/
Author: Неванлинна Р.
Tags: математика математический анализ теория функций аналитические функции
Year: 1941
Text
Р. НЕВАНЛИННА
ОДНОЗНАЧНЫЕ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
перевод с немецкого
Л. И. ВОЛКОВЫСКОГО
Под редакцией и с добавлением
М. В. КЕЛДЫША н М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА
• огиз
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1941 ЛЕНИНГРАД
Редактор ?. М. Юном*.
Тираж 3.000. Подписано к печати 1/IV 1941 г. А 23171. Объем: 24"/4 печ. л., 27,45 авт. л.
46.400 тип. зн. в печ. л. Заказ Н 322. Цена 11 руб. 75 к., переплет 75 коп.
Отпечатано с матриц в 1-й тип. Машгнза НКТМ. Ленвнград, ул. Монсеенко, 10.
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА.
Переводом книги Р. Неванлинна „Однозначные аналитические
функции" заполняется пробел, существовавший до последнего вре-
времени в нашей литературе по этому вопросу. Введенные ,автором
понятия гармонической меры и принцип гармонической меры позво-
позволили ему с большой простотой и общностью изложить учение об
однозначных аналитических функциях. В книге дается развернутое
изложение современной теории мероморфных функций н связанного
с ией учения о распределении значений н структуре римановых
поверхностей. В тесной связи с этим кругом вопросов рассматри-
рассматривается проблема типа и альфорсова теория поверхностей наложе-
наложения. Отдельная глава посвящена гармоническим нульмножествам.
Книга Р. Неванлинна дает чрезвычайно богатый материал для кур-
курсовых и диссертационных работ. Для чтения книги требуется зна-
знакомство с университетским курсом теории функций комплексного
переменного.
Книга снабжена подробным литературным указателем. Ссылки
на него в тексте приведены в квадратных скобках. Примечания пе-
переводчика и редакторов обозначены звездочками, примечания автора
обозначены цифрами.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА.
За немногие годы, протекшие со времени появления моей книги,
посвященной полному изложению новой теории целых и мероморф-
ных функций („Le theoreme de Picard-Borel et la theorie des fonc-
ttons mlromorphes". Paris, Gauthier-Villars, 1929), теория распре-
распределения значений аналитических функций, благодаря трудам различ-
различных исследователей, существенно развилась. Исследования в этой
области теории функций еще ни в какой мере не доведены до конца;
наоборот, достигнутые успехи указали ряд новых нерешенных во-
вопросов. С другой стороны, среди новейших результатов встречаются
много таких, которые имеют окончательный характер и содейство-
содействовали внесению большого единства в равличные области теории
функций.
.- При изложении учения, находящегося в непрерывном развитии,
целесообразное разграничение материала представляет известные
трудности. Некоторые замечания о точке зрения, легшей в основу
при выборе материала, читатель найдет в нижеследующем введении.
Автор стремился к полноте изложения в той степени, в какой мо--
гут быть обоснованы применяемые вспомогательные средства, выхо-
выходящие за рамки элементов теории функций, теории потенциала,
неевклидовой геометрии и топологии. Во многих случаях это уда-
удалось в связи с' изложением некоторых общих принципов, которые
излагаются полностью в силу их значения для различных вопросов
теории распределения значений. Исключение составляют фундамен-
фундаментальные теоремы существования теории конформных отображений,-
равно как и классические теоремы о соответствии границ при кон-
конформном отображении однолистных областей; эти теоремы предпо-
предполагаются известными. Вообще систематическое изложение учения об
униформизации, об автоморфных функциях и относящихся к ним
регулярно разветвленных римаковых поверхностях должно было бы
предшествовать настоящей работе, которая в своей существенной
части занимается некоторыми высшими ступенями этого учения.
Рольф Неванлинна
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Введение 7
I. Конформное отображение односвязных и многосвязных об-
областей 10
§1. Конформное отображение посредством линейных преоб-
преобразований A0) — §2. Основная теорема конформных отображе-
отображений. Отображение универсальной поверхности наложения мно- -
госвязной области A4) — §3. Случай плоскости с р выключев-
ными точками B0) — §4. Общий случай />-связной области B6).
II. Решение проблемы Дирихле для однолистной области .... 27
§ 1. Интеграл Пуассона B7) — § 2. Решение общей краевой
задачи B9)— § 3. Интегральное представление решения краевой
задачи посредством гармонической меры C1) — § 4. Функция
Грина и гармоническая мера C3)- § 5. О линиях уровня гар-
гармонической меры C9).
III. Принцип гармонической меры и его применения . 43
§ 1. Установление принципа и его обоснование D3) — {2. При-
Применения к абсолютному значению аналитической функции D7) —
§ 3. Принцип гиперболической меры E1) — § 4. Теоремы о кру-
круговых областях E8)— §5. Теоремы Ландау и Шоттки F2) —
§ 6. Применения к нсследованвю граничных и предельных зна-
значений ограниченных функций F5).
IV. Соотношения между неевклидовыми н евклидовыми мерооп-
мероопределениями 69
§ 1. Обшне замечания F9) — §2. Принцип Карлекана рас-
расширения области G0) —§3. Оценка гиперболической меры по-
посредством расширения области (87) § 4. Теоремы Альфэрса «
об искажении (96) — § 5. Проблема Карлемана-Мню A04)..
V. Множества гармонической меры нуль .«. 115
§ 1. Определение множеств гармонической меры нуль A15) —
§2. Множества емкости нуль A23) — § 3. Функция Грииаило-
гарвфмический потенциал A31)—§4. Поведение авалитической
функции в окрестности множества гармонической меры нуль
A40) — §5. Леммы об аддитивных функциях множеств A46)—§ 6. ,
Метрические свойства множеств гармонической меры нуль A52).
VI. Первая основная теорема теории мероморфных функций ... 164
§ 1. Формула Пуассона-Иенсеиа A64)—§ 2. Характериств-
ческая функция A67)—§3. Геометрическая интерпретация ха-
характеристической функции A74) — § 4. Обобщения A80).
VII. Функции ограниченного вида 18В
§ 1. Представление функции с ограниченной характеристи-
характеристикой в виде отношения ограниченных функций A85) —§2. Пред-
Представление функций ограниченного вида интегралом Пуасссна-
СтильтьесаA91) —§3. Теорема Фату B02) —§ 4. О множестве
граничных значений функции ограниченного вида B10) —
§ 5. Применение к конформному отображению универсальной
поверхности наложения однолистной области B14).
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Vlil. Мероморфные функции конечного порядка 219
§ 1. Порядок мероморфной функции B19) — § 2. Каноническое
представление мероморфной функции конечного порядка B24) —
§ 3. Некоторые свойства канонических произвзденнй B28) —
§ 4. Жанр мероморфной функции B36).
IX. Вторая основная теорема в теории мероморфных функций . 240
§ 1. Вводные замечания B40)—-§2, Фундаментальное соотно-
соотношение B47) —§3. Лемма о логарифмической производной ме-
мероморфной функции. Вторая основная теорема B52) — §4. Пря-
Прямое доказательство второй основной теоремы с помощью фун-
фундаментального с отношения B57).
X. Применения второй основной теоремы 265
§ I.1 Теорема Пикара-Бореля B65) — § 2. Соотношения де-
дефектов B69) — § 3. Теоремы о разветвленных значениях B81).
XI. Односвязные римановы поверхности 286
§ 1. Об особенностях функций однолианых односвязиых на
поверхностях B86) — § 2. Римановы поверхности, точки ветвле-
ветвления которых расположены вал конечным числом точек B95) —
§ 3. Римановы поверхности с конечным числом точек ветвле-
ветвления C04) — §4. О связи между порядком мероморфиой функ-
функции и критическими точками обратной функции C10).
XII. Тип рнмановой поверхности • 314
§ ЬРазветвлеиностьримаиовой поверхности C14) —§2. Соот-
Соотношения дефектов и разветвленность C19) —§3. Достаточные
условия для параболического типа C23).
XIII. Альфорсова теория поверхностей наложения 330
§ I. Основные топологические понятия C30) — § 2. Введение
метрики C34) — § 3. Метрические свойства поверхностей иало-
" ження C37) — § 4. Основная теорема о конечных поверхностях
наложения C41) -- § 5. Обращение основной теоремы C48) -
§ 6. Теоремы о регулярно исчерпываемых открытых поверхно-
поверхностях наложения C50) § 7. Применения к конформным отобра-
отображениям односвязных рнмановых поверхностей C58) — § 8. Обоб-
Обобщения на отображения с ограниченным эксцентриситетом C63).
Приложение 3S5
Литературный указатель 380
Предметный указатель 386
ВВЕДЕНИЕ.
Однозначные аналитические функции можно изучать с различных
точек зрения. Вопросы, подлежащие рассмотрению в настоящей ра-
работе, группируются вокруг одной большой основной проблемы. Этой
центральной постановке вопроса здесь следует предпослать несколько
общих замечаний.
Представим себе .неограниченно продолженным заданный элемент
аналитической функции. Если предположить, что полученная таким
образом аналитическая функция w=-"w{z) однозначна, то суще-
с:вует область Gz со следующими свойствами.
1. Всякой внутренней точке z области Gz соответствует один и
только один элемент рационального характера функции w(z)*).
2. Всякая граничная точка г* области Gz является существенно
особой для функции w(z).
Если Gz совпадает с полной плоскостью (эллиптичнее хий случай),
то w(z) е:ть рациональная функция. Исключая этот простейший
случай, мы должны различать два случая в зависимости от того,
будет ли Ог односвязна или многосвязна. Мы ограничиваемся пер-
пым из них; при этом мы должны учитывать дальнейшие две воз-
возможности: граница Тг области Gz есть или одна точка (параболи-
(параболический случай) или континуум (гиперболический случай).
Функция w = w (г) отображает область Gg на некоторую рима-
маиову поверхность Gw, расположенную над плоскостью w. Функ-
Функция z — z(w), обратная к функции w (г), однозначна и в силу одно-
однозначности w{z) однолистна на поверхности Gw, т. е. центрам
двух различных элементов функции z(w) отвечают всегда две раз-
различные точки z.
Обратно, в силу основной теоремы теории конформных отобра-
отображений произвольная односвязная риманова поверхность, располо-
расположенная над плоскостью w, может быть взаимно однозначно и кбн-
формно отображена на одну из следующих трех нормальных обла-
областей G~. 1) иа полную плоскость (эллиптический случай); 2) на
плоскость с выключенной точкой (параболический случай) и 3) на
единичный круг или, более обще, на произвольную область, ограни-
ограниченную континуумом (гиперболический случай).
Учение о распределении значений однозначных аналитических
функций занимается изучением систем (za) точек области Ог, в ко-
*) w(z)=s(z — zoy> f(z), где ч—целое число положительное, отрицатель-
отрицательное или пуль, а /(г)— функция, голоморфная в точке г0.
8 ВВЕДЕНИИ
торых функция w (г) принимает заданное значение w = а; при этой
рассматриваются всевозможные значения а. Классическим результа-
результатом в этой области является знаменитая теорема Пикара (Picard),
согласно которой функция, мероморфная в плоскости с выключен-
выключенной точкой, принимает бесконечное число раз всякое значение а,
исключая самое большее два значения. Сюда примыкает учение
о распределении значений Адамара (Hadamard), Бореля (Borel),
Жюлиа (Julia) и др. Однако, при этих далеко идущих обобщениях
и углублениях теоремы Пикара точка зрения конформных отобра-
отображений играет второстепенную роль. Постановка и изучение вопроса
совершаются без учета римановой поверхности G№, на которую меро-
мероморфная функция отображает область Gz, т. е. плоскость с выключенной
точкой. В свою очередь, первые исследования римановых поверхно-
поверхностей целых и мероморфных функций [Гурвиц (Hurwitz), Бугру
(Boutroux), Иверсен (Iversen), Гросс (Gross) и др.] имели лишь не-
немногие точки соприкосновения с результатами учения о распределе-
распределении значений.
Новое обоснование теории мероморфных функций проложило
мост между этими двумя направлениями исследования. На место
вейерштрассовского канонического представления целых и мероморф-
мероморфных функций выступают более сильные вспомогательные средства
теории функций и теории потенциала. На новой основе просто из-
излагается и углубляется теория Адамара-Бореля. Однако, важней-
важнейшим успехом является то, что новые аналитические понятия имеют
одновременно и геометрическое значение. Основные величины
(характеристика, дефект, индекс разветвления) связывают асимптотиче-
асимптотическое поведение однозначной аналитической функции чю(г) со свой-
свойствами римановой поверхности Ow, на которую ока конформно
отображает свою область существования Gg. Это позволяет рассмат-
рассматривать теорему Пикара и ее обобщения как определенные выска-
высказывания о характере разветвления поверхности Gw. Новое направле-
направление переносит центр тяжести исследования распределения значений
на изучение отображения Ог-± Gw с точки зрения искажения внутри
и, прежде всего, на границе; таким образом, вопрос идет о далеко
идущих обобщениях классических теорем об искажении и соответ-
соответствии границ при конформном отображении областей, подобных
однолистным.
Учение о распределении значений включается, таким образом,
в общую теорию конформных отображений. С этой точки зрения
центральным вопросом учения о распределении значений является
проблема типа— интересная и сложная задача, оставшаяся откры-
открытой в классической теории униформизации. На основании метрико-
топологических особенностей открытой односвязной римановой по-
поверхности следует определить, принадлежит ли она к параболиче-
параболическому или к гиперболическому типу, т. е. можно ли ее конформно
отобразить на плоскость с выключенной точкой или на единичный
круг. Те обобщения теоремы Пикара, которые обычно объединяются
ВВЕДЕНИЕ 9*
под названием „соотношения дефектов", содержат необходимые
признаки для параболического типа. Однако, хотя и известны раз-
различные достаточные критерии, мы еще даже для сравнительно про*
стых классов римановых поверхностей не имеем полного решения
проблемы типа.
Среди римановых поверхностей параболического типа особо вы-
выделяются простыми свойствами ветвления те из них, которые соот-
соответствуют мероморфным функциям конечного порядка. К ним при-
принадлежат, между прочим, поверхности с конечным числом точек,
ветвления.
Также и среди поверхностей гиперболического типа выделяются
заслуживающие внимания классы поверхностей. Для характеристики
отображающей функции можно указать предельный порядок роста,,
выше которого еще справедливы теорема Пикара и все соотноше-
соотношения дефектов. С понижением порядка роста характеристики степень
разветвленности римановой поверхности возрастает. Наконец, вполне
определенный класс образует поверхности ограниченного вида
(beschranktartige), которым соответствуют ограниченные характери-
характеристики. Для точного описания особенностей поверхности ограничен-
ограниченного вида нужно привлечь на помощь понятие множества емкости
нуль. Эти множества играют важную роль и в других вопросах уче-
учения о распределении значений. В нашем изложении понятие емкости
входит в теорию так называемой гармонической меры. Благодаря
введению и систематическому применению этой меры, инвариантной
относительно взаимно однозначных конформных отображений, стано-
становится возможным единое и наглядное изучение отдельных вопросов^
близко связанных с теорией распределения значений.
1. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ
И МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ.
§ 1. Конформное отображение посредством линейных
преобразований.
1. Группа взаимно однозначных и конформных отображений пол-
полной плоскости самой на себя аналитически определяется совокуп-
совокупностью дробнолинейных преобразований
s^-)==a» + b (ad—f-c±Q).- A)
Действительно, всякое линейное преобразование производит такое
отображение, и, обратно, всякая функция t(z), которая производит
однозначное н конформное отображение плоскости самой на себя,
имеет вид A): в самом деле, такая функция должна быть регулярна
во всякой точке плоскости z за исключением единственной точки z0,
соответствующей значению t=co; таким образом, единственной
особенностью этой функции является полюс первого порядка, откуда
на основании элементарной теоремы из теории функций следует, что
функция t(z) есть рациональная функция первого порядка.
2. Если посредством стереографической проекции перейти от
плоскости z к сфере Римана (Riemann) диаметра 1, касающейся
плоскости в начале координат, то совокупность преобразований A)
перейдет в совокупность конформных отображений сферы самой на
себя. Среди этих отображений особого внимания заслуживает группа
вращений сферы. Общая форма преобразования вращения, переводя-
переводящего точки z и С, соответственно z = a и l.=-b, друг в друга, оп-
определяется соотношением
B)
1+аг 1 -{- Ь',
J
где черта сверху означает переход к сопряженной комплексной ве-
величине, а а — действительный параметр*).
Совершая предельный переход z -*¦ а, С -*¦ Ь, мы получим соот-
соотношение
\dz\ _ \dl\
*) Чтобы в этом убедиться, полезно заметить, что две точки гу, гг, ко-
которым на сфере соответствуют диаметрально противоположные точки, свя-
связаны соотношением ^i«3= —1.
[§ Г] линвйные преобразования 11
откуда видно, что выражение
где ds — элемент евклидовой длины, а г — расстояние от нулевой
точки до элемента дуги в плоскости г, остается инвариантным
относительно преобразования вращения сферы. Геометрически это
объясняется тем, что выражение B') представляет сферическую длину
рассматриваемого элемента дуги. В метрике, определяемой выраже-
выражением B'), геодезическими линиями являются окружности в пло-
плоскости г; соответствующие большим кругам на сфере; они характе-
характеризуются тем, что пересекают единичную окружность в двух диаме-
диаметрально противоположных точках.
Для дальнейших применений заметим еще, что логарифм отно-
отношения сферической длины элемента дуги к евклидовой его длине
, . . da , 1
удовлетворяет диференциальному уравнению
Ди = — 4e2«, B")
где Д — оператор Лапласа.
3. Кроме преобразований вращения сферы заслуживает особого
внимания группа линейных преобразований, отображающих единич-
единичный круг (а тем самым и его внешнюю часть) самого на себя.
Общая форма такого преобразования, переводящего точки z —a
и [ = i друг вдруга(|й|< 1, |й|< 1), определяется соотношением
\—az 1 — 6C W
Обратно, всякое взаимно однозначное и конформное отображе-
отображение С = С {г) единичного круга самого на себя достигается линейным
преобразованием C). В самом деле, преобразуя переменные г и С
посредством подходящих линейных преобразований группы C), до-
добьемся сперва того, чтобы точки z = 0 и С = 0 соответствовали
друг другу. На окружности )г| = л @ < г < 1) абсолютная величина
функции —, регулярной в круге |г|<г, не превосходит —;
в силу принципа максимума это справедливо и в круге |г|^г.
Отсюда при г->1 следует, что |С|<|.г| для всех |г|'< 1. Если
переменить местами переменные z и С, то аналогично докажем, что
\г 1-^1^1. откуда следует, что |С| = |г|, т. е. Х. = е*^г. Так как
обратный переход к первоначальным переменным совершается посред-
посредством линейных преобразований C), то и последние связаны линей-
линейным соотношением C).
Как и в п. 2, при предельном переходе z -> а, С -> b из C)
следует инвариантность диференциального выражения
*,= ** - C')
12 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. I
относительно преобразований группы C). Если это выражение рас-
рассматривать как длину элемента дуги, то, как это впервые показал
Пуанкаре (Poincare) [*], мы придем к некоторой метрике, удовлетво-
удовлетворяющей в круге |г|<1 законам гиперболической (Болиа-Лобачев-
ского) геометрии; при этом роль кратчайших линий будут играть
дуги окружностей, ортогональных к единичной окружности |г| = 1,
представляющей „бесконечно-далекое" неевклидовой плоскости *).
Легко убедиться в том, что логарифм отношения неевклидовой
длины элемента дуги к евклидовой его длине удовлетворяет неко-
некоторому диференциальному уравнению, подобному уравнению B).
Именно, если положить и —log-.-, то в силу C')
Ди = 4е8». (З17)
4. Другой важный инвариант мы получим, если найдем логариф-
логарифмическую производную соотношения C)
1—| дР dz__ 1 — | Ъ|2 Л
и в полученном выражении будем считать, что точка z стремится
к граничной точке №. При этом С будет стремиться к соответ-
соответствующей граничной точке «<*, а диференциальное отношение
к -J-; отсюда получим
Таким обравом диференциальное выражение
сохраняет свое значение, если точки г — ге*чи t»==e** одновременно
подвергаются преобразованию группы C).
Выражение
1 — г»l — UP
является действительной частью функции w и потому есть гар-
моническая функция точки (Aufpunkt) г. Это выражение имеет простое
геометрическое значение, впервые указанное Шварцем (Schwarz) [*].
Именно, в силу одной элементарной геометрической теоремы имеем
i) Для кратчайшего .расстояния* между точками О н г получается
величина у log ^ _ * -. |Более подробяо см. у Каратеодори, Кон-
Кон-.
формное отображение, М,—Л., 1934.]
§1]
ЛИНВЙНЫВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
13
где w' — второй конец хорды единичного круга, определяемой точ-
точками w и z (см. фиг. 1); так как далее
\w-z\~ |«/-z|'
где den — длина элемента дуги единичной окружности, описываемого
точкой «/ при бесконечно малом вращении хорды вокруг точки z, то
1—Г»
dm
Линиями уровня этого выражения служит семейство окружностей,
касающихся единичной окружности в точке eib; с точки зрения не-
неевклидовой геометрии — это орициклы или предельные линии, орто-
ортогональные к семейству параллельных „прямых" (окружности, ортого-
ортогональные к единичной окружности), направленных в „бесконечно
удаленную" точку eib.
5. В силу инвариантности диференциала dm относительно пре-
преобразований группы C) этим же свойством обладает и интеграл
8,
^4^
взятый между двумя произвольными пределами Ьи (^3!<)
это значит, что если точки г = г№ @ ^ г < 1), е**», е*ь* подвергнуть
одному н тому же преобразованию группы C), переводящему их в
некоторые точки г', е*6>',
е16»', то будет иметь место
равенство
Из рассмотренного вы-
выше геометрического значе-
значения </о> следует, что
да [г; bv 02) равно деленной
на 2тс длине дуги, отсе-
отсекаемой на единичной окруж-
ности хордами, проведенны-
проведенными из точек в**», в*8» через точку z (фиг. 2). Если а — величина угла,
образованного этими хордами, то непосредственно видно, что
Фиг. 1.
Фиг. 2.
Отсюда становится очевидным, что величина ю (z; &t, &3) в круге
]г|<1 изменяется между 0 и 1; линиями уровня этой величины
служит семейство дуг окружностей, соединяющих точки «*>, е**«.
В интерпретации Пуанкаре эти линии играют роль эквидистант,
т. е. линий, находящихся на постоянном неевклидовом расстоянии
14 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. 1
друг от друга. На дуге bt < ft < Ь2 величина ш равна 1, на допол-
дополнительной дуге 02 < 0 < «j -)- 2т: она равна 0.
Для г = 0 величина <о равна деленной на 2к длине дуги (Oj, &2)
единичной окружности |г| = 1. Если же z изменять, то значение <о
можно рассматривать как обобщенную „длину* дуги @1( &2), изме-
измеренную относительно подвижной внутри единичного круга точки z.
Так как, кроме того, «о является гармонической функцией от г,
то мы ее называем „гармонической мерой дуги (&р &2) е точке z
относительно единичного круга".
Гармоническая мера <о (z, в) дуги а окружности | z \ = 1 относи-
относительно единичного круга обладает, таким образом, следующими
свойствами:
1) да (г, а) в круге |г|<1 есть ограниченная гармоническая
функция.
2) <о принимает граничное значение 1 во всякой внутренней
точке дуги а и значение 0 на дополнительной дуге |3.
Применяя принцип максимума и минимума гармонической функ-
функции, мы тотчас убеждаемся, что указанными двумя свойствами
гармоническая мера определяется однозначно.
6. Неподвижные точки cv c2 преобразования группы C) или
зеркально симметричны относительно единичной окружности (эллип-
(эллиптический случай) или обе лежат на единичной окружности (гипер-
(гиперболический случай), где они также могут совпадать (параболический
случай). Нормальная форма соответствующих преобразований сле-
следующая:
эллиптическое преобразование:
-?и? = е* ^ZJL (| с | ф 1, с ~с = 1, & действительно),
гиперболическое преобразование:
параболическое преобразование:
1 1
z
ЗГ7 — Х — с Н~ ^ (Iс I = 1» ^ действительно).
§ 2. Основная теорема конформных отображений. Отображение
универсальной поверхности наложения многосвязной области.
7. Относительно отображения областей более общих, чем рас-
рассмотренные в § 1, мы предполагаем известной прежде всего следую-
следующую теорему:
А. Всякая односвязная однолистная область G, граница Г
которой содержит более одной точки, может быть отображена
взаимно однозначно и конформно на единичный круг.
§ 2] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 15"
Если Г содержит свободную жорданову дугу 1), то последней
соответствует взаимно однозначно и непрерывно дуга единичной
окружности.
Первая часть этой фундаментальной теоремы содержится ка;с
частный случай в следующей основной теореме конформных ото-
отображений:
В. Всякая односвязная риманова поверхность F может быть
отображена взаимно однозначно и, исключая точку ветвления
конечного порядка, конформно на одну из следующих трех нор-
мальных областей:
1) На полную плоскость {эллиптический случай).
2) На плоскость с выключенной точкой {параболический случай).
3) На единичный круг (гиперболический случай).
Функция, отображающая поверхность F на одну из этих трех
нормальных областей, определяется с точностью до взаимно одно-
однозначного и конформного отображения нормальной области самой
на себя. Последнее, по § 1, всегда достигается линейным преобра-
преобразованием. Переход от одной нормальной области к другой при этом
невозможен. Таким образом, все односвязные римановы поверхности
можно разбить на три типа, соответственно трем нормальным обла-
областям, на которые их можно отобразить.
Из хорошо известных свойств линейных преобразований,
частично рассмотренных в § 1, следует, что отображение поверхности F
на нормальную область определяется однозначно, если требовать,,
чтобы в случае 1 три пары заданных точек, в случае 2 две пары
заданных точек (если при этом фиксирована единственная граничная
точка нормальной области) и в случае 3 одна пара заданных
точек с двумя заданными в них направлениями соответствовали
друг другу.
Если рассматривать связную область, ограниченную жордановой
кривой, то однозначность отображения, вследствие его непрерыв-
непрерывности на границе, будет достигнута, если поставить в соответствие
друг другу три пары граничных точек.
8. В дальнейшем основная теорема В применяется редко, а если
применяется, то это всегда оговаривается. В настоящей подготови-
подготовительной главе мы рассмотрим более подробно лишь один частный
случай этой теоремы, имеющий особое значение для дальнейшего.
Вопрос идет о классе римановых поверхностей, к которому при-
приводит проблема конформного отображения многосвязных областей.
Такую область уже нельзя отобразить взаимно однозначно и
конформно на круг, так как порядок связности есть топологический
инвариант, т. е. сохраняется при взаимно однозначных и непрерывных
отображениях. Напротив, между многосвязной областью и кругом
можно установить многозначное конформное соответствие. Оно
!) „Свободной* называется такая дуга ^, принадлежащая границе Г,
внутренние точки которой не являются предельными для граничны! точек,
лежащих вне ¦{.
16 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. I
ножет быть аналитически точно определено посредством характе-
характеристических свойств искомой аналитической функции. Мы встанем,
однако, на более общую точку зрения, отделяя топологическую
часть задачи об отображении (требование непрерывности и взаимной
•однозначности в малом) от особого условия аналитичности (кон-
¦формности). Это достигается введением понятия универсальной по-
поверхности наложения заданной многосвязной области следующим
образом.
9. Мы ограничиваемся рассмотрением однолистной р-связной
области G (р — конечно). Граница такой области состоит из р
различных континуумов, или точек, fv .,., fp. Соединим множества
Yi и Та жордановой кривой qv лежащей внутри G; аналогично
-соединим множества f2 и fs, ..., fp и ft. Проведенные таким обра-
образом сечения qv ..., qp, которые можно выбрать не имеющими
общих точек, разбивают область G на две односвязные части Gt
и О2, ограниченные сечениями q н р граничными множествами if,.
Чтобы притти к универсальной поверхности наложения области G,
рассмотрим, с другой стороны, однолистный односвязный криволи-
криволинейный многоугольник Gt°, ограниченный р жордановыми дугами.
Gj0 можно выбрать вполне произвольно; лишь в целях получения
наглядной и в дальнейшем часто встречающейся фигуры мы в слу-
случае, когда р > 2, за G^ берем р-угольник, вписанный в единичный
круг и ограниченный дугами - окружностей, ортогональных к еди-
единичной окружности; если же р = 2, то за G,0 мы берем полосу,
ограниченную двумя параллельными прямыми. Затем из многоуголь-
многоугольника Gj0 получим целый ряд новых многоугольников путем неогра-
неограниченно-продолженного процесса веркального отображения: сперва
Oj0 зеркально отобразим от его р сторон; к р(р — 1) сторонам
.многоугольника Flt составленного из Gf и из'/? многоугольников G^1,
полученных после зеркального отображения, присоединим р{р—1)
новых многоугольников Gj2, полученных аналогичным процессом
веркального отображения; с полученным таким образом многоуголь-
многоугольником F9 поступим аналогично и т. д.
В случае /? = 2 получающаяся система полос заполняет всю
плоскость. В случае р > 2 полученные многоугольники лежат в еди-
единичном круге, так как наши зеркальные отображения переводят
этот круг самого в себя; с другой стороны, нетрудно показать,
что полученная сеть F многоугольников покрывает однолистно и
без пропусков весь единичный круг, притом так, что в окрестности
всякой точки единичной окружности содержится бесконечно много
многоугольников Oi2' и G2ai>+1 *).
Отобразим теперь область G непрерывно и в малом взаимно
однозначно на сеть F. Для этого представим себе сперва, что
внутренняя часть Ql области О отображена топологически на
*) Индексы сверху означают порядок зеркального отображения, индексы
«ризу — четность или нечетность этого порядка.
§ 2] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 17
внутреннюю .часть произвольного многоугольника Gja', притом
так, что внутренние точки сечений q4 и сторон многоугольника
соответствуют друг другу взаимно однозначно и непрерывно;
кроме того потребуем, чтобы граничным множествам ^ч соответ-
соответствовали вершины многоугольника (последнее соответствие будет,
следовательно, взаимно однозначным только в том случае,, когда
каждое множество if, приводится к одной точке) *). С другой
стороны, вышерассмотренным процессом зеркального отображения
установлено топологическое (даже конформное) .соответствие между
всеми многоугольниками Gj2' (v=0, I, ...). Соединяя эти отобра-
отображения с предыдущим отображением, мы получим отображение
области Gj на все области G^', так что каждой точке области Gl
будет соответствовать бесконечная последовательность эквивалент-
эквивалентных точек, т. е. точек, связанных четным числом следующих друг
за другом зеркальных отображений. Аналогичным образом поступаем
с областью G2, отображая ее топологически на произвольный много-
многоугольник Gj9*4, причем соответствие границ устраиваем гак, чтобы
образы точек сечений q4 совпадали с образами этих же, точек при
отображении области Gv
В результате этой конструкции получилось непрерывное, в малом
взаимно однозначное отображение области G на сеть F. Всякой
точке области G соответствует при этом отображении бесконечная
последовательность эквивалентных точек. Два смежных многоуголь-
многоугольника G,a% G22v+1 образуют фундаментальную область; 2р— 2 сто-
сторон такой фундаментальной области попарно эквивалентны. Если
идентифицировать эквивалентные пары граничных точек, то полу-
получится область, являющаяся топологическим образом области G.
Эквивалентные точки, равно как и сами фундаментальные области,
связаны группой преобразований, состоящих из четного числа после-
последовательных зеркальных отображений, переводящих, как и каждо'е
отдельное зеркальное отображение, фигуру F в самое себя. Эта
группа преобразований наложения (Decktransformatiotienj может
быть получена из р—1 фундаментальных преобразований и их
обратных преобразований; за эти р — 1 преобразования можно
выбрать преобразования, которые испытывает произвольная точка
фигуры F, когда се образ в G обходит по одному какие-нибудь
*) Для случая, когда континуумы т, ие все сводятся к точкам, за Gf
целесообразнее взять область, ограниченную &<!/> дугами единичной окруж-
окружности и р дугами qj окружностей, ортогональных к единичной
окружности, где k—число граничных континуумов т„не сводя-
сводящихся к точке (см. фиг. о). При построении областей О{-\
G2«»-n мы производим зеркальные отображения только отно-
относительно дуг q4'. При отображении G\ на Gi2v мы заботимся
о том, чтобы, как раньше, сечения дч перешли в дуги <j/. a
континуумы Yv—в соответствующие дуги единичной скруж- Фиг. а
ности. При такой схеме, если -jv — дуги Жордана, все ото-
отображения Gi, G% на Gi*\ O2S'+l можно сделать взаимно однозначными
взлимно непрерывными, включая границы.
18 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ [гл. 1
р — 1 граничных множеств f,; очевидно, эти преобразования можно
определить так же, как те преобразования, которыми связаны р—1
пара сторон произвольной фундаментальной области.
Отображением области G на F мы однозначно определили уни-
универсальную поверхность наложения р-связной области. На фигуру F
нужно смотреть лишь как на особого представителя этой поверх-
поверхности наложения среди бесчисленного количества других возмож-
возможных. Понятие поверхности наложения является топологическим поня-
понятием, поэтому ее представителем может служить любая поверхность F,
которая получается топологическим отображением из фигуры F.
Отображение области G на F', которое получается соединением
выше определенного отображения области G на F и топологического
отображения фигуры F на F', мы будем называть изоморфным
к отображению G -»• F. Универсальная поверхность наложения опре-
определяется общим содержанием этих изоморфных отображений.
С точки зрения этого определения поверхности наложения
является, например, несущественным то, что в случае р > 2 мы
поверхность наложения представили конечным открытым кругом,
а в случае р = 2 — бесконечным (плоскость с выключенной точкой),
так как эти области топологически эквивалентны. Обыкновенно
поверхность наложения представляют расположенной бесконечно-
листно над соответствующей областью G: для получения такой
поверхности склеивают бесконечное число экземпляров областей Ot
и О8 вдоль сторон д„ притом в том же порядке, в каком соеди-
соединены многоугольники G^**1 и O2av+1 в фигуре F. На полученной
таким образом поверхности G°°, топологически эквивалентной F,
бесконечная последовательность эквивалентных точек, соответствую-
соответствующих некоторой точке области G, состоит из расположенных над
ней точек поверхности G00, чем объясняется и само название „Ueber-
lagerungsfiache" *). Фундаментальные области поверхности 0°° совпа-
совпадают с отдельными ее листами.
Являясь топологическим образом круга, универсальная поверх-
поверхность наложения р-связной области односвязна.
10. Существенным в понятии универсальной поверхности нало-
наложения (как н вообще в понятии римановой поверхности) является
по предыдущему то правило, по которому соединяются отдельные
фундаментальные области (.листы"). Это правило, дающее схему
ветвления поверхности, может быть аналитически охарактеризовано
группой преобразований наложения; геометрически его можно на-
наглядно представить еще проще, чем фигурой F, следующей, связан-
связанной с ней схемой !).
В областях Gx и 02 возьмем по точке Рх и Р% и соединим их р
жордановыми дугами /v(v = 1, ...,/?) так, чтобы /, пересекала только
*) Русский перевод „поверхность наложения" лишь отчасти передает
:иысл немеш-oro термина ,Ueb<rlageningsfiflche".
1) A. Speiser [*], R. Nevanlinna ["].
§ 2J ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 19
сечение qr Системе дуг /; соответствует на фигуре F „деревоподобная
линия", схематически представленная на фиг. 3 для р — 2, 3, 4.
Кружочки и крестики этого топологического дерева соответствуют
взаимно однозначно мно- .
гоугольникам G^ и о >j^.
^ а соединяющие | ^</ V "^Ч? у °
их стороны — сторонам i \ / -V ' \?-
этих многоугольников. I чо>\ /"-^/ \ \ I /_/
Обратно, топологическое ? У °\ ^ ~°~/* °\ \ С
дерево может быть ис- ] ! -о 1 • о—
пользовано для* построе- J _0/ \0_ ^~*° & °С'
ния фигуры F, откуда © 'I Х| -^ '
следует, что оно вполне I
определяет поверхность Фиг. 3.
наложения.
11. После того как предыдущими рассуждениями вполне выяснена
топологическая сторона проблемы, мы можем теперь, уже учитывая
специальное требование конформности, следующим образом точно
сформулировать нашу задачу об отображении:
Требуется построить конформное отображение области О на
однолистную область К. изоморфное к выше определенному ото-
отображению G -> F.
Предполагая области О и К расположенными в комплексных
плоскостях г и соответственно х, положим, что х — х(г)—анали-
х(г)—аналитическая функция, производящая искомое отображение 0->/С. Из
определяющих свойств этого отображения непосредственно следует,
что отображающая функция обладает следующими свойствами:
1) x(z) неограниченно аналитически продолжима внутри G.
2) х(г) однолистна, т. е. центрам двух различных элементов
функции соответствуют всегда два различных значения функции.
3) Однолистно покрытая (в силу однолистности функции) значе-
значениями функции область К односвязна.
Обратно, этими свойствами отображающая функция вполне опре-
определяется: в самом деле, если некоторая аналитическая функция
обладает этими свойствами, то она решает нашу задачу об отобра-
отображении. Чтобы это доказать, достаточно провести сечения q4 и про-
проследить, учитывая все три условия, как располагаются друг около
друга образы областей Oj и О2; мы убедимся, что рассматриваемое
отображение действительно изоморфно топологическому отображению
О -> F. Таким образом, вышестоящие три аналитических условия
вполне достаточны для полного определения задачи об отображе-
отображении. На самую возможность аналитической формулировки проблемы
мы указывали уже раньше.
Являясь топологическим образом круга F, область К односвязна,
и следовательно, ее граница состоит или из одной точки, или из
континуума. Так как в последнем случае возможно, н силу фунда-
фундаментальной теоремы об отображении однолистных- областей, даль-
20 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ (ГЛ. I
нейшее конформное отображение на круг, то, не нарушая общности,
можно с самого начала считать, что К совпадает или с плоскостью
с выключенной точкой или с единичным кругом.
Функция z = z{x), обратная функции x = x(z), однозначна, но
многолистна в К- Она принимает каждое значение,?, представлен-
представленное точкой из G, в бесконечном числе эквивалентных точек х.
Пусть л^ (г) и х^{г)—два различных элемента функции х(г), центры
„которых лежат друг над другом (т. е. имеют одно и то же значе-
значение z) и переходят соответственно в точки х = х1 и "дг = л:2. Эти
две эквивалентные точки связаны некоторым преобразованием нало-
наложения л;2 — хг (z (ATj)), которое неограниченно нродолжимо в К и
поэтому, в силу теоремы о монодромии, определяет в К однознач-
однозначную функцию; но то же самое справедливо и для обратной функ-
функции, откуда следует, что соотношение между хх и х2 определяет
взаимно однозначное и конформное отображение круга К самого на
себя, которое по доказанной в п. 3 теореме приводится к линей-
линейному преобразованию.
Таким образом, при конформном отображении преобразования
наложения образуют группу линейных преобразований E), перево-
переводящих круг К в самого себя. Многозначная отображающая функция
х — х(г) является линейно-полиморфной функцией, ветви которой
переходят друг в друга посредством преобразований группы (S),
когда точка z описывает замкнутый путь. . Однозначная оГ»ратная
функция z=-z(x) в свою очередь является автоморфной функцией,
которая сохраняет свои значения, если переменную х подвергать
произвольному преобразованию группы (S).
Существование этих автоморфных функций обеспечено основной
теоремой В. Но так как мы, как было выше указано, желаем, на-
насколько возможно, избегать применения этой теоремы, то в следую-
следующем параграфе мы рассмотрим более подробно некоторые вопросы,
имеющие значение для построения отображения рассмотренной здесь
поверхности наложения; одновременно это приведет нас к некоторым,
важным для дальнейшего, свойствам отображающей функции.
§ 3. Случай плоскости с р выключенными точками.
12. Сперва рассмотрим частный случай, который в дальнейшем
будет играть важную роль. Пусть граница р-связной области G
состоит из »^-2 точек Oj, ..., ар; вопрос идет, следовательно,
о конформном отображении универсальной поверхности наложения
OOT(«i, ..., ар) плоскости, из которой выключены эти р точек.
В простейшем случае, когда р==2, эта поверхность, бесконечно-
листно ветвящаяся над граничными точками аи a%, конформно ото-
отображается на всю конечную плоскость х (т. е. на плоскость х с выклю-
выключенной точкой х = оо) посредством элементарной функции
§ 3] СЛУЧАЙ ПЛОСКОСТИ С р ВЫКЛЮЧЕННЫМИ ТОЧКАМИ 21
где а и C — произвольные постоянные, а граничные точки av e2 пред-
предположены отличными от бесконечно удаленной точки г=оо. Та-
кии образом, поверхность 0^@^а2) принадлежит к параболиче-
параболическому типу.
Если за сечения #v(v = 1, 2) принять обе дуги, на которые
делится точками ах,а^ произвольная проведенная через них окруж-
окружность, то в качестве образов, зеркально соответствующих друг другу,
внутренней части круга—Gt него внешней части—G2Mbi получим си-
систему конгруэнтных, попарно симметричных полос, покрывающих пло-
плоскость х, т. е. фигуру, тождественную с фигурой F, построенной нами
для топологического определения поверхности наложения. Существо-
Существование отображающей функции D) можно было бы доказать и избегая
теорию элементарных трансцендентных функций, пользуясь следую-
следующим способом, вполне аналогичным употребленному .нами при По-
Построении топологического отображения G -*¦ F: сперва отобразим
конформно круг Gj на полосу Gt° так, чтобы граничные точки av
«2 перешли в обе бесконечно удаленные граничные точки полосы,
что возможно в силу теоремы А; продолжая аналитически это ото-
отображение по принципу зеркального отображения Шварца, мы получим
искомое отображение.
Таким же путем можно выполнить конформное отображение
поверхности GM (я^ а2, я3). Для этого снова разобьем область О на
две части Gt и G2 посредством окружности, проходящей через точки
«,, я2, tts, и отобразим конформно область G, на треугольник, впи-
вписанный в единичный круг и ограниченный дугами окружностей,
ортогональных к единичной окружности, притом отобразим так,
чтобы граничные точки av a2, а3 перешли в вершины треугольника.
Продолжая аналитически это отображение по принципу зеркаль-
зеркального отображения, мы придем к бесконечнозначной функции
х = х(г;ар а2, а3), дающей искомое отображение. В круге |л:| < 1
мы снова получим построенную выше фигуру F (модулярная фигура).
Обратная автоморфная функция z — z{x;ax, a.2, о,,) принадлежит
к классу модулярных функций*). Поверхность GaXav аъ> аз) ПРИ"
надлежит к гиперболическому типу.
Для р > 3 предыдущее построение отображающей функции
х (г ;#„,.., af) более невозможно (за исключением случая, когда
р.се точки ветвления а, расположены на одной окружности; в этом
случае, при р > 3, многоугольник Gx° уже не может быть взят про-
произвольно— он будет полностью определен своими тремя вершинами).
Для построения отображающей функции в случае р > 3 целе-
целесообразно совершить предварительное вспомогательное преобразо-
преобразование с помощью построенной выше модулярной функции. Однако
прежде чем к этому перейти, укажем некоторые свойства отобра-
отображающей функции в предположении ее существования.
*) О модулярных функции* см. Фор д, Автоморфные функции, ОНТИ,
М.-Л., 1936.
22 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ {ГЛ. I
Сначала покажем, что и для р>3 поверхность Ooo(av . . ,,ар)
принадлежит к гиперболическому типу.
В самом деле, если бы поверхность Ga3{a1, ..., ар) была парабо-
параболического типа, то ее можно было бы отобразить взаимно одно-
однозначно и конформно на всю конечную плоскость X, и обратная функция
г = z {х; а1г ¦.., ар) была бы однозначной и, с точностью до полюсов,
регулярной во всей конечной плоскости, т. е. г = г (х; av ..., ар)
была бы мероморфной функцией, притом не принимающей значений
av ..., ар, в частности трех значений а„ д2, Од. Но это невозможно
в силу теоремы Пикара, которая гласит:
Однозначная мероморфная для t ф со функция f (t), выпускаю-
выпускающая три различных значения av аа, as, тождественно равняется
постоянной.
Для доказательства этой знаменитой теоремы зафиксируем, следуя
классическому примеру Пикара [Ц, произвольную точку t ф °° и
в соответствующей точке г =/(?) — произвольную ветвь линейно-
полиморфной функции х = х (г; alt ait йд). При соединении этих двух
функций переменная х становится функцией x = x(f{?); а1,я2,я^)==
= <р(?) от t, которая неограниченно продолжаема во всей конечной
плоскости t ф оо, так как функция / (t) не принимает только кри-
критических для функции х (г) значений av a2, а3. В силу односвязности
области t ф со из теоремы о монодромии следует однозначность
функции <p(t), и так как она к тому же ограничена (|<р@|< *)>
то по теореме Лиувилля (Liouville) она приводится к постоянной.
Но функция х{г) отлична от постоянной, следовательно, к постоян-
постоянной приводится функция / (t), что и требовалось доказать.
Автоморфная функция z = z(x\av ..., ар) отлична от постоян-
постоянной; из теоремы Пикара следует тогда, что для р^З ее область
существования отлична от плоскости с выключенной точкой; следо-
следовательно, эта функция определена в единичном круге, и поверхность
наложения Оет (аи ..., ар) принадлежит к гиперболическому типу,
коль скоро число р граничных точек больше двух.
13. Теперь мы переходим к вопросу о том, как можно построить
фундаментальную область для р > 3 1). Можно показать, что, как и
в случаях р = 2, 3, фигура К, полученная при отображении области
G^G^-^-G^ посредством функции х = X (г ; а,, ..., ар), не только
топологически эквивалентна фигуре F, рассмотренной в п. 9, но что
при надлежащем выборе частей Gv Ga она тождественна с ней.
Для доказательства исследуем систему фундаментальных преобразова-
преобразований группы (S)—нреобразований наложения фигуры К, в качестве
которых можно, как уже было указано, принять систему р — 1 пре-
преобразований Su ..., Sp_v соответствующих обходам вокруг каждой
из точек г — аи ...,ap_v Изолировав точку яч кругом радиуса р,
выберем в кольце 0<|г—а, |< р произвольную точку г и в ней
См. F. NevanHnnaPl.
§ 3] случая плоакости с р выключенными точками 23
элемент функции х{г), испытывающий преобразование 5Ч, квгда
точка г совершает обход вокруг точки av. При неограниченном про-
продолжении этого элемента в кольце получается многозначная функция,
ветви которой связаны степенями ?,*(? = 0» rtl, ...) преобразо-
преобразования 5„ образующими подгруппу группы E).
Как преобразование, переводящее единичный круг в самого себя,
преобразование 5» может быть или. эллиптическим, или гиперболи-
гиперболическим, или параболическим (п. 6). Мы сначала покажем, что имеет
место последнее. При этом мы существенно используем то очевид-
очевидное обстоятельство, что при г -*¦ а, точка х (г) должна стремиться
к единичной окружности |jc| = 1.
Предположим сперва, что. 5, — эллиптическое преобразование
X — С2 Ct 6 — С2 - Ct
С неподвижными точками cv с2 (\с11 <1, Cjс2 = 1); тогда выражение
получает приращение ±2т«', когда точка г совершает обход вокруг
точки а„ переводящий значение х в значение I, получаемое из х
преобразованием Sv. Следовательно, функция
однозначна в кольце 0<|г—а, |< р, и так как она, в силу легко
доказываемого соотношения |ср|<1) там ограничена, то по теореме
Коши-Римана об устранимых особенностях аналитических функций
она регулярна и в точке Z = ач; пусть <р (а,) = 6,. Отсюда, учитывая
связь между ср и х, следует, что и функция х регулярна в точке
z = a^ если только ?, ф с\\ ес<"и же К = ci» т0 она разлагается в ряд
д: = с, + (г —я,) 2" Р(г—ач),
где Р(г—ач) означает ряд, расположенный по возрастающим сте-
степеням г — а„. Но оба эти случая невозможны, так как из них сле-
следовало бы, что для достаточно малых р функция х отображает круг
\z—я,|<р на область, лежащую целиком внутри круга |*|< 1,
в то время как при г -*¦ а, имеем | лг | —>• 1.
Предположим теперь, что S,—гиперболическое преобразование.
Если снова через сх и са обозначить его неподвижные точки, лежа-
лежащие на окружности |лг|—1, то 5, можно записать в виде
gut
где k — действительное число. Образуем затем выражение е х ,
беря при этом всегда ветвь логарифма, определяемую неравенство»
а < arg <р ¦< в + л> гДе в — величина угла, образованного окруж-
24 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. I/
ностью I лг | ===== 1 и хордой (cv c%). Если вместо х подставить функ-
функцию x(z\av ...,ap), то показатель степени будет получать прира-
приращение, кратное 2~/, когда z будет совершать полный обход вокруг
граничной точки а,, вследствие чего все выражение, будет опреде-
определять аналитическую функцию от г, однозначную в окрестности
точки а,,. Далее она там же ограничена, ибо ее. абсолютные значе-
значения ограничены и:ч те рва л ом \е >- , е х х/. По теореме Коши-
Римана мы снова заключаем, что эта функция регулярна в точке
z — a., и, так как ее модуль ограничен снизу, отлична от нуля.
Отсюда следует, что показатель рассматриваемого выражения, а, зна-
значит, и сама функция х регулярны в точке z = «v, что, очевидно,
противоречит определяющим ее свойствам.
Таким образом, преобразование S," не может быть также и гипер-
гиперболическим, следовательно, остается единственная возможность, что
оно параболическое. Отсюда можно вывести важное заключение
о поведении отображающей функции х в точке г е= ач.
Если дг = с„ является неподвижной точкой преобразования 5„
лежащей на единичной окружности, то S., можно представить в виде
Т~~- == * V I" + to,
С С, X С;
где а) — положительная постоянная (п. 6). Применяя теорему Коши-
Римана, заключаем, как и выше, что выражение
- 2-x+c,t
представляет функцию от г, регулярную в точке z = a4. Далее >J»(av)
должно равняться нулю, иначе мы пришли бы к тому же самому
противоречию, что и выше, именно, что функция х регулярна
в точке с = яч. Таким образом, в окрестности точки av имеем
разложение
6 (z) = b (z — a.,)n -f- .. . (n ^ 1, b ф 0)
и, следовательно,
Х = х с = Р -f" Т 1°1> (* °->) I e (Z °ч)>
где e(z — ач) исчезает при г-^а,1).
Из этого разложения прежде всего видно, что i ри г->я, рас-
рассматриваемая ветвь функции x(z) имеет неподвижную точку дс = с,
своим предельным значением. Далее видно, что точка х*, положение
которой вблизи точки г.= а^ асимптотически определяется выраже-
выражением P~{-^log(z — о,), описывает асимптотически некоторую пря-
л) Если граничная точка а., лежит в бесконечности, то в вышестоящем раз-
разложении нужно г — я„ заменить через —.
§ 3] СЛУЧАЙ ПЛОСКОСТИ С f) ВЫКЛЮЧЕННЫМИ ТОЧКАМИ 5
мую /.., когда точка z описывает в обоих направлениях небольшую
окружность \г— а, | = р; так как, с другой стороны, изменение
переменной х* ограничено левой полуплоскостью (которая соответ-
соответствует единичному кругу | х | < 1), то прямая ?р должна быть парал-
параллельна мнимой оси и, следовательно, образ указанной окружности
в плоскости х представляет замкнутую кривую, касающуюся еди-
единичной окружности в неподвижной* точке д; = сч. Всякой кривой,
оканчивающейся с определенным направлением в точке г = а, в плос-
плоскости х*, отвечает кривая, имеющая асимптоту, но уже параллель-
параллельную действительной оси; поэтому в единичном круге |.лг | < 1 такой
кривой соответствует дуга, ортогональная к единичной окружности
в точке х = с\. Совокупность всех точек с.л соответствующих точке
а, при различном выборе ветвей функции х(г), бесконечна. Все.
они располагаются всюду плотно на окружности |л:| = 1.
Теперь уже легко определить вид фундаментальной области авто-
морфной функции. Для этого мы снова выбираем р жордановых
кривых 0„ делящих область G на два полулиста G, и О2 (п. 9) так,
чтобы они оканчивались с определенными касательными в точках аг
Тогда, по вышеизложенному, всякому полулисту соответствует
криволинейный многоугольник Pv, вписанный в Единичный круг |лг]<1
и ограниченный р ортогональными к единичной окружности |jf| = l
лугами Ач, вершины которого являются неподвижными точками
параболических преобразований, соответствующих точкам а,. Два
смежных многоугольника образуют фундаментальную область F^
автоморфной функции.
Подходящим выбором кривых #, всегда можно добиться того,
чтобы многоугольники Рч были ограничены исключительно дугами
окружностей, ортогональных к единичной окружности. Достаточно
только, исходя из произвольной вышеуказанным образом построен-
построенной системы многоугольников />,, заменить в каждом многоугольнике
кривые X, дугами X, окружностей, имеющих общие с ними концы н
ортогональных к единичной окружности. Если 5—преобразование,
посредством которого связаны стороны А/, X/', соответствующие
„сечению" #,, то S переводит концы X/ в концы А/', следовательно,
преобразует друг в друга дуги А/ и А.,", через которые мы заме-
заменили стороны А/ и Xv". Двум произвольным таким дугам А/, А/'
отвечает поэтому одна вполне определенная дуга д„ имеющая общие
концы с дугой #,. Таким образом, чтобы получить фигуру, у кото-
гой все фундаментальные области ограничены дугами окружностей,
ортогональных к единичной окружности, нужно разбиение G^
совершить посредством сечений q4 *).
<) Даже при таком выборе сечений <?v обе „половины" фундаментальной
области, вообще говоря, не будут зеркально симметричными. Можно показать,
*по последвее имеет место только тогда, когда все точки а, расположены
ш* <>дн(.й окружности.
26 * КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ [ГЛ. I
14. От полного изложения доказательства существования отобра-
отображения G->K, предположенного нами выше для р > 3, мы должны
здесь отказаться. Наиболее простым оно получается, если пользо-
пользоваться методом аппроксимации Каратеодори-Кйбе (посредством кото-
которого нетрудно обосновать и фундаментальную теорему А!). Здесь
мы ограничимся лишь напоминанием следующих основных моментов
доказательства, построенного по этому методу.
a) Посредством линейно полиморфной функции х = х (г; alt a2, as)
область О отображается конформно на область О', получающуюся
из единичного круга |лг)<1 выключением бесконечного множества
образов a* (i = 1, 2, . ..) граничных точек z = ач (v = 4, ..., р),
b) Повторным применением известного преобразования извлечения
корня (Каратеодори-Кббе) область G' последовательно отображается
на области G*, состоящие из единичного круга, из которого выклю-
выключены образы точек av. Если за точку ветвления преобразования
выбирать всегда ближайшую к нулевой точке граничную точку обла-
области Gk, то отображение G -* Gk будет конформным. Число гранич-
граничных точек увеличивается с возрастанием к, но все они стремятся
к единичной окружности при &—>-оо.
c) Отображение G-^ Gk стремится при А-юо к определенному
предельному отображению, удовлетворяющему всем поставленным
требованиям.
Это доказательство существования одновременно показывает,
что, как это было выше доказано, подлежащая отображению уни-
универсальная поверхность наложения принадлежит к гиперболическому
типу.
§ 4. Общий случай /?-связной области.
15. Если область G ограничена не одними только изолирован-
изолированными точками и, следовательно, по крайней мере одно из граничных
множеств if, есть континуум, то Наиболее важные свойства отобра-
отображения G -у К могут быть получены комбинацией результатов преды-
предыдущего параграфа с теоремой А. Мы ограничиваемся при этом
наиболее важным для применений случаем, когда граничные множе-
множества if, суть жордановы кривые. Простоты ради предположим д<лее,
что ни одно из множеств -у, не приводится к одной точке; как изме-
изменить нижеследующие результаты для исключенных таким образом
смешанных случаев, будет ясно непосредственно, так что мы и
в дальнейшем не будем более подробно касаться этих случаев.
Пусть 7i—внешняя граничная кривая. Для построения искомого
отображения G-+K зафиксируем вне fl и внутри f2, ..., fv no
точке 2=я, (v=l,..., р) и отобразим сперва область (}«,(av ..., ар)
на единичный круг посредством функции х = х (г; alt ..., ар). При
этом дополнительные к G области перейдут в некоторые области
См., например, Caratheodory [*].
§ Щ ОБЩИЙ СЛУЧАЙ р-СВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ '27
Я,*, ..., Hpi, расположенные внутри единичного круга так, что их
границы, состоящие из соответствующих кривым fi жордановых
чривых i,*(t= 1, 2, .. .), касаются единичной окружности |х \ — 1
в неподвижных точках с,*, соответствующих точкам я„, за исклю-
исключением случая р — 2, когда кривые -уч< (v = 11 2) проходят чере.!
бесконечно удаленную точку. Сама область О переходит в одно-
связную область G', получающуюся из единичного круга удалением
всех областей Я,*. Искомое отображение получается просто даль-
дальнейшим отображением однолистной односвязной области О' на еди-
единичный круг, что возможно по теореме А.
Изоморфность фигуры К, получающейся в единичном круге
в результате таким образом построенного отображения, с фигурой F
очевидна, если только рассматривать внутренние точки единичного
круга; в самом деле, условия нашей проблемы относятся исключи-
исключительно к поведению отображения внутри областей О и А". Что
касается поведения отображения на границе, то рассматриваемый
случай, когда множества f, суть жордановы кривые, отличается
от случая Qoa[av . .., ар) уем, что на единичной окружности этим
множествам отвечает не последовательность точек, а последователь-
последовательность дуг хД В самом деле, из второй части теоремы А о соответ-
соответствии границ при конформном отображении однолистных областей
следует, что каждой жордановой кривой ff отвечает определенная
дуга y/ единичной окружности. В случае р = 2 число этих дуг сво-
сводится к двум дополнительным друг к другу дугам ?, и. f2 единичной
окружности. Напротив, в случае р ^ 3, где каждой кривой ^ отве-
отвечает бесконечно много кривых y,*> ДУГИ Т/ образуют весьма сложную
систему. Интересно знать, будет ли сумма длин этих дуг иметь пол-
полную меру 2it? Что это действительно гак и, следовательно, до-
дополнительное множество имеет меру нуль, будет показано в сле-
следующей главе.
II. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОЛИСТНОЙ
ОБЛАСТИ.
§ 1. Интеграл Пуассона.
16. В нижеследующих исследованиях существенно используются
некоторые теоремы из теории гармонических функций. Основу этих
теорем образует возможность решения ч ервой краевой задачи, т. е.
возможность построения в области G гармонической функции
с заданными краевыми значениями. Применяя результаты первой
главы, мы дадим в этом параграфе полное обоснование следующего
частного случая этой общей теоремы.
В каждой граничной точке г = С однолистной р-связной
области, расположенной в плоскости г и ограниченной жордано-
28 РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ [ГЛ. II
выми кривыми 1\, ..., Ур, задано действительное значение «(',)
так, что функция и (С) на каждой кривой Г., ограничена и, за
исключением быть может конечного числа точек, непрерывна.
Тогда существует одна и только одна ограниченная и гармони-
гармоническая в G функция, стремящаяся при приближении к точке не-
непрерывности г = С к соответствующему граничному значению и (С).
17. Если О есть единичный круг |г|< 1, то, как это впервые
показал Шварц'), краевая задача решается посредством интеграла
Пуассона
и {re*) ~±fu И) l+ltJ-^_4) d». A)
Как было показано в гл. I, § 1, ядро этого интеграла есть гармо-
гармоническая функция точки г = ге№\ тем самым и интеграл Пуассона
является гармонической функцией внутри единичного круга. Чтобы
далее убедиться, что определяемая интегралом Пуассона функция
стремится при г->С к заданному значению и (С), целесообразно
сперва рассмотреть более специальную краевую задачу, где функция
и (С) на некоторой дуге Cj C2 On = ei8j, C2 = eif>») единичной окружности
длины &2 — 8j = e @ < <x^2ic) принимает значение 1, в то врем»
как на дополнительной дуге она равна нулю. Интеграл Пуассона
переходит тогда в интеграл
9.
2*J 1 + /* —2/-cos (»—?)'
последний совпадает с определенной на стр. 14 „гармонической
мерой" ш(г; ft1} &з) дуги (Ь1У &2) и,- следовательно, как там было
показано, удовлетворяет требуемым краевым условиям.
Заметив это, вернемся к общему интегралу A), который можно
также записать в виде
и (*)= J и (е'8) do> (г; 0, ft). A')
Пусть С=С0=е*8» есть точка непрерывности функции и (С), г—про-
г—произвольное малое положительное число и пусть ftt ^ Ь ^ ft2 опреде-
определяет содержащую Со дугу единичной окружности, где колебание
функции и (С) меньше, чем s. Тогда
»-. -о
».
f < г > da + j (н (в'") — « (;0)) а!ш,
») Н. Schwarz I1].
§ 2] РЕШЕНИЕ ОБЩЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 29
где < е > означает величину порядка < е 1). Абсолютная величина
первого члена здесь меньше, чем г, в то время как абсолютная
величина второго члена не превосходит 2М а> (г; &2, &х -j- 2ic), Где М
означает максимальное значение | и (Q |. Если теперь г устремить
к точке ?0 = е**°, где &t < ft0 < ft.,, то гармоническая мера
«о (z; &2, ft, -j- 2ic) будет равномерно стремиться к нулю. Поэтому
можно найти такое число р,, что для \г — Со ] < р. имеем а> < е. Для
этих значений г выполняется неравенство
откуда следует, что при z-*i^ функция u(z) равномерно стремится
к u(Q.
В точке разрыва -.0, где существуют левый и правый пределы,
соответственно и(е*(8°-°)) и н (е*'(*°+°)), функция и (г) при стремлении
точки z к ?0 вдоль пути, образующего угол Air с положительным
направлением касательной, проведенной к единичной окружности
j z \ — 1 в точке С0) стремится к значению
О)) _|_ A __ X) м
Доказательство последнего вполне аналогично построенному выше
для точек непрерывности.
18. Докажем еще, что интеграл Пуассона u{z) дает для круга
|гг|<1 единственное ограниченное решение поставленной краевой
задачи. В самом деле, пусть и^ (г) такое решение; тогда разность
v{z) = и (г) — "i(^) является в круге |г|<1 ограниченной' гармо-
гармонической функцией, равной нулю во всякой граничной точке ', за
исключением быть может конечного числа точек разрыва d» ..., ?„
граничной функции и (С), вблизи которых она во всяком случае
остается ограниченной. Но тогда из принципа максимума и мини-
минимума гармонической функции следует, что разность v(z) тожде-
тождественно равна нулю, что доказывает единственность решения.
Дальше (глава VII) мы увидим, что интеграл Пуассона приводит
к решению проблемы Дирихле при гораздо более общих условиях.
§ 2. Решение общей краевой задачи.
19. Если предположить, что область G ограничена одной жор-
лаиовой кривой Г, то построение гармонической функции, удовле-
удовлетворяющей поставленным в § 1 краевым условиям, можно свести
к случаю круга, отображая для этого конформно область О на еди-
единичный круг К- Так как по теореме А это отображение остается
непрерывным и взаимно однозначным на границе, то заданная на Г
функция u(Q переходит в определенную на единичной окружности
функцию, непрерывную всюду, за исключением быть может конеч-
!) Этим обозначением, введенным Линделофом (LlndelOf), мы будем
часто пользоваться и в дальнейшем.
30 РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ [ГЛ. П
ного числа точек. Решая с помощью интеграла Пуассона полученную
краевую задачу для круга и переходя посредством отображения
K-+G обратно к области G, мы получим функцию и{г), гармони-
гармоническую в О и принимающую на Г заданные краевые значения м(С).
Гармоничность функции и {г) следует из инвариантности этого свой-
свойства относительно конформных отображений.
20. Чтобы решить поставленную краевую задачу для общего
случая, когда граница области G состоит из нескольких различных
жордановых кривых 1\, ..., Тр, мы воспользуемся рассмотренным
в гл. I, § 4 конформным отображением универсальной поверхности
наложения многосвязной области G на единичный круг К- Это
отображение достигается линейно-полиморфной функцией x — x(z),
притом так, что каждой кривой Г, соответствует в случае р = 2
единственная граничная дуга f,, а в случае р > 2— бесконечная
последовательность открытых непересекающихся дуг f^1, хД ¦ • •
единичной окружности | _лс | ===== 1 (ср. п. 15); соответствие между кри-
кривой Г, и всяким ее образом f.,1" взаимно однозначно и непрерывно.
Определим теперь на дугах т,* множество краевых значений и (?),
полагая и (S) = и (С), где Е — точка дуги if,*» однозначно соответ-
сгвующая точке ? дуги Г,. Если дополнить определение и(?), полагая
к = 0 в точках единичной окружности |?| = 1, не принадлежащих
ни к одной из открытых дуг if,', то можно воспользоваться инте-
интегралом Пуассона (х = re{*, \ = е№)
Подинтегральная функция и (eib) имеет вообще довольно сложный
характер разрывности; тем не менее интеграл имеет смысл (даже
как интеграл Коши), так как efo можно представить в виде сходя-
сходящегося ряда интегралов, взятых по отдельным дугам -f,*. Этот ряд,
как легко видеть, сходится абсолютно и равномерно во всякой
внутренней области круга К и, следовательно, его сумма и является,
по теореме Вейерштрасса (Weierstrass) о рядах, гармонической
функцией в круге К-
При приближении к произвольной точке некоторой дуги ^Л
явля ощейся точкой непрерывности множества граничных значений иA),
функция и(х) стремится к соответствующему краевому значению,
так как в силу результатов гл. II, § 1 часть интеграла Пуассона,
приходящаяся на дугу ^, стремится к этому значению, в то время
как остальная часть интеграла стремится к нулю.
Функция и(х) обладает еще другим важным для нас свойством:
она является автоморфным потенциалом, инвариантным относи-
относительно преобразований группы Е соответствующей линейно-поли-
линейно-полиморфной функции x = x{z). Чтобы в этом убедиться, рассмотрим
элемент интеграла Пуассона для некоторой внутренней точки е**
§ 3] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 31
дуги f/. Если здесь произвести преобразование S группы ?. то
множитель и{е№) в силу определения краевых значений остзнется
без изменения. Что касается второго множителя, т. е. дифереи-
циального выражения
-2/-cos(&— >
то он является, как это было показано в гл. I, § 1, инвариантом
относительно всех вообще линейных преобразований, переводя-
переводящих единичный круг в самого себя. Таким образом, всякий элемент
интеграла Пуассона сохраняет свое значение при преобразовании Si
следовательно, это же справедливо и для всего интеграла.
Из этого свойстза инвариантности следует, что функция и(z)s
==~u(x(z)) однозначна в G. В самом деле, если точка z опишет,
исходя из некоторой точки z0, замкнутый путь в О, то соответ-
соответствующее значение отображающей функции x(z) испытает некото-
некоторое преобразование 5 группы 2 и, следовательно, конечное значе-
значение к(z) совпадет с начальным.
Из рассмотренных выше свойств непрерывности отображения
G -*• К в граничных точках области G следует далее, что функция
и (z) стремится при г->С к соответствующему краевому значению
и (С). Гармоническая функция и (С) является, таким образом, ре-
решением поставленной краевой задачи. Что полученное решение
является единственным, доказывается аналогично тому, как это было
сделано в п. 18.
Теперь мы в состоянии провести имевшееся в виду в конце
гл. I доказательство того, что дуги if,*, соответствующие при ото-
отображении G->iC кривым Г„ заполняют почти всю окружность
|jc| = 1. В самом деле, гармоническая мера всей границы Г тожде-
тождественно равна 1. С другой стороны, по предыдущему это можно
вапнсать в виде?
1 1_ С 1—г* .ft
2п J 1 +r* — 2rcos(» — ?) '
где интеграл распространен на все дуги к,*; полагая /- = 0, мы
получим
> = 2*,
J
откуда следует, что сумма длин дуг fj равна 2ж.
§ 3. Интегральное представление решения краевой задача
посредством гармонической меры.
21. Пусть а — множество точек, состоящее из конечного числя
граничных дуг области G. Из результатоз § 2 этой глазы следует,
что существует одна и только одна функция, гармоническая и
Ъ2 РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ [ГЛ. II
ограниченная в G, принимающая во всех внутренних точках мно-
множества а граничное значение 1 и исчезающая во всех внутренних
точках дополнительной части $ границы Г~а-\-$. По аналогии
с п. 5 назовем значение этой функции в точке z области G гармо-
гармонической мерой множества а в точке z относительно области О
и обозначим ее через а>(г, a, G) или, короче, через а» (г, а), если
это не будет вызывать неясности.
Если а совпадает со всей границей Г, то гармоническая мера о>
тождественно равна 1; в остальных случаях она изменяется в G
между 0 и 1. Если дза множества граничных дуг а и 3 не имеют
общих точек, то а> {г, а) -f- а> (z, ,3) = а> {z, f), где f = «--j- J3; в частно-
частности а)(г, a)-\-w(z, j3) = l, если a-j-p = l. Таким образом, га]-
моническая мера является аддитивной функцией граничных дуг.
Чтобы более подробно изучить зависимость гармонической меры
от а, представим себе единичный интервал 0^?<1 разбитым
произвольным образом на р частей ^_!^^<^, (v=l, ...,/>;
fo = O, tp=l), v-я из которых поставлена во взаимно однознач-
однозначное и непрерывное соответствие с жорданозой кризой Г„ границы
r^Tj-j- ... +Гр области G так, что граничная точка "(*) про-
пробегает Г в положительном относительно G направлении, когда t
непрерывно возрастает от 0 до 1. Пуст!, a (t) — t;i часть границы V,
которая соответствует интервалу @, /).
Докажем, что ш(г, а@) Ддя всякого фиксированного значения
z является непрерывной монотонно возрастающей функцией от t.
В самом деле, пусть Af > 0 и Да-—^та часть Г, которая соответ-
соответствует интервалу (/, t-\-&t). В силу аддитивности ш приращение
Дш = «B, a(t-^-&t))—(о(z, а(/)) = а>{г, Да) положительно и, сле-
следовательно, ш возрастает. Опишем теперь вокруг конца С (t) дуги
Да наименьший круг \z — C@I^Pv содержащий эту дугу. В силу
непрерывности граничной точки С как функции от t, рл -> 0 при
CU -*¦ 0. Если теперь \г — *(/)[^;rf — круг, содержащий зсю об-
область О, то
log •
.o8-
является в G гармонической неотрицательной функцией, которая
в круге \г — ?|-^Рд> следовательно, в частности и на дуге Да
больше или равна 1. Таким образом, эта функция является мажо-
мажорантой для гармонической меры До» = о» {z, Да), и так как и (г) -»• О
при фиксированном z и Д* -*¦ О, рд -*¦ О, то и До» -»• 0. Тем самым
доказано, что гармоническая мера непрерывна спраза; непрерыв-
непрерывность слева доказывается вполне аналогично. '
Таким образом, имеется взаимно однозначное и непрерывное
соответствие между интервалами 0<^<1 и (К<^о»<1. Если <в
§ 4] ФУНКЦИЯ ГРИНА И ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА 33
пробегает интервал @, 1), то граничная точка С пробегает в поло-
положительном направлении всю границу Г, и наоборот.
•22. Теперь мы можем показать, что решение u(z) предложенной
на стр. 27 краезой задачи может быть представлено в виде
B)
где a) = o»(z, <х@) и ? = ?(*)• Для частного случая, когда О — круг,
это было уже показано в п. 17; именно, з этом случае интеграл B)
переходит в интеграл Пуассона. В общем случае рассуждениями,
вполне аналогичными приведенным на стр. 28, легко убедиться,
что функция и (г), представленная интегралом B), удовлетворяет
поставленным краезым условиям. Далее и (г) ограничена: она изме-
изменяется, как это видно из B), между верхней и нижней границами
граничных значений и (С), ограниченных но предположению. Нако-
Наконец, интеграл B) представляет в G гармоническую функцию.
Последнее сзойство наиболее просто получается из определения
интеграла B) как предела функции
при п -*¦ со, где A,o»(v = l, ..., и) означают гармонические меры
дуг, на которые некоторым образом разбивается вея граница Г;
точки С, на этих дугах взяты произвольно, а сами дуги выбираются
так, чтобы их диаметры (максимальное расстояние между дзумя
точками одной и той же дуги) стремились к нулю при и -> со.
Функции ип {г) являются гармоническими в G, и так как сходимость
во всякой области, лежащей целиком знутри О, равномерна J), то
и предельная функция и (z), по теореме Вейерштрасса о равномерно
сходящихся рядах аналитических (или гармонических) функций, яз-
ляется гармонической.
Из вышедоказанных свойств интеграла B) следует, что он
действительно, как это утверждалось, представляет решение краевой
задачи.
§ 4> Функция Грина н гармоническая мера.
23. При некоторых дополнительных предположениях о гра-
границе Г области О, пользуясь функцией Грина g(x, у) области О,
можно получить другое интегральное представление для решения и {г).
1) Для доказательства равномерной сходимости нужио сперва изолиро-
изолировать точки разрыва функции и (С) небольшими дугами, гармоническая мера
которых относительно некоторой области, лежащей внутри G, меньше е;
остальная часть суммы отличается тогда от интеграла на величину, абсо-
абсолютное значение которой меньше максимального колебания функции и (О
на дугах разбиения Г.
3 В. Н
еванлинна.
34 РВШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ [ГЛ. Я
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые основные свойства
этой функции.
1) g(x, у)— гармоническая в G функция точки z = х, за исклю-
исключением точки х = у, в которой она положительно бесконечна, при-
причем так, что функция •
g(x, У) + log | х~у\
гармонична и в точке х — у *).
2) g(x, у) равна нулю з каждой граничной точке лг = С обла-
области G.
Согласно принципу минимума функция g(x, у), не отрицатель-
отрицательная в граничных точках области, состоящей из области О с вы-
выключенной ' точкой х = у, положительна в каждой точке области G.
Упомянутая в свойстве 1 функция, гармоническая всюду в G,
имеет граничные значения log|C—у\ и, следовательно, по фор-
формуле B) допускает представление:
g{x, J0 + log|x—^| = Jllog|C—jM«fa(*, «(О)-
Г
Отсюда, в частности, видно, что функция g(x, у) является гар-
гармонической также и относительно переменной у. Это замечание
приводит к важному свойству симметрии функции Грина: выражение
d(x, y) — g(x, у) — g{y, x) есть гармоническая функция как от х,
так и от у. Если изменять сперва только х, то граничные значения
функции ^(л:, у) равны нулю, в то время как функция g(y, x)
во всяком случае не отрицательна; поэтому lim d ^ 0 в граничных
точках jc = С и в силу принципа максимума d.4^0 всюду в обла-
области G. С другой стороны, если те же рассуждения прозести отно-
относительно переменной у, то получится d^-О. Следовательно, выра-
выражение d(x, у) должно тождестзенно равняться "нулю, т. е. имеет
место соотношение симметрии
g(x, y)=g{y, x).
24. Будем теперь предполагать, что граничные кривые Г обла-
области G гладкие !) и что функция Грина на этих линиях имеет непре-
непрерывные производные. Оба эти предположения выполняются одно-
одновременно, если, например, граничные кривые аналитичны, так как тогда
по принципу зеркального отображения g(x,y) гармонически продол-
жима за Г. Далее предположим, что и построенная по граничным зна-
значениям м(?) гармоническая функция u{z) обладает непрерывными про-
производными на Г 2). Тогда мы можем зоспользоваться формулой Грина
*) Предполагается, что G не содержит бесконечно удаленной точки.
*) Т. е. непрерывны и имеют непрерывно вращающуюся касательную.
•) Если Г аналитична, то для этого достаточно, чтобы граничная
цня «(С) обладала непрерывной производной ва Г.
§ 4] ФУНКЦИЯ ГРИНА И ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА 35
где U и V дважды дифёренцируемы з О и один раз непрерывно
диференцируемы на Г, ds— длина элемента дуги на Г, da-г- вели-
величина элемента площади в области G, Д — оператор Лапласа, и про-
производные в левой части равенства взяты по внутренней нормали
к Г. За функцию U{z) возьмем выше построенную функцию и (г),
за функцию V{z) — функцию Грина g(z, 20) области О. Изолируя
полюс г = г0 небольшим кругом радиуса р и применяя к остальной
части области G формулу Грина, получим, совершая предельный
переход р -» 0, следующую формулу, в которой зместо z0 написано
просто г, а подвижная граничная точка обозначена через С:
25. Если предположить, что граничные кривые Г, аналитичны и
что функция и (г) удовлетворяет на Г условиям, при которых
остается справедливой формула C), то последнюю можно привести
к более простому виду, пользуясь гармонической функцией, сопря-
сопряженной к функции g({., z) относительно переменной С Эта функ-
функция,— h (С, г), определена с точностью до аддитивной постоянной и
допускает в силу свойства 1, п. 23 разложение вида *)
А (С, *) = arg (С —
где v(z) — функция, гармоническая и однозначная в окрестности
точки С = 2. Если С описызает в .положительном направлении малую
окружность вокруг полюса z, то h получает приращение 2it. Если
О многосвязна, то, вообще говоря, когда С пробегает внутренние
граничные кривые Г2, ..., Г, то и v(z) получает известные адди-
аддитивные приращения (модули периодичности).
Согласно уравнениям Кошн-Римана в граничной точке С имеет
место соотношение
дп
где последняя производная взята в положительной направлении эле-
элемента граничной дуги ds, и формула C) принимает вид
D)
где С пробегает Г в положительном направлении.
Сразненне с интегральным представлением B) (гл. II, § 3) ука-
указывает на связь функции h с гармонической мерой дуги а = а(С),
ограниченной фиксированной граничной точкой Со и подвижной
граничной точкой С. В самом деле, предстазляя гармоническую
меру дуги a(Cj) по формуле D), полагая, следовательно, и(С) = 1
*) Так как выражение ?(?, г) — ih(С, г) + log (С — г) в окрестности
точки ? = -г есть однозначная аналитическая функция.
36 РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ [ГЛ. И
на а и и (С) = 0 в остальных граничных точках, мы получим
«ф, «) = ^ J ^Л (С, 2) = ^[A(d, z)~h(Co, z)\.
Таким образом, гармоническая мера ш (г, а) равна деленному на
2ic приращению гармонической функции — А (С, z), когда С пробе-
пробегает в отрицательном направлении дугу а, где — h ($., z) сопряжена
{относительно С) к функции Грина #(С, .г).
26. Этот результат мы получили при известных дополнительных
предположениях о непрерывности границы Г. Если мы теперь вер-
• немея к первоначальным предположениям, именно, что граничные
кривые Fv — произвольные жордановы кривые, и заметим, что функ-
функция Грина, сопряженная к ней функция — А и гармоническая мера
дуги а существуют и в этом случае, то, естесгвенио, встает во-
вопрос, не сохраняется ли установленное выше соотношение и при
этих общих предположениях. Мы сейчас докажем, что это действи-
действительно так.
Для этой цели нужно сперва показать непрерывность функции А
на границе области.
Если посредством функции z = г (л:), отображающей единичный
круг |л:|< 1 на универсальную поверхность наложения О°°, перейти
к функции g{z\x), z0), то последняя в силу взаимно однозначного
и непрерывного соответствия между 1\ и f,* (ср. п. 15) будет
обращаться в нуль на всякой такой дуге -j,' и, следовательно, по
принципу зеркального отображения, будет на этих дугах гармо-
гармонична. Отсюда следует, что сопряженная функция — h(z(x), z0)
также гармонична на f/ и, следовательно, во всяком случае непре-
непрерывна. Следовательно, и А (г, z0) непрерывна на Г„ что требова-
требовалось доказать.
Линии уровня функций ^(л:, у) и h(x, у) при фиксированном
полюсе х =у взаимно ортогональны. Для больших значений X > О
линии ^(л:, у) = X замыкаются вокруг полюса х =у и непрерывно
стягиваются к этому полюсу при неограниченном возрастании X.
При X убывающем и стремящемся к нулю линии g расширяются и
стремятся к границе области G. Если G многосвязна (р > 1), то
это стремление происходит следующим образом: при некоторых
значениях X линии ?=Х самопересекаются, после чего они распа-
распадаются на отдельные замкнутые кривые, число которых становятся,
наконец, равным р; при X ->¦ 0 эти р замкнутых кривых непрерывно
переходят в граничные кривые Г,. Во всем этом легко убедиться
с помощью принципа минимума гармонической функции.
Особенный интерес представляют точки самопересечения линий
уровня функции Грина. Число этих точек равно р—1 *).
*) Каждая точка считается со своей кратностью, которая на единицу
меньше числа проходящих через нее различных ветвей линии.
§ 4] ФУНКЦИЯ ГРИНА И ГАРМОНИЧеСКАЯ МЕРА 37
Для доказательства заметим, что аналитическая функция/(лг) =
= g(x, у)— ih(x, у) переменной х регулярна во всех точках
лгфз/ области О и на всяких замкнутых путях, не проходящих
ч'ерез точку х=у, получает, в силу однозначности ее действитель-
действительной части, приращения, язляющнеся линейными комбинациями,
(с целочнсленными коэфициентами) чисто мнимых модулей перио-
периодичности; последние равны приращениям, которые получает функ-
функция h(x, у) при обходе вокруг кривых Г2, ..., Тр или вокруг
полюса х—у. Отсюда следует, что производная f (x) регулярна
и однозначна в G. Во всякой точке х, где /' ф 0, отображение,
даваемое функцией /, конформно, и, следовательно, через эту точку
проходит только одна регулярная g-лнния и только одна ортого-
ортогональная к ней А-линия. Если, напротив, в точке х производная /'
имеет нуль порядка &>-1, то отображение в этой точке уже не
будет конформным; в этом случае точка х есть точка пересечения
k -j-1 различных ветвей некоторой ^-линии и стольких же раз-
различных ветвей некоторой А-линии. Касательные к этим ветвям
делят всю плоскость на равные углы величины " *). Таким
образом, точки самопересечения линий уровня функций Грина
совпадают с нулями производной /' и имеют одинаковую с ними
кратность. Остается подсчитать число этих нулей.
Чтобы подсчитать число нулей производной /*, возьмем такое
большое значение \t > 0 и такое малое значение Х2 > 0, чтобы
линия g—\ была жордацовой кризой, окружающей полюс Х=у,
а линия g — ^ распадалась бы на р жордановых кривых. Тогда
в областях g^-^i и ?<^2 производная /' наверное отлична от
нуля. Число же нулей производной /' в области , Aj > g > X^, по
принципу.вариации аргумента аналитической функции, равно прира-
приращению arg/' при положительном обходе границы области, делен-
деленному на 2it. Но -Д —0 вдоль линии g, поэтому, если диференциад
dx совпадает с положительно направленным элементом границы
области \> g~>\, то во всякой граничной точке этой области
и, следовательно, arg/'(x) = —arg dx -\- const. При положительном
обходе границы рассматриваемой области argdx получает прираще-
приращение 2т: на внешней части линии g=^hi, в то время как на каждой
из р — 1 внутренних ее частей и на линии g=^t он убывает
на 2тг. Таким образом, полное приращение arg/'(л:) равно 2т: (р — 1),
откуда видно, что число нулей производной / равно р — 1.
*) Характер многолистного отображения в окрестности нуля произ-
производной проще всего уяснить себе, рассматривая отображение w =» .г*^1
в окрестности точки г = 0. См., например, Курант, Геометрическая те*»
рия функций комплексной переменной. ОНТИ, М.-Л., 1934, стр. 139.
38 РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ [ГЛ. II
Относительно поведения линий А нужно заметить следующее:
если О односвязна, то —g-\-ih просто равно логарифму функции,
отображающей О на единичный круг, притом так, что полюс х=у
переходит в нулевую точку. Линии h являются, следовательно, обра-
образами радиусов единичного круга; они выходят из полюса х—у
так, что дзе линии, соответствующие значениям hv А2, пересекаются
под углом А2— hx и оканчиваются в определенных граничных точ-
точках. Если граничная точка совершает полный обход (в положитель-
положительном направлении), то А получает приращение 2ir.
Если О многосвязна, то функция t — e-0+ih уже не однозначна
в G. Однако, если ограничиться подобластью ?>Х>0, где X
выбрано настолько большим, чтобы эта подобласть Gx была одно-
связна, то предыдущая показательная функция устанавливает взаимно
однозначное и конформное отображение области Gx на круг
|?|<е-х, откуда следует, что в области Ох линии h ведут себя
вышеописанным образом. Поэтому и в случае многосзязной области
имеет место соответстзие между линиями А, выходящими из полюса,
и интервалом @, 2ir), соответствие, при котором две линии, соот-
соответствующие значениям hlt А2> пересекаются под углом А2—hv
Вне области Gx некоторые линии А (в конечном числе) самопе-
самопересекаются, при этом обязательно в точках разветвления линий g,
о которых говорилось выше. Каждая
такая линия h играет роль граничной
линии, разделяющей линии А, соответ-
соответствующие непосредственно большим и
меньшим значениям А, на две группы,
оканчивающиеся на различных гранич-
граничных кривых Г,. Через каждую точку
разветвления проходят по крайней мере
две зетви такой граничной линии А, и
из сегментов этих зетвей всегда может
быть составлена дуга, не проходящая
Фиг. 4. через полюс и соединяющая две гра-
граничные кривые друг с другом [см. фиг. 4,
на которой для случая р = 2 указано расположение граничных
линий h и линий g (пунктиром) с двойной точкой].
Теперь легко показать, что гармоническая мера <а(г, а) гра-
граничной дуги а равна приращению функции h (С, г) на этой дуге,
деленному на 2тс. В самом деле, если через концы дуги а провести
соответствующие им линии А = А1, h = h% (О^Дз — Ai<^2ir), то
они вырежут из линии ^=Х>0 некоторую дугу ах, которая при
Х-+0 будет непрерывно переходить в дугу а. Если Gx — область,
определенная соотношением g > X, то, по стр. 36,
2тш(г, аъ в{) = А2 — ht.
С другой стороны, линия # = Х при Х->0 стремится к гра-
границе Г, откуда следует, при учете определяющих сзойств гармони-
§ 5] О ЛИНИЯХ УРОВНЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ 39
ческой меры, что для .достаточно малых значений X абсолютная
величина разности
на'линии g=y. может быть сделана сколь угодно малой; з силу
принципа максимума это справедливо и для всей области Gx, откуда
следует, что при X -» О предыдущая разность стремится к нулю
в любой заданной точке г. Таким образом,
что и требовалось доказать.
Одновременно получается новая геометрическая интерпретация
гармонической меры:
Гармоническая мера граничной дуги в некоторой точке z равна
деленной на 2ir величине угл{г, заключенного между линиями
Л = const, идущими из точки z к концам этой дуги.
§ 5. О линиях уровня гармонической меры.
27. Если G есть единичный круг, а а — граничная дуга, отличная
от полной единичной окружности, то линии уровня К\
совпадают с дугами окружностей, соединяющих концы дуги а.
Отсюда с помощью конформного отображения заключаем, что и
в тех случаях, когда а является граничной дугой области G, огра-
ограниченной одной жордановой кривой Г, система линий уровня гар-
гармонической меры ведет' себя аналогичным образом, а именно, линии
К\ соединяют концы дуги а и покрывают один раз область О,
когда X изменяется от 0 до 1.
28. В общем случае, когда а состоит из конечного числа дуг,
расположенных на кривых Г, (v=l, ..., р), ограничивающих
область Q, линии ш распадаются вообще на отдельные изолирован-
изолированные зетви. Пусть {3—дуги, дополнительные к а. Так как з каждой
внутренней точке дуг а, соответственно дуг р, ш равно 1 или 0, то
линии ш для 0 < X < Г не могут оканчиваться в этих точках. Таким
образом, остаются только две зозможности: либо они оканчиваются
в концах дуг а, либо они замкнуты; в последнем случае они содер-
содержат внутри себя одну или несколько граничных линий Г, (как
вообще всякая замкнутая часть линии урозня).
Рассмотрим теперь аналитическую функцию
B, а, О),
где ш означает сопряженную к ш функцию; она определена с точ-
точностью до аддитивной постоянной. В случае многосвязной области
(р > 1) она получает на замкнутых путях приращение, линейно
зависящее от модулей периодичности, соответствующих внутренним
граничным кризым Г2, ..., Тр.
40 РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ [ГЛ. Й
Если, в частности, О есть полуплоскость и а — интервал (zv z2)
на ограничивающей ее прямой, то ш имеет вид
1 г —г.
— are -,
и, следовательно,
откуда видно, что эта функция отображает область О взаимно
однозначно и конформно на полосу Р:
: 0<ш<1
в плоскости «р = ш-{-гш. Аналогичное справедливо тем самым и для
области G, ограниченной произвольной жордановой кризой Г, на
которой рассматривается одна дуга а. При отображении G -*¦ Р
точкам разрыва функции <о(г) соответствуют бесконечно удаленные
граничные точки ш = ± оо.
29. Если р > 1 или а состоит из нескольких дуг, то значения
функции <р, очевидно, все еще попадают на полосу Р; однако, ото-
отображение, даваемое этой функцией, уже более не конформно во
всех без исключения точках области G. Конформность отображения
нарушается в точках, являющихся нулями производной <е' (z), кото-
которая, в силу выше рассмотренных свойств функции y(z), однозначна
и регулярна в области G. Эти исключительные точки совпадают
с точками разветвления линий уровня ш —X.
Покажем сперва, что число этих точек конечно, для чего доста-
достаточно показать, что ни одна граничная точка не является для них
предельной. Пусть С — произвольная граничная точка, лежащая,
например, на внешней граничной кривой 1\. Отобразим конформно
область, ограниченную кривой Гр — она, очевидно, содержит
область О как часть—на полуплоскость 2(-*);>0. Функция <р пере-
переходит при этом в регулярную функцию <р*(л:), определенную
в некоторой области G* этой полуплоскости; кривой Yt соответ-
соответствует действительная ось, а точке С — некоторая точка X, в окрест-
окрестности которой и должно быть исследовано поведение функции <p:i:.
.Если С — точка непрерывности гармонической меры ш, то послед-
последняя как функция от х принимает на небольшом граничном
сегменте, содержащем точку I, значение 1 или значение 0 и, следо-
следовательно, по принципу зеркального отображения гармонична
в некоторой окрестности \х—?|<!У точки ?; следовательно, функ-
функция а* здесь регулярна. Далее, «*' (?) ф 0. В самом деле, <р* прини-
принимает в точке лг = ? значение, лежащее на границе полосы Р, в то
время как ее значения в полукруге \х — &|<У, 3(*) > 0 лежат
внутри р. Если же <р*' E) равнялось бы нулю, то «* принимала бы
в этом полукруге значение, лежащее вне Р. Следовательно,
tp*' (E) ф 0, и можно найти окрестность точки \, в которой произ-
производная ф*' всюду отлична от нуля. Этой окрестности в плоскости z
§ 5] О ЛИНИЯХ УРОВНЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ 41
соответствует окрестность граничной точки С Но ®' {г) = -2— —?- ,.
и так как —г-, в силу конформности вспомогательного отображе-
отображения, отлична от нуля, то отсюда следует, что точка С не может
являться предельной для нулей производной ©'.
То же самое справедливо, если точка С является концом неко-
некоторой дуги а. Пусть С является начальной точкой некоторой дуги а,
т. е. пусть граничная точка двигается в положительном направле-
направлении, когда, начиная с точки С, она пробегает дугу а. Тогда дей-
действительная часть « преобразованной функции <р* (х) принимает
значение 1 на интервале 0<л: — ?<р действительной оси и зна-
значение 0 — на интервале —р<х — ?<0 (для достаточно малого
р > 0). Но тем же свойством обладает и функция
1 , 1
отображающая верхнюю полуплоскость на полосу Р так, что ча-
части лг>$ действительной оси соответствует прямая <п = 1, а4
части х <? — прямая <о = 0. Следовательно, действительная часть
функции
() *
непрерывна и равна нулю во всех точках 0<|х — ?|<!р Дей-
Действительной оси, в то время как в окрестности точки х — 0 она
ограничена. На основании принципа зеркального отображения ty(x)
регулярна в круге \х—iS|<[p, и, следовательно, для у* мы имеем
разложение
откуда видно, что при z -* С функция в» (г, а, О) стремится к — со,
а ~— имеет пределом бесконечность. Таким образом, производная
ф' (г) = -Л— -г- в окрестности точки С отлична от нуля.
Из E) далее видно, что для достаточно малых значений г функ-
функция ср* (дг) отображает полукруг | х — \ \ •< г, 3 (#) > 0 взаимно одно-
однозначно и конформно на определенную подобласть Рг полосы Р.
Чтобы это строго доказать, напишем х—| = ге", ty = u-\-iv и
o:!: = a>-j-ia>; тогда из E) мы получим соотношения
» =——+"+1,
дф 1 . да
Ж
42 РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ДИРИХЛЕ [ГЛ. П
Согласно уравнениям Коши-Римана имеем тк- = — г -jr-, где
dv .
производная j—, в силу гармоничности функции v в окрестности
точки х — \, ограничена. Таким образом, -щ- -*¦ 0 при r-+Q, и,
•следовательно, для достаточно малых г значение производной -^-
во всяком случае отрицательно.
Возьмем теперь г настолько малым, чтобы последнее свойство
«мело место в рассматриваемом полукруге. На полуокружности
\х— \\ = г, ЗС*0>° производная -^-<°; следовательно, когда
точка х = ге*ь описывает эту полуокружность, точка y* = (a-\-i<a
описывает простую кривую br, соединяющую прямые <о = 0 и о> = 1
друг с другом. Это сечение Ьг делит полосу Р на две односвязные
¦части, из которых нижняя, Рг, является образом полукруга. Ил
предыдущего следует, что границы этих областей связаны взаимно
однозначным и конформным соответствием. Что и сами области
связаны взаимно однозначным и конформным соответствием, полу-
получается тогда известным образом из принципа аргумента, если учесть
•соотношение i rftp* 2__ / дт\* 1 / д*у
\!п~ ~{~дг) >7*\W)'
или также из того, что как функция <р* в полукруге, так и обрат-
обратная к ней функция в Рг неограниченно продолжаемы; на основании
теоремы о монодромии они определяют в этих областях одно-
однозначные функции.
Заметим еще следующее: если число г однажды уже выбрано
таким образом, чтобы предыдущий результат был справедлив в полу-
полукруге \х — ?|^г, 3(л;)>0 для некоторой ветви функции о*> то
в этом же полукруге результат справедлив и для всех ветвей
функции ®*. В самом деле, две такие ветви отличаются лишь на
мнимую аддитивную постоянную, так что перемена ветвей влечет
лишь параллельный сдвиг области Рг.
Аналогичным образом ведзт себя функция <р в „конечной
точке* С. Такая точка соответствует бесконечно удаленной точке
<о = -)- оо полосы Р.
30. Изолируем теперь все точки разрыва функции ш небольшими
дугами В, на которых о> = const. В силу предыдущего эти дуги
можно выбрать так, чтобы они для каждой точки разрыва отделяли
такую ее окрестность, в которой производная ср' отлична от нуля.
Далее можно найти такое малое значение е > 0, чтобы кривые
а> = е, (о=1 — е были простыми и отделяли от G область, содер-
содержащую все нули производной ср'. Пусть G, — область, ограниченная
этими кривыми и дугами В. Для достаточно малых значений е гра-
граница Г, этой области состоит из р различных жордановых кривых
•соответственно р граничным кривым Г,.
§ 5] о линиях уровня гармонической меры 43
Теперь, чтобы подсчитать число нулей производной ер', опреде-
определим приращение arg<p' = argdcp— sugdz при положительном обходе
границы Ге. Если на Г, лежит всего 2/fe, (&„ ^- 0) точек разрыва, то
аргумент диференциала дуги dy получает на Г, приращение 2«А„
а аргумент диференциала dz — приращение 2я или —2тг, в зависи-
зависимости от того, будет ли v = 1 или v > 1. Полное приращение
argcp', таким образом, равно 2тгB&»-f-Р—2), откуда, на основа-
основании принципа аргумента, следует, что
полное число нулей функции ер' (z) в области G равно п~\-р— 2,
где и — число дуг а, не совпадающих с целой граничной кривой Г,
области G.
Тем же числом определяется число точек ветвления линий уровня
гармонической меры со (z, a, G).
IH. ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ.
§ 1. Установление принципа и его обоснование.
31. Из результатов предыдущих глав нам в этой главе потре-
потребуется прежде всего существование гармонической меры со (г, а, G)
дуги а относительно области G, ограниченной конечным числом
жордановых дуг (a-j-p), в точке z этой области; указанная мера
вполне определяется следующими условиями:
1) со (z, а, О) гармонична и ограничена в G;
2) ш приш
2) ш принимает на а значение 1, а на дополнительной дуге
значение 0.
Исследуем поведение гармонической меры при конформных
отображениях заданной области G.
Если выполнить взаимно однозначное, конформное в G и непре-
непрерывное на границе Г='а-|-р отображение области О-}-Г на неко-
некоторую область G' -j- Г' так, что дуги а, р перейдут в дуги а', $г,
то гармоническая мера <о (z, a, G) преобразуется в некоторую функцию
образа zr точки z. Последняя функция является гармонической
функцией от У, так как свойство гармоничности инвариантно от-
относительно конформных отображений; далее она ограничена в (У и
принимает на а' значение 1, а на р' — значение 0. Таким обра-
образом, преобразованная функция совпадает с гармонической мерой
<о(гг', a', G); следовательно,
со (У, a', G') = co(z, a, 0).
Гармоническая мера m(z, a, G) инвариантна относительно
взаимно однозначных конформных отображений области G.
Это свойство гармонической меры справедливо и для случая,
Когда области G и (У многолистны, т. е. представляют собой части
римановых поверхностей.
44 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. Ш
32. Относительно однозначных, но не взаимно однозначных, сле-
следовательно, многолистных конформных отображений гармоническая
мера, вообще говоря, не инвариантна. Для примера преобразуем
единичный круг (гг|<!1, на границе которого выбраны известные
дуги а, с помощью функции z' = г2; при этом круг* | z | .< 1 перей-
перейдет в круг | г' | <! 1, а дуги а — в некоторые дуги а' на окруж-
окружности |,z'| = 1. Тогда а» (г, а) вообще не будет равна <ь(г', а'), где
обе гармонические меры вычислены относительно единичного круга.
В самом деле, функция zr — z2 отображает круг | z | ^ 1 взаимно
однозначно на двухлистный круг |г'\ ^ 1, относительно которого
дуги, расположенные на а', также имеют гармоническую меру
со (г'г а'). Но этим дугам на окружности | z | = 1 соответствует
множество, которое кроме дуг а содержит еще вообще и дру-
другие дуги а. В силу инвариантности гармонической меры отно-
относительно взаимно однозначных конформных отображений гармони-
гармоническая мера этого множества равна гармонической мере дуг а',
следовательно,
о) (/, а') = (о (z, a) + <u (z, а),
откуда видно, что гармоническая мера дуг а в результате нашего-
отображения вообще увеличилась; исключение составляет лишь тот
случай, когда а содержит все дуги, соответствующие дугам а',
т. е. когда дуги а переходят сами в себя при преобразовании 5 (г)—— г,
не меняющем значения z1 = z2; в этом и только в этом случае
(o(zr, a') = <o(z, a).
33. Это увеличение гармонической меры является ее общим свой-
свойством, справедливым для однозначных многолистных отображений,
что при известных дополнительных предположениях могло бы быть
доказано рассуждениями, аналогичными вышеприведенным. Этот
принцип, имеющий большое теоретико-функциональное значение,
мы хотим, однако, сразу сформулировать и доказать в достаточно
общей форме, пригодной для применений ').
Принцип гармонической меры. Пусть в области G, ограни-
ограниченной конечным числом жордановых дуг Тг, задана однозначная
регулярная аналитическая функция w — w (z), удовлетворяющая
следующим условиям:
1) Значения w, принимаемые функцией w(z) в О, попадают
в область Gw, ограниченную конечным числом жордановых дуг Tw.
2) В каждой точке i некоторых дуг az, заданных на Гг,
функция w (г) непрерывна и ее значения на этих дугах попадают
на часть Aw замкнутой области Gm ограниченную {или образо-
образованную) 2) конечным числом жордановых дуг а^.
г) См. R. Nevanlinna p].
') Мы учитываем, следовательно, возможность того, что область
.одномерна", т. е. состоит из одних только дуг а^.
§ 1] УСТАНОВЛЕНИЕ ПРИНЦИПА И ЕГО ОВОСНОВАНИЕ 45
При этих условиях во всякой точке z области G, в которой
функция w (г) принимает значение, лежащее вне области Aw,
имеет место соотношение
•(*,«„ О.) <«(«(*),«„, О„*), A)
где Gw* означает подобласть области Gw, содержащую точку w (z)
и ограниченную дугами Tw и aw. ¦
Доказательство. Пусть z—точка, для которой 40B:) лежит
вне Аи, и пусть Gz* — подобласть области Ge, содержащая точку z
и ограниченная кроме дуг Гг еще множеством точек <хг, в кото-
которых w {г) принимает значения, лежащие на аю. Разность
U (z) = а) (« (*), ^ GJ) — a (*, «„ Ог) B)
гармонична и однозначна в G/. Относительно граничной точки z*
области G* нужно различать четыре случая.
1J* лежит внутри Gz и тем самым принадлежит к множеству а^
В этом случае <в(г*, <хг, Ог) гармонична и во всяком случае <; 1.
Функция же ш (w {z), <*„, Gw*) стремится к 1, когда точка z (оста-
(оставаясь внутри G/) стре- >*"—*nv
мится к точке z*, ибо f y^
w(z) для z = z* прини-
принимает значение, лежащее
на aw, а здесь значение
гармонической меры рав-
равно 1 ')• Таким образом,
в рассматриваемой гра-
граничной точке г* разность
и (z) непрерывна и не- фиг# 5.
отрицательна (фиг. 5).
2) z* лежит на дуге az. Тогда при z -* z* как первый, так и
второй член соотношения B) стремится к 1, и разность u(z)
в точке z = z* снова неотрицательна (даже точно равна нулю).
3) г* лежит на дуге р„, дополнительной к а„. Здесь второй член
в правой части соотношения B) исчезает, и так как первый член
во всяком случае неотрицателен, то lim и (г*) ^ 0.
4) z* является общим концом для дуг at и {3«'« по предположе-
предположению число таких точек разрыва конечно.
Таким образом, мы нашли, что ограниченная гармоническая
функция и (z) имеет неотрицательную нижнюю границу во всех
граничных точках области G*, исключая самое большее конечное
число точек. Так как и (г) ограничена, тЪ по принципу мини-
J) Небольшим расширением области Aw можно достигнуть того, чтобы до
стремилась при этом к внутренней точке (точке непрерывности) дуг а„;
затем можно совершить обратный предельный переход к. первоначальной
области A,j~
46 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. R1
мума и {г) вообще ^.0 и, следовательно, имеет место соотноше-
соотношение A) *).
34. Пример, рассмотренный в п. 32, нам уже показал, что даже
при многолистных отображениях соотношение A), может при извест-
известных обстоятельствах переходить в равенство. Допустим на минуту,
чго это имеет место для некоторой точки z области Gz. Так как
гармоническая функция и (г) = <о (w (z), am, G^*) — <о (z, az, Gz) во вся-
всяком случае неотрицательна, то она по принципу минимума должна
тождественно равняться нулю. Следовательно:
Соотношение A) переходит в равенство для некоторой точки
области Gz тогда и только тогда, когда для всякой пары соот-
соответствующих друг другу точек z и w
(о (да, «„, о„*) ==«(*, а„ G,). C)
Спрашивается, что можно сказать о функции w = w (z), опре-
определяемой уравнением C), если Gz и Gw* — произвольные области
и «J, ос№ — заданные на их границе дуги.
Полный ответ на этот вопрос получается из результатов гл. II, § 5.
Если положить <р = ш -|— гш, где в» означает сопряженную к <о функ-
функцию, определенную с точностью до действительного слагаемого,
то C) будет эквивалентно уравнению
9 К ««,. <V) = ? (*, «» °z) + Ч*. C')
где jx — действительный параметр.
Если производная функции, стоящей слева, не обращается в нуль,
т. е. если число п-\-р — 2, соответствующее области Gw*, равно 0
(ср. н. 30), что возможно тогда и только тогда, когда р = 1, п = \
или р = 2, и = 0, то эта функция отображает конформно область О„*
(в случае р=1, я=1) или универсальную поверхность наложе-
наложения Gj" (если р — 2, л = 0) на полосу 0 < <о < 1; с другой сто-
стороны, значение <р (z, aZ) Gx) лежит в этой же полосе. Следовательно,
элемент функции w (z), определяемый уравнением C), может быть
неограниченно продолжен в области Ог и определяет тем самым
функцию, регулярную во всех точках этой области.
Если Gz односвязна, то функция w (z) однозначна во всей
области Gz и отображает ее на конёчнолистную {р = 1) или бес-
конечнолистную (р — 2) универсальную поверхность наложения об-
области GJ*. Этот результат не зависит от выбора параметра jx; изме-
изменение значения jx влечет лишь сдвиг точек w вдоль линий уровня
«о (да, aw, G«*).
Если, напротив, Gz многосвязна, то функция w(z), вообще говоря,
не однозначна. Однозначность имеет место только тогда, когда
*) Может случиться, что граница области Gw* будет содержать Г„ и а„
ие целиком. В этом случае в правой части соотношения A) под а„ нужно
понимать ту ее часть, которая входит в границу области Gw*. Легко убе-
убедиться, что значения да (г) в Ог* попадают в О«,* и что приведенное выше
доказательство принципа остается в силе и в этом случае.
§ 2] ПРИМЕНЕНИЯ К АБСОЛЮТНОМУ ЗНАЧЕНИЮ АНАЛИТ. ФУНКЦИИ 47"
модули периодичности функции <a(z, <хг, GJ кратны модуля*
периодичности функции e»(w, a^, Gw*)t что имеет место только для.
весьма специальных конфигураций (Ge, Gv*).
Если соответствующее области GJ* число п-\-р — 2 > 0, то про-
производная <р' (w, a^ Gw*) имеет нули в области QJ*, а обратная ей-
функция имеет в полосе 0 < ю < 1 точки алгебраической ветвимо-
сти. В этом случае уравнение C') определяет w как функцию от гу
которая продолжима в Gz как алгебраическая функция и однозначна
в ней только при весьма особых условиях, касающихся как модулей
периодичности, так и расположения точек ветвления линий уровня
функций <п(гг, «,, Ge) и «>(ziy, aw, Gw*).
Примечание. То, что экстремальные функции w(z, р.), встре-
встречающиеся в принципе, вообще говоря, многозначны, наводит на
мысль о том, что принцип имеет место и для многозначных функ-
функций w(z). Обобщение в.этом направлении действительно возможно;
так, например, принцип справедлив, если w(z) однозначна во всех
точках области Gz за исключением некоторых точек, лежащих,
над конечным числом точек области Gv Однако мы здесь не
будем входить в подробное рассмотрение подобных обобщений (ср.
Hossjex [»]).
35. Полезно геометрически интерпретировать принцип увеличе-
увеличении гармонической меры.
В предположениях п. 33 для каждого 0 < X < 1 точка w — <w (z)
лежит внутри области X<<o(w, aw, Gw*) < 1, если только
Х<(о(гг, аг, G2)< 1. Это имеет место также и тогда, когда z
лежит на линии уровня ш(г, аг, GJ = X, исключая случай функций
w = w (г, [а), определяемых уравнением C'), которые (если они
однозначны) переводят друг в друга линии уровня в Gx и в Gw\
соответствующие одному и тому же значению X.
§ 2. Применения к абсолютному значению
аналитической функции.
36. Для первого применения принципа гармонической меры:
возьмем за область Qw круг
ший концентрический круг
< М, а за область Д„ — мень-
<[ т < М. Для гармонической
меры <o(w, aw, Gw*), где, следовательно, а„ есть окружность
\w | = т, a Gw* — кольцо т < | w\ < М, мы получим тогда
выражение
ь т
и из нашего принципа будет непосредственно следовать так нави-
навиваемая J)
См. F. п. Я- Nevanlinna I1], A. Ostrowski
48 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [гл. И
¦Теорема о двух константах. Пусть w(z)—регулярная аналити-
аналитическая в области О функция, абсолютное значение которой в этой
области удовлетворяет неравенству
4
« то время как на некоторых заданных граничных <Уугах а об-
ласти О
При этих условиях в каждой точке области 0 < X <
-< (о (z, a, G)< 1 имеет место неравенство
log\w (z) | < A log m 4- A —/.) log M.
На линии уровня о> (z, a, G) = X @ < к < 1)
log | w (z) |< X log m + A — л) log M.
Если здесь имеет место равенство для одного значения z, то
¦оно имеет место для всех значений z из G и для всех
). Функция w(z) имеет тогда вид
w {z) — eiv-mv (*) М1"? (*),
где [а—произвольное действительное число, a ®(z) — аналитиче-
аналитическая функция, действительной частью которой служит гармони-
гармоническая мера w(z, a, G).
37. Из этой теоремы можно вывести интересное следствие отно-
относительно максимального значения Мх, достигаемого на линии уров-
уровня ю (z, a, G) = X модулем определенной в области G аналитичеч
ской функции w(z). Для этого зафиксируем два значения \и X,,
{О < Ха < Ха ^ 1) и рассмотрим область
Xj<a>Br, a, G)<X2.
Гармоническая мера граничной линии <о = Х2 относительно этой
области, очевидно, равна .. т1 > и из теоремы о двух константах
л2 — *•!
следует, что для Xj<;X^;X2 имеет место соотношение
Следовательно, если из каждой точки интервала Хх ^ X ^ Х2 восста-
восставить ординату у, равную logMx, то полученная кривая y — \ogMx,
соединяющая точки (kv logMxi), (^a> log^Xt)» будет расположена
не выше хорды, соединяющей эти же точки, так как ордината по-
последней определяется правой частью вышестоящего неравенства.
Отсюда заключаем:
Логарифм максимального значения logMx является выпуклой
функцией от параметра X. Он имеет, следовательно, монотонно
возрастающую, с точностью до счетного числа скачков, непрерывную
S 21 ПРИМЕНЕНИЯ К АБСОЛЮТНОМУ ЗНАЧЕНИЮ АНАЛИТ. ФУНКЦИИ 49
производную dlo^K * и почти для всех значений X имеет вторую
производную.
В частности, если за область О взять круговое кольцо, то <о будет
линейной функцией от log|z|, и мы получим теорему Адамара
о трех кругах, согласно которой логарифм максимального значения
max \<w(z)\ = M{r)
[s\=r
является выпуклой функцией от log г.
38. В качестве второго применения рассмотрим аналитическую
функцию, регулярную в верхней полуплоскости 3 (z) > 0 и ограни-
ограниченную в каждой конечной точке z — t действительной оси так,
что для z~* t
11ш|да(*)|<1.
Обозначим через М(г) максимальное значение |та»(гг)| на верх-
верхней полуокружности |z| = r. Мы можем тогда применить принцип,
принимая за область G, верхний полукруг | z | < г и за область
-г
Фиг. 6.
Ою — кольцо, ограниченное окружностями |w| —I, \w\ — M(r).
Для гармонической меры полукруга получается значение
где Ь — величина угла, под которым виден диаметр (— г, г) из под-
подвижной точки z (фиг. 6).
Из теоремы о двух константах следует тогда, что в каждой
точке z нашего полукруга
(?). D)
Если зафиксировать некоторую точку г, то из фиг. 6 непосред-
непосредственно видно, что при г-^оо величина ш = 2П——J стремится
к нулю. Простой подсчет дает нам разложение {z = t-\-h)'%
2 Г . х , 1 \ 4rt
• (wcsin + arceto )
50 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. III
Введем обозначение
0== шп logm.
Если теперь заставить г пробегать неограниченно возрастающую
последовательность значений ги г2> ..., для которой отношение
log^M стремится к в, то из D), при фиксированном г, мы полу-
получим неравенство
log | w (г) |<— т.
В частности, отсюда следует
Теорема Фрагмена-Линделофа *). Если функция w (z) регулярна
в верхней полуплоскости и ограничена в каждой конечной точке
действительной оси так, что в этих точках \im\w(z)\^ 1,
то возможны только два случая:
или при | z | -* оо абсолютное значение \ w | растет к беско-
бесконечности так быстро, что
Г->оо
положителен, или функция ограничена, так что
в каждой точке полуплоскости.
Далее получается'дополнение 2):
Если в предположениях предыдущей теоремы w{z) стремится
к нулю на некоторой последовательности полуокружностей, так
у lOg МИ
hm —-—— = — оо,
Г->оо
то функция w (г) тождественно равна нулю.
39. В качестве третьего применения рассмотрим ограниченную
в верхней полуплоскости функцию w(z) (\w | -^ 1), которая непре-
непрерывна на положительной действительной оси и стремится на ней
к определенному предельному значению (например, к нулю), когда
г -> оо. Тогда для произвольно малого заданного е @ < е < 1) на
действительной оси можно найти такую точку z = to>Q, начиная
с которой на действительной оси | w {z) | < в. Рассматривая верх-
верхнюю полуплоскость как область Qz и указанный отрезок действи-
действительной оси как дугу а, мы можем применить теорему о двух кон-
константах с величинами Ж = 1 и /ге = е; таким образом мы получим
соотношение
log|w(z)|<Xloge, E)
справедливое для всех точек области X^a>(z, а, пг) ^ 1.
') Е. Phragmen u. E. Lindel6f [1]. Еще более сильвая формулировка этой
теоремы была дана в работе F. u. R. Nevanlinna [l].
2) Относительно дальнейших результатов из этого же круга идей см.
F. u. R. Nevanlinna I1].
ПРИНЦИП ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕРЫ
51
§3]
Но непосредственно видно (фиг. 7), что гармоническая мера а>
равна деленной на я величине угла, под которым из точки г видна
дуга <*. т. е. отрезок действительной оси, лежащий справа от точки
f (,:(о = т: — argB—t0)) и, следовательно, область X < «о < 1 со-
состоит из угла с вершиной в точке z = t0> ограниченного этим отрез-
отрезком действительной оси и лучом
агр(* — to) = *(\— X).
Таким образом, если произвольно
выбрать число ч\ > 0, то для значе-
значений X из интервала 0 < X < ^- со-
соотношение E) справедливо для всех
точек угла 0<arg2<ir — yj, рас-
расФиг. 7.
(на фиг. 7 эта область
j
положенных над лучом argB — ^o)==u(l —
заштрихована). Отсюда заключаем:
Если ограниченная в верхней полуплоскости функция стре-
стремится на положительной действительной оси к определенному
пределу, когда z —*¦ оо, то она стремится равномерно к тому же
пределу в каждом угле
0<arg2<7t — 7) (t|>0).
Заметим, что все гармонические меры, с которыми нам прихо-
приходилось иметь дело в разобранных выше примерах, относились к та-
таким элементарным областям, что их нахождение представляло про-
простую задачу, которую можно было решать, не прибегая к общим
теоремам существования теории конформных отображений.
§ 3. Принцип гиперболической меры.
40. Пусть снова w(z) — однозначная регулярная в области Ga
функция, значение которой в каждой точке z этой области попа-
попадает в некоторую область Gw плоскости w. Пусть, далее, г0 и
wo = w(zo)—пара соответствующих друг другу точек и g(z,z0, Gz),
g(w,w0, Gw) — функции Грина областей Gz и Gw, имеющие полюсы
в точке z0, и соответственно в точке w0.
Зафиксируем число Х>0 и рассмотрим значения функции w (z)
в области g(z,z0, GjJ^X; если через p(|*!J>0) обозначить минимум
функции g (w, w0, Gw) в этой области, то, очевидно, значения
w=iw(z) в рассматриваемых точках z будут лежать в области
g(w, w0, Gw)>.(i.. Мы можем тогда применить наш принцип к обла-
областям G/: 0 < g (z, z0, Gs)< X и Gw*: 0 < g(w, w0, Gw) < ja, рассма-
рассматривая в качестве дуг ая и аю линии уровня g—k, соответственно
g=\i. Тогда
w(z,az,G;) = Tg(z,z0, Gz);
V Ого
0-4,
52 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. Ill
и в каждой точке z области 0<?<Х имеет место соотношение
g(w (z), w0> OJ>yS (z> zo< °z)-
С другой стороны, для функций Грина мы имеем разложения:
g ( °) 1о? |
g (w, w0, Gw) = log
w),
F)
где «j и и2 непрерывны в точках z = z0, соответственно w = w0.
Так как по предположению функция w(z) регулярна в точке z0,
то выражение ,
1
ограничено в окрестности точки z0 и из F) следует, что
g (w, w0, Gw) > g (z, z0, Ge) A — e),
где в -»• 0 при г -*¦ z0. Следовательно, верхняя граница отношения
у- при X -»¦ со наверное ^1 и тем самым
g (w, w0, Ow) > g (z, z0, Gt)
в каждой точке z области Ge.
Таким образом, как предельный случай нашего принципа мы
получили принцип Линделофа 1).
Пусть Ge и Gw — две области и zQ, w0 — две их тонки. Если
w (z) — однозначная мероморфная в области Gz функция, значе-
значения кбторой расположены в области Gw и w (г0) = w0, то каж-
каждой точке области
g(z,zo,Ge)>-k>O
соответствует точка w = w(z), лежащая в области
g (w, w0, Gw) > X.
41. Выше уже было указано, что в нашем изложении мы при-
придаем большое значение выявлению внутреннего единства и взаим-
взаимных связей различных теоретико-функциональных теорем; в этом
направлении лежит принципиальное значение принципа гармониче-
гармонической меры. Если, наоборот, стремиться к возможно более корот-
короткому доказательству различных теорем, вытекающих из принципа,
то приведение к общему принципу представляет часто обходный
путь. Так, например, принцип Линделофа можно доказать проще,
чем это было сделано выше, если заметить, что разность
g (w, w0, Gw) — g (г, z0, Gs) гармонична всюду в области Gg, за.
исключением быть может точки г = г0, в которой она может обра-
обратиться в -f- oo, и что на границе области Gt она имеет неотрица-
1) Е. LindelOf [*].
§ 3] ПРИНЦИП ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕРЫ 53
тельную нижнюю границу. Применение принципа минимума к области
Gg или, если точка z = z0 является полюсом предыдущей разно-
разности, к области Ог без точки z = z0 приводит сразу к желаемо-
желаемому результату.
На линии уровня g (г, z0, GZ) = X имеем g (w, w0> Gu.) > A,
причем, если равенство имеет место в одной точке z при некото-
некотором значении X, то оно имеет место для всех z и всех X > 0.
Экстремальная функция w (z) = w (z, jx) определяется тогда из урав-
уравнения
g (z, z0, Gz) — ih (z, z0, Qz) = g (w, w0, Gw) — ih (w, w0, Gw) -\- *>,
где —h означает сопряженную к g функцию, a jx — действитель-
действительный параметр.
42. Для многосвязных областей экстремальные функции w (z, u),
вообще говоря, не однозначны. Дли получения точной оценки в этих
случаях отображают конформно универсальные поверхности нало-
наложения .Gg00 и G^° на единичный круг, благодаря чему экстремаль-
экстремальная задача сводится к случаю односвязных областей, для кото-
которых принцип Линделофа дает во всяком случае наилучшую возмоЖ'
ную оценку.
Последнее замечание имеет большое значение, так как оно по-
позволяет применять принцип также и в тех случаях, когда области
Gz и Gw ограничены такими „слабыми" множествами, что для них'
не существует функция Грина; так, например, это имеет место
тогда, когда граница областей Ge и Gw состоит из изолированных
точек J). Таким образом, единственным условием для применимости
принципа представляется требование, чтобы универсальные поверх-
поверхности наложения Ge°° и Gw°° можно было конформно отсбра-
зить на единичный круг, т. е. чтобы они были гиперболического
типа, что имеет место тогда и только тогда, когда граничные мно-
множества областей Gz и Gw содержат по крайней мере три точки
(ср. п. 12).
Принцип Линделофа принимает особенно ясную форму, если на
поверхностях гиперболического типа мы введем вместе с Ркк'ом [*]
и Caratheodory- [a] неевклидову метрику Пуанкаре, как это было
сделано для круга в гл. I, § 1.
43. Для того чтобы притти к этой общей формулировке, мы
должны несколько более подробно рассмотреть простейший случай,
когда Gz и Gw представляют единичный круг. Если положить
z0 = w0 = 0, то принцип Линделофа перейдет в лемму Шварца,
которая наиболее просто может быть доказана непосредственным
применением принципа максимума модуля к функции —, регуляр-
регулярной в круге \z\ < 1:
-1) Для того чтобы однолистная область О обладала функцией Грина,
необходимо и достаточно, чтобы ее граница не была .гармонической меры
нуль*. Подробнее этот вопрос исследуется в главе V.
54 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. III
Если функция w (г) для \ z | < 1 регулярна и ограничена'.
a w @) = 0, то
для всех |г|<1. В последнем соотношении, при z ф 0, равенство
имеет место только для функции w = ei9z, где ft — действитель-
действительная константа.
Если здесь заменить условие w@) = 0 более общим условием
w(z0) = w0(\w0\<l), то линии уровня g{z, zo) = \ и g(w,wo) = l
совпадут с неевклидовыми окружностями, описанными из точек г0
и w0 неевклидовыми радиусами
(ср. п. 3), и принцип Линделофа в этом случае говорит, что не-
неевклидово расстояние между точками z и z0 не меньше неевкли-
дового расстояния между их образами w и w0, и далее, что это
расстояние сохраняется только при преобразовании единичного'
круга в самого себя, т. е. при неевклидовом движении. Отсюда
предельным переходом получается, что отношение двух неевклидово
измеренных элементов дуг \dw\ и \dz\, соответствующих друг другу
при преобразовании w=w(z), не превосходит единицы.
Это может быть также доказано и непосредственно с помощью
принципа максимума: если w0 = w (z0), то отношение
1—ЩИ) ' I — Z^t
определяет регулярную для |,г|<1 функцию, абсолютное значение
которой на окружности |z| = l имеет верхнюю границу <[ 1;
отсюда следует, что ее абсолютное значение не превосходит 1 и
в каждой точке единичного круга, причем равенство в некоторой
точке может иметь место только тогда, когда отношение тожде-.
ственно равно числу, модуль которого равен 1, т. е. когда функция
w=-w(z) производит конформное отображение единичного круга
самого на себя. Отсюда следует, что в точке Z = z0
соотношение
в котором, в силу определения неевклидовой длины элемента дуги
(ср. п. 3), содержится вышеприведенное утверждение.
Отсюда интегрированием получается следующая теорема:
При отображении единичного круга |г|<1 с помощью* регу-
регулярной функции w = w(z), модуль которой |то|< 1 для |г|< 1,
неевклидова длина произвольной дуги уменьшается, за исклю-
исключением того случая, когда w(z) конформно отображает единич-
единичный круг самого на себя; в этом случае неевклидовы расстояния
сохраняются.
§ 3] ПРИНЦИП ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕРЫ 55
Эта интересная формулировка леммы Шварца была дана
Pik'oM [*]. С помощью конформных отображений неевклидово меро-
мероопределение может быть п«з?ене0ёно на более общие области, что
позволяет высказать принцип Линделофа в соответствующей общей
форме, инвариантной относительно конформных отображений, на
что уже было указано выше.
44. Это перенесение неевклидового мероопределения действи-
действительно удается для всякой односвязной римановой поверхности F
гиперболического типа, которую, как известно, можно взаимно
однозначно и конформно отобразить на единичный круг, следова-
следовательно, в частности, для универсальной поверхности наложения G00
многосвязной однолистной области G, граница которой содержит
по крайней мере три точки. Для того чтобы определить относи-
относительно поверхности F неевклидову длину da элемента дуги dz, .вы-
.выходящего из некоторой точки г этой поверхности, поверхность F
отображают конформно на единичный круг К и определяют иско-
искомую неевклидову длину как неевклидову длину преобразованного
элемента дуги относительно единичного круга. Пусть при отобра-
отображении F-*¦ К точка г переходит в точку х(|х|< 1), так что эле-
элемент dz преобразуется в элемент dx. Тогда для неевклидовой
длины da получается выражение:
При таком определении da величина отношения . ' однозначно
определяется заданием поверхности F и точки z на ней, так как
правая часть G) не зависит от выбора образа х точки z в еди-
единичном круге К-
В частности, если зэ F взять универсальную поверхность нало-
наложения б°° однолистной области G, граница которой содержит по
крайней мере три точки, то диференциальное отношение ¦. д
однозначно определено не только на G°°, но также и на ссновной
поверхности О,, так как в двух „лежащих одна над другой" точках
поверхности наложения G00 значения как \dz\, так и da, в силу
инвариантности правой части G) относительно взаимно однознач-
однозначных конформных отображений единичного круга самого на себя,
равны. Следовательно,
соотношением G) устанавливается однозначное гиперболиче-
гиперболическое мероопределение не только на поверхности наложения G°°,
но и на основной поверхности G.
45. Пусть теперь w (z) — аналитическая функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям принципа Линделофа, т. е. регулярная (с точностью
до полюсов) в каждой точке области Ge и принимающая здесь
значения, попадающие в заданную область Gw. Отобразим конформно
соответствующие универсальные поверхности наложения Ge00 и Gj°
56 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. Ш
на единичный круг |л:|<1, соответственно |*|<1, и образуем
функцию t(w(z(х))) = <р(х); эта функция неограниченно продол-
жима в круге |#|< 1 и принимает здесь значения, лежащие в круге
|f|< 1. Если обозначить гиперболические длины четырех соответ-
соответствующих друг другу элементов дуг: dx, dz, dw, dt соответственно
через кзх, das, daw, dat, то, в силу инвариантности этих длин отно-
относительно отображений x-+z и w-*t, имеют место равенства:
йож = йзг и dow = dot. Так как по теореме Пика dOf^d^ то
Равенство здесь имеет место только тогда, когда функция
/ = <р(дг) приводится к линейному преобразованию, переводящему
единичный круг в самого себя; в этом случае функция w (z) уста-
устанавливает взаимно однозначное и конформное соответствие между
универсальными поверхностями наложения Ох°° и Gw°°. В общем
случае эта экстремальная функция не однозначна в Ог. Нужно,
однако, заметить, что в предыдущих рассуждениях не предполага-
предполагалась однозначность функции w(z) в 6г. Если только эта функция
неограниченно продолжаема в Ое с характером рациональной функ-
функции, то то же самое справедливо и для функции t — y(x) в круге
1*1 < 1, которая тогда, по теореме о монодромии, также однозначна.
Полученный результат мы можем теперь сформулировать сле-
следующим образом:
Принцип гиперболической меры. Пусть Gz и Qw—две одно-
листные области, имеющие по крайней мере три граничные
точки, и w[z) — аналитическая функция, неограниченно продол-
жимая в Gzt притом так, что ее значения попадают в область Gw.
Тогда, если 1г — произвольная дуга в Gz и lw—ее образ в Gm
определенный с помощью отображения w = w(z), то гиперболи-
гиперболическая длина дуги lz {измеренная относительно Gx) не меньше
гиперболической длины дуги 1„ (измеренной относительно Gw).
Эти длины равны друг другу тогда и только тогда, когда
функция w = w(z) устанавливает взаимно однозначное и
конформное соответствие между универсальными поверхностями
O*°°U Gj°.
В случае односвязных областей Ог и Gw принцип Линделофа и
принцип гиперболической меры совпадают. Напротив, для много-
связных областей последний принцип дает часто более точную
оценку. Так, например, если йЙ односвязна, a Gw многосвязна, то
линии уровня функции Грина
g{z, z0, Gs) = p.
являются одновременно неевклидовыми окружностями неевклидового
радиуса
Х- 1 log 1 + g--
А— 2 log 1-е-*'
§ 3] ПРИНЦИП ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕРЫ 57
Для многосвязных областей соответствующее уже не имеет места.
В самом деле, если провести вспомогательное униформизирующее
преобразование w ->_/, то легко видеть, что неевклидов круг с цен-
центром в точке w0 и неевклидовым радиусом А содержится строга
внутри области g(w, w0, Gw)^\>-. Следовательно, в этом случае
принцип гиперболической меры приводит к более сильному огра-
ограничению области изменения значений функции, чем принцип
Линделофа. Еще раз подчеркнем, что принцип гиперболи-
гиперболической меры имеет то преимущество, что он справедлив и для-
многозначных функций и для всякой поверхности, универсаль-
универсальная поверхность наложения которой принадлежит к гиперболи-
гиперболическому типу; среди последних поверхностей имеется множе-
множество таких, граница которых настолько „бедна", что они не об-
обладают функцией Грина, так что к ним принцип Линделофа
неприменим.
46. В целом раде вопросов большое значение имеет логарифм
отношения неевклидовой длины элемента дуги к евклидовой ert>
длине.
Если положить и (г, G) = log т-т-т , то функция и будет одно-
однозначно определена в О, притом независимо от выбора образа
х = х (z) точки г при вспомогательном отображении G°° —*¦ К. Так
как гиперболическая длина йъ инвариантна относительно этого ото-
отображения, то
da^eu(s' K
Здесь
т. е. величина, которая согласно п. 3 удовлетворяет диференци-
альному уравнению
Ди >
Но, как известно, при аналитическом преобразовании x = x(t)
оператор Лапласа Д (и (х)) преобразуется по формуле
Отсюда, учитывая соотношения (8) и
и (z, G) = и (д
получаем
А* (ж, О)-^* *) = *»«(*, Ю\?\ = 4/И(Я>Я);+810е1^
Таким образом, функция и (z, G), т. е. логарифм отношения гипер-
гиперболической длины элемента дуги dz к евклидовой его длине, удо-
удовлетворяет диференциалъному уравнению Да = 4е2.", независимо
от выбора области G.
58 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [гЛ. Ill
§ 4. Теоремы о круговых областях.
47. Теперь мы обращаемся к другого рода обобщениям леммы
Шварца. Если за Gz и Gw взять единичные круги, а за а, и а„ —
две граничные дуги, то из принципа гармонической меры немедленно
получается следующая теорема (ср. п. 35):
Если |иB)|<1 для \г\ <1 и если далее w(z) непрерывна
ма граничной дуге «г и принимает здесь значения, попадающие
на граничную дугу aw единичной окружности \w\-\, то
область изменения точки w = w{z) подчинена следующим огра-
ограничениям:
Если точка г лежит внутри области, ограниченной, дугой ах
и дугой Кх(аг) окружности, пересекающей единичную окружность
|г| = 1 в концах дуги «г под углом Хтс @<Х<1), то точка
<w = w(z) лежит внутри двуугольника, ограниченного дугами аа
и КЛО-
Две точки дуг /<х(аг) и Kx(<xw) соответствуют друг другу
тогда и только тогда, когда функция w = w(z) производит кон-
конформное отображение круга \z\^\ на круг |«>|^1, притом
так, что дуга «г переходит в дугу «w.
Теорема остается в силе без всяких изменений при замене .еди-
.единичных кругов Gs и Gw произвольными кругами (или полупло-
полуплоскостями).
В частности, если положить w @) = 0, то при предположениях
предыдущей теоремы следует, что aw не короче, чем <хг, ибо в про-
противном случае, выбирая А так, чтобы дуга /Сх(аг) проходила через
точку г = 0, мы имели бы, что двуугольник, ограниченный дугами iw
и K)Xaw)> He содержал бы точки w = 0, но это по теореме невоз-
невозможно. В этом и заключается
Лемма Л6внера (L6wner)'). Пусть |та>[< 1 для |г|< 1 ита>@) = 0.
Если w(z) непрерывна на некоторой граничной дуге аг и прини-
принимает здесь значения, лежащие на окружности |да| = 1, то об-
образ «w дуги «г не короче длины az. Равенство имеет место
тслько для
w (г) = eibz.
48f В согласии с нашим принципом теорема Лйвнера говорит,
что гармоническая мера «о @, at) дуги az в точке г = 0 при преобра-
преобразовании предыдущего типа в общем случае увеличивается: в самом
деле, в рассматриваемом случае эти гармонические меры равны
соответственно длинам дуг az и <*„,, деленным на 2и.
Зафиксируем теперь на az произвольную точку г* = е*ч>; из
принципа зеркального отображения Шварца следует, ' что w(z)
аналитична на <хг, следовательно, в частности, и в точке г*. Обо-
Обозначим через а часть дуги аг, имеющей конец в точке г*, и
К. LOwner [1].
§ 4] ТЕОРЕМЫ О КРУГОВЫХ ОБЛАСТЯХ 59
через C — ее образ на |«/| = 1. Тогда, полагая w (г*) = eib, из
неравенства
«> (w (г), ft) ^ ,
предельным переходом а-»-0 мы получим соотношение
>
или, учитывая выражение для dm (п. 4), получаем
1 — | w |2 db 1 — 1 z |2
Здесь -j абсолютное значение производной w' (z) в граничной
точке 2 = z*. Геометрически полученное неравенство означает сле-
следующее:
Если точка z лежит внутри орицикла
'^jT = b @<X<co),
то точка w = w{z) лежит в орицикле
Q • . ! ! ^= \д
где
49. В этом заключается лемма Жюлиа х), которая, однако, имеет
место при значительно более общих предположениях, чем выше-
вышеуказанные. Именно, может быть доказана следующая
Теорема Жюлиа-Каратеодори. Пусть г* = е*ч и w = eib — две
произвольные точки единичной окружности. Если w (z) — регуляр-
ная и ограниченная в единичном круге функция:
для I z I < 1,
то всегда существует конечный или бесконечный предел
когда точка z стремится к граничной точке г*, оставаясь внутри
угла единичного круга, образованного двумя произвольными хор-
хордами, выходящими из точки г*. Если с конечно и не равно О,
то при этом
& gif — z T
и w' (z) -> сё1 (*-?).
l) Q. Julia [i], С. Caratheodory [*].
60 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Наконец,
[гл. m
с \<Лч —
для всех |г|< 1, причем равенство имеет место тогда и только
тогда, когда w и г связаны уравнением
~~C
dw
в последнем случае w — w(z) отображает конформно круг ||<
на круг |о)|^1, притом так, что заданные граничные точки z*
и w* соответствуют друг другу, а модуль производной
в этой точке равен с.
Если с = 0, то w== eib.
Доказательство *). Линейными преобразованиями
? — z
е® -\- w
gib — w
(9)
единичные круги | г \ < 1 и | w | < 1 отображаются снерва на правую
полуплоскость. Это позволяет сперва рассматривать функцию w{z)=
= и (г) -j-iv (z) от переменной z = x-\~iy, регулярную в пра-
правой полуплоскости и имеющую там неотрицательную действитель-
действительную часть; изучив асимптотическое поведение такой функции при
je->oo, мы затем обратно вернемся к единичному кругу.
Пусть для 0 < х < оо
нижняя граница отноше-
и(х + iy)
—-———
ния
равна с:
тогда 0 ^ с < со, если
только, что мы в даль-
дальнейшем предполагаем,
w Ф со.
Рассмотрим сперва
фиг. 8. тот случай, когда с = 0.
Пусть zo = xo~\- iy0 и
zi= х\ Н~ hi—Две произвольные точки нашей полуплоскости.
Тогда по принципу Пика-Линделофа неевклидово расстояние между
точками tt)(z0) и w(z1) не больше неевклидова расстояния между
точками z0 и zv как это показано на фиг. 8, на которой из точек
zQ Hw(zo) = uo-\-ivo, как из центров, описаны две „конгруэнтные"
неевклидовы окружности, из которых первая проходит через точку zt;
второй круг будет, следовательно, содержать точку w (zt).
1) Вышеприведенная окончательная формулировка теоремы принадлежит
Carathdodory [*). Приведенное дальше простое ее доказательство см. Landau
and VaJiron \l].
4] ТЕОРЕМЫ О КРУГОВЫХ ОБЛАСТЯХ 61
Указанные два круга переходят друг в друга при преобразовании
Из чертежа видно, что
где
или, если хг > 2х0, xY > \yQ\,
! (А > 0), так как а <
Следовательно, если — < А, то для достаточно больших зна-
чений Xj имеет место соотношение
откуда при хх -*¦ оо следует, что
Этот результат имеет место независимо от того, как точка гг стре-
мится к бесконечности, оставаясь внутри угла —
< k. Так как
х
с = 0, то отношение — может быть сделано сколь угодно малым
х0
w
и, следовательно, отношение — имеет при z —*¦ со угловое предель-
предельное значение, равное нулю.
Если с > 0, то предыдущие рассуждения применимы к функции
чи — cz, которая по определению величины с имеет неотрицательную
действительную часть и — сх. Тогда внутри произвольно большого
< k отношение J^IT—-».О и, следовательно, —
Z Z
угла
Таким образом, если w (z) — произвольная регулярная для х > 0
функция с неотрицательной действительно^ частью, то отношение —
|у
— < k и х -> со имеет действительный неотрицательный пре-
предел с, равный lim — для х > 0. Следовательно,
62 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. III
причем равенство может иметь место только тогда, когда и(.г)= сх
и, следовательно, w (г) г= сх -\- tp, где jx — действительный параметр.
Что касается производной wr (г), то из интегральной формулы
Коши для круга \г — г\*Срг при 0</?<9г<1 получается нера-
неравенство (С = г -\- qreib):
о
Если с = 0, то, в силу предыдущего, для произвольного е > О
w (?)
как только г становится больше некоторого числа г„ и так как
следовательно, для U — ''К/»'
откуда видно, что Wmw' (z) = 0, если z -> оо, оставаясь внутри, угла
| arg г К arcsin p.
Если с > О, то снова получается
<ю' (z) = c-\-(wr — с) = с -\- —^ (w — cz)^>c,
как бы точка z ни стремилась внутри угла к бесконечности.
Если посредством преобразований (9) перейти обратно к еди-
единичному кругу, то после простых вычислений, которые мы предо-
предоставляем читателю, получится "теорема Жюлиа в данной выше фор-
формулировке.
§ б. Теоремы Ландау и Шоттки.
60. В качестве применения принципа гиперболической меры мы
выведем обобщения теоремы Пикара, данные Ландау и Шоттки !).
Пусть w (z) — функция, определенная в круге | z \ < /?. Если
предположить, что функция w(z) выпускает в круге |г|</?
значения av ..., ар, р^>3, т. е. что для всех точек этого круга
«|(г)фа,(у=1 р), то с помощью принципа гиперболической
меры можно вывести соотношение, которое дает верхнюю границу
для /?, выраженную через значения t^ @), <ю' @) и аи ..., ар.
Так как по предположению р~^Ъ, то универсальная поверхность
наложения плоскости с выключенными точками» а1; ..., а„ при-
принадлежит к гиперболическому типу и, следовательно, если за
1) Е. Landau ['], F. Schottky Щ.
§ 5] • ТЕОРЕМЫ ЛАНДАУ И ШОТТКИ 6$
области Ог и Ow взять соответственно круг \z\<.R и область
¦да фа, (v=l, ..., р), то
где doz — гиперболическая длина:
. R\dz\
fin ¦" —L и' i '
элемента дуги dz, измеренная относительно круга \z\<R, a dow —
гиперболическая длина ее образа, измеренная относительно области
Qw. Если обозначить, как в гл. I, § 3, через x = x(w; av..., ap)
функцию, отображающую конформно универсальную поверхность
наложения G^00 на единичный круг | х | < 1 так, что точка w пере-
переходит в точку X — Q, то daw — dax = \dx\, и из неравенства A0)
следует
dx . R I dz
dw
JR2 — | г I» | dw
Следовательно,
Iw' (г) I < W — \z* I*•' @; ai> •••> ар) I»
где С(#; «j, ..., ар) означает функцию, обратную к x(w; qv..., Op)t
т. е. автоморфную функцию, которая отображает единичный круг
|дг|<1 -на поверхность Qwm так, что точка х = 0 переходит
в точку w = w(z).
51. В частности, для z — О получается соотношение
которое содержит следующую теорему Ландау:
Если мероморфная для \ z \ < R функция w (я) имеет в окрест-
окрестности нулевой точки разложение
и выпускает значения av ..., ар, р^-3, то
где ?(лг; а и».., а^,) — автоморфная функция, отображающая еди-
единичный Kpvz\x\<\ на универсальную поверхность наложения
плоскости с выключенными точками av..., ар так, что точках = Q
переходит в точку w = c0.
Найденная верхняя граница зависит только от выпускаемых
значений av. . ., ар и двух коэфициентов с0, cv Она не может быть
понижена; в самом деле, из принципа следует, что соотношение
(И) ¦ переходит в равенство тогда и только тогда, когда функция
ъ>{z) совпадаете функцией С[—; аи ..., аЛ, отображающей круг
64 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. III
\z\KR на поверхность Gw°°; для этой функции
с, = те'@) =-^1/@; а,,..., ар),
что, будучи подставлено в A1), приводит к тождеству.
Теорема Ландау содержит теорему Пикара как непосредственное
следствие. В самом деле, если функция w (z) мероморфна в каждой
конечной точке плоскости г и av a2, а3 — три произвольных
значения, то из теоремы Ландау следует, что в круге |г|</?
функция w (z) принимает по крайней мере одно из этих значе-
значений, коль скоро R будет больше, чем граница, стоящая в соотно-
соотношении A1).
52. Примечание. Очевидно, что теорему Ландау можно
было бы доказать прямо, не прибегая к принципу гиперболической
меры, применяя лемму Шварца к функции х (w (z); av ... , ар),
которая в круге |г|</? регулярна, ограничена и в точке z = Q
обращается в нуль. Это замечание позволяет также установить
верхнюю границу для R в исключенном выше случае, когда
ct = w' @) = 0, для которого оценка A1) несправедлива. Если
в окрестности нуля имеет место разложение
да (z) = co-f cfts*+ • • • (k > 1, ск ф 0),
то указанная выше сложная функция имеет в точке z = 0 нуль крат- -
яости k. Частное
X(w(z); ах ар) _ ,. , v ,
ja — •* Кс0> fli. • • •> ар) ск ~Г • • •
для |г|</? регулярно и на окружности \z\ = R по абсолютной
величине не превосходит /?-*. По принципу максимума абсолютное
значение этого частного не превосходит той же границы и внутри
круга | z | < R, откуда для z = 0 следует
пк S К" @ ; «ь ¦ ¦ ¦ . Яд) I
R < Ш '
53. Путем интегрирования из теоремы Ландау [в форме A0)]
получается теорема Шоттки. Если z — произвольно выбранная точка
в круге l^l^r, то, по принципу гиперболической меры, значение
w (z) лежит в неевклидовом круге, описанном на поверхности Oj^
из точки w@) = c0 неевклидовым радиусом. X, равным неевклидо-
вому радиусу круга |.г|О, т. е.
- f Rdt — Х
R-~r-
Наименьшее расстояние от границы этого круга до р граничных
точек aj, ... , ар поверхности Qw выражается некоторым числом
, / г \ г
VW' co>av---> ар)> зависящим только от частного-5-, от значе-
§6]
ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ И ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
65
ния с0 и от расположения граничных точек flv; при возрастании г
величина d монотонно убывает. Чтобы было удобно учесть также
и тот случай, когда едно из значений а, обращается в бесконечность,
будем определять расстояние d в сферической метрике (для чего
плоскость w нужно стереографически спроектировать на сферу w).
Теорема Шоттки может быть тогда сформулирована следующим
образом:
Если функция w (z) = с0 -\- cxz -}-... регулярна в круге | z | < R
^Ъ ф
и выпускает там значения
расстояние от точки
минимум
ар, р^-Ъ, то сферическое
= w (z) до выпускаемых значений имеет
зависящий только от величин, стоящих в скобке.
Получаемая предыдущими выкладками оценка для d не может
быть улучшена.
§ в. Применения к исследованию граничных и предельных
значений ограниченных функций.
54. Мы снова возвращаемся к принципу гармонической меры
в той его форме, в которой он был высказан в п. 33. Граничное
множество аг мы представляем себе теперь разложенным на два не
имеющих общих точек подмножества а/ и а/, состоящих из конеч-
конечного числа жордановых
имеющих общих точек
конечным числом жор-
жордановых дуг aj и аю".
Предположим да-
далее, что функция w{z),
значения которой для
г изменяющегося в Gz
попадают в Ow, непре-
непрерывна на аг, притом
так, что ее граничные
значения на а/, попа-
попадают на множество
AJ, а граничные зна-
значения на а/ попадают
на множество А%Г.
Если теперь точка
дуг. Аналогично
подмножества А,„
разобьем Aw на два не
и А,
ограниченных
Фиг. 9.
г, будет непрерывно описывать в Oz дугу 1г,
соединяющую множества а/ и аг", то образ этой точки w [z) будет
непрерывно описывать в Ою дугу /„„ соединяющую множества о,/
и а„ (фиг. 9). При этом, согласно нашему принципу, каждый раз,
когда точка w (z) будет находиться вне множеств А^_ и Aw"> гармо-
гармоническая мера дуг aj', а№", а также их суммы aw=aw'-j-a, "
а
из >
66 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. III
измеренная в этой точке относительно области Gw*, получающейся
после удаления из Gw соответственно множеств AJ, Аю" или
AU) = Ate'-{-Aw" *), будет соответственно не меньше, чем гармони-
гармоническая мера дуг а/, а/ и аг = а/-|-л"').
Обозначим через m{lz) минимум гармонической меры <o(z, ag, Gz)
на дуге 1г, соединяющей множества о/ и а/, не выходя из Сг;
очевидно, что т. (/г) ^1 н что равенство имеет место только тогда,
когда az составляет всю границу Гг области Gz. Пусть верхняя
граница этих минимумов будет тг\
mz = sup тAг).
Аналогично, пусть lw — дуга, проходящая внутри Qw и соеди-
соединяющая множества AJ и Аю". Далее, пусть Ov*— произвольная
связная подобласть области Gw, содержащая дугу /„,. Обозначим
через т (lw) минимум гармонической меры ш (w, л№, Ow*) на дуге /„,
и через mw — верхнюю границу этих минимумов:
Тогда, очевидно, 0 <
Согласно принципу гармонической меры, независимо от выбора
дуги lz, будет иметь место соотношение
т Aг) < mw,
и так как при подходящем выборе дуги lz левая часть будет сколь
угодно мало отличаться от верхней границы тг, то
mz<mw, A2)
Это соотношение заключает в себе замечательное ограничение
на конфигурации, образованное множествами а', а." и областью G.
Именно, если а/ и а/' в Qz лежат относительно „близко" друг от
друга, так что их можно соединить дугой, на которой гармониче-
гармоническая мера ш {г, аг, Gz) мало отклоняется от 1, то и множества аю'
и aw" не могут быть удалены слишком „далеко" друг от друга"
относительно области' GJ1 в соответствии с соотношением A2).
65. В следующей главе мы займемся более подробным изучением
указанного выше ограничения на конфигурацию (а', а", О) в неко-
некоторых частных случаях. Здесь мы рассмотрим лишь один особенно
простой случай, который приведет нас к интересным следствия».
Если предположить, что множества дуг а/ и а/ имеют по крайней
мере по одной дуге с общим концом Pz, который может тогда
быть точкой разрыва для функции w (z), то в окрестности этой
точки гармоническая мера множества az = а/ -\- а/ будет сколь
угодно мало отклоняться от 1, откуда следует, что верхняя граница
*) Так как w(z) есть точка Gw, no предположению не принадлежащая
множествам Аю' и Аф", то каждая нз трех областей Ga*, получающихся
исключением из Gw соответственно множеств Д/, Аю" или Аю' + Аю",
содержит точку w (г).
1) См. R. Nevanlinna [»].
§ 6] ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ И ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ 67
7Hj=l. Но тогда, в силу вышеизложенного, и /ию=1. Последнее,
очевидно, возможно только в одном из следующих случаев:
1) Расстояние между множествами av' и ctw" равно нулю *).
2) Множества aj и aj' ограничивают некоторую подобласть Ga*
области Ою, не имеющую никаких других граничных дуг кроме этих.
Следовательно, если область Gw имеет еще другие части границы,
то одно из множеств (например, awr) отделено от этих частей
границы другим множеством (а,/) *). Поэтому при сделанных пред-
предположениях (именно, что расстояние между множествами а/ и а/
равно нулю) конфигурация, подобная приведенной на фиг. 9, где
множества aw' и aw" лежат „изолированно одно относительно
другого", невозможна.
Чтобы привести пример, когда имеет место второй случай,
возьмем функцию w(z) = e* (z — x-\-iy); за область О« возьмем
полосу — 1 < х < 1 с разрезом вдоль положительной мнимой
полуоси, за а/ примем прямую х —— 1, а за а/—-указанную
полуось (х = О, у ^ 0). Тогда за область Ga и множества aj, aj'
можно выбрать соответственно кольцо — < | w | < е, окружность
|и>| = - и окружность \w\-\. В соответствии со вторым случаем
множества aw' и aw" действительно ограничивают некоторую область
Gw*, а именно кольцо — < | w | < 1 (относительно которой, следова-
следовательно, гармоническая мера множества aw = aj -f- <*«," тождественно
равна 1); далее, множество aw" (окружность |та<|=1) отделяет
множество aj (окружность | w | = —) от остальной части границы
области (т. е. от окружности | w | = е).
66. Для применения полученного результата рассмотрим область G,
граница которой содержит две жордановы дуги ах и а2, имеющие
общий конец в некоторой точке Р. Пусть в области G определена
ограниченная аналитическая функция w (z) (| w | < М). Предположим,
что w (г) непрерывна во внутренних точках дуг at и а2, и обозна-
обозначим через #! и Н2 ее предельные множества для г-^Я на дуге аи
соответственно на дуге а2 2).
Согласно кашей теореме множества Н1 и Я9 не могут лежать
„изолированно одно относительно другого" в круге J«>|<yW.
Поэтому, если они не имеют общих точек, то одно из них должно
окружать другое, отделяя его от окружности | w \ = М. В частности,
*) Чтобы исключить особое положение бесконечно удаленной точки,
рекомендуется расстояния измерять на сфере.
•) Может случиться, что каждое из множеств aj, aw" отделяет другое
от части границы области Gw.
2) //, (м =. 1, 2) состоит, следовательно, из совокупности точек w.
в окрестности которых лежат значения функции w(z), принимаемые ею
в окрестности точки Р на д>ге аг Так как w(z) непрерывна. около Р, то,
согласно этому определению, Я, есть или точка или континуум.
68 ПРИНЦИП ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ [ГЛ. III
таким образом исключается возможность того, чтобы каждое из них
одновременно стягивалось в две различные точки, откуда становится
очевидной следующая важная теорема Линделофа о сходимости *):
Если функция, однозначная и аналитическая в окрестности осо-
особой точки Р, стремится при z ->¦ Р вдоль двух оканчивающихся в точ-
точке Р жордановых дуг к двум различным предельным значениям, то
эта функция в окрестности точки Р не может быть ограничена.
57. Тот факт, что универсальную поверхность наложения пло-
плоскости с тремя выключенными точками можно конформно отобра-
отобразить на единичный круг, позволяет обобщить предыдущие теоремы
на однозначные функции, выпускающие в заданной односвязной
области Qz три значения av a2, as. Предположим, что подобная
функция w (z) принимает на граничных множествах а/ и а/ значе-
значения, расположенные на некоторых множествах Ow' и Gt0", ограни-
ограниченных жордановыми дугами aj соответственно <xw" и являющихся
подмножествами плоскости с выключенными точками av av a3.
Соединяя функцию с униформизирующей функцией х=х (w; av а2, а3),
мы получим, исходя из некоторого фиксированного начального
элемента, функцию
<?(г) =зл;(да(г); av я2, а3),
которая в области Oz неограниченно продолжима и, следовательно,
по теореме о монодромии в этой области однозначна.
Если теперь дуги aw' и а,/ лежат „изолированно одна относи-
относительно другой", т. е. если существует замкнутая кривая, проходя-
проходящая через какую-нибудь граничную точку а,, отделяющая их друг
от друга, то функция х = tp (z), значения которой лежат в круге
|х|<1, принимает на множествах а/ и а/' граничные значения,
расположенные на двух множествах ая' и а,", вполне определенных
среди счетного ччсла образов дуг аю' н aw и также лежащих „изо-
„изолированно одно относительно другого". В том случае, когда рас-
расстояние между множествами а/ и а/' равно нулю, последнее, в силу
вышеизложенного, невозможно.
Отсюда, между прочим, следует, что функция, однозначная и
аналитическая в угле между двумя жордановыми дугами, оканчиваю-
оканчивающимися в некоторой точке Р и имеющая при z->P вдоль этих дуг
различные предельные значения, не только, как это было показано
выше, принимает в окрестности точки Р сколь угодно большие зна-
значения, но вообще принимает каждое значение, за исключением самое
большее двух. С другой стороны, два исключительных значения, при
сделанных выше предположениях, действительно возможны, как
показывает все тот же пример показательной функции е", которая
на положительной и отрицательной действительной оси стремится
при г->оо к двум различным предельным значениям,0 и со, являю-
являющимся одновременно исключительными значениями для этой функции.
') См. Е. Lindelof [Ц.
§ 1] ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ '69
IV. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НЕЕВКЛИДОВЫМИ
И ЕВКЛИДОВЫМИ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ.
§ 1. Общие замечания.
58. Применимость в теории функций различных неевклидовых
мероопределений (гармоническая мера, гиперболическая мера) осно-
основана на том, что эти меры являются теоретико-функциональными
инвариантами (так мы называем величины, инвариантные относи-
относительно группы конформных отображений). Вместе с тем в различ-
различных комплексах вопросов оказывается, что известные явления могут
быть резко разграничены именно при применении понятий неевкли-
неевклидовой геометрии; так, например, это часто имеет место при изуче-
изучении различных экстремальных свойств. Таким образом, введение
подобных мероопределений целиком вытекает из самого существа
дела, и поэтому представляется немаловажным систематически по-
построить теорию этих мероопределений, не задаваясь при этом тот-
тотчас же вопросом об их отношении к обычным мерам * (евклидовой
или сферической).
Однако очевидно, что принципы, развитые в предыдущей главе,
только тогда смогут быть полностью использованы, когда мы
в известной степени овладеем соотношениями между неевклидовыми
и обычными мерами. В конкретных проблемах, входящих в только
что разобранный круг вопросов, встречаются обычно более или
менее ясные указания о евклидовых меросоотношениях заданных,
геометрических конфигураций (например, Oz, а„ z), и общие прин-
принципы в этих случаях могут быть применены только тогда, когда
мы умеем вывести неевклидовы меросоотношения для отображения
и наоборот.
В простейших случаях взаимоотношения между различными
мерами известны непосредственно на основании их определения. Так,
например, с одной стороны, гармоническая мера дуги единичной
окружности, измеренная относительно единичного круга в нулевой
точке, есгь не что иное, как деленная на 2п величина соответствую-
соответствующего этой дуге центрального угла, и, с другой стороны, гиперболи-
гиперболическая длина элемента дуги, выходящего из нулевой точки, равна,
относительно того же круга, евклидовой его длине. В более общих
случаях, когда соотношения между различными мерами нельзя выра-
выразить точно с помощью элементарных функций, следует заметить, что
проблема может быть сведена к случаю единичного круга, для чего
достаточно конформно отобразить соответствующие области или,
если они многосвязны, нх универсальные поверхности наложения на
единичный круг. При этом гармоническая и гиперболическая меры.
сохраняются; напротив, евклидовы меросоотношения изменяются.
Таким образом, видно, что проблема настоящей главы по существу
тождественна с вопросом об искажении, которое испытывает облает»
внутри и на границе при конформном ее отображении на соответ-
70 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
ствующую нормальную область (например, на единичный круг). Тео-
Теоремы, о которых нам придется дальше говорить, можно истолковать
как такие высказывания об искажении. Однако, мы не изложим пол-
полностью теорию искажения как самостоятельное учение, а возьмем из
нее лишь то, что особенно существенно с точки зрения выявления
соотношений, существующих между различными мероопределениями.
§ 2. Принцип Карлемана расширения области.
69. Во многих случаях гармоническая мера граничной дуги может
быть оценена с достаточной точностью посредством нижеследующей
теоремы, которую впервые использовал Монтель (Montel) и Карле-
ман (Carleman) в своей известной работе об асимптотических зна-
значениях целых функций и которая потом применялась многими дру-
другими авторами 1).
Принцип расширения области. Гармоническая мера <a(z,a,G)
увеличивается, если расширить область G за дополнительную к а
часть р границы Г — а -|- р этой области.
Это означает следующее: область О заменяется большей об-
областью (У, содержащей G как часть и граница I" которой состоит
кроме заданных дуг а еще из известных дуг C', которые, следова-
следовательно, или полностью расположены вне G или частично совпадают
с дугами р (фиг. 10). Тогда для всех точек z, лежащих в G,
«(*, а, О) <« (г, а, О'), A)
причем равенство имеет место только для G == G'.
Для доказательства образуем разность и (z) = ш (z, a, Gr) —
— <o(z, a, G), которая является в G регулярной ограниченной гар-
гармонической функцией. В каждой внутрен-
внутренней точке дуг а (число которых предпо-
предполагается конечным) стоящие справа гар-
гармонические меры равны 1 и поэтому
и = 0. В каждой внутренней точке дуг р
ш (z, a, G) = 0, в то время как ю (г, а, С)
во всяком случае неотрицательно и, сле-
следовательно, и^О. Так как функция и
фнг. 10. в окрестностях остальных граничных
точек (концы дуг аир) ограничена,
то из принципа минимума следует, что соотношение и^-0 и,
Следовательно, утверждение A) справедливы в каждой точке об-
области G. Равенство для одной внутренней точки области О имеет
место только тогда, когда и==0. Так как это тогда справедливо
в частности и для дуг р, где да (z, a, G) = 0, то там ш (z, а, О') = 0,
что, очевидно, возможно только тогда, когда дуги Р' и р, тем самым
г) Р. Montel {»], Т. Carleman [i], К. LOwner Г1], М. Лаврентьев 1*1, pi,
A. Ostrowski pj, S. Warschawski f1] н др;
§ 2] ПРИНЦИП КАРЛЕМАНА РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ 71
и области G' и О полностью совпадают. Этим доказательство прин-
принципа Карлемана закончено.
Так как
то из этого принципа далее следует, что
ш(*, р,О)>»(*,-р', (Г). (Г)
Принцип Карлемана дает, таким образом, средство для оценки
гармонической меры как сверху, так и снизу.
На основании замечаний, сделанных в § 1, предыдущий результат
может быть интерпретирован следующим образом: если О и О' или,
в случае их многосвязности, их универсальные поверхности наложе-
наложения отображаются конформно на единичный круг так, что одна и
та же точка этих областей переходит в нулевую точку, то в первом
случае (область G) дугам а будет соответствовать на единичной
окружности множество меньшей меры, чем во втором случае
(область G')-
60. Значение принципа Карлемана основано на том, что он часто
позволяет заменять сложные конфигурации (G, a, z) более простыми
(G', а, г), для которых непосредственно удается овладеть числен-
численными соотношениями между гармонической мерой са и евклидовыми
свойствами конфигурации (G', a, z) и тем самым установить мажо-
мажоранты и миноранты гармонической меры.
Впрочем, прямое применение этих гармонических мажорант и
минорант позволяет во многих случаях элементарно доказать общие
теоремы, не привлекая принцип гармонической меры в его наиболее
общей форме, в которой его нельзя рассматривать как .элементар-
.элементарный", так как он предполагает известными весьма глубокие фунда-
фундаментальные теоремы относительно конформных отображений и соот-
соответствия границ при таких отображениях.
Чтобы пояснить это на примере, мы докажем, используя ход рас-
рассуждений Карлемана, нижеследующую теорему о предельных значе-
значениях ограниченных функций, которая с успехом кожет быть исполь-
использована при доказательстве основной теоремы о соответствии границ
при конформном отображении: :
Пусть w{z)—регулярная и ограниченная в правой полупло-
полуплоскости функция и I—жорданова дуга, расположенная в этой
полуплоскости и оканчивающаяся в нулевой точке г = 0 (см.
фиг. 11 на стр. 72). Тогда, если w (z) стремится к определен-
определенному предельному значению а, когда z -> 0 вдоль I, то
lim w (г) = а
г-»0
равномерно ш каждом угле
-|— 8 C>0).
72
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ
[ГЛ. IV
I
Доказательство. В силу сделанных предположений мы можем
для произвольно заданного е@<е<1) найти такое число r~>(jt
что в каждой точке кривой /, лежащей в круге |г|^г, имеет ые-
сто неравенство \w — а|<е. Будем двигаться по кривой / от ну-
нулевой точки до первой точки Рг ее пересечения с окружностью
|г|==г, определяемая этим часть 1Г дуги / равбивает полукруг
Dr (| г К г, s^-0;z = s-\~it) на две области D/ и
Dr", граничащие соответственно с отрезками
(О, ir), @,—if) мнимой оси.
Пусть теперь <a(z,lr,Drr)— гармоническая мера
дуги /г относительно области D/, измеренная во
внутренней точке г этой области. Тогда по теореме
о двух константах1) (ср. стр. 48)
\og\w{z) — a|<co(*,/r,D/)loge. B)
Пользуясь принципом Карлемана, дадим оценку
снизу для гармонической меры, стоящей в правой
части неравенства. В качестве миноранты полу-
получается гармоническая мера части границы полу-
полукруга Dr, состагленной из отрезка sr@, —ir) мнимой оси и дуги
(—ir, Pr) окружности [г| = г. Эта мера только уменьшится, если
откинуть последнюю дугу, и тем самым
m{z,lr,Dr')>m^,sr,Dr). C)
Но для последней гармонической меры легко найти явное выра-
выражение. Для наших целей достаточно, однако, заметить следующее:
если и {z) есть гармоническая мера радиуса @,—Г) полукруга Dr
с г=1, то, очевидно,
Фиг. 11.
Но в круговом секторе |^|<y» —y<argi<-j — 8 функция
и (г) имеет положительный минимум Х5, зависящий только от 8; следо-
следовательно, и для точек г из сектора Sr (\ z \ ^ ~, — -| ^ arg z ^ 5- — 8)
и и» формул B) и C) следует, что
{z) — a| < XsIogs
для каждого значения г, лежащего в пересечении сектора Sr
с областью D/.
Ц Так как w по предположению ограничена, то, не нарушая общности,
можво считать, что \w — о|<1.
§ 2] ПРИНЦИП КАРЛЕМЛНЛ РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ 73
Тот же самый результат получается для пересечения сектора:
I^Ky.—¦j"^~5^-argz^-T с областью Dr" и» следовательно,
окончательно
для ] z | <[ -^ , | arg г \ ^ -| — 8, откуда следует утверждение о равно»
мерной сходимости.
Применяя при этом доказательстве принцип гармонической меры,
мы совершили обходный путь и, в частности, использовали не совсем
элементарное обстоятельство существования гармонической меры
жордановой дуги 1Г. Как выше было замечено, этот обходный путь
можно избежать, применяя принцип Карлемана прямо для построе-
построения элементарной гармонической мажоранты. Доказательство пред-
представляется тогда в следующем простом виде:
Функция
у) logs — log\w(z) — a\ D)
в области D/ гармонична с точностью до нулей функции w — а,
в которых она обращается в -J-oo. Далее, вблизи граничных точек
этой области она неотрицательна, за исключением самое большее
двух точек разрыва (О и Рг) функции и (—\ В самом деле, на /^
имеем: 0<и<1 и log|o> — a|<loge, следовательно, разность D)
положительна; на остальной части границы области D/ функция и
обращается в нуль, в то время как log|o>—а | имеет здесь отрица-
отрицательную верхнюю границу.
Так как, наконец, вблизи двух точек разрыва функции и раз-
разность D) во всяком случае ограничена снизу, то, согласно принципу
минимума, эта разность неотрицательна и в каждой внутренней
точке области Ь/. .Доказательство доводится далее до конца так
же, как это было сделано выше.
61. В качестве второго применения предыдущего принципа рас-
рассмотрим общую проблему, впервые поставленную и исследованную
Карлеманом (там же) и затем особенно много изучавшуюся Мик>
(Milloux) [!], почему ее часто называют „проблемой Мию". Эта про-
проблема, имеющая значение для различных приложений, будет нас еще
занимать и в следующих параграфах этой главы.
Проблема Карлемана-Мню. Вокруг граничной или внеш-
внешней тонки С односвязной области G, ограниченной конечным
числом жордановых дуг, опишем круг \z — С|^R и обозначим
через а лежащее внутри этого круга граничное множество об-
области О и через GR — пересечение области О с этим кругом*),
*) Если пересечение состоит из нескольких областей, то через Gs uu
обозначим ту, для которой S является граничной точкой.
74 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [гЛ. IV
Требуется установить нижнюю границу для гармонической меры
(о (z, а, Од),
зависящую только от R и от расстояния \z — С|.
Для решения 1) целесообразно преобразовать область G посред-
посредством функции ? = log(C—z) в однолистную область, расположен-
расположенную в плоскости t — з -f-« и имеющую бесконечно удаленную точку
f=oo в качестве внешней или граничной точки. Пусть D, означает
образ GB и вв — граничное множество области Da, лежащее на пря-
прямой a = log/?. Требуется оценить снизу гармоническую меру образа,
множества а или, что приводится к тому же самому, оценить сверху
гармоническую меру его дополнения, т. е. как раз множества fK
относительно области Da.
Для этой цели заменим область D, полуплоскостью o<log/?*);
в силу принципа расширения области гармоническая мера множе-
множества дуг в,, при этом увеличится и станет просто равной деленной
на я сумме углов, под которыми это множество видно из точки
/0 =: log г (ср. п. 39). Далее простым рассуждением, которое мы
оставляем читателю, легко убедиться, что эта сумма углов дости-
достигает, при заданной сумме длин в (о) дуг в, (о = log/?), своего макси-
максимума тогда, когда в,, состоит из одного единственного сегмента, рас-
расположенного симметрично относительно прямой т = т0 (t0 = о0-(-к0);
Соответствующий максимальный угол равен тогда
и для гармонической меры множества в,, мы получаем, следова-
следовательно, верхнюю границу
62. В силу своей большой применимости этот результат заслу-
заслуживает быть высказанным как самостоятельное предложение.
Теорема Карлемана. Пусть D — односвязная однолистная область,
расположенная в плоскости t = a-\- i~. Пусть далее в (з) означает
сумму длин сегментов Qa прямой 91 (t) = о, лежащих внутри или
на границе области D, и D, означает часть области D, лежащую
слева от этой прямой.
При этих предположениях для гармонической меры множе-
множества ва имеет место оценка
|J^ij> E)
справедливая для каждого tQ = o0-\-ii0, a0 < о.
*) См. Т. Carleman [%
*) К более точной оценке мы придем, заменяя Da полупояосой 0 < т < 2я,
0и отображая затем поаупояосу на полупяоскость.
§ 2] ПРИНЦИП КАРЛЕМАНА РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ 75
Заметим еще, что это соотношение остается a fortiori справедли-
справедливым, если слева заменить Da на D и дуги в,, заменить частями
гралицы области D, лежащими справа от них.
Из предыдущего вывода следует также, что при сделанных пред-
предположениях данная в E) граница не может быть понижена. В самом
деле, соотношение E) переходит в равенство, если за область D
взять полуплоскость Ш (t) <; о, а за -0„ выбрать сегмент длины в (о),
лежащий на границе 9t (t) = з симметрично относительно граничной
прямой -с = т0.
63. Теорема Карлемана содержит следующую теорему об иска-
искажении границ при конформном отображении: если область D ото-
отобразить конформно на единичный круг так, чтобы точка t0 =s* оо -(- «о
перешла в нулевую точку, то граничное множество в, перейдет
в множество дуг на единичной окружности, сумма длин которых
самое большее равна
В случае выпуклой области D этот результат допускает инте-
интересное применение. Если а — произвольная граничная дуга такой
области, то для <*>(t, a, D) получается верхняя граница , где
1 — величина угла, под которым видна дуга а из точки t. Следова-
Следовательно:
Если выпуклую область D отобразить конформно на единичный
круг так, чтобы внутренняя точка Р области перешла в нулевую
точку, то граничной дуге, видной из точки Р под углом f, на
единичной окружности будет отвечать дуга, длина которой
меньше 2*f,- за исключением случая, когда D есть полуплоскость, —»
в этом случае длина соответствующей дуги равна 2f.
Так как эта теорема имеет место, какой бы малой дуга а ни была
выбрана, то она справедлива и для диференциала дуги. Если точку Р
принять за начало полярной системы координат (г, <р), в которой
выпуклая граничная кривая имеет уравнение г = г (<р), то, следо-
следовательно, dm ^ — rf<p. Если теперь представить себе, что на границе
задана последовательность неотрицательных граничных значений
"</> <?), то функция, гармоническая в D, заданная этими граничными
значениями, определяется по формуле (ср. п. 22)
и, следовательно,
Полученная оценка, в силу ее простоты и точности, весьма удобна
для исследования поведения гармонической функции ъ окрестности
особой граничной точки выпуклой области.
76 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
64. Вернемся обратно к карлемановскому неравенству E) и по-
посмотрим, что из него можно вывести относительно проблемы Кар-
лемана-Мию (п. 61). Если посредством преобразования t = log (С—г)
перейти снова к плоскости г, то для стоящей в E) мажоранте гар-
гармонической меры получится выражение (]og/? = o, ]ogr=o0)
2 arctc- •8(J?)
где RQ(R) означает сумму длин дуг окружности |С — z\ = R, вхо-
входящих в границу области GR. Мы приходим, таким образом, к сле-
следующему результату:
Теорема 1. Пусть G — односвязная область, ограниченная
конечным числом жордановых дуг и не содержащая внутри
точку 2 = 0. Если длина части окружности \z\ = R, лежащей
в О, равна /?в(/?), то гармоническая мера части р границы обла-
области О, лежащей вне круга |г|<R, удовлетворяет в каждой
точке z, лежащей в пересечении области G с этим кругом, нера-
неравенству
m(z, p, 0)<4arctg-ii^. F)
Тем самым для гармонической меры дополнительной части а гра-
границы области G, лежащей в круге | z \ < /?, получается оценка
| з^. F')
Так как в ^ 2ir, то соотношения F) и F') будут справедливы
a fortiori, если в заменить через 2тс.
Значение полученного результата заключается в том, что он указы-
указывает для соответствующих гармонических мер границы, которые для
| z | << г < R определяются одним только отношением ~ , независимо
от вида граничной кривой области О и выбора точки z в области GB.
В отличие от E) соотношения F) и F') не дают наилучших
границ. В самом деле, если перенести соответствующий E) экстре-
экстремальный случай на плоскость z = et, то мы придем к гармониче-
гармонической мере, равной выражению для верхней границы из теоремы 1,
но эта гармоническая мера будет однозначна только на бесконечно
листном круге 0 < |г|< R, соответствующем полуплоскостиШ(t)<о,
а не на однолистной области (как это предполагается в теореме 1).
65. Применением теоремы 1 как частный случай общей тео-
теоремы о двух константах (ср. п. 36) получается г)
!) Читателю предлагается вывести нижеследующую теорему как непо-
непосредственное следствие из принципа минимума, рассматривая гармониче-
гармоническую функцию log|w| и применяя построенную выше миноранту. Такое
§ 2] ПРИНЦИП КАРЛЕМАНА РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ 77
Теорема 2. Пусть w{z)—регулярная и ограниченная функция
(\ш | ^ 1), определенная в области G указанного в теореме 1
вида. Пусть далее в каждой граничной точке области G, лежа-
лежащей в круге | г | ^ R, выполняется условие
Тогда в каждой точке г области G имеет место соотношение
!!1
|«(*)|<1В« * .
В качестве примера на применение этой теоремы мы докажем
следующую теорему Линделофа *) о предельных значениях, играющую
важную роль в теории соответствия границ при конформном ото-
отображении.
Теорема Линделофа. Пусть G—область, ограниченная одной жор-
дановой кривой, f — граничная дуга области О, С—внутренняя
тонка дуги f. Пусть далее w(z)— определенная в G регулярная
и ограниченная функция, непрерывная всюду на f, за исключением
быть может тонки С. Тогда, если при приближении граничной
точка ?' справа и слева к точке С функция w (z) стремится
к одному и тому же предельному значению а, то w (z) непрерывна
и в точке z = Z>, т. е. w(z)-+a, как бы точка z в области G
ни приближалась к граничной точке С
Не уменьшая общности, можно считать, что \w(z) — а\ < 1
во всей области G. В силу сделанных предположений для всякого
сколь угодно малого значения е @ < е < 1) можно найти такое число
г > 0, что для всех граничных точек ?', удовлетворяющих усло-
условию 0<|С — ?'|<2г, имеет место соотношение |w(С') — а|<е.
Тогда по F') для всякой точки z области G, лежащей в круге
\z — С) < г, выполняется неравенство
где
откуда следует утверждавшаяся равномерная сходимость.
66. Следуя способу, также восходящему к Карлеману, можно
так преобразовать данные в предыдущих теоремах оценки, чтобы
они учитывали не только сумму длин одной системы сечений SR (t) — о
или \z)=^R, соответственно областей D и G, а известным образом
учитывали среднюю длину таких систем сечений.
прямое доказательство имеет то преимущество, что показывает справедли-
справедливость теоремы при отсутствии каких-либо ограничений относительно гра-
границы области.
Ч Е. LindeiOf pj.
78 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
Если через в„ обозначить систему сечений $(г) = о области D
и через в (о) — сумму их длин, то в силу E), для о'<о будет
выполняться неравенство
где Da означает часть области D, лежащую слева от вв 1). Следо-
Следовательно, для (ft (t) = о' выражение
самое меньшее равно m (t, Qa, Da), так как второй множитель здесь
обращается в 1. На остальной части границы области ?>о, о.бе гар-
гармонические меры исчезают в силу их определения, откуда, на осно-
основании принципа максимума, следует, что
«Со- % Я)<| ^^
как бы точка t0 ни выбиралась в области ?>а.. Если писать ради
краткости в (*0, о) вместо а>(*0, 9„ О,), то, следовательно,
mfo» а) —
Отсюда становится очевидным, что <о (t0, о) является монотонно
убывающей функцией от о 2) и как таковая имеет почти для всех
значений а вполне определенную производную. Деля обе части
предыдущего неравенства на о — о' и совершая предельный пере-
переход о' -> о, мы для этой производной получим оценку
которая справедлива и для тех значений а, для которых не суще-
dv>
ствует определенная производная, если под -j- понимать тогда верх-
верхнюю производную слева. Интегрируя это диференциальное соотно-
соотношение между пределами Oj и оа, мы придем к следующей теореме:
Теорема 3. В предположениях п. 62, для to = ao~\-ko, имеем
G)
!) Может случиться, что Da состоит из нескольких отдельных связных
подобластей. Если t—точка области, то под D, будем повимать всегда ту
подобласть, которая содержит эху точку.
2) Это, вппочем, следует уже непосредственно из принципа расширения
области.
§2]
ПРИНЦИП КАРЛЕМАНА РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ
79
как бы ни выбирались числа о0 ^ ot < o2. При этом Da означает
подобласть области D, содержащую точку t = tQ и лежащую
слева, от прямой 9t (t) = о.
Чтобы испытать степень точности этой теоремы, возьмем за D
полосу |t|< ¦q. Простое вычисление дает для максимального зна-
значения гармонической меры са отрезка "| т | <; -^, 9t(/) = a, измерен-
измеренной относительно полуполосы Da на- сечении
значение
о0,
| т | <
С другой стороны, общее соотношение G) для данного случая,
когда о2 = о, о0 = Oj и, следовательно, <о (t№ вп, Da]) = 1, дает верхнюю,
гранипу
порядок величины которой для больших значений о — о0 является
правильным. Сравнение коэфициентов, стоящих в показателях,
наводит на предположение, что множи-
4
тель , стоящий перед интегралом
справа в соотношении G), можно заме-
заменить более точным — it. Что это действи-
действительно так, будет показано в § 4 этой
главы, где мы вернемся к вопросу об
искажении границы при конформном
отображении.
Заметим еще, что асимптотически,
т. е. при о-*оо, содержащаяся в E)
оценка значительно менее точна, че>1 G). В самом деле, для да в вы-
шерассмотренном примере получаем согласно E) верхнюю границу
Фиг. 12.
которая при о -> со убивает, как —, в то время как правильный
G
порядок равен е~".
67. Возвращаясь обратно к соотношению G), мы замечаем, что
аналогичное неравенство имеет место справа от сечений в,,, т. е. G)
остается в силе, когда о2 < ох < о0, и D,2 означает часть области D,
лежащую справа от в,, если только при этом переставить пределы
интегрирования. Полагая OjS^Oq, следовательно, m(^0, 09l, DaJ = 1
и складывая оба эти неравенства, мы придем к следующему резуль*
тату (см. фиг. 12).
80 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [гл. IV
Пусть D, как и выше, — односвязная однолистная область,
6, — система сечений области D, лежащих на прямой 9t@ = 3>
и в (о)—сумма их длин. Пусть далее Dl2— часть области D, огра-
ограниченная сечениями 6^ и 6^ (ох < з2).
При этих предположениях сумма гармонических мер сечений
вв в в,, измеренных относительно D12 в некоторой внутренней
точке / = а-{-г"х(з1 < о < а2), имеет верхнюю границу
_4 Г_йз_ _4 Г da
Т •' в C) ~ .' И (в)
,,,
,,,
Выберем теперь значение о так, чтобы оба интеграла, стоящие
в показателях, были равны. Тогда мы придем к следующей теореме:
Теорема 4. Если ot < о2 и D12— часть области D, лежащая
между сечениями 0,^ « 0aj, too можно найти такое сечение
в, (oj < о < о2), чтобы сумма са12 гармонических мер сечений В, « 8, _
измеренных в точке t сечения 0, относительно связной часта
области D12, содержащей точку t, удовлетворяла неравенству
__2_ Г* ds
« •' »(в)
«,9<2е ffl , (8)
где в (о) означает общую длину сечения в,.
Замечание. В силу принципа расширения этот результат имеет
место a fortiori, если ш13 будет означать сумму гармонических мер
граничных дуг области D, лежащих вне полосы ot ^ о ^ о2, которые,
следовательно, отделены от точки t сечениями в,, и 0,.
Обратим еще внимание на то, что для оценки величины сви
ыожно было также применить соотношение E). Простое вычисление,
которое читатель легко проверит, приводит к оценке
которая для больших значений а2 — зх вообще значительно менее
точна, чем (8).
68. Теорема 4 позволяет вырести интересные следствия из
общих результатов гл. III, § 6. Пусть D12—область, ограниченная
кроме сегментов в . 0„ и прямых x = av x~o2 (z — x-\-iy) еще
некоторым числом жордановых дуг, из которых ровно две, Lx и Ц,
соединяют граничные прямые х = ох и л = о2 (фиг. 13); кроме Lx
и 1^ граница может содержать еще другие дуги Ls, каждая из
которых может иметь точки только на одной из граничных прямых
х = о1 или х = Oj. Предположим далее, что заданная в О12 одно-
однозначная и регулярная аналитическая функция w (z) принимает в D12
значения, попадающие в некоторую область О плоскости w, огра-
ограниченную конечным числом жордановых дуг. Кроме того, пусть
§2]
ПРИНЦИП КАРЛЕМАНА РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ
81
функция w{z) непрерывна "на Lu 12 и Z,8 и принимает на Lx и Ls
значения, расположенные соответственно на двух заданных множе-
множествах Hv Я2 области О, находящихся на положительном расстоя-
расстоянии друг от друга; значения функции w(z) на L3 могут лежать
или на Ht или на Я2. Небольшим расширением множеств Ht и Я9
можно добиться того, чтобы их граница состояла из конечного
числа жордановых дуг а1( а2, находящихся также на положительном
расстоянии друг от друга. Множество а!~}-а2 = о может лежать
или частично или пол-
полностью на границе об-
области О; будем, одна-
однако, предполагать, что
дополнительная к а
часть Р границы обла-
области О не пуста. На-
Наконец, предположим, r-q
что множества к, ио,
такие, что всякая связ- г-ллоаюсть
ная область О*, полу-
получающаяся из О после
удаления множеств Н± фиг> ]з.
и Я2, ограничена кро-
кроме некоторых дуг чх и а2 еще некоторыми дугами, принадлежа-
принадлежащими к р.
Обозначим теперь (ср. п. 54) через /»(/) минимум гармонической
меры множества at-|-aa = a, измеренной относительно G* на неко-
некоторой дуге /, соединяющей внутри О* множества at и <х2, и положим
mw = sup тA),
когда / пробегает совокупность всех таких дуг, соединяющих а,
и о8. Тогда, при сделанных выше предположениях,
у-плоскость
Аналогично обозначим через т{р) минимум гармонической меры
дуг Lt +?9 + 13, измеренной относительно D12 на прямой х = о, и че-
через тя обозначим верхнюю границу значений т(а) для ot < о < а2:
тя = sup m (a).
Тогда по теореме об увеличении гармонической меры (гл. Ш, § 6)
Щ ^> mw ' (9)
Но с помощью теоремы 4 можно оценить тг снизу. Если учесть,
что сумма гармонических мер дуг L± -j- L2 -j- L3 и дуг 8^, в
равна 1, то, выбирая подходящим образом о, из неравенства (8)
мы найдем для /я (а) и, следовательно, для tnz нижнюю границу:
««
тЙ>1-2г~~1Ш, (Ю)
82 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
откуда, согласно (9),
(И')
зависит только от mwl т. е. только от конфигурации G, Hv Я2.
69. Интересно теперь оценить, при сделанных относительно
отображения w = w(z) предположениях, величину mw. Очевидно,
нужно найти верхнюю границу для этой величины. Пользуясь прин-
принципом расширения, проведем это более подробно в двух частных
случаях.
Сперва предположим, что функция w (z), регулярная в областиZ)j2,
удовлетворяет следующим дополнительным условиям:
1) На дугах Ll и L2 функция w (z) = и -\~ iv принимает значе-
значения, расположенные соответственно в полуплоскостях v ^ — Ь,
> ()
2) На дуге L3 \v\~^>b.
3) Во всей области D12 \и(г)\^а (а > 0).
При этих предположениях мы можем применить предыдущую
теорему, принимая за область Du полосу |«|<а, за множества
Ни Я2 — полуполосы, ограниченные прямыми ¦» = — Ъ, соответ-
соответственно v = b и a = rta, так что область О* состоит из прямо-
прямоугольника |и|<а, |г>|<&, а дуги av a2, входящие в ее границу,
представлены отрезками v = rfcb, |и|< а. Следовательно, теперь
тю означает верхнюю границу минимума гармонической меры ука-
указанных отрезков, измеренной относительно прямоугольника О* на
кривой, соединяющей эти отрезки внутри рассматриваемого прямо-
прямоугольника. Из соображений симметрии непосредственно ясно, что
эта верхняя граница достигается в нулевой точке. С помощью
принципа расширения мы далее найдем, что mw меньше гармониче-
гармонической меры тех же отрезков, измеренных в нулевой точке относи-
относительно всей полосы | v \ < Ь.
Последнюю меру легко вычислить, отображая полосу посред-
тс
ством преобразования е-1' на правую полуплоскость; при этом
на па ла
отрезки atj, а2 перейдут в отрезки (ie %ь , ге2*), (—-ie ** ,
на
— ie2b) мнимой оси, и искомая гармоническая мера будет просто
равна деленной на « сумме углов, под которыми видны эти отрезки
мнимой оси из точки / на действительной оси. Простое вычисле-
вычисление дает тогда для мажорантной гармонической меры значение4)
ПО
1 arctg e 2Ь;
]) Более ючиал оценка подучается, еслв пользоваться эллиптическими
функциями, отображаю щи'ли прямоугольник на полуплоскость.
§ 2] ПРИНЦИП КАРЛЕМАНА РАСШИРЕНИЯ ОБЛАСТИ 83
следовательно,
4
1 — mw > — arctg e №
и тем самым, согласно A1) и A1'),
J
йх
2arctge 2Ь
Так как для 0<;/<1 имеем arctg t^-^t, то отсюда далее полу-
получается более простая оценка:
Если, в частности, за ZI2 взять „четырехугольник", ограничен-
ограниченный двумя отрезками в,,, в„, и двумя соединяющими их кривыми
Lv L2, и отобразить его конформно на прямоугольник со сторо-
сторонами 2а, 2Ъ так, чтобы кривые Lv Z,2 перешли в противоположные
стороны длины 2а, то, обозначая через 0(а:) „ширину" области ?I2
(т. е. длину сечения &х)} мы будем иметь соотношение A2), из
которого будет следовать, что область D12 не может быть слишком
сильно растянута в длину (т. е. в направлении оси дг-ов). Если,
*) Если сделать дополнительное предположение, что функция w(z)
однолистна, то подсчетом площади и применением неравенства Шварца
можно заменить оценку A2) более точной, В самом деле, в этом
случае площадь прямоугольника О*, равную АаЬ, можно записать в виде
(у)
где (у) означает сечение области />12 прямой г=х.
Далее, согласно неравенству Шварца (см. прим. к стр. 99),
J dy J 1 w' (г) \*dy>( J | w'{z)\
iV) (9) (У)
iV)
следовательно,
UJ) (jjj
Подставляя это в первое равенство, получим соотношение
откуда следует, что
dx
84 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРВДВЛБНИЯМИ [ГЛ. IV
в частности, Die имеет ту же ширину 2Ь и длину 2а, что и прямоуголь-
прямоугольник, то выражение слева в A2) обращается в у; это делает веро-
тс2 а
ятным предположение, что множитель -^- перед -^ справа в A2)
может быть заменен 1').
70. В качестве второго примера на общее соотношение A1)
выберем области О, Hv Я2 следующим образом: пусть О ограни-
ограничена жордановой кривой Г и Нх, Н2 — две ее подобласти,
отсекаемые от нее двумя не имеющи-
имеющими общих точек сечениями о', а". Оста-
Остаточная область G* будет ограничена кро-
кроме дуг а', а" еще двумя дугами ?', §"
граничной кривой Г (фиг. 14).
Соединим эти две дуги р регулярной
дугой /, пробегающей в G*. Длину ду-
дуги /, считаемую от фиксированной на-
начальной точки, обозначим через s; пусть
s возрастает на. / от st до s2 в напра-
направлении от C' к р". Обозначим через
фиг J4. Р (s) кратчайшее расстояние от точки
w =» wa на / до граничных дуг а', а".
Рассмотрим теперь гармоническую меру <o(w, |3'-j-J3", G*) и
обозначим через т (s) минимум ш в пересечении области G*
с кругом
@<k<\).
Для оценки величины m(s) воспользуемся выражением
IogT
которое гармонично в кольце kp(s)^.\w — wei<p(s) и принимает
на внутренней окружности значение m(s), в то время как на внеш-
внешней окружности оно равно нулю. Если w — точка области О,
лежащая в этом кольце, то ш (w, f3'-}-[3", О*) наверное не меньше
соответствующего значения выражения A3). В самом деле, пересе-
пересечение Ds рассматриваемого кольца с областью G* ограничено точ-
точками трех видов: 1) точками окружности \w — ws\== kp(s); здесь
<o^>wt(s) и u(w) = m(s), следовательно, ш — и^О; 2) точками
окружности \w — wa| = р (s), где <о^ 0, а и = 0, так что снова
<в — м>0; 3) точками дуг р' + Р"; 3Десь «^l и a</ra(s)<l;
следовательно, и здесь ш — и ^ 0. На основании принципа ми-
J) Другими методами та же проблема изучалась L. Ahlfors'oM [6]. См.
также О. Polya [i]. Ср. прим. к стр. 83 (прим. перса.)
§ 2] ПРИНЦИП КАРЛЕМАНА РАСШИРВНИЯ ОЪЛЩТЯ 85
нимума отсюда следует, что tt действительно представляет мино-
миноранту для ш.
Если теперь на / взять точку wg, ha, то для достаточно малого
As>0
logj -
где Дг означает расстояние между точками ti>a+Aa и we. Учитывая
значение величины р, имеем далее соотношение
р
следовательно,
!ogi
откуда следует, что
) — «(«)
1 ' •
-?-
Совершая предельный переход Д«-»-0 и замечая, что при этом
-т—> 1, мы найдем для нижней производной -?- нижнюю границу
1 + i
dm ^ A m(s)
¦ «+т
Полагая здесь /&==—, = 1 —J— е <; 4 и интегрируя между пре-
logT
делами sx и s, получим
в
-4 Г —
j»(s)>m(s,)e ^P(8). A4')
Теперь следует оценить значение m (Sj), т. е. минимум гармони-
гармонической меры ш(и», fJ' + p", G*) в круге | г» — Ws, | < *Р (sj, где
г«в1 лежит на граничной дуге {J\ Для этого можно непосредственно
применить соотношение F'), полученное из теоремы 1 (п. 64).
Оно дает нам для R = p(s1), \z\ = \w—w8l|<-?-^ оценку
следовательно, m(s1) > ¦=-.
86 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
Совершенно аналогичным рассуждением найдем соотношение
/и (s) >i»&)« '» Р(8) . (И")
со значением от (s2) > —- и сложением получим
8,
1 f -
Таким образом, нами доказана
Теорема 5. Если область G* ограничена жордановой кривой
r = «'-f-P"-j-a" + P', часта а и ? которой следуют друг за дру-
другом в указанном порядке, то гармоническая мера дуг J3' -f- ,3"
удовлетворяет в каждой точке w сечения I области О*, соеди-
соединяющего дуги р, неравенству
A4)
где s означает изменяющуюся между s1 и sa длину дуги I и р (s)
означает кратчайшее расстояние cm точки ws на I, соответ-
соответствующей параметру s, до дуг в' + в".
71. Если мы теперь вернемся обратно к вопросу п. 69 (стр. 83),
то из A4) найдем для обозначенной через mw верхней границы
гармонической меры a>(w, a'-\-a", G*) на кривых, соединяющих
дуги а' и а", верхнюю границу
-a f —
и фундаментальное соотношение тх^т„ даст нам, в предположе-
предположениях п. 68 и с учетом A1) и A1'), соотношение
Отсюда, в частности, следует
Теорема 6. Пусть С?г—область в плоскости г = x-{-iy, огра-
ограниченная жордановой кривой \\ = а/-\- %' -\- ае"-{¦ %", состоящей
из четырех дуг а/, рг', а2", рД следующих друг за другом в ука-
указанном порядке, причем для всех хг < х <; дг2 прямая Ш. (г) == х
встречает только дуги а/, а/. Обозначим через 8 (#) судей)/ д./ш«
сегментов этой прямой, лежащих в Ge. Пусть для xt -^ х < дг9
тахв(дг) = в.
§ 3| ОЦЕНКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕРЫ 97
Пусть далее в области 0г задана регулярная функция w{z),
обладающая следующими свойствами:
1) w(z) принимает в Ог значения, попадающие в область Gw,
ограниченную жордановыми кривыми Tw.
2) На граничных дугах а/, а/ функция w (г) непрерывна и
принимает значения, расположенные соответственно на двух, не
имеющих общих точек замкнутых множествах Hj, Hw", которые
могут быть разделены друг от друга сечением области Gw. Пусть
Q—такое сечение, а — кратчайшее расстояние от Q до множе-
множества HJ-\-Hw" и Ъ — длина сечения Q.
При этих условиях имеет место неравенство
?^<«|+С, A7)
где С—числовая константа IС < -?- log 4~).
Этот результат непосредственно вытекает из общего соотноше-
соотношения A6), если за область Gw* взять часть области Gw, которую
покрывает круг радиуса а, когда центр его описывает сечение Q.
Множества HJ и HJ1 можно тогда заменить областями Hv H2,
которые отсекаются от области Gw областью Qt* и которые содер-
содержат соответственно множества Ню', Н№".
§ 3. Оценка гиперболической меры посредством расширения
области.
72. Каждому элементу дуги евклидовой длины ds, выходящему
из точки Р области G гиперболического типа, мы в п. 44 поставили
в соответствие неевклидову длину do. Принцип гиперболической
меры (п. 45) говорит, что определенная этим неевклидова длина
дуги при однозначном аналитическом преобразовании г» = и»(г)
уменьшается, если за соответствующие области взять в плоскости z
область Gg, где' w {z) однозначна и аналитична, а в плоско-
плоскости w взять область Gw, в которой лежат соответствующие зна-
значения w.
Чтобы, согласно программе, намеченной в § 1 этой главы, сде-
сделать принцип гиперболической меры удобоприменимым и в тех слу-
случаях, когда гиперболическая мера не поддается элементарному под-
подсчету, мы должны найти методы, позволяющие установить аппрок-
аппроксимативные соотношения между гиперболическими и евклидовыми
меросоотношениями заданных отображений.
Для этого сам принцип гиперболической меры дает нам про-
простой метод, который во многих случаях приводит к желательным
результатам.
Пусть Gy и G2—две области гиперболического типа, из
которых Ot содержится в G2. Если Pt—точка области Qv то гипер-
гиперболические длины rfejj и rfo2 элемента дуги евклидовой длины ds.
88 СООТНОШЕНИЯ МНЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
выходящего из Р, измеренные относительно G,, соответственно Ga,
удовлетворяют соотношению
A8)
В самом деле, это является частным следствием и.з принципа
уменьшения гиперболической меры, ибо, если взять Gg^Qj^ и
G^ssGa, то функция ws=z удовлетворяет всем условиям нашей
теоремы и принцип дает непосредственно соотношение A8), в кото-
котором равенство имеет место тогда и только тогда, когда Gj == G9.
Если G2 может быть выбрана так, что возможно конформ-
конформное ее отображение (или отображение поверхности G9°°, если
G2 многосвязна) на единичный круг Е(\х\ < 1), то соотношение A8)
дает миноранту для гиперболической меры <fo,. В самом деле, если
х(г) — однолистная функция, которая производит упомянутое ото-
отображение, притом так, что точка Р переходит в нулевую точку Х = О,
то, согласно определению (ср. п. 44),
dv«=*\dx\ = \~- Ids,
где dss&\dz\ и производная -?• берется в точке Р. Следовательно,
duj I dx i 1
гд* z(x)— функция, обратная к х(г).
Аналогичным образом находится мажоранта для отношения -j~.
73. Теорема Кобе (Koebe) об искажении. В качестве применения
предыдущего результата исследуем искажение при конформном ото-
отображении единичного круга |,г|<1 на однолистную область D,
не содержащую бесконечно удаленной точки. Пусть отображающая
функция
w(z) = z + atz*+ ... A9)
нормирована так, что г»@) = 0 и о/@) = 1; это всегда может быть
достигнуто целым линейным преобразованием области. Пусть далее
кратчайшее расстояние от нулевой точки z = Q до границы Г
области D равно d г).
Теорема Кбвв. Если степенной ряд A9) сходится в единичном
круге 1*1 <1 и отображает его однолистно на область D, то
кратчайшее расстояние d от нулевой точки до границы области D
превосходит некоторую положительную константу k (константа
Квбе).
Доказательство. Пусть de® — граничная точка области D, отстоя-
отстоящая от нулевой точки на расстоянии d. Преобразуем функцию w
посредством корня
w1 = Yd—we-®^Yl-\-bz-{-...t B0)
1) См. P. Koebe p\.
§ 3)
ОЦЕНКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МВРЫ
который для да = О принимает положительное значение }Л& Опре-
Определенная таким образом функция wl (z) неограниченно продолжим*
в единичном круге |г|< 1, следовательно (по теореме о монодро-
мии), там однозначна и в си-
силу однолистности функции
w(z) однолистна; поэтому она
отображает единичный круг
|г|<1 взаимно однознач-
однозначно и конформно на некоторую
область Dt в плоскости wv
Если wt — точка области Dv
отличная от нуля, то точка
(— Wj) лежит вне Dlt ибо
в противном случае эти значе-
значения соответствовали бы при
преобразовании wt = wl (z)
двум различным точкам ги z%,
которым в то же время в пло-
плоскости w соответствовали
бы два одинаковых значения
<w = e*5 (d — и»!2), что невозможно в силу предположенной однолист-
однолистности функции w{z).
Так как круг [ w | < d лежит в D, то находящаяся справа от
мнимой оси половина Н соответствующей ему лемнискаты
\d—w*\<d
лежит в Dv в то время как левая ее половина Яа не содержит
ни одной точки области Dx. Следовательно, если из плоскости w1
удалить область Н%, то остаточная область D{* будет мажорантной
для области Dv Еще более удобная мажоранта получается, если D,
преобразовать посредством функции
Фиг. 15.
При этом Dt переходит в область Dx, целиком лежащую в области Dm*,
являющуюся образом области Dt*. Наибольшее расстояние от нуле-
нулевой точки до границы области DJ* равно 3-j-2j/l2<6 и, следо-
следовательно, для |г|<1
Из принципа гиперболической меры (или равнозначной с ним
леммы Шварца) следует тогда, что
1 - - 5г. B2>
чем докаэано утверждение о существовании универсальной кое»
станты.
tH СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
74. В силу того, что область Dt не содержит ни одной пары
точек, симметричных относительно нулевой точки, область Dx, полу-
получающаяся из нее посредством линейного преобразования B1), не
содержит ни одной пары точек дг^ дг2> связанных соотношением
Из соображений симметрии можно ожидать, что | х' @) | имеет наи-
наибольшее значение тогда, когда Dx совпадает с единичным кругом,
т. е. когда х = г, |дг'@)| = 1; для константы Кббе получилось бы
тогда точное значение —-. Соответствующая область D в плоскости w
состоит из всей плоскости с выброшенным лучом zxgw=b, \1у\~^--т>
которая в силу B0) и B1) посредством функции
отображается на единичный круг |г|<1. Справедливость этого
предположения мы сейчас докажем.
Заметим еще, что, с другой стороны, для кратчайшего расстоя-
расстояния d от нулевой точки до границы области D, на которую пре-
преобразование A9) переводит единичный круг |г|<1, можно непо-
непосредственно найти точную верхнюю границу. Именно, если заметить,
что обратная функция z = z (w) отображает круг | w |< d на часть
единичного круга, то, применяя пъыщ Шварца, мы получим оценку
¦•, ¦**• d '
которая, в силу A9), при г->0 дает
d < Ь
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда w = z, и,
следовательно, D совпадает с единичным кругом.
76. Пользуясь простым методом Э. Шмидта (Erhard Schmidt) x),
мы теперь выведем точное значение константы Кббе. Выше было
показано, что однолистная область D в плоскости w, содержащая
нулевую точку и не содержащая бесконечно удаленной точки, может
быть отображена однолистно и конформно на область Ц^, обла-
обладающую следующими свойствами:
1) Если точка х лежит в Dx, то точка — лежит вне Dx
2) Точка х = 1 является граничной точкой для Dx.
J) Доказательство Шмидта приведено из Caratheodory р]. См. также
W. Grunsky P].
§ 3] ОЦЕНКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕРЫ 91
• При этом отображающая 'функция х (w) может быть выбрана
так, чтобы л;@) = 0 и \х' @)\ = — , где d означает кратчайшее
расстояние от нулевой точки до границы области D.
Следовательно, в предположении, что функция w (г)=г-\-а%г*-\-.,.
отображает конформно единичный круг | г | < 1 на D, нужно теперь
показать, что d'^-T. Для этой цели заметим, что в единичном
круге Izl^Cl функция — регулярна и отлична от нуля. Следова-
Z
тельно, по теореме Гаусса о среднем значении, мы для x — Rei<s>,
z = reif (г<1) имеем
•2г.
С другой стороны, интеграл
2lt
log т_<г(Ф _
<р = О
2lt
J
представляет площадь области D', на которую произвольная ветвь
функции log— отображае
жение неотрицательно и
функции log— отображает круг [г|<г. Следовательно, это выра-
выра^ § B4)
Из B3) и B4) следует тогда, что
^h = -h S log^*-logr-4g!. B5)
<р=0
Последний интеграл может быть интерпретирован следующим
образом.
Представим себе, что из области Dx(f), в которую преобра-
преобразуется круг | г \ < г при отображении z -> x, удален маленький кру-
кружок |л:|-^/?0. Если теперь в остаточной области провести радиаль-
радиальный разрез, соединяющий граничные кривые |л;| = /?0 и /?=/?(Ф)
(последняя является образом окружности \z\ = r), то произвольная
ветвь функции log x будет отображать эту кольцевую область с раз-
разрезом на область ?>„(/"), площадь которой, очевидно, равна
2л
9=0
92 соотношения между мероопределениями [гл. w
С другой стороны, применяя свойство 1 области ?>„, можно пока-
показать, что рассматриваемая площадь не превосходит второго члена
этого выражения. Наиболее ..просто это можно показать, рассма-
рассматривая в плоскости w произвольную область D*, которая содержит
область ?>(г) (образ круга ]г|<г) и ограничена разрезом, пробе-
пробегающим от граничной точки чю = <1ёь области D до бесконечно
удаленной точки да=со. Если одновременно с D эту область ото-
отобразить на плоскость х, то в качестве ее образа мы получим
область D^, которая содержит Da(r) и граница которой при пре-
преобразовании *' = — переходит сама в себя. Пусть /? = /?*(Ф)—
уравнение этой границы. Поступая теперь с Ож*, как раньше с Dx(f),
мы получим в плоскости logjf область De, содержащую ?>0 (г),
площадь которой, очевидно, равна
=0 <F=0
В силу упомянутого свойства граничной кривой /? = /?* (Ф) пер-
первый интеграл исчезает и, следовательно,
1С
f log R йФ < 0
ч
Тогда, согласно B5),
откуда при г-+ 1 следует, что
где J означает площадь, на которую произвольная ветвь функции
log— отображает единичный круг |г|<1.
Из полученной оценки следует, что
и й = 7 тогда и только тогда, когда 7=0. Последнее возможно
только при х <== cz, где с—константа. Так как для образа D^, полу-
полученного при отображении z-^-x, точка л:=1 является граничной,
то | с j = 1 и Dx совпадает с единичным кругом. Но тогда область D
совпадает с экстремальной областью Кббе (плоскость с выброшен-
выброшенным прямолинейным лучом); для этой и только для этой области,
на которую нормированная функция w(z) отображает однолистно
единичный круг |,г]<1, кратчайшее расстояние от нулевой точки
до границы достигает своего минимума, равного -?.
§ 3] ОЦЕНКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕРЫ 93
Добавление редакторов. Точное значение константы Кббе и связанные
с ней теоремы искажения могут быть получены весьма различными мето-
методами. Наиболее коротким в настоящее время надо признать путь, осно-
основанный на-так называемой теореме площадей: если функция
голоморфна и однолистна вне единичного круга | z | <; 1, то
B)
левая часть этого неравенства дает величину площади области, не по-
покрытой значениями у {г) при | г | > 1. Отсюда путем несложных преобра-
преобразований получается, что для функции
w=f(z)*=z + aiz*+..., (a)
правильной и однолистной в единичном круге | г | < 1, имеем
Далее, путем вспомогательного линейного преобразования получаем тео-
теорему искажения C2), а из нее путем интегрирования получаем соотношение
которое содержит как частный случай доказанную выше теорему Кббе
Те же результаты могут быть получены методом Лбвнера (LOwner [']),
основанным на изучении вариации однолистной функции при варнировании
границы области. В ряде вопросов этот метод оказывается наиболее силь-
сильным; так, например, этим методом доказано, что для функции (а) имеем
| а3]<3, а также найдена точная оценка для |arg/'(z)| *).
Гротш (OrOtzsch [*]) рассмотрениями, аналогичными изложенным дальше
(§ 4), дал точные оценки для \f (z)\ и l/(z)| для случая функций правиль-
правильных и однолистных в кольце 0<г<С \г [< 1. Теоремы искажения и кон-
константа Кббе получаются из теорем Гротша при /¦->().
Опираясь только на принцип расширения области, можно доказать
следующую теорему (Лаврентьев [Ц): пусть fi(z) и f%(z)— две функции,
правильные а однолистные в единичном круге \z\<^l, не принимающие
в этом круге одинаковых значений: Л (г) ф/з (г)- В таком случае
Из этого предложения также весьма просто вытекает теорема Квбе
и связанная с ней теорема искажения.
76. Обладяя точным значением константы Кббе, мы придем и
к точным формулам искажения Пика, которые дают оценки для
абсолютных значений отображающей функции и ее производной.
Пусть w = w(z)—функция, конформно отображающая единич-
единичный круг | г | < 1 на однолистную область D, не содержащую беско-
бесконечно удаленной точки. Через две произвольные точки а, й(|а]<1,
|6|<1) проведем окружность С(а,Ь), ортогональную к единичной
окружности J2| = 1, и вдоль дуги ее, соединяющей точку Ь с окруж-
*) См. Голузии I1].
94
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ
[ГЛ. IV
ностью |г|=1 и не встречающей точку а, проведем в единичном
круге |г|<1 разрез. Полученную область с разрезом, обозначим
ее Е(а, Ь), функция чв(г) отображает однолистно на область D(a, b),
которая получается, если в D провести разрез вдоль дуги, соот-
соответствующей С (а, Ь).
Отобразим теперь Е(а, Ь) на весь единичный круг так, чтобы
точка а перешла в нулевую точку. Для этого Е(а,Ь) посредством
преобразования
*
=- е-
\—Ъг
Ь — а
где а = arg —=-, отобразим сперва на верхний полукруг '.zl ] < 1
так, чтобы точке z ==а соответствовала точка
Затем преобразованием
1 у \\-ba
1—7zL zi—"с
этот полукруг отобразим на единичный круг |*|<1, причем точка
zl=:c перейдет в нулевую точку. Искомое преобразование t = t(z)
получается тогда соединением двух предыдущих отображений. Для
z — a, t = 0 имеем
dz
1L
41 e —ft Г
Далее функция
отображает единичный круг (t \ < 1 на однолистную область Dt (a, b),
получающуюся из О (а, Ь) преобразованием
Кратчайшее расстояние от нулевой точки до границы этой области
не больше
? (а)
w'(a)
В силу предыдущей теоремы
а — Ь
w{a)~w{b)
\—аЪ
\w(a) — w(b)\.
и, следовательно,
11-7а|-|а-^ <ь
К '
§ 3]
ОЦЕНКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕРЫ
Из этого соотношения, которое приводит к различным инте-
интересным следствиям, мы сперва для а = 0, 6 = z заключаем, что
| W(Z) 1
или, если да = 2+-ЯдЯ2-|- . .., т. е. w @)== 0, хе/(О) = 1,
B8)
Далее, для b = 0, a — z:
w(z)
zl I-
откуда интегрированием вдоль радиуса
z t= 0 до г = | г | е*? получается
B9>
= <p в пределах от
C0).
Чтобы получить еще нижнюю границу для абсолютного значения
логарифмической производной, рассмотрим для заданного z функцию
переменной t
однолистную в единичном круге |?|<1. Тогда, в силу C0),
или, для t =
\t\
| w' (z) |A—| z?) ^A-|/|J'
1 1 —|г|
w(z)
C1)
Перемножая формулы C1) и B8), а также формулы B9) и C0),
мы получим
Все эти формулы содержат точные границы, которые достига1
ются для экстремальной области Кббе и только для нее.
77. В заключение обратим внимание на одно частное следствие
из предыдущих формул. Из C0) следует, что
следовательно, если а2 ф 0, то для
имеем
= e~**\z\, где a =
96 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
где (дг) означает величину, которая при делении на х остается ко-
конечной для ХввО. Отсюда далее следует, что
и, наконец,
К !< 2. C3)
Из этого неравенства можно обратно вывести все предыдущие
неравенства *).
§ 4. Теоремы Альфорса об искажении 2).
78. Представим себе в плоскости z = x-\-iy односвязную
область О, не содержащую бесконечно удаленной точки. Пусть
zi ~ Xi + lYi и Z* = хз Hr iYi (X\ < ха) — две достижимые гра-
граничные точки области О; при этом учитываются и случаи Х± = — оо,
Jr3 = -f-oo.
Прямые ffi iz) = х (Хх < х < Хъ) пересекаются с областью О
по одному или по нескольким отрезкам, каждый из которых пред-
представляет сечение 8) Q области О, разбивающее ее на две односвяз-
ные части.
Соединим точки Zt и Z2 сечением z = z (t) @ <; t <[ 1; Z\ = z @),
Zg = z(l)). He нарушая общности, за это сечение можно взять
полигональную кривую С, состоящую из конечного или счетного
числа отрезков, каждый из которых непараллелен оси _у-ов и концы
которых сгущаются самое большее в точках Zv Z2. Докажем:
I. Если zx = хх -f- (Vi> z% = Х2 + ty<i (х\ < -*а)—две точки
области G, то на прямой 3t (z) = х (л^ < х < х2) найдется по .
крайней мере одно сечение Qx, отделяющее zl от zs.
В самом деле, если соединить zt и za полигональной кривой,
пробегающей в О, то она будет пересекать прямую Ut(z) = x
в нечетном числе точек. Следовательно, среди сечений, лежащих
на прямой ffi.(z)=x, найдется по крайней мере одно, обладающее
-тем же свойством; это сечение будет отделять zx от г2.
Теорема справедлива и тогда; когда zv z2—достижимые гранич-
граничные точки.
Будем теперь для каждого заданного х, Хх < х < Хй, рассма-
рассматривать только те сечения Qx, которые отделяют Zx от Z2. Так
как наперед заданная полигональная кривая С, соединяющая Zx
и Zg, пересекает каждую прямую 91 (z) = х в конечном числе точек,
то среди рассматриваемых сечений Qx найдется одно вполне опре-
определенное сечение бд., которое точка z — z(t), пробегающая кри-
¦!
См. О. Pick [Ч, R. Nevanlinna [M.
. L. Ahlfors [•].
3) Так мы называем всякую непрерывную жорданову дугу, концы
«оторой являются граничными точками, а остальные точки лежат внутри
области.
§4]
ТЕОРЕМЫ ЛЛЬ*ОРСЛ OB ИСКАЖЕНИИ
вую С, при изменении t от 0 до 1 пересекает первым *); пусть это
имеет место для значений t = t(x) и г ¦¦ z (t (дг)) в» гя. Обозначим
через в(дг) длину сечения вв.
Функция в(д:) имеет вообще сложную структуру. Однако можно
доказать:
II. Если граница области G в обоих концах сечения Qa имеет
касательные, не параллельные оси у-оъ,- то в (дг) для соответ-
соответствующего значения х непрерывна.
Доказательство. Пусть t0 значение t, для которого полигональ-
полигональная кривая z = z(t) впервые пересекает прямую dt (z) = лго>
точка пересечения лежит на сечении в^, в концах которого пусть
граница области О обладает указанным
в теореме свойством. Тогда можно най-
найти такое малое число А > 0, что для
всех t из сегмента /0 — h-^.t^.to-\-h
точка z (/) лежит на некотором сегменте
&„ прямой 3t(z) = x(t), который пред-
представляет сечение области G и концы ко-
которого лежат на непрерывных ветвях
границы области G, проходящих через _
концы сечения в^. Длина ^(х) сечения вд, является непрерывной
функцией от t, и, следовательно, достаточно теперь показать, что
сечение 5Ж для соответствующего значения t совпадает с сече-
сечением ва, если только h выбрано достаточно малым.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим сечения &х прямой 5R (z) =
= лг0, отличные от 6^- Если полигональная кривая С не встречает
ни одно из этих сечеиий, то для достаточно малых значений | х—дго|
она также не встречает ни одного из сечений прямой 5ft (z) = х,
отличных от вд,, и теорема для этого случая доказана. Остаётся
рассмотреть тот случай, когда С встречается с сечениями б"
в некоторых точках z^ = z(t^) (v = l,..., п). Если значения t4
заключить в маленькие, не имеющие общих точек, сегменты Д„ то
можно определить такое малое число е > 0, что для всех \х-—х01 < 8
точки Zp пересечения прямой ffi.(z) = x с кривой С, лежащие вне
сечения §х, соответствуют известным значениям t^ из сегментов Д,,
причем так, что число точек t/ в Д, равно единице, если z (?,) есть
Фиг. 16.
*) Если граничные точки определять по Каратеодори (см. Caratheodory
[5]), то из односвязности области G будет следовать, что определение се-
сечения 9Х не зависит от выбора кривой С, отделяющей Z\ от Z* В самом
деле, если бы две такие кривые С, С определяли два различных сече-
сечения вд/, вд,", то на прямой 91 («) = .* между этими сечениями лежали бы
граничные течкн области О. В силу односвязности последней эти гранич-
граничные точки должны были бы континуально продолжаться до Z\ или
2%, пробегая между С и С". Но тогда С и С" соединяли бы разные (по
Каратеодори) граничные точки, что противоречит условию.
Соотношения между мероопределениями
{гл. iv
точка пересечения кривой С с прямой 9{(г)««лг0 и равно двум или
нулю, если около ,?(?,) кривая С расположена по одну сторону от
этой прямой. Отсюда следует, что если точка z = z(t4) определяет
на прямой 9t (z) = х0 сечение, которое кривая С пересекает в и
точках, то значение, или значения, tj, попадающие на Д„ опреде-
определяют на прямой ffi.(z) = x сечение, число точек пересечения кото-
которого с С отличается от п на четное число.
Из предыдущего заключаем, что для достаточно малых значений
h сечение &х действительно совпадает с сечением Qx. В самом деле,
если h взять настолько малым, что h < Д„ (v = 1, ..., п) и одно-
одновременно \x(t)—д:0|<е для |*—to\<h, то для /<J0 вся-
всякое сечение, лежащее на прямоЧ dt(z) = x и отличное от Qx пере-
пересекается с С в четном числе точек, ибо в противном случае среди
значений /, < /0 нашлось бы по крайней мере одно, которое опре-
определяло бы на прямой 9? (г) = х0 сечение, пересекающееся с С
в нечетном числе точек и, следовательно, которое отделяло бы Zt
от Z2, что противоречит определению сечения &х . Таким образом,
вд. является первым сечением на прямой 9t(z)=x, отделяющим Zt
от Z2, которое пересекает С) тем самым Qx = бд,, что и требова-
требовалось доказать.
79. Предположим теперь, что в каждой конечной граничной
точке области О, за исключением, быть может, изолированных точек,
выполняется условие регулярности, указан-
—— ное в теореме II. Пусть далее функция
w = и 4- tv e w (z) отображает конформно
область О на полосу Iv|< -к-(а > 0) так,
что граничная точка Zl переходит в точ-
ку и = — со, а граничная точка Z2 — в точ-
точку u = -f- со. При этом отображении сече-
сечение бд, переходит в непрерывную кривую Lx,
U, (О
Фиг. 17.
соединяющую обе граничные прямые v = ±-^- (фиг. 17). Обозна-
Обозначим наибольшее и наименьшее значения а на Lx соответственно
через И2(дг) и и1 (х); эти величины, очевидно, являются возрастаю-
возрастающими функциями от х.
Для более подробного изучения этих функций заметим, что
длина дуги Lx не меньше длины диагонали прямоугольника их ^
«J, |t>|-<-j, т. е не меньше, чем
где а> = <о (л;) = н2 (х) — ut (x). С другой стороны, длина дуги 1Х
равна
§ 4} -Теоремы альфорсл об искажении 99
и, согласно неравенству Шварца *), не превосходит
¦ш/ fdyf\w'\*dy.
Таким образом,
аз _j_ 0,2 (х) ^ Г ду Г| щ/(г) |2 dy =~ в (л:) |*J щ/(г) ,2 dy.
Деля обе части на в(дг) и интегрируя по х в пределах от
xt до дг2 (Х1 < *! < дг2 < ^Г2), что возможно, так как при сделан-
сделанных предположениях функция в (дг) может иметь только изолиро-
изолированные точки разрыва (ср. п. 78), мы получим
х, х, <et
а),
Стоящее справа выражение представляет площадь A (xv x2)
однолистной области, которую описывает дуга Z.^, когда х непре-
непрерывно возрастает от дгх до ха. Так как эта площадь содержится
Неравенство Шварца гласит:
I Ь Ь
(x) Л (*) dxj < J & (лг) rfx J А*(лг) rfjf. C4)
о а а
Оно легко доказывается с помощью тождества Лагранжа:
B аЛ)8=S V2 ^г - 2 <Vv
из которого следует, что
Равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда числа а^ пропор-
пропорциональны числам Ьр.
Предельным переходом получается
ь ь ь
(f g{x) h (x) dxj =fg*(x)dxf A» (x) dx -
о о о
Ь у
- Jdy 5
Отсюда следует соотношение C4), причем равенство имеет место тогда и
только тогда, когда отношение g:h равняется постоянной всюду', за исклю-
исключением, быть может, множества меры нуль.
100 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ.' tV
в прямоугольнике «J (*,)<«< «2 (*s)» M<-f> то A(*i>
< а [и2 (*2) — их {xj\ ш* a [ut (*8) — и, (д?х) + ш (xt) -f- о>(*2)], и, сле-
слео
довательно,
Xt (В,
«a(x1)>a j ^j + 7 / ^<^—«(*,) —«(х2). C5)
Чтобы придать полученному результату более пригодную для
применений форму, устраним теперь колебание ш функции и на Ья.
Зафиксируем произвольное значение хо(Хх < дго< Х%) и положим
Lf?dx**l(x). C6)
Пусть далее п —• произвольное положительное число, и для некото-
некоторого х > х0
Х(*)<ш(*) — /я. C7)
Тогда
и тем самым
в (л:) <
Отсюда следует, что интеграл
/та- <*>
взятый пб интервалам, лежащим справа от х0, в которых имеет
место неравенство C7), не больше
Точно таким же образом мы убедимся, что интеграл C8), взятый
по тем интервалам, лежащим слева от х0, где имеет место нера-
неравенство
— *(*)< •(*) — «, D0)
также не больше выражения C9).
Выберем теперь значение х0 в интервале хх < х0 < х3 так,
чтобы
(Г, X, X,
/dx г dx J_ r dx
в(Л)~ J «(*)"" 2 J в(л:)'
», Ж« (В,
Если тогда
г dx 2л
$ 4] ТЕОРЕМЫ АЛЬ»ОРСА ОБ ИСКАЖЕНИИ 101
то пусть */, ха' (Xj <х/ <х/ <Xj) будут числа, определеннее
уравнениями
¦ *»' »«
да, да,'
Тогда в интервалах 4xv xxr), (х/, х2) найдутся соответственно числа
Е, и 5g такие, что
и поэтому
Из соотношения C5), примененного к интервалу (?„ у, следует
тогда, что
т— 2да;
отсюда, так как ut и и9 являются возрастающими функциями от х
и ¦*! < Si < ^а < х8, заключаем, что
Л
В частности, отсюда при m =s а получается
Теорема Альфорса. ?
1ЯО
/4в. D2)
Стоящий перед интегралом множитель а не может быть умень-
уменьшен; это следует из того, что если за область О взять полосу
ширины 6, параллельную оси л'-ов, то
f
102 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
80. Рассмотрим сразу же применение теоремы Альфорса, Пусть
функция
9 .. D3)
регулярна в единичном круге Et(\t\<.l) и отображает его кон-
конформно на однолистную область Оа. Проведем в Dg разрез вдоль
положительной действительной оси, начиная от, s = 0 до ближайшей
граничной точки; проведем также разрез вдоль прообраза f этого
сечения в единичном круге Et. Посредством фиксированных ветвей
функций w — u-\-iv = logs и z = л:-f-iy = logt отобразим кон-
конформно эти области с разрезами на две полосообразные обла-
области Dw и Ег.
Пусть теперь Zt — бесконечно удаленная, a Za — произвольная
граничная точка области Е„ лежащая на мнимой оси. Как в п. 78,
определим теперь сечение 0^ области ??г, которое параллельно оси
у-оъ и отделяет Zx от Z2; длина этого сечения, очевидно, -^ 2тс,
а длина 1{х) его образа 1Я в области D^, очевидно, ]>2к- Метод,
которому мы следовали в п. 79, дает нам тогда неравенство, спра-
справедливое для всех л: < 0:
о
A(xK D4)
где А(х) означает площадь части области Dw, отсекаемой от нее
дугой /д, и расположенной справа от нее.
Этим неравенством мы сейчас воспользуемся для определения
точного значения константы Кббе, что другим методом было уже
сделано в п. 75. Там мы видели, что если степенной ряд
сходится в единичном круге |*|< 1 и отображает его конформно
на однолистную область, у которой кратчайшее расстояние от ну-
нулевой точки до границы равно d, то с помощью операции извлече-
извлечения корня и линейного преобразования (стр. 88) из функции <р(9
можно получить функцию /(9, у которой первый коэфициент раз-
разложения в степенной ряд в окрестности нулевой точки [ряд D3)]
равен
Cl==~4d" (8 действительно) D5)
и которая далее отображает единичный круг Et на однолистную
область Ds, содержащую интервал @, 1), имеющую точку s = 1
своей граничной точкой и обладающую, кроме того, следующим свой-
свойством: если точка 5 лежит внутри De, то точка —¦ лежит вне Da.
Применим теперь неравенство D4); для этого возьмем |д:| на-
настолько большим, чтобы дуга 1Х лежала целиком слева от мншой
оси, и разобьем площадь А (х) на две части посредством сечения
и == и0 < 0, параллельного оси v. Так как лежащая справа от этого
§ 4] ТЕОРЕМЫ АЛЬФОРСА ОБ ИСКАЖЕНИИ 103
лечения часть площади А (х) не Содержит, в силу вышеупомянутого
свойства области Dv точек, симметричных относительно да = 0, то
ее величина к* превосходит 2тс |ко| и, следовательно,
где А0(х) означает часть площади А(х), определяемую неравен-
неравенством и<.и0. Если «j(x) означает наименьшее, а их (х) -\~ о> (х)—
наибольшее значения и на 1Х, то Ло (лг) ^ 2тс [и0 — at (лг)]. Отсюда
получаем
А{х)<-2т1{х) D6)
/"(*)>4*9 + «а. D7)
так что согласно D4)
о
-x^~j^dx^-Ul(x). D8)
X
Но из D3) для функции
и, (*)= min log 1/(^1
lOg 1*1 = 0!
мы получаем разложение
M*) = l°gM + * + (~). D9)
где f—J при |xj->co стремится к нулю и, следовательно, согласно
D5) и D8),
о
о
ИЛИ
О
j
\e °° >I. E0)
Предельное значение -^- может быть достигнуто тол.ко тогда,
когда щ = 0, т. е. когда при отображении t -> s окружности
U| = const переходят в концентрические окружности |s[== const.
Тогда, следовательно, -г- = — -*— — 0; далее, так как ^- = -^- и Дк=
Д^ = ^==0, то и==а
w = и-j~ iv = az-\-Ь, где ^ =
Но, согласно D9), —bt = log (id) = 0, «=1 и, следовательно,
W=2 4~{'^$> s = e*«Л Значение d = -j- достигается, таким образом,
104 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ {ГЛ. IV
только при втом специальном отображении; соответствующей обла-
областью в плоскости о является тогда экстремальная область Кббв
(ср. п. 74).
Следовательно, теорема Альфорса об искажении границы легко
приводит к классическим формулам искажения, определяющим де-
деформацию внутри области при однолистных отображениях.
§ 5. Проблема Карлемана-Мию.
81. Применяя принцип расширения для гармонической меры, мы
в § 2 этой главы получили некоторые оценки, которые, не являясь
наилучшими, обладают все же степенью точности, которую для мно-
многих приложений можно рассматривать как достаточную. Решим
теперь некоторые примыкающие сюда экстремальные проблемы,
тесно связанные с проблемой Карлемана-Мию, которую мы уже
рассматривали в § 2. Метод, которым мы при этом воспользуемся,
дан Бойрлингом (Beurling) и автором 1) и основан на интегральном
представлении гармонической меры, которое мы сейчас рассмотрим.
Будем исходить из области О, границу Г которой предположим
сперва составленной из конечного числа аналитических дуг. По-
Посредством конечного числа аналитических дуг fJ, замыкающихся в О
или представляющих ее сечения, отделим от О известные подобласти
так, чтобы осталась связная область G*. Граница Г* этой области
состоит из части а границы Г и из дуг р.
Задача состоит в том, чтобы гармоническую меру граничных
дуг о. измеренную относительно G*, выразить через функцию Грина
g (С, z) области G. Для этой цели в формуле преобразования Грина
(п. 24) положим U=g(J,,z), V=o> (С, а, О*), а за область инте-
интегрирования возьмем область G*, из которой предварительно удалим
маленький кружок радиуса р с центром в полюсе С —я. Совершая
предельный переход р-> 0, мы тогда получим
или, так как
J &$*?> da = J dh (С, z) = 2™ (г,«, О)
« а
и -ъ^ —~а7> ГДе —Аи —о> означают гармонические функции, сопря-
сопряженные соответственно с g и «о, то
ш (г, а, G*) «со {г, а, О) —^ J g (С, г) dm (С, a, G*). E1)
A. Beading (Ч, R, Nevanllnna |«j.
§ 5] - . ПРОБЛЕМА КАРЛЕМАНА-МНЮ 106
Формула E1) выведена в предположении, что дуги аир анали-
аналитические. На самом деле она справедлива и тогда, когда а и C со*
стоят из конечного числа жордановых дуг. В самом деле, точно
так же, как и в п. 26, убеждаемся сперва, что функция ю остается
непрерывной на границе р, и так как на этой границе ю равна
нулю и возрастает по направлению внутрь области О*, тою должна
непрерывно возрастать, когда С пробегает в положительном напра-
направлении дуги р. Применим затем формулу E1) к области G»*, со-
составляющей часть области G* и ограниченной аналитическими кри-
кривыми ш (z,a, G*) = 1 —е Г-н- > в > 0J и ш = а. Гармоническая мера
первых дуг (обозначим их а.) относительно G* выражается ли-
линейной функцией от «к
* (г, «„ G*) в i_fr •
Подставляя выражение для а> (г, а„ G,*), относящееся к аналитиче-
аналитическим кривым, в формулу E1), переходя к пределу при в ->О и учи-
учитывая непрерывность функции Грина на границе а-\-$, увидим, что
формула E1) справедлива и в том случае, когда а и fJ состоят из
конечного числа жордановых дуг.
Легко заметить, что эта формула, играющая в дальнейшем важ-
важную роль, содержит как непосредственное следствие принцип рас-
расширения области. В самом деле, в силу того8 что d<o~^>0, интеграл
в правой части формулы E1) неотрицателен и, следовательно,
л {г, л, G*)<<o(*,«, О),
что как раз и выражает принцип расширения.
82. Теперь мы ставим себе следующую задачу *) (проблема Кар-
лемана-Мию):
Пусть G — однолистная область такая, что каждая окруж-
окружность \z\ — r @<r^/?) содержит по крайней мере одну точку,
не принадлежащую к G. Пусть даме и (г) — функция, однознач-
однозначная и гармоническая в G, удовлетворяющая следующим условиям:
1) В области G имеем u(z)~^.Q.
2) В каждой граничной точке z области О, лежащей внутри
круга \ г \ < /?, выполняется условие
Шпи(г)>1.
Требуется найти нижнюю границу функции и (г) на окруж-
окружности \г\ = г, 0<></?, зависящую только от г.
Предварительное замечание. Если граница области G настолько
регулярна, что можно говорить о гармонической мере граничных
дуг а области О, лежащих в круге ) г \ < R (это имеет, например,
место, когда G ограничена только жордановыми дугами), то дело
]) Кроме вышеназванных работ BeurHng'» и автора см. Е. Landau ['1
W. Fenchel [ij, E Schmidt ft.
106 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
идет, очевидно, об оценке снизу гармонической меры ю (г, a, G)
дли \z\=»r @<[г<#). При «том как тривиальный может быи
опущен от случай, когда все граничные точки области G, следо-
следовательно, и сама область О, лежат в круге |г|</?, ибо тогда а
сод ржит всю границу области G и, следовательно, ш===1. Пред-
пол.>ьим поэтом/, что G содержит граничные точки, лежащие вне
и и на границе того круга. По принципу расширения а не увели-
ч гея, если заменить G ее частью Os, лежащей в круге | г | < R,
и, следовательно, достаточно оценить снизу гармоническую меру
ш {z, a, GB). Если зафиксировать точку г = re*? области GB, то
представляется почти очевидным, что гармоническая мера дуги а
в этой точке получает наименьшее значение тогда, когда все точки
д ги а диаметрально противостоят точке ге*ч>, т. е. когда а состоит
из радиуса @, —/?«*?) и, следовательно, Ов состоит из круга
|г|< R, в котором проведен разрез'вдоль этого радиуса. Что это
действительно так, получится из нижеследующего точного решения
проблемы Карлемана-Мию. Чтобы более ясно представить себе на-
наглядную идею, лежащую в основе этого решения, сделаем несколько
предрарительных наводящих замечаний, дающих ключ к решению,
хотя для дальнейшего они не совсем необходимы.
Сперва поставим себе следующую более простую задачу: пусть
задана функция к (г), неотрицательная и гармоническая в G всюду,
за исключением некоторых логарифмических полюсов г,,, лежащих
на заданных окружностях |гр|=г,@<г, </?;v = l,..., и), в окрест-
окрестности которых пусть и {г) имеет разложение
и (г) — 8, log -г——¦—[--(-гармоническая функция,
где 8, — заданные положительные числа. Требуется найти нижнюю
границу функции а(г) на окружности |,г| —/-, зависящую только
от г, г, и 8„.
Непосредственно убеждаемся, что разность
в(*) —2 »,*(*, «Л
где
g (г, *,) = log
есть функция Грина для круга |г|<;/?, является в круге |г|</?
гармонической функцией, которая в каждой точке окружности
|г|=Л имеет неотрицательную нижнюю границу. Следовательно,
по принципу минимума, эта разность неотрицательна во всем круге
|г|<#, так что
§ 5] ЛРОВЛЕМА КАРЛЕМАНА-МИЮ 10?
Но для функции Грина g, как нетрудно убедиться, имеет место не-
неравенство
log
или
*(—\*\,\**\)<g(*,*3<g<\*\, !*,|). E2)
где равенство слева имеет место только цля arg z = arg г, -f- it,
а справа только для arg?==argzv. Следовательно,
равенство имеет место тогда и только тогда, когда гч = — г^ч,
т. е. когда все полюсы диаметрально противостоят точке ге*р.
Этим вспомогательная задача решена полностью. Но этим
же результатом подготовляется путь для решения общей про-
проблемы. В самом деле, представим себе, что число значений г, неогра-
неограниченно возрастает, и попытаемся выбрать числа \ так, чтобы
сумма, стоящая справа в E3), приближалась к интегралу, который,
если в нем вместо —г писать переменную г, представляет функ-
функцию, принимающую на радиусе (О, R) граничное значение 1, т. е.
функцию, являющуюся не чем иным, как гармонической мерой этого
радиуса относительно круга |г|<R с разрезом вдоль радиуса @, /?).
Тогда неравенство E3) будет содержать как раз то решение пр>
блемы, которое имелось в виду; одновременно предыдущими заме-
замечаниями намечен метод для обоснования неравенства, которое по-
получится из E3) предельным переходом. Все сводится к возмож-
возможности предельного перехода; что этот переход действительно воз-
возможен, доказывается с помощью интегрального представления
гармонической меры, которое было выведено в п. 8L
Мы переходим теперь к прямому решению проблемы Карлемана-
Мию. В формуле E1) (стр. 104) возьмем за G круг |г|</?, а за
G* — круг |г|<# с разрезом р вдоль радиуса @,/?). Дуга а *)
состоит, следовательно, из всей окружности \z\*=R, поэтому
«о (г, a, G) = 1, и так как ш (г, р, О*) = 1 — ш (z, a, G*), то
где <» (г) е= ш (г, р, О*) и ю (г) as«(г, р, G*).
С другой стороны, для гармонической меры ш(г) мы имеем
явное выражение
*) Имеется в виду дуга а, соответствующая формуле E1), т. е. часть
границы области О, входящая в границу области G*,
108 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. 14
и, следовательно, для действительного положительного значения г,
с точностью до постоянного слагаемого, имеем
Если подставить это выражение в E4) и учесть, что разрез {3 имеет
две сторону, то окончательно получим
R
где
Пусть теперь г = геЪ @<г<Я)— точка области О, в которой
заданная функция и (г) обладает указанными на стр. 105 свойствами.
Зафиксируем для каждого 0<[* •</? граничную точку ? = *«** обла-
области О; если таких точек не одна, то за С мы примем точку с наи-
наименьшим аргументом. Определенная таким образом функция 0 = 0 (t)
будет, очевидно, измерима. Построим функцию
f
Непосредственно видно, что эта функция обладает следующими
свойствами:
1) vf {г) гармонична в каждой точке г фС круга |г|<R.
2) vf(z) на окружности \z\ = R обращается в нуль.
Кроме этих очевидных свойств функция vf{z) обладает еще
следующим свойством:
3) »,(*)< 1 для |*|<Л
Для доказательства последнего используем элементарные оцен«
ки E2). Согласно правой из них, учитывая E5), получается
в
Рассмотрим теперь часть Ов области G, лежащую в круге J*| < R.
Учитывая предположения поставленной проблемы, из свойств 1, 2
и 3 заключаем, что разность и (г)—vf(z), являющаяся функцией,
гармонической в GRi имеет в каждой граничной точке этой области
неотрицательною нижнюю границу. Из принципа минимума следует
тогда, что u(z)~^.vf{z) в каждой точке области Од. Далее, при-
применяя левую часть неравенства E2), получаем соотношение
§ б] ЙР0ВЛ1МА КАРЛВМАНА-МИК» Ш
откуда при р -+• R следует (vB =» Иш фр), что
22
E6)
Покажем еще, что стоящая справа нижняя граница может дости-
достигаться функцией и только тогда, когда О состоит из круга | г |< R
с радиальным разрезом от 0 до -г-е* и, следовательно, и (г) as
==ш(—ze~ff). Согласно E2) равенство vR (re*f) = ш (—г) выпол-
выполняется только тогда, когда почти для всех значений t имеем
& = ^-}-1т. Отсюда следует, что радиус @, —Re*?) не может содер-
содержать ни одной внутренней точки области G. Поэтому в функции
сравнения v можно положить dss^-l-11 и тем самым vB(z) —
==ш(—ге~*?). Если мы теперь хотим, чтобы функция и — vR, гармо-
гармоническая и, согласно E6), не отрицательная в OR, обращалась в нуль
в точке z — re*f этой области, то, согласно принципу минимума,
должно быть
и {г) as vR (г) ss ш (—ze~*v).
Этим решена и та часть проблемы, которая относится к знаку
равенства.
Замечание. Из предыдущих выкладок следует не только E6),
но даже более точная оценка
83. П.облема Карлемана-Мию и данный выше метод ее решения
могут быть обобщены в различных направлениях. К одному такому
обобщению мы приходим, заменяя сделанное выше предположение
относительно гран, цы следующим более общим.
На положительной действительной оси существует последователь-
последовательность интервалов Д,: г/ — г„ (v = 1,..., и; О < г, < г/ < rv+I < /?)
таких, что каждая окружность \я\=г для г,<[г^/-/ содержит
по крайней мере одну граничную или внешнюю точку области О.
Обозначим систему отрезков Д„ через Д. Тогда имеет место
Теорема 1. Если функция и (г) удовлетворяет в вышеопреде-
вышеопределенной, области О условиям 1 и 2 (стр. 105), то в каждой точке
Z(\ZKR) этой области
ПО соотношения Между мероопределениями [гл. tv
где ш(г) означает гармоническую меру системы А относительно
круга |г|< R с разрезами вдоль отрезков этой системы.
Равенство в E7) имеет место тогда и только тогда, когда О
получается.вращением круга \г\.</? с указанными разрезами на
угол <р; при ьтом оно имеет место для всех точек г, лежащих на
радиусе @, —Re*).
Доказательство пгвводится точно таким же образом, как выше,
с помощью вытекающего из E4) интегрального представления гармо-
гармонической меры <о(,г,Д) разрезов Д:
здесь g означает функцию Грина круга |г|< R и ш — сопряженную
к ш гармоническую функцию; интегрирование по А производится
в положительном направлении (йГш ^ 0).
84. Предыдущие рассуждения наводят на следующий вопрос,
решенный Beurling'oM f1]:
Как должны быть расположены интервалы А на радиусе (О, R),
чтобы при заданной сумме их длин т (О < т < R) гармоническая
мера <о (О, А) была возможно меньшей?
Почти очевидно, что этот экстремальный случай имеет место
тогда, когда интервалы А удалены возможно дальше от нулевой
точки и, следовательно, Образуют единственный интервал (R—т, R).
Докажем это теперь строго.
Для доказательства рекомендуется наряду с обычной мерой
интервалов А
д
ввести их логарифмическую меру
/г' г '
d log /-—log 1„"* * .
ri...rn
Из равенства
/, /( 4
видно, что логарифмическая мера интервала (г,, г,') уменьшается
при уда1ении интервала от нулевой точки. Следовательно, логариф-
логарифмическая длина последова гельности интервалов А с заданной суммой
длин- т достигает своего минимума /0 тогда, когда А совпадает
с интервалом (/?—т, R). Но, согласно предыдущему равенству, для
этого особого положения
ти = /?A— в~%
и, следовательно, между обычной и логарифмической мерами после-
последовательности А на радиусе (О, R) имеет место общее соотношение
е~г). E8)
§ 5] пювлема карлеМана-Мий Ш
После этих предварительных замечаний предположим сперм, что
Д состоит из одного интервала (rv rx') @ < rt < rx' <•/?). Сравним
гармоническую меру о> {г, Д) этого интервала с гармонический мерой
интервала
имеющего ту же логарифмическую длину /, что и Д. Для этой цели
учтем, что a(z~, Aj является в области Од, (круг jz|</? с раз-
разрезом вдоль До) гармонической и неотрицательной функцией, при-
принимающей на До значение 1. Следовательно, граничные значения
разности
• (*??.,/?)-•(*, До)
неотрицательны, и из принципа минимума следует, что эта разность
неотрицательна во всей области Од, и, следовательно, в частности,
для г = 0 '
ш@,Д)>а)@,До)> E9)
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда Д==А0.
Если Д состоит из нескольких интервалов, то применяем сле-
следующий метод редукции: ш (г, Д) разбиваем на две части
ш (г, Д) = o)x (г) -J- <а2 (г),
где
¦V
и где в>2 (г) = о) (г, Д) — «^(г) представляется, следо°ательн^, анало-
аналогичным образом в видз интеграла, взятого по остальным интервалам.
Выражение
в точках \z]<CR, лежащих вне интервалов
является гармонической и неотрицательной функцией от z. Чтобы
исследовать ее граничные значения, заметим, что функция Грина
g(t,r) (G </•<*<#) возрастает вместе с г, и, следовательно, для
\z\-r, —г7-<г<г3 имеем
•(¦?.»)
••
112 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [гЛ. IV
С другой стороны, для ()<*</¦<# функция g(i,r) убывает при
•оврастааии г и, следовательно, для г„ < г < г/ (v > 2)
v(r) >оI(г) + св2(г)— «(г, Д) — 1.
Из преды пущего следует, что гармоническая в Од, функция
v(z) — ш(г, Aj) имеет неотрицательные граничные значения, и,
на основании принципа минимума, заключаем, что v @) = ш @, Д) >
> m @, Aj). Следовательно, гармоническая мера ш @, Д) уменьшается
при замене я интервалов Д я— 1 интервалами, имеющими ту же
сумму логарифмических длин /, что интервалы Д.
Повторяя эту операцию п — 1 раз, мы придем к уже рассмотрен-
рассмотренному случаю одного интервала заданной логарифмической длины /.
Это позволяет высказать следующую теорему:
Для последовательности интервалов Д с суммой логарифми-
логарифмических длин, равной /, выполняется соотношение
ш@,Д)>а)@>До), F0)
где До означает интервал
V {Re~\ Я)-
Равенство имеет место только для Д s До.
Применяя соотношение E8), мы получаем отсюда далее аналогич-
аналогичный результат для последовательности А с заданной обычной длиной:
Для последовательности интервалов Д с суммой длин, равной
т @ </»</?), выполняется соотношение
ш@,Д)><й@,Д0), F0')
г$е До означает интервал
До: (R — m, R).
Равенство имеет место только для A==V
86. Легко подсчитать величину ш @, До), стоящую в формулах F0)
и F0'), где До означает интервал (р, R), лежащий на положительной
действительной оси (p=R—m — Re-i). В самом деле, если выпол-
выполнить линейное преобразование
переводящее круг | z [ < R в самого себя так, что интервал @, R)
переходит в интервал (р, R) и точка г = — р соответствует нулевой
точке, то, в силу инвариантности гармонической меры относительно
конформных отображений, имеем
«о (О, До) «= «о (-
где я» = A — в)/? @<в<1).
§ 5] ПРОБЛЕМА КАРЛЕМАНА-МИЮ
Соотношения F0) и F0') можно, следовательно, объединить
в неравенство
ш@, Д)>- — arcsin ¦, То, F2)
которое справедливо для множества Д на радиусе @, R), обычная
и логарифмическая меры которого соответственно равны (или
больше) A—Q)R и log-^-.
Равенство имеет место только тогда, когда Д совпадает с интер-
интервалом (в/?, /?).
Следует отметить еще дальнейшую интерпретацию этого резуль-
результата. Пусть Д означает дополнительную к Д часть радиуса @, /?);
ее гиперболическая длина, измеренная относительно круга | z | -^ R,
равна
Р Г dr
При заданном т = A — В) R эта логарифмическая длина достигает,
очевидно, своего минимума X тогда, когда Д совпадает с интер-
интервалом @, в/?); при этом для' л получается значение
Отсюда следует, что соотношение F2) справедливо тогда, когда
гиперболическая длина множества Д, дополнительного к Д на радиу-
радиусе @, R), не больше чем
Равенство же имеет место только тогда, когда Д совпадает с интер-
интервалом @, в/?).
86. В соединении с теоремами и. 84 получается тогда
Теорема 2. Пусть # > 0, 0 <; в .< 1 и G — область, содержа-
содержащая нулевую точку. Обозначим через Q (г) множество значений
r@^.r-^R), для которых окружность \z\ = r содержит по край-
крайней мере одну граничную или внешнюю точку области G, и предполо-
предположим, что область G удовлетворяет одному из следующих 3 условий:
a) Мера множества Q (г) не меньше, чем A — 0) R.
b) Логарифмическая мера Q(r) не меньше, чем log 1/в.
c) Измеренная относительно круга \z\<R неевклидова {гипер-
{гиперболическая) длина дополнительного к Q(r) множества Р(г),
которое состоит, следовательно, из тех значений г @ ^ г <^ R),
для которых окружность \г\ = г целиком пробегает в G, не
больше л = у log y~& •
Пусть далее и (z) — функция, обладающая следующими свой-
свойствами:
114 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЯМИ [ГЛ. IV
1) и (г) в области G однозначна, гармонична и неотрицательна.
2) В каждой граничной точке области G, лежащей в круге
г]</?, Нши(г)>1.
При этих условиях
||| F4)
Равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда
область G совпадает с областью Од?, которая получается
из круга \ z | < /?, если в нем на произвольном радиусе arg z — ср
провести разрез вдоль отрезка &R<;|z|<R и функция и(z)
представляет гармоническую меру этого отрезка Д?, измеренную
относительно Од9.
Обратим внимание на два непосредственных следствия из этой
общей теоремы. Условия 1) и 2) выполняются в частности тогда,
когда и (z) заменяются гармонической мерой to (z, a, G) множества а
граничных точек области О, лежащих в круге \z\<_R. При учете
многократно упоминавшегося геометрического значения гармони-
гармонической меры при конформном отображении соответствующей обла-
области на единичный круг из теоремы 2 получается:
Теорема 3. Если область G удовлетворяет условиям преды-
предыдущей теоремы и а •— множество граничных ее точек, лежащих
в круге | z [ < /?, то при конформном отображении области G
(или в случае, если она многосвязна, ее универсальной поверхности
наложения G°°) на единичный круг |дг|< 1 так, что нулевая
точка переходит сама в себя, множество а переходит в множе-
множество а' на единичной окружности \х\ — 1, мера которого не меньше
¦
4arcsin
T+e.
Равенство имеет место только в случае области Од?.
Друрое непосредственное применение относится к теореме о двух
константах.
Теорема 4. Пусть w(z) — аналитическая функция, удовлетво-
удовлетворяющая в вышеопределенной области следующим усговипм:
1) w(z) в области G однозначна и регулярна.
2) В каждой внутренней точке области G выполняется нера-
неравенство | w (z) | < 1 и в каждой граничной ее точке, лежащей
в круге |г|</?( Нт|и>|<;8, где 8—заданное число из интер-
интервала @, 1).
При этих условиях
2 .1—9
^— arcsiti
Равенство имеет место только для области GAo и функции
it>(z), определенной равенством
§ 5] ПРОБЛЕМА КАРЛЕМАНА-МИЮ 115
абсолютное значение которой на окружности | г | = R равно 1
и на интервале Д9 равно 8.
87.. Для многих приложений важно иметь подобные оценки и
для точек круга | г | < R, отличных от нулевой точки. Такие оценки
можно получить из вышеизложенных теорем, если конформно ото-
отобразить круг |г|< R самого на себя так, чтобы заданная точка г0
перешла в нулевую точку. При этом удобно пользоваться гипербо-
гиперболической мерой, инвариантной относительно таких преобразований.
Из теоремы 2 непосредственно получается тогда
Теорема 5. Пусть область G, для которой точка г0 (\zo\<CR)
является внутренней точкой, обладает следующими свойствами:
жерл тех значений р, для которых гиперболическая окружность
Kp(z0) с центром в точке z0 и радиусом гиперболической длины р
целиком пробегает в области G, самое большее равна К.
Тогда, если функция а (г) удовлетворяет условиям 1) и 2) тео-
теоремы 2, то
a(%)>-|arcsine-2x. F5)
Равенство имеет же:то только тогда, когда G совпадаем с обла-
областью, которая получается из круга | z \ < R, если в нем провести
разрез от произвольной точки /\ окружности K^(z0) до окруж-
окружности | z | = R вдоль продолжения неевклидового отрезка @, /\).
Соответствующая экстремальная функция и представляет гармони-
гармоническую меру этого сечения.
В случае односвязной области G заключаем, что неравенство F5)
выполняется для всякой функции и, удовлетворяющей в G усло-
условиям 1), 2) теоремы 2, причем X означает кратчайшее неевклидово
расстояние от точки z0 до границы области G; в качестве области,
относительно ^которой определяется неевклидова мера, попрежнему
используется произвольно заданный круг |г|
V. МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ.
§ 1. Определение множеств гармонической меры нуль.
88. На возможность обобщения теории гармонической меры было
указано еще в гл. II. Непосредственное обобщение получается,
если, сохраняя предположение, что граница Г области G состоит
из конечного числа жордановых дуг, за множество а принять не
множество граничных дуг, а произвольное множество точек *) на Г.
Если снова конформно отобразить универсальную поверхность на-
*) В дальнейшем в этой главе рассматриваются только мвожества то-
точек (Punktmengen). Для упрощения мы в переводе будем называть их просто
множествами.
116 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [гЛ. V
ложения О00 области G на единичный круг К, то множеству а будет
взаимно однозначно соответствовать определенное множество ч.х
точек единичной окружности |л;| = 1. Если чх измеримо (по Ле-
Лебегу), то мы называем а гармонически измеримым относительно G.
Применяя теорию интеграла Пуассона в ее обобщенной форме,
в которой она была развита Фату на основании лебеговской теории
меры, можно было бы определить гармоническую меру to (z, ос, G)
в полной аналогии с определениями гл. II. Откладывая подобные
рассмотрения до гл. VII, займемся сейчас множествами гармонической
меры нуль; при предыдущих предположениях они определяются
следующим образом:
Множество л имеет относительно области G гармоническую
меру нуль, если его образ ах имеет линейную меру нуль, т. е. если
ах может быть покрыто последовательностью дуг со сколь угодно
малой суммой длин.
По этому определению гармоническая мера со (г, a, G) гранич-
граничного множества а получает значение нуль независимо от выбора
точки г.
89. Однако обращение, в нуль гармонической меры остается
относительным в том смысле, что оно является свойством, завися-
зависящим от соответствующей области О. Можно было бы привести
примеры множеств а, которые относительно одной области являются
гармоническими нульмножествами, в то время как относительно
другой области они имеют положительную гармоническую меру.
В дальнейшем мы введем в рассмотрение класс множеств весьма
общего характера, для которых обращение в нуль гармонической
меры может быть определено так, что оно становится абсолютным
признаком множества.
Рассмотрим сперва замкнутое множество а, отличное от полной
плоскости. Дополнительное к а множество G состоит из одной или
нескольких (во всяком случае счетного числа) связных областей;
в последнем случае всякие две из них отделяются одна от другой
некоторым континуумом, принадлежащим к а.
Удалим теперь из G маленькую область, ограниченную или
образованную жордановой дугой J3, и обозначим через Gp остаю-
остающуюся, граничащую с 3 связную часть множества О. Затем рас-
рассмотрим последовательность подобластей Gn множества G, каждая
из которых ограничена конечным числом жордановых дуг ап и
таких, что
G1 < G2 < . .. ; Gn->G,
так что всякая подобласть множества G содержится в Gn, коль
скоро и достаточно велико *).
Если обозначить через G.?n связную часть области G", ограни-
ограниченную дугами <хп и вспомогательной кривой {3, то можно обра-
*; Говоря о подобласти, автор здесь и в дальнейшем имеет в виду
область, которая вместе со своей границей лежит в данной области.
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ 117
зовать гармоническую меру <a(z, <xn, G^n) дуг ап относительно'
области G$n. По принципу расширения (гл. IV, § 2) эта величина,
значения которой лежат в интервале @, 1), при возрастании и моно-
монотонно убывает, и, следовательно, в каждой точке области Ор суще-
существует предел lim ш (z, <xn, Gpn), который мы естественным образом
определяем как гармоническую меру множества а относительно
области <Зр и соответственно с этим обозначаем через о> (г, <х, Ор).
Мы покажем, что эта предельная функция, удовлетворяющая, в силу
своего определения, в каждой точке области О? условию 0^<о<1,,
гармонична в этой области. Это доказывается с помощью ниже-
нижеследующей леммы, которая используется и в дальнейшем и содер-
содержит в основном классический принцип Харнака (Нагпаск).
Лемма. Пусть и (г) — однозначная неотрицательная гармони-
гармоническая функция в связной области D. Если z0 — точка и В —
замкнутая область, лежащие в области D *), то существует
такое, зависящее только от конфигурации (zQ, В, D) число k,
О < k < 1, что в каждой точке области В имеет место соот-
соотношение '
«(*)<7в(*о). A)
Доказательство. Не уменьшая общности, можно предполагать,
что область В связна и содержит точку z0, ибо это всегда может быть
достигнуто подходящим расширением области 5. Кратчайшее расстоя-
расстояние между границами областей В и D измеряется некоторым поло-
положительным числом d. Покроем плоскость сетью квадратов со сто-
стороной r< j, содержащей точку z0 в качестве одной из вершин.
Квадраты, имеющие с В по крайней мере одну общую точку
(следовательно, и бесконечное число общих точек), образуют связ-
связную многоугольную область Р, покрывающую В. Каждая гранич-
граничная точка области Р отстоит по крайней мере от одной точки
области В на расстоянии <r]/2<2r. Следовательно, Р лежит
целиком в D и отстоит от границы последней на расстоянии
></— 2г>2г.
Зафиксируем теперь вершины z0, zv..., zm квадратов, обра-
образующих Р, и покроем Р, а тем самым и В кругами \г — г, | <
<2r(v = 0, I,..., m), которые все лежат в D. С помощью
интеграла Пуассона получаем
*) Далее автор предполагает еще ограниченность области В, что не
нарушает общности, так как это может быть достигнуто, например, линей-
линейным преобразованием, удаляющим в бесконечность какую-нибудь граиич-
н> ю точку области D.
118 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
и, так как для |*|<> ядро интеграла изменяется между пределами
i далее
2г.
ТО
I
3
В частности, это соотношение имеет место в вершинах zv, смежных
с z0. Повторяя шаг за шагом это заключение в различных кругах
покрытия, мы придем к результату, что соотношение A), наверное,
имеет место во всей области В, если положить постоянную k
равной Ъ~т.
90. Вернемся теперь к монотонно убывающей последователь-
последовательности со (z, an, G?n) и зафиксируем произвольную точку z0 в под-
подобласти В области G3. Коль скоро и будет достаточно велико, то
область В и точка ' z0 будут содержаться в G?n. Так как предел
ев (z, a, Gp) = lim to (z, aw Gp")
существует, то, для s > 0 и z = z0, функция ишп (z), определенная
равенством
для т > п представляет в В неотрицательную гармоническую функ-
функцию и, коль скоро п выбрано достаточно большим, становится
меньше е. Тогда для тех же значений п в любой подобласти Во
области В выполняется соотношение
птп (г) <je,
где k — указанная в лемме постоянная, определяемая конфигурацией
(г0, Во» В). Этим показано, что последовательность <а(г, ап, Gp")
сходится в Во равномерно; следовательно, предельная функция
гармонична в Во, а тем самым и в Gp.
Важно заметить, что выражение e>(z, a, Gp), которое мы поста-
поставили в соответствие множеству а в качества его гармонической
меры относительно Gp не зависит от выбора последовательности G$n.
В самом деле, если G^'n — вторая аппроксимирующая последова-
последовательность, исчерпывающая G<,, то для заданного т можно найти
такое большое число п, что область G-J1 содержит область G$'m
как подобласть, и тогда, согласно принципу расширения,
следовательно, предельная функция левой последовательности не
превосходит предельной функции правой последовательности. Но
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ ' 119
таким же образом мы наймем обратное неравенство, откуда сле-
следует тождественность предельных функций.
91. Замечание. Встает вопрос, нельзя ли, избегая предыдущий
процесс аппроксимации, построить более прямо гармоническую ме-,
руш(,г, а, О?), пользуясь методом, подобным употребленному при по-
построении гармонической меры жордановой дуги. Это действительно
возможно, но требует более общих теорем о конформном отображе-
отображении универсальной поверхности наложения, чем примененные в главах
I — IV, почему мы выше предложили более элементарный способ.
Однако стоит в нескольких словах наметить и прямое постро-
построение. Для области Ор можно построить универсальную поверх-
поверхность наложения Ор°°, которая посредством линейно-полиморфной
функции x — x(z) может быть конформно отображена на единич-
единичный круг |дг|<1. При этом жордановой кривой [3 будет соответ-
соответствовать счетное множество не имеющих общих точек сегментов р/
единичной окружности |лс|=1. Если положить
где Р' = 2?/ и ш(х> IV) означает гармоническую меру дуги р/
относительно единичного круга, то ш(х, Р') представит гармониче-
гармоническую функцию от х, равную 1 на р' и, как это легко показать
с помощью так называемой теоремы Фату (гл. VII, § 3), исчезаю-
исчезающую почти всюду на дополнительном граничном .множестве а'.
Поэтому величину <я(х, а') = 1—.<в(дг, Р') естественно принять за
гармоническую меру множества а'. Если вместо х подставить
функцию х = х {г), то легко можно доказать, что функция <a(x(z), а.')
совпадает с вышеопределенной гармонической мерой <а (z, a, Op).
92. Что касается свойств гармонической меры и (z, a, G0, то
заметим сперва, что на вспомогательной кривой р она должна исче-
исчезать. В самом деле, это непосредственно следует из того, что
аппроксимирующая функция m(z, an, Gr?n) обладает этим свойством
и монотонно убывает при п —> оо .
Напротив, о поведении со (z, a, G$) на заданном множестве а
нельзя сделать никаких определенных заключений. Правда, на
соответствующих границах ап аппроксимирующие функции прини-
принимают значение 1, но, так как эти функции монотонно убывают, то
отсюда еще не следует, что предельная функция на а непрерывна
и равна 1. Может даже случиться, что to (z, a, G?) тождественно
равна нулю. Так, например, это имеет место тогда, когда а состоит
из одной точки, например, из точки z = 0. Если тогда за вспомо-
вспомогательную кривую р взять, например, окружность | z \ = 1 ив ка-
качестве аппроксимирующих областей взять кольца г<|^|-<1, то
соответствующая аппроксимирующая функция будет равна гармони-
гармонической мере -~^—- окружности | z | = г относительно кольца и будет
стремиться к нулю при г -> 0.
120 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
Если, напротив, со на исчезает тождественно, то lim ш на а имеет
положительную нижнюю границу. В самом деле, если а окружить
замкнутой кривой р0, расположенной в Gp, то <а будет иметь на Ро
положительный минимум в< 1. Пусть теперь z0—любая точка той
части Go области О?, которая ограничена а и ро. Возьмем п на-
настолько большим, чтоЭы как р0, так и z0 содержались в Gpn. Так
как m(z, ап, О$п), наверное, больше, чем m(z, a, Gp), то на р0
со (г, <хп, Ор») > 9.
На ап эта гармоническая мера равна 1, поэтому на основании прин-
принципа минимума мы заключаем, что предыдущее неравенство спра-
справедливо во всей области Gon (часть области G$n, ограниченная ап
и j30). При п -» оо отсюда следует, что ш (г, a, Gp) ]> 0 во всей
области Go, откуда непосредственно получается нужное нам утвер-
утверждение.
Стоит еще заметить, что гармоническая мера множества а может
быть определена также следующим образом:
о)(г, a, Gp) равна верхней границе семейства тех гармонических
в Gs функций v(z), которые равны нулю на р и меньше, чем 1 в Gp.
Так как со сама принадлежит к семейству (v), то достаточно
показать, что в Gp
<оB, а, Ор)-—»"B)> 0
для любой функции (г>).
Но из принципа минимума непосредственно следует, что в Gtf*
со (г, <хп, G,,") — *>(*)> 0,
откуда при п ->¦ оо следует утверждение.
93. В дальнейшем нас будет занимать упомянутый выше случай,
когда предельная функция со (z, a, Gp) тождественно обращается
в нуль. Этот случай мы здесь исследуем несколько более подробно.
Во-первых, из принципа минимума следует, что если гармони-
гармоническая мера со исчезает в одной точке, то это должно иметь место
в каждой точке. Следовательно, свойство заданного множества быть
„гармоническим нульмножеством" не зависит от положения точки г.
•Но то же самое справедливо и относительно вспомогательной
кривой р:
Если для некоторой вспомо.ательной кривой р, лежащей в G,
со О, а, 00 = 0,
то то же самое справедливо и для всякой вспомогательной кри-
кривой р в G.
Доказательство. Пусть и (z, а, Gp) — 0 и р* — любая другая
вспомогательная кривая, лежащая в G; нужно показать, что
о (г, a, Gj*) = 0. Для этого выберем связную подобласть ТО мно-
множества О, ограниченную жордановой кривой -fo и содержащую
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ '121
как р, так и р* (возможность выбора такой подобласти не нару-
нарушает общности, как это будет показано в п. 94). Проведем в То
жорданову кривую fv окружающую р и р*. Кривые f0 и р* огра-
ничива'ют некоторую подобласть Go множества G. Пусть
в = max со B, f0, Go) для z на -^.
Этот максимум лежит в интервале 0 <-в < I.
Выберем теперь произвольное число е > 0; мы можем тогда
подобрать такую область Gn, аппроксимирующую G, чтобы
<о {z, an, Gpn) < s, как бы ни выбиралась точка z в пересече-
пересечении областей Gp" и То. В частности это, следовательно, имеет
место на ^0.
С той же самой областью G" и кризой р* образуем теперь гар-
гармоническую меру a>(z, an, G™«); пусть максимумы этой величины на
Tf0 и fj соответственно равцы Ао и Х1; они лежат между нулем и
единицей. Разность
<о (z, <xn, G^n) — m(z, <xn, G?»)
в общей части G^ областей Ор" и G.?*", ограниченной кривой fi
и дугами ап, является гармонической функцией, которая исчезает
на <хп и меньше, чем At на кривой fj. В силу принципа максимума
эта разность меньше, чем А, во всей области Gjn, в частности
на ?0, откуда следует, что А0<]А,-[-е-
Образуем теперь разность
<иB, лп, Gp*ra) — Аоа) (z, •Vo, Go),
представляющую в Go гармоническую функцию. На граничной кри-
кривой р* эга разность равна нулю, а на f0 принимает неположи-
неположительные значения. В силу принципа максимума эта разность непо-
неположительна во всей области Qo. Если за точку z выбрать точку
кривой fv в которой <о (z, ctn, О$*п) достигает своего максимума А1?
то отсюда следует, что А: -^ Аов. Если соединить это с соотноше-
соотношением Aq ^ Aj -f- e, то получится
"l -^ 1 _ В
и a fortiori
в каждой точке кривой ?г Так как е здесь может быть выбрана
сколь угодно малым, то нижняя граница Итш(г, ап, G~) должна
равняться нулю, откуда следует утверждение, что ш(г, a, G9«)s3 0.
94. Предыдущая теорема показывает, что равенство нулю гар-
гармонической меры представляет свойство множества а, не зависящее
от выбора вспомогательной кривой р, если только последняя всегда
берется в одной и той же связной части множества G. Но такое-
122 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
•ограничение на выбор кривой ,3 не является существенным, как это
.видно из следующей теоремы:
Если множество а. содержит континуум, то
со О, a, G0 > О
л каждой внутренней точке z множеств! G.
В самом деле, если взягь произвольную внутреннюю точку z0
-множества G, то, в силу сделанного предположения, содержащая ее
связная подобласть Go множества G ограничена некоторым континуу-
континуумом К' Преобразованием извлечения корня (ср. п. 74) можно тогда
добиться того, чтобы Go имела внешние точки. В качестве области,
мажорантной ко всем аппроксимирующим областям GBW. можно тогда
ввести кольцевую область Do, ограниченную кривой $ и пробегаю-
пробегающей вне Go жордановой кривой ot0; в силу принципа расширения
л (г, вя, Gf)>a(z, а0, Do) > О
¦как бы ни выбиралась точка z0 в области Go, откуда следует утвер-
утверждение.
Следовательно, если
ю {z, а, 00 з= О,
то множество а не может содержать континуума; оно является
^точечнообразным" („punkthaft"), и дополнительное к нему множе-
-ство G образует одну единственную связную область.
Из вышеизложенных теорем следует таким образом, что равен-
равенство или неравенство нулю гармонической меры <u (z, a, G») не за-
зависит ни от положения точки z, ни от выбора вспомогательной
кривой и, следовательно, зависит только от замкнутого множества а.
Поэтому мы вправе ввести определение:
Замкнутое множество а, для которого со (г, а, G0 = О, называется
множеством абсолютной гармонической меры нуль.
Из предыдущих выкладок получается следующий критерий для
таких множеств:
Множество а является множеством абсолютной гармониче-
гармонической мери нуль тогда и только тогда, когда для каждой жорда-
жордановой кривой 3, лежащей в дополнительной области G, и каждой
точки z этой области выполняется условие
со (z, a, G,) = llm со (z, an, G,») = 0.
Н->00 '
Далее справедливы следующие теоремы:
Всякое замкнутое подмножество гармонического нульмноже-
нульмножества также является гармоническим нульмножеством.
В самом деле, это непосредственно следует из предыдущего
критерия.
Сумма двух гармонических нульмножеств снова является гар-
гармоническим нульмножеством.
Пусть <*! и а2—два таких нульмножества. Если $ — вспомога-
вспомогательная кривая, проведенная в области G, дополнительной к мно-
§ 2] МНОЖЕСТВА ЕМКОСТИ НУЛЬ 123
жеству а = at-\-а2, то для произвольно малого числа е>0 можно
найти две аппроксимирующие области G' и О" и точку z такие, что
<d (z, a/, Op') < -j, а> (г, а/, G/') < ~,
где а/ и а2" означают соответственно границы областей G' и G".
Если теперь за область, аппроксимирующую G, принять пересе-
пересечение D областей (У и G" и обозначить через а' границу области D
(аппроксимирующие области G' и -G" можно выбрать так, чтобы
не только а/ и аа", но и а.' состояло из конечного числа жорда-
новых дуг), то выражение
ю(г, «', Dp) — ю(г, в/, G?') —<d(z, «2",G/')
будет равно нулю на р, а на а' оно будет во всяком случае непо-
неположительным; отсюда на основании принципа максимума следует,
что в рассматриваемой точке z
со(z, a', D?)<b,
откуда в свою очередь следует утверждение.
Выше было введено понятие множеств абсолютной гармонической
меры нуль для любых замкнутых множеств. Введением „внутрен-
„внутренней" и „внешней" гармонических мер можно было бы это понятие
распространить й на произвольные множества. Но так как для на-
наших целей подобные обобщения имеют ограниченное значение, то
мы не будем входить в подробное их рассмотрение.
§ 2. Множества емкости нуль.
95. В этом параграфе мы введем множества абсолютной гармо-
гармонической меры нуль с помощью другого, отличного от предыдущего,
теоретико-потенциального метода.
Рассмотрим область G, ограниченную конечным числом жорда-
новых дуг Г и содержащую бесконечно удаленную точку z = оо.
Соответствующая этой области функция Грина g(z, оо) имеет
в окрестности своего полюса 2=оо разложение
g(z, co) = log\z\ + u(z),
где и (z) в точке z = со непрерывна и принимает конечное значение
T = «(°°). B)
которое в дальнейшем будет играть важную роль. Из соображений,
которые будут развиты подробнее в следующем параграфе, вели-
величину 1 называют постоянной Робэна (Robin) области G и величину
С=е-т
называют емкостью области G, дополнительной к G J).
1) См. Szege [l], Polya u. SzegS [l], Myrberg [•], Valtee-Poussin [i], Frost-
man [4, [sl.
124 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
Если Oj и G2—две области предыдущего вида и Gj содержится
как подобласть в G2, то для соответствующих функций Грина gv g2,
постоянных Робэна ?ц Та и емкостей Q, С2 имеют место соотно-
соотношения
& О> °°) < ^а О- со)> Ti < Т2> ci > сз-
В самом деле, разность g2 — g1 в Gt регулярно гармонична и
в точке 2=00 равна f2 — fi* Так как далее на границе области Gt
она принимает неотрицательные значения, то она неотрицательна
всюду в 01( в частности для г=оо; следовательно, ?2 — Yi^O и,
значит, С1 ^ С2.
96. Предыдущее определение емкости замкнутой области G
предполагает существование функции Грина внешней области G,
которое было установлено только при известных условиях регуляр-
регулярности, касающихся границы Г. Однако предельным переходом,
вполне аналогичным проведенному в § I, понятие емкости может
быть определено для любых замкнутых множеств.
Пусть а—ограниченное замкнутое множество и G— та из до-
дополнительных к а связных областей, которая содержит бесконечно
удаленную точку. Как и в п. 90, рассмотрим тогда последователь-
последовательность вложенных друг в друга подобластей Gn области G, исчерпы-
исчерпывающих эту область при п -*¦ оо. Пусть
gn(z, oo) = log|*|-}- un(z)
— функция Грина, соответствующая области Gn, и
Tn = «n(°°)
— соответствующая постоянная Робэна.
Если теперь п монотонно увеличивать, то gn(z) будет монотонно
возрастать, откуда следует, что в каждой точке z области G суще-
существует конечный или бесконечный предел
g(z, оо) = lim gn (z, oo).
С помощью леммы, изложенной п п. 89, непосредственно доказы-
доказывается, что этот предельный переход происходит равномерно во вся-
всякой подобласти области G.
Предельная функция g(z, оо) или гармонична в каждой конечной
точке области G или g(z, oo)==oo.
Так же как и в п. 90, убеждаемся в независимости этого пре-
предельною процесса от выбора аппроксимирующей последователь-
последовательности Gn.
Если g конечна, то мы ее определяем как функцию Грина
области G. В окрестности бесконечно удаленной точки z — оо она
имеет разложение
g(z, oo) = log|2|-|-«(z),
где «(г) — lim un (z) гармонична в этой окрестности; предел
§ 2] МНОЖЕСТВА ЕМКОСТИ НУЛЬ 126
определяется как постоянная Робэна области G и емкость С (а)
заданного множества а полагается равной
97. Функция Грина g(z, оо), очевидно, неотрицательна в обла-
области G. Что касается ее поведения на границе а, то нельзя заклю-
заключить, что она здесь всюду обращается в нуль. Напротив, могут
встретиться такие случаи, когда в некоторых точках множества а
она принимает положительные значения; так, например, это всегда
имеет место в изолированной точке множества а; в самом деле,
такая особенность устранима; следовательно, там g(z) гармонична и
по принципу минимума положительна.
Но во всяком случае, если g(z) конечна, то в окрестности мно-
множества а она ограничена сверху. В самом деле, если круг | z \ < р
содержит множество а, то в каждой точке l^j^p области Оп зна-
значение gn(z, оо) ^ Мп, где Мп означает максимум функции gn(z, со)
на окружности |.г| = р. При п-*- оо монотонно возрастающая после-
последовательность чисел Мп стремится к конечному пределу М и, сле-
следовательно, для рассматриваемых значений z имеем gn-*CM, откуда
и g = lim gn <; М, что и требовалось доказать.
Точно так же как и в п. 92, можно далее показать, что^(г, оо)
характеризуется следующим минимальным свойством: в каждой точкег
области G функция g равна нижней границе семейства функций г; (г),
положительных и'гармоничных в каждой конечной точке области О
и имеющих в окрестности бесконечно удаленной точки г=оо раз-
разложение
где v^iz) гармонична в этой окрестности.
По предыдущему емкость С(а) является нижней границей емко-
емкостей всех замкнутых множеств, содержащих множество а.
98- Если G не обладает конечной функцией Грина *), то
CO.
*) Существование или несуществование функции Грина области О не
зависит от положения ее полюса в G. В самом деле, если gn(z, z{) и
gn(z, z2) — две функции Грина области Gn с полюсами в точках гх и г^,
то функция
= gn (г, *i) — g» (г, г? -\- log
в области Gn гармонична и по принципу максимума и минимума огра-
ограничена: ^
minlog
где С пробегает границу ап области Gn. Отсюда следует, что если при я -*¦ оо
одна из функций gn(z, Zy), gn(z, z? неограниченно возрастает, то и вторая
функция также неограниченно возрастает.
126 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
притом равномерно во всякой подобласти области О. В частности,
В этом случае постоянная Робэна •у области О равна -)- оо и
емкость «-? множества а равна нулю.
Любая область может быть исчерпана последовательностью много-
многоугольников Рп, например, совокупностью квадратов квадрильяжа
со стороной 2~п, лежащих в области Gn(n—I, 2, . ..). Отсюда
получается следующий важный критерий:
Для того чтобы замкнутое множество а было емкости нуль,
необходимо и достаточно, чтобы для всякого г > 0 его можно
было бы покрыть конечным числом многоугольников, образующих
множество емкости < е.
99. Множества емкости нуль имеют для нас особый интерес,
так как имеет место замечательное соотношение: множество абсо-
абсолютной гармонической меры нуль является множеством емкости
нуль, и наоборот. Эта важная теорема могла бы быть доказана уже
здесь; однако, так как ее доказательство получается более простым
при использовании интегрального представления функции Грина,
которое нам будет полезно и в дальнейшем, то мы сперва выведем
эту интегральную формулу.
Пусть ^(С, z) — функция Грина области G, лежащей в плоскости С,
ограниченной конечным числом жордановых дуг Г и содержащей
точку С = оо. Пусть далее —А (С, г)— гармоническая функция, со-
сопряженная с g"(C, z) относительно переменной С
Если точка гфоо лежит в G, то выражение log|C — z\ пред-
представляет в G гармоническую функцию, исключая точки С = 2 и t = t»,
в которых она становится отрицательно, соответственно положи-
положительно логарифмически бесконечной. Следовательно, сумма
z) — g{U со) C)
гармонична всюду в G и, применяя формулу Грина, мы получаем
иС-, г) = JL J log | г* — z\dh (С* С), D)
г
где С* пробегает в положительном направлении границу Г области G.
Особенно интересной эта формула становится для С = оо.
Функция Грина #(С, со) имеет в окрестности точки \,=*со разло-
разложение
где 1 — постоянная Робэна области G и е-* 0 при С-*сх>. Если
последнюю формулу подставить в выражение для и и совершить
предельный переход С -> оо, то получится соотношение
и(оо, z)=g(co, г) — т.
§ 2] МНОЖЕСТВА ЕМКОСТИ НУЛЬ 127
Это соотношение вместе с соотношением симметрии ?"(оо, z) =
= g(z, oo) показывает, что если в формуле D) вместо С* писать
просто С, то
?(*, со) —j = -gL J log |С—z|dh (С, «>). E>
точка г лежит вне замкнутой области G, то член §•(?, г)
в выражении C) можно зачеркнуть, не нарушая этим гармоничность
функции и (С, г) от С в области G. Применение формулы Грина
приводит нас тогда вместо E) к бблее простому соотношению
ii
Следовательно, если параметрическая точка z изменяется вне G,.
то стоящее справа среднее значение сохряняет постоянную величину,
равную постоянной Робэна области G.
Наконец, если z лежит на границе Г, то левые части формул
E) и E') отличаются только знаком. Чтобы показать, что фор-
формула E') справедлива и в этом случае, нужно только доказать, что
стоящий справа интеграл представляет непрерывную функцию от z.
Однако, на этом вопросе, который здесь имеет несущественное-
значение и мог бы быть легко разрешен применением методов,,
рассмотренных в гл. IV, мы здесь подробнее останавливаться не
будем'.
100. Из E) следует простое, важное неравенство, которое полу-
получается, если для заданной точки z области G заменить подинте-
гральную функцию ее наименьшим, соответственно наибольшим зна-
значением:
Если dy и d2 означают наименьшее, соответственно наибольшее-
расстояние от тонки z до границы Г области G, то
1 og <*i (*) <?(*><*>)- Т < log d2 (*). F)
Применяя это соотношение, мы теперь докажем, что, как это-
было указано в п. 99, класс множеств абсолютной гармонической
меры нуль тождественно совпадает с классом множеств емкости
нуль'.
Пусть а — ограниченное замкнутое множество; с помощью пре-
преобразования подобия,, не влияющего на исследуемое соотношение,
поместим множество а в круг |г|<1. Обозначим через G связную
область, ограниченную множеством а и содержащую точку z = со.
Выберем теперь число р > 1 и аппроксимирующую область G',.
содержащуюся в области G, содержащую точку z = со и ограни-
ограниченную конечным числом жордановых дуг а', расположенных
в круге |z|< 1.
Обозначим затем через gr (z, oo) функцию Грина области G' и
через <up (z, а') гармоническую меру дуг о! относительно подобла-
подобласти G/ области G', лежащей в круге |zj<p.
128 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
Если множество а имеет положительную емкость и, следова-
следовательно, его постоянная Робэна f (Т > °) *) конечна, то число р опре-
определим условием р == 1 -f- е2к и обозначим через Мг и тг максимум,
соответственно минимум функции g' (г, а) на окружности |z| = /\
Разность
в"' — A —«р)'»?»
очевидно, гармонична в Gp' и неотрицательна на ее границе. По
принципу минимума последнее имеет место во всей области G?' и,
следовательно, если за точку z взять точку z1 окружности |z\ = 1,
в которой g' = mv то
Величина mt как минимум при |г| = 1 для функции u(z) —
— g' — log [ z |, гармонической в области \z\^l, удовлетворяет
услопию mt ^ и (оо) = Y < 1, где Y — постоянная Робэна области О'.
Далее, согласно F), /n0>.log(p—l)-j-f'= 2Т~Ь т'> 2Т- Следова-
Следовательно,
и тем самым для каждой аппроксимирующей области G' максимум
гармонической меры дуг а' на окружности [г'| = 1 (относительно
области Gp') не меньше -^-. То же самое имеет, следовательно,
место и для предельного значения ш (г, a, Gp), к которому эта мера
стремится, когда О' -*¦ G. Отсюда следует, что гармоническая мера
множества а положительна.
Рели, наоборот, емкость множества а равна нулю и, следова-
следовательно, f = limf' = оо, то, беря число р>1 произвольным, мы
найдем, что разность
в Gp' неотрицательна. Далее, если z—точка окружности |г| = 1,
в которой g/ достигает своего максимума > f'> To при помощи
неравенства F) мы получим
Y <[iog(p + i) + -r/
и, следовательно,
Когда а' -»• a, то ?' -»• oo, и, следовательно, минимум гармониче-
гармонической меры о»,, на окружности j -г- j = 1 стремится к нулю, откуда
J) Так как области О и О' содержат область |г|>1, постоянная Ро-
бэва которой равна нулю, то их постоянные Робэна положительны.
§ 2] МНОЖЕСТВА ЕМКОСТИ НУЛЬ 12$
видно, что гармоническая' мера о» {z, ot, Gp) = lim a>p тождественно
равна нулю.
Замкнутое множество тогда и только тогда абсолютной
гармвнической меры нуль, когда оно имеет емкость нуль.
101. Тождественность замкнутых множеств абсолютной гармо-
гармонической меры нуль с множествами емкости нуль доказана при
предположении, что эти множества ограничены.
Если последнее условие не выполняется, то подходящим линей-
линейным преобразованием S{z) множество а может быть переведено
в ограниченное множество. Мы скажем тогда, что а есть множе-
множество емкости нуль, если его образ а' является таким множеством
Однако при таком определении не очевидно, различаются ли одно-
однозначно случаи С(а) = 0 и С (а) > 0, ибо нужно учесть возмож-
возможность, что равенство или неравенство нулю емкости C(ot') преобра-
преобразованного множества может зависеть от выбора использованного
линейного преобразования.
Что эта возможность на самом деле исключена, требует особого
доказательства. Последнее могло бы быть проведено прямо с
помощью введенных в этом параграфе понятий. Однако наи-
наиболее просто оно следует из доказанной выше теоремы об экви-
эквивалентности. Действительно, так как гармоническая мера инвари-
инвариантна относительно взаимно однозначных и конформных ото-
отображений, то любое линейное преобразование всегда переводит
гармоническое нульмножество в гармоническое нульмножество. От-
Отсюда непосредственно следует, что любые два множества, полу-
полученные линейным преобразованием из одного и того же множе-
множества а, или оба положительной емкости, или емкость обоих рав-
равна нулю.
102. Другим важным следствием из предыдущей теоремы об
эквивалентности является, по § I, п. 94, то, что емкость замкну-
замкнутого множества, являющегося суммой конечного или счетного числа
множеств емкости нуль, равна нулю.
Эта теорема может быть просто доказана как следствие из
нижеследующей леммы, не лишенной самостоятельного интереса.
Лемма 1. Если av ..., <хп — замкнутые множества, расположен-
расположенные в круге |г|<-2-, то для множества а = 2а*
Доказательство. Достаточно установить это соотношение для
множеств av ограниченных конечным числом аналитических дуг,
так как более общие множества, равно как и их емкость, могут
быть аппроксимированы с любой степенью точности при помощи
множеств указанного типа, соответственно емкостями .этих мно-
множеств.
130 ИНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
Если G, есть область, ограниченная av и содержащая бесконечно
удаленную точку, то из E') при замене AV(C, oo) на 2it(tv(C)
получим
каждой точки z множества otv.
С другой стороны, по какому бы закону Ц>(С)^О ни распреде-
распределялась единичная масса на множестве а *), выполняется неравен-
неравенство
If (a) > min / Г log * d(A. G)
В самом деле, сумма стоящего справа интеграла и функции Грина
g(z, oo) области G гармонична в G; для г = оо ее значение равно
1 (а), а на границе а функция g обращается в нуль. Отсюда, на
основании принципа минимума, следует соотношение G).
Если теперь взять п чисел 8, таких, что 0^8,^1, 2^ — 1 и
положить [а = 2^Л. т0
Jl Y4 » Г 1
log . г —г- в[х= V 8Ч I log -.-f prf^v»
а а
и, далее, так как [С — г|<1 и, следовательно, подинтетральная
функция во всяком случае неотрицательна, то
J1 л 1
log -р; г- «,UV ^- I log —ту Г ^Рч = Т (av)>
а а
коль скоро z лежит на av.
Тем самым для z на а, имеем
/1 / Г 1
log -r= р йа ^. min [ 8, I log -р= г- dji,
откуда, в силу G),
Т (°0 ^ ш*п I^vT (ач)] (v = 1 > • • ¦! я).
Но для
* 1 1
8 =_L_
•• rW
все числа 8^ (а,) становятся равными друг другу, и мы приходим
таким образом к доказываемому соотношению.
*) С точки зрения теории потенциала интеграл E') представляет лога-
логарифмический потенциал некоторой массы, распределенной с плотностью
I* = -т^г на 1'• Величина этой массы равва I ф = —• \ dh—\.
3] ФУНКЦИЯ ГРИНА И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ - 131
Лемма 2. Пусть av — последовательность замкнутых множеств,
расположенных в круге |-г(< у. Тогда для каждого замкнутого
подмножества а множества 2 я* имеет место соотношение
Доказательство. Если стоящий справа ряд расходится, то
утверждение тривиально. Откидывая этот случай, возьмем произ-
произвольнее положительное число е < 1 и покроем каждое множество
а, областью Л„ граница которой лежит в круге |г|<-^- и состоит
из конечного числа аналитических дуг о/, так что
Т(«/) ТК) ^2»-!'
Так как множество а замкнуто, то из областей ^4V -J- а/, можно
выбрать конечное число /Ц-]-о,.'(i = 1, ..., т), покрывающих
а !). Если через А обозначить сумму этих областей, то по лемме 1
т оо
Y (о) ^ 7 (A)^ Zdj (ач> )^Zii (a.,) ^ 8'
откуда при е -> 0 получается соотношение (8).
В частности, из (8) следует, что каждое замкнутое подмноже-
подмножество а множесгва 2 я-» имеет емкость нуль, если этим свойством
обладают все множества я,. Это справедливо без дополнительного
предположения, что множества av расположены в круге |^|<-s--
В самом деле, если разложить каждое из имеющихся множеств на
два подмножества, расположенных соответственно в круге | z \ <
< г < -к- и в области \z\^r, то посредством линейного преобразо-
вания последняя область может быть преобразована в тот же
круг, чем достигается выполнение условий леммы и в этом случае.
§ 3. Функция Грииа и логарифмический потенциал.
103. Пусть на ограниченной области ? плоскости z распреде-
распределена некоторая масса с плотностью p(z). Если функция р непре-
непрерывна, то логарифмический потенциал
= J
Лемма ГеЬне-Бореля о покрытии.
132 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
где rf(i = р (С) dfo означает массу, расположенную на элементе пло-
площади dfc определяет функцию и (г), обладающую следующими
свойствами:
1) На Е функция и удовлетворяет уравнению Пуассона Да==
== — 2гср. ¦ ' ' ¦
2) Вне Е функция и регулярно гармонична за исключением
точки 2= со, где она логарифмически бесконечна:
и{г) = — log | z | -f- е (—А (е -> 0 при г -*¦ со).
Этими двумя свойствами функция и определена однозначно.
104. Логарифмический потенциал и массы, распределенной на
Е по закону jx, может быть образован по формуле (9) при более
общих предположениях относительно [J.. Пусть Е—ограниченное
вамкнутое множество в плоскости г и (е) — множестзо его подмно-
подмножеств следующего рода:
1) Если конечное или счетное число множеств еи е2, ... при-
принадлежит к (е), то и их сумма 2ev принадлежит к (е).
2) Множество е = Е — е, дополнительное к е относительно Е,
также принадлежит к (е).
3) Пересечение множества е с любым открытым или замкнутым
квадратом (или кругом) принадлежит к (е).
Пусть далее каждому множеству е поставлено в соответствие
неотрицательное число р(е), удовлетворяющее условию аддитивно-
аддитивности: если множества ev ez, ... из (е) не имеют общих точек, то
.- (Ю)
Пусть «р (г) — определенная на Е действительная непрерывная
ограниченная функция комплексного переменного г. Интеграл
Стильтьеса
f<p(C)dji(C) A1.)
определяется известным образом как предел суммы
при и -*¦ оо, где точки С, и массы Aji, соответствуют разбиению
плоскости на квадраты, не имеющие общих точек и стороны кото-
которых при и -> оо стремятся к нулю; предел не зависит от выбора
этих квадратов и точек С,-
Если 9 (С) не непрерывна, то интеграл A1) можно определить
в смысле Лебега-Стильтьеса, если только ©(С) измерима относи-
относительно (а(С), т. е. если множество точек Е, в которых » < X, при-
принадлежит для каждого значения X к классу множеств (е). Если
между верхней границей М и нижней границей т функции «р вста-
§ 3] ФУНКЦИЯ ГРИНА И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 133
вить числа Xi<;Xg^;.. .^^.j, то интеграл A1) получается как
предел суммы
2
о
при и-»-со, (Xv — Xv_j) —>• 0 и где Д,}*. означает массу, распреде-
распределенную на множестве ev, определенном- неравенством X,_t^«p<Xv.
Если <р не ограничена, например, ее верхняя граница равна
-}-оо, то интеграл A1) определяется как предел соответствующего
интеграла для функции <р№ равной «р или М, смотря по тому,
будет ли «р -^ М или «р > М, при М -*¦ со. При этом нужно также
учитывать тот случай, когда этот предел равен -f-оо.
105. Рассмотренные выше понятия позволяют для функции рас-
распределения [1^>0 предыдущего вида определить логарифмический,
потенциал как интеграл Стильтьеса
«(*) = /log-j^rjj-rfii (С).
Е
Непосредственно видно, что и (z) обладает вторым характеристи-
характеристическим свойством логарифмического потенциала. Напротив, не может
быть более и речи о выполнении на Е первого условия, так как
сама функция и (г) не всюду конечна и непрерывна.
Но во всяком случае на Е функция и (г) полу непрерывка снизу,
т. е. если т(г) означает нижнюю границу функции u(z) в круге
\z— а|О, то от (/¦)->« (а) при г-»-0. Пусть сперва и (а) конечно;'
для заданного е>0 существует тогда число р>0 такое, что
частичный интеграл
«,(*)= J
Ul
для z = а больше, чем и (а) — е. В . круге \z — а | < р функция
ир (г) непрерывна, поэтому ее нижняя граница в точке z = a равна
ир(а)>и(а) — е. Так как в том же круге и (г) ^ ир (г), коль скоро
р<-^-, то предыдущее неравенство Справедливо a fortiori и для
нижней границы «i@) = lim m(f) функции и (г) в точке z = a.
Г->0
Следовательно, и (а) — е < т @) < и (о), откуда при е -> 0 следует,
что и(а) = т@). В случае, когда и(а)=-{-оо, доказательство
вполне аналогично.
106. Вернемся теперь к предположениям § 2, п. 95 этой главы
и будем, следовательно, снова рассматривать ограниченную конеч-
конечным числом жордановых дуг Г область G, содержащую бесконечно
удаленную точку, и соответствующую этой области функцию Грина
g(z, a?) = logl2| + f+ е(—\ для которой мы вывели формулы E)
и EЛ); f здесь означает постоянную Робэна области О. Если -к-
134 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
рассматривать как плотность, с которой единичная масса распреде-
распределена на границе Г, так что
^(А(С, со)-А(Со, оо))
будет равна величине этой массы на дуге (С,,, С), которую гранич-
граничная точка С описывает в направлении от ?<, к Ч. при положительном
обходе G по Г *), то логарифмический потенциал
в точке z области G будет иметь значение — g(z, oo)-j-f, в то
время как в дополнительной к Q области G он равен f.
Спрашивается, как относится этот особый потенциал к другим
потенциалам, соответствующим единичной массе, распределенной на
О согласно произвольной функции распределения ja. Прежде всего
нас здесь интересует, в каком отношении друг к другу стоят экстре-
экстремальные значения этих потенциалов.
107. Чтобы избежать повторений, рассмотрим сразу общий слу-
случай, когда G— вполне произвольная область, содержащая беско-
бесконечно удаленную точку г = со. При этом будем предполагать,
что G не совпадает с полной плоскостью, так что ее дополнение
представляет не пустое ограниченное замкнутое множество Е.
Пусть теперь \х определяет произвольное неотрицательное рас-
распределение единичной массы на Е и
J |C *,
— соответствующий потенциал. Так как и (г) полунепрерывна снизу,
то она достигает на Е вполне определенного минимума т. Верхняя
граница 1ши(г) на Е пусть будет М {т <; М ^ оо).
Случай от = оо исключается, коль скоро Е положительной-
емкости. В самом деле, согласно § 2, область G обладает тогда
йопечной функцией Грина
g{z, oo) = log|
где 7 — постоянная Робэна области G. Рассмотрим затем выражение
представляющее функцию, гармоническую во всей области G.
В каждой граничной точке С этой области limg'^0, Umu^m,
следовательно, и ljmo^>m; в силу принципа минимумТ" v >• т
1) Масса на дуге (Со, С), очевидно, равна гармонической мере этой
дуги относительно О, измеренной в точке г=оо.
§ 3] ФУНКЦИЯ ГРИНА И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 135
в каждой точке области G. В частности, отсюда дляч2- = со полу-
получается соотношение о(оо) = ^ ^-т.
Если G ограничена конечным числом жордановых дуг, то на
этих дугах ^=0 и, применяя принцип максимума к сумме v (z),
мы получим соотношение г»(оо) = ^^.М.
Но это справедливо и для самого общего случая, когда Е— про-
иввольное ограниченное замкнутое множество. Чтобы в этом убе-
убедиться, определим во внешней области G, содержащей бесконечно
удаленную точку г = оо, аппроксимирующую область Qv граница
которой удовлетворяет предыдущим условиям регулярности; тогда
соответствующая постоянная Робэна Yi самое большее равна верх-
верхней границе -Mj(>M) потенциала и (z) на дополнении Gx к обла-
области Gv Так как и (z) в каждой точке гф оо области Q регулярно
гармонична, а в точке z=co обращается в —со, то по принципу
максимума и < yW в каждой точке области О, а тем самым и
Mt ^ М. В силу предыдущего тогда Мх — М, следовательно, "d^M,
и так как Ti^Y» когда Gt-^G, то f^M, что и требовалось
доказать.
Если u(z) — логарифмический потенциал единичной массы,
распределенной с произвольной неотрицательной плотностью на
ограниченном замкнутом множестве Е, то его минимум т и
максимум М удовлетворяют неравенству
т<ч<М, A3)
где т — постоянная Робэна множества Е.
108. Так называемая проблема Робэна1) требует такого неотри-
неотрицательного распределения единичной массы на заданном множе-
множестве Е, чтобы соответствующий логарифмический потенциал в каждой
точке множества Е принимал бы одно н то же постоянное значение.
Из предыдущей теоремы видно, что ьтим значением может быть
только постоянная Робэна у. Далее из выкладок § 2 следует, что
¦проблема Робэна, наверное, разре'шима для множеств, ограниченных
(или составленных) из конечного числа жордановых дуг. В самом
деле, соответствующая потенциалу —g(z, оо)-(-^ функция распре-
распределения (х(^ж==-2^") Дает решение проблемы (ср. п. 106).
109. Прежде чем перейти к вопросу о существовании робэнов-
ского потенциала равновесия в случае произвольного ограниченного
замкнутого множества Е, покажем сперва еще, что предыдущее
рассуждение приводит к построению функции Грина, внешней обла-
области G, если границу этой области предполагать составленной
из конечного числа жордановых дуг. Мы это докажем, опираясь на
метод, который получается при известной специализации использо-
использованных выше вспомогательных понятий; этот же метод приведет нас
к дальнейшим замечательным соотношениям.
О. Robin pi.
136 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
На произвольной системе точек zu ..., zn множества Е распре-
распределим равномерно единичную массу. Соответствующий потенциал
равен тогда среднему значению
1
Рассмотрим минимум этого выражения на Е и определим систему
точек, для которой этот минимум достигает своего наибольшего
вначения fn. Соответствующий потенциал пусть будет un(z).
Образуем затем выражение
«• (*) = ип
Как и выше, применяя принцип минимума, мы докажем, что это вы-
выражение представляет в области О неотрицательную гармониче-
гармоническую функцию. В самом деле, на границе области G имеем ип>Тп
и g=0, следовательно, во всяком случае vn~^-0. Так как далее vn
гармонична в О, за исключением попадающих в эту область точек г,,
где vn = -j-~ оо, то из упомянутого принципа следует, что vn не-
неотрицательна всюду в G. В частности,
Докажем, что lim ^« = 7. Для этого будем исходить из инте-
п->оо
грального представления A2)*функции Грина области G. Для задан-
заданного е > 0 мы можем найги такое большое число п„ что как бы
ни выбирались точки z на линии уровня ?=е, колебание log ]С—z\
на дуге Г' границы Г было бы меньше, чем е, коль скоро
Если теперь разделить Г на п > и, частей, на которых вариация
величины (J.o= y~ в точности равна —, и на каждой из этих частей
взять точку С, (v = 1,..., га), то интеграл A2) будет отличаться
от среднего значения
п
па величину порядка < е, притом для любого положения точки г
на линии уровня g(z, оо) = е. Следовательно, вдесь
По принципу минимума это неравенство имеет место и внутри
области, ограниченной линией уровня #=»е, дополнительной к внеш-
§ 3] ФУНКЦИЯ ГРИНА И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 137
ней области #>в и, следовательно, в частности, на <3. Отсюд*
следует, что верхняя граница Тп ^ Т — 2t, коль скоро я > яг
Соединяя это с прежним результатом f„ <[ -[, мы заключаем, что
¦\п -*¦ -( при п -*¦ со, что и требовалось доказать.
Зафиксируем теперь произвольную подобласть Go области О,
содержащую точку -г = со, и опишем окружность (г(==/?, охваты-
охватывающую границу этой области. Для каждого z = rei<f, r>/?r
« > я0 имеет место интегральное представление Пуассона
- ? J
и, следовательно, в силу
2*
и тем самым ¦»„-> 0 при га-+ оо. Что последнее имеет место, при-
притом равномерно в Go, получается повторением предыдущего заклю-
заключения для цепочки из конечного числа налегающих друг на друга
кругов, покрывающих Go.
Последовательность функций ип(г) в области G сходится
к —g(z, oo)-j-T> ц величина
Tn n()
znaE
сходится к постоянной Робэна f.
ПО. Стоит заметить, что аппроксимирующие функции ип могут
быть определены следующим образом:
•-"•"-"ишь ¦
где tn означает тот полином га-й степени
максимум Мп которого на Е имеет наименьшее возможное значение:
ато так называемый полином Чебышева и-й степени для множе-
множества Я1). Таким образом, нами доказана стедующая теорема:
Пусть Е—замкнутое дополнение к связной области G, содер-
содержащей бесконечно удаленную точку и ограниченной конечным
числом жордановых дуг. Пусть далее tn{z) — соответствующий Е
полином Чебышева п-й степени, все нули которого лежат на Е,
и Мп — его максимальное значение на Е. Тогда
цш iOg
П->оо
равномерно в каждой подобласти области О.
') См. О. FaberP].
1S8 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
Для г = со это соотношение переходит в
lim }/Мп = в-т,
где y — постоянная Робэна. Это последнее соотношение впервые
было найдено Сег5 (SzegO [J]).
Существование предельного значения 1нп|Лм„ еще раньше дока-
доказал Фекете (Fekete), который назвал его трансфинитным диамет-
диаметром множества Е*). Из предыдущего соотношения обнаружилась
тождественность емкости и трансфинитного диаметра множе-
множества Е2).
111. Посредством изложенного в § 1 и 2 предельного процесса
лредыдущие результаты могут быть распространены на любые зам-
замкнутые ограниченные множества Е. В частности, если Е положи-
положительной емкости, то функцию Грина внешней области О можно и
в этом общем случае представить как логарифмический потенциал
распределенной на Е единичной массы, что мы сейчас докажем,
опираясь на работу Валле-Пуссена8).
Покроем плоскость сетью квадратов Qn со стороной длины ^ так,
что для и = 1, 2, ... квадраты Qn распадаются на четыре ква-
квадрата Qn+V Пусть Еп — область, составленная из всех замкнутых
квадратов Qn, имеющих с Е хотя бы одну общую точку. Связная,
дополнительная к Еп многоугольная область Gn, содержащая бес-
бесконечно удаленную точку, составляет подобласть области G, допол-
дополнительной к Е. Образуем функцию Грина
gn{z, co) = log|2J-j-Tn + eG)
области Gn; тогда по § 1 и 2 мы знаем, что постоянная Робэна fn
при га -> со стремится к постоянной Робэна f области G, далее,
что gn(z, со) в каждой подобласти области О сходится равномерно
или к -j- со или к функции Грина g(z, со) области G, в зависимости
от того, является ли Е множеством емкости нуль (f = -j- со) или
множеством положительной емкости (^ < -j- со).
J) M. Fekete [']. В указанной работе приводится следующее, эквивалент-
эквивалентное с данным выше, определение трансфииитного диаметра: на? берется п
^очек «),..., гп, образуется произведение всех ( | = —ц—2 расстоявий
между любыми двумя точками изданных точек. Для некоторого опреде-
определенного положения точек гч произведение достигает своего минимума щ.
При л-»- со корень ( „ 1-й степени из «„ стремится к трансфинитиому
диаметру множества Е.
2) См. О. Polya u. О. SzegO fl]. В этой богатой содержанием работе
находится также указатель литературы (до 1930г.), относящейся к понятиям
•емкости и трансфинитного диаметра.
») Vallee-PoussinU].
§ 3] ФУНКЦИЯ ГРИНА И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 139
Для gn мы имеем соотношение
где jin означает функцию распределения единичной массы на внешней
границе многоугольника Еп, определенную с помощью сопряженной
к gn функцией —kn(dv.n = ~f).
Из равномерно ограниченной последовательности аддитивных
функций (j^ можно, согласно одной общей теореме теории функций
множеств, выбрать сходящуюся подпоследовательность1). Предельная
функция (J. определяет неотрицательное распределение единичной
массы в граничных точках С множества Е, вполне аддитивное (свой-
(свойство A0) п. 104) для класса подмножеств множества Е, измеримых
по Борелю.
Пусть y < -\- оо и г — внутренняя точка области G. Так как под-
интегральная функция log-pi i интеграла A4') в этом случае
11—* I
непрерывна, то можно совершить предельный переход при п -*¦ со
под знаком интеграла (см. Vallee-Poussin, f1]), и так как с другой
стороны gn-+ g, 7„-> Т ПРИ « -> оо, то для функции Грина обла-
области О получается представление
-/log 1Т=^_Г^ (О-
*
Аналогично мы найдем, что в каждой внутренней точке z до-
дополнения G к области О (если такие точки существуют)
«(*)=/log-r^—-djt (С)
Наконец, пусть z—граничная точка области G. В сколь угодной
близости от нее имеются точки области G, в которых, в си^лу g > О
и A4), и < if. Следовательно, нижняя граница функции и (г) в гра-
граничной точке г самое большее равна f, и так как функция и (г)
1) См. Vallee-Poussin l1]. О ходе доказательства этого предложения,
полное приведение которого здесь завело бы нас слишком далеко, заме-
заметим следующее: счетное множество квадратов Qit Q2, ... можно упоря-
доточить в последовательность Ql, Q2, ... Применяя теорему Больцано-
Вейерштрасса о существовании предельной точки и диагональный процесс,
можно определить последовательность |j,Vj) iav ..., сходящуюся в каждом
квадрате Q. При помощи такого рассмотрения предельная функция р. опре-
определяется для всякого замкнутого или открытого подмножества е множе-
множества Е и вследствие этого, по крайней мере для класса (е) измеримых по
Борелю подмножеств множества Е, и представляет собой неотрицательную
аддитивную функцию множеств, для которой (*(?) = 1. См. также О. Frost-
шап р]. В последней работе, появившейся после окончания редакции этой
книги, дано превосходное изложение теории емкости множеств.
140 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [гЛ. V
полунепрерывна снизу, то она равна своей нижней границе, и,
следовательно, в каждой граничной точке
«ФХт-
Что неравенство здесь существенно, следует из замечания, сделанного
в п. 97. В самом деле, если G имеет изолированную гранич-
граничную точку, то g в этой точке гармонична и > 0; значит, действи-
действительно, и < -г.
112. Для О, ограниченной конечным числом жордановых дуг,
постоянная Робэна f оказалась, с одной стороны, максимумом мини-
минимумов, а с другой стороны, равным ему минимумом верхних границ
логарифмических потенциалов и {г) на множестве Е, соответствующих
единичной массе, распределенной на ? с неотрицательной плотностью.
В вышерассмотренном общем случае, когда Е — произвольное огра-
ограниченное замкнутое множество положительной емкости, функция
распределения jt, соответствующая функции —g(z, oo)-j-7> пред-
представляет экстремальный случай, поскольку порождаемый ею потен-
потенциал обладает наименьшей возможной верхней границей -(. Напротив,
могут встретиться исключительные точки множества Е, в которых
экстремальный потенциал меньше чем %. Например, такими точками
всегда являются изолированные точки множества Е, граничные для
внешней области G.
Во всяком случае постоянная Робэна равна минимуму верхней
границы всех вышеопределенных на Е потенциалов и {г).
§ 4. Поведение аналитической функции
в окрестности множества гармонической меры нуль *).
ИЗ. В теории особенностей гармонических и аналитических
функций множества гармонической меры нуль, или, что по разобран-
разобранному выше означает то же самое, множества емкости нуль**),
играют важную роль. Рассмотрим несколько теорем, лежащих в этом
направлении.
Согласно изложенному в гл. III фундаментальному принципу,
гармоническая мера при аналитическом отображении увеличивается.
Это обстоятельство наводит на мысль о том, что при аналитическом
преобразовании мкожество положительной емкости всегда переходит
ч множество также положительной емкости. Это и на самом деле
имеет место при следующих условиях.
Теорема 1. Пусть w (z)—определенная в области Gz однознач-
однозначная мероморфная функция и аг— замкнутое множество, рас-
расположенное в Ga. Если множество aw, на которое функция
w = 4n(z) отображает множество яг, имеет гармоническую меру
*) Более полные относящиеся сюда результаты см. в приложении редак-
редакторов перевода (стр. 365).
, **) Гсворя здесь о множествах гармонической меры нуль, автор имеет
в виду множества абсолютной гармонической меры нуль.
§ 41 ПОВЕДЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 141
нуль, то или множество az также гармонической меры нуль, ила
w {z) s= const.
Доказательство. Множество «„ как образ замкнутого множества
само Замкнуто. Так как <xw по предположению гармонической меры
нуль, то оно имеет в качестве дополнения связную область (}„.
Выберем в этой области круг Aw и удалим из Gz все точки г,
в которых w(z) принимает значения, попадающие в Lw. При этом,
предполагая, что w (г) не есть постоянная, от Ог останется одна
или много связных областей ОА, ограниченных прообразами гранич-
граничных точек некоторых подобластей круга Aw и некоторой частью
границы области Gz. Так как области Ga могут сгущаться только
около границы области Ог, в то время как замкнутое множество az
лежит в Gz, то- мы заключаем, что лишь конечное число обла-
областей Оь. может содержать точки множества <хг. Учитывая свойство
аддитивности множеств гармонической меры нуль, о котором гово-
говорилось в п. 102, достаточно теперь показать, что замкнутое под-
подмножество множества <хг, находящееся в любой области Gi; имеет
гармоническую меру нуль.
Для этой цели зафиксируем область G& и выберем в ней любую
точку г* [w (г*) не входит в <х„]. Пусть |3,—замкнутая жорданова
кривая, лежащая в Ga и окружающая точку г* и точки множе-
множества <хг, расположенные в Од. Далее пусть Ог — часть области Од,
лежащая внутри рг; она, следовательно, содержит как z*, так и все
точки множества <хг, расположенные в Ga. Если теперь удалить
из Dt точки множества ае, то останется область G/, относительно
которой можно образовать гармоническую меру ш (z, az, Gz). Нужно
показать, что эта мера тождественно исчезает.
Так как &ю—гармоническое нульмножество, то можно найти
такую подобласть Dw области Gw) ограниченную конечным числом
жордановых дуг <xw', что для заданного е > 0
о) (w*, aj, DJ) < в,
где w* = w (z*) и DJ означает пересечение области Dw с областью,
дополнительной к кругу Aw. Исключим теперь из G/ все точки z,
в которых значение w — w(z) лежит вне Dw', и обозначим через ?>/
ту остающуюся от G/ подобласть, которая содержит Z*. Граница
области Dg' состоит из точек, которые или лежат на жордановой
кривой рг, или на прообразе а/ дуг awr.
Сравним теперь друг с другом гармонические в DJ функции,
определенные выражениями
В граничных точках % области Д. первая функция равна нулю,
в то время как вторая функция в этих точках, как и вообще, не-
неотрицательна; на а/ первая функция не превосходит 1, в то время
как вторая функция, очевидно, равна 1. Следовательно, на всеЯ
границе области D/ первая из &тих функций не больше второй;
142 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
в силу принципа максимума то же самое имеет место и всюду
в области Л/, в частности, для z — Z*, откуда следует, что
«(Z*, а„ О,') < «о (<»•, «„'. А/) < е-
Так как число г может быть выбрано сколь угодно малым,
го о) (г*, аг, G/) = 0, тем самым и <о (г, аг, О/) = 0, что и требова-
требовалось доказать.
114. Классическая теорема Коши-Римана, которой мы уже не-
неоднократно пользовались (гл. 1, § 3), говорит, что гармоническая
или аналитическая функция, однозначная и ограниченная в окрест-
окрестности изолированной точки z = a, должна быть гармонична, соот-
соответственно аналитична и в этой точке. Весьма важным является
вопрос о том, насколько далеко может быть обобщена эта теорема
об „устранимых особенностях". Насколько мощным должно быть
замкнутое множество а, чтобы существовала функция, однозначная
и ограниченная в окрестности этого множества, для которой по
крайней мере часть этого множества представляла бы особенность?
Для гармонических функций этот вопрос полностью решается сле-
следующей теоремой !):
Теорема 2. Пусть а — замкнутое множество плоскости z. Если
оно ?армонической меры нуль, то всякая функция, однозначная,
ограниченная и гармоническая в его окрестности, гармонична
в каждой точке множества а. Если, напротив, а положительной
гармонической меры, то существует функция, однозначная, огра-
ограниченная и гармоническая в окрестности этого множества,
которая, однако, гармонична не во всех точках множества а.
Доказательство. Пусть а гармонической меры нуль и и (г) —
функция, однозначная, ограниченная и гармоническая в его окрест-
окрестности. Окружим а жордановой кривой р и определим с помощью
формулы Грина (гл. II, п. 25) гармоническую функцию ио(г), кото-
которая в области О», ограниченной кривой р, и в частности в точках
множества а, гармонична, а на самой дуге р принимает те же самые
граничные значения, что и и (г). Мы утверждаем, что и (г) = и0 (г)
в каждой точке z области О«, не принадлежащей к а.
Чтобы в этом убедиться, возьмем точку z0, входящую в Ор и
не входящую в а. Для заданного г > 0 в области О выберем под-
подобласть D, ограниченную множеством а, так, чтобы D содержала
как р, так и z0 и чтобы
со (z0, 5,
где 8 — граница области D, состоящая из конечного числа жорда-
новых дуг, a Do — пересечение областей Ор и D.
Пусть теперь М — верхняя граница значений |к| в О.; тогда и
|ио|^Л1и разность v(z) = u(z) — uo(z) по абсолютной вели шне
не презышает*2.Л1 Образуем затем выражение v-\-2M<a. Оно равно
См. J. Lindeberg ['], P. Myrberg I1].
§ 4] ПОВЕДЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
нулю на р и неотрицательно на 8; следовательно, оно неотрицательно-
во всей области Dp, в частности
Оо) >
Отсюда при е ->¦ О следует, что v (z0) ^ 0.
Обратное соотношение (v (z0) <! 0) получается, если предыду-
предыдущие рассуждения применить к функции v — 2Ма>. Следовательно»
v (z0) = и (z0) — и0 (z0) = 0, что и требовалось доказать.
Так как таким образом и (г) и uo(z) тождественны, то и (г)
гармонична в каждой точке множества а, и первая часть теоремы
доказана.
Вторая часть теоремы следует непосредственно из результатов
§ 1 этой главы. В самом деле, пусть а — положительной гармони-
гармонической меры и Dp— та область, которая получается из О» удале-
удалением точек множества <х. Тогда выражение ш {z, ae, Da) является
в Dp однозначной, ограниченной и положительной гармонической
функцией, которая не может быть гармонична во всех точках мно-
множества а, так как в противном случае, вследствие обращения этой
функции в нуль на границе области Dp, она равнялась бы нулю
тождественно.
115. В течение предыдущего изложения мы неоднократно поль-
пользовались важным обобщением принципа максимума (и минимума)
для гармонической или аналитической функции. Чтобы иметь воз-
возможность заключить, что функция и (г), гармоническая в области О,
в этой области не превосходит заданного числа М, достаточно,
согласно этому принципу, показать, что Иm и (С) -^ М в каждой гра-
граничной точке ? области О, за исключением быть может конечного
числа их, если только в окрестности этих исключительных точек
функция и (г) остается ограниченной. Возникает вопрос, насколько
мощным может быть принято исключительное множество, чтобы
обобщенный принцип максимума не терял своей силы. И для этой
проблемы множества гармонической меры нуль играют решающую
роль. Именно, имеет место следующее !):
Обобщение принципа максимума. Пусть и (г) в области
Q — гармоническая и ограниченная сверху функция. Если суще-
существует такое число М, что
ЙлГн^ХМ A5)
в каждой граничной точке С области О, исключая самое большее
множестео а гармонической (абсолютной) меры нуль, то и(г) ^М
в каждой точке области G.
Для доказательства зафиксируем произвольную точку z0 области G.
Если предположить, что и(го)>Ж, то в силу A5) можно найти
точку z1 области О такую, что u(zl) < u(z0). Проведем вокруг zl
1) Другой общий критерий см. в работе Е. Pliragmen и. Е. LindeWf I1).
144 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
маленькую окружность 0 так, чтобы и (г)< М, (М< Мх < a (z0))
в каждой точке на C.
После этого выберем произвольное малое число е ;> 0 и обо-
обозначим чере* Gr такую подобласть дополнительной к множеству л
«бласти, что
со (го, *', О,') < г,
где а' — граница области О', a G^'— пересечение области G' с об-
областью, внешней к окр>»кности р.
Пуст., теперь К^М — конечная по предположению, верхняя
граница функции u(z) в О. Образуем функцию
*{г)=*и(г) — М — (К— М)со(z, а/, О/),
гармоничную в пересечении D областей G и G^'. Область О имеет
связную часть ?H, содержащую точку г0; граничные точки об-
области Do лежат или на границе Г области О или на граничных
дугах а' и р области G/. В первых точках, которые в силу нашего
построения не содержат точек множества а, справедливо соотно-
соотношение A5) и, следовательно, lim v ^ 0; на а' гармоническая мера to
равна единице, а и самое .большее равно К, следовательно, lim v ^ 0;
наконец, на |3 U4^MV а в> = 0, следовательно, Jimf^iWj — М.
В силу принципа максимума v^Ml — М всюду в Do, откуда для
z — z0 следует, что
и (*о) < Mi + (К— М) со (Zo, «', О,') < Л1, + (К — Л*) в,
или так как е может быть сделано сколь угодно малым, то и (z0) ^ Mv
что противоречит сделанному выше предположению. Это прошво-
речие показывает, что и (z^ не может превышать М, что и требо-
требовалось доказать.
Если не делать никаких дополнительных предположений о поло-
положении исключительного множества а относительно остальных гра-
граничных точек, то предыдущий принцип, поскольку это касается
объема множества а, не может быть усилен. В самом деле, если
а — любое множество положительной гармонической меры, то всегда
можно указать область G, граница которой содержит часть мно-
множества а, и построить гармоническую функцию и, удовлетво-
удовлетворяющую в каждой граничной точке области G, не принадлежащей
к а, условию lim и ^ 0 и в то же время не всюду в О неполо-
неположительную.
Достаточно рассмотреть подмножество заданного множества,
которое также имеет положительную гармоническую меру и огра-
ограничивает связную область. Если исключить из последней маленький
кружок р, то Гармоническая мера в>(г, а, О) рассматриваемой части
множества а относительно оставшейся области О будет представлять
в О положительную гармоническую функцию, исчезающую в каждой
§ 4] ПОВЕДЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 145
граничной ее точке, не принадлежащей к з, т. е. в каждой точке
окружности |3 (в то время как внутри О она положительна).
В этом примере а находится на положительном расстоянии от
остальной части границы ф). Если это условие не выполнено, то
предыдущая теорема вообще не представляет уже самую общую
форму принципа максимума. В этом случае „абсолютные" гармони-
гармонические нульмножества могут быть заменены множествами, являю-
являющимися гармоническими нульмножествами относительно области G,
о которых коротко говорилось в § 1 этой главы. Эти относитель-
относительные нульмножества могут иметь больший объем, чем абсолютные
нульмножества; к этому мы еще вернемся в дальнейшем. Однако
от исчерпывающего изложения этих соотношений, равно как и от
более близкого рассмотрения принципа максимума в указанном
общем направлении, мы должны здесь отказаться. Во всяком случае,
чтобы правильно понять истинное значение гармонического меро-
мероопределения для этих и других вопросов теории функций, необхо-
необходимо не терять из виду различия между „абсолютной" и „относи-
„относительной" гармоническими мерами.
116. Как следствие из предыдущих теорем мы можем вывести
следующую теорему, которую можно рассматривать как обобщение
классической теоремы Лиувилля.
Теорема 3. Если функция w{z\ однозначная и аналитическая
вне гармонического нульмножества аг, выпускает в области гф«г
значения, образующие множество <xw положительной гармониче-
гармонической меры, то функция w (z) тождественно равняется постоянной.
Доказательство. Если предположить, что w{z) отлична от
постоянной, то можно притти к противоречию следующим образом:
из дополнительного к aw открытого не пустого множества исключим
небольшой кружок Д„,; граничащую с ним1 оставшуюся область обо-
обозначим через Gw. Удалим также из заданной области гфа, все
области Lg, в которых w(z) принимает значения, лежащие в Д,,,,
и обозначим через Ог произвольную связную область из числа огра-
ограниченных множеством аг и граничными кривыми областей А2.
Затем образуем гармоническую меру <о(щ>, aw, Gw), представляю-
представляющую в Gw положительную гармоническую функцию, отличную от
постоянной. С другой стороны, сложная функция ш (w (z), aw, Gw)
гармонична в Ge; в тех граничных точках, которые лежат на грани-
границах областей Д„ эта функция обращается в нуль. Остальные гра-
граничные точки области Ог принадлежат к множеству <хг и образуют
поэтому множество гармонической меры нуль. Так как указанная
функция в области Ot во всяком случае ограничена (ш ^ 1), то на
основании обобщенного принципа максимума мы заключаем, что со ^ О
или, так как «о неотрицательна, что <о (w (z), aw, Gw) = 0 в каждой
точке области Gz. Но точка w = w (z) лежит в области Gm где
«о (ад, аю, Gw) положительна; полученное противоречие показывает,
что функция w{z) должна тождественно равняться постоянной, что
и требовалось доказать.
146 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
§ 5. Леммы об аддитивных функциях множеств.
117. Для возможности дальнейшего продвижения в теории гар-
гармонических нульмножеств нам потребуются некоторые леммы из
теории действительных функций, представляющие дальнейшее раз-
развитие теории, изложенной в § 3 этой главы. Эти леммы играют
важную роль и в других вопросах теории функций.
Теоремы этого параграфа были в основном получены Карта-
ном (Cartan) при дальнейшем развитии старых идей Бутру (Bout-
roux) и Блоха (Bioch); мы следуем здесь изложению, данному
Альфорсом J).
Представим себе, что в комплексной плоскости задано ограни-
ограниченное множество Е, на каждой измеримой части е которого опре-
определено вполне аддитивное распределение и(е)^0, -т. е. если мно-
множество е разбивается на конечное или счетное число не имеющих
общих точек подмножеств ev e2,..., то
ц (в) = !*(*,)'4- р(«а)+...
Для простоты предположим, что вся масса р'(?) = 1.
Обозначим через \l (r,. а) массу, расположенную на части множе-
множества Е, лежащей в круге радиуса г с центром в точке а. Тогда
справедлива следующая
Лемма. Пусть h(r) — любая, для О^г^оо непрерывная и
вместе с г возрастающая функция, для которой
/г@) = 0, А(оо)>1. A6)
Тогда для г > О и всех точек а плоскости, исключая самое боль-
большее множество А этих точек, которое может быть покрыто
последовательностью кругов Си Са, . . ., радиусы которых rv r2, ...
удовлетворяют неравенству
2 *(',)<<$. A7')
имеет место соотношение
ЦС» «)<*(')• A7)
Доказательство. Пусть для заданного г > О
)-i 0) r= sup у. (г, а)
а
есть верхняя граница значений а (г, а) при переменном а. Этафунк-
ця 1 переменной величины г, возрастающая вместе с г, согласно ее
определению, не больше, чем Х5 (оо) = ^(Е)= \. Отсюда, в силу A6)
и ограниченности множества Е, для всех достаточно больших зна-
значений г
>i(r)<h(r). A8)
Если это неравенство справедливо для всех значений г > 0,
го соотношение A7) имеет место для всех значений а ф со.
h A. Hloch [sj, н. Cartan I1], L. Ahlfors [»].
§ 5] ЛЕММЫ OB АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИЯХ МНОЖЕСТВ 147
Если же это не так, то пусть rt — верхняя граница значений
г > О, для которых Xj (г) > h (г); тогда 0 < г, <оо, и соотношение A7)
имеет место для всех г > г^ Следовательно, Xt {rt — O)^.h(riI^
>'ч(г1 + °)> но так как, с другой стороны, Xt (rt — 0)< lt (r, -+- 0),
то ХД^ — О) = Х1(г, + 0) и
M'i) = *W- A80
Выберем теперь точку at, для которой
и проведем вокруг at круг Cj радиуса гг. Пусть Яд (г) — верхняя
граница значений [i(r, а) для всех точек а, лежащих вне Сх:
Х2(/-) = sup(i(r, а) (а вне С,).
Так как А2 (г), в силу своего определения, не больше чем Xj (r)
и соотношение A8) справедливо для всех г"^ги то для этих же
значений и
Мг)<*(г). A9)
Если последнее неравенство справедливо для всех значений г > 0,
то соотношение A7) имеет место для всех значений г>0 и всех
точек а, лежащих вне круга Сг, радиус rt которого удовлетворяет
соотношению A8').
Если же это снова не так, то пусть г2 — верхняя граница зна-
значений г, для которых Xg(r)>A(r); тогда 0<г2^>1, и соотноше-
соотношение A9) справедливо для г>-г2. В частности
Х2(г2) = А(г2).
Возьмем теперь точку а2, для которой
*2 W < V- (Г2> аг) + 4" -
и проведем вокруг а2 круг С2 радиуса г2; пусть
X3(r) = sup(i(r, а) (а вне С„ С2).
Тогда Х3(г)<Ха(,'), и Поэтому
Аз (г) < А (г)
для г^>г2.
Если это неравенство справедливо для всех значений г > 0,
то соотношение A7) имеет место для всех значений а, лежащих
вне кругов С„ С2, радиусы rv r2 которых удовлетворяют равенствам
X, (г,) = h (r,), *а(''2)!=А(''2)-
Если же это не так, то предыдущий процесс может быть про-
продолжен. Таким образом, последовательно определятся круги Cv С2>...;
радиус г„ и центр а, круга С, при этом определятся следующим
образом: пусть
r, а) (а вне Cv ..., С,_,) " B0)
148 , МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
и г„>0 — верхняя граница значений г, для которых Х,(г)>А(г);
тогда rj>ra>..
Х,(г,) = А(г,) и *,(/¦)<*(г) Для г>гч. B1)
Центр а„ выбирается произвольно вне Ct, .... С,_1( так, чтобы
что возможно согласно определению величины Xv(r).
В силу B1) для г>г,
u(r, а)<А(г), B3)
лишь бы точка а лежала вне кругов Cv ..., C4_v
Если для некоторого v соотношение B3) справедливо для
всех значений г>0 (а пне Cv ..., С,), то процесс обрывается. -
ч
Тогда остается еще только показать, что 2 ^ (ri) *C 6-
1
Для этого заметим, что по построению каждый центр а, лежит
вне кругов Сц ф Cv. Отсюда -следует, что любая точка z плоскости
может быть покрыта самое большее пятью кругами; в самом деле,
если соепинить точку z с центрами покрывающих ее кругов, то,
как нетрудно убедиться, всякие два таких отрезка соединения
образуют, в силу упомянутого свойства центров, угол > -~, откуда
следует утверждение о пяти кругах.
Но в силу B1) и B2)
^I*(г{, а{)
Если ек—часть множества Е, точки которого покрываются ровно k
кругами из числа кругов Cv..., Сч, то, так как [i аддитивна
и А<5,
= б B4')
и из B4) следует утверждение, что
S Л (/",)< 6. A7')
S
Если же предыдущий процесс продолжается неограниченно,
го мы получим бесконечную последовательность кругов
С'„(|гг—'«м^г,), и соотношение A7) справедливо для г>0 и
точек а, лежащих вне этих кругов. В самом деле, по предыдущему,
A7) справедливо для г>гч, где v может быть взято сколь угодно
большим. Остается только показать, что rv -*¦ 0 при v -* оо.
§ 5} леммы ов аддитивных функциях множеств 149
Но это следует непосредственно из того, что сумма 2МГ<)
1
в силу B4) и B4') для каждого v меньше 6. Следовательно,
h (rv) -» 0, а потому иг,->0 при v -*¦ оо. Одновременно получается
соотношение A7')
2 *(',)<«•
1
Тем самым лемма доказана полностью.
118. Как простое следствие из леммы получается теорема Кар-
тана. Предпошлем ей здесь несколько замечаний об интеграле
Стильтьеса.
Кроме вышеопределенной монотонно возрастающей и непре-
непрерывной функции h (г) рассмотрим еще монотонно убывающую
функцию g(r), определенную для г > 0. Тогда для 0 < г < р
справедлива формула интегрирования по частям интеграла Стиль-
Стильтьеса
J'g @ dh (t) = g (p) h (p) — g (r) h (r) — J h (t) dg (t), B5)
гДе ?(p) = ?(p — °) и g(r) — g(.r-\-Q)- Отсюда следует, что инте-
интегралы
* t
j gdh и Г hdg
одновременно конечны или бесконечны и в первом случае
/^^ = ^(Р)А(Р)- $ hdg.
t = 0 (=0
В самом деле, если
о
конечен, то для 0 < г < р
при г-»¦ 0 и искомое соотношение следует из B5) при г->0.
С другой стороны, если интеграл
jhdg
150 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
имеет конечное значение, то для 0 < г < гх < р
h\dg\>h{f)[g(r)—gfa)],
г
следовательно,
h(r)g(rL?h{r)g(rl) + f h\dg\,
откуда следует, что h (r) g (г) -*¦ 0 при г-»-0; отсюда утверждение
получается, как выше.
119. Пусть теперь на множестве Е кроме функции распределе-
распределения 1* задана еще неотрицательная измеримая функция /(г), конеч-
конечная всюду, исключая самое большее множество е0, для которого
р(ео) = О. В силу измеримости функции /(г) множество ег точек z,
определенное неравенством f(z) > г, измеримо для всех значений
г^-0. Соотношение
V- Or) — <Р (')
определяет неотрицательную, с возрастанием г монотонно убываю-
убывающую функцию ср (/¦), причем, если г—> оо, то <р(г)-»-О.
При этих предположениях интеграл Стильтьеса-Лебега функции
f(z) относительно распределения (*, взятый по множеству Е (ср.
п. 104)
IE
вполне определяется равенствами
f
f
f / (z) af(i == — f r rf<p (г) = — Urn f r dy (r). B6)
Предположим, что этот интеграл конечен. Тогда для произволь-
произвольного р > 0 интегрированием по частям получается
f r d9 = (*p(p) —J? (r) dr. B7)
о о
Если теперь р неограниченно увеличивать, то абсолютная величи-
величина интеграла, стоящего в левой части B7), будет стремиться к ко-
конечному пределу B6). Тем же методом, что и выше, доказываем,
что ре (р) -* О при р -> оо. Отсюда следует, что интеграл в пра-
правой части B7) стремится к конечному пределу и, следова-
тельно,
ОО со
f f J(r)dr. B8)
\
)§ 5] ЛЕММЫ ОБ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИЯХ МНОЖЕСТВ 151
120. В дальнейшем мы рассматриваем функции, зависящие от
параметра а и имеющие вид
f(z) = g(\z-a\),
где g(r)^0 — монотонно убывающая функция от г > О, для
которой
Мы делаем еще дополнительное предположение, что при г-+ О
функция g(r) растет настолько медленно, что для функции А, ука-
указанного в лемме вида (п. 117), интеграл Стильтьеса
jgdh
имеет конечное значение.
Теорема Г. Картана. При сделанных выше предположениях
относительно функций g, hup, для всех точек а, исключая,
быть может, множество этих точек, которое может быть
покрыто последовательностью кругов С,, С2, ..., радиусы rv
/¦g, ... которых удовлетворяют неравенству
имеет место соотношение
/1 = 1
jg(\z-a\)dp(z)^ f g(r)dh(r). B9
Е ft=0
Для доказательства определим число р уравнением й(р)=1.
Тогда, согласно B8), для заданного а
I» g (р) со
JV(!*-«I)^= / V-{g{\z-a\)>r)dr= f + f,
E r=0 0 g(f)
где f*Qr>r) означает массу, расположенную на части множества Е,
определяемой неравенством g(\z—я|)>/\ Так как jt-^1, то
0(9)
о
С другой стороны, из A7), с учетом dg^.0, следует, что
р
J ?(g>t)dt = - f v.(g(\z — a\)>g(r))dg(r)=>
д (р) г=0
= - J y.{r, a)dg{r) <- J AW^t^-^-fj gdh,
152 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
исключая последовательность кругов, радиусы гч которых удовле-
удовлетворяют соотношению A7').
Сложением полученных двух соотношений получается утвержде-
утверждение теоремы.
§ 6. Метрические свойства множеств гармонической меры нуль.
121. Как и в общей теории гармонической меры, для гармони-
гармонических нульмножеств также встает вопрос об отношении гармони-
гармонической меры к другим метрическим определениям тех же множеств.
В предыдущих параграфах мы уже касались этого вопроса; именно,
мы Н1шли, что множество, состоящее из конечного числа точек,
всегда гармонической меры нуль, в то время как континуум всегда
положительной гармонической меры. Однако скачок от конечного
числа точек до континуума огромный, поэтому в дальнейшем сде-
сделаем попытку охарактеризовать возможно более точно метрические
свойства гармонических нульмножеств, привлекая для этого подхо-
подходящие мероопределения.
Сперва укажем простое достаточное условие, чтобы множество а
было гармонической меры нуль; оно получается как следствие Hi
теоремы, доказанной Линдебергом (Lindeberg [l]) еще в 1918 г.
В качестве достаточного условия, чтобы функция, однозначная, гар-
гармоническая и ограниченная в окрестности множества а, была гармо-
гармонической также в точках множества а, Линдеберг нашел следующее:
Нужно, чтобы для каждого е > О множество а могло быть
покрыто последовательностью кругов, радиусы которых г^ удовле-
удовлетворяют соотношению *)
log —
'ч
Про такое множество говорят, что оно логарифмической меры
нуль.
Если теперь сравнить эту теорему Линдеберга с теоремой 2,
данном в § 4, п. 114, то придем к следующей теореме.
Теорема 1. Замкнутое множество логарифмической меры нуль
имеет гармоническую меру нуль.
Эта теорема является простым следствием из леммы § 2 этой
главы. Если заданное множество а логарифмической меры* нуль
расположено в круге | z | < -^, что можно предположить, не нару-
нарушая общности, то покроем его последовательностью кругов С,
с радиусами г,. Емкость е~1 множества а самое большее равна
емкости множества, состоящего из суммы покрывающих кругов С,.
+
•) log* равняется большему из чисел (logo, 0).
§ 6] МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ 163
Но емкость круга Cv равна rv и в силу упомянутой леммы
1
log —
откуда видно, что f — сю, что и требовалось доказать.
122. Здесь нам необходимо сделать* несколько общих замечаний
относительно определений меры множеств. Множество а называется
плоской, соответственно линейной меры нуль, если для всякого
е > 0 оно может быть покрыто последовательностью кругов С, так,
чтобы сумма
2 гч*1 соответственно 2 rv
была меньше чем е. В общем случае множество а имеет нулевую
меру порядка X, если соответствующее справедливо для суммы
Если а имеет нулевую меру порядка Xv то, если Хх < Х2, оно имеет
также нулевую меру порядка Ха.
Выше мы ввел» еще „логарифмические нульмножества". Такие
множества, очевидно, всегда меры нуль порядка X для любого
Х>0.
Для наших целей полезно дать следующее общее определение 1):
Пусть А (г) для г > О— непрерывная, монотонно возрастающая
функция от г, для которой h @) = 0. Каждому множеству а может
быть следующим образом поставлено в соответствие неотрицатель-
неотрицательное конечное или бесконечное число tn(a, ft), так называемая А-
мера множества а, а именно: множество а покрывают произвольной
последовательностью1 кругов С, с радиусами /\<^е(е>0) и обозна-
обозначают через >п3(а, А) нижнюю границу соответствующих сумм
2 А (л,). С уменьшением е эта величина монотонно возрастает.
т (а, К) полагают равным пределу lim tnt (а, А) @ ^ т (а, А) ^ сю).
t-»0
Для А = тг/^, таким образом, получается плоская (внешняя) мера,
для h==2r—линейная мера, для А= г — логарифмическая
Jog —
мера.
123. Мы переходим теперь к установлению необходимых метри-
метрических условий, чтобы множество было гармонической меры нуль.
Это легко удается с помощью результатов последних двух пара-
параграфов.
Пусть а — замкнутое ограниченное множество гармонической
меры нуль; не представит существенного ограничения, если мы
предположим еще, что а расположено в круге |;|<-н-. Распреде-
См. F. Hausdorfffl.
154 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
лим на этом круге единичную массу с пеотрица!ельной плотностью jj.
и образуем потенциал
1
Так как постоянная Робэна f(a) = +00. то мы знаем (§ 2 и 3),
что функция распределения ij. может быть выбрана так, что мини-
минимум потенциала и на а будет сколь угодно большим1).
Положим затем g(\z — C|) = log . _г.. Этим g определяется
как неотрицательная убывающая функция от \г — (,\, для которой
g@)=oo. Следовательно, она удовлетворяет условиям теоремы
Картаьа.
Пусть далее h(r)—определенная для г^-О монотонно возра-
возрастающая функция от г, которая при г -*¦ 0 стремится к нулю так
быстро, что интеграл
имеет конечное значение. Если заменить h функцией Аи, где \ на-
настолько велико, что Мг(оо)>1, то интеграл
мы сможем оценить сверху с помощью теоремы Картана; таким
образом, мы найдем, что
"=Т
J J p J г
/1=0 Г=0 О
для каждого г, исключая, быть может, точки некоторых кругов С„
радиусы гч которых удовлетворяют неравенству
при этом р означает положительное число, однозначно определенное
уравнением /г(р)=-г-.
Из предыдущего результата заключаем, что а лолжно иметь
А-меру нуль. В самом деле, если е > О, то зафиксируем значение >.,
г) В самом деле, если взять аппроксимирующую область Gj, ограни-
ограниченную конечным числом жорда'овых дуг, и решить для нее проблему
Робэна, то на дополнении к Gu в частности на а, потенциал равновесия
будет принимать постоянное значение, которое прн Gi~> G неограниченна
возрастает.
§ 6] МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ 155
для которого кроме условия ),h (со) > 1 выполняется еще условие
-г- < s. Тогда существует функция распределения tx, для которой
А.
потенциал и в каждой точке множества а больше, чем
С другой стороны, в силу предыдущего, а самое большее равно
этому числу в каждой точке г, лежащей вне кругов С,. Следова-
Следовательно, эти круги должны покрывать множество а и так как,
далее,
то А-мера множества а равна нулю, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Множество гармонической меры нуль имеет h-меру
нуль для каждой функции меры (Mafifunktion), для которой
интеграл
J&* C2)
конечен.
124. В качестве допустимой функции h можно, например, взять
h = г> (К > 0). Следовательно, гармонические нульмножества для
любого А > 0 имеют меру порядка А, равную нулю. Более того,
можно даже положить
*-
tag 7-log, у../1
где logu означает k-ю итерацию логарифма и iq > 0. Мы видим,
таким образом, что найденное необходимое условие очень близко
подходит к предыдущему достаточному условию (п. 121). В самом
деле, логарифмической мере соответствует функция меры
log —
для этой функции интеграл C2) расходится; следовательно, равен-
равенство нулю гармонической меры не позволяет сделать заключение,
что и логарифмическая мера заданного множества а равна нулю.
Что это условие действительно не является необходимым для того,
чтобы множество было гармонической меры нуль, будет дальше
показано на примере.
Если А-мера множества а положительна для функции меры,
для которой интеграл C2) конечен, то, по теореме 2, множество а
156 множества гармонической меры нуль [гл. v
имеет также положительную гармоническую меру. Представляется
вероятным и обратное, т. е., что если множество а имеет конечную
А-меру для функции меры А, для которой интеграл C2) расходится,
то а гармонической меры нуль.
Если бы это было так, то проблема метрической характери-
характеристики гармонических нульмножеств была бы решена со всей жела-
желательной точностью. По этому вопросу мы еще добавим кое-что
в конце этого параграфа.
125. Интересный пример для вышеразобранных соотношений
дают так называемые канторовы множества. Последние определя-
определяются при помощи следующей простой конструкции.
Из единичного отрезка Д@<^г<^1) удалим интервал А^ длины
ДП )=1 (Р> 1) так» чтобы остались два равныхзамкну-
тых отрезка \ длины ^- = „-. Мы коротко скажем, что отрезки
Аг получились из отрезка Д операцией (р).
Множество, состоящее из обоих отрезков Дц обозначим через
Е(р). Если повторить операцию р по отношению к отрезкам Др
то получится подмножество E(jfi) множества Е(р), состоящее из
четырех равных отрезков, сумма длин которых равна -^.Продолжая
этот процесс неограниченно, мы определим бесконечную последо-
последовательность вложенных друг в друга множеств
Е(рч) (v = 0, 1, ...', Е(р°) = А),
из которых Е(р~>) состоит из 2V не имеющих общих точек отрезков
длины Bр)~\ Дополнительное множество Е(рч) состоит из 2V—1
интервалов Дч, сумма длин которых равна 1—p-v.
Пересечение всех множеств ?(pv), или, что тоже самое, допол-
дополнение к сумме дополнительных интервалов Д,, представляет нигде
неплотное совершенное множество Е(р°°). Исследуем меру этого
канторового множества.
126. Во-первых, Е(р°°) как совершенное множество имеет мощ-
мощность континуума. Далее, так как Е (р°°) может быть покрыто отрезками
Д.„ сумма длин которых равна —, то линейная мера канторового
множества во всяком случае равна нулю. Тем не менее, как мы
сейчас покажем, гармоническая мера этого множества положи-
положительна.
Для этой цели рассмотрим последовательность постоянных Ро-
бэиа To^Tfi^--- W множеств Е(р°), Е(р1),...; так. как эти
множества имеют пределом канторово множество Е (р°°), то Hmf,
равен постоянной Робэна -f этого множества и нужно, следова-
следовательно, показать, что f конечно.
Возрастание чисел f, легко оценить с помощью следующего
простого замечания: пусть О и О' — две области, которые содержат
§ 6] МВТРИЧВСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ 157
точку z = оо и могут быть преобразованы одна в другую посред-
посредством преобразования z' = az-\~b. Если g(s, оо) = log | z | -j- f-f~
-f-ef—J — функция Грина области О, то g(Z~~ , ooj = log|2'j-|-'
-f-f — log | a | -(- в Г—7) является функцией Грина области (У, и, сле-
следовательно, постоянная Робэна •( области О' равна f— log|a|.
Интервал At делит множество Е(рп) на два конгруэнтных мно-
множества Ех и ?2, которые подобны множеству Е(рп~1) с коэфициен-
том подобия 1 : 2р. Следовательно,
«Г (Et) = 1 (,Е2) = f п_! -j- log 2p. C3)
С другой стороны, для этих постоянных Робэна мы имеем инте-
интегральные .выражения
1 (?,) - J log jr=j\ dv-t (С) (/ = 1, 2),
где точка z на Et может быть выбрана произвольно. Диференциал
d\i{, соответствующий здесь элементу, дуги Л, равен гармонической
мере этого элемента дуги, измеренной относительно дополнительной
к Et области в точке 2 = со. В двух точках множеств Е1 и Ev
симметричных относительно точки С = у, диференциальные отно-
шения
-?-\ равны друг другу.
Рассмотрим теперь потенциал
? СР")
единичной массы, распределенной на ?(/Jn) по закону р = у
Согласно § 3 этой главы, постоянная Робэна f» лежит между
максимумом и минимумом этого интеграла на Е(рп).
Далее
= Т / log 7Г=ТГ d(l1 + Т J
ft
Здесь 0 <^ log ¦> _ .- <! log -r-^-f t если zx лежит на ?, и[ —
Е2, и, следовательно, для z на ?t
на
Такое же соотношение, в силу симметрии, имеет место и на Ег
Если положить
d-togjzLi. C4)
158 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
то в соединении с C3) получится соотношение
Tfn-i + log 2p + d. C5)
Повторным применением этого соотношения мы в конце концов,
так как fo = log 4 является постоянной Робэна единичного от-
отрезка г), получим соотношение
следовательно,
Следовательно, постоянная Робэна у множества Е(р°°) удовле-
удовлетворяет неравенству
Соответствующая емкость лежит между пределами
127. Нижеследующее изменение предыдущего процесса напра-
напрашивается само собой. Возьмем последовательность чисел
Ро = 1> Pi./»a. • • • (Р, > Р > 1 Для v> !)
и определим, исходя из единичного отрезка Е(р0) последователь-
последовательность множеств
E(p0Pi ¦¦-Рп) (я = 0> Ь ¦ ¦•).
из которых Е(рор1) получается из Е(р0) операцией (р^, E{p0PiP^
из ?(PoPi) операцией (р2) и т. д. Множество Е(рор1 ... рп)
состоит из 2П равных замкнутых отрезков, сумма длин которых равна
1
PnPi ¦¦• Рп'
Пересечение этой последовательности множеств снова предста-
представляет нигде неплотное совершенное множество Е(рор1 ...) мощности
континуум.
Гармоническая мера этого множества может быть оценена ука-
указанным выше методом. Если обозначить через fn4 постоянную Робэна
множества Е(рор^р.1+1 ... рп) (v=l, ..., и), где, следовательно,
fnl = -(п есть подлежащая оценке величина, то, повторяя предыдущий
вывод [ср. C5)], мы найдем, что
>, < 2Тп1 < т»2 + log 2pj
!) Это летк'- дмазывается непосредственным вычислением функции
Грина.внешней области.
§ 6] МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ 159
где d = log —--j. Применяя далее это соотношение к парам
От> W> (Тпз> tni) и т. д. и решая получающиеся неравенства,
мы в. конце концов найдем соотношение
iog4 , ylog2?_ log 4 у log Sfo,
*~2»Г ~i~ jit 2~< ^ ln ^ 2n ~r~ JLk 2-»
l - l
Отсюда при и ->• oo получается
Теорема 3. Множество Eip^p^...) тогда и только тогда
гармонической меры нуль, когда ряд
расходится.
128. Этот результат позволяет провести интересное испытание
двух предыдущих общих признаков для равенства, соответственно
неравенства нулю гармонической меры произвольного множества.
Обозначим через
?hrH <37>
длину отрезка Д„, покрывающего множества Е (j)opt ... рп), и опре-
определим непрерывную монотонно убывающую функцию п (t) от
*@<*<1) так, что
n(f) = v для / = ^(v = 0, 1, ...)¦ C8)
Как определяется и (/) между значениями t4 и /,+1, для наших целей
не имеет значения; однако известное преимущество дает такой
выбор п (/), при котором
Этого можно всегда достигнуть, определяя, например, п (t) в интер-
интервале (/.„ ?,+1) как линейную функцию от log/, ибо тогда в это»
интервале
и поэтому
_ _ __} _>_! __L_
dl * log A. ~* ' 'овЖм^ ' log2/
Функция
«р (f) = 2~п^
обладает следующими свойствами:
160 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. V
1) <р@ в интервале @</^1) положительна н монотонно воз-
возрастает.
о\ ?'ogy(fl й .
2) "HogF < в < 1 ¦
3) Для t = t,(y = O, 1,...) имеем <р ft) = 2-*.
Каждую такую функцию мы называем соответствующей конто-
рову множеству Е(р^р^ ...).
Пусть, наоборот, <p(t) — произвольная функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям 1) и 2). Положим
0 >
тогда, при непрерывном убывании t от 1 до 0, функция n(t), не-
непрерывно возрастая, пробегает интервал @, со). Следовательно,
последовательность корней *„(> 0) уравнении n(f)=v (v = 0, I, ...;
*0~^) с возрастанием v монотонно убывает и, в силу 2),
_1= J
или
Таким образом, если положить ро=1 и для v > 1^
2» =^±1
то этим определится бесконечная последовательность
Pv Рч> ¦¦•
ff-1
чисел р„>2 >1 такая, что заданная функция <p(t) будет
соответствующей для канторового множества Е{рйрх...).
129. Докажем теперь следующую теорему:
Теорема 4. Канторово множество Е (рорг. . .) имеет положи-
положительную конечную h-меру, если за функцию меры h берется
соответствующая этому множеству функция «р.
В самом деле, пусть (/ч) — последовательность интервалов,
покрывающих канторово множество E(popt...). Тогда, в силу
замкнутости последнего, существует конечное число (предположим т)
не имеющих между собой общих точек интервалов /ч (предполо-
(предположим v=l, 2,..., я»), обладающих тем же свойством1), и, следо-
*) Это следует из леммы I ейне-Бореля о покрытии.
§ 6] МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ 161
вательно, достаточно показать, что сумма *)
1
где г, означает длину интервала /„ ограничена снизу положитель-
положительным числом, не зависящим от выбора покрывающей последователь-
последовательности (/,).
Далее, это свойство достаточно доказать для суммы
т
2?W-
Последняя, правда, превосходит предыдущую сумму, но, в силу
свойства 2 функции ср>
г
log-*?*r-< fdlog* = log2;
г
/¦
¦(т)
следовательно, <р(г)< 2? (-к-), так что
Так как множество Е замкнуто, то интервал /v содержит отре-
отрезок /„ который покрывает содержащиеся в /, точки множества Е
и концы которого Р/, Р" принадлежат к этому множеству. В силу
построения множества Е обе эти точки являются одновременно,
начиная с некоторого v, концами вложенных друг в друга отрез-
отрезков Д,. Пусть л, — наибольшее из целых чисел п/ и п", которые
определены так, что Дп' и Дп" суть наибольшие отрезки Д„ (л =
= 1, 2,...), лежащие в/, и имеющие своими концами точки Р/
и Рч". Пусть и— наибольшее из конечного числа чисел и, (v = 1,..., /re).
Тогда отрезки, составляющие множество Eip^... pn), целиком
содержатся в отрезках /7, следовательно, и е интервалах /,.
Пусть теперь q4 — число отрезков Д„, лежащих в /,; в силу
предыдущего
ж
2^ = 2».
v=l
Пусть далее Ху — наименьшее целое число, для которого 1Н содер-
содержит по крайней мере один отрезок ДХч; следовательно, ^?
Тогда, так как длина t^ такого отрезка О,, то
*) Интервалы /, служат диаметрами покрывающих кругов.
162 МНОЖЕСТВА ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ [ГЛ. Г
Заметим, что два следующих друг за другом отрезка Д, не
всегда принадлежат к одному и тому же отрезку Д^_1} но из трех
следующих друг за другом отрезков Д< одна пара всегда обладает
этим свойством. Если бы /7 содержал три отрезка Дх.(, то он
содержал бы отрезок \4^v что противоречит определению X.,. Сле-
Следовательно, для интервала /, можно найти группу Gv из четырех
следующих друг за другом отрезков ДХч, из которых по крайгей
мере один лежит в /„ и которые вместе покрывают все q^ отрез-
отрезков Д„, лежащих в /,. Каждый отрезок Д^ содержит ровно 2п~1ч
отрезков Дга; следовательно, группа Gv содержит их ровно 2й~''+а
и, таким образом,
Отсюда следует, что
и наше утверждение доказано.
С другой стороны, <р-меРа множества Е наверное конечна, ибо
для покрывающих отрезков Дга длины tn
Следовательно, у-мера канторового множества
лежит между •%¦ и 1.
130. Принимая во внимание выведенный выше общий критерий
для обращения в нуль емкости канторового множества, исследуем
теперь интеграл
Имеем
Далее,
t, J t ' t,,
или, так как ?(/.,) = 2~v и — a=2/?.,,
n a
§ ti\ МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ НУЛЬ
Теорема 5. Интеграл
и ряд
2'
сходятся или расходятся одновременно.
Из доказанной теоремы вытекает
Теорема 6. Канторово множество Е (рорх...) тогда и только
тогда положительной гармонической меры, когда интеграл
C9)
где ч>—функция, соответствующая этому множеству,—сходится.
Часть последней теоремы можно было бы также получить как
следствие из общего критерия теоремы 2. В самом деле, множе-
множество Е имеет положительную qj-меру, а потому, если интеграл C9)
сходится, то по теореме 2 гармоническая мера множества Е, в со-
согласии с теоремой 6, положительна.
Теорема 6 далее показывает, что общий критерий теоремы 2
не может быть усилен.
Если h'{f) — произвольная функция меры, которая удовлетво-
удовлетворяет условиям 1, 2, 3 п. 128 и для которой интеграл
|(Г)
Ch(r)
г dr
расходится, то всегда найдутся гармонические нульмножества,
имеющие положительную h-меру.
В самом деле, таким множеством является, например, канторово
множество, для которого h(f) является соответствующей функцией.
Если, например, выбрать h(f) — р(&>1), то соот-
log — ... log* —
ветствующее канторово множество будет гармонической меры нуль.
Оно имеет конечную А-меру и бесконечную логарифмическую меру%
в последнем легко убедиться, применяя соотношение
h (r) log > 0 при г -* 0.
Наш результат показывает, что данный выше критерий Линдеберга
(теорема 1) является достаточным, но отнюдь не необходимым кри-
критерием для равенства нулю гармонической меры.
В предыдущих результатах, касающихся емкости канторовых
множеств, можно во.обще усмотреть известное подтверждение общего
предположения, высказанного в и. 124.
164 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
VI. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ
ФУНКЦИЙ.
§ 1. Формула Пуассона-Иенсена.
131. В этой и следующих главах мы займемся теорией аналити-
аналитических функций, которые в каждой точке заданной однолистной
области G регулярны или имеют полюс, или, как это короче вы-
выражают, мероморфны. Такие функции с точностью до полюсов в О
регулярны; если число полюсов бесконечно велико, то они сгу-
сгущаются к границе Г области G. В дальнейшем мы ограничимся про-
простейшим случаем, когда G односвязна; по теореме о монодромии
функция w(z) тогда в G однозначна.
Мы рассмотрим два существенно различных случая в зависимости
от того, состоит ли граница Г из одной точки (параболический
случай) или из континуума (гиперболический случай). По основной
теореме теории конформных отображений в этих случаях область G
может быть конформно отображена на всю конечную плоскость
|^| < с» или на конечный круг \z\ </? < оо и, следовательно, не
составит существенного ограничения, если мы с самого начала будем
придерживаться этих нормальных областей.
Итак, мы рассматриваем аналитическую функцию w = w{z),
которая мероморфна в конечном или бесконечном круге \z\ < /?^ оо.
В этом случае выражение log | w\ гармонично для тех же значений г,
за исключением полюсов Ьч и нулей а^ функции w, в которых
log|w| облапает положительными-, соответственно отрицательными,
логарифмическими полюсами. При этом разности
log | w | — *, log
z-a.
где А, есть кратность полюса Ьч, a h^ — кратность нуля о^, остаются
гармоничными.
Пусть теперь р — число из интервала 0 < р < /?, для которого
на окружности | z | = р функция w отлична от нуля и бесконеч-
бесконечности. В каждом полюсе Ьч, соответственно в каждом нуле а„, ле-
лежащем в круге |г|<р, выражения
соответственно
g{z, a
где
§ 1] ФОРМУЛА ПУАССОНД-ИЕИСБНД 165
— функция Грина круга |г|<.р, — гармоничны. Следовательно, вы-
выражение
log ] w (z) | — 2 g (z, b4) + 2 g {г, S),
|bvl<P ИцКр
где суммирование распространено на все лежащие в круге |г|<р
полюсы и нули, с учетом их кратности (т. е. каждый член нужно
считать столько раз, какова кратно'сть соответствующего полюса
или нуля), определяет функцию, гармоническую в замкнутом круге
|г|<;р. Если к ней применить формулу Пуассона (гл. II, § 1) и
учесть, что функция Грина на окружности |,г:| = р исчезает, то по-
получится (г = ге*ч) *)
2 it
' — aaz
1М<р
Этот результат выведен в предположении, что ркружность |г| = р
не содержит ни полюсов Ьч, ни нулей а^. Однако мы тотчас заме-
замечаем, что все члены в A) непрерывны и для исключенных значе-
значений р, откуда заключаем, что формула справедлива для всех зна-
значений р <С /?.
132. Если положить z = 0, то A) переходит в
о IM<p
это—формула Иенсена а). Общее соотношение A), дающее значение
log | w | в точке z круга | z \ < р как функцию граничных значений
и полюсов и нулей, расположенных в этом круге, можно рассма-
рассматривать как объединение формул Пуассона и Иенсена, и поэтому
мы его будем называть формулой Пуассона-Иенсеиа. Если в A)
прибавить к обеим частям равенства сопряженные относительно
переменной z гармонические функции, умноженные • на /, то полу-
получится (ср. п. 4)
=^L J
о4—
1) См. Т. Carleman Г1], F. u. R. NevanJinna [»].
2) J. Jensen [i].
166 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Формулы A), B') и A') в дальнейшей теории будут играть основ-
основную роль.
Если точка 2 = 0 является нулем или полюсом функции w (z),
то обе части в формуле Иенсена обращаются в бесконечность.
Чтобы устранить этот недостаток в случае, когда w' имеет разло-
разложение
w (z) = cxz>- + сх+1 **+»+..., (сх ф 0)
применим формулу B') к выражению wz~K Тогда получится .
log К Н-яг/log |w (p
щ
o<lV<p
Это соотношение может быть приведено к форме, удобной для
многих применений, если ввести функции п (г, с») и п (г, 0), указы-
указывающие соответственно число полюсов и нулей функции w в зам-
замкнутом круге |z|^r, причем каждый из иих считается с соответ-
соответствующей кратностью. Суммы справа могут быть тогда записаны
в виде интегралов Стильтьеса и после интегрирования по частям
получится
_ г n(r,co)~n@,co) dj.
и аналогично
2
o<l<Vl<p M о
Формула Иенсена принимает тогда следующий вид:
о
(
Формулу Пуассона-Иенсена мы вывели выше как следствие из
интегральной формулы Пуассона. Однако ее можно было бы вы-
вывести и прямо, применяя формулу преобразования Грина (гл. II, § 4),
таким же образом, как и более специальную формулу Пуассона.
$ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 167
Мы это проведем более подробно для формулы Иенсена, причем
будем исходить из формулы преобразования Гаусса
— d ——
а
которая получается из формулы Грина при V= 1. Этот метод до-
доказательства заслуживает быть особо отмеченным, так как в даль-
дальнейшем в некоторых близких к этому вопросах он нам окажет
большие услуги х). Применим формулу Гаусса к функции log|w|,
выбирая за область G круг | z | < г < /?, из которого удалены ма-
маленькие круги радиуса 8 с центрами в полюсах ?>„ и нулях а^
предполагается, что при |гг| = г функция w отлична от 0 и оо.
Если затем 8 устремить к нулю, то после простого вычисления
получится
2s
г 1 J logJI w (г*) | d<? =» 2я (п (г, 0) — я (г, с»)).
о
Деля на г и интегрируя между пределами г0 и г @ < г0 < г < /?),
мы найдем соотношение
2rc 2s Г -
9 о га
откуда при г0 ->¦ 0 получается формула Иенсена B'").
§ 2. Характеристическая функция.
133. В предположениях, сделанных в предыдущем параграфе,
мы приведем теперь формулу Иенсена к форме, целесообразной для
следующих дальше приложений.
Для этого введем простое обозначение: если л — неотрицатель-
неотрицательное число, то пусть log а означает большее из чисел logs и 0;
следовательно,
log a = log в — log -i-, | log а I = log а + log-L
u далее, как легко доказывается,
+
log-2 «, < 2 log в,-f-log р.
l l
2
v=l
По поводу этого метода доказательства см. Е Lindelol \l].
188 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Производя теперь в формуле Иенсена замену logj w| = log|w| —
+ j
— log -т—у и записывая для краткости
Jtt (/»оо)' ш' ft @. оо) j. t /f\ \
№г ~4~ ft- I к). оо) J O2f f*%
t
л
D)
о
2s
m (r, w) = m (г, со) == -^ J log | да («<?) | dy,
о
мы получим соотношение J)
Возьмем теперь произвольное число а ф оо и применим соотно-
соотношение B) к функции w—а, обозначая через л(г, в) число корней
уравнения w — а = 0, лежащих в круге |.z|^r, и полагая
D0
2»
)
о
Тогда получится соотношение
/га (г, да — a) -f N (г, w — a) — m(r, —^l) + N (r> ^~^) + const«
Очевидно, что
N(r, w — a) = N(r, w),
далее, согласно (З),
log j -ay — а К log | та» | -}- log | a | + log 2,
+ +
»|< log I w — a | -}- log | a | + log 2,
|m (г, да —a) —m (г, о;)|<log|a| + log2,
откуда, в силу E),
/ (г,a) = /»(/•, co)-f-AT(r, co)-f-«p(r),
где |<p(A)|-<log|a|-|-log2-}-|log|c| | и с означает первый неисче-
зающий коэфициент разложения Лорана функции w—а в окрест-
окрестности нулевой точки z — 0.
*) См. R. Nevanlinna [*].
§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 169
Если еще ввести обозначение
Т (г, w) = T(r) = m (r, co) + N (г, оо), F)
то, резюмируя, можно высказать следующий результат:
Первая основная теорема. Для каждой функции w(z)
мероморфной в круге \ z | < R ^ оо, и каждого r@^.r<CR) мо-
может быть определена такая функция Т (г, w), кто для каждого
конечного или бесконечного значения а имеет место соотношение
m(rla)-\-N{r,a)=*T(r) + 4{r\ ' (I)
где
при всех значениях г, лежащих в интервале О <; г < /?; с озна-
означает первый неисчезающий коэфициент разложения Лорана функ-
функции w — а в окрестности нулевой точки 2 = 0.
134. Этот результат обнаруживает замечательную симметрию
в поведении функции, мероморфной в круге |г|^/?, относительно
различных комплексных чисел а (не исключая значения а =я оо):
сумма т (г, а)-}-N (г, а) с точностью до аддитивного члена, огра-
ограниченного при г</?, сохраняет инвариантное относительно раз-
различных а значение, определяемое функцией Т(г).
Из двух составляющих членов этой инвариантной суммы второй
член N(r,a) указывает среднюю плотность распределения корней
уравнения w — а = 0 в круге |.z|<r. Эта функция числа а-точек
(Anzahlfunktion der a-Stellen) при возрастании г растет тем быстрее,
чем больше число этих а-точек.
Первый член т{г, а), определенный как среднее значение
+ 1 +
log i ¦
+
(соответственно log | то |, если а=оо), на окружности
] г | = г получает существенные значения только от тех -дуг этой
окружности, на которых значение функции очень мало отличается
от заданного значения а. Следовательно, значение этой функции
приближения (Schmiegungs/unktion) можно рассматривать как меру
среднего отклонения значений функции w на окружности | г \ = г от
значения а.
Если число а-точек некоторой мероморфной функции относи-
относительно мало, то это находит свое аналитическое выражение в том,
что соответствующая функция N {г, а) при г -*¦ R возрастает сравни-
сравнительно медленно; в предельном случае, когда а представляет пика-
ровское исключительное значение (т. е. w ф а для | г | </?), то
N{r, a) = 0. Этот недостаток в а-точках возмещается, однако, за
счет того, что в среднем функция очень мало отклоняется от
соответствующего значения а; следовательно, значение функции
'и (г, а) для этого значения а сравнительно велико, так что сумма
170 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
m(r,a)-\-N{r,a) достигает своего характеристического для функ-
функции w значения T(r, w).
Ввиду большого значения величины Г для асимптотических
свойств соответствующей мероморфной функции мы ее называем
характеристической функцией или просто характеристикой функ-
функции w(z).
Из предыдущего следует, что если называть исключительным
значением (Ausnahmewert) функции w такое значение о, которое
функция вообще не принимает или принимает сравнительно редко,
то этим лишь односторонне учитывается плотность тех точек, в кото-
которых функция близка к а. Вообще эта плотность характеризуется не
только наличием а-точек, но и силой средней сходимости функции
w (г) к значению в. При такой характеристике исключительное поло-
положение выпускаемого значения а исчезает.
Первая основная теорема дает точное выражение этого замеча-
замечательного свойства инвариантности мероморфной функции, которое
имеет огромное значение для правильного понимания асимптотиче-
асимптотических ее свойств; в этом заключается большая принципиальная важ-
важность этой общей теоремы. Кроме того, она представляет также
удобное вспомогательное средство, которое в большой степени
облегчает оперирование с мероморфными функциями.
Если в вышеуказанном смысле отношение мероморфной функции
ко всем комплексным значениям а и вполне симметрично, то все же
вопрос об исключительных значениях мероморфной функции
остается проблемой наибольшего интереса.
После того как мы.уже обладаем первой основной теоремой,
этот основной вопрос так называемой теории распределения зна-
значений (Wertverteilungstheorie) совпадает с вопросом об относитель-
относительной величине составляющих т(г, а) и N(r,a) инвариантной суммы
m-\-N. На этот вопрос первая основная теорема не дает никакого
ответа и одной из наших важнейших задач в дальнейшем будет
дополнить ее в указанном направлении.
135. В качестве примера рассмотрим показательную функцию
го = е?, имеющую два пикаровских исключительных значения: а = 0
и а=оо. Простым вычислением найдем, что1)
N(r,a) — 0, m(,r,a) — -^ для а=0, со,
W(r, а) = ¦?--{-ОA), т(г, а) = 0A) для а ф 0, оо.
Следовательно, характеристическая функция равна
и, в соответствии с первой основной теоремой,
т(г, а)-\-N(r, a)—T(r)-\-0A) для каждого значения а.
i) Мы пользуемся здесь обозиачеиием Ландау О (? (г)) для каждой вели-
величины, для которой отношение О (у (г)): <р (г) ограничено.
§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 171
Мы видим, что оба исключительных значения 0, оо обладают
тем свойством, что при г -* оо показательная функция быстро к ним
приближается. Эти значения являются асимптотическими или, как
мы скажем по предложению Ульриха (Ullrich), целевыми значе-
значениями (Zielwerte) для функции е2 в каждом внутреннем угле левой,
соответственно правой полуплоскости.
Поучительный во многих отношениях, пример представляет целая
функция
г -tP
w(z)= I e dt,
о
где р — целое число ^-1. При |z|->oo подинтегральная функция
в углах
I Vlt
I p
Tn — * (v=0, 1,..., 2p-l)
стремится к нулю или к бесконечности, в зависимости от того,
будет ли v четно или нечетно. Если v четно, то в каждом из таких
углов интеграл w имеет конечное предельное значение
2Е«« оо
» /• —гР
й[1 = е je
dr
если же v нечетно, то в соответствующих углах w стремится к бес-
бесконечности.
Это исключительное положениер-f-1 значений а0, ait ..., ap-t,
ар=<х>, проявляется также и в поведении соответствующих фунда-
фундаментальных величин т и N.
В самом деле, интегрированием по частям мы найдем, что в углах
WV + ifo^O, 1, ...,Р —1),
fe'dt ^A + .),
о
где в -*• 0, когда z-*¦ со и, следовательно, в этих же углах (г = ге(<»)
log | w | — — rP cos р«р1
откуда далее следует, что
т(г, оо)~^.
Так как N{r, оо) тождественно исчезает, то последнее выражение
указывает также величину характеристической функции:
172 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МВРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЯ. VI
Если точка z лежит в угле Wo, то
* СО ОО
J e-^dt — j e-rP dr = — J e-*pdt =
-J
dt
pzP-i i p J tP ""¦ pzP-^
z
на каждом луче, лежащем в Wo. Тогда log]w(z) — ao\ /*cospfr
и поэтому
Аналогично найдем, что для р. = 0, 1,...,р—1
Наконец, для каждого конечного значения а ф а^
т (г, а) = егР, где е -» 0 при г -» оо.
Следовательно, применяя первую основную теорему, получаем:
гР
т(г, а) — —, N(r, а) = 0 для а = ар = оо,
я
m
' а) ~Г~ , N(r> a) = (l —7)? для а
т {г, а) ~ егР, N (г, а) — — для а ф аг
Следовательно, N(r,a) для р асимптотических значений а0, av ...,
вр-i отличается более слабым возрастанием, а для ар = оо равна нулю.
136. Предыдущие примеры как бы указывают на то, что из двух
членов суммы m-\-N функция N вообще, т. е. для большинства
значений а, велика по отношению к функции приближения т и что,
следовательно, название „исключительное значение" с полным пра-
правом может быть сохранено для тех значений а, для которых, наобо-
наоборот, плотность а-точек относительно мала. Первым результатом в
этом направлении является теорема Пикара; из дальнейших иссле-
исследований будет следовать, что предыдущее общее предположение
имеет место для широкого класса функций.
С другой стороны, очевидно, что подобные теоремы не могут
иметь места без всяких ограничений для функции, мероморфной
в конечном круге |г|</?. В самом деле, нужно учитывать, что
предыдущие замечания об относительной величине функций т, N
и Т имеют смысл только тогда, когда характеристическая функция Т
для |г|</? не ограничена; в противном случае величина <р в пер-
первой основной теореме уже не являлась бы более несущественным
остаточным членом, и важная для предыдущих рассмотрений инва-
инвариантность суммы tn-\-N была бы тогдя бессмысленней. Из даль-
дальнейшего анализа характеристической функции будет следовать, что
§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 173
T(r, w) для функции, меромогфной во всей конечной плоскости
z ф °° (случаи, когда /? = оо) и не равной постоянной, при г-* со
всегда, неограниченно возрастает. В случае конечного круга
|z|</?<oo это уже более не обязательно. Так как характери-
характеристика Т, как мы сейчас увидим, является возрастающей функцией
от г, то существует предел lirn Т при г -* R, и для многих свойств
мероморфной функции конечность или ^бесконечность этого предела
будет решающим признаком функции.
137. Установим некоторые свойства характеристической функции,
непосредственно получающиеся из ее определения. Из соотноше-
соотношений C) мы заключаем: если да,, ..., да„— мероморфные для \г\ < /?
функции, то функция приближения для произведения этих функций
удовлетворяет неравенству
п
m(г, да, ...«>„)<2 m(r, «»,).
Так как далее непосредственно видно, что
то сложением получается
В частности, если АфО — произвольная постоянная, то
ибо, как легко видеть, Т(г, А) = log | k |.
Аналогично из второго из соотношений C) следует, что
Г (г, »,-+-... +«>„)< 2 T(r,
Применяя это соотношение, найдем, в частности, что
| T{r, w — a) — Г(г, w) |<log|fl| + log2.
Далее, для w = cxzK-\- ... (сх ф 0) по формуле Иенсена B)
Г(г, да) =r(r,l)+log |сх|.
Так как всякое линейное преобразование функции w
5Й С-*—Ртфо)
может быть составлено из целого линейного преобразования и инвер-
инверсии, то из предыдущих соотношений мы заключаем, что характери-
характеристики T(r, w) и T(r, S(w)) отличаются на аддитивную величину,
174 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
ограниченную для |г|<#. Последнее замечание позволяет лег-
легко подсчитать характеристическую функцию рациональной функ-
функции w(z) порядка т. Предварительным линейным преобразованием
можно добиться того, чтобы w при | z | -> оо стремилась к ко-
конечному пределу. Тогда для всех достаточно больших значений, г
функция приближения т(г, оо) ограничена, и так как число всех
полюсов функции w равно т, то А/(г, со) ~ m log г; таким образом
T(r)~ m log r.
§ 3. Геометрическая интерпретация характеристической функции.
138. Шимицу (Shlmizu) и Альфорсу мы обязаны интересной гео-
геометрической интерпретацией характеристики Т(г), которая проли-
проливает новый свет на значение этой фундаментальной величины и
одновременно весьма просто приводит к некоторым важным ее свой-
свойствам !). К этой интерпретации мы придем независимо от выкладок
первых двух параграфов, если в плоскости ,w, точки которой пред-
представляют значения заданной функции, мероморфной для \z| < /? ^ оо,
ввести сферическую метрику, проектируя для этого плоскость на
единичную сферу Римана и определяя сферическую длину элемента
дуги | dw | = ds как длину da соответствующего линейного элемента
на сфере, как это было проведено более подробно в гл.1, § 1. Тогда
. ds
Если теперь образовать (ср. стр. 11) отношение —"¦• сфериче-
сферической длины элемента дуги dw к его эвклидовой длине, то
и (да) = log -L^-1- = log A
представит функцию непрерывную и не отрицательную для каждого
конечного значения w, удовлетворяющую диференциальному уравнению
Ди = 4е~а" = | .
В бесконечно удаленной точке w = оо функция u{w) становится
логарифмически бесконечной так, что
и(w) = 2 log |
где sf—J при w -*¦ со исчезает.
После этого замечания подставим вместо w заданную мероморфную
функцию w — w(z). Тогда функция
v (г) = u(w (г))
1) Т. Sli'mlzu (Ч, L. Ahlfors |2|. На возможность такой интерпретации еще
ранее указал A. Bloch pj.
§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 175
будет непрерывна всюду в круге |z|</?, исключая полюсы ?,
функции w{z), в окрестности которых i>(z) = 2?, log ^-—?~ |"-Ьне-
прерывная функция, где &„ — кратность полюса ft,.
По аналогии с методом, употребленным в п. 132 для вывода
формулы Иенсена, применим формулу преобразования Гаусса
к кругу |г|^г, в котором предварительно небольшими кругами
радиуса 8 изолируем все полюсы Ьг Так как лапласиан при пере-
переходе к переменному г преобразуется в
то предельным переходом 3 -> 0 получается
г-*? ] v{re*t)d9 + 4*n(r, оо)=4
] /
о 1»|<с
где df — rdrd<o означает элемент площади в плоскости z.
Подинтсгральная функция представляет отношение сферически
измеренного образа элемента площади df к его евклидовой величине.
Следовательно, выражение
По-
Подает отношение площади расположенного над сферой куска рима-
ноной поверхности Fr, на который функция w — w(z) отображает
круг | z | < г, ко всей площади сферы, которая равна -к.
Деля обе части предыдущего соотношения на г и интегрируя
между пределами г0 и г @ < г0 < г < R), получим
Если сюда подставить выражение функции v и устремить г0
к нулю, то окончательно получится
J jd?L rf/ _J- log К1 -Г | w («) 1*. G)
Если ? — 0 является полюсом для функции w(z), то постоянный
член справа в.G) нужно заменить на logjcj, где сх имеет то же
значение, что и в формуле Иенсена.
139. Рассмотрим теперь несколько подробнее интеграл, стоя-
стоящий в G) слева. Легко подсчитать, что, если k(w, oo) означает-
176 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
расстояние по хорде между точками сферы Римана, соответствую-
соответствующими точкам w и оо, то
k (w, оо) =я . ,
& потому интеграл
Sit
± / log/1-Ц •<**)!• <*, = ?/ logjj^d? (8)
означает среднее значение логарифма величины, обратной к рас-
расстоянию по хорде между точками шию, Отсюда следует, что рас-
рассматриваемый интеграл получает существенные значения от тех дуг
окружности | z | = г, где | w | становится большим, и поэтому он мо-
может служить мерой приближения функции w к значению оо, точно
так же как введенная выше функция приближения
2я
1 С +
т(г, оо)== 2^-j log |о»
Оба эти выражения и в самом деле мало отличаются друг от друга1,
непосредственно видно, что (8) всегда больше, чем т(г, оо); их раз-
разность, однако, ограничена и достигает своего максимального значения,
log 2, для | w\== 1.
140. Исследуем теперь, как преобразуется формула G), если
выполнить вращение сферы
переводящее значения wv оо в значения w, а. Для этого применим
сначала формулу G) к функции w1 — wl (Z) и заменим затем w^ ее
выражением (9). Сферическая площадь A (t), очевидно, инвариантна
относительно вращений сферы. Далее, величина N(r, оо) слева пере-
переходит в N(r,a) и расстояние k{wv оо) переходит в расстояние
между точками w и а:
w — a
Следовательно, соотношение G) переходит в
2к г
где, если г = 0 является Х-кратным корнем уравнения w — а = О,
последний член должен быть заменен выражением
§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 177
в котором с означает первый неисчезающий коэфициент разложения
Тейлора функции w—-а.
Легко доказывается, что среднее значение величины [log k(w, a)\
всегда больше, чем введенное выше среднее значение
w (re*f) — a
dta.
и что, с другой стороны, первое из них не превосходит второе, уве-
увеличенное на достаточно большую величину, зависящую только от а.
Во многих вопросах оказывается целесообразным измерять при-
приближение функции w к значению а не через т (г, а), а через сред-
среднее значение величины | log k (w, a) \. Вообще следует заметить,
что для подобных величин ограниченные аддитивные члены не имеют
существенного значения; следовательно, не опасаясь недоразумений,
можно было бы в качестве функции приближения использовать
вообще любую функцию, отличающуюся от среднего значения т
ограниченной величиной, и даже обозначить ее можно было бы
той же буквой т. В соответствии с этим мы теперь полагаем
2г.
т (г, a; w) =¦!¦ f log k (g (^ fl) d9 -log к \ , A2)
0
где k определено формулой A0).
Если a>@)=sa, то последний член справа нужно заменить на
Mm log ' ' . ,
k №fl)
где X означает кратность корня z = 0 уравнения w — а = 0. Этими
условиями новая функция приближения т определена для каждого
конечного или бесконечного значения а.
141. Резюмируя, получаем следующую теорему:
Если величина N(r, a; w) == N(r, а) определена соотношением D')
и выражение m(r, a; w) определено формулой A2), то для каждого
значения г,
т (г, a;w)-j-N {r, a;w) = J ^ dt, (I')
о
где A (t) означает деленную на тс площадь расположенного над
сферой Римана куска римановой поверхности Ft, на который
функция w (г) отображает круг | z | < t.
Эта теорема, которая в существенном может быть рассматриваема
как тождественная с первой основной теоремой, вскрывает красивым
образом симметрию в поведении мероморфной функции относительно
всех значений а. Преимущество нового выражения основной'теоремы
заключается в том, что оно прежнюю приближенную инвариантность
178 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
суммы m-{-N превратило в точную. За характеристическую
функцию Т мы можем теперь с таким же правом, как раньше сумму
m(r, co)-j-N(r, oo), принять интеграл
&. dt, A3)
отличающийся от той суммы на аддитивную постоянную, значение
которой не превосходит
В дальнейшем выражение A3) мы будем называть нормальной
сферической формой характеристики Т(г) и для нее, где не будет
опасности недоразумений, также используем сокращенное обозна-
обозначение Г (г).
142. Этим видоизменением определения характеристики Г(г)
достигается не только интересная геометрическая интерпретация
этой величины, но одновременно получается новое важное ее
свойство:
Сумма T(r) — m (г, a; w) -j- N(r, a; w) является возрастающей
функцией от г и выпуклой функцией от log г.
В самом деле, согласно A')
d(m+N) _ .,
dlogr * ''
т. е. равно деленной на тс сферической площади поверхности Fy,
возрастающей вместе с г, откуда следует утверждение.
Этот результат не тривиален, так как хотя из двух членов
инвариантной суммы N во всяком случае является возрастающей и
выпуклой функцией от log r, среднее значение т этим свойством
в общем случае не обладает. Например, для полинома выражение
т (г, 0; w), очевидно, равно нулю для всех достаточно больших
значений г, в то время как для каждого значения г, для которого
полином имеет нуль, оно, наверное, положительно.
Небезынтересно заметить, что предыдущая теорема о сумме
m-\-N остается справедливой и тогда, когда функция приближения
заменена первоначальным простым определением D'). Доказать это
можно различными способами; нижеследующее доказательство при-
принадлежит Г. Картану ')•
Предположим сперва, что значение w @) заданной мероморфной
функции конечно. Тогда, если применить формулу Иенсена к функции
w(z)— **, где 0—произвольное действительное число, то получится
¦?? J log | w(re*) — e*e | dy + N(r, oo) = M(r, e*») + log | w @) —-**»|.
о
») H. Cartan PI.
§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 179
Умножим обе части этого тождества на -=— и проинтегрируем
в пределах от 0 до 2я. Тогда
а*
о
Далее, по теореме Гаусса о среднем значении, если |а>@)|>.1,
2к
JL J
если же ja>(O)|<l, то по той же теореме
о
2к
;J_ J
так что без всяких ограничений
2*
= log | да @) |. A4)
о
Далее, для z = i
2п 2к 2л
i J
oo oo
Значение последнего интеграла согласно A4) равно log | w (re*?) |,
и, следовательно, все выражение равно
1
2я
— J log | а> (re<(p) j d<? = m (/-, c»).
Окончательно, после интегрирования формулы Иенсена, получается
соотношение
2л
. A5)
Эта формула справедлива и для w @) = oo; нужно только по-
постоянный член log|a>@)| справа заменить на log|c|, где с — первый
не равный нулю коэфициент разложения Лорана функции w в окре-
окрестности точки z = 0.
180 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
Так как IV—возрастающая, выпуклая функция от log r, то,
следовательно, и интеграл справа в A5), а тем самым и выра-
выражение Т (г) обладает эгим же свойством, что и требовалось доказать.
Соотношение Картана A5), интересное само по себе, допускает
замечательную геометрическую интерпретацию. Интеграл справа
равен
2- г 2п
J N(r,
Внутренний интеграл здесь, очевидно, означает длину l(t) всех тех
дуг единичной окружности |щ»| = 1, которые покрываются значе-
значениями функции mi для | z | ^ t, при этом каждая дуга считается
столько раз, сколько раз она покрывается этими значениями w, или,
другими словами, l(t) есть сумма длин тех дуг поверхности Ft,
которые проектируются на единичную окружность |«»| = 1.
Следовательно,
где 1{г) означает, сумму длин дуг поверхности Fr, лежащих над
единичной окружностью |w|=l.
§ 4. Обобщения.
143. Интегральный метод Картана, о котором мы только что
говорили, может быть замечательным образом обобщен. Представим
себе на ограниченном замкнутом множестве Е в плоскости w не-
неотрицательное распределение jj. единичной массы; пусть далее w (z)
функция, мероморфная для |z|</?^oo. Умножим обе части фор-
формулы Иенсена
¦J
¦Jr.
w@) — a\
(афоо, да(О)фоо) на da (a) и проинтегрируем по множеству Е.
Тогда мы получим
и (w@)) + N(r, сху) = i- J и {w (re*)) d9 + j N{r, a) <fh A7)
где
и (w) =
есть логарифмический потенциал распределения ;х в точке w. В таком
общем виде соотношение A7) было указано О. Фростманом 1).
1) О. Frostman Щ, Щ.
§ 4] ОБОБЩЕНИЯ 181
Интеграл
где
= J n(t,a)dv.
также имеет интересное физико-геометрнческое значение. Величина
Q(t) равна всей массе, распределенной на поверхности Ft, на
которую мероморфная функция отображает круг | z | ^ t, если
каждому элементу е этой поверхности поставить в соответствие
массу р{е).
144. Общее соотношение A7), которое в дальнейшем окажет
нам еще важные услуги, содержит результаты § 3 как частный
случай. Если сперва положить dy. равным деленной на я сферической
площади элемента сферы (а = | а \ в*«):
то
/
= log
Далее 2 (г) будет равно деленной на тс сферической площади А (г)
поверхности Fr, и соотношение A7) перейдет в
-^ J log Vl+|да (/•««?) |*df + N(r, сю) =
г
log
что совпадает с первой основной теоремой в форме Шимицу-
Альфорса [§ 3, формула G)].
Для второго применения фундаментального соотношения A7)
возьмем за множество Е произвольное множество положительной
гармонической меры. Если тогда за \l взять функцию распределения,
решающую проблему Робэна для множества Е (п. Ill), то потен-
потенциал и (да) будет равен сумме
где g—функция Грина внешней области, ограниченной множе-
множеством Е, содержащей бесконечно удаленную точку, и -у — соответ-
182 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. VI
ствующая постоянная Робэна. В частности, если за Е взять окруж-
окружность |«>| = 1, то для |да|>-1 выражение —и будет равно функ-
функции Грина log I та» I внешности круга и для | да | <; 1 будет и = 0;
Wft
g
далее dji=|—. Таким образом, снова получается теорема Картана
[§ 3, формула A5)].
Если Е положительной емкости, то существует также простое
соотношение между средним значением вышерассмотренного потен-
потенциала равновесия и и функцией приближения /и (г, со). Если пред-
предположить, что множество Е лежит в круге | а | ^ /? (/? ^ 1), то для
2 ^, 1 ^, I w
log j < log
a
1
I
а
w
<log2,
и так как
= log — |-f J log
то
1
и (да) = log —
W
<log2>.
Если | w |^2/?, то (ср. п. 112) и<л; вместе с тем, так как и
достигает своего минимума на окружности | w | == 2/?, имеем и (да) ^>
^- — log 2/? — log 2 и, следовательно,
Таким образом, для каждого w
u(w) = —
и, следовательно,
2ic
ir J и (да (r^))fl?? == — «(/-, c»)+<|T|-f-log6/?>. A7')
о
-ir
Если это подставить в соотношение A7), то мы придем к сле-
следующей теореме:
Если Е — множество положительной гармонической меры и ц.
неотрицательное распределение единичной массы на этом множе-
множестве, решающее для него проблему Робэна, то характеристическая
функция Т(г) любой мероморфной для |.г|</?<ео функции
удовлетворяет соотношению
A8)
Е
Отсюда для Т(г) получается новая физическая интерпретация,
обобщающая интерпретацию Картана, указанную в § 3, и содержа-
содержащая ее как частный случай:
i§ 4] ОБОБЩЕНИЯ 183
Пусть Е— произвольное 'множество положительной гармони-
гармонической меры. Если на Е определить неотрицательное распределе-
распределение р единичной массы, такое, чтобы порождаемый ею потенциал
имел на Е возможно малую верхнюю границу, то характери-
характеристика Т(г) любой мероморфной функции с точностью до ограни-
ограниченного аддитивного члена равна среднему значению
где Q (/) равно всей массе, которую несет поверхность Ft, являю-
щаяся образом круга |.г|<*, если каждому элементу е этой по-
поверхности поставить в соответствие массу \>-(е).
145. Выше мы уже обращали внимание на то, что первая основ-
основная чеорема, утверждающая инвариантность сумм m~\-N для всех
значений а, ничего не говорит об относительной величине обоих
членов т и N. Соотношение A8) показывает, что в общем случае N
является главной составляющей суммы m-\-N. В самом деле, если
эту сумму, равную с точностью до ограниченного члена характе-
характеристике Г(г), умножить на d^ и проинтегрировать по множеству Е,
то получится
T(r) = fN(r,a)dV,-\~fm(r, fl)^-fO(l),
в в
откуда, учитывая соотношение A8), следует, что интеграл
J m (r, a) rfj*,
Е
где Е—множество положительной гармонической меры и
V- — функция распределения, решающая для Е проблему Робэна,
ограничен для каждого значения г.
В дальнейшем эта теорема будет исследована более подробно.
Здесь мы ограничимся одним непосредственным следствием из об-
общего соотношения A8):
Если функция N(r, а) равномерно ограничена для множества
значений а, имеющего положительную гармоническую меру, то и
характеристика Т(г) ограничена.
Для функции w(z), мероморфной во всей конечной плоскости
|г]<оо, ьта теорема представляет мало интереса, ибо ограничен-
ограниченность N(r, а) означает здесь, что N=0 (ср. стр. 178), а ограни-
ограниченность Г(г) — что w (г) приводится к постоянной (это будет
показано в гл. VII, § 1). Впрочем, то, что w(z) приводится к по-
постоянной, следует уже из исчезновения N(r, а) для трех различных
значений а на основании теоремы Пикара.
Напротив, предыдущий результат имеет большое значение для
функций, мероморфных в конечном круге. Здесь функции с огра-
ограниченной характеристикой играют первостепенную роль, как это
184 ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [гЛ. VI j
будет видно из следующей главы, где мы укажем также важное/
применение предыдущей теоремы. /
146. Мы нашли, что среднее значение /
где Q(t) означает массу, которую несет поверхность Ft, равно
с точностью до ограниченного аддитивного члена характеристике Т(г),
если за \l взять функцию распределения, решающую проблему Ро-
бэна для множества Е положительной гармонической меры, лежащего
в основной плоскости id. Для дальнейших целей важно, однако,
заметить, что рассматриваемое среднее значение для вполне про-
произвольной функции распределения (а не может существенно пре-
превосходить характеристику Т(г). Это кажется почти очевидным
на основании первой основной теоремы, в силу которой N (г, а)^
<jV(r, a)-\-m(r, a)< Т(г)-\-ОA). Однако, величина 0A) при
применении первоначальное определения характеристики Т(г) =
—m(r, оо)-\-N (г, со) неравномерно ограничена, и поэтому оценку
следует провести точно.
Для этого удобно воспользоваться строго инвариантной нормаль-
нормальной сферической формой характеристики [гл. VI, § 3 A1)]
о
где z = re»f, wo = w @) и
k{w, a) =
есть длина хорды, соединяющей точки w и а на сфере Римана.
Так как k-^l, то
N{r, a)<T(r) + 10*—L3
и, следовательно,
J N(r, a) dy. < Т (г) + Р К), A9)
J
(а)
где
/
(о)
определяет „сферико-логарифмический" потенциал *) распределе-
распределения \i, который получается из обыкновенного логарифмического
потенциала
1) См. L. Ahlfors [8J.
§ 4] ОБОБЩЕНИЯ 185
добавлением к нему члена
log У1 +1«|« + Jlog /1 +1 ¦)¦ 4».
(о) '
Соотношение A9) окажет нам еще важные услуги в общей тео-
теории распределения значений (гл. IX). В приложениях функцию рас-
распределения [* нужно всегда выбрать так," чтобы значение потен-
потенциала P(w0), указывающее наибольшую величину, на которую
интеграл I Qdlbgr может превосходить характеристику Т(г), было
конечным.
VII. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА.
§ 1. Представление функции с ограниченной характеристикой
в виде отношения ограниченных функций.
147. Так как характеристика функции, мероморфной для
\г\ </?-<[ оо, с возрастанием г увеличивается, то во всяком случае
существует предел
T(R) = limT(r);
Г-+В.
здесь следует различать два случая, в зависимости от того, будет лк
Г(/?) = оо или Г(/?)< со.
Пусть сперва /? = оо. Характеристика Т(г) отличается от инте-
интеграла
на ограниченное слагаемое. Если функция и» (г) отлична от постоян-
постоянной, то сферическая площадь A(t) образа круга |z|<[/ положи-
положительна для каждого значения />0 к если г0 означает произвольное
положительное число, то при г > г0 имеем А (г) > А (г0) > 0. Следо-
Следовательно, при г>г0
и поэтому
Г->со
откуда следует теорема:
Пусть w(z) — функция, мероморфная во всей конечной пло-
плоскости |«|<со. Если характеристика Т(г) этой функции огра-
186 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. VII
нияена или, более обще, если
то функция w(z) тождественно равняется постоянной.
148. Следовательно, при изучении функций с ограниченной
характеристикой мы можем ограничиться функциями, мероморфными
в конечном круге. Не ограничивая общности, можно тогда за этот
круг взять единичный круг.
Итак, пусть функция w (z) мероморфна в круге | z | < 1 и
ГA)= lim Г(г)<оо.
1
Выберем в круге | z | < р < 1 точку z0 = r^f (r0 < р) л обозначим
через gf (z, z0) функцию Грина этого круга с полюсом в точке z0:
{z—Zq)
и через — h (z, z0) гармоническую функцию, сопряженную с g(z,z0)
относительно переменной г.
В предположении, что w(z) отлична от постоянной и что z0
не является для нее ни нулем, ни полюсом, рассмотрим формулу
Пуассона-Иенсена
и
где flj,, и Ьч означают соответственно нули и полюсы функции w(z),
Если здесь написать log|w\ = log\w\ — log
W
и далее
р2 •+¦ г* — 2pr cos ф — <f)
о
Vt{z,w)= 2
IM<p
0).
Wt (z, «0 = U9 (z, w) + V9 {z, w),
то получим
log\w(z)\~W9 (z, w)- W9(z, 1.). B)
Величина Wf (z, w) неотрицательна и гармонична всюду в круге
|г|<]р, исключая полюсы Ьч, в которых она становится логариф-
логарифмически бесконечной; для z = 0 эта величина переходит в характе-
характеристическую функцию Г(р, w); последнее имеет место в предположе-
§ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 187
нии, что z = 0 не является полюсом функции ге»(г), что можно
принять без ущерба для общности.
149.. Докажем, что
выражение Wf(za, w) является возрастающей функцией от р.
Доказательство. Пусть г — произвольное число из интервала
О < г0 < г < р. Так как выражение Wp неотрицательно, то в силу B),
для |г| = г
l
и, следовательно,
о
ах
Чтобы определить значение последнего интеграла, заметим, что
выражение Ur(z, w), имеющее в круге |z|<r те же полюсы, что
и W?(z,w), исчезает на границе |z | = г, следовательно, граничные
значения выражения Wf (z, w) под знаком интеграла могут быть
заменены граничными значениями выражения Wf — Vr. Так как по-
последняя разность гармонична в круге |.г|<г, то интегральная фор-
формула Пуассона дает для предыдущего интеграла значение Wf (Zq, w) —
— Vr (zq, w) и, следовательно,
Ur («о, w) < Wp (g(l, w) — Vr {zQ, w)
или
Ur{z0, w)-f Vr(«o, w) = Wr(za, w) < Wp (zQ, w),
что и требовалось доказать.
Этим мы одновременно получили новое доказательство моно-
монотонности фундаментальной величины T{r, iv)==Wr{0, w).
150. Из предыдущей теоремы заключаем, что в каждой точке
единичного круга существует конечный или бесконечный предел
lim Wr(z, w)ss W(z, w).
l
Для 2 = 0 этот предел равен ГA)= lim T(r) и, следозательно,
>1
конечен по предположению. Отсюда, используя монотонность функ-
функции Wr, заключаем на основании принципа Харнака (ср. V, § 1),
что сходимость функций Wr в круге |,г|<р<1 равномерна. Сле-
Следовательно, предельная функция W(z, w) представляет в единичном
круге неотрицательную гармоническую функцию, исключая полюсы 6„
в которых она ведет себя как log|w[.
Аналогичным образом доказывается существование неотрица-
неотрицательной гармонической функции
Hm WJZ, ±)maW(z, i) - C)
188 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. VII
и, следовательно, функция logl^l гармоническая (с точностью до
полюсов) в круге |г|<1 представляется в виде разности двух
неотрицательных гармонических там же функций:
Встает вопрос, не сходятся ли при р -* 1 и сами члены ?/р и Vf,
суммой которых по определению является выражение Wf. Справедли-
Справедливость этого следует сперва для функции Vf из того же принципа
Харнака. Для доказательства надо только заметить, что Vpiz, w),
как это следует непосредственно из ее определения, возрастает
вместе ери что
V?@, w)^N{o, «0<Г(р),
откуда становится очевидным существование предела lim V. = V
в точке z — 0. Отсюда заключаем, что ряд
Viz, да) =
в круге |^| ^r< 1 сходится равномерно.
Наконец,
* lim UJz, w)= W(z, w)—V(z, w).
Прибавим теперь к W(z, w) сопряженную с ней гармоническую
функцию Wiz, w), умноженную предварительно на /. Если еще
выбрать подходящим образом содержащуюся в W(г, w) аддитивную
постоянную, то получится
>= [W{z,
или, полагая
f(z, w) = e-Wiz'w)-iWi"w), E)
получим
v ' f(z, w)
Здесь f{z, w) и /(г, — J — регулярные и ограниченные в круге
|г|<1 функции (|/|-^1), из которых первая равна нулю в полю-
полюсах Ь„ а вторая — в нулях а^ функции wiz).
Если ввести функции U и V, сопряженные соответственно
к отдельным членам V и V функции W, то мы получим дальней-
дальнейшее разложение выражения справа в E). В частности, функцию V
§ 1] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 189
с помощью выражения D) можно представить в виде сходящегося
ряда, членами которого являются функции — h{z, 6V), сопряженные
к функциям Грина g(z, 6V); чтобы добиться сходимости, нужно
только произвольную аддитивную постоянную в функциях h (z, b4)
выбрать так, чтобы имела место сходимость д !я одного значения г,
например, г = 0. Наиболее просто это достигается нормиров-
нормировкой А @, *v) = 0. Тогда
V{z,w) + lV{z,w) = V log-i^f^- ^=\Ьч\е^). F)
Если затем еще положить
о (г, «,)вв-^.»>-<™*> G)
то
/(г, w) = a(z, w)-{z, w),
т. е. ограниченная функция f(z) будет представлена в виде произ-
произведения двух ограниченных в круге |г|<1 функций <? и it, из
которых <? не имеет нулей, в то время как т равна нулю во всех
полюсах Ьч функции w (z). Функция я есть произведение линейных
преобразований, оставляющих инвариантным единичный круг; такие
произведения были введены еще Пуанкаре в теории автоморфных
функций; их значение для общей теории ограниченных функций
впервые обнаружил Бляшке (Blaschke), и поэтому они часто назы-
называются произведениями Бляшке '). Эти особые ограниченные функ-
функции отличаются интересными свойствами вблизи границы |,г|=1;
мы на этом остановимся более подробно в дальнейшем.
Резюмируя, получаем следующую теорему а):
Если характеристика Т{г) мероморфной в единичном круге
Iz | < 1 функции w (г) равномерно ограничена для г < 1, mo w
может быть представлена в виде отношения
,'( 1 \ / 1 \ / 1\
/г, — » г, — я г, -
w (Z) = = m
двух ограниченных функций /(|/|<; 1), определенных формулами
C) и E); последние функции, в свою очередь, могут быть запи-
записаны в виде произведения двух также ограниченных в единичном
круге функций <о и я(|ср| ^ 1, |ir| ^ 1), определенных форму-
лами G) и (8).
J) H. Poincare [2], W. Blaschke [M.
г) R. Nevanlinna [3].
190 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. VI
Функцию, которая может быть представлена в виде отношения
двух ограниченных функций, будем коротко называть функцией
ограниченного вида (beschranktartig). Следовательно, каждая меро-
морфная для |г|< 1 функция, имеющая ограниченную характери-
характеристику Т(г), есть функция ограниченного вида.
151. Справедливо и обратное:
Каждая аналитическая функция w(z) ограниченного вида
в круге |г|< 1 имеет ограниченную характеристику Т{г).
Доказательство. Пусть w (z) для | г \ < 1 функция ограничен-
ограниченного вида, т. е.
•W-fcg- С»)
где ^ и фа ограничены в единичном круге. Не уменьшая общности,
можно предполагать, что li^l-^l, l^l^l» так как эт0 всегда
может быть достигнуто делением числителя и знаменателя на под-
подходящее число.
Чтобы теперь доказать ограниченность характеристики Г(г, w)
для г<1, возьмем произвольную точку г0 единичного круга.
Согласно A0) для каждого |г|<1
и, следовательно, для |zo|<r<l
С другой стороны, так как функция <]>2 равна нулю в каждой
полюсе функции w(z), то
Складывая оба неравенства и применяя формулу Пуассона-Иенсена,
получаем соотношение
Далее, из того, что | ty21<! 1 следует, что выражение Wr(z0, ф2
тождественно исчезает, и потому
Wr(z0, te»)<log -7-7-r\.
Если теперь фа(О)фО, то для го = О имеем, что
№,.@, w)==T{r, w)<log
для всех значений г<1, что доказывает равномерную ограничен-
ограниченность характеристики T(r, w).
Если же фа @) — 0, то, умножая функцию w на подходящую
степень z, мы снова придем к случаю, когда ф2 @) ф 0, и так как
§ 2] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 191
характеристика T(r, w) при этом изменяется только на ограни-
ограниченный аддитивный член, то желаемый результат получится, как и
выше.
Для того, чтобы мероморфная в единичном круге \ г ) < 1
функция w (г) была ограниченного вида, необходимо и достаточно>
чтобы ее характеристика Т(г) при /•-> 1 была ограничена.
Если w для |г|<1 ограниченного-вида, то она, очевидно, до-
допускает бесчисленное множество представлений вида
где | ^ | ^ 1 и | ^2 | <; 1. В самом деле, имея одно такое Предста-
Представление, мы придем к другому простым умножением числителя и
знаменателя на произвольную ограниченную в единичном круге
функцию <КМ<; !)• Среди всех возможных представлений вида A2)
полученное предыдущим построением особое предсгавление (9)
характеризуется следующим экстремальным свойством:
Для каждого | г | < 1
|( ^)|Ki(*)|. 03)
Это непосредственно следует из соотношения A1), если в нем
г устремить к 1. Тогда из A1) следует, что
или, так как log|/(z, w)\ = — W(z, w), то
Второе из соотношений A3) получается применением того же
рассуждения к функции —.
Из принципа максимума легко далее следует, что если в со-
соотношениях A3) имеет место равенство в одной точке г еди-
единичного круга, то оно должно иметь место всюду в этом круге
и Цогда 4*2 =г е<*/(z> w)> ^i — ^fi2* —)> гДе а — действительное
число.
§ 2. Представление функций ограниченного вида
интегралом Пуассона-Стильтьеса.
152. Представление функции ограниченного вида, которое мы
вывели в предыдущем параграфе, позволяет нам более подробно
исследовать поведение такой функции на границе |z|=l. Основа-
Основанием послужит нам интегральное представление, которое можно
рассматривать как обобщение обычной формулы Пуассона.
Пусть w(z) = u{z)-\-iv(z) — регулярная в круге 1г|<1 функ-
функция; для каждого |г|<р<1 она допускает интегральное пред*
192 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. VII
«тавление Пуассона
«(*)=% J B(pe»)?^±irf»+to@).
Пока не сделано никаких предположений о поведении функции и (г)
на границе, предельный переход р -> 1 под знаком интеграла невоз-
невозможен. Поэтому наложим на гармоническую функцию и (г) подхо-
подходящее ограничение, именно, предположим, что среднее значение
модуля \u(z)\ на окружности |г|=г<1 равномерно ограничено:
2л
J | и (ге<ч) | dv < М для г < 1. A4)
о
163. Определенный таким образом класс гармонических функций
•совпадает с классом функций, которые в единичном круге можно
записать в виде разности двух неотрицательных гармонических
функций. Это непосредственно следует из § 1. В самом деле, если
•да = и -J- iv регулярна для |г|<1, то
Т(г, *») = Я(г, <*) = I
о
¦2г.
= 1 J le
A5)
и функция ew тогда и только тогда будет функцией ограниченного
вида, когда интеграл A4) ограничен. В этом и только в этом слу-
случае ew может быть представлена в виде отношения двух (отличных
от нуля) ограниченных функций <s2 и <st (|<?v| < 1, v = 1, 2) и,
следовательно, w может быть приведена к виду •и) = таI — w^, где
wt = — log<Pi и «>а = — log<p2 имеют неотрицательные действи-
действительные части. Из наших результатов (§ 1, п. 150) следует далее,
что среди всех возможных представлений w = w± — w% существует
одно особое, характеризующееся тем экстремальным свойством, что
для него действительные части функций wx и ws имеют наимень-
наименьшее возможное значение. Эти экстремальные функции определяются
как пределы (ср. п. 149)
где
1
(г) = Urn I J и, (р*«) <^-гМ (v = 1, 2), A6)
Следует еще заметить, что интеграл A4), как это непосред-
непосредственно видно из соотношения A5), возрастает вместе с г, так что
§ 2] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 193
при /•-> 1 атот интеграл имеет определенный конечный илн беско-
бесконечный предел.
154. ©гимн результатами мы свели исследование аналитических
функций, удовлетворяющих условию A4), к изучению аналитической
функции w = u~{-iv, имеющей при |г|< 1 неотрицательную
действительную часть и. Переходя "теперь к выводу интеграль-
интегральной формулы Пуассона-Стильтьеса, мы ограничимся функциями
такого вида.
Зафиксируем число г0 интервала 0 < г0 < 1 и положим
р
*) = J 2fp-dz = j^dt+$w (re*) db. A7)
Этим равенством wl определена как функция регулярная для 0 <
<|г|<1 (в окрестности нулевой точки многозначная). В даль-
дальнейшем мы рассматриваем ту ветвь этой функции, которая опреде-
определяется условием — р < <р ¦< 2ц — J3 (о < J3 < yj.
Для действительной части их функции wt имеем выражение
г ч>
«! (reif) = Ш (w1 (re*?)) = J ^ dt-\- J и (re<») db.
г„ о
Следовательно,
Как быстро может возрастать \w1\ при |г|-> 1? Верхнюю гра-
границу для 1^1 можно получить из A7), если написать
Тогда для г0 < г < 1
Для |к»|, при |г|<р<1, по формуле Пуассона имеем оценку
и
или при р -> 1
1 I I _ I
(О)'. A9)
194 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. VII
Если это подставить в A8), то для 0<C[<p<2i:
Отсюда видно, что при /•-> 1 порядок роста |та»,(,г)| самое боль-
большее равен log , в то время как \w\ может возрастать как
¦. В самом деле, данная в A9) верхняя граница является
точной, как это показывает пример функции
1+2
для которой и@) = 1, fl@) = 0. Следовательно, при |г|-»1 инте-
интегральная функция wl стремится к бесконечности медленнее, чем
функция w; именно в силу такого „регуляризирующего" влияния
интегрирования представляется целесообразным введение интеграль-
интегральной функции wv
Еще более просто ведет себя функция, полученная повторным
интегрированием:
В самом деле, применяя оценку B0), мы непосредственно убеж-
убеждаемся, что w%(z) на окружности |г| —1 непрерывна. В частности
существуют тем самым непрерывные предельные значения
Нт и2(ге*р) B1)
действительной части
»¦ f
»e
Для более подробного исследования свойств, предельной функ-
функции аа (<р) заметим, что для г < 1
откуда следует, что а2—выпуклая (konvexe) функция, так чго
для <<
и2 (ге{ь) i
1
?2
1
) «2
(п
?8
1
§ 2} ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 195
Предельным переходом г -*¦ 1 найдем, что то же самое соот-
соотношение имеет место для и2(е<9)> откуда следует, чго и и2(е^)
является выпуклой функцией от <р- Следовательно, она имеет произ-
производную справа и2' (е* (?+°)) и производную слева и2' (е^Ор-о)), причем
где равенство имеет место для всех значений <р, исключая ?амое
большее счетное число значений. Если положить
1(«¦ И?+)) + < И* -0})), B3)
то функция <J* однозначно определяется как монотонно возрастаю-
возрастающая функция от <р.
Теперь мы утверждаем, что
lim и. (re*?) = ф(<р) B4)
г+1
в каждой точке непрерывности функции "}(<?). В самом деле, если
для /•<; 1 положить
А) =
то для всякого е > 0 в силу выпуклости функции и2 найдется такое
малое число А>0, что в точках непрерывности функции <J*(<p)
Далее, для достаточна больших значений г < 1,
|Д(**, А)-Д(г^, h)\<±,
откуда следует, что как к(ге{9, К), так и Д^в'?, —А) лежат
в интервале (ф — е, ^-f-8)-
С другой стороны,
Д(геЬ, — А)<Й1 (г*)<Д(ге<т, А)
и, следовательно, для значений г, достаточно близких к единице,
ul(reif) лежит в указанном выше интервале, откуда следует утвер-
утверждение B4).
Учитывая соотношение
2it 2ic
J dut (pe*») = J и (pe«) rf& = 2ic и @), B5)
<P=0 0 ;
мы из формулы Пуассона интегрированием по частям найдем, что
для | г |< р < 1
196 функции ограниченного вида [гл. vn
?слн теперь р. уст] емить к 1, то первый член «права будет схо-
сходиться к
что касается второго члена, то мы утверждаем, что он имеет пре-
пределом
о
л.
J
о
В самом деле, согласно B5) вариация монотонно возрастающей
функции ul(pe{^) в интервале 0^&<2ii равна 2тм @); следова-
следовательно, то же самое справедливо и для предельной монотонной
функции 'Ь. в^сюда следует ограниченность функции iji, а с ней,
в силу B4), равномерная относительно 0 и р ограниченность функ-
функции «j (рвл). Поэтому при р -> 1 интегралы
2« 2lt
Г и. (рв«) —?¦ db и Г и. (рв«) —- db
о о
отличаются друг от друга произвольно мало, и достаточно пока-
показать, что разность
f
fygg B6)
о
при р -> 1 стремится к нулю.
Для этой цели зафиксируем число е > 0 и разделим интервал
@, 2г) на «>-j- равных частей. Так как вариация монотонно
возрастающей функции «j во всем интервале @, 2я) равна 2i:«@),
то число k интервалов разбиения, в которых приращение функ-
л 2ям @)
ции «1 больше, чем а, самое большее равно ~; то же самое
имеет место и для функции ^(9). Поэтому среди рассматривае-
рассматриваемых и интервалов разбиения для каждого р < 1 существует самое
большее
таких, где вариация функции м^ре19), или функции 4/(Ь) больше,
чем е; во всех остальных интервалах соответствующая вариация
самое большее равна е.
Выберем теперь в каждом из « интервалов разбиения точку
непрерывности функции ^(9); для выбранных п значений 9 можно
подобрать такое число ро< 1, что при ро<р< I
для каждого из этих значений %. Тогда
§ 2] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 197
в каждом из интервалов разбиения, исключая самое большее 2k из
них, в которых во всяком случае
где А конечная величина [с точностью до "величины, исчезающей
при р-*1, за А можно взять 27ги@)].
Следовательно, для абсолютного значения интеграла B6) полу-
получаем верхнюю границу
2 it
что доказывает наше утверждение.
Следовательно, для | г j < 1 имеем
2lt
B7)
Так как ф— монотонная функция, то мы можем проинтегрировать
по частям и окончательно получим
S B8)
где интеграл нужно понимать в смысле Стнльтьеса. Формула B8) и
дает искомое интегральное представление Пуассона-Стильтьеса]).
Напомним еще, что монотонная функция 4/(Ъ) в B8) является
пределом суммы
8
при г^> 1. Отсюда видно, что первый, не зависящий от & член
должен иметь конечный предел
1
и так как в B8) имеет значение только вариация функции
то последнюю можно с таким же успехом определить как предел
<K») = lim Г и
») См. О. Evans I1], G. Herglotz J1], Д. Qstrowsld ft, С. Carathdodory [3].
198 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА (ГЛ. VII
Формула B8) дает общее выражение для регулярной в круге
Ы<1 функция, имеющей неотрицательную действительную часть.
В самом деле, мы нашли, что каждая такая функция может быть
представлена в виде B8). С другой стороны, эта формула, если
в ней справа подставить вместо ф@) любую функций, ограничен-
ограниченную и монотонно возрастающую4 для 0<;&<[2л, определяет ана-
аналитическую функцию, регулярную для |г|< 1 и имеющую для этих
значений неотрицательную действительную часть
155. Аналогичное представление имеет место и для общего
класса регулярных в единичном круге функций w = u-\-iv, для
которых выполняется условие A4). В самом деле, каждая такая
функция может быть представлена в виде разности двух аналитиче-
аналитических функций wl и wit действительные части которых для |г|< 1
неотрицательны.* Если w1 и w2 представить в виде B8) и если <J»i
и фа—соответствующие им при этом монотонные функции, то дли
разности w получится интегральное представление Пуассона-Стиль-
тьеса B8), в котором
причем <|i(&) как разность двух ограниченных монотонных функций
является функцией с ограниченной вариацией.
Если, наоборот, <|i — произвольная функция с ограниченной
вариацией, то ее, как известно, можно представить в виде разности
двух ограниченных монотонных функций <J*i и ty2. Формула B8)
определяет тогда функцию w = u-\-tv, которая может быть пред-
представлена в виде разности двух функций wl и и»а с неотрицатель-
неотрицательными действительными частями и, следовательно, удовлетворяет
условию A4). В самом деле,
2я 2в 2it
J | и («*) | <*р = J | Я К — ю„) | rf? < J (SR (
0 0
так что условие A4) выполнено.
Формула B8), где $ означает функцию с ограниченной вариа-
вариацией, представляет собою общее выражение для регулярной ана-
аналитической в единичном круге функции w = и -J- iv, для которой
интеграл
2
/ ' ,B9)
о
при г<1 ограничен. п
2] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 199
156. Замечание. Из соотношения A5) заключаем (ср. колец
п. 153), что интеграл B9) является монотонно возрастающей функ-
функцией от г, что можно было бы легко доказать и прямо. Следова-
Следовательно, при г -> 1 этот интеграл всегда имеет предел; однако,
представление B8) справедливо тогда и только тогда, когда этот
предел конечен.
Применяя результаты § 1, легко показать, что функцию ф
можно определить как предел
= Hm J и
157. Резюмируя, мы можем сформулировать следующую теорему:
Пусть tv(z) = u-\-iv регулярна в круге 1<г|<1 и предел
2lt
М
lim Г | и
конечен. Тогда для всех значений Ь, 0^8^2тс, за исключением,
самое большее, счетного, множества значений, существует предел
¦ 9
Функция ^(9) имее.п ограниченную вариацию, и для г =
w (ге*ч) = -i- • Г е<Ь + г d^ (ft) -f iv @), C0)
где интеграл следует понимать в смысле Стильтьеса.
Среди всех возможных представлений некоторой функции
с ограниченной вариацией
а
а
»
в виде разности двух монотонно возрастающих функций <J*i> 4*2
существует одно вполне определенное представление
Фв(») (Ф @) = *i @) = Ф. @) == 0), C1)
обладающее тем свойством, что ^j и <|»2 принимают наименьшие воз-
возможные значения; эта экстремальная пара функций состоит, как
известно, из положительной, соответственно отрицательной вариа-
вариации функции ty в интервале @, &). Все остальные представления
получаются из этого особого прибавлением к <J*i и ty2 произвольной
монотонной функции <J<8. Полн?я вариация функции ty в интервале
@, 0) равна «jf^
200 . ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ.
Если теперь в формулу C0) подставить выражение C1), то
действительная часть и (г) функции w (г) представится в виде раз-
разности двух гармонических и неотрицательных в круге |г[<1
функций
—:^,(9) (v=l, 2); C2)
значения этих функций будут наименьшими, если за функции ^ и
ф2 взять вышеуказанные экстремальные функции. Отсюда следует,
что соответствующие функции и, совпадают с экстремальными
функциями, о которых говорилось на стр. 191, определенными,
с другой стороны, как действительные части предельных значе-
значений A6). Приравнивая оба эти выражения друг другу при z = 0,
мы получим соотношения
2п
2*Й1 @) = ф, Bи) = llm i f | и (r«T) | d<? -f « и @) = ± [M+2* и @)],
= \ B«) = у (Af - 2* и @)J;
следовательно,
/ C3)
Таким образом, полная вариация функции $(%) в интервале
@, 2тг) рав«а предельному значению C3).
168. Важным является вопрос о единственности представле-
представления C0). Покажем, что заданная функция допускает в существен-
существенном только одно такое представ!ение, именно, что если ^ — функ-
функция с ограниченной вариацией и
* / """"" л_ I ./а .. Т1 \ /* \ /
0
то fy (ft) в каждой точке непрерывности равна (с точностью до
аддитивной постоянной) функции
а
' о
где и означает действительную часть функции w.
В самом деле, если в C4) взять с обеих сторон действительные
части, ю после интегрирования по частям получится
§ 2] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 201
откуда, используя симметрию ядра К(г; у, Ь) интеграла Пуассона
относительно переменных <р и &, следует, что
а
J и (re*?) d<? = 2it и @) а» (г; 0, а) +
о
-bi/^i W ^(г; в, 0) - К (г, 0, 0)] rftt, C5)
о
где co(re*P; 0j, &2) означает гармоническую меру
дуги (е*8», е*«) в точке re*?. Если здесь г устремить к 1, то
ш(г; 0, а) будет стремиться к j,a интеграл справа в C5), как это
следует из элементарных свойств интеграла Пуассона (ср. гл. II, § 1),
будет стремиться к
«М« + 0) + ф1(« —0) M + 0) + 'M2k —0)
2 2 '
что доказывает правильность утверждения.
Одновременно мы видим, что интеграл C5) и в точках разры-
разрыва функции i( (Я) стремится к определенному пределу, равному
159. В интеграле C0) функция ^ как функция с ограниченной
вариацией имеет почти для всех значений 0 конечную производную
<5»' @). Спрашивается, при каких условиях интеграл Стшплъеса мо-
может быть записан в виде обыкновенного интеграла Лебега, так
чтобы, следовательно, d^ просто заменялось на ф' db. Это, как
известно, имеет место тогда и только тогда, когда ф — абсолютно
непрерывная функция от Ь, т. е. когда для каждого е > 0 можно
найти такое число 8 > 0, что вариация функции ф на каждом изме-
измеримом множестве @) меры, меньше чем 8, не превосходит г.
Далее, всякую функцию ty с ограниченной вариацией можно
представить в виде суммы трех функций
которые все ограниченной вариации, причем ^ — абсолютно непре-
непрерывна и У = Yi почти для всех &, ty2 — непрерывна к^ — функция
скачков, вариация которой в каждом интервале равна сумме абсо-
абсолютных значений скачков, которые испытывает функция 4 в своих
точках разрыва, лежащих на этом интервале. Непрерывная функция <|»2,
если она отлична от постоянной, не абсолютно непрерывна; ее про-
202 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. VII
изводная исчезает почти всюду *). То же самое имеет место и для
функции 4*8*
В следующем параграфе мы укажем условие, которое нужно на-
наложить на функцию и, чтобы составляющие ф2 и ф8 тождественно
равнялись нулю и, следовательно, чтобы функция ty была абсолютно
непрерывной.
160. Прежде чем перейти к более подробному исследованию
интеграла Пуассона-Стильтьеса, укажем еще общее выражение для
функции ограниченного вида в круге [г|<1, которое получается
непосредственно из результатов этого параграфа:
Каждая функция w (z) ограниченного вида в круге \ г \ < 1
может быть представлена в виде
где if — функция с ограниченной вариацией и irlf тг2 — произведения
Бляшке.
§ 3. Теорема Фату.
161. Обладая интегральным представлением § 2, мы теперь
в состоянии доказать важную классическую теорему Фату, согласно
которой ограниченная гармоническая в единичном круге функция
имеет почти всюду на окружности |z| = l радиальные предельные
значения 2). В действительности последнее имеет место для зна-
значительно более широкого класса гармонических функций. Мы ста-
ставим себе сперва задачу доказать эту теорему в следующей фор-
формулировке:
Теорема Фату. Если функция и (z) гармонична в круге \ г | < 1
и интеграл
2л
J|«(re*)|rf?
о
для г < 1 ограничен, то существует конечный предел
Mm и (reft)
1) Отличные от постоянной непрерывные функции ф, имеющие ограни-
ограниченную вариацию и почти всюду исчезающую производную, действительно
существуют. Простой пример для этого может быть построен, используя
метод Кантора для постр ения нигде не плотных совершенных множеств
(гл. V, § 6), следующим образом. На 2п отрезках Дп, сбр зующих аппрокси-
аппроксимирующее мвожество Е(рп) (/?>2), распределим равномерно единичную
массу н обозначим через hn(f) массу, расположенную на отрезке [0, f\.
Предельная функция ft(*) = lim И„(() будет тогда непрерывной функцией
П->00
от /, вариация которой равна 1 и производная которой исчезает для всех
значений t, исключая точки канторового множества
2) См. P. Fatou [1].
§ 3] ТЕОРЕМА ФАТУ . 203
для каждого значения % исключая, быть может, множество зна-
значений (линейной) меры нуль.
Согласно результатам § 2 при сделанных предположениях суще*
ствует такая функция <!»(&) ограниченной вариации
—«
что
i Г 1
— я
Доказываемая теорема получается как следствие из следующих
двух лемм:
1) Согласно общей теореме теории действительных функций 4* (&)
как функция с ограниченной вариацией имеет почти всюду -конеч-
-конечную производную ф'(^) (ср. п. 159).
2) Если для некоторого значения & производная ф' (&) конечна, то
lira а (ге<&) = ф' (&).
Первое из этих предложений будем считать известным, х) вто»
рое же докажем полностью, применяя интегральное представление
Пуассона-Стильтьеса.
Зафиксируем некоторое значение 8, для которого производная
ф' (Ь) имеет определенное конечное значение; без существенных
ограничений можно, например, предположить, что 0 = 0. Так как
то
C7)
где 4*о -> 0 при 8 -> 0.
Так как далее
i
+
J
то интегральная формула Пуассона-Стильтьеса после интегрирования
по частям принимает для ? = 0, г < 1 вид
При г -*• 1 первый член справа исчезает, и, следовательно, остается
показать, что второй член при г -*¦ 1 стремится к У @). Если в этот
член подставить выражение C7), то он распадается на 2 слагае-
г) См., например, Лебег р].
204 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. УП
мйх, из которых первое после интегрирования по ч;стям будет
иметь вид
— к
и, следовательно, при г -* 1 будет стремиться к </ @). Таким обра-
образом, остается показать, что интеграл
—k f*°w ъ d+s-Los^' C8>
соответствующий второму члену суммы C7), при г -*¦ 1 исчезает.
Для доказательства зафиксируем для заданного е > 0 такое ма-
малое положительное число &0 < гс, что
з для |&|<«>0,
и разложим интервал (— т, я) натри части: (— я, —Ьо), (— &0, 00),
(»с «)•
Так как в среднем интервале выражение
о rf / l—r"- \_ A — /•-) 2/-» sin ft
d» \l + г"- — 2/-cosaJ ~ 0 + г2 — 2rcos »)a
неотрицательно, то
2т:
г2~1
+0
Г <-j_ Г о d Г г2
+r2-2rcosa
¦ t f ' 1 -z-
"i 2k J 1+/-2 —2
¦±. j l~r2
Далее, если т означает верхнюю границу модуля |^0| для
01<*, то
"ЯГ | J | < Й
| J | < Й J ° Ж
1 .-
а0 1—Л , ж г i
Здесь первый член стремится к нулю при г-> 1. Но то же самое
справедливо н для второго члена, знаменатель которого
l_j_r2—2r cos &^.i-f.f*—2г cos &0=sin2 »0-J- (r—cos »0J>sin3 %
имеет положительную нижнюю границу.
§ 3] ТЕОРЕМА ФАГУ 205
Следовательно, существует такое положительное число го<1,
что для г0 < г < 1
1С
1
Для интервала (— я, —<>0) получается та же оценка, что и для
интервала (!>0, я). Таким образом, значение интеграла C8) для
г0 <; г < 1 меньше Зе. Следовательно, при г -*¦ 1 он исчезает и тео-
теорема Фату доказана.
162. Доказанная теорема дает существенное расширение теории
интеграла Пуассона. Мы видели (гл. II, § 1), что этот интеграл
решает проблему Дирихле для круга в предположении, что задан-
заданные граничные значения и (&) образуют непрерывную функцию.
Далее имеет место общий результат, согласно которому интеграл
Пуассона
2tt
в точке разрыва ft функции и (i>), в которой существуют пределы
й(&±0), имеет "предельное радиальное значение -^- [и (&-{- 0)-f-
+ «(&-<>)].
Пусть теперь и(»)— произвольная определенная для 0-^0^2ir
измеримая функция, для которой.интеграл Лебега
J I «(»>)!<*'>
о
конечен *), Тогда интеграл C9) будет представлять гармоническую
в круге ] г \ < 1 функцию и {re1?), которая при г -> 1 стремится
к заданному значению и (о) для всех значений «р, исключая самое
большое множество значений у меры нуль. В самом деле, если
написать
то -г^ =="(?) почти для всех значений <р, и, следовательно, по пре-
предыдущей теореме о предельных значениях, для каждого такого зна-
значения <р существует радиальное предельное значение и (») 2).
1) Для каждой измеримой функции и@) существует интеграл Г \и\ rfd,
\и\<м
где М конечно. При М -у со этот интеграл стремится к конечному или бес-
бесконечному пределу.
а) Это имеет место даже при угловом приближении, как это можно за-
заключить из далее следующих теорем.
206 . ФУНКЦИИ ОГРАНИЧВННОГО ВИДА [ГЛ. VII
163. Теперь мы в состоянии ответить на вопрос, затронутый
в конце § 2. Мы видели: если а (г) для | z | < 1 гармонична и ин-
интеграл
?*
f \u(reb)\d?
о
для г < 1 равномерно ограничен, то интеграл
при г-*1 стремится к предельному значению ф(&), которое, как
функция с ограниченной вариацией, может быть записана в виде
суммы <}«(&) = 4*1-f-Фа Ч-^з» где "W абсолютно непрерывна и равна
интегралу Лебега
JV
о
«1*2 непрерывна и ф8' почти всюду равна нулю; ф3 равна постоянной
всюду, за исключением точек разрыва функции ty Требуется угнать,
когда ф абсолютно непрерывна, и поэтому ^ = ^==0.
Согласно результатам этого параграфа ф' (Р) почти всюду равна
и (Ь) = lim и (re**). Следовательно, составляющие ^ и ty9 исчезагот
тогда и только тогда, когда
ь ь
f u(re*f)d<p= f u(<f)d<f, D0)
т. е. тогда и только тогда, когда можно переменить порядок инте-
интегрирования и предельного перехода (г ->¦ 1). .
В теории действительных функций имеется следующая общая
теорема: если последовательность измеримых функций /„(*) при
и -* со почти всюду иа множестве Е имеет предельное значение
f (дг) ss Hm fn (x), то равенство
lim ffn(x)dx= ff(x)dx
справедливо для всякого множества Ev содержащегося в Е тогда
и только тогда, когда интегралы
jfn(x)dx D1)
равномерно абсолютно непрерывны на Е, т. е. когда для каждого
§ 3] ТЕОРЕМА ФАТУ 207
г>0 можно найти такое число 8 > 0, что
f\fn(x)\dx<*,
е
коль скоро мера множества е (содержащегося в Е) меньше, чем 8.
Отсюда заключаем, что функция ¦$($) тогда и только тогда
абсолютно непрерывна и, следовательно, обладает свойством D0),
когда интеграл
для /¦< 1 равномерно абсолютно непрерывен.
Для ограниченной гармонической функции это условие, оче-
очевидно, всегда выполняется. В качестве примера неограниченной гар-
гармонической функции, не обладающей этим свойством, достаточно
взять положительную и гармоническую для | z | < 1 функцию
При г -*¦ 1 она стремится к нулю всюду, исключая значение <р = 0,
для которого она стремится. к бесконечности, притом настолько
быстро, что интеграл
Г u
s
—s
для каждого 8 > 0 сходится к 2тс. Для этой функции и функция ф (&)
не является абсолютно непрерывной: в самом деле, она приводятся
к функции скачков, которая в точке 0 = 0 совершает скачок на
2л, а в остальных точках равна постоянной.
164. По теореме Фату аналитическая функция, регулярная и
ограниченная для |г|<1, имеет почти всюду на окружности
|г|=1 вполне определенные радиальные предельные значения.
В самом деле, как действительная, так и мнимая ее части обладают
этим свойством для всех |г| = 1, исключая, быть может, множе-
множество, которое как сумма двух нульмножеств само имеет меру нуль.
Можно даже утверждать, что эти предельные значения существ} ют
при угловом приближении (ср. п. 60); в самом деле, это непосред-
непосредственно следует из теоремы о предельных значениях, доказан-
доказанной в п. 60.
Результаты § 1 *и § 2 позволяют существенно обобщить это
предложение. Пусть сперва w = u-\-iv—аналитическая функция,
регулярная в единичном круге и удовлетворяющая условию A4) § 2.
Тогда ее можно представить в виде разности w = w1—wz двух
функций да, и ад2 с неотрицательными действительными частями.
Линейным преобразованием, переводящим правую полуплоскость
208 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. VII
в единичный круг, эти функции преобразуются в две ограниченные
аналитические функции, и так как последние имеют почти всюду
на окружности | г | = 1 предельные значения, то то же самое спра-
справедливо и для функций wv wa.
Отсюда можно заключить, что и разность w1—wa имеет опре-
определенные угловые предельные значения, исключая, быть может,
во-первых, множество граничных точек Ev в которых или wt или
wa не имеют предельных значений и, во-вторых, множество гранич-
граничных точек Е2, в которых как wu так и w2 имеют бесконечное ра-
радиальное предельное значение. Множество Ех имеет меру нуль.
Можно ли это же утверждать про множество ?2?
Чтобы ответить на этот вопрос, следует заметить, что по теореме
Фату действительная часть и функции w имеет почти всюду ня
окружности | г j = 1 конечные предельные значения. Относительно
мнимой части функции этого без дальнейшего рассмотрения утвер-
утверждать нельзя. В следующем параграфе мы докажем общую теорему,
при помощи которой этот вопрос сможет быть разрешен. Пока что
мы можем удовлетвориться следующим простым замечанием.
Рассмотрим множество Е тех точек |г| = 1, при радиальном
приближении к которым функция w с неотрицательной действитель-
действительной частью стремится к бесконечности. Тогда log | -гг» —{— 1 U очевидно,
является неотрицательной гармонической функцией, которая в точках
множества Е также имеет радиальное предельное значение оо. Так
как эта функция удовлетворяет условию A4)*), то по теореме
Фату множество Е обязательно меры нуль.
Отсюда следует, что и множество, обозначенное выше через ?2,
также имеет меру нуль, и, следовательно, регулярная для |г | < 1
функция w = и -f- iv, для которой интеграл
2tt
Г | и (ге*?) | d<p
о
ограничен, стремится при г -> 1 к конечному пределу почти всюду
на окружности jz|=l.
165. Теорема Фату может быть распространена и на функции
ограниченного вида, если воспользоваться нормальным их предста-
представлением (п. 160). Приведя w к форме
w = ef-^ , D2)
мы замечаем, что показатель / принадлежит к классу функций,
рассмотренных в п. 164 и, следовательно, почтл всюду на окруж-
окружности |2| = 1 имеет конечные угловые предельные значения.
*) В са\:ом деле, для /-< 1
2iu 2tt
I I log | w (re*?) -j- 11 | d-f = Г log | w (reif) ~\-1 |d<y = 2jtlog|K/@)-|-l |.
о о
§ 3] ТЕОРЕМА ФАТУ 209
Но то же самое справедливо и для произведений Бляшке icv и8,
которые ограничены в единичном круге. Следовательно, в силу D2),
тем же свойством обладает и функция w, исключая, быть может,
те точки |z| = l, в которых предельные значения произведений irt
и тг2 одновременно равны нулю. Последнее, однако, может иметь
место самое большее для множества >1еры нуль, как это вытекает
из следующего, интересного самого по себе свойства произведений
Бляшке:
Произведение Бляшке гс (г) имеет почти всюду на окружно-
окружности \z\ = l угловые предельные значения, равные по абсолютной
величине 1.
В самом деле, по формуле Иенсена для р < 1
* \
где я (г) означает число нулей функции тг(г), лежащих в круге
|г|<^г. Так как правая часть этого равенства при р -*¦ 1 исчезает,
то заключаем:
Для произведения Бляшке интеграл
Г
при г -»¦ 1 исчезает.
Отсюда уже легко следует предыдущее утверждение. Так как
для |г|<1 имеем |те|<1, то Urn log|ъ(re*?)|, если только он
г-н
существует, не превосходит нуля. Предположим, что этот предел
отрицателен для множества (<р) положительной меры. Разложим тогда
множество (<р) на счетное число подмножеств (»)„ (я=1, 2,...),
где множество (ср)„ состоит из тех значений <р, для которых рассма-
рассматриваемый предел ^ — —. Согласно общей теореме теории дей-
действительных функций все множества (<р)„ измеримы*). Кроме того,
существует конечное значение я, для которого (»)„ положительной
меры, ибо в противном случае множество (ср), как сумма счетного
числа нульмножеств, само было бы нульмножеством.
Далее, по известной теореме теории действительных функций,
множество (<р)„ содержит подмножество с мерой, сколь угодно
близкой к мере множества (<р)п, на котором сходимость к радиаль-
радиальным предельным значениям равномерна. Пусть еп такое подмно-
подмножество положительной меры |х. Тогда, коль скоро г станет больше
некоторого числа г0 < 1, log | it (re*v) \ будет < — н- для всех значе-
х) См., например, Лебег [х].
210 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. V
ний ср множества еп и для тех же значений г будем иметь
log 1 те ( |
J* log | те
т. е. интеграл слева при г-+1 не мог бы стремится к нулю
Полученное противоречие показывает, что |ir(re<!P)| стремится к 1
почти для всех значений «р.
Доказанное таким образом свойство произведения Бляшке нахо-
находит свое естественное объяснение в том, что произведение те полу-
получено как предел конечного произведения тсп, которое на окружности
|г|=1 непрерывно и по абсолютной величине равно 1.
Резюмируя, мы из представления D2) получаем теперь следующий
результат:
Теорема. Функция ограниченного вида при \ z | < 1 имеет почти
всюду на окружности | г | = 1 вполне определенные угловые пре-
предельные значения.
Эта общая теорема содержит как частные случаи все предыдущие
теоремы, относящиеся к существованию граничных значений.
§ 4. О множестве граничных значений функции
ограниченного вида.
166. Функция ограниченного вида при |г|<1 имеет почти
всюду на окружности |г| = 1 вполне определенные угловые пре-
предельные значения. В этом параграфе мы займемся более подробным
изучением множества Е этих граничных значений.
Первый результат о множестве Е граничных значений мы можем
непосредственно усмотреть из канонического представления функции
ограниченного вида (п. 160). Показатель второго множителя имеет,
как интеграл Пуассона-Стильтьеса, почти всюду на окружности
|2|=1 конечные граничные значения; следовательно, и граничные
значения самого множителя почти всюду конечны. Но то же самое
справедливо и для другого множителя, который как частное двух
произведений Бляшке имеет почти всюду на окружности }г| = 1
граничные значения, по абсолютной величине равные 1. Следова-
Следовательно, функция ограниченного вида при |^|<1 может иметь на
окружности |,г|—1 бесконечное угловое предельное значение самое
большее на множестве меры нуль.
Пусть аф со и w(z')^a; тогда функция ——— имеет также
ограниченную характеристику, и, следовательно, к ней применим
предыдущий результат. Таким образом, получается
Теорема Ф. и М. Рис 1). Если функция ограниченного вида
при |г*|<1 имеет постоянное радиальное предельное значение
г) Братья Рис (Riesz) доказали эту теорему для частного случая, когд i
функция ограничена ['].
§ 4] О МНОЖЕСТВЕ ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 211
на граничном множестве положительной меры, то функция
тождественно равна этой постоянной.
Для обоснования высказанной теоремы могло бы послужить и
следующее простое замечание. Для функции w ограниченного вида и
отличной от постоянной функция приближения т (г, а) ограничена для
каждого значения а. Если бы теперь w (ге{<?)-* а на граничном
множестве (<р) положительной меры, "то, по упомянутой в п. 165
теореме из теории действительных функций, эта сходимость была бы
равномерной на подмножестве множества (<э) также положительной
меры. Но тогда выражение т (г, а), определенное как среднее
+
значение log
на окружности \г \ = г, стремилось бы при г
w — a
к бесконечности. Это противоречие доказывает справедливость
теоремы братьев Рис.
167. Из теоремы братьев Рис следует, что множество граничных
значений функции ограниченного вида и отличной от постоянной
не может быть счетным, ибо такая функция на окружности |г| —1
может иметь счетное множество различных граничных значений
только на множестве точек |г| = 1, являющемся суммой счетного
числа нульмножеств, т. е. на нульмножестве.
Мы переходим теперь к доказательству общей теоремы, пол-
полностью решающей вопрос о мере множества граничных значений J).
Теорема. Пусть Ew — множество радиальных предельных зна-
значений, которое функция w (z) ограниченного вида при \ г | < 1 и
отличная от постоянной, принимает на множестве Ег точек
|г|==1. Если {линейная) мера множества Ez положительна, то
внутренняя гармоническая мера множества Ew также положи-
положительна, т. е. существует замкнутое подмножество множества Ew,
имеющее положительную гармоническую меру.
Доказательство. Предполагая, что множество Ег положительной
меры, мы можем найти замкнутое его подмножество Е/ также
положительной меры, на котором w (re{'f) =$ w{eirf) при г-* 1 *).
Отсюда следует, что множество Ew' соответствующих граничных
значений замкнуто.
Линейным преобразованием переменной w, которое не нарушает
ни того, что w (г) ограниченного вида, ни равенства или нера-
неравенства нулю емкости множества EJ, переведем точку w=w(Q)
в бесконечно удаленную точку и сохраним для образа мно-
множества EJ старое обозначение EJ. Покроем затем плоскость w
сетью замкнутых квпдрагов Qn(n=l, 2,...) со стороной, равной 1,
и представим множество Е/ как сумму бесконечного числа под-
подмножеств Егп, для которых соответствующие граничные значения
попадают в Qn. Так как Е/ положительной меры, то найдется,
г) Нижеследующая xeopeva была доказана как обобщение старой тео-
теоремы (R. Nevaiijinna pj) независимо друг от друга О. Frqstman'OM |lj и
•) Знак :5 означает раввомерную сходимость.
212 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИД* [ГЛ. VII
по крайней мере, одно из множеств ?г" (которые измеримы), обла-
обладающее тем же свойством. Наконец, преобразованием сдвига пере-
переместим соответствующий квадрат Qn в круг |ад|<1.
После этих простых приготовлений мы получим функцию w(z)
ограниченного вида при |г|<1 и отличную от постоянной, обла-
обладающую, кроме того, следующими свойствами:
1) На некотором множестве Ег точек |г| = 1, мера которого
2it(t > 0, функция w равномерно сходится (по радиусам) к опреде-
определенным граничным значениям Ew.
2) Множество Ew ограничено и лежит в круге |да|<1.
3) w@) — оо.
Требуется доказать, что Ew имеет положительную гармониче-
гармоническую меру. »
для этой цели рассмотрим связную область D, ограниченную
множеством Ет которая содержит бесконечно удаленную точку, и
выберем в ней произвольную подобласть Dw, также содержащую
бесконечно удаленную точку и ограниченную конечным числом
аналитических жордановых дуг Г№, лежащих в круге |да|<1. Пусть
g(w, оо) =
функция Грина области Dw и f — соответствующая постоянная
Робэна. Напомним, что эта функция в каждой точке области Dw
удовлетворяет неравенству
g(w, оо) ^ log | да | —j—f —f— log 2 D3)
[ср. гл. V, § 2, неравенство F), где вместо d% можно подставить
Рассмотрим теперь совокупность тех точек z единичного круга,
для которых значение w (z) попадает в Dw; это множество содер-
содержит как подмножество вполне определенную связную область DB,
содержащую нулевую точку и ограниченную образами Гг дуг Г„, и
некоторыми точками окружности |г| = 1. Дуги Гг аналитические, и
если их бесконечно много, то они сгущаются к окружности |г|= 1.
Функция g(w(z), oo) гармонична всюду в области D2, исключая
полюсы го = О, zv 22)... Функции w{z), в окрестности которых
она имеет разложение
g= — X log | z—z41 -f- гармоническая функция,
где X означает кратность полюса г,. В частности, для z = 0, если
разложение Лорана функции w в окрестности этой точки имеет вид
имаем
g(w{Z), 00) = Яо log jij + lOg ko
где в -*¦ 0 при z -* 0.
§4] О МНОЖЕСТВЕ ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 213
Применим теперь формулу Грина
/(¦?—?)*-•
к области D/, являющейся пересечением области Dg с кругом
1#| < г < 1, полагая
и изолируя предварительно небольшими кругами полюсы г,. Если
радиусы этих кругов устремить затем к нулю и учесть, что g на
дугах Гг и v на окружности |г:| = г равны нулю, то после простого
вычисления получится
J
V
где (<р)у означает часть окружности |2| = г и Г/— часть выиьг-
определенных дуг Г^ которые, в конечном числе, ограничивают
область D/.
де
Производная ~, взятая в направлении внутренней нормали
к дугам Г2, очевидно, ~^> 0, а потому интеграл, взятый по Г/,
также неотрицателен. Следовательно, учитывая соотношение D3),
получаем
r, w),
где
Выберем теперь г настолько большим, чтобы значения w(re{f)
лля значений да соответствующих множеству Eg., лежали вне области
Dw, что возможно в силу предположений 1 и 2. Так как значение
¦w (ге<<р) для каждого <р из множества (<р)у попадает в область Dwi
то значения re**, соответствующие множествам Ег и (<р)г, при до-
достаточно большом г не имеют общих точек и, следовательно,
2ir
Следовательно,
214 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. VII
откуда видно, что постоянная Робэна области Dw не превосходит
конечной постоянной, не зависящей от выбора области Dw. Следо-
Следовательно, постоянная Робэна fo области D, определенная как верх-
верхняя граница постоянных Робэна аппроксимирующих областей Dw,
также конечна.
Отсюда видно, что емкость е~т> множества, ограничивающего
эту область, положительна и, таким образом, доказательство до-
доведено до конца.
Если не делать никаких дополнительных предположений о струк-
структуре граничного множества, то, как это будет видно из следующего
параграфа, предыдущая теорема о граничных значениях, не может
быть усилена *). Именно, мы увидим, что к каждому множеству Ew
положительной гармонической меры можно подобрать функцию
ограниченного вида для |2г|< 1, все углозые предельные значения
которой на окружности | Z | < 1 содержатся в заданном множестве Ew.
§ 5. Применение к конформному отображению универсальной
поверхности наложения однолистной области.
168. Представим себе универсальную поверхность наложения
О°°, построенную над однолистной многосвязной областью (ср. гл. I,
§ 2). Согласно общей теореме Римана об отображении (гл. I, § 2,
теорема В) поверхность G00 с помощью линейно-полиморфной функ-
функции x(Z) может быть взаимно однозначно и конформно отображена
на однолистный круг 1дг|<1, исключая тривиальный случай, когда
граница Г области G состоит из двух точек и, следовательно, лога-
логарифмическая функция отображает соответствующую универсальную
поверхность наложения не на единичный круг, а на плоскость
с одной выключенной точкой.
Обратная функция Z(x) в круге |лг|<1 автоморфна относи-
относительно группы линейных преобразований S, имеющей конечное или
бесконечное число образующих преобразований в зависимости от
того, будет ли порядок связности области G конечный или беско-
бесконечный.
Введем теперь следующее разбиение областей на два класса:
Область G называется ограниченного вида или неограниченного вида
в зависимости от того, будет ли функция z = Z(x) ограниченного
вида или нет.
Тогда имеет место следующий интересный критерий *):
Теорема 1. Область G тогда и только тогда ограниченного ви-
вида, когда ее граница Г имеет положительную гармоническую меру.
Предположим сначала, что граничное множество Г имеет поло-
положительную гармоническую меру. Автоморфная отображающая функ-
*) Требование, чтобы w(z) была- ограниченного вида, можно, однако,
отбросить. См. И. Привалов Г1.
М См. R. Nevanlinna [Щ.
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К КОНФОРМНОМУ ОТОБРАЖЕНИЮ 215
ция Z(x) не принимает" в круге |х|<1 ни одного из значений,
лежащих на множестве Г, и имеет поэтому ограниченную характе-
характеристику Т на основании следующей общей теоремы, представля-
представляющей частный случай теоремы гл. VI, § 4, стр. 183:
Если функция z(x), мероморфная для |jc|<1, выпускает
множество значений положительной гармонической меры, то она
ограниченного вида.
Чтобы довести до конца доказательство теоремы 1, остается еще
только показать, что граничное множество Г имеет положительную
гармоническую меру, коль скоро характеристика T(r, Z{x)) для
г < 1 ограничена.
Из ограниченности характеристики. Г (г) следует, согласно пер-
первой основной теореме, что соответствующая г {х) функция N(r, a)
ограничена для всех значений а. Возьмем произвольную точку а
области G и обозначим через xv х2> ... ее образы в единичном
круге |#|< 1. Из ограниченности N(r, а) следует (§ 1), что сумма
1 —х„х
представляет в круге )дг) < 1 неотрицательную гармоническую функ-
функцию, исключая точки лг„, где
s(x) = log\ -4-непрерывная функция.
I X — Хц
Далее s(x) автоморфна относительно группы линейных преобразо-
преобразований S, которыми связаны ветви линейно-полиморфной функции x(z).
В самом деле, легко убедиться, что такое преобразование S(x)
только меняет порядок членов суммы s(x) и, следовательно, не
меня?т ее значения.
Если теперь посредством преобразования х = х (г) перейти
к плоскости г, то функция s(x(z)) в области О будет однозначной
гармонической функцией, исключая точку z — a, где s имеет поло-
положительный логарифмический полюс:
»(х {z)) = log ——— -J- непрерывная функция;
если а = оо, то вместо log
нужно подставить log \г \. На-
г — а
конец, во всей области G имеем ^
Этим доказано существование конечной, неотрицательной и от-
отличной от константы функции, гармонической в каждой точке
гфй области G. Отсюда уже следует, чго граничное множество Г
имеет положительную гармоническую меру. Чтобы в этом убедиться,
опишем вокруг полюса z = а небольшой круг Сг радиуса г и
обозначим через mr минимум функции s(x(z)) в круге \г—а|^>.
Если бы Г было гармонической меры нуль, то можно было бы
216 *УИКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. УП
применить обобщенный принцип минимума (п. 115) в части области С,
лежащей вне С,. Тогда s было бы >тиг во всей области G, что
невозможно в силу того, что тг -*¦ оо при г -*¦ 0. Это противоречие
показывает, что Г имеет положительную гармоническую меру, что
и требовалось доказать.
169. В связи с этим заметим следующее: функция $(х) как
логарифм произведения Бляшке имеет почти всюду на окружности
|jk1 j = 1 нулевые радиальные предельные значения. Так как далее
функция s(x(z)) гармонична и неотрицательна всюду в области О,
исключая точку z~a, где она обращается в бесконечность как
1
log
то возникает предположение, что она тождественно
z — а
совпадает с функцией Грина области G. Что это действительно
так, доказывается наиболее просто, если показать, что s(x(z)) в G
не больше, чем всякая другая функция u(z), неотрицательная и
гармоническая всюду в области G, исключая точку z = a, в которой
1
она имеет полюс вида log
г—а
; в самом деле, это экстремальное
свойство является характерным для функции Грина (гл. V, § 2, п. 97).
Итак, пусть и (г) такая функция, отличная от s. Тогда и(г(х))
гармонична всюду в круге |дг|<1, исключая точки лг„ в окрест-
окрестности которых она имеет разложение, аналогичное с разложением
функции s(x). Следовательно, разность
»(*(*))— li bg p*~x*x
*¦. — ¦*)!
гармонична в круге |je|<p< 1; на окружности [je| = p она, оче-
очевидно, неотрицательна. Совершая предельный переход р-> 1, найдем,
что предельное значение
u(z(x))-s(x)
для 1*1 < 1* неотрицательно. На самом деле оно даже положительно,
ибо, если бы оно равнялось нулю в одной точке х, то из принципа
минимума следовало бы, что и == s, что противоречит сделанному
предположению. Таким образом и > s и, следовательно, s совпадает
с функцией Грина области G.
Полученное таким образом, посредством функции х(z), пред-
представление функции Грина в виде бесконечного произведения было
дано Пуанкаре (Poincare [2] ')•
170. В лемме п. 168 мы заключили, что мероморфная для \z\ < 1
функция w(z) есть функция ограниченного вида на основании того,
что она выпускает множество значений положительной емкости.
Доказанная только что теорема показывает, что этот результат,
поскольку вопрос идет о мере множества выпускаемых значений,
»е может быть усилен. В самом деле, если Г — произвольное
1) См. P. Myrberg 14-
& 51 ПРИМЕНЕНИЕ К КОНФОРМНОМУ ОТОБРАЖЕНИЮ 21Т
гармоническое нульмножество, то автоморфная функция г(х),
отображающая круг | х | < 1 на универсальную поверхность наложе-
наложения Gf области G, ограниченной множеством Г, дает пример функ-
функции неограниченного вида, которая ве принимает ни одного из-
значенкй множества Г.
171. Как же ведет себя автоморфная отображающая функция г(х)
на границе |дг| = 1? Здесь имеет место" следующая замечательная1)
Теорема 2. Множество значений <р @ <; <р < 2it), для которых-
существует угловое предельное значение
г (е<?) = lim z (х), D4)-
имеет меру 2я или нуль в зависимости от того, будет ли
область О значений z(x) ограниченного вида или нет.
Первая часть этой теоремы непосредственно следует из теоремы
Фагу. Докажем вторую часть. Предположим, что G неограничен-
неограниченного вида и, следовательно, граничное множество Г имеет емкость
нуль, и обозначим через (<р) множество всех тех значений <р, для
которых существует угловое предельное значение D4). Согласно
общей теореме теории действительных функций, множество (ср) во
всяком случае измеримо к, следовательно, существует интеграл
Лзбега (х — ге{?)
и(*) = Т j i+22
Если мера р множества (<р) лежит между нулем и 2it, то и(х) опре-
определяет для \х | < 1 ограниченную гармоническую функцию @ <1и<[1),
которая по теореме Фату имеет почти всюду на множестве (ср)
радиальное предельное значение 1. Так как при л? = 0 функция и (х)
имеет значение
то и (х), с другой стороны, не равна тождественно 1.
Если х подвергнуть преобразованию S группы преобразований,
соответствующих функции х(г), то соответствующее множеству (^)
множество (е*Р) не изменится, ибо в силу автоморфности функ-
функции г(х) эта функция для каждого значения о преобразованного
множества S(e*<p) имеет угловое предельное значение, и так как,
с другой стороны, множество (<р) определено как множество всех
тех значений ф, для которых этот предел существует, то перво-
первоначальное и преобразованное множества (<р) должны совпадать *).
1) См. R. Nevjnlinna [%
•) Собственно доказано, что первоначальное множество содержит-
преобразованное. Но, очевидно, справедливо и обратное, так как каждая
точка e{f, соответствующая первому множеству, может быть получена
218 ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА [ГЛ. VII
Так как диференциал вышестоящего интеграла Пуассона инвариан-
инвариантен относительно всех вообще линейных преобразований, переводя-
переводящих единичный круг в самого себя (гл. I, § 1), то заключаем, что
и (х) представляет потенциал, авгоморфный относительно группы E).
Из установленных свойств функции и видно, что функция и (х (г))
в области О однозначна, гармонична и ограничена ив то же время
отлична от постоянной. Но это невозможно в силу теоремы 2
(гл. V, § 4). Следовательно, соотношение 0 < [* < 2гс невозможно.
Остается еще доказать, что \i не может равняться 2тг. Для этого
покроем плоскость z = z-\-it сетью квадратов Q(jn, n, р):
и обозначим через (<?).,„, п,р во всяком случае измеримую часть
множества (ф), для которой граничные значения функции z (х) по-
попадают в квадрат Q(m, n, р); сумма мер множеств (<?)т<„1Р при
фиксированном р и т, я пробегающих совокупность всех целых
чисел, равна мере р множества (<р), которую мы теперь предпола-
предполагаем равной 2it. Пусть теперь р пробегает значения 1, 2, ...; мы
утверждаем, что найдется, по крайней мере, одна конечная комби-
комбинация значений т, п, р, для которой мера множества {^)т<п,р лежит
между нулем и 2тс.
В противном случае для каждого р существует один вполне
определенный квадрат Q(ni,n,p), для которого соответствующая
мера в точности равна 2it. Эти квадраты вложены друг в друга и,
следовательно, имеют единственную предельную точку z0. Из опре-
определения точки z0 следует, что значения <р, для которых граничные
значения z (е*) лежат в кольце— >-| z — z01 >> , j ¦, образуют
нульмножество. Следовательно, z (x) почти всюду на окружности
|дг|==1 имеет предельное значение z0. Но это приводит следующим
образсм к противоречию:
Предположим сперва, что G имеет более чем три граничные
точки; Зафиксируем три из них, zb z2, z3, отличные от z0, и по-
построим универсальную поверхность наложения плоскости z с выклю-
выключенными точ ами z = z4 (v = 1, 2, 3). Посредством функции w = w {z),
обратной к модулярной функции, эта поверхность отображается на
круг |а»|<1. Зафиксируем для х = 0 произвольное значение
w(z@)). Определенная этим ветвь функции w(z(x)) неограниченно
продолжима в круге |л:|<1, так как z (x) не принимает критиче-
критических значений zv z.2, zs\ следовательно по теореме о монодромии
эта ветвь определяет в единичном круге однозначную функцию,
ограниченную и почти всюду на окружности | х | = 1 имеющую
преобразованием S из точки S-1^?), также соответствующей этому множе-
множеству, откуда уже следует, что преобразованное множество содержит перво-
качздькое
§ 5] t ' ¦ ПРИМЕНЕНИЕ К КОНФОРМНОМУ ОТОБРАЖЕНИЮ 219
граничное значение w(z0). Следовательно, множество этих гранич-
граничных значений счетно, что согласно теореме братьев Рис влечет за
собой постоянство функции w (г (х)). Но это невозможно, так как
w {г) и' z(x) отличны от шстоянной.
Таким образом, в предположении, что Г содержит более Tjex
точек, мы доказали существование квадрата Q такого, что мера
множества значений <р, для которых граничные значения г(е*?) по-
попадают в Q, лежит между кулем и 2it. Но с этим множеством мы
можем теперь поступить, как влне с множеством (ср) в случае,
когда 0 < [а < 2тт, и, таким образом, придем к имевшемуся в виду
противоречию.
Эгим доказано, что коль скоро граница области О содержит, по
крайней мере, четыре точки, то функция г(х) имеет граничные
значения самое большее на множестве меры нуль.
Если же граница области G содержит менее четырех точек, то,
так как тривиальный случай, когда Г состоит из двух точек, был
исключен раз навсегда, мы имеем дело с модулярной функцией.
Наиболее просто этот случай разрешается следующим образом:
две из трех граничных точек области G принимаются за точки
ветвления двулистной римановой повег хиости, расположенной над
плоскостью г; посредством преобразования извлечения корня эта
поверхность отображается на однолистную плоскость w. Этим моду-
модулярная функция преобразуется в автоморфную функцию, отобра-
отображающую круг |л:|<1 на универсальную поверхность наложения
плоскости w с четырьмя выключенными точками. Таким образом
доказательство приводится к вышерассмотренному случаю.
172. Граничные значения отображающей функции лежат во всяком
случае на граничном множестве Г. Эго доказывается, как и в выше
рассмотренном частном случае (гл. I, § 3). Именно, если z0 точка
области G, то ее можно заключить в небольшой круг Ко, целиком
лежащий в G. Образы этого круга лежат в круге |дг|<1 изолиро-
изолированно друг от друга. Если теперь точка х непрерывно стремится
к границе |лг| = 1, то ее образ г=-г{х) должен все время выхо-
выходить из круга Ко и, следовательно, не может стремиться к точке z0.
Более подробным изучением соответствия между точками гра-
границы Г и точками |я: | = 1 мы здесь заниматься не будем.
VIII. МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА.
§ 1. Порядок мероморфной функции.
173. В течение предыдущего изложения мы уже неоднократно
имели случай утверждать, что степень трансцендентности мероморф-
мероморфной функции отражается в возрастании ее характеристики Т(г).
Если объединить в один класс те мероморфные функции,- характе-
характеристика которых имеет определенный порядок роста, то структура
220 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
функций такого класса будет тем более сложной, чем выше этот
порядок роста. Так мы нашли, что мероморфные в единичном круге
функции, имеющие ограниченную характеристику, выделяются среди
всех мероморфных для |г|< 1 функций известными простыми свой-
свойствами. Они имеют, например, почти всюду на окружности |г| = 1
определенные граничные значения, в то время как для функций не-
неограниченного вида это вообще не имеет места. В случае же функ-
функции, мероморфной во всей плоскости z ф оо, ограниченность харак-
характеристики влечет за собой то, что функция обращается в постоян-
постоянную. Рациональные функции обладают свойством Т(г) = О (log r),
а для трансцендентной функции отношение T(r) : logr при г->оо
неограниченно возрастает').
174. Среди множества трансцендентных мероморфных функций
естественно выделяется известными характеристическими свойствами
особый класс функций; это класс мероморфных функций конечного
порядка. Чтобы можно было сразу же определить с должной точ-
точностью возрастание такой функции, нужно предварительно ввести
известные простые вспомогательные понятия.
Пусть s(r) — определенная для г > 0 положительная, монотонно
возрастающая функция от г. Если верхний предел
г:— log s (г) ,
lim —г---- = X
r-x» log'
конечен, то s (r) называется порядка гх или, короче, порядка \.
Следовательно, s(r) будет порядка X тогда и только тогда, когда
для каждого е > 0 и всех достаточно больших значений г
*(/¦)</*+•, '
в то время как найдутся сколь угодно большие значения г, для
которых
Если же lim °f д ^ бесконечен, то s(r) бесконечного порядка.
Функции конечного порядка X делят на три подкласса: s (r)
принадлежит к максимальному, среднему или минимальному типу*)
порядка \ в зависимости от того, будет ли верхний предел
бесконечен, конечен и положителен или равен нулю.
Далее целесообразно более подробно диференцировать минималь-
минимальный тип положительного порядка X, различая класс сходимости
1) Это будет доказано в § 2 настоящей главы.
2) A. Pringsheim [l], E. Litideluf [']. Мы предпочитаем термин «средний
тип" (Mitteltypjis, type тэуеп), предложенный Линделофом, термину Приигс-
ей „нормальный тип" (Normaltypus).
§ 1] ПОРЯДОК МЕР0М0РФНОЙ ФУНКЦИИ 221
(Konvergenzklasse) и класс расходимости (Divergenzklasse)'), кото-
которые характеризуются сходимостью, соответственно расходимостью
интеграла
' ' Гг. A)
Например, функция /* (log г)и- для каждого [i будет порядка А.,
при этом для (*>0 — максимального типа, для у, —0 — среднего
типа, для (Jt<0—минимального типа; для 0>ji^.— 1 она принад-
принадлежит к классу расходимости, напротив, для (*<—1 — к классу
сходимости.
Если, таким образом, функция минимального типа не всегда при-
принадлежит к классу сходимости, то обратное имеет место без исклю-
исключений. В самом деле, если интеграл A) сходится, то для заданного
в > 0, начиная с некоторого значения г,
откуда следует, что s(r) минимального типа.
Применяя это свойство, убеждаемся в справедливости следую-
следующего критерия:
Функция s (г) тогда и только тогда порядка X, когда интеграл
для (а > X сходится, а для ji < X расходится.
Теперь мы вводим следующее
Определение. Мероморфная для z ф со функция считается
того же порядка, типа и класса, что и ее характеристическая
функция Г (г).
Так, например, tg z порядка 1, функция е-»к и ее интегральная
функция, рассмотренная в главе VI, § 2, имеют порядок k, двояко-
периодические функции порядка 2, при этом все эти функции при-
принадлежат к среднему типу соответствующего им порядка. Гамма-
функция и дзета-функция Римана принадлежат к максимальному
типу порядка 1. Дальнейшие примеры приведены в § 3 этой главы.
176. Для целой трансцендентной функции w(z) эти понятия
с таким же успехом могут быть определены с помощью логарифма
максимума модуля
= тах \w(z)\.
\z\=r
См. G. Valiron [i].
222 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIM
В самом деле, для такой функции N(r, oo) = 0 и поэтому
T(r) = m (г, со) = -^ J U>g | w (reif) \ d<? < log M(r).
о
коль скоро г будет настолько велико, что /И(г)>1; с другой сто-
стороны, для г = ге*ч и г<р имеем [ср. A), п. 131]
log \w(z) =
о
2л
^ J lo
о
следовательно,
Полагая здесь /- = 0р(О < в < 1), мы придем к следующему
заключению:
Для целой функции величины Т(г) и log M(г) — одного и того же
порядка, типа и класса.
В силу инвариантности характеристики относительно линейных
преобразований S(w) порядок (тип, класс) мероморфной функции
также инвариантен относительно таких преобразовании.
Применяя соотношение (ср. п. 137)
Т(г, те/,0 < Т(г, да,) + T(r, w.2),
заключаем далее, что поряаок X произведения самое большее равен
большему из порядков множителей w1 и w^. В силу соотношения
т(г, —j = T(r, w^)-{-Q(l) тоже самое справедливо и для частного
«>= —. Если wv и щ>2 неравных порядков \х и Х2 (например,
Xj > Х2), то, следовательно, X^Xf, с другой стороны, так как wl
может быть записано как частное (соответственно произведение)
функций w и w2, то и Xj ^ max (X, Хй), откуда следует, что X должно
равняться Xj.
Порядок произведения (частного) двух мероморфных функций wt
и w2 порядка Xj, соответственно Х2, не превосходит max (Х1( Х2) и
наверное равен этому числу, если )Л ф Х2.
С помощью соотношения T(r, wi +'O»2) ^ T(r, a»,) -j- T(r, w2) -f-
I (ср. стр. 173) доказывается далее, что аналогичное спра-
справедливо и для суммм wr-\-w^.
Из первой основной теоремы T(r)~ m(r, a)-\-Nfa а) заклю-
заключаем, что как функция m(r, а), так и функция N(r, а) для каждого
вначения а самое большее имеют тот же порядок (тип, класс),
§ 1] ПОРЯДОК МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 225
что и заданная мероморфная функция w (г). По крайней мере, одна из
этих величин достигает порядка функции w (z); дальше будет по-
показано,- что для подавляющего большинства значений а последнее
имеет место для функции N(r, а). Об относительной величине компо-
компонент т и N из предыдущих результатов нам известно только, что
на основании теоремы Пикара N (г, а) может исчезать самое боль-
большее для двух значений а, если исключить тривиальный случай,
когда w (г) обращается в постоянную. Далее результаты главы VI,
§ 4 показывают, что величина N(r, а) „почти для всех" значе-
значений а достигает полного значения характеристики.
176. Каким образом скорость возрастания функции N(r, а) зави-
зависит от распределения e-точек, становится ясным из следующей леммы:
Если гх (а), г2 (а), ... означают расположенные в порядке воз-
возрастания модули а-точек мероморфной функции w (z), то для
у. > 0 все три выражения
J
п (г, а)
B)
одновременно конечны или бесконечны.
В самом деле, во-первых для 0 < г0 < г
Г "(>> «) Ht _ f dN(t, a) _ N(r, a) N(r,, a) , r N(t, a)
t
0 t=r0
откуда непосредственно следует, что сходимость второго интеграла в
B) влечет за собой сходимость первого интеграла. Если же первый
интеграл сходится, то, как выше было показано, N (г, a) r~v-->¦ 0 при
г -> оо; следовательно, при г -> оо правая, а значит и левая части
предыдущего соотношения остаются конечными. Таким образом пер-
первый и второй интеграл B) сходятся или расходятся одновременно.
Аналогично с помощью соотношения
S( 1 У _ Г dn (t, a) n(r,g) п(гп,а) , „ Г
доказывается, что второй интеграл и ряд B) сходятся или расхо-
расходятся одновременно; тем самым лемма доказана полностью.
Отсюда заключаем, что порядок (тип, класс) выражений N и п —
один и тот же, и, применяя данный выше критерий, получаем сле-
следующую теорему:
22<i МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
Если порядок мероморфной функции w(z) равен X, то ряд
-сходится для каждого а, коль скоро (i > X.
Если w{z) принадлежит к классу сходимости порядка X, то
это же справедливо еще и для ;i = X.
Если ряд C) сходится для некоторого значения (i, то ^ назы-
называется показателем сходимости {Konvergenzexponenf) последова-
последовательности чисел г, (в). Нижняя граница показателей сходимости
называется предельным показателем (Grenzexponent). Согласно
предыдущей теореме предельный показатель а-точек мероморфной
функции w(z) самое большее равен -порядку X этой функции.
Ерли w (z) принадлежит к классу сходимости порядка X, то
предельный показатель является одновременно и показателем
сходимости.
Спрашивается, существуют ли случаи, когда предельный показа-
показатель для каких-нибудь значений а меньше порядка функции. Что
это, действительно, может случиться по крайней мере для двух
значений а, показывает нам пример функции
w (г) = w1 (z) ег\
где Х>0 — целое число и wt(z) — произвольная мероморфная
функция порядка Xt < X. Функция w (z) имеет порядок X, но вместе
с тем она имеет нули и полюсы, общие с функцией Wj (z), и, следо-
следовательно, ряд C) сходится для обоих значений а = 0, оо, коль
скоро р > Xt. Следовательно, для этих значений предельный пока-
показатель меньше порядка X.
С другой стороны, число таких исключительных значений не пре-
превосходит двух, как это следует из обобщения теоремы Пикара,
данного впервые Борелем J) и которое будет доказано в глаЕе X.
§ 2. Каноническое представление мероморфной функции
конечного порядка.
177. Из формулы Пуассона-Иенсена методом, указанным Ф. Не-
ванлинной 2), можно вывести представление мероморфной функции
конечного порядка в виде отношения двух канонических произведений
Вейерштрасса, справедливое во всей конечной плоскости.
Пусть w(z)—мероморфная функция конечного порядка с нулями а„
и полюсами &,({*, v = l, 2, ...). Тогда существует конечное целое
число <?>-0 такое, что
D)
1) Е.
*) F.
Borel [1].
Nevanlinna fl], R. Nevanlinna
§ 2]
КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ
225
Представляя w(z) в круге |г|<]р формулой Пуассона-Иенсена
A') (гл. VI, § 1) и диференцируя q-\-l раз, найдем1)
' |bl<
где
178. Докажем, что выражения 5р и /р при р-юо стремятся к нулю.
В самом деле, так как |e,J<p, то для ||О<
и поэтому
3 i-1
__л(р. 0)
P— г
я(р,О)
^ pan y — jj
Здесь
ер ер
• и (р, 0) = я (р, 0) / f < J ~(^ Л < W(ер, 0) < Г(вр) -f О A),
р р
откуда, в силу предположения D), следует, что
?&?
0 при р -> оо.
Вторая, стоящая в выражении 5р сумма, происходящая от полю-
полюсов &,, может быть оценена аналогично, откуда следует, что So (z)
при р -+ оо стремится к нулю, притом равномерно для | z \ ^ г.
Перейдем теперь к выражению /р. Для |.г|^/-<р имеем
2и
Р2+1
откуда следует, что
/р (z) -> 0 при р -»• оо,
притом равномерно для |z\ ^ г.
4) Можно принять о>@)ФО, оо; это всегда может быть достигнуто деле
нием функции w на подходящую степень г».
226 МЕРОМОРФНЫВ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VH1
Таким образом окончательно получаем соотношение
log а> B)»=
откуда после (g'-f-l)-KpaTHOro интегрирования, которое в силу равно-
равномерной сходимости, может быть выполнено почленно, получается
При этом v!cv = DW log w @). Таким образом мы приходим к сле-
следующему результату:
Пусть w{z)—мероморфная функция конечного порядка с нулями
av Og, ... и полюсами Ь^ Ь2, ... Пусть далее Т(г) — ее характе-
характеристика и q—такое большое целое число, что
При этих условиях w(z) может быть представлена в виде
(>) = г*е о lim -* . , E)
где а—целое число и сходимость равномерна в каждой конечной
области плоскости 4).
179. Предыдущие условия еще недостаточны, чтобы гарантиро-
гарантировать сходимость отдельных канонических произведений, стоящих
i) Эта теорема показывает, что соотношение Т(г)ш О (log r) является
не только необходимым, но н достаточным условием для того, чтобы меро-
мероморфная функция w была рациональной функцией (ср. гл. VI, § 2, п. 137).
В самом деле, из этого соотношения следует, что D) выполняется при </ = 0.
Так как N(r,Q) и N(r,co) по первой основьой теореме тоже порядка
O(log/*)> то число полюсов и нулей конечно н выражение справа в E)
обращается в рациональную функцию.
§ 2] КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 227
в числителе и знаменателе представления E). Для этого требуется,
как известно *), сходимость рядов
или, что равнозначно, сходимость интегралов
(« = 0, оо).
Из предположения D) следует только, что Г(г), а следовательно
и N(r,a) самое большее минимального типа порядка q-\-l.
Если же Г (г) — самое большее класса сходимости порядка q-\-1,
т. е. если интеграл
сходится, то оба ряда F), а потому и соответствующие канони-
канонические произведения сходятся абсолютно и для |г|-^/" равномерно.
Если интеграл
сходится, то
00
где Е означает первичный множитель Вейерштрасса
Это канОническое представление показывает, что мероморфная
функция конечного порядка с точностью до Множителя
где Р—полином, определяется своими нулями и полюсами. Следо-
Следовательно, асимптотические свойства функции в существенном зависят
от распределения ее нулей и полюсов. Чтобы глубже понять эту
связь, нам нужно подвергнуть более подробному исследованию
соотношения между ростом и плотностью нулей канонического
произведения.
*) См., например, Привалов, .Введение в теорию функций комплекс*
ного перек енкого", ОНТИ, М. — Л., 1938.
228 " МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
§ 3. Некоторые свойства канонических произведений.
180. Для оценки абсолютной величины канонического произве-
произведения исследуем сперва первичный множитель Вейерштрасса E(u,q).
Если 0 = 0, то имеем очевидное соотношение
log|E(tt,0)|<log(l + |tt|).
Если же
, то для |«| ¦<!-
-¦?,•
ДЛЯ1И1> 7+Т>в силу log (I -h | и I) <С | и 1, имеем
ч—i
Последнее выражение при | и | ^ —j-r больше, чем | и |з+1, а потому,
объединяя полученные оценки для log|?(«, q)\npn q"^.l, получаем
теорему: *)
При ^>-1 первичный множитель Вейерштрасса удовлетворяет
неравенству
^ (Ю)
где
181. Пусть теперь аи ..., в„ ...—последовательность чисел,
расположенная в порядке возрастания их абсолютных величин, для
которой ряд
с»
1
>) Е. Borel [Ч, G. Valiron
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КАНОНИЧЕСКИХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 229
где q — целое число, расходится, в то время как ряд
сходится. При этих предположениях бесконечное произведение
сходится равномерно в каждой конечной области и представляет,
следовательно, целую функцию, равную нулю в точках z — a^.
Целое число q называется жанром (Geschlecht) канонического про-
произведения.
Если п (г) означает число нулей ач, лежащих в круге | г | ^ г,
то интегралы
¦»«,,. ,. гад
№* ¦ №*
для (I = q расходятся, а для ja = q -J-1 сходятся. Порядок л ве-
величин я (г) и N(r), который равен предельному показателю
последовательности чисел | ev |, лежит, следовательно, в интервале
q^.^^.q-{-1, и порядок канонического произведения, т. е. поря-
порядок его характеристики или, что то же, величины logM(r), самое
меньшее равен X.
Мы переходим теперь к оценке сверху абсолютной величины
канонического произведения. Применяя соотношение A0), найдем,
что для 1
' Последняя оценка применима и в случае q = Q, щк это не-
нетрудно показать, исходя в предыдущей оценке из соотношения (9).
Резюмируя, мы приходим к следующему результату:
Максимальное значение М(г) канонического произведения
жанра q удовлетворяет неравенству
^ J^) A1)
о г
гле * = 3fa+)( + )
230 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
188. Это неравенство показывает, что порядок величины log M (г)
не превосходит порядка величины п(г), но так как справедливо и
обратное положение, то имеет место следующий результат:
Порядок канонического произведения конечного жанра совпадает
с порядком функции я (г).
Что касается типа и класса произведения, то здесь следует раз-
различать два случая в зависимости от того, будет ли порядок X вы-
выражаться целым числом или нет. Рассмотрим сперва последний случай,
?<Х<?-Ь1. С помощью соотношения A1) непосредственно дока-
доказывается, что log Ж (г) не более высокого типа, чем п{г). Но то же
самое имеет место и для класса, как это следует из теоремы: ')
Для канонического произведения дробного порядка X интегралы
со со
jlogW и jz?dr A2)
сходятся или расходятся одновременно.
Учитывая результаты § 1, достаточно показать, что сходимость
второго интеграла влечет за собой сходимость первого. Но последнее,
в свою очередь, легко следует из соотношения A1), которое мы
запишем в виде
logM(r)< k ($(r)-\-^(/¦)), A3)
где
В самом деле,
Л
о
откуда видно, что интеграл
со
сходится, если сходится второй из интегралов A2).
Далее
@ м , 1
J ^T*-g + 1_xJ ffTi
О
g + J g + ixJ
О » о
Функция я (г) принадлежит к минимальному типу порядка X,
и поэтому правое выражение стремится к конечному пределу прн
г -* оо. Отсюда легко убедиться, что и интеграл
См. О. Vallron pi.
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КАНОНИЧЕСКИХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 231
сходится, если сходится второй из интегралов A2). Наконец, в силу
неравенства (IS) то же самое справедливо для интеграла
Для канонического произведения дробного порядка величины
log Ж (г) и я (г) принадлежат к одному и тому же типу и классу.
183. Для целых порядков эта теорема, если не делать исключе-
исключений, уже несправедлива. Покажем на примере, что в этом случае
возможно повышение типа или класса величины log M (г) по срав-
сравнению с и (г).
Пусть X— положительное число, а — произвольное действитель-
действительное число и
<р (г; X, a)^r^{\ogr)*. A4)
Для г~^*е функция «р монотонно возрастает вместе с г. Следова-
Следовательно, если ограничить изменение параметра г условием г ]>г0 >
11
> е , то уравнение
cp(r) = v
будет иметь для каждого целого числа1 v>.vo= [<р (г0) -j- 1] вполне
определенный корень г,!); пусть, кроме того, rt = ... = rv1 — г .
Для исследования возрастания монотонной числовой последова-
последовательности rit r2,... ваметим, что число значений г„, которые не
превосходят значения r^rv равно
п (г) = [? (г)].
Отсюда, так как разность <р — п не превосходит единицы, интегралы
для каждого {*>0 одновременно сходятся или расходятся. Следо-
Следовательно, первый интеграл, а поэтому и ряд
для [*>Х сходится, а для {*<Х расходится. Дляц = Х имеет место
сходимость или расходимость в зависимости от того, будет ли
а < — 1 или а^.— 1.^ Следовательно, наибольшее целое число q,
для которого имеет место расходимость, равно [X], если X — дроб-
дробное число и а произвольно или если X — целое число и а ^ — 1;
если же X — целое число и а< — 1, то q = k — 1.
Как обычно, [а] означает наибольшее целое число
232 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Vm
184. С определенными таким образом числами q и г„ построим
теперь канонической произведений
Г
жанра д. Чтобы исследовать асимптотическое поведение этой це-
целой функции, исчезающей в точках —гч отрицательной действи-
действительной оси, произведем в плоскости прямолинейны! разрез от —rt
ДО —оо.
Если в выражении
взять повсюду ту ветвь логарифма, которая исчезает при z = 0,
то этим log/(z; X, а) будет определён в плоскости с разрезом как
однозначная н регулярная функция.
Далее имеем *)
оо
\, ос)= J log?(— j-, q}dn(f) — \\ogE(—^,
*==»-!
и так как я(г)~9> То асимптотическое поведение log/ в основном
определяется, как аго будет дальше строго доказано, асимптотиче-
асимптотическими свойствами интеграла
Для дальнейшего нам потребуется предварительная оценка этого
интеграла. Если область изменения z ограничить углом
|arg*|<it—8 @ <¦»<«), (W)
то |tf-f-2l будет не меньше большего из чисел
и во всяком случае
если Х = q-\-1, то вужно, чтобы а<0.
§ 3] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КАНОНИЧЕСКИХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 233
Следовательно, в угле W для | z |«г
Далее, для г > гг получается соотношение
J /3 + 1 t+Г^Г J
Интегрируя по частям, получим для X > q
т
= rx-a (log ry — r^-a (log rty — « J ? {<> ^ *~1} rf/»
Так как по предположению интеграл слева при г-*-со неограни-
неограниченно возрастает и выражение <p(t; X, а — 1) бесконечно мало по
сравнению с <p(t; X, а), то интеграл справт бесконечно мал по
сравнению с интегралом, стоящим слева, и, следовательно,
г
t\ X, а) , г^-Ч ,. ш (г, X, а)
J w+i
Аналогично найдем, что для
ос
Г yffiX, а) ,, 9 (/•; К а)
J МП
г
откуда следует, что в угле W для
/B;Х, «) = O(?(r;X, a)r-ff-0- A6)
Для Х = 9, «> —1 »)
Г оо
Г ч» Л (log г)" И Г tp dt (log /•)
J й+i + 1 ' J «2
a + 1 ' J
Наконец, для X = ^ —f- 1, a< — 1
J) Значение а = — 1 потребовало бы особого рассмотреняя-, почему мы
его для краткости в дальнейшем исключаем (ср. сноску на стр. 235).
234 МВРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
Аналогичным образом, учитывая соотношение \п — <р|<1, можно
оценить интеграл
ов
J гзп ИРГ*'
Это выражение для q > О самое большее порядка О (—J, а для
q = 0 — порядка О Г—^—J • Подставляя это в A5), заключаем, что
в угле W
•• X, а) = (—l)«2«+1/(r, X, a)-j- O(|z|«-|-log|2J). A7)
185. Далее, чтобы найти более точное разложение интеграла
/(г; X, а), рассмотрим функцию <p(t; X, а) для комплексных значе-
значений t и ограничимся при этом областью D± плоскости t, которая
получается из области | t\ > rv если в ней произвести разрез вдоль
положительной действительной оси от гх до оо. На верхнем крае
сечения выберем atgt = O и значение <э действительным; этим в об-
области Dj определится однозначная ветвь функции и, и, коль скоро
точка z будет лежать вне луча (—rv —оо), по теореме Коши
1 ^х, ^ <f (— *'> х> a) — f ? С? x>
F+7'
Г
причем интегрирование нужно производить вдоль положительно
пробегаемой границы Г области Dv l)
Имеем
°fL2LJ*L4- f
; X, a)=s<p(/e««*; X, a) = ea<* (log
f
J— J
где
означает значение функции <р на нижнем крае сечения. Так как
Iog^>logr1>2i:, то
Л | Д^У-! 1 2**
\ ' log^/ ~1T~log
где 4» (t) для гх -<; / ограничена. Отсюда, так как последний член в A8)
1) Сперва эту теорему нужно применить к той части области D\, кото-
которая лежит в области гх < | г | <^ R; прн ./?-»¦ оо часть интеграла, соответ-
соответствующая окружности |г| = /?, исчезает. Это спразедливо и для Х = |1
если только а<0, что важно для дальнейшего.
§ S] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КАНОНИЧЕСКИХ ПРОИЗВВДЙНИЙ 235
порядка o(j7])» то
Пусть теперь q < Х< ^-{-1. Применяя вспомогательную оценку A6),
заключаем, что интеграл справа в A9) и выражение I(z; X, а—1)
в угле W имеют порядок O(\z\-i-ly(\z\',\, а—1)), и так как
эти величины тем самым бесконечно малы по сравнению с выраже-
выражением слева в A9), то
п~. I „\ Bg~*ft ф(—г; X, a) ^x-g-i(io
sin тс (Х-9) '
причем (arg^Kit—т8.
В случае Х = 0 первый член справа в A9) исчезает. Если
тогда а заменить на а-j-l, то для аЦ-1 >0
Наконец, для k = q-\-l, a-]-l<0 получаем
Если подставить эти разложения в A7), то придем к следующему
результату:
Каноническое произведение J(z; X, а) жанра q, число нулей
которого я (г) порядка
n(r)~ri(}ogry, B0)
имеет в угле | arg г К те — 8 @ < 8 < тс) асимптотическое разло-
разложение
если Х = 9, а + 1>0 или X = g-f 1, а-f- 1 < 00-
186. В согласии с теоремой п. 182 величины log M(r) [или
Т(г)] и и (г) для целой функции f{z\ \, а) при дробном X принад-
принадлежат к одному и тому же типу и классу. Для целого порядка
это уже неверно, так как здесь возможно повышение типа или
») См. Е. UndelOff]. В случае \ — q, a-)-1 = 0 найдем с помощью
Отдельной элементарной оценьи, что log/(г; q, — l)~*4oglog#.
236 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
класса величины logAf(r). Так, соотношения B0) и B0') показы-
показывают, что для k = q, —1<<х<0 величина \ogM(r) [соответст-
[соответственно Т(г)] принадлежит к максимальному типу порядка X, в то
время как число нулей п(г) принадлежит к минимальному типу то-
того же порядка. Для k — q-^-1, —2<а< — 1 величина logM(r)
[соответственно Т(г)] принадлежит к классу расходимости, п(г)—на-
п(г)—напротив к классу сходимости минимального типа порядка #-f-l.
§ 4. Жанр мероморфной функции.
187. Вернемся теперь к общей теории мероморфных функций
конечного порядка и рассмотрим функцию w (z), для которой
интеграл
сходится, причем q — целое число. >0. Тогда, по теореме § 2,
п. 179 w(z) можно представить в нормальной форме (8). В силу
сходимости интеграла B1) ряды
s ir ¦ s
J_ fc+i
образованные с помощью нулей а., и полюсов Ь., функции w(z), для
k — q оба сходятся. Обозначим через k = k}.^_q и k — k2^.q
наименьшие целые числа, для которых эти ряды еще сходятся.
Тогда в каждом произведении справа в (8) можно заменить пер-
первичные множители е(~, q\ и е(~, q\ соответственно на
Е(—, kA и E(j-, k\ и исчезающие при этом множители соеди-
нить с множителем е ч" . Таким образом, мы придем к сходяще-
сходящемуся представлению
№ tt )a { B2)
где Рь — полином порядка h^,q и kx соответственно &2 означают
жанр канонических произведений.
Понятие жанра, которое до сих пор было определено только для
канонического произведения, определяется теперь для произволь-
произвольной мероморфной функции конечного порядка следующим образом:
Определение. Жанром, мероморфной. функции конечного порядка
называется наибольшее из чисел h, ki и k9, входящих в нормаль-
нормальное представление B2).
188. Если функция w (z) порядка X, то интеграл B1), наверное,
сходится, если на целое число q наложить условие q^.X <C ^
§ 4] ЖАНР МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 237
Тогда для w(z) будем иметь представление B2), откуда видно, что
жанр функции w (г) не больше чем X:
Жанр мероморфной функции самое большее равен ее порядку.
Пусть, наоборот, w{z) жанра q; тогда в представлении B2)
max (h, ku k2) = q. Для оценки порядка функции w (z) заметим, что
ее характеристическая функция самое большее равна сумме харак-
характеристических функций отдельных сомножителей, входящих в произ-
произведение B2). Если через itl и я2 обозначить канонические произве-
произведения, стоящие в числителе и знаменателе, то .
Г(г„/) = О (log r), Tir.e^^
следовательно,
T(r, w) < T(r, «,)+ T(r, *2) + О (log r + rb). B3)
Но в § 3 мы нашли, что порядок канонического произведения са-
самое большее равен его жанру, увеличенному на 1. Следовательно,
члены справа в B3) самое большее порядка д-\-1, откуда сле-
следует, что
Порядок мероморфной функции жанра q самое большее равен
«7 + 1.
Резюмируя, получаем следующий результат:
Жанр мероморфной функции дробного порядка X равен наи-
наибольшему целому числу q < X.
189. Если порядок X — целое число, то жанр равен или X или
X—1. Чтобы подробнее изучить различие этих двух случаев, заме-
заметим, что каноническое произведение жанра q, для которого, согласно
определению, интеграл
J
/¦«+*
сходится, удовлетворяет неравенству A1) § 3, откуда непосред-
непосредственно видно, что оно самое большее минимального типа порядка
q-\-l. Отсюда следует, учитывая соотношение B2), что функ-
функция w(z), принадлежащая к среднему или максимальному типу
целого порядка X, будет также и жанра X.
Как ведет себя в этом отношении функция минимального типа
целого порядка X? Здесь следует различать два случая в зависи-
зависимости от того, принадлежит ли характеристика Т к классу сходи-
сходимости или к классу расходимости. В первом случае из теоремы
о представлении (§ 2, п. 179) следует, что жанр равен X — 1. Если,
напротив, интеграл
00
T^dr
238 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
расходится, то из общей теоремы § 2, п. 178 заключаем, что жанр
равен X, если только обе функции N(r, 0) и N(r, со) {соответ-
{соответственно я (г, 0) и я (г, оо)] не принадлежат к классу сходимости.
190. Резюмируя, получаем следующий результат:
Если характеристика Т(г) мероморфной функции w{z) целого
порядка Х^.1 удовлетворяет соотношению
r->oo
mo w(z) жанра А.
Если же
Иш-Ш—О,
Г->00
то следует различать два случая в зависимости от того, будет
ли интеграл . ,
сходящимся или расходящимся.
В первом случае жанр равен X—1. Во втором случае
будет жанра X—1, если оба ряда
сходятся, и, напротив, жанра \, если, по крайней мере, один из
этих рядов расходится.
Следовательно, жанр однозначно определяется порядком, если
только Т(г) не принадлежит к классу расходимости минималь-
минимального типа целого порядка X. В этом случае, действительно, могут
представиться оба случая вышеуказанной альтернативы. Так, рас-
рассмотренное выше каноническое произведение f[z\ X, а) для
\ = q-\-l имеет жанр q==\ — 1, если 1<а^2. Напротив, отно-
отношение
/(< X, «)
для Х = ^, 0<в<1 принадлежит к минимальному типу порядка X
и имеет жанр X.
Дальше мы увидим (гл. X), что случай, когда функция, принад-
принадлежащая к классу расходимости минимального типа целого порядка,
имеет жанр меньший, чем порядок, следует рассматривать как
исключение, которое имеет место только тогда, когда нули и по-
полюсы распределены особенно скупо по сравнению с другими зна-
значениями.
191. В качестве последнего применения канонического предста-
представления мероморфной функции рассмотрим еще некоторые теоремы,
с 41 жанр мероморфной функции 239.
относящиеся к порядку величин N(r, а), соответственно я (г, в)
или, что приводится к тому же самому, к предельному показателю
ряда
для различных значений а. Из первой- основной теоремы следует,
чго порядок указанных величин, соответственно предельный показа-
показатель, ни при каком значении а не может превосходить порядка X
заданной мероморфной функции. Чтобы получить обратную оценку,
нужно снова учесть^ различие между случаем целого и дробного
порядка.
Если X лежит между целыми числами q и д-j-l, то напишем
w (г) в каноническом виде B2). Соотношение B3) показывает, что1*
порядок X самое большее равен большему из порядков канониче-
канонических произведений it1 и гс8. Порядок подобного произведения,
в свою очередь, равен порядку соответствующего числа нулей,
откуда заключаем, что, по крайней мере, одна, из величин я (г, 0),
я (г, оо) имеет в точности порядок X.
С помощью линейного преобразования, которое не меняет
порядка X, особые значения 0 и оо могут быть заменены^ любыми
двумя значениями, и, таким образом, мы приходим к следующему
результату:
Для мероморфной функции дробного порядка X велачица
N(r, а), соответственно. п(г, а), также порядка X для всех знп'
нений а за исключением быть может одного.
192. Предыдущие результаты теряют свою силу, если X целое
число ^-1. Для такого порядка уже может встретиться повышение
класса или типа канонического произведения по сравнению с плот-
плотностью его нулей. Но прежде всего нужно заметить, что порядки
обоих канонических произведений в B2) могут оказаться меньше,
чем X, или даже оба эти произведения могут отсутствовать. Роль
главного члена справа в B2) в этих случаях перейдет к стоя-
стоящему впереди показательному множителю. Этот множитель среднего
типа порядка X. Следовательно, мероморфные функции среднего
типа целого порядка могут иметь два исключительных значения,
для которых порядок величины N(r, а), соответственно п(г, а),
меньше, чем X.
В случае максимального типа целого порядка также может иметь
место понижение типа для двух различных исключительных значе-
значений. Например, это имеет место для канонического произведе-
произведения f(z; X, а), когда Х = ^, —1<в<0. В самом деле, для этого
произведения я (г, 0) минимального типа, в то время как я (г, оо)
тождественно равно нулю. Если функция минимального типа целого
порядка, то может понизиться класс величины я (г, а) для двух
значений а. Так, упомянутое каноническое произведение для
Х|1 < — 1 принадлежит к классу расходимости
240 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
минимальней) типа порядка X, в то время как п(г, ао)==0,
а «(г, 0) принадлежит к классу сходимости того же порядка.
Что, с другой стороны, для целых порядков число исключитель-
исключительных значений предыдущего вида не может превосходить, двух, соста-
составляет основное содержание теоремы Пикара-Бореля (гл. X, § 1), на
которую при различных обстоятельствах указывалось еще раньше.
X. ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ
ФУНКЦИЙ.
§ 1. Вводные замечания.
193. После того как с помощью первой основной теоремы мы
овладели важным свойством симметрии мероморфной для | z | < R <; со
функции, которое выражается в инвариантности суммы m(r, fl)-f-
-]-N(r, а), мы в качестве основной цели поставили более подроб-
подробное исследование относительной величины обеих составляющих
т{г, а) и N(r, а). Отдельные результаты в этом направлении полу-
получены уже в предыдущем:
1) Теорема Пикара показывает, что для мероморфной во всей
конечной плоскости функции, отличной от постоянной, величина
N(r, а) исчезает самое большее для двух значений.
2) Для мероморфных функций конечного дробного порядка
существует не более одного пикаровского исключительного значения
и имеют место более сильные теоремы гл. VIII, § 4.
3) Из теорем о среднем значении гл. VI, § 3 и 4 следует, что
вообще, т. е. для подавляющего числа значений а, величина N(r, a)
велика по сравнению с функцией т{г, а).
194. В этой главе мы выведем общее соотношение, которое я
в виду его большого значения назвал второй основной теоремой
теории мероморфных функций!). Эта теорема, ведущая к далеко
идущим следствиям в теории распределения значений мероморфной
функции, лежит довольно глубоко, и вычисления, связанные
с известными на сегодняшний день ее доказательствами, не легко
обозримы. В интересах наглядности и более легкого понимания
предпошлем этой теореме несколько предварительных замечаний.
Вернемся к примеру целой функции
), A)
рассмотренной в гл. VI, § 2. Эта функция в каждом угле
argz
< •»—; v = 0, 1, ..., 2р—1) имеет вполне опре-
См. R. Nevanlinna [*].
§ 1] ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 241
деленное асимптотическое или целевое значение, которое равно оо
для р нечетных значений v и равно
а,—* f ,-** = ,' ГA+у)
о
в углах W'av(v = °» 1» ¦¦•• р — 1)-
Далее мы видели, что там, где интеграл A) неограниченно воз-
возрастает, его производная также неограниченно возрастает, притом
со скоростью, приближенно такой же, как у функции w (г). Отсюда
следует, что каждый угол W^v-i сообщает величинам m{r, w) и
m(r, wr), измеряющим среднюю сходимость функций и и да'
к бесконечности, примерно равные значения. Напротив, углы 1Г2,
с точки зрения возрастания функций www' имеют несущественное
значение, так как эти функции в указанных углах ограничены. Из
всего этого следует, что функции т (г, w) и т (г, w') одного и
того же порядка, который равен (ср. и. 135)
т (г, w) ~ m (r, wf) ~ —.
В углах W&, в которых w (г) имеет конечные асимптотические
вначения a,(v = 0, 1,.-., р— 1), производная w'(г) стремится
к нулю. Но скова скорость сходимости в обоих случаях одна и та
же: там, где w (г) мало отклоняется от значения ач, там w' (г)
отличается от нуля на величину приближенно того же порядка.
Следовательно, угол W^ сообщает величинам т(г, ———) и
(г, —j J
т (г, —j J примерно равные значения, для которых мы нашли асим-
гР
птотическое значение —. Это составляет в основном полное ана-
чение величины т(г, ———J, так как другие утлы W^ A1 ф 2v),
где w(z) стремится к другим асимптотическим значениям, мало
добавляют к этому среднему значению.
Следовательно,
в то время как величина т(г, —Л, которая от всех углов
W^,(v = 0, 1, ..., р — 1) получает равные значения, суммируется к
p—1
1 \ rP
196. То, что мы заметили на частном примере целой функции
A), с некоторыми изменениями имеет место в общем случае.
242 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОР$НЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX ,
Пусть теперь w(z)— произвольная мероморфная функция. Пред-
Представляется справедливым, что вообще на дугах окружности | z | = г,
на которых | w (г) | имеет большое значение, величина | w' (г) |
также имеет большое значение, так что функции т (г, <w) и
m(r, w'), характеризующие среднее стремление функций и» и а»'
к бесконечности, асимптотически равны друг другу1):
т (г, w) — т {г, wf).
Представим себе теперь, что, как это имело место в предыду-
предыдущем примере, функция w(z) на окружности |z| = r особенно сильно
приближается к определенным конечным значениям a, (v= 1, ..., р)
и что, в согласии с вышенайденным, на тех дугах Вч, где разность
w(z) — а, очень мала, значение производной w' (г) того же порядка
малости, так что взятые по этим дугам интегралы от log —-^—I
и log —7 приближенно равны друг другу. Очевидно, что различ-
различные дуги B,(vsl, .,., р) лежат на окружности \z\ = f изоли-
изолированно одна от другой. Следовательно, если интегрировать по
1
всей окружности jz| = r, то среднее значение от log
женно будет равно сумме средних значений от log
(v=l, ..., р), или
прибли-
Введение производной w' (z) имеет, следовательно, тот смысл,
что все точки а, для которых функция приближения m (r, а) функ-
функции w(z) получает существенное значение, как бы характери-
характеризуются только двумя значениями производной го' (г), именно 0 и сю,
причем m (r, w) соответствует m (/-, w'), в то время как функции
m (r, а), для конечных значений а, в сумме соответствуют функ-
196. Отсюда получается соотношение между рассмотренны-
рассмотренными функциями тп функции w{z). В самом деле, на основании первой
х) Автору не известен ни одни пример трансцендентной функции, где
это асимптотическое равенство не выполвялось бы строго.
2) Идея ввести производную в качестве функции сравнения принадле-
принадлежит Borel'io l1]. Эта идея является основной в его доказательстве того
обобщения теоремы Пикара, которое известно под названием „теоремы
Пнкара-Бореля". Зиаченве производной для собирания исключительных зна-
значений особенно ясно показал Е. Ullrich [*] в своем доказательстве второй
основной теоремы.
§ 1] ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 243
основной теоремы
но
m(r,w')~ m(r,w), m(r,-p-
следовательно,
Из соображений, которые станут ясными дальше, преобразуем
полученное соотношение, прибавляя к обеим его частям величину
2N(r,w)-j-m(r,w). Тогда найдем, что
р
2т (г, «О + 2N {г, w) ~ m (г,«) + 2 m {iF=t) + Nt С)'
где
/ 1 \
"')) B)
представляет величину, имеющую простое значение, которое будет
указано ниже.
В предыдущем соотношении можно еще сумму т (г, w) -f- N (г, га)
заменить характеристической функцией Т(г)\ окончательно, таким
образом, мы получим соотношение
р+1
C)
где ар+1 = оо и Л/j (г) имеет значение B).
Этот результат существенно покоится на предположении, что
вначения \w\ и \w'\ мало отличаются друг от друга, если они ве-
велики и, что то же самое, имеет место для
—7
w
если w
\w — a
мало отклоняется от конечного значения а. Хотя и весьма вероятно,
что это справедливо, мы все же в состоянии доказать, так сказать,
только половину этого предположения. На основании одной общей
теоремы о функции туг, — J логарифмической производной —, ко-
которая подробнее будет нас еще занимать в дальнейшем, следует,
что там, где модуль |то(г)| большой, \wr(г)\ имеет несущественно
большее значение и далее, что на дугах окружности |г| = г, где
w(z) в среднем мало отклоняется от значения а ф оо, производная
¦а/ (г) в среднем тоже не больше отклоняется от нуля.
244 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
/
Таким образом, вместо соответствующего высказанному предпо-
предположению асимптотического равенства известно только неравенство.
А потому, соотношение C), записанное вышэ в виде асимптоти-
асимптотического равенства, переходит в асимптотическое неравенство: ле-
левая часть с точностью до несущественных добавочных членов не
меньше, чем сумма, стоящая в празой части. Это и есть вторая
основная теорема.
197. Мы покидаем теперь область наводящих рассмотрений и
переходим к строгому доказательству указанных теорем. Чтобы по-
понять значение отдельных дедукций нижеследующего доказательства,
рекомендуется сравнивать их с аналогичными шагами в предыдущем
эскизе доказательства, который будет нам служить наглядным его
прообразом.
Пусть, следовательно, w (г) = с0 -j- с^гк + . .. (ск ф 0) — меро-
морфная для |г|</?<^оо функция и аи ..., ар— система р^-2
различных конечных комплексных чисел.
Сравним сперва между собой функции т (г, то) и /и (г, о/).
С помощью элементарного соотношения C), гл. VI, § 2 непосред-
непосредственно убеждаемся, что
—). D)
Для оценки среднего значения т (г, —А рассмотрим сумм
Очевидно,
1
С другой стороны, для заданного значения (j.(ji=l, ..,, р
/= ! (i 4- У 1В~аЛ
w — a^K * ~ w — aj'
Если 8 = min(|ah — ак\, 1) (А ф ft), то в каждой точке г, где
для v ф [х имеем
\w — а,| ^ | а^ — а,| — \w — ар | > I
следовательно,
2 ?
' <? п
•> — в.
§ 1]
так чю
Отсюда следует, что
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
w — а.
245.
1 + |i
— д.»
в каждой точке г, в которой выполняется условие F).
Дуги окружности |г|==г, определенные соотношением F), не
имеют общих точек для различных значений jx, поэтому
т (г, /)
ill} J
d<? >
J ^
1 1"-V<il
1
w (re*f) — av
d<f — Iog3.
Далее
Г +|1| 1 ' Г + I 1
>m(r,a) — \og-f
и, наконец,
т{г,.
или, в соединении с E)
?z;)—plogx-10^3-
Если к обеим частям соотношений D) и G) прибавить соответ-
соответственно величины N(r,w') и Л^(г, —А и применить первую основ-
основную теорему в форме
то получим следующий результат, который мы в силу его важности
сформулируем в виде отдельной леммы: J)
:) Значение этого общего двойного неравенства для вопроса о распре-
распределении значений производной иероморфной функции было отмечена
Ullrlch'oM Н. См. также Е. ColHngwood [*].
246 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. ПС
Характеристика Т (г, «/') производной мероморфной функции
w (г) лежит между величинами
т (г, w) -+- N {г, w') + т (г, ^-)
и
Если опустить выражение T(r, w') и ввести выражение B), то
получим следующую предварительную формулировку второй основ-
основной теоремы:
Пусть
()
мероморфная для \z | < R<[ оо функция. Если ах, .. ., ар (р> 2) —
различные конечные комплексные числа, то
- |» (г, flv)< 2Г(г, W)-АГ, (г) + S(г). (8)
Здесь Л^(г) равно выражению B), ар+1=гсю м
^J ^^, (80
где 8 означает наименьшее из чисел 1 и | ah — ah\ (h ф k).
198. Рассмотрим тотчас же подробнее члены правой части этого
важного соотношения. Выражение Nx (r) состоит из двух членов,
из которых N\r, —г) — функция числа нулей производной w' — по-
получает приращения в окрестности тех точек z, в которых w (z)
многократно принимает какое-нибудь конечное значение а; при
этом каждая А-кратная точка является (k — 1)-кратным нулем про-
производной w'. Точно такое же значение имеет второй член
[2jV(r, w) — N(r,w')] по отношению к кратным полюсам функции
w (г). В самом деле, ^-кратный полюс функции w является
{k-\- 1)-кратным полюсом для и/, так что в предыдущий член
^-кратный полюс функции входит с кратностью k — 1.
Выражение Nt (r) измеряет число кратных точек функции
if (г). Его можно записать в виде
l(,) = jbM-bWdt + nt @)logr, (9)
где Wj (/-) указывает число кратных точек функции w (z), лежа-
лежащих в круге | z | <[ г, причем каждая k-кратная точка считается
k — 1 раз.
§ 2] ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ . 247
Что касается последнего члена S (г) в (8), то он играет роль
несущественного добавочного члена. Однако, в случае /? < оо эта
„несущественность" имеет место только тогда, когда характеристика
Т(г) при г->/? достаточно быстро стремится к бесконечности. Мы
дальше увидим, что как только порядок этого роста станет больше
известной границы, то 5 (г) будет иметь порядок log T(г). В случае
/? = оо, когда, следовательно, w (z) мереморфна во всей конечной
плоскости г ф со, это имеет место без всяких дополнительных
условий.
§ 2. Фундаментальное соотношение.
199. Требующаяся еще для окончания доказательства второй
основной теоремы лемма о логарифмической производной была
сперва доказана автором с помощью формулы Пуассона-Иенсена ').
Теперь известны различные ее доказательства. Здесь мы выве-
выведем эту лемму как следствие из общего соотношения, вытекающего
из принципа Ф. Неванлинны 2). Формулировка леммы, приведен-
приведенная в тексте, тесно примыкает к изложению, данному позднее Аль-
форсом ").
Как в гл. VI, § 4, задалим на плоскости w неотрицательное
распределение \t единичной массы и образуем выражение
(о)
где и (г, а), как обычно, означает число а-точек функции w(z),
мероморфной для | z | < /? ^ оо, лежащих в круге | z | <; г < /?. Если
каждый элемент неоднократно упоминавшейся римановой поверх-
поверхности Fr, на которую функция w (г) отображает круг | z \ < г,
покрыть соответствующей ему в плоскости w массой dp, то
Q(r) будет означать всю массу, расположенную на поверхности Fr.
В гл. VI, § 4 мы видели, что при любом выборе распределения |х
интеграл
несущественно больше, чем характеристика Т(г) функции "w(z),
если только порождаемый этим распределением сферический
потенциал
l) R. Nevanlinna [*], р].
8) F. Nevanlinna [*].
3) L. Ahlfors И-
248 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. XI
[k (w, а) означает длину хорды, соединяющей точки w и а] имеет
в точке w = w0 =г w @) конечное значение. Тогда [гл. VI, § 4, A9)]
Q(r)<.T{r) + P(wd, . A0)
где за Т(г) следует взять нормальную сферическую форму характе-
характеристики.
При особом выборе распределения р это соотношение перехо-
переходит даже в асимптотическое равенство. Последнее имеет место не
только тогда, когда за dp берется элемент сферической поверх-
поверхности (тогда Q в точности равно Г), но, согласно гл. VI, § 4, и
тогда, когда единичная масса распределяется на множестве (а) по-
положительной гармонической меры так, что соответствующий лога-
логарифмический потенциал имеет на (а) возможно малый максимум
(распределение Робэна).
200. С помощью метода Ф. Неванлинны и Л. Альфорса можно
получить для Q(r) оценку снизу. Однако, при этом требуется,
чтобы распределение (j. удовлетворяло известным дополнительным
условиям непрерывности. Мы предполагаем:
1) Распределение ц как функция множеств абсолютно непре-
непрерывно. Тогда оно имеет почти всюду на плоскости а неотрицатель-
неотрицательную конечную плотность р (а), и масса ji (е), расположенная на
(измеримом) множестве е, равна интегралу Лебега
(*(«)=/Р (а)
где doa означает элемент площади. В частности, взятый по всей
плоскости интеграл
Масса 2 (г), расположенная на поверхности Fr, может тогда быть
записана в виде
Q (г) = J л (г, а) р (а) doa = J |«,' (*) |« р („ (*)) do,,
\*\<г
где dat означает элемент площади rdrdy в точке г = ге*Р.
2) Функция р (а) настолько правильна, что производная Q' (г)
конечна и равна
Q'(r) = r J |w'(/-«<?) |2p(w(re<?))d<p. A1)
201. При этих еще весьма общих предположениях о распреде-
распределении |* имеет место
§ 2] ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ 24$
Лвмма 1. Для каждого 0<^г<Я выполняются условия
2*
О
И
2%
В самом деле, первое соотношение A2) следует из тождества
A1) на основании известной элементарной теоремы, согласно ко-
которой среднее значение логарифма неотрицательной функции /(*)
самое большее равно логарифму ее среднего значения:
Р
/) A3)
(теорема -о среднем арифметическом и среднем геометрическом).1)
Второе соотношение следует из неравенства
Р
-Ь J
которое является простым следствием из A3). В самом деле, если
положить /j = el°zf то fx = / для />¦ 1 и /j = 1 для / < 1; следо-
следовательно, во всяком случае /j </+ 1. Применение A3) к функции/j
дает тогда
!) Доказывается это, например, так: пусть стоящее справа среднее зна-
значение функции f(x) равно гп; если написать /(дг) = т + 9 {х), то интеграл
от tf (х), взятый от х = а до х = р, будет равен нулю. В силу соотношения
log A -(-*)<*, которое справедливо для действительных t и переходит
в равенство только для t = 0, имеем
¦ Р Р
L ( )
Равенство здесь имеет место только тогда, когда / (почти всюду) равна
постоянной.
250 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Лемма 2, Если w(z) мероморфна для z ф оо, то для Х^-0
%? A4)
исключая самое большее множество Дг значений г @ < г0 < г),
на котором вариации функции у
ограничена.
В самом деле, пусть го>О и Д/— множество значений г>г0,
для которых Q(r)>-/-x(Q(r)J. Тогда
Точно таким же образом найдем, что на множестве значений Д"г,
на котором Q' (г) > /*-1 (Q (г))9,
А"г Д"г д"г
Следовательно, вариация функции — иа множестве Дг =в Д'г-j-Д",
ограничена, и для каждого г, лежащего вне Дг, — < г' 2а <
<rsx-9Q4, откуда следует утверждение11).
Лемма 3. Если w(z) мероморфна в единичном круге U|< 1,
то для X > 0
исключая самое большее множество Дг значений г @ < г < 1),
«а котором вариация функции ¦КA_ ¦&
У" J (l-r)*+i
ограничена '). с (X) — число, зависящее только от X.
*) Собственно следует для 2игог^1, однако, для дальнейшего это не-
несущественно.
Если к — о, то -г- нужно заменить на log r.
*) Для большинства приложений достаточна была бы более грубая и
легче доказываемая оценка.
§ 2] ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ 251
Пусть Д/ множество значений г@<г<1), для которых
Q> (i~г)х+г •
Тогда
Аналогично для множества значений Д*гг@<г<1), где
<у^ ^(l+(log^)a)
а > (i
получается
А",
На множестве Дг = b?r -\- Ыгг вариация функции -—^—— огра-
ограничена (<^[ 2тс). Для каждого значения г, лежащ&го вне Дп спра-
справедливо соотношение A5), как это выводится с помощью фор-
формул C) (гл. VI, § 2) и очевидного соотношения log log t ^ log t.
202. Если объединить доказанные только что леммы с найден-
найденной еще раньше оценкой A0), то придем к искомому соотношению:
Фундаментальное соотношение. Пусть w(z) — функция меро-
морфная для |г|</?<! оо, и \ь — заданное на плоскости w не-
неотрицательное распределение единичной массы с плотностью р (w),
удовлетворяющей условиям 1 и 2, п. 200. Тогда для 0 ^ г < R
имеют место соотношения
7J- Г log(\wr(re*f)\2p(w(re*?))}dv4^.logty(r), A6)
о
1 J log (| wf (re*9) \*p(w (re<?)))dy < logф(г) + log2, A6')
A6")
о
где
Если предположить, что порождаемый распределением
рический потенциал
и; = w @) конечен, то «J» (г) удовлетворяет следующим усло-
условиям:
252 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МВРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. Ш
В случае /? = со для X >. О
log ф (г)< 4 log Г(г) + ЗХ log г + О A), A7)
исключая самое большее множество Д,. значений г, на котором
вариация функции у ограничена.
В случае R = 1 для X >. О
f
A7')
исключая самое большее множество Д^ значений г, на котором
вариация функции \ .. _ \ ограничена.
Фундаментальное соотношение A6) содержит ключ ко второй
основной теореме. Из него следует не только имевшаяся в виду
лемма относительно логарифмической производной мероморфной
функции, но, как показал Ф. Неванлинна, оно может быть также
применено для построения доказательства второй основной теоремы,
совершенно отличного от соображений первого параграфа.
§3. Лемма о логарифмической производной мероморфной функции»
Вторая основная теорема.
203. Чтобы притти к лемме о логарифмической производной»
выберем распределение ji в фундаментальном соотношении так,"
чтобы его плотность определялась формулой
/ n 1 1
Этот выбор допустим, так как вся масса удовлетворяет тогда
условию
Сперва нужно исследовать поведение соответствующего сфери-
сферического потенциала
который входит в остаточный член фундаментального соотноше-
соотношения х).
*) Для наших целей достаточно быжо бы определить, будет ли ()
конечным иди бесконечным. Для полноты мы исследуем поведение Р более
подробво.
§ 3] ЛЕММА О ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ПРОИЗВОДНОЙ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 253
Имеем
Р («о = log Vi + |« I2 -f U («0.
где •
A8)
Для оценки последней величины проще- всего исходить из того,
что она вместе со своей нормальной производной сохраняет, оче-
очевидно, на каждой окружности | w | = г постоянное значение. Следо-
Следовательно, для <w = reib
дг—'J дг "¦"•
о
Отсюда на основании теоремы Гаусса следует, что
, i dU
¦¦- S
||
Это же равенство можно доказать прямо, если подставить под
знак интеграла значение -з—, вычисленное из A8), и, воспользо-
г* log \w — a I 1 д arg (w — а)
вавшись тождеством ^-~ L = — ——^ ¦', проинтегриро-
проинтегрировать по ft.
Если в последнее равенство подставить значение dp, то после
интегрирования получится
= ± (log /l-Klo
— log| w | arctglog| w | — |- log | w {j + GA),
где U(l) конечно J).
Таким образом потенциал P(w) конечен для всех значений w,
исключая w = 0 и w = со.
204. Теперь мы уже можем перейти к собственно нашей задаче
оценки функции т(г, ^~\, Сперва имеем
т
(г ^
1) и
A)
4-
0
2»
и
равно
254 вторая основная теорема теории мероморфных функций [гл. ix
В силу фундаментального соотношения *) первый член справа
не больше, чем -i log <J» (r) + log 2тс, где ty обладает указанными
в фундаментальной теореме свойствами. Верхние границы A7) и
A7') конечны, если только и;(О)фО, оо, ибо тогда значение P(w0)
конечно.
С помощью теоремы о среднем арифметическом и среднем гео-
геометрическом легко оценивается н второй член, стоящий справа:
2я
If
2*
(I
2*
r, w)+m(r, -5
Если w @) = 0 или со, то умножаем w на такую степень z",
чтобы произведение wx = wz* ф 0, 00 для z = 0. Предыдущие
выкладки применимы тогда к функции wv и так как функции
т(г, —) и туг, —-J, также как и характеристики функций w и
Wy отличаются друг от друга самое большее на величину порядка
О (logг), то заключаем, что предыдущие оценки справедливы и
в этом случае, если только к найденным оценкам прибавить член
порядка О.(logг). ^
Если подставить теперь оценки A7) и A7') для ty(r), то полу-
получим следующую теорему:
Теорема о логарифмической производной. Если w(z) меро-
иорфна для | г | < R < оо, то для R = co
m{r> -J-) =* О (log гГ (г)), A9)
исключая самое большее \множество Аг значений г, на котором
вариация функции -?— (X ^- 0) ограничена.
Для /?=1
m
{r> Jw)=-(k + 1)l°e1~+o(loglogT^) + 0(logT(r)), A97
•) Полагая (e) ^ l
> (log)
§ 3] ЛЕММА О'ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ПРОИЗВОДНОЙ МЕРОМОРФНОЙ Ф НКЦИИ 255
исключая самое большее множество Дг значений г, на котором
вариация функции , .. х (X ^. 0) ограничена J).
Из этой теоремы видно, что функция т (г, —) существенно бо-
более низкого порядка, чем характеристика функции w (г). В случае
функции мероморфной в единичном круге это в силу A9') спра-
справедливо, однако, только тогда, когда характеристика растет не
медленнее, чем log . _ (Х = 0). Кая выяснится из дальнейшего,
это ограничение не является искусственным, связанным с применен-
примененным доказательством: мы увидим, что указанный порядок роста
действительно является критическим для свойств распределения
значений функции, мероморфной в единичном круге.
205. Соединяя предыдущую теорему с результатами § 1, мы
придем, наконец, к нашей цели:
Вторая основная теорема. Пусть w(z) — функция, мероморф-
ная для z | < R < оо и av ..., aq (q >. 3) —различные конечные
или бесконечные числа. При этих условиях для г < R
2 т (г, а,) < 2 Т (г) — Л^ (г) -f 5 (г), (»)
где
г
Ъ (г) «= J %Р dt + Ч @) log r B0)
о
есть определенная на стр. 243 функция числа кратных точек
функции w(z), а остаточный член S(r) удовлетворяет следующим
условиям:
1) Если R= со, то
S¦(/¦)< О (log rT(г)) B1)
всюду за исключением, быть может, значений г, принадлежащих
к последовательности интервалов Дг, на которых вариация функ-
ции-г- (X ^ 0) ограничена.
2) Если /?=1, то
S(r)< (X + l)log -У7Г7+0 (loglog-p^rj-f O(log T(r)) B2)
всюду за исключением, быть может, значений г, принадлежащих
к последовательности интервалов Дг, на которых вариация
функции . , к (Я ^ 0) ограничена.
а
Прибавляя к обеим частям (II) сумму 2^(r» fls) и учитывая
1
1
первую основную теорему m-\~N=T, мы придем к другой форме
второй основной теоремы, более удобной для многих применений.
]) См. R. Nevaiilinna J4j, H. Seiberg [1], F. Nevanlinna [4].
256 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
Именно, вместо (II) мы получим
(д - 2) T(r) < S N(r, а,)—ЛГ, (г) + S(r), (П')
где S обладает указанными выше свойствами 1 и 2.
206. В случае, когда выражение
2ЛГ(Г, O = /V(r) B3)
имеет конечный порядок (/? = со), предыдущий результат может быть
dN
существенно дополнен. В этом случае и величина « = -rj имеет
конечный порядок (ср. стр. 223), и, следовательно, существует такое
число X, что, начиная с некоторого значения г = г0, имеем
я < гА+1. Пусть теперь г' — точка одного из исключительных интер-
интервалов Дг и г — правый конец этого интервала. Тогда, коль скоро
rf>r0,
г
ЛГ (г) —ЛГ (/¦')< j гЫг,
г'
причем эта разность в силу свойств исключительных интервалов Дг
ограничена числом, не зависящим от г. Следовательно, в силу (II')
(</ — 2) Т(г')< (<7-2) Т(г) <M(r)~N,(г) + 5(г)<ЛГ(г')-
Л^ (/) -f- 5 (г) + [N(r) - N(/)] = ЛГ(гО - N, (г') + 5 (г) + О A).
Но вне (открытых) интервалов Дг величина 5(г)< О (logrT(г)) =
= О (log r). Если учесть, что вариация функции log r на интервалах
Дг ограничена (Х = 0) и что, следовательно, то же самое спра-
справедливо для функции log -p , то убедимся в том, что соотношение
(II') имеет место и для исключительных интервалов &г с ?(/¦) =
= О (log r).
Если R = со и выражение B3) конечного порядка, то соотно-
соотношения (II) и (II') имеют место для всех г без исключения, и следо-
следовательно,
{q — 2)T (г) < S N{r, ач) — N, (г) + С (log r). B4)
Аналогично, если /?=1 и сумма ЛГ(г) при г -> 1 конечного
порядка, т. е.
log
конечен, то соотношения (II) и (II') имеют место для всех значений
г<1 с S^
« 4] ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ Э57
§ 4. Прямое доказательство второй основной теоремы
с помощью фундаментального соотношения.
207. Как показал Ф. Неванлинна [9], фундаментальное соотно-
соотношение § 2 может быть использовано для прямого доказательства
второй основной теоремы, совершенно независимого от рассмотре-
рассмотрений § 1 и § 3. К рассмотрению этого доказательства мы теперь и
переходим *).
Чтобы получить основную теорему, Ф. Иеванлинна полагает
распределение (а в фундаментальном соотношении A6) § 2 равным
неевклидовой гиперболической площади плоскости W с выключен-
выключенными точками av ..., aq(q^3). Как было изложено в гл.1, § 2,
мы приходим к гиперболической мере этой ^-связной области Р„
отображая конформно ее универсальную поверхность наложения Z700,
принадлежащую в силу условия у>3 к гиперболическому типу, на
однолистный круг |х|< 1 (ср. гл. I, § 2). Это совершается с по-
помощью линейно-полиморфной функции х = х (w; av ..., aq), раз-
различные ветви которой связаны группой ? линейных преобразова-
преобразований S, оставляющих инвариантным единичный круг К. Обратнаа
функция w = <р (х), производящая отображение К -* F^, автоморфна
относительно этой группы.
Если в круге К ввести неевклидово мероопределение Лобачев-
Лобачевского-Пуанкаре, полагая длину do элемента дуги dx равной
(гл. I, § 1), то do будет инвариантна относительно всех линейных
преобразований, переводящих круг К в самого себя; следовательно,
в частности, она будет инвариантна относительно каждого преобра-
преобразования группы Е. Отсюда следует, что если это мероопределение
перенести с помощью отображения K-*f*T, то оно будет одно-
однозначно определено не только на поверхности F™, но и на основной
поверхности Fq (см. гл. III, § 3).
Неевклидов элемент площади в точке w определяется как
квадрат величины do. Таким образом, для плотности dp соответ-
соответствующего элемента площади в точке w получается выражение
\dx *
dpI dw
P
где x(w) — предыдущая линейно-полиморфная функция, a d/w —
1) То, что мы предпочли сперва изложить доказательство § 1, 2, 3,
объясняется отчасти большей его наглядностью, отчасти тем, что упо-
употребленный метод и лемма о логарифмической производной имеют зна-
значение и для других вопросов теории мероморфньи функций. См.
Я Nevanlinna [Б], гл. V.
258 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. IX
евклидов элемент площади. С этим значением р применяется фунда-
фундаментальное соотношение A6), причем |х, соответственно р, нужно
так нормировать, чтобы вся расположенная на поверхности Ft
масса
B5)
равнялась 1, что достигается простым делением величин ja и р на
значение \ь0 всей массы.
Однако, сперва мы должны убедиться в том, что величина ^
неевклидовой площади поверхности Fg конечна. Для этого восполь-
воспользуемся разложениями отображающей функции х (w), установленными
нами предварительно еще в гл. I, § 3, стр. 24. Согласно этим раз-
разложениям, если с означает точку окружности | х | = 1, соответствую-
соответствующую предельной точке а — ач поверхности Т7 [для произвольной
фиксированной вблизи а — ач ветви функции x(w)\, то
l±f = a + plog(^-a) + «(^ — a), (86)
где « и р — постоянные, а е-> 0 при w -»• а. Отсюда следует, чт©
\dw\c — x)\~\c—дс|а| dt»| [w—el'
следовательно,
йлг I*
где X — положительная постоянная.
Для предельной точки а=<х> нужно в разложении B6) заме-
заменить w — а на — и вместо B7) для а = со получится
'dwl ,/ 1
¦)"• BП
г A — | jc (*)« "V|«|!og|«
208. Применяя эти асимптотические разложения плотности р
в окрестности предельных точек «e = e,(v=l, ..., q), легко дока-
доказать, что, во-первых, ^ конечно х) и, во-вторых, что порожденный
2) Если желательно зиать точное значение jiq, то соединим точки ах и о-.,
в2 и а8,..., ад_! и яд = со соответственно дугами (?!,.... Qq-\. Последние
могут быть выбраны так, чтобы при отображении /^° -> /f они переходили
в дуги окружностей, ортогональных к единичной окружности |.v|= 1. Раз-
резан'гая вдоль дуг Q1( ..., Qq-i плоскость w отображается посредством
§ 4] прямое доказательство второй основной теоремы 269
распределением — сферический потенциал
имеет конечное значение в каждой точке w, отличной от аи ...,
Фундаментальное соотношение A6) дает нам теперь
2к 2ic
ij. J log| w'{re**) | rf? + i- J log /p(w(«*»))<^ <
о о
^ log Mo I log Ф (г) /ООч
-5г> 2 I 2 ' ^ '
где (i0 означает всю массу и ty(r) удовлетворяет условиям п. 202
произвольной ветви функции x(w) на криволинейный многоугольник т.
с нулевыми углами, ограиичевный 1(q — 1) дугами ортогональных окруж-
окружностей, соответствующих сечениям Qv(v= 1,..., q— 1), Переходя с помощью
преобразования x — x(w) к многоугольнику тс, мы для (л^ получим выра-
выражение
где интегрирование производится по площади многоугольника я, a d/a, =
= /-d/-d-f равняется евклидову элементу площади в точке x = re*v.
Для вычисления интеграла удобнее всего воспользоваться диферен-
циальным уравнением Ди = 4е2и, которому удовлетворяет логарифм отноше-
отношения неевклидовой длины элемента дуги к его евклидовой длине (гл. I, § 1):
log г-т^-j = log j~—:—s. Формула преобразования Гаусса дает тогда
где интеграл слева берется по периметру многоугольника к. Если через &
обозначить угол, образуемый направлением внутренней нормали с радиу-
радиусом-вектором @, х), и через М н р обозначить центр н радиус дуги! оро-
гональ.ой окружности, проходящей через точку х, то из треугольника ОМх
будем иу.еть: ОМ— У1 + р2, cos*=-h—. Следовательно,
/ди
ди . Г ди
Здесь — равно элементу dfy центрального угла дуги L, изменение кото-
р
рого на L равно л — Ф, где Ф означает угол, под котором видна дуга L из
нулевой точки дс = О. Так как число сторон многоугольника тс равно 2(q — 1),
то линейный интеграл равен '2т. (q — 1) — 2n = 2n(q — 2) и, следовательно,
для неевклидовой площади области Fq получается значение -i- (q — 2). Это
не что иное, как теорема гиперболической геометрии о дефекте углов
(Winkeldefekt) и площади многоугольника.
260 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕрОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. ОС
По теореме Иенсена
-к- f log | та/' 1 rf«p == N[r, —7-) — N(r, w") -\- const.
0
Для второго интеграла найдем, применяя асимптотические раз-
разложения B7) и B7')
2* 3 — 1
l||)rf4 A).
Интегралы от простых логарифмов дают средние значения
m(r, flv). Что касается интегралов от двойных логарифмов, то, оце-
оценивая их с помощью теоремы о среднем арифметическом и среднем
геометрическом, мы найдем, что они порядка О (log m (г, а,)) и,
следовательно, в силу первой основной теоремы также порядка
О (log Г (г)).
Окончательно из B8) получается
3-1
r* w) ~ N(r> ™Г) + H m (r> a<) ~ m {r> oo) <
"" ^o(log T(r)).
Если к обеим частям прибавить еще величину 2т (г, со) = 2Г(г)
— 2jV(r, со), то получим
2Т(г) -^(г) + 1&Ш + O(log T(r)).
где jVj означает неоднократно упоминавшееся выражение
?г, w)-N(r, w')].
р
= N(r, ?
Но полученное неравенство с учетом свойств функции ^ (г),
входящей в фундаментальное соотношение A6), есть не что иное,
как вторая основная теорема (II). Для конечности потенциала P(w0),
входящего в верхнюю границу функции 4ЧГ)> нужно, однако, доба-
добавить предположение, что ©@)=а;офо,.
209. Если, как выше, за основу взять фундаментальное соотно-
соотношение A6), то можно, как заметил Альфорс (Ahlfors [8]), притти
к цели проще, чем при использовании неевклидового распределения.
Достаточно задать плотность элементарно, притом так, чтобы в кри-
критических точках ач она вела себя как плотность неевклидового рас-
распределения. Например, достаточно применить фундаментальное соот-
соотношение с плотностью
§ 4] ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ 261"
где k A0, а) означает длину хорды, соединяющей точки ни и а,.
и где постоянная с должна быть выбрана так, чтобы вся масса
равнялась 1 (Альфорс, там же).
Мы, однако, предпочли следовать первоначальному, менее эле-
элементарному способу Ф. Неванлинны, так как применение отобра-
отображающей функции x(w; av ..., с„) и связанного с ней неевклндо-
вого мероопределения никоим образам нельзя рассматривать как
нечто искусственное; наоборот, оно является естественным обобще-
обобщением первоначального доказательства, основанного на применении
модулярной функции, с помощью которого Пикар обосновал свою
знаменитую теорему (ср. гл. I, § 3). Стоит несколько более по-
подробно остановиться на руководящей идее, указывающей для уни-
формизирующей функции x(w; av ..., ад) вполне естественное-
место в теории распределения значений мероморфной функции.
210. Пусть 1а = 110 (г) — мероморфная для \z | < R <] оо функция,
выпускающая значения ах, ..., ag(q^2). Линейно-полиморфная
функция x = x(w; av ..., aq) отображает универсальную поверх-
поверхность наложения Z7 плоскости w с выключенными точками av ..., aq
на всю конечную плоскость х ф со (параболический случай),
если q = 2, и на единичный круг |л:|<1 (гиперболический случай),
если q > 2. Если теперь в точке w = w0 = w @) зафиксировать
произвольную ветвь отображающей функции x = x(w), то в силу
того, что w(z) не принимает значений с„ эту ветвь можно неогра-
неограниченно продолжить в круге |г|</?; по теореме о монодромии
она представляет поэтому однозначную функцию x(w(z))=f(z).
Если w = <p(x; au ..., ад) означает обратную к x(w; au ..., aq)
функцию, автоморфную для |л:|<оо (если <7 = 2) или в круге
|лг|<1 (если q > 2), то заданная функция w (г), выпускающая
значения а„ будет равна
(;av ...,aq), B9)
где /(г) — функция, регулярная для | z \ < R, которая в случае q > 2
ограничена (|/| < 1).
Соотношение B9) представляет собою общее выражение функ-
функции, мероморфной для \ z | < R ^ со, выпускающей заданные зна-
значения с,(v= 1, ..., q). В самом деле, мы видели, что всякая такая
функция допускает представление B9); обратно, если f(z) регулярна
для \z\<^R и ограничена в случае <7>2(|/|<1), а в остальном
произвольна, то B9) определяет функцию w(z) указанного вида.
Проблема нахождения совокупности всех функций, мероморфных
для \z\<iR, выпускающих q~^2 значений av...,ag, решается,
таким образом, с помощью линейно - полиморфной функции
x(w, av ..., с_). В случае q = 2 функция x(w) равна log-~~ai,
и вопрос идет, следовательно, об элементарном результате, согласно
которому функция w(г), выпускающая для \z\ < R два значения av a2,
является линейной функцией от функции ef№, где f(z) регулярна
262 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [гл. IX
для \z\<R. Если, напротив, ?>2, то из теоремы Лиувилля
следует, что в случае /?=оо функция f(z), а, следовательно,
и w(z) тождественно равняется постоянной< это — теорема Пикара
(ср. гл. 1,§3).
211. Если рассмотренная мероморфная функция w(z) более
не выпускает заданных значений а,, то естественно применить пре-
предыдущий метод для исследования точек, в которых w(z) при-
ниыает эти особые значения. В самом деле, эти точки отличаются
тем, что они являются особыми для функции x(w(z)\ cx, ..., ад).
Исследование этих особенностей затрудняется многозначностью
функции x(w) в их окрестности, поэтому нужно найти такое зази-
сящее от x(w(z); at, ..., aq) выражение, которое, не теряя осо-
особого характера в точках w = ач, было бы в то же время одно-
однозначным. ')
Таким выражением в случае q = 2, когда х (w) = log w, если
для краткости положить а1 = 0, 02=00, служит отношение -т~ =
= — евклидовых длин соответствующих друг другу элементов
дуг dx и dw. Логарифм этого отношения и (w; av a2) = log —
удовлетворяет уравнению Лапласа Дя = 0 во всех точках да, исклю-
исключая критические точки ^ = 0, с2=оо, в которых он становится
логарифмически бесконечным. Если положить и (w (z); av с2) == и (z),
то u(z) будет гармонична во всех точках \z\<iR, исключая точки,
в которых w=0 или со. Интегрирование диференциального уравнения
Ди = 0 дает нам при учете этих особых точек формулу Иенсена,
которая послужила основным вспомогательным средством при иссле-
исследовании распределения нулей и полюсов мероморфной функции.
В случае q > 2, когда поверхность F^ отобразима на единичный
круг, естественно заменить евклидову длину линейного элемента | dx |
его неевклидовой, гиперболической длиной da, которая имеет одно
и то же значение da = 1 ' . '.^ для всех ветвей функции х (w). Если
тогда положить и (да; av ..., a?) = logT-^-|, то и будет однознач-
однозначной функцией от w, удовлетворяющей диференциальному уравнению
Дк = 4в2и во всех точках да, исключая критические точки а1г ..., ад.
в которых она становится логарифмически бесконечной (ср. стр. 258).
Определенная с помощью функции w (z), мероморфной для \г\ < ^^ оо,
функция v(z)s= u(w(z))-}-log \-^
от z также однозначна и удо-
удовлетворяет диференциальному уравнению Д^ = 4e2t>; таким образом,
мы приходим к интегрированию диференциального уравнения в част-
частных производных: \a = 4:eio с учетом особых точек функции v,
каковыми являются те точки \z\<R, в которых w(z) принимает
!) Cv. F. Nevanlinna Щ,
§ 4] ПРЯМОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВТОРОЙ4 ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ 263
критические значения av ...,ag. Но если интегрирование уравнения
Дн = 0 (q = 2) приводило к точной формуле о среднем (формула
Иенсена), то в настоящем, более сложном случае, мы приходим
только к приближенному результату: таковым на самом деле и мо-
может быть рассматриваемо фундаментальное соотношение A6), если
распределение \i положить равным неевклидовой площади элемента
поверхности.1)
212. Чтобы объяснить эту связь детальнее и одновременно испы-
испытать точность фундаментального соотношения, исследуем последнее
соотношение подробнее в простейшем случае, когда функция w{z)
для | г | < R выпускает значения av ..., са. Так как плотность р
неевклидового поверхностного распределения равна
то интеграл, стоящий слева в фундаментальном соотношении A6),
равен
где v — вышеопределенная функция
v = u{w(_z); av ...,
удовлетворяющая диференциальному уравнению А© = 4е*'. Применяя
интегральную формулу Гаусса, получим для этого интеграла зна-
значение
где
9(г)«=4-, J Ltvdft=i J
у ' 4 1«|<г * '* \*\<г
i J
есть неевклидова площадь римановой поверхности Fr, на которую
заданная функция да = да (z) отображает круг | г | <[ г. Если, как в § 2,
положить
Q(T) = J u-f dt = ±fv
о о
то из фундаментального соотношения будет следовать, что [ср. A1)]
l) Для общей плотности р вопрос идет аналогичным образом об инте-
интегрировании уравнения Пуассона: Ди = п~
264 ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 1Х}
рде / = logr. Если положить
то
Умножая обе части этого неравенства на _у'>0 и интегрируя
между t0 и t (t<logR), мы получим
(/ (ОJ — (/ Со)J > 4 (в* « — ^ W).
Если теперь *0 устремить к — оо и предположить, что
а„ • • -, ад( = «') и да'(О)фО, то в силу C0) y(to)-> — со
и ^>' (f0) = -~ ^- -f- 1 ->¦ 1. Предыдущее соотношение переходит, сле-
следовательно, в
откуда интегрированием в пределах от t до т (< = logr<t
^) получается
/р\2
или
Если еще подставить значение у и совершить предельный переход
р -* R, то получится следующая
Теорема. Среднее значение неевклидового инварианта
\dx\\dw\
удовлетворяет для /¦</? соотношению
Если да (г) в окрестности нулевой точки имеет разложение
(г) = ?„+-0^ +•..., то отсюда при г->0 следует, что
Это — теорема Пикара-Ландау в точной форме гл. IV, § 5, где
х(с0) было выбрано равным нулю.
Более обще может быть показано, что соотношение C1) пере-
переходит в равенство, если мероморфная функция да (z) совпадает
с автоморфной функцией, отображающей круг \z\<R на универ-
универсальную поверхность наложения F,00.
ТЕОРЕМА ПИКЛРЛ-БОРЕЛЯ 265-
X. ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ.
§ 1. Теорема Пикара-Бореля.
213. Для функции w(z), мероморфной во всей конечной пло-
плоскости z ф со, имеет место теорема Пикара: существует самое боль-
большее два значения, которые эта функция может не принимать, иначе
она тождественно равняется постоянной; последний, тривиальный
случай в дальнейшем исключен раз навсегда. В связи с первой
основной теоремой мы дальше нашли, что такая функция прини-
принимает почти все значения а с частотой N(r, а), соответствующей
характеристике T(r, w). В случае мероморфной функции дробного
порядка эти результаты были еще усилены, — именно, было пока-
показано, что для них существует не более одного исключительного
значения, для которого величина N (г, а) более низкого порядка
(типа, класса), чем характеристика. Однако, уже простые примеры
показывают, что соответствующее для функций целого порядка уже
не справедливо; так, показательная функция е" имеет два исключи-
исключительных значения @, оо), а в гл. VIII, § 4 мы рассмотрели случай,
когда может иметь место понижение типа или класса величины
N(r, а) для двух значений а. Что, с другой стороны, число таких
исключительных значений не превышает двух, составляет основное-
содержание обобщения теоремы Пикара, данного Борелем (Borel p]).
214. Теорема Пикара-Бореля и ее дальнейшие обобщения *)•
непосредственно вытекают из второй основной теоремы. Если поло-
положить <7 = 3, т. е. если взять три различных числа с1; а2, as, то
из основных теорем для любого значения а получается следующее
двойное неравенство:
Щг, а) + ОA)<ГО)<ЛГ(г, ai)-f ЛГ(г, а2) + Л/(г, as)-\-S(r), A)
где остаточный член S(r) удовлетворяет условиям, указанным во
второй основной теореме. Соотношение A) показывает, что распре-
распределение а-точек для трех значений а в основном определяет воз-
возрастание характеристики Т{г), а тем самым и распределение
всех а-точек.
Докажем теперь следующую теорему:
Если интеграл
f^ (в)
сходится для трех различных значений а, то интеграл
со
также сходится, и интеграл B) сходится тогда для всех значе-
значений а.
») См. Q. Valiron pj, R. Nevanlinna PJ, [*].
266 ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. X
Это непосредственно следует из соотношения A), если обе его
части умножить на —^- и проинтегрировать между пределами г0 и
г @<г0<г), ибо интеграл от остаточного члена
f Sir)
dr
при г -*¦ оо сходится. В самом деле, из предположений нашей тео-
з
ремы следует, что сумма М(г) = 2 ^(г> av) — конечного порядка
(^jj.) (стр. 223), а тогда по зторой основной теореме (дополнение
на стр. 256) S(r) = O (log г), откуда следует сходимость предыду-
предыдущего интеграла при г->-оо.
Если учесть связь между предельным показателем интегра-
интеграла B), с одной стороны, и порядком (типом, классом) подинте-
гральных функций N(r, а) и Т{г), с другой стороны (стр. 256), то
получится
Теорема Пикара-Бореля. Для мероморфной функции, отличной
от постоянной, существует самое большее два значения а, для
которых функция N(r, а) [соответственно п (г, с)] более низкого
порядка {типа, класса), чем характеристика Т{г) *).
216. Пусть в частности w(z) целого порядка g-\-l. Из теоремы
Пикара-Бореля следует тогда: если интеграл
расходится, то интегралы
и сумма
1 \а-И
Ал))
сходятся самое большее для двух* значений а. Этот результат
показывает, что случай, когда жанр мероморфной функции класса
расходимости целого порядка q -J-1 понижается, нужно действи-
действительно рассматривать как исключительный, который наступает
только тогда, когда 0 и со являются исключительными значениями
*) Если N(r, а) нулевого порядка (что соответствует ц = 0) и макси-
максимального типа для трех вначений а, то в силу A) и Т(г) нулевого порядка,
притом максимального типа [так как Т(г) ^ О (log г)]. Если бы далее
N(r, а) для трех значений было более низкого типа, те r(^) = O(log^) и
рассматриваемая мероморфная функция была бы рациональной функцией.
Но для рациональных функций N(r, a) = О (log/-) (ср. стр. 174), исключая,
быть может, одно значение а. Полученное противоречие показывает, что
теорема Пикара-Бореля справедлива и в этой предельном случае.
§ 1] ТЕОРЕМА ПИКАРА-ВОРЕЛЯ 267
в смысле Пикара-Бореля, для которых величины N(rt 0) и N(r, оо)
принадлежат к классу сходимости. Учитывая сформулированное
в п. 190 правило для определения жанра мероморфной функции
целого порядка, мы можем утверждать следующее:
Если мероморфная функция w (г) принадлежит к классу расхо-
расходимости минимального типа целого порядка q-\-l, т. е., если
то частное
имеет жанр ^ —f— 1, исключая самое большее для одной пары «ш-
сел (а, Ь) 1).
216. Спрашивается, в какой мере теорема Пикара-Бореля может
быть распространена на функции, мероморфные в единичном круге
(случай R = 1). Напомним, что определенная для 0 <^ г< 1 положи-
положительная монотонно-возрастающая функция s(r) называется порядка
(t J (или, короче, порядка X, Х^.0), если
ш 1<>
Так же, как на стр. 221, доказывается, что s(r) тогда и только
тогда порядка X, когда X является предельным показателем инте-
интеграла
1
т. е. когда этот интеграл сходится для ^>Х и расходится для
(t<X. Далее, s(r) принадлежит к классу сходимости или расходи-
расходимости в зависимости от того, сходится или расходится предыдущий
интеграл для (t = X. Первый случай возможен только тогда, когда
s(r) минимального типа порядка X, т. е. когда произведение
5(Г)A-Г>
при г -»> 1 исчезает.
Из тождества @<г0<г<1)
г.
') Если одно из этих чисел, например, Ь, равво со, то частное нужно
заменить на w — а.
268 ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. X
заключаем, как на стр. 223, что интегралы
JN(r, а)A—гу-Ыг и jn(r, а)(\—г)Ыг • D)
для (i>0 одновременно сходятся или расходятся. Соотношение
t, a).
показывает далее, что ряд
1
J A _гу-и dn{r, а) = ^ A -г,
для{1-}-1>0 сходится или расходится одновременно со вторым-
из интегралов D).
Из первой основной теоремы следует, что сходимость интеграла
для заданного ц>0 влечет за собой сходимость величин
J N{r, a) A — г)*- Ыг, fn (г, а) A - г)» dr, %(l—r, (а))^ F)
независимо от выбора значения а. Следовательно, если Т(г) порядка
Х>0, то и (г, а) самое большее порядка Х-f-l и предельный пока-
показатель ряда
2A—г, (а))" G)
самое большее равен Х-j-l. В качестве примера рассмотрим регу-
регулярную для Iг|< 1 функцию
A±1\х+1
^> (8)
порядок которой, как легко подсчитать, равен X (т. е. характери-
характеристика Т(г) этой функции имеет порядок А). Для функции w вели-
величины N (г, а) и и (г, а) соответственно порядков X и X —j- 1 и пре-
предельный показатель у. ряда G) равен X —)— 1 для всех значений с,
исключая оба исключительных значения а = 0, оо.
217. И здесь вторая основная теорема показывает, что число
таких исключительных значений не превосходит двух. Именно,
§ 2] СООТНОШЕНИЯ ДЕФЕКТОВ 269
с помощью интегрирования доказывается, точно так же как в п. 214,
следующая теорема, обобщающая теорему Пикара-Бореля на функ-
функции, мероморфные в единичном круге:
Если w(z) мероморфна для |г|<1 и выражения F) при (t>0
конечны для трех различных значений а, то то же самое имеет
место для всех значений а.
Для |* = 0 этот результат более не-справедлив*). В этом случае
мы приходим к одновременной сходимости или расходимости вели-
величин (ср. стр. 268)
УA—г,(а)) и
Если они конечны для трех значений а, то вторая основная теорема
не позволяет отсюда сделать заключение, что характеристика Т(г)
ограничена, ибо справа стоит еще остаточный член S(r), который
неограничен. И в самом деле, мы уже знаем на основании результа-
результатов гл. VII, § 5, что существуют функции, выпускающие множе-
множество значений мощности континуума и все же имеющие неогра-
неограниченную характеристику. Такие случаи встречаются среди
автоморфных функций, которые отображают единичный круг на
универсальную поверхность наложения однолистной области, огра-
ограниченной гармоническим нульмножеством.
Вторая основная теорема правильно указывает пределы справед-
справедливости теоремы Пикара. Для остаточного члена S(r) мы нашли
верхнюю границу О flog . j; следовательно, если Т(г) имеет
меньший порядок роста, то S(r) перестает играть роль остаточного
члена и основная теорема более не применима к теории исключи-
исключительных значений. С другой стороны, если характеристика при
/¦-»¦ 1 стремится к бесконечности не быстрее, чем log , то и
теорема Пикара-Бореля перестает быть справедливой. В самом деле,
из результатов гл. IX, § 4 можно заключить, что характеристика
модулярной функции асимптотически ведет себя на log-у——, но
модулярная функция имеет уже три пикаровских исключительных
значения.
§ 2. Соотношения дефектов.
218. До сих пор мы применяли вторую основную теорему к слу-
случаю # = 3. Более подробный анализ этой теоремы в ее общей
форме приведет нас к новому точному и вполне определенному
классу исключительных значений.
Рассмотрим сперва параболический случай R = оо, когда, сле-
следовательно, функция w {?) Ф const мероморфна для z ф оо. Если
•) Ср. примечание на стр. 266.
270 ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОМ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. X
обе части соотношения m(r, a)-\-N(r, а) — Т(г) разделить на Т(г)
и совершить предельный переход г -»¦ оо, то получим
„ж N
откуда видно, что пределы неопределенности отношении -=¦ и -у
при г-> оо лежат между 0 и 1. В частности, это имеет место для
величины
поведение которой может быть точно исследовано с помощью мето-
методов гл. IX.
В самом деле, что говорит вторая основная теорема об этих
пределах неопределенности? Если разделить обе части соотноше-
соотношения (II) на Т(г), то
и мы найдем, что
функции, мероморфной во всей конечной плоскости z ф оо,
имеет место соотношение
2^|^^ A0)
Соотношение A0) будет справедливо a fortiori, если слева опус-
опустить во всяком случае неотрицательный член, связанный с кратными
точками функции. Следовательно, если при условиях предыдущей
тео/емы положить
Г->оо
то 0-<8<1 и
I *(«.)< 2- A2)
*) Для рациональной функции, когда Т(г) = О (log r), соотношение тре-
требует особого доказательства. Это доказательство получается, например,
из соотношения
W-2O»<2tf(r, e,)-MW + O(l),
справедливою для рациональных функций, что доказывается непосред-
непосредственным подсчетом величин N(r, в,) и Их (г).
§ 2] - СООТНОШЕНИЯ ДЕФЕКТОВ 2Т1
Следовательно, число тех значений а, для которых величина 8 (а),
дефект (Defekf) значения а, больше, чем заданное положительное
число- 8р не превосходит у . Если 8ц 82, ... — последовательность
положительных чисел, монотонно убывающая к нулю, то суще-
существует не более кснечиого числа значений а, для которых дефект
8 (а) лежит в интервале 8, ^> 8 (а) > 8,+1, и так как это имеет меето-
для каждого значения v, то отсюда заключаем, что дефект может
быть положительным не более чем для счетного числа значений а.
Из соотношения A2), где q может быть выбрано сколь угодно
большим, следует тогда х)
Теорема о сумме дефектов. Если w (z) — функция, мероморфная
для г ф оэ, ото определенный формулой A1) дефект 8 (а) равен
нулю для каждого значения а, исключая самое большее счетное
множество значений а, сумма дефектов которых не превы-
превышает 2:
28(«)<2.
219. Величина дефекта 8 (а), лежащая в интервале
дает нам очень точную меру для относительной плотности тех
точек, где w{z) принимает значение а. Чем больше дефект, тем
меньше число этих точек*). Своего максимального значения 1 де-
дефект достигает тогда, когда число точек очень мало, например,
в предельном случае, когда значение а является пикаровским.
исключительным значением.
Соотношение дефектов A3) позволяет нам теперь считать нор-
нормальным значением (Normalwert) всякое значение а, для которого
дефект 8(а) = 0, напротив, считать дефектным значением всякое
значение а, для которого 8 (а) > 0. Последние являются исключи-
исключительными значениями и их может быть не более счетного числа.
Мероморфная функция имеет не б.?лее двух пикаровских или пикаро-
борелевских исключительных значений. То, что число дефектных,
значений неограниченно, находит свое естественное объяснение
в том обстоятельстве, что понятие дефекта выдвигает более тонкие
различия в плотности распределения различных а-точек, которые
не учитывала старая теория распределения значений Пикара-
Бореля. Несмотря на это различие, соотношение дефектов все же
следует рассматривать как целесообразное обобщение теоремы
Пикара-Бореля: то же самое число 2, которое в теореме Пика-
ра представляет наибольшее число исключительных значений, не
даег, правда, уже наибольшего числа исключительных значений, но
зато оно дает верхнюю границу для полного дефекта этих значе-
значений. В действительности теорема Пикара представляет непосред-
непосредственное следствие из соотношения дефектов, так как пикаровские
!) R. Nevanlinna ['].
*) Следует помнить, что каждая точка считается столько раз, какова*
кратность функции w(z) в этой точке.
272 ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. X
исключительные значения имеют дефект 1, и, следовательно, число
их не превосходит 2.
Если мероморфная функция имеет два пикаровских исключи-
исключительных значения, то полный дефект достигает своего максималь-
«ого значения 2. С точки зрения соотношения дефектов интереснее
то, что существуют функции с несколькими дефектными значениями,
•сумма дефектов которых тоже равна 2. Такой функцией является,
лапример, функция
а
f A4)
об асимптотических свойствах которой неоднократно уже говорилось.
Напомним, что эта функция в каждом угле
VIC
are г
к
имеет асимптотическое или целевое значение, причем все целевые
значения а^(^ = 1, ..., q), соответствующие четным значениям
v==2[A, конечны и между собой различны, в то время как во всех
углах W2|i-i ([i=l,..., q) функция w(z) стремится к ад+1 = со.
Эти q-\-l асимптотические значения являются одновременно и
дефектными значениями. С помощью асимптотических разложений
гл. VI, § 2 для соответствующих дефектов получаем значения
8(ai)=...=S(ae)=i; 8Кн) = 1.
так что полный дефект 2 8 (в) действительно равен 2.
220. Соотношение дефектов приводит к следующей проблеме:
Каждому значению заданной последовательности значений
¦аи ..., в„ ... поставлено в соответствие число 8, интервала
0 < 8 ^ 1 так, что 2^ (ач) = 2. Требуется построить мероморф-
ную функцию, имеющую значения ач в качестве дефектных
значений с
5(av)=S, (v=l, 2, ...)•
В следующей главе мы рассмотрим вполне определенный класс
мероморфных функций, решающих эту проблему полностью при
дополнительном условии, что число значений а, конечно и заданные
дефекты—рациональные числа.
Если искать функции, обладающие максимальным дефектом 2,
то нужно учитывать то, что член N1(r), происходящий от кратных
точек при /•-> оо, должен быть бесконечно малым по сравнению
с характеристикой Т{г), ибо, иначе, в силу A0) сумма дефектов
будет меньше 2. Следовательно, примеры таких функций нужно
искать среди функций, имеющих мало, а в предельном случае и
совсем не имеющих кратных точек. К этому классу функций при-
«адлежит целая функция A4), производная которой отлична от
§ 2] Соотношения дефектов 2?3
нуля и, более обще, все вышеупомянутые мероморфные функции
с конечным числом рациональных дефектов.
221. .Спрашивается, всегда ли, с другой стороны, мероморфные
функции без кратных точек имеют максимальный полный дефект 2?
Из различных соображений, действительно, представляется вероят-
вероятным предположение, что то соотношение (II), которое мы обозна-
обозначили как вторую основную теорему, -переходит в нормальных
случаях в равенство, если рассматривать все дефектные значения
Яр а.»... Тогда в; случае Nt = 0 для полного дефекта, действи-
действительно, получалось бы значение 2.
С другой стороны, важно заметить, что могут встретиться
исключения из этого правила. Так, например, целая функция
*dt A5)
имеет пикаровское исключительное значение оо с дефектом 8 (оо) == 1
и, кроме того, бесконечное число конечных асимптотических зна-
значений, которые, однако, все имеют дефект, равный нулю, так что
полный дефект равняется 1. Понижение суммы дефектов в приве-
приведенном примере является следствием того, что приближение функ-
функции к своим конечным асимптотическим значениям происходит
асимптотически с одинаковой скоростью; в силу этой симметрии
все указанные асимптотические значения должны иметь равные
дефекты, и так как их бесконечно много, а сумма дефектов огра-
ограничена, то все эти дефекты должны равняться нулю. Таким образом
распределение полного дефекта по отдельным значениям а, приво-
приводить здесь к частичному исчезновению этого полного дефекта.
Если, однако, полный дефект определить другим способом, на-
например, в сумме
положить q равным подходящей функции от г и совершить затем
предельный переход г-> со, то для „полного дефекта", действи-
действительно, получится значение 2 *).
222. Во всех известных на сегодня примерах дефектные значе-
значения являются одновременно и асимптотическими значениями функ-
!) Читателю предлагается подробнее исследовать предыдущий пример,
поучительный во многих отношениях (см. Ulrich [l]). Заметим еще, что
в силу связи между приближением производной w' к нулю, соответственно
к бесконечности и приближением функций w к ее исключительным значе-
значениям, как это было разобрано в гл. IX, § 1, вероятно предположение, что
величина Jim-у!/я (л, ii/)-\-m(r, —A\ могла бы служить хорошей мерой
для полного дефекта.
274 ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. X
ции. Это представляется и по существу дела. В самом деле, дефект-
дефектность значения а означает, что e-точек у функции относительно
мало или, что в силу первой основной теоремы означает то же
самое, что функция т{г, а) относительно велика. Следовательно,
при достаточно больших значениях г на окружности |г| = г суще-
существуют дуги, на которых w(z) очень мало отклоняется от значе-
значения а; для того чтобы а было асимптотическим значением функ-
функции w (z), нужно, чтобы эти дуги можно было соединить в область,
которая не образует изолированных „островов", а простирается до
существенно особ >й точки.
Если бы предположение, что дефектное значение является
асимптотическим значением, было верно, то для известных клас-
классов мероморфных функций конечного порядка получились бы инте-
интересные следствия относительно числа дефектных значений как
функции порядка мероморфной функции w{z). В самом деле, для
числа асимптотических значений в этом направлении имеют место
известные закономерности, которые подробнее будут рассмотрены
в гл. XI (теорема Данжуа-Карлемана-Альфорса).
Важно заметить, что, наоборот, асимптотическое значение не
обязательно является дефектным значением. Правда, существование
уходящего в бесконечность луча (вообще криволинейного), вдоль
которого функция w(z) стремится к предельному значению а,
влечет за собой во всяком случае существование на окружности
|г|==г точек, а значит и дуг Вг, на которых w (z) мало отли-
+ 1 i
чается от значения а и, следовательно, где величина log _ |
относительно велика. Однако может случиться, что приближение
к значению а происходит недостаточно быстро и что дуги Вг
недостаточно длинны, чтобы среднее значение т (г, а) от log
I xv ~— л |
на окружности | г \ = г получало значение, пропорциональное харак-
характеристике Т(г), как это требуется для дефектного значения. Это
явление наблюдается уже у функции A5). Соответствующее может
случиться и у функций с конечным числом асимптотических значе--
ний. Так, например, целая функция
порядка q(q—целое положительное число) имеет 2q конечных
асимптотических значений
f (v-1,..., 2?) A6')
и, кроме того, еще асимптотическое значение оо. Стремление функции
w к конечным асимптотическим значениям доволько слабо и проис-
§ 2] соотношения дефектов 275
ходит только в узкой полосе около луча arg^ = — (v= I,..., 2q).
Соответственно этому дефекты значений A6') исчезает. Напротив,
на всех лучах argz = <p ф — функция w довольно быстро стре-
стремится к значению со, являющемуся дли нее пикаровским исключи-
исключительным значением, для которого, следовательно, 8(оо) = 1. То, что
полный дефект здесь меньше 2, объясняется тем, что член Nt (r),
происходящий от кратных а-точек функции w, имеет значение ~- t{r),
так что частное — дополняет сумму слева в A0) до максималь-
максимального значения 2.
223. Как же обстоит дело, с соотношением дефектов в гипербо-
гиперболическом случае, когда, следовательно, заданная функция меро-
морфна только в единичном круге |г|< 1. В этом случае основное
соотношение A0), в котором вместо предельного перехода г-*-со
нужно совершить предельный переход г-*\, только тогда полу-
получается как следствие из второй основной теоремы, когда характе-
характеристика Т(г) при /•-> 1 стремится к бесконечности быстрее, чем
остаточный член S(r), или, точнее, когда
Если характеристика Т(г) функции w(z), мероморфной для
|г|<1, приг-*1 неограниченно возрастает, притом настолько
быстро, что имеет место соотношение A7), то полный дефект
2S(a) самое большее равен 2. В определении A1) дефекта нужно,
само собой разумеется, заменить предельный переход г -* со
на /•-> 1.
Если нижний предел v
Ю A8)
более не бесконечен, то вторая основная теорема дает для полного
дефекта верхнюю границу
1, A9)
которая для Х>0 конечна. Этот результат также не может быть
усилен. В самом деле, можно показать, что автоморфная функция
w (z; av ..., а?), отображающая единичный круг на универсальную
поверхность наложения плоскости w с выключенными точками
«!,..., av удовлетворяет для q~^b соотношению A9) с *¦ —-^г^;
с другой стороны, значения а1У ..., aq являются теперь пикаров-
276 ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. X
скими исключительными значениями с дефектом 1. Полный дефект
равен 2-J--T- и достигает тем самым своего наибольшего значения,
которое вообще возможно при заданном X, согласно обобщенному
соотношению дефектов A9) (см. R. Nevanlinna [б]).
Если полный дефект бесконечен, то, согласно предыдущему,
характеристика Т(г) удовлетворяет соотношению
\ =0.
Г-»1 bg у—у
Это, в частности, имеет место всегда в том случае, когда число
дефектных значений несчетно.
224. Естественно поставить вопрос: для сколь мощных множеств
значений а дефект 8 (а) можвпС быть положительным без того,
чтобы характеристика становилась ограниченной? Эта проблема
была полностью решена О. Фростманом J). Он доказал следующую
теорему, обобщающую прежнюю теорему Альфорса (Ahlfors [3])
и еще раз показызающую значение множеств гармонической
меры нуль:
Множество D дефектных значений функции неограниченного
вида, мероморфной в единичном круге, имеет внутреннюю гар-
гармоническую меру нуль, т. е. каждое замкнутое подмножество
множества D является гармоническим нульмножеством.
Доказательство получается непосредственно из интегральной
формы A8) первой основной теоремы (гл. VI, § 4). В самом деле,
пусть Е — произвольное замкнутое множество в плоскости w,
точки а которого представляют дефектные значения функции w(z)
неограниченного вида, мероморфной в единичном круге. Пред-
Предположим, что Е—положительной емкости и пусть ji(a)— распре-
распределение положительной единичной массы, решающее для Е
проблему Робэна. Соответствующий логарифмический потенциал
u(w) имеет конечную верхнюю границу, и из соотношения A8)
(гл. VI, § 4) следует после деления на Т(г) и предельного пере-
перехода /•-> 1, что
Распределение ц определено здесь как функция, вполне аддитивная
для каждого подмножества множества Е, измеримого в смысле
Бореля.
дг
Выражение ¦=- является непрерывной функцией от а, и поэтому
его верхний предел при г -> i является функцией, измеримой по
Борелю. Следовательно, предельный переход г -> 1 можно совершить
г> О. Frostman [*].
§ 2] соотношения дефектов 277
под знаком интеграла; отсюда следует, что
или
J 8 (в) (fy. (a)*= 0.
в
Пусть теперь г, = 1 > г2 > ^ > ... > г, > 0 и г, -+ 0 при
v -> оо. Множество ?, значений а из множества Е, для которых
rv+1 < 5(aX''4(v = 1» 2,...), измеримо в смысле Бореля. Для
каждого v им е t
'v-И
кроме того, в силу аддитивности распределения
00
Е
что противоречит тому, что вся масса равна 1. Следовательно,
емкость множества Е равна нулю, что и требовалось оказать.
225. Пусть А (л) — монотонная функция меры рассмотренного
в гл. V, § б вида. Если интеграл
* > B0)
сходится, то (п. 123) каждое множество Е гармонической меры
нуль имеет также А-меру нуль. Предыдущий результат содержит,
таким образом, как следствие следующую, более старую теорему
Альфорса (Ahlfors [8]).
Множежво дефектных значений функции неограниченного
вида, мероморфной в единичном круге, имеет h-меру нуль для
каждой функции меры ft, для которой интеграл B0) сходится.
Теорема Альфорса-Фростмана может быть, однако, существенно
усилена. Для этого нужно только точнее использовать фундамен-
фундаментальное соотношение A7) (гл. VI, § 4).. Формула A7') (гл. VI, § 4)
в соединении с формулой A7) дает
T(r)» j Щг, a)dv.(а) — и (w@)) + < t + log6 >. B1)
Здесь Е означает расположенное в единичном круге |гг>|<1
нутое множество, f — его постоянная Робэна, j*(a) — распределе-
распределение единичной положительной массы, решающее для множества Е
278 ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. X
проблему Робэна1), и и(да@)) — значение соответствующего лога-
рифмического потенциала
„(.(OM-Jlogl^^lrf^log-^r B2)
Е
в точке да=г= w@) ф оо.а), в которую попадает начальное значение
заданной, мероморфной для | г [</?<; со функции w(z).
Выберем теперь для 0</¦<./? произвольную монотонно возра-
возрастающую функцию Х(г) @<Х(г)<7(г), такую, что величина
Т(г) — Х(г) вместе с г монотонно и неограниченно возрастает,
и обозначим через «,. множество значений а, расположенное в круге
lwl<^"o"» Для которых N(r, a)^.T(r) — Х(г), замкнутое в силу
непрерывности функции М(г, а). Из B1) следует тогда, что
X (г) + и (w @)) = < Тг -f- log 6 >
или с учетом B2)
г) -
где fr — постоянная Робэна множества ег. Как только г станет
больше некоторого значения г0, то X (г) будет больше, чем
2 log F (| w @) | -4- 1)) и, следовательно,
Ь > -?г для г > го-
Пусть теперь r0 < rs < га < ... — бесконечная последовательность
значений, стремящихся к R, и Еп (п^-1) — сумма множеств
erv(v = «, n+l, ...). Если -{п — постоянная Робэна множества
E4nFs), то по лемме 2 гл. V, § 2
Если последовательность гч выбрать так, чтобы стоящий
справа $ B3) ряд сходился, то емкость множества Еп при п -»• со
будет стремиться к нулю.
*) Для сокращения мы говорим о постоянной Робэна замкнутого мно-
множества; более полно это означает: постоянная Робэна той области, огра-
ограниченной заданным множеством, которая содержит бесконечно удален-
удаленную точку.
*) Предположение w @)фоо не представляет никакого существенного
ограничения.
s) если Еп не замкнуто, то пусть fn — верхняя граница постоянных
Робэна всех замкнутых подмножеств множества Еп- Вместо емкости мно-
множества ?„ можно тогда говорить о внутренней емкости е~*п этого мно-
множества.
| 2] соотношения дефектов 279
Для того чтобы этот результат имел место, несущественно то
обстоятельство, что рассматриваемые значения (а) лежат в круге
(«М^у- Тот же результат справедлив и в том случае, когда
этот круг замечен любой замкнутой областью В, отличной от пол-
полной плоскости. В самом деле, последний общий случай приводится
к предыдущему частному случаю с -помощью предварительного
линейного преобразования.
Определим теперь, после произвольного выбора начального
значения г0, последовательность значений гн при помощи условий
Г(г,+,) = Г(г,) + X (г,+1) (у = 0, 1, ...), B4)
что возможно, так как разность Т(г) — X (г) представляет неограни-
неограниченно возрастающую функцию от г. Если ряд B3) сходится и если
через В обозначить произвольную область плоскости w, то, согласно
предыдущему, N(r,a)>T(r) — Х(г) для каждого значения г = г,
(v = n, n-j-1, ...) и для каждого значения а из В, за исключением
множества значений ?„, постоянная Робэна которого неограниченно
возрастает при г-*- со. Пусть теперь а— значение, лежащее вне Еп
и г, < г < rv+1 (v > д). Тогда
Щг, а) > ЛГ(г„ а) > Т(гч) - X (rv) » Т(г) - X (г) -f Г(г,) -X (/-,) -
или в силу B4)
N(r, а) > Т (г) - X (г) - X (rv) > Т(г) — 2Х (г).
Если г > г„, от? ^ля каждого значения а из области В
М(г, а)>Г(г)-2Х(г), B5)
исключая точки а множества Еп, емкость которого удовлетво-
удовлетворяет условию B3).
Учитывая соотношение B4), найдем, что
Таким образом, соотношение B5) имеет место для каждого зна-
значения г > гп и каждого значения в из области В за исключением
такого множества значений а, для которого величина, обратная
соответствующей постоянной Робэна -\п, самое большее равна
удвоенному предыдущему интегралу, увеличенному еще на вели-
Ь
280 ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ [ГЛ.
Пусть 0<1<^и Ь(г) = (Т(г)) * . Т)гда
со
Коль скоро п превзойдет некоторое число, это выражение ста-
2
нет меньше, чем — (Т(гп))-\ Если еще учесть, что область В может
быть выбрана произвольно, то придем, наконец, к следующей
теореме.
Теорема. Пусть w(z) — функция неограниченного вида, меро-
морфная для | Z | < R ^ со. Тогда для каждого заданного
е (о < е < -j) и каждого достаточно большого значения г0 интер-
интервала (О, R) имеет место соотношение
Щг,а)>Т(г)~2(Т(г)J B6)
для ro-^.r<CR и всех а, за исключением, быть может, множе-
множества Ео значений а, емкость которого самое большее равна
в * . B7)
226. Из этой теоремы непосредственно получается существенное
усиление предыдущего результата, согласно которому величина
равна 1 для каждого значения а, за исключением множества значе-
значений емкости нуль, если только Т(г) при г -> R неограниченно воз-
возрастает. Именно, оказывается, что тот же результат имеет место,
если заменить lim на lim, так что, следовательно, для функции
неограниченного вида
= 1, ' B8)
исключая самое большее множество' значений (а) „внутренней"
емкости нуль. В самом деле, пусть Е — множество значений (а),
для которых B8) нг имеет места. Если е— произвольное фиксирован-
фиксированное число u)<e<-g-J, то каждая точка а множества Е принад-
принадлежит к определенному в предыдущей теореме множеству Яо, как бы
ни выбиралось значение г0 из интервала (О, R). Следовательно,
емкость веданного замкнутого подмножества множества Е самое
большее равна величине B7) н поэтому необходимо' равна нулю,
так как эта величина при r0 -> R стремится к нулю. Таким образом
§3]
ТЕОРЕМЫ О РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 281
множество Е исключительных значений имеет „внутреннюю" емкость
нуль, что и требовалось доказать.
В соединении с первой основной теоремой т (г, а) -\- N (г, а) — Т(г)
из B6) получается более сильный результат
/и(г, й) = О(Г(г)~), B9)
имеющий место для каждого значения а, исключая самое большее
множество значений внутренней емкости нуль.
Так как каждое множество емкости нуль имеет также /г-меру
нуль, коль скоро интеграл
сходится, то отсюда следует, что исключительное множество Е
в последних найденных теоремах имеет также А-меру нуль для
каждой функции меры h вышеупомянутого вида ').
§ 3. Теоремы о разветвленных значениях.
227. До сих пор мы пренебрегали .членом Л^(г), происходящим
от кратных корней уравнения
w (z) = а. C0)
Выведем теперь некоторые следствия из формулы (II), связанные
с присутствием в этой формуле упомянутого члена. Для этого по-
положим «1 (г, а) равным числу кратных корней уравнения C0), лежа-
лежащих в круге |г|<^г, причем А-кратный корень будем считать
только k—1 раз. Если тогда положить
Nx (г, а) = J Щ4 dt Н- Я1 @, a) log r,
то
w, со=2^1 (*«).
(о)
где суммирование распространяется на все значения а. Так как функ-
функция -w(,z), мероморфная в круге |г|<> </?«! оо), может кратно
принимать только конечное число значений, то предыдущая сумма
содержит только конечное число неисчезающих членов. Имеем
причем величина
1) В этой форме теоремы B6) и B9) были получены L. Ahlfors'oM [3]
как обобщение известных в этом же направлении старых теореи G. Valiron'a
J. Littlewood'a [Ч и автора р].
282 ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. X
в силу Л/j (г, в) < N(r, а) наверное лежит в отрезке [0, 1] и равна ну-
нулю для всех значений а, исключая самое большее счетное число зна-
значений а, для которых уравнение C0) имеет кратные корни. Так как
подобным значениям а всегда соответствуют точки ветвления ко-
конечного порядка на римановой поверхности F, на которую функция
<w = w(z) отображает круг \г\<.Я, то каждое такое значение я бу-
будем называть разветвленным, а &(а) — его индексом ветвления,
228. Пусть теперь R = со и w (г) Ф const, так что при г -*¦ со
характеристика Т(г) -> со. После деления на Т(г) и последующего
предельного перехода г -> со из (II) получается соотношение
2Ч«) + 2*>(«)<2, C1)
(о) (а)
откуда следует, что наряду с соотношением дефектов 2 ^ (а) <^ 2
имеет место аналогичная теорема об индексах ветвления '):
Полный индекс ветвления самое большее равен 2;
2 *>(«)< 2- C2)
Эта теорема замечательным образом ограничивает существование
кратных точек. Значение индекса &(«) дает меру для того, на-
насколько велика относительная частота кратных корней уравнения
w(z) = a. Индекс возрастает вместе с этой относительной частотой
и достигает своего максимального значения 1 тогда, когда пода-
подавляющее большинство корней этого уравнения является кратным
и кратность корней вблизи точки г=со неограниченно возрастает,
причем значение а не должно быть дефектным, так что вели-
величина N(r, а) должна асимптотически равняться Т(г). Последнее
требование является необходимым, так как не только 8 (а) ^ 1 и
0(й)<Л, но и их сумма
как это непосредственно видно из соотношения
а)^ .. m(r, a) + Ni(r, a)^ .. m , .
;> nm =-rr j?> l:m -=¦ 4- lim
7^ nn 7TZ1 T^
Следовательно, если о (а) > 0, то & (а) необходимо < 1 •),
') Эти теоремы можно рассматривать как обобщение известных более
старых теорем Caratheodory I1}.
•) Если fy(a) — l, то из того же соотношения следует, что
что возможно только тогда, когда щ(г, а)~п(г, а). Для этого выше и тре-
требуется, чтобы „подавляющее большинство" корней уравнения w (г) = а были
кратными и чтобы их кратность неограниченно возрастала вблиэн точки г = со.
Последнее требование необходимо, так как, если кратность e-точек огра-
ничена постоянным числом А, то п±(г, а)<. ~-. п(г, а), что противоречит
условию ni(r, a)~n(r, а).
§ 3] ТЕОРЕМЫ О РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 283
229. Так же как и соотношение дефектов, теорема об индексах
ветвления являемся точной: верхняя граница 2 в C2) не может быть
понижена. Простейший пример, когда соотношение C2) переходит
в равенство, дают нам двоякопериодические функции. Здесь мы
рассмотрим только некоторые особенно интересные частиые случаи.
Интеграл
ю ->-i ±-i i-i
z(w)=f(t-«)m (* —р)" (* — t)p dt,
о
где a, р, Y—действительные числа, а от, п, р — целые числа, свя*
занные соотношением
осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости w на
треугольник в плоскости г с углами -^, — , —. Обратная функция
w = w(z) является однозначной двоякопериодической фуикцией от
г (шварцова функция треугольника). Следует различать три случая:
1) т = п — р = 3. Если учесть, чтЪ функция w{z) в каждой
паре соседних фундаментальных треугольников принимает каждое
значение а ровно один раз, исключая вершины, в которых оиа
троекратно принимает заданные значения a, р, f, то легко вывести,
что N(r, а)—Т(г) для каждого значения а, ЛЛ(г, й) = 0 для
су
й ф а,р, f иЛ^(г, а) — -=- Т(г) для в = а, 13, -(. Следовательно,
8(а) = 0 для всех значений а, а 0(а) = 0 для всех значений а,
кроме я = а, р, if, для которых
Следовательно, как утверждалось,
S()
а)
2) т —2, я = р = 4. Как и в предыдущем случае, найдем, что
8 (й) = 0 для всех значений а, а & (в) = 0 для всех й кроме а = а, 8, т,
1 Ч
для которых Ь (а) = -^, О (Р) = & ft) = -^, так что
2»ю- 2 +4+4=2.
3) от==2, я=3, р = 6, В этом случае Й(с) = 0 для а ф а, р, Tf
и »(а) = |, »(Р) = 4, »(т)-4, так что
(О)
284 ПРИМЕНЕНИЯ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. X
Особого внимания заслуживает еще основная двоякопериодиче-
ская функция w (г), именно, функция Вейерштрасса f(z). Онапри-
ним ет однократно все значения а, исключая четыре значения
uB=av .,., av для которых уравнение w(z)s=a имеет только дву-
двукратные корни. И здесь
2
(о)
В качестве примера функции, имеющей как дефектные значения,
так и значения с положительным индексом д, укажем на то = cos г.
В этом случае 8(й) = 0 для йфоо, 8(оо) = 1 и &(а) = 0 для
всех а, за исключением в = ±1, для которых 0 = —. Таким
образом
1 = 2,
(о) (о)
Аналогичное справедливо для всех однопериоднческих функций;
только показательная функция занимает особое положение, так как
Д1я нее 2^ исчезает, напротив 2^ = 2.
230. Бышерассмотренные периодические функции отличаются той
особенностью, что все те значения а, которые соответствующая
функция принимает кратно, являются вполне разветвленными зна-
значениями. Так мы называем каждое значение а, для которого уравне-
уравнение w (г) = а не имеет простых корней.
Имеет место замечательная
Теорема. Число вполне разветвленных значений мероморфной
функции самое большее равно четырем.
Для доказательства нужно вторую основную теорему использо-
использовать несколько более точно, чем это было сделано посредством
соотношения C1). Из теоремы (II) при г-»- оо следует, что
2
«5L-
LЩ <».
где flj, ..., ад означают произвольные, различные между собой
значения. Здесь
так что
V нш "ЧГ'**) + Ъ1\*Ь К 2. C3)
Величина
*fofl)±y(rl>' C4)
§ 3] ' ТЕОРЕМЫ О РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 285
может быть записана проще, если ввести величину
Jv(r, a) = J 2?Й dt + n(Q, a) log r, C5)
о
где "п(г, й) = п(г, в) — nt(r, а) означает число корней уравне-
уравнения w(z) = a, лежащих в круге [г|-<!г, причем каждый корень,
независимо от его крайности, считается только один раз. Тогда
N(r, а)= Щ(г, a)-{-N(r, а) и, следовательно, в силу соотноше-
соотношения т -j-N<~r _
C4')
Из соотношения C3) получается тогда следующая
Теорема. Величина 9(й), которая в силу своего определения
лежит в интервале 0<^в<^1, равна нулю для всех значений а,
за исключением, быть может, счетного числа этих значений.
Далее
2в(«)<2. C6)
Это общее соотношение содержит теорему C1) как" непосредствен-
непосредственное следствие, так как в силу C4)
231. Пусть теперь а—вполне разветвленное значение мероморф-
ной функции те» (г). Тогда или а представляет собой пикаровское
исключительное значение, или каждый корень уравнения w(z) = a
является по крайней мере двукратным. В первом случае 8 (а) = 1 и
тем самым также в(й)=1. Во втором случае л (г, а)^2п(г, а) и
следовательно, в (а) > у.
Для вполне разветвленного значения а величина в(й)^--д-.
Следовательно в силу C6) число вполне разветвленных значе-
значений мероморфной функции самое большее равно четырем, что и
требовалось доказать.
С другой стороны, существуют функции, имеющие ровно четыре
вполне разветвленных значения. Такой функцией является ^-функция
Вейерштрасса.
232. Теорема о вполне разветвленных значениях допускает ин-
интересное применение к униформизации алгебраических кривых. Если
286 ОДНОЗНАЧНЫЙ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XI
жанр алгебраической кривой f(x, у)~0 равен нулю, то, как
известно, она допускает параметрическое представление
где л; @ и y{t)— рациональные функции от t. Если жанр кривой
равен единице, то униформизация удается с помощью эллиптических
функций x(t) и y(t). Важным дополнением к этому служит
Теорема Пикара1). Если кривая f(x, у) = 0 имеет жанр р>1,
то не су ществует ни одной пары мероморфных функций х (t), у (t)
таких, что f(x(t), y(t))=zO.
Как заметил Пикар (там же), достаточно доказать теор'му для
случая гиперэллиптической кривой
/ = (*—«,)...(*—а,) (? = 2р+1>5) C8)
жанра р>2. То, что униформизация такой кривой невозможна
с помощью двух мероморфных функций x(f), y(t), следует непо-
непосредственно из предыдущей теоремы о вполне разветвл.нных зна-
значениях. В самом деле, если бы такая униформизация была возможна,
то из C8), с учетом однозначности функции y(t), следовало бы,
что мероморфная функция x(t) имеет ^>-5 вполне разветвленных
значений, что противоречит доказанной выше теореме2).
Более подробный анализ геометрического значения величины в,
которая играла важную роль в предыдущих применениях, будет
дан в следующей главе.
XI. ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ.
§ 1. Об особенностях функций однолистных на одиосвязных
поверхностях.
233. До сих пор мы исследовали теорию функций w — w(z),
однозначных для |z|<fl<;co, не рассматривая при этом образ,
получающийся в плоскости переменного w благодаря соответ-
соответствию г -> w. Правда, в первой главе мы уже подробно исследовали
римановы поверхности, соответствующие особым автоморфным ото-
бражающим функциям w(z; av..., ag) (универсальные поверхности
наложения плоскости с q выключенными точками), и в продолжении
нашего изложения мы неоднократно пользовались общим понятием
*) Е. Plcard И-
2) Это доказательство, впервые указанное A. Bioch'cM [*), целиком
отличается от первоначального доказательства Пикара. Другое доказа-
доказательство, применимое непосредственно к каждой кривой жанра /? > 1 и
основанное на вспомогательных средствах современной теории распреде-
распределения значений, было дано Н. Selberg'OM [Ц.
с li OB ОСОБЕННОСТЯХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 28?
универсальной поверхности наложения произвольной, расположенной
в плоскости w однолистной области. Но и эти поверхности следует
еще рассматривать как весьма специальные, поскольку соответ-
соответствующие им отображающие функции азтоморфны. Правда, как раз
автоморфные функции и соответствующие им регулярно-разветвлен-
регулярно-разветвленные римановы поверхности дают весьма часто наиболее интересные
примеры в общей теории распределения значений. Тем не менее,
будет полезно познакомиться с некоторыми свойствами поверхно-
поверхностей, получающихся как образ круга | г | < /? ^ оо при отображе-
отображении его посредством произвольной однозначной в этом круге ана-
аналитической функции w (г). На такой поверхности обратная функ-
функция г от w однозначна и однолистна, и, следовательно, вопрос будет
итти об исследовании аналитических функций, характеризующихся
этими свойствами.
234. Пусть в точке w0 плоскости w задан регулярный аналитиче-
аналитический элемент функции E(w, w0). Обозначим через z{w) аналити-
аналитическую функцию, получающуюся при неограниченном аналитическом
продолжении этого элемента, и обозначим через F соответствующую
риманову поверхность, расположенную над плоскостью w. Относи-
Относительно аналитической функции г (да) будем в дальнейшем предпола-
предполагать следующее:
1) z(w) однолистна, т. е. центрам двух различных элементов
функции z(w) всегда соответствуют два различных значения г.
2) Однолистный (в силу предыдущего условия) образ Ог в пло-
плоскости г представляет односвязную область.
При этих предположениях обратная функция w (z) в области Gg
однозначна и мероморфна. Что касается области Ga то следует
различать три случая (ср. гл. I, § 2):
1) Ог совпадает с полной плоскостью (эллиптический случай).
w (г) не имеет существенных особенностей и приводится к рацио-
рациональной функции.
2) Ог представляет плоскость с выключенной точкой, например,
всю конечную плоскость (параболический случай). w{z) представляет
тогда мероморфную во всей конечной плоскости трансцендентную
функцию.
3) Gz ограничена континуумом Гг (гиперболический случай).
Учитывая теорему Римана об отображении, можно, не нарушая
общности, принять за область Ог единичный круг |г|< 1.
235. Переходя теперь к вопросу об особенностях однолистной
функции, начнем с простейшего случая изолированной критической
точки w0.*) Пусть z(w) — ветвь функции, продолжаемая неограни-
*) Под критической точкой здесь и в дальнейшем подразумевается
критическая точка ветви фувкции, т. е. такая течка, через которую эта
ветвь однозначно непродолжима или вовсе непродолжима. Критическая
точка называется изолированной, если в достаточно малой ее окрестности
соответствующая ветвь функции неограниченно продолжнма, притом так,
что она ве встречает никаких других критических точек.
288 ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XI
ченно (с особенностями только рационального характера) в окре-
окрестности 0<|t»—^ol^p. Если положить \og(w — wo)==t, то
z(wo-{-et) будет неограниченно аналитически продолжима в .полу-
.полуплоскости Ht: 01 (t) < log p и, следовательно, по теореме о моно-
дромии будет в этой полуплоскости однозначна.
Если определенная таким образом ветвь функции однолистна в Ht,
то она отображает Ht взаимно однозначно и конформно на неко-
некоторую область Нг в плоскости г. В этом случае ветвь z (w) имеет
критическую точку те» = 'Ш0 в качестве логарифмической точки
ветвления (изолированная точка ветвления бесконечного порядка).
Говорят, что z[w) определяет логарифмический элемент заданной
функции. Если w движется к точке ветвления w0> то z(w) необхо-
необходимо должно стремиться к границе области Oz. Следовательно,
в параболическом случае г-»-со, а в гиперболическом случае
|г|-»-1. Стремится ли г в последнем случае к вполне определен-
определенной точке окружности |z|=l, представляет еще далеко не решен-
решенный вопрос1).
Если же z в Ht не однолистна, то существует значение z0, ко-
которое z принимает в ряде точек /0, tv... В силу однолистности z(w)
все эти значения должны соответствовать одному и тому же значе-
значению w, и, следовательно, t4 — tQ = m4 2тЛ, где mv—целое число.
Если m — наименьшее из чисел |mj, то непосредственно убежда-
убеждаемся, что г в Ht периодична с простым периодом т2ти*); в ка-
каждой полосе шириной в период функция z однолистна. Таким обра-
образом, в этом случае заданная ветвь z(w) определяет алгебраический
элемент функции, т значений которой циклически следуют друг
за другом в окрестности точки w0, представляющей точку ветвле-
ветвления (т—1)-го порядка римаиовой поверхности F.
J) Из теорем гл. VII, § 4 следует, что это, наверное, имеет место, если
заданная риманова поверхность F ограниченного вида. 3 самом деле,
если бы при W-* w0 точка z(w) описывала в круге |г|<1 некоторую
кривую L, не оканчивающуюся в определенней точке окружности
I г | = 1, то L имела бы в качестве предельной области целую дугу этой
окружности.
Функция w{z) как функция ограниченного вида имеет почти всюду на
окружности | г | = 1 радиальные предельные значения, и, следовательно,
на этой дуге она обладала бы одним и тем же граничным значением w = i%
а поэтому тождественно равнялась бы постоянной (в силу теорем гл. VII, §4),
что невозможно.
В общем случае на этот вопрос приходится ответить отрицательно,
как это следует аз примера, приведенного переводчиком книги в его дис-
диссертации. (Прим. перев.) v
*) Число от не зависят от выбора значения г0. В самом деле, пусть zt —
другое значение, принимаемое г в Ht. Соединим точки ш(°) и о>A), соот-
соответствующие г и гь некоторой дугой f, пробегающей в круге 0< j w — wo\ < p.
Так как wa по предположению изолированная критическая точка, то все
значения z(w) в точке а>("), будучи аналитически продолжены над ^, дадут
ровно столько же значений z(w) в точке »Р), откуда следует, что
т —т(*о)<«Bi); аналогично убеждаемся, что m(zt)^,m(z0), так что
т = т(г) &)
11] ов особенностях однолистных функций 289
Если /и=1, то z(w) однозначна в точке w = w0, которая,
следовательно, для этой ветви является правильной точкой*).
236. Пусть теперь Lw — непрерывная дуга кривой, оканчиваю-
оканчивающаяся в некоторой точке w0 плоскости <я>. Возьмем на Lw точку w1 ф w0,
зафиксируем в ней элемент заданной однолистной функции г (w) и
предположим, что этот элемент может быть аналитически продол-
продолжен вдоль Lw до точки w0 с возможным исключением этой конеч-
конечной точки (допуская при аналитическом продолжении алгебраиче-
алгебраические особенности). Точка г описывает при этом в области Gz
непрерывную дугу Ья, которая тогда и только тогда оканчивается
во внутренней точке области Gz, когда г (w) продолжима аналити-
аналитически еще и через точку w0. В противоположном случае, когда,
следовательно, точка w0 представляет трансцендентную особен-
особенность для рассматриваемой ветви функции, Lz оканчивается на гра-
границе Г области Gg, т. е. в точке г = со, если поверхность F
параболического типа, и на окружности |г| = 1, если F гиперболи-
гиперболического типа; в последнем случае нужно еще различать две воз-
возможности: либо Le оканчивается в определенной граничной точке,
либо имеет в качестве предельной области целую граничную дугуJ).
Если г стремится вдоль Lz к Г, то w стремится к предельному
значению wQ,
Обратно, если L%—дуга предыдущего вида и w{z) имеет иа ней
определенное асимптотическое значение wQ, то точка w = w0 предста-
представляет трансцендентную особенность по крайней мере для одной
ветви функции z(w).
Оканчивающиеся на границе Г асимптотические пути мера-
морфной функции w{z) и трансцендентные критические точки
обратной функции z(w) находятся во взаимно-однозначном соот-
соответствии.
237. Возьмем теперь на заданном пути Lw, оканчиваю-
оканчивающемся в трансцендентной особенности wQ, точку t»j такую,
что |t»j—t»ol<P (P>0), и обозначим через Gz(w0, p) однолистную
подобласть области Gz, покрываемую точками г, к которым приходим,
фиксируя в точке ze-'j элемент функции z(w) и продолжая его затеи
неограниченно в круге \w — -ге>01<р2).
Область Gz{w0, p) можно, очевидно, определить еще и так: это
та из определенных условием \w(z) — ^ol<P связных частей об-
области G,, которая содержит точку гх = г (%). В дальнейшем мы
будем предполагать, что выбранная ветвь функции имеет w0 в ка-
*) Это, однако, не мешает тому, что другие ветви фувкции могут
иметь точку w — w0 в качестве изолированной или неизолированной кри-
критической точки.
1) Первый случай, наверное, имеет место тогда, когда поверхность F
ограниченного вида.
2) Если ш0 = со, то как здесь, так и в дальнейшем иужио круг
|w — ш01<р заменить областью —
290 ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XI'
честве трансцендентной особенности; тогда, следовательно, Ga(t»0, p)j
простирается до границы Г области О? >
Граница области Ot(w0, р) состоит из конечного или бесконеч-
бесконечного числа аналитических дуг Г(*»о, р), на которых \w(z)— щ>0| = р.
Эти дуги или открытые и оканчиваются тогда на Г, или они зам-
замкнуты. Замкнутые дуги ограничивают подобласти области О„ в кото-
которых w(z), по крайней мере в непосредственной близости от граничных
точек Г(да0, р), обладает свойством |да(г) — iWol^P» и, следова-
следовательно, каждая из этих дуг содержит по крайней мере один полюс
функции w(z), так как в противном случае \w—wo\ в силу прин-
принципа максимума, тождественно равнялась бы р. Если добавить эти
замкнутые области к ^области Gz(wQ, p), то получится некоторая,
односвязная область Ог (w0, p).
238. Если w0—логарифмическая точка ветвления, то Qe{w0, p)
для достаточно малых значений р>0 будет ограничена одной един-
единственной открытой граничной дугой T(w0, p). Кроме этого простей-
простейшего вида трансцендентной особенности заслуживает внимания
следующий несколько более общий случай: предположим, что
существует такое малое число р > 0, что рассматриваемая ветвь
функции z(w) вообще непродолжима в круге \w—ш>0|<р через
точку w0. Область Ge(w0, p) отличается тогда тем свойством,
что iz (г) в этой области не принимает значения w0. По Иверсену
(Iversen)'), который первый подвергнул систематическому исследова-
исследованию функции, обратные к мероморфным, такую особенность назы-
называют прямо критической (direkt kritische) трансцендентной особен-
особенностью однолистной функции, в отличие от косвенно критических
(indirekt kritische) трансцендентных особенностей, при которых z (w)
вдоль подходящих путей в круге \w — t»0|<p продолжима через
точку wQ, как бы мало ни было число р>0.
Из предыдущего следует, что достижимая точка w0, предста-
представляющая пикаровское исключительное значение для мероморфной
функции iw{z), всегда определяет прямо критическую трансцендент-
трансцендентную особенность обратной функции z(w). Простейшие примеры
однолистных функций с одними лишь изолированными особенностями
дают функции, обратные к периодическим или автоморфным функциям.
Логарифм имеет всего два логарифмических элемента (над w = 0, со);
z = ercsin w имеет над t» = co две различные логарифмические
точки ветвления, а над w = ± 1 бесконечное число алгебраических
точек ветвления первого порядка*). Рнмановы поверхности, соот-
соответствующие двоякопериоднческим функциям, имеют только алге-
алгебраические точки ветвления; поверхность модулярной функции
w(z; «,, й2, йд) имеет, напротив, только логарифмические точки
ветвления, притом в бесконечном числе над каждой точкой аг
1) F. Iversen [ij.
•) Это легко следует из того, что г = arcsln w отображает верхнюю
полуплоскость на полуполосу.
& 1] OB ОСОБЕННОСТЯХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 391
Точки ветвления упомянутых регулярно разветвленных поверх-
поверхностей расположены над конечным числом точек плоскости. Но и
нерегулярно разветвленные поверхности с той же особенностью
(т. е. точки, ветвления которых проектируются в конечное число
точек) дают примеры, интересные с точки зрения теории распреде-
распределения значений. Из этих поверхностей, которые мы будем изучать еще
дальше в § 2 этой главы, упомянем уже здесь те, которые соответ-
соответствуют целой функции
приведенной в одной из предыдущих глав (гл. VI, § 2) в качестве
примера функции, имеющей несколько асимптотических значений.
Эти асимптотические значения а0=оо и
являются одновременно дефектными значениями с 5 (а0) = 1е
о (ач) = — (v = 1,..., q). Легко видеть, что обратная функция z(w)
имеет точки ветвления только над w = a0, аи..,, яу, соответствую-
соответствующая риманова поверхность имеет всего 2q логарифмических точек
ветвления, из которых половина расположена над точкой w = a0,
в то время как остальные q расположены по одной над точ-
точками w — av..., aq; кроме логарифмических точек ветвления над
каждой из последних точек расположено еще бесконечно много
правильных точек.
Прямо критической^ но не логарифмической трансцендентной
особенностью (в отличие от того, что имело место в вышеприве-
вышеприведенных примерах) является точка w = оо для функции, обратной
к w = z sin z.
В качестве примера косвенно критической трансцендентной осо-
особенности укажем на точку w = 0 для функции, обратной к
Это функция стремится к нулю, когда г-»-оо вдоль положительной
действительной оси и, следовательно, имеет здесь асимптотическое
значение 0. Если взять малое положительное число р и рассмотреть
окрестность Ор положительной действительной оси, определенную
условием |та|<р, то соответствующая ветвь обратной функции z(w)
будет иметь точку «1=0 в качестве косвенно критической транс-
трансцендентной особенности, так как она принимает значение w «¦ О
в бесконечном числе точек области О, именно, в точках z=*vk
(v-1, 2,...).
292 ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. X»
В силу вышеизложенного (ср. п. 235) изолированная трансцен-
трансцендентная особенность приводится к логарифмической точке ветвле-
ветвления и, следовательно, является прямо критической. Поэтому каждая
косвенно критическая трансцендентная особенность не может быть
изолированной; в приведенном примере точка w = О является пре-
предельной для последовательности алгебраических точек ветвления
первого порядка, которые соответствуют корням уравнения
w' (г) = 0, т. е. tg z = z.
239. Теорема Иверсена о параболических поверхностях. Кроме
вышерассмотренных достижимых особенностей у однолистной функ-
функции могут встретиться и недостижимые особенности. Так, например,
если за F взять односвязную однолистную область, имеющую не-
недостижимую граничную точку w0, то конформное отображение
области F на единичный круг |г|< 1 даст однолистную функцию г (та),
для которой точка w0 является недостижимой.
Эта особая поверхность была гиперболического типа. У поверх-
поверхностей параболического типа особенности имеют менее сложный
вид; в частности, здесь все точки w достижимы. Это вытекает
непосредственно из следующей теоремы Иверсена (Iversen I1]).
Пусть F—риманова поверхность параболического типа, рас-
расположенная над плоскостью w, и w = w0 — произвольная точка
плоскости. Пусть далее р>0, wt — точка поверхности F
и \wt—wo\ = p. Тогда можно найти непрерывную дугу L, кото-
которая, не выходя из круга \w — г»0|<р, соединяет точки wQ и wl
и, исключая, быть может, точку w0, состоит только из внутрен-
внутренних точек поверхности F.
Если z(w) — функция, отображающая поверхность F на всю
конечную плоскость гфоо, то нужно показать, что для произволь-
произвольной, фиксированной в точке w = wv ветви этой функции найдется
непрерывный путь L, пробегающий в круге \w — Wol^P от wi
до Wq, вдоль которого, исключая, быть может, точку w0, эта ветвь
функции аналитически продолжима.
Для доказательства*) рассмотрим граничащую с точкой zx =
^=z(wt) односвязную область Of плоскости г, точки которой удо-
удовлетворяют условию \"w(z) — wo|<p. Если функция w(z) по
крайней мере в одной точке г0 области G принимает значение
Wq, to достаточно соединить точки гх и г0 внутри О непре-
непрерывной кривой, чтобы получить на поверхности F кривую желае-
желаемого вида.
Если же в области Ор функция w(z) не принимает значения w0,
то ограничим вокруг гг односвязную подобласть Ot области О,
точки которой удовлетворяют условию р > | т — w01 > -|- • Область Gx
имеет по крайней мере одну граничную точку zv расположенную в Gf,
!) Нижеследующее доказавльано в принципе восходит к О. VaUion'y [3],
§ 1] ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 293
для которой \-w(z) — wo|= -?, ибо иначе регулярная в Ot функция
—7—- имела бы в каждой конечной граничной точке области С, зна-
чеиие, равное по абсолютной величине — . Но так как в окрестности
бесконечно удаленной точки, если она входит в границу области Gv
эта функция ограничена (^ — ], то из принципа максимума следовало
бы, что -I———;-<— во всей области Ov чго невозможно.
Пусть далее Ga — граничащая с zt односвязная подобласть
области G, в которой •?• > | w — w^ \ > -j. Как н выше, убеждаемся,
что О2 имеет конечную граничную точку г8, в которой [да(г)—-wo\ = * .
Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим последова-
последовательность расположенных рядом друг с другом областей Gv O2,...
таких, что в Оп имеем g?j >]«(*)_ wo|>^ и °п и"еет с О„+1
общую граничную точку, в которой \w(z)—'«'о I=== ^i -
При ге-»-оо области О„ сходятся к г=с», так как в пересече-
пересечении Д. области Gp с заданным кругом |г|<> модуль \w(z)—wo\
имеет положительную нижнюю границу, и, следовательно, Gn для
достаточно большого п должна лежать вне этого круга. Если те-
теперь для каждого я=1, 2,... соединить точки гп и ги+1 непре-
непрерывной кривой, пробегающей в Оп, то получим в Ор непрерывный
путь Lg, идущий от точки zt до г = с», вдоль которого w (г) стре-
стремится к w0. Образ Ь„ этой кривой в плоскости w обладает всеми
утверждавшимися в теореме свойствами.
Из доказанной теоремы следует, что
Функция, мезоморфная для гфоо, имеющая пшаровское ис-
исключительное значение, имеет это значение в качестве асимпто-
асимптотического значения.
240. Теорема Гросса *). Если F—односвязная риманова поверхность
параболического типа и z(w) означает ветвь соответствующей
данной поверхности отображающей функции, однозначную в точке
w0 ф оо, то эта ветвь может быть аналитически продолжена
вдоль каждого луча arg(w — •шо) = <р до точки г = оо, исключая
самое большее множество значений <р меры нуль3).
1) W. Gross И.
*) Особое положение бесконечно удалевной точки является несущест-
несущественным. Вместо семейства лучей arg (и/— к>0) = 9 можно было бы, напри-
например, рассматривать семейство окружностей Сч, проходящих через точку
о>о н произвольную течку Wi dp Wq, причем параметр <р указывает на-
направляющий угол соответствующей касательной в точке we. Почти для
всех <р функция г (w) может быть тогда аналитически продолжена вдоль Су
до точки щ.
294 ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XI
Будем двигаться вдоль каждого луча arg(t» — щ) — 9 от точки
*>0 до первой трансцендентной или алгебраической особенности
или, если они не встретятся, до точки ? = oo. Определенные таким
образом сегменты Я, покрывают „звезду" рассматриваемого элемента
функции z{w). Теорема Гросса утверждает, следовательно, что
множество значений <р, соответствующих вершинам этой звез-
звезды, находящимся на конечном расстоянии, имеет меру нуль. Так
как алгебраических вершин не более счетного числа, то доста-
достаточно доказать нульмерность для множества М трансцендентных
вершин.
Далее можно ограничиться рассмотрением точек Mr, лежащих
в круге \w — «»0|^/?, где /?—произвольное положительное число.
В самом деле, если множество соответствующих значений ср имеет
меру нуль, то то же самое имеет место и для множества значений ср,
соответствующих всем вершинам М, так как его можно представить
в виде суммы нульмножеств, соответствующих множествам вершин
(RRR)
Пусть Sw — пересечение нашей звезды с кругом \w — «>0|^/?,
С помощью функции t = -r— ;—¦ внутренность Sw отображается
взаимно однозначно и конформно на однолистную область St, со-
содержащую бесконечно удаленную точку, в то время как нулевая
точка лежит вне St или на ее границе. Последний случай, наверное,
имеет Mecjo, если множество Mr „трансцендентных граничных точек"
области Sw не пусто, ибо при приближении к такой точке z-+ оо
и, следовательно, t -* 0.
Рассмотрим теперь для фиксированного значения г ^> 0 совокуп-
совокупность конечного или бесконечного числа дуг Д4(г) окружности
|*| = г, попадающих в St. Эти сечения отделяют граничную точку
t—Q от внутренней точки <=ю и, следовательно, их образы Д„,(г)
в звездообразной области Sw представляют сечения этой области,
отделяющие точку ¦a» = w0 от всех точек Mr. Отсюда следует, что
мера m(cg) соответствующих значений ср не больше, чем сумма
колебаний arg (w — w0) на дугах Д^ (г). Но колебание arg(w — w0)
на Д„,(г) самое большее равно длине дуги Д„,(г), деленной на Ьг,
где Ьг — кратчайшее расстояние от w0 до %w(r). Если г взять
меньшим, чем произвольное число г0 > 0, то все расстояния Ьг
будут больше некоторого числа 80 > 0, зависящего только от г0.
Поэтому достаточно показать, что сумма s(r) длин сечений Д„,(г)
иожет быть сделана сколь угодно малой при подходящем выборе
радиуса г@<г<г0).
Полагая f = re»&, f(t)== w (zo-\—т] и применяя неравенство
Шварца, получаем
= ( / |/@ЦЛ|)"<2«г /
§ 2] римановы поверхности 295
Здесь
Г dA
где А (г) означает площадь той части области Sw, которая содержит
точку w0 и ограничена сечениями Д^Дг). Интегрируя между преде-
пределами г и го(>г), найдем, что
J ^ Л- < 2* [Л (г) - А (г,,)] <
Этот результат имеет место для всех значений 0 < г -^ г0. Отсюда
следует, что для произвольного е > 0 найдется по крайней мере
одно значение г @ </•<>„), для которого s(r)<s. В самом деле,
в противном случае интеграл ,
и стремился бы при г -> 0 к бесконечности, что противоречит пре-
предыдущему неравенству.
Тем самым доказательство теоремы Гросса доведено до конца.
241. Теоремы Иверсена и Гросса указывают на то, что осо-
особенности параболической поверхности размещаются на ней относи-
относительно редко. Однако это не 'мешает тому, что проекции особен-
особенностей на плоскость w могут лежать в ней весьма плотно. Гросс
(W. Gross [2]) построил пример целой функции, имеющей асимптоти-
асимптотическим каждое значение; здесь, следовательно, проекции особенно-
особенностей заполняют всю плоскость w.
§ 2. Римановы поверхности, точки ветвления которых
расположены над конечным числом точек.
242. При большой общности основных теорем теории распре-
распределения значений важно уметь испытать на конкретных примерах
содержащиеся в них утверждения. Среди функций, которые с точки
зрения теории распределения значений особенно интересны, следует
прежде всего упомянуть периодические и автоморфные (фуксовы)
функции. Точки ветвления соответствующих им регулярно развет-
разветвленных римановых поверхностей лежат над конечным числом точек.
Естественно поэтому исследовать общий класс односвязных римано-
римановых поверхностей, которые, не будучи обязательно регулярно раз-
разветвленными, имеют с предыдущими поверхностями то общее, что
и у них точ:си ветвления расположены над конечным числом точек.
В рамиах этой книги невозможно изложить эту проблему во всех
подробностях со всей строгостью. Поэтому мы ограничимся описа-
описанием этого класса поверхностей в общих чертах и указанием тех
296 ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XI
путей, по которым могут быть проведены необходимые доказатель-
доказательства существования.
243. Итак, пусть в плоскости w задано конечное число ф!>2
точек av...,ar Сперва вопрос будет итти о выяснении топологи-
топологической структуры односвязной римановой поверхности F, точки
ветвления которой расположены только над точками alt...,aq. Хо-
Хорошее представление о структуре такой поверхности дает метод, нол-
ностью аналогичный методу, лежащему в основе описания универсаль-
универсальной поверхности наложения плоскости w с выключенными точками ач
(ср. гл. I, § 3), поверхности, отличающейся среди исследуемых
теперь поверхностей максимальной возможной разветвленностью.
Через точки av, взятые в порядке а„.. ,,aq, av проведем простую
замкнутую жорданову кривую f, разбивающую плоскость w на две
односвязные области Gi и О2, которые постольку „зеркально" со-
соответствуют друг другу, поскольку заданное на f направление
является положительным в отношении одной из областей Gv G2 и
отрицательным в отношении другой. Если поверхность разрезать
вдоль Y (т. е. вдоль всех линий на поверхности, расположенных
над у), то она распадается на конечное или бесконечное число
конгруэнтных между собой экземпляров Gt и такое же число кон-
конгруэнтных между собой экземпляров О2. Для краткости будем на-
называть эти „полулисты" Ои С?а многоугольниками, точки а,,.. ,,aq—
вершинами и дуги (а^), OV*)» • • • > (aqai) — сторонами этих много-
многоугольников.
Вершины au...,aq заданного многоугольника O4(v=l, 2) суть
трех видов: 1) точки ветвления бесконечного порядка; 2) точки
ветвления конечного порядка, в которых циклически соединяется
конечное число т > 1 листов Gj-j-G2; 3) неразветвленные точки
поверхности. Первые точки назовем вершинами бесконечного порядка,
вторые—вершинами (от—1)-го порядка, причем, следовательно,
т —1>0 означает порядок соответствующей точки ветвления,
а третьи точки назовем несобственными вершинами, или вершинами
нулевого порядка.
Как в гл. I, § 3, мы и здесь представим риманозу поверхность F
посредством однолистного образа (Graph) G, составленного из не-
некоторого числа соответствующих полулистам О, топологически
эквивалентных с ними многоугольников Of (у = 1,2; (i= 1, 2,...),
расположенных друг около друга так, что два многоугольника О^,
Gtf- тогда и только тогда примыкают друг к другу вдоль некоторой
стороны, когда соответствующие многоугольники Ь1% О2 на поверх-
поверхности F имеют общим „образ" втой стороны. Для вершин сохраним
обозначения av...,aq. Чтобы суметь геометрически осуществить
построение однолистного образа С, не будем накладывать никаких
ограничений на величину и форму многоугольников Oj1, 0^,...
(соответственно 0^,0^,...). Важно лишь, чтобы они были тополо-
топологически эквивалентны друг другу, т. е. были криволинейными
^•угольниками.
§ 2] римановы поверхности 297
Внутренние вершины однолистного образа О суть или несоб-
несобственные вершины (нулевого порядка), с которыми граничат два мно-
многоугольника, или собственные вершины положительного порядка
т—1. Такая вершина является общей для т многоугольников Ql
и такого же числа многоугольников G3, причем при обходе вокруг
вершины многоугольники обоих видов следуют, чередуясь, друг
за другом. Вершины бесконечного -порядка представляют собой
„граничные точки" однолистного образа О.
Исключая тривиальный случай, когда поверхность F однолистна
и совпадает с полной плоскостью, каждый многоугольник Gv G2
имеет по крайней мере две собственные вершины.
В самом деле, пусть Gx— многоугольник, для которого q—1
вершин а1(.. .,ав_! являются несобственными. К каждой паре сторон
этого многоугольника примыкает тогда только один многоугольник Оа,
и так как две следующие друг за другом пары имеют общую сто-
сторону, то отсюда следует, что с Gr может граничить только один
многоугольник, который представляет тогда дополнение к Gl до
полной плоскости. Это замечай*! е показывает, что многолистные по-
поверхности имеют по крайней мере две точки ветвления, не располо-
расположенные друг над другом. Следовательно, предположение, что число
точек а., не меньше двух, ие составляет никакого ограничения.
244. Случай q = 2. Различные двухугольники Gv O2 группи-
группируются друг около друга в обе стороны или в конечном числе 2т
или в бесконечном числе. В первом случае мы имеем дело с /п-ли-
т »—
стной поверхностью корня (г= |/да) с двумя точками ветвления
(/»— 1)-го порядка, во втором случае мы имеем дело с поверхностью
логарифмической функции (г = log w) с двумя точками ветвления
бесконечного порядка.
Для наглядного изображения структуры этих поверхностей можно
воспользоваться комплексом отрезков (Streckenkomplex) *), кото-
который может быть получен с по-
помощью того же метода, что и
топологическое дерево Шпайзера,
о котором говорилось в гл. I, § 2.
В каждом из многоугольников О4,
G2 берется внутренняя точка Ри фиг> 18<
Я2, и каждая из этих узловых то-
точек соединяется с помощью q отрезков 512, Sas,... ,5^ с узловыми
точками непосредственно примыкающих многоугольников одно-
однолистного образа О, притом так, что 5ч,,+1 через сторону <уг„+1
ведет к узловой точке примыкающего вдоль этой стороны много-
многоугольника; все отрезки выбираются не имеющими общих точек.
В рассматриваемом случае, когда q = 2, оба возможных типа
прверхностей @ < m < оо и т = оо) могут, следовательно, быть
представлены фиг. 18 (первая фигура соответствует значению т == 3).
1) См. R. Nevanlinna {% G. Elivlng p].
298
ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. XI
Комплекс отрезков разбивает плоскость на известные области,
которые мы называем элементарными областями рима новой по-
поверхности. Заметим, что в предыдущем случае элементарные области
взаимно однозначно соответствуют точкам ветвления поверхности,
причем точке ветвления (от—1)-го порядка соответствует элемен-
элементарная область с 2/и вершинами и сторонами.
245. Случай q = 3. Однолистный образ G состоит из одних лишь
треугольников О,. Последние могут быть двух видов: или все три
вершины являются собственными, или среди трех вершин одна
несобственная, в которой, следовательно, поверхность F не раз-
разветвляется. Если все треугольники второго вида, то, очевидно,
имеем дело с уже рассмотренным простейшим случаем, когда поверх-
поверхность разветвляется только над двумя точками. Если же над каждой
из точек av av ag лежит по крайней мере одна точка ветвления,
то однолистный образ содержит по крайней мере один треугольник
с тремя собственными вершинами.
С другой стороны, существует поверхность, имеющая только
один такой треугольник. К этой поверхности мы придем, если, как
Фиг. 20.
это показано на фиг. 19, присоединить к каждой из сторон треуголь-
треугольника с тремя собственными вершинами бесконечный ряд следующих
друг за другом треугольников, имеющих одну несобственную вер-
вершину. Легко видеть, что построенная таким образом поверхность,
имеющая три логарифмические точки ветвления, по одной над каж-
каждой из точек av a2, аа, является единственной поверхностью указан-
указанного вида.
Мы потому выделили эту поверхность, что она обладает еще неко-
некоторыми другими важными для нас свойствами, о которых будем еще
говорить дальше. Здесь мы только покажем, как построен соответ-
соответствующий комплекс отрезков. Его легко построить с помощью об-
шего правила, данного выше, если в каждом из треугольников
выбрать узловую точку и соединить соседние узловые точки отрез-
отрезками; мы замечаем, что за исключением первого треугольника,
имеющего только собственные вершины, к каждому соседнему тре-
треугольнику ведут два отрезка. Для упрощения фигуры условимся
§ 2] римановы поверхности 299
каждую пару (или, более/ ji) отрезков, соединяющих одну и ту же
пару узловых точек Р„ изображать в виде двойного (^кратного)
отрезка. Тогда рассматриваемая поверхность представится изобра-
изображенным на фиг. 20 комплексом отрезков. Наоборот, задание ком-
комплекса отрезков достаточно для однозначного определения структуры
соответствующей поверхности. Построенный нами ко плекс отрез-
отрезков для поверхности с тремя логарифмическими точками ветвления
отличается от топологического дерева (гл. I, § 2) тем, что он
содержит замкнутые элементарные области (представленные двой-
двойными отрезками). Бесконечные ветви как комплекса, так и тополо-
топологического дерева, граничащие с двумя соседними элементарными
областями, назовем вместе со Шпайзером (Speiser [a]) логариф-
логарифмическими концами.
Упомянем еще некоторые другие поверхности, встречающиеся
при q=>3. Если оставить
в стороне замкнутые по- /. "
верхности, соответствую-
соответствующие рациональным ото-
отображающим функциям w(z),
то простейшими поверх-
поверхностями рассматриваемого
вида будут те, у которых
имеются только две лога-
логарифмические точки ветвле-
ветвления. В качестве простого ' *
примера укажем на поверх-
поверхность функции w=ze~g, имеющую
-о—««—о
ц
Фиг. 21.
над каждой из точек а.
О,
1
ТОЧКОЙ W= —
<72=оо логарифмическую точку ветвления и над
ветвления первого порядка. Соответствующие однолистный
на
точку
образ и комплекс отрезков приведены рядом друг с другом
фиг. 21; связь их с поверхностью ясна без дальнейшего.
246. Регулярно разветвленные поверхности характеризуются тем,
что существует группа преобразований (преобразования наложения),
отображающих однолистный образ топологически самого на себя.
Среди этих поверхностей в случае ? = 3 простейшими являются
те, у которых все треугольники эквивалентны друг другу постольку,
поскольку они име:от одну и ту же схему ветвления, т. е. если
во всех треугольниках порядки вершин аи аа, а3 равны трем за-
заданным числам wij — 1, от2 — 1, щ—1.
К числу последних принадлежат поверхности шварцовых функ-
функций треугольника, о которых уже говорилось в предыдущей главе
(§ 3). Они получаются, если треугольник Р с вершинами zv za, zs,
углами —,—,—, где /ич>-1—целые числа, и сторонами, пред-
Ш\ т% ot_j
ставляющими дуги окружностей, взаимно однозначно и конформно
отобразить на круг К и отображающую функцию w(z) неограни-
неограниченно аналитически продолжить при помощи зеркального отображе-
300
ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. XI
Таблица
да,
1
2
2
2
2
/Яа
я
2
3
3
3
я
л
3
4
5
ния. В плоскости г получается, таким образом, однолистный образ G
поверхности F, расположенной над плоскостью w, точки ветвления
которой лежат над тремя граничными точками wit щ, w9 круга К.
Это построение вполне аналогично проведенному в гл. I, § 3; рас-
рассмотренный тогда случай модулярной функции содержится здесь
как частный случай (ш, = т2 = тя = оо).
Что касается однолистного образа О, то
следует различать три случая в зависимости
от того, будет ли сумма углов треугольника Р
больше, равна или меньше я.
1)—| 1—> 1. Это условие выпол-
няется только для комбинаций значений, ука-
указанных в таблице 1. Соответствующие по-
поверхности замкнуты. Если спроектировать
плоскость г на сферу Римана, то треуголь-
треугольники будут конгруэнтны друг другу и группа преобразований нало-
наложения совпадает с группой вращений правильных многогранников1).
Отображающая функция w(z) рациональна, и поверхность F эллип-
эллиптического типа.
2) 1 ^ =1. В этом случае однолистный образ G за-
полняет однолистно и без пропусков всю конечную плоскость.
И здесь возможно только конечное число
комбинаций значений mv щ, т3 (табл. 2).
Из соответствующих отображающих функций
первые две являются однопериодическими
(«* u sin г), остальные двоякопери одические.
Соответствующие поверхности параболического
типа.
3) — 4-—4-i-<l. Это общий случай,
который имеет место при произвольном вы-
выборе положительных чисел mv ma, ms, исключая указанные в пре-
предыдущих таблицах системы значений. Группа зеркальных отобра-
отображений оставляет инвариантным круг Е, содержащий треугольник Р
и ортогонально пересекающий его стороны; иепоерздетвенно видно,
что образ О покрывает однолистно и без пропусков круг Е„ совпа-
совпадающий, при соответствующей нормировке с единичным кругом
|г|<1. Соответствующие римановы поверхности гиперболиче-
гиперболического типа*).
Таблица 2.
щ
\
2
2
2
3
да,
00
2
3
4
3 -
т3
со
оо
6
4
3
*) См. Н. Schwarz Р]. »
•) Все эти утверждения для — +— Н *° I легко доказываются Пу-
ТЛ, /Яд /Я3 <?
тем непосредственного рассмотрения треугольника Р. См., например, Форд,
Автоморфные функции, ГТТИ, 1936,§ 114; там же, в гл. VI и IX рассмотрена
связь с полиэдральными функциями и униформизацией.
РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
301
§2]
На фиг. 22 представлены с помощью комплексов отрезков не»
которые из поверхностей функций треугольников: первые пять со-
соответствуют пяти возможным случаям 2, последний соответствует
гиперболическому случаю D, 4, 4). Для упрощения все узловые
точки нарисованы в виде кружочков.
И
Фиг. 22.
247. Случай q>3. Здесь мы ограничимся лишь тем, что отме-
отметим регулярно разветвленные поверхности, к которым приходим,
отображая на круг К многоугольник Р, ограниченный q > 3 дугами
окружностей. Однолистное и без пропусков покрытие всей конеч-
конечной плоскости получается только тогда, когда ?=4и Р — прямо-
прямоугольник; соответствующая отображающая функция w(z) есть
^-функция. Это также единственный случай, ведущий к параболи-
параболическому типу. Все остальные случаи {q > 3) при. одят к гиперболи-
гиперболическому типу. К ним мы приходим, выбирая за стороны много-
многоугольника^ Р произвольные дуги окружностей, ортогональные,
например, к единичной окружности; тогда получается однолистное
и без пропусков покрытие единичного круга.
248. Конформное отображение поверхностей F. С помощью
однолистных образов О и соответствующих комплексов отрезков
мы топологически охарактеризовали совокупность односвязных
римановых поверхностей F, разветвляющихся над конечным числом q
точек wu ..., wq. Из теоремы Римана о5 отображении (гл. I, § 2,
основная теорема В) следует, что отображение F-*G выполнимо
конформно^ т. е. для заданного однолистного образа G, при произ-
произвольном выборе точек wv..., wg и проходящей через них простой
замкнутой жордановой кривой f, найдется однолистная аналити-
302 ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XI
ческая функция г (да), не разветвляющаяся над точками дафда„
(v= 1,..., q) и отображающая поверхность F на сеть Go много-
многоугольников в плоскости z, топологически эквивалентную с заданным
однолистным образом. При соответствующей нормировке О0 сов-
совпадает соответственно с полной плоскостью, со всей конечной
плоскостью или с единичным кругом, и отображающая функция z(w)
определяется однозначно с точностью до линейных преобразований
плоскости г.
Здесь наступает необходимость различать не только замкну-
замкнутые, конечнолистные поверхности и открытые, бесконечнолистные
поверхности, как это имело место при их топологической харак-
характеристике, но еще и дальнейшее разбиение открытых поверхно-
поверхностей на поверхности параболические и гиперболические в зави-
зависимости от того, ограничена ли область G одной точкой или
континуумом.
В весьма специальном случае регулярно разветвленных поверх-
поверхностей, о которых говорилось выше, построение конформного
отображения осуществляется с помощью принципа зеркального
отображения. В общем случае мы должны удовлетвориться указа-
указанием на менее элементарную теорему Римана (гл. 1, § 2, основ-
основная теорема В). Сделаем лишь одно замечание, полезное для по-
построения отображающей функции и важное для наших дальнейших
рассуждений.
Предполагая возможной униформизацию конечнолистных эллипти-
эллиптических поверхностей F, мы приходим к построению отображающей
функции для произвольной поверхности рассмотренного в этой
главе класса с помощью следующего предельного процесса. Пусть F—
заданная односвязная бесконечнолистная риманова поверхность,
точки ветвления которой лежат над точками wv ..., wq, и пусть
G— соответствующий ей однолистный образ. Возьмем произвольный
многоугольник G0 из О и присоединим к его сторонам непосред-
непосредственно примыкающие многоугольники G1 (первое поколение),
затем ко всем свободным сторонам многоугольников G1 присоединим
непосредственно примыкающие многоугольники G2 (второе поколе-
поколение) и т. д. Обозначим через Gn многоугольник, состоящий из
поколений 0°, О1,..., Gn..Непрерывной деформацией (топологиче-
(топологическим отображением) можно добиться, чтобы многоугольник Gn имел
форму круга. Присоединяя тогда к Оп многоугольник Gn, получен-
полученный при инверсии Gn относительно границы этого круга, мы получим
однолистный образ Gn -f- On эллиптической, конечнолистной поверх-
поверхности Fn, точки ветвления которой расположены нзд точками
wv ..., wr Построим для этой поверхности отображающую функ-
функцию z = zn(w), удовлетворяющую начальным условиям zn(w0) = 0,
zn'(w^)=l, где «> = те>0— фиксированная точка поверхности Fn.
При этих условиях функция zn{w) определяется однозначно.
Рассмотрим теперь последовательность функций zx (w), z2 (w),...,
соответствующих аппроксимирующим поверхностям Fv Fit...
§ 2] Римлновы поверхности 303
В окрестности \w>—¦шо|<2р, не содержащей точек wv ...»«>а,
функции zn(w) однозначны, и так как они кроме того однолистны,
то по теореме Кббе об искажении заключаем, что в круге
\w — ^ol^P они равномерно ограничены. Но по теореме Витали
(Vitali) из последовательности равномерно ограниченных аналити-
аналитических функций можно выбрать подпоследовательность, равномерно
сходящуюся в каждой замкнутой подобласти !). Продолжая цепочно-
образно область сходимости, мы придем к предечьной функции z(w),
дающей желательное конформное отображение заданной римановой
поверхности F. В более подробное рассмотрение этого метода
доказательства мы здесь входить не можем.
Трансцендентная риманова поверхность рассматриваемого здесь
вида может быть, следовательно, представлена с помощью описан-
описанного способа как предел конечнолистных замкнутых поверхностей.
Описанный предельный переход полностью соответствует предель-
предельному переходу, с помощью которого может быть получена поверх-
поверхность логарифмической функции из поверхности корня. Существуют,
однако, и другие, более сложные случаи, когда можно этот пре-
предельный переход провести полностью аналитическим путем. К эгому
вопросу мы еще вернемся в следующем параграфе.
249. В заключение заметим, что рассмотренное в этом параграфе
представление римановых поверхностей с помощью комплекса отрез-
отрезков применимо и к несколько более общему классу поверхностей,
чем поверхности F (wv ..., wa), точки ветвления которых располо-
расположены над конечным числом wv ..., wq. Именно, предст?вим себе,
что каждая точка да, окружена некоторой областью W» причем
различные области W^ не имеют общих точек и поверхность
F(wt ..., wq) деформируется так, что точки ветвления непрерывно
сдвигаются из положений w4, не выходя, однако, при этом из со-
соответствующей области Wr Топологическая структура соответствую-
соответствующего однолистного образа G при таких деформациях не меняется.
Чтобы установить положение точек ветвления в плоскости w, нужно
только каждой собственной вершине z\ (/ = 1, 2, •..; v=l,..., q)
многоугольников однолистного образа О поставить в соответствие
точку wH* области WH, над которой расположена соответствующая
точка ветвления.
Полученный таким образом общий класс поверхностей
F(WV..., №4) обладает следующими характерными свойствами:
если вырезать из такой поверхности часть ее, расположенную над
областью W^, то эта часть будет состоять из конечного или бес-
бесконечного числа связных кусков, которые или однолистны или
содержат одну точку ветвления; в последнем случае они или конечно-
листны или бесконечнолистны в зависимости от того, будет ли
эта точка ветвления алгебраической или логарифмической.
1) По терминологии Montel'a ['] говорят, что последовательность zn(w)
образует нормальное семейство.
304 однозначные римаиовы поверхности [гл. та
Функция z(w), производящая конформное отображение поверх-
поверхности F{Wlt...t W9), однозначна в окрестности каждой точки
поверхности, не расположенной над областями №,. Если же в не-
некоторой точке области W4 зафиксировать ветвь Я, функции г (w)
и непрерывно ее продолжить над этой областью, то эта ветвь
в области W4 будет однозначна или определит алгебраический
или логарифмический элемент функции г (w), который, следовательно,
имеет только одну критическую точку (точку ветвления) в соответ-
соответствующей части поверхности, расположенной над W4.
Если, наоборот, задана однолистная функция z(w) описанного
только что вида, то можно непосредственно построить соответствую-
соответствующий однолистный образ О и соответствующий комплекс отрезков S.
Нужно только области (Wlt W<^, (Wit Wg), ..., (Wq, Wt) соединить
друг с другом произвольными жордановыми дугами ^и» "Угз» ..., T«i>
расположенными вне этих областей и не имеющими общих точек.
Дополнение к областям W^ распадается при этом на две области Fit
/="g. В качестве образов этих двух областей в плоскости z получа-
получаются некоторые „многоугольники", образующие однолистный
образ О, который будет эквивалентен с вышеопределенным, если
соответствующие областям W4 „ области вершин" (Eckgebiete) стя-
стянуть в точки zr
Как и прежде, элементарные области соответствующего комплекса
отрезков соответствуют взаимно однозначно точкам ветвления чв*
поверхности F; кроме того, уменьшенное на 2 число сторон элемен-
элементарной области дает удвоенный порядок соответствующей точки
ветвления. Узловым точка* соответствуют „полулисты" поверхности.
Из каждой узловой точки выходят q отрезков 5, ,+1, отделяющих
друг от друга две соседние элементарные области W4, W4+l; если
два соседних отрезка S4_it4, S4i4+1 соединены в один двойной
отрезок, то это означает, что часть поверхности F над соответ-
соответствующей областью U^ однолистна.
260. Будем обозначать черев F(Wt Wq) поверхности, точки
ветвления которых разделяются областями Wr Очевидно, что
такие поверхности являются весьма частным подклассом поверхно-
поверхностей, имеющих лишь изолированные точки ветвления. В § 3 мы
опишем общий метод, пригодный для типологического описания
произвольной поверхности, имеющей одни лишь изолированные
точки ветвления.
§ 3. Римановы поверхности с конечным числом
точек ветвления.
261. Среди рассмотренных в § 2 поверхностей Fiyo^ wq)
простейшими являются те, которые имеют только конечное число
точек ветвления. Так как конечное число алгебраических точек
ветвления не имеет существенного влияния на свойства поверхности,
важные для теории распределения значений, то мы можем ограни-
§ 3] РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ 305
читься изучением односвязных римановых поверхностей с конечным
числом точек ветвления бесконечного порядка.
Пусть в плоскости w произвольно заданы q точек wv..., wq.
Сперва поставим себе задачу построить все односвязные римановы
поверхности F9> имеющие над каждой из этих q точэн ровно одну
точку ветвления бесконечного порядка.
Соответствующий комплекс отрезков - обладает тогда (ср. § 2,
стр. 299) q логарифмическими концами, соответствующими q элемен-
элементарным областям, которые в свою очередь соответствуют q точкам
ветвления wr Чтобы лучше себе представить возможные структуры,
рассмотрим сначала более подробно простейшие случаи.
q = 2. Единственно возможной является поверхность, предста-
представленная на фиг. 18. Над критическими точками wv w2, над кото-
которыми расположены обе логарифмические точки ветвления, нет ни
одного однолистного листа поверхности.
q = 3. Единственно возможной является описанная в § 2, п. 245
поверхность с тремя элементарными многоугольниками и тремя
логарифмическими кон-
концами. Обратим внимание
на то, что логарифмиче-
логарифмические концы содержат
двойные отрезки; если
такой двойной отрезок
отделяет, например, две
элементарные области,
соответствующие точкам
У
\'\ Г/ W
ветвления над tsox и w%,
то над точкой ws этот
отрезок определяет точ-
точку поверхности F, в ко-
которой она не развет-
разветвляется. Следовательно,
над каждой точкой w4
кроме логарифмической
точки ветвления лежит
еще бесконечное число
однолистных листов.
<7 = 4. Четыре много-
многоугольника, представляю-
представляющие точки ветвления
Щ, ..., wit отделяются Фиг. 23.
четырьмя логарифмиче-
логарифмическими концами. Последние или выходят из общей узловой точки, соот-
соответствующей четырехугольнику (полулисту), все четыре вершины
которого являются точками ветвлений, или же они попарно выходят из
двух различных узловых точек, представляющих два четырехугольника
с тремя разветвленными и одной неразветвленной вершиной. Эти на-
о
306 ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. X!
чальные четырехугольники связаны друг с другом цепочкой из конеч-
конечного числа отрезков, состоящей или из 2л двойных отрезков (на
фиг. 23 представлены однолистными образами и комплексами отрез-
отрезков случаи »вО ив = 2) или из п тройных и в-J-l простых
отрезков. *
Если из однолистного образа удалить все логарифмические
концы, состоящие из бесконечного числа примыкающих друг к другу
полос1), то от этого однолистного образа останется часть, которую
мы будем называть ядерным многоугольником (Kernpolygon)
поверхности; ядерному многоугольнику соответствует ядро комплекса
отрезков, которое получается, если в каждом логарифмическом
конце комплекса оставить только начальный отрезок.
Задание ядерного многоугольника или ядра комплекса определяет
поверхность однозначно.
252. Мы переходим теперь к общему случаю. Нужно, следова-
следовательно, определить поверхности Fp, имеющие заданное число
ч
Р — 2 №» ( ^ Я) логарифмических точек ветвления, притом так, чтобы
над заданной точкой да, (v= 1, 2,..., q) лежало в точности
указанных точек ветвления.
Целые числа [i.v ^ 1 могут быть заданы произвольно, однако
так, что jt,-^ ~, ибо две элементарные области, граничащие
с о "ним и тем же логарифмическим концом, очевидно, всегда со-
соответствуют двум различным точкам w4, откуда следует, что над
заданной точкой может лежать не более половины всех точек
ветвления.
При указанном условии всегда существуют римановы поверх-
поверхности, удовлетворяющие поставленным требованиям (R Nevanlinna [9],
G. Elfving t1]). Эти поверхности однозначно соотЕетств/ют комплексам
отрезков, состоящим из р логарифмических концов и ядра, соста-
составленного из конечного числа отрезков. Комплекс разбивает плоскость
на р элементарных областей бесконечного порядка соответствен-
соответственно р логарифмическим точкам ветвления. Число поверхностей бес-
бесконечно велико; исключение представляют только простейшие случаи
p = q = 2 и р = ? = 3, когда существует единственная поверхность
требуемого вида.
253. Простейшая поверхность Fpi имеющая две лежащие друг
над другом точки ветвления, соответствует случаю /> = 4, q = 3.
Если над точками wa, да8 лежит по одной точке ветвления, а над wu
напротив, две точки ветвления, то все соответствующие поверхности
получаются из комплекса огрезков, имеющего четыре логарифми-
логарифмических конца (соответственно элементарные области), выходящих из
!) „Полосой" мы называем полулист, имеющий только две разветвлен-
разветвленные вершины, причем обе бесконечного порядка. На комплексе отрезков
полоса представляется узловой точкой, граничащей только с двумя элемен-
элементарными областями бесконечного порядка.
§ 3} РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ 30?
двух начальных узловых точек, связанных друг с другом нечетным
числом 2п-\-1 отрезков (я-J-l простых и л двойных отрезков),
это показано на „
24 (слева случай
как
фиг
и = 0, справа случай
Из комплекса от-
отрезков непосредствен-
непосредственно видно, что над w1
кроме двух точек вет-
ветвления находится еще
п неразветвленных ли-
листов поверхности. Ука-
Укажем еще, без дальней-
дальнейшего обоснования, что
интегралу вероятности
OSEX3K~—
Фнг. 24.
простейший случай я = 0 соответствует
1^ = 00, Wj= 2
wa =
- 2 )
264. Описанный в конце предыдущего параграфа способ рацио-
рациональной аппроксимации может быть с успехом применен к построе-
построению отображающей функции для поверхности Fp. От комплекса
отрезков отсекаем логарифмические концы, оставляя от каждого из
них только v первых отрезков, и присоединяем затем „зеркально
соответствующий" комплекс. Полученный таким образом комплекс
соответствует рациональной отображающей функции w = w (z),
имеющей над точкой w{ ровно ji< алгебраических точек ветвления,
каждая порядка ^2v— 1. Эта рациональная функция, существование
которой обеспечено общей теоремой Римзна (гл. I, § 2, основная
теорема В), в некоторых случаях может быть построена элементар-
элементарным путём2). В плоскости z каждой точке w = w4 кроме простых
точек, соответствующих однолистным листам над wi} соответствуют
еще ^ кратных точек zt функции w (z).
Нормируя рациональные функции w4(z) в точке г = 0 указанным
на стр. 302 образом, мы сможем из последовательности функций w(z)
выбрать подпоследовательность, сходящуюся8) к аналитической
функции w(z), мероморфной в некоторой односвязной области G.
При этом предельном переходе порядки р точек ветвления неограни-
г) Относительно аналитического определения всех типов поверхностей
в случае р = 4 см. R. Nevanlinna [•]. Некоторые случаи />>4 были позднее
разобраны Н. Wagner'oM [Ч.
*) R. Nevanlinna [% О. EHving [Ц.
8) Для упсмянутых симметричных поверхностей этот предельный пере»
ход может быть полиостью проведен арифметически.
308 ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. X!
ченно возрастают, и соответствующие кратные точки z4 стремятся
к границе Г области G.
255. Спрашивается, состоит ли Г из континуума или из одной
точки; другими словами: принадлежит ли предельная поверхность
к гиперболическому или к параболическому типу? Мы покажем,
то имеет место последнее, и, что, следовательно, предельная
функция w(z) при соответствующей нормировке мероморфна во
всей конечной плоскости.
Для доказательства рассмотрим шварцову производную.
от функции w = w. В каждой точке z полной плоскости, отличной
от р кратных точек zf функции W, это выражение регулярно. Что
касается кратных точек zf, то легко подсчитать, что в каждой из
них шварцова производная от функции w имеет полюс второго
порядка. Следовательно, рациональная функция {w, z) самое боль-
большее порядка 2р.
С другой стороны, при v-*oo имеем w -> w [z), поэтому
{ W, z} -> { w, г].
Но последовательность рациональных функций, порядок которых
ограничен определенным числом 2р, может иметь в качестве предель-
предельной функции только рациональную функцию порядка ^ 2р. Следо-
Следовательно, шварцова производная от предельной функции w (z) явля-
является- рациональной функцией, порядок которой не превосходит 2р.
Отсюда уже легко заключить, что риманова поверхность Fp при-
наглежит к параболическому типу. В самом деле, предельная функ-
функция может быть аналитически продолжена до каждой точки плос-
плоскости z, где выражение {w, z} регулярно; следовательно, w (z)
меромЪрфна для всех значений г, исключая самое большее полюсы
функции {w, z}. С другой стороны, мы знаем, чго односвязная
область G представляет всю область существования функции w (z);
следовательно, каждая точка границы Г области G является для
нее существенно особой точкой. Отсюда следует, что Г не может
быть континуумом, а должна приводиться к одной точке, за кото-
которую без существенных ограничений можно прикять точку z—oo.
256. Этим не только доказано, что поверхности Fp принадлежат
к параболическому типу, но одновременно получен важный резуль-
результат для аналитического определения этих поверхностей. В самом
деле, так как w (z) для z ф оо не имеет кратных точек, то швар-
шварцова производная {w, z} регулярна для всех значений z ф оо.
С другой стороны, она является рациональной функцией, откуда
заключаем:
Шварцова производная { w, z ) приводится к многочлену P{z).
Для степени этого полинома получается верхняя граница 2р.
Более точное исследование, от которого мы здесь должны отка-
§ 3] РИМЛНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ 3G9
заться, показывает, что в действительности P(z) степени р — 2.
Обратно, решение w диферзнциального уравнения третьего порядка
{»,*}=>/>(*), A)
где Р (г) — произвольный многочлен степени р — 2, мероморфно во
всей конечной плоскости и отображает ее на риманову поверхность
с р логарифмическими точками ветвления."Многочлены Р и римановы
поверхности Fp соответствуют друг другу взаимно однозначно.
Соответствующая уравнению A) мероморфная функция име-
имеет конечный порядок ¦??. Плоскость z может быть разбита на р
равных углов Л, величины — так, что ,на каждом луче, попа-
Р
дающем в Л„ функция w (г) при z -*¦ со имеет асимптотическое
значение да,.
Все эти результаты могут быть строго обоснованы асимптотиче-
асимптотическим интегрированием диференциального уравнения A) !). Таким же
образом можно доказать, что все асимптотические значения w4
являются также дефектными значениями отображающей мероморф-
мероморфной функции w (г). Однако более подробное рассмотрение этого
завело бы нас слишком далеко; поэтому мы должны ограничиться
лишь приведением нижеследующего результата, доказательство кото-
которого читатель найдет в указанных оригинальных работах:
Каждая точка да„, над которой лежит по крайней мере одна
логарифмическая точка ветвления поверхности Fp, является де-
дефектной относительно отображающей мероморфной функции w (z),
при этом каждая точка ветвления сообщает соответствующему
2
дефекту значение —.
Полный дефект 3(те>,) значения да,, следовательно, равен — .
257. Это свойство поверхностей Fp позволяет частично решить
проблему, поставленную в п. 220:
Пусть задана система из q точек wv. ¦., wq и q чисел
bv ...,bq интервала @, 1), дли которых 2^ = 2. Требуется по-
построить мероморфную функцию, имеющую значения w4 дефектны-
дефектными, и так чтобы
В случае, когда числа 8,—рациональные, такая функция всегда
может быть построена с помощью поверхностей Fp. В самом деле,
числа 8, можно записать в виде 8, = —, где тч и т — целые числа
н 2mv = 2/и. Положим ft, = тч и построим поверхность Fj,, для
которой тч точек ветвления лежат над заданной точкой да,. Каждая
!) См. R. Nevanlinna [»], F. Nevanlinna P], E, Hille f1], [2J, L Ahlfors [«],
G. Elfving pi, I»], H. Wagner [Ц. l
310 ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМ АЛОВЫ ПОВЕРХНОСТИ .',-. [ГЛ. XI
2 1
точка ветвления сообщает дефекту точки и», значение — = —, так
что ее полный дефект равен заданному значению ^ = 8„ J).
§ 4. О связи между порядком мероморфной функции
н критическими точками обратной функции.
258. Выше было упомянуто, что мероморфная функция w (z),
отображающая плоскость z ф то на риманову поверхность, имеющую
в качестве критических точек только конечное число р логарифми-
логарифмических точек ветвления, имеет порядок -^ . То, что порядок такой
функции не может быть меньше, чем ~, можно заключить на осно-
основании следующей общей теоремы Альфорса (Ahlfors [б]):
Число прямо трансцендентных особенностей функции, обратной
к мероморфной функции порядка k, не больше 2k при
~>-х и не больше 1 при L "
Дяя доказательства рассмотрим мероморфную функцию w (Z),
обратная функция z (w) которой имеет по крайней мере одну прямо
критическую точку а. С помощью линейного преобразования, не
меняющего порядка характеристики T(r, w), переведем произволь-
произвольную из этих точек а в бесконечно удаленную точку w = оо. Тогда
найдется такое большое число л>1, что, при неограниченном анали-
аналитическом продолжении соответствующей особой ветви функции
Z — Z(w), в области \w\^.\ она не будет иметь над точкой w= оо
ни одного регулярного или алгебраического элемента. Оораз Ох,
получаемый в плоскости z, ограничен аналитическими кривыми, на
которых |те>| —а. В Gx имеем Х<|и1|фоо, откуда заключаем, что
Ох притирается до бесконечности, ибо, иначе, |те>|==Х. Возьмем
Х>1то@)|, тогда, нулевая точка z = 0 будет лежать вне Ох,
и обозначим через Гх кривую, внешнюю по отношению к области
OXi отделяющую ее от точки z = Q. Гх разбивает плоскость z
на две односвязные области, из которых одна, Gx, содержит об-
область Gx. Проведем в Gx сечение I, соединяющее какую-нибудь
граничную точку z0 ф со с граничной точкой z = co, и обозна-
обозначим через 0Г то расположенное на окружности |г] = г>|го| се-
сечение, отделяющее точку z0 от со, которое точка z встречает
первым при движении по L от z0 до со. Длина сечения 0Г пусть
будет лв(г).
"') После окончания редакции появилась иигересная работа Е. Ullrich'a [*],
где предыдущая npo6fleva существенно обобщается. С помощью нового
класса римановых поверхностей (поверхности с конечным числом периоди-
периодических концов) Ульрих доказал существование мероморфных функций,
имеющих для конечного числа точек шъ..;,шг заданные рациональные
дефекты ила индексы разветвления, сумма которых равна 2.
§ 4] ПОРЯДОК МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ . 311
259. Теперь отобразим конформно область Gx на верхнюю полу-
полуплоскость 3(Q>0 так» чтобы точки z*=z0, со перешли соответ-
ственйо. в точки С == 0, со; отображающая функция С {г) опреде-
определяется этим условием с точностью до положительного множителя.
Сечение 6Г при этом переходит в некоторую дугу, кратчайшее
расстояние которой до нулевой точки С = 0 пусть будет pt (г). По
теореме Альфорса об искажениях (гл. IV,. § 4), при соответствующем
выборе вышеупомянутого множителя, будем иметь соотношение
B)
где го>О выбрано настолько большим, что Рх(Го)>1.
260. Рассмотрим теперь сложную функцию w(z(Q). В полу-
полуплоскости 3(С)^0 она мероморфна, при этом она регулярна
в области О/, соответствующей области Ок. Далее, внутри G/
имеем |«>|>А, а на ее границе, состоящей из действительной оси
и некоторых дуг /С^, лежащих в полуплоскости 3 (Q>0, имеем
\w\ = \. Выражение
определяет положительную гармоническую в б/ Функцию, равную
нулю в каждой конечной граничнэй точке этой области. Опдова-
тельно, на части ар очружности |С|==р, лежащей в области О/,
функция и (С) имеет положительный максимум m(jp).
Из принципа максимума непосредственно следует, что и (С)
в каждой точке С пересечения Df круга |С]<р с областью G/
удовлетворяет условию
«(О<«(Р)«(С, ар, Dp), C)
где « означает гармоническую меру дуг ар относительно области Df.
Из принципа расширения (гл. IV, § 2) (или непосредственно из
принципа максимума) следует далее, что эта гармоническая мера
только увеличится, если заменить область D9 полукругом §(С)>0,
jCKp и «р заменить полуокружностью IСJ ===== р- Эта мажорантная
гармоническая мера <ор (С), которую легко элеме >тарно подсчитать
(см. гл. III, § 2, теорема Фрагмена-Линделбфа), стремится к нулю
при р -> аз так, что произведение pwp стремится к конечному пре-
пределу. Так как и(С)>0, то из C) следует, что
Hm ?ie!>o. D)
*ор г
Пусть теперь Af(r)=aamaxj«i(^)|(> X) на той части сечения в^
которая лежит в области Ох. Из принцила максимума следует,
312 ОДНОЗНАЧНЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XI
м
что log -r- !> fit (pi (/¦)) и, следовательно, в силу D)
ton гТ->°-
р->оо Pi»
Учитывая соотношение B), получается, наконец, существование
независящей от г постоянной С такой, что
J^ + C, * E)
»•
где г>г0.
Из E) легко получается далее нижняя граница для характери-
характеристики Т. Пусть ro<.r<.r' и Dri — пересечение круга |z|<r'
с областью Ох. С помощью интеграла Пуассона построим в круге
|z|<r' гармоническую функцию U(z), равную logl^l на принадле-
принадлежащих Gx дугах в,.» и равную X на остальных дугах окружности
\z\ = r'. Так как f)(z)>X для |z|<r', то из принципа максимума
следует, что разность log|«/| — ?/-<() в каждой точке области Ц.-.
В частности это имеет место и для тех точек z, где | -да (г) | дости-
достигает своего максимального значения М (г) на вг, так что
loSM{r) < 2I
о
следовательно, для г' = 2г
Г Br) > m Br, да» -J- log M (г) — log X.
Наконец в силу E)
г
J^ , F)
где С—новая, не зависящая от г постоянная.
261. Предположим теперь, что функция z(w), обратная к w(z),
имеет по крайней мере />>Л различных прямо критических точек
а,,..., ар, Кяк выше, построим для каждого v=l, ..., р соответ-
соответствующую область Qx. В силу однолистности функции z{w) числа X
можно выбрать настолько большими, чтобы эти области не имели
общих точек. Следозательно, если через r04(r) (v~l, ..., р) обо-
обозначить соответствующие длины дуг вг, то 2 ©, (f) < 2тс, и сложив
§ 4] порядок мероморфной функции 313
неравенства F), написанные для каждого v, мы получим
где С—постоянная. По неравенству Шварца
2
и, следовательно,
log T Br) > |- log r -J- const
или, заменяя 2г на г,
log Г(г)>|-logr + const.
Это показывает, что пор.эдок k функции w(z) равен по край-
крайней мере 4, следовательно, р-<2&. Эгим доказательство доведено
до конца.
262. Теорема Альфорса допускает интересные применения к целым
функциям w(z) порядка k. Пусть Lt и L^ — два не имеющих общих
точек асимптотических пути, на которых w(z) имеет конечные
асимптотические значения. Последним соответствуют две трасцен-
дентные особенности обратной функции. Рассмотрим одну из обла-
областей О12, заключенных между Lt и 1%. Если функция w(z)
в области Gl2 ограничена, то по теореме Линделбфа (гл. 111, §, 6,
п. 56) асимптотические значения на Lt и La должны равняться друг
другу и w (z) при z -*¦ оо стремится в G18 равномерно к этому
общему асимптотическому значению а. Соответствующие путям ?,
и L2 трансцендентные особенности тождественны тогда друг другу.
Отсюда заключаем: если L, и L2 соответствуют двум различным
критическим точкам заданной римановой поверхности, то функция
w{z~) не может быть ограничена в области О12. Но тогда, как в § 1,
п. 235 этой главы, можно построить в G12 путь LiV на котором
w{z) имеет асимптотическое значение со.
Следовательно, если w(z) имеет р различных конечных асимпто-
асимптотических значений, то она имеет также по крайней мере столько же
различных прямо критических точек, лежащих над <w—co, и по
предыдущей теореме р самое большее равно 2k.
Целая функция порядка k имеет самое большее 2k различных
конечных асимптотических значений 1).
!) Эта теорема была высказана в 1907 г. Denjoy PJ как гипотеза. То,
что число конечных целевых значений конечно и <f5fe, было доказано
Carleman'oM [l]; основная идея доказательства Carleman'a лежит также
в основе метода Альфорса. См. также Т. Carleman [-].
314 ТИП РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XII
Если среди конечных асимптотических значений содержится т
прямо критических и п косвенно критических точек, то полное
число прямо критических точек равно по крайней мере 2т-\-п и
предыдущее соотношение усиливается в неравенство 2от-[-«¦<2k,
откуда, в частности, следует, что
Функция, обратная к целой функции порядка k, имеет самое
большее k конечных прямо критических точек.
Если полное число конечных трансцендентных особенностей
достигает максимального числа 2k, то ни одно из них не является
прямо критической особенностью.
Последнее имеет, например, место для 2k конечных целевых
значений целых функций целого порядка k:
XII. ТИП РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ.
§ 1. Разветвленность римановой поверхности.
263. В этом параграфе мы ограничиваемся сперва рассмотренным
в гл. XI, § 2 классом односвязных родановых поверхностей Fq,
точки ветвления которых проектируются в конечное число q точек
я/,,..., wq. Как уже. было указано, эти поверхности могут быть
наглядно представлены с помощью комплексов отрезков. Каждому
полулисту поверхности Fq соответствует узловая точка комплекса.
Соединяющие эти узловые точки отрезки разбивают плоскость на
элементарные области, взаимно однозначно соответствующие точкам
ветвления поверхности Fq, притом так, что точке ветвления
(от— 1)-го порядка соответствует элементарная область с 2от сто-
сторонами. Лежащим над точкши «>„ неразветвленным листам соот-
соответствуют двухугольники (двойные о i резки) комплекса.
Тип бесконечнолистной поверхности Fq представляется зависящим
в известной мере от степени разветвленности поверхности. Если
над точками та?, лежит относительно мало точек ветвления, то Fq
принадлежит к параболическому типу, наоборот, большая степень
разветвленности представляется характерной для гиперболического
типа. Так, например, мы видели, что слабо разветвленные поверх*
ности Fq, имеющие только конечное число логарифмических точек
ветвления, все принадлежат к параболическому типу; сильно раз-
разветвленная сговерхность модулярной функции принаалежит, напротив,
к гиперболическому типу. Естественно поэтому предположить, что
должна существовать некоторая критическая степень разветзлен-
ности, отделяющая слабо разчетвленные параболические поверхности
от сильно разветвленных гиперболических поверхностей.
§ 1] РАЗВЕТВЛЕННОСТЬ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 315
264* В случае конечнолистной замкнутой поверхности Fn степень
разветвленности легко измерить следующим образом. Разделим
2
сумму 2(т — 1) порядков точек ветвления на число листов поверх-
поверхности. Частное
дает полную разветвленность, отнесенную к одному листу, поэтому
мы его будем называть средней разветаленноспСью поверхности Fr
По формуле Римана (теорема Эйлера о многогранниках) *).
Подсчет средней разветвленности V замкнутой поверхности
может быть также проведен с помощью комплекса отрезков сле-
следующим об;азом: точке ветвления (от—1)-го порядка соответствует
элементарная область W с 2от сторонами и вершинами (узловыми
точками). Распределим равномерно на эти 2т узловых точек удво-
удвоенный пррядок 2т — 2, так что каждая из них получит «величи-
«величину разветвления" ~ = 1 . Если это проделать со всеми
элементарными областями W, то каждой узловой точке Р будет
приписано „полное разветвление"
w
где суммирование распространено на все элементарные области W,
граничащие с Р. Число всех узловых точек Р равно удвоенному
числу листов 2й, и среднее арифметическое
разветвленностей всех узловых точек, очевидно, равно вышеопре-
вышеопределенной разветвленное ги V поверхности Fq.
265. Последние способ определения разветвленности замкнутой
поверхности непосредственно применим к бесконечнолистным по-
поверхностям Fq. Каждой узловой точке Р соответствующего комп-
комплекса отрезков ставится в соответствие в качестве „разветвленности"
число Vp. Так как 1 изменяется между 0 (т = 1) и 1 (от = оо)
*) Формула Римана для замкнутой л-листной поверхности жанра р
пишется так:
См., например, Weyl, Dber die Idee der Riemannschen Flache, G. Elfvlng,
или Форд, Автоморфные функции, ОНТИ, М.-Л., 1936, стр. 243.
316 ТИП РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XII
и так как каждая точка Р граничит по крайней мере с 2 и не
более чем с q элементарными областями положительного порядка
т— 1, то 1< Vp<?.
Так как Fq бесконечнолистна, то средняя разветвленность Vq
может быть теперь получена только путем исчерпания комплекса
отрезков Fq последовательностью подкомплексов /re4(v=l, 2,...)
с неограниченно возрастающим числом узловых точек. Вообще
результат такого предельного перехода будет существенно зави-
зависеть от выбора последовательности Fq4. Естественным предста-
представляется метод кругообразного исчерпания (kranzformige Ausschup-
fung) поверхности Fq. Исходя из произвольной начальной узло-
узловой точки Рф присоединим к ней непосредственно граничащие
узловые точки Рх (первое поколение), затем к точкам P0>^i ПРИ"
соединим новые узловые точки Р2> Удаленные от точек Рх на один
отрезок комплекса (второе поколение) и т. д. За аппроксимирующий
комплекс Fgv возьмем тогда часть Fq, состоящую из первых v по-
поколений.
Если и, — число узловых точек комплекса FJ, то среднюю раз-
разветвленное гь аппроксимирующей поверхности Fg4 образуем с по-
помощью выражения
vL
Величину
примем за определение средней разветвленности трансцендентной
поверхности Fq. Если этот предел не существует, то можно гово-
говорить только о „нижней" или „верхней" разветвленности поверхнос-
поверхности (Нт V, соответственно Iim Vv).
266. Прежде чем перейти к более подробному анализу опре-
определенной таким образом разветвленности, рассмотрим еще другой,
важный для дальнейшего, метод подсчета вышеопределенных аппро-
аппроксимирующих чисел Vv. Комплексу Fq4 соответствует связная часть
расположенной над плоскостью w поверхности Fq, состоящая из
2и = я, полулистов. Пусть а—произвольная точка плоскости w,
п (а) — число внутренних точек поверхности Fe\ лежащих над а,
и п{а) — число этих же точек, но считаемых в случае алгебраи-
алгебраических точек ветвления по числу листов, входящих в цикл такой
точки. Лежащие над а логарифмические точки ветвления не влияют,
конечно, на величины и (а) и п(а), поскольку они являются гранич-
граничными точками поверхности Fu\ Очевидно, п(а) •< п (а) < я, где равен-
равенство имеет место для всех точек а, исключая точки а = w,- (I = 1,..., q),
в которые проектируются точки ветвления поверхности. Разность
я (а) — и (а) равна сумме порядков всех лежащих над w = a алге-
§ 1] РАЗВЕТВЛЕННОСТЬ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 31?
бранческих точек ветвления поверхности Fq\ в то время как раз-
разность п — я (а) равна числу тех листов, которые над «/«= а граничат
с логарифмической точкой ветвления.
Сумма
2 (я—я (в)) = 2 (и - п (а)) + 2 (я (а) — я {а)),
(а) («) («)
где суммирование распространено на все значения а, получает поло-
положительные значения только от точек ветвления. Каждое слагаемое
слева, очевидно, равно половине значения суммы 2 Vp, распро-
распространенной по узловым точкам Р элементарных областей, соответству-
соответствующих точке w = а. Вся сумма, следовательно, равна вышеопределен-
вышеопределенному выражению -& V Vp, и так как число я, узловых точек ком-
комплекса FJ равно удвоенному числу листов, то
Р (в) (а)
267. С помощью однолистного образа G, соответствующего рас-
см;триваемой поверхности, разветвленность допускает еще одну
важную геометрическую инт-рпретацию (ср. гл. XI, §2). В качестве
образа полулиста ггив^рхности Fq в О получается ^-угольник (фун-
(фундаментальный многоугольник Я), вершины которого соответствуют
точкам «/¦[,... , wr Введем в О угловую метрику, приписывая углу
с вершиной в точке ветвления (т — 1)-го порядка меру —. Сум-
Сумму углов У]—, деленную на я и затем уменьшенную на q—2*),
назовем эксцессом" (Exzefi) Ep многоугольника Р:
С другой стороны, для разветвленности соответствующей узло-
узловой точки Р комплекса отрезков мы имели выражение
откуда следует:
Сумма разветвленности Vp фундаментального многоуголь-
многоугольника Р и его эксцесса равна 2.
268. Какое же можно отсюда сделать заключение о средней
разветвленности римановой поверхности Fa? Для я-листной поверх-
поверхности рациональной функции средняя разветвленность V = —\] Vp=
о
= 2 , т. е. для такой поверхности V всегда меньше 2, и по-
*) q — 2 есть сумма углов евклидового ^-угольника, дедевваа на я.
818 ТИП РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ . [ГЛ. XII
этому средний эксцесс -^ V Ер положителен. С помощью теоремы
Эйлера о многогранниках легко убедиться, что (нижняя) средняя
разветвленность V трансцендентной поверхносги Fq по меньшей
ме, e равна 2; с другой стороны, Vp^.q, а потому и среднее зна-
значение V^Cq.
269. Чтобы подробнее осветить имеющие здесь место соотно-
соотношения, рассмотрим сперва простой случай регулярно разветвленных
поверхностей, для которых средняя разветвленность V совпадает
со средней разветвлеиностью Vp произвольного фундаментального
многоугольника. Здесь нужно различать три случая:
1) Если V<2, Е > О, то имеет место эллиптический случай.
Вводя в плоскости г сферическую метрику, можно фундаментальные
многоугольники выбрать в качестве геодезических круговых много*
угольников так, чтобы угловой эксцесс был равен кЕ, гд.ъ Е = ЕР—
вышеопределенный эксцесс. Соответствующая рациональная отобра-
отображающая функция w (г) является функцией икосаедра.
2) Если V = 2, ? = 0, то имеем дело с параболическим слу-
случаем. Фундаментальные многоугольники могут быть выбраны как
обыкновенные евклидовы многоугольники с угловым эксцессом,
равным нулю. Функция w(z) двоякопериодична (гл. XI, § 2).
3) Если V > О, Е < 0, то имеет место гиперболический случай.
Функция w{z) определена в некотором круге, например, | г | <11,
как автоморфная функция. При введении мероопределения Пуан-
Пуанкаре (гл. I, § 1) здесь справедлива геометрия Лобачевского, и
многоугольники Р могут быть выбраны как геодезические круговые
многоугольники с угловым дефектом гс|?|. Максимальное значение
V—q имеет место для универсальной поверхности наложения Р°°
плоскости w с выключенными точками wu... , wq.
270. Если теперь перейти к нерегулярно разветвленным поверх-
поверхностям F«, то, как мы видели, попрежнему можно ввести угловую
метрику. Если эта метрика в среднем сферическая, т. е. если V < 2,
Е > 0, то имеет место эллиптический случай. Что касается транс-
трансцендентных поверхностей Fg, то здесь возникает следующая
Проблема. Имеет ли в общем случае параболический, или гипер-
гиперболический случай в зависимости от того, является ли угловая
геометрия (Winkelgeometrie) поверхности Fq евклидовой или не-
неевклидовой (Лобачевского), от. е. в зависимости от того, равен ли
средний эксцесс Е — 2 — V нулю или он положителен?
Автору неизвестен ни один пример поверхности Fr для которой
предположенное соотношение не имело бы места.1) Кроме регу-
регулярно разветвленных поверхностей это может быть строго доказано
*) Это, очевидно, справедливо для поверхностей Fg- с конечным чис-
числом точек ветвления. Для иих ЕР = 0, нсклю.ан самое большее для конеч-
конечного числа точек, а потому и ? = 0. В согласии с этим последние поверх*
ностн параболического типа.
I 2} СООТНОШЕНИЯ ДЕФЕКТОВ И !»АЗВЕТВЛбННОСТЬ 319
для некоторых других классов поверхностей Ft> как это будет
показано в следующем параграфе.
Все, что здесь было выведено для поверхностей Fa, переносится
без изменений на общий класс поверхностей F(WV..\ Wq), точки
ветвления которых отделяются не имеющими общих точек обла-
областями W4 плоскости w (ср. гл. XI, § 2, п. 250).
§ 2. Соотношения дефектов и разветвлениость.
271. То, что общие соотношения дефектов могут быть истолко-
истолкованы как высказывания об особенностях односвязных римчновых по-
поверхностей, представляется почти очевидным и неоднократно уже
подчеркивалось в ходе нашего изложения. Изложенное з предыду-
предыдущем параграфе позволяет нам глубже проникнуть в существо этих
связей. Для относительно просто построенных поверхностей Fq [или
F(WV..-, Wq)] с одними лишь изолированными точками ветвления
мы определили выше некоторый вид „кругообразного исчерпывания"
поверхности, который привел нас к понятию средней ее развет-
вленности V. С другой стороны, метод, лежащий в основе учения
о распределении значений открытой, односвязной римановой поверх-
поверхности F, покоится на процессе приближения, с помощью которого,
хотя и совсем другим образом, исчерпывается поверхность. Здесь
аппроксимирующие поверхности уже не получаются путем соеди-
соединения конечного числа .листов" поверхности F; в самом общем
случае это было бы даже невозможно, так как едва ли можно ука-
указать естественное правило разбиения поверхности на листы, при-
пригодные для всех случаев. В действительности аппроксимирующие
поверхности определяются независимо от характера разветвления
поверхности F путем введения на F известной метрики: для ка-
каждого г>0 рассматриваются те точки поверхности, образ которых
в круге |г|<Ж;аэ попадает в круг |*|<г. Определенная т ким
образом-ч-сть поверхности Fr переходит при r-*R в повегхность F.
Хотя поверхности Fr получены с помощью совсем ругого п ин-
ципа, чем построенные в § 1 аппроксимирующие поверхности Fq" по-
поверхности Fq, все же оказывается возможрым поставить в соответст-
соответствие пов>рхности Fr известные величины, аналогичные рассмотренным
в § 1, которые в несколько изменённом виде описывают развет-
вленность этой поверхности. Именно, по образцу п. 266 мы мож?м,
например, поступить следующим образом: подсчитаем для задан-
заданного г<# число листов римановой поверхности Fr, лежащих над
заданной точкой w = а (листы, образующие алгебраический цикл
над а считаются по числу листов, входящих в цикл). Это число есть
не что иное, как обозначенное раньше через я (г, а) число корней
уравнения w(z) = a, лежащих в круге |г|<г.*) Затем рассмотрим
*) Не нарушая общности, можно предполагать, что юверхность Рг
не имеет граничных точек над заданной точкой а. Эго замечание нужно
иметь в виду и дальше.
320 ТИП РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XII
все точки поверхности Fr, лежащие над а; число их равно числу
п(г, а) различных корней уравнения w(z)f=a, расположенных в
круге |z|O. Неотрицательная величина и (г, а) — п{г, а) дает сум-
сумму поря1ков расположенных над w=-a алгебраических точек вет-
ветвления поверхности Fr. Если еще обозначить через я (г) наибольшее
из чисел л (г, а), когда а пробегает всевозможные значения (это число
можно рассматривать как число „листов" поверхности Fr), и обра-
образовать разноаь (ср. п. 266)
я (О—я(г' я) = [и (г) —я (г, с)] + [и(г, а)-~п{г, а)},
то это выражение будет равно нулю для всех значений а, за исклю-
исключением*: тех, над которыми лежат алгебраические точки ветвления
поверхности Fr или для которых число я (г, а) меньше, чем и (г).
Первый член, стоящий справа, дает число недостающих листов;
если а представляет прямо критическую трансцендентную особен-
особенное ь поверхности F, то последние будут навиваться вокруг а и
при r~+R величина п(г) — и (г, а) будет неограниченно возрастать.
Эта разность служит, следовательно, известным образом мерой
„трансцендентной разветвленности" поверхности F над а.
С помощью выражения п(г) — я (г, а) можно мо аналогии
с п. 266 образовать своего рода „среднюю разветвленность"; для
нее получается выражение
я (г)- я>. а)__п(г) — п(г, а) . я (г, д)—Ц(г, а)
272. Учитывая, что основные теоремы теории распределения
значений имеют дело не с величинами и, а с их средними значе-
значениями N, заменим также и в-предыдущих выражениях числа *и, я
интегралами
о
(
о
Если еще вместо максимального значения я (г) ввести величину
N(r) = m x N(r, a),
(О)
то в силу первой основной теоремы и дополнений к ней, данных в
гл. VI, § 4, для каждоЧ функции, неограниченного вида, характеристика
которой, следовательно, при г -> R неограниченно возрастает, имеем
$+1 при R
2] СООТНОШЕНИЯ ДЕФВКТО» И РАЗВВТВЛвННОСТЬ 321
Таким образом если ввести 7V(r) вместо и (г) и заменить еще ЛГ(г)
асимптотически равнозначным с ним выражением Т(г), то для средней
разветвленности поверхности Fr над точкой w —а мы получим
выражение
8 (г, а) + Ъ(г, а).—в (г, а),
где
в (г, а)=1-
При этом величину 0 (г, а) можно рассматривать как средний поря-
порядок расположенных над а алгебраических точек ветвления, в то
время как S (г, а) дает меру для „трансцендентной разветвленности"
поверхности Fr над точкой w = a; в (г, а) представляет „полную
разветвленносгь" поверхности Fr над точкой а.
Таким образом, мы установили также связь с фундаментальными
величинами теории распределения значений. Нижние границы пре-
предыдущих трех выражений при г -* R суть не что иное, как де-
дефект S(a), индекс алгебраической разветвленности &(с) и „индекс
полной разветвленности" 9 (а) значения а. Сумму
или не меньшую сумму
можно, следовательно, рассматривать как „полную среднюю развет-
вленность" римановой поверхности F неограниченного вида. Сама
собой напрашивается аналогия с введенным в § 1 понятием сред-
средней разветвленности V римановой поверхности класса F* [или,
более обще, класса F(Wlf..., Wa)]. '
273. Из второй основной теоремы вытекают замечательные
предложения о разветвленности 0. В связи с проблемой типа прежде
всего заслуживает внимания следующее предложение (гл. X, § 3):
Если полная разветвленкость односшязной римановой поверх-
поверхности больше 2:
то поверхность принадлежит к гиперболическому типу.
Какое отсюда можно сделать заключение относительно специаль-
специального класса поверхностей Fq, разветвленность которых кроме
общеприменимой величины 9 может быть также охарактеризована
величиной V (§ 1), построенной с помощью кругообразного исчер-
исчерпывания поверхности? Если бы соотношение К>2 всегда влекло
ва собой соотношение 0 >2, то для гиперболичности поверх но-
322' ' тип римановой поверхности [гл. хн
сти достаточно было бы, чтобы средняя разветвленность У по-
поверхности Fq была больше 2. Учитывая геометрическое тол-
толкование величины V, данное в § 1, можно было бы тогда за-
заключить, что, как это было высказано в виде гипотезы на
стр. 318, для гиперболичности поверхности Fq достаточно, что-
чтобы ее угловая геометрия в среднем была угловой геометрией
Лобачевского.
Но, как можно показать на примере, в>2 не является не-
необходимым следствием из соотношения К> 2. Существует, однако,
интересный частный случай, когда это имеет место: а именно, в слу-
случае поверхности, полностью разветвленной над q^-5 точками
wv..., wg, т. е. для поверхности, не имеющей над точками
и\, ..., Wq неразветвленных листов (ср. гл. X, § 3). Для таких
поверхностей, как это доказывается непосредственно, определенная
по § 1 средняя разветвленность К>2; следовательно, их „угловая
геометрия" в среднем является угловой геометрией Лобачевского.
С другой стороны, как это было уже показано в гл. X, § 3, соот-
соответствующая величина 0 тоже всегда больше 2, и поверхность при-
принадлежит, следовательно, к гиперболическому типу. Во всех до сих
пор рассмотренных примерах для поверхностей класса Fq имело
место тождество К=г0. Справедливо ли это для всех поверхностей
класса Fq? Если бы это было так, то должны -были бы также
существовать поверхности Fq гиперболического типа, для кото-
которых V = 2, и угловая геометрия была бы, следовательно, евкли-
евклидовой, что опровергало бы часть высказанной на стр. 318 гипотезы
(так как неевклидовость угловой геометрии не являлась бы более
необходимым условием для гиперболичности поверхности). Легко,
действительно, указать примеры поверхностей Fq, принадлежащих
к гиперболическому типу, для которых определенная для г < 1
характеристика Т(г) при г-+1 возрастает так быстро, что
log
1 —г
Для поверхности такого рода справедливы еще соотношения дефек-
дефектов (ср. п. 223) и, следовательно, 6<2, а потому если бы для по-
поверхностей Fq всегда было V = 0, то в данном случае было бы
и К<2.
274. Оказывается, однако, что соотношение 1/= 0 ни в какой
мере н.е справедливо для всех поверхностей Fq, обладающих свой-
свойством A). Напротив, автору неизвестен ни один пример поверхности
класса A), где бы не выполнялось соотношение I/>2Q>0). Не
вдаваясь в подробности, приведем лишь один пример, вскрывающий
многое в этих соотношениях.
Пусть F@, 1, с») — универсальная поверхность наложения пло-
плоскости to с выключенными точками ¦ш = 0, 1, с», представленная
на стр. 19 топологическим деревом, и пусть /(г) — определенная
§ 3] ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПАРАВОЛИЧБСКОГО ТИПА 228
для | * | < 1 автеморфная отображающая функция (модулярная функ-
функция). Функция
w
отображает тогда единичный круг |г|<1 на риманову поверх-
поверхность Fq, полностью разветвленную над точками -w — 0, со и
имеющую над точками w—\, e наряду с бесконечным числом
логарифмических точек ветвления еще бесконечное число одно-
однолистных листов; эта гиперболическая поверхность принадлежит
к классу ^(О, 1, е, со). Соответствующее топологическое дерево
легко получается из топологического дерева поверхности модулярной
функции (стр. 12), если к каждой узловой точке каждой элементар-
элементарной области, соответствующей точке 10 = 00, присоединить по лога-
логарифмическому концу. Если теперь кругообразно исчерпать эту поверх-
поверхность, то для средней разветвленности V получится значение 3.
С другой стороны, легко убедиться в том, что характеристика Т{г)
t .
порядка величины ех~г и, следовательно, согласно второй основной
теореме, в должно быть <;2; на самом деле 0 = 2, так как •к> = 0, со
как пикаровские исключительные значения имеют дефект 1, так*
что 28 = 2.
Более глубокое изучение проблемы типа предполагает более
точное знание соотношений, существующих между величинами V и в.
§ 3. Достаточные условия для параболического типа. '¦
276. Теоремы теории распределения значений содержат только
необходимые условия для параболического типа поверхности, соот-
соответственно достаточные для гиперболического типа. Согласно этим
условиям, поверхность принадлежит к гиперболическому типу, коль
скоро ее разветвленность, измеренная с помощью фундаментальных
величин теории распределения значений, превосходит известную
границу. В том же направлении могут быть истолкованы теоремы
Иверсена и Гросса (гл. XI, § 1). Однако, все эти результаты с точки
зрения проблемы типа следует все еще рассматривать как весьма
неполные, даже если ограничиться относительно простым классом
поверхностей F(WV ... , WQ).
О достаточных условиях для параболического типа говорилось
в ходе предыдущего изложения только в связи с известными
весьма специальными классами поверхностей. Для регулярно развет-
разветвленных поверхностей соотношение К=в = 2 является как необхо-
необходимым, так и достаточным свойством параболического типа. Далее
мы видели, что поверхности с конечным числом точек ветвления
всегда принадлежат к параболическому типу. В дальнейшем мы
ставим себе целью дать общие достаточные критерии для поверх-
поверхностей с одними лишь изолированными точками ветвления, в част-
частности, следовательно, для класса поверхностей F{WV ..., Wa).
864
ТИП РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. Z0
27б. Для этой цели докажем сперва следующую лемму 1).
Пусть U (г) — действительная функция от z=*=x-\-iy, опрв~
деленная в круге \z\<.R<co, непрерывная с точностью до изоли-
рованных точек и обладающая следующими свойствами:
1) В точках разрыва 1/(г) = -}-оо.
2) Частные производные первого порядка от U непрерывны за
исключением некоторых гладких дуг f. пробегающих изолирован но
в круге |z|<R, т. е. в окрестности каждой v точки этого круга
расположено самое большее конечное число частей дуг f, на кото-
которых производные могут не быть непрерывными.
(т—) -\~{~7п)
3)
за исключением, быть может, изо-
изолированных точек круга \г\ <.R.
4) U\z\-*-\-m для \z\-*R.
Пусть далее |gradl/| = |/ tfg
и для
B)
где интеграл берется по линии уровня С/(г) = р, которая для
всех достаточно больших значений р состоит из конечного числа
жамкнутых гладких кривых.
При этих условиях интеграл
J LK9)
сходится.
Доказательство. Пусть р0 > i/@) и
стояние от точки 2 = 0 до кривой U —
C)
кратчайшее рас-
Последняя содержит
р p^p0 р
тогда замкнутую ветвь, окружающую круг |г|О0, и, следова-
следовательно, ее длина не меньше, чем 2r.rQ. Из неравенства Шварца следует
тогда, что
где
dA
dp
\dt\
с U
дп
]) L. Ahlf rs |9]. Изложению, данному в тексте, я обязав письменному
сообщению Альфорса.
§ 3] ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИНА 325
является произгодной от площади А(р) области U<р. Интегрируя,
найдем, что для р >- р0
я так как Л(р)ОЯ8, то для всех р>р0
откуда следует утверждение.
Примечание. Для i?eaj лемма более не справедлива. В саном
деле, если положить U(z) = log\z\, то, для log|2|«=p>l,
|grad[7| = rp = e~p, и поэтому L(p)«~2it\z\e~t = 2ir. ИнтегралC),
следовательно, бесконечен.
277. Значение этого результата для проблемы типа покоится
на том, что выражение i(p), а, следовательно, и интеграл C)
инвариантны относительно аналитических преобразований пе. емен-
ной г. В самом деле, если вместо г ввести новую переменную
w = w(z), z = z(w), где w(z)— определенная в круге \z\<R
однозначная гнэлитическая функция от z, то U(z(w)) будет одно-
однозначной функцией точек Pw римановой поверхности, на которую
функция w(z) отображает круг |2|<# и, далее,
г-»
fjgrad,
D)
278. Пусть теперь Fw—открытая односвязная риманова поверх-
поверхность, уасаоложенная над плоскэстью w, и U(PW)'—определанная
на этой поверхности однозначная действительная функция, удовле-
удовлетворяющая следующим условиям:
a) В каждой точке Pw поверхности F^, за исключением самое
большее изолированных точек, функция U(PW) непрерывна.
b) В точках разрыва U — -\- со.
c) Производные -^, ¦— (w *= и -J- to,) непрерывны на Fa, за
исключением самое большее некоторых гладких изолированных
ДУГ f«») т« е- в окрестность каждой точки Р„ поверхности попадает
не более конечного числа частей дуг ?„.
d) (-г-) + (~а~) > ^ всюду за исключением самое большее
изолированных точек поверхности.
e) Если /V(v»p1, 2,...)—бесконечная последовательность,
точек поверхности, не имеющая принадлежащих к поверхности7
S26 ТИП РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. XII
предельных точек, то
?/(/V) -* -j- оо при v -»• оо.
Пусть Гр — кривая на поверхности Fw, определенная соотношением
U(Р„) = р (^ min U). При этих условиях имеет место следующая
'. Теорема 1 ')• Пусть Fw — открытая односвязная риманова по-
поверхность. Если на ней можно определить функцию U(PW), удо-
удовлетворяющую условиям а), ..., е), для которой интеграл
' ОО
J L, (р)
расходится, то поверхность Fa принадлежит к параболическому
типу. При этом, как и прежде,
= J |gradwtf|l<fol.
В самом деле, если бы Fw была гиперболического типа, то ее
можно было бы отобразить взаимно однозначно и конформно (за
исключением точек ветвления конечного порядка) на конечный
круг |г|<^?<оо. Если z — z(Pw), Pw — Pw(z) — соответствующая
аналитическая отображающая функция, то функция LJ(Pwz) удовле-
удовлетворяет условиям леммы, и так как выражение ?(р) инвариантно
относительно аналитических преобразований, то интеграл E) должен
был бы сходиться, что противоречит предположению. Следовательно,
поверхность Fw не может быть гиперболического типа.
279. Применим предыдущий критерий к определению типа одно-
связной римановой поверхности F, имеющей одни лишь изолиро-
изолированные точки ветвления. В простейшем случае, когда F при-
принадлежит к классу F(w1}..., wq) или к более общему классу
F(WV ..., Wq) (ср. гл. XI, § 2), она может быть топологически
охарактеризована с помощью комплекса отрезков. Как обобщение
этого способа представления поверхности проведем вместе с Ко-
беяши (Kobayashi) a) нижеследующее построение, которое может
быть выполнено для каждой поверхности F, имеющей одни лишь
изолированные точки ветвления.
Представим себе поверхность F расположенной над сферой
Римана и проведем вокруг каждой ее точки ветвления w — a4
окрестность Q4, состоящую из совокупности точек Я„ поверх-
поверхности F, расстояние которых, измеренное на поверхности (в сфери-
сферической метрике) от точки а„ короче, чем расстояние до других
точек ветвления ^((Афу). Полученный таким образом нормальный
многоугольник Qv ограничен некоторым числом дуг В больших
кругов, точки которых находятся на одинаковом расстоянии по
крайней мере от двух точек ветвления. Образованная дугами В
См. L. Ahlfois [«].
Z. Kobayashi Щ.
§ 3] достаточный условия для параболического типа 327
сеть Кобеяши в простейших случаях совпадает, с комплексом отрез-
отрезков; во всяком случае для поверхностей F(wv ..., wg) нормальные
многоугольники Q, и элементарные области комплекса отрезков
соответствуют друг другу взаимно однозначно.
280. Перейдем теперь к определению на поверхности F функ-
функции и(Ру,), удовлетворяющей условиям теоремы I. Для этого
возьмем на сети В произвольную точку Pw; если она не является
вершиной, то она граничит с двумя нормальными многоугольни-
многоугольниками Q' и Q", содержащими точки ветвления w = a' и -w = a".
Если соединить Радугами больших окружностей (K-j) G(Pwa')>
б (Pw, а") с этими точками, то эти дуги поворачиваются на равные
углы, когда Р„ движется по соответствующей стороне В {а1, а")
сети В.
Приращение dx этого угла на элементе дуги | dw \, очевидно,
равно
где вместо а нужно подставить а' или а" г).
Пусть далее Ро — произвольная фиксированная и Р„—подвиж-
Р„—подвижная точки на В. Определим функцию
= min
где PJ пробегает на В от Ро до Pw. Этим х определена как непре«
рывная, неотрицательная функция точки Р„ сети В. Затем она
непрерывно продолжается в каждую внутреннюю точку Pw много-
многоугольников Q,, отличную от точек ветвления, с помощью следую-
следующего способа: дуга окружности G(PW, а,) продолжается за точку Pw
до встречи с сетью В в некоторой точке Рю* и затем полагается
Кроме углового расстояния x(Pw) между точками Ро и Р„
вводится еще другая положительная и для Р„ ф а, непрерывная
функция о, определяемая соотношением
1 -{-aw
w — а
где а — ближайшая (в сферической метрике) к Р„ точка ветвления,
если Pw не лежит на В, и произвольная из ближайших точек вет-
ветвления, если Pw лежит на В.
281. Сумма
¦I1
удовлетворяет всем условиям п. 278. В каждой точке поверхности
!) Этот результат очевиден для «=»0. Если лфО, то нужно w преобра-
преобразовать с помощью вращения сферы, переводящей я в нулевую точку.
328 ТИП РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ.
ЛоФ**» она непрерывна. То же самое справедливо для* ее частных;]
производных первого порядка, исключая стороны сети В, где о (РюI
достигает постоянного (положительного) минимума, а также некого-'
рые дуги окружностей G (Я„, л„), на которых х(Р„,) принимает
экстремальное значение. Если ввести переменную t = a-\-ix, то в ка-
качестве конформного образа поверхности F мы получим расположен-
расположенную над первым квадрантом плоскости / многолистную повгрхность/
Ft, не имеющую совсем точек ветвления, но зато имеющую горизон-
горизонтальные и вертикальные складки, соответствующие вышеуказанным
линиям разрыва!).
Рассматривая тепзрь линии уровня С/=о4-т = const, мы найдем,
учитывая свойство инвариантности выражения Igrad^L/H dw\ (п. 277),
что
| grad,, U11 dw | — Igrad, U\ \ dt |
Следо*ательиэ, интеграл
ввятый по линии уровня r?(f/ = o-J-T = p), равен Y2, умноженному
на сумму длин расположенных на складчатой поверхности Ft отрез-
отрезков <з-|-т = р, представляющих образ линии Г^. Чтобы оцен ть эти
длины, обозначим через п (т), где т > 0, число точек Яю на сети В,
удовлетворяющих уравнению
Если точка Рю отлична от вершин сети В, то она определяет две
дуги окружностей О(Р„, а), на которых т сохраняэт постоянное
значение и, следовательно, на которых лежит самое большее одна
точка (<з = р—т, т) линии уровня Tf (о -f-x = p). Следовательно, ис-
исключая изолированные значения х, над каждой точкой t = р — т-[-и
отрезка о-|-х = р(з>0, i>0) плоскости t лежит самое большее
2я(т), образов точек линии Г,,, так что
j
j
n(z)dz.
Из теоремы 1 следует тогда теорема Кобеяши:
Теорема 2. Пусть F—открытая односвязная риманоза поверх-
поверхность, имеющая одни лишь изолированные точки ветвления; пусть
далее В—соответствующая ей сеть нормальных многоугольников
и'и(х) — число точек Р„ этой сети, находящихся на угловом рас-
расстоянии х от произвольно выбранной точки сети Ро.
1) Этому наглядному представлению теоремы Кобеяши я также обязан
жисыюнному сообщению Альфорса,
§ 35 доетАточныв уеловтм для па^аволяческого типа 29
Тогда, еЬли интеграл
с*
л л.
- F)
\1
расходится, то поверхность принадлежит, к параболическому типу.
282. В качестве применения этой общей теоремы рассмотрим
простой случай поверхности, имеющей только конечное число точек
ветвления. Для такой поверхности л(т) остается, очевидно, ограни-
00
ченным. Интеграл F), ведущий себя, следовательно, как Г —, рас-
расходится, и поверхность должна принадлежать к параболическому
типу, как это было уже доказано выше (гл. XI, § 3) другим
методом.
Для общего класса поверхностей, разветвленных над 0]>3 точ-
точками wv ..., twg (или более обще: над областями Wu ..., W_),
предыдущая теорема также приводит к интересному результату. Мы
ограничимся случаем, когда поверхность имеет одни лишь логариф»
мические точки ветвления, расположенные над тремя точками wu
w2, wa, случай, впервые исследованный Шпайзером.1) Представим
поьерхность с помощью комплекса отрезков (гл. XI, § 2) и обозна-
обозначим через о (и) число гнезд л-го поколения. Если каждой узловой
точке Р, из которой выходят vB<v<3) различных гнезд, поста-
поставить в соответствие в качестве числа разветвления число v — 2 и
обозначить через <|»(й) сумму чисел разветвления всех узловых то-
точек первых п поколений, то
С другой стороны, очевидно, что угловое расстояние Кобеяши т
от точки Pw v-ro поколения комплекса до начальной его точки, де-
деленное на v, изменяется между конечными положительными грани-
р
цами. Заменяя стоящий в (б) интеграл Г ndx его максимальным
о
значением рп(р), получаем непосредственно из предыдущегог):
Теорема 3. Если поверхность F(wv wv w^ имеет только ло-
логарифмические точки ветвлгния и число разветвления <p(v) соот-
соответствующего ей комплекса отрезков возрастает настолько мед-
медленно, что ряд
У A. Speiser p] R.
*) Эта тесрема была сперва доказана автором Is] ярн помощи метода,
в качестве известного обобшевдя которого можяо р*ссматри«а!Ь метод
Кобеяши.
380 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. ХШ
расходится, то поверхность принадлежит к параболическому
типу!).
Известные новые результаты Мирберга показывают, что даже
для простейшего случая поверхностей F(wv w2, w3) едва ли можно
указать одновременно необходимые и достаточные условия, если
учитывать только степень разветвленности поверхности. Наряду со
степенью разветвления нужно в качестве важного признака для
определения типа поверхности учитывать симметрию, соответственно
несимметрию в структуре поверхности2).
ХП1. АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ.
§ 1. Основные топологические понятия.
283. В предыдущем изложении учения о распределении значений
наш интерес в большой степени был направлен на свойства рима-
новой поверхности F, на которую конформно отображается круг
|г|<Ж!со с помощью заданной мероморфной функции w = w(г).
Для нашего исследования существенно было следующее: 1) на по-
поверхности F вводилась метрика, например, сферическая в случае
первой основной теоремы, неевклидова (или еще более общая)—
для получения второй основной теоремы; 2) чтобы овладеть свой-
свойствами всей открытой поверхности F, нужно было определить
множество аппроксимирующих поверхностей, с помощью кото-
которых исчерпывалась поверхность F; в качестве таких аппрокси-
аппроксимирующих поверхностей нам служили прежде всего образы Fr кру-
кругов |г|О<./?. 3) Отображение г-»• w было однозначным и
конформным.
Недавно Л. Альфорс3) указал новый путь к основным теоремам,
опирающийся на прямое исследование поверхности наложения F за-
заданной основной поверхности. Эта теория во многих отношениях
означает существенное продвижение вперед. Во-первых, достигается
более глубокое понимание механизма распределения значений, по-
поскольку производится совершенно ясное отделение топологического
от метрического. Во-вторых, не требуется более обязательно кон-
конформность отображения; основные теоремы распространяются на
значительно более общий класс отображений. В третьих, эти основ-
основные теоремы получаются в новой, более общей форме, которая для
частного случая мероморфных функций приводит к результатам,
представляющим, с одной стороны, усиление прежних результатов,
!) Для поверхностей с одними лишь алгебраическими точками ветвле-
ветвления имеет место аналогичная теорема Ahlfors'a 1*1. См. также Speiser Г21,
[8], Ullrich pj.
J) P. Myrberg П.
3) L. Ahlfors I1*].
* 1] ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 331
хотя, с другой стороны, они и не содержат прежних результатов
в их наиболее общей первоначальной формулировке.
284. Чтобы созлать необходимую основу для этой теории, нужно
сперва ввести некоторые простые вспомогательные топологические
понятия, относящиеся к замкнутым поверхностям или к поверхностям
с краями (berandete Flichen).
Пусть задано бесконечное множество Fo точек Ро и каждой
точке Ро* этого множества поставлены в соответствие в качестве
окрестностей определенные подмножества (Ро) множества Fo, содер-
содержащие точку Ро* и удовлетворяющие основным свойствам окрестно-
окрестностей на поверхностих). С понятием окрестности на множестве Fo
определяются известным образом понятия простой (жордановой) кри-
кривой, предельной точки некоторой бесконечной последовательности
точек и т. д. Наконец, пусть множество Fo связно, т. е. всякие
две его точки Ро' и Ро" могут быть соединены непрерывной кри-
кривой, расположенной на Fo.
Определенная таким образом поверхность Fo допускает разбие-
разбиение на треугольники, т. е. Fo можно разбить (бесконечным числом
способов) на систему односвязных областей (треугольников) Dx ?>2,...,
ограниченных тремя простыми дугами (сторонами) J3, не имеющих
общих внутренних (не лежащих на сторонах) точек и не сгущаю-
сгущающихся ни к какой точке Ро поверхности Fo.
Нужно различать два случая: поверхность Fo допускает разбие-
разбиение на конечное число треугольников D, тогда поверхность Fo замк-
замкнута; всякая бесконечная последовательность точек поверхности
имеет в качестве точек сгущения только точки, принадлежащие к са-
самой поверхности. Или же во всякой системе разбиения число тре-
треугольников бесконечно. В этом случае поверхность открыта: можно
указать бесконечную последовательность точек Ро, для которой ни
одна из точек поверхности не является точкой сгущения*).
285. В этом параграфе мы рассматриваем только конечные по-
поверхности, т. е. поверхности, составленные из конечного числа тре-
треугольников. Наряду с этими замкнутыми поверхностями, у которых,
следовательно, каждая сторона треугольника принадлежит ровно
к двум соседним треугольникам, введем еще в рассмотрение конеч-
конечные поверхности с краями, построенные аналогичным образом
также из конечного числа треугольников с той, однако, разницей,
что некоторое число сторон может теперь принадлежать только к
одному треугольнику,—эти'стороны образуют границу поверхности с
краями. К понятию поверхности с краем мы приходим, удаляя из задан-
заданной замкнутой поверхности некоторое число треугольников; обратно,
х) См,, например, В. Kerekjarto [>], см. также Зейферт и Трел.ль-
фаль, Топология, ГОНТИ, М. —Л., 1938.
*) Здесь дано определение поверхностей, замкнутых и открытых в тео-
ретико-миожественном смысле. В дальнейшем изложении под замкнутыми
поверхностями понимаются поверхности, замкнутые в элементарно-геометри-
элементарно-геометрическом смысле.
882 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВВРХНОСТВЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. ХШ
каждая поверхность Fo с краями может быть дополнена до замкну-
замкнутой поверхности: для этого достаточно взять два топологически
эквивалентных экземпляра поверхности Fo и идентифицировать
соответствующие граничные точки.
Для свойств связности замкнутой поверхности или конечной по-
поверхности с краями решающую роль играет характеристика
р = — e-\-k—p;
здесь при заданном разбиении на треугольники е означает число
внутренних ве, шин, k—число внутренних сторон и р — число тре-
треугольников. Мы будем предполагать доказанным, чго характеристика
не зависит от выбранного разбиения на треугольники*). Характе-
Характеристика достигает своего наименьшего значения, — 2, для замкнутой
поверхности жанра нуль (например, для сферы). Для треугольника
или, более обще, для одиосвязной области р —— 1.
Представим себе, что с помощью некоторых внутренних сторон
ваданного разбиения на треугольники поверхность Fo разбивается на
некоторые многоугольники О. Если обозначить через k' число этих
сторон и через е'— число принадлежащих им внутренних вершин
треугольникоз, то легко убедиться, что
где р(О) означает характеристику многоугольника О.
Предположим теперь, чго предыдущее разбиение поверхности Рй
на многоугольники О производится с помощью не имеющих общих
точек циклических или нециклических сеченийJ) поверхности Fo.
Легко видеть,что k'—е' тогда в точности равно числу n(s) неци-
нециклических сечений (s).
Если конечная поверхность Fo разбивается системой не имею-
имеющих общих точек циклических или нециклических сечений (s) на
многоугольники О, то
2(*\ a)
tde n(s) означает число нециклических сечений**).
286. Перейдем теперь к понятию поверхности наложения. Пусть
кроме данной конечной (замкнутой или с краями) поверхности Fo, кото»
рая в дальнейшем называется основной поверхностью (Grundfliche),
задана еще дру1ая, также конечная (замкнутая или с краями) по-
поверхность F. Представим себе, что на этих поверхностях опреде-
определены разбигния на треугольники, между которыми установлено
соответствие, обладающее следующими свойствами:
*) См. Зейферт и Трвлльфаль, Тополсгия, ГОНТИ, М,—Л., 1938.
**) В дальнейшем нециклические сечения называются просто сечениями.
:) Сечеиие называется циклическим, если оно представляет простую
краду», замыкающ/вея на поверхности.
§ 1] ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 833
1) Каждому треугольнику D поверхности F топологически соот-
соответствует вполне определенный „основной треугольник" (Spurdreieck)
Ро поверхности Fo. Точка Ро треугольника ?>0, соответствующая
точке Р треугольника D, называется следом точки Р; говорят также,
что Р лежит над Ро.
2) Двум соседним треугольникам D поверхности F, р?>8деленным
стороной k, всегда соответствуют два соседних треугольника D9
поверхности Fq, притом так, что точке, лежащей на стороне к% соот-
соответствует одна и га же точка на соответствующей стороне поверх-
поверхности Fo вне зависимости от того, в каком из двух треугольников
эту точку мы рассматриваем.
При этих предположениях F называется поверхностью наложе-
наложения основной поверхности Fo. Те граничные стороны поверхности F,
которые лежат над внутренними сторонами основной поверхности
Fo, образуют относительную границу поверхности F.
Пусть е — внутренкяя вершина на F; она принадлежит в каче-
качестве вершины к некоторому циклу треугольников D. Каждому тре-
треугольнику О0 соответствующего цикла на Fo соответствует одно
й то же чи(ло т треугольников предыдущего цикла. Если т > 1,
то е называется точкой разветвления поверхности наложения; число
т — 1 называется ее поряд сом.
287. Поверхность наложения F может быть следующим образом
разделена на „листы": пусть Ft — множество тех треугольников на
Fo, над которыми лежит по крайней мере один треугольник поверх-
поверхности F, Fj называется „первым листом" поверхности F. „Второй
лист* F2 состоит из всех тех треугольников на Fo, над которыми
лежит по крайней мере два треугольника поверхности F, и т. д.
Таким образом с помощью листоз Fv ..., Fn полностью характери-
характеризуется покрытие поверхности Fo поверхностью F, поскольку во-
вопрос идет о числе покрытий; и означает здесь наибольшее из числа
покрытия.
288. С помощью разделения на листы можно установить важное
соотношение для характеристики поверхности наложения. Пусть при
заданном разбиении основной поверхности Fo на треугольники число
означает характеристику v-ro листа и-листной поверхности наложе-
п
ния F. Мы тотчас замечаем, что для этой поверхности р= 2 Р» и
п п
и k = 2 К- Кроме того, в общем случае е < 2 в»> так как ПРИ
подсчете величины е не учитывается кратность разветвленных вер-
шин, которые также считаются только один раз. В действительности
334 АЛЬЪОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЙ [ГЛ. ХШ
где о—так называемое число разветвления поверхности нало-
наложения, которое, согласно определению, равно сумме порядков
всех точек разветвления поверхности F. Таким образом, для
характеристики р — — e-\-k — р мы получаем следующее предста-
представление:
Характеристика р поверхности наложения F равна
р=2р,+*. B)
где р„ — характеристика v-го листа и v — число разветвления
поверхности.
289. Если F не имеет никакой относительной границы, то
характеристика каждого листа равна характеристике р0 основной
поверхности Fo и B) переходит в так называемое соотношение
Гурвица
, B')
которое, следовательно, определяет характеристику и-листной по-
поверхности наложения, не имеющей относительной границы.
§ 2. Введение метрики.
290. Определим теперь на конечной основной поверхности F9
метрику. Чтобы излишне не ограничить возможные приложения
теории, будем допускать каждую метрику, удовлетворяющую сле-
следующим весьма общим постулатам. Рассмотрим сперва случай зам-
замкнутой поверхности.
1) Каждой дуге C заданного класса (J3) простых кривых поста-
поставлено в соответствие в качестве длины дуги конечное положитель-
положительное число 10(|3). Класс (Р) содержит в частности все дуги, встре-
встречающиеся в определяющем разбиении на треугольники.
2) Между двумя произвольными точками поверхности проходит
по крайней мере одна дуга C. Нижняя граница длин соединяющих
дуг р, расстояние между этими точками, положительна.
3) Для каждой точки Р и каждого е> 0 существует окрестность (Р),
точки которой удалены от точки Р на расстояние <е.
4) Каждая область D noeej хности Fo, ограниченная простой
замкнутой криЕОй р, имеет конечную положительную площадь/0 (D).
5) Мера длины и мера площади аддитивны.
6) Для каждой точки Р существует окрестность Up и число h (P)
такие, что каждая лежащая в Up замкнутая кривая длины L огра-
ограничивает область, площадь / которой удовлетворяет условию
J<hL C)
Эти условия являются весьма общими. Они выполняются при
всех метриках, употребительных в диференциальной геометрии.
§ 23 ВВЕДЕНИЕ МЕТРИКИ 335
291. Величина k, входящая в условие 6, зависит от точки Р.
Из предыдущих постулатов следует, однако,, что условие F) выпол-
выполняется с постоянным значением h для всех точек, если только
берутся'дуги достаточно малой длины.
6') Существуют два положительных числа d и h такие, что
каждая замкнутая кривая $ длины ?<d заключает площадь
J<hL
Чтобы в этом убедиться, определим для каждой точки окрест-
окрестность Up и соответствующую постоянную h(P) и обозначим через
8(>0) наименьшее расстояние от точки Р до границы окрестности
Up. Пусть тогда Up' означает окрестность точки Р, точки которой
удалены от Р на расстояние <-|-- По теореме о покрытии Гейне-
Бореля п верхность Fo може'г быть покрыта конечным числом
окрестностей Up'; пусть а!(>0) — наименьшее из соответствующих
чисел y и h — наибольшее из соответствующих чисел h(P). Если
Р— простая замкнутая кривая длины ?<d, то J3 должна лежать
целиком внутри одной из выбранных окрестностей Up и, следова-
следовательно, согласно 6), она ограничивает область, для которой
/<A(P)Z.^AL, что и требовалось доказать.
292. Отсюда получается следующая
Лемма 1. Существует конечная постоянная А>0 такая, что,
если замкнутая поверхность Fo с пом.щью конечного числа зам-
замкнутых кривых р. с суммой длин, равной L, разбивается на две
части D' и D", состоящие из конечного числа областей и имею-
имеющие соответственно площади Jf, J", то
Если все кривые р имеют длину <d, то они ограничивают не-
некоторые области (в конечном числе), сумма площ^ей которых
по 6') меньше, чем hL, где h — указанная в 6') постоянная. Осталь-
Остальные точки поверхности все принадлежат или к D', или к 1У, и
предыдущая сумма площадей мажорирует или J", или У', откуда
следует утверждение D).
Если же длина по крайней мере одной из кривых р не меньше,
чем d, то и 1^.? Если J0 = J'-{-J" означает площадь всей по-
поверхности Fo, то
mln(y, f
и D) имеет место, если h положить равным числу ~, зависящему
только от метрики поверхности Fo.
293. Если конечная основная поверхность Fo имеет край4, то
дополняем ее, как в п. 285, до замкнутой поверхности Fo. Пред-
Предположим, что заданная на Fo метрика длин и площадей выбрана
$36 ЛЛЬФОРСОВЛ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [гЛ. ХШ
так, что условия 1)—6) выполняются на Fo. Тогда лемма 1 справед-
справедлива для Fo, а, следорательно, и для Fo, если только кривые {}
вамкнуты относительно Fo, т. е. если они или замыкаются внутри
Fo или представляют сечения поверхности Fo; в самом.деле, сече-
сечению поверхности Fo соответствует на Fo замкнутая кривая.
294. Пусть р — простая дуга на Fo и Р — точка на р. Тогда,
если существуют два положительных числа d(P) и h(P) такие, что
сумма X длин частей дуги р, точки которых отстоят от Р на рас-
расстоянии d(Q<d<d(P)), удовлетворяет условию
то мы скажем, что дуга р регулярна в точке Р. Если дуга |J
регулярна в точке Р, то она, очевидно, удовлетворяет следую-
следующему важному условию: существует окрестность Up и число h(P)
такие, что часть дуги р, лежащая внутри проведенной в Up
замкнутой кривой длины L н окружающей точку Р, имеет дли-
длину <h(P)L
Дуга р называется регулярной, если она регулярна в каждой
точке.
В дальнейшем будем предполагать, что все стороны рассматри-
рассматриваемых разбиений на треугольники регулярны. В полной аналогии
с доказательством леммы 1 доказывается тогда
Лемма 2. Если р— простая регулярная кривая на замкнутой
поверхности Fo, то существует конечное число А>0 такое, что,
если провести на Fo замкнутые кривые с суммой длин L, разби-
разбивающие поверхность Fo на две части, состоящие из конечного
числа областей, и обозначить соответственно через X', X" суммы
длин частей дуги р, попадающих в эти части, то
min(A', Х")<А1. E)
296. Эта лемма остается также в силе, если поверхность Fo не
предполагать замкнутой, а предположить, что она имегт кгая;
в этом убеждаемся также, как в п. 293. В рассматриваемом случае
разбивающие кривые с суммой длин L относительно замкнуты на
поверхности Fq, в частности они могут представлять сечение поверх-
поверхности Fo.
Особо следует отметить, чго в случае поверхности с краями
в качестве дуги р можно взять часть границы поверхности Fo, если
только она регулярна. Таким образом, приходим к следующему,
важному рлл дальнейшего, следствию:
Если Fo конечна и имеет края, то существует конечное число
А>0 такое, что, если Fo разбивается системой из конечного
числа сечений с суммсй длин L на две части, то граница поверх-
поверхности Fo распадается на две чисти, длины которых X', X" удо-
удовлетворяют соотношению
E0
§ 3) МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ 337
§ 3. Метрические свойства поверхностей наложения.
298. Метрика конечной основной поверхности Ло переносится
на заданную конечную понерхность наложения Fследующим образом:
каждой кривой Р и части D поверхности F ставится в соответствие
в качестве длины и площпди длина L и площадь / соотве > ствую-
щей кривой $0 и области Do основной поверхности Fo. На поверх-
поверхности наложения мо>кно тогда ввести фундаментальную величину,
которая имеет для этой поверхности такое же значение, какое ъ
теории распределения значений имеет характеристическая функция
Т(г) для поверхности Fr.
297. Если разделить всю площадь J поверхности наложе: ия F
на площадь Уо основной поверхности Fo, то в качестве частно! о
получится величина
H
которая называется средним числом листов поверхности F. Еси
D—заданная область основной поверхности Fo, имеющая площадь
/0(?)), то выражение
где /(О) означает сумму площадей всех частей поверхности нало-
наложения F, лежгщих над D, называется средним числом листов поверх-
поверхности F над D.
Аналогично определяется среднее число листов 5C) поверх-
поверхности F над заданной кривей р сеговной поверхности Fo. Е:ли
^(,3) означает длину к; ивой {3 и LQ) означает сумму длин Есех
лежащих над ней дуг поверхности наложения F, то
298. Для дальнейшего исследования важно знать, в какой зави-
зависимости находится среднее ч^сло листов от соответствующей об-
области D или «т кривой J3 основной поверхности Fo.
Первая теорема о покрытии. Существует такое конечное число
А>0, зависящее только от метрики основной поверхности Fo,
что для каждой конечной поверхности наложения F поверх-
поверхности Fo выполняется условие
где L означает длину относительной границы поверхности F.
Для доказательства разложим поверхность F на определенные
в п. 287 листы Flt .... Fn. Тогда'
338 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [гЛ. XIII
где Jv означает площадь, а ?, — длину относительной границы v-ro
листа /\. Соотьетственно
если/,(О) означает площадь части лясга F4, лежащей над D
(т. е. пересечения области D с листом Fw).
Так как yv(D)<7,, то
С другой стороны,
и, следовательно, так как 5, и 5, (D) неотрицательны, то
^ - G)
Аналогично получается неравенство J0(D) — У,(О)<У0—Уу. от-
откуда следует, что
вместе с тем
j j j j
л "-> Jo ^
и так как 1—S4(D) и 1—5, неотрицательны, то
Из G) и (?') следует, что
или, согласно лемме 1,
Суммируя по v, получим искомое соотношение A,1)
299. Для среднего числа листов S($) поверхности наложения F,
лежащих над заданной регулярной кривой J3 оснозной поверхности,
имеет место аналогичная
Вторая теорема о покрытии. Существует конечное число h > О,
зависящее только от метрики поверхности Fo и выбора регуляр-
§ 3] МЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ 339
ной кривой Р на Fo такое,' что
\S—S$)\<bL, A,2)
где L —длина относительной границы поверхности F.
Разбивая F на листы Fv ..., Fn, получим для длины 1ф) дуг,
расположенных над р, выражение
где 1Ч(Р) — длина части дуги C, находящейся на листе F,.
Предположим сперва, что J3 разбивает поверхность F6; и обозна-
обозначим через D ту из соотвзтствующих ограниченных ? частей, кото-
которая имеет меньшую площадь.
Пусть DH — область пересечения D и /\; она имеет площадь
./,(?>) и границу длины ^.L,^)-\-L4, где Lv — длина границы
листа FH. По первой лемме существует такая, зависящая только
от поверхности Fo, постоянная k, что
Заменяя D4 дополнительной к ней относительно D областью
Dv (Dv -f- D4 = О), найдем аналогичным образом, что при той же
постоянной h
Jo (D) - У, (?>)< h (Lo (?) - Ls (?) + Q,
где Lo(?)—'Длина кривой р. Отсюда, после деления на J0(D), по-
получаются неравенства
Так как величина -у-°Д^ по первой лемме не меньше 1 и I, ^ О,
правые части последних соотношений, наверное, соответственно не
меньше, чем «S, (?) и 1—5, (?); следовательно, эти два соотношения
остаются в силе, если слева заменить 5, (О) на 5, (Э) *)• Если еще
учесть, что стоящие слева выражения неотрицательны, получим не-
неравенства
следовательно,
*) При этом введено обозначение
340 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XII
Применяя вторую лемму, ваключаем отсюда, что
где h' — постоянная, зависящая только от выбора кривой р. Давая
здесь v значения 1, ..., п и суммируя, найдем, что
и, наконец, учитывая первую теорему о покрытии, получим соот-
соотношение
(9)
где h снова зависит только от р.
300. Этим теорема доказана для случая, когда р— регулярная
кривая, разбивающая поверхность. Чтобы притти к общему случаю,
о котором говорится во втгрой теореме о покрытии, заметим, что,
повторяя рассуждения п. 298, легко доказать справедливость соот-
соотношения
!S(8)-S(?')|<—pji; (Ю)
где р'— часть произвольно заданной регулярной кривой р и h — по-
постоянная, зависящая только от выбора р.
В самом деле, если сумму длин расположенных над р' дуг
поверхности наложения написать в виде L Q') = 2 ^ (р)> то
А. (Р'Х Ъ ф, и, следовательно,
Далее
откуда следует, что
(НО
С другой стороны, так как часть дуги р, лежяшая на v-m
листе вне р', содержится как часть в соответствующей части дуги р,
лежащей на Fo вне р', то 10(,3') — МР0<М?) — LA?) И» следо-
следовательно,
С другой стороны,
и из двух последних соотношений следует, чго
§ 4] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О КОНЕЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ 341
Из (ПО и A1") получается
или, учитывая вторую лемму,
где I, означает длину границы v-ro листа, а А —постоянная,
зависящая только от выбора кривой C. Суммирование этих нера-
неравенств дает нам, наконец, соотношение A0).
301. Окончательное доказательство второй теоремы о покрытии
следует из соотношения A0) вместе с соотношением (I, 2), дока-
доказанным для замкнутой регулярной кривой р, разбирающей поверх-
поверхность Fo. Чтобы убедиться, что соотношение (I, 2) справедливо
для произвольной регулярной кривой Р, шберем на р произвольную
точку Р, возьмем произвольную ее окрестность Up и- обозначим
через р' часть кривой р, попадающую в Up. 3ia дуга р' мож»т
быть дополнена в Up до замкнутой кривой Рр, разбивающей посерх-
ность Fo. Применим теперь соотношение A0) к кривым Р и р'
и к кривым Рр и р', затем ч применим соотношение (I, 2» к разби-
разбивающей кригой Рр. Из этих трех соотношений получится тогда
общее соотношение (I, 2).
302. Примечание. Для дальнейшего очень важно заметить,
что вторая теорема о покрытии справедлива и для понерхносгей
Fo с краями (ср. п. 295) и что тогда за р можно взять граничную
дугу поверхности Fo,' если граница этой поверхности регулярна,
что мы в дальнейшем всегда будем предполагать.
• § 4. Основная теорема о конечных поверхностях наложения.
303. В § 1 уже отмечалось, что топологическое соотношение
опрелеляющее характеристику и-листной конечной поверхности
наложения F как функцию от характеристик ее листов Fl Fn,
и числа разветвления v, в том случае, когда F не имеет границы
относительно осьовной поверхности Fo, содержит в частности соот-
соотношение Гурвица
+ ' A20
Из этого соотношения видно, что характеристика р поверхности
наложения F по меньшей мере р :вна характеристике р0 основной
поверхности, умноженной на число листов п. После того как на
поверхности введена метрика, можно из общего соотношения харак-
характеристик A2) вывести соотношение, которое показывает, что
342 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XIII
неравенство Гурвица р>»р0 имеет место и для поверхностей
с краями, если число листов я заменить вышеопределенным средним
числом листоз 5 и добавить к правой части некоторую величину,
играющую в дальнейшем роль несущественного остаточного члена.
Это составляет главное содержание нижеследующей фундаменталь-
фундаментальной теоремы 5).
Основная теорема. Пусть Fo— конечная основная поверхность,
замкнутая или с краями, на которой определена метрика указан'
ного в § 2 вида. Тогда существует положительное число h такое,
что для каждой конечной, поверхности наложения F поверхности
Fo выполняется соотношение
?>ро5-й1, A1,1)
где р0 — характеристика поверхности FQ, p — характеристика F
и L—длина относительной границы поверхности F 2).
304. Здесь будет рассмотрен толь<о тот случай, когда основ-
основная поверхность и< добна однолистным 3). Пусть поверхность Fo
ограничена #г>2 замкнутыми граничными кривыми (или точками);
тогда ро = д — 2. Проведем q не имеющих общих точек сечений
?!»•••» Рв и обозначим через Fo', Fo" две односвязные области,
на которые при этом распадается поверхность Fo. He ограничивая
общности, можно предположить, что существует такое разбиение
поверхности Fo на треу: ольники, при котором, сечения C„ состоят
из одних лишь сторон разбиения.
Рассмотрим теперь совокупность всех путей, составленных из
сторон [ азбиения заданной конечной поверхности наложения F,
которые рас оложены над сечениями j34. Образованные ими сече-
сечения о поверхности F разбивают последнюю на конечное число М(О)
областей О. Если п (а) — число различных сечений я, то, согласно A)
§ 1, харяктеристи<а р поверхности наложения F равна п (о)-(- 2р(О),
где р(О) означает характеристику области G. Так как характери-
характеристика каждой области с краями ^—1, то p(G)>.— 1, и, следова-
следовательно,
A3)
306. Чтобы вывести из этого соотношения основную теорему,
требуется произвести известное разбиение областей О на классы.
Предполагая существование области Q, граница которой содержит
ровно одно сечение о, обозначим через (Q{) класс всех таких обла-
областей и через (о,) класс ограничивающих их сечений о Класс @
*) См. L. Ahlfors [W], стр. 168.
s) р означает большее из чисел р и 0. Для р0<0 теорема, очевидво,
тривиальна, поэтому в дальнейшем можно предполагать ро>О.
3) Поверхность называется подобной однолистным, если она разбивается
всяким простым многоугольником (циклическое сечение). Ahlfors [Ю] рас-
рассматривает также случай поверхности, ие подобвой однолистным.
§ 4] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О КОНЕЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ 343
пусть состоит из всех областей, граница которых содержит ровно
одно сечение а, не принадлежащее к классу (ot); пусть (о2) — совокуп-
совокупность этих сечений. Таким образом, определим последовательность
(Gt), ..., (Ор)(р<в) областей G и последовательность (Oj),.. .,(ор)
соответствующих сечений о; каждая область О„ имеет в качестве
граничной дуги ровно одно сечение о = о,, не принадлежащее
к предыдущим классам. Этот процесс газбиения на классы обры-
обрывается, как только все остающиеся области О или не ограничены
более ни одним новым сечением о или ограничены по крайней
мере двумя такими сечениями; в противном случае процесс разбие-
разбиения продолжается до полного исчерпания всех областей G.
Согласно определению каждое сечение ov(v = 1, ..., р) при-
принадлежит к границе некоторой области Ov; покажем, что в общем
случае о„ принадлежит к границе только одной области О,. Для
этого рассмотрим сперва обе части F/, F/', на которые заданное
сечение о, р збивает поверхность F. По крайней мере,, одна из
этих частей содержит область О,, примыкающую ко,; пусть, например,
F/ обладает этим свойством. Тогда все сечения а, расположенные
внутри /\/, принадлежат к классам (о,),..., C4_t).
В самом деле, по построению классов (Оч) и (о„) все сечения,
за исключением только оч, ограничивающие указанную область Оч,
принатлежат к более низким классам (о^, ... , (ov_,). Пусть
"•' (vi<v) — одно из таких сечений. Так как о, входит в границу
по крайней мере одной области класса (О,), то область, отличная
от G,, примыкающая к о,, должна принадлежать к этому классу,
и все ограничивающие ее сечения я принадлежат, следова-
следовательно, к классам (оД .. ., (з„). Продолжая так дальше, убедимся,
что все расположенные в F/ сечения принадлежат к классам
(о,),..., (о,_,).
Если и другая область О, примыкающая к о„ принадлежит
к классу (Gv), то из предыдущего следует, что и F," содержит
только сечения более низких классов (оД ..., Cv_j); но тогда
заданное сечение о„ и классы (о,),..., (о,_1) исчерпывают сово-
совокупность всех сечений о. Отсюда следует, что сечения о, и области
О,(v=l,..., р) соответствуют друг другу взаимно однозначно за
исключением единственного случая, когда области (O,)(v = l, ...,p)
исчерпывают совокупность всех областей О. В этом исключительном
случае существует ровно одно сечение ov, притом высшего класса
v = p, ограничивающее две области Ov.
Перейдем теперь к случаю, когда классы (Gv) не исчерпывают
совокупность всех областей О. Если G — невыделенная (в классы)
область, то ее граница кроме известного числа сечений (о„) или не
содержит более ни одного сечения о из числа не принадлежащих
к (з„) или содержит по крайней мере еще два таких сечения.
В самом деле, граница области Q не может содержать только одно
невыделенное (в классы) сечение, тгк как тогда О вошла бы в раз-
844 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [гЛ. ХШ
биение на классы (О,) в качестзе области класса (Ор+1), который,
однако, по предположению ие существует.
Пусть G— невыделенная область первого вида и пусть е^ (jj. <[/?) —
ограничивающее ее сечение с наивысшим индексом р. К. этому сече-
сечению примыкает еще другая область О^ ф О, и, как выше заключаем,
что часть поверхности, отделяемая сечением о^ и- содержащая
область G^, состоит из одних лишь областей Gv(v<ja). Но то же
самое заключение можно сделать относительно других ограничиваю-
ограничивающих область G сечений, откуда следует, что сечения (ov) разбивают
поверхность/7 на области, которые, за исключением лишь области О,
принадлежат к классам (sj), ..., (о^). Следовательно, [А = р, и исклю-
исключи: ельнля область G ограничена по крайней мере двумя сече-
сечениями ар, ибо ина ie она принадлежала бы к классу (Ор). Таким
образом, нами доказано следующее:
Если сечения (ач) исчерпывают все сечения о, то возможны два
случая: или каждое из этих сечений входит в границу только одной
области, в этом случае существует ровно одна область G, не при-
принадлежащая к классам (G4); или же существует ровно одно сечение
высшего класса (а^), которое разделяет две области Gp; области
(Gv) исчерпывают югда совокупность рсех областей G.
Если, напротив, существуют сечения о, не принадлежащие ни
к одному из классов (з„), то области Gv и ограничивающие их
сечения ov соответствуют друг другу взаимно однозначно. Каждая же
область G, отличная от об. астеи (Gv), примыкает тогда по крайней
мр1 к двум и выделенным сечениям о.
Если им> ет место последний случай, то разделим еще невыде-
ленныз области G на два класса (G) и (G"), относя область G
к ому или другому кл?ссу в зависимости о г того, будет ли число
ограни !ивяющих ее невыделенных сечениМ о меньше, чзм q, или
по крс иней мере равно q. Далее сечения а буд°м обозначать через
о,,, о12, с2Э в з^висимосы от того npH'ia шежчт ли примыкающие
к ному облааи обе к (G'), о^на к (G'), другая к (G ), или обе
к (G"). П^и зтих условиях с'раведлиро еле пющее:
a) G, и о„ соотвегс1вуюг друг другу взаимно однозначно.
b) Граница области О содержит по крайней мере два и не
более q—1 сечений оп или о12.
c) Граница области G" содержит по крайней мере q сечений а19
ИЛИ 3^.
308. Вернемся теперь к соотношению A3). Если сечения (ач) не
исчерпывают, всех сечений я, то в силу а) члены разности п(~) —N(G),
соотрегствующие сечениям (з,), взаимно уничтожаются, и, применяя
принятые обозначения, получаем соотношение:
Р > [пЫ + Т«(«it)-W)] + [«('и) + ¦? « Ы-М@")]. A4)
Если О/ означает область класса (G')( граница которой содер-
содержит п((ап) сечений оп и п{(а^) сечений о12, то, согласно Ь), сумма
п<(°п)"Г п«(°12)^'2. Отсюда суммированием по всем областям (G')
§ 4] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА J> КОНЕЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ 845
получается соотношение 2 "i (°п) ~1~ 2Л (°ia) ^ 2/V(O'). Здесь
2 ni C«) ^ 2л (°п) и 2 л» (°ia) — л @1г). следовательно,
Аналогично доказывается, учитывая с), что
Первое из этих соотношений покязывает, что первый член
справа в A4) неотрицателен. Учитывал второе соотношение, лах
чаем, что
и, следовательно, наверное,
Р>^«(°22)- A5)
307. Теперь нужно найти нижнюю границу для числа и(з43)
тех сечений, которые входят и границу двух областей О". Для
этой цели учтем, что каждое сеч. ние о лежит над нполне опре-
определенной из кривых pj, ..., J3g, с помощью которых.была ра;бита
осноЕная поверхность Fo. Если через А(?) обозначать длину сече-
сечения о, деленную на длину соответствующей кривой |3, то сумма
средних чисел листов поверхности F над кривыми $v ... , ра будет
равна
По втор й теореме о покрытии существует постоянная А>0,
зависящая только от метрики и выбора кривых pt> ... , [3gl та-
такая, что
2qS-hL, A6')
где S означает среднее число лчетов, a L — длину относительной
гганицы поверхности F. Исключая из двух последних соотношений
и замечая, что Х(з)^1, и, следовательно, в частности
('22)^n (°2г)» получаем соотношение
или в силу A5) и соотношения "^
<1
2) S— AL - B * (=,) + 2 ^ («и) 4" 2 ^ Ы), A7)
346 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. ХШ
где А — постоянное число, зависящее только от заданной метрики
и выбора кривых fa, ..., (З^1).
308. Остается еще показать, что стоящие справа суммы 2 * по-
порядка hL. Для доказательства применим еще раз вторую теорему
о покрытии. Рассмотрим кроме основной поверхности Fo еще обе
ее части — Fo' и Fo", на которые она разбивается системой кривых
fa, ..., рд. Если г — поверхность наложения поверхности Fo', то
среднее число листов 5C,.) поверхности F' над граничной кривой fa
отличается От среднего числа листов S(F') всей поверхности F'
на величину порядка <AZ/, где V—длина относительной гра-
границы поверхности F'. Соответствующее справедливо также для
произвольной поверхности наложения F" поверхности Fo". Отсюда
заключаем:
Существует такое числб h, что для произвольной поверхности
наложения поверх: ости Fo' или Fo" и каждой пары кривых fa, fa
выполняется соотношение
|S(P<)-S(fc)l<W# A8)
где L означает длину относительной границы соответствующей
поверхно ти наложения.
Этот результат применим также к областям (Ov), которые все
являются поверхностями наложения или поверхности Fo', или
поверхности Fo". Предположим теперь, что сечения (оч) не исчерпы-
исчерпывают всех сечений о; тогда заданной области О„ будет соответство-
соответствовать вполне определенное сечение оч; пусть оно лежит, например,
над кривой fa. Тогда для /== 1, ...,q
где L@4)— длина относительной границы области О, (относительно
Fo', соответственно Fq"). Полагая здесь i = l, .,.,q и складывая,
получим
ч.
Здесь сумма B^) средних чисел листов области Оч над дугами fa,
очевидно, равна 2 ^ (°)> где суммирование производится по всем
сечениям о, входящим в границу области Gw, и, следовательно, по-
последнее соотношение можно записать в виде
Если суммировать это соотношение по всем областям G,, то
первый член справа даст сумму, которая самое большее равна удвоен-
3) В дальнейшем каждое такое число обозначается через h.
§ 4] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О КОНЕЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ НАЛОЖЕНИЯ 347
ной сумме 2*(°")> иб° кажчая сторона о области О, принадлежит
к одному из классов о^ ((*= 1, ..., р) и граничит не более чем
с двумя выделенными областями (бД Если еще учесть, что сумма
B^ (Ом)) Д"ин относительных границ областей О, относительно Fo'
или Fo" не больше длины L всей относительной гран цы заданной
поверхности наложения F по отношению к Fo, то получим соотно-
соотношение
или, так как q > 2,
2 B0)
где h — новая постоянная, зависящая только от поверхности Fo и
системы сечений рх,,.., (Зг
309. Оценим, наконец, суммы 2М°п) и 2 х ("is)- Если область
О принадлежит к классу (О'), то оча ограничена самое большее
q—1 сечениями ап или о1а. Следовательно, для каждой области О'
можно указать по крайней мере одну кривую [3,, над которой нет
ни одного ограничивающ'го эту область сечения зи или о12. Если
SQf) означает среднее число листов области О' на ^ то, со-
согласно A8),
2х ("и)+2х (°i2>< 2 5 <Р*)<(? -l )s&)+to -!)hL (°').
где суммирование слева производится по всем сторонам оп, о19
области О'. Если последнее соотношение просуммировать по всем
областям О', то слева получится сумма 224°n) + 2*(oi2)' Справа
получается сумма 2^(Р<)> которая, по определению сечений %,
происходит только от сечений (о.,); так как каждое такое сечение
входит в границу самое большее одной области Q', то эта сумма
не больше, чем 2М3*)- Наконец, сумма 2^@') имеет в каче-
качестве мажоранты длину относительной границы L поверхности F и
в силу B0)
2(ll) + |]A2)<^J4) + ^)<. B1)
Учитывая B0) и B1), получаем из A7) искомое соотношение
?>(? — 2M—hL
310. Этот результат мы нашли в предположении, что выделен-
выделенные сечения (о„) не исчерпывают всех сечений а. Легко, однако»
*) Доказательство п. 308 справедливо и в этом случае. Единственное
отличие заключается в следующем: если не только сечения (uv) исчерпывают
все сечения в, но и области (Gv) исчерпывают все области G, то существует
348 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. Х111
видеть, что тот же результат остается в силе, когда все сечения о
принадлежат к классам (о,). В самом деле, в этом случае также имеет
место соотношение B0I). Тождество A6) принимает тогда вид
и из соотношения A6')i которое как следствие из теоремы о покры-
покрытии справедливо в общем случае, следует, что
Следовательно, среднее число листов 5 в рассматриваемом случае
есть величина -порядка hL и утверждение (II, 1) наверное справед-
справедливо, если только стоящее справа число А выбрано достаточно
большим.
311. Примечание. Для правильного понимания руководящей
'идеи в предыдущем доказательстве следует заметить, что, как это
следует из последней части до азательства, теорема (II, 1) становится
тривиальной, если среднее число листов S поверхности наложения
есть величина того же порядка, что и длина I относительной гра-
границы. Интересен только тот случай, когда S велико по отношению
к L. Из доказательства видно, что последнее имеет место тогда,
когда число областей класса (О") и число соответствующих сече-
сечений о22 очень велики по отношению к числу всех областей, соответ-
соответственно сечений1).
§ 5- Обращение осяовиой теоремы.
312. Основчая теорема р]>ро5—hL понималась выше как обоб-
обобщение точного соотношения Гурвица р = роя-|-#. которое имеет ме-
место для не имеющей о гнэентельной границы в-листной поверхности
наложения F основной поверхности F& Если кроме того F о»но-
сительно Fo не разветвлена, то число разрегвлений v исчезает,
и тогда просто р=рол.' Естественно исследовать, не имеет ли ме-
место для поверхности F с относительной границей, но не развет.'
вленной относительно Fo соотношение, подобное основной теореме,
но сод ржащее для х?ракте исгики р вм^со нижней границы верхнюю.
Покажем, что при н жеследующих предположениях это действи-
действительно ичеет место (Ahlfors [10] § 5):
Пусть основная поверхность Fo подобна однолистным и F —
ее конечная поверхность наложения. Предположим, что F содер-
сечение <зр, ограничивающее одновременно две области Ор. В B0) эта сто-
сторона могла бы Сы ь сосчитана дважды, и, следовательно, это соотношение
сп, аведливо a for.iorl, если каждое сечение о, считать только один раз.
*) Случай поверхности, не подобной однолистным, мы здесь рассматри-
рассматривать не будем.
§ 5] ОБРАЩЕНИВ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ 349
уситсп как часть в конеччолистной поверхности наложения F*,
не имеющей границы и не разветвленной относительно основной
поверхности F6.
Пусть N—число листов поверхности F*; согласно соотн6"ше-
нию Гурвица ее характеристика равна Л/р0. Относительная граница
поверхности F разбивает дополнение к F относительно F* на не-
некоторые области F. Если обозначить через n(f) число тех гранич-
граничных дуг f поверхности F, которые представляют сечения поверх-
поверхности F*, то для характеристики всей поверхности F* = F-\-^F
получается, согласно A), значение р -f- 2 Р (О Н~ п (?)> и> следо-
следовательно,
Для каждой односвязной области F имеем р(/0 = — 1» и если
означает числэ таких областей, то
По основной теореме для области F:
^ро—hi,
где 5—соответствующее среднее число листов, zL — длина относи-
относительной границы. Складывая, получаем: 2^' — N—S »^L=L, где
S n L означают среднее число листов и длину относительной гра-
границы поверхности F. Подставляя это в предыдущее тождество,
получим
Если граница поверхности F состоит из одних лишь сечений
поверхности F*, то поверхность F* распадается самое большее
на п (f) -}-1 областей, и так как одна из этих областей совпадает
с F, то Л/, ^n(f). Далее каждая замкнутая кривая f разбивает
поверхность F* на две части, из которых самое большее одна одно-
связна.
Следовательно, если граница поверхности F содержит а зам-
замкнутых кривых f, то число ATj самое большее равно n
и из предыдущего следует, что
Обращение основной теоремы. Пусть Fo—конечная поверх-
поверхность, подобная однолистным, и F* — не имеющая границы и не
разветвленная относительно Fo конечнолистная поверхность
наложения. Тогда существует такая постоянная А, что для
каждой конечной поверхности наложения F поверхности Fv
350 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XIII
которая содержится как часть в F*, выполняются соотношения
SPo—AL<t<5po + AL-j-e, @,2)
где S означает среднее число листов, L — длину относительной
границы и а — число замкнутых кривых относительной границы
поверхности F.
(
'¦§ 6. Теоремы о регулярно исчерпываемых открытых поверхностях
наложения.
313. Понятие открытой бесконечной поверхности наложения F*
заданной конечной основной поверхности Fo может быть опреде-
определено с помощью бесконечной последовательности конечных поверх-
поверхностей наложения. Пусть Fv ..., F4, ... — бесконечная последова-
последовательность конечных поверхностей наложения основной поверхности
Fo, каждая из которых содэржится как часть в следующих за ней
поверхностях последовательности. В качестве предела при v -> оо
получается бесконечная открытая поверхность наложения, для кото-
которой основные понятия „точки", „окрестности" и т. д. известным
образом определяются через аппроксимирующие поверхности /%. Две
последовательности F4 и F/(v = 1, 2, ...) тогда и только тогда
определяют одну и ту же открытую поверхность, когда каждая
поверхность одной последовательности содержится во всех, за исклю-
исключением, быть может, конечного числа, поверхностях другой последо-
последовательности и наоборот. Определяющую последовательность F4 назы-
называют исчерпанием предельной поверхности F*.
314. С точки зрения теорем о покрытии и основной теоремы
особый интерес представляют поверхности, для1 которых выполняется
следующее условие:
Открытая поверхность F* называется регулярно исчерпаемой,
если существует по крайней мере одно ее исчерпание Fu F2, ...,
для которого
lim0
где L означает длину относительной границы, a S — среднее число
листов аппроксимирующей поверхности F.
Только для этих поверхностей величина L в упомянутых основ-
основных теоремах играет роль несущественного остаточного члена.
315. Для дальнейшего полезно ввести некоторые понятия, тесно
связанные с важными понятиями теории распределения значений.
Пусть D — произвольная область основной поверхности Fo. Лежа-
Лежащие над D связные части поверхностей F, принадлежащие к исчер-
исчерпывающей последовательности поверхности F*, могут быть двух
видов: или такая часть поверхности относительно D не имеет гра-
границы, назовем ее тогда островом, или она обладает границей отно-
относительно D, которая тогда принадлежит также к относительной
§ 6] РЕГУЛЯРНО ИСЧЕРПЫВАЕМЫЕ ОТКРЫТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 351
границе поверхности F\ такую часть поверхности F назовем
полуостровом *).
Среднее число листов S(D) поверхности F над D получает от
каждого острова целочисленное значение, равное числу листов
острова; это число называется кратностью острова. Следовательно,
от всех островов величина 5(О) получает некоторое целочислен-
целочисленное значение n(D), равное сумме кратностей этих островов. Если
положить S (О) == п(О) -f- 'и (Р), где, следовательно, второй член
m{D) происходит от полуостровов над D, то по теореме о покрытии
существует такая, зависящая только от D постоянная h (О), что для
всех поверхностей F выполняется соотношение
(A)
где S и L означают среднее число листов и длину относительной
границы поверхности F.
Аналогия этой теоремы с первой основной теоремой в теории
мероморфных функций бросается в глаза. Число га (?)) соответствует
функции N(r, а), т. е. среднему числу а-точек; часть /я (О) среднего
числа листов 5 (О), происходящая от полуостровов, соответствует
функции т (г, а). Среднее число листов 5 переняло здесь роль харак-
характеристической функции и AL —остаточный член, имеющий несуще-
несущественное значение, если выполняется условие регулярного исчер-
исчерпания.
Если последнее условие выполняется, то из (А) следует, что
пш^<1. B2)
Это соотношение справедливо, следовательно, независимо от выбора
области D. Если, в частности, область D стянуть в точку а основ-
основной поверхности, то «(О) перейдет в число п г, а) точек поверх-
поверхности F, лежащих над а и считаемых с их кратностью, если они
являются точками ветвления. Сохраняется ли в силе само соотно-
ше ие B2) при ?)->•«, остается, однако, неизвестным, так как
стоящая в (А) постоянная h (D) может при эт< м неограниченно
возрастать.
316. После этих общих замечаний перейдем к рассмотрению
частного случая, имеющего особенный интерес для приложений.
Будем дальше предпола1ать выполненными следующие условия:
1) Основная поверхность Fo представляет замкнутую поверх-
поверхность жанра нулЬ, например, сферу.
2) Открытая поверхность наложения F* односвязна, т. е. каж-
каждая поверхность исчерпывающей последовательности F односвязна.
При этих предположениях возьмем на сфере Fo области D1(..., Dq,
q > 2, попарно без общих точек и рассмотрим лежащие над ними
острова и полуострова поверхности наложения F. Каждому острову
*) В оригинале употребляется термин „Zunge"—язык.
ч
352 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XIl|
мы поставили в соответствиз в качестве его кратности целое число!
> 1. В дальнейшем полезно характеризовать остров еще другим
числом: назовем характеристик/ (р) острова, взятую с обратным зна-
знаком, простой кратностью острова; для односвязных островов эта
величина равна 1; в остальных случаях она или разна нулю или
отрицательна.
Пусть p(D)—сумма простых кратное гей островов аппроксимирую-
аппроксимирующей поверхности F, лежащих над заданной областью D; очевидно,
р (D) самое большее равно числу островов и во всяком случае
p(D)^.n(D). Из доказанного выше соотношения (А) следует тогда,
что
Чтобы установить нижнюю границу для стоящей слева суммы,
рассморим лежащие над областями Dt островч Di и полуострора D*
поверхности F. Удалим сперва из F все полуострова D"; так как F
односвязна, то остаются некоторые, также односвишые, области F'.
Если затем удалить еще из областей F' все острова D*, то оста-
останутся области F, каждая из которых является поверхностью нало-
наложения для дополнительной к областям D,(/== 1, . .., q) части Fo
сферы Fo*). Области F могут быть двух видов: или они не имеют
границы относительно Fo, или же они обладают относительной гра-
границей. Области первого вида наверное многосвязны.
Так как области F' разбиваются на острсва D1 и остаточные
области/7 одними лишь циклическими сечениями**), то согласно A)
для соответствующих характеристик имеет место соотношение
откуда для величины 2 P(Dt)= — 2р(^0 получается значение
где N—числе областей f, которые все имеют характеристику — 1.
/
*) Здесь в дальнейшем области D4- нужно предполагать односвязными.
*•) При тех_ условиях, которые предполагаются у автора, | азбиение
области F1 на F и D1 не всегда совершается с помощью циклических сече-
сечений; именно, так обстоит дело в том случае, когда относительная граница
области F1 (если она имеется) доходит до со тнетствуютего сечения, от .е-
ляющего остров ?>»'. В силу конечиолчетности поверхности F можно, однако,
области Di слегка деформировать ]ак, чтобы сумма ^рфг) не измени-
изменилась и чтобы разбиение обллстей F' на FnDlсовершалось с помощмо цикли-
циклических сечений. Отсю.а следует, что все выводимые дальше оценки для
суммы 2^(А) имеют место и в общем случае. Это замечание нужно иметь
в виду и в дальнейшей.
§ 6] РЕГУЛЯРНО ИСЧЕРПЫВАЕМЫЕ ОТКРЫТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 353
Если через Afj (F) обозначить число односвязных областей F, то
последнее соотношение можно также записать в виде
JX^ A^F). B3)
По предыдущему каждая односвязная область F имеет относи-
относительно Fo границу; такая область совпадает с некоторой областью F'.
Разность N(F') — Nt(F) равна, следовательно, числу N'(F') тех
областей F', которые содержат по крайней мере один остров.
317. Применим теперь основную теорему (П, 1) к поверхностям
наложения F области Fo. Сумма средних чисел листов этих поверх-
поверхностей дает среднее число листов S(F0) поверхности F над Fo,
и сумма длин их относительных границ не превосходит длины L
границы поверхности F. Следовательно,
%Р(П>(Я— 2)S(F0)~hL
или, так как по теореме о покрытии S(F0)~^S — hL, то, в сое-
соединении с B3), получаем соотношение
.S P (Di) >(q -2)S+N' (F') - hL. B4)
Если здесь еще откинуть неотрицательный член N' (Ff), то придем
к следующему результату:
а
Сумма 2 Р (Di) = — 2 ? С°0 простых кратностей всех остро-
г = 1
вое поверхности F, лежащих над областями Dit удовлетворяет
неравенству
^iP(Di)->(q — 2)S-hL, (В)
где h — постоянная, зависящая только от выбора областей Dt.
Если далее обозначить через n1(D) с-.'мму по; ядков разветвле-
разветвления островов над D, то в случае односвязний области О из соот-
соотношения Гурвица B') (§ 1) получится соотношение
и (В) можно написать в виде:
S я(Я«)- 2 n1(Di)->(q-2)S—hL
или
2 E—11@,))-f- S
<i <
354 ЛЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. ХШ
Учитывая (А), получаем отсюда соотношение
2 «(А) 4- 2 «!(©,)< as+*t. (С)
<—1 Ы
Это соотношение можно рассматривать как известное обобще-
обобщение второй основной теоремы
Сумма 2rai порядков разветвления островов D* в точности соот-
соответствует, в силу определения, сумме 2^i> которой каждая А-крат-
ная точка ветвления поверхности Fr сообщает значение k—1.
Посмотрим, какое можно сделать заключение из соотношений
(В) и (С) относительно числа внутренних точек аппроксимирую-
аппроксимирующей поверхности F, лежащих над заданной точкой а. Если обозна-
обозначить их число через я (а) (каждая точка считается только один
раз), то, коль скоро точка а лежит в области D, имеем
я(а)>р(О), и поэтому, согласно (В),
n{ab>{.q—1)S-hL. (В')
Это соотношение следует сопоставить с неравенством
q
вытекающим из второй основной теоремы (ср. п. 230).
318. В случае регулярного исчерпания введем для
величины
Величина 8(?>), которая, согласно (А), изменяется в интер-
интервале @,1), называется дефектом области D относительно поверх-
поверхности наложения F*.
Величина Ь (D) (^ 0) называется индексом разветвления
области D относительно F*.
При этих обозначениях справедливо следующее
Соотношение дефектов. Если поверхность F* регулярно исчер-
паема, то для произвольного множества областей Dit попарно не
имеющих общих точек и лежащих на основной поверхности
§ ©] Р1ГУЛЯРН0 ИСЧЕРПЫВАЕМЫЕ ОТКРЫТЫ! ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ
(вф*рф) f0> выполняется соотношение
Следовательно, сумма дефектов и индексов рашветвления обла-
областей D самое большее равна 2.
319. Из соотношения дефектов следует
Теорема 1. Регулярно'исчерпаемаяповерхность покрывает все
точки сферы, исключая самое большее две точки.
В самом деле, если бы существовали три такие исключи-
исключительные точки, то их можно было бы заключить в три области
?)„ Df, Da, попарно без общих точек; над последними не было
бы ни одного острова. Следовательно, их дефекты равнялись бы 1
и сумма 2' (?0 была бы ^. 3, что • противоречит соотношению
дефектов.
320. Другое интересное следствие из основной теоремы (В) следую-
следующее: пусть D — область на сфере и поверхность наложения F*
устроена так, что каждый ее односвязный остров над D по край-
крайней Мере р-листен. Тогда говорят: поверхность F* равветв..яется
над D по крайней мере ^-кратно. При этом предположении, так
как величина Р получает положительные значения только от одно-
связных островов, имеем S{D)'^n{D)'^.^.p{p).
Пусть теперь F* разветвляется над областями Dt (/=1,..., q)
по 'крайней мере щ-кратно. Тогда из (В) для каждой аппроксими-
аппроксимирующей поверхности F получается соотношение
С другой стороны, по первой теореме о покрытии
5 (?>,)< 5 -f hi
и, следовательно,
i
откуда следует
Теорема 2. Если регулярно исчерпываемая поверхность F* по
крайней мере ^-кратна над областями Dt(i^"l q), попарно
не имеющими общих точек, то
Примечание. Эта теорема справедлива и тогда, когда над
некоторыми областями Dt вообще не ле>;:ит ни одного острова,
если для такой области положить [i< = oo. В самом деле, такая
область Dt ничего не добавляет к выражению р (D(), и все преды-
предыдущие заключения сохраняют свою силу, если положить ^ак».
356 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [гЛ. ХШ
Из B5) следует тогда, что число таких исключительных областей
для регулярно исчерпаемой поверхности самое большее равно двум.
Как и соотношение (В), теорема 2 остается в силе, если области
D{ заменить точками а{, причем поверхность F* называется [i-кратно
разветвленной над точкой а, если все ее точки ветвления над а
суть точкиветвления порядка^р — 1 (см. гл. X, § 3).
Егли все расположенные над областью D (соответственно над
точкой а) острова (внутренние точки) поверхности F* многолистны
(являются точками ветвления), то, употребляя определение, которым
мы уже пользовались в гл. X, § 3, поверхность F* называется
полностью разветвленной над D (соответственно над а). Для такой
области (соответственно точки), очевидно, ц^2, 1 ^>у> и из
B5) следует
Теорема 3. Регулярно исчерпываемая поверхность обладает
самое большее четырьмя вполне разветвленными областями или
точками.
321. Перейдем теперь к некоторым приложениям двойного не-
неравенства (Н, 2). Как выше, рассмотрим систему из q взаимно не-
неперекрывающихся односвязных областей Dt сферы Fo и обозначим
че] ез /^дополнительную к ним часть сферы. Разобьем FQ при
помощи q сечений без общих точек на две односвязные области
FQr и Fo". Мы скажем, что открытая односвязчая поверхность,
наложения F* сферы Fo не разветвляется и безгранична над Fo,
если F* имеет над Fof и t0" только однолистные острова, т. е.,
если ' каждая точка аппроксимирующей поверхности F, лежащая
над Fo, принадлежит, начиная с некоторой поверхности F, к одно-
однолистному острову аппроксимирующей поверхности. Про такую
поверхность говорят также, что она разветвляется и имеет границу
только над областями D{').
Пусть F* — поверхность наложения сферы Fo указанного типа.
Как в п. 316, рассмотрим части F аппроксимирующей поверхности F,
расположенные над Fo; повторяя те же рассуждения, что и там,
*Т~
докажем справедливость соотношения B3). Величину p(F) можно
здесь оценить сверху с помощью соотношения (II, 2). Нужно только
предварительно показать, что поверхность F можно рассматривать
как часть некоторой неразветвленной и не имеющей относитель-
относительной границы поверхности наложения сферы Fo. Но это условие вы-
выполняется. В самом деле, чтобы построить такого рода поверхность на-
наложения Fv выделим из поверхности F часть, образуемую некоторым
множеством островов, лежащих над Fo, и содержащую поверхность F.
Выделенную часть поверхности F мы можем дополнить до замкнутой
*) Это понятие мы ввели еще в гд. XI, § 2.
§ 6] РЕГУЛЯРНО ИСЧЕРПЫВАЕМЫЕ ОТКРЫТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ НАЛОЖЕНИЯ 357
поверхности Flt присоединяя к ней симметричную поверхность,
аналогично тому, как это было сделано в п. 285. Поверхность ~Р
одноовязна и, следовательно, имеет не более одной граничной кривой
относительно Fv поэтому соотношение (II, 2) дает
2/>(А)<(? — 2)S + N'(F') + hL-t-L B4')
Отсюда в соединении с B4) следует, что
Если открытая односвязная поверхность наложения F* сферы
Fo разветвляется и имеет границу только над неимеющими
общих точек едносвязными областями ?)Д/=1,..., q), то
— N'(F') — (q — 2)S|<AL + 1. (D)
Здесь N' означает число областей F', остающихся от поверх-
поверхности F после удаления из нее полуостровов, лежащих над обла-
областями Di{i = \,..., q) и содержащих по крайней мере один,
остров над Dt.
322. Если проследит! отдельные шаги предыдущего доказательства,
то убедимся, что неравенство (D) остается в силе и тогда, когда
области D{ заменяются точками af Но в этом случае F' совпадает
со всей поверхностью. Следовательно, число N' (F') равно единице
или нулю, в зависимости от того, имеет ли F над а^(/=1, ..., q)
по крайней мере одну внутреннюю точку или не имеет ни одной
такой точки; отсюда следует, что
Если все точки ветвления и все граничные точки поверхности
F расположены над конечным числом точек аЛ,..., aq, то
Щ(а<) — (q — 2)S|<AL-{-2. (D')
Если а ф ар то п(а) — п(а), и, применяя (D') к системе зна-
значений av ..., пд, а, найдем, что
12 На,
или, с учетом первоначального соотношения (D'),
. |я(а) — 5]<AL + 4.
Это показывает, что число листов п (а) для всех йфв, асимп-
асимптотически равно числу листов S, коль скоро поверхность F* регу-
регулярно исчерпаема. Следовательно, покрытие основной поверхности.
Fo аппроксимирующими поверхностями F совершается для всех
точек, лежащих вне а4, очень равномерно.
358 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. Х1П
§ 7. Применения к конформным отображениям одиосвязных
римановых поверхностей.
323. Теперь мы займемся следствиями из общих теорем § 6 для
частного случая, когда поверхность F* является римановой поверх-
поверхностью, на которую отображается груг |г|</?^оо посредством
мероморфной в этом круге функции w = w (z). Метрику основной
поверхности (плоскости w) определим, как в гл. VI, § 3, согласно
сферической геометрии, а в качестве аппроксимирующих поверх-
поверхностей F возьмем, как это обычно делается в теории распределе-
распределения значений, конечные поверхности Fr, соответствующие кругам
|лг|<>< /?. Выбранная метрика удовлетворяет всем требованиям
вышеразвитой теории.
Введенное выше среднее число листов S (г) аппроксимирующей
поверхности обращается тогда в сферическую площадь поверх-
поверхности Frt деленную на лолную площадь те сферы Римана, т. е.
равно выражению, которое мы раньше обозначили через А (г)
(гл. VI, § 3):
1 С \
- J (l
здесь df означает евклидов элемент площади в плоскости z. Но
последнее выражение есть не что иное, как производная от характе-
характеристики. Т{г) в ее нормальной сферической форме относительно
переменной log г.
¦4W ^rj diog/
Для длины L(r) границы поверхности Fr получается выражение
324. Пусть теперь D — подобласть сферы w, ограниченная
спрямляемой кривой; такая кривая, очевидно, удовлетворяет пред*
положенному в § 2 условию регулярности. В соответствии с преж-
прежними обозначениями положим п (г, D) равным сумме кратностей
всех островов поверхности /%» лежащих над областью D, и m(r, D)
положим равным сумме сферических площадей всех полуостровов
поверхности Г„ лежащих над областью D, деленной на ее сфери-
сферическую площадь J0(D). Тогда, согласно соотношению (А) (§ 6),
n(r,D) + m(r,D)-A(r) + O(L(ry). 0)
Пусть далее #,,.. .,/Э? —система из ?>-3 односвязных обла-
областей сферы w, не имеющих общих точек. Каждой области D поста-
поставим в соответствие кроме величин п и т еще простую кратность
§ 7] ПРИМЕНЕНИЯ К КОНФОРМНЫМ ОТОБРАЖЕНИЯМ 359
р (г, D), равную сумме характеристик, лежащих над D островов,
взятой с обратным знаком. Величина р (г, D) самое большее равна
числу п (г, D) различных лежащих над О односвязных островов.
Тогда, согласно (В) ,
2 п (г, D«) — 2 и, (г, D{) > (q - 2) А (г) - О (? (г));
<i <i
(И)
здесь и, (г, D) равно сумме порядков разветвления островов поверх-
поверхности Ff, лежащих над О.
Последнее соотношение остается в силе и тогда, когда области Dt
заменяются точками а,-, откуда следует, что
$ я (г, й,) >{q - 2) Л (г) — О (I (г)), (Н')
где п (г, а), как выше,. обозначает число различных точек поверх-
поверхности Fr, лежащих над точкой а.
Если, в частности, предположить, что поверхность F* развет-
разветвляется или имеет граничные точки только над точками av... ,а„,
то имеет место асимптотическое равенство
2й (г, й<) = (q — 2) А (г) + О (L (г)). (Ш)
.325. Все эти соотношения находятся в очевидной связи с двумя
основными теоремами теории распределения значений, к которым
они дают важное дополнение. Чтобы можно было применять эти
результаты, нужно исследовать отношение величины S(г) = А (г)
к L(j). Прежде гсего нас здесь интересует вопрос, при каких усло-
условиях имеет место соотношение
характеризующее регулярную исчерпаемость поверхности наложения.
Исполм'уя неравенство Шварца, это можно выяснить следующим
образом. Имеем
отк/да, после интегрирования в пределах от г0 до г @ <г0</"</?),
пс.1учаем
Дальше нужно различать два случая, в зависимости от того,
будет ли •/? =» е» или /? < оо.
360 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. ХШ
326. Поверхность F* параболического типа (R = оо). Пусть
— положительная функция от f>0, которая при t-* оо так
быстро возрастает, что интеграл
f
. B7)
сходится. Обозначим через &г те интервалы оси r(r>ro>O), где
L (r) ^> Y<& {А (г)). Если B6) проинтегрировать только по этим
интервалам, то получится
Если интеграл B7) сходится, то всюду, кроме, быть может,
точек множества Ьг конечной логарифмической меры, имеет
место соотношение
Если, например, положить Ф (f) = f1+2е, где s>0, то, следова-
следовательно, вне исключительных интервалов имеет место неравенство
L(r)<A(ry+\ -B8)
Пусть r,(v= 1, 2,...) — последовательность чисел, лежащих вне
исключительных интервалов Дг, неограниченно возрастающая вместе
с v. Тогда, согласно B8),
жг° пги v-*°°'
что приводит нас к следующему результату:
Риманова поверхность F* параболического типа всегда регу~
лярно исчерпаема.
327. Следовательно, к поверхностям параболического типа при-
применимы все теоремы § 6, В частности, справедливо соотношение
дефектов
2 * (О,)+ 2» (DO<2,
где 8 и 0 означают дефект и индекс разветвления:
Эта теорема Альфорса интересным образом дополняет прежнее
соотношение дефектов (гл. X, § 2), которое относится не к обла-
областям, а к дефектным, соответственно разветвленным значениям а.
Замечательно то, что фундаментальчые величины теории Альфорса
могут быть вычислены непосредственно с помощью чисел я, в то
время как в теории распределения значений существенным являлось
регуляризирующее интегрирование (переход к средним значениям N).
§ 7] ПРИМЕНЕНИЯ К КОНФОРМНЫМ ОТОБРАЖЕНИЯМ 361
Это означает существенное усиле ше прежних рэзультатов, ибо мы
видели, что неко орые теоремы для случая областей допускают
предельный переход к соответствующим теоремам для случая точек.
Так, например, согласно (II), вне исключительных интервалов Дг
имеет место соотнршение
^п(г, a,)- JX (r, a,) >(q-2)A(r)-0 (А^),
„интегральной формой" которого является вторая основная теорема
Однако, возможное существование исключительных интервалов
Дг не позволяет получить второе соотношение из первого простым
/ dr\
интегрированием {после умножения на —J, да и для остаточного
члена не получился бы, таким образом, правильный порядок; и
наоборот, из второй теоремы невозможно вывести первое из пре-
предыдущих двух соотношений.
328. Несмотря на то, что основные теоремы теории распределе-
распределения значений при переходе D-*a не покрываются полностью, но
тем i:e менее из теоремы Альфорса могут быть получены важней-
важнейшие следствия теории распределения значений. Так, например, эго
справедливо для теоремы Пикара, как это непосредственно следует
из теоремы 1 (п. 319). То же самое справедливо для теоремы
о вполне разветвленных значениях. Но по Альфорсу эта теорема
справедлива для областей, что привэдит в силу теоремы 2 к сле-
следующему интересному обобщению результатов гл. X, § 3:
Теорема о кругах (Scheibensatz). Если поверхность F* параболиче'
ского типа и все острова, расположенные над не имеющими общих
точек основными областями Dt(j=l, ...,0), по крайней мере
^•листны, то >
i](?) B9)
Если над D^ вообще нет островов, то нужно положить ц4 = со.
Теорема остается в силе и тогда, когда области Dt заменяются
точками а{; вместо выражений „[^-листные острова" нужно тогда
писать „точки ветвления (^—: 1)-го порядка".
Отсюда непосредственно следует, что
Как бы ни выбирались на сфере Римана три не имеющие
общих точек обла:ти, всякая параболическая поверхность F*
будет по крайней мере над одной из них иметь остров.
Эта теорема опя1Ь содержит теорему Пикара как непосредст-
непосредственное следствие.
362 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. ХШ
Дал-е заключаем (ср. гл. X, § 3):
Па-аболическая поверхность вполне разветвляется самое
болъ-иее над четырьмя не имеющими общих точек областями.
Если, следовательно, взять пять произвольных областей, то над
ними лежит по крайней мере один однолистный остров поверх-
поверхности F*. Если поверхность не покрывает какую-нибудь точку,
что, например, имеет место для поверхностей "»лой функции w = to (г),
то соответствующее число [л = оо, и последний результат имеет
место уже' д<я трех (вместо пяти) основных областей D. Оiсюда
слетует, в частности, известняя теорема Валирона и Блоха1).
Риманова поверхность целой функции, лежащая над плоскостью!
w, содержит однолистные круги сколь у ..одно большого радиуса.
329. Поверхность F* гиперболического типа (#<оо). Чтобы
и в этом случае исследовать возможное'Ь р°тул7гного исчерпания
поверхности, рассмотрим снова, как в п. 323, плоыа -ь А (г) и длину
границы L{) образа Fr круга |.г|<г<#, которые удовлетворяют
сое ношениям B6). Если поверхность/7* не допускает регулярного
исчерпания, то для каждого г0, 0<го</?, существует конечное
число h такое, что при ro^r<R имеем A{r)<.hL(r). Подставляя
это в B6;, получим для ro<Cr<.R соотношение
и, следовательно,
*^^ C0)
Отсюда следует, что
Если поверхность F* отобразим а конформно на круг ]г\<СИ
и выполняется условие
—г)А(г) — со, C1)
то поверхность F* регулярно исчерпаема.
Для характеризуемых этим условием поверхностей ' выполняются,
следовательно, все вышедоказанные теоремы (те рема Пикара, со-
соотношение дефектов, теорема о кругах и т. д.). Замечательно то,
что найденная граница справедливости этих теорем вполне согла-
согласуется с соответствующей границей в теории распределения значе-
значений. Регулярная исчерпаемость прекращается, если порядок р^оста
величины А (г) ¦« ui \ меньше, чем порядок роста правой части C0).
1) О. Valiron [в], A. Bloch [*], Е. Landau
§ 8] ОБОБЩЕНИЯ НА ОТОБРАЖЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОМ 363
И» соотношения (ЗЭ) путем интегрирования для го<г<^ получаем
Г(г) - Г<г0) = j±?>rfr = О (log ^) .
Это в точности тот порядок роста, который должна перешагнуть
характеристическая функция Т(г), чтобы остаточный член во второй
основной теореме был исчезающе малого порядка, что является
существенным условием для справедливости теорем о дефектах.
§ 8. Обобщения на отображения с ограниченным
эксцентриситетом.
330. Представим себе односвязную открытую поверхность F*,
лежащую над сферой да и в которой установлена сферическая
метрика. Такая поверхность топологически отобразима на одноли-
однолистный круг |г|</?<!оо. В § 7 мы исследовали тот случай, когда
отображение z-*w конформно.
Теперь мы наложим на это отображение более общее метриче-
метрическое условие.
Предположим, во-первых, что квадрат сферического линейного
элемента ds, соответствующего при отображении z->w элементу dz,
является положительно дефинитной квадратической диференциальной
формой {г = хх -j- м:9)
2
от dxv dxv где gu, gi9 = giv g& — непрерывные функции от г.
В качестве образа бесконечно малого круга радиуса ds плоскости w
а плоскости г получается эллипс, квадраты полуосей которого равны
a >
Если*(ж) @<!e< 1^—эксцентриситет этого индикатрисного эллипса и
C3)
для всех |*|<Я, то мы скажем, что отображение z->w имеет
ограниченный эксцентриситет1). Легко подсчитать, что условие C3)
эквивалентно с условием
bx+gn^KVgugn-en*, C3')
где
Для ЬштО величина KW1, следовательно, 5Г11=В^22» g
необходимо и достаточно для конформности отображения.
Отображения с кссцонтрисит&том, равным нулю, нонформны.
*) Для этих отображений употребляется также термин „квазиконформ-
одг отображения" (см., нввример, Ahifors [Щ
364 АЛЬФОРСОВА ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ НАЛОЖЕНИЯ [ГЛ. ХШ]
331. Цель нижеследующих рассмотрений состоит в том, чтобы
показать, что все теоремы § 7 имеют место и для класса
отображений с ограниченным эксцентриситетом. Для доказатель-
доказательства достаточно показать, что теоремы о регулярной исчер-
паембсти (пп. 326, 329) остаются в силе при указанных более
общих предположениях. Это легко получается путем повторения
использованного в п. 325 метода оценки.
В самом деле, если снова обозначить через А (г) и L(r) площадь
и длину гганицы образа Fr круга |г|<><#, то с помощью нера-
неравенства Шварца найдем, что
J(i=i)Vi <34>
\г\=г
г1 i
|г1=г \г\=г
Здесь (г-рг) самое большее равно обратному значению меньшей
из величин C2); следовательно, согласно C3'),
Если еще учесть, что для площади А (г) мы имеем выражение
г
A(r) = fdr J Vgug22-g^\dz\,
о |г|=г
то из предыдущего получится соотношение
и, следовательно,
*<*"Ш: ' C5)
332. Последнее соотношение отличается от неравенств B6), вы-
выведенных в п. 325, только множителем К, который соответствует
множителю y в B6). Так как К—определенная раз навсегда по-
постоянная, то непосредственно видно, что все следствия из B6)
могут быть выведены также и из C5). С этим результатом мы до-
достигли нашей цели. Все теоремы, данные в § 7, для случая кон-
конформного отображения односвязной поверхности остаются в силе
без изменений для случая отображений с ограниченным эксцентри-
эксцентриситетом *).
*) М. А- Лаврентьевым в его работе „Stir une classe de representations
continues", Матем. сб-к, т. 42, № 4, введен более общий класс квазиконформ-
квазиконформных отображений, с псыощью которых автору удалось получить также ряд
новых результатов, касающихся проблемы типа. Некоторые результаты
в этом же направлении были получены переводчиком этой книги под
руководством М. А. Лаврентьева в его диссертации: „К проблеме типа
односвязной римановой поверхности".
ПРИЛОЖЕНИЕ
М. В. Келдыш и М. А.' Лаврентьев.
ОЦЕНКА ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ.
В главе V были даны геометрические признаки, характеризую-
характеризующие замкнутые множества положительной абсолютной гармониче-
гармонической меры. Мы сейчас приведем ряд оценок, относящихся к гармо-
гармонической мере граничных множеств относительно данной области.
Некоторые из этих результатов позволяют существенно упростить
и дополнить излагаемую выше теорию единственности аналитиче-
аналитических функций.
Итак, пусть дана область G, а на ее границе Г система дуг fi»
"•г» • • •» Т»» сумма диаметров которых равна заданной величине е. Тре-
Требуется сцеьить сверху и снизу га, моническую меру данной системы
дуг относительно области G в некоторой фиксированной ее точке.
Заметим прежде всего, что характер оценок не судет зависеть
от порядка связг.ости области G, если, конечно, этот порядок есть
заранее фиксированное число. В самом деле, пусть порядок связ-
связное i и области G равен k. Отобразим кенформно G на область g,
полученную удалением из единичного круга k—1 кругов; системой
прямолинейных сечений (купюр) области g мы можем превратить
ее в односвязную область g*.
П сть, далее, при нашем отображении система дуг [у] перейдет
з систему дуг {fy}- В силу инвариантности гармонической меры
;\чрмоническая мера системы дуг {^} относительно g будет равна
гармонической мере системы дуг {^} относительно G; вместе с тем,
в силу аналитического характера границы области g*, подходящим
«убором купюр мы можем добиться того, что гармонические меры
{•fy} относительно g и g* будут иметь один и тот же порядок малости
по отношению к е.
По этой причине мы в дальнейшем ограничимся случаем, когда
G одаосвязна.
Кроме того, будем в дальнейшем всегда предполагать, что об-
область G содержит точку г=?0, и будем оценивать гармоническую
меру {т^} в точке z = 0.
1. Случай одной дуги. Начнем с рассмотрения простейшего
случая, когда л= 1. Покажем прежде всего, что пря малых в порядок
малости гармонической меры дуги f, будет не ниже ]/в. В са-
самом деле, обозначим через г расстояние между \х и началом
z = Q и построим область Д, получаемую удалением »л плоскости
366 ПРИЛОЖЕНИЕ
круга С \г —го]<-^ в, содержащего дугу -у,, и части луча arg*
расположенного вне круга С. В силу теоремы Мию-Карлемана (ем,
стр. 109) будем иметь
• (О, Ti, О) О (О, С, А).
Отсюда, вычисляя гармоническую меру окружности круга С, окон-
окончательно получим
ш(о, Tl, ахк-^у, A)
где К—некоторая константа. Этим самым показано, что гармони-
гармоническая мера оценивается сверху через диаметр дуги и через рас-
расстояние г данной дуги до точки, в которой вычисляется гармони-
гармоническая мера.
Если дополнительно допустить, что при отображении w=f(z),
ДО) = 0, области О на круг |w|<l имеем |/'@)| = 1 (т. е., что
конформный радиус О относительно точки * = 0 равен единице),
то по теореме Кобе (стр. 88) область О будет содержать круг
М^Т» и °Иенка A) примет виа
ш@, Tl, OX4KVZ
Нетрудно видеть, что аналогичной оценки снизу не существует.
В самом деле, рассмотрим область G, образованную двумя кругами
С{. |г|<1 и С2: \z — 2|<1-|~а> где 0<а. Примем за fi полукруг
\г — 2| = l-f-a» arg(z — 2)^1" В силу пРинципа гармонической
меры имеем
«@, Ti )
где т»* — Дуг^ окружности Clf принадлежащая кругу С$ отсюда
при малых а
«(О, Т
Кроме того, очевидно, что при а, достаточно малых, конформные
радиус G в точке z = 0 будет сколь угодно близок к 1.
Разобранный пример показывает, что при оценке снизу необхо-
необходимо учесть не только ра мер дуги, но также и расположение до»
полнительной части границы. Для этой цели рассмотрим совокуп-
совокупность {Г} дуг Г, разделяющих О на лве области Gl и О2 такие,
что Ох содержит точку г — 0, а граница области G8 содержит
дугу Ti« Обозначим через р(т;) нижнюю границу длин дуг Г.
При этих обозначениях, используя теорему Альфорса (см. гл, IV,
§ 4), нетрудно показать (Лаврентьев [*¦]), что
к
«(О, Ti, 0)>е~Щ B>
где /(--константа, зависящая только от диаметра области Q.
ПРИЛОЖЕНИЕ 367
Укажем на некоторые приложения отмеченных оценок. Сочетая
оценки A) и B) с теорией искажения Кббе [гл. IV, §-3, C2)], не-
нетрудно показать, что при конформном отображении жорд;новых
областей прямое и обратное отображения будут равноме, но непре-
непрерывны в соо гветствугощих областях. Вводя, далее, соответствующ>ю
метрику из тех. же оценок, можно получить теорему Каратеодори
(Caratheodory [Б]) о соответствии границ при конформном отобра-
отображении произвольных односвязных областей.
Те же оценки для гармонической меры позволяют легко полу-
получить следующее важное предложение Куранта (Courant [>] и [2], см.
также Ra io [>]).
Пусть нам даны две произвольные замкнутые жордановы линии
fj и f9. Установим между fi и Т[8 произвольное гомеоморфное соот-
соответствие/. Обозначим через р Cfi» Та* ^0 максимум расстояний между
соответствующими точ ами, a4tp?3 p (Тц Та) нижнюю границу чисел
Р (Ti» Тг> /) ПРИ всех возможных соответствиях /. П. и этих обозна-
обозначениях теорема Куранта мсжет б ть сформулирована следующим
образом: пусть дана последовательность замкнутых линий Жор'
дана fp Тэ» • ••» Тп сходящаяся к замкнутой миыии Жор-
дана i0, и пусть w=fn(z), /„@) = 0, /„'@)>0 есть функция,
реализующая конформное отображение единичного круга \ г | < 1
на область, ограниченную линией in(n — 0, 1, 2,...). Для того
чтобы последовательность функций fn{z) равномерно сходилась в кру-
круге |г|<1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Иш р(То- Ъ») = 0.
п-уоо
причем при выполнении этого условия будем иметь
П->оо
При тех же условиях последовательность функций, обратных
к функциям v>—fn(z), в области, ограни енной кривой -у0, непре-
непрерывно сходится к функции, обратной к да=/0(г).
, 2. Системы дуг. Особый интерес для приложений к общей гео-
геометрической теории функций представляют оценки гармонической
меры для систем дуг.
В количественном отношении в настоящее время можно считать
достаточно продвинутым лишь вопрос об оценке гармонической
меры сверху (Лаврентьев [2] и [Ц).
Так же, как в случае одной дуги, будем считать, что конформ-
конформный радиус данной области О (относительно точки 2 = 0) равен
единице.
Можно показать, что как бы мало ни было число е, можно
всегда построить область G конформного радиуса единицы, а на
границе О определить такую систему дуг {f4} с суммой длин
меньше а, что
«@, Ш, О)>1-«.
368 ПРИЛОЖЕНИЕ
Это предложение показывает, что для получения нужной оценки
необходимо на рассматриваемую область наложить дополнительные
ограничения.
Введем одно геометрическое понятие. Пусть С — гладкая замк-
замкнутая кривая плоскости z и t — произвольная точка на С. Обозна-
Обозначим через a (t) угол, образованный осью х и касательно» Т к кри-
кривой С в точке t. Пусть t0 есть точка С, наименее удаленная or
точки z = 0. Предполагая, что начальное значение a(t) в точке t0
заключено между 0 их, 0<а(^0)<тг, обозначим через m(C) и
М(С) соответственно нижнюю и верхнюю границы значений непре-
непрерывной функции a(t), когда точка t, начиная с t0, описывает в
положительном направлении кривую С.
Мы скажем, что односвязная область D принадлежит классу
R(m) [соответственно /?'(М)], если, какова бы ни была замкнутая
область Dp Z)j с D, всегда найдется замкнутая гладкая кривая С,
содержащаяся в D и такая, что: 1) область, ограниченная С, содер-
содержит Dv и 2) m-^m(C) [или соответственно М~^М(С)\.
При таком определении может быть доказана следующая тео-
теорема (Лаврентьев [8]):
Теорема. Если область О принадлежит классу R(m), m>—оо,
или R' (Ж;, М < -j- со, и имеет относительно точки г = 0 кон-
конформный радиус г, то
ш@, Е, G)^K(tnesE?±-, 0<S<l,
где К, S — константы, зависящие только от т или соответственно
от М, Е—произвольное замкнутое множество, лежащее на гра-
границе области О, a mes?—линейная мера Е.
Приведем теперь с доказательством одну оценку для гармони-
гармонической меры, когда граница области О есть спрямляемая кривая.
Теорема. Если область G содержит круг |?|<1, а грани-
граница Г области О есть спрямляемая кривая длины I, то для гар-
гармонической меры измеримого множества Е, лежащего на Г,
имеем
К1
• @, ?' G)<
где К—абсолютная константа.
Докажем предварител: но следующую лемму:
Лемма. Пусть G — область, ограниченная спрямляемой кривой Г,
Гг — линии уровня, соответствующие z\ — r при конформном
отображении ?=/(г) круга [г|<1«аО. Тогда длины 1Г линий Гг
возрастают вместе с г и при г-*- 1, 1Г имеет пределом длину I
линии Г.
Чтобы установить это предложение, нам надо будет опираться
на утверждение, являющееся частным случаем одной теоремы Хцди:
япюкиивят 869
Пусть g (л) — функция, регулярная внутри круга f*|<lJ; тогда
среднее значение
есть возрастающая функция г.
В самом деле, при г<р<1 мы можем функцию g(z) предста-
представить интегралом Пуассона
gW — 2K J p* + /*
откуда
\~{»а»\I <г±- Т У-
]В\.™~)\^2к J ps + r2 —2ргсоз(в—<р)"
Умножая обе части этого неравенства на с<^и интегрируя, получим
V-(g> r)<Cv(g, р).
Перейдем к доказательству леммы. Имея в виду, что длина 1Г
линии уровня Гг дается формулой
J \f{z)\db C)
яа основании теоремы Харди, заключаем, что 1Г возрастает вместе
с г. Докажем теперь, что если г -> 1, то 1Г имеет пределом длину /
границы Г. В самом деле, если граница Г — аналитическая кривая,
то это, очевидно, в силу непрерывности f(z) в замкнутом круге.
Чтобы установить это предложение для произвольной спрямляемой
границы, мы построим последовательность областей Dw сходящихся
к D к ограниченных аналитическими кривыми Г„, длины которых /(")
имеют пределом /. Пусть /„ (г) — функция, дающая конформное ото-
отображение крута на область Dn при условии /„@)=/@), /?@) =
==/"@), Г^п) — линии уровня при этом отображении, /Jn) — длина 1^п).
Из равномерной сходимости /я (г) к f (г) при jz| = r<l следует
lim
n->co
а в силу теоремы Харди ?"}<С$п\ имея еще в виду, что /<")-»¦/,
заключаем, что /г-</. С другой стороны, вследствие стремления Гг
к Г при г -> 1 имеем Нш 1Г >• /. Отсюда заключаем, что
lim lr = /, D)
Что и требовалось показать.
970 ПРИЛОЖЕНИЕ
Сделаем еще одно замечание, непосредственно вытекающее из
доказанной леммы.
Пусть (As) дуга Г, соответствующая дуге (<в, <p-j-&p) окруж-
окружности |г|=1, As— ее длина и аналогично (Asr)— дуга Г^ соот-
соответствующая дуге (<р, <р + А<р) окружности J*| = r, и Asr — ее длина.
В силу непрерывности /(г) дуга (Asr) при г -> 1 стремится к дуге
(As), и поэтому lim Asr^.As. Но это совместимо с D) толью тогда,
когда для всех дуг
Asr = As. E)
Перейдем к доказательству теоремы. Не нарушая общности, мы
можем считать, что Е состоит из конечного числа дуг {к*}. Пусть
(бй', Ьк") — система дуг окружности, сэответствующая при отобра-
отображении w=f(z), /@) = 0 дугам -у»- Обозначим через а сумму длин
ДУГ Т*> а через ч\ — сумму длин дуг (Ьк'г Ъка):
ч=2 <»*'-»*').
В силу леммы имеем
Следовательно,
J (*)
J log |/(
С другой стороны, так как Q содержит круг 1С|<1, то в силу
леммы Шварца 1/@)|>0, и, следовательно,
+«
J tog\f(r**)\db=.log\f@)>Q. (**)
Из (*) и (**) получаем
V. _ +«
J
Отсюда при г -*¦ 1 получим
т. е.
|logt| "
Отсюда, замечая, что •»1<2я, получим искомую оценку*
приложение 871
3. Теорема Ф. и М. Рисе — Лузина — Привалова. Выше был дан
ряд предложений, дающих оценку гармонической меры множества
в зависимости от линейной меры множества. В частности последняя
теорема дает такую оценку в случае, если граница области есть
спрямляемая кривая. Из этой теоремы следует, что функция, даю-
дающая конформное отображение области D, ограниченной спрямляемой
кривой 1 на единичный круг, абсолютно непрерывна на границе Г
и что всякому множеству меры нуль, лежащему на Г, соответствует
множество меры нуль на окружности |г|=1.
В такой формулировке без количественных оценок, оказывает-
оказывается, имеет место и обратное предложение. Именно, с одной сто-
стороны, Лузиным и Приваловым (Лузин и Привалов [']) и, с другой
стороны, Ф. и М. Рисе (F. u. M. Riesz [*], а также F. Riesz f1])
была установлена следующая важная теорема:
При конформном отображении области, ограниченной спрям-
спрямляемой кривой на другую область того же класса, множеству
меры нуль на границе одной области соответствует множество
меры нуль на границе второй области.
Иным4 словами, при конформном отображении областей со
спрямляемыми границами имеет место инвариантность класса гра-
граничных множеств меры нуль.
Эта теорема играет весьма важную роль при изучении гранич-
граничных значений в областях со спрямляемой границей. Но оказывается,
что, опираясь на нее, можно получить также ряд теорем о функ-
функциях, мероморфных в круге. Мы дадим ниже примеры таких при-
приложений.
Имея в виду последнюю теорему (стр. 368), для доказательства
теоремы Ф. и М. Рисе — Лузина—Привалова нам достаточно до-
доказать, что при конформном отображении круга | z | < 1 на область
D со спрямляемой границей Г всякое множество меры нуль окруж-
окружности |г|=1 переходит в множество меры нуль на Г. Пусть
г = ге»? и s (<р) — длина дуги Г, соответствующей дуге @, <р) окруж-
окружности; тогда, очевидно, достаточно установить, что возрастающая
функция s(<?) абсолютно непрерывна.
Обозначим через С==/(г) функцию, реализующую конформное
отображение круга на область D. Длина 1Г линии уровня Гг области Д
соответствующей кругу [z| = r, выражается формулой
Имея в виду, что последний интеграл возрастает вместе с г и
что в силу леммы (стр. 368) 1Г имеет пределом длину /границы Г,
заключаем:
J
372 -приложение .
Полученное неравенство позволяет к функции f (г) применить тео-
теорему Фату (гл. VII, § 3) и, следовательно, при г -> 1 функция / (г)
имеет почти всюду предельные значения, которые мы будем обозна-
обозначать / (е«).
Для доказательства абсолютной непрерывности s(<?) мы пока*
жем, что
/
Обозначим через Дв длину дуги (As) границы Г, соответствую-
соответствующей дуге окружности (<р, <p-f-A?), а через Д$г — длину дуги (Д$г)
линии уровня Гг, соответствующей дуге (<$>, <$> -(- Дер) окружности
На основании замечания к лемме (стр. 370)
lim As = As.
Длина дуги (Д«г) выражается интегралом
Если г-+ 1, то ]/' С?*э) ] имеет предел почти всюду, и интеграл,
стоящий справ?, ограничен (</), поэтому, применят лемму Фату
о последовательностях положительных функций с ограниченными
интегралами, заключаем, что функция \f (eib)\ суммируема и
Нам надо установить, что здесь имеет место равенство, и для
этого очевидно достаточно теперь показать, что
F)
Пусть р>1. Функция <рр (г) = y/f (г) регулярна внутри круга
|г|<1, так как /(г) не обращается в нуль. Докажем, что
1ш Jl?,(^«)|d8 = J|<pJ,(^)|<f8. G)
В самом деле, имея в виду, что почти всюду 9р (ге<%) ~* Ъ (е")>
мы можем найти множество Е значений 6, 0<0<2я и число г0
ПРИЛОЖЕНИЕ 373
такие, что при г>г0' на Е имеет место неравенство
mes?>2:r — в.
Но тогда при г>г0
If |?,(«*•)!«Й- f ]?'(*
С другой стороны, применяя неравенство Гельдера (НбИег), получим
*
/() (
СЕ СЕ СЕ
и аналогично
ЗГ1~
СЕ
адесь С?~ множество, дополнительное к Е относительно отрезка •
[0,2it]. Следовательно,
и, так как в произвольно, это доказывает G). Имея в виду, что
jj,(<p_p, г) — возрастающая функция (см. стр. 369), из G) выводим
2я 2«
Перейдем в обеих частях этого равенства к пределу при р-*1.
Кмея в виду, что «„(ei9) меньше не зависящей от р суммируемой
функции 1 ~Н/'(е*9)|> MJ можем переходить к пределу под знаком
интеграла (теорема Лебега), тогда получим
что доказывает неравенство F) и высказанную теорему.
Заметим, что из существования почти всюду предела/7 (ге<9) по
некасательным путям следует, что, почти всюду на границе, отобра-4
жение обладает консерватизмом углов. :
Доказанная теорема об инвариантности множеств меры нуль
при конформном отображении областей со спрямляемой границей
позволяет непосредственно распространить ряд граничных свойств,
функций, регулярных в круге на случай любой спрямляемой области^'
374 ПРИЛОЖЕНИЕ
В частности из теоремы Фату (гл. VII, § 3) и теорем единственности
(стр. 210) для ограниченных функций, доказанных в тексте для случая
круга, следует:
Функция f(z), регулярная и ограниченная в области D со
трямляемой границей Г, имеет почти всюду на Г угловые пре-
предельные значения. Две ограниченные функции, имеющие одинако-
одинаковые угловые предельные значения на множестве положительной
меры границы Г, совпадают.
4. О предельных значениях мероморфной функции. Опираясь
на доказанную теорему Рисе — Лузина — Привалова, можно уста-
установить ряд теорем о предельных значениях мероморфной функции
в круге или в области со спрямляемой границей.
Прежде чем к этому перейти, мы укажем здесь несколько более
общую формулировку принципа гармонической меры для случая
круга, отказываясь от ограничений, наложенных в тексте на
дуги а„, и от непрерывности функции/(г) на az. Это предложение
было дано И. И. Приваловым [*].
Пусть Е—произвольное множество, лежащее в области О.
Внутренней гармонической мерой множества Е мы будем называть
верхнюю грань гармонических мер замкнутых множеств F, содер-
содержащихся в Е:
<t>i(z, Е, О) = sup «(г, F, G), FcE;
тогда имеет место следующее предложение:
Пусть/(г) функция ограничения внутри единичного круга, имею-
имеющая предельные значения в точках множества $ окружности;
множество этих предельных значений обозначим Е. Если область
G содержит, все предельные значения функции f(z) и если /(г)
при |г|< 1 лежит вне Е, то внутренняя гармоническая мера Е
в точке f(z) не меньше гармонической меры $ в точке г:
«,(/(*),?, G)>co(i, $, \z\<\).
Если $ состоит из конечного числа дуг, на которых / (z) непре»
рывна, то это предложение есть частный случай принципа гармо-
гармонической меры.
Сделаем следующее замечание. Если FczG — замкнутое мно-
множество, a Fn — последовательность s м снутых множеств, предель-
предельные точки которой лежат на F, то
1"Б«(г0, Fn, G)O(*0, F, О).
В самом деле, пусть Д czG — область, ограниченная конечным
числом дуг Жордана, содержащая F, не содержащая г0 и обладаю-
обладающая следующим свойством: гармоническая функция h (z), опреде-
определенная в части О, дополнительной к Д, равная нулю на границе О
и единице на границе области А, удовлетворяет неравенству
(*a> F,
ПРИЛОЖЕНИЕ 37S
Множество Fn при достаточно большом и будет лежать внутри
области Д, и поэтому
«(z0, Fn> О) < h (z0) < «(z0, F, О) -f e.
Переходя к доказательству теоремы, обозначим через SF замкну-
замкнутое множество, принадлежащее множеству $, на котором функция
f(z) непрерывна и гармоническая мера которого удовлетворяет
неравенству
«Фо. F, |*|<1)><Фо. &» k|<l)-e.
Такое множество & существует в силу С-свойства измеримых
функций (Лурин i1]). Множество F предельных значений /(г) на &
замкнуто и содержится в Е. Пусть оР„ — множество, полученное
проектированием SP на окружность | z \ = 1 — - . Множество Fn зна-
значений /(г) на §п при и -»• оо имеет пределом F. Так как f(z)
непрерывна на JF, на окружностях |^|=1—— можно построить
системы конечного числа интервалов Д„, содержащие множества &„
и такие, что множества 2 значений /(г) на Дя сходятся к F.
В силу принципа гармонической меры, так как, начиная с некото-
некоторого п, f (г0) лежит вне 2„, имеем
« (^о. Д»» I ^ К1) < ю if («о). 2п. О).
С другой стороны,
liminf«(z0, А»,|z|< 1 —M>« (s0, ^F, |z|< 1)
П-Ю0 N "/
И
lim sup со (/'(го), 2». 0) < » (/(г0), F, О),
n-> оо
следовательно,
что доказывает теорему.
Первая теорема, касающаяся множества предельных значений
произвольной мероморфной функции, была получена Лузиным и
Приваловым р], которые показали, что две различные мероморфные
функции не могут иметь одинаковых предельных значений на мно-,
жестве положительной меры окружности ]г|=1. И. И. Привалов [8]
показал, что метод доказательства этого предложения позволяет
установить следующую более сильную теорему:
Если ti)=f{z)—функция, отличная от константы, мероморф-
ная в единичном круге, имеющая угловые предельные значе*
ния на множестве Ez точек окружности \ z | = 1 положительной
меры, то множество Ew этих предельных значений содержит
замкнутое множество положительной гармонической меры.'
376 ПРИЛОЖЕНИЕ
Нам, очевидно, достаточно рассмотреть тот случай, когда мно-
множество Ew не покрывает всей плоскости, так как в противном слу-
случае теорема очевидна. Далее, множество Ez можно считать совер-
совершенным, а Ew замкнутым и ограниченным. В самом деле, обозначая
через а значение, не принадлежащее к Е„, мы можем вместо функ«
.ции f(z) рассмотреть функцию
1
f{z)-a '
не принимающую значение со. В силу С-свойства мы теперь можем
выделить совершенную часть множества Ez положительной меры,
на которой предельные значения f(z) непрерывны. Рассматривая
в :есто Ez это совершенное множество, мы в качестве множества
вначений будем иметь ограниченное замкнутое множество.
Построим для кажаой точки z0 множества Ez сектор с центром
в точке zQ, ограниченный отрезками лучей, проведенных из точки z0
под углом 45° к касательной, и дугой окружности радиуса — , где
ft
п — целое число. Обозначая через М максимум f{z) на мно-
множестве Ez, мы подберем число и = п (z0) так, чтобы внутри сектора
\f(z)\<2M.
Функция д(г0) принимает счетное число значений на множестве
положительной меры Ez, поэтому существует такое ЛГ, что мно-
множество точек Ez, в которых n{zQ) — N, имеет положительную меру.
Мы выделим совершенное множество Р положительной меры, обла-
обладающее этим свойством (п (г0) = Л/).
Выберем число г>1 j? так, чтобы на окружности |г| = г
функция f{z) не име.тй полюсов, и составим область D как сумму
области |г|<г и всех секторов, соответствующих точкам мно-
множества Р. Граница области D будет состоять из совершенного
м1 ожества Р, отрезков лучей, проведенных из концов интервалов
смежности Р под углом 45° к касательной, и из дуг окружности
|2г|=г. Легко убедиться, что это будет спрямляемая кривая Г.
Функция f(z) ограничена на Г и в области D имеет лишь конеч-
конечное число полюсов. Оставляя Г неизменной в окрестности совер-
совершенного множества Р, мы можем ее деформировать таким обра-
образом, чтобы область, ограниченная Г, не содержала полюсов. Тогда
в полученной области f{z) будет ограничена. При конформном
отображений внутренности Г на круг множество Р перейдет в мно-
множество Р1 положительной меры, лежащее на окружности, а функ-
функция f(z) в функцию <е(лг), ограниченную внутри круга.
Пусть EJ — множество прелельных значений <р(#) на мно-
'жестве Pv Если все значения функции <?(лг) при |л;|<1 попадают
на EJ, то EJ будет положительной гармонической меры, так как
«(я) не постоянна, и, следовательно, EJ имеет внутренние точки.
Если при некотором |дгр|<1 значение <р(лгр) не принадлежит Ew\
ПРИЛОЖЕНИЕ 377
то по предыдущей теореме получаем, выбирая в качестве Q круг
достаточно большого радиуса,
т. е. снова убеждаемся, что EJ имеет положительную гармониче-
гармоническую меру. Так как множество EJ содержится в Е№, это доказы-
доказывает теорему. i
Доказанная теорема может быть также распространена на тот
случай, когда рассматриваются предельные значения только по ра-
радиусам. Но в этом случае приходится требовать, чтобы множество
Е„ было множеством второй категории на некоторой дуге окруж«
ности и чтобы каждая порция Ег имела положительную гармониче-
гармоническую меру (Привалов [2]).
И. Привалов [2] показал, что из доказанной теоремы путем
весьма простых рассуждений можно вывести предложение, содержа-
содержащее в себе как частный случай теорему текста книги (см. 217).
Если функция f (г) мероморфна в единичном круге |г|<1 и
при ] z | < 1 не принимает значений, принадлежащих к множеству
ее угловых предельных значений, то множество точек окружности
[я| = 1, в которых f(z) имеет угловые предельные значения,
имеет меру 2п или нуль, CMOjnpa no тому, будет ли функция
f(z) ограниченного вида или нет.
В самом деле, если функция f{z) имеет предельные значения
на множестве Ez точек окружности, то множество Ew ее предель-
предельных значений на Et содержит ограниченное замкнутое множество
положительной гармонической меры F^. По условию теоремы /(г)
выпускает множество значений Fw и, следовательно (см. стр. 211).
будет функцией ограниченного вида. В этом случае она имеет пре-
предельные значения почти всюяу по окружности.
А. Плеснером [9] была установлена теорема относительно ха-
характера поведения мероморфной функции вблизи окружности.
Если функция f(z) мероморфна внутри единичного круга, то
окружность может быть разбита ha три множества Ev Еа, Ev
обладающих следующими свойствами.
) 3
2) В каждой точке z0 множества Et функция f(z) прибли-
приближается к единственному предельному значению по всем путям,
не касательным к окружности \ z \ = 1.
3) Кавов бы ни был угол с вершиной в точке za множества ?2,
совокупность предельных значений функции f(z) при приближении
z к z0 внутри этого угла покрывает всю плоскость.
Рассмотрим все квадраты на плоскости с рациональными коор-
координатами. Множество этих квадратов счетно, поэтому мы их
можем расположить в последовательность Дх, Д2, ..., Д„,...
Допустим, что множество точек, не принадлежащих ни к мно-
множеству Ev ни к множеству Е2, имеет положительную меру mesEs>0.
Если zQ не принадлежит к Е%, то мы можем из этой точки про-
378 ПРИЛОЖЕНИЕ
\
вести два луча внутрь круга |*|<1 так, чтобы при z-+z0 вну-
внутри полученного угла предельные значения /(г) не покрывали бы
всю плоскость. Множество & (zj этих предельных значений зам-
замкнуто, поэтому можно найти квгдрат Дл, не имеющий общих точек
с ? (г0). Теперь внутри угла, соответствующего точке z0, мы по-
построим сектог s(z0) с вершиной в точке z0) обладающий следующими
свойствами:
1) Сектор s(z0) имеет угол при вершине вида ~, п—целое.
2) Ось сектора s (г0) составляет с радиусом Oz0 угол <р, соизме-
соизмеримый с те. Пусть SH—величина этого угла. Мы будем его счи-
считать положительным, если ось сектора лежит внутри угла, соста-
составляемого радиусом с положительным направлением на окружности
и отрицательным в противном случае.
3) Радиус сектора г = —, где т — целое число.
Имея в виду, что множества & (г0) и As не имеют общих точек
и замкнуты, а, следовательно, расстояние между ними отлично от
нули, мы можем выбрать число m = tn(z0), так чтобы выполнялось
условие.
4) Внутри сектора s (z0) функция /(г) не принимает значений,
лежащих внутри квадрата Д?.
Через Еп> т> Pi g> ft мы обозначим множество точек окружности,
не принадлежащих к Еи которым поставлен в соответствие сектор
с углами <ps=s?-ir, 8 = Кп и радиуса г = — и квадрат As. Тогда
каждая точка множества Еъ принадлежит к одному ив множеств
Е», т, р, ?, ft- Каждый индекс этого множества пробегает счетное
число значений, поэтому совокупность всех множеств ?„_ т< р< q< ft
счетна. Если mes?3>0, то по крайней мере одно из множеств
Еп> т< Pt qt ft будет положительной меры. Мы обозначим его
^nl. №,,. л,>'«.' *«• и ПУСТЬ Р — совершенное множество положительной
меры, содержащееся в Е^ ^ ^ q>, fc#.
Пусть р — центр квадрата Ак, S — длина Д^ .
Мы рассмотрим функцию
функция ty(z) во всех секторах s(z0), соответствующих точкам Р,
в силу 4) удовлетворяет неравенству
т
Пусть г>1 выбрано так, что на окружности |г| = г
функция /(г) не имеет полюсов. Мы определим область D как
сумму круга |.г|<г и ,всех секторов s(z0), соответствующих
Р
точкам Р.
ПРИЛОЖЕНИЕ * 379
Граница Г области D состоит из дуг окружности |*|=вг,
множества Р и отрезков лучей, проведенных под углом
?2. я inri к кони-ам интервалов смежности Р с большим аргумен-
аргумента 2
том и под углом ^2. тс 4- -rrVr K концам интервалов смежности
м
с меньшим аргументом.
Легко убедиться, что граница Г спрямляема. В самом деле,
длина Г не превосходит суммы
2w + mes Р -}- 2 afti
где os — периметры подобных треугольников, основания которых
стягивают интервалы смежности множества Р. Периметры этих
треугольников образуют сходящийся ряд, так как сумма длин их
оснований сходится.
Все полюсы функции ty(z), лежащие внутри Д принадлежат
кругу |,г|<г, поэтому их число конечно, и мы можем так дефор-
деформировать кривую Г, оставляя ее неизменной в окрестности Р,
чтобы область D не содержала полюсов ty(z). Но тогда if(z) огра-
ограничена в области D и, слздовательно, почти всюду на Г имеет
предельные значения по всем некасательным путям. С другой сто-
стороны, mesP>0, поэтому множество Р1 точек Р, в которых суще-
существует касательная к кривой Г, также имеет положительную меру.
Но касательная в точке Р к Г совпадает с касательной к кругу.
Сопоставляя это с существованием почти всюду на Г предельных
значений <{> (г), заключаем, что на множестве Pt мы можем найти
точку zv в которой ty(z), а следовательно и /(г), имеет определен-
определенное предельное значение по всем некасательным путям к окружности.
Но тогда гх принадлежит к Еи и, следовательно, предположение
mes?8>0 привело нас к противоречию.
ЛИТЕРАТУРНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
A h И о г s, L: ['] Untersucliungen zur Theorie der konformen Abbildung und der
ganzen Funktionen. Acta Joe. sci. fenn. N. s. 1, Nr. 9 A930).
p] Beitrage zur Theorie der meromorphen Funktionen. 7. Congr. Math,
scand., Oslo, 1929.
f1] Ein Satz von Henri Cartan und seine Anwendung auf die Theorie
der meromorphen Funktionen. Soc. sci. fenn. Comment. Phys.-math. 5,
Nr. 16 A9a).
[*] Zur В stimmung des Typus einer Riemannschen Flache. Comment, math.
Helvet. 3 A931).
В| Ober die assymptotlschen Werte der meromorphen Funktionen endlicher
rd'iung. Acta Acad. Abcensis. Math, et Phys. 6. Nr. 9 A932).
[e] Ober cine in der neueren Wertverteilungstheorle betrachtete Klasse
transzendmter Funkti nen. Acta Mat'. 58 A9d2).
[7] Sur les domatnes dans lesquels une fonction meromorphe prend des
vakurs appartenant d une region donnde. Acta Soc. sci. fenn., N. s. 2,
Nr. 2 A933).
Is] Ober elne Methode in der Theorie der meromorphen Funktionen. Soc.
sci. fenn Comment. Phys.-math. 8, Nr. 10 A932).
[9] Sur le type d'une surface de Riemann. С. г. Acad. Sci., Paris, 201 A935).
[»] Zur Theor e der Oberlagerungsfiachen. Acta Math.,65A935). Русск. пере-
перевод в .Успехах мат. наук", вып. VI A939).
В е и г 1 i п g, A.: I1) Etudes sur un problerae de majoration. These de Upsal, 1933.
В1 a s с h k e, W.: [*] Eine Erweiterung des Satzes von Vitali uber Folgen analy-
tischer Funktionen. Leipzig. Ber. b7 A91i).
В1 о с h. А.: p] Les theorems de M. Vali.on sur les fonctlons entieres et la
thecrie de I'uniformisation. Ann. Fac. Sci. Oniv. Toulouse, Ш. s. 17A925).
[sj Les fonctions holomorphes et meromorphfs daa3 le cercle-unite. Memo-
Memorial des Sciences math. Facs. 20. Paris: Gauthier —Villars, 1926.
P] Sur les s s'imes de fonctions holomorphes a varietes lineaires lacu-
naires. Ann. Ecole Norm. 43 A9.6).
Borel, E,: [l] ^ur les zeros des fonctions entieres. Acta math. 20 A896).
Caratheodory, C: f1] Sur quelques generalisations du theoreme de
M. P'card. С. г. Acad. Sci., Paris, 141 A905).
f2] Ober eine Verallgrmeinerung der Picardschen Satze. Sitzgsbcr. preufi.
Akad. Wiss., Physik -math. KK A920).
Is) Ober die Fourierschen Koeffizienten monotoner Funktionen. Sitzgsber.
preufi. Akad. Wiss., Physik.-math. Kl. A920).
[*) Ober die Winkelderivierten von beschrankten analytischen Funktionen.
Sitfgsber. preufi. Akad. Wiss., Physik.-math. KL A92J).
p) Conf' rmal representation. Cambridge tracts in math. a. math, phys.,
vo'. 28, Cambrdge, 1932. Русский переюд, М., 1934.
С а г 1 e m а п, Т.: ['] Sur les fonctions inverses des fonctiens entieres. Ark. Mat.
Astr n. Fys. 15, Nr. 10 A921).
Is] Sur une inegalite differentieile dans la theorie des fonctions analytiques.
С. г. Acad. Sci., Paris, 196 A933).
Cartan, H.: ['] Sur les systemes des foncttons holomorphes a varietds lacu-
nalres et leurs applications. These de Paris, 1928.
ЛИТЕРАТУРНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ '381
t
С art an, Н.: Щ Sur la fonctlon de croissance attachfie A une fonction
meromorphe de deux variables et ses applications aux fonctlons mero«
morphes d'une variable. С. г. Acad. Sci., Paris, 189 A929).
[3] Sflr les zercs des combinaisons Hneaires de P fonctions holomorphes
donnees. Matheraatica (Cluj) 7 A933).
С о И i n g w о о d, E. F.: p] Sur quelques theoremes de M. Nevanlinna. C. r.
Acad. Sci., Paris, 179 A924).
[2] On meroraorphic and integral fonctlons. J. Lond. math. Soc. 5 A930).
Courant: ['] Ober elne Eigenschaft der Abbildungfunktlonen bei konformen
Abbildung. Gottinger Nachrichten, 1P14.
[21 Bemerkung zu raeiner Note: „Ober eine Eigenschaft etc/, Gottinger
Nachrichten, 1922.
Denjoy, А.: [Ц Sur les fonctions entieres de genre fini. С. г. Acad. Sci.,
Paris, 145 A907).
Elfving, G.: p] Ober elne Klasse vonRiemannschen FISchen und ihreUnifor-
misiening. Acta Soc. Sci. fern. N. s. 2, Nr. 3 A934).
[2] Ober R;emannsche Flachen und Annaherung von meromorphen Funktio-
nen. 8. Congr. Math, scand., Stocklolra, 1934.
p] Zur Flachenstruktur und Wertverteilung. Ein Beisplel. Act» Acad.
Aboensis. Math, et Phys. 8 A93Л).
Evans, G. С/ [Ч TheM.ogarixhralc Potential. New York, 1927.
Й Applications of Poincares sweeping-out process. Proc. nat. Acad. Sci.
A. 19 A9o3).
Faber, G.: I1) Ober Tschebyscheffsche Polynome. J. reine angew. Math.
150 A919).
Fatou, P.: ['J Series trigonometriques et series de Taylor. Acta.math. 30 A906).
Fekete, M.: [') Ober die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen
Gleichungen mit ganzzah:igen K^elfizienten. Math. Z. 17 A92?).
Fenchel, W.: ['] Ober analytische Funktbnen, die in Teilgebietm des
Einheitskreises beschrankt s.nd. Nachr. Ges. Wiss. GOttingen, Math.-physlk,
Ю. A930).
F r os t m a n, O.: ['] Ober den Kapazitatsb^grlff und einen Satz von R. Nevanlinna.
Meddel. Lunds Univ. ivlat. bem. 1 A931).
[*] Ober die defekt^n Werte einer meromorphen Funktlon. 8. Congr. Math.
scand., Stockho m, 1934.
p) Potential d'equilibre et capacite des ensembles avec que!ques appli-
applications a la theorii des fonctions. M ddel. Lunds Univ. Mat. Sem. 3 A9 55).
Голузин, Г.: Р] О теореме вращения в теории однолистных функций.
.Математический сборник", т. I D3), 1936.
Gross, W.: ['1 Kine ganze Funktion, Iflr die jede komplexe Zahl Konver-
genzwert ist. Math. Ann. 79 (Г 18).
I*] Ober die Singularitaten analytischer Funktionen. Mh. Math. u. Physik
2a A918).
Grfltsch: [4 Ober einige Extremalprobleme der konformen Abbil-
dungen I, II.
О run sky, H.: P] Neue Abschatzungen zur konformen Abbildung ein- und
mehrfach zusammenhangender Bereiche. Schr. math. Scmin. u. Inst. angew.
Math. Univ. Berl. 1 A932).
Hausdorff, F.: f'l Dimension und ausseies Mass. Math. Ann. 79 A919).
Herglotz, G.: [l] Ober Potenzreihen mit positivem reellem Tell im Einheits-
k eis. Leipz. —Ber. 63 A911).
Hi lie, Einar: ['] On tiie zeros of the functions of the parabolic cylinder.
Ark. Mat. Astrn. Fys. ?8, Nr. 26 A924).
BZero point problems fur linear differential equations of second order,
at. Tidskr. В 1927.
HOssjer, G.: ['] Ober fi;n':tionstheoretische Nullmengen und das Maximum-
prinzlp bei mehrdeutigen analytischen Funktionen. 8. Congr. Math, scand.,
Stockholm, 1934.
382 ЛИТЕРАТУРНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
I v е г s • п, Г.: [Ч Recherches sur les fonctions inverses des fonctloni meromor-
phes. These de Helsingfors, 1914.
Is] Zum Verhalten analytlscher Funktlcnen in Bereichen, deren Rand elne we«
sentllche Singvilaritat enthait. Oversikt av Finska Vet.-Soc. Fo"rh.64A,4A922).
Jensen, J. L.: [l] Sur un nouvel et important theoreme de la tl.eorie dee
fonctions. Acta math. 22 A8P9).
Julia, G.: [ij Extension d"un lemme de Schwarz. Acta math. 42 A920).
pj Principes geometriques d'Analyse. 2 partte. Paris: Gauthler-Villars, 1932;
Русск. перевод, ч. 1 M., 1936.
Kerekja г to, В.: [lJ Vorlesungen fiber Topologie I. Die Grundlehren der
mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstelltmgen, Bd. 8; Berlin: Julius
Springer, 1923.
Kobayashi, Z: [l] Theorems on the conformal representation of Riemann
suifaces. Sci. Rep. Tokyo Bunrlka Daigaku, sect. A, Nr. 39 A935).
Кое be, P.: [l] Ober die Uniformisierung der algebraischen Kurven П., Math.
Ann. 69 A910).
SAIlgemeine Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkelten. Acta math.
A927).
Лаврентьев, М.: ['] О непрерывности однолистных функций в замкну-
замкнутых областях, .Доклады Академии Наук СССР", т. IV. № 5, 1936.
Is] О некоторых свойствах однолистных функций, .Доклады Академии
Наук СССР", т. I, № 1, 1935.
[»] О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций,
.Математический сборник.", т. 1 D3), № 6, 1936.
Й Sur la representation conforme. С. г. Acad. Scf., juin, 1927.
p] О конформном отображении. Труды Физ.-матем. института им.- В. А.
Стеклова, т. V, 1934.
Landau, Е: ['] Ober eire Verallgemelnerung des Picardschen SatZes.
Sltzgsber preufl. Akad. Wiss, Physk-math. Kl. A904).
j2] Der Picard-Schottysche Satz find die Biochsche К nstante. Sltzgsber.
preofl. Akad. Wiss., Physik.-matb. Kl A926).
[Ц Ober den Millouxschen Satz. Nachr. Ges. Wiss. Gettlngen, Math.-
physik. Kl. A930).
L a n d a u, E. and V a 11 г о n, G.: [Ц A deduction from Schwarzs lemma. J. Lon-
London Math. Soc. 4, Nr. 3 A929).
Лебег, А.: Интегрирование и отыскание примитивных функций. Пер. и
ред. проф. Н. К. Бари, дополи, ст. акад. Н. Н. Лузина, ГТТИ. М.—Л., 1934.
Lindeberg, J. W.: Sur l'existence des fonclions d'une variable compl xe et
des fonctions harmoniques bomees. Ann. Acad. Sci. fenn. 11, Nr. 6 A9'?).
L1 n d e 10 f, E.: [l] Memoire sur la theorie des fonctions entieres de genre fini.
Acta Soc. sci. fenn. 31 A902).
[2] Memoire sur certaines inegalites dans la theorie des fonctions monogenes
et sur quelques proprietes nouvelles de ces fonctions dans le voisinage
d'un point singulier essentiel. Acta Soc. sci. fenn. 35, Nr. 7 A908).
[3] Sur un prlnclpe general de l'Analyse et ses applications к la theorie
de la representation conforme. Acta Soc. sci. fenn. 46, Nr. 4 A915).
Little wood, J. E.: ['] On exceptional values of power series. J. Math.
Soc, London A930).
L б w n e г, К.: ['] Untersuchungen fiber schlichte konforme Abbildungen des
Einheitskreises. I. Math. Ann. 89 A923).
Лузин, H.: [l] Интеграл и тригонометрический ряд, Москва, 1916.
Luzin, N. et Prlvaloff, I.'I1] Sur l'unlcite et la multipliclte dee fonc-
fonctions analytiques. Annales de l'Ecole Normale Superieure, s. 3, t.
XLII, 1925.
M i 11 о u x, H.: [<] Le theoreme de M. Picard, suites de fonctions holomorphes,
fonctions meromorphes et fonctions entieres. J. Math, pures appl. IX,
8. 3 A924).
M о n t e 1, P.: I1] Lecons im les families normales de fonctions analytiques et
laurs applications. Paris: Gauth!er-VUlar», 1927. Русск перегод, М., 1936,
ЛИТЕРАТУРНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 388
Lecons sur leg fonctions entieres ou meromorphes. Paris: Qauthiei-
/illars, 1932.
[31 Sur la representation со nf or me. Journal de" Mathematiques, 7 serie
t. 3, 1917.
Mvrberg, P. J.: [4 Ober die Exlstenz der Greenschen Funktionen auf einer
gegebencn Riemannschen Fiache. Acta math. 61 A933).
m Ober die Bestimmung des Typus einer Riemannschen Fiache. Ann. Acad.
sci. fenn. A 45. Nr. 3 A935).
Nevanlinna, F.: I1) Bemerkungen zur Theorie der ganzen Funktionen
endlicher Ordnung. Soc. sci. fenn., Comment. Phys.-math. 2, Nr. 4 A923).
[2] Ober die Anwendung einer Klasse von uniformisierenden Transzendenten
zur Untersuchung der Wertverteilung analytlscher Funktionen. Acta Math.
50 A927).
S Ober eine Klasee meromorpher Funktionen. 7. Congr. Math, scand.,
slo 1929.
[*l Ober die logarlthmische Ableitung einer meromorphen Funktion Com-
Comment, in honorem Ernesti Leonard! LindelOf. Helsinki, 1930.
Nevanlinna F. u. R.: ['] Ober die Elgenschaften einer analytischen Funk-
Funktion in der Umgebung einer singuiaren Stelle oder ~ Linie. Ac;a Soc. sci.
fenn. 50, Nr. 5 A922).
Nevanlinna, R.: ['] O.ber die schlichten Abbildungen des Einheitskreises.
Overs, av Finska Vet. Soc. FOrh. 63 A, Nr. 7 A920).
p] Untersuchungen fiber den P cardschen Satz. Acta Soc. sci. fenn. 50, Nr. 6
A92*).
P| Ober eine Klasse von meromorphen Funktionen. Math. Ann. 92 A924).
И Zur Theorie der meromcrphen Funktionen. Acta math. 46 A925).
p] Le theoreme de Picard-Borel et la theorie des fonctions meromorphes.
' Paris: Gauthier-Villars, 1929.
Г6] Ober die Herstellung transzendenter Funktionen als Grenzwerte rationaler
Funktionen. Acta math. 55 A930).
PJ Ober die Randwerte von analytischen Funktionen. Comment, math.
Helvet. 2 A930).
[8] Ein Satz uber die konforme Abblldung von Riemannschen Flachen. Com-
Comment, math. Helvet. 5 A932).
PJ Ober Riemannsche Flachen mit endlich vielen Windungspunkten. Acta
math. 58 A932).
[Щ Ober die Riemannsche Fiache einer analytischen Funktion. Verh.
Internet. Math.-Kongr. 1, Zurich, 1932.
• [u] Ober eine Minlmumaufgabe in der Theorie der kcnformen Abbildung.
Nachr. Ges. Wiss. GOttingen. Math.-physik. Kl. A933).
p] Das harmonlsche Mafl von Punktmengen und seine Anwendung
in der Funkt'onentheorie. 8. Congr. Math, scand., Stockholm, 1934.
РЧ Sur un principe general de l'Analyse. C. r. Acad. Sci., Paris. 199
A934).
pi Ober die Kapazitat der Cantorschen Punktmengen. Mh. Math. Phys. 43
Ostrowski, A.: ['] Ober allgemeine Konvergenzsatze der komplexen Funktio-
nentheorie. Jber. Deutsch. Math. Vereinig. 32 A923).
p] Ober die Bedeutung der Jensenschen Formel fur einige Fragen der
komplexen Funktionentheorie. Acta Litt. Sci. Szeged. 1 A933).
Й fiber quasianalytische Funktionen und Bestimmtheit asymptotischer
twicklungen. Acta math. 53 A929).
P h г a g m e n, E. et LindelOf, E.:[l] Sur une extension d'un principe classique
de 1 analyse et sur quelqucs proprietes des fonctions monogenes dans le
vpisinage d'un point singuiier. Acta math. 31 A908).
T> i с а ий, E.: I1] Sur une propriete des fonctions entieres. С r. Acad. Sci.,
Paris 88 A879).
s pi Demonstration d'un theoreme general des fonctions unlformes liees pal
une relation algebrique. Acta matfi. ll A887).
384 ЛИТЕРАТУРНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Pick, С: [Ч Ober eine Eigenschaft der konforraen Abblldung kreisfOrralger
Bereiche, Math. Ann. 77 A916).
. [Ц Ober den Koebeschen Verzerrungssatz. Verh. s8ch?. Akad. Ber. — Leip-
Leipzig, 68 A916).
P1 e s з n e r, A.: [!] Zur Theorie der konjugierten trigonometrichen Reihe'n.
Mitt. math. Semin. Giefien 10 A923).
PI .Ober das Verhalten analytischer Funktion am Rande ihren Definiti-
onsbereich", Journal fur reine und angewandte Mathimatik, Bd 158, 1927.
Poincare. H.: D Theorie des groupes Fuchsiens. Acta math. 1 A881).
И Sur l'unlformisation des fonctions analytiques. Acta math. 31 A907).
Hya, G.: ['] Ober ------ - - -¦ -
Math. 34 II A933).
у a, G.: PI Ober analytische Deforraationen eines Rechtecks. Ann. of
Р 61 у a, G. u. S г е g 0, G.: I1] Ober den transfiniten Durchmesser (Kapazitatskon-
stante) von ebenen tind raumiichen^Punktmengen. J. reine angew. Math.
165 A931).
Привалов, И.: [!1 О предельных значениях аналитических функций,
„Доклады Академии Наук СССР", № 9, 1938.
[2] Приложения понятия гармонической меры множества к некоторым
проблемам теории функций, „Математический сборник", том 3 D5),
№ 3.
Р г i n g s h e i m, A.: ['] Elementare Theorie der ganzen transzendenten Funk-
tionen von endlicher Ordming. Math. Ann. 58 A904).
R a d o: ['] „Sur la representation coniorme de domaines variables', Acta
Fregeal, t. 1, 1923.
R i e s z, F.: И Ober die Randwerte einer analytischen Funktiont Math.
Zeitschr., Bd 18, Heft 1/2-
R1 e s z, F. u. M.: ['] Ober die Randwerte analytischer Funktionen. 4. Congr.
scand. Math., Stockholm, 1916.
Robin, G.: ['] Sur la distribution de l'electricite a la surface des conducteurs
fermds et des conducteurs ouverts. Ann. Ecole Norm., Ш. s. 3 A886).
S с h m i d t, E.: П Ober den Millouxschen Satz. Sitzgsber. preufl. Akad. Wis$.
Physik.-math. Ю- П932).
Sсh ottky, G.: t1] Ober den Picardschen Satz und die Borelschen Ungleichun-
gen. Sitzgsber. preufl. Akad. Wiss., Physk.-math. Kl. A904).
Senwarz, H. А.: [Ц Zur Integration der partiellen Differentlalgleichung
S§Abh:2-
[8] Mittellung fiber diejerlgen FSlle, in welchen die Gaussische hypergeo-
metrische Reihe F (a, 8, y, ¦%) eine algebraische Funkticn ihres vierten
Elemtntes darstellt. Ges. Abh. 2.
Seiberg. H. L: ['] Ober eine Eigenschaft der logarithmischen Ableitung
einer meromorphen Oder algebroiden Funktion endlicher Ordnung. Avh.
Norske Vid.-Akad. Oslo. Mat.naturvid. Ю., Nr. 14 A929).
[s] AJgebroide Funktionen und Umkehrfunktlonen Abelscher Integrale.
Avh. Norske Vid.-Akad. Oslo, Mat.-naturvid. KL, Nr. 8 A934).
S h i m i z u, Т.: Г1] On the Theory of meromorphic Functions. Jap. J. Math, в
A929).
S p e i s e r, A.: I1] Probleme aus dem Geblet der ganzen transzendenten Funk-
Funktionen. Comment math. Helvet. 1 A929).
PJ Oter Riemannsche Flachen. Comment, math. Helvet. 2 AP30).
I3] Ober beschrankte automorphe Funktionen. Comment, math. Helvet. 4
A932),
Szego", G.: [l] Bemerkungen z« einer Arbeit von Herrn Fekete: Ober die
Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebralscl.en GltJchungen mit
ganzzahligen Koeffizienten. Math. Z. 21 A924).
Ullrich, E.: I1] Ober die Ableitung einer meromorphen Funktion, Sitzgsber.
pieefl. Akad. Wiss,, Math.-physik. W- A929).
ЛИТЕРАТУРНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 885
[г] tJber eine Anwendung des Verzerrungssatzes auf meromorphe Funktio-
lien. J. f. Math. 166 A932).
pi Ober eln Problem von Herrn Speiser. Comment, math. Helvet. 7 A934).
M ZUm Umkehrprobiem der Wertverteilung. Nachr. Ges. Wiss. GOttlngen,
N. F. 1, Nr. 9 AP36).
Vallron, G.: ['] Sur les fonctions entleres d'ordre finl. Bull. Sci. math. II.
s. 46 A921).
[-] Recherche» sur le theoreme de M. Picard dans la theorle des fonctions
entieres. Ann. l'Ec. Norm. III. s. 39 A923).
Й Lectures on the general Theory of Integral Functions, Toulouse, Edouard
ivat 1923. •
[*] Fonctions entleres et fonctions meromorphes d'une variable. Memorial
des Sciences math., Fasc. 2. Paris: Gauthler-VHlars, 1925.
R Sur les valeurs exceptionnelles des fonctions meromorphes. Acta
math. 47 A925).
[6] Sur les theoremes de M. Bloch, Landau, Montel et Schottky. С. г. Acad.
Sci. Paris 183 A926).
V a 11 ё е Р о u s s i n, С de la: [i] Extension de la methode du balayage de Poin-
care et probleme de Dirichlet. Ann. Inst. Poincare 2 A932).
Wagner, H.: [>] Ober eine Klasse Riemannscher Fiachen mit endlich vielen
nur logarithmischen Windungspunkten. J. relne angew. Math. 175 A936).
W a r s с h a w s|k i, S.: [JJ Ober das Randverhalten der Ableitung der Abblldungs»
funktion bei konformor Abbildung. Math. Z. 35 A932).
W i 111 с h, H.: pi Ein Krtterium iur Typenbestimmung von Riemannschen
. Fiachen. Mh. Math. Phys. 44 A936). . «
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная гармоническая мера 123
Абсолютно непрерывная функция 201
Автоморфные потенциалы 30, 215, 217
— ф нкции 20, 286, 318
Аддитивность гармонической меры 31, 131
Аддитивные функции множеств 146
Алгеираичеёкая кривая 285
Алгебраический элемент функции 288
Асимметрия римановой поверхности 330
Асимптотический путь 313
Асимптотическое значение 171
Вполне разветвленные аначеиня 284
Вращения сферы 10, 176
Вторая основная теорема теории Иероморф-
ных функций 255 «
Выпуклые функция 48, 178, 194
Гамма-фуичция 221
Гармоническая мера, определение 14, 3)
абсолютная 122
— —, интегральное представление 1С4
относительная 116, 365
, увеличение 44
Гармонические нульмножества 116, 122
Гиперболическая мера 12, 55
, уменьшение 56, 87
Гиперболические преобразования 14
Гиперболический тип римановой поверхности
15, 318
Гниерэллнптичесиие кривые 286
Гипотеза Данжуа 313
— о дефектных и асимптотических вначв-
инях 274
— о соотношении между типом поверхности
и угловой геометрией 31S
Группа лннейньх преобразований 11. 30
— топологических преобразований 17
— преобразований наложения 17
Граница поверхности с краями 331
— — относительная 333
Двойное метрико-топологвческое неравен-
неравенство 349
Двоякопериоднческш функции 283
Деф кт 271, 354
— области 354
— полный 271
Дефектное значение 271, 291
Дефектов соотношение 271, 354
Диагональный процесс 139
Диаметр трансфниитный 138
Дзета-фуикция 221
Емкость точечных множеств 123
Значение асимптотическое (целевое) 171
— вполне разветвленное 284
— дефектное 271, 291
— исключительное (см. исключит, значение)
— нормальное 271
разветвленное 282
Жанр алгебраической кривой 288
— замкнутой поверхности 351
— мероморфиой функции 236, 238, 267
Изоморфизм отображение 18, 19
Инвариант неевклидов 11
— сферический 11
— функ.шонально-теоретический 69
Инвариантность гармонической меры 43
— градиентного интеграла 325
— характеристики 169, 178
Индекс разветвления 282
области 354
Интеграл Пуассона 27
Интерпретация неевклидовой геометрии, дав>
ная Пуанкаре 12
Исключительное значение, общее определе-
определение 170
Пикара 22
— — Пикара-Бореля 265
— — положительного дефекта 271
Исключительные интервалы 250—292, 255
Исчерпание кругообразным расширением 318
— регулярное J50
Канонические произведения 226, 228
Каноническое представление мероморфиой
функции целого порядка 226, 227
функции ограниченного вида 189
Квазиконформные отображения 363, 364
Класс мероморфной функции 221
— расходимости 221
— сходимости 220
Комплекс отрезков 297
Конец логарифмический 299
— периодический 310
Косвенно критические особенности 290
Кратность острова 361
простая 352
Критические особенности однолистной функ-
функции 290
— — косвенные 290
прямые 290, 310, 314
Лемма (теорема) Гейяе-Бореля 131, 33$
— Жюлна-Каратеодори 59
— Ловнера 58
— Шварца 53
Линейные преобразования 10—14
Линейных преобразований группа 11, 20
Линии уровня гармонической меры 39
— — функции Гр»на 36
Логарифмическая длина (мера) 110
— точ»а ветвления 288
Логарифмический конец 299
— потенциал 131
— элемент функции 288
Максимума принцип 143
— —, обобщение ИЗ
Мероопределение иеевкдидовое (гиперболи-
(гиперболическое) 12, 65
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
387
Мероопределение сферическое И
Метрика поверхности 334
Множество гармонической: меры нуль 116, 122
— емкости нуль 123
— Кантор'а 156, 158
— совершенное, нигде не плотное 156, 168
— точечнообразиое 122
Модулярная функция 21, 219, 269, 323
Мощность континуума 1S6, 158, 269
Неравенство Шварщ 99
Нормальная форма характеристики 178
Нормальное значение 271
Область ограниченного вида 214
— элементарная 298
Однолистный образ 296
Оператор Лапласа 11
Орицикл 13
Особенности (см. критические особенности)
— устранимые 23, 142
Остров ЗоО
Относительная гармоническая мера 365
Отображение посредством преобразований
квазиконформных 363, 364
конформных 10, 14, 19, 214, 301, 358,
363
¦ линейных 10—14
¦ с ограниченным эксцентриситетом
Параболические преобразования 14
Параболический тип римановой поверхности
15, 3i8
Первая основная теорема теории мероморф-
иых функций 169
Первичный множитель Вейерштрасса 227
Периодические концы 310
Поверхностей наложения теория 330
Поверхности замкнутые 331
— открыты: 331
— с краями 331
— наложения конечные 332
— — складчатые 328
универсальные 16, 55, 214
Полиномы Чибышева 137
Полуостров ?61
Порядок мероморфной функция 221
Постоянная Кбпе В8
— —, определение ее точного значения 92,93,
103
— Робэяа. определение 123, 124
Потенциал автоморф шй 80, 215, 217
— логарифмический 131
— равновесия 135, 182 276
— сферический 181
Предельные линии 13
Предельный показатель 224
Представление мероморфной функции в виде
частного 189, 226
— функции Грина, данное Пуанкаре 189
Преобразования, Гаусса формула 167, 175,
259. ?63
— Грина формула 34
— гиперболические 14
— линейные 10—14
— параболические 14
— топологические 15
— эллиптические 14
— (см. таьже отображения)
Принцип гармонический меры 44
— гиперболической меры 53
Принцип зеркального отображения Швар-
Шварца 21
— Карлемана 70
— Линд-лофа о2
Принцип максимума 143
— —, обобщение 143
Принцип расширенна области 70
Проблема Дирихле 27, 206
— Карлемана-Мию 73, 104
— о дефектных значениях 272, 309
— о разветвленных значениях 310
— о типе римановой поверхности 318
— Робэна 125
Проблема Шпайзера 329
Произведение Бляшке 189, 209
Произнодная Шварца 308
Пряно' критические особенности 290, 810, 314
Разветвлениость римановой поверхности
314—317, 321
— полная 321
— регулярная 287, 318
Разветвленное зиачепие 282
— — В'.олне 284
Расстояние неевклидово 12
— по хорде 176
Расширение области 70, S7
Регулярная разветвлеиность 287, 818
Регулярное исчерпание 350
Римановы поверхности гиперболического
типа 15,318
— — параболического типа 15, 318
эллиптического типа 15, 318
регулярно разветвленные 287, 318
— — с конечным числом точек ветвления 3U4
, точки ветвления которых лежат вад
конечным числом областей 304
, точки ветвления которых лежат над
конечным числом точек 295
Симметрия римановой поверхности 330
Соотношение дефектов 271, 354
— Гурвица 334
— фундаментальное 251
Сфера Рнмана 10, 174, 184, 351
Сферическая длина 11
Сфгрнческий потенциал 184
Теорема Адамара о трех кругах 49
— Альфорса о критических значениях 310, 314
— Альфорса о покрытии 337, 338
— Альфорса об искажении 101
— (лемма) Гейне-Бореля 131, 135
— Гросса 293
— Иверсена 292
— Каратеодори 367
— Карлемана 74, 314
— Картана 151, 189
— Кббе 88
— Кобеяши 329
— Кураита 367
— Ландау 63
— Лиидберга 152
— Линделофа 77
— Лииделофа о сходимости 68
— Лиувилля 22, 145
— о двух константах 48
— о кругах 361
— о логарифмической производной 154
— о мзнодромин 22, 56, 218, 261
— Пика об искажении 93
— Пи кара 22, 286
— Пикара-Бореля 266
-- Рисса 210
— Рнсс-Лузина-Прнвалова 371
— Фату 202
— Фрэгмена-Лииделофа 50
— Харди 368, 369
— Хирнака 117
— Шоттки 64
Теоремы о граничных значениях 202, 209,
210, 211,217
— Римана об отображении 14, 15
Тип мероморфной функции 221
Э88
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Тип максимальный 320
— минимальный 220
— средний 220
— рииановой поверхности гиперболический
16, 3! S
параболический IS, 318
— — — эллиптический 15, 318
Топологическое дерево 19, 299
— отображение 15
Точки равветвлення поверхности наложения
333
Траасфииитный диаметр 138
Увеличение гармонической меры 44
Угловая геометрия 318
Узловые точки 297
Уменьшение, гиперболической меры 56, 87
Уравнение Пуассона 132
Устранимые особенности 23, 142
Формула Иеисена 165
— преобразования Гаусса 167, 175, 259, 263
¦ Грвиа 34
— Пуассона-Иенсена 165
— Стильтьеса 197'
Формула Эйлера для многогранников 315,318
Фундаментальное соотношение 251
Фундаментальные преобразования 17
— многоугольники (области) 17, 296
Функции ограниченного вида 190, 191
Фупцни с ограниченной вариацией 198, 2ГП
Функции Треугольник* 263, 299
Функция Грина, определение 33
— —, представление, данное Пуанкаре 18В
— приближения т (г. о) определение 169
— числа а—точек N (г,а), определение 169
— скачков 201
— характеристическая 170
Характеристика мероморфиой функции 170,
178, 182
— поверхности 332
Характеристическая функция 170
Целевые значении (сн, асимптотическое »ва-
ченне)
•— пути (см. асимпототическне пути)
Целые функции 231, 318, 362
Число разветвления поверхности наложение
Эквидистанта 13
Экстремальная область Кббе 90
Эксцесс 317
Элементарная область 298
Эллиптические преобразования 14
Эллиптический тип риманоной поверхности
15, 318
Ядерный мвогоугольннк ЗОБ
Ядро римановоя поверхности ЗОБ