Физика полупроводников и диэлектриков: Учебное пособие - Орешкин П.Т.

Author: Орешкин П.Т.

Tags: электричество электрический ток электрокинетика статическое электричество электростатика физика электроника электротехника полупроводники полупроводниковые приборы учебное пособие

Year: 1977

Similar

Физика полупроводников

Физика полупроводников и металлов

Доменная электрическая неустойчивость в полупроводниках

Физика диэлектриков

Text

П.Т. ОРЕШКИН
ФИЗИКА
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
И ДИЭЛЕКТРИКОВ
531.9
0-63
УДК 537.311.33+537.226(075)
ПАВЕЛ ТИМОФЕЕВИЧ ОРЕШКИН
ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ
Научный редактор преф. Киреев П. С. Редактор издательства Романова Л. А.
Художественный редактор Скворцова Т. М. Переплет художника Федичкина Ю. Д.
Технический редактор Муравьева Л, А. Корректор Косинова Р. К.
Т-12570. Сдано в набор 23/III 1976 г. Подп в печать 26/VII 1976 г.
Формат бОхЭО'Ле. Объем 28,0 печ. л. Усл. печ. л. 28,0. Уч.-изд. л. 26,76.
Бум. тип. № 3. Изд. Ко ЭР-160. Тираж 22000 экз/ Цена 1 р, 04 к. Зак. 538.
План выпуска литературы издательства «Высшая школа» (вузы и техни-
кумы) на 1976 г. Позиция № 125.
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14. Издательство «Высшая школа».
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-тех-
ническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполи-
графпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по де-
лам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград,
П-136, Гатчинская ул., 26,
Орешкин П. Т.
0-63 Физика полупроводников и диэлектриков. Учеб,
пособие для специальности «Полупроводники и ди-
электрики» вузов. М., «Высш, школа», 1977.
448 с. с ил.
В книге изложены: элементы зонной теории твердых тел; статистика
электронов и дырок в полупроводниках; кинетические явления в полупро-
водниках; неравновесные носители заряда в полупроводниках и диэлектри-
ках; контактные явления и физика р-п-п ер входов; поверхностные, оптиче-
ские и фотоэлектрические явления в полупроводниках и диэлектриках; не-
которые вопросы физики неоднородных и неупорядоченных структур; явле-
ния в сильных электрических полях; ионная электропроводность и мигра-
ционная поляризация в полупроводниках и диэлектриках; поляризация в
постоянном и переменном электрическом поле, диэлектрические потери, ди-
электрическая дисперсия и др.
30407-002
° 001(01)—77 125—76
531.9
ИКУЧН1Н Е-’
о*, i
© Издательство «Высшая школа». 1977~г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
I h ।'I у проводники и диэлектрики составляют большую часть
п< гх мни (гвепных сред, идеальным диэлектриком является вакуум,
in ши-пешне десятилетия физика полупроводников и диэлектриков
ри iriiiB.uiiicb весьма интенсивно, что обусловлено возрастающей
ло1|к6]гостыо в полупроводниковых и диэлектрических материалах
при создании приборов (элементов) и интегральных схем.
В и «стоящей книге излагается курс физики полупроводников
и диэлектриков, освещены все основные вопросы программы, а также
it.iufkMicc актуальные области физики и техники полупроводников
и дп июктрпков, показана взаимосвязь физики и техники, что поз-
волит органически увязать данный курс с последующими спецкур-
сами, изучаемыми студентами.
Физика полупроводников и диэлектриков является базовым
курсом для различных специальностей радиоэлектроники и элект-
ронной техники, а также микроэлектроники.
Одна из задач курса — развитие творческого мышления, что
невозможно без изложения проблемных вопросов, которые решены
пока лишь частично. Поэтому при рассмотрении ряда актуальных
и развивающихся областей в некоторых случаях указывается
на незаконченность отдельных трактовок.
Книга написана на основе лекций, читаемых автором в Рязанском
радиотехническом институте. Автор выражает глубокую благодар-
ность докт. физ.-мат. наук, проф. П. С. Кирееву за труд по научному
редактированию книги, докт. техн, наук, проф. Д. А. Яськову,
докт. техн, наук, проф. Ю. М. Волокобинскому, докт. физ.-мат. наук,
проф. С. Н. Койкову за ценные замечания и советы при рецензи-
ровании рукописи.
Замечания и пожелания просьба направлять по адресу: Москва,
К-51, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая школа».
Автор
1*
ГЛАВА I
ОБЩИЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ
В данной главе рассмотрим ряд понятий и соотношений,
необходимых для понимания сущности физических явлений в полу-
проводниках и диэлектриках. Используемый материал изучается
подробнее в курсах «Физика», «Квантовая механика», «Статисти-
ческая физика» и др.
§ 1. СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ
Понятие электронного газа было введено в XIX в. для описания
электропроводности металлов. Согласно классической электронной
теории металлов, развитой Друде и Лоренцем, каждый атом металла
отдает «в общее пользование» по одному валентному электрону.
Эти свободные электроны и образуют так называемый свободный
электронный газ.
Свободный электронный газ рассматривают подобно идеальному
газу молекулярной физики, т. е. считают, что электроны не взаимо-
действуют друг с другом и не имеют собственного объема. В действи-
тельности каждый электрон отталкивается всеми другими электро-
нами металла, но одновременно притягивается ядрами (ионами)
атомов. Эти взаимодействия уравновешивают друг друга. Свободные
электроны участвуют в хаотическом (тепловом) движении и сталки-
ваются с ионами кристаллической решетки.
Столкновения электронов с ионами решетки приводят к уста-
новлению теплового равновесия между электронным газом и крис-
таллической решеткой. В состоянии равновесия не происходит пере-
дачи энергии ни от электронного газа к решетке, ии от решетки
к газу. При этом температура электронного газа равна температуре
решетки.
Среднюю скорость теплового движения электронов можно рас-
гчпт.1П> так же, как н для молекул идеального газа. Например,
‘•рсдисарпфметическую скорость можно вычислить по формуле
Л,ГЫТ /1 14
П ')
Оцепим порядок величины z/T. Полагая Т = 300 К и подставляя
А- 1 ,.18-10"23 Дж/град, tn = 9,1 • 10-31 кг, получим vT 105 м/с.
К <i м-сическая электронная теория металлов позволила вывести
11пнiiиле законы постоянного тока — законы Ома, Джоуля—-Ленца*
। и к же закон Видемана—Франца. Однако она оказалась в противо-
речии с опытом в вопросе о теплоемкости металлов. Согласно основ-
ному положению классической статистики, на которой основана
нория Др уде—Лоренца, энергия каждого свободного электрона
р.пшл -'/2 /?Т. Следовательно, средняя энергия свободных электронов
и о июм грамм-атоме металла £т = 3/2 kT NAt где NA — число Аво-
1.i'ip<). В этом случае теплоемкость электронного газа при постоян-
ном обьеме для одного грамм-атома металла
Cv=^ = 4wa=4«, (1.2)
। к* R — газовая постоянная.
В свою очередь атомная теплоемкость кристаллической решетки
O/11IO.I томных кристаллов должна составлять 37?.
Таким образом, в соответствии с классической электронной
icopucii общая грамм-атомная теплоемкость для металла должна
Hi in. равна %/?, а для диэлектрика — 3/?. Однако опыт подтверж-
цлгг закон Дюлонга и Пти, согласно которому атомная теплоемкость
равна 37? как для диэлектриков, так и для металлов. Следовательно,
наличие электронов проводимости практически не сказывается
па теплоемкости металлов.
Указанное противоречие было устранено в квантовой механике,
Гд« вместо классической статистики Максвелла—Больцмана для
>.'1гктронов применяют квантовую статистику Ферми—Дирака. Как
будет видно из дальнейшего, классический закон распределения
по энергиям Максвелла—Больцмана можно получить из закона
распределения Ферми при условии, если число энергетических со-
< юяпий значительно больше числа электронов.
В настоящем параграфе рассмотрим основные свойства свобод-
ных электронов, полагая, что каждый из них обладает постоянной
массой т.
Квадратичная зависимость кинетическом энергии
свободного электрона от волнового чиола
Если электрон движется со скоростью v, то импульс р = mv.
Длина волны де-Бройля электрона
X=h/mv = h/p, (1.3)
где h = 6,6-10~34 Дж «с — постоянная Планка.
Па основании формулы де-Бройля (1.3) запишем кинетическую
як-ргию электрона:
тп2/2 = Л72тХа. (1 4)
б
Введем волновое число
k = 2лА
(1.5)
и получим
* W 8л8т 2т !
(1.6)
где К = h!2n = 1,05 • 10-34 Дж-с — постоянная Дирака.
Формула (1.6) выражает зависимость кинетической энергии
свободного электрона от волнового числа, т. е. определяет закон
Рис. 1,1. Зависимость энер-
гии свободного электрона Е
от волнового числа k
дисперсии. В данном случае этот закон
представляют квадратичной параболой,
которая изображена на рис. 1.1. Соглас-
но (1.3) и (1.5) можно установить связь
между модулем импульса р и волновым
числом k:
p = ftk. (1.7)
При условии, что у волнового век-
тора к модуль равен 2лА, а направле-
ние определяется нормально к волне,
получим
р = йк,
т. е. соотношение (1.7) для модулей пе-
реходит в векторное равенство. В зако-
не дисперсии (1.6) положительные и отрицательные значения k со-
ответствуют двум значениям проекции скорости движения элект-
рона на произвольную ось.
Плотность состояний
Как известно из квантовой механики, соотношение неопределен-
ностей Гейзенберга характеризует область пространственной лока-
лизации микрочастицы при заданном интервале проекций импульсов.
Для направления х соотношение неопределенностей записывают
в виде
dxdpx^h, (1.8)
т. е. произведение неопределенностей в координате dx и в проекции
импульса dpx на заданную координату для любой микрочастицы
больше или равно постоянной Планка.
Соотношение (1.8) можно записать для всех трех пространствен-
ных координат:
dx dpx h; dy dpy h, dz dpz h.'
I к'ремпожая левые и правые части последних выражений, полу-
чим
dx dy dz dpx dp у dpz (1.9)
(win шачим для удобства дальнейших рассуждений соответствую-
iinii* неопределенности, дающие при перемножении точно вели-
чин v /г1, добавочно нулями:
dx? dtj° dz° dpi dp°y dpi = ha. (1.10)
Рлнсиство (1.10) характеризует минимальную так называемую
|i 1 юную ячейку в шестнмерном пространстве координат-нмпульсов,
р,11|ц-п1спную» частице.
< назначим через dZ число минимальных (элементарных) фазовых
гчегя в каком-либо объеме dx dy dz dpx dptJ dpz шести мерного про-
i Арийства координат-импульсов. О че-
ки IMO
dx dy dz dpx dp у dpz
difidipd^dpldp^dpl •
II /III
dz=aV^.^. (LU)
В дальнейшем все расчеты будем про-
н л ютить для единицы обычного объема
। ргхмерного пространства, т. е. будем
о чн гать, что имеем дело с единицей объе-
м । металла, полупроводника и т. д.
Следовательно, определяем число эле-
ментарных фазовых ячеек dz для еди-
Рис. 1.2. Шаровой слой тоЛ'
шииой dp в пространстве
импульсов
пипы этого обычного объема в некотором объеме трехмерного прост-
ри! ютва импул ьсов:
tfZ dpx dpy dpe
^Z~dV~ № '
(112)
Найдем величину dz в шаровом слое пространства импульсов,
ограниченном, как показано на рнс. 1.2, сферами радиусов р и
Р I dp. При этом
dpx dp у dpz = 4 яр2 dp. (1.13)
Кроме того, по (1.6) и (1.7) имеем
р3 = 2тЕк—2тЕ. (1.14)
В последнем случае кинетическая энергия частицы Ек прирав-
нена полной энергии Е, так как потенциальная энергия для сво-
I «одной частицы равна нулю.
По (1.14) находим
dp = (^)'Pd£. (1.15)
Подставляя выражение (1.15) в (1.13) и (1.12), имеем
(1.16)
7
Определим теперь число элементарных фазовых ячеек, прихо-
дящихся на единичный интервал энергии, т. е. найдем так назы-
ваемую плотность состояний:
л'<£)^1==2я(У,2£'/г- <и7)
Рис. 1.3. Зависимость плот-
ности состояний N от энер-
гии Е для свободных элект-
ронов
Согласно равенству (1.17) плотность состояний W является полу-
квадратичной функцией Е (рис. 1.3). Если выбрать определенный
интервал dE и определить произведение NdE = dz, то очевидно,
что с ростом Е возрастает dz (увеличивается площадь заштрихован-
ных трапеций), поскольку объем шарового слоя заданной толщины
dp увеличивается с ростом импульса р,
и число элементарных фазовых ячеек в
нем соответственно возрастает.
Функция Ферми
В соответствии с принципом запре-
та Паули в элементарной фазовой ячей-
ке может находиться не более двух элек-
тронов, имеющих антипараллельные
спины.
Таким образом, соотношение неоп-
ределенностей Гайзенберга вместе с
принципом Паули позволяют определить элементарный фазовый
объем, в котором могут находиться самое большее два электро-
на. При этом ячейка полностью занята. Но может оказаться,
что ячейка либо занята частично, либо совсем свободна.
Согласно статистической физике ве-
роятность заполнения электронами эле-
ментарной фазовой ячейки, соответст- /----------------——.
вующей энергии Е, определяется функ-
цией Ферми
E-t (1-18)
е kT +1______________________________________
где Еф — энергия, или уровень Ферми.
Нетрудно заметить, что при абсолют- Рвс j 4 функция ферми f
ном нуле f9 принимает всего лишь два при а6солютном нуле
значения (рис. 1.4): при £<£ф = £ф0
имеем /ф = 1; при Е > £ф0 имеем /ф = 0. Таким образом, при
£ = £ф0 наблюдается скачок Д/ф = 1.
Если же 7 ^0, то, как легко проверить, наибольшее изме-
ние/ф наблюдается вблизи величины £Ф (рис. 1.5), а при £ = £Ф
имеем [ф = 1/2.
При £ — £Ф = n^kT, где величина составляет несколько
единиц, экспонента знаменателя значительно превышает единицу,
т. е. е”’ 1. В таком случае величина /ф близка к нулю.
Рис 1.5. Функция Ферми /ф
при Т О
I Ipn £ф — E = ntkTt наоборот, e-n* <1 и/Ф близка к единице.
(Следовательно, практически интервал изменения /ф от единицы
по нуля простирается по оси абсцисс в пределах нескольких kT
и н во от £ф и нескольких kT вправо от Еф. Точные значения этого
ни।(‘рвала указать невозможно, но
важно, что оба участка по порядку
величины совпадают со значением
I, / Грубо можно считать, что в ин-
it-рнлле от нуля до Еф— kT имеем
/.i. 1, а при Е > Еф + kT имеем
/«• 0.
(Следует отметить, что уровень
I t рми Еф представляет собой хими-
ческий потенциал р. Термодинамиче-
< кия трактовка уровня Ферми позво-
нче г получить весьма важный вывод
„О условии термодинамического равновесия системы, например,
К1>1н;1кта двух тел (полупроводника и металла, двух полупровод-
ников, полупроводника и диэлектрика и т. д.). Обозначим свобод-
ною энергию, число электронов и химический потенциал двух
in »н тактирующих тел через Ех, Л\, и F2, Л'2, Иг- Свободная энер-
। ня системы
В условиях равновесия имеем минимум F. В этом случае хими-
ческие потенциалы рх и р2 должны быть одинаковыми. Действи-
। едино, из условия минимума F следует
dF = 0 — pi dA\ + р2 dNz.
I Io поскольку при обмене электронами = — dN2, то оче-
II1I11K) Р] — р2.
Г.1КНМ образом, получаем, что в условиях термодинамического
рннповесмя (в изотермических условиях) химический потенциал
(\||<>нгш, Ферми) оказывается постоянным в любой системе контак-
iiipyiyiHHX тел. Поэтому необходимым условием равновесия системы
можно считать, наоборот, постоянство уровня Ферми.
В окно также подчеркнуть, что уровень Ферми не зависит от
|»П|.см?1 тел.
В включение отметим, что электронный газ, свойства которого
< и in i,ж,потея функцией Ферми, называют вырожденным или кван-
ншым. При определенных условиях функция Ферми может перехо-
ти. в функцию, соответствующую статистике Максвелла—Больц-
M.Hi.i, и тогда считают, что вырождение снимается, т. е. газ стано-
H1I । ся классическим или невырожденным» Это возможно в том
когда число разрешенных энергетических состояний значи-
к 1ыю больше числа электронов: квантовомеханнческне запреты
.,п утопываются», и оказывается возможным использовать статис-
тку Максвелла—Больцмана. Если же число электронов сравнимо
с числом энергетических состояний, то необходимо применять ста-
тистику Ферми.
Электронный газ можно считать невырожденным, если выпол-
няется условие
Е-Еф
В этом случае по (1.18), пренебрегая в знаменателе единицей,
имеем
= (1.20)
где
л=еЕф/Лг.
(1-21)
Условие (1.19) выполняется при —2 — 3, т. е. на «хвосте»
кривой рис. 1.5 выше Еф. Следовательно, этот «хвост» соответствует
распределению Максвелла—Больцмана.
Наоборот, при выполнении условия
Е-Еф
e—kT~ (1.22)
газ является вырожденным.
Условие вырождения (1.22) можно переписать в виде
~Ёф/ьт' 1 (1.23)
Если, как, например, для свободных электронов, Е 0 и, сле-
довательно, числитель выражения (1.23) не меньше единицы
(е^7^ 1), то согласно (1.23)
еЕф,"г>1. (1.24)
Условие (1.24) называют критерием вырождения.
Границу вырождения определяют из условия
еЕф'",г = 1. (1.25)
Соответственно невырожденный газ возможен, когда (при пере-
ходе (1.20) начало отсчета Е переносится, так что Е = 0 выше
Еф *С0)
еЕф"!7'<1. (1.26)
Концентрация электронного газа
Ранее определили плотность состояний N как число элементар-
ных фазовых ячеек, приходящихся на единичный интервал энер-
гии при расчете на единицу объема. Кроме того, известна вероят-
ность нахождения электрона в состоянии с энергией Е в виде функ-
ции Ферми.
10
или
Следовательно, можно определить число свободных электрон^
dnOt энергия которых заключена в интервале от Е до £4- dE:
dn0= dz-2/ф, (1.2^
dn0~N-2fa,dE. (1.2^
Наличие множителя 2 связано с принципом Паули. Итак, име^
= (1.2^
Отсюда
^ = 4л(2^2_£1,^ф. (|.3О’
Функция (1.30) изображена на рис. J.6 и 1.7. В первом случ^-
при Т = 0 в интервале отО до £фС имеем /ф — 1. Во втором случ^
при Т 5^0 кривая dn0/dE имеет более сложный вид.
В обоих случаях плотность состояний возрастает с ростом
В то же время в первом случае величина dnJdE возрастает лшЕл
в интервале от 0 до Еф0, а затем скачком уменьшается до нуЛ/
(см. рис. 1.6), а во втором случае она возрастает в некотором интеЕ-
вале от 0 до Е < £Ф, а затем постепенно уменьшается до нуля (с*
рис. 1.7). J
Для вычисления концентрации свободного вырожденного га*у
проводим в формуле (1.29) интегрирование по энергии. Для случ^
Т = 0 получаем
По = 4яУ'- § E'^dE, (1.4
О
или
П0~----3^3--С ФО» (1-Д
Как видим, величина Е&0 определяется концентрацией эдектА
нов. Если положить /г0 1028 м-8, что характерно для металлов, *
£Фо & 5 эВ.
Значит, при абсолютном нуле вырожденные электроны могут
иметь различную энергию от 0 до Еф0, в то время как для класси-
ческого газа прн снижении температуры до О К тепловое движение
должно прекращаться и кинетическая (и полная) энергия частиц
уменьшаться до нуля.
Если подсчитать среднюю энергию вырожденных электронов
прн Т = О К, то получим
Еср = |Ефо- (1-33)
Найдем концентрацию невырожденного электронного газа при
некоторой температуре Т ^=0. По (1.29) и (1.20) имеем
По=4лу3 - е1'1-'"’ e-^TEWdE. (1.34)
о
Проводим замену переменной, обозначив E/kT = х и dE/kT —
= dx. По (1.34) имеем
П|1 = 4Л(2^Г)^ еЕф/,7 (1.35)
о
Интеграл в (1.35) известен и равен у п/2. Следовательно, при
температуре Т
_2(2пткТ)3''2 Еф/кт
"о------дз----е
(1.36)
Формула (1.36) выражает функциональную связь между концент-
рацией невырожденного газа п0 и уровнем Ферми £Ф. Сюда же
входит как переменный параметр абсолютная температура Т, осталь-
ные величины являются постоянными.
Если считать (1.36) справедливым вплоть до границы вырожде-
ния, то, используя (1.25), получим
= (1-37)
При Т = 300 к по формуле (1.37) п[р 2-1026 м"3.
Согласно (1.36) и (1.26) прн я0 < электронный газ невырож-
ден, а при п0 > — вырожден. Значит, в обычных условиях (при
Т «300 К) электронный газ невырожден, если ло< 2-1025 м"3.
Заметим, что если зафиксировать п0, то можно попытаться опре-
делить температуру Тк, при которой вырожденный газ должен был
бы переходить в невырожденный. Например, положив «о = 1028м-3=
== пгр, по (1.37) найдем Тк:
7^5-104 К.
(1.38)
Согласно (1.38) вырожденный электронный газ в металле пере-
ходил бы в невырожденный газ лишь при достижении 5-Ю4 К.
12
Это было бы справедливо, если бы можно было считать приведенный
расчет пригодным во всем интервале температур. В действительности
задолго до достижения такой температуры твердый металл превра-
щается в газ.
Таким образом, в металлах, находящихся в твердом состоянии,
электронный газ находится в вырожденном состоянии.
В заключение заметим, что поскольку при обычных условиях
Еф ^kT, графики рис. 1.5 и др. являются качественными и изобра-
жены без соблюдения истинного масштаба величин.
Теплоемкость электронного газа
Рассмотрим упрощенную модель зонной схемы, которую исполь-
зуют в литературе: положим, что число дискретных энергетических
уровней равно половине числа состояний в разрешенной зоне. В этом
случае на каждом уровне может находиться не более двух электро-
нов с антипараплельными спинами. Примем, кроме того, интервалы
между разрешенными дискретными уровнями одинаковыми и рав-
ными ДЕ. Тогда для единицы объема
ДЕ = 2Еф/и0, (1.39)
поскольку число уровней при условии полной занятости равно
п0/2, а Еф kT. Например, если Еф = 5 эВ, а п0 — 1022 см-3, то
для куба объемом 1 см3 имеем ДЕ = 10-21 эВ. При увеличении объема
пропорционально увеличивается число уровней и уменьшается
расстояние между ними.
В интервалах ЛТпо обе стороны от ЕФ (см. рнс. 1.5) считаем, что
каждый уровень занят лишь одним электроном, так что число уровней
оказывается равным числу электронов:
. kT kT п
Д,г" = ДЕ =2Ё^'°-
Такое количество свободных электронов единицы объема за счет
тепловой энергии покидает интервал kT, расположенный ниже Еф,
и переходит в интервал kT, расположенный выше Еф. Относительное
изменение концентрации электронов, заполняющих уровни ниже
Еф, при нагревании металла от О К до температуры Т
кпй1п0==ЬТ1<2Ео>. (1.41)
При Т = 300 К величина kT ~ 0,02 эВ, так что при Еф =
= 5 эВ имеем Дя0/Ло ~ 0,002. Только эта часть электронов и участ-
вует в тепловом движении. Остальные же электроны не могут при-
нимать тепловую энергию, ибо, приняв ее, они должны переходить
на соответствующие более высокие уровни, а последние все заняты.
Изменение тепловой энергии за счет перебросов указанной части
Д/г0 электронов через уровень Ферми
ДЕг = Л7’Дп0=^п0. (1.42)
13
Тогда удельная теплоемкость электронного газа
а молярная теплоемкость
r k2T kT D /1 л л\
— (1.44)
с ф ф
где TVa — число Авогадро; R — газовая постоянная.
Очевидно, что при изменении объема пропорционально изме-
няется и число элементарных фазовых ячеек [см. (1.11)]. Поэтому
заменено п0 на Na- Напомним, что молярная теплоемкость идеаль-
ного газа молекул при постоянном объеме выражается в виде
(1.45)
Следовательно, теплоемкость электронного газа (1.44) состав-
ляет, например, лишь тысячные доли от теплоемкости идеального
газа (1.45), что является следствием участия в тепловом движении
только малой доли свободных электронов. Поэтому теплоемкости
металлов и неметаллов мало различаются между собой.
Очевидно, что в электропроводности металлов могут принимать
участие также лишь электроны, располагающиеся вблизи уровня
Ферми. Действительно, энергия электрона в электрическом поле
может увеличиться на величину
A£<?=^Z,
где $ — напряженность поля; I — длина свободного пробега элект-
рона.
Величина АД# обычно очень невелика. Например, при =
= 1 В/см, /=10 с см, «==1,6-КГ1» Кл имеем АЕе=1,6- 1СГ25Дж=
= КГ6 эВ.
Таким образом, электроны, располагающиеся на уровнях зна-
чительно ниже уровня Ферми, не могут участвовать в проводимости,
т. е. не могут увеличивая ь свою энергию на величину энергии дрей-
фа, ибо все ближайшие энергетические уровни заняты другими элек-
тронами.
Выводы к § 1
I. Зависимость энергии Е свободных электронов от их волнового числа k,
т. е. закон дисперсии, выражается квадратичной параболой в виде (1.6).
2. Плотность состояний, т. е. число элементарных фазовых ячеек в пространстве
импульсов, приходящихся на единичный интераал энергии и единичный объем
обычного пространства, для свободного электронного газа является полуквадра-
тичной параболической функцией от энергии и записывается в виде (1.17).
3. Вероятность заполнения электронами элементарной фазовой ячейки, кото-
рой соответствует энергия Е, определяется функцией Ферми (1.18). Уровень
Ферми для Т — 0 соответствует максимальной энергии, которую имеют электроны
свободного электронного газа, а при Т =/= 0 уровень Ферми заполняется лишь
наполовину. Уровень Ферми можно отождествить с химическим потенциалом
14
< нободных электронов. Это дает возможность сформулировать условие термодина-
мического равновесия системы, выражающееся в постоянстве уровня Фермн.
4. Концентрация свободного вырожденного электронного газа при 7=0
i вязана с уровнем Ферми формулой (1.32). Концентрация свободного невырожден-
ного газа при Т =/= 0 связана с уровнем Ферми формулой (1.36).
5. В тепловом движении могут принимать участие лишь электроны, запол-
няющие уровни вблизи £ф на расстояниях от него порядка kT. Вследствие этого
теплоемкость электронного газа оказывается весьма малой. Аналогичным образом,
н слабых полях в дрейфе могут участвовать лишь электроны, заполняющие уровни
в тех же интервалах энергии.
§ 2. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ ДЛЯ МИКРОЧАСТИЦ
Потенциальные барьеры и ямы для микрочастиц возникают,
например, вследствие электрического взаимодействия электронов
с ионами решетки в объеме твердого тела, на границах раздела тел
и т. д. Ход потенциальной энергии частицы в зависимости от ее коор-
динат представляет собой потенциальный рельеф для этой частицы
в заданном объеме.
В кристаллах, отличающихся периодичностью расположения
атомов (ионов), наблюдается периодический потенциальный рельеф
для электронов; причем в простейшем случае его можно представ-
лять в виде совокупности одномерных прямоугольных ступеней,
разделенных одномерными прямоугольными ямами. Тонкие диэлект-
рические слон, контактирующие с полупроводниками, также можно
изображать в виде прямоугольных барьеров, имеющих такую же
толщину, как и диэлектрические слои. Следовательно, прямоуголь-
ные барьеры для микрочастиц встречаются довольно часто. Кроме
того, такие барьеры являются наиболее
простыми и легкими для математического
описания. Ограничимся подробным рас-
смотрением лишь прямоугольных барьеров.
Прямоугольный барьер
полубе с конечной толщины
Допустим, что в области А, показан-
ной на рис. 2.1, слева от точки О микро-
частица имеет потенциальную энергию, рав-
ную нулю, а в области В, равную V.
Если частица движется вдоль оси х из области А в область В,
имея полную энергию Е, то она встречает барьер — потенциальную
энергию U. Пунктирами на рис. 2.1 показаны значения Е для трех
случаев: 1) Е > I/; 2) Е = 3) Е < U.
Состояние микрочастицы описывается уравнением Шредингера.
Ограничимся одномерным случаем, для которого стационарное
уравнение Шредингера запишем в виде
§’ + 44 = 0, (2.1)
2 —
3 —
Рис. 2.1. Прямоугольный
барьер бесконечной тол-
щины
15
где k — волновое число;
k = ~ y/'imE,. (2.2)
В области А имеем Ек = Е, ф = ф1э в области В имеем Ек =
= Е — V, ф = ф2.
Следовательно, для двух областей:
£^+*hh = O; (2.3)
^+^2 = 0. (2.4)
где
*1 = ^V2mE; (2.5)
Л2=^У2т(Е-Ц). (2.6)
Общие решения уравнений (2.3) и (2.4) можно записать в виде
фх = A ie{fe‘x + B^-ik^x\ (2.7)
(2.8)
Коэффициент отражения R, как в оптике, определяют через
отношение потоков вероятности, равное отношению квадратов
амплитуд отраженной (Вх) и падающей (Лх) волн:
*“|Ff <2-9>
Коэффициент прозрачности D барьера определяют как отношение
потоков прошедших и падающих волн:
Коэффициенты R и D можно истолковать также следующим обра-
зом: величина R характеризует вероятность отражения на границе
областей, a D — вероятность прохождения во вторую область. Соот-
ветственно должно выполняться равенство
R+D=l, (2.11)
так как частица либо отразится, либо пройдет.
Для расчета величин R и D следует учесть непрерывность функ-
ций ф и дф/дх:
(ф1К=о = (Фг)*=о5 (2.12)
= <213>
Для удобства расчета примем величину Аг за единицу, т. е.
Л1 = 1. Поскольку барьер справа не ограничен, то отраженной вол-
ны не будет и, следовательно, В2 — 0.
16
Таким образом, получим систему уравнений
1 4- Bt = Л2; — ik1Bl = ik2A2.
Отсюда имеем
= С2'14)
<2Л5>
Найдем R и D для трех случаев, указанных на рис. 2.1.
1) Если Е > U, то
«=(fcD'; <2Л6>
<2Л7’
/?4-Г=1.
Следовательно, в данном случае в отличие от классической час-
тицы будет наблюдаться отражение. Значение R будет тем больше,
чем меньше /г2, т« е- чем меньше разность Е — U.
2) Если Е = U, то /?2 = 0 и соответственно R ~ 1, D = 0, т. е.
можно сделать вывод о полном отражении волны.
3) Если Е < U, то величина k2 согласно (2.6) является мнимой.
Обозначим через k вещественную величину:
Л= 1 K2m (2.18)
Тогда получим
k2^ik. (2.19)
Таким образом, имеем
г> I —• ft I2 (Ai—t'A) (Ai-H‘A) __ 1 . /О ОЛ \
Е ~~ I Ai4-iA I fti 4*^)(Ai -»А) “ 1 ’
£)=/?-l = 0. (2.21)
Однако
= A2e-kJC. (2.22)
Относительная вероятность найти частицу в области В при
каком-либо х будет определяться нз выражения
1УЙ = I A = I л2 ,’е" » Л"<1'~Е>Х. (2.23)
Это не противоречит (2.21), если учесть, что некоторая часть час-
тиц из потока проникает в область В, а затем выходит в область А.
Экспонента в (2.23) быстро убывает с ростом х, поэтому, напри-
мер, при V — Е ~ 1 эВ и х = 10 А она составляет лишь около
10~8 единицы.
НАУЧНАЯ Е1'
вч. А.И. г .• .А
17
Прямоугольный барьер конечной толщины
Положим, что влево от барьера В в области А и вправо от барьера
в области С (рис. 2.2) потенциальная энергия равна нулю, а в области
барьера она равна I/. В этом случае аналогично предыдущему можно
записать уравнение Шредингера для областей А, В, С и, используя
граничные условия типа (2.12), (2.13), определить соответствующие
коэффициенты для функций ф. Затем можно определить R и D.
Особый интерес представляет коэффициент прозрачности D.
d Поскольку длина волны в областях А и С
г одинакова, то при = 1 получим
- П = | Л3]2 = Д3Л:. (2.24)
“ у Опуская расчет, запишем D для случая
f Е< U:
--1___________1 Г, Г, -%V2m(U-E)d--(9 25)
А О В С X-----------------------------------------D = D<£ Л .
Рис. 2.2. Прямоугольный
барьер конечной толщины
Очевидно, что с ростом U — Е, т. е. с
уменьшением Е, величина D уменьшается.
Практически при d> 150 А величина D ~0
для любых U — f > 0. Таким образом, микрочастицы могут про-
ходить через тонкий барьер, когда полная энергия частицы Е
меньше ее потенциальной энергии I/, т.
Это явление называют туннельным эф-
фектом.
В заключение отметим, что, если ба-
рьер не прямоугольный, то формулу
(2.25) можно обобщить, введя в показа-
тель степени интеграл
— /2т Vu—Edx
D=Doe (2.26)
е. меньше высоты барьера.
Рис. 2.3. Потенциальный
барьер произвольной формы
Значения «точек поворота» х± и зависят от Е и формы барьера
(рис. 2.3). Для разных барьеров получаются различные выражения
для D. Можно определять D по формуле (2.26), если известен ход
функции U—Е = f (х). Величина Do близка к единице, в связи
с чем часто полагают Do = 1.
Глубокая прямоугольная потенциальная яма (ящик)
На рис. 2.4 изображена одномерная прямоугольная потенциаль-
ная яма. В областях А и С потенциальная энергия равна U, а в
области В — нулю.
Рассмотрим состояния микрочастиц, находящихся в области
пространства В, т. е. в яме. Будем считать, что U оо. Ширину
ямы обозначим через а. Полную энергию частицы, как и ранее,
обозначим через Е.
Ж
Поскольку стенки ямы бесконечно высоки, частицы не могут
выходить нз ямы, т. е. в областях А и С имеем ф = 0.
Так как функция ф непрерывна, полу-
чаем и для ф в области В
ф(0) = ф(«) = 0. (2.27)
Состояния микрочастиц в яме описы-
ваются уравнением Шредингера
0+^=°-
где
2тЕ„ = -^ К 2тЕ.
Рис. 2.4. Прямоугольная
одномерная лотенциаль*
пая яма
Е
Решением уравнения Шредингера будет, например,
Ф (х) = Ао sin (kx—6). (2.28)
Если полагать х — 0, то по (2.27) имеем 6 = 0, (2.29)
потому что следует считать Лв =^0. Соответственно при х = а имеем ф (о) = Ло sin Ла = 0. (2.30)
Поскольку ни k, ни Ао не равны нулю, то условие (2.30) выполняется
при
где п = 1, 2, 3, ... Следовательно, ka = nn, (2.31)
к*=п% = ±У2тЁ. (2.32)
Отсюда получим * С 2 Л2 Е = п2 о—• 8та (2.33)
Равенство (2.33) означает, что граничные условия задачи удовлет-
воряются лишь для дискретного ряда значений энергии, т. е. микро-
частица, «запертая» в потенциальной яме, может иметь только
квантованные значения энергии (2.33).
На рис. 2.5 изображены разрешенные энергетические уровни
(без соблюдения масштаба). Здесь же приведены собственные
функции фп (%) для каждого из уровней, причем
ф„=Л05Шу ля.
(2.34)
На рис. 2.6 также приведены указанные уровни и здесь же
изображены функции фп, определяющие плотность вероятности
нахождения частицы в том или ином месте в яме. Как видно из
19
рисунка, при п = 1 вероятность максимальна при х — а/2\ при
п ~ 2 имеется два максимума (при х = а/4 и х = Зс/4); при п =
= 3 — три максимума и т. д.
Рис. 2.6. Плотность ве-
роятности ф® в зависи-
мости от расстояния в
глубокой прямоуголь-
ной яме
Рис . 2.5, Зависимость
волновой функции фот
координаты в глубо-
кой прямоугольной по-
тенциальной яме на
разных уровнях энер-
гии Е свободной ча-
стицы
При достаточно большом п количество максимумов будет столь
велико, что частица, обладающая большой энергией, может ока-
заться и вблизи стенок ямы. Этот вывод имеет важное значение при
рассмотрении некоторых задач физики полупроводников и диэлект-
риков.
Выводы к § 2
1. При падении на прямоугольный барьер полубесконечной толщины наблю-
дается частичное или полное отражение электронов и других микрочастиц. В слу-
чае, когда полная энергия микрочастицы меньше высоты потенциального барьера,
возможно проникновение ее в глубь барьера. Однако при неограниченной толщине
барьера микрочастица, проникшая в глубь барьера, в конечном итоге выходит
обратно.
2. Проникновение микрочастиц через потенциальные барьеры конечной
толщины ПРИ £ < называют туннельным эффектом. Коэффициент прозрач-
ности D прямоугольного барьера конечной толщины d выражается в виде (2.25).
При толщинах d > 150 А величина D оказывается исчезающе малой, т. е. такие
барьеры непрозрачны для микрочастиц.
3. Микрочастица, «запертая» в глубокой потенциальной яме с вертикальны-
ми стенками, может «располагаться» лишь на дискретных уровнях энергии.
На нижнем уровне частица с наибольшей вероятностью может находиться на
равном расстоянии от стенок, т. е. в средней части ямы. На высоких уровнях
частица может находиться в различных местах, в том числе вблизи стенок ямы.
§ 3. КВАНТОВАНИЕ В АТОМАХ
Состояния электронов в атомах характеризуются четырьмя
квантовыми числами:
1) главным п— 1, 2, 3, 4f
20
2) орбитальным I = 0, 1, 2, ...» (n — 1);
3) магнитным tn = 0, ±1, ..., ±Z;
4) спиновым s = ztg.
Главное квантовое число п определяет порядковый номер раз-
решенной орбиты или энергетического уровня электрона.
Орбитальное квантовое число I связано с орбитальным механи-
ческим моментом количества движения pi электрона формулой
й=й/7Д+1). (3.1)
Магнитное квантовое число т определяет проекцию момента pt
на некоторое направление; причем т принимает лишь целочислен-
ные значения.
Спиновое квантовое число в единицах fl выражает собственный
механический момент количества движения электрона. Последний
может быть направлен либо параллельно, либо антипараллельно
орбитальному моменту количества движения.
Совокупность электронов, обладающих одним и тем же значе-
нием главного квантового числа п, образует слой атома. При
п — I имеем К-слой, при п = 2 — £-слой, при п = 3 — /И-слой
и т. д.
Внутри слоя электроны с различными орбитальными числами I
образуют оболочки s, р, d, f и т. д.:
s-оболочку при I — 0;
р-оболочку при I — 1;
d-оболочку при I = 2;
f-оболочку при 1=3.
Согласно принципу запрета Паули в одном квантовом состоя-
нии, характеризуемом четырьмя квантовыми числами, может нахо-
диться не более одного электрона. Соответственно в квантовом
состоянии, определяющемся тремя квантовыми числами и, I, tn,
может находиться не более двух электронов с антипараллельными
спинами (s = ±х/2).
Число значений т, изменяющегося в пределах от —I до -|-Z,
составляет 2Z +1. Следовательно, максимальное число электронов
в заданной оболочке
AZz = 2(2Z+l). (3.2)
Максимальное число электронов в заданном слое
п—I
1V„= 2 Al, = 2[l+3+...+(2n-l)] = 2n =2п*. (3.3)
7=0
Таким образом, в 7<-слое может находиться максимум 2 элект-
рона, в L-слое — 8 электронов, в Af-слое — 18 электронов и т. д.
Соответственно в s-оболочке может находиться не более 2 электронов,
в р-оболочке — 6 электронов, в d-оболочке — 10 электронов и т. д.
В изолированных атомах s-уровни являются простыми, а все
остальные — вырожденными. Последнее означает, что при задан-
21
ных п и I, т. е. при заданной величине Е, имеются g — (21 + 1)
значений т и им могут соответствовать g электронов. Следовательно,
фактор вырождения g (без учета спина) для р-уровней равен трем,
так что р-уровни имеют трехкратное
вырождение. Соответственно для d-уров-
ней g =5, и эти уровни имеют пятикрат-
ное вырождение.
При заполнении слоев и оболочек
электроны стремятся занять более низ-
кие энергетические уровни. Поэтому вна-
чале должны заполняться слои с я == 1,
затем с п = 2, далее с п = 3 и т. д.
Однако взаимодействие между элек-
Рис. 3.1. Потенциальная яма
атома
тронами вносит коррективы в эту про-
стую схему. Во-первых, при фиксиро-
ванном п оболочки располагаются в по-
рядке возрастания I, т. е. сначала заполняются s~, затем р-, далее
d-оболочки и т. д. Во-вторых, оболочка 4s оказывается ниже, чем
3d, так же, как 5s ниже 4d, а оболочка 6s ниже не только 5d, но
и 4f.
Используют символическую форму записи состояния электронов
атомов.
Например, для электронов атома кремния 14Si можно записать
ls22s22pG3s23p2;
атома германия 32Ge
ls22s22p63s23pG3d104s24p2.
Индексы 14 и 32 соответствуют порядковым номерам нли числу
электронов в неионизироваиных атомах. Сумма верхних индексов,
показывающих число электронов в оболочках, очевидно, должна
совпадать с порядковыми номерами. Валентными электронами
являются 3s23p2 и 4s24p2 соответственно.
На рис. 3.1 приведена потенциальная яма атома и показаны
уровни энергии электронов.
Вывод н § 3
Состояние электронов в атомах квантовано, оно характеризуется четырьмя
квантовыми числами. В соответствии с этими числами образуются электронные
слои, оболочки и уровни (состояния). В изолированном (не взаимодействующем
с соседями) атоме s-уровни являются простыми, а все остальные — вырожденными.
Последнее означает, что заданному значению энергии соответствует g электронов
(без учета спина). В соответствии с квантовыми числами используют символичес-
кую форму записи атомов. Группы энергетических уровней электронов можно
изобразить в виде горизонтальных линий в потенциальной яме атома.
ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 4. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ
Рассмотрим случай, когда электроны находятся в монокрис-
талле, т. е. в периодическом потенциальном поле положительных
ионов кристаллической решетки. Линейная цепочка положительных
ионов образует для электронов потенциальный рельеф, показанный
на рис. 4.1. Каждый ион решет-
ки имеет потенциальную
яму бесконечной глубины, элек-
троны атомов располагаются на
определенных уровнях в этих
ямах. На рис. 4.1 изображены
по три уровня в каждой потен-
циальной яме. Как отмечалось,
изолированные атомы имеют ана-
логичные потенциальные ямы
для электронов, однако они от-
Д—&==з>—©—©-
Рис. 4.1. Потенциальный рельеф для
электронов, создаваемый линейной це-
почкой положительных ионов кри-
сталлической решетки
личаются тем, что верхние ча-
сти кривых постепенно приближаются к горизонтальной оси (к
U = 0), уходя в бесконечность (рис. 3.1). При сближении атомов
и их взаимодействии видоизменяет-
ся верхняя часть кривых, и соз-
даются потенциальные барьеры
с вершинами, лежащими ниже
U = 0.
Поскольку глубина потенциаль-
ных ям принципиальной роли не
играет, можно заменить потенциа-
Рис 4.2. Модель^ Кронита — Пеп- ЛЬНЬ1й рельеф рис. 4.1 рельефом С
конечной глубиной ям. Кроме то-
го, непрямоугольные барьеры в
модели удобнее заменить прямоугольными (рис. 4.2). Такую мо-
дель потенциального рельефа называют моделью Кронита—Пенни.
Сумма ширины потенциальной ямы а и толщины барьера b пред-
ставляет собой постоянную решетки, т. е. a -f- b ~ d.
23
При расчете состояний электронного газа используют два край-
них случая — приближения сильной н слабой связи.
Рассмотрим основные результаты, которые получают в этих
случаях.
Приближение сильной связи
Предположим вначале, что при создании линейной цепочки
атомов кристаллического тела все электроны остаются в пределах
соответствующих изолированных атомов, т. е. электроны нахо-
дятся в потенциальных ямах «своих» атомов. Но взаимодействие
атомов приводит к уменьшению высоты и толщины потенциальных
барьеров. Если у изолированного атома барьер имеет бесконечную
толщину, то у линейной цепочки атомов толщина барьера составляет
малую величину b и он может оказаться прозрачным для туннели-
рования электронов. Туннелируют преимущественно внешние элект-
роны, для которых минимальна величина V — Е. В модели Кро-
нига—Пенни примем дно ямы за начало отсчета потенциальной
энергии.
Если скорость электрона равна v, то при движении в яме вдоль
цепочки за единицу времени осуществляется via подходов к барьеру.
Тогда частоту переходов v электронов из данного атома в соседний
можно определить как
Время пребывания т электрона в данном атоме соответствует
величине, обратной v, т. е. т = 1/v. Например, если положить
а = 1СГ8 см, v = 108 см/с, U — Е ~ 10 эВ, b = 30- 10~8см, то полу-
чим v ~ КГ27 с-1 или т « 1027 с. Величина b == 30 А соответствует
газообразному состоянию. Следовательно, в этом случае электроны
должны пребывать в атоме бесконечно долго, а туннелирование
исключено. Однако здесь не учитывается возможность ионизации
за счет тех или иных факторов.
Если сохранить условия задачи, за исключением b = 10-8 см,
то получим v » 101Б с-1 и т « 10“16 с. Значит, время пребывания
соответствующего электрона в фиксированном атоме составляет
ничтожные доли секунды. Именно такие условия характерны для
линейной цепочки атомов в кристалле.
Соотношение неопределенностей (1.8) для энергии и времени
имеет вид
dEdt = h, (4.2)
т. е. при пребывании электрона в заданном состоянии в течение
времени dt само состояние определяется по энергии лишь с точностью
до dE.
Если, например, изолированные атомы находятся в возбужден-
ном состоянии в течение времени порядка 10-8 с, то соответствующая
24
размытость уровня и спектральной линии составляет dE = Аг/10 8 =
10-’ эВ. Так определяется естественная ширина спектральной
линии.
Если же положить dt = т = 10~15 с, то получим dE = 1 эВ.
Таким образом, учитывая приближение сильной связи и способ-
ность электронов к туннелированию от атома к атому, приходим
к выводу, что время пребывания этих электронов в фиксированном
атоме оказывается малым, чему будет соответствовать образование
разрешенных энергетических зон. Очевидно, что наименьшее т
и наибольшее dE будет у внешних электронов. Следовательно,
внешние электроны не остаются достоянием отдельных атомов,
а становятся коллективизированными. Более же глубинные элект-
роны имеют большие значения т и меньшие dE. Для невозбужден-
ных внешних электронов получают валентную зону, выше которой
располагается зона проводимости.
Более строгие варианты теории приближения сильной связи
(теории квазисвязанного электрона) рассматривать не будем.
Приближение слабей связи
В качестве нулевого приближения рассмотрим свободные элект-
роны, а периодическое поле кристаллической решетки примем как
возмущение. В простейшем случае уравнение Шредингера
^ + ^(£-17)ф = 0 (4.3)
решают при циклических граничных условиях.
Решение по Блоху можно записать в виде функции
ф (х) — и (х) eikx, (4.4)
где и (х) — периодическая функция, период которой совпадает
с периодом потенциала U (х), т. е. равен d.
Подставляя (4.4) в (4.3) и используя граничные условия, получим
уравнение
—F cos ап = cos ka, (4.5)
где
“=(^Г (4-6)
При этом предполагается, что барьеры весьма высокие и тонкие,
так что величину а можно принять за постоянную решетки (т. е.
Обозначим левую часть (4.5) через у (аа):
. . mab j 7sinaa . -,ч
= —l-cosac. (4.7)
Решают уравнение (4.5) графическим путем. По оси абсцисс
откладывают величину ап и по оси ординат — у (аа). Соответственно
25
получают качественную характеристику в виде кривой, изображен-
ной на рис. 4.3. Пунктиром здесь нанесена часть кривой у (аа),
выходящая за значения ±1. Эта часть кривой не может удовлетво-
рять уравнению (4.5), поскольку cos ka не может быть больше
единицы по абсолютному значению. Сплошной линией нанесена часть
Рис. 4.3. Зависимость у (аа) при тон-
ких и высоких барьерах модели Кро-
ннга — Пенни
аа = 0 величина у > 1. Точка А
угле аа, у = 1. Значение
кривой у (аа), лежащая в преде-
лах от +1 до —1. Эта часть кри-
вой удовлетворяет уравнению
(4-5).
Участки оси абсцисс АВ, CD,
CjD-l и т. д., в которых кри-
вая у (аа) не выходит за преде-
лы ±1, соответствуют разрешен-
ным зонам энергии, поскольку а
и Е связаны соотношением (4.6).
При аа—>0 имеем sin аа/аа->
-> 1, и по (4.5) получаем, что при
ежит в первой четверти при таком
ого угла определяется соответст-
вующими параметрами кривой у (аа).
В точке В, где у первый раз достигает —1, имеем аа = л. Далее
наблюдается запрещенная зона до точки С, которая лежит, по-ви-
днмому, в третьей четверти, и затем сно-
ва разрешенная зона CD, причем в точ-
ке D имеем аа = 2л.
Кривая у (аа) симметрична относи-
тельно аа = 0, так что при отрицатель-
ных значениях аа имеем аналогичные
отрицательные углы. Ширина разрешен-
ных зон АВ, CD и т. д. увеличивается
по мере роста аа.
Согласно (4.5) в точке В имеем
cos ka = —1 и, значит, ka ~ л. В точке
D имеем ka = 2л. В последующих точ-
ках ka кратно величине л. Следователь-
но, потолки разрешенных зон наблю-
даются при условии
k = nn!a, (4.8)
Рис. 4.4. Зависимость пол-
ной энергии Е электрона,
движущегося в периодиче-
ском потенциальном поле,
рельеф которого задается мо-
делью Кронига — Пенни, от
волнового числа k
где п = 1, 2, 3, ...
На рис. 4.4 приведена кривая Е (k),
соответствующая рассматриваемому слу-
чаю. Вблизи дна первой из разрешенных
зон кривая Е (k) представляет собой
квадратичную параболу, как и на рис. 1.1. Однако при приближе-
нии к потолку зоны кривая Е (k) отклоняется от параболы, пока-
занной пунктиром. При k = ^п/а имеем потолок первой зоны и
разрыв в кривой, соответствующий запрещенной зоне. Далее на-
2G
б,.'подаются отрезки кривых, определяющие более высокие энергети-
ческие зоны.
Таким образом, приближение слабой связи позволяет в общих
чертах наметить зонную картину.
Основной вывод заключается в том, что волновые законы движе-
ния электронов в периодическом потенциальном поле приводят
к возникновению разрешенных и запрещенных зон энергии. При
этом не уточняется, о каких элек-
тронах идет речь, и зоны получают-
ся для всех электронов.
Здесь дана качественная трак-
товка одного из вариантов теории
слабой связи (теории квазисвобод-
ного электрона) в применении к
одномерной линейной цепочке, ко-
торую заменили моделью Кронига—
Пенни.
При рассмотрении трехмерной
кристаллической решетки полу-
чают аналогичные качественные ре-
зультаты для каждого из кристал-
лографических направлений. Мож-
показана запрещенная зона)
но ввести прямоугольную систему
координат и определять £(к) для различных направлений kx, kv,
kg. Можно также изобразить все три кривые Е = Е (к) на одной
плоскости (рис. 4.5). Если постоянные решетки будут ах, ау, aZ1
то разрывы Е (к) будут при kx = nnlax, ky = пл/%, k~ — гся/ал.
Может оказаться, что для всех трех направлений запрещенные зоны
приходятся на некоторые общие интервалы энергии так, что в целом
получаются запрещенные энергетические зоны. Но может быть
и другой случай, когда запрещенные зоны для разных направлений
либо не имеют общих запрещенных интервалов энергии, либо имеют
лишь узкие общие интервалы и в целом та или иная запрещенная
зона может перекрыться (полностью или частично) разрешенными
зонами.
Общие вопросы зонной теории нриствплнческих твердых тел
До этого кристаллическое твердое тело было рассмотрено каче-
ственно — на основе приближения сильной и слабой связи. Строгая
количественная характеристика должна основываться на представ-
лении кристалла в виде единой системы тяжелых и легких частиц.
Тяжелыми частицами будем считать ядра атомов, легкими —
электроны. Если координаты ядер обозначить через Rb R3, Rs
и т. д., а координаты электронов — через гь г2, г3 и т. д., то волновая
функция кристалла, зависящая от координат всех частиц,
V = W(r1,r2f ...RbR2, ...). (4.9)
27
Стационарное состояние частиц кристалла описывается уравне-
нием Шредингера
(4.10)
Здесь И есть оператор Гамильтона, который включает в себя
все виды энергии:
1) кинетическую энергию электронов
<4-ц)
где т — масса электрона; + + оператор Лап-
ласа для /-го электрона;
2) кинетическую энергию ядер
2л^Ла)’ (4-12)
где Ма — масса 3) потенциаль нов ядра; Аа — оператор Лапласа для а-го ядра; ную энергию попарного взаимодействия электро- i. i^j
где ео = 8,85-10 4) потенциаль -12 Ф/м — электрическая постоянная; ную энергию попарного взаимодействия ядер R2, ...);
5) потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядрами
U ez = ^ez (1*1,^, • • Rb Кг» • • •)•
Соответственно оператор Гамильтона можно записать так:
^ = Te-\-Tz-\-tje-\-Uz-{-lJee. (4-14)
Уравнение Шредингера содержит здесь огромное число пере-
менных, очевидно, превышающее число атомов в кристалле. Сле-
довательно, решить такую задачу оказывается очень сложно, если
не невозможно.
В современной зонной теории используются адиабатическое при-
ближение и одноэлектронное приближение. Поскольку средняя
кинетическая энергия тяжелых и легких частиц одного порядка,
можно считать первые практически неподвижными. Кроме того,
при изменении положения ядер практически мгновенно устанавли-
вается новое положение электронов, соответствующее новому поло-
жению ядер. Эго позволяет в первом приближении рассматривать
движение электронов в поле неподвижных ядер. Такое приближе-
ние называют адиабатическим.
28
Задачу многих частиц сводят к задаче одноэлектронного прибли-
жения. Для этого используют метод Хартри—Фока. Идея метода
состоит в том, что энергия попарного взаимодействия всех электро-
нов заменяется взаимодействием каждого электрона с усредненным
нолем остальных электронов. Пусть потенциальная энергия /-го
электрона в этом поле будет Указанное поле не только опреде-
ляет движение данного электрона, но и само зависит от его движе-
ния. Поэтому данное поле называют самосогласованным.
Введение самосогласованного поля позволяет заменить сумму
(4.13) суммой SQ/, каждый член которой зависит от координат одного
электрона.
Потенциальную энергию взаимодействия электронов с ядрами
можно представить в виде суммы: V = (rz), где Vi (rz) — потен-
циальная энергия /-го электрона в поле всех ядер.
С учетом сказанного уравнение Шредингера можно записать
в виде
|2[- SnЛН «/С'/) +C/(ri)]|4'e = £1Fc, (4.15)
где и Е — волновая функция и энергия электронов.
Уравнение (4.16) описывает электронную подсистему и полу-
чается в результате того, что (4.10) разбивается на два уравнения —
для ядерной и электронной подсистемы.
Под знак суммы (4.15) входит оператор Гамильтона t-ro элект-
рона
А 712
Hi=“ к д‘+(гг) (r/)- (4J 6>
Поскольку оператор Гамильтона (4.16) не содержит энергии
взаимодействия электронов, то волновую функцию системы элект-
ронов можно представить в виде произведения волновых функций
отдельных электронов:
Ч'е(Г1,г2, ...) = ,]>!(и)-.]>и(г2) ...= | [Ч7. (4.17)
Полная энергия системы равна сумме энергий отдельных элект-
ронов:
£ = £,+£2+... = ££,. (4-18)
i
Соответственно вместо уравнения (4.15) можно записать систему
уравнений
^1'Ф1 = ЗД1; H21p2 = ^2 и т. д. (4.19)
Каждое из этих уравнений относится к одному электрону, т. е.
введение самосогласованного поля позволяет задачу многих частиц
29
свести к задаче одного электрона
Яф = Еф(г), (4.20)
где ф (г) и Е — волновая функция и энергия электрона в кристалле.
Обозначив потенциальную энергию электрона в кристалле через
V (г), уравнение Шредингера получим в виде
{_£A+f7(r)}1f(r) = fiKr)- (4-21)
Уравнение (4.21) решают в приближении сильной или слабой
связи. Здесь (4.21) рассматривалось в одномерном случае в виде (4.3).
Таким образом, современная теория оперирует рядом прибли-
жений, позволяющих описать состояние электронов в твердом теле.
Однако эти приближения существенно отражаются на результатах
и поэтому нельзя рассматривать выводы упрощенных теорий как
полностью адекватное отражение действительности.
Кроме того, зонная теория подвергается критике, так как здесь
не учитывается характер химических связей, что в ряде случаев
весьма существенно.
Тем не менее основы зонной теории приемлемы для анализа
состояния различных кристаллов. Более того, возможно ее приме-
нение к поликристаллическим телам и даже к аморфным полупро-
водникам, где отсутствует дальний порядок, но в той или иной мере
сохраняется ближний порядок.
В дальнейшем неоднократно используются основные положения
зонной теории. Теперь же перейдем к рассмотрению структуры
энергетических зон, используя так называемое ^-пространство
и зоны Бриллюэна в нем.
Выводы к § 4
1. На основе приближения сильной связи зонной теории описывают состояние
квазисвязанных электронов атомов твердого тела с учетом возможности между-
атомного их туннелирования. Туннелирование электронов приводит к изменению
состояния: для внешних электронов время пребывания в данном атоме оказывается
ничтожно малым, что соответствует возникновению широкой энергетической зоны
вместо дискретных энергетических уровней изолированных атомов. Более глубин-
ные электроны так же «получают разрешение» на энергетические зоны, хотя и
более узкие по сравнению с валентной зоной.
2. На основе приближения слабой связи зонной теории описывают состояние
квазисвободных электронов, на которые действует периодическое возмущающее
электрическое поле. Волновые свойства электронов, движущихся в периодическом
потенциальном поле, приводят к возникновению разрешенных и запрещенных
зон энергии.
3. Зонная теория кристаллических твердых тел дает возможность объяснять
большое число экспериментальных данных, и по ходу развития предсказывать
некоторые неизвестные свойства твердых тел. Несмотря на то, что общая задача
взаимодействия многих частиц обычно сводится к адиабатическому приближению
и к одноэлектррнному приближению, зонная теория применима не только к моно-
кристаллам, ио и к поликристаллическим телам. Больше того, в определением виде
она применима к аморфным полупроводникам и диэлектрикам, в которых отсут-
ствует дальний порядок в расположении атомов. Это связано с тем, что зонная
структура энергии обусловлена взаимодействием атомов, а не дальним порядком.
Наличие дальнего порядка лишь упрощает описание твердого тела.
30
§ 5. ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
Ранее использовалось понятие пространства импульсов, которое
определяется путем задания импульсов в декартовой системе
координат рх, ру, pz. Согласно (1.7) импульс р’ пропорционален вол-
новому вектору к. Следовательно, вместо пространства импульсов
можно рассматривать также k-пространство, которое определяется
г помощью системы координат kXt ky, kz. При этом в общем случае
рпшая система координат не обязательно прямоугольна.
Разрешенным энергетическим зонам в твердом теле соответ-
ствуют зоны в k-пространстве. В простейшем случае для линейной
цепочки атомов имеем одномерное, fe-пространство. На рис. 4.4
но «пространство» изображается по оси k. Первой энергетической
юпе соответствует по горизонтали участок от —я/а до я/a. Этот
участок оси абсцисс длиной 2я/а есть так называемая первая зона
Бриллюэна в одномерном ^-пространстве.
Вторая (следующая) зона Бриллюэна состоит из двух участков:
от я/a до 2я/а и от —2л/с до —я/а. Аналогичным образом опреде-
ляются последующие зоны Бриллюэна для одномерного случая.
Таким образом, для одномерного случая зоны Бриллюэна изобра-
жаются отрезками оси k, на протяжении которых энергия Е является
непрерывной (точнее квазинепрерывной) функцией k. На границах
зон энергия претерпевает разрыв.
В трехмерном ^-пространстве зоны Бриллюэна определяются
значительно сложнее, ходя для простой кубической решетки первую
зону Бриллюэна находят легко. Она представляет собой куб в k-
пространстве, стороны которого равны 2я/а (где а — постоянная
решетки). При этом начало отсчета k — 0 совмещают с одним из
узлов так называемой обратной решетки.
Понятие обратной решетки вводят путем определения ее базис-
ных векторов. Если базисные векторы прямой решетки будут аь
а2, а3, то базисными векторами обратной решетки по определению
являются bb b2, Ь3, которые находят в виде
U ___ teAd I, _____ [азД1| L _____ 1а1аг1 /Е 1\
1 (а1 (а2аз]) ’ (aJ [а2аз]) ’ 3 (а1 [а2аз])
Здесь в прямых скобках дано векторное произведение, в круг-
лых — скалярное.
Для простой кубической решетки обратная решетка является
также простой кубической. Для гранецеитрированной кубической
решетки обратная решетка является кубической объемноцеитриро-
ваниой и, наоборот, — для объемноцентрированной кубической
решетки обратная решетка получается кубической гранецентри-
рованной.
Существуют правила построения зон Бриллюэна по обратной
решетке кристалла с учетом ее периодичности. В частности, для
простой кубической решетки первая зона Бриллюэна, как указано,
имеет центр в k = 0, и стороны куба, равные 2я!а, Базисные векторы
31
обратной решетки по (5.1) в этом случае будут иметь значения
— 1/с, Ь2 — На, Ь3 = На.
Первая зона Бриллюэна строится на векторах, имеющих длину
2nbj_ = 2л/й; 2лЪ2 ~ 2 л/я; 2лЬ3 ~ 2л 1а. Однако это возможно лишь
в случае простой кубической решетки.
Так, например, решетке типа алмаза, состоящей из двух куби-
ческих гранецентрированных решеток, сдвинутых одна относительно
другой на */4 пространственной диагонали, соответствует первая
зона Бриллюэна в виде области Л-пространства, ограниченной уже
не кубом, а четырнадцатигранником, шесть граней которого имеют
М
Рис. 5.1. Первая зона Брил-
люэна кристаллической решет-
ки типа алмаза
форму квадрата, а восемь — шести-
угольника (рис. 5.1).
Здесь плоскости (100) расставлены
одна от другой на расстояниях с/2,
где а — постоянная решетки. Соот-
ветственно векторы обратной решет-
ки и первая зона Бриллюэна имеют
в направлении [100] — [100] общую
2л 4л
длииу
Иначе говоря, отрезок оси kt от-
считываемый от k = 0, в направлении
1100] имеет длину 2л/а и в направле-
нии [100] также длину 2л/а.
Следовательно, первая зона Брил-
люэна простирается- здесь от —2л/а
до 2л/а, что отличает ее от простой
линейной цепочки (решетки), где она простирается от —л/а до
л/а.
Аналогичная картина наблюдается и для других главных направ-
лений [010], [010], [001], [001]. По всем этим направлениям отрезки
осей k, отсчитываемые от k = 0, равны 2л/а. Соответственно коор-
динаты центров граней-квадратов по осям kx, ky, kz указаны на
рис. 5.1 в единицах 2л/а.
Но для диагональных направлений [111] и т. д. координаты,
указанные в единицах 2л/а, составляют величины 1/2, х/2).
Длина отрезка оси k по направлению [111] (и другим диагональным
направлениям) от центра зоны k ~ 0 составляет л ]/3/с.
Решетку типа алмаза имеют, например, кристаллы кремния
и германия. Здесь внутри четырнадцатигранника — первой зоны
Бриллюэна — энергия является непрерывной (точнее, квазинепре-
рывной) функцией к (или kx, ky, kz), а на границах зоны Бриллюэна
наблюдается разрыв энергии как функции к.
Вторая, третья и т. д. зоны Бриллюэна Могут иметь еще более
сложную форму. Однако можно обходиться лишь первой зоной Брил-
люэна, поскольку, как будет видно далее, последующие зоны
Бриллюэна дают состояния, физически эквивалентные состояниям
первой зоны.
32
Число состояний в первой зоне Бриллюзиа
и в разрешенной энергетической зоне
Рассмотрим вначале участок линейной цепочки атомов (ионов)
пион Lx (рис. 5.2). Очевидно, что число атомов цепочки на участке
/ , будет Nх = Lx/ax.
11збрэнные сечения цепочки в точках х и х + Lx размещаем
в физически эквивалентных точках цепочки, для чего достаточно
выбрать их на одинаковом расстоянии между атомами Следова-
jcibno, функция ф, описывающая состояние электронов, должна
} ювлетворять равенству (циклические граничные условия)
ф (х + Tv) = Т (-’) (5.2)
Для функции Блоха имеем
e/ft*(x+Lx) = ea*x.
Откуда получаем
е^=1.
(5.3)
(5.4)
Равенство (5.4) выполняется при условии kxLx = 2шгх, где
пх = 0, ±1, ±2, ...
Следовательно, имеем
(55)
Наибольшее значение абсолютной величины пхт определим
исходя из того, что первая зона Бриллюэна ограничена значением
kv — л/ах. Отсюда и по (5.5) получаем плт = /VA-/2. Следовательно,
в первой зоне Бриллюэна имеем
Nx значений kx при ^ = 0, ±1,
±2, ...,±Nx/2. Иначе говоря,
в первой зоне Бриллюэна имеем |„с____________
Nx состояний.
Если Lx — длина монокри- Рис. 5.2. Линейная цепочка атомов
сталлического образца, a Nx—со-
ответствующее число атомов по заданному линейному размеру, пре-
небрегая нарушением периодичности на концах образца, по (5.5)
получим число значений kx (число состояний), равное числу атомов
Nx. С увеличением Lx возрастает число состояний, т. е. они разме-
щаются плотнее, и при больших Nx зоны Бриллюэна можно считать
каазииепрерывными.
Если рассматривать трехмерный кристалл, то все сказанное
можно повторить для каждого направления. Следовательно, полное
число состояний в первой зоне Бриллюэна равно числу атомов
в кристалле N = NXNS/Ng (без учета спина).
В каждом из указанных состояний может быть не более двух
электронов, отличающихся спинами Состояние электрона как
микрочастицы определяют четыре физические величины, т. е.
2 Орешкин П. Т.
33
кроме kx, kv, k- четвертая величина — спиновая. Но тогда при
заданных Лд, k„, kz возможно только два значения спина.
Дискретным значениям k соответствуют дискретные уровни
энергии в разрешенной энергетической зоне, а полное число состоя-
ний в энергетической зоне также равно /V.
В литературе принято считать, что принцип Паули можно при-
менять к дискретным
энергетическим уровням разрешенных зон.
Иначе говоря, энергетический уровень
отождествляется с состоянием. Однако та-
кая трактовка не является строгой. Дейст-
вительно, энергетическому уровню соот-
ветствует сфера в энергетическом (фазо-
вом) пространстве, т. е. множество значе-
ний ky, kXt или множество состояний.
Следовательно, на одном уровне может на-
ходиться не два, а множество электронов.
Даже в одномерном ^-пространстве двум
о -Я
Рис. 5.3. Зависимость
Е (kx) для первой зоны
Бриллюэна
значениям kVt отличающимся по знаку
(рис. 5.3), соответствует лишь один энергетический уровень, т. е.
он уже включает два энергетических состояния. То же относится и
к одномерному ky- и ^-пространству.
Таким образом, принцип Паули можно применять лишь к состоя-
ниям, а не к уровням энергии в зоне. Но поскольку расчет концент-
рации носителей заряда производится с учетом плотности состоя-
ний, то никакой проблемы здесь нет. В ряде случаев применяют
и упрощенный подход (см., например, § 1).
В случае образования зон из вырожденных уровней изолирован-
ных атомов (см. § 3) формулы (5.2) — (5.5) сохраняются в том же
виде (т. е. как для невырожденных уровней s), и остается вывод
о количестве состояний в зоне Бриллюэна и в энергетической зоне,
равном N. В действительности же приходится проводить дополни-
тельный учет вырождения и считать, что число состояний в зоне
Бриллюэна равно gN, а в энергетической зоне имеется ^-подзон.
Периодичность энергии. Приведенная зона Бриллюэна
Периодичность кристаллической решетки определяет периодич-
ность волновой функции ф. Поскольку обратная решетка также
периодична, то собственные значения энергии, определяемые путем
решения уравнения Шредингера, должны быть периодическими
функциями к. Период последней зависимости для линейной решетки,
как уже отмечалось, составляет по оси kx величину 2л/аЛ-.
Следовательно,
Е (kx) = E(kx-\- п2п,'ах). (5.6)
Здесь можно считать, что kx изменяется от 0 до ±л/яд-, т. е. зна-
чения kx ограничиваются первой зоной Бриллюэна. Введение сла-
гаемого п2п/ах позволяет учитывать остальные зоны Бриллюэна.
Для ku и кг можно сделать аналогичные выводы.
34
Па рис. 5.4 сплошными линиями показаны кривые Е (kv) типа
ривых рис. 4.4, пунктирными — те же кривые, сдвинутые отно-
шсльно друг друга на п2п!ах. Горизонтальные линии очерчивают
Рис, Б.4. Зависимость Е (kx) для раз-
ных энергетических зон
Рис 5.5. Зависимость Е (kx)
для разных энергетических
зон в приведенной зоне
Бриллюэна
дно и потолок разрешенных (и запрещенных) зон. Как видно из
рисунка, для каждой из разрешенных зон справедливо соотношение
(5.6), хотя кривые Е (kx) для разных разрешенных зон отличаются
друг от друга. С ростом Е ширина разрешен-
ных зон увеличивается.
Поскольку Е (kx) есть периодическая функ-
ция, очевидно нет необходимости изображать
разные зоны Бриллюэна. Можно сдвинуть от-
резок кривой CD (рис. 5.4) влево на 2л./ах,
т. е. в положение О^. Наоборот, отрезок
кривой CrDj можно сдвинуть вправо на 2л/ах,
т е. в положение OjC. Таким образом вторую
Рис. 5.6. Зона проводимости и валентная зона с экст-
ремумами при k = 0 и параболическим ходом зон вбли-
зи k = 0 в одномерном Л-пространстве:
Е — дно зоны проводимости; Еф— потолок валентной зо- 0 К к
ты; ДЕ0 — ширина запрещенной зоны с О.
зону Бриллюэна можно привести к первой. Аналогичным путем
можно привести третью зону к первой и т. д.
Первую зону Бриллюэна, куда перенесены кривые Е (kx) для
разных энергетических зон (рис. 5.5), называют приведенной зоной
2*
35
Бриллюэна для случая одномерного ЛА-пространства. В дальнейшем
будем выбирать одномерное Л-пространство в соответствии с опре-
деленными кристаллографическими направлениями подобно тому,
как это сделано на рис. 5.1.
Отметим, что в приведенной зоне Бриллюэна далее будут исполь-
зованы преимущественно лишь две верхние разрешенные энергети-
ческие зоны — валентная и проводимости, поскольку свободные
носители заряда размещаются в этих зонах. Когда используют
приближение слабой связи, то получают валентную зону с макси-
мумом при к = 0 и зону проводимости с минимумом при к = 0.
Причем в районе k = 0 обе зоны имеют параболический ход
(рис. 5.6). Однако такие зоны практически встречаются редко.
Реальный рельеф зон в ^-пространстве значительно более сложный.
Выводы к § 5
1. Зона Бриллюэна представляет собой область /г-пространства, где энергия
является квазинепрерывной функцией волнового числа й. На границах зоны
Бриллюэна наблюдается скачкообразное изменение энергии. В первой зоне Брил-
люэна имеется 7V состояний, где Л — число атомов кристалла заданного объема.
Но при наличии вырождения уровней в атомах, т. е. для всех состояний, кроме 5*,
следует считать число состояний в зоне Бриллюэна равным gN, где g — 211 —
кратность вырождения. Число состояний в зоне Бриллюэна равно числу состояний
в разрешенной энергетической зоне.
2. Энергия электронов в каждой разрешенной энергетической зоне является
периодической функцией к при переходе из одной зоны Бриллюэна в другую.
Период этой зависимости для линейной решетки определяется величиной 2л/й.
Это означает, что последующие зоны Бриллюэна дают состояния, эквивалентные
состояниям первой зоны Бриллюэна. Иначе говоря, можно сдвигать все кривые
Е (к) в разных зонах Бриллюэна на целое число периодов 2л/‘а, так что они будут
лежать, например, в первой зоне Бриллюэна. Совокупность кривых Е (k) для раз-
ных энергетических зон, нанесенных в первой зоне Бриллюэна, позволяет предста-
вить всю зонную схему в пределах одной — приведенной зоны Бриллюэна. Вблизи
дна разрешенной зоны ход кривой £(к) может быть близок к квадратичному, т. е.
закон дисперсии аналогичен формуле (1.6) для свободного электрона. Однако
в большинстве случаев дисперсионные зависимости £(к) имеют сложный характер.
§ В. ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
Взаимодействие электронов с кристаллической решеткой столь
сложно, что непосредственный учет этого взаимодействия представ-
ляет серьезные трудности. Однако некоторые трудности можно
обойти, если ввести так называемую эффективную массу. Прн этом
удается свести движение электронов в потенциальных полях решетки
к движению свободных электронов, т. е. для зонных электронов
можно применять основные законы, справедливые для свободных
электронов.
Остановимся вначале на свободных электронах. Согласно опре-
делениям, данным в § 1, имеем
v=hklm\ (6.1)
E = kW!2m. (6.2)
36
Определим k из (6.2) путем дифференцирования:
dE/dk — khz/m. (6.3)
После этого, подставляя k в (6.1), получим
1 dE ,r. .v
a=f-ar (б-4)
Формула (6.4) пригодна ие только для свободных электронов,
по и для электронов, находящихся в потенциальном поле решетки.
В -лом можно убедиться, рассматривая групповую скорость волн
к- Бройля daldk, равную скорости электрона v.
Положим далее, что энергия зонного электрона изменяется под
некоторым внешним воздействием. Тогда можем записать
dE = Fv dt, (6.5)
। n'F — некоторая внешняя сила, приводящая к изменению энергии.
Подставляя (6.4) в уравнение (6.5), имеем
fl ак (6.6)
Отсюда получаем dk I с (6.7)
Из уравнения (6.4) имеем также
do _ 1 d2E dk dt ~ Я ’ dk2 ’ dt ’ (6.8)
или с учетом (6.7) Если обозначить du 1 d2E F dt ~ ’ dk2 г' (6.9)
m* 1 (6.10)
П 1 de£ Й2 ' dk2
и назвать это выражение эффективной массой электрона, то урав-
нение (6.9) есть закон Ньютона, связывающий силу, массу и уско-
рение. Главным здесь является то, что внешняя сила — единствен-
ная причина ускорения, т. е. электрон можно рассматривать как
свободный. Очевидно, уравнение (6.10) можно также переписать
и виде
dsE № . ч.. , d*E 1 &Е /Cff4
да = нли <т > = да № <6Л’)
В применении к действительно свободным электронам, для кото-
рых справедлива формула (6.2), согласно выражению (6.10) т* = т.
Однако для зонных электронов т* может иметь сходство с массой
лишь постольку, поскольку справедлив закон Ньютона (6.9) и соот-
37
ветственно справедливы другие законы, как для тела с массой т*.
Сама же величина т* может изменяться в широких пределах в зави-
симости от значения d~E'dk?.
Графическое изображение зависимости эффективней массы
электрона ст еолиовсгс числа
Рис. 6.1. Зависимости Е (Л),
v (/?), rn* (k) в энергетической
разрешенной зоне
Рассмотрим три графика (рис. 6.1). На рис. 6.1, а изображена
зависимость Е (Л) для одной из энергетических зон в пределах
первой зоны Бриллюэна; на рис. 6.1, б — зависимость v (k), найден-
ная по формуле (6.4), и на рис. 6.1, в—
т* (Л), определенная по формуле (6.10).
Если вблизи k = 0 кривая Е (k)
имеет квадратичный вид, то v (k) в
аналогичном месте является линей-
ной функцией k, а т* — постоянной
положительной величиной. Это, сле-
довательно, относится ко дну энерге-
тической зоны, точнее к уровням, рас-
положенным вблизи дна зоны.
Далее в точках перегиба кривой
Е (Л) величина v достигает экстре-
мальных значений, а т* обращается
в бесконечность. При подходе к экст-
ремуму со стороны малых k (по абсо-
лютному значению) величина т* стре-
мится к+оо, а при подходе со стороны
больших k (по абсолютному зна-
чению) — К —ос.
Таким образом, в средней части
разрешенной энергетической зоны эф-
фективная масса электронов является
неопределенной величиной. Однако
это не оказывает существенного влия-
ния на дальнейшие результаты, по-
скольку почти все явления в полу-
проводниках и диэлектриках связаны с заполнением (или освобож-
дением) уровней вблизи дна (или потолка) разрешенной зоны.
Вблизи точек В и Вх кривая Е (k) почти выходит на горизонталь,
а в самих точках В и Вг величина dE.dk = 0. Поэтому согласно
(6.4) скорость электронов на границах зоны Бриллюэна равна нулю.
Это соответствует остановке и отражению электронов от решетки,
так что импульсы и величины k изменяют знак на противоположный.
Считают, что электрон покидает точку В и появляется в точке ВЛ
или наоборот. Вблизи потолка (вершины) зоны величина т* оказы-
вается конечной, но отрицательной. Это можно истолковать как след-
ствие ускорения в противоположном направлении по сравнению
S8
Рис. 6.2. Твердый
шарик в жидкости
। действием внешней силы F. Указанное ускорение создается внут-
ренней силой, действующей со стороны решетки.
Таким образом, эффективная масса электронов вблизи потолка
p.i {решенной зоны — величина отрицательная. Поскольку сила F
обладает электрической природой, нетрудно по-
пять, что если вместо электрона рассматривать
1ырку, т. е. положительную вакансию, имею-
щую элементарный положительный заряд (е =
1,6-10-19 Кл), то в данном случае она будет
, окоряться в направлении силы F. Следователь-
но, вблизи потолка разрешенной зоны можно
определять положительную эффективную массу
илрки аналогично эффективной массе электро-
на, т. е. по формуле (6.10). При этом находят
абсолютное значение т*. Как будет видно из
дальнейшего, именно дырки и являются носите-
лями заряда, когда явления обусловлены процессами на уровнях
вблизи потолка разрешенной зоны.
Механическая аналогия эффективней массы электрсиа
Рассмотрим движение твердого шарика массой т в сосуде, запол-
ненном двумя жидкостями различной плотности (рис. 6.2). При
этом плотность жидкости 6» изменяется от 6, вверху сосуда до 62
снизу. Полагаем плотность шарика 6, удовлетворяющей условию
61<6<б2. (6.12)
Сила тяжести шарика P = 6V'g. (6.13)
Сила Архимеда Fa (6.14)
По закону Ньютона имеем P~F&— та. (6.15а)
Если использовать лишь внешнюю силу Р, то Р — т*а. (6.156)
Из соотношений (6.15а) и (6.156) получим * р т ~т (6.16)
или с учетом (6.13), (6.14) * б т* = т -к—зг. о—о» (6-17)
Следовательно, эффективная масса шарика /л* с учетом резуль-
тата воздействия внутренней силы изменяется аналогично эф-
фективной массе электрона. При б >» бж, т. е. в верхней части,
ЗЬ
т* >• 0, в средней части т* = гр °° и в нижней части, где 6 < 6Ж,
имеем т* < 0. Последнее означает, что ускорение направлено
против силы Р, и это легко понять, так как в данном случае > Р.
Эффективная масса электрона как теизср. Опытнее
определение эффективней массы электрснов и дырок
Эффективная масса электрона определяется в зависимости от
d2£/Jk2; причем к — величина векторная. В этом случае вторая
производная от энергии по к является тензором второго ранга:
d2£ (d дЕ d дЕ d дЕ
dk2 \dk dkx * dk д!гу ’ dk dkz)
~&E сГ-Е- &Е ~
dk2x'y dkydkx » dkzdkx
сГ-Е &Е дРЕ
~ dkjjQky ’ dk* ’ dkzdky
дгЕ &Е &Е
dkjtoz' dkydkz' dk*
(6.18)
Из (6. J8) видно, что d2£/Jk2 представляет собой величину из
девяти частных производных второго порядка энергии по водно-
вому вектору. Величины называют компонентами или эле-
ментами тензора. Значение смешанной производной не зависит от
порядка дифференцирования:
&Е _ &Е
dkidkj dkftki'
(6.19)
Такой тензор называют симметричным; члены вида d2E/dkl —
диагональными.
Таким образом, в общем случае эффективная масса как величина
обратная dzE;d№ также оказывается тензором. При различных
направлениях движения электрона в кристалле его эффективная
масса может иметь разные значения, т. е. изменяется в зависимости
от направления движения электрона. Значит, в общем случае
эффективная масса анизотропна.
Тензор (6.18) можно переписать в виде тензора (РЕ!dp*, который
в соответствии с (6.11) представляет собой тензор обратной эффек-
тивной массы:
(РЕ
dp*
= (/л*)-1 =
д2Е . &Е д*Е
др* ’ дрхдру ’ дрхдрг
&Е д*Е &Е
дРудрх ’ др* ’ др^рг
д2Е &Е &Е
дргдрх' др2дру' др*г
(6.20)
Опытное определение эффективной массы электронов и дырок,
участвующих в проводимости, осуществляют, например, с помощью
40
mi Iода циклотронного резонанса. Суть этого метода заключается
и следующем. Кристалл помещают в постоянное магнитное поле
(< индукцией В) заданного направления.
Силу Лоренца, действующую на электрон, при v I В выражают
и виде
F^ — evB. (6.21)
Она является центростремительной силой
F цс = mv2/r.
Отсюда получим радиус закручивания
r = mvieB. (6.22)
Линейную скорость v можно выразить через угловую скорость:
и = сог. (6.23)
Согласно (6.22) и (6.23) имеем
ы — еВ-т. (6.24)
Определив резонансное значение со при заданной индукции В маг-
нитного поля, по формуле (6.24) можно определить величину т = т *.
Следовательно, опытным путем можно найти эффективную массу
электронов и дырок для заданных направлений в кристалле.
Кроме того, эффективную массу электронов и дырок определяют,
например, при исследованиях термоэлектрических и гальвано-
магнитных явлений.
Выводы к § б
1. Эффективную массу электрона в кристалле определяют по формуле (6.10).
Вблизи дна разрешенной зоны т * > 0 и по порядку величины т * сравнима
с массой свободного электрона. Но около средней части разрешенной зоны на-
блюдается перегиб кривой Е(1<), так что cPEldW обращается в нуль, а вели-
чина гп * оказывается равной бесконечности. Далее эффективная масса меняет
знак и становится величиной отрицательной. Вблизи потолка разрешенной зоны
эффективная масса электронов оказывается конечной отрицательной величиной.
Если определять лишь абсолютное значение т * по формуле (6.10), то при
этом находим массу дырки.
2. В качестве механической аналогии эффективной массы электрона можно
рассмотреть эффективную массу твердого шарика, находящегося в жидкости,
плотность которой возрастает сверху вниз.
3. Эффективную массу, определяемую по формуле (6.10) или (6.11), при вы-
боре конкретного кристаллографического направления находят как компонент
тензора по заданному направлению к. Если электрон движется, например, в на-
правлении 1100], то соответствующая величина эффективной массы, найденной
для этого направления, будет компонентом тензора tn * для указанного направле-
ния. Для другого направления в кристалле в общем случае эффективная масса
имеет другое значение, характеризуемое своим компонентом тензора. Все значе-
ния тензора эффективной массы представляют в виде совокупности компонентов
тензора, например, в виде (6.20). Опытное определение компонентов тензора
эффективной массы зонных электронов и дырок производят, в частности, с по-
мощью метода циклотронного резонанса.
41
§ 7. СЛОЖНАЯ СТРУКТУРА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН ПОЛУПРОВОДНИКОВ
В /^-ПРОСТРАНСТВЕ
На рис. 5.6 изображены валентная зона и зона проводимости
с экстремумами при k ~ 0. Если поверхности равной энергии (изо-
энергетические поверхности) в ^-пространстве сферические, то
эффективная масса изотропна, т. е. не зависит от направления дви-
жения электрона.
Однако у наиболее широко распространенных полупроводнико-
вых кристаллов картина зон в ^-пространстве значительно сложнее.
Зонная структура кремния
Атом кремния имеет 14 электронов, распределенных по состоя-
ниям следующим образом: Is2 2s2 2р6 3s2 Зр2. Как уже отмечалось,
Рис. 7.1. Зонная структура
кремния для двух направлений
в ^-пространстве
p-состояния в атомах имеют трех-
кратное вырождение. Как валент-
ная зона, так и зона проводимости
кристалла представляет собой нало-
жение трех подзон.
На рис. 7.1 изображены три кри-
вые в зоне проводимости (в верхней
части) и три кривые в валентной зо-
не для кремния (в нижней части).
Вправо от k = 0 по горизонтали отло-
жена приведенная зона Бриллюэна
для йаправления [1001; координаты
границы зоны можно записать в виде
(2л,'а, 0, 0), т. е. длина по kx соот-
ветствует 2л/п. Влево отложена при-
веденная зона Бриллюэна' для на-
правления [1111; координаты границы
зоны в единицах 2л/а составляют
1/2, 14)»т- е, их можно записать в виде
(л/с, зт/а, л/с), что ясно также из рис.
5.1. Длина оси k, отвечающая грани-
це зоны, будет } Зля.
Как видно из рис. 7.1, одна из
кривых Е (k) для зоны проводимости
в направлении [1001 имеет глубокий
(абсолютный) минимум. Область око-
ло минимума называют долиной, и в данном случае дно долины
определяет дно зоны проводимости Ес.
Электроны проводимости заполняют этот абсолютный минимум,
образуя «электронную жидкость», условно показанную на рис. 7.1
затемненной.
В кристалле кремния имеется шесть эквивалентных долин около
абсолютных минимумов для главных направлений [1001, [I00J,
Ю101, [0101, [000, 10011.
42
I ели вблизи дна долины в ^-пространстве определять нзоэнер-
। । пческую поверхность, то она оказывается эллипсоидом в|)ащеН11я
। ппсительно большой полуоси, совпадающей с направлет-щем [Ю0|
п in другим указанным направлением пяти долин. На ^1|С 7 2
шжлшны эллипсоиды для всех шести долин.
Аналитически этот результат получают следующим
Рассмотрим в общем случае выражение
। 'in энергии электрона в некоторой ма-
। области вблизи к0, которое является
|пчм)й экстремума энергии. Разложим
/ (к) в ряд Тейлора н для области вблн-
II к(, ограничимся тремя первыми «чле-
нами» ряда.
/-(к) = £(!<„)+ 2 +
Образом.
<7-1)
долинах зоны прО|ЮДИМоСТи
Ьцч-ь I и / независимо принимают зна- кремния
•к ния х, yt г, так что второй и третий
•члены» ряда являются суммами. Но поскольку в точке Э1<СТреМу_
м.1 (dE!dkt)ti0 ~ 0, то в (7.1) вторая сумма обращается в пуль
Выберем систему координат так, что симметричный тензор (g 20)
<|\дгт приводиться к диагональному виду, когда отличны от нуля
иипь члены, расположенные на главной диагонали:
(ш*Г* =
>/»*-; о о
О niyy О
О 0
'гщ1 0 0 ’
О О
О 0
(7-2)
В таком случае (7.1) преобразуется к виду
ani + 2ma + 2—s
11'in, если перейти к импульсам, то
F In} - Е (п } 4- ~ '’«г"5’ , (Рг-Ря)8
t (Р) —t (Ро) + Ч----2^—4--------• (7.4)
Поверхность равной энергии в р-пространстве можно поучить
••'•ли полагать *
Е(р)-Е(р0) = const. (7,5)
В зависимости от значения постоянной величины определяется
। । пли иная изоэнергетическая поверхность. Очевидно, усло^ие /7.5%
о тачает, что (7.4) есть уравнение эллипсоида. ’ 7
кшшпем уравнение эллипсоида для постоянного Е (р) в кан0_
ипиеской форме с полуосями а, Ь, с:
. (Py-PytF , {Pz-Pz»Y .
(7-6)
43
Следовательно, сравнивая (7.4) и (7.6), имеем:
о2 = 2и11|£(р)-Е(рсИ;
Ь2 = 2т2[Е(р) — Е(ро)]; (7.7)
/? = 2т3[Е (р) — Е (p<j)J.
Направление главных осей тензора обратной эффективной массы
ориентировано определенным образом относительно осей симмет-
рии кристалла. Ерли симметрия кристалла такова, что две главные
оси тензора физически эквивалентны (например, оси х и у), то
соответствующие компоненты тензора эффективной массы должны
быть равны между собой; в данном случае
ПЦ == а = Ь. (7.8)
Уравнение изоэнергетической поверхности при этом
г- . . П, Ч . ^Рх РхоУ~У(.Ру РучУ {Ря — Pzo)2
£(р)=£(Ро)+---------------------+~2Й^- (7.9)
Изоэнергетическая поверхность, описываемая уравнением (7.9),
будет эллипсоидом вращения, ось которого совпадает по направле-
нию с pz.
Это направление соответствует компоненту т3, который назы-
вают продольной эффективной массой и обозначают тг.
т3 = т1. (7.10)
Величину тг = т2 называют поперечной эффективной массой
и обозначают через mt:
- (7-11)
В случае когда все компоненты равны, т. е.
т1^т2 = гп3 = т*, (7.12)
эффективная масса является скаляром.
В этом случае изоэнергетическая поверхность описывается урав-
нением
Е(р)^ЕЫ + ^ (7.13)
или
Е(к) = Е(к0) + ^. (7.14)
Итак, формулы (7.13), (7.14) описывают сферические изоэнерге-
тические поверхности, причем предполагается, что экстремумы
находятся в точках к0 зоны Бриллюэна. Такой случай реализуется
в некоторых полупроводниках.
Когда экстремум находится в центре зоны Бриллюэна, то можно
в частности положить Е (kJ = 0 и получить
44
* формулу типа (1.6), где, однако, имеется в виду свободная
। ища, у которой есть лишь кинетическая энергия. Но при вве-
> tiiid эффективной массы т*, как уже отмечалось, и преследуют
г. свести движение зонных электронов к движению свободных
ч < 1НЦ.
Ч. 1я сферических изоэнергетических поверхностей, центр кото-
pi । % не совпадает с центром зоны Бриллюэна, можно использовать
' 'рмулу (7.9), положив тх = т2 ~ т3.
Опыты по циклотронному резонансу для кристаллов кремния
и к и значения компонентов тензора эффективной массы электронов,
и.।холящихся вблизи дна долины (дна зоны проводимости) в виде
nil = tn2 — nit — Q.X9т; т3-=т[ = 0,98т, (7.16)
i ie tn - масса свободного электрона; mt — продольная эффектив-
ная масса; mt — поперечная эффективная масса.
Отношение полуосей эллипсоида по (7.7)
с/а = ]/ mjimt = 2,27. (7.17)
Введем далее так называемую эффективную массу плотности
(ПГГОЯНИЙ (для плотности состояний).
При расчете плотности состояний N (£), концентрации электро-
нов проводимости и0 и других величин используют среднее геомет-
рическое из указанных трех компонентов тензора эффективной
массы. Кроме того, учитывают число эквивалентных долин М, где
находятся электроны проводимости. Для того чтобы иметь возмож-
ность пользоваться формулой вида (1.17), определяют так называе-
мую эффективную массу плотности состояний электронов, которую
мписывают в виде
тп — М2 :i (mitnzin3) 1 \ (7.18)
Величину тп следует ввести в (1.17) вместо т; причем (ЛИ3)3'4 =
М, так что учитывается аддитивность всех долин М.
Энергию Е при этом отсчитывают от дна зоны проводимости Ес
(от дна долины), ибо формулы используют для электронов зоны
проводимости.
Для кремния по (7.18) получаем
тЛ= 1,08m. (7.19)
Таким образом, у кремния все шесть эллипсоидов зоны прово-
димости можно заменить одной сферической нзоэнергетической по-
верхностью с эффективной массой для плотности состояний тп =
1,08 т.
Перейдем к валентной зоне. Кривые Е (к) у потолка валена ной
зоны (рис. 7.1) имеют максимум при k — 0, т. е. в центре зоны
Бриллюэна.
Кривые 1 и 2 имеет общую экстремальную точку и соответст-
вуют тяжелым (/) и легким (2) дыркам, эффективная масса кото-
рых определяется вблизи k = 0. Спин-орбнтальное взаимодействие
45
приводит к сдвигу максимума кривой 3 вниз на 0,035 эВ. Эти дырки
обычно экспериментально ие наблюдаются, так как указанный
сдвиг максимума вниз достаточно большой. Дырки проводимости
Рис. 7.3. Сечения поверхностей
постоянной энергии вблизи по-
толка валентной зоны кремния:
I — для тяжелых дырок; 2 — для
легких дырок
заполняют самые верхние уровни в
валентной зоне, и на рис. 7.1 услов-
но показана «дырочиая жидкость».
Поперечное сечение в плоскости
(110) поверхностей Постоянной энер-
гии, принадлежащей подзонам 1 н 2,
показано на рис. 7.3. Пунктирные
линии проведены для того, чтобы по-
казать отличие изоэнергетических по-
верхностей от сфер (если изображать
поверхности в трехмерном /г-прост-
ранстве).
Для легких дырок (кривая 2 рис.
7.1 и 7.3) поверхность мало отличает-
ся от сферы, а для тяжелых дырок
(кривая 1 рис. 7.1 и рис. 7.3) нзо-
энергетическая поверхность более гоф-
рирована, т. е. соответствует более
деформированной сфере. Однако приближенно можно считать эф-
фективные массы как легких, так и тяжелых дырок изотропными
(скалярными), т. е. заменять гофрированные поверхности сред-
ними сферическими.
Из экспериментов по циклотронному резонансу найдены значе-
ния эффективных масс тяжелых и легких дырок в кремнии:
/Нрг = ftipi = 0,49/п; тря = тр2 = 0,16m.
(7.20)
Для третьего типа дырок находят пгр3 — 0,24 т.
Следует отметить, что теория достаточно хорошо согласуется
с экспериментом. Теоретический расчет для двух верхних ветвей
потолка валентной зоны приводит к выражению
Eli2(k) = E(O)-^[^!±J +С” (kjii, + klkl + kity], (7.21)
где А, В, С — безразмерные константы; причем для кремния А =
= 4,1; В = 1,6; С = 3,3.
Усреднение зависимости (7.21) по различным направлениям
в ^-пространстве позволяет гофрированные поверхности (7.21) свести
к сферическим, для которых энергия выражается в виде

(7.22)
В этом случае эффективная масса является скалярной величиной,
и существуют два типа дырок. Тяжелые дырки определяют по фор-
46
к*
т„, =------S==; (7.23)
Л“Г В!+6
irj кие дырки — по формуле
"'₽» =----£==. (7.24)
А + У в!+ 5
Расчет по формулам (7.23) и (7.24) дает тРл = 0,52 т, трл =
0,16 т, т. е. наблюдается достаточно хорошее согласование с
опытом.
Для третьей ветви валентной зоны
£a(k)-£(0)-Eso-^X, (7.25)
। не Es0 = 0,035 эВ.
Согласно (7.25) изоэнергетнческие поверхности третьей подзоны
являются сферическими, так что тр3 является скалярной величи-
ной. Очевидно, из (7.25) ее можно выразить в виде
тр3 = т/А. (7.26)
Таким образом, для кремния тр3 ~ т.'4,1 = 0,24 т.
Эффективную массу плотности состояний дырок определяют
по формуле
«Р=(т^ + ти)2/3- (7-27)
Для кремния получаем тр = 0,59 т трг. Значит, основную
роль играют тяжелые дырки.
Кроме рассмотренных эффективных масс применяют также эф-
фективную массу проводимости tnGn, которую находят из соотно-
шения
<7-28’
Для кремния т1 — т.2 и, следовательно, имеем
Зонная структура германия
Атом германия имеет 32 электрона, распределенных по состоя-
ниям следующим образом: Is2 2s2 2ре 3s2 Зр6 3d10 4s2 4р2. Как и
в кремнии, зоны определяются тремя подзонами.
На рис. 7.4 аналогично рис. 7.1 изображены три кривые в зоне
проводимости и три кривые в валентной зоне для германия. Абсо-
лютный минимум в зоне проводимости наблюдается на границе зоны
Бриллюэна в направлении [1111. Координаты минимумов в едини-
цах 2л/а имеют вид (’4, */2, 1.2). Изоэнер готическая поверхность
47
представляет собой эллипсоид вращения с осью симметрии, совпа-
дающей с диагональным кристаллографическим направлением 1111).
Спедовательно, для кристаллов германия имеется восемь экви-
валентных минимумов. Однако поскольку минимумы находятся
на граница,х зоны Бриллюэна и на первую зону Бриллюэна прихо-
P^fC. 7.4 Зонная структура гер-
мания
дится лишь половина каждого эллип-
соида энергии (рис, 7.5), то в герма-
нии имеется не восемь, а лишь четы-
ре полных эллипсоида энергии. Зна-
чит, для германия М =4 и он, как и
кремний, является миогодолинным
полупроводником.
Опыты по циклотронному резонан-
су дают для германия
гЛ1 = т2 = /л/==0,082/п; (7.30)
ш3 = /П/= 1,58/п. (7.31)
Отношение полуосей эллипсоида
|Ч/я%=4,4. (7.32)
Эффективную массу плотности со-
стояний электронов рассчитывают по
формуле (7.18):
/ил = 0,54/п. (7.33)
Кривые 1 и 2 валентной зоны имеют
общую вершину при k = 0. Кривая 3
смещена вниз на 0,28 эВ.
Аналогично кремнию определяют
средние сферические изоэнергетиче-
скне поверхности. Точнее, здесь такое усреднение приходится при-
менять лишь для тяжелых дырок (рис. 7.6), так как для легких ды-
рок поверхность сферическая.
Рис. 7.5. Сечения поверхностей по-
стоянной энергии в долинах зон
проводимости германия
Рис 7.6. Сечения поверхностей по-
стоянной энергии вблизи потолка
валентной зоны германия:
— для тяжелых дырок; 2 — для легких дырок
48
Значения эффективных масс дырок германия:
mpl = 0,34m, тр2 = 0,04m; тр3 = 0,08m. (7.34)
Тяжелые дырки в германии практически определяют дырочную
» к-к гропроводность и тр ~ тР1.
Зонная структура некоторых соединений A"1 Bv
(Соединения элементов третьей и пятой групп Периодической
. нс гемы Д. И. Менделеева, обозначаемые AniBv и называемые ин-
н-|«металлами, в последнее время находят все более широкое приме-
нение в полупроводниковой электронике.
Наиболее известны GaAs, InSb, GaP,
(iaSb.
Изоэнергетические поверхности как
валентной зоны, так и зоны проводнмо-
< i и указанных соединений являются сфе-
рическими. Следовательно, эффективная
масса электронов и дырок — величина
[ИО к^О [КО] к
скалярная.
Зоны образуются наложением трех
полос (подзон), так как они возникают
Рис. 7 7. Зонная структура
антимонида индия InSb
из р-уровней.
Две подзоны в валентной зоне несколько сдвинуты относи-
тельно друг друга, так
Рис. 7.8. Участки зонной
структуры арсенида галлия
GaAs
что максимумы смещены от центра зоны
Бриллюэна в направлении 11111 или
[100]. Величина смещения такова, что
энергия Е (0) меньше энергии в максиму-
ме на сотые или тысячные доли элек-
трон-вольта. Наименьшее смещение (воз-
можно равное нулю) имеет место в InSb
и InAs.
Зона проводимости состоит из трех
подзон. Минимумы могут быть как в
центре зоны Бриллюэна, так и в дру-
гих точках.
В качестве примера на рис. 7.7 при-
ведена зонная структура InSb, где аб-
солютный минимум приходится на k = 0,
т. е. находится в центре первой (при-
веденной) зоны Бриллюэна. Величины
эффективных масс для InSb на дне зоны проводимости и у потолка
валентной зоны следующие:
тп = 0,013m; тр = 0,6m.
Здесь число эквивалентных долин М — 1 и эффективная масса
изотропна. Однако в отличие от параболических зон теории квази-
свободного электрона разрешенные зоны InSb в ^-пространстве опи-
49
сываются кривыми, не являющимися квадратичными параболами.
Иначе говоря, эффективная масса электронов изменяется при уве-
личении энергии — с ростом энергии эффективная масса электрона
растет. Аналогичная ситуация наблюдается для легких дырок.
Отметим также, что антимонид индия (InSb) отличается малой
шириной запрещенной зоны (А£о = 0,17 эВ при 300 К) и по этому
признаку относится к так называемым узкозонным полупровод-
никам.
На рис. 7.8 показаны отдельные участки зонной структуры
GaAs. Литературные данные пока еще недостаточны для построе-
ния однозначной достоверной картины. Известно, что в нижнем
Л-минимуме т* = 0,07 т, а в более высоком ^-минимуме т* —
= 1,2 т.
Выводы к § 7
I. Кремний обладает сложной структурой зоны проводимости в А.-простран-
стве. В направлениях [ 100], [1001, [010], (010], 1001], (001] зона проводимости
имеет эквивалентные абсолютные минимумы (долины), находящиеся на расстоя-
ниях около 0,8 • 2л/а от центра зоны Бриллюэна и на расстояниях около 0,2 • 2л/а
от границ зоны Бриллюэна. В указанных шести эквивалентных долинах и распола-
гаются электроны проводимости кремния, т. е. дно долин соответствует дну
зоны проводимости.
Валентная зона кремния также обладает сложной структурой в ^-пространстве.
Максимум двух подзон, включающих тяжелые и легкие дырки, находится при = 0.
Вблизи потолка располагаются дырки проводимости кремния.
Изоэнергетические поверхности вблизи дна долин представляют собой эллип-
соиды вращения, вблизи потолка валентной зоны — гофрированные сферы.
Усредненная эффективная масса, определяемая как среднее геометрическое
из компонентов тензора эффективной массы электрона для изоэнергетических
поверхностей в виде эллипсоидов, является скалярной величиной, которую назы-
вают эффективной массой плотности состояний при расчете на одну долину При
умножении на ЛГ2^3 учитываются все М долин; соответствующую скалярную вели-
чину тп называют эффективной массой плотности состояний.
Эффективную массу плотности состояний дырок определяют по формуле (7.27).
Эффективную массу проводимости электронов определяют по формуле (7.28).
2. Зонная структура в /г-пространстве для германия, как и для кремния,
определяется подзонами и отличается сложностью. Абсолютные минимумы в зоне
проводимости наблюдаются на границах зоны Бриллюэна в диагональных направ-
лениях, например [111]. Таких направлений для кубической решетки восемь,
но поскольку в первую (приведенную) зову Бриллюэна попадают лишь половины
изоэнергетических эллипсоидов, считают, что число эквивалентных долин в гер-
мании М = 4 (а в кремнии Л1 = 6). В остальном зонные структуры германия и
кремния качественно аналогичны, хотя имеются количественные отличия.
3. Интерметаллические соединения элементов третьей и пятой групп Периоди-
ческой системы обладают относительно простым строением зон в ^-пространстве.
В частности, в зоне проводимости имеется лишь один абсолютный минимум —
нижняя долина, располагающаяся при k = 0. Однако кроме этого абсолютного
минимума в некоторых соединениях имеются и другие минимумы — долины.
Это характерно, например, для арсенида галлия.
§ 8. МЕТАЛЛЫ, ПОЛУПРОВОДНИКИ, ДИЭЛЕКТРИКИ
Согласно зонной теории твердых тел металлы отличаются от
неметаллов отсутствием запрещенной зоны пли неполным заполне-
нием валентной зоны. Между полупроводниками и диэлектриками
50
р । ипчие чисто условное: считают, что у полупроводников ширина
i. трощенной зоны, разделяющей валентную зону и зону проводи-
те (и, удовлетворяет условию А£о (2 -ь 3) эВ и при низкой
н-мпературе все состояния в валентной зоне заняты электронами;
диэлектриков А£о > (2 — 3) эВ при сохранении остальных
условий.
Зоииая схема кристаллических твердых тел без учета
примесных урсвией
На рис. 8.1 приведена зонная схема для натрия, магния и крем-
ния. Горизонтальное направление зон изображено в произвольном
масштабе и не является осью отсчета какой-либо величины. В
дальнейшем зоны в твердых
1елах будем иногда изобра-
жать, откладывая по горизон-
тали расстояния в обычном
трехмерном объеме. При этом
зоны могут наклоняться в
электрическом поле, искри-
вляться в местах различ-
ных локальных неоднородно-
стей и на их границах и т. д.
Однако в данном случае го-
ризонтальное направление не
связано с какой-либо коор-
динатой. По вертикальному
направлению вверх отклады-
Рис. 8.1. Качественная зонная схема для
натрия, магния и кремния
вается энергия электронов, вниз — энергия дырок, т. е. энергия
электронов увеличивается при переходе на более высокий уровень,
а энергия дырок, наоборот, уменьшается при переходе на более
высокий уровень зонной схемы.
Атом натрия имеет 11 электронов и их распределение по состоя-
ниям следующее: Is2 2s2 2р,! 3s1. Следовательно, при любой темпе-
ратуре, включая Т 0, валентная зона натрия 3s, имеющая N со-
стояний, заполнена лишь частично (при низкой температуре и
в отсутствие электрических полей заполнена лишь нижняя поло-
вина зоны). Расстояния между соседними состояниями АА в разре-
шенной зоне очень малы, т ак что энергия АА* элекгрона даже в сла-
бом электрическом поле может на несколько порядков превышать
АА, т. е. электроны могут перебрасываться полем на свободные
уровни. Это соответствует участию их в упорядоченном движении,
т. е. в токе проводимости. Такая возможность характерна для
металлов.
Атом магния имеет 12 электронов и их распределение по состоя-
ниям следующее: ls22s22p°3ss. Казалось бы, твердый магний должен
быть полупроводником (диэлектриком), так как валентная зона
занята. По в данном случае зоны энергии перекрываются, и энерге-
51

4-4"
Рис. 8.2. Валентные
троны в кремнии
эле ic-
тнческий зазор между валентной зоной и зоной проводимости отсут-
ствует. Значит, магний является металлом.
Атом кремния имеет 14 электронов, причем валентными являются
3s23p2 электроны. Казалось бы, что твердый кремний должен быть
металлом, так как подзона Зр имеет 3N
состояний н зона 3s имеет N состояний.
Между тем валентных электронов лишь
4AL
Атом германия имеет 32 электрона,
причем валентными являются 4$24р2
электроны. Казалось бы, и германий
можно отнести к металлам, так как и
здесь имеем 4N состояний и лишь 4N
электронов.
Однако как кремний, так и герма-
ний являются полупроводниками. Дело
здесь в том, что валентная зона создает-
ся из подзоны s и одной из подзон р.
Число состояний в валентной зоне соответственно 27V, и валентные
электроны при низкой температуре заполняют ее полностью. Зона
проводимости состоит из двух других подзон со свободными состоя-
ниями 2N (при низкой температуре). Ковалентный характер связей
в Si показан на рис. 8.2.
Зснная схема кристаллических пслупрсвсдниксв и диэлектриков
с учетом примесных урсвией (центров)
В дальнейшем будем изображать лишь валентную зону и зону
проводимости полупроводников и диэлектриков. На рис. 8.3 Ес —
дно зоны проводимости; Ev—потолок валент-
ной зоны; Et — середина запрещенной зоны.
При низкой температуре все состояния в
валентной зоне заполнены, а все состояния в
зоне проводимости свободны. Соответственно
твердое тело не имеет свободных носителей
заряда.
При повышении температуры возможен
переброс некоторых электронов из валентной
зоны в зону проводимости, т. е. через запре-
щенную зону. Статистика таких перебро-
сов рассмотрена далее. Здесь укажем лишь,
что кроме активации электрона через запре-
щенную зону с образованием свободной дыр-
ки и свободного электрона в зонах может
происходить и более легкий процесс—иони-
зация примесных уровней (центров). Именно
блюдается в области низких температур.
Примесные уровни создаются в запрещенной зоне за счет заме-
щения атомов данного полупроводника примесными атомами или
52
ма полупроводников и
диэлектриков с учетом
примесных уровней
этот процесс и на-
ши прения примесных атомов в междоузлия Кроме того, примесные
\р(н<]|Ц могут создаваться различными точечными и-протяженными
ифекгами структуры.
Па рис. 8.4 показаны примеси-доноры (атомы Р) и примеси-
акцепторы (атомы In) в кремнии. Стрелками условно показаны
нллентные связи: четыре стрелки от каждого атома Si соответству-
ют его четырем валентным электронам; стрелки, направленные
к данному атому Si, соответствуют валентным электронам сосе-
ди!.
При замещении атома Si атомом Р заполняются все валентные
связи и остается один лишний электрон, поскольку фосфор пяти-
валентен. Энергия этого электрона оказывается выше энергии
электронов, которые обеспечивают валентные связи.
Энергетический уровень, соответствующий «лишнему» электрону
фосфора, обозначен на схеме рис. 8.3 через Ед. Атомы примеси
(в данном случае фосфора) рас-
сеяны в кристаллах на больших
расстояниях друг от друга и
указанные «лишние» электроны
при небольшой концентрации
фосфора не создают зоны, а
имеют один общий уровень энер-
гии Ед, повторенный NK раз,
где Nr — концентрация донора
(имеется в виду единица объема
кристалла).
Для другого донора (напри-
мер, As) возникают другие уров-
ни и их концентрация соответст-
венно равна концентрации донора. Для каждого донора характерна
своя энергия ионизации АЕД, соответствующая энергетическому
зазору между Ед и дном зоны проводимости Ег. Чем меньше АЕД,
тем легче (и соответственно при более низкой температуре) можно
ионизировать тот или иной донор. В результате ионизации доноров
создаются электроны проводимости.
Электроны проводимости, располагающиеся в зоне проводимо-
сти на различных уровнях вблизи дна зоны, определяют электрон-
ную составляющую проводимости и других явлений. Обычно пола-
гают, что на дне зоны, т. е. на уровне Ес, кинетическая энергия
электрона равна нулю, т. е. уровень Ес представляет собой потен-
циальную энергию электронов проводимости.
При замещении атома Si атомом In со стороны последнего запол-
няются лишь три валентные связи, поскольку индий трехвалентен.
Акцептору соответствует некоторый уровень энергии Еа Z> Ev. Теп-
ловое движение или иное воздействие может перебросить один из
электронов от соседнего атома Si и заполнить связь индия с крем-
нием. При этом указанный электрон попадает на уровень акцеп-
тора Еа и закрепляется там, а у соответствующего атома кремния
(Si
(in
(Sj
Рис. 8.4 Доноры и акцепторы в крем-
нии

р
(Si
53
образуется положительная «дырка» в валентной связи, что и озна-
чает создание вакансии или положительной свободной дырки в рай-
оне потолка валентной зоны. Указанная дырка может переходить
на другие аналогичные вакантные уровни в валентной зоне под дей-
ствием электрического поля. Это означает, что она может участво-
вать в переносе заряда, т. е. в токе проводимости.
Для данного акцептора (например, атомов индия) при неболь-
шой концентрации создается один уровень Еа, повторенный для
единицы объема Na раз, где Na — концентрация акцептора. Рас-
стояние (Еа — Ev) = &Еа — есть энергия ионизации акцепторов.
Для каждого акцептора отлична от другого.
Процессы ионизации акцепторов и доноров рассмотрены далее.
Элементарная теория примесных состояний
Введение примесей в кристаллы кремния, германия и т. д. соз-
дает дефектность кристаллической решетки и, как уже отмечалось,
при малой концентрации примесей из групп III н V Периодической
системы Д. И. Менделеева в запрещенной зоне этих кристаллов
возникают примесные уровни.
Рассмотрим элементарную теорию примесных состояний, исполь-
зуя водородоподобную модель. Взаимодействие между относительно
слабо связанным электроном донора (Р, As и др.) и соответствующим
положительным ионом примеси происходит в твердом зеле, обла-
дающем диэлектрической проницаемостью е. В таком случае можно
определить потенциальную энергию электрона, не участвующего
в образований валентных связей, в виде
£/(г) =
е2
4яг^г'
(8.1)
Решая уравнение Шредингера для водородоподобной модели,
получают
р „ _ mV _1 _ _ те' т* |_ я
п ’ rf 8ft^e2' m ' n2 ’
где n — 1, 2, ; m* — эффективная масса электрона, поскольку
он находится в периодическом поле решетки.
При расчете принято, что величина т* является скаляром,
а начало отсчета энергии соответствует
Еоо = £с = 0. (8.3)
Такой подход позволяет снять влияние решетки (точнее скрыть
его в значении т*) и учесть взаимодействие электрона со «своим»
ионным остатком, а также учесть среду с диэлектрической проницае-
мостью е.
Если величину Ес считать не равной нулю, то вместо (8.2) можно
записать
Р __ р ___ те* т* I
(8.4)
54
Следовательно, уровень Еп лежит в запрещенной зоне, т. е. сме-
ruvii ниже Ес на величину, определяемую абсолютным значением
правой части соотношения (8.2). При п = 1, т. е. для основного
состояния водородоподобной модели, имеем
•£=**• С8'5)
Значит, можно так же записать
д г' 7"' ЕГ 7/2^4 ГЛ* 13,5 П1* .Q л-.
ДЕ„ = Ес — Е„— Q-.g-3-g - — = —=-• — эВ. (8.6)
дед 8ftfigjje2 т е2 ni ’ '
Отсюда можно сделать вывод, что все пятивалентные примеси
должны иметь одинаковую энергию ионизации в полупроводнике
типа Ge, Si и г. д. В частности, для Ge, например, полагая т* =
— 0,25 т, в = 16, находят ДЕд = 0,01 эВ. Одиако в действитель-
ности для разных пятивалентных примесей ДЕд несколько различна,
хотя порядок величин соответствует указанному значению ДЕд.
Кроме того, аналогичную задачу можно решать для трехвалент-
ных акцепторных примесей в германии, так что получают:
£a = £l + JgL.; (8.7)
а ° 8/i2e2e2 rn ’ ' '
Д£, = £а-£„=Ц£.'£ эВ. (8.8)
Соответственно, полагая т* = 0,25 /и, е = 16, находят ДЕа =
= 0,01 эВ.
Для кремния теоретически рассматривать акцепторные уровни
трудно в связи с тем, что энергия ионизации акцепторов по порядку
величины совпадает со значением энергии спин-орбитальиого рас-
щепления.
ТАБЛИЦА 1
Энергия ионизации примесей элементов 111 и V групп Периодической системы
в германии и кремнии
Примеси Донор или акцептор Энергия ионизации, эВ
Ge Si
В А 0,0104 0,045
AI А 0.0102 0,057
Ga А 0,0108 0,065
In А 0,0112 0,16
Р Д 0,0120 0,044
As Д 0,0127 0,049
Sb д 0,0096 0,039
Как видно из табл. 1, экспериментальные значения энергии иони-
зации примесей элементов групп III и V в германии действительно
близки к указанному значению 0,01 эВ. Для кремния наблюдается
55
несколько больший разброс величин ДЕ- и ДЕЙ и сами величины
больше, чем в германии.
Поскольку теория довольно хорошо согласуется с эксперимен-
том, можно считать, что по крайней мере для Ge она удовлетвори-
тельно описывает примесные состояния.
Наряду с основными примесными состояниями в запрещенной
зоне могут существовать возбужденные примесные состояния; при-
чем возбужденные состояния, соответствующие значению главного
квантового числа п = 2, 3 и т. д., будут располагаться выше основ-
ного донорного состояния. Ясно это и из формул (8.2), (8.4). Рас-
считанные значения для основного и возбужденных донорных со-
стояний в кремнии приведены в табл. 2. При исследовании длинно-
волнового инфракрасного поглощения при температуре жидкого
гелия возбужденные состояния в кремнии обнаружили экспери-
ментально. Положение этих возбужденных уровней хорошо согла-
суется с теоретическими значениями.
ТАБЛИЦА 2
Расчетные значения донорных уровней в кремнии при выборе начала
отсчета <Ес=0
Состояния Еп‘10г. эВ
р As Sb
Основные —4,4 —4,9 -3J0
—3,2 —3,3 —3.1
—1,13 —1,13 —1,13
Возбужденные —1,06 —0,93 —1,11 —0,95 —0,94 —0,90
—0,59 —0,59 —0,59
—0,57 —0,57 —0,57
В германии энергия ионизации основных донорных состояний
значительно меньше, чем в кремнии (см. табл. I). Возбужденные
состояния находятся под дном зоны проводимости на расстояниях
порядка КГ* эВ. Для экспериментального обнаружения таких
уровней необходимо использовать оптику миллиметрового диапа-
зона, что представляет определенные трудности. Кроме того, вслед-
ствие малости величин ДЕд можно их не учитывать, так как они не
оказывают существенного влияния.
В соединениях AUIBV, включая GaAsu InSb, эффективная масса
изотропна, так что в этом случае применима описанная водородо-
подобная модель.
В заключение отметим, что уровни донорных и акцепторных при-
месей, которые образуют атомы элементов групп III и V в ковалент-
ных полупроводниках типа германия и Др., являются «мелкими»,
т. е. им соответствует относительно небольшая энергия иониза-
ции.
56
ТАБЛИЦА 3
.Энергетические уровни примесей в кремнии и германии
Примесь Акцептор пли донор Энергетический уровень, эВ
SI Ge
В А £„+0,045 £„ + 0,0104
Л! А £„ + 0,037 £„ + 0,0102
Ga А £„+0,065 £„+0,0108
In А £„+0.16 £„ + 0,0112
Р Д £„ — 0,044 £„-0,0120
As Д Ес — 0,049 £„ — 0,0127
Sb Д £„—0,039 £„—0,0096
Li д £„-0,033 £„—0,0093
А £„+0,49 £„+0,04
А11' £„ + 0,33
Д £„+0,24
Ag А Ео + 0,13
А11’ £„-0,29
А12' £„ — 0,04
Au Д £„ + 0,35 £„+0,05
А £„4-0JH £„+0,16
А<п £„-0,29
А12' £„ — 0,01
Zn Д £„ + 0,03
да. £„4-0,09
А £„+о,31
да. Е,+О,55
Cd Д £„+0,05
да. Е„+0.16
s Д Ес—0,18 £„-0,18
Se Д Ес— 0,14
Те Д £„-0,10
Мп А £„-0,16
А<р Ес—0,37
д Ес—0,57
Ni А £„+0,22
А11' Ес—0,30
57
Атомы элементов I, II, VI, VIII групп, введенные в полупро-
водники типа германия и др., образуют «глубокие» примесные
уровни.
Примеси могут входить в решетку в виде атома донора (Д)
или атома акцептора (А); кроме того, они могут быть однократно
заряженными ионами (Д(1) или Аш) н двукратно заряженными ио-
нами (Д(2) или А(2)). Бывают также случаи, когда одна и та же при-
месь может образовывать как донорные, так и акцепторные уровни
(амфотерные центры). В табл. 3 приведены примесные уровни в
кремнии и германии, создаваемые различными донорами и акцеп-
торами.
Выводы к § 8
I. Примесные уровни создаются в запрещенной зоне полупроводника или
диэлектрика, разделяющей зону проводимости и валентную зону, за счет атомов
примеси или дефектов структуры. Расстояние от дна зоны проводимости до уровня
донора в зонной диаграмме называют энергией ионизации донора. Аналогичное
расстояние от уровня акцептора до потолка валентной зоны называют энергией
ионизации акцептора.
2. Элементарная теория примесных состояний строится с применением водо-
родоподобной модели. Согласно этой теории в полупроводниках типа германия и
кремния все пятивалентные доноры должны иметь одинаковую энергию ионизации.
Экспериментальные значения величины АЕД для разных доноров оказываются
близкими к теоретической величине АЕД, хотя и имеют небольшие отклонения от
последней. То же относится к величинам АЕа для трехвалентных примесей.
ГЛАВА 111
СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
лИКАХ
§ 9. ЭЛЕКТРОНЕЙТРАЛЬНОСТЬ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ДИЭЛЕКГ
дННОМ
Генерация свободных электронов проводимости в замости,
однородном объёме, т. е. переброс электронов в зону проводП^оны.
может происходить как с уровней доноров, так и из валентной х>м —
Процесс генерации всегда сопровождается обратным процессе иа
рекомбинацией, которая заключается в возврате Электрой /зется
доноры пли в валентную зону. Если генерация осуществ-^амп-
лишь за счет теплового движения атомов в условиях термод^ эле-
ческого равновесия, то получают равновесную концеш рацИ\лыю,
ктронов проводимости, которую обозначим через п0. Следова^оста-
величина п0 наблюдается при заданной температуре, которая \ объ-
точно долго поддерживается неизменной и одинаковой во вс^ина-
еме полупроводника (диэлектрика) с тем, чтобы установилось
мическое равновесие процессов генерации и рекомбинации. }цами
Другие факторы, такие, как освещение, облучение час1*'
и т. д., здесь исключаются. ^з ва-
Генерация свободных дырок, т. е. переброс электронов ’^акже
лентной зоны на уровни акцепторов или в зону проводимости, ^ского
сопровождается рекомбинацией. В условиях термоди и амп* < ды-
равновесия получают равновесную концентрацию свободнь^дект-
рок р0. Далее будет показано, что равновесные концентраций л) при
ронов и дырок находятся в определенном соотношении, так «и
заданной величине можно определить р0, и наоборот. ^впж-
Кроме свободных электронов и дырок, наблюдаются неценных
ные (закрепленные) электроны и дырки на уровнях, располой4
в запрещенной зоне. одно-
Если Na — концентрация доноров, а /Уд —концентраций
кратно ионизованных доноров, то ^д
= — Мп = Мл-рд,
I этом
где пд—концентрация электронов на донорах, которые пр1 роло-
остаются электронейтральными; рл = /Уд — концентраций
жительных дырок на донорах.
Если Na — концентрация акцепторов, a Na — концентрация
однократно ионизованных акцепторов, то
Pa = Wa-W; = /Vfl-na, (9.2)
где рв — концентрация дырок на акцепторах, которые являются
электронейтральными; па = Na — концентрация электронов на ак-
цепторах.
Для единицы объема при наличии одного типа доноров и одного
типа акцепторов условием электронейтральности является
^(Ро + Рд)-^(^ + ^а) = О- (9.3)
Откуда
Ро + Рд — пи-пц-О. (9.4)
Такое же. условие обычно распространяют и на неравновесные
концентрации свободных носителей заряда:
п = п0+&п; (9.5)
Р = Ро + АР- (9.6)
Здесь Ди и Др добавочные (избыточные) концентрации (которые
могут быть и меньше нуля), создаваемые за счет иных факторов,
кроме теплового движения атомов. Обычно полагают, что в полу-
проводнике или диэлектрике автоматически устанавливается ра-
венство
Ди = Др (9.7)
и, следовательно, вместо (9.4) можно записать условие электронейт-
ральности так:
Р + Р«-п-«. = О. (9.8)
Вывод к § 9
Равновесная концентрация свободных электронов и дырок п0 и р0 создается
в результате термической генерации носителей заряда и обратного процесса — ре-
комбинации— в условиях термодинамического равновесия. Кроме свободных
электронов и дырок, могут наблюдаться неподвижные электроны на акцепторах
и неподвижные дырки на донорах, создающие локализованный заряд.
Условие электронейтральности можно сформулировать в виде соотношения
(9.4), где алгебраическая сумма концентраций свободных и закрепленных элек-
тронов и дырок равна нулю, что и определяет электронейтральность заданного
объема. Кроме того, условие электронейтральности применяю! для неравновесных
концентраций свободных носителей заряда в виде соотношения (9.8).
§ 10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК ПО ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ
СОСТОЯНИЯМ В ЗОНАХ И НА ДИСКРЕТНЫХ УРОВНЯХ
Равновесные концентрации свободных электронов и дырок
в полупроводниках и диэлектриках определяют с помощью функции
Ферми аналогично концентрации свободного электронного газа
60
и металлах (рис. 10.1). Положение уровня Ферми определяется типом
in». i\проводника.
Функцию распределения Ферми для электронов запишем в виде
<|01>
е "т +1
Функцию Ферми для дырок /ofl можно определить как разность
между единицей и
/фр=1-/ф». (Ю.2)
Отсюда получим
<10 -3>
е +1
Рис. 10.1. Функция распре-
деления Ферми для элек-
тронов в зонной схеме
Величина f<t>p дает вероятность заполнения уровня Е дыркой,
Еф — уровень Ферми, для которого /ф„ = = 1/2-
Расчет равновесных концентраций электронов и дырок с исполь-
зованием функции Ферми приведен в последующих параграфах.
Здесь же рассмотрим еще функции рас-
пределения электронов и дырок по до-
норным и акцепторным энергетическим
состояниям.
Уровни доноров и акцепторов могут
быть заняты лишь одним электроном
или дыркой. Если допустить, что в со-
стоянии Er или Еа помещается еще один
электрон, то в силу большого электро-
статического взаимодействия сами вели-
чины Ед или Ев изменяются, т. е. уров-
ни энергии однократно и двукратно
ионизированной примеси отличаются
друг от друга.
Невозможность нахождения двух и
более электронов в примесном центре
Ед или Еа должна отражать функция распределения электронов
по состояниям.
Расчет по методу Гиббса для систем с переменным числом ча-
стиц вместо функции Ферми дает законы распределения для элект-
ронов по уровням доноров fnn и по уровням акцепторов fna:
г.кт +'
fn- Ьа-Еф
2е кТ + 1
(Ю.5)
61
Выражения (10.4) и (10.5) отличаются от функции Ферми нали-
чием перед экспонентой коэффициентов ’/2 и 2, которые отражают
статистический вес занятого состояния, т. е. число способов, кото-
рыми оно может быть реализовано.
функции распределения для дырок можно найти, если из еди-
ницы вычитать функции распределения для электронов. Следова-
тельно, распределение дырок по уровням доноров /рд и распределе-
ние дырок по уровням акцепторов fpa будет:
Вф-Ед •
2е кт +1
= Еа—Е~
Те +1
(10.6)
(10.7)
Концентрации электронов и дырок на примесных центрах можно
записать следующим образом:
^д (10.8)
। £д~ v кТ +1
= Naf Па = W, (Ю.9)
Еа~ЕФ 2е +1
Pr ~ Nxfpn = Л'3 (10.10)
ЕФ~ЬД 2е кт +1
Ра = ^sfpa — ' V. (10.11)
, Е*~Е. ’ '-е " +1
Величины Ид и ра соответствуют концентрациям электронейт-
рал ьиых доноров и акцепторов, величины па и рд соответствуют
концентрациям однократно ионизированных акцепторов и доноров.
Выводы к § 10
1. Функция Ферми описывает распределение не только свободных электронов
по энергиям, но и распределение электронов в полупроводниках и диэлектриках
в условиях термодинамического равновесия по состояниям в зонах энергии.
2. Функции распределения электронов по уровням доноров и акцепторов опре-
деляются соотношениями (10.4) и (10.5), а функции распределения дырок по уров-
ням доноров и акцепторов — соотношениями (10.6) и (10.7). Электроны на уров-
нях акцепторов заряжают последние отрицательно, а дырки на уровнях доноров —
положительно. Электроны на уровнях доноров и дырки на уровнях акцепторов
соответствуют электронейтральным донорам и акцепторам.
62
tj 11. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И РАВНОВЕСНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ
НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Плотность состояний для свободного электронного газа, как
<именялось, можно определять по формуле (1.17). Поскольку зон-
ные электроны можно рассматривать как свободные электроны,
имеющие эффективную массу плотности состояний, то и здесь можно
применять формулу (1.17). Но отсчет энергии следует вести от дна
юны проводимости для электронов и от пиголка валентной зоны для дырок. При Е
я ом не обязательно полагать Ес ~ 0 или = 0.
Следовательно, при Ес =$^0 плотность состояний для электронов в зоне проводи- Е. мости 1 ‘
N„ (Е) = 2л (Е - Егу-‘. (11.1) Cv
Аналогично в валентной зоне плотность с mt)
Рис. 11.1 Плотность со-
стояний для электронов в
зоне проводимости и для
дырок в валентной зоне
состояний для дырок
2я (2т»)3/2
Np (£) = —-(Ev — E)lf2. (11.2)
На рис. 11.1 приведены указанные за-
висимости. Кроме того, формулы (11.1) и
(11.2) можно записать в применении к дну валентной зовы и к
потолку зоны проводимости Соответственно можно изобразить
Рис. 11.2. Плотность со-
стоял ий N (Е) в разре-
шенных зонах
плотность состояний как функцию £ (рис.
11.2).
В средних частях зон эффективная мас-
са обращается в гр оо, т. е. становится
неопределенной, и формулы (11.1) и (11.2)
непригодны для нахождения величины
N (£), которая должна быть непрерывной
функцией Е. На рис. 11.2 средняя часть
кривых' N (Е) намечена пунктиром. По-
скольку эта часть кривых практически не
используется, нет необходимости в точном
определении соответствующих величин.
Ранее отмечалось (см. § 7), что эффек-
тивная масса плотности состояний — ве-
личина скалярная, т. е. ей соответствует
некая усредненная изоэнергетическая поверхность в виде сферы.
Если обычная эффективная масса электрона т* является скаля-
ром и экстремум зоны проводимости находится в центре зоны Брил-
люэна, то получаем тп = т* и, следовательно, в этом случае
в формулу (11.1) можно подставлять вместо тп скалярную вели-
чину т*. То же относится к формуле (11.2), причем под т* здесь
подразумеваем массу дырки, так что гп1 — т0
63
Расчет равновесной концентрации електрснов проводимости
Равновесную концентрацию электронов проводимости, энергия
которых заключена в интервале от Е до Е+ dE, находим анало-
гично (1.28):
dn^Nn(E)2f^ndE. (11.3)
Для определения пъ необходимо (11.3) проинтегрировать по
энергии. При этом нижний предел положим равным Ес и примем
верхний предел равным оо, поскольку функция убывает до нуля.
Итак, имеем
("-о
Л3(е kT +1)
Произведем замену переменной, обозначив
* = (11.5)
Соответственно
dx=dElkT\ (£-£c)*';2 = x'2(^),/2. (П.6)
Кроме того, обозначим
1 = ^^ (ПТ)
и соответственно получим
Если считать tnn величиной постоянной, то
4я(2и„6Г)3-г f х1'3
"°- ft> J
О
Введем обозначения
_2(2гоп„4П3/г.
ft3
х!/2
е*-6+1 dx-
(11.9)
(11.10)
(11.11)
Величину Nc называют эффективным числом состояний в зоне
проводимости, а величину Ф(/3 (£) — интегралом Ферми половин-
ного порядка.
Тогда имеем
о
«о = 7^ ^Ф1/2 (i). (П.12)
I Л
64
Формула (11.12) выражает равновесную концентрацию электро-
нов проводимости через интеграл Ферми половинного порядка,
значения которого зависят от положения уровня Ферми. Наиболь-
ший практический интерес представляют невырожденный и вырож-
денный электронный газ.
Для невырожденного электронного газа

е kT = е*-6^>1. (11.13)
При этом интеграл Ферми F sx,/2 (11.14)
или Ф1/2® = е6 J = . (11.15)
Подставляя (11.15) в (11.12), для равновесной концентрации
невырожденного электронного газа получаем
^с~£ф
n0 = /Vce^ = /Vce кТ . (11.16)
Случай вырожденного газа рассмотрим отдельно в § 16, а пока
вернемся к критерию невырожденности (11.13). Поскольку этот
критерий предполагается справедливым для любых уровней в зоне
проводимости, включая дно зоны, для которого х = 0, то (11.13)
можно переписать в виде
(11.17)
нли
е*<1. (11.18)
Неравенство (11.18) может выполняться лишь при условии,
если £ величина отрицательная. Обычно полагают, что
£<-1. (1М9)
В этом случае можно считать, что неравенство (11.18) удовлет-
воряется. Если же принять
0>Е>-1, (11.20)
то можно получить
е*<1. (11.21)
Итак, критерий невырожденности (11.13) сводится к крите-
рию (11.19).
Подставим в (11.19) величину £ по (11.7). Тогда получим крите-
рий невырожденности в виде
Ес-ЕФ>1гТ. (11.22)
3 Орешкин П. Т.
65
Следовательно, невырожденный электронный газ в полупровод-
никах наблюдается при условии, что уровень Ферми располагается
ниже дна зоны проводимости не менее чем на величину kT. При
этом п0 можно рассчитывать по формуле (11.16).
Расчет равновесной концентрации дырск проводимости
Для дырок проводимости в кристаллических полупроводниках
имеем
dp0 = Np(E)2f^dE. (11.23)
Для нахождения р0 необходимо (11.23) проинтегрировать по
энергии в пределах валентной зоны. При этом верхний предел
полагаем равным Ev и нижний предел выбираем равным — оо,
поскольку функция /фР убывает до нуля. Итак, имеем

Ро= J £г(£)2/ср<!£. (11.24)
—со
Отсюда получаем to(2m„)3'2 р- (£,_£)<Z3 Ро ДЗ \ Еф — Е аС" (11.25)
~TOe ЬТ +1 Обозначив r Л kT ’ (11.26)
1 kT ’ (11.27)
получим Еф-Е kT — X 1). (11.28)
Следовательно, имеем •
1л (2mpkT)312 ? х1/2 да J е^ + 1 (11.29)
Откуда получим Ро=^=^ф1/2 сп). у л (11.30)
Здесь введены обозначения 2 (ЪхгпркТ)3'2 N* да (11.31)
“п xf/2 МК~ \ е,„ + | dx. (11.32)
G6
Величину Nv называют эффективным числом состояний в валент-
ной зоне, a Oi/2 (т>) — интегралом Ферми половинного порядка
(г заменой g на т]).
Нетрудно заметить полную аналогию формул (11.10) и (11.31),
(11.11) и (11.32), (11.12) и (11.30).
Для невырожденного дырочного газа имеем
е*-^>1,
чю можно привести к виду
е”<1.
Отсюда получаем
п<-1.
(11.33)
(П.34)
(11.35)
Следовательно, окончательно критерий невырожденности ды-
рочного газа получаем в виде
E*-Ev>kT. (11.36)
Таким образом, дырочный газ ие вырожден, если уровень Ферми
расположен выше потолка валентной зоны не менее чем иа вели-
чину kT. В таком случае из (11.30) легко получаем
Ро = ^=/УФе kT . (11.37)
Выводы к § 11
I. Плотность состояний для электронов в зоне проводимости выражается
в виде (11.1) и для дырок в валентной зоне — в виде (11.2). Равновесная концент-
рация электронов проводимости (расположенных на уровнях зоны проводимости)
в общем случае определяется соотношением (11.12), а для невырожденного слу-
чая— соотношением (11.16). Критерий невырожденности электронного газа
в зове проводимости можно записать в виде (11.22).
2. Равновесная концентрация дырок проводимости (расположенных на уров-
нях валентной зоны) в общем случае определяется соотношением (11.30), а для
невырожденного случая—соотношением (11.37). Критерий невырожденности
дырочного газа в валентной зоне можно записать в виде (11.36).
§ 12. УРОВЕНЬ ФЕРМИ И РАВНОВЕСНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ
ЗАРЯДА В НЕВЫРОЖДЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ.
ЗАКОН ДЕЙСТВУЮЩИХ МАСС
Если в полупроводнике иет примесей, так что Na == Na — 0, то
такой полупроводник называют собственным или чистым.
Условие электронейтральности (9.4) для собственных полупро-
водников имеет вид
(12.1)
Индексами i вместо нулей обозначают равновесные концентра-
ции в собственных полупроводниках.
3*
67
Уровень Ферми и равновесная нонцентрацня носителей заряда
в невырожденном собственном полупроводнике
Проведем расчет, используя соотношения (11,16)
Имеем
Nce kT t
Отсюда получаем
2ЕФ Zc + Ey
ekT kT .
Nc
Следовательно,
Еф ln(^),/2,
ИЛИ
Еф^+^\
Если (12.4) подставить в формулу (11.16), то
п,=УяХе пт" =
и (11.37).
(12.2)
(12.3)
(12.4)
(12.5)
(12.6)
Рис 12.1. Зависимость уровня
Ферми Еф от абсолютной тем-
пературы для собственного по-
лупроводника (зависимости
Ес (Г) и Ev (Т) не учитывают-
ся, т. е. Ес и Ev полагают здесь
постоянными)
При Т = 0 из (12.5) получим
£ф=&±^ = £,.
Рис. 12,2. Зависи-
мость концентрации
электронов П/ от аб-
солютной темпера-
туры для собствен-
ного полупровод-
ника
(12.7)
В большинстве случаев тр тп, поэтому второе слагаемое
в формуле (12.5) обычно значительно меньше первого, в связи с чем
68
<» in /‘ф определяют в виде (12.7) не только при Т — 0, но и при
0. Однако в действительности с увеличением температуры
। наблюдаться отклонение £ф от £). При тр > тп величина Еф
олько больше Е{, при тр < тп по-
ч.1см Еф < Ei (рис. 12.1).
11.1 рис. 12.2 изображена зависимость
/ (Т) [или pt = f (Т)1. Коэффициент
|н‘Л экспонентой (12.6) относительно
.|бо (по сравнению с экспонентой) за-
• и п г от температуры, поэтому зависн-
к п> tii = f (Т) практически экспонен-
циальная.
Но (12.6) получим
. . д 0,434 103
Ign. = 1gЛ - ^.|ЙГ"-Г • (12.8)
Рис. 12.3. Зависимость щ от
______ температуры в координатах
Здесь lg А = IgV NCNV является ела- lg щ — Ю3/т
По меняющейся величиной, так что за-
ппсимость 1g и/ от 103/Т — практически линейная (рнс. 12.3).
Л1.1сштаб по горизонтали мы выбрали для удобства записи вели-
чии в 103 раз больше, нежели просто (1/73.
Угловой коэффициент прямой (12.8)
tga =
0,43 • Д£о
2ft-103 •
(12.9)
Если ЛЕ0 выразить в эВ, соотношение (12.9) можно переписать
и виде
ДЕо = 0,4 tga. (12.10)
Следовательно, если по экспериментальному графику найти
tg а, то легко определить ЛЕ0, т. е. ширину запрещенной зоны.
Закон действующих масс. Основные н неосновные ноонтелн
заряда
Если полупроводник невырожден, то в зоне проводимости
функция распределения Ферми для электронного невырожденного
газа f&n переходит в функцию распределения Максвелла — Больц-
мана и в районе потолка валентной зоны для дырочного невырож-
денного газа 1фр тоже будет представлять функцию Максвелла —
Больцмана.
Следовательно, равновесные концентрации электронов и ды-
рок, определяемые по формулам (11.16) и (11.37), существуют
в невырожденном полупроводнике одновременно и можно, напри-
мер, найти произведение этих величин. Имеем
n0Pu = ^/V.e . (12.11)
69
Кроме того, по (12.6) получим
ЕС~ЕУ
nl = NcNj> ьт . (12.12)
Поскольку правые части соотношений (12.11) и (12.12) равны,
значит равны и левые части:
Поро = п1. (12.13)
Равенство (12.13) выражает закон действующих масс, который
называют так по аналогии с законом действующих масс в химии.
Значит, равновесные концентрации электронов и дырок в любом
невырожденном полупроводнике таковы, что их произведение поро
равно квадрату собственной концентрации электронов п! (или ды-
рок). Все эти величины определяют при одной и той же установив-
шейся температуре. Но так как соотношение (12.13) справедливо
для любой температуры, можно записать
^(ЛРо(П = «НЛ- (12.14)
Таким образом, в любом невырожденном полупроводнике при
Т 5^0 всегда имеются как равновесные свободные электроны, так
и равновесные свободные дырки, при этом их произведение при
любой температуре отлично от нуля и равно nj.
Например, при Т — 300 К для Si величина = 1,5-Ю10 см-3
и для Ge величина щ = 2,5-1013 см'3. Соответственно квадрат этой
концентрации равен произведению лоро при Т — 300 К для Si и
Ge при любых концентрациях 1УЯ и Afa в них. От последних зависят
значения и р0, но не их произведение.
Полупроводник называют электронным (/2-типа), если :
> ni Ро» и дырочным (p-типа), если р0 >• pi В первом слу-
чае основными носителями заряда являются электроны, неоснов-
ными — дырки; во втором случае, наоборот, дырки являются основ-
ными носителями заряда, а электроны — неосновными.
К собственным полупроводникам понятия основных и неоснов-
ных носителей заряда не применимы, и такие полупроводники обоз-
начают г-типа.
Выводы к § 12
I. Если эффективная масса электронов вблизи дна зоны проводимости и
эффективная масса дырок вблизи потолка валентной зоны равны друг другу, то
в собственном полупроводнике уровень Ферми Еф совпадает с серединой запре-
щенной зоны Е{, независимо от температуры образца.
В общем случае, когда Nc =£ Nw уровень Ферми выражается соотношением
(12.4), т. е. зависит от температуры полупроводника. Однако отклонение Ёф от Е,
обычно невелико. Собственная концентрация электронов и дырок выражается
формулой (12.6), так что зависимость (12.8) является линейной. По наклону этой
прямой можно найти ширину запрещенной зоны АЕо.
2. В невырожденном полупроводнике при любой температуре справедлив
закон действующих масс, согласно которому при Т -/=0 всегда имеются как равно-
весные электроны, так н равновесные дырки проводимости. В полупроводнике
я-типа концентрация основных носителей заряда (равновесных электронов) л0
70
ниш п больше концентрации неосновных носителей заряда (равновесных дырок)
/*,, но тем не менее р0 0. Наоборот, в полупроводнике p-типа концентрация
[шшювесных дырок рп много больше концентрации равновесных электронов п0,
ни и0 0.
§ 13. УРОВЕНЬ ФЕРМИ И РАВНОВЕСНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ
ЗАРЯДА В НЕВЫРОЖДЕННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ, СОДЕРЖАЩИХ ДОИОРЫ
Электронный невырожденный полупроводник характеризуется
гнпосительно высокой концентрацией электронов проводимости.
Для такого полупроводника имеем
Д?д^0; Wn=s=O. (13.1)
При низкой температуре вероятность переброса электронов
через запрещенную зону значительно меньше, чем вероятность
переброса с уровней доноров в зону проводимости. Следовательно,
при относительно низкой температуре можно пренебрегать концент-
рацией дырок р0 по сравнению с л0 и рд.
Значит, при относительно низкой температуре условием элект-
ронейтральности будет
По = рд- (13.2)
При более высокой температуре вероятность переброса через
запрещенную зону возрастает, а примеси могут истощаться, т. е.
все ионизируются. Но в таком случае, как видно будет далее, полу-
проводник за областью истощения примесей из электронного прев-
ращается в «собственный».
При этом условие электронейтральности записывают в виде
/1о = Рд+ро- (13.3)
Причем полагают, что все доноры ионизированы, так что
Р« = ^=Л?.. (13.4)
Примесный полупроводник при инокой температуре
Рассмотрим случай (13.2). Согласно (11.16) и (10.10) имеем
«»=^ Еф_;д
2е кт +1
и в соответствии с (13.2) получаем
Ес~ЕФ дг
№ " —• (13.Б)
*-Ф *-д
2е кГ +1
Обозначим
е£ф/А7 =z. (13.6)
71
Умножая обе части (13.5) на знаменатель правой части и учиты-
вая (13.6), получим квадратное уравнение для х в виде
Ес+Ед
2Wce *т x2 + Nce ^x-N^Q. (13.7)
Отсюда имеем
В«. / _2Lf Ес+Ед
-N* kT+V fef+WeN,e ”
х— _£е±£д ' '13,81
«се *г
Перед радикалом мраничиваемся знаком плюс, так как по
(13.6) ясно, что х > 0. Из (13.8) находим
еЕф"'г = |е£»"'г(|/' _ ]), (13.9)
где
А£д = £с-£д. (13.10)
Следовательно, имеем
£ф = А7’1п[ТеЕд/‘’-(|/Л1+^«еЛ£ЛГ_ ijj (13.11а)
или
Еф=Е,+АТ1п[4()/' 1+^еАМг-1)]- (13.116)
Соотношение (13.11) выражает положение уровня Ферми как
функции температуры для электронного невырожденного полу-
проводника. Однако формула (13.11) несколько громоздка для
анализа, поэтому рассмотрим два крайних случая этой зависимости.
Определим наиболее низкие температуры с помощью неравен-
ства
^e4£,/w>1 (13.12)
Такое неравенство можно реализовать как за счет экспоненты,
которая при малых Т велнка, так и за счет второго сомножителя
8Nn/Nc, поскольку Nc уменьшается с понижением температуры [см.
(11.10)1, a N„ от температуры не зависит. Очевидно, что понятие
наиболее низкой температуры согласно критерию (13.12) является
индивидуальным, т. е. для каждого полупроводника интервал ука-
занных температур, где справедливо (13.12), свой.
Итак, полагаем справедливым неравенство (13.12), н по (13.11а),
пренебрегая единицами в круглых скобках, получаем
I I Й, Л8Л’л
E® = ATln\4ew|/ (13.13)
72
11|1оизведя простые алгебраические преобразования, получим
Ес4-£д kT Л'
£Ф = ^Р + Т1п^. (13.14)
Уровень Ферми в виде зависимости (13.14) можно легко анали-
. кровать. Его можно использовать также для нахождения п0 по
формуле (11.16). Из (11.16) и (13.14) следует
Определим теперь уровень Ферми и концентрацию электронов
проводимости при условии
^еА£«'"<1. (13.16)
Этот критерий соответствует верхнему интервалу низких тем-
ператур.
Используя разложение в ряд радикала при 1 в виде
/1+^=1-?+••• (13.17)
и ограничиваясь двумя первыми членами разложения, имеем
£ф=£е+АТ1п^. (13.18)
Подставляя (13.18) в формулу (11.16), получим
n0 — Na. (13.19)
Таким образом, при выполнении неравенства (13.16) концентра-
ция свободных электронов не зависит от температуры и равна кон-
центрации примесей. Это соответствует области истощения приме-
сей, которые оказываются ионизированными.
Заметим, что в области истощения примеси концентрация неос-
новных носителей заряда (дырок) будет возрастать с увеличением
температуры по экспоненте,
закон действующих масс:
Это выражение остается справедливым до тех пор, пока концент-
рация дырок остается много меньше концентрации электронов:
Ро<«о = ЛГ1=^д. (13.21)
Иначе говоря, дырки возникают как следствие активации через
запрещенную зону, и можно не учитывать изменения концентра-
ции /г0 только потому, что она мала.
Таким образом, низкие температуры соответствуют интервалу от
О К до области истощения примесей включительно. Этот интервал
поскольку остается справедливым
W.
73
может быть достаточно широким. Например, для Si он составляет
около 400 К. Именно в этом интервале полупроводник будет «-типа.
В заключение подчеркнем, что концентрацию неосновных носи-
телей заряда р0 для любой температуры в указанном интервале
можно рассчитать по формуле
Ро = kT .
Итак, более высокому уровню Ферми при заданной температуре
(т. е. большему Nд) соответствует большая концентрация п0 и мень-
шая концентрация рс. Равновесные концентрации носителей заряда
в случае обеднения или обогащения основными носителями заряда
и возникновения объемных зарядов на контактах и в приповерх-
ностных слоях вычисляют по формулам
Ес~ЕФ ЕФ~Еу
n=Nce kT и р = Мяе kT .
Примесный пояупрсводиик прн выоской температуре
Зададим условие электронейтральности в виде (13.3) с уче-
том (13.4), т. е. имеем
по = Ро+^д. (13.22)
Пользуясь законом действующих масс, находим
«0 = ^ + ^,. (13.23)
Следовательно, получаем квадратное уравнение относительно /?0
По — МдИо — пг = 0. (13.24)
Отсюда находим
«0 = ^(1+|Л (13.25)
Выбираем перед радикалом лишь знак плюс, ибо > 0.
Кроме того, используя общую формулу (11.16), имеем
ТУ / Г д75\
" = -Д1 +|/ 1 +^. (13.26)
Отсюда находим
Еф=Ес+ЛТ1п[^(1+|/Г+^]. (13.27)
Рассмотрим два предельных случая. Вначале положим
»г<1. (13.28)
д
74
ho соответствует области средних температур, точнее, области
। мщения примесей, так как по (13.25) и (13.27) получаем соотно-
пня (13.19) и (13.18):
л0 = Л^; £'ф = £'е + Л7,1п^.
Таким образом, низкие и высокие температуры перекрылись
области истощения примесей.
Положим теперь, что выполняется неравенство
4/г?
»г>1- (13.29)
д
В этом случае
Еф = £с+Й7’1п^, (13.30)
_______Ес~Еу
пли, учитывая «/ = } А^А^е 2kT , получаем
Еф=^±^ + ^1п^. (13.31)
Очевидно, что (13.31) совпадает с формулой для случая собст-
венного полупроводника.
Графическое изображение уровня Ферми и концентрация
носителей варяда в примесном полупроводнике, содержащем
доноры, в вавнсимости от температуры
На рис. 13.1 изображена температурная зависимость уровня
Ферми при заданном значении АГД.
При Т = 0 по (13.14) получаем
_ Ес-\-Е„
(13.32)
Следовательно, уровень Ферми в этом случае оказывается по-
середине — между дном зоны проводимости и уровнем донора.
При повышении температуры уровень
Ферми вначале увеличивается, затем до-
стигает максимума (зависящего от А\;)
и далее снижается. При Nc = NR/2 кри-
вая Еф = f (Т) пересекает горизонталь
(Ес 4- Е^/2 и далее опускается до Ев и
Рис 13.1 Зависимость уровня Ферми £ф от аб-
солютной температуры в примесном полупровод-
нике, содержащем доноры
ниже. Область истощения примесей находится на некотором уча-
стке Еф возле Eh Дальнейший ход кривой Еф такой, как если бы
полупроводник был собственным.
75
Если зависимость концентрации от температуры изображать
в виде 1g «о = f (1/7), то получим три прямых отрезка (рис. 13.2).
При низких температурах имеем полупроводник и-типа, и наклон
прямой определяется энергией ионизации доноров ДЕд. При высо-
ких температурах наклон прямой определяется шириной запрещен-
ной зоны ЛЕ0. Горизонтальный участок соответствует области ис-
тощения примеси.
Цп0
Рис. 13.2. Зависимость 1g п0 =
= f (1/7) в полупроводнике,
содержащем доноры
J/T
Рис 13.3. Семейство кривых
1g «и — f (1/7) для заданного
полупроводника при изменении
степени легирования №д, увели-
чивающейся с возрастанием по-
рядкового номера
На рис. 13.3 приведено семейство кривых п0 = f (\/Т) для
заданного полупроводника, в котором лишь различна концентра-
ция доноров.
При достаточно высокой температуре можно считать, что
«о Мд, т. е. примесная концентрация носителей мала, и расчет л0
можно проводить по формуле для щ. Этому соответствует получен-
ное значение для ЕФ в виде (13.31).
Расчет экстремального значения уровня Ферми
Максимум кривой Еф наблюдается при низких температурах,
когда справедливо выражение (13.14). Найдем производную от Еф
по Т и приравняем ее нулю, с тем чтобы определить условия экстре-
мума. Имеем k . kT dNc 'd7r ~ ~dT' (13.33)
Отсюда = (13 34) 2NC Nc dT’ (16.64)
Поскольку _2(2ЮЛ^Г)3'2 n c ^3 » TO dT 2 T' (13.35)
76
Следовательно* получаем:
'"2^=2-; (13.36) = (13.37)
Согласно соотношению (13.37)
Л'/;3 ^ = е3/2. (13.38)
4(2Лт^Тп,,,)8'2
Отсюда температура, соответствующая максимуму £ф,
Лг Л,2/я Л’2'3
(13-39) 42/J2nfee тп ,пп
Величину тах находим по (13.14) и (13.36):
+ 3
£фгпах= -g h'4'^max- (13.40)
Таким образом, величина Ттах пропорциональна и обратно
пропорциональна эффективной массе плотности состояний тп.
Соответственно величина Е$> тах также зависит от этих двух пара-
метров полупроводника.
Выводы к § 13
I. В примесном невырожденном полупроводнике, содержащем доноры, при
наиболее низкой температуре уровень Ферми можно выразить в виде (13.14).
Критерий наиболее низкой температуры выражается неравенством (13.12). Для
области температур, удовлетворяющей этому критерию, соответственно опреде-
ляют равновесную концентрацию электронов проводимости в виде (13.15). Для
верхнего интервала низких температур используют критерий (13.16), в котором
знак неравенства изменяется по сравнению с (13.12) на противоположный. В этом
случае получают область истощения примесей, где £ф выражается в виде (13.18),
а величина пп оказывается постоянной, так что п0 = N„. Для всей области низких
температур условием электронейтральности является (13.2).
2- В полупроводнике, содержащем доноры, при высокой температуре, зада-
ваясь условием электронейтральности (13.22), получают две области — нижний
интервал высоких температур, совпадающий с областью истощения примесей,
и область собственной проводимости. В последнем случае получают уровень Ферми
в виде (13.31), т. е. как для собственного полупроводника.
3. Температурная зависимость уровня Ферми в полупроводнике, содержащем
доноры, может быть представлена графически в виде кривой рис. 13.1. Наиболее
характерным признаком полупроводника, содержащего доноры, является то, что
уровень Ферми расположен выше середины запрещенной зоны, и лишь при высо-
ких температурах, т. е. в области собственной проводимости, уровень Ферми
практически совпадает с Е-„ либо отклоняется от него весьма незначительно.
Зависимость концентрации электронов от температуры представлена на рис. 13.2.
В примесной области имеем экспоненту, в собственной области — также экспо-
ненту, отличающуюся большей крутизной, поскольку энергия ионизации А£д
заменяется на ширину запрещенной зоны &Е0. В области истощения примесей кон-
центрация электронов постоянна, но концентрация неосновных носителей заряда
(дырок) возрастает с увеличением температуры по экспоненте. Уровень Ферми
как для электронов, так и для дырок одни и тот же во всем интервале температур.
77
4. Экстремальное значение уровни Ферми как функции температуры наблю-
дается в области наиболее низких температур; максимальная величина уровня
Ферми Ефгпйх определяется формулой (13.40), в которой есть температура,
соответствующая максимуму ЕФтах, причем обе эти величины определяются
в зависимости от концентрации доноров ЛГД и эффективном массы плотности
состояний /#л.
§ 14. УРОВЕНЬ ФЕРМИ И РАВНОВЕСНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ
ЗАРЯДА В НЕВЫРОЖДЕННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ, СОДЕРЖАЩИХ
АКЦЕПТОРЫ
Для дырочного полупроводника имеем
Мд = 0; Na#=0. (14.1)
При низкой температуре основным механизмом образования
дырок является захват акцепторами электронов, возбуждаемых
тепловым движением, из валентной зоны. Прн этом п0 <^р0 н усло-
вие электронейтральности можно записать в виде
Ро = па. (14.2)
Следовательно, имеем
SF-^ -Д»ф .. (14.3)
2е kT +1
Отсюда
£ф = Е.-ЛТ1п[|(|Л 1+^е^-1)]. (14.4)
Определяй наиболее низкие температуры с помощью неравенства
SN
Хс">1' <14-5)
получим
= (14 6)
Условия экстремума Ефт1п можно найти так же, как это сде-
лано в § 13- Здесь не будем проводить такой расчет.
Концентрацию основных носителей заряда (дырок) р0 находят
по (11.37). Если учесть (14.6), то
= (14.7)
Определяя верхний интервал низких температур согласно усло-
вию
лвя
(14.8)
78
получим
ЕФ = Е,-кТ1п-^- (14.9)
А>=ЛГ., (14.10)
г. е. область истощения примеси.
Для высоких температур условие электронейтрапьности будет
Ро = «о + ^я. (14.11)
Здесь полагают Na = /Уй = па, т. е. считают, что все акцепторы
ионизированы.
С учетом закона действующих масс имеем
п? Ро = ~ + (14.12)
ИЛИ Ро —/Уоро —ш8=0. (14.13)
Отсюда p.=4A+]/~1 +тт)- (14.14)
Следовательно, с учетом (11.37) имеем _ Е°~Е* = In +1 /1 + И\1 kT [2/V, Z 1 |/ 1 1 Nl/y (14.15)
ИЛИ Еф = Е, - kT In |Д- (1 +|/ 1+^г)]. (14.16)
При условии (14.17)
находим Еф = Е, — kTIn-^5- и p0=N„ т. е. снова область исто-
щения примесей. При условии 1 (14.18)
получаем Еф = Е„-И'1п-$-. (14.19)
Если подставить сюда nt из (12.6), то уровень Ферми Еф = -&±^ + -^-1п-^-, (14.20)
т. е. эта формула для собственного полупроводника.
79
На рис. 14.1 приведена зависимость Еф — f (Т) для невырожден-
ного полупроводника, содержащего акцепторы. При Т = 0 имеем
еф=£5+£
Далее уровень Ферми несколько опускается, достигает мини-
мума и затем поднимается вплоть до Е, (как для собственного полу-
проводника).
На рнс. 14.2 приведены кривые 1g р0 = f (1/Т) для заданного
полупроводника при различной концентрации акцепторов. Для
%Р0
Рис. 14.1. Зависимость уров-
ня Ферми Еф от температу-
ры в полупроводнике, содер-
жащем акцепторы
/Л
Рис. 14.2. Зависимость 1g рп =
= в полупроводнике, со-
держащем акцепторы с различ-
ной концентрацией Л'а. Величи-
ны возрастают с увеличе-
нием номера п
неосновных носителей заряда (электронов)
п» < Р« и «о = "Уро-
При высокой температуре имеем, как
проводника,
при низкой температуре
для собственного полу-
П/ = Pi.
Причем примесные дырки, концентрация которых не может
быть более NB, практически не учитываются, поскольку в этом слу-
чае W, < р,.
Выводы к § 14
В примесном невырожденном полупроводнике, содержащем акцепторы, при
наиболее низкой температуре, определяемой неравенством (14.5), уровень Ферми
выражается в виде (14.6), а равновесная концентрация дырок соотношением
!14.7). В верхнем интервале низких температур, характеризуемом неравенством
14.8), получают область истощения примесей, для которой уровень Ферми опре-
деляется равенством (14.9), а концентрация дырок равна концентрации акцепто-
ров. Весь интервал низких температур задается в виде условия электронейтраль-
ности (14.2), где не учитывается концентрация свободных электронов.
80
При высоких температурах, когда используется условие электронейтральности
(14.11), получаем область истощения примесей в нижнем интервале высоких
юмлератур и цалее область собственной проводимости.
Характерным признаком полупроводника, содержащего акцепторы, является
ю, что уровень Ферми расположен ниже середины запрещенной зоны и лишь для
области собственной проводимости практически совпадает с Ei или мало отличает-
ся от него, т. е. повторяет ход зависимости = f (Т) как для собственного
юлупроводника.
Минимум Еф наблюдается в области наиболее низких температур, т. е. до
истощения примесей, и определяется концентрацией акцепторов и эффективной
массой дырок.
§ 15. УРОВЕНЬ ФЕРМИ И РАВНОВЕСНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ
ЗАРЯДА В НЕВЫРОЖДЕННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ, СОДЕРЖАЩИХ
ДОНОРЫ И АКЦЕПТОРЫ
Рассмотрим общий случай, когда в невырожденном полупровод-
нике имеются как доноры, так и акцепторы, т. е. положим
А^д=^0; /Va=j£O. (15.1)
Электроны, стремясь занять наинизшне уровни, имеют возмож-
ность переходить с доноров иа акцепторы, так что происходит иони-
зация и тех и других. Если
#д = ЛГа, (15.2)
то наблюдается компенсация примесей, и скомпенсированный полу-
проводник подобен собственному полупроводнику, хотя имеются
неподвижные заряды на донорах и акцепторах.
Уровни акцепторов обычно близки к потолку валентной зоны,
так что переброс электронов с акцепторов в зону проводимости
требует затраты энергии немногим меньше ширины запрещенной
зоны, и практически в скомпенсированном полупроводнике кон-
центрацию носителей заряда и уровень Ферми определяют как
в собственном полупроводнике.
Если положить
(15.3)
то получим частично скомпенсированный полупроводник, как со-
держащий только доноры с эффективной концентрацией
/VJ = /V„-/V,. (15.4)
Когда в полупроводнике
Л(д<ЛГа, (15.5)
получают частично скомпенсированный полупроводник, как содер-
жащий только акцепторы с эффективной концентрацией
А^ = ЛГа-АГд. (15.6)
81
Расчет уровня Ферми и равновесной концентрации носителей
заряда для полупроводника с большей концентрацией декоров
вблнзк абсолютного нуля
Положим, что полупроводник имеет температуру, близкую
к нулю. В этом случае можно считать
p0 = ne = Q. (15.7)
Электроны с доноров переходят на акцепторы, заполняя все
нейтральные дырки на последних (т. е. ря = 0).
При этом условием электронейтральности будет
рд = па, (15.8)
или
/Уд — /гя = А/а — рй. (15.9)
Но уже отмечено, что ра = 0 и, следовательно,
= Мд - = Мд- (15.10)
Согласно (10.8) имеем
Мд
д 1 £д~£ф
+1
Значит, вместо (15.10) получим
£д-*ф (1^ Н)
|е +1
Откуда и определим Еф. Получаем
Ед—Еф
|е^~=&-1. (15.12)
Производя простые преобразования, находим
л'
= (15.13)
Напомним, что для электронного полупроводника при низких
температурах
£ Ес+Ед , *£1П_"Д
Еф — 2 -Г 2 111 2/Vf *
Подставляя в общую формулу (11.16) значение Еф по (15.13),
получаем
N'
«о = /Ус^-е kT- (15.14)
82
концентрацию дырок можно определять на основе закона дей-
11. Л ющих масс, т. е. в виде
Ро = «/Мо-
Для электронного полупроводника
„„ = 1Л!УЛе-5^
по — I/ 2 е
Таким образом, и Еф, и п0 в данном случае отличаются от элект-
ронного полупроводника при Т -> 0. Согласно (15.13) при Т = 0
имеем £ф= £д, а в (15.14) показатель степени содержит kT вместо
.7? Г.
Аналогичным путем можно провести расчет для случая Na > Мд.
Вместо формул (14.6), (14.7) для полупроводника, содержащего
iiwibKO акцепторы, получаем формулы в виде
Еф-=Еа-кТ1п (15.15)
ДГ' Д£а
kT ' <15Л6)
Концентрацию электронов можно определять на основе закона
действующих масс.
Уровень Фермн и равновесная концентрация носителей заряда
прн низких температурах,, но вдали от абсолютного нуля
При повышении температуры в полупроводнике, где А'д > М8,
появляются в достаточно большом количестве электроны прово-
щмости, так что в условие электронейтральности будет входить п0.
Поэтому вместо (15.8) имеем
Рл = «. + «0, (15.17)
или пд + п0 = Л?а — N. = Nn- (15.18)
Отсюда (15.19)
Величину ЛГ£ вычисляют аналогично концентрации дырок на
донорах по формуле
ЛГУ=- ------------- (15.20)
2е ьт +1
Значит, условие (15.19) подобно условию (13.2). Необходимо
лишь заменить Мд на N'A. Можно использовать также расчет § 13 и
формулу (13.14), подставив вместо Мд величину Мд — Мд— Na.
83
После этого имеем
Соответственно
«<,= ]/ ^е~яг.
(15.21)
(15.22)
При условии Na > Nr аналогичным путем вместо (14.6) и (14.7)
получим
Еф = Т»+^_.^1п-^; (15.23)
Л=]/ (15.24)
Рис. 15.1. Зависимость Еф от тем-
пературы:
1 — при N = 3Hj 2 — при N >3N-
3 - n’< n < 3<V*
Следовательно, при низких температурах, но не вблизи абсо-
лютного нуля частично скомпенсированные полупроводники по-
добны полупроводникам с донора-
ми при Л’д > и полупроводни-
кам с акцепторами при Na >
Эффективная концентрация до-
норов в первом случае М'д ~ Nn —
— NB и эффективная концентрация
акцепторов во втором случае =
= ^ - Кя.
При высоких температурах,
как всегда, полупроводники ана-
логичны собственным полупровод-
никам.
Таким образом, в данном слу-
чае графики Еф = f (Т) для тем-
ператур, близких к Т = 0, будут
отличаться от графиков § 13, 14,
а при более высоких температурах не будут отличаться (см.
рис. 15.1).
По формуле (15.13) и рис. 15.1 находим, что вблизи Т — О
в первом случае Еф~Ед; во втором случае ЕфД> Ед; в третьем
случае Еф < Ея.
Однако поскольку практическое применение полупроводников
пока ограничено не очень низкими температурами, ход функций
Еф (Т), п0 (Т), р0 (7) при температурах, близких к нулю, пред-
ставляет главным образом теоретический интерес, т. е. для прак-
тики важно, что частично скомпенсированные полупроводники
подобны примесным нескомпенсированным, а полностью скомпен-
сированные — собственным полупроводникам.
Выводы к § 15
1. При одинаковой концентрации доноров и акцепторов в данном полупровод-
нике наблюдается ионизация и тех и других примесей за счет перехода электронов
с доноров на акцепторы. В этом случае полупроводник называют скомпенсирован-
84
ним. Уровень Ферми н концентрацию носителей заряда в скомпенсированном
полупроводнике определяют как для собственного полупроводника. В частично
। компенсированных полупроводниках при температуре, близкой к абсолютному
нулю, уровень Ферми отличается от его значений для примесного полупроводника
одним типом примеси. Для частично скомпенсированного полупроводника при
ффективной концентрации доноров = Na — JVa >0 уровень Ферми выра-
жается соотношением (15.13), а концентрация электронов — формулой (15.14);
при N's = N& —Л’д > 0 соответственно формулами (15.15), (15.16).
2. При низкой температуре, но вдали от абсолютного нуля, частично ском-
пенсированные полупроводники подобны примесным: уровень Ферми и концентра-
цию носителей заряда подсчитывают по формулам, аналогичным для примесных
(с одним типом примеси) полупроводников, с заменой концентрации примеси
па эффективную концентрацию. В области высоких температур частично скомпен-
сированный полупроводник подобен собственному полупроводнику.
§ 16. ВЫРОЖДЕННЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ
До 1958 г. почти во всех полупроводниковых приборах исполь-
зовали предварительно очищенные и затем слабо легированные
кристаллы с содержанием примеси не более 101С сьГ3, что соответ-
ствует невырожденным полупроводникам.
При изготовлении туннельных диодов вернулись к «грязным»
кристаллам, содержащим примеси до I020 см-3, что соответствует
вырожденным полупроводникам. Кроме туннельных диодов, это
относится к некоторым лазерным и термоэлектрическим устрой-
ствам, полупроводниковым тензометрам и некоторым элементам
интегральных схем.
Критическая концентрация доноров
Если рассматривать переход от невырожденного полупровод-
ника к вырожденному за счет увеличения уровня легирования
первоначально относительно чистого полупроводника, то можно
определить так называемую критическую концентрацию примеси.
В невырожденном полупроводнике, содержащем доноры, сог-
ласно (13.39) и (13.40) имеем
т Д . р _______1 3 ггр
1 max — Л —— , £фт«х — g------Г к1 max-
Эти значения температуры и Еф соответствуют максимуму
на кривой Еф = f (Т).
Критическая концентрация доноров — это такое значение =
= при котором величина Еф max достигает дна зоны проводи-
мости, т. е. Еф max = Ес. При этом, строго говоря, уже нельзя
пользоваться приведенными формулами, так как для экстремаль-
ного значения нарушается критерий невырожденности Ес — Еф>
> kT. Однако если ограничиться оценкой, то получим
= + (16 |)
85
Отсюда имеем
/Л7кр\2/3 Ес—Ед 4
v д ) ~ 2 3 kA ’
или
Здесь
"«М4мГ<ДЕ»)3'2-
(16.2)
(16.3)
42 32лЛе ’
где е — основание натуральных логарифмов.
Таким образом, можно записать
= В(/п„ДЕя)3/2,
где
l3/2
(16-4)
(16.5)
Следовательно, согласно (16.4) критическая концентрация опре-
деляется эффективной массой плотности состояний тп и энергией
ионизации доноров A£3.
Если для свободного электронного газа граница вырождения
соответствует п0 2- 101п см"®, то такое же значение N*v можно
получить, например, при тп = 0,3 m и Д£д = 0,03 эВ.
Но в соединениях Л,ПВУ критическая концентрация может
иметь значения много меньше 101е см"3. Например, для InSb полу-
чают ~ 1012 см"3. Значит, можно выбирать материалы, наи-
более пригодные для получения вырожденных полупроводников
за счет относительно небольшого легирования примесями.
Критическая концентрация позволяет определить границу вы-
рождения, хотя это еще не есть полностью вырожденный полупро-
водник.
Вырожденный электронный полупроводник
Вырожденный полупроводник определяют как полупроводник,
в котором концентрация свободных носителей заряда не зависит
от температуры. Подробное исследование показывает, что полу-
проводник оказывается вырожденным, если выполняется условие
£ф-Ес>5ЛТ. (16.6)
Следовательно, критерий вырождения состоит в том, что уро-
вень Ферми в электронном полупроводнике должен располагаться
выше дна зоны проводимости не менее чем на 5 kT. В этом случае
F ___р
| = (16.7)
86
При этом интеграл Ферми половинного порядка (И-11)
= (16.8)
Концентрация электронов проводимости (П-12) соответственно
—£J3/2- (16.9)
Итак, концентрация вырожденного электронного газа в полу-
проводниках не зависит от температуры и определяется по фор-
муле (16.9), т. е. оказывается пропор-
циональной [тп (Еф — Ec)]9,i.
Отметим, что большая концентрация
доноров приводит к их взаимодействию,
т. е. перекрытию волновых функций
соседних примесных центров (см. § 8),
гак что в запрещенной зоне вблизи дна
зоны проводимости может возникать
примесная зона. Отдельные уровни по-
следней располагаются так близко друг
к Другу, что примесная зона является
как бы продолжением зоны проводимо-
сти.
На рис. 16.1 приведена зонная схе-
ма и изображена плотность состояний в
электронном вырожденном полупровод-
нике. Уровень Ферми располагается вы-
ше Ес на величину не менее 5 kT, а у
плотности состояний N (Е) появляется
Рис. 16.1. Зонная схема и
плотность состояний в элек-
тронном вырожденном полу-
проводнике
плотности состояний N (Е) появляется «хвост», заходящий в за-
прещенную зову. Пунктиром показан ход W (Е) в невырожден-
плотность состояний в ды-
рочном вырожденном полу-
проводнике
ном кристаллическом полупроводнике.
Вырожденный дырочный
полупроводник
Критерием вырожденного дырочного
полупроводника является условие
Ev-E*>5kT. (16.10)
Следовательно, в этом случае уро-
вень Ферми должен располагаться ни-
же потолка валентной зоны не менее
чем на 5 kT.
Критическую концентрацию акцепто-
ров определяют аналогично критической
концентрации доноров с заменой дна
зоны проводимости на потолок валент-
ной зоны. Вырожденный дырочный полупроводник получают при
более высоком уровне легирования акцепторами.
87
Условие (16.10) дает
1] ==
£—£Ф
kT >5*
(1611)
При этом интеграл Ферми половинного порядка (11.32)
9
Ф1/2(>1) = |Ч3'2.
(16.12)
Концентрация дырок проводимости (11.30) соответственно
Ро = -^-(2т,)зя (^-Еф)3/г- (16.13)
Выше потолка валентной зоны может возникать примесная
зона и «хвост» плотности состояний (рнс. 16.2).
Выводы к § 16
1. Критической концентрацией доноров называют такую их концентрацию,
при которой максимум кривой E^= f (Т) касается дна зоны проводимости Ес. Эта
концентрация согласно (16.4) определяется эффективной массой плотности сос-
тояний и энергией ионизации доноров.
2. Условие вырождения электронного полупроводника можно определить
за счет положения уровня Ферми: если £ф — Ес > 5 kT, то полупроводник вы-
рожден. Концентрацию вырожденного электронного газа определяют по формуле
(16.9). Плотность состояний зоны проводимости в сильно вырожденном электрон-
ном полупроводнике имеет «хвост», заходящий в запрещенную зону.
3. Условие вырождения дырочного полупроводника можно представить
в виде Ev—Еф >5 kT- Выше потолка валентной зоны может возникать «хвост»
плотности состояний.
ГЛАВА IV
КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
§ 17. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ (ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ)
Кинетическими явлениями (явлениями переноса) называют
явления, связанные с движением свободных носителей заряда,
происходящими под действием электрических и магнитных полей
или в результате разности температур. К ним относятся электро-
проводность, термоэлектрические, гальваномагнитные и термо-
магиитные явления.
При наличии одного типа свободных носителей заряда (элек-
тронов) удельная электропроводность
оя = еирп, (17.1)
где е — заряд электрона; п — концентрация свободных электро-
нов; ,цй — дрейфовая подвижность электронов, т. е. величина,
численно равная средней скорости их дрейфа (vcp) в электрическом
поле единичной напряженности:
= (17-2)
Если носители заряда — дырки, то все определяется анало-
гично.
Подвижность электронов н дырок
Согласно элементарной электронной теории металлов конеч-
ная дрейфовая скорость электронов
= (17.3)
где а — ускорение электрона под действием электрического поля;
т — среднее время между двумя столкновениями электрона с ре-
шеткой, т. е. среднее время свободного пробега.
Начальная дрейфовая скорость v0 — 0, так как считают, что
после каждого очередного столкновения направленное движение
прекращается.
Поскольку
Fи F = ma9 (17.4)
89
Й=Д^; = = (17.5)
Таким образом,
ц„ = ет/2т. (17.6)
Прн более строгом подходе, с учетом распределения электро-
нов по скоростям, получают
р.п = ет1т. (17.7)
Формула (17.7) отличается от (17.6) лишь знаменателем дро-
би — т вместо 2m.
Если использовать формулу (17.7) для одного из направлений
в полупроводнике, то
= (17.8)
где (nn)i — подвижность электрона по одному из направлений
(например, по оси эллипсоида — изоэнергетической поверхности
для Si, Ge); — соответствующий компонент тензора эффектив-
ной массы.
В общем случае подвижность (и электропроводность) в полу-
проводниковых кристаллах является тензором. Но так как в кри-
сталлах типа кремния н германия имеются симметричные экви-
валентные долины, то подвижность (и электропроводность) таких
кристаллов усредняется и оказывается изотропной:
Цел =з'[(Мп)14-(Мл)2-Н (17.9)
Кроме того, по аналогии с (17.8) можно записать
= (17.10)
Следовательно,
+ + (17-11)
М(ул 3 \ nti пг3) '
т. е. получим соотношение, нз которого можно определить эффек-
тивную массу проводимости тсп. В частности, можно найти вели-
чину тап для кремния и германия. Подсчет дает следующие число-
вые значения: (m^)si = 0,22 т\ (топ)ве = 0,12 т.
В отличие от элементарной электронной теории в данном слу-
чае т определяется как время релаксации, характеризующее про-
цесс восстановления равновесного состояния, нарушенного элек-
трическим полем, после снятия последнего.
Прн наложении электрического поля и создании дрейфа носи-
телей заряда нарушается равновесное состояние, соответствующее
заданной температуре. Если выключить электрическое поле, то
через некоторое время система частиц приходит в равновесное состоя-
ние.
90
Приближенно можно считать, что время релаксации после
выключения поля, вызвавшего отклонение от равновесного состоя-
ния, равно среднему временн свободного пробега. Действительно,
если скорость направленного движения носителем заряда теря-
ется в результате единичного столкновения, то это предположение
приемлемо. Однако н более строгий подход приводит к выводу
о том, что время релаксации и среднее время свободного пробега
являются величинами одного порядка.
Рассеяние электронов и дырок проводимости может происхо-
дить на нонах и нейтральных атомах примеси, точечных дефектах
структуры, дислокациях, границах кристалла, плоскостях спай-
ности, границах зерен, электронах и дырках, тепловых колеба-
ниях решетки (фононах).
Рассеяние на нонах примеси возникает как результат взаимо-
действия зарядов. Рассеивающие ионы данного знака отклоняют
своим полем как электроны, так и дырки; причем отклонение тем
сильнее, чем медленнее движется носитель заряда и чем ближе
проходит он мимо иона примеси. Математически отклонение рас-
считывают путем нахождения траектории движения заряженной
частицы в центральном поле нона, подобно задаче определения
рассеяния а-частиц, которая решена Резерфордом. Далее находят
вероятность рассеяния и выводят формулу для времени релак-
сации, откуда получают, что при рассеянии на ионах примеси
(прн не очень низких температурах) в невырожденных полупро-
водниках подвижность пропорциональна Т3/2:
Ипр = аТ3/2. (17.12)
Рассеяние на ионах примеси в монокристаллах может быть
основным механизмом в области низких температур. При этом
для верхнего интервала низких температур пригодна приближенная
формула (17.12).
Однако для интервала рабочих температур, прн которых в боль-
шинстве случаев применяют полупроводниковые материалы и при-
боры, подвижность с ростом температуры обычно уменьшается.
Как будет показано в § 18, при рассеянии на тепловых колеба-
ниях решетки в невырожденных полупроводниках подвижность
пропорциональна Т‘3^, поэтому можно записать
uTl{ = Z>T-3/2. (17.13)
Таким образом, при средних н относительно высоких темпера-
турах подвижность может убывать вследствие превалирующего
влияния рассеяния на тепловых колебаниях решетки.
При рассеянии на дислокациях получают
|лд = еТ->/2. (17.14)
При рассеянии на нейтральных центрах (примесях) подвиж-
ность в явном виде от температуры не зависит. Влияние темпера-
туры сказывается лишь на концентрации примесн, которая оста-
91
ется не ионизированной (электрически-не активной). Данная кон-
центрация с увеличением температуры в области высоких темпера-
тур может уменьшаться и тогда соответствующая подвижность
увеличивается.
При одновременном действии различных механизмов рассеяния
независимо друг от друга полная вероятность рассеяния равна
сумме вероятностей рассеяния на каждом
типе рассеивающих центров. Следователь-
но, полное время релаксации
т-* = _£т7, (17.15)
Рис. 17.1. Температурная
зависимость подвижности
носителей заряда в полу-
проводниках
где ъ — парциальное '(Ле) время релак-
сации.
Согласно (17.15) полное время релак-
сации т определяется в основном тем пар-
циальным процессом, который имеет наи-
меньшее время релаксации. Последнее рас-
считывают для средней тепловой энергии
з
частицу kT, ибо частицы с энергией, близ-
кой к средней, составляют основную часть свободных носителей
заряда (в невырожденном газе).
Такое преимущественное влияние парциального процесса с наи-
меньшим временем релаксации
стей при различных температу-
рах.
Чаще всего величину под-
вижности определяют из соотно-
шения
+ (17.16)
гл
В правой части (17.16) огра-
ничиваются лишь двумя слагае-
мыми, которые обычно имеют
отмечалось ранее для подвижно-
Рис. 17.2 Качественная зависимость
подвижности электронов цп от кон-
центрации доноров iVa и дырок |Лр от
концентрации акцепторов Ма в крем-
нии
основное значение.
Причем, поскольку основны-
ми механизмами являются рас-
сеяние на ионах примеси и при
более высоких температурах на
тепловых колебаниях решетки, то качественный ход кривой р =
= ц (7) можно представить в виде рис. 17.1.
Подвижность зависит не только от температуры, но и от кон-
центрации примесей. С ростом концентрации примесей, как и при
возникновении других несовершенств в решетке, рассеяние воз-
растает, а подвижность падает. На рис. 17.2 приведена зависи-
мость подвижности электронов и дырок от концентрации приме-
сей в кремнии при Т = 300 К-
92
Следовательно, обычно с увеличением сопротивления заданного
игериала (например, кремния) в примесной области подвижность
увеличивается, ибо более высокоомный образен имеет меньшую
концентрацию примесей.
В табл. 4 приведены некоторые параметры кристаллов кремния,
германия и арсенида галлия, где величины подвижности даны
для чистых кристаллов при комнатной температуре. В скобках
указаны значения эффективных масс, приводимые в некоторых
литературных источниках. Кремний и германий имеют кристал-
лическую решетку типа алмаза, арсенид галлия — типа цинковой
обманки.
ТАБЛИЦА ‘
Параметры полупроводников
Параметры Si Ge GaAs
Параметр решетки при ?00 К, А 5,430 5,658 5,654
Расстояние между ближайшими со- седними атомами, А 2,35 2,45 2,45
Число атомов в I см3 Ширина запрещенной зоны: 5 • 10м 4,42-1022 4,43 - IO2’
при 300 К, эВ 1,105 0,665 1,43
при 0 К, эВ Эффективная масса электрона в еди- ницах массы свободного электрона: 1,21 0,756 1,52
проводимости 0,22 0,12 0,043—0,071
плотности состоянии в расчете на одну долину Эффективная масса дырки в едини- цах массы свободного электрона: 0,33 0,26 0,043—0,071
тяжелых дырок 0,49 0,34 (0,28) 0,5—0,68
легких дырок плотности состояний 0,16; 0,24 0,59 (0,55) 0,04; 0,08 0,37 (0,39) 0,12
Расчетная максимальная подвиж- ность (для наиболее чистых кристал- лов) электронов при 300 К, см2/(В с) 1900 3950 11000
Расчетная максимальная подвиж- ность дырок при 300 К, см2/(В • с) 425 1900 450
Концентрация электронов в собст- венном полупроводнике при 300 К, см"'3 1,5- 10м 2,4-101“ 1,4- 10"
Удельное сопротивление собствен- ного полупроводника при 300 К, Ом см 2,3-10» 46 3,7 • 10»
Зависимость электропроводности полупроводников
от температуры и концентрации пркмеоей
В общем случае удельная электропроводность является сум-
мой, где каждое слагаемое определяется формулой типа (17.1).
В частности, если носителями заряда являются электроны и дырки,
93
то получаем
о = еяц„ + арц(,. (17.17)
В области собственной электропроводности равновесные кон-
центрации электронов и дырок равны и в этом случае
___ДЕ,
С; = е (цл + = е (ц„ + (it) У МЛе “г. (17.18)
Хотя подвижности и |хр, а также эффективные числа состоя-
ний Nc и N, зависят от температуры, однако этн зависимости весьма
слабые по сравнению с экспонентой. Поэтому ход функции о( —
— f (Т) согласно (17.18) характеризуется экспоненциальным сом-
ножителем, а коэффициент перед экспонентой в широких интерва-
лах температур можно полагать практически постоянным.
Следовательно,
= (17-19)
т. е. в области собственной электропроводности 1g о( является
практически линейной функцией (1/71); причем угловой коэффи-
циент прямой определяется шириной запрещенной зоны, как при
построении кривой я, = f (7") в виде (12.6), г. е. он выглядит так
же, как в (12.8):
, О,43Д£о , г п
|Qi и ^£« = 0,4 tga эВ.
В примесной области одно из слагаемых (17.17) мало по срав-
нению с другим, так как концентрация неосновных носителей
заряда много меньше концентрации основных носителей заряда.
Следовательно, для равновесных концентраций (17.17) дает одно-
членную экспоненциальную зависимость от температуры вплоть
до области истощения примесей или, если таковая отсутствует,
до области собственной электропроводности. Значит, в электронном
полупроводнике по (13.15) имеем
ол == ерл
соответственно в дырочном полупроводнике —
._____________________________________Д£я
с =cu
Ср — е^Хр у 2 е
и
. D 0,43Д£, 103
1g ”» — В 2Й. 10= ’ Т '
Откуда
(17.20)
(17.21)
(17.22)
tga _ 0'43А£д.
Ь » 1k • 10’
(17.23)
94
II AEj = 0,4tgKj эВ. (17.24)
Аналогичным образом
„ г 0,43А£а 10’ lg0’ С 2k-IO3 Т' (17.25)
Откуда
, 0,43Д£а tg — 2k • 10» (17.26)
и AEa = 0,4tgaa эВ. (17.27)
Для области истощения примесей ход функции о (Т) опреде-
ляется зависимостью ц (Т). В частности, если в области исто-
щения ц уменьшается с ростом Т, то и о (Т) также будет умень-
шаться.
Рис, 17.3. Зависимость удельной электропроводности о от абсолютной
температуры Т в полупроводнике:
а — содержащем доноры при различной концентрации N', б — содержащем
акцепторы при различных Л'а (концентрация возрастает с увеличением по-
рядкового номера)
На рис, 17.3 приведены кривые lg п = f (1/Т) для электрон-
ного полупроводника при различной концентрации доноров Д',
и для дырочного полупроводника при различной концентрации
акцепторов N,. Если в обоих случаях рассматривается один и тот
же полупроводник (например, кремний), то в области собствен-
ной электропроводности кривые имеют одинаковый наклон. Угол
наклона кривых в примесной области определяется энергией иони-
зации доноров и акцепторов, т. е. по формулам (17.24), (17.27).
Однако в реальных полупроводниках ход кривых может несколько
отличаться от идеализированных кривых, изображенных на рис.
17.3.
95
Электропроводность в полупроводниках н днзлектркках
по примесям к по примесной зоне
В водородоподобной модели примесных атомов, рассмотренной
в § 8, не учитывается взаимодействие атомов. Но уже при концен-
трации примеси около 101Б см-3 в германии волновые функции
соседних примесных атомов заметно перекрываются. Поскольку
в реальных кристаллах практически всегда имеются частично
скомпенсированные примеси (см. § 15), то, например, при NB > Na
и при перекрытии волновых функций соседних донорных центров
возникает возможность туннелирования электронов с занятых
донорных центров на свободные донорные центры. При очень
низкой температуре (при Т ш 0) концентрация занятых центров
составляет — Afa, концентрация свободных центров —
/Va. В этом случае даже при Т = 0 возможна электропроводность
по примесям (по локализованным состояниям). Действительно, при
наложении поля наблюдаются упорядоченные перемещения элек-
тронов по уровням доноров — с занятых уровней на свободные,
т. е. осуществляется электропроводность по примесям. Поскольку
примесные центры расположены далеко друг от друга, то подвиж-
ность электронов примесных уровней значительно меньше под-
вижности электронов зоны проводимости. Поэтому с повышением
температуры преобладает обычная зонная электропроводность.
Но при повышении концентрации примеси перекрытие волно-
вых функций электронов соседних примесных центров оказывается
столь значительным, что одиночный примесный уровень расши-
ряется, образуя примесную зону, расположенную в запрещенной
зоне полупроводника или диэлектрика. При дальнейшем повыше-
нии концентрации доноров примесная зона может сомкнуться
с зоной проводимости (или с валентной зоной для полупроводника
p-типа прн повышении концентрации акцепторов), так что плот-
ность состояний оказывается отличной от нуля в том месте запре-
щенной зоны, где возникает примесная зона. Поскольку различ-
ные дефекты структуры, как и примесные атомы (как частный
случай дефектов структуры), создают уровни в запрещенной зоне,
примесные зоны возможны в неоднородных и неупорядоченных
полупроводниках и диэлектриках. В гл. IX этот случай описан
подробнее. Здесь же отметим, что электропроводность по примес-
ной зоне (по локализованным состояниям) может влиять иа общую
электропроводность, н размеры этого влияния зависят от темпе-
ратуры, а также от частоты, если электрическое поле переменное.
Хотя обычно электропроводность по валентной зоне или по зоне
проводимости значительно превышает электропроводность по при-
месной зоне, в ряде случаев последнюю необходимо учитывать.
Выводы к § 17
1. Дрейфовая подвижность свободных носителей заряда численно равна сред-
ней скорости направленного движения, которую они приобретают в электрическом
поле единичной напряженности. Дрейфовая подвижность зависит от температуры.
96
При низких температурах (обычно ниже комнатной) преобладает механизм рас-
сеяния носителей заряда на ионах примесей; в этом случае подвижность пропор-
циональна Г3''4. При более высоких температурах основным механизмом чаще
всегоявлястся рассеяние на тепловых колебаниях решетки; при этом подвижность
пропорциональна Т H/s. Дрейфовая подвижность носителей заряда зависит от
концентрации примесей и других дефектов решетки. При увеличении указанной
концентрации подвижность уменьшается.
2. Удельная электропроводность полупроводника в области собственной
электропроводности определяется выражением (17.18), из которого можно опре-
делить ширину запрещенной зоны ДЕ0. В примесной области электронного полу-
проводника удельная электропроводность выражается экспонентой (17.20) вплоть
до области истощения примесей. Если определить <у„ в некотором интервале
температур, лежащем в примесной области, то по формулам (17.23), (17.24) легко
найти энергию ионизации доноров Д£д. Аналогичные выводы применимы для
примесной области дырочных полупроводников.
3. Кроме электропроводности по валентной зоне или зоне проводимости,
может наблюдаться электропроводность по примесям или по локализованным
состояниям. Последние могут создавать в запрещенной зоне полупроводника
примесную зону; электропроводность по примесной зоне зависит от температуры
образца и от частоты электрического поля.
§ 18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ И РАССЕЯНИЯ
ЭЛЕКТРОНОВ ПРОВОДИМОСТИ
В § 17 приведены элементарные представления об электропро-
водности полупроводников и теории рассеяния носителей заряда.
Здесь приведены более строгие понятия и представления.
Важно подчеркнуть, что направленное движение носителей
заряда не соответствует равновесному состоянию и, следовательно,
система носителей заряда описывается некоторой неравновесной
функцией распределения j (к, х, у, z, f). С помощью этой функ-
ции строят теорию кинетических явлений в полупроводниках.
Основным уравнением, характеризующим процессы переноса, явля-
ется кинетическое уравнение Больцмана.
Кинетическое уравнение Больцмвна для стационарного
состояния в слабом злеитричеоиом поле
Для однородного кристалла в отсутствие градиента'темпера-
туры изменение функции распределения под действием поля напря-
женностью направленного по оси х, можно представить в виде
/df _ Of df HR П
\ dt !s~ dt + dpx dt ‘
Так как производная по времени от рл равна Fx, то для элек-
тронов имеем
= ----«?. (18.2)
Следовательно, из (18.1) и (18.2) получаем
№3)
4 Орешкин П. T.
97
Внешнее поле $ обычно много меньше внутреннего поля кри-
сталла и поэтому вызывает относительно небольшое изменение
функции распределения по сравнению с равновесной.
Таким образом, можно записать
f = fo + fi. (18.4)
Здесь /0 = /ф или /м-б для вырожденного и невырожденного
газа соответственно, a — малая добавочная величина, которая,
однако, определяет процессы переноса (кинетические явления).
Если в некоторый момент времени, который можно Припять
за начало отсчета, выключить внешнее поле, то вследствие столк-
новений электронов с рассеивающими центрами будет восстанав-
ливаться равновесное состояние.
При условии, что отклонение системы от равновесия является
небольшим, можно считать скорость изменения функции распре-
деления (df/df)„, вызванного столкновениями, пропорциональной
величине отклонения:
(df_\ — _ h_ _ _ f-h
dt )ст х х
где т — время релаксации.
Поскольку /о от времени не зависит,
d(f-fo)__________________________dt
f—Гп X •
Отсюда
fi = (A)oe-1".
(18.5)
(18.6)
(18.7)
Здесь (fJo есть значение в момент t = 0, т. е. в момент выклю-
чения поля.
В общем случае х = т (к), и вад функции зависит от механизма
рассеяния.
Следовательно, в полупроводнике, где создано электрическое
поле <£, протекают два процесса: изменение функции распределе-
ния носителей заряда по состояниям под действием поля со ско-
ростью (df/dt)e и релаксационный процесс, стремящийся вернуть
систему в равновесное состояние, со скоростью (df/d/)CT.
Стационарное состояние устанавливается при условии, когда
указанные процессы уравновешиваются, т. е.
(df/dOtf = (W)cT. (18.8)
В частности, для направления х в этом случае по (18.3) и (18.5)
получим
Но поскольку рассматривается стационарное состояние, то изме-
нение / с течением времени равно нулю:
1 = 0. (18.10)
98
Следовательно, из (18.9) и (18.10) имеем
/=/0 + еЛ-^-. (18.11)
Поскольку f мало отличается от /0, то (18.И) можно переписать
е виде
Равенство (18.12) есть один из вариантов записи кинетического
уравнения Больцмана для электронного газа.
Переходя от дифференцирования !а по импульсу к дифферен-
цированию по энергии £, получим
(18.13)
Рассмотрим процессы переноса с помощью кинетического урав-
нения Больцмана на примере вывода формулы для удельной элек-
тропроводности.
Вывод формулы для удельной электропроводности
электронных полупроводников
Найдем вначале концентрацию электронов, энергия которых
заключена в интервале от Е до Е •+• dE. Расчет проводим для сфе-
рической изоэнергетической поверхности с центром при k = 0,
так что имеем
dn = N (£) 2f (Е) dE = .4лР^— (E—Ec),l2f(E)dE, (18.14)
где т„ — скалярная эффективная масса; т„ = т * = тяп.
Далее удобнее принять за начало отсчета энергии дно зоны
проводимости, так что положим Ее = 0.
Заряд, который переносят dn электронов, дрейфующих вдоль
оси х, за единицу времени через единицу площади,
-ev.dn-------4™у3,г vxE''2f(E) dE. (18.15)
Следовательно, плотность тока в направлении х
/---\v,E^f(E)dE.
о
(18.16)
При подстановке в (18.16) выражения для / (Е) по (18.13) полу-
чим сумму двух интегралов, первый из которых равен нулю, так
как он выражает ток в равновесных условиях, а второе слагаемое
дает
/= - в (18.17)
4*
99
Следовательно, ток связан с неравновесной добавкой к функ-
ции распределения вызванной электрическим полем. Далее
полагают
(18.18)
Тогда по (18.17) получим
(18.19а)
Для невырожденного электронного газа f0 = /м-в л соответ-
ственно
/ = eW T£3/’e- d£. (18.196)
^c-Et,
Учитывая, что n0 = /Vce kT , при Ес = 0 получим
Еф
qUt по _ п^г3
Nc 2(2mn„OT3/’ ’
(18.20)
СО £
Умножая и деля (18.196) на $Ее kTE{/2dE, с учетом (18.20)
о
получим
(18.21)
Величина < т > представляет собой среднее время релаксации,
полученное путем усреднения его по энергии электронов:
ОО
( т£е kTEmdE
—— <18-22)
J £е ^Е'п6Е
Кроме того, произведена замена:
\Ee~^E^dE = J Ул(ЛТ)’л (18.23)
о
т. е. найден указанный интеграл.
Итак, для невырожденного электронного газа получен закон
Ома в виде (18.21), так что удельная электропроводность
= (18.24)
Соответственно подвижность электронов
= (18.25)
100
Для вырожденного электронного газа электропроводность харак-
теризуется лишь той частью электронов, которые располагаются
вблизи уровня Ферми. Практически считают, что время релак-
сации этих электронов можно считать постониной величиной Тф,
соответствующей электронам, занимающим уровень Ферми. В этом
случае все значительно проще, и в формулы (18.24), (18.25) сле-
дует подставлять постоянную тф.
Тепловые колебания решетки
Атомы кристаллической решетки совершают хаотические коле-
бания относительно положений равновесия. Эти колебания зависят
от температуры, поэтому их называют тепловыми. Обычно смеще-
ния частиц из положений равновесия по сравнению с параметром
решетки малы и можно рассматривать эти колебания как гармо-
нические.
Запишем уравнение движения колеблющихся частиц в виде
(18.26)
где М —- масса частицы; sn — ускорение; F„ — результирующая
сила, действующая на данную частицу со стороны всех осталь-
ных частиц кристалла.
Коллективное движение частиц в форме упругой волны назы-
вают нормальным колебанием кристаллической решетки.
Рассмотрим вначале линейное тело (струну) и линейные цепочки
атомов. В однородной струне как целом сплошном твердом теле
могут возникать упругие волны, распространяющиеся со звуковой
скоростью w3B.
Частота колебаний в струне пропорциональна волновому числу
q — 2л/1 (в отличие от волнового числа электрона, которые обозна-
чали /г, здесь используем q). При этом имеем
m = 2itv = -^ изв = qv,„. (18.27)
Причем абсолютная величина q может принимать значения
от 0 до оо. Частота колебаний также изменяется от 0 до оо.
Для линейной цепочки атомов, решая соответствующие диф-
ференциальные уравнения, получают колебания с частотами
(D = ±сотах sin(18.28)
Здесь
omax = 2(0/M)’'2,
где р — коэффициент квази упругости; И — масса атома, уча-
ствующего в колебании; q — волновое число; а — период линей-
ной решетки.
101
Скорость распространения упругой волны в этом случае зави-
сит от длины волны, что является специфическим свойством упру-
гих волн в среде с атомной структурой, отличающим последнюю
от струны (или другого твердого тела) как сплошной среды. Имеем
v
со X / Р \1/2 . ла
—---- = --- 77 SIH-г—.
q л \ М X
(18.29)
Вследствие периодичности линейной цепочки атомов решетки
волновое число q для нее достаточно задать лишь в пределах
а
(18.30)
т. е. область волнового вектора q совпадает с первой зоной Брил-
люэна для волнового век-
тора электрона к. Следо-
вательно, значение q мож-
но рассматривать в том же
пространстве, что и kt при-
чем число значений q для
однородной линейной це-
почки равно числу атомов
цепочки А/.
Зависимость о от q на-
Рис 18.1. Закон дисперсии для колебаний зывают законом дисперсии
атомов в линейной однородной цепочке для колебаний атомов. Для
линейной цепочки одина-
ковых атомов данный закон записан в виде (18.28) и изображен
на рис. 18.1.
Для больших значений X, т. е. малых q, можно положить
sin-у = -у. Кроме того, для линейной цепочки атомов изв =
= • Соответственно получают
(0 - qvm.
(18.31)
Следовательно, для длинных волн частота колебаний атомной
цепочки определяется как для сплошной струны (18.27), отличие
лишь в пределах для q.
Для минимальной длины волны
Xmin —
(18.32)
q - 2л/Хпип = л/а
(18.33)
получают максимальное значение частоты в виде
(18.34)
102
Поскольку в твердых телах w30 «3-103 м/с, а~3-10‘10 м,
но (18.34) имеем с»тах «2-Ю13 с-1, что соответствует максималь-
ной частоте собственных колебаний атомов твердых тел.
Если наблюдается дисперсия волн, то следует различать фазо-
вую скорость = со. q и групповую скорость игр = d<a!dq.
Для линейной цепочки атомов по (18.28) имеем:
Уф
Узв
. ао
sin -~-
ад
2
(18.35)
„гр = ^|соз^-| = аа.|
а?
C0ST
(18.36)
Для длинных волн, т. е. малых q, получаем
Уф Угр Узв'
Для наиболее коротких волн, когда
q = л/а,
»Ф = 2изв/л; (18.38)
»гр = 0. (18.39)
На рис. 18.2 приведены зависимости
уф = f (q) и угр = ср (?) для половины зо-
ны Бриллюэна.
В теории рассеяния носителей заряда
на тепловых колебаниях решетки рассмат-
ривают два вида колебаний — оптические
и акустические.
Понятие об оптических и акустических
колебаниях линейной цепочки атомов вво-
дят путем описания линейной цепочки, в
Рис. 18.2. Зависимости
фазовой Уф и групповой
угр скоростей от волново-
которой чередуются два типа атомов, от- го числэ я
личающихся друг от друга массой. Рас-
стояние между любыми соседними атомами по-прежнему равно а.
Каждая пара атомов с массами Мг и /И2 составляет элементарную
ячейку линейной кристаллической решетки. Записывают и решают
дифференциальные уравнения колебаний; находят, что колебания
осуществляются с частотами coj и со2:
(18.40)
= 4 1 1 -v=si,? f-], (18.41)
° Г) О 441 4“ М 2 а .
где сой—20 1 у — 4 (М(+Л12)2
Отрицательные значения ©! и со2 не имеют физического смысла,
так что при нахождении <»! и со2 по этим формулам следует огра-
ничиваться положительным знаком.
103
Рис 18.3. Поперечные оптиче-
ские (а) и акустические (б) вол-
ны в линейной цепочке атомов
Рис. 18.4. Дисперсионные
кривые для оптической
(1) и акустической (2) вет-
вей колебаний
Частоты coj соответствуют оптическим, а со2 — акустическим
колебаниям.
Как показывает подробный анализ, в оптической ветви коле-
баний атомы ячейки смещаются в противоположных направлениях,
т. е. колеблются в противофазе, так
что центр тяжести каждой пары, со-
ставляющей ячейку, остается непод-
вижным. Если указанную элементар-
ную ячейку составляют ионы раз-
ного знака, то их колебания в
противофазе приводят к изменению
соответствующего паре дипольного
электрического момента. В этом случае
может испускаться или поглощаться
инфракрасное излучение. Поэтому
описанные колебания называют оп-
тическими. На рис. 18.3 атомы раз-
ной массы (или ионы разного знака)
обозначены темными и светлыми кружками. На рис. 18.3, а изо-
бражен один из «мгновенных снимков» поперечной оптической вол-
ны линейной кристаллической решетки (цепочки).
В акустической ветви колебаний атомы ячейки смещаются
в одну сторону, что аналогично обычной упругой волне. Поэтому
указанную ветвь называют акустической. На рис. 18.3, б изобра-
жен один из «мгновенных снимков» по-
перечной акустической волны линейной
кристаллической решетки.
Рис. 18.3, а и б соответствует одина-
ковой длине волны (на «снимках» уложе-
на одна длина волны).
Однако следует иметь в виду, что дис-
персионные кривые Wj = f (g) и соа= ф (q)
имеют различный ход. На рис. 18.4 кри-
вая / соответствует оптической ветви, кри-
вая 2 — акустической. Для длинных волн
различие максимально, причем значению
q = 0 соответствует наибольшая частота
оптических и наименьшая частота акусти-
ческих колебаний.
Заметим, что, хотя теория развивается
для линейной цепочки с чередующимися
атомами /Их и М2, выводы пригодны для линейной цепочки с оди-
наковыми атомами, но при условии, что имеются две подрешетки.
Колебания в противофазах можно рассматривать как колебания
относительно друг друга двух подрешеток из однородных атомов,
вставленных одна в другую. На рис. 18.5 изображена сложная
линейная цепочка из одинаковых атомов, состоящая из двух под-
решеток. В элементарной ячейке такой цепочки содержатся два
104
Рис. 18.5 Линейная цепочка с
базисом из одинаковых атомов,
при котором возникают оптиче-
ские колебания
атома. Оптические колебания возникают в результате колебания в
противофазе одной подрешетки относительно другой.
Оптические колебания наблюдаются, в частности, в германии
и кремнии, поскольку объемные .кристаллы Ge и Si имеют струк-
туру типа алмаза, представляющую две гранецентрнрованные куби-
ческие решетки, вставленные одна
р другую и сдвинутые одна отно-
сительно другой на Ъ4 простран-
ственной диагонали. В объемном
кристалле сохраняются основные
закономерности, справедливые для
одномерной решетки,
Однако для объемных кристал-
лов с решеткой Браве, имеющих
в элементарной ячейке один атом, как и для простых (однородных)
линейных цепочек, существуют только акустические колебания.
При этом в объемном кристалле каждому волновому вектору q
соответствуют три колебания: одно продольное с частотой и два
поперечных с частотами со-2 и coj. Дисперсионные кривые этих
колебаний показаны на рис. 18.6.
В общем же случае в сложных объемных кристаллах элементар-
ная ячейка может содержать
s атомов, н здесь возникают три
акустические ветви колебаний и
3 (s — I) оптические ветви, соот-
ветствующие «внутриячеечным» ко-
лебаниям.
Волновой вектор q имеет столь-
ко разрешенных значений, сколько
имеется в кристалле элементар-
ных ячеек. При этом величина q
изменяется в пределах
тг Q "я 7
~а о-
Рис 18.6, Акустические ветви нор-
мальных колебаний трехмерной ре-
шетки
являются акустическими
<18'42)
где а, — постоянная решетки (£ =
= х, у, г).
Объемный кристалл содержит N = NVN„NZ элементарных
ячеек, в каждой из которых в общем случае, как указано, может
быть s атомов. Поскольку каждый атом обладает тремя степенями
свободы, то в кристалле будет 3sN волн и соответственно 3s раз-
личных ветвей колебаний. Три из них
и 3(s— 1) оптическими ветвями.
Скорость продольных волн (которых
скорости поперечных (которых имеется
Дисперсионные кривые для волн
отличаются друг от друга. Но для изотропного кристалла две
поперечные волны вырождены — им соответствуют одинаковые зна-
чения частоты со7.
имеется s типов) больше
2s типов).
различной поляризации
105
На рис. 18.7 приведен колебательный спектр решетки герма-
ния, определенный опытным путем и проверенный с помощью
расчета. Буквы L н Т означают продольные и поперечные волны,
буквы О и А — оптические и акустические волны. Цифра 2 ука-
зывает на двукратное вырождение.
Рис. 18.7. Колебательный спектр решетки германия для
направления [111] и направления [100]
Отметим, что энергия каждого нормального колебания кван-
тована. Нормальные колебания можно рассматривать подобно
линейным гармоническим осцилляторам с собственной частотой сод
и энергией
E,=-hv,(n, +y). (18.43)
где n? = 0, 1, 2,...
Полная энергия теплового движения атомов кристалла скла-
дывается из энергий всех нормальных колебаний:
£ “2£e/ = 2/lv«/(n«'+4)’ <18'44)
qI а!
где q — волновое число, имеющее ДО значений; / — ветвь колеба-
ния (всего имеется 3s ветвей или 3s типов колебаний); nqj = 0,1,
2,... — главное квантовое число д/'-го осциллятора, колеблющегося
с частотой vw-.
Квантовый осциллятор с энергией EqJ = hvqj может
изменить энергию на величину ДЕ9/ = hvq)Anq)-. При этом согласно
квантовой механике изменение квантового числа осциллятора
Дл9/ = ±1. (18.45)
Квант энергии hvqi называют квантом энергии колебаний ре-
шетки или фононом.
При условии Дп7/ « +1 решетка переходит в более высокое
энергетическое состояние, при Ди7У = — 1, наоборот, в более
низкое.
106
Таким образом, колебания решетки в энергетическом отноше-
нии эквивалентны фононному газу.
Важно подчеркнуть, что фоной обладает не только энергией,
но и импульсом (квазиимпульсом)
p = hq. (18.46)
Фононы описываются статистикой Бозе — Эйнштейна, и средняя
концентрация фононов (энергия которых Es — hvs = Лсож) в эле-
ментарной ячейке фазового пространства объемом h3
W------7?------I- (18.47)
е^-1
При высоких температурах, когда Т>^-,
(18.48)
и средняя энергия осциллятора
<Es) = /ivs(n' = kT. (18.49)
При низких температурах, когда
<n) = e ТТ. 08.50)
Величина < п > является, как отмечалось, средней концен-
трацией фоионов для элементарных ячеек /г3, или средней плот-
ностью заполнения состояний. Для расчета полной концентрации
фононов в единице объема кристалла необходимо найти число
состояний для заданного интервала rico и умножить его на плот-
ность заполнения состояний f, а затем проинтегрировать по часто-
там спектра нормальных колебаний.
Обозначим через сДОф концентрацию фононов, энергия которых
заключена в интервале от fiat до Н (со + dco).
Величина dN$ определяется как произведение числа квантовых
состояний dz на /:
dN^dzf. (18.51)
Ограничимся кристаллами с решетками Бравэ, где возмож-
ны лишь акустические колебания. Тогда, если со = 03oq, где 5ЭВ —
средняя скорость звука акустических ветвей, а квазиимпульс
фонона p = 1iq = И то величину dz можно найти в виде
^ЗВ
. _ г, 4лр'гс1р __ 3ci)adco
(18.52)
Здесь коэффициент 3 означает три возможные поляризации
фонона (одну продольную и две поперечные).
107
Следовательно,
(18.53)
е^-1
Для нахождения полной концентрации акустических фононов
интегрирование уравнения (18.53) проводят в интервале частот
от 0 до «ши, где итах — максимальная частота продольных аку-
стических колебаний, которые связаны с температурой Дебая 0
формулой
в-^. (18.54)
Напомним, что температура Дебая, или характеристическая
температура для большинства твердых тел лежит в интервале
100—300 К. Оиа соответствует температуре, прн которой с даль-
нейшим ее уменьшением наблюдается спад теплоемкости твердого
тела.
Итак, имеем 0 (Отах „ "ф-тат- ? (18.55) О5
или 9 Т Д7 — _ 3 / kT \3 С Х~ dx /1О 2лЧ>'5 \ П / J е'-1> (18.56)
где x='h<i)lkT.
При низких температурах, когда Т < 0, в выражении (18.56)
верхний предел интегрирования можно заменить на оо; тогда полу-
чим J-£zT=y-. <18-57)
Следовательно, (18'58>
При высоких температурах, когда Т > 0 и х<1, вели-
чину е* можно разложить в ряд и ограничиться двумя первыми
членами ряда. В таком случае
О в т т С хй dx С , 1 (0 V j еЛ‘ — 1 J — 2 \ Т / (18.59)
При этом 0 0 * 4я2 \Hv3lJ 1 (18.60)
108
Таким образом, при низких температурах величина про-
порциональна третьей степени температуры, а при высоких —
первой степени температуры.
Аналогичным образом проводят расчет для сложных решеток,
в которых возможно возбуждение оптических колебаний. При
этом учитывают, что оптические, колебания возбуждаются при
относительно высоких температурах, поскольку их частота больше
частоты акустических колебаний. В ряде случаев можно считать,
что частота оптических колебаний постоянна во всем интервале
изменения q, причем со = 1013 с’1.
Рассеяние электронов на тепловых колебаниях решетки
При взаимодействии электрона (или дырки) с колебаниями
решетки — фононами может наблюдаться передача энергии ре-
шетке и рождение нового фонона либо обратный процесс. При
этом справедливы законы сохранения энергии и кв аз и импульса.
При рождении фонона имеем
£(к)=£1(к1) + йсо9; (18.61)
к = кх-Н, (18.62)
где Е (к) — энергия электрона до столкновения (до взаимодей-
ствия с колебанием решетки); к — соответствующий волновой
вектор; Е, (kf — энергия электрона после рождения нового фонона
с волновым вектором q и энергией /гсо9.
При поглощении электроном фонона имеем:
Е1(к1) = Е(к) + йсо<?; (18.63)
kj = k + q, (18.64)
где Ei (кг) — энергия электрона после поглощения фонона, кг —
волновой вектор этого электрона.
Описанный механизм рассеяния называют однофоноииым. Так
как число фононов определяется температурой, то и рассеяние
электронов на тепловых колебаниях решетки зависит от темпера-
туры.
В кристалле возможен, но менее вероятен, многофононный
механизм рассеяния, когда наблюдается рождение или поглощение
более чем одного фоной а.
Для случая рассеяния электронов на продольных акустических
фононах в атомных полупроводниках время релаксации находят
в виде
т = (т*)3/2£,/2Т * (18.65)
где т0 — постоянная величина для данного кристалла; т* —
эффективная масса электронов; Е — энергия электронов.
109
Соответственно подвижность
. ________________4гтп___________
= 6Т 3'2,
(18.66)
т. е. выражается в форме (17.13).
Зависимость, близкая к (18.66), наблюдается нередко в довольно
широких интервалах температуры. Но, кроме того, одновременно
происходит рассеяние на оптических колебаниях решетки, двух-
фононное рассеяние и другие типы рассеяния. Поэтому точного вы-
полнения зависимости типа (18.66) нельзя ожидать.
Выводы к § 13
1. Неравновесная функция распределения /, характеризующая совокупное
влияние как теплового движения, так и электрического поля, отличается от равно-
весной функции распределения fn на некоторую величину /х. При условии неболь-
шого отклонения системы электронов от равновесного состояния для стационар-
ного состояния получают выражение функции f через/п в виде (18.11), которое
представляет собой один из вариантов записи кинетического уравнения Больцмана.
2. Пользуясь кинетическим уравнением Больцмана, можно вывести закон
Ома (18.24), где среднее время релаксации определяется соотношением (18.22).
3. Тепловые колебания линейной решетки описываются дисперсионными
соотношениями типа (18.28). Различают оптические и акустические колебания
решетки; частоты этих колебаний определяются формулами (18.40), (18.41).
Колебания решетки квантованы, соответствующие им ’квазичастицы называют
фононами. Концентрация акустических фононов при низкой температуре опреде-
ляется как величина, пропорциональная кубу абсолютной температуры в виде
(18.58), а при высокой температуре — пропорциональная первой степени темпера-
туры в виде (18.60). При рассеянии электронов на продольных акустических фо-
нонах в атомных полупроводниках время релаксации определяется в виде (18.65).
§ 19. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
К термоэлектрическим явлениям относятся три эффекта: Зее-
бека, Пельтье, Томсона. Явлением Зеебека называют возникнове-
ние термо- э. д. с. в цепи, составленной из двух различных твер-
дых тел, при наличии разности температур спаев. Явление Пельтье
состоит в нагревании или охлаждении спая двух материалов при про-
текании через него постоянного тока. Этот эффект не зависит от выде-
ления тепла Ленца — Джоуля, т. е. имеет иную природу. Явление
Томсона состоит в выделении или поглощении тепла, добавочно к
теплу Ленца—Джоуля, при протекании постоянного тока по одно-
родному полупроводнику, в котором имеется градиент температуры.
Явления Зеебека и Пельтье обычно наблюдаются в металлах.
Однако в полупроводниках эти явления выражены значительно
ярче, например соответствующие величины данных явлений могут
на несколько порядков превышать таковые в металлах. Поэтому
явления Зеебека и Пельтье в полупроводниках находят большое
практическое применение. В частности, полупроводниковые пары
с большой термо-э. д. с. можно использовать как источники элек-
тропитания, явление Пельтье — в холодильных установках.
Явление Томсона представляет главным образом теоретический
интерес. Градиент температуры создает градиент концентрации
110
и соответствующий диффузионный ток, вследствие чего возникают
объемные заряды вдоль полупроводника. Если поле объемных
зарядов направлено против внешнего поля, то последнее совершает
работу против внутреннего поля и выделяется дополнительное
тепло. В случае совпадения направления обоих полей внутреннее
поле совершает часть работы по созданию дрейфа носителей заряда,
что осуществляется в конечном итоге за счет тепловой энергии
полупроводника, поэтому последний охлаждается.
Наибольший практический интерес представляет явление воз-
никновения термо-э. д. с., т. е. явление Зеебека. Остановимся
иа нем более подробно, кратко затрагивая явление Пельтье.
Явление Зеебека в невырожденных полупроводниках
Дифференциальную термо-э. д. с. определяют в виде
а = (19.1)
где dT — разность температур спаев; d$ — термо-э. д. с., соответ-
ствующая dT.
При конечной разности температур имеем
т2
а (Г) dT. (19.2)
Часто определяют а полупроводника по отношению к металлу,
т. е. рассматривают контакты полупроводника с металлом.
На рис. 19.1 полупроводник замыкает-
ся с двух концов металлом. Контакты
имеют температуру Т\ и Т2. В цепи про-
текает ток, величина которого определяет-
ся значением термо-э. д. с.
Основной вклад в термо-э. д. с. В ДЭН- Рис. 19.1. Контакт полу-
ном случае вносит разность потенциалов, проводник - металл
возникающая непосредственно в полупро-
воднике. Контактные же разности потенциалов оказываются отно-
сительно малыми.
Равновесные концентрации носителей заряда в невырожденном
примесном полупроводнике являются экспоненциальными функ-
циями температуры, т. е. для концов полупроводника имеем:
£е-Гф
nm = N<e tT< ; (19.3)
Poi=Af.e tT' ; (19.4)
nm=Nce kT' ; (19.5)
(19.6)
111
©]
jO
п-тип
Рис. 19.2. Объемные
заряды в полупровод-
никах n-типа (а) и
p-типа (б) при нали-
чии разности темпера-
туры
Ввиду небольшой разницы температур концов, которая здесь
предполагается, можно считать Еф константой.
При Г2>Л имеем м02 > п01 и р02 > р01. Следовательно,
как только создается разность температур (Т2 — 7\), сразу же
начинается процесс диффузии носителей заряда от более горячего
конца образца полупроводника к более холодному. Указанный
преимущественный направленный перенос
приводит к изменению равновесных концен-
траций носителей заряда и к возникновению
объемных зарядов в полупроводнике. Послед-
ние создают встречное поле, и через неко-
торое время процесс достигает динамическо-
го равновесия.
При этом диффузионный ток носителей
заряда будет уравновешиваться дрейфовым
током, создаваемым возникшим внутренним
полем (полем объемных зарядов), так что
суммарный ток будет равен нулю.
Если полупроводник и-типа, т. е. равно-
весная концентрация электронов много боль-
ше равновесной концентрации дырок, то мож-
но принимать во внимание лишь диффузию электронов. В полупро-
воднике p-типа, наоборот, можно рассматривать лишь диффузию
11 I© 01
р- тип
Рис. 19.3. Термо-
зонд
дырок.
В электронном полупроводнике указанная диффузия приводит
к возникновению на холодном конце (спае) отрицательного объем-
ного заряда, а на горячем конце — положительного объемного
заряда.' Соответственно величина а считается
отрицательной (рис. 19.2, а).
В дырочном полупроводнике диффузия но-
сителей заряда приводит к противоположному
результату — холодный конец (спай) заряжает-
ся положительно, горячий — отрицательно. Со-
ответственно величина а считается положитель-
ной (рис. 19.2, б).
Таким образом, знак а определяется по по-
лярности термо-э. д. с., т. е. по знаку холодно-
го или горячего конца спая (контакта) полупроводника с метал-
лом. Положительно заряженный холодный контакт наблюдается
для дырочных полупроводников, отрицательно заряженный —
для электронных.
На этом основан метод определения типа примесной электро-
проводности с помощью термозонда (рис. 19.3). Один из контактов —
зондов подогревается, а другой имеет температуру окружающей
среды, как и полупроводник. Направ 1ение тока в цепи определя-
ется электроизмерительным прибором. Если подогреваемый зонд
оказывается положительным электродом, то полупроводник п-
типа, если же отрицательным, то полупроводник р-типа.
112
Связь а с концентрацией носителей заряда в примесных полу-
проводниках выражают с помощью формулы Н. Л. Писаренко,
выведенной им в-начале 40-х годов нашего века, когда теория полу-
проводников только начинала развиваться.
Для вывода этой формулы воспользуемся связью между коэф-
фициентом термо-э. д. с. и коэффициентом Пельтье, установленной
в термодинамике.
Теплота Пельтье Qn определяется в виде
<2п = ПН, (19.7)
причем
П = аТ. (19.8)
переходе их из одного
Ж

Здесь I—сила постоянного тока, протекающего через спай
в течение t\ П — коэффициент Пельтье.
Теплота Пельтье выделяется на спае вследствие передачи части
энергии носителей заряда решетке при
материала в другой. При обратном на-
правлении тока наблюдается обратный
процесс — решетка передает часть своей
энергий носителям заряда и охлаж-
дается.
На рис. 19.4 изображена зонная диа-
грамма для контакта металл — полупро-
водник /г-типа. В условиях равновесия
уровни Ферми всегда устанавливаются
одинаковыми. При наложении электри-
ческого поля g указанного направления
электроны из зоны проводимости полупроводника переходят в ме-
талл. Полагая, что поле слабое и поэтому сдвигом уровней
Ферми можно пренебречь, так что зоны остаются практически
горизонтальными, а также пренебрегая выпрямительными эффек-
тами па контакте полупроводник — металл, получим уменьшение
энергии электрона (охлаждение электрона) на величину ДЕК, Эта
энергия и есть теплота Пельтье, выделяющаяся при переносе коли-
чества электричества
Таким образом,
—---------еф
n-mun
Рис. 19,4. Зонная диаграм-
ма для контакта металл —
полупроводник
в виде е, т. е. одного элементарного заряда.
ДЕК = Qn = Пе = аТ е.
(19.9)
Если пропускать ток в противоположном направлении, т. е.
поднимать электроны с уровня Ферми до некоторого уровня в зоне
проводимости полупроводника, то требуется нагревать электроны
на соответствующую величину ДЕК. Такое нагревание осуще-
ствляется за счет передачи решеткой энергии и, следовательно,
охлаждения спая.
Здесь рассмотрены переходы на уровень Ферми н с уровня
Ферми металла, поскольку в электропроводности, как и в тепло-
вом движении, в металле участвуют лишь электроны, располагаю-
113
щиеся вблизи уровня Ферми. Кроме того, как уже отмечалось
(см. § 1), условием термодинамического равновесия любых кон-
тактирующих систем является равенство их химических потен-
циалов (уровней Ферми), так что в невырожденном электронном
полупроводнике носители заряда располагаются значительно выше
Еф, общего для полупроводника и контактирующего с ним металла.
Величину ДЕК, входящую в соотношение (19.9), можно пред-
ставить в виде
ДЕК = (ЕС-Еф)+Ег, (19.10)
где Ет — средняя тепловая энергия невырожденного электронного
газа, так как для такого газа большинство частиц имеет тепловые
скорости, близкие к средней.
Дно зоны проводимости принимают за уровень, где кинетиче-
ская энергия электронов проводимости равна нулю, т. е. полная
энергия электронов на дне зоны состоит лишь из потенциальной
энергии. Следовательно, Ет отсчитывается вверх от Ес и представляет
собой кинетическую энергию электронов проводимости.
При таком отсчете
Ет = (г + 2)Л7. (19.11)
Величина г определяется из формулы
1 = СЕГ, (19.12)
где I — средняя длина свободного пробега; Е — полная энергия
носителя заряда; г — показатель степени.
Через С обозначены все остальные величины, которые входят
в эту формулу.
Формулу (19.12) выводят согласно теории рассеяния, где пока-
зано, что в зависимости от механизма рассеяния интервал изме-
нения г следующий:
0<г<2. (19.13)
Причем при рассеянии на акустических колебаниях решетки
г = 0; при рассеянии на оптических колебаниях ионной решетки
г = 1; при рассеянии на ионах примеси г =« 2.
Согласно (19.9) — (19.11) получим
а7> = Ес - Еф + (г + 2) kT. (19.14)
Величину (Ес — Еф) определим из формулы (11.16)
ес-еф
п0 = Мсе~ k?
в виде
Ec-E« = kTln^-. (19.15)
Тогда с учетом (19.14)
“=е(г + 2 + 1п^)- (19Л6)
114
Если учесть условие а < 0 для электронного полупроводника,
io перед правой частью (19.16) следует поставить знак минус. То же
а мое можно получить, если считать, что в формулу для а будет
входить заряд частицы, взятый по абсолютному значению (для
>лектронов е < 0, а в формуле будет подразумеваться е>0).
Итак, для электронного полупроводника формула Писаренко имеет
вид
а„ = -|(г + 2 + 1п-^); (19.17)
для дырочного полупроводника
ал = |(г + 2 + [п-^).
(19.18)
Формулы (19.17), (19.18) достаточно хорошо согласуются с опы-
том. Причем значения а могут достигать мВ/град, тогда как для
металлических пар а приблизительно мкВ град. Согласно этим
формулам величина а в полупроводнике не зависит от металла,
с которым осуществляется контакт. Поэтому можно говорить о
термо-э. д. с. самого полупроводника без указания металла, по
отношению к которому она определяется.
При выводе формулы (19.17) был использован только один
контакт полупроводника с металлом, что оказалось возможным
в связи с зависимостью (19.8). Для эффекта Пельтье нет необхо-
димости рассматривать второй контакт, а связь коэффициента
Пельтье с коэффициентом термо-э. д. с. (19.8) использована
в предположении, что Т есть средняя температура полупровод-
ника и разность dT — T2— 7\ является малой
величиной (температуру спая можно также принять за величину Т).
Таким образом, ап и ар являются функциями концентрации
носителей заряда и функциями температуры полупроводника
(последнее через /Vc, Nv, п0, р0). Как ар, так и ап с ростом кон-
центрации носителей заряда по абсолютному значению убывают.
При наличии заметной составляющей неосновных носителей
заряда, т. е. прн смешанной, а также при собственной электропро-
водности получают:

_ ОрНр+^1
1 Н*
(19.19а)
(19.196)
Поскольку согласно (19.17), (19.18) имеем ап < 0 и ар > О,
то числитель (19.19а) есть разность соответствующих величин,
т. е. может оказаться очень малым (по абсолютному значению).
Знак же а определяется в зависимости от абсолютных величин
слагаемых в числителе (19.19а).
При подходе к области собственной электропроводности для
полупроводника, содержащего акцепторы, наблюдается инверсия
115
знака ал, если ря > рр, т, е. если подвижноть электронов больше
подвижности дырок. В полупроводнике, содержащем доноры,
с ростом Т уменьшается абсолютная величина ая.
При достаточно высокой температуре не зависит от наличия
акцепторов и допоров и по абсолютному значению является малой
величиной (при р.я > она имеет отрицательный знак).
Следует иметь в виду, что для каждого значения Т (средней
температуры полупроводника) величина а экспериментально опре-
деляется при малом dT (например, порядка нескольких градусов).
Вывод формулы для коэффициента термо-э.д.с. с помощью
уравнения Больцмана
Выше приведен один из вариантов (18.12) записи уравнения
Больцмана. Другой вариант уравнения Больцмана для стацио-
нарного случая можно записать в виде
(vXf) + T(F^)=-
где vn — скорость электрона; F — сила, действующая на элек-
трон; vr и V* — операторы градиента в пространстве координат
и в ^-пространстве.
Напомним, что по определению
gradb«Vt_^-1+^-J + ^-k,
где I, j, k — единичные векторы, направленные по осям координат.
Скалярные произведения, входящие в уравнение, можно рас-
крыть следующим образом:
(v.V,f) = + v„, -<;
‘(Fvn 91^ ±л.9к’ df
"I 'Jt ' "Sk,~ i'll "!яГг-
При малой величине отклонения f, — f — f„ в левой части
уравнения (19.20) f можно заменить на f0.
Следовательно, имеем
(v.W + 4(FvA) = -T- (19.21)
Сила в данном случае
F = — e® = eVr(p, (19.22)
где g — напряженность электрического поля объемных зарядов;
<р — соответствующий электростатический потенциал.
116
Функция распределения для невырожденного электронного газа
Ь-Еф
/о = е“ kT = f0(Et Еф, Т). (19.23)
Полная энергия электрона
Е = -^- (19.24)
Полагаем для простоты, что т * скаляр, т. е, имеем дело со сфе-
рической изоэнергетической поверхностью.
Скорость электрона можно выразить в виде
v„-|vsE(k) = Jj-k. (19.25)
При дифференцировании /0 в пространстве координат следует
учитывать, что в данном случае Т = Т (х,у, г) и Еф = Еф (х, у, г).
Соответственно получим
V,fo = V,T + ЧгТ -^гЕф); (19.26)
Vs/„ = ^Vt£ = ft^v„. (19.27)
Подставляя эти выражения в (19.21), определим
Л = - т(А)-^-V.T - V,(E® -яр)] vn. (19.28)
Можно провести аналогичные выкладки для свободных дырок
и получить соответствующую формулу для Д.
Плотность тока вычисляют, например, для случая, когда рас-
сеяние носителей заряда осуществляется на акустических колеба-
ниях кристаллической решетки и длина свободного пробега не
зависит от энергии (г = 0), так что можно записать
___/___m*l
X~vn ” №
(19.29)
В таком случае электронная составляющая плотности тока
Г = 5^ I т v - М -
о
-3^T^T\^Ek,dk- (19.30)
fl
Далее находят дырочную составляющую плотности тока и пол-
ный ток приравнивают нулю, поскольку термо-э. д. с. определя-
ется как разность потенциалов для разомкнутой цепи.
117
Дифференциальная термо- э. д. с.
а =
гт
(19.31)
При рассеянии на акустических колебаниях решетки по (18.66),
выражая подвижность через длину свободного пробега, находят
• (19-1
Используя уже применявшиеся формулы для По, р0, Nc, Nv
и других величин, в результате расчета получим
Wo(2+in ^-) - Ц„по (2+in
НрРо 4"
(19.33)
т. е. формулу (19.19а) при г = 0.
Для собственного полупроводника, принимая Л7С = Л/о,
_ Ь Vn/\Lp-X
(19.34)
Таким образом, в собственном полупроводнике величина а;
определяется отношением подвижности электронов и дырок, шири-
ной запрещенной зоны &Е0 и температурой Т.
Заметим, что при выводе соотношений (19.33), (19.34) не учи-
тывалось увлечение носителей заряда фононами. При наличии гра-
диента температуры в полупроводнике наблюдается направленное
движение фононов от горячих областей к холодным. Прн каждом
столкновении электрона с фононом, которое сопровождается
уничтожением фонона, его импульс передается электрону. По-
скольку фононов с импульсом, направленным от горячих обла-
стей к холодным больше, чем с противоположным направлением
импульса, часть импульса передается электронам.
Вследствие указанных столкновений наблюдается дополнитель-
ный дрейф электронов — увлечение электронов фононами. Этот
дрейф создает дополнительную термо- э. д. с. Однако эффект увле-
чения наблюдается лишь при низких температурах, так как при
повышении температуры рассеяние фононов на фононах быстро
восстанавливает равновесное распределение фононов, и эффект
увлечения исчезает.
Вывод к § 19
К термоэлектрическим явлениям относятся эффекты Зеебека, Пельтье, Том-
сона. Наибольший практический интерес представляет первый.из этих эффектов,
который состоит в возникновении термо-э. д. с. в неоднородной цепи при наличии
разности температур в спаях. Основной вклад в термо- э. д. с. вносит разность
потенциалов, возникающая непосредственно в однородном полупроводнике,
концы которого имеют различную температуру. Контактные разности потенциалов
на спаях полупроводник — металл относительно небольшие. В электронном
118
полупроводнике у холодного спая наблюдается отрицательный объемный заряд.
(ответственно такая полярность термо- э. д. с. считается отрицательной. Диф-
||л рснциальная термо- э. д. с. в этом случае определяется формулой вида (19.17).
В дырочном полупроводнике картина противоположна и соответственно примени-
ма формула (19.18). При смешанной электропроводности расчет а проводят по
формуле (19.19).
§ 20. ЭФФЕКТ ХОЛЛА
До этого были рассмотрены явления переноса под действием
лгектрического поля, а также при наличии градиента концентра-
ции носителей заряда. Перейдем теперь к одному из гальвано-
магнитных явлений — эффекту Холла, который наблюдается в по-
лупроводниках н широко применяется в практике. В частности,
большое распространение получили полупроводниковые датчики
Холла, предназначенные для измерения напряженности (индук-
ции) магнитного поля.
Гальваномагнитными называют кинетические явления, кото-
рые возникают при одновременном действии электрического и
магнитного полей. В частности, эффект Холла состоит в возник-
новении э. д. с. в направлении, перпендикулярном току, при
помещении образца в поперечное магнитное поле.
Элементарная теория эффекта Холла для носителей заряда
одного типа
Рассмотрим образец полупроводника в виде прямоугольного
параллелепипеда (рис. 20.1, а). Пусть ток протекает слева направо.
Если ток создается дырками, то скорость дрейфа v„p имеет то же
Рис. 20.1. Отклонение электронов и дырок, движущихся в магнитном поле, в
образце (а) и вынесенных отдельно (б, в)
направление, что и ток 1 (рис. 20.1); если же электронами, то улр
направлена в противоположную сторону.
Поместим полупроводник во внешнее магнитное поле, чтобы
индукция В была направлена перпендикулярно току (к нам).
Сила Лоренца
Рл=е[УдрВ]. (20.1)
119
Для дырок векторное произведение и сила Лоренца в данном
•случае будут направлены вниз, для электронов векторное произ-
ведение направлено вверх, а сила Лоренца — вниз (е < 0).
Следовательно, как дырки, так и электроны будут отклоняться
магнитным полем на нижнюю грань, а верхняя грань будет обед-
няться в первом случае дырками, во втором — электронами.
Таким образом, в полупроводнике p-типа нижняя грань заря-
жается положительно, а верхняя грань — отрицательно, и воз-
никает холловское поле, направленное снизу вверх. В полупро-
воднике n-типа нижняя грань (при том же направлении тока)
заряжается отрицательно, верхняя — положительно и холлов-
ское поле направлено сверху вниз.
На рис. 20.1 изображены положения дырки и электрона, откло-
ненных магнитным полем при дрейфовом перемещении на протя-
Рис. 20.2. Изменение направления плотности тока дырок (а) и элек-
тронов (б) в магнитном поле;
Spy и ^пу ~ "Рое™ плотности тока на направление внешнего электри-
ческого поля
жении длины свободного пробега 1Р и /я. При этом предполагается,
что холловское поле еще отсутствует. Углы срр и сря называют
углами Холла.
Если изобразить векторы плотности тока дырок н электронов,
то, учитывая направления поворотов (рп и срр, имеем, что плот-
ности тока jp и поворачиваются в противоположные стороны
(рис. 20.2, а и б). Здесь предполагается, что либо холловское поле
еще не^ действует, либо имеется неограниченный по направлению b
образец (последнее можно моделировать с помощью образца в виде
диска).
В обычных условиях для ограниченного образца полупровод-
ника накопление зарядов, отклоненных магнитным полем, на про-
тивоположных гранях происходит до тех пор, пока возникающее
холловское поле не нейтрализует силу Лоренца. После достижения
указанного динамического равновесия можно считать, что при
наличии одного типа носителей заряда плотность тока ]р или ]’я
не отклоняется магнитным полем. Следовательно, при дальнейшем
длительном пребывании полупроводника с током в поперечном
магнитном поле устанавливается определенная поперечная раз-
120
пиггь потенциалов, которая при разомкнутой цепи и есть э. д. с.
члла. Полная напряженность поля является векторной сум-
ной g и g.v и составляет с 8 угол Холла (р (рис. 20.3).
Рис. 20.3. Угол Холла в дырочном (с) и электронном (б) полупровод,
никах
Итак, при одном типе носителей заряда условием, определяю-
щим холловское поле, является равенство абсолютных значений
силы Лоренца и силы возникающего холловского поля:
Гл = ^, (20.2)
или
еисрВ=е<?х. (20.3)
Однако оно может быть справедливым лишь для некоторого
значения дрейфовой скорости ц.р. Значит, если правая часть имеет
определенное значение, то и левая часть — только одно значение
скорости. Это обстоятельство весьма существенно, так как с иим
связаны и другие гальваномагнитные явления. В выражении (20.3)
подразумевается средняя скорость дрейфа, так как большинство
носителей заряда движется со скоростями, близкими к средней.
Умножая обе части (20.3) на концентрацию электронов п, полу-
чим для полупроводника л-типа
пеисрВ =е£хпп. (20.4)
Но поскольку уср есть дрейфовая скорость электронов, по за-
кону Ома произведение пеолр равно плотности тока:
«епср=^. = /„, (20.5)
где а и b— линейные размеры образца, показанного на рис. 20.1.
Таким образом, получаем
Разность потенциалов S.,nb = Vxrl будет
= = <20'7’
121
Если учесть распределение носителей заряда по скоростям
в невырожденных полупроводниках, то вместо (20.7) получим
^=4-^с20-8>
Величину А называют холл-фактором; причем прн рассеянии
электронов на акустических колебаниях решетки
Д = Зп/8= 1,18
(Si, Ge, InSb и др. при относительно высоких температурах, вклю-
чая комнатную);
при рассеянии на ионах примеси
А = 315п/512 = 1,93.
Учитывая, что заряд электронов отрицателен, формулу (20.8)
можно переписать в виде
= (20-9)
где е > 0; Rxn — коэффициент Холла;
Rxn = — A/en. (20.10)
Для полупроводника p-типа все получают аналогичным обра-
зом, и коэффициент Холла
Rxp = A/ep. (20.11)
Вывод коэффициента Холла для полупроводника со смешанной
электропроводностью
Рассмотрим полупроводник со смешанной электропроводностью,
в котором нельзя пренебрегать ни электронами, ни дырками. Как
указывалось, векторы плот-
ности ТОКОВ j р И 1„ откло-
няются в разные стороны,
поэтому для смешанного по-
лупроводника необходимо
изображать диаграмму токов.
На рис. 20.4 показана эта
диаграмма в предположении,
л t п что холловское поле еще не
Рис. 20.4. Отклонение токов при сме- действует
шанной электропроводности д ’
Полная плотность тока j
является векторной суммой
плотностей токов jp и jn и составляет угол ср с направлением
внешнего поля g, создающего дрейф носителей заряда. Следова-
тельно,
j=b + b-
(20.12)
122
Выберем оси координат так, чтобы ось х была направлена по
полю или против поля Холла, ось у — по внешнему полю £, ось г —
ио магнитному полю В.
Тогда для тангенса угла ф (малого) имеем
tg4> = W»₽«<P, (20.13)
где jx и jy — составляющие вектора полного тока по осям х и у
(имеются в виду абсолютные значения всех величин).
В соответствии с рис. 20.4
(, = j„cosq>p +j„cosq>„ = e(pp.p + nn„) S = aS. (20.14)
Здесь положили cos <рр = cos <р„ = I, считая углы <рр и <р„
м 1лыми, т. е. рассматривая слабые магнитные поля.
Составляющая плотности тока
/* = /р sin фр + jn sin фл = /рфр 4- /дф«. (20.15)
Ввиду малости углов <рР и фл синусы заменены на углы. Послед-
ние можно выразить из отношений, очевидных из рис. 20.3. Этот
рисунок соответствует динамическому равновесию, и поле Холла
достигает установившегося значения. Имеем:
tg<Pp=-^-^TP; © (20.16)
tg Фл-'^-^Фл. © (20.17)
Причем S можно выразить следующим образом;
б? ss • On епр.п ’ (20.18)
б? = 2£_ s= —l£— = Op " epfip (20.19)
это использовано в соотношении (20.14)].
Согласно (20.9):
= ^B; (20.20)
w?. <20'21)
Следовательно, имеем
Фр=4црВ; (20.22)
Фл = — Ац„В. (20.23)
Подставляя (20.22) и (20.23) в (20.15), получаем
/х=Ле(РЙ-яИЯ)<ь0В. (20.24)
Если подставим (20.24) и (20.14) в выражение (20.13), то
Ф=4^+пТ6- <20’25’
123
Кроме того, по формуле (20.22)
= (20.20)
Аналогичным образом для угла <р можно записать
4> = RxaB, (20.27)
где а = е (рцр + лр„).
Сравнивая (20.25) и (20.27), имеем
„ А pill—Ли»
Таким образом, получено общее выражение для коэффициента
Холла. Соотношения (20,10) и (20.11/ находятся из него как част-
ные случаи, если положить р = 0 или п = 0.
Для собственной электропроводности согласно (20.28)
(20'29>
Поскольку обычно р,я > Цр, то Rxi является величиной отри-
цательной.
Как видно из соотношений (20.22) и (20.23), углы /Колла дырок
и электронов пропорциональны произведению подвижностей на
индукцию магнитного поля.
Кроме дрейфовых подвижностей, вводят понятие холловских
подвижностей, которые определяют в виде
= А |ЛР; (20.30)
= (20.31)
Холловские подвижности при А = 1 совпадают с дрейфовыми.
Ранее использовались приближенные выражения в предполо-
жении малости углов <рр, (рп, ср. Соответственно магнитные поля,
для которых указанные углы малы, называют слабыми. Критерии
слабого магнитного поля выражаются неравенствами:
Фр = /р/'’Р = ^Мрб“М«охВ< 1; (20.32)
Фвв/Я/Гл —ЛцяВ-цпХВ<1, (20.33)
где 1Р н 1п — длины свободного пробега дырок и электронов; гр
мгп — радиусы дуг окружностей, по которым закручиваются дырки
и электроны под действием силы Лоренца.
В частности, например, для германия при рл =* 0,3 м2/(В«с)
и В — 1 Тл неравенство (20.33) выполняется. Поскольку под-
вижность дырок меньше подвижности электронов, то (20.32) также
выполняется. Причем индукция I Тл является «слабой» условно
только с точки зрения выполнения указанных неравенств. В силь-
ных полях, которые определяются неравенствами с противопо-
ложным знаком, коэффициент А = 1. Для металлов и вырожден-
ных полупроводников, независимо от величины В, имеем /4 = 1,
124
Чвление Холла широко применяют в исследовательской работе
। полупроводниками. Экспериментально легко определяют I, В,
и. И, и в примесной области по формуле типа (20.9) находят Rx.
I hi известен механизм рассеяния (известно Л), то далее нетрудно
- । к делить п или р.
()i новные затруднения могут возникнуть при измерении V*.
величину определяют с помощью потенциометра постоянного
и 1, причем измеряют разность потенциалов между двумя зон-
v. мп, контактирующими с полупроводником в точках на двух
। <>н|воположиых гранях (на рис. 20.1 —это верхняя и нижняя
р ши). Эти точки должны располагаться па эквипотенциальной
Ьиверхности гока (плоскости, перпендикулярной току) так, чтобы
к измерять омическую разность потенциалов из-за неснмметрич-
II do расположения холловских контактов. Однако добиться этого
•нц-пь трудно, и приходится измерять величину V* при двух поляр-
। * 1ях тока I, так чтобы омическая разность потенциалов имела
<пые знаки. Затем находят среднее арифметическое из данных
, । .манных измерений Ух. Обычно в установке имеются также
шнды, расположенные на образце вдоль тока так, что можно опре-
1ять удельную электропроводность тех же участков образца
о качестве одного из зондов можно использовать холловский кон-
1.1КГ).
Комплексные измерения Вх и о позволяют определять знак
носителей заряда, их концентрацию и подвижность. Если поме-
( । и гь измерительную ячейку в термостат, где легко устанавливают
н поддерживают различную температуру, то можно исследовать
км перату рну ю зависимость указанных величин.
Вывод формулы для коэффициента Холла с помощью
уравнения Больцмана
Как и в § 19, уравнение Больцмана применяем в виде (19.20):
(VepV^ + j(F’»O------(20.34)
В данном случае сила
F = e(g + [vC0Bj). (20.35)
Отклонение неравновесной функции распределения f от равно-
псспого значения fa, т. е. функцию
/,(к) =/(k) — f„(k)
можно представить в виде
А (к)--->ГХк],
(20.36)
। ic х — неизвестная векторная функция, зависящая от энергии
свободных электронов.
125
Прн вычислении левой части уравнения (20.34) обычно /’(к)
заменяют на f0 (к) в слагаемых, не содержащих В, а в остальные
слагаемых учитывают еще одни член разложения функции /' (к)
в ряд вблизи /0 (к). Кроме того, в этих условиях для слабого магии i
ного поля при скалярной эффективной массе получают
f1(k) = CT^{8-||BX]}vep. (20.371
Аналогичным образом рассчитывают эту величину для дырок
проводимости и далее производят расчет плотности тока прово-
димости, учитывая приведенные соотношения.
Таким образом, определяют плотность тока в однородном полу-
проводнике в виде
j = е (лц„ + рн,,) 6+е.Л (пц‘„ - ррУ • [ВЕ]. (20.3В)
Выбирают ось у вдоль тока, ось z— вдоль В и записывают
уравнение (20.38) в проекциях на у и х:
in = е (лщ + РНя) <?« + (РП - ГЦ*Д) (20.39)
/« = е (пц„ + рил) +еД (рц5 - П|*Я)в - 0, (20.40)
где вх — проекция <? на направление х, т. е. напряженность хол-
ловского поля.
Решая уравнения (20.39), (20.40) относительно имеем
Здесь /= НаЬ, поэтому
А
х = е ' (рц» + л|1,)! ’
т. е. получаем формулу (20.28). Как уже отмечалось, эта формула
является наиболее общей. Из нее можно получить частные случаи
для электронного и дырочного полупроводников.
Выводы к § 2С
1. Вследствие действия силы Лоренца поперечное магнитное поле отклоняет
носители заряда в направлении, перпендикулярном дрейфу. После наложения
магнитного поля, когда еще не создано электрическое холловское поле, наблюдает-
ся изменение направления движения носителей заряда, так что вектор плотности
тока поворачивается на угол Холла. Соответственно на боковых гранях образца
возникает заряд, создающий поле Холла. Последнее компенсирует в среднем
действие силы Лоренца.
2. При смешанной электропроводности векторы плотности тока электронов
и дырок поворачиваются в разные стороны, хотя сами электроны и дырки откло-
няются при этом к одной и той же грани образца. Коэффициент Холла выражается
в виде (20.28), т. е. определяется концентрацией и дрейфовой подвижностью
носителей заряда.
126
5 21. РАЗЛИЧНЫЕ ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ И ТЕРМОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Эффект Холла является следствием действия силы Лоренца. Как
шмоналось, большая часть носителей заряда движется со скорос-
гями, близкими к средней дрейфовой скорости, которой соответ-
। i вует среднее значение силы Лоренца. Эти носители заряда не откло-
няются от направления внешнего поля, так как сила Лоренца урав-
новешивается силой холловского поля.
Но если учесть тепловую составляющую скорости электронов,
ю оказывается, что полная скорость может изменяться в широких
приделах. Таким образом, в полупроводнике есть носители заряда,
корости которых отличаются от средней скорости, и, следовательно,
могут наблюдаться эффекты, определяемые ими. Как правило, это
будут «тонкие» эффекты, для наблюдения которых требуются тща-
ц-льные эксперименты и достаточно «чистые» условия опытов.
К таким эффектам относятся гальваномагнитные явления типа
магпетосопротив ления, или изменения сопротивления в магнитном
поле, а также возникновение поперечной и продольной разности
1смператур.
Кроме того, наличие «холодных» и «горячих» носителей заряда
определяет ряд термомагиитных эффектов: возникновение добавоч-
ной разности температуры в полупроводнике, помещенном во внеш-
нее магнитное поле, имеющем разность температур; возникновение
разности потенциалов в полупроводнике, помещенном во внешнее
магнитное поле, имеющем разность температур.
Магнетссспрстнвленне (магннтореэистнвный эффект)
Рассмотрим изменение длины свободного пробега носителя
|.чряда вследствие отклонения от направления внешнего электри-
ческого поля (рис. 21.1). Проведем простой расчет, предполагая что
поле Холла еще отсутствует.
Средняя длина свободного пробега АК = I в направлении поля
II уменьшается на А/ = DK = I — AD\ причем
<4D = z4Bcosq) = /cos(p = /(l — <р2/2). (21.1)
Здесь cos ф разложен в ряд, где ограничились двумя первыми
членами.
Таким образом,
Д/=/ —/ (1 — Ф2/2). (21.2)
Для полупроводников р-тнпа и n-типа согласно (20.22) и (20.23)
Фр = ДцрВ, фя = — Ац„В.
Полагая А = 1, по (21.2) получаем
Л/„ ц’В’ Др„
(21-3)
127
Рис. 21.1. Изменение дли-
ны свободного пробега но-
сителя заряда при откло-
нении в магнитном поле
В данном случае принято, что изменение удельного сопротпп-
ления пропорционально изменению средней длины свободного про-
бега. При этом предполагается, что все свободные носители зарям
движутся со средней скоростью и имеют одинаковую длину пробега.
Удельное объемное сопротивление полупроводника увеличивается
при уменьшении длины свободного пробега носителей заряда.
Таким образом, если не учитывать холлов-
ское электрическое поле, то относительное
изменение удельного сопротивления оказы-
вается пропорциональным квадрату произ-
ведения подвижности на индукцию'магниг-
ного поля.
При наличии £х закручивание в магнит-
ном поле н соответственно изменение длины
свободного пробега будут наблюдаться лишь
для горячих (быстрых) носителей заряда.
К тому же закручивание и изменение
длины свободного пробега для них будет
меньше, чем при отсутствии &х.
Холодные (медленные) носители заря-
да, скорости которых значительно меньше
средней скорости, будут отклоняться в противоположную сторону
электрическим полем Холла, поскольку сила etox будет превышать
Fji. Это также будет приводить к возрастанию сопротивления.
Следовательно, удельное сопротивление полупроводника в попе-
речном магнитном поле увеличивается за счет уменьшения длины
пробега только горячих и холодных носителей заряда. Очевидно,
относительное изменение сопротивления будет меньше, чем это
получается по формулам (21.3), (21.4).
Эффекты Эттнкгсгаузенв и Нернста
Явление возникновения поперечной разности температур при
помещении полупроводника с током в поперечное магнитное по-
ле называют эффектом Эттингсгаузена.
На рис. 21.2 показано, что носители
заряда, движущиеся со средней скоро-
стью, неоткло .яются магнитным полем.
Горячие носители заряда отклоняются к
нижней грани, поскольку сила Лоренца
больше её’х, а холодные носители заря-
да, наоборот, — к верхней грани за счет
обратного соотношения между Рл и е^д..
Сталкиваясь с решеткой, носители
заряда обмениваются энергией с атома-
Рис. 21’2, Отклонение дырок
при эффекте Эттингсгаузена
ми, так что в системе «носители заря-
да — решетка» в каждом элементе объема процесс идет к установ-
лению термодинамического равновесия. Горячие носители заряда,
128
। : н»ая часть энергии решетке, нагревают полупроводник; холод-
ил-, отбирая часгь энергии решетки, охлаждают полупроводник.
I ।ь им образом, одна нз граней нагревается, другая охлаждается.
На рис. 21.2 нижняя грань имеет более высокую температуру,
-им верхняя. Очевидно,
Д7попср = ^(7, В). (21.5)
-)i|)fpcKT Эттингсгаузена выражается, например, сотыми долями
। рлдуса на сантиметр и имеет в основном теоретическое значение,
п.чк эффекта изменяется при изменении направления магнитного
ноля, в связи с чем эффект называют нечетным или поперечным (как
и э(|)фект Холла).
Кроме поперечной, возможно возникновение продольной раз-
ности температуры — эффект Нернста, так что
ЛТпроД==НЛ В). (21.6)
Эффект Нернста возникает как следствие изменения потоков
юрячнх и холодных носителей заряда в направлении тока.
Как н магнетосопротивление, эффект Нернста является четным
пли продольным, т. е. его знак не изменяется при перемене направ-
ления магнитного поля.
При изменении направления тока эффекты Холла, Эттннгсгау-
« на и Нернста изменяют знак.
Дрейф электронов н дырок при заданном направлении тока
противоположен, а их отклонение в магнитном поле, обусловленное
|.ренфовой скоростью, одинаково. Благодаря этому поля Холла
। электронном и дырочном полупроводниках имеют противополож-
ный знак, а эффекты Эттингсгаузена, Нернста и магнетосопротив-
н-пие от знака носителей заряда не зависят.
Термомагннтные явления
Если в полупроводнике имеется продольный градиент темпе-
ра !уры и создается поперечное магнитное поле, то может возникнуть
поперечный градиент температуры
эффект Риги—Ледюка), т. е. имеем
Д7’попер = /(ДТпрод, В). (21.7)
На рис. 21.3 показаны «горячие»
нырки, смещающиеся магнитным по-
чем к нижней грани при перемеще-
нии слева направо, и «холодные»
Шрки, смещающиеся магнитным по-
чем к верхней грани, прн их пере-
мещении справа налево. Очевидно
Рис. 21.3. Движение дырок при
эффекте Риги — Ледюка
нижняя грань будет нагреваться, а
верхняя охлаждаться, т. е. будет возникать поперечный градиент
температуры.
Б Орешкин П. Т,
129
Эффект Маджи—Риги—-Ледюка аналогичен предыдущему, по
является продольным, г. е.
ЛТпрод = /(ДТпроа, В). (21.Н)
Отметим еще поперечный и продольный эффекты Нернста-
Эттингсгаузена: поперечный эффект состоит в появлении попереч-
ной разности потенциалов при наличии продольной разности темпе-
ратур и поперечного магнитного поля; продольный — то же самое,
но только разность потенциалов создается вдоль градиента темпе
ратуры:
ДУ
попер = /(Д7’лрод, В); (21.li)
Д'/„ро, = /(А7'прод, В). (21.10)
Выводы к § 21
1. Магнетосопротивление (или магнитнорезистивный эффект) возникаем
вследствие отклонения «горячих» и «холодных» носителей заряда от направле-
ния дрейфа в поперечном магнитном поле. Из-за указанного отклонения умень-
шается эффективная длина свободного пробега по направлению (для электронок
против направления) электрического поля, что создает эффект увеличения сопро-
тивления.
2. При помещении полупроводника с током в поперечное магнитное поле
возникают поперечная разность температур — эффект Эттингсгаузена и продоль-
ная разность температур — эффект Нернста.
3. При наличии в полупроводнике продольного градиента температуры
поперечное магнитное поле создает поперечный градиент температуры за счет
изменения направления движения носителей заряда, участвующих в хаотическом
движении. Могут наблюдаться и другие термомагнитные явления, например,
возникновение поперечной и продольной разности потенциалов при помещении
полупроводника, в котором имеется продольный градиент температуры, в попе-
речное магнитное поле.
§ 22. ДИФФУЗИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА
Предположим, что вдоль полупроводника или диэлектрика име-
ется градиент концентрации свободных носителей заряда. Такое
состояние можно реализовать различными способами. Например,
можно вырастить монокристаллический образец полупроводника
так, чтобы концентрация примесей изменялась в некотором направ-
лении по заданному закону. В неоднородных полупроводниках
н диэлектриках концентрация примесей изменяется от точки к точке
и особенно на границах неоднородностей. В таких случаях равно-
весная концентрация носителей заряда (электронов и дырок)
является функцией координат. В дальнейшем будем рассматривать
полупроводники и диэлектрики, где свободными носителями зарядов
могут быть также ионы и ионные вакансии (ионные дырки).
Аналогично можно создать градиент концентрации равновесных
носителей заряда в однородном полупроводнике или диэлектрике
за счет градиента температуры.
Следовательно, равновесные концентрации могут изменяться
в некотором направлении. Однако это относится и к неравновесным
концентрациям.
130
Диффузионные уравнения
В общем случае ток проводимости состоит из геометрической
। \ ммы дрейфового и диффузионного токов.
Чройфовые составляющие плотности тока проводимости опре-
ляются по закону Ома:
= М = = — епц„ grad <р; (22.1)
Ьдр = М = «РМ = —'Wpgrad'P' (22.2)
« (р — электростатический потенциал; пир — концентрации
и (иронов н дырок, которые в общем случае не являются равновес-
ными; е — абсолютная величина заряда электрона.
Диффузионная составляющая зависит от градиента концентра-
ции свободных носителей заряда. На рис. 22.1 показаны два слу-
чая, соответствующие току дырок. В первом из них рг > р^ и про-
цесс диффузии, а следовательно, н соответствующий диффузионный
юк направлены так же, как дрейфовый ток. Во втором случае токи
противоположны.
Диффузионные плотности потока можно записать в виде
Фд = — £>я grad п\ (22.3)
ФР = —£>Pgradp, (22.4)
। ie Dn и Dp — коэффициенты диффузии электронов н дырок. Знак
минус» означает, что перенос идет в сто-
рону уменьшения концентрации.
Диффузионным плотностям
электронов и дырок соответствуют
пкшные плотности токов в виде
J/гдиф = grad п,
1м»Ф = —«О» gradp.
а)
Рис. 22.1. Диффузионный
и дрейфовый гоки
потоков
диффу-
I)
(22.5)
(22.6)
Здесь учтен знак заряда электрона и в
формулах считается, что е > 0.
Диффузионный ток создает пространст-
венное разделение зарядов, т. е. из-за лиф-
фузии возникают объемные заряды, и кон-
центрации носителей заряда будут отличаться от концентраций и р0.
В частности, на рис. 22.1, а левая часть образца будет заряжаться
отрицательно, а правая — положительно; на рис. 22.1, б наблю-
дайся обратная полярность. Соответственно возникают внутренние
электрические поля которые вместе с внешним полем g обуслов-
шпагат дрейфовый ток.
Следовательно,
&,-#+*. (22.7)
Если внешнее поле равно нулю и полупроводник изолирован
от других тел, то диффузионный ток уравновешивается дрейфовым
юном, создаваемым полем и суммарный ток при термодинами-
5- 131
ческой равновесии будет равен нулю. При этом термодинамическое
равновесие понимается в том смысле, что с течением времени сохра-
няется неизменным распределение температуры в образце. Подоб-
ный случай уже встречался при рассмотрении термо-э. д. с. (§ 19).
Следовательно, в общем виде диффузионные уравнения записы-
вают следующим образом:
j„ = епц„% 4- eD„ gra d п = — епц„ grad q> + eD„ grad n; (22.8)
jp = ePM - eD„ grad p = — epp.p grad tp - eD„ grad p. (22.9)
Если имеются в виду проекции токов на какое-либо направле-
ние, то градиенты можно заменить соответствующими частными
производными.
В большинстве случаев рассматривают токи в каком-либо
одном направлении, так как чаще всего градиенты отличны от нуля
для одного направления. Например, для направления х:
!пХ = еп^х+eDn-^--------епря + eDn ; (22.10)
jpx — бР№р&х — eDp — eDp . (22.11)
Часто индексы х опускают, подразумевая их неявно. При этом
имеется в виду одномерный случай, когда
/ - 1 - / - ; - о 5Ф — _ о.
Iny — Inn — J ру — ]рг — V.
Sy дг ду дг и’ (22.12)
Тогда диффузионные уравнения записывают в виде
/, = епц^+е£>.-^; (22.13)
i^ep^-eD,^. (22.14)
Полная плотность тока
/ = Л + 1'Р = е(«11, + Р11»)6’’+е(о«^-ОР-^)- (22.15)
Направления токов обычно определяют в зависимости от направ-
лений градиентов потенциала <р и концентраций. Соответственно,
знаки токов учитывают при записи диффузионного уравнения для
заданного случая.
Диффузионные уравнения являются важнейшими уравнениями
физики полупроводников и диэлектриков и широко используются
при различных расчетах.
Уравнение Эйнштейна
Соотношение (уравнение) Эйнштейна имеет универсальный ха-
рактер, т. е. применимо к свободным носителям заряда любого типа:
электронам, дыркам, ионам, ионным вакансиям. Оно справедливо
132
как для равновесных, так и для неравновесных носителей заряда
в полупроводниках и диэлектриках.
Уравнение Эйнштейна связывает коэффициент диффузии носите-

лей заряда с их подвижностью в условиях термодинамического
равновесия. Но, как отмечалось, оно применимо н для неравно-
весных носителей заряда, так как послед-
ние за весьма малое время приходят в
тепловое равновесие с решеткой. Соот-
ветственно распределение по энергиям
неравновесных носителей заряда в невы-
рожденных полупроводниках не отли-
чается от распределения равновесных
носителей заряда.
Выведем уравнение Эйнштейна для
полупроводника р-тнпа. Рассмотрим по-
лупроводник, имеющий продольный гра-
диент концентрации носителей заряда
(рис. 22.2). Если концентрация дырок
рх (слева) больше, чем концентрация дырок р (справа), то диффузион-
ный ток будет иметь направление слева направо. Диффузионный ток
будет переносить дырки слева направо до тех пор, пока не возникнет
внутреннее поле такой величины, при которой создаваемый им
встречный дрейфовый ток не уравновесит диффузионный ток. Это
и будет условие динамического равновесия, о котором уже неодно-
кратно говорилось. Следовательно,
р; > Р
Рис. 22.2. Полупроводник
p-типа с продольным гра-
диентом концентрации дырок
(22.16)
где ср — электростатический потенциал, созданный объемными
зарядами.
Выберем начало отсчета ср, как показано на рис. 22.2, т. е. так,
что на левом конце будем считать его равным нулю.
Дырка, участвующая в диффузионном токе, должна подниматься
на потенциальный барьер еср.
Из соотношения (22.16) получим
т=—б?”’ <22-17)
Интегрируя, имеем
p = pfi D” . (22.18)
По закону Больцмана для заряда, поднимающегося за счет теп-
лового движения на барьер еср, можно записать
/3 = p1e_ff, (22.19)
Эта концентрация также является термодинамически равновес-
ной, поскольку закон Больцмана соответствует равновесному
133
состоянию. Но так как здесь есть объемные заряды, обозначим эту
концентрацию через р вместо р0.
Приравнивая (22.18) и (22.19), получим уравнение Эйнштейна
для дырок
р,р/Ор = e/kT. (22.20)
Аналогичным образом получим уравнение Эйнштейна для элект-
ронов
\knlDn — elkT. (22.21)
Такие же соотношения справедливы для свободных ионов,
Выводы к § 22
1. Плотность тока в полупроводниках и диэлектриках состоит из геометричес-
кой суммы плотностей дрейфового и диффузионного токов, т. е. определяется
в виде уравнений (22.8), (22.9). Первые слагаемые в правых частях уравнений
определяются суммарным электрическим полем, а вторые — градиентом концен-
трации носителей заряда.
2. Связь между дрейфовой подвижностью и коэффициентом диффузии для
любых носителей заряда выражается с помощью уравнения Эйнштейна. Под-
вижность пропорциональна коэффициенту диффузии.
ГЛАВА V
НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ДИЭЛЕКТРИКАХ
§ 23. МАКСВЕЛЛОВСКАЯ РЕЛАКСАЦИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Й ДИЭЛЕКТРИКАХ. ДЕБАЕВСКАЯ ДЛИНА ЭКРАНИРОВАНИЯ
В гл. IV указывалось, что при протекании тока состояние носи-
телей заряда отличается от равновесного. Если поля слабые, то
концентрация носителей заряда остается равновесной, хотя распре-
деление носителей заряда по состояниям описывается неравновес-
ной функцией. В некоторых случаях уже рассматривалось и такое
состояние, когда концентрация носителей заряда отличается от
л0 и и даже создаются объемные заряды, т. е. нарушается электро-
нейтральность в некоторых объемах полупроводника нли диэлект-
рика. Но даже в этих случаях имелись равновесные концентрации
и пока не рассматривались генерация н рекомбинация неравновес-
ных носителей заряда, хотя и упоминалось о них. В частности, отме-
чалась применимость диффузионного уравнения и уравнения Эйн-
штейна как к равновесным, так и к неравновесным носителям заряда.
Если генерация носителей заряда осуществляется, кроме тепло-
вого движения, за счет каких-либо других факторов, таких, как
облучение светом или корпускулами, введением носителей заряда
извне за счет электрического поля и т. д., то концентрация носи-
телей заряда будет отличаться от равновесной, наблюдающейся
в условиях термодинамического равновесия. Рассмотрим вначале
релаксацию неравновесной концентрации.
Максвелловская (диэлектрическая) релаксация
Предположим, что в некотором объеме полупроводника или ди-
электрика создан объемный заряд свободных частиц определенного
знака. Далее носители заряда «предоставлены самим себе», т. е.
полагаем, что на них действует лишь поле этого объемного заряда.
Как известно, уравнение непрерывности имеет вид
j£ + divpv = -|£ + div j = 0, (23.1)
где р — плотность объемного заряда; v — скорость перемещения
заряда; j — плотность тока;
d iv j = — *4—д— 4—д—-
J ил ду 1 дг
135
Итак, имеем
(23.2)
Кроме того, используя закон Ома, получим div j = div о8 = о div 8 = —a div grad ср = — о Дер. (23.3)
Здесь Дер определяется как оператор Лапласа от ср: (23.4)
Но согласно уравнению Пуассона имеем Дер = — р/ее0. (23.5)
Следовательно, по (23.3) и (23.5) divJ = 0^“- (23.6)
Приравнивая правые части (23.2) и (23.6), получим = ~ dt. Р 68о (23.7)
Отсюда имеем '"Р—тЬ/ + С' (23.8)
Полагая t = 0, находим С = In р0, где р0 — плотность объем-
иого заряда в начальный момент. Следовательно, получаем
Р = Рое Тм, (23.9)
где 880 Тм-~у-«=еепр7. (23.10)
Здесь тм — время диэлектрической релаксации; pi/= 1/о —
удельное объемное сопротивление.
Таким образом, получили закон максвелловской релаксации.
Объемный заряд релаксирует по закону (23.9), и характерным вре-
менем процесса является максвелловское время релаксапии тм
(рис. 23.1). Как максвелловскую релаксацию можно рассматривать
также процесс компенсации подвижными зарядами некоторого
неподвижного или подвижного объемного заряда.
Если задать ру = 10 Ом*см, е = 16 (что подходит для оценоч-
ных расчетов в германии), то, поскольку е0 = 8,85-10‘12 Ф/м =
= 8,85«Ю-14 Ф/см, получим тм « !0“и с.
Следовательно, в полупроводниках типа германия максвеллов-
ское время релаксации весьма мало. Это приводит к тому, что при
локальной генерации илн введении только основных носителей
136
। (ряда их объемный заряд испытывает максвелловскую релаксацию,
ш успевая обеспечить приток в район объемного заряда неосновных
носителей заряда, концентрация которых мала.
Если же в полупроводнике создать локальную избыточную кон-
ши (рацию только неосновных носителей заряда, то благодаря релак-
шин Максвелла их объемный заряд будет скомпенсирован основ-
ными носителями заряда через тм- Это относится к случаю низкого
уровня инжекции, когда добавочная
(избыточная) концентрация неосновных Р
носителей заряда много меньше кон- I
цеп грации основных носителей заряда. \
В дальнейшем избыточная концентра- \
ни я основных и неосновных носителей уч
ыряда будет существовать одиовремен- у ч.
по в течение времени жизни т нерав- \
повесных носителей заряда, которое на °
много порядков может превышать тм. Рис 3явйСИМ0СТЬ плот.
Таким образом, неосновные н основ- иости объемного заряда рот
ные неравновесные носители заряда иг- времени при максвелловской
рают принципиально различную роль в релаксации
и «мененни физических свойств полупро-
водника. Поэтому обычно говорят об инжекции и экстракции только
неосновных носителей заряда. Однако применяют и другой под-
ход и, в частности, рассматривают биполярную генерацию и ин-
жекцию и биполярную диффузию и дрейф. К этим вопросам вер-
немся далее.
Величина тм диэлектриков может быть весьма большой. Если
шдать pv = 101в Ом-см, е = 10, то получим тм = Ю4 с.
Заметим также, что тм можно трактовать как постоянную вре-
мени RC.
Действительно, исходя из (23.10) и учитывая емкость плоского
конденсатора, запишем
Тм = ^-Я = ЯС. (23.11)
Максвелловская релаксация, т. е. рассасывание или компенса-
ция объемного заряда вследствие проводимости, представляет собой
один из наиболее общих процессов в полупроводниках и диэлект-
риках.
Максвелловская релаксация при менополярней генерации светом
Рассмотрим в качестве примера донорный полупроводник в тем-
ц»‘1»атурной области ниже истощения примесей, т. е. когда основ-
ными носителями заряда являются электроны, а концентрация дырок
невелика.
Предположим, что поверхность полупроводника облучается
' том, который в приповерхностном слое генерирует неравновес-
ные носители заряда только одного знака — электроны, ионизируя
137
часть доноров дополнительно к тепловой генерации. Следова-
тельно, концентрация электронов в приповерхностном слое, куда
проникают кванты света,
n = rt0-j-A/i, (23.12)
где Ап > 0.
Но в таком случае возникает диффузионный ток электронов, так
что они уходят на некоторую глубину в образец и создают там
отрицательный объемный заряд. При этом электронейтральность
образца как целого не нарушается, поскольку в приповерхностном
слое остаются положительно ионизированные доноры, отдавшие
электроны в результате облучения, т. е. здесь электронейтральность
полупроводника как целого обуславливается равенством абсолют-
ных величин заряда электронов, ушедших в глубину, и неподвиж-
ного заряда доноров, закрепленных в приповерхностном слое.
Если облучение светом поддерживается достаточно длительное
время, то процесс приходит к динамическому равновесию: электроны,
участвующие в диффузионном токе, как уже сказано, создают объем-
ные заряды, поле которых противодействует диффузии. Возникает
дрейфовый ток противоположного направления, и достигается рав-
новесие,так что полный ток обращается в нуль.
Но если в некоторый момент времени выключить освещение, т. е.
устранить генерацию светом, го подвижный объемный заряд элект-
ронов испытывает максвелловскую релаксацию, т. е. уменьшается
по экспоненте (23.9); причем в данном случае наблюдается движение
облака неравновесных электронов к поверхности, где они нейтра-
лизуют неподвижный положительный объемный заряд. Далее наблю-
дается монополярная рекомбинация (т. е. заполнение ионизирован-
ных доноров электронами), которая характеризуется определенным
временем жизни тп, причем обычно тя тм.
Еще раз подчеркнем, что здесь говорилось о монополярной
генерации и рекомбинации неравновесных основных носителей
заряда. Максвелловское время релаксации характеризует здесь
скорость процесса создания и ликвидации подвижного объемного
заряда основных неравновесных носителей заряда.
Если левую и правую часть (23.9) разделить на величину элемен-
тарного заряда е, то закон (23.9) можно переписать для электронного
полупроводника в виде
А/г = (Ап)ое“Ч (23.13)
где Ал — избыточная концентрация электронов в «глубине» полу-
проводника.
Дебаевская длина экранирования
В изолированном полупроводнике в стационарном состоянии
при таком освещении поверхности, когда
A/i<n0> (23.14)
138
। iK отмечалось, будет устанавливаться равновесие, и плотность пол-
п но тока будет равна нулю:
/=ел|М?(+еР„-£-0. (23.15)
Здесь = (?л., так как ось х направляем по перпендикуляру । поверхности. Далее, используя соотношение Эйнштейна (22,21),
получим $ kT дп 4 еп дх ‘ (23.16а)
Но поскольку дп — д (п0 + Д/г) = д (Д/г), (23.17)
имеем
kT . д (Дп) kT f. (По + Дм) дх еп0 д (Д/г) дх ‘ (23.166)
Найдем d^i/dx'. d£j _ kT д2 (Дп) дх ~' епа дх- (23.18)
Так как ось х выбрана в направлении перпендикуляра к поверх-
ности, то имеем д Sis/dy — dtf^/dz — 0 и получаем
div — д£ix/dx=р/ббо = — е&п/вг0. (23.19)
Приравнивая правые части (23.166) и (23.19), имеем
(Дл) ДМ ___ п /nrj «...
“3? и-
Обозначим
Тогда уравнение (23.20) примет вид
д2 (Дп) Дм «
дх2 li ~ и'
(23.22)
Общее решение этого уравнения можно представить так:
Д/1=С1ей'" + С2е'"/'э. (23.23)
Для неосвещенной области полупроводника по мере удаления
выубь величина Дп. уменьшается. Следовательно, нужно положить
С, 0. Тогда
Дп = С3е-"'’. (23.24)
11рп х = 0 имеем Д/г = (Дл)0 = С2, поэтому получаем
Д/г = (Д/г)0 е“х/\
(23 25)
139
Таким образом, в случае монополярной электропроводности
избыточная концентрация неравновесных (основных) носителей
заряда по мере удаления от освещенной области уменьшается
по экспоненте с постоянной спада Z,, называемой длиной (радиусом)
экранирования или дебаевской длиной. Из (23.21) видно, что дебаев-
ская длина зависит от температуры и концентрации носителей
заряда.
Как будет показано далее, дебаевская длина экранирования
характеризует изменение потенциала в приповерхностных слоях.
Здесь же подчеркнем следующее. Сравнивая формулы (23.13)
и (23.25), приходим к выводу, что распространение носителей заряда
при монополярной электропроводности на расстояние длины экра-
нирования Z9 осуществляется в течение максвелловского времени
релаксации тм, которое в данном случае является эффективным вре-
менем установления диффузионно-дрейфового равновесия.
Обычно в полупроводниках l9 « 10-4 — 10"® см, т. е. весьма
мала. Считают, что хотя прн монополярной генерации происходит
разделение зарядов и создаются объемные заряды, но практически
повышенная концентрация неравновесных носителей заряда будет
в той области, где происходит их генерация. Так что монополярная
генерация и рекомбинация носителей заряда имеют место в одной
и той же области полупроводника.
Выводы к § 23
1. Рассасывание или компенсацию объемного заряда вследствие электропро-
водности, когда носители заряда перемещаются под действием поля самого объем-
ного заряда, называют максвелловской релаксацией. Время максвелловской ре-
лаксации пропорционально удельному сопротивлению материала. Для низкоомных
полупроводников время максвелловской релаксации мало (в частности для германия
с ру — 10 Ом-см величина тм « 10-11 с). Для высокоомных полупроводников
и диэлектриков величина тм может быть относительно большой. Закон изменения
объемного заряда при максвелловской релаксации выражается экспонентой вида
(23.9). Нейтрализация объемного заряда еще не означает, что заряды противо-
положного знака перестали существовать как свободные носители заряда. Их ре-
комбинация может затянуться на более длительный срок, характеризуемый вре-
менем жизни.
2. Закон изменения объемного заряда вида (23.9) характеризует в том числе
максвелловскую релаксацию при монополярной генерации избыточного заряда
вследствие облучения примесного полупроводника светом. Монополярная реком-
бинация, т. е, захват электронов из зоны проводимости дырками на донорах,
либо захват дырок из валентной зоны электронами на акцепторах может затяги-
ваться на более длительный срок, определяемый временем жизни свободных
электронов ти, или свободных дырок тр.
3. Дебаевская длина экранирования представляет собой расстояние, на кото-
ром избыточная концентрация основных неравновесных носителей заряда в при-
месном полупроводнике уменьшается в е раз.
§ 24. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ (НЕРАЗРЫВНОСТИ)
Подробнее механизм рекомбинации неравновесных носителей
заряда рассмотрим несколько позднее. Здесь же остановимся на
общем уравнении непрерывности для концентрации носителей
140
города и некоторых его частных случаях. Это позволит дать опре-
н К'Ние времени жизни, диффузионной длины, глубины затягивания
а других характеристик неравновесных носителей заряда.
Общий случай уравнения непрерывности
Соотношение (23.2) перепишем в виде
dpldt — — div J.
Для электронов получим
dn/di = j div j„;
иля дырок
3p/0Z = —у div jp.
(24.1)
(24.2)
(24.3)
В обоих случаях в формулы входит абсолютное значение заряда,
।. е. е > 0.
Следует заметить, что уравнение непрерывности в виде (24.1)
। праведливо в общем случае. Однако если его записать в виде урав-
нения для одного типа носителей заряда [например, как (24.2)
и (24.3)1, то оно по существу станет частным. Действительно, в (24.1)
in 'шчииу р могут составлять носители заряда с разными знаками,
и число носителей заряда каждого типа может изменяться. Поэтому
те процессы изменения концентрации включены в dpldt, тогда
। нк в (24.2) и (24.3) учитывается изменение концентрации лишь
i.i счет расходимости тока.
Для того чтобы сделать уравнения (24.2) и (24.3) более общими,
। <. учесть различные процессы, которые могут наблюдаться
и.। носителях заряда данного знака, необходимо принять во внима-
ние возможность генерации и рекомбинации. В общем случае
и «мечение концентрации носителей заряда будет состоять из гене-
р.щпонного слагаемого G„ или Gp, рекомбинационного слагаемого
и расходимости тока. Таким образом, можно записать
f = G„-41 + ldivj,;
> = GP-^- 1 div J,.
Здесь An —ii— n0 и &p = p — p0.
(24.4)
(24.5)
(24.6)
11срвые слагаемые уравнений (24.4) и (24.5), определяющие изме-
ii.iiiie концентраций за счет генерации, взяты со знаком плюс, ибо
। t in рання приводит к увеличению концентраций.
Вторые слагаемые, определяющие изменение концентраций за
> 'in рекомбинации, взяты со знаком минус, поскольку рекомбина-
ция приводит к уменьшению концентрации. Величины тя и тр назы-
hoi временами жизни неравновесных электронов и дырок.
141
Уравнения непрерывности в общем виде (24.4) и (24.5) являются
основными уравнениями теории полупроводников, их широко
используют при различных расчетах.
При определении div и div пользуются диффузионными
уравнениями (22.8) и (22.9).
Напомним формулу векторного анализа, которую можно при-
менять в данном случае:
div (ab) =а div b 4-b grad о. (24.7)
Для плотности тока получим
div j,i = e^ndiv grad n-\-eDn div grad n, (24.8)
или
div }n = — ер,п/гЛф + ер.л^ grad ti + eDn bn. (24.9)
Аналогичным образом раскрывается div jp. Однако некоторые
слагаемые могут в тех или иных условиях обращаться в нуль
и тогда формулы упрощаются.
Линейная н квадратичная рекомбинации
Положим, что в полупроводнике каким-либо способом создана
избыточная концентрация носителей заряда. Для характеристики
количества неравновесных носителей заряда вводят величину, кото-
рую называют уровнем инжекции (точное определение инжекции
см. далее).
Уровень инжекции считают низким, если избыточная концентра-
ция значительно меньше равновесной концентрации основных носи-
телей заряда. Следовательно, в полупроводнике p-типа уровень
инжекцнн низкий, если справедливо неравенство
Ап<р0. (24.10)
Его считают низким даже, если избыточная концентрация пре-
вышает концентрацию неосновных носителей заряда, т. е.
Art>n0. (24.11)
Очевидно, что на основании (24.10) с учетом соотношения р0 ц0
в качестве критерия низкого уровня инжекции можно записать
Art<p0 + rt0. (24.12)
Уровень инжекции в полупроводнике p-типа считают высоким,
если выполняется неравенство
Art>Po + rto. (24.13)
Аналогичны критерии для электронного полупроводника, при-
чем неравенства вида (24.12) и (24.13) можно применять без разли-
чия типа полупроводника, потому что обычно Ап = Ар.
Рекомбинацию, которую наблюдают при низком уровне инжек-
ции, называют линейной, при высоком — квадратичной.
142
(24.14) \ -
/7 Tn t
получим
Рис 24.1 Зависимость избы-
/94 точной концентрации носите-
' лей заряда в полупроводнике
Время жизни неравновесных носителей заряда при линейной
рекомбинации является величиной постоянной, сохраняющей свое
значение на протяжении всего процесса рекомбинации, в то
время как при квадратичной рекомбинации время жизни (мгно-
венное) зависит от избыточной концен-
трации и является величиной перемен-
пой. I
Положим, что в рассматриваемом \
объеме полупроводника к моменту на- \
блюденпя генерация и токи отсутствуют. уЧ
Тогда по (24.4) имеем
dn/dt —— Ьп/т:п.
Поскольку д (/г) = д (Д/г),
Ага
11 ~д (bn)/dt '
от времени при линейной ре-
Формула (24.15) определяет время комбинации
жизии неравновесных электронов. Эта
величина постоянна в течение всего времени процесса линейной
рекомбинации, так что д есть линейная функция Д/г. При
квадратичной рекомбинации равенство (24.15) определяет мгновен-
ное время жизни электронов, являющееся функцией времени t.
Таким образом, соотношение (24.15) можно рассматривать как
одно из определений времени жизни электронов. Аналогичное опре-
деление можно записать для неравновесных дырок.
Если рекомбинация состоит в непосредственном соединении
неравновесных электрона и дырки, то
дп др___________Др
dt “ dt
(24.16)
так что электроны и дырки имеют одинаковое время жизни
т„ = т„. (24.17)
Закон линейной рекомбинации в интегральном виде можно легко
получить из (24.14):
Дл=(Дп)ое (24.18)
Таким образом, при линейной рекомбинации время жизни нерав-
новесных носителей заряда равно времени релаксации избыточной
концентрации (рис. 24.1).
Диффузионная длина
Рассмотрим образец полупроводника р-типа, освещаемый с торца
(рис. 24.2), причем полагаем уровень инжекции низким.
Свет генерирует электроны и дырки за счет ионизации основного
вещества, т. е. перебросов электронов через запрещенную зону.
143
Рис. 24.2. Зависимость избыточ-
ной концентрации Дп носителей
заряда в полупроводнике р-ти-
па от расстояния х в отсутст-
вие 1енерации и дрейфового то-
ка (при х 0)
ские поля (<з = 0). Кроме
живается постоянно, можно
Вследствие значительной разницы в концентрации неосновных
носителей заряда (электронов) у поверхности и в объеме будет наблю-
даться их диффузия в глубь полупроводника. Это будет приводить
к возникновению объемного отрицательного заряда в глубине полу-
проводника, но одновременно будет происходить подтягивание туда
дырок вследствие максвелловской релаксации. Так что неосновные
носители заряда (здесь электроны), диффундируя в глубь полупро-
водника, увлекают за собой равное
количество основных носителей заря-
да (здесь дырок), н в объеме сохра-
няется условие электронейтрально-
сти. По мере продвижения в глубь
полупроводника избыточные электро-
ны и дырки будут рекомбинировать и
их концентрация будет уменьшаться.
Закон изменения концентрации не-
равновесных неосновных носителей
заряда получим на основании урав-
нения непрерывности.
В глубине (при х ^0) в данном
случае генерация неравновесных но-
сителей заряда отсутствует (G„ = 0),
так же как отсутствуют электриче-
того, поскольку освещение поддер-
считать, что в любом сечении х ^=0
в глубине полупроводника dn!dt = 0. Следовательно, уравнение
непрерывности (24.4) в данно'м случае приводится к виду
Дп/тл = 1(еР„У»п). (24.19)
Правая часть получена из (24.9) при V2<p — 0.
-2 52 (Дп)
v2n = —5^* то получим
Ап &*
Это уравнение имеет общее решение в виде
X _____X
Дп = Cie + С2е °'>т«.
Поскольку
(24.20)
(24.21)
Но так как при увеличении х имеем Дп-> 0, ясно, что — 0.
Следовательно,
_____X
К°Л, (24.22)
Отсюда найдем Сг, положив х — 0, в виде С2 = (Дп)0. Тогда
Дп = (Дп)0 е д»,
(24.23)
144
где

(24.24)
Для германия Dn ~ 100 см2/с и при тд « Ю-0 с имеем Ln »
« 1О"2 см.
Величина Ln»>'Dnt„, называемая диффузионной длиной,
представляет собой расстояние, на котором избыточная концентра-
ция неосновных неравновесных носителей заряда (здесь электро-
нов) убывает в е раз.
Избыточная концентрация становится меньше по мере удаления
от поверхности полупроводника (освещаемого с поверхности),
убывая по экспоненциальному закону (24.23). Следует отметить,
что при локальном освещении поверхности можно рассматривать
изменение концентрации неосновных носителей заряда на остальной
части поверхности аналогичным образом. Иначе говоря, при нали-
чии светового пятна (точки, полосы) на поверхности полупровод-
ника можно отсчитывать х и диффузионную длину на той же поверх-
ности. Как обычно, при экспоненциальной зависимости начало от-
счета по х можно сдвигать в ту или иную сторону.
Аналогичные заключения относятся и к полупроводникам п-
типа. В этом случае имеем
X
&р=.(Ьр)ое Lr, (24.25)
= (24.26)
Длина (глубина) затягивания
Положим, что & Тогда уравнение непрерывности (24.4)
примет вид
= (24.27)
их их L д
Обозначим через Le длину дрейфа электронов
Д, = ц„Лл. (24.27')
Общим решением уравнения (24.27) будет
An = Cie“>’4-C2ew, (24.28)
где Ci и С2 — постоянные, определяемые из граничных условий;
и а2 — корни характеристического уравнения:
а2 + -й-а--Л = 0, (24.29)
Ln Ln
“‘а 2Ц г-ы' (24.30)
Величина Д/г уменьшается по мере удаления от освещенной
области образца (рис. 24.3). Один из корней (24.30) соответствует
145
направлению по полю, для которого, положив х > 0, имеем:
A;i = Cie Li—(Д/г)ое
1 y-L8e+4L= + Le < п‘
(24.31)
(24.32)
Здесь Lx < Ln, поскольку поле противодействует диффузии
электронов.
Второй корень (24.30) соответствует направлению против поля,
Ап
о
Рис. 24.3. Зависимость избыточ-
ной концентрации Ап носителей
заряда в полупроводнике р-ти-
па от расстояния х при наличии
(или отсутствии) электрического
поля © и постоянном освеще-
нии торца (х = 0) образца
для которого полагаем х<0иимеем:
Дл = = (Д/:)о е*-'£=; (24.33)
2Ц . , __________
LaC=v7^4F L >Ln- <24’34'
Величина > ^я, так как в этом
случае поле переносит электроны в
направлении диффузии. При такой
трактовке знак х определяется по на-
правлению поля.
Величину Lx называют длиной
(глубиной) затягивания электронов
вдоль поля, а величину L2 — против
поля. При Лб? = 0 согласно формулам
(24.32) и (24.34) М = = Ln.
Если использовать боковое ло-
кальное освещение на тонком образ-
це полупроводника p-типа, предполагая, что свет проникает на
всю толщину образца, а поле направлено вдоль по образцу, то
и в этом случае можно применить при-
веденные формулы и графики (посколь-
ку опытное определение производится
с помощью измерений на поверхности,
то по существу имеется в виду поверх-
ностный слой).
Если правая граница освещенной
области есть х = 0, а левая определяет-
ся при х — —I, как показано на рис.
Рис. 24.4. Зависимость избыточной концентра-
ции \п в образце полупроводника p-типа при
боковом локальном освещении. Вследствие дей-
ствия поля в освещаемом слое значения (Ди)0
оказываются более низкими, чем без поля (это
не учитывается на предыдущем рисунке)
24.4, то решение (24.31) соответствует области х 0, а решение
(24.33) соответствует области х —/, причем х отсчитывается от
146
значения (—/). Но можно получить ход кривых Д/i и в противо-
положных направлениях (рис. 24.4). Здесь же показано распреде-
ление избыточных электронов в отсутствие поля.
Инжекцкя
В сильном поле выполняется неравенство
(24.35)
или
(цЛт,.)2 > 4Олт„. (24.36)
В данном случае
2L* 1 2Ln 1
I /л, (24.37)
1 ' + <4 27.J,
Значит, при этом глубина затягивания н глубина дрейфа прак-
тически совпадают. Следовательно, получим при х < О
при х > О
Дн = (Дя)„ e"L,‘ = (Дп)» е ;
Дп = (Дп)ое
(24.38)
Таким образом, прн прохождении тока, вызванного сильным
электрическим полем, когда ояр >• од„ф, избыточная концентрация
затягивается в глубь полупроводника, так что там будет наблю-
даться обогащение неравновесными носителями заряда по сравне-
нию со случаем й = 0. Это явление называют инжекцией. Для элект-
ронов инжекция наблюдается при <? < 0 (рис. 24.3; 24.4), для ды-
рок — при d > 0.
Экотракция, эксклюэкя, аккумуляция
Предположим, что в начале координат имеем (Д/г)0 < 0, тогда
по (24.38) при <?> 0 получим явление экстракции электронов —
обеднение объема неравновесными неосновными носителями заряда.
Экстракция дырок будет наблюдаться при Й < 0.
Прн условии (24.35) глубина затягивания
Отсюда видно, что с увеличением абсолютного значения в соглас-
но (24.27') величина стремится к нулю. При этом в случае (Д«)о>О
147
избыточная концентрация носителей заряда по (24.31) становится
меньше по мере удаления от поверхности полупроводника, что
называют эксклюзией. При (Дп)0 < 0 избыточная концентрация
носителей увеличивается по мере удаления от поверхности полу-
проводника, что называют аккумуляцией. Однако эти явления
встречаются редко, поскольку Lx-+0.
Следует заметить, что приведенная терминология не всегда строго
соблюдается. Так, если говорят об уровне инжекции, то чаще всего
понимают его как критерий, количественно характеризующий
избыточную концентрацию, независимо от способа ее получения.
Биполярные коэффициент диффузии и подвижность
Пусть образец со смешанной электропроводностью помещен во
внешнее поле <£, направленное вдоль х. В этом же направлении
имеется градиент концентрации электронов и дырок. Тогда
3(М _ _ I 1 . . /ОД 4А\
д(М __ Ар 1 djp
dt “ Тр е (24.41)
Полагаем, что пары электрон—дырка движутся совместно, так
что тя = тэ = т. Используя диффузионные уравнения,
д (Ьп) &п , п д2 (Дп) . а д (Дп)
5t ~ т 1 5х3 ;
д(Ар)_____Ар д_ п д’ (Ар) л д(Ар)
а ~ т 1 di? гр® ~~дх " •
имеем:
(24.42)
(24.43)
Умножим уравнение (24.42) на <тр, а уравнение (24.43) на <т„
и сложим оба уравнения. Учитывая, что Дп = Др и д —
= д получим
а (Ал) D„ap+Dpa„ д’(Ал) ц„ар - )i„oa . д (Ar.) Дп
51 “ ар+аП " дх1 ар-+-ар т ‘ 4.44)
Для стационарного случая, когда д = 0, имеем

& (Ал) W-p-pC» А д (Ап) Ал
дх2 Ор + а„. дх т “ ’
(24.45)
Пр -г ая
Если сравнить уравнение (24.45) с исходным уравнением (24.42)
при д (Д/г) /3/ = 0, то легко заметить совпадение указанных уравне-
ний, кроме коэффициентов при первой и второй производных.
Следовательно, если обозначить
р+ ___ Ла + Ро _ kT Ло + Ро
Пр+а, — л0/Ор+ ₽„/£>„ ~ ’ По'рд + Рп/ря ’
____ Pn^p Рр^п Ро По
М Пр + о» = Ро/Цл + Лофр ’
то получим формальное совпадение уравнений.
(24.46)
(24.47)
148
Равенство (24.46) определяет коэффициент биполярной диффу-
зии, а (24.47) — биполярную дрейфовую подвижность.
Если воспользоваться соотношением Эйнштейна, то можно,
кроме того, записать
D = (24.48)
Сравнивая с (24.46), имеем
110 = -^-"°+^—. (24.49)
г По/цр^р^цп
Величину цд называют биполярной диффузионной подвижностью.
Как видно из (24.47), биполярная дрейфовая' подвижность ц#
может быть как положительной, так и отрицательной.
При собственной электропроводности имеем = 0 н
^ = 2-^^; (24.50)
Ир п~ Р-Л
n._0 0J0»ПТ КП
В примесном полупроводнике диффузия и дрейф определяются
неосновными носителями заряда, так как, например, для полупро-
водника р-тнпа
/>=£>„, un = ,M [ = ц„. (24.52)
Таким образом, в примесных полупроводниках следует опреде-
лять параметры неосновных неравновесных носителей заряда, о чем
говорилось в § 23 при рассмотрении максвелловской релаксации.
Выводы к § 24
1. Уравнение непрерывности характеризует изменение концентрации сво-
бодных носителей заряда в зависимости от времени через алгебраическую сумму
генерационного, рекомбинационного и токового слагаемых.
2. Низкий уровень инжекции определяется неравенством А» <£, п0 + Ро
или Ар По + ро, а высокий уровень соответственно: Д/г V л0 + ро или Ар >
па 4- р0. При низком уровне инжекции наблюдается линейная рекомбинация,
при высоком — квадратичная. В обоих случаях время жизни носителей заряда
можно определить по формуле (24.15), но при линейной рекомбинации оно постоян-
но, а при квадратичной изменяется в процессе рекомбинации.
3. Глубина диффузии неравновесных неосновных носителей заряда характери-
зуется диффузионной длиной, определяемой для электронов в виде (24.24) (анало-
гичным образом и для дырок). Избыточная концентрация является экспонен-
циальной функцией расстояния. Диффузионная длина равна расстоянию, на кото-
ром избыточная концентрация уменьшается в е раз. Она совпадает также с длиной,
на которую перемещаются за время жизни соответствующие неравновесные
носители заряда.
4. Глубина затягивания неравновесных носителей заряда характеризует
их диффузию и дрейф. Для электронов глубина затягивания по полю /ч меньше
диффузионной длины Ln, т. е. поле снижает эффект диффузии, поскольку дрейф
носителей заряда осуществляется в противоположную сторону. Наоборот, L? > Ln,
поскольку диффузия и дрейф совпадают по направлению. Для дырок и Л» ме-
няются ролями. Диффузию и дрейф неравновесных носителей заряда можно
вызвать как в глубь образца, так и вдоль по поверхности.
5. При достаточно большом поле La = L#, где — длина дрейфа электро-
нов, и избыточная концентрация электронов в полупроводнике р -типа затя-
149
гивается полем в глубь полупроводника. Аналогичная картина может наблюдаться
с дырками в полупроводнике «-типа. Явление обогащения неосновными неравно-
весными носителями заряда под действием электрического поля называют
инжекцией.
6. Обеднение объема неосновными неравновесными носителями заряда
называют экстракцией.
7. При смешанной электропроводности диффузия и дрейф неравновесных
носителей заряда определяются биполярными коэффициентами диффузии и под-
вижности. В примесной области полупроводника га- или p-типа биполярные ве-
личины практически совпадают с аналогичными величинами, определяемыми
для неосновных неравновесных носителей заряда, т. е. в примесных полупровод-
никах указанные процессы определяют неосновные неровновесные носители заряда.
§ 25. МЕХАНИЗМЫ РЕКОМБИНАЦИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ
ЗАРЯДА
Средняя длина свободного пробега электронов в полупроводни-
ках обычно имеет величину порядка 10-G см, средняя тепловая ско-
рость при комнатной температуре составляет 107 см/с, так что сред-
нее время между двумя столкновениями составляет около 10"13 с.
Если горячий неравновесный носитель заряда испытывает, напри-
мер, 103 столкновений, то этого достаточно, чтобы рассеять избы-
точную энергию порядка 1 эВ. Следовательно, даже при такой
большой избыточной энергии примерно через 10-10 с после генера-
ции горячий носитель заряда при низком уровне инжекции стано-
вится «нормальным», т. е. принимает температуру решетки. Таким
образом, можно считать, что при низком уровне инжекции неравно-
весные носители заряда распределены по энергиям так же, как
и равновесные.
При высоком уровне инжекции горячие носители заряда могут
заметно повысить температуру полупроводника или диэлектрика.
Поскольку время жизни может быть много больше периода ука-
занной «акклиматизации», полагаем, что в течение всей своей отно-
сительно краткой жизни избыточные носители заряда неотличимы
от равновесных.
При наличии нескольких видов центров рекомбинации эффектив-
ное время жизни электронов можно найти из выражения
г = 2 Л- <25.1)
I
Однако обычно описывают рекомбинацию свободных электронов
и дырок либо непосредственную, либо через промежуточную инстан-
цию — рекомбинационные центры. Далее проводится описание
рекомбинации электронно-дырочных пар.
Коэффициент рекомбинации н время жизни неравновесных
носителей заряда
В условиях термодинамического равновесия процессы генерации
и рекомбинации уравновешиваются, и концентрация носителей
заряда равна равновесной. Если число генерируемых электронно-
го
дырочных пар в единице объема за единицу времени для равновес-
ных условий обозначить через Go, а число рекомбинирующих пар
через R9, то
G0 = Rd. (25.2)
Кроме того, величину Ro можно выразить так:
Ro = yrnnPo = yrni, (25.3)
где уг — коэффициент пропорциональности, который называют
коэффициентом рекомбинации.
Как отмечено ранее, неравновесные носители заряда через
очень небольшое время становятся неотличимыми от равновесных.
Поэтому можно считать, что они имеют тот же коэффициент реком-
бинации у/-, что и равновесные носители заряда. Тогда скорость ре-
комбинации неравновесных носителей заряда можно записать в виде
R в Угпр. (25.4)
Здесь есть и слагаемое (25.3), поскольку пир содержат п0 и р0,
т. е. здесь учитывается рекомбинация и равновесных носителей
заряда. Поэтому если определить скорость рекомбинации в виде
(25.4) и рассматривать уравнение непрерывности при условии, что
внешняя генерация уже отсутствует, то следует учитывать тепло-
вую генерацию Go. При отсутствии тока имеем уравнение непре-
рывности в виде
dn/dt — dp/dt -Go — yrnp, (25.5)
или
dn/dt — yrnopo — yrnp = — уДп0 Др + р0 кп + Дп Др). (25.6)
Учитывая, что Дп =® Др при малом уровне инжекции, имеем
dn/dt = — уг («о + р0) Д п = — Ьп/тп> (25.7)
где т" = уйта- (25-8)
Это время жизни не изменяется в период процесса рекомбина-
ции неравновесных носителей заряда, т. е. соответствует линейной
рекомбинации, при которой избыточная концентрация является
экспоненциальной функцией времени (24.18):
Дл = (Дло)е-^. (25.9)
Если же уровень инжекции высокий, т. е. Дп (п0 + р0),
то согласно (25.6) получим
dn/dt = — у, (An)2, или д (&n)/dt = — уг (Д/г)2. (25.10)
Таким образом, величина dn/dt есть квадратичная функция
Д/г, и рекомбинацию называют квадратичной. Интегрируя (25.10),
151
получают закон изменения Д/г при квадратичной рекомбинации
(25Л1]
Гиперболический закон (25,11) переходит в экспоненциальный
через некоторое время после снятия генерации, по истечении кото*
рого нарушается неравенство Д/г ;> (/г0 + р0), г. е. когда избы-
точная концентрация уменьшится до значения, соответствующего
низкому уровню инжекции.
Если использовать понятие времени жизни как непрерывную
характеристику процесса рекомбинации, то при высоком уровне
инжекции (квадратичной рекомбинации) согласно (25.10) можно
записать
д (Д/г) Д/г
—
где (25.12)
Здесь тя «= f (/), поскольку Дл = f (/). Соответственно (25.12)
определяет мгновенное время жизни, которое в общем виде может
быть представлено также формулой (24.15).
В заключение отметим, что при низком уровне инжекции время
жизни электронов можно выразить так же, как величину, обратно
пропорциональную сечению захвата электронов дырками $пр, обрат-
но пропорциональную средней скорости электронов по отношению
к дыркам г/пр и обратно пропорциональную концентрации дырок р:
п 5прУпрР ЗпрУпрРо (25,13)
При этом величина Рп = апрг/прр есть вероятность столкновения
электрона с дыркой за единицу времени, т. е. вероятность реком-
бинации пары электрон—дырка за единицу времени. Очевидно, при
р > п соотношения (25.8) и (25.13) совпадают, причем yr = snpz/np.
Если мысленно остановить дырки, то с/пр будет средней тепловой ско-
ростью электронов, а произведение сечения захвата snp на г/пр есть
вероятность встречи электрона с одной дыркой.
Аналогичные формулы можно использовать для электронных
полупроводников.
В случае высокого уровня инжекции величину р заменяют на Др,
при этом наблюдается квадратичная рекомбинация.
Межзснная рекомбинация
Если рекомбинация заключается в переходе электрона из зоны
проводимости непосредственно в валентную зону и уничтожении
электрона и дырки как свободных носителей заряда, то ее называют
межзонной. Рекомбинация через локализованные состояния —
рекомбинационные ловушкн осуществляется, например, в два этапа,
как это описано далее.
152
Изменение энергии’ электрона определяется соответствующей
разностью уровней. Причем, как при межзонной рекомбинации,
1нк и при рекомбинации через ловушки это изменение может быть
связано с излучением квантов света — фотонов, либо с передачей
соответствующей части энергии решетке, т. е. фононов. Кроме
г ого, при межзонной рекомбинации часть энергии при столкнове-
ниях может быть передана третьему свободному носителю заряда
(так называемые процессы Оже). Два последних случая относятся
к безызлучательной рекомбинации, а рекомбинацию с излучением
фотонов называют излучательной.
При межзонной ударной рекомбинации (Оже), как уже сказано,
происходит столкновение трех свободных носителей заряда, при кото-
ром пара электрон—дырка рекомбинирует, а избыток энергии пере-
дается третьему носителю заряда. В последующем такой горячий
носитель заряда передает избыточную энергию решетке (фононам).
Экспериментальные исследования показывают, что ударная меж-
зонная рекомбинация наблюдается очень редко. Она становится
заметной лишь при довольно высоких температурах в узкозонных
полупроводниках (например, в InSb). Обычно в качестве условной
границы, разделяющей узкозонные и широкозонные полупровод-
ники, указывают величину Д£о = 0,3 эВ.
Таким образом, процессы Оже в широкозонных полупроводни-
ках, например в Si и Ge, почти не наблюдаются.
Другой вид межзонной безызлучательной рекомбинации — фо-
нонный — наблюдается также редко. Максимальная энергия фоно-
нов обычно не превышает 0,1 эВ, а средняя их энергия еще меньше.
Поэтому при межзонной фононной рекомбинации в широкозонных
полупроводниках необходимо одновременное испускание не менее
10 фононов. Но вероятность миогофоноиных процессов мала, и меж-
зонная фононная рекомбинация в широкозонных полупроводниках
маловероятна.
При межзонной излучательной рекомбинации испускается квант
света
Av «Д£о = £<.-£,. (25.14)
При этом, как и в любых других случаях, остается справедли-
вым также закон сохранения импульса, поэтому имеем
pc-Pi> = hv/c, (25.15)
где рс и —pv — импульсы электрона и дырки на дне и потолке
соответствующих зон; hv/c — импульс фотона.
Поскольку импульс фотона ничтожно мал, получаем, что в меж-
зонной излучательной рекомбинации могут участвовать только элек-
троны и дырки, импульсы которых имеют противоположные знаки
и практически равны по величине. Следовательно, межзонная излу-
чательная рекомбинация наблюдается при вертикальных, или пря-
мых, переходах электронов из зоны проводимости в валентную
зону, когда последние изображаются в A-пространстве, т. е. она
153
наблюдается при переходах, которые осуществляются практически
без изменения волнового числа k. В отличие от этого, безызлучатель-
ная рекомбинация возможна и при непрямых переходах, когда
k изменяется.
Ранее уже были рассмотрены основные закономерности меж-
зонной рекомбинации в виде формул (25.2) — (25.13). Для случая
межзонной излучательной рекомбинации можно провести дополни-
тельные расчеты, определив, например, коэффициент рекомбина-
ции с учетом механизма процессов.
Если полупроводник находится при постоянной температуре Т,
то в нем имеется определенное число свободных квантов света, или
определенная плотность лучистой энергии. При комнатной темпе-
ратуре число таких квантов невелико, но важно, что оно не равно
нулю.
Положим, что какая-то часть квантов, излучаемых при реком-
бинации, поглощается в полупроводнике. Очевидно, в состоянии
теплового равновесия излучение и поглощение уравновешивают
друг друга, на основании чего и определяется коэффициент излу-
чательной рекомбинации. Формулу (25.3) можно применить к излу-
чательной рекомбинации, так что число рекомбинирующих пар
равно числу квантов, излучаемых при рекомбинации в единице
объема за единицу времени.
Кроме того, число квантов можно определить следующим обра-
зом. Известно, что число квантовых состояний для фотонов в интер-
вале импульсов между р и р + dp в единице телесного угла состав-
ляет величину p2dp/h?. Для того чтобы определить число состояний,
занятых фотонами, эту величину следует умножить на функцию
распределения Бозе—Эйнштейна
• (25.16)
е‘т—1
Общее число фотонов с импульсом р, излучаемых в телесный
угол dQ,
dn^-fp'dp. (25.17)
Правая часть равенства (25.17) удваивается прн учете различной
поляризации фотонов. Заменяя
(25-18)
где п — показатель преломления среды, находим общее число кван-
тов dN при интегрировании по телесному углу:
dN-\^fp2dpdQ = ^fp4p-^.^-. (25.19)
° еАТ —1
154
Часть из этих квантов поглощается. Если вероятность поглоще-
ния фотона с частотой v есть g (v), то число квантов, поглощаемых
полупроводником в единице объема за единицу времени,
= L (V) = 8Л (25.20)
» S е«г_1
Можно также провести замену

где a (v) — коэффициент поглощения; с — скорость света в вакууме.
Как уже говорилось, в условиях равновесия должно наблюдаться
равенство = N. Следовательно, по (25.3) и (25.20) получим
С У wawy^v (25.21)
! « е^-1
Поскольку коэффициент рекомбинации неравновесных носите-
лей заряда такой же, как н коэффициент рекомбинации равновесных
носителей заряда, величину у„ определяемую по формуле (25.21),
можно использовать для определения времени жизни неравновес-
ных носителей заряда при излучательной рекомбинации. Значит,
при малом уровне инжекции по (25.8) имеем
1 Л, Г \ («о+Ро) 8л С л2 (V) a (v) v2 dv
т~ = У г ("о + Ро) --"2^— \------------------
о efeT_ 1
В примесном дырочном полупроводнике > Гсо» так что
_ 1
тогда как в собственном полупроводнике
1 1 —
у . — т . ——_—— ____________р2АТ
(25.22)
(25.23)
Следовательно, в примесной области дырочного полупроводника
т„г тя, поскольку в указанной области р0 nt. Итак, с уменьше-
нием концентрации акцепторов в полупроводнике p-типа, т. е.
с приближением его к собственному полупроводнику, увеличивается
время жизни неравновесных носителей заряда, Аналогичный вывод
получается для полупроводников /г-типа.
Очевидно также, что как в примесном, так и в собственном полу-
проводнике при межзонной рекомбинации время жизни уменьшается
с увеличением температуры.
Расчетные значения тя, найденные по формуле типа (25.22),
например, для германия по крайней мере на три порядка больше,
Ьб5
чем наблюдаемые на опыте. Это означает, что в данном случае излу-
чательная межзонная рекомбинация не является основным механиз-
мом. Наоборот, в InSb в определенном интервале температур наблю-
дается хорошее согласие расчетных значений с опытными. Так
что в этом случае подтверждается доминирование излучательного
механизма рекомбинации.
Таким образом, в узкозонных полупроводниках могут наблю-
даться излучательная и безызлучательная межзонные рекомбина-
ции. В широкозонных полупроводниках межзониая рекомбинация
наблюдается редко, лишь при очень больших уровнях инжекции
она может существенно увеличиваться. Что касается низкого
уровня инжекции, то в широкозонных полупроводниках рекомби-
нация в основном происходит через рекомбинационные ловушки,
расположенные в запрещенной зоне.
Рекомбинация через ловушкк по Шокли и Риду
Полупроводниковые материалы обычно содержат примеси
нескольких типов, каждая из которых может создавать одни нли
несколько уровней в запрещенной зоне. Ограничимся случаем,
когда в полупроводнике имеет-
п-тип р-тип 4 F‘ , ся один тип уровней,способ- ных захватывать свободные носители заряда. Пусть таким уровнем бу-
—J ъ &—— а) S) дет Е„ изображенный на рис. 25.1. В полупроводнике «-ти- па рекомбинация идет через
Рис. 25,1 Рекомбинационные уровни £л в полупроводнике n-типа (а) и p-типа (б). Пронумерованными стрелками показана последовательность рекомбинации занятые ловушки. Вначале электрон с уровня Е„ попадает в валентную зону, т. е. ловуш- ка захватывает неравновесную дырку. Затем освободившаяся
ловушка захватывает неравновесный электрон из зоны проводи-
мости, чем и заканчивается процесс рекомбинации пары дырка
валентной зоны — электрон зоны проводимости. Как будет видно
из дальнейшего, время жизни носителя заряда перед первым актом
(захватом ловушкой неосновного неравновесного носителя заряда —
дырки) может быть много больше времени жизни перед вторым актом
(захватом ловушкой основного неравновесного носителя заряда —
электрона). В этом случае время жизни пары дырка — электрон
практически определяется лишь временем жизни неосновного носи-
теля заряда перед первым актом, т. е. в зоне.
В полупроводнике р-титта рекомбинация идет «наоборот» —
через пустые ловушки. Вначале неравновесный неосновной носи-
тель заряда — электрон из зоны проводимости захватывается ловуш-
кой. Второй этап состоит в захвате электрона с ловушки неравновес-
ной дыркой валентной зоны илн в захвате неравновесной дырки
156
'Iивушкой. Время жизни перед первым актом (захватом электрона)
практически определяет время жизни пары электрон—дырка.
Занятые или пусгые ловушки, способные поочередно захваты-
вать носители заряда, как одного, так и другого знака, т. е. обеспе-
чивающие переход электронов из зоны проводимости в валентную
юну, называют рекомбинационными. Эти ловушки должны распо-
лагаться ближе к середине запрещенной зоны.
Кроме того, могут быть ловушки, способные захватывать лишь
один тип носителей заряда, которые могут только поставлять их
обратно в ту же разрешенную зону. Такие ловушки называют ловуш-
ками захвата. Они располагаются ближе к дну нли потолку разре-
шенных зон.
Вывод формулы для времени жнзйи пары электрон—дырка
прн рекомбинации через ловушки проведем в несколько этапов.
Первый этап. Изменение концентрации электронов за счет захва-
та ловушками и обратной генерации в зоне проводимости можно
выразить в виде:
(dn/dt)3 = -ynnNAl-h)> (25.24)
(^Ж = ₽Л.Л. (25.25)
Здесь уп — коэффициент захвата электронов; р/г — коэффициент
генерации электронов; — концентрация ловушек; f. — функция
распределения, характеризующая заполнение ловушек электронами.
В равновесных условиях ее отождествляют с функцией Ферми.
Величина (I —/л) определяет число пустых ловушек.
Связь между коэффициентами уп и р„ найдем следующим образом.
Если вместо неравновесных условий рассмотреть равновесные, то
dn;dt = (dn/dt)2 4- (dn/dt)T = 0.
Кроме того, поскольку большую часть времени жизни неравно-
весные носители заряда не отличимы от равновесных, можно при-
нять, что коэффициенты уп и |3Д имеют одинаковые значения как для
равновесных, так и для неравновесных носителей заряда. Однако
здесь имеется в виду такой уровень инжекции, когда не наблю-
дается вырождения.
Итак, для равновесных условий
Отсюда УпПоНл (1 /ол) — Рп^л^Од* (25.26)
(25.27)
Причем /«я— (25.28)
е "Т +1 (25.29)
/од
157
Следовательно, согласно (25.27) получим
P» = ',W . (25.30)
Обозначим равновесную концентрацию электронов п0 через «j
при условии, что Е, = Еф, т. е, когда уровень ловушек совпадает
с уровнем Ферми. Тогда по (25.30)
= (25.31)
Таким образом, по (25.24), (25.25), (25.31) получим
dn/dt = (dn.'dt), + (5n, i?0r = — T»A(, [п (1 - f.,) - пр.,]. (25.32)
Второй этап. Изменение концентрации дырок за счет захвата
ловушками и обратной генерации дырок в валентной зоне можно
выразить так:
(dp/dt), = — ypN.,pf,-, (25.33)
(5р/5()г=^а(1-(.,), (25.34)
где у,, и — коэффициенты захвата и генерации для дырок.
В условиях термодинамического равновесия dpldt = 0, поэтому
получим
yAPo/»- = M.(1“W- (25.35)
Отсюда, используя (25.28), найдем
₽р=?рР1, (25.36)
где Pi — равновесная концентрация дырок при условии, что Е, =
= Еф, т. е. уровень ловушек совпадает с уровнем Ферми.
По (25.33), (25.34), (25.36) найдем
dp/dt = (dp/dt), + (dp/dt)r = — y„Na [pf, - Pi (1 -).,)]. (25.37)
Третий этап. Если концентрация ловушек мала по сравнению
с концентрацией избыточных носителей заряда, так что количеством
электронов, оседающих на ловушках, можно пренебречь и считать,
что Д/г = Др, то dnldt = dpldt.
Приравнивая правые части (25.32) и (25.37), имеем
yaN, [л (1 -fj-nJ,]-. y„N, [pf.,-pi (1 -)„)]. (25.38)
Отсюда найдем функцию распределения
Г =____УпП\+УРР1 ,пс од.
yn(n + nd+yL,(p+Piy V0'™)
Если подставить это выражение в (25.32) или (25.37), то получим
дп _ др _ — W/A (ЛД-П1Л) „ .
di dt y„(n+nd+yp(p+pd'
158
Учитывая, что пхрг — п] = поро, получим
__ Ля __ 1 _ Aft I * , /25 ।\
~ dn/dt e ypN„ ' Ло+Ро+Лп ‘ Тя^л по+Ро+&Р ‘ к
Если обозначить
Т”О=7Ж к т,0=-~' (25,42)
'ГО
Яп + гч + Лп , Pr,+Pi + bP mj 43)
т -т'” п„+р„+Лп +Т"» ъ+Рн+Ьр '
Формула (25.41) или (25.43) выражает время жизни пары элект-
рон-дырка при рекомбинации через ловушки.
При низком уровне инжекции можно записать
т = + (25.44)
Пу-гРо По~гРо
Графо-аналитичеокое исследование механизма рекомбинации
через ловушки
Время жизни пары электрон—дырка при рекомбинации через
ловушки, как видно из формулы (25.41), является функцией ряда
параметров
т=/(п0, Ро, «ъ Рь Ап, JV.„ уя, Ур). (25.45)
Очевидно, что время жизни зависит от температуры, так как
большинство этих параметров являются функциями температуры.
Проведем графо-аналитическое исследование механизма реком-
бинации через ловушкн, выбрав сначала в качестве независимой
переменной концентрацию равновесных носителей заряда, а затем
температуру.
Зависимость от равновесной концентрации
носителей заряда
На рис. 25.2 показаны три зависимости: Еф = f (nn)» 1п р =
— f (n0), In т = f (л.п). Здесь Еф — уровень Ферми; [3 может обозна-
чать равновесную концентрацию электронов п0, равновесную кон-
центрацию дырок ро, концентрацию ловушек пл, занятых электро-
нами, концентрацию ловушек р.,, не занятых электронами (пустых),
т. е. концентрацию дырок на ловушках.
Равновесная концентрация п0 для невырожденного полупровод-
ника связана с уровнем Ферми зависимостью
£с-£ф
n0 = Nce kT , (25.46)
откуда
lnn0=!n^-f'+^. (25.47)
159
При постоянной температуре согласно последнему соотношению
зависимость £ф = f (In п0) является линейной, что и показано
на рис. 25.2, а.
Наименьшее и наибольшее значения определяются из (25.47)
при подстановке Еф = Ev и Еф = Ес.
В правой области рис. 25.2, а, где полупроводник n-типа, при
условии, когда уровень Ферми Еф выше уровня ловушек Ел, все
Рис, 25.2. Зависимость от рав-
новесной концентрации свобод-
ных электронов п0:
д — уровни Ферми Еф в зонной схе-
ме; б — равновесной концентрации
электронов к дырок и концентрации
занятых и пустых ловушек; в — вре-
мени жизни пары электрон — дыр-
ка т (Масштаб по осям и начала от-
счетов нс фиксированы, так как
графики имеют качественный ха-
рактер)
ловушки должны быть заняты элек-
тронами; в полупроводнике р-типа
(левая часть рисунка) — наоборот —,
когда уровень Ферми значительно
ниже уровня ловушек, последние ока-
зываются пустыми. Таким образом,
условия рекомбинации неравновесных
неосновных носителей заряда в полу-
проводниках л-типа и p-типа в этом
смысле разные. В первом случае ре-
комбинация неравновесных дырок и
электронов идет через занятые ло-
вушки, во втором — рекомбинация
неравновесных электронов и дырок
идет через пустые ловушки.
На рис. 25.2, б концентрации элек-
тронов и дырок на ловушках изобра-
жены соответственно в виде кривых
In п„ и In рл в предположении, что по
всей длине х концентрация ловушек
#я постоянна, так что In пя и In ря
имеют одинаковые значения в элек-
тронной и дырочной областях. При
слабом легировании указанные кон-
центрации уменьшаются. Это учтено в
виде разной плотности электронов и
дырок на уровне £л, показанном на
рис. 25.2, а.
Зависимости In л0 = f (In л0) и
In ро = f (In n0) линейны и пересе-
каются в точке, соответствующей соб-
ственному полупроводнику.
На рис. 25.2, в изображена зависи-
мость времени жизни т пары электрон-дырка от п0 согласно (25.43).
Координаты, как и для рис. 25.2, б, двойные логарифмические.
Для полупроводника л-типа при низком уровне инжекции
П0 > Ро, По > лх, По '£> рг, По ^>&р и
Hq + Po + ^P
По + Ро + Ар
(25.48)
(25.49)
160
Следовательно, по (25.43) получим
т = тл0=1/у,Лл.
(25.50)
Таким образом, в невырожденном полупроводнике гг-типа время
жизни пары дырка — электрон зависит от времени жизни дырки
перед захватом ее ловушкой. Действительно, величина 'r'n.V, опре-
деляет вероятность захвата дырки ловушкой, а обратная ей вели-
чина представляет собой время жизни дырки при захвате ловуш-
ками. Формула (25.50) аналогична (25.13), причем коэффициент
захвата дырок ловушками ур можно выразить как произведение
эффективного сечения S., центров рекомбинации на скорость дырок
ирл по отношению к этим центрам, а концентрация центров Nt
аналогична концентрации носителей заряда противоположного
знака в формуле (25.13).
Итак, в полупроводнике л-типа время жизни пары дырка — элект-
рон определяется временем жизни дырки в валентной зоне перед
захватом ее ловушкой. Иначе говоря, здесь следует принимать во
внимание лишь первый этап рекомбинации — захват неосновного
носителя заряда ловушкой. Второй этап рекомбинации практически
очень краток и нет необходимости его учитывать. Это объясняется
тем, что электронов в зоне проводимости очень много, и как только
ловушка освобождается (захватывает дырку), она сразу же запол-
няется одним иэ многочисленных электронов зоны проводимости.
Для полупроводника p-типа при низком уровне инжекции
№тР1+Ап .
По+Ро + Др '
»о+П1 + Дл
Соответственно время жизни пары электрон — дырка
т = т„0= 1/у,Л/л.
(25.51)
(25.52)
(25.53)
Таким образом, в невырожденном полупроводнике p-типа время
жизни пары электрон — дырка определяется временем жизни элект-
рона в зоне проводимости перед захватом его ловушкой, что пред-
ставляет собой величина тл0. Как и в предыдущем случае, можно
проводить аналогии с формулами, определяющими время жизни
через число возможных столкновений. Время жизни пары здесь
определяется временем жизни неосновных носителей заряда —
электронов, т, е. зависит лишь от первого этапа рекомбинации через
пустые ловушки.
Обычно тл0 > Тр0, что связано с обратным соотношением коэф-
фициентов <Ур.
Для слабо легированного полупроводника л-типа при Ел > Еф
имеем л0 ;> р0, По plt ио Пп < н
т = триЬ. (25.54)
6 Орешкин П, T.
161
Поскольку
получим
£с-£ф
n0 = Nce hT ;
Ес~ЕЛ
m = Nc^ kT ,
£л-£ф
т = трОе hT .
(25.55)
(25.56)
(25.57)
С понижением уровня Ферми в полупроводнике n-типа умень-
шается степень заполнения ловушек электронами, что ведет к уве-
личению времени жизни неравновесных дырочно-электронных пар,
как это следует из (25.57).
Максимального значения т достигает у собственного полупро-
водника. В этом случае оба слагаемых формулы (25.44) оказывают
Рис, 25.3. Зависимость от об-
ратной абсолютной температуры:
а — уровня Ферми; б — концент-
рации равновесных электронов,
занятых и пустых ловушек; в —
времени жизни пары для электрон-
ного полупроводника. (Масштаб по
осям и начала отсчетов не фикси-
рованы, поскольку графики имеют
качественный характер)
имеем п0 ’ > р0; п0 рх\
истощения примесей т = тр0.
существенное влияние на т, что и от-
ражено на рис. 25.2, в.
Если Ел лежит ниже Е/, то все
выводы оказываются аналогичными.
Прн высоком уровне инжекции по
(25.41) получим
т = тр0 + т„» = ^±^, (25.58)
т. е. время жизни пары дырка—элек-
трон не зависит от п0 и р0 и опре-
деляется лишь концентрацией лову-
шек и коэффициентами захвата элек-
тронов и дырок ловушками.
Числовые значения т у различных
полупроводников изменяются в широ-
ких пределах. Например, в германии
и кремнии т может изменяться в за-
висимости от примесей от миллисе-
кунд до долей микросекунды.
Зависимость от
температуры
Рассмотрим однородный полупро-
водник п-типа. На рис. 25.3, а пока-
зана зависимость уровня Ферми от
(1/7), на рис. 25.3, б—1п п0 — f (1/7),
lnnfl=f(l/7) и In рп = f (1/7); на
рис. 25.3, в — 1п т f (1/7).
При низкой температуре, когда
уровень Ферми выше уровня Ед,
«j. Следовательно, в п-области до
При повышении температуры в области
162
...... примесей уровень Ферми понижается и изменяется
п приделах £д >» Еф > Е{.
1'.сли уровень ловушек Ел расположен, как показано на
pin. 25.3, а, между £д и Et, то в области истощения примесей будет
и Юлюдаться изменение хода зависимости т = f (1/Т). При Еф > Ел
и mi-см т = тр0. Но при Еф <.Еа оказывается пг > = Ns, по-
Iкольку
П1 = Д/се ;
м Е~Е*
т = т,„^ = тм^е " ' (25.59)
“О ‘ * д
Значит, в интервале Еа > £ф > £/ наблюдается рост величиныт
по экспоненте (25.59).
При переходе к собственной электропроводности наблюдается
максимальное значение т. Но с дальнейшим ростом температуры
в области собственной электропроводности величина т уменьшается
вследствие заполнения ловушек электронами из-за высокой концент-
рации свободных носителей заряда. В этом случае
т=^^+т»«!икг1- ™
Кроме того, принимая уровень Ферми для собственного полу-
проводника Еф = Е{, получаем
Ec-Ei
kT ; (25.61)
ЕЛ~ЕУ
Pi = Nve *т . (25.62)
Ei-Ev
ni<= pi=* NtP kT . (25.63)
Следовательно, имеем
f f En~El\
T = rf (i-H-H+tIi+s (25.64)
Если в области начала собственной электропроводности kT
Ел — Eit то в первой скобке (25.64) можно пренебречь единицей
по сравнению с экспонентой, тогда как во второй скобке, наоборот,
экспонента мала. При этом вторым слагаемым можно вообще пре-
небречь, тогда получим
Ел”Е1
т = ^?е~4т-, (25.65)
Таким образом, в начале области собственной электропровод-
ности наблюдается уменьшение т с ростом Т по экспоненте (25.65).
При дальнейшем повышении температуры будет наблюдаться об-
6*
163
ратное неравенство
kT^E.-E,.
(25.66)
При выполнении этого неравенства можно принять вторые сла-
гаемые скобок (25.64) за единицы, тогда
Следовательно, прн собственной электропроводности получаем т
как для высокого уровня инжекции в виде суммы (25.58).
В заключение отметим, что в случае Еп = Et экстремума при
собственной электропроводности не будет.
Заметим также, что при межзонной рекомбинации температур-
ная зависимость имеет иной характер, что уже отмечалось ранее.
Излучательный и безызлучательный характер рекомбинации
может наблюдаться, как при межзонной рекомбинации, так и при
рассмотренной здесь рекомбинации через ловушки.
Выводы к § 25
1. Коэффициент рекомбинации определяется как коэффициент пропор-
циональности в выражении (25.3), характеризующем число рекомбинирующих пар
(в единице объема за единицу времени) через произведение равновесных концент-
раций электронов и дырок (л0 и ро)- Поскольку ббльшую часть времени жизни
неравновесные носители заряда неотличимы от равновесных, коэффициент ре-
комбинации "fг можно определять из более общего соотношения (25.4). При низком
уровне инжекции время жизни выражается в виде соотношения (25-8), при высо-
ком уровне инжекции — в виде (25.12). Формулу (25.8) при пп < р0 можно пред-
ставить также в виде (25.13).
2. Межзонная рекомбинация при низком уровне инжекции наблюдается
практически лишь в полупроводниках с малой шириной запрещенной зоны (в уз-
козонных полупроводниках), например, типа антимонида индия. Как и в других
случаях, здесь выполняются законы сохранения энергии и импульса,
3. В большинстве случаев рекомбинация пары свободных носителей заряда
электрон — дырка осуществляется через рекомбинационные ловушки, располо-
женные в запрещенной зоне. В невырожденных полупроводниках /?-типа рекомби-
нация идет через занятые электронами ловушки, в полупроводниках р-типа —
через пустые ловушки. Время жизни пары при рекомбинации через ловушки вы-
ражается формулой Шокли — Рида (25.43).
4. В формулу (25.43)входят величины тй0 и тр0, которые можно рассматривать
как время жизни электронов или дырок при рекомбинации с ловушками. Равен-
ства (25.42) аналогичны (25.13), так что величины уп и ур можно рассматривать
как коэффициенты рекомбинации электронов и дырок на ловушках, концентрация
которых равна N„. Кроме того, тл0 и тр0 соответственно определяют время жизни
электронов в полупроводниках p-типа и дырок в полупроводниках /г-типа, посколь-
ку вторая часть процесса рекомбинации происходит очень быстро. При смешанной
электропроводности время жизни пары неравновесных носителей заряда больше,
чем в том же полупроводнике при ярко выраженной примесной электропроводности
одного типа. Максимальное значение времени жизни пары наблюдается для соб-
ственного полупроводника. При изменении температуры полупроводника изменя-
ется и время жизни пары. При низкой температуре в примесном полупроводнике
n-типа имеем т = Тр0; при подходе к области собственной электропроводности
наблюдается рост т по экспоненте (25.59); с достижением области собственной
электропроводности т имеет максимальное значение, которое далее уменьшается
по экспоненте (25.65), а затем достигает постоянного значения т = хр0 4- тл0.
164
§ 26. КВАЗИУРОВНИ ФЕРМИ И ДЕМАРКАЦИОННЫЕ УРОВНИ
Как уже можно было убедиться, большое число явлений опи-
j । шлется с привлечением уровня Ферми.
Следует обратить внимание на важнейшее свойство уровня
Ферми для любых контактирующих твердых тел: в условиях равно-
in спя в любой системе контактирующих тел или областей твердых
K-л уровень Ферми один и тот же (см. § 1). Это относится к кон-
такту металл — полупроводник (диэлектрик), к контакту полу-
проводник-полупроводник, к контакту отдельных зерен или
других областей, соприкасающихся с аналогичными или иными
областями.
Даже при наличии объемных зарядов на локальных неоднород-
ностях и границах раздела уровень Ферми в условиях термодина-
мического равновесия, установившегося в заданной системе, по-
(юянен всюду. Однако при этом наблюдается изгиб зон, соответ-
ствующий отклонению концентрации носителей заряда от равно-
весной концентрации, характерной для заданной температуры и
концентрации примесей.
При неравновесных условиях можно ввести величину, аналогич-
ную уровню Ферми, и оперировать ею как уровнем Ферми. По ана-
логии с последним, вводят квазиуровни Ферми.
Аналогично (11.12) и (11.30) записываем
п = Х^Ф1/2 (Г), у л (26.1)
где Г = (26.2)
р=Л=^Ф1/2 (т1*), у зт (26.3)
где = (26.4)
Здесь величины ЕфП и ЕфР называют квазиуровнями Ферми
для электронов и дырок.
В случае невырожденных полупроводников аналогично (11.16)
и (11.37) имеем
Ес—Ефп
n = Nce *’ (26.5)
ПФр~~Еу
p = Nve kT . (26.6)
Формулы для связи концентрации носителей заряда
с собственной концентрацией в невырожденных
полупроводниках
В ряде расчетов применяют формулы, связывающие концентра-
цию носителей заряда с собственной концентрацией.
165
Учитывая (11.16) и (25.61), получим
п0 = п;е . (26.7)
По (11.37) при условии Е® = Et
Pi = N,e " = иг. (26.8)
Следовательно, согласно (11.37) и (26.8) получим
Еф-Д(
P„ = nfi " . (26.9)
Формулы (26.7), (26.9) широко используют для разных расче-
тов. Правые части этих формул отличаются лишь знаком у пока-
зателя степени е. При этом выполняется закон действующих масс
поРо ~ л/.
Для неравновесных концентраций справедливы формулы (26.5),
(26.6), поэтому
Нфп —Д;
n = nfi ; (26.10)
Дфр—Л;
р = пр~ . (26.11)
Здесь произведение пр не равно щ, поскольку квазиуровень
Ферми для электронов Ефп не совпадает с квазиуровнем Ферми
ДЛЯ ДЫрОК Дфр.
Итак, различие в формулах для п„, р„ и га, р состоит в замене
уровня Ферми, общего для равновесных электронов и дырок, на
квазиуровни Ферми, разные для неравновесных электронов и дырок.
Связь между квазиуровнями Ферми при низком уровне
инжекции и зкотракции в невырожденном электронном
полупроводнике
Рассмотрим полупроводник n-типа (рис. 26.1). Уровень инжек-
ции низкий, если An п0, так что п ~ п„ и, следовательно, Еф„ =
= Еф. Таким образом, для электронов квазиуровень Ферми сов-
падает с уровнем Ферми. Иное дело для неосновных носителей
заряда, где нельзя пренебрегать избыточной концентрацией, так что
р = Ро+Др или p/p„=l+&plp„. (26.12)
Заменим р0 и р по формулам (26.9) и (26.11) и получим
Дф —Вфр
е = 1 + ^. (26.13)
Откуда
£ф - Е Фр = kT In [1 + . (26.14)
166
Формула (26.14) позволяет найти сдвиг ЕфР по сравнению с Еф.
К н< видно из формулы, прн инжекции Ефр сдвигается в сторону
ан ня неосновных носите-
лей заряда —дырок (рис.
26.1, а). Действительно,
чем больше концентрация
носителей заряда данного
шака, тем ближе к соот-
ветствующей зоне находит-
ся квазиуровень Ферми.
Если предположить, что
вместо инжекции осущест-
вляется экстракция в полу-
проводнике я-типа, то сле-
дует лишь считать Др < 0.
Формула (26.14) при этом сохраняется. Но поскольку под знаком
логарифма имеется скобка, меньшая единицы, то логарифм будет
величиной отрицательной, так что Ефр>Еф (рис. 26.1, о).
п-тип
a)
п-тип
- --%
S)
квазиуровией Ферми
Рис. 26.1. Положение ___________ ........
для электронов ЕфЛ и дырок ЕфР при ин-
жекции дырок (а) и при экстракции дырок
(б) в полупроводнике п-типа

Связь между квазиуровнями Ферми при низком уровне
инжекции и экстракции в невырожденном дырочком
полупроводнике
Рассмотрим полупроводник p-типа (рис. 26.2). Уровень инжек-
ции низкий и, следовательно, р ~р0, так что Ефр = Еф. Значит,
p-тип г р-тип
~~Ev Ev~
a) S)
Рис, 26.2. Положение квазиуровней Фер-
ми для электронов Ефд и дырок Ефр при
инжекции электронов (а) и при экстрак-
ции электронов (б) в полупроводнике
р-типа
для дырок квазиуровень Ферми совпадает с уровнем Ферми. Для
неосновных носителей заряда — электронов имеем
« = п0 + Д/1 или п/по = 1 + кп1пц. (26.15)
Заменим п0 и п по формулам (26.7) и (26.10):
£гф«—£ф .
е ьт =1+^ (26.16)
"о
и получим
Ефп - Еф = ЛТ In (1 + Дп/По). (26.17)
167
Отсюда можно найти ЕФ„ и его сдвиг по отношению к Еф. Оче-
видно, при инжекции ЕФ„ сдвигается в сторону зоны неосновных
носителей заряда — электронов (рис. 26.2, а). Наоборот, при экс-
тракции, когда Аи < 0, правая часть равенства (26.17) оказывается
отрицательной, так что ЕФп < ЕФ, т. е. наблюдается сдвиг квази-
уровня вниз (рис. 26.2, б) — в сторону от зоны неосновных носи-
телей заряда.
Демаркационные уровни
Демаркационные уровни разделяют ловушки захвата и реком-
бинационные ловушки.
Введем коэффициент k„, равный отношению вероятности захвата
дырки отрицательно заряженной ловушкой к вероятности теплового
заброса электрона в зону проводимости. Скорость захвата ловушкой
дырок определяется соотношением (25.33), а скорость тепловой гене-
рации электронов в зону проводимости можно определить из (25.25)
и (25.31) через произведение уЛДл- Следовательно,
. УрР
'“тЛ/л’уЛ'
(26.18)
Ловушки, для которых kn > 1, называют рекомбинационными,
поскольку в этом случае вероятность рекомбинации больше веро-
ятности теплового возбуждения, а ловушки, для которых kn < 1, —
ловушками захвата. Энергетический уровень, для которого k„ = 1,
когда вероятность рекомбинации и тепловой генерации одинаковы,
называют электронным демаркационным уровнем Ей„. Положение
этого уровня находим из условия
VpP = V»«i- (26.19)
Концентрацию дырок р заменяем по формуле (26.6), а равно-
весную концентрацию электронов nt записываем в виде
ве—
П1 = Nce 57 , (26.20)
поскольку она определяется при условии ЕФ = Ein, Следовательно,
Ес~Еап
=уЛ£е " . (26.21)
Отсюда получаем
Ее+Win**. (26.22)
Как видно из формулы (26.22), положение электронного демар-
кационного уровня зависит от ряда параметров, При вличении
уровня инжекции квазиуровень Ферми Е&р приближается к Ev,
что приводит к уменьшению Ес — Edn, т. е. к подъему демарка-
ционного уровня (приближению ко дну зоны проводимости). Соот-
168
iu ктвенно наблюдается переход части ловушек захвата в ловушки
|н комбинации,
Знак In^rr .очевидно, зависит от величины отношения упЛ^с/урЛ^„.
' чсдует иметь в виду, что коэффициенты захвата ловушками элект-
ронов уп и дырок ур зависят от положения уровня ловушек. Темпе-
рлтурная зависимость величины (Ес— Еап) определяется тем-
in ратурной зависимостью Е®р и линейной зависимостью послед-
нею слагаемого правой части (26.22). Уровни, расположенные
выше Edn, соответствуют ловушкам захвата для электронов, а уровни,
расположенные ниже Е^п> — рекомбинационным ловушкам.
Введем коэффициент kp, который определяет дырочный демар-
кационный уровень Еар. По аналогии с kn
^Р = УпП/Уррь (26.23)
Для дырочного демаркационного уровня
(26.24)
Кроме того, учитываем соотношения
Ес—ЕФп Edp~Ey
n = Nce kT ; pi = Nve hT .
Следовательно, по (26.24) получим
Ell,-E, = Ec-E9„ + kT\n'^. (26.25)
Уровни, расположенные ниже Еар, соответствуют ловушкам
захвата для дырок, а уровни, расположенные выше Е^р, — реком-
бинационным ловушкам. Из соотношений (26.22) и (26.25) находим:
£„=£е-(£ф,-£.)-ЛТ1п^; (26.26)
£й„ = £с-(£ф„-£,)-*Т1п^. (26.27)
Если считать, что величины уп и ур не зависят от положения
уровней в запрещенной зоне, то Edn — Edp можно выразить в виде
Енп-Еар = ЕфП -Ефр. (26.28)
Следует, однако, отметить, что некоторые ловушки захвата
иногда выполняют роль рекомбинационных ловушек (ибо опреде-
ляется лишь вероятность процессов), и вообще демаркационные
уровни имеют в какой-то мере условный характер.
Выводы к § 26
1. Важнейшим свойством уровня Ферми является его постоянство в любой
системе контактирующих тел, находящихся в условиях термодинамического рав-
новесия. Уровень Ферми однозначно связан с концентрацией свободных носителей
заряда. В неравновесных условиях аналогом уровня Ферми являются два квази-
169
уровня Ферми — разные для электронов и дырок. Связь концентрации носителей
заряда с собственной концентрацией в равновесных условиях представляется
формулами (26.7), (26.9), в неравновесных условиях — формулами (26.10), (26.11).
2. При низком уровне инжекции в полупроводнике л-типа квазиуровень Ферми
для электронов практически совпадает с уровнем Ферми, а квазиуровень Ферми
для дырок сдвинут вниз — ближе к зоне неосновных носителей заряда (дырок).
При экстракции смещение квазиуровня Ферми для дырок происходит в обратную
сторону, т. е. в сторону зоны основных носителей заряда (электронов).
3. При низком уровне инжекции в полупроводнике p-типа квазиуровень Ферми
для дырок практически совпадает с уровнем Ферми, а квазиуровень Ферми для
электронов сдвинут вверх — ближе к зоне неосновных носителей заряда (электро-
нов). При экстракции смещение квазиуровня Ферми для электронов происходит
в обратную сторону, т. е. в сторону зоны основных носителей зарида (дырок).
4. Ловушки захвата и рекомбинационные ловушки разделяются демарка-
ционными уровнями, для которых вероятности рекомбинации и тепловой генера-
ции носителей заряда равны. Положение электронного демаркационного уровня
определяется формулой (26.26), дырочного — (26.27).
ГЛАВА VI
КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ДИЭЛЕКТРИКАХ
§ 27. КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ И В.А.Х.
ДЛЯ СИСТЕМЫ «МЕТАЛЛ - ВАКУУМНЫЙ ЗАЗОР - МЕТАЛЛ»
Рассмотрим контактные явления для двух металлов, разде-
ленных тонким вакуумным зазором. На рис. 27.1 схематически
показано изменение состояния электронов и возникновение кон-
тактной разности потенциалов; справа расположен металл, работа
выхода электронов которого слева — металл, работа выхода
электронов которого Й73.
Напомним, что термодинамическая работа выхода электронов
из твердого тела определяется как работа, которую нужно затра-
тить, чтобы перевести электрон с уров-
ня Ферми тела в вакуум. •>
На рис. 27.1, а уровень энергии в
вакууме изображен пунктирной линией,
а уровни Ферми металлов Еф —сплош-
ными горизонтальными линиями. Рис.
27.1, а соответствует'начальному момен-
ту, когда металлы сближены до расстоя-
ния d, при котором возможен эффектив-
ный обмен электронами. Последний обу-
Рис 27,1, Положение уровней Ферми в двух ме-
таллах (о разной работой выхода электронов),
разделенных тонким вакуумным зазором:
а — в первый момент после сближения металлов; б —
после установления динамического равновесия (стрел*
ками показаны физические направления токов)
словлен термоэлектронной эмиссией. Потоки электронов возникают
слева направо и наоборот, и создается контактная разность по-
тенциалов (рис. 27.1, б).
Контактная разность потенциалов
Величину контактной разности потенциалов можно определить,
используя выражения для плотности тока термоэлектронной эмис-
171
сии из металла
/ = ЛГе kT, (27.1)
где А = 4™'~- — постоянная Ричардсона; А = 12- №Дад8-
Если рассматривать «физическое» направление токов, то векторы
плотностей токов J, и j2 термоэлектронной эмиссии в первый мо-
мент можно изобразить, как на рис. 27.1, а, при этом величины
плотностей токов будут:
_Z*
Н = АТ% *т; (27.2)
i,_ = AT4 kT. (27.3)
Если К', > Wl: то /, > /. и будет осуществляться перенос элект-
ронов справа налево. Соответственно поверхность первого металла
заряжается положительно, второго — отрицательно. В зазоре воз-
никает электрическое поле и соответствующая разность потенциа-
лов VK. Условием равновесия является равенство химических по-
тенциалов (уровней Ферми). При этом токи выравниваются, т. е.
д = /8. Данное равенство означает, что потенциальный барьер для
электронов, движущихся справа налево, т. е. + eVK, должен
быть равен потенциальному барьеру для электронов, движущихся
слева направо, т. е. И?1./.
W,i4-eVK = И72. (27.4)
Таким образом, после установления равновесия создается кон-
тактная разность потенциалов (рис. 27 1, б)
(27.5)
Оценим число электронов, которые должны перейти из одного
металла в другой, чтобы создать определенное значение У... Зада-
дим Ws — = 1 эВ (т. е. = 1 В) и пусть зазор d = 10"7 см.
Тогда напряженность поля в зазоре <?к = VK/d = 10’ В/см. По-
верхностная плотность заряда Qs = и число электронов,
необходимое для создания Qs, будет п — Qs/e — е„/е- = 5- 1012см'2,
е0 8,85 10“14 Ф/см е «n- 1 ,, -
поскольку f = 1>6.|0--19 Кл—=5-10° кроме того, общее
число свободных электронов на 1 см2 поверхности металла ns =
== (3-1022)2/3 » Ю15 см"2. Следовательно,
п^5_№=5-10-з,
tls 10!5 ’
(27.6)
т. е. величина п составляет лишь малую часть свободных электро-
нов, приходящихся иа единицу поверхности.
Таким образом, за счет совершенно незаметного обеднения элект-
ронами поверхности первого металла и соответствующего обогаще-
ния электронами поверхности второго металла можно создать до-
статочно большую контактную разность потенциалов.
172
Вольт-амперная характеристика
Если на систему «металл—вакуумный зазор—металл» наложить
внешнее электрическое поле, то равновесие нарушится. Отрица-
к явный потенциал от внешнего источника всегда поднимает уро-
вень Ферми, положительный — его опускает. Это понятно, если
учесть, что в зонной схеме уровни энергии (включая уровень Ферми)
кть уровни энергии для электронов.
Следовательно, если на первый металл подан минус, а на вто-
рой — плюс (рис. 27.2, а), то потенциальный барьер для электро-
нов, движущихся справа налево,
уменьшается и будет равен
eVK-eV + №1 = W2 - eV, (27.7)
где V — внешнее напряжение. Уров-
ни Ферми сдвигаются относительно
друг друга на величину eV’. Больший
потенциальный барьер IV2 остается
всегда неизменным.
Плотности токов можно рассчи-
тать так:
Wi—e V
i^AT2^ kT ; (27.8)
/3 = ЛГе (27.9)
Тогда общая плотность тока
Рис. 27.2, Потенциальный ба-
рьер в системе «металл — ва-
куумный зазор — металл» при
прямом (а) и обратном (б) вклю-
чения внешнего напряжения
(стрелками показано физическое
направление токов с плотностью
inp и 1обр)
(27.10) представляет собой
/ У \ / еУ \
j = AT2z *Це*г-1,) = /Де*г-1Г
(27.10)
Рассмотренная полярность внеш-
него напряжения соответствует пря-
мому (пропускному) направлению
включения. При этом возникает от-
носительно большой ток. Зависимость
в. а. х. при прямом включении внешнего напряжения. Если на пер-
вый металл подан плюс, а на второй — минус (рис. 27.2, б), то по-
тенциальный барьер для электронов, движущихся справа налево,
увеличится и будет равен (здесь пока V>0)
IVi + е VK + е V = JV2 + е V. (27.11)
Плотности токов при этом
Н=АП kT ; (27.12)
/а=ЛГе kT.
173
Теперь /2> h и суммарный ток будет направлен в противопо-
ложную сторону по сравнению с предыдущим случаем. Величина
этого тока относительно мала, что и соответствует обратному вклю-
чению внешнего напряжения:
1-АТЧ " U -
eV X
Плотность этого тока / можно записать и так:
(27.13)
/ = /Де ^-1J- (27.14)
Если в дальнейшем считать V > 0 для прямого включения и
V < 0 для обратного включения, то форму-
лы (27.10) и (27.14) можно объединить в одну:
Рис. 27.3. Вольт-ам-
перная характеристи-
ка системы «металл —
вакуумный зазор-—ме-
талл» с разной рабо-
той выхода электронов
(за положительное на-
правление тока при-
нято техническое на-
правление)
/-Ые«,-1’’ (27.15)
'Равенство (27.15) можно рассматривать
как аналитическую запись в. а. х. двух ме-
таллов с разной работой выхода электронов
при наличии вакуумного зазора между ними.
Графически изображена эта зависимость на
рис. 27.3. Как увидим далее, такая же по
форме в. а. х. наблюдается для тонкого обед-
ненного слоя при контакте полупроводника с
металлом, а так же для тонкого р-м-перехода.
Вольт-амперная характеристика (27.15)
такова, что должно наблюдаться выпрям-
ление на двух металлах, контактирующих
через вакуумный зазор (масштаб для поло-
жительного и отрицательного направлений тока разный). Но здесь
ие учтено туннелирование электронов через барьер, которое уже
имеет место, например, при зазоре JО"7 см. При значительном уве-
личении зазора все изложенное не правомочно.
Выводы к § 27
1. Контактная разность потенциалов в системе «металл — вакуумный
зазор — металл» при малой толщине зазора возникает за счет термоэлектронной
эмиссии и обмена электронами. Контактная разность потенциалов численно равна
разности работ выхода электронов из металлов, деленной на заряд электрона.
Вследствие относительно небольшого обеднения электронами поверхности одного
из металлов и соответствующего обогащения поверхности другого металла соз-
дается достаточно большая контактная разность потенциалов между металлами.
Возникающее поле противодействует переносу электронов токами термоэлектрон-
ной эмиссии, и контактной разности потенциалов соответствует термодинамичес-
кое равновесие системы.
2. Вольт-амперная характеристика системы «металл — вакуумный зазор —
металл» имеет вид, показанный на рис. 27.3. При наложении внешнего поля
уровни Ферми контактирующих металлов смещаются относительно друг друга на
величину eV. Отрицательный потенциал от внешнего источника поднимает уро-
вень Ферми, положительный опускает. Однако практически такую выпрямляю-
щую систему не используют.
174
5 28. ЯВЛЕНИЯ НА КОНТАКТЕ ПОЛУПРОВОДНИК - МЕТАЛЛ
Рассмотрим контакт электронного полупроводника с металлом;
причем вначале предположим, что их разделяет тонкий вакуумный
i.’isop.
Пусть работа выхода электронов из полупроводника №п меньше,
чем работа выхода электронов из металла П7М (рис. 28.1).
Применяя к системе «полупроводник—вакуумный зазор—металл»
1пкой же метод, как и в § 27, можно прийти к аналогичным выво-
uim. В частности, контактная разность
потенциалов определяется через раз-
ность работ выхода:
^K=U7M-U7n. (28.1)
Если задать VK = 1 В, а величина
d — 10-7 см, то получим, как и в § 27,
п = 5-1012 см"3 Но общее число «сво-
бодных» электронов на 1 сма поверхно-
сти полупроводника может оказаться
много меньше, чем 5-Ю12 см"3. Дейст-
вительно, в невырожденных полупровод-
никах пп 1019 см"3 и ns может ока-
заться меньше п = 5*1012 см"2. Если,
например, п0= 1015 см"3,топ5= (101б)2/3=
= 1010 см"2. Тогда для получения необ-
ходимого количества электронов (5-1012
с каждого см2 площади) придется пол-
ность.ю вывести все «свободные» электро-
Рис. 28.1. Положение уров-
ней Ферми в системе «ме-
талл — вакуумный зазор —
полупроводник»:
а—в первый момент после сбли-
жения металла и полупровод-
ника; б — после установления
равновесия (стрелками показа-
ны физические направления то-
•ков электронов. Не учтено про-
никновение поля в полупровод-
ник, что соответствует относи-
тельно большому зазору d)
ны полупроводника из поверхностного
слоя толщиной dfl«5-10-3 см.
Указанную толщину dn можно по-
лучить, если необходимую эффективную
поверхностную концентрацию п разде-
лить на объемную концентрацию пп, т. е.
4 = ^ = п$Г_5'10 3 см. Таким об-
разом, полностью ионизируя примеси при N я = 101В см-3, можно
получить избыточный отрицательный заряд на поверхности ме-
талла с п = 5-1012 см"2, при условии полного вывода свободных
электроног ч? слоя полупроводника толщиной drt = 5*10“3 см.
Но тогда в указанном слое dn остается неподвижный объемный
заряд положительно ионизивовэнных доноров, и этот слой не со-
держит свободных носителей заряда, т. е. является диэлектриком.
Следовательно, к вакуумному зазору (толщиной, например, 10-7 см)
добавляется слой другого диэлектрика (хот я и с неподвижным
объемным зарядом), толщина которого dn на несколько порядков
превышает толщину вакуумного зазора.
Очевидно, контактная разность потенциалов распределится не
столько в вакуумный зазор, сколько в указанный поверхностный
175
слой dz,. Поэтому не имеет смысла учитывать тонкий вакуумный
зазор. В дальнейшем будем считать, что между полупроводником
и металлом зазор вообще отсутствует. Однако для полупроводника
л-типа при U7n < по-прежнему получим контактную разность
Рис, 28.2. Запирающий (а) и ан-
тизапирающий (б) слои в полу-
проводнике я-типа у контакта с
потенциалов, приходящуюся на обед-
ненный приповерхностный слой. Обед-
нение не бывает полным настолько,
как это принято ранее, когда все
свободные (основные) носители заря-
да выведены из слоя. Но тем не менее
для простоты расчетов такая идеали-
зация используется.
Изгиб ЗОИ
Возникновение слоя dn> где соз-
дается положительный неподвижный
объемный заряд, приводит к изгибу
зон в этом слое, эквивалентному воз-
металлом никновению контактной разности по-
тенциалов. Общий изгиб зон равен
eVKt а ход зон в слое d„ представляет собой ход потенциальной
энергии электрона (дно зоны проводимости можно принять за по-
тенциальную энергию электронов проводимости, а потолок валент-
ной зоны смещается вслед за дном зоны проводимости).
На рис. 28.2, а показан изгиб зон в условиях равновесия. В полу-
проводнике л-типа при W'h < как уже отмечалось, возникает
обедненный слой da, который дает эффект
выпрямления. Зоны изгибаются вверх, и
электроны «скатываются» по дну зоны про-
водимости в глубь полупроводника.
Неосновные носители заряда (дырки) из
толщи полупроводника подходят к поверх-
ностному слою и обогащают его, Однако
здесь неосновные носители заряда обычно
не учитываются, и в теории выпрямления
контакта полупроводник—металл в боль-
шинстве случаев рассматривают лишь ос-
новные носители заряда.
При противоположном соотношении ра-
бот выхода, когда > №м, в полупро-
воднике n-типа возникает обогащенный слой,
и такая система не является выпрямляющей
(рнс. 28.2, б). Зоны в полупроводнике в
р- тип
S)
м
Рис. 28.3. Запирающий
(о) и антизапирающий (б)
слои в полупроводник©
p-типа у контакта с ме-
. таллом
равновесном случае теперь изгибаются вниз, так что из глубины
полупроводника сюда могут поступать («скатываться») электроны.
Поскольку в обоих случаях рассматривается состояние равно-
весия, уровень Ферми одинаков как в металле, так и в полупро-
176
воднике. Кроме того, концентрация электронов в обедненном слое
меньше, чем в толще, ибо уровень Ферми в слое лежит дальше
or дна зоны, чем в толще. Для обогащенного слоя картина обратная.
В полупроводнике p-типа обедненный слой получается при из-
гибе зон вниз, т. е. при 1ГП > (рис. 28.3, а), а обогащенный —
при изгибе зон вверх, т. е. при №п < №м (рис. 28.3, б). В первом
случае контакт с металлом является выпрямляющим, во втором —
ист.
Изменение зонной схемы контакта полупроводник — металл
при наложении поотояииого внешнего злектричеокого поля
в виде (27.15). При этом
Et'O
Вольт-амперную характеристику выпрямляющего контакта по-
лупроводник—металл можно получить
следует лишь вместо и W2 ис-
пользовать 1ГП и №м.
Однако здесь отпадает необходи-
мость изображать величины и №м.
Достаточно рассматривать лишь из-
гиб зон, так как в отсутствие внеш-
него поля (в равновесных условиях)
изгиб зон равен eVK = №м — U?n, а
при наложении поля изгиб зон из-
меняется (рис. 28.4) на величину eV,
па которую смещаются и уровни Фер-
ми. При V > 0 изгиб уменьшается,
при V < 0 — увеличивается, а в це-
лом изгиб зон равен е (VK — V).
На рис. 28.4, а приведена зонная
схема контакта в равновесных усло-
виях, когда №м > Ц7П и полупровод-
ник n-типа. Уровни в глубине полу-
проводника обозначены нулями (Ес0,
Ei0, Evo).
При подключении внешнего источ-
ника плюсом к металлу и минусом к
полупроводнику (рис. 28.4, б) наблю-
дается сдвиг уровня Ферми ЕфП и
уровней Есо, El0, Ev0 вверх, а уровня
Ефм — вниз, так что Ефп—Ефм = еУ.
Это приводит к вычитанию внешнего
поля из контактного и к уменьше-
'ФМ
Рис. 28.4. Зонная схема для за-
пирающего слоя в равновесии
(а), при прямом (б) и обратном
(е) включении внешнего напря-
жения в системе ^электронный
полупроводник — металл»
нию искривления зон в обедненном
слое, что соответствует прямому включению. В области этого слоя
уровень Ферми показан пунктиром, поскольку здесь следовало бы
использовать квази уровень Ферми, ход которого нам неизвестен.
Однако в теории выпрямления контакта полупроводник—металл
такая тонкость обычно не учитывается ввиду малого смешения
177
квази уровня Ферми по сравнению с горизонтальным ходом уровня
Ферми. Очевидно, при этом полем в толще полупроводника прене-
брегают, считая, что уровни идут горизонтально.
Напряженность поля в каком-либо сечении обедненного слоя
при прямом включении меньше, чем в равновесных условиях для
того же сечения. Направление напряженности поля определяется
по наклону зон. Последние наклоняются в сторону, противополож-
ную изменению потенциала, ибо уровни определяют энергию от-
рицательных зарядов. В частности, ход дна зоны проводимости
принимают за ход потенциальной энергии электронов проводимости.
Следовательно, при искривлении зон вверх потенциал <р «искрив-
ляется» вниз, поскольку поле £ направлено в сторону уменьше-
ния потенциала.
При подключении внешнего источника минусом к металлу н
плюсом к полупроводнику наблюдается сдвиг уровней £®n, Ec(t,
Eio, Evt) вниз, а £фм — вверх, так что £фм — £фп = eV. Это приво-
дит к сложению контактного и внешнего полей и к увеличению ис-
кривления зон в обедненном (запирающем) слое, что соответствует
обратному включению. Как и в случае 28.4, б, ход уровня Ферми
в области запирающего слоя показан пунктиром, а в толще полу-
проводника все уровни горизонтальны, т. е. поле практически
равно нулю (точнее, поле мало по сравнению со значениями в обед-
ненном слое), так что объем полупроводника рассматривается здесь
как хороший проводник. Полагая V < 0, можно по-прежнему за-
писывать общий изгиб зон в виде е (Ук — У).
Выражение в. а. х. в виде (27.15) является, однако, недоста-
точно точным, поскольку вывод этого соотношения производится
на основе представлений о токах эмиссии в вакуумный зазор, тогда
как такового здесь нет. Поэтому соотношение (27.15) с постоянной
величиной js удается получить лишь для тонкого слоя объемного
заряда в полупроводнике, который можно уподобить вакуумному
зазору. В случае же толстых обедненных слоев выражение (27.15)
уже неточно.
Далее получим в. а. х. для тонких и толстых запирающих слоев,
новначалеопределимзависимостьнапряженности поля и потенциала
от расстояния, а также найдем, чем определяется толщина запира-
ющего слоя.
Зависимость напряженности поля и элеитростатического
потенциала от расстояния в запирающем слое и от
концентрации злектроиов в объеме полупроводника
Вследствие обеднения запирающего слоя основными носителями
заряда возрастает его сопротивление, так что вся контактная раз-
ность потенциалов падает на этот слой. Кроме того, обычно считают,
что вся внешняя разность потенциалов также падает па том же слое
и суммарное изменение потенциала (изгиб зон) наблюдается лишь
в области запирающего слоя. В действительности же зоны в объеме
178
полупроводника при изложении внешнего поля немного наклоня-
ются, но этим наклоном при качественном изображении зонной
i хсмы обычно пренебрегают.
Рассмотрим снова контакт полупроводника «-типа с металлом
при условии IV п < IVM. В этом случае в полупроводнике возникает
опирающий слой. Концентрация свободных электронов в слое
определяется в виде
£с0-Нф—£ф
n = 2Vce" kT , (28.2)
где е<р — потенциальная энергия электрона, соответствующая. из-
гнбу дна зоны проводимости (рис. 28.5). Здесь имеются в виду
абсолютные значения е и ф, т. е. полагаем еф > 0.
Рис. 28.5 Зависимость электростатического потенциала ф (или еср
при изменении масштаба в е раз), плотности объемного заряда р
и напряженности поля от расстояния х в запирающем слое,
отсчитываемого от его внутренней границы, для равновесного со-
стояния (а), при прямом (б) и обратном (в) включении
Концентрация электронов в толще полупроводника
4о~£Ф
п0 = ^е“ . (28.3)
На внутренней границе запирающего слоя п — п0 и ф = 0,
так что отсчет ф в данном случае ведем от Ес0.
Следовательно, имеем
Положим, что По = Nл = Л^д, т. е. все доноры ионизированы.
Тогда плотность объемного заряда
р = еМд — еп — епо (1 — е kT). (28.5)
179
Если зоны 'искривлены заметным образом, так что е(р kT,
то вторым слагаемым в (28.5) можно пренебречь и считать, что
р|=аеп0 = еУд, (28.6)
т. е. полагать р постоянным во всем слое (рис. 28.5). Плотность
объемного заряда р и потенциал ср связаны уравнением Пуассона
_ _Р____еп0 /по 7х
дх* ве0” ее0’
Интегрируя это уравнение, имеем
(28.8)
Поскольку при х = 0, т. е. на внутренней границе слоя, 3ф/3х= О,
имеем Ci = 0. Следовательно,
# — £ = <28.9)
т. е, напряженность поля является линейной функцией х, как это
показано на рис. 28.5. Поле направлено в каждой точке х вдоль
направления х, т. е. к металлу. Максимальное значение поля наблю-
дается на границе раздела с металлом:
4m,-#,(28.9')
Интегрируя уравнение (28.9), получаем электростатический по-
тенциал
ч>=-ё^+с»- <28Л0>
Поскольку при х = 0 положили Ф = 0, т. е. выбрали начало
отсчета потенциала от уровня Ес0, получим С2 = 0.
Абсолютное значение
(28.11)
Величина ф5 имеет максимальное абсолютное значение
фт.х = фх = ^«. (28.11')
Как поле, так и потенциал пропорциональны л0, т. е. возрастают
по абсолютному значению с увеличением концентрации доноров Nа.
На рис. 28.5 качественно показан ход ср с учетом знака в области
обедненного слоя и ход еср без учета знака (т. е. по абсолютному
значению), которые соответствуют уравнению (28.10). Квадратич-
ная зависимость ф (или еср) имеет смысл только для запирающего
слоя, поэтому вторую полу ветвь параболы (пунктир на рис. 28.5, а)
можно не учитывать. За указанным слоем объемный заряд равен
нулю и .поле g =0, т. е. потенциал постоянен.
180
Если отсчет х вести от поверхности в глубь полупроводника,
го при интегрировании (28.7) получим С\ = dn и
<28-12)
Далее получим
ч’=гг’((г»-т)х+^ (28.1.3)
Поскольку <р = 0 при х = d„, имеем С2 = — d’n, так что
Ф----^(4-х)2. (28.14)
Значит, характер кривых § = S (х) и ф = <р (х) не изменился,
а изменилось лишь начало отсчета для х, в связи с чем несколько
видоизменились формулы.
Все изложенное можно применить к запирающему слою, как
находящемуся в равновесии, так и при наложении внешнего по-
стоянного поля. В последнем случае
У«-У = Ч’» = ^«- (28Л5>
а при V = 0, как в частном случае, имеем
^ = Ф» = ^* (28.16)
Формулы приведенного типа можно записать также в приме-
нении к дырочному полупроводнику, контактирующему с металлом,
если Wn> №м. Только вместо п0 будет фигурировать р0, a dn сме-
нится на dp.
Заметим, что условие постоянства объемного заряда (28.6)
является приближенным, особенно для внутренней области обед-
ненного слоя, поскольку там сер — Ес0 мало, так что экспоненту
в (28.5), строго говоря, нельзя не учитывать. Если положить
еср «о kT, то экспоненту можно разложить в ряд
е~»г = 1_!Ф > ±(ег 24.
kT i \kTj '
(28.17)
Ограничиваясь двумя
Здесь имеется в виду
в данном случае <р <0,
первыми членами ряда, получим
₽=#'₽•
(28.18)
абсолютное значение ср. Если учесть, что
то
е3л0
Р------
181
Следовательно, уравнение Пуассона будет иметь вид
Й = (28.19)
Если обозначить
= (2S.20)
т. е. ввести дебаевскую длину экранирования (23.21), то получим
О-| = °- (28.21)
Общее решение этого уравнения таково:
X X
Ф = С1е'» + С2е (28.22)
Выбираем направление отсчета х от металла в глубину полу-
проводника. Полагая в толще <р = О, получаем Су = 0. Вторая
постоянная С2 = ф0. Здесь <р0 есть абсолютная величина потен-
циала при х — 0, который выбираем исходя из условия, когда
становится справедливым неравенство сер kT, т. е. в так называ-
емой квазинейтральной области. Если эта область простирается
вплоть до поверхности, то гр0 = (р5.
Для квази нейтрального слоя получаем
<р = <рое 1*. (28.23)
Таким образом, дебаевская длина экранирования 1Э представляет
собой глубину проникновения поля в квазииейтральной области,
на которой потенциал по абсолютному значению уменьшается
в е раз. Для германия (е = 16) при 300 К и п0 = Ю14 см-3 имеем
/э = 4 • 10“6 см.
Толщина запирающего олоя
Полагаем вновь, что на всей толщине запирающего слоя объем-
ный заряд выражается в виде (28.6), т. е. постоянен во всем слое.
В этом случае справедливо соотношение (28.15), из которого
</. = ]/' ?8Е^^~К>. (28.24)
При V "> 0, т. е. для прямого включения, толщина слоя умень-
шается с ростом V. Наоборот, при V <0, т. е. для обратного
включения, толщина слоя увеличивается, с ростом абсолютного
значения V. Если последнее обозначить через 7оСр, то формулу
(28.24) можно переписать так:
(28.25)
Из (28.24) видно, что при прямом включении запирающий слой
существует лишь пока V <.V&, а при обратном включении, когда
182
^nfip -7 К»
d»=l'
/'2fb}V06p
еп^
(28.26)
Таким образом, при наложении прямого поля толщина запира-
ющего слоя уменьшается, при наложении обратного поля — уве-
личивается.
Обедненный слой с постоянным объемным зарядом вида (28.6),
способный изменять свою толщину по формуле типа (28.24), назы-
вают физическим запирающим слоем или слоем (барьером) Шоттки.
С увеличением п0 толщина слоя уменьшается, и наоборот. Сле-
довательно, чем слабее легирован полупроводник, тем больше dn
при заданном значении V. Например, для германия n-типа, име-
ющего е=16, = 0,3 эВ при п0 = 1014 см"3 в равновесном со-
стоянии, т. е. при V — 0 имеем dn = 2,3 • 10"4 см, а при nQ — 1016 см"3
соответственно dn = 2,3-10"5 см.
Обычно порядок толщин слоя Шоттки при V — 0 оказывается
в пределах 10"5—10"3 см.
В заключение отметим, что в последнее время интерес к барьерам
типа Шоттки значительно увеличился. Дело в том, что диоды с барье-
ром Шоттки (т. е. запирающий контакт полупроводник—металл)
работают на основных носителях заряда, что обуславливает малое
время релаксации зарядов. Если не считать детекторов в радио-
приемниках, то первое серьезное применение такие диоды нашли
в качестве сверхбыстродействующих импульсных. Причем это были
плоские, а не точечные диоды. Далее начали широко использовать
плоские диоды Шоттки в качестве детекторных и смесительных СВЧ
диодов и других приборов. Наибольший интерес к барьерам Шоттки
связан с реализацией на их основе элементов интегральных схем,
выполняющих функции диодов, транзисторов, фотоприемников,
ограничителей тока, высокоомных резисторов и т. д., что будет
способствовать повышению быстродействия и степени интеграции,
снижению потребляемой мощности и себестоимости микроэлектрон-
ных устройств.
Выводы к § 28
1. Контактная разность потенциалов в системе «полупроводник «-типа —
металл л при условии IV п < IV м распределена преимущественно в приповерхност-
ном (приконтактном) слое полупроводника, так что не имеет смысла учитывать
тонкий вакуумный зазор. Возникновение обедненного электронами слоя в полу-
проводнике приводит к изгибу зон, равному е /к. В этом случае данный слой ока-
зывается выпрямляющим. При противоположном соотношении работ выхода,
когда Wn > 1¥м, в полупроводнике «-типа, наоборот, возникает обогащенный
слой. Ход уровня Ферми везде горизонтален, так как рассматривается термодина-
мически равновесное состояние.
2. Напряженность электрического поля в запирающем слое с постоянной
плотностью объемного заряда (слоя Шоттки) является линейной функцией расстоя-
ния (28.9). Электростатический потенциал в этом случае есть квадратичная функ-
ция расстояния (28.11). Слой Шоттки является приближением к реальности, когда
предполагается большой изгиб зон, а квазинейтральной областью, где etp
183
пренебрегают. В квазинейтральном слое потенциал изменяется по экспоненте
(28.23), где /э — дебаевская длина экранирования. Следовательно, последняя
характеризует глубину проникновения поля при малом изгибе зон (см. также § 23).
4. Толщина слоя Шоттки возрастает при наложении обратного поля и умень-
шается при наложении прямого. В отсутствие внешнего поля, т. е. в равновес-
। ых условиях, толщина слоя Шоттки имеет некоторое промежуточное значение,
определяемое контактной разностью потенциалов. При уменьшении концентрации
равновесных носителей заряда, т. с. уменьшении степени легирования заданного
полупроводника, толщина слоя Шоттки увеличивается.
§ 29. ТЕОРИЯ ВЫПРЯМЛЕНИЯ НА КОНТАКТЕ ПОЛУПРОВОДНИК - МЕТАЛЛ
Вольт-амперная характеристика (в. а. х.) запирающего слоя
нелинейна; причем для прямой полярности ток может быть на не-
Рис. 29.1. Запирающий слой
в условиях равновесия (а),
при прямом (б) и обратном
(в) включении в электронном
полупроводнике у границы с
металлом (стрелками обозна-
чено физическое направление
токов электронов)
сколько порядков больше, чем для об-
ратной (зто ясно из всего ранее ска-
занного). Однако в. а. х. запирающего
слоя зависит от его толщины.
В.а.х. тонкого запирающего
олоя —диодная теория
Тонким запирающим (барьерным)
слоем будем называть слой, толщина
которого dn или dp не больше длины
свободного пробега носителей заряда I.
В этом случае запирающий слой по-
добен вакуумному зазору между метал-
лами или вакуумному промежутку меж-
ду электродами электронной лампы—
диода. Поэтому теорию выпрямления
тонкого запирающего слоя называют
диодной. Обычно эту теорию связывают
с именем Бете.
Поскольку вакуумный зазор между
полупроводником н диэлектриком от-
сутствует, вместо барьера Wn следует
рассматривать барьер для электронов
Ег — Есо = е (VK — V) = при дви-
жении с внутренней границы запираю-
щего слоя в металл через указанный
слой (рис. 29.1). Кроме того, электро-
ны, движущиеся из металла в полупро-
водник, должны преодолевать барьер
Ei — Еф№.
Таким образом, плотность тока jn из
полупроводника в металл для тонкого
запирающего слоя можно определять как плотность тока термо-
электронной эмиссии. В этом токе могут участвовать электроны,
184
проходящие через внутреннюю границу запирающего слоя х = 0
со скоростью vx, удовлетворяющей условию
1 P'i
-2 mnvi = ^^e(VK-V). (29.1)
Поскольку dn «С I, все эти электроны могут проходить его без
столкновений насквозь и попадать в металл. Следовательно, речь
идет об электронах, движущихся в направлении х, для которых
На внутренней границе слоя, т. е. прн х=0, полная знер-
гия состоит лишь из кинетической, ибо потенциальную энергию,
г. е. дно зоны проводимости Ес0, принимаем за начало отсчета
энергии. Так что за пределами запирающего слоя и на его внут-
ренней границе
п2 п- n'i
В слое при различных х
E-Ec0 = EK(x)+U(x) (29.3)
или с учетом Ес0 = О
Е = Ек(х) + еч(*)- (29.4)
Для границы раздела полупроводник—металл
£ = FK4-e(ps и Ei = ecps.
Таким образом, пределы изменения рх
V2tn.fi < рх со. (29.5)
Для направлений у и z нет никаких ограничений, т. е.
— оо^ру^оо; — со^рг^со. (29.6)
Однако указанные пределы являются лишь формально матема-
тическими, так как в действительности речь идет о свободном
электронном газе зоны проводимости, т. е. «электронной жидкости,
налитой на дно зоны небольшим слоем». Соответственно полагаем тп
величиной постоянной, как и ранее (например, в § 18).
Плотность потока электронов Nx на внутренней границе запи-
рающего слоя можно определить, интегрируя выражение
, , , Е — Еф
dNx = vxdn = ^- Р‘ Рг 2е~ТТ~. (29.7)
Величина dn определена из (1.27) в виде dn = dz2/®; причем
учтено, что полупроводник невырожденный, а рх = mnvx.
Плотность тока из полупроводника в металл
i„ = eNx. (29.8)
Задача определения /„ сводится к нахождению интеграла от
(29.7) в пределах, указанных соотношениями (29.5), (29.6). Согласно
185
(29.7) с учетом (29.2) имеем „ и - -_£L » 2""" dp* 5e г“"‘г,,р» 5e
(29.9)
После интегрирования получаем £Ф e(VK“V) jV^feLreHe " . (29.9')
Введем среднюю тепловую скорость электронов ' Г ят„ (29.10)
Кроме того, при EcG = 0 имеем • г 2 (2дагяйТ)3/2 -,-3 п0 = Д'се k " = ——— ей т. (29.11)
Следовательно, получим 1 РК In = = -4-еа,пое *те4т. (29.12)
Для нахождения плотности тока из металла в полупроводник
учтем, что при V = 0 имеем /, = Таким образом,
eV
/„=^evTnf>e~^r. (29.13)
Плотность суммарного тока через контакт
1 \
/ = in - /,= -4 ev,noe (29.14)
Обозначим
ev„
1 ----- I
h = -f evTnae tT = Tev,n,. (29.15)
При заданной температуре величина /s постоянна для опреде-
ленного контакта полупроводник—металл. Величина ns = п„е кТ
есть концентрация электронов у поверхности полупроводника
в равновесных условиях, т. е. при V = 0. Следовательно, имеем
/ = /.(е"-1). (29.16)
т. е. формулу типа (27.15), где /s — плотность тока насыщения.
Вольт-амперпая характеристика, соответствующая этой зави-
симости, изображена на рис. 27.3, где учтено,' что при перемене
186
н<1 чярности внешнего поля знак плотности тока изменится на
противоположный. Действительно, согласно (29.12) и (29.13) при
I' > 0 имеем /„ > /м, а при V < 0, наоборот, /п < /м.
Ток насыщения по (29.15) определяется средней тепловой ско-
ростью электронов о‘. и объемной концентрацией электронов ns
у поверхности полупроводника.
Для выпрямляющего контакта дырочный полупроводник—металл
(при Wn > №м) можно провести аналогичные расчеты и получить
подобные формулы.
Заметим, что тонкий запирающий слой можно получить, напри-
мер, в германии n-типа на контакте с каким-либо металлом. В ка-
честве эталонного металла при определении контактной разности
потенциалов обычно применяют золото.
Следует обратить внимание на то, что в рассмотренной теории
выпрямления не учитывается влияние поверхностных уровней и
вообще состояние поверхности. Если эти уровни заряжены, то они
могут экранировать контактное поле и искажать картину выпрям-
ления. В процессе создания металлического контакта, например
напылением в вакууме, состояние поверхности может изменяться
по сравнению с чистой поверхностью полупроводника. Однако
чистота поверхности условна, так как даже после обработки в от-
носительно высоком вакууме поверхность полупроводника быстро
покрывается тонким слоем окисла. Кроме того, здесь не учитываются
силы зеркального изображения.
Диффузионная теория выпрямления
Если толщина запирающего слоя dn значительно больше длины
свободного пробега электронов, то такой слой называют толстым.
В этом случае при расчете плотности тока через слой необходимо
учитывать как дрейфовую, так и диффузионную составляющую.
Ранее при расчете в. а. х. тонкого слоя рассматривали его как ана-
лог вакуумного зазора, и плотность тока из полупроводника в ме-
талл находили как плотность тока эмиссии через барьер е (Кк — V).
Здесь же этого сделать нельзя, поскольку толстый запирающий
слой нельзя уподобить вакуумному зазору. В литературе теорию
в. а. х. толстого запирающего слоя обычно связывают с именем
Шоттки, хотя первые теоретические работы в этой области были
выполнены советским физиком Б. И. Давыдовым.
В толстом запирающем слое электронного полупроводника
i=en^+eD-^- (29.17)
Здесь частные производные заменены полными, поскольку п и <р
являются функциями только х, которое будем отсчитывать от гра-
ницы раздела полупроводника с металлом в глубь полупроводника,
так что х = 0 соответствует внешней границе слоя, а х — dn —
внутренней границе слоя,
187
Уравнение (29.17) выражает суммарную плотность тока из полу-
проводника в металл и из металла в полупроводник, т. е. характе-
ризует связь между током и электростатическим потенциалом.
Однако в. а. х. представляет собой зависимость тока от внешнего
напряжения, точнее от части внешнего напряжения, падающего
на запирающем слое. Получить эту зависимость можно, произведя
ряд преобразований в уравнении (29.17).
еф w,
Умножим обе части этого уравнения на экспоненту е kT •
еф W еф(*) J etpw .
/е =пр,ле^ “l^ + ^Te d£, (29.18)
Здесь использовано соотношение Эйнштейна eDn = ^nkT. Ве-
личина вер предполагается положительной, т. е. берется по абсо-
лютному значению. Правую часть (29.18) можно представить в виде
производной:
*Ф(*) . Г еф W|
/е" (29.19)
Проинтегрируем обе части равенства (29.19) в пределах обед-
ненного слоя, где j не зависит от х:
d d
Ji еф(х) Г еф(х)~|
/ е tT dx = ^kT \ ay Lie ] dx.
Отсюда, найдем плотность тока:
Г (Ц «ф<0)~1
МГI и fe) е п - п(0)е |,г J
d_ егр (х)
\ е llT dx
(29.20)
(29.21)
Но и (d„) = nc, q> (d„) = 0, <р (0) = гро. = V, — V.
В условиях равновесия, т. е. при V = 0
n(O) = ns = n0e кТ. (29.22)
Как показывают численные значения, п (0) в неравновесных
условиях, т. е. при V ^0, мало отличается от п (0) в равновесных
условиях благодаря непрерывному обмену электронами между гра-
ничным слоем полупроводника и металлом. Следовательно, будем
считать как для равновесных, так и для неравновесных условий
справедливым соотношение (29.22).
Таким образом, согласно (29.21) и граничным, условиям
n,e *г]
еф (х)
\ е kT dx
(29.23)
188
Для нахождения знаменателя произведем замену переменной:
etp (X) 2 ед> . . ,
\ е“^ dx = pfeT(^) d(P' (29<24>
О
Функция ее(р/АТ быстро растет с ростом ср (х), и наибольший
вклад в интеграл вносит область, где ср «= <р5. Этому значению
потенциала соответствует
Согласно этим соображениям полагают
(г/ф/dx)"1 в виде (29.25) за знак интеграла,
гак что получим
ft еф <л?) . ft etp
\ е kT dx = -7- \ ekT dq>. (29.26)
Отсюда
ft £Ф bT I \
\ e^dx = ^-^ - 1А (29.27)
возможным вынести
Рис. 29.2. Вольт-ам-
перная характеристи-
ка толстого запираю-
щего слоя (знак тока
соответствует техниче-
скому направлению)
Далее предполагается, что
еф.? _ е(Гк —V) 1
kT ~ kT
Поэтому в (29.27) можно пренебречь единицей по сравнению
с экспонентой, так что
> «Г ьт
\ etT dx=-^-e кт
J е& 8
(29.28)
По (29.23) и (29.28) находим для в. а. х. толстого запирающего
слоя
йИк / gv \
k7\^ -I). (29.29)
Произведение есть дрейфовая скорость
так что
(с1ДрЬ в поле gs,
(29.30)
/ eV
i = e(v^sns\ekT - 1
Это уравнение для в. а. х. отличается от (29.14) тем, что ток
насыщения зависит от V, так как <fs зависит от внешнего напря-
жения. Графическое изображение этой зависимости приведено на
рис. 29.2.
189
Химический барьерный слой
Кроме физического запирающего слоя, встречаются также хи-
мические барьерные слои, теория которых связывается с именем
Мотта. В отличие от физического запирающего слоя, изменяющего
толщину при наложении внешнего напряжения, химический барьер-
ный слой имеет постоянную толщину d. Он представляет собой
слой иной структуры или состава, отличающийся низкой концент-
рацией свободных носителей заряда, расположенный на поверхности
полупроводника.
Считают, что ход потенциала в химическом барьерном слое
линеен, так что, если №п < и полупроводник n-типа, то зонная
Есо
ЕФл
Рис. 29.3. Химический ба-
рьерный слой в условиях
равновесия (а), при пря-
мом (б) и обратном (в)
включении
схема представляется в виде рис. 29.3. На-
пряженность поля в химическом барьер-
ном слое
а
(29.31)
т. е. при заданном V она постоянна во
всем слое. С ростом УОбр величина £ уве-
личивается.
Вольт-амперная характеристика хими-
ческого барьерного слоя аналогична в. а. х.
толстого физического запирающего слоя.
Нужно только заменить gs на тогда
получим
_еУк/ eV \
j = ппе \ekT — 1).
(29.32)
Хотя насыщения при обратной поляр-
ности не наблюдается, но, как и в преды-
дущих случаях, обратный ток во много
раз меньше прямого.
Толстые физические и химические ба-
рьерные слои встречаются часто в случае
контакта полупроводник —металл. Однако
описанная теория не учитывает влияния
поверхностных состояний, которые могут
внести существенные коррективы н иска-
зить ход потенциала и в. а. х. Кроме того, при расчете работы
выхода следует учитывать силы зеркального изображения.
Выводы к § 29
1. В тонком запирающем слое, когда длина свободного пробега носителей
заряда не менее толщины слоя, все носители заряда, движущиеся от внутренней
границы слоя в направлении к контакту с металлом, проходят запирающий слой
и попадают в металл, если их кинетическая энергия не меньше, чем высота барье-
ра—изгиб зон. Соответственно плотность потока укатанных носителей заряда
определяет плотность тока носителей заряда из полупроводника в металл
190
(имеется в виду «физическое» направление тока). Плотность тока из металла
и полупроводник находят по (29.12) при '/-0. Плотность суммарного тока
и мвисимости от внешнего напряжения И выражается формулой (29.14).
2. В толстом запирающем слое плотность тока содержит как диффузионную,
। ж и дрейфовую составляющие. Вольт-амперная характеристика (в. а. х.) тол-
11ого запирающего слоя в виде (29.29) отличается тем, что здесь не наблюдается
насыщения при обратном включении.
3. Химический барьерный слой, в отличие от физических запирающих слоев,
имеет постоянную толщину, не зависящую от внешнего напряжения, но его
в. а. х. аналогична в. а. х. толстого физического запирающего слоя.
§ 30. КОНТАКТ ЭЛЕКТРОННОГО И ДЫРОЧНОГО ПОЛУПРОВОДНИКОВ
В монокристалле германия, кремния или другого полупровод-
ника легированием при выращивания либо с помощью последующего
введения примесей можно создать такое их распределение, что одна
часть кристалла будет полупроводником n-типа, а другая — полу-
проводником p-типа. Таким образом, в некоторой весьма тонкой
области (теоретически бесконечно тонкой, т. е, на границе раздела)
может наблюдаться переход от n-типа к p-типу. Эта область (гра-
ница) рассматривается как контакт электронного и дырочного полу-
проводников. Можно выполнить контакт также из полупроводников
п- и p-типа, взятых в отдельности и приведенных в соприкоснове-
ние — напыленных один на другой, либо контактирующих каким-то
иным образом.
Электронно-дырочный переход
Рис. 30.1. Распределение концентрации
акцепторов Na и доноров Мд в несиммет-
ричном резком (а) и плавном (б) р-п-пе-
реходе
Электронно-дырочным переходом (р-/?-переходом) называют слой
полупроводника, располагающийся по обе стороны от границы раз-
дела р- и n-областей, обед-
ненный основными носителя-
ми заряда и представляющий
собой запирающий слой.
В зависимости от характе-
ра распределения примесей
различают два крайних (иде-
альных) случая—резкий (сту-
пенчатый) и плавный р-л-пе-
реходы. В резком р-п-перехо-
де концентрация акцепторов
и доноров изменяется скач-
ком на границе раздела р- и
n-областей, а в плавном пе-
реходе их концентрация является линейной функцией расстояния
(рис. 30.1). Относительно резкий р-п-переход можно создавать в
кристалле при вплавлеиии примеси, плавный — при диффузии.
Поскольку на границе раздела областей имеется градиент кон-
центрации свободных носителей заряда, будет происходить про-
191
цесс диффузии электронов в p-область и дырок в «-область. Это
приводит к обеднению основными носителями заряда пригранич-
ных слоев и к возникновению
Рис. 30.2, Распределение плотности объемно-
го заряда р в несимметричном резком (а) и
плавном (б) р-п-переходе
гных зарядов противоположного
знака. В резком р-п-пере-
ходе создаются обедненные
слои ступенчатого объем-
ного заряда, в плавном —
линейного объемного за-
ряда (рис. 30.2).
На рис. 30.1 и 30.2
изображен случай, когда
концентрация акцепторов
в дырочной области боль-
ше концентрации доноров
в электронной области. Со-
ответственно толщины слоев находятся в обратном соотношении.
Может быть и обратное соотношение концентраций доноров и ак-
цепторов. Сумма объемных зарядов в р- и «-областях равна нулю,
т. е. площади под кривыми р (х) равны между собой,
В теории р-«-перехода обычно считают, что концентрация равно-
весных носителей заряда в полупроводнике вне р-«-перехода равна
концентрации примесей, т. е. послед-
ние полностью ионизованы. Следова-
тельно, полагают, что равновесная
концентрация электронов «п0 в ней-
тральной, т. е. не включающей р-п-
переход «-области, равна Мд, а рав-
новесная концентрация дырок рр0 в
нейтральной p-области равна ЛГа:
п.10 = №я‘, Ppo~NR. (30.1)
Рис. 30.3. Распределение кон-
центрации основных и неоснов-
ных носителей заряда в несим-
метричном резком р-п-переходе
Для равновесных концентраций
всегда справедлив закон действующих
масс, поэтому, если р-«-переход соз-
дан в монокристалле (кремния, гер-
мания и т. д.), то произведение концентраций основных и неоснов-
ных носителей заряда в обеих частях всюду одинаково и равно nj
для данного полупроводника при заданной температуре:
ПлоРпО — Рр^ро — П'ё-
(30.2)
Область р-«-перехода обеднена основными носителями заряда.
На рис. 30.3 изображены кривые концентраций основных и не-
основных носителей заряда по обе стороны от.резкого р-«-пере-
хода и в самом резком р-«-переходе.
Для резкого р-«-перехода объемный заряд в электронной части
определяется как постоянная величина
р = eN^ = en,l0 > 0; (30.3)
соответственно в виде линейной функции
ДЛЯ плавного - соответств (30.4)
гд. л. _ „„J—г
(30.5)
и _ Щ5_х = _еД^<0. (30.6)
•л п п-пепеход находится

так°"что J полный ток через
„ „-переход равен нулю.
Р На рис 30.4. « приведена
зонная схема для РаЕИ0®“‘
иого состояния P^-neP^i’
уровень Ферми является ос
X для всех областей полу-
Хводаика. Дно зоны прово-
рис. 30.4 Зонная °одз“)
стояния весимметр"’J” р р-п-перехо-
и изменение потед“ц^
дймости в дырочном полупро
воднике Еср зани“а®тт0С™°те.
высокое п°ложа™е;ХеХ-
ветствует малом к0”цсл'7„‘
ции электронов, поскольку
уровень Ферми располагается^^^^ что ход потенциала протнво-
sSBSxtда
. в „-область потенциал уменьшается
^датиб^н^оягеТхар'актёрн'зовать эту разность потенциалов, при-
чем он равен • г =
Lt ср и
Кроме того, _£и_(е;р_£ф) + (£'ф-Е1»)'’
‘lP t<b — Lin
и р т :
ПЯ0 — nie
£ф —Efp
Р,< = »,е kT
(30.7)
(30.8)
(30.9)
(30.10)
7 Орешкяв Я- т'
193
192
Из соотношений (30.9), (30.10) находим величины — Et„ и
Е/р — Еф и подставляем в (30.8). Отсюда
eVK = kT\n'^- = kT\n — = 4Т1п—. (30.11)
ni nf>0 Pno
Следовательно, чем сильнее легированы обе области полупро-
водника, т. е. чем больше пп0 и р^, тем больше контактная раз-
ность потенциалов. Максимальное значение eV,, в невырожденных
полупроводниках можно определить непосредственно по диаграмме
рис. 30.4, а, так что
(eVJ)m« = AE0, (30.12)
т. е. равно ширине запрещенной зоны. В обычных же условиях
eV„ < ДЕ0. Например, для германия при 300 К и значениях =
= пп0 = 2 10“ см’3, рпг, = 2-Ю1’ см"3, N, = 2-10“ см’3, пр„ =
= 2'10“ см"3 имеем eVK = kT\n-^ = 0,25 эВ.
РпО
На основании (30,11) можно получить формулы, выражающие
равновесные концентрации неосновных носителей заряда через
равновесные концентрации основных носителей заряда в противо-
положных областях и контактную разность потенциалов

(30.13)
Рм=Рг<# кГ- (30.14)
выразить, наоборот, концентрации основных
виде
Очевидно можно
носителей заряда в

(30.15)
Р»о=.рл0е‘г. (30.16)
Рассмотрим теперь, как будет изменяться зонная диаграмма
при наложении на р-п-переход внешнего напряжения. Вспомним,
что «плюс» внешнего источника опускает уровни энергии в зонной
диаграмме, а «минус» — поднимает. Кроме того, при наложении
поля нарушается равновесие и уровни Ферми заменяются на квази-
уровни. Полем в толще полупроводника пренебрегаем, т. е, считаем,
что зоны идут без наклона (горизонтально). Это означает, что прак-
тически все внешнее напряжение падает на р-п-переходе.
На рис. 30.5 приведены зонные диаграммы р-л-перехода в равно-
весии (рис. 30.5, о), при прямом (рис. 30.5,6) и обратном (рис. 30.5,в)
включении.
При наложении внешнего поля в прямом направлении изгиб зон
на р-п-переходе уменьшается и равен е(У„ — V) — (<р„ + <рр) е.
Здесь ф„ и <у(, — изменения потенциала в п- и p-областях, анало-
194
। ичные фя и фр рис. 30.4, б. Квазиуровни Ферми для основных
носителей заряда в «-области (Ефп) и основных носителей заряда
в р-областн (£фр) сдвигаются отно-
сительно друг друга на eV, т. е.
ЕФп-Ефр = еУ. (30.17)
Рис, 30.5. Зонная диаграмма для
равновесного состояния (а). прн
прямом (б) и обратном (в) вклю-
чения симметричного р-л-перехода
Для тонкого р-п-перехода допу-
стимо считать квазпуровень Ефп
неизменным во всей «-области, а
1акже во всем р-n-переходе. На-
оборот, квазпуровень ЕфР можно
считать одинаковым в р-ооластп и
во всем р-«-переходе. Как пока-
зывает расчет, смещение квази-
уровней Ефп и Ефр в р-п-переходе
по сравнению с их положением -в
«- и p-областях лежит в пределах
величины kT, так что этим смеще-
нием обычно пренебрегают. Пунк-
тирами условно нанесены квази-
уровни Ферми для неосновных но-
сителей заряда в каждой из обла-
стей. Вдали от р-л-перехода они
совпадают с квазиуровнями для
основных носителей заряда, т. е.
уровнями Ферми для каждой из об-
ластей.
При наложении внешнего поля
в обратном направлении (рис.
30.5, в) изгиб зон иа р-л-переходе
увеличивается и оказывается рав-
ным е (14 + Уо5р), где УоГ1р—часть
внешнего напряжения, падающего
па р-п-переходе. Если считать об-
ратное напряжение отрицательным и обозначить его по-прежнему
через V, то указанный изгиб зон будет е (Vlv -- V) = (ф„ фр) е.
Как и в предыдущих случаях, фл и фл обозначают изменения
потенциала в п- и p-областях. Квазиуровни Ферми смещаются так,
что остается справедливым (30.17), только обе части этого равенства
отрицательны.
Зависимость напряженности поля и электростатического
потенциала от расстояния в полупроводнике о резким
^-«-переходом
Контактная разность потенциалов целиком относится к р-п-пере-
ходу. В условиях равновесия поле отлично от нуля лишь непосред-
ствен по в р-л-переходе и равно нулю за его пределами. При нало-
7*
195
жении внешнего поля на полупроводник с р-л-переходом падение
напряжения распределяется на всей длине. Одиако, как уже отме-
чалось, обычно большая часть внешнего напряжения распределена
на р-п-пер входе. Поэтому за пределами запирающего слоя считаем
поле равным нулю, а электростатический потенциал постоянным
для каждой из областей. Для определения зависимости потенциала
Рис. 30.6. Выбор коор-
динат (а), изменение
потенциала (б) и на-
пряженности поля (в)
в резком симметр ичном
р-п-переходе
и напряженности поля от расстояния в р-п-
переходе следует решить уравнение Пуассона
Нетрудно видеть, что резкий р-п-переход
можно рассматривать как своеобразную сово-
купность двух слоев Шоттки. Действительно,
в электронной части р-п-перехода согласно
(30.3) величина р = еп,^ что аналогично (28.6),
а в дырочной части по (30.5) величина р =
= —ерл0, т. е. тоже константа.
Выберем координаты следующим образом:
хп отсчитываем в электронной области р-п-
перехода к границе раздела, как показано на
рис. 30.6, а; хр — аналогичным путем в ды-
рочной области р-п-перехода. Имеем
Интегрируя, получим
<30-19)
Поскольку при х„ = 0 величина dtfldx„ =
= 0, очевидно Ci = 0.
Следовательно,
= <30'2°)
^ax = ^d„=^. (’30.21)
Далее получаем
сР=-^х" + С” (30.22)
Если принять за начало отсчета электростатического потенциала
его значение в n-области, то С2 = 0. Таким образом,
ф—<30-23)
Максимальное значение абсолютной величины
Ф = Ф« = §;«. (30.24)
На рис. 30.6, б левая ветвь параболы (30.23) и представляет
собой зависимость электростатического потенциала от расстояния
196
в электронной части р-н-перехода. Формально математически пара-
бола (30.23) имеет н вторую ветвь (пунктир на рис. 30.6, б), кото-
рую, однако, учитывать не следует, поскольку задача решается
/ишь для слоя, где есть объемный заряд.
На рис. 30.6, в изображена функция (30.20), причем вектор g
направлен в сторону убывания электростатического потенциала.
В дырочной области резкого р-п-перехода
(30-26>
Но поскольку при хр = 0 имеем dqtdxp = 0, то Сг = 0. Сле-
довательно,
1^=-^=-^ <з°-27>
<^„=^4. (30.28)
БВо
Направление поля в дырочной области р-п-перехода такое же,
как и в электронной области, изменение функции е (хр) изображено
на рис. 30.6, в.
Интегрируя второй раз, имеем
4’ = S^ + C*' (30.29)
Если принять за начало отсчета <р его значение в р-области,
то С.2 = 0. Таким образом,
<3°'30)
Максимальное значение величины ср в дырочной области р-п-пе-
рехода
Ф»~^ (30.31)
На рнс. 30.6, б изображена правая ветвь параболы, соответству-
ющей (30.30). В сечении хр = dp или хп = dn, т. е. на границе
раздела областей, параболы (30.30) и (30.23) имеют общую точку,
так как электростатический потенциал является непрерывной функ-
цией координат. То же самое в данном случае относится к напря-
женности электрического поля, так что
пли
еппо , __ еРро ,
~°я—
Nad„ = N& tp.
(30.32)
(30.33)
197
Толщина резкого р-л-перехода
Общая толщина р-п-перехода определяется как сумма
d = dn + dp, (30.34)
Кроме того, согласно (30.33) можно записать
4 = хгЛ- (30.35)
Подставляя выражение (.30.35) в (30.34), получим
dp=iv7Ts;d- (зо.зб)
Аналогичным путем найдем
d»=w^7d- <30'37)
Согласно (30.25), (30.31) и (30.36), (30.37) получим
- 28Ж^-^~ V- <30'38)
Отсюда
d = i(30.39)
Таким образом, толщина р-я-перехода пропорциональна
(Ук — УУ'*. Следовательно, при прямом включении d уменьшается,
при обратном — увеличивается. В последнем случае, если lzo5p г * VK,
тлеем
, I “2ген (/Va+W4) 70бр ,л.
d=l ' e.vX--------• (30-4°)
Если переход симметричен, т. е. Л\ = н dn — d„ = dz2, то
(30.39) _________
d=2l- к"(Га~~' (3u'41)
При этом падение напряжения распределяется так, что фя = срр.
Если же р-н-переход резко несимметричный, то получаем иной
результат. Пусть, например, АС ' - N*. Тогда по (30.39) получим
rf_| 2№„(И,-П„4- (30 42)
Это означает, что в сильно легированной области соответствую-
щая часть р-н-перехода очень тонкая (в данно.м случае dr мало)
и практически все падение потенциала происходит на другой части
р-п-перехода. Иначе говоря, высоко легированная область р-и-пе-
рехода является кваз«металлом, и соотношение (30.42) совпадает
с (28.24).
198
Поле и электроотатический потенциал в плавном р-л-переходе.
Толщина симметричного плавного р-л-п ер входа
В электронной области "плавного р-п-перехода согласно (30.4)
р = еАпх (рис. 30.7, а), так что уравнение Пуассона имеет вид
(30.43)
dx* ее0 ' '
Отсюда
--------^-х2 + С1. (30.44)
dx 2ее0 11 ' '
Прн х = dn величина dq/dx = 0 н =
рА
7~dn. Следовательно,
^ = ^-(<Д-х2) = -«?. (30.45)
(IX 4COQ
Далее находим
<р = -^-х= + Ф^х + С3. (30.46)
Если за начало отсчета ф принять его
значение в n-области за р-п-переходом, т. е.
положить ф = 0 при х — dn, то получим
С2 = — d\, и, следовательно, в электрон-
ной части плавного р-п-перехода
* = (30’47)
Абсолютное значение ф прн х = 0
® ®
Рис 30.7. Распределе-
ние плотности объем-
ного заряда (а), по-
тенциала (б) и напря-
женности электриче-
ского поля (в) в не-
симметричном плавном
р-п-переходе
sA d*
= <30-48>
Для дырочной области р-п-перехода ана-
логичным образом получим
р Л /71
= (30-49>
Общее выражение для ф в дырочной области р-п-перехода по-
лучим прн выборе начала отсчета ф от уровня электростатического
потенциала в нейтральной части р-области в виде соотношения,
аналогичного (30.47), но с соответствующими изменениями знаков
перед слагаемыми. Если же оставить в качестве начала отсчета
потенциала уровень ф в электронной области, то подстановка гра-
ничных условий также дает возможность выразить ф в дырочной
области.
199
Если Ап = Ар = А, т. е. р-я-переход симметричный, так что
dn — dp — d/2 и фя = фр, то для его толщины d получим уравнение
+ = (30.50)
откуда имеем
(30.51)
Зависимости ф (х) и & (х) в несимметричном плавном р-п-пере-
ходе изображены на рис. 30.7, б и е. В симметричном р-п-переходе
кривые соответственно симметричны.
Барьерная емкооть р-л-иерехода
Электронно-дырочиый переход представляет собой высокоомную
область, т. е. «диэлектрик», где к тому же имеется двойной заря-
женный слой: электронная часть заряжена положительно, дыроч-
ная— отрицательно. Таким образом, р-п-переход эквивалентен
конденсатору, обкладками которого являются границы р-п-пере-
хода, а диэлектриком — сам запирающий слой.
Так называемая барьерная емкость р-п-перехода определяется
аналогично емкости плоского конденсатора, т. е.
С = (30.52)
Для резкого р-n-перехода
c=s 1^2 (w„ +/V(v“ - И): (30.53)
для плавного симметричного р-п-перехода
<30'54)
где S — площадь границы раздела областей п- и р-тнпа.
Кроме барьерной емкости, р-n-переход прн прямом включении
имеет еще диффузионную емкость, которая здесь не рассматри-
вается.
Выводы к § 30
1. Электронно-дырочным переходом называют слой полупроводника (или
полупроводников), располагающийся по обе стороны от границы раздела р- и
n-областей (или р- и га-полупроводников), обедненный основными носителями
заряда. Для простоты считают, что в электронной части резкого р-п-перехода
удалены все электроны проводимости, так что плотность неподвижного положи-
тельного объемного заряда этой области р = еАГ* = еЛС, = епм\ в дырочной
части резкого р-п-перехода соответственно удалены все дырки проводимости и
р — — eN~ = — e/Vn = — ер,,п. В действительности же снижение концентрации
наблюдается до уровня неосновных носи шлеи заряда (см. рис. 30.3). В плавном
200
//-//-переходе плотности объемных (пространственных) зарядов являются линей-
ными функциями расстояния х, отсчитываемого от границы раздела р- и л-об-
лнстей.
2. Изгиб зон в области р-п-перехода в отсутствие внешнего электрического
ноля характеризует контактную разность потенциалов между р- и л-областями.
Кроме того, контактная разность потенциалов определяется концентрацией
основных носителей заряда в р- и п-областях. При наложении на р- -переход
внешнего напряжения V наблюдается изменение изгиба зон на величину eV.
На ту же величину смещаются относительно друг друга уровни Ферми в электрон-
ной и дырочной областях. При прямом включении изгиб зон уменьшается, при
обратном — увеличивается.
3. В резком р-п-переходе напряженность поля является линейной функцией
расстояния как в электронной, так и в дырочной части. Максимальная величина
ноля наблюдается на границе раздела р- и «-областей. Электростатический потен-
циал в резком р-п-переходе является квадратичной функцией расстояния.
4. Толщина резкого р-л-перехода зависит от полярности внешнего на-
пряжения: при прямом включении она уменьшается, при обратном — увеличи-
вается.
5. Напряженность электрического поля в плавном р-л-переходе является
квадратичной функцией расстояния х, отсчитываемого от границы раздела п- и
р-областей. Электростатический потенциал
определяется через многочлен, содержащий
х и х3. Толщина плавного симметричного
р-п-перехода выражается в виде (30.51).
6. Барьерная емкость р-п- перехода оп-
ределяется как емкость конденсатора, диэлек-
триком которого является сам р-п-переход,
а обкладками — полупроводники, контакти-
рующие с р-п- переходом.
§ 31. ВОЛЬТ-АМПЕРНАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКА ТОНКОГО
р-л-ПЕРЕХОДА
Еср
£рр
^ср
fyll
Ьр-
1 1 1
Рис.
при
Еип
31,1 Зонная диаграмма
прямом и обратном вклю-
чении р-л-перехода
Связь между током и внешним
напряжением, приложенным к р-п-
переходу (в. а. х.), определяет его
выпрямляющие свойства.
Тонким р-я-переходом называют
электронко-дырочный переход, тол-
щина которого столь мала, что мож-
но пренебречь процессами рекомби-
нации и генерация носителей заряда
в области объемного заряда р-n-перехода. Так что упорядочен-
ный поток носителей заряда не претерпевает никаких изменений
прн прохождения через весь тонкий р-н-переход. Ицаче говоря,
если плотность тока дырок jp или электронов jn известна в каком-
либо сечении р-н-перехода, то она такова же в любом другом се-
ченин р-л-перехода.
На рис. 31.1 изображена зонная диаграмма прн прямом и обрат-
ном включении р-л-перехода. Определим вначале концентрацию
неосновных носителей заряда на границах р-л-перехода.
201
Граничные концентрации неосновных носителей заряда
По общим формулам типа (26.10), (26.11) запишем концентрацию
электронов nprp на границе запирающего слоя в р-областп и кон-
центрацию дырок рлгр на границе запирающего слоя в «-области;
Получим
Фл ^ip
npt„ = nte kT ; (31.1)
_ £ Фр — ^in
P„tp = n,e " . (31.2)
Обратим внимание на то, что в эти формулы входят значения
Eip и Ein, соответствующие границам.
Кроме того, для неосновных носителей заряда вдали от р-п-пе-
рехода:
£фр £jp
Про = пр kT ; (31.3)
_ ?Фп~ Ьin
Pno = nfi iT . (31.4)
Здесь произошла замена квазиуровней по сравнению с форму-
лами (31.1) и (31.2) , ибо вдали от р-п-перехода в дырочной области
Ефр = Ефп, а в электронной области Е*п = Ефр.
По (31.1) и (31.3) имеем
£фл~ сФр eV
Пргр=пр^ кт *=пр1ргт. (31.5)
Согласно (31.2) и (31.4) получим
Ригр^РяО® = Р^Т • (31.6)
Вывод всльт-амперной характеристики
При включении прямого напряжения
£фл-£фр>0, (31.7)
так что пртр> Пр0 и р„гр> рт.
Избыточная концентрация неосновных носителей заряда на гра-
ницах
! — \
(Лпр)0 = пргр-про = пт\е‘7' - V; (31.8)
f \
(Ар»)о = Р„ Гр - Рт = Рм\е*Т - 1 /• (31.9)
Эта избыточная концентрация возникает вследствие инжекции
носителей заряда через р-н-переход. На рнс. 31.2 изображены
(Дпр)0 и (Лрл)0, а также показана зависимость
^Пр = 1(Хр), &р„=^хп). (31.10)
202
Поскольку электрическое поле за пределами р-п-перехода по-
ч.иаем равным нулю, имеются лишь диффузия и рекомбинация
носителей заряда, инжектируемых через р-п-переход.
Электроны, инжектированные в p-область, притягивают к себе
дырки из объема этой области, так что вне р-п-перехода сохраняется
июктронейтральность. Причем недостаток носителей заряда в объеме
пополняется через контакт. Аналогично дырки, инжектированные
и n-область, притягивают к себе электроны из объема этой области,
це также сохраняется электронейтраль-
ность. Таким образом, глубина проник-
новения инжектированных носителей
заряда определяется лишь' рекомбина-
цией. В этом случае избыточная концент-
рация неосновных носителей
Рис, 31.2. Зависимость кон-
центрации неосновных носи-
телей заряда от расстояния
при прямом включении р-п-
перехода
заряда
(31.11)
Дпр = (Лпр)ое «
Лр„ = (Др„)ое

Р. ©
Рис. 31.3. Зависимость концен-
трации неосновных носителей за-
ряда от расстояния при обратном
включении р-п-перехода
(31.12)
Следовательно, на расстоянии диффу-
зионной длины Ln от границы р-п-пе-
рехода избыточная концентрация неос-
новных носителей заряда в р-области
уменьшается в е раз. Аналогично на расстоянии диффузионной дли-
ны дырок Lp пх избыточная концентрация в n-области уменьшает-
ся в е раз по сравнению с граничной.
Однако здесь в отличие от случая, рассмотренного в § 24, при-
чиной возникновения избыточной концентрации является «впрыски-
вание» их из противоположных областей, а не генерация с помощью
освещения. Однако законы изменения концентрации избыточных
неосновных носителей заряда в виде (24.23) н (24.25) сохраняются
независимо от способа их генерации.
Если теперь переключить напря-
жение с прямого на обратное, то пос-
ле окончания соответствующего пере-
ходного процесса запирающий слой
расширится и граничные концентра-
ции изменятся. Хотя по-прежнему
соотношения (31.5) и (31.6) сохра-
няются, но здесь
Е<а>п — E<bP — eV<i 0. (31.13)
Следовательно, для обратного
включения пргр<П/,0 н рп^<рп^
т. е. наблюдается экстракция через р-п-переход неосновных но-
сителей заряда из областей, прилегающих кр-n-переходу. Формулы
(31.8) — (31.12) сохраняются, но избыточная концентрация имеет
203
отрицательный знак, включая (Лпр)0 < 0 и (ДрЛ)0 < 0. Зависи-
мости (31.11), (31.12) приведены на рис. 31.3.
Как показывает анализ, р-п-переход можно считать топким,
если d <Ln и т. е. если толщина р-п-перехода меньше
диффузионных длин носителей заряда.
Плотность диффузионного тока через границы прн любой поляр-
ности
(/»)хр-о = eD^\v „ = eDn (31.14)
Подставляя сюда выражения (31.11) и (31.12), пол учим абсолют-
ные значения плотностей тока электронов и дырок:
,. \ №np)v I L тХ. . \ ... .
(1п)х„-0 — 7 и Д -О 7 ' 1/5 (31.16)
Р Р L,n
(/РЧ-»-^^(еТО),л.» = - 1). (31.17)
п L. р П L,p
Поскольку тонкий р-п-переход определяется на основе представ-
ления о постоянстве плотности тока электронов и дырок в любом
его сечении, то в частности можно записать:
= (31.18)
(/Л„-о = (1р)^-о. (31.19)
Иначе говоря, можно считать, что плотности тока электронов
и дырок (31.16), (31.17) сохраняются в любом сеченни р-л-перехода
и на обеих его границах.
Направление движения электронов н дырок противоположно
друг другу, что легко проверить с помощью приведенных диаграмм
и рисунков. Следовательно, плотности токов /я и jp складываются.
Таким образом, имеем в. а. х. тонкого р-л-перехода в виде
/ = /, + 1? = (^ + ^)(е^-1). (31.20)
Для прямой полярности V > 0 и единицей можно пренебречь,
если eV > kT, Наоборот, для обратной полярности У <0 и экс-
понейтой можно пренебречь, если |eVj > kT.
Очевидно в. а. х. типа (31.20) аналогична (27.15) и (29.16).
Плотность тока насыщения в тонком р-п-переходе
. eDnnp0 . еВрРпа tLnnpfj ^ррпо
Л = —т----г—iг— = ~ ------Ьто;—• (31.21)
‘'П ЬЯ ър
Здесь учтено, что Ln = VDnxn и Lp = VDpxp.
204
Графическое изображение в. а. х. топкого р-п-перехода анало-
। пчпо рис. 27.3.
Таким образом, ток через тонкий р-н-переход осуществляется
помощью переноса неосновных носителей заряда, так как согласно
[вложенным представлениям р-н-переход обеднен основными яо-
• ।[гелями заряда и остаются лишь неосновные носители заряда.
Выводы к § 31
1. Концентрация неосновных носителей заряда на границах р-л-перехода
прн наличии внешнего напряжения отличается от той же величины вдали от
р-н-перехода. При включении прямого напряжения неосновные носители заряда
инжектируются через р-л-переход, так что избыточные концентрации неосновных
носителей заряда на границах оказываются положительными величинами. При
обратном включении указанные избыточные концентрации отрицательны. Соот-
ветственно определяются направления диффузионных токов.
2. При расчете вольт-амперной характеристики тонкого р-л-перехода плот-
ность тока определяется с помощью суммирования диффузионных плотностей
юков неосновных носителей заряда в виде (31.20). Плотность тока насыщения
определяется формулой (31.21).
§ 32. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ КОНТАКТА ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Кроме, рассмотренного контакта электронного и дырочного
полупроводников, встречаются и другие случаи контактирования.
В частности представляют интерес переходы типа р-1-п,
п+-п, р+-р и гетеропереходы. Подробнее эти вопросы рассматри-
ваются в курсах физики полупроводниковых приборов, теории
интегральных схем и т. д. Здесь же даны общие понятия по этим
вопросам, которые необходимы как для данного курса, так и для
последующих спецкурсов. Так, при изучении физики неоднород-
ных полупроводников и диэлектриков, физики явлений в сильных
электрических полях и т. д. должны учитываться возможности кон-
тактирования полупроводников н отдельных локальных областей
твердых тел друг с другом.
Зонная диаграмма и в.а.х. p-t-л-переходв
При большом напряжении поле в обратно включенном
р-п-переходе может оказаться столь высоким, что он пробьется.
Для силовых выпрямителей одной нз важнейших характеристик
является высокое обратное напряжение, поэтому приходится соз-
давать толстые р-п-переходы.
Частным случаем толстого р-п-перехода является резкий
(ступенчатый) p-i-n-переход, в котором р- и n-области разделены
областью собственной электропроводности. На рис. 32.1 изобра-
жены концентрации доноров и акцепторов н концентрации носи-
телей заряда в равновесном состоянии (т. е. при V = 0) для
p-i-n-перехода. Падением напряжения в f-области при 7--^0 в
первом приближении пренебрегают, т. е. рисуют зоны горизон-
тальными (рис. 32.2),
205
Полагая, что квазпуровин ЕфП н Ефр пронизывают весь
p-wi-лереход, оставаясь горизонтальными, находим;
ЕФп~Ец eV,
^rp = n/e *т =/^е'ЙГ; (32.1)
ЕФр~ЕН eV,
pi rpe«<e kT =iifik'T'-, (32.2)
eV = s(Vi4* V%) = ЕфП — Ефр.л1 (32.3)
Если di < Ln и di <Z Lp, то можно считать избыточную концен-
трацию на всей длине di одинаковой:
/ С-Ул. \
(Дл)< = щ гр — п{ = nt \&т — 1J; (32.4)
(Sp),=Pi^-p, = п^е^- 1). (32.5)
Полагаем, что (-область электронейтральна, так что
(Дп); — откуда получаем « У2 = V/2.
В i-области имеем также
(dn/dty = (МЛ/! (32.6)
(dp/di)i = (Ap)f/Tpf. (32.7)
Но изменения концентраций равны между собой и тп1 — rpi =
= Т;.
Величина (Ал)//т{ есть изменение концентрации электронов и
дырок за 1 с в единице объема вследствие их рекомбинации. Это
Рис 32.1 Равновесное со-
стояние симметричного р4-п-
перехода. Распределение при-
месей (а) и концентрации но-
сителей (б)
изменение эквивалентно плотно-
сти потока носителей заряда од-
ного знака, проходящих единицу
длины. При длине dt плотность
Рис 32.2. Зонная диаграмма
p-i-n-перехода при прямом вклю-
чении
потока изменяется в d; раз. Плотность же рекомбинационного тока
= =^-^2^- 1/ (32.8)
206
Кроме того, в полном токе учитывается сквозной ток, опреде-
ляемый как для тонкого р-п-перехода в виде (31.20). Такой расчет
допустим, если <Ln и di <.LP. При этом можно не учитывать
t-область прн расчете сквозного тока.
Следовательно, в. а. х. p-i-n-перехода
Эта зависимость описывает как прямую, так и обратную ветви
кривой. При обратном включении V < 0, и экспоненты в обоих
слагаемых можно не учитывать, если | eV | > 2kT.
Зонные диаграммы и контактная разность потенциалов
дли л+- п- и /^-переходов
Область электронного полупроводника, имеющую высокую кон-
центрацию доноров, обозначают в виде п+, область дырочного полу-
проводника, имеющую высокую концентрацию акцепторов, — р4.
Если в полупроводнике n-типа создается область п4, то говорят о
п4-п-переходе. Аналогичную терминологию применяют для ды-
ровных полупроводников.
На рис, 32.3, а приведена донная диаграмма п+-п-перехода в рав-
новесии, т. е. прн V — 0, а на рнс.
32.3, б —то же, но для р’-.р-пере-
хода. Уровень Ферми проходит гори-
........* - " -------------- во цсем
зонтально, т. е. постоянен
объеме. Поэтому
Е сп+ ““ Е Ф Е СП ~~ Е Ф >
Е'ф EVp+ E& Evp.
Можно определить контактную раз-
ность потенциалов в п+-м-переходе из
соотношения
(32.10)
(32.11)
еУк = (Еф-Е1я+)-(Е<ъ-Е1п). (32.12)
Кроме того, имеем
ДФ—
По = «ге ,гТ ; (32.13)
Еф~ Ein
n0 — nfi kT . (32.14)
ЧП-------
Еф
Ein
fjt
Рис 32 3. Зонная диаграмма
п+-л-перехода (а) и р+-р-пере-
хода (б)

Следовательно,
Еф = kT In ;
Ь-Е^ОТгА
ni
(32.15)
(32.1G)
207
Подставляя эти значения в (32.12), получим
eV.-Wln-^-. (32.17)
Для р+-р-перехода аналогичным путем найдем
eV, = kTln-^. (32.18)
Таким образом, в п+-п- н р+-р-переходах наблюдается изгиб зон и
отличная от нуля Ук. Но эти переходы не являются обедненными
слоями, т. е. они практически не обладают выпрямляющими свой-'
ствами. Однако некоторая асимметрия проводимости все же су-
ществует.
Этн переходы имеют еще очень важное свойство, состоящее в
том, что в них практически отсутствует инжекция неосновных
носителей заряда в высокоомную часть. Если, например, на ^-об-
ласть подать отрицательный потенциал, а на «-область — положи-
тельный, то будет наблюдаться перенос электронов, т. е. основных
носителей заряда. При противоположной полярности внешнего
напряжения в высокоомную часть будут инжектироваться дырки,
но поскольку нх концентрация в «+-областн очень мала, этой ин-
жекцией можно пренебречь. Аналогичное заключение справедли-
во для р+-р-перехода.
Таким путем получают омические иеинжектирующне контакты.
В частности для германия n-тнпа применяют добавочное легирова-
ние поверхностного слоя донорами, используя, иапрнмер, олово
или свинец с добавками сурьмы и других примесей или без таковых.
Гетеропереходы
При контакте полупроводников с разной шириной* запрещенной
зоны возникают гетеропереходы. Чаще всего их получают методом
эпитаксиального наращивания монокристаллических слоев из газо-
вой фазы на кристаллы. Применяют также напыление в вакууме
(прн этом пленку обычно получают поликристаллической), сплав-
ление н другие методы.
Гетеропереходы могут быть типа п-щ р-р, р-п\ причем во всех
случаях они могут выпрямлять ток. Гетеропереходы типа п-п н
р-р называются нзотипиыми (одинакового типа). В этих струк-
турах ток переносится основными носителями заряда. Но в отли-
чие от диодов Шоттки в приконтактной области нзотнпных гетеро-
переходов, кроме запирающего слоя, обедненного основными носите-
лями заряда, имеется еще обогащенный слой, наличие которого,
однако, не приводит к принципиально новым эффектам.
На рнс. 32.4, а приведена зонная диаграмма для п-п-гетеропе-
рехода. Слева размещен полупроводник с широкой запрещенной
зоной, имеющей обедненный основными носителями заряда слой,
где зоны искривлены вверх, справа — полупроводник с более уз-
208
'г
?С2
<р
-Ф
кой запрещенной зоной, имеющий обогащенный основными носи-
нлями заряда (электронами) слой у контакта, где зоны искрив-
лены вниз.
Свойства гетеропереходов во многом определяются состояниями
на границе раздела, причем плотность ловушек н их энергетичес-
кий спектр зависят от рассогласования постоянных кристаллических
решеток контактирующих материалов, дефектов их структуры и
технологии изготовления гетеропереходов. При наличии боль-
шого числа дефектов на границе раздела вольт-амперная харак-
1ернстнка изотнпных гетеропереходов может представлять собой
наложение двух обратных ветвей харак-
теристик диодов. Это обусловлено воз-
никновением двух встречно включенных
запирающих слоев (рнс. 32.4, б). Вслед-
ствие захвата электронов на локальные
состояния Nis на границе раздела по-
является отрицательный заряд, искрив-
ляющий зоны в обоих полупроводниках
вверх, что и соответствует возникнове-
нию двух запирающих слоев. На рис.
32.5, а и б приведены в. а. х. изотипных
гетеропереходов, соответствующие рис.
32.4, а н б.
Гетеропереходы типа р-п могут иметь
разные зоиные диаграммы и в. а. х. На
рнс. 32.6 приведены зонные диаграммы
для неизотнпных гетеропереходов, где
искривление зон соответствует обедне-
нию основными носителями заряда для
обоих полупроводников.
В заключение отметим, что исполь-
'^V2
^Vt
а)
*12
•Еф
^2

4S
еS)
Рис. 32.4. Зонная диаграмма
n-л-гетероперехода (а) и два
встречно включенных запи-
рающих слоя (б)
зование гетеропереходов весьма пер-
спективно. В изотнпных гетеропереходах процесс выпрямления
связан с движением основных носителей заряда и, следовательно,
медленные эффекты накопления — рассасывания носителей заряда
исключаются, и предельное быстродействие соответствующих диодов
ограничивается главным образом величиной сопротивления и ем-
кости активной области. Так, в литературе описаны изотипиые
п -п-гетеро пере ходы и диоды на основе фосфида нндня (InP) и арсе-
нида галлия (GaAs), обладающие емкостью 4 пФ при сопротивлении
нагрузки 270 Ом. Онн переключались с обратного напряжения
(—2,5 В) на прямой ток (3 мА) в течение 1 нс. Аналогичные резуль-
таты были получены для переключающих диодов, выполненных на
гетеропереходах n-Ge-n-Si, которые применили в качестве высоко-
скоростных переключателей логических схем (время переключения
лучших образцов диодов составляло 0,5—0,9 нс). На основе нзо-
типных гетеропереходов могут быть созданы также диоды СВЧ и
другие приборы. Прн использовании гетеропереходов в транзисторах
209
можно рассчитывать на увеличение мощности при одновременном
повышении частотного предела. Особое место занимают лазерные
Рис. 32.5. Вольт-амперная
характеристика изотип-
пых гетеропереходов, со-
ответствующих рис. 32.4
Рис. 32.6. Зонные диаграм-
мы нензотипных гетеропере-
ходов, т. е. р-п-гетеропере-
ходов
диоды на гетеропереходах (см. далее). Гетеропереходы можно ис-
пользовать для создания активных элементов интегральных схем.
Выводы к § 32
1. В толстом р-/-«-переходе наблюдается рекомбинация носителей заряда,
поэтому полный ток состоит не только из сквозного, но и рекомбинационного тока.
2. В изотипных переходах типа «+-л, р+-р создается контактная разность
потенциалов (изгиб зон), но они не являются выпрямляющими.
3. Изотипные гетеропереходы, так же как и неизотипные, могут быть вып-
рямляющими. Зонные диаграммы гетеропереходов весьма разнообразны и их вид
зависит от соотношений работ выхода и ширины запрещенной зоны в контакти-
рующих полупроводниках. Кроме того, искривления зон зависят от наличия
заряженных состояний на границе раздела полупроводников.
ГЛАВА YU
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ДИЭЛЕКТРИКАХ
§ 33. ПОВЕРХНОСТНЫЕ УРОВНИ И ИЗГИБ ЗОН. ДЛИНА ЭКРАИИРОВАНИЯ
И ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
Ранее были описаны явления на контакте твердых полупро-
водников. Аналогичным образом можно рассматривать контакт по-
лупроводника или диэлектрика с газовой фазой или вакуумом.
< )дйако в отличие от контакта твердых кристаллических фаз здесь
\ поверхности твердого тела обрывается периодичность в располо-
жении атомов. (
Поверхность можно классифицировать, подразделив на идеаль-
ную и реальную. Идеальную поверхность можно представлять как
скол кристалла по некоторой кристаллографической плоскости
в идеальном вакууме, предполагая, что положение атомов на поверх-
ности в результате скола не изменилось по сравнению с идеальной
кристаллографической плоскостью. Прн теоретических исследова-
ниях обычно начинают с идеальной поверхности.
Действительные поверхности, которые получают в процессе
производства полупроводниковых приборов и интегральных схем,
можно подразделить на атомарио-чистые и реальные. Атомарно-
чистые поверхности получают в ультравысоком вакууме, например,
помощью ионной бомбардировки, высокотемпературного отжига,
десорбции в электрическом поле, химическим восстановлением
прн повышенных температурах, скалыванием по кристаллографи-
ческой плоскости. Такне поверхности могут иметь относительно
небольшое число адсорбированных примесей п могут быть исследо-
ваны и сохранены только в сверхвысоком вакууме, например, по-
рядка 10"10 мм рт. ст.
Реальные поверхности чаще всего получают химическим трав-
лением с последующей отмывкой и сушкой. Эти поверхности содер-
жат некоторое количество примесей за счет химической обработки
и в результате адсорбции газов из окружающей атмосферы. Следует
отметить, что в воздушной атмосфере и при недостаточно высоком
вакууме на поверхности полупроводника возникает пленка окнсла
(речь идет не об окисных полупроводниках).
211
Уровни Тамма
Рассмотрим линейную цепочку атомов, оборванную с одного
конца, т. е. цепочку, неограниченную лишь в области х > 0, а
в области х <0 имеем вакуум с постоянным потенциалом (Л
(рис. 33.1).
Влияние такого обрыва на энергетический спектр электронов
для простейшей модели " ~
.ронига — пенни было впервые исследо-
вано советским ученым II. Е. Таммом
в 1932 г.
Тамм теоретически показал, что все
энергетические уровни электронов, раз-
решенные в неограниченном кристалле,
являются разрешенными и для ограни-
ченного кристалла. Обрыв решетки при-
водит, однако, к возникновению разре-
шенных уровнен в запрещенной зоне.
Волновые функции электронов для этих
уровней быстро затухают при удале-
ини от поверхности как в вакуум, так
н в глубь кристалла. Следовательно, эти состояния характерны
именно для самой поверхности и электроны, занимающие их, рас-
полагаются на поверхности. Поэтому этн уровни (состояния) назы-
вают поверхностными или уровнями Тамма. Концентрация уров-
ней Тамма определяется концентрацией поверхностных атомов, т. е.
составляет величину порядка 101а см-2. Эти уровни в общем случае
могут быть донорными, акцепторными или рекомбинационными
ловушками. Взаимодействие между уровнями может приводить
к размытию их в поверхностную зону. Электроны в этой зоне могут
двигаться только вдоль поверхности.
Поверхнсстные уровни и заряды
Уровни Тамма возможны для идеальной поверхности полупро-
водника. Реальные же поверхности покрыты слоем адсорбирован-
ных или химически связанных атомов или молекул, чужеродных
для данного кристалла. Эти примеси также создают поверхностные
уровни, которые могут быть донорными, акцепторными или реком-
бинационными ловушками. Заметим к тому же, что роль примесей
могут играть различные дефекты решетки, причем и в этом случае
создаются поверхностные уровни.
Вероятность заполнения электронами акцепторных поверхност-
ных уровней с достаточной точностью определяется функцией Ферми
/фп = Да9 — 5ф » (33.1)
е 'kT +1
где Еяв — уровень энергии, заполняемый электроном; Е& — уро-
вень Ферми Строго говоря, следовало бы ввести для акцепторных
212
\ ровней фактор g = 1/2, а для донорных g == 2, но в данном случае
пбнчпо считают множитель при экспоненте g = 1
Вероятность наличия положительных дырок на донорных по.-
ырхностных уровнях определяется соответственно в виде
/фр — 1 — f®n = “Еф— Е~---’ (33 2)
е Л' +1
Концентрация электронов на уровнях определяется произведе-
нием концентрации примесей /Vas на /фл, а концентрация дырок на
уровнях равна N^®p.
Плотность поверхностного заряда акцепторных уровней, захва-
ливающих электроны
и плотность поверхностного заряда донорных уровней, отдающих
электроны (вследствие чего на уровнях возникают положительные
дырки)
Qp — eN Д1?/ Фр > 0.
Если Еф> EaS, то при увеличении Е® вплоть до Е® = Ес вели-
чина /фп приближается к единице, так что (?л по абсолютному зна-
чению увеличивается до eNas. Следовательно, чем выше располз-
ается уровень Ферми, тем большее число акцепторов оказывается
заряженными электронами.
Наоборот, концентрация положительных дырок на донорах воз-
растает при-понижении уровня Ферми к Ev и при Е® =EV можно
положить /фр = 1, a (Qp)max = eNas.
Сказанное согласуется с общими представлениями о заполне-
нии ловушек (см. § 25).
Изгиб зон и глубина проникновения поля
При наличии заряда на поверхности полупроводника или диэ-
лектрика одноименные заряды поверхностного слоя испытывают
отталкивание, а разноименные — притяжение. Вследствие этого
поверхностный слон обедняется носителями того знака, каким
заряжена поверхность и обогащается носителями противополож-
ного знака, т. е. наблюдается изгиб зон и возникает объемный заряд
{создается область пространственного заряда (ОПЗ)].
Если поверхность полупроводника заряжена отрицательно, то
в приповерхностном слое зоны изгибаются вверх (рис. 33.2, а),
если положительно — вниз (рис. 33.2, б). В первом случае в полу-
проводнике n-типа создается обедненный основными носителями
заряда слой, а в полупроводнике р-типа — обогащенный основными
носителями заряда слон. Во втором случае картина обратная. Изгиб
зон аналогичен случаю контакта полупроводник — металл, опи-
санному в § 28. Различие состоит лишь в способе создания поверх-
213
I
Рис. 33.2. Изгиб зон
при наличии отрица-
тельного (о) и положи-
тельного (б) заряда на
поверхности полупро-
водника
постных н объемных зарядов. При контакте с металлом знак заряда
на поверхности металла (или границе раздела полупроводник —
металл) определяется в зависимости от работы выхода электронов
из полупроводника и из металла. При контак-
те с вакуумом (газовой средой) заряд поверх-
ности определяется наличием занятых акцеп-
торных и донорных поверхностных уровней.
Но в обоих случаях в соответствии со зна-
ком заряда поверхности полупроводника оп-
ределяется знак объемного заряда в припо-
верхностном слое.
Если в объеме электронного полупровод-
ника все доноры ионизированы, то согласно
(28.5) плотность объемного заряда
- _
ps=e/z0.l—е (33.3)
Прн большом искривлении зон р — еп0 и
электростатический потенциал
ф—<33-4)
где х отсчитывается от внутренней границы
обедненного слоя к поверхности полупровод-
ника аналогично (28.10). Очевидно, что здесь можно повторить ряд
выводов и заключений, касающихся потенциала п поля, сделанных в
§ 28. Это относится не только к большому изгибу зон, но и к случаю
расчета дебаевской длины экранирования и вывода формулы (28.23).
Для полупроводников п- и p-типа соответственно получают
Однако можно применять п более общее выражение, пригодное
для любых полупроводников,
;’=)Л!(Ло+Ро) • (33-5)
Отсюда можно получить дебаевскую длину экранирования LD
в собственном полупроводнике, где = р0 = п{,
Ln=V^-- <зз-5'>
Для заданного полупроводника при данной температуре вели-
чина Ld оказывается постоянной, независящей от степени и рода
легирования. В частности для германия при 300 К величина LD =
= 1,4 -10"4 см.
Используют Ld так же, как меру проникновения поверхностного
поля в полупроводник, независимо от того, является ли он собст-
214
Рис 33.3. ’Инверсные
слои у поверхности
электронного (а) и ды-
рочного (б) полупро
водника
iii иным или примесным. К тому же (см. далее) величина LD входит
кис параметр в ряд выражений, характеризующих потенциал и
ноле в приповерхностном слое любого полупроводника.
Прн значительном изгибе зон возникает инверсный слой, кото-
рый имеет малую толщину и отличается знаком основных носителей
и ряда (рис. 33.3). Если поверхность полупроводника n-типа имеет
большой отрицательный заряд, то вблизи поверхности меняется
шп основных носителей заряда, т. е. создается слой дырочного полу-
проводника (рис. 33.3, о). Аналогично при
большом положительном заряде на поверх-
ности в полупроводнике p-типа возникает
инверсный электронный слой. Изменение по-
гонцнала в пределах тонкого инверсного слоя
невелико, н глубина проникновения поля
(юлщина инверсного слоя) определяется эф-
фективной длиной экранирования (куда вхо-
дят характеристики неосновных носителей
заряда). В частности для полупроводника
л-т н па
<33-6’
и для полупроводника р-тнпа
<33-7)
Таким образом, прн приближенных рас-
четах изменения потенциала и глубины про-
никновения поля используют приближение
рф kT не только для квазинейтральных, но
(а также обедненных слоев). Очевидно это противоречит случаю
постоянства объемного заряда (28.6), т. е. расчету обедненного слоя
Шоттки, но последнее приближение является другой крайностью.
Для этого крайнего случая можно указать простую формулу для
расчета концентрации NSA заряженных поверхностных состояний.
В слое Шоттки полупроводника n-тнпа объемный заряд для парал-
лелепипеда (цилиндра) единичного сечения будет Следова-
тельно, нз условия нейтральности имеем
eNsi = enodn. (33.8)
Кроме того, абсолютное значение поверхностного электростати-
ческого потенциала для слоя Шоттки
и инверсных слоев
= (33.9)
Из соотношений (33.8) и (33.9) находим
(33.10)
215
Здесь Nsi выражает концентрацию заряженных поверхностных
состояний, а не концентрацию свободных носителей заряда на
поверхности.
Значит, при наличии на поверхности заряженных состояний
наблюдается изгиб зон в приповерхностной области, т. е. откло-
нение их от «плоских» зон. Последний термин часто используют
в теории поверхностных явлений в полупроводниках и диэлектри-
ках.
Общие соотношения для расчета электростатического
потенциала и поля в области пространственного заряда
Для невырожденного полупроводника равновесная концентра-
ция носителей заряда определяется в соответствии с распределе-
нием Больцмана
е<р еф
n=n^kT\ р*=р& kT. (33.11)
Эти формулы можно получить и на основе общих выражений для
концентрации невырожденных полупроводников, как это сделано
в § 28, где использованы соотношения (28.2) и (28.3). Здесь принято
е<р < 0 и ф < 0 при изгибе зон вверх.
Ранее учитывали лишь одни тип носителей заряда — основной
н определяли плотность объемного заряда только через концентра-
цию ионизированных доноров и величину я в виде (33.3). В общем
случае следует учитывать оба типа носителей заряда. Поэтому
плотность объемного заряда согласно (33.11) можно записать в виде
р= e/io(l — eftr) —ер0(1—е~^г). (33.12)
Если, как это принято во многих случаях в литературе, электро-
статический потенциал обозначить Т н считать, что он отсчиты-
вается от fio, причем начало отсчета обозначить через 4%, то изгиб
зон будет определяться в виде е (Т — 4%) = еф.
Для удобства решения уравнения Пуассона введем новые пере-
менные: безразмерный электростатический потенциал Y и безраз-
мерную величину X:
У = g(\r~= (33J3)
kT kJ ’ П{ По 4 '
Согласно (33.13) X зависит лишь от объемных свойств н равна
единице для собственного полупроводника Она тем больше единицы,
чем резче выражена дырочная электропроводность, т. е. чем ниже
по сравнению с Е,-о расположен уровень Ферми. Наоборот, вели-
чина X тем меньше единицы, чем резче выражена электронная эле-
ктропроводность в заданном полупроводнике, т. е чем выше по
сравнению с £;0 расположен уровень Ферми
Величина Y пропорциональна ф (или V — Ч^), причем в зави-
симости от выбора начала отсчета и правила выбора знака ф соот-
216
и 1<-1веино определяется Y. Далее будем оговаривать тот или
иной выбор. В частности, прн записи соотношений (33.11), (33.12)
шчина ф (следовательно, н Y) принята положительной при изгибе
ин вниз.
Уравнение Пуассона
приводим к виду
2g = W-1(e‘'-l)-Me-’'-l)l. /33.15)
Далее умножим обе части равенства (33.15) на dY/dx и исполь-
• уем тождество
9 dY d*Y _ d (dY \2
dx ' dx2 dx \dx J
Тогда получим
= Г33.16)
Умножим обе части равенства (33.16) на dx н интегрируем по Y:
= (33.17)
О
Отсюда
= /.№(/> У-С, (33.18)
где
F(Y, Х) = [Х(е-5'-1) + Л-1(еу-1) + У(Х-Л-1)]'/2. (33.19)
Постоянную интегрирования определим из граничного условия
для объема полупроводника. Поскольку при х->- оо имеем Y = О,
dY/dx — 0, следовательно, С = 0 (отсчет х ведем от поверхности).
Ограничиваясь абсолютной величиной dY/dx из (33.18), имеем
(У, л). (33.20)
Здесь величина Y > 0 при изгибе зон вниз и Y < 0 прн изгибе
зон вверх.
Интегрирован не уравнения (33.20) проводят раздельно - для
инверсного слоя, области обеднения и области обогащения, причем
находят интеграл
(33’21)
Но для определения поверхностного потенциала Ys можно вос-
пользоваться условием электронейтральиости. Плотность зарйда
217
на поверхностных состояниях, которую в дальнейшем будем обоз-
начать через Q„, можно найти в виде Qss = eNaSf<i>n = eNsl. Эта
величина по абсолютному значению равна объемному заряду в при-
поверхностном слое Qsc, приходящемуся на единицу сечения, ана-
логично (33.8). Величину Qsc находим в виде
QK = fp(x)dr. (33.22)
О
Интегрирование от 0 до ос соответствует изменению х от поверх-
ности до неограниченной глубины в полупроводнике.
Поскольку р по (33.12) отлично от нуля лишь в пределах слоя
объемного заряда, ясно, что фактически интеграл тоже будет нахо-
диться лишь для этих пределов.
Согласно уравнению Пуассона (33.14)
Таким образом,
п - eg0kT Fd2y — e&okT Г _ espfeT fdY\
^sc e ' dx2 x e ' dx | e \dx)x^0'
о о
Согласно (33-.20) имеем
X)- <33’24)
Учитывая (33.5'), получим
Qse^2en/LDF(YSf X). (33.25)
Соотношение (33.25) позволяет установить связь между заря-
дом Qsc и поверхностным потенциалом У5. Кроме того, поскольку
Qsc = Qss, имеем, что концентрация заряженных поверхностных
состояний
ttrt = 2rt)LDF(K5, X). (33.26)
Если эта концентрация известна, то из соотношения (33.2G)
можно найтн
Выводы к § 33
1. Вследствие обрыва кристаллической решетки на поверхности полупровод-
ника возникают уровни Тамма, т. е. добавочные разрешенные энергетические
уровни в запрещенной зоне полупроводника.
2. Примеси, адсорбированные или химически связанные, с атомами поверх-
ности полупроводника, создают добавочные разрешенные энергетические уровни
в запрещенной зоне полупроводника.
3. Если поверхность полупроводника (поверхностные состояния) заряжена
отрицательно, то в приповерхностном слое зоны изгибаются вверх; если поверх-
ность заряжена положительно — зоны изгибаются вниз. Глубина проникновения
поля при малом изгибе зон характеризуется дебаевской длиной экранирования.
218
4. Когда концентрация неосновных носителей заряда является достаточно
н и окой, необходимо определять объемный заряд в приповерхностном слое в виде
пебраической суммы (33.12). В этом случае уравнение Пуассона приводят к виду
(13.15), и после его интегрирования определяют напряженность электрического
тин в приповерхностном слое полупроводника с помощью соотношения (33.20).
Плотность заряда на поверхностных состояниях Q4A по абсолютному значению рав-
н.| объемному заряду в приповерхностном слое Qsl, приходящемуся на единицу
и ницади сечения вдоль поверхности полупроводника. Величина Qsc зависит от
поверхностного потенциала (безразмерного потенциала ЕЛ), т. е. от изгиба зон,
но аналитически выражается в виде соотношения (33.25).
§ 34. ИЗМЕНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ ПРОВОДИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ ЗОН
Для плоских зон (рис. 34.1, а) концентрация носителей заряда
в приповерхностном слое не отличается от концентрация носителей
щряда в объеме полупроводника. Однако если за счет какой-либо
причины возникает изгиб зон, то указанные ________________f
концентрации отличаются друг от друга. На- с
пример, при изгибе зон вниз (рнс. 34.1, б) для -----------р.
полупроводника n-типа наблюдается обога-
щение основными носителями заряда и обед- ----------------Ev
пение неосновными, при этом концентрация
носителей заряда в приповерхностном слое
больше, чем в объеме. При изгибе зон вверх
(рис. 34.1, в) для полупроводника p-типа соз-
дается подобная же ситуация. В противопо-
ложных случаях наблюдается обеднение ос-
новными носителями заряда и обогащение
неосновными. В соответствии с изложенным
процессом изменяется поверхностная прово-
димость, причем обычно ее определяют как
Рис 34 1. Плоские зоны (а), зоны, изогнутые вниз (б),
зоны, изогнутые вверх (в)
проводимость приповерхностного слоя, который включает как
«геометрическую» поверхность, так и слой дебаевской глубины
экранирования (точнее ОПЗ). Такую поверхность называют «фи-
зической».
Приповерхностная избыточная концентрация носителей
заряда для равновесных объемных концентраций
Положим, что в объеме полупроводника концентрация носителей
заряда равновесная, так что при плоских зонах эта же концентра-
ция будет и в приповерхностном слое. При изгибе зон имеем
n = n^v, р = рпе~у, (34.1)
причем здесь принимаем У > 0 для изгиба зон вниз.
219

Избыточную концентрацию носителей заряда определяют как
интегральную величину, соответствующую всей толщине ОПЗ:
Ап = J (п — п0) dx = nu j (еу — 1) dx. (34,2)
о б
Здесь 'верхний предел принят равным бесконечности вместо
действительной толщины ОПЗ. Переписываем (34.2) в виде
Ys 1 Ys
кп = пЛ (еу — 1) 1 dY = n0Ln дуд; dY. (34.3)
о б
Обозначим
(34.4)
б
Окончательно получаем
Ап = По^рф/г X). (34.5)
Аналогичным путем для избыточной концентрации дырок полу-
чают
Ар=р0£лФР(^, X), (34.6)
где
Фл (У*, *)= \ riYT^dY' (34.7)
б
Интегральные избыточные концентрации электронов Ап и
дырок Ар определяют изменение поверхностной проводимости.
Приповерхностная избыточная концентрация носителей
заряда для неравновесных объемных концентраций
Положим, что во всем объеме полупроводника, кроме ОПЗ, кон-
центрации электронов и дырок
П1 = По+бп, р1 = р04-бр. (34.8)
Вводят безразмерный уровень инжекции 6, определяемый с по-
мощью соотношения
б = бп/П/ = ftp/fli,
и учитывают, что
п = (по+бп)еу, р = (р0 + бр)е-у
(34.9)
220
В этом случае получают абсолютное значение избыточной кон-
к in рации в виде
СО у
Ьп = (/?„+ in — п) dx = nt (X-1 + 6) Ld F ~ dY =
о б
= («о + М Ld 5 f (V.7,1 Sj dY’ (34.10)
О
00 _ у
Др = ( (Po + bp-pjdx^m (X + 6)Ld Jj fe(y 6)ri/ =
о 6
oS - Y
— (Po + 6p) J f\y, dY• (34.11)
Интегралы, входящие в выражения (34.5), (34.6), (34.10), (34.11),
и общем виде не берутся, однако их приближенные значения при
большой абсолютной величине Ys, когда функции F (У, X, 6) сво-
штся только к одному слагаемому, можно легко найти. Для ряда
полупроводников имеются таблицы, где приведены значения этих
интегралов.
Алгебраическую сумму избыточных концентраций Дп и Др,
умноженную на элементарный заряд, можно отождествить с пол-
ным зарядом на единице площади в ОПЗ, т. е. с Qsc, если не учиты-
вать неподвижный заряд, так что имеем
е (Ар —Дп) = Qsc = 2eniLDF (Ys, X, 6). (34.12)
Избыточная поверхностная проводимость
Для плоских зон избыточная поверхностная проводимость равна
пулю. При изгибе зон создаются избыточные концентрации Дп
и Др, так что наблюдается изменение поверхностной удельной про-
водимости в виде
До5 = ep,ns Ап + Др = epps (Ар + bs Дп). (34.13а)
Здесь р.Я5 и р.р5 — подвижности электронов и дырок в припо-
верхностном слое, которые в общем случае отличаются от объем-
ных подвижностей электронов и дырок вследствие рассеивающего
влияния поверхности; Ьа = flnsfaps* —изменение удельной по-
верхностной проводимости (в слое ОПЗ при расчете на единицу
поверхности).
Размерность полной поверхностной проводимости и удельной
поверхностной проводимости .cs одинакова, поскольку Qs = os р
где d — длина параллельных полосок-электродов на поверхности,
I — расстояние между ними. По поверхности образца полупровод-
ника d — ширина, I — длина.
221
По 634.13а) в выражениям для Ап и Ар согласно (34.10), (34.11)
находим
^^e^ntLng, (34.136)
где
g = \ Х(е~— ‘к(;4т)~'^еУ~!) dY. (34.11
Рис. 34.2. Зависимость избы-
точной поверхностной про-
водимости Aos от электро-
статического поверхностного
потенциала Ys (безразмерно-
го) для полупроводника:
/ — л-типа: 2 — собственного;
3 — p-типа (значение Ksmln по-
казано лишь для полупровод-
ника л-типа)
Для простоты здесь пренебрегли величиной 6, хотя можно было
записать н более общее выражение g, когда 6 Ф 0. Интеграл (34.14)
протабудпровал для некоторых полупроводников при различных
значениях X и 6», т. е. составлены таб-
лицы, а также рассчитаны и построены
номограммы, из которых при заданных
параметрах X и можно определить
g = f (КО- Следовательно, по (34.136)
можно найти AaQ = / (Ys).
Если по оси ординат отложить АаД
а по осп абсцисс Ys, то теоретически
можно построить кривые &as = f (Ys)
для полупроводников п-тнпа, p-типа и
собственных. На рис. 34.2 приведены
такие кривые при условии Ys > 0 для
изгиба зон вниз и Ys < 0 при изгибе
зон вверх. В электронном полупровод-
нике при У5> 0 (зоны изогнуты вниз)
имеем обогащенный основными носите-
лями Заряда слой, так что Aas>0. При
уменьшении до нуля величина Aas
также снижается до нуля. Далее при от-
рицательном значении Ys с ростом абсо-
лютной величины Y, наблюдается Аа,<0,
поскольку при изгибе зон вверх возникает обедненный основными
носителями заряда (электронами) приповерхностный слой. Но
с дальнейшим увеличением абсолютной величины Ys достигается
минимум, соответствующий началу возникновения инверсного ды-
рочного слоя, т. е. прн У,mm уровень Ферми примерно совпадает с
серединой запрещенной зоны Е, вблизи поверхности. Далее воз-
никает инверсный слой дырочной электропроводности, в котором
концентрация дырок выше nt] так чтО с последующим увеличением
абсолютной величины Ys наблюдается изменение знака Aas и затем
рост ее положительного значения по экспоненте.
Как показывает расчет по известному правилу d^s' — 0, ми-
нимум на кривой Да5 достигается при
У,т|п = 1л£. (34.15)
"s
222
Пи юда ясно, что с увеличением степени легирования электрон-
н полупроводника, при котором X уменьшается, величина У%пнп
Il in ается влево
Для полупроводника p-типа кривая / (У\) имеет аналогич-
.11 hi ход, но min > 0 и с ростом %, т. е. при увеличении степе-
ни легирования дырочного полупроводника, смещается
I'llpilBO
При выполнении условия (34.15) концентрация неосновнык
it iriслей заряда у поверхности полупроводника с поправкой на
п ношение подвижностей равна концентрации основных носителей
ряда в объеме. Например, по выбранному ранее правилу знаков
ни Ys объемная равновесная концент-
III,ня свободных электронов иаповерх-
— flt£Ys. (34.16)
Подставляя Ys = У5т!п по (34,15) иа-
• одни для полупроводника р-типа
. 4 = £». (34.17)
' ° bs bs nt b, '
В собственном полупроводнике кри-
вая Aos = f (Ys) хотя и располагается
между кривыми для п- и p-типов, од-
нако она ближе к кривой для п-типа,
и минимум и а кривой собственного по-
лупроводника находится при небольшом
пр и нательном значении У.„ Это опреде-
ляется различием в подвижностях элек-
IpOHOB И дырок (рЛ5>
Приедем, кроме типового рис. 34.2,
примеры экспериментальных кривых,
позволяющих представить порядок ве-
личин и реальный ход кривых Аа5 =
‘ / (У»)-
На рис. 34.3 приведены кривые, со-
ответствующие значениям X, равным
0,14 и 4,5 «10_в, которые относятся к од-
юииой
50
Л6$,МК0м
100 ~

10 20 Г'
О'
-50\...............
-30 -20 -ю
Рис 34,3, Зависимость избы-
'точной поверхностной прово-
димости До$ от поверхност-
ного потенциала Ys— eqslkT
(безразмерного), выраженно-
го в единицах kTle, для гер-
мания п- и р-типа:
а при 300 К: б — при 200 К
(здесь принято > Одля изги-
ба зон вверх)
-50
-30 -20
Л65,МКСМ
150
100
0,14 и 4,5 .10-®,
пому образцу германия электр(
электропроводности с = 2-1014 см-3.
Две другие кривые со значениями X, равными 7,4 и 2,2-10*, соответ-
ствуют образцу германия дырочной электропроводности с АГ, =
— 2 • 1014 см"3, Видно, что возрастание величины X или X'1, обуслов-
ленное в данном случае понижением температуры, приводит к сме-
щению минимума поверхностной проводимости в сторону больших
значений поверхностного электростатического потенциала и общему
расширению кривых. Аналогичный результат дает изменение X за
счет изменения концентрации 2Va или Nд.
223
Для практического использования удобно также иметь зависи-
мость Aos от Qsc. Поскольку согласно (34.12) имеется связь между
Рис. 34.4 ?ависимость избыточной по-
верхностном электропроводности от
заряда Q5C для образцов из германия
при 300 К
34.5. Зависимость избыточной по-
Рис. ___
верхностной электропроводности и за-
ряда Qsc единицы площади для ОПЗ от
поверхностного потенциала для герма-
ния p-типа с Ма — 3,4-1013 см--1 (при-
нято <р5 > 0 для изгиба зон вверх)
избытком носителей заряда (Qsc) и Ys, то кривые Aos = f (Qsc)
в принципе можно построить. Например, на рис. 34.4 приведены
две такие кривые для образцов из германия n-типа. При больших
избытках электронов или дырок в ОПЗ связь
между Ao’s и Qsc практически линейна, посколь-
ку как Aos, так и Qsc определяются величиной
избытка либо электронов, либо дырок Вторым
слагаемым в (34.12), (34.13) можно пренебречь.
Соответственно наклоны ветвей кривых поверх-
ностной проводимости при больших ее значениях
определяются подвижностью электронов р.я и
дырок |хл (здесь принято Щ и |1р4 = цД
Для электронного обогащения (левая ветвь)
d &os
~ <Югс
Для дырочного обогащенного
слоя ОПЗ (правые ветви)
dAa.
При малых величинах заряда
изгиб ЗОИ, при ко-
тором у поверхно-
сти образуется вы-
рожденный газ
электронов (а) или
дырок (б)
(34.18)
инверсного
(34.19)
щается в сторону-
дим больший изгиб зон,
При малых величинах заряда Qsc зависи-
мость Aas = f (QM) нелинейна. С увеличением
п0 (уменьшением X) минимум на кривой сме-
больших значений Qsc, ибо для инверсии необхо-
224
На рис. 34.5 совмещены теоретические кривые Ло5 и Qsc Для гер-
мания p-типа с концентрацией Л\ == 3,4 -1013 см-3 как функции е<р5
или ср5 при комнатной температуре. Видно, что диапазон cps ограни-
чен значениями около ±0,2 В, диапазон Qsc значением порядка
t5*l0-8 Кл/см8. Изгиб зон etps = +0,2 эВ составляет примерло
половину ширины запрещенной зоны для германия. Здесь принято
e(ps > 0 и 0 для изгиба зои вверх.
В заключение Отметим, что при большом изгибе зон, когда осо-
бенно сильно выражены слои обогащения или инверсии, у поверх-
ности* уровень Ферми может зайти в зону проводимости или в ва-
лентную зону, т. е. соответствующий слой будет иметь вырожденный
газ электронов или дырок (рис. 34.6). В этом случае первый интег-
рал уравнения Пуассоиа может быть получен в форме, аналогичной
(33.20), но вместо LD войдет /9, и будет иметь иное выражение
F (Y, X). Очевидно, в этом случае величина До5 будет особенно
большой.
Выводы к § 34
1. Поверхностная проводимость определяется как проводимость приповерх-
ностного слоя, включающего всю область пространственного заряда (ОПЗ).
Изменение поверхностной проводимости при изгибе зон обусловлено избыточными
концентрациями носителей заряда, которые находят как интегральные величины,
соответствующие всей толщине ОПЗ. При условии, что в объеме полупроводника
концентрации носителей заряда равновесные, избыточные концентрации находят
в виде (34.5) и (34.6).
2. Приповерхностные избыточные концентрации носителей заряда для слу-
чая неравновесных объемных концентраций определяют с помощью соотношений
(34.10) и (34.11). Алгебраическая сумма избыточных концентраций характеризует
полный заряд на единице площади в ОПЗ, если не учитывается неподвижный
заряд в ОПЗ.
3. Избыточная поверхностная проводимость при изгибе зон выражается фор-
мулой (34.13). В зависимости от Ys, т. е. величины изгиба зон у поверхности,
изменяется избыточная поверхностная (приповерхностная) проводимость. При
изгибе зон вниз приповерхностный слой в полупроводнике n-типа оказывается
обогащенным основными носителями заряда, так что Легs положительная величина.
При плоских зонах Ла5 ~ 0, а при изгибе зон вверх в полупроводнике я-типа
возникает обедненный основными носителями заряда слой. При достаточно боль-
шом изгибе наблюдается инверсия проводимости и возрастание Ло5 за счет при-
тока дырок. Для полупроводника p-типа картина аналогичная только с противо-
положным знаком изгиба зон. Зависимость Да5 от Qsc при больших избыточных
концентрациях практически линейная и наклоны ветвей кривых определяются
подвижностью носителей заряда; при малых значениях концентраций зависи-
мости Ло5 от Qsc нелинейные.
§ 35. ЭФФЕКТ ПОЛЯ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Изгиб зон и избыточную поверхностную проводимость можно
получить с помощью внешнего поля, перпендикулярного поверх-
ности полупроводника. Такое изменение поверхностной проводи-
мости называют эффектом поля. Очевидно, в чистом виде эффект
поля должен реализоваться на плоских зонах, т. е. до включения
внешнего электрического поля зоны должны быть плоскими. Одиако
8 Орешкин П. Т.
225
в действительности так не бывает, ибо заряженные поверхностные
состояния уже изгибают зоны, т. е. экранируют действие внешне!о
поля, а наложение последнего приводит к изменению изгиба зон.
Эффект поля является важным средством изучения физики поверх-
ности и, кроме того, определяет механизм действия полевых тран-
зисторов с изолированным затвором в виде дискретных активных
элементов и элементов интегральных схем.
Некоторые методы реализации и наблюдения эффекта поля
структуры МДП с оми-
ческим контактом
справа
Рассмотрим структуру металл —диэлектрик — полупроводник,
(МДП), подключенную к источнику внешнего напряжения
(рис. 35.1). Полагаем, что контакт полупро-
водника с металлом (справа) омический и не'
влняёт на рассматриваемую структуру МДП,!
а диэлектрик является идеальным изолято-
ром, т. е. в нем отсутствуют как равновес-
ные, так и инжектированные свободные но-
сители заряда. Полупроводник П считаем
низкоомным настолько, что его можно рас-
сматривать как обкладку конденсатора с ди-
электриком Д и второй обкладкой М. Удель-
ная емкость этого конденсатора С.
Таким образом, полагаем, что вся внешняя
разность потенциалов практически распреде-
ляется на диэлектрике, а в полупроводнике на грани, обращен-
ной к диэлектрику, наводится заряд Q, как на одной из обкладок
конденсатора. Общий заряд Q, кроме внешней разности потенциалов,
определяется контактной разностью потенциалов:
Q-CG'+yj.
Но если V VK, то
Q = CV.
(35.1)
(35.2)
Будем все величины считать отнесенными к единице площади,
так что С и Q будут выражать емкость и индуцированный заряд,
соответствующие единице площади. Причем на металлическом
электроде такой же по абсолютной величине, но противоположный
по знаку заряд распределяется на поверхности, а в полупровод-
нике-обкладке в приповерхностном слое (т. е. в ОПЗ) и на поверх-
ностных состояниях; поэтому его можно представить в виде
Q = QSC4-Q«. (35.3)
Здесь Qsc — заряд подвижных электронов и дырок, подтянутых
в ОПЗ (оттянутых отсюда) из объема полупроводника за счет внеш-
него напряжения (зарядом неподвижных носителей Qsc при рас-
смотрении эффекта поля обычно пренебрегают), a Qss — заряд
неподвижных носителей на поверхностных состояниях, также под-
226
Рис. 35.2. Схема для на-
блюдения эффекта поля в
полупроводнике, находя-
щемся между двумя по-
левыми электродами (Ут
— тянущее напряжение.
V — полевое)
।iiну11ix сюда и захваченных поверхностными состояниями. Заряд
ш щвижных носителей создается на протяжении очень короткого
г| и-мен и, определяемого максвелловской (диэлектрической) релак-
111 пей, которая в типичных полупроводниках имеет малое время
[ишример, тм ~ 10"11 с). Затем этот заряд релаксирует, так как
ни н> свободных носителей заряда захватывается поверхностными
। и» юяниями. Процесс захвата может быть сильно растянут по вре-
• I пн, хотя после включения постоянного напряжения V наблю-
дайся возникновение индуцированного заряда Q. Вначале Q состоит
лишь нз заряда Qsc, который затем уменьшается, но зато возни-
кли’ и растет заряд Qss. Через некоторое время1 после окончания
процесса имеем дело с установившимися значениями Qsc и Qss
Если диэлектрик достаточно толстый и его диэлектрическая про-
ницаемость не зависит от поля, то величина С есть лишь емкость
'пшенного конденсатора, а последователь-
но соединенная емкость ОПЗ выпадает,
ши как она может быть значительно боль-
шей. При этом V распределяется в основ-
ном на диэлектрике. Следовательно, соглас-
но (35.2) при заданном V можно легко
определить Q, а согласно (35.3) изучать
кинетику зарядки (или разрядки) поверх-
ностных состояний.
Опытное определение эффекта поля и
соответствующих ему изгибов зон, зарядов
Qsc и Qss и т. д. осуществляют в различ-
ных вариантах, причем ие только при по-
стоянном поле.
Кроме описанного случая применяют и
другой вариант, когда диэлектрик располо-
жен по обе стороны от полупроводника (это
может быть вакуумным зазором), а эффект поля создается соответ-
ственно на двух противоположных поверхностях полупроводника.
На рис. 35.2 показан полупроводник, размещенный между двумя
металлическими электродами, изолированными от образца. На эти
электроды подается одинаковый потенциал. Если, например, на
них подан положительный по отношению к образцу полупровод-
ника /г-тнпа потенциал, то после включения V к поверхностям об-
разца подтягиваются основные носители заряда — электроны,
вследствие чего возникает избыточная поверхностная проводимость
Aos, которая в данном случае может быть непосредственно изме-
рена.
Быстрые н медленные состояния
Как показывают опыты, релаксация избыточной поверхностной
проводимости Аоа. на разных этапах происходив с различными ско-
ростями. Вначале наблюдается быстрый спад Aos, время релакса-
8*
227
ции которого лежит в пределах 10"4 * * *—10"8 * * с, и происходит умень-
шение поверхностной проводимости от Aosmax до Аол (рис. 35.3).
Далее наблюдается более медленная релаксация, характери-
зуемая постоянной т вплоть до многих минут и даже часов. Послед-
нее время релаксации зависит от нали-
чия иа поверхности полупроводника
пленки окисла (диэлектрика) толщиной
обычно порядка 15—30 А.
Релаксация в целом объясняется
наличием двух типов поверхностных
состояний — быстрых и медленных. Не-
Рис. 35.3. Релаксация избы-
точной поверхностной прово-
димости при эффекте
поля
вая (освобождая) часть
t
посредственно на поверхности полупро-
водника имеются уровни захвата — по-
верхностные состояния (см. § 33), кон-
центрация которых порядка 1011—1012
см-2. Эти уровни обуславливают быст-
рую релаксацию проводимости, захваты-
свободных носителей заряда. Поэтому их
называют быстрыми состояниями. Медленные состояння — это уров-
ни захвата электронов (и дырок), расположенные иа внешней по-
верхности окисла, а также внутри его, кото-
рые обуславливают медленную релаксацию
Acrs.
На рис. 35.4 приведена зонная диаграм-
ма полупроводника, где изображены быст-
рые состояния в виде отдельных уровней.
Здесь же показана зонная диаграмма слоя
окисла (диэлектрика), который обычно имеет-
ся на полупроводнике, и медленные состоя-
ния.
В данном случае у поверхности зоны ис-
кривлены вверх, что соответствует отрица-
тельному заряду на поверхностных состоя-
ниях. Запрещенная зона для окисла шире, чем
у полупроводника, т. е. здесь по существу
имеется гетеропереход. Полагаем, что в окисле
Рис. 35.4. Зонная диа-
грамма полупроводни-
ка и слоя окисла (ди-
электрика) на нем
зоны наклоняются также вверх, что соответ-
ствует достаточно большому отрицательному заряду на медленных
поверхностных состояниях, концентрация которых порядка 1014—
1013 о»Г®. Ход зон изображен линейным, т. е. поле в окисной плен-
ке предполагается однородным.
Величина т для медленных состояний зависит от толщины слоя
окисла, который проходят носители заряда, прежде чем попасть
на уровни энергий медленных состояний. Противоположный про-
цесс — освобождение с ловушек и дрейф — тоже возможен и харак-
теризуется аналогичным временем релаксации.
Очевидно, т определяется временем соответствующей миграции
(дрейфа) носителей заряда через слой окисла. Значит, если тол-
228
ii) ( чоя окисла, через который мигрируют носители заряда, обо-
п!п> через d, дрейфовую скорость —через одр = где р —
I •.|.11и>кпость носителей заряда в окисном слое и @ — напряжен-
• и. (однородного) поля в слое, то
(35,4)
I гл и процесс иосит активационный характер, то можно поло-
ть г/ « е&Е//гТ, что характеризует время жизни носителей заряда
В ыкрепленном состоянии на уровне с энергией ионизации ДЕ.
• 1 питательно, для элементарного релаксационного процесса со
ipnro заданными dt р., ДЕ имеем
л АЕ
Ъ-Ае”. (35.5)
ц©
Однако реальный процесс перезарядки медленных поверхност-
ных состояний более сложен и зависит от состояния поверхности.
Модели однородной н гетерогенной поверхностей
Исследования поверхностей германия и кремния показали, что
( иственная защитная пленка окисных соединений на поверхности
полупроводника, образующаяся в ходе травления, а затем при про-
панке и сушке пластик илн приборов, является нестабильной.
111 вязи с этим отмечают два различных состояния реальной поверх-
ности полупроводника — свежепротравленная и стабилизированная
ш щержкон на воздухе поверхность. Окисные пленки широко исполь-
»уют как защитное (пассивирующее) покрытие, как маскирующее
покрытие в технологии полупроводниковых приборов и интеграль-
ных схем, как часть активных элементов в системах металл — оки-
11'л — полупроводник (МОП) и соответствующих интегральных
i хсмах МОП. Кроме того, окисная пленка, как уже отмечалось,
неизбежно возникает на атомарных полупроводниках типа кремния,
i срмания и др.
Только на образцах, имеющих атомарно-чистую поверхность,
и образцах, находящихся в вакууме порядка 10-9—10“10 мм рт. ст.,
медленные поверхностные состояния отсутствуют.
У реальных поверхностей полупроводников медленная релак-
сация добавочной проводимости при эффекте поля обязательно есть
п она обусловлена изменением концентрации электронов н дырок
из-за зарядки или разрядки адсорбционных поверхностных со-
стояний.
Были предложены две модели поверхности. Для однородной
поверхности, описанной Моррисоном, время релаксации опреде-
ляется зависимостью приповерхностного потенциального барьера от
изменения поверхностного заряда.
В условиях равновесия заряд Qss, распределенный и а быстрых
и медленных состояниях, соответствует равенству потоков носите-
229
леи заряда изнутри Ц на поверхностные состояния и, наоборот,)
с поверхностных состояний внутрь полупроводника 12.
Если в образце, зонная диаграмма которого изображена на
рис. 35.4, индуцировать некоторое количество электронов Ап, то
приповерхностный потенциальный барьер (изгиб зон) Ys изменится
на величину АУ5. Соответственно должен измениться и поток элект-’
ронов на поверхностные состояния. Обратный поток 12 не изме-1
иится, так как не изменился определяющий его барьер А£.
Имеются экспериментальные данные, подтверждающие такую
модель.
Но большинство экспериментальных данных свидетельствует
о наличии модели гетерогенной поверхности, релаксационные про-
цессы на разных участках которой идут с разной скоростью. Для
каждого из участков релаксация имеет экспоненциальный характер
со своей постоянной времени. Экспериментально наблюдаемое рас-
пределение постоянных спада g (т) пропорционально т'1. Этот
результат согласуется со спектром избыточных шумов германия,
так что последние, по-видимому, связаны с захватом носителей
заряда на медленные поверхностные состояния.
При этом распределение времен релаксации может быть связано
также с вариациями расстояний от поверхности полупроводника до
мест локализации медленных поверхностных состояний в окисле.
Представления о гетерогенной поверхности позволяют объяснить
влияние газовой среды.
Краткие введения о некоторых методиках измерений
н обработки результатов по эффекту поля
Эффект поля относится к числу наиболее интересных явлений
физики полупроводниковых приборов и интегральных схем. Однако
еще не отработаны стандартные методики измерений и обработки
результатов, имеются лишь экспериментальные данные.
Рассмотрим отдельные примеры методик, чтобы представить
физику и технику эксперимента.
Прежде всего возникает вопрос о том, как отделить избыточную
поверхностную проводимость Aas (изменение проводимости ОПЗ)
от объемной проводимости. Если проводить измерения проводи-
мости вдоль «обкладок» конденсатора эффекта поля, т. е. в напра-
влении, параллельном поверхности, то в толстом образце припо-
верхностный слои шунтируется объемом и изменения Aos могут
вносить малую долю. В тонком образце (например, толщиной по-
рядка 0,1 -мм) изменение поверхностной проводимости может ока-
зать существенное влияние на общую проводимость образца. Следует
указать, что концентрацию носителей заряда в объеме можно пола-
гать не зависящей от эффекта поля, поскольку она будет попол-
няться извне через контакты.
Если, например, по схеме рис. 35.2 изучается эффект поля при
подаче положительного потенциала на электроды, то, как уже от-
230
i' 'и по, в полупроводнике n-типа электроны создают избыточную
шцептрацню за счет объемной концентрации, которая в свою
н । редь пополняется через токовые омические контакты, где вдоль
in пи действует тянущее поле. В случае движения электронов из
। И Н в объем полупроводника можно рассматривать выход лишних
• и-ктроиов-через омические контакты. Иными словами, индукция
и,рнцателиного заряда в образце осуществляется введением в него
и (Пыточных электронов, которые распределяются в ОПЗ и, наобо-
рот, — индукция положительного заряда — выведением из образца
Ч.И1И равновесных электронов и обеднением ими ОПЗ. В ОПЗ вво-
'.чния заряды из ближайшей окрестности объема, и процесс доходит
in областей, контактирующих с токовыми контактами. Эти про-
тесы протекают за короткое время, определяемое максвелловской
|и лаксацией.
Таким образом, для исследования поверхностной электропро-
водности вообще и эффекта поля в частности следует использовать
достаточно тонкие образцы. При этом, если измеряется двусторон-
ний эффект поля, то состояние поверхностей обеих больших гра-
ней («обкладок конденсатора») образца должно быть одинаково,
I. е. надо обеспечить одинаковые условия шлифовки и полировки,
|равления и промывки, сушки и установки образца в держатель
и т. д. Во избежание краевых эффектов полевые электроды должны
покрывать поверхности больших граней образца целиком и даже
выступать за их пределы. Кроме того, токовые торцевые контакты
должны быть омическими и занимать лишь торец образца, толщина
которого берется в пределах 0,1—0,5 мм. Для этих контактов во
время измерений прн комнатных температурах используют элект-
ролитическое нанесение полосок меди илн родия, к которым при-
паивают залуженные медные или никелевые проволочки.
При уменьшении толщины образца до размеров порядка длины
экранирования, т. е. при использовании пленок, разделение и а
объемную и поверхностную проводимость (точнее квазиповерхност-
пую или проводимость ОПЗ) теряет смысл и задачу решают особо.
В ряде случаев измерение поверхностной проводимости можно
производить, располагая электроды непосредственно на поверх-
ности. Это относится к высокоомному полупроводнику при обога-
щении ОПЗ основными носителями заряда, а также при наличии
инверсного слоя, который отделен от объема полупроводника тон-
ким слоем с собственной проводимостью. При этом невозможно
избежать шунтирующего действия «подложки» (т. е. объема полу-
проводника), ио в настоящее время разработаны зондовые (много-
•юндовые) методы измерения проводимости вдоль пленок с учетом
шунтирующего действия подложек. В данном случае задача упро-
щается, так как нужно определять изменение проводимости, а не
непосредственно проводимость.
Для определения подвижности носителей заряда в ОПЗ при
эффекте поля рэп используют эффект Холла или косвенные ме-
тоды.
231
Подвижность при эффекте поля определяют в виде
__ d&os
Нэл« dQ I
(35.6)
в точке минимума
при преобладании
Рис. 35.5. Зависимость
избыточной поверхно-
стной электропровод-
ности До5 при эффек-
те поля в полупровод-
нике:
I — от общего индуциро-
ванного заряда Q; 2 —
от подвижного заряда в
ОПЗ, т. е. Qsc
где Q = CV — индуцированный заряд единицы площади обкладки
конденсатора при эффекте поля; V — напряжение между обклад-
ками; С — удельная емкость конденсатора эффекта поля.
Подвижность электронов и дырок в ОПЗ отличается от их под-
вижности в объеме, и по определению (35.6): р.9П > 0 при преобла-
дании дырочного компонента поверхностной проводимости, р9П = О
полной поверхностной проводимости и [л9П < О
электронного компонента поверхностной про-
водимости. Абсолютные величины р.9п были
выражены в виде формул (34.18), (34.19). Од-
нако в них входят производные по заряду Qsc.
Иногда можно считать, что |х9П мало отли-
чается от подвижности в объеме. Поскольку
поверхность является рассеивающим факто-
ром, |лэп меньше, чем соответствующие под-
вижности в объеме.
Если определены величины До5 при эффек-
те поля, то по (34.13) можно найти соответ-
ствующие теоретические значения Ys. По
этим значениям определяют Qsc, используя
соотношение (34.12), которое справедливо и
в случае эффекта поля. Затем можно пост-
роить зависимости До$ = f (Qsc), До5 = f (Q),
где Q = Qsc Qss>
Величина Aos при V = 0 неизвестна, но
характерной точкой кривой До5 = f (Ys) яв-
ляется минимум, для которого справедливо
соотношение (34.15), как без внешнего поля, так и при наложении
V =£ 0. Поэтому все кривые До5 приводят к единому началу от-
счета — общему минимуму.
В частности, поступают следующим образом: измеряют зависи-
мость До5 = / (Q), включая определение До5пнп; наводят по гра-
фику функции (34.13) изгиб зон а по нему определяют QSf, кото-
рое наносится на тот же график в виде кривой = f (Ys) анало-
гично рис. 34.5. Последним этапом является построение на одном
графике и сравнение зависимостей До5 = / (Q) и До^ = f (Qsc),
причем здесь также совмещают минимумы кривых (рис. 35.5). Раз-
ность абсцисс этих кривых есть заряд Qss, захваченный быстрыми и
медленными поверхностными состояниями, который согласно (35.3)
Q«=Q-QSC. ' (35.7)
Зная Qss = / (Ys), можно определить плотность поверхностных
состояний Ns, глубину их залегания Es и т, д. Одиако предстоит
еще разделить быстрые и медленные состояния, что можно сделать,
232
и । mi релаксацию Acrs на постоянном поле, а также исследуя эф-
|ц । ноля при различных напряжениях и частотах. На постоянное
пил накладывают переменное поле, применяют прямоугольные
нмщльсы и т. д.
При использовании различных методик исследования эффекта
пиля следует иметь в виду, что при захвате носителей заряда поверх-
in к пнями состояниями, расположенными вблизи уровня Ферми,
। каченный заряд мало изменяет поверхностный электросТатиче-
. Miii потенциал. Наоборот, изменение заряда в ОПЗ приводит к нз-
м< in пню У5. Релаксационный процесс, соответствующий изменению
। (ряда в ОПЗ, кроме обмена с поверхностными уровнями, заклю-
ч имея в установлении квазиравновесия между носителями заряда
। и шах за счет преобладания рекомбинации над тепловой генера-
цией или наоборот.
Эффеит поля н емкость в структурах МДП
этих
И
P-Si
Рис, 35.6. Схематическое
изображение МОП-тран-
эистора с каналом п-типа
на подложке кремния
р-типа
Структуры МДП (металл — диэлектрик — полупроводник) яв-
пяются основой для полевых транзисторов с изолированным затво-
ром, которые широко применяют в виде дискретных приборов и
мкгнвных элементов интегральных схем.
приборов и активных элементов состоит в
и «менении проводимости канала в припо-
। ерхностном слое полупроводника, нахо-
дящегося под слоем диэлектрика, т. е. в
л]х})екте поля. Если в качестве днэлектри-
h;i используют слой окисла, то струкутуру
и приборы называют МОП (металл — оки-
сел — полупроводник). Структуры МОП
обладают рядом уникальных электрических
свойств и их применение в интегральных
( хемах открывает новые перспективы для
микроэлектроники. На основе МОП-струк-
iyp, кроме обычных интегральных схем,
и <готавливают так называемые большие интегральные схемы (БИС),
представляющие собой законченные функциональные блоки, вы-
полненные, например, на одном кристалле полупроводника н со-
держащие до нескольких сотен активных элементов.
На рис. 35.6 схематически показан один из вариантов МОП-тран-
шетора с каналом п-типа — элемента, созданного иа подложке
кремния p-типа. Электроды МОП-транзистора называют: исток И
и сток С, аналогичные катоду и аноду, и затвор 3, соответствующий
управляющей сетке трехэлектродной лампы. Под слоем (пленкой)
двуокиси кремния (толщиной порядка до 2000 А = 0,2 мкм) рас-
положен указанный канал — инверсный слой, проводимость й
толщина которого зависят от потенциала затвора 3. Длина канала
(расстояние между областями п+ — п+) составляет, например, 5 мкм.
Этот вариант прибора является планарным.
233
При изготовлении МОП-структур предъявляются очень высокие
требования к качеству пленкн двуокиси кремния. Окисление Si
производят, например, термическим путем в сухом кислороде,
причем заданный режим определяет скорость роста пленки окисла.
Перед окислением пластину кремния (например, диаметром 30 мм
и толщиной 0,2 мм, на которой размещается несколько десятков
или сотен МОП-траизисторов) химически полируют, подвергают
тщательной очистке и отмывке в кислотах, деионизованной воде,
этиловом спирте и сушке на центрифуге. Кроме того, для получе-
ния окисных пленок МОП-структур применяют реактор-
ное осаждение SiO2, в реакторе для эпитаксиального наращи-
вания при разложении SiCl4 в присутствии СО2 и другие спо-
собы.
Как при термическом, так и прн реакторном окислении пластин
кремния, предназначенных для изготовления дискретных приборов
и интегральных схем МОП, окисел обычно содержит положитель-
ный заряд, который обусловлен положительными нонами щелочных
^'////г'//7///Л
Рис 35.7. Изгиб зон в области
гетероперехода Si — SiO2 (£0 —
энергетический уровень сво-
бодного электрона в вакууме)
металлов, попадающих в пленку по
ходу технологического процесса, по-
ложительными (донорными) ионами
кремния, различными положительно
заряженными состояниями, распреде-
ленными в объеме окисной пленки.
Так что в МОП-структуре наподлож-
ке кремния p-типа можно создать ин-
версный канал n-типа еще до наложе-
ния поля на затвор.
Кроме того, необходимо учиты-
вать разность работ выхода. Для
кремния p-типа работа выхода .IFst в среднем может быть при-
нята равной 4,8 эВ. Но.эта величина зависит от концентрации
акцепторов. Например, расстояние от уровня энергии электрона
в вакууме до потолка валентной зоны для кремния составляет
5,15 эВ, а до Et — около 4,6 эВ. Работа же выхода двуокиси крем-
ния для пленок IFsio, толщиной 0,15—0,6 мкм составляет 4,4—
4,5 эВ. При равновесии уровень Ферми всюду одинаков, что приво-
дит к изгибу зон на контакте — гетеропереходе Si — SiO2 (рис. 35.7).
Так как работа выхода Si больше работы выхода SiO2, то зоны в Si
изгибаются вниз.
Как уже отмечено, пленка окисла в МОП-структуре является
специально выращенной, а ие естественно возникающей в обычных
условиях на воздухе, когда она имеет толщину порядка 15—30 А
и характеризуется медленными поверхностными состояниями. Здесь
же картина объемных зарядов в окисле значительно сложнее, однако
общий нескомпеисированный заряд можно характеризовать эффек-
тивной концентрацией «поверхностных» состояний, куда включаются
как объемный заряд окисла, так и заряд поверхностных состояний
в обычном смысле.
234
Моцуляцпю проводящего капала осуществляют приложен нем
। । и вору того или иного потенциала, создавая усиленно сигналов
• । гнет эффекта поля (рис. 35.8). Указанный проводящий на пил
и 1 л малую толщину и изолируется от объема полупроводник.i
пленным слоем. Исток и сток изолируются от объема иолупрогшд
ппв । обедненными слоями р-/г-переходов.
Кроме рассмотренной конструкции имеются и иные Bapnainii
ли Н 1-транзисторов.
В заключение рассмотрим емкость МДП-структуры и кратко
но н пнм метод характеристик С — V, который широко исполъчуил
। hi исследования поверхностных явлений в полупроводниках и
•и электрических пленках, а также как метод йеразрупшкицего
ки|гроля при производстве МДП-структур.
Рис. 35.8. Качественная
зависимость тока стока от
напряжения на затворе
при постоянном напряже-
нии на стоке
Рис. 35j9. Эквивалент-
ная схема емкости МОП-
структуры
Емкость МДП-структуры зависит от приложенного напряжения
Если считать, что емкость окисла Со не зависит от внешнего напря-
жения (смещения), то можно принять ее за единицу измерения,
причем как для плоского конденсатора Со = ee0S/d, где « — дпэ
шктрическая проницаемость окисла; S и d — площадь и толщина
окисла. Следовательно, будем рассматривать нормированную ем-
кость, т. е. отношение С/С^, где С — суммарная емкость, которая
определяется по эквивалентной схеме рис. 35.9 в виде
или
С Со~^~ Csc-^-Css*
Q___ б'о
Co+Cse-f-Csj’
так что
С _ С^с-|-СД|у
Со Co + CscJ-Css
(35.8)
(35.9)
(35.10)
Здесь величины Css и Csc являются дифференциальными гм ко
стями поверхностных состояний и ОПЗ в полупроводнике, i •
определяются в виде
’ __dQss р ________dQsc
'ss~d<ps' bsc~ d(f8'
(35.11)
Определение зависимости С = / (V) на МОП-структуре прово-
дят с помощью соответствующих мостовых установок (или двух-
координатных самописцев), где используется регулируемое постоян-
ное смещение, с помощью которого задается величина V и, кроме
того, используется наложение небольшого переменного напряже-
ния на постоянное смещение с тем, чтобы при заданном V опреде-
лить дифференциальную емкость. Металлические электроды нано-
сят как на окисел, так и на полупроводник и присоединяют их
к измерительном цепи.
На рис. 35.10 показана зависимость С = f (V) для МОП-струк-
туры на кремнии p-типа, где V — напряжение, подаваемое на
. затвор. При отрицательных сме-
Рис. 35.10. Зависимость С = f (V)
для МОП-структуры на кремнии
p-типа при определенном содержа-
нии примесей, толщине окисного
слоя и плотности поверхностных
состояний
щениях на затворе, достаточно
больших по абсолютному значе-
нию, нормированная емкость равна
единице. Физически это означает
следующее: при достаточно боль-
шом (по абсолютному значению)
отрицательном потенциале на за-
творе зоны в полупроводнике из-
гибаются вверх, т. е. заряд затво-
ра перекрывает имеющийся поло-
жительный заряд в окисле (поле
затвора перекрывает поле заряда
окисла). В таком случае приповерх-
ностный слой кремния р-типа
обогащен основными носителями
заряда (дырками) и его емкость очень велика. Но тогда С = Со.
При уменьшении абсолютной величины V достигается потенциал
плоских зон Упз, при котором поле затвора компенсируется полем
заряда окисла (и заряженных поверхностных состояний), а затем
наблюдается резкое уменьшение емкости, что связано с возникно-
вением и ростом обедненного слоя в полупроводнике вследствие
изгиба зон вниз. Минимум кривой С = f (V) соответствует началу
образования инверсного слоя. Если при дальнейшем увеличении
положительного смещения затвора применять для измерений пере-
менное напряжение низкой частоты, то по мере формирования
инверсного слоя будет наблюдаться возрастание С вплоть до
С/Со ~ 1, как показано на рис. 35.10 (кривая /). Дело в том, что
при низкой частоте измерительного сигнала неосновные носители
заряда успевают следовать за полем, и поверхностный слой полу-
проводника оказывается обогащенным носителями заряда. Наобо-
рот, при использовании для измерений переменного напряжения
высокой частоты (порядка мегагерц) неосновные носители заряда
236
и- успевают следовать за сигналом, так что емкость ОПЗ опреде-
ли !с я неподвижным зарядом, соответствующим обедненному основ-
ными носителями заряда слою. Следовательно, общая емкость не
г и (растает (кривая 2), поскольку остается последовательное соеди-
нение конденсаторов Со и (Csc + Css).
Аналогичная зависимость С = / (V) наблюдается в МОП-струк-
цре на основе полупроводника /г-типа. В этом случае кривые 1
и 2 идут в противоположную сторону (рис. 35.11). Полагаем, что
гкисел по-прежиему содержит нескомпенсироваиный положитель-
Рис. 35.11. Зависимость С — f (V)
для МОП-структуры на полупро-
воднике п-типа при наличии в
окисле положительного заряда
ный заряд, причем часть этого за-
ряда снова может размещаться на
поверхностных состояниях, т. е, на
уровнях захвата непосредственно
на поверхности полупроводника
и л н в окисле вблизи границы р аз-
цел а с полупроводником. Этот за-
ряд изгибает зоны вниз, так что
прн положительных V имеем С/Со=
1, поскольку приповерхност-
ный слой обогащен основными но-
сителями заряда. При некотором
отрицательном Vn3 наблюдается
выпрямление зон и затем возник-
новение обедненного и инверсного слоев. Очевидно, что по вели-
чине потенциала плоских зон Упз можно судить об эффективном
заряде «поверхностных» состояний (заряде в окисле и на поверх-
ностных состояниях у границы полупроводник — окисел). Кроме
того, можно строить идеальные расчетные кривые, полагая указан-
ный эффективный заряд равным нулю, так что потенциал плоских
зон также равен нулю (Кпз = 0) для такой идеальной кривой.
В этом случае зависимость С = f (V) будет определяться лишь изме-
нением объемного заряда ОПЗ полупроводника. Сравнение идеаль-
ной и реальной кривых позволяют определить знак эффективного
заряда, эффективную концентрацию поверхностных состояний и т. д.
Выводы к § 35
1. Эффектом поля называют изменение поверхностной (приповерхностной)
электропроводности, наблюдающееся при приложении внешнего электрического
поля, перпендикулярного поверхности. Внешнее поле создает изгиб зон, т.е.
реализует положительные или отрицательные избыточные концентрации носите-
лей заряда. Эффект поля наблюдают, например, в МДП-структурах. При замыка-
нии источника напряжения на МДП-структуру зарад единицы площади металли-
ческого электрода по абсолютному значению равен заряду единицы площади
приповерхностного слоя полупроводника, который состоит при эффекте поля из
суммы Qsc + Qss.
2. Быстрыми состояниями называют уровни захвата электронов и дырок,
расположенные ь запрещенной зоне полупроводника и локализованные на его по-
верхности. Процесс переэарядаи этих состояний осуществляется за короткое время,
так что время релаксации оказывается относительно небольшим (например, по-
рядка 10'4 — КГ8 с). Медленными состояниями называют уровни захвата электро-
237
нов и дырок, расположенные в запрещенной зоне диэлектрика МДП-структуры и
локализованные в слое диэлектрика. В частности в МОП-структурах диэлектриком
является пленка окисла, в которой и локализуются медленные поверхностные
состояния. Время релаксации элементарного процесса перезарядки заданного
медленного поверхностного состояния можно определить с помощью соотношения
(35.5).
3. В модели однородной поверхности время релаксации определяется в зави-
симости от изменения поверхностного заряда, создающего потенциальный
барьер. В модели гетерогенной поверхности релаксационные процессы определяют-
ся локальными составляющими, характерными для данных участков и создающими
спектр времен релаксации.
4. Измерение эффекта поля производят на тонких образцах, где приповерх-
ностный слой несильно зашунтирован объемом и изменения поверхностной элект-
ропроводности оказывают существенное влияние на общую электропроводность
образца, определяемую в направлении по перпендикуляру к внешнему полю (т. е.
тянущее поле перпендикулярно указанному полю). По найденной при эффекте
поля величине можно определить безразмерный поверхностный потенциал
Ys, а затем найти величины Qsc и Q = Qsc + Qss и построить зависимости избы-
точной электропроводности от Qsc и Q.Определяя заряд Qss, захваченный быстры-
ми и медленными поверхностными состояниями, можно находить их плотность,
глубину залегания и т. д.
5. Структуры МДП (и МОП) являются основой для дискретных полевых
транзисторов, 'применяемых в виде активных элементов, и элементов интеграль-
ных схем. Для исследования МДП-структур широко применяют метод вольт-
фарадных (С — И) характеристик. Метод позволяет определять потенциал плос-
ких зон, знак заряда, эффективную концентрацию поверхностных состояний и др.
§ 36. ПОВЕРХНОСТНАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ
Быстрые поверхностные состояния могут играть, роль ловушек
захвата или рекомбинационных ловушек аналогично объемным
ловушкам (см. § 25).
Такие примеси, как золото, медь, никель, железо, дают объем-
ные рекомбинационные ловушки в германии и кремнии, которые
могут быть положительными, нейтральными, однократно и дву-
кратно отрицательными. Этим примесям соответствует система
уровней в запрещенной зоне, причем по крайней мере некоторые
из них могут быть рекомбинационными.
Поскольку иа поверхности имеются добавочные уровни, то воз-
можности для рекомбинации на поверхности увеличиваются по
сравнению с объемом. Как и в последнем случае, рекомбинационные
ловушки иа поверхности являются глубокими, т. е. распола-
гаются вблизи середины запрещенной зоны, а ловушки захвата
мелкими. Заметим, что рекомбинационными ловушками не могут
быть медленные состояния, так как процесс релаксации в этом
случае весьма растянут по времени.
Скорость поверхностной рекомбинации
При исследовании дрейфа и рекомбинации носителей заряда
в топких нитевидных образцах германия Шокли предложил учиты-
вать роль поверхности посредством введения понятия скорости
238
и ерхпостной рекомбинации, подразумевая под ней «коэффициент
। шип», соответствующий плотности потока носителей заряда к по-
|М»рХПОСТИ
j nle = sn&n, jp/e = sp (36.1)
। к ]л и jp — плотности тока электронов и дырок, текущего к по-
|н рхносги; Дп и Др — избыточные концентрации носителей за-
ряда. Предполагается, что эти направленные потоки обусловлены
и ишчием на поверхности полупроводника рекомбинационных ло-
вушек, т. е. мест «стока». Величины s„ и sp имеют размерность обыч-
ной скорости (см/с; м/с), их называют скоростью поверхностной ре-
комбинации электронов и дырок соответственно. Эти величины
и заданных условиях являются константами, тогда как Дп, Др,
— функциями расстояния.
В условиях равновесия, когда ток через поверхность равен
пулю, т. е. когда поверхность полупроводника изолирована, по
кжи электронов и дырок к поверхности равны друг другу, а вели-
чины sn и sp выражают относительную долю избыточных носителей
шряда, ежесекундно рекомбинирующих на единице поверхности
полупроводника. При условии Дп = Др имеем также sn — sp = s.
В дальнейшем, как правило, не будем ставить индексов у $, пред-
полагая справедливыми эти равенства.
Физическую интерпретацию s как «скорости стока» можно изло-
жить следующим образом. Рассмотрим, например, плотность тока
дырок 1Р1 из объема к поверхности, причем полагаем V = 0. Если
воспользоваться формулой типа (29.15), то
/р1 = -4 eVrsPst (36.2)
где v1g — средняя тепловая скорость дырок; ps — объемная кон-
центрация дырок вблизи поверхности..
Плотность тока дырок /р2 от поверхности в глубь полупровод-
ника можно рассматривать как сумму из двух слагаемых: тока
дырок, отразившихся от поверхности, и тока дырок, генерирован-
ных на поверхности:
/р2= eVrsPsRp “I" jgs • (36.3)
где Rp — средняя вероятность отражения дырки при столкновении
ее с поверхностью; jgs — плотность тока генерированных на по-
верхности дырок.
Скорость (на поверхности) указанной генерации Gs = y/^s
определяется состоянием поверхности. В состоянии равновесия
потоки дырок к поверхности и от поверхности равны друг другу,
так что равновесная генерация дырок
GsO = j IgsO = 4" 0 vrsPsQ‘ (36.4)
239
При отсутствии равновесия, но в стационарных условиях
Gs = |/eJ = |(l-^)w,. (36.5)
Результирующая скорость генерации неравновесных дырок
G,. —Gjo = ^-(1 —р) uTS (Рд Pso)~~^ (1 R р) vrs Aps. (36.6)
Поглощение носителей заряда поверхностью в общем случае
осуществляется как с помощью процесса рекомбинации на локаль-
ных центрах, так и с помощью изменения заряда локальных цент-
ров (поверхностных состояний). Однако для стационарных условий
остается только рекомбинационный поток на поверхность. Поэтому
скорость генерации (36.6) следует приравнять скорости рекомбина-
ции (36.1).
Однако термины «скорость генерации», «скорость рекомбина-
ции», «скорость поверхностной рекомбинации» необходимо пра-
вильно понимать. Так, скорость генерации и скорость рекомбинации
при биполярных процессах в объеме согласно уравнению непрерыв-
ности определяются числом пар носителей заряда, генерируемых
или рекомбинирующих в единице объема за единицу времени, и
измеряются в единицах см"3-с-1. Скорости генерации и рекомбина-
ции для поверхности выражаются в см"а-с'1.
Приравнивая (36.6) и (36.1), получим
Sp = i(l-Rp)v„. (36.7)
Аналогичное рассмотрение можно провести для электронов.
Из соотношения (36.7) ясно, что s„ велика для поверхности
с низкой отражательной способностью и при Rp = О
f 10е СМ/С. (36.8)
Таким образом, максимальное значение s ограничивается сред-
ней тепловой скоростью носителей заряда. Физически это означает,
что дальнейшее ускорение рекомбинации через поверхность огра-
ничивается скоростью диффузионной доставки неравновесных но-
сителей заряда из объема на поверхность.
Величина s может изменяться в широких пределах для одного и
того же полупроводника в зависимости от обработки поверхности,
изгиба зон и т. д. Для германия и кремния, сульфида кадмия,
арсенида галлия и др. она может иметь максимальные значения
до 106 см/с.
Статистика поверхностной рекомбинации
Если объемные концентрации электронов и дырок у поверх-
ности п5 и ps отличаются от их равновесных значений ns0 и pi0, то
процессы тепловой генерации не уравновешивают процесс реком-
240
Лшищии и число пар носителей заряда, рекомбинирующих на еди-
нице площади поверхности в единицу времени, будет
qs = — (dns/dt}r = — (dps!dt)r = (nsps — nsf)ps0). (36.9)
Здесь dns и dps предполагаются относящимися непосредственно
к поверхности, тогда как ns и ps являются объемными концентра-
циями. Следовательно, размерность (единицу) коэффициента реком-
бннацни можно представить как см4/с, если объемные концент-
рации выражены в см-3, а поверхностные — в см-2. Но по внешнему
виду запись (36.9) аналогична (25.6), т. е. (36.9) представляет собой
скорость рекомбинации на поверхности.
Кроме того,
ns^rKkT ’ ps = pt kT> (36.10)
n50 = n0eftr ’ Pso = Poe kT' (36.11)
Следовательно, по (36.9) получим
<7s = V*('lP-'W’o). (36.12)
г. е. создается впечатление, что поверхностная рекомбинация опре-
деляется рекомбинационными явлениями в объеме полупроводника.
Прн условии Дп = Др
?«= Vs (п0 + р0 + Дп) Дп, (36.13)
так что относительная скорость рекомбинации или скорость по-
верхностной рекомбинации в этом случае может быть определена
в виде
s=Vs(no+Po + An). (36.14)
Однако эти соотношения определяют скорость рекомбинации
на поверхности, поскольку ys есть коэффициент поверхностной
рекомбинации, нахождение которого и составляет задачу стати-
стики.
Но поверхностная рекомбинация рассматривается здесь как
результат доставки избыточных носителей заряда на поверхность
из объема полупроводника.
Если рассчитывать рекомбинацию по Шокли — Риду через
поверхностный уровень Е„ то аналогично (25.40) получим
IdnA______(fyA _ VESA's ("sPs-niPi) . ,,R .
\dt),= \dt)r •fas('>s + '>i)-Hps(Ps + Pi) ’ '
причем
П1Й = W«o = «!• (36.16)
Здесь y„s, fps — коэффициенты (вероятности) захвата электро-
нов из зоны проводимости н дырок из валентной зоны (выражаются
в см3/с); N, — концентрация поверхностных уровней рекомбина-
ции; Hi и р, — равновесные объемные концентрации электронов
341
и дырок вблизи поверхности, когда уровень Ферми совпадает с уров-
нем рекомбинационных ловушек Es; ns0 и ps0 — равновесные объ-
емные концентрации электронов и дырок вблизи поверхности;
— собственная объемная концентрация электронов.
По (36.15) можно определить время жизни пары электрон —
дырка т5 при рекомбинации на поверхности, а сравнивая (36.9)
и (36.15), находим коэффициент рекомбинации
^n^tps^s

Рис. 36.1. Качественный график
скорости поверхностной рекомби-
нации s как функции поверхност-
ного потенциала для разных
уровней рекомбинационных лову-
шек Es. Номера кривых соответст-
вуют неравенствам (Esl — Eft <
(^s2Eft < (EsS — Eft

где ns и ps можно записать в виде (36.10). С учетом (36.14) получим
(Rs + rtl)(Ps + Pl) ’ ' fl
Таким образом, скорость поверхностной рекомбинации опреде-
ляется как функция вероятности захвата электронов и дырок реком-
бинационными ловушками, поверх-
ностной концентрации таких уров-
ней, объемной концентрации элек-
тронов и дырок в объеме и вблизи
поверхности, уровня инжекции,
положения уровня ловушек по от-
ношению к уровню Ферми (через
и ръ). В неявном виде (через ns
и ps) сюда входит изгиб зон, т. е.
поверхностный потенциал. В данном
случае'использовали e(ps, полагая,
что > 0 для изгиба зон вниз
[см. формулы (36.10), (36.11)]. Итак,
s = /(V«5, Vps> Ns, п0, ро, Ап,
Е5-Еф, ф5). (36.19)
Зависимость s от поверхност-
ного потенциала имеет характер-
ный колоколообразный вид (рис. 36.1). При малых абсолютных
значениях cps как для положительных, так и отрицательных вели-
чин значение s максимально; причем этот максимум создает «полку»,
т. е. s постоянно для некоторого интервала изменения tps. Но за-
тем наблюдается резкий спад s, что качественно легко объяснить.
При больших положительных значениях <р5 в ОПЗ у поверхности
почти отсутствуют дырки, так что скорость поверхностной реком-
бинации оказывается низкой. Наоборот, при больших по абсолют-
ному значению отрицательных ср5 в ОПЗ у поверхности почти от-
сутствуют электроны, что также снижает поверхностную рекомби-
нацию. При некоторых значениях ср5 потоки носителей заряда
одного типа вообще не могут преодолеть соответствующие потен-
циальные барьеры при перемещении к поверхности, так что носи-
телям заряда противоположного знака нет возможности рекомби-
242
пировать из-за отсутствия «партнеров». В таком случае рекомби-
и щиоииые ловушки могут играть лишь роль уровней захвата.
Но тогда в установившемся состоянии потоки дырок и электронов
I. поверхности, равные друг другу при рекомбинации, должны
прятаться в нуль в отсутствие рекомбинации на поверхности.
I жим образом, рассмотренные токи (36.1) наблюдаются лишь до
никоторого изгиба зон, пока потенциальные барьеры не являются
помехой для доставки носителей зарядов одного типа из объема
h i поверхность. По мере роста барьеров в переносе участвуют лишь
н.шболее «энергичные» («горячие») носители заряда этого знака.
I (оток носителей заряда противоположного знака «подстраивается»
под первый.
Если поверхностная рекомбинация значительна, то ей соответ-
। гвует малое время жизни пары т5. Для тонких образцов это может
определять темп всей рекомбинации, так как любое парциальное
время жизни определяется как величина, обратная вероятности
соответствующего процесса, а суммарный процесс определяется
сложением вероятностей:
1/т= 1/ту+ 1/т5. (36.20)
В случае, если s^2Z)/rf, где d — толщина образца; D—би-
полярный коэффициент диффузии, можно положить т5 = d/2s.
Если время жизни пары электрон — дырка в объеме ту значи-
тельно больше т5) то для эффективного времени жизни пары элек-
|рон—дырка т получим т^т5. Как уже отмечалось, скорость
поверхностной рекомбинации очень чувствительна к состоянию
поверхности. Например, после механической обработки (шлифовки,
полировки и т. д.) в результате нарушения кристаллической струк-
1уры поверхностного слоя концентрация рекомбинационных ло-
вушек резко возрастает, что приводит к соответствующему росту
скорости поверхностной рекомбинации и снижению эффективного
времени жизни пар носителей заряда т в тонких образцах. Прн хими-
ческом травлении поверхности нарушенный слой удаляется и
скорость поверхностной рекомбинации обычно падает. Так, трав-
ление шлифованной поверхности германия в перекиси водорода
уменьшает $, например, с 5 103 см/с до 2 см/с, т. е. более чем на три
порядка.
Влияние поверхностной рекомбинации на распределение
неравновеоных носителей заряда
Проведем количественный расчет влияния поверхностной ре-
комбинации на распределение неравновесных носителей заряда
в приповерхностном слое и в объеме полупроводника. Будем вести
отсчет координаты х от поверхности в глубь полупроводника.
Уравнение непрерывности для электронов запишем в виде
= (36.21)
dt хп 1 е дх ' ’
243
Решение этого уравнения будем проводить для стационарного
случая, когда dn/dt = 0. Кроме того, полагаем, что напряжен-
ность электрического поля в ОПЗ мала (изгиб зон небольшой),
и дрейфовую составляющую тока считаем равной нулю. В этом слу-
чае плотность тока согласно (22.13)
= = (36.22)
Тогда уравнение (36.21) можно представить в виде
G --^ + D. ^г = 0. (36.23)
Решение уравнения (36.23) можно представить так:
Дп = (Д/г)ое Z’+Gt„, (36.24)
где (Дп)0 следует определить из граничных условий. Очевидно,
при х = оо, т. е. в объеме полупроводника, Ди = Ст„. Это озна-
чает, что диффузионный ток в объеме полупроводника принимаем
равным нулю, ибо в уравнении (36.23) первое и второе слагаемые
равны друг другу. Кроме того, при х = 0 соотношение (36.24)
дает
(Дп)г=о = (Мо+Стп. (36.25)
Но согласно определению (36.1) имеем
О„^ = ^ = 9$ = зДп. (36.26)
Подставляя сюда (36.24) и (36.25) при х — 0, получим
-^(Дп)0 = з[(Дп)|, + От„]. (36.27)
Отсюда
Умножим числитель и знаменатель правой части иа Ln и, учи-
тывая, что Ln = £)лтя, получим
Таким образом, используя граничные условия, получили вы-
ражение для (Лп)0, которое при заданных условиях является кон-
стантой. Подставляя это выражение в (36.24), находим
An = GT„[l-L-^-e’^]. (36.30)
244
Следовательно, при х = 0 имеем минимальную величину Дп,
коюрую согласно (36.30) можно представить в виде
кп = Gtn j 1 —
srn 1
Наоборот, при х = оо получим
(Л/1)а; = со —
(36.31)
(36.32)
чю непосредственно следует из (36.23), если плотность днффу-
х
тонного тока равна нулю. Очевидно, экспонента е Lfl практически
обращается в нуль при х = NLn, где величину N можно считать
равной всего лишь нескольким единицам. Иначе говоря, вследст-
вие поверхностной рекомбинации избыточная концентрация элек-
|ронов на поверхности минимальна и выражается соотношением
(36.31), а на расстоянии нескольких диффузионных длин Ln от
поверхности достигает максимального значения и далее сохраняется
постоянной. Здесь имеется в виду такой случай, когда избыточная
концентрация одновременно создается во всем объеме образца
и всюду в объеме одинакова. Роль же поверхностной рекомбина-
ции сводится, таким образом, к уменьшению избыточной концен-
трации в приповерхностном слое по сравнению с объемной. Оче-
видно, аналогичные заключения можно сделать для избыточной
концентрации дырок, ибо Дп = Др.
Как уже отмечалось, для тонких образцов поверхностная ре-
комбинация может оказаться основным процессом, определяющим
темп рекомбинации, поскольку эффективное время жизни пары
электрон — дырка по (36.20) будет определяться величиной т5.
Если провести измерение т на тонком и толстом образцах дан-
ного полупроводника, то можно определить скорость поверхност-
ной рекомбинации. (
В заключение отметим, что, как указывалось в § 24, диффу-
зионную длину можно рассматривать как расстояние, и а которое
неравновесные носители заряда при диффузии смещаются за время
жизни. Следовательно, среднюю скорость носителя заряда при
диффузии (т. е. среднюю тепловую скорость) можно выразить в виде
vn = Lnjtn. Тогда уравнение (36.30) можно записать так:
Дп-Ст„[1 Ojl(I+S/On)e L"]’
(36.33)
Соотношение (36.33) позволяет находить Дп при различных
отношениях s/nn, которые являются безразмерными величинами
и показывают, во сколько раз скорость поверхностной рекомби-
нации отличается от средней скорости диффузионного (теплового)
движения носителей заряда.
245
Выводы к § 36
1. Скорость поверхностной рекомбинации можно трактовать как коэффициент
стока, характеризующий стекание носителей заряда из объема на поверхность
полупроводника, где имеются большие возможности для рекомбинации. Потоки
носителей заряда обоих знаков из объема к поверхности равны друг другу; причем
они набаюдаются лишь до некоторого изгиба зон, пока потенциальный барьер нс
является непреодолимой помехой для доставки носителей заряда одного типа
из объема на поверхность. По мере роста барьера в переносе участвуют лишь все
более горячие носители заряда. Поток носителей заряда противоположного знака
«подстраивается» под первый поток. Максимальное значение скорости поверх-
ностной рекомбинации ограничивается средней тепловой скоростью диффузионной
доставки носителей заряда из объема на поверхность.
2. Скорость поверхностной рекомбинации s зависит от вероятности захвата
электронов и дырок рекомбинационными ловушками на поверхности полупровод-
ника, их концентрации, а также объемной концентрации электронов и дырок,
от уровня инжекции, от положения ловушек по отношению к уровню Ферми,
от поверхностного потенциала. Зависимость s от поверхностного потенциала
(изгиба зон) имеет характерный колоколообразный вид, причем величина s мак-
симальна при плоских зонах и малом изгибе зон, когда диффузионная доставка
носителей заряда из объема на поверхность не затруднена, поскольку потенциаль-
ный барьер либо отсутствует (плоские зоны), либо мал.
3. Если условия генерации избыточной концентрации по всему объему и по-
верхности полупроводника одинаковы, то вследствие поверхностной рекомбина-
ции избыточная концентрация оказывается минимальной на поверхности. Это
создает возможности для диффузионной доставки носителей заряда из объема
на поверхность, т. е. для их стока. Если же генерация избыточной концентрации
(неравновесных носителей заряда) осуществляется преимущественно в приповерх-
ностном слое, то сказанное теряет силу. Иначе говоря, в данном параграфе под-
разумевается условие одинаковой генерации избыточной концентрации как в объе-
ме, так и на поверхности. Очевидно, что если генерация в объеме будет больше,
чем на поверхности, то возможности поверхностной рекомбинации еще возрастут.
ГЛАВА VIII
ОПТИЧЕСКИЕ И ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ДИЭЛЕКТРИКАХ
§ 37. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ДИЭЛЕКТРИКАХ
В предыдущих главах в какой-то мере уже затрагивались во-
просы, связанные с облучением полупроводников светом.
Согласно зонной структуре полупроводников и диэлектриков
определяют следующие типы оптического поглощения: собственное,
примесное, экситониое; свет может также поглощаться кристалличе-
ской решеткой и свободными носителями заряда, причем в послед-
нем случае усложнение могут внести виутризонные переходы при
сложном строении зон.
Собственное поглощение света и ширина запрещенной зоны
Е
“I-------Ec(0)
Если энергия поглощенного 'фотона затрачивается на переброс
электрона из валентной зоны в зону проводимости, то соответствую-
щее поглощение называют собственным
(или фундаментальным).
Для простой зонной структуры, ког-
да зона проводимости и валентная зона
параболические и экстремумы лежат
при к = 0, так что изоэнергетические
поверхности есть сферы с центром к = О,
имеем
/iv=>£e(k)-F,(k), (37.1)
Ev(0)
EV(K)
к

где к —волновой вектор; ftv —энергия
фотона, который обеспечивает переброс РйС- 37,1 • Прямые переходы
электрона с уровня Ev (к) на уровень
Ес (к), как показано на рис. 37.1. Такие переходы электронов, ког-
да к остается неизменным, называют прямыми, или вертикальными.
В действительности оптические «прямые» переходы не совсем «вер-
тикальные», поскольку поглощаемый фотон передает электрону н
свой импульс hv/c. Но этот импульс сравнительно мал, так что
можно считать переход вертикальным.
247
Если величины Ес (к) и Ev (к) записать через Ес (0) и Ev (0)
и эйергию электронов и дырок относительно дна и потолка зов,
то получим
£с(к) = £с(0) + ^; (37.2)
£.(к) = £„(0)-^, (37.3)
где т* и т* — эффективные массы электронов н дырок.
Следовательно, можно записать
ftv = £c(0)-£„(0) + ^ + ^. (37.41
Введем так называемую приведенную эффективную массу элект-
ронов и дырок
Кроме того, учтем, что Ес (0) — Ev (0) = &Е0, т. е. равно ши-
рине запрещенной зоны. В этом случае
Av = A£o + ^. (37.61
Таким образом, при параболических зонах собственное погло-
щение для прямых переходов начинается с частоты, удовлетворяю-
щей условию
frVmin = ^Eq. (37.7)
Это условие определяет минимальную частоту (максимальную
длину волны) сротоиа, способного перебросить электрон через
запрещенную зону. В спектре поглощения будет наблюдаться рост
поглощения, начиная с указанной частоты, при увеличении послед-
ней. Аналогичное условие справедливо и для простых непараболи-
ческих зон в полупроводниках, где изоэнерготические поверхности
есть сферы с центром при k — 0.
Очевидно, соотношение (37.7) аналогично (25.14) и при погло-
щении остаются справедливыми законы сохранения энергии и
импульса.
Коэффициент поглощения а, которым обычно характеризуют
поглощение, представляет собой коэффициент пропорциональности
между интенсивностью падающего света 1 и интенсивностью погло-
щенного света dl при прохождении лучом пути dx
dl = — al dx. (37.8)
Как отмечалось, при переходе к собственному поглощению
должен наблюдаться рост а.
В антимониде индия (InSb), у которого зоны непараболичны,
но эффективная масса изотропна, спектр собственного поглощения
характеризуется крутым ростом а, как показано иа рис. 37.2.
248
Для InSb положение края полосы собственного поглощения
ивисит от концентрации примеси, что связано с малостью эффек-
тивной массы электронов (/п* = 0,013 tri). Зона проводимости
InSb характеризуется малой плотностью состояний, так что даже
при небольшой концентрации свободных электронов они заполняют
довольно высокие уровни (рис. 37.3). При возрастании концентра-
ции электронов край собственного поглощения будет смещаться
и сторону коротких волн, ибо все уровни вблизи дна зоны прово-
димости будут заняты, и поглощаемые кванты должны перебрасы-
(с.м. также рис. 7.7)
В частности, при изменении концентрации электронов от 1017
до 1019 см“й оптическая «ширина» запрещенной зоны в InSb увели-
чивается на несколько десятых эВ.
В полупроводниках, где имеются сложные энергетические зоны
(германий, кремний и др.), собственное поглощение усложняется.
Здесь наблюдаются как прямые, так и непрямые переходы, хотя
вероятность последних меньше.
Если при прямом оптическом переходе импульс электрона прак-
тически не изменяется, поскольку импульс поглощаемого фотона
hv/c мал, то при непрямых переходах импульс электрона изме-
няется значительно. Такое изменение импульса происходит за
счет передачи его от фонона (т. е. третьей квазичастицы) электрону.
При поглощении фонона электроном вместе с импульсом электрон
получает от фонона и энергию. При непрямых переходах возможен
и обратный процесс — испускание фонона. Во всех этих процессах
остаются справедливыми законы сохранения энергии и импульса.
На рис. 37.4 показаны непрямые переходы электронов из ва-
лентной зоны в зону проводимости Si.
Основная часть энергии при оптическом переходе передается
электрону фотоном, тогда как фонон передает (отнимает) главным
249
образом импульс рф — (см.- § 18), который аналогичен импульсу
электрона рэ = йк. Ширина запрещенной зоны, определенная пу-
тем оптических измерений, не всегда совпадает с шириной запре-
щенной зоны, определенной на основе температурных измерений
(ООО) [100] К
Рис. 37.4. Непрямые пе-
реходы в кремнии [одна
из кривых зоны проводи-
мости и одна из кри-
вых валентной зоны (см.
рис. 7.1)1
Рис. 37.5. Спектр поглоще-
ния кремния (энергия фото-
нов откладывается по верх-
ней шкале) и германия (энер-
гия фотонов откладывается
по нижней шкале)
электропроводности, т. е. оптическая и термическая ширина за-
прещенной зоны могут отличаться друг от друга. Это связано со
сложной структурой зон и с участием фононов при взаимодейст-
вии пары фотон — электрон.
Изучение края основной полосы оптического поглощения моно-
кристаллов германия и кремния, взятых в виде весьма тонких
Рис. 37.6. Прямые и непрямые пе-
реходы в германии
образцов, дало кривые для коэф-
фициента поглощения, изображен-
ные на рис. 37.5, Здесь на ниж-
ней горизонтальной оси отложена
энергия фотонов для германия, а
на верхней — для кремния.
Кривая а — f (hv) для герма-
ния имеет два участка резкого
возрастания. Первый начинается
при hv = 0,62 эВ и соответствует
непрямым переходам, второй —при
hv = 0,81 эВ и соответствует пря-
мым переходам. Такая трактовка
согласуется с зонной схемой для германия, описанной ранее (§7).
Прямой переход электрона при k = 0 требует затраты энергии
(рис. 37.6)
hv' — Е'с — Ev,
(37.9)
£
250
и io время как термическая ширина запрещенной зоны меньше и
. ииавляет Ес— Ev. Для непрямого перехода требуется меньшая
«игргия. В частности при переходе на дно долины
hv = Ee-Ev. (37.10)
Кривая а = f (hv) для кремния имеет крутой участок, кото-
Inin начинается около 1 зВ (по верхней шкале), но затем более
полого возрастает при дальнейшем увеличении hv. Это также
< вязано с особенностями зонной структуры.
ТАБЛИЦА б
Оптическая ширина запрещенной зоны для некоторых полупроводников
п диэлектриков
11олупроводник AE01 эВ при 300 К ДЕо, эВ при 0 К Диэлектрик ДЕо, эВ
Si 1,09 1,14 А1гОд 5.80
Ge 0,66 0,75 ТЮз 3,67
InP 1,25 1,34 SnOs 3,71
In As 0,35 0,45 На 1 10g 3,0—3,1
InSb 0,175 0,25 PbTiOg 3,0
GaP 2,24 2,40
GaAs 1,45 1,53
GaSb 0,70 0,80
AlSb 1,60 1,70
В табл. 5 помещены значения оптической ширины запрещенной
зоны для Si и Ge, определенные по рис. 37.6, и для ряда других
полупроводников и диэлек-
триков.
В заключение отметим, что
ширина запрещенной зоны за-
висит от температуры и внеш-
него давления. Соответствен-
но смещается край полосы
собственного поглощения.
При повышении темпера-
-0.8\ । । -1. .1. j । j ।. । -t । f i х I । 1. .
О 50 тоо >50 p-ws,am
Рис. 37.7. Изменение ширины запрещен-
ной зоны 6£0 в некоторых полупроводни-
ках в зависимости от давления Р
туры изменяется амплитуда
тепловых колебаний атомов
решетки, в связи с чем умень-
шается ширина запрещенной
зоны. Кроме того, из-за из-
менения межатомных расстоя-
ний, т. е. объема тела, с по-
вышением температуры может наблюдаться либо уменьшение, либо
увеличение ширины запрещенной зоны. Однако обычно при повы-
шении температуры наблюдается уменьшение ширины запрещен-
ной зоны и смещение края полосы собственного поглощения в
сторону длинных волн. В некотором интервале температуры для
251
ряда полупроводников можно считать ширину запрещенной зоны
линейной функцией температуры, т. е.
ДЕ0 = (Д£0)т = 0-уТ. (37.11)
Для кремния величина у = 4-10"4 эВ/град, для германия
у = 4,5 «10-5 эВ/град.
Но иногда наблюдается обратный эффект. Например, для PbS с
увеличением температуры ширина запрещенной зоны увеличивается.
При увеличении давления в большинстве случаев наблюдается
увеличение ширины запрещенной зоны и сдвиг края полосы собст-
венного поглощения в сторону коротких воли. Но здесь также
могут быть исключения (например, эффект имеет сложный харак-
тер в CdS).
На рнс. 37.7 приведена зависимость ширины запрещенной зоны
от давления для некоторых полупроводников. Положительным
значениям соответствует увеличение ширины запрещенной зоны.
Как видно из рисунка, большинство зависимостей немонотонные,
Примесное поглощение света
Поглощение света вследствие передачи энергии (и импульса)
от фотонов к электронам, приводящее к ионизации соответствую-
щих примесных центров, называют примесным. Если поглощаемые
Рис. 37.8, Спектр поглощения, свя-
занный с примесью бора в кремнии
связанный с ионизацией атомов
фотоны перебрасывают электро-
ны с уровней примеси в зону
проводимости, то будет наблю-
даться полоса поглощения, ко-
торая сдвинута по сравнению с
собственным поглощением в сто-
рону длинных волн. В ту же
сторону сданнута полоса погло-
щения, соответствующая пере-
бросу электронов из валентной
зоны на уровни примеси.
На рис. 37.8в качестве приме-
ра приведен спектр поглощения,
а (акцептора) в кремнии. Обычно
спектры примесного поглощения содержат несколько максимумов;
Это связано с тем, что электроны на примесных уровнях могут на-
ходиться в основном и в возбужденных состояниях, подобно элек-
трону в атоме водорода. Спектры примесного поглощения обычно
снимают при низкой температуре (Т <20 К), поскольку энергия
ионизации примесей может быть небольшой, и необходимо умень-
шить термическую генерацию. Кроме того, вследствие взаимодей-
ствия электронов с фононами полосы поглощения расширяются.
Необходимо также ограничивать концентрацию примеси, ибо вза-
имодействие атомов примеси приводит к расширению полос погло-
щения,
252
(.центры примесного поглощения позволяют получать величины
т-ргпи ионизации мелких примесных центров с весьма высокой
111'1 костью.
зоне, то он может
Уровни
энергии экситона
Эиснтонное поглощение саета
Экситонами называют возбужденные состояния электронной си-
г |смы кристалла, состоящие из электрона и дырки, связанных
жду собой и совместно перемещающихся по кристаллу. Если
и процессе поглощения света электрон покидает валентную зону,
пи не переходит в зону проводимости, а имеет энергию, соответст-
г ющую тому или иному уровню в запрещенной
() 1уждать по кристаллу, увлекая за собой свя-
i.iиную с ним дырку валентной зоны. Оче-
нндио, этот случай особый, поскольку элек-
|р()И не закрепляется на том или ином уров-
не (центре) в запрещенной зоне. Кроме того,
in иже ни я такого электрона не создают элек-
|рического тока, поскольку вместе с электро-
ном перемещается и дырка.
Экситон может разрушиться в резуль-
t.tre теплового «девозбуждения», т. е. терми-
ческой диссоциации, при которой создаются
свободный электрон в зоне проводимости и
свободная дырка в валентной зоне. Может также произойти исчез-
новение экситона с испусканием фононов или фотона, электрон
при этом возвратится в валентную зону.
Если размеры экситона велики по сравнению с постоянной
решетки, то взаимодействие электрона и дырки можно представ-
лять как кулоновское взаимодействие двух точечных зарядов.
Следовательно, экситон можно рассматривать как водородоподоб-
пую систему.
Уровни энергии экситона приведены на рис. 37.9. Здесь /ivOT —
&Е0 соответствует случаю, когда экситон исчезает в результате
разрыва связи электрон — дырка и образования двух свободных
носителей заряда.
Экспериментально спектры поглощения, соответствующие эк-
ситонам, обнаружены в CuaO, CdSe, ZnS, Hgl2, РЫ2 и других
полупроводниках.
Поглощение овета свободными носителями заряда
При поглощении света свободные электроны переходят на бо-
лее высокие уровни в зоне проводимости, т. е. «разогреваются».
Соответственно энергия световой волны уменьшается. Поглощение
света может быть и на свободных дырках.
. Рассмотрим кратко основные закономерности поглощения света
свободными электронами полупроводника, имеющего простое строе-
ние зон в ^-пространстве,
253
Взаимодействие света со свободными электронами полу пр овод
иика приводит к уменьшению амплитуды падающей электромагнит-
ной волны, так что напряженность электрического поля можпп
представить в виде
<?=Ле4-Я, (37.12)
где п — показатель преломления полупроводника.
Амплитуда волны
— —р х
А = $ое 2«се® ’
(37.13)
где х—расстояние, проходимое светом в полупроводнике; о —
удельная электропроводность полупроводника; с — скорость света
в вакууме.
Следовательно, поток энергии волны уменьшается с расстоянием
х пропорционально величине е ”С8в , Кроме того, интенсивность
света, прошедшего через среду толщиной х, пропорциональна
е'а*, где а — коэффициент поглощения. Таким образом, полу-
чаем
ст
а = -—
псе0
е2 (т)
___i—£_ и
псеот* '
(37.14)
средним временем релаксации
0,3 0,1 0,5 0,6 0,7
Рис. 37.1,0. Зависимость коэффи-
циента поглощения света кристал-
лической решеткой германия и
кремния от величины
Тлоз см 1
Значит, коэффициент поглощения света свободными электро-
нами определяется их концентрацией п, эффективной массой т*,
Ст>, а также показателем прелом-
ления среды п. Последний зави-
сит от длины световой волны/так
что а =/ (X). При сложном строе-
ний зон картина усложняется из-
за возникновения переходов меж-
ду отдельными подзонами,
Поглощение овета
иристаллнчесиой решетной
Поглощение света кристалли-
ческой решеткой происходит в ре-
зультате взаимодействия электро-
магнитного поля световой волны
с движущимися зарядами узлов
решетки, т. е. поглощение света
решеткой связано с изменением
энергии колебаний атомов полупро-
водника. Поскольку кристаллическая решетка может поглощать
электромагнитное поле лишь прн определенных значениях энергии
фотонов, спектр характеризуется рядом пиков поглощения, кото-
254
I и к обычно накладываются на поглощение свободными носителями
Ирида. На рис. 37.10 приведен спектр поглощения света кристал-
41 ческой решеткой германия и кремния. На нижней шкале оси
.ifiLHHCc отложены значения 1 /(%-103), выраженные в см-1 для гер-
hiия, на верхней шкале для кремния. По длинам волн для гер-
мания шкала соответствует интервалу от 14 до 33 мкм, для крем-
ния — от 7 дб 20 мкм. Коэффициент поглощения в германии больше,
чем в кремнии, поскольку плотность вещества в германии больше,
чем в кремнии. Подробный анализ показывает, что свет поглощается
к»лько поперечными оптическими колебаниями решетки (см. § 18).
Выводы к § 37
1. Собственное (или фундаментальное) поглощение света наблюдается в том
случае, когда энергия поглощаемого фотона затрачивается на переброс электрона
и >’валентной зоны в зону проводимости. Если указанный переброс осуществляется
практически по вертикали, тооптические переходы (перебросы) называют прямыми,
или вертикальными. Спектр собственного поглощения можно использовать для
определения оптической ширины запрещенной зоны. Последняя может отличаться
о г термической ширины запрещенной зоны, что обусловлено структурой зон
п 1г-пространстве.
2. Примесное поглощение света наблюдается в случае, когда энергия погло-
щаемого фотона затрачивается на ионизацию примесных уровней. Спектр примес-
ного поглощения сдвинут в сторону длинных волн по сравнению со спектром
собственного поглощения. Характерным признаком спектра примесного поглоще-
ния является наличие максимумов для некоторых длин волн. Каждый максимум
соответствует энергии фотона, равного энергии ионизации примесного уровня.
3. Экситонами называют возбужденные состояния, состоящие из электрона и
дырки, связанных между собой кулоновскими силами и совместно перемещающихся
по кристаллу. Спектр поглощения экситонов состоит из линий, соответствующих
перебросам электрона из валентной зоны на тот или иной уровень в запрещенной
tone. Экситон можно рассматривать как водороде подобную систему.
4. Свободные носители заряда, поглощая свет, разогреваются, т. е. электроны
проводимости переходят на более высокие уровни, а дырки проводимости — на
более низкие уровни. Спектр поглощения свободными носителями заряда лежит
в длинноволновой области. В этой же области может наблюдаться спектр поглоще-
ния света кристаллической решеткой.
§ 38. ФОТОПРОВОДИМОСТЬ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
И ДИЭЛЕКТРИКАХ
Вследствие поглощения света наблюдается генерация свобод-
ных носителей заряда. Это явление называют внутренним фотоэф-
фектом. Избыточная неравновесная концентрация свободных но-
сителей заряда создает фотопроводимость. Следовательно, удель-
ная фотопроводимость
= + (38.1)
Квантовый выход фотоэффекта
Скорость световой генерации G носителей заряда определяется
интенсивностью излучения I и коэффициентом поглощения а.
Если свет монохроматический, то его интенсивность можно выра-
255
Зить через поток фотонов q — I/hv. Кроме того, концентрация n ik
рируемых носителей заряда пропорциональна интенсивности по, ю
щенного излучения а/. Таким образом, например, концентринин
избыточных электронов, создаваемых за единицу времени, 6y;n-i
(4^)] = Р'а/ (38.41
соответственно за время t
— p' = p/ftv. (38.Ч)
Для собственного поглощения Дп = Др; поэтому число пир
носителей заряда в единице объема, генерируемых светом за едп
ницу времени, определяют через интенсивность поглощенного свеча
и коэффициент пропорциональности (3, который называют кван
товым выходом. Очевидно, квантовый выход определяет число
пар носителей заряда, образуемых одним поглощенным фотоном
(квантом), если интенсивность света / измерять числом фотонов
(квантов) в секунду. Обычно величина р < 1. Однако крупные фо-
тоны могут создавать ударную ионизацию и в этом случае р > I
При примесном поглощении образуется один тип носителей
заряда, и квантовый выход р определяет число носителей заряда,
образуемых одним поглощенным фотоном.
Если интенсивность света одинакова во всем объеме полупро-
водника и не изменяется с течением времени, то устанавливается
динамическое равновесие процессов генерации и рекомбинации,
которому соответствуют установившиеся значения избыточных кон-
центраций:
Дпст = Р'а/т„, Др„ = Р'а/тр, (38.4)
где т„ и тр — время жизни электронов и дырок.
Соответственно стационарная фотопроводимость
<тф. ст = '«Z (Т„р„ + Трц„). (38.5)
При значительном превосходстве одного из слагаемых будет
наблюдаться монополярная фотопроводимость.
Характеристикой вещества является светочувствительность аф,
определяемая как отношение фотопроводимости к интенсивности
света. Так что если в качестве-фотопроводимости использовать
стационарную <тф „, то
s,t = = е р' а (т„|г„ + тр|хр)-. (38.6)
В СИ светочувствительность гф измеряют в
Ом-1 М~1 _ м
Вт м-2 Ом Вт ’
Заметим также, что величину фототока /ф называют фотоот-
ветом или фотооткликом, причем часто измеряют ее в относитель-
ных единицах,
256
Квантовый выход, равный единице, можно наблюдать на широ-
козонных кристаллах, например, типа алмаза, который является
диэлектриком (Д£о « 5,3 эВ). Кроме того, крупные фотоны, как
уже отмечалось, могут дать (3> 1. Например, в кремнии наблю-
дается зависимость квантового выхода от величины энергии погло-
щаемого фотона, изображенная и а рис. 38.1.
Так как эффективные массы электронов и дырок в кремнии
относительно мало отличаются друг от друга, можно считать, что
при возникновении пары электрон — дырка за счет ударной иояп-
Рис. 38.1. Квантовый выход Р
в кремнии при температуре:
I - 100 к; 2 - 300 К; 8 - 400 К
а- частицы^
Рентгеновское-^^ Si
излучение ^Электроны
Свет
0,1 7 ' 1Ог ' W* ' WehV;E,3B
Рис. 38.2. Квантовый выход в крем-
нии и германии при облучении
квантами hv и частицами различ-
ной энергии Е
зации избыточная кинетическая энергия распределяется между
электроном и дыркой, а также первичным электроном поровну.
В связи с этим следует ожидать существенного возрастания
квантового выхода при hv 3&Е0, т. е. примерно с 3,3 эВ для
кремния при комнатной температуре (что и наблюдается на опыте).
При поглощении фотонов большой энергии, соответствующих рент-
геновскому или у-излучению, квантовый выход (3 соответственно
увеличивается, как показано на рис. 38.2. Здесь же приведен кван-
товый выход для случая облучения электронами и а-частицами
соответствующих энергий.
Релаксация фотопроводимости и стационарная
фотопроводимость
Релаксация фотопроводимости характеризует переходные про-
цессы после включения или выключения постоянного освещения.
Изменение избыточной концентрации электронов определяется урав-
нением непрерывности, если не учитывать рекомбинацию на поверх-
ности и если излучение поглощается равномерно во всем объеме.
Кроме того, полагаем, что полупроводник изолирован от других
тел, и дрейф носителей заряда отсутствует. Следовательно, имеем
(38.7)
9 Орешкин П. T.
257
При низком уровне инжекции рекомбинационное слагаема
согласно (25.7) можно записать через Дп/т„; тогда получим
(38.Н)
Таким образом, в дырочном полупроводнике концентрация in-
быточных неосновных носителей заряда при мгновенном (ступен-
чатом) включении освещения согласно (38,8) изменяется по закону
Дп = т„₽'а/\1(38.9)
При интегрировании уравнения (38.8) учтено начальное уело*
вие: при t = 0 имеем Дп = 0. Установившееся значение
Дпст = тпр'а/. (38.10)
Если, наоборот, исходить нз условия, что в полупроводнике
уже имеется стационарная избыточная концентрация Дпст н в не-
который новый момент t == 0 производится выключение освеще-
ния, то, начиная с этого нового начала отсчета времени, избыточ-
ная концентрация неосновных носителей заряда изменяется по
закону
_ t
Хп‘ (38.11)
Рис. 38.3. Зависимость избы-
точной концентрации от вре-
мени после включения и вы-
ключения света
На рис. 38.3, б приведены кривые Дп = f (?) при включении
и выключении света. Имеется в виду,
что как процесс включения, так и про-
цесс выключения мгновенны, т. е. све-
товой нмпульс прямоуголен (рис. 38.3, а),
что и принято при выводе (38.9)1
(38.11).
При высоком уровне инжекции вме-
сто (38.8) имеем
^=₽'<х/-Т,(Дл)’- (38.12)
В отличие от (25.10), где в правой
части есть лишь рекомбинационное сла-
гаемое, поскольку генерация неравно-
весных носителей предполагается уже
снятой, здесь имеем более полное уравнение непрерывности, вклю-
чающее генерационное слагаемое.
Интегрируя уравнение (38.12) с учетом начального условия
(при t = 0 величина Дп = 0), находят
An-KpW^thO/y^T), (38.13)
т. е. нарастающая величина Дп определяется постоянным коэф-
фициентом ) P'csZ/y,. и переменным сомножителем в виде гипербо-
258
••fchoro тангенса от произведения времени t на константу
I v р'а/. Следовательно, нарастание Ап определяется гнперболи-
। । он гангенсоидой.
При выключении освещения получают
An = 1 .-----j----- (38.14)
' <. гиперболическую зависимость An = f (f).
I .ели использовать мгновенное время жизни (см. § 25), то урав-
||| нис (38.8) можно применить и к случаю высокого уровня ННЖеК-
ПНН.
При расчете установившегося значения Апст следует положить
= 0, так что по (38.8) имеем
= (38.15)
причем, последнее соотношение выражает время жизни электронов
мк неосновных носителей заряда в дырочном полупроводнике
Рис. 38.4. Зависимость уста-
новившейся избыточной кон-
центрации Дяст от интенсив-
ности света I при линейной
(/) и квадратичной (2) ре-
комбинации
Рис. 38.5. Изменение из-
быточной концентрации
после включения света,
затягивающееся процес-
сами захвата носителей
заряда ловушками
прн линейной рекомбинации и мгновенное время жизни электронов
при квадратичной рекомбинации. Следовательно,
Апст = тл|3'а7, (38.16)
т. е. при линейной рекомбинации Апст есть линейная функция
интенсивности света 7 (люкс-амперная характеристика линейна),
а при квадратичной рекомбинации Апст есть нелинейная функция
/, так как тл = f (7).
На рис. 38.4 приведены зависимости Апст от интенсивности
света I для линейной (7) н квадратичной (2) рекомбинации.
Ранее не учитывалось влияние ловушек захвата. Заполнение
последних может затягивать процесс нарастания Ап при вклю-
чении освещения, а освобождение — затягивать процесс спада Ап
прн выключении освещения. В частности, прн включении света
может наблюдаться S-образное нарастание Ап (рис. 38.5). Пусть
9*
259
10
100
10
hv, эВ
В 1 0.6 0,30,2 0,1 0,06 0,03
100
1 2 4 5 810 20 30 W
%,мкм
Рис. 38.6. Спектральная зависи-
мость фотопроводимости в гер-
мании, легированном медью и
цинком
Nt есть концентрация ловушек захвата, которые способны захва-
тывать и затем в течение времени 6 удерживать носитель заряда.
Если 6 тл» т° ловушка на протяжении времени жизни неравно-
весного электрона способна захватить его неоднократно. Такие
ловушки составляют a-тип. Если же
6 т>г, то ловушка может захватить
электрон не более одного раза. В по-
следнем случае ловушки обозначают
как p-тип. Если ловушки свободны,
то в первый момент они будут захва-
тывать электроны, уменьшая скорость
нарастания An н затягивая время на-
растания. Аналогично при опустоше-
нии ловушек после выключения све-
та будет наблюдаться затягивание
спада Ап. Начальный этап нараста-
ния н спада Ап определяется вели-
чиной б в случае а-ловушек н %п—в
случае р-ловушек. Но по мере насы-
щения или опустошения ловушек их
роль в изменении Ап уменьшается.
Если построить зависимость фо-
тоотклика от энергии фотонов нли
длины поглощаемой световой волны, то получаются сложные кри-
вые, которые в области примесного поглощения зависят от на-
личия примесей. Так, на рис. 38.6 приведены две кривые спект-
ральной завнсимостн фотопроводимости (фотоотклика, отложенного
по оси ординат в произвольных еди-
ницах) для германия, легированного
медью н цинком. В области собствен-
ного поглощения (левая часть рисун-
ка) кривые совпадают, а в примес-
ной области — сильно различаются.
На рнс. 38.7 приведены спектры фо-
топроводимости в области собствен-
ного поглощения для ряда полупро-
водников при разных температурах.
Если спектр собственного погло-
щения, круто нарастая со стороны
его длинноволновой границы, может
иметь постоянное или возрастающее
значение а прн последующем умень-
шении длины волны в достаточно ши-
роком диапазоне, то после прохожде-
ния длинноволновой границы собственного поглощения внутренний
фотоэффект достигает максимума и затем быстро уменьшается, хотя
интервал длин волн продолжает соответствовать собственному
поглощению. Здесь сказывается фактическое уменьшение скорости
hv,36
W 2,5 1,5 10 0,5
В Г
80 -
50 г
Рис. 38.7. Спектральная зави-
симость фотопроводимости в об-
ласти собственного поглощения
для ряда полупроводников
0,3 0,5 1,0 2,0 5,0 10,0
&,мкм
260
и. рицин по мере углубления в объем ввиду сильного поглощения
। । поверхностными слоями. Поэтому вид кривых зависит от
г 1 шеров образца.
Влияние поверхностной рекомбинации носителей заряда
на фотопроводимость
11<>верхностная рекомбинация вызывает уменьшение концент-
। инн! неравновесных носителей заряда в приповерхностном слое,
lie (46.20) прн условии т, = d/2s имеем
7 = ^ + 1' (38.17)
। 'п- 9 — скорость поверхностной рекомбинации; d — размер образца
и и травлении светового луча. Отсюда
т = 1+^- (38->8)
Из (38.18) видно, что, если 2srv <^d, то т = ту, т. е, поверх-
ностная рекомбинация практически не сказывается на времени
жизни. Наоборот, при 2sty d имеем
l/T = 2s/d илн t = cJ/2s = t5, (38.19)
।. о. фотопроводимость определяется не объемным временем жизни,
। поверхностным. Соответственно, аф оказывается меньшей, чем
в первом случае.
Выводы к § 38
1. При собственном поглощении квантовый выход 0 определяет число пар
носителей заряда, образуемых одним поглощенным фотоном (квантом). Обычно
0 1, хотя крупные фотоны могут создавать ударную ионизацию и тогда 0 > 1.
При примесном поглощении 0 определяет число носителей заряда одного типа,
образуемых за счет поглощения одного фотона.
2. Фотопроводимость определяется генерацией избыточной концентрации
hi счет поглощения света. При низком уровне инжекции избыточная концентрация
шврастает после включения освещения по закону (38.9) и достигает установив-
шегося значения через некоторое время, большее времени жизни. При выключении
освещения избыточная концентрация уменьшается по экспоненте. При высоком
уровне инжекции переходные процессы изменения избыточной концентрации
определяются соотношениями (38.13) и (38,14).
§ 39. ФОТО-Э.Д.С. И ФОТОМАГНИТО-Э.Д.С.
Исследования X. Дембера, советского академика А. Ф. Иоффе
и др. показали, что при неравномерном освещении всего объеам
полупроводника возникает э. д. с. в направлении луча сильно пог-
лощаемого света. Этот эффект называют кристалл-фотоэффектом,
плн эффектом Дембера.
Прн освещении р-п-перехода или ОПЗ контакта полупровод-
ник — металл возникает так называемая вентильная фото-э. д. с.
261
Советские физики И. К. Кикоин и М. М. Носков впервые в
1934 г. установили, что при помещении полупроводника в магнит-
ное поле, перпендикулярное лучу света, поглощаемого полупровод-
ником, возникает фотомагнито-э. д. с. или фо-
том агнитоэлектрическнй эффект. Рассмотрим
кратко все три эффекта.
Свет
Рис. 39.1. Схема воз-
никновения эффекта
Дембера
Эффект Дембера
При освещении полупроводника сильно
поглощаемым светом в приповерхностном слое
избыточная концентрация неравновесных но-
сителей заряда будет больше, чем в объеме,
поскольку туда доходит лишь небольшая
часть падающего на поверхность света. По-
этому будет происходить диффузия электро-
нов и дырок от поверхности в глубь образ-
ца, т. е. в направлении падающего луча.
Электроны, имеющие ббльшую подвижность, чем дырки, будут опе-
режать последние, что приведет к разделению зарядов. Непосред-
ственно у поверхности будет создаваться положительный заряд,
а неосвещенная противоположная грань образца (рис. 39.1) будет
заряжаться отрицательно.
Если обозначить напряженность внутреннего электрического
поля Дембера б5, а плотность тока электронов и дырок /я, jp, то
/л = ет|ллг? + |л„А7’^-; (39.1)
ip = ep^-nPkT^-, (39.2)
/ = h + h = е (пц„ + Wp) S + kT . (39.3)
В случае изолированного полупроводника / =0, так что
dn dp
g __kT' ^"dz ^pdz
e ' пц» + РЦ;> '
(39.4)
Полагая dn/dx = dp/dx = d&nldx — dtXp/dx, находим абсолют-
ное значение э. д. с. Дембера между точками хг и
Xt Xi
Поскольку С = е(П|Ля+р|Л^) И Д(Т = е (ц,я + |Лр) Д/г, то
d Д/г =
d Act
о (Рп + Цр) '
(39.5)
(39.6)
262
и'довательно, по (39.5) и (39.6) имеем
(39.7)
е НлТИр J и
Поскольку d&o = da, отсюда получим
(39.8)
Таким образом, э. д. с. Дембера тем больше, чем больше раз-
нимаются подвижности электронов и дырок. При эффект
иц-утствует, т. е. э. д. с. Дембера обращается в нуль. Однако
или полупроводник имеет монополярную проводимость, то это
ис означает отсутствия э. д. с. Дембера. Из (39.4), например, при
1> 0 имеем
(39.9)
И
1/12= jj 7, (39.10)
*1 Xi
1. e,
’/>= = Tln^- (39.11)
Вернемся к биполярной проводимости, т. е. к соотношению
(39.8), полагая Да = а2 — малой величиной, а а = (аа -|-а1)/2.
1огда, разлагая 1п^ в ряд н ограничиваясь первым членом раз-
жижения, получим
и _kI, ^п~^р ,
12 “ е ’ мл+Рр’ а '
(39.12)
Если принять о = 1 Ом-1 -см"1, Т = 300 К, |лп = 3900 см2/(В -с),
|i„ = 1900 см2/(В-с) (германий), Да = 0,2 Ом’1 • см"1, получим
И(о = 1,7-10"3 В. Следовательно, даже при относительно большой
величине Да получаем малое значение э. д. с. Дембера.
Вентнпьная фото-э.д.о.
Если р-л-переход расположен вблизи поверхности полупро-
водника, так что падающие на поверхность кванты света генери-
руют пары электрон—дырка достаточно близко от р-л-перехода,
ю в последнем наблюдается разделение пар и понижение контакт-
ной разности потенциалов. Необходимо, чтобы место генерации
пары находилось не далее, как на расстоянии порядка диффузион-
ной длины, В таком случае носители заряда не успевают ре комби ни-
решать, а диффузионное движение подводит часть из них к р-п-пе-
263
Рис, 39.2. Схема возникнове-
ния вентильной фото-э д, с.
реходу. Электрическое поле, созданное контактной разностью
потенциалов, переводит избыточные дырки из «-области в р-об-
ласть, а избыточные электроны, наоборот, из p-области в «-область,
что приводит к снижению контактного потенциального барьера
на величину, соответствующую вентильной фото-э. д. с. Если р-«-пе-
реход освещается так, что лучи света направлены вдоль границы
раздела областей, то указанная гене-
рация пар наблюдается с обеих сторон
от перехода (рис. 39.2, а), но при этом
действует лишь приповерхностная его
часть, нбо свет поглощается в припо-
верхностном слое и не доходит до
глубинных областей. В случае, когда
свет падает перпендикулярно к р-п-
переходу (рис. 39.2, б), наблюдается
генерация электронно-дырочных пар
в области одного типа электропроводности (приповерхностной об-
ласти), и если граница р-я-перехода залегает неглубоко, то воз-
никает вентильная фото-э. д. с. за счет передвижения через р-п-
переход неосновных носителей заряда из указанной области.
Если р-п-переход до освещения находится в равновесии, то
полный ток через него равен нулю, т. е. плотности тока электронов
и дырок из противоположных областей равны между собой:
/£“ = /!/”; /?’ = /?’. (39,13)
За счет облучения создается фототок /ф, который совпадает
с током неосновных носителей заряда, т. е. сумма плотностей то-
ков неосновных носителей заряда
/ф+А'”+1?’ = /„ооо,.; (39.14)
причем сумму плотностей токов неосновных носителей заряда без
фототока можно заменить:
}п + —]ns-r}ps----------------(6У.1О)
Фототок снижает контактный потенциальный барьер па вели-
чину ефф, вследствие чего ток основных носителей заряда через
р-п-переход увеличивается, так что
Ал| = /Л5е‘г; = (39.16)
Общая алгебраическая сумма плотностей токов
t -I- ,1 АР) __ i /on 1
/фТ/л -\-]p —Jn —]p «/ (69.1/)
Если цепь замкнута, то ток / будет протекать в ней, если же
она разомкнута, то / = 0 Когда требуется определить полный
ток, нужно j умножить на площадь перехода,
264
Подставим (39.16) в (39.17) и выразим /ф в виде
I 2ф ) / 24 \
/ф = / + ЛДе"-1/ + /лДе^-\), (39.18)
иди
[ 2ft \
, /Ф = / + Ме4г-и. (39.19)
Отсюда разность потенциалов, созданная на р-п-переходе вслед-
। ишс облучения
Фф = ^1п(1+^. (39.20)
При разомкнутой цепи срф есть вентильная фото-э. д, с., поэтому
Ч>Ф,И1 = т1п(1+^. (39.21)
Таким образом, вентильная фото-э. д. с. определяется темпе-
ратурой Т и величиной плотности тока /ф, которая, в свою очередь,
<ависит от интенсивности света.
Вентильная фото-э. д. с. является источником напряжения в по-
лупроводниковых преобразователях энергии света в электрическую
энергию («солнечные батареи» и др.). Прн
наличии микрогетеропереходов и барьер-
ных слоев типа полупроводник—квазиме-
галл или иных потенциальных барьеров в
объеме неоднородного полупроводника сум-
марная вентильная фото-э. д. с. может ока-
шться весьма значительной. Этот вопрос
рассмотрен далее в разделе неоднородных
полупроводников.
Фотомагнитоэпектричесиий эффект
(эффект Кикоина — Носкова)
Если поверхность полупроводника об-
лучается светом, то в приповерхностном
слое генерируются избыточные электрон-
но-дырочные пары. В глубь полупроводни-
ка создается диффузионный поток электро-
нов и дырок. Если образец поместить во
внешнее постоянное магнитное поле, на-
правленное перпендикулярно лучам света,
то диффундирующие носители заряда разных знаков будут откло-
няться силой Лоренца к противоположным граням (рнс. 39.3)
н будет создаваться э. д. с. На рис. 39.3, б показаны физические
направления токов электронов и дырок, соответствующие направ-
ивет
Свет
х 5)
Рис. 39.3. Схема возник-
новения эффекта Кикои-
на — Носкова
265
лению движения зарядов. Если магнитное поле перпендикулярно
плоскости рисунка и направлено от нас, то дырки отклоняются
к правой грани, а электроны — к левой. Возникающее электриче-
ское поле противодействует указанному отклонению и процесс
достигает равновесия, когда ток проводимости, обусловленный
действием поля, скомпенсирует магнитнодиффузионный ток. Этому
равновесию н соответствует фотомагнито-э. д. с.
Положим, что скорость поверхностной рекомбинации мала,
так что последней можно пренебречь. При слабом магнитном поле
углы Холла н фп согласно (20,22) н (20.23) равны:
ФР^ (39.22)
Фл = — ApnB^tgq>„. (39.23)
Проекции полных плотностей токов дырок и электронов на
ось у (рис. 39.3, б) будут
1ру = /р* tg Фр == А[лрВ jpX‘, (39,24)
Iny= jnx tg Фл = Ap.nBjnx> (39.25)
Плотность магнитодиффузионного тока
1у = 1ру 4" (И-р/р* Нл/лл)- (39.26)
Полагаем, что Ап = Ар; тогда диффузионные плотности токов
дырок и электронов s
/„=-/«—eD^. (39.27)
Здесь D — коэффициент биполярной диффузии, определяемый
в виде (24.46), причем для полупроводника p-типа D = Dn, для
- n-типа D = DP.
Подставляя (39.27) в (39.26), имеем
-1в = еАВО^р + ^)^. (39.28)
Пусть контакты на образце нанесены на боковые поверхности,
площадь каждой нз которых равна Ы, т. е. рассматриваем все
сечение образца в плоскости xz (на рис. 39.3, а показана часть
контакта с площадью bdx). Полагают все величины, входящие
в (39.28), за исключением Ап, постоянными и находят полный
ток при разомкнутой внешней цепи:
i i
I = ^jyb dx = — eABDb (р.р + р,л) J d An, (39.29)
о о
нли
/ = eABDb (|ЛР+ Ия) [Ап (0) - А п (/)]. (39.30)
В условиях равновесия этот ток равен току фотомагнитной
э. д, с., так что его можно выразить через УфМ и полную проводи-
266
MtHTb образца Q так:
/Ф>, = ЙИФм. (39 31)
Поскольку абсолютные значения токов (39.30) и (39.31) одина-
ковы (хотя токи имеют противоположные знаки), приравниваем их
и получаем
еЛВР6(цр+цЛ) [Дп (0) — Дд (/)]
/ фМ--------------О . (оУ. 62)
Величину Q можно выразить в виде
i
й = 61ст04-А Aadx. (39.33)
о
Здесь первое слагаемое есть темновая электропроводность,
i второе определяется избыточными носителями заряда. Поскольку
Л/г = Др, (39.33) можно представить так:
i
й = " <Т« +% (ИР + Щ) J Л« (39.34)
о
Если учесть, что
__
Дп = (Д/г)ое L« = An(0)e \ (39.35)
где Ln — диффузионная длина (предполагается p-тип полупровод-
ника), то получим
/ С _х_ |/
\ Д/г dx = Лп (0) \ е Ln dx = — Дп (0) е Ln |о- (39.36)
о о
Прн Ln, т. е. для толстого образца, имеем
i
\ Д/г^ = £лД/г(О). (39.37)
о
Таким образом, в этом случае получим
Т7 - eaABD ^р+Нл) Д« (0) ,qQ
’/Фм-/ао+е(|Хр + Ця)^дп(О) •
Прн высоком уровне инжекции первое слагаемое в знаменателе
можно отбросить и тогда
= (39.39)
Наоборот, при низком уровне инжекции в знаменателе (39.38)
можно пренебречь вторым слагаемым, так что получим фотомаг-
нитную э. д. с,
V= eaABD . (39.40)
267
Если скорость поверхностной рекомбинации пренебрежимо мала,
то концентрация избыточных носителей на поверхности опреде-
ляется интенсивностью возбуждающего света 7, квантовым выхо-
дом р и временем жизни носителей заряда т. Таким образом,
£яД,1(О) = 0'т/. (39.41)
Рис. 39.4. Зависимость фотомагнит-
ной э. д. с. от интенсивности осве-
щения германия
Следовательно, при низком уровне инжекции н малой скорости
поверхностной рекомбинации с учетом равенства L2n = Dr получаем
= = (39.42)
График зависимости фотомагнитной э. д. с. от интенсивности
освещения для германия приведен на рис. 39.4, где линейная
часть соответствует низкому уров-
ню инжекции, насыщение — высо-
кому уровню ннжекцни.
Эффект Кикоина—Носкова, с
одной стороны, аналогичен явле-
нию Холла, с другой стороны, —
термомагнитному эффекту Нерн-
ста—Эттингсгаузена (см. §21). Фо-
томагнитоэлектрический эффект ис-
пользуют для исследования раз-
личных неравновесных процессов
в полупроводниках; в частности,
для определения малых времен жизни, например порядка 10"10 с.
Однако эффект Кикоина — Носкова является «тонким», и требует-
ся экспериментальное искусство и тщательный анализ погрешно-
стей измерений.
Выводы к § 39
I. Эффект Дембера состоит в возникновении э. д. с. в направлении светового
луча, поглощаемого в полупроводнике. Он возникает как следствие диффузии
носителей заряда, имеющих различную подвижность.
2. Вентильная фото-э. д. с. наблюдается при освещении р-п-переходов
или других потенциальных барьеров. До освещения p-я-переход находится в рав-
новесии. При облучении создается фототок, снижающий потенциальный барьер,
что эквивалентно возникновению вентильной фото-э. д. с.
3. Фотомагнитоэлектрический эффект состоит в возникновении поперечной
разности потенциалов в постоянном магнитном поле при облучении полупровод-
ника светом. Указанная разность потенциалов создается за счет отклонения
носителей заряда, участвующих в диффузионном токе, под действием силы Ло-
ренца.
§ 40. ВОЗМОЖНОСТИ УСИЛЕНИЯ И ГЕНЕРАЦИИ СВЕТА С ПОМОЩЬЮ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ
Переход электронов с высоких уровней на более низкие может
происходить с испусканием фотонов, и, следовательно, соответ-
ствующая рекомбинация будет излучательной. При этом возможны
прямые переходы электронов нз зоны проводимости в валентную
268
|(>пу или рекомбинация через ловушки. Указанные переходы могут
ио шикать самопроизвольно (спонтанно), либо вынужденно (инду-
цирование).
Инвероиая наоелеииость уровней н принцип действия лазера
В условиях теплового равновесия электроны стремятся занять
(остояния с минимальной энергией. Однако можно создать высо-
кую концентрацию электронов в некотором состоянии с энергией,
большей, чем равновесная. За счет освобождения нижних уровней
можно заселить (заполнить) более высокие уровни. В таком слу-
чае говорят об инверсной заселенности (населенности) уровней
или отрицательной температуре. Инверсную заселенность создают
с помощью «накачки», причем последняя осуществляется за счет
облучения мощным импульсом света (либо потоком частиц) или за
счет воздействия электрического поля. Если
обратные переходы на более низкие уров-
ни сопровождаются излучением фотонов, то
при определенных условиях система с инверс-
ной населенностью уровней может быть ис-
пользована для усиления или генерации элек-
тромагнитного излучения вообще и света в
частности. Такой усилитель и генератор све-
та называют лазером.
Рассмотрим общий принцип работы кван-
тового ' усилителя на примере простейшей
Уровни
энергии и Ет при
нормальной заселенно-
сти
системы с двумя энергетическими уровнями
(рис. 40.1). В условиях термодинамического равновесия более
высокий уровень Ek заполняется с меньшей вероятностью, чем
более низкий — Ет. Иначе говоря, заселенность уровня Eh в обыч-
ных условиях меньше, чем заселенность уровня Ет. При наличии
инверсной населенности имеет место обратное соотношение между
заселенностями этих уровней. Если прн наличии инверсной насе-
ленности пропустить через систему внешнее излучение с частотой v,
удовлетворяющей условию hv — Etl — Ет, то это излучение бу-
дет усиливаться за счет индуцированного излучения, когерентного
с внешним. Действительно, внешнее излучение будет, с одной сто-
роны, стимулировать переходы электронов с Ek на Ет, т. е. вызы-
вать индуцированное излучение, а с другой стороны, часть кван-
юв внешнего излучения будет поглощаться при переходах электро-
нов с Ет на Ek. Но последние переходы составляют лишь некото-
рую часть от первых, т. е. поглощаться будет меньшее количество
квантов, чем излучаться. Аналогичным образом можно генериро-
вать излучение, если инверсная населенность превышает некоторую
пороговую величину.
Для простоты полагаем, что к уровням Ek п Ет применима
1татнстика Больцмана, хотя, строго говоря, в действительности
система неравновесна. Однако будем определять так называемую
269
эффективную температуру Ткт, исходя из равенства
Ek~Em
hTkm , (40.1)
где fk и fm — функции распределения, характеризующие заселен-
ность уровней. Очевидно, если то ТА.ГЛ > 0, но если
fk > fm> то Т1гт <0, т. е. в последнем случае эффективная тем-
пература отрицательна.
Краткие сведения о рубиновом лазере
В качестве рабочей среды в рассмотренном лазере был исполь-
зован твердый диэлектрик —- кристалл рубина, т. е. кристалл
окиси алюминия (А1аО3), где небольшую часть атомов (ионов)
алюминия замещают атомы (ионы) хрома. Активными центрами
являются ионы хрома Сг3+. В оптических генераторах обычно ис-
пользуется бледно-розовый рубин с содержанием хрома около
0,05% (приблизительно 1,6 «1019 нонов в 1 см3). Рубии отличается
высокой механической прочностью и теплопроводностью, которые
в значительной степени способ-
ствовали широкому распростра-
нению его в лазерной технике.
К числу интересных свойств кри-
сталла рубина относится также
возможность выращивания боль-
(U
5)
ших образцов высокого оптнче-
Рис. 40.2. Схема одного из вариан- L n п
•тов лазера на рубине Рубиновый стержень Р дли-
ной, например, 20 см и диаметром
1,5 см и лампа-вспышка Л размещаются в фокальных плоскостях
отражателя — эллиптического цилиндра (рис. 40.2). Когда лампа-
вспышка выдает импульс света длительностью примерно 10-3 с,
осуществляется инверсия населенности уровней хрома. На рнс. 40.3
приведена схема уровней хрома в запрещенной зоне рубина. Основ-
ное состояние обозначено через Ег, возбужденные уровни — через
Е2а н Е2Ь. Кроме того, имеются две относительно широкие полосы
энергии Е3 н Е4. При возбуждении атома хрома нз основного со-
стояния Ei в состояния Е3 илн Е& электрон пребывает в последних
состояниях очень малое время (порядка 10"8 с), а затем переходнт
на уровень Е2а или Е2Ь, причем этот переход безызлучательный.
На уровнях Е2а или Е2Ь электрон задерживается 'более длитель-
ное время (порядка 2 40"3 с). Это время и позволяет накапливать
на уровнях Е2 более высокую концентрацию электронов, чем на
уровне Elt Следовательно, оказывается возможным на некоторое
время создавать инверсную населенность.
Заметим, что перевод электронов с уровней Е} сразу на уровни
Е2 не приводит к инверсной населенности, нбо свет будет индуци-
ровать обратные переходы. Необходим третий уровень, как свое-
270
1'разный «перевалочный пункт». Наличие широких полос £3,
I । г. спектре Сг3+ в рубине является «грегим уровнем», который поз-
воляет реализовать инверсию. Так как Е3
и £4 представляют собой полосы энергии,
по позволяет использовать мощность лам-
ин накачки на 10 или даже 15%.
Таким образом, лам па-вспышка дает
импульс света длительностью 10"3 с. В
кютветствии с этим рубиновый лазер из-
лучает нмпульс когерентного света дли-
п-льностью несколько меньшей, чем 10"э с.
11оследнее связано с тем, что нужно неко-
юрое время для создания инверсной насе-
ленности, после которой начинается гене-
рация. Скорость повторения вспышек зави-
сит от охлаждения рубинового кристалла
и может быть доведена до нескольких де-
с ятков импульсов в секунду.
На торцах рубинового стержня, кото-
рые строго параллельны друг другу н оп-
тчески отполированы, наносятся зеркальные покрытия, частично
прозрачные для выхода излучения. С помощью этих зеркал осу-
ществляется обратная положительная связь и реализуется режим
генерации. Кроме того, в резуль-
тате многократного отражения от
зеркал остаются лишь лучи, падаю-
щие на торцы кристалла перпенди-
кулярно, т. е. создается узкона-
правленный поток. Зеркала могут
размещаться и отдельно; причем
одно из них может быть неподвиж-
но, а второе представляет собой
вращающуюся призму (рис. 40.4).
Кроме рубина, в настоящее
время используют большое коли-
чество других лазерных материа-
лов — твердых диэлектриков. В
частности, применяют флюорит
кальция (CaF2), в который введе-
ны атомы диспрозия (Dy) или самария (Sm). Широко используют
также стекло, в которое введены атомы неодима (Nd).
Главным преимуществом стержней рубина является высокая
прочность и онн выдерживают большие удельные мощности гене-
рируемого света. Например, прн длительности импульса 10"3—10“9 с
рубин выдерживает мощности от 4 4 О9 Вт на каждый см2 попереч-
ного сечения стержня, а неодимовое стекло лишь до 1,5-10° Вт.
Эффективная температура луча лазера настолько высока, что
он может расплавить любой материал и обратить его в пар. Есте-
------------------Ь
Рис. 40.3. Структура уров-
ней хрома в рубине
1’нс. 40.4. Схема лазера на ру-
бине:
1 — неподвижное зеркало; Р — руби-
новый стержень; Л — лампа накачки?
II — вращающаяся призма: а — об-
Р иная связь выключена; б — вклю-
чена
271
ственно, что при этом чем больше энергия луча, том больший
объем материала может испарить лазер. Лазеры широко применяют
в различных областях и, в частности, при изготовлении микросхем.
Некоторые сведения о полупроводниковых лазерах
Полупроводники, как рабочее вещество для лазеров, перспек-
тивны особенно в связи с возможностью создания лазеров в широ-
ком диапазоне длин волн и возможностью достижения очень высо-
кого коэффициента полезного действия, близкого к 100%. Первые
полупроводниковые лазеры были созданы в 1962—1963 гг.
В 1965 г. в СССР была впервые получена генерация света в од-
нородных чистых кристаллах арсенида галлия. На рис. 40.5 при-
ведена схема лазера на кристалле GaAs с оптической накачкой,
Рис. 40.5. Схема полупроводнико-
вого лазера с оптическим возбуж-
дением
с помощью которой создается ин-
версная населенность в зоне про-
водимости и в валентной зоне. Ис-
точником света накачки служит
при этом рубиновый лазер, т. е. в
данном случае он служит преоб-
разователем когерентного излуче-
ния одной длины волны в коге-
рентное излучение другой длины
волны.
В 1964 г. Н. Г. Басовым с
сотрудниками осуществлен полу-
проводниковый лазер с инверсной населенностью свободных элек-
тронов и дырок прн электронной бомбардировке сульфида кадмия
(CdS), причем лазер работал лишь при температурах жидкого
гелия. В последующие годы созданы лазеры с электронным воз-
буждением (бомбардировкой), в которых рабочий элемент нахо-
дится при комнатной температуре.
Основным видом полупроводникового лазера является инжек-
ционный, где используется р-п-переход в вырожденных полупро-
водниках. Условие инверсной населенности в полупроводниках
можно представить через квазиуровни Фермн в виде

(40.2)
Это неравенство отражает условие, состоящее в том, что как
электронный, так и дырочный газы должны быть вырождены одно-
временно, тогда как при термодинамическом равновесии имеют
дело либо с примесным электронным вырожденным полупроводни-
ком, либо с примесным дырочным вырожденным полупроводником.
Создать в заданном объеме полупроводника одновременное вырож-
дение электронного и дырочного газа — значит получить инверс-
ную населенность уровней. Оказалось, что такое состояние можно
получить в областп вырожденного р-п-перехода при включении
его в прямом направлении. На рис. 40.6 приведена зонная схема
272
iii (рожденного р-п-перехода в равновесии и при прямом включе-
нии. Если в некоторой области р-п-перехода выполняется условие
(•10.2), а это на рис. 40.6 действительно имеет место, то наблюдается
» имереная населенность в этом сечен ин.
Таким образом, если ток через р-п-переход больше порогового
шачення, при котором для некоторой области выполняется усло-
ппс (40.2), то эта область р-п-перехо-
да является усиливающей средой для
света, распространяющегося в плоско-
с гн р-п-перехода, Для получения гене-
рации необходимо ввести обратную
связь, что можно сделать, если поме-
стить р-п-переход между двумя зерка-
лами. Роль последних обычно выпол-
няют гладкие грани самого полупровод-
никового кристалла. Оптимальные ус-
ловия получают на р-п-переходах в
GaAs. Инжекционный лазер на арсени-
де галлня излучает до 10 Вт когерент-
ного света с очень малой площади, по-
Рис. 40,6. Вырожденный р-п-
переход в равновесном со-
стоянии (а) и при прямом
включении (б)
скольку толщина излучающего слоя
р-п-перехода составляет около 2 мкм,
а длина излучающей части обычно со-
ставляет около 1 мм. Соответственно
мощность, снимаемая с 1 см2, достигает 100 кВт, причем лазер пи-
тается постоянным током, т. е. работает в непрерывном режиме.
Однако лазер в непрерывном режиме работает лишь прн низких
температурах. В импульсном режиме лазеры на р-п-переходах
могут работать от гелиевых температур до комнатных.
В конце 60-х годов во ФТИ нм. А. Ф. Иоффе АН СССР Ж. И. Ал-
феровым с сотрудниками были созданы инжекционные гетерол аз еры,
т. е. инжекционные лазеры на гетеропереходах. В настоящее время
инжекционные гетеролазеры обладают самым низким током гене-
рации прн комнатной температуре (около 900 А/сма) и могут рабо-
тать в непрерывном режиме, в том числе при комнатной темпера-
туре. Энергия когерентного излучения соответствует красному и
инфракрасному излучению (6900—9000 А).
Выводы к § 40
1. Инверсная населенность энергетических уровней, при которой некоторые
верхние уровни заполнены больше, чем нижние, создается с помощью накачки.
Индуцированные излучательные переходы с верхних уровней на нижние создают
условия для усиления света. При достаточно высокой инверсности населенности
уровней можно генерировать излучение.
2. Рубиновый лазер состоит из стержня рубина и лампы-вспышки, разме-
щенных в фокальных плоскостях эллиптического отражателя. Здесь осуществляет-
ся инверсная населенность уровней хрома, вводимого в кристаллы рубина в ка-
честве примеси.
3. Инжекционный полупроводниковый лазер создается на основе р-п-перехода,
|де р- и n-обласги являются вырожденными. При включении в прямом направлении
создается инверсная населенность в области р-п-перехода.
ГЛАВА IX
НЕОДНОРОДНЫЕ И НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ
СТРУКТУРЫ
§ 41. ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ
Многие полупроводниковые и диэлектрические материалы при-
меняют чаще в виде пол икр металлических структур.
Рассмотрим общие особенности полупроводников и диэлект-
риков в по л икр металлическом состоянии. В большинстве случаев
пленки окнелов, сульфидов, селенидов и т. д. имеют поликристал-
лическую или аморфную структуру.
Зоииая н прыжковая электронная электропроводность
полнкрноталпичеоких структур
Обычно электронную электропроводность пол икр металлических
тел описывают с помощью зонного механизма, несмотря на то, что
периодичность, характерная для кристаллической решетки, наблю-
дается лишь в пределах отдельных мелких кристаллов. Как и для
монокристаллов, для поликристаллическнх неметаллических тел
соответственно применяют статистику полупроводников и диэлек-
триков, исходя из зоиной схемы.
В связи с наличием большого числа примесных центров в по-
ли кристаллических неметаллических телах, как и в монокристал-
лах при частичной компенсации примесей, может возникать группа
уровней в запрещенной зоне, между которыми возможен обмен
зарядами. Перескок носителя заряда с одного примесного уровня
на другой при определенной упорядоченности направления экви-
валентен участию его в электропроводности. Такую электропровод-
ность называют прыжковой (электропроводностью по локализо-
ванным состояниям).
Вероятность перехода электрона из одного локализованного
состояния в другое можно представить в виде
K)==vf(R)e kT = v/(R)e 2kT , (41.1)
где v — частота фонона; f (R) — «туннельный» множитель, зави-
сящий от расстояния R между локализованными состояниями;,
274
\Е — разность энергий двух уровней; Ер — энергия поляриза-
ции, возникающей в окрестности локализованного состояния.
Для f (R) можно записать:
/(R) = e у * , (41.2)
|де Е — энергия примесного уровня, отсчитанная от дна зоны
проводимости, т* — эффективная масса электрона.
Энергия поляризации
(41.3)
где — радиус состояния; 8С н — статическая и высокочастот-
ная диэлектрические проницаемости.
Величины f (R) н Д£ могут сильно изменяться от одного пере-
скока к другому, н проводимость при переменном и постоянном
юке получается усредненной по всем перескокам. Причем при
постоянном токе проводимость имеет минимальное значение, а при
переменном токе увеличивается с возрастанием частоты. Энергия
активации проводимости падает с уменьшением температуры, ибо
при низкой температуре остаются лишь перескоки с малыми раз-
ностями Д£ энергии уровней.
Заметим, что прыжковое движение электрона иногда описы-
вают с помощью теории поляронов. В некоторых материалах,
в частности в ионных кристаллах (щелочно-галондные соединения,
и кислы и др.), имеет место сильная поляризация решетки вокруг
локализованного электрона. Состояние заряда, окруженного поля-
ризованной средой, исследовал советский физик С. И. Пекар, ко-
юрый назвал это состояние поляроном. Последующие исследова-
ния н теоретические разработки проводились в различных направле-
ниях. В частности, показано, что, если ввести константу связи
где w — угловая частота оптических фононов; т* — эффективная
масса электронов в невозмущенной решетке, то величиной а можно
характеризовать движение поляронов.
Если а > 10, то согласно теоретическим данным возникает
полярон малого радиуса, т. е. происходит захват электрона по-
гепциальной ямой, возникающей за счет вызванной им самим
поляризации окружающей среды. При низких температурах дви-
жение полярона не связано с энергией активации, а прн высоких
температурах движение носит характер термически активирован-
ных перескоков. В последнем случае подвижность оказывается
жепоненцнальной функцией температуры
ц=--^е"2^. (41.5)
275
Здесь v — частота фонона, испускаемого или поглощаемого
при перескоке; е — заряд электрона; а постоянная решетки
или среднее расстояние между атомами.
Эл ектр о пр ов од но сть
Ер
„ л , е'1гш2 — пьт
o = enp. = -^-e 2ftT. (41.6)
В материалах типа ферритов н некоторых других окнсных
материалах прыжковая электропроводность реализуется за счет
перескоков электронов между разновалентными ионами одного
и того же элемента; причем, эти перескоки требуют обычно неболь-
шой энергии активации. Например, в окислах, содержащих атомы
железа, последние могут быть либо двухвалентными Fe2+, либо
трехвалентнымн Fe3+, т. е. соответствуют окислам FeO и Fe3O3.
В качестве доноров выступают ионы Fe2+, с которых осуществляются
переходы электронов на Fe34, за счет чего соответственно изменя-
ются валентности ионбв. Концентрация двухвалентных ионов Fe24
зависит от термообработки керамики. При повышении температуры
до 1000 — 1400° С часть кислорода покидает решетку, а часть
FeoOg превращается в FeO. Если затем образец быстро охлаждать
(закаливать), то можно зафиксировать повышенное содержание
Fe24, и проводимость будет высокой. Наоборот, при медленном ох-
лаждении будет наблюдаться уменьшение двухвалентных ионов
железа и сопротивление образца будет более высоким (если изме-
рения проводятся в области температур, например, от комнатной
до 300—500° С). Переменную валентность могут иметь ионы ни-
келя, марганца, кобальта и ряда других элементов.
Как прн зонном механизме, т. е. прн движении носителей за-
ряда в разрешенных зонах (или проводимости по зонам), так н при
прыжковой электропроводности удельная электропроводность
обычно является экспоненциальной функцией температуры. Од-
нако ранее отмечалось, что при низких температурах движение
полярона может быть не связано с энергией активации.
Электропроводность окисных диэлектриков при выооиой
температуре
В технике широко применяют окисные диэлектрики. На основе
окислов алюминия, магния, кремния, циркония, кальция, берил-
лия и др. синтезируются различные сложные системы и получают
керамические изделия. Последние находят разнообразное приме-
нение в радиоэлектронике. Однако достаточно хорошие изоляцион-
ные свойства сохраняются в этих материалах, как и в других
диэлектриках, лишь в некотором интервале относительно невысо-
ких температур. При повышении температуры концентрация носи-
телей заряда возрастает и сопротивление уменьшается. В качестве
иллюстрации температурной зависимости удельного сопротивления
окисных днэлектрнков при высокой температуре могут служить
276
W 1500 1100 900 700
кривые, построенные по результатам измерений на переменном
гоке для чистых окислов AlaO3, MgO, SiO2, ZrO2, CaO, BeO, при-
веденные на рнс. 41,1.
Как видно из рнс. 41.1, в интервале 700 — 1700° С для чистых
окислов А12О3, MgO, SiO2, ZrO2 наблюдается линейная зависимость
1g ру = f (17Т), так что кривая ру = / (7"1) является экспонен-
юй. По наклону указанных прямых
можно определить энергию актива-
ции проводимости соответствующих
окислов. Если пользоваться форму-
лой вида
АД
ру=Ле2*г, (41.7)
ю, в частности, для А12О3 имеем ДЕ =
ЗэВ. Это значительно меньше опти-
ческой ширины запрещенной зоны
Д12О3, так что соответствующая соб-
ственная электропроводность, хотя и
определяется основными компонента-
ми этого соединения, но не является
собственной в привычном смысле сло-
на, как для классических полупро-
водников. Следовательно, здесь имеем
дело с собственной дефектной элек-
тропроводностью.
Характерным свойством А1аО3 при
температуре выше 1000° С является
слабая зависимость ру от примесей. Так что окнсь алюминия мож-
но применять как материал для терморезисторов, работающих при
дел । I i______I--1——I— ,
де o,s o,s о,в де де №3/т
Рис, 41.1, Зависимость удельно-
го сопротивления ряда чистых
окислов от обратной абсолютной
температуры:
высоких температурах, поскольку наряду с независимостью ру от
примесей спеченные образцы А12О3 являются весьма термостойкими,
т. е. выдерживают тепловые удары при изме-
нении температуры, а при многократных циклах
нагревания н охлаждения наблюдается воспро-
изводимость и стабильность величины ру.
На рис, 41.2 схематически изображен тер-
морезистор, работа которого рассчитана на тем-
пературу 1100—1500° С. Терморезнстор можно
использовать в качестве одного из плеч быстро-
Рис, 41.2, Терморе-
шстор, работаю-
щий на высоких
температурах
ходного автоматического уравновешенного моста переменного то-
ка, а так же при условии работы на импульсах постоянного на-
пряжения.
Таким образом, диэлектрические окнслы при достаточно вы-
сокой температуре имеют относительно небольшое сопротивление,
которое уменьшается с увеличением температуры, т. е. в этих
условиях они теряют диэлектрические (изолирующие) свойства
и являются полупроводниками.
277
Роль барьеров в определении электрических свойств
поликриоталлических полупрсвсдииков и диэлектриков
Поликрнсталлические материалы обладают неоднородной (гете-
рогенной) структурой. Обычно кристаллические зерна имеют непра-
вильную форму и характеризуются лишь некоторыми средними
линейными размерами — в пределах 10’5 — 10"’ см. Между зернами
создаются прослойки несколько иного химического состава со
значительными отклонениями от стехиометрии полупроводника или
диэлектрика. В керамических материалах прослойки могут нахо-
диться в стеклообразном состоянии. Электропроводность прослоек
отличается от электропроводности зерен, поэтому здесь имеется
контакт разных структур. Обычно считают, что прослойки отно-
сительно высокоомны, а зерна менее высокоомны. Звено, состоя-
щее из зерна — прослойки, можно заменить эквивалентной схемой,
изображенной на рис. 41.3.
Если прослойка высокоомна, то рп р3; однако не исключено
и обратное соотношение. Действительно, на границах зерен соз-
Рис. 41.3. Эквивалентная схема
звена зерно — прослойка
даются уровни акцепторов н до-
норов, скапливаются избыточные
над стехиометрией ионы, которые
могут выполнять роль доноров
или акцепторов. Следовательно,
возможен случай, когда рп р3.
Если тины электропроводно-
сти прослоек и зерен различны,
то на границах локализуются р-п-
переходы, причем это могут быть
как гомо-, так и гетеропереходы. При одинаковом типе основных
носителей заряда могут возникать изотипные гетеропереходы или
барьеры Шоттки, как на контакте полупроводник — металл.
При наличии плохо проводящих прослоек или барьеров Шоттки,
гетеропереходов и т. д. энергия активации и эффективная электро-
проводность при постоянном токе зависят преимущественно от
данных прослоек или барьеров.
При освещении неоднородного полупроводника может возни-
кать вентильная фото-э. д. с. иа барьерах указанного типа. На-
пример, в пленках PbS, CdTe, GaAs, Ge, Si, CdS, CdSe, ZnS и др.
наблюдается так называемый АФН-эффект, состоящий в возник-
новении аномально высоких фотонапряжений, превышающих ши-
рину запрещенной зоны соответствующего полупроводника. Эф-
фект объясняют сложением вентильных фото-э. д. с. при последо-
вательном включении ряда барьеров. Оказывается, что АФН-пленка
представляет собой сложную систему, состоящую из большого
числа микрофотоэлементов (до 105 см-1), каждый из которых свя-
зан с какой-либо структурной особенностью пленки — микроне-
ровностями, наличием кристаллических зерен, границ блоков н т. д.
Кроме вентильной фото-э. д. с., эффект может обуславливаться
278
•шффузиоиной (демберовской) фото-э. д. с. в объеме микрокрн-
rj 4Н1 ла.
В поликристаллах в ряде случаев и подвижность электронов
шределяется потенциальными барьерами. Например, известно, что
ir.ipuepbr оказывают сильное влияние на сопротивление NiO, Fe2Og
п др. В, селене барьеры существенны даже в монокристаллах;
инн возникают вдоль границ субзерен илн каких-либо других
нелогичных образований. Кроме того, возможны флуктуации
плотности вещества, что тоже может создавать локальные барьеры.
В неоднородных материалах термо-э. д. с. преимущественно оп-
ределяется межкристаллитным веществом. По величинетермо-э. д. с.
и проводимости можно определять подвижность носителей заряда.
Эффект Холла здесь практически почти не используется из-за
малой величины э. д. с. и сложности измерений на высокоомных
образцах. Поликрнсталлические полупроводники могут иметь весь-
ма высокое эффективное объемное удельное сопротивление (напри-
мер, до 1010 Ом-см) и низкую подвижность носителей заряда.
Рассмотрим локальный микробарьер Шоттки, для которого
объемный заряд постоянен во всем запирающем слое, и явления
определяются основными носителями заряда. При прямом смеще-
нии запирающий барьер Шоттки имеет небольшую толщину и отно-
сительно малое сопротивление, при обратном смещении его тол-
щина возрастает так же, как увеличивается степень обеднения ос-
новными носителями заряда. Ограничимся учетом обратно сме-
щенных барьеров Шоттки и рассмотрим переходный процесс в одном
шком барьере в полупроводнике с электронной электропровод-
ностью. Как уже отмечалось, формирование и расформирование
объемных зарядов в полупроводниках н диэлектриках характери-
зуется максвелловским временем релаксации. Обычно для полу-
проводников эта величина мала, однако для высокоомных полу-
проводников максвелловское время релаксации может быть зна-
чительным. Следовательно, процесс формирования запирающего
слоя при наложении обратного напряжения и а локальный микро-
барьер Шоттки может затягиваться во времени. Следует также за-
метить, что при расчете максвелловского времени релаксации
имеется в виду однородный материал с постоянной по объему
величиной удельной электропроводности. Проводимость обеднен-
ных слоев очень низкая.
В отличие от полностью обедненного слоя Шоттки рассмотрим
случай резерва примесных уровней, который был описан Б. И. Давы-
довым. Условие равновесия запирающего слоя, где концентрация
носителей заряда равна п, с объемом полупроводника, где концент-
рация носителей заряда равна п0, будет
= (41.8)
по Nkn
Здесь Мд — концентрация доноров; Мд — концентрация иони-
зированных доноров в запирающем слое.
270
Отсюда находим
При условии п0 Уд получим
^=4- (41.10)
Следовательно, плотность объемного заряда в запирающем слое
р = е(^-п) = е^Ь^. (41,11)
Будем теперь считать величину п функцией времени, отсчиты-
ваемого от момента включения обратного напряжения. Тогда р
также будет функцией времени t. Указанную функцию можно счи-
тать изменяющейся по закону
р = епо0о (А--е т®). (41.12)
Здесь т0 — время релаксации объемного заряда, [30 и А некото-
рые постоянные величины; причем < 1, тогда как А 1. Дейст-
вительно, при I = со получим р = епороА < т0, т. е. имеется
резерв примесных уровней — не все доноры ионизируются в запи-
рающем слое и не все электроны выходят из него/ Величина А
должна быть несколько больше единицы, поскольку при t = 0
должна быть отлична от нуля величина р, создаваемая контактной
разностью потенциалов, когда внешнее обратное смещение равно
нулю.
Иначе говоря, (p)0 = en0Po (А — 1) соответствует Уобр = 0.
Приравнивая правые части (41.11) и (41.12), получим
ХЦ^ = п0р0(л-е~^), (41.13)
илн
п2 + ПоРо (л - е-т<) п - = 0. (41.14)
Решая это квадратное относительно п уравнение, имеем
Л = п0-^р0(л-е-^, (41.15)
( -XV
где учтено условие 4п»;> я’ф^Л — е и перед радикалом при
определении корней уравнения выбран знак плюс, поскольку п > 0.
Таким образом, согласно (41.15) концентрация свободных носи-
телей заряда в запирающем слое релаксирует по экспоненциальному
закону; причем для достаточно большого t J т„ имеем
п» = «о-уРоЛ. (41.16)
280
Рис. 41.4. Кубическая мо-
дель неоднородного полу-
проводника (пунктирами
ограничены области объ-
емного заряда на грани-
це с одной из квазиме-
таллических прослоек при
внешнем напряжении,
равном нулю)
Рассмотрим далее кубическую модель неоднородного полупро-
водника. Будем считать, что зерна представляют собой кубики,
уложенные в правильном порядке и разделенные прослойками, как
показано на рис. 41.4. Здесь могут быть весьма тонкие прослойки,
проводимость которых в перпендикулярном направлении достаточно
внсока по сравнению с зернами, так что их
можно принять за квазиметаллические. Это
нс значит, что вдоль по этим тонким про-
слойкам проводимость будет так же высо-
кой. Наоборот, можно считать ее весьма
малой, как в тонких пленках. Поэтому
можно не опасаться шунтирования зереи
указанными прослойками в направлении
поля. К тому же прослойки в действитель-
ности не являются сплошными.
Если окажется, что работа выхода элек-
|ронов из зерен меньше, чем работа выхо-
да из указанных прослоек, то у границы с
прослойками в зернах будут возникать за-
пирающие слои, как на контакте полупро-
водник — металл. Следовательно, с обеих
сторон любой слой зерен будет иметь за-
пирающие слои, которые в отсутствие внеш-
него поля находятся в равновесии. При
наложении внешнего поля обедненные слои
с одной стороны зерен включаются в прямом, а с другой стороны зе-
рен — в обратном направлении. Значит, число обратно смещен-
ных запирающих слоев будет равно числу слоев зерен (рис. 41.4)
или разница будет лишь на один слой, что при большом их чис-
ле несущественно.
Если через а обозначить ребро зерна-куб,ика, через d — тол-
щину запирающего слоя, включенного в обратном направлении,
'io а — d есть толщина части зерна, где концентрация носителей
шряда равна пп, а число слоев можно положить равным Da при
условии, что d^a. Таким образом, общее сопротивление образца
в случае приложения постоянного напряжения можно выразить
в виде
(41.17)
т. е. эти величины выражают удельное объемное сопротивление зерен
и запирающих слоев. Для установившегося состояния вместо п
подставим Лоо-
Если ввести эффективное удельное сопротивление образца
с помощью равенства
п Ь
(41.19)
281
то, приравнивая правые части (41.17) и (41.19), получим
= + АД (41,211)
а \еп$. 1 епц/ '
Аналогичные соотношения можно получить для дырочных полу
проводников при условии, что работа выхода из зерен больше, чем
работа выхода из прослоек.
Далее при рассмотрении диэлектрической дисперсии вернемся
к соотношениям (41.15), (41.20), обобщив эти формулы на случ;н'|
переменного напряжения и полагая, что такие запирающие слоя
могут возникать на различных локальных неоднородностях.
Выводы к § 41
1. Зонная теория твердых тел, развитая для монокристаллов, пригодна и дли
поликристаллических тел, несмотря на то, что на границах кристаллов нарушаепя
периодичность решетки. Соответственно в поликристаллических телах наблюдается
проводимость по зонам (проводимости и валентной). Однако кроме зонной электро
проводности, здесь может реализовываться прыжковая электропроводность,
или электропроводность по локализованным состояниям.
2. При высокой температуре в поликристаллических диэлектриках типи
керамики возрастает концентрация электронов и дырок проводимости, так что
в некоторых случаях можно использовать эти материалы для терморезистороп,
3. Электрические (диэлектрические) свойства поликристаллических полупро-
водников и диэлектриков в значительной степени определяются гетерогенностып
структуры и наличием потенциальных барьеров. Высокоомные прослойки между
зернами непосредственно выполняют роль таких барьеров. Кроме того, у границ
неоднородностей могут возникать р-к-переходы, гетеропереходы и т. д, Даже
простые флуктуации плотности вещества в однородном материале могут обуслин-
ливать возникновение локальных барьеров. При наличии тонких прослоек, про-
водимость которых в перпендикулярном к ним направлении достаточно высоки,
реализуется случай, аналогичный контакту металл — полупроводник. При этом
могут создаваться локальные запирающие слои.
§ 42. АМОРФНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ
Одной из особо перспективных областей физики и техники полу-
проводников является область аморфных материалов. Аморфные
материалы сохраняют приблизительный ближний порядок в распо-
ложении атомов, тогда как дальний порядок не сохраняется. Это
иногда соответствует размерам кристаллитов порядка нескольких
десятков или сотен ангстрем (тогда как в поликристаллах размеры
кристаллитов могут быть порядка микрон и более); причем они
не дают линий на дебаеграммах прн рентгеноструктурном анализе,
в отличие от поликристаллов или монокристаллов. .Иногда представ-
ляют аморфную структуру как идеальную неупорядоченную.
Как показывают результаты исследований, во многих случаях
пленки окислов находятся в аморфном состоянии. Частным случаем
аморфного состояния является стеклообразное. В стекле сущест-
вует ближний и отсутствует дальний порядок.
282
Энергетический спектр и механизм переисса носителей
япрядв в аморфных полупрсводкииах
кпяитовомеханическая теория аморфных полупроводников раз-
ц| 1 и работах А. И. Губанова, Н. Мотта и др., ими исследован харак-
। р [испределеиия плотности состояния в неупорядоченной системе.
11 « мо!ря на неупорядоченность расположения атомов, общие пред-
• '*.'Ц‘1[пя зонной теории в некотором смысле применимы и для
• трфпого состояния. В частности для неупорядоченных структур
ими) говорить о разрешенных зонах: проводимости и валентной.
Ни <десь имеются «хвосты» плотности состояний аналогично вы-
|п ь ценным кристаллическим полупроводникам. Ширину запре-
11.1 иной зоны можно определять,
и п в кристаллических полупро-
ишках. Неприменимыми для не-
цорядоченных систем являются
1нп1ян1я, связанные с законом
ранения квази импульса (напри-
। р, прямые и непрямые переходы)
н и коном дисперсии.
I яким образом, согласно тео-
рин аморфных неметаллических
Фуктур считается, что выше дна
опы проводимости и ниже потолка
и, и епт ной зоны находятся нелока-
I питанные состояния электронов
п дырок, как и в кристаллических
п .к галлических структурах. Но в
। пре ценной зоне существует ква-
||ц прерывный спектр локализо-
ван! 1х состояний, что является от-
।ниппельной особенностью зонного
। । роения неупорядоченных струк-
г.р.
Например, для аморфного по-
проводникового стекла, которое
'I-жпо синтезировать на основе
Рис. 42.1. Плотность состояний (а),
подвижность носителей заряда (б) и
удельная электропроводность (в)
халькогенидного стекла
"icmi итов-халькогенов (S, Se, Те) в сочетании с элементами пятой
(Г, As, Sb, Bi) и четвертой (Се, Si, Sn) групп, т. е. так называемого
гп.когенидного стекла, полупроводниковые свойства которого
। первые в 1954 г. обнаружили Н. А. Горюнова и Б. Т. Коломиец,
родложена следующая зонная схема. Локализованные состояния
и крещенной зоне образованы «хвостами» состояний зоны про-
|пы1,имости и валентной зоны (рис. 42.1, а), которые перекрываются
м< жду собой. Уровень Ферми Еф находится в области перекрытия.
По 4ффекту поля найдено, что вблизи Еф плотность состояний в
1 трощенной зоне порядка 1019— 1020 см"3-эВ"1. Критическая кон-
<|11ргщия Nc отделяет область локализованных состояний от об-
283
ласти нелокалнзованных состояний. Для области энергии, где
(Е) < Nc, направленный перенос зарядов осуществляется в
виде прыжкового механизма, т. е. проводимости по локализован-
ным состояниям. Здесь подвижность носителей заряда оказы-
вается очень малой, и при уменьшении N (Е) от значений, близких
к Nc, до значения, соответствующего Е<&, подвижность резко па-
дает вплоть до нуля (рис. 42.1, б). Это эквивалентно отсутствию
соответствующей дифференциальной проводимости о (Е), которая
представляется для электронов в виде
оп(Е) = еН(Е)р.(Е)1Ф(Е), (42.1)
где /ф (Е) — функция распределения Ферми;
для дырок в виде
(Е) — eV (Е)р (Е) [1 — (Е)]. (42.2)
На рис. 42.1, в показана зависимость о (Е), где видны два экстре-
мума, приходящиеся на Ev и Ес. Спады кривых внутрь запрещенной
зоны определяются резким уменьшением подвижности носителей
заряда, о чем уже говорилось. Уменьшение а (Е) в валентной зоне
(ниже Ev) и в зоне проводимости (выше Ес) связано с уменьшением
концентрации свободных дырок и электронов в зонах. В областях
ниже Ev и выше Ес происходит обычный перенос носителей заряда
по зонам.
Электропроводность по локализованным состояниям в запрещен-
ной зоне может происходить без термической активации, если уровни
расположены близко друг к другу в полосе порядка kT, или с терми-
ческой активацией. Некоторые авторы для таких случаев опреде-
ляют подвижность в виде
H = £y/?2ve\ г kT't (42.3)
где R — среднее расстояние между локализованными состояниями;
v и % — частота и длина волны фонона, излучаемого или поглощае-
мого при переходе; АЕ — энергия активации. Следовательно, здесь
р отличается от нуля и при прыжковой электропроводности по уров-
ням, отстающим далеко от границ зон (т. е. от Ес и Е„). На основе
описанной зонной структуры нетрудно помять, почему аморфные
полупроводники нечувствительны к примесям, воздействию радиа-
ции и т. д. Это открывает весьма широкие перспективы для аморф-
ных полупроводников.
Барьеры в аморфных полупроводниках
Идеальный порядок в расположении атомов в кристаллах н иде-
альный дальний беспорядок в неупорядоченных структурах явля-
ется физической абстракцией. В действительности в кристаллах
имеются многочисленные дефекты (точечные, линейные, объемные),
так же как в аморфных телах имеются отклонения от идеального
284
(дальнего) беспорядка в виде мелких упорядоченных (кристалли-
ческих) включений и других нарушений однородности. Кроме
к>(о, например, в халькогенидных стеклах обнаруживается цепо-
чгчная или слоистая структура, что нельзя классифицировать как
идеально беспорядочную, т. е. одинаково беспорядочную по всем^У
пСгьсму тела структуру. Здесь же обнаруживаются локальные
иг однородности размерами до 100 А, которые не фиксируются
1>с птгеио-сгруктурным путем, но четко видны на электронограммах,
। пятых на отражение.
Следовательно, реальные аморфные полупроводники всегда
обладают локальными областями, отличающимися от соседних
областей и имеющими с ними некоторую границу раздела. Но при
ном в районе указанных границ могут возникать потенциальные
карьеры для микрочастиц и в частности для носителей заряда.
В простейшем случае это могут быть барьеры Шоттки, как на гра-
нице полупроводник—металл, а в общем случае могут возникать
м 11 кр ©гетеропереходы.
Это может приводить к возникновению АФН-эффекта в аморфных
пленках аналогично явлению в поликристаллических пленках.
11апример, аморфные пленки Sb2S3 или Sb2Se3, как и поликристал-
лпческне, генерируют фотонапряжение до 100 В/см. Это связано
( наличием кристаллических включений в аморфной фазе, где
локализуются микрогетеропереходы.
В халькогенидных стеклах подвижность носителей заряда в
аморфной фазе мала [порядка 10"3 — 10'4 см2/(В -с)], тогда как
в кристаллической фазе она на несколько порядков может увели-
чиваться, может возрастать и концентрация носителей заряда.
Вследствие этого удельная электропроводность кристаллической
фнзы может быть на много порядков выше, чем аморфной фазы.
Кристаллические включения возникают в аморфных халькогенид-
ных стеклах очень легко, например при охлаждении после локаль-
ного нагревания стекла до 300—400° С.
Выводы к § 42
I. В аморфных полупроводниках и диэлектриках сохраняется ближний поря-
i<iK, что достаточно для образования энергетических зон. При этом плотность
состояний отлична от нуля в достаточно широких интервалах энергии взапре-
|Ц1иной зоне, спектр локализованных состояний квази непрерывен. Соответственно
может осуществляться электропроводность по локализованным состояниям, что
не исключает зонной электропроводности.
2. В реальных неупорядоченных структурах имеются многочисленные откло-
и( пня от идеального дальнего беспорядка в виде мелких кристаллических включе-
нии и других нарушений однородности. В полупроводниковых стеклах имеется
ыкже цепочечная или слоистая структура. На локальных неоднородностях могут
мо «пикать потенциальные барьеры, простейшими из которых являются барьеры
П1о1тки, а в более общем случае — гетеропереходы.
ГЛАВА X
ЯВЛЕНИЯ В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ПОЛЯХ
§ 43. КОНЦЕНТРАЦИЯ И ПОДВИЖНОСТЬ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
В ТВЕРДЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ДИЭЛЕКТРИКАХ В СИЛЬНОМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Явления в сильных электрических полях весьма разнообразны.
Наличие избыточной концентрации носителей заряда может привести
к пробою диэлектрика или барьерных слоев полупроводника, что
имеет не только теоретическое, но и практическое значение.
Кроме изменения концентрации н подвижности носителей заряда
в объеме полупроводников, в данной ’ главе рассмотрим эффект
Ганна, нелинейности в. а, х. в неод-
нородных полупроводниках и эмиссию
неравновесных носителей заряда из кон-
тактов в диэлектрические пленки.
Рис. 43.1. Потенциальная
яма атома-донора (пункти-
ры), зависимость потенциаль-
ной энергии электрона U& в
поле от расстояния г (пря-
мая линия), суммарный по-
тенциальный барьер для
электронов атома-донора
(кривые 1 и 2)
Концентрация носителей заряда
при термоэлектрсинсй
ионизации по Френкелю
Изобразим энергетическую схему ато-
ма-донора, поставляющего свободные но-
сители заряда в зону проводимости.
Полагая, что атом-доиор не взаимодей-
ствует с соседями, т. е. рассматривая
его как свободный, можно представить
потенциальную яму для электронов это-
го атома, как симметричную кривую ку-
лоновского поля, изображенную на рис.
энергия электронов в атоме определяется
43.1 пунктиром. Полная
уровнями Ед, верхний из которых находится на расстоянии ДЕдот
дна зоны проводимости (т. е. ДЕд есть энергия ионизации доноров).
При наложении внешнего поля $ электроны атомов-доноров
приобретают добавочную потенциальную энергию
U& —Сог.
(43.1)
Суммарный вид потенциальной ямы при наличии внешнего поля
и кулоновского поля показан кривыми 1 н 2. В направлении внеш-
286
шчо поля кулоновский барьер для электронов повышается (Кри-
иля /), в противоположном направлении понижается (кривая 2).
В последнем случае потенциальный барьер для электронов умень-
шается на величину ДЕ, причем ход барьера "в зависимости от г
I) меняется — возникает экстремум при 1 г | = г0. Это означает,
•по энергия ионизации ДЕд уменьшается на величину ДЕ. Следует
шметить, что для ДЕд и ДЕ рассматриваются абсолютные значения,
i е. ДЕд > 0 и ДЕ > 0.
Таким образом, если примесная равновесная концентрация
н отсутствие внешнего поля определяется в виде
По = у (43.2)
ю при наложении поля
АЕД—АЕ АЕ
п ==Ле 2/гТ =noe2fe7’.
(43.3)
Следовательно, получаем п > п0, так как ДЕ > 0. Найдем
юперь величину ДЕ. Общий ход потенциальной кривой, изображен-
ной на рис. 43.1 (кривая 2), аналитически представляют так:
и =
____________е<§г
4nse0r
(43.4)
Задача определения ДЕ сводится к нахождению экстремума
пой кривой как функции г. Значит, необходимо найти производную
dUldr и приравнять ее нулю:
W = ______ег® = 0
дг 4ле8(/2
(43.5)
Отсюда находим значение г0, удовлетворяющее уравнению (43.5),
f 4jieb0'9
(43.6)
Далее по формуле (43.4) найдем । U | = ДЕ при подстановке
вместо г величины г0 по (43.6):
= (43.7)
J 4лее0
Следовательно, по (43.3) имеем
п = /гое^4лее1|й т = rt(£a , (43.8)
где ____
— — 1./* 6
a~kT V 4nes0‘
287
Таким образом, концентрация носителей заряда оказываем i
экспоненциальной функцией типа (43.8), где в показатель степени
экспоненты входит р о, так что с ростом $ резко возрастаем п
Однако, как показывают соответствующие оценки и сравнение с ош i
том, эта зависимость наблюдается лишь, начиная с некотором
критического поля <£кр« 103 — 104 В/см, а при более слабы»
полях концентрация практически не зависит от поля. Следуй
отметить, что рассмотренная теория Я- И. Френкеля является лппп
первым приближением, которое было уточнено А. И. Губановым
Он учел экранировку примесного атома свободными электронами
и применил условие I > г0, где I — длина свободного пробе! п
Введение этих поправок позволило улучшить согласие с опытом,
в частности при определении величины ^кр.
Изменение концентрации носителей заряда при ударней
ионизации
Электрическое поле разогревает электронный газ и прн опред<
ленных условиях развивается ударная ионизация. Электроны при
движении в период между столкновениями, т. е. на длине свобоч
ного пробега, ускоряются электрическим полем и накапливаю!
добавочную энергию. Если эта энергия достаточна для ионизации ве-
щества, в результате которой возникают электро и но-дыр очные пары,
то процесс может развиваться н прн достижении #проб концентра
цня будет нарастать лавинообразно. Это приводит к пробою. Однако
пробой наблюдается лишь при достижении определенного пробив-
ного поля <?прОб. Концентрация же носителей заряда при ударной
ионизации увеличивается лишь по сравнению с равновесной, а избы-
ток энергии выделяется в виде фононов.
Напряженность поля, при которой может возникать ударпля
ионизация, оценивают по формуле
е^кр/ = ДЕ|>, (43.11)
где М и tn — масса иона и электрона (дырки), сталкивающихся
между собой; I — длина свободного пробега; AFq — ширина запре-
щенной зоны.
Критическое поле <?кр оказывается порядка 105 — 10б В/см.
Кроме такой высоковольтной ударной ионизации, может возни-
кать ударная ионизация при значительно меньшей напряженности
поля, при которой ионизируются примеси. Например, в германии
ударная ионизация примесей элементов третьей и пятой групп
наблюдается уже при 10 В/см. Низковольтная ударная ионизация
возможна также за счет постепенного накопления избыточной
энергии, необходимой для ионизации пары, прн прохождении носи-
телем заряда нескольких (или многих) длин свободного пробега
в том случае, когда при столкновениях носитель заряда не пол-
ностью отдает избыток энергии.
288
Изменение концентрации носителей заряда при туинелироваиии
(эффект Эииера)
Рие. 43,2, Наклон зон в
электрическом поле и об-
разование треу гол ьного
барьера
Наклон зон в электрическом поле создает потенциальную воз-
чо/кпость для междузонного туннелирования, а также туннелнро-
। 1НКЯ с примесных уровней или на примесные уровни. Если поле
и ।правлено слева направо (рис. 43.2), то зоны наклоняются так,
«Но левая часть оказывается ниже правой
। пол пая энергия электрона изображается
i орпзонтальными прямыми АС, А^ ит.д.).
' Невидно для перехода из точки Л, т. е. со
п । зоны проводимости, в точку С, т. е. на
но толок валентной зоны, и для обратного
ш рехода из С в А электрону необходимо
। упнелировать через треугольный барьер
высотой ВС и шириной АС. Прн этом пол-
пня энергия Е остается неизменной. Ве-
роятность туннелирования через указан-
ный барьер характеризуется коэффициент
him прозрачности. Ввиду более высокой
концентрации электронов в валентной зоне
|упнелирование происходит преимущест-
венно из валентной зоны в зону проводи-
мости. Вследствие этого возрастает концентрация электронов и
чирок проводимости. Процесс такой генерации приходит в равно-
весие с процессом рекомбинации, если поле остается инже, чем ^проб.
При этом концентрация носителей заряда оказывается повышенной.
Ширину барьера L — АС определяют из условия
(43.10)
где АЕ0— высота барьера, равная ширине запрещенной зоны.
Прозрачность барьера D можно найти в виде
L
\ VU(x)-Edx
D = e ° . (43.11)
Здесь под т можно подразумевать эффективную массу элект-
рона т*.
Следовательно, задача сводится к определению интеграла
\ У U (х) — Е dx для треугольного барьера, изображенного на
рис. 43.2. Высота барьера ВС равна АЕ0, поэтому можно записать
- UQ-E = AE0 = e^L. (43.12)
Отсюда
Ь = (43.13)
Ю Орешкин П, T. ‘
289
Кроме того, величину U (х) можно представить в виде
U (x) = Ue-e#x. (43.11)
Таким образом, получим
U (х) — E — Uo — Е — еёх = efiL — efix — её (L — x). (43.16)
Тогда
L _ i.
j V U (х) — Е dx= Vеё VL — х dx =
= 4/^b3/2=4(-^T-- (43.1G1
° 6 е&
Итак, коэффициент прозрачности барьера
8fl/2niT (Ago)3/2
D=e 5-’Л ’ * (43.17)
Очевидно, что коэффициент прозрачности изменяется в зави-
симости от величин ЛЕ0 и &. Расчет показывает, что лишь прн «
«10’ В/см в полупроводниках типа германия, кремния и др.
должно наблюдаться туннелирование. Прн меньших полях коэффи-
циент прозрачности исчезающе мал. Туннелирование с примесных
уровней Ед в зону проводимости (см. рис. 43.2) осуществляется
прн более слабых полях, поскольку ширина н высота барьера здесь
значительно меньше, чем при туннелировании через запрещенную
зону. Аналогичное заключение можно сделать относительно тун-
нелирования на акцепторные уровни из валентной зоны. В этих слу-
чаях туннелирование осуществляется уже в полях порядка 106 В/см.
Однако сказанное относится к высокоомным полупроводникам
(или к барьерным слоям в полупроводниках) либо к диэлектрикам,
поскольку практически невозможно создать такое высокое поле
в низкоомных полупроводниках.
Электрический пробой
Таким образом, при достижении высоких полей может возрастать
концентрация носителей заряда, а при достижении <?„роб наблю-
дается электрический пробой, связанный с возникновением лавины
носителей заряда за счет ударной ионизации илн туннелирования
и с соответствующим резким повышением проводимости в шнуре
тока. Это приводит к выделению большого количества тепла и разру-
шению образца. Величина с?проб зависит от условий опыта, в част-
ности от формы электродов, скорости создания поля и т. д.
У хороших диэлектриков (изоляторов) равновесная концентра-
ция электронов н дырок на много порядков меньше, чем у типичных
полупроводников. Обычно считают даже, что- эта концентрация
у изоляторов равна нулю. Однако последнее неточно, хотя из-за
низкой концентрации свободных носителей заряда удельная элект-
ропроводность хороших диэлектриков весьма незначительна
(а 10"14 Ом-1 «см"1). Соответственно удельное объемное сопротив-
290
ни** оказывается очень высоким (например, ри = I014 —
П),я Ом «см). Но при достижении пробивного напряжения наблю-
• ня электрический пробой, протекаю-
.пи за время 10~7 — 1(г8 с исопровож-
.икчцийся разрушением диэлектрика в
'.ком канале. Указанный канал возни-
< 1 в наиболее слабом для пробоя ме-
Рис. 43.3. Изменение в. а. х
барьерного слоя при элек-
трическом (кривая /) и теп-
ловом (кривая 2) пробое
При наложении достаточно высокого
ортного напряжения на барьерный
кн'[ любого типа (барьер Шоттки, р-п-
• к реход, гетеропереход) может произой-
1и электрический пробой этого слоя как
едствие ударной ионизации, так и за
к г туннельного прохождения носите-
н и заряда. Это относится не' только к
11 кроскопнческим (по площади) барьерным слоям, созданным в
монокристаллах, но и к микроскопическим барьерным слоям, ло-
ишзованным на различных неоднородностях в поликристалличе-
i них н аморфных материалах. При электрическом пробое барьер-
ною слоя наблюдается резкий рост тока при неизменном напря-
.кспии (рис. 43.3).
Тепловой пробой
Явление теплового пробоя заключается в нагревании материала
। )лектрическом поле до такой температуры, когда происходит рас-
п ।явление либо обугливание. Такой пробой более растянут по вре-
мени, чем электрический. Оказывается, что, если теплоотвод от
< ।к. гемы ие обеспечивает компенсацию выделяющегося в ней тепла,
и» наблюдается рост тока за счет нагревания и термической иони-
|.ниш носителей заряда, что н приводит к тепловому пробою. Тем
менее тепловой пробой наблюдается так же в достаточно сильных
‘ юктрических полях, причем первоначально он вызывается повыше-
нием концентрации носителей заряда.
Тепловой пробой в барьерных слоях может происходить при усло-
NIи больших обратных токов. На рис. 43.3 показана обратная ветвь
и а. х. р-п-перехода при тепловом пробое. Для более четкого разде-
11 пня характера кривых в. а. х. до пробоя показаны одной кривой,
’io, конечно, не означает, что в действительности в. а. х. обяза-
ii-'ibiio одинаковы, скорее, наоборот, онн различны.
Изменение подвижности носителей заряда в сильном
электрическом поле
11одвижность электронов в полупроводниках определяется в виде
Н» = ^-<т>. (43.18)
гпап
"1,ссь<т> — среднее время релаксации, приближенно равное
реднему времени свободного пробега, т. е. <т> « //и, где I —
ю*
291
средняя длина свободного пробега; v — скорость электрона, которая
в слабых полях может быть представлена только тепловой состав-
ляющей скорости, так что v = vT. Аналогичные представления при-
менимы к дыркам, хотя при этом не используют понятия эффектив-
ной массы проводимости дырки, а берут просто эффективную
массу или эффективную массу плотности состояний для дырки.
При этом величины и считаются постоянными и оказывается
справедливым закон Ома.
Однако в сильных электрических полях дрейфовая скорость
может возрасти настолько, что ее нельзя не учитывать прн нахожде-
нии <т>». Следовательно, даже при таком простейшем подходе
к вопросу достаточно ясно, что подвижность должна зависеть от
напряженности поля <§. Так оно и оказывается, начиная с некоторого
значения поля, определяемого через соответствующее граничное
значение £кр.
Для случая рассеяния иа тепловых колебаниях акустической
ветвн атомной решетки в сильных полях подвижность обратно про-
порциональна корню квадратному из напряженности поля:
|*~£-v2, (43.19)
Однако для случая рассеяния на оптических колебаниях ионной
решетки при температуре ниже дебаевской получают
Н~^1/2. (43.20)
В большинстве случаев имеют дело с зависимостью вида (43.19),
где с ростом поля подвижность уменьшается.
Выводы к § 43
1. Концентрация свободных носителей заряда в слабых электрических полях
не зависит от величины напряженности поля. Однако в сильных полях наблюдается
иная ситуация. Одним из механизмов, вызывающих возрастание концентрации
носителей заряда за счет электрического поля, является термоэлектронная иони-
зация примесных атомов-доноров. Электрическое поле понижает потенциальный
барьер, уменьшая энергию ионизации примесных уровней. Это облегчает терми-
ческую активацию электронов, что и приводит к возрастанию их концентрации.
2. В сильных электрических полях возможна ударная ионизация, что приводит
к увеличению концентрации свободных носителей заряда.
3. В сильных электрических полях может наблюдаться междузонное туннели-
рование и туннелирование с примесных уровней или на примесные уровни Коэф-
фициент прозрачности^ соответствующих треугольных барьеров определяется в
зависимости от напряженности поля, ширины запрещенной зоны (энергии иони-
зации примесных уровней), эффективной массы носителей заряда.
4. При достижении достаточно высоких полей концентрация носителей
заряда может нарастать лавинообразно, что приводит к электрическому пробою.
5. Одной из разновидностей пробоя является тепловой пробой, когда рост
тока приводит к повышению температуры токового канала, что вызывает дальней-
ший рост концентрации носителей заряда, а это, в свою очередь, вызывает новый
рост тока и т. д. В результате токовый канал расплавляется или обугливается,
происходит пробой, при котором, как и при любом пробое, резко уменьшается
сопротивление.
6. В сильном электрическом поле изменяется подвижность носителей заряда.
В большинстве случаев она уменьшается, хотя при некоторых видах рассеяния
наблюдается рост подвижности в сильных полях.
292
* 44. ЭФФЕКТ ГАННА
В 1963 г. фнзнк Ганн получил высокочастотные колебания тока
। кристалле арсенида галлия при достижении некоторого крити-
' кого электрического поля, причем кристалл не содержал р-п-пе-
I хила и контакты были омическими. В связи с этим менее чем за
Ы чет возникло новое направление в технике СВЧ, связанное с при-
и пением ганновских генераторов и усилителей.
Как оказалось, эффект Ганна обусловлен изменением эффектив-
ен подвижности носителей заряда прн междолинном перебросе
и ктронов, происходящем под действием сильного поля.
Отрицательная дифференциальная проводимость и подвижность
в арсениде галлия
11о некоторым литературным данным схему зоны, проводимости
< । iAs можно представить в виде рис. 44.1. По горизонтали в напра-
н к иин [100] отложен волновой вектор к. Горизонтальный уровень
. к'ргин, на котором отложены значения k, соответствует дну ниж-
Н1О минимума А (см. рис. 7.8) или ннжней долины Ес\ область,
11Н)1ветствующая этой долине, обозначена цифрой /. Верхняя долина
Н обозначена цифрой II, причем ее минимум приходится на
Разность уровней 6Е дна долин II и I составляет 0,35 эВ.
В отсутствие внешнего поля концентрация электронов в долинах
определяется по формулам типа (11.16) в виде
£'с~£Ф
ni = Ncle ~(44.1)
В'+ЕВ-Вф
n2 = NaE kT . (44.2)
Уровень Фермн Еф показан на рис. 44.1 пунктирной линией.
I’нечет по формулам (44.1), (44.2) дает
., _6Е _6Е
«г« 1500е (44.3)
п1 N cl
При Т — 300 К имеем kT = 0,026 эВ и n2Mi »2,5*10"3. Сле-
овательно, лишь около 0,2% электронов в равновесных условиях
при комнатной температуре располагается в верхней долине,
। 99,8% — в нижней долине. Между тем плотность состояний в верх-
in й долине значительно выше, чем в нижней. Однако электроны
нс попадают в верхнюю долину из-за недостаточной энергии. На
рис. 44.1 цифрой 1 обозначена максвелловская кривая распределе-
ния электронов проводимости по энергиям при Т = 300 К- Кривая
практически сходит на нуль, не доходя до верхнего минимума.
При наложении сильного поля электронный газ разогревается,
с. наблюдается сдвиг максвелловской кривой вверх (кривая 2).
293
Температура электроицого газа Те может значительно превышай
температуру решетки Г. Для ~
арсенида галлия Те ж gv, причем,
начиная с полей «3’1(г В/см,
величина у>1. Поэтому в полях
с напряженностью е > 3 • 103 В/см
температура электронного газа с
ростом # начинает резко увеличи-
ваться и в частности при # =
= 3,5-IO3 В/см достигает значе-
ния Те ж 600 К. При этом отно-
шение 1,75, т. е. большая
часть электронов проводимости ока-
зывается в верхнем минимуме.
Эффективная масса электронов
в верхнем минимуме В значительно больше, чем эффективная
масса электронов в нижнем минимуме А. Соответственно подвиж-
ности находятся в обратном соотношении, т. е. р2<СН1- Следователь-
но, если в слабых полях « п0 и удельная электропроводность

а0 = Ф1П1 = Ф1П0,
(44.4)
Рис. 44.2. Вольт-амперная ха-
рактеристика /V-типа, возникаю-
щая в QaAs под действием силь-
ного поля
то в сильном поле = п0 — п2 и
ст = epi/zi+ец2па = о0 — (щ — ц?) ем2. (44.5)
Числовые значения величин н р2 обычно порядка
pi > 5 • 103 см2/В • с, р2 «=«100 — 200 см2/В • с.
Значит, о а0.
Плотность тока можно записать так:
j = e(pini + p2«2)S. (44.6)
При условии = «о, п2 = 0 получим обычный закон Ома, гра-
фически изображаемый соответствующей линейной зависимостью,
на рис. 44.2— это прямая OD, наклон
которой определяется tg = о^.
При условии /?! = 0, п2 = л о полу-
чим закон Ома в виде линейной-зави-
симости ОС, наклон которой опреде-
ляется tga2 = е|Мо-
Реальная зависимость / = /($)
выглядит более сложно. При увели-
чении б? от нуля до некоторого зна-
чения действительно наблюдается
линейная зависимость, соответствую-
щая прямой OD. Но далее начинает
сказываться разогрев электронов и
переход их в верхнюю долину, что
приводит к уменьшению проводимости, а следовательно, и к от-
клонению от линейности. При <*? = ^кр«3 кВ/см достигается мак-
симум тока. Поэтому при дальнейшем росте поля переход электро-
294
it верхний минимум протекает столь бурно, что это приводит к
н мнению / с ростом £ (участок ВМ). Следовательно, на этом
, ч к ।ке дифференциальная проводимость GaAs оказывается вели-
iiiiiofi отрицательной, т. е.
o = d//d*?<0. (44.7)
I очка М соответствует полю # — #пор я» 10 — 20 кВ/см,
и котором подавляющее число электронов переходит в верхний
пшмум. При дальнейшем росте поля зависимость снова линейная
>>1ветствует /ИС).
I аким образом, в. а. х. оказывается нелинейной, н ход кривой
\НМС соответствует зависимости, которую называют нелинен-
н । ыо У-типа. Системы с такой нелинейной характеристикой можно
•• । ользовать в различных радиотехнических схемах, в частности,
• in усиления и генерации электромагнитных колебаний.
Заметим также, что отрицательной дифференциальной прово-
димости здесь соответствует отрицательная дифференциальная под-
вижность.
Средняя дрейфовая скорость
v _ + «2^2 га _Я1Иг + я2Рг га (Л л О\
В слабых полях п2 ~ 0 и удр = прн полях # > <?пор имеем
, -- 0 и удр = |x2g. Flo в интервале ВМ, т. е. в области отрицатель-
uih дифференциальной проводимости, ход кривой идр = / (#)
'к)।ветствует отрицательной дифференциальной подвижности
р. = бЬдр/^<0, (44.9)
Максимальная величина дрейфовой скорости, соответствующая
лИ1„ в GaAs составляет &лр<^2-107 см/с, а величина дрейфовой
1 ьорости, соответствующая ^пор, составляет удр яс 10’ см/с. Абсо-
11<лное значение отрицательной дифференциальной подвижности
• I меняется примерно от 3000 до 300 см2/(В-с); причем за наиболее
ирякгерное значение принимают 2000 см2/(В*с).
Таким образом, эффект Ганна обусловлен междолинными пере-
чнями электронов, поскольку они создают различную заселенность
• । ши н вызывают изменение проводимости. Наличием падающего
> *|,1стка на в. а. х. нли падающего участка на кривой подвижности
ж функции поля и объясняется эффект Ганна. Однако все сказан-
относится к однородному образцу, поле вдоль которого одно-
родно. Но при наличии падающего участка на в. а. х. однородное
Р и пределение поля неустойчиво. Это очень важный фактор, имею-
щий отношение не только к эффекту Ганна.
Возникновение и движение электростатических деменов
в полупроводнике в области отрицательной дифференциальной
проводимости
В полупроводнике, имеющем в. а. х. У-типа, возможно возник-
новение электростатических доменов, т. е. областей сильного поля.
I. шусгим, что на некотором участке образца возникла флуктуация
295
поля, так что оно оказалось немного больше среднего. Такая флук»
туацня (отклонение от среднего) может возникнуть, в частности,
вследствие неоднородности в распределении атомов примеси. Напри
мер, у катода по технологическим причинам возникают области
с повышенной концентрацией неоднородностей, где и может возник-
нуть флуктуация поля. Если при этом поле соответствует области
отрицательной дифференциальной проводимости (ОП), то на ука-
занном участке несколько уменьшается дрейфовая скорость элект
ронов по сравнению с остальным объемом образца. Но в этом случае
электроны, дрейфующие со стороны катода, будут скапливаться
у катодной (задней) границы указанного участка, а электроны,
дрейфующие от анодной (передней) границы участка к аноду, будут
оставлять за собой обедненную область положительного заряда.
Следовательно, возникают два противоположно заряженных слоя
у домена в виде задней н передней стенок. Направление внутреннего
поля объемных зарядов совпадает с внешним полем, так что суммар-
ное поле на указанном участке оказывается уже более высоким.
Это приводит к дальнейшему уменьшению дрейфовой скорости на
этом участке и дальнейшему повышению поля в домене. Область
сильного поля (домен), нарастая с течением времени, может оста-
ваться на месте своего зарождения, удерживаясь кулоновской силой 1
притяжения электронов, скопившихся у катодной границы, к поло-
жительно заряженным донорам. Однако если среднее поле в крнстал-1
ле увеличить до значения, при котором оно будет преодолевать эту
силу, то домен будет срываться с места своего зарождения и пере-1
мешаться по направлению от катода к аноду со скоростью, равной
дрейфовой скорости электронов вне домена. Обычно при описании
доменов предполагается, что условия соответствуют полю, при кото-
ром домены движутся, а не неподвижны.
Таким образом1, при включении достаточно сильного электри-
ческого поля, соответствующего области ОП полупроводника, может
зародиться домен, который затем перемещается в направлении от
катода к аноду. Но перед передним фронтом домена концентрация
электронов понижена, так как при переходном процессе формиро-
вания движущегося домена дрейфовая скорость электронов перед!
указанным фронтом выше, чем в домене. Вследствие такого обедне-
ния концентрация носителей заряда в формирующем и надвигаю-
щемся домене оказывается пониженной. Переходный процесс форми-
рования домена заканчивается, когда его скорость равна дрейфовой
скорости носителей заряда вне домена. Последняя по ходу формиро-
вания домена уменьшается, поскольку падение напряжения пере-
распределяется так, что большая его часть приходится на домен.
В сформировавшемся движущемся домене поле может составлять,
например, = 40— 100 кВ/см, тогда как 'в объеме вне домена
оно может быть лишь #в = 1 — 2 кВ/см. Общая дрейфовая скорость!
домена и электронов вне домена в GaAs составляет около 107 см/сЯ
Процесс перехода электронов нз нижней долины в верхнюю
при заданном значении поля происходит весьма быстро — его про-
296
i i (цельность порядка IО"13 с. Время формирования объемных
i| (лов определяется максвелловским временем релаксации.
II 1 рис. 44.3 приведен «мгновенный снимок» распределения поля
и к. образца,?, е. при фиксированном положении домена. Как уже
м- чалось, условие динамического равновесия домена с остальным
Рис 44.3. «Мгновенный сни-
мок» распределения поля
при движении домена вдоль
образца
Рис. 44.4. Емкостный зонд:
I — латунь: 2 — слюда; 3 —
проволока зонда; 4 — отвод к
осциллографу; 6 — изучаемый
образец; 6 — омические контакты
i<( мом состоит в том, что его дрейфовая скорость как целого (а
• 'н-довательно, и дрейфовая скорость электронов в нем) равна дрей-
| Hioii скорости электронов в объеме вне домеиа:
Р18, = = vIp. (44.10)
Цвижеиие домена вдоль образца можно изучать с помощью
• • постного зонда (рис. 44.4). При фиксированном положении зонда
шррделяется изменение потенцна-
в данном сечении с течением
। смени, а при движении зонда
покио следить за распределением
а) *
/\J\J\J\
Рис. 44.5. Форма доменов
сильного поля в GaAs. (Мас-
штаб по горизонтали—10 мкм
па деление, по вертикали —
11,5 кВ/см на деление)
Рис. 44.6. Колебания тока в
цепи (а) и осциллограмма (б)
для двухмиллиметрового об-
разца при масштабе по го-
ризонтальной оси 10 нс на
деление
к пинала по длине образца. На рис. 44.5 приведена форма домеиа
1 j iAs, полученная экспериментально.
297
При возникновении домена у катода ток в цепи падает, а домен
проходит затем всю длину образца L со скоростью одр да Ю7 смл*
(для GaAs). Придя к аноду, домен исчезает, так как в металле элекм
рода поле слабое. При этом ток в цепи скачком возрастает. Но затем
возникает новый домен у катода, н ток снова падает. Таким образом,
возникают колебания тока в цепи (рис. 44.6).
Период ганновских колебаний Т = L/vKP определяется длиной
образца L и скоростью домеиа илр. По технологическим причинам
трудно изготовить образцы короче нескольких микрон. Это обуслав-
ливает верхний предел частоты колебаний для соответствующей
«ганиовской моды» величиной порядка 1010 Гц. Если же образен
длинный, то в нем встречаются неоднородности в разных местах,
на которых могут зарождаться домены. При этом последние будут
проходить оставшийся до анода путь за разное время, так что коле-
бания приобретут характер шума.
Рис, 44,7. Домены сильного поля:
а — трапецеидальный; б — треугольный
L = 2,5 мм, так что нижний пр(
В прианодных неоднородностях
домены ие успевают формиро-
ваться, так как флуктуации
поля у анода переносятся элек-1
тронным потоком на анод. Обыч-
но возникает лишь один домен у
катода, потому что, как только!
он возникнет, поле в остальной
части образца падает до зиаче-|
ний, при которых не создаются!
междолинные переходы.
Практически хорошие гаи-
невские колебания удается на-
блюдать у образцов длиной до
ел частоты «ганиовской моды» со-
ставляет около 2-107 Гц. Прн этом используют однородные образ-
цы GaAs.
Форма доменов зависит от концентрации доноров. Например,!
при концентрациях электронов п0 < 1015 — 5- 10*5 см"5, обычно
присущих гаиновским образцам, ширина задней стенки домена,
где имеется объемный отрицательный заряд, много меньше,, чем
ширина передней стейки, где имеется объемный положительный
заряд. На рис. 44.7, а показан трапецеидальный домен, задняя
стенка у которого вертикальная (т. е. очень узкая), а передняя имеет
толщину d. На рис. 44.7, б изображен треугольный домен, у которого
передняя стенка занимает всю толщину домена.
Для того чтобы поле в домене было достаточно большим, необ-
ходимо сосредоточить соответствующие большие заряды в стенках
домена (обкладках конденсатора). Но плотность положительного
объемного заряда, который можно создавать в образце, ограничена
сверху концентрацией ионизированных доноров. Если все свобод-
ные электроны покинут область передней стенки, то в ней возникает
объемный заряд р = еп0. Значит, для создания большого эффектив-
ного поверхностного заряда на положительной обкладке — перед-
298
и । । 1слке домена при малой нужно взять достаточно большую
нцнну стенки d.
11рп большой концентрации электронов (я0 > 5 • 1013 см-3) в узкой
1»«ч" дней стейке домена может накапливаться достаточно большой
। । и мнительный заряд и толщины обогащенного и обедненного слоев
задней и передней стенок) будут соизмеримыми.
Эффект Гайка в различных кристаллах и области его
применения
Г роме кристаллов GaAs, эффект Ганна наблюдается в кристал-
IX IпР, ZnSe, CdTe, InAs и др. Во всех случаях механизм возник-
11 пня эффекта одинаков и связан с междолииным переходом, при
« пиром уменьшается подвижность электронов. Но параметры
|фгкта разные для разных кристаллов. Например, критическое
• иг <5;’кр составляет для GaAs около 3 кВ/см, для InPоколо 6кВ/см,
in CdTe около 13 кВ/см.
/[ля технического применения, однако, пока наиболее пригоден
• iAs.
Кроме применения генераторов Ганна в технике СВЧ (в прин-
ципе возможно создание генератора мощностью 400 кВт и частотой
. »0 ГГц), эффект Ганна находит различные применения. В част-
|' i in, возможен лазер иа диоде Ганна, где используется сильное
• пне. В доменах диодов Ганна создаются поля до 100 кВ/см; причем
• ирная ионизация обычно не возникает из-за того, что в доменах
шпжутся тяжелые электроны и их дрейфовая скорость равна ско-
। 1 in легких электронов, движущихся в полях 1—2 кВ/см, которые
юстигагот пробивного поля. Но в задней стенке домена имеется
и которое количество легких электронов, которые при полях поряд-
Ь । 150 кВ/см могут вызвать ударную ионизацию. При сильном
। провании длинных гаиновск-их диодов ударная ионизация возни-
♦. । г легко, что может создавать рекомбинационное излучение. Это
•I i лучение в GaAs становится стимулированным, когда концентра-
ция возникших в результате ионизации электронио-дырочных пар
• । шовится большей, чем равновесная концентрация электронов
проводимости п0 ~ 5- 10х7 см"3.
Поскольку электрическое поле может изменять оптические кои-
। И1ты вещества, с его помощью можно осуществлять модуляцию
। ла, Так как полердноде Ганна меняется с очень большой частотой,
• ) соответственно можно осуществлять СВЧ модуляцию света.
В литературе описаны возможности генерации мощных потоков
льгразвука в диоде Ганна, схемы памяти и логические схемы иа
л|и|>екте Ганна, объемные нейристоры (модели нервного волокна)
и другие приборы и устройства.
Выводы к § 44
1. Эффект Ганна, т. е. генерация СВЧ колебаний кристаллами, связан с из-
менением подвижности электронов при их междолинном перебросе, происходящем
ш>и действием сильного поля. Электроны, разогреваемые полем, перебрасываются
299
из нижней долины в верхнюю, где подвижность значительно меньше. Это приводи!
к отклонению от закона Ома, а при достижении некоторого значения поля — 1
к возникновению отрицательной дифференциальной проводимости, переходящею
при дальнейшем росте поля снова в линейную зависимость, т. е. получаем в. а. х.
ZV-типа. Отрицательной дифференциальной проводимости ври эффекте Ганна cooi-
ветствует отрицательная дифференциальная подвижность носителей заряда.
2. В полупроводнике, имеющем в. а. х. /V-типа, возможно возникновение н
движение элактростатических доменов, т. е. областей сильного поля. Электроста-
тический домен, наблюдающийся при реализации эффекта Ганна, представляет
собой область подвижной электрической неоднородности в кристалле, ограни
ценную в направлении внешнего поля передней и задней стенками, где содержат» >
объемные заряды противоположного знака, и отличающуюся от остального крис-
талла низкой подвижностью электронов, которые располагаются преимуществен^
в верхней долине, и имеющую поэтому высокое удельное сопротивление.
3. Эффект Ганна наблюдается в кристаллах арсенида галлия, фосфида индия,
селенида цинка, арсенида индия и др. Для каждого кристалла характерно свое
значение поля (9Кр, при котором достигается максимум тока на в. а. х. Эффект
Ганна широко применяют в технике СВЧ, в лазерной технике, в модуляторах
света, в схемах памяти н логических схемах и т. д.
§ 45. НЕЛИНЕЙНОСТИ В.А.Х. В НЕОДНОРОДНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ
И ПЛЕНОЧНЫХ СТРУКТУРАХ
Нелинейные в. а. х. уже встречались при описании барьерных |
слоев на контакте полупроводник — металл, p-n-переходов, гетеро-
переходов, а также при рассмотрении эффекта Ганна. В неоднород-
ных полупроводниках барьерные слои локализованы на границах
неоднородностей и могут определять соответствующие нелинейности
в. а. х. Эмиссия неравновесных носителей заряда в диэлектрические
пленки приводит к нелинейностям в. а. х. соответствующих пле-
ночных структур.
Нелинейности в.а.х. в неоднородных полупроводниках
Широко известны нелинейные полупроводниковые резисторы
(НПР) — варисторы, имеющие симметричную нелинейную в. а. х.,
изображенную на рис. 45.1. Основным материалом для варисторов
является поликристаллический карбид кремния. Размеры кристал-
лических зерен (кристаллитов) SiC обычно в пределах 40—300 мкм.
Зерна карбида кремния представляют собой осколки неправильной
остроконечной фюрмы. При изготовлении рабочих тел варисторов|
зерна SiC скрепляют связующим веществом, в качестве которого
используют глину, ультрафарфор, легкоплавкие стекла, жидкое;
стекло, кремнийорганические смолы и лаки. Применяют различ-
ные виды термической обработки в зависимости от типа связки
и назначения НПР.
Возможными причинами нелинейности варисторов являются
следующие: 1) автоэлектронная эмиссия носителей заряда из острых
зубцов и гребней зерен, приводящая к росту тока;
2) частичный пробои высокоомных межкристаллитных прослоек
в сильных полях, создаваемых даже при небольшом общем напря-
жении на варисторе;
300
приводить лишь
Рис. 45.1. В. а. х
варистора
I 'т. 45.2. В. а. х. пле-
ночных варисторов на ос-
пине халькогенидного
< кла — пленки толщи-
нки 0,5 мкм при различ-
• щ площади электродов:
26-10“* смг; 2 — 9-10-’
смг; 3 — 10—‘ см8
1 микронагрев контактирующих точек между кристаллитами,
приводящий к возрастанию проводимости в локальных областях
। ш(акта;
I) влияние запирающих слоев, которые могут быть у поверх-
щ>« in кристаллитов.
В различных условиях эти причины влияют по-разному. Первые
] и причины при повышении напряжения могут
। неличепию проводимости, а четвертый фактор
hvkci обуславливать и уменьшение проводимо-
п. Действительно, если обратное поле в запи-
рающем слое слабое, то по мере роста обратного
и шряжения на этом слое его толщина и степень
। • । диення увеличиваются, пока не достигается
li io, создающее ударную ионизацию нли тунне-
ирование и, наконец, пробой локального запи-
I нищего слоя. Следовательно, в определенном
in юр вале напряжений сопротивление локаль-
ных запирающих слоев увеличивается (как удно-
|. включенного в обратном направлении), что
। ’чет к уменьшению общей проводимости. При
1 шнейшем повышении напряжения наблю-
.потея эффекты сильных полей. При обратном процессе с уменьше-
нием напряжения возможно «залечивание» частично пробитых
высокоомных прослоек и запирающих слоев, поэтому можно полу-
чать достаточно хорошую воспроизводи-
мость в. а. х.
Кроме карбида кремния, для изготов-
ления варисторов можно использовать окис-
ные и другие материалы. Например, по-
лучены пленочные варисторы на основе
халькогенидного стекла (состав в атомных
процентах: Si — 12,64%, Ge — 9,76%,
As — 29,9%, Те — 47,7%) с алюминиевы-
ми электродами. В. а. х. таких пленочных
варисторов изображены на рис. 45.2. Ва-
ристор можно применять, например, как
стабилизатор напряжения в соответствую-
щих микросхемах.
Нелинейности в. а. х. изучены также на
ферритах, где использовали массивные об-
разцы. Основной целью этих исследований
была проверка обобщенной барьерной мо-
дели ферритов. В этой модели допуска-
лось, что, кроме границ зерен, местами ло-
кализации запирающих слоев могут быть
границы магнитных доменов, дислокаций
и сругих дефектов.-Известно, что на границах магнитных доменов
< к.|иливаются примесные (избыточные) ионы металлов (такие, как
301
Fe2+, Co2+ и др.), изменяется энергия решетки — границы магнитных
доменов могут проходить по дефектам, что соответствует минимуму
потенциальной энергии. Указанные границы могут захватываль
дислокации и удерживать их. Все это создает возможности для воз-
никновения физических запирающих слоев на границах магнитных'
доменов в ферритах как полупроводниках.
Известно также, что вдоль дислокации имеется заряд одного зна
ка, а вокруг дислокации — заряд противоположного знака, и линей-
ную дислокацию можно рассматривать как своеобразный «цилиндри-
ческий р-п-переход».
Следовательно, при определенных условиях можно получать
нелинейности в. а. х. не только за счет гетерогенности типа зерен-
р,0м-ем
£0
с’СМ
Рис. 45.3. Зависимость удель-
ного сопротивления дефектного
монокристалла феррита от сред-
него значения напряженности
электрического поля
прослоек, но и за счет запирающих
слоев, локализованных на магнитных
доменах, дислокациях и т. д. Таким
образом, можно ожидать, что в ряде,
случаев нелинейные свойства могут
обнаруживаться не только в поликри-
ста ллических, но и в монокристал-
лических полупроводниках.
Как показывает опыт, такие слу-
чаи действительно встречаются. На-
пример, на рис. 45.3 приведена зави-
симость среднего удельного сопротив-
ления дефектного монокристалла фер-
рита Mn0t8Zn0r2Fe2O4 от среднего1
значения напряженности электриче-
ского поля в образце при комнатной
температуре. Образец изготовляли из монокристалла феррита
в виде цилиндра высотой около 1 см и диаметром оснований
около 0,5 см. На основания цилиндра напыляли серебряные кон-
такты, к которым с помощью пружин прижимали плоские токовые
электроды. Зонды в виде тонких проволок охватывали образец по
окружности цилиндра й располагались на некотором расстоянии
параллельно друг другу. Натяжение проволок-зондов осуществляли
с помощью пружинящих контактов, укрепленных на фторопластовой
измерительной ячейке. Измерение разности потенциалов между •
зондами производили по компенсационной схеме с помощью потен-
циометров ППТВ-I и Р-306. Как видно из рис. 45.3, в интервале
1—2 В/см с ростом напряженности поля удельное сопротивление
уменьшается. Обратный ход не совпадает с прямым, т. е. наблю-1
дается гистерезис. При повторных измерениях картина качественно
воспроизводится, но на абсолютные значения удельного сопротив-
ления сказывается предыстория. При небольшом нагреве образца
сопротивление уменьшается, т. е. температурная зависимость сопро-
тивления имеет полупроводниковый характер. Возможно, что умень-
шение сопротивления в интервале 1—2 В/см отчасти обусловлено
нагреванием образца в процессе измерений, хотя последние прово-
302
и iii но возможности при кратковременном пропускании небольшого
I. Нов интервале до 1 В/см фиксировали рост сопротивления, что
. ik не может быть связано с нагреванием. Наоборот, последнее
и го лишь несколько занижать наблюдаемую нелинейность. Ана-
। нчпые результаты получены на монокристаллах ферритов дру-
। > состава.
Указанная нелинейность может обуславливаться изменением
ирогивления запирающих слоев, локализованных на различных
| | гкгах, границах магнитных доменов, дислокациях и т. д. В сла-
полях в образце (до 1 В/см) запирающие слои, включенные
прлтном направлении, увеличивают свое сопротивление с ростом
Рис 45.4. Зависимость среднего удельного сопротивления р на по-
стоянном токе от напряжения в полнкристаллических ферритах:
а — марганец-цинковых; б — иикель-цинковых. (Кривые 1 сняты двух-
электродным методом, кривые 2 — зондовым методом]
•>нпряженности, причем последнее может достигать в них достаточно
। лсоких значений. При дальнейшем повышении напряженности
1я наблюдается пробой некоторой части из общей цепочки обед-
ипых слоев, и сопротивление образца уменьшается. При обрат-
гл процессе с уменьшением напряженности сопротивление микро-
пи iob восстанавливается не сразу (если вообще восстанавливается).
I Ьмерения иа полнкристаллических ферритах различного состава
юке давалц нелинейность в. а. х., т, е. среднее удельное сопро-
ппление оказывалось функцией напряженности электрического
। in. Здесь в качестве измерительных приборов, с помощью которых
чн|н1Челяли падение напряжения между зондами, кроме потенцно-
|ров ППТВ-1 и Р-306, на высокоомных образцах применяли
ч простатические вольтметры.
Hi рис. 45.4 показаны результаты таких измерений.
11риведенные данные свидетельствуют о целесообразности обоб-
11 пюй барьерной модели. Еще более убедительные данные полу-
пи при рассмотрении диэлектрической дисперсии в окисных
и г\ проводниках (см. § 57).
303
Аналогичные нелинейности можно наблюдать и в других неодно-
родных полупроводниках и диэлектриках. Как ясно из изложенного,
уменьшение сопротивления неоднородных образцов чаще всего
связано с эффектами сильных полей — ионизацией, частичным про-
боем и т. д.
Нелинейность в.а.х. при надбарьерной (шоттковокой)
эмиссии электронов в диэлектричесних пленках
Рнс 45.5. Изменение потенциальной
энергий электрона в системе МДМ (а)
и в системе МПМ (б)
Надбарьерная эмиссия электронов из катода в диэлектрическую
пленку представляет собой термоэлектронную эмиссию, при облег-
чении процесса за счет наложения электрического поля. Полевая
эмиссия Шоттки является одним из основных механизмов переноса
электрических зарядов в системе с двумя металлами, разделенными
тонкой диэлектрической или полупроводниковой пленкой. Пола-
гают, что в диэлектрической
пленке изменение потенциальной
энергии электрона линейно (рис.
45.5, а), а в полупроводниковой
пленке—нелинейно (рис. 45.5, б),1
поскольку на границе полупро-
водник—металл возникают про-
странственные заряды и наблю-
дается искривление зон. Ограни-
чимся рассмотрением токов эмис-
сии Шоттки в диэлектрических
пленках.
На рис. 45.5, а изображено из-
менение потенциальной энергии
называемых сил электрического
(зеркального) изображения, которые представляют собой кулонов-
ские силы взаимодействия электрона с металлом электрода. На точеч-
ный заряд е, расположенный над плоской поверхностью металла
на расстоянии х от него, металл действует с силой F„3 так, как если
бы на глубине х в металле образовался точечный заряд, равный по
величине и противоположный по знаку заряду е (зеркальное изоб-
ражение заряда с). Следовательно,
электрона в пленке с учетом так
р___________е_____________е
нз 4яее0 (2х)2 16лее0*:2
(45.1)
где е — диэлектрическая проницаемость пленки диэлектрика, так
что при расчете Fll3 металл мысленно заменяют диэлектриком.
Потенциальная энергия электрона в диэлектрике, определяемая
силами электрического изображения, при контакте с одним метал-
лом соответственно будет
т 1 i ] — е“
U°~ 1>иэ— 16Л€€ОХ •
(45.2)
304
На рис. 45.6, а приведен график зависимости = f (х), причем
величина х отсчитывается от поверхности металла, где Uo принята
равной £0, т. е., как обычно, потен-
циальная энергия электрона на дне по-
к'ициальной ямы равна полной энергии.
В данном случае отсчет энергии ведется
вниз, поэтому Ео <0. Нуль оси ординат
выбираем соответственно так, что при
। = оо имеем Uo = 0. Следовательно,
1/0 представляет собой одну из ветвей
барьера типа рис. 3.1.
Учтем теперь ускоряющее поле, дей-
ствующее на электрон при эмиссии из
катода. Если напряженность этого поля
в пленке равна <а,то сила, которая дей-
ствует на электрон, будет райнаГ=е^.
11ри прохождении электроном пути х
сила поля совершает работу At = е&х,
гак что потенциальная энергия элек-
|рона уменьшается на величину Ug =
е<§х. Суммарная кривая потенциаль-
ной энергии электрона
Рис. 45.6. Потенциальная
энергия электрона в диэлек-
трической пленке, контакти-
рующей с одним металличе-
ским электродом (а) и с дву-
мя одинаковыми электродами
(б) (внешнее электрическое
поле направлено справа на-
лево)
= — е&х — . (45.3)
IbneeoX ' '
Таким образом, электрическое поле
понижает барьер и уменьшает работу
выхода из катода с величины W до ве-
личины W — А№ = Wlt и барьер при-
обретает конечную толщину, так что
становится возможным туннелирование,
гели пленка имеет малую толщину (до 150 А). Однако здесь не рас-
сматриваем последний случай, а ограничиваемся описанием эмис-
сии Шоттки.
Значение А1Г находим обычным путем, решая задачу на экстре-
мум:
/Х(1 ‘ 16лееяХ5
(45.4)
*0=1/ |г с .;
(45.5)

(45.6)
Заметим, что правая часть (45.6) в два раза меньше правой части
М3.7), что весьма существенно, так как это служит основным отли-
чием эмиссии Шоттки от ионизации по Френкелю при анализе соот-
ветствующих опытных кривых токов в пленках.
305
Таким образом,
li^-AU7= (45.7)
f 4яеЕ0 ' '
Плотность термоэлектронного тока определяется формулой
Ричардсона; в данном случае
j=ATze kT = АТ2е kTekT ' 1ясе». (45.8)
Здесь А = 12-105 А/(м® -град2) — постоянная Ричардсона; W —
работа выхода из металла, которая заменяется также W — е<р,
где <р-— высота барьера между металлом и диэлектриком. Поэтому
формул}^ Шоттки обычно записывают так:
'/ш = АГ-е^е'" V(45.9)
При наличии двух металлических электродов, разделенных плен-
кой диэлектрика, полный ток в диэлектрике равен разности токов,
идущих от катода к аноду и наоборот, т, е. согласно рис. 45.6, б
имеем
/ де, uzs ।
j=ATz'e кТ — е fery, (45.10)
или
_ vrt / eV \
/ — ATze kT U — е ЙГ/, (45.11)
где V = fid — падение напряжения на диэлектрической пленке,
которое принимается равным внешнему напряжению.
Для диэлектрической пленки, заключенной между двумя метал-
лическими электродами, величину Wj находят вместо (45.7) по фор-
муле
+ (45.12)1
Здесь предполагается, что барьер параболический. Но если огра-
ничиться достаточно сильными полями, что обычно и делают, то
(45.12) переходит в (45.7), ибо первое слагаемое под радикалом ока-
зывается много больше второго. Кроме того, это означает, что вто-
рое слагаемое в (45.10) и (45.11) можно также не учитывать и при
еV > kT этим слагаемым пренебречь. Следовательно, в достаточно
сильных полях ток через диэлектрическую пленку можно выразить
формулой Шоттки (45.9). Логарифмируя эту формулу, имеем
lg/m= 1ё(Л7-) - 0,43$+^ (45.13)
При заданной температуре можно построить зависимость 1g /ш =
= f(prV), которая будет линейной (рис. 45.7). Экстраполируя эту
зависимость на V = 0, т. е. оставляя в правой части (45.13) лишь
306
i первых слагаемых, имеем
(1й/Ш)о=1йИГ)-0,43^.
(45.14)
линейна, то это явля-
тока надбарьерной эмис-
сии Шоттки от напря-
жения
Отсюда легко находить величину потенциального барьера <р
«ниакта металл катода — диэлектрическая пленка. Таким образом,
in в сильных полях кривая lg/ = f(j/V)
| н я одним из признаков тока Шоттки, а
отрезку, отсекаемому продолжением
uni прямой на оси ординат, находят высо-
vказанного барьера.
Но в диэлектрических слоях, содержа-
щих большое количество структурных де-
фектов и примесей, т. е. имеющих высокую
•пцентрацию ловушек, сильное поле мо-
( । вызвать термоэлектронную ионизацию
пн Френкелю, т. е. активацию свободных
носителей заряда внутри самой диэлектри-
•иской пленки. Поскольку уровни лову-
•иск могут быть как донорными, так и ак-
цепторными, а равновесные концентрации
носителей заряда малы (аналогично частич-
। । скомпенсированным полупроводникам
jin низкой температуре), для диэлектрических пленок обычно
штают, что при расчете концентрации п по формуле типа (43.3)
шаменатель показателя степени следует ставить kT вместо 2kТ.
It I3K0M случае плотность тока при термоэлектронной ионизации
пн Френкелю согласно (43.7) будет
2е 1 Г eV
/ф = (45.15)
Следовательно, при построении зависимости lg/o=/(j/V)
• вкже получим прямую линию, поскольку экспоненциальная зави-
и месть много круче, чем зависимость, обусловленная коэффициен-
там перед экспонентой. Но различие с формулой Шоттки все же
оиаружится, так как наклон кривых 1g/ш=/(]/V) будет меньше
।и клона кривых lg/0=f(j/V). Действительно, указанные на-
V юны определяются через соответствующие угловые коэффициенты
•инейных зависимостей
. о 0.43 е2 2-0,43-,/" & /дк
tgPm— kT у 4яье^’ kT V 4nee„d' (45.16)
Поскольку все величины здесь известны, экспериментальные
.шисимости указанного типа позволяют определить, имеется ли
•миссия Шоттки или ионизация по Френкелю.
В заключение отметим, что токи Шоттки и Френкеля сильно
•лвисят от температуры, что отличает их от туннельного тока, кото-
307
рый относительно слабо (по квадратичному закону) зависит от тем-
пературы.
Если согласно (45.13)
te/iu / 1
d] V ' \Т
найти производную от этой функции,
где р V рассматриваем как перемен-
ную, по которой производится 'диффе-
ренцирование, то получим
(45.17)
о ir-r 0,43 - е3
Здесь —J 4^. т.е. ве-
личина постоянная. Таким образом, за-
d te/w f /1
висимость-------= г I линейная, так
d ] V \ i J
же как и зависимость для /ф, где tg уф =
2 • 0,43 Г е3 „ .с о
= — р taM- На Р',с- 45-8 пР,,ве-
дена соответствующая линейная зависимость. Конкретные значения
на осях здесь, как и на рис. 45.7, не проставлены, поскольку они
зависят от рода диэлектрика.
dW Т '
Нелинейность в.а.х. при ТОПЗ
До этого была рассмотрена эмиссия электронов из металла
в диэлектрическую пленку, осуществляемая как термоэлектронная
эмиссия, но при облегчении процесса за счет наложения электри-
ческого поля. При этом не учитывалась возможность захвата элект-
ронов ловушками и образования соответствующего неподвижного
объемного заряда, а также возможность создания подвижного
объемного заряда в диэлектрической пленке.
Но при определенных условиях в диэлектрике может формиро-
ваться пространственный заряд такой плотности, что он будет накла-
дывать ограничения на ток через диэлектрик. Таким образом,
будег наблюдаться ток, ограниченный пространственным зарядом
(ТОПЗ).
При термоэлектронной эмиссии из металла в диэлектрик, как
было показано Моттом и Герни еще в 40-х годах, можно получить
квадратичный закон для в, а. х. в виде участка ТОПЗ
9 V2
j=_g , (45.18)
если eV kT. Здесь р„ — подвижность электронов в диэлектрике;
е — его диэлектрическая проницаемость; d — толщина диэлектрика.
Обычно ТОПЗ связывают с инжекцией носителей заряда под дей-
ствием внешнего поля. При относительно низком барьере на катоде
и более высоком барьере на аноде электроды называют инжектирую-
щими и блокирующими соответственно. В этом случае диэлектри-
ческий диод является выпрямляющим. Но возможен случай двойной
308
инжекции, чем отличается ТОПЗ в диэлектрике от ТОПЗ в вакууме,
(нойная инжекция состоит в одновременной инжекции электронов
и< эмиттера (катода) и дырок из коллектора (анода).
Концентрация ловушек в диэлектрической пленке всегда выше
|()13 см-3 н в зависимости от способа ее получения может оказаться
и пределах 1014 — 1020 см’3.
Вольт-амперная характеристика ТОПЗ имеет сложный вид и
состоит из нескольких участков (рис. 45.9) В слабых полях в. а. х.
Рис. 45.10 В. а. х. диода
In-CdS-Au при квадратич-
ной зависимости тока от
напряжения
Рис. 45.9. В а. х. при
ТОПЗ в диоде In-CdS-
-Те для прямого (/) и
обратного (2) направле-
ний. (Толщина пленки
CdS — 10 мкм, рабочая
площадь — 1 мм2)
может быть линейной. В более сильных полях наблюдается квадра-
1ичная зависимость тока от напряжения (рис. 45.10), причем одно
из приближенных выражений в. а. х. этого участка записывают
и виде
(45.19)
где а и Р — некоторые безразмерные параметры порядка единицы
(точнее 1 < 2;р 1), 6 —степень заполнения ловушек.
Соотношение (45.19) справедливо при условии V Ут, где вели-
чина 14 является характерным значением напряжения, при котором
наблюдается резкий рост тока в виде почти вертикального скачка.
11а рис. 45.9 величина Ут порядка 1 В. Аналитически
I/ =
т ареео *
(45.20)
। де IV л — концентрация ловушек в диэлектрической пленке.
309
При более высоких напряжениях, когда V 1/т, зависимость
плотности тока от напряжения записывают в виде так называемого
закона Чайлда
/ = (45.21)
где отсутствует лишь множитель 6, что и отличает эту формулу
от (45.19). Полагают, что рост тока прн V К, связан с достиже-
нием напряжения, при котором заполняются ловушки. Однако
в ряде случаев вместо заполнения ловушек при V VT наблюдается,
наоборот, их опустошение, происходящее за счет какого-либо эффек-
та сильного поля (например, ударной или полевой ионизации). Это
связано с тем, что экспериментальные значения концентрации лову-
шек Nj, в ряде случаев не удовлетворяют формуле (45.20). Причем
величину Na находят способом, независимым от ТОПЗ, одним из
которых является метод термостимулированной проводимости.
Суть этого метода состоит в следующем. Если образец, в котором
каким-либо образом создано заполнение ловушек, замкнуть на изме-
рительную цепь и нагревать с постоянной скоростью, то при опре-
деленной температуре обнаруживается максимум проводимости,
соответствующий ионизации заполненных ловушек, т. е. их опусто-
шению, вследствие чего резко возрастает концентрация свободных
носителей заряда. По положению пика термически стимулированной
проводимости находят концентрацию ловушек N„ глубину залега-
ния уровней Е, и сечение захвата ловушек з7|. При наличии несколь-
ких уровней ловушек разной глубины наблюдаются соответственно
несколько пиков термостимулированной проводимости при разных
температурах.
Нелинейности в. а. х. ZV-типа и «S’-типа
Нелинейности в. а. х. TV-типа и S-типа широко используют в
радиотехнике, автоматике, вычислительной технике и т. д. Такие
в. а. х. можно получать различными путями. Режимы отрицатель-
ной проводимости (TV-тип) и отрицательного сопротивления (S-тип)
создают в соответствующих полупроводниковых и диэлектрических
структурах, выполненных либо в объемном, либо в пленочном
варианте.
Вольт-амперная характеристика TV-типа уже изображалась при
рассмотрении эффекта Ганна (см. рис. 44.2). Но этот эффект является
специфическим и наблюдается лишь при особых условиях. Нели-
нейность же TV-типа встречается гораздо чаще и может быть обуслов-
лена различными механизмами. В частности характеристики N-
типа имеют туннельные диоды; сверхпроводящие металлические
пленки, разделенные диэлектрическим зазором; некоторые полу-
проводники с особым механизмом рекомбинации; пленочные диэлект-
рические диоды и т. д. В качестве примеров в. а. х. на окисных
пленочных диодах приведены кривые TV-типа на рис. 45.11.
310
Механизм отрицательной проводимости в диэлектрических плен-
л до конца не ясен, но отмечается, в частности, следующее. На
। hi юных пленках требуется электри-
<ская формовка медленно поднимаю-
щимся постоянным напряжением до
определенной величины Иф, при ко-
брой наступает резкий рост тока.
\iikmot провел измерения распреде-
। ния потенциала в пленке окис-
'ы, используя триодную структуру
Al-SiO-Al-SlO-AL Второй алюминие-
вый электрод являлся своеобразным
ондом, так что при варьировании
олщин слоев можно было судить о
1грераспределении напряжения. Ока-
.1лось, что подавляющая часть на-
пряжения (более 99%) падает в при-
кладной области AI-SiO-Al, и поле
дссь может достигать значений око-
ю 8 -10е В/см.
Как видно в частности из рис.
15.11, а и б, напряжение, соответст-
Рис. 45.11 Статические в. а. х
TV-типа для системы AI-AL,O3-
-Au с толщиной слоя А12О3
около 300 А (а) и около 925А (б)
нующее максимуму тока, не зависит
иг толщины пленки (в пределах 150—950 А), т. е. здесь иаблю-
иется эффект напряжения, а не эффект электрического поля.
Согласно утверждению Хикмота токи через диэлектрические
< чои представляют собой электронные токи по зоне проводимости,
ограниченные пространственным зарядом. При больших токах повы-
шается барьер у катода за счет заполне-
ния ловушек в прикатодной области.
М. И. Елинсон и В. Б. Сандомирский
считают, что здесь следует рассматри-
вать прыжковую проводимость по при-
месям, а проводимость по зоне несу-
щественна. При малых напряжениях,
накладываемых на сформированную плен-
ку, число незанятых вакансий на при-
месных центрах и других дефектах
велико, что соответствует большой прово-
димости. При инжекции вакансии за-
полняются и прыжковая проводимость
уменьшается. С дальнейшим увеличе-
нием напряжения возможно увеличение
поляркости
тока за счет проводимости по зоне.
Вольт-амперную характеристику S-типа имеют многослойные
полупроводники типа р-п-р-п (динисторы) или с более многослойной
сгруктурой, пленочные элементы на окислах, элементы на аморф-
ных полупроводниках типа халькогенидного стекла и т. д. Общий
311
вид статической в. а. х. S-типа для одной полярности приведен
на рис. 45.12. При небольших напряжениях сопротивление элемента
относительно велико и ток мал. Но при достижении некоторого на-
пряжения, равного V„op, наблюдается область отрицательного диф-
ференциального сопротивления, где dVtdl <0. Эта область может
Рис. 45.13. Типичные в. а. х.
S-типа без памяти (а) и с памя-
тью (б) на элементах из аморф-
ных полупроводников (ток в
низкоомном состоянии зависит
от величины нагрузки)
заканчиваться на некотором и да-
лее в. а. х. снова имеет положитель-
ный участок.
В. а. х. S-типа пленочных струк-
тур могут быть связаны с двойной ин-
жекцией и с зависимостью времени
жизни носителей заряда от уровня
инжекции.
Разрабатываются активные эле-
менты с в. а. х. S-типа на основе
аморфных полупроводников. Эти ис-
следования были начаты в СССР в
ФТИ им. А. Ф. Иоффе АН СССР
Б. Т. Коломийцем с сотрудниками.
Число научных центров, занятых раз-
работкой указанных элементов, все
возрастает.
Оказалось, что активные элемен-
ты с в. а. х. S-типа на основе халь-
когенидных стекол и других аморф-
ных полупроводников могут быть в
двух устойчивых состояниях — высо-
коомном и низкоомном и могут быть
две разновидности переключения: в
элементах без памяти низкоомное со-
стояние остается лишь до некоторого
минимального удерживающего тока
(рис. 45.13, а), и при дальнейшем
снижении тока наблюдается переклю-
чение в высокоомное состояние; в
элементах с памятью низкоомное состояние запоминается (рис.
45.13, 6), и для перевода элемента в высокоомное состояние необ-
ходима подача стимулирующего импульса.
Элементы без памяти можно применять для переключения, эле-
менты с памятью — в качестве запоминающих.
Исследованы, например, лабораторные образцы пленочных пла-
нарных S-элементов и матриц из них на основе халькогенидного
стекла и других аморфных полупроводников, которые выполняют
следующим образом. На ситалловую подложку катодным распыле-
нием наносят пленку тугоплавкого металла (тантала, молибдена).
С помощью фотолитографии на пленке создается нужный рисунок —
вытравливаются окна так, что остаются лишь узкие проводящие
полоски — электроды S-элементов (рис. 45.14), зазоры между кото-
312
элемента в высокоом-
Рнс. 45.14. Схематическое
изображение одного из
S-элементов матрицы в
планарном варианте на
основе халькогенидного
стекла:
1 — ситалловая подложка;
2 — пленочные танталовые
электроды; 3 — пленка халь-
когенидного стекла
составляют 5—30 мкм. Затем производят термическое напыле-
ние аморфного полупроводника в вакууме порядка 10 4 —
Id мм рт. ст. Поскольку напыление осуществляется сразу на всю
л у, параметры отдельных S-элементов матрицы оказываются
i ni гкими друг к другу, и разброс определяется в основном качест-
вом фотолитографии.
Для применения S-элементов в качестве коммутирующих в элект-
ролюминесцентных экранах разрабатывали матрицы с S-элемен-
i.iMii, имеющими пороговое напряжение в зависимости от зазоров
к жду пленочными электродами Упор = 30 — 300 В и переключаю-
щие токи /ср = 10—100 мкА. Сопротивление
пом состоянии не менее 107 Ом, в низкоом-
1юм состоянии 102—10s Ом. Элементы испы-
п шали в различных режимах и на различ-
ных частотах синусоидального напряжения,
импульсах различной длительности, скваж-
ности и формы. Надежность переключаю-
щих элементов определяли числом пере-
ключений, пока параметры воспроизводят-
< я с точностью до 10%. Удавалось дости-
i.iib 1010 и более переключений без суще-
11 венных изменений параметров.
Запоминающие элементы и матрицы ис-
пытывали в режимах записи и считыва-
ния сигнала и определяли возможности
применения таких матриц для вычисли-
н'.чьной техники.
Сточки зрения физики полупроводников
и диэлектриков представляет интерес выяв-
ление механизма переключения в указанных
S’-элементах. Большая часть исследователей приходит к выводу
о юм, что в элементах без памяти наблюдается электрический обра-
1имый пробой, а в элементах с памятью осуществляется кристалли-
1.1 ция области шнура тока. Как уже отмечалось (§ 42), подвижность
и концентрация носителей заряда в кристаллической фазе может
быть значительно более высокой, чем в аморфной фазе данного веще-
11ва. Следовательно, в указанном случае проводимость шнура ока-
ывается высокой, и элемент запоминает низкоомное состояние.
Для перевода элемента в высокоомное состояние требуется «про-
шить» закристаллизовавшуюся область шнура импульсом тока,
который разрушает упорядоченное состояние и ликвидирует закрис-
ьтллизовавшийся мостик.
Существенное значение в процессе переключения в аморфных
полупроводниках могут иметь локальные барьеры на микронеод-
нородностях, о которых упоминалось в § 42. Могут возникать, напри-
мер, барьеры Шоттки, как на границах полупроводник — квази-
металл, причем роль последнего могут играть микрокристаллиты,
вкрапленные в аморфном полупроводнике. Очевидно, что резко
313
несимметричный р-п-переход можно рассматривать как барьер Шотт-
ки, если, например, считать,
Рис. 45.15. Плоский разрез
энергетической схемы аморфно-
го полупроводника в равнове-
сии (а) и при наличии внеш-
него напряжения (б)
что роль квазиметалла играет вырож-
денный полупроводник (кристаллит).
В общем случае здесь могут быть мик-
рогетеропереходы.
Барьеры являются областями на-
иболее сильного поля и естествен
локальный разогрев с возможной по-
следующей кристаллизацией в микро-
объемах и разрушением упорядоче-
ния в этих микрообъемах при пере-
ключении в высокоомное состояние.
С. М. Рывкин полагает, что аморф-
ный (стеклообразный) полупроводник
представляет собой систему, в кото-
рой за счет сильных флуктуаций в
пространственном распределении за-
ряда возникают столь мощные флук-
туации потенциала и потенциальной
энергии электронов, что соответст-
вующие изгибы энергетических зон
оказываются порядка ширины запре-
щенной зоны. В этом случае полупро-
водник состоит нз чередующихся об-
ластей п- и p-типа, т. е. из цепочки
//-«-переходов (рис. 45.15). Такая си-
стема последовательно включенных
р-л-переходов должна обладать S-образной в. а. х. При наличии
четырех слоев эта система эквивалентна динистору (рис. 45.16), при
большем числе — многослойной полу-
проводниковой структуре с симмет-
ричной в. а. х. —симистору или триа-
ку. Показано также, что при облу-
чении кристаллического германия
быстрыми нейтронами возникает
структура, которую можно рассмат-
ривать как модель аморфного полу-
проводника. Как уже говорилось,
развиваются представления об опре-
деляющем влиянии на физические
Рис. 45.16. Энергетическая схема п-р-п-р-
структуры (четырехслойной) в равновесии (а)
и при наличии внешнего напряжения (б)
свойства аморфных полупроводников хаотических флуктуаций
потенциала, масштаб которых сравним с шириной запрещенной
314
। -i. Аналогичный рельеф потенциала существует и в крис-
члпческих полупроводниках в случае сильной компенсации
। счет хаотического распределения заряженных примесей. При
। 1 учении же кристаллического полупроводника частицами высо-
кой энергии создаются локальные сгустки дефектов — кластеры.
Н частности исследовали сильно легированный германий и-типа,
«о ।ученный быстрыми нейтронами. Последние, поглощаясь в герма-
нип, создают в первом приближении сферические области разупоря-
1Н1ЧСННЯ с линейными размерами порядка 50—100 А, внутри которых
и рмаиий оказывается материалом
р шла. При этом размах флук-
п.щий потенциала слегка превы-
пг.к’т ширину запрещенной зоны.
11 менение потенциала вдоль не-
ынорого произвольного направле-
ние. 45.17. Изменение потенциала
лль произвольного направления.
I!штрихованные области означают
'•.нейтронные (п) и дырочные (р) капли.
1змер р-областн соответствует разме-
ру кластера: = 50 — 100А
Рис. 45.18. Статическая в. а. к. ком-
пенсированного образца германия при
77К
пня представлено на рис. 45.17. Здесь £ф — уровень Ферми; Ee’h —
уровни «протекания» для электронов и дырок, т. е. значения эвер-
ит, обладая которой носитель заряда может пройти от электрода
к электроду, не туннелируя сквозь горбы потенциала, но огибая их.
Вольт-амперная характеристика представляет собой кривую S-типа
1рнс. 45.18). Таким образом, приходят к выводу о том, что германий
л-гипа, облученный быстрыми нейтронами, обнаруживает основные
и-обенности, присущие аморфному полупроводнику и в этом смысле
может рассматриваться как его модель.
Выводы к § 45
. 1. Нелинейные полупроводниковые резисторы (НПР) имеют симметричную
и. а. х., которая определяется гетерогенностью структуры. На границах неодно-
родностей в полупроводниках могут возникать физические запирающие слои,
которые вносят свой вклад в нелинейность в. а. х. В качестве мест локализации
ыиирающнх слоев могут быть границы зерен, блоков, магнитных доменов, дис-
локаций и т. д. В связи с этим нелинейности в. а. х. могут наблюдаться не только
для полнкристаллнческнх, но н для монокристаллических полупроводников.
315
2, При надбарьерной (шоттковской) эмиссии в диэлектрическую пленку наб-
людается нелинейность в. а. х., представляемая соотношением (45.9). Эта экспо-
ненциальная зависимость в полулогарифмических координатах дает прямую .пинию,
экстраполяция которой до пересечения с осью ординат позволяет найти величину
потенциального барьера контакта катод — диэлектрическая пленка.
3. При инжекции носителей заряда в диэлектрическую пленку наблюдается
ток, ограниченный пространственным зарядом (ТОПЗ). Инжекция носителей
заряда приводит к образованию объемного (пространственного) заряда, захва-
ченного ловушками в пленке. Пространственный заряд в дальнейшем накладывает
ограничения на ток, проходящий через диэлектрическую пленку. Методом термо-
стимулированной проводимости можно определять параметры ловушек — глубину
звлегания, концентрацию и т. д.
4. Нелинейности в. а. х. /V-тнпа и S’-типа имеют различные полупроводнико-
вые и диэлектрические элементы. Эти активные элементы находят широкое при-
менение в автоматике, радиотехнике, вычислительной технике и т. д.
ГЛАВА XI
ИОННАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
И МИГРАЦИОННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ДИЭЛЕКТРИКАХ
§ 46. ДЕФЕКТЫ ПО ФРЕНКЕЛЮ И ШОТТКИ
Дефект по Френкелю состоит из пустого узла кристаллической
решетки и атома в междоузлии. Как правило, в междоузлии ока-
ч.|вдстся ион, а не нейтральный атом. Соответственно вакансия в узле
имеет заряд противоположного знака.
Па рис. 46.1 изображена плоская решетка с дефектами по Френ-
|Н но.
На рис. 46.2, а показан ход потенциальной кривой для линей-
|ц>ii цепочки атомов вдоль некоторого направления. Минимумы
кривой соответствуют атомам (ионам), расположенным в узлах
пипетки. На кривой рис. 46.2, б
пены также междоузлия в виде
промежуточных неглубоких мини-
п мов. При переходе иона из узла
Рис. 46.2. Потенциальный
рельеф для линейной цепоч-
ки атомов (ионов). Глубина
междоузлия — о
Рис. 46.1. Дефекты по Френ-
келю
и междоузлие его энергия возрастает на величину ДЕ, которую
и.। пдвают энергией диссоциации. Та же величина представляет
шГюй энергию образования дефекта по Френкелю. Полная глубина
шненциальной ямы обозначена на рисунках через ДЕ0. Здесь
приведена упрощенная картина, когда все атомы имеют одинаковые
иычения величин ДЕ и ДЕ0. В реальных кристаллах и особенно
317
в поликристаллических телах можно наблюдать различную глу-
бину потенциальных ям. Дефекгы по Френкелю образуются в первую
очередь за счет диссоциации ионов с малой глубиной потенциаль-
ных ям, т. е. слабо связанных.
Дефекты по Шоттки есть пустые узлы, образовавшиеся за счет
диссоциации атомов (ионов) и перехода их на поверхность тела
эстафетным путем. В атомных кристал-
лах дефекты по Шоттки могут быть
одинарными, в полярных (ионных) —
двойными (рис. 46.3). Поскольку при I
дефектообразовании не нарушается элек-1
тронейтральность, то более вероятью
образование парных дефектов по Шотт-
ки, т. е. положительных и отрицатель-1
ных вакансий в ионных кристаллах.!
Тем не менее, обычно рассматривают и
концентрацию возможных одинарных
дефектов по Шоттки, не касаясь воп-1
роса о способе, с помощью которого в
том или ином случае в атомных кри-1
сталлических телах сохраняется элек-1
тронейтр ал ьность.
Для создания одинарного дефекта по
Шоттки требуется затратить энергию
А£ш, которая оказывается равной при-
п лк? пл. тп мерно половине полной энергии, необ-1
Рис 46.3. Дефекты по Шот- r ~ г
ТкИ- холимом для отрыва атома от кристалла.1
а - от„п„ж' о - гарнис Для создания парного дефекта по Шотт-
ки требуется затратить энергию, ко-
торую будем обозначать через АЕр.
Заметим, что не исключено возникновение антишоттковских
дефектов — лишних ионов в междоузлиях, внедрившихся с поверх-
ности кристалла. Однако обычно концентрация таких дефектов'
относительно мала.
Расчет концентрации дефектов по Френкелю
Обозначим через N концентрацию ионов (узлов), способных
к диссоциации. Полагаем, что п ионов в единице объема находится
в междоузлиях, а остальные N — п ионов занимают узлы. Следо-
вательно, через п обозначим концентрацию дефектов по Френкелю,
равную концентрации междоузельных («свободных») ионов.
Вероятность диссоциации ws, т. е. перехода иона из узла в междо-
узлие при наличии п междоузельных ионов, будет пропорциональна
числу ионов, находящихся в узлах, и вероятности того, что ион
приобретает необходимую для такого перехода энергию за счет
теплового движения, т. е, по статистике Больцмана — Максвелла
318
ЛЕ
рппорциоиальна е kT .Таким образом, имеем
&Уд = a (N — ft) е kT, (46.1)
। ii- а — коэффициент пропорциональности.
Вероятность wp обратного процесса — процесса «рекомбинации»,
возвращения иона в пустой узел, будет пропорциональна числу
нов в междоузлиях п и числу пустых узлов, точнее отношению
и чл пустых узлов к общему числу узлов:
byp=₽ft”, (46.2)
' Р — коэффициент пропорциональности.
В условиях равновесия имеем wR = мы. Следовательно, прирав-
шиая правые части равенств (46.1), (46.2) и учитывая, что п IV,
шиучим
п = ]/ ^Ne (46.3)
< )днако коэффициенты а и р не известны. Применяя далее ста-
< шческий подход,,можно выразить величину п через известные
1ИЧИНЫ.
< >бозначим: — концентрация междоузлий; — число спо-
бов, с помощью которых ft ионов смогут разместиться по междо-
|'1 и ям Л\; w — число способов, с помощью которых ft вакант-
ны к узлов смогут расположиться в узлах N.
Число этих способов будет:
У>! /лс лч
<46-4>
При переходе ионов из узлов в междоузлия упорядоченность
. «руктуры уменьшается и энтропия системы растет. Изменение энт-
ропии по сравнению с упорядоченным состоянием, при котором
in г поны находятся в узлах, определяется согласно термодинамике
и <|>орме
&S = £ln (гш>1), (46.6)
• <<• играет роль термодинамической вероятности, при которой
• обытия», отражаемые через w и wlt перемножаются.
Увеличение внутренней энергии единицы объема кристалла
при переходе п ионов в междоузлия
А(7 = А£м. (46.7)
Свободная энергия кристалла
F=U-TS. (46.8)
319
Условию динамического равновесия процессов диссоциации и
рекомбинации при заданной температуре соответствует минимум
свободной энергии. Значит, для равновесия имеем
^==®C7_7’®'S = O. (46.91
дп дп дп
т , dU д&и dS 5 AS ~
Но = -з— и ч- = -5—. Следовательно, получаем
дп дп дп дп J
e^<J_T^Si=0 (46.10)
дп дп
Подставляя сюда (46.7) и (46.6), имеем
bE=kT—"№'1l. (46.11)
Для вычисления факториалов в (46.4), (46.5) воспользуемся фор-
мулой Стирлинга, которая для х 1 имеет вид
1п(х1) ^x(lnx—1). (46.12)
Подставляя вместо х величины N, п, имеем
ДЕ = *Г—[Л/1пЛ-Л1-(Л/-л)1п (N-n) +
+(/V — п)—п In п-\-п-l-JVi InJVj —Л\ —
— (/Vi —n) In(JVi — n)+(Wi-n)--wlnn-|-fi]. (46.13)
Отсюда
ЛЕ = kT [In (N - п) 4- In (AZi - n) - 2 In n], (46.14)
или
_AE
n2 = (N — n) (Ni —♦ n) e kT. (46.15)
При условии, что n^N и n Nu получаем
AE
n = 2kT, (46.16)
Таким образом, получили формулу, выражающую концентра-
цию междоузельных ионов или концентрацию дефектов по Френкелю.
Сравнивая (46.16) и (46.3), получим
(46.17)
Следовательно, отношение ct/fJ равно отношению концентрации
междоузлий и узлов.
Заметим, что формулы (46.3) и (46.16) получены для монокри-
сталлов. При этом полагают, что рекомбинация междоузельного
иона может произойти лишь с вакансией в узле.
Для полнкристаллических тел с «рыхлой» решеткой (например,
керамики) «рекомбинация», точнее захват иона в глубокую потен-
циальную яму, может произойти на различных дефектах. Концент-
рация последних столь велика, что рекомбинация не зависит от этой
320
। <н।цснтрации, а определяется лишь концентрацией междоузель-
“i.i\ ионов п. Тепловая активация таких ионов пропорциональна
(Гнцсму числу ионов и вероятности тепловой генерации. При этом
tiMt'CM
п = Л/е kT. (46.18)
Как видно из формул (46,16) и (46.18), в обоих случаях кон-
и<1|грация междоузельных ионов является экспоненциальной функ-
цией обратной температуры. Однако если построить зависимость
In п = f (1/7), то тангенсы углов наклона кривых (46.16) и (46.18)
н \ казанных координатах будут различаться в два раза.
Расчет концентрации одинарных дефектов по Шоттки
Обозначим: пг — концентрация дефектов по Шоттки; о;ш —число
। пособов, с помощью которых одинарных дефектов (вакансий)
। могут разместиться по /V узлам. Тогда для одинарных дефектов
111'НТКИ
AS *1п(д/_Л1)!К11; дР д№ drii dnt (46.19) (46.20)
Следовательно, имеем
-Ц- — - kT In Гд7 Vi—г = °- ЙП] otii (N—nOInJ (46.21)
Отсюда получаем Д£и1 = kT [In (N — rti) — In «J, iijiii А£ш (46.22)
rii — (N —nt) e kr . (46.23)
При fiy N имеем = Ate kT . (46.24)
Как видим, концентрация одинарных дефектов по Шоттки выра-
жается в виде экспоненты (46.24), аналогичной (46.18). Более стро-
। ий вывод формулы (46.18) можно сделать аналогично приведенному
выводу формулы (46.24).
Расчет концентрации парных дефектов по Шотткн
Обозначим, как и ранее, через N концентрацию ионов (узлов)
определенного знака (например, положительных), способных к дис-
нщиации; через N' — концентрацию ионов (узлов) другого знака,
способных к диссоциации (и к переходу на поверхность).
11 Орешкин П. Т.
321
Концентрация парных дефектов по Шоттки будет определяться |
числом способов для /V узлов и аналогичным числом способои
для N' узлов.
Следовательно, имеем
д Г М ЛИ 1
-Ц—-—kT д- In ----------п—=- - . =0. (46.25)
дпу dtii L(#—-«1)! fii! (N —fiijlfiilj ' '
Отсюда при мг W и nr N' имеем
______Л£р
m^VNN7 е 2АТ. (46.261
Легко видеть, что концентрация парных дефектов по Шоттки
вычисляется подобно концентрации дефектов по Френкелю (46.16),
отличие лишь в величинах энергий ДЕ и ДЕр, а также в величинах
2VX (концентрации междоузлий) и N' (концентрации узлов, где
размещаются ионы противоположные по знаку по сравнению с ионами
в узлах N).
Отношение концентраций дефектов по Френкелю и по Шоттки
определяется в основном величинами ДЕ и ЛЕш (или ДЕр). В боль-
шинстве случаев наблюдаются либо преимущественно дефекты
по Френкелю (например, в галлоидных соединениях серебра), либо
преимущественно парные дефекты по Шоттки (например, в щелочно-
галлоидных кристаллах).
Заметим, что образование дефектов по Шоттки понижает плот-
ность вещества, поскольку оно приводит к увеличению объема
без увеличения массы образца. Образование дефектов по Френкелю
не приводит к заметному изменению плотности тела.
Величина энергии образования дефектов обычно порядка единиц!
электронвольт на один дефект. Так, например, для NaCl величина
ДЕр = 2,02 эВ. Этому значению энергии активации соответствует
концентрация дефектов 106 см-3 при комнатной температуре.
Центры снраски
Чистые кристаллы галогенидов щелочных металлов прозрачны в
видимой области. Но, если ввести избыточные по сравнению со стехио-
метрией катионы, то возникает окраска кристалла. Например, если!
кристалл NaCl нагревать в присутствии паров Na, то он примет I
желтый цвет. Окраска кристалла связана с возникновением центров
окраски, т. е. дефектов решетки, которые поглощают свет. Простей-
ший тип центров окраски называют Е-центрами. Кроме нагревания i
в парах щелочного металла можно создавать Е-центры путем облу-
чения рентгеновскими или гамма-лучами, нейтронами, электронами
и т. д., а также вводить избыточные ионы с помощью электролиза.
Я. Н. Першиц с сотрудниками исследовал окраску кристаллов при
введении различных ионов с помощью электролиза. Оказывается |
возможным следить за движением облака инжектируемых при элект-
ролизе ионов по изменению окраски кристалла.
322
обычно считают, что избыточные атомы щелочного металла
1пытаются в кристалле в узлах решетки, где располагаются
нормальные» щелочные ионы. Но тогда в решетке должно созда-
ан.ся соответствующее число вакантных узлов, занятых до их
< н< Рождения отрицательными ионами. Такие вакантные узлы
плюют отрицательными ионными вакансиями или анионными
и кд пенями. Эти вакансии ведут себя подобно положительным
(рядам, так что, электрон, движущийся вокруг отрицательной ион-
рщ| вакансии, можно уподобить водородному атому. Совокуп-
. гп> из электрона и удерживающей его отрицательной ионной
гиь.шсии и называют/-центром. Электрон, необходимый для обра-
щения /-центра, поставляется избыточным, введенным в решетку
и к (МОМ щелочного металла за счет ионизации последнего.
Кроме /-центров, могут существовать и другие типы центров.
1 । всех случаях характерно объединение вакантных узлов с захва-
ченными ими электронами. В частности при облучении /-центр
может ионизоваться, причем освобожденный электрон может
(п.пь захвачен другим /-центром. Тогда возникает совокупность
к i .шнонной вакансии и связанных с ней двух электронов, которую
п 1 чывают /'-центром.
Но возможно также создание центров окраски, где основную
роль выполняют дырки. Например, при нагревании некоторых
ни* ючно-галоидных кристаллов в парах галогена создается избы-
|ичпое по сравнению со стехиометрией количество атомов галогена
п кристалле. В таком случае должны возникать вакантные узлы,
.шитые до этого положительными ионами, — катионные вакан-
<|Ц[. Последние будут притягивать дырки, подобно тому как анион-
ные вакансии притягивают избыточные электроны. Катионную
илкансию, объединенную с дыркой, называют К-центром.
Таким образом, дефекты решетки в виде вакантных узлов могут
определять спектры поглощения и другие оптические свойства кри-
• 1.1 л лов.
Выводы к § 46
1. Дефект по Френкелю состоит из пустого узла и атома (иона) в междоузлии.
Дефект по Шоттки состоит из пустого узла.
2. Концентрация дефектов по Френкелю является экспоненциальной функцией
<|Н||дтиой температуры, поскольку дефекты создаются за счет теплового движения.
3. Концентрации одинарных и парных дефектов по Шоттки являются экспо-
iit пциальными функциями обратной температуры.
4. Окраска кристаллов галогенидов щелочных металлов связана с возникнове-
нием центров окраски, т. е. определенных дефектов решетки. Так называемые
I центры состоят из электрона и удерживающей его вакансии. Катионную ва-
kiiiK-ию, объединенную с дыркой, называют У-центром. F-цеитры, V-центры и
и которые другие дефекты являются центрами окраски-
§ 47. ИОННАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
Ионная электропроводность определяется наличием дефектов
ш> Френкелю и по Шоттки. Как показал Я. И. Френкель, ионная
’ |ектропроводность может осуществляться либо вследствие пере-
11*
323
мещения междоузельных («свободных») ионов, либо вследствие эста-
фетного перемещения заряженных вакансий.
Как и при электронной электропроводности, суммарная ионная
электропроводность определяется в виде
с = <47J)
где qt — заряд; tit — концентрация; pf — подвижность Pro носи-
теля заряда (иона, вакансии).
Концентрация дефектов определена ранее. Следовательно, необ-
ходимо определить подвижность носителей заряда.
Вывод формулы для подвижности междоузельных ионов
При наложении постоянного внешнего поля характер потенциаль-
ной кривой (см. рис. 46.2) изменяется. Если поле однородно, то потен-
циальная энергия иона в этом поле должна изменяться с коорди-
натой линейно. Кривая изменения полной потенциальной энергии
алгебраически складывается из ука-
занной линейной части и зависимости
типа рис. 46.2, т. е. потенциальный
рельеф наклоняется, аналогично зон-
ной схеме, как показано на рис. 47.1.
Такое изменение потенциальной кри-
вой соответствует положительному
иону (катиону); в направлении поля
потенциальный барьер уменьшается
на величину q£a№, а в направлении
против поля — увеличивается на та-
кую же величину. Следовательно, пе-
ренос катионов по направлению поля
облегчается, а против поля — затруд-
няется. Изменение потенциальной энергии отрицательных ионов
имеет противоположный характер, поэтому перенос анионов про-
тив поля облегчается, а по направлению поля — затрудняется.
Именно о таком преимущественном переносе через барьеры и го-
ворится далее.
Поскольку при расчете подвижности ставим задачу описать
движение междоузельных («свободных») ионов, то следует учесть
междоузлия. Рассматриваем потенциальный рельеф только для меж-
доузлий в виде, аналогичном рис. 46.2, о, т. е. по существу игнори-
руем более глубокие потенциальные ямы — узлы. Соответственно
глубина каждой ямы будет со. В электрическом поле междоузлия,
расположенные на расстоянии а, смещаются по вертикали на вели-
чину qfta. Следовательно, по отношению к положению, когда = О,
первый минимум поднимается на величину второй опускается
на такую же величину, т, е, потенциальный барьер для междоузель-
£
Рис. 47.1 Изменение потен-
циального рельефа вдоль ли-
нейной цепочки ионов при на-
ложении внешнего поля £
324
। .пионов в направлении поля уменьшается на а в направ-
III и против поля — увеличивается иа ту же величину.
I i мл частота тепловых колебаний ионов в междоузлии v0, то
1 н(.утствие внешнего электрического поля число перескоков,
, >(Исходящих в результате теплового движения, в соседние сво-
t иные междоузлия
v = voe kT. (47.2)
Чепствительно, т0 можно рассматривать как частоту попыток
ии «выпрыгнуть» из потенциальной ямы междоузлия, а экспонента
i|> ныеризует вероятность преодоления барьера <о за счет тепло-
fii энергии kT. Произведение этих величин и дает число факти-
,. mix перескоков по всем направлениям,
Дня заданного направления частота перескоков v' соответственно
. । <iвит величину, равную ^-v, так что получим
V'
v - е е
(47.3)
< ^ответственно частота перескоков катионов по полю
to—ggc/2
кт (47.4)
II против ПОЛЯ
а+д^а/2
v2 = >e " . (47.5)
Ии соотношения можно представить в виде
ю д@а
Vi = е kre2kT’t (47.6)
__ю д@а
v2=^"e «е 2" (47.7)
11олагая, что напряженность поля <э небольшая, так что выпол-
нимся неравенство q£a<^2kT, раскладываем соответствующие
। иопенты в ряд и, ограничиваясь двумя первыми членами ряда,
I'ojiyiaeM
ч д&а
е"2^=1±аг (47.8)
Скорость дрейфа в электрическом поле равна разности числа
п< ргскоков Vj и v2, умноженной на расстояние, проходимое при
। пом перескоке. Действительно, скорость дрейфа можно предста-
ли и. как разность скоростей вдоль и против поля. Указанные же
прости можно найти путем умножения величин vx и на постоян-
и\ к» решетки.
325
Сл едовате л ьио,
»лр = (vi - V2) а = е" }т
Отсюда подвижность р = рдр/<^ будет
о ®
ЫгТ е
(47.11'|
Формулу для подвижности междоузельных ионов можно испош •
зовать при расчетах электропроводности, обусловленной дефектам,
по Френкелю.
Полагают, что аналогичным образом можно выразить подвид
ность дефектов по Шоттки, хотя энергия активации подвижноец»
имеет менее наглядный вид. Однако это относится и к энергии як i Л
вации самих дефектов по Шоттки.
Расчетные значения указанных энергий активации трудно cpai»
нить с опытными, поскольку в последнем случае определяется
некоторая эффективная величина, зависящая как от энергии аки
вации дефектов, так и от энергии активации подвижности.
Тем не менее порядок величин расчетных и опытных значений
обычно совпадает, а расхождения и совпадения дают возможности
для анализа структуры дефектов, механизма электропроводности
и диффузии, природы диэлектрических потерь, природы окрашпИ
вающих центров и т. д.
Удельная ценная электропроводность
Как уже отмечалось, в общем случае расчет удельной электро-
проводности нужно проводить с учетом носителей заряда различных
видов. Однако во многих случаях в достаточно широких интервалах!
температуры можно считать, что сумма (47.1) состоит лишь из одного!
слагаемого, т. е. одночленной экспоненты.
Если электропроводность обусловливается дефектами по Френ-
келю, то в монокристаллах имеем
„ „ Д£ + ы2
№Т . (47.11)
Для полнкристаллических тел с большим числом дефектов (мест I
закрепления ионов)
° = 1,Т • (47.12)
Очевидно, что с помощью определения о опытным путем мето-1
дом вольтметра—амперметра, т. е. измерением тока и напряжения!
(либо мостовым методом при не очень малых о), можно определить
лишь суммарную величину, стоящую в числителе показателя сте-
пени экспонент соотношений (47.11), (47.12). То же относится и
к случаю электропроводности за счет вакансий по Шоттки.
326
11 pH построении опытных кривых 1g о = f (1/7') обычно получают,
некоторых интервалах температуры кривая аппроксимируется
|мп прямых (рис. 47.2).
\ о я множители перед экспонентами (47.11) и (47.12) зависят
pi с мнгратуры, но по сравнению с экспоненциальной зависимостью
I । »i зависимость (гиперболическая)
1и<‘1С51 слабой. Следовательно, в до-
1,1 н»1 ши широком интервале температур
iiiioi считать коэффициенты перед экс-
I |н 1Н.1МИ практически постоянными Ве-
сниными. Это аналогично картине, на-
ншкмцейся для электронных полу-
»ишков (см. § 17).
Ьрпвая lg о ~ f (1/Т) может иметь
В ы>.1ЬК0 изломов, и при высокой тем-
IT |И11 уро может наблюдаться собствен-
। । полная электропроводность, при ко-
। «Рип в переносе зарядов участвуют
I пи । решетки. Кроме того, электропро-
tiiocib обуславливается переносом за-
“1 юн примесными ионами. В соответст-
I' in г большей глубиной потенциальных
IIн для ионов решетки по сравнению с
..... примеси собственная ионная
. п к । ропроводность наблюдается при
( iiioKiix температурах (рис. 47.2, а). Однако может наблюдаться
и . юм и в противоположную сторону (рис. 47.2, б), что связывают,
hi пример, с уменьшением высоты потенциальных барьеров при повы-
1П1 шш температуры. Следует также заметить, что, кроме ионной
1 шляющей, в кристаллах в большинстве случаев имеется и элект-
рп|11.'1я составляющая электропроводности.
Вклад ионных составляющих в общую электропроводность харак-
: ртуется так называемыми числами переноса, представляющими
। ян>ii дроби, отображающие указанный вклад. При условии, что
• н мронная проводимость пренебрежимо мала, сумма чисел пере-
нося равна единице.
1дб
ИГ
Рис. 47.2. Зависимость удель-
ной ионной электропровод-
ности от температуры в ко-
ординатах 1g о = f (l/T)
Метод Тубандта определения чисел переноса
В отличие оз электронной ионная электропроводность сопро
н-яч чается переносом массы т — электролизом, так что можно
применять закон Фарадея
m = k (47.13)
। и» Q — количество протекающего электричества; I — сила тока;
1 — электрохимический эквивалент вещества, t — время процесса.
| кч ь предполагается, что I есть величина постоянная в течение
ш fro времени t.
327
По методу Тубандта используют образец, составленный из Tpt
частей (рис. 47.3). Если носителями заряда являются катионы, И
прианодиый участок составного образца по мере протекания токи
должен уменьшаться по массе, прикатодный — увеличиваться. При
Рис. 47.3. Составной об-
разец для определения
чисел переноса по методу
Тубандта
анионной электропроводности должна ил
блюдаться противоположная картина. Вэнг*
шивая составные части образца до опыта и
после опыта, определяют изменение их мае|
сы вследствие электролиза. Для заметного
изменения масс составных частей образца
пропускают большое количество электри-
чества, что обуславливает значительное вре-
мя процесса. Зная силу тока /, время / и и i-
менение массы частей составного образца,1
можно определить тип носителей заряда и их влияние иа элект-1
ропроводиость. Причем, если имеются свободные ионы обоих зна-
ков, то при определении чисел переноса приходится применят
вспомогательные составные образцы, в которых тип носителей за-
ряда известен.
Числа переноса для диэлектриков
ТАБЛИЦА в
Вещество t, cc v+ V- Вещество 1. -c V+ ; V-
AgCl 200—350 1,00 0,00 500 1,00 0,00
AgBr 200—300 1,00 0,00 550 0,996 0,004
tz-Agl 150—400 1,00 0,00 IN dr 600 0,916 0,084
<z-Ag2S 180—450 1,00 0,00 625 0,861 0,139
ВаС12 400-700 0,00 1.00 425 1,00 0,00
BaBr2 350—450 0,00 1,00 Mad I 510 0,981 0,019
BaFo 350—450 0,00 1,00 IM { 1 600 0,046 0,056
PbCl“2 200—425 0,00 1,00 I 625 0,929 0,071
PbF2 200 0,00 1,00 435 0,956 0,04
PbBr2 200—365 0,00 1,00 500 0,941 0,059
PbJ2 290 0,67 0,33 550 0,917 0,083
600 0,880 0,116 ’
В табл. 6 приведены числа переноса катионов v+ и анионов v
для ряда диэлектриков. Как видно из таблицы, вклад анионов в про- j
водимость щелочно-галоидных кристаллов становится заметным
лишь при достаточно высоких температурах, близких к температуре
плавления кристаллов. Как правило, ток переносится ионами, I
имеющими при одинаковом заряде меньшие размеры. Для щелочно- ]
галоидных кристаллов таковыми являются катионы.
В ряде кристаллов обнаруживается ионно-электронная элект-1
ропроводность, поэтому сумма чисел переноса оказывается меньшей
единицы.
328
< iмстим, что в процессе электролиза твердых тел происходит
роочистка, т. е. наблюдается уменьшение концентрации при-
1П.1Х п собственных слабо связанных (свободных) ионов. Вслед-
ппг этого концентрация свободных ионов уменьшается и ионная
ииляющая также уменьшается.
I гл и, например, носителями заряда являются катионы, причем
и I ^кцпя ионов из анода отсутствует, то, очевидно, по мере электро-
|.| их концентрация в приаиодной части уменьшается и здесь
пикает объемный заряд. Поле этого заряда противодействует
hi релизу, так что создается встречное движение ионов. Кроме
шН), должно наблюдаться встречное движение и за счет дцффу-
1П1, поскольку при электролизе должен создаваться градиент кон-
н । рации катионов. Поэтому после длительного пропускания тока
I иподимость уменьшается и остается лишь сквозная электронная
( i । шляющая. Следовательно, числа переноса при длительном про-
не являются постоянными, а должны уменьшаться с течением
• |1гмцни. Более подробно переходный процесс Поляризации, связан-
11 ш с электролизом, рассматривается в следующем параграфе.
Выводы к § 47
1. Ионная электропроводность определяется наличием дефектов по Френкелю
и in Шоттки. Подвижность междоузельных ионов возрастает с увеличением тем-
in р нуры по экспоненте, причем глубина потенциальной ямы междоузлия со входит
и ник.нагель степени экспоненты.
2. Удельная ионная электропроводность увеличивается с возрастанием
1*<мисратуры по экспоненте, если в заданном интервале температур в электропро-
К1И1ППСТИ участвует один тип ионов при постоянной величине потенциального
ihipi.cpa. '
Ч. Доля ионной проводимости характеризуется числами переноса, которые
м периментально определяют, например, методом Тубандта.
§ 48. ИОННО-РЕЛАКСАЦИОННАЯ И МИГРАЦИОННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Релаксация есть процесс постепенного изменения заданной
|н| чтеской величины с течением времени, приводящий к доста-
ли ппю равновесного (либо установившегося) значения заданного
। рлметра. Ионно-релаксационная и миграционная поляризации
и пяготся релаксационными явлениями; поэтому параметры, харак-
« рпзующиеполяризацию, релаксируют, т. е. постепенно изменяются
и । ем устанавливаются постоянными. Время установления и исчез-
•пиичшя этой поляризации возможно от малых долей секунды до
шшут и часов. При наложении постоянного поля в диэлектрике или
...у проводнике может наблюдаться перенос ионов, создающий
ф (равномерность их распределения. Это приводит к возникновению
нпр.ггного поля, т. е. к поляризации. Преимущественный перенос
иитжнтельных ионов по направлению поля или отрицательных
попов против поля приводит к так называемой ионно-релаксацион-
|||«л пли тепловой ионной поляризации.
329
Ионио-релаксациоиная поляризация по Г. И. Саанавн
Рассмотрим два соседних сечеиця кристалла, перпепдикулярш.цы1
полю и отстоящих друг от друга на расстоянии, равном постоянниь
решетки или расстоянию между двумя соседними междоузлиями
Полагаем для определенности, что имеем дело с положительными
ионами, т. е. катионами. В отличие от потенциального рельеф
типа рис. 46.2, Сканави полагал, что любые две соседние потенциала
ные ямы разделены между собой не высоким потенциальным бары
ром, а внешние стенки барьеров высокие, так что ион может лит Л
переходить из одной потенциальной ямы в соседнюю, но не далыигЛ
К указанным двум соседним потенциальным ямам применимы пред |
ставления о наклоне потенциального рельефа в электрическом поле Л
В частности, частота перескоков междоузельных катионов по поль
и против поля определяются в виде (47.4) и (47.5). Если для общ
ности ввести глубину потенциальной ямы А£о, т. е. подразумевав,
под ней не обязательно величину со, а любую энергию активации
иона, то частота перескока катионов будет:
__ДЕ0 — д&а!2
Vi = ^e " ; (48.1)
__ДЕ0 -j- qSa!2
v2 = ^e kl . (48.3
Обозначим через (Z) одну шестую часть концентрации л„
катионов в первом сечении, проходящем через первую из указан
ных потенциальных ям перпендикулярно полю, а через «2 (/) то ж»,
для второго сечения (второй потенциальной ямы). Изменение коп
центрации катионов в указанных сечениях будет
Дм = «0/6 — /11 (/); (48.3)
А/г = л2 (0 — л0/6. (48.4)
Складывая и вычитая левые и правые части этих соотношений,
получим
«а (О — «i (t) = 2Д«; (48.5)
П2 (0+ «1(0 = «о/'З. (48.6)
Далее записываем производную от Art по / в виде
_ _ ^Ef, + gCal2
-^+ = rtiVOe kT — rt2voe kT . (48.7)
Если полагать, что напряженность поля £ слабая, т. е. q&a Л 1
^kT, то согласно соотношению (47.8)
.д ___ДЕо _дер
“ЗГ = («в + «1)*о^е ftr-(«2-rti) voe kT . (48.8)
330
Хчпгывая соотношения (48.5) и (48.6) и обозначая
ДДо
’=2^"’ (48.9)
I | ly'IIIM
аДп Дп . п#еа 1 /ля
Решение уравнения (48.10) можно записать в виде
An = Ce^ + *g“. (48.11)
1 ели отсчитывать время t от момента включения поля, т. е.
। гнать Д/г = 0 при t ~ 0, то
C==-WF: <48л2)
Дл = ^ф-(1-е"^). (48.13)
Таким образом, получили закон изменения концентрации катпо-
III hi в соседних сечениях, отстоящих на постоянную решетки. При
оо имеем максимальное (статическое) значение
-An = (An)„„ = ^^. (48.14)
)тому максимальному изменению концентрации соответствует
к-к грический момент
Ргам = (Дп)и„дс = -^-А (48.15)
Текущее значение указанного электрического момента будет
I, ржать, кроме того, сомножитель (1 — е“^х).
< 'чедовательно, из-за преимущественных перебросов катионов
ниц, поля два любых соседних сечения, проведенных через потен-
। п.иые ямы, отстоящие на постоянную решетки с, образуют
• «образный квазидиполь, электрический момент которого направ-
н против внешнего поля. Соответственно сознается внутреннее
пи направленное навстречу внешнему. Аналогичные заключения
nt носятся и к анионам.
А. Ф. Иоффе ввел понятие об э. д. с. поляризации Vp, которая
пнистствует внутреннему полю. Если воспользоваться этим поня-
। м, то можно определить ток как функцию Ур. Полагая, что
противление образца Z?o остается неизменным, имеем
<48-,6>
I • V— внешнее напряжение, приложенное к образцу.
Па рис. 48.1 изображены зависимости /=/(/) при постоян-
|||'м внешнем напряжении (кривая /) и при выключении внешнего
331
напряжения (кривая 2), которые характерны для диэлектриков
вообще и наблюдаются
лобр
Рис. 48.1 Зависимости тока
при постоянном внешнем напря-
жении (/) и тока деполяриза-
ции (2) в отсутствие внешнего
напряжения от времени
при иоино-релаксационной поляризации
в частности. Здесь через /0 обозначен
начальный ток, фиксируемый при
включении цепи, причем полагаем, ।
что ток, соответствующий зарядке см
кости, не фиксируется. Далее токегы
дает, достигая через некоторое время
величины установившегося (остаточпц!
го) значения /ост.
Если после достижения /ост выклю-
чить внешнее напряжение и замкнул,
диэлектрик накоротко (на небольшую
нагрузку), то будет наблюдаться об
ратный спадающий ток разрядкц!
Максимальное значение обратного то
ка (тока короткого замыкания) будем
обозначать 1о^р.
В случае ионно-релаксационное
поляризации по Сканави весь эффекг
поляризации и деполяризации опре-
деляется возникновением и исчезновением э. д. с. поляризации. Со-
ответственно ток при наложении V изменяется согласно формул*
(48.16), а ток деполяризации определяется отсюда же при V ~ О
Полагая, что при быстрых изменениях внешнего напряжения
ионно-релаксационная поляризация не успевает измениться, опрс
деляют величину э. д. с. поляризации. Если изменить внешнее
напряжение скачком, то
/8-Vs-Vp’
(48.17)
где индексы относятся к величинам тока и напряжения до и пос.
скачкообразного изменения последнего. Полагая
находим
I/ V— V
г __ V , ___ ' ртах
О р , ' ост р »
Ко
17 —Л)--Л>ст 1/
v р max — J V
(48.18)
(48.19;
Используя эти формулы, иногда получают, что Vpmax составляет^
более 90% от V. Однако можно допустить ошибку из-за того, что
не учитывается изменение /?0.
Миграционная ионная поляризация
Расчет Сканави основан лишь на рассмотрении двух соседних
сечений, отстоящих на постоянную решетку. В качестве таковы^
можно взять два любых сечения, перпендикулярные внешнему
332
и мио, в любом месте образца. Но Сканави искусственно ограничил
ншгкение иоиов пределами соседних потенциальных ям. В дейст-
пшг'гьности высокие потенциальные стенки могут ограничивать
|<м1ько две соседние потенциальные ямы, но и значительно более
и|11няженные участки, либо вообще отсутствовать на всей длине
-рлзца. В последнем случае при перебросах катионов в прианод-
>.<н| части образца будет наблюдаться уход катионов, почти не вос-
|1и1ляемый из сечений более близких к аноду, ибо там уже мало
победных катионов. Л1ежду тем уход катионов к катоду в прика-
11Ы11ЫХ слоях будет компенсироваться приходом новых катионов
слоев, лежащих ближе к аноду. Иначе говоря, по ходу процесса
нп1яризации должна наблюдаться миграция (дрейф) катионов
ц| .июда к катоду, т. е. перемещения на расстоянии, намного большие
мс/к<|томного расстояния. Вследствие этого будет обедняться свобод-
ными катионами прианодиая область, и их избыток будет выделяться
н.। катоде. Таким образом, будет возникать барьерный слой, анало-
пчный обедненному слою Шоттки в электронных полупроводни-
ках (при дырочной электропроводности).
По мере электроочистки прианодной части в ней будут созда-
п.|। вся новые свободные катионы за счет активации более прочно
< низанных иоиов, но их концентрация соответственно будет мень-
шей, поскольку при термодинамическом равновесии она опреде-
ляется, например, в виде (46.16). Так как здесь протекает ток,
I- ппювесие нарушается. Кроме того, будет наблюдаться обратный
||и пф катионов за счет возникающего поля поляризации, созда-
и.|рмого объемными зарядами, а также вследствие диффузионного
пшжения из-за возникающего градиента концентрации свободных
lull ионов.
Аналогичным образом можно рассмотреть движение анионов,
при котором создается прикатодный слой положительного объем-
ного заряда. Следовательно, расчет Сканави необходимо обобщить
। । случай миграции ионов на макрорасстояния. В этом случае
лргмя релаксации поляризации, при которой ион мигрирует на рас-
• «синие d,
Ъ = (48.20)
। ir т определяется по формуле (48.9). Но расстояние а можно пред-
ывить как путь при дрейфе, осуществляемый за время 772, где
/' период колебаний иона, т. е. Т = l/v0. Действительно, дви-
жение иона из потенциальной ямы и обратно осуществляется за время,
р твое половине периода его колебаний, поэтому допускаем лишь,
•по вместо «своего» узла ион при возврате «находит» соседний узел,
••улучи «снесен» по ходу процесса полем. Итак, имеем:
_____ __-Цдр
а~~ V№ 2 ~ 2v„:
°др Ц©
(48.21)
(48.22)
333
Формула (48.22) аналогична (35.5), причем, если d —толщина
обедненного слоя, то последний является аналогом барьерного слоя
для электронных полупроводников в виде пленки окисла. Болес
того, как будет подробнее описано далее, формулу типа (35.5) или
(48.22) можно рассматривать как общую формулу, характеризую-
щую время релаксации миграционного процесса носителей заряда
(активируемых на границах) сквозь барьерные слои любого типа.
Здесь же речь идет о барьерном слое, обедненном ионами (носите-
1ями заряда), — приэлектродном слое объемного заряда. Указан-
Рис. 48.2. Изменение потен-
циала в образце при поло-
жительном (а), отрицатель-
ном (б) объемных зарядах и
при объемном заряде обоих
знаков (с)
ные слои можно обнаруживать с помо-
щью зондов, потенциал которых изме-
ряется электрометром или (при не очень
высоком сопротивлении) электростати-
ческим вольтметром. При наличии объ-
емных зарядов изменение потенциала
отличается от линейного. Например, иа
рис. 48.2, а представлено изменение по-
тенциала при наличии положительного
объемного заряда у катода, где кривая
идет круто, в то время как у анода она
идет горизонтально. Следовательно, по-
давляющая часть напряжения в этом
случае падает на прикатодный обеднен-
ный слой. При отрицательном объемном
заряде наоборот — основная часть паде-
ния напряжения приходится на приаиод-
ный обедненный слой — см. рис. 48.2, б.
При наличии слоев объемного заряда
обоих знаков наблюдается отклонение
потенциала от линейной зависимости в
обе стороны, как показано на рис. 48.2, в.
Следует заметить, что в литературе
по диэлектрикам обычно не уточняет-
ся, какова природа объемного заряда1
в том смысле, как это указано. Говорят
лишь, что спадание тока в диэлектрике
(кривая 1 рис. 48.1) обычно связано с возникновением объемного
заряда, причем последний накапливается на границах раздела
неоднородностей либо распределяется по всей толщине, образуется
путем накопления примесей в тонких приэлектродных слоях либо
создается при электрической формовке, под которой подразумевают
образование плохо проводящих приэлектродных слоев вследствие
химических изменений вещества. Далее с тех же позиций обсуждают
графики типа рис. 48.2.
Однако есть все основания считать, что при миграционной
поляризации, когда дрейфуют ионы, создаются слои неподвижного
объемного заряда, являющиеся аналогами обедненных слоев типа
Шоттки (здесь предполагается, что электроды не инжектируют
334
Рис. 48.3, Зависимости силы тока (/) и
разности потенциалов (2) от времени в
поликристаллнческом образце А12О8
юны, о которых идет речь). Таким образом, однородный образец
и< бедствие миграционной поляризации становится слоисто-неод-
родным.
Следует заметить также, что указанные слои создаются обычно
и носнтельно медленно и могут иметь значительную толщину.
11июльзуя зонд, можно следить за формированием и расформиро-
гмппем этого слоя. Так, например, на рис. 48.3 приведена зависи-
мость силы тока через образец поли кристаллической окиси алюми-
ния (кривая 2) при постоянном напряжении 300 В и зависимость
потенциала между зондом ВА и электродом А, (кривая 2) от времени
при температуре 1065° С и расстоянии = 8 мм. По оси ординат
нложены абсолютные значе-
ния тока через образец А12О3
и разности потенциалов меж-
ду зондом и электродом Л!
при фиксированном положе-
нии зонда, но с переменой
полярности внешнего напря-
жения.
Вначале наблюдается спад
ижа (кривая /) при подаче
и 1 А у положительного потен-
циала источника. К моменту,
ютветствующему точке А,
< кидание тока практически
оканчивается, т. е. дости-
। лется /ост. Первая точка кри-
вой 2, снятая при I у=0, соответствует моменту, когда фронт слоя,
позиикающего у А у вследствие миграции катионов, находится либо
н юм сечении, где расположен зонд (точка В^либо уже за зондом.
Уменьшение ДИ, которое наблюдается до точки А, соответствует пе-
ремещению указанного фронта к (A1D1 = dco ~ П мм).
В момент, соответствующий точке А, производится переключе-
ние полярности, т. е. положительный потенциал подается на А2.
Абсолютное значение силы тока на участке Л В резко увеличивается,
п абсолютное значение ДУ, наоборот, несколько уменьшается. Это
i низано с уменьшением сопротивления образца благодаря разру-
шению запирающего слоя у электрода Alt который постепенно запол-
няется носителями заряда. Кроме того, у электрода AS создается
новый слой (фронт Су).
Иа участке BD сила тока резко уменьшается из-за быстрого
роста указанного слоя. На этом же участке величина ДУ несколько
возрастает в связи с тем, что фронт старого слоя движется от
н Bi и в точке D (в соответствующий момент) указанный фронт
проходит через сечение зонда. Начиная с этого момента, ДУ моно-
юппо уменьшается, что объясняется постепенным уничтожением
обедненного слоя у электрода Ах. К моменту, соответствующему
шчке Е, формирование нового слоя в основном заканчивается, но
335
разрушение старого слоя еще продолжается, н связи с чем посчл
точки Е наблюдается еще небольшой рост тока.
Приведенный пример иллюстрирует механизм образования и
исчезновения обедненных слоев, дающих эффект выпрямления, одни
кос небольшой величиной коэффициента выпрямления. Аналогична
результаты можно наблюдать и в других случаях (в частности и
SiO2). Например, в MgO при аналогичных условиях возникая |
одновременно обедненные прианодные и прикатодные слои, связан-1
ные с миграцией катионов и анионов.
Кривая спада тока в начале процесса обычно состоит из суммы I
экспонент с различными значениями т, а к концу процесса, по край
ней мере, на отдельных участках ее можно рассматривать как одно-
членную экспоненту типа
/=Ае“т. (48.23)
Это обусловлено тем, что в начале процесса имеется набор i
релаксаторов в виде иоиов, диполей и микронеоднородностеЯ
тогда как к концу процесса обедненный слой оказывается главным
«дефектом» — макрорелаксатором, подавляющим все микрорелак-1
саторы и определяющим наиболее медленную релаксацию. Время I
релаксации барьерного слоя-релаксатора можно определить по фор-
муле (48.22), полагая, что процесс определяется термической акти-1
вацией носителей заряда на границе обедненного слоя и миграцией!
их сквозь этот слой. Такой процесс будет характеризоваться наи-1
большим временем релаксации.
Указанное время релаксации можно определить непосредст-1
венно по кривой спада тока. В частности, если полагать, что для
заданного интервала времени А/ равенство (48.23) выполняется, |
то величина
Т = тй =---(48.24)1
Ч;
где Л и /2 — токи в начале и в конце интервала А/.
Кроме того, опытным путем можно определить А£о, снимая тем-1
пературную зависимость проводимости. Величину средней напря-
женности поля £ также легко определить, если известно падение I
потенциала на обедненном слое. Последнее, как указывалось, изме-1
ряется соответствующим прибором при размещении зонда на гра-
нице обедненного слоя, т. е. на расстоянии d от электрода.
Следовательно, если величины тг7, d, А£о, Т определяют опыт-1
иым путем, то по формуле (48.22) можно найти подвижность р
соответствующих ионов. Определенная таким образом подвиж- ’
носгь катионов в поликристаллической А12О8 при 1200е С равна
10 см2/(В - с).
336
Сила тска и э. д. с. поляризации лри миграции ионов
Вследствие образования обедненных слоев создается добавочное
.противление, поэтому сила тока в общем случае в отличие от
tin 16) '=ТГ+ё<п- (48.25) 1\{ТгК (О
Соответственно остаточный ток
1/-17р(оэ)
/ост Я04-Я(оо)‘
(48.26)
Абсолютное значение тока короткого замыкания, когда V = О,
in часно (48.26) и «XL,- <4g-27»
Арифметическая сумма токов /ост н /ОбР» изображенная на рис. 48.1
• и резком АВ,
/ост + Imp = (оо) = яо+У(со) (48.28)
Отсюда получаем
Ai = RoA-R М
^ост “Ь Л)бр Rd
(48.29)
Величина а характеризует изменение сопротивления образца
игбедствие возникновения обедненных областей. Поскольку вели-
чины 70, /ост, /обр легко определяют опытным путем, нетрудно найти
указанное отношение а. Очевидно, если а>1, то R (со) > 0.
l.iKiiM образом, устанавливается простой критерий, по которому
определяют факт формирования добавочного сопротивления
R (оо) = (а — 1). (48.30)
Величину э. д. с. поляризации можно найти по (48.27) и (48.28):
Vp(°t>) = , '°6р V. (48.31)
н 1 ост I 'оСр
Очевидно, аналогичным путем можно получить общее выраже-
ние для э. д. с. указанной поляризации:
Vp=HV. (48.32)
। н- 1 — текущее значение спадающего тока; Ц — абсолютная вели-
чина обратного тока, измеренного вслед за током 1 при замыкании
иЛразца на небольшую нагрузку.
Как показывает опыт, величина ос может достигать иногда не-
< кольких сотен единиц. В частности, большие значения а наблю-
н. нот в стекле при температуре порядка 500° С. Иногда на кривой
337
a = f (V) обнаруживается максимум, что связано с явлениями
в сильных полях — при достаточно высоких полях наблюда^И
уменьшение а из-за ионизации носителей заряда полем. Э. д.»
поляризации может оказаться очень небольшой.
Изложенные представления пригодны для массивных образцом
Их можно применять и для пленочных систем, хотя в этом случ.н
явления осложняются эмиссией из контактов. Однако эти критерии!
оказываются полезными, например, для окисных пленок. Из-sn
явлений эмиссии и полевых эффектов здесь может оказаться a < 1,
хотя обычно 1.
Миграция ионов в окисных пленках МОП-структур
В §35 говорилось о том, что одной из наиболее распространенны
структур активных элементов и их совокупностей в виде интеграл,
ных схем являются МОП-структуры. Там же отмечалось, что окис-
ная пленка структуры содержит ионы щелочных и других элементов
и что влияние заряда ионов можно оценить с помощью методи I
С — Е-характеристик.
Рассмотрим в качестве примера МОП-структуру M-SiO2-Si.
Пленка двуокиси кремния SiO2, полученная термическим окисле-И
ннем Si, имеет аморфное строение в виде разупорядоченной трех
мерной сетки, состоящей из тетраэдров. Последние касаются друг I
друга только вершинами. Элементарная ячейка пленки, однако
соответствует кристаллической двуокиси кремния — Р-кристобалЯ
литу. При этом ближний порядок обычно сохраняется вплоть 1<] |
областей кристаллизации размерами от десятков до сотен ангстрем.
Существование ближнего порядка позволяет использовать терминов
логию кристаллов: решетку, вакансии, междоузлия и т. д.
Если атом кремния соединяется с четырьмя соседями, то вст
валентные электроны участвуют в связях. Но если число соседей,I
с которыми связан атом кремния, меньше четырех, то остающиеся!
связи являются ненасыщенными (свободными).
Свободная связь в решетке кремния может действовать либо
как акцептор, и тогда записывают
либо как донор, тогда
Si(3)+e~->Si(3)_,
Si(3)_>Si<3>++£T,
(48.33)
(48.34)
где Si(3) —* атом кремния, связанный с тремя другими атомами
кремния н имеющий ненасыщенную связь.
Если атом кремния связан с двумя другими атомами кремния I
и одним атомом кислорода, его обозначают через Si(2). Если атомы I
кремния связаны с двумя и тремя атомами кислорода, их обозна-1
чают Si(1), Si(0).
Центр типа Si(0) может находиться как внутри, так и на поверх-
ности окисной пленки (на границе с кремнием), тогда как центры
338
”, Si(2> — только на границе с кремнием. Все три типа центров
и .тигле из-за большой электроотрицательности ионов кислорода
р н> шуют обычно как доноры. Отдавая электрон, каждый из таких
и нров становится положительным ионом. Последние создают
in пи (впжный положительный объемный заряд в объеме и у поверх-
in окисной пленки на контакте с кремнием. Подвижный поло-
int'.'ibiibifi заряд в окисной пленке обычно создают свободные ионы
юрода (протоны) и ионы щелочных металлов.
11рп наложении внешнего электрического поля подвижный заряд
tn ргрлспределяется, а при снятии поля — медленно релаксирует
h III \одному СОСТОЯНИЮ.
Ьыстрые поверхностные состояния локализуются на границе
। пчела Si — SiO2 и представляют собой ненасыщенные атомы
цч-мцпя, состояния Тамма, примесные центры, а также (в самом
опии), дефекты по Шоттки. Медленные поверхностные состояния
и . ювлепы здесь центрами, расположенными в пленке SiOs неда-
» «о от поверхности кремния. Заполнение поверхностных состояний
1НЯСТ на процессы миграции зарядов, и наоборот. Эта миграция
нпияется одним из факторов, вызывающих нестабильность парамет-
|ц|| МОП-структур.
1’сли внешнее поле в окисной пленке МОП-структуры направлено
«и металла к полупроводнику, можно наблюдать спад тока, а при
। и к лючении внешнего напряжения — ток деполяризации, как и
случае массивных образцов окислов, имеющих ионную состав-
инняцую электропроводности. При противоположной полярности
. iK iiiiiero поля эффект обычно значительно меньше. Это связано,
'i.icthocth, с тем, что концентрация ионов водорода и натрия,
и шрпмер, в окисле системы AS — SiO2 — Si распределена неравно-
мерно. На границе SiO2 — Si указанная концентрация примерно
к.। порядок меньше, чем на границе SiO2 — М.
Миграционная поляризация в окненой пленке МОП-структуры
приводит к сдвигу С — V-характеристики.
Выводы к § 48
I Ионно-релаксационная поляризация по Сканави состоит в преимуществен-
ном перебросе катионов по полю или анионов против поля на одно между атом ное
|ыч юяние, в результате чего создается внутреннее электрическое поле, направ-
। иное противоположно внешнему. Процесс начинается после включения поля
и продолжается в течение времени, определяемого постоянной т. При t *>- т достк-
। in-1 си установившееся состояние поляризации. Переходный процесс характери-
»v< icii изменением тока в цепи.
2. Учитывая возможность переноса ионов на расстояния, большие постоянной
pi тетки, можно обобщить расчет Сканави на случай миграции ионов. Тогда время
|к таксации процесса определяется в виде (48.22). В результате миграционной
поляризации образуется электрически слоистая структура, т. е. создаются слои
пПнемного заряда.
3. Прн миграционной поляризации сила тока уменьшается как за счет воз-
никновения э. д. с. поляризации, так и вследствие образования обедненных
«лоси, в которых понижена концентрация свободных носителей заряда.
4. Миграция ионов в окисных пленках МОП-структур приводит к спаду тока
I гцвнгу С — ^'-характеристик. Это существенно влияет на стабильность работы
шннетствующих активных элементов и интегральных схем.
339
§ 49. МЕЖДУСЛОИНАЯ И СТРУКТУРНАЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ
В практике часто встречаются случаи слоистой изоляции, в свя ш
с чем представляет большой интерес рассмотрение так называемой
междуслойной поляризации. Применяя эти понятия к отдельным
областям в неоднородных диэлектриках и полупроводниках, опи-
сывают также структурную поляризацию.
Междуолойная поляризация ло Максвеллу и Вагнеру —
расчет напряженности поля в слоях
Междуслойную поляризацию можно рассматривать как часг
ный случай миграционной поляризации, где в переносе в общем
Рис. 49.1 Схема двухслойного
диэлектрика (а), распределение
напряженностей поля (6) и по-
тенциала (в) в слоях при нали-
чии постоянного внешнего на-
пряжения
случае могут участвовать как ионы,
так и электроны. Но в отличие от из-
ложенного' случая миграции ионов,
максвелл-вагнеровская трактовка не
учитывает изменения проводимости
вследствие процессов миграции.
Рассмотрим двухслойный диэлек-
трик, заполняющий плоский кондеи
сатор, т. е. расположенный между
двумя параллельными металлически"
ми обкладками (рис. 49.1, а). Следу!
Максвеллу и Вагнеру, полагаем, что"
все диэлектрические параметры слоеп|
1 и 2 остаются неизменными, несмот
ря на наличие миграции носителей
заряда. Следовательно, считаем отно-1
сительную диэлектрическую прони-1
цаемость слоев е* и е2, а также удель-
ную электропроводность слоев Oj и ог
постоянными величинами. Толщин!
слоев обозначим через dt и (L,. Допу
стим, что Ei < е2, а ах > с2.
В первый момент после включения
напряжения Уо к обкладкам конден-
сатора последнее распределится в со-
ответствии со значениями диэлектри-
ческих прошщаемостей. Действитель-
но, в момент включения поля вектор
электростатической индукции D дол-
жен быть непрерывным, т. е.
£) = е1£о^ = е2Ео^. (49.1)
Здесь через и обозначены напряженности электрических
полей в слоях 1 и 2 в начальный момент времени (сразу после вклю-
340
п‘[||[я внешнего напряжения Vo). Из (49.1) ясно, что при ех < ег
i'mivm ^2. Очевидно:
^ = ^,4; (49-2) (49.З)
Подставляя в равенство (49.3) из (49.1), имеем
<?; = .лу». (49.4)
Аналогично , е^ - (49.5) + ^2е1
11а рис. 49.1, б приведены значения и пропорциональные
। личинам е2 и е1. Отношение величин выбрано произвольно.
11.1 рис. 49.1, в показано изменение потенциала, где начальному
моменту соответствуют прямые 1.
Если, не рассматривая пока переходный процесс, полагать,
то конденсатор долго находится под постоянным напряжением Уо,
i.iк что имеем дело уже с установившимся состоянием, то необхо-
димо учесть вместо (49.1) условие равенства токов проводимости:
/пР = ^ = аА\ (49.6)
। •'«' /пр — плотность тока проводимости; и — напряженности
и».чей в слоях. Поскольку положим ст, > сг2, то, очевидно, получим
< ^2- Очевидно, также

Из двух последних соотношений имеем:
S’. =-г^,—;
“1°2 I “2°!
__ OjKo
2 '
(49.7)
(49.8)
(49.9)
В отличие от (49.4), (49.5) здесь напряженности поля устанавли-
Н.НОТСЯ по проводимости (рис. 49.1, б) и распределение потенциала
изменяется соответственно кривым 2 рнс. 49.1, в.
Очевидно, что если вместо выбранного соотношения между зна-
чениями диэлектрической проницаемости и проводимости имели бы
н\ пропорциональность
£1/е2 = 01/0-2 И El/О! = е2/Ц>, (49.10)
;о получили бы <?{ = 8j и Следовательно, двухслойный
диэлектрик, где выполняется условие пропорциональности (49.10),
341
является системой, в которой максвелл-вагнеровская релаксация
отсутствует. Если же это условие не выполняется, то <?j' <§j*
и =/= з, т. е. наблюдается максвелл-вагнеровская релаксация,
как переходный процесс.
Определим теперь указанную релаксацию. Для этого запишем
условие непрерывности плотности полного тока, состоящего и >
тока проводимости и тока смещения:
/ = 01^1 (О + ад,= аА Ю + е2е0^. (49. Ill
Кроме того, для текущих значений напряженности поля
V„ = <M)di + M)4. (49.12)
Следовательно,
«А+ад>^1 = ^(*'.>-<М) (49.13)
Отсюда имеем
_|+ g __ О» у ,,g j ,п
®0 (^1е2 Ч~ d-2el) ®п (^1®2 Ч_ 4а®1)
Обозначим
Т — M^ + dsM (49.15)
«1°3 4“ «2°1
Интегрируя уравнение (49.14), получим
Если отсчитывать время t от момента включения поля, то при
/ = 0 имеем <Fi = <pj. Следовательно, по (49.4) и (49.16) получим
<49-17)
+ (49-18)
При / т второе слагаемое можно не учитывать, и (49.18) пере-
ходит в (49.8). Релаксация поля (Sj осуществляется с постоянной
времени т, определяемой соотношением (49.15).
Если из (49.11) исключить переменную с помощью (49.12),
то аналогичным путем найдем
= d,<T2 + d2a, Vo + ( dA + d3e, “ d,o8 + йД У°е ’• <4919)
Здесь т также выражается формулой (49.15), а при / т соот-
ношение (49.19) переходит в (49.9).
342
Токи при междуслойиой поляризации
(’©отношение (49.11) выражает плотность полного тока в любом
и । сечений двухслойного диэлектрика. Если сюда подставить зна-
u ння (t) по (49.18) или <?2 (/) по (49.19), то получим зависимость
I (/) в явном виде. Указанная подстановка дает
-•_ ОзУгУр I (Slg2 g2ffl)2 ~х (ЛО 2(П
(Не2,4~ ^2е1)2 (d]V2 4" ^2°1)
Здесь т выражается формулой (49.15) и представляет собой время
релаксации тока, который называют током абсорбции [второе сла-
। п-мое в (49.20)]. Первое слагаемое в формуле (49.20) — это сквоз-
ной остаточцый ток, величина которого не зависит от времени.
Природа сквозного тока здесь не исследуется. Обычно удельные
(лектропроводности стд и о2 определяются по остаточному току, т. е.
и юйствительности должны соответствовать лишь сквозной электрон-
ной электропроводности. Но при опи-
• лини максвелл-вагнеровской поляри-
ации, как уже отмечено, не ставится
«опрос о природе остаточного тока.
>। от недостаток является' органиче-
i кой погрешностью самого метода,
при котором считают величины и о2
in1 зависящими от поляризации. Тем
in* менее в ряде случаев такой подход
правдан и его достаточно широко
используют.
Спад тока согласно (49.20) проис-
»одит по закону экспоненты (рис.
14.2), причем он обусловлен накопле-
нием заряда на границе раздела слоев,
и от заряд создает встречную э. д. с.
поляризации, которая и вызывает спад
гока. Именно накопление зарядов на
Рйс. 49.2. Спад тока в двухслой-
ном диэлектрике при постояи-
ном внешнем напряжении и ток
деполяризации при выключении
внешнего поля (а); изменение
абсорбционного и обратного то-
ков (б) в зависимости от вре-
। ранпце раздела слоев приводит к на-
рушению равенства (49.1) и к установ-
ленпю равенства (49.6).
При выключении внешнего источ-
ника поля и замыкании образца на не-
большую нагрузку наблюдается спад
юка короткого замыкания (обратного мени
кжа) по закону той же экспоненты.
При этом величины начального абсорбционного тока и начального
кжа короткого замыкания должны быть одинаковыми, так же
как должны быть одинаковыми площади под кривой /абс (/) и над
кривой /обр (/), что видно из рис. 49.2, б.
Распределение поля и потенциала в образце, который подключался
к источнику внешнего напряжения, после снятия последнего изме-
343
няется. В частности, для изображенного на рис. 49.1 случая, когл,«
положительный потенциал подавали слева, на границе раздели
слоев накапливался положительный заряд, и после снятия внешнего
напряжения наблюдалось встречное поле в первом слое и поле того мц
направления во втором слое (рис. 49.3, б). Падение напряжении
в слоях изображается соответственно кривыми рис. 49.3, в. Пол*
исчезает и потенциал обращается в нуль в двухслойном диэлек’1-
Рис. 49.3. Схема двухслой-
ного диэлектрика (а), распре-
деление напряженностей по-
ля (б) и потенциала (е) в
слоях непосредственно после
снятия внешнего напряже-
ния
рике при t т, причем отсчет t произ-
водится от момента выключения внеш-
него напряжения.
Таким образом, максвелл-вагнеров-,
ская поляризация состоит в накопле-
нии заряда на границе раздела слоен
вследствие протекания токов проводи-)
мости в двухслойном образце, вызываю-
щем перераспределение электрических;
полей и падений напряжения в слоях.
Процесс заканчивается при ког-
да остается лишь сквозная составляю^
щая тока проводимости. При выключен
нии внешнего напряжения наблюдается
деполяризация, в процессе которой на-
копленный заряд, изображаемый пло-
щадью над кривой /обр или площадью)
под кривой /абс, полностью протекает че-1
рез цепь.
Однако кривые спада тока часто мо-
гут быть аппроксимированы экспонента-
ми лишь на узких участках, так что
абсорбционный ток определяется набо-
ром времен релаксации, что свидетель-
ствует о более сложной природе процес-
са, чем это принимается в модели двухслойного диэлектрика по
Максвеллу и Вагнеру. Одна из причин такого отклонения в виде из-
менения проводимости отдельных областей уже указывалась ранее.
Структурная веляризация
В неоднородных диэлектриках и полупроводниках, имеющих
включения с различной проводимостью, возможно накопление заря-
дов на границах включений. В частности, такая картина характерна
для относительно высо коп ро водящих включений, внедренных в плохо
проводящий материал. Это приводит к созданию встречного поля,
обусловленного совокупностью накопленных зарядов. Процесс
может идти с весьма малой скоростью, поэтому такая структурная
поляризация растянута во времени. Остаточный ток достигается
иногда лишь через многие минуты или даже часы. Соответственно
деполяризация протекает также весьма медленно.
344
Выводы к § 49
I ГЛеждуслойная поляризация по Максвеллу и Вагнеру состоит в накоплении
Hipun.i на границе раздела слоев с разной электропроводностью, при протекании
। перпендикулярно слоям. Такая поляризация приводит к изменению иапря-
m< iiiiHCiii электрического поля в слоях. Междуслойная поляризация является
....секционной, т. е. растянута во времени, причем время релаксации т опреде-
ли ни параметрами слоев (проводимостью, диэлектрической проницаемостью,
пцппой).
2. Полный ток в процессе междуслойной поляризации состоит из тока прово-
iHMtH 1и и тока смещения. Кроме того, можно представить полный ток как сумму
юкнного тока, независящего от времени, и абсорбционного тока, спадающего
। -|снием времени переходного процесса по экспоненте, где время релаксации
*пр|-деляется тем же значением т, что и при определении поля в сдоях.
ГЛАВА XII
ПОЛЯРИЗАЦИЯ В ПОСТОЯННОМ ПОЛЕ
В ДИЭЛЕКТРИКАХ БЕЗ ПРОВОДИМОСТИ
§ 50. СРЕДНЕЕ И ЛОКАЛЬНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
БЕЗ ПРОВОДИМОСТИ
Обычно при описании поляризации в диэлектриках без про-
водимости напряженность электрического поля определяют как
некоторую среднюю величину, которая характеризует макроскопи-
ческое поле. Но, кроме того, можно находить локальное поле,
действующее на отдельную молекулу или другую частицу, способ-
ную участвовать в процессе поляризации. Этот процесс состоит
в смещении зарядов и повороте диполей, приводящих к возникно-
вению встречного внутреннего поля. Напомним основные поло-
жения о среднем поле и определим локальное поле.
Внешнее и среднее псле
Рассмотрим плоский конденсатор, подключенный к источнику
постоянного напряжения, так что потенциалы обкладок сохраняются
постоянными. Если в зазоре нет вещества (имеется вакуум), то
напряженность однородного поля в нем создается свободными
зарядами обкладок с поверхностной плотностью Qi (рис. 50.1, а),
т. е. она будет выражать напряженность S внешнего поля, которое
связано с электростатической индукцией D формулой
& = Di = e/, (50.1)
где е0 = 8,85 • 10~12 ф/м — электрическая постоянная.
Если теперь, не отключая источник, ввести в конденсатор одно-
родный диэлектрик, то в нем будет наблюдаться поляризация,
и на поверхностях, обращенных к обкладкам, будет возникать свя-
занный заряд, поверхностная плотность которого Q с течением
времени нарастает, а по окончании процесса поляризации достигает
некоторого установившегося значения (рис. 50.1, б). Но по мере
возникновения заряда Q (и его роста) будет пополняться (из источ-
ника) свободный заряд так что в любой момент времени общая
поверхностная плотность свободного заряда обкладок будет Qo =
= Qi + Q- Этому заряду соответствует новое значение D;
Qo=Z) = £E0(?', (50.2)
346
’ е — диэлектрическая проницаемость, нарастающая по мере
похярнзации; £ — среднее макроскопическое (однородное) неиз-
< пяющееся поле в любой точке диэлектри-
.1. Это поле определяется также формулой
0„-0=Е^ = й, (50.3)
причем
Q = P, (50.4)
। и* Р — величина вектора электрического а>
момента единицы объема диэлектрика, т. е.
|н'личина вектора поляризации; поэтому
(М).З) можно записать в виде
С, -в,
' bf *
D = eoS+P.
(50.5)
Формулы (50.2), (50.5) одинаково мо-
гут служить как соотношения, определяю-
щие среднее поле. Кроме того, согласно
(.0.1) и (50.3) величина <?— напряжен-
ность внешнего поля. Таким образом, оче-
видно, что если под внешним полем под-
разумевать поле, создаваемое заданным
источником в вакуумном конденсаторе, то
оно будет равно среднему полю в том же
конденсаторе, но заполненном однородным
диэлектриком, причем напряжение на кон-
денсатор подается от того же источника. В
настоящей главе рассмотрено установившее-
ся состояние поляризации, а к упомяну-
Рис. 50.1. Схема вакуум-
ного конденсатора («) и
конденсатора с диэлект-
риком (6)

i им переходным процессам поляризации вернемся лишь в следующей
главе. Если, зарядив вакуумный конденсатор до Qlt затем отклю-
чить источник и лишь после этого ввести в конденсатор диэлектрик,
io среднее поле будет в е раз меньше внешнего.
Приравнивая теперь правые части равенств (50.2) и (50.5), имеем
Р = ео(е— 1)8.
(50.6)
Следовательно, электрический момент единицы объема (вектор
поляризации Р) связан линейной зависимостью с напряженностью
среднего поля.
Лекальное поле
Поле, действующее на отдельную молекулу, может заметно
отличаться от среднего макроскопического. Как показал Лоренц,
напряженность локального поля можно представить в виде геомет-
рической суммы
g, = S + Si + 82- (50.7)
Физический смысл величин gj и £» выясним на следующем
примере. Пусть рассматриваемая молекула диэлектрика нахо-
347
дится в точке А (рис. 50.2). Опишем около этой молекулы ки»
вокруг центра сферу, радиус которой 7? значительно больше радиуй
молекулы, так что можно за пределами сферы считать диэлектрик
однородным. Мысленно извлечем из сферы все вещество за исклю-
чением рассматриваемой молекулы, т. е. будем считать, что si.i
молекула помещена в вакуум, ограниченный поверхностью сферы.
На этой поверхности (со стороны материала диэлектрика) инд)
цируется связанный заряд, поверхностная
плотность которого определяется как вели-
чина, равная нормальной к поверхности сос-
тавляющей вектора поляризации Р, т. е.
Qs = Рп = Р cos 6. (50.8)
Этот индуцированный заряд и создает по-
ле напряженностью gj, так что при расчет»»
последнего необходимо найти суммарное поле,
создаваемое в точке А неравномерно заря-
женной сферой.
Рис. 50.2. Схема к Поле Я2 находят как результирующее,
расчету поля Лоренца создаваемое в точке А молекулами, располо-
женными внутри указанной сферы. Можно <
показать, что в большинстве случаев вследствие сферической сим-
метрии напряженность поля g2 равна нулю. В частности, g2 = 0
для газов, неполярных жидкостей и твердых тел (включая кристаллы
с кубической решеткой — простой, гранецентрированной, объемно-
центрированной). Здесь ограничимся случаем, когда Ег = 0.
Итак, задачу нахождения напряженности локального поля сводим
к нахождению напряженности поля
Поле Лореица
Найдем выражение для поля &, пользуясь рис. 50.2. Элемент
поверхности сферы имеет площадь dS, которую в сферической системе
координат можно представить в виде
dS = 7? 2 sin 6 d6 dtp. (50.9)
Поскольку плотность поверхностного заряда известна в виде
(50.8), нетрудно определить величину напряженности поля в центре
вакуумированной шаровой полости, создаваемой заряженным
элементом Очевидно, можно принять указанный элемент за точеч-
ный источник заряда, так что найдем напряженность
Я/® _QsdS ____Р cos 6 sin 0 d0 . n
а s“4лб0Я2- 4ле0 (OU.1U)
Вектор направлен по радиусу шара R, поэтому его проекция
на направление среднего поля &
jT о Р coss0 sin 6 df) dtp ,Гл ,i ’
d6i = d®scose =------------------------(50.11)
‘tilbQ ' I
348
При определении суммарной величины необходимо найти
и, цы л, причем пределы интегрирования по углу <р устанавливаем
. । н до 2л, а по 6 нужно произвести интегрирование в пределах
и до л. Итак, имеем
4ne08i = P cos26sin6d6 ^<р = 2я Р^—. (50.12)
о о 7 о
Отсюда получаем напряженность поля Лоренца как компонент
11 лмарнон напряженности, создаваемой заряженной сферой в на-
11р.|цлепии среднего поля
gi = P/3e0. (50.13)
. Заметим, что вид этой формулы зависит от выбора системы еди-
ниц. Например, в системе СГСЭ
8i = ^P. ' (50.14)
Напряженность локального поля в СИ можно представить в виде
t \ммы
8» = 8 + зЬР- (50.15)
Если использовать выражение для Р (50.6), то получим связь
м«’жду напряженностями локального и среднего полей
8,=^8. (50.16)
Последняя формула, очевидно, записывается одинаково в любой
< п« 1еме единиц. Из этой формулы видно, что при в 5? 1 можно при-
II нь £л « £. Однако если е > 1, то 8Я > 8.
Выводы к § S0
1. Среднее макроскопическое поле в диэлектрике при условии постоянного
ни (ключенпя источника напряжения совпадает с внешним полем, а при условии
in ключевин источника — в е раз меньше внешнего.
2. Поле, действующее на отдельную молекулу, отличается от среднего макро*
। кинического поля. Напряженность локального поля состоит из геометрической
। уммы напряженностей среднего макроскопического поля, поля Лоренца и поля
ближайших соседей — молекул.
3. Напряженность поля Лоренца находят как поле, индуцированное через
ли »лсктрическую среду, в виде соотношения (50.13).
§ 51. УРАВНЕНИЕ КЛАУЗИУСА - МОСОТТИ
Уравнение Клаузиуса — Мосотти выражает связь между диэ-
лгктрической проницаемостью диэлектрика и поляризуемостью его
Молекул.
349
Поляризуемость молекул
Электрический момент единицы объема диэлектрика Р мо/к?.-.
выразить в СИ следующим образом:
Р = еопсх£л. (51 Я
Здесь п — концентрация молекул, которые участвуют в по | <
ризации; а — поляризуемость каждой молекулы, характеризуют,.!®
ее наведенный электрический момент в единичном локальном ik>.i«
При этом предполагается, что все п молекулы единицы объема joi 1
электрика имеют одинаковую поляризуемость. В СИ поляризуемое-и. I
выражается в м3, а электрический момент единицы объема Р | I
Кл • м/м3.
В общем случае поляризуемость а можно представить в ним
суммы из электронной поляризуемости сс9, дипольной поляриз)<
мости ад и других аналогичных слагаемых, т. е.
а = аэ + ая+... (51.'Д J
Для неполярных диэлектриков без проводимости можно приняв
а = ссэ, для полярных ос = <хэ ссд.
Уравнение Клаузиуса —Мооотти
Подставив в формулу (51.1) соотношение (50.16), получим I
Р = е„/1КЫ^8. (51J
Кроме того, согласно (50.6) имеем
Р = е0(е~1)& (51.1i
Приравнивая правые части этих выражений, получим уравнг
ние Клаузиуса — Мосотти
е—1 па I
е+2~’3~‘
В применении к смесн, содержащей различные молекулы, ура • '
некие Клаузиуса — Мосоттн записывают в виде
<51|!
i
Здесь суммирование производится по всем типам молекул смеси
Температурный коэффициент диэлектрической проницаемости
Пользуясь уравнением Клаузиуса — Мосотти, можно опредс«
лить температурный коэффициент диэлектрической проницаемое™
(51.7)
350
I hi (51.5) получим
d /е —1\ a dn - з ‘df- (5k8>
tИсида имеем 3 de _ a dw Q (e-}-2)2 ' dT~ 3 ’ dT’
Умножив и разделив правую часть равенства на п и использо-
||и уравнение (51.5), получим
() i сюда имеем 3 de 1 dn e—1 (8+2)a ’ dT “ 7Г’d?’~e-|-2 ‘ (01.1U) 1 de (e-l)(s+2) £ dn ... ... e ' dT~~ 3e n dt' (01.11)
Вводя коэффициент объемного расширения
₽ = Ч’^- (51-12)
I} 'HIM
m=| ~ - р (е~ ‘1 (6+2). (51.13)
6 и 1 оЬ
Рис. 51.1. Типичная качест-
венная зависимость диэлек-
трической проницаемости от
температуры при электрон-
ной (еэ), дипольно-релакса-
ционной (бдр) и ионно-релак-
сационной (епр) поляризации
в твердом, жидком и газооб-
разном состояниях
. >га величина для газов (азот, кислород и др.) обычно имеет
иирядок 10"* град-1. Для жидких и твердых диэлектриков (бензол,
। и ши, керосин, полиэтилен, фторопласт
и тр.) величина температурного коэф-
’иииснта диэлектрической проницаемо-
। in оказывается порядка 10<! град-1.
<нак минус в формуле (51.13) соответ-
। пцст уменьшению диэлектрической про-
шцлемости с ростом температуры, что
определяется уменьшением концентра-
шн молекул. Однако, во-первых, здесь
i< отражено деполяризующее влияние
п илового движения и, во-вторых, реаль-
ный ход е в зависимости от температу-
ры может оказаться значительно более
ожным. В частности на рис. 51.1 при-
ш 1еиы качественные графики е = f (Г)
np.i различных видах поляризации. При
нтпо-релаксационной поляризации (см,
I.H) величина диэлектрической прони-
пц-мости е1|р с ростом температуры уве-
чивается. При дипольно-релаксационной поляризации обычно
и 1бл юдается температурный максимум величины еяр. Лишь электрон-
11я поляризация дает монотонное убывание диэлектрической про-
ницаемости еэ с ростом температуры.
351
Вывод к § 51
Уравнение Клаузиуса — ГЛосотти выражает связь между диэлектрический
проницаемостью диэлектрика и поляризуемостью а его молекул. В общем слупи
поляризуемость состоит из электронной, дипольной и др. видов поляризуемое!и
§ 52. ДИПОЛЬНАЯ ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ 5
Уже отмечалось, что полная поляризуемость молекул может
содержать дипольное слагаемое, и это наблюдается для полярньц
диэлектриков, молекулы которых являются диполями.
Расчет дипольной поляризуемости для полярного газа
Рассмотрим молекулу-диполь, электрический момент которою
р = ql есть величина постоянная. Иначе говоря, предполагаем,]
что имеем жесткий диполь (рис. 52.1). Если на диполь действует
внешнее (по отношению к диполю) электрическое поле, то он будет
поворачиваться вдоль поля. Будем для простоты оперирован*
средним (внешним) полем напряженностью g. Для газа это не дася
большой ошибки. Кроме того, никаких изменений в расчете не будет,
если вместо g всюду подразумевать g4,. Ориентирующему действии!
поля противодействует деполяризующее влияние теплового дви
ження.
Величина р в СИ измеряется в Кл м. Если оценить порядок
этой величины, то при q ~ КГ1® Кл и / » 1О-10 м имеем р ж Ю^29 Кл
„ х м. Кроме единицы Кл • м используют и др у
~гие; в частности 1 Дебай = 10 18 СГСЭР
=3,333 - 1СГ30 Кл • м.
Vzy F~^ Итак, при расчете дипольной поляризуе
мости величина р считается постоянной, т. с.
q рассматриваются жесткие диполи. Однако
Рис. 52.1.* Диполь в когда находят полную поляризуемость се, к
электрическом поле величине ад добавляют электронную поляри-
зуемость аэ, соответствующуюсмещениюэлекг
ронов в атомах под действием поляризующего поля и образованию
добавочного дипольного момента, т. е. жесткость диполя «смяг-
чается» за счет добавки аэ. Последняя при наличии поляризующего
поля всегда отлична от нуля для любых диэлектриков, в любом
агрегатном состоянии.
Вращающий момент, действующий па диполь в электрическом
поле (э,
М = ^7 sinO = p^sinS. (52.1)
Элементарная работа поля при повороте диполя на угол de
dA = Mde = p^ sin 6 de. (52.2)
Потенциальная энергия диполя •*
Еи = $ М de = — рё cos 6 + С. (52,3)
352
При выборе С = 0 имеем:
£„ = E„rain = — P# при 6 = 0;
Е„ = Еп,т' = р<5 при 6 = п.
II । = 1 В/м п р = 10“29 Кл • м имеем Ептах = 10^9 Кл • В =
П>29 Дж.
Вероятность ориентации диполя в телесном угле dii можно
I цн-целить как величину, пропорциональную этому углу и экспо-
ш ии* Больцмана
С<Л °
w = ае~ ьт dQ = ае kT dQ, (52.4)
dQ = sin 6 d6 dtp, (52.5)
I постоянная величина.
Г.слп концентрация молекул п, го dn из них имеют дипольные
моменты, ориентированные в телесном угле dQ, причем
/|<5 cos в
dti = nae~^~ dQ. (52.6)
].ля расчета электрического момента единицы объема Р необ-
> inмо найти сумму проекций дипольных моментов молекул еди-
ницы объема на направление поляризующего поля. Следовательно,
пмгсм:
dP — р cos 6 dn; (52.7)
Р = р cos 0 dn = J рпае kr cos 6sin 0 dQ dtp. (52.8)
b b
Введем средний момент p молекулы в направлении поля
я р<ЗЧО'6
рпае кТ cost) sin 6 d6 \ dtp
_ Р 0 0 /КО
Р — п — л P&i-vsfi • (52.9)
\ пас kl sin 0 (ft) dtp
о о
Сокращаем числитель и знамена!ель последней дроби на вели-
чину па, поскольку опа является постоянной, а также па 2 л и вводим
и я удобства расчета новые переменные
j/ = cos6, x = p£jkT\ (52.10)
Уравнение (52.9) дает
е.Уху dy
p = --------. (52.11)
\ СУХ dy
12 Орешкин П. Т.
353
Приведенные интегралы известны, причем интеграл в знамен •
теле является табличным, а интеграл в числителе берется по час иг
так что получаем:
§ е’*Л/ = Т(е* — е*); (52.11
J е»ху dy = ~ (е*+е х) — ~ (е* - е~*).
— I
Следовательно, имеем
(52.1
(52 1-
Выражение вида (52.14) называют функцией Ланжевена и оГки
начают через L (х). При условии х < 1, т. е. в слабых полях или
при высоких температурах, функцию Ланжевеиа разлагают в бысци»
сходящийся ряд
= +•• (52.|.
Следовательно, в этом случае
Р ^P# h р‘#2 I \ (59 ....
р 3kT 1 15/гаТ2 11
Если ограничиться первым слагаемым, то получим
P = gr. (52.17»
Заметим также, что при d? = <?кр = 3 kT/р первое слагаем]
дает р = р. Это соответствует ориентации всех диполей в направли
нии ноля S, т. е. насыщении поляризации (рис. 52.2). В действи-
тельности последнее достигается при более высоких полях, посколь
ку, кроме первого линейного члена ряда, есть еще нелинейные ели
гаемые.
Итак, в слабых полях средний электрический момент дипол»
молекулы в направлении поля g (т. е. средняя проекция на это пи
правление) выражается в виде (52.17) Кроме того, согласно (51.1
имеем
р = &ьа.йЁ. (52. IN
Как уже отмечалось, вместо 0, можно использовать и формул
(51.1) применять к одному диполю. Приравнивая правые части (52.11
п (52.18), получим
= здт • (52. PJ
Таким образом, дипольная поляризуемость ct3 для полярной
газа оказалась пропорциональной квадрату электрического момент
354
ql жесткого диполя-молекулы и обратно пропорциональной
кипой температуре.
равнение Клаузиуса — Мосотти соответственно
е— 1 _ п ( । р' \
е + 2 “ 3 "Г 3t„CT' ]'
in положить е ф- 2 » 3, то получим
(52.20)
(52.21)
При постоянном объеме (постоянном п) имеем также
de •____________________________ р*
dT — ,l Зе,/гГ- ’
I ели изобразить зависимость е— 1 = /(1/7) при постоянном
ьнме графически, то очевидно получим линейную зависимость
Рис. 52.2. Зависимость
среднего момента р моле-
кулы газа в направлении
поля от величины поля
linn 52.3). При высокой температуре е— 1 ~ паэ, так как при
/ оо величина -> 0. Наклон линейной зависимости опреде-
ли 1ся через tgp =
К полярным газам относятся молекулярные соединения, напри-
м<р, типа окислов, пары воды и органических соединений и т. д.
Расчет дипольной поляризуемости для полярной жидкости
по Дебаю
К полярным жидкостям относятся вода, спирт, целлюлоза,
i ...мпаунды и др. Молекулы воды и этилового спирта имеют электри-
чи кий момент диполя р около 6 • 10"** Кл • м « 2 Дебая. Ана-
«н пчные величины харак1еризуют и другие моменты диполя моле-
\ 1 полярных жидкостей. Вследствие близости соседних молекул
пн создают Друг другу препятствия при ориентации диполей.
I йствптелыю, собственные электрические поля молекул-дпполей
и.। межмолскуляриых расстояниях в жидкости порядка 2 • 101() м
m гавляют величины порядка 10” В м. Именно эти высокие поля
и мндают «внутреннее трение» при ориентации молекул внешним
<м.| кроскоппческнм) нолем.
12*
355
Рис 52.4
женпости
жидкости
Итак, следуя Дебаю, будем считать, что, кроме локалы и >i
поля (50.15), на диполь полярной жидкости действует добавимте
поле напряженностью gK, величина которой много больше < ,
Ориентация ga может быть произвольной, 1
что угол 6 может быть любым (рис. 52.4). Нп
торная сумма напряженностей ga и ga об(>ш<
чена на рисунке через g„. Поскольку ga 11
можно приближенно считать 6 = ф.
Условием равновесия диполя в полях }. и
Вд будет равенство вращающих моментов, ы
что, записав аналогично (52.1) моменты, ими •
(52 J
<?л simp = sin <р.
Заменяя ф на 6, получим
• С?, п
Sin ф = — -Sinи.
й",
(52." Il
Напря-
полей в
по Де-
баю:
$ q — Локального по-
ля; — добавочно-
го поля; g ц — сум-
марного ПОЛЛ
Дальнейшая задача расчета состоит в том,
чтобы выразить gn из треугольника п сопоставив
этой величине сначала средний момент днпол»
а затем среднюю величину проекции этого дипольного момента пн
направление макроскопического поля g (поле grl совпадает по n.i
правлению с g). Далее определяется дипольная поляризуемость, а
Напряженность поля
Ч - + 2<^д^л cos 6.
(52.21,1
Пренебрегая вторым слагаемым под радикалом, выносим Li
знак радикала <?д и, используя приближенное выражение бинома,
получим
^ = ^(i+^-cose). (52.21,)
Среднюю величину проекции р„ дипольного момента молекулы р
па направление поля g„ можно аналогично (52.14) определи!i.
через функцию Данжевена в виде
£T-L(Epr') = LW- (52'271
где
у = ф- = ф- (1 + соь е) • (52-2t!l
Кроме того, обозначим
л-=-ф-. (52.2!!)
Функцию Данжевена L (у) раскладываем в ряд по степеням
и оставляем в разложении только член первого порядки
35b
I (0 = tp(l + |^coseypL(x)+^x^cose. (52.30)
ледовательно, имеем
рп = р^(л)+^И-л--^со5 0]. (52.31)
11роекция р„ на направление среднего макроскопического
in in fe или на направление £л
p„ = p„ cosip. (52.32)
11о величину cos ip можно предсгавить в форме
-Ф cos (0 —<p)=cos 6 cos tpH-sin 6sin<p=cos 6-j-—sin2 6. (52.33)
® д
Здесь принято cos ф = 1 и использовано соотношение (52.24).
( \ четом (52.33) равенство (52.32) дает
рл = р.,(со5е + |>-8тге') =
= Р | Л (л) + ^~х^- cos ej (cos е + sin2 e). (52.34)
Далее проводим усреднение величины рл, полагая, что может
пгичь любое направление и по абсолютному значению не зависит
ч него, так что _____
L(x) = L(x). (52.35)
Кроме того, при усреднении получим
cos 6 = 0; (52.36)
sin2 6 = sin2 6 dQ = ~ sin2 62л sin 6 dQ = ~; (52.37)
б’ б'
cos2 6 = 4“ cos2 6 dQ = cos2 62 лsin6dQ = g. (52.38)
п о
Ограничиваясь членами первого порядка малости при раскры-
HHI скобок в (52.34), при усреднении получим
рл = р|L (л)EFSe+iu-)-^Я?е+^а^ЕБ?е]=
= р^|2£(х) (52.39)
Найдем теперь производную от функции Ланжевена по пара-
-i« । ру х:
<IL (х) _ d_ I eA +e--v _ I 1 (еv—е~-у)а — (е* + е~ 1
dx — dx [еЛ —е-* х] (ev— е л)2 х"'
(52.40)
357
Это выражение преобразуем к виду
_£2(Х) (52 111
н подставляем в уравнение (52.39)
P. = -^[2L(x) + x-2£(x)-At’WJ=<^x[l-£2(x)]. (52.1
де п 60 д
Таким образом, получим
Д, = -'^[1-£2(х)]. (52.1.11
Аналогично (52.18) имеем
p„ = e0«a^„. (52.1Ц
Приравнивая правые части двух последних выражений, получим
а« = Зё^т U “ (*)] = зе^т (*)• (°2.4Л)
Здесь R (.г) = 1 — L2 (л) представляет собой так называемый
редукционный фактор, являющийся правильной дробью и покЛ
зывающий, во сколько раз по сравнению с газом изменяется диполь
ная поляризуемость вследствие «внутреннего трения» в жидкости,
В частности, для воды /? 0,2.
Таким образом, по Дебаю уравнение Клаузиуса - Мосотш
для полярных жидкостей 6}дет отличаться от (52.20) лишь нали-
чием редукционного фактора, т. е. будет иметь вид
ё+2 = 3 а® + 3^fe7 ^ ) (52.46)
Для определения величины р иногда применяют растворение
полярных диэлектриков в неполярном растворителе. В разбавлен-
ном растворе при небольшой концентрации полярного диэлектрп!,!
в неполярном растворителе молекулы находятся па большом рас-
стоянии друг от друга и их взаимодействие оказывается малым.!
Поэтому можно применять формулу Клаузиуса — Мосотти (52.20)
как для смеси газов, т. е. в виде (51.6). Причем растворитель имесг
лишь аэ1, а полярный диэлектрик имеет а2 = аэ2 + а13, так чп>
уравнение Клаузиуса — Мосотти можно записать в виде
1 = К1КЭ1 »2^Э2 1 ^еРа
е + 2 3 3 "* 9ef/(T (OZ.4/J
Определяя опытным путем е и зная остальные величины!
кроме р, находят его из последнего уравнения. Далее по (52.46)
можно найти если известны е и «.
Если возможно образование из жидкости пара (газа) без дис-
социации молекул, то можно определить величину р для указам
кого пара (газа) по формуле (52.20), а затем использовать эту вели-
чину для нахождения R,
358
(ипольную поляризуемость твердых полярных диэлектриков
in -I ia определяют аналогичным образом, как и для полярных
• щостей, однако здесь не рассматриваются такие случаи. К тому
в«' ли случаи единичны, а обычно картина сильно усложняется.
Выводы к § 52
. Дипольная поляризуемость ад жестких диполей в газе определяется через
|н uiiiii электрический моментр молекулы-диполя в направлении поля £>, который
11стся вследствие ориентирующего действия поля при дезориентирующем дей-
теплового движения. Дипольная поляризуемость ад жесткого диполя про-
рцпональна квадрату его постоянного электрического момента р и обратно про-
порциональна абсолютной температуре Т. Соответственно уравнение Клаузиуса —
А|о|>нти для полярного газа записывают в виде (52.20).
?. Дипольная поляризуемость в полярных жидкостях отличается от аналогич-
ной величины в газах из-за наличия «внутреннего трения» при ориентации
.ннолей в жидкости. Редукционный фактор R отражает это отличие и позволяет
••пре (слить, во сколько раз уменьшается а, в жидкости по сравнению с газом при
....... значениях постоянного дипольного момента молекул р и температуры
яи и ктрнка Т. Соответственно уравнение Клаузиуса — Мосотти для полярных
ши ikdctcm записывают в виде (52.46).
§ 53. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ТВЕРДЫХ ИОННЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ И ГЕТЕРОГЕННЫХ
СМЕСЕЙ
В большинстве случаев твердые неорганические диэлектрики
П пиотся сложными соединениями с ионным характером связи.
1 аховым, в частности, относятся керамические диэлектрики,
я состав которых входят окислы алюминия, магния и др. Кера-
Hk.i, кроме того, имеет неоднородное строение, т. е. представляет
<• .non гетерогенную структуру. Рассмотрим поляризацию ионных
кристаллов, игнорируя неоднородности, и поляризацию двухфаз-
п и гетерогенной смеси.
Веляризация пенных кристаллов с небольшой дкзлектрнческсй
проницаемостью. Формуле Борна
В любом диэлектрике наблюдается электронная поляризация,
(Гичовленная деформацией электронных орбит атомов, вслед-
вне чего нейтральный атом при наличии поляризующего поля
пювится диполем. Электронная поляризация устанавливается
и время порядка 10-14 с после наложения поля и исчезает за такое
время после снятия поля. В связи с этим электронную поляри-
кнпно называют «упругой».
В ионных диэлектриках наблюдается, кроме того, упругая
ляризация в виде смещения ионов из положений равновесия
।"поло которых осуществляются тепловые колебания ионов —
•^логические или оптические — см. § 18). Соответственно созда-
• нгя диполи, причем время возникновения (и снятия) ионной поля-
| ц ищи составляет около 10’1J с. Указанное время, как и в слу-
359
чае электронной поляризации, определяется собственным перл
дом колебаний соответствующих диполей.
Если ионный диэлектрик имеет положительные ионы массой II(
и отрицательные ионы массой Л12, то в бинарном кристалле
дует использовать приведенную массу Л4, определяемую в вн я
(53 h
J_ = JL + м-
М Alj^.Vk’ A4]+/M2-
Угловая частота собственных колебаний материальной точки
массой Л1
СО = X k;Mt
где k—коэффициент квази упругости.
Для данного бинарного кристалла под Л( следует подразуми
вать приведенную массу, а формула (53.2) остается без изменений
Следовательно, имеем
А=“гл'=“!таг- <51|
Кроме того, смещение положительного и отрлцапелыюм
ионов из положения равновесия определяется величиной силы
F = так что имеем
Дх= qf'k. (S3.li
Здесь ограничиваемся напряженностью среднего поля g вмесЯ
локального поля, что приводит к некоторой неточности pacMerti
Электрический момент диполя, возникающего за счет смеще-
ния ионов на Ах,
р = q Дх = 'k. (53.51
Момент на пару ионов можно представить в виде, аналогичном
(52.18) или (52.44):
/; = еоан^. (53.G»
Таким образом,
получим
fob)2
Al, Al., ‘
(53.7/
Умножим числи юль и знаменатель правой части равенспмИ
(53.7) на квадрат числа Авогадро /Vj и заменим соответственно I
и А1..ЛГа = Z2, где Л, и — аюмиые веса:
г а Т~^2
e,,o>s ' Л,Д2
(53.К)
Если число пар ионов в единице объема диэлектрика обозна-
чить через п, то соответствующий электрический момент единили
объема
Р. = е„«а„ « = М g. (53. !у
360
< учетом же электронной поляризации
Р = еоп (а,+а„) 6 = адг (а, + дЛг) 8- (53.10)
1десь <хэ = аэ1 + <хэ2 — сумма электронных лоляризуемостей
IHHIOB.
Кроме того, согласно (50.6) величина
Р = Е0(е—l)fe. (53.11)
( ледователыю, имеем
= <53-12>
Получили так называемую формулу Борна, где величина f
11р<1жает как электронную, так и ионную составляющие поляри-
|Цпи. Можно ввести также оптическую ето диэлектрическую про-
ницаемость, отражающую лишь безынерционную электронную поля-
рп |4]цию. В этом случае в знаменателе левой части (51.5), т. е. в фор-
(53.13)
1М/КНО положить е + 2 3 и получить
е» = 1 + паэ. (53.14)
Согласно теории электромагнитного поля по Максвеллу опти-
•н гкпй показатель преломления и можно выразить через и отно-
тельную магнитную проницаемость р в виде йяв|/*еа0|1. Пола-
। я, что имеем дело с немагнитной средой, где р 1. получим
= й2. Соотношение (53.12) переписываем в виде
е = я2+^-^Г- (53-15)
Формула Борна (53.15) позволяет вычислять диэлектрическую
проницаемость ионных диэлектриков, поскольку все величины
правой части равенства определяются тем или иным способом.
Величину е можно определить так же непосредственно опытным
mi см, проводя соответствующие электрические измерения. Срав-
нения расчетного и опытного значения е позволяют оценить прн-
кщиость формулы Борна для того или иного диэлектрика. Оказы-
вай гея, что для кристаллов NaCl, КС1 и др., где е 5, получается
кшосительно хорошее согласие расчетных и опытных значений е.
1ч же относится к кристаллам LiF, AgCl и др., где е 10. Однако
I мечетные значения е всегда меньше опытных, что связано с исполь-
кшанием при выводе формулы Борна макроскопического поля &
имеете локального. Для кристаллов с большими значениями е
расхождения увеличиваются, н формула оказывается непригод-
ной, В частности, для рутила, т. е. двуокиси титана TiO2 величина
I' НО, тогда как по формуле Борна получается е 26. Боль-
шие значения е в TiO2 определяются большими полями
361
Поляризация гетерогенных смесей
Многие твердые диэлектрики, применяющиеся в практик!
состоят из смесей двух или более компонентов. Прн двухфалЛ
смеси для расчета диэлектрической проницаемости применяй и
формулу Лихтенекера
е“ = х1е“+(1 — Xi)e"\ (53.li.)
где Xj — объемная концентрация одного нз компонентов; (1
— л^) — то же для другого компонента, Ej и е2 — диэлектрически,
проницаемости компонентов; т — показатель степени, зависяиши!
от взаимного расположения компонентов.
Формулу Лихтенекера можно применять для расчета диэлек-
трической проницаемости слоистых диэлектриков.
Если электрическое поле перпендикулярно слоям, то т = 1.
если параллельно, то т = 1. Соответственно формулы принимаю!
вид:
1 I-ZL
е е, 1 еа ' 1
е = (1 — А'1) е2. (53.1<Ч)
Эти формулы можно также получить, если конденсатор с ди-
электриком заменить с помощью схем замещения.
Для случая мелкодисперсных хорошо перемешанных фаз т -> О,
и формулу (53.16) преобразуют путем дифференцирования:
е"1 1 de = x|ejn“1 de, + (1 — х() е™1 (53. ю.
При т = 0 получим
V = х, + f 1 - х,) (53.30)
После проведения замены т = 0 снова интегрируем соотно-
шение (53.20) и получаем
1п е•= Xi In Ei -|- (1—Xi) 1 п £2-J-С*. (53.21)
Постоянную интегрирования можно найти, положив, в часта
ностн, = 1, е2 = е. Тогда С = 0. Поскольку С есть постоянная,
ее значение остается равным нулю и при несоблюдении указанны»
условий.
Таким образом, для мелкодисперсной смеси
1п е = Xi In Ei + (1 — Xi) In e2. (53.22)
Имеются и другие расчетные формулы для определения е.
Величина е характеризует электрический момент единицы
объема вещества [см., например, формулу (50.6)], т. е. поляриза-
цию диэлектрика. Следовательно, расчет е можно рассматривать
как описание поляризации.
ЗС2
Выводы к § 53
1 В ионных диэлектриках в электрическом поле наблюдается смещение иоиов
№н>и. направления поля (или против поля), г. е. возникает ионная поляризация.
В кристалле, имеющем положительные и отрицательные ионы (в бинарном крнс-
111 и-), следует рассматривать одновременно смещение ионов обоих знаков, а соб-
< к-пная частота колебаний ионов зависит от приведенной массы. Ионная поля-
||ц >и-мостьа„ выражается в этом случае в виде соотношения (53.7), а соогветствую-
< ни > кектрн чески й момент единицы объема диэлектрика — в виде (53.9). С учетом
14<к кронной составляющей поляризации получаем формулу Борна (53.12).
При поляризации гетерогенных смесей наблюдаются сложные процессы,
пирс юляемые неоднородностью структуры. Для расчета диэлектрической прони-
н > пости двухфазной смеси часто применяют формулу Лихтенекера.
ГЛАВА XIII
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ И ПОЛУПРОВОДНИКОВ
В ПЕРЕМЕННОМ ПОЛЕ И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ
§ 54. ИЗМЕНЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО
(ВНЕШНЕГО) ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ОДНОРОДНЫХ ДИЭЛЕКТРИКАХ
Ранее была рассмотрена поляризация диэлектриков в постони
ном электрическом поле, при этом не учитывались переходные при
цессы при включении и выключении поля, а также изменение поля
ризации с изменением поля. Далее описаны переходные процессы
и поляризация в переменном поле.
Переходные процессы прн включении н выключении
постоянного поля
Положим, что внешнее (среднее) однородное электрическое
поле напряженностью б подключено к конденсатору (рис. 54.1, а).
так что напряженность поля О' изменяется от нуля до своего уста-
новившегося значения мгновенно.
Но электрический момент Р единицы объема диэлектрика изме-
няется от нуля до своего установившегося значения Рс с запозда-
нием по времени. Здесь можно выделить два этапа:
первый этап осуществляется практически мгновенно — за время
порядка 1СГ1'3 — 10~13 с устанавливаются безынерционные (упру-
гие) виды поляризации, к которым относятся электронная и ион-
ная поляризация. Безынерционную поляризацию обозначим Р^,
второй этап осуществляется в течение некоторого времени
(поляризация релаксационная — рис. 54.1, б). В релаксационную
поляризацию входит инерционная часть электронной поляриза-
ции, которая определяется величиной локального поля, изменяю-
щегося вследствие релаксационной поляризации. Как будет видно
далее, темп релаксационной поляризации задается, в частности,
дипольно-релаксационной поляризацией.
Аналогичным образом при ином виде релаксационной поляриза-
ции она «управляет» инерционной частью электронной поляриза-
ции.
Согласно формуле (50.6) безынерционной поляризации Ро-
соответствует оптическая диэлектрическая проницаемость еМ) а
установившемуся значению Рс — статическая диэлектрическая про-
364
iinii.ioMocTb 8C, t, e.
P„ = 8<,(e„-1)<?; (54.1)
Pe = e0(ec—1)^. (54.2)
1 hcio’ia находим
PK = Pc-Peo = e0(ec-ex)«?. (54.3)
Релаксационная поляризация при наличии одного механизма
|ц '|.жсации (одного значения т) описы-
п»нтся одночленной экспонентой
Pp-pJl-H). (54Л>
Если в диэлектрике нет объемных
11 рилов и его сопротивление остается
именным в ходе процесса, то легко
и.hi тп плотность тока смещения /см и
111юделить плотноегь тока релаксацион-
ной поляризации /р:
, dD Чу^+Р)... OP .
~ dt ~ dt dt dt ’
(54.5)
dPp Ppc — 7 . —-7 /с/l
.'P = -rfr=—e '>c • (54-6)
На рис. 54.1, в показано изменение
/1( в зависимости от времени I. После
включения 6 наблюдается спадающий
юк /р, который в начальный момент
времени в соответствии с (54.6) равен
/, а к концу процесса обращается в
пуль, так что полная плотность тока
I /р + /осч изменяется соответственно
1,1 /max ~ /рс “Ь /ос г /пип /oei /скв-
Если теперь в некоторый момент вре-
мени (в точке О2) выключить внешнее
а)
Рис 54 1 Зависимость поля
(а), поляризации (б) и тока
(в) от времени
no'ie, то поляризация практически мгновенно уменьшится на ве-
личину т. е. останется лишь Ррс, которое затем будет умень-
шиться с постоянной времени т. Если отсчитывать время от не-
кого начала (от точки 02), то изменение Рр описывается экспо-
111*11 гой
Р —Р е
' р ' pcv
(54.7)
Плошость тока деполяризации (обрвтного)
<1Рр Ррг -
1^-аГ=—ге
(54.8)
365
Связь времени релаксации с временем «оседлой» жизни
мслекул-днполей
Как отмечалось ранее, при наличии одного вида релакса'урц
и соответственно одного типа релаксации поляризация и сила п>|,|
в диэлектрике изменяются при включении и выключении пбД
но законам экспоненты. Время релаксации является постоят к । л
времени этих переходных процессов.
Найдем связь между временем релаксации и временем «осей
лой» жизни релаксаторов, если в качестве последних имею’Л
молекул ы-диполн.
Положим, что в среднем каждая молекула в одном закреп нч.
ном положении находится в течение времени «оседлой» жизни
Вероятность события, состоящего в освобождении молекулы 4
время dt и переориентации в другое «оседлое» положение, моЛ«
выразить в виде dt!xx.
В единице объема диэлектрика, где концентрация молей»
равна н, за указанное время переориентируется dn молекул; причЯ
dn = n~. (54‘>1
тж
Если выключить внешнее электрическое поле, то локально®
электрическое поле
При этом релаксационную поляризацию можно представши
через дипольно-релаксационную и инерционную часть электро»
ной поляризации, т. е. в виде
^р = ^р + Рэр. (54.11)
Величину Рэр находят с некоторым приближением, пользуясь
уравнением Клаузиуса — Мосотти
e«>—l па9
Ел -[-2 3
Кроме того, по (51.1) и (54.10) получим
(54.12)
Р9р = еоп«эй „ = 1\,-
(54.13)
Следовательно, два последние равенства дают
Рэр~ р д_|_2 ( )4.М)
Таким образом, на долю дипольно-релаксационной составляю-
щей приходится
Ряр~Рр Рэр— с [ 2 ₽* (54.15)
366
Как видно из этого соотношения, дипольно-релаксационная
ипяяризация имеет преимущественное значение во всей релакса-
ционной поляризации.
[ 1оскольку Рдр и Рр отличаются лишь постоянным сомножите-
। м, очевидно, что они характеризуются одним и тем же временем
14 ааксации.
В любой момент времени после выключения внешнего поля
•ргцпяя проекция дипольного момента на направление, в котором
» псгвовало внешнее поле, будет
Pt = P^/i. (54.16)
Через интервал dt этот дипольный момент уменьшится до р2
ин счет переориентации dn молекул, что приведет к изменению
цшюльно-релаксационной поляризации на величину
dP№ = (Pt — Pi)dn. (54.17)
Находим величину р2:
р2 = к„аЛ, = “дР„ = ^адРлр. (54.18)
Следовательно, получаем
= (54.19)
С учетом (54.9) имеем
dP^-pJl-'(54.20)
Введем обозначение
- <54-2’)
1---9~а«"
Тогда уравнение (54.20) можно записать в виде
dP^-P^- (54-22)
есо-Ь2
Если обе части равенства (54.22) умножить на —— и при-
нять во внимание соотношение (54.15), то получим
dPp = -Pp*. (54.23)
Отсюда находим
Рр = />рСе'^, (54'24)
г. е. получаем формулу (54.7). Следовательно, величина т, опре-
деляемая соотношением (54.21), есть время релаксации как для
дипольно-релаксационной составляющей (54.22), так и для всей
367
релаксационной поляризации (54.23). Это означает, что темп дли
ной поляризации задается дипольной поляризацией, а инерцп"п
пая электронная часть «послушно следует» за дипольной.
Возвращаясь к соотношению (54.21), преобразуем знамена и- и.
правой части с учетом уравнения Клаузиуса—Мосотти, взяппи
в виде
Я 1 л ,
3 «э + 3 ад-
(54.2л)
Представляя его в виде
ес—1
ес-р2
еоо-1-2
п
3 Ид’

получим
л _ес-1 е^-1
3^~ес+2 8оо+2-
(54.2b)
Если соотношение (54.26) подставить в (54.21), то получим
ес4-2
т= , от„-
(54.27)
Формула (54.27) н выражает связь между временем релакои
цни и временем оседлой жизни молекул. Поскольку ес > е,„
имеем т > тж. Аналогичную формулу можно получить и при неко-
торых других видах релаксационной поляризации, в частное! и
при ионно-релаксационной поляризации по Сканави. При этом
считают, что в последнем случае тж имеет смысл времени релак-
сации иона согласно формуле (48.9). Неравенство т > т1К связано
с тем, что действующее на релаксатор локальное поле возраставi
со временем вплоть до достижения стационарного состояния.
Следовательно, процесс затягивается по сравнению со случаем
неизменяющегося поля.
Поляризация прн непрерывном изменении поляризующего поля
Рассмотрим поляризацию в диэлектрике при переменном поля-
ризующем поле (рис. 54.2), зависимость которого от времени может
быть произвольной. Разобьем заданный интервал времени па отрезки
dt, и будем считать, что в пределах каждого из указанных отрез-
ков <5 (tj) есть постоянная величина. Тогда в пределах отрезка dtf
можно рассматривать поляризацию в постоянном поле.
Применим, кроме того, следующий подход. Временно положим
что значение с®- = 8 (t/) — неизменно, начиная с i-го интервала
вплоть до любого (текущего) значения t. В этом случае можно
использовать формулу (54.3) в виде
Ррс = £о(ес — Со,) 6 (ti). (54.28)
368
Величины ес и являются постоянными, не зависящими
'» напряженности поляризующего поля & (здесь не рассматрива-
|<| гя сегнетоэлектрики). Аналогичным образом релаксационную
ни 1Яризацию Р можно выразить с помощью формулы (54.4), но
lu.ibко начало отсчета времени нужно выбрать от £ как от нового
и тала отсчета, т. е.
Р'р = РрС(1—е (54.29)
Причем, переменным параметром будем теперь считать a t
фиксированным. Находим дифференциал от левой и правой части
( >1.29) в виде
dPl„ = P'Ke (54.30)
i.iK как
d(t-h) = — dtt.
(54.31)
и dP‘ = 0.
Рис. 54.2. Электрическое по-
ле, изменяющееся с течением
времени
Очевидно также, что при t = tt имеем Р1 — 0
Соотношение (54.30) с учетом (54.28)
выражает изменение релаксационной по-
гаризации в пределах интервала при
постоянном поле (/,). Поскольку dti
можно выбрать сколь угодно малым,
iio/i у чаем вполне строгое определение
т in dPp. Все это относится не только
к днпольно-релаксационнон поляриза-
ции, но и к любой релаксационной по-
чярпзации, для которой справедлива
•|юр мула (54.4).
Цалее следует произвести суммиро-
.П1 не величин типа (54.30). При этом
творимся, что для выполнения такой
операции необходимо иметь возможность складывать соответствую-
щие величины, т. е. постулировать принцип суперпозиции, илн
> Ч1ВИСИМОСТП сложения всех этих величин.
От суммирования переходим к интегрированию, т. е. записываем
Pp(0=e1>fc-eOo) $ е(/..)е
——dl,,
х
(54.32)
Нижний предел для общности выбираем равным (— оо) с тем,
новы учесть всю предысторию. Если же до некоторого 10 поле
p.iinio нулю, то и интеграл в этом интервале равен нулю.
369
Полная поляризация характеризуется вектором Р, значнпп
которого
Р (t) = Р=» + Рр = Меет- 1) г? (/) + е(| (вс —1„)X
х J <Н4)е
(54. :П)
В зависимости от вида функции (/,) получается то или иное
выражение для вектора поляризации.
Поляризация в синусоидальном поляризующем поле
Зададим поляризующее поле в виде
£ (/) = $т sin cot (54.34)
Согласно формуле (54.33) имеем
t
Р (О = (₽оо — 1) sin со/ + Во (ес — e^) J &т (sin со/,) X
— со
хе (54.35)
Выпишем отдельно интеграл, входящий в уравнение и содер-
жащий переменные величины. Ои будет равен:
* _1 еТ т
\ (sin со/,) ет dti= (sin со/—сот cos со/). (54.36)
Следовательно, получим
Р (I) = Со (е„ - 1) at + е0 (ес - sm)-j и/ - шт cos at). J
(54.37)
При низких частотах и малой величине т, когда сот «С 1
Р (/) = Ео (₽оо — 1) sin со/ 4- е0 (ес — 8сс) &т sin со/ =
= е<,(ес-!)<?(/) (54.38)1
Следовательно, при выполнении неравенства сот 1 поля-
ризация происходит в фазе с поляризующим полем, т. е. прн низ-
кой частоте и малом времени релаксации поляризация успевает!
за изменением поля. При этом величина Р (/) соответствует Рс
(статической поляризации) в поле с напряженностью £ (/). Дей-|
ствительно, формулы (54.38) и (54.2) отличаются лишь указанием!
иа зависимость от /.
370
I ели неравенство сот •.* I нарушается, то необходимо поль-
.иься общей формулой (54.37). Если ввести обозначения
Р«(0 = ео(е:о-1)^(0; (54.39)
Рр (t) = е0 (ес — есо) t (sin со/ — ют cos со/), (54.40)
I получим
P(t) = P^t> + Pp(t). (54.41)
Таким образом, полная поляризация состоит из суммы безынер-
нон и релаксационной поляризации, каждая из которых есть
। нкция времени.
«Активная» к «реактивная» поляризации в синусоидальном поле
Уточним характер зависимостей (54.40), (54.39) с точки зрения
hi нки максимальных значений (амплитуд) соответствующих вел ti-
ll и сдвига по физе поляризации по сравнению с поляризующим
। «ем. Кроме синусоидального поля,
могут быть поля, например, в виде пря-
н«| гольных или треугольных импуль-
в и т. д. Причем и в этих случаях мож-
। сверить о сдвиге фаз. Однако огра-
ничимся рассмотрением лишь синусоп-
IIIиного поля.
Отставание поляризации по фазе от
<• лярпзующего электрического поля
। л водит к рассеянию энергии в ди-
кгрике, т. е. к диэлектрическим поте-
пм. Подробнее этот вопрос освещен в
н |.ующем параграфе. Составляющую релаксационной поляриза-
ции, связанную с выделением активной мощности в диэлектрике,
• сом называть активной (обозначая индексом «а»).
Релаксационную поляризацию, совпадающую по фазе с внеш-
ним полем, соответствующую вкладу в реактивную мощность
in электрика, будем называть реактивной (обозначая индексом «г»).
Из соотношения (54.40) имеем активный компонент релакса-
ционной поляризации, сдвинутый по фазе на jr2 по сравнению
• поляризующим полем:
Рр. = Со («е — Е») Г " ” cos at = pw» cos al- (54.42)
Представляет интерес зависимость амплитуды активного ком-
понента от частоты или от произведения сот, которую аналитически
। шисывают в виде
Рр.m = (с. — ) j _^йт)- (54.43)
График этой зависимости в полулогарифмических координатах
приведен на рис. 54.3. При он = 1 имеется максимум на кривой
ig(DJX)
Рис. 54.3. Зависимость ам-
плитуды активного компо-
нента релаксационной поля-
ризации от частоты
371
Ррат (<ог). При сот < 1 соотношение (54.43) можно приближена
представить в виде
₽p.m=fo(ee-e,x)oJT^m, (54.1 II
т. е. с ростом сот увеличивается и активный компонент поя*
ризацни. Наоборот, при (ог> 1 можно приближенно записать 1
Рр.„-е„(ее-Д^, (54.1|
так что с ростом ют активная составляющая уменьшается. К«и*
будет видно из дальнейшего, условие (от — 1 довольно часто будем
в качестве «переломного». В данном случае оно является условием
своеобразного «резонанса» внешнего поля с микрорелаксаторамиЛ
Это еще не значит, что при таком условии будет наблюдаться
максимум диэлектрических потерь, поскольку последние определи
ются не только амплитудой активного компонента поляризации
Далее показано, что релаксационные диэлектрические потери про
порциональны произведению указанной амплитуды на частоту
Перейдем к реактивному компоненту релаксационной поляри-
зации. Из соотношения (54.40) имеем
Р,,г = е0 (''. — е»)sin= Prmsinш(. (54.411)
Эта поляризация находится в фазе с поляризующим внешним
полем. Амплитуда реактивного компонента релаксационной поля
ризацни
Рг„. = So (£с ~ М т (Д)"' (54.47)
Зависимость РрГт («от), выраженная аналитически в виде (54.47),
графически изображена на рис. 54.4 (кривая /). При ©т 1
она является постоянной величиной,
но затем прн приближении сот к
единице наблюдается уменьшение
РрГт- При дальнейшем увеличении
(от величина Рргт уменьшается вплоть
до нуля. Физический смысл такой
зависимости состоит в том, что при
малых сот релаксационная поляризп-
Рис. 54.4. Зависимость от часго-
ты амплитуды реактивной ре-
лаксационной поляризации (/)
и амплитуды полной реактив-
ной поляризации (2)
ция успевает полностью заканчиват ь
ся и в некоторых пределах не зави-
сит от частоты. Но при повышении
частоты внешнего поля реактивная
релаксационная поляризация уметь
шается по амплитуде, поскольку ис
успевает устанавлпват ься.
При достаточно высоких частотах oh.-i
отсутствует.
372
Кроме реактивного компонента релаксационной поляризации
общее выражение Р входит еще безынерционная поляризация PXt
миорая по (54.39) также находится в фазе с внешним полем. Таким
«•••разом, общая составляющая поляризации, происходящей в фазе
• поляризующим полем, может быть записана в форме
Рф(0 = Р^(0 + Р„ = [»1,(^- (54.48)
Очевидно, график функции
Ли. = [е„ (еЛ 1 > +^с(1птУ] < '54-49)
повторяет график Рргт (сот), ио сдвинут вверх на величину е0 (е.м—
I) (кривая 2, рис. 54.4). Величина этого сдвига — безынер-
ционная поляризация — не зависит от частоты.
Отставание релаксационной поляризации по фазе
ст синусоидального поляризующего поля
Релаксационная поляризация Рр (t) отстает от электрического
пн.чя на угол р, величина которого
р = arctg (сот). (54.50)
Выпишем вновь общее выражение (54.40) для релаксационной
поляризации
Рг (0 = е» (ес — ею)—^“т). (sin at — шт cos at) (54.51)
Обозначим (at = а, сот = tg Р н используем тригонометриче-
< кие соотношения
sin (а — Р) = sin а cos р — cos а sin Р;
22^=S = sina-cos₽tg₽; (54.52)
-!—= + tg2 В.
COSp ’ I & I
Легко видеть, что вместо (54.51) получим
1\, (!) = «о К - Есе) „sin (at -11) = Ppm sin (at — ₽). (54.53)
Здесь амплитуда релаксационной поляризации
Ррт = г0(е€-М1-7=-тЕ- (54.54)
V 1-Ь (сот)2
При сот 1 имеем Рргп = е0 (ес — ею ) т. е. получаем
пмплитулу как постоянную величину (рис. 54.5, а), а с ростом сот
ноблюдается спад амплитуды релаксационной поляризации вплоть
373
Ppm
Ppc
Рис. 54.5. Зависимость от ча-
стоты амплитуды релакса-
ционной поляризации (а) и
угла сдвига ее фазы по срав-
нению с внешним полем (б)

до нуля. Очевидно функция Ррт (шт) отличается от Рр„„ (ин |
лишь показателем степени при [(сот)2 + 1J.
Фаза (54.53) отличается от фазы поляризующего поля на унц
Р — arctg (шт). Зависимость угла запаздывания р от 1g (шт) пи
бражена на рис. 54.5, б. При шт — 1 имеем р — л 4, далее ср.
стом шт величина Р возрастает впл/в
до п/2. Так что при высоких часто! л
сдвиг фазы релаксационной полярпи
пин по сравнению с внешним полем
составляет л/2, что изменяет функции'
sin a>t на cos (at. Это соответствует <ik>
тивной составляющей поляризации. 1!
поскольку величина Ppsm при высоки с)
частотах стремится к нулю, то п ы*ц
релаксационная поляризация исчезли
(не успевает создаваться). Это видно и
из выражения (54.53), где амплитуда
приближается к нулю при достаточт
больших частотах.
Изложенная в § 54 феноменологии
ская теория поляризации (исключая
связь т с тж) пригодна для опиеЛ
ния любой релаксационной полярпзи
ции в однородных диэлектриках, x.i
растеризуемой одним временем редан
сации. Однако, например, при мнгрм-
когда даже первоначально однородный

ционной поляризации,
диэлектрик превращается в слоисто-неоднородный, необходима
вносить коррективы в эту теорию. Ее нельзя применять такж*
к однородным сегнетоэлектрикам. Что касается неоднородным
диэлектриков и полупроводников, то можно лишь сослаться н,1
сложность процессов поляризации и необходимость конкретной^
рассмотрения тон или иной структуры. Термин «однородные»
диэлектрики не является очень строгим, так что в практике при-
меняют описанную теорию и тогда, когда она казалось бы непри-
годна. Это становится возможным за счет усреднения соответствую-
щих величин.
Выводы к § 54
1. При включении постоянного поля в диэлектрике могут наблюдаться безы-
нерционная и релаксационная поляризации. Первая устанавливается практически
мгновенно, вторая осуществляется в течение некоторого времени. Безынерциол.
ной поляризации соответствует оптическая диэлектрическая проницаемость е
установившемуся значению поляризации при наличии релаксационных ее видов
соответствует статическая диэлектрическая проницаемость ес.
2. Время релаксации при дипольно-релаксационной поляризации пропорцио-
нально времени «оседлой» жизни молекул. При дипольно-релаксационной поля-
ризации инерционная часть электронной поляризации следует за дипольной
поляризацией.
374
3. При непрерывном изменении поляризующего поля величины ва0 и е, в ли-
ш иных диэлектриках остаются постоянными и релаксационная поляризация
выражается в виде (54.32). Полную поляризацию находят по формуле (54.33).
4. При синусоидальном поле релаксационная поляризация выражается в виде
i .1-40), а полная поляризация состоит из суммы безынерционной и релаксацион-
|«<и поляризаций.
5......Составляющая релаксационной поляризации, связанная с выделением
пи । явной мощности, сдвинута по фазе нал/2 по сравнению с поляризующим полем.
Амплитуда этой составляющей зависит от частоты электрического поля, причем
ли <от — 1 на кривой наблюдается максимум. Составляющая релаксационной
......... не связанная с выделением активной мощности, находится в фазе
н<1ляризующим полем. Амплитуда этой составляющей остается практически пос-
нинной в интервале низких частот, но при приближении величины сот к единице
ннблюдагтся уменьшение указанной амплитуды, а при дальнейшем росте сот она
уменьшается до нуля.
6. Релаксационная поляризация в целом (включая активную и реактивную
•ни ги) сдвинута по фазе по сравнению с поляризующим полем. Угол запаздывания
|1 <’ возрастанием частоты изменяется от нуля до л/2. При высоких частотах релак**
пищонная поляризация не успевает создаваться.
§ 55. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ В ДИЭЛЕКТРИКАХ С РЕЛАКСАЦИОННОЙ
ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ И СКВОЗНОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ
Диэлектрическими потерями называют мощность, рассеивае-
мое в диэлектрике, при воздействии на него электрического поля.
I ели расчет проводят для единицы объема, то говорят об удельных
и (электрических потерях. В переменном поле диэлектрические
потери выше, чем в постоянном. В первом случае они определяются
мк поляризационными токами, как и токами сквозной проводи-
•юсти, во втором — лишь последними.
Рассмотрим расчет диэлектрических потерь, а также дадим
определение тангенса угла диэлектрических потерь и комплексной
111 эл ектр ической п р он ицаемости.
Расчет диэлектрических потерь в однородном диэлектрике
для синусоидального поля
Полная плотность тока состоит из суммы плотности сквозного
юка /скв и плотности тока смещения /см, причем
/скв = т sin cat = siп orf; (55.1)
/ /СКВ “Р /СМ» (55.3)
। ie о — удельная электропроводность в постоянном поле; d —
кгццнна диэлектрика; Vm ~ £md— амплитуда внешнего напря-
жения.
Диэлектрические потери сквозной проводимости не зависят
и частоты н определяются амплитудами силы тока и напряжения.
11 ищем их параллельно с релаксационными потерями. Для расчета
373
последних запишем вначале плотность тока смещения с учен. .
выражения (54.41), определяющего величину вектора полярин
ими. Итак по (55.2) имеем
/см = едй) cos erf + £0 (е-оо — 1) <о cos +
, „ . х I'm (cocos erf-f-(o2r sin <о0 /КП
+ е0 (щ - e_v.) - d-----Г-Н<от)8 * 11
Полная плотность тока
/ = /am sin Orf + jr,n С OS Orf, (55 ! )
где амплитудные значения активной и реактивной плотности гокл
/,™ = а 1 j” + е„ (с. - Ь"-; (55.Ы
/™ = V.<mV-"- + fo(fc-e,:.) (55.7)
В отличие от поляризации здесь компонент тока, находящийся
в фазе с полем, называют активным, а компонент тока, сдвинуты»
по фазе на л, 2, — реактивным. Такой выбор является не случаи
пым, поскольку, как будет видно из дальнейшего, потери спреде
ляются первым пз указанных компонентов тока. Это согласуется
и с предыдущим параграфом, ибо ток находят с помощью диффг
ренцирования (55.2), при котором наименования тригонометриче-
ских функций изменяются на дополнительные. На высокой часто i г
/дт становится постоянной (максимальной), т. е. не зависящей
от частоты;
+ (55.6’)
Диэлектрические потери при заданном токе и напряжении
т
W= 'r jSVdt, (55.fi)
о
где Т — период внешнего напряжения; S — площадь сечения.
Подставляя сюда (55.5), имеем
7 т
w = sin mf cos<„/dt. (55.9)
п с
Второй член в правой части (55.9) равен нулю, так как
sinorfcosdrf— * sin2drf. (55.10)
Первое слагаемое правой части (55.9)
I 7
С . о . .. С I—cos2(0/ Т /сс и I
\ sirr(irfd^= \----2---(55.11)
о о
376
( ледовательно, получим
= oS ^ + е„ 2- <55.12)
Если ввести действующее значение напряжения
V = Vra/l'2> (55.13)
io (55.12) можно переписать в виде
Г = а5^+Е»(ее-еЛ-г^-^. (55.14)
Первое слагаемое правой части (55.14) представляет собой
in пери сквозной проводимости
IVc„ = aS^ = ^, (55.15)
/? = <S = P^4 <55J6>
<<-гь сопротивление диэлектрика в постоянном поле.
Второе слагаемое правой части (55.14) w
представляет собой релаксационные no- *
к-ри
(55.17)
Ранее отмечалось, что релаксацион-
ные потери пропорциональны произве-
iriiino амплитуды активной релаксацион-
ной поляризации (54.43) на частоту то,
как видно из (55.17).
Зависимость релаксационных потерь
nr частоты показала на рис. 55.1, а,
ив ценность полных потерь — па рис.
м.1, б.
На низкой частоте (когда toi 1)
a)
Рис 55.1 Зависимость ре-
лаксационных (о) и полных
потерь (б) от частоты
«|>фект I3K0B же, как па постоянном
иже, — диэлектрические потери опреде-
ляются лишь потерями сквозной прово-
димости. Здесь поляризация находится
в фазе с полем, что не дает потерь ибо энергия поляризации воз-
вращается при полном цикле в цепь. Активная же поляризация
при (от * 1 отсутствует (см. рис. 54.3). Наоборот, реактивная
поляризация отлична от нуля и в некоторых частотных пределах
••с амплитуда может быть принята за постоянную величину (см.
рис. 54.4).
Прн приближении тот к единице (снизу) наблюдается рост
релаксационных потерь, затем при тот = 1 обнаруживается перегиб
377
Рис. 55.2. Вектор-
ная диаграмма то-
ков для конденса-
тора с потерями
кривой и далее рост релаксационных потерь с достижением нлс м
щен ия при достаточно высокой частоте, что соответствует постоя и
ству /ат по (55.6). Хотя процессы релаксан..................
ной поляризации при этом не успевают запер
шаться, но релаксаторы не остаются в покос,
а участвуют в активном (максимальном) токе п
трансформируют соответствующую часть энергии
электрического поля в энергию хаотического дин
жения частиц.
Тангенс угла дизлэктрическмх потерь при
синуссмдальнсм поле
Одним из важнейших параметров, харакк*
ризующих диэлектрические потери, является тан
гене угла диэлектрических потерь. Как правило,
определяют не потерн 117, а именно тангенс угч.'»
диэлектрических потерь материалов. Эту величину вводят следую-
щим образом. Рассматривают векторную диаграмму токов дли
конденсатора с потерями (рис. -5-5.2).
Согласно теории переменных токов активная мощность (т. I
диэлектрические потери в диэлектриках)
117 = V7cos(p= V7a = V/rtg6. (55.18)
Здесь V и I — действующие (эффективные) значения напри
жения и тока, так что V = V,„'V2, / = /т/]/2. Очевидно, что
отношение активного действующего тока к реактивному дей-
ствующему току /г представляет собой тангенс угла диэлектриче-
ских потерь
tg 6 ~ 1q/1 г = /ат//rm = /ят//гт- (55.1S1)
Подставляя значения амплитуд плотностей активного и реак-
тивного токов по (-55.6), (55.7), получим
--------------------------. tuu.zu;
^ + ^Ре-Щ-1+(шт)3
При со -> 0 имеем
<55-2')
При малой электропроводности, наоборот, остается лишь релак-
сационная часть числителя и весь знаменатель (55.20), так что
получим
сит
(fcC Ех) I I /(||Ту2
tg 6 =--------• (55.22)
+ Г+Епг)~
378
Если, кроме того, рассматривать достаточно высокие частоты,
ши ia сот 1, то получим формулу Дебая для tg о:
ес+е0_(<от)2 *
(55.23)
Исследуем эту формулу на экстремум, для чего найдем пронз-
.«) шую по сот и приравняем ее нулю:
d Шб _ (ес-[gc+fijO(a>T)=]-2s3O (ЮТ)2(£с_£со) =
dcox ~ [ес+М«0г]2 °’
Поскольку знаменатель не равен нулю, не будем его учитывать
I. приравняем нулю числитель.
I1меем
" — е 0 Гес — ею (сот)2]= 0. (55.25)
Первая скобка отлична от нуля,
ши» ес > ем и, следовательно, эк-
11 рсмальное значение tg а опреде-
1яс|ся условием
(отх=V ес/ем. (55.26)
При этом tg о имеет максимум,
равный
= (55-27)
Таким образом, график функ-
ции tg 6 = f (сот) можно предста-
вить в виде рис. 55.3, а. Если из-
меняется о, а ес и е^о остаются
неизменными, то кривая tg 6 —
f (сот) смещается по вертикали.
Чем выше сквозная проводимость,
|см выше поднимается кривая для
ынгенса угла потерь. При большой
«квозной проводимости релакса-
ционный максимум (tg 6)m может
<>ыгь не виден на графике (рис.
!»>. 3, б). Для сопоставления кри-
вые мощности потерь W и tg 6 в
i.iBHCiiMOCTH от частоты при релак-
сационной поляризации помещены
па одном рисунке (рнс. 55.3, в).
< Невидно, что кривые имеют раз-
.Н1ЧНЫЙ характер, но несмотря на
Рис. 55.3. Зависимость тангенса
угла диэлектрических потерь tg 6
от частоты (а), то же, при разных
значениях л (б), зависимое!ь мощ-
ности потерь W и 1g б при релак-
сационной поляризации от часто-
ты (tj
379
это, как уже отмечено, потери согласно (55.18) характеризуют 1м
личиной 1g 6. Для хороших диэлектриков с электронной полярь
зацией tg б уже при 50 Гц очень мал (например, составляет 10 '
единицы) и уменьшается незначительно с ростом частоты. Для цп
электриков с релаксационной поляризацией на промышленной u.i
сготе можно получить, например, tg 6 ~ 10’2 Величина релакс.»,
ционного максимума зависит от проводимости. В полупроводниках,
например типа ферритов, tg 6 при 50 Гц может оказаться значи
тельно больше единицы. Подробнее этот вопрос рассмотрен в § 57
Комплексная диэлектрическая проницаемость. Диаграммы
Коупа-Коула
Диэлектрическую проницаемость вещества определяют обычш»
по закону Кулона
Относительная диэлектрическая проницаемость е — это чисто,
показывающее, во сколько раз уменьшается сила взаимодействия
двух точечных зарядов при заполнении вакуума веществом.
Величину е используют при определении электростатической
индукции в диэлектрике, заполняющем плоский конденсатор:
D = 80eg = fc'dg + Р. (55.29)
В этом случае е — число, показывающее, во сколько раз емкость
конденсатора возрастает при заполнении вакуумного конденсатора
диэлектриком
е=С/С0. (55.39)
Ранее были использованы величины и ес, означающие без
инерционную и статическую поляризации.
Обобщим понятие диэлектрической проницаемости, рассматри-
вая ее как комплексную величину
g = e'_iE". (55.3 h
Смысл такого обобщения состоит в том, что оно позволяет исполь-
зовать метод комплексных переменных для описания явлении
в переменных полях. Физический смысл действительной и мнимой
части диэлектрической проницаемости выясним далее. Запишем
полную плотность тока в комплексной форме
1 = 1'. + Чг- (55.32)
Кроме того, эту величину можно представить через производ-
ную от комплексного заряда Q, приходящегося на единицу пло-
щади обкладки конденсатора:
j=dQidt. (55.33)
380
Здесь
Q = eC0^ = eC0Vffle^;
(55.34)
< „ - E0/d— емкость плоского вакуумного конденсатора с единпч-
ной площадью обкладок; V — Vmeiat — напряжение в комплекс-
ной форме.
Подставив в (55.33) величину Q по (55.34) с учетом (55.31),
получим
/ = e"coC(J V -j- te'a)C0V. (55.35)
Сравнивая с (55.32), имеем:
А = е"(оСп V = euCnVme™- (55.36)
/, = Е '(оСп V = е'wCfl (55.37)
Таким образом, получим
tg 6 = ivnlirm = efe'. (55.38)
Формулу (55.38) широко используют при анализе процессов
и переменных полях. Очевидно
e" = e'tg6. (55.39)
Поскольку е" пропорционально tg 6, обычно подчеркивают,
что е" определяется потерями, а е' имеет физический смысл обыч-
ной е, определяемой из (55.28) — (55.30) и других аналогичных
формул. Следовательно, действительная часть диэлектрической
проницаемости (55.31) есть обычная диэлектрическая проницаемость.
Если теперь сравнить формулы (55.6) и (55.7) с формулами
(55.36), (55.37), то, приравнивая указанные амплитуды, получим
формулы Дебая:
° («с-М^.
ЕоСО ‘ 1 + (<ОТ)« ’
(55.40)
При малых о и со 1 имеем также
F ес+бда(СОТ)2
(55.41)
(55.42)
Формула (55.42) совпадает с (55.23).
Релаксационная часть е" имеет экстремум (максимум), поло-
жение которого несколько отличается от положения максимума tg 6.
При низкой проводимости (либо рассматривая лишь релаксацион-
ную часть)
1 -[ (сот)2 *
(55.43)
381
Решая задачу на экстремум, получим условие релаксационпош
максимума для е" в виде
сотт = 1. (55.111
Это условие дает более низкую резонансную частоту, чем д.и|
1g 6 согласно (55.26). Действительно, правая часть указанно! <|
соотношения ес/е^»>- 1, так что и (лт для экстремума tg 6 в дав
ном диэлектрике, имеющем определенное значение т, больше, чем
со,„ для экстремума в". По формулам (55.43) и (55.41) легко найти
значения е" и е', соответствующие экстремуму в", т. е. выполни
нию равенства соЯ1т = 1:
=,с g ; (55.45)
Гп.= с~^ ”. (55.4(>|
Можно также определить крайние значения е', т. е. прн низ
ких и высоких частотах, полагая сот < ’ 1 п Формул.1
(55.41) дает соответственно
р' — рс и (55.47
Этого и следовало ожидать, ибо, как уже отмечено, в' — обык
новенная диэлектрическая проницаемость.
Наглядно р" и е' изображают с помощью так называемой диа-
граммы Коула-Коула. Эту диаграмму можно получить, если исклю-
чить сот из (55.41) п (55.43) и выразить связь е" = f (е'). При этом
(в' — efi)2 -j- (е")2 = R2, (55.48)
где /?= с 2 (55.49)
<’; = ь»+еЧг2 = Цг2- (35.50)
На рис. 55.4 изображена полуокружность (55.48). Вторая поло-
вина окружности ие рассматривается. По (55.41) и (55.43) ясно,
£„ что при сот = 0 пол} чаем одну из точек
__________ окружности е' = ес и я" = 0, а при
/7'Z72 х''* сот = оо имеем е' == е, и р" -- 0.
f \ В заключение построим объединен-
।_____1____J____ ный график, отражающий диэлектрине-
скую дисперсию, т. е. частотную завн
Рис, 55.4. Диаграмма Коула- симость диэлектрических параметров.
Коула По оси ординат (в произвольном масшта-
бе) откладываем е',- е", tg6, оа и пс
оси абсцисс — угловую частоту со = 2лv. Величину удельной ак-
тивной проводимости определяем по (55.36) или по (55.6) в виде
сгл = = о -1-(ес - в„.) , (55.51)
382
I.IK что
/с = СТ^\
(55.52)
На рис. 55.5 приведен указанный качественный график. Как
\ же отмечалось, величина е' изменяется от ес до причем пере-
। иб кривой наблюдается при от = 1. Здесь же наблюдается экстре-
мум для кривой в" = f (о), а экстремум tg 6 лежит несколько
правее, когда от= J/ Кривая е" = f (о) располагается выше
кривой tg 6 = f (о), так как е" = е' tg 6 и е'> 1.
Удельная активная электропроводность оя при низких часто-
ых равна удельной электропро-
водности в постоянном поле о.
Формула (55.51) справедлива для
однородных диэлектриков, где не
образуются обедненные слои, и
сквозную электропроводность мож-
но полагать не зависящей от на-
четы. При условии сот 1 по
(55.51) получим
сга = а -I- е0 (ес — ем) ~, (55.53)
। ак что величина оа достигает на-
ыщения и далее не зависит от
частоты. Это и отражено на рис.
5.5. Диэлектрическая дисперсия
= 1оа такова, что ход кривой
Рис. 55,5. Диэлектрическая дис-
персия (частотная зависимость) ве-
личин tg 6, е', е", оа
активного удельного сопротивления обратен ходу кривой актив-
ной удельной проводимости.
С изменением температуры диэлектрическая дисперсия также
изменяется, так что при построении всех рисунков температура
сдесь считается постоянной.
Температурная зависимость диэлектрических потерь
Время релаксации т является функцией температуры. В част-
ности, при дипольно-релаксационной и ионно-релаксационной поля-
ризации т является экспоненциальной функцией температуры
ДЕ
т = тсе*г. <55-54)
С возрастанием температуры величина т здесь убывает по экс-
поненте, 1. е. весьма круто. Таким образом, условие экстремума
(55.44) дает, что с ростом температуры максимум в" = f (<о) в этом
случае смещается в сторону более высоких частот. То же отно-
сится к максимуму tg 6 = f (со), хотя здесь критерий (55.26) при-
менить уже труднее, поскольку диэлектрическая проницаемость
также зависит от температуры.
383
Диэлектрические потери при повышении температуры увеличп
ваются за счет возрастания сквозной проводимости.
Ионизационные диэлектрические потери
В диэлектриках встречаются мелкие полости, поры и т. д., за
полненные газом. При достаточно высоких полях может наблюдаться!
ударная ионизация газа, ибо его электрическая прочность обычио
Рис 55 6 Зависимость от
напряжения при наличии иони-
зационных потерь
значительно ниже, чем для жидка
стей и твердых тел. Это приводит к
росту величины tg 6 (начиная с К, на
рис. 55.6) и увеличению диэлектриче-
ских потерь Электрическая проч
кость газа (пробивная напряженное и»
поля ё°|1Г1) зависит от размеров газе I
вого включения. Вначале газ иони-
зируется в наиболее крупных вклю-
чениях, а по мере роста напряжения
— и в более мелких. Общий характер
изменения tgfi вследствие возникновения ионизационных потерь
в воздушных включениях показан на рис 55.6. При напряжениях,
больших чем 16, газ оказывается ионизированным во всех вклю-
чениях, и диэлектрические потери далее увеличиваются, хотя
tg 6 уменьшается.
Выводы к § 55
I. В однородных материалах со сквозной проводимоеп>ю диэлектрические
потери определяются теплом, выделяемым сквозным током проводимое in. В ди-
электриках с релаксационной поляризацией, кроме того, рассеивается мощность
при протекании активной части поляризационного тока. Диэлектрические потери
сквозной проводимости не зависят от частоты п определяются амплитудами силы
тока и напряжения. Релаксационные потери пропорциональны произведении»
амплитуды активной релаксационной поляризации на частоту. На низкой частоте
общие потерн определяются лишь потерями сквозной проводимости. При увели-
чении частоты и приближении величины сот к единице наблюдается рост релакса-
ционных потерь с достижением насыщения при более высокой частоте.
2. Тангенс угла диэлектрических потерь 1g 6 является важнейшим пара-
метром, характеризующим потери. При уменьшении со до нуля, т. е. при переходе
к постоянному току, tgfi стремится к бесконечности, что соответствует отсутствию
сдвига фазы между напряжением и гоком. При повышении частоты в области
низких частот tg 6 уменьшается, а затем наблюдается новый подъем и обнаружи-
вается максимум tg6. если в диэлектрине имеется релаксационная поляризация.
Вблизи экс।ренального значения tg b выражается с помощью формулы Дебая,
из которой находим условие экстремума в виде (55.26).
3. Комплексная диэлектрическая проницаемость включае» обычную диэлек-
трическую проницаемость в виде Действи тельной части и, кроме того, она вклю-
чает величину е", определяющую мнимую часть с и связанную с потерями. У казан-
ная связь проявляется, в частности, в формуле (55.39), сами же величины в" и г'
можно представить формулами Дебая (55.-10), (55.41). Релаксационная часть е"
имеет максимум, сдвинутый в сторону более низких частот ио сравнению с релак-
сационным максимумом для tg 6. Условие для экстремума в" представляется в виде
равенства сот = I.
384
Наглядное изображение связи е" и е* выполняется с помощью диаграммы
!• 1»улд- Коула, которая для однородного диэлектрика с одним временем релаксации
«г щ гавляет собой полуокружность. Удельная активная электропроводность оя
и твик диэлектриках при низкой частоте равна удельной электропроводности
и Ш1П0ЯНН0М поле. Далее при подходе ют к единице наблюдается рост а при
I । н женин достаточно высоких частот — насыщение оа, т. е. она далее не завн-
411 от частоты. Последнее связано с тем, что, хотя процессы релаксационной
пинпризации не завершаются, но тем не менее релаксаторы не остаются в покое,
и участвуют в активном (максимальном) токе и трансформируют соответствую-
щую часть энергии поля в тепло.
4. Диэлектрические потери зависят от температуры. При увеличении темпера-
। уры возрастают потери сквозной проводимости, изменяется время релаксации т,
унывая по экспоненте, и экстремумы е" и tg 6 смещаются в сторону более высоких
•ин ют.
5. Ионизационные потери наблюдаются при наличии пор и других полостей
в । нердых диэлектриках. Общий характер изменения tg 6 вследствие возникнове-
нии ионизационных потерь в воздушных включениях показан на рис. <55.6.
§ 56. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ
При расчете диэлектрической дисперсии и описании процессов
поляризации и потерь удобно использовать схемы замещения.
I’сильный диэлектрик или полупроводник заменяют схемой, в ко-
брой задают идеальные (без потерь) емкости и активные сопро-
। пиления. Схема замещения может быть либо параллельной, либо
последовательной. Расчетные формулы различны в зависимости
и выбора схемы. Однако значения диэлек-
фнческих параметров не должны зависеть от
схемы. Так, например, tg 6 и диэлектриче-
। кие потери должны быть одинаковыми как
и параллельной, так и в последовательной
схеме замещения и соответствовать данному
реальному диэлектрику или полупроводнику.
Рис. 56.1. Параллель-
ная схема замещения
(а) н векторная диа-
грамма токов (б)
диэлектрик (полупро-
схемой замещения с
и активным сопротив-
Параллельная схема замещения
однородного дизлектрнка
нпн полупроводника
Заменим реальный
водник) параллельной
идеальной емкостью С
пением R (рис. 56.1, а). Векторная диаграм-
ма токов при синусоидальном поле для та-
кой схемы замещения представлена на рис.
56.1, б. Нетрудно заметить, что эта диаграмма аналогична век-
юркой диаграмме для конденсатора с потерями, изображенной
па рис. 55.2. Однако физический смысл рисунков разный, ибо
в схеме замещения используется идеальная емкость без потерь,
югда как в § 55 рассматривается непосредственно диэлектрик,
в котором имеются активный и реактивный токи. Несмотря на это,
13 Орешкин П. Т.
385
определение tg 6 здесь аналогично § 55, т. е.
tg 6 = /„//„ (51, h
где /п и 1Г — действующие значения активного тока через сопро
тивление R и реактивного тока через емкость С. Эти величины
можно соответственно выразить в виде
la—V/R, /, = <оСЕ,
так что tg 6 для параллельной схемы замещения можно также лм*|
ставить в форме
tg 6 — 1 i'(oCR. (5b .11
Активная мощность (потери)
W = laV = V*/R = РсйС tg 6. (56.1)
Таким образом, как и в случае (55.18), диэлектрические пслсрп
пропорциональны tg 6, но, кроме того, онн пропорциональны!
квадрату действующего значения напряжения, пропорциональны
частоте переменного поля и емкости конденсатора.
Пооледевательная схема замещения однородного диэлектрика
или полупроводника
Заменим реальный диэлектрик (полупроводник) последователь
ной схемой замещения с идеальной емкостью С и активным сопри
Cs г тивлением г (рис. 56.2, а). Диаграмма напряла
“HI—— ния для такой схемы замещения представлена пл
а) рис. 56.2, б. Из этой диаграммы видно, что для
tg 6 получается новое определение, так как ai ।
Рис. 56.2. Последо-
вательная схема за-
мещения (а) и век-
торная диаграмма
напряжений (б)
в последней он
величина находится уже в виде отношения дсй
ствующих активного и реактивного (емкостно
го) значений напряжения:
tg 6 == VJVC = r/xs. (56.5)
Поскольку
V„=Ir, 1/с = /х,-7Д-. (56.fi)
Здесь ток I одинаков как через активное
сопротивление, так и через емкость С. Однако
не выделяет потерь, т. е. является реактивным,
тогда как в первом случае он является чисто активным.
Следовательно, величину tg 6 можно также представить в виде
tg 6 = rc»Cs.
Активная мощность
W = IV„ = I2r = lVc tg6.
(56.7)
386
Связь между параметрами параллельной н последовательной
охем замещения
Один и тот же реальный диэлектрик (полупроводник) можно
вменить как параллельной, так и последовательной схемой заме-
ни ня. Выбор схемы замещения определяется удобствами расчета
। in мостовой схемой, применяемой для измерения параметров.
тя любой схемы замещения величины W и tg 6 должны быть
. in паковыми, так что
FW?tg6 = /2r; (56.9)
1 iatRC = ra)Cs. (56.10)
Вначале используем (56.9), где в правой части произведем
ммену (56Д1)
Следовательно, имеем 1'-- ..гГ. ,-тг. (56.12)
Подставляя это выражение в (56.9) и учитывая, что xs = 1 юС$,
получим
= (56.13)
Следовательно, получаем связь между С и Cs в виде
с=ьП?«- <5614>
Используем теперь условие (56.10). С учетом (56.14) получим
связь между и г в форме
«='('+1^6 )• <56Л5>
Из (56.14) видно, что при условии tg 6 <С 1 можно записать
приближенное равенство С = Cs. Для хороших диэлектриков
1g 6 == 10"4 — Ю-5, так что в данном случае можно считать спра-
ведливым равенство указанных емкостей параллельной и последо-
вательной схем замещения. Для плохих диэлектриков С < Cs,
Из (56.15) получим, что прн tg 6 > 1, т. е. для плохих диэлек-
1рнков (полупроводников), можно записать приближенное равен-
< 1во R = г. Наоборот, для хороших диэлектриков R г.
Схемы замещения двухслойного диэлектрика нлн
полупроводника
Как уже отмечалось, в практике часто встречаются случаи
слоистых систем. Рассмотрим схему замещения двухслойной си-
< темы.
13«
387
Предположим, что внешнее электрическое поле направлен»
перпендикулярно слоям и их границе раздела (рис. 56.3, а). Клж
дому из слоев можно сопоставить, например, параллельную экни
Рис. 56.3. Двухслойный ди-
электрик (а) и его схема заме-
щения (б)
валентную схему (элемент), а обоим
слоям — последовательное соедпш*
ние этих эквивалентных схем (риг
56.3, б). Комплексная проводимое щ
каждой из эквивалентных схем в си
нусоидальном поле может быть запи-
сана в виде
r( = J--|-ZMCi = !±^3, (56.16)
где т/ = R{Ci — максвелловское врс
мя релаксации для i-ro элемента. 1
При последовательном соединении
элементов
1/У=1/У14-1/У2. (56.17)
Отсюда проводимость звена из двух последовательно соединен
ных элементов
(56.18)
Величину tg 6 для одного элемента можно найти из формулы
типа (56.4)
W = VW? tg 6 = W, tg 6 (56.19)
в виде
tg6 = IWr, (56.20)
где W — активная мощность; Wr — У2ыС — реактивная мощность,
Формулу (56.20) можно обобщить для слоистой системы в виде
tg6 = vwr£Wr.
Для рассматриваемого случая имеем:
Vi = lct /аА, V2 ~ / ся /<оС2.
Следовательно, по (56.21) получим
. . ггг‘в61+'ггг‘вб2
Е ’
(bCj ' соСе
ИЛИ
. « едл^+VMe^
g ед.+ед.
(56.21)
(56.22)
(56.23)
(56.24)
388
Эту формулу упрощают для достаточно высоких частот, когда
можно считать, что /ci = /eg- В этом случае
tgfi^Qtgs.j-cagg, (5625)
’-'1 I ’-'2
Предположим теперь, что внешнее
лсно вдоль по слоям и границе раз-
дела между ними (рис. 56.4, я). Экви-
валентные схемы можно изобразить,
например, в виде параллельных схем
«вмещения (рис. 56.4, б). При этом
-у=у1_|_у2. (56.26)
Если применить формулу (56.21),
to
tg 4~ V 2ь)С8 tg 6g «у)
lg0— VScoCt-b V2coC8 • lbb-27)
Отсюда для случая, когда поле
направлено вдоль двухслойной си-
стемы,
tg6=clte^‘+fite6B (56.28)
Cl-f-Cg
электрическое поле направ-
Рис. 56.4. Двухслойный диэлек-
трик, для которого поле на-
правлено вдоль слоев (а), и его
схема замещения (б)
Очевидно, что нетрудно получить аналогичные формулы и для
многослойной структуры, но они будут более громоздкими.
Выводы к § 56
1. Реальный диэлектрик или полупроводник можно заменить эквивалентной
схемой замещения. Параллельная схема замещения однородного диэлектрика
или полупроводника состоит из идеальной емкости (без потерь) н чисто активного
сопротивления, соединенных параллельно. В этом случае тангенс угла диэлектри-
ческих потерь и активная мощность определяются в виде (56.3) и (56.4).
2. Последовательная схема замещения однородного диэлектрика нли полупро-
водника состоит из идеальной емкости (без потерь) н чисто активного сопротивле-
ния, соединенных последовательно. В этом случае tg6 и W выражаются в виде
(56.7) и (56.8).
3. Параметры параллельной и последовательной схем, замещающих заданный
диэлектрик, связаны между собой формулами (56.14), (56.15).
4. Двухслойный диэлектрик или полупроводник можно заменить двумя экви-
валентными схемами, соединенными последовательно, если поле перпендикулярно
слоям, и соединенными параллельно, если поле направлено вдоль слоев. Соответ-
ственно определяется tg 6 двухслойной системы.
§ 57. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ В «СЛОЖНЫХ СТРУКТУРАХ»
До этого рассматривались частотные зависимости диэлектри-
ческих параметров (дисперсия) при условии, что диэлектрик имеет
один тип релаксаторов и релаксационная поляризация характе-
389
ризуется одним временем релаксации т. Однако, во-первых, в одной
родном диэлектрике может наблюдаться более чем одно врем»
релаксации, во-вторых, имеется большое число неоднородны»
диэлектриков и полупроводников, для которых диэлектрическ/Д
дисперсия может отличаться от таковой в однородных материалам
Рассмотрим различные случаи, когда либо подразумеваем 6o.ni»
сложную поляризацию, чем с одним т, либо имеем структурно
неоднородности. Назовем для краткости определения все эти мак
риалы «сложными структурами».
Диэлектрическая дисперсия в однородных диэлектриках
при наличии двух времен релаксации
Если диэлектрик состоит из двух видов молекул, имеющие
разные времена релаксации, то диэлектрическая дисперсия буци-
более сложной, чем описанная в § 55. Частотная зависимость f*
Рис. 57.1. Зависимость от часто-
ты величины е' (о) н величии в"
и tg б (б), а также диаграмма
Коула-Коула (в) при наличии в
однородном диэлектрике двух
времен релаксации
и tg 6 будет отличаться наличном
двух максимумов, отвечающих кри-
териям, аналогичным (55.26) и(55.4-1)
Диэлектрическая проницаемость и -
меняется так, что при выполнении
условий
сот1 = 1; <от2 = 1 (57.1)
обнаруживаются перегибы на cooi
ветствующих участках кривой е'
— f (со), как показано на рис. 57.1, а
Для тех же частот наблюдаются маь
симумы е". Максимумы tg 6 опрел»
ляют согласно условиям
'\.'епр, ыт2 = | Чф/Х». (57.2)
Здесь Епр — промежуточное меж-
ду ес и е,-о значение е', показанное
на рис. 57.1, а. Зависимость е" nig б
от частоты показана па рис. 57.1, 6
Диаграмма Коула-Коула при на-
личии двух времен релаксаций сс!
стоит из двух полуокружностей (рис.
57.1, в). Диаметры этих полуокруж
ноетен зависят от значения епр, ко-
торое, в свою очередь, зависит от
величин Tj и т2. .
Два вида релаксации могут быть вызваны не только двумя
типами молекул. Здесь возможны самые разнообразные варианты.
В частности возможно сочетание дипольно-релаксационной к ионно
р ел а ксационной поляризаций.
390
Рис. 57.2. Диаграмма Коула-
Коула для диэлектрика, имею-
щего спектр времен релаксации
и наиболее вероятное время ре-
лаксации тв
Диэлектрическая дисперсия в однородных диэлектриках
прн наличии большего числа времен релаксации
Как отмечалось, в диэлектрике может быть набор релаксаторов
< различными временами релаксации. Например, кривая спада
постоянного тока, особенно в начале процесса, состоит обычно
in суммы экспонент с разными временами релаксации, отвечаю-
щими различным релаксаторам — атомам, молекулам, группам
। [ омов, дефектам, ми кронеоднород-
иостям (см. § 48). Указанные релак-
• агоры, включая микронеоднородно-
< । и, могут создавать в макроскопиче-
ски однородных образцах почти не-
прерывный набор (спектр) времен
релаксации, заключающийся в некото-
ром интервале времени. Будем счи-
1ать такой спектр непрерывным, по-
лому можно будет применить ите-
рирование.
Обозначим через f (т) относитель-
ную вероятность того, что время ре-
лаксации равно т. Если у всех релаксаторов одно и то же время
релаксации т, то f (т) = 1. При наборе времен релаксации f (т) dr
••сть вероятность того, что время релаксации лежит в интервале от
। до т + dr; причем
$/(т)А=1. (57.3)
О
Расширение пределов интегрирования от конечного йнтервала
q — т2 до 0 — со не нарушает строгости и позволяет учесть все
возможные времена релаксации.
Можно показать, что формулы Дебая (55.41) и (55.43) в дан-
ном случае будут иметь следующий вид:
е' = е„+(ес - 8„) \ (57.4)
О
е" = (вс-е„)$№^. (57.5)
О
При одном времени релаксации эти формулы переходят в ранее
найденные формулы Дебая (55.41) н (55.43). Но в общем случае
для расчета е' и е" необходимо знать функцию f (т). Функцию
распределения можно определить на основе экспериментальных
данных зависимостей е' = f (ю) и ъ" = f (со).
Диаграмма Коула-Коула в случае спектра времен релаксаций,
имеющего наиболее вероятное время релаксации тв (так что спектр
преимущественно группируется около тв), представляет собой часть
391
дуги окружности (рис. 57.2). Центр этой окружности располо-мч
под осью абсцисс на расстоянии, абсолютное значение котор<чм
Бц
(5. <)
Здесь а — число, заключенное в интервале 0 <<х < 1 и ух в
дящее в показатель степени комплексной диэлектрической пронн
цаемости, представленной в форме
(57-|
По горизонтали расстояние до центра
(57 Я!
Если известны функции е = f (со) и е' = f (о), то можно по
строить диаграмму Коула-Коула. Каждой заданной частоте сине
чает одна точка на этом графим-
Рис. 57.3. Зависимость тангенса
угла диэлектрических потерь от
частоты при наличии спектра вре-
мен релаксации
ких дуг окружностей имеем д
По указанным точкам и строят
кривую Коула-Коула. Если ди
аграмма оказывается полуокруж-
ностью (см. рис. 55.4), то имел-
ся лишь одно время релаксации,
если же получаем две полуокруж
ности (рис. 57.1, в), то в диэлек
трике проявляются два времени ре
лаксации. При наличии несколь-
ю с несколькими временами релак
сации, и, наконец, когда остается лишь одна дуга окружности
(рис. 57.2) — спектр т непрерывный.
Таким образом, по кривой Коула-Коула можно определи'! г
число релаксационных механизмов либо параметр сс при достаточно
большом разнообразии механизмов н наличии наиболее вероятного
из ннх.
В соответствии с набором т получают релаксационные макси-
мумы для tg 6 (рнс. 57.3), которые могут дать в сумме нечеткий
максимум как общую огибающую. Следовательно, при большом
числе механизмов релаксации (наборе т) максимум на кривой
tg б = f (со) может быть весьма нечетким либо совсем отсутствовать.
Диэлектрическая дисперсия в двухслойных диэлектриках
и полупроводниках
Если считать, что по мере поляризации диэлектрические пара-
метры слоев остаются неизменными, т. е. если рассматривать
междуслойную поляризацию по Максвеллу — Вагнеру (см, § 49),
то расчет диэлектрической дисперсии в двухслойной системе ока-
зывается, хотя и громоздким, но по содержанию достаточно про-
392
нам. Здесь ограничимся именно таким случаем, полагая также,
in» внешнее синусоидальное поле направлено перпендикулярно
.лпям, что принимается и при расчете максвелл-вагнеровскоп поля-
римции в постоянном поле.
Заменим двухслойную систему эквивалентной схемой за мп пе-
ния типа рис. 56.3, б. Согласно (56.18) и (56.16) полную комплекс
И} ю проводимость Y можно представить в виде
(l+fcOTQfl+MOTg)
(1 ф- Ri ф-( 1 4-icoTi) ’
(57.9)
_ r> Г1 _ di EnSiS ________
(57.И1)
Используем теперь время релаксации т двухслойного кондеи
нора (49.15), несколько преобразовав указанную формулу:
___е0 (diea+dget) __ е0 (djE? ф-dgej) /г,? i i •.
diGs+d^i dtd2 d2dt ’ iv/.n,
или
Tjfio-I-T.,/?! Ti^?2 + T2^1 /су 1 Q-i
---Я1+V ~ Ro 1 '
Величина Rr ф R2 = Ro представляет собой сопротивление
конденсатора на постоянном токе. Умножив обе части равенства
(57.12) на /со и прибавив к ним по единице, получим
14-1OT=gl+g,+to^gl+ftOTA. (57.13)
Ro
Отсюда
(1 ф- шт2) Rt ф- (1 ф- toil) R2 = (Ri ф- Ri) (1 ф- шт). (57.14)
Таким образом, вместо (57.9) можем записать
v____О +йо*1) (1 ф-гсотг) ,г? . г.
Y /?0(1ф-шт) * (57.1а)
Далее умножим числитель и знаменатель правой части равен-
ства (57.15) на величину (1 —гот) и получим
V — 1+[(т1+т2)'1—TtTs] . (тт+т2 — ^(оф-т^тсо3 _ , (t-7 , f.
Y~ /МТф-(е)т)ф Н ‘ /?0[1+(шт)Ч
Следовательно, активная проводимость
I Ф“ 1(Т1 ф-Т2) Т—Т1Т-2]а)а /Гу ] у.
—ялт+сия— ( 7 ‘ ’
в реактивная проводимость
Ь (Т1+Т;—Т)Ю + Т1Т;ТШ» /су . у,
Я„[1+(ЮтЯ ’• Ла'-‘Л
3!М
Тангенс угла диэлектрических потерь согласно (55.19) нач'ЛИ
как отношение активного тока к реактивному. Но отношение г<»ь
можно также заменить отношением проводимостей, так что имь ч
t£ 6 = = 1 4~ [(т1 Ч-Т-г) Т —Tj^TaJ (О3
ё Ь (тх -р Т2—Т) СО -j-TjTsTCO3 '
(57 J
При этом- двухслойный диэлектрик можно представить в in
параллельной эквивалентной схемы с эффективными значении*
Рис. 57.4. Двухслойный диэлек-
трик;
а — эквивалентная схема замеще-
ния п общая параллель |1 а я экви-
валентная схема замещения; б —
зависимость эффективной емкости;
е — зависимость эффективной про-
водимости и тангенса угла потерь
от частоты
емкости С и активного сопротлв.*
ния R (рис. 57.4, а), которые вы|
жают через g и Ь:
у = g 4- ib = 4- йоС. (57.
Соответственно
tg б = g/b — 1 /cojRC. (57.? I)
Итак, получаем выражение tg •
через параметры параллельной схе-
мы замещения, аналогичное (56.3). 1
Кроме того, можно найти вели-
чину эффективной емкости С:
С—h То = ti4~t2—т+^ТаТСО2 (~7 Л
L Ь‘ KJl+Kot)2] ’ <о7-2->1
На рис. 57.4, б изображен грл-
фи к зависимости С = f (сот) в полу-
логарифмических координатах. При
низкой частоте
(57.23)
Если сюда подставить т по (57.12),
g.l
При высокой частоте
TjT2TC0“ _______ТХТ*2 ~~ СуС2
Ri: 114“ (сот)3] /?ит
(57.25)
Если окажется, что R2 и Ci С2, то низкочастотное
значение С = СД а высокочастотное значение.С = С2. Это легк
проверить по формулам (57.24) и (57.25). В других случаях С на
низкой частоте также больше, чем С на высокой частоте. Дейшвп-
тельно, легко убедиться, что справедливо неравенство
(Т1 + Ш ~~ Т) Т >> TjTa.
(57 25')
394
Следовательно, С имеет частотную зависимость, похожую па
f (о), которая рассматривалась для однородных диэлектри-
н с релаксационной поляризацией. Это естественно, поскольку
помощью С двухслойный диэлектрик с точки зрения емкости
। меняется на «однородную» структуру — одно звено.
Аналогичным образом решается вопрос о проводимости g, кото-
р in так же является эффективной проводимостью всего двухслой-
ною образца как целого. На рнс. 57.4, в приведен график зави-
। имости g = MR = f (сот). По (57.17) при низкой частоте
1/7?с (57.26)
Наоборот, при высокой частоте
____ 1 (Tl~hT£) Т Т1Т8
В~ Ro Т=
(57.27)
Нетрудно убедиться, что
(57.28)
Для этого нужно доказать неравенство
V (Ti+t2)t—TiTz^ 1
Отсюда
TjT Т2Т •— TjT2 ^-> т®.
Подставляем сюда (57.12) п получаем
т?К2+Tf
/?1+₽3 > (^i+/?2)2
Отсюда имеем
т’ЯЛ 4- > 2t1t2RjR2.
Следовательно,
(Т1 — т2)г>0.
(57.291
(57.30)
(57.31)
(57.32)
(57.33)
Последнее неравенство при %! т2 всегда, справедливо; этим
и доказано неравенство (57.28). Точно также можно доказать нера-
венство (57.25').
Таким образом, активная проводимость всей двухслойной
системы как целого имеет частотную зависимость, подобную тако-
вой для однородных диэлектриков с релаксационной поляриза-
цией. Причем роль одного времени релаксации играет т двухслой-
ного диэлектрика.
Такое же заключение справедливо и для tg 6 двухслойной
системы. Если представить зависимость (57.19) графически, то
получим типичную кривую (рис. 57.4, в), подобную кривой
рис. 55.3, а. Следовательно, двухслойный диэлектрик и здесь дает
частотную зависимость, аналогичную таковой для однородных
диэлектриков с одним временем релаксации. Роль последнего для
395
двухслойного диэлектрика играет (по Максвеллуи Вагнеру) постоя и
нал времени т, определяемая формулой (57.11) или (57.12).
В заключение отметим, что величине С можно сопоставии.
соответствующую эффективную диэлектрическую проницаемое!i.,
так что
С = (57.31)
01 + ^2 '
Если окажется, что Ях и Сх С2, то при низко»
частоте С = Сх. Такой вариант возможен, например, если первый
представляет собой высокоомную пленку (тонкий слой), а второ»
слой .имеет относительно низкое сопротивление и большую тол
щину. Но так как
0 = ^-, (57.3..)
то
е=е,^1±£2. (57.3(1)
При принятом условии d.2 S- dx получим е 8Х. Следова-
тельно, если, например, с помощью мостовой схемы измерять С
при низкой частоте, то можно получить соответствующее значение р
значительно большее, чем диэлектрические проницаемости слое»
(емкость С2 может быть малой при условии большого значения d.
и невысокого значения е2). Таким образом, приходим к модели
двухслойной системы, которая может иметь эффективную величину
е, значительно превышающую диэлектрические проницаемости L
и е2 слоев.
Диэлектрическая дисперсия в неоднородных полупроводниках.
Модель зерен н прослоек
В начале 50-х годов нашего века внимание исследователей
привлекла большая диэлектрическая дисперсия в некоторых поли-
кристаллических окисных полупроводниках. В частности, ано-
мально большие значения 8 на низкой частоте и большую частот-
ную зависимость е = f (со) наблюдали в материалах типа ферри-
тов. Оказалось, что при низкой частоте измерения с помощью мосто-
вых схем приводили к таким высоким значениям емкости образца
феррита, которые соответствовали е« 10Б—10е единиц, тогда
как при высокой частоте величина е снижалась до 10 единиц.
Купе и другие-исследователи развили представления о модели
зерен и прослоек, с помощью которой объясняли диэлектрическую
дисперсию в указанных и других полнкристаллических материалах.
Полагают, что поликристаллическнй материал состоит из зерен
и разделяющих их прослоек. Зерна имеют относительно низков
удельное сопротивление и сравнительно большие линейные раз-
396
меры, а прослойки высокоомные и относительно тонкие. В модели
к-рен и прослоек считается также, что все диэлектрические пара-
метры слоев не зависят от частоты и величины поля. Следовательно,
\ тельное объемное сопротивление и диэлектрическая проницае-
мость, а также линейные размеры и зерен и прослоек не зависят
«и частоты и от величины поля. Кроме того,- эквивалентные схемы
о । дельных элементов (зерен и прослоек) аналогичны таковым для
двухслойного диэлектрика, а в целом одно звено (зерно — про-
* юпка) характеризуется общей эквивалентной схемой с эффектив-
ными С н R. Значит, полупроводниковое звено в виде зерна — про-
слойки отождествляется с максвелл-вагиеровским двухслойным
диэлектриком. Совокупность таких одинаковых звеньев представ-
ляет образец в целом. Значит, свойства образца как целого опре-
деляются свойствами -звена зерно — прослойка. В этом и состоят
основные положения модели зерен и прослоек. Для математиче-
ского описания модели зерен — прослоек достаточно записать
релаксационные формулы двухслойного диэлектрика и применить
соответствующие эквивалентные схемы, т. е. можно использовать
формулы, приведенные в данном параграфе.
Время релаксации выражаем в виде (57.11) или (57.12), где
нее параметры относим к зернам и прослойкам:
_ __ ео(^1е2~|-^йе]) . 4~zK-7 пух
1 rfiOs+dsOi Я1+*2 1 ° °
Но в этом случае весь образец можно рассматривать как одно-
родный диэлектрик с одним временем релаксации т, подобно двух-
слойному диэлектрику, который рассматривается как единое целое.
Таким образом, звено зерно — прослойка выполняет роль макро-
релаксатора эквивалентного микрорелаксаторам — атомам, моле-
кулам и т. д.
Следовательно, можно записать не только формулы вида (57.17)—
(57.19), (57.22), (57.34) и др., но и формулы Дебая, имея лишь
в виду выражение для т через параметры зерен и прослоек.
Далее проводят сравнение с опытом. Определяют эксперимен-
тальным путем активную удельную электропроводность и емкость
образца на различных частотах и в постоянном поле и, пользуясь
формулами (57.37), (55.20), (55.51), производят проверку.
В ряде случаев модель зерен — прослоек дает удовлетворитель-
ное совпадение с опытом при вполне разумных значениях пара-
метров зерен и прослоек. Последние частично определяют опыт-
ным или расчетным путем, а частично задают в какой-то мере про-
извольно. Но для описания диэлектрической дисперсии в ферри-
тах, имеющих весьма высокую е на низкой частоте, модель Купса
по существу оказалась непригодной. Действительно, при значениях
е » 105, полученных на низкой частоте, прослойки приходилось
считать очень малой толщины (порядка 10-8 см), явно нереальной.
Следовательно, уже здесь проявлялась недостаточность модели
зерен — прослоек.
397
Впервые в 1957 г. в работе В. А. Иоффе и др. было показано,
что большие значения е на низкой частоте и сильная диэлеК1|»и
ческая дисперсия характерны не только для ряда поликристалл н
ческнх ферритов, но и для некоторых монокристаллических фср
ритов. Позднее были получены аналогичные результаты и на др\
гих образцах монокристаллов ферритов. Но здесь совсем непрн
годна модель зерен -— прослоек, которая поэтому' была подвер!
нута сомнению. Тем не менее можно утверждать, что модель г
рен — прослоек в ряде случаев пригодна для описания диэлЛ
трической дисперсии.
Диэлектрическая дисперсия в несдисрсдиых пслупрсвсдииках.
Обсбщениая барьерная недель
Ранее были сформулированы основные особенности обобщенная
барьерной модели (см. § 41, § 45). Суть этой модели состоит в сле-
дующем. Кроме высокоомных прослоек между зернами, локаль-
ными барьерами могут быть запирающие слои (в общем случае
гетеропереходы), локализованные' на различных неоднородностях
типа дислокаций, магнитных (и электрических) доменов и т. д.
При наличии низкоомиых прослоек для тока, перпендикулярного
к ним, прослойки могут выполнять роль металла, и в контакти-
рующем с ними материале могут возникать физические запираю
щие слои Шоттки. Следовательно, обобщение обычной барьерной
модели зерен — прослоек идет по двум направлениям: расширя-
ется число возможных мест зарождения локальных барьеров п
допускается возможность существования не только высокоомных,
но и низкоомных (для перпендикулярного поля) прослоек. Кроме
того, запирающие слои являются «активными элементами», ибн
их толщина и степень обеднения зависят от напряженности и ча-
стоты электрического поля. Последняя зависимость определяется
тем, что подвижность электронов (и дырок) в таких материалах
низкая, так что формирование и расформирование запирающих
слоев относятся к релаксационным процессам.
В связи с этим обобщим также формулы (41.15) и (41.20), выве-
денные для постоянного поля на случай низкочастотного перемен-
ного поля. Считаем, что формирование запирающего слоя осуще-
ствляется лишь в течение одной четверти периода, поскольку
далее поле уже уменьшается, а затем меняется его направление.
Поэтому текущее время t заменяем:
t = (57.38)
Тогда согласно формулам (41.15) и (41.20):
П = ро {л - е" «’); (57.39)
<57. J
39Я
интер-
р и п.
Следовательно, частотную зависимость эффективного активного
тельного сопротивления р задаем через п = ср (/) в виде (57.39).
Обозначим: — наиболее низкая частота в заданном
i але низких частот; и % — соответствующие значения
По формуле (57.40) имеем
р>-р=й^<п-п*>-
С учетом (57.39) находим
(57.41)
(57.42)
(57.42)
р1 — рIе 4^о — е 4/*То).
‘ 1 г 2aeimtn /
При условии / > вторым слагаемым] правой части
-ложно пренебречь. Кроме того, коэффициент при экспоненте можно
«.читать постоянным (по срав-
нению с экспонентой) в неко-
тором интервале низких частот,
так что
Рис 57.5. Зависимость 1g (р£ — р) =
=<р (105//) Для некоторых образцов фер-
ритов (удельное активное сопротивле-
ние выражается в Ом-см): 5 — кри-
вые при 20, 80, 100, 120, 140°С; 4, 6,
2, 3, 1, 1М — кривые при 20°С
. . . R 0,43 /ЮЛ
(57.43)
т. е. получаем линейную зави-
симость логарифма указанной
разности как функции обратной
частоты (1//). Такой вывод мо-
жет служить «пробным камнем»
обобщенной барьерной модели в
том варианте, как она описана.
Здесь не учитывается возможное
изменение величины т0 с изме-
нением частоты, так же как счи-
тается постоянным коэффициент
перед экспонентой (57.42).
Измерен и я диэле к гр нческой
дисперсии в образцах ферритов
и других окисных полупроводни-
ков, в частности, проводили с по-
мощью мостовой установки Р568
лов звуковой и ультразвуковой частоты ГЗ-ЗЗ, ламповым милли-
вольтметром B3-13 и электронным индикатором нуля Ф550 в соот-
ветствии с заводской комплектностью этой установки. Частотные
пределы измерения составляют 20 Гц —100 кГц, и установка
позволяет производить непосредственный отсчет активного сопро-
тивления и емкости для последовательной схемы замещения. Рабо-
чее напряжение моста 10 мВ.
Измерения показали, что зависимость (57.43) во многих слу-
чаях действительно является линейной в широком интервале низ-
в комплекте с генератором спгна-
399
ких частот. На рис. 57.5 приведены соответствующие кривые для
ряда образцов ферритов при различной температуре. Некоторы»
характеристики образцов даны в табл. 7, в том числе образец дефем -
иого монокристалла, обозначенный 1М и имеющий такой же «
став, как 1.
ТАБЛИЦА 1
Некоторые характеристики образцов ферритов
образца Состав Форма диаметр, см Длина, см
1 Mn0i8Zno,2Fc204 Кольцо 1,7; 0,8 0,5
1М Mno.gZno.aFej.Qj Цилиндр 0,48 1,05
2 Mn-Zn-феррит Кольцо 1,7; 0,8 0,5
3 Ni-Mn-феррит » 1,7; 0,8 0,5
4 Nio,5Zr0i5Fe2O4 Диск 2,12 0,22
5 Nio^Zn^^h e2O4 Кольцо 2,6; 1,6 0,5
6 NiO—6,25% 2,8; 1,95 0,4
ZnO-25%
CuO—18,75%
Fe.2O8-50%
Максимальная разница в активных удельных сопротивлениях
рх и р соответствует наибольшей частотной зависимости р (/).
Она наблюдалась на относительно высокоомных образцах 4, 5, 6.
Именно эти образцы имеют наибо-
Рис. 57.6. Зависимость време-
ни релаксации от абсолют-
ной температуры Т в коорди-
натах 1g т0—ф (103/Т) для трех
образцов ферритов
лее широкие пределы линейной зави-
симости (57.43), поскольку во всем
изучавшемся интервале 1—100 кГц
(при Д = 300 Гц) экспериментальные
точки ложатся на одну прямую. С
повышением температуры наклон пря-
мых увеличивается, а величина
lg (pt — р) уменьшается. Если угол
наклона с осью абсцисс обозначить
через а, то согласно (57.43) для вы-
бранного по оси абсцисс масштаба
имеем
= (57Л4>
Отсюда можно найти время ре-
лаксации запирающих слоев т0, вы-
раженное в секундах. Эти величины и их изменения при изме-
нении температуры для указанных образцов приведены на рис.
57.6. Оказалось, что т0 лежит в пределах 10"3 —10-е с и это по по-
рядку величин соответствует значениям времени релаксации т,
определяемого по модели зерен — прослоек. Время релаксации т0
увеличивается с ростом сопротивления при изменении состава
400
образцов, что можно объяснить увеличением энергии активации Д£
носителей заряда и толщины запирающих слоев, а также умень-
шением подвижности носителей заряда (электронов или дырок)
согласно формуле типа (48.22) для времени релаксации барьер-
ного слоя. Отсюда ясно, что при по-
вышении температуры заданного об-
разца величина т0 должна уменьшать-
ся. Как видно из рис. 57.6, для об-
разца 6 зависимость т0 = f (1 'Т)
является экспонентой, а для двух
других образцов имеются более слож-
ные кривые. Однако и в этих слу-
чаях можно говорить о качественном
согласии с развиваемыми представле-
ниями.
На более низкоомных образцах ли-
нейные участки кривой (57.43) коро-
че, и в некоторых случаях наблю-
даются изломы, что может соответст-
вовать изменению времени релаксации
т0 на. новое, но также фиксирован-
Рис. 57.7. Зависимость диэлек-
трической проницаемости е от
частоты f для образца 5 при 20,
80, 100, 120, 140°С и для об-
разца 1М при 20°С
ное значение при переходе через некоторую частоту. Характер-
ным является и то, что диэлектрическая дисперсия в монокристал-
ле феррита мало отличается от таковой в пол икр металлическом
образце аналогичного состава.
На рис. 57.7 приведены зависимости диэлектрической прони-
цаемости как функция линейной частоты для образца 5 при раз-
ных температурах и для 1М при 20° С.
На рис. 57.8 даны кривые tg б в за-
висимости от частоты (и температуры)
для некоторых образцов. Релаксацион-
ный максимум для 6 выявляется при
f 10Б Гц, а максимумы для осталь-
ных образцов лежат несколько выше.
При этом качественно удовлетворяется
условие (55.26) экстремума для tg б в
виде
tgB
2
Z?l------(-------1--------
2 3 4 Igf
Рис. 57.8. Зависимость tg 6=
— ф (/) для образца 5
20, 80,100, 120, 140°С и
2; 6; 1М при 20°С
_ 100°
5
20°
<0рСЗт0 = У^/еоо. (57.45)
Время релаксации барьерного слоя
т0 отличается от максвелловского вре-
мени релаксации. Но условие (57.45),
определяющее релаксационный макси-
мум tg б, по-видимому, должно сохра-
няться, как для любой релаксацион-
ной поляризации.
Таким образом, приведенные экспериментальные результаты
подтверждают обобщенную барьерную модель.
при
для
401
Дальнейшие исследования показали, что большая диэлектри-
ческая дисперсия и линейные зависимости типа (57.43) наблюдаются
не только на образцах ферритов,
но и в поликристаллических об-
разцах NiO и ZnO.
При определении влияния
добавочного постоянного пат я
на ход диэлектрической диспер-
сии, снимаемой при переменном
напряжении 10 мВ па всем обра-
зце, выяснилось, что при низких
частотах добавочное постоянное
поле уменьшает р и в и увели-
чивает tg б.
На рис. 57.9 приведены кри-
вые р — (р ([) в двойных лога-
рифмических координатах для
образцов NiO (кривые /) u ZnO
(кривые 2) без поля и с доба-
вочным постоянным внешним полем = 1, 5, 10 В,'см. Как вид-
но из рисунка, вплоть до 103—101 Гц заметен эффект уменьшения
р. Это влияние внешнего постоянного поля легко объяснить про-
боем части запирающих слоев. Эффект максимален на низких ча-
стотах, поскольку в этом случае иа переменном поле формируются
удельного ак-
р (Ом-см) от
NiO при'по-
, 1, 5.
Рис. 57.9. Зависимость
тивиого сопротивления
частоты f для образца ..
стоянном смещении = 0,
10 В'см (кривые /) и для ZnO (кри-
вые 2)
Рис. 57.10. Зависимость диэлек-
трической проницаемости от ча-
стоты f для образца NiO при по-
стоянием смещении — О, 1,5,
10 В/см (кривые /) и то же для
образца ZnO при Л=0, 10 В/см
(кривые 2)
слои более высокого сопротивления.
Пробой таких слоев приводит к зна-
чительному уменьшению активного
сопротивления. С увеличением часто-
ты уменьшается сопротивление запи-
рающих слоев, формирующихся под
действием переменного поля, посколь-
ку уменьшается глубина пх обедне-
ния. Соответственно вклад запираю-
щих слоев уменьшается, и поле в об-
разце распределяется более равномер-
но. Пробой запирающих слоев вызы-
вает уменьшение е и увеличение tg б,
как показано на рис. 57.10 и 57.11.
Из рис. 57.10 видно также, что вели-
чина е при низкой частоте действи-
тельно очень велика (fic^lO4—105).
Введение в образец феррита ионов
с помощью электропереноса изменяет
дпэлектрические параметры и пх дис-
персию (рис. 57.12). Это находит объяснение на основе обобщен-
ной барьерной модели.
Проведем расчет обобщенной барьерной модели с помощью схем
замещения. Рассмотрим трехслойную модель «зерно (домен и т. д.)-и
*402
запирающий слой — инородная прослойка». Схема замещения та-
кого звена приведена на рис. 57.13. Элементы представлены в виде
Рис. 57.11. Зависимость tg 6 = ф (f)
для NiO при постоянном смещении
& — 0, 1,5, 10 В/см (кривые /) и для
ZnO (кривые 2)
Рис. 57.12. Зависимость диэлектриче-
ской проницаемости, удельного актив-
ного сопротивления р, тангенса угла
диэлектрических потерь tg 6 от часто-
ты / для никель-цинкового феррита до
и после электропереноса ионов в обра-
зец: кривые 1 — до электропереноса,
кривые 2 — после электропереноса
Рис. 57.13. Эквивалент-
ная схема замещения
трехслойного звена «зер-
но (домен и т. д.) — за-
пирающий слой—инород-
ная прослойка» (а) и
последовательная эквива-
лентная схема замещения
звена как целого (6)
параллельных схем замещения, а звено в целом в виде последователь-
ной схемы замещения. Используем кубическую модель неоднород-
ного полупроводника (см. рис. 41.4), так что вместо отдельного
звена можно аналогичным образом представить слой толщиной
dt + <4 +^з (где dlt d2, d3— толщины зер-
на, запирающего слоя, прослойки) п сече-
нием S. Последовательное соединение та-
ких слоев и составляет образец.
Импеданс трехслойной схемы замещения
можно записать в виде
у _ ^1_________I_____________I_
1 -}- ia>R tCi I -|- ioR-^Cz 1 -J-; mRtjCz
(57.46)
Если вести расчет для единицы площа-
ди, то имеем
= = /?£,== e^P( = T/.
(57.47)
Следовательно,
_ PiditL.c3 - j- PadsGifla+Рз^з° + P3^3»iQbT3 _
а1°г°з О1С2а3
= r + '^. (57-48)
403
где
О, = 1 + (йТ;)’.
(57.49)
(57.50)
При последовательном соединении N звеньев обе части равенства
(57 48) следует умножить на N. Но в этом нет необходимости,
поскольку можно сразу найти величину активного сопротивления
г полученной схемы замещения в виде
г _ РА«2«з+ P2^2Q1«3+ Рз^з«1«2
010-2^3
Соответственно среднее удельное активное сопротивление, кото-
рое и -будет измеряться с помощью мостовой схемы как эффективное
удельное активное сопротивление образца,
__ г_________________rN
Р ^14-^а4“^з ' Л/
Величину tg 6 получаем из (57.48) в виде
_ РКкДэвз-р Р8^2а1°з+
<0 4- Р2^2^1ДзТ2 -}- Рз^Э^1й2Тз)
Очевидно, что для совокупности из N звеньев
останется без изменения, т. е. она пригодна для определения tg 6
всего образца.
Величину Cs записываем согласно (57.48):
О1°2Дз
эта
(57.51)
(57.52)
формула
(57.54)
, _________________- - -____________ /57 53ч
s <02(р1й1а2азТ1Ч-р24й1^2 4-Рз<чй1С2Тз)‘ V '
Кроме того, если применять параллельную схему замещения
с эффективной емкостью С, то
р_______еоБ _ Cs
di + rfa+rfs 1 +tg2«*
Далее находим эффективную диэлектрическую проницаемость
_ di+dg+ds Cs __
е-------l+tg«6’ (ЬЛЫ>)
которая и будет характеризовать весь образец в целом. Действи-
тельно, если, например, длина образца равна /, то величину Cs
следует разделить на число звеньев, укладывающихся на /, с тем
чтобы получить емкость Ci для последовательной схемы, замещаю-
щей весь образец. Но тогда в формуле для С' в параллельной схеме,
замещающей'Весь образец, на ту же величину надо умножить рас-
стояние + 4 +d3).
Значит, в применении ко всему образцу будем иметь
__ ______E()S _
(di + da + dg) N ’
Cs Cs
c' = i+tga6= (i+trejw-
(57.56)
(57.57)
ИЛИ
404
Отсюда можно получить формулу (57.55), что н требовалось
доказать.
Таким образом, если в качестве звена рассматривать часть
образца длиной dx 4-d2 + ^3 и сечением 5 (в частности, здесь при-
няли S — 1), то последовательная эквивалентная схема, замещаю-
щая звено, пригодна для выражения диэлектрических параметров
и их дисперсии во всем образце. Для сравнения расчетных кривых
эффективных значений удельного активного сопротивления р =
= Ф (/), диэлектрической проницаемости е = <р (f) и тангенса угла
потерь tg 6 = ф (/) необходимо знать параметры элементов звена
и их частотную зависимость, т. е. значения толщин dit удельных
активных сопротивлений р,- и диэлектрической проницаемости е£-
элементов. Причем все эти параметры для зерен и прослоек не за-
висят от частоты, а для запирающих слоев величины <4 и р2 являются
функциями частоты. Поскольку диэлектрическая проницаемость не
зависит от поля и величины поляризации в данном веществе, то
— е2» так как запирающий слой образуется в пределах зерна.
При подстановке параметров в расчетные формулы можно также
считать величины ds и р3 малыми, но тогда по (57.48) получим
__ Pi^ia2~bP2^2gi Pi^igaTi 4~
а^з
Соответственно упростятся формулы (57.50), (57.52), (57.53).
При этом получают звено, состоящее лишь из двух элементов —
зерна и запирающего слоя. Это подобно модели зерен — прослоек,
с той лишь разницей, что некоторые параметры запирающего слоя
являются величинами частотно зависимыми.
Расчетные кривые диэлектрической дисперсии, построенные
по приведенным формулам, при разумных значениях параметров
элементов согласуются с опытными кривыми р = ф (/), е — ф (/),
tg 6 = ф (/) для ферритов. Это является косвенным доказатель-
ством правомочности применения обобщенной барьерной модели
к ферритам.
Все сказанное свидетельствует о большой роли запирающих
слоев для хода низкочастотных дисперсионных кривых в ферритах
и других окисных полупроводниках, где возможно образование
таких слоев, т. е. там, где имеются для этого соответствующие усло-
вия (см. §41 и §43). Указанные условия реализуются необязательно
во всех неоднородных материалах. Если в ферритах запирающие
слон создаются, то в материалах с небольшими значениями е и
малой диэлектрической дисперсией они вероятно отсутствуют.
Остановимся еще на зависимости энергии активации ДЕ актив-
ной проводимости (сопротивления) ферритов от частоты. Такая
зависимость отмечалась рядом исследователей, но не получила объяс-
нения. Кроме того, некоторые исследователи считают, что энергия
активации проводимости ферритов практически не зависит от час-
тоты. В литературе (работа Л. А. Кузнецовой) описаны оба эти
случая.
405
На рис. 57.14 приведены кривые lg р = f (1 Т) для поли-
кристаллического образца феррита /, состав которого соответствует
Рис. 57.14. Зависимость удельного
активного сопротивления р (Ом-см)
от абсолютной температуры Т при
разных частотах:
/ — в иол икриста лличсском образце
Mi'oin^nn.jFejO.} (мар ганец-цинкового
феррита), 2 — в дефектном образце мо-
нокристалла того же состава
формуле Mn0>8Znc>3Fe2O4. На рис.
57.14 показаны также аналогичные
кривые для дефектного монокрис-
талл а фер р ита (обр азец 1Л1), анало-
гичного состава. Кривые имеют из-
лом в районе точки Кюри (в данном
случае 85 и 90° С). Излом наблю-
дался при одной и той же темпе-
ратуре на всех указанных па ри-
сунке частотах (в интервале 6—
100 кГц), а также и при других
частотах, включая f = 0, т. е. при
постоянном поле. Заметим, что сов-
падение температуры излома с точ-
кой Кюри свидетельствует в пользу
локализации запирающих слоев, в
том числе на границах магнитных
доменов. Но главное, на что сле-
дует обращать здесь внимание, со-
стоит в четко видном уменьшении
наклона кривых с увеличением ча-
стоты. Расчет энергии активации Д£ активной проводимости по
указанному наклону кривых 1g р = ф (LT) показал, что в образ-
це. 7 до точки Кюри &Е изменяется от 0,14
до 0,02 эВ при изменении частоты от 6
до 100 кГц; выше точки Кюри соответст-
вующее изменение наблюдается в интерва-
ле 0,20—0,14 эВ. В образце 1М до точки
Кюри ДЕ изменяется от 0,027 до 0,002 эВ
при изменении частоты в тех же пределах
и выше точки Кюри — от 0,20 до 0,14 эВ.
Для указанных образцов ДЕ совпадают
выше точки Кюри и различны до точки
Кюри. Это свидетельствует о влиянии маг-
нитного упорядочения на проводимость и
ее энергию активации. В монокристаллах
меньше источников локальных барьеров,
и эффективная энергия активации прово-
димости ДЕ до точки Кюри более низкая.
В отличие от рис. 57.14 на рис. 57.15
изображены аналогичные кривые для по-
ликристаллического образца 2 состава
Ni0>5Zn()i5Fe2O4, где наклон кривых почти
не зависит от частоты. Величина ДЕ из-
меняется лишь в пределах 0,238—0,232 эВ
в интервале 6—100 кГц. Таким образом, на одной и той же установке
Рис. 57.15. Зависимость
удельного активного соп-
ротивления от температу-
ры при разных частотах
в поликристаллическом
образце никель-цинкового
феррита (Nin,5Zn01.-,Fe2Oi)
при изменении частоты
406
разные образцы могут дать различные результаты и поэтому вели-
чина Д£ либо есть функция частоты, либо в широких пределах
практически не зависит от нее.
Вероятно, такое отличие результатов связано с различной час-
тотной зависимостью величины т0 для запирающих слоев. Если эта
зависимость слабая, то энергия активации активной проводимости
почти не зависит от частоты. В противном случае наблюдается про-
тивоположная картина. Действительно, для образца 2 величина т()
постоянна (указанный образец аналогичен 5 рис. 57.5), так что
в выбранном интервале частот зависимость 1g (рх— р) = ф (17/)
является линейной. Для образца 1 указанная кривая нелинейна
(см. рис. 57.5), что, видимо, связано с уменьшением т0 при увели-
чении частоты, происходящим за счет уменьшения Д£. Соответ-
ственно наблюдается значительная частотная зависимость Д£.
Это согласуется с интерпретацией, данной Хенишем для энергии
активации. Д£ активной проводимости в неоднородных полупровод-
никах как некой эффективной величины, определяемой совокуп-
ностью внутренних барьеров.
Диэлектрическая дисперсия в аморфных полупроводниках
Аморфные полупроводники привлекли к себе внимание исследо-
вателей лишь в последнее время. При этом основное внимание уде-
ляется эффекту переключения (см. § 42 и § 45). В области диэлектри-
Рис. 57.16. Зависимость lg (pt — р) = ф (Ю5//):
а — для халькогенидного стекла As3Sc3 при 20°С; б — для того же стекла при 140®С,
а также для стекла As3 Se„e TeJ<3 при 20°С (удельное сопротивление выражено в Ом -см)
ческой дисперсии имеются лишь единичные работы. Однако этому
вопросу следует уделять внимание, так как данные по диэлектриче-
ской дисперсии позволяют изучать физику процессов в полупровод-
никах и диэлектриках.
В работе Г- Ф. Каширина синтезировано большое число сплавов
халькогенидных стекол различного состава и показано, что они
всегда получаются неоднородными. Диэлектрическая дисперсия на
низкой частоте во всех случаях удовлетворяет формуле типа (57.43),
407
так что в интервале 100—1000 Гц зависимости 1g (pi — р) = ф (1/7’)
практически линейные (рис. 57.16), а при более высокой частоте
наблюдается некоторое отклонение от линейности. Величина in
оказывается в пределах 5 «10-3 — 5 «КГ4 с. При более высокой час-
тоте лучше выполняется зависимость вида
0{(о)~о)а, (57.58)
где 0,05 а =С 0,8.
Указанная зависимость получена для прыжковой проводимости
в компенсированных кристаллических полупроводниках, в связи
с чем делается предположение о прыжковом механизме н здесь.
Прыжковая проводимость при определенных условиях переходит
в проводимость по зоне.
Релаксационные явления иа барьерных слоях
Особый интерес представляют барьерные слои в качестве макро-
релаксаторов. Время' релаксации барьерного слоя можно предста-
вить в виде
d d2
<57-59»
где d — толщина барьерного слоя; £ — средняя напряженность
поля в направлении перпендикуляра к слою.
Например, окисный слой на поверхности кристаллического
полупроводника представляет собой макрорелаксатор в соответствии
с формулой (57.59), так что процесс характеризуется не только
параметрами отдельных микрочастиц (Д£, р), но и параметрами
барьерного слоя (J, <F). Релаксационные явления в этом барьерном
слое состоят, в частности, в процессе перезарядки медленных по-
верхностных состояний согласно формуле (35.5), т. е. перезарядки
«обкладок» барьерного слоя. Как обычно, в релаксации принимает
участие коллектив электронов, особенностью же процесса является
пространственное ограничение движения носителей заряда в пре-
делах барьерного слоя в перпендикулярном к нему направлении.
Примером может быть обедненный ионами (носителями заряда)
барьерный слой при миграционной поляризации. Здесь формулу
типа (57.59) можно получить как обобщение т для ионно-релакса-
ционной поляризации по Сканави, т. е. в виде (48.22).
Релаксация электронов возможна в барьерных слоях, локали-
зованных на границах неоднородностей в полупроводниках. Эту ре-
лаксацию можно рассматривать так же, как перезарядку' «обкладок»
барьерного слоя; причем процесс, как и в других случаях, харак-
теризуется формулой типа (57.59). Таким образом’можно выразить
время релаксации объемного заряда т0 в формуле (41.12), где опи-
сывается релаксация плотности объемного заряда р, в формуле
(41.15), где описывается релаксация концентрации электронов в за-
пирающем слое, в формуле (57.43), где описывается релаксация
408
активного удельного сопротивления р образца (для удобства записи
эффективное активное удельное сопротивление обозначают р, т. е.
как плотность объемного заряда в § 41) ив других аналогичных
формулах. Если барьерный слой представляет собой обратно вклю-
ченный слой Шоттки, то формулу (57.59) можно записать так:
d2 —-
г = (57.60)
Но в этом случае согласно (28.26) имеем
d* = (57.61)
Следовательно, вместо (57.60) получим
2тме t (57.62)
где тм = £fteZo — максвелловское время релаксации согласно
(23.10), а ЛЕ—энергия активации носителей заряда (высота
барьера).
Таким образом, если величина т0 в формуле (57.43) выражается
в виде (57.62), то понятно, почему она является постоянной.
Ранее отмечалось, что высота барьера ДЕ для носителей заряда,
характеризующая т0, может зависеть от частоты. Но если такая
зависимость отсутствует, то это соответствует линейной зависимости
(57.43).
Кроме того, из (57.62) ясно, что в данном случае время релакса-
ции барьерного слоя и время максвелловской релаксации не совпа-
дают; т > 2?м, поскольку экспонента больше единицы. Лишь для
очень малых ДЕ kT можно принять ее за единицу. Видимо, и
в других случаях время релаксации барьерного слоя (релаксатора)
больше соответствующего максвелловского времени релаксации.
Физически это понятно, поскольку для рассматриваемой релаксации
барьерного слоя необходимо, чтобы носители зарида прошли сквозь
весь слой, тогда как при максвелловской релаксации такой процесс
не обязателен, ибо компенсация объемных зарядов может осущест-
вляться за счет ближайших соседей.
Кратко остановимся па микромеханизме релаксации коллектива
носителей заряда в барьерных слоях. Положим для простоты, что
толщина барьерного слоя сохраняется постоянной в течение всего
времени процесса. При подаче на барьерный слой напряженности
прямоугольного фронта возникает миграция (дрейф) носителей
заряда сквозь слой, т. е. возникает передний фронт волны концен-
трации носителей заряда или волны дрейфа. Указанная волна пере-
мещается в пределах барьерного слоя к противоположной его гра-
нице. От этой границы она частично отражается, как любая волна
при подходе к границе раздела. Следовательно, на толщине слоя d
укладывается половина длины волны дрейфа, т. е.
d=X/2. (57.63)
409
Это условие определяет «основной тон» барьерного слоя —
релаксатора. Но длина волны связана с частотой v и скоростью волны
Одр формулой
X = v^T = ц^/v. (57.61)
Следовательно, (57.59) можно представить в виде формулы
j
т = ^,е*г, (57.65)
аналогичной (48.9), хотя она имеет несколько иной физический
смысл. Здесь т — время релаксации барьерного слоя; v — частоте
колебаний носителей заряда в волне концентрации или частота
колебаний этой волны. Если для ионов v0 ж 1013 с-1, то здесь v
определяется толщиной слоя d и дрейфовой скоростью, так как
2d = = &ap/v. (57.66)
Например, при d = 10-4 см н &др = 102 см/с получим v =
= 5-105 с-1. Следовательно, в переменном внешнем электрическом
поле при условии, когда его частота f близка к величине v, должно
наблюдаться явление резонанса. В этом районе частот окажется
релаксационный максимум tg б. Данный пример может соответство-
вать какому-либо ферриту.
Развитие представлений о релаксационных явлениях на барьер-
ных слоях должно дать новые возможности для теоретического
описания релаксации в полупроводниках и диэлектриках и новые
результаты, представляющие интерес для практики.
Резонансные явления и резонансные поляризации могут иметь
место в области СВЧ радиочастот и в инфракрасной области спектра.
При этом резонаторами являются молекулы — диполи или ионы
диэлектрика. В интервале частот 108—1010Гц внешнее поле может
оказаться резонансным для молекул (диполей или ионов), так что
при подходе к этому интервалу будет наблюдаться возрастание
величин г’ е", tg б. Аналогичные явления могут быть и в интервале
1012—1013 Гц, т. е. в области инфракрасного спектра.
Выводы к § 57
I. Диэлектрическая дисперсия, т. е. частотная зависимость диэлектрических
параметров, в однородных диэлектриках при наличии двух времен релаксации
характеризуется наличием двух максимумов для tg § и е" и двух спадающих
участков для в'. Диаграмма Коула-Коула состоит из двук полуокружностей.
2. Диэлектрическая дисперсия в однородных диэлектриках при наличии боль-
шого числа времени релаксации, когда спектр этих времен можно считать непре-
рывным, выражается, в частности, формулами (57.4), (57.5). Диаграмма Коула-
Коула для случая спектра времен релаксации, имеющего наиболее вероятное
время релаксации, представляет собой часть дуги окружности, центр которой
находится ниже оси абсцисс. Тангенс угла диэлектрических потерь может либо
иметь размытый максимум, либо вообще не иметь экстремума.
3. Диэлектрическая дисперсия в двухслойных диэлектриках и полупроводни-
ках при максвелл-вагнеровском подходе описывается аналогично случаю однород-
ных диэлектриков и полупроводников, имеющих одно время релаксации т. При этом
4JQ
т определяется параметрами слоев (электропроводностью, диэлектрическое про-
ницаемостью, толщиной), а система характеризуется параллельной схемой заме-
щения с эффективной емкостью и эффективным активным сопротивлением.
Иначе говоря, эффективная активная проводимость, эффективная емкость, тан-
генс угла диэлектрических потерь всей двухслойной системы имеют частотную
зависимость, аналогичную таковой для однородных диэлектриков с одним време-
нем релаксации. Кроме того, двухслойная система при низкой частоте может иметь
эффективную величину диэлектрической проницаемости, значительно превышаю-
щую диэлектрические проницаемости слоев. Последний случай возможен, напри-
мер, для системы «низкоомный слой — высокоомная пленка» .
4. В поликристаллических окисных полупроводниках типа ферритов на низкой
частоте наблюдаются аномально большие значения диэлектрической проницаемо-
сти. Согласно модели зерен — прослоек такая аномалия объясняется наличием
ннзкоомных зерен и тонких высокоомных прослоек между зернами. Звено зерно —
прослойка характеризуется общей эквивалентной схемой с эффективными значения-
ми емкости и активного сопротивления, т. е. полупроводниковое звено зерно —
прослойка отождествляется с максвелл-вагнеровским двухслойным диэлектриком.
Весь полупроводник состоит из указанных звеньев, параметры которых и опреде-
ляют параметры всего образца как целого. В ряде случаев модель зерен — прослоек
хорошо согласуется с опытом. Но иногда она оказывается недостаточной, посколь-
ку в некоторых случаях расчетная толщина высокоомных прослоек оказывается
нереально малой. Кроме того, аномально большие значения е и большую диэлектри-
ческую дисперсию можно наблюдать и в некоторых монокристаллических образцах.
5. Диэлектрическая дисперсия в неоднородных полупроводниках может быть
описана с помощью обобщенной барьерной модели. Согласно этой модели локаль-
ные барьеры в общем случае могут быть на границах зерен (в виде высокоомных'
прослоек и запирающих слоев), на неоднородностях типа дислокаций, магнитных
(и электрических) доменов и т. д. Запирающие слои на границах зерен, доменов,
дислокаций и т. д. являются «активными элементами», поскольку их параметры
зависят от напряженности и частоты электрического поля. Все опытные данные
по диэлектрической дисперсии полностью объясняются на базе обобщенной барь-
ерной модели.
6. Диэлектрическая дисперсия на низких час ютах в аморфных полупроводни-
ках типа полупроводниковых стекол свидетельствует о наличии в них локальных
неоднородностей и, так же как и для ферритов, можно променять обобщенную
барьерную модель.
7. Релаксаторы могут иметь различную природу. В качестве таковых могут
быть электроны, атомы, молекулы, микронеоднородности. Особый интерес пред-
ставляют барьерные слои — релаксаторы.
ГЛАВА XIV
ОСОБЫЕ СОСТОЯНИЯ
И ВИДЫ ДИЭЛЕКТРИКОВ
§ 58. ЭЛЕКТРЕТЫ
У многих диэлектриков можно зафиксировать состояние поля-
ризации, созданное тем или иным способом, длительное время, что
позволяет использовать такие диэлектрики как источники электри-
ческого поля —электреты. Способность диэлектриков сохранять
особое заполяризованное состояние проявляется у них по-разному
в зависимости от природы зарядов, внешних и внутренних условий,
рода и вида диэлектриков.
Термсэлектреты. Гетере- и гемезаряды. Измерение
эффективной поверхностной плотности зарядов электретов
Если прн повышенной температуре заполяризовать диэлектрик
во внешнем электрическом поле и, не снимая последнего, охладить
образец, например, до комнатной температуры, то можно «заморо-
зить» в нем состояние поляризации. Хотя «замораживание» проис-
ходит при относительно высокой температуре, тем не менее такой
термин вполне уместен. «Замороженная» поляризация и характери-
зует термоэлектреты.
Электретирование осуществляют в термостатах или иных уста-
новках, куда помещают поляризующие электроды (обкладки) и
поляризуемые образцы. Поляризующее электрическое поле напря-
женностью 5—10 кВ /см выдерживают определенное время при наи-
высшей температуре поляризации (порядка, например, 200—300° С),
а затем производят охлаждение образцов в том же поле. По оконча-
нии процесса поле выключается. Режимы поляризации, т. а. ско-
рости нагрева и охлаждения, длительность выдержки под полем
при наиболее высокой температуре, величину поля и т. д. подби-
рают в зависимости от рода диэлектрика —электрета, и от требова-
ний к его параметрам.
Электрет в общем случае создает внутреннее и внешнее поле
(т. е. поле в окружающем пространстве). Величина полей опреде-
ляется эффективной поверхностной плотностью заряда <2Эф и гео-
метрией электрета или системы электрет — электроды.
412
Эффективная поверхностная плотность зарядов Сэф определяется
алгебраической суммой гетеро- н гомозарядов.
Гетерозаридом называют заряд электрета, знак которого проти-
воположен знаку поляризующего электрода. Гетерозаряд соответ-
ствует поляризации образца при дипольно-релаксационной, ионно-
релаксационной, электронно-релаксационной и миграционной поля-
ризации. Последняя может наблюдаться как за счет миграции ионов,
так н электронов, которые, после участия в ограниченном дрейфе,
захватываются ловушками.
Гомозарядом называют заряд электрета, знак которого сов-
падает со знаком заряда поляризующего электрода. Такой заряд
может создаваться в диэлектрике за счет инжекции электронов н
ионов из газовых промежутков между поляризующими электродами
и поверхностью диэлектрика. При отсутствии зазора между поляри-
зующим электродом и образцом диэлектрика возможна инжекция
носителей заряда непосредственно из поляризующего электрода.
Инжектированные носители заряда закрепляются на ловушках н
в потенциальных ямах диэлектрика и создают эффективную поверх-
ностную плотность гомозаряда.
При наличии двух поляризую-
щих электродов, между которыми
располагается диэлектрик, гетеро-
заряд обнаруживается на обеих по-
верхностях диэлектрика, обращен-
ных к поляризующим электродам
(обкладкам). Гомозаряд зависит от
условий инжекции и наличия уров-
ней захвата и потенциальных ям.
Эффективную поверхностную
плотность заряда электрета ф9ф
экспериментально определяют различными способами. В простей-
шем случае применяют метод электростатической индукции на уста-
новке с плоским конденсатором, один из электродов которого может
перемещаться так, что можно изменять общий зазор между обклад-
ками. Образец плоского электрета Э помещают в указанном конден-
саторе (рис. 58.1). Перед измерением электрод А располагают
сверху на электрете. С помощью ключа К его заземляют; т. е. соеди-
няют с источником свободных зарядов, которые индуцируются на
электроде А за счет действия равного ему по величине, но противо-
положного по знаку эффективного поверхностного заряда электрета
(где£— площадь электрета, контактирующего с электродом Д).
Далее ключ К размыкают так, что индуцированный на электроде А
свободный заряд, равный Q3$S, изолируется от других тел, кроме
электростатического вольтметра. Затем электрод А поднимают
(или электрод В вместе с образцом опускают) на расстояние порядка
10 см, при котором индуцированный заряд обкладки А уже практи-
чески не взаимодействует с зарядом электрета и растекается по всей
системе, состоящей из электрода А и электростатического вольт-
Рис. 58.1 Схема измерений заряда
электрета по методу электростати-
ческой индукции
413
метра. Полагая, что весь индуцированный заряд идет на за-
рядку конденсатора электростатического вольтметра и шунти-
рующей его емкости Cfl, что приводит к возникновению разности
потенциалов V на вольтметре, получим
^S-(C^QV. (58.1)
Следовательно, зная Св и Со и определяя значение V, легко
найти
Q,*= (58.2)
Однако при повторных измерениях заряд электрета уменьшается
вследствие пробоя воздуха в моменты соприкосновения заземлен-
ного электрода с поверхностью электрета. Таким образом, этот
простой метод отличается тем, что по мере измерений постепенно
разряжается электрет. Значит, метод пригоден лишь для не очень
точных разовых измерений. Имеются и более точные «перазрушаю-
щие» методы, в частности способ вибрирующего электрода, ие каса-
ющегося образца, па котором наводится переменная э. д. с. Можно
определять и знак заряда рэф, например, с помощью сравнения
с источником постоянного напряжения. Некоторые способы электре-
тированпя и разновидности электретов рассмотрены далее.
Расчет полей электрета
много меньше его длины и ширины,
обкладок) создает лишь внутреннее
поле, как в плоском конденсаторе.
Только у краев будет наблюдаться и
внешнее поле.
Но тонкий плоский электрет соз-
дает поле в зазоре между электретом
и закороченными электродами. Следо-
вательно, в этом случае, кроме внут-
реннего, будет создаваться и внешнее
поле. Рассмотрим расчет полем элек-
трета прн закороченных между собой
электродах.
Полагаем, что плоский электрет
имеет одинаковую по величине, но
Если толщина электрета
то свободный электрет (без
Рис. 58.2. Схема для расчета
поля электрета
разную по знаку эффективную поверхностную плотность заряда
+0>ф 11 ~0>ф (Рнс- 58-2). На электродах конденсатора наводятся
равные и противоположные по знаку заряды Q. Пусть нижний
электрод плотно прилегает к электрету, так что зазор отсутствует,
а верхний электрод расположен на расстоянии / от электрета.
Электроды закорочены проводником, что показано сплошной линией.
При переходе через верхнюю запряженную поверхность элект-
рета у вектора электростатической индукции возникает скачок
= (58.3)
414
Действительно, как известно, заряженная плоскость го.ьпч
по обе стороны от нее индукцию, численно равную (Д,|, 2, мк чю
эта величина прибавляется к индукции остального поля для очного
из направлений и вычитается для другого:
= (58.1)
D^D-Q^/2. (58.5)
Отсюда, очевидно, и получаем (58.3). Учтем теперь, что индукция
связана с напряженностью поля:
D^eoeg/, De = e08e. (58.6)
Воздушный зазор заменяем вакуумом, поскольку для воздуха
е « 1.
Но величины Dt и De имеют противоположные знаки, так что
вычитание в левой части (58.3) следует заменить сложением, если
не учитывать знаки напряженностей поля и использовать их абсо-
лютные значения. Таким образом, получили связь между $е и
Fo0e + co8^i — СЭф> (58.7)
т. е. одно уравнение с двумя неизвестными. Диэлектрическую про-
ницаемость е полагают константой, независящей от степени поля-
ризации электрета и равной диэлектрической проницаемости е
соответствующего диэлектрика. Как отмечалось, для линейных ди-
электриков 8 не зависит от поляризующего поля и величины поля-
ризации.
Другое уравнение с теми же неизвестными получаем исходя
из условия, что разность потенциалов между верхним и нижним
электродами равна нулю, поскольку они закорочены:
= (58.8)
ИЛИ
= (58.9)
Подставляя это выражение в (58.7), получим
<Ъ Сэф Оэф
L l + 7 °
Соответственно для внешнего поля
J? Фэф
= ы—Г--
(58.10)
(58.11)
Индуцированные на обкладках заряды Q не равны Сэф, ибо они
наводятся как зарядом Ч~фЭф, так и зарядом—Можно найти Q
исходя из уравнения для плоского конденсатора
£>e = e<A = Q. (58.12)
415
Следовательно,
<58'3)
Рассмотрим, как изменяются поля и заряд Q при изменении /.
Во-первых, при I ->0 по (58.13) видим, что Q -*Ф9ф- Значит,
когда обе обкладки прилегают к электрету, заряд на каждой из
них определяется только ближайшей заряженной поверхностью
электрета. Наоборот, при увеличении /, т. е. увеличении 1/L, заряд
Q стремится к нулю.
Во-вторых, при малых I по (58.10) и (58.11) имеем ->0,
8С -> С9ф'ео> т. е. прн малых зазорах внутреннее поле пренебрежимо
мало, а внешнее поле в зазоре близко к максимальному значению
<?Эф/е0. Наоборот, при l!L >> 1 имеем — Q9^/ee0 и = 0. Сле-
довательно, если второй электрод отведен на бесконечность, т. е.
отсутствует (а значит, никакой роли не играет и первый электрод,
т. е. электрет свободен), то внешнее поле равно нулю, но внутрен-
нее поле достигает максимального значения Q^/ee0. Внутреннее
поле приводит к саморазряду электрета (особенно воскового), так
что в свободном электрете процесс уменьшения зарядов фэф идет
быстрее, чем в закороченном электрете, для которого I = 0 и <1, = 0.
Закорачивание электретов производят, например, с помощью ме-
таллической фольги. В частности, электреты из воска обычно хра-
нят завернутыми в металлическую фольгу. При этом расстояние
от электрета до фольги стараются сократить до минимума, т. е.
обертка должна плотно облегать электрет. Для керамических и ряда
других электретов это не особенно существенно, так как оии хорошо
хранятся и не закороченными. Видимо, так бывает при наличии
гомозаряда, поскольку последний хранится значительно дольше.
Как уже указано, при выводе формул для <?z н &е диэлектриче-
ская проницаемость считается постоянной величиной для данного
диэлектрика. При исследовании зависимостей е и tg 6 от электре-
тирования получены противоречивые результаты: то не обнаружи-
вают изменений, то, наоборот, находят увеличение этих параметров.
Непонятной кажется независимость е н tg 6 от состояния поляриза-
ции, которая заморожена в термоэлектрете нлн создана каким-либо
иным способом за счет ресурсов, не связанных с поляризацией при
обычном определении е.
Релаксация зарядов в электретах
Начальный эффективный заряд <?эф, который обнаруживается
после электретирования, может иметь значение порядка 10-8 Кл/см2.
Однако такое значение эффективной поверхностной плотности
неустойчиво, потому что при этом создается поле <se выше пробив-
ного. Действительно, поскольку поляризующие или измерительные
электроды располагаются близко к поверхности электрета, то
напряженность поля электрета в зазоре (после снятия внешнего
416
| поляризующего поля) достаточно большая:
= Spires-106 В'™' <58Л4>
тогда как электрическая прочность воздуха (пробивная напряжен-
ность поля) составляет 3-10'1 В/см. При малых зазорах она повы-
шается, но ясно, что в зазоре будут наблюдаться локальные пробои
воздуха при указанных условиях. Это приводит к осаждению на
поверхности электрета зарядов, снижающих (экранирующих)
до величины 3*10“® Кл/см2, соответствующей электрической проч-
ности воздуха.
Релаксация зарядов в электретах имеет сложный характер,
что связано с наличием гетеро- и гомозарядов. Следует иметь в виду,
что гомозаряд создает свой гетерозаряд, поскольку он создает
внутреннее поле. Наоборот, гетерозаряд
создает свой гомозаряд из числа сво-
бодных носителей заряда, попадающих
в поле гетерозаряда. Поэтому измене-
ния гетеро- и гомозарядов взаимосвя-
заны. Кроме того, и гетеро- и гомозаряд
распределены в действительности не на
поверхности электрета, а в объеме. Пу-
тем соскабливания слоев изучали распре-
Рис. 58.3. Распределение
плотности гетерозаряда (кри-
вая /) и гомозаряда (кривая
2) в смеси воска и канифоли
деление зарядов электрета по объему.
Причем, например, в электретах из
смеси карнаубского воска и канифоли
плотность гетерозаряда максимальна в
приповерхностном слое, но отлична от
нуля по всей толщине электрета (кривая /, рис. 58.3); гомозаряд
распределяется в приповерхностных слоях (кривая 2 рис. 58.3).
Следовательно, релаксация определяется не только величиной за-
рядов, но и их пространственным распределением.
Следует заметить, что при наличии объемных зарядов внутри
диэлектрика расчет по формулам (58.10), (58.11) по существу не
законен. Действительно, пусть, например, в диэлектрике имеются
объемные заряды, как показано на рис. 58.4. Полагаем, что заряды
образуют внутри диэлектрика параллельные плоскости с поверхност-
ными плотностями зарядов
Если убрать обкладки, т. е. сделать такой электрет свободным,
то напряженность поля <^э, как внешнего поля, будет равна нулю,
а — Qfef'o- Если же электрет находится в конденсаторе с плотно
прилегающими закороченными обкладками, как показано на
рис. 58.4, то при UL 1 напряженность поля ^2мала, а = Q/ee0.
Следовательно, будет наблюдаться перераспределение полей внутри
электрета. Ясно, что в процессе измерений методом электростати-
ческой индукции, когда будет осуществляться закорачивание элек-
трета и его освобождение, будет создаваться перераспределение
полей, что будет изменять характер релаксации зарядов в электрете.
14 Орешкин П, Т.
417
Рассмотрим наиболее простую картину изменения зарядов.
Релаксация гетерозаряда в простейшем случае может быть
описана экспонентой вида
= (58.15)
где
ДЕ
т1 = тое*г ’
(58.16)
Здесь ДЕ — энергия, необходимая для освобождения из закреп-
ленного состояния молекулы или иона (электрона). При повышен-
ной температуре относительно мала, так как тепловое движение
легко освобождает диполи и ионы (электроны). Следовательно,
термоэлектретирование гетерозаряда реализует указанную воз-
можность освобождения и ориентации молекул или смещения ионов
|Zr ZZZZZ. /JzZZZZZZZZa —
*/? ©©©©©©©©©© 4
Rz V
-q ©©©©©©©©©© 4
bz. Zz/Zz/Z ZZZZZZZZ/]
(и электронов при электронно-ре-
лаксационной поляризации). Далее
осуществляется замораживание ге-
терозаряда, поскольку при сниже-
нии температуры время релаксации
•q увеличивается во много раз.
Релаксация гомозаряда в про-
стейшем случае также описывается
экспонентой
Рис. 58.4. Электрическое поле в Q2 = Qo2e (58.17)
электрете с внутренним объемным
зарядом Скорость уменьшения плотно-
сти гомозаряда пытались опреде-
лить с помощью максвелловской теории релаксации, считая гомоза-
ряды свободными и полагая, что удельное сопротивление электрета
равно удельному сопротивлению диэлектрика, из которого изготов-
лен электрет.
Однако оказалось, чтот2 > тм. Например, при pv = Ю180м -см,
е = 3 имеем тм = 2 • 106 с 2 суток, тогда как т2 составляет обычно
несколько лет.
По Н. П. Богородицкому и др. это свидетельствует о том, что
гомозаряды не свободны и электрет не находится в условиях равно-
весия. В этом случае нельзя пользоваться максвелловской теорией.
Соответственно предлагается следующее объяснение релаксации
гомозаряда. Полагают, что гомозаряд создается электронами, захва-
ченными ловушками и образующими отрицательный объемный заряд.
Время жизни электрона на ловушке
ДЕ
т9 = ЛеАГ ’ (58.18)
где ДЕ — энергия ионизации той или иной ловушки, т. е. расстоя-
ние от уровня ловушки до уровня Ес в зонной схеме. Заполнение
418
ловушек определяется по положению квазиуровпя Ферми. < и
ветствующее время жизни электрета тэ = т2 может окдеыныя Niinin
больше, чем максвелловское время релаксации.
Но поскольку известно, что гомозаряд закрепляется и hhikum
приповерхностном слое электрета, например, составляя около I»'!»
от всей толщины диэлектрика, остается неясным, почему i.ixim'k и
ный ловушками электронный гомозаряд не нейтрализуется cnof>o i
ными носителями заряда из объема электрета. Такая гаейт|)<мшлаЦ1ш
захваченного заряда должна осуществляться за время максвелл'»в
ской релаксации.
Очевидно, что электронный гомозаряд, захваченный лопушками
в тонком приповерхностном слое электрета, не будет нейтрал!ио
ваться вследствие максвелловской релаксации при условии, сели
электропроводность материала электрета является примесной а н*к
тронной. В частности, электретированием в плазме газового ра зряда
при определенной конструкции электродов получали электреты ил
пленках фторопласта-4 толщиной около 10 мкм = 10"-3 см, в которых
электронный гомозаряд закреплялся на ловушках в тонком при-
поверхностном слое с одной стороны пленки. По мере инжекции
электронов в пленку и закрепления их на ловушках в приповерх
костном слое, очевидно, в глубине пленки должно наблюдаться
искривление зон вверх, подобно тому как это наблюдается в полу-
проводниках. Свободные электроны покидают пленку, а ионизи-
рованные доноры создают ОПЗ, т. е. обедненный электронами
барьерный слой. Оценивая толщину dn обедненного слоя по фор
муле для дебаевской длины экранирования
нашли, что dn значительно больше всей указанной толщины пленки
фторопласта (dn la^> 10"3 см). Следовательно, даже при малом
искривлении зон оно захватывает всю заданную толщину пленки.
Поскольку в диэлектрической пленке с малой примесной элек
тронной электропроводностью концентрация свободных дырок иг
чезающе мала, максвелловская нейтрализация электронного гомо
заряда не наблюдается. Последний может нейтрализоваться черс!
объем пленки лишь после термической активации электронов с ло-
вушек н их дрейфа до того или иного ионизированного донорл.
Максимальная длина дрейфа равна толщине пленки электрета, а
соответствующее время релаксации
^ = ^ге^, (58.20)
т. е. оно определяется формулой, как для барьерного слоя — рол ик-
сатора.
В общем случае, кроме электронного гомозаряда, захваченного
ловушками в приповерхностном слое диэлектрической пленки с од
14*
419
ной ее стороны, может создаваться положительный гомозаряд
в приповерхностном слое пленки с другой ее стороны за счет инжек-
ции в пленку положительных ионов и захвата их потенциальными
ямами. В таком случае должно наблюдаться большее искривление
зон, но все же основной процесс деполяризации, по-видимому, будет
заключаться в нейтрализации гомозарядов за счет активации элек-
тронов гомозаряда и дрейфа их к ионному гомозаряду сквозь квази-
нейтральный средний слой диэлектрической пленки. Очевидно, и
в этом случае время релаксации гомозаряда будет определяться по
формуле (58.20). Будет наблюдаться также активация и дрейф
положительных ионов гомозаряда, но из-за малой подвижности
и относительно большой энергии активации ионов этот процесс
согласно (58.20) будет значительно более длительным, т. е. ясно,
что электронные потоки осуществят деполяризацию раньше.
Помимо рассмотренных случаев гомозаряда, возможен гомо-
заряд за счет инжекции и захвата отрицательных ионов. Его ре-
лаксация определяется аналогичным образом.
В общем случае характер изменения эффективной поверхност-
ной плотности СЭф заряда электрета с течением времени может
быть весьма различным. В частности, возможно немонотонное изме-
нение, инверсия знака и т. д. Из сказанного понятно, что это обу-
славливается конкуренцией двух релаксационных процессов —
релаксации гетеро- и гомозаряда. Однако через некоторое время
остается в.основном лишь один тип релаксации, так что в дальней-
шем наблюдается монотонное уменьшение фэф. Оно может быть
настолько медленным, что на протяжении длительных интервалов
времени можно считать ф5ф постоянной величиной. При этом
абсолютное значение @эф достаточно большое (например, около
10-е Кл/см2), так что можно использовать электрет в качестве ис-
точника поля в различных приборах и устройствах. Поскольку при
этом постоянное поле электрета выполняет лишь некоторую трансфор-
мирующую функцию, так что работа осуществляется за счет других
источников энергии, то энергия поля электрета сохраняется дли-
тельное время почти без изменений. Следовательно, остается без
изменений и само поле электрета.
Различные способы злектретирования и виды электретов
В начале 20-х годов нашего века японский физик Егучи полу-
чил первые электреты из смеси карнаубского воска и канифоли
с помощью термоэлектретирования: смесь нагревали до 130° С, так
что она расплавлялась, и выдерживали в электрическом поле при
охлаждении до комнатной температуры. В процессе охлаждения
образец затвердевал и в нем замораживалось состояние поляриза-
ции. Позднее получали керамические термоэлектреты и электреты
нз других материалов, причем в процессе поляризации не достига-
лась температура плавления или размягчения. Тем не менее, при
термоэлектретировании поляризация всегда осуществляется при
420
повышенной температуре и далее состояние поляризации заморажи-
вается в электрическом поле.
В последнее время наряду с массивными образцами термоэлек-
третов стали получать и использовать в микрофонах пленочные
электреты из органических полимеров типа фторопласта-4, поли-
этилена и др.
Кроме термоэлекгретирования применяют и другие методы для
получения электретов. Например, полимерные пленки можно элек-
третировать в плазме газового разряда. Электреты, получаемые при
достаточно высоких напряженностях поля без подогрева образца,
иногда называют электроэлектретами.
Применяют облучение проникающей радиацией; причем при
электретировании в электрическом поле получают радиоэлектреты,
а без электрического поля — псевдоэлектреты.
Электреты, полученные путем фиксирования химическим спо-
собом ориентированной в электрическом поле структуры, называют
хемоэлектретами.
Электреты, изготовленные на основе полимеров путем сжатия
под давлением при повышенной температуре, называют механо-
электретами.
Электреты, получаемые при освещении образца, находящегося
во внешнем поляризующем поле, называют фотоэлектретами. Осве-
щение через прозрачный электрод при электретировании поддер-
живается определенное время. Его роль состоит в ионизации атомов,
в результате которой электроны освобождаются и под действием
поля мигрируют в образце. Однако дрейф ограничен, и электроны
захватываются ловушками. Фото-
электреты могут длительно суще-
ствовать лишь в темноте. При осве-
щении фотоэлектрета происходит
опустошение ловушек, и электрет-
ный заряд исчезает.
Токи деполяризации
в электретах
Одним из способов количест-
венного определения заряда яв-
ляется измерение токов деполя-
ризации. Поскольку поляризация
Рис, 58.5. Зависимость тока депо-
ляризации 7 от времени и темпера-
туры в керамическом электрете
замораживается илн фиксируется
вследствие захвата носителей заряда ловушками и потенциальны-
ми ямами, очевидно для наблюдения деполяризационных токов нуж-
но повышать температуру образца. Если тем или иным спосо-
бом осуществить достаточно хороший контакт обкладок с образцом
электрета и замкнуть их на чувствительный токовый прибор, то
при нагревании образца обнаруживается ток деполяризации.
На рис. 58.5 приведена зависимость тока деполяризации от
времени в керамическом электрете при почти линейном нарастании
421
температуры в течение двух первых часов и сохранении ее постоян-
ной и равной 300° С в течение последующих нескольких часов. При
* температуре около 200° С наблюдается максимум тока деполяриза-
ции, а в дальнейшем ток спадает до нуля. Это соответствует разру-
шению электретного состояний. Площадь под кривой деполяриза-
ции соответствует общему эффективному заряду электрета. Направ-
ление тока деполяризации определяется полярностью эффективного
заряда.
Для фотоэлектретов обычно изучается термостимулированная
проводимость. К фотоэлектретным материалам относятся
сера, сульфид цинка и др. Фотоэлектреты исследуют в отсут-
ствие освещения. Образец нагревают с постоянной скоростью и
наблюдают максимумы термостимулированного тока. По этим мак-
симумам определяют глубину залегания ловушек.
Области применения злектретсв
Электреты нашли техническое применение. Например, исполь-
зуют электретный микрофон. На рис. 58.6 изображена схема микро-
фона с массивным электретом /, где 3 — корпус; 4 — электрод.
Подвижным электродом здесь является металлическая мембрана 2.
Звуковые волны, являясь внешним источником энергии, изменяют
зазор между мембраной и электретом, что приводит к изменению
электрических полей и к возникновению переменной э. д. с. в цепи.
Если в качестве нагрузки R использо-
2\ \ ----1 вать обычный высокоомный телефон, то
колебания тока в цепи будут в телефоне
я * По преобразовываться в звуковые волны.
О 7УУ И Таким образом, поле электрета выпол-
j __________________J няет трансформирующую функцию, а
источником энергии является внешний
Рис. 58.6. Схема электрет- ИСТОЧНИК звука.
F В Японии освоен серииныи выпуск
переносных магнитофонов, в которых
применяют электретный микрофон. В отличие от микрофона на
рис. 58.6 здесь используют мембрану из пленки органического
полимера, которая является электретом. Зазор образуется меж-
ду электретом-мембраной и металлическим корпусом-электродом.
Другой электрод нанесен в виде металлической пленки на поли-
мерную мембрану. В качестве согласующей нагрузки применяют
встроенную в корпус микрофона интегральную схему.
В Советском Союзе проводятся аналогичные разработки. Элек-
третный микрофон можно использовать как чувствительный ларинго-
фон, вибродатчик звуковых и ультразвуковых частот и т. д. При
подаче на электроды электрического сигнала звуковой частоты мик-
рофон будет выполнять роль телефона, так как внешний источник
будет создавать заряды на обкладках, т. е. будет изменять поле
в зазоре. Это вызовет колебания мембраны, которые будут создавать
422
звуковые волны в соответствии с подаваемым переменным п.шряжг
нием. В принципе можно осуществить телефонную связь би j внешни ч
источников питания, используя лишь два электретных микрофон ।
телефона. Каждый из них используется поочередно в роли микро
фона или телефона. Особенностью такой схемы является и к», чн»
величина сопротивления соединительных проводов практически и<-
играет роли ввиду своей малости по сравнению с сопротивлением
датчиков. Но увеличение емкости линии связи приводит к ух j дин-
нию слышимости из-за шунтирования этой емкостью п<тгру»ки.
Такие линии связи применялись на военных кораблях, в научно
исследовательских институтах и т. д.
Применяют электреты также в области дозиметрии проникаю
щей радиации. При облучении электрета а-, р- и у-лучамп заряд
электрета уменьшается. Если облучение попадает в район воздуш
него зазора, то оно ионизирует здесь воздух, и заряды, осаждаясь
на поверхности электрета, экранируют его внутренний заряд.
Чем больше степень ионизации воздуха, тем больше экранирован
заряд электрета. Кроме того, эффективный заряд электрета может
уменьшаться вследствие освобождения и саморазряда зарядов внутри
электрета. По изменению эффективного заряда электрета определяю!
мощность излучения. После облучения заряд электрета либо вообще
не возвращается к первоначальному состоянию, либо возвращается
медленно. Поэтому рекомендуют применять электретные дозиметры
для разовых измерений.
Весьма перспективным считают использование электретов для
управления (фокусировки) электронным пучком. Если на пуш
электронного луча находится электрет, расположенный так, что
пучок электронов проходит через область зазора, где есть электри-
ческое поле электрета, то последнее будет отклонять электронный
пучок. В работах А. Н. Губкина с сотрудниками описаны элекгрегы
сложной формы и различные фокусирующие системы. Конструктив-
ное выполнение этих систем может быть Весьма разнообразным,
одиако непременным условием во всех случаях будет наличие окоп
для входа и выхода электронного пучка.
Интересная область применения электретов описана в работе
Г. П. Ярового. Здесь «точечные» электреты-шарики применены в ка-
честве электрических зондов, которые используют при моделиро-
вании электрических и магнитных полей сложной структуры.
В отличие от плоских электретов с узким зазором, в котором соз-
дается внешнее поле <FC, получены «точечные» источники, поле ко-
торых эквивалентно полю точечного заряда одного знака. Металл и
ческий шарик радиусом г является внутренней «начинкой» такого
электрета. Вывод от него делается в теле электрета — шаровою
пояса, заключенного между сферическими поверхностями радиу-
сами г и R (толщина пояса R — г). Технология изготовления элек-
трета следующая. На конце металлической проволоки диаметром
0,1 мм в пламени горелки наваривали металлический шарик рлдпу-
сом г — 0,1 мм. Проволоку пропускали в отверстие, просверленное
42Л
вдоль оси фторопластового стержня-зондодержателя. Расстояние
от центра шарика до торца зондодержателя устанавливали порядка
1 мм. При достаточно высокой температуре, когда органическая
смесь, используемая в качестве материала электрета (20% пчели-
ного воска, 75% канифоли, 5% шеллака), была жидкой, на метал-
лический шарик наносили указанную смесь в виде шарика радиусом
Д = 2 мм. Поляризацию электрета производили в сферической,
разъемной полой камере, которая была внешней обкладкой, а внут-
ренней обкладкой был указанный металлической шарик. По окон-
чании процесса электретирования металлический шарик вначале
заземляли, а затем проволоку отрезали. В результате получали
радиально поляризованный термоэлектретный зонд, внешнее поле
которого аналогично полю точечного заряда.
Измерение заряда осуществляли методом электростатической
индукции. Зонд на диэлектрическом стержне помещали внутрь по-
лого изолированного металлического шара и определяли его потен-
циал с помощью электрометра с высоким входным сопротивлением.
Заряд электретного зонда рассчитывали по формуле
Q = (C + Ca) V, (58.21)
где С и С3 — емкость шара и входная емкость электрометра.
Следует заметить, что электретный зонд относительно быстро
разряжается, в связи с чем его нужно электретировать перед тем,
как он будет использован для практических целей.
Перейдем теперь к фотоэлектретам. Фотоэлектреты нашли осо-
бенно широкое применение в электрофотографии. Если на поверх-
ность фотоэлектрета спроектировать световое позитивное изображе-
ние и выдержать это световое изображение определенное время, то
предмет будет сфотографирован. На участках поверхности, где было
большее освещение, электрет разрядится сильнее, чем в других
местах. Для проявления снимка на пластинке фотоэлектрета исполь-
зуют смесь двух порошков. При трении друг о друга частицы одного
из порошков заряжаются положительно, другого — отрицательно.
Посыпая такой смесью поверхность пластинки, проявляют зафикси-
рованное изображение предмета. Отрицательно заряженные частицы
одного цвета осаждаются на положительно заряженных участках
поверхности, а положительно заряженные частицы другого цвета —
на отрицательно заряженных участках фотоэлектрета. Таким обра-
зом получается электрофотографический снимок. Подобные сним-
ки удобно использовать в рентгеноскопии, прн аэрофотосъемках
и т. д.
Обычно пластинки для электрофотографий получают напыле-
нием слоя серы толщиной 50 мкм на алюминиевую подложку. Пленка
серы поляризуется во внешнем электрическом поле при непрерывном
освещении через полупрозрачный электрод, так что получается
фотоэлектрет. Дл,я проявления изображения обычно используют
смесь порошков поваренной солп и асфальта. Частицы поваренной
соли прн трении об асфальт заряжаются отрицательно, а частицы
424
асфальта — положительно. Снимки можно стирать п проводин,
цикл повторно.
Кроме перечисленных, можно назвать и другие области примет*
ния электретов. В последние годы интерес к электретам ио qior,
поэтому можно ожидать расширения практического применен пн
электретов.
Выводы к § 5В
1. Электреты, т. е. источники постоянного электрического поля, где тем или
иным способом зафиксировано состояние поляризации, можно получать, исполь-
зуя различные диэлектрики. Термоэлектреты получают при замораживании сос-
тояния поляризации в диэлектрике, причем эффективная поверхностная плгп-
ность заряда является алгебраической суммой эффективных величин гетеро- и
гомозарядов.
2. Расчет полей электретов можно проводить исходя нз электростатических
соотношений, из которых можно получить формулы для напряженности поля
внутри и вне электрета.
3. Релаксация зарядов в электретах связана с релаксацией гетеро- и гомо-
зарядов. Теоретические расчеты времени релаксации гетерозаряда, обычно даю-
щие достаточно хорошее совпадение с опытом, позволяют вскрывать природу
гетерозаряда. Расчеты времени релаксации гомозаряда, релаксирующего по закону
максвелловской релаксации, приводят к очень большим расхождениям с опытом.
Это можно объяснить тем, что в данном случае имеет место иная релаксация.
В частности, при захвате ловушками электронов в приповерхностном слое поли-
мерной пленки с малой • электронной примесной электропроводностью время ре-
лаксации такого гомозаряда определяется термической активацией электронов
с ловушек и их миграцией до ионизированных доноров сквозь пленку. В более
общем случае, кроме того, могут'термически активироваться ионы, которые также
участвуют в миграции, приводящей к разряду.
4. Существует ряд способов получения электретов и различные их виды.
Кроме термоэлектретирования, примеряют электретирование в плазме газового
разряда, электретирование в сильном поле без разогрева и охлаждения, электрети-
рование химическим способом и т. д. Электреты, получаемые при освещении об-
разца, находящегося во внешнем поляризующем поле, называют фотоэлектретами.
5. Токи деполяризации в электретах наблюдаются при нагревании образцов.
Прн определении термостимулнроваиной проводимости ряда электретов наблю-
дают максимумы тока, по которым определяют глубину залегания ловушек.
б. Электреты находят все более широкое практическое применение. Так,
широко применяют электретные микрофоны.
§ 59. СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКИ
Сегнетоэлектриками называют особый вид диэлектриков, отли-
чающийся нелинейной зависимостью поляризации от напряженности
поля, что является следствием наличия в них электрических доме-
нов. При рассмотрении эффекта Ганна применялся термин «электро-
статические домены», под которыми подразумевают области сильного
электрического поля. Но электростатические домены отличаются от
электрических доменов, характерных для сегнетоэлектриков. В по-
следнем случае домены — это области самопроизвольной (спонтан-
ной) поляризации (порядка 10 2—10“4 см), аналогичные магнитным
доменам в ферромагнетиках.
Свое название сегнетоэлектрики получили от названия мине-
рала — сегнетовой соли (NaKC4H4O64H2O), для которой указан-
425
ные свойства были обнаружены впервые. Свойства сегпетовой соли
были подробно исследованы в работах академика И. В. Курчатова
н П. ГТ. Кобеко.
Наиболее распространенным сегнетоэлектриком является мета-
титанат бария BaTiOs. Впервые обнаружены и исследованы сегнето-
электрические свойства метатитаната бария в 1944 г. академиком
Б. М. Вулом. Часто BaTiO3 называют сокращенно титанатом ба-
рия.
Кроме сегнетовой соли и титаната бария, насчитывается около
290 индивидуальных соединений и более 1500 материалов — твер-
дых растворов, обладающих сегнето- или антисегнетоэлектрическими
свойствами. Под антисегнетоэлектриками подразумевают вещества,
в которых спонтанная поляризация возникает в двух и более под-
решетках, так что внутри каждого домена наблюдается взаимная
компенсация электрических моментов, т. е. результирующая спон-
танная поляризация оказывается равной нулю. Тем не менее анти-
сегиетоэлектрики отличаются от линейных диэлектриков, поскольку
оии имеют спонтанную поляризацию и разбиты на домены.
Все сегнето- н антисегнетоэлектрики можно подразделить на
две группы:
1) кислородно-октаэдрические или близкие к ним, где сегнето-
активный ион находится внутри кис-
Рис. 59.1 Основная кривая по-
ляризации, выражающая связь
между D н g в сегнетоэлек-
триках
дородного октаэдра;
2) водородные или близкие к ним,
где возникновение сегнетоэлектриче-
ских свойств связано с перемещением
протонов в водородных связях, с вра-
щением групп и т. д.
Диэлектрические свойства
сегнетоэлектрииев
При постоянной температуре об-
разца связь между вектором элек-
тростатической индукции I) и напря-
женностью внешнего поля g для сег-
нетоэлектриков нелинейна (рис. 59.1), т. е. диэлектрическая про-
ницаемость в является функцией напряженности поля g. Общее
соотношение между указанными величинами выражается известной
формулой
D = eeog. (59.1)
Однако здесь в не является постоянной величиной. В частности,
можно определить начальную вн, некоторую среднюю вср и макси-
мальную бщах диэлектрические проницаемости:
₽ _ р,аах
ьшах — rd
ео® max
(59.2)
426
Основную кривую поляризации (рис. 59.1) получают при уве-
личении & от нуля до заданного значения на предварительно депо-
ляризованном образце.
Характерной особенностью сегнетоэлектриков является большая
величина диэлектрической проницаемости в слабых полях.
В сильных полях наблюдается уменьшение е, что
связано с окончанием процесса поляризации доменов. Например,
на рис. 59.2 приведены кривые е = f (<£) при различных температу-
рах для метатитаната барня. Из рисун-
ка видно, что при Т — 22° С вначале
наблюдается рост в, а затем некоторый
спад. При Т — 130° С величина в не за-
висит от поля в результате разрушения
доменной структуры. Точка Кюри BaTiO3
соответствует 120° С. В интервалеО —
120е С ячейка BaTiO3 тетрагональная,
при 120° С происходит фазовый переход
и тетрагональная ячейка превращается
в кубическую, так что при 130° С она
уже кубическая, а домены разрушают-
ся за счет теплового движения. При 0°С
для BaTiO3 наблюдается второй фазо-
вый переход и ячейка из тетрагональной
превращается в ромбическую, а в ин-
тервале —(70 — 90)° С — фазовый пере-
ход, при котором ячейка превращается
в моноклинную или триклинную. Но эти
Рис. 59.2. Зависимость ди-
электрической проницаемо-
сти метатитаиата бария от
напряженности внешнего
электрического поля при раз-
личных температурах
фазовые переходы не разрушают домен-
ную структуру, хотя векторы спонтанной поляризации изменяют свое
направление. В тетрагональной ячейке, слабо отличающейся от
кубической, отношение осей с/а = 1,01 и вектор спонтанной поля-
ризации направлен вдоль оси с. Ниже 0° С для ромбической решетки
вектор спонтанной поляризации направлен вдоль диагонали элемен-
тарной ячейки. После следующего фазового перехода вектор спон-
танной поляризации направлен вдоль объемной диагонали.
Кроме значений е„ и Втах, которые обычно определяют для сег-
нетоэлектриков, находят также дифференциальную относительную
диэлектрическую проницаемость
_ 1
®днф * Л/.-'
Ео О©
(59.3)
Очевидно, что ход кривой елиф = f ($) будет отличаться от
хода в « f (<р).
Если вначале создать достаточно сильное поле ё':, так что будет
справедливо неравенство & > <*?таХ, а затем уменьшать постоянное
поле по величине, то изменение D будет отставать от изменения
т. е. будет наблюдаться гистерезис (рис. 59.3). Величина Dr является
остаточной индукцией, а напряженность поля &с называют коэрци-
427
Рис. 59.3. Петля ги-
стерезиса сегнетоэлек-
трика (пунктиром по-
казана основная кри-
вая поляризации)
тивным полем Кроме полной петли гистерезиса, отсекающей на
осях величины D, и с?„, можно получать п частные циклы петель
гистерезиса, которые соответствуют меньшему
размаху изменений D н <£.
По петлям гистерезиса можно определять
реверсивную диэлектрическую проницаемость
ер, которую снимают прн постоянном поле
на малом переменном сигнале. В зависимо-
сти от величины напряженности постоянного
поля смещения реверсивная диэлектрическая
проницаемость получается различной (рис.
59.4). Этим пользуются для управления емко-
стью в специальных сегнетоэлектрических
конденсаторах — варикондах.
При изменении температуры образца ди-
электрическая проницаемость сегнетоэлектри-
ка изменяется. Ход кривой е = f (Г) зави-
сит от направления поля по отношению к сег-
нетоэлектрической оси.
в тетрагональной ячейке BaTiO3 сегнетоэлек-
трическая ось направлена вдоль оси ”
направление обозначают через а. Ди-
электрическая проницаемость является
тензором, и для BaTiO3 наибольшие из-
менения в районе фазовых переходов
наблюдаются для компонента ео (рис.
59.5). Но в точке Кюри ео и ес сли-
ваются, т. е. наблюдается равенство этих
компонентов.
Приведенный пример для титаната
бария нельзя рассматривать как типич-
ный график для компонентов тензоров е
в любых сегнетоэлектриках. В частно-
сти для сегнетовой соли, имеющей две
точки Кюри (при —18 и +23° Q, между
которыми наблюдается спонтанная по-
Как отмечалось,
Рис. 59.4, Реверсивная диэлектрическая про-
ницаемость:
а — в титанате бария при переменном поле 1 кВ/см
(кривая /) и 0.2 кВ/см (кривая - 2); б — в сегнето-
влектрике ВК-1 при переменном поле I кВ/см (кри-
вая /) и 0.1 кВ/см (кривая 2) (по горизонтали от-
кладывается напряженность постоянного поля)
Перпендикулярное ей
ляризация, сегнетоэлектрической осью является ось а моноклин-
ной структуры. Только вдоль этой оси и обнаруживаются сег-
нетоэлектрические свойства NaKC4H4O64H2O. В направлении же
осей Ь и с сегнетоэлектрические свойства не проявляются и диэлек-
428
-200460-120-80 -k0 0 kO 80 120 Т, °C
Рис. 59.5. Температурная аавнсимость
диэлектрической проницаемости мета-
тнтаната бария, измеренная в направ-
лении сегнетоэлектрической оси с и
перпендикулярной ей оси а
различаются, что связывают с раз-
образцов. Часто принимают С =
трические проницаемости е& и ес составляют всего несколько единиц
(рис. 59.6)
Отметим также, то измерения компонентов тензора е проводят
на однодоменном или монодоменизированном кристалле. В ромби-
ческой модификации BaTiOg измерения тензора е затруднительны,
и в большинстве случаев приво-
дят усредненные величины 8,
отнесенные к первоначальным
кубическим или тетрагональным
осям.
Температурная зависимость е
в неполярной модификации или
параэлектрическом состоянии
может быть представлена зако-
ном Кюри — Вейса
г
+ (59-4)
Для метатитаната бария В =
= 10, а абсолютные значения С
у разных исследователей сильно
личной технологией получения
= 105 град. Закон Кюри — Вейса не применим непосредственно к
Рис. 59.6. Зависимость диэлектрической проницаемости еа вдоль
сегнетоэлектрической оси а и проницаемостей €& и 8С вдоль осей Ь и
с от температуры (а) и расположение указанных осей (б) в кристал-
ле сегнетовой соли
б)
точке Кюри, ибо при этом Т — Тк = 0. Часто записывают закон
Кюри — Вейса в форме
® ” у » (59.5)
т. е. включают постоянную В во второе слагаемое (59.4), либо не
учитывают ее ввиду малого значения.
429
Частотная зависимость е сегнетоэлектриков по своему характеру
аналогична зависимости е — <р (/) для материалов типа ферритов —
с ростом частоты е уменьшается и в некоторой области может на-
блюдаться крутой спад. Например, на
рис. 59.7 показана частотная зависи-
мость е = <р (/) для метатитаната бария
при постоянной температуре. Следует
заметить, что абсолютные значения ве-
личины е приводятся для общей ориен-
тировки, поскольку они зависят от тех-
нологии изготовления кристаллов и от
методики измерений. Кроме того, часто
приводят такие зависимости для поли-
кристаллических сегнетоэлектриков в
виде керамики, где возможен значи-
тельный разброс всех параметров. Яс-
£
Ю3 10s W7 10s
Рис. 69,7. Зависимость ди-
электрической проницаемо-
сти метатитаиата бария от
частоты
но, что при различных температу-
рах изменения е неодинаковы, ибо различны и сами величины е.
В качестве примера на рис. 59.8, а даны кривые е = f (7) при раз-
ных частотах для сегнетоэлектрика Pb (MgI/3Nb.2/3) О3 согласно
измерениям Хучуа н Лычкатой. Здесь одновременно демонстри-
руется еще одна особенность — размытый сегнетоэлектрический
Рис. 59.8. Зависимость диэлектрической проницаемости (а) и тангенса угла ди-
электрических потерь (б) в сегнетоэлектрике РЬ (Mg1/-8Nb2/3) О3 от температуры
при различных частотах
фазовый переход и обнаруживаются релаксационные свойства,
состоящие, в частности, в том, что с увеличением частоты максимум е
сдвигается в сторону более высокой температуры, а его величина
уменьшается. Так что в данном случае максимум е уже нельзя
считать соответствующим точке Кюри. Подобными свойствами об-
ладают также твердые растворы на основе BaTiO3 — BaZrO3 —
— BaSnO8, SrTiOs — Bia/з TiO3 и др.
430
Рис. 59.9. Зависимость диэлектриче-
ской проницаемости (/; 2) и тангенса
угла диэлектрических потерь (5; 4) по-
ликристалл ического титаната бария
при комнатной температуре в слабых
переменных полях: /; 3 — ^см = 0; 2\
2; 4 — <2СН = 10 кВ/см
На рис. 59.8, б приведены кривые tg 6 = f (Т) для сегнетоэлек-
трика Pb (Mgt'aNb^) Os. Обычно в сегнетоэлектриках несколько
ниже точки Кюри наблюдается максимум tg 6. Кроме того, в сег-
нетоэлектрической области tg б
выше, чем в параэлектрической,
tg 6 обычно в пределах 0,01—
0,06. Эти потерн в значительной
мере определяются потерями на
гистерезис, которые пропорцио-
нальны площади петли гистере-
зиса.
Общий характер частотной
зависимости диэлектрической
проницаемости и потерь в сла-
бых полях в поликристалл нче-
ском титанате бария показан на
рис. 59.9, где согласно исследо-
ваниям М. М. Некрасова и
Ю. М. Поплавко приведены ди-
электрическая проницаемость и
tg 6 при поле смещения <£?см = 0
(кривые 1 и .?) и ё'ск = 10 кВ/см
(кривые 2 и 4). Как видно из ри-
сунка, заметное уменьшение в и возрастание tg б наблюдается в об-
ласти частот 108—1010 Гц. По-видимому, это связано с инерционно-
стью движения доменных границ.
В заключение отметим, что при повышении температуры наблю-
дается рост диэлектрических потерь за счет электропроводности
сегнетоэлектрика.
Электропроводность сегнетоэлектриков
Электропроводность влияет на доменную структуру сегнето-
электриков. В частности, получение однодоменных кристаллов обус-
ловлено конкуренцией между скоростью роста сегнетоэлектрической
фазы и изменением концентрации свободных носителей заряда при
переходе кристалла из пара- в сегнетоэлектрическую область. Если
при этом поверхностный заряд граничных диполей может быть ском-
пенсирован свободными зарядами, то создаются необходимые усло-
вия для образования однодоменного кристалла.
Ширина сегнетоэлектрического домеиа
d=(ra <59-6)
должна уменьшаться при увеличении концентрации свободных но-
сителей заряда, поскольку последнее приводит к уменьшению элек-
тростатической энергии кристалла /1эл и противополяризацип Pit
индуцированной поверхностными зарядами, из-за компенсации
431
поверхностных зарядов (в формуле (59.6) величина Р() — спонтан-
ная поляризация; К — постоянная).
С концентрацией свободных носителей заряда связана способ-
ность к «запоминанию» первоначальной доменной конфигурации
Если после нагревания кристалла выше точки Кюри 7к концентра-
ция носителей заряда оказывается недостаточной для того, чтобы за
относительно короткое время скомпенсировать поверхностные за-
ряды, то после охлаждения ниже 7к появится первоначальная до-
менная конфигурация.
У титаната бария при кратковременном приложении электри-
ческого поля наблюдаются пропеллерообразные петли, что связы-
вают с натеканием свободных носителей заряда к границам доменов
и с соответствующей компенсацией поля деполяризации. Экспери-
ментально показано наличие на доменных границах свободных но-
сителей заряда, освобождаемых при нагреве сегнетоэлектрика выше
точки Кюри.
Динамика движения доменов при наложении внешнего электри-
ческого поля также связана с концентрацией носителей заряда,
т. е. с электропроводностью сегнетоэлектрика.
Таким образом, электропроводность сегнетоэлектриков пред-
ставляет интерес не только сама по себе, но и как фактор, участвую-
щий в формировании и движении доменов.
Полный ток, текущий в цепи источник — сегнетоэлектрик, как у
любых диэлектриков, состоит из нескольких составляющих:
1) тока, обусловленного зарядкой геометрической емкости С
образца диэлектрика и при сопротивлении цепи R, спадающего
с постоянной времени тм = RC-,
2) тока, обусловленного развитием разных видов диэлектри- -
ческой поляризации, спадающего, например, по закону Кюри / =
= АГп;
3) тока сквозной проводимости, спадающего с течением времени;
4) тока сквозной проводимости, не зависящего от времени.
Длительно спадающий со временем ток наблюдается у всех
исследованных сегнетоэлектриков. При этом указанный спад отме-
чается только в сегнетоэлектрической области, а у одноосных
сегнетоэлектриков — только в сегнетоэлектрическом направлении.
Распределение потенциала при этом остается практически линейным,
так что прнэлектродиые слои объемного заряда не возникают. Зави-
симость времени установления тока от температуры аналогична соот-
ветствующей зависимости коэрцитивного поля от времени установ-
ления сегнетоэлектрической поляризации. То же можно сказать
о зависимости времени установления тока от напряженности внеш-
него поля — оно изменяется аналогично времени установления
сегнетоэлектрической поляризации. Следовательно, длительный
спад тока в сегнетоэлектриках связан с установлением сегнетоэлек-
трической поляризации.
При измерении проводимости применяют омические (невыпрям-
ляющие) контакты, которые получают пугем вжигания паст, напы-
432
Рис. 59.10. Зависимость электро-
проводности от температуры в хи-
мически чистом монокристалле
BaTiO3 с точкой Кюри. Т = 400 К.
Измерения проведены при 6" =
= 5 кВ/см
лением в вакууме и т. д. — серебряные, золотые, ппллл цпччл-
платиновые, индиевые контакты.
При высоких температурах используют платиновые элскцмлы,
так как, например, серебро и золото мигрируют в образец. Илмг
ряют, как и в других диэлектриках, начальную, остаточную или
иную проводимость.
Температурные зависимости о = f (Т) обычно представляют
собой экспоненты, которые характерны для той или иной области.
Иногда наблюдаются изломы линейных зависимостей 1g и = f (I//'),
что связано с изменением энергии
активации. Стечением времени воз-
можно старение сегнетоэлектрика и
его проводимость возрастает.
Изменение проводимости сегне-
тоэлектриков охватывает много по-
рядков величин. Например, для
керамического титаната бария уде-
льная электропроводность может
изменяться от 10-18 до 10"1 Ом-1Х
хсм-1 при изменении температуры
образца от комнатной до 1500 К.
Но проводимость зависит от тех-
нологии получения образца и ме-
тодики измерения.
Различные сегнетоэлектрики
имеют разную удельную электро-
проводность — от низкоомных по-
лупроводников до хороших диэлек-
триков.
В титанате бария электропро-
водность имеет электронный харак-
тер в весьма широком интервале
температур. Энергия активации проводимости в параэлектрнческой
области составляет около 2 эВ, а оптическая ширина запрещенной
зоны 3 эВ. До 1300 К электронная электропроводность ВаТ1О3 обыч-
но является примесной как для кристаллов, так и для керамики.
Глубина залегания доноров оказывается порядка 2 эВ. Ниже 450 К
тип электропроводности электронный, а в интервале 450—1100 К
знак носителей заряда, определенный методом э. д. с., соответствует
дыркам. Предполагают, что роль доноров и акцепторов могут вы-
полнять одни и те же дефекты, примесные уровни которых мо-
гут иметь «амфотерный» характер. Но возможен и такой случай,
что доноры и акцепторы в BaTiO3 имеют различную природу.
Собственная электронная электропроводность
~ е (пря + ррр) = еп (р„+рр). (59.7)
Для титаната бария ця=0,1 см2 (В-с) и рр= 1,1 см2/(В«с), так
что имеем |<Р= 11 (1„ и О;= 12 еп (59,8)
433
Эффективная масса электронов для BaTiO3 порядка т* •-
= 5/и и я ~ КГ5 см-3, Ci <=& 10’22 Ом-1-см"1 при 320 К. В сегнето-
электриках типа SrTiO3, CaTiOs, PbTiO3 электропроводность
вплоть до 1250—800 К электронная (при низких температурах п-
типа, при высоких температурах p-типа); ширина запрещенной
зоны составляет, как и для титаната бария, 3 эВ. Многие другие
сегнетоэлектрики также имеют электронную электропроводность.
Считают, что кислородно-октаэдрические сегнетоэлектрики имеют
электронную электропроводность. Наоборот, водородные сегнето-
электрики имеют ионную составляющую проводимости, причем при-
месная электропроводимость обеспечивается ионами примеси, а соб-
ственная — протонами. Ионная составляющая электропроводности
обнаружена также в некоторых твердых растворах кислородно-
октаэдрических сегнетоэлектриков. Метод Тубандта позволяет
определять числа переноса ионов.
В районе точки Кюри наблюдается аномалия электропровод-
ности кислородно-октаэдрических сегнетоэлектриков. При переходе
из сегнетоэлектрической в параэлектрическую фазу электропровод-
ность скачком уменьшается, а энергия активации увеличивается
(рис. 59.10). Но в некоторых сегнетоэлектриках наблюдается лишь
излом кривой и — f (1/7) в точке Кюри, т. е. увеличение энергии
активации без скачка электропроводности.
Барьеры в сегнетоэлектриках
Рис. 59.11. Асимметричная в. а. х. дио-
да на керамическом образце титаната
бария с выпрямляющим контактом
Ранее отмечалось, что при измерениях электропроводности
стремятся создать омические контакты у образца сегнетоэлектрика.
Но можно поступать и наобо-
рот — создавать выпрямляющий
контакт и получать диод на сег-
нетоэлектрике. Например, на
рнс. 59.11 приведена в. а. х. дио-
да на керамическом образце ти-
таната бария, где выпрямляю-
щий эффект возникает в приэлек-
тродном слое BaTiO3 на контак-
те с серебряным электродом,
полученным вжиганием серебря-
ной пасты. Другой невыпрям-
ляющий контакт получают пу-
тем напыления серебра в вакуу-
ме либо применения амальгамы
индия.
На рис. 59.12 приведен дру-
гой пример нелинейных и несим-
метричных в. а. х. на сегнетоэлектриках. Кривая 1 получена на
образце керамики Baot8Sr0t2Ti03 t с одним омическим и другим
выпрямляющими электродами, а кривая 2 — с двумя выпрямляю-
434
Рис. 59.12. Несимметричная (/) и
нелинейная (2) в. а. х. керамики
Ba0l8Sr0,2TiO3_x (диаметр образца
0,4 см, толщина =— 0,05 см)
щнми электродами, так что она имеет симметричный варисторный
ход.
Барьерные слои у выпрямляющих контактов в сегнетоэлектри-
ках могут иметь весьма высокую емкЬсть. С помощью таких слоев
получены конденсаторы, например, емкостью 30000 пФ и рабочим
напряжением 10 В. Создавая слоистые системы из пленочных кон-
денсаторов с барьерными слоями, где отдельные конденсаторы соеди-
няют параллельно, можно получать конденсаторы на очень большие
емкости.
Таким образом, ясно, что в сегнетоэлектриках можно получать
приэлектродные барьерные слои, которые могут создавать зна-
чительную асимметрию в. а. х.
Кроме того, в керамических сегнетоэлектриках наблюдаются
барьеры не только у контактов с металлом электродов, но и внутри
самой керамики иа границах зерен.
Имеются литературные данные (на-
пример, работы Хейванга) о влия-
нии запирающих слоев на грани-
цах зерен на комплексное сопро-
тивление титаната бария и вообще
на диэлектрическую дисперсию.
Используют модель, аналогичную
модели зерен и прослоек, и объ-
ясняют частотную зависимость ди-
электрических параметров.
Имеются многочисленные экспе-
риментальные данные, свидетель-
ствующие о существовании на по-
верхности сегнетоэлектриков неко-
торых слоев, свойства которых
отличаются от свойств основной
толщи монокристалла. Так, рент-
геновские исследования Кенцига
с сотрудниками показали, что, в поверхностных слоях кристаллов
ВаТЮ3 на толщине около 100 А структура отличается от структуры
толщи.
Кенциг предположил, что указанные слои можно рассматривать
как обедненные ионами слои Шоттки, обусловленные примесями,
имеющими концентрацию 1018см~3 и создающими поле 105—10® В/см.
Мерц экспериментально установил, что время переполяризации
и коэрцитивное поле в BaTiO3 сильно зависят от толщины образца.
Он объяснил эту зависимость существованием на поверхности кри-
сталла слоев, имеющих низкую диэлектрическую проницаемость и
толщину порядка 10"* см.
Чайновес по измерениям сопротивления кристалла оценил тол-
щину поверхностных слоев объемного заряда величиной 3> 10*5 см.
Некоторые исследователи указывают на наличие значительно
более тонких барьерных слоев в кристаллах ВаТЮ8.
435
При исследовании электропроводности поликристаллических
образцов ВаТЮ3 с некоторыми примесями было обнаружено резкое
возрастание сопротивления (на 2—7 порядков) в области точки
Кюри. Подобную аномалию в ряде случаев наблюдали также иа
монокристаллах ВаТЮа чаще всего с небольшими добавками при-
меси. Ряд исследователей связывают этот эффект с возникновением
на поверхности кристаллических зерен и доменных границ слоев
высокого сопротивления. Причем получен ряд доказательств су-
ществования в сегнетоэлектрических материалах барьерных слоев.
Яновец теоретически рассмотрел условия существования анти-
параллельных (180-градусных) доменов на поверхности тетрагональ-
ного монокристалла BaTiO3 при наличии поверхностного слоя тол-
щиной 10"6—КГ4 см, где есть поле, направленное в сторону кристалла
(внутрь), и падение потенциала задал равным 1 В. Оказалось, что
в этих условиях, там, где поле слоя противоположно направлению
спонтанной поляризации внутри кристалла, могут существовать
антипараллельные домены с размерами порядка 1СГ4—4-Ю~3 см.
Это удовлетворительно согласуется с экспериментом.
Результаты этого расчета Яновец использует для объяснения
ряда свойств BaTiOs. В частности показано, что при травлении сег-
нетоэлектриков быстрее травятся области с направленным наружу
вектором спонтанной поляризации (у положительных концов доме-
нов), и поле в поверхностном слое направлено внутрь кристалла.
Это соответствует наличию положительного объемного заряда в по-
верхностном слое.
Барьерные слои в сегнетоэлектриках, по-видимому, определяют
явления усталости, состоящей в потере сегнетоэлектрических свойств
при многократной переполяризации. Возможно, что стенки доменов
не могут перемещаться в кристалле из-за наличия объемного заряда
внутри кристалла. Здесь снова возникает вопрос о возможности
локализации барьеров на границах доменов в многодоменных сег-
нетоэлектриках. На границах однодоменных сегнетоэлектриков,
как уже отмечено, имеются барьерные слои, например, типа Шоттки.
Иначе говоря, здесь, видимо, иет принципиальных отличий от кар-
тины, наблюдаемой в поверхностных слоях полупроводников
(см. § 33). Это свидетельствует о необходимости более широкого
использования теории полупроводников для описании явлений
в диэлектриках.
Сегиетозлеитрики и антисегнетсзпектрики
Термином пироэлектрики обозначаЕот кристаллы, в которых
имеется спонтанная поляризация. Такое название обусловлено тем,
что в пироэлектриках при их нагревании на поверхности создается
заряд. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики являются частными
случаями пироэлектриков. Они характеризуются наличием областей
спонтанной поляризации (доменов). Имеющийся в сегнетоэлектрике
один домен создает в окружающем пространстве поле, которое на-
436
Рис. 59.13. Однодоменный сегнетоэлектрик it
180-градусные домены (о); условно пока сию
уменьшение деполяризующей энергии при
разбиении на такие домены; 90-градусные
домены в сегнетоэлектрике (б); дипольные
моменты в антисегнетоэлектрике (в)
зывают деполяризующим. При возникновении несколыси* (н ш
многих) доменов в одном сегнетоэлектрике деполяризующей ич
уменьшается, что соответствует уменьшению энергии депо.ищи и
цин (рис. 59.13, а). Граничные слои (стенки), разделявшие домин.!
имеют конечную толщину и обладают энергией, так как в соседит
домеиах ориентация вектора спонтанной поляризации не cobili i.h i
с ориентацией вектора спонтанной поляризации в рассматриваемом
домене. Углы могут составлять 180° (180-градусные домены), чп
(90-градусные домены) и другие значения (см. рис. 59.13, а п ь)
Расчеты показывают, что в сегнетоэлектриках толщина стейки
между 180-градусными доменами не превышает нескольких межа гам
ных расстояний, но энер-
гия стенки достаточно ве-
лика (плотность энергии
порядка 10 е Дж/см2). В
ферромагнетиках толщина
стенок между магнитными
доменами достигает десят-
ков и сотен атомных рас-
стояний, а энергия стенок
у железа примерно в 10
раз меньше, чем у титана-
та бария.
Следовательно, процесс
разбиения на домены в сег-
нетоэлектриках опреде-
ляется, с одной стороны,
уменьшением энергии де-
поляризующего поля, а с другой стороны, увеличением поверхно-
стной энергии стенок. Процесс заканчивается, когда эти величины
оказываются одного порядка.
Антисегнетоэлектрики можно рассматривать как совокупность
двух или более вставленных одна в другую подрешеток, в каждой пл
которых дипольные моменты направлены параллельно, а их сум-
марный дипольный момент равен нулю (рис. 59.13, в).
При помещении сегнетоэлектрика во внешнее электрическое
поле в многодомениом (полидоменном) образце происходит поворот
векторов спонтанной поляризации и наблюдается значительной рост
поляризации вдоль внешнего поля. При достижении поля насыще-
ния d’max переориентация векторов спонтанной поляризации закан-
чивается, и дальнейший рост поляризации с увеличением поля осу-
ществляется за счет несегнетоэлектрических видов — электронной,
ионной ит. д. поляризации. При изменении величины и направления
поля наблюдается петля гистерезиса. В однородном образце, вектор
спонтанной поляризации которого ориентирован не вдоль внешнего
поля, его переориентация происходит при достижении величины
коэрцитивного поля однодоменного кристалла, и петля гистерезиса
близка к прямоугольной.
437
Поляризация антисегнетоэлектрика в слабых полях линейная.
ю при достижении достаточно сильного поля антисегнетоэлектрик
может перейти в сегнетоэлектрическое состояние. На рис. 59.14
доказано, что при увеличении напряженности поля от нуля до вели-
Рис. 59.14. Двойная пет-
ля гистерезиса, соответ-
ствующая индуцирован-
ному внешним электриче-
ским полем фазовому пе-
реходу нз антисегнето- в
сегнетоэлектрическое со-
стояние
чины происходит антисегнетоэлектри-
ческое (линейное) возрастание поляриза-
ции (и индукции D), но далее наблюдается
резкий рост Р, что соответствует переходу
антисегнетоэлектрика в сегнетоэлектрик.
Дальнейший рост Р снова линеен. На об-
ратном ходе поляризация отстает от поля,
т. е. возникает петля гистерезиса, а при
напряженности поля сегнетоэлектрик
снова переходит в антисегнетоэлектрик.
При изменении направления поля § кар-
тина аналогична, т. е. кривая симметрична.
Антисегнетоэлектрик выше точки Кюри
переходит в параэлектрическое состояние.
При подходе к точке Кюри снизу диэлек-
трическая проницаемость возрастает до не-
которого максимума, а выше точки Кюри она изменяется по зако-
ну Кюри — Вейсса. Но абсолютное значение диэлектрической про-
ницаемости в максимуме (в точке Кюри) меньше, чем у большин-
ства сегнетоэлектриков.
На рис. 59.15 приведена температурная зависимость диэлект-
рической проницаемости цирконата свинца (PbZrO3). Ниже 230° С
этот материал является анти сегнето-
электриком с ромбической структу-
рой. Циркоиат свинца имеет одно из
кристаллографических направлений,
где он не является скомпенсирован-
ным анти сегнетоэлектриком.
К антисегнетоэлектрикам относят-
ся, например, соединения NaNbO3,
Pb (MgI/2W1/4) О3, NH4H2PO4 и др.
Число известных антисегнетоэлектри-
ков немного меньше числа извест-
ных сегнетоэлектриков. В большин-
Рис. 59.15. Температурная за-
висимость диэлектрической про-
ницаемости цирконата свннца
стве случаев антисегнетоэлектрики
имеют кристаллическую структуру,
родственную сегнетоэлектрикам, а
иногда в одном и том же соединении
при различных температурах возникают как сегнето-, так и аи-
тисегнетоэлектрические фазы.
В последнее время обнаружены сегнетоферромагнетики, в кото-
рых могут сосуществовать различные виды электрического и маг-
нитного упорядочения. Напомним, что кроме параллельной ориен-
тации магнитных моментов в магнитных доменах (вферромагнетиках),
438
имеются магнетики с аитипараллельным расположением маг-
нитных моментов (в антиферромагнетиках). В последнем случае
наблюдаются скомпенсированные и нескомпеисированные антифер-
ромагнетики. Нескомпенсированные антиферромагнетики называют
также ферримагнетиками. В сегнетоферр ома гнети ках могут реали-
зовываться антисегнетоэлектрики и антиферромагнетики.
Возможность синтеза соединений, где сочетается электрическое
и магнитное упорядочение, была впервые доказана в 1958 г.
Г. А. Смоленским. Такое сосуществование наблюдали в соединениях
сложного состава Pb (Fe^W^) О3, Pb (Ре1/?М1/3) О3, РЬ (Со1/г\У1/2) О8
и др. Пока материалы такого рода, как правило, имеют низкие точки
Кюри и малые магнитные моменты.
Области применеиил сегиетсзлектриксв
Наиболее широко применяют сегнетоэлектрики в малогабарит-
ных конденсаторах большой емкости; причем обычно используют
в виде керамики твердые растворы, которые выбирают так, чтобы
получался размытый фазовый переход для сглаживания темпера-
турных зависимостей. В частности, используют керамику типа Т-1000
с е ~ 1000 состава BaTiO3 — Bi4Ti3O12; типа СМ-1 с 4000
состава ВаТ103 — Zr02; типа Т-8000 с в 8000 состава BaTiO3—
BaZrO3 и др. В последние годы создают пленочные конденсаторы
на основе сегнетоэлектриков.
Сегнетоэлектрики применяют также в качестве нелинейных
элементов. На основе BaTiO3 разработаны и серийно выпускаются
вариконды, предназначенные для управляемых фильтров, частот-
ных модуляторов, генераторов развертки, умножителей частоты и
т. д. Имеются как объемные, так и пленочные варианты элементов.
Развиваются применение сегнетоэлектриков в качестве запоминаю-
щих элементов и ячеек памяти в вычислительных устройствах.
До последнего времени их распространение затруднялось главным
образом из-за наличия динамической усталости — уменьшения
переключающегося заряда после нескольких миллионов переключе-
ний. Используют сегнетоэлектрики и как пьезоэлектрики, о чем
сказано подробнее в § 60.
Выводы к § 59
1. Диэлектрические свойства сегнетоэлектриков характеризуются нелиней-
ными зависимостями между I) и g, гистерезисом, зависимостью 8 от напряжен-
ности поля, что связано с наличием электрических доменов.
2. Электропроводность сегнетоэлектриков в определенном отношении также
связана с доменной структурой. Как и у некоторых других диэлектриков, при вклю-
чении постоянного поля в сегнетоэлектриках наблюдается спад тока, связанный
в частности, с сегнетоэлектрической релаксационной поляризацией.
3. Барьеры у контактов, на границах зерен и электрических доменов опреде-
ляют ряд физических явлений в сегнетоэлектриках.
4. Антисегнетоэлектрики, т. е. диэлектрики, имеющие домены, в которых
результирующая спонтанная поляризация равна нулю, в слабых полях имеют
линейную зависимость D как функцию g, но в достаточно сильных полях могут
439
герсходить в сегнетоэлектрическое состояние. Антисегнетоэлектрики отличаются
)Т линейных диэлектриков и рядом других свойств.
5. Сегнетоэлектрики находят широкое практическое применение. В частности,
IX используют в малогабаритных конденсаторах большой емкости.
§ 6С. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКИ
Пьезоэлектрическим эффектом называют явление поляризации
при наложении на кристалл механического напряжения, а соответ-
ствующие кристаллы — пьезоэлектриками. В них наблюдается и
обратный пьезоэлектрический эффект — изменение размеров кри-
сталла под действием электрического поля (т. е. при поляризации).
Не следует смешивать обратный пьезоэлектрический эффект с яв-
лением электрострикции — изменением размеров любого диэлект-
рика пропорционально запасенной в нем энергии электрического
поля, т. е. пропорционально квадрату напряженности поля.
Пьезоэлектрический эффект наблюдается в таких кристаллах,
в которых нет центра симметрии. Величина поляризации пропор-
циональна значению механических напряжений, т. е. связана ли-
нейной зависимостью с указанными напряжениями. При обратном
пьезоэлектрическом эффекте изменение размеров кристалла прямо
пропорционально напряженности электрического поля. Но следует
иметь в виду, что механические напряжения, например, на противо-
положных гранях элементарного объема направлены в противопо-
ложные стороны. Механические напряжения сжатия или растяже-
ния описывают с помощью тензоров и зависимости поляризации от
механических напряжений представляют в виде тензоров.
Тензоры поляризации
Пьезоэффект описывается уравнениями вида
Л = (60.1)
где Pi — компонент вектора поляризации по оси г, oik — тензор
механических напряжений (тензор второго ранга); di/k — тензор
пьезоэлектрических модулей (тензор третьего ранга), по одинаковым
индексам проводится суммирование. В частности для оси хл имеем
Р1 ~ <411011 + ^112а12 4“ ^113а13 4" 4“ ^122°22 4“ <4г3а23 4~
4“ <4з1°31 4“ ^132°32 4“ 133^33 • (60.2)
Аналогичные выражения можно записать для i = 2 и I — 3
(только первый индекс «1» заменить соответственно на индекс «2»
и «3»). Таким образом, зависимости Plt Р2, Ps от механических на-
пряжений определяются тремя уравнениями типа (60.1), содержа-
щими 27 коэффициентов которые образуют тензор третьего
ранга.
440
Нормальные составляющие механических напряжений обозна-
чают двумя одинаковыми индексами, причем первый индекс указы-
вает направление силы, второй — направление нормали к поверх-
ности, на которую действует сила.
Механические напряжения о12,о21,о1Э, о31, о23, <*32> направлен-
ные вдоль граней, называют касательными или тангенциальными
напряжениями, вызывающими сдвиг. Оказывается, что
<*23'—<*Я2» <*12—<*21» <*13— <*31> (60.3)
<412 — </121» <413 — <4з11 </123 — ^132- (60.4)
Соответственно число слагаемых в сумме (60.1) можно уменьшить
с 9 до 6 и записать тензорные обозначения у напряжений в виде
матричных следующим образом:
<*1Г <*12 <*13 /<*1 <*6 <*б\
<*21 <*22 <*23 ~~( <*0 <*2 <*4 )• (60.5)
<*31 <*32 <*33 '<*5 <*4 <*з/
Аналогичную замену обозначений производят у пьезомодулей:
тензорные обозначения 11, 22, 33, 23, и 32, 31 и 13, 12 и 21
матричные обозначения 1, 2, 3, 4, 5,- 6.
Следовательно, имеем
<411 — <41» <411 = <41> <4111 — <41 > </123= Y »
<413 — "2 ^25‘
(60.6)
Множитель 1/2 в двух последних пьезомодулях вводят для
того, чтобы в уравнениях типа (60.1) при суммировании одинаковых
членов учесть появление множителя 2. Соответственно вместо (60.2)
получим
Р1 = <41<*1 + <^12<*2 + <4з<*3 + <4-1 <*4 + </15<*5 + <4.6 <*6- (60.7)
Аналогично
Рй — <41<*1 4" <4г<*2 + <^23<*3 “Ь <4-3<*4 + <^25<*5 Ч" <4б<*в> (60.8)
Р-А = <41<*1 + </S2<*2 + <4з<*3 + <4<<*4 + <4б<*5 + <4«<*в- (60.9)
Применяя сокращенные обозначения, пьезомодули можно запи-
сать в форме матрицы
<41 <4'2 <4з </i4 <4e <4в\
<41 </22 </23 </24 </25 <<26 !• (бо.Ю)
</31 <^32 </33 </34 </35 </з«/
Для заданных кристаллов определяют численные значения пье-
зомодулей и напряжений.
441
Кварц как пьезоэлектрик
Низкотемпературная модификация SiO2 в виде ^-кварца — это
один из первых пьезоэлектриков. В 1880 г. братья П. и Ж- Кюри
обнаружили пьезоэлектрические свойства Р-кварца. Указанные
кристаллы кварца относятся к классу тригонально-трапецеидри-
ческому и к системе ромбической. Идеальный многогранник кварца
(Р-кварца) с гранями, встречающимися в природных образцах в виде
левой и правой модификаций, изображен на рис. 60.1. Оптическая
ось совпадает с направлением Z. При распространении света вдоль
оси Z плоскость поляризации вращается.
Кварц является оптически и электрически одноосным кристал-
лом и имеет две независимые диэлектрические проницаемости tj =
Рис. 60.1. Идеальный многогран-
ник кварца с гранями в виде левой
(а) и правой (б) модификация
= е2 = 4,58 и е3 — 4,70. Проводи-
мость кварца в направлении оп-
тической оси более высокая, чем
в перпендикулярном направлении.
При комнатной температуре удель-
ное сопротивление по оси Z равно
10м Ом «см, а в перпендикулярном
направлении — 2 -1016 Ом -см.
Из кварца вырезают пластины
перпендикулярно или параллель-
но его осям X, Y, Z, либо под дру-
гими углами к ним. Соответственно
получают X-срезы, /-срезы и т. д.
Широкое применение кварца
обусловлено рядом его ценных
качеств. Он очень тверд (твердость по шкале Мооса равна 7), устой-
чив к действию ряда кислот, имеет высокую температуру плав-
ления (1700° С), обладает малым тепловым расширением (at =
= 8 -10~с, а3 = 13,4 -10 (! град'1). Стабильность характеристик кварца
способствует широкому применению его в радиоэлектронике. Как
пьезоэлектрик кварц используют главным образом для производ-
ства стабилизаторов радиочастотных генераторов, фильтров высокой
избирательности, высокочастотных электромеханических преоб-
разователей для возбуждения и приема механических колебаний.
Пьезо кварцевый элемент в виде пьезорезонатора, где кроме
кристалла имеется держатель, защитный колпак и др., обладает
определенными эквивалентными параметрами — сопротивлением Д,
индуктивностью L, емкостью С. Пьезо кварцевые резонаторы отли-
чаются очень высокой добротностью Q. Под добротностью Q подра-
зумевается число, показывающее, во сколько раз амплитуда вынуж-
денных колебаний при резонансе превышает амплитуду вдали от
резонанса. Для кварцевых резонаторов Q — 10б—10е, что обеспе-
чивает благоприятные условия работы только на их резонансных
частотах, которые и генерируются. Стабильность частоты кварце-
вого генератора оценивается отношением А///, где Af — уход час-
442
тоты от номинального значения. Обычно А/// = 10~я К) г,<><> !1н
пазон частот кварцевых генераторов составляет от нескольких i.l и
до сотен МГц.
Схемы кварцевых генераторов приведены на рис. 60.2. Н схеме
рис. 60.2, а кварц включен между сеткой и катодом лампы. Он
играет здесь роль колебательного контура, имеющего выгокуш
добротность. Фаза и амплитуда обратной связи, необходимые i, in
самовозбуждения генератора, подбираются путем настройки коле-
бательного контура в анод-
ной цепи. В схеме рис.
60. 2, б кварц включен
между сеткой и анодом,
выполняя такую же роль,
как и в предыдущем слу-
чае. Пьезокварцевый эле-
мент как резонатор может
быть использован в каче-
стве полосового электри-
ческого фильтра, пропускающего лишь частоты, близкие к собствен
ной частоте колебаний контура-резонатора. Кварцевые фильтры
применяют в системах многоканального телефонирования и теле-
графирования для разделения сигналов по каналам, а также
в радиоприемных устройствах для повышения избирательности.
Кроме кварца, в последнее время применяют в качестве пьезо-
элементов кристаллы виннокислого калия (К2С4Н4О6)-2Н2О и др.,
а также пьезо керамику. Пьезоэффект наблюдается в ряде несегнето-
электрических кристаллов — турмалине, сульфате лития, и др.
Сегнетоэлектрические кристаллы как пьезоэлектрики. Пьезе-
керамика
Кристаллы всех полярных классов обладают пьезоэлектриче-
скими свойствами. В сегнетоэлектриках каждый домен представляет
собой полярное образование, и совокупность доменов является по-
лярной, если полидоменныЙ кристалл не имеет центра симметрии,
в этом случае он обладает пьезоэлектрическими свойствами. При
наличии центра симметрии полидоменные сегнетоэлектрики не имеют
пьезоэлектрических свойств. Причем обычно сегнето-параэлектри-
ческий переход не меняет положения дел — кристалл без центра сим-
метрии так и остается таковым, а следовательно, и в параэлектри-
ческом состоянии он будет пьезоэлектриком; наоборот, кристалл
с центром симметрии также сохраняет это качество при фазовом
переходе из сегнето- в параэлектрическое состояние.
Но пьезосвойства в сегнетоэлектриках выражены сильнее, чем
в линейных пьезоэлектриках. В ряде случаев пьезоэффект в сегнето-
электриках связан не только с деформацией, но и переориентацией
доменов.
В полидоменных образцах титаната бария, имеющих 180-гра-
дусные стенки, при приложении электрического поля вдоль направ-
443
пения спонтанной поляризации наблюдается пьезоэлектрическое
зажатие доменов: в слабых полях домены одного направления поля-
ризации сжимаются, а противоположного направления расширяются
за счет пьезоэлектрической деформации. Это приводит к уменьшению
диэлектрической проницаемости.
Для исследования и применения эффекта в кристаллах ВаТ1Оя
их необходимо монодоменизировать, что осуществляют за счет нало-
жения постоянного поля.
В сегнетовой соли, у которой спонтанная поляризация.проис-
ходит при —18 4- +24° С, обнаруживается пьезоэффект, поскольку
кристаллы не имеют центра симметрии. Сегнетовая соль обладает
высокими пьезоэлектрическими свойствами, причем ряд пьезоэлек-
трических модулей практически не зависит от температуры в доста-
точно широком интервале, включающем обе точки Кюри, т. е. вклю-
чающем как сегнето-, так и параэлектрнческую фазы. Пьезосвойства
однодоменных и многодоменных кристаллов сегнетовой соли прак-
тически не отличаются друг от друга.
Высокими пьезоэлектрическими свойствами обладают сегнето-
электрики фотопроводящих соединений элементов V, VI и VII групп
Периодической системы Менделеева (в частности Sb, S, Se, Cl, Br).
Лучше всего из указанных соединений изучены кристаллы SbSI.
В 40-х годах нашего столетия А. В. Шубниковым было показано,
что пьезоэлектрическими свойствами могут обладать не только моно-
кристаллы, но и поликристаллы. Как было установлено в дальней-
шем, для получения более размытых фазовых переходов и получе-
ния стабильных свойств следует синтезировать керамику на основе
ВаТЮ3 с добавками типа PbTiO3, CaTiO3, SrTiOa, PbZrO3, дающими
твердые растворы. Кроме того, применяют ниобатную керамику на
основе ниобата бария и свинца (PbBa) Nb2O(i, а также керамику
системы цирконат-титанат свинца Pb (ZrTi) О3, обозначаемые
ЦТС. Пьезоэлектрические н другие свойства пьезокерамики мало
чем отличаются от свойств соответствующих монокристаллов.
Пьезокерамические элементы применяют в микрофонах, звуко-
снимателях, сейсмоприемниках, управляющих реле, устройствах
звуковидения, гироскопах и т. д.
Малые габариты пьезо керамических элементов позволяют решать
вопросы микроминиатюризации соответствующей радиоэлектронной
аппаратуры.
Выводы к § 6С
1. Пьезоэлектриками называют кристаллы (или керамику), в которых наблю-
дается поляризация прн механическом воздействии.
2. Одним из наиболее распространенных пьезоэлектриков является кварц.
Стабильность характеристик обусловливает широкое применение кварца в радио-
электронике.
3. Если полидоменный (многодоменный) кристалл сегнетоэлектрика не имеет
центра симметрии, то он обладает пьезоэлектрическими свойствами.
4. Пьезоэлектрическими свойствами обладают некоторые виды керамики.
Это позволяет изготовлять изделия сложной формы и малых размеров.
ЛИТЕРАТУРА
1. Богородицкий Н. П., Волокобинский Ю. М., Во-
робьев А. А., Т а р е е в Б. М. Теория диэлектриков. Изд-во «Энергия», 1965
2. Богородицкий Н. П., Пасынков В. В. Материалы радио-
электронной техники. Изд-во «Высшая школа», 1969.
3. Бонч-Бруевич В. Л., Звягин И. П., М и р о н о в А. Г. До-
менная электрическая неустойчивость в полупроводниках. Изд-во «Наука», 1972.
4. В а в и л о в В. С. Действие излучений на полупроводники. Фнзматгиз.
1963.
5. Губанов А. И. Квантовоэлектронная теория аморфных и жидких
полупроводников. Изд. АН СССР, 1963.
6. Г у б к и и А. Н. Электреты. Изд. АН СССР, 1961.
7. Г у р е в и ч В. М. Электропроводность сегнетоэлектриков. Стандарт-
гиз, 1969.
8. Е п и ф а н о в Г. И. Физические основы микроэлектроники. Изд-во
«Сов. радио», 1971.
9. Желудев И. С. Физика кристаллических диэлектриков. Изд-во
«Наука», 1968.
10. 3 а й м а и Дж. Принципы теории твердого тела. Изд-во «Мир», 1966.
11. Квантовая электроника. Маленькая энциклопедия. Под ред. Ахма-
нова С. А. и др. Изд-во «Сов. энциклопедия», 1969.
12. К и р е е в П. С. Физика полупроводников. Изд-во «Высшая школа», 1975.
13. Кой ков С. Н. Физика диэлектриков (конспект лекций). Изд. Л ПИ,
1967.
14. К у з и е ц о в а Л. А. Известия вузов СССР. Физика, № 2, 1970.
15. К у з н е ц о в а Л. А., О р е ш к и н П. Т. Известия вузов СССР.
Физика, № 2, 1968.
16. Мотт Н., Дэвис Э. Электронные процессы в некристаллических
веществах. Изд-во «Мир», 1974.
17. Н о в и к о в В. В. Теоретические основы микроэлектроники. Изд-во
«Высшая школа», 1972.
18. Орешкин П. Т. Электропроводность огнеупоров и релаксационные
явления на барьерных слоях. Металлургиздат, 1966.
19. О р е ш к и и П. Т., Глебов А. С., О р е ш к и и В. П. Изве-
стия вузов СССР. Физика, № 10, 1969.
20. О р е ш к и и П. Т., Г л е б о в А. С., П е т р о в И. М. Известия вузов
СССР. Радиоэлектроника, № 4, 1973.
21. О р е ш к и и П. Т., С т а р ч е и к о в Б. К., Андреева Л. П.
Известия вузов СССР. Физика, № 5, 1970.
22. О р е ш к и и П. Т., Т и м о ф е е в В. Н., Старченков Б. Д.,
Емелин М. И., В о с к р е с е и с к и й А. В. Известия вузов СССР. Физика,
№ 6, 1973.
23. Пасынков В- В., Савельев Г. А., Ч и р к и н Л. К. Нелиней-
ные полупроводниковые сопротивления. Судпромгиз, 1962.
24. Пасынков В. В.» Чиркин Л. Д., III и н к о в А. Д. Полупровод-
никовые приборы. Изд-во «Высшая школа», 1973.
25. Перелыгии А. И., О р е ш к и и П. Т, Известия вузов СССР.
Физика, № 2, 1970.
445
26. Р ж а нов А. В.Электронные процессы на поверхности полупроводни-
ков. Изд-во «Наука», 1971-
27. Рывки н С. М. Письма в ЖЭТФ, 15, в. 10, 632, 1972.
28. Р ы в к и н С. М. Фотоэлектрические явления в полупроводниках. Физ-
матгиз, 1963.
29. Смит Я-, Вейн X. Ферриты. ИЛ, 1962.
30. С м о л е и с к и й Г. А., К р а й н и к И. Н. Сегнетоэлектрики и анти-
сегнетоэлектрики. Изд-во «Наука», 1968.
31. С о к о л о в Б. М.,Орешкин П. Т. Известия вузов СССР. Физика,
№ 2, 1969.
32. С о н и н А. С., Струков Б. А. Введение в сегнетоэлектричество.
Изд-во «Высшая школа», 1970.
33. Фистуль В. И. Сильно легированные полупроводники. Физматгиз,
196734. Харрисон У. Теория твердого тела. Изд-во «Мир», 1972.
35. III а л а б у т о в Ю. К. Введение в физику полупроводников. Изд-во
«Наука», 1969.
36. ТП а л и м о в а К- В. Физика полупроводников. Изд-во «Энергия», 1971.
37. ТТ1 е ф т е л ь И. Т. Терморезисторы. Изд-во «Наука», 1973.
38. Шур М. С. Эффект Ганна. Изд-во «Энергия», 1971.
39. Ц и д и л ь к о в с к и й И. М. Электроны в дырки в полупроводниках.
Изд-во «Наука», 1972.
40. Электронные явления иа поверхности полупроводников. Под ред. Ля-
шенко В. И. Изд-во «Наукова думка», 1968.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие (3;
Глава 1. Общие свойства микрочастиц (4) § 1. Свободный электронный
газ (4) § 2. Потенциальные барьеры для микрочастиц (15) § 3. Кванннкннн-
в атомах (20)
Глава II. Элементы зонной теории твердых тел (23) § 4. Электронпын ни
в периодическом потенциальном поле (23) § 5. Зоны Бриллюэн.! (31)
§ 6. Эффективная масса (36) § 7. Сложная структура энергетических м>п
полупроводников в к-пространстве (42) § 8. Металлы, полупроводники, ди
электрики (50)
Глава Ш. Статистика электронов и дырок в полупроводниках (59) § 9. рлек
тронейтральность в полупроводниках и диэлектриках (59) § 10. Распре v
ление электронов и дырок по энергетическим состояниям в зонах и иа де-
кретных уровнях (60) § 11. Плотность состояний и равновесная копненi рация
носителей заряда в кристаллических полупроводниках (63) § 12. Уронегп.
Ферми и равновесная концентрация носителей заряда в невырожденных соГм
венных полупроводниках. Закон действующих масс (67) § 13. Уровень <1»цр
ми и равновесная концентрация носителей заряда в невырожденных нолупро
водниках, содержащих доноры (71) § 14. Уровень Ферми и равновесий»
концентрация носителей заряда в невырожденных полупроводниках, «г»
держащих Акцепторы (78) § 15. Уровень Ферми и равновесная конце»грация
носителей заряда в невырожденных полупроводниках, содержащих дсп к i
и акцепторы (81) § 16. Вырожденные полупроводники (85)
Глава IV. Кинетические явления в полупроводниках (89) § 17. Элскгрсшрп
водность полупроводников (общие понятия) (89) § 18. Элементы теории
электропроводности и рассеяния электронов проводимости (97) § 19. Термо
электрические явления (ПО) §20. Эффект Холла (119) § 21. Различные imi.
ваиомагиитные и термомагнитные явления (127) § 22. Диффузионные урлпи*
ния. Уравнение Эйнштейна (130)
Г л а в aV. Неравновесные носители заряда в полупроводниках и диэлектриках (13Б)
§ 23. Максвелловская релаксация в полупроводниках и диэлектриках. Дс о i-
евская длина экранирования (135) § 24. Уравнение непрерывности (пер н-
рывности) (140) § 25. Механизмы рекомбинации неравновесных носи гели и
заряда (150) § 26. Квазиуровни Ферми и демаркационные уровни (165)
Глава VI. Контактные явления в полупроводниках и диэлектриках (171)
§ 27. Контактная разность потенциалов и в. а. х. для системы «металл - ваку-
умный зазор — металл» (171) § 28. Явления на контакте полупроводник
— металл (175) §29. Теория выпрямления на контакте полупроводник
металл (184) § 30. Контакт электронного и дырочного полупроводников (101 )
§ 31. Вольт-амперная характеристика тонкого р-п-перехода (201) §32. P.i «лич-
ные случаи контакта полупроводников (205)
Глава VII. Поверхностные явления в полупроводниках и диэлектриках (211)
§ 33. Поверхностные уровни и изгиб зон. Длина экранирования и элскгрсн гц
тяческнй потенциал (211) § 34. Изменение поверхностной проводимое in при
изгибе зон (219) § 35. Эффект поля и поверхностные состояния (225) § 36.11<мн*р.
хностная рекомбинация (238)
Ц/
Глава VIII. Оптические и фотоэлектрические явления в полупроводниках
и диэлектриках (247) § 37. Поглощение света в полупроводниках п диэлек-
триках (247) § 38.Фотопроводимость в полупроводниках и диэлектриках (255)
§ 39. Фото- э. д. с. и фотомагиито-э. д. с. (261) § 40. Возможности усиления
и генерации света с помощью полупроводников и диэлектриков (268)
Глава IX. Неоднородные и неупорядоченные структуры (274) § 41. Поли-
кристаллические полупроводники и диэлектрики (274) § 42. Аморфные полу-
проводники и диэлектрики (282)
Глава X. Явления в сильных электрических полях (286) § 43. Концентра-
ция и подвижность носителей заряда в твердых полупроводниках и диэлек-
триках в сильном электрическом поле (286) § 44. Эффект Ганна (293)
§ 45. Нелинейности в. а. х. в неоднородных полупроводниках и пленочных
структурах (300)
Глава XI. Ионная электропроводность и миграционная поляризация в полу-
проводниках и диэлектриках (317) § 46. Дефекты по Френкелю и Шоттки (317)
§ 47. Ионная электропроводность (323) § 48. Иоиио-релаксациониая и мигра-
ционная поляризации (329) § 49. Междуслойная и структурная поляриза-
ции (340)
Глава XII. Поляризация в постоянном поле в диэлектриках без проводимо-
сти (346) § 50. Среднее и локальное электрическое поле в диэлектриках без
проводимости (346) § 51. Уравнение Клаузиуса — Мосотти (349) § 62. Ди-
польная поляризуемость (352) § 53. Поляризация твердых ионных диэлек-
триков и гетерогенных смесей (359)
Глава XIII. Поляризация диэлектриков и полупроводников в переменном
поле и диэлектрические потери (364) § 54. Изменение поляризации при изме-
нении поляр изущего (внешнего) электрического поля в однородных диэлект-
риках (364) § 55. Диэлектрические потери в диэлектриках с релаксационной
поляризацией и сквозной проводимостью (375) § 56. Эквивалентные схемы
замещения (385) § 57. Диэлектрическая дисперсия в «сложных структурах» 389
Глава XIV. Особые состояния и виды диэлектриков (412) § 58. Электреты (412)
§ 59. Сегнетоэлектрики (425) § 60. Пьезоэлектрики (440)
Литература (445)

ТвЛИк.
ЭД
30
0655
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
МОСКВА