631. (-Iftx - 1)" (0 < х < 2). 2632. (л + 1)(х + 1)" (-2 |	п - 0
л = 0
2 х^
 2!
25  З2
2 • 5^'~ +	_[_	1 т 5 ’ 8. ,.(3л - 4)х
2833-3!	23л1-Зя-п!
л
2612. 1
6
Л = 1
( 1
'2Чт1
—Ц 1 хп (-2 < х < 2). 2613. 1 +
3,,+ V
3
4
Л 1
._ 4л
(М < то). 2614. У А—
^4Л + 1
п - 0 ес
1). 2616. У (-1)"	_ _
4-1	(2п + 1)(2п + 1)!
л = О
2п-> 1 X
1),
|2633.	(2’л ’ 1 - 3 л ' Х)(х + 4)" (-6
1 \ •	а = 0
- 1 Л - 1 л
----- X !
п!
X 22-3-1!
о2л- 1. 2л 3 )х
(2а)!
п
72). 2615. In 2 +- У (-1)я  \1 + 2 Л — л
л = 1
2п + 1
; х < оо), 2617. х
+ У е if
Z/ '(2л + 1)л! л = 1
+  1 ' - -х9 + ... 4-
2-9-2!
2х5
+ ~	2621.x -
15
2 + т 2626, Исходя из параметрических уравнений эллипса х =	_ '.
числить длину эллипса и полученное выражение разложить в ряд по степеням е , 2628. х3 - 2хг - 5х - 2 = -78 4 59(х +- 4) - 14(х + 4)2 + (х -i- 4)3 (-то < х < то). 2629. f(x + й) = 5хЯ - 4х2 - Зх + 2 I- (15х2 - 8х - 3)й + (15х - -t)h2 + 5h3
5х4
24
(И < То). 2618.	(|х|«1).2619.х+^х5
Л = 1
1 - 3  5.-.(2//-Г) х4» и + 1__ {|х| < 1} 2620_ х + X 2n(4n+l)/i!
2х‘
15
2
з X
3
Z	2
- ... 2622. е 1-1 +
I 2
4 X
12
хб
45
со
< -2 + 7з ). 2635. е 2
л = 1
1
4
(х-4)2
24
1  3 . (х-4)3
4 6
1  3  5...(2/1-3) (х-4)п
22п
4’ 6-8...2л
С© 2638. | + £ (-1)'
(0 < х
л = 1
26
4"'1
4 X
6
. . 2623.1
+
. 2625. х + х2 + -х3 + ... 3
____= acos t, I/ = 5sin в гл-
/ оЛ1 -2). 2634. у (-1)" ^>МГ
А = 0
(;к + 2)2'1 (|х| < то). 2636.2 + л! J
1-3’5
4-6’8
. (*~4)4
28
3©
+... (0<хС8). 2637. J\-l)
К \
Х ' 4!
л
'	(2га-1)!
Сделать замену
X 1 ( X Ч
2640.	+ - ——
4-
2
А — 1
/
Л* ~ 2J
(2л-1)!
п = 0
1
х - 4
22
" - *х
= t и разложить 1п х по степеням
з
1 - 3 - 5..Д2Л-3) < х у
2  4  6...(2л - 2) VI + ху
Ч . 2641. |В| < ±	. 2642.	< £ - 2643. £ = -
5
Л
il 2/	1 - 3 V2
+ =--- + ------— « 0,523, Чтобы доказать, что ошибка не превышает 0,001,
2 3	2'45
нужно оценить остаток с помощью геометрической прогрессии, превышающей 2	з
X	X
этот остаток. 2644. Два члена, т. е. 1 - -т-, 2645. Два члена, т, е, х —	.
о
со
' 2646. Восемь членов, т, е. 1 + У — . 2647, 99; 999. 2648. 1,92. 2649. |7?| < п!
п - 1
< 0,0003. 2650. 2,087. 2651. [х| < 0,69; |х| < 0,39; |х| < 0,22. 2652. [х| < 0,39;
----0,4931.	2654.0,7468.	2655.0,608.
23  3 3!
2653. i
16 Задачи и упражнения
466
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
2656.0,621.2057.0,2505.2658.0,026.2659.14- V (-1)"—^— (-^<х<^; (2л)!
Л = 1
—со < у < оо). 2660. V (-1)^*	-	 (’°° < х < оо; -оо < у < сю),
2 (2а)!
rt = 1
°°	2	2 2n-1
2661. У (-1)"'1(* +У - (-^<х<^;^»<у<“). 2662.1 + 2 у (у-х)л; Xj	(2л-1)3
n = 1	п = 1
1х - г/! < 1. Указание. -——= -1 + ---------* Воспользоваться геомет-
1	1 + х-у
ее . п п рической прогрессией. 2663. - У *..У- (“1 х < 1; -1 ч у < 1)* Указание:
п
п= 1
2nxl 2rt+l
1 - X ™ у + ху = (1 - х)(1 - у). 2664. V (-1Г*	7-------- (-1 С х < 1; |
& f t* 1 X
д = 0	i
-1 < у < 1). Указание, arctg * +	= arctg х + arctg у (при |х| < 1, |у| < 1). I
1 -ху
2665. f(x + h, у + k) = ах + 2Ъху + су + 2(ах + by)h + 2(bx + cy)k + ah2 4- 2bh 4-
4- ck2. 2666. /(1 4- h, 2 + k) - f(l, 2) = 9A - 21A + ЗЛ2 + 3hk - 12k2 + h3 - 2k3.
2667.1 4-
4-	4- x ^ХУ  + ... 2670. 1 4- x 4- xy 4- ±x2y + ... 2671.	-
2!	3!	2	2
^(Cj J c2) у
я 2^
n = 0
sin(2n + l)x g Q) = <>+£2 S(±Jt) = ^i±£g _ 2672, b a _ 2n+l	2	2	4
2(b-a) cos(2n 4- l)x
71 A (2/14- I)2
DO
+ (д + в) у (~i)
rt = 1
S(±7l) =
t> “ a "1“
n.
co	oo
2673. — + 4 У (-1)" cosrex ; S(±n) = n. 2674. - sh апГ~ + У (aCos nx -
3 x-t „2	к L2a. п2 + пг
- nsin nx)
oo
ct/u_ \	1. ocrrti 2sinan v1 / ч/tnsinnx
£(±л)« ch an. 2675.--------- > (-1) —--------7
71	a2 - n
ft = 1
если a — не целое;
□о
o/-l ч л ocFfxi 2 sin ал Г 1 . v\ 1V1 acosnx sin ax, если a — целое; о(+тп = 0. 2676. ------------------------ — + > (“1) —----------------------
it L2a.	а2_пг
rt = I
если a —
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
467
оо
нецелое; cos ах, если а—целое; £(±л) = cos ап. 2677, 2s*1QTI V (-l)n -1	s*n п * ;
•тт	2	2
,	а + п
эо
Я(±тс)
0. 2678.
2shan Г 1
.2а
л
+
rt
я = 1
асозпх
2	2
а 4- п
; 5(±л)
ch ал.
со
2679. у
п= 1
sinnx
X
со
2680. у
Л = 1
sin(2a - 1)х t
2rt’l

6>^
ч ТС в) —F
2ТЗ
2681. а) 2 у (-1)" ’1 smnx п - 1 Оо
2682. а) У &nsin пх* л = 1
х
б) ~ £
4
л
СО
V1 gos(2n - 1)х ,
л- 1
(2п-1)2
8 ‘
оо
Л cosnx
л = 1
2 П
где b2k
2
1) —;
6
- 1
2)
2л
2k-l
2 Л
12 '
8
n(2k -1)3
оа
2683. а) | у [1
л= 1
ал 1
б) ал
2а
л
л = 1
art 11
-l]cosnx
л . е
2	2
а + п
2684. а)
2 л
бЧ +
2 п
- ПЛ S1H---
2 ------cos
п
пх. 2685. а)
л
rt = 1
л - 1
2
1	Л д-ч ТС ।
’	“ “V 6) т +
/ 1	^1 п sin п х
(-1) е -------
а +п
2 ’
1 пл
1 - cos —
2 .
---------- sin пх; п
« = 1
1 sin(2n - 1)х fi. л _ (2п-1)2 ’	4
-2- у
л
Л =? 1
cos2(2n - 1)х (2п-1)2
оо
• 2686' У ^sin пх- гДе b2k = (-1)* ' 1Л . Ь2к + 1 а л
л = 1
СО
(-1/_____2____- . 2687. 5 V sin£2zi-l)x
n(2fe+l)z Я 4Tt (2п-1)3
2688.
Со
- У<~*> л м
rt = 1
л - 1 п sinnx 4п2-1
2689.
-Г- + л \2,
sinnft
----;-COS ПХ ПП
со
V41 ( sinn/Л2
> -----:— COS ПХ-
nh /
л = 1
2691. 1 -
2
л = 2
(-1)
п - 1 cos пх П2-1
2692. - -л L2.
L<->
п= 1
Л - 1 cos2nx 4п2-1 -
2694. Решение: 1) а2п
л
2 Г
- /(x)cos2nxdx
тс J
о
л
2
2 f
/(x)cos 2пх dx + тс J
о
468
ОТВЕТЫ» РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
к
2 Г	2
d- - /(x)cos 2их dx. Если сделать замену t = - - х в первом интеграле и nJ	я
к 2
f = х - - во втором интеграле, то, воспользовавшись предложенным тожде-л
/л ством л -
+ i) =
Z	\ -Z	Z
легко обнаружить, что а2п — 0 (я *= 0, 1, 2, ...);
тг п	2	тг
2)h = - f /(x)sin 2пх dx =* - f f(x)sin 2пх dx + - f f(x)sin 2nx dx. Та же за-£n	я J	n J	nJ
О	О	ТГ
2
мена,
что и в случае 1), с учетом предложенного тождества /(? + £) == Л *|
\2.	/ А /
приводит к равенствам
д2л = 0 (n = 1, 2, ...). 2695.1 £
оо
4 V1 cos(2n + 1)ях
~ J	/п . 1\2
л “	(2^4-1)
2696. 1 -
ОО
2 5Т» sin2лях
л	п
п = 1
2697.sh I
2
Л - 1
/ПТГХ „„е:„ПЛХ
L cos пл sin л I	I
Л> 2~"2 i + Л Л
2698. — п
со
£(-!)
ОО
2699. а) - V sm2(n^1)nx ; б) г 2700. а) — х n Zj 2л-1	Я
п = 1
00	Sin——
JT 1	+ 1	I
х X (-D	------. б)
п п = 1
оо
cos^”-1)^
Z (2п-1)2
2701. а) Ьд51п ,
Л = 1
£
2
К 8 Г Я	4	1 ,
где 2k+i
4Л б)4г? k ' 3
со
-16 ^(“l)"’1
Л - 1
ЛХ
2
ш с1п(2л + 1)ях
2702. а) V (-1)”-----------Ц— ; в) 1
4 cos(2ft + l)nx 2703 -п\^0	(2ге+1)2		'3
оо
У
2л2 "
П-1
1	2плх
— cos------
2	3
п	°
ОО
cos2nnx
2 л
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
469
Глава IX
2704. Да. 2705. Нет. 2706. Да. 2707. Да. 2708. Да. 2709. а) Да; б) нет. 2710. Да. 2714. у - х/ = 0. 2715. ху' - 2у = 0. 2716. у - 2ху - 0. 2717. х dx + + у dy = 0. 2718. у' - у. 2719. Зу2 х2 - 2хуу'. 2720, хуу'(ху2 + 1) = 1. 2721. у = = xy'ln - . 2722. 2ху" + у' = 0. 2723. у" - у' - 2у = 0. 2724. у" + 4у = 0.
2725. у'" - 2у" + у' = 0. 2726. у" = 0. 2727. у'" = 0. 2728. (1 + у'2)у"' -- Зу'у"2 = 0. 2729. у2 - х2 = 25. 2730. у - хех. 2731. у - -cos х. 2732. у = = 7 (_5е х + Зе1 - 4е21). 2738. 2,593 (точное значение у = е). 2739. 4,780 (точ-6
ное значение у = 3(е - 1)). 2740, 0,946 (точное значение у = 1), 2741,1,826 (точное значение у = ), 2742, ctg2 у — tg£ х 4- С, 2743, х — —; у - О,
2744. х2 + у2 = In Сх2. 2745. у = а + Сх . 2746. tg у = С(1 - е1)3; х = 0.
1 ч- ах
2747, у = Csin х, 2748. 2е^/й = & (1 4- е> 2749, 1 + у2 =	, 2750. у = 1,
1-х
2751, arctg (х 4- у) ~ х 4- С, 2752, 8х + 2у + 1 = 2tg (4х 4- С). 2753, х + 2у 4-
4- 31п |2х 4- 3# - 7| = С. 2754, 5х 4- 1<Я/ + С = 31н |10х - 5у + б|, 2755, р =---
1 - соэф
Г>	2	1	%
или у — 2Сх 4- С , 2756, In р = ---- - In |cos ф[ + С или In |х| —	— = С,
2соэЯф	2х2
С
2757. Прямая у = Сх или гипербола у — —. Отрезок касательной равен
M +	 2758. У2 - х2 = С. 2759. у = CeI/fl. 2760. у2 = 2рх. 2761. у = ах2.
\ I/ /
г
fxdx
J	3
По условию, ------ = - х, Дифференцируя дважды по х, получим диффе-
*	4
[ydx о
ренциальное уравнение. 2762, у2 = - х, 2763. у — 7^ “ х2 4- 21п - ~	~	,
3	х
2764. Пучок прямых у = kx. 2765. Семейство подобных эллипсов 2х2 + + у2 — С2. 2766. Семейство гипербол х2 — у2 — С, 2767. Семейство окружностей х2 + (у - Ь)2 - Ь2, 2768. у = xln - . 2769, у = - - - . 2770. х = Сех/у.
х	х 2
470
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
2771. (х - С)* - у2 - С2; (х - 2)2 - у2 = 4; у = +х. 2772. JUy + In |е/| = С. 2773. y=Qx2- ±-,х = 0. 2774. (х2 + /)3(х + у)2 - С. 2775. у = х ^1-|х . 2776. (х + у - I)3 = С(х - у + 3). 2777. Зх + у + 21п |х + у -	= С.
2778. In |4х + 8у + 5| + 8е/ - 4х = С, 2779, х2 = 1 - 2г/, 2780. Параболоид вращения. Решение. В силу симметрии искомое зеркало является поверхностью вращения. Начало координат помещается в источнике света; ось ОХ — направление пучка лучей. Если касательная в любой точке Л/(х; у) кривой сечения искомой поверхности плоскостью XOY образует с осью ОХ угол ф, а отрезок, соединяющий начало координат с точкой М(х; у), — угол сс, то tg' а = tg- 2ф = ^tgq)
1 - tg Ф
Но tg а =	, tg (р у. Искомое дифференциальное уравнение у - уу2 = 2ху
х
2	2
и его решение у = 2Сх + С . Плоское сечение — парабола. Искомая поверхность — параболоид вращения. 2781. (х - у)2 - Су = 0. 2782. х2 = С(2у + С).
X
2783. (2у2 - х2)3 = Сх2. Использовать, что площадь равна J у dx. 2784. у = Сх -а
- xln |х|. 2785. у - Сх + х2. 2786. у = | х4 + Д . 2787. xjl + y2 + cos у = С.
6	ии2
dx	2	1	е
Уравнение линейно относительно хи — . 2788. х = Су - -. 2789. у = — + di/	ух
+ аЬ е.И , 2790. у = - (х Jl^x2 + arcsin х) . 2791. у =	. 2792. у[х2 +
х	2	yl'X	cosx
+ Сх) = 1. 2793./ = xln -. 2794.x2 = —-—. 2795./(3 + Cecosx) - х.
х	У + Су2
2797. ху = Су2 + а. 2798. у2 4- х 4- ау = 0. 2799. х = yin 2 .2800. - + - = 1. а х у
2	3
2801. х + у2 - Су 4- а2 = 0. 2802. у + ху + у2 = С, 2803. у + ху2 -Г х3 = С.
2804,	- - xV + 2х +	= С. 2805. х2 + / - 2arctg 2 = С, 2806. х2 - у2 -
4	2	3	*	х	*
= С/. 2807.	+ уеу = 2, 2808. In |х| -	= С. 2809. - +	~ С. 2810Д In х +
2	х	у 2	у
+ | у2 = С. 2811. (xsin у + i/cos у - sin у)ех - С. 2812. (х2С2 + 1 - 2Сг/)(х2 +
2	2	2	2	3
+ С - 2С^) 0; особый интеграл х - г/ =0. 2813. Общий интеграл (i/ + С) = х ;
особого интеграла нет.
Z 2
I X
2814. Общий интеграл —
2
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
471
2	2
4- С) = 0; особого интеграла нет. 2815. Общий интеграл у + С = 2Сх;
2	2	1
особый интеграл х - у =0. 2816. у « -cosx ±
2817.
х = sinp 4- Inp, у = psinp + cosp +р + С.
2818.
2S19.f-2р"р+С
У = р2 + 21пр.
Особое решение у
= 0. 2820. 4у = х2 4- 1гф - х| = С +	.
р-х
2821. In Jp2 + y2 + arctg £
2	2
= С, х = In . Особое решение у = е*.
2822. у = С + (х2/С); у =
±2х. 9ЯЯЯ s-lnlpl-arcsinp + C, [у = p+Jl~p2.
2Я2Я \ Х Р 2р 4- 2, ‘ ]у = С(1 + р)ер -р~ + 2.
1//Ч V2 ч
2823. ’"З^-
У - 1(2Ср|я + р!).
Указание. Диффе-
ренциальное уравнение, из которого определяется х как функция от р, а	г5
однородно. 2826. у = Сх 4- С ; у -	. 2827. у = Сх + С; особого решения нет.
4
2828. у - Сх + 71 + С2; х2 + у2 = 1. 2829. у = Сх 4- 1; у2 = 4х. 2830. ху = С. С
2831. Окружность и семейство ее касательных. 2832. Астроида х2^3 4- у2/3 - а2/3, 2833. а) Однородное; у - хщ б) линейное относительно х; х = ни; в) линейное относительно у; у = ии; г) уравнение Бернулли; у = ии; д) с разделяющимися переменными; е) уравнение Клеро; привести к виду у — ху' ± Jy^ ; ж) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х; з) уравнение Бернулли; у “ ии; и) приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными; и - х 4 у; к) уравнение Лагранжа; дифференцировать по х; л) уравнение Бернулли относительно х; х = uv; м) уравнение в полных дифференциалах; н) линейное; у = uv; о) уравнение Бернулли; у = ии. 2834. a) sin = Чп (х| 4- С;
б)х = у -е^ \ 2835.x2+ / = <?/ 2836. у ~	. 2837. ху( С - bi? х] = 1.
х2 + С	\	2	)
2838. у = Сх 4 С In С; особое решение у = -е ^ +	2839, у = Сх + J-aC;
особое решение у = ~ . 2840. Зу 4- In —-— = С. 2841. i еах - е5* - arctg у -
4х	(Af + 1)0	2
’ ’In (1 + у2) = С. 2842. у = х2(1 + CeVz). 2843. х у2(С - е-¥). 2844. у =-Li
= Се-а1п 1 ! sin х - 1. 2845. у ах + с71 - х2.2846. у = -Аг (х + In И + С). X 4-1
472
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
2
2847. х = Сеяшу - 2а(1 + sin у). 2848.	+ Зх + у + In [(х - 3)10[г/ ” if] = С.
£
2849. 2arctg = jn Сх. 2850. х2 = 1 - - + Се~2/у. 2851. х3 2х	у
= Се* - у - 2.
2852.	+ In )х| = С. 2853. у = х arcsin (Сх). 2854. у2 =
п	О
Се + sin х + 5
2857.pt/ = С(р - 1). 2858. / = Се* - у
+ cos х. 2855. ху = С(у - 1), ху = С(у - 1). 2856. х = Сеу - - (sin у + cos у). 5	£
-3-у- А . 2859. (ху + С) х
О
3 3 2 ~4У
х
У
У(х2у + С)
0. 2860. Jx2 + y
С. 2861. хеу - у2 = С.
2862, S
с 71
Х 2
Р _____________
у = 2рх + УР+р2.
+р2
2р
1
о 2
2р
2863. у = хеСх. 2864. 2ех - /
= Су2. 2865. In [у + 2| + 2arctg = С. X — О
2866. у2 + С^'2 + 1 -2 = 0.
2867. х2у = Сеу/а. 2868. х + - = С. 2869. у =
У
С - х4
-----------. 2870. у = Csin х - а.
2	3/2	*
4(х -1)
2871. у
t X !tb	22	А Л
--------. 2872. (у - Сх)(р - х + С) = 0. 2873. у = + х2
у2 х - / = С. 2875. р2
,2 л 3
+ 4у = Су .
2876. у
- 1, 2877, у = х. 2878. у = 2. 2879. у - 0. 2880. у
= - (sin х +
2 а
1
С2 ’
У= 2
2
+ cos х). 2881. у = | (2х2 + 2х + 1). 2882. у = е х + 2х - 2. 2883. а) у = х; б) у = Сх, где С произвольно; точка (0; 0) — особая точка дифференциального уравнения. 2884. а) у2 = х; б) у2 = 2рх\ (0; 0)— особая точка. 2885. а) (х - С)2 + у2 = С2; б) нет решения; в) х2 + у2 — х; (0; 0) — особая точка. 2886. у = е/у. 2887. у = (72а ± 4% Л 2888. у2 = 1 - е-1. 2889. г = Се“ф.
2 Надо перейти к полярным координатам. 2890. Зр 2892. х2 + (у - Ь)2 = Ь2. 2893. у2 + 16х
2	2	2
или окружности х + р = С , 2895. у
- 2х = 0. 2891. г = &ср.
= 0. 2894. Гиперболы у2 - х2 ~ С
1 I	-St
= - (е + е ). Использовать, что
площадь равна I л/ dх, а длина дуги
------	2
1 + /2 dx. 2896. х = +Су.
о
о
ОТВЕТЫ, PEU ГЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
473
2897, г/2 =* 4С(С + а - зг). 2898, Пользоваться тем, что равнодействующая силы тяжести и центробежной силы нормальна к поверхности» Принимая ось вращения за ось (ОУ) и обозначая через со угловую скорость вращения, получаем для плоского осевого сечения искомой поверхности
дифференциальное уравнение = it) я, 2899, р = 10  е . Давление на ах
каждом уровне вертикального воздушного столба можно считать обусловлен’ ным только давлением вышележащих слоев» Использовать закон Бойля—Мариотта, по которому плотность пропорциональна давлению. Искомое дифференци-
альное уравнение dp = -kp d/u 2900» s = - klw. Указание» Уравнение ds = kw x
x~
dx. 2901. s = (p + j w)kl. 2902. T = a + (To - a)e
, k — постоянный napa-
метр. 2903. Через час. 2904, oXt) = 100 - об/мин, 2905. За 100 лет распадется
\5/
4,2% начального количества Qo. Указание: уравнение
о	/ I >2	1
2906. t ~ 35,2 с. Указание: уравнение n(h - 2h) dh = л( — j и dt. 2907. ^24
Указание: уравнение изменения интенсивности света 7, проходящего через слой
ft
воды, имеет вид dl = -kl dft, откуда 7 = /0
(Г| ,гдв7в
— интенсивность света на
поверхности воды. 2908. и —* -— при t —* сю (& — коэффициент пропорци-V k
ональности), Указание: уравнение
du	,2
m— = mg - ku ; и dt
2909. 18,1 кг. Указание: уравнение
— = k(-- *— i 2910 i =	&
dt k\3 300?2		^ + LV
я
xL(f?sincot - Lwcos cot) 4 Lcoe L
. Указание: уравнение /?/
di dt
, .	2	/	Ci*\2
= E sin cot» 2911. у = x In jjtr| 4- CjX +	2912. 1 4- C^y ”	4	, 2913, у -
= In |e2jc + Cj - X + сг. 2914. у - С, + C2ln |x|. 2915. у =	. 2916. у =
= ±JCyx + C2 . 2917. у = (1 + С2 )ln |x + CJ - CjX + C2. 2918. (x - Cj) =
i > У ~
= a In sin^------
a
. 2919. у - - (In |x|)2 + CJn |x| + C2. 2920. x = /- In 2	C i

2’
474
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
2	2 . ~2	, X
1-х 4- Cj arcsin —
Ci
+ с2,
2923, у = (С\ех + 1)х 4- Сг 2924, у = (CLx - С2 )eC1 + С2; у = | х2 + С
у^С. 2921. р = Схе Е
+ ^.2922.j^±HxJc * L
С?
(особое решение), 2925. у — Сгх(х - Cj) 4- С2; у -
4- С (особое решение).
3
3	2
2926. у -	~ + С,х1пх + С2х + С3. 2927. i/ = sin^ + х) + Сгх + С,.
1Z 2
2928. у = х3 + Зх. 2929. у = | (х2 + 1). 2930.1/ = х + 1. 2931.1/ = Сх2.
2932. у = С.1 + Сае ; у = С. 2933. х = С. + In у Cg . 2934. х = С. -~ х
Ч-С^	1 У + С2	С2
х In
У
У + С2
. 2935. х = С?У + у In у + Сг. 2936. 2у2 - 4х2 = 1. 2937. у = х +
1.
2	2	2	2
2938. у = х ~±- - In |х| или у = 1~х	+ S-p In |х|. 2939. у - 1 х2.
2(ег-1)	4	2(е2 + 1)	4	2
2940. у=-Х2. 2941. у - 2ех. 2942. х - (у + 2)г/3. 2943. у = е’. 2944. у2 “ 2	2
=	+ _е_ . 2945. у = x3/Z - |. 2946. у =	. 2947. у = sec2 х.
е-1	1-е	3	3	2 + е3*
2	ч	1	2
2948, у = sin X 4- 1. 2949. у = — - - - 2950. х *= -i е”у . 2951, Решения нет. *	4	2	2
2	2
2952. у = е. 2953. у = 2 In |х| - - . 2954. у - (.Х + С1.—1 + 1 с. (х + 1)3/2 4- С2. х	2	3
Особое решение у — С. 2955. у = С
2
4- (С2 “ С2 )х 4- Сг Особое решение
1 2
у (х+1) + с 2956< у = -L (Ct + X)4 + С2Х + сз. 2957. у = С^ + Сге1Х ; 12	12
у = 1 ех; у - -1 4- е х; особое решение у =  - - . 2958. Окружности,
о	о и	X — Хп
2959. (х - Сг) - С2у + kC2 =0. 2960* Цепная линия у = a ch —-— . Окруж-а
2	2	2	2	2
кость (х - х0) 4-т/ = а . 2961. Парабола (х - х0) — 2ау - а . Циклоида
х - х0 *= a(t sin f), у == а(1
а и + С .j
cos t). 2962. е - sec (ах -k CJ,
2963. Парабола. 2964. у = ея 2 Ч
.	1 Н я . /ч	ъ	г
4- —т---е 4- Со или и = а сп ------- 4- С9Т
2С, q	2 v а 2
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
475
где Н — постоянное горизонтальное натяжение, а — = а. Указание: диффе-Q
ренциальное уравнение	1 + f 4^1 • 2965, Уравнение движения
dx2	W	df2
et2
= #(sin a - ц cos a). Закон движения я (sin a - p cos ct) 2966, s =
m , v f j л?	d2s	, (dsV
= — In ch H g— , Указание: уравнение движения m—- « mg - # — .
k	tn)	W
2967, Через 63 с. Указание: уравнение движения лодки ЗООх" = -10х', 2968, а) Нет; б) да; в) да; г) да; д) нет; у) нет; ж) нет; з) да, 2969, а) у" + у' - 0; б) у" - 2у 4- у = 0; в) х2у" ~ 2ху + 2у = 0; г) у'” - Зу” 4- 41/ - 2у = О, 2970, у ~ Зх - 5х2 + 2х3, 2971, у = i (С2 sin х + С2 cos х), Применить подстановку Л-
у = у^. 2972, у = CjX + С21п х, 2973, у = А 4- Вх2 4- х3, 2974, у = — + Ах + - .
3	х
Частные решения однородного уравнения у.^ = х, у2 = 1/х, Методом
з вариации произвольных постоянных находим: С, = - +А;С^ = -%- 4- В.
2 z 6
2975, у = А 4- В sin х + С cos х 4- In |sec х 4- tg х] 4- sin х In jcos x| - x cos x, 2976. у = Cje21 + C2e3jc. 2977. у = C^-31 + C2e3x. 2978. у = Cj + С2е\ 2979. у = = CL cos x + C2 sin x. 2980. у = e^fCj cos x + C2 sin x). 2981. у = e-2l(C1 cos 3x + + C2 sin 3x). 2982. у = (Cr + C2x)e-1. 2983. у = e^e*"72 + C2e~lj2 ). 2984. Если k > 0, у = Сгех^к +- С2е~х'^‘; если k < 0, у = Сх cos J~kx + C2sin J~kx.
2985. у = e 1/2 „	“T1 . 2986. у = ex/6f С cos х + C.,sin zl .
^€\e +С2е J s I 1	6	2	6	)
2987. у = 4c1 + e4jr. 2988. у = e“x. 2989. у - sin 2x. 2990. у = 1. 2991. у - a ch - . a
2992, у = 0, 2993, у = C sin лх, 2994, а) хс2х(Ах2 + Вх + С); б) A cos 2х + В sin 2х; в) A cos 2х 4- В sin 2х 4 Сх2е2*; г) е*(А сов х + В sin х); д) е*(Ах2 + Вх + С) 4-4- xca*(Dx + В); е) xeJ[(Ax2 4- Вх + С) cos 2х + (Dx2 4- Ex 4- F) sin 2х]. 2995,^= (Ст 4- C2x)e2r + |(2х2 + 4х + 3). 2996, у = e^fCjCOs 4-8	\	2
+ C2sin ) + х3 + Зх2. 2997. у = (Ц + С2х)е' * 4- 1 е2г. 2998. у =	+
2 /	9
+ С„е‘х +- 2, 2999, у = С,е* + СРе * 4- - хе\ 3000, и = С,cos х 4 CLsin х 4- i х sin х. 1 z 2	-	1	j 2
476
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
3001. у = С\е* + с2е 2j - | (3 sin 2х + cos 2х). 3002. у = С^е2* + С2е 31 + О
+	- уй е21- ЗООЗ-У = <С1 + <V)eX + соэ* + т е’ “ Й е * 3004‘у = С1+
\_J-v лО/	£	* о
+ С3е-1 + ^х + ^-(2cos2x - sin 2х). 3005. у = e^CjCOS 2х + C2sin 2х) + Z xIU
4 j e*sin 2х* 3006. у = cos 2х 4 (sin я 4- sin 2х), 3007. 1) х = cos cot 4
4 С2 sin cot 4- —------ sin pt; 2) x = Ct cos cot 4 C2 sin cot - — tcos cot. 3008. у =
(0 -p
2 з
^e3* 4 C2e^ - re4x. 3009. у = (\ 4 C2e* + j - ~ “ j - ЗОЮ. у = ех(Сг + 4 C2X 4 x\ зон. у = Cj 4 с2е^ 4 i xe2x - | x. 3012. у C^-2* 4 C2e4r ~ ~ e* 4 4- - (3 cos 2x + sin 2x). 3013. у = С, + С„е-1 + e + | x2 - 5x. 3014. у = C. 4- C2e -- Зхе1 - x - x2. 3015. у = f Сг + C2x 4- | x2') e-1 4- ~ e1. 3016. у = (C\ cos Зх +
+ C2 sin 3x)/ 4- -L (sin 3x + 6cos 3x) +	. 3017. у = (Cj 4- C2x 4- x2)e2x =	.
37	У	о
1	2	1
3018. у = С. 4- C„e3jt - 4 (cos x 4- 3sin x) - 4 - £ . 3019. у = A e2l(4x 4 1)-2	10	ЬУ	о
-	- — 4 - . 3020. ц = C.e* 4 CLe * - x sin x - cos r. 3021. у = C.e 2x 4	-
6	4	4	1	1	2	1	2
- — (sin 2x 4 2 cos 2x). 3022. у = Ct cos 2x 4 C„ sin 2x ~ - (3 sin 2x 4 2 cos 2x) 4 20	4
4 i . 3023. у = eJC(C1 cos x 4 C2 sin x ~ 2x cos x). 3024. у = Crex 4 C2e x 4 1	9	1.1
4 i (x - x)e . 3023, у =	C. cos 3x	4 CQ sin 3x 4 -7 x sin	x - —	cos x 4
4	1	3	4	16
4- 4(3x - l)e4 3026. у	- Cje31 4-	C2e~x + |(2 - 3x) 4-	4(2x2	- x)e3x.
3027. у = C, 4- C„e21 - 2xe* - - x -	3028. у = 4, 4- C„x 4-	1 e21.
a	44	V A b /
3029. у = C.e“3* 4 C„ex - i (2x2 4- x)e 314-	(2x2 + 3x)e*. 3030. у = Сг cos x 4-
1	£	8	16
x	x2
4 C9 sin x 4 - cos x 4 —
2	4	4
sin x--cos 3x 4 — sin Зх. Указание: произведение
—X-/2	x */2
косинусов преобразовать к сумме косинусов. 3031. у = Схе 4 С2е 4
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
477
+ re1 sin х 4- е* cos х. 3032. у = CL cos х + С2 sin х + cos х In
3033* у = Ct cos х + С£ sin х + sin х • In
tg , 3034* у = (Ct + С2х)ех 4- хе* In |х|.
3035. у = (Cj + С£х)е х + хе * In ]лт|- 3036. у = Cj cos х 4- С2 sin х + х sin х + 4 cos х in |cos х|. 3037. у = cos х + С? sin х - х cos х 4- sin х In ^sin х|.
3038. а) у - С^е* 4- С£е х + (е* + е *)arctg е*; б) у =	+ С2е х& 4- ех2.
d2x
3040. Уравнение движения т—- = mg — Л (х 4- а), где а соответствует dt2
положению равновесия; Т = 2 л — * 3041. Если х отсчитывать от положения N k
покоя груза, то nix" - mg - &(х0 4- х - у - Г)? где х0 — расстояние точки покоя груза от начальной точки подвеса пружины, I — длина пружины ci2
в состоянии покоя; поэтому fe(xn — £) = mg, следовательно, m—- = —k(x - у), dt2
где у “ Asincot. 3042.	= k(b - х) - k(b 4- х); х = с cos f t f^V
dt2	V
3043. 6	= gs; t = Д In (6 + 735 ). 3044. a) r = £ (еш£ + е’“'); б) г =
dt2	2
2
^0 , Lof -cots, v	, ,	d Г 2
= “ (e - e ). Указание: дифференциальное уравнение движения —- -ш г.
2®	dt2
3045. у = С, + СУ + С.-У2х. 3046. у = С, + С7е~х + Счег. 3047. у = С.е’* + **	1	2	о	3	1	2	3	27	1
+ el/2f С» cos х + С, sin А 3048. у = С, + С9х + C„el/2 + СухЛ.
3049. у = ех(Сг 4 С2х + С3х2). 3050* у = e^fCj cos х 4- С2 sin х) 4- е *(С3 cos х 4 4- С4 sin г), 3051. у = (С1 4- (?2x)cos 2х 4- (£?3 4- C4x)sin 2х. 3052. у —	4- С2& * 4-
x/2fc3cos ^х + C4sin ^xl 3053. у = (С\ + С£х)е х 4- (Сд + С4х)е*. \	2	2 J
3054. у = С.еах 4- С9е ах +	С, cos	ах 4- С. sin	ах. 3055. у - (С.	+ С9х)е^х	+
1	Z	о	4	'	1 Z
+ (С3 + с4л:)е^х. 3056.^ = ct + czx + С3 cos ах + С4 sin ах. 3057* у ~
= Сг 4- С2х 4’ (С3 4- С4х)е *. 3058. у = (Сх + C2x)cos х + (Сд 4- C4x)sin х.
3059. у = е Х(С, + С9х + ... + Схп 1). 3060. у = С. + С„х + -L	£г	99	1	j-a
С3 +	+ 7 X
3061. у = Cj + С2х 4 12х2 + Зх3 + A f 4. Xs + (С3 + с4х)еж. 3062. у = С У + ь	ZU
478
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
-г е	cos ^х 4 CoSin
I 2	2	3	2
•э	О
х - 5. 3063. # = С, 4 С9х 4 С~х 4
1	Z	о
-t- Се * 4 	 (4 cos 4х - sin 4х). 3064. у = С.е 1 4 С3 + С3х + - х2 - х3 4
1088	2	3
1	1	I f 3	1 5'''| ri /4ft С?	Л ~I л	। л  I	% ( X ЗА
4 — г	4	е -х- — . 3065. и	- С.е	4 С9 cos	х + С9 sm	х 4-	е 7 ~ -	.
12	12	4 7	1	2	3	<4 8J
3066. у = Су + С2 cos х 4- С3 sin х 4 sec х 4 cos х In |cos х| ~ tg х sin х 4 х sin х.
। 1
х 4 — sin.
а/З
х > 0. 3069. у = С1х3 4 — . 3070. у = CL cos (2 In х) + С2 sin (2 In х).
3067. у - е
л cos 2
X ) 4 X - 2. 3068. у ~ (С. 4 С9 In х)- , 2 У	1	2 х
с
3071. у = С.х + С,х2 + С,х3. 3072. у = С. + С, (Зх + 2)’4'3. 3073. у = С.х2 + — .
3	1	2	J	i6 7 1	2 4	'	г 1	х
3074. у — Су cos (In х) 4- С2 sin (In х), 3075. у = С\х3 + С2х2 4- х. 3076. у = - (х + 1)2[С1 + с2 In (х + 1)] + (х + I)3. 3077. у = x(ln х + In2 х). 3078. у = = С2 cos х 4 С2 sin х,г = С2 cos х - Сг sin х. 3079. у = е I(Cr1 cos х 4 С2 sin х), г = -е г[(С2 - 2C1)cos х - (Сх 4 2C2)sin х]. 3080. у =	-	С2 - CjX)e 2\
5
г = (CjX + Са)е 4 3081. х = С/ + е i/2
Л « .
, у = CjO +
С, cos — i + С, sin
2	2	3	2
.V2f с37з-с2	уз с27з + с3 j 7з \
I 2	2	2	2 )
2 = Ce4e-,/2f~C^~^x
1 к 2
х cos — i +
2
sin t V 3082. х - С.е f 4 С,е2\ у = С.е f + С9е2', о j	1	2^3	d
z = -(С. + С,)е ' + c,e2t. 3083. у = С, + С„с2х - - (х2 + х), z - С,е2;г - С. +
1	9
+ (х - х - 1). 3084. у = С1 4 С2х 4 2 sin ху z = -2С1 - С2(2х 4 1) - 3 sin х -
- 2 cos х. 3085. у — (С2 - 2Cj - 2С2х)е г - 6х 4 14, z = (Ст 4 Сйх)е х 4 5х - 9; С\ = 9, С2 = 4, у - 14(1 - е-х) - 2х(3 4 4е-х), z = -9(1 - е х) 4 х(5 4 4е-ж). 3086. х = 10e2f - 8e3f - е' 4 6t - 1; I/ = -20e2f 4 8е3' 4 Зе' 4 12t 4 10. 3087.# = -2Cl z =	, 3088*. a) +f = Cp * = C3;
(C2-x)2	c2“*	x2	У
6) In Jx2 4 y2 = arctg 4 Ct, z — = C9. Интегрируя однородное уравнение x 1	2 z
Vx 4#
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
479
dx dx	v	t / 2 L 2	. Ц . ~ ТУ
---- =-----, находим первый интеграл In *jx + у = arctg + Ст. Далее, х - у х + у	х1
«	dz xdx
пользуясь свойствами производных пропорций, имеем — = ---------- =
2 х(Х-у)
_ vdy xdx + vdl/ ~	, 2 1 / 2 . 2Ч . , -,2
“ у ч - —-— Отсюда In z = In (х + v } + In Со и, следовательно, У(* + У) х2 + и2
= С5; в) х + у + z — 0, х2 + у2 + х2 = 6. Указание: применяя свойства
J 2	£
+ У
производных пропорций, имеем	+ dz .
у - z z - х х - у	О
отсюда dx + dy + dz = 0 и, следовательно, х + у + z = Сг Аналогично,
xdx	ydy zdz xdx+ydy + zdz , . , . , Л
—------ - / * ч = —------- = = -----; x dx + у dy + z dz = 0
x(y-z) y(z-x) z(x-y)	0
2	2	2	2
их + y 4- z = С , Таким образом, интегральные кривые — окружности
X + у + z — Сг, х + у2 4- z = Сг Из начальных условий х = 1, у = 1,
С 2
х = ™2 будем иметь Ct = О, С2 - 6. 3089. у = С\х 4- —2 -	(3 In2 х - 2 In х),
х 18
z = 1 - 2С,х +	+ £ (3 In2 х + Inх - 1). 3090. у = С,е1^ + С„е-Ж^ + С, cos х +
Z (j	1	л	и
X *
xJ2	J2	О	1
+ С4 sin х 4- е* - 2х, z = -С.ех% ™ С9е~*--------------------cos х - — sin х - ~ е* + х,
**	-1	*	л	Л	О
3091.x -
u0mcosa т'
1 хе
& V >
~ (fcuhsin а + rng) 1-е
А2	<
mgt
У
m
Решение: т~ * =-ku ;т	= ~kv - mg при начальных условиях: хл — у = О,
л I	* л /	*	и и
уго = cos = ро S^n а ПРИ f = Интегрируя, получим: = vQ cos cte m ,
Г m	k	VnJm b
kv + mg = sin a + mg)e . 3092, x ~ a cos -— ft у = -5-— sin -f,
Лп k Jm
2	,22
X к U
— + —« 1, Указание: дифференциальные уравнения движения:
a
- -A2x;	= -k^y. 3093. у = -2 - 2x - x2. 3094. у = fy0 + 7] e2{l’ n-
dt	dt2
1 v	, 1	1	-	1 j	1	2 1	1 3	.	9 4,21	5	ОЛП£> 1 3
- - x	+ -	. 3095. у =	-	+	- x	- x 4-	—x	-t-	— x + -— x ...	3096. у = - x -
2	4	2	4	8	16	32	320	y 3
1.0	234
1	,	2	11 оплгт	, X । X , X ,
”^9X + 7~Tl~27 X --309<.^x+— +— 4	ряд сходится
480
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
при -1 < х 1. 3098. у = х " —— + —— 	+ ——- + ...; ряд сходится
<1£)2 2	(21) 3	(3!) -4
при --оо < х < 4-оо, Использовать метод неопределенных коэффициентов.
3099.	у = 1 - —j х3 4-	- х6 - - 5 - ? + -»; ряд сходится при < х < +00.
и ।	U 	W 
3100.	у = —ПЛ „ Использовать метод неопределенных коэффициентов, х
2	4	6
3101.	у = 1 - ~ +  *--------- Х - 4- ...; ряд сходится при ]х| < +ОО.
2	2 4	2 -4<6
Использовать метод неопределенных коэффициентов, 3102.x = а
2!
4-	— t4	- —	t6 + —	t8 - Y	3103. и = A cos sin ~ .	Использовать
4!	61	8!	)	II
условия: u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, и(х, 0) = A sin , du С*, 0) = q I dt
21 х1 1	(2A + l)Trat (2fc + l)rrx тл rt
3104. и  --- у ---------- sin --------- sin 1-----ь— . Использовать
тЛ (2k+l)2	1	1
условия: u(0, t) - 0, u(t, i) - 0, u(x, 0) = 0, ды(х, = 1, 3105. и = dt
8/i
2 71
sin
nn	nnat
— cos------- sm
2 t
. Использовать z
dw(x, 0)
условия: ———-
dt
= 0,
71 = J
2 П
u(0, t)
0, u(lt t) - 0, u(x, 0) =
—— для 0 < x < 1/2,
< I
2^(1 - (x/0) для 1/2 < x < L
3106. u = X1 Ancos + l)o?tt sjn (2n + 1)лх , коэффициенты An = 21	2 /
n = 0
I	tt
= - f - sin + ^х = .—8( 1)— . Использовать условия: u(0> t) = 0, J	(2n + 1)"тг2
OQ
du/’	- 0, u(x, 0) = - , du[x.’Q = 0. 3107. и = ~ V -4- (1 - cos nn) x
dx	/ dt	ЛшЛ n3
n - 1 а л n g
x sin e 100 . Использовать условия: u(0, t) = 0, u(100, t) = 0, u(x, 0) = = 0,01x(100 - x).
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
481
Глава X
3108. а) < Г; < 0,0023%; б) < 1мм; < 0,26%; в) < 1г; < 0,0016%. 3109. а) < 0,05 < 0,021%; б) < 0,0005; С 1,45%; в) 0,005; < 0,16%. 3110* а) 2 знака; 48  103 или 49  103, так как число заключено между 47 877 и 48 845; б) 2 знака; 15; в) 1 знак; 6  102. Практически результат следует писать в виде (5,9 ± 0,1)' 102. 3111. а) 29,5; б) 1,6  102; в) 43,2. 3112. а) 84,2; б) 18,5 или 18,47 ± 0,01; в) результат вычитания не имеет верных знаков, так как разность равна одной сотой при возможном значении абсолютной погрешности в одну сотую. 3113**(1,8 ± 0,3) см . Воспользоваться формулой приращения площади квадрата. 3114. а) 30,0 ± 0,2; 6)43,7 ± 0,1; в) 0,3 + 0,1. 3115, (19,9 ± 0,1) м2, 3116, а) 1,1295 ± 0,0002; б) 0,120 + 0,006; в) частное может колебаться между 48 и 62. Следовательно, в записи частного нельзя считать достоверным ни один десятичный знак. 3117.0,480. Последняя цифра может колебаться на 1. 3118. а) 0,1729; б) 277 * 10 ; в) 2. 3119. (2,05 ± 0,01) * 103 см2. 3120. а) 1,648; б) 4,025 ± 0,001; в) 9,006 ± 0,003. 3121.4,01'103 см2. Абсолютная погрешность 6,5 см2. Относительная погрешность 0,16%. 3122. Катет равен (13,8 ± 0,2) см; sin <х = 0,44 ± 0,01; а = 26°15' ± 35'. 3123. (2,7 ± 0,1) г/см3. 3124. 0,27 А. 3125, Длину маятника следует измерить с точностью до 0,3 см; числа я и q взять с тремя знаками (по принципу равных влияний). 3126. Радиусы и образующую измерить с относительной погрешностью 1/300. Число л взять с тремя знаками (по принципу равных влияний). 3127. Величину I измерить с точностью 0,2%, а з измерить с точностью 0,7% (по принципу равных влияний).
3128.
X	У	Лу	АЕ у	А3 А У	У	.5 л У
1	3	7	-2	-6	14	-23
2	10	5	-8	8	-9	
3	15	-3	0	’1		
4	12	-3	-1			
5	9	-4				
6	5					
3129.
X	У	Ду		* 3 Д У
1	-4	-12	32	48
3	-16	20	80	48
5	4	100	128	48
7	104	228	176	
9	332	404		
11	736			
482
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
3130,
X	У		Д2 у	. з Л У	А4 У
0	0	-4	-42	-24	24
1	-4	-46	-66	0	24
2	-50	-112	-66	24	24
3	-162	-178	-42	48	24
4	-340	-220	6	72	24
5	-560	-214	78	96	24
6	-774	-136	174	120	24
7	-910	38	294	144	
8	-872	332	438		
9	“540	770			
10	230				
Указание, Вычислить первые пять значений у и, получив Д4 р0 = 24, повторить число 24 по всему столбцу четвертых разностей. После этого остальная часть таблицы заполняется с помощью действия сложения (двигаясь справа налево),
3131, а) 0,211; 0,389; 0,490; 0,660; 6) 0,229; 0,399; 0,491; 0,664. 3132.0,1822; 0,1993; 0,2165; 0,2334; 0,2503. 3133.1 + я + х2 + х3. 0104	1	4	11 3 . 65 2	85	. о оо	к к лп
3134, ,^77^' - Л + 9ЯХ - —x + 8;i/ = 22 при х - 5,5; у = 20 при
х ~ 5,2. При вычислении х для у = 20 принять уи = 11. 3135. Интерполирующий многочлен у = х2 - 10х + 1; у = 1 при х = 0. 3136. 158 Н (приближенно). 3137. a) j/(0,5) = -1, у(2) = 11; б) у (0,5) - -15/16, у(2) = -3. 3138.-1,325. 3139.1,01. 3140.-1,86; -*0,25; 2,11. 3141.2,09. 3142.2,45; 0,019. 3143. 0,31; 4. 3144. 2,506. 3145. 0,02. 3146. 0,24. 3147. 1,27. 3148. -1,88; 0,35; 1,53. 3149.1,84.3150.1,31;-0,67. 3151. 7,13.3152.0,165.3153. ±1,73 и 0. 3154. 1,72. 3155. 1,38. 3156.x - 0,83; у - 0,56; х = -0,83; у = -0,56. 3157. х — 1,67; у = 1,22.3158. 4,493, 3159. ±1,1997. 3160. По формуле трапеций 11,625; по формуле Симпсона 11,417. 3161. -0,995; -1; 0,005; 0,5%; Д = 0,005. 3162.0,3068; Д = 1,3 • 10“5. 3163.0,69. 3164.0,79. 3165.0,84. 3166.0,28. 3167.0,10. 3168.1,61. 3169.1,85. 3170.0,09. 3171.0,67. 3172.0,75. 3173. 0,79. 3174. 4,93, 3175. 1,29. Указание. Воспользоваться параметрическими уравнениями эллипсах = cos i, у - 0,6222 sin t и преобразовать формулу
Я/2
длины дуги к виду J - e^cos2 t * d£, где е — эксцентриситет эллипса, о
3	3	7	3	7 п 11	15
л 1 гуд . /	_ X	_ X I X	/•. X . . X । 2 X	. х
3176. i/i(х) —	, 1/о(х) — — 4- -— , wr»(x) — —г 4- + — 4 ----- + -------,
1	3	2	3	63	3	3	63	2079	59535
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
483
3177. У1(х) =	- х + 1, у2(х) =	х + 1, у3(х) =	-
Y3 ?	7х3	2
- х + 1; зЛх) = Зх - 2, 2„(х) = ?- - 2х + Зх - 2, z,(x) = ~ - 2xz + Зх - 2, 1	6	° о
3	3	5
3178. </}(х) = х, у2(х) = х -	у3(х) - х -	3179.1/(1) = 3,36.
у	V X £ \J
3180.1/(2) = 0,80. 3181. у( 1) = 3,72; z(l) = 2,72. 3182. у = 1,80. 3183. 3,15. 3184. 0,14. 3185. у(0,5) = 3,15; г(0,5) = -3,15. 3186. у(0,5) = 0,55; z(0,5) = = - 0,18. 3187. 1,16. 3188. 0,87. 3189. х(п) = 3,58; х'(Ю = 0,79. 3190. 429 + + 1739 cos х - 1037 sin х - 6321 cos 2х + 1263 sin 2х - 1242 cos Зх - 33 sin Зх. 3191. 6,49 - 1,96 cos х + 2,14 sin х - 1,68 cos 2х + 0,53 sin 2х - 1,13 cos Зх + + 0,04 sin Зх. 3192.0,960 + 0,851 cos х + 0,915 sinx + 0,542 cos 2х + + 0,620 sin 2x + 0,271 cos 3x + 0,100 sin 3x. 3193. a) 0,608 sin x + 0,076 sin 2x + + 0,022 sin 3x; 6) 0,338 + 0,414 cos x + 0,111 cos 2x + 0,056 cos 3x.
ПРИЛОЖЕНИЯ
L Греческий алфавит
А а	— альфа	Нп	— эта	Nv	— ню	Тт	— тау
в₽	— бега	00	— тэта	М	— КСИ	Y 1>	— ипсилон
Гу	— гамма	IX	— йота	Оо	— омикрон	Ф <р	— фи
дз	— дельта	Кх	— каппа	П л	— пи	XX	— хи
Ее	— эпсилон	A X	— лямбда	Рр	— ро		— пси
z?	— дзета	Мр	— мю	хо	— сигма	Йш	— омега
II. Некоторые постоянные
Величина	я	1g я	Величина	X	1g JC
Л	3,14159	0,49715	1/е	0,36788	1,56571
2я	6,28318	0,79918	2 е	7,38906	0,86859
п/2	1,57080	0,19612	л/ё	1,64872	0,21715
я/4	0,78540	1,89509	Уе	1,39561	0,14476
1/л	0,31831	1,50285	М = 1g е	0,43429	1,63778
2 л	9,86960	0,99430	Т7 = ЬЮ м	2,30258	0,36222
Tit	1,77245	0,24857	1 радиан	57'17'45"	
	1,46459	0,16572	аге Iе	0,01745	2,24188
е	2,71828	0,43429	8	9,81	0,99167
При решении задач наряду с данными таблиц II—V можно использовать новое пособие: А. А* Рывкин. Шестизначные математические таблицы. — М.: Астрель, 2000.
ПРИЛОЖЕНИЯ
485
IIL Обратные величины, степени, корни, логарифмы
X	1/х	2 X	3 X	Тх	J10X		1/1 Ох	Vwox	1g X (мантиссы)	In X
1,0	1,000	1,000	1,000	1,000	3,162	1,000	2,154	4,642	0,000	0,0000
1,1	0,909	1,210	1,331	1,049	3,317	1,032	2,224	4,791	0414	0,0953
1,2	0,833	1,440	1,728	1,095	3,464	1,063	2,289	4,932	0792	0,1823
1,3	0,769	1,690	2,197	1,140	3,606	1,091	2,351	5,066	1139	0,2624
1,4	0,714	1,960	2,744	1,183	3,742	1,119	2,410	5,192	1461	0,3365
1,5	0,667	2,250	3,375	1,225	3,873	1,145	2,466	5,313	1761	0,4055
1,6	0,625	2,560	4,096	1,265	4,000	1,170	2,520	5,429	2041	0,4700
1,7	0,588	2,890	4,913	1,304	4,123	1,193	2,571	5,540	2304	0,5306
1,8	0,556	3,240	5,832	1,342	4,243	1,216	2,621	5,646	2553	0,5878
1,9	0,526	3,610	6,859	1,378	4,359	1,239	2,668	5,749	2788	0,6419
2,0	0,500	4,000	8,000	1,414	4,472	1,260	2,714	5,848	ЗОЮ	0,6931
2Д	0,476	4,410	9,261	1,449	4,583	1,281	2,759	5,944	3222	0,7419
2,2	0,454	4,840	10,65	1,483	4,690	1,301	2,802	6,037	3424	0,7885
2,3	0,435	5,290	12,17	1,517	4,796	1,320	2,844	6,127	3617	0,8329
2,4	0,417	5,760	13,82	1,549	4,899	1,339	2,884	6,214	3802	0,8755
2,5	0,400	6,250	15,62	1,581	5,000	1,357	2,924	6,300	3979	0,9163
2,6	0,385	6,760	17,58	1,612	5,099	1,375	2,962	6,383	4150	0,9555
2,7	0,370	7,290	19,68	1,643	5,196	1,392	3,000	6,463	4314	0,9933
2,8	0,357	7,840	21,95	1,673	5,292	1,409	3,037	6,542	4472	1,0296
2,9	0,345	8,410	24,39	1,703	5,385	1,426	3,072	6,619	4624	1,0647
3,0	0,333	9,000	27,00	1,732	5,477	1,442	3,107	6,694	4771	1,0986
3,1	0,323	9,610	29,79	1,761	5,568	1,458	3,141	6,768	4914	1,1314
3,2	0,312	10,24	32,77	1,789	5,657	1,474	3,175	6,840	5051	1,1632
3,3	0,303	10,89	35,94	1,817	5,745	1,489	3,208	6,910	5185	1,1939
3,4	0,294	11,56	39,30	1,844	5,831	1,504	3,240	6,980	5315	1,2238
3,5	0,286	12,25	42,88	1,871	5,916	1,518	3,271	7,047	5441	1,2528
3,6	0,278	12,96	46,66	1,897	6,000	1,533	3,302	7,114	5563	1,2809
3,7	0,270	13,69	50,65	1,924	6,083	1,547	3,332	7,179	5682	1,3083
3,8	0,263	14,44	54,87	1,949	6,164	1,560	3,362	7,243	5798	1,3350
3,9	0,256	15,21	59,32	1,975	6,245	1,574	3,391	7,306	5911	1,3610
4,0	0,250	16,00	64,00	2,000	6,325	1,587	3,420	7,368	6021	1,3863
4,1	0,244	16,81	68,92	2,025	6,403	1,601	3,448	7,429	6128	1,4110
4,2	0,238	17,64	74,09	2,049	6,481	1,613	3,476	7,489	6232	1,4351
4,3	0,233	18,49	79,51	2,074	6,557	1,626	3,503	7,548	6335	1,4586
4,4	0,227	19,36	85,18	2,098	6,633	1,639	3,530	7,606	6435	1,4816
4,5	0,222	20,25	91,12	2,121	6,708	1,651	3,557	7,663	6532	1,5041
4,6	0,217	21,16	97,34	2,145	6,782	1,663	3,583	7,719	6628	1,5261
4,7	0,213	22,09	103,8	2,168	6,856	1,675	3,609	7,775	6721	1,5476
4,8	0,208	23,04	110,6	2,191	6,928	1,687	3,634	7,830	6812	1,5686
4,9	0,204	24,01	117,6	2,214	7,000	1,698	3,659	7,884	6902	1,5892
5,0	0,200	25,00	125,0	2,236	7,071	1,710	3,684	7,937	6990	1,6094
5,1	0,196	26,01	132,7	2,258	7,141	1,721	3,708	7,990	7076	1,6292
5,2	0,192	27,04	140,6	2,280	7,211	1,732	3,733	8,041	7160	1,6487
5,3	0,189	28,09	148,9	2,302	7,280	1,744	3,756	8,093	7243	1,6677
5,4	0,185	29,16	157,5	2,324	7,348	1,754	3,780	8,143	7324	1,6864
486
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ
487
Продолжение
IV.	Тригонометрические функции
X	1А	2 X	3 X	Jx	л/10х	Ух	V10X	У100 г	1g х (мантиссы)	In х
5,5	0,182	30,25	166,4	2,345	7,416	1,765	3,803	8,193	7404	1,7047
5,6	0,179	31,36	175,6	2,366	7,483	1,776	3,826	8,243	7482	1,7228
5,7	0,175	32,49	185,2	2,387	7,550	1,786	3,849	8,291	7559	1,7405
5,8	0,172	33,64	195,1	2,408	7,616	1,797	3,871	8,340	7634	1,7579
5,9	0,169	34,81	205,4	2,429	7,681	1,807	3,893	8,387	7709	1,7750
6,0	0,167	36,00	216,0	2,449	7,746	1,817	3,915	8,434	7782	1,7918
6Д	0,164	37,21	227,0	2,470	7,810	1,827	3,936	8,481	7853	1,8083
6,2	0,161	38,44	238,3	2,490	7,874	1,837	3,958	8,527	7924	1,8245
6,3	0,159	39,69	250,0	2,510	7,937	1,847	3,979	8,573	7993	1,8405
6,4	ОД 56	40,96	262Д	2,530	8,000	1,857	4,000	8,618	8062	1,8563
6,5	0,154	42,25	274,6	2,550	8,062	1,866	4,021	8,662	8129	1,8718
6,6	0Д51	43,56	287,5	2,569	8,124	1,876	4,041	8,707	8195	1,8871
6,7	0,149	44,89	300,8	2,588	8,185	1,885	4,062	8,750	8261	1,9021
6,8	0,147	46,24	314,4	2,608	8,246	1,895	4,082	8,794	8325	1,9169
6,9	0,145	47,61	328,5	2,627	8,307	1,904	4Д02	8,837	8388	1,9315
7,0	0,143	49,00	343,0	2,646	8,367	1,913	4,121	8,879	8451	1,9459
7Д	0,141	50,41	357,9	2,665	8,426	1,922	4Д41	8,921	8513	1,9601
7,2	0,139	51,84	373,2	2,683	8,485	1,931	4,160	8,963	8573	1,9741
7,3	0Д37	53,29	389,0	2,702	8,544	1,940	4,179	9,004	8633	1,9879
7,4	0,135	54,76	405,2	2,720	8,602	1,949	4,198	9,045	8692	2,0015
7,5	0,133	56,25	421,9	2,739	8,660	1,957	4,217	9,086	8751	2,0149
7,6	0,132	57,76	439,0	2,757	8,718	1,966	4,236	9Д26	8808	2,0281
7,7	0,130	59,29	456,5	2,775	8,775	1,975	4,254	9,166	8865	2,0412
7,8	0,128	60,84	474,6	2,793	8,832	1,983	4,273	9,205	8921	2,0541
7,9	0,127	62,41	493,0	2,811	8,888	1,992	4,291	9,244	8976	2,0669
8,0	0,125	64,00	512,0	2,828	8,944	2,000	4,309	9,283	9031	2,0794
8,1	0Д23	65,61	531,4	2,846	9,000	2,008	4,327	9,322	9085	2,0919
8,2	0Д22	67,24	551,4	2,864	9,055	2,017	4,344	9,360	9138	2,1041
8,3	0Д20	68,89	571,8	2,881	9,110	2,025	4,362	9,398	9191	2,1163
8,4	0,119	70,56	592,7	2,898	9,165	2,033	4,380	9,435	9243	2,1282
8,5	0,118	72,25	614,1	2,915	9,220	2,041	4,397	9,473	9294	2Д401
8,6	0,116	73,96	636Д	2,933	9,274	2,049	4,414	9,510	9345	2Д518
8,7	0,115	75,69	658,5	2,950	9,327	2,057	4,431	9,546	9395	2Д633
8,8	0,114	77,44	681,5	2,966	9,381	2,065	4,448	9,583	9445	2,1748
8,9	0,112	79,21	705,0	2,983	9,434	2,072	4,465	9,619	9494	2,1861
9,0	ОДП	81,00	[729,0	3,000	9,487	2,080	4,481	9,655	9542	2,1972
9,1	0Д10	82,81	753,6	3,017	9,539	2,088	4,498	9,691	9590	2,2083
9,2	0,109	84,64	778,7	3,033	9,592	2,095	4,514	9,726	9638	2,2192
9,3	0,108	86,49	804,4	3,050	9,644	2Д03	4,531	9,761	9685	2,2300
9,4	0,106	88,36	830,6	3,066	9,695	2Д10	4,547	9,796	9731	2,2407
9,5	0Д05	90,25	857,4	3,082	9,747	2,118	4,563	9,830	9777	2,2513
9,6	0,104	92,16	884,7	3,098	9,798	2,125	4,579	9,865	9823	2,2618
9,7	ОД 03	94,09	912,7	3,114	9,849	2,133	4,595	9,899	9868	2,2721
9,8	0,102	96,04	941,2	ЗДЗО	9,899	2,140	4,610	9,993	9912	2,2824
9,9	0,101	98,01	970,3	3,146	9,950	2Д47	4,626	9,967	9956	2,2925
10,0	одоо	100,00	1000,0	3,162	10,000	2,154	4,642	10,000	0000	2,3026
	X (радианы)	sin х	tg х	ctgx	COS X		
0	0,0000	0,0000	0,0000	OQ	1,0000	1,5708	90
1	0,0175	0,0175	0,0175	57,29	0,9998	1,5533	89
2	0,0349	0,0349	0,0349	28,64	0,9994	1,5359	88
3	0,0524	0,0523	0,0524	19,08	0,9986	1,5184	87
4	0,0698	0,0698	0,0699	14,30	0,9976	1,5010	86
5	0,0873	0,0872	0,0875	11,43	0,9962	1,4835	85
6	0,1047	0,1045	0Д051	9,514	0,9945	1,4661	84
7	ОД 222	0,1219	0,1228	8,144	0,9925	1,4486	83
8	0,1396	0,1392	0,1405	7,115	0,9903	1,4312	82
9	0,1571	0,1564	0,1584	6,314	0,9877	1,4137	81
10	0,1745	0,1736	ОД763	5,671	0,9848	1,3963	80
11	0,1920	ОД 908	0,1944	5,145	0,9816	1,3788	79
12	0,2094	0,2079	0,2126	4,705	0,9781	1,3614	78
13	0,2269	0,2250	0,2309	4,331	0,9744	1,3439	77
14	0,2443	0,2419	0,2493	4,011	0,9703	1,3265	76
15	0,2618	0,2588	0,2679	3,732	0,9659	1,3090	75
16	0,2793	0,2756	0,2867	3,487	0,9613	1,2915	74
17	0,2967	0,2924	0,3057	3,271	0,9563	1,2741	73
18	0,3142	0,3090	0,3249	3,078	0,9511	1,2566	72
19	0,3316	0,3256	0,3443	2,904	0,9455	1,2392	71
20	0,3491	0,3420	0,3640	2,747	0,9397	1,2217	70
21	0,3665	0,3584	0,3839	2,605	0,9336	1,2043	69
22	0,3840	0,3746	0,4040	2,475	0,9272	1Д868	68
23	0,4014	0,3907	0,4245	2,356	0,9205	1,1694	67
24	0,4189	0,4067	0,4452	2,246	0,9135	1,1519	66
25	0,4363	0,4226	0,4663	2,145	0,9063	1,1345	65
26	0,4538	0,4384	0,4877	2,050	0,8988	1,1170	64
27	0,4712	0,4540	0,5095	1,963	0,8910	1,0996	63
28	0,4887	0,4695	0,5317	1,881	0,8829	1,0821	62
29	0,5061	0,4848	0,5543	1,804	0,8746	1,0647	61
30	0,5236	0,5000	0,5774	1,732	0,8660	1,0472	60
31	0,5411	0,5150	0,6009	1,6643	0,8572	1,0297	59
32	0,5585	0,5299	0,6249	1,6003	0,8480	1,0123	58
33	0,5760	0,5446	0,6494	1,5399	0,8387	0,9948	57
34	0,5934	0,5592	0,6745	1,4826	0,8290	0,9774	56
35	0,6109	0,5736	0,7002	1,4281	0,8192	0,9599	55
36	0,6283	0,5878	0,7265	1,3764	0,8090	0,9425	54
37	0,6458	0,6018	0,7536	1,3270	0,7986	0,9250	53
38	0,6632	0,6157	0,7813	1,2799	0,7880	0,9076	52
39	0,6807	0,6293	0,8098	1,2349	0,7771	0,8901	51
40	0,6981	0,6428	0,8381	1Д918	0,7660	0,8727	50
41	0,7156	0,6561	0,8693	1Д504	0,7547	0,8552	49
42	0,7330	0,6691	0,9004	1,1106	0,7431	0,8378	48
43	0,7505	0,6820	0,9325	1,0724	0,7314	0,8203	47
44	0,7679	0,6947	0,9657	1,0355	0,7193	0,8029	46
45	0,7854	0,7071	1,0000	1,0000	0,7071	0,7854	45
		COS X	etg х	tg x	sin x	X (радианы)	x°
488
ПРИЛОЖЕНИЯ
V,	Показательные, гиперболические и тригонометрические функции
X	X е	”ДГ е	shx	ch х	th х	sin x	COS X
0,0	1,0000	1,0000	0,0000	1,0000	0,0000	0,0000	1,0000
0,1	1,1052	0,9048	0,1002	1,0050	0,0997	0,0998	0,9950
0,2	1,2214	0,8187	0,2013	1,0201	0,1974	0,1987	0,9801
0,3	1,3499	0,7408	0,3045	1,0453	0,2913	0,2955	0,9853
0,4	1,4918	0,6703	0,4108	1,0811	0,3799	0,3894	0,9211
0,5	1,6487	0,6065	0,5211	1,1276	0,4621	0,4794	0,8776
0,6	1,8221	0,5488	0,6367	1,1855	0,5370	0,5646	0,8253
0,7	2,0138	0,4966	0,7586	1,2552	0,6044	0,6442	0,7648
0,8	2,2255	0,4493	0,8881	1,3374	0,6640	0,7174	0,6967
0,9	2,4596	0,4066	1,0265	1,4331	0,7163	0,7833	0,6216
1,0	2,7183	0,3679	1,1752	1,5431	0,7616	0,8415	0,5403
1,1	3,0042	0,3329	1,3356	1,6685	0,8005	0,8912	0,4536
1,2	3,3201	0,3012	1,5095	1,8107	0,8337	0,9320	0,3624
1,3	3,6693	0,2725	1,6984	1,9709	0,8617	0,9636	0,2675
1,4	4,0552	0,2466	1,9043	2,1509	0,8854	0,9854	0,1700
1,5	4,4817	0,2231	2,1293	2,3524	0,9051	0,9975	0,0707
1,6	4,9530	0,2019	2,3756	2,5775	0,9217	0,9996	-0,0292
1,7	5,4739	0,1827	2,6456	2,8283	0,9354	0,9917	-0,1288
1,8	6,0496	0,1653	2,9422	3,1075	0,9468	0,9738	-0,2272
1,9	6,6859	0,1496	3,2682	3,4177	0,9562	0,9463	-0,3233
2,0	7,3891	0,1353	3,6269	3,7622	0,9640	0,9093	-0,4161
2,1	8,1662	0,1225	4,0219	4,1443	0,9704	0,8632	-0,5048
2,2	9,0250	0,1108	4,4571	4,5679	0,9757	0,8085	-0,5885
2,3	9,9742	0,1003	4,9370	5,0372	0,9801	0,7457	-0,6663
2,4	11,0232	0,0907	5,4662	5,5569	0,9837	0,6755	-0,7374
2,5	12,1825	0,0821	6,0502	6,1323	0,9866	0,5985	-0,8011
2,6	13,4637	0,0743	6,6947	6,7690	0,9890	0,5155	-0,8569
2,7	14,8797	0,0672	7,4063	7,4735	0,9910	0,4274	-0,9041
2,8	16,4446	0,0608	8,1919	8,2527	0,9926	0,3350	-0,9422
2,9	18,1741	0,0550	9,0596	9,1146	0,9940	0,2392	-0,9710
3,0	20,0855	0,0498	10,0179	10,0677	0,9950	0,1411	-0,9900
3,1	22,1979	0,0450	11,0764	11,1215	0,9959	0,0416	-0,9991
3,2	24,5325	0,0408	12,2459	12,2356	0,9967	-0,0584	-0,9983
3,3	27,1126	0,0369	13,5379	13,5748	0,9973	-0,1577	-0,9875
3,4	29,9641	0,0334	14,9654	14,9987	0,9978	-0,2555	-0,9668
3,5	33,1154	0,0302	16,5426	16,5728	0,9982	-0,3508	-0,9365
ПРИЛОЖЕНИЯ
489
VI,	Некоторые кривые (для справок)
2. Кубическая парабола з
У = х ,
6. Парабола (верхняя ветвь) У= Vr,
8а. Парабола Ней ля
3 I дг = ( т У=Х ИЛИ <	.2
{У г '
86, Полукубическая парабола
2 з x = t, и = X ИЛИ ’	,3
у = t ’
490
ПРИЛОЖЕНИЯ
9.	Синусоида и косинусоида у = sin хи у = cos х.
10.	Тангенсоида и котангенсоида у = tg х и у = ctg х.
11.	Графики функций у = sec х и у — cosec х.
ПРИЛОЖЕНИЯ
491
> ч-ft*
12. Графики обратных тригонометрических функций
у = Arcsin х
и у — Arccos х.
13. Графики обратных тригонометрических функций у = Arctg х и у - Arcctg х.
492
ПРИЛОЖЕНИЯ
14, Графики показательных функций у = е* и у = е“\
15. Логарифмическая кривая у = ]пх.
16, Кривая Гаусса 2
-Г
У = е «
17, Графики гиперболических функий
£1^ — У = Sh х =	—
И
v — е* 4- е~х х	ч
у = сп х = ------ (цепная линия).
18, Графики гиперболических
функций
у = th х =
eJ —с~* ех + е-г
и
у = cth х =
ех + е^х
е*-е-х ‘
ПРИЛОЖЕНИЯ
493
20. Гипербола
19. Эллипс
х2 у2
а2 Ь2
или
X2
а2
или
х - acost,
у = bsint.
х = a ch
у = b sh t
(для правой ветви).
21. Парабола у2 = 2рх.
22. Декартов лист х3 4- у3 ~ Заху = 0 или г 3at
х =;—Tv
1 4- t3 3at2 у = ;—??
I 1 + £3
23. Циссоида Диоклеса
494
ПРИЛОЖЕНИЯ
24* Строфоида
2	2 а 4- х
у = х ------.
а - х
25* Лемниската Бернулли
z 2 (	2,2	2,2	2
(х 4- у ) = а (х “#) или
2	2
г = a cos 2<р*
26. Циклоида
х = a(t - sin/), у = а( 1 - cosi).
27* Гипоциклоида (астроида)
х = a cos3/, или
у = a sin3/
2	2	2
х3 + i/3 = а3 .
28. Кардиоида г = а(1 + cos ф).
ПРИЛОЖЕНИЯ
495
29. Эвольвента (развертка) окружности
х = a(cosi + tsini), ч
у = a(sinf - £cost).
30. Спираль Архимеда
г = а(р (г > 0).
32, Гиперболическая спираль
г = - (г > 0), Ф
33, Логарифмическая спираль
Оф г = е .
33. Трехлепестковая роза г = a sin Зф (г > 0),
34. Четырехлепестковая роза г = a |sin 2ф|,