/
Text
С.МЭ30Н \
Г. ЦИММЕРМАН
ЭЛЕКТРОННЫЕ ЦЕПИ,
СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ
ELECTRONIC CIRCUITS,
SIGNALS, AND SYSTEMS
SAMUEL J. MASON
Professor of Electrical Engineering
HENRY J. ZIMMERMANN
Professor of Electrical Engineering
JOHN WILEY & SONS, INC., 1960
NEW YORK-LONDON
С. М Э 3 О Н И Г. ЦИММЕРМАН
ЭЛЕКТРОННЫЕ
ЦЕПИ,
СИГНАЛЫ
и
СИСТЕМЫ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Канд. техн, наук А. А. СОКОЛОВА
и И. В. СОЛОВЬЕВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
проф. П. А. ИОНКИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 963
Монография посвящена вопросам общей теории прохождения
сигналов через электронные схемы. В книге обстоятельно изло-
жены современные методы анализа цепей (топологического и
матричного), расчет величины передачи сигнала с помощью ли-
нейных графов, методика исследования импульсных сигналов и
их спектров, рассмотрена работа систем с нелинейной отрица-
тельной обратной связью.
Книга может служить ценным пособием для инженерно-тех-
нического персонала самых различных отраслей промышленно-
сти, связанного с разработкой и проектированием электрических
и электронных устройств, а также для научных работников,
аспирантов, преподавателей и студентов высшей школы.
Редакция литературы по вопросам техники
Предисловие редактора
Среди некоторых кругов инженеров, преподавателей и научных
работников существует мнение, что теория линейных электрических
цепей полностью разработана и окончательно установилась, что в этой
области возможны только небольшие частные улучшения, и новые
наиболее ценные достижения современной электротехники заключаются
главным образом в разработке новых электронных и транзисторных
схем.
В действительности же в настоящее время электротехника пере-
живает период как бы „второго рождения", когда развитие новых
плодотворных направлений, принципов и важных закономерностей
происходит еще более бурно, нежели во времена Ампера, Кирхгофа,
Фарадея, Ленца и Петрова.
В те времена после установления основных законов электриче-
ских цепей электротехника применялась для решения относительно
простых задач связи. Затем возникло очень важное направление —
электротехника сильных токов — электроэнергетика.
В течение последних приблизительно пятнадцати лет появились
новые направления, а именно анализ прохождения сигналов через
линейные и нелинейные пассивные и активные электрические цепи и
синтез электрических цепей, создающих заданные формы выходных
сигналов при известных формах входных сигналов.
Теория различных видов модуляции, первоначально разработанных
в радиотехнике, в процессе развития телеизмерений, телеуправления
и вычислительных машин оказалась лишь начальным этапом теории
кодирования, обработки данных и теории информации.
В связи с развитием автоматики и вычислительных машин коли-
чественные и качественные усложнения электрических и электронных
цепей настоятельно потребовали разработки новых методов расчета,
поскольку непосредственное применение законов Кирхгофа и эквива-
лентных схем оказалось чрезвычайно громоздким и трудоемким при
6
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
решении многих задач, возникающих в современной практике. Однако
подобные задачи оказываются не настолько сложными, чтобы было
целесообразно решать их с помощью электронных вычислительных
машин, но в то же время такие задачи достаточно громоздки, когда
их решают методами, непосредственно основанными на законах Кирх-
гофа. Задачи такого рода можно более просто решать матричным
методом.
В отечественной литературе имеются фундаментальные работы
(Л. Д. Кудрявцева, Э. А. Мееровича, Э. В. Зеляха, В. А. Тафта,
В. П. Сигорского и др.) в области применения матричного метода и
основ топологического анализа электрических цепей. Однако при боль-
шом числе узлов или контуров в анализируемой схеме расчеты опре-
делителя неопределенной матрицы и ее алгебраических дополнений
становятся громоздкими.
В нашей стране выполнены математические исследования в области
топологии, пользующиеся мировой известностью (Александров, Понт-
рягин и др.). Эти работы относятся к общим основам топологии, но
в них, естественно, не было сделано специального изучения тополо-
гии электрических схем.
Топологический метод, тесно связанный с матричным, новые поня-
тия унистора, тиристора, гиратора, топологические понятия пути,
контура, петли и их передач, операции исключения, расщепле-
ния и растяжения узлов схем и составление линейных графов дают
возможность достигнуть очень большой экономии времени при рас-
четах. Во многих случаях топологический метод позволяет по виду
анализируемой схемы непосредственно написать уравнения передачи
тока, напряжения, а также выражения входного, выходного и пере-
дающего сопротивлений.
Книга Мэзона и Циммермана посвящена указанным выше новым
направлениям в электротехнике.
В первых пяти главах очень кратко рассматривается матричный
метод и более подробно излагаются топологические методы, главным
образом метод графов. Каждое новое положение иллюстрируется
примером расчета, что значительно облегчает читателю усвоение мате-
риала книги. В конце каждой главы приведены задачи, часто встре-
чающиеся в современной практике.
В последних четырех главах, представляющих основное содержа-
ние книги, с помощью спектральных методов изложено прохождение
периодических, импульсных и случайных сигналов через линейные
и нелинейные цепи и через цепи с параметрами, изменяющимися во
времени. Анализ последней задачи охватывает также исследование раз-
личных видов модуляции, кодирования и систем с обратной связью.
Несмотря на большой объем книги, в ней совершенно нет повто-
рений. ^Снига написана очень лаконичным языком, материал изложен
последовательно и систематически с единой точки зрения. Во всей
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
7
КИИ1 е применяются топологические методы анализа поставленных
задач.
Книга явится ценным пособием для преподавателей, инженеров,
аспирантов и студентов старших курсов. Эта книга ценна также и
тем, что она представляет собой введение к курсам теории инфор-
мации и обобщенных систем с обратной связью типа самонастраи-
вающихся и самообучающихся машин.
Существенно, что материал книги позволяет исследовать работу
блоков этих систем в условиях статистических помех и дает возмож-
ность проектировать корреляторы этих помех (корреляционные функ-
ции рассмотрены в книге достаточно подробно).
Наряду с положительными моментами книга имеет некоторые не-
достатки. В ряде мест лаконичность изложения чрезмерна, например
при описании гиратора. Введение к каждой главе не всегда оправ-
дано. Не даны выводы основных топологических уравнений и не даны
ссылки- на работы, где эти выводы сделаны. Объем глав крайне не-
равномерен.
Вопросы синтеза цепей в данной книге непосредственно не изла-
гаются, но ее содержание будет весьма полезно и для применения
в этой области.
Следует заметить, что применения топологических расчетов не
исчерпываются указанными выше направлениями. Например, про-
граммирование вычислительных машин радикально упрощается при
введении топологических методов.
Значительная часть материала, изложенного в книге, не была опу-
бликована на русском языке. В связи с этим при переводе книги
вознйкли некоторые терминологические трудности. Возможно, что
некоторые термины несовершенны и могут быть улучшены. Не суще-
ствует отдельных терминов для определителя матрицы и топологиче-
ского определителя; в тексте везде указано, какой именно определи-
тель рассматривается в данном месте. Первые пять глав книги пере-
ведены А. А. Соколовым, а остальные четыре главы — И. В. Соло-
вьевым.
П А. Ионкин
Для заметок
Из предисловия авторов
Изучение электронных схем, сигналов и систем основано на мно-
жестве моделей, предназначенных для облегчения применения матема-
тических методов к техническим задачам. Законы физики позволяют
составить (учитывая движение зарядов) модели, с помощью которых
можно объяснить условия на зажимах электронных цепей и их эле-
ментов, таких, как сопротивления, дроссели, конденсаторы, диоды,
транзисторы и электронные лампы. Из физических моделей и зави-
симостей, получаемых на зажимах реальных схем, можно составить
схемы замещения, которые приводят к простым цепям, способным
осуществлять основные операции или функции. Такие операции, как
усиление, сложение, умножение и задержка во времени, являются
элементарными, и из соответствующих этим операциям элементарных
блоков можно построить более общие системы. Вообще система пред-
ставляет собой устройство для сигналов или обработки данных и
обычно составляется из элементарных моделей или блоков, выпол-
няющих основные операции.
Основой для этой книги служит теория электронных схем, бази-
рующаяся на элементарной линейной теории электрических цепей,
дополненной понятием управляемого источника (действующего в каче-
стве одного из основных элементов цепи). Для решения нелинейных
задач введен идеальный диод в качестве элемента схемы. Эти два
элемента совместно с сопротивлениями, индуктивностями, емкостями
и независимыми источниками дают возможность синтезировать модели
электронных устройств и цепей. Эти основные схемы, составляемые
из управляемых элементов, применяются для выполнения основных
операций: линейного усиления, формирования, генерации волн задан-
ной формы и модуляции. Во всех случаях соответствующие функции
отображаются аналитически с помощью простых форм волн и про-
стых схем. Почти все эти функции содержат нелинейные операции,
осуществляемые или при помощи квадратичной, или кусочно-ломаной
аппроксимации.
10
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
В настоящей книге излагаются методы, пригодные для анализа
более общих цепей с более сложными сигналами. Эти методы обра-
зуют введение в теорию систем. В частности, в гл. 2—5 изложены
матричные и топологические методы анализа цепей и методы „графов".
В гл. 6 излагается теория Фурье и ее применение для описания сиг-
налов, включая случайные процессы. В гл. 7 описаны схемы усили-
телей, иллюстрирующие прохождение сигналов через линейные системы
с помощью преобразований и свертки в качестве основных матема-
тических средств. В гл. 8 изложенный выше материал применяется
к нелинейным и нестационарным линейным системам. В гл. 9 анали-
тические и топологические методы применяются к простым системам
с отрицательной обратной связью.
Источники, история, развитие и дальнейшие исследования и общая
информация по теории цепей, а также анализ сигналов, теории систем
и теории связи читатель может найти в следующей краткой библио-
графии.
1. Black Н. S., Modulation Theory, Van Nostrand, New York, 1953.
2. Боде Г., Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью,
ИЛ, М., 1948.
3. Cauer W., Synthesis of Linear Communication Networks, Vol. I, II,
McOt w-Hill, New York, 1958.
4. Cherry C., On Human Communication, Technology Press, Cambridge,
and John Wiley, New York, 1957.
5. D a v e n p о r t W. B., R о о t W. L., An Introduction to the Theory of Sig-
nals and Noise, McGraw-Hill, New York, 1958.
6. Feller W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications,
Vol. I, John Wiley, New York, 2-nd. ed., 1957.
7. Гарднер M. Ф., Б э p н с Д ж. Л., Переходные процессы в линейных
системах, Гостехиздат, М., 1949.
8. G u 111 е m 1 n Е. A., The Mathematics of Circuit Analysis, John Wiley,
New York, 1949.
9. Ламповые усилители, ред. Сушкевич, „Советское радио*, 1950, 1952.
10. V a n D е г Р о 1 В., В г е m m е г Н., Operational Calculus, Based on the
Two-sided Laplace Integral, Cambridge University Press, 1955.
11. Zimmermann H. J., Mason S. J., Electronic Circuit Theory, Devices,
Models and Circuits, John Wiley, New York, 1959.
Глава первая
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Цепи, сигналы и системы
Электронные системы можно определить в широком смысле как
совокупности цепей, через которые проходят сигналы. Сигналами
могут быть токи или напряжения. Однако если в системе применяются
датчики, то сигналы могут представлять другие физические перемен-
ные. Различие между цепями и системами в большей степени зависит
от точки зрения, чем от их сложности. Например, простая /?С-цепь
представляет собой элементарную систему, через которую проходит
сигнал/ Понятие „система" связано с операционными функциями или
с соотношениями между входными и выходными величинами. Поня-
тие „цепи" связано с определением токов и напряжений в ветвях или
контурах. В теории систем изучается прохождение или преобразова-
ние сигналов, а в теории цепей рассматриваются способы реализации
схем, выполняющих заданные функции.
Точно так же, как построение теории цепей основывается на
идеальных элементах схем (которые эквивалентны физическим устрой-
ствам), построение теории систем основано на идеальных элементах,
представляющих заданные функции систем. Для реального проекти-
рования систем необходимо знать возможности и ограничения схем.
Однако можно изучать системы, основываясь на идеальных элементах,
независимо от их физической реализации.
1<2. Прохождение сигналов и их
преобразование
Сигналы представляют собой физические средства, передающие
сообщения. Поскольку электрические сигналы наиболее удобны,
их передача используется почти во всех отраслях промышленности.
12
ГЛАВА 1
Система, передающая сигналы, должна сохранить их и правильно
воспроизвести. Обычные системы связи представляют собой всем
известные примеры.
В системе, преобразующей сигналы информации, получается новое
сообщение. Таким образом, цифровая вычислительная машина исполь-
зует большое число входных сигналов, чтобы получить результат,
зависящий от входных величин, но одновременно полностью отли-
чающийся от каждой из них с точки зрения содержащейся информа-
ции. Из фиг. 1 видно, что передачу сигнала можно рассматривать
и, о
•ои2
и, о
б
Фиг. 1. Системы передачи и преобразования сигналов.
как частный случай преобразования, поскольку при передаче сигнала
существуют линейные соотношения между входными и выходными
величинами. При преобразовании сигналов могут существовать любые
функциональные соотношения между входными и выходными величи-
нами. Ниже будет показано, что преобразование сигналов с помощью
линейной системы эквивалентно передаче с помощью нескольких си-
стем, включенных параллельно, каждая из которых способна пере-
давать сигналы на различной частоте.
1.3. Эквивалентные схемы
Анализ системы и их проектирование облегчаются при использо-
вании моделей с идеальными элементами. Вообще элементы систем
выполняют функциональные операции над сигналами. Типовыми при-
мерами таких операций служат усиление, интегрирование, задержка
во времени, сложение и умножение. Эти идеальные математические
операции можно с высокой степенью точности отобразить физически
реализуемыми схемами.
Усилитель звуковой частоты представляет собой передающую
систему, выполняющую только одну функцию усиления. Можно пред-
ставить весь усилитель одним блоком (фиг. 1, а), что следует рас-
сматривать как абстракцию по сравнению с реальной схемой усили-
ВВЕДЕНИЕ
13
теля. На фиг. 2, а показана схема интегратора Миллера; скелетная
схема этого устройства приведена на фиг. 2, б и представляет собой
идеальный интегратор, за которым включен идеальный усилитель.
Поскольку элемент системы может быть идеализацией любой реаль-
ной схемы, выполняющей одну и ту же функцию, то схема, изобра-
женная на фиг. 2, б, является более общей, чем схема на фиг. 2, а.
б
Фиг. 2. Схема Миллера и идеальный интегратор.
1.4. Методы анализа
Методы анализа и синтеза цепей, сигналов и систем можно раз-
делить на различные категории. Хотя эти методы несколько связаны
между собой, но их следует изучать более или менее независимо
один от другого.
В гл. 2 излагаются методы матричной алгебры, представляющей
собой формальные операции над линейными уравнениями. Хотя мат-
рицы применяются редко в остальных главах книги, однако некото-
рое знакомство с ними необходимо.
В гл. 3 изложен топологический метод анализа схем, основы
которого предложены Кирхгофом. Этот метод хорошо раскрывает
свойства схем. Преимущество топологического метода состоит в том,
что при расчетах требуется применять лишь два этапа, т. е. сфор-
мулировать задачу и получить решение непосредственно из этой фор-
мулировки.
14
ГЛАВА 1
Несмотря на то что читатель уже знаком с обычными методами
анализа цепей, применение топологических законов представляет опре-
деленный интерес, поскольку оно основано на других принципах.
Доказательство топологических законов упрощается с помощью при-
менения матриц.
В гл. 4 рассматриваются топологические методы анализа систем.
Каждая ветвь графа означает передачу или соотношение между двумя
переменными (причина—следствие). Это соответствует характеристике,
связывающей вход с выходом системы, следовательно, граф предста-
вляет собой графическое изображение системы. Подобно топологи-
ческому методу анализа цепей, метод графов непосредственно дает
решение из структуры самих графов.
Примеры применения графов для решения различных задач элек-
тронных схем приведены в гл. 5. Любую из этих схем можно рас-
сматривать как „систему".
В гл. 6 изложены методы Фурье, представляющие собой основу
анализа сигналов. Рассматривается также принцип корреляции для
унификации анализа периодических, импульсных и случайных сигна-
лов. Хотя анализ сигналов тесно связан с анализом цепей, однако
математические методы, представленные в этой главе, резко отли-
чаются от методов, изложенных в предыдущих главах. Можно ска-
зать, что в гл. 2—5 используется алгебра, а начиная с гл. 6 — выс-
шая математика.
В гл. 7 рассмотрено прохождение сигналов через линейные си-
стемы. Эти системы относительно просты, но используемые методы
общие и могут быть применены к более сложным системам. Расчет
реакции системы на заданный входной сигнал непосредственно связан
с математическими методами анализа сигналов.
В гл. 8 показано применение линейных методов для расчета не-
линейных систем и нестационарных линейных систем. Описанные здесь
функции модуляции являются общими, а многочисленные примеры
показывают, что существует много возможностей для преобразования
сигналов.
В гл. 9 дано краткое понятие об отрицательной обратной связи,
представляющей собой основу для проектирования систем автомати-
ческого регулирования. Как и в гл. 8, используются линейные методы
для квазилинейного анализа систем, которые в действительности не-
линейны.
ЗАДАЧИ
1.1. Составить простую схему из активных сопротивлений, выходное на-
пряжение которой равно среднему из мгновенных значений двух или боль-
шего числа приложенных напряжений.
1.2. Через конденсатор пропускается ток от идеального источника тока,
создающий на нем напряжение, пропорциональное интегралу тока. Включить
ВВЕДЕНИЕ
15
параллельно емкости С, сопротивление R и определить ограничения, нало-
женные на операцию интегрирования (форма тока, длительность интегриро-
вания и т. д.), при этом величина напряжения на конденсаторе не должна
отличаться от точного значения интеграла более чем на 1%.
1.3. Построить блок-схему пентодного усилителя с анодной нагрузкой
в виде параллельного соединения элементов RCL. Предполагается линейный
режим работы.
1.4. Начертить по крайней мере три реальные системы, схемы которых
аналогичны полученной в задаче 1.3 и с теми же соотношениями между
входными и выходными переменными.
1.5. Построить блок-схему системы, преобразующей синусоидальную
кривую в приблизительно квадратную волну.
1.6. Начертить диаграммы, показывающие функции, выполняемые при
работе радиопередатчика и приемника.
1.7. Начертить блок-гсхему, представляющую линейное дифференциальное
уравнение второго порядка
1.8. Начертить блок-схему цепи, при расчете которой используется опре-
делитель второго порядка.
1.9. Начертить блок-схему устройства, которое вычисляет произведение
двух сигналов, используя только линейные системы элементов и элементы,
возводящие в квадрат. Выходной сигнал такого элемента пропорционален
квадрату мгновенного значения входной величины. Напоминаем, что
(*+У)2 —(* —У)2 = 4*У-
1.1Э. Схема, изображенная на фиг. 3, иногда применяется для электри-
ческого моделирования соотношения между углами входного и выходного
валов механического редуктора с люфтом. Объяснить действие этой схемы.
Начертить блок-схему этой системы.
Глава вторая
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ
ЦЕПЕЙ
2.1. Введение
Решение задач линейной теории цепей (и многих других, описы-
ваемых системами линейных алгебраических уравнений) можно выпол-
нить в компактной форме с помощью матричной алгебры. Матричные
обозначения не исключают необходимости выполнения численного
решения задачи, но позволяют ее формулировать единым методом
с определенной последовательностью операций для арифметического
расчета.
В этой главе изложены основы матричной алгебры, применяемые
для описания и анализа линейных электрических или электронных
цепей.
Матрица представляет собой совокупность элементов, записан-
ных в виде прямоугольной таблицы. Ее можно обозначить одним
символом, который заменяет всю совокупность элементов, записанных
в двумерной форме.
Различные способы записи матрицы А показаны в уравнении (1)
А1 Аг Аз
Ai Аг Аз
А1А2А3
- А1 АгАз -
А1АгАз
А1А2А3
(О
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
17
Матрица определяется числом ее строк и столбцов, например
прямоугольная матрица, записанная в форме (2), имеет 3 строки и
2 столбца
Ai Л12 .
А1 Аг •
- А1 А2 J •
3 строки.
(2)
2 столбца
Отдельные элементы матрицы обычно обозначаются двойными
индексами: первым индексом обозначается номер строки, а вторым —
номер столбца. Строки нумеруются сверху вниз, столбцы нумеруются
слева направо. Так, например,
Ajk обозначает элемент /-й строки и А-го столбца матрицы. (3)
Квадратная матрица имеет число строк, равное числу столб-
цов, например
[Лц Л19
А А • (4)
Л21 л22 J
Диагональная матрица имеет элементы, отличающиеся от нуля
только на главной диагонали, идущей из верхнего левого угла в ниж-
ний правый угол. Очевидно, что в диагональной матрице элементы,
расположенные на главной диагонали, имеют одинаковыми оба индекса
(jb каждом таком элементе). Чтобы избежать двойных индексов, иногда
применяют для диагональных матриц только один индекс, например
'Лп 0 0 ' Аг 0 О'
0 Л22 0 или 0 Л2 0 (5)
- о 0 Л33 _ .0 0 Л3.
Треугольная матрица имеет все элементы под главной диаго-
налью или над ней равными нулю
Ai Аг Аз Ai 0 0 '
0 ^22 Аз или Ai ^22 0 (6)
. 0 о Аз - - Ai ^32 Аз -
Строчная матрица (матрица-строка), или строчный вектор,
имеет только одну строку, например
[Лп Л12 Л13] или [Ах А2 А3]. (7)
2 Зак 1115.
18
ГЛАВА 2
Столбцовая матрица (матрица-столбец), или столбцовый век-
тор, имеет только один столбец, например
Ai
Ai
- А1 -
или
’А"
А
L А31
Строчные и столбцовые матрицы называются векторами по аналогии
между элементами матрицы и компонентами вектора. Однако вектор
представляет собой специальное математическое понятие с опреде-
ленными свойствами, связанными с направлением вектора. Говоря
о векторе строки или столбца, мы этим не придаем указанным вели-
чинам какой-либо геометрический смысл, а лишь обозначаем одно-
размерную совокупность произвольных элементов.
У единичной матрицы все элементы, расположенные на глав-
ной диагонали, равны единице, а все остальные равны нулю, например
(9)
В нулевой матрице каждый ее элемент равен нулю
(10>
Формально две матрицы можно сравнивать между собой только
в том случае, если они имеют одинаковое число строк и столбцов.
Для того чтобы можно было сравнивать между собой матрицы раз-
личных порядков, прежде всего приводят их к одному и тому же
порядку путем добавления недостающих строк или столбцов нулями
у той матрицы, порядок которой ниже.
Например, матрицу-столбец можно преобразовать в квадратную
матрицу следующим образом:
А1 О
Ai - . Ai о
(И)
Аналогично матрицу-строку преобразуем в квадратную матрицу
Г Ai
Ми Аг) -> [ J
Аг 1
0 J
(12)
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
19
Другим примером изменения вида матрицы является
4„ Л12 О О
, ' -> Л2 О О
121 ^22j ООО
(13)
2.2. Матричные операции
Математические операции с матрицами аналогичны алгебраическим
законам, которым подчиняются действия с числами или с буквенными
обозначениями.
Две матрицы называются равными, если равны их соответствую-
щие элементы. Очевидно, две матрицы не равны, если число их строк
или столбцов неодинаково.
Итак, матрица А равна матрице В, или А = В, если
Ajk — Bjk для всех j и k. (14)
Сложение двух матриц состоит в сложении их соответствующих
элементов
A-j-B = C означает, что Ajk-\-Bjh — C-k. (15)
Умножение матрицы на скаляр эквивалентно умножению каждого
элемента данной матрицы на этот скаляр. (Скаляр — это обычное
число, которое можно рассматривать как матрицу, имеющую одну
строку и один столбец.)
срД = В означает, что срД;Л = ВуЛ. (16)
Когда матрицы приравниваются, складываются или умножаются
на скаляр, они имеют точно такие же свойства, как и обычные
числа.
Однако умножение одной матрицы на другую выполняется по
специальным правилам линейных алгебраических преобразований.
Произведение АВ представляет собой другую матрицу С, каждый
элемент которой Cjk определяется как сумма произведений элемен-
тов, взятых из матриц А и В.
Произведение АВ = С означает, что
= (17)
т
Для того чтобы найти элемент Cjk j-й строки и k-го столбца произ-
ведения двух матриц, необходимо выделить j-ю строку первой
матрицы и Л-й столбец второй. Далее нужно поместить эту строку
2*
20
ГЛАВА 2
и столбец рядом, перемножить смежные элементы и сложить эти
произведения, как указано на фиг. 1, а. Матрицы произведения по-
казаны на фиг. 1,6. Заметим,’ что произведение АВ получается
6
Фиг. 1. Умножение матриц.
умножением В на Я слева или умножением А на В справа и имеет
количество строк, как у матрицы А, и число столбцов, как у ма-
трицы В. Более того, произведение матриц только тогда имеет смысл,
если число столбцов матрицы А и число строк матрицы В равны.
Это условие называется „совместимостью". На фиг. 1,6 показаны
матрицы А и В, а также их произведение С.
Из уравнений (14) — (17) следует, что матрицы подчиняются всем
основным законам элементарной алгебры, за исключением перемести-
тельности при перемножении. Эти законы можно перечислить и за-
писать кратко в следующем виде:
сочетательность сложения (Я-{-В) + С== Л + (В Н~С), (18)
переместительность сложения А-\- В==*В-\- А, (19)
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
21
распределительность умножения А(В-\~С) = АВ + АС, (20)
сочетательность умножения (АВ) С es А (ВС), (21)
переместительность умножения АВ ф В А, (22)
умножение на единичную матрицу 1А==А1 = А. (23)
Неприменимость закона переместительности к перемножению ма-
триц видна из уравнения (17); кроме того, можно получить допол-
нительные пояснения из фиг. 2. Умножение матрицы-столбца на мат-
рицу-строку дает квадратную матрицу, а умножение матрицы-строки
РЧ 1В1в2] = Г^1
L Д2 J L А2В^ А2В2 J
[Столбцовый вектор] х [Строчной вектор] =»
== [Квадратная матрица]
на матрицу-столбец дает скаляр, который называется иногда внутрен-
ним произведением двух векторов.
Сочетательный закон при перемножении (21) нуждается в неко-
торых пояснениях, поскольку он не сразу становится ясным из урав-
нения (17). Соотношение (17) позволяет непосредственно получить
произведение трех матриц
ABC = D, что означает 2 AjmBmnCnk — Djk- (24)
т, п
22
ГЛАВА 2
При этом закон сочетательности означает, что не имеет значения,
как осуществлять суммирование: по индексу т или по индексу п.
Транспонирование матрицы выполняется с помощью перестановки
тех пар элементов, которые представляют собой зеркальные изобра-
жения относительно главной диагонали. Другими словами, для полу-
чения транспонированной матрицы необходимо исходную матрицу
перевернуть относительно главной диагонали и записать в такой
форме:
А = Bt, т. е. Ajk = Bkj. (25)
Прежде чем транспонировать неквадратную матрицу, очевидно, нужно
сначала преобразовать ее в квадратную, как это показывают урав-
нения (11) и (12). Из уравнения (17) видно, что транспонированное
произведение двух матриц равно произведению транспонированных
исходных матриц, взятых при перемножении в обратном порядке
(AB)t = BtAt. (26)
Операция деления матриц неопределенна, потому что для пере-
множения матриц несправедлив закон переместительности. Как пони-
мать частное от двух матриц А)В7 Нужно ли результат понимать
как АВ~Х или как В-1Д? Учитывая уравнение (22), результат мо-
жет быть различным. Можно, однако, дать такое определение ма-
трицы В"1, что получается вполне определенная последовательность
операций при делении матриц.
Обратная матрица А = В~Х означает, что АВ = 1. (27)
Чтобы найти обратную матрицу А по данной матрице В, необхо-
димо определить элементы матрицы А таким образом, чтобы произ-
ведение АВ было равно единичной матрице. Если каждая из матриц А
и В имеет п строк и п столбцов, то матричное уравнение АВ = 1
содержит п2 обычных уравнений, которые вообще могут быть решены
для числа п2 неизвестных элементов. Матрица, обратная неквадрат-
ной, не может быть найдена, что становится ясным при попытке
получить единственное решение соответствующих уравнений. Методы
получения обратной квадратной матрицы будут рассмотрены далее
в этой главе. Приведем здесь только определение обратной матрицы
в виде
ДД’1 ® А~хА?е=1 для квадратной матрицы Д. (28)
Одно важное свойство состоит в том, что обратная матрица
произведения двух матриц равна произведению их обратных матриц,
взятому в обратном порядке:
ДВ’1=яЯ"14"1. (29)
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
23
Соотношение (29) можно легко доказать путем умножения обеих
частей равенства (29) на произведение АВ, При этом левая часть
становится равной единичной матрице по определению, а правая
часть становится такой же после применения соотношений (21) и (23).
Матрица, обратная диагональной матрице, получается очень легко,
поскольку произведение двух диагональных матриц равно произве-
дению соответствующих элементов.
При этом
А = В'1 означает, что Луу==-^. (30)
Как увидим далее, очень полезным способом получения обрат-
ной квадратной матрицы служит предварительное преобразование
ее в диагональную форму с помощью определенных элементарных
преобразований.
2.3. Матричное представление системы
линейных уравнений
На фиг. 3 приведены две системы линейных уравнений. Первая
пара уравнений содержит переменные zx и z2, выраженные через yt
и у2. Если величины коэффициентов ап, а12, а21, а22 известны, то
21 = ЛцУ1 + Л12У2, У1 = ^11-**1 4* &12-*2»
Z4= Я21У1 +а22У2’ У2==^21-*‘14"^22-*>2»
Г2‘1_ Ган fli2j ГУ|1 рЧ Г*и ^,2j р
1^2 J La2l fl22J 1Уг] ЬУг J 1^21 ^22J 1-^2.
z — ay, y — bx
z — a (bx) = ab(x)
или
z=cx, где c = ab.
Фиг. 8. Линейные преобразования.
можно вычислить значения zx и z2 для любых величин yj и у2.
Можно сказать, что квадратная матрица представляет собой преобра-
зование вектора у в новый вектор z. Аналогично вторая пара урав-
нений фиг. 3 представляет преобразование вектора х в вектор у.
Матричные обозначения очень удобны для выполнения последо-
вательности таких операций. Преобразование х в у и затем в z
может быть выполнено в виде одного преобразования с, связываю-
щего х с z, как показано на фиг. 3. Такое преобразование пред-
ставляет собой перемножение матриц.
24
ГЛАВА 2
Рассмотрим теперь одну систему линейных уравнений, которую
можно записать в виде одного матричного уравнения
у = ах. (31)
Предполагается, что матрица а известна, тогда как векторы х и у
представляют собой переменные, связанные указанным матричным
уравнением. Когда задана матрица х, можно вычислить у непосред-
ственно путем перемножения матриц. Положим, например, что
задана у и нужно найти соответствующую матрицу х. Это означает,
что нужно решить систему линейных алгебраических уравнений для
неизвестных величин х2............ хп, выражая их через заданные
значения у2, ..., уп, причем коэффициенты ajk известны. В этом
случае матричные обозначения очень удобны. Умножим обратную
матрицу коэффициентов на обе части уравнения (31), в результате
получим
а~ху = а~х (ах) = 1х = х. (32)
Отсюда видно, что искомые величины х задаются явно с помощью
матричного уравнения
х = (33)
Для решения последнего уравнения необходимо найти матрицу,
обратную матрице а. Другими словами, решение системы линейных
алгебраических уравнений и получение обратной матрицы представляют
собой аналогичные задачи. Матрицы позволяют нам выразить системы
линейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных
в очень простой символической форме. Матричные уравнения дают
удобную последовательность операций для получения требуемых ре-
шений.
2'4. Некоторые свойства определителей
Обратную матрицу можно вычислить посредством комбинации
элементов этой матрицы, выполненной определенным способом.
Вместо того чтобы сразу написать уравнения, позволяющие опреде-
лить элементы обратной матрицы из заданной матрицы, целесообразно
ввести величину, называемую определителем матрицы. Обратная ма-
трица может быть затем выражена через определитель и другие
величины, получаемые из него. Определитель Д матрицы а обычно
обозначается двумя вертикальными линиями, охватывающими сово-
купность матричных элементов
Лц
а21
а12 а13
а22 а23
(34)
#31 #32 ^33
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
25
Определитель А матрицы а выражается в виде равенства
Д = S аиа2/аЗА ... апг (35)
В этом выражении суммирование производится при всех перестанов-
ках индексов столбцов Z, J, k, ..., г, причем знак каждого слагае-
мого положителен (отрицателен) для четного (нечетного) числа
Фиг. 4. Определитель и его четыре алгебраических дополнения.
перестановок смежных индексов столбцов, необходимых для получе-
ния данной перестановки из натурального ряда чисел 1, 2.......п.
Например,
и
а\\ а12
а21 а22
— ^11^22 а12а21
(36)
аи а12 а13
#21 #22 Л23 — а\\а22а33 а]1а23а32 4“ #13#21а32 —
а™ а\За22аЗ\ + а\2а23а3\ а\2а2\а33‘ ($?)
О! 3/ <53
В уравнении (37) перестановки индексов столбцов следующие: 123,
132, 312, 321, 231, 213—и каждая перестановка отличается от пре-
дыдущей одной перестановкой смежных индексов столбцов.
Алгебраическое дополнение любого элемента ajk можно опреде-
лить в виде
Дм=-^-. (38)
Другое эквивалентное определение алгебраического дополнения сле-
дующее:
АуЛ=определителю А, полученному после вычеркивания /-Й строки и
&-го столбца, умноженному на (—(39)
Например, алгебраическое дополнение элемента в уравнении (37)
точно равно определителю (36). Другие примеры даны на фиг. 4.
26
ГЛАВА 2
Определение алгебраического дополнения очень удобно для груп-
пировки членов полного выражения определителя. Такая группировка
называется разложением определителя на алгебраические дополнения
Д = 2 Ujk ^jk == 2 ajk ^jk- (40)
Уравнение (40) указывает, что определитель матрицы равен сумме
произведений элементов вдоль любой строки (или столбца) на их
алгебраические дополнения. Поскольку алгебраическое дополнение
представляет собой величину типа определителя, то каждое алге-
браическое дополнение можно в свою очередь разложить по эле-
ментам его строки или столбца аналогичным методом. Такое разло-
жение очень удобно для числовых расчетов определителей, так как
оно уменьшает число необходимых арифметических операций Напри-
мер, разложение по второму столбцу дает:
«П «12 «13
#21 а22 ^23
«31 «32 «зз
— — #12 (Л21а33 #31а2з) а22 (а11 а33 Л31Л1з)
а32 (а 11а23 #21а1з)*
(41)
Из выражений (37) и (41) следует, что хотя число действий сложе-
ния и вычитания одно и то же, но требуемое число действий умно-
жения уменьшается с двенадцати до девяти. Если число строк и
столбцов в матрице возрастает, то экономия труда на расчеты при
применении разложения на алгебраические дополнения становится
намного больше.
Из уравнения (40) можно сделать очень интересные выводы.
Например, умножение определителя на скаляр эквивалентно умноже-
нию элементов любой строки или любого столбца матрицы на этот
скаляр. Из уравнения (40) и из того, что разложение применимо
к алгебраическому дополнению так же, как к определителю, сле-
дует, что определитель треугольной матрицы равен произведению ее
диагональных элементов.
Изучение уравнения (35) выявляет интересные свойства опреде-
лителя. Перемена любых двух строк или столбцов матрицы изменяет
знак определителя. Следовательно, определитель матрицы, имеющей
две одинаковые строки (или столбца), .должен быть отрицательным
относительно его первоначальной величины. Этому свойству под-
чиняются только два значения: нуль и бесконечность. Отсюда следует,
что определитель становится равным нулю, когда две строки или
два столбца матрицы одинаковы. Такой же результат получается,
когда две строки или два столбца имеют соответственно пропорцио-
нальные элементы (поскольку такие строки или столбцы можно
заменить на пропорциональные посредством умножения на соответ-
ствующий скаляр определителя).
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
27
а b
Рассмотрим соотношение
a-\-kb b _
c-\-kd d cd
(42)
в котором второй столбец матрицы (в правой части) умножен на
величину k и прибавлен к первому столбцу матрицы (в левой части
равенства). Разложение на алгебраические дополнения по элементам
первого столбца матрицы левой части равенства даст одну группу
членов с постоянной k и другую — без нее. Из уравнения (40) оче-
видно, что члены, содержащие k, представляют собой результат
разложения на алгебраические дополнения с двумя пропорциональ-
ными столбцами. Следовательно, члены, содержащие k, не влияют
на величину определителя. Другими словами, определитель, показан-
ный в уравнении (42), не зависит от величины k и его можно при-
равнять нулю, чтобы получить такой же результат. Эти рассуждения,
конечно, имеют общий характер, и их можно выразить следующим
образом: величина определителя не изменяется, если любая строка
(или столбец) матрицы умножается на скаляр и суммируется с любой
другой строкой или столбцом.
Суммирование строк или столбцов может быть выполнено для
получения элементов определителя, равных нулю. Например, умно-
жение второго столбца на отрицательное значение отношения cfd и
алгебраическое суммирование результата с первым столбцом дает
а b
= ad — be.
(43)
с d
0 d
При получении указанным способом одного из элементов равным
нулю матрица становится треугольной, и, следовательно, ее величина
равна произведению элементов, расположенных на главной диаго-
нали. Приведение матрицы к треугольной форме очень полезно для
расчетов определителей матриц высоких порядков.
2.5. Составление обратной матрицы
Матричные обозначения позволяют непосредственно получить
обратную матрицу.
Если А — определитель матрицы а, а обратная матрица Ь~а~\
тогда
Д&/
Ь}к = -/> (44)
Таким образом, элемент обратной матрицы равен транспонирован-
ному алгебраическому дополнению соответствующего элемента исход-
ной матрицы, разделенному на определитель. Алгебраическое
28
ГЛАВА 2
дополнение матрицы представляет собой квадратную совокупность,
составленную из элементов Дд, а транспонирование соответствует
перестановке индексов, как показано в уравнении (44).
Для доказательства формулы (44) необходимо умножить матрицу а
на обратную матрицу b
z .ч v 1 V а Для j — b,
/J Zj &k/n { n , (45)
m m I О ДЛЯ J ф k.
При /, равном k, после выполнения суммирования получаем разло-
жение на алгебраические дополнения определителя Д. Если J не
равно k, то суммирование эквивалентно разложению определителя,
в котором строки j и k одинаковы. Следовательно, элементы ма-
трицы произведения ab. находящиеся на главной диагонали, равны
единице, а все остальные элементы равны нулю. Таким образом,
произведение матрицы а на матрицу Ъ дает в результате единичную
матрицу, с помощью которой и устанавливается обратное соотноше-
ние между матрицами а и Ь.
В качестве примера рассмотрим определение обратной матрицы
второго порядка, имеющей элементы a, b, с, d:
с d
ad — be
ad — be
1
ad — be
(46)
d — b '
— c
a
— c
a
Заметим, что в результате получили не алгебраическое дополнение
элемента Ь> а алгебраическое дополнение его транспонированной
величины с, которое появляется в правом верхнем углу обратной
матрицы.
Для определенных матриц очень легко получить обратные. Среди
них заслуживает внимания элементарная матрица вида
1 а b " 0 1 0 . 0 0 1 _ — 1 ' 1 — а — b ~ 0 1 0 _ 0 0 1 _
(47)
Эта матрица составлена из единичной матрицы, имеющей элементы,
не равные нулю только в одной строке или в одном столбце. Также
представляет интерес диагональная матрица вида
а 0 0 0 b 0 -00с. -1 -00 а о т 0 О 0 0 - е (48)
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
29
обратная матрица которой получается непосредственно в виде обрат-
ных величин элементов, расположенных на главной диагонали.
Простота преобразования диагональной матрицы в обратную при-
водит к выводу, что из произвольной квадратной матрицы можно
легко получить обратную, если предварительно преобразовать ёе
в диагональную форму. Рассмотрим произвольную матрицу А и
систему соответственно выбранных элементарных матриц
Л12, .... Мт так, что умножение матрицы А на элементарные ма-
трицы и умножение элементарных матриц на исходную матрицу А
дает диагональную матрицу D, Каждая элементарная матрица имеет
единичные элементы на ее главной диагонали, и, кроме того,
элементы, не равные нулю, имеются только в одной строке или
в одном столбце. Если матрица А имеет п строк и п столбцов, то,
чтобы привести ее к диагональной форме, необходимо выполнить
п—1 умножений этой матрицы на элементарные матрицы и п—1
умножений элементарных матриц на данную матрицу. Например, при
п = 3 имеем
MiM2AM3M4 = D,
Л141^з1А~1ЛЦ1МГ1 = О~1. (49)
Вторая форма уравнения (49) следует из равенства (29). Обратная
матрица Я”1 в данном случае выражается следующим образом:
A-i = M3M4D~iMlM2.
(50)
Рассмотрим применение
мере
элементарных матриц на конкретном
1 0 "I Г а
с 1
-------1 с
a J L
a b 1 1 Г 1
0
ad — be
а
1 0 I
cd 0
при-
(51)
(52)
В этом случае применяется только одно умножение элементарной
матрицы на заданную и одно умножение на другую элементарную
матрицу для приведения заданной матрицы в диагональную форму
[уравнение (51)]. Первая из указанных операций дает в правой части
уравнения (51) нуль в нижнем левом углу, а вторая операция дает
нуль в верхнем левом углу. Путем соответствующего выбора эле-
ментов элементарных матриц довольно просто получить нули для
недиагональных элементов произведения. Перемножение матриц в урав-
нении (52) дает результат, совпадающий с уравнением (46).
30
ГЛАВА 2
Как указано выше, элементарную матрицу можно рассматривать
в виде оператора, с помощью которого некоторая строка или стол-
бец матрицы умножается на скаляр, и затем это произведение сум-
мируется с некоторой другой строкой или столбцом. Следовательно,
произведение элементарной и произвольной матриц имеет тот же
самый определитель, как и сама исходная матрица. Более того, опре-
делитель элементарной матрицы равен единице. Поскольку любая
матрица может быть представлена в виде произведения диагональной
матрицы и элементарных матриц, то, следовательно, определитель
произведения матриц равен произведению их определителей. Это
положение настолько важно, что следует его записать в более на-
глядной форме
Определитель АВ = (Определитель А) (Определитель В). (53)
Полученное правило записано только для двух матриц, но его не-
трудно распространить на любое их число.
2.6. Матрицы узловых проводимостей
электрических цепей
Рассмотрим применение матричных методов для анализа электри-
ческих и электронных цепей. Составим уравнения узловых напряже-
ний. Узловые уравнения удобны для анализа электронных схем,
особенно при высоких частотах, на которых становится заметным
влияние межэлектродных емкостей. Анализ методом контурных токов
будет рассмотрен в гл. 5.
На фиг. 5 показаны простые электрические схемы, имеющие три
узла (один из которых заземлен и считается опорным, или базисным)
и три ветви с проводимостями а, b и с. Ветви показаны в виде
отрезков прямых линий (без указаний, какая из ветвей состоит из
сопротивления, емкости или индуктивности или комбинации из этих
элементов). Независимо от физической природы ветви полагаем, что
ее можно характеризовать одной комплексной проводимостью,
обозначенной здесь одной буквой. Такое схематическое представле-
ние цепи называется линейным графом.
Различные части цепи показаны отдельно на фиг. 5, б, в и г
вместе с уравнениями узловых проводимостей, устанавливающими
связь между токами ix и /2 и напряжениями vx и v2 на незаземлен-
ных электродах. Напряжение vx приложено к одной ветви фиг. 5, б
и вызывает ток iv направленный к первому зажиму, причем вели-
чина этого тока равна avx. Ток /2, очевидно, равен нулю для всех
конечных значений приложенных напряжений vx и v2. Таким обра-
зом, матрица проводимостей фиг. 5, б имеет только один ненулевой
элемент.
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
31
Когда одна ветвь включена между незаземленными зажимами,
как показано на фиг. 5, г, то проводимость этой ветви появляется
в четырех различных элементах матрицы проводимостей, так как
И
Фиг. 5. Уравнения узловых проводимостей некоторых простых электри-
ческих цепей.
изменение любого из приложенных напряжений или v2 будет
влиять на величины обоих токов 1Х и Z2.
Схема на фиг. 5, а может быть получена из схем фиг. 5, в и г
путем совмещения соответствующих узлов. Ток 1Х в цепи фиг. 5, а
равен сумме токов 1Х в цепях фиг. 5, в иг; то же можно сказать
относительно тока Z2. Если соответствующие напряжения те же самые
и соответствующие токи складываются, то матрица проводимостей
фиг. 5, а должна быть суммой матриц проводимостей схем фиг. 5, в
и г. Таким образом, матрица проводимостей всей цепи равна сумме
32
ГЛАВА 2
матриц проводимостей каждой части. Это справедливо, когда части
цепи представляют собой отдельные ветви или некоторые более
сложные их соединения, а полная схема получается при соединении
всех узлов, помеченных одними и теми же номерами. Говоря кратко,
такое соединение означает равенство напряжений и суммирование
токов в каждом узле, что соответствует сложению матриц проводи-
мостей.
Для произвольной цепи, имеющей п-|-1 узлов, один из которых
заземлен, можно написать следующие определения:
Матрица узловых
напряжений
, где vk — напряжение &-го узла. (54)
Матрица узловых
токов
где ik — внешний ток, напра-
вленный к #-му узлу. (55)
Напряжения и токи обозначаются, как показано на фиг. 6. Векторы v
и I связаны матрицей узловых проводимостей
Ун У12 ••• У1л
У21 У22 • • • У2л
(56)
_Ул1 Ул2 ••• Улл-
с помощью матричного уравнения
I =• yv, (57)
так что для каждого /-го узла
<58)
k
Другими словами, ток lj получается путем наложения токов, вы-
званных каждым из приложенных напряжений действующих от-
дельно. Следовательно, проводимость y^k может быть определена
с помощью опыта, в котором все приложенные напряжения, кроме
одного, принимаются равными нулю (соответствующие зажимы замк-
нуты накоротко). При этих условиях проводимость численно
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
33
равна отношению измеренного тока ij к приложенному напряже-
нию vk
1L
Vk
dij
dvk
(59)
Это уравнение представляет собой основное определение узловой
проводимости yjk. Такая величина иногда называется проводимостью
короткого замыкания, поскольку она измеряется при условии, когда
все узлы замкнуты на землю, кроме одного. При /, равном k, по-
лучается входная проводимость, так как измеряемый ток проходит
Г«+^+/
-/
b-\-d-\-f
-d
— е
— d
c-^d-^e
проводимостей
ветвей,
присоединенных к j-му узлу;
— отрицательная проводимость ветви, присоединенной между двумя различными
узлами j и k.
Фиг. 6. Матрица узловых проводимостей электрической цепи.
через тот же зажим, к которому приложено напряжение. При /, не
равном kt получается передающая проводимость. В этом случае из-
меряется отношение напряжения, приложенного к одному зажиму,
к току в короткозамкнутой цепи, присоединенной другим зажимом
к земле.
В качестве примера рассмотрим определение проводимости уп
и y2i на схеме фиг. 6. Для обоих случаев будем считать vx равным
единице и оба других узловых напряжения v2 и равными нулю,
так что источники напряжения v2 и v3 оказываются короткозамкну-
тыми, а второй и третий узлы заземленными. При заземленных втором
и третьем узлах ветви (проводимости) a, f и е присоединены па-
раллельно между первым узлом и землей. Следовательно, когда при-
ложено единичное напряжение т/р то ток 1Х численно равен сумме
3 Зак. 1115,
34
ГЛАВА 2
проводимостей a-\-e~\-f. Это выражение и представляет собой ве-
личину проводимости уп в верхнем левом углу матрицы проводи-
мостей. Чтобы найти проводимость у2Р необходимо только опреде-
лить величину тока короткого замыкания /2. При напряжении vp
равном единице, и при напряжениях v2 и v3, равных нулю, ток, на-
правленный из первого узла во второй узел через ветвь /, численно
равен проводимости ветви /. Так как напряжения v2 и v3 равны
нулю (сопротивления ветвей Ъ и d не равны нулю), то в ветвях b
и d токов нет. Следовательно, ток, входящий во второй узел через
ветвь /, идет на землю и возвращается в источник vv проходя через
источник v2. Так как направление этого тока противоположно выб-
ранному положительному направлению тока /2, то очевидно, что от-
ношение тока /2 к напряжению vx должно быть отрицательным
и равным по величине проводимости ветви /. Это дает нам значение
элемента у21 первого столбца и второй строки матрицы проводи-
мостей.
Таким образом, проводимости ветвей входят в матрицу прово-
димостей в определенном порядке, как указано формулами для вход-
ной проводимости ууу и для передающей проводимости у^к на фиг. 6.
Когда цепь полностью составлена из пассивных ветвей, как на фиг. 6,
то матрица проводимостей симметрична и, следовательно,
у = уР (У/* —У*р лля ветвей цепи. (60)
Уравнение (58) выражает принцип наложения, а уравнение (60) —
теорему о взаимности для пассивных линейных цепей.
2.7. Матрица узловых полных
сопротивлений
В предыдущем разделе рассматривались независимые источники
напряжений, присоединенные к цепи. Возникает вопрос, что будет,
если заменить их независимыми источниками токов, и каковы будут
после такой замены узловые напряжения. Чтобы решить эту задачу,
применим такие же понятия переменных токов и напряжений, как
и прежде, но теперь токи будут играть роль независимых перемен-
ных. Задача состоит в следующем: дана схема и присоединенные
к ней источники напряжений vp v2, ..., vn\ необходимо так уста-
новить величины этих напряжений, чтобы получить заранее заданные
величины токов /р /2, ..., 1п. Итак, решение состоит в определении
нескольких напряжений, при которых токи равны заранее заданным
величинам. Другими словами, электрический источник или генератор
может быть или источником тока, или источником напряжения, что
зависит от постановки задачи. (Если присоединить источник напря-
жения к схеме и установить величину напряжения, чтобы получить
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
35
заданную величину тока, тогда такой источник нельзя отличить от
источника тока.)
Решение уравнений для напряжений, выраженных через токи,
приводит к матрице узловых полных сопротивлений
Z11 ^12 * • • zin
Z21 ^22 • • • Z2n
z = -^1 Zn2 •• ' • znn _
(61)
Уравнения матрицы полных сопротивлений выражают зависимость
напряжений от токов в виде явных функций
В частности,
и
v = zL (62)
vj — ^zjklk для каждого/ (63)
k
dvi / Vi \
* <64)
"ik \ lk J при =/» О
Сравнение уравнений (57) и (62) показывает, что так называемая
матрица полных сопротивлений z холостого хода представляет собой
обратную матрицу у полных проводимостей
2г = у-1. (65)
Для сложных цепей полные сопротивления zik холостого хода вы-
числять труднее, чем полные проводимости yyft короткого замыка-
ния. Следовательно, удобно вычислить z^ непосредственно через
определитель проводимостей. Пусть
Д— определитель матрицы проводимостей у, (66)
тогда
Дм
= <67>
Так как матрица у обычной пассивной схемы симметрична, то оче-
видно, что и ДуЛ равны, и аналогично для полных сопротивле-
ний холостого хода получаем из принципа взаимности
z = zt. (Zjk = zkfi для пассивной линейной схемы. (68)
3*
36
ГЛАВА 2
На фиг. 7 показана простая схема, имеющая определитель прово-
димостей, равный Д, и четыре полных сопротивления холостого хода,
вычисленные из определителя А и его алгебраических дополнений.
-ь I
= ab-f- ас^Ьс.
Ь 4- с I
ь+с
Д 11 ab-\-ас Ьс '
Д12 _______________
А 21 ab-\-ac-\-bc ’
А21 ___ ______Ь______
Д 12С= ab + ac + bc ’
^22 _ __ а-\- b
Д 22 ab±ac + bc ’
.. b
142 Дц \ //2 = 0 Ь-\-с
Фиг. 7. Узловые полные сопротивления и передача напряжения
в простой схеме.
2.8. Коэффициенты передачи напряжений
и токов
Кроме проводимостей короткого замыкания и полных сопротивле-
ний холостого хода, часто бывает нужно вычислить коэффициент
передачи напряжения или тока от одной точки схемы к другой.
Коэффициент передачи напряжения холостого хода от k-ro узла
к /-му узлу равен напряжению холостого хода в /-м узле, отне-
сенному к единице напряжения, приложенного в &-м узле. В данном
случае опять не имеет значения, присоединен ли источник к узлу k
как источник тока или как источник напряжения. Другими словами,
коэффициент передачи напряжения будет тем же самым независимо
от типа источника, присоединенного к входным зажимам. Здесь
удобно принять, что источник тока lk создает напряжение Vj в /-м
узле и напряжение vk в £-м узле; такое предположение позволяет
выразить коэффициент передачи напряжения в виде отношения полных
сопротивлений холостого хода, т. е.
Коэффицент передачи /v.\ z к
напряжения при xo- —z.-< k = — = --L, (69)
лостом ходе \vkhk^o zkk &kk v
В нижней строке на фиг. 7 приведено выражение коэффициента пе-
редачи напряжения от первого узла ко второму узлу, это уравне-
ние легко проверить, рассматривая схему в виде потенциометра, со-
держащего ветви из проводимостей b и с.
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
37
Коэффициент передачи тока от /г-го узла к /-му узлу при корот-
ком замыкании определяется током короткого замыкания в /-м
узле, отнесенным к единице тока в А-м узле. Чтобы найти это отно-
шение, необходимо, во-первых, присоединить источники тока к /-му
и Л-му узлам, при этом, очевидно, = zfklk. Если затем
изменять lj так, чтобы Vj стало равным нулю, то это равносильно
короткому замыканию в /-м узле, и поэтому коэффициент передачи
тока при режиме короткого замыкания
Коэффициент передачи НА zjk &kj
тока при режиме ко- а*/ = 17Г/ n = —Z7 = —АТУ
роткого замыкания х // //
Матрица проводимостей для цепей, подчиняющихся принципу взаим-
ности, симметрична, и поэтому равно Следовательно, из
уравнений (69) и (70) вытекает, что в таких цепях коэффициент пе-
редачи напряжения (при холостом ходе) от одного узла к дру-
гому равен отрицательному значению коэффициента передачи тока
при режиме короткого замыкания, взятому в обратном направлении.
Например, коэффициент передачи напряжения цепи, подчиняющейся
принципу взаимности при режиме холостого хода от Лг-го узла
к /-му узлу, равен отрицательному значению коэффициента пе-
редачи тока при режиме короткого замыкания от /-го узла
к /г-му узлу. Эта закономерность представляет собой другое выра-
жение принципа взаимности. Утверждения о том, что проводимости
короткого замыкания в противоположных направлениях равны
(yik = полные сопротивления холостого хода в противополож-
ных направлениях равны (Zjk~zkj) и коэффициент передачи напря-
жения при режиме холостого хода равен коэффициенту передачи
тока при режиме короткого замыкания, взятому с обратным знаком,
представляют три различных выражения одной и той же закономер-
ности. Если одна из этих закономерностей удовлетворяется или из-
вестна*, то известны и остальные две. Третий вид выражения прин-
ципа взаимности получается при рассмотрении взаимной индуктивности.
При идеализации трансформатора, т. е. при предположении, что ин-
дуктивность обмотки равна бесконечности, а коэффициент связи
равен единице, трансформатор можно рассматривать в виде элемента,
имеющего коэффициент передачи напряжения равным отношению
числа витков вторичной обмотки к числу витков первичной обмотки.
Коэффициент передачи тока при режиме короткого замыкания транс-
форматора равен отрицательному значению коэффициента передачи
напряжения (при холостом ходе), взятому в обратном направлении.
38
ГЛАВА 2
2.9. Неопределенная матрица узловых
проводимостей
Благодаря сохранению электрического заряда сумма токов, вхо-
дящих во все узлы изолированной цепи, равна нулю, и, поскольку
эти токи зависят от разностей напряжений между различными узло-
выми парами, а не от абсолютных значений потенциалов этих узлов,
можно, не нарушая общности анализа, считать один из узлов опор-
ным, или заземленным. Напряжение опорного узла обычно прини-
мается равным нулю. При этом ток, входящий в опорный узел
£ яе 0, для любого Л,
£ «в 0, для любого у.
Фиг. 8. Неопределенная матрица узловых проводимостей схемы
с четырьмя узлами.
из земли, всегда равен сумме токов (с отрицательным знаком), входя-
щих в остальные, незаземленные узлы. Имеются, однако, определен-
ные преимущества рассматривать схему, не заземляя ни одного из
ее узлов; такая схема оказывается как бы „плавающей". Другими
словами, потенциал каждого узла этой схемы будет неопределенным.
На фиг. 8 показана незаземленная схема, изображенная на фиг. 6.
Элементы матрицы проводимостей по-прежнему определяются выра-
жением (59), но в данном случае матрица будет содержать четвертую
строку и Четвертый столбец, потому что четвертый узел уже не
имеет нулевого потенциала. Каждый столбец неопределенной матрицы
проводимостей содержит элементы, алгебраическая сумма которых
равна нулю. Это положение следует из того, что алгебраическая
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
39
сумма внешних токов, входящих в цепь, равна нулю. Аналогично
сумма элементов каждой строки равна нулю, потому что токи остаются
неизменными, когда все узловые напряжения увеличиваются на одно
и то же значение. В любом месте схемы токи зависят только от
напряжений между зажимами, а эти напряжения остаются неизмен-
ными при увеличении потенциала каждого узла на одну и ту же
величину.
Когда составлена вся неопределенная матрица проводимостей,
кроме одной строки и одного столбца, то нетрудно заполнить эту
остающуюся строку и столбец, исходя из условия, что сумма элемен-
тов каждой строки и каждого столбца должна быть равной нулю. Таким
образом, составление неопределенной матрицы, содержащей дополни-
тельную строку и дополнительный столбец, в действительности не
труднее составления определенной матрицы, т. е. матрицы, содер-
жащей один заземленный узел. Проводимости схемы входят в не-
определенную матрицу в симметричной форме; при этом матрица
получается квадратной, элементы которой, не находящиеся на глав-
ной диагонали, симметричны относительно нее. Проводимость ветви,
присоединенной к двум узлам рассматриваемой схемы, входит в две
строки и два столбца, имеющие номера узлов, к которым присое-
динена данная ветвь. Проводимости ветвей входят с положительным
знаком в элемент матрицы, находящийся на главной диагонали,
и с отрицательным знаком — в остальные элементы (в дальнейшем
будет показано, что проводимости элементов схем, не подчиняю-
щихся принципу взаимности, таких, как электронные лампы, тран-
зисторы и др.» также входят в неопределенную матрицу, но эле-
менты матрицы, соответствующие этим устройствам, не расположены
симметрично относительно главной диагонали).
Составление неопределенной матрицы полезно, потому что упро-
щает получение уравнения полного передающего сопротивления от
любой пары узлов цепи к любой другой паре узлов этой же цепи.
Рассмотрим это подробнее. Предположим, что источник тока при-
соединен между двумя узлами г и k, так что ток 1Г входит в г-й
узел и выходит из &-го узла. Предположим также, что идеальный
вольтметр (имеющий бесконечно большое входное сопротивление)
присоединен между узлами J и т и таким образом измеряет раз-
ность потенциалов между этими узлами. В этом случае выражение
передающего полного сопротивления можно записать в следующем
виде:
V/ — vm
г)к, тг —------ ПрИ 1' — "" 1Ь’
когда
lk и =/= 0.
(71)
40 Г Л Л В A 2
Обозначим через Y определитель неопределенной матрицы, (72)
Yjk—алгебраическое дополнение первого порядка, полученное путем
вычеркивания /-Й строки и k-ro столбца (73)
и
— алгебраическое дополнение второго порядка, полученное
путем вычеркивания строк j и т и столбцов k и г. (74)
Конечно, определитель неопределенной матрицы равен нулю,
потому что сумма элементов ее любой строки и любого столбца
равна нулю. Но передающее полное сопротивление представляет
собой только функцию алгебраических дополнений первого и вто-
рого порядков неопределенной матрицы, поэтому
Передающее полное ________гт_______Yrmt kj
сопротивление zjk, mr ~Y^~ ~~Ynn * °
При вычислении величины алгебраического дополнения второго
порядка следует тщательно проверить применение правила знаков
Знак алгебраического дополнения первого порядка Ykj положителен
(отрицателен), если сумма номеров вычеркнутой строки и вычеркну-
того столбца четна (нечетна). Знак алгебраического дополнения вто-
рого порядка Ykj rm равен (—1)?ч*+г +т , где г' и т'— номера но-
вой строки и нового столбца, которые занимают г и т, после того
как j-я строка и £-й столбец вычеркнуты. Можно сказать, что
алгебраическое дополнение второго порядка представляет собой
алгебраическое дополнение первого порядка некоторого элемента
алгебраического дополнения первого порядка. В этом случае правило
знаков необходимо применять 'двумя последующими ступенями. Для
схемы фиг. 4, например, Д12,21 = — л33. тогда как Д1Ь22 = а33.
Теперь вернемся к уравнению (75). Сначала применим это урав-
нение для расчета передающего полного сопротивления ^31>44 схемы
фиг. 8. Сравнение фиг. 6 и 8 показывает, что г31, Д13 и Д для
фиг. 6 будут аналогично ^31>44, К13>44 и К44 для фиг. 8. Из этого
вытекает справедливость уравнения (75). Вычеркивание т-го столбца
неопределенной матрицы эквивалентно условию, что напряже-
ние vm равно нулю и узел, обозначенный буквой т, становится
опорным. С другой стороны, вычеркивание r-й строки неопре-
деленной матрицы эквивалентно исключению уравнения для
тока 1Г (выраженного через различные узловые напряжения). Когда
напряжение vm равно нулю и током 1Г пренебрегаем, то получаем
систему независимых алгебраических уравнений, из которых можно
определить искомые полные сопротивления в режиме холостого хода
в виде отношения алгебраического дополнения к определителю этих
уравнений.
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
41
Различные расчетные уравнения, основанные на применении не-
определенной матрицы, приведены на фиг. 9. Здесь даны уравнения,
определяющие передающее полное сопротивление, полное входное
сопротивление и коэффициент передачи напряжения. В числителе
выражения передающего полного сопротивления индексы имеют сле-
дующий смысл: г обозначает номер опорного узла источника; пг —
номер опорного узла измеряемого напряжения; k — номер узла,
к которому направлен ток источника; J— номер узла измеряемого
Фиг. 9. Полные сопротивления и передача напряжения, выраженные
через алгебраические дополнения неопределенной матрицы проводимостей.
напряжения. Узлы г и т образуют как бы два опорных узла: г для
входного тока и т для измеряемого напряжения, а узлы k и j пред-
ставляют собой соответственно входной и выходной узлы при опре-
делении передающего полного сопротивления. Полезно помнить, что
в любом выражении для полного сопротивления первый индекс
в каждой паре индексов относится к току и второй индекс — к на-
пряжению. Уравнение, определяющее передающее полное сопро-
тивление, на фиг. 9 иллюстрирует приведенные определения. Два
других выражения, определяющие входное полное сопротивление
и коэффициент передачи напряжения, можно вывести без труда из
первого уравнения. Вторая формула является частным случаем пер-
вой, когда /n-й узел совпадает с узлом г и j-й узел — с узлом k.
Третья формула получается путем простого деления первых двух.
Конечно, результаты, приведенные на фиг. 9, являются общими,
так как буквы г, m, k, j могут обозначать номера любых четырех
узлов в любой электрической схеме.
Здесь ничего не было сказано о замечательном свойстве алге-
браических дополнений (фиг. 9). В данном случае величина Yjk
остается неизменной при любом выборе j или k. Это несправедливо
для алгебраических дополнений второго порядка вида Yjk>mr. Ра-
венство алгебраических дополнений первого порядка представляет
собой свойство любой матрицы, у которой сумма элементов любой
строки и любого столбца равна нулю. Это нетрудно объяснить тем,
что любое алгебраическое дополнение первого порядка получается
42
ГЛАВА 2
из любого другого с помощью элементарных преобразований опре-
делителя путем суммирования строк или столбцов. Как было указано
раньше, такие преобразования не влияют на величину определителя.
В качестве примера применения неопределенной матрицы поло-
жим, что узлы г, nt, k и J фиг. 9 соответствуют первому, второму,
третьему и четвертому узлам схемы фиг. 8. Сигнал подается через
ветвь е (фиг. 8), реакция измеряется на ветви Ь, в результате полу-
чается мостовая схема. С помощью третьей формулы, приведенной
на фиг. 9, находим уравнение коэффициента передачи напряжения
мостовой схемы в виде
I-/ -rfl
v_г12.з._ I — а. — с | __ cf—ad
*~rll>33~|ft+rf+r ~b l~ *(«+«+<*+/)+ (<* + «)(</+/) U ’
I — b a-\-b-\-c |
Заметим также, что если произведение cf проводимостей мостовой
схемы равно произведению ad, то мостовая схема идеально сбаланси-
рована и коэффициент передачи напряжения равен нулю.
2.10. Неопределенные матрицы проводимо-
стей схем электронных устройств
Неопределенная матрица проводимостей линейной электронной ‘
схемы может отличаться в некоторых отношениях от матрицы для
цепи, подчиняющейся принципу взаимности. Указанная неопределен-
ная матрица составляется таким же способом на основе соотноше-
ний (54), (55) и (59). На фиг. 10, а показана эквивалентная схема
электронной лампы для низких частот. Первый, второй и третий
узлы соответствуют зажимам сетки, анода и катода. Заземление катота
соответствует вычеркиванию третьей строки и третьего столбца
неопределенной матрицы проводимостей. Установим равным еди-
нице, a v2 и v3 примем равными нулю; при этом не будет тока
в ветви с проводимостью gp, а внешний ток, направленный ко вто-
рому узлу, будет численно равен крутизне 5. Это определяет вели-
чину проводимости элемента матрицы первого столбца и второй
строки. Аналогично при vt и v3, равных нулю, и при v2, равном
единице, внешний ток, направленный ко второму узлу, должен быть
численно равен анодной проводимости gp. Это дает величину эле-
мента матрицы проводимостей второй строки и второго столбца.
Легко установить, что внешний ток в первом узле (/) равен нулю
при любых значениях приложенных напряжений, так что элементы
верхней строки матрицы также равны нулю. Определив таким обра-
зом четыре элемента, находящиеся в верхней левой части матрицы,
можно легко найти величины элементов третьей строки и третьего
столбца, так как сумма элементов любой строки и любого столбца,
a
ygp
gp^ypk
~ypk
^“ygfi
~~Урк
ygk^ypk -.
ygk
ygp
£p + ygp yp& (5 gp ypk)
(sp ypk) s + sp + У gk У ph -
<S> и r> 10. Неопределенная матрица эквивалентной схемы электронной
лампы.
44
ГЛАВА 2
равна нулю. Конечно, элементы третьей строки и третьего столбца
можно найти независимо, но в этом нет необходимости, если
известны все элементы матрицы, кроме одной строки и одного
столбца.
Рассмотрим другой способ составления неопределенной матрицы.
Для этого разделим эквивалентную схему на две части (фиг. 10, б
и в). Каждая из этих частей имеет более простую неопределенную
матрицу проводимостей, и матрица полной схемы равна сумме матриц
ее двух частей. Одна ветвь, показанная на фиг. 10, б, представляет
собой элемент цепи, подчиняющийся принципу взаимности. Как ука-
зано ранее в этой главе, проводимость ветви появляется в виде
четырех элементов неопределенной матрицы, два из которых сим-
метрично расположены относительно главной диагонали. Крутизна,
показанная на фиг. 10, з, представляет собой элемент с односторон-
ней проводимостью и входит в неопределенную матрицу в виде
четырех элементов, несимметрично расположенных относительно глав-
ной диагонали. Эта асимметрия показывает, что принцип взаимности
несправедлив для цепей с такими элементами. Заметим, что крутизна
определяется напряжением в первом и третьем узлах, что соответ-
ствует первому и третьему столбцам матрицы. Аналогично крутизна
связана с токами во втором и третьем узлах, что соответствует вто-
рой и третьей строкам матрицы.
На фиг. 10, г показаны межэлектродные емкости триода и соот-
ветствующая неопределенная матрица. При достаточно высоких часто-
тах эти емкости начинают влиять (на распределение токов), и их
нужно учесть в неопределенной матрице триода. На фиг. 1 0, д при-
ведена полная высокочастотная эквивалентная схема и ее неопреде-
ленная матрица проводимостей. Заметим, что каждый элемент в этой
цепи появляется в четырех различных местах матрицы.
Одна из многочисленных эквивалентных схем транзистора пока-
зана на фиг. 11, а. Первый, второй и четвертый узлы соответствуют
зажимам эмиттера, коллектора и базы транзистора. Для удобства
составления матрицы удалим проводимости базы и коллектора
(фиг. 11,6“). Пусть в этой цепи третий и четвертый узлы заземлены,
тогда останутся элементы, указанные пунктиром, только в верхней
левой части матрицы, которые легко определить. Отсоединив от земли
третий и четвертый узлы, получим изолированный четвертый узел, и,
таким образом, четвертая строка и четвертый столбец матрицы должны
быть заполнены нулями. Теперь можно заполнить третью строку и
третий столбец, исходя из того, что сумма элементов любого столбца
и любой строки должна быть равна нулю. Проводимости gb и gc
теперь можно учесть и получить полную неопределенную матрицу,
приведенную на фиг. 11, а.
Несколько более простая эквивалентная схема транзистора пока-
зана на фиг. 11, з. Первый, второй и третий узлы соответствуют
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
45
эмиттеру, коллектору и базе. В этой схеме замещения предполагается,
что коллекторная проводимость мала и ею можно пренебречь.
а
«е 0 ~ge ° ~
-age gc “ge-gc О
-V-a)ge -ge d-а)ge+gb + gc -gb
° ° ~«b *b -
ge 0? -ge o-
“%? о j age 0
’-(i-a)7"’ o H-a)ge 0
0 0 0 0-
o
4
..-(«!?+ПГ
-al2g I 0 ...
L -g i 0 g J
ге+(1-а)гь ° re + (l-a)rft
____=-2_____ о ______*_____
re+(l-a)rb ^+(1-0)^
-(1-a) 0 (1-a)
L re + (l-a)rb re + (l-a)rb J
Фиг. 11. Неопределенные матрицы некоторых эквивалентных схем
транзисторов.
Коэффициент передачи тока от базы к коллектору здесь обозначен
через а12. Для определения элементов этой матрицы удобно зазем-
лить первый узел, тогда нижний правый угол матрицы относительно
46
ГЛАВА 2
легко заполнить из схемы. Затем неопределенная матрица соста-
вляется обычным способом.
На фиг. 11, г приведена еще одна эквивалентная схема транзи-
стора. Здесь, как и в предыдущей эквивалентной схеме, пренебре-
гаем проводимостью коллектора. Эквивалентные схемы фиг. 11, в
и а по существу одинаковы, и различие между ними заключается
лишь в обозначениях элементов, что следует из общей формы их
Уо - Уо : - лу0 лу
- Уо Уо луо - ЛУо
-луо ЛУо ; Л2у0 _л2ус
луо — лу0 : — Л2Уо Л2Уо
Фиг. 12. Неопределенные матрицы эквивалентных схем идеального
трансформатора.
неопределенных матриц. В качестве простого примера расчета мы
должны сначала найти уп. Чтобы определить уп, заземлим второй
и третий узлы и к первому узлу подведем напряжение, равное еди-
нице. В первый узел входит ток Ze, но только часть 1 — а этого
тока протекает через базовую проводимость на землю. Следовательно,
кажущееся сопротивление между электродами 1 и 3 представляет собой
последовательное соединение сопротивления эмиттера и части 1 — а
сопротивления базы.
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
47
Независимо от того, какую эквивалентную схему мы применяем
для транзистора, его всегда можно представить в виде неопределен-
ной матрицы проводимостей, состоящей из трех строк и трех столб-
цов, причем по крайней мере четыре проводимости представляют
собою независимые величины. После того как матрица проводимо-
стей транзистора составлена, нужно сложить матрицу транзистора и
матрицу пассивных элементов.
В эквивалентных схемах электронных систем часто встречается
идеализированная взаимная индуктивность, обычно называемая идеаль-
ным трансформатором. Три схемы включения идеального трансформа-
тора и их соответствующие матрицы показаны на фиг. 12. Идеаль-
ный трансформатор характеризуется одной вещественной постоянной п,
которая связывает токи и напряжения двух обмоток, как показано
на фиг. 12, а. Идеальный трансформатор имеет бесконечные проводи-
мости короткого замыкания и бесконечные полные сопротивления
холостого хода, и, следовательно, для его характеристики нельзя
применить узловые уравнения. Однако практически трансформатор
всегда включается последовательно с некоторым другим элементом
цепи, имеющим конечную проводимость. Если учесть проводимость у0
этого элемента совместно с трансформатором, тогда неопределенная
матрица проводимостей становится конечной и имеющей определен-
ный смысл.
Неопределенная матрица проводимостей, показанная на фиг. 12, а,
может быть разделена на четыре подматрицы (указанные пунктир-
ными линиями), в каждой из которых сумма элементов любой строки
или столбца . равна нулю. Это показывает, что обе обмотки транс-
форматора не имеют электрического соединения между собой. Каждая
обмотка как бы „плавает", т. е. потенциалы ее концов неопределенны
относительно концов другой обмотки. Если обмотки трансформатора
заземлены и отношение их витков равно единице, то матрица про-
водимостей имеет форму, показанную на фиг 12, б. Эта матрица такая
же, как и для проводимости у0 одной ветви, присоединенной между
первым и вторым узлами. При этом третий узел изолирован, потому
что ток в обеих обмотках одинаков и не может протекать в третий
узел или из него. При изменении полярности вторичной обмотки
матрица будет иметь другую форму, показанную на фиг. 12, в.
2.11. Катодный повторитель
На фиг. 13, а изображена схема катодного повторителя на элек-
тронной лампе, а на фиг. 13, б показана его эквивалентная схема
для низких частот. Определение элементов матрицы проводимостей
облегчается при заземлении второго узла. Это позволяет определить
элементы в четырех углах матрицы; остальные элементы можно
48
ГЛАВА 2
затем найти из условия, что сумма каждой строки и каждого столбца
матрицы равна нулю.
Коэффициент усиления напряжения равен коэффициенту передачи
напряжения от узловой пары 13 к узловой паре 23, и его можно опре-
делить в виде отношения двух алгебраических дополнений, как пока-
зано на фиг. 13.
Выходное полное сопротивление схемы определяется со стороны
ее выходных зажимов, между которыми измеряется напряжение е2.
Стандартный способ определения полного выходного сопротивления
о ? о п г о о о
? ’ \ -> s+ep+°k -^p+°k)
5 ? eP+°k . * -е+^+о*) ер+ок ..
g2 ^33, 12 5
ei гзз, п + '
Выходное
полное сопротивление=
(У22, Зз)н
(^зз)и
1
Фиг. 13. Схема катодного повторителя, ее усиление напряжения и
выходное полное сопротивление.
усилителя состоит в том, что входное напряжение ег полагают рав-
ным нулю при вычислении или при измерении полного выходного
сопротивления. Полагая ег равным нулю (фиг. 13, d), этим самым
устраняем первый узел из схемы, что эквивалентно вычеркиванию
первой строки и первого столбца в матрице. Соответственно каждое
алгебраическое дополнение, входящее в уравнение полного выходного
сопротивления, имеет дополнительные сдвоенные индексы 11, как
показано на фиг. 13. Алгебраическое дополнение в числителе урав-
нения полного выходного сопротивления получается при вычеркива-
нии всех трех строк и столбцов матрицы. Вообще алгебраическое
дополнение n-го порядка матрицы n-го порядка равно единице.
Необходимы специальные меры, обеспечивающие нулевое значе-
ние напряжения ех при расчете величины полного выходного сопро-
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
49
тивления, ^поскольку первый узел полностью изолирован (фиг. 13, б).
Напряжение изолированного узла неопределенно, и получается не-
определенная величина полного выходного сопротивления. Чтобы
преодолеть указанную трудность, нужно, во-первых, присоединить
некоторую ветвь с проводимостью, например у0, между первым и
третьим узлами фиг. 13, б. При этом напряжение ех будет равно
нулю, так как ток не входит в первый узел. Алгебраические допол-
нения К22, зз и К33 не равны нулю, и вспомогательный индекс 11
становится излишним. После этого проводимость у0 полагаем равной
нулю и получаем такое же выражение выходного полного сопро-
тивления, как и на фиг. 13.
2.12. Интегратор Миллера
Другой пример применения неопределенной матрицы показан
на фиг. 14. Усилитель, изображенный на фиг. 14, а, иногда назы-
A/W
о
Г44, 13 _
Г44, И + + + +
Напряжение на емкости К43> 12 ($-|-02)
=T^=G1G2 + MG1 + G2+*) ’
Фиг. 14. Схема интегратора Миллера. Приведены уравнения усиления
напряжения и передачи напряжения от входа до емкости.
вается интегратором Миллера, линейная эквивалентная схема кото-
рого приведена на фиг. 14, б. После заземления четвертого узла
можно найти первые девять элементов неопределенной матрицы
4 Зак. 1115»
50
ГЛАВА 2
с помощью схемы. Элементы четвертой строки и четвертого столбца
определяются из условия равенства нулю суммы всех элементов
любой строки или столбца.
Отношение соответствующих алгебраических дополнений второго
порядка дает выражение коэффициента усиления напряжения е21ех\
окончательный результат расчета после упрощения приведен на
фиг. 14. Усилитель работает в качестве интегратора при частотах,
когда в числителе и в знаменателе выражения коэффициента усиле-
ния преобладает член, содержащий крутизну 5. В этом частотном
диапазоне коэффициент усиления напряжения обратно пропорцио-
нален комплексной частоте У<о, и поэтому усилитель работает в усло-
виях, близких к идеальному интегратору.
В качестве еще одного примера применения непределенной матрицы
проводимостей и ее алгебраических дополнений на фиг. 14 приве-
дено также выражение, определяющее отношение напряжения на
емкости к входному напряжению. Заметим, что это отношение стре-
мится к нулю на высоких частотах, когда проводимость конденса-
тора ус становится очень большой.
2.13. Матрицы других трехполюсных схем
Проводимости короткого замыкания и полные сопротивления
холостого хода не являются единственными параметрами, с помощью
которых можно описать электрическую цепь или эквивалентную схему
электронного устройства. Многие другие параметры также удобны
для определенных расчетов. На фиг. 15 показаны шесть возможных
способов, посредством которых напряжения на зажимах и токи,- про-
ходящие через них, могут быть связаны парами линейных уравнений.
Параметры, показанные на фиг. 15, а и б, представляют собой про-
водимости короткого замыкания и полные сопротивления холостого
хода, определения которых были даны выше.
Величины А, В, С и D на фиг. 15, д иногда называются общими
параметрами схемы. Обратные преобразования даны в уравнениях (г),
где параметры обозначены малыми буквами а, Ь, с и d. Эти общие
параметры называются также параметрами четырехполюсника и обычно
определяются для входного тока, направленного в четырехполюсник,
и для выходного тока, направленного из четырехполюсника. Другими
словами, изменение положительного направления тока /2 меняет знак
у тока./2 в уравнениях фиг. 15. При этом следует считать входными
переменными величины и и выходными переменными v2 и —/2.
С помощью напряжения и тока ix можно выразить входную мощ-
ность четырехполюсника, а посредством v2 и —12 — выходную мощ-
ность. На фиг. 16 показан очень удобный способ, с помощью кото-
рого применение матрицы четырехполюсника позволяет анализиров;т>
каскадно соединенные цепи. Чтобы найти входное полное сопроти-
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
51
вление двух цепей, соединенных каскадно, при наличии сопротивле-
ния нагрузки z3, включенного между выходными зажимами второго
А) /^Уп^ + УЛ
/2 = У21^+У22^?
б) Vx + ^12^2
^2 = ^2*.Л + *22^2
«) ^2 = ^l + ^2
h = yi^i 4* a2i^2
г) +
/2=у2г/:4-а12/1
д) v2=Avi + ВЦ
i2 = —Cv\ — Dii
е) vxt=av2 — bi2
ii = cv2 — dli
Фиг. 15. Матрицы
['иГУп W4.
U2J 1У21 У 22-* 1^2J ’
pispi М Р» 1 .
L 1 L ^21 ^22* I Ц 1
кк жг
pi ГИ2» *1 1 pi
L Z2 J l Уг ®i2 J l Ц J
ЦНс жь
n.‘H: Ж-7:]
цепи с тремя зажимами.
каскада, нужно перемножить матрицы обоих каскадов и затем разде-
лить напряжение Фг на ток lv
Уравнения (в) и (г) фиг. 15 показывают два возможных остаю-
щихся сочетания переменных. Матрица (в) удобна для описания
низкочастотных ламповых усилителей или любых других устройств,
имеющих большое входное полное сопротивление, большое прямое
vx — (aa’ + be') v8-|-(fld' + bd’) Z«,
ii==(/?fl' 4-dc') t/8 + (cb' 4-dd') Z8,
vx __ (flfl' + bc') Z8-Hflb' 4-bd’)
Z‘“ Ц ~~ (ca’ +dc’) Z3 + (cb’ +dd') '
Фиг. 16. Расчет входного полного сопротивления каскадного соединения
четырехполюсников с помощью применения матриц.
52
ГЛАВА 2
усиление напряжения, малое выходное полное сопротивление и малое
обратное усиление тока. Матрица (г) полезна для описания боль-
шинства транзисторных усилителей или других устройств, имеющих
большую входную проводимость, большое прямое усиление тока,
малую выходную проводимость и малое обратное усиление напряже-
ния. Преобразования вида фиг. 15, в и г рассматриваются в гл. 5
2.14. Комплексная мощность
С помощью матричного исчисления удобно выразить мощность на
зажимах схемы. Поскольку мощность равна произведению напряже-
ния на ток, то общая входная мощность схемы может быть выра-
жена через столбцовые матрицы, представляющие напряжения на
зажимах, и токи, проходящие через них. Две столбцовые матрицы,
конечно, нельзя перемножить. Однако транспонирование матрицы,
имеющей форму столбца, представляет собой матрицу в виде строки
к Zj 0 О'
1 = —> Z2 0 0
"^3 - JjOO.
(77)
и
(78)
После выполнения транспонирования можно строчную матрицу тока
(напряжения) умножить на столбцовую матрицу напряжения (тока),
в результате получится скаляр, выражающий общую мощность,
выделяющуюся в схеме.
Комплексная мощность
= (79)
р — Vil* 4~ ^2 + + .. ♦ • (80)
В выражение (80) входят действующие значения тока и напряжения
синусоидальной формы. Предполагается, что все напряжения и токи
имеют одну и ту же частоту. Звездочкой обозначены комплексно
сопряженные величины. Следовательно, величина р определяет общую
комплексную мощность на всех независимых парах зажимов цепи.
Эта мощность поступает в цепь от присоединенных источников, как,
например, показано на фиг. 6.
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
53
Комплексную мощность можно разделить на вещественную и
мнимую части
P = Pr+JPi> (81)
Л = у(Р + Р*). (82)
JPt | (Р — Р*>, (83)
и вещественную часть можно выразить в форме
= + (84)
Так как v — zl, то можно исключить v, чтобы получить выражение
активной или средней мощности через ток I и матрицу z полных
сопротивлений
<85)
Аналогично можно исключить токи и выразить активную мощ-
ность через матрицу проводимостей у и напряжение на зажимах v.
Произвольная матрица полных сопротивлений (или любая другая
матрица, имеющая комплексные элементы) может быть всегда раз-
делена на две части
z — р (86)
так что
Р/ = Р (87)
и
(88)
Матрица, обладающая тем свойством, что транспонированная
матрица равна ее комплексно-сопряженной матрице, называется
„эрмитианом", или матрицей Эрмита. Таким образом, р и £ предста-
вляют собой эрмитиан, но не является эрмитианом. Следова-
тельно, можно назвать р эрмитианной частью z. В общем случае
матрицы р и $ являются комплексами. Для линейной пассивной
Цепи р и $ вещественны и аналогичны соответственно сопротивле-
нию г и реактивному сопротивлению х. Из уравнений (86) и (88)
следует, что
р=4(г+о- <89>
(")
54
ГЛАВА 2
Выражение (85) можно разложить на множители
Pr = ty- (91)
Аналогично
Л = (92)
Перемножая матрицы, указанные в уравнении (91), находим уравне-
ние мощности, выраженное через матрицу сопротивлений второго
порядка
Рг — ^1Р1А “Ь ^1Р12^2 ^Рг/] + ^22^2* (93)
Такое выражение называется квадратичной формой. Характер квадра-
тичной формы уравнения (93) связан со свойствами определителя
эрмитиана
Дл = Определитель р. (94)
Из непосредственного исследования на минимум можно показать,
что вещественная квадратичная форма рг будет неотрицательна при
любых комплексных выражениях токов Z, если и только если соот-
ветствующий определитель эрмитиана и все его основные алгебраи-
ческие дополнения (получаемые вычеркиванием одной или большего
числа строк и одновременного вычеркивания столбцов, имеющих
номера вычеркнутых строк) неотрицательны. Кратко говоря, должно
выполняться условие при всех возможных токах, если и
только если
Дл, Дуу, Дуу.**, все ^9. (95)
Нет надобности проверять все неравенства (95). Для эрмитиана,
если определитель и одно основное алгебраическое дополнение
каждого порядка неотрицательны, все основные алгебраические допол-
нения неотрицательны. Например, если ДЛ, Дп. Дц, 22, Ап, 22, зз • • •
неотрицательны, то этого достаточно, чтобы гарантировать неотрица-
тельное выражение рт.
В качестве примера рассмотрим матрицу полных сопротивлений
второго порядка
z= Г11 + УХп Г12-Ь/-*12 1 =ри *12 1 96
Z L >21 + J'X4\ Г22 + /^22 . *21 *22 ’
эрмитианная часть которой равна
Г11 2 (^12 “I" ^21) Р11 Р12
2" (^21 ^12) Г22 Р21 Р22
(97)
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
55
Соответствующий определитель эрмитиана
— г11г22 —
г12 + г21
2
2
= Р11Р22— IP12I2
(98)
и два основных алгебраических дополнения равны
дп=г1Р (99)
(100)
Рассмотрим эквивалентную схему с тремя зажимами, характеризуе-
мую матрицей полных сопротивлений, определяемой равенством (96).
Предположим, что эта схема присоединена ко второй схеме, причем
источники второй схемы работают при одной и той же устано-
вившейся частоте Если выражения (98) — (100) неотрицательны
на этой частоте, то невозможно спроектировать вторую схему так,
чтобы отбирать полную активную мощность от первой схемы на
этой частоте.
Если квадратичная форма неотрицательна при всех возможных
переменных, то говорят, что квадратичная форма и соответствую-
щий определитель положительно полуопределены („положительно
определенная* форма означает, что квадратичная форма положительна).
Если матрица полных сопротивлений или проводимостей электронной
схемы представляет собой „положительный полуопределенный эрми-
гиан* на определенной частоте, то такая электронная схема не может
работать усилителем мощности при входном сигнале той же частоты.
Следовательно, способность схемы усиливать сигнал мощности может
быть исследована проверкой определителя эрмитиана и основных
миноров этого определителя. Чтобы схема работала усилителем при
определенной установившейся частоте а>, одна (или большее число)
из этих величин должна быть отрицательна на этой частоте.
Если схема замещения в режиме холостого хода устойчива (т. е.
если самопроизвольные колебания не возникают в режиме холостого
хода или если возбуждение схемы приводит в режиме холостого
хода к переходным процессам, которые затухают во времени) и если
определитель эрмитиана матрицы полных сопротивлений положи-
тельно полуопределен для всех установившихся частот а>, тогда эта
схема никогда не может быть применена в качестве генератора или
усилителя сигналов мощности при любых установившихся частотах.
Такая эквивалентная схема называется пассивной. С другой стороны,
если схема не удовлетворяет ни одному условию пассивности, то ее
всегда можно использовать в качестве усилителя или генератора.
Такая схема называется активной.
Критерий пассивности можно сформулировать также, используя
проводимости. Если схема устойчива в режиме короткого замыкания
56
ГЛАВА 2
и если определитель эрмитиана матрицы проводимостей этой схемы
положительный полуопределенный на всех установившихся часто-
тах а), то схема пассивна.
р+яо ~Яо 1
У L S-gQ g2-\-g(J'
— , 1 —
р= 1 ,
_2S~& Я2 + Я0
h 1
А « Я1Я2 + Яо (Я1 4~ gz + $) —
Фиг. 17. Определитель эрмитиана и его алгебраическое дополнение для
простой эквивалентной схемы трехэлектродной лампы.
На фиг. 17 показан определитель эрмитиана, составленный из
проводимостей для эквивалентной простой схемы электронного триода.
Очевидно, что при достаточно большой величине крутизны s или
при достаточно малых величинах других проводимостей схемы опре-
делитель эрмитиана будет отрицательным, и в этом случае схема
будет неустойчива и будет работать генератором, а не усилителем.
Эти расчеты не указывают, каким образом рассчитать цепи связи
или как получить схему генератора или усилителя, но они дают
очень важную информацию о том, можно или нельзя получить
такие схемы.
ЗАДАЧИ
2.1. Переписать каждое из
валентной матрицы
последующих выражений в виде одной экви-
а)
б)
“3 2
7 1
_9 -8
1 118
.-1 1J
6~ -1
—5 -j- 4
5_ _6
—8 8“
1 2
3 4_
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
57
В)
л11 Л]2 Л]3
О Л22 ^23
О О л33 _
г) [xtx2x3] (У1У2У3]/
Д) [Х|Х2Х3]/ (у ,у2у3].
2.2. Перемножить матрицы
а)
1 8“
3 7
1 О
Лц л12
б) Л21 л22
-#3! Лз2
0 0“
^22 О
2.3. Используя задачу 2.2, показать, что
матриц равен произведению их определителей.
2.4. Найти обратную матрицу для каждой
определитель произведения
из следующих матриц.
1 01 Г1 01 ГО 11
0 1] [0 —1] I 1 0J
2.5. Найти обратную матрицу следующего выражения:
[#1#2Яз] ^21
- ^31
^12
^22
^32 -
2.6. Вычислить произведение матриц
2 И ГЗ 31 Г5 11
4 7J [8 9] [4 6J*
2.7. Даны матрицы А, В и С
”1
В — 1
0 0“
I 1
О 2
1 1“
0 2
1 О
а. Вычислить А (В + С) и АВАС. Равны ли эти выражения?
б. Вычислить (АВ) С и А (ВС). Равны ли эти произведения?
в. Вычислить ВС и СВ. Равны ли эти произведения?
2.8. Рассмотреть матрицы задачи 2.7.
а. Вычислить ВА. Имеет ли смысл это произведение? Вычислить BAt,
Имеет ли смысл это произведение?
б. Показать, что (BC)t — CtBt.
2.9> Найти обратную матрицу для матрицы
Вычислить АА~1 для проверки.
58
ГЛАВА 2
2.10. Написать матричные выражения следующих пар уравнений:
V2 = /*21/1 + Г 22*2’
2«11« Написать матричные уравнения для следующих пар равенств;
/1 = ^hVi+^i2v2,
*2 = ^21^1 + gnv2.
2.12. Предположим, что уравнения задач 2.10 и 2.11 описывают один и
тот же четырехполюсник. Найти соотношения между двумя типами пара-
метров четырехполюсника.
2.11. Для транзисторных схем замещения часто применяются гибридные
параметры, связывающие входные и выходные переменные транзистора как
четырехполюсника:
Vj = Ai /г12г2,
/2 = Л21/1 -J- h22v2.
Считая транзистор линейным устройством, составить матрицы гибридных
параметров для схем включения типа общий эмиттер и общая база.
2.14« Пусть
* = [х, х2 ... хл],
j #12 ... #|Л
#21 #22 • •. #2Л
- ahi ah2 • • • апп -
Д — определитель #,
Л/k— алгебраическое дополнение
Показать, что если #хг = 0, то в случае Д = 0 получаекя необычное реше-
ние и в данном случае х) ___ *1) ХЪ ^1к ’
где I может быть любым целым числом от 1 до п.
2.15. Рассмотрим следующую матрицу:
"3 4 0 1 5“
А = 10 0 13
-2 2 2 1 0-
Найти матрицу Р из условия
10 0 #14 #15
РА = С = 0 1 0 #24 а 525
- 0 0 1 #34 #35 -
где #14 ... #зб не заданы.
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
59
2.16. Рассмотрим следующую систему линейных уравнений, в которых
$ и проводимость емкости равна Cs
(3s + 2) Vt — v2 — 5v3 = ij,
— Vi4-7sv2 —sv3 = /2,
— 5^!— sv3+0 = /3.
Начертить электрическую схему, соответствующую этим узловым уравне-
ниям. Содержит ли схема отрицательную проводимость или емкость? Выра-
зить эту систему уравнений в матричной форме / = YV. Найти определи-
тель Д матрицы г. В особом случае = /2 = z3 = 0, и при таком выборе
при котором Д исчезает, вычислить и2/и, и v3/vb При $ = 1 и /1=/2 =
= /3==1 найти V|, v2 и v3.
2.17. Привести следующую матрицу в диагональную форму посредством
умножения элементарных матриц на заданную и полученного произведения
на элементарные матрицы
“10 0 1“
0 2 0 1
~ 0532 *
_4 0 0 1 .
Использовать эти элементарные матрицы и диагональную форму для полу-
чения обратной матрицы относительно матрицы А.
2.18. Произвольная матрица М второго порядка всегда может быть
выражена в виде
M = al + bJ + cK + dLt
где a, Ь, с, d — скалярные весовые факторы и матрицы
/=Г101 , п °] К=ГО11 £ = Г 011
[о 1J ’ [о—1J’ * 11 0J’ I—1 oj
представляют собой четыре элементарные матрицы. Показать, что
М1М2 = М2МЬ
если и только если
_ ci __ di
b2 с2 d2
Таким образом устанавливается класс матриц второго порядка, алгебра ко-
торых такая же, как у скаляров.
2.19. Пусть комплексное число z = х -|- Jy описывается матрицей
г
* У1
—у л]'
Показать, что в этом случае матричная алгебра вещественных чисел заме-
няет скалярную алгебру комплексных чисел. В частности, показать, что
zxz2 == z2zx
и
1 х +jy I2 = <х+JУ) (х~ JУ) = хг + №•
60
ГЛАВА 2
Дать также интерпретацию в полярной форме
rejB = г cos 0 + ir ып 0.
2.20. Для матриц
Г1 2] [5 6] [9 0]
Л=:134]- У = Ы’ Hl 2]
вычислить
а)
б) (*+у) (у+*).
в) xyz,
Г) гух.
2.21. Если каждое скалярное сложение стоит один цент и каждое ска-
лярное умножение стоит 10 центов, го какова приблизительно стоимость
получения обратной матрицы п-го порядка с помощью разложения опреде-
лителя на алгебраические дополнения и с помощью приведения в диагональ-
ную форму посредством умножения элементарных матриц на заданную и
полученного произведения на элементарные матрицы? Какой метод будет
дешевле для больших матриц?
2.22. Контактные схемы имеют ветви, содержащие выключатели,
каждый из которых или замкнут, или разомкнут. Пусть обозначает ветвь
соединяющую узлы j и k, и пусть
( 1, если выключатель замкнут,
xJk= л J
( 0, если выключатель разомкнут.
Схема характеризуется симметричной матрицей х с элементами xjk. Диаго-
нальные элементы хуу все равны единице, так как любой узел внутренне
замкнут на себя.
Положим, что при умножении двух контактных матриц выполняются
указанные скалярные операции соответственно законам „алгебры логики*
0-0 = 0
01=0
1-0 = 0
1-1 = 1
умножение
04-0 = 0
04-1 = 1
14-0=1
14-1 = 1
сложение
В этих правилах выражение (14-1 = 1) отличается от обычного арифмети-
ческого сложения.
а. Показать, что m-я степень, т. е. хт контактной матрицы, имеет
элементы:
1, если схема содержит по крайней мере один путь и не
больше, чем т ветвей между узлами j и k\
0, если нет таких путей.
б. Показать, что для цепи с п узлами
хп~^____
где г—неотрицательное целое число.
в. Написать контактную матрицу для схемы, ветви которой совпадаю!
с гранями куба, и формально показать, что наикратчайший путь между
диагонально противоположными узлами содержит три ветви.
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
61
2.23. Составить неопределенную матрицу проводимостей мостовой
схемы (учтя проводимости источника и детектора), и с помощью ее вычис-
лить коэффициент передачи напряжения от источника к детектору.
2.24. Из низкочастотной линейной схемы замещения электронного
триодного усилителя, схема которого показана на фиг. 18,
а) составить неопределенную матрицу проводимостей;
б) найти элементы Ajk матрицы Л, относящиеся к столбцовой матрице
приложенного напряжения е и к столбцовой матрице электродного потен-
циала v, определяемого матричным уравнением
v = Ае\
в) вычислить коэффициент усиления напряжения схем с общим катодом,
общим анодом (катодный повторитель) и с общей сеткой.
2.25. Используя матричные методы, определить проводимости между
двумя зажимами схемы, ветви которой совпадают с ребрами тетраэдра
(мостовая цепь).
2.26. На фиг. 19 показано каскадное соединение одинаковых усилите-
лей А. Каждый усилитель характеризуется матричным уравнением
где
^ = ^^4-1
62
ГЛАВА 2
а. Найти соответствующую схему замещения усилителя для случая
а = Ь = с ss d = г, где г положительная постоянная. Вычислить также коэф-
фициент усиления напряжения п каскадов еп/е0 для 1п = 0.
б. Для произвольной матрицы А показать, что входное полное сопро-
тивление z0 = eoliQ и полное сопротивление нагрузки zn = en/in л-каскадной
схемы связаны следующим образом:
( *0 —_ ( гхх — а — я \
\*0 — ₽/ \гхх~₽•/ \гп~ М’
где zxx есть входное полное сопротивление каскада, измеренного в режиме
холостого хода, и где а и р— два значения х, удовлетворяющие квадрат-
ному уравнению
ах 4- b
X =-----•
cx-\-d
Величины а и р обозначают характеристические полные сопротивления
нагрузки, при которых входное полное сопротивление равно сопротивлению
нагрузки.
в. С помощью отдельного расчета исследовать влияние емкости
„сетка —анод “ в усилителе, содержащем пять каскадов, выполненных по
одной и той же триодной схеме с активной нагрузкой.
2.27. Используя матричные методы, вычислить коэффициент усиления
тока, входное полное и выходное полное сопротивления:
а) типового транзисторного каскада с общим эмиттером;
б) каскада с общей базой;
в) каскада с общим коллектором.
2.28. Найти диапазон частот <о и крутизну $, при которых схема фиг. 20
активная и пассивная.
Фиг. 21.
2.29. а. Найти диапазон частот w, в котором схема фиг. 21 активная
(пассивная). Заметим, что точка соединения гь и ге физически недоступна.
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
63
Указание: при решении задачи использовать полные сопротивления и
рассмотреть эрмитиан матрицы полных сопротивлений.
б. Схема фиг. 21 более точно представляет плоскостной транзистор на
высоких частотах, если мы заменим постоянную а (а при низких час-
тотах w) на выражение sech ^2у<о/а>о и сопротивление ге на Ze = Re+JXe,
где Re постоянно. Исследовать активные и пассивные параметры схемы.
2.30. Косоасимметричная квадратная матрица А (в которой Ajk = — A^j)
имеет нечетное число строк и определитель, равный нулю. Верно ли это
утверждение или нет?
2.31. Составить неопределенную матрицу проводимостей для схемы
фиг. 22 и найти е3/е[ через проводимость G (G — 1/7?). Пусть s = §ма!в,
Ri — Rb — 2Мом. Найти ток в сопротивлении R на единицу приложенного
напряжения ех.
2.32. Для квадратной матрицы А показать, что АА~1 = А~1А.
Г лава третья
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
3.1. Введение
Коэффициент передачи схемы представляет собой отношение
величины, измеренной прибором, к величине сигнала источника,
когда прибор и источник присоединены к двум заданным парам
зажимов. Топологический анализ схем определяет соотношения между
передачей схемы и структурой, или «топологией», схемы. С помощью
топологического метода передача может быть оценена непосредственно
из структуры схемы. Топологические методы основаны на таких по-
ложениях, которые дополняют и улучшают известные методы англ 1за.
Топология представляет собой раздел математики, который имеет
дело с определенными свойствами геометрических фигур, построений
или объектов, в частности со свойствами, которые инвариантны при
непрерывном пространственном преобразовании. Деформация резино-
вой детали — это физическая интерпретация такого преобразования,
при котором резина не разрывается и не соединяются вместе те
части, которые первоначально не касались друг друга. Исходя из
понятия непрерывности, мы можем две любые соседние точки р и q
на первоначальном объекте преобразовать или спроектировать в две
соседние точки р' и q' на новом преобразованном объекте. Это пре-
образование означает, что р однозначно определяет р', и наоборот.
Наличие отверстия в гайке является топологическим свойством
гайки, так как не существует непрерывного преобразования, которое
могло бы уничтожить это отверстие. Аналогично число ветвей в элек-
трической цепи представляет собой топологическое свойство этой
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
65
цепи, так же как число узлов, контуров и различных путей от одного
узла к другому. Топология линейных графов относится к достаточно
сложным дисциплинам. Однако требуется только небольшое число
элементарных топологических понятий, чтобы установить соотноше-
ния между структурой электрической цепи и формой ее передаточ-
ной функции.
3>2. Определитель цепи
Топологический анализ электрической цепи основан на следую-
щих определениях.
Дерево — совокупность соединенных ветвей, касающихся всех
узлов, но не образующих ни одного контура^ (1)
Величина дерева — произведение проводимостей ветвей этого
дерева. (2)
Определитель цепи (Д) — сумма величин различных деревьев,
содержащихся в цепи. (3)
В цепи, содержащей п узлов, дерево имеет п—1 ветвей, соеди-
няет все узловые пары и не образует контуров. Любые два из этих
трех свойств могут быть использованы для определения дерева,
а третье свойство вытекает из двух других. Для удобства и простоты
будем применять термин „дерево" также вместо „величина дерева",
так как различие между этими терминами будет очевидно из текста.
На фиг. 1, ж показана простая контурная схема, содержащая три
различные ветви с проводимостями а, b и с. Эта схема содержит
три различных дерева ab, ас и Ьс, и ее определитель равен сумме
этих деревьев.
Определитель цепи становится равным нулю, когда ее часть
{или узел) полностью изолирована от остальной цепи, как по-
казано на фиг. 1,в. Схема, содержащая только один узел, незави-
симо от того, присоединена ли к нему ветвь или нет, имеет опреде-
литель, равный единице, как показано на фиг. 1, д. На фиг. 1,з
показана схема, составленная из двух частей, имеющих один общий
узел. Определитель такой цепи равен произведению определителей
этих двух частей. Это следует из того факта, что дерево каждой
части цепи является частью дерева общей цепи и каждое дерево
в полной схеме есть комбинация таких частей.
3.3> Частичное разложение определителя
на множители
Если схема имеет более или менее сложный вид, то поиски всех
возможных деревьев становятся утомительными. Эту работу можно
систематизировать, введя буквенные обозначения по алфавиту или
5 Зак. 1115.
66
ГЛАВА 3
Фиг. 1. Определители некоторых элементарных схем.
цифровые обозначения ветвей в каждом дереве; затем с помощью
полного „словаря" можно найти все возможные „слова дерева". Для
всех, кроме самых простейших цепей, очень удобно упростить вы-
ражение определителя схемы путем группировки тех членов, которые
содержат одни и те же проводимости ветвей и записи частей опре-
делителя в форме произведения нескольких множителей. Это умень-
шает число символов в уравнении и упрощает его. Например, на
фиг. 1,ж определитель Д содержит шесть символов, тогда как вы-
ражение, частично разложенное на множители, содержит только пять
символов [а(&4~ + Для более сложных схем упрощение выра-
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
67
жения определителя будет еще большим. Можно написать непосред-
ственно выражение определителя в форме частичного разложения на
множители с помощью следующих понятий:
Путь — простая непересекающаяся совокупность ветвей, при-
соединенных к двум заданным узлам, представляющая собой
непрерывную последовательность ветвей, вдоль которой
каждый узел встречается не более одного раза. (4)
Величина пути Pk — произведение проводимостей ветвей
пути k. (5)
Алгебраическое дополнение пути (Дл) — определитель цепи,
остающейся после того, как все ветви пути k вычеркнуты
(коротко замкнуты).
Алгебраическое дополнение равно единице, если путь со-
держит все узлы первоначальной схемы. (6)
Эти определения приводят к следующему результату:
(7)
k
Выражение (7) называется разложением на пути или разложением на
узловые пары. Каждое алгебраическое дополнение в свою очередь
представляет собой определитель и поэтому может быть разложено
на новую совокупность путей. Эти разложения могут быть продол-
жены до тех пор, пока все остающиеся алгебраические дополнения
становятся равными единице. Таким образом, определитель может
быть представлен полностью через пути или подпути. Упрощение
уравнения определителя, достигаемое разложением на пути, зависит
от структуры схемы и от выбора узловых пар для разложения или
подразложения.
Доказательство уравнения (7) следует из того факта, что каждое
дерево содержит один и только один путь между двумя заданными
узлами и что произведение пути на каждый член его алгебраического
дополнения представляет собой дерево. Следующие примеры поясняют
эти положения.
На фиг. 2 показано разложение определителя при двух раз-
личных узловых парах, используемых для разложения. Выбран-
ные узлы показаны сплошными кружками. Заметим, что схема на
фиг. 2, а дает значительно большее упрощение выражения определи-
теля, уменьшая число символов с 24 (в сумме деревьев) до 13 (после
выполнения разложения). На фиг. 2, б алгебраическое дополнение
пути а появляется в выражении, заключенном в скобки. Это алге-
браическое дополнение представляет собою определитель цепи, остаю-
щейся после того, как ветвь а замкнута накоротко и подразложение
выполнено по новым путям d-\-c и be (после замыкания а, ветви d
5*
68
ГЛАВА 3
и с соединяются параллельно, что эквивалентно одной ветви
d 4- с).
Другая полезная группировка членов осуществляется посредством
разложения определителя по узлу. Предположим, что три ветви
дерева а, b и с присоединены к заданному узлу. Тогда можно запи-
сать определитель в виде
А = + + ^ab~\~ac ^ас + + а^с ^abc> (®)
где Да— определитель схемы, получающейся после замыкания ветви а
и размыкания ветвей b и с. Аналогично Дй& определяется при замы-
47
Px — ad, д, =
Р2 = с, д2 = (а + </) (* + *),
Ръ — be, t^ — a + d,
Д~Е P^k=ad (b-\-e) + c (a + d) (b-{-e)-}-bc (a-{-d)t
деревья: adb, ade, cab, cae, cdb, cde, bea, bed,
Px — a, ^i — (d-\-c)(b-\-e)-{-be,
P2^=cd, Д2 =&-]-£,
Рл—bed, Д3 = 1,
Д = Е PkLk^a Krf + f) (* + *)+tel + tt*(b-\-e)-\-bed.
Фиг. 2. Разложение определителя на узловые пары.
кании а, b и размыкании с; каЬс означает, что все ветви а, b и с
замкнуты накоротко. Уравнение (8) можно распространить на четыре
или большее число ветвей в узле. Если Да, Д& и Дс равны, то урав-
нение (8) будет иметь следующий вид:
Д = (а 4- b + с) ba 4~ ab каЬ 4" ас кас 4- be кЬс 4- abc каЬс. (9)
Применение этого разложения к верхнему узлу фиг. 2 дает значение
определителя Д = (a-\-b-{-c) dc-\-ab (d 4- в) 4~ ас (е) 4“ be (d) 4~ abc. Для
сравнения приведем разложение по левому узлу фиг. 2: (а4~^)Х
X (Ьс 4- be + се) ad(b-\- е), что представляет собой компактное вы-
ражение.
Существует также третий вид разложения — разложение по
ветви. Пусть а будет выбранной ветвью, тогда
д = д0 4- аДв»
(10)
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
69
(И)
(12)
(13)
(14)
(15)
на-
где До— определитель, получаемый при условии, когда ветвь а ис-
ключена из схемы, а определитель Да находится, когда ветвь а
коротко замкнута. Рассматривая фиг. 2 в качестве примера, получим,
что = d (Ьс be се) и Да = (# + e)(d-\-с)-\-Ье> так что Д =
= d[(^ + e)c + ^] + a[(^ + ^) (d + c) + ^].
3.4. Топологический закон передачи
цепи
Передача контурной цепи может быть измерена с помощью при-
соединения ветви с источником s и ветви с измерительным прибо-
ром т. Если в схеме имеется несколько источников и измерительных
приборов, то необходимо рассматривать только одну пару одновре-
менно, так как в линейной цепи влияние источников подчиняется
принципу наложения. Несколько дополнительных определений позво-
ляет сформулировать топологический закон передачи.
Передача Т—отношение показания измерительного прибора
к величине активного параметра источника.
Путь передачи — путь, содержащий ветвь измерительного
прибора и два узла источника.
Величина пути передачи — произведение проводимостей
ветвей в &-м пути передачи, где проводимость измеритель-
ного прибора принимается равной единице. При этом поло-
жительный (отрицательный) знак принимается в том случае,
когда ток в &-м пути, создаваемый источником, вызывает
положительное (отрицательное) отклонение прибора.
Алгебраическое дополнение пути передачи (Д')— опреде-
литель цепи, остающейся после того, как &-й путь передачи,
включая измерительный прибор, замкнут накоротко.
Топологическое уравнение передачи (доказательство кото-
рого будет дано ниже) имеет следующий вид:
Т 2^4
д
При вычислении определителя Д в уравнении (15) источники
пряжения и амперметры замыкаются накоротко, а источники тока и
вольтметры исключаются из схемы. Учитывая уравнение (7), тополо-
гическую передачу можно выразить следующим образом:
pk^k
~ 2 ’•
70
ГЛАВА 3
На фиг. 3 показаны применения этой формулы к расчету вход-
ного полного сопротивления или проводимости относительно пары
зажимов. На фиг. 3, а путь передачи содержит только ветвь вольт-
метра. При замыкании вольтметра накоротко алгебраическое допол-
нение пути передачи представляет собой определитель цепи, состоя-
щей из ветвей b и с, соединенных параллельно. На фиг. 3, б имеются
Фиг. 3. Расчет входного полного сопротивления (а) и входной проводи-
мости (tf).
два различных пути передачи, и их нужно учесть при рассмотрении
числителя выражения передачи Т. При определении знаменателя ко-
роткое замыкание измерительного прибора и источника дает цепь,
состоящую из двух узлов, между которыми включены параллельно
проводимости b и с.
Другие примеры приведены на фиг. 4. Заметим, что путь Р' на
фиг. 4, а имеет отрицательный знак, потому что источник тока, по-
сылающий ток через измерительный прибор, стремится вызвать отри-
цательное отклонение стрелки прибора. На схеме фиг. 4, б амперметр
включен последовательно с ветвью d и не указан в виде прибора.
Когда источник напряжения на фиг. 4, б замкнут накоротко, цепь
становится треугольником, три стороны которою имеют величины
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
71
проводимостей, равные с, a~\~d и Ь-\-е. Величины Рх и Р2 пока-
заны на фигуре. .
ae — bd
с (Ь + a) (d 4- е) 4- ab (d 4- е) 4- de (b 4- а)
Фиг. 4. Передачи мостовой схемы.
а — передающее полное сопротивление; б —передающая полная проводимость.
Последний пример приведен на фиг. 5. Многозвенная цепз имеет
один путь передачи при включениях источника и измерительного
p'{--=abc, Aj = l,
P\—adt Ai = (&4- P(c-\-g) + cg,
Р2^ е, Д2 = (а 4- d} К* -Ь /) (<* +£) 4- ^],
Р3=б/, ^ = {a±d)(c+g)t
P^-bcg, =
r__v_____________________________abc________,_______________
i ~ \acl-\-e (a 4-d)H(& i- /) (£ + £) + -r b I/(<" 4-g) 4-^< (« ! d) *
Фиг. 5. Передающее полное сопротивление несбалансированной много-
звенной схемы.
прибора. Этот путь содержит все узлы цепи, и поэтому числитель
уравнения полного передающего сопротивления имеет простой вид.
Определитель Д можно значительно упростить, приняв нижний узел
72
ГЛАВА 3
(показанный жирной линией) и один из верхних близких к центру
узлов для разложения на узловые пары. При этом большинство пу-
тей после закорачивания дадут схему, содержащую две части с одним
общим узлом. Соответствующие алгебраические дополнения равны
произведениям более простых алгебраических дополнений.
4LS. Контурная охема замещения
общей линейной цепи
В цепях, для которых справедлив принцип взаимности, пере-
дающее полное сопротивление (отношение напряжения, измеряемого
вольтметром, к току источника) остается неизменным, когда источник
тока и вольтметр меняются местами. Произвольная линейная цепь
в общем случае не обладает свойством взаимности и имеет различные
оо2 izUUi
ц о ------------—о и2 I=уfut - иг)
L
б
Фиг. 6. Основные линейные элементы цепи,
а —унистор —элемент хина вегви с односторонней проводимостью, б —обычная вегвь —элемент,
подчиняющийся принципу взаимности.
передающие полные сопротивления в разных направлениях. Линейные
схемы замещения электронных и транзисторных усилителей предста-
вляют собою первые примеры таких цепей.
Для того чтобы распространить топологический закон передачи
(15) на электронные цепи, необходимо построить соответствующие
эквивалентные схемы. Эквивалентная схема должна быть достаточно
общей, чтобы с ее помощью можно было характеризовать произ-
вольную линейную цепь, и в то же время достаточно сложной, чтобы
применить простые топологические понятия. Такая эквивалентная
схема может быть построена с помощью основного элемента цепи,
который будем называть унистором. Определения унистора и обыч-
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
73
ной ветви и их сравнение показаны соответственно на фиг. 6, а и б.
Ток в элементе определяется напряжением на его зажимах, и каждый
элемент характеризуется одной комплексной проводимостью и или у.
Однако для полного определения унистора необходимо также указать
направление ветви и обозначить заземленный узел, относительно ко-
торого измеряются напряжения всех остальных узлов. Наличие за-
земленного узла означает, что унистор, строго говоря, является
элементом с тремя зажимами.
Фиг. 7- Элементарные эквивалентные схемы с унисторами.
По существу унистор представляет собой источник тока, упра-
вляемый потенциалом одной стороны этого источника. Следовательно,
унистор аналогичен линейной эквивалентной схеме переменного тока
специального триода с заземленной сеткой, у которого анодная
проводимость мала, а крутизна между сеткой и анодом представляет
собой единственный параметр.
На фиг. 7 даны элементарные схемы включения унисторов и их
топологические эквивалентные схемы. Эквивалентность этих схем
непосредственно вытекает из определения унистора и ветви с дву-
сторонней проводимостью. На фиг. 8, а показана эквивалентная
унисторная схема произвольного четырехполюсника. Путем непосред-
74
ГЛАВА 3
ственной проверки соответствующей матрицы проводимостей схемы
фиг. 8, б легко получить, что
ujk = — ykj для £=#0, /, (17)
ир=1^Укр (18)
«77 = 0, (19)
где ykj представляют собой короткозамкнутые проводимости, опре-
деляемые так, как это показано в предыдущей главе. Мы изменили
индексы в схеме для и по сравнению с нумерацией индексов в схеме
Фиг. 8. Общая эквивалентная схема с унисторами (а) и матрица прово-
димостей короткого замыкания линейной цепи (б).
для у, так как совпадение порядковых номеров у индексов с напра-
влениями унисторов более удобно для топологических доказательств;
например, путь от первого узла ко второму и третьему узлам и
к земле на фиг. 8, а имеет величину и^гз^зо’ и в этом выражении
последовательность индексов согласована с порядковыми номерами
узлов вдоль этого пути. ’
Из уравнений (17) — (19) видно, что можно построить унисторную
схему замещения произвольной линейной цепи. Унисторы нет на-
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
75
добности показывать, потому что они эквивалентны разомкнутым вет-
вям (фиг. 7,6). Для случая Ujk = ukj схема замещения упрощается
и превращается в схему с двусторонней проводимостью (фиг. 7, в и д).
Унисторная эквивалентная схема электронной цепи может быть
получена непосредственно из электронной схемы без использования
матрицы проводимостей в виде промежуточной ступени. Крутизна
лампы в виде управляемого источника с током одного направления
показана в унисторной схеме замещения фиг. 9, а. В эквивалентной
Фиг. 9- Унисторные эквивалентные схемы усилительной лампы с учетом
ее крутизны (а) и транзистора (б).
схеме транзистора передача тока может быть также представлена
крутизной, как показано на фиг. 9, б. Схема триода с заземленной
сеткой и схема транзистора с заземленным эмиттером имеют простые
унисторные эквивалентные схемы, потому что два унистора из трех
в этих эквивалентных схемах представляют собой разомкнутые цепи.
Для эквивалентных схем, содержащих унисторные трехполюсники,
такие, как на фиг. 9, выбор заземленного узла произволен, так как
равные изменения потенциалов всех трех узлов изменяют токи в тре-
угольнике, составленном из унисторов, но не изменяют токи, выхо-
дящие из этого треугольника в остальную схему. Таким образом,
треугольник из унисторов, отображающий крутизну, представляет
собой „плавающий элемент", т. е. не имеющий определенного потен-
циала относительно земли и который можно включить в любую цепь
независимо от того, какой узел заземлен в этой схеме.
Идеальный трансформатор представляет собой другой элемент
цепи, который можно заменить эквивалентной схемой и упростить
топологические представления свойств такого трансформатора. На
фиг. 10 показана эквивалентная схема идеального трансформатора.
Здесь унисторы не требуются, потому что идеальный трансформатор
подчиняется принципу взаимности. Эквивалентные схемы, показанные
76
ГЛАВА 3
на этом рисунке, получаются из сравнения матрицы проводимостей
трансформатора с нагрузкой в виде проводимости у и схемы заме-
Ф и г. 10. Схемы замещения идеального трансформатора.
3.6. Топологический закон передачи
общей линейной цепи
Чтобы распространить топологический закон передачи на схемы,
содержащие унисторы, необходимо ввести только два ограничения.
Заземленным узлом должен быть один из зажимов измерительного
прибора. (20)
Фиг. 11. Передача схемы, содержащей унисторы.
Дерево или путь не оказывают влияния, и ими необходимо
пренебречь, если любой унистор, находящийся в этом дереве
или пути, имеет направление от земли. (21)
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
77
Поэтому следует учитывать только те деревья или пути, в кото-
рых все унисторы направлены к земле. Разложения определителей
(7), (9) и (10) можно применять, если выбросить все члены, соот-
ветствующие неучитываемым деревьям цепи.
На фиг. 11 показан пример, из которого видно, что путь пере-
дачи bed (включая прибор) не следует учитывать, потому что уни-
стор d направлен от земли в этом пути.
Разложение определителя выполняется относительно двух узлов,
показанных жирными точками на фиг. 11; один из узлов заземлен,
что гарантирует в каждом пути разложения наличие заземленного
узла. В противном случае правило (21) не удовлетворяется. Путь ab
Катод
Фиг. 12. Определитель ламповой унисторной эквивалентной схемы.
не следует учитывать при расчете Д, так как унистор а направлен
от земли, и этим путем пренебрегаем. Дерево abe также не учи-
тываем, так как путь ab направлен от земли. Унистор а появляется
в алгебраических дополнениях путей с и de, так как унистор а об-
разует учитываемый путь в цепи, остающейся после короткого за-
мыкания с или de.
Правило (20) удовлетворяется при рассмотрении всех путей пере-
дачи, содержащих унисторы. При расчете определителя цепи, однако,
выбор точки заземления произволен, когда унисторы появляются
в виде неопределенных трехполюсников. На фиг. 12, а показано раз-
ложение по путям для простой схемы, эквивалентная ламповая схема
которой содержит крутизну. Хотя расположение заземленного узла
в схеме замещения произвольно, разложение по путям может упро-
ститься при заземлении узла сетки, как показано на фиг. 12, б. При
этом следует учитывать только один из трех унисторов. Поэтому,
очевидно, что определитель не может содержать квадрат крутизны $.
Г8
ГЛАВА 3
Рассмотрение различных деревьев, которые нужно учитывать в общей
цепи, содержащей крутизну, показывает, что определитель можно
разложить следующим образом:
(22)
где
P"k — k-й путь между сеткой и анодом, внешний относительно е
и не касающийся катода; (23)
Д"— величина Д при крутизне е, равной нулю; (24)
Д£— алгебраическое дополнение P"k при катоде, замкнутом на
сетку или анод. (25)
Применение этого общего выражения к схеме фиг. 12 дает
Д" = а£; Р" = а; Д" = 1, так что & — ab-\~sa.
3.7. Анализ схемы катодного повторителя
Схема катодного повторителя показана на фиг. 13, а. Поскольку
потенциал анода считается постоянным, то источник входного напря-
жения оказывается включенным между анодом и сеткой в линейной
s°k
е ~s+zP + Qk
Фиг. 13. Передающая проводимость катодного повторителя.
эквивалентной схеме фиг. 13, б. На этой схеме существует только
единственный путь, который нужно учитывать, так как унистор,
включенный между сеткой и катодом, в этом пути направлен к из-
мерительному прибору. Чтобы вычислить определитель цепи, замкнем
накоротко источник напряжения и амперметр, при этом два положи-
тельных унистора соединяются параллельно между собой и образуют
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
79
крутизну соединенную параллельно с проводимостями Gk и gp.
Не имеет значения, какой из двух остающихся узлов выбрать для
заземления, так как определитель ог этого не изменяется. Можно
получить те же самые выводы, если учесть, что когда источник и
измерительный прибор замкнуты накоротко, то два унистора вклю-
чаются параллельно, что эквивалентно простой ветви, подчиняющейся
принципу взаимности (фиг. 7, д).
3.8. Анализ схемы триодного усилителя
Схема триодного усилителя показана на фиг. 14, а, а линейная
эквивалентная схема — на фиг. 14, б. Непосредственное применение
05
б
д1=°* + ^+*>+5’
л" =*/ [°* (Sg+gp + OS + Qb) 4- (gg+gp) (O5 + Oft)] +
+ ftfp (°, + °k + °o) + °s°b («g + °k + «p> +
+egokGb+gpokas,
й1 = ^ + Ой+°Ь>
4=’-
44+44
е2
е8 Д +ЧР1Д1 + Р2Д2)
Фиг. 14. Схема и уравнения триодного усилителя напряжения с обрат-
ной связью.
топологических правил дает уравнение передачи. Знаменатель вычи-
сляется с помощью специального разложения (22). Соответственно
можно применить разложение пути (7), при этом для удобства сле-
дует заземлить сетку.
80
ГЛАВА 3
3.9. Анализ схемы транзисторного
усилителя
На фиг. 15, а показана схема транзисторного усилителя, а на
фиг. 15,(7 — его эквивалентная схема. Крутизна транзистора между
эмиттером и коллектором равна age где а — коэффициент передачи
а б
Р'1 = °b°c' \==gb + gc + Se- а&е*
p'2=8b(gc-<>ge)ac, д2=1-
р.=^. й1=(^+°о)(^+0Д
p2=sbob, ^ее+ас>
рз-°с^е-аге)< ^=sb+ab'
f2 _ °Ьас1«ь + «с + ^-а)ее]+еьОс(^с-а^е)___
1 «с ^b + °b) + ° с) + Ч°Ь (^ + Ос) + <1 - а> + °b) Se°c
и при большом ge
l2 у [(1-*)^-^]°,
Z1 ^b + Ob)^^Ob + ^-a4Sb + Ob)Oc ’
Фиг. 15- Схема и уравнения транзисторного усилителя тока.
тока транзистора в схеме с общей базой и ge — проводимость эмит-
тера. Заметим, что знаки проводимостей унистора в этом случае
противоположны тем знакам, которые получаются в схеме замеще-
ния электронной лампы. Изменение знака означает, что усиление от
эмиттера к коллектору положительно, тогда как усиление от сетки
к аноду отрицательно.
Если проводимость эмиттера ge предполагается очень большой,
то усиление тока приближается к выражению, указанному в послед-
ней строке фиг. 15. Эта предельная форма может быть получена
непосредственно, если только записать соответствующий путь или
$го алгебраическое дополнение, содержащее g$.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
81
3.10. Гиристор и гиратор
Унистор представляет собой эквивалентную схему с ветвями,
отображающую передачу в одном направлении, которая, например,
имеет место в электронных лампах и в транзисторах. Однако для
более общего анализа полезен другой основной элемент цепи, назы-
ваемый гиристором.
Определение тиристора дано на фиг. 16, а, где для сравнения
приведена обычная ветвь, подчиняющаяся принципу взаимности
д
4°-------------oyf i-g(v^vz)
L *
a
Vi0'............ -° v?t l=y(Vi-Vz)
I
6
Фиг. 16. Основные линейные элементы схемы,
а —гиристор —элемент типа ветви с односторонней проводимостью; б—обычная ветвь —эле-
мент, подчиняющийся принципу взаимности.
(фиг. 16, б). Ток тиристора вызывается потенциалами на обоих его
зажимах, но этот эффект несимметричен. При увеличении напряже-
ния v1 посылается ток, идущий направо, а уменьшение напряжения v2
вызывает ток, протекающий налево (фиг. 16, а).
Элементарные эквивалентные схемы тиристоров показаны на
фиг. 17. Поскольку гиристор можно заменить двумя унисторами,
как показано на фиг. 17, е, то топологический закон передачи
схемы, содержащей тиристоры, можно получить непосредственно из
законов для унисторов (15), (16), (20) и (21). Из применения урав-
нений (15) и (16) следует, что
Заземленный узел расположен на одном из зажимов измери-
тельного прибора (26)
Величина дерева или пути умножается на —1 для каждого
тиристора, направленного от земли и находящегося
в этом дереве или пути. (27)
§ Зак. 1115.
82
ГЛАВА 3
Фиг. 17- Элементарные эквивалентные схемы с тиристорами.
Симметричный трехполюсник, состоящий из тиристоров (фиг. 18, а),
называется гиратором. Гиратор, подобно эквивалентной схеме,
содержащей крутизну (фиг. 9, а), представляет собой неопределенный
Фиг. 18. Гиратор.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
83
(незаземленный) элемент, и его наличие в цепи не ограничивает вы-
бора заземленного узла. Используя законы передачи, можно вычи-
слить напряжение холостого хода и ток короткого замыкания для
схемы фиг. 18, б и получить таким образом эквивалентную схему
Фиг. 19. Гираторная эквивалентная схема идеального трансформатора.
Тевенена, показанную справа. Если в схеме фиг. 18, б проводи-
мость g равна единице, то эквивалентная схема относительно зажи-
мов уу' точно дуальна относительно зажимов xxf первоначальной
схемы. Другими словами, гиратор похож на идеальный трансформа-
тор, за исключением того, что коэффициент передачи напряжения
(тока) гиратора равен коэффициенту передачи тока (напряжения)
идеального трансформатора на выходной паре зажимов уу'. По-
скольку указанное изменение тока и напряжения не изменяет мощ-
ности, то гиратор представляет собой пассивный элемент, не имеющий
потерь (см. разд. 2.14). Так как двойная перемена ролей токов и
напряжений снова приводит к прежней схеме, подобной идеальному
трансформатору, то два гиратора дают возможность составить топо-
логическую эквивалентную схему для идеального трансформатора
(фиг. 19). Отношение проводимостей гиратора (справа налево) равно
отношению витков трансформатора (слева направо).
Определение тиристора и гиратора приводит к общей эквива-
лентной схеме и матрицам проводимостей, показанным на фиг. 20.
Для цепи, содержащей п-^1 узлов, общая схема замещения должна
иметь п (п -j- 1)/2 обычных ветвей и п(п—1)/2 гираторов. Вводя
параметры проводимостей короткого замыкания (т. е. пользуясь
матрицей проводимостей короткого замыкания), можно выразить
проводимости обычных ветвей следующим образом:
bjk = — Ук/) для ^=£0’ /» (28)
п
м* <29)
k~\
(30)
6*
84
ГЛАВА 3
причем bjk и bkj относятся к одной и той же ветви. Проводимости
гиратора можно выразить в виде
= —У*/)-
(31)
при этом gjk и —gkj—это различные обозначения одного и того же
гиратора. Порядок индексов гиратора указывает направление обхода
гиратора, и изменение порядка индексов эквивалентно изменению
положительного направления.
Возьмем теперь в качестве опорного первый узел вместо узла О
(фиг. 20); при этом эквивалентная схема будет содержать вместо
*10 4" ^12 4- ^31 — ^12 — ^31
— Ь12 ^20 + ^12 4' ^23 ““ ^23
— ^31 — ^23 j | ^30 4* ^23 4- ^31
у — симметричная часть у,
vx v2 v3
*1 0 £12 | ~£м
Z? -£12 и 1 £23
h £31 — £23 и
Уа — несимметричная часть у.
Фиг. 20. Общая эквивалентная схема с гираторами g и обычными
ветвями b вместе с симметричными и несимметричными частями матрицы
проводимостей короткого замыкания.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
85
гиратора g23 новый гиратор с зажимами, присоединенными в первом,
втором и третьем узлах. Следовательно, в общей эквивалентной
схеме, составленной из обычных ветвей и гираторов, положение
гираторов зависит от заземленного узла. Обычные ветви можно рас-
сматривать как элементы, соединяющие каждую пару узлов. Гира-
торы можно наглядно представить в виде треугольных мембран,
каждое ребро которых совпадает с одной ветвью. Как ветви дерева
не должны образовывать каких бы то ни было замкнутых контуров,
так и гираторы, представленные в виде мембран, не должны обра-
зовывать каких бы то ни было замкнутых объемных пространств
(карманов). В цепи с п-f-l узлами совокупность мембран гираторов
имеет п(п—1)/2 треугольников, соединяет все пары элементов и не
образует замкнутых карманов. Достаточно вообще только двух из
этих ограничений.
Возвратимся теперь к цепи, содержащей ветви, в которой имеется
гиратор, и проверим влияние проводимости гиратора на величину
определителя цепи. Гиратор содержит три ветви из тиристоров. Все
деревья цепи могут быть разделены на три класса: не содержащие
ветвей гираторов, содержащие одну ветвь гиратора и содержащие
две ветви гираторов. При выборе узла, который надо заземлить,
нужно найти деревья, содержащие только одну ветвь гира-
тора, в виде пары тиристоров, величины которых равны, но знаки
противоположны. Следовательно, деревья, содержащие только, одну
ветвь с гиратором, можно не учитывать при расчете величины
определителя. Кроме того, деревья, содержащие по две гираторные
ветви, существуют тройками, величины которых одинаковы, за
исключением знаков. При любом заземленном узле можно показать,
что квадрат проводимости гиратора два раза (из трех) входит
с положительным знаком и третий раз с отрицательным. Как след-
ствие этого можно разложить определитель Д в виде
Д = (Д при гираторе, исключенном из схемы) 4~g2 (Д при
гираторе, замкнутом накоротко). (32)
В функциональных обозначениях
Д(£) = Д(О) + £*ДГ (33)
где Д^ — алгебраическое дополнение определителя гиратора. Если
схема содержит больше одного гиратора, Д(0) и Д^ можно разло-
жить отдельно, используя параметры одного, затем другого гиратора
и т. д. до тех пор, пока квадраты проводимостей гиратора будут
частично разложены на множители. (Два гиратора, имеющие общие
три зажима, конечно, эквивалентны одному гиратору и поэтому не
подходят для отдельного разложения.)
Применение топологических правил передачи для цепей с гира-
торами и тиристорами показано на фиг. 21. Помня об эквивалент-
86
ГЛАВА 3
ности гиратора и тиристора (фиг. 18, а), находим два пути передачи
через гиратор. Первый путь передачи состоит из верхней ветви
тиристора и из ветви измерительного прибора. После короткого
замыкания этих ветвей остается ветвь Ь, включенная параллельно
с двумя противоположно включенными тиристорами. Такое включение
тиристоров эквивалентно размыканию цепи (фиг. 17, г). Отсюда
находим величину Дь приведенную на фиг. 21. Второй путь передачи
содержит измерительный прибор и два нижних тиристора в гираторе.
= д2=1’
Ь(0)-аЬс, \-b-\-c,
v_^ +
i abc + g2 (a + £>+ c)
Фиг. 21. Передающее полное сопротивление схемы, содержащей
гиратор.
Оба тиристора входят в выражение величины пути с отрицатель-
ным знаком, потому что каждый из них направлен от прибора в этом
пути. Определитель вычисляется по формуле (33).
Найдя уравнение передачи, приведенное на фиг. 21, можно легко
получить выражение передачи в обратном направлении. При замене
местами источника и измерительного прибора проводимость гира-
тора g изменяет знаки в выражениях Pi и Р2. Знаменатель полного
передающего сопротивления остается неизменным, а числитель ста-
новится равным —g(b— g). Следовательно, выбирая Ь, равным g,
получим цепь с односторонней проводимостью, обратное полное
передающее сопротивление которой исчезает. Этот пример подчер-
кивает тот факт, что пассивная цепь не всегда является взаимной.
ЭЛ- Вывод топологического закона
передачи
В разд. 3.5 было показано, что произвольную линейную цепь
можно представить схемой с унисторами. Матрица проводимостей
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
87
унисторной ц<?пи имеет следующий вид:
СМ СО w 1 1 1 ^21 и31 * * * ип\ 2 U32 • • • Un2 и23 2 ’ • * Un3 (34)
Мы полагаем зде _ - ит сь, что ^2п и3п • • • 2 - цепь имеет п —|- 1 узлов, пронумерованных
от 0 до я, причем пулевой узел заземлен, суммирование, указанное
в уравнении (34), выполняется при £ — О, 1, 2, ...» п; при этом
и.. _=0. Пусть теперь
— определитель матрицы проводимостей схемы, (35)
—сумма учитываемых деревьев схемы (т. е. тех деревьев,
которыми нельзя пренебрегать). (36)
Первая задача состоит в том, чтобы показать, что и Дг
равны. Вычисление определителя матрицы (35) указывает, что опре-
делитель равен сумме произведений элементов матрицы, взятых
и раз, причем в произведении нет двух элементов, взятых из одной
и той же строки или одного и того же столбца. Из уравнения (34)
видно, что Дм есть сумма членов, каждый из которых представляет
собой произведение проводимостей унисторов, причем
ulk и Ujj не могут появиться одновременно в одном и том же
слагаемом (37)
Другими словами, в одно слагаемое не могут входить проводи-
мости двух унисторов, выходящих из одного и того же узла цепи.
Однако два или большее число унисторов могут быть присоединены
к одному и тому же узлу.
Рассмотрим возможные расположения в цепи п унисторов, по-
являющихся в одном слагаемом Эта цепь содержит узлов,
так что дерево должно иметь п ветвей. Следовательно,
Слагаемое представляет собой или дерево, или замкнутый
контур. (38)
Если слагаемое содержит контур (т. е. когда два или большее число
унисторов, связанных с этим слагаемым, образуют контур в схеме),
тогда все унисторы в этом контуре имеют одно и то же направле-
ние, иначе соотношение (37) не удовлетворяется.
Покажем теперь, что контур невозможен. Предположим, что кон-
тур содержит унисторы н12, я23, н34 и и41. При указанном выборе индек-
сов общность сохраняется, поскольку нумерация узлов произвольна
88
ГЛАВА 3
(за исключением заземленного узла, который не может появиться
в контуре, потому что унисторы zzOy отсутствуют). В матрице прово-
димостей сложим первую строку со второй строкой и затем сло-
жим вторую строку с третьей и третью с четвертой. После этих
операций величина Дм остается неизменной. Из соотношения (34)
следует непосредственно, что четыре проводимости унисторов по»
являются только в следующих местах матрицы и нигде больше
«12 ~ «41 (39)
«23 — «41
«34 — «41
Следовательно, произведение «i2«23w34H4i не может появиться в виде
слагаемого Д^, так как эти элементы нельзя выбрать из четырех
отдельных строк. Эти соображения, очевидно, относятся к любому
числу унисторов в контуре и поэтому являются общими.
Исключив контуры, возвратимся к деревьям. Рассмотрим дерево,
которым нельзя пренебрегать, т. е. в котором все унисторы напра-
влены к земле. Если изменить направления некоторых унисторов,
то соотношение (37) не удовлетворяется. Кроме того, нельзя изме-
нить направления всех унисторов, потому что унисторы отсут-
ствуют. Следовательно,
Все слагаемые Д^ представляют собой унисторные деревья,
которые необходимо учитывать (потому что в этих де-
ревьях все унисторы направлены к земле). (40)
Осталось только показать, что все такие унисторные деревья в схеме
входят в виде слагаемых Д^ и имеют коэффициенты, равные еди-
нице. Каждый узел в дереве, которым нельзя пренебрегать (кроме
заземленного узла), имеет один и только один унистор, выходящий
из этого узла. Выберем любое такое дерево uxia2jUZk .. . ипг. В ма-
трице проводимостей сложим первую строку с /-й строкой, затем
сложим вторую строку с /-й строкой, третью строку с &-й строкой
и т. д. После первого суммирования унистор ии появляется только
на главной диагонали в первой строке и в первом столбце. Ни одно
из последующих суммирований не изменяет этого положения, по-
скольку ии нет в других строках. После второго суммирования
унистор u2j постоянно остается во второй строке и во втором
столбце и нигде больше. То же самое можно сказать о всех после-
дующих унисторах дерева. Конечно, один из элементов дерева дол-
жен быть некоторым унистором upQ, присоединенным к заземленному
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
89
узлу. При переходе к этому узлу не следует выполнять какого бы
то ни было суммирования строк, так как ир0 уже существует
в р-й строке и столбце и нигде больше. После окончания этого
L
Ф и 22» Измерение передающего полного сопротивления (а); эквива-
лентная схема (Ь)\ возможные типы допустимых унисторных деревьев
эквивалентной схемы (с — g).
процесса унисторные деревья расположены только вдоль главной
диагонали матрицы и каждое из них имеет коэффициент, равный 4-1.
Следовательно,
Все деревья (которыми нельзя пренебречь), содержащие уни-
сторы, появляются в виде слагаемых выражения Д^. (41)
Окончательно, учитывая (40) и (41), получим
02)
90
ГЛАВА 3
После получения уравнения (42) можно доказать топологический
закон передачи. На фиг. 22, а показана унисторная схема с присо-
единенным источником и измерительным прибором. Один зажим при-
бора заземлен. Пусть
Z — передающее полное сопротивление v/i цепи на
фиг. 22, а, (43)
— определитель схеМы фиг. 22, а, (44)
Дж — определитель схемы фиг. 22, Ь, включающей унисторы
и и — и. (45)
Пусть также
«=4- • <4б>
Отсюда следует, что
Дж —0, (47)
если и есть величина, обратная Z; при этом унисторы в цепи
фиг. 22, b посылают одинаковые токи в скрытые узлы, и, следова-
тельно, удовлетворяются уравнения равновесия схемы. Учитывая (42),
можно вычислить Ал как сумму деревьев (которыми нельзя прене-
бречь) цепи, изображенной на фиг. 22, Ь. Ни одно учитываемое
дерево не может содержать оба унистора: и и — и\ определенные
конфигурации деревьев, содержащих только один из этих двух уни-
сторов, также запрещены требованиями, состоящими в том, что все
унисторы в дереве должны быть направлены к земле. Учитываемые
деревья встречаются в схемах, показанных на фиг. 22, с— g. Ка-
ждая схема содержит пути между внешними узлами, указанные
стрелками внутри четырехугольника. Пусть
Tk — сумма учитываемых деревьев в А-й части фиг. 22 (48)
и, в частности, пусть
Тс = иС, (49)
Td = uD, (50)
Те—— иЕ, (51)
Tf = - uF. (52)
Кроме того,
7^=ДГ. (53)
Теперь из уравнений (49) — (53) находим, что
Дж == и (£ D Др (54)
Из сравнения фиг. 22, d и f видно, что
D = F, (55)
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
91
11 из уравнений (46), (47), (54) и (55) непосредственно следует, что
2 = ^^- (56)
т
Если включить схему фиг. 22, е в цепь, изображенную на
фиг. 22, а, то станет очевидным, что деревья типа фиг. 22, е со-
здают положительные пути передачи между измерительным прибором
и источником. Аналогично деревья типа фиг. 22, с связаны с отри-
цательными путями передачи. Таким образом, Е представляет собой
часть числителя топологического закона передачи (15), возникающую
от положительных путей передачи и их алгебраических дополнений,
тогда как С относится к отрицательным путям передачи и их алге-
браическим дополнениям.
Это устанавливает топологический закон передачи, определяющий
передающее полное сопротивление схемы с унисторами. Справед-
ливость этого закона для источников напряжения или тока легко
вытекает цз элементарных преобразований источников и из закона
Ома. Так как тиристоры и обычные ветви могут быть определены
через унисторы, то топологические законы, применяемые к тиристо-
рам и обычным ветвям, могут быть получены из соответствующих
законов для унисторов.
3.12. Исключение узла
Чтобы закончить материал предыдущего раздела, рассмотрим
исключение узла. Предположим, что унисторная цепь /V, имеющая
п узлов, обладает первыми г узлами, доступными для измерений.
Рассмотрим также другую унисторную цепь N', имеющую г узлов,
причем все они доступны для измерений. Путем определения уни-
сторных проводимостей u'.k в цепи N' можно сделать цепи N н N'
эквивалентными в той мере, в какой измерения в доступных узлах
могут обнаружить эту эквивалентность. В таком случае получается,
что цепь /V' эквивалентна цепи W относительно полученной системы
доступных узлов. Соответственно можно сказать, что N' предста-
вляет собой остаток цепи Nt полученный посредством исключения
недоступных узлов.
На фиг. 23 показано исключение одного узла. Чтобы гарантиро-
вать эквивалентность остатка, достаточно приравнять каждую прово-
димость кототкого замыкания оставшейся схемы соответствующей
проводимости, измеренной на доступных узлах первоначальной схемы.
Можно показать, что общее правило для исключения р-го узла
92
ГЛАВА 3
выражается следующим уравнением:
u/k ujk
ujpupk
2 upi
i
(57)
где, конечно, = u'.j — 0.
Один из способов расчета передачи Т цепи состоит в преобра-
зовании цепи путем исключения одного узла за другим до тех пор,
Ф и г. 23. Исключение узла.
а — первоначальная звезда; б —схема, полученная после исключения пятого узла; в схемах
виг передающие проводимости одинаковы.
пока останутся только узлы источника и измерительного прибора.
Тогда остаток будет содержать девять унисторов (или четыре, если
источник и прибор имеют общую землю) и цепь сводится к простой
схеме моста. Метод исключения узлов очень полезен для численных
расчетов, но довольно трудоемок при буквенных обозначениях.
Исключение узла изменяет топологию схемы, и возникает вопрос
о влиянии такого преобразования на величину определителя цепи.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
93
Ответ хотя и не очевидный, но относительно простой. Пусть ма-
трица проводимостей схемы умножается на определенную элементар-
ную матрицу, имеющую элементы на главной диагонали, равные
единице, и элементы, отличные от нуля только в первой строке:
Уи У12 У;з • • • Ут 1 У|2 Уп У13 Ун У\п ~ Уи
У21 У22 3’23 • • Ут 0 1 0 .. 0
У31 У 32 З’зз • • Ут 0 0 1 0 • (58)
_У,,1 Уп2 УлЗ • • • Упп - _0 0 0 .. 1
Произведение этих матриц равно
“ уп 0 0 ... 0 У21 3*22 У23 •• • у'т З’з1 З’зг З’зз • • • Узп _Уп1 Уп2 У'пЗ • • • З’™. (59)
где yjk— ukj> J (60)
(61)
3’^ =+ъ» • (62)
Теперь пусть 1 (63)
следовательно, з*л (64)
(65)
Таким образом, последние (п— 1) строк и столбцов в выражении (59)
принадлежат матрице проводимостей схемы, полученной после исклю-
чения первого узла. Пусть
А — определитель первоначальной схемы, (66)
Д' — определитель схемы, остающейся после исключения пер-
вого узла. (67)
94
ГЛАВА 3
Поскольку умножение матрицы на элементарную матрицу не из-
меняет величины определителя, из уравнений (58) и (59) следует, что
Д = УПД', (68)
или при исключении произвольного р-го узла
урр 2 upi
i
Следовательно,
При исключении р-го узла определитель Д' полученной схемы
равен определителю Д первоначальной схемы, деленному
на проводимость урр<короткого замыкания. (70)
(69)
ЗАДАЧИ
3.1. Составить необходимые и достаточные определения и правила,
которые допускают применение законов
для анализа цепей, подчиняющихся принципу взаимности. Начина1ь с опре-
делений „цепи* и „передачи*.
Фиг. 24.
3.2. Найти Z2/Z| и Z3/Z| для фиг. 24, а, на которой буквами обозначены
проводимости ветвей. Определить v2li\ для схемы фиг. 24, б.
3.3. Найти передачу от источника до измерительного прибора для каждой
схемы фиг. 25. Буквами обозначены проводимости ветвей. Правила неспра-
ведливы для фиг. 25, а. Объяснить это.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
95
3.4. Найти число деревьев в схеме, ветви которой представляют собой
ребра куба.
3.5. Применяя топологические законы передачи, доказать, что 0^
<. (imUs) < 1 для схемы, состоящей из положительных сопротивлений, когда
источник is и прибор im имею*г общую землю.
а
3.6. Применяя топологические законы передачи, доказать, что 0^
< (vmlvs) < 1 для схемы с положительными сопротивлениями.
3.7. Если определитель А представлен суммой деревьев цепи, доказать
справедливость „разложения пути* А = 2 гДе ?k есть Л-й путь между
двумя выбранными узлами и А/г — алгебраическое дополнение пути
96
ГЛАВА 3
3.8. Доказать, что определитель цепи Д есть произведение определи-
телей отдельных частей. Дать определение отдельной части.
3«9« Применяя топологические законы, доказать, что для схемы, под-
чиняющейся принципу взаимности:
а) передающие полные сопротивления холостого хода в противополож-
ных направлениях одинаковы;
б) передающие проводимости короткого замыкания в противоположных
направлениях равны;
в) коэффициент передачи напряжения в режиме холостого хода в одном
направлении равен отрицательной величине коэффициента передачи тока
в противоположном направлении. Этот пример удобен для описания прин-
ципа взаимности в эквивалентной схеме идеального магнитного трансформа-
тора. Почему?
3.10. Применяя топологические законы, доказать, что, если А — любая
ветвь схемы, то внутреннее полное сопротивление относительно зажимов
этой ветви равно
2 — А (при замкнутом накоротко)
~~ Д (при А разомкнутом)
3.11. Показать, что в схеме, состоящей из сопротивлений ветвей, рав-
ных 1 ом, определитель Д равен числу различных деревьев.
3.12. В схеме, состоящей из сопротивлений ветвей, равных 1 ом, вну-
треннее сопротивление схемы относительно некоторой ветви А равно R.
При удалении ветви А число деревьев уменьшается от t до /0. Переключе-
ние ветви А к некоторой другой паре узлов дает внутреннее сопротивление
схемы относительно этой ветви А, равное /?', а число деревьев при этом
увеличивается от tQ до Применяя топологические законы, доказать, что
т=тг- £=1+*'-
3.13. Пусть Ду — определитель из проводимостей уравнений узловых
напряжений цепи, а Дг — определитель из полных сопротивлений уравнений
контурных токов цепи. Доказать на примерах, что отношение Ду/Дг равно
произведению проводимостей ветвей.
3.14. В уравнении топологического закона передачи 7 = Р^Д^/ Д
умножить числитель и знаменатель на произведение полных сопротивлений
ветвей схемы и затем попытаться вывести правило для определения Т не-
посредственно через полные сопротивления ветвей. (Совокупность ветвей,
исключение которых из> схемы разрывает все контуры, называется „сово-
купностью сцепления*. Эта совокупность представляет собой дополнение
или дуальную систему относительно первоначального дерева.) Применить
полученные правила к цепи, содержащей простое кольцо ветвей.
3.15. Если определитель Д представлен в виде суммы деревьев, дока-
зать справедливость „узлового разложения*
Д = аДд + Ь&ь -|- сДг +
+ + acbac + ЪсАЬс
+ abckabc,
где а, Ь, с —ветви, присоединенные к выбранному узлу, и Д/у есть опре-
делитель Д остающейся схемы, после того как ветви i и j замкнуты, а все
другие ветви выбранного узла отсоединены. (Очевидно, что к узлу могло
быть присоединено больше трех ветвей.) Доказать, что Да = Д* = Д<?.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
97
3.16. Если определитель Д представлен в виде деревьев, го доказать,
что разложение по ветви Д = Д0 + лДа, где До есть определитель остав-
шейся схемы, после того как ветвь а отсоединена, а Дд представляет собой
определитель, когда ветвь а замкнута. Другими словами,
Д=/(а)=/(0) + а
df(a)
да
3.17. Измерить проводимость Y{ между парой узлов и затем соединить
эти два узла. Измерить К2 между второй парой узлов и затем соединить их.
Продолжить описанный процесс вплоть до определения величины Yn_x, где
п—число узлов в первоначальной схеме. Доказать, что
Д = Г,К2Г, ...
3.18. Разомкнуть ветвь и измерить проводимость У| в месте разрыва.
Разомкнуть другую ветвь (оставив первую ветвь разомкнутой) и измерить
проводимость К2 у зажимов второй ветви. Продолжить этот процесс до тех пор,
пока все контуры в схеме будут разомкнуты. Доказать, что (KfK2 ... Ym) (A)
равно произведению проводимостей ветвей. Выразить число контуров т
через число ветвей b и число узлов п первоначальной схемы.
3.19. Пусть Yk есть сумма проводимостей ветвей, присоединенных
к узлу k. Показать, что для цепи с п узлами
A-[W3 ... Г^]*,
где звездочкой обозначено умножение, выполненное по правилам специаль-
ной алгебры.
( 0, если х и у та же ветвь,
ху =
( лу, если х и у различные ветви;
, ( 0, если х и у та же ветвь,
+ уя ,
v х + У, если х и у различные ветви.
3.20. Составить схему из восьми узлов и восьми ветвей, имеющую
максимальное число деревьев.
3.21. Повторить задачу 3.20 для девяти ветвей.
3.22. Повторить задачу 3.20 для двенадцати ветвей.
3.23. Показать, что число деревьев в „полной" схеме (в которой вклю>
чена ветвь между каждой парой узлов) равно дл“2, где п — число узлов.
Указание: принять проводимость каждой ветви равной 1 ом~х и найти
величину определителя проводимостей.
3.24. Показать, что сопротивление между двумя узлами в полной схеме,
составленной из одноомных сопротивлений, равно 2/л. Указание: исполь-
зовать симметрию.
3.25. Применяя топологические законы передачи, найти коэффициент
передачи напряжения параллельного Т-образного моста RC, нагруженного
на сопротивление /?0.
3.26. Используя эквивалентную схему трансформатора, найти входное
полное сопротивление vxfix и коэффициент передачи напряжения v2lvx для
схемы фиг. 26. Указание: сначала построить эквивалентную схему,
в которой v2 и V! имеют общий потенциал.
7 Зак. 1115.
98
ГЛАВА 3
3.27. Найти v2lv\ и ijvx для схемы фиг. 27, полагая, что проводи-
мость G равна такому значению, при котором частотная характеристика Zj/vi
минимальна. Пусть GQ = yrC/L.
3.28. Показать, что удаление из схемы /-го узла у всех присоединен-
ных к нему ветвей (кроме узлов источника и прибора) не влияет на передачу
Фиг. 26.
цепи, если при этом проводимость каждой новой ветви между узлами J и k
заменена на
У jk — yjk^-
yjtyik
2 yir'
Такое исключение узла называется преобразованием звезды в многоугольник.
3.29» Показать, что исключение Z-го узла путем применения преобра-
зования звезды в многоугольник дает новую цепь, определитель которой Д'
связан с первоначальным определителем Д следующим образом:
Д = Д'£ Угг-
Г
3.30. Показать, что передача Т цепи выражается в виде линейной
рациональной функции заданной проводимости ветви у, т. е.
т А^-Ву
“ C + Dy ’
где параметры Л, В, С, D зависят только от проводимостей других ветвей
и не зависят от проводимости у..
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
99
3.31. Доказать топологический закон передачи для линейной цепи,
обладающей свойством взаимности.
3.32. Вычислить А тетраэдра, показанного на фиг. 28, путем;
а) суммирования всех деревьев;
б) разложения по путям;
в) разложения относительно узла;
г) разложения по ветви;
д) применения специальной алгебры (задача 3.19).
3.33. Вычислить А цепи фиг. 29 путем:
а) исключения некоторых узлов с помощью преобразования звезды
в многоугольник и последующего применения результатов задачи 3.29;
б) умножения суммы различных произведений полных сопротивлений
на произведение проводимостей ветвей.
Фиг. 30.
3.34. Пусть Ау^ обозначает определитель А цепи, когда узлы J и k
соединены. Иллюстрировать простым примером, что А12 = Д2з + Д31 для цепи,
показанной на фиг. 30, и обосновать общность этого положения.
3.35. Цепь имеет нечетное число узлов, которые нумеруются по порядку
от 1 до п; каждая ветвь с сопротивлением 1 ом соединяет каждый четный
узел с каждым нечетным. Найти сопротивление R: а) меж ту двумя четными
узлами; б) между четным и нечетным узлами. У казакие: использовать
симметрию.
7*
100
ГЛАВА 3
3.36. Найти передающее полное сопротивление v2/i\ последовательно
включенных мостовых Т-образных схем, показанных на фиг. 31. Можно при-
менить выражение, приведенное в задаче 3.34.
3.37. На фиг. 32 показана схема, содержащая две подсхемы / и 2,
соответственно при разомкнутых и замкнутых внешних зажимах и анало-
гично для подсхемы 2, Показать, что равенство из задачи 3.34 может быть
выражено в форме Д = Д^Ч- где д — определитель полной схемы,
показанной на фиг. 32. Какова физическая интерпретация частного Д/Д',
если Д'= Д1Д2?
Унистор et о [> о ег i * yet , w* Ь
Гиристор У et о оог L Фиг. 33.
3.38. Унистор и гиристор показаны на фиг. 33. Найти варианты топо-
логических законов передачи, которые необходимы для расчета цепей,
содержащих унисторы и тиристоры.
3.39. Применяя топологические законы передачи для цепей, содержащих
унисторы, вычислить усиление напряжения, полное входное сопротивление,
полное выходное сопротивление транзисторного усилителя на двух каскадах
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ-АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ
101
с общим эмиттером. Эмиттерным сопротивлением в эквивалентных схемах
пренебречь.
3.40. Гиратор эквивалентен трем равным тиристорам, включенным
треугольником, причем все тиристоры направлены в одну сторону. Полное
сопротивление Z присоединено к двум зажимам гиратора; найти полное
сопротивление на некоторой другой паре зажимов этого гиратора.
3.41. Показать, что для схемы, содержащей гиратор, Д = Дх< х + g2AK< з.»
где Д — определитель проводимостей цепи; Дх. х. и Дк,3.— определители,
вычисленные соответственно при режимах, когда гиратор удален из цепи
и когда он замкнут накоротко; g — проводимость гиратора.
3.42. Первый гиратор имеет зажимы /, 2 и 3, а второй гиратор имеет
зажимы 4, 5 и 6. Зажимы 1 и 4 соединены, и проводимость у присоединена
между вторым и пятым узлами. Найти определитель проводимостей цепи;
объяснить результат для частного случая, когда проводимость у равна бес-
конечности (точки 2 и 5 соединены накоротко).
102 Г JLA В A 3
3.43. Произвольная линейная цепь не содержит независимых источников
и описывается уравнениями узловых напряжений ij — 2 У/Л» где// и V/—
k
ток и напряжение /-го внешнего источника соответственно; каждый такой
источник присоединен между базовым узлом и каждым остающимся узлом.
Найти неопределенную матрицу проводимостей, выраженную через коэффи-
циенты yjk. Пусть базовый узел имеет л-й номер. Дать правила для расчета
произвольного передающего полного сопротивления холостого хода. Повто-
рить расчет для передачи напряжения и тока.
3.44. Описать способ, с помощью которого проводимость у пассивной
ветви появляется в неопределенной матрице цепи.
3.45. Повторить задачу 3.44 для гиратора с проводимостью g.
3.46. Повторить задачу 3.44 для крутизны $.
3.47. Показать, что произвольная цепь (описываемая произвольной
матрицей проводимостей) может всегда быть представлена с помощью:
а) только унисторов, б) тиристоров и обычных ветвей, в) гираторов и обыч-
ных ветвей.
3.48. Найти передачу от источника до прибора для каждой схемы
фиг. 34. Заменить все элементы электронных цепей соответствующими
линейными низкочастотными схемами замещения, содержащими унисторы.
Глава четвертая
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ
СИГНАЛОВ
4.1. Введение
Граф сигналов представляет собой графическое изображение со-
отношений между несколькими переменными. Когда эти соотношения
линейны, то граф выражает систему линейных алгебраических урав-
нений. Преимущество такого представления состоит в том, что реше-
ние уравнений наглядно выражается структурой графа. Любая задача,
содержащая линейные соотношения между многими переменными,
может быть сформулирована в виде графа сигналов и решена не-
посредственно путем анализа графа.
В этой главе излагаются необходимые основы теории графов
и разрабатывается техника их применения. В дальнейшем эти методы
применяются к электронным схемам и системам. В этой главе не
рассматривается ни одна конкретная электронная схема главным
образом потому, что этим подчеркивается общность понятия графа.
Кроме того, при применении метода графов к электронным схемам
может создаться впечатление, что графы не имеют других примене-
ний, тогда как знание графов полезно во многих других областях.
Например, задачи автоматического регулирования, механики, много-
кратного отражения волн и условной вероятности могут быть названы
в качестве примеров.
4.2. Линейный граф сигналов
Граф сигналов представляет собой цепь с ветвями, имеющими
направление, присоединенными к узлам. Ветвь Jk начинается в /-м узле
и заканчивается в Л-м узле. Направление от J к k указывается
104
ГЛАВА 4
стрелками на ветви. Каждая ветвь jk связана с числом, называемым
передачей ветви tjk, и каждый /-й узел имеет связанную с ним
величину, называемую узловым сигналом Xj. Различные узловые
сигналы определяются уравнениями вида
2 = А = 1, 2, 3, .... (1)
Типовой граф показан на фиг. 1, а. В данном примере
удобно обозначить передачи различных ветвей различными буквами: а,
b, с, ...» а не одной буквой с двумя индексами
^a^-x2d^x4g^xSt
Фиг. 1. Граф.
Зависимый узел имеет одну или большее число входящих ветвей.
Заметим, что каждый зависимый узел явно связан с алгебраическим
уравнением. Эта связь показана на фиг. 1,0. Каждое уравнение
определяет узловой сигнал в виде алгебраической суммы сигналов
входящих ветвей. Важно заметить, что сказанное не повторяет пер-
вого закона Кирхгофа. Сигнал в данном узле есть сумма входя-
щих сигналов, и выходящие ветви не влияют непосредственно на
этот сигнал. Ветви, выходящие из данного узла, влияют на другие
сигналы, задаваемые в других узлах.
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
105
Прохождение сигналов в графе поясняется на фиг. 2. Эти пояс-
нения вытекают непосредственно из уравнения (1). Кроме того,
фиг. 2 можно использовать в качестве основного определения свойств
графа, т. е. уравнение (1) следует из фиг. 2. Сигналы графа под-
чиняются правилам, изложенным на фиг. 2, и содержат точно такую же
информацию, как и соответствующая система алгебраических урав-
нений. Различие заключается просто в обозначениях. Таким образом,
можно сказать, что линейный граф есть система линейных алгебраи-
ческих уравнений, записанных специальным графическим языком,
Фиг. 2. Пояснения передачи сигнала в графе.
а —выход сигнала из узла; б — прохождение сигнала через ветвь; в —прием сигнала в узле.
использующим ветви, узлы и направления (стрелки), а не символы
„плюс", „равно", как в обычных алгебраических уравнениях.
Уравнения графов записываются в форме „причина — следствие".
Каждый зависимый узловой сигнал выражен один раз в виде явного
следствия, вызванного другими узловыми сигналами, действующими
в качестве причин. Данный сигнал появляется в виде следствия только
в одном уравнении. В других уравнениях этот сигнал играет роль
причины. Формулировка уравнений в форме „причина — следствие"
очень удобна для большого класса физических проблем, включая
многие задачи электроники. Преимущества формулировки „причина —
следствие" и представление в виде графа состоят в том, что урав-
нения можно решать непосредственно путем вычисления графа.
Искомое решение выражает сигнал в данном зависимом узле через
сигнал в узле источника. Узел источника имеет только выходящие
ветви. Сигнал источника — это независимая переменная в алгебраи-
ческих уравнениях, при этом все другие переменные можно выразить
через независимую переменную. Если в графе имеется больше одного
узла источника, то можно рассматривать следствие каждого источника
отдельно, так как уравнения линейны и можно применить принцип
наложения.
106
ГЛАВА 4
4.3. Простейшие эквивалентные
элементы
Решение с помощью вычислений графов требует знания их опре-
деленных топологических свойств. На фиг. 3 представлено несколько
элементарных эквивалентных преобразований, вытекающих непосред-
ственно из фиг. 2. Преобразования, указанные на фиг. 4, предста-
вляют собой более общую форму, чем показанные на фиг. 3, б — г.
Такое преобразование в общем случае не является обратным. Если
Фиг. 3. Элементарные эквивалентные схемы графов.
а —сложение; б —умножение; в, г —распределение или разложение на множители в противопо-
ложном направлении.
ab
/ о- w
-о 3
л a = xit
х2Ь + х3с = л-г,
(x2b-\-XiC)d=x4,
4-Х)Са=л-ь
Фиг. 4. Исключение узла в звезде.
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
107
даны четыре произвольные величины, характеризующие передачу
ветвей (фиг. 4, б), то не следует ожидать, что эквивалентный граф
имеет форму фиг. 4, а.
Элементарные преобразования на фиг. 3 и 4 сокращают число
ветвей или узлов графа, и можно ожидать, что при последователь-
ном применении таких преобразований граф может быть упрощен
а
x2b — (xxa 4-х3с) b—Xi,
Фиг. 5. Образование петли, вызванное разделением ветви Ь.
б
xxab -\-x3cb — х3.
до одной ветви, присоединенной к источнику и к некоторому выбран-
ному зависимому узлу. Однако если граф содержит любые замкнутые
цепи, тогда при преобразовании появляется одна или больше петель,
как показано на фиг. 5.
4.4. Влияние петли
Влияние петли, находящейся в некотором узле, на передачу через
этот узел показано на фиг. 6, а. Пусть узловой сигнал обозначен
через х, тогда сигнал, возвращающийся после обхода петли, будет xt.
Поскольку узловой сигнал равен алгебраической сумме сигналов,
входящих в узел, то внешний сигнал, приходящий слева, будет
равен х(1—t). Следовательно, влияние петли, имеющей передачу t,
выражается в том, что внешний сигнал умножается на коэффициент
(1—Z), и это произведение равно сигналу, проходящему через узел,
причем из узла выходит сигнал х. Это правило справедливо при
всех t.
Другое представление влияния петли показано на фиг. 6, б\ оно
справедливо при | < 1. Рассмотрим несколько других возможных
путей, посредством которых сигнал может пройти от источника хг
до зависимого узла х2. Наиболее обычный путь прохождения сигнала
состоит в том, что сигнал идет через две ветви, передача каждой
из которых равна единице. Сигнал также может замыкаться по петле
прежде, чем распространится в нужном направлении. Он может также
замыкаться два, три или большее число раз по петле. Поэтому
имеется бесконечное число различных путей прохождения сигнала
от входа к выходу и в соответствии с этим существует бесконечное
число передач сигналов: 1, tt t2, /3, .. ♦ . Так как эти передачи
108
ГЛАВА 4
в действительности происходят параллельно, то общую передачу
можно представить в виде суммы всех возможных передач (фиг. 6, б).
Сумма бесконечного числа членов геометрической прогрессии равна
1/(1—/), что подтверждает предыдущий результат.
а
Фиг. 6. Влияние петли.
Когда несколько ветвей входит в узел и покидает его, как пока-
зано на фиг. 6, в, то легко видеть, что правильная замена петли
может быть выполнена по схеме фиг. 6, г.
4.5- Исключение узла
С помощью элементарных преобразований и замены петли любой
узел в графе можно исключить, как показано на фиг. 7, а. Исклю-
чение данного s-го узла дает новый граф, в котором $-й узел и все
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
109
примыкающие к нему ветви исключены. Хотя s-й узел уже не показан
на этом новом графе, но его влияние учтено в новых величинах
передачи ветвей /у*, где
= (2)
Исключению узла соответствует исключение переменной путем под-
становок в соответствующие алгебраические уравнения.
Удобно говорить об исключаемом узле (или об узлах) как о не-
доступном узле. Все другие узлы первоначального графа называются
Фиг. 7. Исключение узла $ дает новый граф с передачами ветвей t'jk.
доступными. После исключения недоступных узлов новый граф назы-
вается остатком первоначального графа. Точки, в которых граф
и его оставшаяся часть неразличимы на основе измерений передачи,
представляют собой доступные узлы.
На фиг. 7, в показан остаток графа, получившийся после исклю-
чения третьего узла в графе фиг. 7, б. Заметим, что новая петля
получается во втором узле и этим учитывается первоначальная пере-
дача от второго узла к третьему и затем обратно ко второму узлу.
Остаток графа учитывает влияние передач всех сигналов через
исключенный узел.
110
ГЛАВА 4
4.6. Передача графа
Передача Т графа равна сигналу, появляющемуся в некотором
зависимом узле, на единицу сигнала, возникающего в некотором
заданном узле источника. Сток представляет собой узел, имеющий
только входящие ветви. Если граф содержит один источник и один
сток, как показано на фиг. 8, а, то величина Т указывает передачу
индексы Т не нужны;
Источник
2 *j*
Tik=
второй индекс Т необходим, и
первый индекс записывается для полноты;
' внешний внешний
источник сток
л«,
T)k~ X)
оба индекса Т необходимы, так
как ветви, указанные пунктиром, подразуме-
ваются и обычно не указываются;
все другие узлы исключены.
Фиг. 8. Значение передачи 7)^.графа для графа, имеющего один источ-
ник и один сток (а), один источник при отсутствии стока или с несколь-
кими стоками (б), произвольную структуру при наличии или отсутствии ис-
точников и стоков (в), преобразование схемы к простой ветви с помощью
исключения всех узлов источника и стока (г).
графа от источника до стока. Когда граф содержит несколько сто-
ков (или не имеет стоков), то величина Т становится неопределен-
ной, и в этом случае следует применить индексы, указывающие два
узла, между которыми определяется передача (фиг. 8, б). В общем
случае для графа произвольной структуры можно определить пере-
дачу Tjk графа в виде сигнала, появляющегося в k-м узле на еди-
ницу внешнего сигнала, входящего в у’-й узел. Другими словами,
Tjk представляет собой передачу от подразумеваемого внешнего
источника в у-м узле до подразумеваемого внешнего стока, присо-
единенного к &-му узлу, как показано на фиг. 8, в.
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
111
При наличии источника и стока все другие узлы могут быть
исключены, и, таким образом, граф можно упростить до одной ветви,
показанной на фиг. 8, г. Передача этой ветви будет, конечно, равна
передаче графа Tjk,
4.7. Общий граф
На фиг. 9, а показан полный граф со всеми возможными внеш-
ними источниками и стоками. Здесь для простоты приведен граф,
или в матричной форме
Г_[Л1 ^121 .Ни /—Р °].
LTji Гад 1 * L/21 ^22-* * «.О 1 J *
Ql xt + X=x,
1 X=x(! — t),
A ” •' X(/-O-I=x!
T(lt)'1
г л •----------------------—xr=x.
Фиг. 9. Формальное алгебраическое решение задачи передачи графа.
содержащий лишь два узла; метод построения общего графа с п узлами
довольно прост. Решение этой задачи показано на фиг. 9, б. Чтобы
получить каждую величину xk, выраженную через внешние источ-
ники Xj сигнала, следует решить уравнение 9, а.
112
ГЛАВА 4
Для более компактной формулировки задачи можно применить
матричные обозначения. На фиг. 9, в показана схема графа, иля
которой каждый узловой сигнал представляет собой матрицу-строку
и каждая передача ветви есть квадратная матрица. В результате
решения матрицы относительно х, выраженного через матрицу X,
получается уравнение, соответствующее одной ветви матрицы, пока-
занной на фиг. 9, г. Заметим подобие между фиг. 6, б й 9, в и г.
Определение передачи общего графа эквивалентно замене матрицы
петли на матрицу ветви; последняя, по крайней мере формально,
приводит к обратной матрице, имеющей столько строк (и столбцов),
сколько содержит зависимых узлов первоначальный граф.
4.8. Определение передачи графа
с помощью путей и контуров
Теперь после установления формальной части задачи изучим опре-
деленные топологические свойства графов, которые позволят опре-
делить частные значения передачи того или иного графа без анализа
его структуры. Важными топологическими параметрами графа являются
его пути и контуры. Введем следующие определения:
Путь — непрерывная последовательность ветвей (в указанном
направлении), вдоль которой каждый узел встречается
не больше одного раза. (3)
Передача пути (Р)— произведение передач ветвей вдоль
этого пути. (4)
Контур (иногда называется контуром обратной связи) —
простой замкнутый путь, вдоль которого каждый узел
встречается не больше одного раза за один обход контура. (5)
Передача контура (L) — произведение передач ветвей в этом
контуре. (6)
В дальнейшем для удобства термины „путь" и „передача пути"
будут применяться в одном смысле, так же к^к термины „контур",
и „передача контура". Например, говоря „сумма путей Рг и Р2“,
будем иметь в виду „сумму передач Рг и Р2 путей 1 и 2". В связи
с этим не должно возникнуть недоразумений, так как обычно смысл
ясен из текста. В дальнейшем будем применять аналогичные сокра-
щения в определении ветвей и передач ветвей. Например, применяя
термины „ветви а и 6", мы имеем в виду ветви, передачи которых
равны а и Ь.
Для иллюстрации определений возвратимся опять к фиг. 1.
В конечном графе всегда содержится конечное число контуров и ко-
нечное число путей от одного заданного узла до другого. Граф на
фиг. 1,а имеет четыре различных пути от первого до четвертого
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
113
узла: а/, асе, bdf и be. Будет ошибкой, если принять ade за путь,
так как на этом пути имеются неразрешенные направления. Пересе-
кающиеся пути, например bdce, также запрещены этим определением.
Фиг. \,а содержит три контура: cd, fg и ceg. Совокупность
ветвей dfe не дает контура, так как направление ветви е не совпа-
дает с выбранным направлением обхода. Нельзя считать контуром
Ь с d е
Р*abcdektLi= bi, L2=cfifL3*dg,L^-ef
hib hef
----о
abc 3 de к
l-ib het
( abc ( dek
d .
1 — (£t + £2 + £3 4- £4) 4- (£i£s 4- £i£* 4- £?£i)
Фиг. 10. Передача многоконтурного графа.
cdceg, потому что при его обходе второй и третий узлы входят
дважды. С точки зрения математики контуром называется „простая"
замкнутая ориентированная кривая, а путем — часть этой кривой.
Выше было показано, что передача Tjk графа может быть выра-
жена полностью через различные контуры графа и различные пути
от у-го узла до &-го узла.
Граф фиг. 10,а содержит четыре различных контура и один
путь (от источника к стоку). Исключение первого и пятого узлов
дает граф фиг. 10Д. Последующее исключение второго и четвертого
узлов дает простую форму фиг. 10, в, из которой передача может
быть вычислена, как указано на фиг. 10, г. После упрощения числителя
и знаменателя дробей и подстановки величин путей и контуров
8 Зак. 1115,
114
ГЛАВА 4
приходим к окончательной форме, показанной на фиг. 10,д. Наибо-
лее интересное свойство формулы передачи состоит в том, что
знаменатель не содержит произведения контуров, которые сопри-
касаются между собой в графе. Например, первый и второй контуры
касаются один другого в графе и произведение LXL2 соответственно
отсутствует в уравнении передачи.
Теперь можно сформулировать общее правило. Каждый член
знаменателя есть произведение системы некасающихся контуров.
Знак члена в знаменателе положителен (отрицателен) для четного
(нечетного) числа контуров в этой системе. Граф фиг. 10,а не имеет
совокупностей трех или большего числа некасающихся контуров.
P — aj, Lx = bl, L2 = ch, L3 = dg, LK=-ef;
б
1 — 01
1 — ch
1-dg_____ ,
\-ef ’
д p_____________P |1 — (£2 4~ ^-3 + ^4) 4~ (^2^4)]_
1 — (Lx -|- L2 4- L3 4- £4) 4- (Z. 1Z.3 LjZ-4 4- £2^4)
Фиг. 11. Передача другого многоконтурного графа.
Рассматривая пары контуров, находим только три допустимые пары.
Когда контуры рассматриваются по одному, вопрос их касания
не возникает, так как каждый контур в графе представляет собой
допустимую „совокупность". Чтобы закончить рассмотрение форм,
можно представить совокупность контуров, „вовсе не обойденную",
и по аналогии с числом в нулевой степени можно рассматривать
произведение передач для такой „совокупности" равным единице,
в знаменателе выражения передачи графа такой член имеется (см.,
например, фиг. 10, д).
Прежде чем сформулировать общую форму числителя, рассмотрим
другой пример. На фиг. И,а приведена несколько иная задача
передачи, в которой путь от источника до стока не касается всех
контуров. В этом случае можно исключить последние четыре узла,
начиная с пятого до второго включительно, и получить передачу Т
в виде непрерывной дроби (фиг. 11Д). После приведения дроби
к общему знаменателю и подстановки путей и контуров приходим
к окончательному выражению, приведенному на фиг. 11,в. В этом
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
115
случае числитель содержит не только путь, но и некоторые контуры.
Заметим, что коэффициент числителя, заключенный в скобки, можно
получить из знаменателя путем вычеркивания в выражении знаменателя
всех членов, содержащих передачу контура Lx\ в числителе остаются
только члены, содержащие передачи контуров, некасающихся пути Р.
Картина становится уже яснее, и еще один пример поможет
сделать общие выводы. Граф на фиг. 12,а имеет три различных
пути от источника до стока и три различных контура. Исключение
^2 = «Л
Li = b, •
L-l — cdt
L^e,
6 + ^.^14-^2 11-^1+ ^11]
|1 — (Li -Г L2 Ч- £з)4- Мз1
Для произвольного 1 рафа, содержащего р путей (от у'-го узла до Л-го узла)
и т контуров,
[(₽,+₽,+... +^)0-^)(1-^)-(1-^и*
8 [('-‘ОО-У-О-УГ
* Опустить члены, содержащие произведения касающихся контуров или путей.
Фиг. 12. Общее выражение передачи графа через пути и контуры.
двух центральных узлов дает выражение передачи фиг. 12Л. Числи-
тель этого выражения представляет собой сумму путей, причем
каждый путь умножен на коэффициент, заключенный в скобки.
Заметим, что каждый из этих коэффициентов составлен точно так же,
как знаменатель, с тем дополнительным ограничением, что каждый
коэффициент содержит только те контуры, которых не касается
соответствующий путь.
Теперь можно предложить общее правило для расчета передачи
любого графа. На фиг. 12,в дано общее аналитическое выражение
в компактной форме. Звездочка означает, что при умножении коэф-
фициентов внутри скобок мы приравниваем нулю любой член, ко-
торый содержит произведение передач двух контуров или произве-
дение передач пути и контура, которые касаются друг друга в графе.
Справедливость этого правила подтверждается примерами. Доказа-
тельства будут получены из свойств графов, рассмотренных в после-
дующих разделах.
8
116
ГЛАВА 4
4.9. Расщепление узла
Расщепление узла позволяет представить его в виде нового
источника и нового стока. Все ветви, направленные к такому узлу,
остаются присоединенными к новому стоку, и все ветви, выходящие
из расщепляемого узла, остаются присоединенными к новому источ-
нику, как показано на фиг. 13,а и б. Когда два узла в графе
расщеплены (фиг. 13,в), то получается результат, показанный на
фиг. 13,?. При расщеплении узла первоначальные обозначения для
узлового сигнала и номера узла сохраняются у нового источника,
тогда как узловой сигнал и номер узла у нового стока в дальней-
шем обозначаются со штрихами. При расщеплении узла можно упро-
стить определение контурной передачи узла или ветви, что и будет
сделано в следующем разделе. Расщепление узла представляет собой
преобразование, противоположное исключению узла (разд. 4.5).
Чтобы исключить соответствующий узел, расщепим все другие узлы,
вычислим все передачи от источника до стока, представим каждую
из них в виде ветви и затем соединим расщепленные узлы.
4.10. Контурные передачи узла или ветви
Контурная передача т некоторого узла представляет собой сиг-
нал, возвращающийся к этому узлу, на единицу сигнала, исходящего
из того же узла. Иначе говоря,
Ту означает передачу между новой парой источник — сток, обра-
зовавшейся в результате расщепления у-го узла (фиг. 14,а). (7)
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
117
Здесь полезно рассмотреть другой способ объяснения контурной
передачи узла. Выберем некоторый у-й узел и исключим все осталь-
ные (кроме узлов источника и стока) узлы в графе. Тогда Ту точно
равно передаче петли, появляющейся в у-м узле остающегося графа.
ветвь b разложена на множи-
тели, чтобы показать внутрен-
ний третий узел;
• = Ъс
ь Тз х8 *(!-</) (1 —а)*
Фиг* 14. Контурная передача узла или ветви.
Очевидно, Ту отличается от нуля только в том случае, когда перво-
начальный граф имеет по крайней мере один контур обратной связи,
содержащий у-й узел.
Контурная передача ветви может теперь быть определена очень
легко, если разложить эту ветвь в каскадное соединение двух ветвей,
произведение передач которых равно передаче первоначальной неразло-
женной ветви. В результате такого разложения создается новый узел,
который называется внутренним узлом ветви (фиг. 14,d). Контурная
передача ветви по определению равна контурной передаче внутрен-
него узла этой ветви. На фиг. 14,в приведен интересный пример.
4.11. Определитель графа
Определитель графа представляет собой знаменатель выраже-
ния передачи графа. Представим определитель графа несколько
иным способом и затем установим его связь с передачей графа. По
определению определитель графа выражается в виде
где
x'k — величина при расщепленных узлах 1, А? 4“ 2.......п. (9)
IIS
ГЛАВА 4
Величина называется частичной контурной передачей &-го узла,
так как т' вычисляется или измеряется только в части имеющегося
графа (т. е. в части, содержащей k первых узлов). Величина x'k зави-
сит от порядка выбора номеров узлов графа. Частичная контурная
Тд —контурная передача £-го узла, измеренная при расщеплении или исключении всех узлов
с более высокими номерами
Фиг. 15. Выражение определителя Д графа через систему „частных*
контурных передач x'k.
передача /г-го узла равна передаче петли, появляющейся в &-м узле
после того, как узлы первый, второй, третий..........(k—1)-й
исключены.
На фиг. 15,а показан пример нумерации узлов простого графа,
имеющего три узла. При этом используются части графа на
фиг. 15, б—г, указанные жирными ветвями, которые входят в рас-
чет частичной контурной передачи каждого из этих трех узлов.
Теперь рассмотрим влияние изменения номеров узлов k и AJ-1.
Для удобства изучения этого влияния можем исключить первые
k—1 узлов и расщепить (или исключить из графа) все узлы, име-
ющие номера выше, чем (k-[- 1). Результирующий граф показан на
фиг. 16,а. Расщепленные узлы и присоединенные к ним ветви
не показаны, поскольку такие ветви не могут входить в определе-
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
119
ние х'к или т'+1. Когда взаимно переменены номера двух узлов
(фиг. 16,6), частичные контурные передачи т' и т' + 1 будут иметь
новые значения. Однако из непосредственного расчета можно пока-
зать, что произведение (1—т')(1—т' + 1) остается неизменным.
Поскольку т', т', ..., и т' т^+3, ...» т', очевидно, не изме-
няются при взаимной перемене номеров узлов, отмеченных соседними
цифрами натурального ряда чисел, то, следовательно, величина опре-
делителя Д при этом не изменяется. Так как любой порядок нуме-
рации можно получить из любого другого с помощью последовательной
Узлы 1, 2, ..., k — 1 все исключены;
узлы #4-2, k-\-3, ..., п все расщеплены.
Фиг. 16. Инвариантность выражений (1 — т*)(1 — + при взаимной
перемене номеров узлов k и k -|- 1.
перестановки (например, последовательность 123 можно преобразовать
в последовательность 321 с помощью последовательной перестановки
смежных цифр 123, 213, 231, 321), то приходим к общему резуль-
тату, что величина определителя Д графа не зависит от по-
рядка нумерации узлов.
Рассмотрим теперь зависимость от передач ветвей, присоеди-
ненных к п-му узлу. На фиг. 17 показан n-й узел, расщепленный на
узел источника п и узел стока п'. Две ветви называются кон-
флюентными, если они начинаются или заканчиваются в одном
и том же узле. Таким образом, на фиг. 17 ветви а и Ь, так же
как ветви с и dt конфлюентны. Из исключения узла (или из природы
протекания сигнала в графе) следует, что есть линейная функция
передачи каждой ветви, присоединенной к n-му узлу, и что
не может содержать передачу, равную произведению двух ветвей,
конфлюентных в n-м узле. Кроме того, т', т', ..., х' , очевидно,
не зависят от передач ветвей, присоединенных к n-му узлу. Так как Д
не зависит от порядка нумерации узлов, можно выбрать любой узел
в цепи и приписать ему наивысший номер п, а это означает, что
определитель Д графа есть линейная функция передачи каждой
120
ГЛАВА 4
ветви графа, поэтому он равен единице плюс алгебраическая
сумма членов, причем каждый член имеет одну или больше
передач различных ветвей в качестве сомножителей. Кроме
того, произведение передач двух конфлюентных ветвей не может
появиться в определителе графа Д.
/ — первые (/1 — 1) узлов;
Тр Tg» •••» 1 зависят от a, b, с, d\
чп есть линейная функция a, Ь, с и d и не со-
держит произведения аЬ или cd.
Фиг. 17. Зависимость от передач конфлюентных ветвей.
4.12. Разложение определителя
по контурат
Получим некоторые дополнительные сведения об определителе Д
с помощью рассмотрения подграфов. Подграфом называется часть
графа, остающаяся после того, как определенные ветви перво-
начального графа исключены из схемы. Для полноты можно
предположить возможность исключения из схемы ветвей, которых
нет. Это означает, что совокупность всех подграфов содержит
и первоначальный граф. Исключение ветви эквивалентно получению
передачи этой ветви, равной нулю. Следовательно, при исключении
ветви из схемы некоторые члены в определителе исчезают, исчезают
именно те члены, которые содержат передачи этих ветвей в виде
множителей, но все остальные члены определителя Д остаются неиз-
менными. Поэтому очевидно, что каждый член в подграфе Д появля-
ется также и в определителе Д полного графа. Следовательно, любой
выбранный член определителя Д графа входит в состав определи-
теля Д некоторого подграфа, в частности подграфа, содержащего
только те ветви, которые появляются в выбранном члене. Поскольку
в определителе Д не содержится произведений конфлюентных ветвей,
необходимо рассматривать только неконфлюентные подграфы. Некон-
флюентный подграф не содержит пар конфлюентных ветвей. Таким
образом, каждый член в определителе Д неконфлюентного
подграфа входит также в определитель Д графа, и, наоборот,
любой член в определителе Д графа является членом в опре-
делителе некоторого неконфлюентного подграфа.
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
121
На фиг. 18 показан типовой неконфлюентный подграф, который
по определению может содержать только контуры (такие, как а,
bed, gh) и разомкнутые пути (такие, как ef), ни один из которых
не касается другого. Определитель неконфлюентного подграфа может
быть вычислен довольно легко, потому что некоторые из вели-
чин т' исчезают, а другие равны контурам L подграфа, как показано
на фиг. 18. Заметим, что разомкнутые пути, например ef, не могут
войти в расчет определителя. Поэтому каждый член подграфа опре-
делителя Д и, следовательно, каждый член в определителе Д полного
==(1-.Z1)(1-Z2)(1-Z8)«
»1 — (а + bed + gh) 4- (abed 4- agh 4- bedgh) — (abedgh).
2 3 | 4 | 5 | 6 | 7 8 | 9
0 0 \bcd 0 I 0 0 О
k 1 | 2 3
Lk a | bed gh
Фиг. 18. Неконфлюентный подграф (жирные линии) и его определитель Д.
графа равен произведению некасающихся контуров. Чтобы найти
определитель полного графа, необходимо включить все возможные
системы некасающихся контуров, которые имеются в этом графе.
Это позволяет получить важный результат, называемый контурным
разложением определителя. Если граф имеет т различных контуров,
то контурное разложение определителя можно записать в следующей
форме:
Д = [(1 — Z,j)(l — £2) ... (1 — Lm)l* (10)
(звездочка означает, что члены, содержащие произведения каса-
ющихся контуров, не учитываются).
Другой вид записи уравнения (10) имеет следующий вид:
д = 1-2Л,’+2^,-24”+.... со
к к к
122
ГЛАВА 4
где
L{k —произведение А-й возможной комбинации г некасающихся
контуров. (12)
4.13. Разложение определителя
на множители
Интересный результат получается в том случае, когда контуры
обратной связи графа образуют некасающиеся подграфы. Чтобы
найти контурный подграф любого графа, нужно удалить все ветви,
не находящиеся в контурах обратной связи, оставляя только эти
контуры. Вообще, контурный подграф может иметь большое число
'-------V-------f >-----V---' '---V---<
& Л&
а б
д — 1 — (а£ /z jg) 4- (abh + abfg),
i^A=i-abt bB*=l-h~fg,
^ = ^A^B=(l-ab) (1-h-fg).
Фиг. 19. Определитель графа, контурные подграфы которого имеют две
разделенные части.
некасающихся частей. Существует полезное соотношение, состоящее
в том, что определитель полного графа равен произведению опре-
делителей всех некасающихся частей контурных подграфов.
Доказательство следует непосредственно из уравнения (10)
и иллюстрируется фиг. 19.
4.14. Разложение по узлу или по ветви
На фиг. 20 добавлен (п-1- 1)-й узел с ветвями в граф, содержа-
щий п узлов; при этом вообще образуются новые контуры Lk, Следо-
вательно, к первоначальному определителю должны быть добавлены
некоторые дополнительные члены для получения нового определителя
полного графа, содержащего новый узел. Пусть будет опреде-
лителем части графа, не касающейся вновь образованного контура Lk.
При этих обозначениях можно написать новый определитель
аз)
К
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
123
Уравнение (13) учитывает все возможные некасающиеся контуры
системы в определителе Д'. Добавление (п+1)-го узла создает но-
вые контуры Lk. При этом только те контуры определителя Д',
I I
| !______ I
*=—-------------1
J 1
'-----------V------------'
a'
Фиг. 20. Разложение определителя по узлу.
/ — первые л узлов; Д'—определитель Д полного графа с л-}-1 узлами; Д— определитель Д
графа с расщепленным или удаленным («4-1)-м узлом; L^ — передача fc-го контура, содержа-
щего (л+1)-й узел; Д^ — Д части графа, не касающейся контура L^.
k
которые отсутствуют в определителе Д, представляют собой некаса-
ющиеся совокупности произведений Lkhk. Отрицательный з^нак в урав-
нении (13) удовлетворяет правилу знаков, так как произведение Lk
на положительный член Дй будет содержать нечетное число кон-
туров.
С помощью соотношения (13) можно разложить определитель
по любому узлу графа. Аналогично можно разложить определитель
Д = 1 — (Zi 4- £2 4” ^8 + ^4 + +
4“ (Ws 4* ^1^4 4* ^1^5 4- ^2^4 4- ^2^5 4* “ (£|£з^з)
Двадцать символов
Д=(1-£1-£,)(1-.£4-£5)-£8(1-£1)(1-£5)
Семь символов
Фиг. 21. Разложение определителя А по ветви.
по ветви, по существу выполняя разложение по внутреннему узлу
этой ветви. На фиг. 21 показано разложение определителя в компакт-
ной форме. В этом частном примере внутренний узел, обозначенный
жирным кружком, впервые вводится в одну из ветвей, занимающих
среднее положение. После расщепления этого внутреннего узла кон-
турный подграф разделяется на две части, и в результате опреде-
литель становится разложимым на множители. Когда расщепленный
124
ГЛАВА 4
узел снова восстанавливается, образуется только один новый кон-
тур £3. Часть графа, не касающаяся этого нового контура, снова
составляет две отдельные части Lx и £5. В этом примере с помощью
разложения осуществляется разделение контурного подграфа на
некасающиеся части; число символов в выражении определителя зна-
чительно сокращается (от 20 до 7). Упрощение, достигаемое путем
разложения, зависит, конечно, от структуры графа и от выбора
Д = 1 — (а-\-bсdgfh -\-el -\-def-\-ghl) 4-
4- (ab 4- ac-j-bc-j- afh-^ be I 4- edg) —
— (abc)
Тридцать три символа
-d ^(1-r)4-*/l —h [/(1 - a)4- ZgJ
Пятнадцать символов
Фиг. 22. Разложение определителя Д общего графа, содержащего три
узла после разложения на множители по ветвям d и h.
разложения по узлу или по ветви. На фиг. 22, а показана усложнен-
ная структура графа вместе с соответствующим выражением опреде-
лителя. Ветви d и h могут быть использованы для разложения на
множители, как показано на фиг. 22,б. Введенный таким образом
новый узел (черный узел на фигуре) удобен для разложения, так как
контурный подграф имеет две отдельные части (Ь и асеГ), когда
этот узел расщепляется. Первое слагаемое в скобках на фиг. 22,6
представляет собой определитель одной из этих частей acet. Этот
подопределитель далее разложен на множители по ветви I (или е)
для получения более компактного выражения, показанного в скобках.
Когда расщепленный узел заново соединяется, образуются четыре
новых контура. Из этих четырех контуров два содержат ветвь dt
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
125
а именно dg и def. Контур dg не касается петли с, следовательно,
он должен быть умножен на определитель части (1 — с). Аналогично
ветвь h появляется в двух вновь образовавшихся контурах, и один
из них hf имеет некасающийся контурный множитель (1 —а). С по-
мощью разложения на множители по ветви число символов в выра-
жении уменьшается от 33 до 15.
4.15. Вывод общего выражения передачи
Для схемы фиг. 20 пусть т будет контурная передача (п-^О-го
узла. Таким образом, т равно т' г Применяя эти обозначения, из
уравнения (8) следует, что
= (14)
Подставляя уравнение (13) в уравнение (14), находим, что
(15)
k
Теперь при постоянно расщепленном (п+0‘м узле получается,
что т представляет собой передачу графа от источника до стока,
a Lk есть &-й путь от источника до стока. Это приводит к общему
выражению передачи любого графа
<1б>
k
где
Т—передача графа от источника до стока, т. е. сигнал стока на
единицу сигнала источника, (17)
Pk — передача &-го пути от источника до стока, (18)
Д— определитель графа, (19)
Д*— алгебраическое дополнение &-го пути (т. е. определитель
части графа, не касающейся &-го пути). (20)
Величина Д* рассматривается здесь как алгебраическое дополне-
ние пути Pk. Вообще любая заданная часть графа представляет собой
алгебраическое дополнение, т. е. определитель, составленный из тех
контуров, которые не касаются заданной части. На фиг. 22, а,
например, алгебраическое дополнение контура hf состоит из одной
ветви а и равно (1 — а). Аналогично алгебраическое дополнение
контура b определяется выражением первого слагаемого (фиг. 22, б).
Алгебраическое дополнение Дл в выражении (16) может быть
найдено вычеркиванием тех членов определителя Д, которые содержат
126
ГЛАВА 4
ветви, касающиеся пути Pk, или удалением пути Рк и всех касающихся
ветвей с последующим расчетом определителя оставшегося подграфа.
Эти две операции эквивалентны, и поэтому их удобно использовать
для взаимной проверки.
На фиг. 23 показано другое выражение передачи графа. Если
передача от /-го узла к &-му узлу равна Tjk и если система затем
замкнута добавлением внешней ветви от k до /, передача которой
Для определения Ту^ произвольного графа:
1) присоединить ветвь от k до j и обозначить ее передачу через 1/7д (а не ЪГ^у);
2) вычислить определитель Д' результирующего графа;
3) установить Д'=0 и решить относительно Т
Фиг. 23. Представление 7jk в виде инвертированной передачи ветви
замкнутого графа.
равна обратной величине передачи графа Tjkt тогда контурная пере-
дача этой добавленной ветви равна единице и определитель Д' внешне
замкнутого графа равен нулю. Следовательно, Tjk можно найти
из уравнения Д' = 0. Таким образом, расчет передачи графа пред-
ставляет собой часть более общей задачи расчета определителя
графа.
4.16. Инверсия пути или контура
Алгебраические уравнения, связанные с линейным графом, напи-
саны в форме „причина — следствие". В каждом уравнении одна
из переменных выражена в виде явного следствия других перемен-
ных, действующих в качестве причин. Данная переменная должна
играть роль зависимого следствия только в одном уравнении, как
показано на фиг. 24, а. Иначе потребуется два узла для той же
переменной, и граф окажется разомкнутым. Однако ничто не мешает
нам перестроить систему уравнений и выразить их через одну из воз-
можных форм „причина — следствие". На фиг. 24, б приведен пример.
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
127
Здесь первое уравнение дает выражение для через х2 и х4 и
второе уравнение определяет х2 через х3 и х5. При этом изменяются
направления ветвей а и b первоначального графа и сдвигаются концы
ветвей с и d в новые положения, как показано на фиг. 24, б.
Легко сформулировать общие правила преобразования графа, соот-
ветствующие таким операциям с уравнениями. Общее правило можно
выразить следующим образом.
Чтобы инвертировать ветвь Ь, направленную от у-го узла к &-му
узлу, во-первых, нужно перенести концы всех ветвей, направленных
а
хха-\-хлс=х2,
x2b -f- xbd = x2',
X2^ia)-vXd-cia)^xx^
xz (1/6)-l-х- {-dib)=x2.
пути, п пусть будет любой другой ветвью,
Пусть tib будет любой ветвью в инвертируемом
J R
не находящейся в этом пути, причем конец k данной ветви касается этого пути. Чтобы инвер-
тировать данный путь, надо заменить t-k па /^.==1//^ и заменить на t j—~
Фиг. 24. Инверсия пути.
к Л-му узлу, в новые положения к у-му узлу и изменить направле-
ние ветви Ь. Затем изменить передачу b на 1/Ь и умножить на (— 1/£)
передачи всех остальных ветвей, начала которых были переставлены.
Чтобы инвертировать путь или контур, необходимо инвертировать
все ветви в этом пути или в контуре.
Необходимо отметить, что процесс инвертирования легче пояснить
на фигуре, чем словами (см. фиг. 24).
После того как получена структура графа на основе принципа
„причина — следствие", единственными допустимыми инверсиями будут:
инверсия пути, который начинается в узле источника; инверсия кон-
тура. гПюбой путь, начинающийся из источника, подходит для инвер-
сии (фиг. 25, б), однако при инвертировании пути, который начи-
нается не в источнике, возникают трудности (фиг. 25, в). Эти
трудности можно преодолеть, как показано на фиг. 25, г. При этом
получается разомкнутый граф.
128
ГЛАВА 4
Инверсия может быть несколько упрощена, если удлинить каждый
из узлов, не принадлежащих источнику, в инвертируемом пути
(фиг. 26, а). Чтобы удлинить j-й узел, нужно, во-первых, расще-
пить его на /-й узел источника и j'-й узел стока и затем соеди-
нить расщепленные половины ветвью, имеющей единичную передачу,
направленную от jf к у.
Чтобы инвертировать путь (или контур), узлы которого удлинены,
нужно изменить направления ветвей в этом пути, инвертировать их
п О b хха — х2 |
U О.......... о— » о f xxab~xz\
/ 2 J x2b — xz J
х - .b
О о < о—»- о
/ 2 3
а
Z о—» о
/ 2
1/Ь
2
3
хха^х2 )
Х3(1/^х2 / х'аЬ~х"
Фиг. 25. Допустимая и недопустимая инверсии ветви.
а —простой граф; 6 —инверсия пути, содержащего одну ветвь а, начинающегося у источника;
в —инверсия пути (ветвь а), начинающегося не у источника, дает неправильный граф; г —ин-
версия ветви Ъ дает правильный, но разомкнутый граф с двумя узлами, имеющими одну и
ту же переменную х2.
передачи и просто изменить знаки передач других ветвей, концы
которых касаются этого пути (или контура). Заметим, что сигналы,
обозначенные цифрами со штрихами у концов удлиненных узлов,
изменяют их величины при инверсии. До инверсии узловой сигнал х'
равен Ху. После инверсии величина сигнала Ху должна быть обозна-
чена по-другому, например х", так как вообще она уже не равна Ху.
Инверсии, показанные на фиг. 24, сохраняют соотношения, суще-
ствующие между всеми узловыми сигналами, но графическая струк-
тура изменяется. Инверсии, показанные на фиг. 26, сохраняют общую
форму графа, но узловые сигналы, помеченные штрихами, изменяются.
Соотношения между узловыми сигналами, не помеченными штрихами,
v3^x5d^x3
x3(l/6)=x2
^2xc =s
r2(l/a)=Xj
В инвертируемом пути нужно расщепить узлы и соединить их половины ветвями, имеющими
единичную передачу. После этого, чтобы инвертировать путь, нужно изменить направление
стрелок и инвертировать передачи этого пути и изменить алгебраические знаки других
ветвей, концы которых касаются этого пути.
Фиг. 26. Инверсия пути, узлы которого удлинены.
а — первоначальный граф; б —инверсия пути ab.
Фиг. 27. Инверсия пути от источника до стока.
9 Зак. 1115»
130
ГЛАВА 4
конечно, остаются неизменными. Можно назвать первый и второй
типы инверсии соответственно инверсиями, сохраняющими узлы и
сохраняющими ветви. Инверсия, сохраняющая узлы, сохраняет все
узловые сигналы, тогда как инверсия, сохраняющая ветви, сохраняет
расположение всех ветвей (но изменяет направления некоторых вет-
вей). Для некоторых графов нет необходимости удлинять узлы,
чтобы произвести инверсию, сохраняющую ветви. В частности, если
каждый узел имеет не более одной входящей и не более одной
/ а 2' 2 b 3' 3 с 4
а
___________аЬс____________t
хГ** 1—( de + fg+ bghd) + defg *
Фиг. 28. Инверсия контура bghd.
выходящей ветви, тогда граф уже обладает конфигурацией, пригодной
для инверсии, сохраняющей ветви. Блок-схема системы автоматиче-
ского регулирования обычно составляется в такой форме с „точками
суммирования" (где сходится некоторое число ветвей, но выходит
только одна ветвь) и с „точками разветвления", где одна входящая
ветвь разделяется на два или большее число выходящих путей.
Сигнал, связанный с „точкой суммирования", не сохраняется при
инверсии второго типа.
Два типа инверсии сравниваются на фиг. 27. На фиг. 27, а
представлен первоначальный граф, в котором путь abc нужно инвер-
тировать. Инверсия, сохраняющая узлы этого пути, дает новый граф
(фиг. 27, б), передача которого от источника до стока есть инверсия
передачи (фиг. 27, а), Отношение узловых сигналов хг и х4,
конечно, такое же в каждом графе. Передача инвертируется в графе
фиг. 27, б просто, потому что роли источника и стока взаимно заме-
нены. Граф фиг. 27, в показывает результат инверсии, сохраняющей
ветви, выполненной после удлинения второго и третьего узлов.
На фиг. 28, а показан первоначальный граф с удлиненными вто-
рым, третьим и шестым узлами, что необходимо для инверсии
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
131
контура bghd. Шестой узел имеет только одиу входящую ветвь и
поэтому не может быть удлинен. На фиг. 28, б контур инверти-
руется и передача от источника до стока вычислена для сравнения
с предыдущим случаем.
Все инверсии графа соответствуют всем возможным системам
алгебраических уравнений, написанных в форме „причина — след-
ствие". Как только физическая задача сформулирована в виде графа
с помощью принципа „причина — следствие", любые другие форму-
лировки этой задачи, выполненные на основе того же принципа
(использующие такое же количество переменных), получаются непо-
средственно с помощью процесса топологической инверсии.
4.17. Нормирование передач ветвей
Так как передача графа зависит только от передач путей или
контуров, очевидно, что передачи ветвей могут быть нормированы
любым способом, поскольку такое нормирование не изменяет вели-
чин передач путей или контуров. На фиг. 29, а показан граф, и на
фиг. 29, д и е показаны два из многих возможных способов, в кото-
рых определенные передачи ветвей могут быть нормированы к еди-
нице без изменения выражения передачи от источника до стока.
Нормирование позволяет нам характеризовать структуру передачи
через минимальное число независимых параметров.
Для того чтобы выяснить, какие ветви можно нормировать без
изменения выражения передачи, присоединим сток непосредственно
к источнику и пренебрежем направлениями всех ветвей фиг. 29, б.
Теперь выберем дерево, соединим систему ветвей, которые касаются
всех узлов, но не образуют какой бы то ни было замкнутой цепи.
Два возможных дерева указаны на фиг. 29, виг. Ветви дерева
могут быть нормированы к единице (или к лк5бой другой желатель-
ной величине), после чего передачи остающихся ветвей всегда можно
изменить так, чтобы восстановить первоначальные величины передач
всех путей и контуров графа.
Справедливость этой операции можно доказать на основе сле-
дующих рассуждений. Любая замкнутая цепь в графе, например fghl
на фиг. 29, а, или уже представляет собой контур обратной связи,
или может быть преобразована в контур обратной связи с помощью
инверсий (сохраняющих ветви) определенных путей или контуров
графа. Ясно, что нормирование всех ветвей в контуре обратной
связи неизбежно изменяет величину передачи контура. Одна из вет-
вей в контуре должна оставаться изменяемой, для того чтобы ком-
пенсировать передачу первоначального контура, откуда вытекает
требование, что нормированные ветви должны образовать дерево.
Присоединение источника к стоку до выбора дерева обычно дает
9*
132
ГЛАВА 4
гарантию в том, что по крайней мере одна ветвь в каждом пути
от источника до стока будет изменяться так, что можно сохранить
первоначальные величины передач путей.
Фиг. 29. Нормирование или изменение масштаба.
я —граф; б-—тот же граф без указания направления ветвей и при соединении стока с источ-
ником; в, г —два возможных дерева; д, е — нормирование ветвей дерева до величин, равных
единице.
4.18. Изменение направления графа
Выше было показано, что инверсия пути от источника до стока
дает новый граф, передача которого равна обратной величине пере-
дачи первоначального графа. Изменение направления графа предста-
вляет собой другое преобразование, которое можно применять,
чтобы получить новый граф, имеющий такую же передачу, как и
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
133
/5 _ (ab 4- g) Cd
xi _ a + g (e-\-cf)
xi l — b(e + cf)
x[ dc(ab-{-g) x5
*5 i-b(e+fc)
x2 deb
x5 l-b(e + fc)
x2_x2/x5_ b *1
x'l Xl/X5 ab + g x2
Фиг. 30. Изменение направления графа.
Фиг. 31.
заданный граф. Эта операция выполняется с помощью изменения
направлений всех ветвей в графе. При этом каждая ветвь tjk заме-
няется новой ветвью /'.л, а Для графа, имеющего один
источник и один сток, изменение направления дает новый граф, пере-
дача которого от источника до стока равна передаче первоначального
134
ГЛАВА 4
графа. Инвариантность передачи от источника до стока очевидна,
так как изменение направления дает новый граф, имеющий такую же
а Ъ
tf О ...... .н.-о-..-о
а
Фиг. 32.
систему путей и такую же систему некасающихся контуров, как и
первоначальный граф.
На фиг. 30, а показан первоначальный граф, а на фиг. 30, б
показан граф с измененным направлением, откуда видно, что хотя
передача от источника до стока не изменилась после изменения
направления, но соотношения между сигналами в промежуточных
узлах вообще полностью изменяются после изменения направления.
ЛИНЕЙНЫЕ ГРАФЫ СИГНАЛОВ
135
Изменение направления графа эквивалентно транспонированию
матрицы ветвей этого графа Следовательно, матрица
передачи графа также транспонируется путем изменения направления
графа. Иначе говоря, — Tjk.
ЗАДАЧИ
4.1. В каждом графе фиг. 31 исключить л-й узел или оба узла тип
(если они имеются) и получить новый граф с неизменными передачами
остающихся узлов.
4.2. Вычислить непосредственно из схемы передачу от источника до
стока каждого из графов фиг. 32. В каких схемах удобно применять соот-
ветствующее разложение, чтобы уменьшить число символов в выражении
передачи? Какое .имеется количество различных путей в графе А фиг. 32?
136
ГЛАВА 4
4.3. Вычислить контурную передачу ветви Ь, ветви d, /?-го узла для
каждого из графов фиг. 31.
4.4. Вывести правила передачи сигналов графа, применяя доказатель-
ства, приведенные в гл 3, для правил передачи унисторных схем.
4.9. Инвертировать путь от источника до стока в каждом графе фиг. 32
и доказать, что новая передача определяется обратной величиной прежней
передачи. Применить: а) инверсию, сохраняющую узлы, и б) инверсию,
сохраняющую ветви.
4.6а Нормировать графы фиг. 32, в — д ил так, чтобы максимальное
число ветвей имело единичную передачу без изменения передачи от источ-
ника до стока.
4.7. Написать алгебраические уравнения, связанные с графами на
фиг. 32, д, ж — л, и, решив их, сравнить с выражениями передачи, полу-
ченными непосредственно из схемы.
4.8. Даны уравнения:
ах о 4- ех2 + hx3 4- j*4 =
bxt+fx3-\-ix4 = x2,
ех3 +
kx3 4- dx3 = xt.
Вычертить соответствующий граф и найти передачу х4/х3. Проверить
правильность ответов с помощью алгебраических методов.
4.9. Даны уравнения:
Axi -j- Вх2 4“ == Xq,
Dxx 4- Ех2 — О,
Рх2 4- Сх3 = х0.
Преобразовать уравнения в форму, пригодную для построения графа,
затем вычертить граф и найти х3/л0 Проверить правильность ответа
с помощью алгебраического решения.
4.10. Ниже приведены выражения передачи для различных графов.
Синтезировать новый граф для каждого выражения передачи от источника
до стока. Учесть, что передача каждой ветви графа обозначена соответст-
вующей буквой.
abed
а> \-be-bcf'
(г 4 ag 4- adi) (J-\-bh-\- bej) -f- ij (1 — abed).
' 1 — abed ’
a/t(l —c/ —rfg)
’ (l-be)(l-dg)-Cf'
Глава пятая
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ
ГРАФОВ
5.1. Введение
Уравнения, связанные с линейным графом, записываются в форме
„причина — следствие", причем каждая переменная выражается через
другие переменные в явном виде. В качестве элементарного примера
рассмотрим схему, показанную на фиг. 1, а. В этом случае задача
состоит в том, чтобы выбрать удобную систему переменных цепи
и затем составить полную и независимую систему соотношений вида
„причина — следствие" из этих переменных. Решение полученного
таким образом графа дает возможность найти выходное напряже-
ние V через заданную входную величину Е, что изображено на
фиг. 1, б, где ток / входит в виде явного следствия, вызванного
причиной Е, как это задано первой ветвью этого графа. Вторая
ветвь показывает, что напряжение V представляет собой следствие,
вызванное причиной, т. е. током /, и этим заканчивается граф.
Из графа непосредственно следует, что V/Е = R2/(R}R2).
Другая формулировка приведена на фиг. 1, в. Здесь V выражено
в виде явного следствия, вызываемого причинами Ей/, что изоб-
ражено двумя ветвями графа, направленными к узлу V. Ток / в свою
очередь определяется напряжением V по закону Ома для ветви с со-
противлением /?2. В этом случае рассмотрение цепи в виде „при-
чина — следствие" приводит к контуру в графе. В уравнениях фиг. 1, в
независимая переменная Е представляет собой только узел источника
в графе и его структура (включая величины параметров цепи) отра-
жена в формулировке задачи. Каждое новое соотношение „причина —
138
ГЛАВА 5
следствие" дает некоторую новую информацию для построения графа,
новую величину параметра схемы или новый вынужденный ток или
напряжение, полученные из законов Кирхгофа.
Остальные части фиг. 1 показывают некоторые другие воз-
можные способы, с помощью которых эта частная задача расчета
£ /♦(/?,/Я2) Е l*lRt/Rt) R,*R2
У.-У11 -
Е' Е/Г Rt*R2
1 (F.) R„
= Rt±R
I (V-E) R,
з ''A
E HRi/Rt) R, <-йг
Фиг. 1. Графы простой схемы.
схемы может быть сформулирована в виде графа. В случае физиче-
ской задачи Е представляет собой основную причину, тогда как
ток / и напряжение V — следствие этой указанной причины. Однако
мы можем выбрать / и затем вычислить величину Е, требуемую для
получения тока I. В результирующих уравнениях с точки зрения
анализа / рассматривается как основная причина (узел источника),
а Е есть результирующее следствие (зависимый узел), полученное
путем расчета (фиг. 1, д). Это никак не изменяет физического смысла Е.
В частности, в графе фиг. 1, д не обязательно подразумевать, что I
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
139
является источником тока в электрической схеме. Первичный физи-
ческий источник не обязательно изображается в виде узла источника
графа. В большинстве задач удобно, когда узел источника графа и
физический источник совпадают.
Граф фиг. 1, д получается непосредственно из графа фиг. 1, в
с помощью инверсии (сохраняющей узлы) пути от Е до /. Это
иллюстрирует тот факт, что когда граф составлен для решения
физической задачи, то все другие возможные формулировки „при-
чина— следствие", содержащие те же самые переменные, получаются
с помощью инверсий графа.
Граф нафиг. 1,ж получается из инверсии единичной ветви фиг. 1, в
или ветви /?2 на фиг. 1, д’. Здесь V обозначает узел источника, при
этом функциональные соотношения между Е и V такие же, как и
на графах фиг. 1, в и д. Граф фиг. 1, г можно превратить в граф
фиг. 1, в путем исключения второго узла (Е — V) и затем с помощью
последующей инверсии контура, сохраняющей узлы. Граф фиг. 1, е
получается из графа фиг. 1, в после инверсии (сохраняющей ветви)
пути от Е до / на фиг. 1, в. Аналогично, инверсия (сохраняющая
ветви) контура на фиг. 1, в дает граф фиг. 1, з. Заметим, что инвер-
сия, сохраняющая узлы, дает различные структуры графа при при-
менении тех же самых переменных, как на фиг. 1, в, д и ж, тогда
как инверсии, сохраняющие ветви, не изменяют первоначальной кон-
фигурации графа, но изменяют сигналы в узлах, имеющих более
одной входящей ветви фиг. 1, в, в, з.
Формулировка физической задачи в форме „причина — следствие"
является в известном смысле произвольной. Можно выбрать пере-
менные и составить формулировку по предварительной схеме, кото-
рая не изменяется при переходе от одной задачи к друюй. Однако
такие формальные методы приводят к очень сложному графу. В этой
главе сначала выведем определенные формальные операции и затем,
используя их в качестве основы, перейдем к другим формулировкам
графов, которые часто дают более простые графы, более четко
связанные с физическими задачами.
В.2. Схеты четырехполюсников
Многие электронные схемы и системы удобно представить в виде
соединенных между собой трехполюсников. На фиг. 2, а показан
трехполюсник с двумя парами переменных, характеризующих актив-
ные параметры. С помощью этих переменных можно полностью
описать поведение схемы. Схема предполагается линейной, и, следо-
вательно, некоторые общие линейные соотношения вида
k2E2 -f- &3/1 4- Л4/2 = А?5 (1)
140
ГЛАВА 5
связывают два тока и два напряжения. Кроме того, две из четырех
переменных представляют собой независимые заданные величины.
Например, если к цепи присоединены источники напряжения Ех и Е2,
то напряжения этих источников могут быть установлены равными
любым величинам. Заданные напряжения определяют величины токов
/j и /2. Уравнение (1) позволяет независимо задать три переменные.
а
Фиг. 2. Схема трехполюсника.
а —определение переменных EXt 1\ и Е2» 4 четырехполюсника; б —граф двух линейных соот-
ношений между четырьмя переменными; в — окончательный граф.
Если, однако, только две переменные заданы независимо, тогда
получается другое линейное соотношение
^6^1 ^7^2 + 1 4" 2 = *10« (2 )
Эти два уравнения полностью характеризуют схему. Предполо-
жим, что на фиг. 2, а изображена линейная эквивалентная схема;
в этом случае параметры k5 и &10 исчезают. Приравнивая нулю
величины k3 и &10 в уравнениях (1) и (2), можно решить уравне-
ние (1) относительно тока /р выразив его через Z^, Е2 и /2, а
также решить уравнение (2) относительно /2, выразив этот ток
через Е2 и /г В результате можно получить граф фиг. 2, б.
Затем можно добавить две ветви с передачами, равными единице,
как указано на фиг. 2, б, и промежуточные узлы можно исключить
и получить остаток вида фиг. 2, в. На фиг. 2, в показано, что
только четыре ветви графа требуются для полного описания схемы
четырехполюсника. Чтобы показать это другим способом, опустим
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
141
постоянные члены k5 и А10 и перепишем уравнения (1) и (2) в сле-
дующей форме:
+ ^2^2 — — 1 — k4I 2 (3)
и
^6^*1 ^7^*2 == ^вЛ ^9^2* (4)
Эти уравнения можно выразить в матричной форме
^2
^6 ^7
^3 ^4 Л
kg _ /2
Умножение слева на обратную квадратную матрицу, находящуюся
в правой части уравнения (5), обеих частей этого уравнения дает
выражение
* k^ k^ 1 k^ k2 Е।
Z?8 kg _ ^6 ^7 _ - ^2
которое можно представить
кого замыкания
^11 ^12
. ^21 ^22
(6)
(7)
в виде матрицы проводимостей корот-
Это уравнение содержит только четыре независимых параметра.
На фиг. 3 показаны шесть возможных независимых пар перемен-
ных, что соответствует шести матричным преобразованиям, предста-
вленным на фиг. 15 в гл. 2.
На фиг. 3, д и е изображены графы, которые неудобно рас-
сматривать в виде простых эквивалентных схем. Нафиг. 3, а—г
передачи ветвей каждого графа могут быть измерены эксперимен-
тально, причем для этого достаточно иметь один источник и один
измерительный прибор. Однако на каждой из фиг. 3, д и е требуются
два источника и два измерительных прибора для экспериментального
определения передачи каждой ветви. Например, при расчете пара-
метра А в схеме фиг. 3, д можно присоединить внешний источник
напряжения к одной стороне схемы, установить величину Ех равной
единице и затем установить величину Е2 так, чтобы входной ток /1
был бы равен заданному значению. После этого значение Е2 численно
равно А. Любая схема замещения для фиг. 3, а — г может быть
использована для изображения схем графов фиг. 3, д и е, но пара-
метры схем уже не будут просто связаны с величинами передач вет-
вей графа, как это получается для схем на фиг. 3, а — г.
На фиг. 4 показаны графы и эквивалентные схемы для некоторых
цепей, подчиняющихся принципу взаимности. Четырехполюсники,
удовлетворяющие этому принципу, полностью характеризуются тремя,
фиг. 3. Шесть основных графов четырехполюсников и соответствующие
эквивалентные схемы.
/—нет простой эквивалентной схемы; а — проводимость короткого замыкания; б —полное со-
противление холостого хода; в —прямая передача напряжения (обратная передача тока);
г — прямая передача тока (обратная передача напряжения); д —прямая передача; е —обрат-
ная передача.
г. 4. Графы эквивалентных схем, составленных из элементов, подчи
няющихся принципу взаимности.
144
ГЛАВА 5
а не четырьмя комплексными параметрами. На фиг. 4, а и б пока-
заны общие эквивалентные схемы замещения, которые можно приме-
нять для представления произвольного трехполюсника, для которого
справедлив принцип взаимности. Эквивалентная схема фиг. 4, г также
Фиг. Зв Преобразование параметров с помощью инверсии графа пути.
имеет три независимых параметра и поэтому в общем случае позво-
ляет выразить комплексными величинами коэффициент передачи п
трансформатора. На фиг. 4, в — е свойство взаимности выражается
передачами верхней и нижней ветвей, которые равны по величине,
но противоположны по знаку. Граф на фиг. 4, а удобен, так как
позволяет выразить каждый из трех параметров цепи только одной
проводимостью ветви. Исключение двух промежуточных узлов фиг. 4, а
дает граф в форме фиг. 3, а, в котором проводимости К21 и /12
равны взаимной проводимости Ym.
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
145
Переход от одной формы четырехполюсника (из шести возможных)
к другой показан на фиг. 5. Начнем с определения прямой передачи
напряжения графа фиг. 3,8. Чтобы подготовить инверсию, сохраняю-
щую ветви, добавим четыре изолирующие ветви, имеющие единичные
передачи, как показано на фиг. 5, а. Инверсия пути от /2 до £2
дает граф фиг. 5, б, остаток которого выражен в виде проводимостей
короткого замыкания. Чтобы получить обратную передачу напряже-
ния в форме фиг. 5, можно инвертировать путь от /2 до £2 и
также путь от Е} до /р как показано на фиг, 5, в. Параметры
2
'2= (Zm^Zu)-YL =
'1 1 + (Zm + ^)r£ + +
Фиг. 6. Общая схема замещения, использующая взаимное полное сопро-
тивление Zm и полное сопротивление Za, обладающее односторонней
проводимостью.
обратной передачи напряжения затем оцениваются непосредственно
через параметры прямой передачи напряжения с. помощью графа
фиг. 5, в.
Шесть основных схем полностью эквивалентны друг другу и
взаимозаменимы, инверсия графа представляет собой простой и
непосредственный метод определения одной системы параметров через
параметры другой системы. Заметим, однако, что при решении част-
ных задач одна из шести эквивалентных схем обычно бывает более
удобна, чем другие. В частности, с помощью идеального трансфор-
матора фиг. 4, в непосредственно определяется прямая передача
напряжения или тока (фиг. 3, в или г), тогда как проводимости
короткого замыкания или полные сопротивления холостого хода
идеального трансформатора равны бесконечности и неудобны для
практических расчетов.
Кроме основных шести эквивалентных схем, приведенных на фиг. 3,
можно составить много других схем специального назначения. На
фиг. 6 приведена одна из таких эквивалентных схем, в которой
показано взаимное полное сопротивление Zm и прямое передающее
сопротивление Zu с односторонней проводимостью. Эта схема заме-
щения часто применяется для исследования транзистора в схемах
10 Зак. 1115»
146
ГЛАВА 5
с общей базой и с общим эмиттером. Указанные четыре параметра
тесно связаны с физическими свойствами транзисторов. Схема на
фиг. 6 тем не менее является общей и может применяться в качестве
эквивалентной схемы для произвольных цепей с тремя зажимами
(для трехполюсников). Параметры любой из шести схем непосред-
ственно связаны с полными сопротивлениями холостого хода.
Фиг. 7. Преобразование к новому выбору переменных величин,
относящихся к зажимам.
Все эквивалентные схемы, показанные на фиг. 3, основаны на
применении четырех величин (£р Е2, /р /2), относящихся к двум
парам зажимов. Имеются, однако, три возможности выбора пар
зажимов при анализе трехполюсников. Два из них сравниваются на
фиг. 7. На фиг. 7, в показан граф прямой передачи тока для схемы
фиг. 7, а. Ветви, указанные пунктирными линиями, задают соотно-
шения между переменными на фиг. 7, а и б. Из графа фиг. 7, в
можно вычислить соответствующие параметры на основе нового
графа фиг. 7, г. Шесть эквивалентных схем и три возможных выбора
пар зажимов дают восемнадцать различных, но эквивалентных пред-
ставлений для трехполюсной цепи. Кроме того, возможны и другие
эквивалентные схемы специального назначения. Здесь полезно отме*
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
147
тить, что целесообразно запомнить или иметь в таблице эти восем-
надцать различных систем параметров. Важно также уметь преобра-
зовать одну из этих систем в другую.
5.3. Каскадное соединение
четырехполюсников
Если два или большее число четырехполюсников включается
каскадно (фиг. 8, а\ то граф полной системы легко составляется путем
O+ZZ1) O + Va)(1+z<K/)+^2^zXa2i^-
^^\2Y3°-2\ZS (1^’Z4K£)”lX34K£a43Z2 0 + Z SY
Фиг. 8. Графы каскадного соединения четырехполюсников.
соединения соответствующих графов четырехполюсников (фиг. 8, б).
Два графа можно соединить каскадно, если только они совместимы.
Здесь совместимость означает соединение узлов источника одного
10*
148
ГЛАВА б
четырехполюсника и узлов, не принадлежащих источнику другого
четырехполюсника. Например, на фиг. 8, б е3 служит узлом источ-
ника напряжения, а е2 не является узлом источника. Аналогично 12
представляет собой узел источника тока, а узел Z3 нет. Совмести-
мость позволяет включить ветви, показанные пунктиром (фиг. 8, б).
Это означает, что е3 равно е2 и Z2 равен току — Z3.
Вместо ветвей, показанных пунктиром, можно совместить две
отдельные части графа так, чтобы узел е2 совпал с узлом е3 и
узел Z2 с узлом Z3. Соединение двух узлов, принадлежащих разным
графам, допустимо только в том случае, когда один узел или оба
представляют собой узлы источников и когда известно, что оба
узловых сигнала равны. Совмещение двух узлов, не принадлежа-
щих источникам, искажает уравнение и дает неправильный
граф.
С помощью графа фиг. 8, б можно получить параметры прямой
передачи напряжения каскадного соединения через параметры прямой
передачи напряжения двух отдельных частей схемы. Результат рас-
чета показан на фиг. 8, в. Предположим теперь, что требуется найти
передачу напряжения e^es полной системы, когда сопротивление
источника Zs и проводимость нагрузки YL присоединены, как пока--
зано на фиг. 8, а. В этом частном случае, когда полная схема
содержит только два каскадно соединенных четырехполюсника, рас-
чет несколько упрощается, если применить граф фиг. 8, б, а не
фиг. 8, в.
Чтобы учесть источник и нагрузку, надо присоединить три
новые ветви, в результате получается схема графа, показанная на
фиг. 8, г, а искомое выражение передачи выводится из разложения
определителя А по узлу с током Z2.
При последовательном включении полного сопротивления или при
параллельном включении проводимости между двумя каскадно соеди-
ненными схемами не изменяется окончательная форма графа. В част-
ности, если схема, показанная на фиг. 4, е, соединена каскадно между
двумя схемами на фиг. 8, а, тогда последовательное полное сопро-
тивление можно объединить с Z2 и параллельную проводимость
можно объединить с Y3. Другими словами, включение графа фиг. 4, д
между двумя частями графа фиг. 8, б дает граф, в котором имеются
два новых контура.
На фиг. 9 приводятся некоторые из многих других соединений
графов четырехполюсников. Граф проводимостей совместим при
каскадном соединении с графом прямой передачи напряжения
(фиг. 9, а). В результате такого совмещения получается граф, изо-
браженный на фиг. 9, б. Схемы фиг. 9, в и г показывают, что граф
прямой передачи напряжения совместим как при параллельном
(фиг. 9, в) соединении, так и при последовательном (фиг. 9, д) соеди-
нении четырехполюсников. Например, на фиг. 9, г видно, что е3 и е5
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
149
равны е2, а ток 12 равен отрицательной сумме 13 и 15. Здесь можно
совместить узлы е2, е3, е5 и узлы 12, 13, 13 после первого преобра-
зования графа для замены узлового сигнала 12 на его отрицательное
значение.
Фиг. 9- Некоторые другие совместимые соединения графов чепярсхпо-
люсников.
150
ГЛАВА 5
5.4. Основной граф контурной схемы
Различные соединения четырехполюсников дают полезные и
систематические примеры составления графов. Здесь будет описан
более общий и еще более систематический метод. Предположим, что
анализируемая схема составлена из источников тока, источников
напряжения и обычных ветвей, подчиняющихся принципу взаимности.
Метод составления графа основан на топологии схемы и начинается
с выбора дерева
Дерево — совокупность соединенных ветвей, касающихся всех узлов
в цепи, но не образующая ни одного контура, (8)
Звено — любая ветвь, не включенная в заданное дерево. (9)
При коротком замыкании всех ветвей в дереве все напряжения
в схеме равны нулю, а при размыкании всех ветвей звеньев
Фиг. 10. Составление графа, выраженного через три полных сопротивле-
ния дерева и проводимость звена.
разрываются все контуры в схеме и все токи схемы равны нулю.
Составление графа выполняется при помощи следующих операций:
Выбирается дерево, содержащее все источники напряжения схемы,
но не содержащее ни одного источника тока; поэтому соот-
ветствующая совокупность звеньев содержит все источники тока;
выражаются напряжения звеньев через напряжения ветвей дерева,
а токи ветвей дерева через токи звеньев; заканчивается граф
ветвями, передачи которых представляют собой проводимости
звеньев и полные сопротивления ветвей дерева. (10)
Очевидно, что возможно выбрать дерево, содержащее все источ-
ники напряжения и не содержащее источников тока; в противном
случае источники напряжения и источники тока не будут заданы
независимо. После того как дерево выбрано, изложенный выше
метод приводит без всякой неясности к правильному графу, который
можно назвать основным графом.
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
151
На фиг. 10 показан простейший пример. Имеются два возможных
дерева, содержащие источник напряжения и не содержащие неточ-
ен и г. 11- Основной граф, построенный на выбранном дереве 1234.
ника тока. Выберем дерево, содержащее ветвь zT и источник напря-
жения v'r; при этом проводимость yL и источник тока I' являются
звеньями. Так как дерево содержит один и только один путь между
любыми двумя заданными узлами, то напряжения на звеньях легко
152
ГЛАВА 5
найти в виде алгебраической суммы напряжений ветвей. На фиг. 10, а
напряжение звена vL равно сумме v'T и vT, как указано двумя верх-
ними ветвями графа на фиг. 10, б. Поскольку дерево имеет один
путь между двумя узлами цепи, то ток в любой ветви дерева легко
выразить через токи звеньев. Ток каждого звена совпадает с напра-
влением контура, и путь дерева соединяет концы этого звена. Следо-
вательно, получаются две нижние ветви (фиг. 10, б).
Более сложный пример графа показан на фиг. 11. Схеме фиг. 11, а
соответствует фиг. 11, на которой дерево, содержащее источ-
ник напряжения и не содержащее источника тока, показано жирными
Фиг. 12. Матричные графы.
а —основной граф; б —граф токов дерева; в —граф напряжения звеньев.
v? — источники; ту — напряжения дерева; —полные сопротивления дерева; 1? — токи де-
рева; — напряжения звена; у^. —проводимости звеньев; — токи звеньев; —источники
ветвями, а звенья — пунктирными линиями. Выбор положительных
направлений для тока и напряжения произволен, но как только эти
направления выбраны, они должны оставаться неизменными при
составлении графа. Используем второй закон Кирхгофа и выберем
положительное направление тока, показанное на фиг. 11, в, и для
обычных ветвей и источников. Положительные направления напряже-
ния и тока для любого элемента таковы, что ток ветви и напряже-
ние на ее зажимах дают положительную мощность, поглощаемую
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
153
этим элементом. Это следует понимать так, что упрощенное обозна-
чение в виде стрелки фиг. И, г указывает направление тока и на-
пряжения фиг. 11,8 для любой ветви или источника.
Описанный способ составления графа приводит к основному
графу фиг. И, д. Общая структура графа, показанная на фиг. 11, д,
может быть представлена более компактно на фиг. 12, а, на которой
изображен матричный граф. Соответствующие матричные уравнения
имеют следующий вид:
[©; 4 t»r]ii = D£, (11)
•^сУс = 11' (12)
lTzT = vT, (14)
где v'r vT, l'L и lL — матрицы (векторы)-строки; [i, а — преобразую-
щие матрицы и zT — диагональные матрицы. Для схемы фиг. 11,
рассматриваемой в качестве примера, получаем соотношения
v't = Ь 0 0 0], (15)
vT = [0 V2 ^1- (16)
VL = ^5 V6 v7]. (17)
lL = [0 0 , 4’ (18)
II = r5 i6 0]. (19)
I'P Z2 l-i I4 1. (20)
1 • 0 o'
1 0 0
p= 1 1 1 (21)
_0 - 1 - -1
—1 -1 —1 o'
a = 0 0 — 1 1 (22)
0 0 —1 1 _
*0 0 0 ( ) -
0 z, 0 1 )
zT — 0 0 z3 < 3 • (23)
_ 0 0 0 z4 _
y5 0 o'
Уд = о У( i 0 • (24)
0 0 0
154
ГЛАВА б
Элементы и ctjk в матрицах р. и а могут быть вычислены
непосредственно из графа схемы фиг. 11, б'. При этом &-й столбец
матрицы р (или &-я строка матрицы а) соответствует контуру, обра-
зованному деревом и &-м звеном. Например, первый столбец мат-
рицы р показывает, что напряжение первого звена v5 представляет
собой сумму первых трех напряжений vit v2, v3 дерева. Аналогично
второй столбец матрицы р показывает, что напряжение vQ второго
звена равно разности двух напряжений v3— v4 дерева. Ка‘к и для р,
первый столбец а показывает, что ток равен отрицательной вели-
чине тока Z5 первого звена. Аналогично четвертый столбец матрицы а
указывает, что ток Z4 четвертой ветви дерева равен сумме токов Z6
и /7 двух звеньев и не зависит от тока Z5 другого звена. Короче,
каждый столбец матрицы р соответствует уравнению напряжения
звена, выраженному через напряжения ветвей дерева, и каждый
столбец матрицы а связан с уравнением, дающим ток дерева, выра-
женным через токи звеньев. Поэтому в силу симметрии получается
ajh = — Рьг <25)
Другими словами, матрица а равна отрицательной величине транспо-
нированной матрицы р.
Основной граф (фиг. 11, д) можно решить с помощью примене-
ния правил передачи графа. Заметим, что для получения более общей
формы решения удобен матричный граф фиг. 12, а. Матрицы под-
чиняются таким же правилам, как обычные числа, за тем исключе-
нием, что их умножение не коммутативно. Следовательно, с матрич-
ным графом можно обращаться как с обычным графом, придержи-
ваясь правильной последовательности в произведениях матриц. Помня
это, можно исключить узлы vT, vL и lL на фиг. 12, а для получения
схемы, приведенной на фиг. 12, б'. Соответствующее матричное
уравнение будет
zr = [zz^r + vr]W + z2a- (26)
Группируя члены, содержащие Zr, получим
4/~W] = t'rW + Zia' <27)
где / — единичная матрица. Умножение обеих частей этого уравне-
ния на обратную матрицу, заключенную в скобках, дает выра-
жение для токов 1Т ветвей дерева через источники v'T и l'L
lT = •+ Z4a] [Z ~ *• <28)
Соотношение (28) показывает, что влияние петли в матричном графе
сводится к умножению пути передачи в этот узел на матрицу,
обратную разности единичной матрицы и матрицы передачи петли.
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
155
Это положение представляет собой обобщение эквивалентной замены
петли обычных нематричных графов. Определяя vL (а не iT)t из
фиг. 12, в получим
VL = И — (29)
5.5. Анализ тетодош узловых напряжений
и контурных токов
На фиг. 13 показана цепь, содержащая несколько источников
так, что можно выбрать дерево, составленное полностью из этих
Фиг. 18. Схема, содержащая источники дерева (а), граф схемы (й),
основной матричный граф (в).
источников. Этим способом можно всегда начать анализ любой
схемы, присоединяя необходимые источники. Пусть источники пред-
ставляют собой независимые генераторы напряжения; тогда основной
матричный граф упрощается и переходит в форму, показанную на
фиг. 13, в. Соответствующее матричное уравнение будет
/г = ^|ху£а. (30)
Уравнение (30) получается из равенства (28), когда zT и i'L ста-
новятся равными нулю. Для цепи фиг. 13, а с направлениями
156
ГЛАВА 5
ветвей, указанными на фиг. 13, б, находим
— РУд» =
— (Z6 Z7 Z8),
®'r = (®6 V7 Vs)'
У1 + Уз
— У1
У1 + У1 + У4
— У1
— У2
Уч+у5-
(31)
(32)
(33)
(34)
0
Отрицательное значение произведения матриц |ху£а, как видно, пред-
ставляет собой матрицу проводимостей короткого замыкания, рас-
смотренную в гл. 2. Отрицательный знак в (33) получается вследствие
в
Фиг, 14. Схема, содержащая систему источников в звеньях (а), граф
схемы (О, основной матричный граф (в).
влияния знаков источника напряжения и источника тока, отличаю-
щихся от применявшихся в гл. 2.
Если положить, что источники на фиг. 13, а представляют собой
фиксированные токи, а не фиксированные напряжения, тогда напря-
жения Vq, vv v3 можно выразить через Z$, Z7 и Z8 с помощью
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
157
уравнения (30); в результате получается матричное уравнение,
определяющее напряжения через полные сопротивления холостого
хода,
^=/г[|луда]"1. (35)
На фиг. 14 показан второй способ, с помощью которого основной
граф можно сделать простым. В этом случае в цепь вводятся источ-
ники таким способом, что они образуют замкнутую систему
звеньев. Системой звеньев называется совокупность ветвей, исключе-
ние которых необходимо и достаточно для размыкания всех конту-
ров в схеме. Исходя из этого, основной матричный граф упрощается
и переходит в форму фиг. 14, в. Соответствующее матричное
нение
урав-
<7 =
(36)
и для этого частного примера имеем
= [tl6 V7],
47 = р6 Ч-
азур. =
(37)
(38)
'—1 0 1—10'
0 10—1 1
0
0
0
0
0
Z2
о
о
о
о
о
*3
о
о
о
о
о
*4
о
о ~ ~
о
о
о
*5- -
1
о
— 1
1
0
0“
— 1
0
1
— 1
(39)
г4
— —
*4
(40)
Как указано раньше, выбранное дерево имеет один и только один
путь между двумя узлами заданного звена. Каждое звено вместе
с соответствующим путем дерева образует контур в цепи. Следова-
тельно, ток &-го звена можно рассматривать как ток lk контура
с учетом его направления. При этом &-я строка матрицы а
определяется наличием ветвей дерева в &-м контуре и ориен-
тацией их положительных направлений в этом контуре. Напри-
мер, в матричном уравнении (39) первая строка матрицы а указы-
вает, что ток первого звена Z6 имеется в контуре, содержащем
ветви /, 3 и 4t и что направления ветвей / и 4 противоположны
положительному направлению тока контура. Матрица полных контур-
ных сопротивлений (40) показывает, что собственное полное сопро-
тивление первого контура равно + + собственное полное
сопротивление второго контура равно г2 + + z5 и общее полное
сопротивление для обоих контуров равно z4 (фиг. 14,6). Общее
полное сопротивление положительно, потому что ток /б в четвертой
158
ГЛАВА 5
ветви создает напряжение, совпадающее с напряжением от кон-
турного тока Z7.
Уравнение (36) получается из уравнения (29), когда напряжение v'T
и проводимость yL равны нулю. Рассматривая источники звеньев
в виде заданных напряжений, а не заданных токов, можно из мат-
ричного уравнения (36) найти контурные токи, выраженные через
заданные источники напряжения
i'L=VdaZT^~1' (41)
Формулировки, определяемые уравнениями (30) и (35), соответствуют
анализу цепей методом узловых напряжений. Когда схема рассчи-
тывается методом узловых напряжений, дерево из источников тока
присоединяется к этой схеме, как показано на фиг. 13, а. Для
того чтобы составить уравнение баланса токов (30), эти источ-
ники рассматриваются в качестве источников напряжения. После со-
ставления уравнений токи в присоединенных ветвях источников снова
рассматриваются в виде источников тока, после чего определяются
узловые напряжения, вызванные токами источников. Решение полу-
чается в виде обратной матрицы [аналогично уравнению (35)]
или при помощи инверсии различных путей передачи от источника
до стока основного графа. В результате получается новый граф,
в котором источники тока помещены в соответствующих узлах, а узло-
вые напряжения показаны в виде зависимых узлов.
Когда дерево из источников имеет один общий узел для всех
источников (фиг. 13, а), то в уравнениях напряжения этот узел учи-
тывается в качестве базисного (заземленного). Наличие заземленного
узла часто удобно, но не необходимо. Любая система напряжений
деревьев может быть использована в качестве исходной. Например,
на фиг. 13, а источник г/8 может быть расположен параллельно ветви у2
вместо ветви у5.
Формулировки, выраженные уравнениями (36) и (41), соответствуют
анализу цепи методом контурных токов. При применении метода
контурных токов источники напряжения, входящие в совокупность
звеньев цепи, сначала рассматриваются в виде источников токов
(фиг. 14, а) и составляются уравнения для напряжений (36), в кото-
рых контурные токи входят в виде переменных. Когда составлены
эти уравнения, источники снова рассматриваются в виде независимых
напряжений. Затем определяются контурные токи, вызванные этими
напряжениями. Как и раньше, ответ получается в виде обратной
матрицы (41) или с помощью инверсий соответствующих путей в основ-
ном графе; в результате получается новый граф, в котором источ-
ники напряжения действуют в качестве источников узловых сигналов.
Часто удобно применять систему контурных токов, которые в об-
щем случае совпадают с системой токов звеньев. На фиг. 15 пока-
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
159
зана планарная схема, представляющая собой в общем случае
любую схему, которая может быть расположена на поверхности
сферы без перекрытия или пересечения ветвей. Для анализа планар-
ной схемы очень удобно рассматривать совокупность контурных то-
ков, замыкающихся в отдельных ячейках этой схемы, обозначенных
на фиг. 15 буквами. Число ячеек в планарной схеме, очевидно, рав-
но числу звеньев. Однако в этом частном примере нельзя считать
ток каждой ячейки равным току соответствующего звена (звенья по-
казаны пунктирными линиями и пронумерованы от 1 до 9 на фиг. 15).
d\ 14
6
Фиг. 15. Контурные токи планарной схемы.
Тем не менее токи звеньев и ячеек связаны между собой простыми
линейными уравнениями, что позволяет находить токи ячеек через
токи звеньев или токи звеньев с помощью токов ячеек. Другими сло-
вами, матрица-строка тока lL звена связана с матрицей-строкой
тока 1М ячейки с помощью обратного матричного преобразования
типа Il-ImP-ml• Ддя токов ячеек планарной цепи существует соотноше-
ние lM — Для произвольной планарной цепи или любой дру-
гой необходимое и достаточное условие при независимом выборе си-
стемы контурных токов состоит в том, что преобразование типа а
этих контурных токов в систему токов звеньев представляет собой
обратное преобразование, при этом должна существовать обратная
матрица.
На фиг. 16 приведены методы составления графов, выраженных
через узловые напряжения и контурные токи. Основной граф фиг. 16, б
базируется на дереве zv z^ и vr Исключение избыточных узлов
дает граф фиг. 16, в, в котором имеются только напряжения дерева
и токи звеньев. Дальнейшее упрощение графа путем исключения узлов
(исключения петель, которые возникают после исключения этих узлов)
дает новый граф узловых напряжений фиг. 16, г или граф контурных
160
ГЛАВА 5
токов фиг. 16, о. Передача любой ветви в графе фиг, 16, г
может быть вычислена непосредственно с помощью графа фиг. 16, в.
Фиг. 16. Графы многозвенной цепи.
Например, в графе фиг. 16, г напряжение v2 выражено через vx и v3.
Чтобы найти передачу ветви, идущей от к ci2, необходимо вер-
нуться к графу фиг. 16, в, установить v3 равным нулю и рассматри-
вать vx в виде узла источника. При этих условиях передача от vx к ^2
(на графе фиг. 16, в) равна y4z2l(i + У4г2 +“ Умножение числи-
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
161
теля и знаменателя этой дроби на у2, т. е. на обратную величину
г2, дает передачу ветви, равную у4/(Уг + У4 + У5)’ как показано на
фиг. 16, г.
Любая передача ветви на фиг. 16, г также может быть опреде-
лена непосредственно с помощью схемы фиг. 16, а. Граф фиг. 16, г
показывает, что v2 выражено через и v3. Следовательно, чтобы
найти передачу ветви, идущей из к v2, мы возвращаемся к схеме
фиг. 16, а, устанавливаем v3 равным нулю (замыкаем накоротко
ветвь ^3), рассматриваем в виде источника напряжения и вычисляем
отношение напряжений v2/vv При заземленном узле v3 ветви z2 и г5
соединяются параллельно и величина v2/v{ аналогична коэффициенту
передачи потенциометра или делителя напряжения, равному У4/(У2
+ У4 + №)•
Чтобы найти передачу ветви, направленной из Z4 в Z5 на фиг. 16, д,
возвращаемся к схеме фиг. 16, а, устанавливаем контурный ток Z6
равным нулю, рассматриваем контурный ток Z4 в качестве фиксиро-
ванного источника и вычисляем отношение Z5/Z4. Ток Z4 создает напря-
жение l4z2 в пятом контуре, это напряжение затем делим на собствен-
ное полное сопротивление (z2 + z3 -ф- z5) пятого контура и определяем
составляющую тока Z5, вызванную током Z4. В результате находим
передачу ветви, равную ^2/(^2 + ^3-|-^5), которая показана на фиг. 16, д.
Классические уравнения узловых напряжений для этой схемы
имеют следующий вид:
®1(Уг+У4) — v2yt = l0> (42)
— 'У1У4 + ®2(У2Ч-У4 + Уб) — г’зУ5 = °> (43)
— г’гУз + 'МУзЧ-Уз-Нб) =^6- (44)
Для графа фиг. 16, г эти уравнения можно представить в форме
„причина — следствие" с помощью решения первого уравнения относи-
тельно через v2 и Zo, решения второго уравнения для v2 через
и v3 и решения третьего уравнения относительно v3 через v2 и на-
пряжение источника ^7. Аналогичные операции применяем при исполь-
зовании метода контурных токов
Ч (*1 + Z2 + ^4) — 4>Z2 — ^1» (45)
— 4*2 + *5 (*2 + Z3 + *5) — Мз = 0» (45)
— &з + 'б (Ъ + г6) = - ^7- (47)
Этим уравнениям удовлетворяет схема графа на фиг. 16, д. На фиг. 17
показаны измененные варианты графов узловых напряжений и кон-
турных токов, в которых коэффициенты в классических уравнениях
очень просто связаны с передачами ветвей графа. Ток 1% на фиг. 17, а
И Зак. 1115.
162
ГЛАВА 5
равен сумме токов, входящих во второй узел схемы и вызванных
другими узловыми напряжениями, кроме v2. Так как ток приписан
к каждому узлу, то /" можно показать наглядно направленным из
второго узла через собственное полное сопротивление 1 /(у2 -|- у4 + у5)
этого узла; произведение этих величин равно узловому напряже-
нию ^2- Аналогично напряжение на фиг. 17, б равно напряжению,
J У4 I £ |
/ / I
° У/ *У4 Уг*УГУ} УГУ5+У6
1.0—L—1—а—I—»_________1—
ь/ и2 ij
Фиг. 17. Графы узловых напряжений и контурных токов многозвенной
цепи.
юр7
вызванному в пятом контуре всеми другими контурными токами, и
контурный ток /5 определяется в виде частного от деления этого
напряжения на собственное полное сопротивление контура. Графы
на фиг. 17 преобразуются в графы, показанные на фиг. 16, гид,
путем исключений узловых переменных, обозначенных двумя штрихами.
5.6. Вынужденная односторонняя
проводимость
В предыдущих разд. 5.4 и 5.5 были составлены графы для схем,
подчиняющихся принципу взаимности. Распространение способов
построения графов для схем с элементами, не подчиняющимися прин-
ципу взаимности, например для схем с электронными лампами или
с транзисторами, работающими в линейном режиме, очевидно.
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
163
На фиг. 18, а показана схема с крутизной s, обладающей односторон-
ней проводимостью, представленной в виде зависимого источника
Фиг. 18. Основные графы, построенные с учетом ограничений, вносимых
односторонней проводимостью.
тока segt управляемого напряжением е'. Управляющее напряжение
обозначено соответствующей буквой со штрихом для облегчения
составления графа фиг. 18, б. Штрих дает возможность отличить
напряжение схемы е' от величины напряжения eg, появляющегося
11*
164
ГЛАВА 5
в виде множителя в выражении тока источника seg. Если, таким
образом, имеется возможность отличить eg от е', то можно пред-
ставить seg в качестве независимого источника тока, связь которого
с е' еще не задана. С этой точки зрения схема фиг. 18, а не
отличается от схем с ветвями, подчиняющимися принципу взаим-
ности, рассмотренными в предыдущих разделах. Выбор дерева zxz2
приводит к части графа, показанной на фиг. 18, б жирными ли-
ниями. Расположение узлов такое же, как на фиг. И; переменные
деревьев расположены налево, а переменные звеньев находятся справа.
Когда seg представляет собой независимый источник тока, то часть
графа, показанная жирными линиями, определяет свойства схемы.
Поскольку e'g управляет величиной segi то при eg~ е' необходимо
добавить ветвь $, показанную пунктиром. После этого граф закончен
полностью, и любая переменная может быть выражена через одну
независимую величину /0.
Другие параметры с односторонней проводимостью, например р.
электронных ламп или а транзисторов, могут быть учтены таким же
способом (фиг. 18, в — е). При составлении графа предполагается,
что зависимый источник действует в качестве независимого. Это
допущение затем можно учесть путем добавления последней ветви
к графу. В графе фиг. 18, г используется дерево pegt Rt и zv
Этот граф не является основным. Напряжение e'g выражено через ех
и е2, а не через ех> е3 и peg.
Графы, показанные на фиг. 18, составлены с помощью основных
форм; однако в этом нет необходимости, если схемы содержат
элементы с односторонней проводимостью. При составлении графов
для таких схем применяется меньшее число переменных в виде кон-
турных токов или узловых напряжений. При этом зависимые источ-
ники рассматриваются в качестве независимых и затем добавляются
ветви графа, представляющие ограничения, вносимые односторонней
проводимостью.
5.7. Граф узловых напряжений дпя унистор-
ной схемы
Схему с элементами, не подчиняющимися принципу взаимности,
можно представить в виде совокупности ветвей, ‘Подчиняющихся
этому принципу. При этом в цепь вводятся зависимые источники.
Как показано в гл. 3, цепь с элементами, не подчиняющимися прин-
ципу взаимности, можно представить в виде схемы с ветвями из
унисторов (фиг. 19, а). Узловые потенциалы унисторной цепи должны
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
165
удовлетворять уравнениям вида
(48)
Левая часть этого уравнения представляет ток, выходящий из &-го
узла через унисторы, направленные наружу. Правая часть уравне-
ния (48) представляет ток, входящий в &-й узел из унисторов,
направленных к узлу. Чтобы составить общее уравнение в форме
— «12/^23»
123 — М2з/(^30 + ^32 +
t
)k 2<
Г
Фиг. Схема унистора (а), схема соответствующего графа (6).
„причина—следствие*, нужно переписать уравнение (48) и выра-
зить ek в виде явной функции потенциалов других узлов
2 elui* ek = -^ • <49) ukr г
Это сразу приводит к выводу, что для графа с передачами ветвей,
равными tjk, справедливо соотношение
и ek — (50) = а— (51) >к 2'^’
г
166
ГЛАВА 5
На фиг. 19, б показано, что граф узловых напряжений для унистор-
ной цепи после исключения из схемы унистора, направленного к земле,
приводит к такой же топологической структуре, как и сама уни-
сторная цепь. Из графа фиг. 19 величина передачи от et к равна
__ ^12^23^34
о 1 / / / / * \Y^)
*\ А *23Г32 — Г34МЗ
Н20 = 1 ~ ^23»
Нз0~ 1 “ ^32 — ^34»
^40 = 1 — ^43»
№jk=tjk п₽и Л
п
Е Иуг = 1, так что Иу0 = 1— £
г г=1
Фиг. 20. Граф (а), эквивалентная унисторная схема (tf).
и после замены tkj с помощью уравнения (51) имеем
_______Ц12^23^34________
g4 _________________Ц23 (Ц30 + Ц32 4~ Ц34) Ц43___________ /Кп\
।___________Ц23Ц32__________________Ц34Ц43_______
(W30 “Ь W32 Ч” W34) W23 W43 (W30 4“ W32 Ч" W34)
Это выражение можно упростить и представить в следующем виде:
е4 ц12ц23ц34 ц12ц34 . /е А \
W30U23W43 W30U43
Если источник напряжения et замкнут (фиг. 19, а), то остается только
одно унисторное дерево «з0^23«43, которое нужно учитывать. Опре-
делитель графа содержит контуры, тогда как определитель унистор-
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
167
ной схемы состоит из деревьев. Для произвольного контура графа
t t t - UjkUkiUlj --
1 i}-----7v77^5 \7v---Г •
(2 u«r\ (2 “Zrj (2 U)r\
Числитель выражения (55) содержит член Ujkukiuip Следовательно,
когда передача контура tjktkittj вычитается из единицы и результат
приводится к одному общему знаменателю, замкнутые унисторные
контуры исчезают из результирующего числителя. После исключения
унисторных контуров могут остаться только унисторные деревья.
Аналогичным способом можно вывести топологические правила пере-
дачи для унисторных схем из законов передачи графа. Короче, пра-
вила для унисторов и для графов тесно связаны, и уравнение (51)
представляет собой основное соотношение, с помощью которого
одно из них может быть получено из другого.
На фиг. 19 показан граф для унисторной схемы. На фиг. 20
показано определение унисторной схемы по графу с заданными
узловыми напряжениями. В этом случае задача синтеза решается
очень просто. Пусть
2«;,= 1 (56)
выполняется в каждом /-м узле схемы, кроме заземленного и вход-
ного узлов. При этих предположениях из уравнения (51) следует, что
tjk = ujk (57)
для всех унисторов, не соединенных с землей. Проводимости уни-
сторов UjQt направленных к заземленному узлу, могут быть получены
равными величинам, удовлетворяющим уравнению (56). Этим и закан-
чивается синтез схемы, как показано на фиг. 20, б.
5.8. Основные схемы замещения
транзисторов и электронных ламп
Примеры, приведенные в этой главе, предназначены для иллю-
страции принципов составления графов, изложенных в предыдущих
разделах. На фиг. 21, а показана приближенная линейная эквива-
лентная схема транзистора. Граф фиг. 21, а имеет две единичные
ветви, учитывающие токи в среднем узле, и имеет также ветвь а,
отображающую одностороннюю проводимость для тока. Учет сопро-
тивлений эмиттера и базы дает более сложную эквивалентную схему
фиг. 21, б, а учет коллекторной проводимости gc приводит к общей
эквивалентной схеме, показанной на фиг. 22, а. Переход от схемы
168
ГЛАВА 5
фиг. 21,в к схеме фиг. 21, г, азатем к фиг. 22,(7 иллюстрирует
общий метод составления графа с помощью приближения и
коррекции, В типовом транзисторе при обычных условиях базовое
сопротивление, сопротивление эмиттера и коллекторная проводимость
Фиг. 21. Схема замещения транзистора с общим эмиттером (коллектор-
ная проводимость не учитывается).
а— приближенная эквивалентная схема; в— соответствующий граф; д — граф упрощенной
схемы; ж—- эквивалентная схема; б, г, е, з — та же последовательность схем, но с учетом
сопротивления эмиттера и базы.
очень малы. Из этого следует, что произведения rbgc и regc меньше
единицы на один или несколько порядков. Следовательно, схема
замещения и граф фиг. 21, а и в представляют собой первое приб-
лижение для анализа схемы, показанной на фиг. 22, а. Составление
графа выполняется с помощью прямой передачи тока в схеме, пока-
занной на фиг. 22, в, из которой видно, что 1Х представляет собой
источник тока, а е2—источник напряжения. Таким образом,
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
169
является узлом источника (фиг. 21, в). Чтобы корректировать при-
ближенные величины е2 и Z2 (фиг. 22, в), необходимо добавить ветви
в графе фиг. 21, в.
Составление графа посредством приближения и коррекции пред-
ставляет собой математическую операцию, требующую внимания. При
анализе схемы следует понять основные соотношения, обычно тесно
Эмиттер
re9c
а
1~*+ге9с
Фиг. 22. Эквивалентная схема транзистора с общим эмиттером и ее граф.
связанные с проектируемыми функциями схемы; затем нужно коррек-
тировать приближенный граф путем учета второстепенных факторов.
Составление графа с помощью приближения и коррекции предста-
вляет собой метод решения. Если схема слишком сложна и ее нельзя
анализировать непосредственно, то следует замкнуть или исключить
из схемы некоторые ее элементы и оставить только основу схемы.
170
ГЛАВА 5
Затем нужно составить граф, имеющий смысл, и после этого приме-
нить коррекцию.
Знание некоторых общих свойств основных графов (разд. 5.4—5.6)
иногда помогает решению таких задач. Для составления графа
Фиг. 23. Эквивалентная схема транзистора с общей базой и ее граф.
по фиг. 22, а, например, можно считать сопротивления гь и ге и про-
водимость gc (а не проводимости gb, ge и сопротивление гс) в каче-
стве передач графа. Граф будет понятнее, если второстепенные фак-
торы в схеме выражены малыми величинами передач. Зная свойства
основных графов, легко понять, что гь, ге и gc можно выразить
в виде передач графа, поскольку схема обладает деревом, содержа-
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
171
щим гь и ге. но не содержащим gc. Граф на фиг. 22, б тесно свя-
зан с основным графом, использующим дерево rbre и источник на-
пряжения £2*
На фиг. 23—33 показаны графы других транзисторных и лампо-
вых схем. Все рассматриваемые здесь цепи представляют собой экви-
валентные линейные схемы для сигналов переменного тока. Поэтому
Фиг. 24. Эквивалентная схема транзистора с общим коллектором и ее
граф.
источники питания не показаны на фиг. 25 — 33. Некоторые пред-
ставленные здесь формулы основаны на использовании эквивалентных
схем с источником напряжения и с источником тока. Для сравнения
заметим, что усиление напряжения e2jex трех основных триодных
172
ГЛАВА 5
схем выражается очень простыми формулами, если применяется кру-
тизна $, проводимость g и нагрузка <72, как показано на фиг. 26, е,
29, б и 31, б.
На фиг. 27 показана проводимость между анодом и сеткой, влия-
ние которой становится значительным на высоких частотах вследствие
межэлектродной емкости сетка — анод и паразитной емкости между
Фиг. 25. Сравнение трех основных транзисторных схем (проводимость
коллектора не учитывается).
этими электродами. На фиг. 26, д и 29, а приведено интересное
сравнение катодного повторителя и усилительного каскада с общим
катодом. На фиг. 30 приведена схема графа, аналогичная схеме, рас-
смотренной на первой фигуре этой главы. Хотя eg и не является
основным физическим источником (фиг. 28, а), можно начать соста-
вление графа с величины eg, а затем составить граф, который дает
величину э. д. с. источника ер необходимую для того, чтобы полу-
чить величину е. Результирующее отношение е2/е} такое же, как
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
173
на фиг. 29, а\ два графа связаны между собой с помощью простой
инверсии.
Если граф составляется на основании экспериментальных данных
[например, величины передачи напряжения, измеренной эксперимен-
тально (фиг. 31, а и б)], то требуется только небольшое изменение
е2
/2 5
ei
е2 _ — sR2 ,
е1
е,0--------
G У-Ог______.
е, - l+A-jO/
el Ri+Rl'
ег _ — P-ffa .
el Rl + R2"
Фиг. 26. Анализ электронного усилителя с общим катодом.
а — эквивалентная схема с источником напряжения; б —эквивалентная схема с источником
тока gp^/Rp <?2=1/₽2; в — е —соответствующие графы.
графа для применения к другим случаям, например для определения
выходного полного сопротивления (фиг. 31, в и г). Замена сопроти-
вления нагрузки /?2 на фиг. 31, а источником напряжения, показан-
ным на фиг. 31, в, эквивалентна удалению из схемы фиг. 31, б ветви
174
ГЛАВА 5
проводимости для получения графа полного выходного сопротивле-
ния (фиг. 31, г).
На фиг. 25 и 33 показаны три основные ламповые схемы, кото-
рые приближенно . дуальны относительно их транзисторных прото-
типов. Дуальные цепи отличаются тем, что уравнения, определяющие
их состояние, имеют одну и ту же форму, причем токи и напряжения
в обеих схемах меняются взаимно. (Точная дуальная схема относи-
тельно схемы фиг. 25, б транзистора с общим эмиттером предста-
вляет собой триод с внутренним анодным сопротивлением, равным
в
Фиг. 27. Влияние проводимости между сеткой и анодом в эквивалентной
схеме триода с общим катодом.
нулю, но с проводимостью между сеткой и катодом, не равной нулю.)
Для основных транзисторных цепей следует применять прямую пере-
дачу тока, потому что каждая из таких схем представляет собой
токовую систему, в которой прямая передача тока значительна (кроме
схемы с общей базой), мало входное сопротивление в режиме корот-
кого замыкания и мала выходная проводимость в режиме холостого
хода. Очевидно, что для схем, дуальных относительно основных
триодных схем, главным параметром является прямая передача напря-
жения. Дуальность между фиг. 25 и 33 устанавливается даже более
строго при вычислении прямой передачи тока в режиме короткого
(1Р2 . __ -У
₽/ + (н"-Ы)/?2 : ~ 'У + ^р + °2 ‘
Фиг. 28. Схема электронного усилительного каскада с общим анодом
(катодный повторитель).
е2 11£/Л
eg '+gPR2 *<+*2
е1 l^^p^2 + gp^2 /?j + (lx + 1)₽2
Фиг. 29. Различные формы графа катодного повторителя.
Фиг. 30. Другой граф катодного повторителя.
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
177
замыкания транзистора и при выражении этой величины через коэф-
фициент усиления тока от базы к коллектору
(Л —- -> * ,
1 "ГаЬс
1^-= 1 +аЛГ
(58)
(59)
(60)
соотношение (58) показывают, что коэффи-
от базы к коллектору транзистора аналогичен
Фиг. 25 и 33 и
циент усиления тока
Катод . . Анод
Сетка
а
д
ег _ н + 1 _ <l‘-+1)ff2 _ «p + s
el 1 + /?i°2 + gp+°2
e, ___________!>+ 1________ (p- + l)Ra
₽0 l+/?|(|i + l)O2 + ff/O2 + + (Н + О R, ’
у Л (н + 1)О. . и + 1
вх. e, l + R|O2 Ri+R2*
£Bblx.=-77='?i + (P + i)RI.
Фиг. 31. Анализ электронного усилителя с общей сеткой.
12 Зак. 1115.
(|Х+ !)/?»
г2 /?г + ₽| + /?а (|х + 1)/?а
е0 1 I РЛ?1 /?; + /?л + (|1+1)/?| '
Фиг. 32. Граф схемы с общей сеткой.
Фиг. 33. Сравнение трех основных типов электронных усилительных
каскадов (проводимости сетка — анод и сетка — катод не учитываются).
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
179
коэффициенту усиления напряжения электронного триода от сетки
к аноду, причем схемы эти дуальны.
5.9. Усилительный каскад с катодной
связью
В этом и в двух последующих разделах приведен анализ трех
различных усилительных каскадов на электронных лампах для иллю-
Ф и г. 34. Усилитель с катодной связью; катодный повторитель работает
на каскад с общей сеткой.
страции составления графов. Анализ усилительного каскада с катод-
ной связью (фиг. 34, а) начинается с составления линейной эквива-
лентной схемы для сигналов переменного тока (фиг. 34, б). Для ана-
лиза этой схемы нужно представить, что сопротивление Z?2 заменено
источником напряжения Токи и /2 могут быть выражены через
12*
180
ГЛАВА 5
напряжения ех и е2 (жирные линии на фиг. 34, в). После замены
источника напряжения е2 сопротивлением R2 можно завершить граф
с помощью двух ветвей (показанных пунктиром), означающих, что
напряжение е2 выражается через разность токов 1Х —12 в сопроти-
влении R2. На фиг. 35 показан другой способ вычисления той же
передачи напряжения е31ех. В этом случае усилительная схема
фиг. 34, а представляет собой соединение каскада с общим анодом
и с общей сеткой. Это каскадное соединение соответствует соедине-
нию графов соответствующих четырехполюсников, взятых из фиг. 33,
Фиг. 35. Составление графа схемы с катодной связью производится
с помощью последовательного вычерчивания двух графов.
что дает фиг. 35, б. Для простоты предполагается, что оба триода
имеют одни и те же параметры р и При p,1 = |x2 = p, и /?п =
== Ri2 — Rt оба выражения передачи е^ех для фиг, 34 и 35 одина-
ковы.
5.10. Каскод
На фиг. 36 показана схема каскодного усилителя и эквивалентная
схема, применяемая для некоторого диапазона средних частот. Эту
схему можно анализировать подобно усилителю с катодной связью
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
181
б виде каскадного соединения двух основных ламповых схем. Начнем
сразу с установления зависимостей „причина — следствие", которые
непосредственно ведут к графу фиг. 36, в. Рассмотрим один из воз-
fl
— ixt(tia+l)₽
ga __ — Рч (Р-2 +1) Я
et 1 , ‘
Фиг. 86. Схема .каскода*; усилитель с общим катодом работает на уси-
литель с общей сеткой.
а—ЯС-цепь; б — эквивалентная схема для средних частот; в—граф.
можных способов анализа этой схемы. Ток I вызывается двумя источ-
никами напряжения: и |л2г2, действующими через последователь-
ные сопротивления -|- Rl2 R. Это дает основную ветвь графа.
Алгебраическая сумма источников напряжения —1М1Ч~Н2*2 может
182
ГЛАВА 5
быть выражена через ег и I с помощью двух ветвей, показанных
слева, и трех нижних ветвей на фиг. 36, в. И, наконец, величина е3
выражается произведением I на R. Полное выходное сопротивление
усилителя (относительно сопротивления R) нельзя получить непосред-
ственно с помощью простого варианта этого графа, потому что со-
противление R не появляется в виде простого сомножителя в выра-
жении контурной передачи любого узла или ветви графа. Однако
упрощенная форма выражения передачи е3/ег содержит сопротивле-
ние R в виде множителя в числителе, а в знаменатель это сопроти-
вление входит в виде одного слагаемого. Это выражение после умно-
жения на ех определяет напряжение на зажимах неидеального источ-
ника, имеющего напряжение холостого хода —нН “bib)*!» полное
внутреннее сопротивление (1 Н—р<2) —|—Z?z2 и присоединенное сопро-
тивление нагрузки R. Следовательно, выходное полное сопротивление
усилителя равно (1 +|х2) + /?Z2-
5Л1> Пентодный усилитель
На фиг. 37, а показана схема пентодного усилителя. В некото-
ром среднем диапазоне частот, когда емкости связи и развязок Ср
Ck, Cs, С2 дают пренебрежимо малое реактивное сопротивление, на-
пряжение экранной сетки в основном постоянно, а линейная эквива-
лентная схема показана на фиг. 37, б. Граф фиг. 37, в дает усиление
напряжения Agp от управляющей сетки к аноду при условии, что
изменение напряжения экранной сетки равны нулю.
На фиг. 38 показан случай, когда развязывающая емкость Cs
экранной сетки удалена из схемы фиг. 37, а. При этом изменения
тока is экранной сетки должны проходить через нагрузочное сопро-
тивление экранной сетки Rs, в результате чего образуется изменяю-
щееся напряжение экранной сетки es. В этом случае лампа работает
в режиме тетрода (фиг. 38, а). Приращения экранного и анодного
токов is и 1р связаны с тремя напряжениями на зажимах с помощью
шести проводимостей, показанных на фиг. 38, б. Этот граф можно
использовать для определения проводимостей. Добавление нагрузоч-
ных сопротивлений экрана и анода (фиг. 38, в) приводит к полному
графу (фиг. 38, г), из которого можно найти передачу напряже-
ния epjeg.
Граф можно составить более просто, используя передачи напря-
жения Ajk вместо проводимостей и сопротивлений нагрузки. Вели-
чина Ajk представляет собой передачу напряжения от у-го узла к Л-му
узлу при условии, что напряжения на зажимах равны нулю, кроме
напряжения между зажимами j и Л. Граф фиг. 38 служит для опре-
деления параметров Ajk. Анодное напряжение ер можно выразить
в виде суммы двух составляющих, одна из которых вызвана напря-
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
183
жением eg, а другая — напряжением es. Аналогично es представ-
ляет собой сумму составляющих, вызванных напряжениями eg и ер.
Чтобы пояснить один из Л-параметров, например Agp> находим из
графа, что Agp точно равно отношению ep/eg при es, равном нулю.
Фиг. 37. Пентодный усилительный каскад.
а — /?С-схема; б — эквивалентная схема для средних частот; в — граф.
А СР : ~SR,> ~S
SP ‘g i+«PRp h + Qp'
При соответствующих физических измерениях устанавливается Rs рав-
ным нулю (фиг. 38, а), и затем измеряется передача от eg к ер при
включенном сопротивлении Rp. Граф фиг. 38, д, конечно, получается
из графа фиг. 38, г с помощью исключения узлов 1р и ls и исклю-
чения результирующих петель из узлов es и ер.
Крутизна sps пентода между экранной сеткой и анодом отрица-
тельна; это вызвано тем, что увеличение анодного напряжения изме-
няет электрическое поле возле витков экранной сетки и поэтому
184
ГЛАВА 5
уменьшает долю катодного тока, захватываемого экранной сеткой.
Этот эффект доминирует над очень малым увеличением катодного
тока, вызванного увеличением анодного напряжения. Все остальные
проводимости пентода положительны. Очевидно, что величина Apg
Фиг. 38. Влияние сопротивления цепи экранной сетки.
положительна, а все остальные Л-параметры отрицательны. Выраже-
ние передачи ep/eg на фиг. 38, д указывает, что сопротивление Rs
в цепи экранной сетки пентодного усилителя стремится уменьшить
усиление между управляющей сеткой и анодом.
Представление цепей и систем в виде графов приведено в гл. 7
и 9 в качестве дальнейших примеров составления графов.
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
185
ЗАДАЧИ
3.1. Эквивалентная схема фиг. 6 применяется для анализа транзистор-
ного каскада с общим эмиттером. Вычислить параметры этой схемы через
параметры транзистора ге, Гр, гс и а.
5.2. Повторить задачу 5.1 для схемы транзистора с общей базой.
5.3. Повторить задачу 5.1 для схемы транзистора с общим коллектором.
5.4. Схема, дуальная фиг. 6, показана на фиг. 39. Вычислить параметры
этой эквивалентной схемы через параметры электронного триода ц и при
применении этой эквивалентной схемы для анализа каскада с общим ка-
тодом.
5.5. Повторить задачу 5.4 для схемы катодного повторителя.
5.6. Повторить задачу 5.4 для схемы с общей сеткой.
5.7. Как следует изменить эквивалентные схемы задач 5.4—5.6, чтобы
учесть влияние межэлектродных емкостей?
Фиг. 39.
5.8. Применяя прямую передачу тока (Л/у-параметры) и граф фиг. 3, г
для каждого транзистора, найти эквивалентные параметры прямой передачи
тока усилителя, состоящего из каскадного соединения двух транзисторов,
включенных по схеме с общим эмиттером. Подставить соответствующие
величины, взятые из справочников для выбранного типа транзистора (низкие
частоты).
5.9. Повторить задачу 5.8 для каскадного соединения схемы с общим
эмиттером и схемы с общим коллектором.
5.10. Повторить задачу 5.8 для каскадного соединения двух транзисто-
ров, соединенных по схеме с общим коллектором.
5.11. Используя прямую передачу напряжения на фиг. 3, в для каждого
триода, рассмотреть основные свойства каждого из девяти различных уси-
лителей, полученных с помощью каскадного соединения всех возможных
комбинаций двух каскадов, используя три способа включения триода в ка-
ждом каскаде.
5.12. Полная мостовая схема (имеющая сопротивления детектора и
источника) имеет конфигурацию тетраэдра, причем каждая ветвь соответ-
ствует линии пересечения ребер тетраэдра:
а) выбрать дерево и построить основной граф;
б) найти с помощью графа передачу от источника к детектору мосто-
вой схемы;
в) упростить граф для получения нового графа, соответствующего си-
стеме уравнений узловых напряжений;
г) упростить основной граф для получения нового графа, соответствую-
щего системе уравнений контурных токов.
5.13. Два одинаковых каскада с общим коллектором включены каскадно
и возбуждаются источником тока, внутреннее сопротивление которого соеди-
нено параллельно. После источника тока включен идеальный трансформатор,
186
ГЛАВА 5
первый транзисторный каскад, второй идеальный трансформатор, второй
транзисторный каскад, выходной идеальный трансформатор и сопротивление
нагрузки. Рассмотреть возможность получения максимального общего уси-
ления тока системы с помощью выбора коэффициентов передач всех трех
трансформаторов. Рассмотреть два случая:
а) применяется транзистор для случая ге = гь = 0, гс не равно нулю и
не равно бесконечности;
Фиг. 40.
б) транзистор имеет бесконечное сопротивление гс, но сопротивления
гь и ге не равны нулю. В каждом случае сформулировать задачу для пря-
мой передачи тока.
5.14. Показать на примере, что инверсия контура основного графа дает
новый основной граф, составленный с помощью другого дерева.
5.15. Применяя проводимости пентода, показанные на фиг. 38, б, рас-
смотреть влияние удаления катодной емкости из схемы фиг. 38, а на
коэффициент усиления напряжения
5.15. Для простого транзисторного каскада с общим эмиттером по-
строить граф, применяя унисторную эквивалентную схему, и доказать, что
этот граф и правила вычисления передачи унисторной схемы дают одно и
то же Усиление напряжения.
5.17. Гиратор представляет собой идеальный четырехполюсник, харак-
теризующийся матрицей проводимостей короткого замыкания, в которой
^и = ^22 = 0 и Kj2 = — Г21 = О, где G—-активная проводимость.
а. Начертить соответствующий граф и из него найти полное входное
сопротивление гиратора при сопротивлении нагрузки Z£, присоединенном
к выходным зажимам.
АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ
187
б. Изменить этот граф для включения дополнительной проводимости О01
присоединенной, как указано на фиг. 40, а. Показать, что результирующий
четырехполюсник может быть получен с односторонней проводимостью путем
выбора <70; найти параметры прямой передачи напряжения в схеме с одно-
сторонней проводимостью.
в. Повторить указанные выше задачи для схемы, дуальной относительно
фиг. 40, б. При решении этой задачи удобно применить полные сопротивле-
ния холостого хода.
5.18. Преобразователь знака полного сопротивления представляет ссбой
идеальный четырехполюсник, характеризующийся соотношением ЕХ1Х = Е21^
причем полярности показаны на фиг. 2, а. В наиболее простом случае Ех = Е2.
а. Построить граф прямой передачи напряжения и показать, что полное
входное сопротивление равно — Z£, где Z — полное сопротивление нагрузки.
б. Чем отрицательный преобразователь знака полного сопротивления
отличается от идеального трансформатора и чем эти элементы похожи друг
на друга?
в. Выбрать новые пары зажимов (фиг. 7, б) и описать преобразователь
через параметры прямой передачи напряжения, основанные на этих новых
переменных. Составить соответствующую -эквивалентную схему аналогично
фиг. 3, в. Сравнить эту эквивалентную схему с полученной из фиг. 3, в без
изменения пар зажимов.
г. Повторить полностью задачу для дуальной схемы, когда /2=— 1Х.
Помнить, что в дуальных схемах взаимно заменяются „ток“ и „напряжение".
5.19. На основе фиг. 4, д и е построить соответствующий граф для
многозвенной схемы, имеющей три последовательные и четыре параллель-
ные ветви. Вычислить из этого графа передающее полное сопротивление
холостого хода многозвенной схемы. Для простоты принять, что полное со-
противление каждой ветви равно г,
5.20. Рассмотреть справедливость утверждения, что „в усилителе напря-
жения, состоящем из нескольких каскадов, входная проводимость может
заметно изменяться при изменении полного сопротивления нагрузки, даже
если обратное усиление тока каждого каскада очень мало по сравнению
с единицей".
Глава шестая
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
6Л> Введение
Сигнал является физическим носителем сообщения. Примеры
сообщений: музыка, новости, приказы. Природа также посылает
сообщения: частота радиоизлучения звезды говорит астроному о свой-
ствах звезды; напряжение, создаваемое флуктуационными движениями
электронов в сопротивлении, содержит информацию о температуре
сопротивления. Естественные сообщения человек разделяет на жела-
тельные и нежелательные в зависимости от того, способствуют или
мешают они его целям.
Слово „сигнал" может обозначать физическую переменную вели-
чину, изменение этой величины во времени или какую-нибудь харак-
теристику этого изменения. В электронных цепях и системах инте-
ресующие нас сигналы обычно представляют либо напряжение, либо
ток, но нас могут интересовать и другие величины, такие, как заряд
на конденсаторе, магнитное поле в катушке или отклонение светового
луча на экране электронно-лучевой трубки. Электронные системы
предназначены выполнять линейные или нелинейные операции над
входным сигналом и создавать выходной сигнал. Этот сигнал может
отличаться от первоначального сигнала какими-нибудь желательными
свойствами, но вместе с тем неизбежно приобретает и некоторые
нежелательные свойства. На фиг. 1, б изображен сигнал, содержащий
импульс сообщения (фиг. 1,а)и нежелательное искажение, мешающее
распознавать сообщение.
Чтобы оценить или спроектировать электронную схему или си-
стему, необходимо прежде всего уметь характеризовать сшналы
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
189
связи и управления, которые будут в них поступать и обрабатываться.
Всякий сигнал можно записать в виде кривой зависимости величины
сигнала от времени, как на фиг. 1. Для некоторых сигналов график
временной зависимости дает все необходимые сведения о сигнале.
Но вообще может быть удобнее описывать сигнал при помощи дру-
гих характеристик, получаемых из временной функции. В частности,
сигнал можно разложить на элементарные периодические составляю-
щие различных частот, так что полный сигнал будет суммой этих
а
Фиг. 1. Графики двух сигналов,
а —переданный сигнал; б —принятый сигнал.
составляющих. Разложение сигнала на суммируемые (аддитивные)
составляющие особенно полезно для изучения систем, выполняющих
линейные операции над сигналом. Линейная система независимо обра-
батывает каждую составляющую, как если бы других составляющих
не было, и поэтому полный выходной сигнал системы легко вычи-
слить (по крайней мере в принципе) путем простого сложения. Очень
широкий класс важных операций, в том числе усиление, фильтрация
и многие виды преобразования частоты, по существу линейны. Кроме
того, описание сигналов при помощи частотных составляющих удобно
для изучения многих основных нелинейных операций. Рассмотрим,
например, систему, у которой выходной сигнал в любое мгновение
равен квадрату величины входного сигнала в то же мгновение. Раз-
ложение сигнала на отдельные частотные составляющие позволяет
установить, что выходной сигнал „содержит частоты", равные суммам
и разностям частот, содержащихся во входном сигнале.
Эта глава начинается с общего рассмотрения аддитивных соста-
вляющих как основы для последующего изложения преобразований
Фурье. Последняя часть главы посвящена приложениям теории.
190
ГЛАВА 6
6.2. Импульсные сигналы
Импульсным сигналом называется такой сигнал, величина которого
ничтожно мала в любой точке временной оси, за исключением неко-
торой ее конечной области (фиг. 2). Импульсный сигнал является
по своей природе временным: где-то на бесконечной оси времени
имеется промежуток времени, когда сигнал „существует".
Если приложить импульс напряжения к единичной индуктивности,
то интеграл такого сигнала является мерой вызванного им изменения
тока катушки. Сигнал тока, подведенный к единичной емкости,
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
191
создает заряд, величина которого равна интегралу сигнала. Поэтому
интеграл
оо
j" v(t)dt =s j" vdt (1)
— ОО
является важным параметром импульсного сигнала. Для упрощения
обозначений иногда будем опускать пределы интегрирования, при
этом подразумевается, что пределы бесконечные.
Другим важным параметром импульсного сигнала является инте-
гральный квадрат его абсолютной величины, который будем назы-
вать энергией сигнала
Энергия = f |v|2d£. (2)
Для сигнала напряжения или тока интегральный квадрат является
мерой количества энергии, выделяемой этим сигналом на единичном
сопротивлении. Определим импульсный сигнал, или сигнал конечной
энергии, как сигнал, энергия которого не равна нулю и конечна
О < f | гл |2 < оо.
(3)
Сигнал, записанный на фиг. 2, д, и его квадрат (фиг. 2, е) пред-
ставляют формы импульсов, играющие основную роль в некоторых
методах анализа, описанных далее в этой главе. Для обеих форм
импульсов площадь под кривой равна площади треугольника, вер-
шины которого лежат в точке максимума функции и в первых нулях
функции по обе стороны от максимума. Следовательно, интеграл
сигнала, изображенного на фиг. 2, д, равен к, а его энергия равна па.
Другим основным сигналом, который будем часто применять,
является гауссов импульс, изображенный на фиг. 3. Заметим, что
этот импульс весьма точно передается треугольником такой же мак-
симальной высоты и такой же площади. Единичный импульс uQ(f)
определяется как предельная форма гауссова импульса
uQt= lim
(4)
Единичный импульс имеет бесконечную высоту, бесконечно малую
ширину и единичную площадь
fuodt = l. (5)
В дальнейшем будем изображать единичный импульс в виде узкой
жирной вертикальной черты, как на фиг. 3, Поскольку энергия
192
ГЛАВА 6
импульса данной формы пропорциональна его ширине и квадрату
его высоты, то она бесконечна
J u2Qdt = оо.
(6)
Однако обычно стремятся представить этот интеграл в виде про-
цесса перехода к пределу, а не как сам предел, и с этой точки
ч0М
Площадь »1
б
Фиг. 8. Гауссов импульс (а) и единичный импульс (6).
зрения приближением к единичному импульсу является импульс с про-
извольно большой, но конечной энергией, принадлежащий поэтому
к категории импульсных сигналов.
6.3. Периодические сигналы
Периодическим называется сигнал, периодически повторяющийся
через регулярные интервалы времени (фиг. 4). Периодический сигнал
можно определить следующим соотношением:
v (0 = v (t -j- Г) для всех t. (7)
Наименьшая постоянная величина Г, удовлетворяющая уравне-
нию (7), называется периодом сигнала. Повторяя уравнение (7),
получаем
v (t) v (t -j- пТ), п = 0, ±1, ±2......... (8)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
193
Если известно поведение периодического сигнала за интервал вре-
мени Г, то полностью известно его прошлое и можно предсказать
его будущее. Поэтому периодический сигнал бесполезен как пере-
носчик сообщения: как только прослушали один полный период
сигнала, то можно прекратить слушание. Тем не менее периодические
в--------------------------------------А
Фиг. 4. Периодические сигналы.
сигналы имеют большое значение в анализе систем, потому что зна-
ние реакции системы на периодический сигнал позволяет получить
многие свойства реакции этой системы на другие виды сигналов.
Интеграл периодического сигнала является неопределенным или
бесконечным. Однако среднее значение во времени для такого
сигнала существует и определяется по формуле
а
lim Г v(t)dt. (9)
а -> со J
(3 Зак 1115.
194
ГЛАВА 6
Усреднение во времени представляет собой общую операцию,
применимую к любому сигналу, периодическому и непериодическому.
Таким образом, если какая-либо величина v заключена в уголковые
скобки, это показывает, что v есть функция времени, а (у) вычи-
сляется согласно уравнению (9).
Для периодических сигналов среднее значение за все время равно
среднему за один период Т
ti+7
= — J* v(t)dt для периодической функции v(t) (10)
л
независимо от положения этого интервала времени, равного периоду.
Другими словами, интеграл в уравнении (10) не зависит от tx. По-
этому вместо уравнения (10) можно написать без ущерба для общ-
ности анализа
772
(у} = — J* v(t)dt для периодической функции v(t). (11)
-772
Средняя мощность сигнала определяется следующим уравнением:
Средняя мощность = (|v|2), (12)
а сигнал конечной мощности равен сигналу, имеющему ненулевую,
но конечную среднюю мощность
0 < <М2> < оо. (13)
Периодический сигнал является сигналом конечной мощности,
однако не все сигналы конечной мощности являются периодическими.
Для периодического сигнала средняя мощность равна энергии за пе-
риод, умноженной на число периодов в 1 сек,
6.4. Почти периодические сигналы
Почти периодический сигнал определяется в виде конечной суммы
периодических составляющих (или, в более общем определении, как
сигнал, который можно представить приближенно с любой точностью
за любой промежуток времени конечной суммой периодических со-
ставляющих). Следовательно, всякий периодический сигнал является
и „почти периодическим", но обратное не всегда верно. Например,
рассмотрим сигнал
cos t cos t, (14)
Невозможно найти величину Г, при которой выполняется усло-
вие периодичности (7). Следовательно, сигнал (14) не периодический,
но, очевидно, почти периодический.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
195
Почти периодический сигнал (14) можно представить как резуль-
тат перехода к пределу, когда период периодического сигнала ста-
новится бесконечным. В частности, если сигнал
cos (ох/ -J- cos о)2^ (15)
периодический с основным периодом Г, то можно найти два целых
числа т и п, такие, что
(DjT = 2тс/п, (16)
(d2T = 2k/i. (17)
Принимаем, что т и п не имеют общего множителя, так как при
его существовании можно найти другой период Т, равный прежнему
периоду, деленному на этот множитель. Отношение уравнений (16)
и (17) дает
= —. (18)
со! т v 7
Для сигнала
cos f + cos 1,4U (19)
/п—100, п=141 и Т = 200гс. Таким образом, сигнал (19) имеет
гораздо больший период, чем периоды обеих его составляющих.
Если увеличивать число десятичных знаков в (19) для более точного
представления значения 2 (исключая выражения, имеющие на по-
следнем месте четную цифру или пять), период сигнала становится
сколь угодно большим. Следовательно, выражение (14) представляет
собой предел последовательности периодических сигналов со все
увеличивающимися периодами.
6.5. Случайные сигналы
Случайным называется такой сигнал, величина которого заранее
неизвестна. Такие сигналы происходят от машины, устройства или
системы, о которых имеются неполные сведения, потому что полу-
чить более полные сведения может быть либо трудно (или невоз-
можно), либо, если это возможно, их нельзя использовать из-за их
сложности. Случайный сигнал создается случайным процессом, и
его называют часто выборочной функцией процесса !) (какой-нибудь
частный сигнал является лишь одним выборочным образцом совокуп-
ности возможных сигналов, связанных со случайным процессом).
Основная мысль состоит в том, что случайность процесса является
!) В отечественной литературе принят термин .реализация случайного
процесса*. — Прим, перев.
13*
196
ГЛАВА 6
следствием нашей неспособности или нежелания описывать этот про-
цесс полностью 1).
На фиг. 5, а показан импульсный сигнал, положение и длитель-
ность которого известны, но высоту которого нельзя предсказать
заранее. Допустим, что генератор сигналов может давать импульсы
Фиг. 5. Плотность вероятности Р (v) амплитуды сигнала.
только с тремя возможными значениями высоты импульса, vv v2
и % и что вероятности появления этих трех уровней равны pv р2
и р3. Вероятности pk определяются следующим образом. Предполо-
жим, что имеется большое число W генераторов сигналов, во всем
подобных, кроме „случайных" различий, допускаемых нашими не-
полными сведениями об их устройстве. Пусть nk — число генерато-
ров, производящих импульсы высотой vk. Тогда вероятность pk
определяется как предел отношения nk!N, когда N становится сколь
угодно большим. (Например, если высота импульса на фиг. 5, а
х) Здесь случайность, по-видимому, понимается как субъективная кате-
гория. В нашем понимании она является объективной категорией реального
мира. — Прим, перев.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
197
равна общему числу гербов, выпадающих в двух независимых бро-
саниях идеальной монеты, то vP v2 и v3 имеют значения соответ-
ственно 0, 1 и 2. При большом числе идеализированных опытов
с двукратным бросанием монеты на основании симметрии монет
можно ожидать, что в среднем в группе из четырех таких опытов
в одном опыте не будет ни одного выпадения герба, одно выпадение
герба будет в двух опытах и два выпадения герба будет в одном
опыте. Следовательно, рр р2 и р3 имеют значения соответственно
0,25, 0,50 и 0,25.) В этом определении, очевидно, подразумевается,
что предел существует.
Сумма вероятностей всех возможных взаимоисключающих исходов
всегда равна единице
(20)
k
как вытекает из определения pk. Среднее из множества значений и
определяется как весовая сумма различных величин с весовыми коэф-
фициентами, соответствующими их вероятностям
® = (21)
k
Величина v есть среднее из значений v, произведенных множеством
аналогичных генераторов сигналов, имеющих случайные различия.
Таким же способом можно вычислить средний квадрат высоты
импульса __
& = 2 Р& (22)
k
Интеграл по времени от v2(t) равен средней энергии от совокуп-
ности генераторов сигналов.
Если возможные уровни сигналов vk образуют континуум, а не
дискретное множество, то вероятность одного данного значения сиг-
нала становится исчезающе малой. Однако существует определенная
вероятность р, что сигнал попадет в некоторый заданный интервал Av
шкалы V, и отношение p/Av стремится к определенному пределу
при неограниченном уменьшении Av. Поэтому можно определить
функцию плотности вероятности P(v), такую, что P(vx)dv пред-
ставляет собой вероятность попадания величины v в бесконечно малый
интервал dv около точки Vj
Р (v^) dv = р (vx < v < vx + dv). (23)
Сигнал, изображенный на фиг. 5, б, имеет непрерывное распреде-
ление амплитуд, а сигнал на фиг. 5., а имеет дискретное распре-
деление амплитуд. Иногда бывает удобно сдвигать шкалу v на от-
резок V, как на фиг. 5, в иг, так чтобы „центр тяжести" функции P(v)
был расположен в начале координат. Площадь под кривой P(v)
198
ГЛАВА 6
между двумя значениями и v2 равна вероятности того, что v
лежит между и v2. Следовательно, функция плотности вероятности
для дискретного распределения, изображенного на фиг. 5, а, состоит
из трех линейных импульсовJ), расположенных в точках v2 и v3,
имеющих площади соответственно pv р2 и р3.
Распространяя очевидным образом формулы (20) — (22) на непре-
рывные распределения, получим
оо
l=fP(y)dv, (24)
— ОО
оо
v = J P(v)v dv, (25)
— оо
оо
v2 = J Р (г>) г>2 dv. (26)
— оо
Среднее из множества функции от v можно найти таким же об-
разом, как весовой интеграл этой функции по всему диапазону зна-
чений v
оо
Ш= f P(v)f(v)dv. (27)
— оо
Изображенный на фиг. 5, а и б простой прямоугольный импульс
является лишь одним из сигналов, имеющих случайные характери-
стики. В качестве второго примера рассмотрим сигнал, состоящий
из двух последовательных неперекрывающихся прямоугольных им-
пульсов единичной длительности. Пусть va и vb представляют собой
распределенные случайно высоты первого и второго импульсов.
Тогда статистические свойства сигнала описываются совместной
плотностью вероятности P(va, vb). Средняя энергия этого сигнала
равна двойному интегралу от P(va> по va и vb. Только
в том случае, если эти импульсы создаются независимыми случай-
ными процессами, можно представить P(va, vb) в виде произведения
двух более простых функций Р(^а)Р(^).
Последовательность п смежных прямоугольных импульсов высо-
той va, vb, vc....vn можно использовать в качестве постепенного
приближения к весьма различным сигналам, существующим в том же
интервале времени, в котором имеются импульсы. Отсюда видно, что
для описания случайного сигнала вообще нужно знать его совмест-
ную плотность вероятности, являющуюся функцией неограниченного
’) Линейным импульсом называется единичный импульс, умноженный на
постоянное действительное число. — Прим, перев.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
199
числа случайных величин P(va> ve ...). На практике обычно
бывает очень трудно оценить и неудобно измерить все статистиче-
ские параметры, и работа с ними сопряжена с трудоемкими вычи-
слениями, поэтому обычно удовлетворяются двумерными функциями
распределения Р(у^ vk) для различных j и k (j — a, b, с, ... и
k = a, b, с, .. .).
6.6. Стационарные случайные процессы
Стационарным случайным процессом называется такой случайный
процесс, статистические характеристики которого не меняются с те-
чением времени. Сигналы (выборочные функции), произведенные
такими процессами, характеризуются тем, что „достаточно большой*
отрезок сигнала, принадлежащего случайному процессу, записанный
за некоторое прошедшее время, имеет по существу такие же стати-
стические параметры, как любой другой отрезок сигнала, наблюдае-
мый в какое-нибудь будущее время; сигнал (выборочная функция),
взятый из стационарного процесса, не дает возможности узнать,
какому времени он соответствует. В частности, двумерная плотность
вероятности РК^), ^(^ + а)] одна и та же Для любого момента tv
так же как многомерные плотности вероятности. (Если такая инва-
риантность имеет место только для одномерной и двумерной функций
распределения, но не для функции распределения высших порядков,
то процесс называется „стационарным процессом второго порядка*.)
Вообще стационарность означает, что вероятности не меняются с те-
чением времени.
На фиг. 6 показаны выборки трех случайных сигналов. Выборка
на фиг. 6, а представляет случайный пакет импульсов, имеющих
одинаковые площади. Вероятность появления п импульсов в некото-
ром интервале времени заданной длины такая же, как в любом дру-
гом интервале времени той же длины. Процесс является стационар-
ным. На фиг. 6, б показана выборка непрерывного стационарного
случайного процесса, например шумовое напряжение на зажимах
сопротивления, находящегося при постоянной температуре в тепловом
равновесии с окружающей средой. Среднее значение квадрата напря-
жения за большой промежуток времени данной длины дает точно
такую же оценку средней мощности, как и среднее за любой другой
промежуток времени той же длины. Выборочный сигнал, изображен-
ный на фиг. 6, в, создается последовательными бросаниями идеаль-
ной монеты. Монету бросают раз в секунду, чтобы определить зна-
чение сигнала в течение следующего секундного интервала времени;
+1 означает герб, —1 — решку. Процесс, очевидно, не является
стационарным в строгом смысле, так как P[v(f), v(/-f-a)] зависит
от времени. Например, функция P[t/(0,25), v(0,75)] сосредоточена
около точек [1, 1] и [—1, —1], a P[^(0,75), ^(1,25)] сосредоточена
200
ГЛАВА 6
около четырех точек [1, 1], [1, — 1], [—1, 1], [—1, —1]. Тем не
менее процесс, соответствующий фиг. 6, в, является „квазистацио-
нарным" в следующем смысле. Пусть vk— значение сигнала в &-м
секундном интервале, так что функция P(vk> независима от k
при любом целом т. Сигнал стационарный в „квантованном" времени.
I I НИ I II III I I III
6
и
0 12 3 4
Фиг. 6. Сигналы (выборочные функции), вызванные стационарными
случайными процессами.
Для стационарных процессов совместная двумерная плотность
вероятности зависит только от интервала времени т = /2 — и слу-
чайных величин сигнала = и v2 = v(t2). Поэтому для ста-
ционарных процессов вероятность Р можно представить в виде
P(vv v2» т)- Эту функцию для любого т удобно наглядно предста-
вить в виде поверхности, лежащей на высоте Р над горизонтальной
плоскостью с координатами и v2. Объем под поверхностью равен
единице, а интеграл от Pdv является одномерной функцией плотно-
сти вероятности P2(v2) одной переменной v2.
6.7. Постоянная и переменная
составляющие
В разд. 6.2—6.6 очень кратко описано несколько основных
типов сигналов. Они не охватывают всех видов сигналов, но дают
полезные модели для многих сигналов, встречающихся на практике.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
201
Теперь перейдем к вопросу о составляющих сигнала. В этом и сле-
дующих двух разделах рассмотрены три основные пары составляю-
щих сигнала.
Всякий сигнал конечной мощности, в том числе периодический,
почти периодический и случайный сигналы, можно разложить на по-
стоянную и переменную составляющие. Постоянная составляющая
сигнала определяется по формуле
^пост = (v). (28)
а переменная составляющая равна той части сигнала, которая
остается после устранения постоянной составляющей, т. е.
^пер=== ^пост* (29)
Из определения среднего значения (9) вытекает, что переменная со-
ставляющая имеет среднее значение, равное нулю,
= = — <®)=0. (30)
Полный сигнал равен, очевидно, сумме переменной и постоянной
составляющих
== ^пост ^пер* (31)
Среднюю мощность можно тогда вычислить по постоянной и
переменной составляющим. Для действительного сигнала средняя
мощность равна
(-у2\==/х/2 4-2v v 4- v1 (32)
\ / \ пост ’ пост пер ’ пер/ 4 7
Поскольку усреднение является линейной операцией, среднее
суммы можно заменить суммой отдельных средних
= <«;.„> + + «„>• (33)
Величина -ипост постоянна, и, следовательно, ее можно вынести
за скобки усреднения
W = ^пост + Чосг С’пер) + <%)• (34)
Отсюда на основании (30) получается окончательный результат
<г’2> = г’2пост+^2пер>- (35>
показывающий, что средняя мощность любого сигнала равна
сумме средних мощностей постоянной и переменной соста-
вляющих.
Рассмотрим теперь сигнал v(t), имеющий в некоторый отмечен-
ный момент времени t плотность вероятности P(v). Средняя
202
ГЛАВА 6
составляющая равна v и определяется уравнением (25), а состав-
ляющая отклонения vd определяется как разность
vd — v ~ v. (36)
Следовательно, сигнал v равен сумме средней составляющей и
составляющей отклонения
v = v-\-vd. (37)
Из уравнений (24), (25) и (36) непосредственно получается, что
среднее значение составляющей отклонения равно нулю
vd — f P(v)(v —v)dv — [J P (v)dv — v J P (v) dv^ — 0. (38)
Средний квадрат равен
v2 = J P (<v) (v 4- vd)2 dv. (39)
Этот интеграл равен сумме трех интегралов
v2=(v)2 J P(v)dv -\-2v J P(v)vddv j* P(v)v2dv. (40)
Используя уравнение (38), окончательно получаем
v2==(v)2+v2. (41)
Средний квадрат сигнала равен квадрату среднего плюс сред-
ний квадрат отклонения.
Для многих важных случайных сигналов плотность вероятно-
сти P(v) не зависит от времени, a v и v2 можно приравнять соот-
ветственно ^пост и (^пер)- Рассмотрим один важный частный случай,
а именно вычислим среднюю мощность стационарного случайного
процесса, имеющего нормальное (гауссово) распределение мгновенных
величин
1 -- (—У
paW = -^re Иа • (42)
а у /те
Такой процесс довольно точно изображает напряжение теплового
шума на сопротивлении, находящемся в тепловом равновесии с внеш-
ней средой. Нормальная функция распределения (42) содержит пара-
метр а, называемый стандартным отклонением распределения.
Коэффициент перед показательной функцией выбран так, чтобы вы-
полнялось равенство
J Pa(v)dv—\.
(43)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
203
Если центрировать распределение около нуля, как в уравнении (42),
то общность не теряется, так как сдвиг на некоторую величину v
(см. фиг. 5, г) приводит к тому, что средний квадрат возрастает на
величину (^)2, как показывает уравнение (41). Дифференцируя урав-
нение (42), получаем
р
dv \ а2 ) а
и
dv2 L \a) J a2
Здесь следует отметить, что
f z/7, = dP“ <°°) _ ^a(—<X') _ n
J dv2 dv dv ’
-oo
Следовательно, интегрируя (45), получаем соотношение
J PQ (v) v2 dv = a2 § Pa (v) dvt
которое можно написать как
-и2 — а2 = Дисперсия.
Итак, у стационарного случайного процесса с нормальн
лением амплитуд мощность переменного тока (средний квадрат пере-
менного напряжения) равна квадрату стандартного отклонения, кото-
рый называется дисперсией нормального распределения.
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
распреде-
6.8. Четная и нечетная составляющие
Четная и нечетная составляющие сигнала определяются урав-
нениями
v4(t) = | [f(04-f(- 01 = ®ч(-0 (49)
И
Vнч (0 = | [V (О - V (- 01 = - ®нч ( - 0. (50)
так что
v = v4 + v№4. (51)
На фиг. 7, а—в изображены четные и нечетные составляющие им-
пульсного сигнала. На фиг. 7, г—е показано, что эти составляющие
вообще изменяются при сдвиге начала отсчета времени.
204
ГЛАВА fl
Общая площадь, ограниченная кривой нечетной составляющей
любого импульсного сигнала, тождественно равна нулю
J*vH4d/=0. (52)
Среднее значение нечетной составляющей любого сигнала конеч-
ной мощности также должно равняться нулю
Фиг. 7. Разложение сигнала на четную и нечетную части.
Таким образом, среднее значение четной составляющей сигнала равно
среднему значению всего сигнала
= <®ч>- (54)
Возводя уравнение (51) в квадрат и усредняя, получаем среднюю
мощность
<^2> = + 4VH4 + ®нЧ>- (55)
Поскольку произведение четной и нечетной функций есть новая
нечетная функция, получаем
^чЧ1ч) ~ 0* (56)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
205
Следовательно, средний член правой части уравнения (55) при
усреднении исчезает, в результате получается
= + (57)
Итак, средняя мощность сигнала равна сумме средних мощ-
ностей его четной и нечетной составляющих. То же самое спра-
ведливо для энергии импульсного сигнала.
6.9. Действительная и мнимая
составляющие
Сигнал, мгновенное значение которого является комплексным чис-
лом, состоит из действительной и мнимой частей
® = (58)
Величину, комплексно-сопряженную значению сигнала, можно пред-
ставить в виде
V* = vr — Jvt. (59)
Следовательно, действительную и мнимую части можно предста-
вить как
vr = -5- (t* 4- v*) (60)
и
Jvi=^(v—V*). (61)
Квадрат величины сигнала равен произведению сигнала и комплексно-
сопряженной ему величины, а поскольку в алгебре комплексных
чисел /2 = —1, то получаем известную формулу
|-и|2 = Ш1*= |^|2-|_| jVi |2 = t/2 + ^2. (62)
Квадрат абсолютной величины сигнала равен сумме квад-
ратов абсолютных величин его двух составляющих. Однако это
тождество справедливо для мгновенных комплексных значений сигнала.
При математическом анализе сигналов и цепей комплексные сиг-
налы обычно изображаются в виде комплексных показательных
функций
= cos 14- j sin t. (63)
Соотношение (63) можно доказать путем разложения в ряд каж-
дого из трех членов. Следовательно, для комплексного экспонен-
циального сигнала имеем
\ejt|2 = cos214- sin21 = 1. (64)
206
ГЛАВА 6
6.10. Сравнение векторов
Выше было показано, что при соответственно выбранных соста-
вляющих энергия или мощность сигнала равна сумме энергий или
мощностей составляющих сигнала. Это подсказывает аналогию с гео-
метрическим построением, в котором квадрат длины вектора равен
сумме квадратов длин его составляющих при правильном их выборе.
г
Фиг. 8. Выделение векторной составляющей с 12v2 из вектора Vj посред-
ством минимизации квадрата длины оставшегося вектора. (Вертикальные
черточки обозначают длину вектора v.)
Рассмотрим задачу о векторах, а в следующем разделе установим
ее тесную связь с анализом сигналов.
На фиг. 8, а изображены два пространственных вектора: и v2.
Поставим вопрос: какая часть вектора лежит на прямой, имеющей
направление г>2? Те, кто знаком с векторным вычислением, немед-
ленно ответят: „Часть, равная проекции вектора на линию г>2“.
В этом ответе подразумевается, что вектор разложен на ортого-
нальные составляющие, одна из которых направлена по v2. Ортого-
нальные составляющие вектора направлены под прямым углом друг
к другу, так что сумма квадратов их длин равна квадрату длины
вектора. По существу следовало бы спросить: „Как нужно изменить
вектор v2, чтобы при его новой длине v'2 длина разностного вектора
— v'2 была минимальной?" Теперь вопрос поставлен точно и ответ
найти легко. Умножим вектор v2 на действительный масштабный мно-
житель с12, так что вектор с12^2 будет иметь направление, совпадаю-
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
207
шее с ф2. Длину вектора c12t/2 можно устанавливать путем изменения
масштабного множителя с12 (при отрицательном с12 вектор с12^2 на-
правлен противоположно ф2). По определению „часть вектора фх,
лежащая на линии Ф2и, равна г12^2, где величина с12 выбрана так,
что длина разностного вектора фх — с12ф2 минимальна, как показано
на фиг. 8, б. Подобно этому часть вектора ф2, лежащая на напра-
влении вектора фр равна (фиг. 8, в). Заметим, что с12 и с21
вообще не равны.
Геометрическая задача проста и состоит в построении перпенди-
куляра к прямой. Аналитическая задача так же проста: требуется
получить минимум функции путем вариации параметра с12. Для этого
выразим векторы фх и ф2 через их ортогональные пространственные
составляющие (фиг. 8, г). Квадрат длины разностного вектора
1^1 — ci2v2l2 Равен сумме квадратов длин его ортогональных
вляющих (Ф1а — с12Ф2а)2 + (фхь — c12t/2ft)2. Условие минимальной
разностного вектора определяется из уравнения
I*.- =4? - <12^)2 = о-
Выполняя дифференцирование, находим выражение для с12
. __к___________ У| •
12 “ 2^
k
соста-
длины
(65)
(66)
Сумма в числителе с12 называется „скалярным произведением"
двух векторов, фх и ф2, и обычно обозначается точкой. Скалярное
произведение двух векторов равно произведению их длин, умножен-
ному на косинус угла между направлениями векторов (из фиг. 8
имеем фхф2 — vlav2a vibv2b)- Знаменатель ф2 • ф2 равен квадрату
длины ф2.
Итак, формула (66) позволяет вычислить проекцию с12^2 век-
тора фх на направление ф2. Другими словами, c12t>2 есть часть век-
тора ф2, содержащая фх или заключенная в фх.
6.11. Сравнение сигналов
На фиг. 9, а изображен сигнал ^(0> состоящий из двух смеж-
ных прямоугольных импульсов а и b единичной длины. Энергия
(интегральный квадрат) этого сигнала равна + Это выражение
тождественно выражению для квадрата длины вектора изобра-
женного на фиг. 8, а. На фиг. 9, б показан другой сигнал такого же
типа, но другой формы. Заметим, что фиг. 8, а и фиг. 9, а и б
представляют два различных способа изображения одной и той же
информации, а именно четырех чисел: ФХа, фхь, Ф2а и v^,.
208
ГЛАВА 6
Теперь умножим v2(t) на масштабный множитель с12, изменяющий
высоту, но не форму импульса (так же как скалярный множитель
изменяет длину вектора, но не его направление), вычтем из Vj(0 и
будем отыскивать значение с12, при котором получается минимум
энергии разностного сигнала ^(0— с12г/2 (0.
а
ot(t)-cl2uz(t)
f ^-c^dt=-±-
k
Фиг. 9. Выделение составляющей C|2v2 (0 из сигнала t>t (0 посредством
минимизации энергии оставшегося сигнала.
Энергия разностного сигнала равна сумме, входящей в уравне-
ние (65), и искомое значение с12 определяется, следовательно, форму-
лой (66). Таким образом, v{ (0 содержит часть c12t>2(0 сигнала t>2(0.
Этот анализ можно непосредственно распространить на импульс-
ные сигналы любой формы. Произвольный сигнал можно разделить
в вертикальном направлении на короткие смежные импульсы. Тогда
Сигнал можно представить как вектор в многомерном пространстве,
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
209
составляющие которого по ортогональным координатам этого про-
странства изображают высоты импульсов. В пределе при очень корот-
ких импульсах сумма в уравнении (65) переходит в интеграл
dci2 i dt = 0. (67)
Дифференцируя и решая относительно с12, получаем
I vtv2 dt
(68)
J v2^
Параметр с12 называется коэффициентом корреляции двух сиг-
налов и v2 (этот коэффициент, удобный для изучения рядов Фурье,
несколько отличается от нормированного коэффициента корреляции,
принятого в математической литературе). Корреляция двух величин
означает, вообще говоря, степень сходства или подобия этих
величин. Коэффициент корреляции указывает, какую часть одного
сигнала нужно изъять из другого сигнала, чтобы оставшийся сигнал
имел минимальную энергию. Если коэффициент с12 равен нулю, то
два сигнала называются ортогональными, так как энергия их суммы
равна сумме их энергий.
Эти выводы были проделаны для действительных составляющих
векторов и действительных сигналов. Так как нас интересуют также
комплексные сигналы, то формулу (68) нужно обобщить. Для ком-
плексных сигналов энергия определяется в виде интеграла квадрата
абсолютной величины сигнала, как указано в уравнении (2). Следо-
вательно, необходимо рассмотреть выражение
I Г = (W1 - C12V2) (< ~ (69>
в котором f12—комплексное число. Выполняя указанные действия
и интегрируя, находим
/ 1^1 — Ci2v2|2<ft = / |Vj |2Л —2Re[c;2 J
+ Ы2/ |v2|2^, (70)
где Re обозначает действительную часть, а звездочка обозначает
комплексно-сопряженную величину. Средний интеграл в правой части
является комплексным числом и может быть представлен в полярной
форме
J vxv*2dt — АеК (71)
Теперь необходимо установить величину и полярный угол ком-
плексного параметра с12 так, чтобы получить минимум интеграла
14 Зак. 1115,
210
ГЛАВА б
энергии (70). Оптимальным углом для с12 является угол 6, входящий
в уравнение (71), ибо тогда величина в скобках в уравнении (70)
имеет максимальную действительную часть. Поэтому полагаем, что
£12= 1^121^9. (72)
Подставляя уравнения (71) и (72) в уравнение (70), получаем
f \vx-cx2v2\2dt^ f |®1|2Л-2|с12|Д-Н|с12|2/ |v2|2dt (73)
Теперь нужно добиться минимума энергии путем подбора абсо-
лютной величины параметра г12. Дифференцируя уравнение (73), по-
лучим
f |^-^2|2Л = -2Д 4-2 |cI2| f |v2|2rf/ = 0,
откуда находим
(74)
(75)
(76)
(77)
Умножая обе части равенства на е^е, окончательно получаем
J*
С12= ,4v2i2^ •
Аналогично
f dt
--------•
J I v, |2 dt
Итак, выбрав c12, согласно формуле (76), получим минимальную
энергию оставшегося сигнала после выделения составляющей с12^2
из сигнала v{. Следовательно, составляющая с12х/2 и оставшийся сиг-
нал — c12v2 должны быть ортогональны. Таким образом,
f \vl\2dt = f |c12®2|2d/4- J |V1 — ci2v2\2dt. (78)
Отношение энергий сигналов cl2v2 и vt представляет удобную
меру сходства функций v1 и V2. Определим эффективный коэффи-
циент корреляции
I cl2v2 l2df
Эффективный коэффициент корреляции, очевидно, является действи-
тельной и неотрицательной величиной. В векторной интерпретации С12
можно представить как cos2 9, где 0 — угол между векторами vl и v2.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
211
Подставляя уравнение (76) в уравнение (79) и произведя небольшие
преобразования, получим
If * |2
I vlv2 dt
Cj2 — — - = С21. (80)
J I v^dt J lv2l2dt
Отсюда следует, что
C]2 = ^12^21’ (81)
0<С12<1, (82)
Cn = C22 == 1. (83)
Величина (1—C12) есть минимальная возможная доля оставшейся
энергии после выделения составляющей v2(t) из данного сигнала
В таком случае можно сказать, что часть Сх2 энергии сигнала
переносится составляющей временной функции v2 или содержится
в ней.
Для сигналов конечной мощности, имеющих бесконечную энер-
гию, но конечную среднюю мощность, интегралы можно заменить
средними значениями, т. е.
12 ~ (|V2|2)'
_ <v2vj>
21 “ (|V| |2) 1
с 1Ы)12 _ с с
12 ~ <|V||2><|V,P> — С12С21-
(84)
(85)
(86)
Если — сигнал конечной мощности, a v2— сигнал конечной энергии,
то коэффициент корреляции с12, определяемый уравнением (76), имеет
смысл, но выражения (77) и (80) равны нулю, а уравнение (86)
неопределенно. Однако отношение
1 12 — Г
(KI2) J |V2|2^
(87)
существует, имеет размерность времени, и его можно назвать эффек-
тивным временем корреляции сигнала конечной энергии с сигналом
конечной мощности. При выделении импульсной составляющей из
сигнала конечной мощности от последнего берется „вырез", и эффек-
тивная „длина" выреза представляет эффективное время корреляции.
Средняя мощность сигнала умноженная на Т12, равна количеству
энергии, вычитаемой из vx(f) вследствие выделения импульсной соста-
вляющей ci2v2(t).
14*
212 ГЛАВА 6
На фиг. 10 с помощью вышеизложенных понятий корреляции
сравниваются два импульсных сигнала. Если сигнал v2 представляет
собой прямоугольный импульс единичной длины, а не синусоидальный
импульс, как на фиг. 10, б, то эффективный коэффициент корреля-
ции С12 имеет значение 1/3. Значение С12 на фиг. 10 немного меньше уз.
-7
f J dt^3
^(tj
j______I I_________|_____l
------------3------------
d
f ~^21
2
e 3u
8
Фиг» 10. Коэффициенты корреляции для синусоидального и прямоуголь-
ного импульсов.
С корреляционной точки зрения полупериодный синусоидальный импульс
и прямоугольный импульс такой же длины очень близки друг к другу.
На фиг. 11 иллюстрируется понятие эффективного времени корреля-
ции Т12. После выделения импульсной составляющей с12^2 из постоян-
ного сигнала образуется впадина (фиг. 11, в). Уменьшение энергии,
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
213
вызванное этой впадиной или вырезом, будет такое же, как на
фиг. 11,а, где удаляется весь сигнал на интервале Г12. На фиг. 12
сравниваются два периодических сигнала. Хотя эти сигнальные функции
несколько различаются, тем не менее путем выделения составляющей
типа v2 можно отнять от сигнала три четверти его мощности. Если
сигнал изображенный на фиг. 12, сдвинуть вправо или влево на
четверть периода, то эффективный коэффициент корреляции уменьшится
до нуля. Следовательно, коэффициент корреляции двух периодических
1Ш=/
--------------------1------------------1------------------1------------------1-------------------1-----------------------------t
Фиг. 11. Эффективное время корреляции Г12 сигнала конечной мощ-
ности и импульсного сигнала v2.
сигналов с одинаковыми периодами представляет также перио-
дическую функцию сдвига или смещения одного сигнала относительно
другого.
На фиг. 13 показаны выборки двух „шумовых" сигналов, пг и п2,
или случайных сигналов, создаваемых последовательными независи-
мыми бросаниями идеальной монеты. Сигнал s представляет периоди-
ческое прямоугольное колебание. Можно построить с помощью этих
трех сигналов грубую модель гипотетической задачи передачи сигналов.
Предположим, что радиопередатчик, установленный на вершине высо-
кой горы, посылает сигнал п2, когда интенсивность космических
лучей на вершине находится ниже определенного уровня, и посылает
сигнал $, когда она превышает этот уровень. Предположим также,
что на пути распространения между передающей станцией и отдаленной
214
ГЛАВА 6
приемной станцией к сигналу неизбежно добавляется шум или помеха
вызванная атмосферными явлениями, радиолокаторами или другими
техническими устройствами, расположенными вблизи приемника.
Поэтому принимаемый сигнал будет выглядеть подобно выборке
или изображенным на фиг. 13. Задача состоит в том,
чтобы извлечь из принятого сигнала информацию об активности косми-
ческих лучей на вершине горы. Можно построить вычислительное
Фиг. 12. Коэффициенты корреляции двух периодических сигналов.
устройство, которое будет производить операцию коррелирования,
т. е. интегрировать или усреднять произведение двух сигналов. Будем
создавать в приемнике прямоугольное колебание s и коррелировать
это местное колебание с принимаемым сигналом. В таблице на фиг. .13
указаны коэффициенты корреляции и эффективные коэффициенты
корреляции, полученные при коррелировании сигнала $ с каждым
из сигналов, изображенных на фигуре, включая сам сигнал s. Инте-
ресны четвертый и пятый столбцы таблицы. Сигнал s слабо коррели-
рован с n1-j-n2 и сравнительно сильно коррелирован с nx-\-st и это
заметное различие в корреляции позволяет весьма обоснованно уста-
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
215
повить, какое из двух возможных сообщений передается с отдален-
ного поста.
Таблица на фиг. 13 составлена по выборкам конечной длины,
изображенным на фигуре. При постепенном увеличении длины выборок
V Л1 л2 s Л1 +л2 л2-Н Л!-Л2
Cvs 0,01 0,04 1,00 0,04 0,45 0,4) 0,005
cvs -ОД -0,2 1,00 -0,3 0,9 0,8 0,1
Кроме того, Сял<> ==0,01.
Фиг. 13. Коэффициенты корреляции для выборок шума п и прямоуголь-
ного колебания $.
числа в верхнем ряду должны стремиться к 0, 0, 1, 0, 0,5, 0,5 и 0,
а числа в нижнем ряду— к 0, 0, 1, 0, 1, 1 и 0. Произведение s на
пх 4- п2, вероятно, будет одинаковое число раз положительным или
отрицательным, так что при очень длинной выборке среднее значение
216
ГЛАВА 6
по всей выборке станет сколь угодно малым. Теоретическое значение
эффективного коэффициента корреляции между s к s равно 0,5
в соответствии с тем, что половина мощности колебания
переносится составляющей, имеющей форму $. Операция, обозначенная
символом cvs, включает простое интегрирование и, следовательно,
является линейной (в отличие от операции Cvs, включающей квадрат
интеграла). Линейность операции cvs в таблице фиг. 13 очевидна.
Например, разность коэффициента корреляции между s и пх 4- п2 и
коэффициента корреляции между s и пг — п2 в два раза больше
коэффициента корреляции между s и /?2. так как (пх 4- — (ni пъ)
в два раза больше п2.
Таким образом, наличие периодического сигнала, скрытого в адди-
тивном случайном шуме, можно обнаружить при помощи корреля-
ции с другим сигналом, имеющим такой же период. Если средняя
мощность периодического сигнала значительно меньше мощности
аддитивного случайного шума, то нужно использовать очень длинную
выборку, чтобы устранить недостоверность обнаружения. В пределе
при произвольно длинной выборке теоретически возможно обнару-
жить наличие периодического сигнала, имеющего сколь угодно малую
среднюю мощность по отношению к мощности случайной помехи.
Все это вытекает из статистических характеристик опыта с броса-
нием монеты, рассмотренных подробно в разд. 7.40. Пока же доста-
точно сказать, что из множества всех возможных последователь-
ностей, полученных N независимыми бросаниями идеальной монеты,
среднее по множеству квадрата разности (число гербов минус число
решек) пропорционально N. Поэтому отношение мощностей сиг-
нала к шуму после корреляции должно увеличиваться пропорцио-
нально длине выборки.
6.12. Корреляционная функция
Всякий сигнал полностью коррелирован с самим собой. Но если
мы коррелируем сигнал не с самим собой, а с его копией, сдви-
нутой или смещенной на величину т по оси времени, то можно
ожидать, что степень корреляции будет несколько меньше. Зависи-
мость корреляции от этого сдвига является важной характеристикой
всякого сигнала. В частности, автокорреляционная функция
любого импульсного*' сигнала v (t) определяется по формуле
<|>(т) = — x)dt = v(t^-x)v*(t)dt. (88)
Как обычно, интеграл нужно брать по всему Л Дальше в этой главе
будет показано, что ф(т) содержит информацию об относительных
количествах энергии различных частотных составляющих сигнала V.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
217
При т, равном нулю, значение корреляционной функции равно энер-
гии сигнала
Ф(0) = / (89)
Взаимная корреляционная функция является обобщением
функции (88), т. е.
412(0 = ]\(0^(/-<)^ = J* + (90)
Это определение справедливо, когда по крайней мере один из двух
сигналов является импульсным. Автокорреляционную функцию фп
можно рассматривать как частный вид функции ф12, имеющий место,
когда сигналы и v2 одинаковы. При т, равном нулю, взаимная
корреляционная функция равна интегралу, стоящему в числителе
коэффициента корреляции (76)
Ф12(°) = / V^dt. (91)
Интеграл корреляционной функции можно написать в одной из
двух форм, указанных в выражении (90). Интеграл, очевидно, оста-
нется тем же самым, если сдвинуть второй сигнал вправо по
оси времени на величину т или сдвинуть первый сигнал влево на
ту же величину. Написав ф21 во второй форме
4'21 к» = J* v2 a+t)v; (/)<//, (92)
можно сразу установить фундаментальное соотношение
Ф12 W = ^21 (- ’)• (93)
откуда вытекает также, что
Фп W = Фп х)- (94)
Таким образом, автокорреляционная функция и сопряженная ей
симметричны', действительная часть является четной функцией от т,
а мнимая часть — нечетной функцией. На фиг. 14 показана взаимная
корреляционная функция двух импульсных сигналов Один из этих
сигналов представляет собой прямоугольный импульс, так что в этом
случае площадь, ограниченная кривой произведения v}v2, пропорцио-
нальна заштрихованной области, изображенной на этой фигуре.
При т, равном нулю, эта площадь мала (фиг. 14, а). При увели-
чении т импульс v2 смещается вправо, как показано на фиг. 14, б — г,
при этом ф12 (т) изменяется вместе с величиной заштрихованной области.
Напомним, что корреляционная функция является функцией относи-
тельного сдвига т между двумя сигналами, а не „реального времени",
218
ГЛАВА 6
от которого явно зависят и v2. В корреляционном интеграле
реальное время t играет роль переменной интегрирования и исчезает
-10 12 3 4
* и г. 14. Построение кор-
реляционной функции.
после интегрирования.
Определенные ранее коэффициенты
корреляции связаны с корреляционными
функциями простыми соотношениями
ci2('t)= ф“(0} • (95)
С21 (х) — (0) ’
где с12(т)— коэффициент корреляции
сигналов vx и v2 при условии, что
сигнал v2 сдвинут вправо на т. Эффек-
тивный коэффициент корреляции (при
сдвиге v2) равен
с /тч— 0) Ф21 (— х) I Ф12 СО I2
12 Фм (0) ф22 (0) Фи (0) ф22 (0) •
(97)
Поскольку коэффициент Сп(0) равен
единице и С не может быть больше
единицы, то получается фундаменталь-
ное ограничение
|фцС0Кфц(0) Для всех т. (98)
Другими словами, максимальное
значение любой автокорреляционной
функции получается в начальный момент.
Площадь, ограниченная корреля-
ционной функцией и осью времени,
тесно связана с площадями, ограничен-
ными временными функциями двух кор-
релируемых сигналов. Площадь под
кривой корреляции равна
J ф12(т)б/т = J у V, (0 v* (t — t) dt dx.
(99)
На основании тождества
оо оо
У f(x)dx= у f (xn + x)dx (100)
— оо — оо
можно провести интегрирование по т и получить
У ^12^ = [У М'][У V2dt^.
(101)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
219
Иными словами, площадь, ограниченная корреляционной функцией и
осью времени, равна произведению площадей под двумя коррелируе-
мыми сигналами. Если vx— сигнал конечной мощности, a v2 — сиг-
нал конечной энергии, интегрирование по т можно заменить усредне-
нием и получить
<Ф12> = W [ f
(Ю2)
На фиг. 15 представлены кривые, имеющие особое значение.
Корреляционная функция двух гауссовых импульсов представляет
собой также гауссов импульс. Для -нгШа )2
доказательства положим vrftj^e f
уг = е (103)
и
V2 = e-^i\ (104)
откуда
(105)
При помощи „дополнения до
квадрата" можно преобразовать
показатель к виду
Второй член в правой части
не зависит от Л и поэтому соот-
ветствующую показательную функ-
цию можно вынести за знак инте-
грала. Оставшийся интеграл пред-
ставляет площадь, ограниченную
Фиг. 15- Корреляционная функ-
ция двух гауссовых импульсов
является гауссовым импульсом.
сдвинутой гауссовой кривой и осью времени.
Эту площадь обозна-
чим буквой /С не вычисляя ее точного значения. Следовательно,
_1 / т \
2 I -I / 2,' 2 I
ф12(т) = Ке Пв1+М. (107)
Полученное выражение показывает, что корреляционная функция
двух гауссовых импульсов представляет собой также гауссов импульс
220
ГЛАВА 6
и, кроме того, стандартное отклонение а12 функции ф12 связано со
стандартными отклонениями ах и а2 сигналов и v2 простым
соотношением
о °8)
Следовательно, дисперсия (квадрат стандартного* отклонения) кор-
реляционной функции двух гауссовых
дисперсий.
импульсов равна сумме их
Ди,
0
Фиг. 16. Корреляционная функция
импульса и линейного импульса.
u2(t)
tf-t0
Фиг. 17. Корреляционная функ-
ция двух линейных импульсов.
Другой вывод общего значения
представлен на фиг. 16. Положим
J----1
h
так что
®2 = И0(^ —^0).
Ф12 (“0 == J” f (О “о х *о)
(Ю9)
(НО)
(Н1)
Импульсная функция uQ (t — т — tQ) имеет заметную величину
только около точки т-|-/0 на оси времени. Следовательно, инте-
грал (111) представляет импульс площадью /(тН~/0). Отсюда сле-
дует, что
Ф12М = /(* + 'о)- (И 2)
Корреляционная функция ф12 для короткого импульса v2, рас-
положенного в f0, подобна функции ф12, сдвинутой влево на tQ,
Если — также импульсная функция, то получается частный случай.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
221
изображенный на фиг. 17. Из этого примера очевидно, что корре-
ляционная функция ф12 содержит информацию о временном интер-
вале между короткими импульсными сигналами и t>2, но не дает
информации об их абсолютных положениях во времени. Корреля-
ционная функция, изображенная на фиг, 17, очевидно, не изменится,
если сдвинуть оба импульса, vx и t>2, вправо или влево на одну и
ту же величину.
Из фиг. 18 видно, что любой периодический сигнал можно пред-
ставить в виде корреляционной функции импульсного сигнала vx и
периодической последовательности линейных импульсов v2.
На фиг. 19 приведены другие примеры импульсных сигналов и
их корреляционных функций. На фиг. 19, б показана автокорреляцион-
ная функция прямоугольного
импульса фиг. 19, а. Когда
сдвиг т в том и другом на-
правлениях больше длины
импульса, автокорреляция
равна нулю. Она умень-
шается линейно от своего
максимального значения, по-
тому что перекрывающаяся
площадь импульса и его
задержанной копии является
линейной функцией времени.
Заметим, что сигнал пре-
рывный, а корреляционная
функция непрерывна, хотя
наклон ее имеет скачки. Это
сглаживание является общим
свойством корреляционной
функции. На фиг. 19, в и г
изображен другой импульсный сигнал и его автокорреляционная функ-
ция. На фиг. 19, ж показана взаимная корреляция короткого импульса
фиг. 19, д и более длинного импульса фиг. 19, е. Легко заметить, что
взаимная корреляционная функция очень похожа по форме на длинный
импульс, но разрывы превратились в области быстрого, ноплав”ого из-
менения, длина которых равна длине короткого импульса. На последних
фигурах представлены другие примеры сглаживающее, действия кор-
релирования. Сигнал v2 имеет крутой подъем, за которым следуют
короткие зубцы. Коррелирование этого сигнала с импульсом vv
длина которого в несколько раз больше длины отдельных зубцов
v2, дает корреляционную функцию ф21, у которой подъем стал более
плавным, а зубцы значительно меньше.
Теперь выведем одно свойство взаимной корреляционной функ-
ции ф12, весьма полезное для ее практического вычисления по данным
Фиг. 18. Корреляционная функция
импульса и периодической последователь-
ности линейных импульсов.
222
ГЛАВА 6
сигналам и v2. Обозначим для удобства
= (ИЗ)
алк
И
т
Фп (т) = J*'|»(12+1>(T)dx [при ф<*>(—оо) = 0]. (114)
—оо
Ввиду равенства двух интегралов в уравнении (90) дифференци-
рование или интегрирование функции ф12 по т можно провести путем
0(C)
t
o(t)
o2(t)
е
vz(t)
lw:
ж
few
о
Фиг. 19. Корреляционные функции различных сигналов и пар сигналов.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
223
дифференцирования или интегрирования функции и v2 под знаком
интеграла
<]$ (х) = (-1 )* fVj (t) [tf > (t - т)]* dt = / (t +1) [v2 (/)]* dt. (115)
Поэтому ф12 можно дифференцировать j раз по и k раз по v2
и в результате получим
=(—!)* f &/>(t)[v<*>(t-x)]*dt. (116)
Положив в выражении (116) k рав-
ным /, легко получить из этого со-
отношения, что взаимная корреля-
ционная функция не изменится (за
исключением того, что знак может
измениться на обратный), если в
подынтегральном выражении про-
дифференцировать j раз, a v2 про-
интегрировать у раз (от — оо до /).
На фиг. 20 показано, как можно
применять выражение (116). Здесь j
и k имеют значения 0 и 1. Как
показано на фиг. 20, а, производ-
ная функции v2 состоит из трех ли-
нейных импульсов. Разрывы функ-
ции v2 нужно представить в виде
областей быстрого, но непрерывного
изменения, а производная в этом
случае представляет очень короткие
импульсы, площади которых соот-
ветствуют величине скачков функ-
ции v2. Взаимная корреляционная
функция каждого линейного импульса
с треугольным импульсом Фг пред-
ставляет также треугольный импульс,
изображенный на фиг. 20, г, а их
сумма, показанная на фиг. 20, д,
равна производной функции ф12 с об-
ратным знаком. Интегрирование от
— оо до т дает искомую взаимную
корреляционную функцию (с обрат-
ным знаком). Вычисления, подобные
Фиг. 20. Корреляция с пред-
варительным дифференцированием
и последующим интегрированием.
представленным на фиг. 20, легче всего провести в том случае, если
по крайней мере один из двух сигналов после нескольких диффе-
ренцирований приводится к ряду линейных импульсов. Этого можно
224
ГЛАВА 6
добиться представлением одного сигнала приближенно в виде лома-
ной линии, при этом вторая производная будет импульсной функ-
цией. Прямое вычисление корреляционной функции может оказаться
гораздо более громоздким, чем этот косвенный способ, особенно
в том случае, если область интегрирования состоит из отдельных
участков, границы которых изменяются вместе с т.
При анализе сигналов часто оказывается возможным представить
сложный сигнал в виде корреляционной функции двух более про-
стых сигналов: и v2. Тогда можно установить удобное соотно-
шение между автокорреляционными функциями сигналов v2 и v3.
Вычисления значительно упрощаются, если функцию и ее сопряженно-
симметричное изображение обозначить через f и /'
f = (117)
/' = /*(-/). (118)
Обозначим знаком умножения ® интегральную операцию
fi®®2= J* ®i(?)®2(^ — %)(& = J — 5)rf5, (119)
— ОО -оо
при помощи которой из двух заданных функций (/) и х>2(/) обра-
зуется новая функция от t. В эквивалентности двух форм инте-
грала (119), так же как и (90), легко убедиться, изменив перемен-
ные. Функция времени vv(&v2 называется сверткой функций v,
и v2. Рассмотрим гораздо подробнее свертку в следующей главе,
где она применяется при изучении линейных систем передачи. Здесь
введем ее лишь как условное обозначение, причем
Vj(x)X/2 = V2(*;VV (120)
Из соотношений (117) — (119) и из определения корреляционной
функции получаем
Фи <121)
ф12 = ©1®^ = ф'г (122)
Обозначим через ф12,12 автокорреляционную функцию функции ф12
Ф12,12 = %2.®^ <123)
Из соотношений (122) и (123) находим
Ф12,12 = (vi ® vi) ® К ® <124>
Интегральные операции, обозначенные знаком ®, можно проводить
в любом порядке. Следовательно, операция ® является ассоциатив-
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
225
ной и можно сочетать сигналы в уравнении (124) другим способом:
<P12,12 = (Ul®U0®(V2®t'2)’ (125)
что легко представить в виде
Ф12,12 = Фп®Ф^2 <’26)
или сокращенно
Ф12, 12 = Фп, 22* (1 27)
Это дает искомое соотношение. Если v^(t) = ф12(/), то функция
ф33(т) равна взаимной корреляционной функции двух функций фп(/)
и ф22 (/).
Для сигналов конечной мощности интеграл ф нужно заменить
средним значением ср, определяемым по формуле
<Р W = (О v* (t - т)) = (v (t + т) V* (0). (128)
Обе функции, ф и ср, называются корреляционными функциями
с тем лишь различием, что ф является интегралом, а ср — средним
значением и каждая из них имеет свою область применения. Основ-
ные соотношения, справедливые для функции ф, можно получить
для функции ср в виде средних значений следующим образом:
ф(0) = (И2>. (129)
Ф12 (X) = (О (t - = (V, а 4- х) V* (0). (130)
Ф12(0) = (^*). (131)
Ф12(О = Ф21(—t). С132)
Фп(т) = Фп (—') (133)
С (Х) — у» <т> 12 ( )-?22(0)’ (134)
^21 ('О _ ?21 0) ?п(0)’ (135)
С12 (Т) _ 1 У12 (t) I8 (136)
Y11 (0) ?22 (0) ’
1 Фи W 1 < Фи (°)- (137)
По аналогии с выражениями (101) и (102) имеем
(<Р12> = (®1> W- (138)
Этот результат довольно тривиален, поскольку сигналы постоянного
и переменного токов взаимно ортогональны. Соотношение (127) можно
записать в виде функционалов
ФСФ12- Ф12) = Ф(Ф11- W-
(139)
чтобы показать природу каждой из входящих в него функций. Но
операцию ф в одной части равенства можно заменить операцией ср
15 Зак. 1115.
226
ГЛАВА 6
при условии сохранения того же порядка в другой части равенства.
Среднее значение равно интегралу, деленному на большое число,
равное интервалу времени, на котором проводилось интегрирование.
При делении обеих частей равенства на это большое число ра-
венство не нарушается. Таким образом, можно получить из ра-
венства (139) другие соотношения:
<Р(Ф12- Ф12) = Ф(<Р1Р 4’22) (14°)
для сигнала конечной мощности vx и импульсного сигнала v2 или
<Р(Ф12. <Г12) = Ф(<Р1Р ?22) (141)
для случая, когда оба сигнала, vx и v2, периодические. Если vx и v2
представляют собой случайные сигналы конечной мощности, то ра-
венство ф(ф12, <р12) = Ф (фц.фгг)
не выполняется. Доказатель-
ством служит такой пример:
<р12==0, сри и ср22 ф 0, что мо-
жет иметь место в том случае,
когда vx и v2 порождаются
независимыми стационарными
случайными процессами.
На фиг. 21 показана авто-
корреляционная функция <р (т)
простого периодического си-
гнала. Для периодического
сигнала усреднение нужно про-
водить только за один период.
Автокорреляционная функция
периодического сигнала пред-
ставляет периодическую функ-
цию с тем же периодом, точно
так же, как взаимная корреляционная функция двух периодических
сигналов с одинаковыми периодами и взаимная корреляционная
функция периодического сигнала и импульсного сигнала. Автокорре-
ляционная функция синусоидального сигнала представляет косинусо-
идальную функцию и поэтому не содержит информации о фазе исход-
ного сигнала.
Автокорреляционную функцию случайного сигнала конечной мощ-
ности можно построить теоретически по известным статистическим
свойствам исходного случайного процесса или можно вычислить при-
ближенно, сдвигая и перемножая сигнал (выборочную функцию),
принадлежащий этому процессу, и усредняя за конечный интервал
времени. Для стационарного процесса степень приближения должна
улучшаться при увеличении интервала усреднения.
<p(t)
Фиг. 21. Автокорреляционная функ-
ция прямоугольного колебания.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ 227
Корреляционную функцию сигнала конечной мощности (периоди-
ческого, почти периодического или случайного) определяем в виде
среднего значения по времени от — т). Для случайного сиг-
нала эта величина, основанная на единичной выборочной функ-
ции v(t), может быть не показательной для всего процесса. Поэтому
в ее определение нужно внести для различных условий соответ-
ствующие изменения, которые можно пояснить на следующих при-
мерах.
На фиг. 22, а показаны три типичных выборочных сигнала, выз-
ванных бросанием монеты. Через секундные интервалы бросают
идеальную монету, чтобы определить значения сигнала: 4~1 при
гербах и —1 при решках. Хотя последовательные бросания проис-
ходят через 1 сек, абсолютное время совершенно случайно. В пер-
вой выборке фиг. 22, а показаны исходы бросаний в моменты
—2, —1, 0, 1, 2, 3......во второй выборке — в моменты —1, 67,
—0,67, 0,33, 1,33, 2,33, ... ив третьей выборке — в моменты
—1,28, —0,28, 0,72, 1,72, 2,72.....Вообще бросания происходят
в моменты г ± п, где п — целое число, а г — число в интервале
между 0 и 1. Значение г постоянно для какой-либо одной выборки,
но распределено равномерно в диапазоне от 0 до 1 в бесконечном
множестве возможных выборок. Иначе говоря, „часы", регулирую-
щие бросания монеты, „идут" одинаково (ни быстро, ни медленно),
но „поставлены" произвольно. Рассмотрим теперь определенные зна-
чения t и т, скажем, t = 3,9 и т = 0,4, как показано на фиг. 22, а.
Две точки, t — 3,9 и t — т = 3,5, попадают в один прямоугольный
импульс в 60% выборок из бесконечного множества выборок и по-
падают в два разных импульса в 40% выборок. Обозначим через х
произведение v(t)v(t — т). Видно, что х=1, когда точки находятся
в одном импульсе, и х имеет одинаково часто противоположные
значения ± 1 в тех выборках, в которых точки находятся в двух
разных импульсах (полярности двух разных импульсов определяются
двумя независимыми бросаниями монеты). Следовательно, среднее
по множеству х = 0,6. Кроме того, в какой-нибудь одной выборке
при фиксированном т (но не t) точки t и t — 0,4 попадают в один
прямоугольный импульс в течение 60% времени и в два разных
импульса в 40% времени, так что среднее значение по времени
(х) —0,6. Применяя такие же рассуждения к другим значениям т,
находим ср(т) — х = (х).
Для конкретного процесса, изображенного на фиг. 22, а, ока-
зывается, что среднее значение по множеству х не зависит от вре-
мени. Такой процесс называется стационарным (относительно х).
Оказывается, кроме того, что среднее из множества х равно сред-
нему значению по времени одной выборки (х) для любой выборки.
Такой процесс называется эргодическим (относительно х). Всякий
15*
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
229
эргодический процесс является стационарным, но не всякий ста-
ционарный процесс — эргодическим.
На фиг. 22, б показаны три выборки из несколько иного про-
цесса. Здесь множество „часов", регулирующих бросания монеты,
„поставлены" одинаково; в каждой выборке бросания происходят
только при целых значениях абсолютной шкалы времени. В этом
случае процесс не может быть стационарным в общем смысле, по-
тому что х, очевидно, зависит от t и т. Но среднее значение по
времени одной выборки (х) равно среднему значению по времени
от среднего значения по множеству (х).
В третьем примере на фиг. 22, в случайный процесс оказывается
таким, что разные выборки могут иметь различные средние мощ-
ности, так что процесс, очевидно, не эргодический. В этом случае
надо либо определить автокорреляционную функцию как (х), либо
ограничиться рассмотрением некоторого подмножества совокупности,
для которого определение (х) имеет смысл.
Основной вывод такой: рассмотрение графиков множества пока-
зывает, имеет ли смысл среднее по времени одной выборки, а если
оно имеет смысл, то можно представить его как соответствующее
среднее значение по множеству.
На фиг. 23, а показан отрезок несколько более сложного слу-
чайного сигнала, вызванного последовательностью независимых бро-
саний идеальной монеты. Шкала времени разделена на единичные
интервалы, причем в каждом интервале происходит одно бросание
монеты. Значение сигнала в данном интервале равно числу гербов
минус число решек в группе из трех бросаний монеты — в данном
интервале и в двух смежных интервалах. Следовательно, единствен-
ные возможные значения сигнала ±1 и ±3.
Найдем сначала значения корреляционной функции при нулевом
сдвиге, ср (0) = (-и2). Ожидаемая частота появления каждого из воз-
можных значений v определяется статистическими параметрами про-
цесса бросания монеты. Идеальная монета может выпасть двумя
равновозможными способами, и, следовательно, в трех независимых
бросаниях монеты могут выпасть в виде восьми различных равно-
возможных исходов. Два из восьми исходов дают -и2 = 9, шесть
других дают v2 = 1. Таким образом, в среднем получается (у2} =
= (0,25)(9)-|-(0,75)(1) = 3.
При т=1 имеем ср(1) = (гу), где z = v(t) и y = v(t—1). Про-
изведение zy определяется четырьмя последовательными бросаниями
монеты. Возможны шестнадцать перестановок четырех последова-
тельных бросаний, и каждая перестановка дает определенное значе-
ние z и определенное значение у. Обозначим через Zj и yk возмож-
ные значения z и у. Пусть p(Zy yk) — вероятность появления данной
пары значений Zj и ук (одна шестнадцатая числа таких событий
230
ГЛАВА 6
в конечном множестве шестнадцати перестановок). Тогда (zy) равно
сумме произведений p(Zj, yk)Zjyk по всем j и k. Произведя вычи-
сления, находим ср(1) = 2 и ср (2) = 1. Корреляционная функция
между вычисленными точками должна быть прямой линией, так как
сигнал представляет ступенчатую кривую, а корреляционная функ-
ция определяется интегралом. При т 3 корреляционная функция
Фиг. 23. Отрезок выборки, вызываемой последовательным бросанием
монеты (а). Автокорреляционная функция (б”).
Бросания монеты: Н-гербы; —решки; v(t) — число гербов минус число решек в трех смежных
интервалах: t — 1, t, /-f-1.
должна равняться нулю, так как соответствующие произведения сиг-
налов определяются совершенно независимыми и случайными мно-
жествами бросаний монеты и равновероятны положительные и отри-
цательные значения этих произведений. На фиг. 23, б показана тео-
ретическая кривая вместе с экспериментальной кривой, полученной
путем усреднения выборки, изображенной на фиг. 22, а, по двад-
цати пяти единичным интервалам времени. При увеличении интер-
вала усреднения экспериментальная кривая должна приближаться
к теоретической.
Экспериментальное определение корреляционной функции для
данного значения т можно выполнить по дискретным выборочным
точкам, а не путем усреднения по временному континууму. Вы-
борки часто бывает гораздо легче осуществить в лаборатории.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
231
Чтобы найти <р (т) при помощи выборок, записываем значение сиг-
нала в различных парах точек, расположенных случайно на времен-
ной оси и разделенных одна от другой интервалом т. Среднее из
парных произведений стремится к ср(т) при увеличении числа выбо-
рочных пар.
В частности, если выборочный сигнал, представленный на
фиг. 23, а, выделяется из процесса, подобного изображенному на
фиг. 22, а, то <р(т) = (х) = х. Если же сигнал на фиг. 23, а воз-
никает из процесса, подобному изображенному на фиг. 22, б (син-
хронность бросаний в различных выборках), то ср (т) = (х) = х для
целых значений т, но ср (т) = (х) = (х) =£ х для произвольных зна-
чений т.
6.13. Тригонометрический ряд Фурье
для периодического сигнала
Перейдем теперь к преобразованиям Фурье, т. е. к представле-
нию сигнала в виде суммы синусоидальных составляющих с различ-
ными частотами. Для периодического сигнала с периодом Т следует
ожидать, что частоты составляющих будут равны fk = k[7\ где
& = 0, 1, 2, 3. так как лишь синусоиды с этими частотами
являются периодическими в интервале времени Т. Такие составляю-
щие называются гармонически связанными между собой, а сину-
соида с частотой fk называется &-й гармоникой сигнала. Первую
гармонику часто называют основной составляющей, потому что она
имеет такой же период, как сам сигнал. Нулевая гармоника, оче-
видно, равна среднему значению по времени или постоянной соста-
вляющей сигнала.
Две синусоиды с неодинаковыми частотами являются ортогональ-
ными:
(cos соj t cos со21} = (sin со/ sin со2О
при со, = (On Ф 0»
(142)
при (Oj =£ (о2;
(cos со/ sin io2£) = 0
при любых <ох и (о2. (143)
Ортогональность составляющих ряда Фурье означает, что после
удаления из сигнала одной составляющей все другие гармоники
оставшегося сигнала не меняют своей величины. Следовательно, со-
ставляющие ряда Фурье независимы в таком же смысле, как неза-
висимы ортогональные составляющие пространственного вектора.
Разложение на ортогональные составляющие дает аналитическое
удобство.
232
ГЛАВА 6
Периодический сигнал v с периодом Т ортогонален ко всем
синусоидам, за исключением синусоид с гармоническими частотами
Таким образом,
(у (0 cos со/) = (у (t) sin со/) = 0 при <o =/= (144)
где
Величина ш есть „круговая частота" или „угловая частота" и равна
действительной частоте /, умноженной на 2тг. Но в дальнейшем для
краткости будем называть ш „частотой". Содержание гармоник
в сигнале можно описать коэффициентами корреляции
Ak = 2 (у (0 cos akf)t (146)
Bk = 2 (у (t) sin wkt). (147)
Эти обозначения несколько отличаются от предыдущих, но v(t),
costal и Ak имеют тот же смысл, как v2 и с12 в формуле (76)
(точно так же, как v(t), sino)ft/ и Bk). Множитель 2 в уравнениях
(146) и (147) соответствует знаменателю в формуле коэффициента
корреляции.
Точно так же, как при рассмотрении коэффициентов корреляции
величина выражала составляющую сигнала coso)^ и
Bk sin (okt представляют собой гармонические составляющие сиг-
нала v(t)9 причем v(/), очевидно, равна сумме (по А) этих соста-
вляющих. Вообще для точного представления сигнала требуется бес-
конечное число таких составляющих. Сумма конечного числа гармо-
нических составляющих является аппроксимацией действительного
сигнала
v (t) = 4- 2 (Л cos wkt + Bk sin (0^) + e„ (/), (148)
Л» 1
a (t) есть разность между функцией v(f) и ее аппроксимацией или
ошибка аппроксимации. Поскольку ошибка аппроксимации пред-
ставляет собой остаток после выделения составляющих, то гармоники
ортогональны не только друг к другу, но и к ошибке. Следова-
тельно,
п
w =. w+j ё w+® <1
Аппроксимация с помощью конечного числа гармоник называется
конечным рядом Фурье и представляет для данного п наилучшую
возможную аппроксимацию по среднему квадрату. При всяких
других значениях Ak и Bk средний квадрат ошибки может
лишь увеличиться. Это неразрывно связано с ортогональностью
234
ГЛАВА 6
гармонических составляющих и с определениями коэффициентов
Фурье Ak и Bk.
Здесь еще нет оснований считать, что бесконечный ряд Фурье
дает полное определение сигнала. Полное представление с помощью
Фиг. 25. Сопоставление прямоугольного колебания и первой гармоники
(а), первой и третьей гармоник (б”), первой, третьей и пятой гармоник (в).
бесконечного множества составляющих обосновывается тем, что сред-
ний квадрат ошибки стремится к нулю, когда число членов аппрок-
симации становится сколь угодно большим. Вопрос о полноте пред-
ставления будет рассмотрен далее в этой главе.
Здесь достаточно сказать, что ряд Фурье дает полное определе-
ние всех обычно встречающихся периодических сигналов — сигналов,
имеющих конечную среднюю мощность и конечное положительное
или отрицательное изменение в одном периоде. Если построить один
период сигнала карандашом на бумаге, то при полном представлении
с помощью ряда Фурье карандаш испишется, прежде чем будет за-
кончен рисунок.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
235
На фиг. 24, а показан один период нечетного прямоугольного
колебания и один полупериод его основной составляющей (пунктир-
ная кривая). Поскольку это прямоугольное колебание представляет
нечетную функцию, нужно рассматривать лишь нечетные гармоники
Bk sin Форма оставшегося сигнала после выделения основной
составляющей изображена на фиг. 24, б. Прямоугольное колебание
не содержит четных гармоник, как и всякий сигнал, являющийся
нечетным при соответственно выбранном начальном моменте и чет-
ным при другом соответственно выбранном начальном моменте. По-
этому следующая составляющая будет В3 sin w3f, изображенная пунк-
тирной кривой на фиг. 24, б\ затем идет кривая фиг. 24, г и т. д.
Эффективный коэффициент корреляции прямоугольного колебания и
его основной составляющей равен примерно 80%. Соответственно
этому „сигнал ошибки" имеет лишь около 20% мощности перво-
начального прямоугольного колебания фиг. 24, е.
На фиг. 25 показано, каким образом при добавлении последова-
тельных гармоник к конечному ряду Фурье получается лучшее при-
ближение к прямоугольному колебанию По мере добавления членов
аппроксимация становится все более точной по среднему квадрату
ошибки. При добавлении составляющих выброс р, изображенный на
фиг. 25, перемещается к скачку в начальной точке. В пределе при
очень большом п выброс стремится к значению, составляющему при-
мерно 18% от амплитуды прямоугольного колебания или 9% от пол-
ного скачка прямоугольного колебания, происходящего в начальный
момент. За выбросом, называемым явлением Гиббса, следуют очень
быстрые колебания, которые затухают на ничтож о малом расстоя-
нии от точки разрыва. За исключением области, непосредственно
примыкающей к точке разрыва, ряд Фурье сходится точно к времен-
ной функции сигнала. Для периодических сигналов, непрерывных
повсюду и имеющих ограниченное изменение [определенное в урав-
нении (212)], ряд Фурье сходится и дает точное представление сиг-
нала.
6.14. Экспоненциальный ряд Фурье
Ряд Фурье можно представить в более компактном виде при по-
мощи комплексной показательной (экспоненциальной) функции
exp (jut) = е^ = cos ut + J sin (150)
Среднее значение экспоненциальной функции равно нулю при угло-
вой частоте ш, не равной нулю
, ( 1 при w = 0,
= г (151)
4 ' (0 при со =/= 0. 7
236
ГЛАВА 6
Следовательно, две комплексные экспоненциальные функции не
коррелированы (ортогональны), если их частоты не одинаковы
= P ПРИ (152)
(О при о)д Ф о)д.
Периодический сигнал с периодом Т должен иметь экспонен-
циальные гармоники не только при положительных значениях частот
ПР* 2л
= (153)
И
a)fe = Z5a)p (154)
но и при тех же частотах, взятых с обратным знаком. Две комплекс-
ные экспоненциальные функции с частотами -|-а) и —ш ортогональны,
но тригонометрическая функция sin at (или cosatf) не ортогональна
той же функции при частоте ш, взятой с обратным знаком. Если не
учитывать отрицательные частоты в экспоненциальном ряду Фурье, то
выпадет половина независимых функций, и поэтому ряд будет не-
полным.
Коэффициент корреляции для экспоненциальной составляющей
с частотой o)fe выражается в виде
Vk = (v(t) e~^kt\ (155)
и, таким* образом, ряд Фурье принимает следующий вид:
п
t»(0 = 2 + (156)
k= -п
Коэффициенты Vk в общем случае являются комплексными числами.
Как следствие ортогональности имеем
п
(М2) = 2 |Vj2 + (|e„|2). (157)
k = -п
При допущении, что ряд является полным,
v(t) = 2 Vkeiu,kt. (158)
k = — оо
Сумму (158) можно представить в осях комплексной плоскости
в виде „векторного" сложения комплексных чисел (фиг. 26). Из урав-
нения (155) следует, что для действительного сигнала V_k~Vk.
„Сопряженная симметрия" коэффициентов Vk позволяет суммировать
ряд только по положительным значениям k\ умножая эту сумму на
два, получаем значение сигнала в данный момент t (не считая Vo).
Если сигнал нечетный, все коэффициенты Vk представляют собой
чисто мнимые числа. На фиг. 26, а изображено суммирование первых
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
237
трех членов ряда для нечетного прямоугольного сигнала. На фигуре
показаны последовательные моменты времени от 0 (фиг. 26, а) до
одной четверти периода (фиг. 26, е).
Векторные диаграммы построены
из различных начальных точек в осях
комплексной плоскости с таким рас-
четом, чтобы они не накладывались
одна на другую. Каждый из „векто-
ров", представляющий один из чле-
нов комплексного ряда Фурье, вра-
щается с разной скоростью, так что
их сумма поворачивается, как пока-
зано на фиг. 26. Действительные ча-
сти (горизонтальные составляющие
результирующих) суммы комплекс-
ных векторов, изображенных на
фиг. 26, дают значения сигнала в со-
ответствующие моменты, отмеченные
на фиг. 25, в. На фиг. 26 показано,
что сумма векторов вращающихся
с разными скоростями, дает проек-
цию на горизонтальную ось, при-
ближенно равную исходному сигналу.
При добавлении новых членов число
векторов становится сколь угодно
большим и конец суммы векторов
в первые положительные моменты
времени быстро перемещается про-
тив часовой стрелки.
Вследствие быстрого вращения
векторов с малыми амплитудами
около конца суммы векторов она
закручивается в спираль, которая
перемещается вверх, закручиваясь
все сильнее, причем ее предельное
значение располагается около абс-
циссы, представляющей амплитуду
прямоугольного колебания.
Автокорреляционная функция си-
гнала равна
\ I k ft
(159)
где нижний индекс t указывает, что
по t, а не по т. Здесь наглядно
Фиг. 26. Суммирование ком-
плексов первой, третьей и пятой
гармоник в экспоненциальном ря-
ду для нечетного прямоугольного
колебания.
среднее значение нужно брать
показано удобство введения
238
ГЛАВА 6
ортогональных составляющих, ибо при усреднении большинство про-
изведений в выражении (159) исчезает и остается простое выражение
(160)
k
Следовательно, как было сказано ранее, автокорреляционная функ-
ция периодического сигнала является периодической и может быть
разложена в ряд Фурье с коэффициентами
фл = <<р(’)е"у<“*т\- (161)
а ряд имеет следующую форму:
со
?(0= s (162)
k " -оо
Из выражений (160) и (161) получим
= (163)
Таким образом, корреляционная функция содержит информацию
о частотном распределении мощности сигнала. Коэффициент Ф& равен
средней мощности, переносимой А-й экспоненциальной гармоникой
сигнала. При т, равном нулю, выражение (162) сводится к сумме Фй.
Поскольку функция ср (0) равна средней мощности сигнала, выраже-
ние (162) можно истолковать так: мощность сигнала сохраняется
(инвариантна) при представлении сигнала в виде ряда Фурье.
Выражение (155) показывает, что для действительных сигналов
коэффициенты при положительных и отрицательных частотах являются
комплексносопряженными, т. е.
Vk = V*_k для действительного v(t). (164)
Чтобы проверить это соотношение для тригонометрического ряда,
положим
= (165)
и
аве)
Заменяя каждую показательную функцию в выражении (158) три-
гонометрическими функциями и попарно объединяя соответствующие
члены, получим
LXj
»(О = 1/о + 2 l(VftH-V_A)cos шА/ + (УА —V.^sina)^], (167)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
239
а учитывая выражения (165) и (166), окончательно получим выраже-
ние в виде тригонометрического ряда
^(/) = V0 + S HfeCosw^ + B^ sin o)fcZ). (168)
k = i
Преобразование сигнала и его представление рядом Фурье можно
описать просто и изящно, изображая сигнал пространственными век-
торами. Как было сказано раньше, сигнал (один период периоди-
ческого сигнала) можно разрезать на бесконечно короткие импульсы,
занимающие разное положение во времени. Эти импульсы образуют
одно возможное множество ортогональных составляющих сигнала; их
сумма равна сигналу, а сумма их энергий равна энергии сигнала (за
период). Представим теперь пространство многих измерений с систе-
мой ортогональных координат. В этом пространстве сигнал можно
представить в виде вектора с амплитудой каждого короткого им-
пульса, равной составляющей этого вектора по одной координатной
оси. Ряд Фурье представляет сигнал также в виде суммы ортогональ-
ных составляющих сигналов. Следовательно, векторное пространство
содержит другую систему ортогональных координат, несколько по-
вернутую относительно первой системы, в которой составляющими
вектора сигнала являются коэффициенты ряда Фурье. Таким образом,
преобразование сигнала с помощью ряда Фурье можно истолковать
как поворот системы координат в векторном пространстве. Уравне-
ние (157) следует из того, что длина вектора не зависит от выбора
системы координат или, другими словами, длина вектора инвариантна
при повороте координатной системы. Хотя векторное пространство
с числом измерений больше трех нельзя представить наглядно, тем
не менее эта концепция очень полезна. Многие свойства трехмерного
пространства, очевидно, распространяются на многомерные простран-
ства, поэтому геометрическая интуиция помогает понять теорию сиг-
налов (см. задачу 6.82 на стр. 317).
6.15. Некоторые основные свойства рядов
Фурье
Некоторые элементарные операции над сигналом вызывают соот-
ветствующие изменения коэффициентов ряда Фурье. Знание этих соот-
ношений очень полезно для практических вычислений и, кроме того,
помогает составить более полную картину самого преобразования
Фурье. Здесь приводятся лишь наиболее важные соотношения, полу-
чающиеся непосредственно из уравнений (155) и (158), при обычных
допущениях о сходимости, дифференцируемости и интегрируемости.
Почти все эти соотношения будут использованы в примерах, при-
веденных в разд. 6.23.
240
ГЛАВА б
Обозначим обратимое преобразование периодического сигнала v(t)
в ряд Фурье двойной стрелкой
(169)
и так же обозначим преобразование другого периодического сиг-
нала w(Z) с тем же периодом и соответствующими коэффициен-
тами Wk. Тогда основные преобразования выражаются следующими
уравнениями:
наложение av (/) bvt) (t) ^aVk + bWk
перемена знака v(—t) <-> v_ft,
задержка ► V ke~
модуляция v (0
дифференцирование dnv (0 dtn ~(M)%
(170)
(171)
(172)
(173)
(174)
интегрирование J* [^(0 — при & 0
(постоянный член нового ряда зависит от /0).
корреляция (к (/)№*(/— УцМ'ь,
свертка (у (t) <w (т — /)) •*-*• Vk Wk,
умножение сопряженных функций v(/)w*(/)«->2^
умножение © (0 w (0 *-*'2
(175)
(176)
(177)
(178)
(179)
Отметим дуальное соответствие формул задержки и модуляции,
корреляции и умножения сопряженных функций, а также свертки и
умножения. Это не должно нас удивлять, если учесть простран-
ственно-векторное представление сигнала. Преобразование, обозначае-
мое двойной стрелкой, по существу выражает „поворот координат",
поэтому преобразование в одном направлении должно иметь в основ-
ном те же свойства, что и преобразование в обратном направлении.
6.16. Переход к интегралу Фурье для
импульсного сигнала
Комплексная экспоненциальная форма ряда Фурье очень хорошо
согласуется с формулами полного сопротивления, применяемыми
в анализе цепей при представлении напряжений и токов в виде ком-
плексных экспоненциальных функций. Кроме того, такой ряд непо-
средственно приводит к интегралу Фурье. Коэффициент корреляции
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
241
периодической функции можно найти путем усреднения за период
Г/2
= 1 J dt. (180)
— Г/2
Предположим, что необходимо анализировать периодический сиг-
нал, состоящий из повторяющихся неперекрывающихся импульсов,
v(t)
t
— J/T=Wj/2n
>^.^Площадь^е^к^(1)]/2п
6
II
ШН/2Я^'
Ш/2л
а
Фиг. ЭТ. Представление коэффициентов ряда Фурье Vk для периодиче-
ской последовательности импульсов.
подобных импульсам, изображенным на фиг. 27, а. Если длина им-
пульса 8 не больше периода Т, то можно ввести функцию Vr((o),
характеризующую лишь форму импульса и не зависящую от вели-
чины Т: Т/2
Ут(ш)= J v(t)e~iwtdt. (181)
-Г/2
Для импульсов заданной формы функция (181) не меняется при
увеличении периода Т, а коэффициенты ряда Фурье Vk становятся
бесконечно малыми. Из соотношений (180) и (181) видно, что
= = (182)
16 Зак. 1115,
242
ГЛАВА 6
Следовательно, ряд Фурье можно представить через функцию VT(w)
в виде
оо
V(0= 2 (183)
fee -оо
Соотношения (181) и (183) полностью равносильны соотношениям (155)
и (158). Но выражения (181) и (183) отличаются от выражений (155)
и (158) в двух отношениях. Во-первых, интеграл (181) является
обобщением интеграла (180) в том смысле, что частота оо может при-
нимать в уравнении (181) любое значение, а в уравнении (180) рас-
сматриваются только дискретные частоты. В действительности функ-
ция Vr(u)) в уравнении (183) вычисляется лишь при дискретных
гармонических частотах. Во-вторых, множитель усреднения 1/Т, по-
являющийся в уравнении (180), в уравнении (183) перенесен в члены
ряда Фурье в виде со^тс. По размерности Vk является средним зна-
чением напряжения (в в), тогда как Vr(oo) представляет собой инте-
грал (в в • сек).
Ряд (183) можно представить графически, как показано на
фиг. 27,6'. Функция Vr(u))exp(ju)O в общем случае является ком-
плексной, и для ее полного описания необходимы две кривые (дей-
ствительной и мнимой частей). Тем не менее из фиг. 27, б понятен
способ построения. Периодический сигнал имеет гармонические со-
ставляющие только при дискретных частотах о)^/2л, отмеченных на
фигуре вертикальными черточками. Величина гармонической составляю-
щей Vk expQu)^) изображается площадью заштрихованного прямо-
угольника, а из выражения (183) видно, что величина v(t) для дан-
ного t равна сумме площадей таких прямоугольников. Если теперь
увеличивать расстояние Т между импульсами, сохраняя ту же форму
импульса, как на фиг. 27, а, то функция VT (оо) ехр(уЫ) остается
такой же, но прямоугольники, изображенные на фиг. 27, б, становятся
Уже. В пределе при очень большом Т коэффициенты ряда Фурье Vk
стремятся к нулю, а число гармоник в заданном частотном интервале
становится очень большим. Следовательно, когда Т стремится к бес-
конечности, a ooj стремится к нулю, сумма площадей прямоуголь-
ников стремится к площади под кривой, и вместо соотношений (181)
и (183) можно написать
V(o»)== J (184)
— ОО
и
v(t) = (185)
— ОО
Иначе говоря, интеграл (185) определяется как предел выраже-
ния (183) при уменьшении (пР Это определение можно найти в любом
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
243
курсе анализа обычно с геометрической интерпретацией, аналогичной
фиг. 27, б.
Рассматривая сначала периодическую последовательность импуль-
сов и сместив затем все импульсы, за исключением одного, в бес-
конечность, легко прийти к представлению Фурье, пригодному для
импульсных сигналов. Функция V (<п) называется спектром частот
или просто спектром сигнала. Спектральная функция имеет размер-
ность напряжения, умноженного на время. Поскольку частота <п имеет
размерность, обратную времени, V ((п) можно представить как спектр
плотности напряжения, имеющий размерность вольт на единицу
частоты. Следовательно, площадь, ограниченная кривой У(о)) и осью
частот, имеет размерность напряжения. Импульсный сигнал имеет не-
прерывное распределение частотных составляющих, причем каждая
из них бесконечно мала. В этом смысле составляющая „на“ данной
частоте имеет амплитуду V (а)а) б?и)/2тс, соответствующую площади
под кривой между частотами и +
Интегралы (184) и (185) обычно называются преобразованиями
Фурье; (184) является прямым преобразованием из временного пред-
ставления в частотное, а (185) — обратным преобразованием (из
частотного во временное). Спектр V (<п) называется преобразованием
сигнала с/(/), а сигнал — обратным преобразованием спектра.
При бесконечном п и нулевом значении среднего квадрата ошибки
из уравнения (157) имеем по аналогии
оо оо
<18б>
— оо —оо
Это уравнение .показывает, что энергия сигнала равна энергии спектра.
Продолжая аналогию между рядом Фурье и интегралом Фурье, можно
преобразовать соотношения (161) — (163) следующим образом:
оо
<F((o)= J (187)
оо
<|>W = (188)
W (ш) = | V (ш) |2. (189)
где Ф((о) представляет собой спектр плотности энергии сигнала.
Площадь, ограниченная спектром плотности энергии и осью частот
между двумя заданными частотами и iod, изображает часть общей
энергии сигнала, переносимую составляющими, лежащими в этом диа-
пазоне. Если построить Ф((о) в зависимости от ад, а не от (п/2тс, то
для того, чтобы найти энергию сигнала, площадь под кривой нужно
16*
244
ГЛАВА 6
разделить на 2г. Поэтому будем полагать, если это особо не отме-
чено, что характеристика спектра Ф (оо) строится в зависимости от
истинной частоты оо/2тг, а не от угловой частоты оо.
Если разделить сигнал v(t) и экспоненциальную функцию в вы-
ражении (184) на четные и нечетные части, преобразование Фурье
можно развернуть в следующем виде:
У ((d) —2 J t/4(Z)cos utdt— j2 J с/нч (Z) sin со/ dt. (190)
о 0
Таким образом, для действительных сигналов интеграл (184) в ком-
плексной форме заменяется двумя интегралами. Из соотношений (184)
или (190) можно установить симметрию сопряженного спектра дей-
ствительного сигнала
У (оо) = У* (—оо). (191)
Следовательно, для действительного сигнала v(t) нечетная и чет-
ная части спектра представляют соответственно действительную и
мнимую величины
Уч(ш) = Ке[У (ш)], (192)
Унч(ш) = Im [У (о))]. (193)
Соотношение (190) показывает, что спектр действительного чет-
ного сигнала также действительный и четный.
6.17. Некоторые основные свойства
преобразований Фурье
Приведем теперь несколько важных .свойств преобразований
Фурье, которые будут использованы в дальнейшем. Соотношения
(195) — (203) получаются непосредственно. Четыре последних соот-
ношения менее очевидны, но ввиду аналогии с соотношениями
(176) — (179) они должны быть справедливыми:
и^^У^), (194)
наложение aYvx (/) 4~ (0 (w) + а<У ъ (w)» (195)
перемена знака и(—^)«->У(—оо), (196)
изменение масштаба v (у) aV (аоо) для действительного
положительного а, (197)
задержка v(t — ^0)*->У (оо)е“>4 (198)
модуляция v (/) У (оо — uo0), (199)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
245
дифференцирование спектра t,lv (J)n dnV(b>) (200)
, , dnv (t) z . .n.. , . дифференцирование сигнала - (ju) V (w), t t интегрирование J* v4 (t) dt J* t/H4 (t) dt <r-> , 0 - oo t co f Ji 1 f /ZX V (<°) интегрирование jv(t)dt — -% J v^dt^——^, (201) (202) (203)
корреляция co
Ф12(х)= f — z)dt -e-> Vi(w) V*(w) = 'F12((U), (204)
свертка oo Vl®t>2= J Vx(t)v2(x — t)dt^ — oo • Vi(<u) V2 (u>), (205)
умножение сопряженных функций
v(t) = vx(t)v*2(t)-^ J У1(<о)Уг((й- (206)
умножение oo •У(О = ®1(Ог'2(О*-* f Л(ш)У2(?- -OO -)^=m (207)
Для доказательства соотношения (204) подставим интегральную фор-
мулу для ф12(т) в соотношение (187), в результате получим
Ф12 ((!>)== J J v^^v^t — zye-j^dtdt. (208)
— оо —оо
Заменяя переменную t — т новой переменной tf, получаем следующее
выражение:
ф12(ш)= J J dt dt', (209)
— СО —оо
которое можно представить как произведение двух интегралов
Ф12 (<1>)
ОО
/ ®1(0
— оо
e-imt dt
ОО
J vrf'je-W dt'
—оо
(210)
246
ГЛАВА 6
В правой части выражения (210) можно сразу признать произве-
дение спектров, входящих в выражение (204). Соотношение (205)
представляет собой несколько измененную форму соотношения (204).
Тогда соотношения (206) и (207) вытекают непосредственно из
дуального соответствия или симметрии прямого и обратного преоб-
разований Фурье.
6.18. Границы спектра
Количество, изменение и изменчивость импульсного сигнала опре-
деляются следующим образом:
оо
количество = J |т/| <7/, (211)
—оо
со
изменение = J (212)
— оо
оо
С 1 d2v 1 изменчивость = 1 (213)
Количеством сигнала называется абсолютное значение интеграла
сигнала, равное в некотором масштабе общей площади, заключенной
между кривой сигнала и осью времени, куда входят площади выше
и ниже оси, причем те и другие считаются положительными. Например,
абсолютная величина сигнала, изображенного на фиг. 28, а, равна в не-
котором масштабе заштрихованной площади, указанной на фиг. 28, б.
Изменением сигнала называется абсолютная величина интеграла
от наклона импульсной кривой, равная, следовательно, общему от-
клонению сигнала, которое берется всегда с положительным знаком.
Поскольку обычная производная функции не определяется в точке
разрыва, то уравнение (212) может вызвать сомнение. Это сомнение
можно устранить, допустив, что прерывный сигнал является лишь
идеализацией действительного сигнала, который изменяется вблизи
от идеализированного разрыва очень быстро, но все же непрерывно.
Этой трудности можно совсем избежать, если принять определение
изменения сигнала, совершенно не содержащее производной. Сигнал
можно представить в виде суммы неубывающей функции ^ну(0 и
невозрастающей функции ^нв(0» как показано на фиг. 28, в. Тогда
изменение v(t) в интервале времени между моментами tx и /2 равно
^ну (^)— 4iy(^i) — ^нв)(^) + ^нв(^1)-Такое изменение можно наглядно
представить в виде общего перемещения точки, вычерчивающей кри-
вую сигнала.
Третья величина, изменчивость сигнала, равна полному измене-
нию наклона кривой сигнала. Всякое изменение наклона в том и
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
247
другом направлениях, мгновенное или постепенное, дает положитель-
ное значение изменчивости сигнала. При определении изменчивости,
так же как при определении изме-
нения, возникает вопрос о точках
разрыва, который можно решить
примерно таким же способом.
Изменчивость сигнала, изображен-
ного на фиг. 28, а, можно вычис-
лить следующим образом. В на-
чальной точке наклон меняется
сразу от 0 до 1, что Дает 0ДНУ
единицу изменчивости. После этого
наклон уменьшается от 1 до —1,
что дает еще две единицы измен-
чивости. Наконец, наклон меняется
опять от —1 до и затем сра-
зу до 0, так что общая изменчи-
вость получается равной шести.
Изменчивость можно также на-
глядно представить как полное
изменение производной сигнала,
как показано на фиг. 28, г. На
фиг. 29 приведены другие при-
меры. В последних трех приме-
рах для сравнения показан пунк-
тиром исходный треугольный им-
пульс.
Величину интеграла Фурье (184)
для любой частоты ш можно пред-
ставить в виде результирующей
суммы большого числа беско-
нечно малых комплексных век-
торов, имеющих разные направ-
ления в комплексной плоскости.
Полная длина пути вдоль этой
суммы векторов равна абсолют-
ной величине интеграла от V.
Поскольку кратчайшее расстояние
между двумя точками в комплекс-
ной плоскости есть прямая линия,
а
do/dl
изменчивость* изменение du/ctt-6
Фиг. 28. Коэффициенты формы
одного периода синусоидального
колебания.
то длина пути вдоль суммы векто-
ров не может быть меньше длины их результирующей. Следовательно,
оо
J dt
— ОО
(214)
Количест- Изменчи-
Фиг. 29. Коэффициенты формы различных импульсов.
Фиг. 30. Верхние границы спектра, задаваемые коэффициентами формы.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
249
С помощью соотношения (201) можно получить аналогичные нера-
венства для первой и второй производных сигнала
со
|/<»V(<o)|< (215)
— ОО
оо
|(»2 V(<о)| < (216)
— ОО
Таким образом, количество, изменение и изменчивость сшиала
определяют верхние границы спектра сигнала
|V(<о)| <
количество,
изменение/) ш|,
изменчивость/о)2.
(217)
Эти границы показаны на фиг. 30 и 31. На фиг. 32 границы
начерчены в масштабе для сравнения с действительным спектром
трапецеидального импульса.
Верхние границы
Фиг. 31. График верхних границ для | V (ц>)| в логарифмических координатах.
Для периодического сигнала его количество за период, изменение
за период и изменчивость за период определяют верхние границы
абсолютных величин коэффициентов ряда Фурье V к. В
количество — (
изменение —
/ 1\
изменчивость = ,
количество,
изменение/) о)л|,
изменчивость/а)2.
частности,
(218)
(219)
(220)
IV* I
(221)
250
ГЛАВА 6
Верхние границы спектра плотности энергии ЧТ (о>) можно найти,
возведя в квадрат верхние границы для V (о>). В зависимости от
формы сигнала границы могут быть сильные (если они в отдель-
ных точках непосредственно примыкают к действительному спектру)
или слабые (если они проходят гораздо выше действительного
спектра). Обычно из рассмотрения формы интеграла Фурье можно
определить, соприкасается ли верхняя граница с действительным
а
Фиг. 32» Верхние границы спектра трапецеидального импульса.
а — количество — KD\ tвменение = 2/С; изменчивость = 4^3.
спектром или нет. В некоторых случаях количество, изменение и
изменчивость автокорреляционной функции ф(т) обусловливают более
сильные верхние границы на спектр плотности энергии, чем верхние
границы, полученные путем возведения в квадрат верхних границ
спектра сигнала.
Неравенства (214) — (216) можно распространить на производные
сигнала высшего порядка, но полученные верхние границы труднее
оценивать из рассмотрения кривой сигнала. Количество, изменение
и изменчивость сигнала сравн тельно легко оценить из рассмотрения
сигнала и получить грубую но быструю информацию о спектре
сигнала, что часто бывает очень полезным в практической работе.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
251
6.19. Ряд Фурье как предельная форта
интеграла Фурье
Ранее был получен ряд Фурье и от него сделан переход к инте-
гралу Фурье путем увеличения периода периодической функции до
бесконечности. Теперь покажем, что ряд Фурье можно рассматривать
как частный случай интеграла Фурье. Это даст возможность едино-
образно трактовать сигналы, имеющие импульсные и периодические
составляющие.
Если имеется периодический сигнал v(t)> то можно определить
усеченный сигнал, содержащий п периодов колебания. Усеченный
сигнал равен нулю вне интервала длиной пТ и, следовательно, по-
добен импульсному сигналу. Соответствующий спектр
пТ(2
VM(v) = f vtfye-Wdt. (222)
— лГ/2
При л, равном единице, усеченный сигнал представляет импульс,
состоящий из одного периода колебания, и интеграл (222) совпадает
с интегралом, входящим в формулу для коэффициента корреляции Vk.
Обозначим через коэффициент корреляции при произвольной
частоте о>. Таким образом,
VXM = TV(^. (223)
При п, большем единицы, интеграл (222) можно рассматривать
в виде суммы п импульсных сигналов, каждый из которых имеет
длину Т и сдвинут на один период относительно одинаковых с ним
смежных импульсов. На основании формулы сдвига (198) можно
обращаться с каждым из этих импульсов так, как если бы его сере-
дина была расположена в начале оси времени, при условии, что
после этого каждое преобразование умножается на соответствующий
экспоненциальный фазовый множитель. Таким образом, интеграл (222)
за п периодов равен интегралу за один период, умноженному на
сумму комплексных показательных функций, изображенных на
фиг. 33, а
V(n)(u>) = TV0) 5 е-!кшТ, /1 = 2/п4-1. (224)
й = -m
На фиг. 33 u)T для простоты обозначено через 6. Радиус кривизны
суммы комплексных векторов можно легко найти из векторной диа-
граммы и затем определить половину длины результирующей (см.
фиг. 33, 0. Заменяя конечный ряд в уравнении (224) его суммой,
получаем
Пп) (ш) — [ sin(a>T/2) J *
252
ГЛАВА 6
Множитель в скобках (225) имеет форму, изображенную на фиг. 34.
При нулевой частоте все показательные функции представляют ком-
плексные числа единичной длины и одного направления, так что их
сумма максимальна. При возрастании частоты сумма векторов, изо-
браженная на фиг. 33, закручивается. Результирующий вектор равен
нулю, когда сумма векторов превращается в окружность. После
этого результирующий вектор меняет свое направление на обратное
jkb sin (nS/2)
2 ° ° sin (6/2) • л-=2т|-1.
k- -m
Фиг, 33. Суммирование конечного комплексного экспоненциального ряда.
и затем колеблется с уменьшающейся амплитудой, причем сумма
векторов закручивается еще больше много раз. В конце концов
сумма векторов должна раскрутиться снова и стать прямой, после
чего весь процесс повторяется (см. фиг. 34).
При возрастании п спектральная функция, изображенная на
фиг. 34, стремится сосредоточиться около частот ^а)1/2т:. При очень
большом п область около каждой частоты /га)1/2к очень похожа на
кривую, изображенную на фиг. 2, д, но более сжатую в горизон-
тальном направлении и растянутую в вертикальном. Общая площадь,
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
253
ограниченная кривой и осью времени, в каждой такой области стре-
мится поэтЬму к величине 1/Г. В пределе при большом п спектр,
Фиг. 34. График функции [sin (nay Т/2)]/[sin (оуТ/2)] при п = 15.
изображенный на фиг. 34, подобен ряду импульсов,
которых имеет площадь 1/7\ Таким образом,
V(n)(u))-> V (со), при большом п
и
sin (поуТ/2) 1 Y ( ш ^<0! \
sin (<0 7-/2) Т U° V2T 2Г)’
k
так что
k
каждый из
(226)
(227)
(228)
где Vk — коэффициент ряда Фурье или значение при данной
частоте wfe = &(o1. Из выражения (228) следует, что спектр плотности
254
ГЛАВА 6
напряжения периодического сигнала состоит из импульсов, располо-
женных на гармонических частотах сигнала, а плэщадь каждого
импульса равна величине соответствующего коэффициента в ряде
Фурье периодического сигнала. Если спектр начертить в зависимости
У(ы)
о( ^периодическая функция
Фиг. 35. Линейный спектр периодического сигнала как предельная форма
спектра конечной последовательности импульсов.
Ук - площадь fat) линейного
импульса
от а), а не от о)/2тг, то он станет шире и площади импульсов уве-
личатся в 2к раз
V (ш) = 2к 5 Vkuo (ш — Atui)- (229)
k
На фиг. 35 показан переход от непрерывного или распределен-
ного спектра одиночного импульса к дискретному спектру периоди-
ческого сигнала путем добавления новых импульсов. В этих графи-
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
255
ках интервал между импульсами в пять раз больше ширины импульса,
но картина, будет качественно такой же при любой другой ширине
или форме импульса.
Обратное преобразование выражения (228) дает
оо оо
V (о = f V (Ш) еМ -g- = 2 V»eiM- (230)
— ОО k « —оо
Интеграл в уравнении (230). равен весовой сумме площадей импуль-
сов, причем весовым коэффициентом является показательная функ-
ция, вычисленная для частоты каждого импульса. Следовательно,
обратное преобразование дает ряд Фурье.
Квадрат абсолютной величины V (о>) представляет собой спектр
плотности энергии сигнала. Квадрат линейного импульса имеет бес-
конечную площадь, так что спектр плотности энергии для периоди-
ческого сигнала не имеет смысла. Однако каждая гармоника перио-
дического сигнала имеет конечную среднюю мощность (и, следова-
тельно, бесконечную энергию), поэтому спектр плотности мощности
периодического сигнала должен состоять из импульсов конечной
площади. По аналогии с выражением (229)
ф (а)) = 2к 2 ®kuQ — Ло>]). (231)
k
Спектр плотности мощности Ф(о>) представляет собой преобразо-
вание Фурье автокорреляционной функции ср (т), а Фл является коэф-
фициентом ряда Фурье для ср (т).
Почти периодический сигнал вообще нельзя представить рядом
Фурье, но его можно представить с любой точностью в виде суммы
двух или большего числа рядов Фурье. Следовательно, спектры
плотности напряжения и плотности мощности почти периодического
сигнала существуют и образуются наложением спектров различных
периодических составляющих сигнала. Если построить почти перио-
дический сигнал из произвольно большого числа очень малых перио-
дических составляющих, периоды которых находятся в иррациональ-
ных отношениях, то соответствующий спектр плотности энергии
будет состоять из сколь угодно плотно распределенных бесконечно
малых линейных импульсов. Другими словами, спектр плотности
энергии содержит некоторую мощность в каждом малом частотном
интервале, и поэтому его можно представить в виде непрерывного
спектра. Таким образом, почти периодический сигнал представляет
переход между периодическими и случайными сигналами. Случайный
сигнал, взятый из стационарного процесса, подобно периодическому
сигналу характеризуется спектром плотности мощности, но он является
непрерывным, а не дискретным.
256
ГЛАВА 6
6.20. Сопоставление спектров
На фиг. 36 дана сводка различных преобразований. Двойные
стрелки обозначают обратимые преобразования, такие, как преобра-
зование сигнала в его спектр или ряд Фурье. Одиночные стрелки
обозначают необратимые преобразования, в частности вычисление
корреляционной функции или квадрата модуля комплексного спектра.
На фиг. 36, а показаны два различных пути от импульсного сиг-
нала v(t) к его спектру плотности энергии ^(о)): один через спектр
сигнала к квадрату его модуля, а другой через автокорреляционную
o(t) -—^V(u))
а
V«)
И (<о)
Ф(Т)
IV (ш)
импульс;
V(t) ---У^иУ(ю)
<р(Г) ---^ФнимФ((л))
v (t) — периодическая функция,
V (ш) — линейные импульсы,
ср (т) — периодическая функция,
Ф(и) — линейные импульсы;
o(t)
v (О — стационарный случайный сигнал,
V (<о) — не определено,
<р (т) — импульс,
Ф (w) — импульс;
<р(т) -<--
г v# 6 (на 1 ом^
V (ш), в/частота=в/сек,
Ф (т), дж (в2- се к Юм), '1Г М— I У (<•>) I2»
'Г (о>), дж/частота = дж-сек,
ср (т), Ф^, вт (в-юм),
Ф (ш), вт/частота = дж.
Фиг. ЗВ. Формы и физические размерности сигналов и спектров.
функцию к ее преобразованию Фурье. На фиг. 36, б приведена
соответствующая диаграмма для периодических сигналов. Здесь также
имеются два пути от сигнала v(t) к его спектру плотности мощ-
ности Ф(ш): один через ряд Фурье с коэффициентами Vk к ряду
Фурье с коэффициентами Ф* и затем к импульсному спектру Ф(о>)
и другой через автокорреляционную функцию ф(т) к ее преобразо-
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
257
ванию Фурье Ф(<п). Заметим, что спектр плотности мощности Ф(<п)
не равен квадрату модуля спектра плотности напряжения V (со).
Однако площадь каждого импульса в спектре Ф(<п) равна квадрату
площади соответствующего импульса в спектре V (со).
Для случайных сигналов, происходящих от стационарных про-
цессов, имеется лишь один удобный путь от сигнала -и(/) к его
спектру плотности мощности Ф(со), указанный на фиг. 36, в. Это
получается потому, что интеграл Фурье расходится, если его при-
менить к сигналу из стационарного случайного процесса. Конечно,
интеграл Фурье периодического сигнала также расходится при
каждой гармонической частоте, но путем соответствующего пере-
хода к пределу можно представить спектр в виде импульсов на этих
частотах.
Функции Ф (<d) и Ф (со) были определены как преобразования
Фурье автокорреляционной функции ф(т) или ср(т). Была установлена
связь между этими функциями и спектром плотности напряжения
для импульсных и периодических сигналов, и тем самым Ф и Ф были
прямо отождествлены со спектром плотности энергии или спектром
плотности мощности сигнала. Для стационарных случайных процес-
сов такое прямое отождествление вызывает математические затруд-
нения. Можно пренебречь этими затруднениями и рассматривать Ф
как спектр плотности мощности ввиду большого сходства между
диаграммами, приведенными на фиг. 36. Однако здесь представляется
уместным кратко рассмотреть несколько математических операций,
которые помогут выяснить природу функции Ф.
Возьмем сначала конечный отрезок va (t) выборочной функ-
ции v(t) от t = — а до t = a, имеющий поэтому определенное
явное преобразование Va(co). При большом а можно написать
оо
<Pe <т> = i f va (О < (' - dt> (232)
— оо
оо
Фв(ш)= f <f>a(x)e-J™dx, (233)
откуда
Фа(о>) = ^- f f va(t)v\(t-x)e-i^dtdx. (234)
Вводя новую переменную tf, путем подстановки x = t— tr получаем
двойной интеграл, который можно написать в виде
Фа (ш) =
(235)
17 Зак. Ш5.
258 ГЛАВА б
а поскольку
оо а
Уа(ш)= J va(t)e-ia‘dt= J v (t) е~dt, (236)
—оо -а
ТО
Фа((й) = |-7^-|2* <237)
Для стационарного случайного процесса сра (т) при а, бесконечно
большом, стремится к пределу ср(т). Но Фа(со) вообще не имеет
предела. Например, прямоугольный сигнал, полученный от бросания
монеты и изображенный на фиг. 22, а, имеет функцию cpfl (т), содержа-
щую не только треугольный импульс ср (т), но, кроме того,
в области — 2а < т < 2а случайную составляющую га (т) =
= <pfl(x) — ср (т), для которой rfl = 0 и г2а — (2а — т)/(2а)2. При дан-
ной частоте со преобразование /?а(со) от га(х) представляет по суще-
ству сумму 4а независимых выборок функции га(т), так что | Ra (со) |2
в пределе при большом а не равно нулю. Но Ra(w) при боль-
шом а и несколько отличной частоте со представляет сумму другого
набора выборок. Поэтому, если провести „частотное сглажива-
ние", введя
W4-6
Фа»(«) = ^- f (238)
ио —S
и затем положив 8->0, после того как а->оо, то /?fl5(co) должно
исчезнуть, а Фа5(со) должно стремиться к пределу Ф(ш), который
представляет преобразование предела ср(т).
6.21. Полнота представления с помощью
выражений Фурье
Вопрос о полноте можно разобрать для интеграла Фурье, и полу-
ченные выводы применить к ряду Фурье как к частному случаю.
Один из возможных способов такой. Если дан сигнал v(t), для
которого по предположению существует преобразование V (со), опре-
деленное по формуле (184), то можно определить ошибку efl(/)
по формуле
а
ea(f) = v(O- / (239)
-а
Конечный предельный интеграл в уравнении (239) будем называть
приближением к сигналу. Пока это приближение не имеет связи
с сигналом v(t\ поскольку эту связь надо найти. Здесь приближе-
ние входит в произвольное определение ошибки.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
259
По самой природе преобразования Фурье ошибка не коррелиро-
вана с приближением, и разные частоты в приближении не коррелиро-
ваны между собой. Следовательно, так же как в уравнении (157),
в силу ортогональности имеем
ио со а
fleal2dt = f \v\Ut- f |У(ш)|2^-. (240)
— оо —оо -а
Но, как известно,
| V (оз) |2 = Ф (со) = ф(т)^”^х^т, (241)
— оо
где ф(т) определяется по формуле (88). [Соотношение (241) было
доказано в уравнениях (208) — (210).] Интегрируя выражение (241)
в пределах конечного диапазона частот, получаем
ио оо а
/1 v (Ш) |2 = f f ф (t) (242)
— оо —оо —а
оо
= f ф(т)[-^]л. (243)
— оо
Кривая (sin ат)/кт) в зависимости от т имеет результирующую
положительную площадь, равную единице для всех положительных
значений параметра а. Кроме того, при большом а площадь, ограни-
ченная кривой, сосредоточена около начальной точки на шкале т.
Следовательно, если интеграл (243) сходится для всех а и функ-
ция ф(т) непрерывна в начальной точке, функцию (sin ат)/кт) можно
рассматривать в пределе при большом а как единичный импульс.
Таким образом,
оо
lim f ф(т)Г^^-рт = ф(О) (244)
а->оо J L J
— оо
при условии, ЧТО
для всех а.
(245)
Из выражений (240), (243), (244) и определения ф(т) следует, что
f IV («>) I2 - ф (0) = f М2^-
— ОО —00
.(246)
17*
260
ГЛАВА 6
Теперь на основании
результат
выражения (240) получаем окончательный
li П1
а -> со
f К12<я=о.
(247)
Итак, представление импульсного сигнала интегралом Фурье (185)
является приближением к этому сигналу с ничтожной ошибкой по
энергии при условии, что автокорреляционная функция этого сиг-
нала удовлетворяет неравенству (245).
Конечность энергии, количества и изменения сигнала достаточны,
чтобы обеспечить существование преобразования сигнала и выполне-
ние неравенства (245),
6>22> Некоторые импульсные сигналы
и их спектры
Этот раздел и большинство остальных разделов этой главы
посвящены конкретным примерам применения теории преобразова-
ний Фурье к анализу сигналов.
Первым примером является гауссов импульс, изображенный
на фиг. 37. Как уже было показано на фиг. 15, его автокорреля-
ционная функция представляет собой также гауссов импульс. Отсюда
следует, что преобразование Фурье или спектр гауссова импульса
представляет собой также гауссову кривую. Инвариантность гаус-
совой формы при преобразовании Фурье представляет такое важное
и полезное свойство, что оно заслуживает более подробного изуче-
ния. Прямое преобразование сигнала указывает факт, но не раскры-
вает его причину. Поставим такой вопрос: „Какая функция является
своим собственным преобразованием?" Чтобы найти ответ, нужно
отыскать симметрию в свойствах преобразования Фурье Ключ
к ответу дает дифференцирование, ибо
/шУ (<о) (248)
И
(249)
Следовательно, если
~ = ±tv(t) (250)
то на основании симметрии
^-=±0)1/ (ш),
(251)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
261
т. е. сигнал и его преобразование представляют одну и ту же
функцию. Другими словами,
V (х) = Kv (х), (252)
где К — постоянная. В уравнении (250) можно разделить переменные
-^-=±tdt, (253)
откуда легко получить
\Qgv—±^-t2. (254)
Постоянная интегрирования не имеет здесь значения, и в равен-
стве (254) она опущена. Отбрасывая знак плюс (при котором полу-
чается сигнал, не допускающий преобразования), имеем
• й = <255)
И
V(^) = Ke 2 . (256)
Таким образом, если сигнал и его спектр представляют одну и ту же
функцию, то такой функцией является гауссов импульс. [Существует
много других функций, которые преобразуются в самих себя, напри-
мер любая функция У (х)-ф-(х) ]/2к, образованная из действитель-
ного четного сигнала v(x) и его спектра V (х). Однако гауссов
сигнал является основной функцией, получающейся при аналити-
ческом выводе.] Для определения постоянной К необходимо лишь
приравнять энергию сигнала и энергию его спектра
оо оо
(257)
—оо —оо
после чего, подставляя формулы (255) и (256), получим
= £ f (258)
— ОО —оо
Поскольку два интеграла в уравнении (258) тождественны, то отсюда
непосредственно получается
/С = У2л (259)
И
(260)
262
ГЛАВА 6
После этого математическая операция изменения масштаба [урав-
нение (197)] приводит непосредственно к паре преобразований, изо-
браженных на фиг. 37, а и б.
Положение масштабного параметра а на кривых фиг. 37 показы-
вает, что короткий импульс имеет широкий спектр, а длин-
ный импульс — узкий спектр. Это общее свойство относится не
только к данному примеру. На фиг. 38, а — г показаны предельные
-а 0 а
Фиг. 37. Гауссов импульсный сигнал и его спектры.
-1/аЯ 0 1/а\Г2
з
формы функций фиг. 37 при малом параметре а. Здесь надо отме-
тить, что линейный импульсный сигнал имеет равномерный спектр
на всех частотах. Бесконечная площадь, ограниченная кривой плот-
ности энергии Ф (со), отражает то обстоятельство, что линейный
импульс имеет бесконечную энергию. На фиг. 38, д — и показаны
предельные формы, к которым стремится спектр при возраста-
нии А и а, когда отношение A/а остается постоянным и рав-
ным где В — постоянное число. Чтобы автокорреляционная
функция имела смысл, надо перейти при этом от ф(т) к ср(т).
Постоянный сигнал имеет спектр в виде линейного импульса. Вся
мощность сигнала сосредоточена на одной составляющей нулевой
частоты. На фиг. 38, з и и показано опять, что площадь линейного
импульса умножается на 2к, если спектр строится в зависимости
от со/2к, а не от со. Заметим, что площадь линейного импульса
спектра плотности мощности равна квадрату площади линейного
анализ сигналов
263
импульса спектра плотности напряжения только в том случае, если
оба спектра построены в зависимости от действительной частоты ш/2тс.
Следующим примером служит прямоугольный импульс, изобра-
женный на фиг. 39, а. Количество и изменение сигнала указывают
ip(T)
А\(т)
V(U))
гяВи^ш)
Ф(и>)
2пЁ?и0(ш)
Aujt)
Ф(ш)
В2и8(ш/2л)
------------u)/2 JT
Фиг. 38. Предельные формы гауссова импульса и его спектра.
границы спектра, изображенные на фиг. 39, б пунктиром. Прямо-
угольный импульс является частным случаем трапецеидального им-
пульса, изображенного на фиг. 40, а. После двух последовательных
дифференцирований из него получаются четыре линейных импульса,
264
ГЛАВА б
изображенные на фиг. 40, в, и соответствующий спектр равен исход-
ному спектру V (со), умноженному на (/со)2. С помощью фиг. 38, а
и б и формулы запаздывания (задержки) [выражение (198)] можно
u(t)
1/д Z/S 3/д
Ч'(ш)
г
Фиг. 39. Прямоугольный импульсный сигнал и его спектры.
теперь определить по внешнему виду спектр второй производной
(261)
л
~ь~_ а [(г/*" 4- — (e>flco + e“>fluJ)] = (/со)2 V (со)
и, разделив на (/со)2, получить спектр исходного сигнала
TZz . 2 А / cos аш— cos Ью
V (со) = ----------
к ' b — а
со2
Выражение для спектра можно написать в другом виде:
/ sin |7 о>1 \ / Sin ГР
У(Ш) = (^4-а)Л IV2£_J
\ ( 2 Г А ( 2 )“
(262)
(263)
Спектр, изображенный на фиг. 39, б, представляет собой, оче-
видно, частный случай спектра (263)
<264)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
265
получающегося при приближении трапеции к прямоугольнику
(а = ^ = В/2). Аналогично, положив а равным нулю и b равным 8,
получим спектр треугольного импульса, изображенный на фиг. 39, в
и г. Спектр плотности энергии Ф(о)) в этом примере равен квад-
рату спектра V (оз), потому что функция v(t) действительная и четная.
от
I
I Площади линейных
импульсов -А/b -а
-*-* (jvfV(U)
Фиг. 40. Трапецеидальный импульс.
Из примера анализа трапецеидального импульса видно, что
во многих случаях можно избежать утомительного интегрирования,
дифференцируя сигнал до преобразования Фурье.. Обратное инте-
грирование продифференцированного сигнала (путем деления на /со),
зависящего от частоты, значительно проще. Этот метод имеет весьма
широкое применение, так как любой сигнал можно приближенно
представить кусочно-линейной (или кусочно-параболической) кривой,
когда его можно свести к линейным импульсам после двух или
трех дифференцирований. При грубом, но простом представлении
сигнала ступенчатой кривой он сводится к линейным импульсам
после одного дифференцирования.
266
ГЛАВА 6
Этот метод можно применять и в том случае, когда такие
аппроксимации неудобны, как показано, например, на фиг. 41. Пило-
образный импульс фиг. 41, а после первого дифференцирования
принимает форму фиг. 41, 6. Теперь добавим к сигналу, изобра-
женному на фиг. 41,6, равный и противоположный линейный им-
пульс, так что они взаимно уничтожаются. В результате останется
jwV(u))
jwV(u))+A
A/au0(t+a)
-A/au0(t)
Фиг. 41. Пилообразный импульс.
прямоугольный импульс, изображенный на фиг. 41, а, спектр кото-
рого содержит равномерный спектр А добавленного линейного
импульса. Теперь можно дифференцировать его второй раз и полу-
чить два линейных импульса, изображенных на фиг. 41, г. Таким
образом,
£ — 1) = (/w)2 V (со) 4- /шД. (265)
Решая это уравнение относительно исходного спектра, получим
У((о) = л(1+/^/<,,а). (266)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
267
В качестве второго примера применения метода на фиг. 42 пред-
ставлено преобразование косинусоидального импульса. После дву-
кратного дифференцирования получаются два линейных импульса,
изображенные на фиг. 42, а, которые дают спектр, изображенный
Фиг. 42. Косинусоидальный импульс.
V(iv)
(Ju)ZV(u)
на фиг. 42, г. Сигналы фиг. 42, а и г равны, но имеют противо-
положные знаки, и в таком же соотношении должны находиться их
спектры. Таким образом,
— V (а)) = (/со)2 V ((d) — (a^w/2 + а-^/2). (267)
Это уравнение можно решить и получить
Г(ш)= 2с°8_17Д. (268)
Этот спектр, не начерченный на фигуре, выглядит подобно спектру
прямоугольного импульса с тем различием, что он уменьшается
быстрее при возрастании ш. Этого и следовало ожидать ввиду
268
ГЛАВА б
конечной изменчивости косинусоидального импульса. Знаменатель
функции (268) равен нулю при о, равной единице. Но числитель
также равен нулю в этой точке, и функция имеет конечный предел,
который можно вычислить, взяв производные числителя и знаме-
нателя,
V (1) = lim ” sin -Z^- = 4. (269)
«)->1 2а> 2
Спектр экспоненциального импульса, изображенного на фиг. 43,
легко вычислить путем дифференцирования, подобно тому как было
Vf(D)
UQ(t)
t Ji.OV((U)
Фиг. 43. Экспоненциальный импульс.
сделано для косинусоидального импульса. Импульсы, изображенные
на фиг. 43, айв, и, следовательно, их спектры различаются только
множителем —а. Таким образом,
_ aV (о) = ywV (о) — 1, (270)
откуда находим
<27|>
В уравнении (271) разделим действительную и мнимую части:
= №
<273)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
269
На фиг. 44 и 45 показаны сигналы и спектры плотности напря-
жения его четной V4(t) и нечетной IZH4(Z) частей.
В пределе при малом а четная часть сигнала стремится к постоян-
ной величине, равной 72, а нечетная часть стремится к единичной
нечетной симметричной ступени
v4(t) -> 2 , (274)
У Г (ш) —> (оз) — g J ’ (275)
(0 1 > 2|(| ’ (276)
(0 (277)
Следовательно, зований в пределе при малом а получим пару преобра- •y<->K«0(a>) = i-a0^j, (278) I27S”
Когда а стремится к нулю, экспоненциальный импульс, изобра-
женный на фиг. 44, а, стремится к единичной ступенчатой функции
«-1(0 = 1 J
при
при
/>0,
*<0,
(280)
а его спектр равен сумме спектров
четной и нечетной частей
(281)
Формально спектра единичного ступенчатого сигнала не существует,
так как энергия сигнала - бесконечна. Однако, как было показано,
единичный ступенчатый сигнал представляет предел, к которому стре-
мится последовательность сигналов, допускающих преобразование;
спектр в уравнении (281) представляет предел, соответствующий
последовательности спектров.
Единичный ступенчатый сигнал можно представить как интеграл
единичного импульса uQ(t) от —оо до t. Общая формула преобра-
зования (203) допускает такую интерпретацию. Постоянный член
в левой части формулы (203) можно преобразовать из временнбго
представления в частотное, где он появляется в виде линейного им-
пульса
Фиг. 44. Экспоненциальный импульсный сигнал и его спектры.
Фиг. 45. Четная v4(/) и нечетная vH4(/) части экспоненциального импуль-
сного сигнала и соответствующие .действительная VT (w) и мнимая (со)
составляющие спектра сигнала.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
271
6.23. Некоторые периодические сигналы
и их спектры
На фиг. 46 представлена периодическая последовательность ли-
нейных импульсов, в которой каждый импульс имеет площадь а.
Линейные импульсы изображены, как обычно, жирными вертикаль-
ными прямыми. Хотя в действительности пиковое значение каждого
импульса произвольно большое, удобно обозначать высотой черты
площадь линейного импульса (фиг. 46, а). Поскольку спектр еди-
ничного импульса равен постоянному числу а, все коэффициенты Vk
Линейный импульс Линейный импульс
-ZT -Т О Т ZT -Z/T -1/Т О 1/Т Z/T
ш/2л
а
Линейный импульс
(аг/Т)и0(т) <р(т)
аг/Т—г — т\---
6
Линейный импульс
(а1Т^иа(ш/2л) ф((1}^
-гт -го т гт т
—I----1---------1---i—w/Zn
-Z/T -1/Т О ЦТ Z/T
в г
Фиг. 46. Периодическая последовательность линейных импульсов и их
спектры.
в ряде Фурье для периодической последовательности линейных
импульсов должны иметь величину а/Т, где Т — период. Следова-
тельно, дискретный спектр, изображенный на фиг. 46, б, сам является
периодической функцией. Математическое представление этой пары
преобразований
ОО 00
а £ Uo(t-kT)^^ (282)
k « — оо k Ж —оо
Таким образом, периодическая последовательность линейных
импульсов (имеющих период, равный единице) является, подобно оди-
ночному гауссову импульсу, своим собственным преобразованием.
Кроме того, автокорреляционная функция имеет такую же функцио-
нальную форму, как и сигнал, аналогично гауссову импульсу. Кор-
реляционная функция двух линейных импульсов сама представляет
линейный импульс, площадь которого равна произведению площадей
импульсов. Поскольку <р(т) представляет собой среднее значение,
272
ГЛАВА 6
а не интеграл, площадь импульсов на фиг. 46, в равна „коррелиро-
ванной площади за период" а2/Т. Средняя мощность периодического
сигнала из линейных импульсов теоретически бесконечна.
Следующий пример представляет собой прямоугольное колебание,
изображенное на фиг. 47, а. Дифференцирование сигнала дает им-
пульсную функцию фиг. 47, б\ равную разности двух периодических
u(t)
импульсных последовательностей, одна из которых сдвинута влево»
а другая вправо по временной оси.
При сдвиге периодической функции каждый коэффициент соот-
ветствующего ряда Фурье умножается на экспоненциальный мно-
житель, как указано в равенстве (172). Следовательно, зная ряд
Фурье для периодической последовательности линейных импульсов,
можно сразу определить коэффициенты ряда Фурье для составного
колебания, изображенного на фиг. 47, б. Из фиг. 47 находим
~ — e-^kT^ = (283)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
273
откуда
Vk = sin , k*Q. (284)
Производная сигнала не содержит информации о его постоянной
составляющей, поэтому формулу (284) можно применять только
для k, не равного нулю. Но постоянная составляющая Уо, очевидно,
равна нулю, и коэффициенты ряда Фурье можно написать полностью
в виде
О, k= ±2, ±4, ...
Постоянные формы прямоугольного колебания:
Количество — (| v (Z) |) = 1, (286)
Изменение = ~ | = у . (287)
На фиг. 47, в показаны пунктиром соответствующие границы для
коэффициентов ряда Фурье. Прямоугольное колебание имеют лишь
нечетные гармоники, знак которых попеременно изменяется, а вели-
чина уменьшается обратно пропорционально частоте.
На фиг. 48, а изображено пилообразное колебание. Обозначим
через Vk коэффициенты производной ряда Фурье (фиг. 48, б). Про-
изводная имеет, очевидно, нулевое среднее значение, поэтому
равно нулю. Следовательно, спектр Vk вполне подобен спектру перио-
дической последовательности линейных импульсов, но в нем нет
импульса при нулевой частоте. Разделив на Jwk, находим коэффи-
циенты Vk пилообразного колебания. На фиг. 48, в начерчен спектр
плотности напряжения. В этом случае верхняя граница изменения
является слабой.
Рассмотрим теперь периодическую последовательность прямо-
угольных импульсов, изображенную на фиг. 49, а. Преобразование
одиночного прямоугольного импульса уже было рассмотрено. На ос-
новании соотношений (181) и (182) огибающая дискретного линей-
ного спектра равна спектру одиночного импульса, деленному на
усредняющий множитель Т. Количество и изменение за период уста-
навливают верхние границы АЬ/Т и 2Л/о)Т, показанные на фиг. 49, б.
В пределе при малом 8 и большом А (при постоянном произведе-
нии Л8) прямоугольные импульсы приближаются к линейным и оги-
бающая линейного спектра расширяется и приближается к спектру,
изображенному на фиг. 46, б.
На фиг. 50 приведена двухполупериодная выпрямленная сину-
соида. Для удобства сравнения с однополупериодной выпрямленной
18 Зак. 1115
ГЛАВА 6
синусоидой проведем исследование для „периода" Г, указанного на
фиг. 50, а. Это период обычной синусоиды, из которой получен
путем выпрямления сигнал v(t). После двойного дифференцирования
получается функция фиг. 50, в, состоящая из исходного сигнала
du/dt
Фиг. 48. Периодическое пилообразное колебание и его спектр.
' 2
Vqs=0, = —у Для #=/*0,
И.-О, Vb = =
к ' kn
(умноженного на отрицательное постоянное число) и периодической
последовательности линейных импульсов. Следовательно, можно
написать
— (е,а*™ + е->*г/4) = (ушА)2 Vk, (288)
откуда находим
V = (4Ло>|/7’)С08 (^^/4) _ (2Л/д) cos (fen/2) ' А =# ± 1, (289)
“1 — “й 1 — ’ *
(290)
Utt)
Ai г sin С<оь5/2) "1 A
^=^L"c^) r^s,nW
Фиг. 49. Периодическое прямоугольное колебание и его спектр.
фиг. 50. Двухполупериодная выпрямленная синусоида.
18*
276
ГЛАВА 6
„Основная" гармоника V1 и все другие нечетные гармоники,
очевидно, равны нулю, так как сигнал, изображенный на фиг. 50, а,
в действительности имеет период, равный половине взятого „пери-
ода" Т.
На фиг. 51 сопоставлены однополупериодная и двухполупериод-
ная выпрямленные синусоиды. Для изображенных амплитуд они
vh(t)
а
COS (Uf t
—t
Фиг. 51. Выпрямленные однополупериодная и двухполупериодная
синусоиды и их разность.
различаются только на чистую синусоиду. Следовательно, ряд Фурье
для двухполупериодного выпрямленного колебания равен
v (t) =-----р -х— cos 2о)^ — те- c°s Ч- cos 6(о/ — ... (291)
J 4 ' тг Зк 1 Хотт 1 35тс 1 v 7
Чтобы получить ряд для однополупериодного выпрямленного колеба-
ния, необходимо прибавить один синусоидальный член
vh (t) = (t) -|- A cos <о/. (292)
Выше было доказано (фиг. 49), что спектр одиночного импульса
(деленный на период Т) образует огибающую дискретного линейного
спектра периодической последовательности таких импульсов. В этом
проявляется общее свойство преобразований, которое можно по-
яснить при помощи фиг. 52. Периодически повторяющуюся экспо-
ненциальную функцию фиг. 52, д можно рассматривать в виде взаим-
ной корреляционной функции одиночного экспоненциального импульса
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
277
фиг. 52, а и периодической последовательности линейных импульсов
фиг. 52, в. Из выведенного ранее соотношения (204) сразу видно,
что спектр фиг. 52, е представляет собой произведение спектров
фиг. 52, биг. Вообще спектр всякого периодического сигнала,
состоящего из одинаковых сдвинутых импульсных сигналов,
равен произведению спектра импульсного сигнала и линейного
спектра периодической последовательности единичных импуль-
сов. Более того, это соотношение остается в силе и тогда, когда
отдельные импульсные сигналы накладываются друг на друга.
IW
6 -(XjZn 0 и/2л
—(л)/2Л
Фиг. 52. Периодически повторяющийся экспоненциальный импульс и его
спектр.
Именно вследствие наложения хвостов экспоненциальных сигналов,
изображенных на фиг. 52, д, амплитуда периодического колебания
равна 1/[1—ехр(—аТ)].
„Экспоненциальная пила", изображенная на фиг. 53, а, предста-
вляет собой сравнительно простое колебание, но определение его
коэффициентов Фурье путем прямого интегрирования по времени
очень утомительно. Здесь также можно сберечь много труда, диф-
ференцируя сигнал перед вычислением коэффициентов ряда Фурье.
Как показано на фиг. 53, а, экспоненциальная функция в каждом
полупериоде стремится к конечному значению А (или —А). Из рас-
смотрения фигуры находим
(Д + 1)г-вГ/2 = Л~- 1, (293)
так что , 1 ,
^г/2 = -. (294)
Л * 1
278
ГЛАВА 6
Хотя величины а, Г и Л не являются независимыми, нам будет
удобно использовать все три величины в формулировке задачи.
Из рассмотрения фиг. 53, б и а видно, что вторая производная
ф и п 53. Симметричный периодически повторяющийся экспоненциальный
импульс.
состоит из первой производной (умноженной на —а) и добавочных
линейных импульсов, образующих две периодические импульсные
последовательности. Следовательно,
2аД {е^ - 1) - = (/а>А)2 V„, (295)
а поскольку
е1шкТ12 = eikK = (—1/, (296)
то находим
Ук= 4—---------, б5=±1. ±3, +5................ (297)
“л —
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
279
При большом А и малом а сигнал приближается к треугольному
колебанию, а амплитуды гармоник уменьшаются обратно пропор-
ционально квадрату частоты. При большом а сигнал приближается
к нечетному прямоугольному колебанию и в знаменателе выраже-
ния (297) преобладающее значение получает ш в первой степени.
6.24> Некоторые случайные сигналы конечной
мощности и их спектры
Прямоугольное колебание со случайными пропусками, изображен-
ное на фиг. 54, а, представляет собой периодическую последова-
тельность прямоугольных импульсов, из которой импульсы выклю-
чаются случайно и независимо с вероятностью 1 — р. Другими
словами, каждый импульс имеет вероятность появления р. На фиг. 54, б
изображена автокорреляционная функция. Величина ср (0) равна сред-
нему значению квадрата сигнала. В среднем можно ожидать р им-
пульсов за период, и, поскольку каждый импульс имеет энергию Д28,
средняя мощность сигнала равна А2Ър/Т. При увеличении т от нуля
автокорреляционная функция уменьшается линейно, пока не будет
наложения сигнала и его сдвинутой копии. При сдвиге в один пе-
риод два импульса накладываются друг на друга. Произведение
импульсов не равно нулю только в том случае, если появляются оба
импульса. Так как процессы, вызывающие различные импульсы, по
предположению независимы, совпадение двух импульсов происходит
с вероятностью р2. Следовательно, корреляционная функция состоит
из повторяющихся треугольников меньшей величины. Для удобства
изучения автокорреляционную функцию можно разделить на две
части (фиг. 54, в и г): срг, связанную с чисто случайным процессом,
и срр, связанную с периодическим процессом. На фиг. 54, д и е изо-
бражены соответствующие спектры плотности мощности. „Периоди-
ческая средняя мощность" сигнала равна срр (0), а доля полной сред-
ней мощности функции <р(0), переносимая периодической составляю-
щей, равна р. Когда р стремится к единице, случайная составляющая
стремится к нулю. При малых значениях р сигнал становится чисто
случайным.
Очень важен частный случай, когда импульсы, изображенные на
фиг. 54, а, очень короткие и примыкают друг к другу. Обозначим
Д8 = а, (298)
f = T. (299)
8 = Т. (300)
280
ГЛАВА 6
Мощность постоянной составляющей, выраженная через новые
параметры а и у, равна
(ф-)2/,2 = (ат)2- <зо1)
Теперь будем уменьшать период Т при постоянных а и у,
так что
Т->0, (302)
8->0, (303)
р->0, (304)
а спектр плотности мощности случайной составляющей становится
равномерным и стремится к величине
— Р)р]->л2Т- (305)
В пределе сигнал принимает форму, изображенную на фиг. 55, а.
Линейные импульсы распределены случайно и независимо по вре-
менному континууму, и сигнал имеет только два параметра: площадь
линейного импульса а и среднюю плотность импульсов у. Такой
сигнал называется распределением линейных импульсов по закону
Пуассона. Иногда его называют „дробовым шумом" по аналогии
с потоком электронов в проводниках.
Взаимная корреляционная функция пуассоновского распределения
линейных импульсов и импульсного сигнала, подобного изображен-
ному на фиг. 55, в, представляет стационарный процесс и образует
случайное колебание (фиг. 55, д), у которого спектр плотности
мощности равен произведению спектров фиг. 55, б и г. Допустимость
вычисления спектра фиг. 55, е в виде простого произведения спек-
тров фиг. 55, б и г вытекает непосредственно из выведенных ранее
соотношений (140) и (204). Соотношение (140) позволяет нам вычи-
слять автокорреляционную функцию сигнала v(t), изображенного
на фиг. 55, д, как взаимную корреляционную функцию функций
срп и ф12. Тогда из тождества преобразований (204) явствует, что
спектр Ф равен произведению спектров Фп и Ф22.
При уменьшении параметра а, указанного на фиг. 55, а, флук-
туации сигнала фиг. 55, д уменьшаются. Из спектра плотности
мощности фиг. 55, е видно, что отношение мощности переменной
составляющей к мощности постоянной составляющей равно а/2*[, но
это не дает информации о распределении величин сигнала. Для
упрощения исследования заменим экспоненциальный импульс, изо-
браженный на фиг. 55, в, прямоугольным импульсом. Мгновенное
значение сигнала v(t), изображенного на фиг. 55, д, определяется
числом импульсов фиг. 55, а, попадающих в интервал, равный длине
импульсного сигнала фиг. 55, в. Для импульса непрямоугольной
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
281
формы это утверждение не вполне определенно, но смысл его
остается тот же самый. Следовательно, чтобы узнать распределение
величин сигнала, нужно знать относительные вероятности некоторого
числа импульсов с распределением по Пуассону в заданном интервале
времени. Для этого необходимо следующее отступление.
i>(t)
Вероятность
' потери »/-р
А
а
<fp(V ^г8/Т)рг
т
г
ФР(и>)
(Аб/Т)*рг
rfL jivrrr "/2л
I I I/S 2/8
в 1/Т-] р
Фиг. 54. Прямоугольное колебание со случайными пропусками и его
случайная и периодическая составляющие.
Пусть для пуассоновского* (случайного и независимого) распреде-
ления точек на временной оси
рп(Г) — вероятность п точек в интервале tt (306)
а
7 — средняя плотность точек. (307)
282
ГЛАВА 6
Весьма вероятно, что в данном бесконечно малом интервале
dt не будет ни одной точки, а вероятность появления одной точки
очень мала. Вероятности появления двух или большего числа точек
представляют бесконечно малые высшего порядка. Таким образом,
в первом приближении
p^dt^ — ^dt, (308)
pQ(dt) — 1 — ^dt. (309)
Следовательно, в интервале tdt нам нужно рассматривать
только две возможности. Либо имеется п точек в интервале t
Плотность « улинейных
импульсов/сек
Фиг. 55. Представление случайной последовательности перекрывающихся
импульсов (д) в виде взаимной корреляционной функции случайной после-
довательности линейных импульсов (а) и одиночного импульса (а).
и ни одной точки в dtt либо п — 1 точек в интервале t и одна
(зю)
Подставляя выражения (308) и (309) в выражение (310), деля обе
части на dt и приводя подобные члены, получим
Pn = Т [/>„-! (О - Ра (01- (311)
Левая часть дает определение производной
-^• = ПРя-1Ю-рв(01- (312)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
283
При п, равном нулю, имеем -^=-ТРо(0 (313)
(член с р_г выпадает, точек равна нулю). В потому что вероятность отрицательного числа уравнении (313) разделяем переменные <з14>
и интегрируем logp0(O = -Tft (315)
откуда видно, что pQ есть экспоненциальная функция /,0(О = е~г'. (316)
При п, равном нулю, Ря(0= (317)
в чем можно убедиться, подставив это выражение в (312). На
фиг. 56 представлены нормированные вероятности событий при рас-
пределении Пуассона. Заметим, что среднее число событий в интер-
вале равно также наиболее вероятному числу, что не должно удивлять.
Фиг. 56. Вероятности событий при распределении по Пуассону рп (х) =
= (хп — e~x)/nl
На фиг. 57 представлены вероятности появления х точек в данном
интервале в зависимости от п. Если в заданном интервале среднее
или ожидаемое число точек велико, то распределение вероятностей
приближается к нормальному (гауссову)
при больших (318)
и в пределе становится нормальной функцией плотности вероятности.
284
ГЛАВА 6
Вернемся теперь к фиг. 55. Если эффективная длина импульса
фиг. 55, в охватывает в среднем большое число линейных импульсов
фиг, 55, а, то сигнал v(f), изображенный на фиг. 55, д, должен иметь
нормальное распределение величин около некоторого ненулевого
среднего значения
1 2v2
^ = 7=^
V 2™пер
(319)
Множитель перед показательной функцией выбран так, чтобы
общая площадь, ограниченная кривой плотности вероятности P(v),
Фиг. 57. Распределение Пуассона Рп (х) в зависимости от х и нормаль-
ное (гауссово) распределение, к которому оно стремится при большом х.
Для этого графика х = 10.
была равна единице, но величины v и т>2 еще не определены.
Можно найти эти величины из спектра плотности мощности Ф(ш).
Из фиг. 55, е находим
(v)2 (мощность постоянной составляющей) = (а-[)2, (320)
^пер (мощность переменной составляющей) = Ар (321)
и
V2 а
= _. (322)
(V)2 27
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
285
В заключение целесообразно сопоставить три сигнала, изобра-
женных на фиг. 58, из которых видны некоторые сходства и разли-
чия между периодическими и стационарными случайными процессами.
Прямоугольное колебание со случайными изменениями полярности
У/(О
«г
а
Фиг. 58. Сопоставление трех прямоугольных колебаний.
а —колебание со случайным изменением полярности, плотность вероятности пересечений ну-
левого уровня равна 1; в —случайное колебание, меняющее полярность при целых значениях/
с вероятностью */2» плотность вероятности пересечений нулевого уровня равна */2; д — перио-
дическое колебание с периодом 2, плотность вероятности пересечений нулевого уровня
равна 1; б, г, г —автокорреляционные функции.
(фиг. 58, а) имеет пуассоновское распределение пересечений нулевого
уровня. Вычислим его автокорреляционную функцию (фиг. 58, б)
?п (т) = <®1 (О vi — *)) = (0 vi — О- (323)
Величины и (t — т) будут одинакового знака, если интер-
вал т содержит четное число пересечений нулевого уровня, и про-
тивоположного знака при нечетном числе пересечений нулевого уровня
в этом интервале. Следовательно,
(0 v, (t — т) = 2 Рп W — 2 W = 2 (— 1)" Рп СО. (324)
яч янч п
286
ГЛАВА 6
где вероятность распределения Пуассона рп (т) равна
Рп W =
(р)п е~1х
/г!
(325)
Этот степенной ряд представляет разложение показательной функции
= (326>
п и = 0
откуда непосредственно вытекает, что
?1(г) = е-2’,х|. (327)
В это выражение входит абсолютное значение т, потому что
в уравнении (325) т положительно и автокорреляционная функция,
как известно, четная.
Колебание, изображенное на фиг. 58, в, также меняет полярность
случайно, но лишь через единичные интервалы времени t. Его можно
назвать прямоугольным колебанием, вызванным бросанием монеты.
Прямоугольное колебание со случайными пропусками, изображенное
на фиг. 54, а, приводится к прямоугольному колебанию, вызванному
бросанием монет, если положить
8 = 7’= 1, (328)
А = 2 (329)
и
р=^ (330)
и затем вычесть среднее значение, равное единице. На фиг. 58, г
показана соответствующая автокорреляционная функция этого коле-
бания. Периодическое прямоугольное колебание фиг. 58, д имеет
периодическую треугольную автокорреляционную функцию, изобра-
женную на фиг. 58, е.
На фиг. 59 изображены спектры плотности мощности этих трех
сигналов. Для удобства сравнения крайних участков спектров орди-
наты отложены не в линейном масштабе, а пропорционально квад-
ратным корням из соответствующих чисел. Рассмотрим теперь сход-
ство и различие спектров. Периодическое прямоугольное колебание
имеет дискретный спектр, и мощность его сосредоточена на опреде-
ленных частотах. Спектр прямоугольного колебания, вызванного бро-
санием монеты, не сосредоточен на определенных частотах, но все же
имеет много общего со спектром периодического прямоугольного коле-
бания. Он является распределенным, а не дискретным, но мощность его
сосредоточивается около гармоник прямоугольного колебания. Коле-
бание со случайной переменой полярности имеет меньше ограниче-
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
287
ний, чем колебание, связанное с бросанием монеты. Возможные
положения перемены полярности распределены, а не квантованы.
Вследствие этой „добавочной случайности" спектр размазывается или
рассеивается еще больше и не обнаруживает никакой периодичности.
Все три спектра убывают на высоких частотах пропорционально
квадрату о>, так как все три сигнала прерывные. Мощность в за-
данном интервале высоких частот (скажем, в интервале значений
Фиг. 59. Спектры мощности для трех прямоугольных колебаний.
— — — фц; — — —Фа?; J * !—!—Фзз«
между 3 и 4 на фиг. 59) 'связана со средней плотностью пересече-
ний нулевого уровня. Колебание со случайной переменой поляр-
ности и периодическое колебание имеют примерно одинаковую ве-
личину мощности в этом частотном интервале, а колебание, вызванное
бросанием монеты, с вдвое меньшим числом перемен полярности
в секунду, чем два других колебания, имеет примерно вдвое мень-
шую мощность в том же интервале. Ни то, ни другое случайное
колебание не имеет постоянной составляющей (которая проявилась бы
в виде линейного импульса на нулевой, частоте в спектре мощ-
ности), но оба колебания имеют большую плотность мощности на
частотах, близких к нулю. На основании статистических свойств
процесса следует ожидать появления длинных интервалов между
пересечениями нулевого уровня, а это указывает на большую плот-
ность мощности на очень низких частотах.
288
ГЛАВА 6
ФСО — \
Таким образом, случайность приводит к размазыванию картины
во временном и частотном представлении, и чем больше случайность
(чем меньше ограничений на изменения сигнала), тем больше разма-
зывание. Это понятие случайности, хотя и качественное, устана-
вливает связь между различными типами сигналов.
6.25. Несколько слов о случайных
импульсных сигналах
До сих пор нс рассматривались спектры импульсных сигналов,
вызванных случайными процессами. Рассмотрим сначала простой
пример в виде машины, управляемой бросанием монеты; машина дей-
ствует один раз и затем останавливается навсегда. Если монета
выпадает гербом, машина производит выходной сигнал в виде пря-
моугольного импульса, занимающего интервал времени между 0 и 1,
с амплитудой, равной 4-1. Если монета выпадает решкой, импульс
будет такой же самый, но отрицательный. „Ожидаемый" сигнал ра-
вен среднему из этих двух сигналов. Следовательно, ожидаемый
сигнал равен нулю. Но ожидаемая энергия импульса равна единице.
Определение автокорреляционной функции для импульсного сигнала
можно представить в обобщенном виде
v (0 v (t — x)dt = J v (0 v (t — x)dt,
где черта указывает (как обычно) взвешенное по вероятностям сред-
нее значение из множества различных возможных сигналов. Иными
словами, если рассматривается средняя корреляционная функция, то
соответствующий спектр Ф (со) изображает среднее по множеству
частотное распределение энергии сигнала.
Однако может потребоваться описание спектра энергии по мно-
жеству, в котором сохранялась бы некоторая информация о поло-
жении сигнала на абсолютной шкале времени (как, например, для
радиолокационного отраженного сигнала, время прихода которого
является мерой расстояния до цели). Можно определить усеченный
сигнал *ио(О. удовлетворяющий соотношениям vQ(t) = v (t) при t <
и c/o(^) = O при t > f0. Тогда автокорреляционная функция ф0(т, £0)
и спектр плотности энергии Ф0(о>, /0) „возрастают" при увеличении
параметра в интервале времени, в котором локализован сигнал.
Спектр плотности энергии, изменяющийся во времени, иногда явля-
ется полезным понятием, но при этом соответствующему физическому
опыту нужно дать надлежащее истолкование.
6.26. Взаимная корреляция спектров
Выше было показано, что спектр взаимной корреляционной функ-
ции двух сигналов равен произведению спектров сигналов. Можно
также получить обратное соотношение. Если сигнал представить
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
289
в виде произведения двух более простых сигналов, го спектр сиг-
нала можно найти как взаимную корреляционную функцию двух бо-
лее простых спектров. Сущность метода поясняется на фиг. 60.
Синусоида конечной длительности фиг. 60, г представляет собой про-
изведение синусоиды фиг. 60, а и прямоугольного импульса фиг. 60, а.
Поэтому спектр фиг. 60, а можно получить, поместив копию спектра
импульса фиг. 60, з на каждой частоте, содержащейся в спектре си-
нусоиды фиг. 60, а. Подобно этому спектр фиг. 60, к представляет
Фиг. 60. Корреляция спектров.
собой корреляцию или свертку спектров фиг. 60, ж и з. В данном
примере корреляция и свертка равнозначны, так как сигналы дей-
ствительные и четные.
На фиг. 60, и и к пунктирные кривые изображают границы
спектра, определяемые количеством и изменением сигнала. Верхняя
граница фиг. 60, и довольно слабая при больших частотах (в девять
раз больше пульсаций спектра). Любопытно сопоставить эту слабую
верхнюю границу с тем, что прерывные края сигнала дают лишь
!/9 общего изменения сигнала. Напротив, в спектре фиг. 60, к гра-
ница проходит близко к спектру, но в начальной точке она слишком
высока. Однако сумма сигналов фиг. 60, в и д имеет такое же
19 Зак. 1115.
290
ГЛАВА 6
количество, как сигнал фиг. 60, д, и лишь немного большее изме-
нение. Сумма спектров фиг. 60, з и к должна коснуться верхней
грани на нулевой частоте.
При увеличении длины отрезка синусоиды фиг 60,а ширина
каждого из двух главных лепестков спектра уменьшается. Чем длин-
нее сигнал, тем уже интервал частот, охватываемый каждым его
спектральным лепестком. У сигнала произвольной, но конечной дайны
заметная доля энергии распределена в полосе частот, не равной
нулю. Это налагает основное ограничение на „разрешающую спо-
собность" анализатора спектра и показывает также, что частота
периодического процесса может быть найдена с большой точностью,
если проявить достаточное терпение.
6.27. Теорема о дискретных выборках
Из спектральной свертки и умножения сигналов получается тео-
рема о дискретных выборках. Пусть сигнал, изображенный на
фиг. 61, а, имеет спектр фиг. 61, б, содержащий ничтожную энергию
Фиг. 61. Спектр выборочного дискретного сигнала.
вне области низких частот /0. Большинство реальных сигналов отно-
сится к такому виду, при этом величина /0 для заданного сигнала
зависит от того, что подразумевается под „ничтожной энергией".
Предположим теперь, что сигнал умножается на периодическую по-
следовательность линейных импульсов (фиг. 61, в). Произведение vs,
изображенное на фиг. 61, д, называется выборочным дискретным
сигналом, полученным из сигнала v путем дискретной выборки
этого сигнала. Период Т обычно называют интервалом выборки, а
h = 7 (332)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
291
называется частотой выборки. Из рассмотрения спектра фиг. 61, е
видно, что промежуток между сдвинутыми копиями спектра исход-
ного сигнала равен
Промежуток = fs — 2 fQ. (333)
Если такой промежуток существует, т. е. если отдельные спек-
тральные импульсы не накладываются друг на друга, то спектр
фиг. 61,£ содержит не меньше информации об исходном сигнале, чем
исходный спектр фиг. 61, tf.
Другими словами, исходный сигнал фиг. 61, а можно восстано-
вить по выборочному дискретному сигналу фиг. 61, д, например путем
пропускания выборочного сигнала через фильтр, который отбрасы-
вает составляющие с частотой выше /0 и пропускает составляющие
с частотой ниже /0 без искажения низкочастотного спектра. Если
промежуток отрицателен, спектральные импульсы, изображенные на
фиг. 61, е, накладываются друг на друга и средний импульс иска-
жается смежными импульсами. Вообще искажение означает некоторую
потерю информации об исходном сигнале, хотя в некоторых част-
ных случаях можно отделить искажение от спектра исходного сиг-
нала при помощи специальных устройств. В общем случае исходный
сигнал нельзя восстановить, если промежуток отрицателен, по край-
ней мере путем обычной фильтрации. Отсюда вытекает требование,
что частота выборки должна быть по крайней мере в два раза
больше наивысшей частоты, содержащейся в сигнале
Л>2/0. (334)
Иначе говоря, чтобы сигнал можно было восстановить обычными
средствами, его нужно выбирать по меньшей мере дважды в тече-
ние каждого периода его наивысшей частотной составляющей.
Теорема о дискретных выборках имеет очень большое значение
при анализе сигналов, ибо она позволяет заменять непрерывный сиг-
нал с ограниченной полосой частот дискретной последовательностью
выборок без ущерба для общности выводов. Совокупность дискрет-
ных чисел часто гораздо удобнее рассматривать, чем непрерывную
функцию. Теорема о дискретных выборках будет рассмотрена также
при анализе модуляции в гл. 8.
6.28. Дополнительные замечания
о сочетаниях сигналов
При сложении двух сигналов спектр их суммы равен сумме их
спектров, потому что преобразование сигнала в его спектр есть ли-
нейная операция. Кроме того, если два сигнала „некоррелированы
полностью", т. е. ортогональны при любом временном сдвиге одного
сигнала относительно другого, то автокорреляционная функция их
19*
292
ГЛАВА 6
суммы равна сумме их автокорреляционных функций. Чтобы убе-
диться в этом, положим
(О = ^(0 + ^(0. (335)
а из определения автокорреляционной функции непосредственно выте-
кает, что
Тсс = Таа + Tab + Tba + Tbb- (336)
При допущении, что va и vb полностью некоррелированы, взаимные
корреляционные функции должны быть равны нулю, так что
ЪС = <?аа + ЧьЬ- (337)
Поскольку преобразованием автокорреляционной функции является
спектр плотности мощности, спектр мощности суммы двух некор-
релированных сигналов равен сумме их спектров мощности.
Распределение величины сигнала в данный момент времени t опи-
сывается плотностью вероятности P(v). Если сигналы <оа и неза-
висимы (до статистических параметров первого порядка), т. е. если
Рь(у) не зависит от значения va и наоборот, то функция плотности
вероятности суммы двух сигналов равна свертке их функций плот-
ностей вероятности. Для объяснения этого положения допустим
сперва, что va — прямоугольное колебание, которое, следовательно,
принимает то или другое из двух дискретных значений хг и х2
с вероятностями ра(х}) и ра(х2). Следовательно, ис может прини-
мать значение v только тогда, когда va = x^ и vb — v— х1 или
va — x2 и vb~-=v — х2. Другими словами,
Рс &) = Ра (*1) РЬ (® — Х1) + Ра (х2) РЬ (® ~ Х2>- (338)
Если va имеет больше двух возможных дискретных значений, то
выражение (338) принимает обобщенную форму
Рс (®) = 5 Ра (xk) рь (® — xk)- (339)
От этой суммы (339) легко перейти к интегралу
оо
Рс (v) = J Ра (х) Pb (v — х) dx. (340)
— ОО
Этот интеграл применяется в том случае, когда va и vb имеют непре-
рывные, а не дискретные распределения величин. Таким образом,
Рс можно представить в виде свертки распределений Ра и Рь
Рс = Рп®рь- (341)
Выше было показано, что корреляционная функция (которая для
действительных четных функций совпадает со сверткой) двух гаус-
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
293
совых импульсов является другим гауссовым импульсом. Имея в виду
соотношение (341), можно получить следующее соотношение: сумма
двух независимых сигналов с нормальным (гауссовым) распре-
делением величин сама представляет сигнал с нормальным
распределением величин.
Соотношение (341) приводит к мысли, что преобразование Фурье
функции P(v) является удобным описанием распределения амплитуд,
так как преобразование свертки двух функций равно произведению
их преобразований. Преобразование функции плотности вероятности
называется характеристической функцией сигнала
оо
Q (w) = J Р (v) e~lwv dv, (342)
— ОО
Следовательно,
P(^)<->Q(W) (343)
и
Qc = QaQb- (344)
Поскольку интеграл от P(v) равен единице,
Q(0)= 1, (345)
и поскольку P(v) всегда неотрицательно, то из определения (342)
следует, что
|Q(w)|<Q(0). (346)
Рассмотрим теперь сумму п независимых сигналов, имеющих одну
и ту же характеристическую функцию Q(w). Характеристическая
функция их суммы
(347)
Допустим для простоты, что функция Q(w) действительная и четная.
Логарифм функции Q можно разложить в степенной ряд
lgQ(w) = a0 + a2w2-]-a4w4-i- .... (348)
Постоянный член а0 равен нулю вследствие уравнения (345), а члены
нечетных степеней отсутствуют, так как функция по предположению
четная. Следующий коэффициент а2 должен быть отрицательным,
так как
<349>
-оо
При w, меньшем некоторого значения члены высших порядков
малы и остается
lg Q(W) яз — у ( при |w| < Wp (350)
294
ГЛАВА б
где а2 принято равным — Далее,
igQn (w) = п Q(w) ~ — 4 У ПРИ lwl < wp (351)
где
% = <352)
Следовательно,
1 / w V
Qn(w)tte 2\n) при |w|<wP (353)
На фиг. 62 приведен частный пример. Всякая кривая, параболи-
ческая (и выпуклая вверх) около своего максимума, становится гаус-
совой, если она имеет достаточно высокую степень. Если функция QH
Фиг. 62. Нормальное распределение, получаемое при возведении кривой
Q (w) в высокую степень.
Предполагается, что кривая Q (w) имеет непрерывную отрицательную вторую производную
около начала координат. Wi=0,3a, л-=100.
является гауссовой, то ее преобразование Рп представляет собой
также гауссову функцию.
Приведенный ход рассуждений применим и в том случае, когда п
независимых сигналов не имеют одинаковых характеристических
функций, если каждая кривая Q имеет широкий максимум по срав-
нению с гауссовой кривой, выражающей приближенно произведение
функций (фиг. 62). Отсюда приходим к замечательному выводу
(к другому выражению центральной предельной теоремы теории ве-
роятностей): сумма большого числа независимых сигналов пред-
ставляет собой сигнал с нормальным (гауссовым) распределе-
нием амплитуд при условии, что каждый из составляющих
сигналов „мали по сравнению с их суммой, т. е. если характе-
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
295
ристическая функция каждого составляющего сигнала имеет широкий
максимум сравнительно с характеристической функцией их суммы.
Указанное положение дает объяснение тому, что многие сигналы
естественного происхождения имеют нормальное распределение ампли-
туд. Например, случайные независимые движения электронов в сопротив-
лении создают напряжение
на концах сопротивления,
которое можно представить
в виде суммы большого числа
очень малых независимых
сигналов напряжения. Это
согласуется с тем, что, как
установлено эксперимен-
тально, напряжение „тепло-
вого шума" на концах сопро-
тивления имеет нормальное
распределение амплитуд.
Из формулы (340) сле-
дует, что при vc, равном v,
и при va, равном х, vb
должно равняться v—х.
Предположим теперь, что vc
равно произведению va и vb
vc(t) = va(f)vb(f). (354)
Если vc имеет значение v,
a va имеет значение х, то *иь
должно равняться v/x. Можно
P(i>)
Фиг. 63. Функция плотности вероятно-
сти (а); соответствующая функция распре-
деления (tf).
показать, что вместо соотношения (340)
в этом случае получается
оо
(355)
При этом, конечно, предполагается, что сигналы va и vb независимы.
На этом закончим рассмотрение сумм и произведений сигналов.
Обратимся теперь к задаче о сигнале vb, мгновенное значение которого
является нелинейной функцией соответствующего мгновенного значе-
ния некоторого другого сигнала va, т. е.
(356)
Задача состоит в отыскании распределения амплитуд vb при данном
распределении амплитуд va. Функцию плотности вероятности P(v)
иногда называют в широком смысле „распределением" сигнала. Однако
296
ГЛАВА 6
это название нужно сохранить для другой функции
D (г^) == J Р (у) dv = p (у <
(357)
которая называется функцией распределения сигнала. Функция
распределения равна вероятности того, что сигнал v меньше
данной величины vv На фиг. 63 показана геометрическая интерпре-
тация функции распределения. Предположим теперь, что нелинейная
Ра(о)
°|
Фиг. 64. Распределение функции f (и).
Db — общая заштрихованная площадь.
однозначная функция (356) изображается кривой, приведенной на
фиг. 64, а. Вероятность того, что сигнал vb меньше равна общей
заштрихованной площади на фиг. 64, б или интегралу от Ра (у),
взятому только по тем областям сигнала v, в которых пре-
вышает f *
Db(vx) = J Pa(v)dv.
f(v) < Vi
Если функция f(y) монотонная (неубывающая или невозрастающая
функция от v), то соотношение (358) приводится к простому виду
ИЛИ/>[т1£Ш_|
при f (у) неубывающей,
при f (у) невозрастающей
при f (у) неубывающей,
при f (у) невозрастающей.
(359)
(360)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
297
ЗАДАЧИ
6.1. Сигнал Vj (/) = cos + cos ..содержит" частоты wj и w2. Какие
частоты содержатся в сигнале v2 (/) = [vj (Z)]2?
6.2. а. Показать, что общая площадь, ограниченная сигналом, изобра-
женным на фиг. 2, д, и осью времени, равна л.
б. Показать, что для сигнала, изображенного на фиг. 2, е, общая площадь
равна ка.
6.3. Вычислить интеграл сигнала и интеграл квадрата сигнала для сле-
дующих случаев:
a) v(O = «o(O:
( 0 при t < О,
при / > 0;
в) v (/), изображенного на фиг. 65;
О v(0 = Tp--
6.4. Чему равен период сигнала v (/) = cos (w0//4) + sin (о>0//5)?
6.5. Найти среднее значение и среднеквадратичное значение (квадрат-
ный корень из среднего квадрата) сигнала, изображенного на фиг. 66.
6.6. Найти среднюю мощность сигнала v (t) = A cos (100) t + В sin X
Х(100-{-~)Л Найти также минимальную и максимальную мгновенную мощ-
ность. Построить кривую изменения мгновенной мощности [v (/)]2. Является
ли v(t) периодическим?
6.7. а. Перечислить в таблице из 64 строк и 6 столбцов совокупность
возможных последовательностей гербов и решек, которые могут появиться
в опыте, состоящем из шести последовательных независимых бросаний
идеальной монеты. Обозначить гербы через 1 и решки через 0.
б. Будут ли все последовательности равновероятны и почему?
в. Пусть число гербов в последовательности равно х. Перечислить зна-
чения х в седьмом столбце. _
г. Чему равно среднее по множеству х?
д. Начертить вероятность р (х) величины х (относительную частоту
появления данного значения х во множестве) в зависимости от х.
е Перечислить значения (х — х)2 в восьмом столбце и найти средний
квадрат отклонения (х — х)2 и среднеквадратичное отклонение [(* — лс)2]1^.
ж. Показать, что средний квадрат отклонения а2 равен
б _
о2 = 2 (* — *)2/>(*)•
лг = О
298
ГЛАВА 6
з. Сравнить среднеквадратичное отклонение а, найденное в п. „е“, с тео-
ретическим а = У п/2 при п = 6. Проверить формулу также для п = 4,-3,2 и 1.
6.8. Случайный сигнал v (i) образуется бросанием двух игральных
костей, одной красной и одной белой, через каждую миллисекунду. Вели-
чина v (/) (в в) в момент t определяется числом красных очков минус число
белых очков.
а. Какова плотность вероятности случайной величины v? Зависит ли она
от времени /?
б. Чему равно среднее по множеству v и средний квадрат по множеству v2?
Совпадают ли эти величины с вашими предположениями?
в. Является ли случайный процесс стационарным? В каком смысле?
6.9. Привести пример (отличающийся от приведенных в тексте):
а) импульсного сигнала;
б) периодического сигнала;
в) почти периодического сигнала;
г) случайного сигнала;
д) сигнала, вызванного стационарным (или квазистационарным) случай-
ным процессом;
е) сигнала, не принадлежащего ни одной из этих категорий.
6.10. а. Найти среднее, средний квадрат и квадрат среднего для кривой
тока, изображенной на фиг. 67.
б. В сопротивлении R имеется ток i (t). Вычислить полную среднюю
мощность, мощность постоянного тока и мощность переменного тока, рас-
сеиваемые в сопротивлении.
6.11. Найти и начертить четную и нечетную части сигнала, изображен-
ного на фиг. 68. Показать также, что интеграл сигнала (за бесконечное
время) равен интегралу четной части. Проверить прямым вычислением, что
энергия сигнала равна сумме энергий четной и нечетной частей.
6.12. Показать, что энергия всякого импульсного сигнала равна сумме
энергий четной и нечетной частей.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
299
6.18. Найти четную и нечетную части сигнала v (/) = cos (о>/ -f- 0) и
убедиться в их ортогональности.
6.14. Положим
V (t) = vr COS (at — Vi sin (att
i (t) = Ir COS (at — Il sin (at,
VI'^P + jQ,
p(t) = v(t)i(t),
где j = 14—j. Начертить примерный график мгновенной мощности p(t) и
указать на этом графике четыре существенные величины: Р, V Р2 + Q2,
к/a) и (!/<*>) arctg (Vi/Vr).
6.15. Выходное напряжение генератора сигнала представляет прямоуголь-
ный импульс длительностью Г, начинающийся в нулевой момент. Амплитуда
импульса заранее неизвестна, но параметры генератора-сигнала указывают,
что амплитуда сигнала может иметь любое значение между — V и + V
с равной вероятностью.
а. Начертить функцию плотности вероятности P(v, t) для этого случай-
ного сигнала, рассматривая t как параметр. ______
б. Вычислить средний по множеству сигнал v (t).
в. Вычислить среднюю мощность по множеству (v (О]2 и показать, что
в любой данный момент t она равна сумме мощности среднего [v (О]2 и
мощности .отклонения* [v (/) — v(0]2-
г. Вычислить среднюю энергию.
6.16. Идеальную монету бросают на барабан, и она выпадает гербом
или решкой с равной вероятностью. Затем по барабану ударяют молотком;
монета подскакивает высоко в воздух и опять падает на барабан.
а. Найти функцию плотности вероятности случайной переменной t, равной
числу решек в трех независимых бросаниях идеальной монеты (первоначаль-
ное бросание и два подскакивания на барабане).
б. Найти то же для случая, когда барабан ударяют слегка, так что
вероятность того, что за гербом последует герб (или за решкой — решка)
больше J/2.
6.17. Идеальная монета лежит на барабане. По барабану ударяют
периодически через интервалы в I сек. Вероятность того, что монета пере-
вернется другой стороной после удара, есть р = 7з- Пусть х (t) — случайная
переменная величина, принимающая значение 1, когда монета выпадает
гербом, и значение 0, когда монета выпадает решкой.
а. Найти вероятность р^ того, что монета выпадает одной и той же
стороной в два момента времени, разделенные промежутком k сек, где
k — целое число. У Казани е: если не удастся найти общее решение, можно
ограничиться рассмотрением четырех значений £ = О, 1, 2, оо, которые ука-
жут характер функции pk.
б. По результатам п. .а* описать функцию плотности вероятности вто-
рого порядка P[x(t), х (t + Л)], где k — целое число. Поскольку функция Р
не зависит от t (при целых значениях k), ее можно написать как Р (х, у; k),
где х и у обозначают x(t) и х (t + k). Изобразить функцию в виде поверх-
ности с высотой Р, построенной над плоскостью ху. Написать уравнение
этой поверхности для k = О, 1 и 2.
6.18. Двор окружен двумя концентрическими заборами, имеющими по
одной калитке. Калитки открываются и закрываются случайно и независимо
300
ГЛАВА 6
с вероятностями их открытого состояния р и q. Найти вероятность побега
из двора в заданный интервал времени. (Побег состоит в мгновенном стре-
мительном броске через обе калитки.)
6.19. Забор имеет две калитки, которые открываются и закрываются
случайно и независимо. Вероятности того, что они открыты, равны р и q.
Найти вероятность того, что в данный момент удастся войти во двор, окру-
женный забором.
6.20. Векторы u, v и w лежат в плоскости ху, причем все они имеют
разные направления. Представим приближенно v в виде векторной суммы
составляющих, имеющих направления и и w. Положим
v = cuu + cww + e,
где скаляры си и cw выбраны так, чтобы абсолютная величина | е | вектора
ошибки £ была минимальна; и и w неортОгональны.
а. Положить cw равным нулю и подобрать си так, чтобы получить мини-
мум | е |. При этом значении си опять найти cWt так чтобы получить новый
(меньший) минимум | £ |. Показать на чертеже в плоскости ху последова-
тельность приближенных представлений и, получающихся при последователь-
ных определениях си и cw.
б. Повторить это для частного случая, когда и и w ортогональны, т. е.
uw = 0. В чем преимущество применения ортогональных составляющих?
6.21. Даны два вектора: Vj и и2. Рассмотреть три уравнения:
^|V1_CV2|2 = 0,
с_ ^2
I «2|2 ’
|v, |2== |cv2|2+| Vj — cv2|2,
где | x |2 означает xx. Показать, что из каждого уравнения получаются два
других.
6.22. Дан действительный импульсный сигнал v(t). Пусть x(t) и у (t)—
два ортогональных импульсных сигнала J* х (/) у (t) = 0.
а. Найти коэффициент аь при котором получается минимум интеграла
J [V(O-«!X(O]2.
б. Определить, при каких а2 и Ь2 получается минимум интеграла
J* (0 — а2х (0 — b2y (Z)]2 dt. Решить полученное уравнение относительно а2.
Будет ли а{ = а2?
в. Пусть и (t) и w (/) — два действительных импульсных неортогональ-
ных сигнала. Найти коэффициент сь при котором получается минимум инте-
грала J* [и (/) — схи (f)]2 dt.
г. Определить, при каких с2 и d2 получается минимум интеграла
J [V (0 — с2« (0 — d2w (О]2.
Решить полученное уравнение относительно с2. Будет ли Ci = с2?
д. В чем преимущество представления данного сигнала ортогональными
составляющими сигналами?
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
301
е. Показать, что минимальное значение интеграла в п. „6“ равно
J v2 (t)dt
[J v(t) x(t)dtj
J x2 (t)dt
f y2(t) dt
и что при добавлении ортогональной функции z (t) к множеству функций х,
у, ... относительный интегральный квадрат ошибки приближения умень-
шается на величину
v (/) z (0 dt
z2 (0 dtj
6.23. Пусть имеются два комплексных сигнала: Vi (i) и v2 (t). Показать,
что значение с12, при котором получается минимум среднего значения ква-
драта выражения |vj (/) — Ci2v2 (Q|,
равно
12 ~ < I V2 |2> •
Показать, что сигналы [vi (/) —
— C12V2(/)] И С12^(0 будут при
этом ортогональны.
6.24. Пусть V] (/) = sin t
-J- cos 2/ и v2 = Найти ко-
эффициент корреляции С12 как
функцию параметра о>. Найти так-
же коэффициент корреляции с21
ции С12.
6.25. Найти отношение витков п идеального трансформатора, изобра-
женного на фиг. 69, при котором в сопротивлении рассеивается минимальная
средняя мощность. Сигналы v(t) и f (/) действительные и имеют такую
форму, что средние значения вели-
S(t) чин (vf) и (f2) имеют смысл.
6.26. Радиолокационная уста-
трансформагпор
Фиг. 69.
и эффективный коэффициент корреля-
10
новка определяет дальность цели
путем измерения запаздывания си-
__________ f гнала 5 (О ПРИ распространении си-
/Д гнала до цели и обратно. Излучае-
мый сигнал изображен на фиг. 70.
Фиг. 70. При передаче к нему неизбежно
добавляется шум v (/). Примем про-
стую модель шума, а именно: пусть v (0 равно числу красных очков минус
число белых очков, выпадающих при бросании красной и белой игральных
костей через каждую миллисекунду. Отраженный сигнал г(/), принимаемый
радиолокатором, представляется выражением $ (/) -|- v (/), и на фиг. 71
показана записанная выборка сигнала. Запаздывание имеет величину между 0
и 10 мсек.
а. Можно ли определить из рассмотрения принимаемого колебания г (/)
запаздывание при распространении? Равно ли оно целому числу миллисекунд?
[j* v(t)y(t)dtj
О
302
ГЛАВА 6 .
б. Для оценки запаздывания можно вычислить взаимную корреляцион-
ную функцию
М) = / r(t)
для всех рассматриваемых т и считать запаздыванием то значение т, при
котором функция фГ(У (т) максимальна. Вычислить фГ5 (т) для рассматривае-
мых значений т и определить запаздывание.
в. Будет ли способствовать оценке запаздывания увеличение отрезка г (/)?
г. Получится ли другая оценка т, если для взаимной корреляции взять s
вместо (1/10) s? Имеет ли какое-нибудь значение величина „опорного* сиг-
нала s, используемого для взаимной корреляции?
6.27. Пусть /(/) и g(t)— два действительных импульсных сигнала,
а X— действительная переменная. Функция
(?(*) = / [/(0 + ^(0]2л
квадратична относительно X и, очевидно, неотрицательна при всех X, так как
интегрируемое выражение положительно при всех /.
а. Какое соотношение вытекает отсюда между величинами § f2 (t) dt,
J* g2 (0 и J* / (0 S (О dtl (Оно называется неравенством Шварца.)
б. На основании этого соотношения доказать, что автокорреляционная
функция ф (т) импульсного сигнала v (Z) удовлетворяет неравенству | ф (т) |<
< ф (0) для любого т.
в. При каких условиях неравенство Шварца переходит в равенство?
г. Используя выводы предыдущего пункта, установить, может ли иметь
место равенство в соотношении, приведенном в п. „б“, при т, неравном нулю?
(Напоминаем, что сигналы импульсные.)
6.28. Найти автокорреляционную функцию сигнала v (0 = cos со0/ -f-
-ф- bi sin 2<o0 t-
6.29. Начертить автокорреляционную функцию фи (т) импульсного сиг-
нала, состоящего из двух прямоугольных импульсов: одного высотой А, зани-
мающего интервал времени между 0 и 1, другого высотой В, занимающего
интервал времени между 3 и 4.
6.80. Для случайного сигнала v (0,. вызванного случайным процес-
сом, (и) означает среднее значение одной выборочной функции (реализации)
процесса, a v означает среднее в данный момент из множества равновероят-
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ 303
ных значений выборочных функций, которые могут появляться в процессе.
Процесс может удовлетворять или не удовлетворять следующим условиям.
1) (у (Q у (/ — т)) = у (Q у (/ — т),
2) (v (0 v (t — т)) =
3) =
Показать простой пример случайного процесса, который
а) удовлетворяет условию 1 для всех т и /;
б) удовлетворяет условиям 2 и 3 для всех т и /;
в) не удовлетворяет условию 1 при всех /, за исключением частных
значений т;
г) не удовлетворяет условиям 2 и 3;
д) можно ли представить процесс, который удовлетворяет условию 2,
но не 3 и удовлетворяет условию 3, но не 2? Почему такой процесс невоз-
можен?
в.31. Найти автокорреляционную функцию сигнала х(/), описанного
в задаче 6.17. В этом процессе среднее значение по времени
?(*) = {x(t)x(t — k))
и среднее по множеству
ср (k) = х (t) x(t — k)
эквивалентны при целых значениях k. При нецелых значениях k
¥ (0 = (x(t) x(t — t)) = (x(t)x(t — r)).
Указание: если не удастся найти общего решения, то следует ограни-
читься шестью точками: т = —2, —1, 0, +1, +2, оо, которые покажут общую
форму автокорреляционной функции.
6.32. Начертить автокорреляционную функцию сигнала y(t), состоящего
из конечной последовательности пяти прямоугольных импульсов единичной
высоты, единичной длины и с единичным расстоянием между импульсами.
6.33. Найти коэффициенты ряда Фурье для сигнала v (/) = 10 sin 301 4-
4~ 20 sin 20 t.
6.34. Требуется представить функции времени v(t) в виде ряда
з
г (®0 = У, align ("0 + »(0.
* = 1
а. Если функция gk (/) подчиняется только требованиям периодичности
+ 2^) = gk (<•>/)] и ортогональности,
1 г ГО, при k=h р,
2^f k=p
о
Найти выражение для среднего квадрата ошибки (| е (/) |2) при разложении
функции у (<о/) с периодом 2к (<о) в ряде.
б. Найти выражение для коэффициентов ak при минимуме среднего
квадрата ошибки. Найти коэффициенты, если gk (pt)—нечетное прямоуголь-
ное колебание с периодом 2те/Л<о, а у(<о/)— периодическое нечетное тре-
угольное колебание с периодом 2тс/а>. Найти коэффициенты, если у («/) —
периодическое четное треугольное колебание. Начертить кривую ошибки е (/)
для обоих случаев.
6.35. Даны два периодических колебания произвольной формы, yt (t)
с периодом Т и у2 (t) с периодом 2Г. Выразить <р12(0) через коэффициенты
ряда Фурье этих двух периодических колебаний. Можно ли написать ответ
по внешнему виду колебания?
304
ГЛАВА 6
6.36. Конечный ряд Фурье, содержащий только коэффициенты |/ _п>
У_л+1, г.., Vn_u Ут применяется для приближенного представления перио-
дической функции времени v (/). Чему равен средний квадрат ошибки при
этом приближении, выраженный через v (/) и коэффициенты ряда Фурье?
Показать, что ошибка ортогональна каждому члену конечного ряда Фурье.
6.37. Пусть V (/) = [1 + cos (Oj/J cos (<о2/ -|- <р).
а) найти переменную и постоянную составляющие функции v (t) и по-
казать, что они ортогональны;
б) найти четную и нечетную части функции v (/) и показать, что они
ортогональны;
в) выразить v (/) рядом Фурье.
6.38. Показать, что периодическая функция /(/), для которой
+ —/(0, гДе Т'—период, имеет только нечетные гармоники
в ряде Фурье. Доказать также обратное утверждение.
6.89. Идеальный источник напряжения Е cos соединен последова-
тельно с идеальным выпрямителем и сопротивлением. Периодическое напря-
жение на сопротивлении есть v (/).
а) начертить кривую v(/);
б) найти коэффициенты Vk ряда Фурье в экспоненциальной форме для
напряжения п. „а“. Построить Vk в зависимости от k\
в) выразить ряд п. .6“ тригонометрическим рядом;
г) проделать п. „б“ и „в“ при обратной полярности выпрямителя;
д) какое влияние оказывает сдвиг сигнала во времени [т. е. замена t
на t±tQ и соответственно v (t) на v(/±/0)] на коэффициенты ряда Фурье Vk7
е) используя результат п. „д“, найти „г“ непосредственно из „б“.
6.40. Соотношение
ОО ОО
f lv(t)l2dt = f V» V*(w)-g-
— ОО —оо
выражает сохранение энергии. Чтобы доказать справедливость этого соотно-
шения при помощи интегрального преобразования Фурье
оо
V (*>)== f V (0 е~ dt,
— ОО
нужно определить величину интеграла предельной формы
h'-£-
— ОО
а. Путем исследования свойств преобразования прямоугольного импульса
длительностью а с амплитудой l/а при а, стремящемся к нулю, показать,
что для единичного импульса н0 (/) имеет место пара преобразований
».«=
— ОО
ОО
1= J* UO (о e~iu>t dt.
— ОО
б. Доказать равенство энергий, сформулированное в начале задачи.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
305
6.41. Используя непосредственно два интегральных выражения для пря-
мого и обратного преобразований Фурье:
а. Найти преобразования Фурье для
1)
df(t)
' dt ’
3) dt'1 ’
4) f dz,
выразив их через спектр (преобразование Фурье) F (со) функции /(/).
б. Показать, что нечетная часть спектра F (ы) получается из нечетной
части функции /(/), а четная часть спектра F (со) — из четной части функ-
ции /(/).
в. Является ли 1/усо нечетной функцией от /со? Какая функция f (/)
имеет такой спектр? [Рассмотреть спектр —/со/(я2со2), где а — положи-
тельное число, и уменьшать л.]
6.42. Vj (/), v2 (t) и и3 (/) представляют собой действительные импульс-
ные сигналы, имеющие спектры соответственно Vj (со), V2 (со) и V3 (со).
а. Если Vj (т) = J1 и2 (t) и3 (т — t) dt, показать, что (со) = V2 (со) V3 (со).
б. Если Vi (t) = v2(0^3(0> показать, что (со) = J*V2(rj) V3(co — т))(^/2тс),
где т) — переменная интегрирования.
в. Объяснить аналогию между п. „а“ и „6“.
6.43. Как изменится спектральная плотность напряжения V (со) импульса
напряжения v (t), если v(t) заменить интегралом функции v(t) от —оо
до /? Предположим, что сигнал, определенный интегралом, имеет свойства
сигнала конечной энергии. Какие ограничения это налагает на v(/)?
6.44. Вычислить количество, изменение и изменчивость функции
/(0 = 1—/2 при |/|<1,
/(0 = 0 при
Каков ее спектр Г(со)? Начертить границы спектра, определяемые коли-
чеством, изменением и изменчивостью функции /(О-
Начертить на том же графике F (со).
6.45. Функция /(0 определяется как
/(0 = 0 при /<0,
/(0 = г”* при t > 0.
Вычислить спектр F (со) и начертить [ /^ (<*>) |2. Определить границы, налагае-
мые на 1 А(со) |2 количеством, изменением и изменчивостью функции f(t).
Вычислить автокорреляционную функцию ф (т). Определить границы, налагае-
мые на | F (со) |2 количеством, изменением и изменчивостью функции ф (т).
Какая система границ сильнее?
6.46. Вычислить спектр А (со) импульса
/(0 = 1 при
/(О = 0 при 111 > 1.
Сравнить модуль спектра | F (со) | с верхней границей, налагаемой измене-
нием функции /(0. Будет ли модуль спектра | F (со) | когда-нибудь равен
своей верхней границе? При каких условиях модуль | F (со) | спектра четной
20 Зак. 1115,
306
ГЛАВА 6
функции /(/) равен верхней границе, налагаемой изменением f(t\> У каза-
н и е: так как
«Л (<о) ==— J* (sin <о/) /' (/) dt
и функция f(t) — четная, то вопрос можно поставить следующим образом:
при каких условиях справедливо равенство
(sin to/) /' (/) dt
= f
— сО
где штрих означает производную по времени?
6.47. Коэффициенты ряда Фурье Vk для периодического сигнала v (/)
с периодом Т = 2тт/оо1 подчиняются неравенствам
1^1
1 С I I rit
T(k<^)n J I ~dtn | ’
• 0
где k и n — целые и n неотрицательно.
а. Доказать справедливость этих неравенств.
6. Начертить | Vk | в зависимости от k для сигнала t/(/) = cos/. Какая
область в плоскости | Vk\ = k определяется для этого сигнала вышеуказан-
ными неравенствами?
6.48. а. Сигнал (t) имеет спектр F («) = | F (о>) | е^>\
Л/2
О(и>)
Л/2
0
Фиг. 72.
На фиг. 72 показаны кривые | F (<о) | и 0 (со). Найти (t).
б. Сигнал /i (t) сдвинут на 0, ± 3 , 6 ~ , ..., ± £3 ~сек. Из суммы всех
оо
этих сдвинутых функций образуется функция /2 (0 = /1 *
fe=-oo
Найти /2 (0 в замкнутой форме.
в. Написать ряд Фурье для /2 (t).
6.49. Дан комплексный спектр плотности напряжения (преобразование
Фурье) Vi(o)) сигнала vx (t). Найти ряд Фурье для v2(t), если v, (t) и v2(t)
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
307
связаны между собой так, как показано на фиг. 73. Найти также спектр
плотности напряжения и спектр плотности мощности для v2 (/)•
6.50. Операции гармонического анализа можно представить в следую-
щем виде:
Временное представление Частотное представление
Напряжение v (/) <—> V (со),
Ф Ф
Энергия ф (t) <-> U1* (со).
а. Стрелки указывают операции над функциями. Что они обозначают?
Почему вертикальные преобразования необратимы?
б. Сигнал v(t) имеет форму, изображенную на фиг. 74. Определить
спектр плотности энергии путем преобразования и (/) -> V (со) Ф* (со) и на-
чертить его. Показать, что другой путь v (/) -> ф (т) (со) приводит к тому
же результату.
в. Какой способ более прямой? Как можно найти *F (со) для импульсного
сигнала или Ф (со) для сигнала конечной мощности, если функция времени v(t)
является случайной (например, шумом)?
20*
308
ГЛАВА 6
6.51. Акустический закон Ома гласит, что всякое периодическое воздей-
ствие можно разложить на сумму синусоидальных составляющих, каждая
из которых соответствует чистому тону, воспринимаемому ухом, причем
высота тона определяется его частотой. При проверке применимости этого
закона Метьес и Миллер (Mathes, Miller, J. Acoust. Soc. Amer., 19,
pp. 780—799, 1947) исследовали влияние фазы на слуховые восприятия. Два
из применявшихся ими сигналов имели следующие временные функции:
V1 (0 = cos (<ос0 4- 1 COS [(«><, — <om) t] 4- у COS [(<-)<. 4- /],
v, (0 = sin (<»4) 4-1 cos [(<0,. — o>m) 4 4- cos [(«v 4- <om) q.
Начертить эти две функции для 0 t < (1/50) сек при = 2000 к (padjceK)
и = 100 к (рад!сек).
а. Будут ли они давать одинаковые звуки?
б. Тождественны ли их автокорреляционные функции? Найти эти
функции.
в. Тождественны ли их спектры мощности? Найти эти спектры.
6.52. Указать два различных сигнала, имеющих одинаковые спектры
плотности мощности или спектры плотности энергии. Сделать это для: а) им-
пульсных сигналов; б) периодических сигналов; в) случайных сигналов конеч-
ной мощности.
6.53. Используя интеграл Фурье, найти и начертить (указав основные
величины) спектр нормированного импульса анодного тока усилителя класса
В [/(/) = cos/ при тс/2</<те/2, /(/)=0 для всех других /]. Представить
ответ в виде
sin (<о + л) с sin (<о -|- Ь) с ‘I
(<о 4~ а) с (<о -|- Ь) с J
(определить А, а, Ь, с).
Найти и начертить /% (<°) Для импульса /2 (0 = sin t при —те/2</<к/2 и
/2 (0 = 0 для всех других t
Учесть, что (/) не является производной от /2 (0- Как нужно изменить
или дополнить функцию /) (/), чтобы она была равна (d)dt) f2 (/)? Если эта
новая функция /3 (/) = (df dt) f2 (/), чему равен ее спектр В3 (<о)?
6.54. Единичный импульс представляет собой явление, длящееся ничтож-
нбе время, с амплитудой, достигающей большой величины, с площадью, рав-
ной 1, и спектром, также равным 1 (если импульс происходит в начале оси
времени).
Единичный импульс можно приближенно представить как прямоуголь-
ный импульс высотой 1/5 и длительностью 5. Ниже указаны другие возмож-
ные представления. Найти спектр (преобразование Фурье) каждого из этих
импульсов и показать, что, когда 5 стремится к нулю, функции стремятся
к единичным импульсам и их спектры стремятся к 1 для следующих случаев:
а) /(0 =
0, в остальных случаях;
б) /(0 = у ехР (— у)“-1 (0;
»>/«> = у Sta (|);
г)Л',_тйеч,(-Д
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
309
3<55. Временные функции напряжения, изображенные на фиг. 75, явля-
ются типичными для радиолокатора сопровождения и наведения управляемых
снарядов, который должен автоматически захватить цель после выпуска
снаряда.
а. Определить и начертить спектр плотности напряжения для каждой
из этих функций.
б. Найти грубые оценки полосы частот каждого из этих сигналов и дать
им обоснование.
в. Найти и начертить автокорреляционную функцию каждого из этих
сигналов.
г. Определить спектр плотности энергии для каждого из этих сигналов
по результатам п. йа“ и п. „в“ и сопоставить i х между собой.
6.56. Для данной функции j\ (t) = и_х (t) e~at вычислить и начертить:
а) /2 (0 — свертку функции fx (t) с собой;
б) | F2 (°) I — модуль спектра функции /2 (0;
в) /з (0 — автокорреляционную функцию функции fx (/);
г) («) —спектр функции /3(0;
д) связаны ли между собой п. „б“ и „г“? Почему?
6.57. Найти спектр F («) для функции времени, изображенной на
фиг. 76. Начертить спектр плотности энергии | F (о>) |2.
310
ГЛАВА 6
6.58. Найти спектры импульсов, изображенных на фиг. 77, используя
лишь преобразование единичного импульса и соответствующие свойства
преобразований. Составить спектры для всех случаев, указав модуль и фазу.
6.59. Определить и начертить спектры импульсов, изображенных на
фиг. 78. Как связаны между собой эти спектры?
6.60. Три источника перемен-
ного напряжения и три сопротивле-
ния по 1 ом соединены в трехфазиый
треугольник для снабжения энергией
потребителей (фиг. 79). Если v (/) —
периодическое треугольное колеба-
ние с амплитудой ±100 в, вычислить
Ф и г. 78.
Фиг.
79
среднюю мощность при холостом ходе (когда зажимы А, В и С разомкнуты),
рассеиваемую в сопротивлениях R. Сопоставить эту теряемую мощность
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
311
с мощностью, вычисленной по эмпирическому правилу электротехники, что
большая часть потерь обусловлена первой и третьей гармониками.
6.61. Для создания приближенных линейных импульсов выходное на-
пряжение генератора прямоугольных импульсов приложено к последователь-
ной цепи RC и на сопротивлении R измеряется напряжение v(t). Опре-
делить v(f) и ряд Фурье для v(t). Показать, что при увеличении R этот
ряд приближается к ряду для периодической последовательности линейных
импульсов.
6.62. Изображенное на фиг. 80 пилообразное напряжение является пе-
риодическим. Определить коэффициенты ряда Фурье Vk.
6.63. Найти ряд Фурье для выходного напряжения v(/), изображенного
на фиг. 81.
6.64. Гласные звуки создаются при периодически повторяющемся им-
пульсном возбуждении голосовыми связками акустического резонатора (го-
лосового тракта). Выходной сигнал голосового тракта, возбуждаемого одним
линейным импульсом, имеет форму и_х (t) е~л* sin со^. Частота повторения
равна а)0/2ти. Типичные значения о)0/2к, ^[2- и а/тс соответственно равны 100,
500 и 1000 гц.
а. Вычислить и начертить спектр плотности мощности установившегося
выходного сигнала.
б. Указать, как меняется спектр п. „а“, когда „вокальная частота* <о1/2т;
изменяется от 100 до 125 гц при постоянных со0 и а-
в. Указать, как меняется спектр п. „а“, когда „частотаформанты*
изменяется от 400 до 600 гц при постоянных соо и а. Это соответствует
изменению „тембра гласных*.
6.65. Напряжение v(t) представляет собой периодическое прямоуголь-
ное колебание (четная функция), имеющее постоянную величину -}-£ в те-
чение Т сек и —Е в течение ЗГ сек.
а. Найти и начертить автокорреляционную функцию <р (т) напряже-
ния v(t).
312
ГЛАВА 6
б. Найти автокорреляционную функцию напряжения v (t — /J.
в. Найти коэффициенты Фл ряда Фурье автокорреляционной функ-
ции п. „а“.
г. Найти Ф (со) (преобразование Фурье) автокорреляционной функции,
найденной в п. „а“. Показать, что это преобразование представляет спектр
плотности мощности напряжения v (t).
6.66. Пусть для схемы и входного сигнала, изображенных на фиг. 82,
Еьь = 100 в, а р., Есс, Rh Rb, Ry в соответствующих единицах равны 10.
Фиг. 82.
а. Найти ряды Фурье для анодного тока и для выходного напряже-
ния е0.
б. Определить среднюю мощность, рассеиваемую в Rb и в лампе. (Сред-
няя мощность, рассеиваемая в лампе, равна {ebib}.) Сколько (приближенно)
членов ряда Фурье дадут 90% мощ-
ности в каждом из этих случаев?
6.67. а. Найти комплексный ряд
Фурье для периодического напряже-
ния, изображенного на фиг. 83.
б. Пусть Vk~\Vk \ e^k. Начер-
тить |V^| и (U^ — Uo) в зависимости
от со. (Для большей наглядности эти
графики можно сделать непрерыв-
ными, но выделить точки со == Z?cob
в которых существуют составляющие
ряда Фурье.)
в. Показать, что V _k — V*k для
действительной функции времени v(t),
и, следовательно, кривая | | является четной функцией, а кривая (0^ — 60)
является нечетной.
г. Показать, что Vk является действительным для действительной четной
функции времени и мнимым для действительной нечетной функции времени.
Что можно сказать на основании этого о тригонометрическом ряде для дей-
ствительной четной и действительной нечетной функций времени?
д. Сдвинуть колебание, изображенное на фиг. 83, влево на 5/2 и начер-
тить соответствующие Vk в зависимости от cd.
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
313
е. Рассмотреть кратко выводы п. „д“ для частного случая В = Т.
ж. Повторить п. „е“ для предельного случая, когда 5 мало, а V велико,
причем произведение УЪ остается постоянным и равным А.
6.68. Написать ряд Фурье для периодического трапецеидального коле-
бания, в котором горизонтальные участки имеют такую же длительность,
как участки постоянного положительного и отрицательного наклонов между
горизонтальными участками. Период равен 1 мсек, а амплитуда равна ±0,5 в.
Предполагается, что колебание симметрично относительно начала оси вре-
мени.
6.69. Релаксационный генератор создает периодическое напряжение на
конденсаторе, изображенное на фиг. 84. Постоянная времени экспоненциаль-
ных кривых равна т. Найти среднее значение энергии, накапливаемой в кон-
денсаторе под действием:
а) составляющей нулевой частоты;
б) составляющих основной частоты w -= ±2гс/Т;
в) составляющих второй гармонической частоты <о = ±47t/7;
г) составляющих третьей гармонической частоты;
д) переменной составляющей сигнала;
е) сравнить сумму составляющих (б), (в) и (г) с составляющей (д).
(Предположить, что Т -= /<т и вычислить составляющие для /\ = ’/5, 1 и 5.)
6.70. Трапецеидальное колебание, изображенное на фиг. 85, является
периодическим.
а. Определить коэффициенты ряда Фурье для v (/).
б. Чем объяснить, что в колебании имеются только нечетные гармоники?
в. Сформулировать общие условия, при которых ряд Фурье для перио-
дического сигнала v (t) содержит только нечетные гармоники.
314
ГЛАВА 6
8.71. На фиг. 86 показано выходное напряжение простой выпрями иль-
ной схемы со сглаживающим конденсатором и омической нагрузкой. Найти
комплексные коэффициенты Фурье для этого колебания непосредственным
u(t)
।
Фиг. 86.
интегрированием. При этом не брать для колебания приближенного выра-
жения. Проверить ответ каким-нибудь косвенным, но более простым спо-
собом.
6.72, Если вероятность N событий в интервале Г сек равна
найти функцию
плотности вероятности интервала между
двумя последовательными собы-
тиями. Иначе говоря, найти функ-
цию Р (t) такую, что вероятность
того, что интервал времени лежит
между t nt-}-dt, равна Р (/) dt.
6.78. Объем воздуха, проте-
кающего через голосовые связки
человека при произнесении глас-
71 ных звуков, можно приближенно
представить периодической после-
довательностью коротких импуль-
сов высотой А, длительностью б,
с периодом между импульсами,
равным Т.
Однако вследствие случайных
воздействий амплитуды А импуль-
сов изменяются около среднего значения Ло. Предполагается, что плотность
вероятности Р (А) амплитуд прямоугольная, как показано на фиг. 87. Тре-
буется найти автокорреляционную функцию и спектр мощности этой после-
довательности импульсов при 5 Г.
6.74. Случайное напряжение v(t) состоит из прямоугольных равноот-
стоящих во времени импульсов. На фиг. 88 представлен типичный отрезок
этого колебания.
Некоторые импульсы, изображенные на фиг. 88 пунктиром, вырезаны,
и вероятность удаления данного импульса равна */2. Вырезание импульса не
влияет на вероятность вырезания других импульсов.
а. Найти автокорреляционную функцию напряжения v (t).
б. По этой автокорреляционной функции определить и начертить (в за-
висимости от времени) периодическую составляющую напряжения v (/).
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
315
в. Чему равна общая мощность случайной составляющей напряже-
ния v(0?
г. Определить и начертить спектр плотности мощности напряжения v (/).
6.75. На фиг. 89 изображен спектр плотности мощности Ф (со) сиг-
нала v (/).
а. Определить и начертить автокорреляционную функцию ср (т) сиг-
нала v (/).
б. Чему равна мощность по-
стоянной составляющей сигнала
в. Чему равна мощность пе-
ременной составляющей сигнала
*(Ф
6.76. На фиг. 90 показана
автокорреляционная функция для
непредсказуемого колебания Vj (t).
а. Чему равна средняя мощ-
ность случайной (непредсказуе-
мой) составляющей колебания
*1 (0?
б. Чему равна средняя мощность периодической составляющей колеба-
ния V| (/)?
в. Начертить периодическую составляющую колебания Vj (/). Можно ли
ее найти однозначно из <?ц(т). Почему нельзя?
г. Начертить спектр плотности мощности Фп(со) и выразить его анали-
тически из <рц (т).
6.77. Случайное напряжение v (t) состоит из прямоугольных импульсов
длительностью Т/2. Импульсы могут появляться только через периодические
интервалы Г, но некоторые импульсы отсутствуют.
316
ГЛАВА 6
а. Найти автокорреляционную функцию напряжения v (t).
б. По этой автокорреляционной функции определить и начертить (в за-
висимости от времени) всю периодическую составляющую напряжения v (/).
в. Определить и начертить спектр плотности мощности напряжения v (/).
В п. „а" — „в" рассмотреть два случая:
1) удаление импульсов происходит случайно и независимо, причем
в среднем отсутствует один из W импульсов;
2) удаление происходит случайно, но в каждом из смежных интервалов
длиной NT отсутствует один импульс.
6.78. В психоакустических экспериментах часто применяют в качестве
звуков повторяющиеся импульсы тональных колебаний. Рассмотреть сле-
дующие два способа создания таких звуков:
а. Тон создается в одной и той же начальной фазе в начале каждого
импульса, как изображено на фиг. 91.
Фиг. 91.
б. Непрерывный тон удаляют или стробируют прямоугольными импуль-
сами, причем частота тона может быть некратна частоте удаления.
Рассмотреть различия между временными функциями и спектрами этих
двух сигналов. Являются ли оба сигнала периодическими?
6.79. Синусоидальный звуковой сигнал с частотой / внезапно вклю-
чается на целое число периодов п и затем внезапно выключается. Рас-
смотреть два случая:
1) сигнал включается и выключается при пересечениях нулевого уровня;
2) сигнал включается и выключается в максимуме амплитуды.
Начертить спектр для обоих случаев.
Когда человек слушает звук в случае 2, он слышит „щелчок" в начале
и конце звука, а при звуке в случае 1 этот щелчок менее резкий. Объяснить
это явление распределением энергии на высоких частотах спектра.
6.80. Идеальный „перемножитель" получает два входных сигнала: (/)
и т (t), а его выходной сигнал равен их произведению v2 (/) = V| (/) т (/).
Пусть „модулирующий" сигнал или сигнал „выборки" т (/) представляет
периодическую последовательность очень коротких импульсов с периодом Т
и площадью импульсов 1/Г.
а. При каком наборе различных входных косинусоидальных коле-
баний Vi (/) выходной сигнал будет один и тот же?
б. Если известно, что входное косинусоидальное колебание Vj (/) имеет
частоту со,/2л < 1/2Г, можно ли определить ю, однозначно по внешнему виду
выходного сигнала?
в. Если входное колебание Vj (/) не чистая синусоида, но имеет спектр
(со), равный 1/1 со |2 при | <о | < со, и равный нулю при | со | > со,, начер-
тить выходной спектр V2 (w)-
г. Объяснить при помощи спектра V2 (<о), указанного в п. „в", какое
действие произведут импульсы выборок, длительность которых не настолько
мала, чтобы их можно было считать идеальными линейными импуль-
сами т (/).
6.81. Пусть f(t) =у [wo(O + wo(^~ 1)] и пусть fn (/) — функция, по-
лучаемая путем свертывания / (/) с самой собой п раз (например, /3 =
АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
317
а Показать, что функция fn(t) может описывать плотность вероятности
появления п гербов в п независимых бросаниях идеальной монеты.
б. Пусть F (w) и Fn (w) — соответственно спектры функций f(t) и fn(t).
Показать, что Fn (о>) = е~^п^12 cos'2 (w/2).
в. Показать, что при большом п функция. со8л(ю/2) представляет по
существу периодическую последовательность сравнительно коротких гаус-
совых импульсов. У Казани е: исследовать разложение в степенной ряд
log [cos'2 (w/2)].
г. На основании результатов п. „в* показать, что fn (/) представляет
собой по существу длинный задержанный гауссов импульс, умноженный на
периодическую последовательность линейных импульсов выборок.
д. Показать подробным вычислением, что при большей п среднее из
множества числа гербов t увеличивается пропорционально п, а средне-
квадратичное (стандартное) отклонение
а = [(f-F)2]'/2
пропорционально корню квадратному из п.
е. Как можно истолковать fn (t), если Fn (w) приближенно представить
только импульсом самой низкой частоты, отбрасывая все остальные, рас-
положенные при частотах со = ±2к, ±4к, ...?
ж. Показать, что при любом положительном п средний квадрат откло-
нения а2 = л/4. Указание: использовать соотношение между вторым мо-
ментом функции и второй производной ее преобразования Фурье, вычислен-
ной при частоте <о, равной нулю. В этом случае соответствующая функция
будет fn + (п/2)].
6.82. При комплексном повороте ортогональных координат в //-мерном
пространстве составляющие xk вектора х преобразуются в составляющие
п
хт~ 2 xkakm» (^ = 2п + 1),
k = - п
где а^т определяет „косинус комплексного угла" между координатными
осями k и т. Показать для akm = (l/j/7/) exp (J2Kkm[N), что обратное пре-
образование имеет следующий вид:
п
х1~ 2 а1тхт‘
т = -п
Показать также, что „длина* вектора инвариантна (2 | хт |2 “ 2 I xk |2)-
Можно применить формулу
у ej2n(k-i)miN ~ ( N при k = i,
„ (0 при k Z.
т = - п 4 г '
Пусть хт — выборочные значения v (тТ/N) периодического сигнала v(t),
a xk — VkYN. Показать, что в пределе при большом // два вышеуказан-
ных преобразования приводят соответственно к ряду Фурье для v (t) и к ин-
тегральной формуле для коэффициентов ряда Фурье. Разобрать на основе
этих выводов теорему о дискретных выборках.
Глава седьмая
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ
ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ
СИСТЕМЫ
7.1. Введение
В предыдущей главе было установлено, что сигнал можно пред-
ставить либо как функцию времени, либо как функцию частоты
и что эти два описания связаны интегралом Фурье. В этой главе
рассматривается следующий вопрос: „Что происходит с временной
функцией сигнала, когда этот сигнал проходит через линейную си-
стему передачи?" Ответ на этот вопрос содержит новые сведения
о сигнале и много изящных и важных свойств линейных систем
передачи. Все линейные системы, рассматриваемые в этой главе,
являются эквивалентными схемами электрических или электронных
цепей при малых сигналах. Однако нужно помнить, что эти методы
вообще применимы к любой физической системе, которую можно
представить приближенно с достаточной точностью линейной экви-
валентной схемой.
7.2. Сингулярные сигналы
На фиг. 1, а изображена весьма простая линейная „система",
состоящая из идеального конденсатора С, питаемого идеальным
источником напряжения v(t). Допустим, что нужно найти ток, выз-
ванный идеальной ступенью напряжения, изображенной на фиг. 1, б.
Даже в этой простой задаче сразу возникает противоречие. Ток
пропорционален производной напряжения по времени, но производ-
ная не существует в начальный момент, где функция v(t) имеет
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
319
разрыв. Так как физические соображения указывают, что в цепи
должен возникнуть ток, чтобы зарядить конденсатор, то это озна-
чает, что математическое описание не отвечает действительности.
Затруднение возникает вследствие идеализации сигнала v(t) и цепи
с емкостью С. Если не идеализировать сигнал или систему, то можно
получить соответствующее значение тока в эквивалентной схеме.
На фиг. 2, а показан один из многих возможных способов „не-
идеализированного* представления единичного ступенчатого сигнала.
В этом приближенном представлении разрыв функции заменяется
коротким интервалом быстрого, но плавного возрастания. Функция,
(7
/ -
1=0, при t*0
1= ?, при t — 0
О
б
Фиг. 1. Проблема дифференцируемости, возникающая вследствие идеали-
зации сигнала v(/), возбуждающего идеализированную систему С.
изображенная на фиг. 2, а, приближается к идеальной ступени, когда
интервал а уменьшается. Конечная наклонная прямая имеет произ-
водную (фиг. 2, б). Если не учитывать множителя, равного величине
емкости С, то функция, изображенная на фиг. 2, б, представляет
кривую тока конденсатора. При уменьшении параметра а эта кри-
вая приближается к так называемому линейному импульсу—им-
пульсу с очень малой длительностью, но с определенной конечной
площадью. Это согласуется с тем физическим соображением, что для
изменения напряжения конденсатора от одного постоянного значения
до другого к нему должен быть подведен определенный конечный
заряд.
В данном случае недифференцируемая идеальная ступень была
представлена как предел дифференцируемой функции, и мы обходим
трудность тем, что переходим к пределу лишь после дифференци-
рования. Кроме того, именно переход к пределу после дифференци-
320
ГЛАВА 7
рования, а не сам предел дает физическую картину, которую можно
использовать в дальнейшем. Импульс тока с конечной площадью
и со сколь угодно короткой, но не равной нулю длительностью
представляет собой полезное понятие, тогда как фиг. 2, б теряет
О
Параболические
дуги
------1
в
du
S' Площадь = 1
d2u
б
Фиг. 2. Повторное диф-
ференцирование приближен-
ной единичной ступени.
При уменьшении величины а кри-
вые айв приближаются к еди-
ничной ступени n_j(/), биг —
к единичному импульсу а0 (/), ti-
lt единичному дублету Wi(/). Функ-
цию а можно дифференцировать
один раз, функцию в —два раза.
смысл, если параметр а равен нулю. Основная ценность анализа
бесконечно малых в том и состоит, что предел, непосредственно не
постигаемый разумом, можно понять при помощи перехода к пре-
делу.
На фиг. 2, в показано более плавное приближенное представле-
ние идеальной ступени. В этом случае непрерывна не только функ-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
321
ция, но и ее первая производная. Такой сигнал можно дифференци-
ровать дважды, как показано на фиг. 2, г и д. Отметим интересную
особенность второй производной (фиг. 2, д), которая в пределе при
малом а представляет собой момент определенной величины. Оче-
видно, можно применить сглаживание более высокого порядка, при
котором будет возможно дальнейшее дифференцирование, но обоз-
начения при этом становятся более сложными.
При анализе систем, дифференцирующих сигнал несколько раз,
часто бывает удобнее представлять „без идеализации" систему, а не
сигнал. Приближенное выражение производной от функции v(t) сле-
дующее:
Av (0 __ v (/) — v (/— а) п
Д/ ~~ а ’
где а— некоторый малый, но не равный нулю интервал времени.
Если v(t)— плавная функция, то выражение (1) стремится по опре-
делению к истинной производной, когда а стремится к нулю. Когда
параметр а мал, но не равен нулю, выражение (1) определяет „при-
ближенную" производную прерывной функции. Единичная ступень
определяется как
( 0 при t О,
“->'« = 11 „р« / > О, <2>
а ее приближенная производная дает, следовательно, прямоугольный
импульс
Ро(О = Ц-(/)~^!(<~а). (3)
тождественный изображенному на фиг. 2, б. Приближенные произ-
водные более высокого порядка, также состоящие из прямоугольных
импульсов, можно найти тем же способом
рк+1 = PkV-Pk<t-aY при k = 0, 1, 2......... (4)
На фиг. 3 представлены эти производные. На фиг. 4 показано под-
робно вычисление производной p3(Z) путем сдвига и вычитания функ-
ции p2(t). „Импульсные функции" pk(t) можно характеризовать их
моментами, п-й момент функции pk равен
оо
ftnpk(t)dt=
О при п < k,
(—1)*6! при n = k,
ап~к при и п-\-k нечетном,
О при п>& и n-\-k четном,
(5)
21 Зак. 1115
U-t po
0
P"
Pl2
8W
Вертикальный
масштаб силы
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
323
где п и k — неотрицательные целые числа. Следовательно, при
малом а имеет значение лишь &-й момент функции pk.
Высшие производные единичной ступени можно определить теперь
как предел, к которому стремится приближенная производная при
сколь угодно малом а
uk (t) = lim pk (f) при k = 0, 1, 2, ... .
a->0
(6)
Для полноты определим также со-
вокупность функций, получаемых пу-
тем последовательных интегрирований
единичной ступени
u-k (0 = _ 1) । и-1 (О
при k = 1, 2, 3, ... . (7)
Соотношения (6) и (7) дают пол-
ную совокупность функций, включая
единичную ступень u_v единичный им-
пульс uQ и единичный дублет uv а так-
же единичную полубесконечную возра-
стающую функцию и~2> параболиче-
скую возрастающую функцию и_3 и т. д.
Рекуррентную формулу, связывающую
/ -3 3 -1
Фиг. 4. Подробности при-
ближенного дифференцирова-
ния функции p2(t).
две функции с соседними номерами, можно написать либо в таком
виде
ик+1 (0 = lim а) , (8)
а->0 а
либо в виде
4«*-i(0 = M0 = fuk+i(t)dt (9)
— со
при условии, что в уравнении (9) подразумевается результат пере-
хода к пределу.
Функции uk(t) называются обычно сингулярными функциями.
Сингулярной, или особой, точкой функции называется точка, в которой
функция не имеет производной. Каждая из сингулярных функций
(а если не сама функция, то функция, полученная после того, как
ее продифференцировали конечное число раз) имеет особую точку
в начальный момент и равна нулю все остальное время.
21*
324
ГЛАВА 7
Линейный импульс площадью Л, расположенный в точке tv при-
нято обозначать одним из символов, изображенных на фиг. 5, а — в.
Дублет с отрицательным моментом А можно указывать одиночной чер-
той, как на фиг, 5, г, или двумя чертами, как, например, на фиг. 5, д и е,
чтобы показать, что он в действительности состоит из двух линей-
ных импульсов, расположенных близко друг к другу. Но вообще
а б в
л„
tuk-i
ж з
Фиг. 5. Символы сингулярных функций.
fl— в обозначают Auott — tJ; г — г — обозначают Aux(t — /,); ж — представляет общий символ
для Аи& — равнозначный пределу з.
всякую сингулярную функцию с коэффициентом А и местоположе-
нием tx удобнее обозначать чертой с соответствующим названием
(фиг. 5, ж). Функция очевидно, равнозначна дублету функ-
ции как показано на фиг. 5, з.
При отрицательном индексе k функции uk ограничены при конеч-
ном t и для них не требуется особого обозначения. На фиг. 6, а
сравниваются формы и положения первых одиннадцати функций.
Заметим, что функция возрастающая прямая, проходит выше
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
325
всех остальных функций в области между точками 1 и 2 на оси
времени, а функция и_3 больше всех других функций в интервале
между точками 2 и 3. На фиг. 6, б изображена ограничивающая
верхняя огибающая этого семейства функций.
Фиг. 6. Характер функций (/).
а — подробности поведения функций; б —график огибающей, на котором каждая функция
показана в интервале £ — !</<£, в котором она проходит выше всех остальных.
В отличие от сингулярных функций с отрицательным индексом
сингулярные функции с неотрицательным индексом являются настоя-
щими сингулярными функциями, и изобразить их нельзя. Однако на
основании уравнений (5) и (6) имеем
°° ~
С п (О
tnuk (0dt =
J I (___i/jfe!
—ОО ' 4 7
при П k,
при n = kt
(10)
где п и k — неотрицательные целые числа. Функция uk (t) имеет
Л-й момент, но все другие моменты равны нулю. Выражение (10)
326
ГЛАВА 7
по существу представляет простой способ возможного определения
сингулярных функций с неотрицательным индексом (конечно, при
обычном истолковании соответствующих переходов к пределу).
7>3> Ишпульсная характеристика линейной
передающей системы
На фиг. 7, а показана система передачи с входным сигналом
и выходным сигналом v2. В этой главе рассматриваются линейные
системы. Линейной системой называется система, у которой вы-
ходная реакция на сумму двух входных сигналов тождественно равна
сумме выходных реакций на каждый из этих входных сигналов,
Фиг. 7. Импульсная характеристика системы передачи.
действующих раздельно. Иначе говоря, если — два вход-
ных сигнала, а /2(0 и ёч (0 — соответствующие выходные сигналы,
то входной сигнал
vx = afx(t) + bgl(t) (11)
создает выходной сигнал
= «/2(0 + (О (12)
при любых а и Ь. Конечно, может случиться, что система воз-
буждается не только внешним сигналом но также некоторым
независимым внутренним фактором (например, источником, вклю-
ченным внутри электрической цепи). В этом случае система может
давать выходной сигнал и в отсутствие входного сигнала. Нужно
подразумевать, что выходной сигнал v2 в уравнении (12) не содержит
воздействия независимого внутреннего возбуждения системы. Сиг-
нал v2 представляет лишь ту часть общего выходного сигнала, кото-
рая вызывается внешним входным сигналом vp В линейной системе
общий выходной сигнал равен сумме выходных сигналов, вызванных
по отдельности внешним и внутренним возбуждениями. Когда неза-
висимого внутреннего возбуждения нет (как в обычной эквивалент-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
327
ной схеме электронной цепи), система называется однородной.
В однородной системе выходной сигнал равен нулю, если внешний
входной сигнал всегда равен нулю. Поэтому всюду, где это особо
не указано, подразумеваются однородные системы.
Когда к входу системы подведен единичный импульс (фиг. 7, б),
система, реагируя на него, создает некоторый определенный выход-
ной сигнал h(t), который называется импульсной характеристи-
кой системы. В частности, импульсная характеристика, изображенная
на фиг. 7, а, имеет две особенности, которые уместно здесь отме-
тить. Во-первых, импульсная характеристика равна нулю при отри-
цательном времени. Это свойство называется обычно реализуемостью^
О
Фиг. 8. Импульсная характеристика стационарной системы передачи
при любом значении tx.
так как при нормальных условиях нельзя надеяться на то, что сумеем
построить предсказывающее устройство или схему. Во вторых, им-
пульсная характеристика стремится к нулю при большом положи-
тельном времени. Таким образом система в конце концов забывает,
что мы ее возбудили, и опять возвращается в состояние покоя. Это
свойство часто называют устойчивостью. В этом смысле устой-
чивой называется такая система, которая дает заметный выходной
сигнал при входном сигнале, подведенном к ней в не очень отдален-
ном прошлом. Точное определение устойчивости будет дано ниже
в этой главе.
Строго говоря, импульсную характеристику следовало бы опре-
делить как
Л(£) = Птv2(0» когда (13)
Внесем дальнейшее уточнение. Для системы с постоянными пара-
метрами форма выходного колебания остается одной и той же и не
зависящей от момента подведения входного импульса, как показано
на фиг. 8. Вообще, если f1(t) — входной сигнал, а /2(0— соответ-
ствующий выходной сигнал, то входной сигнал, равный
(14)
создает выходной сигнал
— — *1)
(15)
328
ГЛАВА 7
при любом tv Иначе говоря, свойства системы не изменяются
с течением времени.
Мы говорим, что к линейным системам применим принцип супер-
позиции (наложения), подразумевая под этим, что наложение вход-
ных сигналов приводит к наложению соответствующих выходных
сигналов, как видно на фиг. 9. Свойство суперпозиции иногда выра-
жают в виде теоремы, относящейся к линейным системам. Но нало-
жение есть лишь другое название для линейности и по существу
Фиг. 9. Наложение реакций в линейной стационарной системе.
не заслуживает названия теоремы. В линейной системе можно суммиро-
вать возбуждения и реакции. Поэтому линейной системой называется
такая система, в которой возбуждение и реакции можно суммиро-
вать. Наложение и линейность представляют собой по существу
одно и то же.
7.4. Интеграл суперпозиции
Зная реакцию линейной стационарной системы на входной импульс
малой длительности, можно непосредственно вывести из него реак-
цию системы на любой входной сигнал. На фиг. 10, а представлена
временная функция произвольного входного сигнала vx(t). Функцию
vx(t) можно представить точно в виде наложения смежных коротких
импульсов, один из которых показан на фиг. 10, а заштрихованной
областью. Рассматриваемый импульс, расположенный в точке tv
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
329
имеет длину dtx и площадь (^) dtx (с точностью до первого по-
рядка). Этому короткому импульсу бесконечно малой площади соответ-
ствует бесконечно малая величина в выходном сигнале dv2(t)
(фиг. 10, б). Составляющая dv2(t) есть бесконечно малая величина
сдвинутой импульсной характеристики. Чтобы найти полный выход-
ной сигнал ^2(^2) в некоторый заданный момент /2» нужно лишь
Фиг. 10. Наложение бесконечно малых реакций dv2 на бесконечно малые
входные импульсы гч (^) dt^
наложить бесконечно малые выходные сигналы отдельных входных
импульсов, как показано на фиг. 10, в. Сумма бесконечно малых
равна в пределе по определению (не по аналогии или приближенно,
но именно по определению) интегралу
г»2(/2) = /®1(Л)А(^-Л)^1- (16)
Этот интеграл называется интегралом суперпозиции. Заметим, что
в него входят три разных времени: время входного сигнала tv
время выходного сигнала t2 и время памяти системы t2 — tv Из
фиг. 10, в следует, что интегрирование нужно проводить лишь по
тем значениям tv которые меньше t2. Это вытекает из того, что
импульсная характеристика h(t2 — равна нулю при отрицатель-
ных значениях аргумента. Другими словами, реализуемая система
„помнит" прошлое, но не „помнит" будущего.
330
ГЛАВА 7
Формула интеграла суперпозиции (16) гласит, что величина
выходного сигнала в настоящий момент равна взвешенному
интегралу от входного сигнала за прошлое время, причем
весовым коэффициентом является импульсная характеристика,
играющая роль функции памяти системы.
Обозначив время памяти t2 — tx через т, можно написать инте-
грал суперпозиции в другом виде:
v2(^)= I
(17)
Символ т иногда применяют как переменную интегрирования
в обоих видах интеграла суперпозиции, а время выходного сигнала
обычно обозначают через t. При этих обозначениях
v2(0 =
ОО
J* (т) h (t — т) dxt
— оо
J* h (т) Vj (t — т) dx,
— оо
t
J Vy (t) h(t—
— oo
J* ^00^1 (t----z)dzt
0
t
J* (t) h (t — t) dxt
о
t
J* A(t)
о
(18)
(19)
(20)
если h(t) = Q при £ < 0,
(21)
(22)
если h(f) и vx(t)
равны нулю при t < 0.
(23)
«*2(0 =
«Ъ(0 =
Заметим, что для реализуемой системы интегрирование нужно про-
водить по времени входного сигнала от минус бесконечности до t
(уравнение (20)] или от нуля до бесконечности по „времени памяти"
[уравнение (21)]. Кроме того, если входной сигнал начинается при
нулевом значении времени (например, в том случае, если нас инте-
ресует реакция системы, находящейся в покое при внезапно прило-
женном возбуждении), то пределы интегрирования будут от нуля
до t при интегрировании по времени входного сигнала или по вре-
мени памяти [уравнения (22) и (23)].
На фиг. 10 была приведена одна из графических интерпретаций
интеграла суперпозиции. На фиг. 11 показана другая графическая
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
331
интерпретация, способствующая наглядному выяснению входящих
сюда операций. Импульсная характеристика на фиг. 11, а входит
в интеграл суперпозиции в виде весовой функции или функции
памяти h(t2— /0. Можно начертить функцию памяти в зависимости
Фиг. И. Свертка импульсной характеристики (а) с входным сигналом (г),
дающая выходной сигнал (ж).
от t2 при в качестве параметра (фиг. И, б), или можно рассма-
тривать h(t2— tr) как функцию времени входного сигнала^, причем
время выходного сигнала t2 играет роль параметра (фиг. И, в). Заме-
тим, что импульсная характеристика на фиг. 11, а является перевер-
нутой лишь благодаря выбранному способу ее изображения. В данном
332
ГЛАВА 7
случае нам нужен именно график фиг. 11, в, так как интегрирование
проводится по времени входного сигнала tv Теперь при данном
входном сигнале (фиг. 11, г) умножаем его на функцию памяти
(фиг. 11, д) и получаем взвешенный входной сигнал (фиг. 11, е),
а площадь, ограниченная взвешенной кривой и осью времени вход-
ного сигнала, равна значению выходного сигнала (фиг. 11, ж) в задан-
ные моменты времени для выходного сигнала tb и tc, указанные
на фиг. 11. Если рассматривать умножение и интегрирование по
времени входного сигнала как одновременные операции, то можно
вообразить, что функция памяти скользит по временной функции
входного сигнала и производит при этом последовательные мгновен-
ные значения выходного сигнала. Функцию веса или памяти иногда
называют „развертывающей* функцией, так как входной сигнал как бы
развертывается с помощью некоторого оператора для образования
выходного сигнала. Ее называют также „окном* функции. Выходной
сигнал (в данный момент) зависит только от той части входного
сигнала, который „видим* через „окно*, причем действие входного
сигнала пропорционально высоте „окна*.
Формула интеграла суперпозиции дает основу для точного опре-
деления устойчивости. Определим устойчивую систему как си-
стему, у которой выходной сигнал ограничен при всех огра-
ниченных входных сигналах. Чтобы найти соответствующие огра-
ничения для импульсной характеристики h(t), напишем
Ы01 (24)
где М — положительное действительное конечное число. Подста-
вив (24) в интеграл суперпозиции (19), получим
00
M)|<^ J|A(x)|rfx, (25)
откуда непосредственно вытекает необходимое и достаточное условие
устойчивости
f \h(t)\dt<oo. (26)
— ОО
Другими словами, система устойчива тогда и только тогда, когда
ее импульсная характеристика „абсолютно интегрируема*.
7.5. Представление интеграла суперпозиции
в виде корреляционной операции
При передаче сигнала по линейной системе происходит взвешен-
ное интегрирование, которое можно поэтому рассматривать в виде
корреляционной операции. Такое представление нужно начать с опре-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
333
деления функции памяти линейной системы. Функция памяти m(t)
определяется величиной выходного сигнала в настоящий момент,
являющейся реакцией на входной единичный импульс, подведен-
ный t сек назад. Таким образом, функция памяти равна импульсной
характеристике с обратным знаком времени
т (t) = h (— 0; (27)
подставляя это равенство в интеграл суперпозиции (20), получим
t
v^= J v\ (х)m C1 — 0 d~ = Ф1т (0- (28)
— CO
Следовательно, при действительных функциях памяти (которые обычно
рассматриваются) выходной сигнал можно представить в виде взаим-
ной корреляционной функции входного сигнала и функции памяти,
как показывает обозначение ф1т в уравнении (28).
Для простоты „настоящее время" изображают „нулевым време-
нем"; поэтому величина выходного сигнала в настоящий момент
определяется очень простым выражением
оо
М°) = J (т) т (т) dt = ф1т (0). (29)
— ОО
Сопоставляя опять с векторным пространством, можно представить
функцию памяти и входной сигнал в виде векторов в многомерном
пространстве с ортогональными составляющими, равными выборочным
величинам
тл = 8/п(&8) (30)
и
^ = М*8). (31)
В уравнениях (30) и (31) параметр 8 представляет собой интер-
вал выборки, a k — целое число. При малом 8 сумма
о
V2(O)^ 2 (32)
k = -оо
стремится к интегралу (29). Следовательно, величину „вектора" вы-
ходного сигнала в настоящий момент можно представить как ска-
лярное произведение „вектора" входного сигнала и „вектора" памяти
~ • w. (33)
По существу всякая линейная система передачи является „кор-
релятором", выходной сигнал которого представляет мгновенную
меру степени корреляции прошлого входного сигнала с функцией
памяти. Физическая интерпретация приближенного выражения (32)
приведена на фиг. 35 в гл. 8.
334
ГЛАВА 7
7.6. Алгебра свертки
Интеграл суперпозиции выражает передачу сигнала по линейной
системе. Независимо от этого интеграл суперпозиции изображает
определенную математическую операцию над двумя функциями, назы-
ваемую „сверткой". Две функции, fx(t) и /2(/), „свертываются" и
образуют третью функцию /3(/); таким образом, /3(0 называется
„сверткой" функций /ДО и /2(/). При изучении свертки удобно
применять следующее сокращенное обозначение:
оо
/з(0 = /1(0®/2(0. чт0 означает /3(0= J* (34)
— ОО
Это обозначение позволяет нам рассматривать свертку как особый
вид умножения и, следовательно, написать пять основных законов
галгебры свертки" в компактном виде:
ассоциативный закон сложения
д + (В + С) = (Д4-5) + С, (35)
коммутативный закон сложения
Д + В^В+Д, (36)
распределительный закон свертки
д®(В + С)=ДД®В) + (Д®С), (37)
ассоциативный закон свертки
Д®(В®С) = (Д®В)®С, (38)
коммутативный закон свертки
Д®В^В®Д, (39)
где Д, В и С — произвольные функций времени. Эти законы тожде-
ственны по форме с основными законами обычной алгебры (относя-
щимися к обычным числам и обычному умножению).
Первые три закона очевидны, а пятый был доказан раньше
в уравнениях (18) и (19). Остается разобрать ассоциативный закон
для свертки (38). Выражение (38) можно проверить формально,
написав двойную свертку в виде двойного интеграла по двум пере-
менным Xj и т2, откуда будет видно, что порядок интегрирования
не имеет значения. Иначе двойную свертку можно представить в виде
последовательного соединения двух линейных систем (фиг. 12, а).
Сначала входной сигнал свертывается с импульсной характери-
стикой /г12 первой системы и образует ^2, а свертка v2 с импульсной
характеристикой /г23 второй системы дает выходной сигнал v3. Пред-
положим теперь, что ко входу подведен единичный импульс (фиг. 12, б).
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
335
В этом случае конечный выходной сигнал равен по определению
импульсной характеристике /г13 всей системы, а импульсная харак-
теристика /г13 равна, очевидно, свертке /г12 и Л23. Тогда ассоциатив-
ный закон вытекает прямо из того, что свертка vx и Л13 должна
дать выходной сигнал v3.
(Ut ® hf2) ®h23 ~ из
h15 _ h12 ® h2 3
Ui®hl3 = ut<b(hl29h23)=v3
ut®(h23vhJ2)-v5
Фиг- 12. Иллюстрация свойств ассоциативности и коммутативности
при свертке.
На фиг. 12, и в иллюстрируется коммутативный закон, который
по существу гласит, что линейные системы, соединенные в последо-
вательную цепь, можно располагать иначе или менять местами, не
меняя общую передачу сигнала. Нелинейные системы не обладают
такой гибкостью в смысле расстановки частей.
Сингулярные функции uk играют простую, но важную роль
в алгебре свертки. Когда единичный импульс uQ свертывается
с произвольной функцией /, получаем
со оо
J—т)^ = /(0 J* u0(t — x)dx = f(t). (40)
•ОО -00
336
ГЛАВА 7
Подынтегральное выражение не равно нулю только при т, близком
к t. Поэтому f (т) можно заменить на /(/), не меняя величины
интеграла. Таким образом, свертка любой функции с единичным
импульсом дает ту же самую функцию
= (41)
Полученный результат доказан путем рассмотрения интеграла; такие
рассуждения уже приведены в подробном выводе формулы интеграла
суперпозиции для линейных систем. Поэтому такое соотношение, как
(41), должно быть очевидно из тех простых свойств линейных систем,
которые уже были установлены. Если в выражении (41) рассматри-
вать в виде входного сигнала, а функцию f как импульсную
характеристику, то их свертка должна быть выходным сигналом.
Выражение (41) определяет импульсную характеристику системы.
Вместо этого можно рассматривать f как входной сигнал, a uQ
как импульсную характеристику, и тогда уравнение (41) выражает
очевидную истину, что если импульсная характеристика представляет
единичный импульс, то выходной сигнал есть точное воспроизведе-
ние входного сигнала.
Рассмотрим теперь линейную систему, у которой выходной сигнал
представляет собой производную по времени от входного сигнала.
Такая система называется „идеальным дифференциатором". Импульс-
ная характеристика идеального дифференциатора представляет, оче-
видно, дублетную функцию их (так как иг есть производная от и0),
и отсюда непосредственно следует, что
«!®/=^- <42)
Для „идеального интегратора" импульсная характеристика бу-
дет и
t
u-i®f= f f dt. (43)
— oo
Таким образом, вообще
= (44)
где верхний индекс в скобках означает #-ю производную функцию /.
Отрицательное значение k указывает интегрирование, например, /~3)
означает, что / была интегрирована три раза и каждый раз в пре-
делах, указанных в уравнении (43).
Другой основной операцией, кроме дифференцирования и инте-
грирования, является временная задержка. Если линейная система
дает выходной сигнал /(/ — /0), являющийся задержанной копией
входного сигнала f (/), то импульсная характеристика такой „идеаль-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
337
ной системы задержки* должна представлять сдвинутый единичный
импульс uQ(t — /0). Следовательно,
(t *о) ® / (0 — / ^о)‘ (45)
Отсюда видно, что сингулярные функции свертываются по простым
правилам (46)
= и2, (47)
^-1®^1 = ^0’ (48)
"/® (49)
а задержка при свертывании функций увеличивается
(/ /j) ® (t t2) = иj + k(t t2). (50)
Другими словами, когда сигнал проходит через последовательные
линейные системы, задерживаясь в каждой из них, то на выходе
общая задержка (запаздывание) равна сумме отдельных задержек.
Этот результат не должен нас удивлять.
Следует упомянуть еще одно основное соотношение: если в дан-
ной линейной системе h входной сигнал создает выходной сиг-
нал v2, то другой входной сигнал, являющийся &-й производной
первого входного сигнала, создаст выходной сигнал, равный &-й
производной первого выходного сигнала. В математической форму-
лировке
vW®h = v<p. (51)
Пояснение дано на фиг. 13. Соединим исходную систему фиг. 13, а
с идеальным дифференциатором uv как показано на фиг. 13, б.
Теперь можно переменить местами h и не меняя общей передачи
(фиг. 13, в). Следовательно, производная по времени от t/p подве-
денная на вход системы /г, 'должна создать выходной сигнал, являю-
щийся производной по времени от v2. Кроме того, как показано на
фиг. 13, г, свертка и h дает другую импульсную характери-
стику А(1). Таким образом, дифференцирование выходного сигнала v2
можно осуществлять либо путем дифференцирования входного си-
гнала либо путем замены импульсной характеристики системы ее
производной.
Таким образом, получаем основное соотношение: порядки диф-
ференцирования и временные задержки при операции свертки, т. е.
при операции передачи сигнала через последовательный ряд линей-
ных систем, накапливаются
= (52)
/р с - q ® е - =лу+** с - (53)
22 Зак. 1115
333
ГЛАВА 7
Тождество (52), представляющее частный случай соотношения (53),
особенно полезно в практических вычислениях. Предположим, напри-
мер, что функция j\ непрерывна и кусочно-линейна, первая производная
от /i есть ступенчатая кривая, а вторая производная представляет
дискретный ряд линейных импульсов. Если продифференцировать Д
дважды и проинтегрировать /2 дважды, то их свертка не меняется.
Практическая ценность такой операции состоит в том, что гораздо
проще произвести свертку с /(2~2), чем прямую свертку с /2,
потому что свертка задержанного линейного импульса с функцией
h и,
о » Ф-------------о
(7/ #2 dOi/dt
и, h
в о—♦-—о-------» - о
и, dVi/dt dv2/dt
Z о —.......- -о
duz/dt
Фиг. 13. Дифференцирование входного сигнала вызывает дифференциро-
вание выходного сигнала.
приводит лишь к сдвигу функции и умножению ее на постоянное
число. Если функция не является кусочно-линейной и непрерыв-
ной, во многих случаях ее можно заменить с достаточной точностью
кусочно-линейной приближенной кривой.
7.7. Решение некоторых уравнений свертки
На фиг. 14 показана простая система передачи, содержащая замк-
нутый путь передачи ВС, Если Л, В и С — постоянные числа
[т. е. если импульсная характеристика ветви А есть AuQ(t) и анало-
гичные характеристики имеют ветви В и С], то на основании правил
передачи для линейных графов из рассмотрения цепи получаем соот-
ношение между входным сигналом v1 и выходным сигналом v3
viAB
v3=bbcB-
(54)
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
339
Если А, В и С представляют собой импульсные характеристики
трех линейных систем, то правила вычисления для линейных графов
нужно видоизменить (или скорее истолковать) так, чтобы включить
в них свертку, а не простое умножение. В этом случае уравнения
полной системы будут
= (®1 ® А) + (®3 ® С) (55)
И
v3 = v2 ® В. (56)
Исключая v2 путем подстановки, получим
^з®(^о — С® В) = tij® Д ®В. (57)
Если каким-то способом „разделить" обе части уравнения (57) на
„коэффициент" при v3, то задача будет решена. В алгебре свертки
ЦО
Фиг. 14. Простая система передачи с обратной связью.
деление имеет другое значение, чем в обычной алгебре. Обозначим
эту особую операцию двойной чертой дроби
/з(0 = =В, что означает Л (0 = /2(0®/з(0- (58)
J2 У?)
Если даны /j и /2, то можно „разделить" на /2 и получить
неизвестную функцию /3. При этом подразумевается, что неизвестная
функция /3 должна быть выбрана так, чтобы ее свертка с /2 дала /г
Такое „деление" означает, что необходимо решить интегральное
уравнение относительно неизвестной функции /3, которая находится
под интегралом свертки. При этом обозначении решением задачи,
поставленной на фиг. 14, будет
_ Vi®Я®В
3— w0-(C®B) ‘
Сопоставляя выражение (59) с выражением (54), видим, что по
внешнему виду они сходны.
В следующих разделах этой главы показано, что можно очень
просто решать такие задачи, преобразуя сигналы и импульсные
характеристики в функции частоты, когда свертка заменяется обыч-
ным умножением. Тем не менее сейчас уместно дать краткий обзор
операций, которые можно проводить непосредственно над функциями
времени.
22*
340
ГЛАВА 7
Рассмотрим систему, изображенную на фиг.' 15, а. Ветвь, идущая
от v2 до v3, представляет идеальный интегратор с импульсной ха-
рактеристикой u_v Ветви а и b представляют собой идеальные
Of о-
__ au4(t)ebt
= / О----—О
б
Фиг. 15. Интегратор j с обратной связью имеет экспоненциальную
импульсную реакцию
усилители. Их импульсные характеристики равны соответственно auQ
и buQ. Когда на вход подводится единичный импульс (узел /), выход-
ной сигнал v3 мгновенно возрастает от нуля до значения а. После этого
Фиг. 16. Система с экспонен-
циальной импульсной реакцией
и цепь обратной связи b
имеют общую экспоненциальную
импульсную реакцию
начального возбуждения входной си-
гнал исчезает, и последующее изме-
нение v3 определяется интегратором
и_х и ветвью обратной связи Ь.
Поскольку v3 равно интегралу от v2,
то v2 равно скорости изменения или
возрастания v3. Кроме того, ввиду
наличия ветви b скорость возраста-
ния v3 пропорциональна v3. Таким
образом, v3(t) является экспонен-
циальной функцией, скорость возра-
стания которой пропорциональна ее
величине. Следовательно, интеграль-
ное уравнение
v3 (t) — b J v3 (t) dt (60)
имеет известное решение в виде
(61)
На основании этих соображе-
ний находим, что система, изобра-
женная на фиг. 15, а, эквивалентна
одиночной ветви передачи с импульс-
ной характеристикой, показанной на
фиг. 15,0.
Рассмотрим теперь систему, изо-
браженную на фиг. 16, а. Ветвь
с экспоненциальной импульсной характеристикой можно заменить
интегратором с обратной связью (фиг. 16,0). Два пути обратной
связи можно соединить параллельно (фиг. 16, в) и представить в виде
одиночной эквивалентной ветви (фиг. 16, г).
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
341
Два примера, изображенные на фиг. 15 и 16, важны сами по
себе, потому что такие конфигурации очень часто встречаются
в изображениях с помощью графов линейных систем связи, измери-
тельных и управляющих систем. Они указывают также путь анализа
более общих систем, содержащих интеграторы. Анализ линейных
систем передачи с сосредоточенными параметрами сводится к тому же
самому, что и анализ сигнального линейного графа, содержащего
интеграторы. В качестве примера можно назвать электрические цепи
Фин 17- Две системы общей формы, содержащие интеграторы.
хотя такое представление не ограничено ими; линейный граф элек-
трической цепи с сосредоточенными параметрами можно построить
так, что число содержащихся в нем интеграторов будет равно числу
имеющихся в цепи независимых напряжений на конденсаторах и
независимых токов в катушках.
Рассмотрим произвольный граф, содержащий три интегратора.
На основании правил вычисления графов импульсная характеристика
имеет общую форму
Уг AqUq 4“ 1 Ч~ ^2ц-2 4~ ^зц-з ^02)
Vj Uq — j — ^2^ — 2 — B3U_3
где Ak и Bk — постоянные. Это следует из того, что никакой путь
и никакой контур в графе не могут содержать больше трех интегра-
торов, а свертка трех интеграторов равна, очевидно, я_3. Какова
бы ни была форма начального графа, его можно привести к графу,
342 Г Л А В А 7
изображенному на фиг. 17, а, с импульсной характеристикой (62).
Далее, знаменатель выражения (62) можно разложить на множители
V2 ______АЦ0 + A{U_ ! А2и_2 4- A3U_3_ (63)
Vi (u0 — М- j) ® (u0 — b2u_ j) (g (uQ — b3u_ j) ’
где bk — постоянные, возможно комплексные, зависящие от Bk.
Дробь (63) можно представить в виде суммы более простых дробей
= аоиоа!и.т.>, 4- -азЦ-1 .. (64)
V1 Uq —62w-l w0 —b3ll-i
Преобразование дроби (63) и (64) называется разложением на
простые дроби. Новые постоянные ak определяются через bk и Ak
следующим образом. Сначала приводят члены дроби (64) к общему
знаменателю. В полученном числителе коэффициент при и_2 пред-
ставляет линейную комбинацию величин ak и должен быть равен Аг.
Таким образом, получаем систему линейных уравнений, определяю-
щих Аг через ak, и, решив эти уравнения, можно найти ak, выра-
женные через известные Аг. Равенство (64) можно рассматривать
как импульсную характеристику графа, изображенного на фиг. 17, д’.
Таким образом, общая задача анализа, поставленная в выражении (62),
может быть разбита на ряд более простых задач, решение которых
уже известно. Элементарная система, изображенная на фиг. 15, и
разложение на частные дроби представляют собой совместно мощное
средство анализа линейных систем с сосредоточенными параметрами.
7.8. Комплексные экспоненциальные
сигналы
Выше было показано, что удобный способ изучения линейных
систем состоит в подведении на вход единичного импульса и наблю-
дении получающегося при этом выходного сигнала. Из этих данных
можно с помощью интеграла суперпозиции вычислить реакцию
системы на произвольный входной сигнал. Помимо единичного
импульса (или единичной ступени, которая очень просто связана
с единичным импульсом), при изучении линейных систем имеет перво-
степенное значение другой элементарный входной сигнал, а именно
экспоненциальный сигнал. Если положить, что входной сигнал равен
ехр(о/) в течение всего времени (прошлого, настоящего и будущего),
то можно проверить путем прямой подстановки в интеграл суперпо-
зиции, что соответствующий выходной сигнал будет Н exp (at)
в течение всего времени (прошлого, настоящего и будущего). Таким
образом, экспоненциальный входной сигнал создает экспоненциальный
выходной сигнал с тем же показателем. Параметр Н вообще будет
различным при различных значениях коэффициента показателя а, и,
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
343
как оказывается, свойства исследуемой линейной системы полностью
определяются функцией Н(а). Итак, функция Н(а) дает такое же
полное описание системы, как и импульсная характеристика h(t).
Если известна Н (а) или /г(/), то можно вычислить выходной сигнал
при любом заданном входном сигнале. Однако, если читатель не
знаком с функциями комплексной переменной, ему может показаться
удивительным, что все сказанное выше применимо и в том случае,
когда действительное число а заменено комплексным числом $. Воз-
никает вопрос: что означает exp(s/), когда s — комплексное число?
Первая часть задачи сводится к определению комплексного экспо-
ненциального сигнала exp(s/) и его связи с действительными сигна-
лами, существующими в природе.
Определим сначала „комплексную частоту"
s = а + /о> (65)
и сопряженную ей комплексную величину, обозначаемую звездочкой,
S* = а — /со, (66)
где а и а) — действительные величины, a j — квадратный корень
из —1. Каждая из этих величин ($, а и со) имеет размерность вели-
чины, обратной времени, и это единственное оправдание тому, что s
называют „частотой". Хотя кажется логичным называть а действитель-
ной частотой, a со— „мнимой частотой", но это противоречит уже
применяемым названиям. На практике обычно называют со „действи-
тельной частотой". Что касается коэффициента а, то для него при-
менялись различные названия, в том числе „параметр возрастания"
и „коэффициент затухания". В дальнейшем применяются по возмож-
ности лишь обозначения, а не их названия. Тем не менее можно
предложить другое название для $. Вместо „комплексной частоты"
можно называть 5 „комплексной скоростью изменения" или просто
„скоростью изменения" экспоненциального сигнала ввиду того, что 5
связано со скоростью возрастания или убывания показательной функ-
ции (скорость возрастания „сложных процентов"). Таким образом,
о и а) — соответственно „действительная скорость изменения" и „мни-
мая скорость изменения". Кроме того, это не мешает применять
термин „частота" в качестве синонима „мнимой скорости изменения" со.
Вернемся теперь к определению комплексной показательной функ-
ции. Полный дифференциал от 5
ds = da-\-j dab, (67)
s2 = a2 — co2 + /2 a co. (68)
Рассмотрим теперь полный дифференциал квадрата 5. Его можно
вычислить с помощью правой части уравнения (68). Дифференцируя
уравнение (68), получим
d (s2) = 2a da — 2a> -f- /2g> da -j- /2a dw, (69)
344
ГЛАВА 7
это можно представить в виде
d (s2) = 2 (а + J (о) (da + J du). (70)
Разделив уравнение (70) на ds, получим
-^?=2s. (71)
Соотношение (71) показывает, что при дифференцировании некоторых
функций комплексной переменной можно применять те же правила
дифференциального исчисления, как и для функций действительной
переменной. Для отыскания производной высшей степени по s сна-
чала напишем
<72>
Произведение двух функций дифференцируется по обычным правилам,
даже если не известно, как дифференцировать одну из функций про-
изведения. Поэтому соотношение (72) позволяет получить более
общее выражение. Из него следует, что если обычное правило диф-
ференцирования справедливо для данной степени $, то же правило
справедливо для следующей высшей степени. Поскольку уже уста-
новлена справедливость обычного правила дифференцирования для s2,
оно должно быть справедливо для всех высших степеней $. Таким
образом,
4Р- = П5"-1. (73)
as
На основании соотношения (73) можно применить обычные правила
дифференциального исчисления к любой функции от $, определяемой
степенным рядом по s (с обычными условиями относительно сходи-
мости ряда). Такие функции называются аналитическими. Всякая
аналитическая функция комплексной переменной s имеет единствен-
ную производную, дифференцируется по обычным правилам диффе-
ренциального исчисления и может быть разложена в степенной ряд
по s. Примерами аналитических функций являются cos(s), log (s)
и 1/s. Функцию 1/s нельзя разложить в ряд относительно начала
координат, потому что в начале координат функция сингулярна.
Но \/s можно разложить в ряд Тейлора относительно какой-нибудь
другой точки, не лежащей в начале координат, и это является до-
статочным доказательством аналитичности функций.
Простой пример неаналитической функции
= (74)
Абсолютную величину |$| нельзя представить как степенной ряд по
переменной s. Теперь можно выяснить смысл комплексной показа-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
345
тельной функции, рядом Комплексная показательная функция определяется 00 k exp (s/) = е5'= . <75) л=о
Этот ряд сходится при всех конечных значениях s и t. Разделяя s
на действительную и мнимую части, получим
Разлагая в тождества 00 • k esl = = е°( . (76) л=о степенной ряд функции cos и sin можно установить cos (о/ = (77)
и sino>( = - • (78)
Из соотношений (76) — (78) находим
Далее, est = eQt (cos co/ -|~ j sin w/). (79) eQt cos otf = , (80) pSt __ pS*t eat sin a)/ — ^2 • (81)
Связав функцию ехр($/) с известными тригонометрическими и
показательными функциями действительных переменных и а/,
можно приступить к изучению ее свойств. Для построения графика
функции ехр($/) в зависимости от времени нужно иметь трехмерное
пространство: одна координата для времени и по одной координате
для действительной и мнимой составляющих функции. В трехмерном
пространстве кривая имеет вид „спирали", диаметр которой при из-
менении расстояния по оси спирали изменяется по показательной
функции. Однако действительную часть функции можно изобразить
в двух измерениях для различных значений комплексного параметра 5
(фиг. 18). Для задания s нужно указать два действительных числа —
значения о и id. Весьма удобно рассматривать о и в качестве
прямоугольных координат на плоскости, как показано на фиг. 19.
Каждая точка плоскости соответствует частному значению комплекс-
ной переменной $. Эта комплексная плоскость обычно называется
„плоскостью комплексного или „плоскостью комплексных частот",
или просто „плоскостью $“•
346
ГЛАВА 7
Раньше было установлено без доказательства, что в линейной
системе экспоненциальный входной сигнал ехр($/), имеющий ком-
плексную скорость изменения создает экспоненциальный выходной
сигнал, имеющий такую же комплексную скорость изменения, как и
входной сигнал. Кроме того, подробно рассмотрен комплексный
Фиг. 18. Действительная часть функции времени exp(s0 при различных
а и со.
= In 2 =s 0,693; со!» 2п =z 6,28.
экспоненциальный сигнал и его действительные и мнимые составляю-
щие, выраженные через известные функции действительных перемен-
ных. Здесь следует ответить на такой вопрос: какое значение могут
иметь комплексные сигналы, если в природе существуют лишь дей-
ствительные сигналы? Один из возможных ответов такой: принять,
что комплексные сигналы существуют в природе, но всегда в виде
комплексно-сопряженных пар, сумма которых всегда действительна.
Ответ на вопрос, почему нужно изучать действительные сигналы
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
347
с помощью комплексных экспоненциальных сигналов, довольно прост:
„Потому что удобнее изучать комплексные экспоненциальные сиг-
налы".
Пусть vXr — действительный входной сигнал. Система будет
реагировать на него некоторым действительным выходным сигна-
лом v2r. Положим также, что vu— некоторый другой возможный
действительный входной сигнал, которому соответствует действитель-
ный выходной сигнал v2l. По принципу наложения входной сигнал
‘У1 = ‘У1Г± Jvu должен создать выходной си-
гнал v2r ± Jv2i. Таким образом, если входной J
сигнал создает выходной сигнал v2, то
комплексно-сопряженный ему сигнал ф* должен ♦•<••• л
создавать выходной сигнал v*r Это свойство
действительных линейных систем называется
„сопряженной симметрией". Вследствие сопря-
женной симметрии проследить прохождение
пары комплексно-сопряженных экспоненциаль-
ных сигналов через систему по существу не
труднее, чем проследить прохождение одиноч-
ного комплексного экспоненциального сигнала.
Поэтому можно изучать одиночный комплекс-
ный экспоненциальный сигнал, временно пре-
небрегая его комплексно-сопряженным двойни-
ком, имея в виду, что соответствующий дей-
ствительный сигнал представляет собой дей-
ствительную часть комплексного сигнала, при-
меняемого в вычислениях. Частный случай s =
представляет, очевидно, основу для понятия
полного сопротивления при анализе установив-
шегося режима цепей переменного тока.
Комплексный экспоненциальный сигнал общего вида можно запи-
б&п2
Фиг. 19. Положе-
ния функций, изобра-
женных на фиг. 18,
в комплексной пло-
скости s.
сать следующим образом:
Vest= |У| [cos (wf 4“ ф) 4” J sin (ш/—|— ср)], (82)
где
V= | У | eh= | У | (cosc? + j sin cp) (83)
— так называемая „комплексная амплитуда" сигнала. Соответствую-
щий физический (действительный) сигнал
Re [Vesl] = ~ [(Vest) + (Vest)*] «= | V | е°‘ cos (о>/ + ср). (84)
Действительная часть комплексного экспоненциального сигнала пред-
ставляет обобщение обычного установившегося синусоидального
348
ГЛАВА 7
колебания, амплитуда которого может оставаться постоянной (а = 0),
или возрастать экспоненциально (а положительно), или уменьшаться
экспоненциально (а отрицательно).
7.9. Передаточная функция
Подставляя комплексный экспоненциальный входной сигнал
(t) — V\est (85)
в интеграл суперпозиции
— У \h (т) (t — т) dx, (86)
получаем оо
v2(t) — f h(x) Vxes dx. (87)
— оо
После вынесения за знак интеграла части, не зависящей от т, имеем
v2(/) = IZie^ J h(x)e~s’-dx (88)
— ОО
Оставшийся интеграл есть по определению функция системы или
передаточная функция
H(s) — J h(t)e~stdt. (89)
— оо
Очевидно, что при действительной h(t) функция Н (s) „сопряженно
симметрична", т. е. H(s*) = H*(s). Из соотношений (88) и (89) сле-
дует, что выходной сигнал представляет собой экспоненциальную
функцию, имеющую такую же комплексную скорость изменения, как
и входной сигнал:
v2(t) = H(s)V1est. (90)
Если входной сигнал системы представляет одиночную комплексную
экспоненциальную функцию в течение всего времени, то H(s)
равна отношению выходного сигнала к входному
<91>
При других входных сигналах, отличающихся от комплексного
экспоненциального сигнала, вообще нельзя ожидать, что отношение
выходного сигнала к входному не будет зависеть от времени. Соот-
ношение (91) можно по существу рассматривать в качестве простого
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
349
определения передаточной функции, если при этом отчетливо пони-
мать, что такое определение имеет смысл только для входного
сигнала вида ехр($/).
Выходной сигнал имеет форму
= (92)
и это указывает наиболее простую интерпретацию передаточной
функции как отношение комплексных амплитуд выходного и вход-
ного сигналов
Ж*) = ^. (93)
Таким образом, при исследовании прохождения комплексного
экспоненциального сигнала через последовательность линейных систем
требуется лишь обычное умножение, а не свертка.
Интеграл (89) определяет аналитическую функцию H(s). Напри-
мер, если
h(t) = (94)
то
оо
H(s) = J (95)
О
а это можно написать в виде
В пределе
H(s)= lim
/->оо
[ 1 _«,-(*+!) q
L s+i Г
H(s) =
1
s + 1
oo
при a > — 1,
при a < — 1.
(96)
(97)
(98)
Таким образом, выражение l/(s-1- 1) дает истинное представле-
ние функции H(s) только в „области сходимости", лежащей вправо
от вертикальной прямой a = — 1 в плоскости 5. Часто для удобства
приравниваем функцию H(s) этому выражению
но при этом всегда следует помнить, что данное равенство справед-
ливо только в некоторых областях плоскости
То обстоятельство, что выражение (99) не определяет функции
во всей плоскости, не является просто математической трудностью.
Положим, что входной сигнал
^(0 = ^
(100)
350
ГЛАВА 7
подведен к системе, определяемой равенством (94). Подставив в инте-
грал суперпозиции, видим, что
•у2(0 = s4-l ПРИ °> <101) оо при а — 1. (Ю2)
Следовательно, выходной сигнал v2(t) равен ^(0/^+1) только
при а, большем —1. При с, меньшем этой критической величины
или равном ей, выходной сигнал имеет бесконечное значение при
всех конечных /.
Передаточная функция реализуемой устойчивой системы имеет
особые свойства. Поскольку h(t) реализуемой системы равна нулю
при отрицательном t, то на основании соотношения (89) имеем
|Я(«)|< J\h(t)\e~^dt. (103)
о
Если система, кроме того, устойчива, то из соотношения (26)
и (103) следует, что
|H(s)| < оо при всех о 0. (104)
Следовательно, интеграл, определяющий функцию реализуемой устой-
чивой системы, сходится во всей правой полуплоскости $, включая
ось /а) и бесконечно удаленную точку. Если известно, что импульс-
ная характеристика является характеристикой устойчивой системы, но
не обязательно реализуема, то относительно интеграла передаточной
функции можно сказать лишь то. что он сходится на оси /ш.
В частном случае при s — Ja) передаточная функция, равная //(/(о),
представляет собой преобразование Фурье импульсной характери-
стики h(t). Для устойчивых систем интеграл Фурье сходится при
всех о). Поскольку мы исходили из определения передаточной функ-
ции H(s), то будем обозначать преобразование Фурье функции h(t)
через а не Н (cd). Однако это лишь вопрос обозначения.
7.10. Корреляция входных и выходных
сигналов
В следующих разделах будут обсуждаться общие свойства реали-
зуемых устойчивых систем. Если рассматривать в качестве перемен-
ной /о), то функция Н (s) становится Н (Ju) и называется иногда
„частотной характеристикой" системы. Здесь достаточно представить
//(» в виде преобразования Фурье импульсной характеристики h(f).
Частотную характеристику Н (/«) линейной системы можно найти
экспериментально, подавая на вход приближенный единичный
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
351
импульс «0 и записывая выходной сигнал h(t), откуда можно вычи-
слить Ступенчатый входной сигнал u_v часто применяемый
на практике, дает выходной сигнал производная которого
представляет опять импульсную характеристику. Применение сину-
соидального входного сигнала с регулируемой частотой позволяет
непосредственно определять И (Ju) в виде отношения комплексных
амплитуд, изображающих входную и выходную синусоиды.
С первого взгляда может показаться, что при более сложном
входном сигнале, т. е. при всяком входном сигнале, не имеющем
формы единичного импульса, единичной ступени или синусоиды, за-
дача определения свойств системы по записанным входному и выход-
ному сигналам была бы весьма затруднительна. Но это не так, по
крайней мере в том случае, если применяется для вычислений кор-
реляционная операция. Пусть а Это можно показать следующим образом. (Ю5) (Ю6)
v означает vr означает v(0.
и взаимная корреляционная функция входного и может быть записана в виде Ф21 = V2®V\‘ выходного сигналов (Ю7)
При этом полагаем, что система реализуема и устойчива и вход-
ной сигнал (а следовательно, и выходной сигнал) представляет собой
импульсный сигнал с конечной энергией. Входной сигнал выход-
ной сигнал v2 и импульсная характеристика системы h связаны со-
отношением свертки
v2 = Vi(*)h. (108)
Подставляя выражение (108) в уравнение (107), получаем
= — (109)
а это можно представить в виде
4*21 == Ф11 ® (НО)
Если автокорреляционная функция фп входного сигнала предста-
вляет короткую по сравнению с h функцию-„окно“, то можно об-
ращаться с фп в уравнении (110) как с линейным импульсом и по-
лучить
фп0Л«ЧГпЛ, (111)
где — постоянное число, равное площади линейного импульса.
Следовательно,
(112)
352
ГЛАВА 7
Это соотношение показывает, что форма импульсной характеристики
такая же, как форма взаимной корреляционной функции ф21, которую
можно вычислить непосредственно по записанным входному и вы-
ходному сигналам.
Имеет значение также соотношение между автокорреляционными
функциями входного и выходного сигналов фп и ф22. Заметим прежде
всего, что v'2 = vl® h' и
ф22 — (Vl ® А) ® (V1 ® — (V1 ® Vl) ® (Л ® h'}’ 0 13)
Определим теперь
флл = Л(х)Л\ (114)
откуда
Ф22 — Фи ® Флл* (45)
Это показывает, что можно проследить прохождение автокорреля-
ционной функции сигнала по последовательному ряду линейных си-
стем, так же как и самого сигнала, при условии, что вместо импульс-
ной характеристики каждого блока полной системы берется ее авто-
корреляционная функция ^hh.
Для функций частоты свертка заменяется обычным умножением,
поэтому, применяя преобразование Фурье к соотношению (111), по-
лучаем
^((О)^^^)//^). (116)
Утверждение, что фп представляет короткий импульс, равнозначно
утверждению, что спектр плотности энергии (со) широкий и пло-
ский. Приближенное выражение (112) равносильно допущению, что
спектр (со) по существу постоянен в основном диапазоне частот,
занимаемом функцией Другое корреляционное соотноше-
ние (115) для функций частоты переходит в соотношение
Ф22(ш) = Фп(ш)|Я(>)|2. (117)
Другими словами, выходной спектр плотности энергии равен произ-
ведению входного спектра плотности энергии и квадрата модуля
частотной характеристики системы.
Все вышеприведенные соотношения относятся как к сигналам ко-
нечной мощности, так и к сигналам конечной энергии. Соответствую-
щие соотношения получаются при замене ф на ср и Ф (со) на Ф (со)
во всех формулах. Этой замене не подлежат функции флл и
потому что импульсная характеристика устойчивой системы имеет
форму импульсного сигнала.
Из соотношения (НО) получаются важные практические след-
ствия. Предположим, например, что нас интересует какая-нибудь
часть автоматически управляемого нефтеперегонного завода, напри-
мер та часть, для которой сигналом является регулировочное напря-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
353
жение следящей системы установки клапанов, а выходным сигналом
является температура жидкости в смесительной камере где-то дальше
в линии. Допустим, что эта система действует в ожидаемых диапа-
зонах изменения сигналов как приближенно линейная система пере-
дачи сигналов. Нам нужно определить частотную характеристику
устойчивого режима Н (/<о) для изучения поведения системы при
предполагаемом изменении работы завода. Непосредственное вычи-
сление частотной характеристики Н (/<о) трудно или невозможно,
поэтому нужно определить ее опытным путем. Но закрыть завод
для испытания с помощью синусоидального входного сигнала было бы
слишком дорого. Кроме того, рабочий диапазон частот составляет
от 1 до 1000 циклов в день, поэтому при испытании с помощью
синусоидального сигнала может потребоваться несколько дней для
достижения устойчивого равновесия на каждой из испытательных
частот п нижнем конце диапазона. К счастью, имеются заводские
записи, и, пропустив данные через небольшую вычислительную ма-
шину, программированную для корреляции, находив, что пред-
ставляет короткий импульс по сравнению с функцией ф21. Поэтому
можно применить приближенное выражение (112) и найти искомую
импульсную характеристику h(t). Таким образом определяется
передача системы без проведения специальных испытаний и
без нарушения нормальной работы системы. Даже в том слу-
чае, когда приближенное выражение (112) непригодно, можно тем
не менее найти по записанным сигналам.
Вернемся теперь к соответствующему соотношению для функций
частоты (116). Когда Ф21 (ш) и ^nW известны, определяется
равенством (116). 'Эта формула будет точна до тех пор, пока
спектр (<о) в существенном диапазоне частот функции не
станет слишком малым. Другими словами, спектр входного сигнала
должен охватывать существенный диапазон частот функции Н (/оо).
7.11. Согласование сигналов и систем
Как упоминалось раньше, выходной сигнал линейной системы
равен взаимной корреляционной функции входного сигнала и функ-
ции памяти системы. Если возьмем систему с функцией памяти, имею-
щей такую же форму, как входной сигнал, то выходной сигнал
будет равен просто автокорреляционной функции входного сигнала,
не считая возмож! ого постоянного множителя. Про такую систему
говорят, что она „согласована" с входным сигналом.
На фиг. 20 показано возможное применение согласованных си-
стем. Рассмотрим линейный импульс v0, который нужно передать
в приемный пункт v2. Физический путь передачи изображен на схеме
первым блоком и характеризуется функцией памяти /п0. Допустим,
что на пути передачи импульсный сигнал сильно искажается, как
23 Зак. 1115
354
ГЛАВА 1
показывает неправильная кривая сигнала vx (вместо этого можно
вообразить, что сигнал был намеренно искажен фильтром /п0 для
какой-то цели, например для обмана противника, и после этого
передается без искажения). Для восстановления первоначальной им-
пульсной функции можно применить на приемной станции „согласо-
ванный фильтр" т. Если искаженный сигнал достаточно „шумо-
подобен", т. е. если он сходен по внешнему виду и по природе
с выборкой широкополосного случайного сигнала, то автокорреля-
ционная функция ((pn = ^2) приближается к линейному импульсу
(фиг. 20).
Фильтры mQ и /п, изображенные на фиг. 20, называются „согла-
сованной парой", и степень приближения выходного сигнала v2 к ли-
нейному импульсу равна степени приближения автокорреляционной
функции памяти /п0 к единичному импульсу. Однако более важ-
ным является то, что для любой заданной функции mQ(t) и для
фиксированного интегрального квадрата функции tn (t) максимальная
возможная величина выходного сигнала v2 получается при согласо-
вании т и /п0, т. е. при выборе функции /п, являющейся зеркаль-
ным изображением функции /п0 во времени. Это следует из век-
торного представления соответствующих функций времени. Фиксиро-
ванный интегральный квадрат функции т соответствует вектору
фиксированной длины. Скалярное произведение, или корреляция,
вектора vx и вектора /и, очевидно, максимально, когда вектор т
вращается в том же направлении в векторном пространстве, как
вектор ‘Цр
Если сигнал содержит не только полезное сообщение или
информацию но и некоторый неизбежный аддитивный широко-
полосный шум метод согласования можно использовать для до-
стижения максимального выходного отношения сигнала к шуму в за-
данный момент времени. Положим
v1 = s14-n1 (118)
И
v2 = s2-\- п2, (119)
где $2 — часть v2, созданная действием только одного Таким
образом,
$2 = $! 0/г, (120)
n2~nx(*)h. (121)
Допустим, что входной шум имеет известную автокорреля-
ционную функцию срп. Преобразование Фурье функции срп есть
Фц(ю) — спектр плотности мощности шума nv (122)
Аналогично
Ф22((*>) — спектр плотности мощности шума и2. (123)
v,^h0(t -T)
m- ut
nt0
-T
T
Фиг. 20. Согласованная система передачи.
h • /77f t)
356
ГЛАВА 7
Поскольку
Ф22(«>)= |Н(/<о)|2фп(и>), (124)
интегрируя (123), получим
f Ф22(ш)-^-=/|//(/<й)|2Фп(1й)^-. (125)
Если спектр Фп (<о) приближенно равномерен в существенном
диапазоне частот, т. е. в диапазоне частот, охватывающем почти
весь спектр передаточной функции то функцию Фп можно
рассматривать как постоянную величину и вместо выражения (125)
получим
f Фя(«>)-^ = Фи/ |//(/«))|2^. (126)
Интеграл в левой части равенства (126) равен полной мощности
спектра выходного шума и равен, следовательно, средней по вре-
мени мощности выходного шума. Интеграл в правой части .предста-
вляет энергию реакции на единичный импульс
f |/7(»|2-^ = f h?dt = f m*dt. (127)
Следовательно,
02) = Фц (128)
Итак, при заданном входном шуме с равномерным спектром плот-
ности мощности высотой Фп и при функции памяти /п, имеющей
фиксированную величину интегрального квадрата, средний квадрат
выходного шума (т. е. средняя мощность шума) не зависит от формы
функции памяти. Что касается сигнала, то из формулы интеграла
суперпозиции имеем
= —(129)
Поскольку s и h действительны и
Л(т) = /п(—0, (130)
интеграл суперпозиции можно переписать в виде интеграла взаимной
корреляции функций и т
s2^ — —\)di. (131)
Соответствующий эффективный коэффициент корреляции опреде-
ляется следующим неравенством:
О <_
[PHI/'"2*']
(132)
< 1
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
357
и принимает максимальное значение, равное единице, когда функция
имеет такую же форму, как функция ^(Z):
= (133)
где К — произвольный масштабный множитель.
Кроме того, максимум функции $2(0 получается в начальный мо-
мент. Следовательно, из соотношений (131)—(133) получаем
к <»>г==[р; "П.Р'"] • <1 з4>
Теперь можно выразить отношение сигнала на выходе к шуму
через энергию входного сигнала и спектральную плотность мощ-
ности входного шума (которая также имеет размерность энергии).
Искомое отношение равно частному от деления выражения (134) на
выражение (128)
(135)
(136)
опти-
Итак,
___________Энергия входного сигнала___________
Спектральная плотность мощности входного шума
__. Пиковая мощность выходного сигнала
Средняя мощность выходного шума
Другими словами, согласованный фильтр представляет собой
мальную линейную систему, применяемую для получения сигнала
конечной энергии из аддитивного шума с равномерным спектром,
если показателем качества или критерием обнаружения сигнала служит
пиковое выходное отношение сигнала к шуму (по мощности).
Если спектр входного шума не является равномерным в интере-
сующем нас диапазоне частот, можно включить перед фильтром т
предварительную линейную систему тр с такой частотной характе*
ристикой, чтобы она компенсировала кривую спектра Фп (<о). Иначе
говоря, выбираем так, чтобы произведение Фп(и>) |//р(/и>)|2
было равномерно в существенном диапазоне. Следовательно, спектр
шума на выходе т будет равномерным, и фильтр т можно согла-
совать с измененным сигналом. Таким образом, последовательное
соединение тр и т образует совместно общий оптимальный линей-
ный фильтр для достижения максимального пикового отношения
мощностей сигнала к шуму.
Действие согласованной системы передачи можно очень просто
описать при помощи слышимых звуков. Как показано на фиг* 20,
входной „щелчок" производит тихий „свист" или „шипение" Vp
и задача согласующего фильтра т — снова „собрать сигнал" и про-
извести в конце концов выходной „щелчок" 'О2.
358
ГЛАВА 7
Иначе ту же систему можно изобразить фильтром /п0 с импульс-
ной характеристикой h0 в виде „свиста" длительностью Т с возра-
стающей частотой. Импульсная характеристика h согласующего
фильтра т будет звучать подобно „свисту" длительностью Т с умень-
шающейся частотой. Действительно, /п0 задерживает энергию „высо-
кой частоты" в раз больше, чем энергию „низкой частоты".
Согласующий фильтр действует противоположно, так что каждая
частотная составляющая испытывает одну и ту же общую задержку,
и на выходе фильтра т снова появляется „щелчок".
7.12. Действительная и мнимая части
реализуемой частотной
характеристики устойчивой системы
Вследствие того что функция h(t) равна нулю при отрицатель-
ном /, действительная и мнимая части реализуемой функции устойчи-
вой системы тесно связаны между собой. Более того, если
дана действительная часть то мнимая часть JH(jv) опре-
делена однозначно, и наоборот.
Чтобы найти соотношение между Hr (/(d) и Ht (/(d), можно по-
строить произвольную функцию //(» путем наложения (сложения)
некоторых элементарных функций. Обозначим через /(0 импульсную
•характеристику некоторой элементарной реализуемой системы и
через F (/ю) соответствующую частотную характеристику. Подразу-
мевается, что система устойчива, ибо в противном случае преобра-
зование F(/(d) не имело бы смысла. При умножении /(/) на ехрО'ц)^)
ни реализуемость, ни устойчивость не нарушаются, поэтому F (Ju>—/ц)^,
представляющая собой преобразование Фурье функции f (f) expQw^),
есть также реализуемая функция. Рассмотрим теперь весовую сумму
многих таких элементарных функций, каждая из которых имеет дру-
гую частоту (d1
оо
H(Jw) = J F(/<0 —/«>,)§• (u)j)da),, (137)
— ОО
где g ((D0 — действительный весовой множитель. Функция ^(^^
должна быть четной, ибо в противном случае функция h(t), соот-
ветствующая функции //(/(d), не была бы чисто действительной.
Поскольку сумма реализуемых передаточных функций сама есть реа-
лизуемая передаточная функция, H(Ju) в выражении (137) является
реализуемой, если интеграл сходится.
Возьмем теперь элементарную импульсную характеристику
<138>
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
359
где а — положительное действительное постоянное число. Следо-
вачелыю, ^w=z(a + s) ПРИ «>-«. (139)
и FМ.+М (140) л (а2о>2) ’ (141) Z(a2_j_m2) - (142) F (J<o) = Fr (j\o) + jF, (/co). (143)
Подставив в уравнение (137), получим Я (» = 1 [-2 rfo»!, (144) T J ' r. J a24-(ct)|—co)2 1 v 7 w (j(0) = 1 f (±1~ (/« . (145) 1 7 it J a2-]-(co, — co)2 1 4 7 — oo
На фиг. 21 представлены множители подынтегрального выраже-
ния (144). Если интеграл (144) сходится, то g^) при малом а
Фиг. 21. Множители в подынтегральном выражении уравнения (144).
по существу свертывается с единичным импульсом. Следовательно,
в пределе при малом а
Hf(» = g(a)), (146)
«. </») = г <Н7)
— ОО
ИЛИ
оо
«<<>“) =4 О48)
360 ГЛАВА 7
Чтобы разрешить затруднение с интегрированием в точке о^ —со.
можно вернуться к выражению (145) и рассматривать а как поло-
жительное число, малое, но не равное нулю. Повторяя всю эту про-
цедуру с чисто мнимой функцией f (t) (вместо действительной) и
с нечетной функцией g (ю^ (вместо четной), можно найти следующее
дополнительное выражение:
<|49>
Соотношения (148) и (149) называются преобразованиями Гиль-
берта. Они выражают упомянутое выше замечательное положение,
что мнимая (или действительная) часть реализуемой амплитудно-
частотной характеристики полностью определена, если задана дей-
ствительная (или мнимая) часть. Например, если задана /?(/о)), актив-
ная составляющая функции пассивного сопротивления Z (уЪ), то этим
автоматически определяется реактивная составляющая АГ(/(о).
Поскольку является нечетной функцией, то можно
написать
Hi О) = I [Ht (» - Hi (- /<!>)], (150)
после чего подстановка выражения (148) в (150) приводит к выра-
жению, эквивалентному (148):
со
HiU^ = - f (151)
Z CO, — co
— оо 1
а для выражения (149) имеется аналогичное эквивалентное уравнение.
Чтобы лучше понять смысл выражения (148), можно предста-
вить (145) в виде суммы двух интегралов, один из которых имеет
пределы интегрирования по от —оо до ш, а другой — от <о
до +оо. Проводя элементарные преобразования, можно объединить
эти два интеграла
2 Zf со? \
Hl (/ш) = - f ( - 2-Ат ) ? W rf<u*’ (152)
u 0 ' а '
где
q (Ш1) = + . (153)
Функции </(0)]) можно дать геометрическую интерпретацию, изо-
браженную на фиг. 22. Величина <7(о)]) равна наклону хорды, про-
веденной между двумя точками кривой g: gj -1- о)] и (и — При
фиксированной частоте о) этот наклон будет меняться с измене-
нием о)р определяющим функцию #(о)]). Если интеграл (152)
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
361
сходится, то в пределе при малом а имеем
сю
ВД<») = | f (154)
О
У реактивной функции, например у передаточного сопротивления
цепи без потерь (рассматриваемой как предельная форма цепи с по-
терями), действительная часть на оси /о) состоит целиком из линей-
ных импульсов. Хотя реактивная функция формально принадлежит
неустойчивой системе, преобразование Гильберта указывает истин-
ную величину мнимой части. Этого и следовало ожидать, так как
элементарная функция (139), из которой было получено преобразо-
вание Гильберта, становится в пределе при малом а реактивной
функцией. На самом деле функция (139) представляет сопротивление
простой параллельной цепи RC. Когда а стремится к нулю, проходя
положительные значения, то это равносильно тому, что положитель?
ная проводимость 1/R становится сколь угодно малой.
Реактивные функции, равные бесконечности при бесконечной со;
представляют собой исключения. Рассмотрим реактивную функцию
(155)
Если рассматривать ее как „почти устойчивую", т. е. как предель-
ную форму реализуемой функции устойчивой системы, то на оси
эту функцию можно представить в виде
7ГИО (ш) 4-+/<о) . (156)
362
ГЛАВА 7
Применяя преобразование Гильберта к действительной части, нахо-
дим только одну долю мнимой части, равную 1//а), и не определяем
другую часть /а), происходящую от числа Другим примером служит
система, описываемая следующими уравнениями:
Й(О = «о(0 — «1(0 —
W) = S2 S 1+s 1 + s S’ (158)
НГ (/<•>) — (О3 1 + <О2 ’ (159)
Hl О) — 1 + ^2 <»• (160)
Как указано в уравнении (158), эту функцию можно представить
в виде алгебраической суммы функции $/(!+$) устойчивой системы
и реактивной функции $. Преобразование Гильберта действительной
части уравнения (159) указывает только одну долю мнимой составляющей
а)/(1 +«)2), происходящую от функции s/(l —|—s) устойчивой системы.
В качестве последнего примера рассмотрим почти устойчивую систему
= «_1(0(-1—т^).
H(s)= log (1+4).
/w=4iog(i+i).
Wz(s) = —arctg(l).
(161)
(162)
(163)
(164)
В этом случае передаточная функция определена при бесконечной
частоте и преобразование Гильберта действительной части равно
мнимой части.
Итак, всякая четная функция g*(o)), для которой интегралы (144)
и (145) сходятся, представляет действительную часть некоторой
реализуемой передаточной функции устойчивой (или почти устойчи-
вой) системы, а преобразование Гильберта определяет мнимую часть.
Более того, найденная таким образом мнимая часть является един-
ственной, за исключением того, что к ней можно прибавить реактив-
ную функцию вида tZjS —a3s3 —|—a5s5 —|— ..., равную бесконечности
только при бесконечной частоте.
7.13. Интеграл действительной части
С помощью интегралов Гильберта (148) и (149) можно получить
соотношения, имеющие большое практическое значение. Одно из них
достоит в том, что функция //Д/w) при высоких частотах определяет
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
363
площадь, ограниченную кривой Для доказательства умно-
жим сперва обе части уравнения (148) на со. Теперь интегри-
руемое выражение содержит множитель со/(со— coj). Если со доста-
точно велико, этот множитель можно заменить единицей. Другими
словами, можно положить со значительно больше coj в области инте-
грирования. Следовательно,
в пределе
lim [—co//z(/co)] =
O)->OO
оо
= 1 (165)
— оо
Предел в уравнении (165) а
связан также с Л(0-|-), т. е.
со значением импульсной ха-
рактеристики h(t) при исче-
зающе малой положительной
величине t. Чтобы убедиться
в этом, вспомним, что А (О
представляет собой обрат-
ное преобразование Фурье б
функции //(/со)
оо
Л(0= f
— ОО
(166)
Поскольку функция h (t)
действительна, четная часть
h(t) является обратным пре- б
образованием действитель-
ной части
Фиг. 23. Четная и нечетная части им-
пульсной реакции.
h4(t)=
(167)
Но из рассмотрения фиг. 23 и выражения (167) получаем
оо
А(0+) = 2Лч(04-) = 1 f Нг(]ш)аш. (168)
— оо
Следовательно,
оо
1 i m [ — u>Ht (jw)] = h (ОД-) = f Hr d^. (169)
a
364 ГЛАВА?
Заметим, что в выражении (169) нижний предел интеграла равен
нулю и интеграл умножается на 2. Это упрощение допустимо, потому
что представляет собой четную функцию от а).
В качестве иллюстрации применения соотношения (169) рассмо-
трим усилитель, изображенный на фиг. 24. Полное параллельное
сопротивление в выходной цепи усилителя
Z (уц)) = R (у со) + JX (/ю).
(170)
Допустим, что об этом реализуемом устойчивом сопротивлении
известно лишь то, что оно становится емкостным при достаточно
высоких частотах
Z(/o))->-i при большой со (171)
или
X U<*>)
coG
При бОЛЬШОЙ О).
(172)
Предположим далее, что нужно выбрать или рассчитать цепь Z
таким образом, чтобы получить наибольшее возможное усиление
Фиг. 24. Усилитель одностороннего усиления с параллельной емкостью С.
напряжения в возможно широкой полосе частот и чтобы фазовый
сдвиг между V2 и V\ был малым.
Из соотношений (169), (170) и (172) непосредственно получается
оо
= (173)
о
„Синфазное* усиление напряжения усилителя (при фиксирован-
ном $) пропорционально активной составляющей R сопротивления Z,
и, следовательно, интеграл сопротивления в уравнении (173) предста-
вляет критерий качества для расчета сопротивления Z. Чем больше
этот интеграл, тем лучше усилитель. Для заданной величины инте-
грала активного сопротивления можно, конечно, рассчитать функцию
сопротивления Z так, чтобы получить либо большое усиление напря-
жения в узкой полосе частот, либо малое усиление напряжения
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
365
в более широкой полосе частот. Заметим, однако, что полное произ-
ведение усиления на ширину полосы задается емкостью С.
В действительности нужно также учитывать параметр $, так как
усиление можно увеличивать как путем увеличения R, так и путем
увеличения $. Из фиг. 24 (на которой полярность выходного напря-
жения У2 выбрана так, чтобы исключить в формуле усиления знак
минус) видно, что усиление напряжения
= sZ (» = И (/«>). (174)
Таким образом, произведение „усиление X ширина полосы" уси-
лителя задается величиной
со
= (175)
О
и при условиях, указанных в задаче, величина s/C является важным
практическим показателем качества.
Присоединение добавочной внешней пассивной цепи к выходным
зажимам усилителя не может привести к уменьшению С или увели-
чению $. Внешняя нагрузка может, конечно, привести к увеличению R
на некоторых частотах, но поскольку интеграл активного сопротивле-
ния фиксирован, это должно сопровождаться уменьшением R на дру-
гих частотах. Другими словами, частотную характеристику Нг (или R)
можно перемещать и изменять ее форму путем изменения параметров
цепи Z, но площадь, ограниченная этой кривой, должна оставаться
постоянной. Если, например, настраивается усилитель путем добавле-
ния индуктивности параллельно выходным зажимам, то вследствие
резонанса усиление увеличивается при сравнительно высоких часто-
тах, но при более низких частотах усиление уменьшается. Таким
образом, если проектировщику известно выражение (173) или (175),
то это избавляет его от напрасных поисков некоторой несуществующей
цепи Z, если требования установлены без учета теоретических
ограничений.
7.114. Усиление и фаза
Слово „усиление" иногда применяют в широком смысле как си-
ноним „усиление напряжения" или „усиление тока".
Более точно термин „усиление" имеет специфическое значение,
т. е. логарифм модуля передаточной функции. Напишем передаточную
функцию в комплексной полярной форме
H(J^= |//(/а))|еуе<Ч (176)
366
ГЛАВА 7
так что усиление для этой передаточной функции
G (о)) = \og\H (/о)>|, (177)
а 6 ((d) называется фазой или фазовым углом. Усиление и фаза
представляют собой действительную и мнимую части логарифма
частотной характеристики
log И (уЪ) = О ((d) -J- /0 ((d), (178)
и из сопряженной симметрии функции Н (s) следует, что
О(— (d) = G((d) (179)
и
0(— (d) = — 6 ((d). (180)
Когда передаточная функция представлена в виде произведения
двух или нескольких более простых функций, усиление (и фазу)
более сложной передаточной функции можно найти путем простого
сложения характеристик усиления (и фазы) отдельных передаточных
функций. Например, если
H(s) = H1(s)H2(s)t (181)
то
О ((d) = Gj ((d) + G2 ((d), (182)
6 ((D) = 0} ((D) + 62 ((D). (183)
Прежде чем перейти к более подробному разбору характеристик
усиления и фазы, необходимо уточнить обозначения. В выраже-
нии О ((d) (177), поскольку оно выведено из выражения (170), должны
применяться натуральные логарифмы. Единицы натуральных логариф-
мов называются неперами (неп).
«)„='(<) <184>
где числа хх и х2 представляют амплитуды входного и выходного
сигналов в системе передачи. Если х2 на 6 неп больше xv то это
значит, что система передачи имеет усиление 6 неп. На практике
чаще применяются другие логарифмические шкалы. Шкала децилогов
определяется соотношением ])
(U.=l0lgO <185>
Например, если х2 в сто раз больше xv то мы говорим, что х2
на 20 дл больше xv В шкале децилогов не различаются физические
!) Название единицы измерения .децилог* (дл) в отечественной лите-
ратуре не применяется. — Прим, перев.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
367
единицы величин хг и х2. Многие предпочитают пользоваться шка-
лой децибел.
20 1g , если хг и х2—напряжения (или токи), (186)
10 lg(—), если хх и х2— мощности.
(187)
Обоснование шкалы децибелов становится ясным из рассмотрения
усилителя, подобного изображенному на фиг. 25. Из схемы видно,
что отношение выходной мощности к входной (в дб)
4^1
^2
дб
(188)
Если входное сопротивление и нагрузочное сопротивление R2
одинаковы, как это часто бывает в реальных цепочечных системах
передачи, то
(189)
Поэтому можно выражать усиление в децибелах, не указывая, подра-
зумевается ли усиление мощности или усиление напряжения, так как
Фиг. 25. Система передачи (усилитель) с входным сопротивлением Rx
и сопротивлением нагрузки /?2.
На фиг. 26 приведены характеристики усиления и фазы, соот-
ветствующие элементарной передаточной функции H(s)=l-}-s. Для
сравнения начерчены пунктиром „идеализированная полубесконечная
возрастающая характеристика усиления" и соответствующая характе-
ристика фазы. Фазовые характеристики можно вычислить из характе-
ристик усиления с помощью интеграла
оо
<19(»
— ОО
368
ГЛАВА 7
представляющего такое же преобразование Гильберта, как соотноше-
ние между действительной и мнимой частями функции При
заданной функции 0(a)) интеграл Гильберта определяет функцию 6(a))
из уравнения log Н (/со) = G ((d) /9(a)), которая имеет все аналити-
ческие свойства реализуемой устойчивой передаточной функции. Если
Ti/2i---------— 90°
I 1—1----L_1 1 I I I L—1 L-L..I I I I ц,
0,1 0,2 QS0.81 2 3 'i 50 810
б
Фиг. 26. Универсальные характеристики усиления (а) и фазы (б).
---И(5) = 1 $;----идеализированная растущая кривая усиления.
функция log/7(s) реализуемая и устойчивая, то такими же являются
H(s) и ибо если | log Н (s) | ограничен при неотрицательном о,
то ограничены также |//($)| и |1//У($)|. Иначе говоря, действи-
тельная часть любой реализуемой передаточной функции равна
усилению некоторой другой реализуемой передаточной функции,
а соответствующая фаза равна, следовательно, преобразованию Гиль-
берта действительной части.
Как упоминалось выше, интеграл Фурье и, следовательно, интеграл
Гильберта применимы не только к передаточным функциям устойчивых
систем, но и к некоторым передаточным функциям „почти устойчивых"
Систем, именно к функциям, интегралы которых сходятся в правой полу-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
369
плоскости s и почти всюду на оси /а), за исключением некоторых
изолированных значений w. Такие функции можно рассматривать
в виде предельных форм устойчивых функций.
Для действительной четной функции g (w) условие
со
/ "I < 00 (191)
О
достаточно, чтобы гарантировать существование преобразования Гиль-
берта этой функции. Математики Пейли (Paley) и Винер (Wiener)
показали, что это условие не только достаточно, но и необходимо.
Система, у которой функция усиления нарушает критерий Пейли —
Винера, имеет импульсную характеристику, простирающуюся беско-
нечно далеко в прошлое. Чтобы сделать такую импульсную характе-
ристику реализуемой, надо сместить ее неограниченно далеко вправо,
по оси времени.
Примером такой характеристики является гауссова импульсная
характеристика Л(/) = ехр(—/2). Соответствующая частотная характе-
ристика представляет также действительную гауссову кривую.
Следовательно, соответствующая кривая усиления является параболи-
ческой относительно о), а фаза тождественно равна нулю. Такая
система, конечно, формально нереализуема. При большом положи-
тельном сдвиге Т импульсная характеристика h (t — Т) становится
„приближенно" реализуемой в том смысле, что лишь небольшая доля
энергии импульсной характеристики находится в области отрицатель-
ного времени. Фазовая функция будет равна о)7\ а не нулю, а для
лучшего „приближения" к реализуемости требуется еще больший
наклон фазовой характеристики. Преобразование Гильберта параболи-
ческой функции усиления дает, очевидно, бесконечную фазу при всех
ненулевых (в, т. е., другими словами, фазовая функция расходится,
если требовать строгой реализуемости системы, усиление которой
нарушает критерий Пейли — Винера.
При заданном О (св) преобразование Гильберта дает 6 (св) и тем
самым определяет соответствующую функцию Н (/со) = ехр [О (со) -|-
+ 70 («>)]. Эта функция не единственная. Существуют другие реали-
зуемые функции, имеющие одно и то же усиление, но различные
фазы. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим реализуемую передаточ-
ную функцию, модуль которой равен постоянной К на оси /со.
Такие функции называются равномерными, или функциями „полно-
стью пропускающих" систем. Полностью пропускающая система про-
пускает сигналы на всех частотах, не изменяя относительные амплитуды
сигналов. Простейший пример системы с равномерной частотной
характеристикой: й (О=/Сяо(О. # ($)=/С О (св) = log/С, преобра-
зование Гильберта для этой системы определяет точную фазу
24 Зак. Щ5
370
ГЛАВА 7
0 (cd) = 0. Можно также привести следующие примеры:
(192)
(193)
G (w) = log/С, (194)
9 (cd) = — 2 arctg (d, (195)
h(t) — KuQ (t — a), (196)
H(s) = Ke~as, (197)
G (w) — log/G (198)
9 (co) = — (Z(d. (199)
Пусть Hh — передаточная функция, определяемая гильбертовым пре-
образованием функции усиления, и пусть Н — какая-либо другая
реализуемая передаточная функция с таким же усилением. Тогда
отношение
н>=-щ <20»>
есть равномерная функция с нулевым усилением [ | | = 1].
Функция Hf определенно реализуема, потому что функции \ogHh и,
следовательно, Hh и 1///л реализуемые, а произведение двух таких
функций также реализуемо. Таким образом,
H = HhHf, (201)
0(о)) = 0л(о)), (202)
0((o) = 0J(d) + 0/((d). (203)
Фазовая функция системы с равномерной частотной характеристи-
кой имеет особые свойства, без которых формула (203) не имела бы
большого значения. В частности, фаза 0у(о>) реализуемой равномер-
ной передаточной функции является невозрастающей функцией
частоты со. Таким образом, представляет собой функцию
минимальной фазы; всякая другая реализуемая функция с таким же
усилением будет накапливать фазовое отставание (отрицательный
фазовый сдвиг) при изменении w от —оо до 4~сю с большей
скоростью.
Может показаться противоречивым, что преобразование Гильберта
определяет единственную функцию по тогда как
определение 0 (w) по G (о>) не является единственным. Причина этою
состоит в следующем: хотя наличие у функции log Н всех свойств
реализуемой передаточной функции автоматически обеспечивает реали-
зуемость функций Н и 1/7/, реализуемость функции Н не означает,
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
371
что функция log# должна иметь такие же свойства. Равномерная
функция //у=(1—реализуема, но ее логарифм становится
бесконечным в правой полуплоскости $ в точке $=1. Поэтому
функция log Hj не может быть одновременно функцией устойчивой
и реализуемой системы, а, поскольку всюду в этом исследовании
устойчивость подразумевается, функция должна быть нереализуемой.
Этот пример показывает, что гильбертово преобразование усиления
не может дать нетривиальную равномерную функцию, так как
определенная таким способом функция log#=G-j-/9 автоматически
реализуема.
То, что функция бу (со) должна быть невозрастающей, можно
видеть из выражений (196) и (199). Переходя к более общим рассуж-
дениям относительно фазы равномерной функции, заметим, что если
I Hf (JO>)|2 = Hf (ju>) H} (ja>) = Hf (ja>) Hf(— Ju>) = 1, (204)
TO
<205>
или
9 Hf (s)
<20B)
Многие существенные передаточные функции относятся к классу
рациональных функций, представляющих отношение двух много-
членов по $,
Н(s) = a°ttaC ’ <207>
и многие нерациональные передаточные функции можно приближенно
выразить рациональной функцией. На основании соотношения (206)
равномерная рациональная функция должна иметь следующую форму:
HAs) = a0-alS + a^-a^± ... + ans" .
/ aQ -f- -f- a2s2 a3s3 ... -|-ал$л
Многочлены в равенстве (208) можно разложить на множители
г/ /с\ (si + <s) ($2 + 5) • • • (sn + s) гопсп
где $2......sn — нули многочлена знаменателя. Для действитель-
ной функции Лу(/) имеем = откуда следует, что нули
либо лежат на действительной оси, либо появляются комплексно-
сопряженными парами. Пусть и $2 составляют такую сопряжен-
ную пару:
s2 = — 04 — /‘(Dp
(210)
24*
372
ГЛАВА Г
Постоянная «j должна быть положительной, так как в противном
случае функция Hj(s) станет бесконечной в правой полуплоскости s
и будет либо неустойчивой, либо нереализуемой. Переменив местами
первые два множителя в числителе выражения (209) и подста-
вив (210), находим
/7 Г /<"--> Я a-' 7y;-a) + M'i 1... ГА±^1. (211)
7 L«i+/(w —u>!) JL aj+z^ + toj) J L5ZZ—;o)J 7
Таким образом, рациональная функция Hj представляет произве-
дение элементарных равномерных функций, подобных функции,
О
Фиг. 27- Влияние на фазу „горба“ в горизонтальной характеристике
усиления.
В областях постоянного усиления 0 « ——.
К ((9-03.)
приведенной в выражении (193). Фаза каждого элементарного множи-
теля невозрастающая, поэтому функция 6у(о>) должна быть также
невозрастающей.
Между прочим, к функции бу всегда можно прибавить постоян-
ную ± птг, где п — целое число, откуда видно, что при умноже-
нии H(s) на ехр(± упк) = (—1)л форма функции Н (s) не меняется.
Вернемся теперь к системам с минимальным фазовым сдвигом.
С помощью преобразования Гильберта можно довольно легко вы-
вести простые зависимости между усилением и фазой. Напри-
мер, фаза в некоторой области примерно пропорциональна наклону
кривой усиления в этой области. Можно также убедиться в том,
что если изменение усиления происходит только в ограниченной
области оси /ш (фиг. 27, а), то фаза в смежных областях постоян-
ного усиления примерно обратно пропорциональна расстоянию от
этой области, как показано на фиг. 27, б.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
373
Характеристикам усиления на фиг. 26, а соответствуют кривые
минимально фазового отставания, изображенные на фиг. 26, б.
Фиг. 28.
и фазы.
основные изменения универсальных характери-
показаны
На фиг« 28
стик усиления, получаемые путем сдвига, изменения масштаба, пере-
мены знака или переворачивания пунктирных кривых фиг. 26.
374
ГЛАВА 7
С помощью универсальных характеристик усиления и фазы можно
найти фазовые функции, соответствующие данной функции усиления,
простым способом, показанным на фиг. 29. Пусть заданная функция
Фиг. 29. Наложение основных характеристик усиления (л), (в), (д), обра-
зующих ломаную приближенную характеристику (ж) для произвольной ха-
рактеристики усиления. Наложение основных фазовых характеристик (б)9
(г), (е) образует соответствующую фазовую характеристику (з).
усиления приближенно представлена кусочно-линейной кривой, изо-
браженной на фиг. 29, д. Кусочно-линейную приближенную харак-
теристику можно представить в виде суммы трех элементарных харак-
теристик усиления, изображенных на фиг. 29, а, в и д, а соответствую-
щими элементарными фазовыми характеристиками являются, сле-
довательно, кривые, изображенные на фиг. 29, б, г и е. Таким
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
375
образом, искомая фазовая характеристика равна сумме трех элемен-
тарных фазовых характеристик, как показано на фиг. 29, з. Такое
наложение элементарных характеристик усиления и фазы
представляет чрезвычайно полезный способ практического ана-
лиза и синтеза линейных систем,
7.15. Задержка несущего колебания
и задержка огибающей
Когда сигнал f (/) пропускается через систему передачи, его вре-
менная характеристика будет вообще искажаться системой. Однако,
если спектр сигнала ограничен областью, в которой усиление
в основном постоянно, а фаза является в основном линейной функ-
цией ш, выходной сигнал будет запаздывающей, но не искаженной
копией входного сигнала. Чтобы подробно исследовать это явление,
разложим функцию log Н ($) в степенной ряд относительно некото-
рой точки $0 так, что
Н (s) — ea*+a^s~s^+a^s~s^+ •••. (212)
Предположим теперь, что в интересующей области первые два
члена ряда дают достаточное приближение. Предположим также,
что $0 — чисто мнимая величина. При этих условиях можно перепи-
сать ряд (212) в эквивалентной форме
= (213)
где постоянные Ло, (о0 и /0— действительные числа. Если потребо-
вать, чтобы усиление в интересующем диапазоне не зависело от
частоты, то постоянная tx также должна быть действительной. Соот-
ветствующие функции усиления и фазы имеют следующий вид:
о (<о) = log Ло (214)
И
О ((D) = — (О0/0 — ((О — (Do) tv (215)
Рассмотрим теперь входной сигнал
^(/)=/(/)^, (216)
спектр которого (ю) ограничен областью вблизи <о0. Следовательно,
V2 (со) = Vj ((d) /7 (/id) = Аое~1ш° ((d) (217)
откуда можно найти обратное преобразование Фурье
v2 (t) == (t — ^). (218)
Наконец, подставляя выражение (216) в (218), получаем
v2 (0 = Ло/ (t — /j) d**(219)
376
ГЛАВА 7
Таким образом, первоначальный сигнал „модуляции" /(/) и вход-
ное „несущее" колебание ехр(/ю0/) задерживаются системой; эти
задержки могут быть различными. Величины задержки
/0 —— Г—1 —задержка несущего колебания, (220)
L -1ц)«ц)о
И
/х =— Г^1 —задержка огибающей (221)
легко найти путем рассмотрения характеристик усиления и фазы
(фиг. 30). На фиг. 31 показаны для сравнения кривые действитель-
ных (физических) входного и выходного сигналов. Между прочим,
на фиг. 31 /0 и tx положительны, а кривые на фиг. 30 соответ-
ствуют положительному /0 и отрицательному Это сделано для
наглядности.
Поскольку фаза представляет собой гильбертово преобразование
усиления, задержка несущего колебания и задержка огибающей си-
стемы передачи с минимальным фазовым сдвигом задаются формой
характеристики усиления. Поэтому для определения запаздывания
сигнала существенное значение имеет весь ход характеристики уси-
ления, включая области, не занятые спектром сигнала.
7.16. Экспоненциальные преобразования
Интеграл передаточной функции (89) представляет общую мате-
матическую операцию, которую можно применить к любой функ-
ции /(/) и получить соответствующую преобразованную функ-
цию F(s)
оо
F(s) = f f(t)~sidt. (222)
— ОО
Функция F (s) называется экспоненциальным изображением или
„двусторонним лапласовым изображением* функции /(/). Эти пре-
образования ввел Лаплас при исследованиях теплового потока и
аналогичных задач. Сам интеграл называется „экспоненциальным
преобразованием" или „двусторонним преобразованием Лапласа" (одно-
стороннее преобразование Лапласа имеет нижним пределом интеграла
нуль, а не минус бесконечность). Экспоненциальное преобразование
можно применить как к сигналам v(/), так и к импульсным харак-
теристикам систем h(t)\ букву f применяют вместо v или /г, для
того чтобы не возникло представления об ограниченности преобразо-
вания. Как было отмечено, преобразование (222) представляет собой
обобщение интеграла Фурье, к которому оно сводится при а, рав-
ном нулю, т. е. при $, равном /ш.
фиг. 30. Запаздывание несущего колебания /0 и запаздывание
огибающей t{ в области постоянного усиления и линейной фазы.
/ — область постоянного усиления и линейной фазы.
378
ГЛАВА 7
Сразу возникает вопрос о сходимости интеграла. Если можно
найти какое-нибудь действительное положительное конечное число Л4,
такое, что
( Mebt
Meat
при /^>0,
при /<0,
(223)
то интеграл сходится при всех значениях а, больших b и мень-
ших а. На фиг. 32, и и к приведена графическая иллюстрация
условия (223). Для любой временной функции, абсолютная величина
которой меньше кривой, изображенной на фиг. 32, а, преобразова-
ние сходится по меньшей мере в вертикальной полосе плоскости $,
заштрихованной на фиг. <32, к.
Эти условия вытекают непосредственно из неравенства
dt<M
. (224)
Следовательно, функция F ($) будет наверняка конечна только в том
случае, если а превосходит Ь, и будет конечна только в том случае,
если а лежит между а и Ь.
На фиг. 32 показаны области сходимости для нескольких простых
функций времени. Функция, подобная указанной на фиг. 32, а, рав-
ная нулю вне некоторого конечного интервала времени, имеет пре-
образование, сходящееся при всех конечных значениях. Однако из
сходимости преобразования при всех конечных а не следует, что
функция времени обязательно равна нулю вне некоторого конечного
интервала времени; примером функции, не равной нулю в неограни-
ченном интервале, является гауссова функция ехр(—/2).
Функция, изображенная на фиг. 32, д, рассматриваемая в качестве
импульсной характеристики, реализуема, но принадлежит неустойчи-
вой системе. Функция фиг. 32, ж нереализуема, но принадлежит
устойчивой системе. Заметим, что в частном случае при а = Ь их
экспоненциальные изображения имеют одинаковые формулы
Ь<а> (225)
°<«> (226)
хотя их области сходимости совершенно различны. Например, если а
и b положительны, изображение, определяемое соотношением (226),
имеет смысл на оси /ю (а = 0), а изображение, соответствующее (225),
не имеет смысла.
Здесь уместно сказать несколько слов об импульсной функции
uQ(t). Единичный импульс неограничен, и, следовательно, нельзя непо-
средственно проверить его сходимость (223). Но соответствующее
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
379
приближенное представление функции например гауссов импульс,
имеет сходящееся изображение при всех конечных а, и сходимость
Фиг. 32. Некоторые простые функции времени / (t) и области сходимости
(изображены заштрихованными участками в комплексной плоскости s) их
экспоненциальных изображений f(s).
сохраняется, когда гауссов импульс становится выше и уже. В пре-
деле изображение функции и0 сходится при всех а. Изображения
сингулярных функций высшего порядка также сходятся при конеч-
380
ГЛАВА 7
ном а, но становятся бесконечными при бесконечном 5, как будет
показано в следующем разделе путем прямого вычисления изобра-
жений.
Экспоненциальное преобразование превращает импульсную харак-
теристику /НО в передаточную функцию H(s), а зная Н, можно
найти путем простого умножения выходной сигнал, созданный ком-
плексным экспоненциальным входным сигналом. Если входной сигнал
представляет собой не показательную функцию, а некоторую произ-
вольную, допускающую преобразование функцию (/)» то для отыска-
ния изображения выходного сигнала V2 (s) можно умножить ее изобра-
жение V\(s) на H(s). Тогда задача будет состоять в том, чтобы
найти временную функцию х/2(/), соответствующую изображению
V2(s). Иногда (и так действительно бывает во многих существенных
задачах) функцию V2(s) можно найти в таблице известных изобра-
жений либо непосредственно, либо после некоторой предваритель-
ной операции, например с помощью разложения на простые дроби.
С другой стороны, можно написать обратное преобразование в виде
явного интеграла. Чтобы найти обратное преобразование, следует
сперва переписать интеграл (222) в виде
оо
F(a + »= J/(т) еdt. (227)
— ОО
Теперь составим интеграл
оо
F (а » «(’+»'-*»*- dw =
— ОО
оо оо
f dzdw (228)
—оо —оо
оо
— ОО
dx
(229)
-I— dx
а
(230)
Выражение в скобках в уравнении (229) представляет собой таб-
личный определенный интеграл, величина которого приведена в скоб-
ках в выражении (230).
В пределе при малом а гауссова функция в уравнении (230)
превращается в линейный импульс, расположенный в точке t на
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
381
шкале т. При допущении, что выражение (230) сходится, имеем
оо оо
f F (о + /о>)«<’+/“»' d<»= f f (т) [2км0 (t — t)J dx. (231)
— оо -оо
Правая часть уравнения (231) равна как раз 2~/ (/), так что
ОО + /оо
/(/)= р(0+ >)«<’+>>'/ F(s)e«-^-. (232)
— оо -/оо
Соотношение (232) представляет обратное экспоненциальное
преобразование. Во второй из двух форм преобразования подразуме-
вается, что ds = d(j<xs) — jdm и что интегрирование проводится
в комплексной плоскости s вверх по прямой постоянного а. Выбор
величины а зависит, конечно, от области сходимости интеграла (222),
определяющего F (s). Если а не лежит в этой области сходимости,
обратное преобразование функции F ($) не дает первоначальной функ-
ции времени (оригинала) f (/).
Независимо от выбранного значения о, можно всегда превратить
эту задачу в эквивалентную, в которой а действительно равно нулю.
Чтобы убедиться в этом, положим
F, (/<») = F (о -Ь/ш), (233)
fAt) = f(t)e~at. (234)
При таких обозначениях выражения (227) и (232) сводятся к пре-
образованиям Фурье
оо
F, (»= f f,(t)e-J”'dt,
— ОО
(235)
ОО
Л(0 = f F.Wei-^. (236)
— ОО
Следовательно, в ограниченном смысле можно сказать, что введе-
ние комплексной переменной s представляет собой прием, позволяю-
щий изучать более широкий класс функций времени с помощью
интеграла Фурье.
382
ГЛАВА 7
7.17. Некоторые основные свойства
экспоненциальных преобразований
Ниже приведен ряд полезных пар преобразований и указаны
в виде неравенств относительно а их области сходимости
/(()*- •* F (•*)• o' < 0 < C o". (237)
f(t-t0)e^ + -> F (s — s0) + °o < C a < a"4-a0, (238)
* | a | F (as), а'/а < о < o"/a. (239)
df(t)jdt + I -► sF (s), o' < 0 < ; o". (240)
J (0. a') < ' a", (241)
— oo /<*>«>«- -> skF (s), o' < 0 < ; a" и 0 < 0
при k отрицательном (242)
-> F<ft) (s), o' < 0 < : о", (243)
/,(0®/2(0*- (s)(s). (<• 0 < a<«. <). (244)
Л(0/2(0*- °;+a2< \ rr «<^+^2, (245)
«»(()* * sk, все о (k; >0), (246)
?-l q~~k 0 < a {k , >1). (247)
-1W (й —1)! *
♦ 2тги0 (o> — <o0), O-=O0, (248)
1ч- -> 2ttw0 (co), o = 0, (249)
t 1 o = 0. (250)
2|/| ‘
Большинство написанных выше соотношений вытекает непосред-
ственно из формул прямого и обратного экспоненциальных пре-
образований.
Соотношение (243) дает
(251)
— со
а это приводит к такому следствию, что &-й момент функции /(/)
связан с &-й производной функции F(s) в начале координат ком-
плексной плоскости s
= (252)
L -L-o
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
383
Чтобы пояснить свертку в плоскости s (245), будем исходить из
известной пары преобразований
/2(/) *-+F2(s — sq) (253)
и составим весовую сумму большого числа таких пар, имеющих
одно и то же а0, но разные (о0. Весовые суммы выражаютсн
интегралами
со со
Л (0 f [/=. (*о) -^] *-> f F2 (s - s0) [f, (s0) -^] . (254)
— oo —co
Интеграл в левой части дает fx(t), так что
/,(/)/2 (/)*-> / F,(s0)F2(s-s0)^. (255)
?о“ /да
Интегрирование нужно проводить вверх по прямой постоянного а0
в комплексной плоскости $0. Если Fx (s) сходится между а' и а'',
a F2(s) сходится между а' и а"» т0 интегрируемое выражение
^i(^o)^2(5 — 5о) сходится внутри вертикальной полосы
(°Г 0 — < °0 < «’ ° — °2) (256>
в комплексной плоскости $0, т. е. во взаимно перекрывающейся
части двух полос: aj < о0 < о'' и а — °2 < °о < ° — а2* Такая полоса
существует, очевидно, только в том случае, если
о; + а'<о<о;'4-а''. (257)
Свертку, написанную в виде (245), нужно представить в форме
интеграла вида (255) с ограничивающим условием (256) относительно
пути интегрирования.
Чтобы найти изображение сингулярной функции (246), можно
сперва представить показательную функцию степенным рядом
«-«=1-^ + ^---^+ ... (258)
и затем использовать то, что известно о моментах сингулярной
функции. В частности, uk (t) обладает только &-м моментом, как
указано выше в выражении (10). Следовательно, подставляя ряд
(258) в формулу преобразования, получим
00 k 00
f ukt(e)'st dt = -^- $ tkuk(t)dt = sk. (259)
— oo —oo
Изображение постоянного числа формально расходится при всех
значениях а. Однако путем соответствующего перехода к пределу
384
ГЛАВА 7
изображение можно представить в виде импульсной функции на
оси jo), как указано в выражении (249). Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим пару преобразований:
u_x(t)e~a‘—ру, — а<<з, (260)
о<а, (261)
сумма которых
е-'11'1 2-. — а<а<а (262)
стремится к единице для всех t при уменьшении параметра а. При
малых значениях а область сходимости в плоскости <$ представляет
собой узкую вертикальную полосу, включающую ось /со. Поскольку
параметр а нужно сделать сколь угодно малым, ограничимся иссле-
дованием преобразованной функции на оси у\о. Итак,
при <> = 0- (263)
Площадь, ограниченная кривой преобразованной функции, равна 2тт
при всех положительных а. Следовательно, в пределе при малом а
получаем выражение (249).
Вычитая выражение (261) из (260) и разделив на два, получим
функцию, приближающуюся к нечетно симметричной ступени, вели-
чина которой равна —]/2 при отрицательном t и г/2 при положитель-
ном t
-«<«<«. (264)
Здесь также преобразованная функция при малом а сходится
только в узкой вертикальной полосе, охватывающей ось /о. Рас-
сматривая опять только ось /со, легко убедиться, что выражение
(264) в пределе при малом а стремится к выражению (250). Изоб-
ражение функции равно 1/$, и, когда о стремится к нулю
со стороны положительных величин, 1/$ стремится к -гся0((о)4~
4-(1//(d). Этот вывод согласуется с тем, что функция и_г(1) равна
правой части преобразования (250) плюс половина правой части вы-
ражения (249).
7.18. Интегрирование по контуру
Обратное экспоненциальное преобразование включает интегриро-
вание по контуру в комплексной плоскости $, в частности интегри-
рование вверх по вертикальной прямой, лежащей в вертикальной по*
лосе сходимости прямого изображения F(s). Одно из наиболее изящ-
ных положений теории аналитических функций состоит в том, что
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 385
можно изменять форму контура, не изменяя величины интег-
рала. Благодаря этому положению можно очень просто и единооб-
разно изложить свойства обратного преобразования.
Перед изучением интегрирования по контуру необходимо пред-
варительно определить полюс
функцию устойчивой системы
и вычет. Рассмотрим, например,
g-1'l ---—
е 1 — 52
— 1 <а < 1. (265)
Изображение можно написать в следую-
щем виде:
2 —2 _ 1 1
1 — s2 — ($ + 1) ($ — 1) s + 1 $ — 1 ’
(266)
Из выражения (265) следует, что функ-
ция 2/(1—$2) становится бесконечной,
если s положить равным 1 или —1. Мы
говорим, что функция имеет полюсы в двух
точках комплексной плоскости s при
$!= —1 и $2 = +1’ Вообще F (s) будет
иметь простой полюс в точке sp с вы-
четом Кр. если
F(s)
S — sp
при 5 -> sp. (267)
Разложение на простые дроби (266) со-
держит вычеты в явном виде. Вообще
вычет можно вычислить в виде предела
б
Фиг. 33. Области анали-
Кр = Пт (s — sp)F(s). ^68) тической функции.
s~*sp а — вертикальная полоса сходи-
мости изображения/7^) функции
На фиг. ОО, а указаны ПОЛЮСЫ Функ- устойчивой системы /(0 и круг
...... тт л- м « ~ сходимости для разложения изоора-
ЦИИ (266). ДЛЯ функции устойчивой систе- жения в ряд; о —распространение
МЫ, имеющей несколько ПОЛЮСОВ, ширина функции P(s) на плоскости $ пу>
» nvrviiwvvD, шпргиш аналитического продолжения,
полосы сходимости ограничена полюсами,
ближайшими к оси /о справа и слева. Если функция принадлежит
устойчивой системе и реализуема, полюсы расположены слева от
ОСИ J(D.
Прямое преобразование определяет аналитическую функцию F ($),
которую можно разложить в ряд Тейлора относительно некоторой
выбранной точки $0:
= (269)
*-о
25 Зак. 1115,
386 ГЛАВА?
(27°)
Ряд Тейлора сходится в круге, радиус которого равен расстоя-
нию от $0 до ближайшего полюса. Например, функция (266) может
быть разложена относительно начала координат (s0 — 0) в ряд Тей-
лора
о
_J__ = 2(1+s2 + s4 + s6+ ...). |S|<1( (271)
который сходится в круге единичного радиуса, показанном на
фиг, 33, а.
Если разложить функцию относительно какой-нибудь другой
точки, например qv указанной на фиг. 33, б, то круг сходимости
выйдет немного за границы вертикальной полосы, изображенной
на фиг. 33, а. Ряд Тейлора относительно точки qx определяет ана-
литическую функцию повсюду в соответствующем круге сходимости и,
следовательно, неявно задает все производные функции в любой
точке q2 внутри круга. Таким образом, коэффициенты разложения
в ряд Тейлора относительно точки q2 заданы, и этот новый ряд
определяет функцию в более широкой области плоскости s (площадь
круга qx плюс добавочная площадь, охватываемая кругом q^ (см.
фиг. 33,0. Поэтому ряд относительно точки q2 определяет ряд
относительно любой другой точки q3 в круге q2. Этим способом так
называемого аналитического продолжения функция, определенная
первоначально только в вертикальной полосе, может быть продолжена
или распространена по всей комплексной плоскости 5. Чтобы про-
должить функцию F(s), заданную в замкнутой аналитической форме,
нам не нужно вычислять последовательные разложения в ряд.
Достаточно применять ту же формулу, но не ограничивая ее область
вертикальной полосой. Аналитическое продолжение дает строгое
обоснование тому, что можно говорить о „значении4* функции повсюду
в плоскости 5, если эта функция была первоначально определена
интегралом, сходящимся лишь в ограниченной области.
Следующая задача состоит в том, чтобы показать, что определен-
ный интеграл функции по пути, лежащему в круге сходимости раз-
ложения этой функции в ряд, зависит только от положения конеч-
ных точек пути, но не от его формы. Рассмотрим сперва две точки,
и $2» отношение которых
= (272)
где 7 — комплексная постоянная. Пусть путь между этими двумя
точками представляет отрезок логарифмической спирали в плоскости $,
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
387
причем фокус спирали лежит в начале координат. Следовательно,
= (273)
где s — точка на пути, а х — действительная переменная. Когда х
изменяется от 0,1 до 1, точка s перемещается по пути от до $2,
как показано на фиг. 34, а. Ради простоты й без ущерба для
общности выводов можно положить, что круг сходимости имеет
центр в начале координат, так
функции представляет собой
просто степень 5. Если и
лежат- в круге сходимости, то
заданный путь также лежит
внутри круга. Замечая, что
^~ — ^e1Xdxt (274)
составим интеграл
f snds = e(n+'*xdx
Si 0
(275)
(276)
что каждый член ряда разложенной
Фиг. 34. Пути интегрирования
в комплексной плоскости $.
Интеграл в правой части
уравнения представляет собой
обычный интеграл от действи-
тельной переменной, содержащий комплексное постоянное число,
и его можно вычислить сразу по формуле (276). Подставляя выра-
жение (272), получаем
*2
J snds=^
Si
сл+1 сл+1
S2 —51
л+1
(277)
ол+1 Г
п^О.
Выражение (277) можно получить по правилам исчисления дей-
ствительных переменных. Для пути, состоящего из непрерывной по-
следовательности отрезков логарифмической спирали (путь abc на
фиг. 34, а), величина интеграла по контуру равна
сЛЧ-1 сл + 1
$snds = 4п+1' — «>0. (278)
abc
Заметим, что величина интеграла зависит только от конечных
точек и $4 и, следовательно, не зависит от положения точек
25*
388
ГЛАВА 7
и s3. Делая отрезки очень короткими и беря достаточно большое
число отрезков, можно представить таким способом приближенно
любой контур. Для замкнутого контура А, как показано на фиг. 34,6’,
конечные точки совпадают, в результате имеем
JsndssO, п^О. (279)
А
Поскольку полагаем, что контур лежит целиком внутри круга
сходимости разложения в ряд функции F (s), и поскольку интеграл
каждого члена ряда по контуру равен нулю, то получаем
f F(s)ds = 0. (280)
А
На фиг. 34, в возникает кажущееся противоречие у полюса интег-
рируемой функции, изображенного черной точкой. Контур А нельзя
заключить в круг, не поместив в него одновременно полюс. Однако
контур А можно представить как наложение двух отдельных конту-
ров ab и de, и каждый из них можно заключить в круг сходимости,
выбрав соответственно точку разложения в ряд. Поскольку интегралы
вдоль отрезков b и с равны и противоположны по знаку, интеграл
по ab плюс интеграл по cd как раз равен интегралу по контуру А.
Поэтому тождество (280) относится к любому замкнутому контуру,
в котором функция является аналитической, другими словами, к любому
контуру, внутри которого нет особых точек в виде полюсов.
Когда контур охватывает полюсы, интеграл вообще не равен нулю.
Рассмотрим интеграл по малой окружности с центром в полюсе sp,
как показано на фиг. 35, а. Вблизи полюса функция имеет простой
вид, представленный уравнением (267). Положим
s — sp = re^t (281)'
где г — постоянная. Следовательно,
ds = jreftd<f\ (282)
f(s) = ^-e->? (283)
и
2к
F(s)ds = jKp§ d<?, (284)
Р О
f F(s)ds —j2itKp. (285)
p
Рассмотрим теперь замкнутый контур С, охватывающий два полюса
(фиг. 35,6). Контур А на 35, в подобен контуру С, но отличается
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
389
от него двумя узкими коридорами, которые служат для того, чтобы
исключить полюсы из внутренней части контура А. Если отрезки
пути b и с очень близки друг к другу, интегралы вдоль этих отрезков
Фиг. 35. Интегрирования по контуру, охватывающему полюсы.
в сумме дают нуль, так же как интегралы вдоль / и g. Следо-
вательно,
f-f+f+f- <286>
А С d h
Поскольку контур А не содержит полюсов, то вместо выраже-
ния (286) получим
О = J F (s) ds — j 2к — j 2* К2. (287)
С
Составляющие от малых круговых отрезков d и h отрицательны,
а не положительны, как в выражении (285), потому что интегриро-
вание на участках d и h совпадает с движением часовой стрелки,
а интегрирование по Р на фиг. 35, а имеет противоположное напра-
вление. Поэтому величина интеграла по замкнутому контуру, напра-
вленному против часовой стрелки, равна 2 к/, умноженному на сумму
вычетов полюсов, лежащих внутри контура,
/IX <288>
С I
390
ГЛАВА 7
(289)
Обратное экспоненциальное преобразование дает
/«)=
V
причем интегрирование проводится вверх по вертикальному контуру V,
лежащему внутри полосы сходимости изображения функции F (5).
Допустим, что
F(s)->0, когда $->оо. (290)
Рассмотрим теперь прямоугольный замкнутый путь abed, изобра-
женный на фиг. 36. При очень широком прямоугольнике интеграл
Фиг. 88. Контуры для вычисления обратного экспоненциального изобра-
жения (оригинала).
по вертикальному отрезку а приближенно равен интегралу обратного
преобразования (289). Интегрирование по отрезку b дает ограничен-
ную составляющую; на основании выражения (289) имеем
— 00
при
t > о,
(291)
где Fm— максимальная величина функции F(s) на отрезке b (или d).
Отрезок с замкнутого контура также дает ограниченную составляющую
контурного интеграла
3
2z J* ^Fme ** f d(n=si 2Fm ре
-0
при t > 0. (292)
С
Ввиду допущения (290) F(ni) становится сколь угодно малым при
расширении прямоугольного контура. Следовательно, в пределе
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
391
при больших аир интегрирование по пути bed ничего не вносит в вели-
чину интеграла по замкнутому контуру, а обратное преобразование
(289) можно заменить интегрированием по замкнутому пути abed,
в результате получить ту же функцию f(t).
При отрицательном t составляющей интеграла по пути bed, по-
казанному на фиг. 36, уже нельзя пренебрегать. Но теперь можно
взять прямоугольник, простирающийся вправо, а не влево. При отри-
цательном t интеграл по пути bfc'd' (фиг. 36) для большого прямо-
угольника ничтожно мал. На основании этих соображений имеем
/(0 =
/>о,
t <0.
(293)
(294)
Величины Kt представляют вычеты в полюсах функции F(s) слева
от контура обратного преобразования V, а Kk — вычеты в полюсах,
лежащих справа. Множитель ехр($/) появляется в выражении (293),
потому что F(s)exp(s£) есть подынтегральное выражение обратного
преобразования. Если функция F(s) имеет вычет К9 в полюсе sit
то функция F(s)exp($0 должна иметь вычет в полюсе Л^ехр($/).
Знак минус в выражении (294) поставлен потому, что интегрирова-
ние по контуру ab'c'df проводится на фиг. 36 по часовой стрелке,
а интегрирование по контуру abed проводится против часовой
стрелки.
Для определения вычетов вернемся к функции устойчивой, но
нереализуемой системы
/(0г=е-т^/7(5) = _1_, _1<0< 1 (295)
с полюсами и вычетами
^ = 1,
$2=1, К2 = -1.
В этом случае в качестве контура обратного преобразования
можно взять ось /а), так что будет слева, $2— справа. Формулы
вычетов (293) и (294) определяют функцию
{ f>0,
= <<о. <297’
которая, конечно, совпадает с функцией времени (295). Следующий
пример—реализуемая, но принадлежащая неустойчивой системе функция
о> 1. (298)
392
ГЛАВА 1
₽ этом случае полюсы и вычеты такие же, как для функции (295),
но контур обратного преобразования нужно расположить справа
от $2- Таким образом, оба полюса находятся слева, и формула вы-
четов дает надлежащую функцию времени. Последний пример — не-
реализуемая функция неустойчивой системы
9
U-x (- t) [*' - е~<] , а < - I. (299)
В этом случае функция F ($) такая же, как в двух предыдущих
примерах, но ее область сходимости лежит слева от так что оба
полюса находятся справа и, следовательно, соответствуют функции
времени, неравной нулю только при отрицательных значениях t.
Таким образом, F (s) не определяет обратного изображения f(t)
однозначно, если не задано положение контура обратного преобра-
зования. Точнее говоря, обратное преобразование приводит
к первоначальной функции времени (оригиналу) только в том
случае, если контур обратного преобразования расположен
в вертикальной полосе сходимости прямого преобразования.
Выше было принято, что F (s) стремится к нулю при достаточно
больших значениях $. Если это условие не соблюдается, функция F(s)
называется „несобственной". Например, функция почти устойчивой
системы
42=s-7T2=S-2+7T2' ”>-2' <300>
очевидно, несобственная. Однако можно представить сложную несоб-
ственную функцию в виде суммы более простой несобственной и
собственной частей. Функция (300) при очень больших s становится
простой несобственной функцией $. После вычитания s из функции
получается остаток —2s/(s —Н 2), который, к сожалению, также
является несобственной функцией. Этот остаток при очень больших s
равен —2. Вычитая —2, находим новый остаток 4/(^—|— 2), который
является собственной функцией. Если F (s) представляет собой от-
ношение многочленов, являющихся функциями s, как в (300), разло-
жение до собственной функции — остатка — сводится к арифметиче-
скому процессу простого продолжительного деления. Простая несоб-
ственная функция (s — 2) в выражении (300) представляет собой
изображение функции ux(t) — 2uQ(t), а собственная функция — оста-
ток— допускает теперь обратное преобразование по формуле вы-
четов.
Остается рассмотреть еще один вопрос. Если вблизи точки sp
функция F(s) обратно пропорциональна n-й степени величины (s — sp),
то говорят, что F (s) имеет в sp полюс п-го порядка. Полюс пер-
вого порядка иногда называют „простым полюсом". Полюс п-го
порядка можно рассматривать как результат перехода к пределу,
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
393
при котором п различных простых полюсов сливаются в одну точку
в плоскости s. Поскольку формула вычетов была получена только
для простых полюсов, то переход к пределу можно использозать
для определения оригинала функции, имеющей полюс высшего по-
рядка. Например, реализуемая функция
имеет простые полюсы и вычеты
I
s2 = — b, К2 = .
так что
e~at — e~bt . Г 1 — «?-<»-«)11
f (0 = ь-a - И-1(/) = е L Ь — а--------] (303)
Когда b стремится к а, получаем
Лт/(й=йта- <304>
lim f (305)
b-*a
Общее выражение записано в виде формул (238) и (247).
7.19. Однополюсные системы передачи
Для комплексных экспоненциальных сигналов элементы, запасаю-
щие энергию, включенные в линейную систему с сосредоточенными
параметрами, удовлетворяют закону Ома в комплексной форме. По-
этому линейные дифференциальные уравнения, связывающие сигналы
разных частей системы, можно заменить комплексными алгебраиче-
скими уравнениями, устанавливающими связь комплексных амплитуд
экспоненциальных сигналов. Простой, но очень важный класс линей-
ных систем с сосредоточенными параметрами составляют системы,
которые содержат только один элемент, запасающий энергию.
На фиг. 37, а показана одна из таких систем с соответствующим
графом (фиг. 37, б), импульсной характеристикой (фиг. 37, в) и
переходной характеристикой (реакцией на единичную ступень фиг. 37, а).
Если анализ системы проводится для комплексного экспоненциаль-
ного входного сигнала, а не для единичного импульса или единичной
ступени, то получается схема, изображенная на фиг. 37, д. В графе
фиг. 37, е вместо интегратора и^/С применяется проводимость 1/Cs.
На фиг. 37, ж показана характеристика усиления, а на фиг. 37, з
изображена заштрихованная область плоскости в, в которой интеграл
394
ГЛАВА 7
передаточной функции сходится. Фиг. 37 имеет целью подчеркнуть
тесную связь между импульсной характеристикой или переходной
характеристикой, характеристикой усиления и положением полюса.
i G
б
h,'l’(t)-u.,(t)(l-e' §*)
и при - У1е51.аг(1) = Уге*‘,б->~
G
V, о—
е
G
~G*C5
- g/g
V, ’ l+(G/Cs) “ s + (G/C)
Фиг. 87. Анализ простой цепи RC.
Существенным параметром на фиг. 37, в, г, ж и з является вели-
чина О/С или обратная ей величина. „Переходная характеристика"
системы фиг. 37, в или г и „частотная характеристика" системы
Передача сигналов через линейные системы
395
фиг. 37, ж зависят от положения полюса в комплексной плос-
кости 5.
На фиг. 38 представлена общая эквивалентная схема однополюс-
ной системы (т. е. цепи, содержащей одну индуктивность или емкость,
граф с одним интегратором или дифференциатором). Схема на
фиг. 38, а состоит из двух частей: конденсатора С и остальной части
системы из активных сопротивлений
Сражает уравнения системы. Ток /
выражает теорему Тевенена для зажи-
мов конденсатора. Величина
представляет собой напряжение хо-
лостого хода на зажимах конден-
сатора, О является выходной прово-
димостью на этих зажимах, a V\AXO
определяет, следовательно, ток ко-
роткого замыкания. Таким образом,
цепь из активных сопротивлений
задает ток /, если Vx и V заданы.
Подобно этому напряжения V\ и V
определяют выходное напряжение V2,
что указано ветвями графа Л2 и Л12.
Наконец, граф показывает, что V
должно быть равно 1/Cs. На фиг. 38, в
показана другая форма графа, полу-
чаемая при обратном обходе контура.
Здесь напряжение конденсатора V
представлено в виде разности напря-
жения холостого хода и паде-
ния напряжения IR на эквивалент-
ном выходном активном сопроти-
влении /?, присоединенном к зажи-
Граф фиг. 38, б наглядно изо-
равен VXAXG минус VG, что
Z Cs V
Фиг. 38. Произвольная линей-
ная система, содержащая один со-
средоточенный элемент, накапли-
вающий энергию, т. е. интегратор.
Уг __ л __ л л. AMRC
И 1а+ 1 + ~Л1а+ 5 + (1/^С) *
На фиг. 39 показаны импульс-
общей однополюсной системы.
мам конденсатора.
Передаточную функцию
можно найти из рассмотрения той
или другой формы графа. В общей
схеме на фиг. 38 частный пример,
рассмотренный раньше на фиг. 37,
соответствует тому случаю, когда Л12
равно нулю, а АгА2 равно единице,
ная и переходная характеристики
Заметим, что переходная характеристика однополюсной системы пол-
ностью определяется тремя действительными величинами (не имеющими
полюсов): коэффициентом передачи при разомкнутой цепи на зажи-
мах С, коэффициентом передачи при коротком замыкании на зажимах С
и активным сопротивлением R на зажимах конденсатора.
396
ГЛАВА 7
Выражение коэффициента передачи, показанное на фиг. 38, можно
привести к общему знаменателю и получить функцию вида
= (306)
где К, а и Ь — действительные постоянные. Уравнение (306) опре-
деляет общую передаточную функцию однополюсной системы
Фиг. 89. Реакция h(t) на импульс (а) и реакция (/) на ступенча-
тую функцию общей системы (tf), изображенной на фиг. 38.
7 —конечное значение = Г—) ;
' Vl 'С (разомкнуто)
2—начальное значение = (—) ;
' 'С (замкнуто накоротко)
/? —сопротивление относительно С при vit замкнутом накоротко.
с сосредоточенными параметрами. Функция имеет так называемый нуль
в точке $ =— а и полюс в точке $ =— b
Н(— а) = 0, Н (— Ь) = оо. (307)
Модуль и фазу функции Н можно выразить из (306) в полярной
форме
|Н(s)I е'» = к |s+g|-ffi = К !--+д| е1№. (308)
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
397
На фиг. 40 изображена соответствующая векторная диаграмма
в плоскости $. Чтобы исследовать модуль и фазу функции
положим, что параметр $ находится на оси /ю (фиг. 40, а). Отсюда
следует, что угол 6 находится между двумя векторами, проведенными
из нуля и из полюса в точку $. Далее, если построить другой вектор
от нуля до точки р, как показано на фиг. 40, б, так, чтобы угол
между этим вектором и отрица-
тельной действительной осью был
также равен 0, то получим два
подобных треугольника с общей
вершиной в полюсе. Ввиду про-
порциональности сторон подоб-
ных треугольников длина нового
вектора (от нуля до точки р) про-
порциональна модулю передаточ-
ной функции.
При перемещении точки s
вверх или вниз по оси /со точка р
описывает кривую, имеющую фор-
му окружности. Такая кривая, на-
зываемая „круговой диаграммой",
часто представляет удобный спо-
соб изображения поведения функ-
ции
На фиг. 41 представлены об-
щие характеристики однополюс-
ной передаточной функции. Рас-
положение полюсов и нулей (фиг.
41, а) не определяет значения
постоянного множителя /С Но
если расположение полюсов и ну-
лей и множитель К заданы, то
Фиг. 40. Векторная диаграмма
в плоскости s для однополюсной
функции.
отсюда сразу получаются суще-
ственные размеры переходной характеристики (фиг. 41, г), харак-
теристики усиления (фиг. 41, ж), характеристики фазы (фиг. 41, к)
и круговой диаграммы (фиг. 41, н). Отметим, что начальное значение
переходной характеристики связано со значением И при очень высо-
ких частотах, а конечное значение передаточной функции равно зна-
чению И при очень низких частотах. Отметим также, что значение <о
в верхней точке круговой диаграммы задается положением полюса
в плоскости $.
На фиг. 41, б, д, з, л и о показаны соответствующие характе-
ристики для случая, когда нуль лежит слева от полюса. Переместив
нуль справа от полюса и справа от оси /ю, получим характеристики,
показанные на фиг. 41, в, е, и, м и п. В отличие от фиг. 41, н и о
398
ГЛАВА Г
круговая диаграмма (фиг. 41, п) охватывает начало координат в ком-
плексной плоскости Н\ поэтому при изменении а) от 0 до -J-oo
фаза 6 изменяется на к. Функции, изображенные на фиг. 41, а и б,
Фиг. 41. Характеристика однополюсной функции.
представляют собой функции минимальной фазы, тогда как функция
на фиг. 41, в — функция неминимальной фазы.
На фиг. 41 подчеркивается то обстоятельство, что расположение
нулей и полюсов (наряду с величиной постоянного множителя К),
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
399
переходная характеристика (реакция на единичную ступень или еди-
ничный импульс), характеристика усиления и фазы (или для функции
минимальной фазы — только кривая усиления) и круговая диаграмма
(наряду с критической частотой о) = £) показывают разные способы
представления одной и той же информации. Если дано одно из них,
то из него вытекают все остальные. Умение легко превращать один
вид этой информации в другой оказывает большую помощь в анализе
линейных систем. Пусть, например, необходимо начертить характе-
ристику усиления усилительной схемы с одним накопителем энергии,
причем усиление на высоких частотах, усиление на низких частотах
и постоянную времени переходной характеристики можно легко найти
из рассмотрения схемы. Постоянная времени указывает на положение
полюса, а отсюда непосредственно определяется положение одной из
точек перегиба кусочно-линейной приближенной характеристики уси-
ления (на фиг. 41, ж точка log а), а проведя из этой точки прямую
единичного наклона, получаем другую точку перегиба (log b). Иначе
говоря, кратчайшим путем отыскания кривой частотной характери-
стики может оказаться другой путь определения переходных харак-
теристик системы. Связь между переходной и частотной характери-
стиками устанавливается с помощью расположения полюсов и нулей
передаточной функции.
7.20. Круговые диаграммы
В предыдущем разделе установлено без доказательства, что при
непрерывном изменении а) от 0 до -]~оо комплексное геометрическое
место однополюсной передаточной функции представляет по-
луокружность (другая половина окружности соответствует, очевидно,
отрицательным частотам от 0 до —оо). Годограф функции в виде
окружности выражает определенные важные свойства однополюсной
передаточной функции. Рассмотрим произвольную однополюсную
функцию
где -де и z — комплексные переменные, а а, Ь, с и d — комплексные
постоянные.
В уравнении (309) в действительности лишь три независимые
произвольные постоянные, так как одну из четырех постоянных
можно исключить (например, с, умножив числитель и знаменатель
дроби на 1/с). Соотношение (309) часто называют „рационально-
линейным" или „дробно-линейным" преобразованием, потому что де
определяется отношением двух линейных функций от z. Это преоб-
разование однозначно и обратимо. Если дана кривая в комплексной
плоскости z, то можно преобразовать каждую точку этой кривой
в единственную точку на плоскости -де, и полученная кривая в этой
400
ГЛАВА 7
плоскости называется „отображением" кривой в плоскости z на пло-
скость w. В этом параграфе будут рассмотрены свойства отображе-
ний при рационально-линейном преобразовании.
Прежде всего перепишем уравнение (309) в другой форме:
W — ___ Z, — zp
«Ч — Wp ~z — zp9
(ЗЮ)
где wv zv wp nZp — постоянные. Заметим, что из соотношения (310)
получается следующая таблица соответствующих значений z и w
Z Zi ZD со
— . (311)
W I Wi CO Wp v 7
Точка Wj является отображением точки zv а точка w отображает
точку z, но не является отображением точки zp. Величина zp
служит полюсом функции w = f(z), а величина wp является полюсом
обратной функции z — g(w). Соотношение (310) содержит четыре
Фиг. 42. Подобные треугольники в комплексных плоскостях z и w.
комплексные постоянные, но две из них, zx и связаны уравне-
нием (309) и, следовательно, не являются независимыми. Таким об-
разом, уравнение (310), как и (309), содержит в действительности
только три независимые произвольные постоянные.
Формула (310) удобна тем, что она позволяет применить простое
геометрическое представление (фиг. 42). Треугольник zpzzx в ком-
плексной плоскости z и треугольник в комплексной пло-
скости w подобны, так как стороны (z— zp, zx — zp) относятся
так же, как стороны (wx— w— wp)t и заключенные между ними
углы [в уравнении (310) это комплексные углы обеих дробей] равны.
Заметим, что z и wx определяют соответствующие вершины подоб-
ных треугольников, так же как zx и w (но не zx и wx или z и w).
Затем можно построить отображение любой кривой в пло-
скости z на плоскость w. Прежде всего зададим положения непо-
движных точек zp и wp. Теперь выберем какую-нибудь удобную
точку zx и вычислим ее отображение wx на плоскость w. После
определения положений четырех точек, zp, wp, zx и wv можно
отобразить кривую в плоскости z по точкам на плоскость w путем
передача сигналов через линепные системы
401
геометрического построения подобных треугольников. Когда
точка z на фиг. 42, а перемещается по некоторой кривой в новое
положение z , точка w на фиг
положение w' таким образом,
чтобы сохранилось подобие
треугольников.
Основные свойства отобра-
жений при рационально-линей-
ном преобразовании выражают-
ся в том, что два треугольника,
изображенные на фиг. 42, по-
добны. Теперь исследуем част-
ные случаи, когда отображае-
мая кривая в плоскости z есть
окружность или прямая. Для
этого понадобится, помимо по-
добия треугольников, теорема,
сформулированная на фиг. 43.
Чтобы найти отображение ок-
ружности плоскости z на плос-
42, б должна перемещаться в новое
0 постоянно
Фиг. 43. Геометрическая теорема
о годографе движущейся точки Р по
отношению к неподвижным точкам Qi
и Q2. Годограф представляет собой
окружность, если 0 или отношение r2/ri
постоянно.
кость w, возьмем за центр круга
точку zx на фиг. 44, а. Затем вычислим по формуле преобразо-
вания и нанесем точку на плоскость w, как показано на фиг. 44, б.
Пусть z — точка на окружности, так что отношение г2/гх остается
Фиг. 44. Отображение окружности.
постоянным при движении точки z по окружности. Из подобия тре-
угольников следует, что отношение R^Rx равно r2jrx\ поскольку это
отношение постоянно, то точка w должна двигаться так же, как
26 Зак. 11)5
402
ГЛАВА 7
точка z, по окружности. Таким образом, окружность плоскости z
отображается в окружность плоскости ю. Чтобы определить
центр окружности в плоскости w, проведем прямую из точки zpt
касательную к окружности фиг. 44, в, и обозначим точку касания
через z'. Соответствующий треугольник в плоскости w будет
WpWjW', как показано на фиг. 44, г. Поскольку максимальное зна-
чение угла а должно быть одно и то же в обеих плоскостях, центр
окружности можно определить, проведя перпендикуляр w'o к каса-
тельной, как показано на фиг. 44, г. Между прочим, фиг. 44 со-
держит основные элементы, необходимые для доказательства теоремы,
сформулированной на фиг. 43. Для доказательства этой теоремы
допустим, что геометрическим местом на плоскости w является
Фиг. 45. Отображение прямой.
окружность на фиг. 44, б'; определим центр окружности, как пока-
зано на фиг. 44, г. Теперь заметим, что треугольники wpo-w и
подобны для любой точки w на окружности. Поэтому отношение
iVpO/ow равно отношению а это значит, что отношение
R2/Rl постоянно для соответственно расположенной окружности на
плоскости w, т. е., иными словами, геометрическим местом служит
окружность, если R2/Rx постоянно.
Теперь найдем с помощью подобия треугольников и геометри-
ческой теоремы отображение прямой в плоскости z на плоскость w.
Пусть zx — основание перпендикуляра, опущенного из zp на данную
прямую (фиг. 45, а), и пусть точка z движется по прямой в указан-
ном направлении. В плоскости w (фиг. 45, б) вершина w подобного
треугольника должна перемещаться так, что сохраняется прямой угол
при этой вершине. Следовательно, на основании геометрической
теоремы отображение на плоскость w дает окружность. Кроме того,
для этой частной выбранной точки прямая есть диаметр
окружности в плоскости w.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
403
Возвращаясь к фиг. 41, л и н, видим, что sp = b, Sj ===== 0, Нр~К
и Нх = Ка/b. Отображение оси на плоскость Н дает окруж-
ность, и точки Ка)Ь и К являются конечными точками диаметра.
7.21. Пример интегратора с обратной
связью
На фиг. 46 изображен усилитель с емкостной обратной связью
анод — сетка (фиг. 46, а), его линейная эквивалентная схема приве-
дена на фиг. 46, б и соответствующий граф показан на фиг. 46, в.
Еьь
Фиг. 46. Интегратор Миллера.
Усилитель создает выходной сигнал переменного тока, приближенно
равный интегралу входной временной функции переменного тока ех (t).
Так как схема содержит один накопитель энергии в виде элемента С,
то передача системы от ех и е2 определяется однополюсной пере-
даточной функцией.
Действие схемы можно объяснить следующим образом. Сперва
удалим источник ех и сопротивление и приложим ступенчатое
напряжение непосредственно к сетке в. Положим, что напряжение е
в схеме на фиг. 47, а представляет положительную ступень высо-
той Eq. В момент скачка входного напряжения напряжение на кон-
денсаторе остается равным нулю, так что все напряжение f0 по-
является сначала на сопротивлении /?2- Следовательно, начальное
26*
404
ГЛАВА 7
значение входного тока 1г будет таким, как показано на фиг. 47, в.
Установившееся значение тока lv очевидно, равно нулю,, так как
последовательно включенный конденсатор не пропускает постоянного
тока. Чтобы найти постоянную времени для импульса тока, заме-
чаем, что напряжение е и ток se постоянны после скачка, и. можно
положить напряжение е и ток se равными нулю и найти сопротивле-
ние относительно зажимов конденсатора С. При короткозамкнутом
Фиг. 47. Эффект Миллера.
а— схема Миллера; б — эквивалентная входная цепь; в —реакция I на скачок входного
напряжения высотой £0«
источнике е и разомкнутом источнике тока se схема сводится к про-
стой цепи, содержащей емкость С и сопротивление R2, так что по-
стоянная времени, очевидно, равна R2C, как указано на фиг. 47, в.
Зависимость между е и I в схеме, изображенной на фиг. 47, б,
такая же, как в схеме фиг. 47, а, так как в обеих схемах имеется
одна и та же реакция тока на входную ступень напряжения. Эта
эквивалентная входная схема наглядно показывает „эффект Миллера",
заключающийся в появлении в цепи относительно большой эффек-
тивной входной емкости, соединенной цоследовательно с очень ма-
лым сопротивлением. Из рассмотрения фиг. 47, б видно, что
емкость С сетка — анод умножается на (1 -[- Л), где А — абсолют-
ная величина усиления напряжения между сеткой и анодом на низ-
кой частоте E2jEv Множитель (1 -А) примерно равен напряжению
на конденсаторе, деленному на напряжение, приложенное к сетке.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
405
При достаточно большом сопротивлении источника (фиг. 46)
сигнал е будет много меньше, чем ev и можно положить прибли-
женно
(312)
<3,3>
е2ж — Ае, (314)
так что выходной сигнал переменного тока приближенно равен ин-
тегралу входного сигнала
(315)
Для точного анализа передачи обратимся к передаточной функ-
ции, имеющей такую форму:
H(S) = ^ = K±=±. (316)
О Op
При очень высокой частоте емкость С (фиг. 46, б) становится
короткозамкнутой, и из рассмотрения схемы найдем
Н (ОО) = G, + G2 + s = Ъ + Ъ + еЪЪ ==К' (317)
Чтобы определить положение нуля sz, положим, что ex(t) — комп-
лексный экспоненциальный сигнал с комплексной амплитудой Ех.
Число sz равно значению $, при котором входное напряжение Е2
равно нулю. Если Е2 равно нулю, то напряжение на С будет
равно Е. Кроме того, в сопротивлении /?2 не будет тока, поэтому
ток через конденсатор будет равен sE. Таким образом,
CszE = sE (318)
и
= £ (319)
ИЛИ
(320)
Остается определить положение полюса sp. При этом наиболее
простым оказывается косвенный подход. При нулевой частоте цепь
с емкостью становится разомкнутой. Из фиг. 46, б, полагая в урав-
нении (318) s равным нулю, находим
tf(0) = -s/?2 = ^-. (321)
SP
406
ГЛАВА 7
Это уравнение легко решить относительно sp
s - - 1
Р /7(0) (/?! + /?2 + 5/?j/?2)C •
(322)
На фиг. 48 показано расположение полюса и нуля. При увели-
чении $ нуль удаляется в бесконечность, а полюс приближается
к началу координат. В пределе при большом 5 получится, очевидно,
идеальный интегратор с полюсом в начале координат, не имеющий
нулей в конечной области комплексной плоскости. На круговой
диаграмме (фиг. 41, п при а^>Ь) увеличение $ вызовет увеличение
диаметра окружности, а также и приближение точки бесконечной
частоты к началу координат. В пределе комплексное геометрическое
место совпадает с мнимой осью.
При практически допустимых
величинах $ полюс располо-
жится значительно ближе к на-
чалу координат плоскости з,
Фиг. 49. Реакция интегрирующей
цепи на единичную отрицательную сту-
пень входного напряжения ^i = W-j(O-
R' ==•/?! г /?2 4*
Фиг. 48. Расположение полю-
сов и нулей интегрирующей цепи
R’ =/?i -|-+ sRiRi.
чем нуль. Схема будет вести себя подобно интегратору на тех часто-
тах, при которых вектор гх (фиг. 48) близок к вертикали, а вектор
г2 — к горизонтали. Это средний диапазон частот, ограниченный при-
мерно частотами ц^—1/R'C и о)2 = з/С. Характеристика усиления
вполне подобна кривой на фиг. 41, з с частотами и о>2 вместо
постоянных а и Ь. Зависимость усиления от логарифма частоты для
идеального интегратора представляла бы бесконечную прямую с на-
клоном — 1. На фиг. 49 начерчена переходная характеристика.
Соотношения (316), (317) и (319) дают полное описание переда-
точной функции. Чтобы проверить эти формулы, вернемся
к фиг. 46, в, на которой показан соответствующий граф для схемы
Миллера. Построение графа начинаем с трех горизонтальных ветвей,
после чего 1г можно представить в виде разности (Е— E2)Cs =
z=ECs— E2Cs. Теперь завершаем граф путем добавления двух
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
407
ветвей, указывающих, что увеличивает /2 и уменьшает Е на вели-
чину, равную напряжению I^RV Из рассмотрения графа видим, что
передаточная функция
^2 __ (Cs 5) ^2 ГЧ9Ч\
~ 1 + (/?! + R2 + sR{R2) Cs •
Кажущуюся входную проводимость на зажимах сетки можно
найти, положив в линейном графе Rx равным нулю
Y __( Л\ _____ (l + ^T?2)Cs
с“ Ui/^o ~ 1 + *2С$
(324)
Наконец, выходная проводимость относительно зажимов /?2 равна
передаче системы от Е2 к /2 с отрицательным знаком, когда ветвь
графа R2 удалена:
у ___ ( ^\ (1Cs /49^
7.22. Двухполюсные системы передачи
Форма двухполюсной передаточной функции в общем виде
= (326)
(S — 01) (о — О2)
имеет нули в ах и а2 и полюсы в Ьх и Ь2. Не обязательно, чтобы
оба нуля лежали в конечной области плоскости $. Например, если
один из нулей лежит в бесконечности, функция имеет следующий
вид:
н ($) = /С. -(f- fl|) . . (327)
Выражение (327) получается из (326), когда а2 стремится к бес-
конечности и К стремится к нулю, а произведение —Ка2 остается
равным постоянной величине Д7. Так как большинство практических
систем передачи имеет ничтожную передачу при неограниченно вы-
соких частотах, то можно ожидать, что многие существенные пере-
даточные функции будут иметь в конечной области плоскости s
меньше нулей, чем полюсов.
В качестве примера двухполюсной передаточной функции рас-
смотрим усилитель с реостатно-емкостной связью, изображенной на
фиг. 50, а. Полагая параллельную емкость Ск настолько большой,
что она имеет ничтожное реактивное сопротивление на всех рабочих
частотах, можно привести задачу к линейной эквивалентной схеме,
показанной на фиг. 50, б. В этой схеме Gx — проводимость парал-
лельной цепи из анодного сопротивления гр и сопротивления анодной
нагрузки /?д, a (j2 — проводимость сеточной утечки. Емкости
и изображают малые паразитные и межэлектродные емкости.
408
ГЛАВА 7
Чтобы получить достаточно близкое к действительности приближе-
ние, в Сг нужно включить емкости сетка — анод и анод — катод
первой лампы, а в С2 — не только емкость сетка — катод второй
Q
Фиг. 50. Усилитель с емкостно-реостатной связью (а) и эквивалентная
схема одного каскада (б).
лампы, но и емкость сетка — анод, конечно умноженную на коэф-
фициент, учитывающий эффект Миллера.
Из рассмотрения схемы фиг. 50, б находим
Z{s) = -^ = (Cs + 0) (Сг$ + Oj) + [(Ci + Сг) s + Oi + OjJ • (328)
Это выражение можно написать в виде
Z(S) (C1C,+ C0Ci + C,C,)(s4-«>i)(s + “>2) ’ (329)
где и Ш -1_<о — ^I^i + ^z+^o G?i + #a) /330) 1 + 2 — (С,с2+CaCt + С0С2) r,r2 (330) —((?,(?,+ С0С, + С0С2)/?,/?, • (331)
передача сигналов через линейные системы
409
Дальнейшие преобразования приводят к компактному выражению
Для выяснения характера частотной зависимости введем вели-
чины /?т, Кй и х, в результате получим
Z (Уш) =
Rm
(333)
где
(334)
(335)
(336)
Величина х равна нормированной переменной частоте. Когда х
принимает значение, равное единице (или минус единице), сопро-
тивление 2(/ш) является чисто действительным и равным так назы-
ваемому резонансному сопротивлению Rm. Параметр Ко служит ха-
рактеристикой относительной ширины интервала частот, в котором Z
остается приближенно равным Rm. Чем меньше величина Ко, тем
больше „ширина полосы*1 сопротивления Z.
Критические частоты Ш[ и ш2, появляющиеся в уравнении (329),
можно вычислить из соотношений (330) и (331). Проще рассмат-
ривать обратные величины l/oij и 1/ш2
J-+-L=c1/?14-c2/?2+c0(/?14-/?2). (337)
-А- = [С1С24-С0(С14-С2)]/?1/?2. (338)
На практике параллельные емкости Сг и С2 обычно значительно
меньше емкости связи Со. Если емкости Сг и С2 малы, то вместо
уравнения (334) можно написать приближенно
(’39)
Кроме того (когда Сх и С2 сравнительно малы), Wj и ш2 могут
иметь весьма различные величины. Обозначим через idj меньшую
410
ГЛАВА 7
из двух частот и допустим,, что членами 1/ш2, С1/?1 и С2/?2 в уравне-
нии (337) можно пренебречь. Таким образом,
•^«Со(/?1 + /?2). (340)
Подставляя уравнение (340) в (338), получаем
« (С, + С2)(341)
что подтверждает сделанное допущение (cdj много меньше <о2). Если
требуется более точная аппроксимация, то можно вычислить снова
значение 1/cdj из уравнения (337), определяя значение 1 /ш2 по фор-
муле (341). Если о)1 и со2 отличаются по меньшей мере в 10 раз,
Фиг. 51. Расположение полюсов и нулей (а) и круговая диаграмма (б)
для схемы с емкостно-реостатной связью.
такой способ последовательного приближения быстро сходится и соз-
дает удобства для определения численных значений Wj и о)2. Но на
практике обычно бывают достаточны первые приближения уравне-
ний (339) —(341).
На фиг. 51, а показано расположение полюсов и нулей схемы
с емкостно-реостатной связью, причем нуль находится в начале ко-
ординат, а два плюса — на отрицательной действительной оси.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
411
Из формулы (332) или (333) видно, что годограф функции полного со-
противления Z (/со), подобно геометрическому месту однополюсной
функции, представляет окружность. Однако, как указано на фиг. 51, б,
масштаб отсчета частоты вдоль окружности отличается от масштаба
частоты однополюсной функции. На фиг. 52 начерчена соответ-
ствующая частотная характеристика. Частоты о)х и cd2 соответствуют
।очкам, взятым на уровне или точкам „половинной мощности",
так как в этих точках квадрат величины сопротивления уменьшается
в два раза по сравнению с максимальной величиной. Чтобы найти
Фиг. S2> Амплитудно-частотная характеристика схемы с емкостно-рео-
статной связью при <01<^(02.
переходную характеристику передаточного сопротивления Z(s), на-
пишем уравнение (329) в виде
z ($) = -У 1 + ‘2) \ . (342)
($ 4- ш1) ($ + ш2)
Разлагая уравнение (342) на простые дроби, получим
z (s) = R -----, (343)
4 7 т \(О2 — to I / v "Г
откуда находим импульсную характеристику в виде обратного пре-
образования
h (0 = Rm (“ Л»') (<V~"a< — «М-1”1*) (0- (344)
Наконец, интегрируя по времени от 0 до /, получаем переходную
характеристику (которая в отличие от импульсной характеристики
имеет размерность сопротивления)
z (0 = (FMr) “-1 (0- (345)
\OJ2 - to| /
Таким образом, единичная ступень входного тока создает им-
пульс выходного напряжения, изображенный на фиг. 53. Из соотно-
шений (340) и (341) видно, что параллельные емкости Сх и С2 пре-
пятствуют мгновенному подъему переходной характеристики, а кон-
денсатор связи Со вызывает спад характеристики, показанный на
фиг. 53. При емкостях Сг и С2, равных нулю, и бесконечной
412
ГЛАВА 7
емкости CQ переходная характеристика стала бы сама идеальной сту-
пенью с высотой Л. Начальную скорость возрастания переходной
характеристики можно найти из уравнения (344) при /, равном нулю,
Фиг. 53. Переходная характеристика схемы с емкостно-реостатной связью
при ступенчатом входном напряжении.
/ — рост; 2—спад; 5 —влияние Cj и С2; 4 —влияние Со.
или дифференцированием уравнения (345) по времени, и затем по-
ложить t равным нулю. В результате получается начальная скорость
возрастания 1
(«>1 + <о2) Rm = С, + С2 + (С,С2/С0) • (346)
Начальная скорость определяется, конечно, величинами емкости
в схеме фиг. 50, б и не зависит от активных проводимостей Gx и О2.
Q
Фиг. 54. Приближенное представление схемы с емкостно-реостатной
связью на высоких частотах.
Так и должно быть, потому что все напряжения на конденсаторах
сразу после подачи тока ступенчатой формы равны нулю, и поэтому
начальный ток не проходит через проводимости и О2.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
413
Если представляет интерес поведение усилителя с емкостно-
реостатной связью лишь на высоких частотах, то можно не учи-
тывать CQ (т. е. положить Со равным бесконечности), так что схема
примет простую форму, изображенную на фиг. 54, а. В этой схеме
сопротивление R соответствует параллельному соединению Gx и G2,
а С равно сумме Cj и С2. Входное и выходное напряжения и е2
связаны передаточной функцией H = sZt где Z представляет собой
полное сопротивление параллельно соединенных элементов R и С.
Фиг. 55. Конечное произведение усиления на ширину полосы (а) и ко-
нечная скорость начального подъема (6) вследствие наличия параллельной
емкости.
На фиг. 55, а начерчен модуль передаточной функции на линейной,
а не на логарифмической шкале частот. Максимальная передача sR,
умноженная на верхнюю частоту по уровню половинной мощности
1/RC, равна площади s/С, которую часто называют произведением
усиления на ширину полосы. Фиг. 55, б поясняет, что это произ-
ведение равно начальному наклону кривой переходной характе-
ристики. Таким образом, частотная характеристика усиления при
высоких частотах и временная характеристика при малом времени
определяются крутизной лампы и параллельной емкостью схемы.
414
ГЛАВА 7
7.23. Резонансные двухполюсные
системы передачи
Пассивные цепи RC (цепи, состоящие из положительных актив-
ных сопротивлений и емкостей) имеют функции сопротивления,
полюсы которых расположены всегда на отрицательной действитель-
ной оси плоскости s. Это относится и к пассивным цепям RL. Но
б
Фиг. 56. Параллельный настро-
енный контур (а) и его граф, содер-
жащий два интегратора: 1/С$ и
l/Ls (б).
щаются в правую полуплоскость,
а
если к цепи RC добавить соот-
ветствующую индуктивность или
крутизну с односторонней про-
водимостью, например крутизну
электронной лампы, то полюсы
передаточной функции уже не бу-
дут обязательно лежать на отри-
цательной действительной оси.
Ввиду сопряженной симметрии
передаточной функции полюсы, не
лежащие на отрицательной дей-
ствительной оси, должны появ-
ляться комплексносопряженными
парами. Если такая пара полюсов
лежит в левой половине плоско-
сти s, но достаточно близко
к оси /(о, то говорят, что пере-
даточная функция обладает резо-
нансом. Если полюсы переме-
система становится неустойчивой
и превращается в генератор.
Рассмотрим сначала схему, показанную на фиг. 56, а. На
фиг. 56, б изображен соответствующий граф системы уравнений
с двумя интеграторами. Из рассмотрения схемы, или графа, нахо-
дим функцию сопротивления
V _ 7 _ 1 _ 1/Cs
/ — G + Cs+(1/Ls) ~ l + (G/Cs) + (l/£Cs2)
которую можно написать в виде
Z~ s24-(G/C)s + (l/£C) • (348)
Разложив знаменатель на множители, получим
s/C
{s — Si) (s — з2) ’
(349)
ЙЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
415
где
(350)
(351)
(352)
(353)
(354)
(355)
связаны с параметрами <о0 и а урав-
SjS2 = ш2 (356)
и
g-($1s2) = — «• (357)
На фиг. 57 показано расположе-
ние полюсов и нулей передаточной
Фиг. 58. Диаграмма полю-
сов и нулей при затухании
меньше критического.
Фиг. 57* Векторные множители
фу|"‘ц"
функции, а фиг. 58 и 59 поясняют геометрический смысл соот-
ношений (356) и (357). Если «)0 постоянна, а а увеличивается от
нуля, полюсы приближаются друг к другу по окружности, изобра-
женной на фиг. 58. Когда а становится равным соо, полюсы встре-
чаются на отрицательной действительной оси. Передаточная функция
416
1 Л Л В A 1
в этой точке имеет „критическое затухание", потому что ее импульс-
ная характеристика становится
При дальнейшем увеличении а
зано на фиг. 59, и затухание
ского. При увеличении а один
' j”
Фиг. 59. Диаграмма полюсов
и нулей при затухании больше
критического.
где
нерезонансной или неосциллирующей,
полюсы снова разделяются, как пока-
системы становится больше критиче-
полюс перемещается внутрь к началу
координат, а другой перемещается
наружу к бесконечности по отрица-
тельной действительной оси. При
движении двух полюсов, изображен-
ных на фиг. 58 и 59, произведение
их расстояний от начала координат
остается равным квадрату <о0.
Заметим, что при затухании выше
критического расположение полюсов
и нулей является таким же, как
и расположение полюсов и нулей
усилителя с реостатно-емкостной
связью (фиг. 51, а). Теперь можно
представить функцию сопротивления
в стандартной форме, удобной для построения ее круговой диаграм-
мы, аналогичной уравнению (333):
и
(?0 = ш0/?С = /? У C/L,
О —^2-
Ч>— 2а '
(358)
(359)
(360)
(361)
(362)
Параметр Qo в отличие от соответствующего ему параметра KQ
в уравнении (333) может принимать значения, ббльшие единицы.
В дальнейшем будем заниматься так называемыми системами с боль-
шим Q, в которых параметр Qo, например, всегда больше 10. Боль-
шая добротность Qq соответствует малой проводимости G в схеме
на фиг. 56, а. При бесконечно большом значении Qo цепь не имеет
потерь. Поэтому обратную величину 1/QO иногда называют „коэффи-
циентом потерь", а <?0—„добротностью" системы, почти не имеющей
потерь.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
417
Выражение (359) приводит непосредственно к круговой диаграмме,
изображенной на фиг. 60. Для цепей с большим значением Q дви-
жение точки Z по окружности с увеличением <о определяется главным
образом вектором ($ — изображенным на фиг. 57. Большое зна-
чение Q означает, что и s2 расположены около оси Jw и измене-
ния функции Z (/со) происходят в сравнительно малой области около
оси вблизи /<о0. В этой малой области медленно меняющиеся век-
торы ($ — s2) и (s — 0) без заметной ошибки можно заменить соот-
ветственно постоянными величинами у’2ш0 и /ш0. Другими словами,
Ф иг. 60. Круговая диаграмма парад- Фиг. 61. Окрест нос 1ь точки
дельного настроенного контура. на оси /<*>.
вблизи резонанса сопротивление Z ведет себя как однополюсная
функция. На фиг. 61 показаны точки (ш0 + а) и (ш0 — а), в которых
модуль вектора (/ш— в У2 раз больше своего минимального
значения. Следовательно, ширина полосы Дш функции Z(yuj) при
большом Q примерно равна 2а, как показывает резонансная кривая
на фиг. 62. Нормированная ширина полосы Д(о/ю0 примерно равна
обратной величине Qo, и ее удобно определять в виде двойной вели-
чины угла (в рад) между полюсом и осью (фиг. 63).
Чтобы найти импульсную характеристику резонансной двухполюс-
ной функции, перепишем уравнение (349) в виде разности двух одно-
полюсных функций
<363>
откуда можно найти обратным преобразованием
*«>= г J “-W- <364)
27 Зак 1115
418
ГЛАВА 1
Подставляя значения и $2, находим
Л (/) = -1 e"at (cos о)7 — sin w'z) zz_1 (/) (365)
или
(366)
О)'
costf’==-^’ (367)
sintP = -^-> (368)
0)' == O)0 cos <p — |/ru)2 — a2, (369)
где оз' и ср — величины, указанные раньше на фиг. 58 и 63. На фиг. 64
построена импульсная характеристика.
Если источник тока, изображенный на фиг. 56, а, заменить кру-
тизной с односторонней проводимостью, получается эквивалентная
Фиг. 62. Резонансная кривая настроен-
ного контура.
Фиг. 63. Зависимость Qo
от полюсного угла ср.
схема резонансного усилителя напряжения, изображенная на фиг. 65.
Усиление напряжения равно произведению крутизны s на сопроти-
вление Z. На фиг. 66 построена резонансная кривая настроенного
усилителя. Из сравнения с фиг. 55, а видно, что произведение уси-
ления на ширину полосы s/C не меняется при добавлении индуктив-
ности настройки Л, если только Qo настолько велико, что справед-
ливы приближенные равенства, указанные на фиг. 66, а. Эти при-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
419
ближенные равенства равносильны тому случаю, когда учитывается
наличие сопряженного полюса около точки — У<о0 в плоскости
На фиг. 66, б показана реакция усилителя с большим значением Q
на внезапно приложенную синусоиду резонансной частоты. Пунктир-
ную огибающую нарастающих колебаний иногда называют „кривой
Фиг. 84. Импульсная реакция параллельного резонансного контура.
Фиг. 65. Основная эквива-
лентная схема резонансного
усилителя.
нарастания" усилителя. Как и следовало ожидать, постоянная времени
кривой нарастания равна 2RC, или величине, обратной а. Следо-
вательно, кривая нарастания параллельного контура RLC такая же, как
кривая переходной характеристики цепи RC, с таким же сопротивле-
нием R и с емкостью С, в два раза
большей, чем у настроенного контура.
Для обоснования кривой, построен-
ной на фиг. 66, б, рассмотрим сначала
передаточную функцию ненастроенного
усилителя
А(0=«-1(0^’а/-(370)
Здесь функция H(s) нормирована
так, что при нулевой частоте она равна
единице. Функция выходного напряжения V2(s) равна произведе-
нию H(s) и функции входного напряжения У\($). Для единичной
ступени 1
= = (371)
следовательно,
= <372>
27*
e2(t)
Фиг. 66. Нарастание колебаний в резонансной системе.
а— резонансная кривая дает возможность определить произведение усиления на ширину
полосы s/C; б —реакция на входной сигнал (/)=«__ । (О cos w9t.
ф и г. 67. Расположение полюсов при внезапно приложенном возбуждении
на резонансной частоте.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
421
На фиг. 67, а показано расположение полюсов функции У2($). Соот-
ветствующая функция времени
t,2W = rz_1W(l (373)
Рассмотрим теперь случай, когда комплексный сигнал
= —L-. г!1(О = «_1(Ое>»' (374)
5 -J(Oq
подводится на вход настроенного усилителя с большим значением Q.
Частотные составляющие этого сигнала сосредоточены главным
образом вблизи резонансной частоты <о0. Следовательно, можно
Фиг. 68. Настроенный контур с последовательным сопротивлением потерь
катушки и параллельной проводимостью потерь конденсатора.
не учитывать сопряженный полюс (при —<о0) и представить прибли-
зительно передаточную функцию в виде
н (S) = —(375)
«ь —г* 1 ~~~
По аналогии с уравнением (372)
V, ($) = —L---, 1 . (376)
2 S—/О)0 S-f-a — J<*0
Эта функция имеет смещенное расположение полюсов, показанное
на фиг. 67, б. Сдвиг частотной функции равносилен умножению соот-
ветствующей временнбй функции на комплексную показательную функ-
цию. Следовательно,
t>2 (0 = «-1 (0 (1 — е-а/) е/Ша‘ (377)
изображает реакцию на комплексный экспоненциальный входной си-
гнал (374). Колебание, изображенное на фиг. 66, б, представляет
собой, очевидно, действительную часть функции (377), являющейся
реакцией на входной сигнал, равный действительной части функ-
ции (374).
Практически Q настроенного контура часто бывает ограничено
последовательным сопротивлением катушки индуктивности, а не парал-
лельной активной проводимостью конденсатора. На фиг. 68 показана
422
ГЛАВА 7
общая схема с потерями обоих видов: RL и Ос. Для учета RL можно
видоизменить граф фиг. 56 так, как показано на фиг. 69, а и б.
Передача от / к К может быть представлена в стандартной форме
(фиг. 69, в), приведенной раньше на фиг. 17, а.
Положения полюсов определяются полностью контурами обратной
связи графа. Два контура обратной связи, показанные на фиг. 56, 6t
Фиг. 69. Графы резонансного контура.
дали значения о)0 и а, указанные в уравнениях (354) и (355). Из
рассмотрения соответствующих контуров обратной связи на фиг. 69, в
находим, что о)0 и а нужно изменить следующим образом:
% — VU + GcRl)!LC
(378)
и
а =
2 С ' L Г
(379)
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
423
Следовательно, Qo — (380)
2а GcVL/C+Rl/C/L ’
1 Gr R,
Qo С 1 L_ (X>QC <JDQL (381)
Величины
Ro = У L/C, G^yCjL, (382)
появляющиеся в уравнении (380), называются соответственно „волно-
вым сопротивлением“ /?0 и „волновой проводимостью" С70 настроен-
ного контура. Через волновую проводимость и волновое сопротивле-
ние можно определить
1 Rr
<384’
и, если пренебречь в уравне-
нии (380) малым членом
*=(!£ <385>
то получим
+ <386,
Фиг. 70. Расположение полюсов и
нулей резонансного контура с потерями
в конденсаторе и в катушке.
Как упомянуто раньше, ве-
личина, обратная Qo, является
мерой относительной мощно-
сти потерь в контуре. Соотно-
шение (386) по существу гласит, что общие потери равны сумме
потерь в конденсаторе и в катушке индуктивности.
На фиг. 70 показано расположение полюсов и нулей полного
сопротивления настроенного контура. Включение RL последовательно
с L вызывает смещение полюсов влево на величину RJ2L. Это явле-
ние можно учесть приближенной эквивалентной схемой, в которой
катушка индуктивности не имеет потерь, а параллельная активная
проводимость Ос заменена новой эквивалентной параллельной
проводимостью
O'c = Gc^GK- (387)
Другими словами, активное сопротивление катушки индуктивности
можно отнести к конденсатору в виде эквивалентной активной про-
водимости GqRl. В этой эквивалентной схеме, очевидно, не учиты-
424
ГЛАВА 1
ваются влияния RL: нуль немного смещен влево от начала координат,
и небольшое увеличение <о0 вызвано малым членом GqRl в уравне-
нии (378). При большом значении Q резонансная кривая приближен-
ной эквивалентной схемы очень близка к реальной резонансной кри-
вой во всех точках, за исключением очень низких частот.
7.24. „ Резонанс** в реостатно-емкостной схеме
с обратной связью
Как уже упоминалось, явление резонанса не ограничивается схе-
мами, в которых имеются два вида накопителей энергии. В качестве
примера на фиг. 71, а показана неиндуктивная схема, у которой
функция передачи напряжения E3/Eq имеет острую „резонансную*
характеристику при соответственно выбранных значениях параметров
схемы. Схема представляет двухкаскадный усилитель напряжения,
в котором часть В выходного сигнала подается обратно последо-
вательно с входным сигналом е$. Эквивалентная схема приводит
к графу, изображенному на фиг. 71, где Л2. а и b — соот-
ветствующие параметры, зависящие от величин элементов схемы
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
425
Величины Др а и b имеют размерность частоты, а Д2 и В — без-
размерные величины.
Из рассмотрения графа можно написать передаточную функцию
и преобразовать ее к виду
__ Д1Д25
£0 ~ s2 + (a + *-W2)H^ ’
Разделив числитель и знаменатель на s2, найдем передачу от Ео к Е3
в графе фиг. 71, в. Сравнивая ее с фиг. 56, б, замечаем сходство
с параллельным резонансным контуром. Система, изображенная на
фиг. 71, в, приобретает резонансные свойства при таком параметре В,
при котором получается достаточно малая обратная связь в первом
интеграторе. При значении
в = тх <389>
эта ветвь обратной связи исчезает и остается контур обратной связи,
содержащий оба интегратора; тогда система генерирует с бесконечно
большим значением Q на частоте о)0, равной }/~ab. Между прочим,
величина В равна коэффициенту передачи выходного потенциометра,
показанного на фиг. 71, а, и, следовательно, не может превышать
значение, равное единице. Непосредственное вычисление показывает,
что критическая величина В, определяемая соотношением (389),
меньше единицы при условии, что
и и + ^2^2 (3901
HP* 2 R3C2 * (оии)
Таким образом, если выполнено соотношение (390), в схеме
происходит переход от режима с затуханием выше критического
к резонансному режиму и к устойчивому режиму генерации, когда
В увеличивается от нуля до бесконечности.
Когда схема фиг. 71, а находится в резонансе, функция выход*
ного сопротивления (сопротивления между землей и выходным зажи«
мом е3 при короткозамкнутых зажимах е0) обладает резонансом и,
следовательно, является на некоторых частотах индуктивной. В этом
смысле резонанс всегда сопровождается некоторой кажущееся индук*
тивностью по отношению к одиночной паре зажимов, если даже
схема, обладающая резонансом, не содержит реальных катущек индук*
тивностц.
7-25, Основное определение добротности Q
через энергию
Величина Qo была введена в качестве удобного параметра пере-
даточной функции резонансной системы. Теперь определим Qo через
энергию системы и покажем, что это основное физическое определение
426
ГЛАВА 7
приводит для системы с большим значением Q к другому предста-
влению, которое уже было введено ранее.
Допустим, что резонансная система возбуждается синусоидальным
входным сигналом резонансной частоты, который действует доста-
точно долго, чтобы система достигла состояния устойчивого равно-
весия. Пусть теперь входной сигнал внезапно снимается, и после
этого система остается изолированной. В дальнейшем все переменные
величины системы, включая выходной сигнал, должны меняться
с одной и той же частотой «)0 и с одним и тем же затуханием а.
Выходной сигнал имеет комплексную экспоненциальную форму
v(t)==e^a+j^(. (391)
Если система обладает резко выраженным резонансом, колебания
будут почти синусоидальные в том смысле, что амплитуда колебаний
уменьшается лишь очень немного за период одного колебания.
Известно, что в колебательной физической системе средняя накоплен-
ная энергия (усредненная за один период колебания) пропорциональна
квадрату амплитуды напряжения или тока в этой части системы. По-
скольку амплитуды всех переменных уменьшаются с такой же ско-
ростью, с какой уменьшаются амплитуды выходного сигнала, можно
написать Накопленная энергия = /<р|2 = Ke~2at, (392)
где К — коэффициент пропорциональности, зависящий от значений
параметров системы и от относительных амплитуд переменных системы.
Но ввиду того, что система изолирована и не может передавать энер-
гию окружающей среде или получать ее от окружающей среды,
должно иметь место равенство
Рассеиваемая мощность — — ж 2alF. (393)
Внутреннюю рассеиваемую мощность удобнее всего представить в виде
Рассеиваемая энергия на 1 рад — — ~ IF. (394)
(395)
Теперь можно определить „коэффициент добротности" Qo резонансной
системы с помощью выражения
п ___ Накопленная энергия ~ о>0
Рассеиваемая энергия на 1 рад ~ 2а.
Это соответствует прежнему представлению Qo, равному отношению
резонансной частоты <d0 к ширине полосы 2a.
Имеется еще одно определение для Qo, ранее не упоминавшееся,
связанное со скоростью изменения фазы при изменении частоты.
Вблизи резонанса передаточную функцию можно приближенно выра-
зить в виде //
------- (396)
l+/2Qo(-----°-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
427
и для значений а), очень близких к а)0, имеем
- 2<?(,(^р). (397)
Следовательно,
Wq
$
5
Фиг. 72. Нормированный
граф резонансной системы
с двумя интеграторами.
Wq
i=1+w+
“о “о г / 5 шо \1
+ —=— 1 + QO —+— •
S SQq L у <OQ S / J
Таким образом, значение Qo можно найти по фазовой характе-
ристике, если начертить ее в логарифмической шкале частот.
Различные представления Qo вообще не будут совместимы, исклю-
чая тот случай, когда Qo достаточно
велико, скажем, больше 10 или 20.
При любом противоречии этих поня-
тий нужно отдать предпочтение энер-
гетическому определению.
На фиг. 72 для сравнения с при-
веденными ранее графами резонансных
систем показана первичная система
с двумя интеграторами, для которой
указаны параметры «)0 и Qo. Определи-
тель Д этого графа (который должен
стоять в знаменателе каждой переда-
точной функции, соответствующей это-
му графу) можно представить в виде
обычного алгебраического выражения,
нии этого указаны передачи ветвей в графе.
включающего
на основа’
(399)
(400)
(401)
(402)
7.26. Системы с плоской характеристикой
на низких частотах
Для схемы на фиг. 73, а и соответствующей ей детальной схемы
фиг. 73, б передаточные функции Н имеют два полюса, но не имеют
нулей в конечной области плоскости $. Из графа фиг. 73, в находим
i/LCs2
l+(G/Cs) + (l/£Cs2)
или
2
<Si<Sn
н (*) = 2 п - 2 = •----—-----•
S2 4-2а$ + 05 (s — S1)(S — s2)
5,= —a + yKwg —а2.
$2 = —a —J /ш2 —а2.
2 1
™20=LC=sis2-
428
ГЛАВА 1
При положительном, но не очень большом а функция имеет пару
сопряженных комплексных полюсов, расположенных, как показано
на фиг. 74. Единственным нулем функции является нуль второго
порядка, находящийся в бесконечности, так как функция И (s) при
О
K-G/ZC <z = R/ZL
H-V2/Vt H = Iz/It
Фиг. 73. Передаточная функция без нулей в конечной плоскости $.
достаточно большом s пропорциональна s~~2. С помощью геометриче-
ских соотношений площадь заштрихованного треугольника на фиг. 74
можно выразить несколькими способами
А = aajj = у rxr2 sin р = s}s2 sin ро. (403)
Но поскольку
Г/2 = Ks~ «2)1- (404)
то можно написать
\н (/<0)1= (405)
4'2
а на основании выражения (403)
<4О6>
Соотношение (406) показывает, что модуль максимален,
когда угол р принимает значение тг/2. Чтобы определить точки на
оси /со, в которых р равен прямому углу, нужно провести окруж-
ность через два полюса, как показано на фиг. 75; полюсы должны
быть расположены в конечных точках диаметра окружности. Тогда
sin р равен единице и модуль |//| имеет наибольшую величину
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
429
в точке, где окружность пересекает ось /о) (фиг. 75, в). Если окруж-
ность лежит в стороне от оси /Ъ (как на фиг. 75, а), модуль |7/|
имеет максимум в начале координат, и его вторая производная отри-
цательна. Если окружность касается оси /со (фиг. 75, б), то вторая
производная амплитудно-частотной характеристики равна нулю в на-
чале координат. Наконец, если окружность пересекает ось Jcd в двух
точках, как на фиг. 75, в, вторая производная частотной характери-
стики положительна в начале координат.
Таким образом, при положениях полюсов,
указанных на фиг. 75, б, частотная ха-
рактеристика наиболее равномерна вблизи
нулевой частоты, и, следовательно, си-
стема будет передавать низкочастотный
спектр сигнала с наименьшим амплитудным
искажением.
Амплитудно-частотную характеристику
можно сделать еще более плоской в том
смысле, что в начале координат будут
равны нулю производные более высоких
порядков, если увеличить число полюсов.
Соответствующие положения полюсов
можно найти из рассмотрения функции
= <407>
полюса которой расположены равномерно
на единичной окружности, как показано
на фиг. 76, а. Соответствующая ампли-
тудно-частотная характеристика
(408)
Передаточная функция с полюсами,
указанными на фиг. 76, а, не может быть
Фиг. 74. Угол свя-
занный с | Н (/ш) [.
Площадь заштрихованного тре-
угольника равна А.
одновременно функцией устойчивой и реализуемой системы, так как
некоторые полюсы лежат в правой полуплоскости $. Напротив,
реализуемая система с передаточной функцией F(s), имеющей полюсы
только в левой полуплоскости, как показано на фиг. 76, б, очевидно,
устойчива. Функция имеет такую форму:
(S| — s)(s2 — s)(s3 — s)... (sn — s) ’
(409)
где sp s2.....s„ — полюсы функции F (s) в левой полуплоскости.
Из рассмотрения фиг. 76, б находим
Is* — «! = '»• <41°)
Фиг. 75. Амплитудно-частотные характеристики двухполюсной передаточной функции без нулей.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
431
так что
|Н(>)| = -?-/ . (411)
г\г1Гз ... гп
Но на основании симметрии фиг. 76, а
FW^(rrrX гГ (412)
а из соотношений (408), (411) и (412) получается
(413)
Функция (408), очевидно, очень плоская в начале координат, так
как все производные вплоть до (2п—1)-го порядка обратной функ-
ции (и, следовательно, соответствующие производные самой функции)
равны нулю при нулевой частоте. Поэтому функция (413) также
очень плоская при низких частотах, как показано на фиг. 77.
Плоская низкочастотная функция, изображенная на фиг. 77,
называется функцией Баттерворта п-го порядка. Существует
несколько других функций с плоскими низкочастотными характери-
стиками, основанных на различных критериях „равномерности" и име-
ющих, следовательно, различные расположения полюсов. Тем не менее
фиг. 76,а и соотношение (412) выражают общий принцип построения
этих функций. При распределении полюсов функции F ($) по замкну-
тому контуру ее модуль остается сравнительно постоянным при движении
432
ГЛАВА 7
точки s внутри контура, потому что всякое перемещение точки $
вызывает увеличение одних расстояний rk и уменьшение других;
напротив, когда точка $ перемещается вне контура и удаляется от
него, все расстояния rk увеличиваются и модуль F(s) быстро умень-
шается.
Часто бывает полезно провести аналогию с электрическими явле-
ниями, чтобы осветить вопрос с другой стороны и экспериментально
определить амплитудно-частотную характеристику по данному распо-
ложению полюсов. Предположим, что плоскость $ покрыта равномер-
ным листом проводящего материала и в него маленьким пробником
Фиг. 77. Функция Баттерворта с равномерной передачей низких частот.
Для этого графика л==5.
введен единичный ток в каждой точке полюса. (Чтобы образовать
замкнутую цепь, полный введенный ток выводят из листа в какой-
нибудь точке, удаленной на большое расстояние по сравнению с по-
ложениями полюсов. В действительности ток вводится в точках
полюсов и выходит из точек нулей.) Электрический потенциал в любой
точке проводящей плоскости, если не считать аддитивной постоянной,
пропорционален сумме логарифмов расстояний от этой точки до точек
ввода тока. Логарифм |7/| также пропорционален сумме логарифмов
расстояний rk. Следовательно, функцию усиления G (Jio) = log | Н\
можно рассматривать как электрический потенциал в такой экспери-
ментальной модели.
Итак, если F (s) имеет симметричное расположение полюсов отно-
сительно оси /ш и оси о, можно выделить реализуемую устойчивую
функцию H(s\ связав полюсы F(s), лежащие в левой полуплоскости,
с /7(s), а полюс, лежащий в правой полуплоскости, с //(—$). Таким
образом,
//($)//(— 5) = F (5) = F (— 5),
(414)
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
433
а поскольку
то получаем
//(—/ш) = //*(/ш),
IН (/«>) I2 — F (/«>).
(415)
(416)
7.27. Систеты с плоской полосовой
характеристикой передачи
После того как найдено расположение полюсов для реализуемой фун •
кции Баттерворта устойчивой системы, можно путем простого преобра-
зования переменных определить расположение полюсов для амплитудно-
частотной характеристики, являющейся сравнительно плоской в полосе
частот между двумя заданными частотами (Dj и «)2 (и, следовательно,
плоской также между — и — (в2).
Сначала определим новую комплексную переменную z — x-[-jyt
связанную с s = c-\- jio следующим соотношением:
(417)
Любая заданная точка в плоскости s согласно соотношению (417)
отображается в единственную точку плоскости z. Отображение в об-
ратном направлении двузначно
s = z ± У z1 — 1. (418)
Произвольная точка z отображается в виде двух различных точек
в плоскости $. Из выражения (417) или (418) следует, что мнимые
осн плоскостей z и s отображаются одна в другую. Преобразование
по мнимым осям имеет вид
1 ( 1
У=2 V°--7
(1) — у ± У 1 -р у2
для Z = jy, S = /(D.
(419)
Характер z — s преобразования можно пояснить с помощью
фиг. 78. Когда точка проходит ADEC в плоскости г, точки пере-
мещаются по соответствующим отрезкам в плоскости $. Полуокруж-
ность В, изображенная на фиг. 78,а, отображается в две искаженные
полуокружности В в плоскости s (фиг. 78, б). Между прочим, дей-
ствительная ось плоскости z отображается в окружность единичного
радиуса в плоскости $; на фиг. 78, б изображены два отрезка этой
окружности.
Чтобы получить искомую плоскую передаточную функцию в по-
лосе частот, возьмем вспомогательную функцию
р (г) — 1 J— (г/а)2]п ’ (42°)
28 Зак. 1115,
434
ГЛАВА 7
Она совпадает с функцией (407) с той разницей, что полюсы
лежат на окружности радиуса а, а не на окружности единичного
радиуса. На фиг. 78, а отмечены полюсы функции F (z), лежащие
в левой полуплоскости, при п = 6. Подставляя выражение (417) в (420),
получаем
K(s) = F(z) =----(421)
*”+Нт)]
К =-------ГГГ----тли • (422>
>+[i(— I)]
Функция К ($) имеет 2п полюсов, распределенных по двум искажен-
ным круговым контурам, нуль порядка 2п находится в начале коор-
динат и, следовательно, другой нуль порядка 2п находится в бес-
конечности. Пусть реализуемая передаточная функция устойчивой си-
стемы H(s) имеет все нули функции К ($), лежащие в левой полу-
плоскости, и нуль порядка п в начале координат. Следовательно,
IН (» I = Vк = г Г . 1. ==- • (423)
На фиг. 78, б
(!)! = + /! 4-а2' —а, (424)
а>2=== 4* 1 "4” ~Н (425)
а) 1а)2 = 1, (426)
1((02 — <4 — а. (427)
На данном графике
а = 0,707,
(1)1 = 0,517,
(о2= 1,93, (428)
^1=3,73.
О),
Значение параметра а определяет положения полюсов F (z) в левой
полуплоскости фиг. 78, а. Эти положения полюсов можно отобразить
на плоскость s согласно соотношению (418). Между прочим, исходя-
щие из начала координат радиальные прямые можно провести через
пары полюсов плоскости $, как показано на фиг. 78, <7 и для каждой
такой пары произведение расстояний от начала координат равно
единице.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
435
Полосовая характеристика, выраженная формулой (423), является
сравнительно равномерной в полосе частот, лежащей между и ш2,
в таком же смысле, как функция пропускания нижних частот, изобра-
женная на фиг. 77, является плоской для значений w между — 1
Jy
। ju>
Фиг. 78. Преобразование $ = г ± 1Лг2 — 1 с расположением полюсов и
нулей функции с равномерной передачей низких частот (а) и соответствую-
щая функция с равномерной передачей полосы частот (б) (для этого,
графика а == 1/К 2).
и 4“1« При бдльших или меньших значениях параметра а ширина
полосы увеличивается или уменьшается, но общий характер ампли-
тудно-частотной характеристики остается без изменения. Однако>
общий вид расположения полюсов может совершенно измениться,
28*
436
ГЛАВА 1
как показано на фиг. 79. На основании соотношения (417) или (418)
получаются приближенные равенства
Z ± j
при I Z | <С 1
и
S « &Z)* 1
(429)
при |z |Э> 1.
(430)
При очень малой ширине полосы (при отношении а)2/ц)р близком к еди-
нице) полюсы лежат на двух малых полуокружностях, охватывающих
полосы пропускания положительных и отрицательных частот. При
большой ширине полосы (при ш2/ш1 по крайней мере в несколько раз
Фиг. 79. Контуры, на которых лежат полюсы при различной ширине
полосы частот.
s
больше критического значения, равного примерно 5,7) полюсы лежат
на одной малой и одной большой полуокружностях, как на фиг. 79, г.
Передаточная функция с плоской полосовой характеристикой может
быть разложена на множители в виде
(S-S2)(S-S2)J ’
(431)
где sk—полюсы верхнего левого квадранта, изображенные на фиг. 78,(7.
Каждый множитель в прямых скобках имеет такую же функциональ-
ную форму, как функция передачи напряжения идеального источника
тока (усилителя), возбуждающего параллельный резонансный контур.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 437
Поэтому одним из способов синтеза системы с плоской полосовсй
характеристикой является построение цепочки таких настроенных
каскадов. Усилитель такого типа, часто применяемый для усиления
промежуточной частоты в приемниках, называется „усилителем на рас-
строенных контурах", потому что все каскады должны иметь разные
добротности Q и настроены на разные резонансные частоты.
7.28. Передаточные рациональные функции
Линейная эквивалентная схема, содержащая сосредоточенные актив-
ные сопротивления и сосредоточенные индуктивные и емкостные эле-
менты, или, другими словами, граф, содержащий ветви передачи
о
Фиг. 80. Граф неправильной дробно-рациональной передаточной функ-
ции (выражаемой неправильной дробью).
U/^X 2 Н-^2$ 1 "Г &8 4" ^4$ ^5^2
Л \S)— _„ __п _. .
bos 6 + t>iS 2 + b2s 1 4-1
s
о »—о
с действительными постоянными, а также интегрирующие и дифферен-
цирующие ветви, имеет так называемую передаточную рациональную
функцию вида
*o + £i$ + ... 4-£л+г$л+г <4Ч2>
Рациональной функцией называется отношение многочленов от ком-
плексной частоты $. Если степень числителя п-\-г равна степени п
знаменателя или больше ее, то дробь называется неправильной, пере-
даточную функцию, выраженную неправильной дробью, можно всегда
синтезировать в виде графа, представленного на фиг. 80. Число инте-
граторов (s"1) в графе равно степени многочлена в числителе, а число
последовательных дифференциаторов (s) на выходе равно г. Пере-
даточную функцию, изображенную на фиг. 80, можно представить
в виде (430), умножив числитель и знаменатель на sn.
Процесс последовательного деления числителя выражения (432)
на знаменатель дает многочлен степени г и правильную дробь
«<*) = <•+<.»+ ... +м'+ (433)
438
ГЛАВА 7
На фиг. 81 приведен соответствующий граф. Здесь требуемое число
дифференциаторов остается тем же самым, но число интеграторов
Фиг. 81. Граф неправильной дробно-рациональной передаточной функции,
выраженной в виде суммы простой неправильной функции и правильной
функции.
3 -} 2 “b 14“ 1
стало n вместо Для передаточной функции в виде правиль-
ной дроби
н ($) = ao+a's+ ••• Л-ап-^п~' ,434ч
() ba + М + ... + bn_ \Sn~ • + s« (434)
получится граф, представленный на фиг. 82; к этому виду приводятся
изображенные раньше графы, если коэффициенты ck равны нулю.
Фиг. 82. Граф правильной дробно-рациональной передаточной функции.
М +Ы 4-*М +1
Многочлен знаменателя можно разложить на множители в виде
н, „ч ао + <м+ ••• Ч-Дл-!*"-1
W — (s_S1)(s_S2)...(S_Sn) •
(435)
после чего разложение на простые дроби приводит к формуле
= ••• 4-^т-. <436>
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
439
где вычеты К имеют значения
Kk = lim [($ —$л)/У ($)]. (437)
s+sk
На фиг. 83 изображен соответствующий граф передачи, представ-
ляющий сочетание параллельных однополюсных ветвей.
Коэффициенты ak и bk и функция (434) должны быть действи-
тельными, поэтому комплексные полюсы появляются сопряженными
парами. Кроме того, соответствующие вычеты также являются ком-
плексносопряженными, поэтому пару полюсов, указанных на фиг. 84, а,
Фиг. 83. Разложение правильной дробно-рациональной передаточной
функции на простые дроби.
K's~' 4- K's~' J-
л (S)—----77:--1---------1----—---.
1—5 1 5| 1—5 152 1 — 5 *53
можно объединить и получить эквивалентный граф, приведенный
на фиг. 84, б. Если разложить не знаменатель, а числитель выраже-
ния (435), то передаточная функция примет вид
/
S — Sj
S — $!
S —$2
H(s) = A
1
.s — sn .
(438)
*~^-1
<$ sn _ ।
Отдельные множители в скобках или сочетания нескольких мно-
жителей могут быть представлены с помощью каскадов усиления, и
тогда всю функцию можно представить в виде последовательной цепи
усилительных каскадов, если только соединения между каскадами
не меняют передаточных функций отдельных каскадов. Имеется много
других способов разбиения передаточной функции на простые части,
удобные для изображения функции функциональной схемой или графом,
например разложение на простые дроби (436), разложение на множи-
тели (438) и представление непрерывной дробью. Дело в том, что
изображение передаточной функции с помощью графа часто облегчает
440
ГЛАВА 7
представление и изучение характеристик системы. Построение соот-
ветствующего графа по передаточной функции можно также рассматри-
вать как первый шаг при синтезе электронной системы, предназна-
ченной для реализации данной функции. Различные эквивалентные
= ~ •
= - ak~Jwk ;
Фиг. 84. Эквивалентные формы графов двухполюсной правильной
передаточной функции.
формы графа подсказывают различные конфигурации системы. При
анализе цепей граф соответствует „программе аналоговой вычислитель-
ной машины" или „модеди" действительной физической системы.
7.29. Однополюсные системы подного
пропускания
Выше было показано, что экспоненциальным изображением вре-
меннбй функции f (t — Т), т. е. задержанной копии функции f (/),
является так называемая передаточная функция с идеальной задержкой»
Передача сигналов через линейные системы
441
Передаточная функция с идеальной задержкой служит экви-
валентной моделью многих физических процессов, например рас-
пространения звуковой волны (достаточно малой амплитуды и
частоты) в воздухе или распространения электромагнитного излучения
в пространстве между двумя пунктами. Распространение электромаг-
нитных волн в пространстве или вдоль направляющих проводников
изучают главным образом при помощи теории поля. Чтобы создать
основу для понятия идеальной задержки в моделях электрических и
электронных систем, посвятим этот и следующий разделы изложению
теории идеальной задержки с помощью электрических цепей.
Комплексная частотная характеристика с идеальной задержкой
ехр(— /о)Т) имеет один и тот же модуль при всех частотах. Другими
словами, передаточная функция с идеальной задержкой представляет
собой частный вид передаточной функции полностью пропускающей
системы. В качестве подготовки к синтезу системы с идеальной
задержкой рассмотрим сначала полностью пропускающую схему,
изображенную на фиг. 85, а в виде моста. Для рассматриваемой цепи
можно написать
___
(2- + о)!+0(г1 + 2с,
<439)
Так как числитель и знаменатель имеют общие множители, то пере-
даточная функция приводится к следующему виду:
Ls
— . (440)
-i + Cs + 2G
Теперь положим
« = У=-. Ga=VcjL. (441)
При этом передаточная функция принимает следующий вид:
5) («Ч- s)
(442)
Приравняем активную проводимость нагрузки Q волновой про-,
водимости мостовой схемы Go и сократим другой общий множитель,
после чего получим простые выражения
= п₽и ° =
Н О) = = е '72 агс ‘г (ш/а) •
w 7 l+y^/o)
(443)
(14)
442
ГЛАВА 1
Комплексная частотная характеристика имеет постоянное усиление,
а фаза при изменении о> от 0 до -р°° изменяется от 0 до —тс.
При низких частотах мостовая схема, изображенная на фиг. 85, а,
эквивалентна схеме с непосредственным соединением сопротивления
нагрузки /? с источником V\. При высоких частотах в мостовой
Фиг. 85. Полностью прозрачная пропускающая мостовая схема.
схеме и У2 по существу соединены парой скрещенных проводов.
Поэтому не удивительно, что фаза изменяется на угол тс при воз-
растании частоты от 0 до оо.
Согласованная мостовая схема (G = О0) обладает важным свой-
ством; входная проводимость относительно зажимов У\ постоянна
яа всех частотах и равна волновой проводимости Go
= ПРИ G = °a- (445)
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
443
Фиг. 86. Расположение по-
люсов и нулей несогласован-
ной мостовой схемы.
Формулы (443) и (445) можно вывести прямо из схемы на осно-
вании физических соображений. Чтобы определить нули функции H(s)
прежде всего отметим, что V2 равно нулю, когда функция H(s)
равна нулю. Поэтому в сопротивлении нагрузки R ток не проходит,
и его можно удалить (фиг. 85, б). Задача состоит в том, чтобы
найти значение $, при котором Va и Vb были равны. Из рассмотре-
ния фиг. 85, б видно, что искомая величина s должна быть опреде-
лена при LCs\ равном единице. Следовательно, H(s) имеет нули
в точках -а и —а, как показано на фиг. 86. Чтобы найти полюсы
функции Н ($), закорачиваем источник
деляем собственные частоты получен-
ной-цепи, изображенной на фиг. 85, в.
При нулевой проводимости О переда-
точная функция мостовой схемы, оче-
видно, имеет полюсы в точках /а
или — /а комплексной плоскости $, и
при увеличении G от нуля два полюса
перемещаются вместе по окружности
радиуса а (фиг. 86). Когда О достигает
значения О0, два полюса и нуль сли-
ваются в точке —а и остается один
полюс (443) (фиг. 86). Чтобы найти
входную проводимость, можно исполь-
зовать то обстоятельство, что нули вход-
ной проводимости лежат в точках ком-
плексных собственных частот цепи,
когда источник Vx разомкнут, так как на этих частотах ток 1Х должен
исчезнуть. Полюсы входной проводимости лежат в точках собствен-
ных частот цепи, когда источник закорочен, так как на этих
частотах ток Ц может существовать даже при Vv равном нулю.
Когда источник У\ разомкнут, верхнюю индуктивность L и левую
емкость С можно поменять местами (фиг. 85, г) без изменения соб-
ственных колебаний цепи. После этой перемены потенциалы в двух
левых узлах одинаковы, и их можно соединить между собой на-
коротко, как показано пунктирной прямой на фиг. 85, г. Таким
образом, проводимость G оказывается соединенной последовательно
с емкостью 2С и индуктивностью £/2. В схеме фиг. 85, в активная
проводимость G параллельна индуктивности 2L и емкости С/2.
Когда G равна Go, цепи на фиг. 85, в иг являются дуальными,
с одинаковыми собственными комплексными частотами. Следовательно,
нули входной проводимости совпадают с полюсами, иными словами,
входная проводимость постоянна и должна быть равна Go, в чем можно
убедиться, вычислив входную проводимость при нулевой частоте.
На фиг. 87 показаны расположения полюсов и нулей и круговая
диаграмма согласованной мостовой схемы. Как указано на фиг. 87, б^
444
ГЛАВА 7
угол 0 весьма просто связан с точкой наблюдения s = в пло-
скости $. Передаточную функцию мостовой схемы (443) можно пере-
писать в виде
= (446)
Путем обратного экспоненциального преобразования этой функции
Фиг. 87. Расположение полюсов и нулей (а) и круговая диаграмма (б)
полностью прозрачной пропускающей мостовой схемы.
находим импульсную характеристику
Л(О = -«о(ОЧ-2а^-в'»-1(0. (447)
Интегрируя (447), получаем переходную характеристику
Л(-1)(О=0 —2«-в/)»-1(0- (448)
Эта функция изображена на фиг. 88. При малых значениях t
в мостовой схеме но существу вход соединен с выходом двумя пере-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
445
крещенными проводами, так как напряжения на конденсаторах не
могут измениться мгновенно. Поэтому начальное значение переходной
характеристики равно —1. При больших значениях t индуктивность
Фиг. 88. Переходная характеристика полностью прозрачной пропускаю-
щей мостовой схемы.
дает прямое соединение между входом и выходом, и соответственно
этому переходная характеристика приближается к конечному зна-
чению 4-1.
7.30. Экспоненциальная передаточная функция
с идеальной задержкой
Теперь можно построить систему передачи с идеальной задерж-
кой, используя в качестве составной части полностью пропускающую
мостовую схему. Для удобства нормируем величины элементов мо-
стовой схемы, как показано на фиг. 89, а. Ввиду того что входная
проводимость согласованной мостовой схемы равна единице, можно
включить последовательно ряд мостовых звеньев (фиг. 89, б), не меняя
функции передачи напряжения каждой отдельной секции. Следова-
тельно, передача от Уо к Vn равна произведению передач п отдель-
ных звеньев
При безграничном увеличении п произойдет следующее. Во-пер-
вых, передаточная функция Нп ($) стремится к показательной функции
Нп (<$)—> , когда п -> оо. (450)
Это вытекает из математического определения ехр (х) как предела,
к которому стремится величина 14" (х/^) в л-й степени при возра-
стании п. Во-вторых, порядок полюса и нуля функции Нп (s) повы-
шается, и расстояние между ними в плоскости s увеличивается, как
показано на фиг. 90. Для выбранной конечной частоты угол (3
становится сколь угодно малым при достаточно большом nt так что
446
ГЛАВА 7
вместо tgp можно подставить р, а фазовая характеристика 0 (уш)
приближается к прямой линии. Чем больше п, тем больше область
частот, в которой 0 примерно пропорциональна о. В-третьих, отдель-
ные мостовые звенья безгранично уменьшаются (фиг. 91, а). В пределе
1м -
6
Фиг. 89. Полностью прозрачная пропускающая цепочка из одинаковых
мостовых секций.
при большом п каскадное соединение мостовых звеньев можно
рассматривать как непрерывную систему, характеризуемую некото-
рыми непрерывными распределенными величинами последовательной
>
Полюс п-го
порядка ________-
I
—2/7
Нуль п-го
порядка
Ч
2/7
Фиг. 90. Расположение полюсов и нулей полностью прозрачной пропу-
скающей цепочки из одинаковых мостовых секций.
—если tg (3 « р.
индуктивности и параллельной емкости на единицу длины. Такая
система называется равномерной или однородной линией передачи
или линией задержки без потерь.
При большом п соотношение между токами и напряжениями
в цепи не изменяется заметным образом, если два соединительных
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
447
провода, показанные на фиг. 91, а, сделать непересекающимися, как
показано на фиг. 91, б. Ввиду симметрии этой цепи электрический
потенциал постоянен вдоль горизонтальной оси симметрии. Следова-
тельно, средние точки вертикальных проводов между конденсаторами
можно объединить, не нарушив действия схемы. После проведения
средней „линии заземления* или „коротко замыкающей шины* верхняя
половина схемы принимает форму цепочечной схемы (фиг. 91, в).
Больший
ток
/
п
Малое
напряжение
Большову
напряжение
I
п
малый
2п
а
Нулевой
О-— потенциал
{симметрия)
JL /
Т п
в
Фиг. 91. Многозвенная схема LC.
1
При очень большом п переда ча напряжения от Vo к Vn в схеме,
показанной на фиг. 91, а, такая же, как в схеме на фиг. 89, б.
Другими словами, идеальную линию задержки можно рассматривать
как предельную форму, к которой приближается каскадное соедине-
ние мостовых звеньев или каскадное соединение цепочечных звеньев.
Цепочечная схема называется „неуравновешенной* или „схемой с общей
землей*, потому что вход и выход имеют общий зажим в виде
земли. Напротив, мостовая схема называется „уравновешенной*.
В схеме на фиг. 89, б полная последовательная индуктивность
и полная параллельная емкость равны единице, и запаздывание в цепи
равно 1 сек. Соединив две такие схемы последовательно, получим
в два раза большую последовательную индуктивность, в два раза
448
ГЛАВА 7
большую параллельную емкость и в два раза большее запаздывание.
Следовательно, для идеальной линии задержки произвольной длины
H(s) — e' ~51\ (451)
= = (452)
ио
' а полное запаздывание Т равно
Т = VLC , (453)
где L — полная последовательная индуктивность; С — полная парал-
лельная емкость. Когда идеальная линия задержки (/?0, Т) возбуждается
а
б
г
Фиг. 92. Наложение „положительной“ и „отрицательной* волн на линии
задержки.
слева (фиг. 92. а) и согласована на правом конце с сопротивлением
нагрузки, равным волновому сопротивлению линии /?0, выходное
напряжение v2(t) является задержанной копией входного напряже-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
449
пня В этом случае удобно рассматривать напряжение в линии
в виде волны, распространяющейся слева направо. В дальнейшем
будем называть ее положительной и обозначать соответствующие ток
и напряжения индексом сверху, как указано на фиг. 92, а. Когда
первичный генератор Е2 помещен справа, а согласованная нагрузка
/?0 — слева, как на фиг. 92, б, получим „отрицательную" волну.
Такие обозначения удобны для определения токов. Произведя
наложение источников Ех и £*2, указанных на фиг. 92, а и б, полу-
чим систему, изображенную на фиг. 92, в. При наличии возбуждения
на обоих концах линии возникнут обе волны — положительная и
отрицательная, что иллюстрируется с помощью графа фиг. . 92, г.
Поскольку полное напряжение равно сумме положительного и отри-
цательного напряжений, можно написать
1/, = ^ + УГ + (454)
а соответствующая временная функция сигнала
(0 = 4 <4 (0+ 4 *2 (t -Т). (455)
7.31. Отражение волн
Если линия заканчивается некоторым сопротивлением Z, отлич-
ным от волнового сопротивления /?0, как показано на фиг. 93, а,
для выполнения условий на концах линии необходимы положитель-
ная и отрицательная волны. Для фиг. 93, а можно написать
V = V* -+V'. (456)
I = I+ — Г. (457)
у+
= = (458)
•4 = Z. (459)
Эти уравнения можно решить и в результате получить коэффи-
циент отражения
Г = -£ = -£- (460)
Коэффициент отражения равен отношению комплексных амплитуд
отраженной и падающей волн. В этом частном примере волна,
падающая на нагрузку Z, представляет положительную волну, иду-
щую по линии слева. Если нагрузка Z не согласована с /?0, некото-
рая часть приходящего сигнала будет отражена в виде отрицатель-
ной волны, распространяющейся влево от нагрузки.
29 Зак. 1115,
45Э
ГЛАВА 7
Из соотношений (456)—(459) получаем
так что
= 22+Z1 _р i+(v~/^)
1+ — Г 0 l — (V~/V+)
Z _ 1 + Г
Яо — 1-Г ’
Решая уравнение (462), находим коэффициент отражения
(Z//?0)-l _ Z —/?0
“ (Z//?0)+l “ Z+R» ‘
(461)
*462)
(463)
Из уравнения- (463) следует, что
нулю, если нагрузка Z согласована.
коэффициент отражения равен
Заметим также, что Г равно
Фиг. 93. Отражение от несогласованного концевого сопротивления.
единице при бесконечно большом Z (при холостом ходе) и минус
единице при нулевом Z (при коротком замыкании).
Для пояснения процесса отражения волн заменим Z эквивалент-
ной последовательной цепью, изображенной на фиг. 93, б,' которую
можно представить на фиг. 93, в. Теперь имеем схему, подобную
правой части схемы фиг. 92, в. Граф фиг. 93, г остается без изме-
нения, за исключением добавления ветви Z — /?0, обеспечивающей
соответствующее значение напряжения источника Е'. Коэффициент
передачи графа от к получается такой же, как в соотноше-
нии (463).
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
451
На фиг. 94 дано геометрическое представление соотношения
между Г и Z. Для данной точки ZIRQ в комплексной плоскости Z
проведены из этой точки две прямые к точкам 4-1 и —1. Угол
между этими прямыми ср представляет аргумент комплекса Г. Длина
отрезка прямой, проведенной из начала координат в точку q (фиг. 94)
фиг. 94- Геометрическое представление преобразования Г в Z.
и составляющей угол ср с отрицательной действительной осью, равна
модулю Г. Поскольку выражение (463) представляет собой линейное
рациональное преобразование Z в Г, то окружности (или прямые)
в плоскости Z должны отображаться на плоскости Г в виде окруж-
ностей (или прямых) и на-
оборот. Например, если на
фиг. 94 Z — чисто мнимая
величина, то точка q долж-
на лежать на окружности
единичного радиуса с цен-
тром в начале координат.
Если сопротивление нагруз-
ки Z чисто реактивное, ам-
плитуда отраженной волны
должна быть равна ампли-
туде прямой волны, так как
мощность прямой волны не
может рассеиваться на на-
грузке. Правая половина
плоскости Z преобразуется
на плоскость Г во внутрен-
нюю область единичного круга в соответствии с физическим сооб-
ражением, что амплитуда (и, следовательно, мощность) волны, отра-
женной от пассивной нагрузки, не может превысить амплитуды пря-
мой волны.
До сих пор рассматривался коэффициент отражения на зажимах
нагрузки. Однако коэффициентом отражения можно пользоваться
также и на противоположном конце линии, как показано на фиг. 95.
29*
о—
О-
&-
Г,-Гге"г<г
О—
vr
(Н°’Г) 1/г| zj гг=^
.......... O"-vJ
а
о
Коэффициент отражения
-95.
на входе нагруженной линии.
452
ГЛАВА 7
Соотношение между 1\ (коэффициентом отражения слева) и Г2 (коэф-
фициентом отражения справа) очень простое. Из рассмотрения графа
на фиг. 95, б находим
Г1==Г2е-2^г (464)
Отсюда можно вычислить входное сопротивление Zx на левом
конце линии. Положим
zi = _ и л ’ 7-^2 -Z-9 — ~~7— > *2 (465)
откуда А- - 1 +. 1 + (466)
/?0 1-Г, 1 — Г2<?~257' ’
и, выражая Г2 через Z2, получаем
Z{ (s) _ Z2 ch (sT) + Rq sh (sT)
/?o ~ Z2 sh (sT) + Ro (sT) *
Для установившегося режима синусоидальных колебаний это
выражение приводится к виду
Zx W Z2 + //?o tg(<o7)
Следовательно, сопротивление линии, закороченной на конце,
Zi (/со) = Л ПРИ ^2 = 0- (469)
При низкой частоте tg(u)T) можно заменить через си Г и получить
Zx (/cd) у/?0 со Г = /о)£. (470)
Этого результата и следовало ожидать, так как на низких часто-
тах параллельная емкость закороченной линии ничтожна и линия
ведет себя как простой контур с полной последовательной индук-
тивностью L. Для линии, разомкнутой на конце,
zi О) = при z2 = co- (471)
При низкой частоте
z, (/«>)« . (472)
усо/ у LC ja>C
На низкой частоте разомкнутая линия по существу представляет
собой простой конденсатор, емкость которого равна, очевидно, пол-
ной параллельной емкости линии.
Входное сопротивление нагруженной линии можно вычислить из
соотношения (468) или определить графически с помощью фиг. 94.
Прежде всего построим точку Z2/Rq и точку q, соответствующую
коэффициенту Г2.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
453
При s, равном ju), преобразование Г2 в Г\ состоит лишь в пово-
роте точки q вокруг начала координат на угол 2о)Т, после чего
с помощью коэффициента можно построить ZJRq, используя
соотношения сторон и углов подобных треугольников, указанных
на фиг. 94. Для таких вычислений имеются специальные диаграммы
либо в виде окружностей, построенных при постоянных модулях и
фазах Г в плоскости Z, или окружностей при постоянных R и X
в плоскости Г; такие окружности называются соответственно диа-
граммами сопротивления и диаграммами Смита.
Rq*7,2
Фиг. 96. Линия, не согласованная на обоих концах.
В качестве некоторого итога на фиг. 96, а показана линия пере-
дачи, возбуждаемая на одном конце источником, сопротивление кото-
рого в общем случае не равно волновому сопротивлению линии.
На прилагаемом графе фиг/ 96, б указаны соотношения между ампли-
тудами положительной и отрицательной волн и напряжениями источ-
ника. Напряжение и токи в цепи равны, очевидно, суммам и разно-
стям соответствующих положительных и отрицательных напряжений
или токов.
7.32. Возбуждение волн
Идеальная линия передачи часто может служить моделью неко-
торых участков пути передачи сигналов во многих задачах связи.
Сигнал, приходящий в приемный пункт по такому пути, может содер-
жать шум или другие мешающие сигналы, не имевшиеся в первона-
чальном переданном сигнале. Для учета таких явлений в эквивалент-
ную схему можно ввести побочные источники. На фиг. 97, а показана
454
ГЛАВА 7
линия передачи неопределенной длины с включенным в нее источ-
ником напряжения £0 и с присоединенным к ней источником тока /0.
При помощи этих двух источников можно возбуждать волны, рас-
пространяющиеся в том или другом направлении по линии, или
можно установить два источника так, чтобы они поглощали две
заданные прямые волны, распространяющиеся слева или справа.
В этой задаче независимыми величинами служат V*, V2 , Eq и /о,
а зависимыми величинами или следствиями являются Vf и l/jf. Граф,
приведенный на фиг. 97, б, можно
построить путем наложения каж-
дой из независимых величин в от-
дельности. Например, если Eq и /0
равны нулю, источник напряже-
ния замкнут накоротко, ветвь тока
разомкнута и прямые волны про-
ходят мимо них без изменения.
Фиг. 97. Возбуждение волн.
Иначе говоря, последовательный
источник напряжения и парал-
лельный источник тока пропус-
кают приходящие волны. Это по-
казано верхними и нижними вет-
вями графа. Положим теперь, что
Vf, V2 и /о равны нулю, но Eq
не равно нулю. В этом случае
источник Eq по существу включен
последовательно с двумя сопро-
тивлениями Rq— с одним слева
и с другим справа; отсюда сле-
дует, что V2 =Еь/2 и ИГ = — Eq/2. Таким образом, источник на-
пряжения Eq, когда он действует один, посылает волны противопо-
ложной полярности направо и налево. Источник тока /0, когда он
действует один, посылает волны с такими же амплитудами и поляр-
ностями в противоположных направлениях. Из рассмотрения графа
видно, что при Eq/Iq = Rq посылается волна только направо. При
изменении знака EQ или /0 получается обратная картина и волна
передается только налево. Сказанное относится к возбуждению выхо-
дящих волн. Для поглощения приходящих волн нужно установить EQ
и /0 так, чтобы в графе Vf и VT были равны нулю.
7.33. Аттенюатор с сосредоточенными
элементами
Другой интересной задачей является расчет „ослабителя", или
„аттенюатора". Идеальный аттенюатор представляет собой цепь из
активных сопротивлений, включаемых в передающую линию с таким
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
455
расчетом, чтобы не получалось отражения падающей волны. Атте-
нюатор предназначен для уменьшения многократных отражений волн
от концов системы передачи и тем самым по существу для изоляции
одного конца от другого и предотвращения неустойчивости и других
вредных влияний взаимодействия или связи. На фиг. 98, а показан
аттенюатор с симметричными сторонами. Волновое сопротивление /?0
для простоты принято равным единице. Если рассматривать линию
а
l-я а
«Со-----^2—р^г+
\
Г 1
1*Rq
б
Фиг. 98. Ослабитель или аттенюатор.
слева, то аттенюатор состоит из сопротивления Ra, включенного
последовательно с параллельно соединенными Rb и Ra -р 1. Следова-
тельно, при отсутствии отражения должно быть справедливо равенство
_____ 1 _р I О Ra) Rb (4731
1\ - Х—КаЛ- X + Ra+Rb ‘ (473)
Решая это уравнение, получим
Щ -М <474>
Чтобы найти коэффициент передачи аттенюатора, рассмотрим поло-
жительную волну, приходящую слева. Поскольку аттенюатор согла-
сован с линий, IX = IX, Vi = Vi+, а также = V2 = ^2* Коэф-
фициент передачи тока /£/Л+ равен коэффициенту передачи напря-
жения V2 /Vx , и в этой задаче его легче вычислить. Ток 1Х делится
между Rb и обратно пропорционально сопротивлениям.
456
ГЛАВА 7
Следовательно,
KL = !L = = IzA
Vt Л+ 1 + ^ + Я* 1 + V
(475)
Этому выражению соответствует граф, изображенный на фиг. 98, б.
7.34. Скачки волнового сопротивления
На фиг. 99, а показан случай, часто встречающийся в линиях
передачи. Линия передачи непрерывна, но волновое сопротивление
изменяется внезапно с /?0 на участке 1 до новой величины Rq на
участке 2. Если волна V? проходит
б
Фиг. 99. Скачок волнового сопро-
тивления.
слева, получается коэффициент
отражения Г, указанный на
фиг. 99, б. При вычислении ко-
эффициента отражения сопро-
тивление /?о можно рассматри-
вать в виде нагрузки, присо-
единенной к левой части линии.
Слева непосредственно перед
скачком полное напряжение
равно V* + Справа непо-
средственно после скачка пол-
ное напряжение равно Vf (по-
лагаем сначала, что V2 отсут-
ствует)* Поскольку полное на-
пряжение должно быть непре-
рывно на границе между двумя
участками с разными волновы-
ми сопротивлениями, коэффи-
циент передачи от V* к Vf
должен быть равен сумме еди-
ницы и коэффициента отра-
жения, как указывает верхняя
ветвь на фиг. 99, б. Когда волна приходит не слева, а справа, вели-
чины 7?о и /?о меняются ролями, так что коэффициент отражения
при переходе от к V} имеет обратный знак по сравнению с коэф-
фициентом отражения для V? и Таким образом, распространение
волн при скачкообразном изменении волнового сопротивления пол-
ностью описывается одним параметром Г, указанным в графе фиг. 99, б.
Рассмотрим теперь два таких скачка волнового сопротивления,
как показано на фиг. 100, а. Будем обозначать нижними индексами 1
и 2 напряжения и токи непосредственно слева и справа от первого
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
457
скачка (первого сечения линий), .а индексами 3 и 4 — напряжения
и токи около второго скачка (второго сечения линий).
Из графа на фиг. 100, б можно вычислить общие коэффициенты
передачи и отражения для двух переходов. Когда приходит волна
только слева (V4“ = 0), общий коэффициент отражения
г ' О+ПО-Г)^-^
у+ “Г J _|_ ГГ^-2>«.Г
или после упрощения
у- г + г'е-2-'"7’
~ 1 + ГГ?-2-'"’7' ’
Участок линии с параметрами /?0, 71 называется трансформатором.
Трансформатор включают между двумя участками линии с разными
। ।
। ।
। ।
!-----------—
№о)--------------------! W-Л I IR")
I I
а
(476)
(477)
Фиг. 100. Трансформатор.
волновыми сопротивлениями, чтобы устранить отражения на опреде-
ленных частотах. Поскольку величины Г и Г' в уравнении (477)
действительны, числитель может равняться нулю только в том слу-
чае, если Г и Г' равны по абсолютной величине. Пусть
Г' = Г. (478)
Тогда числитель в уравнении (477) равен нулю при частотах, для
КОТОрЫХ =
(479)
458
ГЛАВА 7
Если Г и Г' равны, то /?о и /?0 должны находиться в таком же
отношении, как /?0 и /?о- Следовательно,
/?о = VRoRo. (480)
Уравнение (479) удовлетворяется при
Ш=±^. ±^г. (481)
При частотах, определяемых уравнением (481), трансформатор, как
говорят, согласует линию /?о с линией и волны, приходящие
слева или справа, переходят из одной линии в другую без отраже-
ния. Имеются, конечно, многократные отражения в трансформаторе,
но при возбуждении волн только одного направления волны на
участках 1 и 4 распространяются либо направо, либо налево.
До сих пор рассматривались напряжения и токи в отдельных
точках линии передачи; были получены зависимости между этими
напряжениями и токами через время запаздывания или „время про-
бега" между двумя точками линии. Поэтому, хотя в некоторых
местах изложения подразумевались „бегущие" волны, напряжения и
токи не были выражены в виде непрерывных функций времени и
расстояния. Для нашей цели расстояние может быть произвольным,
и можно положить без ущерба для общности, что скорость волны
равна единице. Поэтому положительную волну v+ (t, х) можно запи-
сать в виде (t— х), а отрицательную волну v~ (t, х) в виде
v~(t-{-x), где х — расстояние по линии, измеренное вправо от
некоторой заданной начальной точки. Фиксировав /, можно начертить
график волны в виде функции расстояния х либо, фиксировав х
(как делали до сих пор), рассматривать волну напряжения только
как функцию времени. Для синусоиды длиной волны нужно считать
ее период, когда синусоида строится в виде функции от х при
фиксированном t. При увеличении частоты длина волны уменьшается
обратно пропорционально частоте. Понятие длины волны позволяет
описать согласующий трансформатор не временем запаздывания, а его
длиной. При наименьшей частоте, указанной в уравнении (481), длина
согласующего трансформатора равна четверти длины волны. При
данной частоте трансформатор будет согласовывать две линии, если
его длина равна нечетному кратному от четверти длины волны.
Числитель уравнения (477) будет равен нулю также при
Г'== —Г, (482)
е-2>г= L (483)
Уравнение (482) удовлетворяется при
/?о = /?о. (484)
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
459
а частоты, удовлетворяющие уравнению (483), имеют значения
ю — О, ±-J, ±^, (485)
В этом случае длина трансформатора равна целому числу полу-
волн. Чтобы убедиться в этом другим способом, вернемся к фиг. 95
и положим $ равным /а>. Если на фиг. 95 равно Г2, указанный
участок линии можно включить в другую линию, не вызвав отраже-
ния во всей линии. Самая низкая частота, при которой это условие
выполняется, равна, очевидно,, нулю. На первой частоте, неравной
нулю, при которой и Г2 равны, время задержки линии должно
быть равно половине периода (Т = тг/а>), при этом время распрост-
ранения периодической волны по линии туда и обратно равно одному
периоду.
Трансформаторы обоих типов [уравнения (478) и (482)] действуют
в качестве избирательных фильтров, добротность Q которых стано-
вится большой, когда отношение Ro/Ro велико или мало по сравне-
нию с единицей. Трансформатор действует в виде заграждающего
фильтра, пропускающего приходящую волну на определенных часто-
тах, но отражающего волны на всех других частотах.
7.35. Волновые коэффициенты
На фиг. 101, а представлена произвольная связь между двумя
линиями. Связь полностью описывается двумя коэффициентами отра-
жения, Гп и Г22, и двумя коэффициентами передачи, Г12 и Г21, ука-
занными на фиг. 101, б. Параметры Гуй называются волновыми
коэффициентами. Когда п разных линий передачи соединены
в общий узел, связь между ними описывается матрицей коэффициен-
тов из п строк и п столбцов. Ценность описания системы при
помощи коэффициентов бегущих волн и их матрицы состоит в том,
что оно облегчает наглядное изображение потока энергии в системе.
Например, мощность, переносимая бегущей волной Vf, равна квад-
рату модуля V*, умноженному на волновую проводимость О0. Иногда
бывает удобно нормировать уравнения системы (фиг. 101, в) так, что
квадраты сигналов в узлах графа будут представлять мощности волн.
Строго говоря, волновые коэффициенты нужно рассматривать в виде
коэффициентов передачи ветвей в нормированном графе, подобном
приведенному на фиг. 101, в.
Когда в линии передачи имеются положительная и отрицательная
волны, понятие „мощность бегущей волны" имеет смысл и удобно
только в том случае, если мощность одной волны не зависит от
наличия другой волны. Иначе говоря, как будет показано ниже,
положительная и отрицательная бегущие волны должны быть
460
ГЛАВА 7
ортогональны. Чтобы убедиться в этом, выберем точку линии
передачи (например, один конец линии) и вычислим полную ком-
плексную мощность
VI* = (yA 4-у-)(/+— /-)*, (486)
где V и / — среднеквадратичные значения комплексных амплитуд
напряжения и тока на одной частоте (или, например, спектров плот-
ности напряжения и плотности тока импульсных сигналов v(t) и /(/),
в этом случае VI* есть спектр плотности энергии или спектр их
Q
Фиг. 101. Волновые коэффициенты для произвольного перехода.
взаимной корреляционной функции). При подстановке коэффициента
отражения Г и волновой проводимости О0 уравнение (486) принимает
вид
УГ=|У+|2О0(1Н-Г)(1—Г*). (487)
Действительную и мнимую составляющие мощности обозначим
через Рт и Pt
VP = PT + jPi. (488)
Величина Рг представляет собой, очевидно, среднюю по времени
действительную мощность, проходящую через данную точку линии
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
461
передачи слева направо. Определим теперь „положительную* и „отри-
цательную* мощности
Р+ = У+ |/+ |* = I У+ |2О0, (489)
Р~ = У' | Г |‘= | У~ |2 Go = |Г|2Р+, (490)
откуда вытекает непосредственно, что
Рг + уР. = Р,[1-|Г|2+(Г-Г*)]. (491)
Следовательно,
Рг = Р+(1 — |Г|2) = Р+ — Р~, (492)
Pt = 2 Im [Г] = 2 | Г | sin <р, (493)
где
Г = |Г|Л (494)
Соотношение (492) доказывает ортогональность положительной и
отрицательной волн. Результирующая мощность, протекающая на-
право, равна разности мощности, переносимой направо положительной
волной, и мощности, переносимой налево отрицательной волной.
Удобство использования волновых коэффициентов для вычисления
мощности можно иллюстрировать с помощью примера формулировки
общих критериев пассивности и отсутствия потерь. Соединительное
устройство с входами п линий передачи (для простоты полагаем, что
волновое сопротивление каждой линии равно единице) характери-
зуется матрицей Г порядка п\п с элементами Tjk. В этом общем
случае (в отличие от обозначений на фиг. 101, б) удобно обозначать
через V] волну, приходящую к месту соединения по у-й линии пере-
дачи. Обозначим через V] отраженную волну, распространяющуюся
от места соединения по /-й линии. Таким образом, векторы-строки
и V~ обозначают соответственно приходящую и отраженную волны,
а поведение места соединения со многими входами описывается ма-
тричным уравнением 1/+Г — V~. Результирующая средняя мощность,
приходящая к месту соединения, равна произведению V+ на сопря-
женную ему транспонированную матрицу (вектор-столбец). Следова-
тельно, приходящая средняя мощность равна =
+ |^г12+ • • • +1^л I2» а результирующая мощность, выходящая
из места соединения, равна Р = (1/+)(1/+),— (V") (!/")*. Подставляя
У+Г вместо 1/~, получаем квадратичную форму
P = (V+)[/-rr;j(V+);, (495)
где / — единичная матрица. Место соединения является пассивным
тогда и только тогда, когда Р неотрицательна для всех возможных
462 Г Л А В A 7
значений комплексного вектора-строки Следовательно (как при
аналогичном изучении мощности в гл. 2), критерий пассивности
состоит в том, что эрмитова матрица [/ — ГГ/] должна быть поло-
жительной определенной. Чтобы соединительное устройство не имело
потерь, мощность Р должна равняться нулю при всех возможных
значениях V4. Следовательно, все элементы матрицы [/ — ГГ*] также
должны равняться нулю; в результате получается весьма простое усло-
вие отсутствия потерь
ГГ/==/ — единичная матрица. (496)
Если система подчиняется принципу взаимности, то —
и в уравнении (496) индекс транспонирования t можно опустить.
7.36. Система, содержащая участки
со случайными задержками
В предыдущей главе было показано, что, хотя спектр плотности
напряжения стационарного случайного процесса не имеет смысла, его
спектр мощности имеет смысл и является полезным понятием. Рас-
смотрим элементарную систему со случайными свойствами. Как будет
показано, квадраты модулей волновых коэффициентов могут иметь
значение и тогда, когда сами эти коэффициенты не имеют значения.
Положим, что участок линии /?0 включен между двумя линиями,
имеющими одинаковые волновые сопротивления /?0, отличные от вол-
нового сопротивления включенного участка, как показано нафиг. 102, а.
Из соответствующего графа фиг. 102, б находим коэффициент пере-
дачи
V4+ (1—Г2)г-'<“г
V* = 1 + • (497)
Здесь предполагается, что задержка Т участка известна. Допустим
теперь, что задержка Т точно не известна, так что фаза отрицатель-
ной волны, приходящей к от Из, может иметь любое значение
в диапазоне от 0 до 2тг по отношению к приходящей волне V*.
Например, когда свет проходит через слой стекла, длина волны света
столь мала по сравнению с толщиной стекла, что при грубом изме-
рении толщина стекла будет определена с допуском, равным многим
длинам волн. При рассмотрении фазы волн, многократно отраженных
внутри стекла, можно считать толщину совершенно случайной. Точно
такое же положение наблюдается, когда толщина известна точно, но
неизвестно точное значение частоты лучистой энергии или когда она
распределена в достаточно широком спектре частот. Обозначим два
сигнала, входящие в узел V% (фиг. 102, б)9 через А и BexpC/S), так
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
463
что разность фаз между ними равна 6. В этом случае по существу
имеется совокупность различных сигналов В, фазы которых равно-
мерно распределены в угле 2к. Среднее значение из множества суммы
। ।
। >
---------------i-----------------1------------
(Ио) I (Но.Г) J (Ио)
о » Ч-----------------
Прямая (7)!(г) @|©
волна । »
v£_
ге
-Г
Уз* 1-Г X
-ST 1 U
-г|
esT J
vr 1-г v2“ v3~
I У*|2 П+Г|г IXI2 J ]УзХ 1НП2 j,y?l2
в 1Пг |гГ 1ПТ
1ЙТ I’-^TiTi2 1 Wi*
Фиг. 102. Рассеяние мощности на участке линии неопределенной длины.
Д-|-Вехр(/9) равно, очевидно, А. Но если фазы случайны, мощ-
ности складываются. Таким образом,
2л
. ГЙГГ2 = М + В?612 = ± f I А + Ве*> I2 <79 = (498)
О
2л
= J- /* 1(Л + В cos 9)2 4- (В sin 6)2] <79= (499)
Z7C е/
о
= Л2+В2. (500)
Следовательно, уравнения, связывающие средние значения (по
времени) мощности различных волн, линейны и могут быть выражены
графом, приведенным на фиг. 102, в. Напомним, что черта над ква-
дратом модуля обозначает среднее значение множества случайно рас-
пределенных возможных значений угла 2ооГ пробега туда и обратно.
464
ГЛАВА 7
Из рассмотрения графа „рассеяния мощности" находим коэффициент
передачи мощности
I V+ 2 _ | ! _ г2 |2
[й+р ~ 1-iri4 ’
(501)
Это выражение представляет собой действительное отношение
мощностей, потому что участки 1 и 4 на фиг. 102, а имеют одина-
ковые волновые сопротивления. В данном примере Г — действитель-
ная величина, модуль которой не больше единицы, так что уравне-
ние (501) приводится к уравнению
I 12 _ 1 — г2
|Т+р “ 1 + г2 ’
(502)
Ввиду того что включенный участок линии не имеет потерь, в этой
задаче не нужно вычислять отдельно коэффициент отражения мощ-
ности. Нужно лишь вычесть выражение (502) из единицы и получить
I Vj- 2 _ 2Г2
р+у2 = 1+Г2"
(503)
7.37. Линия, формирующая импульсы
В качестве другого примера применения теории рассмотрим линию,
„формирующую импульсы", изображенную на фиг. 103, а. Время
пробега и волновые сопротивления для простоты приняты равными
единице. На практике линия заряжается до некоторого определенного
напряжения, после чего левый*конец сразу закорачивается. Это при-
водит к возникновению прямоугольного импульса на зажимах v(t).
Для осуществления действительных условий в этой схеме можно при-
ложить входное напряжение равное—1 при отрицательном зна-
чении времени и равное 0 при положительном значении времени.
Поскольку добавление постоянной величины к ev очевидно, не влияет
на v(t), то можно положить ex(t) равным нулю в течение всего отри-
цательного значения времени и равным + 1 при положительном зна-
чении времени. Другими словами, v(t) представляет собой реакцию
на единичную ступень напряжения, приложенную к зажимам ev Удоб-
нее найти реакцию на единичный импульс, а не на единичную
ступень и затем интегрировать. Поскольку V равно полному напря-
жению V2 за вычетом напряжения V3, то можно определить функ-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
465
цию передачи от Ех к V путем рассмотрения графа, изображен'
ного на фиг. 103, б. В результате получается
. (504)
Фиг. 103. Линия, формирующая импульсы.
В этом выражении многие члены сокращаются, и остается формула
H(s) = -^- = e"s—е-34, (505)
так что импульсную характеристику можно сразу представить в виде
двух линейных импульсов, показанных на фиг. 103, а. После инте-
30 Зак. 1115
466
ГЛАВА 7
грирования этой функции получаем переходную характеристику
(фиг. 103, г).
Простота этой формулы побуждает нас искать более простое
объяснение. Вернемся к графу и подадим на его вход * единичный
импульс. Через одну секунду импульс приходит к узлу У% и не-
медленно создает два импульса, Уз и V7, половинной величины. Эти
два половинных импульса проходят по двум меньшим контурам об-
ратной связи графа; один из них возвращается к У$ с переменой
знака, а другой возвращается к V3 без изменения знака. В этот
момент через 3 сек после момента подведения единичного импульса
два равных и противоположных половинных импульса достигают
точек У? и Уз и взаимно уничтожаются, так что в точках V3 и У?
ничего не будет. После этого взаимного уничтожения все сигналы
исчезают и система приходит навсегда в состояние покоя.
7.38. Потенциально неустойчивая линия
передачи
В качестве еще одного примера рассмотрим простую, но интерес-
ную систему, изображенную на фиг. 104, а. Эта система представляет
интерес в том случае, когда концевые сопротивления и /?2 могут
принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Если, скажем, отрицательно, то коэффициент отражения от на
левом конце линии по абсолютной величине будет больше единицы.
Импульсный сигнал, посланный налево, будет отражаться от и
двигаться направо в виде импульса большей амплитуды. Если /?2
также отрицательно, то после отражения на правом конце импульс
еще увеличится. Таким образом, сигнал будет отражаться от одного
и другого концов, увеличиваясь экспоненциально в зависимости от
числа отражений. Система неустойчива, так как она генерирует уве-
личивающиеся колебания независимо от внешнего возбуждения (по-
мимо начального возбуждения, например шума, достаточного для того,
чтобы вызвать неустойчивый процесс). Если /?2 положительно и до-
статочно велико, то можно предположить, что малый коэффициент
отражения от правого конца будет иметь большее значение, чем боль-
шой коэффициент отражения от левого конца, так что образующиеся
многократные отражения будут постепенно затухать. Однако задача
не так проста. Нужно учитывать не только относительные вели-
чины и /?2, но и волновое сопротивление /?0. Коэффициенты отра-
жения от двух концов линии
р — Rq р _________R% Rq
(506)
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
467
При этом, чтобы не было возрастания амплитуд после отражений от
двух концов, нужно выполнить условие устойчивости
IW<1. (507)
Для определения границы области неустойчивости заменим неравен-
ство (507) равенством. Далее, коэффициенты отражения действительны
Фиг. 104. Области неустойчивости (заштрихованные) при отрицательном
сопротивлении или /?2«
при активных сопротивлениях по концам, и граница между устойчи-
вым и неустойчивым состояниями задается условием
Г1Г2 = ± 1. (508)
Подставляя выражение (506) в (508), получаем два условия:
+ = (509)
= — (510)
30*
468
ГЛАВА 7
и диаграмму устойчивости, изображенную на фиг. 104, б. Если
приблизительно равно /?0 и /?2 приблизительно равно /?0, но с отри-
цательным знаком, то граница между устойчивым и неустойчивым
состояниями получается неопределенной. Это соответствует коэффи-
циенту отражения от правого конца, близкому к нулю, и очень боль-
шому коэффициенту отражения от другого конца, когда произведе-
ние 1\г2 является неопределенным. Заметим, что при фиксированном
положительном значении система генерирует в одной области
Фиг. 105в Устойчивость при различных видах накопителя энергии.
a-Rq-VLiC — большое; б —система неустойчива при Rr + R2<0; в — R^=VTiC — малое;
г — система неустойчива при --—|- - < 0.
R\ R?
отрицательных значений R2. Если R2 принимает некоторое фиксиро-
ванное отрицательное значение, система является устойчивой в одной
ограниченной области положительных значений
Диаграмма устойчивости станет более понятной, если рассмотреть
ее для двух предельных случаев — при очень большом RQ и очень
малом RQi как показано на фиг. 105. При очень большом /?0 линия
приближается к простой последовательной индуктивности L (фиг. 105, а),
а диаграмма устойчивости принимает простой вид (фиг. 105, б). По-
следовательная цепь RL, очевидно, устойчива тогда и только тогда,
когда общее последовательное активное сопротивление положительно.
При очень малом волновом сопротивлении линия ведет себя как парал-
лельная емкость (фиг. 105, в). Параллельная цепь RC устойчива тогда
и только тогда, когда суммарная параллельная активная проводимость
(параллельное соединение и R2) положительна. Этому условию
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
469
соответствует предельная форма диаграммы устойчивости, изображен-
ная на фиг. 105, г.
В некоторых задачах при исследовании электронных генераторов
схему можно привести к эквивалентной схеме, содержащей положи-
тельное активное сопротивление, отрицательное активное сопротивле-
ние и элементы L или С, накапливающие энергию. Определение диа-
граммы устойчивости при помощи сосредоточенных накопительных
элементов (особенно, если число их больше двух) может быть очень
утомительным и, что еще хуже, неудобным в смысле наглядности.
Если же накопительный элемент можно приближенно представить
простой эквивалентной линией, как на фиг. 104, а, получается про-
стая и симметричная диаграмма устойчивости, описывающая поведение
генераторной схемы, как на фиг. 104, б. Дело в том, что участок
линии передачи (с распределенными параметрами L и С) исследовать
проще, чем цепь, содержащую, скажем, одну сосредоточенную индук-
тивность и две сосредоточенные емкости. Кроме того, линия передачи
может лучше отобразить реальную схему.
7.39. Общие замечания о системах,
содержащих элементы идеальной
задержки
Линейные системы передачи сигналов, содержащие части или эле-
менты, дающие идеальную задержку, описываются графами, в кото-
рых имеются ветви передачи вида ехр(—sT). Если все ветви пере-
дачи графа имеют одну и ту же задержку Т (или кратную некоторой
наименьшей задержке), то граф можно представить в различных стан-
дартных формах, как это было сделано для графа, содержащего
интеграторы или дифференциаторы. После этого разложение на про-
стые дроби приводит к простым подсистемам, содержащим по одной
ветви с идеальной задержкой. Поэтому многие свойства систем, со-
держащих идеальные задержки, можно оценить с помощью простого
примера. На фиг. 106, а граф имеет ветвь с идеальной задержкой
в контуре обратной связи, так что в выражении передаточной функ-
ции идеальная задержка находится в знаменателе. Поскольку дробь
можно написать в виде суммы членов бесконечного геометрического
ряда, то получаем
H(s) = i_g-W) = 1 + е-2(«+5Л+ e-3(«+ir)+ ...,(511)
обратное экспоненциальное изображение (импульсная характеристика)
Л(0 = «о(О + е-««о(#-Т) + е-2««о(^-27)-Н ... (512)
На фиг. 106, б показано расположение полюсов передаточной
функции (в этом случае конечная область плоскости s не содержит
470
ГЛАВА 7
нулей). На фиг. 106, в и г изображены импульсная и переходная
характеристики системы. Подобно тому как при наличии одного инте-
гратора в контуре обратной связи получается экспоненциальная им-
пульсная характеристика, так и при наличии одной идеальной задержки
в контуре обратной связи получается импульсная характеристика,
Фиг. 106. Обратная связь через идеальный элемент задержки.
состоящая из бесконечного ряда экспоненциально уменьшающихся ли-
нейных импульсов. Во многих задачах проще рассматривать эквивалент-
ные схемы, содержащие идеальную задержку, чем схемы с интегра-
торами или дифференциаторами.
7.40. „Биномная" система задержки
На фиг. 107, а изображена элементарная линейная система, свой-
ства передачи которой приводят к интересным и важным предста-
влениям.
h,(t)
cos(co/2)
h2(t) COS2(u>/2)
Ж Af
3 H
Фиг. 107. Каскадная цепь, у которой импульсная реакция состоит из линейных импульсов,
распределенных по закону бинома.
472
ГЛАВА 7
Импульсная характеристика системы
Л1(/) = 4[«о(О + «о(^ - D1 (513)
показана на фиг. 107, е. Из рассмотрения графа фиг. 107, а находим
амплитудно-частотную характеристику
W1(j«)) = l(l+e-4 (514)
которую можно написать в виде
Нх (/со) = e-X“/2)cos (cd/2). (515)
Эта формула отражает то обстоятельство, что функция /г(/-|-0,5),
т. е. h(t), смещенная на 0,5 сек влево, является четной функцией.
С точностью до линейного фазового множителя ехр(— jco/2), соот-
ветствующего запаздыванию в 0,5 сек, частотная характеристика
представляет действительную косинусоидальную волну, изображенную
на фиг. 107, л.
В графе для двух таких систем, соединенных последовательно
(фиг. 107, б), один путь не имеет задержки, два пути содержат по
одной ветви задержки и один путь содержит обе ветви задержки.
Соответствующая импульсная характеристика h2(t), изображенная на
фиг. 107, ж, представляет собой свертку hx (/) с самой собой, а пере-
даточная функция равна, следовательно, Н\, как указано на фиг. 107, м.
Для цепочки из шести элементарных систем (фиг. 107, в) граф будет
иметь пятнадцать путей, содержащих по две ветви задержки, и, сле-
довательно, импульсная характеристика, изображенная на фиг. 107, з,
представляет линейный импульс площадью 15/б4, расположенный в точке
t — 2. Площади линейных импульсов функции hQ(t) равны просто
коэффициентам разложения бинома
г 1 16
н6 (/«))=[4 а+*-'“)] =
== —£----------------22-----__Е---------J2-------L-----. (516)
При увеличении числа каскадов цепочки частотная характеристика
Нп (» = е-^МЪ съ$п (<о/2) (517)
начинает приобретать своеобразный вид, как показано на фиг. 107,
н — п. При возведении ординат, меньших единицы, в высокие сте-
пени спектр «тает», за исключением пиков на частотах <о/2тс =
= 0, ±1, ±2......... на которых передаточная функция сохраняет
значение, равное единице. При большом п спектр превращается
в периодический ряд узких импульсов, как показано на фиг. 107, о.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 473
Систему с такой частотной характеристикой иногда называют «гре-
бенчатым фильтром». Разлагая log [cos (ш/2)] в степенной ряд, получаем
(W2 (U4 \
8+192+“*)в (518)
При большом ПИ ------ТС < (1) < ТС
— -—(и, V
cos" (u)/2) « е ” 8 2 \ 2 /, (519)
так как в этом случае функция (518) заметно отличается от нуля
только при малых значениях ш. Выражение (519) показывает, что
каждый импульс в спектре фиг. 107, о при увеличении п сужается
и приближается к гауссову импульсу.
Если за системой (фиг. 107, г) поставить соответствующий фильтр
нижних частот, как показано на фиг. 107, д> то останется только
«зуб гребенки» на самой низкой частоте, как показано на фиг. 102, п.
Соответствующая передаточная функция
_. neo /£ Y
Hf(Jv) = e 1 2 е 2 К 2 (520)
а импульсная характеристика (фиг. 107, к) представляет собой обрат-
ное преобразование Фурье и, следовательно, является также гауссо-
вым импульсом
____1 Г Г~(л/2) у
Л/(0 = у е 2 L -I . (521)
Стробируя функцию hj(t) периодическими линейными импульсами,
получим дискретный сигнал (фиг. 107, п), которому соответствует
гребенчатый спектр (фиг. 107, о). Иначе говоря, гребенчатый спектр,
показанный на фиг. 107, о, представляет собой свертку узкого
гауссова импульса с периодической последовательностью линейных
импульсов; следовательно, функция hn(t) должна равняться произве-
дению широкого гауссова импульса и периодической последователь-
ности линейных импульсов. Таким образом, видим, что «биномный
ряд» линейных импульсов (фиг. 107, з) при большом п приближается
к «гауссову ряду». «Огибающая» кривая фиг. 107, к, показанная
пунктиром, высота которой указывает площади импульсов, имеет от-
носительную ширину, определяемую стандартным отклонением нор-
мального распределения }/тс/2. При любом положительном п удобно
определить ширину импульсной характеристики hn (t) через ее второй
момент относительно „центра тяжести" п/2. Имеем
ZwV f W + W^dt
(т) = '------7-----------’ <522)
V ' f hn(t)dt
474
ГЛАВА 7
где w—„ширина". Чтобы вычислить выражения (522), напомним, что
Hn(Jw) представляет собой преобразование Фурье функции hn(t). Та-
ким образом,
fhn(t)dt = Hn(0)=l. (523)
И
f ha(t + ±n)pdt
. (524)
ДЦ)2 L П '
Функция в скобках равна cos" (ш/2), а ее вторая производная с от-
рицательным знаком равна при нулевой частоте п/4. Следовательно,
при положительном п
(525)
и
^=]Лп. (526)
Половина ширины (w/2)=]Zп/2 при большом п равна стандарт-
ному отклонению гауссовой „огибающей" кривой.
Фиг. 108. Вероятностная система.
Теперь можно применить выводы, полученные из анализа „бином-
ной системы передачи, к другим любопытным системам. Рассмотрим,
во-первых, вероятностную линейную систему, описанную на фиг. 108.
Как показывают пунктирные ветви, вход соединен с одной из двух
изображенных сплошными линиями ветвей, но неизвестно, с какой.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
475
Вероятность того или другого соединения равна р— 1/2. Следова-
тельно, импульсная характеристика h(t) может представлять либо
единичный импульс в начальный момент (фиг. 108, d). либо единич-
ный импульс, задержанный на 1 сек. как на фиг. 108, в. Две им-
пульсные характеристики, показанные на фиг. 108, б и в, образуют
множество различных возможностей. Поскольку они равновероятны,
при вычислении среднего значения по множеству или средней
импульсной характеристики (фиг. 108, г) приписываем им одинаковые
веса.
Средняя импульсная характеристика этой вероятностной системы,
оказывается, совпадает с импульсной характеристикой, изображенной
на фиг. 107, е. Кроме того, как легко видеть, средняя импульсная
характеристика п таких вероятностных систем, соединенных цепоч-
кой (каскадно), совпадает с функцией hn(t). приведенной на фиг. 107,
если только системы независимы, т. е. если п случайных соединений
выбираются независимо. В невероятностной цепочке через граф проходит
2" различных путей, соответствующих 2П равновероятным способам
соединения вероятностной цепи. Поэтому любая из линейных систем,
изображенных на фиг. 107, служит средней по множеству мо-
делью соответствующей вероятностной системы. Свертка, преобразо-
вание Фурье и усреднение по множеству — все это линейные опера-
ции, поэтому усреднение по множеству можно провести либо до,
либо после двух других операций и получить тот же результат. На-
пример, спектр, изображенный на фиг. 107, о, представляет собой
среднее различных спектров, производимых множеством различных
возможных систем, причем каждая система множества изображает
один возможный набор соединений вероятностной цепочки.
Отсюда лишь один шаг к задаче о бросании монет. Плотность
вероятности числа гербов в п независимых бросаниях идеальной
монеты можно непосредственно отождествить с функцией hn (t). если
будем теперь рассматривать h как плотность вероятности, a t
как число гербов (но не секунд). Время здесь не участвует, но
появление данного числа гербов во множестве всевозможных по-
следовательностей гербов — решек аналогично появлению опреде-
ленного числа ветвей задержки во множестве всевозможных путей
графа. В задаче о бросании монет говорят о среднеквадра-
тичном отклонении от среднего числа гербов, и это отклонение
тождественно вычисленной выше „половине ширины" w/2 —
= Уп/2. Рассматривая hn(t) как плотность вероятности t появлений
гербов в п бросаниях идеальной монеты, легко заметить, что число
гербов при большом п стремится к половине числа бросаний. Это
значит, что отношение среднеквадратичного отклонения (дГп!^)
к среднему значению (п/2) при увеличении п становится сколь угодно
малым (фиг. 107, и).
476
ГЛАВА 7
ЗАДАЧИ
7.1. Ответить возможно кратко на следующие вопросы, относящиеся
к фиг. 109, и дать обоснование каждому ответу.
а. Может ли быть fx (t) автокорреляционной функцией сигнала?
б. Может ли быть /2 (0 автокорреляционной функцией сигнала?
в. Может ли быть /2 (0 импульсной характеристикой реализуемой си-
стемы?
7.2. На фиг. 110 показана схема для наблюдения быстрых переходных
процессов. Поле между отклоняющимися пластинами однородно, и искривле-
. ния поля на краях можно не учитывать.
чШ Электроны выходят из прожектора со ско-
ростью t'o и ударяются об экран в точке х.
а. Найти x\t) при /? = 0 и е (t) ~ Еи_ j (Z).
б. Найти импульсную характеристику
п '----------------------------------—- t системы h (/), рассматривая е (t) в виде воз-
и и буждения, а х (/) в качестве реакции.
в. Положить R=jhO и найти х (/), если
емкость отклоняющих пластин равна С и
е (t) = Еи_ j (/). (Положить RC^w)Vq.)
, . г. Используя результаты п. „б“, рассмо-
/21^ треть эффективность этой системы при на-
блюдении быстрых переходных процессов.
--------------7„3. Найти свертку функций /, (/)
и Л(0, изображенных на фиг. 111.
б ------а-----0-------а----1 7.4. Найти свертки пар импульсных
и сигналов, изображённых на фиг. 112.
Фиг. 109. 7.5. 1. Найти выходные сигналы v2 (t)
для всех пар vt и А, изображенных на
фиг. 113, а — н, где Uj (t) — входной сигнал, a h(t) — импульсная характе-
ристика системы.
Все импульсы, кроме особо отмеченных, имеют площадь, равную единице.
Фиг. 110.
(L>> w) —
Люминесцентный
экран
d« w
2. Исследовать предельную форму на фиг. 113, ж при S->0. Какая за-
висимость между реакцией и возбуждением?
3. Описать операции, производимые над сигналами, если можно да1ь
простое описание. Например, операция на фиг. 113, г есть задержка.
478
ГЛАВА 7
4. Как изменятся выходные сигналы, если возбуждение и импульсную
характеристику h поменять местами?
5. Интеграл суперпозиции (интеграл свертки) можно написать в двух
формах:
v2 (О = J* Vj (/ — т) Л (т) dt,
4(0 = | Vi(t)h(i—t)dt,
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
479
Возьмем производную от обеих частей каждого уравнения по t (полагая,
что линейные операции дифференцирования и интегрирования можно менять
местами). Являются ли эти формы эквивалентными? Как связан с этим воп-
росом п. 2?
Фиг. ИЗ (продолжение)
6. Интегрируя один из интегралов по частям, получим
v2
t
dx
(t — т) dx
при V! (—oo) = 0. Применить эту формулу к п. 1 (фиг. 113, м) и сравнить
полученный результат с прежним результатом. Какой способ проще?
7. Как связана конечная площадь выходного сигнала v2 (0 с конечными
площадями функции входного сигнала и импульсной характеристики? Ис-
пользовать полученный результат для частной проверки ответов на п. 1.
480
ГЛАВА 7
7.6. Для схемы фиг.114:
а. Найти Щ/w) = 2V(/<°)/£bx С/^)- Начертить lg | Н (ju) | в зависимости
от 1g со для частот от 102 до 104 гц.
б. Найти амплитудный спектр | Vk\ периодического прямоугольного коле-
бания с периодом 10 мсек и амплитудой 10 в. Наложить график на график
п. .а-.
в. Найти амплитудный спектр выходного сигнала е2 (t), если £вх (/)
представляет собой прямоугольное колебание, описанное в п. „б-. Наложить
этот график на график п. .а-.
Фиг. 114с
£==100 мгн; фдвЗО при 900 гц; /?) = 1 Мом; частота резонанса 900 гц.
г. Если е2 (0 измеряется идеальным среднеквадратичным вольтметром,
рассмотреть применение схемы с этим вольтметром в качестве анализатора
формы сигналов. Сравнить измеренное значение выходного сигнала с ампли-
тудой соответствующей гармоники ряда Фурье.
7.7. Линейная система имеет импульсную характеристику h (t) =
==6~/a_1(f). Входной сигнал определяется уравнением Vj (/) = zat при
всех t в прошлом, настоящем и будущем, где v2 (0) — действительная
величина. Начертить выходной сигнал v2 (0) в настоящий момент в зависи-
мости от а. Указание: непосредственно применяя формулу интеграла су-
перпозиции, находим, что для такого входного сигнала v2 (t) = И (а) V! (/),
где Н ($) — передаточная функция. Напомним, что Н ($) определяется инте-
гралом, который в общем случае не сходится при всех о.
7.8. Линейная система передачи имеет частотную характеристику Н (/со),
которую можно приближенно выразить идеализированной характеристикой
пропускания нижних частот
0“^° при | со | < <о0,
0 при | О) | > О)0,
где соо/о = Зк. Этой частотной характеристике соответствует импульсная
характеристика h (/), .почти реализуемая- в том смысле, что лишь неболь-
шая доля энергии функции h (/) находится в области отрицательного диапа-
зона времени.
На вход системы подводится прямоугольный импульс V! (t) единичной
высоты и длительностью Юк/<о0. Исследовать искажение переднего и заднего
фронтов прямоугольного импульса при прохождении через систему, .раз-
вертывая- входной сигнал Vi (/), который создает выходной сигнал v2 (/).
Выполнить минимальное число вычислений, достаточное для того, чтобы по-
лучить достаточное представление выходного сигнала v2 (/). Например, вместо
аналитического интегрирования можно использовать приближенные оценки
площадей под участками кривой.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
481
7.9. Реакция линейной системы на входной сигнал Z (/) = exp (j&t) равна
г (0 = И (/со) ехр (/со/), где Н (/со) — частотная характеристика системы.
С другой стороны, связь между I (/) и г (t) выражается интегралом супер-
позиции или интегралом свертки
г (t) = J* h (т) i (t — т) dt,
где h (t) — реакция системы на единичный импульс, появляющийся в момент
t = 0. На основании этого показать, что частотная характеристика предста-
вляет собой преобразование Фурье импульсной характеристики.
7.10. Как показано на фиг. 115, синусоидальное колебание (t) =
= 10 sin о)^ подано на вход усилителя с кусочно-линейной амплитудной ха-
рактеристикой. Выходное напряжение усилителя подведено к полосовому
фильтру со средней частотой 4cole Полоса пропускания фильтра Дсо < 2cDle
Найти мощность, поступающую к нагрузке R = 10000 ом.
7.11. Линейный фильтр (усилитель) с импульсной характеристикой
h (t) = j (/) exp (— t) возбуждается входным сигналом Vi(0 = M-i(0X
X exp (— t).
а. Найти выходной сигнал v2 (/), производя вычисления над временными
функциями.
б. Найти спектр плотности напряжения Vi(co).
в. Найти передаточную функцию И (/со).
г. По „б“ и .в" найти спектр плотности выходного напряжения V2 (<»).
д. Сопоставить результат п. .г“ со спектром плотности выходного на-
пряжения, вычисленным в п. .а“.
е. Найти автокорреляционную функцию ^ц(й.
ж. Найти автокорреляционную функцию (т) функции h (/).
3. Вычислить ^22 (т) по «е* и
и. Сопоставить результат п. .3“ с <р22 СО» вычисленной в п. „а*.
к. Пользуясь ф»ц (т), найти спектр плотности энергии (<о).
31 Зак. 1115
482
ГЛАВА 7
л. По <р22 (т) найти спектр плотности энергии W22 (со)
м. По флл (т) найти
н. Проверить равенство ^hh (о>) =» | Н (» |2.
о. Вычислить Ф*22 (ш) с помощью КГц (cd) и Ф*лл(ш) и сопоставить с ре-
зультатом п. „п*.
п. Дать ответы на все пункты с соответствующими изменениями обозна-
чений (<р вместо ф) для входного сигнала, представляющего периодический
ряд импульсов.
р. Дать ответы на все пункты для входного сигнала Vj (/), представляю-
щего широкополосный шум, исключив пункты, не относящиеся к поставлен-
ному вопросу.
7.12. На вход линейного фильтра подводится сигнал Vj (/), порожденный
стационарным случайным процессом. Плотность вероятности авто-
корреляционная функция <рц(т) и импульсная характеристика фильтра h (/)
известны.
а. Что можно сказать о выходном сигнале фильтра v2 (/)?
б. Ответить на п. „а“, если вместо линейного фильтра поставлен не
имеющий памяти нелинейный „фильтр* с передаточной функцией v2 = f (vx).
в. Ответить на п. „а“ и ,6“ для частного случая, когда Р(У\) предста-
вляет собой нормальное распределение, <ри (т) = ехр (— | т |), h (t) = и0 (t) +
+ uQ(t— 10) и f (х) = х.
г. Что будет, если нелинейный фильтр без памяти стоит после линейного
фильтра?
д. Что будет, если линейный фильтр стоит после нелинейного фильтра
без памяти?
7.13. Известно, что средний квадрат напряжения сигнала v(t) не равен
нулю, а его автокорреляционная функция (т) = ехр (— 111). Этот сигнал
возбуждает усилитель напряжения с входным сопротивлением Rb сопро-
тивлением нагрузки R2 и импульсной характеристикой h(t) = uQ(t) —
— 2u_,(/)exp(—t). Чему равна средняя мощность сигнала, поступающая
в нагрузку Р2? Будут ли одинаковы автокорреляционные функции выходного
и входного напряжений?
7.14. Импульсный сигнал гауссовой формы t/j (/) подводится на вход
квадратичной схемы, у которой мгновенное выходное напряжение v2 (t)
равно квадрату напряжения vf (/). За квадратичной схемой следует линей-
ный фильтр, импульсная характеристика которого приближенно выражается
задержанным импульсом гауссовой формы. Выходное напряжение фильтра v3(f).
а. Описать v3 (/) и его спектр.
б. Как изменится выходное напряжение фильтра, если фильтр стоит
перед квадратичным устройством, а не после него?
7.15. Если автокорреляционная функция случайного процесса
<?п
где а — постоянное положительное число, а сигналы, вызванные этим про-
цессом, пропускаются через устойчивый фильтр с импульсной характеристи-
кой
= (0.
то чему равна функция взаимной корреляции входного и выходного сигна-
лов Ср21 (ХР
б. Что можно сказать о <p2i (т)> если а велико по сравнению с 0?
7.16. Преобразование Фурье функции взаимной корреляции двух сигна-
лов называют иногда .взаимным спектром мощности* или .комплексным
спектром мощности* в отличие от действительного спектра мощности, полу-
чающегося, когда два сигнала одинаковы.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
483
Напряжение v(Z), полученное от источника шума, подводится к зажимам
линейной цепи и создает на этих зажимах ток I (/). Функция взаимной кор-
реляции тока I и напряжения v (т) = (Z (/) v* (t — т)) имеет преобразование
Фурье Ф(<о), которое вообще не является чисто действительным. Рассмот-
реть соотношения между взаимным спектром плотности мощности Ф (со) и
а) средней мощностью, рассеиваемой в цепи;
б) энергией, поступающей в цепь и выходящей из нее.
У Казани е: прежде всего надо связать взаимный спектр мощности
с проводимостью Y (/со) цепи и спектром мощности сигнала v (t)\
в) рассмотреть частный случай, когда Z(f) —v(f—1) и
г) случай, когда Z (/) = dv
д) как можно истолковать формулы, получающиеся при v (/) = cos <о/?
е) что будет, если v (/) = ехр (/(о/)?
7.17. К контуру LC без потерь с Д = С=1 подводится (параллельно)
ток
О, t < О,
i(t) =
1,
2, я < t < 2z,
1, <3я,
О, 3z < t
при напряжении v (/).
а. Вычислить автокорреляционные функции и взаимную корреляционную
функцию фн (t), tyvv (t) И <fv/ (-с).
б. Объяснить полученные формулы.
7.18. При пропускании электрофизиологических потенциалов, вызванных
внешним стимулом (фиг. 116), через электронную аппаратуру иногда тре-
буется вычислить функцию взаимной корреляции между реакциями и рядом
Реакция
л
л
Фиг. 116,
коротких импульсов, происходящих в моменты подачи стимула. Некоторые
физиологи называют это средней реакцией. В каком смысле эта взаимная
корреляционная функция является средней величиной? Каким образом сопо-
ставление значений взаимной корреляционной функции для разных моментов
воздействия стимула может дать указания о линейности или нелинейности
электрофизиологической системы?
7.19. Белый шум (сигнал, вызванный стационарным случайным процес-
сом с широким и равномерным спектром плотности мощности) пропускается
через линейную систему с импульсной характеристикой h (t) = u0 (/)+^о (^—1)-
По существу система складывает шум с его задержанной копией. Предла-
гается следующее рассуждение: „Поскольку шум некоррелирован со своей
задержанной копией, их сумма (выходной сигнал линейной системы) есть
белый шум (шум с равномерным спектром), .у которого спектральная плот-
ность мощности в два раза больше, чем у входного сигнала". Найти ошибки
в этом рассуждении, если они имеются.
31
484
ГЛАВА 7
7.20. а. Показать, что спектры плотности энергии импульсных сигна-
лов Vj (0 и v2 (0 связаны следующим соотношением:
>Гн(ш)Ф22 (a>) = |V12(a>)|*,
где взаимный спектр плотности энергии W* 12 (со) представляет собой пре-
образование Фурье взаимной корреляционной функции ^12 (х)-
б. Требуется истолковать это соотношение для частного случая, когда
V! (/) есть напряжение, a v2 (/) — ток на зажимах двухполюсной цепи.
в. Показать, что если V! и v2 — сигналы конечной мощности, вызванные
стационарными случайными процессами, то вышеуказанное равенство (отно-
сительно спектров мощности, а не спектров энергии) превращается в нера-
венство.
г. Что будет в том случае, если Vt — сигнал конечной мощности,
а и2 — импульсный сигнал?
д. Что будет в том случае, если сигналы V! и v2 являются периоди-
ческими?
7.21. Показать, что для комплексного сигнала v(t), имеющего спектр
И(О)),
v(_/)«-> V(_(o)t
v* (t) v (— О)),
v* (— /)<-> V».
7.22. Взять в качестве приближенного изображения отраженного радио-
локационного сигнала положительный прямоугольный импульс V| (/), зани-
мающий промежуток времени от t == 9 до t — 10. Вследствие случайной
ориентации цели амплитуда импульса случайна и имеет плотность вероят-
ности Рх (у). К отраженному сигналу неизбежно добавляется независимый
стационарный случайный шум п{ (/), так что общий принимаемый сигнал
будет v2 (0 = vl (/) 4- пх (/). Плотность вероятности шума Рп (у).
а. Какова плотность вероятности Р2 (v) сигнала v2?
б. Допустим, что в ряде опытов, каждый из которых состоит в одном
наблюдении сигнала v2 в момент t = 9,5, шум присутствует все время, но
цель может либо присутствовать, либо отсутствовать с соответствующими
вероятностями р и 1 — р. Установить „порог решения- А, такой, что если
... цель есть, то v2 > А, а если цели нет, то
v2 < А.
I Сформулировать вероятность рт неверного
1 X решения об отсутствии цели, когда цель в дей-
х. ствительности есть (вероятность пропуска).
в. Сформулировать вероятность pj невер-
____________________X,_ного решения о присутствии цели, когда цель
~ О____________________Т I в действительности отсутствует (вероятность
ложной тревоги).
Фиг. 117. г. Если даны Рп (у), Р2 (у) и р, можно ли
предложить разумную основу для установления
порога Л? Он может зависеть от произвольной оценки „последствий- про-
пуска цели по сравнению с „последствиями- ложной тревоги.
д. Как лучше всего обнаружить наличие или отсутствие цели по одному
наблюдению v2 (t = 9,5) независимо от упомянутых выше „последствий-?
е. Исследовать частный случай, когда р = 0,1, Рп (у) = 1 — | v | при v < 1
и Р{ (у) = uQ (у—1). Начертить кривые рт и р/ в зависимости от А.
ж. Рассмотреть задачу о составлении наилучшей оценки на основании п
наблюдений, а не одного наблюдения, как в п. „д-.
7.23. Пусть сигнал s(t) имеет форму, изображенную на фиг. 117, и
пусть к нему добавляется широкополосный шум n(t) с постоянной спект-
ральной плотностью мощности N.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
485
а. Начертить импульсную характеристику линейного фильтра для полу-
чения максимального выходного отношения сигнала к шуму по мощности
в данный момент /0 < Т.
б. Сделать то же самое для /0 > Т. Объяснить полученную кривую.
в. Начертить выходной сигнал как функцию времени для случаев „а“ и „б“.
7.24. Какое входное напряжение Vj (/) в схеме на фиг. 118 дает выход-
ное напряжение и2 (0, являющееся автокорреляционной функцией напряже-
ния Vj (О?
7.25. Рассмотреть следующий вывод ft
преобразования Гильберта. Если h (/) —- pea- ЛДлдл__________________о
лизуемая характеристика, то она равна нулю + vvvvv у
при отрицательном t и можно написать
Ui(t) С=т=
о--------------------------о
Взять экспоненциальное изображение обеих -
частей этого уравнения и приравнять дей- «риг. по.
ствительные и мнимые части полученного
выражения. В конце концов получаются два преобразования Гильберта,
связывающие действительные и мнимые части реализуемой передаточной
функции. При решении этой задачи следует помнить, что интеграл, опреде-
ляющий преобразование единичной ступени сходится только в пра-
вой полуплоскости s.
7.26. Каждая из написанных ниже функций R (/<*>) представляет дейст-
вительную часть комплексной функции, действительная и мнимая части
которой связаны преобразованием Гильберта. Найти соответствующие мни-
мые части.
a) R (/со) = cos
«> ы $!;
В) = 1/(1 + <о2)
В п. яа“ и „в" функцию R (/«) нужно рассматривать как предельную
форму действительной части передаточной функции устойчивой и реализуемой
системы.
7.27. Пусть /(/) — действительная функция и g (/) — преобразование
Гильберта функции /(/)
— оо
Определить комплексную функцию z(t)
z(t)=f(t) + jg(t).
а. Как выражается преобразование Фурье Z (со) функции г (/) через
преобразование Фурье F (<о) функции f (t)7
6. Выразить J* |г(/)|2 через J* \f(t)\2dt.
1ЛВ» Система передачи имеет передаточную функцию Н (s) с располо-
жением полюсов и нулей, показанным на фиг. 119.
а. Является ли эта система системой с минимальной фазой? Почему?
б. Если на п. wa“ будет дан отрицательный ответ, разбить Н ($) на два
множителя
486
ГЛАВА 7
где Нт ($) — передаточная функция минимальной фазы и Hf(s) — функция
передачи полностью пропускающей системы.
Для ответа на этот вопрос нужны лишь расположения полюсов и нулей
функций Нт (s) и Hf ($). Положить Н (оо) = 1.
7.29. Для действительной функции / (t) соответствующая функция
„усиления" G (<о) = log | F (» | = — | <о |. Найти /(/), если /(/):
а) четная функция времени;
б) нечетная функция времени.
7.30. Пусть h (t) — реализуемая импульсная характеристика, равная/
при 0 < t < Т, как указано на фиг. 120; поведение функции h (t) при t > Т
неизвестно.
Есчи известно, что преобразование Фурье функции h (/) имеет линейную
фазу ‘U (о>) с наклоном — Г на всех частотах, как ведет себя h (t) при t > Г?
Ответить на тот же вопрос для случая, когда наклон фазы в два раза
больше; 0 (со) = — 274
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
487
7.31. Линейный усилитель состоит из трех последовательных каскадов,
имеющих различные импульсные характеристики, изображенные на фиг. 121.
а. Найти выходной сигнал при одиночном входном линейном импульсе.
б. Начертить примерную кривую усиления в зависимости от логарифма
частоты.
в. Начертить примерную кривую фазы в зависимости от логарифма
частоты.
7.32. Найти экспоненциальные изображения следующих функций вре-
мени, указав их области сходимости:
а)
б) и_> (— t)e‘;
в) е~*;
г) и_ j (О к'+ *"'];
д) е‘ + е~(.
7.33. Пусть /(/)— функция времени, обладающая следующими свой-
ствами.
00
J |/(01<?-а<« <00,
— оо
f(t) — —f(—t), т. е. функция /нечетная.
а. Указать рациональную функцию с двумя полюсами в конечной плос-
кости $, которая может быть экспоненциальным изображением функции f (t).
б. Имеет ли f(t) преобразование Фурье? Почему?
7.34. Найти передаточные функции, соответствующие следующим им-
пульсным характеристикам, и указать в каждом случае область сходимости
интеграла, определяющего передаточную функцию:
а) 1 (/) eat\
б) j (/) cos со/;
в) w-i (0;
г) u_x(t)teat,
7.35. Показать, что И (0) — передаточная функция линейной системы
для постоянного тока — равна результирующей площади под кривой импульс-
ной характеристики. Используя это соотношение, дать простое объяснение
тому, что установившееся значение импульсной характеристики равно пре-
дельному значению произведения sH (s) при малом $.
Указание: рассмотреть идеальный интегратор, соединенный последо-
вательно с системой, у которой импульсная характеристика имеет конечную
ненулевую площадь.
488
ГЛАВА 7
7.36. а. Н айти импульсные характеристики систем, изображаемых линей-
ными графами, приведенными на фиг. 122.
б. Построить диаграмму полюсов и нулей этих передаточных функций.
7.37. Найти изображение следующих функций времени:
/ /
а
а) и_х (t) ел* sin р/;
б) (О sin PZ;
в) и_ । (t — /|) e~at sin р/;
г) и_ । (0 е~л1 cos р/.
Единичная задержка
! Единичная задержка /
7.88. Сравнить преобра-
зование Фурье сигнала (/) ~
= и_ । (0 ехр (— at) в пределе
при малом положительном а
с экспоненциальным изобра-
жением сигнала v2 (t) = i (t)
в пределе при малом положи-
тельном а, входящем в ком-
плексную частоту 5 = a -f-
экспоненциального преобразо-
вания. Показать, что в обоих
а
случаях получающаяся функция частоты содержит действительный линейный
импульс.
7.39. Найти фазовую функцию 0 (<*>), соответствующую функции А(/),
изображенной на фиг. 123. Указание: использовать симметрию функции.
7.40. Найти реализуемые импульсные характеристики, соответствую-
щие следующим передаточным функциям:
а) Н & = ($ + ^2рг ;
•аа
*)"(*)= Р+Г
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
489
7.41. На фиг. 124 изображена линейная система с импульсной характе-
ристикой h (/), входным сигналом fx (t) и выходным сигналом /2 (0* Пусть
h(t) = te~l
а. Если /j (t) — е~*(/), чему равен сигнал /2 (ф
б. Если /| (/) — е-2/ все время, чему равен /2 (/)?
в. Если fx(t)=e~tl2 все время, чему равен сигнал /2 (/)?
Во всех случаях использовать сначала формулу интеграла суперпозиции,
затем связать полученный результат с результатом, найденным при помощи
экспоненциальных преобразований.
h(t) -----Of2(t)
Фиг. 124.
7.42. Изображением единичной ступени и_|(/) является функция 1/$.
Оригинал равен, очевидно, нулю при t отрицательном и 1 при / положи-
тельном. Разобрать частный случай t =0 и показать, что оригинал равен !/2.
Сделать это путем интегрирования по следующим контурам:
а) вертикальному, лежащему около оси /со справа от нее;
б) контуру, состоящему из трех частей: первая от —/оо до —/<о0 по
отрицательной оси /со; вторая — малая полуокружность радиуса со0 с центром
в начале координат и справа от нее и третья от /<о0 до /оо по положитель-
ной оси /со;
в) почему теорема вычетов Коши неприменима в частном случае t = 0?
г) дает ли правильный результат следующее’простое выражение:
lim
а-»оо
f 1 _ M°g s
J T-2kJ ~L 2r.j J ,
- -j“
7«43. Для заданных входной и выходной функций времени найти пере-
даточную функцию Н ($) и импульсную характеристику h (/). Во всех слу-
чаях указать области сходимости экспоненциальных изображений £вх($),
£вых(5) и
a) *bx(0 = а-1 (О»
б) *bx(0="-i(0>
в) *ВХ (0 = «0 (0.
Г) ^вх (0 = (0 sin Z,
Д) *bx(0 = «-i(0*“',
е) ^вх(0 = «-|(—0
^ВЫХ (0 — 2
^вых (0 = 1G Q;
*вых (0 = «-1 (0 cos /;
^вых (0 = w -1 (0;
^ВЫХ (0 = U-2 (ty
^вых (0 =
7.44. Действительная импульсная характеристика h (t) реализуемой
устойчивой линейной системы имеет разрыв высотой h (0+) в начальный
момент. Взять интеграл передаточной функции И ($) по замкнутому пути
в комплексной плоскости $, проходящему вверх по оси /со от — /со0 до
+ /<*>0 и обратно по полуокружности радиуса со0 справа от оси /со. Вычислить
дре части интеграла в пределе при большом со0 и показать, что h (0-|-)
490
ГЛАВА 7
равна величине интеграла действительной части
со
J* Нг (/ш) da.
— со
Каково физическое значение Л(0+) в том случае, когда H(s) — входное
сопротивление?
7.45. Для триодного усилителя, изображенного на фиг. 125:
а) найти h(t) как функцию времени, используя линейную эквивалент-
ную схему;
б) найти преобразование Фурье Н (ja) и экспоненциальное изображе-
ние Н ($) функции h (/);
в) начертить кривую усиления усилителя в децибелах в зависимости
от log со, указав критические частоты, амплитуды и углы наклона;
г) для е} (t) = — 2u_i (t) exp (—500/) найти E2 ($) и начертить диаграмму
полюсов и нулей функции в плоскости $;
д) для (/), указанной в п. »г“, найти и начертить e2(t).
7.46. Найти и начертить импульсную характеристику цепи, изображен-
ной на фиг. 126, а.
а. На вход поступает напряжение идеального источника напряжения
а выходное напряжение холостого хода равно
б. Найти реакцию на единичную ступень.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
491
в. Найти реакцию цепи на импульс напряжения, изображенный на
фиг. 126, б. Начертить его для а = 0,27 и а = 57; шкалу времени на гра-
фиках сделать в единицах 7.
г. Проделать то же для случая, когда последовательно с емкостью сое-
динено активное сопротивление /?0, положив 7 = (/?+ /?0) С.
д. Для п. „г* построить диаграмму полюсов и нулей передаточной
функции, круговую диаграмму, кривую усиления в зависимости от log со
и кривую фазы в зависимости от logco.
7.47. Найти реакцию схемы, изображенной на фиг. 127, на малый
отрицательный скачок напряжения.
7.48. Найти усиление напряже-
ния катодного повторителя (фиг. 128) о
Фиг. 127. Фиг. 128.
как функцию комплексной частоты $. (Положить р. = 50, /?/ = Ю4 ом, С =
= 5 пф, Rk = 103 ом и Rg = 106 ом.)
7.49. Для схемы, изображенной на фиг. 129, найти, основываясь на
соответствующей линейной эквивалентной схеме:
Фиг. 129.
а) расположение полюсов и нулей;
б) переходную характеристику (при отрицательной ступени);
в) усиление G (со) в зависимости от log со;
г) круговую диаграмму;
492
ГЛАВА 7
д) импульсную характеристику,
е) чем отличается импульсная характеристика действительной схемы
от импульсной характеристики линейной эквивалентной схемы?
7.50. На фиг. 130 показан способ коррекции усилителя на низких ча-
схеме не указано, но считается, что сетка
работает при отрицательном потенциале.
а. Найти =4^
стотах. сеточное смещение на
£ьь
Фиг. 130.
б. Найти Нг (s) =
£> («)
в. При какой величине Сх функция
Н2 ($) имеет один полюс и один нуль?
г. Начертить на одном графике
log I ^2 (Л>) I в зависимости от logo) при
Cj = 0 и при величине Сь найденной
в п. „в“.
7.51. Для усилителя, изображенного
на фиг. 131, а с помощью элементарной
линейной схемы транзистора б найти вход-
ное сопротивление Z ($) = Ех//ь Использовать граф в или какой-нибудь
другой граф. Построить частотную характеристику модуля | Z (/w) | в двой-
ном логарифмическом масштабе.
q Эмиттер
в
Фиг. 131.
7.52. Для схемы, изображенной на фиг. 132, положить, что RgiCgt
очень велико, так что влиянием параллельной цепи экранной сетки можно
пренебречь. Предположить, что нижняя граничная частота и верхняя
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
493
граничная частота <о2 отстоят настолько далеко, что
(0| (02.
а. Определить приближенно усиление на средней частоте.
б. Написать выражение для нижней граничной частоты.
в. Написать выражение для верхней граничной частоты.
Фиг. 132.
г. Написать приближенное выражение передаточной функции усили-
теля Н ($).
д. Начертить характеристики усиления и фазы.
7.53. Если пренебречь влиянием конденсаторов, пентодный усилительный
каскад можно изобразить, как показано на фиг. 133. Найти передаточную
Фиг. 133.
функцию H(s) для п одинаковых последовательных каскадов. Начертить
кривые усиления и фазы для п каскадов. Вычислить частоту, при кото-
рой происходит спад на 3 дб.
7.54. а. На фиг. 134 показана схема транзисторного усилителя. Пред-
полагая, что схема действует линейно для приращений, использовать экви-
валентную схему транзистора, приведенную на фиг. 134, и определить
передаточную функцию Н ($) «в [£2 ($)]/[£i ($)]. Трансформатор имеет коэф-
фициент трансформации п: 1, коэффициент связи k и индуктивность пер-
вичной обмотки Lx гн. Потери в трансформаторе не учитывать. Указание:
вспомнить, что действительный трансформатор можно рассматривать как
идеальный* в некотором соответственно выбранном диапазоне около средней
494
ГЛАВА 7
частоты полосы пропускания. Поэтом} ограничения пропускания на вы-
соких и на низких частотах можно исследовать отдельно.
б. Пусть Rl = 10 ком, п — 3, = 1 г«, гь 200 ом, k = 0,995, а = 0,98.
Указать расположение полюсов и нулей функции Н (s) в плоскости $.
в. Начертить | Н(уо>) | в децибелах в зависимости от logo) и фазу
функции //(yw) в градусах в зависимости от logo) в диапазоне 2-102 —
2 • 106 рад[сек.
г. Пусть малый сигнал равен ех (/) = Еи_х (/). Построить е2 (/) в зави-
симости от t при 0 < t < 220 мсек при численных значениях, указанных
в п. „б“.
7.55. а. С помощью эквивалентной схемы транзистора, приведенной на
фиг. 135, а, найти усиление тока Н = Ic/Ib схемы, изображенной на
фиг. 135, б. Емкость Сс есть эквивалентная емкость коллектора, и
где o)f0 — граничная частота по а. Положить ыс0 = 20 Мгц, ао = О,9,гь =
— 200 ом, ге = 103 ом, гс = 5 Мом, Сс = 10 пф.
б. Чему должна быть равна максимально допустимая величина RL для
полосы пропускания 1 Мгц (только для последнего каскада)?
в. Чему равна максимально возможная ширина полосы (последнего
каскада)?
г. Описать в общих чертах способ определения общего усиления двух-
каскадного усилителя
7.58. На фиг. 136, а показан усилитель напряжения с трансформатор-
ным выходом. Емкость С очень велика. Работу усилителя можно прибли-
женно представить линейной эквивалентной схемой, приведенной на
фиг. 136, б, где L2 L{ и L2 £3.
а. Показать, что передаточную функцию Н (s) = [f2 ($)] можно
написать в виде
"^-(s_S1)(S_s2)
и найти значения постоянных К, sx и s2.
Фиг. 136,
a
496
ГЛАВА 7
^ьь
Фиг. 137.
а. Начертить граф,
б. Начертить частотную характеристику усилителя (log | H(j^) | в за-
висимости от log со) и дать физическое объяснение ограничения частотной
характеристики на низких и высоких частотах.
в. Начертить реакцию схемы на единичную ступень напряжения.
7.57. Для параллельного контура RLC с большим Q (Q > 10) можно
приближенно представить сопротивление Z (/<о) при частотах, близких к ре-
зонансной, в виде
z(>)
Найти и К2.
7.58. Схему, изображенную на фиг. 137,
часто применяют в качестве полосового
усилителя.
а. Определить передаточную функцию
H(s) = [Е2 (s)]/!^ (s)J.
б. Определить и начертить переходную
характеристику h^~ при большом Q и ли-
нейной передаче.
7. 59. Дано дифференциальное урав-
нение
^+^+,ю=/(0.
в котором f(t) задана и нужно определить
У (9-
содержащий идеальные дифференциаторы, с /(/)
в виде узлового сигнала источника.
б. Начертить граф для функций комплексной частоты $, у которого
коэффициентами передачи ветвей будут передаточные функции элементар-
ных систем, а узловыми сигналами — экспоненциальные изображения функ-
ций /(/), у (/) и производных от у (/).
в. Из графа »б“ найти передаточную функцию Т (s) = Y (s)/F (s).
г. Рассмотреть решение дифференциального уравнения путем последо-
вательных приближений, причем
d d2
Ук+1 (0 = /(0 - « [у* (0) - [№ (0J.
В частности, начертить соответствующий граф функции комплексной
частоты $ с узловыми сигналами К| ($), У2 ($), ... В начале процесса по-
следовательных приближений положить Уо ($) — 0. Связать этот граф с гра-
фом, указанным в п. »б“, используя разложение в ряд (1—л)”1 = 1 + х +
—X2 "4“ х3 ....
д. Проделать все пункты задачи, исходя из графа п. »а“, содержащего
идеальные интеграторы вместо дифференциаторов, и внеся соответствующие
изменения в другие пункты.
7.В0. Один из способов умножения частоты состоит в том, что приме-
няют усилитель „класса С“, в котором анодный ток проходит лишь в тече-
ние небольшой части рабочего периода. Рассмотрим триодный ламповый
усилитель с заземленным катодом, с параллельным резонансным контуром
в качестве анодной нагрузки. Входное напряжение на сетке Vj (0 =
= Vi [cos <О|/ — 1], где V| во много раз больше отрицательного входного
напряжения, необходимого для запирания лампы. Используя соответствую-
щие эквивалентные схемы и приближенные выражения, провести предвари-
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
497
тельный расчет схемы, создающей примерно синусоидальное выходное пе-
ременное анодное напряжение, частота которого в три раза больше частоты
входного сигнала. Рассмотреть влияние потерь в индуктивном элементе ре-
зонансного контура на амплитуду выходного синусоидального напряжения.
7.61. Написать выражение фазы 0 (w) передаточной функции с равно-
мерным пропусканием низких частот (Баттерворта) и начертить ее с указа-
нием основных точек. Проделать то же для соответствующей функции про-
пускания полосы частот при условии, что полоса частот мала по сравнению
со средней частотой.
7.62. На фиг. 138, а представлен типичный каскад усилителя проме-
жуточной частоты, какой применяется в стандартных широковещательных
б
Фиг. 138.
приемниках. Требуется исследовать передачу через одиночный каскад
£2 (a))/^'i (“О- Пусть индуктивность каждой катушки L равна 1 мгн. Кон-
туры настраиваются конденсаторами в резонанс на 456 кгц. Добротность Q
всех катушек равна 100 при 456 кгц, а конденсаторы можно считать не
имеющими потерь.
а. На фиг. 138, б показано одно расположение катушек. Расстояние х
устанавливается при изготовлении усилителя. Нужно получить максимально
гладкую передаточную функцию (функцию Баттерворта). Вычислить вели-
чину взаимной индуктивности Л4, которую нужно установить опытным путем
с помощью изменения х.
б. Найти -ширину полосы на уровне 3 дб на графике | H(J&) | в зави-
симости от logo) при величине М, найденной в п. „а*. Начертить
в зависимости от logo).
в. В другом случае требуется получить чрезвычайно высокую изби-
рательность, а не максимально гладкую передаточную функцию. Как нужно
установить х, чтобы достигнуть этой узкой ширины полосы?
Чему равна наименьшая предельная ширина полосы на уровне 3 дб?
Начертить | Н (/со) | в зависимости от logo) для этого случая.
3. Зак. 1115
498
ГЛАВА 7
г. В третьем случае нужна максимальная ширина полосы, но при этом
модуль |^(»| должен изменяться не больше чем на ± 1,5 дб в полосе
пропускания. Чему будет равна ширина полосы на уровне 3 дб при этом
значении х? Начертить | Н (/«) | в зависимости от log ю.
7.63. Линейная передаточная функция Н ($) имеет п полюсов, распо-
ложенных на вертикальной прямой, лежащей слева от оси в плоскости $.
Функция не имеет нулей в конечной области плоскости s. При высоких
частотах передаточная функция стремится к пределу
где К — заданная постоянная. Если нужно получить частотную характери-
стику //(/о)) с возможно большим модулем (1) и возможно равномерную
в диапазоне | со | < <о0 (2), то как должны быть расположены полюсы? Сле-
дует иметь в виду, что ответ на эту задачу не однозначен, потому что тре-
бования (1) и (2) до некоторой степени противоположны.
7.64. Сигнал телеграфного буквопечатающего аппарата состоит из
пяти импульсных позиций на передаваемый символ, причем каждая позиция
Буква /I
представляет либо „знак*, либо „интервал". На фиг. 139 показаны коды
для букв А и В. Длительность знака или интервала около 40 мсек при
передаче 60 слов в минуту.
а. Найти корреляционные функции фдд (т), ф (т) и фдв (т).
б. Какая примерная ширина полосы необходима для передачи буквы А
или В без чрезмерного искажения сигнала?
в. Указать случайный процесс, который мог бы служить грубой моделью
непрерывной буквопечатной передачи, и разобрать задачу о необходимой
ширине полосы передающей системы.
7.65. Рассчитать трехкаскадный ламповый или транзисторный усили-
тель, передаточная функция которого имела бы нуль третьего порядка
в начале координат и шесть полюсов в комплексной плоскости s. Частотная
характеристика должна быть ровной в смысле критерия Баттерворта в сред-
ней области частот, причем верхняя и нижняя частоты области по половин-
ной мощности должны относиться как 4:1.
7.66. Входное сопротивление имеет собственные частоты холостого
хода s = — 2 и $ = — 4 и собственные частоты короткого замыкания s = — 1
и s= — 3. При бесконечно большой частоте сопротивление равно единице.
Начертить граф, выражающий связь между напряжением e (t) и током i (/)
на зажимах этого сопротивления.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
499
7-67. Написать передаточную функцию для линейного графа, изобра-
женного на фиг. 140, и привести ее к канонической форме, указанной
в уравнении (64). Начертить граф, соответствующий уравнению (64). Если
Vj (/) == Uj (/), чему равно v2 (t)?
7.68. а. Найти передаточную функцию графов, изображенных на
фиг. 141.
б. Для этих двух передаточных функций найти импульсную характери-
стику, расположение полюсов и нулей и кривую усиления в зависимости
от частоты в логарифмическом масштабе.
Фиг. 141.
-2
7.69. Найти Н (s) = [Е2 (s)]/[£i ($)] для каждой из цепей, изображен-
ных на фиг 141, и построить полюсы и нули в плоскости $. Изображенный
на фиг. 142, ж идеальный усилитель действует в одном направлении и имеет
нулевую входную проводимость, нулевое выходное сопротивление и постоян-
ное усиление напряжения в прямом направлении, равное А.
7.70. Реакция г (/) линейной цепи с сосредоточенными параметрами на
входной сигнал I (t) в самом общем виде выражается обычным дифферен-
циальным уравнением
п т
2 ak (0 г<*> (0 = 2 Ьк (t) (0 + С (0,
л=о /?=о
где верхний индекс в скобках указывает порядок производной, a ak (/),
bk (t) и с (/) — независимые функции времени, не связанные с I (/).
а. Является ли это дифференциальное уравнение линейным? Почему?
б. Если г{ (/)— реакция на входной сигнал i\ (/), a r2(t) — реакция на
/2(/), то является ли r{(t)r2(t) реакцией на МО + МФ Если нет, то
какое условие должно быть выполнено для того, чтобы имело место нало-
жение реакций?
в. Если г (/) — реакция на /(/) и I (/) = l\ (t) -]-i2 (/), найти связь между
г (/) и Г[ (/) и между г (/) и г2 (/)•
32*
500
ГЛАВА 7
г. Положив в п. „в“ г (t) = fj (/) -f- г2 (0 + е, где е — „ошибка", вывести
линейное дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять е (0,
а именно: п
^ak(t) е^(0 + с(0 = 0.
А? = 0
Необходимо заметить, что ошибка е (/) есть свойство цепи, а не вход-
ного сигнала i (t). Таким образом, реакцию на сумму двух входных сигналов
а
Фиг. 142.
можно представить как сумму реакций плюс независимая ошибка, удовлетво-
ряющая вышенаписанному уравнению. Может ли ошибка равняться нулю,
если с (0 не равно нулю? Если с (/) = 0, то уравнение, связывающее i (t) и
г (/), называется однородным.
ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
501
д. Показать, что если а, b и с — постоянные, то входной сигнал I (t —10)
вызывает реакцию г (t— /0), не зависящую от параметра /0. Тогда цепь
является стационарной.
е. Показать, что стационарная однородная линейная цепь имеет рацио-
нальную передаточную функцию Н ($).
7.71. Симметричная мостовая схема, изображенная на фиг. 143, воз-
буждается током /| (/), состоящим из линейных импульсов, распределенных
по закону Пуассона, с площадью а и средней частотой
а. Найти импульсную характеристику системы h(t).
б. Найти автокорреляционную функцию импульсной характери-
стики флА (т).
в. Найти спектр Ф22 (ю) плотности мощности тока /2 (/) при данном (/).
7.72. Согласованную полностью пропускающую мостовую схему LC из п
мостовых секций должны использовать в качестве приближенной модели
идеальной линии задержки. Требуемая задержка—Т сек. Входной сигнал
представляет прямоугольный импульс, длительностью /0, а выходной сигнал
должен быть достаточно близок по форме к входному импульсу. Разобрать,
как зависит качество воспроизведения формы входного импульса от пара-
метров л, Т и /0.
Фиг. 144.
7.78. Для линии передачи, изображенной на фиг. 144:
а) начертить е (t), если R = /?0;
б) начертить е (/), если R > RQ\
в) начертить е (t), если R < Ro.
7.74. Шумовое напряжение v (/) и шумовой ток I (t) измеряются в одной
точке однородной линии без потерь, и найдено, что они имеют корреляцион-
ные функции <f>vv (т), (т) и (т). Положим, что волновое сопротивление
и скорость распространения волны по линии равны единице.
а. Найти спектры плотности мощности (со) для волн, распространяю-
щихся направо, и Ф££ (ю) для волн, распространяющихся налево.
б. Дать физическое истолкование комплексного спектра плотности мощ-
ности Ф^ (со), связанного с функцией взаимной корреляции напряжения v (/)
и тока Z (/).
в. Что можно сказать о том, как будут изменяться спектры плотности
мощности при перемещении точки наблюдения по линии в новое положение?
502
ГЛАВА 7
В частности, можно ли вычислить Фш- (ш) в одной точке линии, если даны
спектры (со), Фи (cd) и Фш- ((d) в некоторой точке линии?
г. Ответить на все эти пункты для частного случая, когда <pVZf (т),
(т) и 4vi (т) представляют синусоиды одной и той же частоты.
7.75. Рассмотреть уменьшение отражения света от оконного стекла при
помощи соответствующих прозрачных (не имеющих потерь) покрытий на
обеих сторонах. Считать, что толщина каждого покрытия составляет много
длин волн, так что „фазовый сдвиг" в нем, как и в самом стекле, можно
рассматривать в виде совершенно случайной величины.
7.76. Если система идеальных линий задержки, изображенная на
фиг. 145, возбуждается единичной ступенью, через сколько времени система
придет в устойчивое состояние?
7.77. а. Какой должна быть импульсная характеристика h (t) однород-
ного линейного фильтра, дающего выходные сигналы у (t), изображенные
на фиг. 146, при подаче на вход прямоугольного импульса х (/), начинающе-
гося при t = 0 и имеющего длительность, равную единице?
б. Построить для каждой импульсной характеристики граф, состоящий
из элементарных ветвей — интеграторов и линий задержки.
7.78. Построить диаграмму полюсов и нулей Н (s) = Е2/Е\ для линей-
ной системы, изображенной на фиг. 147.
7.79. На фиг. 148, а у каждой ветви графа написана ее импульсная
характеристика. К первому узлу подведен единичный импульс V\(t) = uQ(t).
а. Построить сигналы других узлов vk (t).
б. Построить диаграмму полюсов и нулей передаточной функции
7(5)=^/^.
в. При каких значениях а и b система является устойчивой? Выразить
их через величины, найденные в п. „а" и „б“.
Для графа, изображенного на фиг. 148, б, у ветвей которого указаны
их импульсные характеристики, входной сигнал (/) в первом узле пред-
ставляет единичный импульс.
г. Построить сигналы других узлов, v2 (t) — v7 (t).
д. Построить диаграмму полюсов и нулей передаточной функции
T(s)^V7/Vl.
е. Рассмотреть результаты п. „г" и „д“ в пределе при малом а.
Для графа, изображенного на фиг. 148, в, у каждой ветви указана ее
импульсная характеристика.
ж. Найти передаточную функцию системы.
з. Какую форму во времени будет иметь сигнал во втором узле после
воздействия единичного импульса на первый узел?
и. Чему равна передача от первого узла к третьему узлу при i = 0°?
«иг. 147
504
ГЛАВА 7
7.80, У п-каскадного импульсного усилителя импульсная характери-
стика каждого каскада h (/) = и_ j (t) exp (—at). Импульсную характери-
стику п каскадов можно приближенно представить как
1 / t -nT у
hn(t) — Апе 2 .
а. Найти Л, а и Г, дающие достаточную точность при большом л, и
исследовать точность приближенной формулы при малом п.
б. Для какого общего класса импульсных характеристик h (/) каждого
каскада справедливо такое приближенное выражение при большом л?
Справедливо ли оно для функции h (/), состоящей из линейных импульсов?
2 u0(t) 3
4 u0(t) 5
Фиг. MB.
Справедливо ли оно для функции h (/), у которой конечная площадь
равна нулю? Рассмотреть эмпирическое правило: „Запаздывание в цепочке
импульсных усилителей пропорционально числу каскадов, а время установле-
ния (скажем, время между уровнями 10 и 90% от конечной величины пере-
ходной характеристики) пропорционально квадратному корню из числа каска-
дов". Это правило считается достаточно точным для усилителя с монотонной
переходной характеристикой каждого каскада (не имеющей „выброса").
Почему?
в. Рассчитать четырехкаскадный импульсный усилитель с усилением
80 дб и оценить его задержку и время установления.
7.81. Входной сигнал линейной системы состоит из импульсного сиг-
нала Vj (/) — tii-t (t) exp (—-t) и стационарного случайного шума, у которого
автокорреляционная функция (т) = ехр (— 111).
а. Рассчитать линейную систему, дающую максимальное отношение пи-
ковой мощности выходного сигнала к средней мощности выходного шума.
б. Сделать то же для входного шума, имеющего ничтожно малую
спектральную плотность мощности на частотах ниже 0,1 рад!сек.
Глава восьмая
НЕЛИНЕЙНЫЕ
И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
8.1. Введение
В линейной системе можно применять наложение; выходной сиг-
нал, вызванный двумя одновременно приложенными входными сигна-
лами, равен сумме выходных сигналов, вызванных каждым из вход-
ных сигналов по отдельности. Другими словами, реакция системы
на каждый входной сигнал не зависит от наличия других сигналов.
В нелинейной системе дело обстоит иначе. При наличии нелиней-
ности реакция на входной сигнал может совершенно изменяться при
воздействии других входных сигналов.
Изменение одного сигнала другим сигналом (по существу изме-
нение свойств системы, через которую передается первый сигнал)
называется модуляцией. В простейшем виде модуляция состоит
в умножении одного сигнала va(t) на другой сигнал vb(t)\ при этом
образуется третий сигнал va(t)vb(t). Практическое назначение моду-
ляции- превратить сигнал va(t\ несущий информацию, в сигнал
другой формы va(t)vb(t), более удобной для передачи или обра-
ботки информации.
Механизмом осуществления модуляции служит нелинейный про-
цесс, но, как увидим ниже, систему, в которой происходит модуля-
ция, во многих случаях можно представить в виде нестационар-
ной линейной системы Поэтому многие из аналитических методов,
’) Нестационарной линейной системой здесь называется система, пара-
метры которой зависят от времени.
506
ГЛАВА 8
столь полезных при исследовании линейных систем, применимы при
изучении модуляционных систем. В частности, ключом к пониманию
процесса модуляции может служить исследование его влияния на
спектр сигнала.
Даже в том случае, когда нестационарная линейная модель не-
пригодна, методы анализа сигналов, разработанные для линейных
систем, все же чрезвычайно полезны. Например, передача сигналов
через нелинейную систему, изображенную на фиг. 1, а, полностью
VaCOS(i)ft COSHlDjt VbtCOSU)jt
в
Фиг. 1. Нелинейные системы передачи.
J —фильтр низких частот.
описывается кривой передачи (фиг. 1, б). Допустим, что входной сиг-
нал va(t) есть чистая синусоида, а выходной сигнал vb(f) про-
пускается через фильтр нижних частот, так что в окончательном
выходном напряжении vc(t) появляется лишь основная частота
(фиг. 1, в). На фиг. 1, г представлена соответствующая кривая пере-
дачи, выражающая зависимость между установившимися амплитудами
входного и выходного сигналов. Для построения этой кривой нужно
разложить vb(t) в ряд Фурье, чтобы найти основную составляю-
щую Vbv В пределе при большом Va сигнал vb(t) приближается
к прямоугольным импульсам с амплитудой V, а амплитуда основной
составляющей стремится к (4/к)К Таким образом, хотя гармони-
ческий анализ состоит в разложении сигнала на аддитивные соста-
вляющие и поэтому особенно пригоден для представления сигналов
в линейных системах, тем не менее такое представление чрезвы-
чайно полезно для исследования многих нелинейных систем.
2
о3~иа + 2иаиь^2иаиь
Фиг. 3. Элементарный квад-
ратичный модулятор.
Ф и г, 2. Элементарный пре-
рыватель.
508
ГЛАВА 8
Начнем эту главу с рассмотрения элементарной нелинейной си-
стемы, а затем перейдем к нестационарным линейным моделям
систем, опишем основные виды модуляции, применяемые на практике,
и закончим некоторыми замечаниями об общих свойствах нелиней-
ных систем с памятью.
8.2. Перемножение сигналов в нелинейной
системе
Перемножение сигналов в нелинейной системе можно пояснить
двумя простыми примерами, приведенными на фиг. 2 и 3. Ограничи-
тельная цепь, изображенная на фиг. 2, а, описывается характеристи-
кой передачи (фиг. 2, б). При составляющих входного сигнала va(f)
и х^(/), изображенных на фиг. 2, а и г, полный входной сигнал vx(t)t
то
Фиг. 4. Симметричный перемножитель с двумя идеальными
квадраторами.
/ — квадратор.
подводимый к ограничителю, является попеременно положительным
или отрицательным (фиг. 2, д) соответственно изменениям сигнала ^(/).
Следовательно, входной сигнал v2(f), изображенный на фиг. 2, а,
можно представить как произведение va(t) и гипотетического сиг-
нала vs(t), изображенного на фиг. 2, ж и имеющего такую же
форму во времени, как vb(t). Такую систему часто называют
„прерывателем", ввиду того что сигнал va(t) „прерывается" прямо-
угольным сигналом vb(t). Прерыватель действует подобно выключа-
телю, управляемому вспомогательным „прерывающим", или „модули-
рующим", сигналом (в данном случае vb(t)).
На фиг. 3, а изображена другая элементарная система с пере-
множением сигналов. Однако здесь нелинейность не столь резкая.
При квадратичной зависимости (фиг. 3, б) между и v2 и сигна-
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
509
лах va(t) и vb(t), изображенных на фиг. 3, в и г, находим v2(t) =
= (Va -f- Н“ vl- Если vb W ~ медленно меняющаяся
функция времени по сравнению с va (t), то при добавлении фильтра
верхних частот RC функция vb (t) исчезает и остается выходной сиг-
нал vc(t) = ^~i~^vavb‘ Если» кроме того, амплитуда va(t) мала по
сравнению с vb(t), то членом v2a можно пренебречь, и остается
vc(t) ^ 2vavb, как показано на фиг. 3, д и е.
Выделение члена произведения из выражения квадрата суммы
сигналов можно осуществить без частотного фильтра и без ограниче-
ний на относительные амплитуды сигналов при условии, что имеется
идеальный квадратичный прибор с квадратичной характеристикой
(фиг. 4, а) и согласованный с ним другой квадратичный прибор
(фиг. 4, б). Разность квадратов суммы и разности двух сигналов
пропорциональны произведению сигналов. Такие балансные модуля-
торы широко применяются на практике, и о них будет сказано ниже
в этой главе. Таким образом, операция перемножения двух сигналов
может быть осуществлена на основе нелинейного процесса, а преры-
ватели и квадратичные модуляторы составляют два основных класса
„перемножителей".
8.3. Пентод как модулятор
Другим примером модулятора служит пентодная схема, изобра-
женная на фиг. 5, а. Эту схему можно описать, по крайней мере
качественно, кривыми, приведенными на фиг. 3, в. У пентода (при
малых сигналах) крутизна анодного тока по управляющей сетке 5
зависит от напряжения экранной сетки, т. е. s — f(vb)*t соответ-
ственно выходное напряжение
^2(/) = wa(/), (1)
конечно, если va(f) не слишком велико. Таким образом,
= f («Ъ) Чг (2)
При соответствующем выборе начала шкалы vb функцию s== f(vb)
можно приближенно представить в некотором диапазоне vb
как s ж Kvb, и тогда получим опять произведение сигналов v2~Kvavb.
Пентод, изображенный на фиг. 5, б, удобно применять в каче-
стве прерывателя („вентиля" или „выключателя"). При этом анти-
динатронная сетка соединяется с внешним зажимом, к которому
можно подвести стробирующий сигнал vb (/) (сигнал выборки). Для
этой схемы типичны временные функции (фиг. 2, в, г и е). Анти-
динатронная сетка удобнее для прерывания, так как при нуле или
отрицательном потенциале (относительно катода) она потребляет
ничтожно малый ток.
510
ГЛАВА 8
В качестве модулятора, или прерывателя, можно использовать
триод, транзистор, криотрон и по существу любой другой нелиней-
ный электрический или электронный прибор, если поставить его
Фиг. 5. Перемножение сигналов в пентодной схеме.
в нелинейный режим. Какой из них выбрать для данного примене-
ния, это зависит от таких практических соображений, как шум,
усиление, быстрота реакции, стоимость и надежность.
8.4. Элементарные системы, содержащие
перемножите ли
Выше было показано, что нелинейный элемент в системе,
т. е. нелинейную зависимость между двумя физическими перемен-
ными величинами, можно использовать для того, чтобы произвести
перемножение двух сигналов. Поскольку перемножение представляет
собой реализуемую операцию, то „идеальный перемножитель", изо-
браженный на фиг. 6, а, можно рассматривать как основной элемент
системы наряду с такими линейными элементами, как идеальный
усилитель и идеальный интегратор. Примером устройства, осуществляю-
щего перемножение непосредственно, а не при помощи нелинейной
зависимости между двумя величинами, служит потенциометр, изобра-
женный на фиг. 6, и часто применяемый в низкочастотных систе-
мах управления для умножения сигнала положения х на сигнал
напряжения т/р Перемножение сигналов, прямое или косвенное, пред-
ставляет основную операцию, и символ, показанный на фиг. 6, а,
очень полезен для построения блок-схем систем.
В схеме на фиг. 4 применялись „квадраторы" для осуществления
перемножения. Теперь рассмотрим обратную задачу и используем
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
511
Фиг. 6. Идеальный перемножи-
тель (а) и его физическая реализа-
ция (б).
перемножитель для возведения в квадрат, как показано на фиг. 7, а.
Раньше нелинейная характеристика v = f(l) была исходной при
„проектировании" перемножителя;
это дает возможность соединять
перемножители, как показано на
фиг. 7, б, для приближенного
представления произвольной одно-
значной нелинейной кривой.
Здесь нужно сделать следую-
щее существенное замечание. На-
личие перемножителя в схеме си-
стемы не обязательно означает,
что система нелинейна. Конечно,
система передачи, изображенная
на фиг. 7, а, с входным сигна-
лом х и выходным сигналом х2,
очевидно, нелинейная. Но если
через одну входную ветвь пере-
множителя поступает заданный
независимый сигнал f (/), как
показано на фиг. 8, то другая
входная ветвь и выходная ветвь
образуют линейную систему передачи. Она линейна, потому что
к ней применим принцип наложения. Выходной сигнал / (/) (/) -|- х2 (0),
u^f(t)^a}i+aziz^a3i3^a4^
6
Фиг. 7. Построение нелинейной функции v = f (Z), приближенно
выраженной многочленом.
вызванный двумя одновременными входными сигналами хх (t) и х2 (/),
равен сумме двух выходных сигналов: f (t) хг (/) и f (t) х2 (/), вызванных
512
ГЛАВА 8
каждым входным сигналом по отдельности. В этом случае (фиг. 8)
другой вход перемножителя вместе с независимым и неизмен-
ным сигналом f (/) нужно рассматривать в виде части системы,
о—..
Перемножитель
)-> ! о
i jw
Фиг. 8. Элементарная нестационарная линейная система.
показанной пунктирным прямоугольником. Таким образом, система
линейна, но ее свойства изменяются во времени. К этому классу отно-
сятся многие практические системы модуляции.
8.5. Усиление мощности в нестационарной
системе
Изменяющееся во времени сопротивление х (/) на фиг. 6,6
вызывает модуляцию. Линейная цепь с изменяющимся во времени
элементом (накопителем энергии) может произвести не только моду-
ляцию, но и усиление мощности. В обоснование такого утверждения
покажем, что изменяющаяся емкость (или индуктивность) может вести
себя в виде активного элемента, т. е. в виде источника мощности,
управляемого подведенным сигналом.
Для простоты положим, что конденсатор, изображенный на фиг. 9, а,
имеет параллельные плоские пластины с переменным расстоянием х.
Если максимальное расстояние между ними мало по сравнению
с диаметром пластин, то можно пренебречь краевым эффектом и
представить емкость в виде К)х. Пусть для простоты К равно
единице.
Допустим теперь, что расстояние между пластинами изменяют
механическим способом по синусоидальному закону, так что
х (/) = 1 — 8 sin о)0 (Z).
(3)
Пусть ток равен cosZ. При переменной емкости соотношение
между напряжением и током
(4)
Интегрируя, получаем
Cv = f idt = sin (/).
(5)
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
513
Решая относительно v и подставляя x(t) вместо 1/С, получим
v — (1 — В sin о)0/) sin t. (6)
Следовательно, произведение v • I равно
vi — (1 — 8 sin ю0/) sin t cos t — (1 — 8 sin cooZ) sin 2f. (7)
Подбирая u)0, находим при w0 = 2 отрицательную среднюю по
времени мощность, а именно
{yi}=—4 <sin2 2о=—4 • (8)
При направлениях напряжения и тока, указанных на фиг. 9, аУ
отрицательной мощностью обладает источник энергии; следовательно,
в
Фиг. 9. Емкость, изменяющаяся во времени.
емкость, изменяющаяся во времени, может отдавать мощность актив-
ной1 нагрузке или усиливать сигнал. При частоте сигнала ветви,
меньшей частоты изменения емкости, элемент ведет себя как отри-
цательное сопротивление. Однако нужно иметь в виду, что „отри-
цательное сопротивление" получилось благодаря соответственно вы-
бранному соотношению фаз между током и механическим приводом.
Положительный знак в выражении для х (Z) приведет к положитель-
ной величине среднего произведения (vi). Для получения более
общего вывода нужно учесть фазовый угол в одной из функций
33 Зак. 1115,
514
ГЛАВА 8
времени. При изменении фазового угла средняя мощность меняется
с положительной на отрицательную.
Из физических соображений можно очень просто найти необхо-
димые условия для получения мощности от переменной емкости. Для
упрощения положим, что емкость изменяется по прямоугольной кри-
вой, т. е. х (t) принимает попеременно два фиксированных значения.
Независимо от полярности напряжения v между пластинами действует
сила притяжения. Для увеличения х нужно затратить механическую
работу, которая должна проявиться в системе в виде электрической
энергии. Таким образом, пластины нужно разводить при положи-
тельном или отрицательном максимальных значениях v. Если сдви-
гать пластины при v = 0, никакой механической работы не произво-
дится, следовательно, электрическая энергия не теряется. Из этих
соображений следует, что частота w0 должна быть равна 2 и что
фаза или время изменения емкости должны находиться в определен-
ном соотношении с напряжением. Электрическая мощность создается
вследствие того, что переменная емкость действует как электромеха-
нический преобразователь (переменное сопротивление не может выпол-
нять такой функции).
Чтобы дать другое пояснение этому явлению, начертим диаграмму
работы системы в плоскости напряжение — заряд (фиг. 9, б) при
синусоидальном изменении расстояния х. При благоприятном под-
боре фазы и частоты величин x(t) и q(t) диаграмма охватывает
площадь, имеющую форму пропеллера, обходя обе его лопасти
против часовой стрелки. Произведение напряжения и заряда равно
энергии, так что площадь, охватываемая диаграммой, изображает
отрицательную поглощенную энергию или положительную энер-
гию. отданную емкостью за период подведенного тока. При удвое-
нии величины тока энергия за период, очевидно, учетверяется, так
что, как и при отрицательном сопротивлении, приложенный сигнал
управляет источником энергии.
В некоторых специально изготовленных плоскостных диодах
можно изменять эффективную емкость перехода, подводя большое
„подкачивающее* напряжение. Тогда одновременно приложенный си-
гнал малой величины (частота которого берется равной половине
частоты подкачки ])) может управлять мощностью, поступающей от
кажущегося отрицательного сопротивления, и давать усиление полез-
ного сигнала на сравнительно высоких частотах с относительно
малым уровнем шума. Такие схемы называются параметрическими
усилителями. При высоких уровнях мощности и сравнительно низких
частотах применяются магнитные усилители, в которых используются
катушки с насыщением, работающие в режиме прерывания.
*) Можно применять также другие частоты, меньшие частоты сигнала
в целое число раз. Если применяются резонансные контуры, то частота
сигнала может быть и некратной частоте подкачки.
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
515
Рассматривая переменную емкость в виде системы передачи,
ее можно представить схемой, приведенной на фиг. 9, в. Заметим,
что единственное отличие этой схемы от схемы переменного сопро-
тивления, рассматриваемой в виде „системы" (фиг. 6), состоит
в добавлении интегратора, преобразующего сигнал тока 1(f) в „си-
гнал заряда" q(f).
8.6. Общее представление нестационарной
линейной системы
Стационарная линейная система характеризуется своей импульс-
ной характеристикой h(t)t а реакция системы v2 на произвольный
входной сигнал
v2 (t2) — f А (х) vt (t2 — x) dx, (9)
где f2’ т и t2— т — соответственно время выходного сигнала, время
памяти и время входного сигнала. В нестационарной системе реак-
ция на единичный импульс зависит не только от того, сколько вре-
мени назад (т) был приложен импульс, но и от времени наблюде-
ния t2. Поэтому Л(т) нужно выразить в общем виде Л(т, t2). Таким
образом, для произвольной (нестационарной) линейной системы имеем
«2 (^) = f * О'. vi «г — х) (10)
где Л(т, t2)— реакция в момент t2 на единичный импульс, прило-
женный т сек назад.
Допустим, что свойства системы изменяются периодически, так
что Л(т, t2) представляет периодическую функцию от t2. Разложе-
ние в ряд Фурье этой периодической функции дает
А(т, /2)==SA*(’)*y*“A. (И)
k
где (Di — основная частота изменения. Коэффициенты ряда Фурье hk
представляют, очевидно, функции от т. Подставляя выражение (11)
в (10), получаем выражение
v2 (t2) = 2 ei^ f A k(x) Vl (t2 - x) dx. (12)
k
Показательные функции не зависят от т, и, следовательно,
их можно вынести за знак интеграла.
Для каждого значения k интеграл в уравнении (12) можно рас-
сматривать как реакцию стационарной линейной системы. При умно-
жении каждой реакции на соответствующую периодическую функ-
цию времени получается одна составляющая выходного напряжения,
33*
516
ГЛАВА 8
При сложении этих составляющих получается полный выходной
сигнал, показанный в функциональной схеме на фиг. 10. Таким
образом, произвольную периодически изменяющуюся во времени
линейную систему можно реализовать с помощью перемножи-
телей и обычных .стационарных линейных систем. Конечно,
Ф и г. 10. Построение произвольной периодически .изменяющейся неста-
ционарной линейной системы из линейных переменных фильтров и перемно-
жителей, к которым подводятся периодические колебания.
при действительной физической реализации подсистемы можно объе-
динять парами для получения аналогичной схемы, в которой импульс-
ные характеристики стационарных систем будут представлять дей-
ствительные функции времени, а модулирующие сигналы — действи-
тельные синусные и косинусные функции, а не комплексные показа-
тельные функции. Элементарный пример такой системы показан
на фиг. 9, в.
Итак, любую операцию, которая может быть выполнена перио-
дически изменяющейся линейной системой, можно представить при
помощи элементарных стационарных линейных систем в сочетании
с модуляторами простейшего вида, т. е. с идеальными перемножите-
лями. Такое представление поможет нам понять свойства модуляцион-
ных систем и часто может быть практическим способом синтеза систем.
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
517
8.7. Амплитудная модуляция
Эта модуляция применяется в системах связи для переноса частот
сообщения в более высокий диапазон частот, удобный для передачи
по :проводам или в пространстве. На фиг. 11 приведена простая
функциональная схема радиопередатчика с амплитудной модуляцией
вместе с качественными спектрами электрических сигналов в различных
О
mini
шин
ШИП
I
I
I
IJ)----д_
~шс
I
ШИТ ! пни
ПНИ I IIIIII
!7 -JUUL JLJUIU_______________________
-<*>с О
Фиг. 11. Передающая система с амплитудной модуляцией.
точках системы. В модуляторе перемножаются временные функции
сигналов С и D, а следовательно, их спектры свертываются, образуя
спектр Е.
Прием высокочастотного ампдитудно-модулированного сигнала
состоит из частотной селекции, усиления и демодуляции. В. обычном
Супергетеродинном приемнике процесс частотной селекции и усиления
связан с модуляцией. Как показано на фиг. 12, принятые сигналы
проходят через настраиваемый усилитель, затем через модулятор
(обычно _ называемый смесителем), где вводится сигнал от местного
518
ГЛАВА 8
гетеродина. Гетеродин настраивается на частоту, отличающуюся от
частоты настроенного усилителя на постоянную величину, так что
дальнейшее усиление происходит в усилителе фиксированной частоты
или в так называемом усилителе промежуточной частоты. После
детектирования может быть дальнейшее усиление на частотах сооб-
щения (в диапазоне от а)х до со2).
О
FtG
iiLJllL
О a)t u)g
Фиг. 12. Приемная система с амплитудной модуляцией.
Усилитель фиксированной промежуточной частоты и настраивае-
мый усилитель должны пропускать полосы шириной 2о>2 со средними
частотами соответственно и Полосовые фильтры усилителей
служат для устранения паразитных частот, образующихся в процессе
модуляции. Например, частота может быть образована несущей
частотой = (u)Q -г- о)^) (фиг. 12) или частотой (а)0-ро)4). Настраи-
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
519
ваемый усилитель не пропускает второй частоты. Усилитель фикси-
рованной частоты со средней частотой полосы пропускания по-
давляет приходящие сигналы с частотными составляющими, отличаю-
щимися от о), больше, чем на полосу пропускания. Усилитель частоты
сообщения (низкой частоты) после детектора усиливает сигнал и
иногда дает добавочную частотную селекцию.
Паразитные частотные составляющие можно устранить также
путем использования симметрии. Для пояснения рассмотрим смеси-
тель в схеме приемника, изображенной на фиг. 12. На фиг. 13, а
а
Выход
промежу-
точной
частоты
Вход гетеродина
Фиг. 13. Квадратичный смеситель.
показана схема простого смесителя. Положим, что средние частоты
о)^, о)0 и u)d отстоят настолько далеко, что можно применить экви-
валентную схему, изображенную на фиг. 13, б. В этой схеме сопро-
тивление каждого контура велико на его резонансной частоте и
ничтожно мало вблизи двух других частот. Поэтому диод находится
под напряжением сигнала ес на частоте и под напряжением гете-
родина е0 на частоте w0. Пусть диод имеет квадратичную зависи-
мость в диапазоне соответствующих напряжений и токов, так что
= (13)
520
ГЛАВА 8
Если eQ и ес — синусоидальные напряжения, то квадратичная
характеристика дает постоянную составляющую и составляющие
двойной частоты (2со0 и 2(0^), которые не проходят на выход. Кроме
того, образуются составляющие с частотами (о)0Н- о^) и (ю0— (oc) = corf,
из которых лишь вторая проходит на выход.
Поскольку амплитуда произведения есе§ пропорциональна напря-
жению гетеродина, то при приеме слабых сигналов выгодно, чтобы
гетеродинное напряжение было много больше напряжения сигнала.
Фиг. 14. Балансный квадратичный смеситель.
Разберем теперь влияние шумовой модуляции на гетеродин. Шумовая
модуляция вызовет шумовой спектр малой амплитуды по обе стороны
от о)0. Шумовые составляющие на частотах и (сп^—o)J
будут смешиваться с большими составляющими на о)0 и образовывать
выходное напряжение с частотой Это шумовое напряжение огра-
ничивает чувствительность приемника.
Балансный смеситель, подобный изображенному на фиг. 14 а,
можно использовать для уменьшения величины сигнала гетеродина,
попадающего на выход. На фиг. 14, б показана упрощенная схема.
Если схема вполне симметрична, то источник не дает напряжения
на выходе. Поэтому независимо от фильтрации, которую дает контур,
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
521
настроенный на со^, в выходном напряжении вследствие симметрии
схемы частоты ш0 отсутствует. Кроме того, составляющие шумовой
модуляции, создаваемые гетеродином, взаимно уничтожаются в вы-
ходной цепи. Без. фильтра эта схема была бы перемножителем с вы-
ходным напряжением
ed ~ RK К^о + ^)2 - (*о - ^)21 = 14)
Это произведение состоит из составляющей на частоте (о)0-J-о^) и
составляющей на частоте (а)0 — юД из которых в выходной цепи
при наличии фильтра появляется лишь составляющая разностной
частоты.
Симметричная схема, изображенная на фиг. 14, имеет несколько
вариантов и выполняет несколько функций. Какую именно операцию
будет выполнять схема, зависит от формы входных сигналов и от
наличия или отсутствия цепей селекции по частоте. Идеализирован-
ная эквивалентная схема, содержащая идеальные квадратичные диоды,
выполняет функцию перемножителя при минимальном числе паразит-
ных членов. При более близком к действительности представлении
характеристики диода степенным рядом получаются добавочные
члены, которые нужно отфильтровать или скомпенсировать путем
симметричного построения схемы.
8.8. Модуляция о подавлением несущей
Модуляцию и демодуляцию колебания с подавлением несущей
часто применяют в системах автоматического управления, для того
чтобы обойти задачу усиления медленно изменяющихся сигналов.
Во многих системах несущая частота находится в диапазоне 60 или
400 гц, а спектр сигнала находится между нулем и несколькими
герцами.
На фиг. 15 представлена схема балансного модулятора с сину-
соидальными входными сигналами. При наличии квадратичных диодов
и малых сопротивлений и при условии, что eQ много меньше ет
или ес, схему можно рассматривать как перемножитель. Следова-
тельно, выходное напряжение равно произведению несущего и моду-
лирующего напряжений, а выходной спектр равен свертке двух
входных спектров. Выходной спектр содержит составляющие на ча-
стотах' (а)^ + (ьп1) и (а)^ — о)^), но несущая частота подавлена. Спектр
модулированного сигнала расположен симметрично около несущей
частоты, а не около нулевой частоты.
Допустим теперь, что выходной сигнал eQ (фиг. 15) подводится
на вход аналогичной перемножительной схемы, как показано на
фиг. 16. Другой входной сигнал представляет синусоидальное коле-
бание с первоначальной несущей частотой юс. Свертка Ео и Ес дает
спектр выходного напряжения. Этот спектр включает спектр перво-
522
ГЛАВА 8
начального модулирующего сигнала (±а>г„) вместе с другими соста-
вляющими.
Емкости, включенные в схему (показанные пунктиром), можно
использовать для устранения составляющих около частоты 2мс, так
Фиг. 15. Модуляция с подавлением несущей.
что остается лишь модулирующий сигнал. Таким образом, балансный
модулятор после небольшого изменения можно использовать как
балансный демодулятор. Демодуляция сигнала с подавленной несущей
путем смешения ее с колебанием исходной несущей частоты назы-
вается синхронным детектированием.
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 523
Система с подавленной несущей дает возможность избежать
трудностей, связанных с уходом нуля, присущим усилителям постоян-
ного тока. Так называемый „усилитель постоянного тока, стабили-
зированный прерывателем", широко применяемый в системах упра-
вления, по существу не является усилителем постоянного тока. Он
представляет собой модулятор с подавленной несущей, который сме-
щает спектр узкополосного сигнала из области, лежащей вблизи
1 ~ 0 ь)т
<-(2шс-шт) (2шс-ют)
-----Ц)
(2(л)с ♦ и>т)
Фиг. 18. Демодуляция сигнала с подавленной несущей.
нуля, в область вблизи несущей частоты. Тогда модулированный
сигнал можно усиливать в усилителе переменного тока и синхронно
демодулировать, как показано на фиг. 17.
Термин „прерыватель* происходит от того, что балансный моду-
лятор и балансный демодулятор могут содержать вместо диодов
синхронные выключатели, питаемые вибратором. Тогда несущее ко-
лебание является прямоугольным, а не синусоидальным. При замене
синусоидального колебания прямоугольный спектр повторяется для
каждой составляющей прямоугольного колебания. Кривая пропускания
Фиг. 17- Усилитель постоянного тока, стабилизи-
рованный прерывателем.
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
525
полосы частот может быть выбрана так, чтобы устранить все со-
ставляющие, кроме тех, которые лежат вблизи основной частоты;
Важным примером применения балансного модулятора служит
фазовое детектирование, получаемое в частном случае, когда сигнал
и несущее колебание имеют одну и ту же частоту. Произведение
этих величин содержит постоянную составляющую, величина которой
служит мерой разности фаз двух сигналов. Выходные составляющие
высокой частоты можно устранить с помощью емкостей, соединенных
параллельно сопротивлениям, как показано на фиг. 18. Соотношение,
между постоянной составляющей и фазой зависит от нелинейной
характеристики диодов и от относительных амплитуд сигналов.
У квадратичных диодов выходное напряжение равно произведению
е1 • е2. Постоянная составляющая представляет собой простую функ-
цию разности фаз
е0= е^ — (cos + ?) cos о)Л (15)
Это выражение можно переписать в виде
^=eie2=4COS^2<U/ + ^_*_yCOSt?‘ (16)
Высокочастотные изменения можно устранить емкостями, параллель-
ными выходу, и остается
e0~coscp. (17)
Выходное напряжение eQ наиболее чувствительно к изменениям фазо-
вого угла ср вблизи значения ср, равного т:/2.
8.9. Двухканальная система модуляции
С помощью схемы, приведенной на фиг. 19, можно выяснить
связь между амплитудной модуляцией, модуляцией с подавлением
несущей и фазовой модуляцией. Более того, эта обобщенная схема
модуляции поясняет* метод объединения и разделения цветовых кана-
лов, применяемых при передаче и приеме цветного телевидения. Два
модулирующих сигнала, и Bv накладываются на ортогональные
несущие колебания coso\/ и sin uct с одинаковыми частотами. Сигналы
передаются по одному каналу, и посредством синхронного детекти-
рования с такими же ортогональными несущими частотами сигнал
разделяется опять на две части. Пусть спектры сигналов (/)
и B1(t) расположены на низких частотах сравнительно с несущей
частотой. Передающий канал пропускает частоты, лежащие вблизи а)г,
а фильтры нижних частот F пропускают только низкочастотные
спектры сигналов.
526
ГЛАВА 8
После умножения двух входных сигналов на ортогональные со-
ставляющие несущей частоты и суммирования произведений обра-
зуется полный передаваемый сигнал
Sj (t) = Аг (t) cos vct + Bx (0 sin u)^ = |Cj (01 cos (f)b (18)
Результирующая амплитуда сигнала
i сг (о ।=уьшр-над!2. (19)
а соответствующий фазовый угол
<?! (О = arctg [— (20)
Сигналы этого типа удобно изображать комплексными векторами.
Например, выражение (18) можно представить следующим образом:
Sl(0 = Re[C1(0eyV], (21)
где Re означает „действительную часть" и
0,(0 = А (0-/ад. (22)
На фиг. 20 приведена векторная диаграмма этого комплексного
выражения огибающей для данного мгновения. Вся диаграмма должна
вращаться против часовой стрелки с угловой несущей частотой о)с,
и амплитуды векторов должны изменяться соответственным образом,
чтобы образовать сигнал ^(0- Идея вращающегося вектора, ампли-
туда и относительная фаза которого изменяются, весьма плодотворна,
если эти изменения медленны в сравнении с основной угловой ча-
стотой
Сигнал S2(/), принятый по передающему каналу (фиг. 19), пред-
ставляет видоизмененный сигнал Сигнал S2(t) зависит от S}(t)
и от свойств передающей среды. Предположим для простоты, что
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
527
передающий канал можно, представить бесшумным идеальным поло-
совым фильтром, который вносит конечную задержку, но не произ-
водит никаких других воздействий на Sj (/). В приемнике нужно
разделить и демодулировать объединенный сигнал, чтобы восстано-
вить два сообщения, подан-
ные на вход. Для выполне-
ния этих операций требуются
ортогональные составляю-
щие на такой же несущей
частоте как при модуля-
ции. Кроме того, должна
поддерживаться надлежащая
фаза демодулирующих несу-
щих по отношению к фазе
модулирующих несущих.
Запаздывание сигнала
Sj(O при прохождении по
передающему каналу можно
выразить через фазовый
сдвиг несущего колебания,
обычно составляющий несколько радиан. Для удобства положим, что
этот фазовой сдвиг соответствует целому числу периодов, так что
сигнал S2(t) отличается от Sj(t) только запаздыванием. Тогда несу-
щие, вводимые в приемник, равны cos (ш,6) и sin (w^ 4“ б). Таким
образом, выходные сигналы двух демодуляторов следующие:
Sj (0 cos (со/ -f- б) = [ ^2^" cos ® ~ sin
+ [-^cos <2“^ +0) + Чгsin (2<0^ + °) <23)
S, (0 sin 4- 6) = [sin б + cos б] +
+sin (2^ + б) - cos (2ш/ + б)]. (24)
В обоих выражениях выходной сигнал фильтра низких частот
представлен первой скобкой в тригонометрическом разложении.
Члены двойной частоты в выражениях (23) и (24) устраняются
фильтрами.
Если фазу несущего колебания в приемнике можно установить
так, что 0 будет равно нулю, то выходные сигналы двух фильтров
нижних частот приводятся к виду
А(О = ^. (25)
= (26)
528
ГЛАВА 8
Эти формулы показывают возможность передачи двух независи-
мых сигналов сообщений одним несущим колебанием. Если каналом
передачи служит радиолиния, то изменчивость тропосферы или ионо-
сферы приводит к флуктуации времени запаздывания. При этих
условиях ортогональные несущие в приемнике должны быть фазиро-
ваны с принятым несущим колебанием.
8.10. Представление различных типов
модуляции при помощи двухканальной
системы
Поскольку Л^/) и Bx(t) можно задавать независимо, схема на
фиг. 19 по существу представляет собой двухканальную систему.
Но, если Ax(t) и Bx(t) находятся в надлежащем соответствии, ту же
схему можно применить для того, чтобы показать аналитические
сходства и различия между несколькими общими типами одноканаль-
ных систем модуляции. Например, обычная амплитудная модуля-
ция получается при наложении следующих ограничений на Ax(t)
и B^ty.
Ax(t)>Q, (27)
Вх (0 = KAx(t). (28)
Из неравенства (27) вытекает, что Ах (t) имеет постоянную со-
ставляющую, большую амплитуды переменной составляющей. Это
значит, что вектор Cx(t) на фиг. 20 сохраняет одно и то же напра-
вление. Ввиду пропорциональности, выраженной равенством (28),
ср! (/) представляет собой постоянную величину. Коэффициент К можно
положить равным нулю, так как одноканальная система модуляции
достаточна для создания и демодуляции амплитудно-модулированных
колебаний; в этом случае (/) равна нулю и вектор огибающей Cx(t)
при синусоидальной модуляции можно выразить в виде
Сх (t) — Ах (t) — (1 -\-mcos mmty где zn<l. (29)
Чтобы получить модуляцию с подавлением несущей, нужно
лишь исключить постоянную составляющую, так что
Сх (/) = Ах (t) = т cos , где т < 1. (30)
При умножении огибающей (29) на несущее колебание получается
несущая плюс верхняя и нижняя боковые полосы. При умножении
огибающей (30) на несущее колебание получаются лишь суммарная
и разностная частоты. Для модуляции с подавлением несущей
вектор Сх (t) должен менять направление на обратное два раза за
период. При каждой перемене направления Cx(t) амплитуда огибаю-
щей колебания равна нулю, а фаза несущего колебания изменяется
сразу на 180°. Демодуляция обычного амплитудно-модулированного
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
529
колебания или модулированного колебания с подавленной несущей
сводится к переносу частоты с на нуль.
С помощью двухканальной системы можно создать модулиро-
ванное колебание с одной боковой полосой, если модулирующий
сигнал подвести к одному каналу, а ко второму каналу подвести
тот же сигнал, сдвинутый на 90°. Таким образом, при одной частоте
модуляции имеем
(/) = cos (31)
и
= sin оз,,/. (32)
Модулируя этими сигналами квадратурные составляющие несущего
колебания, получаем
Sj (/) = (cos cos uct + sin unit sin (ocf). (33)
Это выражение приводится к виду
Sj (/) = cos (u>c -«>,„)/. (34)
Заменяя (t) таким же колебанием с обратным знаком, получим
Sj (t) = cos (шс + шт) t. (35)
В обоих случаях получается один член с частотой, равной сумме
или разности несущей частоты и частоты модуляции. Из фиг. 20
видно, что Cj (t) представляет собой вектор, который при вращении
против часовой стрелки с угловой частотой создает верхнюю
боковую полосу (о^ + ^/п)’ а ПРИ вращении по часовой стрелке
с угловой частотой (—о)ш) нижнюю боковую полосу (О)^ — (От).
Демодулируя сигнал (35) при помощи двух квадратурных соста-
вляющих несущей частоты, получаем
COS (со^ 4- ^т) t cos (36)
и
cos (о)с + а)ш) t sin w>ct. (37)
Эти выражения дают члены суммарной и разностной частоты
у cos (2шс + <!),„)/ + у COSO),,/ (38)
И
у sin (2шс 4- u>,„) t — Tj- sin ш„/. (39)
После фильтрации нижних частот получаются сигналы Л2(0 и В2(/),
которые содержат только члены с частотой о)ш. Отрицательный знак
в уравнении (39) можно изменить на положительный, переменив фазу
несущего колебания sin w/ на обратную или переменив полярность
на выходе канала В.
34 Зак. 1115,
530
ГЛАВА 8
На фиг. 21 даны векторные диаграммы полного сигнала (/)
для рассмотренных выше видов модуляции. Во всех диаграммах
вектор несущего колебания имеет единичную амплитуду, а вектор
модулирующего колебания — амплитуду т. Демодуляция состоит
в том, что вращение век-
тора несущего колебания
останавливается и &с вычи-
тается из угловой скорости
других векторов. Заметим,
что при модуляции с одной
боковой полосой результи-
рующий вектор Sj(O моду-
лируется по амплитуде и по
угловой скорости или фазе.
Для образования фазо-
вой модуляции почти без
амплитудной модуляции не-
обходимы две боковые по-
лосы частот. В векторной
диаграмме на фиг. 22, а
эти боковые полосы пока-
заны в виде векторов, вра-
щающихся в противополож-
ных направлениях, причем
их векторная сумма ортого-
нальна вектору несущего
колебания и лишь при очень
малых изменениях фазы ре-
зультирующий вектор не за-
висит от амплитуды. При
больших изменениях фа-
зы результирующий вектор
дважды за каждый период
модуляции имеет такую же
«иг. 21. Векторная диаграмма модули- амплитуду, как вектор не-
рованных синусоидальных колебании. сущего\олебания, и дважды
за период имеет ббльшую
ковой полосой. амплитуду. Эту небольшую
амплитуду модуляции можно
изобразить векторами, вращающимися в противоположные стороны,
векторная сумма которых находится в фазе с несущим колебанием,
а частота равна как показано на фиг. 22,0. Боковые полосы
амплитудной модуляции с частотами ±2шт вызывают остаточную
фазовую ошибку, которую можно почти скомпенсировать дополни*
тельными боковыми полосами небольшой фазовой модуляции,
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
531
Таким образом, фазовая модуляция несущего колебания одной
модулирующей частотой приводит к целому семейству боковых помех
(на частотах ± <om, ± 2шт, ± Зшот, ...), исключая очень малые фазы.
Фиг. 22. Векторная диаграмма фазо-модулированного синусоидальнсго
колебания.
а —малые изменения; б —большие изменения.
Векторное изображение затруднительно, если отклонение фазы на-
столько велико, что для надлежащего описания результирующего
вектора сигнала требуется более двух пар боковых полос.
8.11. Фазовая и частотная модуляции
Если фаза изменяется на много радиан, то результирующий
вектор огибающего колебания (фиг. 22) попеременно вращается по
часовой стрелке и против часовой стрелки с частотой модуляции
34*
532 ГЛАВАМ
Сложение постоянной скорости, вращения .всей диаграммы .против
чаеовой стрелки, равной несущей частоте с переменной скоростью
вращения вектора огибающей равносильно ускорению и замедлению
вращения вектора сигнала. Даже при больших изменениях фазы этот
процесс называется фазовой модуляцией, если амплитуда модули-
рующего сигнала определяет максимальное изменение фазы; такой
процесс называется частотной модуляцией, если амплитуда моду-
лирующего сигнала, определяет максимальное изменение частоты.
В последнем случае максимальное изменение фазы обратно пропор-
ционально частоте модуляции и ширина спектра почти не зависит
от частоты модуляции. При фазовой модуляции максимальное изме-
нение фазы не зависит от частоты модуляции, а ширина спектра
(при максимальном изменении частоты) приблизительно пропорцио-
нальна частоте модуляции.
Для объяснения частотной модуляции нужно расширить понятие
„постоянной частоты", относящееся к синусоидальным колебаниям.
В векторном изображении попеременное ускорение и замедление
вектора сигнала указывает на изменение „мгновенной" частоты. По-
скольку аргументом функции sin ut служит угол, угловая частота со
равна скорости возрастания фазы. Следовательно, постоянная ско-
рость изменения фазы соответствует постоянной угловой частоте,
а переменная скорость изменения фазы означает переменную частоту.
Определяя частоту как скорость изменения фазы, мы расширяем
понятие частоты, включая в него переменную частоту. Применим
теперь эти рассуждения к элементарному частотно-модулированному
колебанию. Положим
v(0 — sin [0 (/)], (40)
где м (0 /А dt -“(о- (41)
Положим также “ (0 = 4- 0Ji (0- (42)
Интегрирование дает t t
0(0= J (U (t) dt = <0ct-f-J" «>! (0 dt. (43)
Для простоты положим, что модулирующий сигнал одной частоты
есть Ет cos Частотный модулятор должен создавать частоту,
пропорциональную модулирующему сигналу, так что
u>l(0 = ^mcoso)m^ 04)
где Кт имеет размерность рад)сек. Тогда
v (t) = sin (iuef + sin w„/). (45)
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
533
Заметим, что максимальное модулирующее напряжение Ет про-
порционально максимальному изменению.частоты К,п> а максималь-
нее, изменение фазы обратно пропорционально частоте моду-
ляции (опг Величина Кт1^т называется коэффициентом модуляции.
Развертывая тригонометрическое выражение (45), получаем бес-
конечный ряд боковых полос. Амплитуды боковых полос опреде-
ляются коэффициентом модуляции, который входит в каждый член
ряда в виде аргумента функции Бесселя первого рода ’). ’Таким
образом, полагая Кт1^т = т, получим
v (t) = Jo (tri) sin (dc (t)
+ Ji (tri) [sin (co, + <o,„) t — sin — conl) t]
+ J2 (m) [sin ((uc 4- 2ш,„) t + sin (w* — 2(u,„) t]
+ 4 (m) [sin (шг + пшт) t ± sin (wc — яш,„) t]
В общем члене знак плюс берется при п четном, а знак минус
при п нечетном. Если т равно нулю, то существует лишь одно
несущее колебание, так как Jn (0) равно единице при п = 0 и равно
нулю при п =/= 0. При малых значениях т имеет значение лишь пер-
вая пара боковых полос, а при увеличении т приобретают значение
и другие члены. Поскольку функция Бесселя имеет колебательный
характер, при некоторых значениях т несущая или какая-либо пара
боковых полос могут отсутствовать в спектре.
Спектры частотно-модулированных сигналов усложняются еще
тем, что этот процесс нелинеен. Когда имеются две или несколько
модулирующих частот, спектр не равен сумме отдельных спектров,
как при амплитудной модуляции. На относительные амплитуды всех>
составляющих спектра влияют другие частоты модуляции. Боковые
полосы на частотах (а^ ± Awml), (wc ± аналогичны тем, кото-
рые получаются при модуляции одной частотой, но их относитель-
ные амплитуды зависят от коэффициента модуляции для всех частот * 2).
Кроме того, имеются составляющие на частотах (юс ± ± пыт2),...
Частный случай частотной модуляции (когда спектральный анализ
частотно-модулированного сигнала сравнительно простой) предста-
вляет собой прямоугольную модуляцию. Рассмотрим, например, сигнал,
0 См. графики Jn(m) в приложении А (стр. 611).
2) Для систем с несинусоидальной модуляцией вводится реличина а,
называемая относительным изменением, которая определяется в виде отно-
шения максимального отклонения частоты к максимальной частоте моду-
ляции. При синусоидальной модуляции & совпадает с т.
534
ГЛАВА 8
имеющий попеременно частоты = (а^ -f- К) и а)2 = (а)бГ — К) через
интервалы Т/2, где Т — период прямоугольного колебания. Таким
образом, сигнал состоит из чередующихся отрезков синусоидальных
колебаний на разных частотах. Спектр модулированного прямоуголь-
ными импульсами синусоидального колебания частоты ojj можно сло-
жить с аналогичным спектром модулированного прямоугольного им-
пульса синусоидального колебания частоты о)2, причем огибающая
одного колебания смещается относительно другой огибающей на Т/2.
Частотная модуляция прямоугольным колебанием представляет собой
идеализацию системы частотной манипуляции, применяемой в радио-
телеграфии и в буквопечатной радиосвязи.
Частотно-модулированное колебание можно создать путем изме-
нения частоты генератора переменным реактивным сопротивлением.
При частотной манипуляции включается и выключается дополнитель-
ная емкость в настроенном контуре генератора. При непрерывной
модуляции, например при передаче речи или музыки, нужно иметь
реактивное сопротивление с электрической регулировкой. Для доба-
вления небольшой реактивной составляющей к току настроенного
контура можно применять схему с реактивной лампой. Предположим,
например, что параллельно настроенному контуру генератора вклю-
чена анодная цепь пентода. Сеточное напряжение получается от
того же источника, как и анодное напряжение, но фаза его сдвинута
на 90° при помощи цепи RC. Поскольку анодный ток пропорцио-
нален сеточному напряжению, он имеет фазовый сдвиг, равный 90°,
по отношению к анодному напряжению, и, следовательно, является
реактивным током. Фазосдвигающую схему можно построить так,
чтобы ток был индуктивным или емкостным. Модулирующий сигнал,
вводимый в сеточную цепь, управляет величиной анодного тока.
Смещение частоты строго пропорционально относительному измене-
нию емкости или индуктивности, если это изменение мало.
Демодуляцию частотно-модулированного колебания можно осуще-
ствить при помощи любого детектора с линейной частотной харак-
теристикой выходного напряжения. Такая схема служит по существу
„частотомером" или, как ее обычно называют, частотным дискрими-
натором. Примитивный дискриминатор представляет собой просто
настроенный контур, отрегулированный так, что все изменения частоты
частотно-модулиройанного сигнала происходят по одну сторону резо-
нансной кривой. Если источник является источником тока, напряже-
ние на контуре примерно пропорционально частоте, потому Что
реактивное сопротивление в небольшом диапазоне приблизительно
пропорционально частоте. Процесс демодуляции завершаемся выпря-
млением и сглаживанием напряжения на реактивном сопротивлении,
В некоторых схемах дискриминаторов, основанных на различии двух
резонансных характеристик, применяется симметричное соединение
двух резонансных контуров, один из которых настроен выше, а дру-
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
535
гой ниже средней частоты. Чтобы устранить влияние замираний
сигнала, в радиоприемник с частотной модуляцией вводят амплитуд-
ный ограничитель, который обеспечивает постоянную амплитуду
частотно-модулированного сигнала на входе частотного модулятора.
8.12. Многоканальная передача о разделением
по частоте
Если нужно передавать больше двух каналов информации, то
можно применить несколько синусоидальных несущих колебаний,
Входы
сигналов
Полосовые
фильтры
Фиг. 23. Многоканальная система с разделением по частоте.
а — передатчик; б — приемник.
частоты которых отличаются настолько, что их можно разделить
(отфильтровать}. В качестве примеров разделения каналов по частоте
536
ГЛАВА 8
можно назвать передачу и прием радиовещания и телевидения.
Отдельные передатчики нормально работают независимо, но можно
применять в качестве модулирующих сигналов модулированные несу-
щие нескольких станций, которые нужно передавать на значительно
более высокой несущей частоте. Этот метод двойной модуляции
применяется в многоканальных системах связи для осуществления
многократной передачи на разных частотах.
В функциональных схемах на фиг. 23 показаны общие операции,
которые нужно произвести при передаче и приеме многократных
сигналов на разных частотах. Предполагается при этом, что частоты
входных сигналов много ниже поднесущих частот а)р ц)2.кото-
рые в свою очередь значительно ниже несущей частоты
После объединения сигналов 1, 2.п в передатчике и до раз-
деления их в приемнике существенным условием является линейность
системы. Нелинейные искажения нежелательны, потому что они при-
водят к паразитной модуляции или „перекрестной модуляции" каналов.
8.13. Амплитудно-импульсная модуляция
Теорема о выборках, разобранная в разд. 6.27, представляет
теоретическую основу для систем импульсной модуляции. Эта тео-
рема утверждает, что сигнал с ограниченной полосой частот можно
восстановить по коротким выборкам сигнала, взятым через регуляр-
ные интервалы, при условии, что интервалы выборок короче поло-
вины периода максимальной частоты сигнала. Для восстановления
сигнала необходимо, чтобы частота повторения выборочных импуль-
сов превышала больше чем в два раза максимальную частоту сигнала.
Импульсный модулятор, изображенный на фиг. 24, представляет
собой идеализацию схемы выборки. Сигнал, подвергаемый процессу
выборки, умножается на последовательность равноотстоящих единич-
ных импульсов. В результате получается ряд линейных импульсов,
площади которых соответствуют амплитудам сигнала в моменты
выборки. Эти площади показаны жирными черточками разной высоты.
Конечно, амплитуды всех линейных импульсов бесконечно большие.
Перемножению двух функций времени соответствует свертка их
частотных спектров. Следовательно, процесс выборки приводит
к повторению спектра на всех гармониках спектра ряда линейных
импульсов. Первоначальный сигнал можно восстановить фильтром
нижних частот с граничной частотой w0/2. Из картины спектра на
фиг. 24 можно вывести требования, налагаемые теоремой о выборках.
Если спектр частот сигнала ограничен полосой ± о>0/2, то повтор-
ные спектры разделены и можно полностью восстановить первона-
чальный сигнал. Если спектр сигнала простирается за частоту (о0/2,
то процесс выборки приведет к перекрывающимся повторным спек-
трам и восстанавливаемый сигнал будет искажен.
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
537'
На фиг. 25 приведена схема амплитудно-импульсного модулятора..
Импульсы, вводимые в схему через вторичную обмотку трансфор-
матора, должны иметь большую эффективную амплитуду, чем макси-
мальное изменение сигнала. Обмотки трансформатора имеют такие
полярности, чтобы напряжения импульсов складывались; следова->
тельно, в течение каждого импульса диоды проводят и соединяют
йеремножитель
Сигнал
о-----5
Стробированный
-о сигнал
Линейные импульсы
Фиг. 84. Линейно-импульсный модулятор (идеальная схема дискретной
выборки).
выход с входом. Поэтому в течение каждого импульса напряжение
равно ev В промежутках между импульсами заряды на конденсато-
рах создают противоположные напряжения на диодах. Следовательно,
в это время выход отделен от входа. В результате получается ряд.
импульсов, модулированных по амплитуде сигналом. Эти амплитудно-
модулированные импульсы представляют в свою очередь выборки
временной функции сигнала.
Амплитудно-импульсная модуляция применяется в связи на сан-
тиметровых волнах, в радиотелеметрии и в системах обработки дан-
ных. Модулированные импульсы обычно применяются в проводной-
связи и в радиосвязи в виде поднесущего колебания, модулирующей
высокочастотное или сверхвысокочастотное синусоидальное несущее
колебание. Импульсное поднесущее колебание может модулировать
несущее колебание по амплитуде, по фазе или по частоте. Самой
538
ГЛАВА 8
простой из этих трех систем является система амплитудной модуля-
ции, которую обозначают обычно АИМ/АМ. На фиг. 26 показана
принципиальная функциональная схема такой системы. Предполагается,
что основная несущая частота гораздо больше частоты повторе-
ния импульсов о)0. Эта частота в свою очередь должна превышать 2ют,
Фиг. 25. Амплитудно-импульсный модулятор (схема дискретной вы-
борки).
Огибающая
где шт — максимальная частота сигнала. Положим для простоты,
что сигнал представляет синусоидальное колебание частоты <от,
а поднесущие колебания—ряд прямоугольных импульсов с частотой
повторения о)0. Тогда частота модуляции образует боковые полосы
± из каждой составляющей импульсного спектра w0, 2о)0, Зо)0, ...
Весь этот спектр появляется по обе стороны несущей частоты о)г.
Частотная модуляция несущего колебания применяется чаще, чем
амплитудная модуляция, потому что тогда легче устранить влияние
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
539
замираний сигнала на пути распространения. При небольшом изме-
нении схемы на фиг. 26 система АИМ/АМ превратится в АИМ/ЧМ.
В передатчике, изображенном на фиг. 26 а, вместо умножителя
„ О"»
Сигнал с
ограниченной
полосой
Стробирующие
импульсы
Несущая
частота
Переданный
•о высокочастотный
сигнал
26. Амплитудно-импульсная модуляция (система АИМ/АМ).
а
несущей частоты должны быть частотный или фазовый модулятор
и умножители частоты. В приемнике, изображенном на фиг. 26, б,
вместо детектора амплитудной модуляции должен быть частотный
дискриминатор.
8'14. Многоканальная передача с разделением
во времени
Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) представляет собой
лишь один из способов модуляции ряда одинаковых импульсов
с целью передачи информации. Кроме того, применяют модуляцию
по длительности импульсов, широтно-импульсную модуляцию (ШИМ),
фазово-импульсную модуляцию (ФИМ) и кодово-импульсную моду-
ляцию (КИМ). Во всех этих системах получающийся ряд импульсов
используется для модуляции амплитуды или частоты высокочастотного
синусоидального колебания.
В одноканальной системе короткие импульсы, представляющие
выборочные значения передаваемого сигнала, могут быть разделены
сравнительно большими промежутками. Поэтому имеется возмож-
ность передавать в эти промежутки импульсы, представляющие сигналы
других каналов, если их можно соответствующим образом разделить
в приемнике. Таким образом, можно модулировать одно несущее
колебание несколькими сигналами, разделенными во времени. Если
540
ГЛАВА 8
•в данной системе имеется п каналов, разделенных во времени, на
каждом из т несущих колебаний, разделенных по частоте, то общее
число каналов . будет пт. Общее число имеющихся каналов играет
существенную роль во многих применениях, например в радиотеле-
фонии. При фиксированной ширине спектра частот увеличение числа
Фи г. 27. Многоканальная система АИМ с разделением во времени
(п каналов).
НЧ — фильтр низких частот.
каналов приводит к уменьшению ширины полосы каждого канала.
На фиг. 27 показана многоканальная система АИМ с разделением
во времени.
Многоканальная передача осуществляется с помощью электрод-
ных переключателей или коммутаторов, управляемых точными хро-
нирующими схемами. В передатчике сигналы, поступающие от п.кана-
лов,- выбираются последовательно с такой скоростью, чтобы, выпал-
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
541
нялись условия, налагаемые теоремой о выборках. Пусть, например,
необходимо передать по системе радиотелефонной связи частоты
до 3 кгц. Тогда скорость выборки должна быть больше 6 кгц.
Практически обычно берут скорость выборки 8 кгц. Тогда скорость
первичной коммутации должна быть не меньше 8п кгц. Если должно
быть п действующих каналов, можно взять скорость коммутации
8(п+0 или 8(п—}~2), чтобы включить синхронизирующий сигнал.
Синхронизирующий сигнал может быть самых различных видов, и
по существу единственное требование к нему состоит в возможности
его распознавания в приемнике. Если синхронизирующие схемы под-
вергаются мешающему действию импульсов каналов или импульсов
шума, система не работоспособна.
Будем считать для простоты, что синхронизирующий сигнал,
изображенный на фиг. 27, представляет импульс большей длитель-
ности, чем импульсы каналов, как показано на фиг. 28. Тогда можно
применить дискриминатор длительности импульсов, чтобы найти этот
импульс в каждой совокупности сигналов каналов. Распознавание син-
хронизирующего сигнала можно произвести и различными другими
способами.
Общий процесс многоканальной передачи показан на блок-схеме
передатчика (фиг. 27, а). Коммутатор подключает каналы последо-
вательно к выбирающей (стробирующей) схеме через интервалы вре-
мени, устанавливаемые хронирующими схемами. Позиция коммута-
тора указывает, что один интервал импульсов отведен для синхро-
низирующего сигнала.
Входные сигналы каналов обычно слишком слабы, и требуется
их усиливать. Для этого можно поставить усилитель звуковой частоты
в каждом из п каналов. Однако если коммутатор может переклю-
чать сигналы малой амплитуды, не искажая их и не вводя паразит-
ные частатные~составляющие, то можно производить усиление после
выборки, применяя один импульсный усилитель вместо п усилителей
звуковой частоты.
В приемнике, блок-схема которого изображена на фиг. 27, б,
сигнал усиливается в усилителе промежуточной частоты и затем
детектируется. Как показывают кривые импульсов на фиг. 28, дис-
криминатор длительности импульсов должен выделить синхронизи-
рующий сигнал. Синхронизирующий сигнал проходит через линии
задержки, соответствующие положениям каналов относительно син-
хронизирующих импульсов. На один вход каждого вентиля (схему
селекции) поступают все импульсы, на другой вход поступает стро-
бирующий импульс для данного канала. На выходе каждого вентиля
получается последовательность выборок для одного канала. Фильтр
нижних частот восстанавливает первоначальную информацию.
Описанная система представляет один из методов построения
каналов многократной. передачи с разделением во: времени. В .систе-
542
ГЛАВА 8
мах импульсной связи применяется несколько вариантов этого
метода.
Разделение каналов во времени можно осуществить подобным же
образом при других видах импульсной модуляции, например при
ШИМ или ФИМ. На фиг. 29, а представлены импульсы, модулиро-
ванные по длительности. Модулятором, создающим эти импульсы,
выход
импульсного
генератора
5А 1 2 3 4
жш_
о
Выход
стробирующей
схемы
5Д 1 2 3 4
5а 1 2 3 4
d^eLopa A
Выход
дискриминаторсГ!
длительности | |
импульсов — 1............
n Sb 1 Z
rs
Выход
клапана I
Выход
клапана 2
и т.д.
1 /
6
Фиг. 28. Временные формы сигналов в многоканальной системе АИМ
с разделением во времени.
может быть схема совпадения, генерирующая интервал, пропорцио-
нальный амплитуде выборочного импульса напряжения. При постоян-
ной амплитуде импульса площадь импульса каждого канала пропор-
циональна выборочной величине; таким образом, первоначальный
сигнал можно восстановить с помощью фильтра нижних частот, как
при АИМ.
В многоканальной системе ШИМ импульс каждого канала может
быть подан при постоянном положении относительно синхронизирую-
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
543
щих импульсов, и можно модулировать задние фронты импульсов
каналов. Если эти импульсы используют для модуляции высокочас-
тотного несущего колебания, передаваемая мощность пропорцио-
нальна длительности импульса.
В действительности изменение сигнала передают задние фронты
импульсов каналов. Продвижение переднего фронта импульсов на
фиксированный интервал времени вперед эквивалентно добавлению
постоянной составляющей к модулирующему сигналу. При переме-
щении переднего фронта вправо постоянная составляющая вычитается
и средняя передаваемая мощность уменьшается. При синусоидальной
модуляции длительность импульса при переходе от одного цикла
к следующему принимает дискретные значения» удовлетворяющие
равенству
8 = 8O(1 -J-m sino>wf). (46)
где т должно быть меньше единицы. Если передаются в виде очень
коротких импульсов лишь задние фронты импульсов, модулирован*
ных по длительности, то выборки сигнала изображаются положе*
544
ГЛАВА 8
ниями импульсов. Для сопоставления с импульсами при ШИМ
(фиг. 29, а) показаны импульсы при ФИМ (фиг. 29, б).
Наблюдая последовательные периоды импульсов при ФИМ, заме-
чаем, что средняя мощность остается постоянной. В приемнике,
который распознает синхронизирующие импульсы и разделяет им-
пульсы каналов при помощи соответственно устанавливаемых кла-
панов, как на фиг. 27, б,, фильтр нижних частот выдает только
постоянную составляющую, так как средняя мощность в каждой
совокупности импульсов каналов постоянна.
Для демодуляции импульсов при ФИМ можно применять приемник
такого же типа, если клапаны каналов могут преобразовать ФИМ
в ШИМ. Это преобразование можно осуществить следующим образом.
Допустим, что через клапан &-го канала запускается триггер в фик-
сированный момент по отношению к синхронизирующему импульсу
после самого последнего возможного момента прихода импульса
(k— 1)-го канала и перед самым ранним моментом прихода импульса
А-го канала. Если импульс &-го канала после этого устанавливает
триггер на нуль, то на выходе получаются импульсы, модулирован-
ные по длительности, которые можно демодулировать фильтром
нижних частот.
8.15. Кодово-импульсная модуляция
В системе кодово-импульсной модуляции производится выборка
входного сигнала и каждое выборочное значение передается в виде
„кодового слова", состоящего из определенной конфигурации импуль-
сов. Простой пример КИМ — передача кодом Морзе информации,
например, о погоде (показаний барометра). Важная особенность КИМ,
позволяющая выделять сигналы из некоторых видов помех, состоит
в том, что при демодуляции (при выделении первоначального сооб-
щения) требуется установить лишь наличие или отсутствие каждой
импульсной позиции в кодовом слове. Поэтому небольшие флуктуа-
ции высоты или длительности импульса не вносят ошибок.
Применение КИМ можно объяснить на конкретном численном при-
мере. Пусть нужно передать сигнал vQ, состоящий из знаков (импуль-
сов) и интервалов (промежутков между импульсами), из Вашингтона
в Нью-Йорк. В Нью-Йорке сигнал принимается, усиливается, и получен-
ный сигнал ретранслируется в Бостон, где производится вторичный
прием и усиление и образуется окончательный выходной сигнал v2.
Сигнал v0 принимает значение 6 в (знак) или 0 в (интервал). На.
каждом из двух участков передачи Вашингтон — Бостон к сигналу
добавляется 1 в среднеквадратичной величины нормального (гаус-
сова) шума п. Следовательно, в интервале ^ = 0 = пх = 1 в.
(среднеквадратичная величина), v2 = nx-\-n2=y2 в (среднеквадра-
тичная величина). Поскольку суммирование независимых шумов при-
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
545
водит к свертке их функций плотности вероятности мгновенных
величин, то Р0(-и) = zz0(-u), (v) = (1/]/2тс)ехр (—v2/2), P2(v) —
= (1/У4^)ехр (—v‘2/4). В Бостоне каждая импульсная позиция вы-
бирается один раз, и записывается знак, если напряжение и2
больше 3 в, и интервал, если напряжение v2 меньше 3 в. При
-уо = О вероятность ошибки (записи знака в Бостоне) равна
оо
J* P2(v)dv^ (0,020). Таким образом, можно ожидать около 20 оши-
3 _
бок на 1000 решений из-за шума ]/^2 в среднеквадратичной вели-
чины, появляющегося в Бостоне. Заменим теперь линейный ретран-
сляционный усилитель, находящийся в Нью-Йорке, простой нелиней-
ной операцией, подобной той, которая производится в Бостоне.
В Нью-Йорке будет записываться знак при больше 3 в и интер-
вал при меньше 3 в, а записанный результат будет передаваться
в Бостон. При vo = 0 вероятность ошибки в Нью-Йорке равна
У Рх (v) dv (0,0015), или около 1,5 ошибки на 1000 импульсов,
з
При малых уровнях ошибки маловероятно, чтобы ошибки на втором
участке (от Нью-Йорка до Бостона) совпадали с ошибками на пер-
вом участке. Поэтому в Бостоне вероятность ошибок будет примерно
1,5 4» 1,5 = 3 ошибки на 1000 импульсов. Таким образом, благодаря
введению в Нью-Йорке нелинейного повторителя „да — нет" вместо
первоначального линейного повторителя уровень ошибок снижен с 20
до 3 на 1000 импульсов. При увеличении отношения сигнал — шум
или увеличении числа отдельных участков на пути передачи улучше-
ние, получаемое благодаря нелинейным повторителям, станет еще
более разительным.
Для образования сигнала КИМ требуются следующие операции*,
дискретная выборка, квантование и кодирование (превращение напря-
жения сигнала в ряд импульсов, изображающих двоичное число).
Для восстановления модуляции требуется дешифратор, превращающий
группу импульсов в напряжение. Квантующая схема имеет ступенча-
тую кривую передачи в динамическом диапазоне модулирующих
сигналов, как показано на фиг. 30. Чем больше уровней при данном
диапазоне напряжения, тем меньше ошибка „округления", но в лю-
бом случае сигнал заменяется ступенчатой приближенной функцией:
каждое значение входного сигнала заменяется ближайшей постоянной
величиной, предусмотренной на выходе квантующей схемы. При
конечном числе возможных уровней на выходе этой схемы с каждым
уровнем можно связать одно двоичное число. В двоичном числе
каждая цифра должна быть либо 0, либо 1, что удобно изобразить
35 Зак. 1115
546
ГЛАВА 8
отсутствием или наличием импульса. Таким образом, последователь-
ность п импульсов (из которых некоторые пропущены) может изо-
бражать п — разрядное двоичное число. Для облегчения декодирова-
ния последовательным разрядом приписываются возрастающие веса,
Фиг. 30. Квантование амплитуды.
как указано на фиг. 31. В нормированных единицах, равных периоду
повторения импульсов, £ = 0 соответствует 2°, /=1 соответствует 21
и т. д.
На фиг. 32 приведена простая функциональная схема, на которой
указаны основные операции кодирования сигнала. Частота выборок,
как и в других импульсных системах, должна быть по меньшей мере
в два раза больше максимальной частоты модуляции, чтобы было
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 547
возможно восстановление первоначального сигнала. Поэтому частота
повторения импульсов должна быть по меньшей мере в п раз больше
частоты выборки, где п — число разрядов в двоичном числе, изо-
бражающем каждую выборку.
Предполагается, что модулирующий сигнал М сжат или ограни-
чен так, чтобы диапазон его изменения оставался в динамическом
диапазоне имеющихся уровней квантования. В этом примере выборка
сигнала квантуется на восемь уровней. Если эти уровни изображаются
Десятичное
число
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Двоичное
число
2* 2г 2' 2°
О
I
1 О
1 1
1 О о
1 0 1
1 1 о
1 1 1
10 0 0
10 0 1
10 10
10 11
110 0
110 1
1110
1111
Кодовые
импульсы
2° 2' 2г г1
1111
_П____
__п___
п л
____п_
л___п_
-JUL-
JUUL-
___fl
J____fl
_J___Il
JUL—Л
____fUl
J___ПЛ
_JUUl
JUUUl
iiii
0 12 3
---- время
Фиг. 31. Двоичные числа и импульсные сигналы.
числами от 0 до 7, то для каждой выборки требуется трехразряд-
ный код. В последовательности кодированных импульсов С пропу-
щенные импульсы каждой кодовой группы показаны пунктирными
линиями. Таким образом, получается последовательность двоичных
чисел 010, 100, ПО, 001 и 101, соответствующих десятичным чис-
лам 2, 4, 6, 1 и 5. Замечаем, что импульсный сигнал С запаздывает
относительно других на интервал 8, достаточный для выполнения
кодирования.
Кодирование импульсов можно осуществить различными способами
с помощью обычных схем или специальных кодирующих электронно-
лучевых трубок. На фиг. 33 приведена функциональная схема одного
35*
548
ГЛАВА 8
типа кодирующих устройств. Выборочные импульсы вводятся в запо-
минающую цепь, в которой амплитуда импульса сохраняется в кон-
денсаторе. Модулятор длительности импульсов производит импульс,
длительность которого пропорциональна величине выборки. Этот
импульс стробирует выход генератора тактовых импульсов, тем са-
мым регулируя число импульсов, подводимых к двоичному счетчику.
Длительность строб-импульса (импульса выборки) не обязательно
Модулирующий
Стробирующие
импульсы
С
_UJ________LU_______UUI______П: n i П (._5)
0 I ? 3 4 u'
Фиг. 32. Основные операции импульсного кодирования.
должна быть равна целому числу периодов повторения точно син-
хронизированных тактовых импульсов, поэтому сигнал, вводимый
в двоичный счетчик, может состоять из т импульсов плюс передний
фронт одного импульса. Эта „часть импульса" может иметь длитель-
ность, достаточную или недостаточную для переброса счетчика. Таким
образом, выборки квантуются, так как в счетчик после окончания
строб-импульса записывается определенное число. В каждом триггере
счетчика для каждого представляемого им разряда хранится 0 или 1
(в схеме указано двоичное число ОН или десятичное число 3).
Фиг. 33. Функциональная схема шифратора для КИМ.
Фиг. 34. Декодирование сигнала КИМ.
36 Зак. 1115
550
ГЛАВА 8
Электронный переключатель, или коммутатор, выбирает последова-
тельно разрядные позиции 2°, 21, 22 и передает 0 или 1 в соответ-
ствии с состоянием этой ступени. Запоминающая схема должна быть,
конечно, разряжена и счетчик установлен на 0, прежде чем будет
закодирована следующая выборка.
Декодирование КИМ сравнительно просто. Можно подвести от
источника тока импульсный код к цепи RC, как показано на фиг. 34,а.
Постоянная времени цепи RC должна быть в 1,44 раза больше интер-
вала между импульсами в кодовой группе. При такой постоянной
времени заряд конденсатора от одного импульса упадет до половины
своей первоначальной величины к моменту прихода второго импульса
и, следовательно, до одной четверти к моменту прихода третьего
импульса. На фиг. 34, в показана реакция на каждый из трех импуль-
сов по отдельности, изображенных на фиг. 34, в. Эти реакции при-
надлежат соответственно двоичным числам 001, 010 и 100, соответ-
ствующим десятичным числам 1, 2 и 4. Максимальная велишна
реакции и время выборки подобраны так, чтобы эти отдельные
реакции соответствовали величине напряжения в десятичном пред-
ставлении. Поскольку к линейной цепи применим принцип наложения,
двоичное число, состоящее из двух или трех импульсов, создает
полную реакцию, равную сумме отдельных реакций. На фиг. 34, г
показано двоичное число 101 (десятичное 5), а полная реакция
в момент выборки равна 5, как указано на фиг. 34, г. Момент
выборки не является критическим, потому что подбор постоянной
времени по отношению к интервалу между импульсами обеспечивает
соответствующие двоичные веса трех разрядных позиций в любой
момент времени.
8.16. Некоторые общие замечания
о нелинейных системах
Системы, описанные в предыдущих разделах, показывают мно-
гообразные возможности применения нелинейных систем. Можно по-
думать, что нет конца сочетаниям и перестановкам элементарных
операций над сигналами. Однако можно показать, что нелинейные
системы очень широкого класса можно построить как совокупность
трех подсистем, а именно нелинейной системы без памяти (незапоми-
нающая система)]), за которой следует линейная система с задержкой
и далее вторая нелинейная система без памяти. Рассмотрим сначала
общую модель линейной системы.
Граф на фиг. 35, а представляет собой приближенную модель
произвольной линейной системы. Ветви, показанные сплошными
линиями, изображают идеальные задержки. Постоянные коэффициенты
9 Обычно ее называют безынерционной. —Прим, перев.
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
551
ветвей выражены в виде произведений постоянных hk и параметра
задержки 8. Эти обозначения удобны для дальнейшего изучения.
Из рассмотрения линейного графа фиг. 35, а находим для произволь-
ного входного сигнала х(/)
у(0 = + М + —28)8+ ... +
+ hkx(f — £3)3+ ... — n8)8 (47)
или
у (0 = S hkx (t — А8) 8. (48)
ьо
В пределе при малом 3 и большом п происходят три явления.
Во-первых, импульсный входной сигнал, изображенный на фиг. 35, б,
Фиг. 35. Синтез ступенчатой аппроксимации произвольной импульсной
характеристики.
приближается к единичному импульсу. Во-вторых, ступенчатая кри-
вая фиг. 35, в при надлежащем подборе постоянных hk приближается
сколь угодно точно к любой желаемой импульсной характеристике h(t).
В-третьих, сумма в уравнении (48) стремится к интегралу (и по
существу определяет интеграл)
оо
у (t) = f h (т) х (t — т) dx, (49)
о
36*
552
ГЛАВА 8
т. е. интеграл суперпозиции, выражающий связь между входными и
выходными сигналами в линейной стационарной системе передачи.
Таким образом, построена произвольная линейная система пере-
дачи в виде линии задержки с отводами, набора идеальных усили-
телей (/гй8) и идеального сумматора (выходной узел на фиг. 35).
Если заменить усилители и сумматор более общей операцией без
памяти, то получается нелинейная система, изображенная на фиг. 36.
Линейная система представляет собой частный случай этой общей
системы, если вычислительное устройство программировано так,
чтобы образовать линейное сочетание запоминаемых выборок xk.
Фиг. 36. Синтез нелинейной передаточной функции
Уо = / (хо» х2> •••. хп)-
означает —Лб); / — линейная система; 2 — система без памяти.
Вычислительное устройство можно рассматривать как справочную
таблицу или „словарь". Конкретный набор значений „букв" xk опре-
деляет „слово" х0, хр х2, ..., хл, которое можно мгновенно найти
в „словаре", тем самым „переведя" это слово в данную мгновенную
выходную величину yQ = y(t). В линейной системе часть процесса,
не обладающего памятью, эквивалентна „проекции векторов" х0,
Хр ..., хп на некоторое направление в соответствующем „вектор-
ном пространстве".
Большой класс операций обработки сигналов можно осуществить
посредством модели, изображенной на фиг. 37, состоящей из соеди-
ненных между собой линейной системы (7) и системы без памяти (2).
Линейная система выполняет запоминание и показывает прошлое
входного сигнала в виде пространственного ряда чисел. Затем си-
стема без памяти воздействует мгновенно на эти числа и образует
выходной сигнал
Уо = /(ХО- ХГ Х2.....ХЯ) (50)
ИЛИ
у(/) = /[х(7), x(t— 8), x(t — 28), ..., х (7— п8)]. (51)
При наличии сигналов х, которые можно изобразить сколь угодно
точно их выборочными значениями хл, функция (51) дает возмож-
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
553
ность описать и осуществить класс нелинейных стационарных опе-
раций обработки сигналов, которые дают выходной сигнал, являю-
щийся произвольной однозначной функцией входного сигнала,
существовавшего в прошлом.
Возможность разделения общего процесса на линейный и не
имеющий памяти подпроцессы весьма существенна, ибо она означает,
что изучение линейных и нелинейных систем (без памяти) является
не просто предварительным упражнением для понимания более общих
систем, но образует составные части общей теории систем.
Фиг. 87. Синтез операции обработки сигнала путем соединения линей-
ной системы с одним входом и многими выходами и системы, не имеющей
памяти, с многими входами и одним выходом.
х^ означает x(t — kS); / — линейная система; 2 —система без памяти.
Операцию обработки сигналов можно осуществить посредством
другой схемы, содержащей системы 1 и 2 лишь с одним входом
и одним выходом, как показано на фиг. 38. На фиг. 39 приведено
более подробное описание системы. Квантующая схема выдает целые
2 -«у
Фиг. 88. Система обработки сигналов, состоящая из подсистем с одним
входом и одним выходом, каждая из которых или линейна, или не имеет
памяти.
положительные величины х и преобразует непрерывный сигнал w(t)
в ступенчатый сигнал x(t) (фиг. 40). Линейная система, образую-
щая у из х, будучи возбуждена импульсом единичной длительности,
дает на выходе экспоненциально убывающую ступенчатую функцию.
Такую реакцию можно осуществить посредством обратной связи
с задержкой, как показано на фиг. 41. При каждой циркуляции по
контуру обратной связи сигнал запаздывает на единицу времени и
умножается на одну десятую.
37 Зак. 1115
2 1
2
y(t) - реакция на единичный
импульс x(t)
Фиг. 39. Система 2/2, состоящая из квантующей схемы, цепи задержки с десятичным сдвигом и кон-
трольной кривой.
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
555
В таблице показано изменение х и у при таких десятичных ве-
личинах запаздывания и ослабления (предполагается, что х равен
k x(t-k) y(t-k) k X (t-k) V(t-k)
7 0 0,000000 3 2 2,377000
6 7 7,000000 2 5 5,237700
5 7 7,700000 1 9 9,523770
4 3 3,770000 0 8 8,952377
нулю при k > 7). Цифры у (t) сдвигаются вправо, а последнее зна-
чение х занимает крайнюю левую позицию (заменяя предыдущее
значение). Информация о прошлом входного сигнала хранится в де-
сятичных позициях у (/). Последний блок системы — это по существу
Фиг. 40. Квантование функции w (/) ступенчатой кривой с равномер-
ными ступенями.
справочная таблица, в которой с различными возможными наборами
квантованных входных данных, описывающих различные возможные
истории входного сигнала, можно связать любой требуемый набор
Г I I
JJQ, ..» Qy
l/Ю е'а
Фиг. 41. Синтез задержки с десятичным сдвигом.
выходных сигналов. Выходной сигнал z есть произвольная функция
квантованных выборок входного сигнала за прошедшее время
z(0 = /[x(0. Xit-I), — ...I. (52)
37*
556
ГЛАВА 8
Таким образом, получается операция обработки сигналов общего
вида (фиг. 39), которую можно описать при помощи трех простых
кривых или трех систем с одним входом и одним выходом — одной
линейной (/) и двух систем, не имеющих памяти (2).
Последовательность из трех подсистем (2/2) представляет собой
лишь одно из многих возможных сочетаний систем, не имеющих
памяти, и линейных систем с памятью, из которых можно построить
общие нелинейные системы. На фиг. 42 указаны другие расположе-
ния. На фиг. 42, а запоминающий элемент служит для обратной
связи, а фиг. 42, б изображает удлиненную цепь без обратной связи.
Простая цепь 2/2 есть частный случай систем а и б.
Практические системы не обязательно должны иметь форму 2/2,
но к этой категории относятся многие системы. В системах 1 а 2
2 1
6
Фиг. 42. Синтез общей нелинейной системы из подсистем 2 и /.
с одним входом и одним выходом можно признать обобщенные
эквивалентные схемы, разбираемые в элементарной теории электрон-
ных цепей.
Для кривых, показанных на фиг. 40, можно применять двоичную
систему вместо десятичной. Тогда получаются двоичные задержки,
непосредственно связанные с системой КИМ, рассмотренной
в разд. 8.15. В системах КИМ, как и в общих нелинейных системах,
длина памяти (число разрядов) ограничена точностью квантующей
схемы и влиянием помех.
В заключение нужно указать, что существует другой подход
к изображению нелинейных систем передачи, в котором за основные
элементы берутся линейные стационарные фильтры и идеальные пере-
множигели. Многие из последних исследований по теории нелиней-
ных систем проводились в этом направлении. В частности, весьма
общая и гибкая схема нелинейного процесса получается в том слу-
чае, если выходные сигналы набора параллельных фильтров, подоб-
ных изображенным на фиг. 10, перемножаются в различных сочета-
ниях, образуя конечный выходной сигнал.
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 557
ЗАДАЧИ
8.1. Для измерения малых отклонений при механических напряжениях
можно применять две схемы, изображенные на фиг. 43. Сопротивление при-
крепляется к детали машины, или элементу конструкции самолета, или дру-
гому телу, упругая деформация которого изменяет форму или размер сопро-
тивления и вызывает небольшое изменение сопротивления. Пусть ес (/) =
= Vc cos = Ro + г (t) и R2 = Rq — r (t).
a 6
Фиг. 43.
Фиг. 44.
Сравнить работу этих двух схем в качестве модуляторов, если г (t)
Ro. В частности, в чем состоит преимущество симметричной схемы б
перед несимметричной а>
8.2. На вход идеального перемножителя поступают сигналы
_ J_ (//5Го)2
/. (О = е' 2
_ £ (57>)2
Ai (о>) = Юле 2
И
/2(о= 2 иоа-АУо).
k = — со
а. Построить выходную
функцию времени /3 (/) и
спектр Л3 (<»).
б. Придумать простую си-
стему для восстановления fx (t)
по /3 (О-
в. Функция времени /3 (/),
определенная в п. „а“, подво-
дится к цепи с импульсной ха-
рактеристикой
Начертить выходную функцию времени /4 (/).
8.8. На вход квадратичного усилителя (у2 = avf) подводится сигнал
Пусть — Ее (cos <DfZ) (1 4- т cos -|- К-
а. Чему равен модуль составляющей на частоте ыт и на частоте 2wm?
б. Не вдаваясь в подробности, установить, какие имеются другие частот-
ные составляющие.
8.4. Лампа, предназначенная для перемножения, изображенная на фиг. 44,
имеет следующие характеристики:
4 — (4 + s^i)
, ib — (/0 + $20
558
ГЛАВА 8
Начертить спектр £3, указав амплитуду и частоту каждой составляющей
ПРИ 1 .
е} = — 1 + cos amt,
е2 = sin (ofZ.
8.5. Дано напряжение v (/) = Ло-{- sin (coj/—|- p)-f- A2 sin 2 (w^-)- p).
а. Начертить блок-схему аналогового вычислителя (содержащего задерж-
ку, перемножитель и интеграторы), с помощью которого можно измерять
автокорреляционную функцию напряжения v (/).
В нижеследующих пунктах объяснить физический смысл величин и их
размерность.
б. Определить автокорреляционную функцию <р (т). Дать ее графическую
интерпретацию. Построить ср (т).
в. Теряется ли какая-нибудь информация о v(t) при отыскании авто-
корреляционной функции? Что можно сказать о возможности восстановле-
ния v (t) по автокорреляционной функции?
г. Как связаны ср (т) и ее значение при — т?
д. Чему равна ср (0)? Может ли ср (т) быть больше ср (0)? Объяснить.
е. Чему равно среднее значение по т автокорреляционной функции?
ж. Определить коэффициенты ряда Фурье для ср (т).
з. Функция времени v (/) есть также ряд Фурье. Показать, как коэффи-
циенты линейного спектра напряжения связаны с коэффициентами спектра
мощности, найденными в п. „ж*.
8.6. К детекторной цепи подводится модулированный сигнал ет (/) с
треугольной огибающей (фиг. 45). Определить максимальную величину С,
при которой не будет искажений, т. е. диод будет заперт один раз за пе-
риод, если R = 250 ком. Предполагается, что диод идеальный и период не-
сущего колебания много меньше 10"4 сек.
/
Фиг. 46.
8.7. Рассмотреть амплитудно-модулированный сигнал е{ (/) = X
X (cos (Oj t) (1 -f- т cos t) и периодический импульсный сигнал е2 (/), изо-
браженный на фиг. 46. Предполагается, что со, много больше <лт. Начертить
простую функциональную схему системы, которая получает входные сиг-
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
559
налы ех (/) и е2 (О и производит амплитудно-модулированное колебание с не-
сущей частотой (а>! — (о2). Чему равна амплитуда выходного сигнала?
8.8. Имеется нелинейный прибор, дающий выходной сигнал у = ах-|-
+ Ьх2 при входном сигнале х, и полосовой фильтр, частотная характеристика
которого показана на фиг. 47, а. Начертить функциональную схему модуля-
Частотная
тора, который модулирует несущее колебание cos t сигналом, спектр кото-
рого изображен на фиг. 47,6”. Определить ограничения, налагаемые на <оь
<о2 и через <о3.
Если дан модулированный сигнал и несущее колебание cos t, пока-
зать при помощи функциональной схемы, как можно воспроизвести
в
Фиг. 48.
первоначальный сигнал, чтобы искажения были только в постоянной состав-
ляющей (на нулевой частоте). При этом можно использовать несколько Не-
линейных приборов.
8.8. На фиг. 48, а изображена кривая синусоидального колебания, моду-
лированного прерывателем, которое детектируется системой, изображенной
560
ГЛАВА 8
на фиг. 48,6. Пусть ес = 10 cos / + ?) и напряжение на выходе детектора
равно произведению ех (/) = es (?) ес (/).
а. Начертить (со) — спектр ех (/) при = 0°.
б. Каков допустимый диапазон граничной частоты фильтра соь при ко-
торой в напряжении е0 будет присутствовать только компонента сот, если
= Ю4 рассек, ср = 0° и <от может быть от 1 до 100 рад)сек1
в. Чему равен модуль е0 при том же фильтре, как в п. „б“, если ср = к/2?
8.10. Модулятор с выключателем можно рассматривать как прибор, ко-
торый умножает колебание низкой частоты, например синусоидальное, на
прямоугольное колебание высокой частоты. Найти посредством свертывания
выходной спектр модулятора при отношении частот основной гармоники
прямоугольного колебания и синусоидального колебания, равном 5:1.
8.11. Для схемы фиг. 18 определить и начертить е0 в зависимости от
ср — разности фаз входных синусоидальных колебаний на частоте мс (пред-
полагается, что диоды идеальные и 7?Cwf^>l) — при: а) одинаковых ампли-
тудах сигналов и б) отношении амплитуд 5:1.
8.12. В схеме фиг. 49, а сигналы v} (t) — одинаковые прямоугольные
импульсы с основной частотой 1 Мгц. Сигнал v2 — cos ш2 где
(о2/2я = 100 кгц, а спектр /(/) изображен на фиг. 49,6. Сопротивления г
очень малы по сравнению с /?, а амплитуда v2 (/) примерно равна амплитуде
Vj (/). Начертить спектр и3 (/) при ау/2я = 100 кгц. Чему равна максималь-
ная величина оу, при которой сигнал /(/) можно восстановить по и3 (/)
при помощи простой схемы, состоящей из фильтра и детектора? Предложить
такую схему.
D2(t)
Dj (t)&—-ДАЛ/ I о—-
Я о
^Вибратор
Усили-
тель
•ov3(t)
Фиг. 50.
8.13. В схеме па фиг. 50 (/) представляет сигнал, спектр которого
лежит ниже 10 гц. Прерыватель вибратора размыкает цепь периодически с
частотой 100 гц и остается замкнутым в течение половины периода. Вход-
ное сопротивление усилителя бесконечно велико.
а. Начертить v2 (f), v3 (/) и их спектры, показав их связь с функцией
г»! (г), если усилитель пропускает лишь частоты выше 75 гц.
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
561
б. Проделать то же, если усилитель пропускает лишь частоты между
75 и 125 гц.
в. Проделать то же, если усилитель пропускает лишь частоты ниже 75 гц.
8.14. В схеме модулятора на фиг. 51 диоды можно считать идеальными.
Пусть е2 = Е2 cos w2 t и пусть е1 — произвольная функция времени, у которой
пиковая величина £j<^£2 и максимальная частота <о1макс<^(о2. Выра-
зить £3 через ех и функцию-множитель т (t). Построить т (/). Чему равна
е3 при входном сигнале ех = Ех cos coj
усилитель
Фиг. 521
8.15. На вход схемы, изображенной на фиг. 52, подводится сигнал vx (t)
звуковой частоты. Несущая частота со0 лежит значительно выше звукового
диапазона. Усилитель с большой добротностью Q настроен на частоту (о0
и имеет при резонансе усиление А. Фильтр пропускает только звуковые ча-
стоты. Исследовать характеристики системы передачи.
8.16. Сигнал /(/) представляет собой прямоугольное колебание с ампли-
тудой, равной единице, и периодом, равным двум. Функция /(/) — нечетная.
Сигнал vx (t) — периодическая четная функция с периодом 1. Система, изоб-
раженная на фиг. 53, при отрицательном t находится в покое. Выходной
562
ГЛАВА 8
сигнал v2 (t) можно наблюдать только в моменты t = 1, 3,5, 7,... Можно
изменять усиление А усилителя, придавая ему то или другое действитель-
ное значение, но эти изменения разрешается производить только в моменты
t — 0, 2, 4, 6,... Что можно сказать о t/j (t) при этих ограничениях? В част-
ности, как нужно устанавливать А, чтобы наблюдаемые значения v2 (t) были
просто связаны с коэффициентами ряда Фурье функции vx (/)?
8.17. Сигнал изображенный на фиг. 54, и шум усилителя n(t)
имеют заметный спектр лишь при | со |< сор Частотная характеристика уси-
лителя в полосе пропускания равномерна до Юсо,. Полоса пропускания филь-
тра охватывает диапазон | w | < сор и частотная характеристика фильтра
в этой полосе равномерна.
n(t)
Фиг. М.
а. Как нужно выбрать (о0, чтобы функция v2 (t) была' точным воспроиз-
ведением функции t/j (/)?
б. Чему равен фазовый сдвиг между v2 (t) и v} (t) в частном случае,
когда t/j (/)—синусоидальное колебание?
8.18. Сигналы Ах (t) и Вх (Z), изображенные на фиг. 19, имеют низко-
частотные спектры по сравнению с и>с. Передающий канал пропускает частоты,
близкие к и>с. Фильтры пропускают только низкие частоты.
а. Как А2 (t) и B2(t) связаны с Ax(t) и Вх
б. Как нужно выбрать Ах (t) и Вх (t), чтобы получились:
1) обычная амплитудная модуляция и демодуляция;
2) фазовая модуляция и демодуляция;
3) передача с подавлением несущей;
4) передача на одной боковой полосе.
8.19. Несущее колебание 100 Мгц модулируется по частоте сигналом
звуковой частоты.
Изменение частоты пропорционально амплитуде сигнала (максимальное
изменение, соответствующее максимальной амплитуде модулирующего сиг-
нала, равно ±75 кгц). Нарисовать общий вид спектра частотно-модулирован-
ного сигнала (см. приложение А) при следующих условиях:
а) частота модуляции 5 кгц. Амплитуды модулирующего колебания
1112
равны т-г, —, -77- и -тг- от максимальной величины;
15 5 о о
б) амплитуда модулирующего колебания равна от максимальной, ча-
стоты модуляции равны 0,1, 0,5, 1,0, 2,0, 3,0, 4,0, 5,0 кгц;
в) амплитуда модулирующего колебания максимальная. Частоты моду-
ляции равны 0,1, 1,0 и 5 кгц.
8.20. Несущее колебание высокой частоты модулируется по частоте
синусоидальным модулирующим сигналом.
Выбрать значения коэффициента модуляции (см. приложение А) и на-
чертить ряд спектров при следующих условиях:
НЕЛИНЕЙНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
563
а) частота модуляции постоянна, а амплитуда модулирующего сиг-
нала изменяется так, что коэффициент модуляции принимает значения от
О до 10;
6) амплитуда модулирующего сигнала постоянна, а частота модуляции
изменяется так, что коэффициент модуляции принимает значения от 0 до 10.
8.21. Описать спектр колебания, модулированного по частоте прямо-
угольным колебанием. Иначе говоря, сигнал представляет синусоидальное
колебание с частотой в интервале 7/2 и затем синусоидальное колебание
с частотой со2 в следующем интервале 7/2 и изменяется, таким образом, пе-
риодически с периодом 7.
8.22. Во многих схемах генераторов частота генератора определяется
частотой настроенного контура. Поэтому выходное напряжение генератора
можно модулировать по частоте путем изме-
нения индуктивности или емкости настроенного
контура. На фиг. 55 показана схема с реак-
тивной лампой, параметры которой можно ре-
гулировать таким образом, чтобы на зажимах
АВ получалось кажущееся приращение индук-
тивности или емкости. Величину этой кажу-
щейся индуктивности или емкости можно из-
менять при помощи сеточного смещения или
с помощью подводимого вспомогательного си-
гнала, изменяющего эффективную крутизну
лампы. Исследовать схему с реактивной лам-
пой и предложить схему частотного модуля-
тора, построенную по этому принципу.
8.28. Сравнить умножение частоты по-
средством однополупериодной и двухполупе-
риодной выпрямительных схем при идеальных
диодах и активной нагрузке.
8.24. Умножение частоты можно осуще-
ствить путем искажения синусоидального колебания в нелинейной схеме
с образованием гармоник.
Выходной сигнал желаемой частоты создается полосовым фильтром, на-
строенным на соответствующую гармонику. Возьмем пентодный усилитель
с параллельным контуром RLC в анодной цепи, настроенным на частоту
пш. На сетку подается сигнал ех •= — Ёо Д Ех sin со/. Сопротивление источ-
ника равно сопротивление сетка — катод равно rg при ес > 0.
а. Определить влияние Ех и £0 (или Ех и EJEq) на выходное напряже-
ние п-и гармоники, если ес всегда отрицательно. Использовать упрощенные
приближенные выражения.
б. Как изменятся выводы п. „а", если Ех и £0 имеют такие значения,
что ес > 0 в течение части периода.
в. Определить значение Q, при котором л-я гармоника будет в (л±1)
раз больше соседних гармоник (л).
8.25. „Линейный* демодулятор представляет собой перемножитель, на
который поступают входной сигнал v1 (t) и сигнал несущей частоты vc (/).
Выходной сигнал перемножителя v2 = v, vc пропускается через фильтр, и на
выходе системы получается сигнал v3 (/). Спектр входного сигнала V\ (w) =
= F (со + ) + F (w—соД а спектр полезного выходного сигнала И3 (<о) =
= F (со). Исследовать, какой нужно выбрать фильтр, если vc (/) представляет:
а) прямоугольное колебание с периодом 2rc/wf;
б) периодическую последовательность линейных импульсов переменной
полярности (с периодом 2т^/шс и расстоянием между импульсами л/юД
8.26. К идеальному перемножителю поступает модулирующий сигнал
ет (/) = 1 4- т cos &mt и несущее колебание, состоящее из последователь-
564
ГЛАВА 8
ности единичных импульсов с интервалами Начертить спектр выход-
ного сигнала е0 (/).
8-27. а. Начертить спектр ряда прямоугольных импульсов длитель-
ностью 1 мксек с частотой повторения 10 кгц.
б. Начертить спектр того же сигнала, модулированного по амплитуде
синусоидальным колебанием 1 кгц.
8.28. В систему модуляции, изображенную на фиг. 56, вводится несу-
щий сигнал vc (/), состоящий из периодической последовательности единич-
Перемноэкитель
u,(t)
и2а)
uc(t)
Фиг. 58.
ных импульсов с периодом Т. Передаточная функция фильтра —[1—exp X
Х(-$Л]М.
а. Исследовать связь между функциями времени vx (t) и v2 (t).
б. Начертить спектр v2 (0 при vx (t) = cos <aot, где o)0 < 2те/ T.
в. Сделать то же при vx (t) = cos [<о0 + (2тт/ /)] t.
г. Как можно восстановить первоначальный сигнал vx (t) по v2 (/), если
спектр vx(t) имеет ничтожную энергию на частотах, начиная с 2тт/7’ и выше?
8.29. Придумать простую диодную схему для амплитудно-импульсной
модуляции.
8.30ь Придумать другие способы осуществления многоканальной пере-
дачи с разделением во времени, изображенной на фиг. 27. Принять основ-
ную частоту выборки 8 кгц и п = 12. Рассмотреть, например, схемы с фа-
зированием синусоидальных колебаний, схемы с задержками импульсов и
генераторы с цепями задержки (как мультивибраторы и генераторы пилооб-
разных колебаний), после которых включены схемы совпадения напряжений.
8.31. На фиг. 30 показано линейное квантование напряжения на дис-
кретные равноотстоящие уровни. Вместо этого уровни можно брать такими,
чтобы при переходе от одного уровня к следующему получалось одно и то
же относительное изменение. Рассматривая ошибку квантования (разность
между входным и выходным сигналами квантующей схемы) в виде шума,
сравнить уровень шума этих двух типов квантующих схем при сигналах
с различными временными функциями и амплитудами. Попытаться составить
простые выводы из этих примеров.
8.32. Импульсная характеристика усилителя h (t) представляет прямо-
угольный импульс с высотой, равной единице, и длительностью Т. Входной
сигнал равен сумме двух составляющих: ступенчатого сигнала vx (t) = и_х (/)
и шума с широким спектром nx (t), причем его спектральную плотность
мощности можно считать равной постоянной величине Nj.
Какую нужно взять длительность импульса Т, чтобы получить макси-
мальное отношение сигнала к шуму на выходе по мощности в заданный
момент /0? Чему будет равно это отношение?
Глава девятая
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
9.1. Введение
Контур обратной связи образует замкнутый путь движения сиг-
налов в системе. Поскольку соотношение между сигналами в задан-
ной физической системе можно изобразить различными схемами,
содержащими или не содержащими контуры обратной связи, против
этого определения можно возразить и отметить, что наличие или
отсутствие „обратной связи" в „системе" определяется скорее точкой
зрения, чем физической действительностью. Тем не менее многие
физические системы в силу принципа их построения тесно связаны
со схемами, содержащими замкнутые контуры, и в таких случаях
уместно говорить о физическом устройстве как о „системе с обрат-
ной связью". Однако нужно помнить, что все наши рассуждения от-
носятся к моделям; например, схема электронного усилителя есть
отвлеченная модель физического прибора. Подобно этому, по край-
ней мере с точки зрения анализа цепей, направленный граф, изоб-
ражающий уравнения цепи, является дальнейшей абстракцией, моделью,
основанной на нашем истолковании действительного поведения системы.
В синтезе или при проектировании граф или функциональная
схема служит исходным основным пунктом, первичным представле-
нием процесса. Когда просят проектировщика нарисовать „изображе-
ние системы", он, вероятно, изобразит не физический прибор, а
функциональную схему соответствующих причинных связей. Именно
в этом смысле и говорят о системе с обратной связью, имея в виду
функциональную схему, в которую намеренно введены контуры об-
ратной связи, для того чтобы улучшить работу системы или упро-
566
ГЛАВА 9
стить ее построение. Название „отрицательная обратная связь" озна-
чает, что можно добиться некоторых желательных характеристик при
передаче сигналов, введя элемент с несовершенной передачей в кон-
тур обратной связи, у которого передаточная функция представляет
большое отрицательное число.
Как будет видно, с помощью обратной связи можно умень-
шить влияние вредных возмущений, таких, как шум или нелинейные
явления, и добиться уменьшения зависимости работы системы от от-
клонений параметров приборов, вызванных производственными допу-
сками или старением. Вследствие этого обычно возникает проблема
устойчивости. Компенсация искажения на одной частоте может при-
вести к нарастанию колебаний и самовозбуждению на какой-нибудь
другой частоте. Сперва рассмотрим системы, не имеющие нежела-
тельных фазовых сдвигов, тем самым временно будем игнорировать
устойчивость. Простые примеры таких систем — это цепи с актив-
ными сопротивлениями. При наличии хранящих энергию элементов
и нежелательных фазовых сдвигов возникает не только вопрос об
устойчивости, но и налагаются ограничения на ширину полосы частот.
При проектировании системы с обратной связью усиление, ширина
полосы частот и устойчивость тесно связаны между собой. Если уси-
ление задано, можно повысить устойчивость за счет сокращения
полосы частот. Если задан запас устойчивости, то можно изменять
усиление и полосу частот, но произведение усиления на ширину
полосы имеет верхнюю границу. Если система должна иметь задан-
ную полосу частот, то надо выбрать запас устойчивости и усиление
так, чтобы получилось наиболее разумное построение системы.
9.2. Автоматическое регулирование
при помощи отрицательной обратной
связи
Принцип автоматического регулирования характеристик передачи
можно объяснить с помощью фиг. 1. Входной сигнал равен г/р
требуется получить выходной сигнал KQvv Предположим, что имеется
усилитель, способный отдавать требуемую выходную мощность на
данную нагрузку, и пусть усиление по напряжению К можно уста-
новить равным требуемому значению KQ. Соответствующее построе-
ние системы можно изобразить в этом случае двумя ветвями,
показанными на фиг. 1 сплошными линиями. Однако усиление напря-
жения электронной схемы (или отношение скорости двигателя к току
возбуждения, или коэффициент передачи какого-нибудь другого мощ-
ного элемента системы) может быть недостаточно надежным для
выполнения задачи. В этом случае надо либо выбрать лучший усили-
тель, либо придумать средство регулировать более дешевый, но менее
надежный усилитель так, чтобы удовлетворить расчетным заданиям.
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ связи
567
Пунктирные ветви на фиг. 1 указывают возможный способ регу-
лирования коэффициента передачи. Выходной сигнал v2 в сочетании
с входным сигналом создает „сигнал ошибки" ve, пропорцио-
нальный разности между действительным выходным сигналом va и
требуемым выходным сигналом К$)х. По существу действитель-
ный выходной сигнал измеряется и сравнивается с требуемым
выходным сигналом. Величина информации, полученная из этого
сравнения, подается обратно на вход
ненадежного элемента, где она скла- и ~ J______qc г
дывается с входным сигналом \j /
и создает „исправленный входной \
сигнал" vc. I
Если К меньше номинальной ве- —*** - —
личины KQ, то сигнал ошибки ve ие ^0
положителен и поправка, очевидно,
имеет такую полярность, что
она приближает выходной сигнал
к требуемому значению. Поэтому
Фиг. 1. Автоматическое регу-
лирование коэффициента пере-
дачи.
для осуществления требуемого регулирования нужно иметь отрица-
тельный коэффициент передачи контура (—KAfK^. Кроме того, чем
больше величина А, тем точнее регулирование. При очень боль-
шом А малейшая разность между действительным и требуемым выход-
ными сигналами произведет заметный сигнал поправки Аие, и, следо-
вательно, система должна вести себя как 'надежный усилитель с уси-
лением напряжения KQ.
При этом подразумевается, что успешное действие всей схемы
основано на том, что: 1) чувствительные элементы и элементы обратной
связи (пунктирные ветви) надежны, но сравнительно недороги, так
как они не работают на высоких уровнях мощности; 2) регулируе-
мый элемент передачи К является мощным и сравнительно дорогим,
но несовершенным или ненадежным. Достаточно надежный элемент
передачи с такой же пропускной способностью по мощности, как /С
был бы значительно более дорогим, чем К. Иначе говоря, вопрос сво-
дится в конце концов к экономике, как и все задачи проектирования.
Коэффициент передачи на основании фиг. 1 можно выразить как:
(!+>*)/<
и, — 1+(АК/К0) ’
(1)
а при большом А
<2>
откуда видно, что коэффициент передачи при достаточно большом А
по существу не зависит от /С Заметим также, что когда коэффи-
циент передачи /С близок к /Со, он стремится к KQ тем быстрее, чем
больше А.
Фиг. 2. Линейная система с отрицательной обратной связью
Фиг. 8. Коэффициент передачи с обратной связью (v2/vj) как функция
коэффициента передачи без обратной связи (v2/ve = АК).
Пунктирная кривая для #д=оо (без обратной связи).
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
569
На фиг. 2, а представлена основная схема отрицательной обрат-
ной связи. Этот упрощенный вариант схемы фиг. 1 получается
после исключения ветви ввода сигнала между и vc.
В этом случае входной сигнал элемента передачи К состоит
полностью из поправочного сигнала Ave. Коэффициет передачи
v2 _ АК
v, — 1 + (AKIK.) '
При большом А
(3)
(4)
(5)
направление
и в пределе
~->^o ПРИ Л->оо.
Полученный результат можно пояснить, и
сигналов в контуре обратной связи, так что получится эквивалентный
граф, изображенный на фиг. 2, б. При большом А пунктирные ветви
здесь можно не учитывать, и остается простой путь с коэффициен-
том передачи KQ (при безграничном увеличении коэффициента пере-
дачи первоначального контура коэффициент передачи инвертирован-
ного контура стремится к нулю). На фиг. 3 показан общий вид
функции (3). При большом АК, скажем больше 1ОКо, коэффициент
передачи v2/vi становится по существу нечувствительным к измене-
ниям К.
9.3. Регулирование нелинейной системы
передачи
Рассмотрим теперь влияние обратной связи в нелинейном усили-
теле (фиг. 4, а), описываемом кривой передачи v2 = f (фиг. 4, б).
Нелинейность характеристики усилителя, не имеющего обратной
связи (/C0 = oo), вызовет заметное искажение сигналов, когда ампли-
туда выходного сигнала больше приблизительно V/2.
Сперва можно подумать, что нужно увеличить линейный диапазон
усилителя, повысив уровень насыщения. Однако от уровня насыщения
мощного каскада зависит стоимость усилителя. Например, в лампо-
вом или транзисторном усилителе уровень насыщения определяется
напряжениями питания, которые в свою очередь ограничены нормами
рассеиваемой мощности в элементах схемы. Может оказаться, что
экономичнее расширять линейный динамический диапазон выходного
сигнала v2 путем введения обратной связи и сравнительно недорогого
предварительного линейного усиления А на низком уровне мощности.
38 Зак. 1115
570
ГЛАВА 9
Уравнения системы следующие:
^2 = /<Ч)> (6)
vc = Avi — (A/Kq) v2. (7)
График второго уравнения (7) в плоскости v2 — vc представляет
собой прямую с отрицательным наклоном К^А, изображенную
Фиг. 4. Отрицательная обратная связь, охватывающая нелинейный
элемент /.
на фиг. 4, в, а пересечение этой прямой с кривой (6) в точке р дает
совместное графическое решение этих двух уравнений. При изменении
„параметра" „прямая обратной связи" (7) переместится парал-
лельно самой себе, создавая различные пары значений KQvt и v2. Из
графического построения очевидно, что KqVx и v2 при большом А
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
571
примерно одинаковы, если Krfvx не превышает уровня насыщения V.
Если пытаться увеличить выходной сигнал v2 выше этого уровня, то
это приведет лишь к увеличению сигнала ошибки ve и к тому, что
общая характеристика передачи или кривая v2 в зависимости от vx
будет иметь резкий перегиб при насыщении, как показано на фиг. 4, г.
Однако в границах, устанавливаемых насыщением, применение пред-
варительного усилителя и отрицательной обратной связи приводит
к линеаризации первоначальной нелинейной характеристики и,
следовательно, к расширению динамического диапазона системы.
Г7
Фиг. 5. Пример применения инверсии характеристики обратной связи.
Другими словами, при заданной амплитуде выходного сигнала пред-
варительное усиление и обратная связь уменьшают искажение вто-
рого сигнала.
Если выходным сигналом системы считается vct а не v2, то не-
линейный элемент f нужно рассматривать как часть контура обрат-
ной связи, охватывающего элемент усиления в прямом направлении А.
Подобно тому как появление множителя 1//С0 в контуре обратной
связи приводит к тому, что общий коэффициент передачи системы
становится пропорциональным обратной величине этого множителя /Со,
наличие нелинейной зависимости в контуре обратной связи приводит
к тому, что общая характеристика получает изгиб противоположного
направления, как видно из кривой передачи vx— vc на фиг. 4, д.
При достаточно большом А функция vc = g (K{}vx) является по суще-
ству обратной функции v2 = f (vc), т. е- функция v2 = f[g (A^i)]
38*
572
ГЛАВА 9
приблизительно линейна. Если кривая передачи усилителя (v2 в зави-
симости от vc) имеет выпуклость вверх, то „характеристика регулиро-
вания" (vc в зависимости от t/j) должна быть выпуклой вниз, для
того чтобы кривая передачи системы (v2 в зависимости от vj была
приблизительно линейна.
На фиг. 5 показан другой пример инверсии характеристики обрат-
ной связи. Предположим, что необходимо восстановить первоначаль-
ный входной сигнал по выходному сигналу v2 нелинейного эле-
мента /. Включив второй такой же элемент в контур обратной связи
второй системы и соединив его последовательно с первым, как на
фиг. 5, а, получим выходной сигнал г/3, являющийся почти точным
воспроизведением сигнала vv Графическое построение на фиг. 5, б
показывает, что при увеличении А ошибка ve уменьшается и, следо-
вательно, v3 приближается к vv
9.4. Регулирование линейной передаточной
функции, зависящей от частоты
При анализе системы, изображенной на фиг. 2, а, коэффициент
передачи К рассматривался как параметр, подверженный случайным
отклонениям по множеству систем или регулярным отклонениям вслед-
ствие ухудшения и старения элементов. Было показано, что влияние
этих изменений можно устранить путем предварительного усиления и
применения отрицательной обратной связи. Поскольку это относилось
к линейной системе, можно ожидать, что то же самое будет иметь
место и для передаточной функции К (5), зависящей от частоты.
Рассмотрим сначала простой пример и предположим, что К — иде-
альный интегратор, изображенный на фиг. 6, а. Передаточная функция
V2 __ А/S __ KQ
Vi ~ 1 + (A/Kos) 1 + (Kq/A) s ’
и из нее непосредственно получается частотная характеристика
(фиг. 6, 0 для устойчивого состояния (s = /u)). При увеличении
коэффициента предварительного усиления полоса частот (А/Kq) рас-
ширяется. В пределе при бесконечно большом А передаточная функ-
ция становится одинаковой на всех частотах (Kq). Таким образом,
благодаря предварительному усилению и не зависящей от частоты обрат-
ной связи передаточная функция становится не зависимой от частоты
в диапазоне частот, в котором коэффициент передачи контура велик
по сравнению с единицей. Частотная зависимость контура обратной
связи вызывает такой же обратный перегиб передаточной функции
системы, как и нелинейность контура обратной связи. На фиг. 7, а
показано построение приближенного дифференциатора при помощи
обратной связи с идеальным интегратором. Передаточная функция
V? _________________________А s zq
Vi 1 + (А/s) 1 + (s/A) k >
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
573
имеет нуль в начале координат и полюс в точке —А в комплексной
плоскости s (фиг. 7, б). Поэтому следует ожидать, что система будет
производить точное дифференцирование любого входного сигнала,
спектр которого значительно ниже частоты А, скажем | <о | < А/5.
Фиг. 6. Влияние отрицательной обратной связи на частотную характе-
ристику.
При безграничном увеличении А передаточная функция приближается
к передаточной функции идеального дифференциатора, равной $.
На фиг. 8, а представлена схема, применяемая в усилителях
напряжения с большим значением Q (для передачи очень узкой полосы
-1/s
а 6
Фиг. 7. Приближенное дифференцирование путем интегрирования в цепи
отрицательной обратной связи.
частот). Передаточная функция цепи обратной связи [(s2+ 1)/($+ I)2]
имеет простые нули на оси Ju), как показано на фиг. 8, б, а пере-
даточную функцию системы можно выразить в виде
____________А_________ __ Л(5+1)2 ( Л \
У1- 14-Л[($2+!)/($+1)2J ” (s_S1)(s_s2) U+M’ ( ?
574
ГЛАВА 9
где и s2—полюсы, указанные на фиг, 8, в. При увеличении уси-
ления в прямом направлении А добротность системы Q безгранично
увеличивается. На практике коэффициент передачи с нулями на оси
можно построить как относительно простую нелинейную цепь, на-
пример в виде двойного Т-образного фильтра (в этом случае двойной
полюс, изображенный на фиг. 8, б, нужно заменить двумя раздель-
ными простыми полюсами на отрицательной действительной оси).
Следовательно, система с обратной связью, изображенная на фиг. 8, а,
Фиг. 8. Реализация частотной характеристики с большим значением Q
посредством избирательной нулевой передачи в цепи обратной связи.
а— система; б —расположение нулей и полюсов в цепи обратной связи; в —расположение
нулей и полюсов системы.
может оказаться более экономичной, удобной й надежной, чем схема
прямого усиления с резонансным контуром без обратной связи. Заме-
тим, что при большом А расположение полюсов в смысле близости
к осц /о) не очень сильно зависит от значения А, поэтому при расчете
не требуется давать очень строгие допуски на величину А.
На фиг. 7 и 8 показана приближенная инверсия передаточной ,
функции, реализуемая с помощью включения этой функции в цепь
отрицательной обратной связи системы. Схема работает хорошо,
если система устойчива. Рассмотрим, например, такое предложе-
ние: создать отрицательную задержку, включив идеальную положи-
тельную задержку ехр (—5) в цепь обратной связи, как показано на
фиг. 9, а. (Эта схема относится к той же категории, как и вечный
двигатель: возможность идеальной отрицательной задержки, т. е.
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
575
идеального предсказания, разрушила бы основы науки.) Ответ на
это предложение простой: коэффициент передачи системы
______ {11)
У! 1Ц-Лехр(— s)
становится неустойчивым (с полюсами в правой полуплоскости s и,
следовательно, с нарастающей импульсной характеристикой), когда
Фиг. 9. Неудачная попытка создать отрицательную задержку путем вклю-
чения идеальной положительной задержки в цепи обратной связи. Неудача
вызвана неустойчивостью.
модуль А превышает единицу, что видно из расположения полюсов
на фиг. 9, б. Отрицательную задержку, т. е. передаточную функцию
exp(s), можно построить приближенно в ограниченном диапазоне
частот, но идеальная положительная задержка неосуществима.
9.5. Регулирование нелинейной передаточной
функции, зависящей от частоты
Когда в системе контур обратной связи содержит нелинейные
элементы и зависящие от частоты линейные элементы, то остается
в силе общее правило,- подсказываемое предыдущими примерами,
а именно большой отрицательный
коэффициент передачи контура при-
водит к тому, что передаточная
функция системы становится пропор-
циональной обратной величине коэф-
фициента передачи цепи обратной
связи при условии сохранения устой-
чивости.
Численное решение общей за-
дачи анализа или синтеза системы
Фиг. 10. Отрицательная
обратная связь, охватывающая
элемент, зависящий от частоты,
с нелинейным коэффициентом
передачи.
затруднительно, однако во многих частных случаях задача разре-
шима. Это относится, например, к системе, изображенной на фиг. 10.
Допустим, что имеется синусоидальный сигнал на входе предвари-
тельного усилителя низких частот, имеющего передаточную функцию
576
ГЛАВА 9
A (/(d), пропускающего основную частоту с коэффициентом усиле-
ния Л, но не пропускающего все высшие гармоники, и имеется также
нелинейный элемент /, который можно выразить приближенно кубич-
ным уравнением. Таким образом,
= l/jcos^, (12)
v2 = У2 cos t, (13)
<и3 — cos31 ~ V* cos t + 4 cos 3zj, (14)
где V\ задано, a V2 еще не определено. Из этих допущений и струк-
туры линейного графа следует, что
V2 = А ('Л — 4 ^2) c°s t, (15)
откуда
Если велико, то
(17)
И
т/2 ~ (4 Vi)'cos (18)
v3 ж у Vr cos31 = V1 cos + 4 cos (19)
ve — 4 V\ cos ЗЛ (20)
Заметим, что амплитуда выходного сигнала v3(t) пропорциональна
амплитуде входного сигнала V\. Это показывает, что обратная связь
приводит к линеаризации. Однако контур обратной связи по суще-
ству размыкается на частоте третьей гармоники. Сигнал ошибки ve (t)
приводит к искажению сигнала v2(t) противоположного направления,
которое привело бы к уменьшению искажения выходного сигнала
третьей гармоники, но этому препятствует заданная частотная избира-
тельность функции A (/(d).
При меньших значениях А кубичное уравнение (16) нужно ре-
шить относительно V2 и выразить V2 через Vv На практике нели-
нейная функция, связывающая амплитуды основной частоты v2 и т/3,
может быть получена из опыта, и из нее можно найти графически
решение для любого Аг точно таким же построением, как показано
на фиг. 4, в. Итак, если фильтрующее действие цепи обратной связи
таково, что на нелинейный элемент поступает чисто синусоидальное
колебание, то задача сводится по существу к построению не завися-
щей от частоты и не имеющей памяти цепи обратной связи и не-
линейной зависимости между составляющими основной частоты на
входе и выходе нелинейного элемента.
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ связи
577
9.6. Уменьшение шума и искажений
Фиг. 11. Изображение системы
с шумом в виде бесшумной системы
с дополнительными генераторами
шума.
Действие шума в системе передачи можно представить схемой,
изображенной на фиг. И, а. Шум, возникающий в электронных
системах, обусловлен тепловым движением электронов в сопротивле-
нии (тепловой шум), дискретной природой заряда, переносимого
электронным током (дробовой шум), случайными флуктуациями кажу-
щейся „проводимости" накаленного катода или полупроводника (фли-
кер-эффект) или вызван другими
физическими процессами, создаю-
щими независимую случайную со-
ставляющую сигнала.
Отношение сигнала к шуму на
выходе системы служит показа-
телем качества системы, ибо при
слишком большом шуме распо-
знавание сигнала, очевидно, ста-
новится затруднительным. Если
сигнал и шум имеют неперекры-
вающиеся спектры, шум можно
устранить простой фильтрацией.
В области, где спектры перекры-
ваются, имеются лишь два спо-
соба улучшения отношения си-
гнала к шуму: увеличение сиг-
нала и уменьшение шума.
На фиг. 11, а показана линей-
ная система передачи, на входе и
на выходе которой неизбежно добавляется шум. На вход поступает
сигнал а выходная величина, содержащая сигнал и шум, есть
г»2 = л2. (21)
Выходное отношение сигнала к шуму по мощности, если пх и п2
ортогональны друг к другу и к сигналам, равно
(Л2*2)**
(Л2/<2) п\ +
(22)
Увеличивая предварительное усиление А, можно устранить дейст-
вие п2» но не так как ni представляет собой часть входной
величины системы (^H-^). Устранение действия п2 является просто
следствием увеличения выходного сигнала.
Допустим теперь, что выходной элемент К работает уже при
максимальном допустимом уровне мощности, так что всякое уве-
личение предварительного усиления сигнала приведет к перегрузке
578
ГЛАВА 9
выходного каскада и к превышению допустимой нормы нагрузки
или к чрезмерному искажению. Тогда следует ввести обратную связь
и требовать от нее, чтобы она поддерживала постоянный выходной
уровень при увеличении предварительного усиления А. . Параметр
обратной связи (1—А)/А/( (фиг. И, д') является функцией от Л,
выбранной так, чтобы коэффициент передачи v2/sx не зависел от Л.
Из линейного графа находим после упрощений
•u2 = K(s1 + n1)-\--^n2, (23)
t’c = si+(^^-)«2- (24)
При большом положительном Л эти выражения приводятся к сле-
дующим:
V2 ~ К ($! + пх), (25)
vc-sx-^nx — 4 д2- (26)
Отметим, что в выражение, определяющее vc, входит шум (—п21К)
с обратным знаком, как раз компенсирующий шум п2, возникающий
в выходной цепи, так что в v2 остается только шум /СДр
При надлежащем истолковании приведенные выше результаты
можно применить как к шуму, так и к искажениям. Нелинейные
искажения можно рассматривать в качестве шума, зависящего от
уровня выходного сигнала нелинейного элемента. Поэтому, если выход-
ной усилитель, изображенный на фиг. ll,d, является нелинейным,
можно представить его в качестве линейного усилителя К и генера-
тора искажения п2, шум и искажение представляют „загрязнения"
сигнала, и они могут быть учтены добавочным генератором, который
вносит искажения в линейную однородную схему. Введение „генера-
тора искажения" полезно главным образом тогда, когда степень иска-
жения не очень велика, ибо тогда генератор сигнала искажения
остается по существу тем же самым при изменении параметра Л,
указанного на фиг. 11, б.
Изображение начинающегося нелинейного процесса линейной схе-
мой, содержащей „генератор искажения", позволяет распространить
выводы линейной теории обратной связи на системы, являющиеся по
существу нелинейными. Схема с обратной связью, у которой пере-
даточная функция мало чувствительна к изменениям коэффициента
передачи линейного элемента, позволяет уменьшить искажения, поя-
вляющиеся в тех случаях, когда этот элемент становится нелинейным.
В частности, отрицательная обратная связь уменьшает искажение на
величину, равную единице минус коэффициент передачи контура
обратной связи, если для поддержания уровня выходного сигнала
вводится предварительное усиление. В схеме на фиг. 11, б коэффи-
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
579
циент передачи контура равен 1 — А, а возвратная разность равна
А. При вычислении коэффициента передачи цепи обратной связи,
рассматриваемой в качестве линейной системы, полагаем, что
представляет собой в некотором смысле „наилучшую линейную аппро-
ксимацию" действительного нелинейного элемента, приводящую
к наименьшему среднему квадрату сигнала генератора искажения..
Величину обратной связи часто бывает удобно выражать в деци-
белах. По определению обратная связь в децибелах равна Fq6 =
= — 20 1g 11 — L |, где L — коэффициент передачи. „Отрицательная
обратная связь" будет тогда, когда Fq6 отрицательно, а „положи-
тельная обратная связь", когда F^ положительно. Поэтому в схеме
с одним контуром обратной связи, с коэффициентом передачи в пря-
мом направлении, равным Р> и коэффициентом передачи контура,
равным L, общий коэффициент передачи Т в децибелах можно выра-
зить в виде Тдб=Рдб~\-Рдб-
9.7. Чувствительность
Чувствительность выходного сигнала системы к изменениям эле-
ментов играет важную роль при проектировании. В системах с обрат-
ной связью чувствительность вдвойне важна, в частности, если запас
в
Фиг. 12. Приведение к первичному графу. Показано влияние изменений
заданного коэффициента передачи ветви.
устойчивости невелик и небольшое изменение элементов может вы-
звать самовозбуждение.
С помощью линейного графа можно выразить влияние изменений
данного элемента системы на общий коэффициент передачи. На
фиг. 12, а представлен произвольный линейный граф с выделенной
580
глава g
ветвью g. Все другие ветви и узлы (за исключением входных и выход-
ных узлов) находятся внутри блока. Можно ввести внутренний узел
в ветвь g, заменив g цепочкой из двух ветвей (1 и g) с произведе-
нием коэффициентов передачи, равным gt как показано на фиг. 12, б.
После ликвидации всех других узлов (за исключением источника
и стока) остается общий граф на фиг. 12, в. Коэффициент передачи
7'=7’о + Г^Г. (27)
Величины Р и L содержат множитель gt но Т(} не имеет этого
множителя (То есть значение, которое принимает Т при g, равном
нулю). Из уравнения (27) можно вычислить чувствительность Т
к изменениям g. Чувствительность определяется по формуле
с _ дт!т zoox
д log(g) ~ dglg • (28)
Чувствительность Sg равна относительному изменению Т, выз-
ванному малым относительным изменением g. Можно также опре-
делить относительную чувствительность
S(Г — То) = log (Г-Г,) • (29)
и/ д log g 7
Относительная чувствительность служит мерой влияния g на ту часть Г,
которая становится равной нулю при g, равным нулю.
Подставляя уравнение (27) в (29) и учитывая, что Р и L содержат
множитель g, получим
с (Т__т \ — & — 1-4- — * (30)
7о)— dlog(^) ~ 1 + 1-Z. — 1-Z. ’
Но, поскольку Т—Т0 = Р/(\—L) и
<Hog(7-7o)__ Т
<Hog(7) “Г-Го’ 1 '
можно разделить уравнение (30) на (31) и получить
Sg(T)= . (32)
Существуют два способа сделать Т нечувствительным к изменениям g.
Один способ состоит в проектировании системы таким образом,
чтобы Т было равно То, но это решение тривиально. При Т, рав-
ном То, коэффициент передачи не зависит от g; ветвь g по суще-
ству отсоединена от остальной системы, подобно сопротивлению
индикатора в уравновешенной мостовой схеме. Другой способ умень-
шения чувствительности состоит в установлении большого отрицатель-
ного коэффициента передачи L контура, охватывающего элемент g.
Если g — ненадежный, но мощный элемент, используемый для усиле-
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
581
ния мощности в главном пути передачи системы, то отрицательная
обратная связь в элементе g приводит к тому, что чувствительность
становится меньше единицы.
Для системы, содержащей несколько последовательных каскадов
в виде а и Ь, изображенных на фиг. 13, иногда бывает удобно
ввести положительную местную обратную связь в каждом каскаде и
отрицательную общую обратную связь, охватывающую весь прямой
Фиг< 13. Применение положительной частной обратной связи и отрица-
тельной общей обратной связи для подавления искажений или шума,
вносимых в выходную точку.
путь передачи. На фиг. 13 граф нормирован так, чтобы величины а
и b были равны единице. Исследуем теперь влияние изменений а и b
на коэффициент передачи
У ^5
Коэффициент передачи Т
ab
1 — а — b — 2аЬ ’
является функцией от а и b
(33)
T = f(a, b). (34)
Из рассмотрения (13) находим
/(1, 1)^1. (35)
f(a, 1)^1, (36)
/(1, ^)^1, (37)
/(0,9, 0,9) = 0,988. (38)
При a = b— 1 коэффициент передачи такой же, как и без обрат-
ной связи (положительная обратная связь увеличивает коэффициент
передачи, отрицательная обратная связь уменьшает его, и воздействия
взаимно уничтожаются). Но чувствительность к изменениям а и bt
очевидно, гораздо меньше, чем без обратной связи. В частности,
= 1 —а+[а6/(1 —*)] (39)
“ Sa(T)=^~- при а=1, (40)
Sa(T)==0 при Ь—\. (41)
582
ГЛАВА 9
Коэффициент передачи контура, охватывающего л, при Ь, равном
единице, бесконечно велик вследствие местной положительной обрат-
ной связи, охватывающей Ь.
Уравнение передачи (33) можно переписать в виде
Функция (1/Т)—1, построенная в виде поверхности над плос-
костью с координатами (1/а)— 1 и(1/6)— 1, имеет точку провала в на-
чале координат, где поверхность плоская. Плоская окрестность точки
провала также отражает нечувствительность функции (1/Т) — 1 и, сле-
довательно, и Т к изменениям а и b около значения, равного единице.
На фиг. 13 показан источник искажения или шума, который про-
изводит сигнал в точке выхода v5. Из рассмотрения графа находим
— = — J ПрИ а — 1 (43)
vd 1 — а — b + 2ab r v 7
— =-----=------*, - о.., = — 1 при а = b = 1. (44)
vd 1 — а — b -f- 2ab н 4 7
Таким образом, обратная связь подавляет шум или искажение,
создаваемое в конечном каскаде, которые появляются не на выходе,
а в виде поправочного сигнала в точке v2.
9.8. Регулирование сопротивления
Если коэффициент передачи является входным сопротивлением
или входной проводимостью, то общее выражение (27), показыва-
ющее влияние данной ветви g на коэффициент передачи Т, можно
представить в более удобной форме. На фиг. 14, а изображена схема,
имеющая входное сопротивление v/l и содержащая параметр кру-
тизны 5, изображенный на фигуре в виде внешнего элемента,
соединенного с остальной схемой. При определении или интер-
претации коэффициентов передачи ветвей графа (фиг. 14, б) удобно
временно пренебречь крутизной, связывающей сеточное напря-
жение eg с источником тока geg. Тогда остальную часть схемы питают
временно два независимых источника: v и geg. Они вызывают напря-
жение е' и ток Z, как показано четырьмя сплошными ветвями
на фиг. 14, б. Для восстановления условия (eg = е'^ добавляем к графу
ветвь g. Заметим, что граф на фиг. 14, б по существу такой же,
как граф на фиг. 12, в, и после ликвидации узла e'g или узла geg
он сводится к графу фиг. 12, в.
Инверсия ветви от v к I в графе, изображенном на фиг. 14, б,
приводит к другой форме графа (фиг. 14, в), более удобной для иссле-
дования входного сопротивления. В графе на фиг. 14, в коэффициент
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
583
передачи ветви Zo равен величине сопротивления v/l, когда g равно
нулю. Из рассмотрения графа находим
^ = z = z0( J Li ).
Z У 1 Zq Z»2 /
(45)
Также из рассмотрения графа определяем
Lx — коэффициент передачи контура обратной связи, охваты-
вающего g при короткозамкнутом’узле (46)
Фиг. 14. Построение графа для вычисления входного сопротивления.
Lx-\-L2 — коэффициент передачи контура обратной связи, охваты-
вающего g, когда узел I разомкнут. (47)
Следовательно,
z=z»(4^r). <48>
где т — коэффициент передачи контура обратной связи элемента g,
а индексы к. з и х. х означают соответственно короткое замыкание
и холостой ход на той паре зажимов, где измеряется Z.
Таким образом, можно сравнительно легко вычислить Zo, тк 3
и тх х путем рассмотрения схемы, и отсюда найти значение вели-
чины Z.
Формула чувствительности (32) и формула сопротивления (48)
показывают ценность понятия „коэффициента передачи контура обрат-
ной 'Связи, охватывающего ветвь линейного графа" (см. разд. 4.10).
584
ГЛАВА 9
9.9. Условия устойчивости
Для осуществления большого отрицательного коэффициента пере-
дачи контура обратной связи в некоторых случаях нужно применять
несколько каскадов усиления в прямом направлении. Каждый каскад
электронного усилителя неизбежно содержит реактивное сопротивление,
например межэлектродную емкость, которая создает фазовый сдвиг
на частотах, лежащих’выше передаваемой полосы частот. Емкостно-
реостатная связь между каскадами создает фазовый сдвиг на часто-
тах, лежащих ниже передаваемой полосы частот. Поскольку полный
фазовый сдвиг равен сумме фазовых сдвигов отдельных каскадов,
можно легко получить отрицательный действительный коэффициент
передачи контура обратной связи в требуемой полосе частот и поло-
жительный действительный коэффициент передачи (добавочный фазо-
вый сдвиг (180°) на частоте, лежащей вне этой полосы).Если модуль
положительного коэффициента передачи превышает единицу, система
должна быть неустойчивой. Точнее, если передаточная функция L(s)
принимает значение, равное единице, где-нибудь на оси или
то система неустойчива, так как точки,
в которых передаточная функция контура
равна единице, представляют полюсы
передаточной функции системы. Однако
исследовать всю правую полуплос-
кость s не нужно.
Как показано в следующем примере,
можно выразить передаточную функ-
цию L(s) в виде произведения устой-
характеристики и действительного мас-
в правой полуплоскости $,
Фиг. 15. Граф усилителя
с обратной связью.
чивой амплитудно-частотной
штабного множителя; если система с обратной связью устойчива
при малых величинах масштабного множителя контура и если
амплитудно-фазовая диаграмма устойчивой передаточной
функции контура проходит через точку -]-1 при возра-
стании масштабного множителя от нуля до номинального
значения, то, как известно, полюс передаточной функции си-
стемы переходит через ось /ю в правую полуплоскость s и си-
стема становится неустойчивой. Это так называемый крите-
рий устойчивости Найквиста.
На фиг. 15 представлен граф для системы с отрицательной обрат-
ной связью, у которой функция передачи в прямом направлении Л($)
является функцией частоты. Положим, что
(49)
Граф и функция (49) соответствуют, например, эквивалентной схеме
усилителя с обратной связью на фиг. 16,6, каждый каскад которого
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ связи
585
имеет эквивалентную схему, изображенную на фиг. 16, а. Для про-
стоты (и без ограничения общности) можно положить в уравнении (49)
<1)0 = 1. Передаточная функция
-^ = //($) = —. (50)
Vj v 7 1 + A (s) '
Следовательно,
К4
Н^= (s+iy + K4- (51)
Найдем положения полюсов sp передаточной функции, в которых
коэффициент передачи контура равен единице, а функция Д($) равна,
следовательно, —1,
H(sp) = co, (52)
Л(«р) = -1. (53)
В этом примере уравнение (53), хотя и является уравнением
четвертой степени относительно sp, настолько просто, что положение
Фиг. 16. Эквивалентная схема усилительного каскада (а) и функциональ-
ная схема усилителя с обратной связью (6),
полюсов можно найти непосредственно, решив это уравнение отно-
сительно sp,
sp = -l+(-l)’A^ (54)
Положения полюсов в комплексной плоскости s указаны на фиг. 17.
Из рассмотрения этой фигуры видно, что система неустойчива
при а это означает, что модуль коэффициента передачи
контура на низких частотах (К4) должен быть меньше 4.
К тому же выводу можно прийти и не определяя точных поло-
жений полюсов. На фиг. 18, а представлена амплитудно-фазовая
586
ГЛАВА 9
диаграмма функции Д(/ю) при возрастании со от 0 до -f- оо. Эта
диаграмма, называемая обычно диаграммой Найквиста, представляет
собой отображение кривой в плоскости 5, а именно положительной
оси /о), на плоскость А. Поскольку функция Д($) аналитическая,
то можно представить ее рядом Тейлора относительно некоторой
точки $0
Л($) = а0 + а1($ — $0)-|-а2($ — $0)2+ ... (55)
При малом смещении
&s = s — s0 (56)
члены высшего порядка малы, а соответствующее смещение А равно
ДД = А ($) — а0 a^s. (57)
Таким образом, как показано на фиг. 17 и 18, а с помощью
сеток из кривых abed и efgh, малый участок плоскости s отобра-
жается в малый участок плоскости А без искажения. Такое отобра-
жение называется конформным. При конформном отображении малый
квадрат преобразуется в малый квадрат, а не в прямоугольник или
ромб. Кроме того, при отображении никогда не происходит инверсий:
малое перемещение точки в плоскости s вдоль окружности по часо-
вой стрелке отображается на плоскость А в виде малого переме-
щения вдоль окружности также по часовой стрелке, а не против
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
587
часовой стрелки. Относительное увеличение и поворот при локальном
отображении определяется модулем и углом комплексной постоян-
ной ах в уравнении (57), которая представляет производную dA (s)/ds
при $, равном $0.
Фиг. 18. Частотные годографы функции А (/со) (а) и функции [ А (7<*>)]1/4 (б).
Сравним теперь фиг. 17 и 18, а, когда /< возрастает. Представим,
что наблюдатель стоит на оси /ю в точке р (фиг. 17) и смотрит
в направлении положительной частоты ю, т. е. на север. При увели-
чении /< полюс функции H(s) приближается к нему с юго-запада,
проходит через точку р и удаляется на северо-восток. На фиг. 18, а
происходит отображение наблюдателя, расположенного в точке р и
смотрящего по диаграмме Найквиста в направлении положительной
588
ГЛАВА 9
частоты ю, т. е. на север. При увеличении К точка р движется
вместе с расширяющейся диаграммой Найквиста. С точки зрения
движущегося наблюдателя критическая точка (—1) приближается
с юго-запада, проходит через точку р и удаляется к северо-востоку.
По существу можно начертить диаграмму Найквиста для функции
A а не Л (ую), тогда при увеличении К график был бы непод-
вижным, а новая критическая точка —1/К4 двигалась бы слева
по отрицательной действительной оси.
На фиг. 18, б показан другой способ построения диаграммы
Найквиста, удобный для случаев, когда все каскады усиления имеют
одинаковые частотные характеристики. Здесь нанесен корень четвертой
степени из Л (у со) и вместо одной критической точки (—1) указаны
четыре корня четвертой степени из —1. Преобразование у = АГ,/<
является аналитическим и, следовательно, конформным, поэтому на-
блюдатель в точке р при увеличении К видит то же самое.
Между прочим, .можно также начертить коэффициент передачи
контура (—Л), имеющий критическую точку -|-1, или возвратную
разность (1—j—Л), у которого критическая точка расположена
в начале координат. В любом случае заключаем, что конформность
приводит к критерию устойчивости Найквиста и устойчивая ампли-
тудно-частотная характеристика коэффициента передачи контура
содержит необходимую информацию об устойчивости системы, если
известно, что система устойчива при малом коэффициенте обратной
связи.
Сплошные кривые на фиг. 19 изображают усиление и фазу функ-
ции Л(» при К =10. При возрастании ю фаза 9 достигает —к
раньше, чем модуль |Л| уменьшается до единицы. Следовательно,
диаграмма Найквиста охватывает критическую точку и система неустой-
чива.
Если необходимо поддерживать К равным 10, то для сохранения
устойчивости нужно пожертвовать шириной полосы частоты. Здесь
изложен один из способов изменения частотной характеристики четырех
каскадов усиления. Пусть новая функция
A' ($) = . . , ..., (58)
v 7 (s +а) ($ + b)3 '
где
а < b (59)
и
а£3=1. (60)
В схеме на фиг. 16 функцию Л (s) можно превратить в A'(s)
путем увеличения параллельного активного сопротивления R одного
каскада и уменьшения параллельного сопротивления других трех
каскадов, причем общее усиление на низких частотах (K^jab3) под-
держивается постоянным. Параметр К равен произведению усиления
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
589
на ширину полосы g/C одиночного каскада и считается фиксиро-
ванным.
На фиг. 20 представлены диаграммы Найквиста и расположение
полюсов функции A' (s) при а, значительно меньшем Ь. При возра-
стании о) от нуля вектор га на фиг. 20, 6 становится почти верти-
кальным, прежде чем вектор гь заметно отойдет от горизонтальной
Фиг. 19. Характеристики усиления и фазы.
__#</($ +1)4;--------к</($ + а)($ + *)8, e6»z=l.
оси. Соответственно этому диаграмма Найквиста (фиг. 20, а) быстро
проходит приблизительно полуокружность, прежде чем фазовый сдвиг
под действием гъ начнет возрастать. Это видно из сопоставления
фиг. 18, а и 20, а. На характеристиках усиления и фазы на фиг. 19
пунктирные линии показывают начальное уменьшение усиления одного
каскада, начинающееся в точке а, и соответствующее фазовое от-
ставание тг/2, которые продолжаются до тех пор, пока | А | не
39 Зак. 1115
590
ГЛАВА 9
уменьшается до единицы. После этого в точке b можно допустить,
что кривые трех остальных каскадов пойдут вниз. Поскольку фаза 9
достигает — тг/2 после того, как модуль падает до единицы (жирная
точка), система является устойчивой.
Фиг. 20. Частотный годограф (а) и расположение полюсов функции
Л' ($)(*)•
Максимальное допустимое значение а при данном К можно вы-
числить приближенно следующим образом. Пусть п — число каскадов
и о>1 — частота, при которой |Д| = 1. Полагая а находим
из уравнения (58)
К4 К*а
(61)
1
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
591
Когда углы между га и гь (фиг. 20, б) и вертикальной и горизон-
тальной осями соответственно не очень велики и а) = о)р можно
написать
— 0 (угол re) + (п — 1) (угол гь), (62)
<63>
Пренебрегая малым членом (а/ю^ и полагая 0 = — тс, исключая cDt
с помощью соотношения (61) и учитывая, что abn~1=l, находим
п-1
«-'«-[ 2(^1)] " • (М)
Следовательно, в этом примере допустимая ширина полосы а
коэффициента передачи контура примерно обратно пропорциональна
модулю (Кп) коэффициента передачи контура на низких частотах.
Аппроксимация (64) обычно применяется при малом п или при
малом /С Величина а, указанная на фиг. 19, определяется прибли-
женно соотношением (64).
При любом способе изменения характеристик коэффициента пере-
дачи контура получится некоторое ограничение эффективного произ-
ведения усиления на ширину полосы, налагаемое требованиями
устойчивости, если асимптотическая зависимость коэффициента передачи
контура на высоких частотах определяется паразитным реактивным
сопротивлением или каким-нибудь другим не зависящим от нас
фактором.
Если фазовые сдвиги получаются также на частотах ниже пере-
даваемой полосы частот, то во избежание самовозбуждения на низких
частотах нужно подобным же образом изменить характеристики пере-
дачи контура на низких частотах.
9.10. Устойчивость произвольного графа
Произвольный граф, у которого коэффициенты передачи всех
ветвей являются устойчивыми функциями, устойчив только тогда,
когда все нули определителя графа А($) лежат в левой полуплос-
кости s. Коэффициент передачи графа Т = где Рк,
и А — суммы произведений коэффициентов передачи ветвей. Если
по условию коэффициенты передачи всех ветвей устойчивы, то полюсы
функции Т ($) в правой полуплоскости могут происходить только
от нулей А($), лежащих в правой полуплоскости. Следовательно,
диаграмма Найквиста функции Д (у’а>), имеющая критическую точку
в начале координат, дает нам требуемые сведения об устойчивости.
Для системы с несколькими контурами определитель А нельзя
прямо представить в виде разности, состоящей из единицы и некоторой
39*
592
ГЛАВА 9
передаточной функции контура, которая в принципе может быть
найдена опытным путем. Поэтому может оказаться, что диаграмма
Найквиста для Д не будет удобной при исследовании устойчивости.
Однако, как было сказано в гл. 4, определитель графа равен произ-
ведению возвратных разностей обратной связи
Д^М ... Д«, (65)
Дл=1-4 (66)
где
\— коэффициент передачи А-го узла, измеренный, когда все узлы
высшего порядка расщеплены или вычеркнуты. (67)
Каждая из этих частных возвратных разностей Д*($) можно
истолковать физически, и, кроме того, их проще начертить, чем Д($).
Фиг. 21. Отображение функции F ($).
Семейство диаграмм Найквиста для Дь Дг........Дл содержит требуе-
мые сведения об устойчивости или неустойчивости системы, как будет
показано ниже.
Во-первых, можно установить, что диаграмма Найквиста любой
рациональной аналитической функции F (s) определяет разность
между числом нулей (в правой полуплоскости $) и числом полюсов
в правой полуплоскости $. На фиг. 21 показано, что ось /со, обо-
значенная через С, отображается на плоскость F в виде диаграммы
Найквиста С'. При этом здесь принято, что <F(s) не имеет полюсов
или нулей на оси /со.
Если такие полюсы или нули существуют, можем рассматри-
вать F (s) в виде предельной формы, у которой полюсы или нули
приближаются к оси /со, но не соприкасаются с ней. Полюсы или
нули, лежащие в бесконечности, можно заменить полюсами или
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
593
нулями в отдаленной части плоскости $, например далеко на отрица-
тельной оси. Проведем простую кривую А' в плоскости F из начала
координат в бесконечность. Кривая А' отображается обратно в плос-
кости s в виде семейства кривых Л, каждая из которых проходит
из нуля в полюс. Это следует из того, что корни уравнения F(s) = А'
изменяются непрерывно при изменении параметра Л', приближаясь
к нулям F (s) при малом А' и приближаясь к полюсам F (s) при
большом Л'. Все пересечения Л с С в плоскости s отображаются
конформно на плоскости F в виде пересечения Л' с С'. Если
представить кривые Л, С, А', С' в виде улицы с односторонним
движением, то машина, входящая в С из Л (фиг. 21, а), должна
6
Фиг. 22. Различные представления отображения.
повернуть направо. На основании конформности на фиг. 21, б при
переходе из Л' в С' должен быть поворот вправо. Отсюда следует, что
N = z — р, (68)
где
N—число пересечений по часовой стрелке бесконечной радиаль-
ной кривой (Л') диаграммой Найквиста F (/ш), когда ш уве-
личивается от 0 до -роо и затем от —оо до 0, (69)
z — число нулей функции F (s) в правой полуплоскости $, (70)
р — число полюсов функции F (s) в правой полуплоскости $. (71)
Многократные полюсы и нули нужно, конечно, считать по их
порядку, а кривая А' должна быть проведена так, чтобы не попасть
в точку F (оо). На фиг. 22, а — в показано, что формула (68) не
зависит от предположений о точной форме обратного отображения Л.
С помощью выражения (65) установим связь величин Af, z, р с Д
и Nk> zk, pk с Д*. Очевидно,
Z = Zi4~^2~h ••• ~~\~Zrr (72)
Р = Р1 + Р2“Ь ••• (73)
594
ГЛАВА 9
и, вычитая одно из другого, получаем
N = z — p = Ni4-N2+ ... + Nn. (74)
Заданный граф имеет устойчивые передаточные функции ветвей.
Его определитель Д, равный сумме произведений устойчивых функ-
ций, сам является устойчивым и, следовательно, не имеет полюсов
в правой полуплоскости. Поэтому все полюсы р должны сократиться
с нулями, попадающими в те же точки, и останется только
N—число нулей функции Д($) в правой полуплоскости $. (75)
Данная возвратная разность Д^ может иметь полюс в правой полу-
плоскости, но этот полюс происходит от нуля некоторого Д'
меньшего номера, и в произведении (65) нуль сокращается с полюсом.
Таким образом, уравнение
N = Nx + N2+ ... +Nn (76)
вместе с уравнением (75) дает искомое соотношение, связывающее
устойчивость системы с диаграммами Найквиста для частных воз-
вратных разностей Д*. Система устойчива при N — 0 и неустойчива
при N > 0. Отрицательное N, очевидно, не может быть.
9.11. Примеры применения обратной связи
в электронных цепях
Нижеследующие примеры имеют целью выявить общие свойства
так называемых „усилителей с обратной связью" и пояснить приме-
нение графов для практических расчетов усиления и сопротивления.
С помощью эквивалентной схемы, изображенной на фиг. 23, а,
можно изучить влияние проводимости сетка — анод в триодном или
пентодном усилителе с нагрузкой в анодной цепи. Изображенная
схема с обратной связью через активное сопротивление Rf иногда
называется „анодным повторителем". Если Rf заменить емкостью,
то получится интегратор Миллера. На фиг. 23, б — г показано
построение графа путем последовательных приближений. Если начать
с Оу = 0, как показано на фиг. 23, б, то получается обычный уси-
литель с нагрузкой в анодной цепи с коэффициентом передачи
e± = -sR2. (77)
При малой величине Оу действие тока проявляется в том, что
он изменяет eg, вызывая падение напряжения на сопротивлении /?р
как указано на фиг. 23, в. Поскольку для усилителя с большим
усилением (с большим s/?2) e2^>eg можно приближенно предста-
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
595
вить как —О^е2- Коэффициент передачи для графа (фиг. 23, в)
в2 — sR2
“ 1 4- s/?2<7z/?i *
(78)
Полный граф фиг. 23, г показывает влияние eg на 1Х и влияние 1Х
на Z2. Следовательно, 1Х равно теперь Qf(eg — и Z2 равно (Zj—
&
f '5 R2
e, о 1 »—<) < о- —og2
Gf=0
Gf (малое)
Gf (произвольное)
Фиг. 23. Отрицательная обратная связь анод — сетка.
Поскольку два поправочных члена в схеме фиг. 23, г имеют срав-
нительно малое значение, они указаны на графе пунктиром. Полный
коэффициент передачи схемы фиг. 23, г
е2 — sR2 + GjR2
1 4"sR2QfRi^ GfR2
(79)
596
ГЛАВА 9
Здесь целесообразно пояснить применение уравнения для опре-
деления сопротивления (48). Вычислим сначала входное сопротивление
2ВХ = -^. (80)
Относя все величины к $, находим из рассмотрения фиг. 23, а
(^вх)о — + ^2» (81)
тх< х = (82)
тк.з = 0, (83)
так что
Тот же результат можно получить из фиг. 23, г, исключив ветви,
направленные к egt и затем вычислив коэффициент передачи ljegt
равный обратной величине ZBX.
Выходное сопротивление относительно /?2, измеренное при ^ = 0
и при /?2, замененном источником тока или напряжения, равно
2ВЫХ = --?. (85)
*2
Из рассмотрения схемы находим
(^вЫх)о = Я1 + Я/. (86)
Тх.х = — $/?!, (87)
хк, з = 0. (88)
Напомним, что индексы х. х (холостой ход) и к. з (короткое
замыкание) относятся теперь к выходным зажимам. Окончательно
получаем
7 — R' + Rf zOQx
Это уравнение можно проверить путем рассмотрения фиг. 23, г\
после вычеркивания ветви /?2 коэффициент передачи от е2 к 12 равен
обратной величине ZBbIX с отрицательным знаком.
Малость величины eg приводит к представлению о „действующем"
коротком замыкании, которое показано на фиг. 24, а. Действующее
короткое замыкание представляет собой разомкнутую цепь, напряже-
ние которой ничтожно мало. Поскольку в сопротивлении /?1 и
протекает один и тот же ток, действующее короткое замыкание
в схеме, изображенной на фиг. 24, а, определяет „опорную точку
для напряжения®. Если е} повышается на /?] в, е2 должно понизиться
на /?у в. Это явление можно представить наглядно, изменив направ-
ление главного контура графа на фиг. 23, в\ в результате получится
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
597
граф, изображенный на фиг. 24, б. Когда усиление инверсного кон-
тура стремится к нулю, eg стремится к нулю, и коэффициент передачи,
определяемый, графом фиг. 24, а,
*2
е\
R,
(90)
Другую простую схему с обратной связью представляет транзи-
сторный усилитель с общим эмиттером. В эту схему можно ввести
добавочную отрицательную обратную связь через нагрузку эмиттера Re,
Фиг. 24. Действительное короткое замыкание, вызванное отрицательной
обратной связью.
как показано на фиг. 25, а. В применяемой эквивалентной схеме тран-
зистора не учитывается активной проводимости коллектора (/^ = 00),
но вводится зависимый источник тока ale или [а/(1 — a)]Z& и общее
сопротивление эмиттера г = + (re/(la)]. Графы на фиг. 25, б и в
изображают два различных способа построения коэффициента пере-
дачи, показывающие влияние Re. Заметим, что на фиг. 25, б контур
обратной связи размыкается, когда Re стремится к нулю, а эффек-
тивное усиление тока равно большой величине а/(1 — а). Поэтому
такое построение полезно для выявления факторов, имеющих значе*
ние при определении усиления по переменному току. В графе фиг. 25, а
коэффициент передачи контура уменьшается при увеличении Re и
общий коэффициент передачи системы приближается к коэффициенту
передачи схемы с общим основанием. Этот режим выгоден для
598
ГЛАВА 9
стабилизации рабочей точки по постоянному току. В действительности
в схему с общим эмиттером обычно вводится последовательное
комплексное сопротивление с большим сопротивлением постоянному
Фиг. 25. Отрицательная обратная связь, вызванная нагрузочным сопро-
тивлением эмиттера в транзисторном усилителе с общим эмиттером.
току, но малым сопротивлением переменному току. Следовательно,
коэффициент передачи графа, изображенного на фиг. 25, б,
v2 _ г \ 1 — а )
а для графа на фиг. 25, в
________________________________Re
V> Ц--£-(1-а)’
(91)
(92)
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
599
Легко убедиться в эквивалентности этих двух формул: умножив
числитель и знаменатель уравнения (92) на Rjr(l — а), получим (91).
Схема, приведенная на фиг. 26, а, представляет двухкаскадный
усилитель с емкостно-реостатной связью и с отрицательной обратной
в
Фиг. 26. Отрицательная обратная связь анод — анод.
связью между анодными цепями. На фиг. 26, б показана эквивалент-
ная схема, а на фиг. 26, в изображена схема графа, причем второ-
степенные в.етви показаны пунктиром. Пренебрегая этими ветвями,
находим приближенный коэффициент передачи
*3 — (S2^) /Qqv
7?” 1 + s^GfR, ’
600
ГЛАВА 9
Как и следовало ожидать, он равен коэффициенту передачи (78),
умноженному на усиление первого каскада. Полное выражение
коэффициента передачи
ез__ ($iRi) ($2#2) + SiRiGfR2 q.
Ti “ 1 + s2R2GfRi -J- GfR} + GfR2 ’
При достаточно большом s2R2 коэффициент передачи стремится
к величине
£1 ~ (5i^i) (^2^2) _
#i s2R2GfR\
s\Rf>
(95)
откуда видно, что вследствие наличия отрицательной обратной связи
во втором каскаде усилитель нечувствителен к изменениям s2, эта
обратная связь приводит также к уменьшению выходного сопро-
тивления.
Усилитель, изображенный на фиг. 27, а, называют иногда „триг-
гером Шмитта". Линейная эквивалентная схема первого каскада
фиг. 27, б может быть представлена в виде графа фиг. 27, в. В схеме
фиг. 27, а указаны полные величины напряжений и токов, а на
фиг. 27, б — г — дифференциальные величины. Зависимость vx от ех
и ek можно несколько упростить, вычеркнув узел egV Кроме того,
внутренний потенциал v2 второго каскада можно выразить непосред-
ственно через е2 и ek, как указано на полном графе фиг. 27, г.
Основной контур, идущий от е2 к ek и затем обратно к е2, имеет
положительный коэффициент передачи. Следовательно, при некотором
значении параметра k делителя напряжения дифференциальное усиле-
ние (^з/ер найденное из графа) может стать бесконечным. Дифферен-
циальное усиление равно наклону кривой передачи (фиг. 28) в про-
межуточной области, где через обе лампы течет анодный ток и,
следовательно, применима эквивалентная схема. Из графа находим
( \ ( ky.2R2 \ ( i^Rk \ (|л2 +1) R2
__ \ Rn + Ri / \ Rn + R2 / + ^/2 + ^2
*1 “ 1 (^1 + 1)^!^ , (1*1+1) Я* , 0*2+0^ ’ '
(Rn + Rd^ + ^r Я/1 + Я1 ф R12 + R2
Выбрав k так, чтобы знаменатель в выражении (96) был равен
нулю, получим промежуточную кривую передачи, изображенную
на фиг. 28, у которой средняя часть примерно вертикальна. При
большем k наклон в средней части становится отрицательным, функ-
ция e3 = f(e2) многозначна, и тогда схема действует как триггер.
Когда ех непрерывно увеличивается от нуля, анодный ток первой
лампы остается запертым, пока ех не достигнет критического значе-
ния а, когда первая лампа сразу „включается" (начинает проводить),
а вторая лампа запирается. При последующем непрерывном умень-
шении ех приходим к другой критической точке в верхнем перегибе
8
Ф и г« 27> Отрицательная обратная связь катод — катод.
Ф и Га 28а Характеристики передачи усилителя с отрицательной обратной
связью катод-катод.
/ — отсечка 2 —отсечка
602
ГЛАВА 9
кривой, и схема переключается опять в свое первоначальное состоя-
ние. При k = 0 схема становится усилителем с катодной связью.
При этом коэффициент передачи от к ek равен усилению катод-
ного повторителя с катодной нагрузкой Rkt соединенной параллельно
входному сопротивлению на зажимах катода второго каскада (эта
добавочная нагрузка, параллельная Rk, учтена правым контуром
в
Фиг. 29. Отрицательная обратная связь анод — катод.
графа). Коэффициент передачи е3/ел равен усилению каскада с замк-
нутой сеткой (при вычислении этого коэффициента ветви Rk можно
вычеркнуть, так как ek дано и, следовательно, действует как узловой
источник). Общее дифференциальное усиление е3/е1 равно произве-
дению (ел/^1) но в этом случае е^ех можно столь же просто
вычислить прямо с помощью графа.
Схема на фиг. 29, а представляет двухкаскадный усилитель
с емкостно-реостатной связью, с отрицательной обратной -связью
между анодом второго каскада и катодом первого каскада. В линей-
ной эквивалентной схеме фиг. 29, б Rx и R2 представляют нагрузоч-
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
603
ные сопротивления переменному току, состоящие из Rb} или Rb2
в параллельном соединении с Rg. Построение графа можно начать
с удаления сопротивления обратной связи Rp тогда получим граф,
подобный графу на фиг. 29, в, но без четырех ветвей, касающихся
узла /у. Затем эти четыре ветви можно добавить, чтобы учесть
зависимость lj от ek и е3 и влияние lj на ek и Z2. Здесь ветви,
имеющие меньшее значение, опять показаны пунктиром.
Коэффициент передачи основного контура есть большая отри-
цательная величина с множителями 1+pq и |х2. Полное выражение
для коэффициента передачи
Z Рч^1 \ / Р*2^2 \ J I Г' Р \ I V'lRkQf^lzR}
0з__ \Rn+Ri / + 7 *) + (R11 + R1XR12 + R2) .
(н + 0 R\^R2^fRk (Рч4-1)Я* GjR2Ri2
1+ (/?Z1 + /?1)(^2+/?2) + + + R12 + R2
4-0 R I (|Л| +RkGfRiiRi /97ч
Ч- + {Ril + Rl) (/?.2 + Ri) • (уЧ
Пренебрегая некоторыми незначительными членами, показанными
пунктирными линиями, получим
£з
01
() ( R^+Rz ) ° + GfRk}
I (Рч + 1) Rk I (Рч 1)#1 ( P‘2^2 \Q p
Rn + Ri Rn + Ri \Ri2 + R2l f k
(98)
Если коэффициент передачи основного контура является преоб-
ладающим членом в знаменателе и 1, получается дальнейшее
упрощение
*3 ~ 1 + GfRk — Rf + Rk /QQ\
ei ~ GfRk - Rk • (yy)
Соотношение (99) показывает, что при большой отрицательной обрат-
ной связи ек очень близко к ev а мало, так что в Rk и Rf про-
ходит приблизительно один и тот же ток. Поэтому последователь-
ное соединение Rk и Rf представляет по существу потенциометр
или делитель напряжения, автоматически регулируемый таким образом,
что „сигнал ошибки" — ek) остается малым. Коэффициент потен-
циометра
ek __ _ Rk
ez 03 R/+ Rk
(ЮО)
что подтверждает приближенное соотношение (99).
В качестве последнего примера исследуем двухкаскадный транзи-
сторный усилитель с обратной связью. Его эквивалентная схема пред-
ставлена на фиг. 30, а. В рассматриваемых здесь эквивалентных
схемах транзисторов пренебрегают проводимостью коллектора, так
604
ГЛАВА 9
что сопротивления базы и эмиттера можно учесть одним сопроти-
влением г = гь-±- [ге/(1 — а)], равным эффективному входному сопро-
тивлению схемы транзистора с общим эмиттером.
Сначала граф фиг. 30, б строится при допущении, что г = 0,
после чего для завершения графа добавляется ветвь — г. Цель сво-
дится к построению графа, у которого и /2 являются узлами
Фиг. 30. Транзисторный усилитель с обратной связью.
с источниками, так как усилитель имеет большое усиление в прямом
направлении, большое входное сопротивление и малое выходное
сопротивление, и, следовательно, его удобно описывать стандартным
графом передачи напряжения в прямом направлении, к которому сво-
дится граф на фиг. 30, б после ликвидации всех узлов, кроме ис-
точников и стоков. Такую форму имеют графы на фиг. 30, виг.
Граф на фиг. 30, г показывает, что при большой отрицательной
обратной связи входная проводимость выходное сопроти-
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
605
вление (/?2/#2) и коэффициент обратной передачи по току (—l/djd2)
малы, так что по своему действию схема приближается к идеальному
„усилителю напряжения" с усилением, равным (/?!—)— /?2)//?Р Сопро-
тивление /?2 нельзя сделать бесконечно большим, потому что слишком
большая величина сопротивления противоречит допущению, что про-
водимость коллектора второго транзистора (параллельная выходу)
ничтожно мала. Однако /?2 можно взять значительно больше
Фиг. 31. Различные графы для транзисторного усилителя с обратной
связью.
и таким образом получить большое усиление напряжения. Из рас-
смотрения графа, изображенного на фиг. 30, б, получаем точное
выражение
V, 1+гД^+вА •
(101)
Транзисторный усилитель можно рассматривать в виде системы
автоматического регулирования, содержащей делитель напряжения
(/?!-Н /?2), ток которого устанавливается так, что „сигнал ошибки"
40 Зак. 1115
605
ГЛАВА 9
(t/j —1/2) мал. При /р ничтожно малом сравнительно с /у, и при малой
ошибке (t/j — v) коэффициент деления напряжения
+ . (102)
Vj V r?j v 7
Следовательно, также как для предыдущей схемы [уравнение (100) ],
обратная связь приводит к передаточной функции, которая сравни-
тельно мало зависит от свойств усилителя мощности, т. е. от при-
менения лампы или транзистора. На фиг. 31, а показан другой граф,
в котором явно показана роль величины — v) в виде „сигнала
ошибки". На этом графе величина Ri/(R}-{- R2) появляется как мно-
житель в главном пути обратной связи.
На фиг. 31, б показано построение графа при холостом ходе.
Здесь i} и /2— узлы-источники, vl и v2 — узлы-стоки, и, следова-
тельно, все коэффициенты передачи источников к стокам представляют
сопротивления холостого хода. Заметим, что граф па фиг. 31, б
не имеет контуров. Поэтому можно утверждать, что усилитель
i:e имеет обратной связи. Однако граф, приведенный на фиг. 31, а,
вероятно, дает более точное описание, так как он выявляет принцип,
на основе которого схема была задумана и рассчитана.
ЗАДАЧИ
9.1. Используя нелинейный элемент, выходное напряжение которого
равно квадрату входного напряжения, рассчитать схему с обратной связью,
выходное напряжение которой примерно равно квадратному корню входного
напряжения. Предположить, что в распоряжении имеется линейный усили-
тель напряжения с большим
усилением.
9.2. Связать фиг. 4 со схе-
мой катодного повторителя,
рассматривая напряжение сет-
ка — катод eg в виде ошиб-
ки ve.
9.3. Имеется усилитель
напряжения с большим усиле-
нием и вакуумный диод, анод-
ный ток которого представляет
экспоненциональноубывающую
функцию отрицательного анод-
ного напряжения. Рассчитать
усилитель с обратной связью, выходное напряжение которого приближенно
равно логарифму входного напряжения.
9.4. В схеме на фиг. 32 усилитель А имеет бесконечное входное сопро-
тивление, нулевое выходное сопротивление и усиление А = еь/еа. К входным
зажимам приложено напряжение в виде единичной ступени. Найти значе-
ние А и Л, при которых переходная характеристика на зажимах е2 имеет
такое же конечное значение, как переходная характеристика, которая полу-
чилась бы при k = 0 и А = 1, но проходит в десять раз быстрее. Связать
эти выводы с устойчивыми частотными характеристиками системы.
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
607
9.5. Низкочастотный сигнал имеющий ничтожную энергию на часто-
тах выше некоторой частоты а)0, пропускается через нелинейный фильтр /,
не имеющий памяти. Искаженный выходной сигнал v2 передается затем
через линейный фильтр нижних частот L, который не пропускает частоты
выше о)0. Утверждают, что выходной сигнал нижних частот v3 содержит
всю информацию, имеющуюся в vh и что Vj или, возможно, задержанную
копию Vj можно воспроизвести из v3 посредством соответствующей обра-
ботки. Рассмотреть и исследовать схему воспроизведения, подобную изобра-
женной на фиг. 5, л, причем f и L включены в цепь обратной связи.
Что можно сказать об устойчивости системы?
9.6. Система, изображенная на фиг. 33, обычно называется генератором
с фазовым сдвигом. Транзисторный усилитель тока А имеет ничтожно
малое выходное сопротивление, боль-
шое входное сопротивление и уси-
ление тока /2/Ч ==— А где А — по-
ложительная постоянная. Практиче-
ски Cj < С2 < С3 и > R2 > /?3, но
для данной задачи пусть Cj = С2 = С3
и /?! = R2 = R3.
а. Начертить соответствующий
граф.
б. Начертить диаграмму Най-
квиста для коэффициента передачи
контура.
в. Найти критическое значение А, при котором схема генерирует.
г. Вычислить частоту генерации.
д. Переменить местами и Cb R2 и С2, R3 и С3 и проделать опять все
пункты. Имеет ли расположение элементов в соответствии с п. „д‘ какие-
нибудь практические преимущества перед первоначальным расположением,
показанным на фиг. 33?
е. Предложить схему, основанную на усилителе напряжения, а не
на усилителе тока.
ж. Генераторы с фазовым сдвигом удобны для генерации синусоидальных
колебаний низкой частоты. Можно ли спроектировать такую схему, чтобы
она генерировала на частоте 1 гц, 1 период в минуту, 1 период в день?
з. Амплитуда колебания определяется нелинейными процессами в уси-
лителе А. При расположении, указанном в п. „д‘, входной сигнал усилителя,
вероятно, будет почти чисто синусоидальным, так как фильтр RC не про-
пускает более высокие частоты. Если амплитуды основной частоты и /2
связаны нелинейной зависимостью I2^=f(Il)i найти путем графического
построения амплитуду установившегося колебания. Заметить, что схема
не будет генерировать, если функция / имеет слишком малый наклон в на-
чале координат.
9.7. Для усилителя, изображенного на фиг. 29, а, найти значение Rf,
при котором отношение е3/е] при изменении р.2 изменяется в 100 раз меньше.
Указать практические численные значения параметров схемы.
9.8. Для схемы фиг. 23 найти чувствительность усиления напражения
к изменениям $. Указать практические численные значения и вычислить
величину Rf, при которой чувствительность равна 1/10.
9.9. Пусть система, изображенная на фиг. 2, а, имеет К = 1/(т«$-£- 1)Л
и Ко = 100. Величина А — положительный действительный параметр.
а. Начертить диаграммы Найквиста для возвратной разности (единица
минус коэффициент передачи) при и =1,2,3 и 4. При каком практическом
значении А/Kq система становится неустойчивой, если гг = 1, 2, 3 и 4?
На какой частоте система генерирует в каждом из этих случаев, когда
А/Къ достигает критического значения?
40*
608
ГЛАВА 9
б. Пусть теперь /<= l/^s-j-l)2 (10т$+1). Начертить диаграмму Найквиста
и найти критическое значение А/К^ Сравнить с выводами п. .а" для л = 3.
9. 10> Рассмотреть изменение двух каскадов, показанное на фиг. 34,
имеющее целью увеличить усиление контура на низких частотах за счет
ширины полосы в усилителе, изображенном на фиг. 16. Положить R' <^R
Фиг. 84.
и С'^>С, так что полюсы измененного каскада расположены приблизительно
в точках s = -l//?'C и s = — 1/RC'. Конечно, в точке s = —1/Л'С' нахо-
дится нуль.
а. Начертить характеристики усиления и фазы и диаграмму Найквиста
коэффициента передачи контура, если R' и С' выбраны так, чтобы устано-
вить достаточный запас устойчивости при коэффициенте передачи контура
с модулем 104.
б. Имеет ли смысл применять различные значения R' и С' для двух
измененных каскадов?
в. Рассмотреть, что получится при одинаковом изменении всех четырех
каскадов. В этом случае система „условно устойчива"; система может быть
сделана устойчивой только при некотором промежуточном диапазоне значений
масштабного множителя контура.
Фиг. 85.
9.11. Генераторную схему, изображенную на фиг. 35, можно использо-
вать в качестве модулятора частоты, если модулирующий сигнал ет имеет
лишь такие частотные составляющие, которые лежат значительно ниже
частоты, на которой схема генерирует. Положение полюса каждого каскада
катодного повторителя изменяется в зависимости от ет. потому что ет
изменяет рабочую точку лампы и, следовательно, $. При большом R полюс
каждого каскада находится приблизительно в $ = - s/C.
ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
609
При какой величине усиления А схема генерирует? Предполагается,
что усиление катодных повторителей по постоянному току равно единице.
Чему равна частота колебаний, выраженная через $/С?
9Л2. Была спроектирована, построена и включена система регулирования
с отрицательной обратной связью. Она генерирует на 10 гц. Чтобы прекра-
тить самовозбуждение, предложено включить в контур заграждающий фильтр
на 10 гц. Это предложение было осуществлено, и система возбуждается
теперь не на 10 гц, а на другой частоте Тогда предложили включить еще
один заграждающий фильтр, чтобы исключить частоту Что при этом проис-
ходит со схемой?
9.13. В схеме фиг. 23, а заменить Rj емкостью С и начертить диаграмму
Найквиста коэффициента передачи ветви s в графе на фиг. 23, г. Будет ли
система устойчива? Найти входное и выходное сопротивления как функции
частоты.
9.14. При некоторых упрощениях схему фиг. 36, а можно представить
приближенно графом на фиг. 36, б. Найти точные соотношения. Найти е2/ек
при k = 0 и при k « 1 и сравнить получающиеся при этом полосы частот,
усиление и выходные сопротивления.
9.15. Для усилителя, изображенного на фиг. 30, а, вычислить чувстви-
тельность величины v2/v} к изменениям Ь2. Воспользоваться практическими
величинами для всех параметров схемы, за исключением R} и R2, и устано-
вить, какие величины R} и R2 нужно взять, чтобы получить большую вели-
чину v2/vi и малую чувствительность. Рассчитать усилитель, в том числе
постоянные напряжения, не указанные на эквивалентной схеме. Каковы
численные значения входного и выходного сопротивлений?
610
ГЛАВА 9
9.16. Для системы, изображенной на фиг. 13, положим а = l,5/(s-f- 1)
и b = 0,4/($ + Определить, будет ли система устойчива или неустойчива
путем исследования диаграмм Найквиста для частных возвратных разностей
во втором, третьем, четвертом и пятом узлах (см. разд. 9.10). Проверить
выводы по расположению полюсов коэффициента передачи t>5/vi. Будет ли
система устойчива после исключения ветви 61
9.17. Относительно схемы фиг. 30, а можно сказать, что Г| должно
быть в несколько раз больше, чем кажущееся сопротивление эмиттера пер-
вого каскада, так как в противном случае ток обратной связи If был бы
эффективно зашунтирован на землю и коэффициент передачи был бы малым.
Известно также, что при напряжении Vj на выходе усилителя получается
напряжение v, примерно равное vh так что iit значительно меньше if и в Rt
и /?2 течет приблизительно один и тот же ток. Противоречат ли друг другу
эти два утверждения? Прежде всего надо дать физическую интерпретацию
коэффициента передачи узла if графа, представленного на фиг. 30, б.
9.18. Для усилителя, изображенного на фиг. 23, а, выбрать практические
численные значения всех параметров и провести количественный анализ схемы.
а. Вычислить следующие величины: усиление, входное сопротивление,
выходное сопротивление и коэффициенты передачи контуров, охватывающих
основные элементы, которые могут вызвать искажения или смещение харак-
теристик в действительных схемах.
б. Рассмотреть возможные источники неустойчивости.
9.19. Проделать задачу 9.18 для схемы фиг. 25, а.
9.20. Проделать задачу 9.18 для схемы фиг. 26, а.
9.21. Проделать задачу 9.18 для схемы фиг. 29, а.
9.22. Проделать задачу 9.18 для схемы фиг. 30, а,
9.23. Вычислить сопротивление, параллельное /?* в схеме фиг. 27, а,
по данному графу после небольшого его изменения.
9.24. Для схемы фиг. 27, а выбрать практические численные значения
для всех параметров, за исключением Л, и затем вычислить значение k,
при котором дифференциальное усиление напряжения бесконечно велико.
9.25. Исследовать частотную характеристику усилителя, изображенного
на фиг. 26, а. Как изменяется полоса частот при введении обратной связи?
(Реактивные сопротивления параллельных емкостей катодной цепи не учи-
тывать и рассматривать лишь емкости связи и паразитные параллельные
емкости анод—катод.)
9.26. Объяснить, почему усилитель, изображенный на фиг. 30, а,
имеет малое выходное сопротивление. Рассмотреть схему в качестве системы
автоматического регулирования и исследовать действие регулирования при из-
менении введенного извне тока /2.
9.27. Объяснить, почему усилитель, изображенный на фиг. 30, а, имеет
малую входную проводимость. Рассмотреть схему в качестве системы авто-
матического регулирования, которая стремится поддерживать и примерно
равным vi.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Фиг. Функции Бесселя первого рода.
Сплошные кривые —Л, Jlt J2> Л» пунктирные кривые — /^ J6.
Предметный указатель
Автокорреляция 221
Автоматическое регулирование 566
---- нелинейной системы передачи
569
Анализ методом контурных токов
155
•---узловых напряжений 155
— простой цепи RC 394
— сигналов 188, 317
— цепей с помощью графов 137
Аналитическое продолжение 385,
386
Аттенюатор с сосредоточенными эле-
ментами 454
Вероятностная система 474
Влияние петли 107, 108
Возбуждение волн 453
Вычет 385
Генератор искажения 578
Гиратор 81
Гиристор 81
Границы спектра 246
Граф линейный 105
— матричный 156
— усилителя с обратной связью 584
Двоичные числа 547
Двухканальная система модуляции
525
-------векторная диаграмма 527
Декодирование сигнала КИМ 549
Демодулятор линейный 563
Демодуляция с подавлением несу-
щей 523
Диаграмма круговая 410, 416
— Найквиста 586, 588, 591
Дисперсия 220
Добротность Q 425
Емкость, изменяющаяся во времени
513
Задержка идеальная 469, 550
— несущего колебания 375
— огибающей 375
Идеализация сигнала и цепи 319
Импульс гауссов 191, 192
— единичный 191
Импульсное кодирование 548
Интеграл действительной части 362
— суперпозиции 328, 329
— - Фурье 240, 251, 304
Интегратор 13
— Миллера 49, 403
Интегрирование по контуру 384
Исключение узла 92, 109
Каскадное соединение четырехполюс-
ников 147
Каскод 180
Квантование амплитуды 546
Комплексная мощность 52, 53
Контур 112
Контурные перед чи узла и ветви 116
Корреляция входных и выходных
сигналов 351
— спектров 289
Коэффициент корреляции 209
--- передаточной функции 240
---эффективный 210, 214
— отражения 451
— передачи контура 569, 579, 603
Коэффициенты волновые 459
— ряда Фурье 272
Критерий Пейли—Винера 369
— устойчивости Найквиста 584
Крутизна 582
— с односторонней проводимостью
414
Предметный указатель
613
Линия, формирующая импульсы 465
Матрица 16
— диагональная 17
— единичная 18, 462
— квадратная 17
— неопределенная 38
---узловых проводимостей 30, 38,
41, 46
— нулевая 18
— обратная 22, 27
— прямоугольная 17
— столбцовая 18
— строчная 17
— треугольная 17
— узловых полных сопротивлений
34
— Эрмита 53
Матричное представление системы
линейных уравнений 23
Матричные операции 19
Многоканальная передача с разде-
лением по частоте 535
----------во времени 539
Модулятор линейно-импульсный 537
— пентод 509
— элементарный, квадратичный 507
Модуляция 505, 517
— амплитудная 517
— амплитудно-импульсная 536
— кодово-импульсная 544
— с одной боковой полосой 529
---подавлением несущей 521, 528
— фазовая 531
— фазово-импульсная 539, 542, 544
— частотная 531
— широтно-импульсная 539, 542, 544
Определитель матрицы 24
— разложение 26
---на множители 122
---по ветви 123
------- контуру 120
-------узлу 122, 125
— цепи 65
— элементарных схем 65
Отражение волн 449
Передача графа 112, 115, 125
— контура 112
— плоская, полосовая 433
— пути 112
Передающая система с амплитуд-
ной модуляцией 517
Перемножение сигналов 508, 510
Перемножитель 564
— идеальный 511
— симметричный 508
Плотность вероятности 196
Полюс 385
Построение нелинейной функции,
приближенно выраженной много-
членом 511
Представление интеграла суперпози-
ции в виде корреляционной опера-
ции 332
Преобразование Гильберта 368, 372
— Лапласа 376
— Фурье 231, 244, 350
Прерыватель, элементарный 507
Приемная система с амплитудной
модуляцией 518
Принцип взаимности 144
Проводимость волновая 423
— односторонняя 162
Нормирование передач ветвей 131
Обратная связь 565
----- отрицательная 569, 581
-------анод-анод 599
-------анод-катод 602
-------анод-сетка 595
-------катод-катод 601
-----положительная 581
Однополюсные системы полного про-
пускания 440
-----круговые диаграммы 399
----- передачи 393
Определитель 24
— графа 24, 117
Расщепление узла 116
Регулирование нелинейной системы
передачи 569
— сопротивления 582
Резонанс в реостатно-емкостной схе-
ме с обратной связью 424
Резонансные двухполюсные системы
передачи 414
Резонансный контур 413
----- граф 422
Ряд Фурье 240, 251, 304, 515
-----основные свойства 239
-----тригонометрический 231
----- экспоненциальный 235
614
Предметный указатель
Свертка 224, 338, 473
— алгебра 334
Сигнал конечной энергии 191
— количество 246, 250
— изменение 246, 250
— изменчивость 246, 250
Сигналы импульсные 190
— комплексные, экспоненциальные
342
— периодические 192
— почти периодические 194
— прохождение и преобразование 11
— сингулярные 318
— случайные 195
Система задержки биномная 470
— устойчивая 332
Системы линейные 318,326
----нестационарные 515
— нелинейные 505
----нестационарные 505
----общие замечания 550
—• полностью пропускающие 369
Смеситель квадратичный 519
----балансный 519
Согласование сигналов и систем 353
Согласованная система передачи 355
Сопротивление волновое 423, 448
---- скачки 456
Составление графа с помощью при-
ближения и коррекции 168
Составляющие 200
— аддитивные 506
— действительная и мнимая 205
— ортогональные 206
— постоянная и переменная 200, 201
— четная и нечетная 203
Спектр плотности мощности 255
Спектры импульсных сигналов 260,
270
— периодических сигналов 271, 279
— случайных сигналов 279
Сравнение векторов 195
Среднее по множеству 197, 475
Стационарные случайные процессы
199
Схема дискретной выборки 537
— планарная 159
— трехполюсника 140
— унистора 165
Схемы четырехполюсников 139
— эквивалентные 142
Топологический анализ 65
— закон передачи цепи 69
Топологический закон передачи вы-
вод 86
--------общей линейной цепи 76
Узел источника 105
Уменьшение шума и искажений 577
Унистор 72, 78
Уравнения «причина-следствие» 105,
137
Усиление и фаза 365, 373, 589
— мощности в нестационарной си-
стеме 512
Усилитель, катодный 47
— пентодный 182
— постоянного тока, стабилизиро-
ванный прерывателем 524
— с обратной связью 585, 594, 597,
604
Усилительный каскад с катодной
связью 179
Устойчивость произвольного графа
591
Участки со случайными задержками
462
Функция автокорреляционная 216,
226, 288
— аналитическая 344
— Баттерворта 431
— Бесселя 611
— корреляционная 216, 224, 292
----взаимная 217
— передаточная 348
---- рациональная 437
----с идеальной задержкой 445
— сингулярная 323
Характеристика импульсная 326
— однополюсной функции 398
— усиления и фазы 589, 608
Частота выборки 291
Чувствительность 579
— относительная 580
Ширина полосы 365
Экспоненциальные преобразования
376
---основные свойства 382
Оглавление
Предисловие редактора.......................................... 5
Из предисловия авторов ........................................ 9
Глава 1. Введение
1.1. Цепи, сигналы и системы.............................. 11
1.2. Прохождение сигналов и их преобразование............. 11
1.3. Эквивалентные схемы.................................. 12
1.4. Методы анализа . . *................................. 13
Задачи................................................ 14
Глава 2. Матричный анализ цепей
2.1. Введение............................................. 16
2.2. Матричные операции................................... 19
2.3. Матричное представление системы линейных уравнений ... 23
2.4. Некоторые свойства определителей..................... 24
2.5. Составление обратной матрицы......................... 27
2.6. Матрицы узловых проводимостей электрических цепей .... 30
2.7. Матрица узловых полных сопротивлений................. 34
2.8. Коэффициенты передачи напряжений и токов............. 36
2.9. Неопределенная матрица узловых проводимостей......... 38
2.10. Неопределенные матрицы проводимостей схем электронных
устройств................................................. 42
2.11. Катодный повторитель................................ 47
2.12. Интегратор Миллера.................................. 49
2.13. Матрицы других трехполюсных схем ................... 50
2.14. Комплексная мощность................................ 52
Задачи................................................ 56
Глава 3. Топологический анализ цепей
3.1. Введение............................................. 64
3.2. Определитель цепи.................................... 65
616
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.3. Частичное разложение определителя на множители........ 65
3.4. Топологический закон передачи цепи ................... 69
3.5. Контурная схема замещения общей линейной цепи......... 72
3.6. Топологический закон передачи общей линейной цепи .... 76
3.7. Анализ схемы катодного повторителя.................... 78
3.8. Анализ схемы триодного усилителя..................... 79
3.9. Анализ схемы транзисторного усилителя................. 80
3.10. Тиристор и гиратор................................... 81
3.11. Вывод топологического закона передачи................ 86
3.12. Исключение узла...................................... 91
Задачи................................................. 94
Глава 4. Линейные графы сигналов
4.1. Введение..............................................103
4.2. Линейный граф сигналов................................103
4.3. Простейшие эквивалентные элементы.....................106
4.4. Влияние петли.........................................107
4.5. Исключение узла.......................................108
4.6. Передача графа.........................................НО
4.7. Общий граф . .........................................111
4.8. Определение передачи графа с помощью путей и контуров 112
4.9. Расщепление узла......................................116
4.10. Контурные передачи узла или ветви....................116
4.11. Определитель графа...................................117
4.12. Разложение определителя по контурам..................120
4.13. Разложение определителя на множители.................122
4.14. Разложение по узлу или по ветви......................122
4.15. Вывод общего выражения передачи......................125
4.16. Инверсия пути или контура............................126
4.17. Нормирование передач ветвей..........................131
4.18. Изменение направления графа..........................132
Задачи.................................................135
Глава Анализ цепей с помощью графов
5.1. Введение............................................. 137
5.2. Схемы четырехполюсников...............................139
5.3. Каскадное соединение четырехполюсников................147
5.4. Основной граф контурной схемы.........................150
5.5. Анализ методом узловых напряжений и контурных токов . . . 155
5.6. Вынужденная односторонняя проводимость................162
5.7. Граф узловых напряжений для унисторной схемы..........164
5.8. Основные схемы замещения транзисторов и электронных ламп 167
5.9. Усилительный каскад с катодной связью.................179
ОГЛАВЛЕНИЕ
617
5.10. Каскод...............................................180
5.11. Пентодный усилитель..................................182
Задачи.................................................185
Глава 6. Анализ сигналов
6.1. Введение..............................................188
6.2. Импульсные сигналы....................................190
6.3. Периодические сигналы.................................192
6.4. Почти периодические сигналы...........................194
6.5. Случайные сигналы.....................................195
6.6. Стационарные случайные процессы.......................199
6.7. Постоянная и переменная составляющие..................200
6.8. Четная и нечетная составляющие........................203
6.9. Действительная и мнимая составляющие..................205
6.10. Сравнение векторов...................................206
6.11. Сравнение сигналов...................................207
6.12. Корреляционная функция...............................216
6.13. Тригонометрический ряд Фурье для периодического сигнала 231
6.14. Экспоненциальный ряд Фурье...........................235
6.15. Некоторые основные свойства рядов Фурье..............239
6.16. Переход к интегралу Фурье для импульсного сигнала .... 240
6.17. Некоторые основные свойства преобразований Фурье .... 244
6.18. Границы спектра .................•...................246
6.19 Ряд Фурье как предельная форма интеграла Фурье •.251
6.20. Сопоставление спектров...............................256
6.21. Полнота представления с помощью выражений Фурье .... 258
6.22. Некоторые импульсные сигналы и их спектры............260
6.23. Некоторые периодические сигналы и их спектры.........271
6.24. Некоторые случайные сигналы конечной мощности и их
спектры....................................................279
6.25. Несколько слов о случайных импульсных сигналах.......288
6.26. Взаимная корреляция спектров.........................288
6.27. Теорема о дискретных выборках........................290
6.28. Дополнительные замечания о сочетаниях сигналов.......291
Задачи.................................................297
Глава 7. Передача сигналов через линейные системы
7.1. Введение............................................ 318
7.2. Сингулярные сигналы...................................318
7.3. Импульсная характеристика линейной передающей системы 326
7.4. Интеграл суперпозиции.................................328
7.5. Представление интеграла суперпозиции в виде корреляцион-
ной операции...............................................332
7.6. Алгебра свертки ......................................334
618
ОГЛАВЛЕНИЕ
7.7. Решение некоторых уравнений свертки....................338
7.8. Комплексные экспоненциальные сигналы...................342
7.9. Передаточная функция ..................................348
7.10. Корреляция входных и выходных сигналов................350
7.11. Согласование сигналов и систем........................353
7.12. Действительная и мнимая части реализуемой частотной ха-
рактеристики устойчивой системы............................358
7.13. Интеграл действительной части.........................362
7.14. Усиление и фаза.......................................365
7.15. Задержка несущего колебания и задержка огибающей .... 375
7.16. Экспоненциальные преобразования.......................376
7.17. Некоторые основные свойства экспоненциальных преобразо-
ваний .....................................................382
7.18. Интегрирование по контуру............................384
7.19. Однополюсные системы передачи........................393
7.20. Круговые диаграммы...................................399
7.21. Пример интегратора с обратной связью.................403
7.22. Двухполюсные системы передачи........................407
7.23. Резонансные двухполюсные системы передачи............414
7.24. «Резонанс» в реостатно-емкостной схеме с обратной связью 424
7.25. Основное определение добротности Q через энергию.....425
7.26. Системы с плоской характеристикой на низких частотах . . . 427
7.27. Системы с плоской полосовой характеристикой передачи . . 433
7.28. Передаточные рациональные функции....................437
7.29. Однополюсные системы полного пропускания.............440
7.30. Экспоненциальная передаточная функция с идеальной за-
держкой ...................................................445
7.31. Отражение волн........................................449
7.32. Возбуждение волн......................................453
7.33. Аттенюатор с сосредоточенными элементами..............454
7.34. Скачки волнового сопротивления........................456
7.35. Волновые коэффициенты.................................459
7.36. Система, содержащая участки со случайными задержками . . 462
7.37. Линия, формирующая импульсы...........................464
7.38. Потенциально неустойчивая линия передачи..............466
7.39. Общие замечания о системах, содержащих элементы идеальной
задержки................................................. 469
7.40. «Биномная» система задержки...........................470
Задачи.................................................476
Глава 8. Нелинейные и нестационарные линейные
системы
8.1. Введение...............................................505
8.2. Перемножение сигналов в нелинейной системе............508
8.3. Пентод как модулятор...................................509
ОГЛАВЛЕНИЕ 619
8.4. Элементарные системы, содержащие перемножители........510
8.5. Усиление мощности в нестационарной системе............512
8.6. Общее представление нестационарной линейной системы . . . 515
8.7. Амплитудная модуляция..................................517
8.8. Модуляция с подавлением несущей........................521
8.9. Двухканальная система модуляции........................525
8.10. Представление различных типов модуляции при помощи двух-
канальной системы..........................................528
8.11. Фазовая и частотная модуляции.........................531
8.12. Многоканальная передача с разделением по частоте.....535
8.13. Амплитудно-импульсная модуляция................. . . 536
8.14. Многоканальная передача с разделением во времени.....539
8.15. Кодово-импульсная модуляция...........................544
8.16. Некоторые общие замечания о нелинейных системах .*.... 550
Задачи............................................... 557
Глава 9. Принцип обратной связи
9.1. Введение...............................................565
9.2. Автоматическое регулирование при помощи отрицательной
обратной связи ........................................... 566
9.3. Регулирование нелинейной системы передачи..............569
9.4. Регулирование линейной передаточной функции, зависящей от
частоты....................................................572
9.5. Регулирование нелинейной передаточной функции, зависящей
от частоты.................................................575
9.6. Уменьшение шума и искажений............................577
9.7. Чувствительность.......................................579
9.8. Регулирование сопротивления.......................... 582
9.9. Условия устойчивости...................................584
9.10. Устойчивость произвольного графа......................591
9.11. Примеры применения обратной связи в электронных цепях . . 594
Задачи.................................................606
Пр вложение. Функции Бесселя первого рода 611
Предметный указатель...........................................612
С. Мэзон и Г. Циммерман
ЭЛЕКТРОННЫЕ ЦЕПИ, СИГНАЛЫ
И СИСТЕМЫ
Редактор Н. В. Серегина
Переплет художника Б. И. Фомина
Художественный редактор Н. В. Зотова
Технический редактор М. А. Белева
Корректор О. К. Румянцева
Сдано в производство 6/11 1963 г.
Подписано к печати 21/VIII 1963 г.
Бумага бОхЭО’/р" 19,4 бум. л., 38,8 печ. л.
Уч.-изд. л. 35,9 Изд. № 20/1082.
Цена 2 р. 71 к. Зак. № 1115.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
* ♦ ♦
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УЦБ и ПП Ленсовнархоза
Ленинград, Измайловский пр., 29