/
Text
В. В. Горбачев
Л. Г. Спицына
ФИЗИКА
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
И МЕТАЛЛОВ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ДОПУЩЕНО МИНИСТЕРСТВОМ ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ,
ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
«ТЕХНОЛОГИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ
ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ»
МОСКВА «МЕТАЛЛУРГИЯ» 1982
УДК 537.311 33
Рецензент: Кафедра диэлектриков и полупроводников Ленинградского
электротехнического института
УДК 537.311.33
Физика полупроводников и металлов: Учебник для вузов. 2-е изд. Гор-
бачев В. В., Спицына Л. Г. М.: Металлургия, 1982. 336 с.
Учебник для студентов металлургических вузов по специальности «Техно-
логия специальных материалов электронной техники» (первое издание 1976 г.).
Может быть использовано научными работниками и инженерами, работающими в
области металлургии, физики и химии полупроводников.
Систематически изложены основные понятия физики полупроводников
и металлов. На основе современных представлений рассмотрены вопросы теории
проводимости, зонной теории твердого тела, поведения электронов в полупровод-
никах и металлах, взаимодействия носителей заряда. Описаны различные физи-
ческие свойск ч полупроводников и металлов, определяющиеся поведением элек-
тронов. Ил. 162. Табл. 4. Библиогр. список: 22 назв.
Владимир Васильевич ГОРБАЧЕВ
Лариса Григорьевна СПИЦЫНА
ФИЗИКА
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
И МЕТАЛЛОВ
Издание 2-е, переработанное и дополненное
1Ч?дактор издательства Ф. Б. Цадкина
Художественный редактор А. И. Гофштейн
Технический редактор Н. А. Сперанская
Корректоры: 7\ В. Чуприс, Ю. И. Королева
( \ано в набор 22.04.82. Подписано в печать 16.08.82. Т-12699
Формат бумаги CjXOOVte- Бумага типографская № 2. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Печ. л. 21,0. Кр.-отт. 21,0. Уч.-изд. л. 24,41, Тираж 6800 экз.
Заказ 129. Цена 1 р. 10 к. Изд. № 0638
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Металлургия», 119034, Москва, Г-34, 2-й Обыденский пер., д. 14
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
2603000000—177
Г —плл/пп—R9--------72-82 © Издательство «Металлургия», 1982
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию..................................... 6
Г л ав а 1. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОД-
НОСТИ ............................................................. 9
1.1. Классификация веществ по величине и температурной за-
висимости проводимости ..................................... 9
1.2. Модель Друде—Лоренца для электропроводности твердых
тел......................................................* 11
1.3. Модельные представления об электропроводности полупро-
водников. Электроны и дырки в полупроводниках .... 16
Г л а в а 2. ОСНОВЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ... 21
2.1. Уравнение Шредингера. Электроны в идеальном кристалле 21
2.2. Решение уравнения Шредингера для электрона в кри-
сталле. Адиабатическое и одноэлектронное приближения 26
2.3. Периодическое поле решетки кристалла. Волна Блоха. . . 30
2.4. Свойства волнового вектора электрона в кристалле. Обрат-
ная решетка. Зоны Бриллюэна................................ 32
2.5. Квазиимпульс........................................... 37
2.6. Анализ формы изоэнергетической поверхности вблизи экс-
тремальных точек. Эффективная масса электрона в кристалле 40
2.7. Обзор основных приближенных методов решения одно-
электронного уравнения Шредингера в кристалле.............. 45
2.8. Металлы и диэлектрики. Полупроводники и полуметаллы
в зонной теории............................................ 58
2.9. Элементарная теория локальных и примесных состояний. . 62
2.10. Зонная структура основных полупроводниковых мате-
риалов .................................................... 67
2.11. Ферми-поверхности металлов........................ 75
Гл ав а 3. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В МЕТАЛ-
ЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ.................................. 78
3.1. Функция распределения электронов и дырок по состояниям 78
3.2. Функция плотности состояний для электронов и дырок. . . 81
3.3. Вычисление концентрации электронов в зоне проводимости
и дырок в валентной зоне................................... 83
3.4. Концентрация электронов и дырок в собственном полу-
проводнике. Температурная зависимость уровня Ферми. . 87
3.5. Нахождение ширины запрещенной зоны по температурной
зависимости концентрации носителей заряда в собственном
полупроводнике............................................. 89
3.6. Статистика примесных состояний в полупроводниках ... 91
3.7. Концентрация электронов и температурная зависимость
' уровня Ферми в полупроводниках с одним типом примеси 94
3.8. Температурная зависимость концентрации носителей за-
ряда и уровня Ферми в реальных полупроводниках ... 98
3.9. Вырожденные примесные полупроводники.................. 103
Г л а в а 4. ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ, СОДЕРЖАЩИХ
ИЗБЫТОЧНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА....................................... 106
4.1. Характеристики неравновесного состояния электронов и
дырок в полупроводниках................................... 106
4.2. Основные механизмы рекомбинации носителей заряда в по-
лупроводниках НО
I* 3
4.3. Основные механизмы генерации неравновесных носителей
заряда в полупроводниках. Максвелловское время релак-
сации .................................................... 116
4.4. Уравнение непрерывности для полупроводников......... 118
4.5. Статистика рекомбинации Холла—Шокли—Рида. Зависи-
мость времени жизни от положения уровня Ферми. ... 123
4.6. Температурная зависимость времени жизни носителей
заряда. Определение энергетического положения рекомби1
национных уровней......................................... 129
4.7. Электрические токи дрейфа и диффузии носителей заряда
в полупроводниках. Соотношение Эйнштейна.................. 131
4.8. Движение неравновесных носителей заряда в слабых элек-
трических полях........................................... 133
4.9. Движение неравновесных носителей заряда в сильных элек-
трических полях.............................................. 135
4.10. Совместное движение неравновесных электронов и дырок.
Биполярный коэффициент диффузии и биполярная подвиж-
ность ...................................................... 138
Глава 5. КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУ-
ПРОВОДНИКАХ .................................................... 141
5.1. Искривление энергетических зон во внешнем электрическом
поле...................................................... 141
5.2. Работа выхода. Контактная разность потенциалов......... 146
5.3. Явления на контакте металл—полупроводник. Выпрямля-
ющие свойства контакта ................................... 148
5.4. Электронно-дырочный переход в полупроводниках .... 155
5.5. Вольтамперная характеристика р—«-перехода.............. 158
5.6. Другие виды контактов. Гетеропереходы.................. 161
5.7. Поверхностные состояния и их влияние на контактные яв-
ления .................................................... 163
Г л а в а 6. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛАХ................. 168
6.1. Механизмы рассеяния. Эффективное сечение рассеяния. . . 168
6.2. Тепловые колебания атомов решетки ..................... 173
6.3. Рассеяние носителей заряда на фононах.................. 178
6.4. Рассеяние на атомах примеси и дислокациях.............. 185
6.5. Другие виды рассеяния носителей в полупроводниках.
\ Температурная зависимость подвижности .............. 191
Гл ав а 7. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И
МЕТАЛЛАХ.............................................. 197
7.1. Кинетическое уравнение Больцмана. Время релаксации 197
7.2. Электропроводность. Электропроводность по примесной зоне.
Прыжковая электропроводность.......................... 202
7.3. Теплопроводность. Различные механизмы теплопереноса. . 208
7.4. Термоэлектрические явления. Увлечение электронов фо-
нонами 216
7.5. Гальваномагнитные эффекты. Эффект Холла........... 223
7.6. Термомагнитные явления............................ 233
7.7. Явления переноса в сильных электрических полях. . . . 238
Г л а в а 8. ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
И МЕТАЛЛАХ...................................................... 248
8.1. Оптические коэффициенты и связь их с диэлектрической
проницаемостью кристалла............................. 248
8.2. Обзор основных механизмов поглощения света в кристаллах 252
4
8.3. Коэффициент поглощения для межзонных переходов. Сила
осциллятора. Приведенная плотность состояний. Особые
точки Ван-Хова............................................. 256
8.4. Форма края собственного поглощения в полупроводниках.
\ Определение ширины запрещенной зоны по краю собствен-
ного поглощения............................................... 260
8.5. Экситонное поглощение. Учет электронно-дырочного вза-
имодействия в области края собственного поглощения. . . 266
8.6. Оптическое поглощение с участием примесей. Примесное
и межпримесное поглощение.................................. 267
8.7. Поглощение свободными носителями заряда................ 272
8.8. Плазменный резонанс в спектрах отражения вырожденных
полупроводников и металлов................................. 277
8.9. Фононное поглощение и поглощение локальными колеба-
ниями примесных атомов..................................... 278
8.10. Дифференциальные методы исследования оптических свойств
полупроводников....................................... 283
8.11. Рекомбинационное излучение в полупроводниках.... 286
8.12. Спонтанное и вынужденное излучение. Полупроводниковые
. . лазеры............................................... 292
8.13. Фотопроводимость................................ 295
8.14. Фотовольтаические эффекты в полупроводниках..... 301
8.15. Магнетооптические явления в полупроводниках и металлах 305
Г л а в а 9. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ....................................... 312
9.1. Классификация основных параметров полупроводников. . 312
9.2. Измерение удельной электрической проводимости. . . . 314
9.3. Определение концентрации и подвижности носителей за-
ряда и концентрации примесей по данным холловских
измерений............................................. 320
9.4. Определение диффузионной длины и времени жизни неос-
новных носителей заряда............................... 325
9.5. Оптические методы измерения параметров полупроводников 329
Приложение 1. Фундаментальные параметры некоторых важнейших по-
лупроводников ................................................... 332
Приложение 2. Численные значения некоторых физических величин. . 334
Приложение 3. Значения интегралов Ферми..................... 334
Рекомендательный библиографический список......................... 336
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Основные направления экономического и социального развития
СССР на 1981 —1985 годы и на период до 1990 года, принятые
XXVI съездом КПСС, предусматривают опережающее развитие
отраслей промышленности, определяющих научно-технический
прогресс,в том числе производства полупроводниковых материалов.
Бурное развитие современной полупроводниковой техники,
в частности микроэлектроники, требует от будущих специалистов
обширных знаний в этой области. В связи с этим возникает необ-
ходимость в издании учебников по физике твердого тела, где бы
с единой точки зрения рассматривались вопросы физики металлов,
полупроводников и диэлектриков.
Авторы данного учебника являлись создателями типовых учеб-
ных программ по физике полупроводников и металлов и ме-
тодам их исследования для инженеров электронной техники и в те-
чение 15 лет читали эти курсы на кафедре физики полупроводни-
ков и полупроводниковой электроники Московского института
стали и сплавов для различных специальностей инженеров элек-
тронной техники. В настоящее время уже можно считать общепри-
нятой структуру построения курса физики полупроводников,
однако, как показывает наш опыт, более логичной и лучше усвоя-
емой студентами является предлагаемая авторами последователь-
ность изложения материалов. В учебнике авторы стремились
дать на современном уровне основные сведения по физике по-
лупроводников и металлов, сделав упор на физику поведения носи-
телей заряда, которая определяется квантовомеханической теорией.
Первое издание «Физики полупроводников и металлов», вы-
пущенное в 1976 г., широко использовалось в учебном процессе
в политехнических институтах страны. Это показало целесооб-
разность второго издания. Структура и объем пособия в основном
остались прежними, однако увеличено число примеров экспери-
ментальных зависимостей и добавлена новая глава по измерению
основных параметров полупроводниковых материалов. Для удоб-
ства практической работы в конце книги в приложении даны фун-
даментальные параметры некоторых важнейших полупроводни-
ков, некоторые физические константы и интегралы Ферми.
Настоящий учебник по-прежнему предназначен для инженеров
электронной техники, но может быть использован и для
других специальностей полупроводниковой техники.
Авторы выражают благодарность проф. докт. техн, наук
В. В. Пасынкову за ценные советы и замечания, сделанные им
при рецензировании рукописи. Авторы благодарны канд. техн,
наук Т. Б. Горбачевой за помощь при работе над рукописью.
Гл. 2, 5, 6, 7 написаны В. В. Горбачевым, гл. 1, 3, 4, 8,
9 — Л. Г. Спицыной под общей редакцией В. В. Горбачева»
6
Условные обозначения
о — удельная электрическая
проводимость;
р — удельное сопротивление,
плотность объемного за-
ряда;
/, / — плотность электрическо-
го тока;
Е — напряженность электри-
ческого поля;
Т — абсолютная температура;
Е — энергия;
бЕакт — энергия активации;
п — концентрация электро-
нов;
. р — концентрация дырок;
а — дифференциальная
т. э. д. с., коэффициент
поглощения;
Р — удельная фоточувстви-
тельность;
v (k) — скорость движения но-
сителей заряда;
еп — заряд электрона;
m, М — масса свободного элек-
трона и иона соответ-
ственно;
щ* — эффективная масса носи- •
телей заряда;
m*, tn* — эффективная масса элек-
трона и дырки соответ-
ственно;
т* — эффективная масса про-
водимости;
тцикл Циклотронная эффектив-
ная масса;
т (k) — время релаксации;
тс — время свободного про-
бега;
1 — длина свободного про-
бега, длина волны;
Н» Рх — подвижность, дрейфовая
подвижность и холлов-
ская подвижность соот-
ветственно;
Rx — коэффициент Холла;
R — коэффициент отражения;
х — коэффициент теплопро-
водности ;
Nd, Na — концентрация донорной и
акцепторной примеси
соответственно;
nd, tia — концентрация электронов
на донорном и акцептор-
ном уровне соответ-
ственно;.
Pd, Ра — концентрация дырок на
донорном и акцепторном
уровне соответственно;
В — магнитная индукция;
Vd — скорость дрейфа;
ф — волновая функция;
Н — оператор Гамильтона;
q — волновой вектор фонона;
U (г) — потенциальная энергия;
->
р — импульс электрона;
Р — квазиимпульс;
— вероятность перехода;
b — вектор обратной решетки;
W (г) — потенциальная энергия
возмущения;
&Е — ширина запрещенной
зоны;
Е — уровень Ферми, энергия
Ферми;
ДЕа, &Ed — энергия активации ак-
цепторной и донорной
примеси соответственно;
т*кс — эффективная масса эк-
ситона;
mdnf mdp — эффективная масса плот-
ности состояний для зо-
ны проводимости и ва-
лентной зоны соответ-
ственно;
т* , /и* — эффективная масса тя-
желых и легких дырок
соответственно;
A fп, fp — функция распределения
по состояниям, функция
распределения для элек-
тронов и дырок соот-
ветственно;
g (Е) — функция плотности со-
стояний;
Fn — интеграл Ферми поряд-
ка п;
Ес — энергия, соответству-
ющая дну зоны прово-
димости;
Ер — энергия, соответству-
ющая потолку валентной
зоны;
Nc, No — эффективное число со-
стояний соответственно
в зоне проводимости и
валентной зоне;
п; — концентрация носителей
заряда в области соб-
ственной электропровод-
ности;
7
g — фактор вырождения;
Ф (г) — электростатический по-
тенциал;
е0, е — диэлектрическая прони-
цаемость вакуума, стати-
ческая диэлектрическая
проницаемость, относи-
тельная диэлектрическая
проницаемость;
/D — дебаевская длина экра-
нирования;
Хо, Ф — истинная и термодинами-
ческая работа выхода со-
ответственно;
Ф& — внутренняя и внешняя
контактная разность по-
тенциалов соответственно;
С — глубина проникновения
контактного поля;
Dn, Dp -— коэффициент диффузии
электронов и дырок со-
ответственно;
D — коэффициент биполяр-
ной диффузии;
F*, F* — квазиуровень Ферми
электронов и дырок соот-
ветственно;
гт — средняя скорость тепло-
вого движения носителей
заряда;
L ‘— диффузионная длина;
js — плотность тока насыще-
ния;
у — коэффициент рекомби-
нации;
S — скорость поверхностной
рекомбинации;
G — скорость генерации;
а*, о*, а* — интегральное, дифферен-
циальное и транспортное
эффективное сечение рас-
сеяния носителей заряда
соответственно;
Ef — энергия электрона, свя-
занного с дефектом;
Vs (д) — вектор поляризации;
6D — температура Дебая;
g (со) — функция распределения
частот;
ktt — постоянная Больцмана;
riq — число заполнения фоно-
нов;
су — теплоемкость при посто-
янном объеме;
to — угловая частота;
8] — константа деформацион-
ного потенциала, действи-
тельная часть комплекс-
ной Диэлектрической
проницаемости;
е2 — мнимая часть комплекс-
ной диэлектрической
проницаемости;
Vc, Уо — потенциал деформации
зоны проводимости и ва-
лентной зоны соответ-
ственно;
(г) — функция Блоха;
kF — волновой вектор, соот-
ветствующий энергии
Ферми;-
X — поляризуемость;
т| — квантовый выход;
Lo — число Лоренца;
fq — функция распределения
фононов;
п — показатель преломле-
ния;
k — показатель поглощения
(коэффициент экстинк-
ции);
П — коэффициент Пельтье;
W — поток энергии;
тт — коэффициент Томсона;
Н — коэффициент магнетосо-
противления;
с — скорость света;
h — постоянная Планка, ft =
= Л/2л;
V — объем кристалла, раз-
ность потенциалов, по-
тенциал кристаллической
решетки;
/ — интенсивность светового
потока;
/п» fn ~ Функция распределения
электронов на донорном
и акцепторном уровнях
соответственно;
fp, fp — функция распределения
дырок на акцепторном
и донорном уровнях соот-
ветственно;
k — волновой вектор элек-
трона.
Глава 1. ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ
1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕЩЕСТВ ПО ВЕЛИЧИНЕ
И ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПРОВОДИМОСТИ
Твердые тела по электропроводности электрического тока разделяются на три
основных класса: металлы, диэлектрики (или изоляторы) и полупроводники.
Если в основу классификации положить величину удельной электрической про-
водимости а, то при комнатной температуре она имеет значение в следующих
пределах:
Металлы................. 10е—104_См/см
Пол у п р ово д н и к и. 10»—10"9 См/см
Диэлектрики ....... 10"19—10"22 См/см
Полупроводники, образующие промежуточную группу между металлами
и диэлектриками, — это вещества, электропроводность которых лежит в широком
интервале (14 порядков величины) — от 10"° до 103 См/см. Однако такая чисто
количественная классификация совершенно не передает специфических особен-
ностей электропроводности и других свойств, сильно зависящих для полупро-
водников от внешних условий (температуры, освещенности, давления и облуче-
ния) и внутреннего совершенства кристаллического строения (собственные де-
фекты решетки, примеси и т. п.).
Величина ст может быть определена из закона Ома в дифференциальной
форме: / = оЕ, где / — вектор плотности электрического тока; Е — вектор
напряженности электрического поля.
Электрический ток — направленный перенос электрических зарядов, по-
этому величина проводимости определяет интенсивность этого процесса. Чем
больше число свободных носителей заряда, которые могут перемещаться под дей-
ствием электрического поля, и чем большую среднюю скорость может сообщать
им электрическое поле, тем выше должна быть величина удельной электрической
проводимбсти.
Посмотрим, как меняется электропроводность твердых тел при изменении
внешних условий, например температуры. Для металлов сопротивление с ростом
температуры увеличивается по линейному закону в широком температурном
интервале (рис. 1):
Рм (Т) = рм0 (1 + аТ). (1.1)
гДе Рм (7) — сопротивление металла при температуре Т; рм0 — сопротивление
при некоторой температуре То» задаваемой началом температурного интервала,
а — температурный коэффициент в линейной зависимости сопротивления от
температуры, а> 0.
Экспериментально для полупроводников установлено, что сопротивление
с ростом температуры быстро уменьшается по экспоненциальному закону (рис. 1):
рн (D = Рпоер/Г. (1.2)
где рп (Т) — сопротивление полупроводника при температуре Т; рпо и Р — не-
которые постоянные величины, характерные для каждого полупроводника в дан-
ном температурном интервале, причем 0 > 0.
Тогда для полупроводника имеем: dpIdT = — рП0Р (1/1Т2) < 0.
Если пересчитать приведенную выше температурную зависимость сопроти-
вления полупроводника'(1,2), то получим:п (Тц (Г)=сгЦ()е“Р/7’,
9
Умножим и поделим показатель экспоненты в этой формуле на kQ — по-
стоянную Больцмана. Тогда
„ irx ~ ~ЬоЫЬоТ -6E /k0T
(Г) = <W = <W акт/
(1.3)
гд^ величина б£акт называется энергией активации проводимости и является_важ-
ной характеристикой, определяющей не только электропроводность, но и мно-
гиё другие свойства. полупроводника.Чем меньше энергия^~актйвации проводи-
мости^, тем~быстрее растет электропроводность^полупроводника с~"ТемяераТурой.
Энергид-^ктивации проводимости может быть экспериментально определена из
наблюдения температурной зависимости проводимости?-Действительно, при ло-
гарифмировании обеих частей (1.3): In оп (Т) = In оПо — bEai{T/kQT.
Тогда при построении графика темпе-
ратурной зависимости проводимости в осях
In о = f (1/Т) (рис. 2) экспериментальные
точки должны лечь на прямую линию,тангенс
угла наклона которой к оси абсцисс, умно-
женный на —#п, даст~~энергию актйвации
проводимости. “ ----
Рис. 1. Температурная за-
висимость сопротивления
для металла (/) и полу-
проводника (2)
Рис. 2^ Определение энергии актива-
ЦЙи проводимости по температурной
зависимости электропроводности по-
лупроводника
Если температура Т низка, k0T < бЕакт» то проводимость оп (Л настолько
малая величина, что данный полупроводник в этих условиях практически стано-
вится диэлектриком. Поэтому энергия активации 6Еакт представляет собой не-
которую пороговую (критическую) величину для термической активации про-
водимости.
Наличие энергии активации 6Еакт означает, что для увеличения проводи-
мости полупроводника к нему надо подвести энергию.
Из эксперимента известно, что электропроводность полупроводников можно
изменять в широких пределах, подводя энергию не только в виде тепла, но и
в виде светового излучения или облучая потоком быстрых частиц (быстрых элек-
тронов, а-частиц, нейтронов, у-квантов и т. п.). Электропроводность полу-
проводников в гораздо большей степени по сравнению с металлами зависит также
от действия внешнего давления, электрических и магнитных полей.
Есть еще одна отличительная особенность электропроводности полупровод-
ников — ею можно управлять, создавая в кристалле дефекты: атомы примеси,
различные точечные собственные дефекты и т. п. Например, введение в кремний
примесей атомов III или V групп периодической сдстемы элементов в ничто'жной
концентрации (1 атом примеси на миллиард атомов кремния) изменяет электро-
проводность кремния на несколько порядков. ^Электропроводность металлов
обычно практически не изменяется и при введении гораздо больших количеств
атомов примесей. Таким образом, можно уточнить определение полупроводника,
приведенное в начале параграфа: полупроводники — твердые тела, проводимость
которых лежит при комнатной температуре в пределах 10~9—Ю9_См[см и сильно
зависит от внешних условииУтемпература, внешнее поле и т. п.) и структур-
ного совершенства (примеси, дефекты и т п.) кристалла. '
10
1.2. МОДЕЛЬ ДРУДЕ—ЛОРЕНЦА
ДЛЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Современные представления об электропроводности металлов и полупроводни-
ков во многом основываются на классической электронной теории проводимости,
начало которой было положено еще в 1900 г. Друде и получило свое развитие
в последующих работах Друде и Лоренца. Зоммерфельд затем ввел в эту теорию
принципы квантовой статистики. Дальнейший прогресс теории электропровод-
ности основывался на квантовомеханической зонной теории твердого тела. Однако
во многих отношениях подход Друде и Лоренца и теперь сохранил свое значение,
поэтому остановимся на основных чертах этой классической теории поведения
электронов в твердых телах.
Рассматривая электропроводность металлов, Друде и Лоренц исходили из
модели идеального электронного газа, основные свойства~которой состоят в следу-
ющем. Металл состбиТ^Т^ршсталличеста^угешеткиу в узлах которой, совершая
тепловые колебанй’я'относительно положения равновесия, находятся ионизи-
рованные атомы, и подвижныхнелокализованньТх электронов проводимости.
Электроны переходят в свободное состояние из валентных бббЛМек атомов^ме-
талла, а ионы образуют наиболее энергетически выгодную кристаллическую
решетку, причем концентрация свободных электронов п в металлах оказывается
весьма большой (число атомов W в единице объема примерно равно 1023 см-3).
Электроны рассматриваются как невзаимодействующие частицы, не имеющие
объема и хаотически передвигающиеся по кристаллу в тепловом"'дШпкешги. За-
метим, что предположение о том, что электроны не взаимодействуют друг 'с дру-
гом, как будто противоречит существованию кулоновского отталкивания между
ними. Но следует принять во внимание также и кулоновское притяжение элек-
тронов и положительно заряженных ядер атомов решетки кристалла. Учет со-
вместного действия всей периодической структуры кристалла на свободные элек-
троны, как показывает приведенный в последующей главе квантовомеханический
анализ, делает это предположение более обоснованным, хотя и показывает его
приближенный характер. Электронный газ находится в термодинамическом
равновесии с кристаллической решеткой, устанавливающимся благодаря""со-
ударенйям- движущихся электронов _с ионами решетки.
В отсутствие внешних полей вследствие хаотичности теплового движения
электронов в среднем нет их направленного движения,'т. е. среднее смещение
и средний вектор скорости за достаточно большой промежуток времени равны
нулю.
В электрическом поле на хаотическое тепловое движение электронов накла-
дывается направленное движение — дрейф, с которым связан направленный
перенос электрического заряда, т. е. электрический ток. Средняя скорость дрейфа
->
va зависит от величины приложенного электрического поля и от взаимодействия
электрфнов с кристаллической решеткой, которое может быть описано некоторой
силой сопротивления, пропорциональной скорости электронов.
Покажем, что плотность электрического тока равна / = entWd-
По определению плотность тока численно равна заряду, перенесенному
в единицу времени через единицу площади по направлению нормали к ней.
Через единичную площадку в единицу времени пройдут все электроны,
находящиеся в цилиндрическом объеме с единичным основанием и высотой,
равной | |. Число таких электронов будет равно произведению концентрации п
на объем цилиндра V, т. е. произведению п\ Vd\ на единицу площади. Тогда пере-
несенный ими заряд будет равен епп\ Ud |. Умножение этой величины на единичный
вектор нормали, направленный в соответствии с движением электронов, даст
плотность электрического тока /.
Вычислим дрейфовую скорость электронов в электрическом поле с напря-
женностью Е. Поле действует на электрон силой епЕ, При своем перемещении по
11
кристаллу электрон сталкивается с ионами решетки, изменяет в этих столкно-
вениях направление движения и частично величину своей кинетической энергии,
а значит, и скорость направленного движения. Рассеяние электронов на кристал-
лической решетке рассматривается как классическое упругое соударение элек-
тронов с атомами и ионами. Очевидно, поскольку масса электрона много меньше
массы атома, доля кинетической энергии, теряемая в одном соударении, должна
быть невелика. Влияние соударений на скорость эп^утрпия можно учесть. в тюля
некоторую силу "сопротивления, пропорциональную массе и скорости электрона.
Таким образом, уравнение движения электрона имеет вид:
mdv/dt = епЕ — mv/x, (1-4)
-> ->
где т — масса электрона; v — его^скорость; епЕ — член, описывающий силу,
действующую со стороны электрического поля и ускоряющую электрон; mv/x —
член, описывающий силу сопротивления, тормозящую электрон, причем коэф-
фициент 1/т должен иметь размерность, обратную времени.
Уравнение (1.4) — неоднородное дифференциальное уравнение первой сте-
пени. Найдем сначала решение однородного уравнения: mdvldt + mv/x = О
или при сокращении на массу электрона: dvldt + v/x = 0.
Решение его имеет вид: v (/) < Се“^т, где С — некоторая векторная кон-
станта, которая будет найдена из начальных условий, заданных для исходного
неоднородного уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения получим, прибавляя к решению
однородного уравнения некоторое частное решение неоднородного уравнения.
Подбором находим частное решение: = enxEim. Тогда общее решение неодно-
родного уравнения (1.4) имеет вид: v (t) — Се“^т+ епхЕ/т.
Начальное условие в уравнении (1.4) должно быть задано в виде v (0) = 0,
что соответствует включению электрического поля в момент времени t = 0. Учет
этого начального условия даст возможность определить С: С = —епхЕ1т.
Тогда v (/) = епхЕ (1 —- е“^т)//п.
Обсудим полученное решение. Из последнего выражения видно, что после
включения электрического поля за время t х скорость приобретает стационар-
ное значение exElm, имеющее, очевидно, смысл средней скорости дрейфа электро-
нов в электрическом поле:
Vd = V (0 |/>т = епхЕ1т. (1.5)
Оценим, как велико время т, используя выражение для закона Ома
j — entivd = еппепхЕ!т = е^пхЕ/т = оЕ,
откуда о = efyixlm (1.6).
Если подставить сюда значение удельной электрической проводимости ме-
талла а, концентрацию электронов п и массу свободного электрона т, то оценка
дает для х ничтожно малую величину ~10~13 с.
Из соотношения (1.6) также вытекает, что величина х имеет смысл времени
релаксации, т. е. соответствует среднему времени установления стационарного
состояния движущихся электронов, и, следовательно, стационарного значения
плотности тока j при включении электрического поля Е (рис. 3).
Рассмотрим случай установления равновесия после выключения электри-
ческого доля^Е _в момент^времени Уравнение (1.4) с учетом условия
Е(0 = Р при /<4
( 0 при t > /0
12
преобразуется теперь к виду: tndvldi = —mvlx (1.7) с начальным условием:
v (/0) = vd = ептЕ1т.
Решение (1.7) с учетом этого начального условия можно представить как:
у (/) = ептЕе при t > t0.
Это означает, что за время t = т после выключения электрического поля Ё
средняя скорость электронов, а следовательно, и плотность электрического тока /
падают в е раз за счет сил сопротивления: / (/) =
Таким образом, величина т есть время релаксации проводимости, так как
она характеризует процессы релаксации в случае включения внешнего электри
ческого поля. Релаксация происходит при
соударении электронов с решеткой. Ве-
личина дрейфовой скорости в кристалле
тем больше, чем больше время релакса-
ции т. Время релаксации связано с рас-.
сеянием "электронов и является важной
специфической характеристикой любого
проводящего электрический ток кристал-
ла. Однако ввиду малости этого времени
(по приближенной оценке^~10~13с) эта
величина не измеряется эксперименталь-
но прямыми методами. Удобно ввести
новую физическую величину, связанную
со временем релаксации, дрейфовую под-
вижность электронов соотношением
Zd= PdE и pd = e^/m- (1.8)
Подвижность Электронов численно
равна~д~рейфовой скорости В электричек
ском поле единичной напр"яжётгнисти. Чем
выше подвижность, тем больше скорость
Рис. 3. Релаксация процесса электро-
проводности при импульсном воз-
буждении. Включение при /=0, выклю-
чение при t = t0
электронов и тем больше плотность тока / в электрическом поле Е, а значит,
Л£м~ больше удельная электрическая проводимость кристалла^ Действительно:
<т = e2nr/m = епп (eni:/m) = entind.
(1-9)
Размерность подвижности
[R] ’
[(см2/(В с) ] определяется из выражения (1.8):
В теории Друде и Лоренца время релаксации определяется процессами рас-
сеяния электронов. Для характеристики процесса рассеяния удобны имеющие
наглядный физический смысл величины: время свободного пробега и длина
свободного' пробега X, Первая величина определяется как среднее время дви-
жения. электрона между двумя соударениями, а вторая как средний путь, про-
ходимый электроном между этими двумя соударениями. Они связаны соотно-
шением: ,
Тс = М^полн I = Ь/\ УТ + Vd I. (1 •В * 10)
где ^полн> vd — средние значения полной скорости, скорости хаотического
теплового движения и скорости дрейфа электрона соответственно.
Заметим здесь, что среднее значение модуля тепловой скорости не равно
нулю в отличие от среднего значения вектора тепловой скорости, обращающегося
в нуль вследствие хаотичности теплового движения электронов. Абсолютное
значение средней тепловой скорости должно быть тем больше, чем ^тше-демле-
ратура электронного газа, а следовательно, Б температура всего кристалла, так
13
как кристаллическая решетка и электронный газ находятся в термодинамиче-
ском равновесии. В рамках электронной теории Друде — Лоренца можно уста-
новить соотношение^ между временем релаксации проводимости т и временем
свободного пробега электрона тс, выражая скорость дрейфа ^ через время сво-
бо^югб~'пфпГге^^ что средняя скпрпгть направленногоСдвижения
электрона сразу после соударения равна нулю, т. е. электрон передает решетке*
накопленную в электрическом поле за время свободного пробега энергию в_одном
столкновении,^ Другими словами, релаксация по энергии Лгроисходит за^ремя
свободного пробега, что должно ripЯВестйПГвыводу: Т = тп. Среднее значение
скорости направленного движения Vd можно записать в виде:
-----------(унач“F ^кон) (0 + еЕхс)/т етс т? гл in
Vd_______________________________________________________________2_2_2т ’
где укон —скорость направленного движения в конце свободного пробега, которая
находится, как скорость равноускоренного движения при ускорении еЕ!т за
время тс.
Из соотношения (1.11) следует, что
Pd = ехс/Ът и т = тс/2.
Это противоречит изложенным гыше рассуждениям, так как предполагалось,
что все электроны имеют одинаковсе время свободного пробега, равное среднему
времени свободного пробега тс. На самом деле следует учесть статистическое рас-
пределение электронов по временам свободного пробега, что приведет к более
точным выражениям:
ptrf=erc/m и т = тс. (1-12)
Действительно, при учете статистического распределения электрондщо вре-
менам свободного пробега функцию распределения по временам свободного
ТТробеп! Мбжно выразить в виде:
С(/) =(1/т)е-//т. (1.13)
Из этого выражения видно, что среднее время свободного пробега равно т.
Тогда, очевидно, все величины, зависящие от времени свободного пробега тс,
должны быть записаны с учетом этой функции распределения (1.13). В частности,
средняя скорость дрейфа
оо оо
Vd = j v (t) С (t) dt = eE/tn j (//t) = ^-E. ; (1.14)
о о
Из этой формулы с учетом определения подвижности и получается резуль-
тат (1.12).
По-видимому, следует учесть также более общее условие, из которого соб-
ственно и вытекает уравнение (1.13), а именно — распределение электронов по
энергиям и скоростям. Время свободного пробега (1.10) зависит от полной ско-
-> - . . _— ....................................... .....
рости электронов Сдолн- Следовательно, необходимо усреднять времена свобод-
ного пробега и вм7гп*пт4^^ру£Ие параметрыГЪписываюпПгё как движение элек-
тронов, та к_и процессы, обусловленные движением эл^ТрОИОВуТ^^ом ^^к^цц
распределения электронов псГэцергиям.
-""Пилученньтй'реВультат (1.12) имеет наглядный физический смысл: при ре-
лаксации электрона по энергии за одно столкновение "Время релаксаци1Гравно
времени'его свободного пробега, ОчевиДйо, более реально предположить, что
релаксация происходит не за одно, а за несколько столкновений, но при этом вре-
мена т и тс остаются близкими друг другу по порядку величины.
Таким образом, элементарная теория электронной электропроводности
Друде — Лоренца позволяет описать прохождение электрического тока в твердых
14
тел ад и вывести формулы для электропроводности металлов и подвижности элек-
тронов. Электропроводность как величина, связанная с переносом электрического
зГарядаГпропорциональна концентрации свободных носителей заряда — электро-
нов проводимости. В теории Друде — Лоренца физические эффекты, связанные
с процессами переноса, обусловливаются единой природой — движением сво-
бодных электронов, которые являются носителями заряда и энергии. Такая
трактовка позволила с одинаковых позиций рассмотреть электропроводность
и теплопроводность металлов. Если высокую теплопроводность металлов объяс-
нить переносом тепла движущимися свободными электронами, то теплопровод-
ность и электропроводность должны быть пропорциональТГБГ“7ФУГ Другу? что
и выражено в экспериментальном законе Видемана и Франца о постоянстве отно-
шения электронной теплопроводности хе к электропроводности о для металлов
при постоянной температуре: хе/о = Lo"T (1.15).
Расчеты Друде — Лоренца подтвердили эксперименты Видемана и Франца,
при этом было получено теоретическое выражение для коэффициента пропорци-
ональности между хе и оТ, названного числом Лоренца: Lo = Xg/oT (1.16).
С учетом распределения электронов по энергиям формула (1.15) может быть
записана в виде:
• хе/о = л2/3 (kje)* Т
Для металлов, таким образом:
(1.17)
Lo = л2/3 (£0/е)2
(1.18)
Для полупроводников при степенной зависимости длины свободного про-
бега от энергии Л = ХОЕГ получается:
Lo = (r + 2) (МО2.
(1.19)
Формулы (1.17) и (1.18) дают значения, хорошо согласующиеся с эксперимен-
тальными данными.
Друде и Лоренц применили свою теорию также для описания различных
термоэлектрштскмх-^ффектов, эффекта Холла и оптических явлений в твердых
телах. Однако успехам этой теории сопутствовали серьезные трудности, которые
были устранены только к середине 20-х годов при применении методов квантовой
механики. Так, по теории Друде — Лоренца при расчете средней длины свобод/
ного пробега электрона получалось значение порядка, нескольких сотен ангстреу
мовЛТри сопоставлении этого значения смежатомными расстояниями в решетке,
составляющими несколько ангстремов, при ход й лисъ~Т5Ез~ объ ясн ен и й признать,
что^электрон движется~без~стбЛ1П1овенйй на расстоянии порядка сотен постоян-
ных решетки. Наиболее серьезной трудностью для теории Друде — Лоренца
стало вычисление^ удельной теплоемкос!Ти электронного газа. Если считать элек-
троны проводимости свободными частицами, то они должны как частицы идеаль-
ного классического газа иметь среднюю тепловую, энергию Если в единице
объема имеется N электронов,^приращение тепловой энергии на единицу темпе-
ратуры в единице объема есть удельная теплоемкость
=^Теп«/^ = 3/2^0-
(1.20)
Однако экспериментальные исследования показали, что значения удельной
электронной теплоемкости мёталлт'Значитёльнсг меньше.
^ Применение квантовой-механики к задаче о состояниях и движении элек-
тронов в кристалле привело к созданию зонной теории твердого тела, в рамках
которой оказалась хорошо объяснимой «аномально» большая длина свободного
пробега электронов проводимости. Электроны в идеально периопицрском поле
кри сталла движутся без р ассе я ния, т. е, с бесконечноиуГдинои свободного про -
беТа~. ПрйЧййо'й~ расседпия явлтпбтёя нарушения периодичности — дефекты ре-
шетки и тепловые" колеоания атомов и ионов. Эти представления удовлетвори-
тельно объяснили^ такжетг-темпера1 урпуКГзависимость длины свободного про-
бега. Таким образом, температурная зависимость электр^проводносад^металла
объясняется.^температурдой[ зависимостью подвижноети^электронов, тогда как
концентрация их остается^ёз~ТрменеНия~ ~~------------------
15
1.3. МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ОБ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ.
ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Электропроводность твердых тел будет зависеть от взаимного расположения ато-
мов в кристаллических решетках и характера их взаимодействия, т. е. опреде-
ляться наряду с другими факторами характером химической связи.
Как известно, основные типы межатомных связей в кристаллах: ковалент-
ная, ионная, металлическая и связь Ван-дер-Ваальса. Величина энергии связи
составляет от 0,1 эВ для твердых тел со связями Ван - ле р - В а а л ьс а л.о 7_э В на атом
и больше для ковалентных, ионных и металлических связей. Значительная часть
полупроводников кристаллизуется в структуры с преимущественно ковалент-
ными связями. Однако наряду с этим встречается также смешанный тип связи
с некоторой долей того или иного типа, например связи ковалентно-ионного
характера.
Ковалентная—связь.— это четко, направленная, парноэлектронная связь,
при Которой jiapа электронов принадлежит JLB_yм соседним атомам. Число ко-
валентных связей? которое может образовать атом, ограничено валентностью
и равно числу электронов, недостающих во внешней оболочке данного атома
для образования заполненной устойчивой конфигурации ближайшего инертного
газа. Так, моноатомные полупроводники IV группы периодической системы эле-
ментов (Ge, Si, a-Sn) образуют кристаллическую решетку типа алмаза^с тетра-
эдрическими ковалентными связями, т. е. каждый атом вступает в четыре парно-
электронные ковалентные связи. Рассмотрим модельные представления об элек-
тропроводности полупроводников на примере "ковалентных полупроводников
четвертой группы (Л1У). Если все связи заполнены, то свободных электронов
в кристалле нет, и соответственно электропроводность такого кристалла будет
равна'* нулю. На ’рис. 4 дано двумерное представление решетки моноатомного
ковалентного полупроводника. При^температуре Т = 0 свободных электронов
Рис. 4. Модельные представления собственной и примесной электропроводности
16
в .решетке нет, так как валентные электроны участвуют в связях. Флуктуации
теплового движения. атомов_при_повышении температуры могут привести к раз-
рыву ковалентных связей в некоторых местах кристалла и освобождению элек-
тронов, которые могут теперь участвовать в проводимости. Следовательно, чтобы
валентный электрон стал электроном проводимости, ему надо сообщить некоторую
энергию активацйи~бЕакт, равную энергии разлива, ковалентной связи.
и также свободно перемешаться по кристаллу при переходе на нее валецдшых
электронов (^соседних заполненных св идей Движение отрицательно яяряженных
связанных электронов по^вакантйым незаполненным связям в некотором напра-
влении эквивалентно движению положительно заряженных ,цезаполдённых
связей в противоположном направлении. Таким образом, при разрыве ковалент-
ных “связей в полупроводнике возникают два механизма электропроводности:
проводимость свободных электронов,
движущихся против электрического
ПОЛЯ, И Проводимость валентных ЭЛРК-
тронов по незаполненным связям.~ко-
Тсфую можно эквивалентно ^описать
_______4&ZJZ
Ес
а
ЛЕд
Рис. Б. Модельные представления об энер-
гии собственной (а) и примесной (б, в)
активации
трическому._полю положительна заря-
женных незаполненных дщязей, -на-
зван н ъх^дыркамйГ
11олная элёктропроводность долж-
на состоять из дырочной и элект-
ро иной компонент. Очевидно, что кон-
центрации эле"ктронов п и дырок р
равны, так как эти свободные носите-
ли заряда создаются парами при раз-
рыве одной ковалентной связи, а подвижности электронов и дырок могут быть
разными, потому что различны механизмы движения в электрическом поле
свободных электронов и электронов, перемещающихся по незаполненным свя-
зям, т. е.
О = ап + Ор = е„ц„п + ерцрр = ent (| | + | |), (1.21)
где о — полная электропроводность кристалла, индексы пир относятся к элек-
тронной и дырочной компонентам соответственно; nr- = п = р — концентрация
электронно-дырочных пар.
Здесь учтено, что подвижность электронов и дырок имеет различные знаки,
так как направления их движения противоположны. Обычно подвижность сво-
бодных электронов больше подвижности дырок (связанных Электронов), Й по-~
этому можно ввести отношение подвижностей: о == |xn/|ip > 1 - Тогда
о = епц1п (1 + 1 Д>) = еп^р (1 + Ь). (1.22)
Полупроводники, в которых электропроводность возникает за счет разрыва
собственных ковалентных связей в решетке, называются собственными, а кон-
центрдция-_«х_ - €обстпШ1Ной_ко1щёнТГЩа1Щей. Себетвенная—концентраци я р астет
с повышением температуры. Чем меньше в полупроводнике энергия актива-
ций- блакт, соответствующая энергии разрыва ковалентной связи, тем больше
будет собственная концентрация при данной температуре. Создание собственной
электропроводности можно проиллюстрировать диаграммой (рис. 5). ^Энергети-
ческие--состояния^ валентных (связанных) электронов образуют зону энергий,
называемую _эплемпшогГ^апойг-На диаграмме уровнем Ev обозначена 'верхняя
граница этой зоны. Чтобы электрон стал свободным электроном проводимости,
ему нужно сообщить энергию б£акт. Совокупность уровней энергии свободных
электронов проводимости образует зону энергий, называемую эоном проводи-
л/оспи^-.Уровнем Ег на диаграмме обозначена нижняй Гранина зоны проводи-
мости, Интервал энергий AF, определяемый из соотношения А£ = Ес — Ev =
= di:дКт называется одл.п/?шенном зоной. Как ёЛёдует иЗ ЭТОГО иООТНбШенмЯ, ити-
риназЦПрыценной зоны АЛ определяемся' энерги^й^азрывдкива;1^1Щ1рй связи
энергий"А7Г~==Й?актОн пер еходйт
17
через запрещенную зону из валентной зоны в зону проводимости, а в валентной
зоне возникает вакантное место — положительно заряженная свободная дырка.
В разделе 1.1 мы говорили о возможности управлять в широких пределах
электропроводностью полупроводников при введении в них подходящих приме-
сей. Поясним это явление с помощью модельных представлений. На рис. 4 изоб-
ражена двумерная модель кристаллической решетки кремния, в которую введены
атомы примеси V группы периодической системы элементов (например, As).
Четыре валентных электрона примесного атома заняты в ковалентных связях
с соседними атомами кремния, а пятый валентный электрон связан только со
своим примесным атомом. Энергия его связи существенно меньше энергии парных
кавялрлтных связей и определяется" кулоновским взаимодействием с положи-
тельно, заряженным ионом~мЕ1шьяка, ослабленным в~ё2 раз диэлектр и ческой
средой кристалла, где е — относительная диэлектрическая проницаемость, до-
стигающая в полупроводниках значений S10. Таким образом, энергия отрыва
пятого «примесного» электрона примерно в Ю2" раз меньше~Энергии разрыва
собственной ковалентной связи.
Электронная электропроводность, возникающая в полупроводнике при иони-
зации примесей, называется примесной электропроводностью. При ионизации
в кремнии атомов примесейгУ группы создаются только свободные электроны
проводимости. Положительные заряды ионов примеси не дают вклада в элек-
тропроводность , так как~энергйя незаполненной связи у примесного, атома отл и -
чается от энергийсобственных ковалентных связей, и механизма дырочной элек-
тропроводности не возникает. Примеси, способствующие толБКГГ^эЛёктроиной
электропроводностиТ^гпоГучмли название донодпд В полупроводнике с донорной
примесью од > Ор. Такой полупроводник получил название электронного или
полупроводника п-типа.
Предположим теперь, что в решетку атомов IV группы введена примесь
III группы. Три.валентных электрона примеси участвуют в парных ковалентных
связях с тремя ближайшими собственными атомамй кристалла, а четвертый
собственный атом имеет одну незаполненную ковалентную связь.
Если на эту незаполненную связь переходит электрон с какой-либо из соб-
ственных парноэлектронных связей, то атом примеси становится отрицательно
заряженным ионом, а в кристалле возникает незаполненная парноэлектронная
связь, которая перемещается как свободная дырка. Примеси, вызывающие ды-
рочную электропрлвопнпгть ияяывяются акцепторами, так как они принимают
электроны. В полупроводнике с акцепторной"Примесью ар > ол, и он называется
полупроводником р-типа.
Обычно в полупроводнике присутствуют носители заряда обоих знаков.
Если п = р, то, как уже отмечалось, такой полупроводник собственный. При-
меси делают полупроводник примесным. Если концентрации примесных атомов
доноров и акцепторов Na одинаковы или близки по порядку величин, то такие
полупроводники соответственно называются полностью или частично скомпен-
сированными. Однако значительно чаще встречаются случаи, когда п =)= р. При
этом, если концентрация одних носителей больше, чем других, то такие носи-
тели называются основными^ е носители, которых меньше, называются неоснов-
ными, Следовательно, основными носителями в полупроводнике n-типа ""будут
электроны, а в полупроводнике р-типа — дырки.
Примесная электропроводность униполярна, т. е. создается носителями
заряда одного знака, в отлшТПё'01 бипилярний “собственной электропроводности,
в которой участвуют носители обоих знаков. Второе важное отличие примесной
электропроводности от собственной — существенно меньшая величина энергии ...
ftp активацци^Поясним это с помощью энергетической диаграммы (см. рис. 5, б,в).
На рисГ 5, б энергией обозначено состояние «примесного» электрона-в атоме
донора. При ионизаций донорного атома этот электрон переводит с уровня
в зону проводимости. Величина^ДЕ^ = Ес — Е^ соответствует энергии актива-—
ции донорной электропроводности «-типа. На рис. 5, в энергией £д обозначено
состояние «ц^имесногоТ'эЛектроИа в атоме акцептора. При ионизации акцептор-
ного атома он, прйИимает-электуонПиз валентной зотгп, при этом в,ддлентцаи-збне
возникает свободная дырка. Величина соответствует энергии
актийаЦйи акцепторной электропроводности р-тцпа. Если энергии ДЕ^ а
18 ---------- -.....- -
<С ДЕ, то примесная электропроводность будет активироваться при гораздо
более низких температурах, чем собственная. В примесном полупроводнике
°соб “Ь ^прим (1.23).
При достаточной концентрации примесей в некотором температурном ин-
тервале можно получить оС0б оПрим> поскольку собственная ионизация требует
большей энергии, чем примесная. Тогда о ~ Пприм> и требуемая проводимость
задается нужной концентрацией вводимой примеси.
Таким образом, модельные представления^ наглядно объясняют температур-
ную зависимость электропроводности полупроводников ростом концентрации
свободных носителей заряда за счет термической ионизации собственных атомов
-шцсатомов примеси. Однако, измеряя величину проводимости полупроводн и к а,
нельзя определить ее тип, т. е. сделать заюпбчение о том, какая она: электрон-
ная, дырочная или--вообще смешанная, т^к как электропроводность — четная
функпмя лтэн^ка носителей заряда. ЭксперцКТСНiаль^ШЛУЖствование дырочного
^механизма- ^ч^ктропрорг>днлгти может подтвердить только исследованйё~~физи-
ческого эффекта, величина которого — нечётйад~'фупкпия знака~ подвижных
носителей-‘заряда. Важнейшими среди таких эффектов по своПМ~Применениям
являются эффект Холла"й эффект т. э. тгг~с7 (эффект ЗесДека). Остановимся
в‘коатце на физической сущности этих явлений. Эффект Холла состоит в появле-
ний тя и ияяыпярмпй хплловской разности потенциалов при помещен и и_о$разца
в скрещенные электрическое и магнитное поля Прй^^меи1ним7Щйстви7Гпер_пен-
диШДГярных друг другу электрического и магнитного Людей подвижные носи-
тели заряда отклоняются в третьем перпендикулярном направленитгтиЛбТГ~Ло-
ренца в одйуТторону независимо от знакТТх-заряда;-------
В рассматриваемом эффекте скорость электрона которую он приобретает
под действием электр^ияеского-пола,^, направлена вдоль образца^ а вектор маг-
нитной индукции В — перпендикулярен yj. Тогда под действием силы Лоренца
Fn = е IujB ] электрон будет отклоняться от первоначального направления дви-
жения к одной из граней. Это равносильно представлению о закручивающем дей-
ствии магнитного поля на движение электрона. При отклонении носителей заряда
к граням образца возникает поперечное электрическое _поле внутри-образца.
Процесс будет ИДТИ RO тех пор, пока это Э-ПАКтрмиРГУг^_ттппР ИР ГТЯЙРТ ППСТЯТОЧИО
бдльШйМ“и ке~ скомпенсирует силу, выявяшпую отклонение, носителей заряда
к боковым граням. Тогда еЕ^ + е [р^В]г= 0.
Откуда возникшейпоперечное~элёктричёское поле Е? = vxB^
Учитывая значение (1.5) для р^, получим, что сила, вызывающая отклоне-
ние носителей к боковым граням
Ел = е [ р^В] = е2т/т [Е В],
(1.24)
определяется квадратом заряда, и, следовательно, не зависит от знака заряда
носителей.- ~
На рис. 6 показано возникновение холловской разности потенциалов в об-
разцах р- и «-типа проводимости. В образце n-типа основные носители заряда —
электроны, отклоняясь в направлении силы Лоренца, создадут у той поверхно-
сти образца, к которой она направлена, отрицательный объемный заряд. В об-
разце p-типа дырки по той же причине у аналогичной поверхности образца
создадут положительный объемный заряд. Экспериментально измеренные знак
и величина холловской разности потенциалов между поверхностями образцов,
перпендикулярными силе Лоренца, позволят определить не только знак носите-
лей заряда, но и величину их концентрации. Так как ток в образце / = ent'j,
то уравнение для холловского поля можно записать в виде:
Ez = ixBy/(en) = R ij В]г, (1.25)
где R — коэффициент Холла.
19
Формула (1.25) была первоначально эмпирически получена Холлом. Так как
заряд электрона отрицателен, а дырок — положителен, коэффициент ~ Холла
для электронов отрицателен, алля дырок — положителен: " ~
R = -l/(enn); Rp=\/(epPy (Rn<Q; Rp>0). (1.26)
Эффект Холла чрезвычайно широко используется в технике полупроводни-
ков в качестве одного из основных методов исследования. Так как в рамках тео-
рии Друде — Лоренца с учетом выражений (1.6) и (1.2) можно получить связь
между электропроводностью и подвижностью: о = (1.27), то измерив одно-
временно температурные зависимости электропроводности и эффекта Холла,
можно найти наряду со знаком носителей заряда их концентрацию и характер
изменения подвижности, который, как мы увидим ниже, определяет механизм
рассеяния носителей заряда в полупроводниках. Соотношение (1.27) называется
формулой Друде.
Рис. 6. Эффект Холла в образцах п- и p-типов полупроводников
Следует отметить, что исторически этот эффект наблюдался Холлом на ме-
таллах и позволил определить существование в них дырок по аномальному для
металлов знаку Rp (1.26).
Можно также определить знак носителей по изменению т э. д. с. Этот
способ определения типа проводимости получил название метода термбэонда.
Образец закрепляют на металлической пластинке^ытужащей «холодным» кон-
тактом. К образцу прикасаются нагретым зондом, слуЖащим «гбрячим» койтак-
том. В цепь, замыкающую «холодный» и «горячий» контакты, включен гальвано-
метр . Налрявление тпкя_указывает знак основных носителей
ДЗртла Для образца n-типа отрицательный потении алсоздается на
«холл ином» контакте. Объяснение этого эффекта заключается в следующем?
Между^^ряндШ^Долодным»,1ЦШтактаМй в образце создается гр^дтт^ТГг темпе-
ратур. Основные носители — электроны диффундируют из нагретой области
образца в холодную, так как тепловыескоростиих/ будут выше. «Холодная»
бблаС'1Ъ~обогащается приведшими сюдаi основами носителями заряда, йдТней
возникает отрицательный объемный заряд. «Горячая» области лбепняётся элек-
тронами и будет Иметь положительный зарадгВ-ел уч ае ^мрнрния типа проводи -
мост знак т а, д, с., указываемый стрелкой гальванометр^-изменяется на про-
тивоположный. “
Описанные эффекты применяются не только для исследования свойств полу-
проводников, но и используются в технике. Так, на основе эффекта Холла создан
датчик магнитного поля использующий пропорциональность э. д. сГ Холла
величине магнитной индукции в образце. Явление Зеебека Широко применяется
для создания термоэлектрических преобразователей тепловой энергиЦ- В .элек-
трическую, а также в качестве метода иссДёДбВанИЯ~~3<7ИноТ структуры полу-
ЛРовртпгйковГ " — '
20
Глава 2. ОСНОВЫ ЗОННОЙ
ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.1. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.
ЭЛЕКТРОНЫ В ИДЕАЛЬНОМ КРИСТАЛЛЕ
Рассмотрим поведение электронов в идеальном кристалле. Из
теории проводимости Друде—Лоренца мы уже знаем, что кристалл
можно представить в виде кристаллической решетки, в узлах ко-
торой находятся ионы, и электроннсго газа. Будем называть кри-
сталл идеальным, если кристаллическая решетка строго перио-
дичная, т. е. все ионы не.смещены относительно своих положений
равновесия, все узлы заняты ионами одного сорта и чужеродных
атомов нет. Тогда задача~пзучения пиведения-носителей заряда
в кристалле Вводится к рассмотрению влияния периодического ;
поля решётки кристаллана движение электронов. Известно, что
электрон является квантовомеханической частицей и его поведе-
ние даже в свободном пространстве не может описываться клас-
сической физикой, рассмотрение естественно проводить на базе
представлений квантовой механики. Поэтому целесообраз-
но вспомнить некоторые основные положения квантовой меха-
ники.
Прежде всего в связи с наличием у электрона и корпускуляр-
ных, и волновых свойств нельзя однозначно говорить о место-
положении и определенной траектории электрона. Как известно,
согласно соотношению неопределенности Гайзенберга ДхДр ^й,
координата и импульс электрона могут быть одновременно опре-
делены с точностью до постоянной Планка й.
Соотношение неопределенности содержит параметр й, прису-
щий квантовой механике. Формально переход к классической
механике можно сделать, если положить й = 0. Тогда неопреде-
ленности координаты Дх и импульса Др могут быть одновременно
равны 0 и частица может перемещаться по определенной траек-
тории. Из соотношения неопределенности следует также, что
движение квантовой частицы, локализованное в ограниченном
объеме пространства, не может затормозиться, так как при оста-
новке р = 0 и Др = 0 согласно неравенству Гайзенберга должна
быть полная делокализация частицы Дх = оо. Поэтому в кванто-
вой механике вводят статистическое представление электрона.
Это дает возможность гово^тъоверояйХНдстном поведеншьэлектро-
рона путем задания некоторой функцииГ^называемой волновой
функцией электрона ф t). Эта волновая_функцдя-будет харак-
теризовать вероятность нахожденйЯ^леТсгронавмомент^времени t
в точке х координатного пространствЯТгсли описать движение
электрбнав виде волны, то ^квадрат амплитуды этой_волны, ха-
рактеризующий ее интенсивность в данной точке, тГёсть мера ве-
21
ррятности.лайти электрон~в-этой. точке в данный момент времени:
|ф (х, /)2| = х|тф*.
Таким образом, для нахождения плотности вероятности необ-
ходимо умножить ф (х, t) на комплексно сопряженную с ней
функцию ф* (х, /). Поскольку ф(х, /)ф* (х, t) dx есть вероятность
нахождения частицы в интервале от х до х + dx в момент време-
мени t и поскольку суммарная вероятность нахождения частицы
в какой-либо точке пространства в некоторый момент времени t
есть событие достоверное, то
оо
j<p*(x, t)dx = 1. (2.1)
—оо
Так как было установлено, что невозможно описать поведение
электрона с помощью траекторий, получаемых из уравнения Нью-
тона, и введена вместо этого волновая функция ф (х, /), то есте-
ственно теперь ввести некоторое уравнение, эквивалентное урав-
нениям Ньютона и дающее <<рецепЪ> на2<ождения._водновой„функ-
цци Ф7*^0 в различных физических задачах.
'Как известно, таким уравнением и является"^ равнение Ш_пе-
дмнге/ш^дредложенное в 1926 г. в качестве одного из постулатов
квантовой механики.
Изменение волновой функции во времени дается временным
уравнением Шредингера: —
t/гдф (х, t}!dt = Hxj) (х. /). (2.2)
И-'
где — оператор полной энергии, или гамильтониан, называе-
мый так по аналогии с классической физикой, где полная энергия,
выраженная через координаты и импульсы, описывается функцией
Гамильтона.
Оператор Гамильтона для частицы в свободном пространстве
представляет собой сумму операторов кинетической Т и потенци-
альной энергий &:
Й = Т + и Пг/Чт)У2 + б (х), (2.3)
Как видно из уравнения Шредингера при решении его при-
ходится в отличие от классической физики иметь дело с операто-
рами. Оператором L называется символическая запись действий,
которые надо проделать с функцией (х), чтобы получить функ
цию U2 (х): Ll^ (х) = U2 (х).
Из всего разнообразия операторов в квантовой механике для изображения
механических величин употребляются только так называемые линейные само-
22
сопряженные операторы. Оператор называется линейным, если справедливо
следующее соотношение:
L [aUi (х) + bU2 (х)] = aLUi. (х) + bLU2 (х),
где а, b — некоторые константы: Uy (х), U2 (х) — функции.
Линейный оператор называется самосопряженным (эрмитовским), если он
обладает следующим свойством:
j V* (х) LU (х) dx = j и (х) L* V* (х) dx,
где L* — комплексно-сопряженный оператор от L, получающийся заменой зна-
ков'перед^ мнимой_единицей. -------
" Деиствиянад'опёраторами подчиняются простым алгебраическим правилам.
Например, оператор суммы С двух операторов А к В записывается в виде: С =
= Л + В, если CU (х) = AU (х) + ВU (х).
Оператор произведения: П = АВ, если IJU (х) = ABU (х).
Произведение операторов зависит от порядка сомножителей, т. е. если Z7' =
= ВА, то П' =[= П. Такие опррятпрлл-~клг»д П' П, ияитяются некоммутиру-
ющими в отличие от случая, когда П = П' или АВ = ВА, где операторы П
и П' коммутирующие (перестановочные). В последнем случае оператор L —
= АВ — ВЛ называется коммутатором операторов А и В. _Можно выбрать
такие функции, которые при действии на них данного оператора L умножаются
на некоторую постоянную величину L:
LU (х) =LU(x). (2.4)
ToiAaJV (х) называется собственной Функцией оператора L, a L —собствен-
ным значением оператора соответствуют им функции U (х). Если каждой соб-
ственной функции соответствует одно собственное значение, то" такое состояние
называется” невырожденным. ЕсЛи какому-либо собственному значению соответ-
ствует f собственных функций, то am.. состояние. называется f-кратновыро-
жден н ьТкг
•—МЭТёМатический аппарат квантовой механики дает следующие свойства
собственных функций эрмитовских операторов:
1. Собственные функции невырожденных состояний ортогональны'.
г • , v ч , (0 при п т
ф„ (%) “Фт (х) dx = 1 *---------
J тп к / Y/n v / [ i при п = т.
2. Собственные функции образуют полную систему функций.
Это означает, что по ним мбЗкно разложить в ряд пр_ризвольную функцию
того же класса: ф (х) == фп’(х|, гдё фд (х) — система собственныхфункций.
" -------------------________
3. Собственные значения эрмитовских операторов вещественны.
Кроме постулата об уттавнении"ЩУёДТГНгера7’квантовая механика использует
для описания поведения электронов посредством волновой функции еще не-
сколько постулатов.
Принцип суперпозиции. Если квантовая система может находиться в состо-
яниях, описываемых волновыми функциями ф! (х, t) и ф2 (х, t), то она может на-
ходиться и в состоянии, описываемом волновой функцией ф (х, /): ф (х, t)= аф! = <
= аф, (х, + 6ф2 (х, t), где а, b — постоянные величины.
Это означает, что возможно наложение волновых функций или их состояний.
Принцип суперпозццшкяозвбляет представить"любую функцию в виде разложе-
ния по собстъеннымфункциям эрмитовского оператора.
?3
Принцип соответствия. Каждой классической величине L в квантовой меха-
нике соответствует .л инейный самосопряженный оператор L. Между „этими__опе-
раторами имеются такие же соотнпптешмтр-как между классическими величинами.
Постулат о_ среднем значении физической величины. ^еднее_значение физи-
ческой величины L в состоянии с волновой функцией ф (хГ7)определяется сле-
дующим соотношением: ('£) = |ф* (х, t) £ф (х, t) dx.
Так как оператор. L является эрмитовским оператором, то справедливо
и другое выражение: (L) = /) £*ф* (х, /) dx.
Из этих выражений видно, что среднее знач"ёние какой-либо физической
величины, которое, как известно, и измеряется в эксперименте, в квантово-
механическом представлении находится с помощью волновой функции.
Физические величины L принимают только те значения, которые содержит
спектр оператора L, где под спектром оператора подразумевается набор собствен-
ных значений опердто^'Г. Этот постулат означает, что между измерительными
и вычислительными величинами нет расхождения.
Если в уравнении Шредингера (2.2) потенциальная чнррсля
системы не зависит от вррмрниг то оно упрощается. Волновую
функцию,, можно тогда представить в виде:
ф (х, /) =1|?о (х) f(t). (2.5)
Подставляя выражение (2.5) в формулу (2.2), мы получим
/йф0 (*) dfldt = /7ф0 (*) f (О или, разделяя переменные:
Так как левая часть (2.6) зависит только от t, а правая часть
только от х, то Е в этом выражении есть константа разделения
переменных, если правую часть уравнения (2.6) представить в виде:
%МхГ= ^0 (*)Ъ-7).
Тогда согласно рассмотренному выше Е есть собственное зна-
чение оператора Гамильтона, т, е, полная энергия, а фп (х) есть
собственная функция этого оператора. Решение уравнения (2.6)
для функции f (t) имеет вид волны: f (t) = Ае_, (2.8).
Найдя совокупнпртк nce-Y—ГпбгтиРННЫУ чняир-щщ
энергии £, можно определить спектр энергии системы частиц.
Учитывая выражения (2.6)—(2.8), получим
|ф(х, 0|2 = |4>oWI2IW = |То(х)|2 Л2. (2.9)
Это означает, что плотность^вероятности не зависит от времени.
Как известиоу-такце состояния системы являются стационарными,
и поэтому урявнрмче-(2|?) называется^стационарным уравнением
Шредингера. Квантовомеханическое рассмотрение 'движения ча-
стицы в свободном пространстве приводит к представлению пло-
ской волны де Бройляф =-• _AeikJ\ а соотношение^ (2.9) показц-
24
вает, что для этого случая частица с равной вероятностью может
быть найдена в любой точке пространства.
Если мы теперь перейдем к рассмотрению влияния периодиче-
ской решетки на движение электрона, то в первом приближриии
.кристалл можно представить в виде трехмерных пеночек потен-
циальных ям, соответствующих положению ионов решетки.
Такая задача решена в квантовомеханической теории. Это — мо-
дель Кронига—Пенни, которая представляет движение электрона
в кристалле как движение частицы в системе периодически рас-
положенных глубоких потенциальных ям.
Рассматривая эту задачу для одномерного случая, для одной
лотенпияльнпй я-мы можно получить следующее уравнение Шре=
дингера:
д2ф/дх2 + 2т (Е-
(2.10)
где U — потенциальная энергия, которая бесконечна на границах
ямы и равна нулю внутри ее:
х<0
0<х<а
а < х,
где а — ширина потенциальной ямы.
Значения волновых функций на границах равны: ф (0) —
= ф (а) = 0, и, следовательно, на ширине этой потенциальной
ямы укладывается целое число полуволн. Внутри ямы уравнение
Шредингера имеет вид: д2ф/дх2 + х2ф = 0,где х2 = 2т£7й2. Ре-
шение может быть получено в виде суперпозиции волн: ф (х) =
= A sin хх + В sin хх.
Используя граничные условия, получаемые В = 0 и ха =
= ztjin; тогда
х = ± п и Е = х2й2/2т = й2л2а2/2та2, (2.11)
где п = 1, 2, 3 ... целые числа.
Из этого уравнения видно, что для энергии Е, разрешены
уже не все состояния, а лишь те, которые удовлетворяют условию
(2.11). Вместо непрерывного спектра энергий мы получили ди-
скретный спектр. Рассмотрение в квантовой механике периоди-
ческой цепочТГи потенциальных ям приводит к появлению вместо
дискретных уровнеи^энертии фй-чрАтТГеннь/хзон энергии, разде-
ленных запрещенными зонами энергии. Таким образом, влияние
кристаллической решетки на движение электрона в кристалле
проявляется В возникновении в спектре энергии запрещенных
и разрешенных зон.
25
2.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЁРА
ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В КРИСТАЛЛЕ.
АДИАБАТИЧЕСКОЕ
И ОДНОЭЛЕКТРОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Очёвидно, для кристалла как для квантовомеханической сйстемьГ
в стационарном состоянии будет справедливо уравнение Шре-
дингера (2.7), где волновая функция кристалла ф будет зависеть
от координат всех частиц в кристалле, электронов и ядер
ф = ф ({г^, а гамильтониан Н, т. е. оператор пол-
ной энергии кристалла, должен учитывать все виды энергии:
Я = Тэ + Тя+0э + 0я + ^я + Р, (2.12)
где и Тя, UD и 0я — операторы кинетической и потенциальной
энергии электронов и ядер соответственно; 0эя — оператор
энергии взаимодействия электронов и ядер; V — оператор по-
тенциальной энергии всех частиц во внешнем поле.
Если подставить в это выражение значения операторов энер-
гии, то оператор Гамильтона для систем частиц в кристалле
будет иметь вид:
i k а
yi Zae2
-> -> / । -> -> >
4лее0 |.Яа —4nee0 | rz — Ra | •"
где Z — заряд ядра; m и Ma — массы электронов и ядер соот-
ветственно; 80 и 8 — диэлектрические постоянные вакуума и
кристалла; Д = у2 — оператор Лапласа; индексы i, j относятся
к электронам, а а, 0 — к ядрам.
Так как в единице объема кристалла содержится около 1023
атомов, то ясно, что уравнение (2.13) содержит очень большое
число переменных и решить его точно практически невозможно.
Поэтому задача теории твердого тела заключается в отыскании
достаточно обоснованных приближенных методов решения урав-
нения Шредингера для кристалла, которые бы позволили интер-
претировать данные эксперимента.
Один из способов упрощения — сведениемногочастичной за-
дачи кдхднпчастидн^й . Тогда^уравнение дл ясистёмы_части ц можно
представить системой уравнений,~птаждбё~из которых~~описывает
д^ж^Гие~однойчастицы. Физическим^обоснованием этог<гтл у ж и т
прёЖбложёние' о - невзаимодействии частиц друг с другом.
Тогда, согласно представлениям теорийТероятйостей гамиль-
тониан системы и волновая функция системы определяются как
26
И = Н{ и ф = rii|?z. В этом случае уравнение Шредингера имеет
вид: Htfi = Erf>i (2.14).
В этих уравнениях i — индекс, относящийся к одной частице.
Одним из методов, позволяющих упростить уравнение Шредин-
гера, является адиабатическое приближение или приближение
Борна—Оппенгеймера. Сущность его заключается в учете разного
характера движения электронов и ядер: электроны как более лег-
кие цягтитты лпижУтсЯ_значительно быстрее ялерт вследствие чего
можно считать, что ядра остаются в покое по отношению к мгно-
венном^полоя<^нию^д^ктранрн^ Физический смысл этого при-
ближения состоит в том, что движения электронов Т ядер можно
считать независимыми. Тогда, учитывая вероятностный характер
волновой функции, ее можно представить в виде произведения
волновых функций электронов фе({/Д7?а) и ядер фя
Ф~Фе(ИИ> {^ajconst) Фя ((^а})> (2.15)
где фе ({г£}, |/?а}) const — волновая функция системы, найденная
в предположении покоящихся ядер.
Подставляя выражение (2.15) в стационарное уравнение Шре-
дингера = Еф и разбивая гамильтониан на ядерную и элект-
ронную части, мы получаем теперь вместо одного уравнения два:
первое — для электронов с параметрической зависимостью от
координат ядер: Н$е = Е$е (2.16) или
(2 - +42 - 2
,7/ 4лее0г1;- ft 4лее0 | г, - Ra | J
и второе — для ядер: = Ея^ (2.17)
Решение уравнения Шредингера дает вид собственных функций
ф ({г,}, |/?а}) и собственных значений, т. е. энергии системы £.
— Как показывает квантовая теория, адиабатическое прибли-
жение с достаточной точностью дает эти значения:
У = и Е = Ее + Ея. (2.18)
Эти приближенные равенства выполняются с точностью до
пренебрежимо малых поправок,-определяемых отношением m~JMa
или ]fmt/Maf имеющих'Тюрядо^ГЬеличины 10"4 или 1б"2.
В рамках адиабатического приближения поведение системы
электронов описывается уравнением (2.16). Число переменных
уменьшилось, однако оно остается достаточно большим. Поэтому
для дальнейшего упрощения уравнения Шредингера вводится
рдноэлектронное приближение, которое позволяет представить
гамильтониан уравнения (2 1Б) зависимым только от координаты
одной частицы. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы все три
оператора энергии, входящие в этот гамильтониан: кинетическая
27
энергия электронов, потенциальная энергия электронов и энергия
взаимодействия электронов и ядер —_также зависели от одного
пар^метра^
Поскольку вследствие адиабатического приближения лдя элею
тронов имеется параметрическая зависимость от координат ядер.
ТГГдютенциальную эн^хш^ электронов с ядрами
можно представить как сумму потенциальных энергий i-тых
электронов в поле всех ядер:
V z«g2
4лее01 rz - Ra I
(2.19)
a i
Потенциальная энергия электрона — второй член гамильто-
ниана, представленная в виде суммы попарного взаимодействия
некоторых электронов i и j, также может быть записана в виде,
зависящем только от координат одного электрона, и описана вза-
имодействием каждого электрона с некоторым усредненньГКгттШГём
всех остальных электронов. Это_ усредненное поле называется
самосогласованным^пол^я и дозволяет считать электроны взаимо-
действующими нр мрзкпу собой, а только с этим полем. ~
~71ля введения этого самосогласованного поля мы должны пред-
положить, что в точке нахождения любого r-того электрона мы
можем найти величину потенциального поля, создаваемого всеми
остальными электронами, и вычислить потенциальную энергию
(rf) взаимодействия i-того электрона с этим полем. Потенци-
альная энергия i-того электрона в этом поле (rz) будет зависеть
только от координат f-того электрона. Следовательно, суммируя
поле Qz(rz) по всем f, мы найдем полную потенциальную энергию
взаимодействия всех электронов:
(2-20)
" 4nee0rz/
Потенциальная энергия (rf) зависит от движения остальных
электронов, но f-тый электрон также влияет на их движение.
Поэтому no.ne_Q( (rj не только определяет движение Z-того электро-
на\_но и зависит, от его движения, следовательно^является^ДЮ
существу, самосогласованным полем.
Таким образом, в рамках одноэлектронного приближения вве-
дением самосогласованного поля можно учесть взаимодействие
электронов так, чтобы энергия их взаимодействия была представ-
лена суммой энергий, относящихся к отдельным электронам:
Не = Е - (й2/2т) Д,- + S Qz(g) + 2Х (г,) = 2 4 (2.21)
i i i
Так как гамильтониан системы электронов Нй оказалось воз-
можным предстаццх^в виде^уммы^ЕЯмидьтонианов^, выражаю-
28
щих полную энергию любого /-того электрона, то систему электро-
нов мьГ мо^ем симтять системен «взаимодействующих частиц,
для каждой из которых справедливо уравнение Шредингера:
= Ej^j.
Энергия всей системы электронов Ее = а волновая функ-
____________________________________i
ция для уравнения (2.16) выражается, как для невзаимодейству-
ющих частиц, произведением отдельных волновых функций элект-
ронов:
ifeGM. {flalconst) = (2.22)
Это приближение носит название приближение Хартри. Па-
раметрическая зависимость величины фг- от {/?a}COnst оста-
ется, но далее для простоты записи мы будем ее опускать. Подстав-
ляя волновую функцию (2.22) в уравнение Шредингера для системы
электронов (2.16), можно найти в соответствии с приближением
Хартри:
£•) = 4 S I I I8-----------dXi’ <2-23>
" 4леео I - rJ I
где е |плотность электронного облака /-того электрона
в точке rt.
Подставляя выражение (2.23) в уравнение Шредингера, получим уравнение
Хартри:
- £>+[ 4 211 I2 -—°* ->, 1х
1^1 4лве01 rt — г/1
X f / (г;) + V, (г,) “ Ef^i,
(2.24)
представляющее собой нелинейное интегрально-дифференциальное уравнение.
Оно дает возможность определить волновую функцию с некоторой погрешностью.
На возможность" уменьшения погрешности в определении плотности электронного
облака указал в 1930 г. В. АГ Фок, предложивший учитывать антисимметрич-
нотк—-волновой функции электронов согл асно принципу Паули. Правильная
комбинация волновых функции задается О1гределИ1е;7еКГ Слэтера:
'I’l (<7х) fi (%)•••
f 2 (91) f 2 (9г) • • • >
(2.25)
где У,— число электронов: — набор четырех переменных xt-, у/, ?i и S2..
Волновая функция (2,25) удовлетворяет условию антисимметричности:
f< (•_• 9» 9ft) == —Ф» (• 4k
29
Уравнение, учитывающее волновую функцию в виде (2.25), называется урав-
нением Хартри — Фока и позволяет найти энергию системы электронов. Следует
заметить, что рассмотренная ранее модель Кронига — Пенни о движении элек-
трона в кристалле основана на одночастичном представлении и, по существу,
использует адиабатическое и одноэлектронное приближения.
2.3. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РЕШЕТКИ КРИСТАЛЛА.
ВОЛНА БЛОХА
Как следует из предыдущего раздела, одноэлектронное уравнение
Шредингера имеет вид:
[(_ ft2/2m) д + и (?)] ф (?) = (г),
(2.26)
где U (г) = Ut (г£) = (rf) + Vt (г£) есть потенциальная энер-
гия взаимодействия электрона с полем кристаллической решетки
и со всеми остальными электронами и, следовательно, зависит
от свойств решетки.
Как уже указывалось в разделе 2.1, одно из наиболее важных
свойств—ндеальной решетки — ее периодичность Это свойство
периодичности обусловлено тем; что при смещении на вектор
трансляции, п, который определяется базисом решетки аъ а2,
а3: п = + п2а2 + п3а3, можно попасть в точку, идентичную
первоначальной. Тогда, очевидно, для пртшщиальной^не^^
это угл^вие пе^иодичности будет иметь вид:
U(r + n) = U(r). (2.27)
—. _________-»
В операторной форме условие (2.27) может быть записано как
Т (л) V (г) = U (г + п), где f (и) — оператор трансляции.
Из уравнения (2.27) следует, что точки г и г + п физически
эквивалентны. Следователь но.есд и подставить в уравнение Шре-
дингера^ + п вместо г, то новая волновая функция, соответству-
ющая аргументу г + л, будет отличаться от волновой функции
ф (г) только постоянным множителем Сп: ф (г + и) = Спф (г).
Это равносильно предположению, что при смещении на век-
тор трансляции в силу периодичности потенциального поля U (г)
модуль волновой функции |ф (г) | остается неизменным, а изменя-
ется лишь ее фаза.
Условие нормировки (2.1) для волновой функции ф (г + п)
имеет вид:
со
j ф(г + н) ^f+n)dr = \Cn I2 J ф(г) ф* (r)dr.
30
(to
Однако известно, что (г)гр* (г) dr = 1 и тогда |СП|Й = 1.
Это означает в свою очередь, что Сп равна или единице, или экс-
поненте с мнймьш показателем. Учитывая, что волновая функция
отражаетЛтрохождение электронной волны в^кристалле, следует
прд£ця1ь__что Сп есть мнимая экспонента^ Естественно, что пока-
затель степени этой экспоненты должен быть безразмерной вели-
чиной, в то время как вектор трансляции п имеет размерность
длины (см). Поэтому в показателе экспоненты должнатакже при-
сутствовать некоторая величина, размерность которой обратна
длине (см"1). Эта величина обозначается Ь и носит нячвяние вол-
нового векгпора^Модулъ этой величины |А| называется волновым
числом. Физический смысл его — число длин волн, укладываю-
щихся на отрезке 2л: |£| = 2л/Х (2.28). Таким образом; С„ ==
= eik п (2.29) л ияние периодического поля решетки на вол -
"новую^функцию свободного электрдна_вы^ажается в^появл^ПТгп-
.дополнительного множителя перед значением функции:
ф(г4-п) = е^"ф(г).^ (2.30)
Условие (2.30) называется щрансляципнным свойством волновой
функции электрона в кристалле. Запись этого свойства в опера-
торной форме имеет вид: Т (и) ф (г) = eik п ф (г), где ф (г) —
собственная функция оператора трансляции; eik п — его соб-
ственное значение.
Как следует из квантовой механики, гамильтониан Н и опера-
тор трансляции / (п) коммутируют между собой, т. е. имеют об-
щую систему волновых функций. Следовательно, волновые функ-
ции гамильтониана при движении электрона в кристалле удовлет-
воряют трансляционному условию, И волноняя функция чяиигит
-> -* ” '
от ф = ф^ (г)А
Очевидно, и собственное значение гамильтониана — энергия
системы — тоже будет зависеть от k: Е = Е (Ь\
Это выражение носит название закона дисперсии для энергии
электрона в кристалле. Отыскание вида Е (k) наряду с ф-> (г)
является основной задачей зонной теории твердого тела.
Рассмотрим теперь вид решения уравнения Шредингера для
электрона в периодическом поле кристалла. Умножим для этого
левую и правую части уравнения (2.30) на множителье~ ik V +
e-it +=г-.* м
31
1
Обозначим e~~ik пр (г) через (г), тогда это выражение мо-
си
жно представить в виде
е ('’+п)4) (г 4- п) = е 1к г ф (г) = <р (г)/
•--------------------------— _____________________________&- .
и, следовательно, ср_> (г) — периодическая функция с периодич
ностью потенциального пола U (г): ср.» (г + п) = ср-. (г) (2.31).
г. --------.-------——— ---k k
j ->
Тогда волновая функция ф-> (г), являющаяся решением урав-
k
нения Шредингера для электрона в кристалле, имеет вид:
’М'') = <р^ (г)е'
k k
7*
(2.32)
Таким образом, не решая уравнения Шредингера, мы нашли
вид волновой функции электрона в потенциальном поле решетки,
используя только периодичность этого поля. Й^вы^ажения (2.32)
следует, что решение уравнения Шредингера для идеального кри-
сталла представляет собой плоскую (eik г) модулированную
по амплитуде с периодичностью решетки кристалла волну. Это
решение называется функцией или волной Блоха. Как видно из
определения волны Блоха, оно не зависит от п. Математическая
форма волны Блоха приобретает наглядный физический смысл,
если ее сопоставить с формой волны де Бройля (г) = Aeik г,
которая описывает волновую функцию свободного электрона,
г ^Если электрон из свободного пространства,переносится в кри-
ЬЬЛ |сталл, то естественно ожидать, что воздействие,_периодического
[потенциала кристаллической решетки промодулирует амплитуду
1волнов.о1ьФункции электрона с периодом постоянной решетки,
|кяк это следует из соотношения (2.31).
2.4. СВОЙСТВА ВОЛНОВОГО ВЕКТОРА ЭЛЕКТРОНА
В КРИСТАЛЛЕ. ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА.
ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА
Рассмотрим, что может дать блоховское решение уравнения Шре-
дингера. Пусть ki и k2 — волновые векторы двух частиц. Если
эти частицы не взаимодействуют, то волновая функция для системы
двух невзаимодействующих частиц имеет вид: ф->(г) =ф->(г)х
k ki
(Г) (2.33).
я.
32
С учетом трансляционного условия (2.30):
(г + п) = '|’-> (Г + П) (г + п);
k ki k2
elt ”^(r) = Л = el &+t'} "ф, (r) (r).
k ki k2 kl k2
Откуда следует, с учетом (2.33), что eik п = е' п.
Это условие выполняется, если kn = (£х + k2) п ^*2 л/л, где т —
любые целые числа.
Тогда k = k± + k2 + 2 л ft, (2.34). где b — некоторый вектор,
имеющий смысл вектора обратной решетки.
Действительно, bn = tn, „Здесь по-прежнему п — + п2а2 + п3а3 —
вектор трансляции; аъ а2, а3 — орты прямой решетки. Очевидно, что условию
bn = т соответствуют уравнения:
Ьаг — Ьа2 = т2\ Ьа3 = т3, (2.35)
где /пх, /п2, т3 — также некоторые целые числа.
Тогда вектор b можно представить в виде:
Ь = /Их [Л2^з] + т2 [^3^1] ^2 “Ь ^3 [^1^2] ^3* (2.36)
Подставляя выражение (2.36) в уравнение (2.35), получим:
Хх [^2^з] Лх = 1 > ^2 1«3«1] ^2 = 1 > ^3 [^1^2] = 1.
Известно, что смешанные произведения вида [а;а&] ае дают объем элемен-
тарной ячейки решетки:
Xi = Х2 = Х3 = 1/V = l/([azafe] ае).
Следовательно: д = тлЬа т9Ь9 4~ тяЬя, где Ьъ Ъ2, Ь3 — орты обратной ре-
шетки, связанные (Тортами прямой решетки:
[21Оз] . £ [0ia2]
^1- = ——» "2 = -» V~ J = -»_>.»— •
(«11«2«3]) («х [ад]) (^i [ад])
Для простой, кубической решетки | b | = 1/| а |.
Таким образом, из уравнения (2.34) следует, что волновой век-
тор для электрона в кристалле неоднозначен в отличие от волнового
вектора для свободного электрона. Он определяется в случае
кристалла с кубической решеткой с точностью до слагаемого 2л&
или 2л/а (где b и а — векторы обратной и прямой решетки соот-
ветственно). Тогда для волновой функции справедливо соотно-
шение
(г) = Лг)-
fr+ag/i
2 Горбачев В. В., Спицына Л. Г<
(2.37)
33
Равенство (2.37) можно получить также из условия (2.29).
Действительно, подстановка k' = k + 2л& в условие (2.30) при-
водит лишь к появлению дополнительного множителя =
= 1:
ik' п i (£-|-2л6, п) i k n Г1яп d* ik rt
e = e = e e = e
Так как состояния (г) (г) эквивалентны, то и энер-
гии, им соответствующие, равны, т. е. Е (k) = Е (k + 2л&)
(2.38).
Таким образом, мы получили, что в ^-пространстве волновая
функция и энергия электронов являются периодическими функци-
ями от волнового вектора k с периодом 2л&. Если в ^-пространстве
построить обратную решетку кристалла, все расстояния в которой
растянуты в 2л раз, то элементарная ячейкатакой решетки будет
включать в себя полный период Изменения волновои"~функции,
тГеГвсе неэквивалентные состоянйя'элёктрина в кристалле. Такие
——— — —
области н-^-прострапстве-называются зонами Бриллюэна. В зону
Бриллюэна в ^-црлсд^ашцъ^вюточаются'в^-^осхояния k, коор-
динаты которых удовлетворяют^сйотаешению
—nbL < ki < n&z или —nbi < kL < n&z. (2.39)
Этот объем в ^-пространстве представляет собой первую зону
Бриллюэна. Очевидно в ^-пространстве можно выделить бесконеч-
ное множество зон Бриллюэна, эквивалентных друг другу по
значениям волновой функции^-» (г). Так как состояния электрона,
k
отстоящие друг от друга в ^-пространстве на вектор 2л& в соот-
ветствии с (2.37) эквивалентны, то проведением нужного числа
трансляций можно любую точку любой зоны Бриллюэна привести
к некоторой определенной точке первой зоны Бриллюэна, и, та-
ким образом, вместо рассмотрения всех состояний электрона в бес-
конечном ^-пространстве достаточно рассмотреть только состоя-
ние внутри первой зоны Бриллюэна, к которой приведены все
остальные состояния. Симметрия приведенной зоньиБриллюэна
определяется симметрией обратной решетки кристалла. Эти же
элементы симметрии будут определять и симметрию волновой
функции (г) электрона в кристалле. Поэтому анализ фор-
мы зоны Бриллюэна очень важен для понимания свойств
электрона в кристалле и решения уравнения Шредингера для
него.
34
На рис. 7 показаны зоны Бриллюэна для некоторых кристал-
лических решеток. Усеченный октаэдр на рис. 7, а показывает
форму зоны Бриллюэна для кристаллов с алмазоподобной ре-
шеткой, в которой кристаллизуются такие важнейшие полупро-
водники, как германий и кремний, а также для кристаллов с
решеткой типа цинковой обманки. Приведенные на рис. 7 обозна-
чения точек высокой симметрии в зоне Бриллюэна взяты из теории
групп, анализирующей группы симметрии состояний электрона
в кристалле. Теоретический анализ позволяет найти вид закона
дисперсии Е (k) вдоль направлений высокой симметрии в зоне
Бриллюэна. Для простой кубической решетки первая зона Брил-
люэна представляет собой куб с объемом V = (2п1г/а)3 =
Рис. 7. Зоны* Бриллюэна для
а — г. ц. к; б — гексагональная
некоторых кристаллических решеток:
Приведенная зона Бриллюэна идеального бесконечного кри-
сталла включает бесконечное множество состояний сплошного
спектра. Однако реальные кристаллы, с которыми мы имеем дело
на практике, ограничены. Покажем, что полученные для беско-
нечного кристалла блоховские волновые функции можно приме-
нять и в ограниченном кристалле, но спектр состояний электрона
при этом делается дискретным, а полное число неэквивалентных
состояний в зоне Бриллюэна будет равно Af-числу атомов в огра-
ниченном кристалле.
Для подсчета числа состояний в зоне Бриллюэна необходимо учесть гранич-
ные условия при переходе от бесконечного идеального кристалла к ограничен-
ному.
Одним из удобных способов учета граничных условий для волновой функции
электрона в кристалле является применение циклических граничных условий,
или условий Борна — Кармана, физическим обоснованием которых является
периодичность свойств электрона в криеталле. Представим ограниченный кри-
сталл в виде некоторого параллелепипеда с длиной ребер L2, L3. Тогда за-
полняя бесконечное пространство такими кристаллами и учитывая условие пери-
2Ф 35
одичности волновой функции ф_>(г) в бесконечном кристалле (2.27), мы можем
k
получить:
(* + Li> У' г) = (х, у + L2, г) =
k k
= ф „ (х, у, z -L L3) = (X + £lt у + L2, z + L3) (2.40)
k k
или с учетом трансляционного свойства волновой функции
(X + Z-1, у + L2, г + L3) =е <*+L1) + ки (y+L*> + *г <г+£«)] х
k
X <р_> (х + у -|- Л2, 2 + L^}. (2-41)
k
Уравнения (2.40) и (2.41) фактически означают, что вследствие периодичности
пространства, которое можно представить заполненным такими выбранными
параллелепипедами, обычные граничные условия могут быть заменены условием
эквивалентности свойств волновой функции в х, у2 г и х + Li, у + L2t z + L3.
Преобразуя условие (2.41), можно получить:
(х + Lb у + L2, г + £3) = е + ^y+L^ + ** <г+£з)1 X
k
X <Р-> (X + ^1. У + L2, Z 4- L3) = <р_. (х. у, z) X
k k
Хе‘ (kxLi+kyL3+kzI-»)elk^r = (X> yt zy (2.42)
k
Условие ф_>(х + у + L2, г + L3) = ф_>(х, г/, г) выполняется из-за пери-
k k
одичности ф_>(г) с периодом прямой решетки, так как Lf, Л2, ^з» очевидно, со-
k
держат целое число периодов решетки. Но тогда для выполнения условия (2.42)
необходимо, чтобы
е£ (kxLi^~kyL2^k^3) = 1, (2.43)
а это в свою очередь означает, что
e‘fcxLl _ eikyLi _ eikzL3 _ 1. (2.44)
Справедливость равенств (2.43) и (2.44) возможна, если
kxLi = kyL2 = 2л/и2; kzL3 = 2л/п8, (2.45)
где mit tn3 — произвольные целые числа.
Из условий (2.45) видно, что для ограниченного кристалла разрешены со-
стояния электрона со значениями волнового вектора, определяемыми равенством:
k[ = 2nm^Li (2.46), где mi — произвольные целые числа.
Таким образом, ограниченность кристалла обусловливает дискретность
волнового вектора^ а следовательно, и энергии2 поскольку Е = Е (k),
_ Определим ь^через число периодов решетки сц и число атомовWt-: Lt= ai^i-
Тогда ki = 2nmJ(aiNi) = 2nbimjl_Nit так как для кубической решетки*itbi.
Учитывая эквивалентность свойств волновой функции в состояниях k и k' =
= k + 2л6, мы можем не брать бесконечного ряда значений т^ а ограничиться
интервалом
=0; ±1; ±2;±.............±(У//2-1); ± ^/2.
36
Тогда число возможных состояний mt- определяется числом атомов Вы-
бирая симметричный относительно k = 0 интервал изменения значений волнового
вектора, можем получить —л/а/ < k[ < л/д; или —nb[ < ki < лЬ4-, что совпа-
дает с интервалом значений k для первой зоны Бриллюэна (2.39).
Следовательно, полное число состояний в зоне Бриллюэна равно =
= N — числу атомов в кристалле. Учитывая, что в соответствии с принципом
Паули на каждом Энергетическом уровне располагается не более двух электро-
нов, можно считать, что в каждом энергетическом состоянии со значением волно-
вого вектора ki находится не более двух электронов и на каждую зону Бриллюэна
приходится 2N состояний. " ~:—
Заметим, что так как реальные кристаллы всегда достаточно велики по срав-
нению с их элементарной ячейкой, то число N велико. Тогда в зоне Бриллюэна
дискретные состояния, определяемые заданием волнового вектора k (2.4G), будут
расположены тем ближе друг к другу, чем больше число N атомов в кристалле.
Поэтому спектр состояний и закон дисперсии в зоне Бриллюэна можно рассма-
тривать как квазинепрерывный.
Понятие обратной решетки полезно не только с точки зрения введения зон
Бриллюэна. Оно широко используется в физике твердого тела, так как позволяет
наглядно в геометрической форме интерпретировать взаимодействие любого
излучения, в том числе и электронных волн, с решеткой путем построения векто-
ров излучения к узлам обратной решетки, соответствующих атомным плоскостям
прямой решетки. Энергия электрона в кристалле, кроме периодичности (2.38),
обладает также свойством четности, т. е. Е (k) = Е (—k).
Если рассматривать закон дисперсии Е (k) в пространстве вол-
новых векторов \kxi kyt kz\, то уравнение Е (k) = const опре-
деляет в этом пространстве некоторую поверхность, которая назы-
вается поверхностью постоянной энергии, или изоэнергемической
поверхностью. Форма изоэнергетической поверхности, зависящая
от спектра энергии электрона в кристалле Е (й), определяет мно-
гие физические свойства полупроводников и металлов.
2.5. КВАЗИИМПУЛЬС
Решение уравнения Шредингера для свободного электрона (2.7)
дает возможность определить закон дисперсии. Известно, что
энергия свободного электрона связана с его импульсом р = то
квадратичной зависимостью: Е = рУЪт.
Так как поведение свободного электрона описывается плоской
волной де Бройля, импульс его связан с длиной этой волны р =
= й/Х и, следовательно, с волновым вектором электрона k: р =
= йй, поскольку волновой вектор k однозначно определяется
длиной волны |й| = 2л/Х. Тогда закон дисперсии свободного
электрона будет также квадратичен и имеет вид: Е (й) = й2й2/2/п.
Поэтому спектр энергии свободного электрона непрерывен
->
вследствие непрерывности значений k и графически изображается
параболой.
37
Если на свободный электрон не действуют внешние силы, то
его энергия не меняется: Е (k) = const и, следовательно, не меня-
ется его состояние: k = const и р = const. Это, по существу,
и приводит к известным законам сохранения энергии и импульса.
В квантовой механике условием сохранения неизменности
во времени какой-либо физической величины является коммута-
ция оператора этой величины с оператором Гамильтона:
4r'-4 + l«’Z!=4+i'Z"-'5£l-<l- <2 47>
Если L не зависит явно от времени, то dLldt = 0 и L коммути-
рует с Н.
Величина L в таком случае называется интегралом движения.
Следовательно, для импульса свободного электрона справедливо
[pH] = 0. На электрон, находящийся в кристалле, действует
Потенциальное поле решетки, и энергия этого взаимодействия явля-
ется периодической функцией координат. Значит, электрон, дви-
жущийся в кристалле, изменяет энергию и импульс во вре-
мени под воздействием поля решетки. Действительно, оператор
импульса р = —гйу не коммутирует с оператором Гамильтона
для электрона в кристалле Н = (—fi2/2m) V2 + 0 (г):
<-Ti?a-/?p] = 4[«v(^v>-0W) +
+ (--s> + 6W>v]-
= - VU + &V = - (V, U) = F( Ф 0, (2.48)
Л
t. e. p =£ const.
Из трансляционных свойств волновой функции мы также ввели
понятие волнового вектора k для электрона в кристалле (2.28),
что позволяет ввести характеристику, аналогичную импульсу,
но сохраняющуюся во времени: Р = hk (2.49).
Величина Р называется квазиимпульсом. Для нее согласно оп-
ределению PH — HP = 0 (2.50), и, следовательно, собственные
функции операторов р и Н должны быть общими, а между их
собственными значениями должна быть взаимосвязь Е = Е (Р)
(2.51). Собственная функция Р согласно (2.50) есть волна Блоха,
а собственное значение определяется вектором Р =
?а
Выражение (2.51) показывает, что можно проводйтй аналйз
формы изоэнергетической поверхности не только в пространстве
волновых векторов k, но и в пространстве квазиимпульсов Р,
причем энергия есть периодическая функция квазиимпулъса, из-
меняющаяся с тем же периодом, что и функция Е (k)t
Е(Р)=Е(Р + 2л&й)‘ (2.52)
Классический закон изменения и сохранения энергий имеет
вид: dEldt = vF (2.53), где F — приложенная сила; v — скорость
электрона, выражение которой для электрона в кристалле ана-
логично выражению для скорости свободного электрона v =
= dE;(fidk). С учетом замены импульса р на квазиимпульс Р:
v = дЕ/дР. (2.54)
Теперь мы можем записать закон сохранения и изменения энер-
гии для электрона в кристалле:
дЕ (P)/dt = (дЕ/дР) (dPldt). (2.55)
Учитывая выражения (2.54) и (2.55), получаем закон изме-
нения квазиимпульса во времени: дР/д/F.
Как следует из определения квазиимпульса (2.49), при отсут-
ствии внешних сил для идеального кристалла ~ ---
Р = const и dP/dt = 0., (2.56)
в то время как по формуле (2.48): dpidt = Fh т. е. изменение им-
пульса определяется внутренними силами решетки Р/.
Из условия (2.56) также следует, что волновой вектор k для
электрона в идеальном кристалле — аддитивная и сохраняющаяся
во времени величина. Если на кристалл наложить внешнее поле,
то согласно (2.56) изменение квазиимпульса во времени будет оп-
ределяться внешней силой Ра.
Таким образом, квазиимпульс не сохраняется во временя при
непериодичности потенциального поля U (г). Заметим, что нару-
шение периодичности потёнциальНиги поля решетки может быть
вызвано любым отклонением от идеальности решетки: тепловыми
колебаниями атомов решетки, дефектами, примесными атомами
и т. д. Поэтому в общем случае при нарушении идеальности ре-
шетки происходит рассеяние частйц, в то время ка1Гпо идеальному
кристаллу^о.ни движутся_пез- изменения квазиимпульсй, Т. е. Не
рассеиваясь. Другими словами, идеальная кристаллическая ре-
шетка каК' бы, не оказывает сопротивления движению электронов
по кристаллу.
39
2.6. АНАЛИЗ ФОРМЫ ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ВБЛИЗИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ТОЧЕК.
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА В КРИСТАЛЛЕ
Несмотря на то что идеальная решетка кристалла не рассеивает
электроны, потенциальное поле решетки должно изменять дви-
жение электрона в кристалле по сравнению с движением
электрона в свободном пространстве. Рассмотрим подробнее,
в чем проявляется различие движенния электрона в свободном про-
странстве и кристалле.
Как мы установили, скорость электрона в кристалле зависит
от закона дисперсии Е (А). Найдем ускорение электрона. Очевидно,
что
С учетом формулы (2.53) выражение преобразуется:
а = (F/П) (dv/dk). л 4^
(2.58)
Зная, что v = (1/й) (dE/dk), мы можем получить для ускорения
электрона в кристалле выражение, аналогичное второму закону
Ньютона, связывающему силу с ускорением:
а =
F
I d*E 9
’ dk*
(2.59)
если предположить, что знаменатель дроби в формуле (2.59)
имеет смысл массы электрона:
* йа
пг =--------—
(d*E/dk*)
(2.60)
Эта масса электрона в кристалле в отличие от массы свобод-
ного электрона обозначается /и* и называется эффективной мас-
сой электрона. Следовательно, эффективная масса электрона отра-
жает влияние идеальной кристаллической решетки на движение
электрона в кристалле под действием внешней силы. К такому
же результату можно прийти, если провести анализ формы изо-
энергетической поверхности в k или Р-пространстве.
Уже вследствие периодичности функции Е (k) или Е (Р)
следует предположить, что в точках dEldk\+ = 0 будут наблю-
4—-----------------------------------------------
даться экстремальные значения £mln и Ешах. Рассмотрим поведе-
40
ние функции fE(k) и ее производных в малой окрестности kaKCT —
= k0. Для этого разложим Е (k) в ряд вблизи k0:
оо
1=0 + _>
k=kQ
= Е(Л0)+< (k-k0)+-^-
dk dip
k=k.
(k-ktf , d»E
2 dk*
(k- fe0)s
6
(2.61)
k = ko
Учитывая малую величину последующих членов разложения
Е (k) по сравнению .со вторым членом вследствие небольшой ве-
личины (k — k0)
<РЕ (k-key> (PE (k- ktf
idk9 „ 6 dk9 2
= k0 k = ko
и условие экстремума dE!dk\^ _> = О, получим, что в малой
k = k0 _ - -- ——
окрестности экстремума изоэнергетическая поверхность Е (k) =
= const представляет собоД повёрх н оств 2-гопоряд1< а:
Е (k) - Е (10) = 1 /2 (&Е!<№) (k - £0)2
(2.62)
или в Р-пространстве:
£СР)^£(Ро) = l/2(d2£/dP2) (Р - Р0)2. (2.63)
Размерность величины (^2£/^Р2)~г совпадает с размерностью
массы, и если ввести обозначение “
т* = (бРР/б/Р2)'* 1, (2.64)
аналогичное по смыслу условию (2.60), то выражение для измене-
ния энергии в окрестности экстремальной точки по форме напоми-
нает закон дисперсии для свободного электрона:
Е (Р) - Е (Ро) = (Р- Po)W*, (2.65)
если импульс заменить квазиимпульсом, а обычную массу элект-
рона эффективной массой т^~.
^Отсюда ясен физический смысл введения понятия ^эффективной
массы — мы можем. сохранить_вид законов_энергии в^решетке и
учесть вдияни_е потенциального поля решетки "на движение
4!
электронов, если в выражении для энергии свободного электрона
^вместо Обычной Тиассы взять массУ~эффективную. Тем самым мо-
жно" задачу о движении электрона в потенциальном поле кристал-
лической решетки U (г) свести к задаче о движении «свободного»
электроиа^с эсЬФективной массой ги*. Величина d2EldP2 является
совокупностью девяти частньпГ'производных второго порядка от
энергии по волновому вектору, т. е. является угензо^ом второго
ранга^ г—d2t Л= _L = d pF . дЕ , dE 1 _
dP‘ dp2 [дРх* dPt/ dP
L—- d*E d2E d2E
dPx dPx dPy дРгдРх
d2E d2E d*E
= dPxdPy dp2y дРгдРу
d2E d2E дгЕ
dPxdPz dPy dPz дР2г
(2.66)
и определяет тензор обратной эффективной массы: zn*/1 = д2Е1
/(dPJPj).
Обратный ему тензор и будет являться тензором эффективной
массыг mif- — [да£/(5РДрДГ2
или /tnxx тху тХ2\
т* = \тух тУУ тУ2\. (2.67)
т2у т22 /
Таким образом, в общем случае эффективная масса является
анизотропной величиной^ различнаГ'для^разныхт направлений
или P-пространства, Соответствующим выбором осей координат
тензоры (2.66) и (2.67) можно_привести р<^диапщальному_^^
*кргда отличны от нуля только^дйагональны£ члены. ^Гогда изо-
эце^гетическаяповерхность опи’сываётся^уравнением'Ъ главных
осях: ” " '
Е(Р)-Е(Р0) = (Рх^РохГ + (Р"2~Ро")8 + (Рг2~Рог)8 • (2-68)
^•''1’ХХ ~”^УУ
Из условия (2<68) следует, что в окрестности экстремума изо-
энергетическая поверхность является эллипсоидом. Запишем урав-
нение" такого эллипсоида в обычной канонической форме:
(Рх-Рох)3 , (Рг-Рог? = ,2 691
(Р — ^о) 2туу (Р — Ро) *2tnzz {Р Pq)
42
или через значения его полуосей а, Ь, с\
(Рх~Рох)2 , (Ру-Роу)2 (Рг-Рог)2
а2 "Г Ь2 + С2
Из формул (2.69) и (2.70) можно получить выражение для полу-
осей эллипсоидов Е (Р) = const:
а = ]/ 2тхх (Е — Ео); b = ]/ 2туу (Е — Ео) >
с = у 2m.z (Е — Ео).
Видно, чем больше значение эффективной массы вдоль како>й-
либо из осей эллипсоида, тем сильнее вытянут в этом^направлении
Эллипсоид энергии.
—^сти^всполубси эллипсоида одинаковы, то- изоэнергетическая
поверхность превращается в эллипсоид вращения относительно
третьей его оси. Например,~еслтГа=Ь, тотхх=т^= (trit называет-
ся" поперечной эффективной массой, а
т?г = т* — продольной эффектив-
ной “массой), и тогда уравнение изо-
энергетической поверхности будет
иметь вид:
£(Р)-£0(Р) =
(Рх-Рох)2 + (Ру-Роу)2 ,
Рис. 8. Связь скорости с эффек-
тивной массой и квазиимпульсом
2m*
(^z-Poz)2
(2-71)
, 2m z
Если все три диагональных компонента тензора эффек-
тивной массы (2.67) равны между собой, то
^хх <пУУ ________ (2.72)
то этот тензор вырождается в скалярную величину, а эллипсоид
энергии"(2.68) или!Д2.69У превращается в_сферу~
^3 общем случае величина эффектйвнойГмоосыопре^^яет форму
изоэнергетической поверхности, а следовательно,
сш4Е(Л). Учитывая закон дисперсии для электрона в кристалле
72765) й~определение скорости по формуле (2.54), можно установить
связь между скоростью электрона и эффективной массой:
у = dE/dP = (Р- PJW. z 7^ (2-73)
Поскольку скорость определяется градиентом энергии в про-
странстве волновых векторов или пространстве квазиимпульса,
то она направлена по нормали к изоэнергетическим поверхно-
стям (рис? 8k радиусом-вектором которой, естественно, является
волновой вектор или квазиимпульс (Р — Р0)._В общем случае
43
скорость и квазиимпульс не коллинеарны. Коллинеарность имеет
место только для главных осей эллипсоида и в случае, когда вы-
йолпяется условие (2.72). т. е. когда эллипсоид трансформируется
в сферу. Так как эффективная масса электрона в кристалле обратно
пропорциональна кривизне изоэнергетической поверхности (2.64),
то, очевидно, скорость (2.73) будет тем меньше, чем больше эф-
фективная масса или чем больше вытянут эллипсоид энергии в дан-
ном направлении. Если условие (2.72) выполняется, т. е. тхх =
= тУу = т22 = т*, то как следует из приведенных формул
(2.63) и (2.68,) положительный знак производных от энергии по
квазиимпульсу и. следовательно, компонент тензораэффектив'ной
массы соответствуют-минимумуэнергии, и тогдаип* >01, и ско-
рость v совпадает по направлению с квазиимпульсом.
" Как следует'из модельных представлений проводимости, ми-
нимальная энергия для электрона проводимости в k- и р-простран-
стве — это дно_зрны проводимости. Поэтому для минимума зоны
проводимости в случае выполнения условия (2.72) Когда
/и* < 0, наблюдается максимум энергии, чтп^еоответствует по-
толку валентной _зоны и Таким образом, эффективная
масса валентной зоны и Таким образом, эффективная
масса отражает динамические свойства электрона ^ кристалле
киро я в л я ется2под действием внешней силы72ю8), что? ТГатГ^уже
указывалось, позволяет сохранить вид законов энергиями, в част-
ности, второй закон Ньютона: а = F/m*.
Отсюда видноГчто движение электронов кристалле под дейст-
вием внешней силы происходит аналогично движению свободной
частицы, ^имеющей эффективную массу т* искорость v = (Р —
Для идеального кристалла оператор скорости (см. раздел 2.5)
является интегралом движения. Следовательно, оператор ускоре-
ния также интеграл движения.# = dv/dt = ,= 0 и электрон
движетсяв периодическом поле кристалла? кореная. По-
скольку т* — тензорнаО^личина, в общем случае вектор уско-
рения де^совпадает с вектором силы F. В случае скалярной
эффективной массы (2.72), если т* > 0, товдлинимуме энергии
ускорение совпадает по направлению с силой a F. Для макси-
мума энергии т* <0иа|| F, т.^^Ускбрёние"11аправлено про-
тив действующеи~~сиЛБЕ
В электрическом поле Е на электрон действует сила F = епЕ.
Так как еп < 0, то
a — F/tn = —enEl—mn = | еп | Е/\ tnn | = epEltnp. (2.74)
44
Из уравнения (2.74) мы видим, что электрон вблизи максимума
энергии ускоряется па поДо как положительно зартженная^ча-
стица с зарядим — —еп И положительной массой rrrp = —т^.
Такая частйцат^ттэываома^г^тСвантовоЛ/еханическои дыркой~TT7iи
гГросто * дыркой, позволяет описывать движение электрона~вблизи
максимума разрешенной зоны энергии. Тогда дырка, как и элект-
рон у нижнеТи края разрешенной зоны, в отношении своих ди-
намических свойств ведет себя «нормально» — они ускоряются
в направлении действующей силы. Таким образом, вблизи дна
зоны проводимости Е = Emln; >0; ап = 6^Е1шп\ вблизи
потолка валентной зоны Е = Emax\ т*р >0; ар = ерЕ!тр.
2.7. ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ
РЕШЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННОГО УРАВНЕНИЯ
ШРЕДИНГЕРА В КРИСТАЛЛЕ
В разделах 2.2—2.6 мы установили, что периодическая структура
кристалла обусловливает появление запрещенных и разрешен-
ных состояний энергии для электрона в кристалле, а также необ-
ходимость введения эффективной массы и квазиимпульса, что,
по существу, приводит к представлению об электронах и дырках
проводимости в кристалле как о квазичастицах.
Энергетический спектр электронов в кристалле определяется
одноэлектронным уравнением Шредингера (2.26):
[(— й2/2т) А + U (г)] ф_> = Е (k) ф^ (г), (2.75)
k k
где U (г) — периодический потенциал кристалла.
Поэтому нахождение собственных функций ф-> (г) и собственных
k
значений Е (k) уравнения (2.26) или (2.75) в значительной степени
будет зависеть от вида этого периодического потенциала U (г).
В рамках одноэлектронного приближения нахождение вида функ-
ции U (г) конкретных реальных кристаллов — практически не-
разрешимая задача.
В связи с этим приходится применять приближенные методы
расчета энергетического спектра твердых тел, в первую очередь
используя различные приближения относительно вида потен-
циала кристаллической решетки V (г).
Исторически одним из первых методов расчета был метод ячеек Вигнера —
Зейтца, примененный первоначально к щелочным металлам. Сущность метода
заключается в следующем. Используя условие периодичности энергии в кри-
сталлах (2.38) или (2.52), можно построить вокруг каждого атома в реальном
кристалле многогранники1 (ячейки) так, чтобы все пространство кристалла
оказалось заполненным такими многогранниками, которые в первом приближе-
1 Построение которых аналогично построению зон Бриллюэна.
45
нии рассматриваются как сфзры. Тогда в качестве потенциала выбирают потен-
циал свободного иона с необходимым условием непрерывности волновой функции
и ее производных на границах сферы, а также периодичности их при переходе
от одного атома к другому. Таким образом, задача сгодится к решению сфери-
чески симметричного уравнения, похожего на уравнение состояния свободного
атома. Решение уравнения Шредингера внутри сферы ищут в виде суммы сфери-
ческих гармоник и отыскивают такие линейные комбинации их, которые «сши-
вают» в конечном числе точек на границах сфер-ячеек. Недостатками метода
являются трудности такого «сшивания», а также невозможность учета реальной
структуры кристалла, так как в методе рассматривается, по существу, объем,
приходящийся на один атом, а не геометрия кристаллической решетки. Кроме
того, строго говоря, переход от решения внутри ячейки для одного атома к ре-
шению для другого атома, т. е. выполнение граничных условий, справедливо
лишь для волновых функций, описывающихся плоской волной Блоха (2.32).
Поэтому логично рассмотреть решение уравнения Шредингера
для электрона в кристалле в виде плоских волн. Эти предположе-
ния^ лежат в основе црибдижени^~~77ич//ш свб^дных^л£ктрднов
(ПСЭ) и вытекающих из него_метода присоединенных плоских"волн
(ППВ), предложенного Слэтером, й м^тд^ЪртдгбшТлйзированнъьх
плоских волн (ОПВ), развитого Херрингом. В приближении ПСЭ
предполагается, что периодический потенциал решетки U (г)
достаточно мал по сравнению с энергией движения электрона.
Тогда, применяя к решению этой задачи аппарат теории возму-
щений, можно в качестве основного (нулевого) приближения рас-
сматривать движение свободного электрона, а влияние на его
движение поля решетки считать за возмущение. В этом случае
гамильтониан электрона Н = f + U (г) представляется в виде
невозмущенной части HQ и оператора возмущения W:
H = HQ + W, где HQ = Т = (— й2/2т) А и W = 0(г).
Решение нулевого приближения Яофо (г) = (£) Ч*о (г)
хорошо известно — волновая функция ф0 (г) определяется пло-
ской волной де Бройля ф0 (r) = Aeik г> и закон дисперсии квад-
ратичен: £0 (k) = ft2k2/2m.
Дальнейшее решение задачи сводится к нахождению попра-
вок к энергии нулевого приближения, которые определяются со-
гласно теории возмущений матричными элементами оператора
возмущения:
= и°>’(г)^/(г)^°>(г)Л. (2.76)
k k' k k J k’ k
Причем матричный элемент W++ = U++ отличен от
k k’
только при определенных значениях состояний k и k'\
О при k' Ф k + 2лЬ
Сь при k' = k + 2nb
нуля
(2.77)
k k’ k, /г + 2л&
46
где Cb — коэффициент ряда Фурье при разложении в ряд потен-
циала U (г) согласно известной теореме о разложении периоди-
ческой (с периодом решетки) функции в ряд Фурье по векторам
обратной решетки.
Тогда, используя условие свертки при переходе от сумм к ин-
тегралам \ можно получить, что поправка к энергии в первом
приближении Ег (й), равная диагональному матричному элементу
оператора возмущения, будет определяться некоторым усред-
ненным по области G значением потенциальной энергии U (г)
и не зависит от k:
El й = Ut t = 4- и Й) Й dx = (U>, (2.78)
где G — область, в которой согласно циклическим граничным
условиям можно рассматривать нормировку волновой функции.
Согласно (2.78), поправка Ег (Л), учитывающая влияние перио-
дического поля кристалла на движение свободного электрона, не
изменяет форму энергетического спектра, смещая его целиком по
оси ординат вниз на величину <С7>. В этом случае становится по-
нятен физический смысл величины (U). Это — глубина потенци-
альной ямы в модели Зоммерфельда для металлов; она соответ-
ствует работе выхода электронов из металла.
Обычно возмущающее влияние поля решетки на движение
электрона рассматривается до второго приближения Е2 (£)• Сог-
ласно теории возмущений с учетом этой поправки энергия элект-
рона в кристалле в методе ПСЭ записывается в виде
Е (k) = Ео (k) + (U) + S | Сь |1 2/[£0 (k) - Ео (k + 2лЬ)], (2.79)
откуда следует, что добавка к энергии во втором приближении
играет существенную роль при
Ео (к) - Ео (k 4- 2лЬ) = 0, (2.80)
что соответствует вырождению, так как одной и той же энергии
соответствуют два значения волновой функции г|А (г) иг|А (г).
k /г+2лЬ
В этом случае волновую функцию уже в нулевом приближении
нужно искать для вырожденных состояний в виде линейной ком-
бинации волновых функций i|A(r) и г|А > (г):
k k+2nb
4’:Й = аЛ(;) + р^ ?(7).
« k k -f- 2По
(2.81)
1 См., например: Китгпель И. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука,
1971, с. 12,
47
При рассмотрении этой задачи в квантовой механике 1 можно
получить следующее выражение для поправки Е2 (k):
E2(k) = + ±
± [Е° 2л^)1а + | иь |2. (2.82)
Как видно из уравнения (2.82), если учесть влияние периоди-
ческого поля решетки кристалла во втором приближении, энергия
терпит разрыв в точках, где выполняется условие (2.80), и вели-
чина этого разрыва определяется потенциалом решетки U в точ-
ках Ь, т. е. согласно формуле (2.38) на границах зон Бриллюэна.
Общее условие разрыва энергии (2.80) может быть представлено
в других формах, позволяющих выявить его геометрический и
физический смысл. Если выразить энергию в уравнении (2.80)
через значения волновых векторов, то:
[Ео (k) — Ео (k + 2лЬ)] = й2/2т [k2 — k2 — 4лЬ k — 4л2Ь2] =
= — 2лй2[kb + nb2]/m = 0, откуда (k 4- лЬ, b) = 0 (2.83)
Условие (2.83) можно интерпретировать, как ортогональность
векторов b и k + лЬ. Построение вектора k + лЬ состоит в гео-
метрическом сложении векторов k и nb (рис. 9). Для этого через
середину вектора 2лЬ проведем плоскость, перпендикулярную это-
му вектору.
Тогда вектор, лежащий в этой плоскости, будет равен k +
+ лЬ, если из конца векторов 2лй (или лЬ) провести до пересе-
чения с плоскостью любой вектор k. Следовательно, условие (2.83)
есть уравнение плоскости, к которой проведены все возможные
векторы k, удовлетворяющие этому условию. Так как согласно
формулам (2.80) и (2.83) именно они соответствуют состояниям,
где происходит разрыв в энергии, то полученная плоскость явля-
ется границей, на которой наблюдаются разрывы энергии. Для
нахождения всех возможных значений волновых векторов при-
бегают к процедуре, изложенной выше: на ^-пространство накла-
дывают обратную решетку реального кристалла с базисом 2лЬп
2лЬ2, 2лЬ3. Затем, принимая один из узлов за начальный k = 0,
проводят из него векторы 2лЬ^, во все остальные узлы решетки и
строят плоскости (k + лЬ, Ь), проходящие через середины 2лbt
и перпендикулярные им. Совокупность полученных плоскостей
1 См., например: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Не-
релятивистская теория. М- Физматгиз, 1963, с. 165—167.
48
будет определять все возможные значения Л, а также границы
областей ^-пространства, на которых энергия терпит разрыв.
Если применить указанное построение к простой кубической ре-
шетке (рис. 10), то можно заметить, что значения —с
< rcbi соответствуют условию (2.38) и ограничивают объем первой
зоны Бриллюэна. Следовательно, с одной стороны, мы получили
правило построения зон Бриллюэна, с другой — подтверждение
того, что именно на границах зон
Бриллюэна энергия терпит раз-
рыв. Таким образом, можно счи-
тать, что зоны Бриллюэна являют-
ся многогранниками в k- или Р-
Рис. 9. Интерпретация
(1 + ЛЬ, Ь) = 0
условия Рис. 10. Построение зон Бриллю-
эна для простой кубической ре-
шетки (двумерное изображение)
пространствах, грани которых удовлетворяют уравнению вида
(k + zmrb, Ь) = 0, где т —целое число. Внутри зон состояния
по энергии невырожденные; вырождение наблюдается на грани-
цах зон, и величина разрыва энергии составляет 2 | Ub |. Усло-
вие (2.83) дает геометрическую интерпретацию разрыва энергии.
Если в выражение (2.83) подставить значения параметров
|£| = 2лА и b = n/d (где п — целое число, d — межплоскостное
расстояние) с учетом угла падения электронной волны на атомную
плоскость, можно получить известное соотношение Вульфа—
Брэггов для интерференции волн в кристалле:
2d cos 0 = п%. (2.84)
Тогда условию разрыва энергии на границах зон Бриллюэна
соответствует интерференция электронных волн, приводящая
к их гашению для некоторых значений %, а следовательно, и k.
В соответствии с зависимостью Е (k) для этих значений k возни-
кают запрещенные значения энергии. Условие (2.84) дает физи-
ческую интерпретацию разрыва энергии.
49
Если теперь воспользоваться в рассматриваемом методе ПСЭ
представлением закона дисперсии в виде ряда (2.61) с учетом раз-
рыва энергии (2.82), то получим вместо одного аналитического
уравнения два, или две ветви энергии, каждая из которых соот-
ветствует только одному знаку (плюсу или минусу) величины
разрыва энергии:
Е+ (k) = E(k0) + - k0) + -
dk dk* 2
ft2 -> -> -> ->
= -5ST + I । + 4г <*" + "4 - *•> +
+ (2-85)
= -2^Г - I ^1 + -^ (*o + лЬ) (* - +
Л2Й2&2
m\Ub\
(2.86)
где k = kQ соответствует состояниям на границах зон Бриллюэна.
Таким образом, сохраняя в общем квадратичную зависимость
энергии от волнового вектора в приближении ПСЭ, мы должны
Рис. 11. Закон дисперсии для
электрона в кристалле в при-
ближении почти свободных элек-
тронов
учитывать возмущения энергии на
границах зон Бриллюэна, приводящие
к разрыву энергии до ±2| Ub | в точ-
ках k = й0. Аналитическим зависимос-
тям (2.85) и (2.86) будет соответствовать
графическое представление закона дис-
персии в виде параболы с разрывами
zt | Ub | на границах зон Бриллюэна
(рис. II). Следует заметить, что в от-
личие от скорости v = hk/m почти сво-
бодного движения электрона внутри
зоны Бриллюэна, для которого ско-
рость совпадает по направлению с вол-
новым вектором, для состояний вблизи границ зон k = kQтакого
совпадения не наблюдается. Действительно, для £ == k$-
-> 1 dE
v = -г-------т
--- Й dk
П dk
'Й^0 , |,f ll - _L .
2/n — I 61 m + m
i / nh2 \2 (bt k0 + nb)
ft \ m ) -> '
У (nft2/tri)2 (b, k0 + iib) + \Ub\
। Jtftb ft it . .
+ ^Г = ^° + лЬ)-
(2.87)
m
50 1
Из уравнения (2.87) видно, что, поскольку вектор (fe0 + nb)
лежит и пппгкноти грянитт зоны Бриллюэна, электрона
для точек разрыва энергии направлена вдоль границ зоны, а так
как скорость определяется градиентом энергии по волновому
вектору и является нормалью к ияпэнергетической поверхности, <
то изоэнергетические поверхности ортогональны границам зднъГ а
Бриллюэна.
Несмотря на то что метод ПСЭ хорошо иллюстрирует зонную структуру
твердого тела, следует подчеркнуть, что аппроксимация волновой функции элек-
трона плоской волной хорошо представляет вид функции только между ионами,
а вблизи ионов волновая функция сильно осциллирует (рис. 12). Поэтому, строго
говоря, вблизи ионов нельзя рассматри-
вать волновую функцию, как плоскую
волну. Этот недостаток метода ПСЭ кор-
релируется в методе присоединенных
плоских волн (ППВ) тем, что кристалл
по-прежнему представляется совокуп-
ностью сферических атомов, однако теперь
внутри сферы берется атомный потенциал,
а между сферами потенциал описывается
суперпозицией плоских волн при выпол-
нении условий непрерывности волновой
функции и ее первой производной на по-
верхности сферы. Недостатком метода
ППВ является медленная сходимость разложения по плоским волнам и, сле-
довательно, необходимость выполнения большого обьема вычислительной ра-
боты. Кристаллический потенциал, рассматриваемый внутри сферы, обычно
принимают сферически симметричным и слабо меняющимся между сферами.
Тогда потенциал периодического поля U (г) реального кристалла может быть
моделирован некоторым «ячеечным» или т — t (muffin — tin)-потенциалом
(рис. 13).
Если предположить, что выбранная сфера вписывается в ячейку Вигнера —
Зейтиа гь, то т — /-потенциал может быть представлен в виде:
Рис. 12. Волновая функция электрона
в кристалле в методе плоских волн
(г) = 1 ПРИ r<rb_
I 0 при г > гь
Представление об т — /-потенциале используется также в методе Кор-
ринги — Кона — Ростокера (ККР), основанном на использовании метода функ-
ций Грина и симметрии кристалла.
Медленная сходимость ряда в методе ППВ, обусловленная сильными осцил-
ляциями волновых функций вблизи ионов, устраняется в методе ортогонализи-
рованных плоских волн (ОПВ) условием ортогональности искомых волновых функ-
ций волновым функциям внутренних оболочек, которые предполагаются изве-
стными. При этом ортогонализация учитывает осцилляции вблизи ионов. Тогда
искомая волновая функция электрона в кристалле представляет собой линейную
комбинацию плоских волн и атомных волновых функций, которые рассматри-
ваются в виде блоховских функций для почти изолированных атомов. Большое
количество расчетов зонной структуры твердых тел, проведенных к настоящему
времени, показывает, что методы, основанные на идее плоских волн почти сво-
бодных электронов, лучше применимы к построению зонной модели металлов, чем
полупроводников, с характерной для большинства из них значительной долей
ковалентности в химических связях.
Поэтому для ^приближенного расчета зонной структуры твер-
дых тел, учитывающего боле£ глубокие энергетические уровни,
51
можно применять предложенный Блохом метод почти связанных
электронов или метод сильной связи 1СС\. При таком подходе~пр~ед-
полагается, что ^энергия электрона в изолированном__а1£>ме мало
изменяется при построении кристалла из атомов. Естественно, что
'в таком приближении лучше учитываются состояния .электронов
более глубоких энергетических уровней, ответственных за образова-
ние химической связИТчем свободных электронов проводимости.
Этот мётод"Ширики Используется в квантовой химии под названием
метода линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО).
Рис. 13. Схематическое изображение т — /-потенциала
Применяя методику теории возмущений, в качеству нулевого
приближения выбираем состояние электрона r кристалле. состоя.
щем из невзаимодействующих атомов, для каждого из которых
уравнение Шредингера имеет вид:
Яа^а=£а (1) (г), где На = (— fi2/2m) Д + Уа (г).
Решение этого уравнения для электрона в изолированнокгатоме
известно, а влияние периодического попа решетки на движение
электрона принимается за возмущение. Вводя вектор трансляции и,
можно записать гамильтониан нулевого приближения в виде:
= [(—Й2/2/и) А + 2 V (г — п) ].
п
Тогда уравнение Шредингера для электрона в кристалле в ме-
тоде сильной связи приобретает вид:
[(—й2/2т)Д+£ V(r-п) +Г(г)]ф = £ф, (2.88)
п
52
где IF (г) — возмущение, учитыпятшое паяимппействие атомов.
В выражении (2.88) вместо потенциальной энергии электрона
в изолированном атоме Va (г) стсит^У (г— п) — потенциальная
энергия электрона в кристалле, образованном из рассмотренных
атомов, т. е. теперь~11о1енциал- решетки представляется^в виде:
U (г) = 2 V (г - п) + W (г). (2.89)
п
Волновая функция для электрона в кристалле в этом случае
записывается как линейная комбинация атомных волновых функ-
ций:
фо (г) = 2 Спфа (г — и), причем из условия трансляции (2.30)
п
следует, что Сп = eik п, и тогда
'I’o(г) = S " фа(г - п). (2.90)
п
Умножая уравнение (2.88) на сопряженную волновую функцию
фо (г) и интегрируя по всему объему, можно найти ереднее-^наче-
_ние энергии:
j %* 0 1(- Й2/2«) Д + £ V (Z-п) + IF (Г)] % (?) dr
Е —--------------------.----------5---------------------. (2.91)
---- 0 Jto 0 dx
J I I
4
Подставляя волновую функцию (2.90) в уравнение (2.91) и учи-
тывая- условие нормировки для волновых функций (2.1), получим
выражение для энергии в следующем виде:
E=Ea + C+S Л(р)/?,
р
(2.92)
которое по форме аналогично выражению (2.79) для энергии элек-
трона в метода ПСЭ с учетом двух поправок к энергии. Здесь три
члена правой части уравнения (2.92) соответствуют нулевому
приближению — энергии Еа для электрона в изолированном атоме,
поправкам первого приближения С и второго приближения
J] А (р) eikp . Следует заметить, что уравнение (2.92) справедливо
р
для взаимодействия только с ближайшими соседними атомами.
Это, в общем, оправданно, поскольку известно, чтоф0 (г) определя-
ется ближайшим окружением, и вклад взаимодействия достаточно
удаленных атомоц в сумму (2.90) практически мал.
Тогда первая и вторая поправки к энергии обусловлены пере-
крытием волновых функций и потенциалов соседних^ атомов.
53
Можно показать, что поправка к энергии в первом приближении С
является отрицательной величиной и не зависит от волнового век-
тора рассматриваемого состояния:
0.
(2.93)
п
Физический смысл уравнения (2.93) в том, что оно определяет
усредненную для некоторого атома потенциальную энергию элект-
рона в поле остальных электронов и ядер, т. е. учитывает само-
согласованный характер поля. Поскольку С есть средняя энер-
гия электрона в кристалле, а она,
как известно, меньше, чем средняя
энергия электрона в вакууме, и
для перевода электрона из кристал-
ла необходимо сообщить ему до-
полнительную энергию, то прини-
мается, что С <С 0. Следовательно,
так же как и в методе ПСЭ, поправ-
ка к энергии в первом приближе-
нии сильной связи не меняет вида
энергетического спектра нулевого
приближения, а лишь смещает его
вниз по оси ординат (рис. 14). Так
как состояние электрона в изоли-
рованном атоме описывается от-
дельными энергетическими уровнями, то, значит, уровни сдви-
гаются вниз на величину С. Третий член уравнения (2.92) ха-
рактеризует обменное взаимодействие между парой атомов, нахо-
дящихся на расстоянии р один от другого:
A3(P) W7,
Еаз
%gsms&
A2(P)
EaZ
Eal
Рис. 14. Образование зон энергии из
энергетических уровней при сближе-
нии атомов в методе сильной связи
p)dx.
(2.94)
Гфр
Интеграл А (р) называется обменным интегралом или обмен-
ной энергией, так как он характеризует потенциальную энергию
взаимодействия некоторого электрона в данном атоме (и = 0)
с аналогичным электроном в атоме, отстоящем в решетке на рас-
стояние р, осуществляющуюся через посредство потенциального
поля кристалла J] V (г — п) + W (г) электронов всех остальных
П=О
атомов. Это попарное взаимодействие может быть осуществлено
между парой любых атомов, т. е. оно учитывает перекрытие атом-
ных волновых функций по всему кристаллу и электрон тем самым
не локализуется у отдельных атомов. Так как перекрытие в г-
пространстве волновых функцийф (г) иф (г + р) сильно уменьша-
54
ется с ростом расстояния р, то и величина обменного интеграла
А (р) сильно уменьшается с ростом величины р, т. е. в выражении
закона дисперсии электрона в приближении квазисвязанного
электрона (2.92) главный вклад будут давать члены, учитывающие
обменное взаимодействие только с ближайшими соседними ато-
мами. Сумма А (р) eik р включает (W — 1) членов взаимодей-
р
ствия электрона в данном атоме со всеми соседями, что вместе
с уровнем энергии (Еа + С) составит N близко расположенных
уровней, лежащих в разрешенной зоне энергий с квазинепре-
рывным спектром.
Учет обменного взаимодействия или интеграла перекрытия,
по существу, отражает в методе сильной связи влияние поля, ре-
шетки на движение электрона в кристалле. Следовательно, мы
приходим к тому, что каждое атомное состояние превращается
в разрешенную энергетическую зону и энергетический уровень
размывается в полосу, ширина которой пропорциональна А (р).
Таким образом, и в методе сильной связи мы приходим к пред-
ставлению о зонном характере энергетического спектра электрона
в кристалле, т. е. существованию разрешенных зон, разделенных
запрещенными зонами (см. рис. 14). Величина eik р — некоторый
структурный коэффициент, зависящий от реальной структуры
кристалла.
Рассмотрим полученное решение (2,92) для простой кубической решетки
с периодом а и учтем обменное взаимодействие с шестью ближайшими соседними
атомами р = (±а, 0, 0); (0, ±а, 0); (0, 0, ±а). Если направить оси к, у, z по
осям куба, то
Е = Еа + С + 2 -А (р) е1* > =
гг I Г> I Л ( ikYa I —ik a ik..a —ik..a , ik9a . — ikja\
= Еа4-С + ?Цех+е x + e y + e y + e 2 + e 2 ) =
= Ea + C + 2/1(cos kxa + cos kya + cos k2a). (2.95)
Учитывая, что
-► -> f — 1 при k;a = ± л (2n — 1)
cos kta = t
I 1 при = ± 2лп,
получим два значения энергии:
^*mln = 4‘ — 6Л и Е’шах = 4~ 4“ 6Л, (2.96)
что дает значение ширины разрешенной зоны для простой кубической решетки
А£разр = £тах— £min= 12Л. Следовательно, ширина энергетический—зоны
прямо пропорциональна обменному взаимодействию А (о). Можно также заме-
тить, что внугри разрешенной зоны энергия электрона является периодической
функцией с периодом 2л6 (рис. 15).
55
Чтобы получить связь эффективной массы /и* электрона с обменной энер-
гией А (р), необходимо, как и в методе ПСЭ, разложить Е (k) в ряд в окре-
стности экстремальных точек. Так как dE (k)ldk = 0 в экстремуме, то из выра-
жения (2.95) следует, что для простой кубической решетки Етах находится в точ-
ках = 0, что соответствует центру зоны Бриллюэна, и Етщ— в точках kQ =
= ±л/д/, совпадающих с вершинами зоны. Тогда с учетом уравнения (2.95)
и разложения косинусов в ряд при малых k получим:
1 d?E
2 dfe2
Emax (^) — Е (k$)
(й-М2 =
k—k0
3
= Еа + С + 2^Л/(р)+4-^^-*о ПРИ feo=°: (2.97)
р 1=1
Emin (t)=E(^0) + C-2^
P
A
(2.98}
Так как эффективная масса /и* определяется второй производ-
ной^от энергии по волновому вектору (2.64), можно получить
для тензора обратной эффективной juaccbi, приведенного к диаго-
нальному виду:
/ lAiC^lh2 0 0
♦—1 т = i : 0 2Л2«2/й2 0
\ о 0 2Azalfri\
где знак плюс соответствует kiQ = ±ft>lai и минус точкам kiQ = 0.
(2.99)
Следовательно, знак эффективной массы зависит от знака
обменной энергии_Л£. При Аг-
Рис. 15. Периодичность энергии в раз-
решенной зоне. Изменение разрешен-
ных и запрещенных зон с ростом энер-
гии в методе сильной связи
> 0 в точке ki0 = 0 находится мак-
симум’энергии и тогда /и*<0, а в
точках ki0 = ± n/Oi минимум энер-
гии и т* >>0. В случае, Лг- <0
в точках kiQ = ±n/Oi находится
максимум энергии, т. е./и* <0, а
в точке kiQ=0— минимум энергии с
/и* >0. Таким образом, из выра-
жения (2.99) следует, что вели-
чина эффективной массы обратно
пропорциональна обменному взаи-
модействию m*=±ft2/2a^f (2.100).
Для более высоко расположен-
ных энергетических зон вследст-
вие большего перекрытия волно-
вых функций электронов J обмен-
56
ное взаимодействие больше и эффективная масса носителей заря-
да меньше. Следовательно, с ростом энергии ширина разрешен-
ных зон увеличивается, а запрещенных зон между ними уменьша-
ется, что можно также увидеть, если представить ширину за-
прещенной зоны Д£ в виде разности между энергиями £тах и
£mm> относящимися к двум соседним зонам из формул (2.97)
и (2.98).
Тогда Д£ будет в основном определяться разностью соседних
энергетических уровней электрона в изолированных атомах,
расстояние между которыми, как известно из задачи о поведении
электрона в изолированном атоме, уменьшается с ростом энергии.
Это приводит наряду с уширением разрешенных энергетических
зон к уменьшению &Е (см. рис. 15).
Рис. 16. Сечение изоэнергетической
поверхности первой зоны Бриллюэна
для простой кубической решетки в ме-
тоде сильной связи (а) и приближении
почти свободных электронов (б)
При рассмотрении закона дисперсии для простой кубической
решетки (2.95) в рамках метода сильной связи видно, что сохра-
няется квадратичная зависимость энергии от волнового вектора,
и описание энергетического спектра можно проводить в пределах
первой зоны Бриллюэна.
Следует заметить, что отклонения закона дисперсии Е (k)
от квадратичности (параболичности) обусловлены необходимостью
учета более высоких степеней разложения Е (k) в ряд. Интересно
сравнить формы изоэнергетической поверхности в первой зоне
Бриллюэна, рассчитанной по методу сильной связи (рис. 16, а),
и в приближении почти свободных электронов (рис. 16, б). Видно,
что наибольшее отличие имеет место вдали от экстремальных
значений энергий £max при kiQ = 0 в центре зоны и £mln при
kiQ = ±n/ai в вершинах зоны, так как вблизи энергетических
зон оба метода дают приблизительно одинаковые результаты.
В заключение кратко остановимся на полуфеноменологическом методе
расчета зонной структуры — методе псевдопотенциала, который широко исполь-
зуется для нахождения энергетического спектра металлов, а в последние годы
и полупроводников. Ранее уже указывалось на трудности точного расчета кри-
сталлического потенциала U (г) в представлении плоских электронных волн,
так как вблизи ионов потенциал U (г) испытывает резкие изменения (см. рис. 12),
т. е. влияние потенциала на волновую функцию очень сильно и его надо учи-
тывать. Вместе с тем было установлено, что модель ПСЭ хорошо описывает зонную
структуру и тем самым влияние решетки как бы не существенно. Поэтому можно
ввести эффективный потенциал, действующий на электроны проводимости и опи-
57
сываЮщий характер изменения волновых функций вблизи ионов некоторым
потенциалом отталкивания Vr. Тогда уравнение Шредингера приобретает вид:
[(—fc2/2m) А + U (Г) + VR] ф = Е (k) ф. (2.101)
Можно показать, что если учесть представление о таком эффективном потен-
циале, называемом псевдопотенциалом W, где W = U (л) + Уд, то уравнение
Шредингера (2,101) преобразуется в [(—Й2/2/п) А + 1Г] ф = Е (k) ф. В этом слу-
чае ф представляет собой гладкую волновую функцию и, следовательно, по су-
ществу, введение псевдопотенциала означает возможность сглаживания волно-
вой функции электрона по всему кристаллу.
Эмпиричность такого подхода заключается в подборе Фурье — компонент
псевдопотенциала из имеющихся экспериментальных данных по кинетическим
свойствам твердых тел. Условие гладкости волновой функции ф предполагает
в свою очередь малую величину псевдопотенциала W. Это означает возможность
описания псевдопотенциальных волновых функций ф в рамках приближения
почти свободных электронов.
Говоря о методе псевдопотенциала, уместно остановиться на другом полу-
феноменологическом подходе к теории металлов — понятию Ферми-поверхности.
Можно показать, что в пространстве волновых векторов будут заняты все состо-
яния внутри некоторой сферы, а все состояния вне этой сферы окажутся свобод-
ными. Эта сфера называется поверхностью или сферой Ферми, с радиусом kF
и соответствующей энергией F, отсчитываемой от дна разрешенной зоны. Боль-
шинство электронных свойств металла определяется в значительной степени
состояниями вблизи поверхности Ферми. Это особенно относится к процессам
переноса, так как в них принимают участие только те электроны, которые могут
при изменении энергии найти незанятые состояния, не отличающиеся сильно от
исходных, т. е. вблизи поверхности Фермы или уровня Ферми F. Такой подход
позволяет объяснить противоречие теории Друде — Лоренца относительно малой
величины электронной удельной теплоемкости в металлах тем, что вклад в нее
дают только электроны, занимающие состояния вблизи поверхности Ферми.
Следовательно, экспериментальное теоретическое изучение поверхностей Ферми
позволяет установить поведение носителей заряда в твердых телах.
Следует заметить, что многие положения квантовомеханического' подхода
к твердому телу априорны и реальной проверкой правильности зонной теории
является совпадение экспериментальных данных по свойствам электрона в кри-
сталле с расчетами на базе зонной теории. В частности, оказалось, что многие
положения теории энергетической структуры твердых кристаллических тел
применимы к аморфным или жидким состояниям веществ. Значит, зонная струк-
тура — следствие не только дальнего, но и ближнего порядка в веществах и об-
условлена взаимодействием значительного числа частиц, образующих вещество.
Это, по существу, возвращает нашу задачу об электроне в кристалле к много-
частичной проблеме, решить которую можно с помощью метода элементарных
возбуждений. В рамках этого метода частицы в кристалле можно рассматривать,
как слабо взаимодействующие между собой квазичастицы, и тогда основной
гамильтониан, описывающий эту модель, имеет вид: Н = ЯИон+ Яэл+^иоп-эл-
Не останавливаясь здесь на решении уравнения Шредингера в рамках ме-
тода элементарных возбуждений, развитого Пайнсом, заметим, что возникновение
зонного характера энергетического спектра электронов возможно и в непериоди-
ческих структурах.
2.8. МЕТАЛЛЫ И ДИЭЛЕКТРИКИ.
ПОЛУПРОВОДНИКИ И ПОЛУМЕТАЛЛЫ В ЗОННОЙ ТЕОРИИ
Рассмотрим теперь, как зонная теория твердого тела объясняет
физические свойства реальных веществ и прежде всего различие
этих свойств для металлов, полупроводников и диэлектриков.
58
Как уже было установлено в методе сильной связи, энергети-'
ческие уровни электронов в изолированном атоме расщепляются
в энергетическую зону, пропорциональную обменному взаимодей-
ствию А (р) при образовании из этих атомов кристаллической
решетки. Поскольку зоны образуются из соответствующих s-,
р-, d- и т. д. уровней, то если они невырождены, т. е. не перекры-
ваются друг другом, они также обозначаются как s-, р-, d-зоны.
Если при этом энергетический уровень полностью заполнен, то
образующаяся энергетическая зона также будет заполнена цели-
ком. Поскольку по принципу Паули на каждом энергетическом
уровне может находиться не более двух электронов, каждая не-
перекрывающаяся (невырожденная) зона содержит 2N состояний
и в ней не может быть более 2W электронов. Если имеется
/-кратное вырождение уровней, то образующаяся зона будет
/-кратно вырождена и может содержать не более 2W/ электро-
нов.
Следовательно, если зона целиком заполнена, то переход
электронов под действием энергии тепловых колебаний атомов или
внешнего электрического поля из одного состояния в другое не-
возможен, так как по принципу Паули все состояния заняты.
В связи с тем что над полностью занятой разрешенной зоной
имеется запрещенная зона, для переброса электрона через кото-
рую в следующую разрешенную зону требуется конечная энер-
гия, такой кристалл не будет проводить электрический ток. Ана-
логичный вывод мы получим, если рассмотрим полностью свобод-
ную от носителей заряда разрешенную зону, так как при приложе-
нии электрического поля она не даст никакого вклада в электро-
проводность. Такой кристалл будет диэлектриком.
Если ширина запрещенной зоны невелика по сравнению со
средней энергией теплового движения, то возможны перебросы
электронов из полностью заполненной зоны в следующую раз-
решенную свободную зону. При этом возникает электропровод-
ность как по не полностью заполненной зоне, так и по следующей
частично заполненной зоне. Такой кристалл является полупро-
водником. Следовательно, в невозбужденном состоянии полупро-
водники не проводят тока, так как в валентной разрешенной зоне
все энергетические уровни заняты, и проводимость возникает
только при сообщении электрону дополнительной энергии для
перехода в незаполненную разрешенную зону. Значит, полупро-
водники и диэлектрики относятся к одному типу веществ — не-
проводникам и между ними нет принципиальной разницы. Раз-
личие носит количественный характер — по величине запрещенной
зоны. Если ДЕ < 2—3 эВ, то такие непроводники называют полу-
проводниками. Действительно, возможны случаи, когда диэлек-
трик может стать полупроводником, если каким-либо образом
уменьшить энергию активации носителей в свободную разрешен-
ную зону, например введением примесей.
59
г
Если разрешенная зона заполнена не полностью, то электроны
могут ускоряться и переходить под действием электрического
поля на свободные уровни в пределах одной зоны. В этом случае
мы имеем дело с типичным металлом или проводником. Металли-
ческая проводимость образуется и при перекрытии заполненной
энергетической зоны с незаполненной зоной.
Таким образом, для полупроводников характерны полностью
заполненные нижние энергетические зоны, называемые валент-
ными, и полностью пустые более высоколежащие энергетические
зоны, которые называют зонами проводимости. Зная, что число
Рис. 17. Схема энергетических зон металла (а), полупроводника (б),
полуметалла (в) и диэлектрика (а)
состояний в зоне Бриллюэна определяется как 2У, можно, под-
считывая число электронов, приходящихся на элементарную
ячейку, классифицировать вещество на металлы, полупроводники
и диэлектрики. Тогда твердые тела, в которых на элементарную
ячейку приходится один электрон, относятся к металлам. Это со-
ответствует одному электрону во внешней валентной оболочке
атома и, следовательно, валентная зона, образованная из этого
атома, заполнена лишь наполовину. К таким веществам относятся
элементы I группы периодической системы элементов (Li, Na, К,
Rb, Cs, Си, Ag, Au).
Если взять двухвалентные элементы, например щелочнозе-
мельные, то их металлические свойства объясняются частичным
или полным перекрытием соседних зон, в результате чего обра-
зуется гибридная зона, в которой число возможных состояний или
уровней больше числа электронов. Нечетное число электронов,
приходящихся на элементарную ячейку, также обеспечивает ме-
таллическую проводимость. Например, три валентных электрона
у алюминия, таллия, индия заполняют разрешенную валентную
зону только наполовину. Однако в ряде случаев, когда вещества
кристаллизуются в структуре с двумя и больше атомами в элемен-
тарной ячейке (например, As, Sb, Bi), возникает ситуация, близ-
кая к полупроводниковой проводимости. Такие вещества назы-
ваются полуметаллами. Зонную структуру их можно рассматри-
вать, как для полупроводников, однако минимум зоны проводи-
мости лежит немного ниже максимума валентной зоны (рис. 17),
60
т. е. разрешенные энергетические зоны перекрываются, и понятие
запрещенной зоны теряет, как и для металла, смысл. С этим об-
стоятельством и связано название полуметалла. Следовательно,
небольшое число состояний в зоне проводимости занято, а в ва-
лентной зоне свободно. Благодаря перекрытию и частичному
заполнению зон физические свойства полуметаллов, определяемые
электронами, схожи с металлами, однако из-за малого пере-
крытия зон вклад в проводимость дает небольшое число носителей,
например в висмуте 10“б носителей на атом. Следует заметить, что
Рис. 18. Образование энергетических зон в кремнии
свойства полуметаллов также будут определяться состояниями
вблизи поверхности Ферми, причем уровень Ферми в них располо-
жен очень близко к краям зоны проводимости и валентной зоны.
В общем случае четное число электронов, приходящихся на
элементарную ячейку, или равенство числа состояний числу
электронов может служить обоснованием неметаллических
свойств, т. е. позволяет считать такое вещество непроводником.
Типичным примером таких непроводников являются некото-
рые элементы IV группы периодической системы элементов —
диэлектрик алмаз и полупроводники германий и кремний. Непо-
средственный подсчет числа электронов во внешних валентных
оболочках для них (Si = ls22p22pe3s23p2, Ge = ls22s22p63p63d104s24p2)
показывает, что валентные зоны заполнены не целиком и воз-
можна реализация металлической проводимости. В этом случае
необходимо учитывать наряду с перекрытием также и расщепле-
ние валентных зон. Поскольку германий и кремний кристалли-
зуются в решетке алмаза, приводящейся к гранецентрированной
решетке, то на элементарную ячейку приходится восемь электро-
нов, которые могут заполнять четыре энергетические зоны.
В результате перекрытия и расщепления р- и s-зон (Зр и 3s
для кремния, 4р hJ4s для германия) электроны перераспреде-
ляются по зонам так, что верхняя образовавшаяся зона (зона
61
проводимости) будет иметь 4N состояний и будет свободна от элек-
тронов, а у нижней — валентной — зоны будет 4N заполненных
электронами состояний (рис. 18). Тем самым возникает ситуация,
характерная для полупроводника.
На основании сказанного выше можно сделать общие выводы
относительно металлических и полупроводниковых свойств ве-
ществ: если число состояний в зоне больше числа электронов, то
такое вещество является проводником, или металлом. Такое поло-
жение, как мы видели, может быть вызвано или начальным не-
равенством числа электронов числу состояний, или перекрытием
зон. Если число состояний равно числу электронов, то рассматри-
ваемое вещество относится к непроводникам.
2.9. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНЫХ
И ПРИМЕСНЫХ состояний
Выше мы рассматривали поведение электронов в идеальных кри-
сталлах, необходимое условие которых — строгая периодичность.
Однако хорошо известно, что^ реальные твердые теля обладают
различньхми-дефецтами. Рассмотрим, как это влияет на энергети-
ческий спектр электронов в реальных кристаллах. Наиболее
типичным видом дефектов в полупроводниках являются примеси,
введение которых существенно влияет на движение электронов
в кристалле, возмушая епектр энергии электрона. В этом случае
задача нахождения волновых функций 1ГэТТщт1и электрона ана-
логична решению уравнения Шредингера (2.88) с некоторым воз-
мущением локализованным в небольшой области VR:
[(— fi2/2m) А + U (г) + W (г)] х|Д (k) = Ел (k) х|Д (г). (2.102)
k k
Решая это уравнение обычными методами теории возмущений,
приходим к представлению волновой функции (й) электрона
-------------------------------------------- -Л_____---------——
в кристалле с локальными дефектами в виде так называемых
функций Ванье:ф^.(г) = 1/|/ МУ е'^ф (/• — #), гдеФ (г — R) —
_ k ___k ______„_____-
функция Ванье,^характерной^ особенностью которой является
отличие от нуля только в небольшой окрестности точки R внутри
области VR локализации возмущения Физически это озна-
чает, что^электрон локапизпвян-д-области возмущения.
Решая уравнение (2.102), мо^кно^акже найти значение энергии
электрона Ei(r). Теория показывает, что при наложении на кри-
стал/Гвоз^члЖия W, один из уровней энергии, соответствующий
краю разрешенной энергетической зоны, отщепляется и при
W < 0 спускается вниз, а при W >0 поднимается вверх. Следо-
вательно, энергетический уровень Е+ (г) при наложении возмуще-
62
ния попадает в запрещенную зону. Поэтому при создании в кри-
сталле дефектов: примесей, вакансий, дислокаций и т. д., т.~ё.
при любых нарушениях идеальности кристалла, появляются в за-
прещенной зоне разрешенные состояния (г) (рис. 19).
Для решения уравнения (2.102) с учетом конкретного вида
возмущения W (г), вызванного дефектностью реального кристалла,
можно применить метод, позволяющий избежать—трудностей,
отыскания потенциала решетки U (г). Этот метод основан на том,
что уравнение Шредингера для
свободно! о элск фона—и для
электрона в кристалле имеет
аналогичную форму, если по-
следнее представить в виде:
(—й2/2т*) Аф+ (г)=Е (£)ф+ (г).
k k
.103)
Можно показать, что реше-
нием его будет плоская волна:
о w0 w
Рис. 19. Возникновение в запрещенной
зоне разрешенных состояний энергии при
наложении на кристалл локального воз-
мущения
(г) = Ае1 <a*+&/+vz) с
Е = Й2/2 (а2/т14~Р2/т2+У2//и3),
(2.104)
если считать, что тензор эффективной массы /и* в выражении
(2.103) приведен к диагональному виду и тъ т2, т3 — диагональ-
ные компонентЫэТОГо'тензор а. При сравнений (2.104) с явадратич-
ной зависимостью Е (й) вблизи экстремальных точек (2.62) видно,
что. они совпадают при a = (fex — йОл); (3 = (ky —kQy)\ у =
= (k2 —kQz). Следовательно, вместо^ уравнения (2.102) можно
репЩТ^Урявнение Шредингера для^свободного электрона, если
вместо массы свободного электрона /и брать~значение эффектив-
ной массы т* ,которую можно найти экспериментально для любого
реального дефектного кристалла. Такой метод нахождения энер-
гетического спектра в реальном кристалле получил по смыслу
название м£1подп^зфФекти^ массы. !
Условие применимости метода эффективной массы — медлен-
ное изменение_потенциала возмущения W (Q по сравнениюJ3 пе-
риодическим потенциалом^ (г), и, следовательно, область лока-
лизации возмущения VR должна быть много больше постоянной
решетки.
^Рассмотрим теперь поведение примесей в полупроводнике.
Как уже говорили ранее, акцепторная и донорная примеси позво-
63
проводи и кех Это связано с тем, что энергия активации (ионизации)
примесей значительно меньше энергии ионизации атомов основ-
ного вещества: АЕ7_^ Еп — Ed < АЕ; АЕа = Еа — Ev <g АЕ,
где Еа и Ed — Энергия акцепторного и донорного уровня соот-
ветственно.
Обычно донорные уровни расположены вблизи дна зоны про-
водимости, а. акцепторные над потолком валентной зоны, т. е.
являются «мелкими» по отношению к запрещенной зоне полупро-
водника, Теория показывает, что для таких уровней справедливо
описание поведения электронов примеси с помощью водородо-
подобной модели по аналогии с моделью Бора для атома вбдбродаГ
"Действительно, за счет взаимодействия атомов примеси с атомами
основного вещества энергия связи электрона примргиого_атомя
О_ядром уменьшится, и он начнет двигаться по орбите большего
радиуса, чем Оста"льные электроны примесного атома. Например,
при введении атомов сурьмы, имеющих пять валентных электро-
нов, в кремний четыре валентных электрона сурьмы могут участво-
вать в ковалентной связи атомов кремния, а пятый электрон, не
входящий в эту связь, будет меньше связан с ионом сурьмы.
Очевидно, энергия связи этого пятого электрона с ионами примеси
будет соответствовать 7 энергии ионизаций дойорной примеси
'"сурьмы в кремнии АЕ\. ’
Поскольку электрон, не участвующий в образовании парно-
электронной (ковалентной) связи, можно считать почти свободной
частицей, удобно применить к нему метод эффективной Массы.
Считая взаимодействие «примесного» электрона со своим ионом
кулоновским и используя метод эффективной массы, можно запи-
сать уравнение Шредингера для локального примесного состояния
в виде:
[(— й2/2т*) А — е2/(4лее01 г |)] (г) = Е (k) (г),
____________________________k________„____
(2.105)
которое становится аналогичным по форме уравнению для атома
водорода, где вместо заряда электрона е в атоме водорода исполь-
зуется эффективный заряд _g/|Zее0, а вместо массы свободного
электрона — эффективная м“ассат?. Тогда в рамках модели
Бора для атома водорода можно "найти энергию ионизации атома
примени и радиус орбиты «примесного» электрона:
(2.106)
»,/ • 9\ д „ 1 Z2e4m*
r = 4nee0fi /{mne^ \Ed - (4jteenfi)2 • j
Если подставить значения e, й, e0 и выразить энергию иониза-
ции в электрон-вольтах, то
3.5&m*/p2/n^ (2.107)
Оценка энергии ионизаций сурьмы в кремнии дает значение
АЕ^== 0,04 эВ.( Следует подчеркнуть, что, кроме нейтральной
64
njpимеем, в полупроводниках могут иметься одно- и двукратно
Ионизированные примеси. Тогда согласно условию (2.107) уровень
двукратно ионизированной донорной примеси будет расположен
глубже в запрещенной ^оне по сравнению с однократно ионизи-
рованным уровнем и уровнем нейтральной~примеси.
Аналогичные результаты можно получить, если рассмотреть
поведение акцепторной примеси, например атомов III группы,
имеющих три валентных электрона (В, Al, Са, In), в полупровод-
никах IV группы (Ge и Si). Очевидно, что в этом случае все рас-
суждения необходимо вести относительно незавершенной связи
для атомов основного вещества, т. е. дырки, поскольку акцептор-
ная примесь является поставщиком свободных дырок. Формула
(2.106), по существу, применима и в этом случае. В частности,
энергию ионизации акцепторной примеси можно получить, эВ.
кЕа = 13,52/n;/(e2m) (2.108)
Не только примеси, но и собственные дефекты кристалличе-
ской решетки могут создавать локальные состояния в запрещен-
ной зоне. К числу собственных дефектов относятся наряду с на-
рушениями в строении кристаллической решетки («пустые» узлы,
атомы_в_междоузлиях и т. п.) также возмущен ные постоя ни я
собственных атомов.
На рисГ"2б приведены уровни энергии различных примесей
в германии и кремнии. Как правило, примесные уровни, лежащие
яьяи^ середины запрещенной зоны, являются донорными и отсчи-
тываются от дна зоны проводимости. Уровни ниже середины за-
прещенной зоны-являются акцепторными и отсчитываются от
потолка валентной зоныГ! Однако могут быть донорные уровни,
лежащие ниже, тГакцёптёрные уровни — выше середины запре-
щенной зоны. Они соответственно обозначены буквами D и А.
Приведенные на рис. 20 значения энергий ионизации легиру-
ющих примесей III и_У групп не .всегда-близки к соответствующим
значеиця^юцейнным в Ge и Si по формудам^лодородоподобной
модели (2.107) и (2.108). Это расхождение обусловлено упрощен-
ным видом этих формул, не ^2Штьтятптттих тензорный характер
эффективных масс и нетоторьш^атецифичесжие^фякто'ры, харлкае-
'ризующие млентныеоболочки примесных атомов, а также сравни^
тельно"1Тёб^ боровского радиуса"примесного со7
стоянияГГбцененной п<7 формуле (2.106) для основного состояния
(п = 1) водородоподобной модели. Для возбужденных состояний
вздоре^ А£Ч">а = 13,52/п„ (p)/(e2/nnn2) (где п^==
= 2, 3, 4 ... — главное квантовое число); сравнение С-^^^жден^
ными примесными -состояниями атомов III и V групп ^еУгурактТГ-
чески точное согласие теории" и эксперимента. Это можнообъяс-
нить увеличеппем^боровского радиуса возбужденных состоянии
и лучшеи^п^менимостью для ниЗГмстода эффективний^массы? 3
3 Горбачев В. В., Спицына Л. Г. 65
Li Sb P As S Cu Ag Au
^0—5^—j
— 0,26 g 2g^. 0,27
A °’37 ~22L — A
22L Ш ojo gjo"^"o25012
0,07 0,13 A 0,09’ 0,220,083 44
^z^z^z^Z^g —^-
Se
0,1k
0,28
B ,A1 ) T1 Ga In Be
Zn Cd Mn Fe Co Ni Hg Pt Cr
Li Sb P As Bi
0.033 nn? ' ______
' оры optf9 006g
Ni S Mn Ag Pt Hg
0,18
0,35
Л
0,5k
~0,52 ---:
°£^’55 S£L 035 -
---0,31 --
/4
0pk5---
г 0,33
• 0,37 0,33 gjy
0,55 pt53
~D~
O,kO
В
0,36
0,03
В Al Ga In T1 Co Zn Cu Au Fe 0
Рис. 20. Измеренные энергии ионизации различных примесей в германии и кремнии
При большой концентрации легирующей примеси возможно
перекрытие волновых функций носителей, локализованных вблизи
атомов примеси. Такое перекрытие наиболее вероятно, когда
среднее расстояние между^атбМами становится сравнимым с рас-
стоянием между атомом примеси и носителем ав : ТУ1/3^ пав.
При этом дискретные примесные уровни могут «размываться»
в примесную зону/лежащую в запрещенной зоне, jTTio ~Hefr "воз-
можна' '’проводимость. При увеличении концентрации пртТмеси
возможно слияние примесцой зоны с^основной разрешенной зоной.
Для германия, легированного примесями V группы, такой крити-
ческой концентрацией примеси является Ny?™ iqu см-з
Такие полупроводники являются сильнолегирбваннымй полу-
проводниками.
Возмущение отдельного атрма может также приводить к появ-
лению так называемых ^экситонных состояний в запрещенной
зоне. Вялритный электрогГ"атОТЭ решетки при этом переходцд^из
основного спгггояния в возбужденное и_ становихгя эдр.я^свяяян-
нймс атомом,. Приртрыве валентного электрона возникаеГпара
свободных носителей заряда: электрон проводимостей дырка^ и
поэтому такое возбужденное состояние атдмд,.,можнп ряггмятри-
вать к^к^хвдзаш5йо1Тару электрон—дыркаТЭнергию связщ этой
66
пары можно определить из решения водородоподобного уравнения
Шредингера ----- ~
(2.109)
Й2 е2
2/пэкс 4лее0 | г |
lb (г) = E (k) t-» (H,
k k
где т*кс = (т^-1 + Шр’1)-1 — эффективная масса экситона в си-
стеме центра масс.
По аналогии с формулами (2.106) гэкс = 4лее0й2/(тэКС^2) и
4 ♦
АВэкс = 2 (4пйеео)2 (2.110)
Следует заметить, что экситонные состояния не могут быть
отображены на энергетической диаграмме. Оценки показываютГчто
сосТояття—электрон£^участчук,)111ёго ь образовании экситона,
лежат7 вблизи дназбныпроводимости, а энергия распада экси-
тона сос-тяндярт сотые^ДилтГЭлектрон^вПльга. Сопоставление
величин (2.106) и (2.110) с постоянной решетки показывает, что
критерий применимости метода эффективной массы здесь^доста-
точно хорошо выполняется.
2.10. ЗОННАЯ СТРУКТУРА ОСНОВНЫХ
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
Рассмотрим зонную структуру некоторых реальных наиболее
изученных полупроводников. Известно, что полупроводниковыми
свойствами обладают некоторые простые вещества (В, С, Si, Ge,
S, Sn, P, As, Se, Те, Sb, I) и огромное количество бинарных,
тройных и четверных неорганических соединений, удовлетворя-
ющих определенным условиям (см. раздел 2.8). Однако не все они
одинаково хорошо изучены и в разной степени находят свое при-
менение в технике. Поэтому мы рассмотрим структуру энергети-
ческих зон для кремния, германия, олова, селена и теллура,
а также некоторые характерные особенности зонной структуры
полупроводниковых соединений AnBVI и AniBv.
К настоящему времени накоплен весьма значительный мате-
риал по указанным полупроводникам с большим количеством де-
->
талей спектра Е (й), причем информация непрерывно растет, что
приводит к постоянным количественным уточнениям. Однако для
объяснения многих физических явлений, обусловленных поведе-
нием электронов, в первую очередь процессов переноса и опти-
ческих эффектов, нужно привлекать не все детали спектра, а лишь
положение и симметрию экстремальных точек Е (k) в зоне прово-
димости и валентной зоне, а также характер изменения эффектив-
ной массы носителей заряда и ширины запрещенной зоны. Поэтому
в приведенных ниже рисунках зонной структуры полупроводни-
ков отражены только основные особенности спектров.
3*
67
Кремний. Как уже указывалось, алмаз,^кремний, и германий
кристаллизуются в решетке (одного типа,' обладающей той же
' симметрией, что и г. ц.к. решетка. Поэтому первая зона Бриллюэна
имеет форму октаэдра с усеченными вершинами/Дсм. рис. 7),
а у зонной структуры кремния и германия много общего. Основ-
ные точки симметрии: Г (0; 0; 0) — центр зоны; X (0; 0; 2л/а) —
центр квадратной грани в направлении [001; L (л/а; л/а; л!а) —
центр шестиугольной грани в направлении [1111; К (Зл/а; Зл/а;
направлении [1111; Л (Зл/а; Зл/а;
Зл/а) — середина ребра шести-
угольной грани; W (л/а; 0; 2л/а)
точки £, Л, Д, Z — середины от-
резков Г—К; Г—L; Г—Х; W—X
соответственно.
Рис. 22. Положение изоэнергетиче-
ских поверхностей в зоне прово-
димости кремния
Рис. 21. Структура энергети-
ческих зон кремния
Анализ заполнения электронных оболочек кремния показал,
что Зр-оболочка полностью не заполнена, спины имеющихся
двух электронов параллельны. Это соответствует трехкратному
вырождению, которое снимается при образовании кристалла из
атомов кремния, и поскольку можно считать, что зона проводи-
мости и валентная зона образованы из Зр-зоны1(см. рис. 18), то
в каждой из них содержится по три полосы или ветви энергии
(рис. 21). Ширина запрещенной зоны, измеряемая как расстояние
между самой низкой ветвью энергии в зоне проводимости и самой
верхней ветвью энергии в валентной зоне, составляет для кремния
при комнатной температуре 1,08 эВ. При этом можно заметить, что
минимум энергии, определяющий дно зоны проводимости, лежит
внутри зоны Бриллюэна в направлении [100]. Некоторая часть
дисперсионной кривой Е (k) вблизи минимума Ес называется
также долиной. Тогда в соответствии с симметрией зоны Брил-
люэна в зоне проводимости кремния имеется шесть эквивалентных
минимумов энергии или долин. Как мы уже видели ранее, мини-
муму энергии соответствует изоэнергетическая поверхность, ко-
торая может быть представлена эллипсоидом вращения (2.71).
68
Следовательно, в зоне Бриллюэна для электронов проводимости
кремния имеется шесть эллипсоидов вращения (рис. 22) вдоль
оси симметрии [100].
Согласно (2.71)/тхх = туу = /и? и mzz = mz*. Значения mz*
и /и/, полученные'экспериментально пууи ЗЩ^чении циклотрон-
ного резонанса для кремния, равны /и? = 0,19m и тД~= (\98цг.
Отношение mj/nit характеризует^ анизотропию изоэнергетиче-
ской поверхности. Для кремния m*lmt = 5,16. Для оценки ве-
личины эффективной массы иногда удобно вместо носителей
в шести эллипсоидах зоны проводимости с анизотропными эффек-
тивными массами брать усредненную изотропную, массу m2,
называемую эффективной ^массой для плотности состояний и
связанную^ с диагональными элементами тензоряТэффёктйЬнОй
массы соотношением: цг*/ = M^m^myumzz (2.111), где М — число
экстремумов. "
Соотношение (2.111) для зоны проводимости кремния, напри-
мер, имеет вид: m*drl = 62/3 (mfm/)1/3. Использование понятия
эффективной массы для плотности состояний, по существу, озна-
чает замену анизотропных эллипсоидов энергии некоторой усред-
ненной изоэнергетической поверхностью, приблизительно име-
ющей вид сферы и, следовательно, md — скалярная величина.
В этом случае шесть эллипсоидов изоэнергетической поверх-
ности зоны проводимости кремния можно представить в виде
одной сферической изоэнергетической поверхности с эффективной
массой для плотности состояний mdn = 1,08m.
Максимум всех трех полос энергиТГЪ‘~вален|1ггтой~зон^и1ежит
вТцентр^зины БриЯлюэнаГТО; 0; 0)‘> ему соответствуют состояния
с волновым вектор о Это означает вырождение энергии
в точке k = 0. Спин-орбитальное расщепление, вызванное взаимо-
действиеКгтиатнтггного поля при вращении электрона вокруг своей
оси, с магнитным полем, создаваемым орбитальным движением
электрона, смещает третью ветвь энергии на величину AEsQ =
= 0,035 эВ.
Для двух других ветвей энергии в валентной зоне можно полу-
чить следующее полуэмпирическое соотношение, сохраняющее
зависимость второго порядка для энергии от волнового вектора:
£i.2 А = - £ [Ak2 ± /WTcWF+^Ж+Ж)] .
(2.112)
где А, В, С — безразмерные константы (А = 4 1: R = 1.6: С =
= 3,3). Изоэнергетические поверхности, соответствующие урав-
нению (2.112), представляют собой искривленные поверхности
(рис. 23). Это связано с тем, что в общем случае степень расщепле-
ния сильно зависит от направления в ^-пространстве, и изоэнер-
гетические поверхности приобретают более сложный вид, чем
69
эллипсоиды вращения. Эти искривленные изоэнергетические по-
верхности валентной зоны кремния можно также представить
некоторыми сферическими поверхностями, если усреднить за-
висимости (2.112) по всем направлениям:
£1,2 (к) ~ - п*&!2т (Л ± VВ2 + С2/5).
(2.113)
Видно, что в валентной зоне должны существовать два вида
дырок, соответствующие двум ветвям энергии: легкие дырки
/Ил = т/(А + У В2 + С2/5) и тяжелые дырки /nJ = т/(А —
- v В* + С2/5). L Г X
Рис. 24. Структура энерге-
тических зон германия
Но
но
Рис. 23. Сечение плоскостью (001)
изоэнергетических поверхностей в ва-
лентной зоне кремния и германия
Усреднение (2.113) означает, что эффективные массы пГл и
являются скалярными величинами; ггГл = 0,16/п; = 0,49m;
/и^/тил = 3,1. Уравнение энергии отщепленной ветви имеет вид:
Е3 (ty = —А^\о — Aft2k*l2m, и описывает сферическую изоэнер-
гетическую поверхность (см. рис. 23) со скалярной эффективной
массой /Из = ml А.
Очевидно, и в этом случае при оценке эффективной массы можно
ввести эффективную массу для плотности состояний, заменив две
усредненные сферы (2.113) общей приведенной сферической изо-
энергетической поверхностью. Тогда т}р = (/и*3/2 + /и*3/2)2/3.
Как показывает расчет, для кремния = 0,59т.
Германий. Анализ строения зонной CTffy%iypbf гёр'мЗния ана-
логичен приведенному выше и дает структуру энергетических
зон, показанную на рис. 24. Видно, что минимумы дна зоны про-
водимости расположены на границах зоны Бриллюэна в точках L,
т. е. в направлении кристаллографической оси 11Шл_Такцм^об-
разом. ^изоэнергетаческие поверхности в зонё^проводи^стбти гер-
мания ^едставляютТоб^й утгА^дд^^ симметричностТГзоньГБрил-
люэна восемь эллипсои/ов вращения вдоль оси [114]. Так как
минимальные значения энергии совпадают с границами зоны
70
Бриллюэна, то фактически в пределах первой зоны Бриллюэна
будет находиться восемь половинок эллипсоидов (рис. 25). Сле-
довательно, учитывая трансляционные свойства ^-пространства,
можно считать, чтО'11И'~первую^зонуПБриллюэна приходится "четыре
полных эллипсоида энергии. ।Значения эффективных масс для
электронов проводимости германия: т] = 0,082m; т* = 1,58m;
tn*dn = 0J56m. __
Валентная зона германия также описывается уравнениями
(2.112) и (2.113) со следующими значениями параметров: А =
= 13,0; В = 8J): С = 10.3: т* = 0,04m; mJ = 0,34m; m^ =
= 0,37m.
Изоэнергетические поверхности в валентной зоне германия
представлены на рис. 23. Ширина запрещенной зоны при комнат-
Рис. 25. Положение изоэнер-
гетических поверхностей в зоне
проводимости германия
Рис. 26. Структура энергетиче-
ских зон в сером олове
ной температуре ДЕ = 0,66 эВ, величина спин-орбитального
расщепления AEs0 = 0,28 эВ.
Известно, что полупроводниковыми свойствами также обла-
дает a-модификация серого олова.
Интересная особенность зонной структуры серого олова —
совпадение минимума зоны проводимости и максимума в центре
зоны Бриллюэна, следовательно, в точке k = 0 ширина запрещен-
ной зоны равна нулю (рис. 26). По этой причине серое олово можно
также считать и полуметаллом.
Эффективная масса электронов вблизи дна зоны проводимости
т*п = 0,02m. Эффективные массы дырок: = 0,06m и mJ =
= 0,3m. Сравнивая зонную структуру серого олова со структурой
полупроводников — германия и кремния, относящихся к одной
IV группе периодической системы элементов, можно отметить,
что при переходе от германия к серому олову, т. е. с ростом заряда
ядра, ширина запрещенной зоны убывает.
Абсолютный минимум зоны проводимости серого олова распо-
ложен в центре зоны Бриллюэна по сравнению с положением
минимума зоны проводимости кремния и германия, расположен-
ных вблизи края зоны Бриллюэна.
71
Селен и теллур — элементы VI группы — также проявляют
полупроводниковые свойства. Основные состояния валентных
электронов селена и теллура соответствуют электронным конфи-
гурациям 4s24p4 и 5s25p4. Селен и теллур кристаллизуются в сильно
анизотропной цепочечной структуре, соответствующей гексаго-
нальной решетке. Зона Бриллюэна для селена и теллура представ-
ляет собой гексагональную призму (см. рис. 7, б) с основными
точками симметрии: Г (0; 0; 0) — центр зоны; А (0; 0; п/с) — центр
шестиугольной грани; К (п/а\ 0; 0) — середина длинного ребра
призмы; Н (п!а\ 0; п/а) — вершина угла шестиугольной грани.
Рис. 27. Структура энергетических зон в селене (а) и теллуре (б)
Направление Г—7 соответствует гексагональной оси с. Строение
энергетических зон селена и теллура вследствие одинаковой кри-
сталлической структуры аналогично (рис. 27). Так же^как для
полупроводников IV группы, валентные зоны и зоньРпроводи-
мости, образованные из 4р- и 5р-состояний, трехкратновырождены,
вследствие чего образуются три полосы энергии в каждой зоне.
Анизотропия кристаллической решетки приводит к сильной за-
висимости зонной структуры от направления, и, в частности,
значения эффективных масс в направлении вдоль гексагональной
оси (т*|) и поперек ее (ml) различаются. Было установлено, что
максимум валентной зоны и минимум зоны проводимости располо-
жены на границе зоны Бриллюэна в направлении гексагональной
оси с. Вычисленные значения ширины запрещенной зоны в этом же
направлении оказались равными: ДЕ = 1,4 эВ для селена и ДЕ =
= 0,3 эВ для теллура по сравнению с экспериментальными
Д£экс = 2,0 и ДЕ^с = 0,34 эВ соответственно. Изоэнергетиче-
ские поверхности зоны проводимости около точек Г или Л близки
к сферическим с изотропной эффективной массой электронов про-
водимости пГп = 0,75т, Такие же поверхности в валентной зоне
имеют вид эллипсоидов вращения, оси вращения которых парал-
лельны гексагональной оси.
Расчеты зонной структуры полупроводниковых соединений
AmBv, AHBVI и ряда других основаны на том, что для полупровод-
ников, кристаллизующихся в структуре цинковой обманки, можно
72
пользоваться зонными моделями, полученными для полупровод-
ников IV группы, кристаллизующихся в решетке алмаза.
Такой метод был впервые использован Германом, предполо-
жившим, что соединения, имеющие похожую кристаллографиче-
скую структуру, должны иметь и подобную структуру энергети-
ческих зон. Это справедливо, поскольку основные черты зонной
структуры обусловлены симметрией и структурой кристалла.
Катгизвеыни, слруктура цинкивттй обманки аналогична cipykiype-
алмаза с той лишь разницей, что в узлах г. ц. к. решетки будут
находиться атомы разных типов, образуя тем самым две г. ц. к.
подрешетки. Поэтому первая зона Бриллюэна для структур типа
цинковой обманки также имеет вид усеченного октаэдра (см.
рис. 7). Следовательно, кристалл со структурой цинковой обманки
можно представить как возмущенный (за счет атомов разного
сорта) кристалл со структурой алмаза и рассчитать основные
черты энергетического спектра такого кристалла методом возму-
->
щений по известному спектру Е (k) для изоэлектронного аналога
полупроводников IV группы. Такими электронными аналогами
германия, например, являются GaAs, AlSb, InP и ZnSe. Анало-
гами кремния — А1Р, серого олова CdTe и InSb и т. д.
Тогда кристаллический потенциал соединений с решеткой
цинковой обманки может быть представлен в виде: U (г) —
= Ulv (г) + At/ (г), где АС/ (г) — антисимметричная добавка
к симметричному потенциалу поля t/IV(r), обусловленная разли-
чием атомов в подрешетках цинковой обманки.
На рис. 28 и 29 приведены в качестве примера рассчитанные
в рамках такого подхода методами ОПВ и псевдопотенциала
структуры энергетических зон для некоторых соединений A nBIV:
ZnSe (см. рис. 28, а) и CdTe (см. рис. 28, б) и соединений AInBv:
GaAs (рис. 29, а) и InSb (рис. 29, б).
Характерная особенность большинства соединений AnBVI в от-
личие от полупроводников IV группы—расположение максиму-
Рис. 28. Стр уктура энергетических зон в селениде цинка (а) и теллуриде
кадмия (б)
73
мов валентной зоны и минимумов зоны проводимости в центре
зоны Бриллюэна, т. е. при k = 0. Изоэнергетические поверхности
зоны проводимости близки к сферическим. В пределах одной
группы соединений ЛПВУ1 или ширина запрещенной зоны
ДЕ уменьшается с ростом «среднего» заряда ядер в соединении
т. е. с увеличением атомного номера. Для соединений 4nlBv
зоны проводимости, а отчасти и валентные зоны параболичны
только вблизи экстремума. С ростом волнового вектора зоны
становятся непараболичными, кривизна уменьшается, и эффек-
тивные массы носителей увеличиваются.
Для валентных зон соединений ЛШВУ характерно также сме-
щение максимумов энергии легких и тяжелых дырок относительно
точки k = 0 в направлении [100] или [111].
Из рассмотренного в этой главе материала видно, что одна из
важнейших характеристик зонной структуры кристалла — ши-
рина запрещенной зоны, которую в большинстве случаев опреде-
ляют экспериментально. Ширина запрещенной зоны сильно зави-
сит от внешних воздействий на кристалл, в частности от давления
и температуры.
Температурная зависимость ширины запрещенной зоны опре-
деляется тепловым расширением кристалла (d l^EldT)^ и взаимо-
действием носителей заряда с тепловыми колебаниями атомов
решетки (d \EldT\-. д ЬЕ/дТ = (д \Е/дТ\ + (д \E/dT)v.
Взаимодействие носителей с атомами решетки (d \EldT)u
в основном сдвигает энергетическую зону при низких температурах
(0D Т > 0), а тепловое расширение (d &E/dT)a может изме-
нить и кривизну зон. d ЫЕ/dT может быть положительным или
отрицательным для разных полупроводников. Например, для
InSb d ЬЕ/dT = — 2,9-10"4 эВ/K, а для PbTe d \EldT =
= 4-10"4 эВ/K.
Для большинства полупроводников температурный коэффи-
циент изменения запрещенной зоны а = д АЕ/дТ <0 и зависи-
74
мость ДЕ (Т) может быть представлена линейной функцией
ДЕ (Т) = ДЕ0 + аТ, параметры которой ДЕ0 и а могут быть
определены экспериментально в некотором интервале температур.
Значения ДЕ0 и а для основных полупроводниковых материалов
представлены в приложении 1.
Температурный коэффициент ширины запрещенной зоны, обус-
ловленный тепловым расширением решетки кристалла (d kEldT)^
связан с барическим коэффициентом ширины запрещенной зоны
(d AE/dP)T термодинамическим соотношением]
(д \Е/дТ)а - - Зат. р (5 ДЕ/дР)т/Х,
где ат. р — коэффициент линейного теплового расширения; Х —
сжимаемость кристалла.
Для халькогенидов свинца величина (d AE/dP)T приблизи-
тельно равна 8-Ю"6 эВ-см2/кг.
2.11. ФЕРМИ-ПОВЕРХНОСТИ МЕТАЛЛОВ
Физические свойства металлов и, следовательно, характер поведения металла
по отношению к внешним воздействиям определяется квазичастицами, находя-
щимися вблизи поверхности Ферми. При каждом возбуждении появляется квази-
частица над уровнем Ферми и одновременно образуется свободный энергети-
ческий уровень (дырка) под уровнем Ферми. Таким образом, поверхность Ферми
определяет энергетический спектр носителей заряда в металлах. Если известны
основные параметры этой поверхности, то тем самым определены все электронные
свойства металла.
Поверхность Ферми состоит из совокупности изоэнергетических поверх-
ностей Е (Р) = const в различных зонах и обычно для реальных металлов имеет
очень сложный вид (рис. 30) в отличие от модели свободных электронов (Е =
= р2/2/п), для которой поверхность Ферми представляет собой сферу с радиусом
Pf= V 2mF.
Изоэнергетические поверхности Е (k) = const могут проходить через всю
обратную решетку, т. е. быть открытыми (например, для меди) и могут быть
закрытыми (например, для индия) и расположенными в одной ячейке обратной
решетки.
Рассмотрим кратко некоторые методы исследования поверхностей Ферми
в металлах.
Исторически одним из первых методов явилось исследование гальвано-
магнитных эффектов в сильных магнитных полях, которое заключается в изме-
рении электропроводности и эффекта Холла. Анизотропия поперечного магнето-
сопротивления позволила определить топологию поверхностей Ферми и, в ча-
стности, показать, что такие поверхности могут быть открытыми и закрытыми.
Однако детальные исследования поверхностей Ферми этим методом для много-
зонных металлов затруднены сложностью учета вкладов в электропроводность
разных зон.
Циклотронный резонанс Азбеля — Канера связан с тем, что при определен-
ных условиях электроны в металлах испытывают резонансное ускорение под
действием переменного электромагнитного поля аналогично тому, как ускоряются
электроны в циклотроне (рис. 31). Условия, при которых возникает эффект
Азбеля — Канера, аналогичны поглощению электромагнитных волн на поверх-
ности металла (аномальный скин-эффект). Глубину проникновения поля в ме-
талл б можно сопоставить с длиной свободного пробега электронов %. Если б <с
это нормальный скин-эффект. Для глубины проникновения поля в этом
75
эффекте из электродинамики следует, что 6= С/)^2лхой, где х— магнитная
восприимчивость; Q — частота переменного поля.
Следует заметить, что физической причиной проникновения электромагнит-
ного поля на некоторую глубину б в металл является взаимодействие поля с элек-
тронами металла, при котором энергия электромагнитного поля поглощается.
Очевидно, характер этого взаимодействия будет зависеть от соотношения между
глубиной проникновения б и длиной свободного пробега электронов в металле.
При этом можно ожидать, что измерение глубины скин-слоя б даст информацию
о состояниях свободных электронов, участвующих в поглощении энергии элек-
тромагнитного поля. Для аномального скин-эффекта б (это может наблю-
даться при гелиевых температурах). В этом случае эффективность взаимодей-
ствия электронов внутри скин-слоя с электромагнитным полем будет зависеть
от направления их движения.
Рис. 30. Поверхность Ферми Рис. 31. Кривые циклотронного ре-
для меди зонанса Азбеля —Канера для меди
Можно показать \ что для аномального скин-эффекта
69фф = [С«Лт*/(2леЧффтХ0Й)] ‘/3. (2.114)
Как было установлено Азбелем и Канером, циклотронное ускорение электро-
нов наступает в случае аномального скин-эффекта:
^>6, где = СРр1\ е । в.
В В в
Если приложенное магнитное поле ориентировано параллельно поверхности
образца, то электроны вблизи поверхности будут двигаться по спиральным орби-
там, причем один раз за каждый оборот электрон попадает в скин-слой. Если
при этом наблюдается некоторая синхронность между циклотронным движением
электрона и колебаниями электромагнитного поля, Q = социкл/ (где I — целое
число), то каждый раз попадающие в скин-слой электроны будут находиться
в фазе с переменным электромагнитным полем и, следовательно, ускоряться.
В течение той части периода колебаний поля, когда поле должно было бы за-
медлять электроны, они находятся глубоко под скин-слоем и поле на них не дей-
ствует. Заметим, что резонансное поглощение происходит при разных значе-
ниях /, которые тем самым определяют номер гармоники. Можно также считать,
что I — это число циклов между последовательными попаданиями электронов
в область скин-слоя.
В полупроводниках из-за низкой электропроводности скин-эффект практи-
чески отсутствует и проникающее в образец электромагнитное поле можно счи-
тать однородным. Поэтому эффект ускорения электрона в этом случае проис-
ходит только при / = 1 и называется циклотронным резонансом. Таким образом,
эффект Азбеля — Канера дает возможность согласно формуле (2.114) опре-
1 См., например: Брандт Н. Б., Чудинов С. М. Электронная структура
металлов. М.: Изд-во МГУ, 1973, с. 277.
76
Рис. 32. Условия возникновения магнето-
акустического резонанса
делить эффективную массу. Строго говоря, эффективная масса, определяемая
в эффекте Азбеля — Канера, является циклотронной эффективной массой, ана-
логично введенной в эффекте циклотронного резонанса. Однако если известен
закон дисперсии, то для данного направления магнитного поля В можно уста-
новить связь между циклотронной массой и компонентами тензора эффективной
массы.
Магнетоакустический резонанс (поглощение ультразвука). Магнетоакусти-
ческие эффекты заключаются в периодическом изменении в магнитном поле
коэффициента поглощения ультра-
звука. Затухание звуковых волн
на электронах проводимости по-
зволяет определять энергию Ферми.
Акустические волны, соответствую-
щие прохождению звука в кристал-
ле, периодически смещают ионы
кристаллической решетки из по-
ложений равновесия. Движение
электронов вблизи поверхностей
Ферми будет возмущаться смеще-
нием ионов. Электроны поглощают
энергию акустических волн, вызы-
вая затухание их по амплитуде.
Это затухание мало на частотах
обычного звукового диапазона, но
значительно на ультразвуковых
частотах (выше 10 МГц). Механизм
поглощения энергии ультразвука
связан, по существу, с электрон-фо-
нонным взаимодействием, так как
ультразвуковая волна, смещая ио-
ны, создает периодическое распре-
деление электрического поля и
электроны, приобретая энергию в
этом электрическом поле, затем
передают ее решетке при рассеянии
на фононах. Характер взаимодействия с ультразвуковой волной будет опреде-
ляться соотношением между длиной волны звука ХзВ и длиной свободного про-
бега электронов %. Если при этом к образцу приложить магнитное поле, перпен-
дикулярное направлению распространения звука, то при определенных условиях,
когда пространственная протяженность циклотронных орбит окажется равной
числу длин волн ультразвука (рис. 32), могут возникнуть резонансные усло-
вия для ускорения электронов в магнитном поле.
Условие резонансного ускорения может быть записано в виде
£)_> = (2п + 1) Хзв/2,
в
где D — поперечник экстремальной орбиты электрона в направлении вектора <7зВ,
связанный с поперечником Pext экстремального сечения поверхности Ферми
в направлении вектора поляризации волны соотношением D-* = CPext (\е\В).
в
Тогда условие (2.115) может быть записано в виде:
Pext = (2n+l)|e|BX3B/2C. (2.116)
Из выражения (2.116) следует, что максимумы коэффициента поглощения Г
ультразвука наблюдаются при дискретных значениях магнитного поля: Вп =
= 2CPext/(2n+ 1)| е|ХзВ.
Максимумы поглощения повторяются периодически (рис. 33) в функции
обратного магнитного поля 1/В с периодом А (1/В), равным: А (1/В) = 1/Bnfl —
— “ Rl^aB/CPext.
3,9 7,9 11,9 15,9 19,9кА/м
Рис. 33. Магнетоакустический резонанс
в магнии
(2.115)
77
Из формулы (2.115) видно, что по периоду максимумов коэффициента погло-
щения А (1/В) можно определить поперечник экстремального сечения поверх-
ности Ферми в направлении, перпендикулярном направлениям k и В.
Эффект де Гааза — Ван-Алъфена наряду с эффектом Шубникова — де Гааза
относится к квантовым осцилляционным эффектам,обусловленным тем,что в силь-
ных магнитных полях происходят осцилляции плотности электронных состояний
на уровне Ферми, в результате чего при Х> г и /гео > kQT наблюдаются осцил-
ляции различных кинетических и термодинамических характеристик металла.
Эффект Шубникова — де Гааза заключается в возникновении квантовых
осцилляций электропроводности (или электрического сопротивления), а эффект
де Гааза — Ван-Альфена — в возникновении осцилляций магнитной восприим-
чивости при низких температурах.
Сущность эффекта де Гааза — Ван-Альфена заключается в том, что в зави-
симости от напряженности магнитного поля, искривляющего как известно тра-
екторию движения электронов, в
кристалле изменяется магнитная
восприимчивость (рис. 34). Если
радиус окружности, по которой дви-
жется электрон в магнитном поле,
такой, что частота вращения его на
этой окружности равна частоте вра-
щения его по окружности, пол-
ностью лежащей на поверхности
Ферми, то магнитная восприимчи-
вость увеличивается. В случае про-
стой сферической поверхности Фер-
ми частота вращения будет равна
частоте вращения вдоль сферы Фер-
ми. Для более сложных поверх-
ностей Ферми реальных металлов
измерение периода осцилляций эффекта де Гааза — Ван-Альфена дает возмож-
ность определить экстремальные сечения поверхностей Ферми в зависимости от
их ориентации относительно кристаллографических осей.
Располагая этой информацией, а также данными по симметрии кристалла
и числу валентных электронов, можно построить трехмерное изображение по-
верхности Ферми.
ГЛАВА 3. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ
И ДЫРОК в МЕТАЛЛАХ
И ПОЛУПРОВОДНИКАХ
3.1. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
И ДЫРОК по СОСТОЯНИЯМ
Распределение электронов по энергетическим уровням в разре-
шенной зоне подчиняется принципу Паули. Ферми и Дирак при-
менили идею Паули для электронов в атоме к любому коллективу
электронов, находящемуся в состоянии термодинамического рав-
новесия. Используя эти представления для системы электронов
в кристалле, можно утверждать, что в термодинамическом ранно-
78
иргии электроны при ниак^_темдератудеи1е^анимают энергети-
ческих состмииДГ с минимумом энергий; как классические ча-
стицы, а распределяются по состояниям в соответствии с так назы-
ваемой "функ^ттейг^распределения f определяющей вероят-
ность тогоТ'что'эйергеТИЧёское состояние Е при температуре Т
занято электроном. Эта функция имеет вид:
/Ф_д(Е, Т) = 1^ехр(^Д)+ 1], (3.1)
где F — некоторый параметр этого распределения, называемый
энергией Ферми, или уровнем Ферми.
Уровень Ферми является нормировочным гьараметрем^харак-
теризуемым числом электронов и в единице объема и плотностью
Рис. 35. Вид функции распределения. по
состояниям Ферми—Дирака для различ-
ных температур
Рис. 36. Экстраполяция функции распре-
деления по состояниям Ферми—Дирака
/ф_д Функцией Максвелла —Больцмана
/м-Б при энеРгиях Е — F > k0T
энергетических состояний g (£), вычисляемой как число состоя-
ний, прйходятпчхея на единичный интервал изменения энергии.
Велщшаа^энергии^Феоми определяется из условия, что 'чнсло
заполненных состояний при всех энергиях должно быть равно
полному числу имеющихся электронов, т. е.
оо
П= |§(Е)/ф_д(£, T)dE. (3.2)
Построим графики функции /ф_д (£, Т) (3.1) для двух различ-
ных температур Тг > Т.2. Анализируя формулу (3.1), можно за-
метить, что при энергии £ = F функция /ф-п (Е, Т) == г/9, т. е.
вероятность заполнения уровня Ферми составляет 50 %. Состоя-
ния с энергией Е <^F будут заполнены меньше чем на 50 %,
а состояния с энергией £ > F будут заполнены больше чем на
50 %. ----
Для энергий, отличающихся всего на k0T от энергии Ферми,
вероятность заполнения электронами меняется от величины ~0,73
для Е = F — k0T до ~0,27 для Е = F + k0T.
Поэтому ясно, что jp повышением температуры «ступенька»
в функции /ф_д (Е, Т) будет~делаться более пологой, как это
показано на рис. 35. При Т__= 0 энергия Ферми характеризует
79
максимальную энергию частиц в системе. -Уровни с энергиями
Е > F при Т = 0 незацолнены. ТЗКИКГобразом, энергию Ферми
можно рассматривать как максимальную энергию частиц при
Сравним квантовое распределение по состояниям, задаваемое
функцией /ф.д (£, Т), с классическим распределением, описы-
ваемым функцией Максвелла—Больцмана:
/м-б(£, Т) = Ae~E/k°T, (3.3)
где А — некоторая нормировочная константа этого распреде-
ления.
Если для функции /ф_д (£, Т) положить Е — F > k0T, то,
пренебрегая единицей в знаменателе (3.1)^ мыПТолучиМ
/ф-Д (Е, Т) \E-F»k,T ~ (3.4)
При сравнении формул (3.3) и (3.4) видно, что при выполнении
критерия Е — F > k0T функцию распределения по состояниям
Ферми—Дирака можно приближенно заменить классической
функцией Максвелла—Больцмана. Система электронов^ддя.кото-
рой этот критерий выполняется л которая может бытьТтриближенно
охарактеризована функцией распределения Максвелла—Больц-
мана, называется невырожденной.
-'"'Если такое приближение применить нельзя, то система назы-
вается вырожденной и описывается функцией Ферми—Дирака.
Оценим границы применимости распределения Максвелла—Больц-
мана к системе электрона, построив на одном рисунке функции
/ф_д (Е, Т) и /М_Б (Е, Т) и откладывая энергию в единицах
kQT\ как это сделано на рис. 36. Простые вычисления показы-
вают, что при £ — F = 3kQT функции /ф_д (Е, Т) и /М_Б (Е, Т)
отличаются менее чем на 1 %. Таким образом, для энергий £_>
> F + 3kQT можно с достаточной точь^тъю^шщгать систему
электронов невьцюждЯжгй-^^ ней статистику,Мак-
свелла—Больцмана. Функцию распределения дырок по состой-
ниям /р (Е, Т) можно jferKO найГи, если изЬестнГфункция распре-
деляй^электронов^ (£, ^. Действительно, любое состояние Е
может быть занято либо электроном, либо дыркой, т. е.
/ДЕ, T) + fp(E, Т) = 1, (3.5)
откуда
/Р(Е, Т) = 1 —/„(£, Т) = 1 —
-----ПГ^Г-х------“ 7-Г±ТГ-х-----' (М)
'"р (—.т-) + '---“р(т?-) + 1
Отметим, что энергия дырок растет по осц-эые.ргии свер2^у вниз,
т. е. она по знаку 11р6ТИНииилижна'5нергии электронов. Для не-
вырожденной системы дыртГпр и F—Е каТ fp (Е, T)^e~t'F-E>/ki‘T.
80
3.2. ФУНКЦИЯ плотности состояний
для ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
Из анализа формулы (3.2) видно, что для вычисления концентра-
ции электронов, помимо функции распределения электронов по
состояниям, нужно знать вид функции плотности состояний
g (Е). Если dN — число состояний в интервале от Е до Е + dE,
то по определению g (Е) = dNldE.
Зная конкретный вид функции Е (k), можно вычислить объем
dVk, соответствующий изменению энергии от Е до Е + dE и за-
ключенный между двумя изоэнергетическими поверхностями
с энергиями Е и Е + dE. Тогда g (Е) = dNldE = g (k) dVkldE,
где величина g (k) — плотность состояний в ^-пространстве,
выражаемая как g (k) = dNldxk и определяющая число состояний
в единице объема ^-пространства, где dxk — элемент объема
^-пространства, равный dkxdkydkz.
Рассчитаем величину g (k), пользуясь условием квантования
состояний в ^-пространстве (2.46): kt = 2nfij/Lt-, nt = 0, +1,
±2 ... Число разрешенных состояний, очевидно, будет соответ-
ствовать числу возможных значений nt. Тогда dnt = LtdkJ^n
и dNt = dnxdnydnz = LxLyLzdkxdkydkz/8a3 = Vdxk/8n3, где V —
объем кристалла.
Следовательно, число состояний в единице объема кристалла,
приходящееся на единичный объем ^-пространства:
g(k) = dNi/(Vdxk) = I/8л,3.
Заметим, что эту величину следует увеличить в два раза, так
как каждой энергии, заданной набором квантовых чисел kx, ky, kz,
соответствуют два состояния со значениями спина +х/2 и —х/2.
Мы учтем этот спиновой множитель 2 позднее в окончательной
формуле. Теперь подсчитаем объем ^-пространства dVk, в котором
энергия изменяется от Е до Е + dE. Дла конкретных законов
дисперсии Е (k) в разрешенных зонах можно найти функцию
плотности состояний g (Е) для этих зон энергии.
1. Подсчет g (Е) для параболической зоны проводимости
с экстремумом Ес в точке k = 0 и скалярной эффективной массой.
Закон дисперсии имеет вид в малой окрестности Ес: Е (k) =
- Ес + n2k2/2m'n.
Заметим, что такой тип закона дисперсии наблюдается для зоны
проводимости в некоторых соединениях Л1ПВУ и ЛПВУ1.
Поверхность постоянной энергии в ^-пространстве в этом слу-
чае согласно выражениям (2.72) есть сфера с радиусом а =
81
= у 2шп (Е — Ес). Объем этой сферы Vk можно найти
в виде: Vk = ЬлсМЗ = 4л/3 [2/иА (£ — £с)/й2 ]3/2.
Тогда приращение объема dVk при изменении энергии от Е до
Е + dE равно dVk = (dVk/dE) dE = 2л (2т^/12)3'2 (Е — £J>/2 dE.
Число состояний dN в объеме dNk равно:
dN = g (ft) ~E‘> dE' <3’7)
/§(£) = dNldE = 2л (2m*//i2)3/2 (£ - Ec)x^ (3.8)
учитывая, что h = 2л1г.
2. Подсчет g (£) для параболической зоны проводимости с экс-
тремумом Ес в точке k0.
Закон дисперсии имеет вид в малой окрестности Ес : Е (k) —
П I VI Й2 (ki — ^о)2 . Л.А
= Ес + \ -------——— где тп. — компоненты тензора эффек-
i
тивной массы электрона в зоне проводимости.
Такой тип яякпия дисперсии наблюдается для зоны проводи-
мости в^германии и кремнии7~Число -эквивалентных экстремумов
определяется симметрией точки kQ в зоне Бриллюэна, и при под-
счете функции плотности состояний в зоне проводимости нужно
учесть число М полных долин в окрестности £с, попадающих
в зону Бриллюэна. Напомним, что MSi = 6, a MGe = 4. В окрест-
ности каждого из эквивалентных экстремумов Ес поверхность по-
стоянной энергии в ^-пространстве согласно (2.70) есть эллипсоид
с полуосями: = V2tni (Е — Ec)!1i2]l/2. Объем этого эллипсоида:
Vk = -^-ла^йз = л (т^Шз)1/2 [2 (Е — Ec)/ft2]3/2.
о о
Приращение объема при переходе от энергии Е к Е + dE
есть dVk — 2л (тущт^112 (2/й2)3^2 (Е — Ес)1^2 dE. Число состоя-
ний в объеме dVk равно
dN = g (k) d,Vk = 2л-^ (тупгт3)т (2/й2)3/2 (£ - £с)1/2 dE =
-- 2л (m1m2ma)1/2 (2//i2)3/2 (£ - £с)1/2 dE. (3.9)
Плотность состояний в каждой долине зоны проводимости
определяется как g (у) (Е) = 2л (tn1tn2m3)^2 (2/А2)3/2 (Е — Ec)i/2.
Тогда, принимая во внимание эквивалентность долин, полная
плотность состояний в зоне проводимости будет:
g(E)=^g^(E) = Mgw(E) =
- 2л (M2m1z/z2m3)‘/2 (2//i2)’/2 (£ - Е()'/2,
82
Это выражение можно привести к виду, аналогичному выраже-
нию (3.8), если ввести эффективную массу для плотности состоя-
ний в зоне проводимости min = (АР/п^/Пз)1/2, что аналогично
условию (2.111). Теперь мы получшм
g (Е) = 2л (2mL//i2)’A (Е - Ec)'h. (3.10)
3. Подсчет g (£) для простой сферической и сложной валент-
ной зон с экстремумом Ev в точке k = 0.
Закон дисперсии имеет вид в малой окрестности Ev: Е (k) =
= Ev —fi2k2/(2mp). Проводя аналогичные п. 1 вычисления, по-
лучим для простой зоны: g (£) = 2л (2m*p/h2)3/2 (Ev — £)1/2.
Если валентная зона сложная и в точке k = 0 соприкасаются
две подзоны с эффективными массами т^ и т*л тяжелых и легких
дырок, как, например, в германии и кремнии, то полная плотность
состояний есть:
g (Е) = g(j,) (Е) + g(T) (Е) = (2/Й2)’л (/ил*3/‘ + т^) (Ео - Е)*л.
Вводя эффективную массу дырок для плотности состояний
mip = (m‘3/2 + /и‘3/2)2/3, получим выражение g (Е) для сложной
валентной зоны в форме, аналогичной уравнениям (3.8) и (3.10):
g (Е) = 2л (2/и^//12)’/2 (Ev - E)'f*. (3.11)
3.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ
В ЗОНЕ ПРОВОДИМОСТИ
И ДЫРОК в ВАЛЕНТНОЙ ЗОНЕ
Концентрацию электронов в зоне проводимости в соответствии
с формулой (3.2) можно представить в виде:
шах
п= j я(Е)/ф_д(Е, T)dE. (3.12)
Ес tnln
При значениях энергии выше энергии Ферми функция /ф_д (Е,
Т) быстро спадает до нуля. Поэтому, подставляя в уравнение
(3.12) вид g (Е), найденный из условия (3.10), и учитывая спино-
вый множитель 2, имеем:
Г 2n(2m:„/ft2)^ (E-Ec)'^dE
П ~ £ J e(E-F)/ft0T j
Ес
(3.13)
Произведем замену переменных
(Е - Е>0Т = е; (Е — ЕС)/*ОТ = т], (3.14)
83
где 8 и т) — приведенные в единицах kQT энергия электрона
в зоне проводимости и энергия Ферми, отсчитанные от дна зоны
проводимости Е.
Тогда, произведя подстановку, получим:
/ 2wndnk0T Л2 С в/2 de „ „ , . /о , с.
п = 2------та ~г= I п--------------= (п), (3.15)
\ h J К л ) ее-Т1 + 1 / v
о
где величина Nc выражается как
Кс = 2 (2nmL ШТ*, (3.16)
а интеграл Fl/2 (rj), называемый интегралом Ферми порядка 1/г,
есть:
оо
de.
(3-17)
При проведении различных статистических расчетов для яв-
лений, связанных с участием электронов зоны проводимости,
могут получаться интегралы типа (3.17), но с другими значениями
степени приведенной энергии 8 в числителе подынтегрального
выражения. Они образуют совокупность интегралов Ферми,
задаваемых формулой
оо
О
где Г (/ +1) — гамма-функция Эйлера.
Интегралы Ферми не вычисляются точно, однако существуют
таблицы значений важнейших интегралов Ферми. Имеются асимп-
тотические выражения для интегралов Ферми порядка х/2, кото-
рые упрощают вид формулы (3.15) для концентрации электронов:
(П) =
е11 для — оо < т) << — 1
е’’/(0,27е’1 + 1) для — «^<т]<5
4т],/г /3 V л для 5 < я < ОО
(3.19)
(3.20)
(3.21)
Принимая во внимание указанные в формулах (3.19)—(3.21)
пределы для приведенного уровня Ферми и учитывая условие
(3.14), можно сделать заключение, что формула (3.19) пригодна
для невырожденных полупроводников, а (^^Хлля^оддьн^рыро-
ждeнны2LчJlOлyпpo5OД^^шcoв.металлов. Формула (3.20) пред-
ставляет 'собой приближение Эренберга—Блекмора и пригодна
для расчетов как невырожденных полупроводников, где она
дает более высокую точность, чем формула (3.19), так и при слабом
84
вырождении. Относительная погрешность при аппроксима-
ции Fi/2 (п) выражениями- (3.19) и (3.20) представлена на
рис. 37.
Для концентрации электронов в зоне проводимости в не-
вырожденном полупроводнике в соответствии с формулой (3.1b)
и приближенной формулой (3.19) имеем:
п = NZ ^-F>IV
Формула (3.22) имеет наглядный физический смысл: экспонен-
циальный множитель соответствует функции распределения по
состояниям Максвелла—Больцмана, взятой в точке Е = Ес,
тогда величина Nc, имеющая значение
(3.16), представляет собой эффективное
число состояний в зоне проводимости,
приведенной к ее дну, т. е. к уров-
ню Ес.
Формулу (3.16) можно представить
в более удобном для расчетов виде:
Nc = 4,831 • 1015(/п^//По)3/2Т1/2.(3.23)
Оценка для Т 300 К и тап т
дает Nc & 2,5-1019 см"3. Число состоя-
ний зависит от эффективной массы и
температуры. В полупроводниках с не-
большой эффективной массой электро-
нов (например, в некоторых узкозонных
соединениях и ЛПВУ1) эффектив-
ное число состояний сравнительно не-
(3.22)
-4 -3-2-10 1 7
Рис. 37. Характер ошибки, воз-
никающей при аппроксимации
интеграла Ферми 6F (т)):
1 — по формуле (3.19) с по-
<п
мощью функции е ; 2 — по фор-
муле (3.20) с помощью формулы
Эренберга —Бекмора
велико. Тогда заполнение зоны проводимости быстро растет с
температурой, и полупроводник может стать вырожденным.
Для сильного вырождения (3.21) концентрация электронов
в зоне проводимости получается в виде:
4^/Г-£су/. 8п (2т*пу/‘
~ 3 / л \ k0T ) - 3 { № ) ~Lc) •
(3.24)
Видно, что при сильном вырождении концентрация перестает
зависеть от температуры (слабой зависимостью энергии Ферми от
температуры здесь можно пренебречь).
Графическая интерпретация формулы (3.12) для концентрации
электронов дана на рис. 38. В случае невырожденного полупро-
водника уровень Ферми лежит ниже дна зоны проводимости, по
крайней мере, на k0T. При вырождении уровень Ферми подни-
мается в зону проводимости на несколько k0T. Площади заштри-
хованных областей в зонах проводимости пропорциональны кон-
центрациям электронов. Видно, что полупроводник невырожден,
85
Рис. 38. Графическая интерпретация
выражения для концентрации элек-
тронов:
а — в случае невырожденного полу-
проводника n-типа; б — в случае вы-
рожденного полупроводника п-типа
когда концентрация электронов
в зоне проводимости невелика.
Для вычисления концентрации
•дырок р в валентной зоне можно
записать аналогично формуле
(3-2):
шах
р= J g(E)fp(E, T)dE
Ev mln
(3.25)
или, подставляя fp (Е, Т) из вы-
ражения (3.6) и g (£) для валент-
ной зоны из выражения (3.11) и
заменяя нижний предел на —оо,
а также учитывая быстрый спад функции распределения по со-
стояниям fp (Е, Т), получим
р = 4л С (3.26)
J е т 1
Используя подстановки (3.14) и вводя обозначения:
е = (Е — Ec)!k0T, = (Ес — E-^jk^T,
ер = (Ev — E)/k0T = — е — Ле, (3.27)
со
получим: р = Nv = N0Ft/2 (- Ле - П),
(3.28)
где = 2 (2nm^0T//i2y/2 . (3.29)
эффективное число состояний в валентной зоне, а интеграл Ферми
порядка одной второй имеет аргумент, определяемый энергией
Ферми, отсчитанной от потолка валентной зоны Ev в единицах
kQT:
др _____ —Ec-\-Ev— F + Ес _ Ev — F
П kjr - k0T •
Выражение (3.28) для концентрации дырок, как и следовало
ожидать из эквивалентности формализма для систем электронов
и дырок, аналогично выражению (3.15) для концентрации элек-
тронов в зоне проводимости.
Асимптотические выражения для интеграла Ферми Fi/z (—Де —
— q) = F1/2 l((£ —F)/kdT)] аналогичны соответствующим вы-
86
р ажениям для интеграла F1/2 (т]), приведенным в формулах (3.19)—
(3.21):
/71/2(— Ле — г]) =
е-дв-п для — оо < (— Ле — Т]Х — ।. (3.30)
-Де-т) У
- 0,27ехрНД.-,) + 1 "" -Л«-Ае-Ч)<5; (3.31)
—^=- (— Ле — т])’/2 для 5 < (— Ле — т]) < оо. (3.32)
ЗУ л
Таким образом для невырожденного полупроводника спра-
ведлива формула (3.30), и концентрация дырок в невырожденном
полупроводнике будет иметь вид:
р = = Nve~ (E^koT, (3.33)
из которого наглядно определяется смысл величины Nv как
эффективного числа состояний в валентной зоне, приведенной к ее
потолку. Для сильно вырожденного полупроводника будет спра-
ведливо выражение:
' D _ м 4 ( Ey — F V/2 _ 8л / 2rndp \ _ г\3/2 /о
Анализ этого выражения приводит нас к выводу, что при силь-
ном вырождении концентрация дырок становится большой и пере-
стает зависеть от температуры, как и концентрация электронов
(3.24) в случае сильного вырождения в зоне проводимости. Гра-
фическую интерпретацию выражения (3.25) для концентрации
дырок в валентной зоне невырожденного и вырожденного полу-
проводника можно получить аналогично графическому представ-
лению концентрации электронов в зоне проводимости (см. рис. 38).
3.4. КОНЦЕНТРАЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
В СОБСТВЕННОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ.
ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ УРОВНЯ ФЕРМИ
В собственном полупроводнике справедливо соотношение п =
= р = щ. Подставляя выражение для п по формуле (3.22) и вы-
ражение для р по формуле (3.33), имеем
пр п2< = NvNcf <E°~EMkoT = NvN^ElkaT. (3.35)
Значит, для собственной концентрации nf в невырожденном
полупроводнике справедлива формула
п = р = пГ-= VtWce-*EI2k°T. (3.36)
К этому же результату можно прийти, если в (3.22) или (3.33)
учесть положение уровня Ферми в собственном полупроводнике.
87
Концентрация электронов и дырок в собственном полупровод-
нике оказывается независимой от положения уровня Ферми и
растет с температурой по экспоненциальному закону с энергией
активации SEaKT = \Е12. Это понятно, если учесть, что энергия
ДЕ затрачивается на создание пары носителей: электрона и дырки,
а на каждый из носителей в этой паре приходится энергия, в два
раза меньшая.
Температурную зависимость уровня Ферми в собственном
полупроводнике можно найти, решая так называемое уравнение
электронейтральности, составляемое на основании условия элек-
тронейтральности единицы объема полупроводника. Условие
электронейтральности требует, чтобы концентрации отрицатель-
ных и положительных зарядов в единице объема были равны.
Для собственного полупроводника уравнение электроней-
тральности имеет очень простой вид: п = р.
Тогда для невырожденного полупроводника можно записать:
NcC~ (Ec~F)/k°T = Nve~ (F~Ev)/k°T. Логарифмируя обе части этого
равенства и вычисляя значение энергии Ферми, получим
F = Ес + Е„ Ml 1п . (3,37)
2 2 IV с
Если отсчитывать энергию Ферми от потолка валентной зоны, то
£ = £0+^+^1п^ = £г + ^-1п^-. (3.38)
Подставляя в формулу (3.38) значения Nv и Nc из уравнений
(3.29) и (3.16), получим
£ = £,- + 3/4^7 In (tndp/m'dn). (3.39)
Анализируя формулы (3.38) и (3.39), можно сделать заключе-
ние, что при Т = 0 уровень фррми в собственном полупроводнике
находится в середине запрещенной зоны, а с ростом температуры
движется к той зоне, в которой эффективное число состояний,
а значит, и эффективная масса для плотности состояний меньше.
График температурной зависимости уровня Ферми в собственном
невырожденном полупроводнике представлен на рис. 39. Заметим,
что здесь не учитывается температурная зависимость^ширины
запрещенной зоны. ’
В узкозонных полупроводниках с повышением температуры
уровень Ферми может приблизиться к дну зоны проводимости
(для соединений AinBv и AnBIV/n}n < m*dp) настолько, что фор-
мулы (3.38) и (3.39) станут несправедливы, так как полупроводник
будет вырожденным. Иллюстрация такого вырождения в собствен-
ном InSb с повышением температуры представлена на рис. 40.
Здесь за начало отсчета энергии принято дно зоны проводимости.
С повышением температуры ширина запрещенной зоны InSb
88
убывает по закону Л£ (0,26 — 2,7-10-47') эВ, а уровень
Ферми F приближается к дну зоны проводимости (расчет выполнен
для ttidp = 10/п5п), и при температуре ~400 К уровень Ферми
подходит к уровню Ес ближе чем на k^T. При этом нужно поль-
зоваться уравнением электронейтральности п = р, в которое
подставлены значения концентраций из формул (3.17) и (3.28).
При несильном вырождении пригодно приближение Эренберга—
Блекмора для интегралов Ферми (3.20) и (3.31).
Е. ------------£i
Еу /Ж Ev
7
Рис. 39. График зависимости уровня Фер-
ми от температуры в собственном полу-
проводнике для различных соотношений
эффективных масс по плотности состоя-
ний для электронов и дырок
200 300 400 500 BOOT,К
Рис. 40. Изменение ширины за-
прещенной зоны и положения уров-
ня Ферми (в единицах при-
изменении температуры в собствен
ном антимониде индия. Пунктирная
кривая — зависимость уровня Фер-
ми от температуры, отсчитанного
от дна зоны проводимости
Такой анализ, проведенный для InSb, показывает, что уже при
температурах Т 440 К уровень Ферми лежит внутри зоны про-
водимости. Быстрое температурное вырождение в области собствен-
ной проводимости связано в узкозонных полупроводниках с двумя
основными причинами: малой шириной запрещенной зоны и боль-
шим различием эффективных масс электронов и дырок, приводя-
щим к более быстрому повышению уровня Ферми с температурой.
Заметим, что для гипотетического полупроводника, у которого
эффективные массы для плотности состояний электронов и дырок
были бы равны, не наблюдалось бы температурной зависимости
уровня Ферми, и этот уровень при любой температуре нахо-
дился бы посередине запрещенной зоны.
3.5. НАХОЖДЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ
ПО ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ КОНЦЕНТРАЦИИ
НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
В СОБСТВЕННОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ
Для собственного невырожденного полупроводника известно вы-
ражение концентрации электронов и дырок (3.36). Если опреде-
лить экспериментально концентрацию электронов (или дырок)
в области собственной проводимости, например из измерений
89
эффекта Холла (см. раздел 1.3), то, представив ее температурную
зависимость в некоторых специально подобранных осях коорди-
нат, можно легко определить ширину запрещенной зоны полу-
проводника. Действительно:
In щ = In V \E/2kQT, (3.40)
и если учитывать только явную температурную зависимость, то
в координатах In = f (1/Т) уравнение (3.40) описывает прямую
Рис. 41. Температурная зависи-
мость концентрации носителей за-
ряда в собственном полупровод-
нике, представленная в коорди-
натах In п- = f (1/Т)
линию, отсекающую на оси ординат
отрезок In I/ NVNC и имеющую тан-
генс угла наклона к оси абсцисс,
равный —&El2k0. Такое построение
выполнено на рис. 41. Ширина за-
прещенной зоны может быть найдена
из условия: Д£ = —2£0 tg ф.
Как было замечено выше, в уравнении
(3.40) мы пренебрегли неявной зависимостью
концентрации щ от температуры. Учтем
теперь более строго полную температурную
зависимость щ (Т) в собственном полупро-
воднике. Во-первых, от температуры зависит
по закону Т3у/2 обе величины Nc и NVt во-
вторых, от температуры зависит ширина за-
прещенной зоны ДЕ = f (Т). Последняя
указывалось, сложным комплексом причин,
зависимость определяется, как
связанных с динамическими и статическими факторами. Учесть строго эти фак-
торы пока невозможно, поэтому такую зависимость ширины запрещенной зоны
от температуры находят эмпирически. Для
большинства полупроводников ширина
запрещенной зоны уменьшается с темпе-
ратурой. Зависимость ширины
ной зоны от температуры в
интервале температур имеет
характер:
ДЕ (Т) = ДЕ0 + аТ,
где ДЕ0 — экстраполированное
ному закону значение ширины запре-
щенной зоны при Т = 0; а — линейный
коэффициент в зависимости от ширины за-
прещенной зоны от температуры.
Пример такой температурной зависи-
мости с ее линеаризацией в интервале
температур 200 К показан на рис. 42
запрещен-
некотором
линейный
(3.41)
по линей-
для германия по данным оптических из-
мерений. Эта температурная зависимость
при 200 К может быть описана ли-
нейным законом: ДЕ (7) = (0,785 —
— 0,00047). Параметры этой линейной
зависимости ДЕ0 = 0,785 эВ и а = —4-10‘
ние ДЕ0 = 0,785 эВ не является шириной
ЛЕ(Т),эВ{
(0,785М)
0,76
ЛЕ(0)
(0,7Д6эВ)
0,72
ДЕ(Т) = ДЕ0+ссТ
0,68
0,6 4
О 100 200300 W0 500 Т, К
Рис. 42. Экспериментальная темпера-
турная зависимость ширины запрещен-
ной зоны германия (сплошная кривая)
и ее линейная экстраполяция (пунк-
тирная кривая)
4 эВ/К. Из рис. 42 ясно, что значе-
запрещенной зоны германия ни при
какой температуре, а есть лишь отрезок, отсекаемый на оси ординат при про-
долженной до значений Т = 0 линейной экстраполяции ДЕ.
Предположим теперь, что при анализе п (7) температурной зависимости
концентрации в некотором температурном интервале справедлив линейный
90
закон температурного изменения запрещенной зоны (3.41). Тогда, учитывая,
что
= 4,831 • 1015 (m;Xn/«o)’/4 Т'^,
для п (Г) можно записать:
п (Т) = 4,831 • 1О15(т;Хр/^)’/47’’/2е-(ЛЕ<’+“Г>/2*07' • (3-42)
Логарифмируя обе части этого выражения, поделенного на Т3^2, имеем:
In (n/T3/2) = In [4,831-10” _ a/2k^
Теперь отрезок, отсекаемый по оси ординат прямой линией In п = f (1/Т),
будет равен:
[In П]о = In {4,831 • 1015 J — a/2kQ, (3.43)
а тангенс угла наклона этой прямой к оси абсцисс составит: tg ф = —\Ej2kQ.
Тогда А£о = tg ф, а истинную ширину запрещенной зоны АЕ (Т) для
некоторой температуры Т (не меньше 200 К) можно найти, если с помощью соот-
ношения (3.43) при известных значениях mdn и mdp рассчитать величину коэф-
фициента в линейной зависимости изменения ширины запрещенной зоны с тем-
пературой а и подставить в формулу (3.41).
Проведенный анализ показывает, почему при расчете ширины
запрещенной зоны по упрощенной схеме, разобранной в начале
этого параграфа, можно получить значения ДЕ, отличающееся
от истинных. Следует заметить, что такой упрощенный метод
обработки данных температурной зависимости концентрации но-
сителей заряда в области собственной электропроводности дает
меньшую ошибку в полупроводниках со сравнительно большой
шириной запрещенной зоны.
3.6. СТАТИСТИКА ПРИМЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Введение донорных и акцепторных примесей в полупроводник
изменяет концентрацию носителей заряда, а значит, и положение
уровня Ферми. При анализе уравнения электронейтральности
в примесном полупроводнике следует учесть не только положи-
тельный и отрицательный заряд, связанный с подвижными носи-
телями заряда, как мы это делали для собственного полупровод-
ника, но и положительный и отрицательный заряд, обусловленный
и ионизированными донорными и акцепторными атомами. Тогда
уравнение электронейтральности в примесном полупроводнике,
в который введены доноры в концентрации Nd и акцепторы в кон-
центрации Na, будет иметь вид:
n + N^ = p + Nt, (3.44)
где Na и — концентрации ионизированных акцепторов и до-
норов соответственно.
Так как при ионизации атомы акцепторов принимают электроны, то N~ =па9
где па — концентрация электронов, занимающих акцепторные состояния в за-
прещенной зоне.
91
Аналогично для ионизированных доноров имеем: 2VJ = pd, где pd — кон-
центрация дырок, занимающих донорные состояния, так как формально переход
электронов с донорных уровней в зону проводимости при ионизации атомов
доноров эквивалентен переходу дырок из зоны проводимости на донорный уро-
вень.
Тогда уравнение (3.44) может быть записано в виде:
n + na = p + pd. (3.45)
Концентрацию неионизированных атомов примеси можно представить как:
№d = nd и №а = ра,
где N% и NQa — концентрации неионизированных атомов доноров и акцепторов;
nd и ра — концентрации электронов на донорных уровнях, а дырок на акцептор-
ных соответственно.
Очевидно, что Nd = №d+ Na= + №a. Тогда: nd + pd = Nd\
na 4“ Pa~ Na-
Уравнение электронейтральности теперь можно записать в дру-
гом виде;_____________________
^+nd—^-pa = Nd — Na. ] (3.46)
Таким образом, для решения уравнения электронейтральности
и нахождения положения уровня Ферми, а значит, и концентра-
ций электронов и дырок в примесном полупроводнике требуется
уметь находить концентрации nd и ра или pd и па электронов
и дырок, занимающих примесные состояния. Статистика примес-
ных состояний должна отличаться от статистики состояний в раз-
решенных зонах энергии. Действительно, по принципу Паули на
каждом энергетическом уровне может находиться два электрона
(или дырки) с противоположно направленными спинами, тогда как
примесный уровень для однократно ионизируемой примеси может
быть занят только одним электроном (или только одной дыркой),
потому что, принимая второй электрон (или вторую дырку), он
становится двукратно ионизированным и изменяет энергетиче-
ское положение в запрещенной зоне. Поэтому функция распреде-
ления по состояниям Ферми—Дирака становится несправедливой
для примесных состояний.
Для нахождения функции распределения по примесным со-
стояниям следует учесть, что система электронов или дырок на
примесных состояниях — это система с переменным числом ча-
стиц. Тогда, как это следует из статистической физики \ функция
распределения электронов по примесным состояниям может быть
записана в виде:
fn Т> - -г--------------------Г > (3-47)
[(!/«) ‘ >' ° +П
1 См., например: Левин Г. Ц. Введение в статистическую физику. М.: Гос-
техиздат, 1954, с. 320—323.
92
где Et —энергетическое положение примесного уровня; g—
фактор вырождения примесного уровня.
Обсудим физический смысл величины g. Примесный уровень
может принять только один электрон (или дырку), но принятый
электрон (или дырка) может занять состояние со спином +х/2 или
состояние со спином —х/2. Таким образом, состояние оказывается
двукратно вырожденным при учете спинового вырождения. Тогда
g-фактор для электронов на донорных состояниях или дырок на
акцепторных состояниях должен быть равен двум; g-фактор для
дырок на донорных состояниях или электронов на акцепторных
состояниях можно вычислить, воспользовавшись соотношениями,
аналогичными по форме уравнению (3.5): f* + fp = 1; f“ + fp = 1
(индексы and относятся к акцепторным и донорным состояниям),
g-факторы для дырок на донорных уровнях и электронов на
акцепторных уровнях будут равны 1/,/. В современной литературе
термин «фактор спинового вырождения» применяют или к вели-
чине g, или к величине g~x в зависимости от того, какая из них
больше единицы. Следует отметить, что, если учесть другие меха-
низмы вырождения примесных состояний, кроме спинового, зна-
чения g-фактора могут получиться больше двух. Например, если
примесное состояние отщепляется от разрешенной зоны сложной
энергетической структуры, то вырождение состояний в экстре-
мальных точках разрешенной зоны переносится и на примесное
состояние. Было показано, что акцепторные состояния, получен-
ные при введении в полупроводник IV группы (Ge, Si) атомов
примеси III группы, будут иметь фактор вырождения, равный 4,
так как на спиновое вырождение накладывается двукратное
вырождение экстремума валентной зоны при k = 0. Для много-
валентных примесных центров, которые при последовательной
ионизации отдают или принимают электроны в каждом зарядо-
вом состоянии, дающем свой уровень в запрещенной зоне, имеются
свои значения факторов вырождения.
Для подсчета величин nd, nat pd и ра нужно, помимо функции
распределения, знать функцию плотности примесных состояний.
Число состояний с энергией Ed в единице объема кристалла
будет равно концентрации атомов доноров Nd, а для состояний
Еа — концентрации Na. Тогда:
м л г Nd ,, Л м fa
— Ndf n — Ei—F Pa — Naf p — >
1 _“___ 1 ----—
1 - fe-T 11 1 fe.T I 1
Pd Nd tld F~~Ed W Па Na Pa Ea~'F
2e koT +1 2e koT +1
93
Подставляя в уравнение электронейтральности (3.46) значения
/г, р, ndy раУ получим общее уравнение для нахождения уровня
Ферми в примесном полупроводнике;_________________
i ( CkoT ) Н j (Ej-pyk'T — ( k<)TV ) +
I о e “Г 1
Для невырожденного полупроводника можно заменить ин-
тегралы Ферми асимптотическими выражениями:
(Ec-F) \
kQT )
Ec-F
k0T
—^)=е k°T
«о* /
= е
И ^/2 (
Математический анализ уравнения (3.48) в этом случае сущест-
венно упрощается, так как интегралы Ферми переходят в экспо-
ненты согласно формулам (3.19) и (3.27), но все-таки остаются
достаточно сложными из-за двух типов примеси. Поэтому вначале
разберем решение уравнения электронейтральности для невы-
рожденного примесного полупроводника с примесью одного типа.
3.7. КОНЦЕНТРАЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
И ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ УРОВНЯ ФЕРМИ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ С ОДНИМ ТИПОМ ПРИМЕСИ
Уравнение электронейтральности (3.46) в этом случае имеет вид:
n-\-nd — p = Nd. (3.49)
Число членов в формуле (3.49) можно уменьшить, переписав
уравнение в виде: п = р + Pd (3.50).
Последнее уравнение имеет наглядный физический смысл.
Электроны в зоне проводимости появляются за счет собственной
ионизации (одновременно в валентной зоне появляется равная
концентрация дырок) и примесной ионизации (одновременно на
донорных уровнях остается равная концентрация связанных ды-
рок). Ясно, что при постепенном повышении температуры от
Т = 0 сначала будут преимущественно ионизироваться атомы
примеси, а при более высоких температурах начнется собственная
ионизация. Так как \Ed < ДЕ, то при низких температурах соб-
ственной ионизацией можно пренебречь. Тогда уравнение электро-
нейтральности можно представить в виде: п = р@\
Если полупроводник невырожденный, то имеем: п —
= Nce-(E~F)/k«T = Nd/^e(F-F^T+ 1Л
94
Вводя обычные безразмерные величины энергии и обозначая
дополнительно величину (Ес — Ed)/k0T = получим
n = Ndl(geed+"+ 1). (3.51)
Заменяя в правой части на n/Nc согласно уравнениям (3.19)
и (3.22), получим квадратное уравнение относительно п:
п[ё-^-ее<* + lj = Nd. Его решение имеет вид:
п = (g-ltfZ8<</2) {11 + 4gNdN7lee“]'/2 - 1 )• (3.52)
Уравнение (3.52) с учетом формулы (3.51) можно представить
как
п =----- 2Nd (3.53)
1+У 1+(4е^с)ее</
Если рассматривать область низких температур, когда выпол-
няется условие
1, Г /сЁЛ (3.54)
1f NcNd ~ (^Ed/2koT)
то п = I/ ——-е
Условия (3.54) означают, что при низких температурах коли-
чество электронов в зоне проводимости очень мало по сравнению
с Nс. Видно, что в области примесной ионизации энергия терми-
ческой активации процесса ионизации равна &Edl2. Следовательно,
уровень Ферми при низких температурах находится посередине
интервала энергий между Ес и Ed. Действительно, подставляя
выражение (3.54) в формулу (3.22), имеем:
EC~F ___ E-Ed F ___ Ec+Ed
Nce -^y^de 2k°T Hek°T = y$-e 2kT ;
тогда F = -Ec In или
£ = £с-^ + -^1пЖ (3.55)
Таким образом, уровень Ферми при Т = 0 совпадает с середи-
ной интервала между Ес и Ed, а с повышением температуры сна-
чала приближается к Ес (пока Nc < Ng/g), проходит через мак-
симум и~удаляется от Ес (когда Nc >Nd/g).
Если" рассмотреть в формуле (3.53) интервал более высоких
температур, когда выполняется критерий
4gN/d/Nc^ 1 (3.56), то п = Nd (3.57).
В этом температурном интервале концентрация электронов
в зоне проводимости не зависит от температуры и равна Ndi
95
Что соответствует области истощения^донорной примеси. В этой
области температурную зависимость уровня Ферми можно уста-
новить, подставляя формулу (3.57) в уравнение (3.22)
F - Ес = k0T In (n/Nc) = kQT In (Nd/Nc),
тогда F = Ec — kQT In (Nc/Nd).
Таким образом, уровень Ферми с ростом температуры в области
истощения донорной примеси опускается от Ес вниз.
Выполнение критерия (3.56) приводит к появлению области
истощения донорной примеси и постоянству концентрации элект-
ронов п = Nd. Однако при высоких концентрациях примеси Nd
или относительно больших энергиях ионизации AEd этот крите-
рий будет выполняться только при довольно высоких темпера-
турах, когда уже интенсивно идет процесс собственной ионизации.
Тогда область истощения донорной примеси не будет заметна
на кривой температурной зависимости концентрации электронов
и не будет температурного интервала с постоянной концентрацией
электронов.
Рассматривая уравнение электронейтральности (3.50) в области
низких температур, мы пренебрегли концентрацией дырок в ва-
лентной зоне по сравнению с величиной pd. С повышением темпе-
ратуры, очевидно, собственная ионизация будет преобладать
над примесной, т. е. р pd. Тогда уравнение (3.50) переходит
в уже известное нам уравнение п = р для собственной проводи-
мости, из которого следует температурная зависимость п (Т)
в виде (3.36) и температурная зависимость уровня Ферми в виде
(3.37).
Объединяя результаты проведенного анализа, можно проил-
люстрировать температурную зависимость концентрации в при-
месном полупроводнике с одним типом донорной примеси кривыми
(рис. 43) для двух различных концентраций донорной примеси
Ndl >Nd2.
Из экспериментальных данных по температурной зависимости
концентрации электронов п (Т) в области примесной электро-
проводности можно найти энергию ионизации донорной примеси
по наклону кривой п (Т) в области /.
Действительно, в области /:
1пп= и \Ed = -2k0tS(fl. (3.58)
Это определение AEd может привести к некоторой ошибке,
если AEd > 2kQIT. В этом случае необходимо учитывать не явную
температурную зависимость, связанную с Nc. Тогда эксперимен-
тальные данные лучше построить в осях In (n/T3/4) = f (1/Т).
Тангенс угла наклона полученной таким образом прямой к оси
абсцисс точнее определяет AEd при подстановке в формулу (3.58),
чем при анализе температурной зависимости концентрации в осях
Inn = f (1/Т).
96
Температурная зависимость уровня Ферми для полупроводника
с донорной примесью одного типа показаны на рис. 44, а.
С повышением концентрации доноров уровень Ферми распола-
гается ближе к зоне проводимости, что объясняется увеличением
концентрации электронов и ростом заполнения зоны проводи-
мости. Из рис. 43 видно, что с повышением концентрации примеси
область истощения примеси начинается при более высоких тем-
пературах.
Температурный интервал области истощения при этом умень
шается, и она при больших концентрациях примеси может пере-
стать наблюдаться. Тогда об-
ласть примесной ионизации бу-
дет непрерывно переходить в
область собственной ионизации.
Рис. 44. Температурная зависимость
уровня Ферми в полупроводнике с од-
ним типом донорной примеси (а) и
одним типом акцепторной примеси (о)
для двух различных ее концентраций.
Пунктиром показан ход зависимости
уровня Ферми в нелегированном полу-
проводнике
Рис. 43. Зависимость1 концентрации
электронов в зоне проводимости в функ-
ции от обратной температуры для двух
различных концентраций донорной
примеси, N > N •
Ui О2
I — область возрастания примесной
электропроводности; // — область ис-
тощения примеси; III — область соб-
ственной электропроводности
Наклон участка / зависимости In п = f (1/Т) с ростом концент-
рации примеси не изменяется, так как он определяется той же вели-
чиной ДЕ^, пока концентрация примеси невелика. При
очень больших концентрациях примеси величина \Ed может
уменьшаться, как это показано экспериментально для ряда по-
лупроводников. Все приведенные рассуждения относительно тем-
пературной зависимости концентрации и уровня Ферми в донор-
ном полупроводнике можно применить для полупроводника с
акцепторной примесью одного типа.
Очевидно, что вид зависимости In р = f (1/Т) аналогичен
приведенному на рис. 43 с заменой \Ed на АЕа и Nd на Na соот-
ветственно. Температурная зависимость уровня Ферми в акцеп-
торном полупроводнике с одним типом акцепторов не будет вы-
глядеть симметричной относительно уровня Et вследствие оди-
накового поведения кривой F (Т) для донорного и акцепторного
полупроводника в области собственной электропроводности. За-
висимость F (Т) для двух значений концентрации NOl > Na2
показана на рис. 44, б.
4 Горбачев В. В., Спицына Л. Г.
97
3.8. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ КОНЦЕНТРАЦИИ
НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА И УРОВНЯ ФЕРМИ
В РЕАЛЬНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Рассмотренный выше случай полупроводника с одним типом
примеси (или только донорной, или только акцепторной) весьма
идеализирован по отношению к реальным полупроводникам, в ко-
торых присутствуют и донорные, и акцепторные примеси одно-
временно.
Специальные методы очистки могут уменьшить концентрацию
нежелательных примесей, однако исключить эти примеси пол-
ностью невозможно.
При совместном присутствии донорных и акцепторных приме-
сей в полупроводнике возникает явление компенсации примесей,
изменяющее поведение носителей заряда в области примесной
электропроводности по сравнению со случаем одного типа примеси.
Явление взаимной компенсации доноров и акцепторов состоит
в следующем. Если энергетические состояния акцепторов Еа ле-
жат в запрещенной зоне ниже энергетических состояний доноров
Ed (такая ситуация чаще всего и реализуется для легирующих
примесей в полупроводниках), то для ионизации донорных атомов
не требуется сообщить им энергию \Ed = Ес — Ed. Так как
ниже заполненного электронами уровня Ed нейтральных доноров
лежит свободный от электронов уровень Еа нейтральных акцеп-
торов, то уже при Т = 0 электроны перейдут с донорных уровней
на нижележащие акцепторные. Очевидно, что если > Na,
то все акцепторы будут ионизированы полностью, а доноры лишьГ
частично. Концентрация неионизированных доноров А/^ = Nd —
— Na будет играть роль эффективной кпнцрнд-ряпии лонорок
В процессе термической примесной ионизации только эти Nd
доноров смогут поставлять электроны в зону проводимости. Ак-
цепторы же, будучи уже полностью ионизированными, не смогут
отдавать дырки в валентную зону. В таком случае говорят о пол-
ной компенсации акцепторов и частичной компенсации доноров,
и такой полупроводник являетсякомпенсированным до-
норным полупроводником. Если Na >> Nd, то произойдет полная
компенсация доноров и частичная компенсация акцепторов, и
полупроводник будет являться частично компенсированным ак-
цепторным полупроводником. При Nd = Na будет полная компен-
сация как доноров, так и акцепторов, и такой полупроводник
будет полностью компенсированным полупроводником. Термическая
ионизация примесей в полностью компенсированном полупровод-
нике при сообщении атомам примеси энергии &Ed или \Еа будет
уже невозможна.
Концентрация свободных носителей заряда, т. е. электронов
и дырок в зоне проводимости и валентной зоне соответственно,
может возрастать за счет собственной ионизации или путем терми-
ческих перебросов электродов с заполненных уровней акцепторов
98
в зону проводимости или из валентной зоны на свободные уровни
доноров. Последние два процесса по энергии активации близки
к процессу собственной ионизации, так как для легирующих
примесей поэтому по величине концентрации сво-
бодных носителей заряда полностью компенсированные полупро-
водники близки к собственным при тех же температурах. Заметим,
однако, что подвижности носителей заряда в полностью компенси-
рованном полупроводнике будут значительно ниже, чем в соб-
ственном, за счет дополнительного рассеяния носителей на заря-
женных ионах доноров и акцепторов. Следовательно, более вы-
сощае-удельное сопротивление полупроводника еше не^саидетель-
ствует оболеё^ысикой степени очистки его от примесей.
Рассмотрим явление компенсации примесей в полупроводниках
на наиболее простой модели полупроводника с одним типом доно-
ров с концентрацией Nd и энергетическим положением уровней
в запрещенной зоне Ed и одним типом акцепторов с концентрацией
Na и энергетическим положением уровней Еа. Запишем уравне-
ние электронейтральности, воспользовавшись формой его записи
в виде (3.46). Если предположить, что Nd >> Na (случай частично
компенсированного донорного полупроводника), то в уравнении
(3.46) член ра =_0дЛак как акцепторы полностью компенсированы
и нейтральных атомов акцепторов нет. Предположим также, что
рассматривается температурный диапазон, где собственная иони-
зация мала, т. е. участок примесной проводимости. "Тогда р
< п, nd, Ndl__Ng и можно пренебречь концентрацией дырок р.
Уравнение (3.46) примет вид
п + = ~ или, так как Nd — nd = pdi
n + Na = pd. (3.59)
Проанализируем это уравнение для невырожденного полу-
проводника, когда для концентрации электронов п можно восполь-
зоваться выражением (3.22). Используя значение pd и заменяя
множитель 2 перед экспонентой в знаменателе более общим обоз-
начением g, получим
Nce~ + Va = Ndi[ge^~E^T + 1]. (3.60)
Вводя безразмерные энергии, как мы это делали для энергии
Ферми д== (Ес — F)/kQT, получим
Т] = In {{2g-1 М - МЛ/[(g'4 + Nae‘d) +
+ (g-Ч + KaeEd) + 4g-1 (Nd - Na) e8d],/2}.
Приведенное выражение сложно, и мы будем рассматривать
его в сравнении с более частными выражениями для определен-
ных температурных диапазонов. Величину т] можно найти из
выражения т] = In п !NC на основании формулы (3.22). Решая
4*
99
уравнение* (3.60) относительно концентрации электронов п, по-
лучим
n = 2(Nd- ЛГа)|{[1 + (gNa/Nc)eed] + {[1 + (gN0/Nc)ed]2 +
+ (4g/Nc)(Nd-Na)eed}'/1}. (3.61)
Если концентрация компенсирующих центров Na стремится
к нулю, то формула (3.61) переходит в выражение (3.53) для кон-
центрации электронов в чисто донорном полупроводнике.'Сравним
теперь выражения (3.53) и (3.61). При высоких температурах
когда все примеси ионизированы согласйТГ (3.53), п = Nd,' а когда
используется выражение (3.61), п = Nd — Na = N’d, что соот-
ветствует истощению донорной примеси в первом случае и исто-
щению эффективной ионизации доноров во втором. По мере пони-
жения температуры произведения (4glNc) (Nd — Na) ee<1, и
(gNa/Nc) ее</ в формуле (3.61) сначала сравнимы с единицей, а
затем становятся больше единицы. Если степень компенсации
очень низкая, т. е. Na Nd, то можно найти такую область тем-
ператур, где Na п Nd, значит, будет выполняться соотно-
шение (gNJNc) ее<1 < 1 [4 (Nd —Na)/Nc] ee<t. Тогда тем-
пературная зависимость кпнпонтряпии апрктронов в этом диапазоне-*
температур будет определяться соотношением п — [g~1Nt (Nd —
— л/je Ч‘/:г Для Na -С п Nd или, переходя от безразмерных
обозначений энергии к обьнщ.ым, получим v
_________________/ ,у
fT = Nc(Nd^Nq) - У'/для Na^n^Nd, - (3.62)
что аналогично выражению (3.%) для концентрации электронов
в чисто донорном полупроводнике при замене величины на
—При дальнейшем понижении температуры величина д должна
уменьшаться до .значений, близких к Ма, а затем стать еще меньше.
Тогда в' знаменателе-выражении (3.61) начнут преобладать оба
члена вида (gNaINc) ee<t и при достаточно низких температурах:
п — (Vj —MAIN-, 1 е-8<* или в обычных обозначениях
энергии:^, --
n=Nc (Nd~ Na) e~ ^Еа/ко1">; '"n Nd. (3.63)
Сравнивая выражения (3.63) и (3.62), видим, что дри. низких •
темп^рахурахдля компенсированного полупроводника величина
In п мРняетгТ’в заййсИМОС'1 и ит 1/Г в два^раза быстпее^-так-жак
для! области, определяемой формулой (3^63), тангенс угла на-,
клона линейного участка 1 n оси абсцисс равен
— А £ .
100
Переходная область от выражения (3.63) к формуле (3.62) соответствует
достижению соотношения п ~ Na. При более высокой степени компенсации,
т. е. при более высоких значениях Na, область температур, описываемая зависи-
мостью (3.62), исчезает. Теперь от наклона, определяемого величиной kEdl2k^
мы перейдем к участку истощения эффективной концентрации донорной при-
меси, где п= Nd — Na не будет зависеть от температуры. На рис. 45 приведена
температурная зависимость- концентрации электронов для различной степени
компенсации донорных примесей при сохранении одинаковой эффективной кон-
центрации доноров N'd = Nd — Na. На рис. 46 даны температурные зависимости
уровня Ферми для области примесной электропроводности при концентрациях,
соответствующих рис. 45.
Кривые / на рис. 45 и 46 соответствуют чисто донорному полупроводнику,
и поэтому наклон в области примесной ионизации на рис. 45 определяется урав-
Рис. 45. Температурная зависи-
мость концентрации электронов в
донорном полупроводнике с раз-
личными степенями компенсации
доноров. Все кривые рассчитаны
для Nd — Nа = Ю1в см~3, =
= 0,01 эВ; т* = 0,25/по:
/ — Na = 0; 2 — Na = 1014 см~3;
3 — N = 101в см~3
нением (3.58). Кривые 2 и 3 соответствуют
частично компенсированным полупроводни-
кам. Для образца, характеризуемого кри-
вой 2, степень компенсации невысока, и в
области примесной ионизации на рис. 45
(Р-£с),эВ
О 10 20 30 4/7 50 60 70 Т,К
Рис. 46. Температурная зависимость уров-
ня Ферми в донорном полупроводнике
с различными степенями компенсации до-
норов. Обозначения соответствуют рис. 45
можно выделить два участка с различны-
ми наклонами, где tg = —^Ed/k^ при
низких температурах и tg q>j = —bEdlZk^
при некотором повышении температуры.
При достаточно высокой степени компен-
сации (кривая 3) область с наклоном, определяемым —kEdlZk^ практически
исчезает. Поведение кривых 2 и 3 на рис. 46 в области низких температур
определяется выражением —.
F = ЕС — \Ed — In [gNa/(Nd — Ng)]t
(3.64)
которое получается подстановкой уравнения (3.63) в формулу (3.22k
При анализе формулы (3.64) видно, что при Nd> Ndl(\ 4- g) уровень
Ферми понижается от Ed (кривая 3)у а при Na < jV^/(l + g) уровень Ферми
повышается от величины Ed (кривая 2). Заметно, что даже весьма малая добавка
компенсирующей примеси заставляет уровень Ферми при Т = 0 переместиться
из точки Ес — Ес — &Ed- Поведение койцентрации носителей
в частично компенсированном полупроводнике в области собственной проводи-
мости, очевидно, аналогично поведению чисто донорного полупроводника с одним
типом доноров. Весь анализ, проведенный нами для частично компенсированного
донорного полупроводника, можно совершенно аналогично провести для ча-
стично компенсированного акцепторного полупроводника с той разницей, что
101
величины Е^ и Nc перейдут в Еа и Nv, а величины (Nd — Na) и Nd перейдут
в (Na — Nd) и Na соответственно. Кроме этого, при вычислениях необходимо
учесть другое значение g-фактора для распределения электронов по акцепторным
состояниям в сравнении с распределением по донорным уровням.
При анализе температурной зависимости концентрации ре-
альных примесных полупроводников, помимо явления возможной
компенсации примесей, следует учитывать еще некоторые особен-
ности.
Рассматривая энергетическую диаграмму примесного полу-
проводника, мы считали, что доноры дают только один уровень
в запрещенной зоне Edi а акцепторы — Еа. Однако для примес-
ных состояний, помимо основного состояния, которое мы харак-
теризовали значением энергии Ed (Еа), существуют возбужденные
состояния. Например, для мелких водородоподобных примес-
ных состояний, модельные представления которых рассмотрены
ранее, показано существование водородоподобной серии возбу-
жденных состояний с соотношением энергии как 1/и2 (где и —
главное квантовое число).
При низких температурах электроны занимают лежащее
ниже основное состояние Edt а с ростом температуры они могут
распределяться по возбужденным примесным состояниям, что
должно отразиться на изменении концентрации свободных носи-
телей в зоне проводимости с повышением температуры, так как
возбужденные состояния имеют другие энергии активации и
другие значения g-фактора. Вклад переходов с возбужденных со-
стояний примеси в зону проводимости может изменить темпера-
турную зависимость концентрации на участке, описываемом фор-
мулой (3.63), т. е. при^более высоких температурах, когда боль-
шее число донорных электронов будет распределяться по возбу-
жденным состояниям. Если учесть вклад возбужденных состояний
в температурную зависимость концентрации носителей заряда
в области примесной проводимости, величина концентрации сво-
бодных носителей несколько уменьшится. Без учета этого фактора
при определении по зависимости и (71) значений &Ed и g-фактора
будет допускаться некоторая систематическая ошибка. Однако
здесь мы не будем останавливаться подробнее на учете вклада
возбужденных примесных состояний, так же как и на других фак-
торах, влияющих на температурную зависимость концентрации
носителей заряда (расщепление основного состояния примеси
в поле кристалла, влияние давления и внешних полей и т. п.).
К отклонению вида зависимости л (Т) в области примесной электро-
проводности выражений (3.62) и (3.63) может привести также учет
процессов ионизации других донорных уровней, если их энергети-
ческое положение близко к данному уровню Ed. Если уровни
энергии нескольких различных доноров лежат достаточно далеко
один от другого в запрещенной зоне, то на кривой температурной
зависимости п (Т) в области примесной электропроводности будет
несколько горизонтальных участков в виде ступеней (рис. 47).
102
В этом случае переходы в зону проводи-
мости с уровня Eat к моменту начала
переходов с уровня Ed2 уже закончи-
лись, и вклады переходов с различных
уровней можно легко разделить. Если
уровни различных примесей расположе-
ны близко один от другого, то^такое
разделение невозможно. gg
3.9. ВЫРОЖДЕННЫЕ ПРИМЕСНЫЕ
ПОЛУПРОВОДНИКИ
При анализе температурной зависимос-
ти уровня Ферми как в чисто донорном,
так и в частично компенсированном
полупроводнике, проведенном в двух
Рис. 47. У. Температурные зави-
симости концентрации электро-
нов (а) и уровня Ферми (6) в
донорном полупроводнике с дву-
мя типами донорной примеси
при частичной компенсации до-
норов с энергетическим уров-
нем Ed
предыдущих разделах, мы пользовались
формулами для невырожденного полупроводника. Однако мы ви-
дели, что при повышении концентрации доноров в чисто донорном
полупроводнике Nd или эффективной их концентрации Nd — Na
в компенсированном полупроводнике уровень Ферми тем ближе
подходит ко дну зоны проводимости, чем больше концентрация Nd
или (Nd — Na). Для некоторой концентрации примеси критерий
невырожденного полупроводника Ес — F k0T может не выпол-
няться, и полупроводник становится вырожденным. Тогда при
решении уравнения электронейтральности нужно использовать
выражения для концентрации носителей через интегралы Ферми
(3.43) и (3.55). Проделанный таким образом расчет показывает,
что с ростом концентрации примеси уровень Ферми, действитель-
но, может приблизиться к зоне проводимости ближе чем на kQT
и даже зайти в зону проводимости. Проанализируем, от каких
факторов, кроме концентрации примеси, зависит наступление вы-
рождения электронов в зоне проводимости на основе модели полу-
проводника с одним типом одновалентных доноров. Зависимость
уровня Ферми от температуры (3.55), полученная нами для этого
случая ранее, приводит к выводу, что величина F (Т) проходит
через максимум при некоторой температуре. Обозначим эту тем-
пературу Ттах, а соответствующее ей значение F (Tmax) = Fmax.
Дифференцируя уравнение (3.55) по температуре и приравнивая
нулю производную, найдем условие максимума:
dT ~ 2 ш gNc 2 gNc Nd dT
откуда In (Nd/gNc) — (T/Nc) (dNjdT) = 0. Учитывая, что
dNc/dT = 3NJ2T, получим условие экстремума в виде:
In (NdlgNc) = 3/2; Nc |ттах = Nd/ge^,
которое с учетом формулы (3.23) может быть для температуры Ттах
представлено в виде:
Ттах = 8,15 (mlmdn) . (3.65)
Отметим, что температура Ттах растет с концентрацией приме-
СИ.
Подставляя выражение (3.65) для Ттах
температурной зависимости уровня Ферми, получим
ние Fmax в виде
р ________ Ed
г шах — 2
в формулу (3.55) для
значе-
Н 4“ ^О^тах
I fepT’max in___Nd __ Ec-\- Ed
f 2 gNc(Tm^) ~ 2
Ec+Ed + 5,3- io-4 (4M (»2/a
(3.66)
Здесь энергия Fmax выражена в электрон-вольтах. Так
чение Fmax
Рис. 48. Относительная по-
грешность, возникающая
при замене функции рас-
пределения Ферми—Дирака
распределением Максвел-
ла-Больцмана:
6^ — погрешность функции
распределения; — по-
грешность концентрации
носителей заряда
как зна-
оказалось^линейно связанным со значением Ттах,
то влияние концентрации примеси Nd и
эффективной массы для плотности состоя-
ний на Fmax аналогично влиянию этих же
величин на Ттах. Величины Fmax и Ттах
тем больше, чем выше концентрация при-
меси Nd и чем меньше эффективная мас-
са mdn электронов в зоне проводимости.
Назовем критической концентраций
вырождения Nd (Крит) величину концент-
рации примеси, для которой уровень Фер-
ми совпадает с дном зоны проводимости Ес.
Оценим ошибку при вычислении критиче-
ской концентрации вырождения Nd (крит) с
помощью формулы (3.66), справедливой,
строго говоря, только для невырожденно-
го полупроводника. Расчет показывает,
что если уровень Ферми совпадает с дном
зоны проводимости Ес, то относительная
ошибка в определении по формулам для не-
вырожденного полупроводника составляет ~2 % (рис. 48). На
рис. 48 приведена зависимость величины указанной ошибки 6П
от значения приведенной энергии Ферми т] = (Ес — F)/kQT. Для
сравнения здесь же дана относительная ошибка 6; в приближен-
ном определении функции распределения по энергиям при замене
функции Ферми—Дирака на функцию Максвелла—Больцмана.
Считая, что ошибка в определении критической концентрации
вырождения также составит величину —20 %, используем фор-
мулу (3.66), подставив в нее значение fmax = Ес для нахождения
Nd (крит) . Тогда получим
Fmax = Ес = (Ес + £d)|2 + 5,3-1 (Г4 [tn (Nd (крит)10,8)2/>.
(3.67)
104
Откуда выведем значение критической концентрации с точ-
ностью порядка 20 % ъ виде:
Nd (Крит) (см-3) = 1022’5 [Д£а (эВ)]3/2.
(3.68)
в узкозонных
Рис. 49. Функция плотности
СОСТОЯНИЙ В ЧИСТОМ go (£)
и сильно легированном g^E)
полупроводниках
Из формулы (3.68) видно, что критическая концентрация вы-
рождения чувствительна к эффективной массе и энергии иониза-
ции примеси. Оценка Nd (крит) для = 0,3/п и &Ed = 0,03 эВ
дает значение Nd (крит) ~21019 см"3. При уменьшении^величин
т^п до 0,001/п и &Ed до 0,0001 эВ получается для Nd (критГ оценка,
примерно равная 1012см"3. Последнее оценочное значение соответ-
ствует критической концентрации вырождения
полупроводниках ЛП1ВУ.
* Зависимость концентрации вырождения
от эффективной массы носителей заряда
можно ’качественно объяснить путем сле-
дующих рассуждений. С повышением кон-
центрации примеси растет концентрация
свободных носителей заряда при темпе-
ратуре Ттах. Если эффективная масса для
плотности состояний невелика, то мала и
плотность состояний в зоне проводимости.
Зона с малой плотностью состояний быст-
рее заполняется свободными электронами,
и вырождение наступает при меньших кон-
центрациях примеси.
Однако термин «вырождение» здесь применяется в связи с выбором расчет-
ных формул для вычисления концентрации носителей заряда и положения уровня
Ферми. Для сильно вырожденного электронного газа концентрация электронов
в зоне проводимости перестает зависеть от температуры. Но расчет, проведенный
по формулам, аппроксимирующим интегралы Ферми для сильного вырождения
(3.21) и (3.32), дает столь большие концентрации примеси, что теряет физический
смысл введение самого понятия «энергетический уровень примесного состояния».
Например, для германия, начиная с концентрации доноров ~1018, эффект экра-
нирования свободными носителями кулоновского взаимодействия между при-
месными электронами и ионами примеси приводит к исчезновению примесных
уровней. В этих условиях следует говорить не о возникающей благодаря пере-
крытию примесных волновых функций примесной зоне, а об образовании в за-
прещенной зоне области значений энергии, для которой функция плотности со-
стояний g (Е) отлична от нуля.
Большой вклад в современную теорию примесных состояний внес В. Л. Бонч-
Бруевич, решив методом функций Грина трехмерную задачу о хаотическом рас-
пределении примеси для предельно высоких концентраций. Было показано, что
при высокой концентрации примеси плотность состояний отлична от нуля во всей
запрещенной зоне. Вблизи уровня Ферми она мало отличается от функции плот-
ности состояний идеального Ферми-газа, но в окрестности экстремальных точек
разрешенных зон она изменяется существенно, быстро убывая с уменьшением
энергии в глубь запрещенной зоны.
На рис. 49 показано возникновение «хвоста» функции плотности состояний
gn (Е) при сильном легировании. Для сравнения приведена функция gQ (Е) не-
легированного полупроводника. Однако явный вид функции £л (Е) в глубине
запрещенной зоны установить трудно, так как он сильно зависит от выбранного
вида потенциала взаимодействия электронов с ионами примеси.
105
Методика исследования вольтамперной характеристики туннельного диода
позволяет экспериментально определить вид «хвоста» функции плотности со-
стояний.
Уменьшение энергии ионизации примесей и ширины запрещенной зоны при
больших уровнях легирования было установлено экспериментально для значи-
тельного числа полупроводников. Однако удовлетворительная теоретическая
интерпретация экспериментальных данных такого рода пока еще не-достигнута.
ГЛАВА 4. ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИ-
КАХ, СОДЕРЖАЩИХ
ИЗБЫТОЧНЫЕ НОСИТЕЛИ
ЗАРЯДА
4.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕРАВНОВЕСНОГО
СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Если полупроводник находится в состоянии термодинамического
равновесия, то соответствующая этому концентрация носителей
заряда называется равновесной. Будем далее обозначать п0 —
равновесную концентрацию электронов, a pQ — равновесную кон-
центрацию дырок. Как указывалось в главе 3, распределение по
состояниям равновесных электронов и дырок описывается функ-
цией Ферми—Дирака (3.1), которую мы будем обозначать /0 (£, Т)
и называть равновесной функцией распределения по состояниям.
Энергия Ферми F является нормировочным параметром равновес-
ной функции fQ (£, Т), определяемым значением концентрации
как электронов, так и дырок и характеризующим всю систему
электронов и дырок в целом.
Как известно, различные внешние воздействия (внешние элек-
трические и магнитные поля, давление, облучение светом или
частицами высоких энергий и т. п.), нарушают термодинамическое
равновесие полупроводника. Нарушение термодинамического рав-
новесия не обязательно изменяет равновесное значение концентра-
ции носителей заряда. Например, при протекании не слишком,
большого электрического тока через однородный полупроводник
концентрация носителей заряда в нем не изменяется по сравнению'
с равновесной величиной. Однако распределение носителей за-
ряда в полупроводнике при протекании в нем электрического тока
будет отличаться от рановесного распределения по энергиям,
задаваемого функцией fQ (Е, Т). Обозначим концентрацию не-
равновесных электронов через п и неравновесных дырок через р.
Тогда величины Д/г и Др, задаваемые как
Ди = ц — п0; ДР = Р — Ро, (4.1)
106
будут, являться избыточными концентрациями эде&пуюнов и
дырок.
Очевидно, при Ди, Др >0 неравновесная концентрация боль-
ше равновесной, а при Д/г, Др <0 — меньше равновесной. Про-
цесс,. приводяцкий_кррявлениюсвободных электронов или дырок,
или_~тех или других носителей одновременно, называется процессом
генерации ^носителей заряда, а обратный процесс, приводящий
к исчезновению пары свобрднь1Х_электрона и дырки, — процессом
рекомбиназа^ носителей „заряда
В процессе генерации для создания свободных носителей за-
ряда должна быть затрачена некоторая энергия. Например^ для
генерации электроннно-дырочной пары в собственном полупровод-
нике должна быть затрачена энергия не меньше ширины запре-
щенной зоны ДЕ. В обратном процессе — рекомбинации носителей
заряда — должна выделяться энергия, величина которой также
не меньше ширины запрещенной зоны. Ясно, что при отсутствии
внешних воздействий кинетическое равновесие процессов генера-
ции и рекомбинации обеспечивает поддержание термодинамически
равновесных концентраций nQ и pQ. Если каким-либо внешним
воздействием, например излучением с энергией квантов hv ДЕ,
вызвать генерацию носителей заряда, то для избыточной концен-
трации будет справедливо соотношение Ди, Др >0. При выклю-
чении внешнего воздействия система будет возвращаться к состо-
янию термодинамического равновесия (Ди, Др = 0) благодаря
процессам рекомбинации. Можно представить себе установление
равновесия и через процессы генерации. Например, при внешнем
фотоэффекте, когда под действием квантов света с энергией hv
Ф (где Ф — фотоэлектрическая работа выхода электронов из
полупроводника), неравновесная концентрация электронов п
будет меньше равновесной nQ и Ди <0. Термодинамически рав-
новесная концентрация будет восстанавливаться благодаря
термической генерации свободных электронов (и дырок) за счет
тепловой энергии решетки кристалла.
Равновесные концентрации электронов и дырок п0 и р0 вполне
однозначно определяются заданием энергии Ферми F в полупро-
воднике (3.15) и (3.28). Шокли предложил характеризовать нерав-
новесные концентрации некоторым эффективным параметром,
который бн^назвал квазиуровнем Ферми. Положение квазиуровней
Ферми для электронов и дырок определяется формально из выра-
жений, аналогичных (3.15) и (3.28):
» = (- ; Р = (- j • (4.2)
Введение параметров Fn и Fp, строго говоря, касается при
этом только нормировочных выражений (4.2) и не означает, что
неравновесная функция распределения по энергиям f (Е, Т)
будет соответствовать по форме равновесной функции Ферми—
Дирака fo (Е, T)t где вместо величины энергии Ферми F взяты
107
значения F*n и Fp, для электронов и дырок соответственно.
Покажем, что при Дд,. Др >> 0 будет справедливо Fn — Fp >0
(4.3), а при Дп, Др < 0 будет справедливо Fp — Fn >0 (4.4).
Проведем рассуждения для простоты на примере невырожден-
ного полупроводника. Тогда выражения (4.2) переходят по анало-
гии с (3.22) и (3.33) в
„ = ₽ = «Z(F:-£’)/V. (4.5)
Найдем произведение пр для полупроводника с неравновесными
носителями:
пр = NvNce koT е koT = п^е koT , (4.6)
где п2с = порь.
Рассматривая формулу (4.6) с учетом (4.1), можно видеть, что
условие (4.3) справедливо, когда т. е. когда Ди, Др >0,
а условие (4.4), справедливо в случае Ди, Др < 0, что и требовалось
доказать.
Из (4.6) можно записать выражение для,расщепления квази-
уровней Ферми электронов и дар о к: — Fp = kQ Т In (np/n?).
Чем сильнее неравенство пр ^>п\ тем больше расщепление
квазиуровней Ферми электронов и дырок. Таким образом, рас-
щепление квазиуровней Ферми наряду с величиной отношения
nplrit выступает как мера отклонения системы от состояния рав-
новесия. При 1г что равносильно с_ учетом выражений
(4.соотношению Дп, \р п0, рр, и, р, говорят о высоком
уровне инжекции избыточных носителей в полугГровЦднПке.
При обратных соотношениях*: пр/п} 1 и Дп, Др п0,
Ро, и, р говорю^.^'з^м^^ррвне^инжекции в полупроводнике.
Очевидно, в полупроводнике с малым отклонением от состояния
термодинамического равновесия, т. е. с низким уровнем инжек-
ции: Fn — Fp F. Это приближенное соотношение позволяет
пользоваться для неравновесного полупроводника при низком
уровне инжекции понятием уровня Ферми, общего для электронов
и дырок? Однако предположение низкого уровня инжекции все
еще не означает возможности использования равновесной функции
распределения /0 Т) для описания распределения по состоя-
ниям неравновесных электронов и дырок. Так, на рис. 50 приведен
пример, когда уровень Ферми равновесного распределения сов-
падает с квазиуровнем Ферми неравновесного распределения для
электронов, что соответствует равенству площадей под кривыми
g(E) X f0 (Е, Т) и g (Е,) f (Е, Т) [что ясно из сравнения формул
(4.2) и (3.15)1. Видно, что функции f (Е, Т) и f0 (Е, Т) для дан- '
ного случая существенно различны.
108
Выясним, каково распределение неравновесных электронов и дырок по энер-
гиям. Непосредственно после процесса генерации энергии неравновесных элек-
тронов и дырок в зоне проводимости и валентной зоне могут сильно превосходить
равновесные тепловые энергии свободных носителей в этих зонах, равные по
порядку величины k0T. Такие «горячие» неравновесные носители должны быстро
рассеивать свою избыточную энергию в столкновениях с дефектами решетки
и во взаимодействии с ее тепловыми колебаниями. Расчет, проведенный Б. И. Да-
выдовым, показывает, что электрон с энергией эВ тратит избыточную энер-
гию, испытав примерно 103 столкновений. Так, как длина_с^рбр^ц<ого.д1робега
электрона —10 нм, а средняя тедлодаа.-СКО^О.сть.,^
ряет избыточную энергию_всего за Ю"10 с. Среднее время жизни свободных носи-
тёлшПГрязртП^^ т.‘ е." среднее время, которое 'Тф'йУбДит от'генерации
электронно-дырочной Пары до ее рекомбинации,
значйтеЛЬПи*'^составляет х40"?—10"7 с.
Следовательно, большую часть' ' времени своего
существования в разрешенных зонах избыточные
носители проводят в состоянии, когда их средняя
энергия соответствует средней тепловой энергии
решетки кристалла, и, значит, их распределение
по энергиям соответствует некоторому равновес-
ному распределению. Это новое равновесное рас-
пределение должно характеризоваться другим зна-
чением энергии Ферми, отличным от исходного
равновесного, т. е. квазиуровнем Ферми, так как
концентрация этих термализованных носителей
заряда продолжает оставаться неравновесной.
Рис. 50. Функция плотности
состояний для электронов
в зоне проводимости и ее
произведение на функцию
распределения по состояни-
ям для равновесного(сплош-
ная кривая) и неравновес-
ного (пунктирная кривая)
распределений электронов
по энергиям
Отсюда можно сделать заключение,
что если среднее время жизни свободных
носителей заряда много больше времени
их релаксации по энергиям, то для нерав-
новесных носителей можно приближенно
пользоваться равновесной формой функ-
ции распределения с некоторым новым
параметром — квазиуровнем Ферми, значение которого определя-
ется из условий (4.2) в общем случае или из условий (4.5) для
невырожденного полупроводника.
Каждый неравновесный носитель заряда, например электрон, в процессе
теплового движения имеет определенную вероятность встретиться с дыркой
и прорекомбинировать с ней. В общем случае в полупроводнике может быть
несколько сортов дырок как свободных, так и связанных на различных локаль-
ных центрах, т. е. находящихся в валентной зоне или на примесных или де-
фектных уровнях в запрещенной зоне. Вероятность Wni встречи электрона с дыр-
кой определенного типа в единицу времени будет пропорциональна концентра-
ции таких дырок и средней относительной скорости теплового движения элек-
тронов и дырок: (vni) ' Wni = CniPi (vni) (4.7), где Cni — некоторый коэффи-
циент, определяющий вероятность рекомбинации одного электрона при наличии
одной дырки и единичной скорости их относительного движения.
Так как величина Wni определяет вероятность процесса рекомбинации
в единицу времени, то она имеет размерность, обратную времени, и может быть
обозначена как Wni = 1/тп/ (4.8).
TnL =. ЩСп1Р1 {vni)) (4.9) определяет среднее время жизни
неравновесных электронов в зоне проводимости относительно рекомбинации с дыр-
ж^угслртя L "
Величина имеет размерность^площади^Щ. называется эффективным сече-
I-’hwq сорта. Если имеется
несколько сортов дырок, то полное число возможных столкновений электрона
109
в единицу времени с дырками, с предел я к шее ЕерсятЕость его рекомбинаций,
есть1Гл= J] Wni = CniPi (vni)- Тогда, вводя суммарное время жизни элек-
1 1
трона тп по всем возможным процессам рекомбинации, получим 1/тл- J] 1 тп/.
/
Таким образом, рассматривая влияние различных процессов рекомбинации
или, как иногда говорят, различных каналов рекомбинации, следует считать,
что наибольший вклад дает тот канал рекомбинации, для которого время жизни
наименьшее. Понятие эффективного сечения рекомбинации позволяет сравнивать
вероятности для различных типов рекомбинации независимо от концентрации
участвующих в ней по данному каналу дырок, т. е. является характеристикой
одного рекомбинационного центра.
Все приведенные выше выражения относились к вычислению среднего вре-
мени жизни электронов тАг в зоне проводимости. Очевидно, они при изменении
соответствующих индексов мэгут быть применены для вычисления среднего вре-
мени жизни дырок в валентной зоне тр. Тогда для величины Тр'можно записать:
1/тр = £ \/xPi = 2 i/(cpznz (М)‘; (4. ю)
__ k , L ______
где СР1 — эффективное сечение рекомбинации дырок с электронами сорта 1\
— средняя относительная шсрость движения рекомбинирующих элек-
трона и дырки.
Заметим, что, поскольку величины тп/ и зависят от концентраций pi
и Гц соответственно, они не являются константами материала и могут изменяться
со временем при изменении внешних условий (температуры, интенсивности осве-
щенности и т. п.). Ясно также, что в общем случае значения времени жизни
электронов и дырок различны. Они могут совпадать, если существует только
один канал, а именно прямая или межзонная рекомбинация, т. е. рекомбинация
происходит непосредственно при взаимодействии свободной дырки и свободного
электрона.
4.2. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ РЕКОМБИНАЦИИ
НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Мы видели в предыдущем разделе, что результирующее время
жизни свободных носителей определяется вкладом различных
механизмов их рекомбинации. Поэтому важно рассмотреть,
какие же конкретные механизмы рекомбинации могут осущест-
вляться в полупроводниках. Классифицируем механизмы реком-
бинации по двумя различным признакам: по виду выделяемой
в процессе рекомбинации энергии и по типам электронных пере-
ходов, приводящих к акту рекомбинации.
Удобнее начать классификацию с анализа типов электронных
переходов, приводящих к рекомбинации. Рассмотрим схему
электронных переходов, приводящих к рекомбинации носителей
заряда (рис. 51). Если электрон переходит непосредственно из
зоны проводимости в валентную зону, отдавая каким-либо обра-
зом энергию, большую или равную ширине запрещенной зоны,
то такая рекомбинация называется межзонной или рекомбинацией
зона — зона (см. переход 1 на рис. 51). Если электрон прежде,
чем рекомбинировать с дыркой, захватывается некоторым локаль-
ным центром, имеющим уровень энергии в запрещенной "'зоне,
ПО
Рис. 51. Схема электронных переходов для различных механизмов рекомбинации:
1 — межзонная; 1а, 16 — рекомбинация Оже; 2, 2а — примесная; 3 — с межпримес-
ными переходами; 4 — экситонная
а затем переходит в валентную зону и рекомбинирует с дыркой,
то такая рекомбинация называется рекомбинацией через ло-
кальные Состояния (см. переход 2 на рис. 51).
Локальные центры, участвующие в рекомбинации, называ-
ются рёкомбинационными центрами. Чаще всего в роли таких
центров выступают примесные состояния, и поэтому такая реком-
бинация получила название примесной рекомбинации, хотя,
вообще говоря, центрами рекомбинации могут быть и другие типы
локальных состояний (собственные точечные дефекты решетки,
дислокации и т. п.). Схемы переходов 2 и 2а описывают реком-
бинацию электронно-дырочной пары, когда один из носителей
заряда в этой паре свободен, а другой связан на локальном ре-
комбинационном центре. Может быть реализована ситуация, когда
в рекомбинирующей паре электрон—дырка оба носителя связаны
с различными рекомбинационными центрами. Такая рекомбинация
называется межпримесной (см. переход 3 на рис. 51).
Интерпретация перехода 3 может быть, например, такой:
электрон из зоны проводимости захватывается на уровень Eti,
и дырка из валентной зоны на" уровень Е]2. Затем происходит
рекомбинация посредством перехода электрона с уровня Ец
на уровень £/2, или, что эквивалентно, посредством перехода дыр-
ки с уровня Eti на уровень Etl. Важным частным случаем реком-
бинации через локальные состояния является экситонная рекомби-
нация (см. переход 4 на рис. 51). Экситон, как указывалось в гла-
ве 2, может рассматриваться как связанная пара электрон—
дырка. Экситонную рекомбинацию можно представить себе таким
образом. Свободный электрон из зоны проводимости связывается
IH
с дыркой, создавая экситон и выделяя энергию ДЕэКС, большую
или равную энергии связи экситона. Затем связанные в экситоне
электрон и дырка рекомбинируют, при этом экситон аннигилирует
с выделением энергии, большей или равной ДЕ — ДЕэКс.
Во всех процессах рекомбинации с участием рекомбинацион-
ных центров (см. переходы 2, 2а, 3,4 на рис. 51) в качестве кон-
курирующего с рекомбинацией процесса выступают процессы об-
ратного теплового выброса связанных на локальных центрах
носителей обратно в соответствующую разрешенную зону. Так,
электрон, захваченный на уровень Et в переходе 2 или на уровень
Eft в переходе 3, может быть тепловым движением снова освобож-
ден и переброшен обратно в зону проводимости. Аналогично дырка,
захваченная на уровень Et в переходе 2а или на уровень Eti
в переходе 3, может быть освобождена тепловым движением и пере-
брошена в валентную зону. Для перехода 4 процессом, конку-
рирующим с аннигиляцией экситона, будет процесс его теплового
распада, разрывающий связи между электроном и дыркой и
освобождающий их. Для характеристики таких конкурирующих
с рекомбинацией процессов в случае примесной или межпримес-
ной рекомбинации (см. переходы 2, 2а, 3) вводится понятие
центров прилипания, или уровней прилипания. Если захваченный
локальным центром носитель заряда не рекомбинирует с носителем
другого знака заряда и выбрасывается тепловым движением
обратно в соответствующую разрешенную зону, то такой локальный
центр называется центром прилипания, или ловушкой зах-
вата. Очевидно, что вероятность обратного теплового выброса
будет тем больше, чем меньшую тепловую энергию нужно сооб-
щить захваченному носителю. Поэтому локальные центры с мел-
кими уровнями энергии (Ес — Et < ДЕ или Et — Ev < &Е)
будут преимущественно выполнять роль центров прилипания,
так как вероятность обратных тепловых выбросов носителей для
них будет больше, чем вероятность рекомбинации. Однако в роли
центров прилипания могут выступать и глубокие уровни, имеющие
малые сечения рекомбинации.
На рис. 52 показана диаграмма, поясняющая расположение
в запрещенной зоне рекомбинационных уровней и уровней при-
липания. Введено понятие демаркационных уровней для электро-
нов Еп и для дырок Ер.
Пусть величина kn характеризует для некоторого локального
центра отношение вероятности обратного теплового выброса зах-
ваченного носителя к вероятности рекомбинации на этом ло-
кальном центре. Пусть для уровня Еп величина kn = 1. Тогда
все уровни, расположенные в запрещенной зоне выше, чем Еп,
будут преимущественно выполнять роль уровней прилипания
для электронов (для них kn >1), а уровни, лежащие глубже,
чем Еп, будут выполнять преимущественно роль рекомбинацион-
ных уровней. Уровень Еп, для которого kn = 1, называется
демаркационным уровнем для электронов. Аналогичные рас-
112
^//////////////////////////////////z//,
, J S Уровни прилипания электронов (кп>1)
----------------------------------E„(kr 1)
► Рекомбинационные дровни(кП)кр< 1)
> Ер(Рр-1)
I > Уровни прилипания дырок (кр>1)
^6077777777777777777777777777777777777^
Рис. 52. Схема демаркационных уровней в запрещенной зоне
полупроводника
суждения можно провести для демаркационного уровня ды-
рок Ер.
Таким образом, мы пришли к важному выводу, что на реком-
бинацию эффективно влияют локальные центры с глубокими
энергетическими уровнями, а центры с мелкими уровнями выпол-
няют роль центров прилипания. Конечно, это деление относитель-
но, так как при отсутствии глубоких примесных уровней реком-
бинация будет идти с помощью мелких уровней, но скорость ре-
комбинации будет в этом случае меньше, а время жизни носителей
заряда больше. Вообще говоря, присутствие уровней прилипания
наряду с уровнями рекомбинации, увеличивает среднеевремя
жйзТО'ТТбйГтелеТ'заряда, так как процессы прилипания конкури-
руют с процессами рекомбинации.
Рассмотрим теперь классификацию механизмов рекомбинации
по виду выделяемой в акте рекомбинации энергии. Будем называть
процессы рекомбинации, при которых вся или часть выделяемой
в акте рекомбинации энергии уносится в виде квантов света,
процессами излучательной рекомбинации. Прочие механизмы ре-
комбинации будем называть безызлучательными. Очевидно, излу-
чательными или безызлучательными могут быть все процессы,
указанные на рйсГ5Т. В мёжзоннбмпереходе7 на рис. 51 может
излучаться квант света с энергией hv &Е. Во всех излучатель-
ных переходах 2—4 энергия выделенных квантов света hv < АЕ.
К безызлучательным процессам будут относиться следующие
механизмы рекомбинации:
фононная рекомбинация, при которой энергия передается
тепловым колебанием решетки — фононом;
ударная рекомбинация, называемая также рекомбинацией Оже,
при которой энергия, выделяемая при рекомбинации электронно-
дырочной пары, передается какому-либо третьему носителю —
электрону или дырке. Эта энергия затем теряется в столкновениях
с дефектами решетки или с другими носителями;
плазменная рекомбинация, при которой энергия, выделяемая
при рекомбинации электронно-дырочной пары, передается всему
113
коллективу электронов^и дырок — электронно-дырочной плазме,
переводя 'её в некоторое ёюлее высокое по энергии квантованное
состояние. ....
Рассмотрим сравнительную вероятность излучательной и без-
ызлучательной рекомбинации в различных полупроводниках.
Ван-Русбрек и Шокли, применив принцип детального равновесия
к термодинамически равновесному рекомбинационному излучению,
получили, что вероятность излучательной рекомбинации в не-
которой спектральной областиТВЯзана и вероятностью поглоще-
ния света, определжмой.,ъ;оэфф1щиентом__поглощения в той же
области спектра. Кроме того, церодт1^т1^
излучения уменьшается с повышением энергии квантов излучае-
мого при рекомбинации света, т. е. с ростом ширины запрещенной
зоны полупроводника. Оказалось, что излучательная межзонная
рекомбинация вносит существенный вклад в суммарную скорость
рекомбинации в полупроводниках, когда ширина запрещенной
зоны не превышает 0,5 эВ и когда абсолютные экстремумы валент-
ной зоны и зоны проводимости находятся при одинаковых значе-
ниях волнового вектора.
Для сравнения приведем в табл. 1 излучательное время жизни
тизл, характеризующее вероятность межзонной излучательной
рекомендации в различных полупроводниках.
Сопоставив значения тизл и тнабл, можно сделать вывод, что
в широкозонных (ДЕ>: 0,5 эВ) полупроводниках преобладают
безызлучательные механизмы при межзонной рекомбинации. Ос-
новная трудность в создании теории фононной безызлучательной
межзонной рекомбинации состоит в том, что энергия, выделяемая
в акте рекомбинации, не может быть унесена одним фононом —
квантом тепловых колебаний решетки. Энергии фононов состав-
ляют величину порядка сотых долей электрон-вольта, что значи-
тельно меньше ширины запрещенной зоны.
Вместе с тем процесс, сопровождающийся одновременным выде-
лением сразу большого^числа фононов, также маловероятен.
До настоящего времени не существует теории, описывающей коли-
чественно механизмы фононной межзонной рекомбинации и поз-
Т а б л и ц а 1
Полупро- водник ЬЕ, эВ Ир см-3 R, СМ“8•с-1 ТИЗЛ’ с теоретическое Максималь- ное
Si 1,1 1,4-Ю1» 2 10’ 3,5 10“3
Ge 0,7 2,4-1013 3,7-1013 0,3 10“3
PbS 0,37 ЗЮ16 1,4-Ю2» 10"6 9.10-6
PbSe 0,22 2-1017 3,3-Ю22 3 10-е —
PbTe 0,27 6-Ю1» 1,8- 10м 1,7.10-6 —
InSb 0,18 2,2 Ю22 2,6-1022 0,4 -IO’6 10-7
П4
воляющей вычислить ее сечение. Однако если в запрещенной
зоне имеются локальные разрешенные состояния — дефектные
или примесные уровни, то рекомбинация может идти не только
непосредственно путем межзонных переходов, но и путем двух-
ступенчатых или многоступенчатых переходов с промежуточным
захватом свободных носителей заряда на уровни дефектов или
примесей.
Технология получения полупроводниковых материалов, разра-
ботанная в настоящее время, не позволяет избежать преобладаю-
щей рекомбинации на рекомбинационных центрах при А£ >
> 20& QT (это составляет ~0,5 эВ при комнатной температуре).
Таким образом, в материалах, технология получения которых
недостаточно совершенная или в которые специально добавлены
примеси с глубокими уровнями, рекомбинация через примесные
центры будет преобладать над межзонной рекомбинацией даже
в случае, когда Д£ < 20^0^. Поэтому межзонная рекомбинация
будет давать наибольший вклад в полупроводниках с узкой зап-
рещенной зоной при достаточно высоких температурах. Выше уже
говорилось о малой вероятности межзонной фононной рекомби-
нации. Оценки показывают, что межзонная рекомбинация преи-
мущественно идет путем излучательной рекомбинации или удар-
ной рекомбинации Оже. На рис. 51 также приведена схема этих
механизмов рекомбинации. Переход 1 (см. рис. 51) соответствует
излучательной межзонной рекомбинации. Переходы 2 и 3 соот-
ветствуют межзонной ударной рекомбинации Оже. В переходе 2
энергия, выделяемая в акте рекомбинации электронно-дырочной
пары, передается третьей частице — электрону, а в переходе 3
в качестве третьей частицы, поглощающей энергию, выступает
дырка.
Теоретический расчет и данные эксперимента показывают, что
в узкозонных полупроводниках межзонная излучательная ре-
комбинация и рекомбинация Оже почти одинаково существенны
при высоких температурах, однако ударная рекомбинация Оже
дает преобладающий вклад при дальнейшем повышении темпера-
туры. Излучательная и ударная рекомбинации возможны и при
рекомбинации через примесные уровни. Однако в этом случае
в большинстве полупроводников будет преобладать фононная
рекомбинация.
Следует отметить, что участие различных примесных центров
в рекомбинации увеличивает вероятность излучательной реком-
бинации и расширяет спектральный диапазон излучения полу-
проводников. Становятся возможными излучательные переходы
между энергетическими состояниями, отстоящими друг от друга
более чем на 0,5 эВ, и, таким образом, излучательная реком-
бинация может преобладать даже в относительно широкозон-
ных полупроводниках (GaAs, GaP, SiC, CdS, CdSe, ZnS, ZnSe
и т. д.).
115
4.3. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ГЕНЕРАЦИИ
НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ.
МАКСВЕЛЛОВСКОЕ ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
Преобладание того или иного механизма рекомбинации иногда
зависит от способа возбуждения полупроводника и о г величины
созданного уровня инжекции неравновесных носителей заряда,
т. е. от механизмов и интенсивности процессов генерации носителей
заряда в нем. Так как в основном в процессы генерации и рекомби-
нации соответственно обратны друг другу по своим механизмам,
то удобно воспользоваться для классификации процессов генера-
ции той же схемой, которую мы применили к процессам рекомби-
нации. Проанализируем основные механизмы генерации носителей
заряда по типам электронных переходов. С этой точки зрения
можно разделить процессы генерации на собственные и примесные.
Собственной генерацией мы называем такую генерацию, когда
энергия затрачивается на разрыв собственных ковалентных свя-
зей в решетке, в результате чего появляется пара свободных носи-
телей заряда — электрон в зоне проводимости и дырка в валентной
зоне. При собственной генерации необходимо затратить энергию,
большую или равную ширине запрещенной зоны полупроводника.
ПримШ1ой^ __называем такой процесс, когда
энергияз атр а ч и ваетсТ^Й^т1ениааццюатомов примеси, в результате
чего появляется один свободный носитель в соответствующей зоне
и один связанный с примесным центром носитель заряда другого
знака.
Эти процессы собственной примесной генерации мы уже рас-
сматривали, описывая модельные представления электропровод-
ности полупроводников и вычисляя равновесные концентрации
носителей заряда в полупроводниках. Как мы уже упоминали,
те же процессы собственной и примесной генерации могут идти
и в неравновесных условиях. При этом следует учесть, что в не-
равновесных условиях процессы собственной генерации будут идти
при любой допустимой температуре, если к полупроводнику под-
вести в каком-либо виде энергию, большую или равную ширине
запрещенной зоны, а процессы неравновесной примесной генерации
возможны только в области достаточно низких температур, когда
еще не все примеси ионизированы.
Собственная и примесная генерации не нарушают условия
электронейтральности в полупроводнике. Однако в неравновесном
случае возможны процессы создания избыточной неравновесной
концентрации носителей заряда, нарушающие условия электро-
нейтральности. Это — процессы изменения концентрации носи-
телей заряда при прохождении электрического тока в неоднород-
ном полупроводнике или при прохождении электрического тока
через так называемые неомические (нелинейные) контакты металл—
116
полупроводник. Особенности энергетической диаграммы неод-
нородных полупроводников и неомических контактов металл —
полупроводник, приводящие к этим явлениям, будут нами рас-
смотрены позднее в главе 5. Здесь рассмотрим упрощенно пример
прохождения электрического тока^через р — и-переход.
* Мы будем здесь называть р—п-переходом область в неоднород-
ном полупроводнике, в которой p-тип проводимости переходит
в n-тип проводимости. Области проводимости р- и n-типа могут
быть созданы в одном монокристалле полупроводника специаль-
ным легированием. В случае приложения к р—/г-переходу внеш-
него напряжения внешнее электрическое поле будет вызывать
движение дырок из p-области в n-сбласть и движение электронов
из n-области в p-область. Следовательно, электрический ток через
р—n-переход будет переноситься основными носителями заряда,
которые, пройдя через р—n-переход, станут неосновными и, за-
метим, избыточными. Такое явлс^е^^^
неосновных носителей заряда "получило название ин'жек^ий^не-
основных Носителей "заряда при прохоЖдён^ р—и-
переход. При инж^цшхиаео^ном^носителей заряда нарушается
условие электронейтральности в области, в которые были инжек-
тированы неосновные носители заряда.
Разберем случай инжекции неравновесных дырок в п-область
р—n-перехода. В этом случае в объеме n-области, прилегающем
к р—п-гтереходу, создается положительный объемный заряд.
Обозначим плотность этого объемного заряда р (%, /), считая
задачу, для простоты, одномерной. Тогда можно записать урав-
нение Пуассона, связывающее величину объемного заряда с на-
пряженностью вызваного им электрического поля:
div ее0£ (х, t) = р (%, t) или div Е (%, t) = р (%, Z)/ee0-
Выражая напряженность электрического поля с помощью
закона Ома и считая электропроводность величиной постоянной,
так как в n-области она определяется соотношением а сгп,
получим div / = (art/ee0) р (х, t) (4.11). Учитывая уравнение не-
прерывности dpldt = —div /*, формулу (4.11) можно переписать
в виде dpldt = — р (4.12).
Так как коэффициент ее0/о должен иметь размерность времен,
то обозначив его тм = ее0/а и решая дифференциальное уравнение
(4.12) с учетом начальных условий р|/=о = Ро> получим р (I) =
= рое’//Хм.
Отсюда ясен физический смысл величины тм. Она определя-
ет время, за которое объемный заряд спадает в Драз. Эта "величина,
определяющ^ рёл'аксащ1и_объемного . заряда, называется
максвёллдвскимЪре^Менем ' релаксации. Оценим величину тм
для_полупроводника с типичными параметрами о = 1 . См/см,
е = 1б7’Подставляя значение абсолютной диэлектрической прони-
цаемости е0 = 3,5 8,85-10“1? 10"1? с.
‘ Ч1Т
Таким образом, время тм очень мало. Объемный заряд, выз-
ванный инжекцией дырок в p-область, спадает практически до
нуля почти мгновенно за время — Зтм. Появление положитель-
ного объемного заряда, образованного инжектированными дыр-
ками, вызывает ток проводимости электронов, в результате кото-
рого положительный объемный заряд инжектированных дырок
компенсируется равным ему по абсолютной величине отрицатель
ным объемным зарядом электронов. Тогда установится равенство
избыточных концентраций: Ди = Др (4.13).
Поэтому за время порядка максвелловского времени релакса-
ции (практически мгновенно) n-область, прилегающая к р—п-
переходу, обогатится не только инжектированными дырками, но
и пришедшими сюда из объема электронами в соответствии с фор-
мулой (4.13). Избыточные концентрации электронов и дырок в этой
области, вызванные инжекцией, будут спадать до нуля после вы-
ключения электрического тока через р—n-переход за счет процес-
сов рекомбинации, т. е. время существования этих избыточных
концентраций определяется не максвелловским временем релак-
сации, а средним временем жизни электронно-дырочных пар в
п-области.
Разумеется, рекомбинация будет идти и при прохождении
электрического тока. В стационарных условиях скорость реком-
бинации будет соответствовать скорости инжекции неравновесных
носителей заряда.
При собственной и примесной генерации энергия может под-
водиться к полупроводнику в виде тепловой, световой или с пото-
ком быстрых частиц (у-кванты, а-частицы, нейтроны, электроны
и т. п.).
В соответствии с этим различают следующие механизмы генера-
ции: термический, фотоэлектрический (или световой) и радиа-
ционный. Особый класс явлений связан с генерацией в сильных
электрических полях. Сильные электрические поля могут ускорять
свободные носители заряда до таких энергий, что сталкиваясь
с атомами решетки или ионизированными атомами примесей, они
могут производить ударную ионизацию. Этот механизм получил
название ударной генерации. Сильное электрическое поле может
вызвать в особых условиях туннельное прохождение свободных
носителей через запрещенную зону при искривлении зон внутрен-
ними и внешними электрическими полями.
4.4. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
ДЛЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Из электродинамики известно уравнение непрерывности, выра-
жающее условие сохранения плотности объемного заряда р при
прохождении через проводник электрического тока плотностью /:
;dp/dZ = dpldt + div j = 0, что можно переписать, учитывая,
1118
что р = еп : dnldt = —div j/ent где п — концентрация носителей
заряда, а еп — их заряд.
Особенность полупроводников — это процессы рекомбинации и
генерации носителей заряда, которые наряду с переносом заряда,
т. е. электрическим током, могут изменять концентрацию носите-
лей заряда.
Введем понятия скорости^рё^^ ^опр^делжощей
ч и с л о носителей з ар яда,, исчезающих ед иницу -времен и вс л едств ие
процессов*реТ<ом6йнации в единице объема, и скорости генерации g>
определяющей число носителей заряда, появляющихся в единицу
в р емекц вследствие процессвк^саперлтгм- п опнпнпе объем а. Ге-
нерация и рекомбинация могут быть вызваны различными причи-
нами, проанализированными ранее.
Как мы уже указывали, в полупроводнике, находящемся в тер-
модинамическом равновесии, идут процессы рекомбинации и гене-
рации, кинетическое равновесие между которыми поддерживает
неизменную термодинамически равновесную концентрацию носи-
телей заряда и0 и р0. Обозначим гг и gT скорости процессов гене-
рации и рекомбинации, протекающих без внешних воздействий,
а ге и gE — скорости процессов рекомбинации и генерации,
протекающих вследствие каких-либо внешних воздействий. Тогда
уравнение непрерывности в полупроводнике для электронов мо-
жет быть записано в виде
dnldt = — div+ gnl - rnI + gnE - rnE, (4.14)
а для дырок в виде
dpidt = — div /р/ер + gPi - rpl + grE - rpE, (4.15)
где обозначения, введенные для дырок, понятны по аналогии с обо-
значениями, введенными для электронов.
Проанализируем сначала уравнение непрерывности для элек-
тронов. Если предположить адиабатические условия, то члены
(1/еп) div jn, grE и гпЕ становятся равными нулю. Тогда
dnldt = gnl — гп1. Очевидно, в адиабатических условиях система,
электронов будет стремиться к равновесию, т. е. неравновесная
концентрация электронов п будет стремиться к равновесной вели-
чине п0 за счет процессов рекомбинации. Обозначим эффективную’
скорость рекомбинации электронов в адиабатических условиях
величиной 7?п, для которой справедливо выражение Rn = гп1 —
-gm (4.16).
Тогда в отсутствие электрического тока при выключении
внешней генерации, создавшей некоторую избыточную концентра-
цию, будет справедливо: dn (г, t)/dt = —Rn (г, t) (4.17).
Задавая различные функциональные зависимости величины
Rn (г, t) от п (г, /), определяемые различными конкретными ме-
119
ханизмами рекомбинации, и решая уравнение (4.17), мы получим
различные законы релаксации избыточной концентрации носителей
заряда. Рассмотрим частные случаи релаксации избыточной кон-
центрации, определяемые важнейшими механизмами рекомбина-
ции.
Линейная рекомбинация. Предположим, что рекомбинация идет
через один тип рекомбинационных центров и уровень инжекции
невысокий. Тогда скорость возвращения величины п к равновес-
ной концентрации п0 будет пропорциональна отклонению от рав-
новесной концентрации, т. е. величине Дп = п — п0: drddt =
= — Wn\n (4.18).
Рис. 53. Зависимость избыточной концентрации электронов от времени:
а — в обычных координатах; б — в логарифмических координатах; в — графическое опре-
деление мгновенного времени жизни
Коэффициент Wn есть вероятность рекомбинации для одного
носителя в'единицу времени. Если Wn не зависит от времени, то
уравнение (4.18) линейное. Решая его с учетом начальных условий
Ли | /=о = Ли (0), получим Дп (/) = Дп (0) e~Wflt.
Тогда согласно формуле (4.8) тп = Wn1 определяют время,
за которое избыточная концентрация носителей заряда спадает
в е раз за счет рекомбинации. Итак: Ли (/) = Дп (0) e~tlXn
(4.19).
Величина тп определяет здесь среднее время жизни избыточных электронов
в зоне проводимости. Действительно, среднее время жизни будет выражаться:
оо
<0 = Л [ I dn I / = 1 [ — Дп (0) e~t/xn dt = т.
x 7 Дп (0) J 4 1 Дп (0) J xn
o
Возвращаясь к уравнению (4.18) и сравнивая его с выражением (4.17), можно
записать для скорости рекомбинации в этом случае: Rn (г, t) = Д/г (г, /)/тп (4.20).
Так как здесь величина хп не зависит от времени, то формула (4.20) линейно
связывает скорость рекомбинации с избыточной концентрацией электронов. При
рекомбинации через рекомбинационные центры при малом уровне инжекции
наблюдается линейная рекомбинация, приводящая к экспоненциальному спаду
(4.19) избыточной концентрации носителей заряда, изображенному на рис. 53.
Логарифмируя обе части уравнения (4.19), имеем: In Дп (/) =
= In Дп (0) — //тЛ, и построив зависимость Дп (/) в полулогарифмическом масш-
табе, получим tg ф = —1/Тл или хп = —ctg ф.
120
Таким образом, анализируя зависимость избыточной концей4
трации от времени, можно для линейной рекомбинации найти
время жизни носителей заряда по котангенсу угла наклона пря-
мой In (An) = f (t) к оси абсцисс. Если зависимость 1g Дп =
= f (t) будет отклоняться от линейного закона, значит, рекомби-
нация нелинейная и пользоваться изложенным выше методом для
определения времени жизни носителей заряда нельзя.
Квадратичная рекомбинация. Пусть происходит прямая ре-
комбинация электронов и дырок. Тогда скорости рекомбинации
для электронов и дырок равны Rn = Rp = R и пропорциональны
отклонению от равновесного значения произведения неравновес-
ных концентраций электронов и дырок: R = b (пр — nQp0) =
= —dnldt = —dpldt. Выражая пир через избыточные концен-
трации, получим R = —dnldt = —dpldt = Ъ (гцДр + pQ\n +
+ АпАр), где b — некоторый коэффициент, связанный с веро-
ятностью рекомбинации.
В случае низкого уровня инжекции величина АпАр второго
порядка малости и ею можно пренебречь. Тогда имеем для полу-
проводника p-типа (ро п0): Ап (/) = Ап (0) e~bPot.
Так как величина Ьр0 должна иметь размерность времени, то,
обозначая хп = (Ьр0)-1 (4.21), получим закон релаксации избы-
точной концентрации неосновных носителей заряда (электронов
в полупроводнике p-типа) по экспоненциальному закону (4.19),
но среднее время жизни электронов в этом случае связано соотно-
шением (4.21) с концентрацией основных носителей—дырок.
Величина хп тем меньше, чем больше уровень легирования полу-
проводника p-типа. В случае полупроводника n-типа имеем для
избыточных дырок закон релаксации:
\p(t) = кр(0)е~‘/хр (4.22), где тр = (Мо)-1 (4.23)
Время жизни неосновных носителей заряда в этом случае тем
меньше, чем больше концентрация основных носителей. Так как
величины хп и хр, определяемые формулами (4.21) и (4.23),
не зависят от времени, то рекомбинация и здесь носит линейный
характер: Rn = bpQ\n и Rp = bnQ\p, а релаксация избыточной
концентрации соответствует экспоненциальным законам (4.19) и
(4.22). Однако так будет только при низком уровне инжекции.
Если предположить высокий уровень инжекции, то закон реком-
бинации существенно изменяется, переходя от линейного к квад-
ратичному. Действительно, при Ап, Ар п0, р0, что соответст-
вует высокому уровню инжекции, и учитывая, что Ап = Ар.,
получаем R = Ь\п\р = ЬАп2, квадратичный закон рекомбина-
ции. Решая в этом случае уравнение непрерывности dnldt = —ЬАп2,
получим релаксацию избыточной концентрации по гипербо-
лическому закону:An (t) = \п (0)/[1 + &Ап (0) /)].
Тогда понятие среднего времени жизни уже не может быть введено по опре-
делению времени, за которое избыточная концентрация спадает в е раз, так как
нет экспоненциального закона релаксации концентрации избыточных носителей
121
Наряда. Введем в этом случае понятие времени жизни тп, пользуясь вероятно-
стной интерпретацией величины 1/тп как вероятности рекомбинации одного элек-
трона в единицу времени в единице объема. Тогда формально: R = b Д/г2 =
= Д/г/тп и %п = (Ь Д/г)"1.
Так как величина Д/г есть функция времени, то и время жизни электро-
нов %п тоже оказывается зависящим от времени и следует пользоваться понятием
мгновенного времени жизни, определяемым формально из соотношения dn (г,
t)ldt = —An (г, t)/[xn (/)]. '
Мгновенное время жизни %п (/) отсюда равно
%п (/) = —Дм (/)/[д/г (г, t)/dt].
Для линейной рекомбинации мгновенное время жизни
венное время жизни тп (/) можно определить графически,
Рис. 54. Временная зависимость
импульса генерации носителей за-
ряда (а) и избыточной концен-
трации носителей заряда (б)
по формуле т (/0) =
(4.24)
стационарно. Мгно-
анализируя любую
произвольную зависимость Д/г = f (/). Пусть
релаксация избыточной концентрации идет
по некоторому эмпирически полученному за-
кону (см. рис. 53, в). Тогда мгновенное вре-
мя жизни в любой выбранный момент /0 мож-
но определить '
= —Д/г (/0) ctg ср, где ф — угол, образуемый
касательной к кривой Д/г (/) в точке
Такая оценка времени жизни более уни-
версальна, чем приведенная выше для ли-
нейной рекомбинации, но сопряжена с боль-
шей ошибкой, связанной с неточностью по-
строения касательной к экспериментально
полученной кривой.
Мы анализировали выше только кри-
вые спада избыточной концентрации при
выключении генерации. Можно провести
анализ релаксации избыточной концентра-
ции к стационарному значению, задаваемому
некоторой стационарной скоростью генерации. Проделаем это для линейной ре-
комбинации. Введем эффективную скорость генерации G аналогично тому, как
мы это делали, вводя эффективную скорость рекомбинации в формуле (4.16):
Gn = ЯпЕ — гПЕ- Тогда уравнение непрерывности в отсутствие электрического
тока будет иметь для линейной рекомбинации вид: dnldt = G — knlxn (4.25). Это
неоднородное дифференциальное уравнение. Общее решение однородного урав-
нения можно получить в виде Д/г (/) = Ae-t/^n. Подбором определяем част-
ное решение уравнения (4.25): Д/г (/) = Gxn = Д/гСтац> которое дает стацио-
нарное значение избыточной концентрации Д/гСтац- Тогда общее решение
уравнения (4.25) имеет вид: Д/г (/) = Ае~^хп-\- Gxn, и, определяя константу А
из начальных условий Дп/^=0 = 0, получим общее решение уравнения (4.25) в
виде:
Дп (0 = 0т(1 -
(4.26)
На рис. 54, б представлены кривые нарастания и спада избыточной кон-
центрации при генерации импульсами света прямоугольной формы. Такую зави-
симость G (/), как на рис. 54, а, можно, например, получить при освещении полу-
проводника импульсами света, генерирующего избыточные носители заряда
равномерно по глубине образца.
Если интенсивность света, падающего на образец, /0, то на глубине х ин-
тенсивность света будет определяться по формуле Буггера — Ламберта / (х) =
= IQe~ax, где а — коэффициент поглощения света, производящего собственную
генерацию в данном полупроводнике.
Тогда при толщине образца d <С а-1, если на каждый поглощенный квант
рождается т) электронно-дырочных пар, то изменение избыточной концентрации
122
в единицу времени может быть записано в виде эффективной скорости генерации
G = ат|/0.
Величина т] называется квантовым выходом световой генерации и обычно
вследствие некоторых побочных эффектов бывает меньше единицы. Тогда стаци-
онарная избыточная концентрация при данном уровне возбуждения, задаваемого
величиной интенсивности падающего света /0, коэффициентом его поглощения а
и квантовым выходом т), будет определяться временем жизни тп: ЛпСтац= =
= /оалтн, а релаксационные кривые избыточной концентрации будут опреде-
ляться законами Ди (/) = а/г]Тп/0 (1 —для нарастания избыточной кон-
центрации после включения освещения; Ди (7) = для спада избы-
точной концентрации после выключения освещения.
Очевидно, для различных конкретных механизмов генерации
и рекомбинации кривые нарастания и спада избыточной концен-
трации будут иметь различный вид и, исследуя эти кривые, мож-
но определять мгновенное время жизни. Изучая его зависимость
от времени, температуры и концентрации носителей заряда, мо-
жно найти закон рекомбинации, на основании которого делаются
выводы о возможном механизме рекомбинации в данном полупро-
воднике. Например, линейная рекомбинация может свидетель-
ствовать об участии в рекомбинации рекомбинационных центров
и невысоком уровне возбуждения. Квадратичная рекомбинация
свойственна прямой межзонной рекомбинации, которая часто
бывает излучательной. Ударная ионизация Оже, требующая
участия трех свободных носителей заряда, должна следовать
кубическому закону, и времена жизни легированных полупро-
водниках при ударной рекомбинации будут обратно пропорцио-
нальны квадрату концентрации основных носителей заряда,
тогда как при прямой излучательной рекомбинации они обратно
пропорциональны первой степени концентрации основных носи-
телей заряда (4.23).
4.5. СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ
ХОЛЛА—ШОКЛИ—РИДА.
ЗАВИСИМОСТЬ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ
ОТ ПОЛОЖЕНИЯ УРОВНЯ ФЕРМИ
Рассмотрим идеализированную модель рекомбинации электронно-
дырочных пар, удовлетворяющую следующим условиям.
Рекомбинация идет чедезд>дин тип рекомбинационных центров,
энергетический уровень которых Et расположен для определен-
ности в верхней половине запрещенной зоны.
Концентрация рекомбинационных центров Nt полагается на-
столько малой, что можно не учитывать изменения концентрации
свободных носителей в разрешенных зонах при любом заполнении
рекомбинационных" центров захваченными носителями.
Неравновесная концентрация свободных носителей в зонах бу-
дет, как всегда, записываться в виде п = nQ + &п и р = pQ +
+ Др, и все неравновесные носители будут считаться термолизо-
123
^//////////^ Ес
/ Ч__Z /у
ванными, т. е. их распределение по энергиям в зонах может быть
описано с помощью функции Ферми—Дирака при введении квази-
уровней Ферми.
Уровень инжекции будет считаться низким, так что расщепле-
нием квазиуровней Ферми можно пренебречь и характеризовать
все частицы в системе единым уровнем Ферми.
Концентрации носителей заряда будут вычисляться по форму-
лам для невырожденного полупроводника, т. е. при изменении
положения уровня Ферми в запрещенной зоне он не подходит
к экстремумам разрешенных зон ближе, чем на величину k0T.
Предполагается, что тип проводимости и положение уровня
Ферми определяются легированием и температурой, но вводимые
при этом примеси не влияют на рекомбинацию. Это предположение
объяснено тем, что легирующие при-
меси имеют мелкие энергетические
состояния, а при глубоких рекомби-
национных уровнях Et рекомбинация
главным образом идет при участии
последних.
Да рис. 55 изображены .электрон-
ные переходы, происходящие в этой
идеализированной модели. Такая мо-
дель была проанализирована Хол-
лом, Шокли и Ридом, и теория ре-
комбинации, созданная на основе
этой модели, получила название ста-
тистики рекомбинации Холла—Шок-
ли—Рида. Результатом этой теории
было выявление зависимости" време-
ни жизни электронно-дырочных пар от положения уровня Ферми
и характеристик введенных рекомбинационных центров.
Рекомбинация электронно-дырочных пар (см. рис. 55) идет,
если на уровень £z, занятый дыркой, захватывается электрон (/)
или если на уровень, занятый электроном, захватывается дыр-
ка (2). Переходы электронов с уровня Et в зону проводимости (3)
и дырок с Et в валентную Зону (4) — обратные' тепловые выбросы,
конкурирующие с процессом рекомбинации и генерирующие сво-
бодные электроны и дырки в соответствующих зонах. Таким обра-
зом, результирующая скорость электронно-дырочных пар должна
определяться балансом четырех вышеописанных процессов. Так
как процесс рекомбинации предполагается стационарным, то
для осуществления стационарных условий нужно ввести еще пе-
реходы 5, соответствующие.генерации электронно-дырочных пар,
напримеШ-Световым ъозбуждениём. Разность интенсивностей пере-
ходов 1 и 3 изменяет концентрацию электронов в зоне проводи-
мости за счет эффективной рекомбинации Rp через уровень £z,
а разность интенсивностей переходов 2 и 4 изменяет концентра-
цию дырок в валентной зоне за счет эффективной рекомбинации Rp
124
4
5
2
Рис. 55. Схема рекомбинации по
модели Холла —Шокли —Рида:
1 — захват электрона на уровень
Ер 2 — захват дырки на уровень
Ер 3 — тепловой выброс электрона
с уровня Е* в зону проводимости;
4 — тепловой выброс дырки с уров-
ня Е^ в валентную зону; 5 —
генерация электронно-дырочной
пары
через тот же уровень Et. Так как электроны и дырки генерируют
и рекомбинируют парами и процесс стационарен за счет генерации
G, то Rn = Rp = R = G (4.27).
Вычислим отдельно величины Rn и /?р. Число рекомбинационных пере-
ходов 1 в единицу времени электронов из зоны проводимости на уровни Et, за-
нятые дырками, можно представить в соответствии с формулой (4.7) в виде: гп =
= ynptn, где уп= Cn{vn) — вероятность захвата одного электрона; pt — кон-
центрация дырок на уровне Е/; п — концентрация электрона в зоне проводи-
мости.
Число обратных тепловых выбросов 3 в единицу времени электронов с уров-
ней Ef в зону проводимости можно представить в виде: gn = где — ве-
роятность теплового выброса одного электрона; п/ — концентрация электронов
на уровнях Ef.
Тогда Rn = rn — gn = tnPtn — Pnnt (4.28).
Выразим через остальные величины. При отсутствии внешней генера-
ции G наступит термодинамическое равновесие и тогда по принципу детального
равновесия rn = gn.
Переходя к равновесным концентрациям, имеем: ynptonQ = Детальное
равновесие должно соблюдаться при любом положении уровня Ферми, в ча-
стности и тогда, когда уровень Ферми совпадает с уровнем Ef. В этом случае,
если предположить фактор вырождения состояния Ef равным единице, то при
F = Et pio = nio. Тогда = ynnQ \f = Et = ynni (4.29), где пг — равновесная
концентрация электронов в зоне проводимости при F = Ef : пх =
= Nce~(Ec~Et)/k°T (4.30).
Подставляя выражение (4.29) в формулу (4.28), получим: Rn = уп (ptn — n1nf)
(4.31). Аналогично найдем величину Rp: Rp= rp — gp = УррЩ — $ppt (4.32),
где rp и gp — скорости процессов 2 и 4 соответственно; ур — вероятность за-
хвата одной дырки на уровень Et, занятый электроном; рр — вероятность те-
плового выброса дырки в валентную зону.
Используя, как это было сделано выше, принцип детального равновесия
для F = Ef и полагая фактор вырождения уровня Е/ равным единице, получим
Рр = урр01 F=Et ~ УрРъ где pi — концентрация дырок в валентной зоне, когда
F = Ft, Pi = Nve~(Et~Ev)/k‘>T (4.33). Тогда Rp = ур (pnt - p1Pt) (4.34).
Обсудим физический смысл величин пг и pv Сопоставляя выражения (4.31)
с (4.28) и (4.34) с (4.32), видим, что gn = yn^t и gp = yPPiPt-
Значит, rii и pi выступают как эффективные числа свободных состояний для
электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне соответственно при их
тепловых перебросах с уровня Et в соответствующие зоны. Величина умень-
шена по сравнению с Nc в е^Еt/k°T раз, а величина рг уменьшена по сравнению
с Nv в e(^Et)/^T раз. Эффективное уменьшение числа состояний соответ-
ствует тому факту, что электронам и дыркам для перебросов в зону проводимости
и валентную зону соответственно требуется преодолевать потенциальные барьеры.
Тогда Hi и р] — эффективные числа свободных состояний для электронов в зоне
проводимости и дырок в валентной зоне, приведенных к уровню рекомбинацион-
ных ловушек Ef. Заметим, что согласно (4.30) и (4.33)
«А = N cN^E/koT = ncP0 = n-l (4.35)
Найдем концентрацию электронов nt, захваченных на уровни Е/ при ста-
ционарном процессе рекомбинации. Подставляя выражения (4.31) и (4.34) в фор-
мулу (4.27) и выражая отсюда П/, имеем
nt=Nt (упп + УРР1)/[Уп (п + п,) + ур (р + рг)]. (4.36)
Тогда число свободных состояний на уровне Е/, равное концентрации ды-
рок pt, составит:
pt = Nt - nt = Nt (ypp + Wii)/lVn (n + nx) + yp (p + pj)]. (4.37)
125
Подставляя выражение (4.36) в формулу (4.31) или (4.37) в (4.34), по-
лучим
R = Rn = Rp = УпУр (пр — Пгр-^Цуп (п + п^) + Ур (р + Pi)] • (4.38)
Время жизни электронов в стационарном состоянии может
быть записано в виде: тЛ = Дп/G (4.39), а время жизни дырок:
= Др/G (4.40).
Так как в условиях стационарной генерации при малом числе
центров захвата Дп = Др, то отсюда следует равенство хп =
= хр = х (4.41), что в условиях рекомбинации через рекомбина-
ционные центры, вообще говоря, не всегда имеет место.
Воспользовавшись представлением неравновесных концентра-
ций электронов и дырок в виде п = п0 + Ди; р = р0 + Др и
подставляя их в формулу (4.38) с учетом условия R = G и формул
(4.35), (4.39) и (4.41), получим для времени жизни х электронно-
дырочных пар выражение
т __ »о + »i 4~ Ап____|___Ро + Р1 + Ар (Д. Д.\
ypNt (п0 + Ро + Ап) ynNt (п0 + р0 + Ди) V • /
Так как величина l/ynNf на основании выражения (4.9)
имеет смысл времени жизни электронов относительно захвата на
центры £z, когда они полностью свободны от электронов, т. е.
полностью заполнены дырками, а величина l/ypNt имеет смысл
времени жизни дырок относительно захвата на центры £z, когда
они полностью свободны от дырок, т. е. заполнены электронами,
то можно ввести для этих времен жизни обозначения:
тПо = 1/ynNt и тРо = l/ypNt. (4.43)
Подставляя обозначения (4.43) в формулу (4.42), получим за-
висимость времени жизни электронно-дырочных пар:
г = г + ”1 + Ап Ро + Pi + Ар ,,
Ро п0 + Ро + An + п° nQ + Ро + Ап ’ '
Так как предполагался малый уровень инжекции, то величи-
ной Дп в формуле (4.44) можно пренебречь. Тогда получим
т — тр0 1("о + ni)/(no + Ро)] + ^п0 [(Ро + Р1)/(«о + Ро)]- (4.45)
Из анализа уравнения (4.45) видно, что величина времени жизни
электронно-дырочных пар не зависит от неравновесных концен-
траций, как этого и следовало ожидать при малом уровне инжек-
ции, а зависит от равновесных концентраций электронов и дырок
п0 и ро, значения которых определяются положением уровня
Ферми. Величина х зависит также от типа и концентрации центров
рекомбинации, а именно через величины т„0 и тРо от концентрации
N( и коэффициентов захвата уп и ур электронов и дырок на эти
центры, а через пг и рг — от энергетического положения реком-
бинационного уровня Et в запрещенной зоне.
Проанализируем в формуле (4.45) зависимость времени жизни х
от положения уровня Ферми F, определяемого величинами п0
и р0 для некоторого заданного типа и концентрации рекомбина-
126
Рис. 56. З’эттвимость- времени
жизни от положения уровня
Ферми в запрещенной зоне.
— уровень рекомбинацион-
ных центров
ционных центров. Будем считать, что величины тЛо и хРо от из-
менения положения уровня Ферми не зависят, хотя, вообще го-
воря, если изменение уровня Ферми связано с изменением тем-
пературы, то величины тЛо и тРо могут также изменяться с темпе-
ратурой, так как они связаны со средними тепловыми скоростями
электронов и дырок (4.9).
На рис. 56 дана зависимость времени жизни от положения
равновесного уровня Ферми, полученная на основании следующих
рассуждений. Разобьем „запрещенную зону на четыре области,
как показано на рис. 54, и рассмотрим зависимость}!!^-^/ (F)
для каждой из четырех областей.
I ^область: Et < F < Ес. В этой
области полупроводник имеет___/г-щп
проводимости и справедливы соотноше-
ния > р07 По » пь рг > /2р.
Тогда выражение (4.45) переходит
в т = хРо (4.46).
Этот вывод понятен из следующих
рассуждений. В области I уровень Фер-
ми лежит выше рекомбинационного
уровня Et и, знач>ит, уровень Et будет
заполнен электронами, так как на уров-
не Ферми заполнение электронами
равно V2, а ниже уровня Ферми заполнение стремится к 1 и в
пределах нескольких kQT ниже F практически равно 1. Тогда
каждый захват дырки на состояния £z, целиком заполненные за-
хваченными из зоны проводимости электронами, будет сопровож-
даться актом рекомбинации, т. е. релаксационное время жизни,
вычисляемое по формуле (4.45), будет определяться только
вероятностью захвата дырок и будет равно тРв, как мы и по-
лучили в уравнении (4.46).
II область:^Е^<^ F <Z Е±. В этом случае все еще сохраняется
и-тип прпвбдимости справедливы другие соотношения
концёнтрацйй nJ’C и j?i > Ро- Тогда уравнение J4.45),с учетом
Hi р\ можно/записать:/т.= Ир^/По (4.47)"*
Подставляя в формулу (4.47) величины пг из уравнения (4.30),
а и0 по формуле (3.22) для концентрации равновеснкх-электронов
в невырожденном полупроводнике, получаемых = xPQe^Et~F^k°^J
Таким образом, при понижении уровня Ферми от величины £z
до середины запрещенной зоны время жизни растет по экспонен-
циальному закону и в полулогарифмическом масштабе на рис. 51
мы получим линейное возрастание величины In т с приближением
уровня Ферми к £z. Этот рост можно объяснить уменьшением
вероятности рекомбинации в этой области из-за быстрого умень-
шения заполнения центров рекомбинации электронами (напом-
ним, что теперь F <£,).
Далее удобно рассмотреть понижение уровня Ферми сначала
в области IV, а затем в III.
127
IV область: E# <^F <^ЕЬ + А£У. Для этой области полу-
п р о водник будет р-т ипа проводимости и р0^> пй и будутсправед-
ливыми соотнош^ия_концентраций~ро Pi, С Ро-
Тогда формула (4.45) примет^вВДГТ"^
Это соотношение можно объяснить по аналогии с уравнением
(4.46) следующими соображениями. Когда уровень Ферми лежит
в области IV, то все центры рекомбинации Et должны быть сво-
бодны от. электронов, т. е. заполнены дырками, и вероятность ре-
комбинации определяется только захватом электронов на заполнен-
ные дырками уровни Et.
Ill „область: + &Et <ZF<ZEi; Так как в_этом случае
Уровень Ферми находится в нижнёи половине запрещ^ной^аоны.
то полупроводник ^тйпЗ^'^ТТфавед соотношения Ро-^> п0,
Ро Pi и Tii > и0. Тогда формула (4.45) примет вид:. т = XpjiJ
/р0 + ^п0 (4.49). Проанализируем изменение вклада первого
слагаемого формулы (4.49) при движении уровня Ферми в обла-
сти III к середине запрещенной зоны Et:
Лро V- = тРо (Nc/N0) elF - (£p+^)]/V. I (4.50)
A'O _ у
Так как с приближением F к Et числитель показателя экспо-
ненты в уравнении (4.50) растет, то и время жизни т в выражении
(4.49) увеличивается. Очевидно, этот рост будет продолжаться до
достижения уровнем Ферми значения Et. Таким образом, при
F = Ei будет максимальное время жизни. Рост времени жизни
в области III с приближением уровня Ферми к Et можно объяс-
нить следующим образом. Рекомбинационные центры так же, как
и для области IV, в этом случае свободны от электронов, т. е.
заняты дырками. Но поскольку теперь с движением F к Et умень-
шается общая концентрация дырок в валентной зоне, то вероят-
ность обратного теплового выброса захваченных ловушками ды-
рок в валентную зону все более конкурирует с уменьшающейся
вероятностью рекомбинации, происходящей при захвате электро-
нов.
Вблизи границ четырех областей изменения уровня Ферми на
рис. 51 должны быть переходные нелинейные участки в пределах
нескольких kQT, где для установления зависимости In т = f (F)
следует пользоваться общим выражением (4.45).
Из приведенного анализа изменения времени жизни с измене-
нием положения уровня Ферми следует важный вывод: при ярко
выраженном типе проводимости (области I и IV) время жизни
носителей заряда в полупроводнике определяется неосновными
носителями заряда. Поэтому для характеристики рекомбинацион-
ных процессов в полупроводнике вводится понятие времени жизни
неосновных носителей заряда.
Здесь мы рассматривали время жизни электронно-дырочных
пар при бесконечно малом уровне инжекции. Если воспользоваться
общим выражением (4.44) в предположении большого уровня воз-
128
Суждения, то можно получить величину времени жизни носителей
заряда при практически бесконечном высоком уровне возбуждения
в виде: т = т*, = ?n0 + тРо . Считая, что формула (4.45) опре-
деляет время жизни при бесконечно малом уровне возбуждения,
и обозначая получаемую по этой формуле величину т0, можно
показать, что при любом уровне возбуждения время жизни в фор-
муле (4.44) можно выразить через величины т0 и т*, в виде т =
= [«о + Ро) то + ]/(«о + Ро + д«)-
Тогда получается, что в зависимости от того, больше или меньше единицы
соотношение величин t^/tq, время жизни будет расти или падать с ростом уровня
возбуждения. Величина этого соотношения, вообще говоря, зависит от приме-
сей, температуры и т. д. Независимо от того, будет ли т0> или т0 <1^,
величина т [1 + Ап/(п0-|- р0)] растет с ростом уровня возбуждения, характе-
ризуемого величиной Ап, по линейному закону, определяемому выражением:
Т [ I + Лп/(п0 + ро) ] = т0 + т^ [Лп/(л0 + Ро) ].
Следовательно, если справедлива модель рекомбинации Шокли — Рида,
величины т0 и можно найти по наклону и начальной ординате прямой зави-
симости величины т [1 + Ап/(п0 + р0)] в функции от величины An/(n0+ р0).
Заметим, что последняя величина характеризует уровень возбуждения. Откло-
нение этой зависимости от линейного закона будет свидетельствовать о том, что
модель Шокли — Рида не соответствует экспериментальным данным. Это может
быть связано с влиянием механизмов прилипания и вообще других механизмов
рекомбинации (например, механизма Оже). Кроме того, возможно участие в ре-
комбинации более чем одного типа рекомбинационных центров. Возможно также,
что концентрация рекомбинационных центров не может считаться малой, как
в модели Шокли — Рида.
4.6. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВРЕМЕНИ
ЖИЗНИ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПОЛОЖЕНИЯ
РЕКОМБИНАЦИОННЫХ УРОВНЕЙ
Теория рекомбинации Холла—Шокли—Рида, основные положе-
ния которой были изложены в предыдущем разделе, дает зависи-
мость времени жизни от уровня Ферми, который при малом уровне
инжекции совпадает с равновесным.
В главе 3, посвященной статистике равновесных полупровод-
ников, определены температурные зависимости уровня Ферми для
собственного и примесного полупроводников. Выполнение усло-
вия малого уровня инжекции позволяет нам объединить зависи-
мости т (F) и F (Т) и определить зависимость т (Т). Иллюстрируем
это графическими построениями для донорного полупроводника,
в который введены рекомбинационные центры, дающие глубокий
энергетический уровень Et в верхней половине запрещенной зоны
ниже мелкого уровня легирующих доноров. На рис. 57, а пока-
заны три области: 1 — область ионизации примеси; 2 — область
истощения и = Nd\ 3 — область собственной проводимости.
На рис. 57, б приведена температурная зависимость уровня
Ферми. В области истощения донорной примеси уровень Ферми
5 Горбачев В. В , Спицына Л Г.
129
продолжает опускаться вниз к середине запрещенной зоны.
Участок этой зависимости для Ес << F < Ft соответствует об-
ласти I на рис. 56. Поэтому при этих температурах время жизни по-
стоянно и равно тро [участки Г и I на кривой In т (1/7) рис. 57, в].
Участок зависимости F (1/7) на рис. 57, б, где Et <ZF <ZEt со-
ответствует области II на рис. 56. Тогда время жизни электронно-
дырочных пар этой области в соответствии с формулой (4.47)
должно быть представлено в виде:
t = тРЛ1/«о = Тр, (Nc/Nd) e~hEt!koT, (4.51)
где мы воспользовались данными рис. 57, а, для концентрации
п0 = Nd в этом температурном интервале, соответствующем го-
Рис. 57. Температурные зависи-
мости равновесной концентрации
электронов (а), уровня Ферми (б)
и времени жизни (в) в полупро-
воднике n-типа с рекомбина-
ционными уровнями, располо-
женными в верхней половине
запрещенной зоны
ризонтальному участку 2 на кривой
In п0 (1/7). Тогда, как следует из урав-
нения (4.51): In т = In [тРо (А/с/А^)] —
\Et/kQT (4.52), и если пренебречь сла-
бой температурной зависимостью пер-
вого слагаемого в правой части формулы
(4.52), то участок кривой In т (1/7) в
этом температурном интервале должен
представлять прямую линию, тангенс
угла наклона которой к оси абсцисс:
tg ср = —^EtlkQ, откуда \Et =
= -Mg<₽ (4.53)
Таким образом, формула (4.53) дает
способ нахождения энергии Д£, =
= Ес — Et, определяющей положение
рекомбинационного уровня Et. При
удалении уровня Ферми от .середины
запрещенной зоны время жизни уменьшится (см. область III
рис. 57, в) как в случае Nc <ZNC, так и 'в'Тлучае Nc > Nv.
Рассмотрим теперь температурную зависимость первого сла-
гаемого в формуле (4.52). Эффективное число состояний Nc про-
порционально 73/2, а параметр тРо пропорционален 71/2 в соответ-
ствии с уравнением (4.10), если считать, что эффективное сечение
захвата дырок на уровень Et не изменяется с температурой, и
температурная зависимость тРо определяется только температур-
ной зависимостью средней тепловой скорости дырок (vp) ~ Т^2.
Тогда с учетом температурной зависимости предэкспоненциаль-
ного множителя в формуле (4.51) для спрямления температурной
зависимости времени жизни на участке II ее следует строить в осях
In (т/72) = f (1/7) и тангенс угла наклона фх этой прямой к оси
абсцисс позволяет более точно определить энергию Д£/ =
= — 2k0 tg фх.
Напомним, что в приведенном выше рассмотрении температур-
ной зависимости времени жизни в полупроводнике n-типа мы
130
считали, что уровень Et расположен в верхней половине запре-
щенной зоны. Оказывается, если уровень Et в донурном полу-
проводнике расположен в нижней половине запрещенной зоны,
то аналогичный анализ зависимости времени жизни от уровня
Ферми покажет, что области // и /// (см. рис. 56) поменяются
местами. Тогда при анализе температурной зависимости уровня
Ферми мы получим аналогичную по виду с рис. 57, в зависимость
In т = f (1/7"), но на участке // угол ф будет определяться не
величиной AEt = Ес — Et, как было ранее, а величиной
(ДЕ — AEJ, т. е. Jg ф == —kn (А£ — AEJ == —kn(Et— EJ.
Таким образом, если заранее не известно, в как^Ьча^ти за-
прещенной зоны расположен уровень Etl то анализ температур-
ной зависимости времени жизни на участке истощения донорной
примеси не позволяет находить однозначно энергетическое поло-
жение рекомбинационного уровня, а только показывает энерге-
тическое расположение его относительно края одной из разрешен-
ных зон: или зоны проводимости, или валентной зоны.
4.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ ДРЕЙФА И ДИФФУЗИИ
НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ.
СООТНОШЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА
При рассмотрении общего вида уравнения непрерывности для
полупроводников мы определили, что концентрации неравновес-
ных носителей заряда в полупроводниках изменяются за счет
генерации и рекомбинации, а также за счет протекания в полу-
проводнике электрического тока (4.14) и (4.15). До сих пор мы
ограничились рассмотрением неравновесных полупроводников
в отсутствие электрического тока. Рассмотрим теперь неравновес-
ные явления, возникающие в полупроводниках при протекании
электрического тока. Вводя эффективные скорости генерации
Grt,p и рекомбинации Rn,P, мы можем переписать уравнение
непрерывности для электронов в виде
дп/dt = —div Jn/en + Gn — Rn, (4.54)
а для дырок в виде
dp/dt = — div jp/ep + GP — RP. (4.55)
Полный электрический ток в полупроводнике будет опреде-
ляться суммой электронного и дырочного токов: / = jn + jp.
Если полупроводник однородный, то полный ток определяется
только дрейфом носителей в электрическом поле. Выражение
тока дрейфа jnE электронов имеет вид: jnE = епп\ьпЕ (4.56),
а тока дрейфа дырок: jpE = ерр\ьрЕ (4.57).
Полный электрический ток дрейфа определяется суммой элек-
тронной и дырочной компонент, причем оба члена этой суммы
5* 131
имеют одинаковые знаки, так как выражения (4.56) и (4.57)
различаются не только знаком заряда электронов и дырок, но и
знаком их подвижности.
Если рассматривать только абсолютные значения подвиж-
ностей и электрических зарядов электронов и дырок, то
jE = еп | | Е + ер | р.р | Ё, где е = | еп | = ер.
Далее знак модуля для подвижностей мы будем опускать,
подразумевая под и их абсолютные величины. Если полу-
проводник неоднородный и в нем есть градиент концентрации
носителей заряда, то это вызовет диффузионные токи носителей.
Поток носителей заряда будет направлен противоположно гра-
диенту концентрации, т. е. из области с большой концентрацией
в область с меньшей концентрацией. Тогда выражение плотности
электрического тока диффузии электронов имеет вид: jnD =
= —enDn\?n = eDn\]n, а плотности электрического диффузион-
ного тока дырок: jpD = —epDpyp = —eDp\p.
Полный диффузионный ток носителей заряда будет равен алге-
браической сумме токов электронов и дырок:
/о = InD + /pD = eDnVn — eDp\p. (4.58)
Таким образом, электрические токи диффузии электронов и
дырок направлены в разные стороны и частично компенсируют
друг друга. Мы говорим здесь о частичной компенсации, так как
коэффициенты диффузии электронов и дырок различны и даже
при выполнении условия электронейтральности и равенстве гра-
диентов концентрации электронов и дырок полная взаимная ком-
пенсация этих токов не наступает. Заметим, что обычно Dn > Dp.
Предположим, что мы имеем электронный полупроводник
в состоянии термодинамического равновесия. Тогда полный ток,
обусловленный дрейфом и диффузией электронов, будет равен
нулю и будет справедливо выражение
еп[1пЕ + eDnVn = 0. (4.59)
Так как в электрическом поле Е электроны набирают энергию:
U = еп^> = —£ф (4.60), где ф — потенциал, определяемый соот-
ношением Е = — уф, то, считая полупроводник невырожденным
и принимая поэтому для электронов равновесное распределение
по энергиям Максвелла—Больцмана, мы получим
п =. N.e~ (Eco~F)lkaTee(p/koT = nQee(p/k^Tf
где п0 — концентрация носителей в отсутствие электрического
поля.
Найдем уп через потенциал ф: yn = (nQe/kQT) ee(p/k°T\/^
(4.61).
132
Подставляя выражение (4.61) и (4.60) в формулу (4.59) и про-
водя сокращения, мы получим
— eDnlkQTjA ли ^Dn = e/k0T. (4.62)
Последнее соотношение было получено Эйнштейном и назы-
вается cobfftHoiueHueM 5лектроновГТаким же обра-
зом можно получить^ля дырВкГ7гр^.^ е/й0Т (4.63).
Напомним, при"1вывод мы полагали,
что реализуется состояние термодинамического равновесия и по-
лупроводник невырожденный. Очевидно, что первое требование
обязательно для вывода пропорциональности коэффициента диф-
фузии и подвижности, а второе нет, и в общем случае можно
получить соотношение Эйнштейна в другом виде, используя
функцию распределения по энергиям Ферми—Дирака. Тогда
справедливо:
Г1/21 \С r)/^0yl
где Л/2 [— (Ес — F)/k0T] и I— (Ес — F)/kQT] — интегралы
Ферми порядка V2 и —V2 соответственно.
4.8. ДВИЖЕНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ
ЗАРЯДА В СЛАБЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Рассмотрим задачу о пространственном распределении неравно-
весных носителей заряда в полупроводнике при отсутствии внеш-
ней генерации носителей заряда и в предположении поддержания
стационарного состояния за счет процессов рекомбинации и про-
текания электрического тока. Предположим, что рекомбинация
идет по линейному закону. Тогда уравнение непрерывности для
дырок в полупроводнике п-типа (4.55) перейдет в
—div 'jp/e — \р/Хр = 0. (4.64)
Полный дырочный ток состоит из токов дрейфового и диффу-
зионного. Однако в условиях слабого электрического поля можно
пренебречь током дрейфа по сравнению с током диффузии. Тогда
К =* ipD = —eDpVp. (4.65)
Подставляя выражение (4.65) в формулу (4.64) и считая за-
дачу одномерной, получим: Dpd^pldx2, — Ьр1хр = 0.
Решая это уравнение в предположении, что избыточная кон-
центрация дырок на границе х = 0 определена величиной Др (0),
получим для пространственного распределения дырок выражение
Др(х) = Др(0)е ^DpXp = bp(0)e X/Lp,
133
где величина Lp = VDPxp определяет ^расстояние, на котором
избыточная ^концентрация дырок.хпадает~ в. е раз и называется
диф^дзтннхгй длиной дырок. '
Физический смысл величины Lp понятен из ее определения как
среднего пути, проходимого дырками за время жизни в процессе
их диффузии. Спад избыточной концентрации носителей заряда
с расстоянием объясняется рекомбинацией при их диффузии
в глубь кристалла.
Оценим значение диффузионной длины Lp для полупроводника с типичными
параметрами. Найдем коэффициент диффузии дырок в собственном германии при
Т =г"30е^4С^из .доо.тнршения Эйнштейна (4.63):
/п W 1 0,026 эВ см2
/ Р = ~1р- Т "ВТ- = 49 см /с-
Примемодами дьцмм^соетавляег~ 100 мкс. Тогда Lp = V^Dptp =
= К49-10"4= 7-Ю"2 см = 0,7 мм. Стационарное состояние в рассматрива-
емом случае может поддерживаться лишь за счет введения на границе х = 0
электрического тока дырок, определяемого соотношением
Гр |х=0 = ~eDp^P |х=0 = Ар (0)Лр - Гр (0). (4.66)
Полный ток в любом сечении кристалла должен оставаться постоянным,
тогда как ток дырок спадает по экспоненте
Тр (*) = ip (0) e~x/LP = [eDp Др (0)/Lp] e~x/LP ,
а ток электронов растет по закону
Tn(*)=7— 7Pw =7—7P(0)e X/Lp.
(4.67)
Введем коэффициент инэ> екции дырок у соотношением у — /р (0)// (4.68).
Коэффициент инжекции определяет долю дырочного тока в полном токе носите-
лей заряда через полупроводник. Тогда электронный ток при х = 0 тоже можно
определить через коэффициент инжекции: jn (0) = (1—у).,
Рис. 58. Распределение диф-
фузионных токов электро-
нов и дырок (а) и избыточ-
ной концентрации электро-
нов и дырок (б)
Подставляя в формулу (4.67) /р (0) - из урав-
нения (4.68), получим jn = /(1 —ye~x/Lp)’
Если коэффициент инжекции равен 1, то на
границе весь ток переносится дырками, а по мере
углубления в кристалл дырочная компонента тока
падает, но зато растет электронная. Соотношение
электронной и дырочной составляющих тока в
образце при 1 > у> 0 показано на рис. 58; на
этом же рисунке дано распределение избыточных
дырок (и электронов) вблизи инжектирующего кон-
такта при х = 0. Избыточная концентрация элек-
тронов устанавливается равной избыточной концент-
рации дырок за время порядка максвелловского
времени релаксации тдо, т. е. практически мгно-
венно. Проводимость в приконтактной области
изменяется в слое, толщиной порядка диффузион-
ной длины дырок Lp. Это изменение может быть
134
записано в виде: До = еДр|1р (1 + 6), где b — отношение подвижностей, элек-
тронов и дырок.
Такое обогащение приконтактной области основными и неосновными носи-
телями заряда за счет инжекции происходит при положительном направлении
тока от контакта к полупроводнику, т. е. на контакт подается положительное
смещение, а на образец n-типа отрицательное. Очевидно, если поменять тип про-
водимости полупроводника, то для осуществления инжекции в полупроводник
p-типа неосновных носителей — электронов нужно подавать на контакт отри-
цательное смещение.
Рассмотрим, что произойдет в контакте, имеющем коэффициент инжекции
у > 0, если ток отрицателен, т. е. течет из полупроводника в сторону контакта.
Из уравнения (4.66) видно, что если ток отрицателен, то отрицательна и избыточ-
ная концентрация носителей заряда (в данном случае избыточных дырок)
Др (0) < 0. Следовательно, приконтактная область обеднится неосновными
носителями заряда. Это явление вытягивания носителей из кристалла получило
название экстракции носителей заряда. Эффект особенно существен для контактов
с коэффициентом инжекции у, близким к единице. При экстракции дырок также
должна выполняться максвелловская релаксация объемного заряда, и обеднение
приконтактной области дырками вызовет ее обеднение также и электро-
нами.
Найдем теперь критическое поле EHPt определяющее случаи слабого элек-
трического поля, уже рассмотренного нами Е < ЕКР. Критерием слабого поля
мы выбрали соотношение |/е | <С I/dI, когда токами дрейфа можно пренебречь
по сравнению с токами диффузии. Очевидно, если справедливо обратное соотно-
шение |/е| > |/d|, то будет выполняться условие сильного поля и можно пре-
небречь токами диффузии. Тогда критическое поле ЕКР можно оценить из усло-
вия равенства токов дрейфа и диффузии: ерр.рЕКР = —eDPvp = epDlLp.
Откуда критическое поле ЕКР = DI(p,Lp) = к^Т1(еЬр). (4.69)
Физический смьюл параметра ясен из* формулы (4.69Т? Критическое поле
соответствует такой напряженнос^щдодд* когда носитель заряда на расстоянии,
равном диффузионной длине, набирает в этом поле энергию порядка k0T : eEKPLp=
^Т. ... ----------
Если энергия, набираемая в электрическом поле, много меньше kQT, то поле
слабое, и движение носителей определяется диффузией. Если энергия, наби-
раемая в электрическом поле, много больше kQT, то поле сильное, и движение
носителей в основном определяется дрейфом.
4.9. ДВИЖЕНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Рассмотрим задачу о стационарном распределении неосновных
носителей заряда в полупроводнике n-типа при отсутствии внеш-
ней генерации в условиях сильного электрического поля Е
Еир. Тогда уравнение непрерывности для дырок можно запи-
сать в виде (4.64) и, подставляя в уравнение (4.64) ток дрейфа
дырок (4.57) в качестве полного тока, получим
—div (еррррЕ)1ер — Др/тр = 0.
Полагая задачу одномерной и считая электрическое поле и по-
движность не зависящими от координат, получим уравнение
135
dp!dx — Ap/((LipETp) = 0, решение которого при граничных усло-
виях Др|х=о = Др (0) имеет вид:
Др (х) = Др (0) е'х'^рЕХр} = Др (0) e'xJlEp, (4.70)
где величина lE = ^рЕхр называется д реповой длиной &ъиюк.
На расстоя?ншТГТЯв^^ДО концен-
трация падает в е раз. Дрецфокая^длина соответствует среднему
пути, который проходят носители за время жизни., дрейфуя
£ электрическом поле? Можно записать дрейфовукГдлину через
диффузионную, используя сосщцмнение Эйнштейна (4.63) и поня-
тие критического поля £кр (4.69) в виде: lEp = ELp/EKp (4.71).
В выражении (4.71) при Е £кр будет выполняться соотно-
шение 1Ер > Lp.
Таким образом, мы получили, что электрическое поле довольно далеко за-
тягивает носители заряда, инжектируемые в точке х = 0. Рассмотрим, чем же
будет определяться распределение носителей в направлении для дырок — против
поля Е, для электронов — по полю Е. Для ответа на этот вопрос нужно решить
общую задачу с учетом как токов дрейфа, так и токов диффузии. Уравнение
непрерывности (4.64) в этом случае имеет вид:
[—div (ерррЕ — eDpVp)/e] — кр!т.р = 0.
Полагая задачу одномерной и вводя принятые ранее обозначения, можно
получить
d2p/dx2 — 5/(£KpLp) dp/dx — kp/L2 = 0. (4.72)
Решая (4.72) методом характеристического уравнения, получим Ар (х) =
= Ае~х!1'-\- Ве~х^2, где 1//х и 1//2 — корни квадратного уравнения
«2+[^/(4рМ1о-,/£р=°- <4-73)
Решая уравнение (4.73), получим
1//,. 2 = -£/(2£KpLp) ± (1/2Lр) У (Е/Екр)2 + 4.
где один из корней, положительный, соответствует распределению при х > 0,
а другой, отрицательный, распределению при х < 0 в случае контакта, помещен-
ного посередине в точке х = 0 ^есконечного нитевидного полупроводника.
Если Е что соответствует условию слабого поля, то ±LP.
Этот результат мы уже получали ранее. Графическое представление этого реше-
ния показано на рис. 59. По обе стороны от точки х = 0, где инжектируются
избыточные дырки, наблюдается симметричное экспоненциально спадающее
распределение избыточных’дырок “с постоянной “спада? оГфиделяем(ЯГдиффузион-
ной длиной дырок Ер.
Если же соблюдаются условия сильного поля и Е » ЕКР, то оба корня при-
ближенно выражаются в виде:
1//1 = ЕЦЕхрЕр) — eE/kyr и I//2 = EKp/(ELp) — \/lEp-
Тогда вдольL электр ич^скот^пр л я Е дырки распределяются по закону, соот-
ветствующему распределению всильном электрическом поле и Пил ученному
136
ранее в уравнении (4.70). Распределение вдоль отрицательной полуоси х < 0
соответствует закону
Др (хр=^Др (0) e*'Exlk'T7)
что соответствует *оёьгч номуЯтольцмановскому распределению дырок в задержи-
вающем электрическом поле (х < 0). Q ростом температуры постоянная этого
экспоненциального спада /^ = k^TleE растет, и закон распределения делается
более пологим (см. рис. 59, в).
В общем случае, когда поле Е сравнимо с Екр, следует ввести
две ^азличньГе характеристические длины — длитр^затягивания
против тляПГГ определяемую соотношением *..............”
1//, = */2Ьр [(Мр)2 + 4]1/2 - Е/(2£рЕкр),
и длину затягивания по полю 12, определяемую соотношением
1//2 = Ч2ЬР [(Е/Екр)2 + 4Г+ Е/(2/Др).
Тогда против поля имеем следующее распределение дырок
(х <0): Др (х) = Др (0) е*/1' , а по полю распределение избыточ-
ных дырок в виде Др (х) = Др (0) e~xfl^
На рис. 59, г показано распределение избыточных дырок вдоль
нитевидного образца при совместном действии дрейфа и диффузии
(£ ~ Екр).
Мы уже выяснили в разделе 4.8,
что в условиях слабого электриче-
ского поля большие коэффициенты ;
инжекции неосновных носителей/
заряда при положительном смеще-'
нии, поданном на инжектирующий
контакт с полупроводником п-типа
(или отрицательном на контакте с
полупроводником p-типа), увеличи-
вают концентрацию избыточных но-,
сителей заряда в приконтактной
области, т. е. вызывают явление ин-
жекции. При обратных смещениях,
поданных на эти контакты, будет
наблюдаться явление, обратное^ ин-
жекции, — экстракция неосновных
носителей из приконтактной области,
т. е. обеднение ее неосновными но-
сителями. Инжекция и экстракция—
это явления, наблюдаемые в 'усло-
виях слабого электрического поля.
Оказывается в условиях сильного
Рис. 59. Схема используемой мо-
дели инжекции носителей заряда
(а) и распределения избыточных
носителей при Е (б), Е »
» FKP (в) и Е ж Екр (г)
электрического поля можно также
наблюдать явления обеднения и обо-
137
гащения неосновными носителями заряда приконтактных облас-
тей полупроводника.
Если коэффициент инжекции с контакта невелик, а к полу-
проводнику приложено сильное положительное электрическое поле
(направление, соответствующее Е > 0, будем определять так же,
как в явлении инжекции при слабом поле), то сильное электриче-
ское поле будет настолько быстро уносить дырки из образца, что
концентрация их не будет успевать возмещаться ни за счет ин-
жекции с контакта, ни за счет тепловой генерации. Тогда область
образца, толщина которой определяется дрейфовой длиной (или
в условиях не очень сильного поля — длиной затягивания по
полю), будет обедняться неосновными носителями заряда. В силь-
ных полях величина 1Ер велика и область обеднения неоснов-
ными носителями может охватывать весь образец. Явление обед-
нения неосновными носителями приконтактной области полу-
проводника в сильном электрическом поле при малых коэффи-
циентах инжекции получило название эксклюзии неосновных носи-
телей заряда. При обратном знаке смещения и малом коэффициенте
инжекции в условиях сильного поля возможно явление, обратное
эксклюзии, — аккумуляция неосновных носителей заряда. Это
явление можно объяснить следующим образом: при сильном отри-
цательном электрическом поле к контакту будет подходить больше
носителей заряда, чем контакт способен экстрагировать из объема
приконтактной области. Тогда приконтактная область будет
обогащаться неосновными носителями заряда — аккумулировать
их. Таким образом, несмотря на кажущееся сходство явлений ак-
кумуляции и инжекции и явлений эксклюзии и экстракции, они
принципиально различаются условиями их наблюдения (величи-
ной и знаком электрического поля).
4.10. СОВМЕСТНОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ
ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК. БИПОЛЯРНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ
ДИФФУЗИИ И БИПОЛЯРНАЯ подвижность
Мы обсудили в предыдущих разделах особенности движения
неосновных носителей заряда в полупроводниках с ярко выражен-
ным типом проводимости. В этих условиях изменением концен-
трации основных носителей заряда, происходящим вследствие
максвелловской релаксации объемного заряда в областях, где
изменилась концентрация неосновных носителей (например, вслед-
ствие инжекции и т. п.), можно было пренебречь. Однако в полу-
проводниках, близких к собственным, этого делать нельзя и нужно
учитывать обе компоненты избыточных носителей заряда.
Допустим, что в некотором объеме образца создана (например,
инжекцией) избыточная концентрация дырок Др. Вследствие
максвелловской релаксации в этом объеме должны появиться
избыточные электроны в концентрации Дп, равной Др. Таким
138
образом, создается область с избыточной концентрацией носителей
заряда обоих знаков, которая будет дрейфовать в электрическом
поле, неизбежно расширяясь как за счет дрейфа (электроны и
дырки дрейфуют в разные стороны), так и за счет диффузии.
Можно описать совместное движение электронов и дырок в полу-
проводнике, если решить систему из двух уравнений непрерыв-
ности, одного для электронов и другого для дырок. При записи
таких уравнений в условиях совместного движения избыточных
электронов и дырок нельзя считать электрическое поле в образце
однородным, так как коэффициент диффузии и подвижность у элек-
тронов больше, чем у дырок. Вследствие этого электроны будут
все время опережать дырки при движении области избыточной
концентрации по образцу и создавать внутреннее электрическое
поле, тормозящее дальнейшее движение электронов и ускоряющее
отстающие дырки. Тогда к двум уравнениям непрерывности для
электронов и дырок следует присоединить уравнение Пуассона,
связывающее электрическое поле и объемный заряд в полупровод-
нике. Запишем эти уравнения при помощи формул (4.54) и (4.55),
учитывая неоднородность электрического поля в отсутствие внеш-
ней генерации и считая задачу одномерной:
др г) д2р 77 др дЕ &Р • (л 7ЛЛ
dt - Dp дхг РрЕ дх Р’,Р дх хр ’ (4‘74)
дп ~ д2п г? дп дЕ Дп . /л
~dt = D* IF “ to “ <4-75)
= —е Sn~sP . (4.76)
дх ее0
Подставляя дЕ/дх из уравнения (4.76) в формулы (4.74) и
(4.75), получим:
= —(А«-ар)——; (4.77)
dt р дх2 гр дх 1 ее0 v 7 тг '
дп j-x д2п дп оfi /к а \ Дп z л
~дГ = D" &f - ^Е^г - V (4-78)
За время максвелловской релаксации тм = ее0/о, которое
весьма мало (как указывалось, для полупроводника в среднем
тм 10"12 с), должны выравняться избыточные концентрации
Дп и Др, разность этих величин Дп — Др должна стать малой
величиной. Но в уравнениях (4.77) и (4.78) нельзя считать малыми
члены, куда входит эта разность, так как коэффициенты при
(Дп — Др) в этих уравнениях порядка обратного времени максвел-
ловской релаксации и очень велики. Применим для решения си-
стемы уравнений (4.77) и (4.78) следующий прием. Умножим
обе части уравнений (4.77) на оп, а обе части уравнения (4.78) на
ор и сложим эти два уравнения. Тогда члены, куда входит раз-
ность (Дп — Др), взаимно уничтожаются и в полученном таким
139
образом уравнении уже можно считать Д/г = Др. Это позволяет
переписать его в виде (для Д/г или для Др):
др — ____
dt~ дх* дх тр ’
(4.79)
(4.80)
(4.81)
где величины D и р имеют следующие значения
D = (5пРр + орРп __ п+ р .
On + Op П/Рр + pPn ’
OnPp — Cp|4 _ —P .
И On + op n/Vp + P/Hn ’
Величина D называется коэффициентом биполярной диффузии,
^величина р — биполярной подвижностью.
(4:80) и (4.81), можно установить, что
Dp <Z D <Z. Dn, a Pp j-i щ.
Таким образом, действительно при совместном движении из-
быточных электронов и дырок создаются такие условия, что об-
ласть избыточной концентрации дрейфует и диффундирует мед-
леннее, чем электроны, но быстрее, чем дырки.
Разберем, каковы же условия движения области избыточной концентрации
носителей заряда в полупроводниках с ярко выраженным типом проводимости.
Тогда в полупроводнике n-типа (n > р) Р — Рр согласно формуле (4.80) и р =
= рр согласно формуле (4.81). В по-
лупроводнике p-типа, учитывая р ^>п,
получим Р = Рп, а р = рЛ. Таким
образом, дрейф и диффузия области
избыточной концентрации определяют-
ся движением неосновных носителей
заряда. Поэтому рассмотрение движе-
ния носителей только одного знака, а
именно движения неосновных носите-
лей без учета движения основных но-
сителей, проведенное в предыдущих
разделах, можно считать достаточно
обоснованным для полупроводников
с ярко выраженным типом проводи-
мости. Проанализируем биполярные
коэффициенты в случае собственного
полупроводника, когда п= р. Тогда согласно формуле (4.80): Р =
= 2РпРр/(Рп + Рр) = 2bP/(b + I), и в материалах с сильно различающейся
подвижностью электронов и дырок (b» I) в собственном полупроводнике
коэффициент биполярной диффузии приблизительно равен удвоенному коэф-
фициенту диффузии дырок. Для собственных полупроводников биполярная
подвижность обращается в нуль, р, = 0. Этот результат не должен вызывать
недоразумения, так как в этом случае величина р определяет не скорость дрей-
фа носителей заряда в электрическом поле, а скорость дрейфа возмущения, т. е.
области избыточной концентрации носителей заряда.
На рис. 60 изображена экспериментальная зависимость биполярной до-
движности от концентрации легирующей примеси, хорошо согласующаяся
с вышеприведенными теоретическими выводами. Подвижность носителей заряда,
измеренная по дрейфу пакета избыточной концентрации, в области примесной
проводимости равна подвижности неосновных носителей заряда. Чтобы опре-
делить подвижность основных носителей заряда, нужно воспользоваться дру-
гими методиками (например, холловскими измерениями или эффектом магнето-
сопротивления).
п=тип
№00
3000
2000
1000
р=тип
Wdicn'3 1017
10
1000
2000
3000
75 /z777
Na,cri
Рис. 60. Зависимость биполярной подвиж-
ности от концентрации ионов в п- и p-Ge
при Т = 300 К
140
Важным следствием введения биполярного коэффициента диффузии яв-
ляется введение биполярной диффузионной длины L = KDt, которая выражает
распределение избыточных носителей заряда в слабом поле, и биполярной дрей-
фовой длины I = р£т, определяющей это распределение в условиях сильного
электрического поля.
ГЛАВА 5. КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В МЕТАЛЛАХ
И ПОЛУПРОВОДНИКАХ
5.1. ИСКРИВЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН
ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Работа большинства полупроводниковых приборов основана на
явлениях, возникающих на контакте металл—полупроводник или
полупроводник—полупроводник, и в связи с этим они достаточно
подробно анализируются в курсах по полупроводниковым при-
борам. Поэтому в настоящей главе рассмотрены лишь основные
физические процессы, происходящие на контакте двух веществ
и позволяющие понять явления в различных типах контактов при
прохождении через них электрического тока.
Механизм контактных явлений принципиально одинаков как
для контакта металл—полупроводник, так и контакта полупро-
водник—полупроводник, что обусловлено принципиальной общ-
ностью процессов, протекающих в приконтактных областях.
Определяющим для этих процессов является перераспределение
носителей заряда в приконтактных областях и, как следствие
этого, изгиб энергетических зон в области контакта со стороны
полупроводника. Контактные явления могут быть объяснены
возникновением на контакте двух веществ контактного поля.
Однако воздействие этого контактного поля на носители заряда
в приконтактных областях принципиально не отличается от
действия некоторого внешнего электрического поля на припо-
верхностные области кристалла. Поэтому для понимания контакт-
ных явлений имеет смысл сначала рассмотреть изменение свойств
полупроводника, помещенного во внешнее электрическое поле.
Рассмотрим полупроводник n-типа, который помещен во внеш-
нее электрическое поле, как показано на рис. 61. Тогда, как
отмечалось в главе 4, в полупроводнике нарушается распределение
заряда, в нем возникает отрицательный пространственный заряд
р (г) и, следовательно, электрическое поле Е (г), убывающее
в глубь полупроводника:
div Е (г) = р (г)/(ее0). (5.1)
141
Рис. 61. Искривление зон энергии"во внешнем электрическом поле, образование про-
странственного заряда и поля в полупроводнике n-типа (а) и p-типа (б)
Изменения этого внутреннего электрического поля Е (г) обус-
ловят изменение потенциальной энергии электрона U (г). Потен-
циальная энергия в этом случае будет определяться как U (г) =
= UQ (г) + Ui (И, где UQ (г) — потенциальная энергия электрона
142
без внешнего поля; (г) — потенциальная энергия при действии
поля; (г) = —е<р (г) (5.2), где <р (г) — электростатический по-
тенциал, связанный с полем соотношением Е = —dq (r)/dr (5.3).
Из уравнения (5.1) следует, что перераспределение носителей
заряда изменяет потенциальную энергию и, следовательно, сме-
щает уровни в энергетических зонах. Поле Е (г) практически
полностью сосредоточивается в приконтактной области полупро-
водника, и величина его не превышает 106 В/см. Поэтому оно сла-
бое по сравнению с напряженностью атомных полей (больше
108 В/см) и не может изменить структуру энергетических зон,
а лишь искривляет зоны энергии в приповерхностном слое. По-
скольку испытывают смещение все уровни энергии, то интервалы
энергий Ес—F и F—Fv переходят в
E. + U^-P} F-tfv + UM (5.4)
Однако уровень Ферми в состоянии термодинамического рав-
новесия постоянен, и, следовательно, расстояние между ним и
границами разрешенных зон может измениться.
Согласно формулам (3.51)—(3.52) при изменении положения
уровня Ферми по отношению к границам запрещенной зоны
электроны перераспределяются по уровням, и могут измениться
свойства полупроводника. Как видно из рис. 61, а, в приповерх-
ностной области полупроводника n-типа полупроводник из не-
вырожденного может превратиться в вырожденный, поскольку
уровень Ферми лежит в зоне проводимости. Направление изгиба
зон будет определяться знаком U± (г), и для рассматриваемого
случая зоны отклоняются вниз.
Если изменить полярность поданного на полупроводник на-
пряжения, то, очевидно, изменится характер перераспределения
концентрации носителей в приповерхностной области. В при-
поверхностном слое образуется избыточный положительный заряд
р (г), вследствие чего изменяется полярность напряженности вну-
треннего поля и потенциальная энергия электронов U1 (г), а сле-
довательно, и направление изгиба зон (рис. 61, б). Поэтому при
достаточно сильном изгибе зон можно говорить об изменении
типа электропроводности в приповерхностном слое с n-типа на
р-тип, так как в этой области изменяется тип основных носителей.
Слой, в котором меняется тип электропроводности, называется
инверсионным, или обращенным слоем. Тогда по мере продвижения
в глубь образца можно найти слой, где р п = т. е. слой
с собственной электропроводностью. Такой слой называется
/-слоем, а область полупроводника, где меняется тип электропро-
водности, называется физическим р—п-переходом. Как мы видели,
он обусловлен внешним электрическим полем и исчезает при его
снятии.
143
Все изменения этих величин происходят на небольшом рас-
стоянии от поверхности образца, т. е. можно говорить о некоторой
глубине проникновения поля в кристалл или области существо-
вания избыточного пространственного заряда. Определим эту
величину. Для этого воспользуемся уравнением Пуассона (5.1),
записанным с учетом формулы (5.3) для потенциала поля ср (г).
Ограничимся для удобства одномерным случаем. Тогда:
d2cp (x)/dx2 = —р (х)/(ее0). (5.5)
Рассматривая невырожденный полупроводник n-типа, мы мо-
жем согласно формулам (3.22) и (5.4) записать изменение концен-
трации основных носителей в виде:
_ _ Ec-F _ ц (х) _ ц (х)
n — Nce k°T = Nce k"T e k°T =n^ k°T , (5.6)
где n0 — равновесная концентрация носителей в объеме полу-
проводника.
Поскольку полупроводник n-типа, пространственный заряд
в приповерхностном слое будет определяться положительными
ионами донорной примеси Ni = pd и электронами:
Р = е lpd — п (х)].
Учитывая, что при комнатной температуре примесь может быть
полностью ионизирована Nd = pd = п^. р = е [п0 — п (х) ] (5.7).
Цодставляя уравнение (5.6) в уравнение (5.7), получим
Р = е [п0 — = еп0 (1 — e~u/k°T). (5.8)
Тогда уравнение (5.5) приобретает вид:
d2cp/dx2 = —en0/ee0 (1 — е~и^°т). (5.9)
Уравнение (5.9) носит общий характер и описывает измене-
ние потенциала <р (х), а следовательно, концентрации носителей
и пространственного заряда в приповерхностной области как при
образовании отрицательного, так и положительного простран-
ственного заряда. Действительно, если <р > 0, то Е < 0 и создается
положительный пространственный заряд в результате ухода
свободных электронов в глубь образца. Концентрация электронов
.на поверхности равна ns = 0 и увеличивается до равновесной п0
в объеме полупроводника. В пределах области изменения концен-
трации возникнет нескомпенсированный положительный заряд
за счет ионов доноров, распределение которого будет также опи-
сываться уравнением Пуассона вида (5.9). Случай обогащения
приповерхностного слоя электронами рассмотрен выше.
Если в уравнении (5.9) считать | 471 С что соответствует
малому искривлению зон под действием поля, то разлагая
144
в ряд и ограничиваясь первым членом разложения, можно полу-
чить с учетом формулы (5.2):
$ = - > [1 - ^»г] = -? (1 - 1 - Гт ) = (5-10 *)
иХ ЬЬд Ь&О \ KqI / ЬЬоЛ'01
Решение уравнения (5.10) дает возможность найти в явном
виде ф (х):
_____X_____ _______________X_____
Ф (X) = ф! (х0) ё + ф2 (Хоо) , (5Л р
где фх (х0) и ф2 (Хоо) — определяются из граничных условий в точ-
ках х = 0 и х =оо; фх (х0) = фоо — значение потенциала поля на
поверхности; ф2 (х*,) = 0 — то же, внутри объема полупровод-
ника.
В решение уравнения (5.11) удобно ввести обозначение
Id = К ^okoT(5.12)
имеющее смысл характеристической длины, на которой потенциал
Ф (х) изменяется в е раз. Тогда
Ф (х) = ф3 e~x^lD (5.13).
Выражение (5.12) называется дебаевской длиной экранирования,
физический смысл которой состоит в том, что именно в области,
характеризуемой расстоянием /D от поверхности, изменяются
поле, потенциал, концентрация носителей и изгиб энергетических
зон. Другими словами, область возникновения избыточного про-
странственного заряда, который экранирует внешнее поле, огра-
ничивается дебаевской длиной экранирования, и величина ZD
характеризует расстояние, на котором в данном кристалле вос-
станавливается нейтральность. Как мы уже отмечали, нет прин-
ципиальной разницы в рассмотрении явлений такого рода для по-
лупроводников и металлов. Следовательно, в металлах также
существует эффект экранирования. Однако, учитывая выражение
(5.12), можно заметить, что для металлов с их большой концен-
трацией носителей заряда п 1023 см“3 длина экранирования
мала ~10"8 * см, т. е. меньше межатомного расстояния, и избыточ-
ный заряд практически сосредоточивается на поверхности ме-
талла. Однако оценка, произведенная для металла по (5.12),
приближенная, хотя бы потому, что на длине экранирования в ме-
таллах могут не соблюдаться условия сильного поля.
В то же время концентрация носителей в полупроводниках может быть
значительно ниже и может изменяться в широких пределах. Поэтому дебаевская
длина экранирования в полупроводниках существенно больше, чем в металлах.
Например, для кремния с n0 = 1014 см“3 и е = 12 поле проникает в образец
145
на 4 мкм. Из соотношения (5.13) можно получить выражения для потенциаль-
ной энергии U (х) и плотности пространственного заряда р (х):
U (х) = —еср (х) = U$e X^D и
Р (*) = — ф W = - Ф$ (*) e~x/lD = , (5.14)
где индекс S относится к значению поверхностных параметров ф, U и р.
Из уравнений (5.6) и (5.14) можно также найти значения плотности простран-
ственного заряда и концентрации носителей заряда на поверхности:
Рз = М>т) us (5-15> И П3 = (W) US <5-16)
Как следует из формулы (5.15), знак возникающего на поверхности заряда
pS зависит от знака потенциальной энергии на поверхности Us. Поскольку на-
правления изгиба энергетических зон определяются знаком (7, то, следовательно,
если р$ (х) > 0, зоны изгибаются вверх, при ps < 0 зоны изгибаются вниз.
Формула (5.16) показывает также, что концентрация носителей на поверх-
ности может быть значительно выше, чем в объеме, а следовательно, согласно
уравнению (1.27) больше и электропроводность поверхностных слоев. Это явле-
ние называется эффектом поля.
5.2. РАБОТА ВЫХОДА.
КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ
Из модели сильной связи зонной теории твердого тела взаимодей-
ствия атомов при образовании кристалла следует, что энергия
электронов в
Рис. 62. Энергетическая диаграмма
границы твердого тела с вакуумом
Полупроводник
ТЫ Eq
кристалле — величина отрицательная (2.93). Физи-
чески это означает, что электроны
смогут покинуть кристалл, если им
сообщить дополнительную энергию.
Другими словами на границе твер-
дого тела с вакуумом имеется некото-
рый энергетический барьер, препят-
ствующий самопроизвольному выходу
электронов из кристалла (рис. 62).
Для преодоления этого барьера и
надо затратить энергию, которая на-
зывается работой выхода. Если от-
считывать эту энергию от дна зоны
проводимости:
Хо = Ев — Ес, то перевод электрона со дна зоны проводимости
на уровень Ев будет определяться истинной работой выхода
(здесь Ев — энергия свободного электрона в вакууме).
Если отсчет ведется от уровня Ферми, то такая работа выхода
называется термодинамической'. Ф = %0 + Ес — F = Ев — F.
Работа выхода %0 определяется свойствами кристаллической
решетки. Для металлов и полупроводников она составляет ве-
личину 1—6 эВ. Энергия, требуемая для преодоления барьера,
может быть подведена к кристаллу в виде тепла, излучения или
других источников. Наиболее простой случай — термоэлектрон-
ная эмиссия электронов из твердого тела при его нагреве, широко
146
используемая в радиоэлектронных устройствах. Как показывает
расчет, термоэлектронный ток зависит от термодинамической ра-
боты выхода:
j = AT%-<b/k*T, (5.17)
где А = 4nkoe*m/h3.
Отсчет работы выхода от уровня Ферми удобен, так как мы
уже видели в главе 3, что свойства полупроводника определяются
положением уровня Ферми, который характеризует среднюю
энергию носителей заряда, поскольку его положение зависит от
примеси и температуры, то и термодинамическая работа выхода
для разных полупроводников будет различной. Например, со-
гласно условию (3.38) для собственного полупроводника:
Фг- = Хо + (Ес + Ev)/2 + (fe0772) In (Nc/N^ для донорного по-
лупроводника и низких температур: = %0 + (Ер — Ер)12 +
+ (kQTI2) In (Nd/2Nc)'i в области истощения примеси: Ф^ =
- Хо + k.T In (NdINc).
Аналогичные выражения могут быть получены для акцеп-
торного полупроводника: Фа = Хо + ^Е + (Еа — EV)I2 +
+ (fe0772) In (NJ2NV); Фа = хо + + k0T In (Na/NJ).
Работа выхода из акцепторного полупроводника превышает
работу выхода из донорного на величину не более чем АЕ*.
Очевидно, поскольку на границе каждого твердого тела имеются
энергетические барьеры, то при контакте двух твердых тел воз-
никает некоторая контактная разность потенциалов, обусловлен-
ная этими барьерами. Рассмотрим, например, контакт двух
металлов. Если непосредственного контакта между металлами
нет, то металлы могут обмениваться электронами только в ре-
зультате термоэлектронной эмиссии. Тогда количество электронов,
покинувших металлы, будет зависеть от работы выхода из этих
металлов. Если работа выхода из первого металла меньше, чем
из второго, то согласно уравнению (5.17) из первого металла по-
течет больший ток, чем из второго. Это означает, что приконтакт-
ная область первого металла будет заряжаться положительно,
а приконтактная область второго — отрицательно. Появившееся
разделение зарядов обусловит контактную разность потенциалов
срк. Так как процесс будет идти до установления термодинамиче-
ского равновесия, когда /10 = /20, то из формулы (5.17) можно
найти <рк:
<Dt
АТ^е k°T = Л7,2е-(Ф2+е<₽к)/''оГ; (5.18)
Фк = (фх - Ф2)/е- (5.19)
срк называется внешней контактной разностью потенциалов
и, как следует из уравнения (5.19), определяется разностью тер-
модинамических работ выхода (рис. 63).
Заметим, что если вакуумный промежуток достаточно велик,
то глубина проникновения контактного поля будет определяться
147
длиной экранирования (5.12). Как показывают простые расчеты,
при разности работ выхода Ф2 — Фх 1 эВ это соответствует
промежутку d 1 см.
Если привести металлы в непосредственный контакт, то при
рассмотрении, аналогичном предыдущему, придем к понятию
внутренней контактной разности потенциалов <pf, значение ко-
торой можно получить из равенства токов и полных энергий
электронов в состоянии термодинамического равновесия: Е2 =
= + e^t. Откуда с учетом положений уровней Ферми в ме-
таллах Е± — F = Е2 — F2 = Е± + еср/ — Е2, получаем
<рг=(Г2-Л)/е. (5.20)
Как следует из условия (5.20), внутренняя контактная раз-
ность потенциалов определяется разностью положений уровня
Рис. 63. Энергетическая диаграмма воз-
никновения внешней контактной разности
потенциалов <рк в состоянии термодинами-
ческого равновесия
Рис. 64. Энергетическая диа-
грамма возникновения вну-
тренней контактной разно-
сти потенциалов <р-
Ферми для изолированных металлов до соприкосновения (рис. 64).
Энергия Ферми для металлов зависит от эффективной массы носи-
телей и их концентрации. Следовательно, <рг- будет определяться
этими же величинами, и поскольку концентрация электронов и
положение уровней Ферми в разных металлах мало различаются,
величина внутренней контактной разности потенциалов для ме-
таллов обычно мала и лежит в пределах 0,001—0,01 В.
5.3. ЯВЛЕНИЯ НА КОНТАКТЕ МЕТАЛЛ—ПОЛУПРОВОДНИК.
ВЫПРЯМЛЯЮЩИЕ СВОЙСТВА КОНТАКТА
Возникновение контактной разности потенциалов в случае кон-
такта металл—полупроводник принципиально не отличается от
контакта металл—металл, так как она будет определяться раз-
ностью работ выхода металла и полупроводника. Однако отличие
свойств полупроводника от металла, обусловленное возможностью
значительного изменения концентраций носителей заряда в полу-
проводниках, приводит к возникновению специфических явлений
на контакте металл—полупроводник.
Если мы имеем контакт металл—полупроводник n-типа и ра-
бота выхода из полупроводника больше, чем из металла, Фп >ФМ
(рис. 65, а), то поток электронов из металла в полупроводник
148
будет больше, и в приконтактной области металла будет возни-
кать положительный заряд, а в приконтактной области полупро-
водника — отрицательный. Это, как уже известно, приводит
к возникновению контактной разности потенциалов: е<рк = Фп —Фм
(5.21) и электрическому полю, препятствующему переходу элек-
тронов из металла в полупроводник. Вследствие того что глубина
проникновения поля согласно уравнению (5.12) будет зависеть от
концентрации электронов в металле и полупроводнике, которые
могут сильно различаться (в общем случае пм пп), то возникшее
контактное электрическое поле практически проникает только
в глубь полупроводника. Если пространственный заряд отрица-
телен, то энергетические зоны изгибаются вниз, и приконтактный
слой полупроводника обогащается электронами, т. е. основными
носителями. Следовательно, действие контактного поля в этом
случае сводится согласно формуле (1.27) к увеличению проводи-
мости приконтактного слоя полупроводника.
Если работа выхода из металла будет больше, чем из полу-
проводника, Фм >ФП (рис. 65, б), то в приконтактном слое
полупроводника энергетические зоны будут изгибаться вверх, и
он будет обогащаться дырками, т. е. неосновными носителями
заряда для электронного полупроводника. Обогащение неоснов-
ными носителями означает уменьшение электропроводности. Так
как контакт рассматривается в состоянии термодинамического
равновесия, то для невырожденного полупроводника п? = поро
по уравнению (3.36), и возрастание концентрации неосновных
носителей р0 означает уменьшение концентрации основных носи-
телей п0. Следовательно, электропроводность полупроводника
n-типа, определяющаяся концентрацией основных носителей о =
епр, будет уменьшаться. Такой слой, обедненный основными
носителями, можно рассматривать как область с повышенным
сопротивлением, и он носит название запирающего слоя. В проти-
149
воположность ему слой повышенной проводимости, обогащенный
основными носителями, называется антизапирающим. Таким
образом, на контакте металл—полупроводник возможно возник-
новение запирающих и антизапирающих слоев. Тогда такой кон-
такт при прохождении через него электрического тока будет
нелинейным, так как его свойства меняются в зависимости от при-
ложенного напряжения. Аналогично на контакте металл—полу-
проводник p-типа (рис. 66) может возникнуть запирающий слой,
когда Фп >ФМ (см. рис. 66, а), и антизапирающий, когда Фм >
>ФП (см. рис. 66, б).
Можно рассчитать глубину проникновения контактного поля
в полупроводник, используя методику, описанную в разделе 5.1.
Рис. 66. Энергетическая диаграмма контакта металл—полупроводник p-типа для слу-
чая Фп > Фм (а) и Фп <ФМ (б)
Рассмотрим для определенности полупроводник n-типа и Фм >
>ФП. Тогда созданное контактное поле оттеснит свободные
электроны в глубь полупроводника, и практически весь про-
странственный заряд будет определяться ионизированными ионами
доноров pd, для концентрации которых, как было установлено
выше, справедливо соотношение pd = nQ.
Таким образом, плотность пространственного заряда в при-
контактной области можно считать практически постоянной и
равной: р = enQ (5.22). Расчет показывает справедливость уравне-
ния (5.22), если принять в соотношении (5.8) U ^>kQT. Уже при
U ^>2,3k0T доля п (х) в р (5.7) составляет менее 0,1.
С учетом условия (5.22) уравнение Пуассона для области су-
ществования пространственного заряда (5.9) приобретает вид:
d2cp/dx2 = —еп0/(ее0). Интегрируя его, получим dqldx =
= —enQl(v^) (х — £).
Решение этого уравнения будет зависеть от граничных усло-
вий. На границе слоя, т. е. при х = £, поля нет:
ф(8) = 0ч £ = -^|„а=0. (5.23)
150
(5.24)
Непосредственно на контакте, т. е. при х = 0:
«Р (0) = е<рк = Фм - Фп.
Тогда потенциал будет иметь вид:
Ф (х) = е2п (х — 2)2/(2ее0). (5.25)
Откуда при х = 0 и учитывая (5.24), можно в явном виде
получить выражение для глубины проникновения контактного
поля:
2 = V 2ee0<p*/(n0e) = V [2ее0 (Ф„ — Фп)]/(«о«2)- (5.26)
При сравнении выражения (5.26) с дебаевской длиной экра-
нирования (5.12), видно, что глубина проникновения контакт-
ного поля может быть значительно больше дебаевской длины.
Это связано с тем, что контактная разность потенциалов обычно
больше k0T и зависит от разности работ выхода металла и полу-
проводника, которая в свою очередь определяется положением
уровней Ферми в металле и полупроводнике. Положением уровня
Ферми в полупроводниках можно управлять и, следовательно,
изменять согласно формуле (5.26) глубину проникновения кон-
тактного поля в полупроводник. Чем меньше степень легирова-
ния полупроводника, а значит, ниже уровень Ферми в нем и чем
больше разность термодинамических работ выхода электронов
из металла и полупроводника, тем больше глубина проникнове-
ния контактного поля в полупроводник. Уже при разности работ
выхода ~1 эВ для кремния с концентрацией примеси Nd =
= 1017 см"3 глубина проникновения контактного поля составляет
около 15 мкм, что в десять раз больше дебаевской длины. Оче-
видно, что в собственном полупроводнике глубина проникновения
контактного поля больше, чем в примесном.
Запирающийся слой на контакте металл—полупроводник обус-
ловливает выпрямляющие свойства такого контакта при прохо-
ждении через него электрического тока. В равновесном состоянии
диффузионный ток основных носителей, вызванный градиентом
концентраций, будет компенсироваться дрейфовым током неоснов-
ных носителей в контактном поле. При приложении к контакту
внешнего электрического поля V нарушится равновесие, и через
контакт потечет электрический ток. Основное сопротивление
электрическому току будет представлять запирающий слой, и по-
этому практически все приложенное напряжение от внешнего
электрического поля будет падать на этом запирающем слое.
Рассмотрим подробнее, к чему приведет воздействие внешнего
напряжения V на энергетический барьер на контакте металл—
полупроводник, который определяется положением уровня Ферми.
При прохождении электрического тока полупроводник становится
неравновесным, и концентрация носителей в нем согласно уело*
151
вию (4.5) будет определяться квазиуровнем Ферми. Для контакта
металл—невырожденный полупроводник n-типа при Фм > Фп
n = NS-lEc-Fn+eUW/k°T- (5.27)
Очевидно, что прохождение тока будет изменять концентрацию
носителей и положение квазиуровня Ферми. Найдем изменение
квазиуровня Ферми между двумя точками х± и х2 в области су-
ществования пространственного заряда, т. е. в области 0 <х <£.
Плотность тока, текущего через полупроводник в направле-
нии х, согласно уравнению (4.59) определяется как jx = en\knE +
+ eDndn/dx. Учитывая соотношение Эйнштейна (4.62) и формулу
(5.27), можно получить для плотности тока выражение через
относительное изменение квазиуровня Ферми: jx = п\ьп dFnldx,
х2 xt
откуда A F* = J dF„ = j -^—dx. (5.28)
Г. V.
Вместе с тем падение напряжения между этими же двумя точ-
ками в запирающем слое, обусловленное приложенным внешним
напряжением на основании закона Ома, можно записать:
х2 х2
V2 — = j j dx/o = j j dx/(en[kn). (5.29)
Xi Xi
Сравнивая выражения (5.28) и (5.29), можно увидеть, что
изменение положения квазиуровня Ферми в приконтактном слое
полупроводника, а следовательно, согласно формуле (5.21) кон-
тактная разность потенциалов и высота потенциального барьера
будут практически определяться величиной приложенной раз-
ности потенциалов: AF„ = е (V2 — Vi).
Тогда в зависимости от полярности приложенного внешнего
напряжения V потенциальный барьер на границе металл—полу-
проводник будет или уменьшаться или увеличиваться.
Если на запирающий слой полупроводника n-типа подать
отрицательное напряжение, а на металл — положительное, то
для случая, когда Фм >ФП, приложенное напряжение V будет
способствовать переходу электронов из полупроводника в металл
и уменьшать толщину обедненного основными носителями при-
контактного слоя (рис. 67, а). Высота потенциального барьера
между металлом и полупроводником уменьшится на величину eV
и будет теперь равна е (фк — V). Такое напряжение называется
прямым: V <0. Если сменить полярность приложенного внешнего
напряжения: на полупроводник подать положительное, а на ме-
талл отрицательное, то в этом случае электроны будут пере-
мещаться от границы с металлом в глубь полупроводника, и тол-
щина обедненного основными носителями приконтактного слоя
в полупроводнике возрастет (см. рис. 67, б), высота потенциального
барьера также возрастет и станет равной е (срк + V). Такое на-
152
Рис. 67. Энергетическая диаграмма контакта металл —полупроводник n-типа при при-
ложении прямого (а) и запирающего (б) напряжения
пряжение называется запирающим'. V > 0, и ток через контакт
отсутствует.
Аналогичную картину можно получить, если рассмотреть по-
дачу внешнего напряжения на запирающий слой полупроводника
р-типа. В этом случае, очевидно, прямым напряжением для
такого полупроводника будет подача внешнего положительного
напряжения на полупроводник и отрицательного на металл. Таким
образом, если на контакте металл—полупроводник образуется
запирающий слой и полярность внешнего напряжения такова,
что концентрация неосновных носителей в приконтактном слое
полупроводника возрастает, т. е. толщина обедненного основными
носителями слоя и, следовательно, сопротивление контакта воз-
растают, то ток, текущий через такой контакт, будет достаточно
малым. Если концентрация неосновных носителей в таком слое
уменьшается, то ток через контакт металл—полупроводник воз-
растает. Тем самым существование запирающего слоя на границе
металл—полупроводник и возможность управления его толщиной
с помощью внешнего напряжения обусловливают выпрямляющие
свойства контакта (рис. 68). Толщина
запирающего слоя при этом будет опре-
деляться как
2 = И2ее0 (<рк + V)]/(en0). (5.30)
Из выражения (5.30) видно, что при
прямом напряжении V <0 толщина
уменьшается, а при запирающем напря-
жении V>0 растет. Расчет токов,
текущих из полупроводника в металл
/п и обратно /м при подаче внешнего
напряжения, позволяет получить ана-
литическое выражение для вольтампер-
ной характеристики (ВАХ) контакта
Рис. 68. Вольтамперная харак-
теристика контакта металл—
полупроводник для тонкого (/)
и толстого (2) запирающего
слоя
153
металл—полупроводник. Так как мы рассматриваем ток на кон-
такте при подаче внешнего напряжения, то / = jn — /м, и со-
гласно выражениям (5.18) и (5.19) можно получить:
g(PK+gV g(PK / eV \
j = AT2e kaT — АТ2е k°T =- js(e k°T — 1), (5.31)
где js = AT2e~%/k<>T называется током насыщения. Как сле-
дует из условия (5.31), при подаче прямого напряжения V <0
ток / растет по экспоненте, при подаче на контакт запирающего
напряжения V > 0 ток / будет определяться током насыщения js
(см. рис. 68).
Более строгий расчет ВАХ контакта металл — полупроводник показывает
необходимость учета характеристики запирающего слоя и в первую очередь
его толщины. Если запирающий слой толстый, что определяется условием С »
» X (где X — длина свободного пробега), то движение носителей заряда через
запирающий слой будет описываться в основном диффузией.
Поэтому такая теория выпрямления называется диффузионной-. Она при-
менима для полупроводников с небольшой концентрацией носителей, малой
их подвижностью и большой толщиной запирающего слоя. Можно показать, что
более точный критерий применимости диффузионной теории имеет вид:
kQT/(2eUKK) > 1.
Это соотношение удовлетворяется, если энергия, приобретаемая носителем
в контактном поле на длине свободного пробега, много больше средней энергии
теплового движения. Тогда, например, для р-Си2О с подвижностью р-р =
= 60 В/(см2-с), равновесной концентрацией дырок pQ= 1014 см-3, длиной сво-
бодного пробега дырок Х=4-10"7 см и контактной разностью потенциалов
ефк = 0,5 эВ и, следовательно, толщиной запирающего слоя С = 2,2-10"4 см
условия диффузионной теории хорошо выполняются, так как &0T8/(2et/K^) =
= 15» 1.
В то же время эта теория неприменима для таких полупроводников, как гер-
маний, кремний, и большинство соединений AnBVI и AIJIBV с большими значе-
ниями концентраций носителей и их подвижности. Например, для n-Si /и* =
= 0,26/п; |irt = 1300 В/(см2-с); е = 12 при n0 « 1014 см*3; ефк = 0,3 эВ; С ~
» 2« 10"4 см и X = 1,5-10"6 см. Тогда kQT%/(2et/KX) « 0,5 < 1.
Для таких полупроводников, где выполняется обратное условие С < X
или k0T2l (2ефкХ) < 1, применима диодная теория выпрямления. -
Толщина запирающего слоя поэтом случае будет меньше длины свободного
пробега (тонкий контакт), и носители заряда преодолевают слой без соударений,
т. е. не рассеиваясь. Этот процесс аналогичен прохождению электронов через
вакуумный промежуток в диоде. На основании этих аналогий теория тонких
запирающих слоев и была названа диодной теорией. Уравнения ВАХ контакта
в обеих теориях похожи на полученное общее выражение для ВАХ (5.31).
Диффузионная теория дает: / = e/ispnE0 (e~eV^k°T — 1) (5.32). js = — etis^nEQ —
ток насыщения, определяемый концентрацией носителей на внешней границе
запирающего слоя ис и напряженностью поля в запирающем слое Ео = [2е (фк +
+ Ю1/С.
Для случая диодной теории выражение для вольтамперной характеристики
имеет вид: / = (1/4) еп$ит (e~eV^k°T—1) (5.33), где /$ =—(1/4) ensvT— ток
насыщения, определяемый также п$ и средней скоростью теплового движения
носителей заряда — V8kt)T/nm*.
Сравнение выражений (5.32) и (5.33) показывает некоторое отличие ВАХ
в диодной и диффузионной теориях. Ток насыщения js в диодной теории не за-
154
висит от приложенного напряжения на запирающем слое, в то время как в диф-
фузионной теории, т. е. для толстого запирающего слоя, он растет для запира-
ющего напряжения и падает для прямого. Кроме того, ток насыщения /5 в тонком
запирающем слое больше тока насыщения в толстом слое во столько раз, во
сколько средняя тепловая скорость гт больше скорости дрейфа носителей
Из-за указанных отличий выражений для тока насыщения тонкий запирающий
слой должен обладать более резкой асимметричностью вольтамперной характе-
ристики (см. рис. 68).
Для обеих теорий по (5.32) и (5.33) при прямом напряжении
V <0 ток через контакт экспоненциально растет, а при запи-
рающем напряжении V > 0 стремится к току насыщения
Как указывалось выше, при приложении к выпрямленному
контакту прямого смещения V < 0 уменьшается высота потен-
циального барьера, возрастает/ток^бГНОВНых "носителей""заряда,
и пр1Ткин1актттая--эбяасть^бЪогащается неосновными носителями?
заргйда^.^ёЛеоштоъные йосители заряда инжектируютсй в"при-
контактную область. При приложении обратного смещения V > 0
поле потенци а л ьного барьера вытягивает неоенпинь^ носители"
йз приконтактной области? и_ она обедняете яГнеосновными, носи-
“телями, т е? происходит эксклюзия неосновных носителей за-
ряда. Такое изменение свойств приконтактной области, зависящее
от величины и знака приложенного напряжения, может исказить
результаты электрических измерений в полупроводниках, в про-
цессе которых обязательно в измерительной цепи присутствуют
контакты металл—полупроводник (чаще всего выпрямляющие,
что следует из соотношения работ выхода металлов, используемых
для контактов, и полупроводника). Поэтому электрические изме-
рения параметров полупроводников обязательно должны произ-
водиться потенциометрическими методами, при применении ко-
торых электрический ток через контакт металл—полупроводник
отсутствует.
5.4. ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНЫЙ ПЕРЕХОД
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
В полупроводнике может возникнуть р—n-переход или область
перехода от проводимости р-типа к проводимости n-типа. Оче-
видно, что на границе раздела этих областей также возникают
контактные явления и такой р—n-переход будет обладать выпрям-
ляющими свойствами. С подачей внешнего напряжения на р—и-
переход появляется возможность управления высотой потенци-
альных барьеров на переходе и, следовательно, изменяется кон-
центрация основных и неосновных носителей не только в прикон-
тактных слоях р—n-перехода, но и в объеме полупроводника.
Например, при подаче внешнего отрицательного напряжения на
n-область появляется возможность инжекции неосновных носи-
телей в объем полупроводника. На этом важном свойстве р—п-
перехода — изменении концентрации носителей заряда — осно-
155
вана вся полупроводниковая электроника. Образование р—и-
перехода достигается обычно всплавлением или диффузией в полу-
проводник и- или /7-типа примеси другого вида с тем, чтобы в одной
области полупроводника иметь избыток носителей одного зна-
ка, а в другой области — избыток носителей заряда другого
знака.
Рассмотрим процессы в р—n-переходе, созданном в однород-
ном полупроводнике диффузией донорных и акцепторных приме-
сей (рис. 69). Будем считать для опре-
деленности, что имеется акцепторный
NdNa
Рис. 69. Образование р—м-пе-
рехода при введении донорной
примеси в полупроводник р-
типа:
а — распределение примесей;
б — возникновение разделения
зарядов на контакте п- и р-об-
ластей; в — изгиб зон в области
р—n-перехода; г — распределе-
ние носителей; д — распределе-
ние пространственного заряда
полупроводник, в котором акцепторная
примесь распределена равномерно. В
такой полупроводник введем донорную
примесь так, чтобы в одной части по-
лупроводника ее концентрация была
большой Nd > Na (см. рис. 69, а).
Тогда эта область будет иметь электрон-
ную электропроводность, а другая
часть, где концентрация 'доноров ма-
ла, — дырочную электропроводность
(см. рис. 69, б). На границе двух об-
ластей полупроводника с разным типом
проводимости возникает взаимная диф-
фузия основных носителей заряда. Дыр-
ки из р-области, где их концентрация
велика, будут переходить в и-область,
а электроны из n-области соответственно
в р-область. Эта взаимная диффузия
носителей приведет к разделению за-
рядов в приконтактных областях р —
ц-перехода. В /7-области возникает от-
рицательный пространственный заряд
ионов акцепторов за счет ухода из этой
области дырок, а в и-области — поло-
жительный пространственный заряд,
так как при уходе электронов из этой
области там остаются положительные
ионы доноров. Таким образом, на кон-
такте возникает электрическое поле, обусловливающее дрейф
неосновных носителей — дырок из n-области в /7-область и элек-
тронов из /7-области в n-область. Носители будут перетекать до
тех пор, пока созданное ими контактное поле не уравновесит оба
тока и дрейфовый ток неосновных носителей не сравняется с диф-
фузионным током основных носителей. В отсутствие контактного
поля концентрация основных носителей в n-области пп больше,
чем концентрация неосновных носителей — электронов в /7-об-
ласти пр и соответственно концентрация основных носителей для
/7-области рр больше, чем дырок рп — неосновных носителей
156
для «-области (см. рис. 69, в). Кроме того, с учетом условия
Nd >Na
.пп>рр. (5.34)
Возникшее контактное поле препятствует уходу электронов
из n-области ври дырок из p-области в п. Концентрация электро-
нов пп и дырок рл по мере углубления в приконтактную область
быстро убывает (см. рис. 69, г).
В состоянии термодинамического равновесия ток через р—и-
переход не проходит и уровни Ферми для обеих областей одина-
ковы. Однако наличие с обеих сторон р—n-перехода простран-
ственного заряда противоположного знака по отношению к основ-
ным носителям в каждой из областей приводит, по существу,
к образованию потенциальных барьеров для основных носителей.
Следовательно, в области контактного поля энергетические зоны
искривляются (см. рис. 69, в). Глубина проникновения контактного
слоя в и- и p-области различна (см. рис. 69, д), так как по формуле
(5.26) она определяется концентрацией основных носителей.
Учитывая выражение (5.34), можно считать, что 1£р | > £п.
Глубину проникновения контактного поля в каждую из об-
ластей р—n-перехода можно определить, решая для них урав-
нения Пуассона. Принимая во внимание условие (5.22) для каждой
из областей, а это соответствует предположению, что простран-
ственный заряд в основном определяется ионизированными ато-
мами доноров для n-области и ионизированными атомами акцеп-
торов для p-области, можем получить:
для 0 < х < 2n dhp/dx2 = епп/(е£о) (5.35)
и для — 2р<х<0 d2cp/dx2 = — ерр/(ее0). (5.36)
Подобные уравнения уже решались нами в разделе 5.3. По-
этому решения уравнений (5.35) и (5.36) с учетом граничных
условий: ф = 0 и dqldx = 0 при х = £п и ср = <рк и dqldx = О
при х = — 2Р имеют вид, аналогичный формуле (5.25):
<Рп = ^«/2ее0 (2п — *)2 при 0 < х < (5.37)
Фр = Фк — ерр12ггц (£р + х)2 при —£р < х < 0. (5.38)
Очевидно, что непосредственно на границе х = 0 оба решения
(5.37) и (5.38) должны давать одни и те же значения ср и dqldx, т. е.:
фп |х=о — фр |х=о (5.39) и dtynldx |х=о — dtypldx\x=$*
Учитывая условия (5.37)—(5.39), получим £П/2Р = рп!пп
(5.40).
Если теперь использовать граничное условие для потенциала
(5.39) и соотношение (5.40), то можно получить выражение для
полной толщины слоя пространственного заряда £ = 2Р +
-фк = + Рр^= еппрр^/^Е0 (п„+ Рр) ],
откуда 2 = ]/ [2ее0фк («„ + рр)\1(еппрр). (5.41)
157
Из формулы (5.41) следует, что толщина слоя 2 тем больше*
чем меньше концентрация носителей заряда, а поскольку эта
концентрация в общем случае определяется легированием полу-
проводника, то 2 будет уменьшаться при увеличении концентра-
ции легирующей примеси.
Величина контактного поля так же, как и для контакта ме-
талл—полупроводник (5.21), зависит от разности работ выхода:
есрк = Фп —Фр. Учитывая значения Фп и Фр для донорного и
акцепторного случая, получаем есрк = ЛЕ — k0T In (NcNv/NaNd)f
откуда следует, что для невырожденного полупроводника есрк
меньше ЛЕ. Если также учесть значение и? по формуле (3.35),
можно записать есрк = k0T In (ррпп/п2).
5.5. ВОЛЬТАМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
р—я- ПЕРЕХОДА
Очевидно, что само существование потенциальных барьеров для
основных носителей на р—n-переходе обусловливает выпрямля-
ющие свойства р—n-перехода при подаче на него внешнего напря-
жения. Однако в отличие Ьт контакта металл—полупроводник
выпрямление в р—n-переходе будет определяться главным об-
разом неосновными носителями заряда, возникающими в прикон-
тактных областях этого перехода, а поэтому оно будет зависеть
от условий генерации и рекомбинации их в р—n-переходе. Генера-
ция неосновных носителей заряда обусловлена первоначальной
диффузией основных носителей и зависит от их концентрации,
которая может быть увеличена при действии внешнего электриче-
ского поля. Рекомбинация будет в основном определяться време-
нами жизни неосновных носителей, которые связаны с их диффу-
зионной длиной. Следовательно, рекомбинация будет зависеть от
толщины р—n-перехода. Для тонкого р—n-перехода предпола-
гается, что рекомбинация в нем не происходит, тогда к нему при-
менима диодная теория выпрямления (Е 2).
Если рассматривается рекомбинация в толстом переходе
(2 > L), то справедлива диффузионная теория выпрямления.
Кроме того, в отличие от контакта металл—полупроводник при
расчете тока через р—n-переход необходимо учитывать ток,
обусловленный электронами, и ток, создаваемый дырками. Тогда
согласно разделу 5.4 через р—n-переход протекают четыре со-
ставляющих тока: диффузионные токи основных носителей элек-
тронов jnD и дырок jpD, а также дрейфовые токи неосновных но-
сителей jnE и jpE. Очевидно, в состоянии термодинамического
равновесия: jnD + jpD + jnE + jpE = 0 (5.42).
Если подать на р—n-переход положительное внешнее напря-
жение на р-область, а на n-область отрицательное, то величина
потенциального барьера уменьшится. Это прямое напряжение
V < 0. Поток электронов из n-области в р-область увеличится
158
и соответственно возрастет поток дырок из р-области в п-область.
Таким образом, при прямом внешнем напряжении ток основных
носителей увеличивается. При этом внешнее электрическое поле
может стать больше контактного поля, и потенциальный барьер
вообще может исчезнуть. Тогда энергетические зоны, наклон
которых обусловлен действием сильного внешнего электрического
поля, образуют «потенциальный скат» для электронов в р-область
и дырок в n-область (рис. 70, а). Величина тока, текущего через
р—n-переход, будет опреде-
ляться величиной приложен-
ного напряжения V и реком-
бинацией электронов в п-
области и дырок в р-области
перехода. Если сменить по-
лярность приложенного внеш-
него напряжения, в прикон-
тактных областях р—п-пере-
Рис. 70. Энергетическая диаграмма
р-п-перехода при приложении пря-
мого (а) и запирающего (б) напряже-
ния
Рис. 71ДВольтамперная ха-
рактеристика р—п-перехода
(/) и идеального омического
контакта (2)
хода возрастет пространственный заряд неподвижных ионов доно-
ров и акцепторов за счет ухода подвижных электронов и дырок под
действием внешнего поля. Ток через р—n-переход почти не идет
(см. рис. 70, б). Это запирающее напряжение для р—п-перехода
V >0. Очевидно, что толщина р—n-перехода будет меняться
в зависимости от полярности приложенного напряжения:
- 2 = И[2ее0 (ср„ + V)(nn + pfi)]l(ennpp). (5.43)
При прямом напряжении V <0 она уменьшается, при запи-
рающем V >0 — увеличивается. Таким образом, р—п-переход
обладает асимметричной проводимостью и, следовательно, вы-
прямляющими свойствами (рис. 71).
Можно рассчитать возникающую в приграничных областях
р—n-перехода избыточную концентрацию неосновных носителей
Ар для n-области и Ап для р-области:
Ар = р — рп; \п = п — пр, (5.44)
159
где р и п — концентрации неосновных носителей — электронов
и дырок в области пространственных зарядов в и- и р-области
соответственно. Концентрация их будет зависеть от приложенного
внешнего напряжения V:
р = рпе~еу1^т\ п = npe-eVlk*T (5.45)
и с ростом прямого напряжения У<0 будет увеличиваться.
Подставляя выражения (5.45) в формулу (5.44), получим:
Др = рп (е-еу/^т — 1); Ап = пр (e~eV/k°T — 1), (5.46)
откуда следует, что при подаче прямого напряжения V <0 из-
быточная концентрация неравновесных носителей увеличивается,
и ток через р—п-переход в прямом направлении возрастает.
Такой способ увеличения концентрации носителей называется
инжекцией, и, следовательно, р—п-переход при подаче на него
прямого напряжения инжектирует неравновесные неосновные
носители заряда.
Согласно формуле (5.42) полный ток через р—п-переход опре-
деляется четырьмя составляющими. Однако в некотором прибли-
жении можно учитывать не все из них. При сильном легировании
величина концентрации пп основных носителей велика. Учитывая
условие электронейтральности для приграничных областей р—п-
перехода, устанавливающейся вследствие максвелловской ре-
лаксации объемного заряда: Ди = Др, можем для концентрации
электронов в n-области получить: n = nn + Ап (%). Тогда для
электронного тока в формуле (5.42), определяемого диффузионной
и дрейфовой составляющими: jnD + jnE = еп\апЕ + eDndnldx,
даже при малых значениях Е с учетом Ап дрейфовая состав-
ляющая будет больше диффузионной и последней можно пре-
небречь. Поэтому для n-области ток будет определяться: jnE =
= = еп[1пЕ. Вместе с тем в p-области концентрация электронов
составит п = пр + Ап' (х), где Ап' — количество электронов,
инжектированных из п-области.
Величина пр мала, и диффузионная составляющая больше
дрейфовой: jnD = jP = eDndn/dx (5.47).
Соотношение (5.47) с учетом (5.46) может быть представлено
в виде:
lPn = (^nnp/Ln)(e-^_l}_ (5.48)
Учитывая, что р—п-переход тонкий, т. е. рекомбинация в нем
не происходит, электронные токи в обеих областях на внешних
границах р—n-перехода будут одинаковыми = = j%\x=Qp.
Тогда можно считать, что электронный ток через р—п-переход
определяется диффузионной составляющей уравнения (5.48).
160
пред-
(5.49)
(5.50)
лишь
может
Аналогично для дырочного тока в обеих р- и n-областях ды-
рочный ток также может быть в некотором приближении
ставлен диффузионной составляющей тока в п-области:
Для полного тока через р—n-переход мы получим:
j = !р + jn = e(Dppn/Lp + DnnnlLp) (e~eVlk<>T — 1) =
- =~js(e-ev/kQT
Соотношение (5.50) аналогично по форме (5.31) с той
разницей, что величина тока насыщения js в этом случае
быть значительно меньше тока насыщения на контакте металл—
полупроводник. Это обусловливает большую асимметричность
р—n-перехода по сравнению с контактом металл—полупровод-
ник. Как следует из формулы (5.50), при подаче прямого смещения
V <0 ток через р—n-переход экспоненциально увеличивается,
при подаче запирающего напряжения стремится — к току насы-
щения /5. Согласно формуле (5.50) ток насыщения определяется
как
Ток насыщения уменьшается с ростом концентрации основных
носителей и времени жизни неосновных носителей заряда. С по-
вышением температуры ток насыщения js увеличивается, так
как при этом возрастает концентрация собственных носителей
заряда. Строго говоря, при больших прямых напряжениях на
р—n-переходе зависимость тока от напряжения не описывается
простым экспоненциальным законом. В показатель экспоненты
в формулу (5.50) должен быть введен коэффициент 0, учитыва-
ющий изменение свойств р—n-перехода при больших плотностях
тока и действие рекомбинационно-генерационного механизма.
Поэтому в* общем виде ВАХ р—n-перехода описывается уравне-
нием типа / = js (e~^eV^°T — 1).
5.6. ДРУГИЕ ВИДЫ КОНТАКТОВ. ГЕТЕРОПЕРЕХОДЫ
Контакты металл — полупроводник, если работы выходов из металла и полу-
проводника не равны друг другу по существу, нелинейные контакты. Нелиней-
ность таких контактов и обусловливает, в частности, их выпрямляющие свойства.
Кроме того, нелинейность используется, как и в классической электронике,
вообще для преобразования сигнала, генерации, модуляции, детектирования
сигналов и т. д. Широко применяется в полупроводниковой электронике также
возможность управления концентрацией неосновных носителей созданием р — п-
перехода.
Однако в технике используются и другие виды контактов, вольтамперная
характеристика которых линейна (см. рис. 71), и которые обладают низким
6 Горбачев В. В., Спицына Л. Г, 161
fa
EV2
’^InSb=
Рис. 72. Энергетическая 2 Диаграмма гетеро-
перехода GaAs—InSb
сопротивлением. Такие контакты не искажают форму поданного на него сигнала
и называются омическими. Учитывая, что нелинейный контакт р — «-перехода
меняет концентрацию неосновных носителей, омическим контактом можно счи-
тать такой, который не меняет концентрацию неосновных носителей. Кроме
омических контактов, могут реализоваться проводящие контакты, мало иска-
жающие форму сигнала. Такой контакт можно получить, например, при подаче
внешнего напряжения на антизапирающие слои полупроводника «-типа (см.
рис. 65, а) или p-типа (рис. 66, б).
Если взять контакт полупроводника «-типа с металлом при Фп 2> Фм» то
получаем в полупроводнике антизапирающий слой. При подаче напряжения на
него в одном направлении тока получается контакт металла с полупроводником,
обладающим почти^ однородным сопротивлением, а при другом направлении
тока — металл с полупроводником
почти такого же сопротивления.
Здесь мы пренебрегаем небольшим
изменением удельного сопротивле-
ния в глубине полупроводника за
антизапирающим слоем, обуслов-
ленным аккумуляцией и экстрак-
цией неосновных носителей заряда.
Следовательно, асимметрия прово-
димости такого контакта будет ма-
лой и выпрямления не будет.
Заметим, что все рассмотренные
выше виды контактов, по существу,
идеализированы и их свойства в
значительной степени будут опре-
деляться качеством поверхности
контакта. Поверхности реальных полупроводников имеют дефекты, искажаю-
щие описанную картину явлений на контактах. Поэтому для получения
контакта с заданными свойствами требуется сложный технологический
процесс.
Успехи полупроводниковой электроники в последние годы связаны глав-
ным образом с развитием полупроводниковой технологии, в частности с успе-
хами в технике очистки поверхности, напыления металлических и полупровод-
никовых пленок в высоком вакууме и разработке эпитаксиальной технологии,
что позволило получать контакты с заданными высокопроизводимыми характе-
ристиками.
Рассмотренный ранее электронно-дырочный переход, по существу, гомоген-
ный переход, поскольку он образован в монокристалле полупроводника. В пос-
ледние годы стали исследоваться переходы, возникающие на контакте полупро-
водников с различной шириной запрещенной зоны.
Такие переходы называются гетеропереходами. При образовании таких
контактов происходит перераспределение носителей заряда, приводящее к воз-
никновению контактной разности потенциалов и выравниванию уровней Ферми
(рис. 72). Так как ширина энергетических зон полупроводников в гетеропереходе
различна, то вблизи контакта могут возникать разрывы зон. В зависимости от
используемых в таком контакте полупроводников гетеропереходы обладают
разнообразными свойствами, в частности возможностью создания структур
« —«+- и р — р* -типа. Величиной потенциальных барьеров для электронов
и дырок, которые для гетеропереходов могут быть различными, можно управлять
с помощью внешнего напряжения, значит, гетеропереходы имеют инжектиру-
ющие и выпрямляющие свойства. Следует отметить трудности получения гетеро-
переходов, так как для получения гетероперехода с хорошими характеристиками
кристаллическая решетка одного полупроводника должна с минимальными на-
рушениями переходить в кристаллическую решетку другого. В настоящее время
известны гетеропереходы Ge — GaAs, GaAs — InAs, GaAs — GaP, Cu2S — ZnS,
Cu?Se — ZnSe.
Если в p — «-переходе используются вырожденные полупроводники и тол-
щина слоя объемного заряда р — «-перехода мала, то появляется новый меха-
162
низм прохождения тока — туннелирование через потенциальный барьер. Это
явление приводит к интересным особенностям ВАХ такого перехода и исполь-
зуется в туннельных и обращенных диодах.
5.7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ИХ ВЛИЯНИЕ
НА КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
По существу явления в приповерхностном слое аналогичны тем,
что разобраны нами в разделе 5.1. Однако качество поверхности
в значительной степени влияет на контактные явления и тем
самым на работу полупроводниковых приборов, в частности на
ВАХ и коэффициент инжекции контакта. Поэтому изучение по-
верхностных свойств интересно как для науки, так и для прак-
тики. Заметим в связи с этим, что само открытие точечного тран-
зистора было сделано Бардиным и Браттайном в 1946 г. при иссле-
довании поверхностных свойств германия на границе с растворами
электролитов. Для объяснения выпрямляющих свойств контакта
металл — полупроводник они предложили существование в полу-
проводнике поверхностных состояний.
Такие поверхностные состояния возникают на поверхности
кристалла и определяют систему энергетических уровней, возни-
кающих в запрещенной зоне и обусловленных поверхностными
дефектами. Происхождение этих уровней может быть различным.
Как известно из зонной теории, в идеальном, но ограниченном
кристалле вследствие нарушения условия периодичности кристал-
лической решетки на поверхности возникают уровни, лежащие
в запрещенной зоне. Это уровни Тамма, концентрация которых
определяется концентрацией поверхностных атомов 1016 см-2.
Кроме того, известно, что в реальном полупроводнике на по-
верхности возникают также поверхностные состояния за счет де-
фектов или адсорбции примесных атомов, т. е. появляются энер-
гетические уровни, обусловленные локальными дефектами на
поверхности. Эти дефекты могут вести себя как доноры и акцеп-
торы и, следовательно, влиять на распределение носителей за-
ряда в приповерхностном слое. Очевидно, эти локальные энерге-
тические уровни на поверхности и связанный с ними поверхност-
ный заряд изгибают энергетические зоны вблизи поверхности.
Изменение физических свойств, вызванное искривлением энерге-
тических зон, описывается уравнением Пуассона: d2qsldx2 =
--- — Ps/(ee0).
При искривлении энергетических зон образуются обогащен-
ные, обедненные и инверсионные слои вблизи поверхности и воз-
никает ряд специфических явлений, в частности эффект изменения
проводимости в приповерхностном слое, или эффект поля (5.16).
Кроме того, поверхностные уровни могут быть центрами реком-
бинации и влиять на полное время жизни неравновесных носите-
лей заряда. Как уже упоминалось оценка толщины поверхностного
слоя, в котором изменяются физические свойства кристалла, со-
гласно формуле (5.12), показывает, что в металлах с большой
б* 163
концентрацией свободных носителей заряда (~1023 см"3) экрани-
рование поверхностного заряда происходит на расстояниях 10"7—
10"8 см, т. е. этот заряд практически локализуется непосредст-
венно на поверхности и не влияет на объемные свойства. В то же
время для полупроводниковых кристаллов со значительно мень-
шей концентрацией пространственный заряд проникает достаточно
глубоко в объем кристалла. Например, в германии с концентра-
цией поверхностных уровней ~10и см"2 и концентрацией носи-
телей заряда в области собственной проводимости 1013 см"3 тол-
щина слоя поверхностного заряда составляет ~10-1—10"2 см.
Следовательно, поверхностный заряд в полупроводнике распре-
деляется между поверхностными уровнями и приповерхностным
слоем, вследствие чего и изменяется электропроводность полу-
проводника.
Если в формуле (5.16) (75>0 для полупроводника п-типа
и Us <0 для полупроводника p-типа, то в приповерхностном
слое проводимость увеличивается.
Эффект поля обусловливает избыточную проводимость: До$ =
= epnS Дп + Ар, гДе Дп и Др — избыточные концентрации
электронов и дырок, a p,nS и — подвижности электронов и
дырок в приповерхностном слое.
Эти подвижности в общем случае отличаются от подвижности
в объеме полупроводника за счет дополнительного рассеяния на
поверхностных дефектах. Из измерений эффекта поля можно найти
некоторую эффективную подвижность носителей в приповерх-
ностном слое: р,эфф = До5/р5, где р$ — плотность приповерх-
ностного заряда.
Если в приповерхностном слое преобладает электропровод-
ность, обусловленная носителями одного знака, например дырок,
то Дст$ = ерркр и тогда р.эфф = ре &р/р.
При изучении эффекта поля можно также получить зависи-
мость поверхностной электропроводности До5 и плотности поверх-
ностного заряда от поверхностной потенциальной энергии е<р5
(рис. 73). При больших отрицательных значениях e<ps в поверх-
ностном слое скапливается большое число электронов и значе-
ние Дсг$ велико. При малых отрицательных значениях число
избыточных электронов Дп убывает, но возрастает число избыточ-
ных дырок Др. Однако Дп убывает быстрее, чем возрастает Др,
и величина избыточной проводимости До$ уменьшается. При
отсутствии поля e<ps = 0, что соответствует отсутствию избыточ-
ных носителей Дп = Др = 0, избыточная проводимость равна
нулю. Очевидно, в этом случае энергетические зоны не искрив-
лены. При росте e<ps поверхностная проводимость растет за счет
увеличения концентрации избыточных дырок Др. Таким образом,
в минимуме Дсг$ = 0 инверсируется знак проводимости в поверх-
ностном слое. Плотность поверхностного заряда изменяется
в соответствии с поведением избыточного заряда: уменьшается
в области избытка Дп и растет в области избытка Др.
164
определенных одинаковых
Измеряя поверхностную проводимость и плотность этого за-
ряда, можно найти величину заряда, локализованного на энерге-
тических уровнях, и величину поля, а тем самым согласно уравне-
нию Пуассона и другие физические свойства в этой области. Для
этого надо построить графическую экспериментальную зависи-
мость До$ от общего индуцированного заряда р и теоретическую
зависимость Дсг$ от пространственного заряда в поверхностном
слое ps (рис. 74). Затем совмещают минимумы обеих кривых и для
чений До$, отсчитанных от мини-
мума, берут разность абсцисс экс-
периментальной и теоретической
кривых. Эта разность и представля-
ет собой заряд на поверхностных
уровнях при данном изгибе зон.
/6,Он-см'*. р$,Кл
7-105 -7-10'в
Рис. 73. Зависимость по-
верхностной проводимости
Аа^ и плотности поверх-
ностного заряда р$ от энер-
гии в приповерхност-
Рис. 74. Зависимость по-
верхностной проводимости
от общего индуцированного
заряда р и заряда в припо-
верхностной области р5
ном слое
Экспериментально было установлено, что поверхностные со-
стояния отличаются временами захвата носителей заряда. Разли-
чают медленные и быстрые поверхностные состояния в зависимости
от времени обмена носителя между ними и объемом полупровод-
ника. Медленные состояния связаны с дефектами, расположенными
на слое окисной пленки, почти всегда имеющейся на поверхности
реальных полупроводников (рис. 75). Медленные состояния имеют
большие времена захвата (от 10"1 с до нескольких часов), так как
носители заряда при переходе из объема полупроводника на эти
уровни должны перейти через окисный слой, являющийся диэлек-
триком. Быстрые состояние локализованы непосредственно на
поверхности полупроводника под слоем окиси и имеют времена
захвата от 10"4—10-6 с.
Существование поверхностных состояний, играющих роль
поверхностных ловушек и центров рекомбинации, приводит к по-
верхностной рекомбинации. В общем случае рекомбинация будет
идти как на быстрых, так и на медленных состояних. Однако время
перехода на медленные состояния велико, и практически реком-
165
бинация идет через быстрые состояния. Принципиально поверх-
ностная рекомбинация может быть рассмотрена в рамках теории
Холла—Шокли—Рида для рекомбинации через локальные центры.
Для характеристики поверхностной рекомбинации удобно ввести
понятие скорости поверхностной рекомбинации. Для процесса по-
верхностной рекомбинации справедливо общее выражение (4.14), по-
казывающее изменение концентрации носителей при рекомбинации.
Например, для электронного полупроводника в отсутствие электрического
тока:
- (dn/dt)s = (nsps - nl)Sp(jS), (5.51)
где «5, р$, nQs и Pqs — неравновесные и равновесные поверхностные концентра-
ции электронов и дырок, которые по формуле (5.45) могут быть выражены через
значения поля в приповерхностном слое:
ns=ne-^s/V. Ps = pe-^s/^T.
„ п п 0~e4><tlkJ (5’52)
nos пое s/ 0 ; P<>s= Рое s/ °
Подставляя выражения (5.52) в формулу (5.51), получим —(dnldt)s =
= YS (пР — лоро). Откуда следует, что поверхностная рекомбинация опреде-
ляется концентрацией неравновесных носителей в объеме. При отсутствии цен-
тров прилипания Ап = Ар, —(dn!dt)s = Ys (по + Ро + Ап) Обозначая
Германий
Медленные
состояния
Быстрые
состояния
F-------
Слой окиси
германия
Рис. 75. Схема образования бы-
стрых и медленных состояний на
поверхности полупроводника
-0£ -ОС о 0,2 ОА (р5,в
Рис. 76. Зависимость скорости по-
верхностной рекомбинации от по-
верхностного потенциала
TS (по + Д» + An) = S, мы получим, что изменение концентрации dnldt будет
определяться избыточной концентрацией Ап и величиной S, имеющей размер-
ность скорости и называемой скоростью поверхностной рекомбинации.
Следовательно, скорость поверхностной рекомбинации определяется отно-
шением количества актов рекомбинации на единицу поверхности в единицу вре-
мени к концентрации избыточных носителей. Введение скорости поверхностной
рекомбинации позволяет более удобно описывать процессы, связанные с поверх-
ностной рекомбинацией. Например, рекомбинационный поверхностный ток опи-
сывается скоростью поверхностной рекомбинации: js = eAn$S.
В общем случае 1 для скорости поверхностной рекомбинации
можно получить выражение
О _____________1nshsNs(na + P<>-VtM)___________ сох
I I I e^^/knT ’ ' **'
__________Ins’1! + ypSPl + Sl + VpsP6
1 См., например: Пека Г. П. Физика поверхности полупроводников. Киев;
Изд. Киерск. ун-та, 1967, Q. 94.
166
Me Yns и ypS — вероятности захвата поверхностным состоянием
электронов и дырок из соответствующей зоны.
«1 = Nce~Es/k»T и Pl = ^E~Es)/koT (5.54)
есть концентрации соответственно электронов и дырок, когда
уровень Ферми совпадает с энергетическим уровнем Es поверх-
ностного центра рекомбинации.
Из выражения (5.53) видно, что скорость поверхностной ре-
комбинации существенно зависит от величины поверхностного
потенциала <р5. На рис. 76 изображена зависимость скорости
поверхностной рекомбинации от поверхностного потенциала ср5
для различных значений энергетического положения поверхно-
стного рекомбинационного уровня.
Как уже отмечалось, работа полупроводниковых приборов Зависит от ка-
чества поверхности, что особенно важно в связи с развитием тонкопленочной
технологии. Поверхностные состояния —
причина ряда эффектов, влияющих на
параметры полупроводниковых приборов:
а) образование поверхностного потен-
циала может снизить величину напря-
жения пробоя вблизи поверхности и в
значительной степени определяет обрат-
ный ток коллектора плоскостного тран-
зистора; Рис. 77. Положение области про-
б) увеличение поверхностной электро- странственного заряда в р —п-пере-
проводности в сильном внешнем электри- $иие(б)Пкана°лаУТСТВИИ ” образова’
ческом поле вблизи поверхности р —
n-перехода вызывает нестабильность об-
ратного тока, а следовательно, и нестабильность коллекторного тока перехода;
в) изменение скорости поверхностной рекомбинации при изменении величины
поверхностного потенциала обусловливает нестабильность коэффициента пере-
дачи тока полупроводникового триода и определяет ход спектральных характе-
ристик фотодиодов в коротковолновой области;
г) уровень шумов полупроводниковых приборов сильно зависит от качества
обработки поверхности;
д) образование поверхностных каналов.
Рассмотрим возникновение этих каналов. Изучение работы полупроводни-
ковых приборов показало, что обратный ток р — n-перехода определяется гене-
рацией электронно-дырочных пар на расстоянии от р — n-перехода, не превы-
шающем длины диффузии носителей заряда. Однако в ряде случаев обратные
токи р — n-перехода значительно больше рассчитанных по теории Шокли —
Рида. Эти избыточные токи связаны с образованием каналов на поверхности
вблизи р — п-перехода.
Канал — это тонкий слой на поверхности, проводимость которого по типу
отличается от объемной. Наличие канала обусловлено образованием инверсион-
ного слоя на поверхности за счет сильного изгиба энергетических зон при ад-
сорбции молекул окружающей среды (например, воды).
При больших величинах положительного поверхностного заряда, образу-
ющегося при адсорбции воды, на поверхности германия p-типа может возникнуть
инверсионный слой с проводимостью п-типа.
В результате область р — n-перехода как бы затягивается в объем кристалла
и эффективная площадь р — n-перехода увеличивается (рис. 77). При увеличе-
нии площади р — n-перехода возрастает обратный ток через переход и по-
является избыточный ток. Экспериментально найдено, что в германии р-типа
167
длина поверхностного кайаЛа MoiKet Превышать f мМ, а в кремний р-типа До-
ходит до 4 мм. Каналы легче образуются на высокоомном кристалле. В этом
случае для образования инверсионного слоя требуются сравнительно малые
изгибы энергетических зон.
ГЛАВА 6- РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
В КРИСТАЛЛАХ
6.1. МЕХАНИЗМЫ РАССЕЯНИЯ.
ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ
Как было установлено в главе 1, время свободного пробега между
двумя соударениями тс, соответствующее по порядку величины
времени релаксации т, будет зависеть от процесса рассеяния но-
сителей заряда. Следовательно, при этом будет изменяться по-
движность и скорость электронов, что повлияет на все явления,
обусловленные переносом носителей заряда. Исследование про-
цессов рассеяния носителей заряда в реальных твердых телах
имеет не только теоретическое, но и практическое значение.
Между рассеянием носителей в металлах и полупроводниках нет
принципиальной разницы. Основное отличие, как уже указыва-
лось ранее, состоит лишь в количественном различии электронов
и дырок в металлах и полупроводниках.
С этой точки зрения целесообразно рассмотреть поведение
электронов в реальных кристаллах. Идеальный кристалл, как
мы неоднократно подчеркивали, не рассеивает электронов, вслед-
ствие чего электрический ток в таком кристалле не затухает.
Однако любые нарушения периодичности кристалла будут изме-
нять квазиимпульс электрона и конечное сопротивление кристалла,
что связано с конечным временем релаксации т и конечной длиной
свободного пробега X (1.10). Поэтому в реальном кристалле элек-
трический ток после выключения уменьшается по экспоненте,
т. е. затухает. Процесс установления равновесия в системе опре-
деляется временем релаксации т и, очевидно, он вызывается рас-
сеянием носителей заряда на различных нарушениях периодич-
ности кристалла. Механизм взаимодействия электронов с такими
дефектами идеальной кристаллической решетки, т. е. сам харак-
тер рассеяния, будет определяться типом дефекта. Рассмотрим
кратко возможные несовершенства в кристаллах, приводящие
к рассеянию носителей заряда. Принципиально их можно раздё’-
лить на два класса, всегда имеющиеся в реальных кристаллах, —
динамические несовершенства^ обусловленные тепловыми колеба-
ниями атомов решетки, и статические несовершенства, вызван-
ные всевозможными реальными дефектами решетки. К последним
относятся точечные дефекты (вакансии, чужеродные, т. е. примес-
168
ные, атомы и ионы в решетке), линейные дефекты (краевые и вин-
товые дислокации), плоские дефекты (границы зерен, двойников,
блоков, внешние границы кристалла), объемные дефекты (дефекты
упаковки, трещины, полости, зародыши другой фазы и т. д.).
Для характеристики движущихся носителей заряда в реаль-
ных кристаллах необходимо выяснить, как влияют все эти дефекты
на время и длину свободного пробега. Для анализа процессов рас-
сеяния полезно ввести некоторую величину, характеризующую
вероятность рассеяния на данном центре рассеяния. Известно,
- что в общем случае вероятность такого процесса будет опреде-
ляться временем свободного пробега Wt = 1/тс.
Вместе с тем можно рассчитать число рассеянных электронов
с учетом вероятности процесса рассеяния. Уменьшение числа
частиц в потоке при рассеянии будет определяться вероятностью
рассеяния на единице длины 1/Х: —dn (х) = п (х) dx/K (6.1),
откуда изменение числа частиц с расстоянием вследствие рассея-
ния можно записать в виде: п (х) = nQe~x/K, где X — средняя длина
свободного пробега.
Действительно:
оо оо
О о
Если число рассеивающих центров Nt и каждый характери-
зуется некоторым параметром взаимодействия S*, называемым
эффективным сечением рассеяния, то выражение (6.1) можно пред-
ставить как —dn (х) = nS*Nt dx (6.2).
Сравнивая выражения (6.2) и (6.1), мы видим, что величина
S*N = 1/Х (6.3) есть вероятность рассеяния на единичном интер-
вале пути, т. е. W = S*Nt (6.4). Таким образом, эффективное се-
чение, характеризующее процесс взаимодействия носителя заряда
с центром рассеяния, определяется вероятностью этого процесса.
Эффективное сечение S* можно представить в виде некоторого
непрозрачного для частиц экрана, выводящего частицу из потока
и моделирующего таким образом силовой рассеивающий центр.
Название «эффективное сечение» связано с тем, что эта величина
имеет размерность площади. Учитывая связь между временем
свободного пробега и его длиной [см. уравнение (1.10) и (6.3)],
получаем
xc=k/\v\ = \/(\v\S^Nt). (6.5)
Следовательно, вероятность рассеяния определяется эффек-
тивным сечением рассеивающего центра, количеством этих цен-
тров и скоростью движения носителя заряда.
В общем случае эффективное сечение — есть вероятность
того, что частица отклонится на любой произвольный угол от пер-
воначального движения. Если учесть, что различные частицы
будут отклоняться на различные углы 0 и ср (в сферической си-
169
стеме координат), можно сначала ввести дифференциальное эффек-
тивное сечение Од (9, <р), относящееся к одной частице, которое пред-
ставляет собой вероятность рассеяния одной частицы на одном
рассеивающем центре на единице пути в единичный телесный
угол dQ. Тогда, просуммировав по всем углам 9 и <р, определим
вероятность рассеяния на произвольные любые углы, т. е. найдем
полную вероятность рассеяния или интегральное эффективное
сечение:
J Од (9, <р) dQ = Ои-
2л
(6.6)
^Рассеяние частиц может быть изотропным, т. е. равновероят-
ным по всем направлениям.;Очевидно, это возможно в том случае,
когда дифференциальное сечение не зависит от углов 9 и ф.
Тогда согласно формуле (6.6): oj = ОдJdQ = 4лОд.
Рис. 78. Отклонение^электрона точечным не-
совершенством
4Л
Взаимодействие частиц
может быть неупругим и
упругим. При рассеянии лег-
ких электронов на тяжелых
силовых рассеивающих цент-
рах энергия электрона прак-
тически не меняется (изме-
няется лишь квазиимпульс),
т. е. соударения можно рас-
сматривать как упругие. Из
закона сохранения энергии
можно найти изменение энер-
гии при таком упругом взаи-
модействии:
ДТ(0) = 7\-Т2=
= Т12т*(\ -cos0)/M, (6.7)
где 9 — угол отклонения частицы от первоначального направле-
ния при рассеянии (рис. 78); 7\ и Т2 — энергия электрона до столк-
новения и после столкновения; т* —масса электрона; М — масса
рассеивающего центра.
Учитывая, "что вероятность рассеяния в полный телесный
угол dQ (6.6) есть в то же время вероятность потери энергии ДТ
(6.7), можем получить для среднего изменения энергии: ДТ =
= 7,12/тг*Ос/(Л4(1и); в данном случае некоторое усредненное
по углам 9 эффективное сечение, не равное в общем случае инте-
гральному сечению по формуле (6.6):
л
о* = 2л J <Уд (0) (1 — cos 0) sin 0 dd.
о
(6-8)
170
В формулу (6.8) входит множитель (1 — cos 0), называемый
весовым множителем, который показывает, что доля теоряемой
энергии при отклонении на большие углы больше, чем в случае
отклонения на малые углы. Таким образом, усреднение в формуле
(6.8) проводится с учетом весового множителя (1 —cos 0), и aj
называется эффективным сечением проводимости, или транспорт-
ным эффективным сечением.
При изотропном рассеянии
л
о* = 2лод J (1 — cos 0) sin 0 dQ — 4ло* — (6-9)
о
Очевидно, в соответствии с выражением (6.5):
тс = и X - 1/(^ас*). (6.10)
Теория квантовых переходов дает возможность получить анало-
гичную формулу для времени релаксации т= l/[Oc^zv (£)1 (6.11).
Следует еще раз подчеркнуть, что время свободного пробега тс
будет равно времени релаксации т, если скорость направленного
движения рассеивающейся частицы теряется за одно соударение.
Сопоставляя выражения (6.11) и (6.10) с формулой (6.9),
мы видим, что это совпадение происходит, когда о„ = т. е.
при изотропном рассеянии. В общем случае времена тс и т раз-
личны.
Если возможны одновременно несколько процессов рассеяния,
то считается, что они действуют независимо один от другого.
Тогда полная вероятность будет определяться суммой вероят-
ностей отдельных процессов рассеяния: W = (6-12), т. е.
i
для них справедливо правило аддитивности. С учетом формулы
(6.3) соотношение (6.12) может быть записано в виде:
1д = 21Аг. (6.13)
i
Используя уравнение (6.13), можно определить вклад t-того механизма
рассеяния в полную длину свободного пробега и, следовательно, в общий про-
цесс рассеяния.
Оценим длину свободного пробега для некоторых механизмов рассеяния.
Для вакансий и примесных атомов, относящихся к точечным дефектам, за вели-
чину эффективного сечения можно считать площадь грани элементарной ячейки,
т. е. (ои)а « 10"16 см2.
Если предположить, например, концентрацию нейтральных атомов при-
меси 1\1а « 2-1017 см"3, то « 5-10“2 см.
Если примесь ионизирована, то создаваемое ионом примеси электрическое
поле распространяется значительно дальше, чем силовое поле, образованное
нейтральной примесью. Поэтому эффективное сечение рассеяния носителей за-
ряда на ионах примеси можно представить площадью круга воровского радиуса,
т. е. (ай)/ = Ю“13—10"14 см2, что при такой же концентрации ионов, как и в пер-
вом случае N/ = 2- 1017см"3, дает значение длины свободного пробега Л/ = 5х
X 10"4 см.
В случае рассеяния носителей заряда на тепловых колебаниях атомов ре-
шетки за эффективное сечение рассеяния принимается площадь сечения той
171
области, которую может занимать колеблющийся атом. Следовательно, сечение
будет определяться амплитудой колебаний, зависящей от температуры. При
амплитуде колебаний ~0,1 нм эффективное сечение рассеяния (ои)т ~ 10"17см2.
С учетом N 1023 см"3 можно получить длину свободного пробега для этого
механизма рассеяния Лт ~ 10"6 см = 10 нм.
Как следует из этой оценки, основными механизмами рассеяния являются
при высоких температурах — рассеяние на тепловых колебаниях атомов кри-
сталлической решетки, при низких — рассеяние на ионах и атомах примеси.
Подвижность носителей заряда — важная характеристика дви-
жения и взаимодействия носителей с решеткой, т. е. процессов
рассеяния. Следовательно, установление зависимости подвиж-
ности от внешних условий, и в первую очередь от температуры,
для различных механизмов рассеяния—одна из основных задач
теории рассеяния электронов в кристаллах. Для нахождения
функциональной зависимости р, (Т) необходимо согласно формуле
(1.12) найти т(Т), которое в свою очередь определяется вели-
чиной oj в соответствии с уравнением (6.11). Поэтому при анализе
температурной зависимости подвижности в теории рассеяния
необходимо находить дифференциальное эффективное сечение
а (0, <р) для конкретных механизмов рассеяния.
6.2. ТЕПЛОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ РЕШЕТКИ
В реальном кристалле силы, удерживающие ионы и атомы в ре-
шетке, хотя и велики, но не бесконечны, и атомы колеблются
вокруг средних положений равновесия. Очевидно, с повышением
температуры тела амплитуда хаотических колебаний атомов будет
увеличиваться. Носители заряда, двигаясь по решетке, атомы ко-
торой колеблются, могут обмениваться с ними энергией. Благо-
даря колебаниям атомов решетки и устанавливается термодина-
мическое равновесие между решеткой и электронным газом.
Потенциальная энергия определяет структуру кристалла и
ясно, что всякие отклонения от положения равновесия будут
изменять вид потенциальной функции. Поэтому естественно раз-
ложить потенциальную энергию в ряд Тейлора по степеням век-
торов смещений из положения равновесия кристалла. При этом
обычно делаются два предположения. Первое — это уже извест-
ное из зонной теории адиабатическое приближение', электроны,
двигаясь значительно быстрее, чем ядра, всегда успевают под-
строиться к любым положениям ядер, т. е. считается, что элек-
троны движутся так, что в любой момент времени они как бы
жестко прикреплены к атомам. По существу, мы пренебрегаем
здесь влиянием движения электронов на колебания атомов ре-
шетки и рассматриваем потенциальную энергию кристалла как
функцию, зависящую только от мгновенного положения ядер.
Второе приближение относится к разложению потенциальной
энергии по степеням смещения атомов:
172
t/-(70+2 dRnj Rni+ 2 2 dR -dRn,., ^/^7' +
nj nW
+4- S <6J4)
где Rni — вектор смещения /-атома ячейки и, равный гп/ — rnj.
Постоянный член UQ — это энергия кристалла в равновесном
состоянии. Соответствующим выбором начала отсчета потенциаль-
ной энер'гии его можно сделать равным нулю. Линейный член
dUldRnj исчезает, так как разложение ведется относительно по-
ложения равновесия, где кристалл имеет экстремальное значение
энергии и, следовательно, dU/dRnj = 0. Таким образом, ряд
в формуле (6.14) начинается с квадратичных членов. Гармониче-
ское приближение заключается в пренебрежении в формуле (6.14)
степенями выше второй. Это, очевидно, справедливо в предпо-
ложении малости смещений атомов от своих положений равнове-
сия. В таком случае потенциальная энергия кристалла будет
являться однородной квадратичной формой по смещениям ядер
из положения равновесия:
U = 4" Апп'^п^п' (6-15)> гДе Апп> = d2U/(dRnjdRn’j')-
пп’
В соответствии с теорией Борна — Кармана сила, действую-
щая на атом, определяется как производная от потенциальной
энергии по смещению со знаком минус. С учетом формулы (6.15):
Fmi = — dU/dRlU = — 2 Ац (rm — rn) Unj, где Fml — сила, действу-
/п
ющая на атом т в направлении i при смещении атома п в направ-
лении /.
Очевидно, что из уравнения (6.14) можно получить уравнение
движения атома т\
P-mi = ^i^mi ~ (6.16)
Уравнение (6.16) содержит в явном виде массу атома Mh
что в ряде случаев вызывает дополнительные трудности. Поэтому
вводят приведенные смещения Wnj = ]/ Mi Rnj, а вместо сило-
вой матрицы Anj,n'j't вводят матрицу Dnj.n'j'
Dn/. пт = Ani, п.г/ (6.17)
которую называют динамической матрицей.
Тогда уравнение движения (6.16) имеет вид: Wmi =—^DminjWnj*
Если в разложении энергии существенны только квадратичные
члены, то движение каждой частицы около своего положения рав-
новесия можно представить в виде суперпозиции нескольких
простых гармонических колебаний, каждое со своей характеристи-
ческой частотой. Один основной набор простых гармонических ко-
173
лебаний можно использовать для описания движения всех частиц
системы. При этом при переходе от одной частицы к другой в общем
случае изменяются только амплитуда и фаза отдельных колебаний.
Различные простые гармонические колебания системы называются
ее нормальными колебаниями.
Смещение ядер можно представить в виде разложения по нор-
мальным колебаниям. Физически это означает, что систему ко-
леблющихся атомов кристалла можно моделировать в виде ЗМ
независимых гармонических осцилляторов (где 3W — число ко-
лебательных степеней свободы ячейки). Каждый такой осциллятор
посылает по решетке плоскую волну. Поэтому все нормальные
колебания могут быть описаны набором этих плоских волн сме-
щения, проходящих через кристалл. Проходящая волна произво-
дит простое гармоническое смещение атомов решетки и харак-
теризуется тремя параметрами: волновым вектором q = 2л/| X |,
направление которого определяет направление движения волны;
круговой частотой со, которая определяет частоту колебания,
и поляризационным индекссм 5 (для простых решеток Бравэ
5=1, 2, 3). Решение уравнения движения (6.16) ищут в виде
плоских волн, которые с учетом нормировки записываются как
'Фя (?) = Vs (?) exp [—icos (q) t + iqr], где Vs (?) — векторы по-
ляризации.
Тогда потенциальная энергия кристалла с учетом разложения
реальных смещений атомов по нормальным колебаниям имеет вид:
Un=£ 2'М<7) = 55У<;(<7)ехр[—i<i>st + iqr]. (6.18)
S=1 q S q
Величины (q) exp [—icos (q) t] = Qs (q), входящие в фор-
мулу (6.18), называются нормальными или главными координа-
тами. В общем случае они удовлетворяют уравнению Qs (q) +
+ [cos (q) ]2 Qs (q) = 0, которое является уравнением дви-
жения для (5, q) линейного гармонического осциллятора.
В соответствии с идеей разложения по нормальным колеба-
ниям из уравнения движения мы можем получить уравнения
вида
А4(о% = ^Di}Cq)V}. (6-19)
/
где Dij — динамическая матрица, связанная с тензором гармони-
ческих сил Ац соотношением (6.17); Vit Vj— векторы поляри-
зации атомов I, /.
Для данного волнового вектора q выражение (6.19) представ-
ляет собой систему из трех однородных алгебраических уравне-
ний относительно компонент векторов поляризации V (q). Одно-
174
родная система имеет нетривиальное решение, как известно,
—►
в случае равенства нулю ее определителя) Оц — Mco2s (q) 6f/1 =
= 0 (6.20).
Решая уравнение (6.20), можно получить для каждого q три
значения со, т. е. найти соотношение со = cos (<?), которое назы-
вается дисперсионным соотношением и наряду с зависимостью
V = (q) определяет особенности динамики данной кристалли-
ческой решетки. Из уравнения (6.20), которое называется веко-
вым или секулярным, также видно, что собственные значения со$ (q)
динамической матрицы являются квадратами частот колеба-
ний атомов. Следовательно, уравнение (6.20) устанавливает
связь между частотами колебаний атомов и силами взаимодей-
ствия между атомами. Таким образом, каждому волновому век-
тору q соответствует в общем случае несколько нормальных ко-
лебаний, имеющих различные частоты. Следовательно, полный
набор колебаний характеризуется cos (q), где число значений q
равно числу элементарных ячеек в кристалле.
При заданной поляризации колебания S величина cos (q)
непрерывно меняется внутри зоны Бриллюэна, определяя ветвь
колебательного спектра g (ы). Три ветви самой низкой частоты
называются акустическими ветвями, так как ими определяются
акустические свойства кристалла. Таким колебаниям соответ-
ствуют смещения (как целого) подрешеток Бравэ, составляющих
решетку. Это приводит к локальным сжатиям и разрежениям
в кристалле, подобным разрежению и сжатию, возникающим при
прохождении упругих или акустических волн. Поэтому колебания,
когда атомы колеблются в фазе, называются акустическими.
Две из трех ветвей акустических колебаний — поперечные, ветвь
с наибольшей частотой — продольная акустическая. Заметим, что
для акустических ветвей частота обращается в нуль при q = 0.
Существование трех ветвей акустических колебаний связано
с тремя степенями свободы колебательного движения частицы
в пространстве. Поляризацию колебаний можно описывать, вводя
три возможные проекции вектора смещения. Удобно выбирать
две поперечные и одну продольные ветви.
Колебания типа оптических или оптические ветви дисперсион-
ных кривых связаны с колебанием атомов в противофазе; поэтому
центр масс ячейки остается в покое, но смещаются центры тяжести
зарядов и в ячейке возникает дипольный электрический момент.
Так как при прохождении электромагнитной, волны свет сильно
взаимодействует с такими колебаниями, то эти колебания на-
зывают оптическими. На рис. 79 и 80 показаны функция
распределения частот g (со) и дисперсионные кривые для Гер-
мания.
175
Если рассмотреть тепловые колебания атомов решетки с по-
зиций квантовой механики, то полная энергия будет определяться
энергиями гармонических квантовых осцилляторов. Так как мы
рассматриваем невзаимодействующие квантовые осцилляторы, то
Н = и энергию решетки можно представить в виде суммы
<7
энергий гармонических осцилляторов Е = J^Eq = ^huq (nq +
q q
+ х/2), где n = 0, 1, 2, 3 ...
Квантовый осциллятор с энергией Еп = (п + V2) может
изменить свою энергию лишь квантованно на величину Д£Л =
Рис. 79. Спектр колебаний атомов
g (со) в германии
Рис. 80. Дисперсионные кривые для
германия в направлении [1111(a) и
[100] (б)
= йсоп dn. Как известно из квантовой механики, правило отбора
для квантового числа осциллятора имеет вид Дп = ±1.
Какое из этих значений осуществляется при данных условиях,
зависит от полной энергии, содержащейся во всей решетке, и от
ее распределения по нормальным колебаниям. Если Дп = —1,
то решетка переходит на одно из более низких энергетических
состояний, а энергия йсоп отдается носителям заряда или окружа-
ющей среде. Следовательно, квант энергии йсоп является квантом
энергии колебаний решетки. Такой квант энергии получил на-
звание фонона. Переход Дп = — 1 является процессом излучения
фонона решеткой, а переход Д/г =; + 1 — процессом поглощения
фонона решеткой. Если представить решетку в виде фононного
газа, то Дп = + 1 означает рождение фонона, а Дп = —1
исчезновение фонона. Очевидно, что акустическим ветвям
дисперсионных кривых, т. е. акустическим колебаниям атомов
решетки, соответствуют акустические фононы, а оптическим ко-
лебаниям— оптические фононы. Так как обычно частоты оптиче-
ских колебаний больше, чем акустических (рис. 80), то длина волны
акустических фононов больше длины волны оптических фононов.
Из квантовой механики известно, что равновесное значение энергии осцил-
лятора имеет вид:
Eq = fi<09/2 + Й(0?/[еЙШАг _ 1] . (6.21)
176
Условие (6.21) вытекает из того, что фононы подчиняются статистике Бозе —
Эйнштейна. Функция распределения по энергиям в этой статистике имеет вид:
fq = — 1) (6.22).
Если считать, что возбуждение осциллятора адекватно рождению фонона,
то среднее число фононов определяется из (6.21):
<«„> = ЕЧ/{К^} = 1/2 +1/(?W _ 1) . (6.23)
При Т —> оо, когда h($q <С k$Tt осциллятор находится в высоком энергети-
ческом состоянии и
(fig) = ‘/З + 1/(?“‘?/4°Г“ ’) « k0T/(H<i>g). (6.24)
Его средняя энергия в соответствии с классической статистикой равна:
Е? = {nq} H(i)q = k0T. При малых Г, когда Ha>q > k0T:
<nq) ~ 1/2 + <ГЙ“«/*»Г ~ 1/а’ (6.25)
т. е. осциллятор находится в наинизшем энергетическом состоянии (п = 0).
Заметим, что термодинамические свойства кристаллической решетки будут
определяться спектром частот g (со). Величина g (со) есть число нормальных ко-
лебаний, приходящихся на интервал частот от (о до (о + d(0. Функция g (со)
“max
удовлетворяет условию нормировки: J g (со) dco = 3N (6.26), где W— число
о
атомов элементарной ячейки.
Энергия кристаллической решетки определяется через спектр
“max
g (to) следующим образом: Е = j g (to) Eq dco, где Eq опреде-
o
ляется формулой (6.21).
Рассмотрим удельную теплоемкость:
d(£) va . /со_.
cv dT~ ~Nk<> J (Mi.r _ Л2 e da>- (6-27>
0 v 7
Если представить часть подынтегрального выражения в формуле (6.27)
через z2ez/(ez— 1), где z = Й(о/k0T, то, очевидно, при высоких температурах,
когда Z’oT ^>Й(о, величина z2ez!(ez— 1) ~ 1. Тогда выражение (6.27) с учетом
формулы (6.26) для некоторой максимальной частоты колебаний (Ор в области
hm <с faop <с kQT будет иметь вид Су—> 3NkQ. Это известный закон Дюлонга —
Пти: при высоких температурах теплоемкость всех твердых тел стремится к од-
ному значению (25,1 кДж/моль). Для низких температур (kQT <С Й(0р) g (со) «
~ (o2d(o, что дает С ~ Т3.
Отметим, что максимальная частота toD называется характе-
ристической или дебаевской частотой и определяет по соотно-
шению fttoD = kQBD температуру 0D, с помощью которой можно
описать тепловые свойства кристаллов.
Дебаевская частота соответствует максимальной частоте, с ко-
торой могут колебаться атомы около своих положений равновесия.
В модели силового взаимодействия Дебая предполагается, что
при to > toD атомы уже отрываются от своих мест и поэтому
в модели Дебая пренебрегают всеми колебаниями, частота которых
выше top. Следовательно, при to = top в этой модели спектр обры-
177
вается (см. рис. 79). По существу, модель Дебая — представле-
ние кристалла в виде однородного упругого изотропного конти-
нуума и не учитывает дисперсии колебаний атомов. Поэтому
дебаевская температура 0D и дебаевская частота coD удовлетво-
рительно описывают только макроскопические тепловые харак-
теристики, связанные с колебаниями атомов решетки кристалла,
и дают грубую информацию о межатомном взаимодействии. Де-
баевскую температуру 0D часто используют как критерий тем-
пературы тела. Если Т > 0D — это высокие температуры для
данного кристалла, при Т < 0D — низкие.
Гармоническое приближение сводит задачу о колебаниях
атомов к задаче о системе независимых невзаимодействующих
фононов. Энергия, переносимая фононами, перемещается в ре-
шетке с групповой скоростью, поэтому потоку тепла сопротив-
ления нет. Среднее смещение атомов равно нулю. Однако реаль-
ные тела испытывают тепловое расширение. Поэтому необходимо
учитывать высшие степени разложения потенциальной энергии.
Тогда колебания уже не будут гармоническими и соответствую-
щие нормальным колебаниям осцилляторы будут ангармониче-
скими, значит, фононы будут взаимодействующими. Следовательно,
возможно рассеяние фононов на фононах, и нарушается прин-
цип суперпозиции плоских волн. Ангармонизм колебаний приво-
дит к тому, что среднее смещение атомов отлично от нуля, в ре-
зультате чего размеры тел изменяются, т. е. происходит тепловое
расширение твердых тел.
6.3. РАССЕЯНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА НА ФОНОНАХ
Рассеяние носителей заряда на тепловых колебаниях атомов
кристаллической решетки теперь можно рассматривать как взаи-
модействие квазичастиц: электронов с энергией Е = fi2k2/2m*
и волновым вектором k и фононов, состояние которых определяется
волновым вектором q и энергией йсо^. Как мы установили выше,
для взаимодействия электронов с несовершенствами решетки
характерны упругие столкновения, что учитывается законом со-
хранения энергии: й2й2/2/п* = й2й'2/2/п* ± йсо^ (6.28), где k —
волновой вектор электрона до рассеяния; й' — после рассеяния.
Если йй = йй' ± ftq (6.29) или й ± й' = q (6.30), то такие про-
цессы рассеяния не меняют направления передачи энергии, и,
как следует из формулы (6.30), волновой вектор конечного состоя-
ния электрона после рассеяния й' = й ± q увеличивается или
уменьшается на величину волнового вектора фонона q по сравне-
нию с начальным состоянием й. Следовательно, выражения (6.29)
и (6.30), по существу, закон сохранения импульса при взаимо-
действии электронов и фононов в кристалле. Такие процессы
178
названы Пайерлсом нормальными или N-процессами. Возможны
также такие процессы рассеяния, когда закон сохранения им-
пульса (6.30) выполняется с точностью до вектора обратной ре-
шетки: k' ± k = q + 2л& (6.31). Поскольку в периодической
решетке фононы с векторами q и q + 2л& неразличимы, то урав-
нение (6.31) также соответствует закону сохранения импульса.
Такие процессы рассеяния получили название процессов переброса
или U (Utnklapр)-процессов. При этом направление передачи
энергии меняется (рис. 81).
Применительно к рассеянию фононов на фононах процессы
переброса и обусловливают появление теплового сопротивления.
Таким образом, рассеяние удоб-
но описывать изменением вол-
нового вектора электрона при
рассеянии его на любых несо-
вершенствах кристаллической
решетки. Тогда можно приме-
нить аппарат теории возмуще-
ний, подобно тому, как это ис-
пользовалось в зонной теории
твердого тела (см. главу 2).
Переход из состояния, опи-
сываемого волновым вектором
й, в состояние с волновым век-
тором k’ определяется по фор-
муле (2.76) видом оператора
возмущения и матричным эле-
ментом этого оператора. Вероят-
ность перехода очевидно,
ристикой рассеяния и в соответствии с теорией возмущений
будет иметь вид:
W_>+ = 2л/Й | ф | U | k) |2 6 [Е Й - Е (£')], (6.32)
где (k' | U | k) — матричный элемент возмущающего потенциала
U (г); 6 [Е (k) — Е (&') —дельта-функция Дирака.
Дельта-функция отражает требование выполнения закона со-
хранения энергии при рассеянии. Как было показано в главе 2,
матричный элемент (k‘ | U | k) по аналогии с уравнением (2.77)
отличен от нуля только в том случае, когда соблюдаются условия
(6.28) и (6.30), выполнение которых означает, что энергия и ква-
зиимпульс рассеивающегося электрона меняются квантованно на
величину энергии и квазиимпульса фонона:
Е' = Е ± йсо/, hk’ = hk± hq. (6.33)
______________
^Граница (рононной\
I ЭЛМК!
ЗОНЬ/
О'
Электронная
зона
О'"
о”
рно. 81. Схема процессов переброса, при
которых меняется направление передачи
энергии
будет в общем случае характе-
1
179
нонах используется метэд
Рис. 82. Схема изменения энергии
зоны при прохождении через кри-
сталл продольных колебаний
Таким образом, вероятность рассеяния (6.32) отлична от
нуля, и, следовательно, рассеяние электрона на тепловых коле-
баниях атомов решетки реализуется только тогда, когда, по форму-
ле (6.33) рождается или поглощается фонон. При таком рассмотре-
нии наглядно видна полезность использования понятия фонона.
Определение матричных элементов и вероятностей перехода —
сложная задача, и производится оно по-разному для рассеяния
на акустических и оптических фононах. В частности, для изуче-
ния рассеяния электронов на длинноволновых акустических фо-
деформационного потенциала, пред-
ложенный Бардиным и Шокли. Из
приближения сильной связи зонной
теории твердого тела следует, что
положение и размер зон энергии
будут зависеть от расстояния между
соседними атомами. Следовательно,
напряжения, обусловленные тепло-
выми колебаниями атомов в кри-
сталлической решетке, будут влиять
на зонную структуру кристалла.
Поперечные волны вызывают в твердом теле сдвиговую дефор-
мацию и не изменяют объема кристалла. Значит, расстояния
между атомами будут меняться только при продольных волнах,
соответствующих продольным акустическим фононам, которые
сжимают и растягивают кристалл. Это изменение объема кристалла
вызовет в свою очередь волнообразные изменения дна зоны про-
водимости и потолка валентной зоны (рис. 82), на которых и
рассеиваются электроны. Тогда:
Ес (U) = Ес (0) + Vc (г, 0; Ev (У) = Ev (0) + Vv (г, t), (6.34)
где Ес ((/) и Ev ((/) — положение зон проводимости и валентной
зоны при объемной деформации; Ес (0) и Ev (0) — соответственно
без деформации; Vc (г, t) и Vv (г, /) — потенциалы деформации
для зоны проводимости и валентной зоны, которые могут быть
представлены в виде: V (г) = у U (г), где — константа де-
формационного потенциала; у U (г) — упругое смещение решетки
в точке г.
В общем случае матричный элемент оператора возмущения
может быть выражен через энергию взаимодействия V (г) частицы
с силовым центром:
оо
(*' IУI k) = j 4; (?) V Сг) (Г) dr, (6.35)
о * k
где И1|?4 — волновые функции, соответствующие состояниям
с волновым вектором k и k'.
180
Так как в общем случае вероятность перехода определяется
квадратом модуля матричного элемента оператора всзмущения по
формуле (6.32) и поскольку вероятность перехода k -> k' опре-
деляется эффективным сечением (6.4), то можем получить диффе-
ренциальное сечение через энергию взаимодействия V (г):
о (0, ф) = 2т*/й2 [ rV (г)
о х
2
dr ,
(6.36)
где и = k — k'.
Формула (6.36) получается из условия (6.35), если волновые
функции г|Д (г) иф°> (г) представить в виде волн Блоха:
1 kr 1 k
00 -> >
(k' I и I k) = J Л* (г) V (г) фЛ (r) dr = J eiK r V (г) ф+ (г) фч. (r) dr.
J k к J k k
Предполагая потенциалы возмущения V (г) сферически сим-
оо
метричными V = 4л jrV (г) sin хг dr/и, можно найти эффектив-
ен
ное дифференциальное сечение о (9, ср) через потенциал возмуще-
ния V (г). Такой способ нахождения сечения и вероятности про-
цесса рассеяния через потенциал возмущения называется борнов-
ским приближением.
Тогда, учитывая разложение смещения U (г) по нормальным
колебаниям (6.18) и (6.35), можно получить для данного вида
рассеяния
= 2n2n<7e292/(WG)J, (6.37)
где nq — число фононов; — частота акустического фонона;
N — число атомов в кристалле; М — масса колеблющегося
атома.
Выражение (6.37) соответствует более общим выражениям
для поглощения (6.38) и испускания (6.39) фонона, которые по-
лучаются из формулы (6.32) с учетом операторов рождения и
уничтожения фононов 1:
+ = 4nC2q2nq8 (Ef — Е — йсо^/^со^М); (6.38)
W++ = 4nC2q2 (nq + 1) 6 (Ef - E + Й^)/(9#о^И), (6.39)
где C — некоторая константа, характеризующая взаимодействие
электронов с фононами; 6 (£' — Е ± йсо^) — дельта-функция,
отражающая законы сохранения энергии.
1 См., например: Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твердых
телах. М.: Мир, 1971, с. 167—169, 191.
181
Из формулы (6.28) можно найти волновой фактор фонона, участвующего
в рассеянии, если предположить, что частота продольных акустических волн
= Ц)<7 (6.40), где а0 — скорость продольных акустических волн.
Тогда с учетом угла между направлениями k и k' получаем q = ±2k cos ф ±
± 2m*v0/H (6.41).
Оценивая вклад второго члена в формуле (6.41) при т* = т = 10"27 г
и и0 = 106 см/с, получим, что при всех температурах, превышающих 1 К, им
можно пренебречь. Следовательно, в большинстве реальных случаев: q =
= ±2k cos ф (6.42).
Тогда из закона сохранения энергии (6.28) следует, что рассеяние электро-
нов на продольных акустических фононах происходит квазиупруго (q k).
Заметим, что пренебрежение вторым слагаемым в формуле (6.41), равно-
сильное пренебрежению энергией фонона в формуле (6.28), означает пренебреже-
ние неупругостью процесса взаимодействия электрона с фононом. Как указыва-
лось, при низких температурах этого делать нельзя и необходимо учитывать
неупругость такого процесса. Из уравнения (6.42) следует, что в зависимости
от значения ф волновой вектор фонона изменяется в пределах: 0 < q < 2k. Точ-
ное соотношение между временем релаксации т и вероятностью рассеяния
k k'
можно получить на основе кинетического уравнения Больцмана:
1/т = (1/4л3) f (1 - cos 6) (6.43)
J kk’ k’
где 0 — угол между первоначальным направлением движения электрона k и
рассеянного электрона k'.
Тогда, подставляя в формулу (6.43) значения из формул (6.38) и (6.39) с уче-
том того, что при высоких температурах число фононов nq, по условиям (6.24)
и (6.40), определяется как nq = ^^/(Йсо^) = к0Т/(Ни6я), можно получить 1
т = 9лМ^Й4/(4 K2GC2m*,/«A07’£,/«) , (6.44)
где G — объем элементарной ячейки, или
т(Х)=т0(й)/(«*3/2Г£’Л). (6-45)
где т0 (Л) = 9лЙ4ЛР^/(4 У2СЧ}) (6.46)
По формуле (6.45) при рассеянии носителей заряда в атомных
кристаллах на акустических колебаниях атомов решетки время
релаксации обратно пропорционально температуре, энергии в сте-
пени одна вторая и эффективной массе носителя в степени три
вторых. Выражение (6.45) можно записать в более общем виде,
показывающем степенную зависимость времени релаксации от
энергии: т (k) = т0 (k) Ер/(т,3/2Т), при р — —г/г.
При таком рассеянии длина свободного пробега X не зависит
от энергии и обратно пропорциональна температуре:
X = vx = 9лЛ4^Й4/(40т*2С%)Г)- (6-47)
1 См., например: Ансельм А. И. Введение в теорию полупроводников. М.:
Физматгиз, 1962, с. 279—281.
182
Для чистого германия при комнатной температуре подвиж-
ность электронов = 0,39 м2/(В-с). Если считать, что т*п =
= 0,3/ио, то elm* = 6-Ю11 Кл/кг и т = /Ипрп/е = 6,5-10"13 с.
Рассмотренные выше соотношения справедливы более строго
для полупроводников. Однако для металлов сохраняется ход
рассуждений с учетом разной длины электронных волн в металле
и полупроводнике. Даже грубая оценка длины волны свободного
электрона по соотношению де Бройля К = fi/mv с учетом скоростей
теплового движения показывает, что в полупроводниках она
составляет ~7-10"7 см, в то время как для металлов ~5-10“8 см.
Поэтому можно считать, что длина электронной волны в металлах
порядка межатомных расстояний, а электроны в полупроводни-
ках распространяются более длинными волнами. Это должно
отражаться в специфике рассеяния электронов в металлах и
полупроводниках.
Среднее значение волнового вектора электрона в полупроводниках k
« 107 см"1, а максимальное значение волнового вектора фонона в рамках мо-
дели Дебая:
?max = «D/% = (6л2/б),/з « 10е см-1. (6.48)
Как уже указывалось в главе 2, в явлениях переноса в металлах и, следо-
вательно, в процессах рассеяния будут принимать участие только те электроны,
энергия которых близка к энергии Ферми F. Тогда волновой вектор такого элек-
трона будет определяться как
k (F) = VZnFF/b « 10е см-1, (6.49)
т. е. на порядок величины больше волнового вектора электрона в полупровод^
нике. Следовательно, для металла тем более справедливо пренебрежение вторым
членом в формуле (6.41), т. е. так же, как и для полупроводника, рассеяние в ме-
талле происходит упруго и вероятность этого процесса определяется теми же
соотношениями (6.38) и (6.39). Но если учесть, что длина волны фонона и длина
волны электрона в металле — величины одного порядка (6.48) и (6.49), то изме-
нятся выражения для времени релаксации (6.44) и длины свободного пробега
(6.47):
2/2 GMm*'^ka / 0D \ 3/2. _ 4 ОШо0р ( 0D \ ™
л» П*С7 \ Т ) ’ л3 Й3С2 \ Т )
Механизм рассеяния носителей заряда на продольных акусти-
ческих фононах является основным при высоких температурах
для ковалентных кристаллов. Для кристаллов со значительной
долей ионности в связях (например, In, Sb, GaAs, Cu2Te) элек-
троны сильнее взаимодействуют с дипольными моментами, воз-
никающими при смещениях разноименно заряженных ионов
в ячейке, что соответствует рассеянию электронов на оптических
фононах. Для описания рассеяния носителей заряда на оптиче-
ских фононах' используется понятие поляризационного потен-
циала, аналогичного по форме деформационному. При разделении
зарядов ионов в ячейках по кристаллу распространяется плоская
волна напряженности электрического поля. Взаимодействие элек-
тронов с такими поляризационными волнами и приводит к их
183
рассеянию. При этом выполняются законы сохранения энергии
и квазиимпульса, аналогичные по форме (6.33):
k' = k± qoaT; Е' (k') =E(k)± йсоопт. (6.50)
Из формулы (6.50) с учетом угла между k и q можно получить
уравнение для определения волнового вектора фонона при по-
глощении (^) и испускании (</2) фонона:
й272/2ги* + йсоОГ1Т ± й2 qk cos 0/m* == 0, откуда
qr = —k cos 0 ± ]/k2 cos2 0 + x2; q2 = k cos 0 ± |/ k2 cos2 0 — x2,
где x — волновой вектор электрона с энергией, равной энергии
оптического фонона: й2х2/2/п* = йсоопт (6.51).
Следовательно, при рассеянии электрона на оптических фо-
нонах согласно формуле (6.51) энергия электрона также изме-
няется квантованно. Вероятности перехода электрона из перво-
начального состояния k в конечное k', связанные с поглощением
и испусканием фонона, определяются по аналогии с выражениями
(6.38) и (6.39):
= [2лW/(Wae<DonT?2)] п.6 (Р - Е - Йсоопт); (6.52)
= [2^W/(Wo)onT?2)l (nq + 1) 6 (Ef - E + Й(оопт), (6.53)
где Ze — заряд иона; а — расстояние между ионами; М — при-
веденная масса ионов: М'1 = (/пх + ^/(/п^).
Время релаксации и длину свободного пробега рассчитывают
отдельно для высоких и низких температур. Если k0T й<оопт,
то так как энергия фонона много меньше энергии электрона, рас-
сеяние можно считать упругим. В этом случае
т= f2 М2а43 (^>.опт)2 £,/г и Х = (6.54)
4л Z2e4m* /zk0T 2л т \ Ze/a / koT
Для низких температур, т. е. когда k0T йсоопт, энергия
электронов значительно меньше энергии фонона и практически
фононы лишь поглощаются. Строго говоря, такие процессы идут
неупруго, электроны изменяют свою энергию очень сильно и для
такого рассеяния нельзя применять теорию возмущений. Рассея-
ние электронов в ионных кристаллах можно рассматривать как
взаимодействие квазичастиц поляронов с фононами. Под поляро-
ном обычно понимают некоторую совокупность электрона и по-
ляризуемой им области, которая под действием внешнего электри-
ческого поля перемещается вместе с электроном. Однако и для
случая kQT < йсоопт в грубом приближении взаимодействие счи-
тается упругим, так как вероятность испускания фонона по фор-
муле (6.53) превышает вероятность поглощения фонона (6.52)
184
Ё (nq 4- 1)/п<7 раз A. Тогда время пребывания электрона Ё высоко-
энергетичном состоянии в результате поглощения фонона будет
очень мало. Электрон сразу же после поглощения фонона испу-
скает фонон практически той же энергии и, следовательно, рассея-
ние можно рассматривать как процесс обмена фононами.
Рассчитывая число фононов для низких температур по фор-
муле (6.25), можно получить время релаксации для такого ква-
зйупругого рассеяния электронов проводимости на оптических
фононах;
_ ,3 /2 W (toOnT)3/2 /%пт/V.
0ПТ~ 4я Z2e4m*i/2
1 За М ^(Оопт Лй(оппт/лпт / Е \V1 2
опт “ 2л m* Ze* la \ k0T ) ’
откуда видно, что время релаксации не зависит от энергии элек-
трона, но экспоненциально зависит от температуры.
6.4. РАССЕЯНИЕ НА АТОМАХ ПРИМЕСИ
И ДИСЛОКАЦИЯХ
Для описания рассеяния носителей заряда на заряженных атомах
примеси надо найти эффективное сечение этого процесса, которое
по формуле (6.36) будет определяться потенциальной энергией
взаимодействия V (г) рассеивающейся
тром. Поскольку электрон или дырка
движутся в электрическом поле поло-
жительного или отрицательного иона,
они будут отклоняться этим полем
(рис. 83), и энергия взаимодействия бу-
дет определяться законом Кулона:
V (г) = ±Ze2/(4ner). (6.55)
частицы с силовым цен-
Рис. 83. Изменение направле-
ния движения носителя заряда
в кулоновском поле иона при-
меси
Выражение (6.55), определяющее
воздействие на носитель заряда со
стороны иона примеси, не учитывает экранирования поля ионов
свободными носителями, что особенно проявляется на больших
расстояниях от иона. Учет такого экранирования приводит к
выражению
V (г) = ±Ze2e“r/r°/(4nere0)-
(6.56)
Здесь г0 — радиус экранирования, определяющий, по существу,
область действия поля рассеивающего силового центра.
1 См., например: Ансельм А. И. Введение в теорию полупроводников. М.:
Физматгиз, 1962, с. 293.
185
Очевидно, радиус экранирования будет зависеть от концен-
трации носителей заряда: чем больше эта концентрация, тем
меньше радиус г0- Для металлов радиус экранирования опреде-
ляется межатомным расстоянием r0 10-8 см. Для полупровод-
ников радиус экранирования может быть значительно больше.
Так, для невырожденного полупроводника Дебай и Хюккель
установили, что радиус экранирования будет определяться как
r0 = V skQT/(4ле2п')»
где п' — некоторая приведенная концентрация равна п' = п +
+ (п + Na,d) [1 — (п + Naid)/NdiQ\, a Naid — концентрация акцеп-
торной или донорной примеси.
Приведенные выше рассуждения показывают, что существо-
вание области экранирования изменяет дальность действия ку-
лоновского поля и в этом случае возмущение не может уже счи-
таться слабым, так как область существования возмущения уже
распространяется на расстояние порядка нескольких десятков
постоянных решетки. Следовательно, строго говоря, борновское
приближение (6.36) нельзя применить к рассеянию на ионах
примеси. Однако экспериментально установлено, что потен-
циал V (г) сильно уменьшается с расстоянием и является весьма
слабым потенциалом. Тогда, подставляя в формулу (6.36) значе-
ние потенциала V (г) из формулы (6.56), получим
^(9, ф)-( ) [ха + (1/го)2]* ‘ (6‘57)
Если взять сферически симметричный случай, т. е. проинте-
грировав выражение по углу ср, а поле иона считать чисто кулонов-
ским (lim г0 оо), то выражение (6.57) преобразуется к виду:
о (9) = [4m*Ze2/(efi2)]2 {1 /[4k2 sin4 (9/2)]}, (6.58)
что с учетом значения скорости v = hklm* согласно формуле
(2.54) дает возможность записать сечение рассеяния на ионах
примеси в виде известной формулы Резерфорда, полученной им
при изучении рассеяния а-частиц на ядрах:
а (9) = [Zea/(2e/n*y2) ]2 [1/sin4 (9/2)]. (6.59)
Из выражения (6.59) следует, что рассеяние на ионах примеси
анизотропно. При введении понятия эффективного сечения необ-
ходим учет рассеяния на большие углы. Этим обстоятельством
вызвано появление весового множителя (1 — cos 0) в формулах
(6.8) и (6.43). Очевидно, угол отклонения частицы 9 между перво-
начальным направлением и направлением после рассеяния мо-
жет изменяться от некоторого максимального 0тах = л, когда
носитель попадает прямо на примесный ион, до минимального 0mln,
которое будет определяться максимальными значениями прицель-
ного расстояния b (см. рис. 78). Это связано с тем, что малым
186
углам отклонения соответствуют большие расстояния между
ионом и рассеивающейся частицей. Как было установлено Борном,
это минимальное расстояние, называемое прицельным расстоянием,
зависит от угла рассеяния 0, массы и скорости частицы:
b = Ze2 ctg (0/2)/(ezn*y2). (6.60)
Максимальное значение &тах будет определяться расстоянием
между ближайшими ионами и их концентрацией. Очевидно:
&max = 1/3/2 (6.61). Ему соответствует 0mln по формуле (6.60):
ctg 0mln/2 = wn*v4Ze2 (6.62).
Тогда время релаксации при рассеянии на ионах примеси по
формулам (6.11) и (6.43) с учетом изменения 0 от 0тах до 0т1п
будет иметь вид:
т = nITT = !----------- (6,63)
/У (k) (Jc j (J (0) (1 — cos 0) Sjn 0 J0
о
Подставляя в формулу (6.63) выражение для о (0) из фор-
мулы (6.58) и учитывая условие (6.62), получим:
т №= / 1 ~
8л ( о Niv (*)1п —тог
\ 2&m*v2 ] v ' Sin2 (9min/2)
__________________1________________
~2» >" +*V] ~
E2m*¥ (£)
Г p tn*v% "1
2nZW,ln 1 + ,
2ZeW‘
(6.64)
Выражение (6.64) для r (k) называется формулой Конуэлла—
Вайскопфа. Видно, что т (k) ~ и® (Д) и, следовательно, зависит от
энергии рассеивающегося носителя заряда. Учитывая связь
скорости теплового движения и энергии t» = J/2E//n*, можем
получить для времени релаксации
т (k) = е2 (2m*)‘/« Е’Л / INpiZV In 1 + ( N~^ \ I (6.65)
или т (k) = т0(£) Е’!*, где т0 (k) =
= (2т*)’/г е2 / [nZ^Nj In Г1 +
е£ \
ZeWJ*
Более строгий учет экранирования по Бруксу и Херрингу
* [lenfeeo/Ze2)2^^;]
дает для времени релаксации т (k) = ГДе
Р = 2klD, lQ — дебаевская длина экранирования.
187
Брукс и Херринг показали, что при усреднении в случае не-
вырожденного электронного газа
(т (k)> = (4/3// л) J т (k) (E/k0T)^ exp (—E/k0T) dE/k0T (6.66)
0
можно заменить величину Е значением энергии, при которой по-
дынтегральное выражение в (6.66) будет максимально. Это имеет
место при Е = 3kQT. Тогда обозначая 0 для этого случая через
рБХ (Б и X — начальные буквы фамилий Брукса и Херринга),
получим
Р»х = 2^(4зМ-)'Ч
ИЛИ
о _ 1/ 8 Т 1/ ш* 1/2,08-1018 см-3
Рбх - У Тб ТооГ У У -----------п------•
Для германия n-типа с е = 16, т*1т^ = 0,12 и концентрацией
носителей п = 2,5-1017 см"3 при 100 К коэффициент 0БХ = 1.
В этом случае lD = 5,5 нм, а среднее расстояние между ближай-
шими ионами примеси в отсутствие компенсации равно 15,9 нм.
Для подвижности носителей Бруксом и Херрингом была предло-
жена формула, удобная для практического использования
[см2/(В - с) ]:
_ 3,68-1020 1 / 8 \2 / Т \’/2
И “ Ni Z2 \ 16 / \ IOOAj ) Х
X z_________________!-----------------. (6.67)
l/m m0 [1g (1 -j- 0бх) ~ 0>434₽вх/(1 + Рбх)]
Если рассмотреть аналогичным образом выражение для по-
движности в рамках приближения Конуэлла—Вайскопфа, то
может быть получена формула, подобная (6.67), с той разницей,
что вместо выражения в квадратных скобках в нее будет входить
lg (1 + 0кв), где через 0КВ аналогично обозначено значение 0,
полученное из расчетов Конуэлла и Вайскопфа:
О _ 1 е Т /2,35-Ю19 см-зу/з
РКВ — z 16 1006 \ Nj ) *
Коэффициент 0КВ зависит не от концентрации носителей,
а от концентрации ионов примеси. Формулы Брукса—Херринга
и Конуэлла—Вайскопфа различаются лишь логарифмическими
членами. Поэтому они дают почти одинаковые результаты вплоть
до концентраций порядка 1018 см"3. Некоторые отличия зависи-
мости подвижности от концентрации примеси по формулам Ко-
нуэлла—Вайскопфа и Брукса—Херринга приведены на рис. 84
при значениях п = Z = 1, е = 16 и /и* = пг0.
188
Таким образом, и при рассеянии носителей заряда на ионизи-
рованной примеси существует степенная зависимость времени ре-
лаксации т от энергии т = tqEp при р = 3/2.
Из выражений (6.64) и (6.65) следует, что чем больше скорость
и энергия рассеивающихся на ионах примеси носителей заряда,
тем длительнее релаксационный процесс. Длина свободного про-
бега при таком механизме рассеяния также зависит от энергии:
А = tv (k) = J/ 2//и*т0 (k) E2. Можно рассчитать интегральное (6.6)
и транспортное (6.8) сечения рассеяния на ионах примеси с учетом
прицельного расстояния в формуле (6.61):
Ои = ,/а)2 = n&maxi
(6.68)
[‘+
(sm*v2/Ze2)2
сечение рассеяния o„ можно
радиусом femax. Поэтому чем
/7-NI} см'3
Рис. 84. Зависимость подвижности от
концентрации примеси при 77 и 300 К,
вычисленной по формулам Конуэлл —
Вайскопфа (КВ) и Брукса —Херринга
(БХ) для гипотетического нескомпен-
сированного полупроводника
Из формулы (6.68) видно, что
моделировать площадью круга с
больше концентрация ионов при-
меси, тем меньше прицельное
расстояние и, следовательно, мень-
ше интегральное сечение рассея-
ния носителей заряда на них. Взаи-
модействие носителей заряда с
ионом примеси будет зависеть от
скорости пролета рассеивающейся
частицы около силового центра,
и по формуле (6.68) чем меньше
скорость, тем сильнее носитель
взаимодействует с ионом примеси,
так как вероятность рассеяния
растет.
Следует заметить, что при низ-
ких температурах, когда умень-
шается вероятность ионизации примеси, носители могут рассеи-
ваться на нейтральных атомах примеси и дислокациях. Как
показывают эксперименты, в германии и кремнии локальные со-
стояния, связанные с дислокациями, имеют акцепторный харак-
тер. Тогда линейную дислокацию можно рассматривать как ло-
вушку для электронов и поэтому представить ее отрицательно заря-
женным уровнем в запрещенной зоне для полупроводника п-типа.
Следовательно, рассеяние носителей заряда на дислокациях
можно рассматривать как частный случай рассеяния на ионах
примеси и использовать борновское приближение (6.36). Модельно
такую дислокацию можно представить как отрицательно заряжен-
ный бесконечно длинный цилиндр радиусом R, окруженный
положительным пространственным зарядом. Дифференциальное
сечение рассеяния на дислокациях имеет вид о (0) = R sin 0/2.
189
Время релаксации электронов при таком механизме рассея-
ния не зависит от температуры кристалла, а определяется плот-
ностью дислокации AfD и скоростью носителя:
x(k) = 3/[8Rv(k)ND]. (6.69)
Следует указать, что такой механизм рассеяния отсутствует
в кристаллах p-типа и рассеяние дырок на дислокациях происхо-
дит там, как на упругих напряжениях кристалла, вызывающих
локальную деформацию. Поэтому такое взаимодействие дырок
с дислокациями можно рассматривать как рассеяние на акустиче-
ских фононах.
Рассеяние носителей заряда на нейтральных атомах значи-
тельно сложнее по сравнению с рассеянием частиц на заряженных
примесях. Это обусловлено несколькими обстоятельствами. Во-
первых, вследствие тождественности рассеиваемого электрона и
электрона атома возможен обменный эффект. Во-вторых, рассеи-
вающий силовой центр, рассматриваемый для данного случая
в виде водородоподобной модели, должен иметь возбужденные
состояния, и поэтому рассеяние может быть уже неупругим. И,
наконец, рассеиваемая частица будет влиять на поле рассеива-
ющего центра: она будет поляризовать атом примеси,^возникнет
индуцированный дипольный момент у атома примеси, а это соз-
дает электрическое поле, действующее на свободный носитель
заряда. Если учесть эти обстоятельства, то выражение для потен-
циальной энергии свободного носителя заряда в поле индуциро-
ванного им диполя примет вид: V (г) = —%Ze2/(2E2r*) (6.70), гдех—
поляризуемость атома.
Подставляя выражение (6.70) в формулу (6.36), можно найти
дифференциальное сечение рассеяния носителей атомами при-
меси, которое по форме соответствует выражению (6.57). Если
предположить в формуле (6.57), что х2 (1/г0)2, а это соответ-
ствует отсутствию кулоновского взаимодействия между нейтраль-
ной примесью и рассеивающейся частицей (lim г0 -+ 0), то для
рассеяния на атомах нейтральной примеси мы получим: о (0) =
= ° . Видно, что эффективное сечение изотропно
и не зависит ясно от энергии. При решении кинетического урав-
нения численным способом и предположении справедливости водо-
родоподобной модели для нейтрального атома примеси Эргинсой
получил соотношение для времени релаксации: tv (k) =
= /п*2е2/(20ей87Уприм) (6.71).
Выражение (6.71) называется формулой Эргинсоя. Время
релаксации при таком механизме рассеяния, так же как и сече-
ние рассеяния, не зависит от энергии носителя, но определяется
концентрацией примеси.
При энергии электронов Еэл больше энергии активации при-
меси б£акт число ионизированных атомов даже в скомпенсиро-
190
ванных полупроводниках значительно больше числа нейтральных
атомов и рассеяние идет в основном на ионах примеси. Однако
при очень низких температурах, когда примесь не ионизирована
или ионизирована лишь частично, рассеяние на нейтральных
примесных атомах можно сравнить с рассеянием на ионах примеси.
6.5. ДРУГИЕ ВИДЫ РАССЕЯНИЯ НОСИТЕЛЕЙ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ.
ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПОДВИЖНОСТИ
В полупроводниках могут иметь место и другие виды рассеяния,
обусловленные сложностью зонной структуры реальных полу-
проводников и приводящие к другим способам перераспределения
квазиимпульса рассеивающихся носителей заряда.
Как уже установлено в разделе 2.10, в зоне проводимости и
валентной зоне даже таких элементарных полупроводников, как
германий и кремний, имеется несколько ветвей энергии. Элект-
роны в зоне проводимости находятся не в одной, а в нескольких
(в первой зоне Бриллюэна для кремния в шести, а для германия
в четырех) долинах, симметрично расположенных в й-простран-
стве. Изоэнергетические поверхности, имеющие вид эллипсоидов
для данной долины, анизотропны. Это отражается, как известно
из зонной теории, на тензорном характере эффективной массы /и*.
Тогда, очевидно, согласно (1.27) можно говорить об анизотропии
электропроводности а, времени релаксации т и подвижности р.
Заметим, однако, что симметричное расположение долин в ку-
бических кристаллах германия и кремния позволяет усреднить
электропроводность и время жизни релаксации по всем долинам
и представить их в виде изотропных величин, если ввести некото-
рую усредненную эффективную массу проводимости т*с:
\/т* = 1/3 (2//и? + 1/<). (6.72)
Следует подчеркнуть различие между эффективной массой для
плотности состояний m*d в формуле (2.113) и эффективной массой
проводимости т* в формуле (6.72). Первая вводится для удобства
оценки эффективной массы носителей в реальных полупровод-
никах при замене изоэнергетических поверхностей, в частности
для долин в зоне проводимости, усредненной сферической поверх-
ностью. Это позволяет заменять тензорную эффективную массу
электрона изотропной (скалярной) величиной эффективной массы
для плотности состояний m*dn- Обычно ее находят из кинетических
эффектов, например при измерении температурной зависимости
коэффициента Холла или электропроводности.
Эффективная масса проводимости имеет больший физический
смысл и, по существу, отражает динамические свойства электронов
и дырок. Соответствующим поворотом осей тензоры электропро-
водности для всех долин можно привести к одной системе коорди-
191
йат и, следовательно, их можно складывать. Ёсли при этом эллип-
соиды энергии эквивалентны, как, например, для кремния или
германия, то диагональные элементы суммарного тензора равны,
и полная электропроводность, являющаяся диагональным тен-
зором с равными компонентами, будет изотропной величиной.
Связь между /nJ и т*с может быть получена в виде:
tn?'* = т*^ + m*s/2 + • • • (6.73)
Если долины эквивалентны, то т^2 = Л42/3/и*3/2 (6.74), где
М — число долин. В этом случае р, = ет1тс\ о = епр = е^пх/т*
(6.75).
Рассматривая теперь рассеяние электронов в рамках такой
многодолинной модели, можно разобрать два случая электрон-
фононного рассеяния. Если изменение волновых векторов элек-
трона до рассеяния и после рассеяния \k = k' — k мало по
сравнению с вектором обратной решетки, т. е. электрон, поглотив
или испустив фонон, переходит из состояния k в состояние k’
в той же долине, то такое рассеяние аналогично рассеянию на
акустических фононах и называется внутридолинным. Очевидно,
что к нему применимы выводы теории рассеяния на акустических
фононах, но с учетом анизотропии, т. е. необходимости замены /и*
на т*с и использования уравнений (6.72)—(6.75). Однако энергия,
передаваемая электрону при рассеянии, может быть значительно
больше вектора обратной решетки, т. е. волновой вектор погло-
щенного фонона: q Ь. Тогда при рассеянии электрон может
перейти из одной долины в другую. Такой процесс рассеяния
называется междолинным рассеянием. Этот процесс является не-
упругим и имеет место при энергиях фононов порядка kQT.
Причем энергия испускаемого или поглощаемого фонона будет
зависеть от положения долин в зоне Бриллюэна, и, следовательно,
имеется несколько энергий фононов, характеризующих междолин-
ное рассеяние. Например, в кремнии, где долины расположены
вдоль направлений [100] на расстоянии Ve от границы зоны,
в междолинном рассеянии могут участвовать две различные
группы фононов. Рассеяние из долины на оси [100] в долины
на осях [010], [010] и [001] связано с фононами, энергия кото-
рых ~ k0T. Рассеяние из этой же долины на оси [100] в до-
лину на оси [100] представляет собой переброс, для которого
требуется фонон с волновым вектором около 2/в</, а значит, энер-
гией, приблизительно равной Междолинное рассеяние ана-
логично рассеянию на оптических фононах.
При рассеянии дырок в германии и кремнии можно говорить
о внутризонном и межзонном рассеяниях. Несферичность зон
легких и тяжелых дырок в валентной зоне также влечет за собой
анизотропию свойств, обусловленных движением дырок. Если
имеются зоны легких и тяжелых дырок, рассеяние может при-
192
Вести дырку в Другое состояние в пределах одной зоны или в дру-
гую зону. Первый случай соответствует внутризонному рассея-
нию, второй — межзонному. Межзонное рассеяние дырок в гер-
мании и кремнии в отличие от междолинного квазиупруго,
так как экстремумы обеих зон находятся в точке k = 0. Однако,
учитывая большую массу тяжелых^дырок и большее эффективное
число состояний в зоне тяжелых дырок, мы получим согласно
формуле (3.34), что концентрация тяжелых дырок много больше
концентрации легких. Поэтому в большинстве актов рассеяния
участвуют тяжелые дырки, и рассеяние в зону тяжелых дырок
будет в основном определять время релаксации как для легких,
так и для тяжелых дырок. Для внутризонного и внутридолинного
рассеяния свободных носителей заряда, помимо рассеяния на
статических и динамических несовершенствах решетки, необхо-
димо учитывать рассеяние их друг на друге. Несмотря на то что
введение самосогласованного поля учитывает взаимодействие
носителей друг с другом и полный квазиимпульс системы сохра-
няется, электрон-электронное взаимодействие, например, умень-
шает подвижность носителей за счет перераспределения энергии
и квазиимпульса между электронами: быстрые электроны полу-
чают меньший импульс, чем медленные.
В металлах электрон-электронное рассеяние несущественно.
Это связано с тем, что в условиях сильного вырождения в рас-
сеянии участвует лишь небольшая часть электронов вблизи по-
верхности Ферми.
В реальных полупроводниках обычно одновременно действует
несколько механизмов рассеяния. Поэтому для данного темпера-
турного интервала можно говорить лишь о преобладании какого-
нибудь из них. В общем случае, если возможно несколько меха-
низмов, то, считая их независимыми, для полной вероятности
рассеяния можно получить W = J] W}. Следовательно, с учетом
i
этого и выражений (6.3) и (6.5) эффективное время релаксации
и длина свободного пробега
1/Ьфф = 21/т* И 1А = 2 (6.76)
I i
определяются своими наименьшими парциальными величинами
(Xz и тг- — длина свободного пробега и время релаксации г-того
механизма).
Как мы видели, зависимость времени релаксации от энергии
для отдельных механизмов рассеяния в]невырожденных полу-
проводниках носит степенной характер т =
Степень р может принимать следующие значения для различ-
ных механизмов рассеяния:
р = —V2 при рассеянии на акустических фононах;
р = х/2 при рассеянии на оптических фононах для высоких-
температур;
7 Горбачев В. В., Спицына Л. Г.
193
р = % при рассеянии на заряженных атомах примеси;
р = —1/2 при рассеянии на дислокациях;
р = 0 при рассеянии на нейтральных атомах примеси.
По формуле (6.76) эффективное время полной релаксации про-
стому степенному закону не подчиняется. Учитывая связь вре-
мени релаксации с длиной свободного пробега согласно выраже-
ниям (6.10) можно получить, что длина свободного пробега также
зависит от энергии электрона по степенному закону X = ХОЕГ.
Степень г может принимать следующие значения для различ-
ных механизмов рассеяния:
г = 0 при рассеянии на акустических фононах;
г = —1/2 ПРИ рассеянии на нейтральных атомах примеси;
г = 1 при рассеянии на оптических фононах Т > 0D;
г = 112 при рассеянии на оптических фононах Т < 0D; ’
г = 2 при рассеянии на ионах примеси;
г = —1 при рассеянии на дислокациях.
Так как в общем случае время релаксации определяет по-
движность р = exIm*, то с учетом того, что эффективное время
релаксации уже не подчиняется простому степенному закону,
т. е. не удовлетворяет правилу аддитивности времен релаксации
отдельных механизмов рассеяния (6.72), то результирующая по-
движность, строго говоря, также не описывается правилом про-
стой аддитивности: 1/р у= 2 1/рч (6.77).
Более точный расчет получается, если найти результирующую
подвижность как
1
2 ’/т,- (£)
i
Знак ( ) означает усреднение физической величины, стоя-
щей в скобках.
Однако, как показывает оценка погрешности 1 определения
подвижности, вычисленной по формулам (6.76), можно считать,
что в первом приближении
1/Ц = 1/Ци + 1/Иф + l/На» (6.79)
где р.и, ра и р.ф — подвижности при рассеянии на ионах и атомах
примеси, а также акустических фононах соответственно.
Как указывалось ранее, в зависимости от температурного
интервала будет преобладать тот или иной механизм рассеяния.
Достаточно удобно для описания механизмов рассеяния исполь-
зовать температурную зависимость подвижности. Учитывая фор-
мулу (1.8) и температурные зависимости времени релаксации
для рассеяния на акустических (6.45) и оптических (6.54) фоно-
нах, заряженных (6.65) и нейтральных (6.71) атомах примеси,
1 См., например: Фистуль В. И. Сильно легированные полупроводники
М.: Физматгиз, 1967, с. 108.
194
= ЦТэфф) = е/т*
г т*
можем получить следующие выражения для зависимости подвиж-
ности отдельных механизмов рассеяния от температуры.
При рассеянии на акустических фононах подвижность зависит
от эффективной массы носителей и температуры как
.. __ 4 ето ак 7^—8/г
где тОак определяют из выражения (6.46). Обозначая
.. __ 4 вТОак
Иоак 3/S ’
(6.80)
(6.81)
получим рак = PoaK^"3/2 .
Из формулы (6.80) следует, что подвижность носителей за-
ряда, обусловленная рассеянием на акустических фононах, с ро-
стом температуры уменьшается. Это объясняется тем, что при
повышении температуры число фононов растет пропорционально
(6.24), а их средняя скорость поэтому вероятность рассея-
ния растет пропорционально ~Т3/2. Как показывает эксперимент,
подвижность носителей с малой эффективной массой (например,
узкозонные соединения Л1П Bv — In Sb, In As) больше, чем
носителей с большей эффективной массой.
При рассеянии на оптических фононах зависимость подвиж-
ности от температуры при высоких температурах (Т > 0D) имеет
вид: ропт = [3 |/'лй2е/(25/2е/п*3/2) ] (£07У1/2; ПРИ низких темпе-
ратурах (Т < 0D): ропт = [fi2/(2e2/n*3£o0D)l/2] (е°в/г — 1); при
рассеянии на заряженных атомах примеси:
27/» (kpT)’^ е2
Ни —
nl’eW’N,
In 1 +
(6.82)
В выражении (6.82) учтено, что в формуле (6.65) произведено
усреднение и вместо Е взято значение 3k0T, при котором подын-
тегральное выражение для т принимает максимальное значение.
При высоких температурах можно пренебречь логарифмическим
членом в формуле (6.82) и тогда
Риоп = 8ет0иТв/7]/ят* = Рои^72, (С-83)
где рОи = 4лт*Е2/(^е2 ]/ л). (6.84)
Из выражения (6.83) видно, что с повышением температуры
подвижность носителей заряда возрастает. Это объясняется уве-
личением средней тепловой скорости с повышением температуры
у0 Т1/2 и согласно формуле (6.65) р Т3/2. С увеличением
скорости носителя уменьшается время его взаимодействия, что
и повышает его подвижность. С ростом концентрации примесей
подвижность уменьшается, что хорошо согласуется с экспери-
ментом.
7*
195
На рис. 85 приведена зависимость подвижности электронов
в германии от концентрации ионов примеси. При достаточно ма-
лых значениях концентрации Nt < 5-Ю14 см-3 подвижность прак-
тически не зависит от концентрации примеси, т. е. здесь действует
механизм рассеяния носителей заряда на тепловых колебаниях
решетки, а при увеличении концентрации примеси подвижность
уменьшается.
При рассеянии на нейтральных атомах примеси подвижность
Pw = exNlm* в явном виде не зависит от температуры, так как
нет температурной зависимости для xN (6.71). Однако эксперимен-
Рис. 85. Зависимость подвижности
электронов и дырок в германии р-типа
от концентрации примеси при 300 К
Рис. 86. Зависимость подвижности но-
сителей от температуры для различных
механизмов рассеяния:
1 — рассеяние на ионах примеси; 2 —
рассеяние на акустических фононах
тально была обнаружена сильная температурная зависимость
подвижности, что обусловлено резким увеличением числа ней-
тральных рассеивающих центров при понижении температуры.
При рассеянии на дислокациях согласно формуле (6.69) по-
движность определяется как pD = eT~xl2l(22l3l/rл/гГ^^Уо).
Механизмы рассеяния играют существенную роль при переносе
носителей заряда. Поэтому, изучая движение носителей во внеш-
них полях, необходимо учитывать при данных температурах
преобладающий механизм рассеяния. Разобранные выше теорети-
ческие модели механизмов рассеяния хорошо согласуются с экспе-
риментальными данными: при высоких температурах основную
роль играет рассеяние на фононах, при низких — рассеяние на
ионах примеси.
Если учитывать преобладающую роль только этих двух меха-
низмов для атомных полупроводников и считать, что при взаимо-
действии носителей заряда с кристаллической решеткой рассея-
ние осуществляется только за счет акустических фононов, то по
формулам (6.79), (6z80) и (6.83) можно получить
I/н ^какТ-г/*, (6.85)
где р.Он и рОак — константы, определяемые по формулам (6.84)
и (6.81)’ соответственно.
Графически выражение (6.85) приведено на рис. 86. В реальных
полупроводниках, особенно в сложных тройных и четверных
196
полупроводниковых соединениях, такой «чистой» зависимости
(6.85), конечно, нет. Одновременно может происходить рассеяние
и на носителях заряда, и на оптических фононах за счет много-
фононных процессов рассеяния и т. д. Однако экспериментальные
данные показывают, что такая
грубая аппроксимация (6.85)
механизмов рассеяния дает до-
статочно хорошее представление
1ОООО
6000
IfOOO
2000
1000
600
МО
200
100
60
w
20
10
10 20 W 60100 200 WOT,К
Рис. 87. Экспериментальная за-
висимость холловской подвиж-
ности дырок в кремнии, легиро-
ванном,бором, от температуры:
/ — 1018 см”8; 2 — 3-1018 см"8;
3 — 1014 см”8; 4 — 1018 см”8
50 100 150 200250TtK
Рис. 88. Экспериментальная
зависимость подвижности элек-
тронов в фосфиде индия:
/ — чистый; 2 — легированный;
3 — теоретическая зависимость
о рассеянии носителей в полупроводниках. На рис. 87 и 88 пред-
ставлены экспериментальные данные по подвижности дырок
в кремнии, легированном бором, и электронов в фосфиде индия.
ГЛАВА 7. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
И МЕТАЛЛАХ
7.1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА.
ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
Если система электронов и дырок находится в состоянии термо-
динамического равновесия, то ее свойства определяются равновес-
ной функцией распределения: квантовой (3.1) или классической
(3.3). Существенная особенность систем, находящихся в термоди-
намическом равновесии, — независимость их свойств от меха-
низма взаимодействия в системе.
197
Один из основных вопросов физики конденсированного состоя-
ния — изучение поведения носителей и физических свойств,
определяемых их поведением во внешних полях (электрическом,
магнитном, тепловом и т. д.). Такие процессы будут уже неравно-
весными и называются процессами переноса или кинетическими
явлениями. Очевидно, что наиболее общей характеристикой, опи-
сывающей изменение свойств носителей во внешних полях, будет
функция распределения f (г, k, /), которая для данного случая
уже неравновесна и которую можно представить в виде:
/(Г, I 0 = /о + Л(г, I (7.1)
где /0 — определяется формулой (3.1), а (г, k, t) — неравновес-
ная добавка, обусловливающая перенос носителей во внешних
полях.
Как мы уже указывали, для неравновесных процессов, свя-
занных с переносом заряда, весьма существенно знать механизм
рассеяния, т. е. неравновесные процессы зависят от взаимодей-
ствия носителей в системе. Так как функция распределения f (г,
k, t) в общем случае — функция нескольких переменных, то изме-
нение ее во времени будет описываться как
df (г, k, t)/dt = df/dt + (df/dr) (dr/dt) + dfldk) (dk/dt). (7.2)
Рассмотрим изменение функции распределения (7.1) в ста-
ционарных условиях, т. е. когда параметры, описывающие явле-
ния переноса (например, плотность электрического тока /, тепло-
вой поток W и т. д.), не зависят от времени. Очевидно, это воз-
можно в том случае, когда имеется некоторое динамическое рав-
новесие между процессами, вызывающими движение носителей
заряда и обусловленными внешними силами, и процессами рас-
сеяния, устанавливающими равновесие при взаимодействии с не-
совершенствами кристаллической решетки. Тогда в силу условий
стационарности: df (г, k, t)/dt = 0 (7.3).
К этому результату можно также прийти после простых фи-
зических рассуждений. Как следует из формулы (3.2), полная
концентрация носителей в системе определяется произведением
функции плотности состояний и функции распределения. Если
число носителей в системе остается неизменным dnldt = 0, то
при неизменной плотности состояний dfldt = 0.
Учитывая процессы, приводящие к динамическому равнове-
сию, Больцман сформулировал условие
dfldt = (df/dt)n + (df/dt)c, (7.4)
i
которое позволяет получить уравнение для нахождения неравно-
весной функции распределения. Здесь (df/dt)n полевой или dped-
198
фовый член, описывающий изменение функции распределения
под действием внешнего поля, a (df/dt)c — член, обусловленный
столкновением носителей с дефектами решетки.
Учитывая, что в уравнении (7.2) dr/dt = v — скорость элек-
трона и dkldt = FJh Fa — приложенная внешняя сила),
а также условия стационарности (7.3), получим выражение
dfldt + (VJ, Л/й) + (V, v) = 0, (7.5)
которое называется кинетическим уравнением Больцмана.
При сравнении формул (7.4) и (7.5) видно, что в стационарных
условиях полевой член (df/dt)n = PJft) ~‘ (VrA у) (7-6)
описывает изменение квазиимпульса (первый член, так как Fa =
= dpldt) и функции распределения при движении частицы в про-
странстве (второй член). Если имеется динамическое равновесие,
то (dfldt)n = —(df!dt)c.
Знак минус означает, что оба процесса — ускорение электрона
во, внешнем поле и установление равновесия — действуют проти-
воположно. Если (df/dt)n > (df/dt)c, то система все больше откло-
няется от равновесия, при (dfldt)n < (df/dt)c — система возвра-
щается к равновесию.
Найдем теперь вид члена столкновений. Очевидно, при рассея-
нии носителей волновой вектор электрона будет изменяться и
можно найти вероятность перехода W++ из состояния k в состоя-
ние kr. Подсчитаем изменение числа электронов в результате соуда-
рений в единице объема. Это можно сделать с учетом прямых
k k'
и обратных W-+-* переходов. Если dt — вероятность пере-
хода одного электрона за время dt, d^f (fe)/4rc3 — число электро-
нов в объеме dxk и [1 —f (fe')]/4n3 —число свободных со-
стояний в объеме di^', то число электронов, покинувших объем dr*,
равно:
- W++ dt (di;k/4rf) f (k) (dx^/4^) [ 1 - f (fe')]. (7.7)
к k
Аналогично этому число электронов, совершивших обратный
переход, будет определяться соотношением
+ dt (dT^/4n3) f (kf) (di^rf) [ 1 - f (fe)]. (7.8)
kf k
В формулах (7.7) и (7.8) dxk и dr^ — элементарные объемы
в fe-пространстве вокруг состояний fe и fe' соответственно. Тогда
общее изменение числа электронов будет определяться интегри-
199
рованием суММы выражений (7.8) и (7.7) по всей области измене-
ния k', т. е. по объему первой зоны Бриллюэна:
dn, = {(dxk/4rf) di} J (k’) [1 - f (k)] -
vJB kk
- f (k) Wtt, [ 1 - f (£')]) dT*-/4n3. (7.9)
к к
Выражение (7.9) показывает изменение числа носителей dn±
ё объеме dxk при рассеянии. Можно также рассчитать изменение
числа электронов dn2 под действием внешнего поля. Очевидно,
оно будет определяться изменением функции распределения под
действием внешнего поля.
Согласно выражениям (3.2) и (7.6):
(^/4л3) dt [- (VJ, Л/Й) - (Vrf, v)]. (7.10)
Следовательно, полное изменение числа -носителей dn в ре-
зультате действия внешнего поля и рассеяния их на дефектах
решетки будет равно сумме уравнений (7.9) и (7.10).
Вместе с тем изменение полного числа носителей можно найти
из изменения функции распределения f (г, &, /) во времени. Оно
равно: dn = (df/dt) (б/тЛ/4л3) dt (7.11).
Таким образом, сумма выражений (7.9) и 7.10) должна быть
равна формуле (7.11). Сокращая на общий множитель (drfe/4ji3) dt,
мы получим
df/dt = - (VJ, Fa/h) - (yrf, v) +
+ J (f W-.+ [ 1 - f (k)] - f (k) Wt. [ 1 - f (k')]} drfe,/4n3.
• J К fc К К
Б
(7.12)
При сравнении выражений (7.12) и (7.4) видно, что член столк-
новений может быть представлен как интеграл столкновений:
(df/dt)c = ([f &)№->-> [1 dxk.№.
Я Я я я
V Б
Если учесть принцип детального равновесия, согласно кото-
рому вероятности прямого и обратного перехода одинаковы =
= то выражение для интеграла столкновений упрощается
k
(df/dt)c = ( W++ [f (k') - f (£)] dxk'/4rf. (7.13)
v
КБ
Из раздела 1.2 известно, что установление равновесия в си-
стеме можно описать временем релаксации т. К этому же поня-
тию мы пришли, рассматривая механизмы рассеяния носителей.
Очевидно, между интегралом столкновений (7.13) и временем
200
релаксации имеется определенная взаимосвязь. Действительно,
если внешнее поле выключено (Fa = 0), то кинетический процесс
будет определяться только членом столкновений: dfldt = (df/dt)c.
В результате столкновений система придет в термодинамическое
равновесие, когда ее состояние можно уже описать равновесной
функцией распределения f0. Процесс релаксации при малом откло-
нении от состояния равновесия характеризуется тем, что скорость
установления равновесия пропорциональна величине отклоне-
ния от равновесия, т. е. величине f — f0:
(df/dt)c = -(f -f0)/x(k). (7.14)
Решение уравнения вида (7.14) приводит, как известно, к экс-
поненциальному закону изменения функции распределения:
f — fo = (f — /о)|/=ое-//т(Л), где постоянная т (k), характери-
зующая изменение функции распределения во времени, имеет
смысл времени релаксации, введенного нами уже ранее, и описы-
вает среднее время возвращения системы к равновесию и, следова-
тельно, функции f (г, £, t) к равновесной функции /0, зависящей
только от k.
Тогда время релаксации (общая характеристика системы)
не зависит от координат г и будет функцией т (k) волнового век-
тора k. Учитывая формулы (7.13) и (7.14), мы получим
(df/dt)c= \wu[f(k’)-f(k)]dxk^ = -(f~f0)/T(k). (7.15)
Выражение (7.15) соответствует приближению времени релак-
сации при решении кинетического уравнения Больцмана и поз-
воляет не находить вида интеграла столкновений, выразив его
через время релаксации т (£), которое можно найти эксперимен-
тально. При этом предполагается, что время релаксации едино
для всей системы и определяется механизмами рассеяния.
Так как неравновесная функция распределения может быть
представлена в виде уравнения (7.1), то:
x(k) 4п J f(k)-f„(k)
= 4^Г j Wtf dxk.. (7.16)
4Л J kk
Теперь кинетическое уравнение Больцмана для стационарного
случая вида (7.5) или (7.12) записывается в следующей форме:
(V/ь V) + (УьК Fa/П) = - а - fo)/T (k) = -fjx (k). (7.17)
В формуле (7.17) учтено, что в однородном полупроводнике
при отсутствии градиецта температур yrf0 = 0.
201
Из этой формулы следует, что кинетические процессы опре-
деляет неравновесная часть функции распределения (k).
Обычно при решении уравнения Больцмана ее находят в виде:
fi(k) = -(df0/dE)k^{E\ (7.18)
где х (Е) — некоторая векторная функция, определяющая воз-
мущение функции распределения при приложении внешних воз-
действий. Примем за такое воздействие приложенное внешнее
электрическое поле Е. Если подставим формулу (7.18) в формулу
(7.17) и учтем вид интеграла столкновений (7.13), получим вместо
интегрально-дифференциального уравнения Больцмана линей-
ное дифференциальное уравнение Блоха \ из которого можно
найти вид функции % (Е):
x(E)=i(k)Ev(k). (7.19)
Подставляя формулу (7.18) в уравнение (7.16), получим
т(Х) 4"3j кк' h(k)
я J L (df9/dE)kX(E) J
(7.20)
Учитывая весовой множитель (1 — cos 0) при рассеянии на
большие углы (где 0 — угол между волновым вектором k до рас-
сеяния и А? — после рассеяния), а также предполагая, что взаи-
модействие носителей с дефектами происходит упруго (| k | =
= | k' | и Е = Е'), можно преобразовать формулу (7.20) к виду:
1/т (k) = 1/4л3 [№->-> (1 -cos0)dx^. (7.21)
vi kk'
b
Следует заметить, что кинетическое уравнение Больцмана
применимо для описания явлений переноса как в металлах, так
и в полупроводниках.
7.2. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
ПО ПРИМЕСНОЙ ЗОНЕ.
ПРЫЖКОВАЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
Решение кинетического уравнения Больцмана (7.17) позволяет
отыскать изменение во времени функции распределения при явле-
ниях переноса и найти коэффициенты, определяющие тот или
1 См., например: Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твердых
телах. М.: Мир, 1971, с. 130—133.
202
ййой кинетический процесс. Рассмотрим явление электропровод-
ности в кристаллах. Процесс переноса заряда характеризуется
величиной электропроводности о, определяющей по закону Ома
ток
j = оЕ = env = егщЕ. (7.22)
Величина подвижности р = е (т)/т* зависит от механизмов
рассеяния, рассмотренных ранее, и так же, как и величина кон-
центрации носителей заряда, определяется неравновесной функ-
цией распределения f (г, k, /). Учитывая вид функции плотности
состояний g (Е) в ^-пространстве, для плотности тока / (7.22)
можно получить
j = env = (е/4л3) (г, k, t) v (k) dx*. (7.23)
Видно, что плотность тока есть интеграл по всем носителям
в зоне Бриллюэна от произведения функции распределения на
скорость каждого носителя и его заряд. Принимая во внимание
вид уравнений (7.1) для неравновесной функции распределения,
формулу (7.23) можно записать
j = (е/4л3) j v (k) f0 (г, k, t) dxk + (е/4л3) j v (k) (r, k, t) dxk.
VB
Первый член этого уравнения вклада в ток не вносит (равен
нулю), так как он описывает плотность электрического тока в со-
стоянии термодинамического равновесия. Следовательно, только
неравновесная добавка дает вклад в проводимость
/ = (е/4л3) j и (k) fL (г, k, t) dxk, (7.24)
в этом случае можно определить из уравнения Больцмана (7.17).
Учитывая вид по формуле (7.18) и х (£) п0 формуле (7.19) и
заменяя dxk на dk, можно получить для плотности тока:
/ = (е/4л3) J v (k) fi (г, k, t) dxk = — (е2£/4л3) j x (v, v) df^dE dk.
(7.25)
Разлагая интеграл в формуле (7.25) в ряд Тейлора вблизи
Е = F и ограничиваясь первым членом разложения, а также
учитывая связь скорости с эффективной массой и беря производ-
ную df0/dE, можем представить плотность тока как
f= е3 (т (k)) пЕ/т*, (7.26)
где (т (k)) — усредненное время релаксации.
203
Тогда удельная электрическая проводимость кристалла будет:
а = пе2 (т (7.27)
Если учесть, что разложение интеграла в формуле (7.25) ве-
лось для энергий вблизи энергии Ферми (Е = F), выражение
(7.27) для металлов приобретает вид: о = nA (Е)//п* (7.28).
Это соотношение еще раз подчеркивает, что кинетические свой-
ства металлов определяются носителями заряда, находящимися
только вблизи поверхности Ферми (7.27).
Если сопоставить (7.27) с соотношением Друде (1.6), то можно
увидеть, что мы получили аналогичный результат, но необходимо
учитывать изменение обычной массы на эффективную массу элек-
трона в кристалле /и* и брать время релаксации, усредненное по
всем возможным значениям k, т. е. усреднить его по энергии.
Следует заметить, что эти рассуждения справедливы для сфе-
рической стандартной зоны проводимости, обладающей одной
долиной. Вместе с тем, как известно из разделов 2.10 и 6.5, элек-
тропроводность в более общем случае, соответствующем зонной
структуре реальных полупроводников, — величина анизотроп-
ная. При учете кинетических свойств электронов во всех М до-
линах придем к следующим очевидным соотношениям: полный
м м
ток / = £ Л; полная проводимость ом = £ (olk)h где (о/Д =
i=i i=i
= e2ni (7.29) — компоненты тензора эффектив-
ной массы в f-той долине. Таким образом, величина alk также яв-
ляется тензором.
Полная концентрация электронов будет определяться суммой
м
концентраций электронов в отдельных долинах: п = 2 пг-
(7.30).
Если эллипсоиды эквивалентны, то п = Mfy.
Учитывая выражения (7.29) и (7.30) и предполагая одинако-
вый механизм рассеяния во всех долинах, т. е. считая все (т, (^))
одинаковыми, выражение для полной электропроводности можно
м
представить в виде: = е2Мгц (т) 1/ (ап*Д (7.31).
i=i
Однако анизотропная электропроводность (7.31) может стать
изотропной при введении эффективной массы проводимости nine
в соответствии с формулой (6.75), и если долины расположены
симметрично: о = е2п {%)1гппс (7.32).
Очевидно, в общем случае необходимо учитывать электронный
и дырочный токи: / = jn + jp = (np„ + РН₽) Е = (ап +
+ ор)Е = оЕ, где электропроводность, обусловленную дыр-
ками Ор, находят аналогично электронной.
204
Рассмотренное выше соотношение (7.28) для электропроводности металлов
достаточно хорошо выполняется для щелочных и благородных металлов. Однако
для переходных металлов приходится использовать представление о существо-
вании двух зон (s и d) с разной кривизной, перекрывающихся при энергии,
равной энергии Ферми (рис. 89). Эти зоны можно моделировать, как зону про-
водимости (s) и валентную зону (d). Разная кривизна зон показывает, что эффек-
тивная масса носителей в них различна >* . Плотности состояний в зо-
нах вблизи Е = F также отличаются: (F) > (F). Очевидно, в этом
случае полная электропроводность будет зависеть от вклада в нее электропровод-
ности s- и d-зон, а также как от внутризонного (s — s) и (d — d), так и меж-
зонного (s — d) рассеяния. Ток создается в основном s-зоной, так как дырки
в d-зоне имеют большую эффективную массу. Следовательно, > р,^ и
основной вклад в электропроводность дает о^. Тогда для этого случая формула
(7.28) преобразуется о = е2 (nsi:s/fn* + Pd^dl^d)-
Рассмотрим теперь кратко некоторые специфические меха-
низмы электропроводности, встречающиеся в полупроводниках.
Рис. 89. Кри ые плотности со-
стояний для двух перекрывающих-
ся зон металла
Как мы отмечали ранее, при боль-
шой концентрации примеси может
возникнуть примесная зона. Посколь-
ку энергия активации примеси зна-
чительно меньше энергии активации
атомов основного вещества, то сво-
бодные носители в примесной зоне
появляются при более низких тем-
пературах, чем свободные носители
в разрешенных зонах, и при большой
концентрации примеси может насту-
пить электропроводность по примесной зоне. При таком меха-
низме электропроводности процесс идет за счет туннелирования
электрона из одного примесного состояния в другое вследствие
перекрытия примесных волновых функций. Приложенное элек-
трическое поле превращает случайный переход электрона от
одного примесного атома к другому в направленный и в резуль-
тате появляется электропроводность по примесям с очень малой
энергией активации для перехода электрона от одного примесного
уровня к другому: о = где б£п — энергия активации
электропроводности по примесям.
Коэффициент ои сильно зависит от концентрации примеси.
Например, в германии при концентрации примесей ~5*1016см-3
волновые функции перекрываются и, как следует из зонной тео-
рии, примесные энергетические уровни расщепляются в зоны,
при этом с увеличением концентрации ширина примесной зоны
возрастает. Вследствие этого эффективная масса носителей за-
ряда уменьшается (2.100), а следовательно, их подвижность
(1.12) и электропроводность (1.6) увеличиваются. Большая кон-
центрация примеси может привести к перекрытию примесной
зоны с основными разрешенными зонами, и для возникновения
электропроводности уже не будет требоваться термической акти-
вации электронов, связанных с примесями. Такой полупровод-
205
ник можно рассматривать как полуметалл. Более строгие рас-
суждения приводят к представлению о перекрытии состояний
примесной зоны с состояниями в разрешенных зонах вследствие
появления «хвостов» плотности состояний в запрещенной зоне,
о которых говорилось в разделе 3.9.
Электропроводность по примесям может существовать и при
меньшей их концентрации, когда они настолько удалены друг
от друга, что непосредственное перекрытие волновых функций
пренебрежимо мало. В этом случае механизм электропроводности
реализуется перескоком носителя заряда от одного примесного
е е Заряженные
-•- акцепторы
Рис. 90. Механизм прыжковой про-
водимости в компенсированном го-
лупроводнике п-типа
~В Донор»
F Е
Рис. 91. Плотность состояний в
примесной зоне и зоне проводи-
мости полупроводника п-типа
центра к другому, не занятому носителем. Этот механизм был
впервые рассмотрен Моттом и получил название прыжковой элек-
тропроводности.
Прыжковая электропроводность возникает при низких тем-
пературах в компенсированных полупроводниках. Например,
присутствие акцепторов в полупроводнике п-типа ионизирует
часть доноров. Электрон будет в этом случае переходить с ней-
тральных (заполненных) донорных уровней А на заряженные
уровни В (рис. 90). Благодаря разбросу уровней электрон может
перемещаться от одного центра к другому, поглощая или испу-
ская фонон, т. е. переход осуществляется случайным образом.
Очевидно, при приложении электрического поля возникает боль-
шая вероятность прыжка носителя в направлении уменьшения
потенциала, т. е. за счет прыжковой электропроводности возни-
кает электрический ток.
Таким образом, возникают как электропроводность по частично
заполненной зоне, так и прыжковая электропроводность, и пол-
ная примесная электропроводность описывается выражением
о = + a2e-6E2/k0T + азе-бЕя/ь0т> (7.33)
где 6£\ — энергия переброса электрона с примесного уровня
в зону проводимости (рис. 91); 6Е2—энергия переброса элек-
трона в примесную зону Д£2 при большой концентрации примеси;
б£3 — энергия активации прыжковой электропроводности в при-
месной зоне Д£3.
Причем ох > о2 аз и ЬЕг > 6Е2 > б£3. Как показано Мот-
том, примесная зона расщепляется на зону Д£3 с малой концен-
206
300 10 5 4 5 2
1,5 Т,К 300 10 5 4 J 2 Т,К
10~2\ । । Г / ---------1-------1--------
О 0,2 (7,4 0,6 Г',К'' 0 0,2 4J4 7"’,К
Рис. 92. Температурная зависимость удельного сопротивления р (а) и коэф-
фициента Холла R^ (б) для германия p-типа со степенью компенсации К. = 0,4.
Кривые 1—15 соответствуют следующим концентрациям акцепторов, см-3:
1 — 7,5-1014; 2, 3 — 1,4* 1016; 4 — 1,5-1016; 5 — 2,7-1015; 6 — 3,6-1016; 7 —
4,9-1016; 8 — 7,2-1016; 9 — 9• 1015; 10 — 1,4- 101в; 11 — 2,4- 101в; 12 — 3,5- 1О‘в;
13 — 7,3- 101в; 14 — 1 • 1017; 15 — 1,5-1017; 16 — 1,35-Ю18
трацией примеси и зону Д£2 с большой концентрацией примеси
при соответствующих энергиях активации 8Е3 и б£2.
На рис. 92 приведены экспериментальные данные Фрицше
и Кейваса по температурным зависимостям удельного сопротив-
ления р (рис. 92, а) и коэффициента Холла (рис. 92, б) для p-гер-
мания со степенью компенсации /< = 0,4. Каждой кривой соот-
ветствует своя концентрация акцепторной примеси (Ga). Фрицше
и Кейвас показали, что изменение р может быть описано соотно-
шением, аналогичным по смыслу с (7.33):
р-1 (7) = р?1 exp (—Ei/k0T) + рГ1 exp (—E3/k0T).
Первый член определяет проводимость по основной разрешен-
ной зоне, второй член определяет прыжковую проводимость.
При увеличении концентрации примеси увеличивается пере-
крытие волновых функций примесных центров и энергия актива-
ции прыжковой проводимости Е3 уменьшается. При концентра-
ции ALj= 1017 см-3 эта энергия равна нулю, что означает переход
от активационной проводимости к металлической. Из рис. 92, а
видна сильная зависимость прыжковой проводимости (р-1) от
концентрации примеси. При увеличении концентрации примеси
207
в 30 раз р3 уменьшилась в 107 раз. Такое резкое изменение обычно
описывается экспоненциальной зависимостью. И наличие такой
экспоненциальной зависимости электропроводности от концен-
трации примеси является основным экспериментальным доказа-
тельством прыжковой электропроводности.
7.3. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ.
РАЗЛИЧНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ТЕПЛОПЕРЕНОСА
Если в кристалле создать градиент температур (уТ у= 0), то
в нем возникает поток энергии W в направлении, противополож-
ном градиенту температур W = —куТ (7.34).
Этот процесс переноса тепла, обусловленный изменением
температуры, называется теплопроводностью, а кинетический
коэффициент % = Wl\ уТ| является коэффициентом теплопро-
водности. Как следует из определения, он численно равен количе-
ству энергии, проходящей в единицу времени через единичное
поперечное сечение образца, в котором создан единичный гра-
диент температур.
Перенос тепла в кристаллах может осуществляться несколь-
кими механизмами. Учитывая независимость одновременного дей-
ствия этих механизмов, т. е. предполагая их аддитивность, можно
считать коэффициент полной теплопроводности суммой коэффи-
циентов отдельных механизмов х = х7 + пе + хбп + хфот +
+ хэкс, где — фононная теплопроводность, обусловленная пе-
реносом тепла за счет тепловых колебаний атомов кристалличе-
ской ’’решетки; хе — электронная (дырочная) теплопроводность,
обусловленная переносом тепла свободными носителями (в том
числе и дырками); хбп — биполярная теплопроводность за счет
движения пар электрон — дырка в области собственной проводи-
мости; Хф0Т — фотонная теплопроводность за счет переноса тепла
излучением; хэКС — экситонная теплопроводность, обусловлен-
ная движением экситонов.
Относительная роль того или иного механизма теплопровод-
ности будет зависеть от выбранного интервала температур, сте-
пени легирования, зонной структуры кристалла, механизма рас-
сеяния носителей заряда в нем и т. д. Основную роль будут играть
две составляющие теплопроводности: фононная х7 и за счет пере-
носа тепла свободными носителями хе. Очевидно, для металлов
с большим числом свободных носителей х7 < хе и теплопровод-
ность в основном определяется хе. Для диэлектриков свободных
носителей почти нет и х х^.
Рассмотрим перенос тепла свободными носителями. Как
мы указывали, определение неравновесной добавки ’функции
распределения позволяет найти кинетические коэффициенты
и, следовательно, коэффициент явления теплопереноса. Поток
208
энергии W, обусловленный изменением функции распределения,
может быть записан по аналогии с условием (7.23)
W = (1/4л3) \^Ёг>(к)с1хк,
(7.35)
где Е—энергия движущихся носителей.
Чтобы найти связь потока энергии с температурой, т. е. ки-
нетический коэффициент теплопроводности х, необходимо найти
в общем^случае вид^функции
Учитывая выражение j\ через х (Е) согласно формуле (7.18)
и вычисляя градиенты функции распределения и (Vr/)
в k- и /--пространствах:
VJO = (df./дЕ) hv- = dft/dE [(Е - F) VT/T - VF],
которые входят в кинетическое уравнение (7.17), мы можем по-
лучить следующее выражение для неравновесной добавки функ-
ции распределения:
A = T[(F - Е) VT/T — V (F — е<р)] (dfQ/dE) v,
(7.36)
где учтено, что внешняя сила Fa (7.17) представлена лишь элек-
трическим полем Fa = —еЕ = е Vq> (7.37).
Из выражения (7.36) следует, что неравновесная часть функции
распределения линейно зависит от градиентов температур VT,
потенциала электрического поля Veep и уровня Ферми VF. Следо-
вательно, электрический ток (7.24)'и поток энергии (7.35), завися-
щие от А, будут линейными функциями этих параметров: / =
- LeeE' + Let\T (7.38); W =_LTeE' + LTT VT (7.39), где L —
кинетические коэффициенты; Er — некоторое эффективное поле,
учитывающее изменение уровня Ферми и внешнего электриче-
ского поля:
Ё' = Ё — VF/e.
(7.40)
Физический смысл кинетических коэффициентов L становится
ясным при рассмотрении конкретных явлений переноса. Напри-
мер, если измерять ток при постоянной температуре (VT 0),
то ЬЕЕ имеет смысл коэффициента электропроводности ЬЕЕ = о.
Теплоперенос обычно рассматривается при отсутствии элек-
трического тока*(/ = 0). Тогда из формулы (7.38) следует:
Е’ — — (LEt!Lee) \Т.
(7.41)
209
Подставляя значение эффективного поля из формулы (7.40)
в уравнение (7.39), получим связь между потоком энергии и гра-
диентом температуры:
= (—LteLetILee + ^тт) ЧТ. (7.42)
Сравнивая выражения (7.42) и (7.34), можно найти удельную
теплопроводность:
= — (Ltt — LteLet/Lee)- Р‘43)
Из этой формулы видно, что, поскольку с направленным
потоком тепла связан и перенос носителей заряда, возникает
некоторое электрическое поле вдоль образца (7.41). В результате
это поле несколько уменьшает поток тепла, и коэффициент тепло-
проводности не равен только LIT, а определяется выражением
(7.43). При более строгом расчете кинетических коэффициентов 1
можно получить для электронной теплопроводности выражение
ие = л3/?07\т/(Зе2), которое легко приводит к известному закону
Видемана—Франца
ие/оТ = л3МЗе2) - Lo, (7.44)
где Lo — число Лоренца, являющееся для металлов константой,
не зависящей ни от температуры, ни от механизма рассеяния
и равной 2,44-10"8 Дж-см-Ом/К2.
Физический смысл закона Видемана—Франца (7.44) можно
понять из следующих простых рассуждений. В процессе электро-
проводности каждый электрон под действием электрического поля
переносит свой заряд е. Ток, отнесенный к единичному полю,
пропорционален е2. В процессе теплопроводности каждый элек-
трон под действием градиента температур VT переносит энергию
kQT. Поток тепла, отнесенный к единичному градиенту темпера-
тур, пропорционален величине k2T. Поэтому отношение этих
двух кинетических коэффициентов будет порядка k%Tle2. Множи-
тель л3/3 возникает из-за того, что учитываются только элек-
троны, находящиеся вблизи поверхности Ферми. Однако для
полупроводников можно получить другое выражение для числа
Лоренца. Если учеть, что длина свободного пробега при рассея-
нии имеет степенную зависимость от энергии X £г, то для зоны
проводимости параболической формы, для которой плотность
состояний описывается уравнением (3.10), можно получить выра-
жение для электронной теплопроводности:
_ 16л/пЗ„Ц> „ ,J , оч р (г + 2)а Р3г+1 1 /7леч
(*(н ) v + 3) <r-j-2 , (7.45)
где F — интегралы Ферми соответствующего порядка в зависи-
мости от значения г.
1 См., например: Займан Дж. Электроны и фононы: Пер. с англ. М.: Мир,
1962, с. 346.
210
Тогда закон Видемана—Франца будет иметь вид:
ке/аТ = А (й0/е)2 Lo,
где А =
Г + 3 ^г+2
г+1 Fr
(r + 2)3 F2r+l
(r+1)2 F2r
(7-46)
(7-47)
Таким образом, число Лоренца в полупроводниках — важный
параметр, определяющий электронную теплопроводность и со-
гласно формулам (7.46) и (7.47) зависящий от положения уровня
Ферми и, следовательно, от концентрации примеси, а также
от механизма рассеяния (рис. 93). Следует заметить, что при-
веденные рассуждения справедливы в предположении единого
времени релаксации в процессах
электро- и теплопроводности. Это
выполнимо, если считать рассея-
ние упругим, для которого спра-
ведливо выражение функции рас-
пределения (7.36).
Рассмотрим теперь механизм
фононной теплопроводности. Как
уже указывалось, введение поня-
тия фононов как квазичастиц с
Рис. 93. Зависимость числа Лоренца
от механизма рассеяния и степени
вырождения электронов проводимости
в полупроводниках
энергией и квазиимпульсом tiq позволяет наглядно пред-
ставить процесс теплопереноса, обусловленный тепловыми коле-
баниями атомов решетки, как движение и рассеяние фононов. Та-
ким образом, можно использовать кинетическое уравнение Больц-
мана для описания фононной теплопроводности формально таким
же образом, как оно используется для описания электропровод-
ности. Число фононов изменяется как в результате действия внеш-
них сил [полевой член уравнения (7.17)], в качестве которых
рассматривается здесь температура, так и столкновений фононов
друг с другом и различными дефектами, препятствующими рас-
пространению потока тепла. Такими дефектами, вызывающими
рассеяние фононов, могут быть примесные атомы и вакансии
(точечные дефекты), дислокации (линейные дефекты), границы
зерен и внешние границы кристалла (плоские дефекты), объемные
дефекты. Разупорядочение кристаллов и случайное распределе-
ние различных изотопов данного химического элемента («изотопи-
ческое» рассеяние) также могут вызывать рассеяние фононов.
Следовательно, применяя методику, приведенную в главе 6,
можно говорить о некотором эффективном времени релаксации
фононов xq и оценить вклад каждого из механизмов рассеяния
фононов по парциальной длине свободного пробега или времени
релаксации для данного механизма рассеяния:
1/^ 1/^L + 1/^прим + 1/Тизот “Ь 1/^дис + 1/Тф,
(7-48)
где xL — время релаксации при рассеянии на границах зерен;
тпРим — время релаксации, обусловленное изменением межатом-
211
ного взаимодействия при введении в решетку примесных атомов;
Тизот — время релаксации за счет изотопического эффекта;
тдис — время релаксации при рассеянии фононов на дислока-
циях; Тф — время релаксации при рассеянии фононов на фононах.
Поскольку длина свободного пробега фонона будет зависеть
от его энергии йсо7, то обычно исследуют дисперсионные зависимо-
сти времени релаксации фэнонов т = т (со) или т = т (q) для
различных механизмов релаксации. Как показывают расчеты,
1/т„рим ~ <74! 1/тдис ~ I/Тизот ~ (где / — коэффициент,
пропорциональный концентрации примесных атомов Nt и раз-
Хд
Процессы переброса
Примеси
Т
Рис. 94. Теоретические зависи-
мости фононной теплопровод-
ности от температуры
ности их масс в квадрате I—Nt (ДМ)2);
при рассеянии на границах кристалла
время релаксации не зависит от чистоты.
В реальных кристаллах основную роль
в фононной теплопроводности при низ-
ких температурах играет рассеяние
фононов на статических несовершенст-
вах кристаллической решетки. По ана-
логии с температурными зависимостями
электропроводности, полученными с
учетом механизмов рассеяния электро-
нов, в случае фононной теплопровод-
ности получены следующие соотношения: при рассеянии фононов
на точечных дефектах и на фононах х7 ~ Р"1; при рассеянии
фононов на дислокациях и на носителях зарядов х^ ~ Т2; при
рассеянии фононов на границах х7 ~ Т3.
Теоретические зависимости фононной теплопроводности х7
представлены на рис. 94.
Общее выражение для теплопроводности (7.34) справедливо
и для переноса тепла фононами, причем коэффициент фононной
теплопроводности х7 в рамках кинетической теории газов, при-
мененной к фононному газу, может быть получен в виде
Kq = i/3CkqVq = l/3CvqXq,
(7.49)
где С — теплоемкость решетки; — средняя длина свободного
пробега фононов; vq — скорость фононов; xq — время релаксации
фононов.
Такое же выражение можно получить при моделировании
кристалла изотропным континуумом, как это было предложено
Дебаем (см. раздел 6.2). Выражение для потока энергии, обус-
ловленного переносом тепла фононами, по аналогии с уравнением
(7.35) для потока энергии, обусловленного переносом тепла элек-
тронами, может быть представлено как W = (7-50)-
Q
Неравновесная функция распределения фононов fq отличается
в общем случае от равновесной функции распределения Бозе—
Эйнштейна. Она, собственно говоря, и обеспечивает возникновение
212
теплового потока, так как в условиях теплового равновесия при
отсутствии градиента температур число фононов, движущихся
в одном из направлений, равно числу фононов, движущихся
с такой же скоростью, но в противоположном направлении.
Тогда поток тепла будет равен нулю.
В формулах (7.49) и (7.50) необходим корректный учет входя-
щих в них величин, так как теплоемкость решетки, скорость
фононов, являющаяся, по существу, групповой скоростью, и
средняя длина пробега фононов зависят от частоты и поляризации
колебаний, поэтому суммирование, например в формуле (7.50),
необходимо вести по всем ветвям спектра колебаний, по всем
длинам волн и всем индексам поляризации. В рамках модели
Дебая можно ограничиться переносом тепла акустическими
длинноволновыми фононами.
Тепловое сопротивление кристаллической решетки и, следова-
тельно, теплоперенос фононами должен учитывать ангармонические
взаимодействия фононов друг с другом. Как показал Пайерлс,
нормальные процессы, обусловленные рождением или исчезнове-
нием фонона при взаимодействии между собой двух любых фо-
нонов:
йсо^ + йс^2 = зЬЙсо^; (7.51)
fa/i + fah = ±й?3, (7.52)
не изменяют направление передачи энергии и не дают вклада
в тепловое сопротивление. Действительно, если в формуле (7.50)
для простоты предположить отсутствие дисперсии vq = const,
то учитывая со7 = vq q, получим W = v^>hqnq = v*qp, где
р — полный импульс фононной системы.
Однако выражение (7.52) показывает, что при таких взаимо-
действиях суммарный импульс фононов не меняется и, следова-
тельно, такие взаимодействия (TV-процессы) не будут ограничи-
вать теплопроводность решетки. Очевидно, конечное тепловое
сопротивление будут давать только процессы, изменяющие пол-
ный импульс фононной системы. Таким процессом будет переброс,
для которого, как известно из раздела 6.3, закон сохранения энер-
гии остается в силе, а закон сохранения импульса приобретает
вид: й^ + й^2 = й<?3 ± 2лй, где b — вектор обратной решетки.
Если рассмотреть схему взаимодействия фононов в процессах
переброса (рис. 95), то видно, что фононы с волновыми векторами
qr и q2 переносят энергию вправо, а результирующий фонон с вол-
новым вектором q3 движется влево. Именно поэтому процессы
переброса ((/-процессы) приводят к появлению теплового сопро-
тивления и обеспечивают при теплопереносе установление тепло-
вого равновесия в газе фононов. Пайерлс показал, что при вы-
соких температурах (Т > 0D) длина свободного пробега и, сле-
213
довательно, по формуле (7.49) фононная теплопроводность, обус-
ловленная фонон-фононным рассеянием, nq Т'1, так как воз-
буждение колебаний решетки пропорционально температуре. В об-
щем случае: (Т/9п)3еео/п/.
В области собственной электропроводности полупроводнико-
вых кристаллов имеет место теплоперенос за счет биполярной
теплопроводности. Число электронов и дырок на горячем конце
полупроводника больше, чем на холодном, и это вызывает диф-
фузию электронно-дырочных пар от горячего конца образца
к холодному При этом на горячем конце поглощается энергия,
необходимая для образования та-
кой пары, а на холодном выде-
ляется при рекомбинации этой
электронно-дырочной пары. Эта
энергия состоит в кинетической
л энергии электрона и дырки и
а\ энергии, необходимой для перево-
> Ух да электрона из валентной зоны
в зону проводимости и равной,
следовательно, ширине запрещен-
ной зоны. В большинстве полу-
проводников ДЕ kQT. Поэтому
Рис. 95. Взаимодействие фононов ЭНерГИЯ, переНОСИМЗЯ ПарОИ, МНОГО
в процессах переброса больше ЭНерГИИ, ПереНОСИМОЙ ОД-
НИМ из носителей заряда в области
примесной электропроводности. Таким образом, в области соб-
ственной электропроводности возникает дополнительный поток
тепла и дополнительная теплопроводность хбп за счет биполярной
диффузии. Очевидно, что биполярная теплопроводность будет за-
висеть от концентрации электронно-дырочных пар и ширины за-
прещенной зоны.
Давыдовым и Шмушкевичем для биполярной теплопроводности
была предложена формула, по своему виду аналогичная формуле
электронной теплопроводности (7.44): хбп = L6noT (7.53), где
£бп — своего рода аналог числа Лоренца для биполярной
теплопроводности: £бп = (k0/e)2 {2 + [apon/(on + cf ) ]2 (4 +
+ ДЕад2Г
В реальных полупроводниках со сложной структурой энер-
гетических зон, как и в процессах электропереноса, необходимо
учитывать вклад в теплоперенос носителей разного сорта и меж-
зонное (междолинное) рассеяние. Например, в полупроводни-
ках р-типа (GeTe, SnTe, PbTe, Cu2Te), имеющих в валентной зоне
две подзоны легких (У) и тяжелых (2) дырок (рис. 96), с ростом
температуры увеличивается вклад в теплопроводность тяжелых
дырок и возрастает рассеяние тяжелых дырок на легких. Следо-
вательно, при повышении температуры диффузия носителей за-
ряда из подзон будет приводить к дополнительной биполярной
теплопроводности.
214
Диффузия носителей заряда из подзоны тяжелых дырок дает
вклад:
Хбп - М Т [GeGr/(Ge + От)] (ДЕ^Т + 4)2, (7.54)
где Ge — электропроводность в зоне проводимости; от — элек-
тропроводность в подзоне тяжелых дырок; \Е1 — расстояние
между дном зоны проводимости и максимумом подзоны тяжелых
дырок.
На горячем конце образца концентрация носителей в подзоне
легких дырок будет больше, чем на холодном. При диффузии
носителей заряда из подзоны легких лырок в подзону тяжелых
дырок выделяется энергия равная энергетическому интер-
валу между максимумами этих подзон. Поэтому также появ-
ляется добавочная теплопроводность за _
счет диффузии носителей:
хб7т = (к0/е)2 Т [стлат/(ал + ат)] х z Л
X (ДЕЛ_ТКО2, (7.55)
где ол и от —электропроводности в под- < I
зонах легких и тяжелых дырок соответ- / \
ственно; Д^-т — расстояние между мак- I \
симумами подзон, определяющее расщеп- / \ j
ление валентной зоны. _______________►
Таким образом, в общем случае для к
биполярной теплопроводности необходимо Р11с 96 Энергетическая
учитывать вклад всех ЭТИХ механизмов структура полупроводников
1см. формулы (7.53)—(7.55)1: х"- = КНой сложной валент'
= Хбп + Хбп + Хбт’Т-
В полупроводниках, где коэффициент поглощения в области
теплового излучения невелик, а следовательно, фононц имеют
большую длину свободного пробега, необходимо учитывать вклад
в перенос тепла фотонной теплопроводности за счет электрома-
гнитного излучения. Выражение для фотонной теплопроводности
можно получить по аналогии с формулой (7.49) в предположении
применительно к фотонному газу представлений классического
газа Хф9Т = 1/зСф0ТХфУфЭТ, где Сфот — теплоемкость фотонного
газа; ифот — скорость фотонов; — длина свободного пробега.
Если учесть, что ифат = С/п (где С — скорость света в ва-
кууме; п — коэффициент преломления) и Сфот = 16Л3С0/С (здесь
Со — постоянная в законе Стефана—Больцмана, т. е. коэффи-
циент излучения абсолютно черного тела), то можно получить
формулу Генцеля для фотонной теплопроводности хфот =
= 16п2С0Т3//гф, где k = 1/Хф — волновой вектор фотонов.
Экситонная теплопроводность обусловлена диффузией экси-
тонов при создании градиента температур. Для переноса тепла
экситонами получена следующая формула: хэкс = 16л/3 (к^!ё)3Т2 х
215
Рис. 97. Экспериментальная зависи-
мость теплопроводности кремния от
температуры:
/ — чистый кремний; 2, 3 — кремний,
легированный фосфором; 4 — 6 — крем-
ний с примесью бора
Рис. 98. Температурная зависимость теп-
лопроводности и ее составляющие для
теллурида германия
X т;к(Лэкс (&EaKclk0T + 2)2 е-ДЕэкс/*»7’, где тэ’кс — эффек-
тивная масса экситона; &ЕэКС — энергия возбуждения экситона
по формуле (2.110).
На рис. 97 и 98 для примера приведены экспериментальные
и температурные зависимости теплопроводности кремния и со-
ставляющих теплопроводности теллурида германия.
7.4. ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ.
УВЛЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ФОНОНАМИ
При потоке тепла, обусловленного переносом носителей заряда,
должно возникать некоторое электрическое поле. Так как средняя
энергия и число носителей заряда будут возрастать при повыше-
нии температуры, то градиент температур вызовет в направлении
(—VT) поток свободных зарядов. Явления в кристаллах, связан-
ные с переносом носителей заряда в полупроводниках при гра-
диенте температур, называются термоэлектрическими эффектами.
К ним относятся эффекты Зеебека (возникновение т. э. д. с.),
Пельтье и Томсона. Кинетические коэффициенты этих эффектов
могут быть вычислены на основе изложенной выше методики
нахождения неравновесной добавки функции распределения.
В эффекте Зеебека, заключающемся в возникновении т. э. д. с.
в цепи, состоящей из двух различных проводников, контакты
которых поддерживаются при различных температурах, коэффи-
циент этой т. э. д. с. измеряется при отсутствии внешнего тока
и градиента температур. Тогда по формуле (7.41) £а = aVT.
Следовательно, кинетический коэффициент а эффекта Зеебека,
называемый также абсолютной дифференциальной т, э. д. с.,
можно записать в виде: а = —LETILEE (7.56).
216
Практически эту величину трудно измерять Непосредственно,
так как аналогичный температурный градиент должен суще-
ствовать в измерительной аппаратуре. При измерении т. э. д. с.
на контактах полупроводника и измерительных металлических
электродах возникают контактные разности потенциалов, которые
не равны одна другой из-за градиента температур. Следовательно,
на истинную т. э. д. с. накладывается дополнительная контактная
разность потенциалов измерительных электродов. Для исключе-
ния этого эффекта обычно используются условие равенства уров-
ней Ферми F во всех частях системы при термодинамическом
равновесии. Тогда можно считать, что величина F — ecp (где ср —
электростатический потенциал контактного поля) не меняется
при переходе через контакт металл—полупроводник. При этом
предполагается равенство температур в металле и полупровод-
нике вблизи контакта. Так как в металлических электродах слева
и справа от полупроводника химический потенциал F один и
тот же, то, вычисляя V (F — е<р), мы тем самым можем исключить
контактную разность потенциалов. Тогда дифференциальная
т. э. д. с. будет определяться как
а = Ea/VT = [V (Г - e<p)]/V7\ (7.57)
где Еа = eUk -VF = eV<p - VF, (7.58)
что по форме совпадает с выражением (7.40), полученным для
более общего случая нахождения плотности электрического тока
и потока энергии (7.38) и (7.39), для известной неравновесной
добавки функции распределения из формулы (7.36).
Из выражений (7.57) и (7.58) следует, что в металлах, где
скорости носителей заряда из-за вырождения очень слабо зависят
от температуры и, следовательно, уровень химического потен-
циала также почти не зависит от температуры, т. э. д. с. очень
мала.
В самом общем виде выражение для а может быть получено,
если в соотношение для плотности тока (7.24) подставить неравно-
весную функцию из формулы (7.36) при градиенте температур.
Учитывая, что по определению явления т. э. д. с. внешний ток
равен нулю, и переходя в формуле (7.24) от dxk к dk, мы получим
оо
+ <7-59>
о
Отсюда можно найти термоэлектрическое поле Еа и, следова-
тельно, по формуле (7.57) а:
_V(F-eq>)_ ko ( 1 f Ех df«/dE F \ fin<
где F!k0T — приведенный уровень Ферми.
217
Можно вывести более удобные расчетные формулы. Для сильно
вырожденного электронного газа Мотт получил следующее вы-
ражение
а = n2klT/3e\d\na(E)/dE\E=F. (7.61)
При степенной зависимости длины свободного пробега носи-
телей от энергии и для простой параболической энергетической
зоны выражение (7.61) можно представить в виде:
а = (г 4- 1) T/(3eF). (7.62)
Для невырожденного полупроводника справедлива формула
Писаренко:
„ Mr + 5 -kin 2(2я/пХ7’)’/2 1 ,7fi~
а = —[ +т+ —'“wv----------------J’ (7-63)
где N — концентрация носителей заряда (п или 77).
Поэтому формула (7.63) справедлива с точностью до знака как
для дырочного, так и электронного полупроводников.
Так как формулы (7.61) и (7.62) справедливы для металлов,
то при сравнении (7.62) и (7.63) видно, что т. э. д. с. металлов
на два порядка меньше т. э. д. с. полупроводников, потому что
для металлов величина kQTlF очень мала. Заметим, что, зная
параметр рассеяния г и концентрацию носителей заряда из изме-
рений т. э. д. с. полупроводников по формуле (7.63), можно найти
эффективную массу для плотности состояний, а следовательно, из
выражений (2.111) — и эффективную массу носителей заряда.
Для смешанной проводимости т. э. д. с. обычно меньше, чем
в случае проводимости одного типа, вследствие частичной компен-
сации термоэлектрических токов электронов и дырок и опреде-
ляется как а = (арНрР — Щ№пП)1(^Рр + |1пп), где аЛ и ар —
вычисленные по формуле (7.63) т. э. д. с., обусловленные движе-
нием электронов и дырок соответственно; рп и рр — соответст-
вующие подвижности.
г Эффект возникновения т. э. д. с. (эффект Зеебека) широко
используется в технике, особенно в связи с разработкой и полу-
чением новых полупроводниковых материалов, обладающих коэф-
фициентом т. э. д. с. порядка сотен и тысяч микровольт на гра-
дус. Такие материалы применяются в измерительных термопарах
и в термогенераторах для непосредственного преобразования
тепловой энергии в электрическую.
В связи с выбором материала для термоэлектрического пре-
образователя Иоффе ввел параметр эффективности Z, который
можно представить в виде соотношения Z = а2о/х (7.64).
Z называют также добротностью термоэлектрического мате-
риала. Подставляя сюда значения а из уравнений (7.63), о из
(7.27) и х из (7.46), можно увидеть, что величину ZmaxT при дан-
ной температуре определяет положение уровня Ферми, влияющее
218
в свою очередь на концентрацию носителей заряда, параметр
рассеяния г и некоторый безразмерный параметр fk
r eh3 uq \ т )
Таким образом Zmax достаточно сложная функция характери-
стических параметров вещества, и так как кинетические коэф-
фициенты, входящие в уравнение (7.64), зависят от температуры
и концентрации носителей заряда, то добротность имеет резкую
температурную и концентрационную зависимость. При заданной
температуре величина Z достигает максимума Zmax при некоторой
оптимальной концентрации п0, которая с повышением темпера-
туры растет. При ряде упрощающих предположений (наличие
носителей заряда одного знака, отсутствие вырождения, малая
величина электронной теплопроводности) можно получить для п0
и Zmax оценочные соотношения:
п 2 (2nmdk0T)9/2 e~*E/k°T/h?
и
где М — число долин.
Для получения максимальной добротности Zmax необходимо
увеличить а, что достигается использованием полупроводников
с большой эффективной массой носителей- и большой шириной
запрещенной зоны. Другой способ повышения Z — возможность
увеличения отношения р/х^ при использовании твердых раство-
ров полупроводниковых соединений. При этом возникают допол-
нительные центры рассеяния для фононов и электронов, но фо-
нонная теплопроводность х7 уменьшается быстрее, чем подвиж-
ность электронов р, так как волна де Бройля для электронов
больше длины волны фононов.
Рассмотрим теперь явление увлечения электронов фононами,
при котором возникает дополнительная т. э. д. с. в кристалле.
Этот эффект связан с появлением потока фононов при градиенте
температур: фононы движутся преимущественно от горячего к хо-
лодному концу образца. В результате столкновения электрона
с фононом передается импульс, причем эта передача также ста-
новится направленной — носители заряда чаще получают им-
пульсы в сторону холодного конца образца, чем в противополож-
ную. В результате возникает дрейф носителей в холодную часть
образца, обусловленный потоком фононов. Носители как бы
«увлекаются» фононным потоком. Поэтому этот эффект и получил
название «увлечение носителей заряда фононами». Дрейф но-
сителей будет идти до тех пор, пока не возникает внутреннее
электрическое поле, которое будет противодействовать движению
носителей, вызванному фононным увлечением. Возникшая раз-
ность потенциалов и обусловливает дополнительную т. э. д. с.
219
Эффект увлечения фононами проявляется как в металлах, так
и в полупроводниках. Однако в случае полупроводника обычно
учитывается, как это уже отмечалось, что носители заряда взаи-
модействуют только с длинноволновыми фононами. Этот эффект
увлечения носителей фононами тем больше, чем сильнее взаимо-
действие фононов с носителями и чем больше время релаксации
разупорядочения движения длинноволновых фононов. Следова-
тельно, при низких температурах увлечение должно проявляться
сильнее, чем при высоких, так как в этом случае распределение
фононов медленнее возвращается к равновесному. Действительно,
экспериментально было обнаружено, что при низких температу-
рах эта дополнительная т. э. д. с. может быть в десятки и сотни
раз больше обычной т. э. д. с., обусловленной лишь действием
градиента температур на движение носителей заряда. При высо-
ких температурах возрастает роль фонон-фононного рассеяния,
и эффект увлечения исчезает. Механизм увлечения носителей
фононами в металлах был рассмотрен Гуревичем и позднее Пи-
кусом для полупроводников. Пикус получил следующее соотно-
шение для дополнительной т. э. д. с., обусловленной эффектом
1 / ka \ т*узв 1 %а
увлечения: аэ_ф = —_лв__ где узв —ско-
рость звука; %q и хе — времена релаксации фононов и электронов
соответственно.
Величина m*v3Jkb имеет размерность температуры, при кото-
рой тепловая скорость электронов равна скорости фононов.
Учитывая численное значение этой величины (—1 К) и отноше-
ния kQ/e (~90 мкВ/K) для т. э. д. с. за счет увлечения фононами,
получим аэ_ф (30/Т) где средние времена релакса-
ции фононов (т^> и электронов (хе) можно вычислить по фор-
мулам (7.49) и (6.76) соответственно.
Эффект Пельтье в известном смысле противоположен эффекту
Зеебека и заключается в том, что при постоянной температуре
и прохождении тока через образец на контактах может выделяться
или поглощаться в зависимости от направления тока некоторое
количество тепла, пропорциональное прошедшему через контакт
количеству электричества Qn = П/ dt, П — кинетический
коэффициент эффекта Пельтье.
Было установлено, что если внешний электрический ток совпа-
дает по направлению с термоэлектрическим током, который воз-
никает при нагреваний данного контакта, то этот контакт охлаж-
дается. Аналогия с эффектом Зеебека здесь в том, что циркуляция
электрического тока по контуру, состоящему из двух веществ при
отсутствии первоначального градиента температур (VT = 0),
охлаждает один контакт и нагревает другой.’Из общего выраже-
ния для потока энергии (7.39) отсутствие внешнего градиента
температур VT = 0 еще не означает отсутствия потока тепла.
Этот поток тепла возникает из-за электрического поля (для дан-
ного эффекта внешнего). Тогда Qn = Lte !(LeeI) (7.65).
220
Следовательно, коэффициент Пельтье из формулы (7.65) опре-
деляется как П = LteILee (7.66). *
Напомним, что в эффекте Зеебека внешнее поле отсутствовало
но имелся градиент температур (V?1 ¥= 0).
Физический смысл эффекта Пельтье можно понять из энерге-
тической диаграммы контакта металл—полупроводник. Рассмо-
трим для определенности контакт металл — полупроводник и-
типа при работе выхода электронов из металла, большей, чем
из полупроводника, Фм > Фп. Причина возникновения этого
термоэлектрического эффекта состоит в том, что средняя кинети-
ческая энергия электронов, участвующих в создании электриче-
ского тока в металле и полупроводнике, различна. Как уже
указывалось, в металле электроперенос осуществляется электро-
нами вблизи поверхности Ферми. В полупроводнике n-типа ток
будет переноситься электронами зоны [проводимости. Энергия
электронов в зоне проводимости больше, чем энергия электронов
в металле на уровне Ферми, на величину Ес — F. Под действием
внешнего электрического поля, направленного так, что осу-
ществляется переход электронов из полупроводника в металл,
более высокоэнергетические электроны полупроводника, перейдя
в металл, будут опускаться до уровня Ферми и отдавать
при столкновениях с атомами решетки металла свою избыточную
энергию. Выделяющееся при этом тепло и есть теплота Пельтье.
Так как электроны приходят в тепловое равновесие в результате
небольшого числа столкновений в непосредственной близости от
контакта, то практически вся теплота Пельтье выделяется на
самом контакте. При противоположном направлении внешнего
электрического тока электроны металла могут перейти в полу-
проводник, только преодолев энергетический барьер Ес — F.
Для этого они должны получить энергию от решетки, вследствие
чего металл в области контакта охлаждается.
Если вдоль однородного проводника, по которому течет элек-
трический ток, имеется градиент температур, то в объеме провод-
ника поглощается или выделяется в зависимости от направления
тока некоторое количество тепла, пропорциональное силе тока,
времени и градиенту температур: QT = хт dtlX/T (7.67).
Это явление называется эффектом Томсона, хт в формуле
(7.67) называется кинетическим коэффициентом эффекта Томсона.
Физическую причину эффекта Томсона можно понять, рассма-
тривая перенос тепла свободными носителями во внешнем элек-
трическом поле. Действительно, если вдоль проводника, по ко-
торому течет электрический ток, имеется градиент температур,
и направление тока соответствует движению электронов от го-
рячего конца к холодному, то электроны, переходя от горячего
участка к холодному, отдают избыточную энергию окружающим
атомам. В этом месте выделяется тепло и проводник нагревается.
При обратном направлении тока электроны, переходя из более
холодного участка в горячий, приобретают энергию за счет окру-
221
жающих атомов. Очевидно, этот случай соответствует поглоще-
нию тепла.
Для анализа термоэлектрических явлений на основе кинети-
ческого уравнения Больцмана надо записать поток тепла W и
плотность тока с учетом неравновесной функции распределения
(7.36). Выражая напряженность
поля через ток, по формуле (7.59)
можно получить для потока энер-
гии в случае термоэлектрических
Об Г,
0,3
0,2
0,1
' О 80 160 2Ь0 Т,К
W = (F — в(р) / — Пу-
эффектов
Рис. 99. Температурная зависимость
т. э. д. с. для германия при низких
(а) и высоких (б) температурах:
1 — ]Ча = 1,9-10й см'3; 2 — Na =
= 6-Ю17 см'3; 3 — Na = 1,6-1014 см"3;
4 — Na = 8-1013 см"3; 5 — Nd =
= 8 • 1012 см"3; 6 — Nd= 8,9-1013 см"3
— хе\7Т (7.68), где первый член
описывает перенос энергии в ре-
зультате направленного движения
электронов — омический ток, а
также за счет неоднородности ве-
щества; второй член — перенос
энергии в результате эффекта
Пельтье; третий — перенос энер-
гии в процессе теплопроводности.
Таким образом, соотношение (7.68)
носит самый общий характер.
Эффект Томсона может возник-
нуть в неоднородном полупровод-
нике при отсутствии внешнего
электрического тока. Если полу-
проводник нагрет неравномерно,
то концентрация носителей в нем
будет больше там, где выше тем-
пература. Поэтому градиент тем-
ператур приведет к градиенту кон-
центрации и, следовательно, воз-
никает диффузионный ток носите-
лей заряда. Разделение заряда
создает внутреннее электрическое
поле.
В случае отсутствия тока (/ = 0) из формулы (7.59) можно
получить выражения для напряженности поля термоэлектриче-
ских эффектов Е = \F/e + aVT (7.69).
Соотношение (7.69) описывает все три термоэлектрических
эффекта. Следует отметить, что с точки зрения механизма выделе-
ния или поглощения тепла эффекты Пельтье и Томсона аналогичны.
Эффект Томсона представляет собой выделение энергии в термо-
электрическом поле Еа = aVT, а эффект Пельтье выделение
энергии в поле Е = l/e\7F.
Между кинетическими коэффициентами термоэлектрических
эффектов а, П и тг имеется определенная взаимосвязь, которую
222
можно получить из термодинамики необратимых процессов: а =
= П/Т; тг = —Tda/dT (7.70).
Из формул (7.70) с учетом условий (7.56) и (7.66) можно также
получить, что Llt = —Lte IT (7.71).
Таким образом, все термоэлектрические явления тесно свя-
заны друг с другом и могут быть описаны согласно формулам
(7.70) и (7.71) с помощью одного лишь параметра а, который
обычно определяется экспериментально.
На рис. 99 для примера приведены экспериментальные темпе-
ратурные зависимости т. э. д. с. для германия при низких и вы-
соких температурах.
7.5. ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ.
ЭФФЕКТ ХОЛЛА
При совместном действии электрического Е и магнитного В полей
в веществе возникает ряд кинетических явлений, приводящих
к изменению в продольном направлении, вдоль которого прило-
жено электрическое поле Е, электропроводности и теплопровод-
ности, а также возникновению поперечной по отношению к на-
правлениям электрического и магнитного полей разности потен-
циалов и температур. Такие явления обычно называют гальвано-
магнитными эффектами. Среди многочисленных гальваномагнит-
ных эффектов наиболее изучены эффект Холла или возникновение
поперечной разности потенциалов; эффект магнетосопротивления
или изменения продольного сопротивления в магнитном поле;
эффект Эттингсгаузена или возникновение поперечной разности
температур (поперечный гальванотермомагнитный эффект) и
эффект Нернста или возникновение продольной разности темпе-
ратур (продольный гальванотермомагнитный эффект). Термины
поперечный и продольный относятся к направлению градиента
температур. По отношению к магнитному полю гальваномагнит-
ные эффекты делятся на четные и нечетные. Эффект называется
нечетным, если он меняет знак при изменении направления ма-
гнитного поля на противоположное. Если знак эффекта не меняется,
то он называется четным. К нечетным эффектам относятся эффекты
Холла и Эттингсгаузена, к четным —эффект магнетосопротивле-
ния и эффект Нернста. Гальваномагнитные явления можно рас-
сматривать в адиабатических условиях, когда образец не обмени-
вается энергией с окружающей средой и в нем возникает градиент
температур, и изотермических, когда происходит обмен энергией
с окружающей средой и, следовательно, \/Т = 0. В первом слу-
чае эффект будет адиабатическим, во втором — изотермическим.
Эффекты Холла и магнетосопротивления обычно рассматриваются
в изотермических условиях.
Качественную картину гальваномагнитных эффектов можно
понять, рассматривая движение заряженной частицы в скрещен-
223
йых Магнитном и электрическом полях. Как известно из электро-
динамики, сила, действующая на электрический заряд в электро-
магнитном поле, является силой Лоренца: F = еЕ + е [у, В].
В скрещенных полях (В I В) носитель заряда будет дви-
гаться по циклоиде или некоторой другой траектории, получа-
ющейся в результате сложения двух видов движения частицы:
вращения по окружности радиуса г0 = т*Е1еВ2 под действием
электрического и магнитного полей и перемещения под действием
электрического поля со скоростью дрейфа vd = цЕ.
Таким образом, наложение магнитного поля на проводник,
по которому течет электрический ток, будет изменять траекто-
рию носителей заряда,'«закручивая» их по круговой орбите тем
сильнее, чем больше магнитное поле.
Критерием величины магнитного поля можно считать соотно-
шение между радиусом кривизны г0 и длиной свободного пробега X.
Если радиус кривизны г траектории движения электрона много
больше его средней длины свободного пробега: г0^> К (7.72), то
движение электрона мало искажается и такие поля называются
слабыми. Очевидно, если г0 <^Х(7.73), то поле является сильным,
так как оно закручивает носители заряда уже так сильно, что
они резко меняют свою траекторию и, следовательно, механизм
рассеяния.
Условия (7.72) и (7.73) можно заменить эквивалентными при
сравнении времени релаксации т с периодом обращения носителя
по круговой орбите под действием магнитного поля Тцикл: поле
слабое, если т ТЦИКЛ (7.74); поле сильное, если т ТцИКЛ (7.75).
Величина Тцикл может быть найдена из циклотронного резо-
нанса: сОцИКЛ = Зл/Тцикл = еВ/т*у где величина социкл назы-
вается циклотронной частотой. Тогда для слабого поля из фор-
мулы (7.74) и (7.75) рВ «С 1 (7.76); для сильного поля цВ > 1
(7.77).
Из таких критериев величины магнитного поля (7.76) и (7.77)
видно, что понятие слабого или сильного поля зависит не только
от «внешнего» фактора — величины индукции магнитного поля В,
но и от подвижности носителей в кристалле, т. е. от свойств ве-
щества. При этом может оказаться, что одно и то же поле для
одного значения подвижности будет слабым, а для другого зна-
чения подвижности — сильным. Например, для германия^ при
высоких температурах подвижность электронов 3000 см2/(В - с).
Магнитное поле напряженностью 79 600 А/м будет удовлетворять
критерию слабого поля (7.76). То же поле при низких темпера-
турах (~10 К) и подвижности электронов 104—10б см2/(В-с) будет
удовлетворять условию (7.77) и, следовательно, считаться силь-
ным. При рассмотрении совместного действия магнитного и элек-
трических полей необходимо также учитывать разброс носителей
заряда по скоростям и энергиям.
224
Рассмотрим основные гальваномагнитные эффекты при вы-
полнении критерия слабого магнитного поля (7.76). Физическая
сущность эффекта Холла рассмотрена нами в разделе 1.3. Заметим
еще раз, что возникновение поперечного по отношению к элек-
трическому Е и магнитному В полям холловского поля Ех (см.
рис. 6) как раз и обусловлено закручивающим действием магнит-
ной составляющей силы Лоренца с е lvdB]. Холловское поле Ех
будет расти до тех пор, пока
оно не скомпенсирует магнит-
ную составляющую силы Ло-
ренца. После того носители за-
ряда будут двигаться как бы
только под действием приложен-
ного к образцу электрического
Е = Ех, В = Ву, Ех = Ez), и
траектория движения носителей
представляет собой снова пря-
мую линию вдоль оси х. Следо-
вательно, вектор плотности тока
j также направлен вдоль оси х,
однако суммарное электриче-
ское поле учитывающее воз-
поля Е в направлении х (если
Рис. 100. Искривление траектории дви-
жения носителя заряда в магнитном поле
и возникновение угла Холла
никшее поперечное холловское
поле ЕЛ1 и приложенное внеш-
нее Электрическое поле Ех,
будет повернуто на некоторый угол ф относительно х или /. Таким
образом за счет накопления зарядов на поперечных гранях об-
разца под действием магнитного поля между вектором плотности
тока / и напряженностью поля в образце Е' возникает угол ф,
называемый углом Холла.
Угол Холла с учетом выражений (1.25) и (1.27), а также
рис. 100 определяется как
tg ф = Ех/Е = RBoE/E = RoB = рВ.
(7.78)
Ранее при описании эффекта Холла не учитывались процессы
рассеяния. Более строгое рассмотрение эффекта Холла на основе
кинетического уравнения Больцмана, которое будет приведено
ниже, показывает, что коэффициент Холла R должен учитывать
механизм рассеяния носителей заряда через некоторую кон-
станту А. Тогда: R = ±А/еп (7.79), где и — концентрация элек-
тронов или дырок в зависимости от знака правой части формулы
(7.79). Если учесть, что по формуле (1.27) о = епр, и соотноше-
ние (7.78), то можно записать: pd = | R |оМ, откуда следует, что
8 Горбачев В. В., Спицына Л Г, 225
из измерений коэффициента Холла и электропроводности можно
с точностью до константы А определить дрейфовую подвижность.
Величину имеющую, очевидно, размерность подвиж-
ности, называют холловской подвижностью-. рх = (7.80).
Именно она определяет угол Холла ср и вычисляется как про-
изведение коэффициента Холла на электропроводность. Соотно-
шение (7.80) позволяет находить истинную дрейфовую подвиж-
ность при известном механизме рассеяния, определяющем ве-
личину А.
Как мы видели, механизмы рассеяния достаточно хорошо описываются сте-
пенными зависимостями времени релаксации или длины свободного пробега
от энергии. Поэтому величина А будет принимать различные значения в зави-
симости от характера механизма рассеяния. Для ковалентных кристаллов при
рассеянии на акустических фононах длина свободного пробега не зависит от
энергии (г = 0):
А = Зл/8 и R = Зл/8-1/(еп) « 1,17-\/(еп). (7.81)
В полупроводниках с ионной решеткой при рассеянии на оптических фоно-
нах и температурах ниже температуры Дебая (Т < 0£>) г = i/2-
А « 0,99 и R « 0,99- 1/(ел); (7.82)
ри температурах Т> 0£>, г == 1
А = 1,11 и R « 1,1Ы/(еп). (7.83)
При рассеянии на ионах примеси г = 2
А = 315/512 « 1,93 и R « 1,93- 1/(ел); (7.84)
при рассеянии электронов на дырках также
А = 315/512 и R = 1,93- 1/(ел): (7.85)
при рассеянии носителей заряда на нейтральных примесных атомах
А = 1 и R = М(еп). (7.86)
Величина А получена из теоретических расчетов на основании кинетического
уравнения Больцмана. В вырожденных полупроводниках, как и в металлах,
в электропроводности принимают участие только электроны, находящиеся на
самых высоких уровнях энергии (вблизи поверхности Ферми для металлов).
Следовательно, в этом случае можно не учитывать распределения электронов
по энергиям. Тогда время релаксации можно считать постоянным. В этом случае
Л _ 1 и |1Х = R-
При смешанной электропроводности, когда в процессе пере-
носа участвуют и электроны, и дырки, анализ эффекта Холла
усложняется. Как видно из формулы (1.24), сила Лоренца для
электронов и дырок направлена в одну сторону. Следовательно,
электроны и дырки отклоняются в одну сторону. Учитывая раз-
ные подвижности и концентрации электронов и дырок, в данном
случае нельзя говорить о взаимной компенсации объемных заря-
дов электронов и дырок. Тогда на одной поперечной грани будет
скапливаться отрицательный заряд, а на другой — некомпенси-
рованный положительный заряд. Таким образом, и в этом случае
возникает поперечное холловское поле, тормозящее движение но-
сителей одного знака (например, электронов) и ускоряющее
движение других (дырок). Холловское поле будет возрастать до
226
тех пор, пока оно не уравняет потоки электронов и дырок. Приме-
няя для анализа эффекта Холла кинетическое уравнение, можно
получить 1 для смешанной электропроводности:
R = А (црР — (НрР + Нп«)2] • (7.87)
На рис. 101 приведены для
висимость коэффициента Холла
индия. Для образцов р-типа
наблюдается инверсия знака
коэффициента Холла. Темпера-
тура инверсии определяется из
условия 7?х = 0 и при b 1
(для антимонида индия Ь = 80).
Из (7.87) следует, что инверсия
знака происходит при р = nb2
в области, где р = NA.
Постоянная А определяется
теми же механизмами рассея-
ния (7.81)—(7.86). Из формулы
(7.87) следует, что, если’в собст-
венном полупроводнике (п = р)
подвижности электронов и ды-
рок одинаковы, то холловское
поле равно нулю. Можно заме-
тить, рассматривая уравнения
(1.21) и (7.87), что для смешан-
ной проводимости измерение
электропроводности и постоян-
ной Холла не дает достаточ-
примера экспериментальная за-'
от температуры для антимонида
Рис. 101. Зависимость коэффициента
Холла от температуры для антимонида
индия:
/ — n-тип, 101,С1Г’; 2 — р-тип, 4-101Б см~8;
3 — п-тип, 1,3-101* см"3; 4 — р-тип,
5- 101в см~3; 5 — n-тип, 1017см"3; 6 — р-тип,
2-Ю17 см"3
ных данных для нахождения
подвижности и концентрации
электронов и дырок. В этом
случае к уравнениям (1.21) и
(7.87) нужно добавить дополнительные независимые уравнения,
которые могут быть получены из измерений других кинетических
эффектов.
Магнитное поле приводит не только с появлению угла Холла
между / и £, но и влияет на величину электропроводности, т. е.
изменяет сопротивление образца в магнитном поле (эффект ма-
гнетосопротивления). Количественно этот эффект определяется
отношением изменения сопротивления в магнитном поле Др =
= р (В) — р (0) к сопротивлению в отсутствие поля р (0): Н =
= [р (В) — р (0) ]/р (0) = Др/р (0), где Н — кинетический коэф-
фициент магнетосопротивления.
1 См., например: Займан Дж. Электроны и фононы: Пер. с англ. М.: Мир,
1962, с. 437.
8*
227
Физической причиной эффекта магнетосопротивления является
распределение носителей заряда по скоростям и анизотропия вре-
мени релаксации и эффективных масс носителей, когда изоэнерге-
тические поверхности несферичны. Действительно, если бы все
носители заряда двигались с одной средней дрейфовой скоростью,
имели одинаковую длину свободного пробега и изотропную
эффективную массу, то в результате компенсации магнитной силы
Лоренца е [vdB ] холловским полем носители двигались бы пря-
молинейно без изменения длины свободного пробега. Так как
при неизменной длине пробега скорость носителя не изменяется,
следовательно, не меняется и электропроводность образца. Однако
электроны имеют определенное распределение по энергиям и ско-
ростям, и поэтому при включении магнитного поля траектория
их движения уже не будет прямолинейной, поскольку указанная
компенсация будет выполняться только для носителей со средней
скоростью. На носители, движущиеся со скоростью меньшей, чем
средняя, больше действует электрическое холловское поле Ех,
в то же время на носители со скоростями, большими, чем средняя
скорость, сильнее действует магнитная составляющая силы Ло-
ренца е [vdB ], отклоняющая носители в противоположную сто-
рону.
И в том, и другом случае отклонения скорости движения но-
сителя от средней величины эффективная длина свободного про-
бега в магнитном поле уменьшится. Действительно, если носитель
заряда в отсутствие магнитного поля (В = 0) имел траекторию I
(см. рис. 100), то при включении магнитного поля и возникнове-
нии угла Холла между скоростью носителя без поля у0 и с полем а,
его траектория изменяется. Следовательно, за время свободного
пробега носитель вдоль поля Е пройдет меньший путь, чем Z:
lx = i cos (р I (1 — ф2/2) = 1(1 — ц2В2/2).
Если учесть, что подвижность пропорциональна длине пути
на длине свободного пробега в направлении поля £, а электро-,
проводность определяется подвижностью, то уменьшение пути I
вдоль поля снизит электропроводность, т. е. возрастает сопротив-
ление в магнитном поле.
Такой разброс носителей по скоростям уменьшит вклад
быстрых и медленных носителей заряда в электропроводность
в магнитном поле. Для примесных полупроводников с одним ти-
пом носителей и учетом статистического распределения по ско-
ростям теория дает следующее выражение для кинетического
коэффициента магнетосопротивления: Н = Су^рВ2 (7.88), где
С — коэффициент, зависящий от механизма рассеяния и,
следовательно, также определяемый степенной зависи-
мостью времени релаксации или длины свободного пробега от
энергии.
228
Например, при рассеянии носителей заряда на акустических
фононах (р = —V2) С = л/10, а при рассеянии на ионах примеси
(Р = %) С = 1.
Как следует из формулы (7.88), измерение сопротивления
в магнитном поле позволяет найти подвижность носителей, если
известен механизм рассеяния.
Эффект Эттингсгаузена состоит в возникновении градиента
температур в образце в направлении, перпендикулярном магнит-
ному полю Е и вектору плотности тока /, текущего в направлении
приложенного электрического поля £: V71 = АЕ [jB] или
VZT = AEBxjx.
Для невырожденного полупроводника п-типа кинетический
коэффициент эффекта Эттингсгаузена имеет вид:
Ае = k0T (2г + 1) R<j/e2 (ич + %е).
Физический смысл эффекта Эттингсгаузена обусловлен той же
причиной, что и магнетосопротивление: разным действием хол-
ловского поля и магнитной силы Лоренца на быстрые и медлен-
ные носители заряда. Как уже мы рассматривали, для носителей,
скорость которых больше средней, магнитная составляющая
силы Лоренца е [ц/В]’будет превышать действие поперечного
электрического холловского поля £х» и они будут отклоняться
к одной из граней образца в направлении z. Для носителей заряда,
скорость которых меньше средней, холловское поле будет действо-
вать сильнее, чем сила Лоренца, и они отклонятся к противопо-
ложной грани вдоль направления г. Очевидно, что более быстрые
носители, скапливаясь у одной из граней, будут отдавать свою
энергию кристаллической решетке, и эта грань будет нагре-
ваться. Противоположная грань, на которой скапливаются мед-
ленные носители, будет охлаждаться, так как, приходя к термо-
динамическому равновесию, носители будут забирать энергию
у кристаллической решетки. Таким образом, вдоль направления z
поперек магнитного и электрического полей наряду с поперечным
полем Холла возникает поперечный градиент температур V27\
Эффект Нернста также связан с различным действием хол-
ловского поля и магнитной силы Лоренца на носители заряда,
движущиеся с разной скоростью. Более медленные носители
будут сильнее закручиваться магнитным полем, чем быстрые.
Вследствие разного отклонения «горячих» и «холодных» носите-
лей будет изменяться их вклад в энергию, переносимую вдоль
электрического поля в продольном направлении х. Более быстрые
(«горячие») носители будут накапливаться у той грани вдоль
направления х, к которой они движутся, и нагревать ее. Более
медленные носители из-за замедления их магнитным полем будут
собираться у противоположной грани вдоль направления, вы-
зывая ее охлаждение. Таким образом, при отсутствии теплового
229
потока вдоль направления электрического поля Е возникает
продольный градиент температур VXT = AN Byjxt где AN —ки-
нетический коэффициент эффекта Нернста.
Заметим, что знак продольного градиента температур не за-
висит от направления магнитного поля, но меняется при измене-
нии направления тока.
Как уже упоминалось, гальваномагнитные эффекты можно рассматривать
более строго на основе кинетического уравнения Больцмана. Разберем это более
подробно на примере эффекта Холла.
При исследовании явлений электро- и теплопроводности методом кинети-
ческого уравнения (7.17) мы предполагали согласно формуле (7.37), что внешнее
воздействие, определяющее дрейфовый член уравнений (7.6), описывается только
электрическим полем F = —еЕ. Теперь мы должны взять в качестве действующей
силы в скрещенных магнитном и электрическом полях силу Лоренца F = еЕ +
+ е [t\/B]. Тогда кинетическое уравнение с учетом формулы (7.18) будет иметь
вид:
еЩ СЕ + [tfi]) Vkf = -X (Е) (д[0/дЕ) k/т (t). (7.89)
Здесь учтено, что Vrf0 в уравнении (7.17) при отсутствии градиента темпе-
ратур (VT = 0) и для однородного полупроводника (VF = 0) равен нулю. Бу-
дем считать также, что неравновесная добавка в формуле (7.1) мала и f (k) «
« /0. Тогда вместо f в уравнении (7.89) можно везде брать /0, за исключением
члена, содержащего магнитное поле. В этом случае:
4- Wo + 4- [V, В] Vkfo + -й [V. В] Vkh. --------. (7.90)
й П П т (k)
Учитывая, что ykfo = df0/dE-dEldk = dfQ/dE-Hv, можно заметить, что вто-
рой член левой части формулы (7.90) равен нулю, так как [у, В] v равно нулю.
Найдем Vkfi-
Vkfi = ~Vk (ШдЕ)Ы (E)}=- (d fa/дЕ) % (E) - [Hk (d/дЕ) (d fa/дЕ) % (E)].
Теперь формулу (7.90) можно представить в виде
П [»• В] )%(В)] -
X(E}k(df^/dE)
т(*)
Используя свойство скалярно-векторного произведения [у, В ] % (Е) =
—: [В, х (Е)] v и выражение для скорости носителя (v =*= ftk/m*), можем получить
—>
выражение в явном виде для % (Е):
Х(В) = ~ ~-у т Й
-> -> ^2^2
Е + ех/т* [В£] + (Е, В) В
1 + (ет/т*)3 В»
(7.91)
230
Ёсли теперь подставить это общее выражение для % (£) в фор-
мулу (7.18), то найдем неравновесную добавку /т. Подставляя
затем в выражения (7.24) и (7.25), можно определить ток, текущий
в образце под действием магнитного и электрического полей,
т. е. в условиях возникновения эффекта Холла.
Заметим, что учет магнитного поля изменяет вид функции Д,
даваемый выражением (7.36): добавляется член е/Я (д[0/дЕ) х
X [% (Е)/т*, В] о. Тогда
fi=T(^)(^-=^-VT-V(F-«p)+e/A v. (7.92)
Для нахождения тока в эффекте Холла можно использовать
также несколько другую методику. Во-первых, напомним, что
мы рассматриваем гальваномагнитные эффекты в условиях сла-
бого магнитного поля. Тогда согласно формуле (7.76): В <
< т*1ех. (7.93).
Разлагая уравнение (7.91) в ряд по малому параметру ехВ/т*
и ограничиваясь членами с первой степенью В, получим
X (Е) = — еИх (k) {Е + ет//п* [ВЕ]}/т* . (7.94)
Как известно, для плотности тока в электронном полупровод-
нике можно получить jn = ejv dn. Если dn = 2/(2л)3/ (k) dk. to
jn = [2е/(8л3)] J vf (k) dk = 2eti/[(2n)3 m*] J kf (k) dk.
С учетом (7.18) и выражая dfQ/dE через dfQ/dk: dfQ/dE = (m*/kft2) x
X dfjdk, получим
tn = - [е/(Зл2Й)] J Fx (£) (df,/dE) dk. (7.95)
0
Теперь, подставляя в формулу (7.95) выражение для х (В)
из уравнения (7.94), получим
tn = - [е2£/(3л2ш*)] [ (k) dfv/dk + [ й3г2 . (7.96)
j оэт т j
О 0
Первый член в выражении (7.96) есть обычный дрейфовый
электрический ток, который мы уже рассматривали в разделе 7.2
и который получается из общего выражения для плотности тока
(7.24) подстановкой формулы (7.19) и v = ftkhn*. Отсюда, кстати,
следует, что электропроводность при отсутствии магнитного поля
выражается как
сю
= [е2/(3л2т*)] j (k)-^-dk.
О
(7.97)
231
Второй член в выражении (7.96), учитывающий действие ма-
гнитной составляющей силы Лоренца, будет, по существу, опре-
делять действие холловского поля, так как он описывает ток,
возникший в перпендикулярном направлении к Е и В.
Учитывая направления полей Е (Ех, 0, 0) и В (0, Ву, 0), можно записать
выражения для компонент тока:
еаЕх
Зягт*
f fe8T dk
о dk
Зл2т*3
оо
f fe3r -^4- dk + W dk-,
Зп2т* ] dk Зпт ] dk
<?ByEx
Зяат*3
k^df^dk.
dk
(7.98)
(7.99)'
(7.100)
Ток через образец течет только в направлении приложенного электриче-
ского поля EXi следовательно:
/ = /*; iy = o; h=o. (7.ioi>
Тогда из формулы (7.99) с учетом выражения (7.101) следует, что Еу = 0.
Так как j2 = 0, то из формулы (7.100) можно найти холловское поле:
Ек == (еВуЕх/т*) [ #>т3 dk / ( й3т dk
Lo dk / 0J dk
(7.102)
o UK J
Если теперь подставить уравнение (7.102) в выражение (7.98),
то можно найти зависимость тока jx от напряженности Ех, т. е.
электропроводность вдоль оси х:
-^Ikoz df* dk I ^Ex
Зя*т* J R T Зл2т*3
0
1
ix =
f k^-dlz-dk
J dk
Lo
t = aBEx>
[ A3t -^-dk j
o dk J
(7.103)
гдеав = --»т I
I dk
Зл3т»3
' oo \ 2
f kW-?fy-dk
о dk /
(7.104)
( й’т dk
о dk
X
2
есть электропроводность при включении магнитного поля, и как мы видим, срав-
нивая формулы (7.104) и (7.97), она отличается от электропроводности в отсут-
ствие магнитного поля вторым членом (7.104).
232
Сравнивая формулы (1.25) и (7.102), можно получить общее выражение для
коэффициента Холла:
R = (Зл2т*/е)
7 £3Т2 1(7 fe3T 2^. dk
L0J dk I \0J dk J J
(7.105)
Произведение Ro имеет размерность подвижности и согласно формуле (7.78)
определяет холловскую подвижность |1х = Ro- Тогда, учитывая значения R
из формулы (7.105) и о из (7.97), получим для холловской подвижности:
(е/т*)
#>т 2^. dk
dk
(7.106)
Если учесть, что интегралы видаС/г3т‘ Щ^-dk означают усреднение времени
J dk
релаксации в степени i по энергии, то отношение интегралов в формуле (7.106)
можно представить как (т2)/(т). Умножая числитель и знаменатель в формуле
(7.106) на (т) и учитывая значения дрейфовой подвижности = е(т)/т*,
преобразуем эту формулу к виду:
_е(т) 4
т* (т)2 ’
где Я = (т2)/(т)2. (7.107)
Из выражения (7.107) ясен физический смысл константы Л, зависящей от
соотношения времен релаксации и, следовательно, определяемой механизмом
рассеяния.
Аналогичным образом можно исследовать и другие гальваномагнитные
эффекты.
7.6. ТЕРМОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Магнитное поле изменяет не только электропроводность. По-
скольку теплопроводность также связана с потоком носителей
заряда, то, если имеется градиент температур, в магнитном поле
должны происходить термомагнитные явления, обусловленные
искривлением траекторий носителей в магнитном поле.
Физическая основа этих эффектов — взаимодействие носите-
лей заряда с магнитным полем при отсутствии электрического
тока. Рассмотрим кратко четыре термомагнитных явления: воз-
никновение поперечного электрического поля (поперечный эффект
Нернста—Эттингсгаузена), возникновение поперечного градиента
температур (эффект Риги—Ледюка), возникновение продольного
градиента температур (эффект Маджи—Риги—Ледюка); возник-
новение продольного электрического поля (продольный эффект
Нернста—Эттингсгаузена).
Поперечный эффект Нернста—Эттингсгаузена заключается
в том, что в направлении, перпендикулярном вектору индукции
магнитного поля Ву и градиенту температур \ХТ, возникает элек-
трическое поле Е2, величина которого зависит от градиента тем-
ператур, магнитного поля и природы исследуемого образца:
233
£n-e = A± E\jxTBy, где A^_e — кинетический коэффициент
поперечного эффекта Нернста—Эттингсгаузена.
Для невырожденного примесного с одним типом носителей по-
лупроводника и простой зонной структурой:
= [(2г - 1) Ak0pByVxT]/2e. (7.108)
Из выражения (7.108) можно найти подвижность, если известны
г и Д, или наоборот, если известна подвижность, то можно опреде-
лить механизм рассеяния.
Физический смысл возникновения поперечного эффекта Нерн-
ста—Эттингсгаузена заключается в следующем. Тепловая скорость
носителей заряда, движущих-
ся от горячего конца, боль-
ше, чем скорость носителей,
диффундирующих [в противо-
положном направлении, и
Т2 поэтому они будут иметь раз-
ные времена релаксации. По-
скольку магнитная состав-
ляющая сила Лоренца раз-
лично действует на быстрые
и медленные носители заряда,
то они будут отклоняться
Рис.
ного
102. Схема, поясняющая знак попереч-
эффекта Нернста—Эттингсгаузена
магнитным полем на разные
углы. Следовательно, потоки
носителей на боковые грани
будут неодинаковыми и возникает поперечное электрическое
поле.
Если поместить полупроводник в магнитное поле с индукцией
Ву при градиенте температур вдоль оси х, то носители (для опре-
деленности электроны) будут отклоняться вдоль оси у (рис. 102) и
возникает ток в этом направлении:
= —е («А» — «2^) = —tg <рх - «2и2х tg <j>2], (7.109)
где пг — число электронов, движущихся со скоростью от хо-
лодного конца к горячему; п2 — числу электронов, движущихся
со скоростью v2 в противоположном направлении.
Учитывая, что в отсутствие тока, вызванного внешним электри-
ческим полем в стационарном состоянии, выполняется соотноше-
ние: п^1Х = n2v2x и в слабых магнитных полях по формуле (7.76)
угол Холла мал, так что tg <р <р, то вместо выражения (7.109)
получим jy « —envx (<pr — <р2) [т (vj — т (у2) ], откуда видно,
что направление поперечного тока, а следовательно, и знак поля
Нернста—Эттингсгаузена определяются разностью углов
Холла или времен релаксации для быстрых и медленных электро-
нов. Если для более медленных электронов время релаксации
больше, чем для более быстрых т (их) >т (v2), то верхняя грань
334
образца заряжается отрицательно и эффект Нернста—Эттингсгау-
зена будет иметь положительный знак (£z >0). Этот случай имеет
место при рассеянии на акустических фононах. Если условия дви-
жения электронов в образце таковы, что время релаксации увели-
чивается с ростом скорости, т. е. т (и2) >т (vj, то нижняя грань
заряжается отрицательно и эффект Нернста—Эттингсгаузена
имеет отрицательный знак (Ez < 0). Этот случай возникает при
рассеянии на ионизированных атомах примеси. Следует заметить,
что знак эффекта не зависит от знака носителей, а только от меха-
низма их рассеяния. Для металлов и вырожденных полупроводни-
ков поперечный эффект Нернста—Эттингсгаузена очень мал, так
как по величине сильно зависит от вырождения.
Продольный эффект Нернста—Эттингсгаузена состоит в воз-
никновении продольной разности потенциалов вдоль градиента
температур \ХТ в магнитном поле. Однако вдоль продольного
градиента температур \ХТ, как известно из раздела 7.4, возникает
термоэлектрическое поле Ех = а ухТ. Поэтому возникновение
дополнительного поля вдоль \ХТ равносильно изменению
т. э. д. с Ех в продольном направлении при наложении магнит-
ного поля: Ех = Ех (В) — Ех (0) = [а (В) — а (0) ] ухТ =
= (0) В2 \]ХТ, где Л?Ле — кинетический коэффициент
продольного эффекта Нернста—Эттингсгаузена. Физическая при-
рода продольного эффекта Нернста—Эттингсгаузена обусловлена
тем, что магнитное поле, отклоняя электроны, уменьшает их сред-
нюю скорость вдоль оси х, а следовательно, переносимую энергию
в этом направлении. Т. э. д. с. в отсутствие магнитного поля опре-
деляется разностью компонент скоростей быстрых и медленных
электронов v2x (0) — vlx (0) вдоль градиента температур (см.
рис. 102). В магнитном поле эти компоненты изменяются, причем
их изменение зависит от углов Холла и, следовательно, от времени
релаксации т. Например, если т для медленных электронов больше,
чем для быстрых, то vlx (B)/vlx (0) ^>v2x (B)/v2x (0). Тогда а (В),
определяемая разностью [vlx (В)— v2x(B)], будет больше a (0).
Если т увеличивается с ростом энергии, то vlx (B)/vlx (0) <С
< v2x (B)/v2x (0), следовательно, a (В) <a (0) — т. э. д. с. в маг-
нитном поле уменьшается. Таким образом, в электронных полу-
проводниках т. э. д. с. возрастает, если т уменьшается с увеличе-
нием энергии электрона (рассеяние на акустических фононах), и
уменьшается, если т возрастает с увеличением энергии электрона
(рассеяние на ионизированных атомах примеси). Характер изме-
нения величины т. э. д. с. в зависимости от механизма рассеяния
для дырочных полупроводников такой же, что и для электронных.
В слабых полях Ех квадратично зависит от индукции магнитного
поля.
Эффект Риги—Ледюка состоит в возникновении поперечного
градиента температур у,Г по отношению к направлениям магнит-
ного поля В и теплового потока вдоль оси х: \гТ = /4R_L ухВу,
235
где 4R_L —кинетический коэффициент эффекта Риги — Ле-
дюка.
В известном смысле эффект Риги—Ледюка является тепло-
вым аналогом эффекта Холла, где роль внешнего электрического
поля Е играет тепловой поток в этом же направлении \ХТ, а вме-
сто поперечного холловского поля возникает поперечный градиент
температур \гТ.
Механизм возникновения эффекта Риги—Ледюка, как и в по-
перечном эффекте Нернста!;—Эттингсгаузена, связан с тем, что
быстрые (горячие) носители под действием магнитного поля откло-
няются в одну сторону, а медленные (холодные) носители — в про-
тивоположную. Следовательно, одна грань в направлении z будет
нагреваться, а противоположная ей охлаждаться. Эффект Риги—
Ледюка для дырочных полупроводников положительный, а для
электронных — отрицательный.
Для невырожденного примесного полупроводника с одним ти-
пом носителей и простыми параболическими зонами теория дает
следующее выражение для поперечного эффекта Риги—Ледюка:
V2T = {[(2r + 1 )/2 + 3/2] x^B,VxT)/[(r + 2) (х, + хс)].
Эффект Маджи—Риги—Ледюка заключается в изменении элек-
тронной теплопроводности в направлении градиента температур,
вследствие того что эффективная длина свободного пробега носите-
лей заряда вдоль теплового потока уменьшается из-за закручи-
вания траекторий движения носителей и изменения их скоростей
в направлении градиента температур. С изменением вклада в теп-
ловой поток горячих и холодных носителей меняется разность
температур вдоль направления х. Появление дополнительного
градиента температур вдоль х можно рассматривать как изменение
теплопроводности, обусловленной переносом тепла электронами:
Дхе/хе = [ие (0) — ие (В) ]/хе (0) или ие = XM_R_Lxe (0) В2 ухТ,
где /4M_R_L — кинетический коэффициент эффекта Маджи—
Риги—Ледюка.
Из описания гальваномагнитных явлений видно, что эти эффек-
ты весьма чувствительны к взаимодействию носителей заряда с де-
фектами решетки и поэтому могут быть использованы для иссле-
дования механизма рассеяния носителей в полупроводниках.
Рассмотреть термомагнитные эффекты и вычислить кинетиче-
ские коэффициенты Д^_Е, Д^_Е, XR_L и Дм_₽_ь можно на ос-
нове кинетического уравнения Больцмана. Не разбирая здесь
подробно эту методику, изложенную достаточно полно для
электро- и теплопереноса, а также для гальваномагнитных
эффектов, отметим следующее. Поскольку в термомагнитных
эффектах отсутствует внешнее электрическое поле, внешняя сила
Fa в дрейфовом члене формулы (7.6) определяется индукцией
магнитного поля В и градиентом температур. Тогда в кинетиче-
236
ском уравнении Больцмана (7.17) и в выражении для (7.92)
должны быть учтены члены с В и у7\ Очевидно также, что вслед-
ствие указанных в разделе 7.3 причин можно считать электриче-
ский ток (7.38) и поток энергии (7.39), возникающие в термомаг-
нитных эффектах, линейными функциями градиента температур
(уТ) и некоторого эффективного поля Е', обусловленного дейст-
вием магнитного поля и изменением уровня Ферми:
Z- ЬЕЕ (В) Ё' + ЬЕТ (В) VT; W - ЬТЕ (В) В' + LTT (В) VT.
Таким образом, так же как это рассмотрено раньше для галь-
ваномагнитных эффектов, кинетические коэффициенты термомаг-
нитных эффектов можно выразить через комбинацию коэффициен-
тов LTr, Lee, Let, Ltt, которые, однако, теперь будут зависеть
г ->
от величины индукции магнитного поля В.
В заключение приведем некоторые практические формулы для
расчета термомагнитных эффектов и сводку условий наблюдения
поперечных и продольных гальваномагнитных и термомагнитных
эффектов (табл. 2).
Таблица 2
Гальваномагнит- ные эффекты Определение коэффициента Термомагнитные эффекты Определение коэффициента
Эффект Холла — поперечное по- ле Е (jz = = VXT = 0) R = Ег Эффект Риги— Ледюка — попе- речный градиент температур VZT (7=о> Лр , -
i*By R-L ByVXT
Магнетосопротив- ление — измене- ние сопротивле- ния, продольная разность потен- циалов AVX (jz = = = 0) Н В2 х „ р(В)-р(0) х Р(0) Эффект Маджи— Риги—Ледюка — изменение тепло- проводности, про- дольная разность температур A (V,T) (/ = 0) 1 м— В2 X х(В)-х(0) х(0)
Эффект Эттингс- гаузена — по- перечный градиент температур V2T ('г = VXT = 0) _ УгТ Поперечный эффект Нернста— Эттингсгаузена — поперечное элек- трическое роле Ez (i = o)
ixBy Л1Ч-Е- ByVxT
237
Продолжение табл. 2
Гальваномагнит- ные эффекты Определение коэффициента Термомагнитные эффекты Определение коэффициента
Эффект Нернста— продольная раз- ность температур, продольный гра- диент температур (/х = 0) л ^хТ 1х* Ву Продольный эффект Нернста— Эттингсгаузена — появление про- дольного поля и разности потен- циалов, измене- ние т. э. д. с. д (Ех)-, (j = 0) ^N-E = Х а (В) — а(0) а(0)
Примечание. Изотермические эффекты: = 0, адиабатические эффекты
= 0. Магнитное поле В = (0, В, 0).
Для поперечного эффекта Нернста—Эттингсгаузена
=_2-^Ад712ИхВг.
Для продольного эффекта Нернста—Эттингсгаузена
£n-e =.^^nRxTxBz/d
Для эффекта Риги—Ледюка
^7'=±44('_^у^.ТиЛ7’>
где a, b, d — геометрические размеры образца.
7.7. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
В СИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ
Рассматривая кинетические явления и устанавливая общие зако-
номерности для процессов переноса, мы считали, что время релак-
сации не зависит от величины приложенного электрического поля.
Это позволило получить из кинетического уравнения Больцмана
соотношение (7.26), аналогичное закону Ома, известному из макро-
скопической теории прохождения электрического тока через ве-
щество: j = еп^Е = envd = (JqE, где р0 и а0 — подвижность и
электропроводность в слабых полях, когда имеется линейная за-
висимость плотности тока от приложенного поля.
Очевидно, что эта линейная зависимость будет выполняться,
если коэффициент пропорциональности между j и Е остается по-
стоянным, т. е. электропроводность а == const. Однако, как сле-
дует из экспериментальных данных, независимость а от £, т. е.
238
закон Ома, выполняется только до некоторой критической вели-
чины Екр (рис. 103). При дальнейшем увеличении напряженности
электрического поля Е >> Екр электропроводность начнет воз-
растать. Это означает согласно формуле (1.27), что в сильных по-
лях (Е > Екр) должна изменяться концентрация носителей за-
ряда или их подвижность. Уже при рассмотрении электропровод-
ности в рамках модели Друде—Лоренца было видно, что закон
Ома справедлив лишь для слабых электрических полей, когда
vT > vd. Средняя тепловая скорость vT 105 м/с, средняя ско
рость дрейфа в слабых полях vd = 10“4 м/с, и в соотношении
(1.10) т = X/(vT + vd) можно пре-
небречь вторым членом в знаме-
нателе.
Физической причиной измене-
ния [времени свободного пробега
(^подвижности) носителей заряда
в, сильных электрических полях
является возрастание энергии
электронов в таких полях — разо-
грев электронно-дырочного газа,
когда температура носителей ста-
новится выше температуры решет-
ки (горячие электроны). При этом
разогреве носители приобретают от
Рис. 103. Зависимость электропровод-
ности от напряженности электриче-
ского поля
поля энергию, которую не успевают
отдать кристаллической решетке за время порядка времени сво-
бодного пробега при рассеянии на фононах.
Оценим величину критического поля Екр, при которой нару-
шается закон Ома. В поле с напряженностью Е электрон к концу
пути свободного пробега приобретает энергию Е = еХЕ. Предпо-
ложим, что рассеяние в основном обусловлено взаимодействием
с фононами. Тогда, приходя в равновесие с кристаллической
решеткой, электрон изменяет свою энергию на ДЕ. Из тео-
рии рассеяния носителей заряда на фононах известно, что
потеря энергии 6 при одном столкновении равна 6 = \ElkQT
(7.110).
Из формулы (7.110) следует, что изменение энергии при столк-
новении с фононами ДЕ = hkQT. Если по-прежнему считать взаи-
модействие носителей заряда с фононами упругим, то теряемая
энергия будет составлять малую долю от общего изменения энер-
гии. Следовательно, еКЕ ДЕ, откуда можно получить, что закон
Ома выполняется при условии eXE 8k0T. Тогда Екр > 6k0T/(e'k).
Можно оценить величину Екр более грубо по изменению ско-
рости носителей в сильном электрическом поле. Если Ди — неко-
339
торая добавка к скорости на счет поля, то, очевидно, условием
слабого электрического поля будет Ди ит (7.111).
Приблизительный расчет Ди показывает, что изменение энер-
гии, обусловленное добавкой Ди, будет выражаться Ди = еХЕ,
а тепловая энергия, соответствующая скорости vT, составляет
2l2kQT. Тогда формулу (7.111) можно представить в виде: еКЕ
< Если vT 105 м/с: время свободного пробега т 10"13 с,
то при комнатной температуре % = тит = 10"6 см и величина кри-
тического поля порядка 104 В/см.
Таким образом, явления в сильных электрических полях, из-
меняющие дрейфовую скорость, а также повышающие концентра-
цию носителей заряда, обусловливают нарушение закона Ома.
К первой группе явлений относятся эффект разогрева электронно-
дырочного газа и эффект Ганна. Ко второй — ударная ионизация,
эффект Зинера и электростатическая ионизация. Рассмотрим сна-
чала эффекты, изменяющие время свободного пробега и подвиж-
ность носителей заряда.
Разогрев электронно-дырочного газа. В больших полях, не удов-
летворяющих условию слабого электрического поля, скорость
носителей заряда выше, чем в полях, когда распределение скоро-
стей носителей соответствует температуре решетки. Тогда носи-
тели заряда при столкновении с акустическими фононами не успе-
вают отдавать фононам получаемую в таком сильном поле энергию.
Так как длина свободного пробега при рассеянии на фононах не
зависит от энергии, то при увеличении скорости носителя заряда
уменьшается время свободного пробега т и подвижность р. По-
этому средняя энергия носителей повышается и электронно-ды-
рочный газ разогревается. Принято считать горячими носителями
те, энергия которых больше тепловой энергии, соответствующей
температуре решетки. Увеличение энергии носителей, а следова-
тельно, и разогрев электронно-дырочного газа будут продолжаться
до установления нового стационарного состояния, когда энергия,
приобретаемая носителем в поле Е за единицу времени dEldt =
= F Ди = eEvd, будет равна энергии, теряемой в единицу времени
при взаимодействии этого носителя с фононом ДЕ/т:
dE/dt = \Е/т. (7.112)
Так как по формуле (7.110) ДЕ = 6fc0T, то
evdE = Т/т, (7.113)
откуда можно найти дрейфовую скорость vd = bk^TleEx. Предполагая время
свободного пробега т = Х/иПолн> гДе ^полн—полная скорость, мы Получим
vd = bk0T/eXE. (7.114)
240
Учитывая выражение (7.110) и что &0Т=т*^олн/2 (7.115), можем записать
для правой части уравнения (7.112):
ЬЕ/т; = 6£077т = ^Чолн/21* (7.116)
Так как дрейфовая скорость согласно выражению (1.14) vd = ex/m*E, урав-
нение (7.112) с учетом формулы (7.113) можно представить в виде
еЕ (ет/т*) Е = &т*&полн/2т или е2Е2т?/2& = ^*Чолн/4-
Переходя в формуле (7.116) от т к X, получим
ЛЕ/26=(т‘^0ЛН/2)2. (7.117)
Исходя из выражения (7.117), можно найти Уцолн и» подставляя его в фор-
мулу (7.114), определить зависимость дрейфовой скорости от напряженности
электрического поля:
vd = (eX£/m*) [т* (2S),/2/(2eXE)]*/2 = [(eX/m*) (6/2)*/2]‘/2 Е1/г.
Из формулы (7.117) с учетом выражения (7.115) можно также вывести кри-
тическую напряженность поля:
Е = k0T/[ek (26)г/21 = £Кр- (7.П8)
Следовательно, в сильных электрических полях при Е > Е^
скорость дрейфа носителей vd ~ Е^2. Учитывая связь дрейфовой
скорости с подвижностью, временем свободного пробега и электро-
проводностью, согласно выражениям (1.14) и (1.27), получим
в ~ Е-Ч*. (7.119)
Из соотношений (7.119) ясно видно, что закон Ома в сильных
полях не сохраняется. Так как скорость пропорциональна подвиж-
ности, то нарушение закона Ома при Е ;> £кр сильнее проявляется
в веществах с большой подвижностью. Так, для германия и-типа
подвижность электронов рп^3900 см2/(В-с) и отклонение от оми-
ческой проводимости наступает уже при 400 В/см; для германия
p-типа, подвижность дырок в котором ниже 1800 см2/(Вс)]
£кр 1900 В/см. Для кремния /г-типа £кр^2500 В/см, для
р-типа ^7500 В/см. Как следует из выражения (7.118), при пони-
жении температуры подвижность возрастает и значение критиче-
ского поля уменьшается (рис. 104). В области высоких темпера-
тур (^ > 9d) и еще более сильных полей (Ё £кр) необходимо
учитывать рассеяние носителей друг на друге и на оптических
фононах.
Эффект Ганна, также связанный с изменением подвижности,
заключается в возникновении высокочастотных колебаний тока
(~109 Гц) при приложении к кристаллу постоянного напряжения
достаточной величины (Е 109 — 104 В/см). Впервые этот эффект
наблюдал Ганн в 1963 г. на арсениде галлия, затем явление осцил-
ляций тока было обнаружено в фосфиде индия, фосфиде галлия и
241
ряде других полупроводниковых соединений. Механизм этого
явления связан со сложной зонной структурой в полупроводни-
ках и возможностью межзонного или междолинного рассеяния,
рассмотренного нами в главе 6. В арсениде галлия п-типа эле-
менты зонной структуры которого представлены на рис. 105,
возможны переходы из минимума А с состоянием, определяемым
волновым вектором k в минимум Б в состояние с волновым векто-
ром k'. Минимумы А и Б разделены энергетическим интервалом
= 0,36 эВ. Поскольку кривизна долин А и Б разная, эффек-
тивные массы носителей в них^также различны. В долине А. эффек-
Рис. 104. Зависимость плотности тока
в образце от напряженности электри-
ческого поля при различных темпе-
ратурах:
1 — 77 К; 2 — 193 К; 3 — 298 К
О к [!ОО]
Рис. 105. Схема зонной структуры
арсенида галлия в направлении оси
1100]
тивная масса электронов тд = 0,072 т, в долине Б пГБ = 1,2т0.
Естественно, подвижность легких электронов выше [рл
5000 см2/(В-с)], чем тяжелых электронов минимума Б [р^
100 4-200 см2/(В-с)].
При малых внешних электрических полях электроны находятся
в термодинамическом равновесии с решеткой. Поскольку при
обычных температурах k0T A£x электроны в основном зани-
мают энергетические состояния вблизи минимума Д, плотность
тока j = enA[iAE определяется концентрацией легких электронов
и их подвижностью рд. С увеличением поля Е средняя энергия
электронов и их скорость будут возрастать и они смогут перехо-
дить в минимум Б. Это возрастание будет продолжаться до неко-
торого критического значения поля £кр, соответствующего пере-
ходу из А и Б. При этом подвижность и скорость резко падают,
потому что электроны в минимуме Б обладают более тяжелой
эффективной массой (рис. 106). Так как плотность тока пропорцио-
нальна дрейфовой скорости j ~ vd, напряженность поля — паде-
нию напряжения Е ~ U, то такой же вид будет иметь вольтампер-
ная характеристика j = f ((/). Следовательно, на ней будет падаю-
242
щий участок. Состояние в верхнем минимуме (долине) Б неустой-
чивое, электроны, взаимодействуя с фононами, переходят в ниж-
ний минимум А. Таким образом возникает неустойчивость
тока.
Рассмотрим подробнее механизм этой неустойчивости на при-
мере классического опыта Ганна. Имеется некоторый образец
в виде бруска длиной L, к которому приложено внешнее напряже-
ние (рис. 107). Если полупроводник однороден, то поле одинаково
по всей длине. Однако в образце всегда может быть какая-то неод-
нородность с повышенным сопротивлением. Этой области соответ -
Рис. 106. Зависимость скорости
движения электронов в арсениде
галлия от напряженности поля
в образце
Рис. 107. Распределение электри-
ческого поля в образце в эффекте
Ганна
ствует повышенная напряженность поля. При равновесном состоя-
нии случайные неоднородности компенсируются (экранируются)
свободными электронами. Когда поле увеличивается, свободные
электроны, экранирующие область повышенного сопротивления,
уносятся, и размеры этой области начинают расти. Таким образом,
при повышении поля критическая напряженность достигается
именно в этой области образца, что соответствует переходу элек-
тронов в долину Б. Это означает накопление в этой области (а не
во всем кристалле) тяжелых электронов и снижение их подвижно-
сти, а значит, и повышение сопротивления в этой области, и воз-
растание напряженности. Распределение поля становится неодно-
родным. Образовавшаяся зона с высоким содержанием тяжелых
электронов называется электрическим доменом. Под действием
приложенного поля домен начинает перемещаться вдоль образца.
Слева и справа от этой области повышенного сопротивления будут
двигаться легкие электроны с более высокой скоростью, чем тя-
желые. Слева они будут нагонять домен и образовывать область
повышенной концентрации электронов — область отрицательного
заряда. А справа — легкие электроны будут уходить вперед,
образуя область, обедненную электронами, — область положи-
тельного объемного заряда (рис. 108).
При неизменном внешнем напряжении установится динамиче-
ское равновесие между скоростями электронов внутри и вне до-
мена.
243
При подаче напряжения на образец в момент t = tr возникает
некоторое максимальное значение тока /тах. Сразу же начинается
процесс образования домена, который протекает очень быстро, и
ток практически спадает до /т1п, определяемого скоростью устано-
-> ->
вившегося движения домена идом /т1п = 5еилудом, где S — пло-
щадь сечения образца.
Минимальное значение тока сохраняется в течение всего вре-
мени движения домена вдоль образца Т = L/vaoM. При достижении
конца образца (анода) домен разрушается и ток возрастает до /тах.
Причем ток возрастает медленнее, чем образуется домен (рис. 109).
Рис. 108. Структура электри
чсского домена
Рис. 109. Образование осцилляций
тока в эффекте Ганна
Это движение доменов и вызывает колебания тока в цепи. Длитель-
ность импульсов тока определяется временем прохождения домена.
При длине образца L = 50 мкм частота колебаний ~2 109 Гц.
Поскольку эта неустойчивость объемная, она не зависит от
внешних параметров. Внешнее напряжение не меняет скорость
движения домена (~107 см/с), а лишь увеличивает толщину до-
мена, он как бы «распухает».
Наблюдение эффекта Ганна — сложный эксперимент, и при-
рода возникновения доменов до настоящего времени недостаточно
изучена. Обычно домен возникает лишь на одной неоднородности,
причем следующий домен может возникнуть уже на другой неод-
нородности, что дает разные пролетные времена доменов и, следо-
вательно, разную частоту колебаний тока в цепи. Поэтому необ-
ходимо иметь достаточно чистые и очень однородные образцы. Же-
лательно, чтобы расстояние между минимумами А и Б было не
очень велико, иначе потребуется такое значение £кр, которое вы-
зовет другой эффект — увеличение концентрации электронов за
счет ударной ионизации или туннельного эффекта.
Рассмотрим теперь эффекты, увеличивающие концентрацию.
Ударная ионизация. В сильных электрических полях (больше
105 В/см) электропроводность может увеличиться из-за повышения
концентрации носителей. Увеличение электропроводности можно
описать эмпирической зависимостью Пуля о = о0еу(£“£кр).
В таких полях носитель заряда получает за время свободного
пробега достаточную энергию для ионизации примеси и атомов
основного вещества. В результате столкновения генерируются до-
244
полнительные носители, которые в свою очередь ускоряются и ге-
нерируют новые свободные носители заряда. Этот процесс созда-
ния дополнительных носителей и называется ударной ионизацией.
Естественно, что в первую очередь ионизируются примеси, для
которых требуемые поля, например в германии, составляют
~5—10 В/см. Этот процесс ударной ионизации^не приводит к не-
медленному пробою, так как электроны, сталкиваясь с решеткой,
теряют энергию и могут возвращаться в валентную зону, т. е.
рекомбинировать. Поэтому с ростом поля устанавливается некото-
рое новое равновесное значение концентрации, определяемое ра-
венством генерируемых и рекомбинирующих носителей, однако
общая концентрация носителей заряда будет повышенной и, сле-
довательно, электропроводность увеличится. При еще большем
увеличении напряженности поля генерация не компенсируется ре-
комбинацией, концентрация увеличивается лавинообразно и на-
ступает пробой.
Ударная ионизация может характеризоваться коэффициентом
ударной ионизации а (£), который равен среднему числу актов
ионизации на единице длины:
оо
а (£) = (1 /Уд) J Ги (£) f (£) W (£) dE, (7.120)
о
где Wu — вероятность ионизации.
Для полупроводников с большим значением диэлектрической
проницаемости, например в германии и кремнии: Wn А (Е —
— £и)2, где Еи — пороговая энергия ионизации, равная прибли-
зительно 2ДЕ.
Можно оценить а (Е) для двух значений энергии: Е <^Еп
и Е > £и. Ускорение электронов до порога ионизации зависит
от ускорения во внешнем электрическом поле и рассеяния энергии
при столкновениях с фононами. При больших энергиях основным
механизмом будет рассеяние на оптических фононах. При этом те-
ряемая энергия = const, средняя длина свободного пробега
X = const и не зависит от энергии. Существуют две возможности
ускорения электронов до порога ионизации (рис. НО).
Когда eEk то электроны могут набрать £и в результате
многократных столкновений с фононами, так как относительная
потеря энергии в каждом столкновении мала (/ на рис. 110). В этом
случае а (£) ~ е~Еп1Ег. По аналогии с диффузионным процес-
сом такое приближение называется диффузионным.
Если поле слабое, т. е. eEk то в этом случае есть
только одна возможность набрать Еи за одну длину свободного
пробега, когда носители не сталкиваются с фононами до порога
ионизации (2 на рис. ПО) а (Е) ~ Функция распреде-
ления в формуле (7.120) будет сильно вытянута вдоль направле-
245
ния дрейфа носителей. Поэтому такое приближение называется
дрейфовым.
Эффект Зинера. В очень сильных электрических полях (Евр >
> 107 В/см) проявляется еще один механизм увеличения концен-
трации свободных носителей — туннельный эффект или эффект
Зинера. Если к полупроводнику приложить внешнее воздействие,
то оно будет менять его зонную структуру. На этом, в частности,
основано использование метода потенциала деформации, который
учитывает изменение ширины зон при деформации. В полупро-
воднике, помещенном в электрическом поле, энергетические зоны
Рис. ПО. Схема ударной ионизации
Рис. 111. Наклон энергетических зон
в сильном электрическом поле
будут наклонены. Действительно, внешнее электрическое поле
должно изменить вид функции энергии электрона в кристалле и
соответственно вид волновой функции. Согласно уравнению Шре-
дингера до наложения электрического поля Яф = Еф, после на-
ложения поля (например, в направлении Ех) Яф' = Е'ф' [где
Е' — энергия электрона во внешнем электрическом поле; Е' =
= Е + U (х), a U (х) — потенциальная энергия электрона в элек-
трическом поле Ех]. U = —ехЕх, где Ех — напряженность внеш-
него электрического поля.
Внешнее поле и приводит к искривлению зон, которое упро-
щенно можно представить как их наклон. Причем уровни подни-
маются там, где [U (х) | >0 и опускаются, где j U (х) | <0. Сме-
щение всех зон одинаковое и равно U (х) в каждой точке (рис. 111).
Уравнение Шредингера для этого случая имеет вид:
{—(й22т*)Л + [V (г) + U (х)]} ф' = Е'ф'. (7.121)
Решить уравнение (7.121) можно, например, используя метод
сильно связанных электронов. Тогда
Е' =Еа + С + 2^А(р)е^р + U =
= Еа + С + 2 Л А (р)eikр — ехЕх.
Наклон зон будет тем больше, чем больше поле Ех. При этом
возможен переход электрона через запрещенную зону без затраты
246
энергии (АВ), за счет туннельного эффекта (см. рис. 111). Вероят-
ность этого эффекта будет определяться высотой и шириной потен-
циального барьера. Упрощенно можно считать форму барьера
треугольной. Из квантовой механики известна вероятность про-
хождения через такой барьер D = DQe~A (Д^)’/2]/(^ех).
Ширину барьера АВ = Дх можно найти из разности потенциаль-
ной энергии электрона в точках В (зона проводимости) и А (ва-
лентная зона).
Можно показать, что U (В) — U (Д) = е \хЕх и, следова-
тельно, ширина барьера Дх = \EleE уменьшается с увеличением
поля.
Поэтому возможно повышение концентрации электронов в зоне
проводимости с ростом поля. Следует заметить, что вероятность
туннельного эффекта одна и та же как для перехода (зона проводи-
мости — валентная зона), так и для обратного перехода. Однако
так как число носителей в валентной зоне больше, чем в зоне про-
водимости, то будет наблюдаться преимущественный переход но-
сителей заряда из валентной зоны в зону проводимости.
Увеличение числа носителей заряда в зоне проводимости воз-
можно также за счет эффекта термоэлектронной ионизации, рас-
смотренного Френкелем. Сильное электрическое поле может по-
низить потенциальный барьер на величину в направлении,
противоположном электрическому полю. Тогда энергия актива-
ции, необходимая для теплового заброса электрона в зону прово-
димости, уменьшается на величину Е' = Е — \ W. Чем сильнее
это электрическое поле, тем меньше энергия активации и тем боль-
ше переходит электронов в зону проводимости п = nQe^w/2k°T.
Отличие этого эффекта от туннельного эффекта в том, что там поле
переводит электроны в зону проводимости, а здесь поле только
понижает барьер, а сам переход осуществляется за счет тепловых
колебаний атомов. Следовательно, термоэлектронная ионизация
зависит от температуры, тогда как эффект Зинера не зависит.
Все рассмотренные эффекты увеличения концентрации носите-
лей заряда приводят на конечной стадии к пробою, т. е. лавино-
образному увеличению о, выделению тепла и разрушению об-
разца. В настоящее время различают четыре вида пробоя:
тепловой пробой, когда теплоотвод не компенсирует выделяю-
щегося тепла в образце. Ток растет за счет тепла и механизма тер-
мической ионизации;
электрический, или туннельный, пробой, не зависящий от тем-
пературы. Увеличение тока обусловлено эффектом Зинера;
лавинный пробой, связанный с ударной ионизацией и возник-
новением лавины;
поверхностный пробой, возникающий за счет поверхностной
электропроводности образца, когда электропроводность поверх-
ностного слоя превышает объемную.
247
ГЛАВА 8. ОПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
И МЕТАЛЛАХ
8.1. ОПТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ И СВЯЗЬ ИХ
С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ КРИСТАЛЛА
Оптические явления включают весьма широкий круг процессов,
протекающих в кристаллах при их взаимодействии с электро-
магнитным излучением в оптическом диапазоне длин волн. Если
на кристалл падает внешнее световое электромагнитное излучение,
характеризуемое длиной волны X и интенсивностью /0 (X), то иссле-
дуя интенсивность IR (X) отраженного света или IT (X) прошед-
шего через образец света, можно изучать процессы, происходящие
в кристалле под действием падающего на него света. Для харак-
теристики зависимостей IR (X) и IT (X) введены следующие опти-
ческие коэффициенты.
Коэффициент отражения R (X), определяемый соотношением
R (X) = /^//0, характеризует долю отраженного от кристалла
света и является величиной безразмерной, выражаемой часто в про-
центах.
Коэффициент пропускания Т (X), определяемый соотношением
Т (X) = Z77Zo, характеризует долю прошедшего через образец
света и является величиной безразмерной, также выражаемой
часто в процентах. Для нахождения величины 1Т — интенсив-
ности прошедшего через образец света нужно знать, какая доля
света пройдет через освещаемую поверхность полупроводника
(с учетом отражения от этой поверхности), какая доля света дойдет
внутри образца до поверхности, противоположной освещаемой
(с учетом поглощения света в объеме образца), и, наконец, какая
доля света выйдет из образца (с учетом внутреннего отражения от
поверхности, противоположной освещаемой)
Коэффициент поглощения а (X), определяемый законом Буг-
гера—Ламберта:
Ле = /о(1 -R)e-^ а = (1/х) In ]/0(1 -R)/Ix] (8.1)
характеризует интенсивность света, поглощенного в образце
с единичной толщиной. Исходя из экспоненциального вида закона
ослабления интенсивности света (8.1) на глубине х образца, можно
интерпретировать величину а как вероятность поглощения фотона
на единице толщины образца, а величину а-1 как среднюю длину
свободного пробега фотона в образце. Величина (1 — R) в соот-
ношениях (8.1) характеризует долю света, прошедшего через
освещаемую поверхность образца с учетом коэффициента отра-
жения R. Коэффициент поглощения а имеет размерность обратной
длины и измеряется в см”1.
248
Для определения коэффициента поглощения нужно измерить
интенсивность света, падающего на образец /0 и прошедшего сквозь
образец 1Т. Для подсчета величины 1Т с учетом соображений,
приведенных выше, имеется формула
h = ТЦ = [(1 - 7?)2 е~ах} Io/( 1 - R^™). (8.2)
Пояснения к выводу формулы (8.2) можно найти на рис. 112.
Если ах велико, то вторым членом в знаменателе можно прене-
бречь, и тогда: /? « (1 —/?)2 1^е~ах (8.3), откуда а = (1/х) х
X 1п[/0(1-Я)2]//г.
/ - I ________________J (1-R)2I0eax '
°R(1-R)Ioe2xx R(l-R)IoexxS
nlQ — — — < <
„.2. -zax R2(l-R)lgez,xx R2(1-R)Ige3xx R2(1-R)2Ige'3ax
loe ---------- >
Rj(1-R)Ioe1,ax R3(l-_R)I^3^r
>^(/-R)Ioeiax Rty-RjI0e5ax R*(r-RfygeSajc
(1-R)2e-Xx T
(1-R)2e'2AX °
Рис. 112. Энергетические потоки в системе с многократным отражением
Если коэффициент R неизвестен, то можно найти а, измеряя
пропускание двух образцов различной толщины и х2. Тогда
а == In (JtJ 1т2)1(х2 —Xi). Спектральные зависимости R (X), а (X)
от длины волны, R (о), а (со) от частоты или R (й(о), а (йсо) от
энергии квантов падающего света называются соответственно
спектрами отражения или спектрами поглощения света для дан-
ного полупроводника.
Так как и отражение, и поглощение света объясняются общими
процессами взаимодействия света со средой кристалла, то коэффи-
циенты отражения и поглощения света должны быть связаны
между собой. Эта связь будет понятна, если мы введем комплекс-
ную диэлектрическую проницаемость и комплексный показатель
преломления света:
в = вх + /в2 (8.4); N = п — ik (8.5).
Комплексные величины в и N в отличие от обычных характери-
зуют взаимодействие электромагнитной волны со средой кристалла,
в которой частично поглощается световая энергия.
Показатель преломления определяется как отношение ско-
рости света в вакууме с к скорости света в среде кристалла v,
а именно 2V = c/v. Тогда 1/v = п/с — ik/c.
249
Подставляя выражение (8.5) в выражение для напряженности
электрического поля Е (x, t) в плоской электромагнитной световой
волне, проходящей по кристаллу Е (%, t) = Е^е'® имеем
Е (х, /) = Е^е'® (t-xn/c)e-(ti)k/c) откуда видно, что величина п
представляет собой обычный показатель преломления света в кри-
сталле, а величина k характеризует поглощение света средой
кристалла и называется показателем поглощения или коэффициен-
том экстинкции.
Ясно, что величины k и а должны быть связаны. Действительно,
интенсивность света I пропорциональна квадрату напряженности
электрического (или магнитного) поля в электромагнитной волне,
и тогда интенсивность света на глубине х будет пропорциональна
множителю ехр {—(2($k/c) х|, что с учетом формулы (8.1) позво-
ляет получить выражение
а = 2($k/c = 4nvfe/f = 4л&Д. (8.6)
Из общего курса физики известна связь диэлектрической про-
ницаемости и показателя преломления. Запишем это соотношение
для комплексных величин е* и N : W = |/б* (8.7).
Подставляя в формулу (8.7) выражения (8.4) и (8.5) и сравни-
вая действительные и мнимые части, получим связь величины и
е2 с п и k:
е1 = п2-£2 (8.8) и s2=2nk (8.9).
Величины и б2 могут быть найдены из уравнений Максвелла
для проводящей среды при подстановке в них комплексной прово-
димости о (о), описывающей электропроводность кристалла, на-
ходящегося в переменном электромагнитном поле световой волны.
В свою очередь величина а (о) может быть найдена через время
релаксации т (&), концентрацию носителей заряда п и эффективную
массу проводимости т* из кинетического уравнения Больцмана,
как это делалось ранее для статического случая:
, ч е2п / т \ е2п Г/ т \ ./ т \1 /о
О ((d)— \14-/сот/ — т* 1 + (о2т2 / 1(д \ 1 + (о2т2 /) ’ ( *
Выражение (8.10) в пределе при (о->0, как и следовало ожидать,
принимает уже известный нам вид:
L а|о+0 = е*п(х}/т'с. (8-11)
В выражениях (8.10) и (8.11) величина т' —уже знакомая
нам по формуле (6.72) эффективная масса проводимости. Мы уви-
дим, что эта же величина эффективной массы характеризует и ди-
электрическую проницаемость и через нее все остальные оптиче-
ские константы. Поэтому величина тс называется также оптиче-
ской эффективной массой.
250
Находя ех и е2 через комплексную проводимость, как было
указано выше, получим:
8i(©) = е0+-^-Ima((o) и е2 (<о) = Re о (со), (8.12)
где Im а и Reo— мнимая и действительная части комплексной
проводимости о (со); е0 — диэлектрическая проницаемость кри-
сталла при отсутствии свободных носителей заряда.
Подставляя ех и е2 из формул (8.12) в выражения (8.8) и (8.9),
можно получить связь показателей преломления п и поглощения k
с компонентами комплексной проводимости о (со). Если о = О,
как в диэлектриках, то ej = е0 и е2 = 0 и тогда п2 — k2 = е0 и
2пй = 0(8.13).
Решая систему уравнений (8.13), можно найти, что п = J е,
a k = 0, т. е. материал становится прозрачным. Существует эмпи-
рическое правило Мосса, связывающее показатель преломления
п и ширину запрещенной зоны ДЕ: п4 ДЕ = 77. Это правило
справедливо для интервала значений 30 < п4 < 440.
Коэффициент отражения R можно выразить через п и й, взяв
отношение интенсивностей падающего и отраженного света как
отношение квадратов модулей напряженностей электрического
поля в падающей и отраженной световой волне. Тогда получим
R = 1(П - I)2 + k2]/[(ri + I)2 + k2]. (8.14)
Формула (8.14) непосредственно связывает коэффициенты от-
ражения R и поглощения а, если подставить в нее выражение k из
уравнения (8.6). Если поглощение весьма мало, то коэффициент
отражения выражается классической зависимостью:
R = (n — l)2/(n+ I)2. (8.15)
При больших значениях показателя преломления (n 1)
происходит почти полное отражение R 1. Если наоборот, погло-
щение велико и k п, то также R 1 и происходит почти полное
отражение. Именно этому второму случаю соответствует обычно
наблюдаемый зеркальный блеск металлов и многих полупровод-
ников, так как коэффициент поглощения этих материалов в види-
мой области спектра очень высокий (а > 104 см"1).
Особенности спектральных зависимостей оптических коэффи-
циентов R (X), Т (Л) и а (X) в разных областях спектра объясняются
различными механизмами взаимодействия световой волны со сре-
дой кристалла и главным образом различными механизмами по-
глощения энергии световой волны кристаллом. Поэтому теория
оптических явлений развита применительно к анализу спектров
поглощения света. Однако при больших значениях коэффициента
поглощения а, как это видно из формулы (8.3), значение интенсив-
ности прошедшего света очень мало, и, для того чтобы определить
его, требуются измерения на очень тонких образцах (достаточно
указать, что для а 104 см"1 приходится использовать образцы
251
с толщиной d & 1СГ4 см = 1 мкм). В этом случае растут экспери-
ментальные погрешности как за счет ошибки измерения толщины
образца, так и за счет увеличивающегося влияния качества обра-
ботки поверхности образца. Кроме того, не для всех материалов
практически возможна работа с тонкими образцами. В таких слу-
чаях предпочтительнее проводить оптические исследования, сни-
мая спектры отражения, а не спектры поглощения или пропу-
скания. Однако теоретическая интерпретация полученных спек-
тров, как уже указывалось, требует пересчета спектров отражения
в спектры поглощения. Формулы для такого пересчета даются со-
отношениями Крамерса—Кронига для связи действительных и
мнимых частей оптических коэффициентов. Так, для ех и е2
имеются следующие соотношения:
£,(ш0) = 1 +Л? ) = (8Лб)
1 v л J со2 — ди/ л J to2 - (oj v '
о о
В выражениях (8.16) интеграл берется как главное значение
в пределах 0 < со < оо.
Аналогичная связь существует между действительной и мни-
мой частями остальных оптических констант. Таким образом,
чтобы вычислить значение одной из компонент оптической кон-
станты в некоторой точке спектра со0 требуется знать полный спектр
другой компоненты во всем бесконечном интервале частот. Однако
практически достаточно знать не весь спектр, а только его часть
вблизи частоты со0, так как при значениях частот, далеко отстоя-
щих от со0, подынтегральная функция близка к нулю.
Для пересчета спектров отражения в спектры поглощения коэф-
фициент отражения представляют в комплексном виде: г (со) =
= |/7? (со) По соотношениям Крамерса—Кронига, зная
из эксперимента значение действительной части 7?, пересчитывают
мнимую часть коэффициента отражения <р, т. е. фазу отражения.
Приравнивая действительные и мнимые части выражения ком-
плексного коэффициента отражения ]/ = (п — ik — 1)/(п —
— ik + 1), находят значения п и й, по формулам (8.8) и (8.9)
е2, а по формуле (8.6) значения а. Процедура такого пересчета,
несмотря на ограничение спектрального интервала, все же до-
статочно трудоемка, и поэтому возникает необходимость примене-
ния ЭВМ для обработки экспериментальных данных.
8.2. ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕХАНИЗМОВ
ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА В КРИСТАЛЛАХ
В предыдущем разделе мы уже указывали на вероятностную ин-
терпретацию коэффициента поглощения а. Если величина (со)
имеет смысл вероятности поглощения фотона с частотой со на еди-
нице толщины образца при действии некоторого Z-того механизма
252
поглощения и если все механизмы поглощения действуют незави-
симо друг от друга, то полная вероятность поглощения будет вы-
ражаться как а (со) = (со).
i
Таким образом, в данном спектральном интервале следует учи-
тывать механизмы поглощения, дающие наибольший вклад, т. е.
имеющие наибольшее значение величины (со). В различных
спектральных интервалах можно выделить преобладающие меха-
низмы поглощения. Так как поглощение света связано с переходом
энергии фотонов в другие виды энергии в кристаллах, то естест-
венно классифицировать механизмы поглощения следующим обра-
зом:
1) собственное или фундаментальное поглощение, связанное
с электронными переходами между разрешенными зонами энергии;
2) поглощение свободными носителями заряда, связанное с элек-
тронными (или дырочными) переходами внутри соответствующих
разрешенных зон или между подзонами разрешенных зон;
3) примесное поглощение, связанное с электронными (или ды-
рочными) переходами между разрешенными зонами и примесными
уровнями в запрещенной зоне;
4) межпримесное поглощение, связанное с электронными (или ды-
рочными) переходами между примесными состояниями в запрещен-
ной зоне;
5) экситонное поглощение, связанное с созданием или распадом
экситонных состояний;
6) фотонное поглощение, связанное с поглощением энергии све-
товой волны колебаниями атомов решетки и рождением в решетке
при этом новых фононов;
7) плазменное поглощение, связанное с поглощением энергии
световой волны электронно-дырочной плазмой и приводящее
к переходу плазмы в более высокие квантованные состояния.
Следует отметить, что почти все механизмы оптического погло-
щения, связанные с различными электронными (или дырочными)
переходами, сопровождаются поглощением или испусканием фоно-
нов. Необходимость участия фононов в процессах поглощения
света, связанных с электронными (или дырочными) переходами,
обусловлена требованием выполнения закона сохранения им-
пульса. Это связано с тем, что большое изменение импульса электро-
нов (или дырок) при некоторых переходах не может быть вызвано
обычно малыми импульсами поглощаемых в этих переходах фотонов
и требует участия фононов, которые могут иметь достаточно боль-
шой импульс. Таким образом, в механизмах поглощения 1—5 мы
часто имеем дело с комбинированным поглощением, в котором
участвуют как электроны и дырки, так и фононы.
Электронные переходы, соответствующие механизмам погло-
щения 1—5, изображены на рис. 113 и 114. На рис. 113 элек-
тронные и дырочные переходы изображены в /^-пространстве.
Собственное поглощение света показано переходами 1 и 1а. Пере-
253
ходы 1 идут без существенного изменения волнового вектора элек-
тронов, и поэтому такое поглощение получило название прямого
собственного поглощения. Переходы 1а идут с существенным изме-
нением волнового вектора электронов (это изменение в германии
и кремнии, как мы знаем, должно составлять величину порядка
размеров зоны Бриллюэна, т. е. (Л/г 108 см-1). Такое поглоще-
ние получило название непрямого собственного поглощения. В не-
прямом собственном поглощении, как уже указывалось, обяза-
тельно участвуют фононы. Из рассмотрения переходов 1—1а
ясно, что собственное поглощение невозможно при энергиях кван-
1(1а)
36
36
Рис. 113. Электронные пе-
реходы в ^-пространстве в
оптическом поглощении:
1 — прямое собственно^ по-
глощение; 1а — непрямое
собственное поглощение;
2, 2а —внутризонное (селек-
тивное) поглощение свобод-
ными электронами и дыр-
ками; 26, 2в, 2г — селек-
тивное поглощение свобод-
ными дырками
Еэкс
4
\2и
Рис. 114. Схема электронных переходов
в оптическом поглощении:
/, 1а — собственное поглощение; 2, 2а —
поглощение свободными носителями; 3,
За — примесное поглощение (примесь —
ближняя зона); 36, Зв — примесное погло-
щение (примесь — дальняя зона); 4 —
межпримесное поглощение; 5 — экситон-
ное поглощение (оптическое возбуждение
экситона); 5а — экситонное поглощение
(оптический распад экситонов)
тов й(офот < \Е. Поэтому спектр собственного поглощения дол-
жен иметь спад, называемый краем собственного поглощения,
в области частот фотонов, (о <5 ЬЕИг.
Переходы 2, 2а, 26, 2в, 2г (см. рис. 113) происходят при погло-
щении световой энергии свободными носителями заряда в разре-
шенных зонах. Внутризонные переходы 2 и 2а идут с изменением
волнового вектора, что также требует участия фононов. Спектраль-
ная зависимость коэффициента поглощения для внутризонных
переходов электронов и дырок имеет вид монотонной кривой и та-
кое поглощение получило название неселективного (неизбирателъ-
ного) поглощения свободными носителями. Если свободные носи-
тели, поглощая световую энергию, переходят в пределах одной
разрешенной зоны, изменяя при этом свой закон дисперсии (как
это показано для переходов 26, 2в, 2г дырок между подзонами
валентной зоны), то спектр поглощения имеет структурные осо-
бенности в виде чередующихся максимумов и минимумов, и такое
поглощение получило название селективного (избирательного)
поглощения свободными носителями (для приведенного на рис. 113
случая—дырками). Селективное поглощение свободными носи-
254
ЮЛЯМИ может ИДТИ без участия фононой И быть прямым. Исследо-
вания показывают, что вклад поглощения свободными носителями
сильно возрастает в инфракрасной области спектра.
На рис. 114 показаны примесное поглощение (переходы 3, За,
36, Зв) и межпримесное поглощение (переход 4), происходящие при
участии локальных примесных состояний. Атомы примеси при
этом могут переходить из нейтрального состояния в ионизирован-
ное, как в переходах 3—За, и, наоборот, из ионизированного
состояния в нейтральное, как в переходах 36—Зв. В межпримес-
ных переходах также изменяется зарядовое состояние примесных
уровней. Спектральные области, в которых вклад в поглощение
дают переходы 3—За и 36—Зв, отстоят довольно далеко одна от
другой для мелких примесных состояний. Переходы 3—За в этом
случае будут давать вклад в поглощение в далекой инфракрасной
области спектра, а переходы 36—Зв и 4 — вблизи края собствен-
ного поглощения. Если в примесном поглощении участвуют глу-
бокие примесные состояния, то такие переходы будут давать вклад
в поглощение за краем поглощения в более длинноволновой обла-
сти спектра.
При оценке роли тех или иных механизмов поглощения в раз-
личных областях спектра нужно сравнивать энергии происходя-
щих при этом электронных переходов.
Для того чтобы получить связь энергии поглощаемых фотонов
с их длиной волны, воспользуемся соотношением Эйнштейна:
Е = fi(o. Подставляя в него выражение для круговой частоты со
через длину волны X: = 2лс/Х, получим для энергии фотонов
соотношение: Е = 2лйс/Х = hc/K.
Если в этом соотношении выразить энергию фотонов в элек-
трон-вольтах (что удобно для описания электронных переходов
в поглощении), а длину волны фотонов в микронах, то получим
удобную расчетную формулу для оценки спектрального положе-
ния различных механизмов поглощения: Е (эВ) = 1,24/Х (мкм).
На рис. ИЗ и 114 нельзя отобразить фононное и плазменное
поглощение, так как уровни энергии, приведенные на этих рисун-
ках, относятся к одноэлектронному приближению, и изобразить
на этих диаграммах энергию колебаний решетки или системы элек-
тронов и дырок (плазмы) в принципе невозможно. Экситонные пере-
ходы (см. рис. 114) 5, 5а изображены здесь условно, так как задача
о состояниях экситона —это задача о взаимодействии двух частиц:
электрона и дырки, и показанные уровни Еэкс условно изображают
состояние только одной частицы из этой пары — электрона.
Сопоставляя спектральные интервалы для этих трех последних
механизмов поглощения, можно сделать следующие выводы.
Экситонное поглощение, связанное с возбуждением экситонов
(переходы 5), дает существенный вклад непосредственно вблизи
края собственного поглощения, так как по проводимой нами на
основе водородоподобной модели оценке энергии экситона (2.112)
СОСТОЯНИЯ Ёэкс являются мелкими состояниями.
255
Фононное поглощение, связанное с переходом световой энер-
гии в энергию колебаний решетки, возникает в спектральном ин-
тервале, соответствующем энергии фононов, т. е. в далекой инфра-
красной области, частично перекрывающейся с областью погло-
щения свободными носителями заряда.
Плазменное поглощение возникает при достаточно больших
концентрациях свободных носителей заряда и имеет важную осо-
бенность, так называемый плазменный резонанс. Так как коэффи-
циент поглощения в некоторой окрестности плазменного резонанса
весьма велик, то обычно исследуют не спектр поглощения, а спектр
отражения. На частоте плазменного резонанса наблюдается мини-
мум плазменного отражения, положение которого связано с кон-
центрацией и эффективной массой носителей заряда. Плазменный
минимум отражения различных полупроводников и металлов
находится в довольно широких пределах в ближней или средней
инфракрасной области спектра.
8.3. КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ
ДЛЯ МЕЖЗОННЫХ ПЕРЕХОДОВ.
СИЛА ОСЦИЛЛЯТОРА.
ПРИВЕДЕННАЯ ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ВАН-ХОВА
Коэффициент поглощения, как уже указывалось, определяет ве-
роятность поглощения фотона, которая связана для межзонного
поглощения с вероятностью электронных межзонных переходов,
а также с числом заполненных состояний в валентной зоне и с чис-
лом свободных состояний в зоне проводимости. Учет этих факто-
ров в квантовой теории переходов приводит к формуле для коэф-
фициента поглощения в виде:
а (со) = Af++gr (М> (8.17)
где А — некоторая постоянная; — сила осциллятора для
->
перехода из состояния с волновым вектором k в состояние с волно-
вым вектором k'\ gr (йсо)—приведенная или комбинированная
плотность состояний по начальному и конечному состояниям.
Поясним физический смысл введенных здесь величин и
g (йсо). Сила осциллятора в квантовой теории переходов
определяется выражением
f^, = II w й w 121/ [m* (Et - £р) /2]’ (8-18)
где в числителе стоит квадрат модуля матричного элемента опера-
тора квазиимпульса по волновым функциям начального и конеч-
56
його состояний электрона, а энергий Ё-> и Е+ в знаменателе соот-
ветствуют энергиям электрона в начальном и конечном состояниях.
Сила осциллятора пропорциональна вероятности перехода
из состояния k в состояние k' и определяет долевой вклад
данного перехода в поглощение. Если = 0, то переход назы-
вается запрещенным, а если #= 0, то переход называется раз-
решенным. Чтобы выявить частотную зависимость величины а (о),
нужно знать зависимость силы осциллятора от энергии и, таким
образом, от частоты. Разложим функцию вероятности перехода
(Р) в ряд окрестности точки Ро. Тогда:
k k’
(Р) = Wt+ (Ро) + dW/dP (P - Po) +
kk к к н—P'q
1 d2W
2 dP2
P=P,
(P-P0Y+ •••.
(8.19)
Если в точке Po переход разрешенный, то =/= 0 и можно
ограничиться нулевым приближением в малой окрестности точки
Ро. Следовательно, (Р) = (Л>) = const, а значит, и
сила осциллятора пропорциональная тоже будет по*
k k' k k'
стоянкой величиной. Для разрешенных переходов имеем f-»--»—
k k'
= const.
Для запрещенных переходов вероятность перехода в точке Ра
должна быть равна нулю: W++ (Ро) = 0, и для оценки нужно
взять следующий член разложения (8.19). Тогда получим
(Р) dW/dP \-*_+ (Р — Ро) и, принимая во внимание кв,- а-
дратичную зависимость силы осциллятора от квазиимпульса (8.1/ )),
а значит, и вероятности перехода, получим для запрещенн.' ых
переходов условие пропорциональности: W++ (Р) ~ (Р — f '0)2.
Тогда для запрещенных переходов в точке Ро для силы осцил .ля-
тора будем иметь условие пропорциональности f-++~(P — J Р0)2.
что при параболическом законе дисперсии соответствует про) юр-
циональности зависимости силы осциллятора от энергии.
Объединяя полученные выше выводы, мы можем сформул иро-
вать следующее правило: при разрешенных переходах сим ос цил-
лятора от энергии (йот частоты) не зависит, а при запрещен ных
переходах сила осциллятора прямо пропорциональна эне{. <гии.
9 Горбачев В. В., Спицына Л. Г. 257
Комбинированная приведенная плотность состояний gf (йсо)
в квантовой теории переходов определяется выражением
gr (П&) d (йсо) = (2/й3) J 6 (Е+ -Е+- йсо) dP, (8.20)
где £-> и Е+ — энергии электрона в начальном и конечных со-
стояниях соответственно; йсо — энергия поглощенного кванта
света; применение 6-функции «выбирает» из всех возможных пере-
ходов те, которые удовлетворяют закону сохранения энергии для
прямых переходов: Е+ — Е-+ = has.
k' k
Обозначим разность энергий конечного и начального состоя-
ний через Е = Е+ — Е+.
г kf k
Тогда формулу (8.20) можно написать в виде следующего выра-
жения:
gr(E)dE = (2/h?) \dP, (8.21)
G
где G — область таких значений Р, для которых Е = йсо.
Можно представить элемент объема dP как некоторую область,
заключенную в P-пространстве между поверхностями постоянной
энергии Е и Е + dE. Тогда для приращения энергии dE получим
dE = |VpP|dPrt, (8.22)
где dPn — приращение Р по нормали к поверхности постоянной
энергии.
Если dS — элемент изоэнергетической поверхности Е = const,
то с учетом выражения (8.22) получим: dP = dS dPn = dS dE/
/\уРЕ\ и, переходя в выражении (8.21) от интегрирования по
объему к интегрированию по поверхности, можно записать
gr (£) dE = (2/h?) j dS dE/\ УРЕ I, где интеграл берется по изо-
энергетической поверхности Е = йсо.
Сокращая на dE, получим:
g, (Е) = [2/(2лй)3] J dS/|VpE| (8.23)
sE=»(d
или, переходя к частоте со, запишем:
(Й0)) ~ (2лЙ)3 J • (8‘24)
$Е=Я<1> k' k
Если знаменатель подынтегральной функции в выражении
(8.24) обращается в нуль в некоторых точках зоны Бриллюэна, то
комбинированная плотность состояний имеет особенность в этих
258
точках, называемых критическими точками зоны Бриллюэна или
особыми точками В ан-Хова. Особые точки могут быть I или II рода.
Точки зоны Бриллюэна, в которых выполняется условие:
\РЕ = = = О’ называются особыми точками
I рода. Очевидно, эти точки соответствуют экстремальным точ-
кам законов дисперсии для начального и конечного состояний.
Если речь, например, идет о межзонных переходах электронов из
валентной зоны в зону проводимости при поглощении кванта света,
энергия которого йсо удовлетворяет условию йсо = Ес — EVi
а Ес п Ev — экстремальные точки зоны проводимости и валентной
зоны, то комбинированная плотность состояний для такого пере-
хода будет иметь особенность I рода.
Точки зоны Бриллюэна, в которых выполняется условие
V-+E = 0 при v->E-> = г?-* £-► ¥= 0, называются особыми точ-
УР г v р k' у Р k
ками II рода, В особых точках II рода не требуется, чтобы состоя-
->
ния k и k' соответствовали экстремумам энергии, а нужно только,
чтобы в окрестности этих точек совпадали градиенты энергии.
Особенности II рода чаще встречаются в эксперименте, чем осо-
бенности I рода. Для классификации особых точек Ван-Хова раз-
ложим энергию Е = йсоврядв окрестности особых точек Ро, где
\РЕ = 0. Тогда с точностью до второго порядка малости:
Е (Р) = Е (Ро) + S at (Pt - Pt0)\ (8.25)
i
где величины at пропорциональны д2Е1дР\ т. е. пропорциональны
некоторым комбинациям эффективных масс в начальном и конеч-
ном состояниях. Тип особой точки обозначается по числу отри-
цательных компонент среди трех диагональных компонент at.
Могут реализоваться следующие возможности:
1) особая точка М — все aL > 0, что соответствует минимуму
энергии Е = — Е^ в точке Ро;
2) особая точка — ах, ау >0; az < 0, что соответствует
седловой точке энергии Е\
3) особая точка М2 — ах > 0; ау, а2 < 0, что также соответ-
ствует седловой точке энергии Е;
4) особая точка Л4 — все at < 0, что соответствует максимуму
энергии Е в точке Ро.
Особые точки наблюдаются или в центре зоны Бриллюэна, или
в точках высокой симметрии на границе зоны Бриллюэна, или
вдоль линий высокой симметрии. На рис. 115 приведены зависи-
мости gr (йсо), полученные интегрированием уравнения (8.23) при
подстановке формулы (8.25) для четырех типов критических точек.
Функциональные зависимости gr в окрестности разного типа
критических точек при значении энергии Ео = йсо0 имеют вид,
приведенный в табл. 3»
9* 259
Таблица 3
gr (#*>) Тип особой точки
м0 Mi м2 Ма
Для Йсо > > £о Для Йсо < < Ео — Eq 0 С С — — К Eq — С — — Кйсо — Eq с 0 ~ V Ео — Йсо
В таблице величины С — есть некоторые слабо меняющиеся
функции частоты.
Используя для подстановки в уравнение (8.17) функциональные
зависимости gr (fiw), приведенные в табл. 3, и сформулированное
Ео E0(j) Eq(2) Ео(з)
Рис. 115. Вид функции комбинированной плотности состояний
от энергии в окрестности критических точек Мо, Mt и
выше правило для функциональной зависимости силы осциллятора
от энергии, можно теперь получить выражение а (йсо), т. е.
k kr
спектральную зависимость. коэффициента поглощения для раз-
личных критических точек. Очевидно, с учетом постоянства силы
осциллятора для разрешенных переходов спектр поглощения
а (йсо) будет иметь такой же вид, как и функции gr(tt<a), приведен-
ные на рис. 115.
8.4. ФОРМА КРАЯ СОБСТВЕННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ
ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ ПО КРАЮ СОБСТВЕННОГО
ПОГЛОЩЕНИЯ
Проанализируем с помощью выводов, полученных в предыдущем
разделе, форму края собственного поглощения для прямозонного
полупроводника, т. е. такого полупроводника, у которого экстре-
мумы валентной зоны Ev н зоны проводимости Е( находятся в од-
260
ной точке зоны Бриллюэна, для определенности при k0 = 0. Тогда
в предположении сферических зон энергии можно записать
£ = £> — £+ = (£е + №&12т*п) - (Ео - Ъ№/2т*р) =
= А£ + Wk^l2m*r, (8.26)
где т* — приведенная эффективная масса:
т*~1 = /и*'1 + /п*-1. (8.27)
Так как мы предположили зоны сферическими, то величина
положительны, т. е. экстре-
Рис. 116. Электронные переходы (а) и спектры поглощения
(б, в) в прямозонном полупроводнике
мальное значение функции Е (kQ) = ДЕ и экстремум является
особой точкой типа Мо. Тогда функция приведенной плотности
состояний имеет вид:
gr (йсо) ~ /йсо — Ео = V На — &Е при йсо > ДЕ;
gr (На) = 0 при йсо < ДЕ. (8-28)
Если переходы разрешенные, то сила осциллятора = const,
k
и, подставляя полученные зависимости для приведенной плотности
состояний и силы осциллятора в соотношение (8.17), мы получим
а (йсо)разр = В (йсо — ДЕ)1/2 (8.29), где В — некоторая константа.
Если же переходы в точке £0 запрещенные, то сила осциллятора
прямо пропорциональна энергии, и тогда в соответствии с форму-
лой (8.17) получим а (йсо)запр = В' (йсо — ДЕ)3/2 (8.30).
На рис. 116, а показана зонная структура некоторого прямозон-
ного полупроводника в окрестности точки k = 0, а на рис. 116,6 —
форма края поглощения для этого полупроводника. Здесь пред-
ставлена форма края поглощения для разрешенных переходов,
соответствующая параболе степени 112. Параболическая зависи-
мость а (йсо), полученная нами для прямых переходов, есть след-
ствие предположения параболичности зон. Очевидно, отклонение
зависимости а (Йсо) от параболического закона будет свидетельст-
вовать о непараболичности закона дисперсии для валентной зоны
или зоны проводимости. Заметим, что при обычном соотношении
261
mt < trip функция а (йсо) несет больше информации о форме зоны
проводимости, а в предположении т*п < т*р, что часто реализуется
в узкозонных полупроводниках, можно считать, что соотношение
(8.27) переходит в равенство tn* = ttin и отклонение а (йсо) от
параболического закона свидетельствует о непараболичности зоны
проводимости.
Наблюдая спектр поглощения прямозонного полупроводника,
можно определить значение его ширины запрещенной зоны,
экстраполируя кривую поглощения в области края поглощения
к значению а = 0. Из выражения (8.30) следует, что при а = 0
будет справедливо йсо = ДЕ. Но
Рис. 117. Процесс поглощения света
непрямыми переходами через проме-
жуточное виртуальное состояние.
Пунктиром показан переход с поглоще-
нием фонона, а сплошными стрелками —
переход с испусканием фонона
для увеличения точности жела-
тельно экстраполировать в таких
координатах, где зависимость
а (йсо) спрямляется. Очевидно,
спектр поглощения с этой целью
нужно построить в осях а2 =
= / (йсо).
На рис. 116, в приведена такая
зависимость для прямых разре-
шенных переходов. Показано, что
ширина запрещенной зоны опре-
деляется линейной экстраполяцией
к нулевому значению а. Теорети-
чески при энергиях фотонов йсо <
< ДЕ поглощения быть не долж-
но, однако практически всегда наблюдается некоторое фоновое
поглощение как за счет возможного влияния других механизмов
поглощения, так и за счет ошибок измерения. Поэтому линейную
экстраполяцию нужно производить по участку а2 (йсо) для не
слишком малых значений коэффициента поглощения.
Рассмотрим теперь форму края собственного поглощения для
непрямых переходов (этот случай реализуется, например, для
кремния или германия). Зонная диаграмма имеет вид, приведен-
ный на рис. 117 в P-пространстве. Так как экстремум валентной
зоны Ev находится в центре зоны Бриллюэна, а экстремум зоны
проводимости Ес на границе зоны Бриллюэна (или вблизи гра-
ницы), то изменение квазиимпульса электрона при переходе из
Ev в Ес должно быть очень велико, порядка размеров зоны Брил-
люэна. Импульс поглощаемого фотона Рф9Т = й^фот, связанный
с его энергией йсо, невелик. Действительно, производя оценку для
йсо = ДЕ = 1 эВ, получим значение ^фот 104 см"1, что значи-
тельно меньше размеров зоны Бриллюэна. Таким образом, непря-
мые переходы электронов не могут идти только при поглощении
фотонов,так как не будет выполняться закон сохранения импульса.
Как мы уже указывали в начале этого раздела, закон сохранения
импульса выполняется в данном случае при участии в поглощении
262
фононов с достаточно большой величиной импульса. Тогда закон
сохранения импульса для непрямых переходов принимает вид
йй' — йk = й^фот ± ^7фон (8.31) и, пренебрегая малой величиной
импульса фотона, приближенно получим йй' —йй ±й^фон (8.32)
В выражениях (8.31) и (8.32) знак плюс соответствует погло-
щению фонона одновременно с фотоном, а знак минус — рождению
(испусканию) фонона при поглощении фотона.
Закон сохранения энергии для непрямых переходов принимает
вид: Е+ — Е-> = йсо ± йсо->, где йсо >—энергия фононов, участ-
k' k q q
вующих в поглощении.
Теперь мы получим два различных значения энергии для осо-
бой точки Eq = fitoQ в зависимости от того, идет процесс с погло-
щением или с испусканием фонона. Так как в непрямых переходах
должно участвовать большее число частиц (электрон, фотон и фо-
нон), чем при прямых переходах (электрон и фотон), то вероят-
ность непрямых переходов, а значит, и коэффициент поглощения
должны быть меньше, чем для прямых переходов. Это можно
пояснить, разбивая процесс поглощения в случае непрямых пере-
ходов условно на две стадии, показанные на рис. 117.
В первой стадии электрон переходит из валентной зоны, погло-
щая фотон путем прямого перехода в виртуальное состояние в зоне
проводимости. Во второй стадии электрон переходит из виртуаль-
ного состояния зоны проводимости в конечное состояние в экстре-
мум Ес, испуская или поглощая фонон. Вероятность перехода
будет определяться произведением плотностей состояний, каждая
из которых имеет особенность вида квадратного корня. При ин-
тегрировании по поверхности постоянной энергии: йсо = Ес —
—Ev ± йсо^ мы получим для непрямых переходов: а (йсо) ~
~ [йсо — (ДЕ ± ftcojj ]2, где минус соответствует поглощению
фонона, а плюс — испусканию фонона.
Вероятность процесса с поглощением фонона должна быть про-
порциональна числу фононов, задаваемому функцией Бозе—Эйн-
штейна, а вероятность процесса с испусканием фонона должна
быть пропорциональна функции 1 + fq, определяющей вероят-
ность испускания фонона. Тогда коэффициент поглощения для
непрямых разрешенных переходов должен определяться зависи-
мостью
п (fa \ _г* [Йсо (&Е fiatq)]2 । р [Йсо (АЕ 4^Й^)Р_ /о
а (йсо) —Сх H(naikQT + с2 -ай/кл ’ (8.33)
е ч' и — 1 1 — е ‘*/ и
Для того чтобы «спрямить» зависимость а (йсо) в случае не-
прямых разрешенных переходов, ее нужно построить в координа-
тах а1/2 = f (йсо), как это показано на рис. 118. Спектр поглоще-
ния может быть представлен в виде суммы двух линейных зависи-
мостей, экстраполяция которых к значениям а = 0 дает два значе-
ния энергии йсох = ДЕ — йсо-> и йсо2 =ДЕ + йсо>. Точка лежа-
263
щая посередине между йо^ и йсо2, будет соответствовать ширине
запрещенной зоны ДЕ. На рис. 118 эти зависимости показаны для
двух различных температур с учетом температурного изменения
(обычно уменьшения с температурой) ширины запрещенной зоны
ДЕ. Следует учитывать, что вклад переходов, идущих с поглоще-
нием фонона, с понижением температуры падает. При температу-
рах ниже дебаевской для данного типа фононов (Т < 0D =йсо->/йо)
переходы с поглощением фононов практически не будут происхо-
дить, так как число фононов становится очень малым. Тогда погло-
щение будет определяться в основном переходами с испусканием
Рис. 118. Определение ширины запрещен-
ной зоны и энергии фононов, участвующих
в поглощении, по краю собственного по-
глощения для непрямых переходов
11а),эВ
Рис. 119. Спектр поглоще-
ния германия при темпера-
турах 300 (/) и 78 К (2)
фононов, как это показано на рис. 118 при температуре Т\. Наобо-
рот, с повышением температуры Т 0D возрастает вклад перехо-
дов с поглощением фононов.
Если непрямые переходы оказываются запрещенными, то по-
казатель степени в числителях (8.33) возрастает на единицу за
счет силы осциллятора и тогда:
/ W _ 1 + 1 _ е-Па«1кот '
Мы указали на температурный сдвиг края полосы поглощения
для непрямых переходов. Очевидно, аналогичный сдвиг будет и
для прямых переходов. Следует также учесть, что с ростом энер-
гии фотонов в непрямозонном полупроводнике, помимо непрямых
переходов возможны и прямые переходы, причем коэффициент
поглощения при прямых переходах должен резко возрасти, так
как увеличивается вероятность, поглощения при участии только
двух частиц — электрона и фотона.
На рис. 119 приведены спектры края собственного поглощения
германия, снятые при двух различных температурах. Излом и
резкое возрастание а на кривых поглощения с ростом энергии
фотонов соответствуют началу прямых переходов.
264
ос,см
10'
10 3
10г
101
О 0,2 0J+ /1О),эд
д
Рис. 120. Сдвиг Бурштейна—Мос-
са в спектре поглощения:
а — зонная диаграмма; б — край
поглощения нелегированного (/)
и сильно легированного (2) об-
разцов
можно оценить
Поэтому край
окажется сдви-
более высоких
Следует указать еще на одну важную возможность сдвига края
поглощения, помимо температурного сдвига. Допустим, что мы
рассматриваем поглощение в сильно легированном донорами пря-
мозонном полупроводнике, зонная диаграмма которого приведена
на рис. 120, а. Тогда при вырождении электронов в зоне^проводи-
мости уровень Ферми заходит в зону проводимости и состояния,
лежащие ниже уровня Ферми, будут практически все заполнены.
Переходы электронов из валентной
зоны при поглощении фотонов йсо <
< ДЕ + (F — Ес) убудут невозмож-
ны, так как соответствующие со-
стояния в зоне проводимости уже за-
няты электронами.
Энергию F — Ес
по формуле (3.24).
полосы поглощения
нутым в сторону
энергий фотонов. Этот сдвиг полу-
чил название сдвига Бурштейна—
Мосса. На рис. 120, б показан сдвиг
Бурштейна—Мосса для сильно леги-
рованного антимонида индия. То, что
сдвиг Бурштейна—Мосса является
следствием заполнения свободными
носителями разрешенных зон, а не
какого-то особого влияния большой
концентрации примесей, прямо до-
казывает эксперимент по облучению
нелегированного полупроводника
лазером с энергией квантов, несколь-
ко превосходящей ширину запре-
щенной зоны. Предельная концен-
трация носителей заряда, которую
можно создать оптической накачкой
зонах полупроводника, определена подбором лазера и полупровод-
ника. Пусть интенсивность света лазера с энергией квантов йсоо и
задается величиной I (йсоо). Тогда, если время жизни носителей в
зоне проводимости тд, то избыточная концентрация носителей за-
ряда должна определяться соотношением Дп = х\1 (йсоо) тпа, где
ц — квантовый выход.
Однако концентрация будет пропорциональна интенсивности
света лазера только до^некоторой критической величины, опреде-
ляемой 'из^условия: жйсоо = &Е + (Fn — Ес).
При дальнейшем росте интенсивности света лазера полупро-
водник становится прозрачным для света лазера, т. е. резко
уменьшается коэффициент поглощения а (На).
лазером в разрешенных
265
Ьа)1 tiu)z tw
Рис. 121. Спектр экситонного
поглощения в прямозонном по-
лупроводнике. Пунктиром по-
казано положение края погло-
щения без • учета электронно-
дырочного взаимодействия
8.5. ЭКСИТОННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ.
УЧЕТ ЭЛЕКТРОННО-ДЫРОЧНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В ОБЛАСТИ КРАЯ СОБСТВЕННОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
При рассмотрении экситонных состояний в кристалле мы использовали
водородоподобную модель экситона и оценили энергию этих состояний по фор-
муле ДЕ<^= 13,6<KC/(m<^n’), где энергия Д5<"> (эВ) отсчитана вниз от дна
зоны проводимости. При возбуждении экситонов светом электрон должен попасть
на экситонный уровень из валентной зоны, т. е. энергии поглощаемых фотонов
должны удовлетворять условию:
= ДЕ — ДЕ<£> = ДЕ - ДЕ^. (1/п2) при п = 1. 2. 3, . . .
Тогда при экситонном поглощении должен наблюдаться дискретный спектр,
состоящий из водородоподобной серии линий,, расположенных у края собствен-
ного поглощения и сближающихся по мере
приближения к энергии Йсо = ДЕ. Более стро-
гий анализ показывает, что интенсивность ли-
ний дискретного экситонного спектра спадает
по закону: 1п ~ \/п3.
Ранее обсуждавшийся нами вид спектра
поглощения в случае разрешенных прямых пе-
реходов приводил к зависимости а (Йсо) «
« (Йсо — ДЕ)1/2 для энергий Йсо > ДЕ. Но
этот результат был получен в одноэлектронном
приближении. Однако при поглощении кванта
света образуется близко расположенная пара
электрон—дырка и, вообще говоря, взаимо-
действием электрона и дырки в этой паре пре-
небрегать нельзя. При электронно-дырочном
взаимодействии не только появляются дискрет-
ные экситонные состояния за краем собственного поглощения, но изменяется
зависимость а (йсо) — (йсо — ДЕ)1'2 вблизи энергий фотонов Йсоо = ДЕ. Расчет
показывает, что при учете электронно-дырочного взаимодействия коэффициент
поглощения в прямозонном полупроводнике в случае разрешенных переходов
а (Йсо) имеет вид:
дискретный спектр: а ~ {Йсоп— |ДЕ — ДЕ^^с(1/п2)])/п3 при Йсо < ДЕ
и п ~ 1, 2, 3...
сплошной спектр: а ~ (Йсо — ДЕ)1/2 при Йсо » ДЕ; а ~ (ДЕэ(^)1/2при
Йсо > ДЕ.
Спектр поглощения в области края полосы поглощения для некоторого
реального прямозонного полупроводника при электронно-дырочном взаимодей-
ствии представлен на рис. 121. Дискретные линии экситонного спектра в реальных
полупроводниках становятся с температурой тем шире, чем больше номер экси-
тонной линии, вследствие чего происходит взаимное наложение линий при п > 2
при не очень низких температурах. Экситонные линии с температурой становятся
шире за счет неучтенных нами взаимодействий экситонов с фононами, свободными
носителями заряда, с другими экситонами и т. п. Анализируя форму такого
спектра, можно определить ширину запрещенной зоны и энергию связи экситона
следующим образом. Разность энергий Й<о2 и Й(ох, соответствующих экситонным
линиям с п = 2 и п = 1, можно записать в виде: Й(о2 — Й(дх = ДЕ^. 0 — г4)
= ЗД£<’>с/4.
Тогда энергию связи экситона можно найти по формуле ДЕЭкс =
= 4/3 (Йсо2 — Й(ох), а ширину'запрещенной зоны ДЕ — по формуле ДЕ = Йо^ +
+ ДЕЭКС = х/8 (4Йсо2 — fetoj).
266
В непрямозонных полупроводниках электронно-дырочное взаимодействие
также изменяет форму края поглощения. Теория дает для коэффициента погло-
щения при непрямых разрешенных переходах следующую зависимость от энер-
гии фотонов (множители, учитывающие число поглощенных и испускаемых
фононов при температуре Т мы здесь для упрощения записи не указываем):
дискретный спектр: а ~ (1/и3) {/zwn — [ ДЕ — }1/2 при
Йсо < ДЕ;
сплошной спектр: а ~ [Йсо — (ДЕ ± Йа^) ]2 при Йсо ^>ДЕ; а — [Йсо — (ДЕ ±
± Иа)д) ]3/2 при Йсо ДЕ.
В случае запрещенных переходов интенсивность экситонных дискретных
линий как для прямых, так и для непрямых переходов спадает по закону: 1п ~
~ (и2 — 1)/пБ, а в области сплошного спектра также наблюдается соответству-
ющее изменение.
Вследствие сложной структуры валентной зоны и существования несколь-
ких подзон в валентной зоне может образоваться несколько экситонных серий
(по числу подзон в валентной зоне). Таковы, например,|'экситонные спектры
поглощения (и отражения) для многих соединений AnBVI. По типу дырок, уча-
ствующих в образовании экситонов, различают три серии экситонов: А-, В-
и С-экситоны. Линии экситонных А- и В-серий перекрываются, и расшифровка
экситонных спектров была бы весьма затруднительна, если бы не различная
поляризационная зависимость этих серий. При различных поляризациях пада-
ющего на кристалл света можно наблюдать или линии всех серий, или только
линии В- и С-серий, что дает возможность разделить налагающиеся спектры А-
и В-серий. Изучение экситонных спектров поглощения и отражения позволяет
получить важную информацию о зонной структуре полупроводника и не только
очень точно определить ширину его запрещенной зоны, но и рассчитать рас-
щепление подзон валентной зоны и эффективные массы носителей заряда. Изуче-
ние зеемановского расщепления экситонных состояний в магнитном поле поз-
воляет найти симметрию волновых функций, определяющих состояние носителей
заряда в разрешенных зонах, что весьма важно для теоретического расчета зон-
ной структуры полупроводников.
8.6. ОПТИЧЕСКОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
С УЧАСТИЕМ ПРИМЕСЕЙ.
ПРИМЕСНОЕ И МЕЖПРИМЕСНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ
Обсуждая возможные механизмы примесного поглощения света
в разделе 8.2, мы уже указывали на различие оптического погло-
щения с участием мелких и глубоких примесных состояний. Глубо-
кие уровни не выделены с точки зрения оптического поглощения
относительно какой-либо из разрешенных зон, и по своему харак-
теру переходы валентная зона — глубокий уровень и глубокий
уровень — зона проводимости принципиально не различаются.
Мелкие примесные состояния мы описывали с помощью водородо-
подобной модели и в водородоподобном уравнении Шредингера
для мелких донорных состояний использовали характеристики
электронов в зоне проводимости, например эффективную массу
Очевидно, для описания мелких акцепторных состояний в водоро-
доподобное уравнение Шредингера нужно подставлять эффектив-
ную массу дырок в валентной зоне. Обсуждая влияние примесных
состояний на свойства полупроводника, мы касались главным об-
разом оценки энергетического положения этих состояний и не ана-
лизировали вида волновой функции электрона, находящегося на
267
примесном уровне. Для описания примесного оптического погло-
щения важно знать вид волновой функции примесного состояния,
так как он определяет вероятность перехода электрона из одного
состояния в другое (например, с примесного уровня в зону про-
водимости) и влияет таким образом на коэффициент поглощения.
Как уже говорилось, для описания мелких примесных состоя-
ний применяется водородоподобная модель, и мы далее вос-
пользуемся ею при анализе поглощения с участием этих при-
месных состояний.
Удовлетворительной теоретической модели глубоких примес-
ных состояний пока нет, и это затрудняет описание примесного
поглощения с участием таких состояний.
Решая водородоподобное уравнение Шредингера для мелких
примесных состояний (для определенности, донорных), мы полу-
чили водородоподобную серию состояний, энергии которых
(в электрон-вольтах), отсчитанные от дна зоны проводимости,
можно представить в виде: &Ed = (13,&Пп/т) (1/е)2 (1/п2) при
1, 2, 3...
Волновую функцию ф^ (г) донорного состояния будем искать
в виде разложения по волновым функциям состояний зоны про-
водимостиф-* (г), полагая, что вкладом состоянии валентной зоны
можно пренебречь:
(8.35)
k k k
Вместе с тем, следуя решению водородоподобной задачи, мы
получим для радиальной составляющей волновой функции:
F (г) = (const/a*3/*) е~г!а\ (8.36)
где а* — эффективный боровский радиус водородоподобного до-
норного состояния, который выражается через боровский радиус
атома водорода aQ зависимостью: а* = aQrmlmn.
Сопоставляя уравнения (8.36) и (8.35), можно сделать вывод,
что волновая функция примесного (донорного) состояния будет
иметь зависимость от координат следующего вида: ф^ (г) ~
~ UQ (г) F (г), где UQ (г) — некоторая периодическая функция
с периодом постоянной решетки.
При решении задачи мы использовали метод эффективной
массы, применение которого справедливо, если выполнено усло-
вие а* d, где d — постоянная решетки.
Тогда можно считать, что в пределах г < а* волновая функция
примесного состояния ведет себя как периодическая функция
с периодом постоянной решетки, а за пределами эффективного
воровского радиуса а* она имеет согласно уравнению (8.36) очень
малую амплитуду. Таким образом, примесное состояние (основ-
268
ное) можно считать локализованным^ пределах сферы с эффектив-
ным боровским радиусом а*.
Вследствие принципа неопределенности область локализации
примесного состояния в ^-пространстве будет ограничена: \k ~
~ 1/2а*, причем область локализации возбужденных примесных
состояний в ^-пространстве будет уменьшаться, так как их эффек-
тивные боровские радиусы растут с увеличением главного кван-
тового числа п. Тогда можно
Рис. 122. Спектры примесного поглоще
ния:
а — основное и возбужденное состояние
в ^-пространстве; б — возможные элек-
тронные переходы из примесного состоя-
ния в зону проводимости, поясняющие
конечную ширину линий примесного по-
глощения
изобразить примесные со-
стояния в ^-пространстве, как
Рис. 123. Спектр примесного погло-
щения кремния, легированного бором
это показано на рис. 122, а.
Из рис. 122, б можно сделать
вывод, что спектр примесного
поглощения должен иметь
следующую структуру; на
длинноволновом крае сравнительно широкой полосы, соответст-
вующей переходам с основного состояния Ер в зону проводимос-
ти, должны наблюдаться сравнительно узкие полосы, отвечающие
переходам с возбужденных состояний в зону проводимости. Экс-
перимент это подтверждает: на рис. 123 приведен эксперимен-
тально полученный спектр поглощения образца кремния, леги-
рованного бором. Узкие пики на длинноволновом крае основной
примесной полосы соответствуют переходам с участием возбуж-
денных состояний атомов бора. Полоса поглощения лежит в да-
лекой инфракрасной области спектра в соответствии с величиной
энергии ионизации мелких доноров, составляющей сотые доли
электрон-вольта.
Если оптические переходы происходят между валентной зоной
и ионизированным мелким донором или между ионизированным
акцептором и зоной проводимости, то энергии поглощаемых в та-
ких переходах квантов должны удовлетворять условию: Лео >
> ДЕ— Д£^. Так как энергии &Ed>a ДЕ для мелких ^при-
месных состояний, то полоса такого примесного поглощения долж-
на лежать непосредственно вблизи края собственного поглощения,
269
частично перекрываясь с ним. На рис. 124 показан пример такого
поглощения примесь — дальняя зона в антимониде индия. Схема,
приведенная на рис. 125, поясняет механизм оптического погло-
щения, связанного с переходами электронов с ионизированных
акцепторов в зону проводимости. Так как энергия ДЕ и ДЕ —
— ДЕа — величины одного порядка, то и энергии поглощаемых
фотонов, обеспечивающих в этой модели собственные и примесные
переходы, близки друг другу. Поэтому на краю собственного по-
глощения появляется ступенька,
связанная с примесным поглоще-
нием мелкая примесь — дальняя
зона. При теоретическом расчете
формы линии примесного погло-
щения, обусловленного электрон-
а
О 0,1 0,2 0,3 0,Ь 0,5 х
Рис. 125. Электронные переходы
в оптическом поглощении:
а — акцепторный уровень — зона
проводимости; б — теоретически
рассчитанный спектр поглощения
0,220 0,230 0,2Ь0
Л(о,эв
Рис. 124. Спектр примесного
поглощения InSb при 10 К
ными переходами с уровней ионизированных акцепторов в зону
проводимости, волновые функции начального состояния электрона
(акцепторное состояние) находятся с помощью разложения по со-
стояниям в валентной зоне, а конечные состояния описываются
волновыми функциями зоны проводимости. Таким образом, в этом
случае в отличие от переходов примесь — ближняя зона при вы-
числении вероятности перехода нужно учитывать состояние в обеих
разрешенных зонах. Поэтому в выражение для коэффициента по-
глощения войдут характеристики обеих зон. Расчет показывает
что в случае поглощения ионизированные акцепторы — зона про-
водимости коэффициент поглощения составит
а (Лео) ~ //2/(1 + *)4, (8.37)
где х = тп [/гео — (ДЕ — ДЕа)]/(ДЕатр).
270
Теоретическая форма линии поглощения таких переходов пред-
ставлена на рис. 125, б для соотношения масс электронов и дырок
в разрешенных зонах т^тр = 0,1. Максимум этой примесной
полосы соответствует значению х 0,14, т. е. пороговую энергию
перехода Лсо0 = ДЕ — &Еа дает не положение максимума, а по-
ложение точки пересечения длинноволнового края полосы с осью
абсцисс. На рис. 125, б а = 0 при х = 0, т. е. при /ко = =
= &Е — &Еа. Можно указать на внешнее сходство спектра погло-
щения прямозонного примесного полупроводника (см. рис. 124)
и спектра поглощения непрямозонного полупроводника (см.
рис. 119). Следует, однако, обратить внимание на меньшие значе-
ния коэффициента примесного поглощения по сравнению с коэф-
фициентом поглощения для непрямых переходов. Причина этого —
меньшее число состояний на примесных уровнях по сравнению
с разрешенными зонами энергий.
Когда в полупроводнике присутствуют совместно доноры и
акцепторы, то происходит явление частичной, а иногда и полной
компенсации. Таким образом, частично (или полностью) оказы-
ваются ионизированными даже при самых низких температурах
и донорные, и акцепторные атомы. Под действием фотонов подхо-
дящей энергии электроны могут переходить с ионизированных
акцепторов на ионизированные доноры, переводя те и другие
в нейтральное состояние. Энергия, необходимая для перевода
электрона с заполненного акцепторного состояния на незапол-
ненное донорное состояние, зависит не только от энергии ионизации
доноров и акцепторов, рассматриваемых отдельно в решетке кри-
сталла, но и от взаимного их расположения. Дело в том, что рас-
положенные поблизости один от другого ионизированный донор и
ионизированный акцептор представляют собой пару разноименно
заряженных ионов: положительно заряженный донор и отрица-
тельно заряженный акцептор. В такой паре неизбежно возникает
кулоновское взаимодействие, изменяющее энергетические уровни,
характеризующие состояние электронов. Тогда энергия фотона,
при поглощении которого донорно-акцепторной парой электрон
перейдет от акцептора к донору, может быть записана в виде:
/гео = ДЕ — &Ed — ДЕа + е2/(8е0г), (8.38)
где последний член описывает энергию кулоновского взаимодей-
ствия ионизированной донорно-акцепторной пары, на расстоянии
г между акцептором и донором. Так как донорные и акцепторные
атомы не могут занимать в решетке какое угодно положение,
а располагаются в соответствии с периодической структурой кри-
сталла, то расстояние г может изменяться для различно выбранных
пар не как угодно, а дискретно, в соответствии с периодичностью
кристалла. Для данных концентраций примесей в решетке можно
статистическими методами вычислить вероятное число пар с опре-
деленным расстоянием между компонентами пары — донором и
271
акцептором. Каждому расстоянию г соответствует вполне опреде-
ленная энергия поглощаемого фотона [см. формулу (8.38)].
Близко расположенные пары будут способны поглощать фотоны
большей энергии, а чем дальше расположены компоненты пары,
тем меньше энергия их кулоновского взаимодействия и тем ближе
энергия поглощаемого парой фотона к величине ДЕ — ДЕа — \Ed,
Очевидно, среднее число далеко расположенных пар будет больше,
а различие в энергиях фотонов, которые они могут поглощать, —
меньше. Поэтому линии поглощения, соответствующие далеко
расположенным парам, будут сливаться в сравнительно широкую
полосу, а линии поглощения, обусловленные взаимодействием
фотонов с более близко распо-
ложенными парами, будут да-
вать дискретные пики поглоще-
ния с коротковолновой стороны
от широкой сплошной полосы
межпримесного поглощения.
Относительная интенсивность
отдельных дискретных пиков
соответствует среднему числу
донорно-акцепторных пар,
имеющих данное расстояние
между компонентами. Дискрет-
ное межпримесное поглощение попадает в спектральную область,
весьма близкую к краю собственного поглощения, и поэтому его
трудно экспериментально обнаружить на фоне собственного по-
глощения. Дискретная структура межпримесного поглощения мо-
жет быть обнаружена в излучательных переходах между компо-
нентами донорно-акцепторных пар. Мы уже указывали на взаимное
соответствие процессов поглощения света и рекомбинационного из-
лучения в полупроводниках. Поэтому приведенный на рис. 126
спектр фотолюминесценции донорно-акцепторных пар в GaP, леги-
рованном кремнием и теллуром, можно считать подтверждением
существования описанного механизма поглощения.
I, отн. ед.
2,19 2,21 2,23 2,25 2,27 fiu,3B
Рис. 126. Спектр фотолюминесценции кри-
сталлов GaP с примесями кремния и
теллура, соответствующий переходам
между компонентами донорно-акцептор-
ных пар
8.7. ПОГЛОЩЕНИЕ СВОБОДНЫМИ
НОСИТЕЛЯМИ ЗАРЯДА
Свободные носители заряда могут переходить в разрешенной зоне
из одного энергетического состояния в другое под действием прак-
тически сколь угодно малого возмущения, так как спектр состоя-
ний в разрешенных зонах квазинепрерывный. Поэтому свободные
носители в зонах могут поглощать фотоны с непрерывно изменяю-
щейся энергией и структурных особенностей в спектре поглощения
свободными носителями не наблюдается, если нет особенностей
в распределении носителей в разрешенной зоне. Классическая
теория на основе модели идеального электронного газа Друде—
272
Лоренца дает формулу для коэффициента оптического поглощения
свободными носителями заряда в виде:
а (А,) = /w2A,2/[m*8n2nA (Л)],
(8.39)
где п — концентрация носителей; X — длина волны поглощаемых
фотонов; /и* — эффективная масса носителей заряда; п — пока-
затель преломления света в среде кристалла; с — скорость света;
т (Л) — время релаксации носителей заряда, определяемое дей-
ствующими механизмами рассеяния.
Из этой формулы следует, что поглощение свободными носителями заряда
растет как квадрат длины волны поглощаемых фотонов, что соответствует обратно
пропорциональной зависимости от
квадрата частоты. Более точный
квантовомеханический учет конкрет-
Рис. 127. Поглощение свобод-
ными носителями заряда в гер-
мании при 4,2 К и X = 2,4 мкм
Рис. 128. Оптические переходы
при селективном поглощении
свободными дырками:
/ — подзона тяжелых дырок;
2 — подзона легких дырок; 3 —
подзона средних дырок
ных механизмов рассеяния дает следующие зависимости коэффициента погло-
щения свободными носителями от длины волны поглощаемых фотонов:
а (А) ~ А3/2 — для рассеяния на акустических фононах;
а (X) ~ X5/2 — для рассеяния на оптических фононах;
а (А) — А3 — или А7/2 при рассеянии на ионах примесей.
В общем случае реализуются все механизмы рассеяния и коэффициент по-
глощения представляет собой сумму:
а (X) = а,- (X) = + CaX‘/s + С3Х’Л.
В зависимости от концентрации примесей, температуры и преобладающего
типа колебаний решетки тот или иной механизм рассеяния будет доминировать.
Если преобладает механизм рассеяния на ионах примесей, то должна наблю-
даться зависимость коэффициента поглощения от концентрации ионов примесей
следующего вида: а (А) ~ NiK7^.
Однако при высоком уровне легирования зависимость коэффициента погло-
щения от концентрации ионов примесей не остается линейной, так как коэффи-
циент поглощения зависит также от времени релаксации, которое в свою очередь
изменяется с концентрацией ионов примесей.
На рис. 127 представлен коэффициент поглощения свободными носителями
заряда в сильно легированном германии в зависимости от концентрации ионов
примесей в двойном логарифмическом масштабе. Угол наклона этой зависимости
составляет 3/2, что соответствует закону а ~ А^2, и тогда можно из формулы
(8.39) найти, что т-^АГ1/2-
273
Такого рода зависимости могут быть использованы как градуировочные кри-
вые для определения концентрации носителей заряда в полупроводниках опти-
ческим методом.
Мы уже указывали, что появление особенностей в спектре поглощения сво-
бодными носителями заряда соответствует особенностям зонной структуры:
сложная структура валентной зоны приводит к селективному поглощению сво-
бодными дырками, а сложная структура зоны проводимости — к селективному
поглощению свободными электронами. Остановимся сначала на селективном
поглощении в материалах p-типа. На рис. 128 приведена структура валентных
подзон в некоторой окрестности точки k = 0. Такая структура, как мы уже
знаем, наблюдается и в германии, и в кремнии. На этом же рисунке изображены
оптические переходы дырок между подзонами. Напомним, что направление стре-
лок сверху вниз соответствует увеличению энергии дырок. Предположим, что
зоны в окрестности точки kQ сферические. Запишем в соответствии с формулой
(8.17) коэффициенты поглощения для переходов между подзонами валентной
зоны: а13 — для переходов дырок из подзоны тяжелых дырок в подзону средних
дырок и а23 — для переходов легких дырок в подзону средних дырок:
а1з'(йсо) ~ hag, аз) (йсо); а23 (йсо) ~hag, сзз) (йсо).
Запишем энергию переходов 1—3:
^ + A^so+^-
zmpc
й2й2 \
2трт /
_ Л р I h*k* I 1
A£se + 2 (
(8.40)
Так как /п*с< /и*т, то мы имеем особенность Ван-Хова типа Мо и функция
(is) (^w) должна удовлетворять зависимости:
£гс1з>(йсо)~Кйсо-ДЕ. (8.41)
Переходы 1—3 в точке k = 0 оказываются запрещенными, и тогда для силы
осциллятора перехода 1—3 f13 получим
ДЕ6.0). (8.42)
В окончательном выражении коэффициента поглощения нужно учесть сте-
пень заполнения дырками подзоны тяжелых дырок. Предположим, что система
дырок не вырождена и можно воспользоваться распределением по энергиям
Максвелла — Больцмана: fp (Е, Т) ~ е Р /(2трт*оТ) (8.43).
Так как в переходе 1—3 участвуют дырки, для которых выполняется закон
сохранения энергии, полученный из выражения (8.40) /ко = Е13 = AFs0 +
+ [Р2 (т*т — трС)]/2трттрс), то значения импульса должны удовлетворять
условию
Р2 = [2 (йсо - AES0) m’cm*TJ/(m*T - m’c). (8.44)
Подставляя выражение (8.44) в формулу (8.43), получим для функции рас-
пределения дырок по состояниям в первой подзоне:
/1(О-АЕ50 трС
ff(E, Т)~е k°T m*PT~mPC' (8 45)
Считая, что ап^Лз^гоз) (^w) fp(E> Л (8.46) и, подставляя в формулу
(8.46) выражения (8.41), (8.42) и (8.45), получим
« (йсо) ~ (йсо - AESo)’/s exp { h<*9 • (8.47)
( mpr — mpt I
274
На рис. 129 показана форма линии поглощения для переходов 1—3 в соот-
ветствии с формулой (8.46).
Аналогичные выкладки можно произвести и для формы линии переходов
2—3'.
(h2k2 \ / h2k2 \
£0 + ЛЕ$0 + 2т*р(. ) ~ \Е° 2т‘л ) =
лр _1_ / 1
= bEs<)+ — ( —
(8.48)
Так как /и*с> /и*л, то особенность Ван-Хова будет типа особой точки Л43.
Учитывая, что тип перехода 2—3 также запрещенный и заполнение дырками
tl(i)
Рис. 129. Форма линии по* об
глощения для переходов
между подзонами:
а — тяжелых и средних ды-
рок. Пунктиром показаны
зависимости:
1а — ехр [(—йй) —
-ДЕ5о)/ЛоГ]; 2а -gr(13)~
~ (Йш — AES()'/1; За —
fn ~ (Й<в — AEg^y, 4а —
~ (Пч> - AESo)’/«; «
б — легких и средних ды-
рок: 16 — exp [(AZ?sq —
-й<о)/йоТ]; 26 - gr(23) ~
~ (АЕ^ — ЙСО)1^; 36 —
—/гз ~ (^^So — 4б —
~ <й<0 - AESo)’/»;
в — селективное поглощение
в полупроводнике р-типа
подзоны легких дырок можно вычислить аналогично заполнению дырками под
зоны тяжелых дырок, получим форму линии поглощения для переходов 2—3
в виде:
«23 0(0) ~ f23£r(23) (А(0) [р (Е2, Г) (8.49),
что можно представить графиком (см. рис. 129, б).
Суммируя зависимости, приведенные на рис. 129, а, б, получим
спектр селективного поглощения свободными дырками в материале
p-типа, который показан на рис. 129, в. Переходы 1—2 не имеют
пороговой энергии /ico0 (/ico0 = 0), так как в точке Ev ветви Е (k)
для легких и тяжелых дырок соприкасаются. Особенность Ван-
Хова, как и для переходов 1—3, имеет тип 7И0- Переходы 1—2
будут происходить в более длинноволновой части спектра и пере-
крываться с неселективным поглощением легких и тяжелых дырок.
Из анализа рис. 129, в можно найти энергию орбитального рас-
щепления AESo. С понижением температуры экспоненциальные
края пиков 1—3 и 2—3 должны стать круче, а сами пики острее.
Часть спектра, где поглощение происходит по степенному закону,
при изменении температуры практически не меняется. Тогда с по-
нижением температуры спектр селективного поглощения транс-
формируется, как это показано на рис. 130, где приведены экспе-
275
риментальные спектры поглощения свободными дырками в p-Ge
для двух разных температур. Отметим,г что интенсивность и поло-
жение пиков селективного поглощения должны также зависеть от
уровня легирования образца акцепторными примесями. Когда
уровень Ферми движется в глубину^валентной зоны, пик 1—3
смещается в сторону больших энергий, а пик 2—3 — в сторону
меньших энергий, а низкоэнергетический край полосы 1—2 дви-
жется в сторону больших энер-
гий. Если ширина запрещенной
зоны полупроводника меньше или
сравнима с энергией спин-орби-
тального расщепления, то селек-
тивное поглощение дырками труд-
но различить на фоне собственного
поглощения.
Рис. 130. Селективное поглоще-
ние в германии p-типа при 300 К
(сплошная) и при 77 К (пунктир-
ная) кривые
Рис. 131. Спектр селективного погло-
щения свободными электронами в n-GaP
(а) и часть зонной диаграммы GaP,
поясняющей тип переходов Хх — Хя,
соответствующих пику поглощения сво-
бодными электронами (б)
В полупроводниках п-типа также возможно селективное по-
глощение свободными электронами, связанное с переходами между
подзонами в зоне проводимости. Так, поглощение свободными
электронами обнаружено в GaP п-типа, вид спектра поглощения
которого в этой области приведен на рис. 131. Поглощение, быстро
растущее в длинноволновой части, соответствует неселективному
внутризонному поглощению. Пик поглощения с низкоэнергетиче-
ским порогом 0,27 эВ соответствует переходам между минимумами
подзон зоны проводимости Хг и Х3 в точке [100]. При измерениях
такого поглощения в полупроводниках переменного состава
GaAs^Px было установлено, что этот пик пропадает как только
долина зоны проводимости в точке 1\ (рис. 131, б) становится наи-
низшей и в нее переходят все электроны.
276
Исследование селективного поглощения свободными носите-
лями позволяет выявить особенности зонной структуры, рассчи-
тать энергетическое расщепление подзон энергии и значения эф-
фективных масс свободных носителей заряда.
10 20 30 4Z7 50Л,мкм
Рис. 132. Расчетная зависимость коэф-
фициента отражения от частоты в окрест-
ности плазменного минимума (а). Пункти-
ром показана кривая с учетом слабого
поглощения света (теория) и экспери-
ментальный спектр отражения образцов
InSb п-типа с различной концентрацией
носителей заряда (б):
1 — 3,5-101’ см-3; 2 — 6,2-1017 см~3; 3 —
1,2-1018 см-3; 4— 2,8-1018 см"3
8.8. ПЛАЗМЕННЫЙ РЕЗОНАНС В СПЕКТРАХ
ОТРАЖЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
И МЕТАЛЛОВ
Если в выражение для коэффициента отражения 7? (8.14) подста-
вить частотные зависимости показателя преломления п и показа-
теля поглощения k в соответствии с формулами (8.8), (8.9), (8.12)
и с учетом формулы (8.10), то
можно записать частотную за-
висимость коэффициента отра-
жения R (со). Вклад свободных
носителей заряда приведет к то-
му, что сначала R (со) убывает с
ростом частоты, а затем начи-
нает возрастать. Таким обра-
зом,вблизи частоты со = (Ор на-
блюдается минимум отражения,
который получил название плаз-
менного минимума. Значение
плазменной частоты сор можно
найти по формуле
сор = 14ле2п/(/п*80)]1/2. (8.50)
На рис. 132, а показана рас-
четная зависимость R (со) для
случая сот 1 и отсутствия
поглощения света (k = 0). При
частоте со = сор на кривой от-
ражения получается резкий излом. Однако практически прене-
бречь поглощением света в среде кристалла нельзя, и в реальных
спектрах отражения излом на частоте со = сор и острый минимум
обычно сглаживаются. В предположении слабого поглощения
можно записать для положения частоты comln, где коэффициент
поглощения теоретически должен быть равен Нулю, выражение
®тщ = ®р [е0/(е0 — I)]1/2.
Определяя положение минимума отражения, можно найти
значение плазменной частоты сор, с помощью которой можно вы-
числить по формуле (8.50) отношение п/т* концентрации носителей
к оптической эффективной массе. Если каким-либо другим спо-
собом (например, из измерений коэффициента Холла) определить
концентрацию носителей заряда, то можно из плазменного отра-
жения определить эффективную массу носителей т^. Этот же метод
277
при известной эффективной массе может послужить для измерения
концентрации носителей заряда в сильно легированных полупро-
водниках и металлах. Однако на практике все усложняется вслед-
ствие размытия плазменного минимума. Аккуратный учет погло-
щения требует специальной методики обработки эксперименталь-
ных данных по плазменному отражению. Наиболее широко рас-
пространился метод, предложенный советскими физиками
А. А. Кухарским и В. К. Субашиевым, основанный на графо-ана-
литическом определении /и* по измеренному значению Rmin.
Метод позволяет также вычислить стационарную проводимость
(о | (о=о) и подвижность носителей заряда по данным плазменного
отражения. Знание эффективной массы и концентрации носителей
заряда позволяет оценить значение времени релаксации. Однако
все эти оценки возможны лишь с использованием какой-либо до-
полнительной методики, дающей или значение концентрации носи-
телей заряда, или их оптическую эффективную массу, так как ме-
тод плазменного отражения в принципе позволяет определить
лишь отношение величин nlrrTc.
Для оценки n/тс по отражению в области плазменного мини-
мума можно воспользоваться следующим приемом. Пренебрегая
поглощением можно записать с учетом формул (8.13) и (8.15)
следующую зависимость [(1 + |/ R)/(l — //R) ]2/е0 = 1 — (Ор/со2.
Если построить в окрестности плазменного минимума график
функции [(1 + ]/ R)/(l —У R) ]2/е0 в зависимости от со“2, то
тангенс угла наклона этой зависимости дает квадрат плазменной
частоты сор.
Использование ЭВМ^для пересчета данных плазменного от-
ражения с помощью соотношений Крамерса—Кронига позволяет
наиболее удобно и точно находить отношение концентрации носи-
телей заряда к их эффективной массе. Для иллюстрации плазмен-
ного отражения на рис. 132, б приведены спектры отражения об-
разцов InSb n-типа с разной концентрацией носителей заряда.
8.9. ФОНОННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ
ЛОКАЛЬНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ ПРИМЕСНЫХ АТОМОВ
При непосредственном поглощении света колебаниями атомов ре-
шетки энергия фотона преобразуется в энергию фонона. Если идет
процесс однофононного поглощения, т. е. при поглощении одного
фотона в решетке кристалла рождается один фонон, то законы
сохранения энергии и импульса должны иметь следующий вид:
Лео = Лоу, Л<7фот = hq, где со и — частоты фотонов и фононов;
^Фот и q — волновые векторы фотона и фонона соответственно.
Максимальные энергии фотонов, которые могут участвовать
в процессе поглощения, определяются максимально возможными
для данного кристалла частотами фононов. Если оценить значение
278
волнового вектора фотона, который может по закону сохранения
энергии поглотиться в кристалле с рождением одного фонона, то
можно получить <7фот 103 — 104 см'1. Тогда из закона сохране-
ния импульса следует, что поглощение фотона может порождать
в решетке фононы с волновыми векторами q 103 — 104 см'1, т. е.
вблизи центра зоны Бриллюэна (напомним, что размеры зоны
Бриллюэна ~108 см'1). На рис. 133 приведены дисперсионные
кривые акустических и оптических фононов. Пунктиром показан
закон дисперсии для фотонов. Наклон касательной в точке q = О
к акустическим ветвям закона дис-
персии фононов дает значение ско-
рости звука в кристалле. Угол на-
клона дисперсионной кривой фотонов
должен соответствовать скорости све-
та в кристалле. То, что дисперсион-
ные кривые акустических фононов
(ТА и LA) и фотонов не пересекаются,
свидетельствует о невозможности та-
кого процесса, когда при поглоще-
нии фотона в решетке рождался бы
один акустический фонон. При по-
глощении фотона решеткой может
Рис. 133. Схема, поясняющая од-
нофононное оптическое поглоще-
ние
рождаться только оптический фонон, причем только оптический
поперечный (ТО) фонон, а не оптический продольный (LO) фонон.
Рожденный при поглощении фотона в решетке кристалла фонон
должен по закону сохранения импульса иметь направление вол-
нового вектора, такое же, как и у поглощенного фотона. Световая
волна представляет собой, как известно, поперечные электро-
магнитные колебания. Переменный дипольный момент, индуци-
рованный в решетке электрическим вектором световой волны,
должен быть ориентирован в соответствии с электрическим полем
в световой волне, т. е. поперечная электромагнитная волна вызо-
вет поперечные колебания атомов решетки (ТО-фононы). Таким
образом, однофононное оптическое поглощение может создавать
только ТО-фононы и только в таких кристаллах, где возможно
создание переменного дипольного момента в элементарной ячейке,
т. е. в кристаллах с некоторой долей ионной связи. Действительно,
такое поглощение наблюдается экспериментально в кристаллах
с ионной связью NaCl, LiF, КВг и т. п. Коэффициент поглощения
для однофононного поглощения достигает довольно высоких зна-
чений а 104 см'1 при сравнительно небольшой ширине линии
в спектре поглощения. Высокий острый пик поглощения будет
соответствовать аналогичному пику в спектрах отражения. Явле-
ние сильного отражения в узкой спектральной области наблюда-
лось впервые именно в диэлектриках с ионной связью и получило
название «явление остаточных лучей». В начальный период инфра-
красной спектроскопии это^явление использовали для монохрома-
279
тизации света. Если в систему зеркал, выполненных из пластин
ионных кристаллов, ввести свет сплошного спектра, то на выходе
из нее получится монохроматизированная полоса, соответствую-
щая области длин волн «остаточных лучей», но еще более узкая
за счет многократного отражения. Полупроводники с заметной
долей ионной связи также отражают свет по типу «остаточных
лучей», т. е. за счет однофононных процессов.
На рис. 134 приведены примеры спектра «остаточных лучей»
для AlSb и GaP. Положение полосы «остаточных лучей» меняется
для различных полупроводников в довольно широких пределах
20—80 мкм. Здесь следует отметить, что максимум в спектре одно-
фононного отражения не соответствует энергии оптического попе-
речного’фонона, а несколько’сдвинут в’сторону высоких энергий.
80
60
4Z7
20
О
16 20 2k 28 62 66 Л,мкм
Рис. 134. Отражение в области
«остаточных лучей» для :AlSb
(/) и GaP (2)
Для более точного определения энер-
гии фононов, отвечающих за это резо-
нансное отражение, нужно пересчиты-
вать спектр отражения в спектр погло-
щения. У линии поглощения будет более
острый максимум, чем у линии отраже-
ния, и положение максимума отражения
практически’будет соответствовать энер-
гии ТО-фонона.
В полупроводниках с ковалентными
связями также наблюдается поглощение
света колебаниями решетки, но такое
поглощение является многофононным. Фотон поглощается не
одним фононом, а некоторыми вполне определенными для дан-
ного кристалла комбинациями фононов. Причем в этих комби-
нациях могут участвовать как оптические, так и акустиче-
ские фононы. Требование малых значений волновых векторов
фононов, образующихся при многофононном процессе, необяза-
тельно.
Покажем это для двухфононного поглощения фотона. Законы
сохранения энергии и импульса можно записать для двухфонон-
ного поглощения в виде:
h(i) — I ' /1С0^2, ^^7фот — —L ^^2,
(8.51)
где знак плюс соответствует рождению двух фононов, а знак ми-
нус — рождению фонона с волновым вектором q± при поглощении
фотона с волновым вектором ^ф0Т и фонона с волновым вектором q2.
При участии в поглощении двух фононов в законе сохранения
импульса фиксируются не величины импульсов участвующих
фононов, а только их сумма (при рождении двух фононов) или раз-
ность (при рождении одного и поглощении другого фонона). Так
как плотность фононов растет с их частотой и волновым вектором,
то преимущественно поглощаются фононы с большими волновыми
280
векторами вблизи границы зоны Бриллюэна. Тогда, так как
|?Фот I С |?i |, | ?21, закон сохранения импульса приобретает вид:
± hq2 0. Следовательно, при рождении двух фононов qr
—q2,a при поглощении одного и рождении другого фонона q-^q2..
оС,ММ
0
0,0^5 0,050 0,055 0,060 0,065Вй),эВ
Рис.35. Спектр фононного поглоще-
ния в GaAs в области энергий 0,04 —
0,07 эВ
Комбинаций фононов, удовлетворяющих этим правилам, а также
некоторым другим правилам отбора, требуемым в многофононном
поглощении, очень много, и это обусловливает сложность спектров
фононного поглощения. Кроме того, значение коэффициента по-
глощения для таких многочастотных процессов невелико (а по-
рядка единиц), т. е. отдельные линии, имея малую интенсивность
и будучи близко расположены,
будут трудноразличимы. Спектр
многофононного поглощения обра-
зует широкую полосу в ИК-об-
ласти, на фоне которой разли-
чаются отдельные резонансные
пики дляшаиболее вероятных ком-
бинаций фононов. Пример такого
спектра для GaAs представлен на
рис. 135.
Расшифровкой спектров фонон-
ного} поглощения были найдены
комбинации фононов, участвую-
щих в многофононном поглоще-
нии. Например, для кремния наи-
более четкие линии дают комбина-
ции фононов ЗТО, 2ТО + LO, ТО — LO, ТО + LA, ТО + ТА,
ТО — ТА. В гомеополярных ковалентных кристаллах каждый из
типов колебаний решетки (фононов) отдельно не вызывает пере-
менных дипольных моментов и потому не может взаимодейство-
вать со световой электромагнитной волной. Но если присутствуют
два типа колебаний, то один из них вызывает деформацию элек-
тронных оболочек атомов и «наводит» заряд, а другой — вызывает
колебания этого заряда, т. е. переменный дипольный момент.
Пара фононов дает переменный дипольный момент, частота коле-
баний которого либо суммарная, либо разностная по частотам
участвующих в его создании фононов, как это показывает закон
сохранения энергии (8.51).
Рассмотрим, какие же типы колебаний наиболее эффективны
с точки зрения деформации электронных оболочек. При длинно-
волновых колебаниях соседние атомы колеблются почти в фазе и
электронные оболочки практически не деформируются. При ко-
ротковолновых колебаниях фаза колебаний соседних атомов
сильно отличается и заметно деформируются электронные обо-
лочки. Таким образом, именно коротковолновые фононы наиболее
эффективны для наведения переменных диполей, и поэтому макси-
281
мум фононного поглощения приходится на области спектра, соот-
ветствующие краю зоны Бриллюэна для фононов.
Фононы описывают колебания атомов решетки кристалла и не
локализованы в кристалле, а принадлежат всему кристаллу.
Если^же в кристалле имеются примесные атомы, то они также
должны принимать участие в тепловых колебаниях, но частоты
этих колебаний и их характер могут отличаться от частот и харак-
тера колебаний атомов решетки. Кроме того, колебания примесных
атомов локализованы. В спектре решеточного поглощения при-
месных кристаллов наблюдаются узкие линии так называемых ло-
кальных колебаний, связанных с тепловым движением примесных
атомов. Частоты этих колебаний часто характеризуют тип примеси.
Таким образом, фононную спектроскопию можно использовать
для изучения примесного состава кристалла. Конечно, чтобы ис-
следовать примесные спектры решеточного поглощения, нужно
хорошо изучить собственное фононное поглощение в данном
кристалле. Яркий пример использования этой методики — иден-
тификация примеси кислорода в кремнии и германии. Кислород —
электрически "неактивная примесь,^и^содержание ее поэтому
нельзя определить по эффекту Холла. Кислород образует в кри-
сталлах кремния комплексы, одним из которых является молекула
SiO. Связи Si—О обладают характерным колебательным спек-
тром в области 9 мкм (0,14 эВ). Поглощение в этой области
свидетельствует о присутствии кислорода в кремнии. Разрабо-
таны специальные методики количественного определения
кислорода в кремнии и германии по спектрам локальных коле-
баний.
Следует указать еще на один важный механизм взаимодействия
света с тепловыми колебаниями решетки — при рассеянии света на
фононах. Проходя по кристаллу, фотон может изменить свою
энергию и импульс за счет взаимодействия с колебаниями решетки.
Фотон при этом не поглощается полностью, а только передает
частично свою энергию и импульс решетке. Таким образом, облу-
чая кристалл монохроматическим светом, на выходе из кристалла
можно обнаружить рассеянные фотоны с измененной частотой и
различными волновыми векторами. Рассеяние фотонов на оптиче-
ских фононах получило название рассеяния Рамана—Мандель-
штамма, а рассеяние на акустических фононах—рассеяния Брил-
люэна.
При очень высоких интенсивностях возбуждающего когерент-
ного света (например, источником света взять лазер) можно полу-
чить вынужденное рамановское излучение. В этом случае рассеян-
ное излучение также когерентно и полупроводник работает как
параметрический усилитель. На рис. 136 приведен спектр раманов-
ского рассеяния для CdS в отраженном свете при возбуждении
аргоновым лазером.
Исследование взаимодействия света с тепловыми колебаниями
атомов решетки может дать важную информацию о спектре фоно-
282
Рис. 136. Спектр отражения
CdS при рассеянии*излуче-
ния аргонового лазера.
Часть излучения создает
электронно-дырочные пары
и вызывает люминесценцию
Л
нов кристалла. Кроме того, это явление уже находит свое техниче-
ское применение для анализа примесного состава полупроводни-
ков и преобразования света с помощью эффектов рассеяния. 2
8.10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Исследование особенностей в спектрах оптического отражения и
поглощения твердых тел, как было показано ранее, дает важную
информацию о свойствах кристаллов. Если оптическое поглоще-
ние связано с различными электронными переходами (бесфонон-
ными или в сопровождении фононов), то анализ спектров погло-
щения и отражения позволяет определять параметры зонной струк-
туры кристаллов. Если на кристалл налагается какое-либо внеш-
нее воздействие, изменяющее параметры зонной структуры, то
в спектрах отражения и поглощения мы должны также наблюдать
изменение. Пример такого изменения — температурный сдвиг
края поглощения, о котором мы говорили в разделе 8.4.
К числу воздействий, изменяющих параметры зонной струк-
туры, относятся электрическое поле, одноосное или объемное сжа-
тие, магнитное поле, уровень фотовозбуждения и т. п. Оказы-
вается эти внешние воздействия или комбинации их сильнее всего
изменяют параметры зонной структуры в особых точках Ван-Хова
в зоне Бриллюэна, в то же время изменения вдали от особых точек
весьма малы. Если представить себе, что внешнее воздействие мо-
дулировано с некоторой частотой v, а в схеме регистрации преду-
смотрено узкополосное усилие на этой же частоте v и синхронное
детектирование сигнала, то в регистрируемом спектре сигнал будет
наблюдаться только’в окрестности особых точек Ван-Хова, а сиг-
нал в других спектральных областях (обычно паразитный фон при
расшифровке спектров) не будет усиливаться и регистрироваться.
Такая избирательная методика наблюдения оптических спектров
получила название дифференциальной или модуляционной спектро-
скопии. Модуляционная спектроскопия позволяет значительно
улучшить отношение сигнал—шум. Так, в методе дифференциаль-
ного отражения измеряется величина относительного отражения
\R/R (0) = [7? (Г) — R (0) ]/7? (0), где R (W) и R (0) — коэффи-
циент отражения при включенном и выключенном внешнем воз-
действии.
283
Современная . техника эксперимента позволяет производить
измерения до (0) 10"6, что далеко превосходит точность
обычных статических методов (1—0,1 % в лучших эксперименталь-
ных условиях). Это вызывает большой интерес к дифференциаль-
ной спектроскопии, и можно ожидать, что современная экспери-
ментальная техника в оптических исследованиях будет разви-
ваться, по-видимому, именно в этом направлении. Остановимся
кратко на основных дифференциальных методах, используемых
в спектроскопии.
Электроотражение. Методика исследования отражения в пере-
менном электрическом поле основана на изменении энергетических
Рис. 137. Влияние электрического
поля на межзонное поглощение для
прямых переходов:
а — спектр поглощения без электри-
ческого поля (сплошная линия) и
в электрическом поле (пунктирная
линия); б — дифференциальный спектр
поглощения
зазоров в запрещенной зоне при
действии на кристалл достаточно
сильного электрического поля, т. е.
на так называемом эффекте Фран-
ца—Келдыша. При наложении на
кристалл сильного электрического
поля для функции плотности со-
стояний электрона появляется экс-
поненциальный «хвост», заходящий
в запрещенную зону, и осцилля-
ции в разрешенной зоне вблизи
экстремумов зон. Вследствие этого
форма края поглощения в элект-
рическом поле видоизменяется,
как показано пунктиром на
рис. 137. Спектр разностного по-
глощения \а = аЕ—а0 имеет ха-
рактерную особенность при энергии, соответствующей порогу по-
глощения, т. е. в точке йсо0 = &Е. Подробный теоретический
анализ формы линий в спектрах действительной и мнимой частей
диэлектрической проницаемости для различных особых точек
Ван-Хова был произведен Аспнесом. Оказалось, что для разных
особых точек Ван-Хова вид спектров различный. Поэтому диффе-
ренциальная спектроскопия позволяет не только определять с вы-
сокой точностью энергию, соответствующую разности энергий в
межзонных переходах, но и определять тип критической точки,
что очень важно для построения зонной структуры. Методика
электроотражения широко используется в современной экспери-
ментальной технике не только для изучения межзонных переходов,
но и для исследования энергетических параметров примесных со-
стояний. В этом случае исследуют не спектры электроотражения,
а спектры электропоглощения.
Термоотражение — методика исследования, основанная на
модулированном разогреве кристалла. Разогрев можно произво-
дить при подаче переменного электрического напряжения низ-
кой частоты на особый подогреватель, смонтированный в кристал-
лодержателе. Весьма эффектно применение теплового воздей-
264
ствия при поглощении лазерного облучения с низкой частотой
модуляции. Недостатком методики термоотражения является тре-
бование низких частот модуляции вследствие инерционности теп-
ловых воздействий и низкая глубина модуляции параметров зон-
ной структуры. Однако теория, позволяющая расшифровать спек-
тры термоотражения, менее сложна и лучше разработана в деталях.
Пъезоотражение — методика с использованием в оптических
исследованиях модулированного давления с различной ориента-
цией относительно поверхности и разных кристаллографических
направлений в образце. При всестороннем сжатии (гидростатиче-
ское давление) расшифровка спектров пьезоотражения позволяет
применять общую с термоотражением теоретическую интерпрета-
цию. Применение одноосного сжатия требует более сложной тео-
ретической интерпретации, но зато дает больше информации о
свойствах симметрии состояний в различных точках зонной струк-
туры.
Фотоотражение — методика с использованием модулирован-
ного облучения светом высокой интенсивности. По существу,
здесь тот же эффект электроотражения в электрическом поле све-
товой волны высокой интенсивности. Оптическая модуляция отра-
жения может производиться интенсивной световой генерацией
вблизи поверхности полупроводника при изгибе зон около поверх-
ности. Оптическая инжекция выпрямляет зоны, уменьшая таким
образом поверхностный потенциал. Чувствительность метода фото-
отражения меньше, чем электроотражения (минимальное значение
&R/R (0) КГ4). Преимущество состоит в том, что отпадает не-
обходимость в применении электродов. Обычно для целей модуля-
ции используется облучение лазером.
Катодоотражение — методика с использованием бомбарди-
ровки быстрыми электронами с целью модуляции избыточной
генерации электронно-дырочных пар аналогично методике фото-
отражения. Однако генерация пар электронным пучком вызывает
локальный разогрев, что искажает полученную информацию.
Методика имеет преимущество перед фотоотражением при иссле-
довании полупроводников с широкой запрещенной зоной, когда
оптическая генерация затруднена.
Магнетоотражение — методика с использованием перемен-
ного магнитного поля. Эта методика особенно целесообразна при
изучении свойств ферро-, ферри- и антиферромагнетиков, про-
зрачных в оптической области. Давно известен, например, эффект
Керра — появление характерных особенностей в отражении света
от ферромагнитного металлического зеркала после его намагни-
чивания. Магнетоотражение весьма перспективный новый метод
исследования. Однако сложность и многообразие явлений при
магнетоотражении затрудняет теоретическую интерпретацию
спектров, так как теория этого явления развита недостаточно.
Модуляция длины волны — методика с использованием скани-
рования длины волны относительно выходной щели монохрома-.
285
тора. Эта методика позволяет наблюдать производную от спектра
отражения (или поглощения) подлине волны, что удобно для разре-
шения близко расположенных структурных особенностей спектра.
8.11. РЕКОМБИНАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
При анализе механизмов рекомбинации неравновесных носителей
заряда в полупроводниках мы уже описывали возможные меха-
низмы излучательной рекомбинации и излучательных переходов
электронов в полупроводниках. Использование принципа деталь-
ного равновесия позволило Шокли и Ван-Русберку создать теорию
спектров излучательной рекомбинации. Процессы излучательной
рекомбинации являются обратными к процессам оптической гене-
рации, а значит, и процессам оптического поглощения. Поэтому
особенности, наблюдаемые в спектрах поглощения твердого тела,
должны также быть и в спектрах его рекомбинационного излуче-
ния. По принципу детального равновесия в системе с термодинами-
ческим равновесием число излучательных переходов в единице
объема в единицу времени должно быть равно числу электронно-
дырочных пар, генерированных в единицу времени в единице
объема тепловым термодинамически равновесным излучением.
Тогда 7? (v) dv = G (v) dv (8.52), где R (v) — скорость излучатель-
ной рекомбинации на частоте v; G (v) — скорость световой генера-
ции излучением той же частоты. Скорость генерации G (у) можно
подсчитать, зная вероятность поглощения кванта в единицу вре-
мени W (у) и спектральную плотность фотонов с частотой Q (у)
в спектре равновесного излучения (излучения абсолютно черного
тела). Тогда G (v) = W (v) Q (v).
Величину W (у) можно найти через коэффициент поглощения
a (v) и скорость света в кристалле, равную с/п (щеп — показатель
преломления света в среде кристалла): W (v) = a (v) с/п (8.53).
Спектральная плотность фотонов в спектре абсолютно черного
тела дается теорией излучения в виде:
Q (v) = Р (v)/(^v) = 8nv2n3/[c3 (ehv/k<>T — 1)]. (8.54)
При комнатной температуре для межзонных переходов выпол-
няется условие hv k0T, и единицей в знаменателе выражения
(8.54) можно пренебречь. Тогда, воспользовавшись формулами
(8.52)—(8.54), можно записать для полной скорости рекомбинации
выражение
оо оо
= j R (v) dv = [8nk30T3/(c2h3)] j nW ((/) dU/(eu - 1)
0 oo
oo
[8n^oT3/(c2/i3)] J nVa (U)e~udU, (8.55)
0
где применена замена переменных U = hv/k^T,
286
Формула (8.55) устанавливает фундаментальную связь спек-
тров излучения и поглощения для кристалла. Особенности в спек-
тре поглощения должны приводить к особенностям в спектре ре-
комбинационного излучения. Например, если коэффициент погло-
щения большой для данного полупроводника, то в данной спек-
тральной области будет интенсивная излучательная рекомбина-
ция. Это может, например, объяснить, почему в прямозонных полу-
проводниках интенсивность межзонной излучательной рекомби-
нации гораздо выше, чем в непрямозонных. Значение коэффи-
циента поглощения для непрямозонных полупроводников в обла-
сти края собственного поглощения составляет ~102 см-1, а для
прямых переходов 104ч-105 см"1. Поэтому для рекомбина-
ционного излучения предпочтительнее использовать прямозонные
полупроводники. Однако скорость излучательной рекомбинации,
определенная нами для термодинамического равновесия, еще не
характеризует интенсивности излучательной рекомбинации в не-
равновесных условиях, в которых обычно находится полупровод-
ник, испускающий рекомбинационное излучение при наложении
какого-либо внешнего возбуждения (называемого также «накач-
кой»).
При условии стационарного состояния должно соблюдаться следующее
соотношение между стационарной скоростью излучательной комбинации Rc
и ее равновесным значением Ro: Rc = (np/n?) Ro, где n? = nopo — квадрат равно-
весной собственной концентрации; пир — неравновесные концентрации элек-
тронов и дырок соответственно.
При малом уровне инжекции, когда Ди, Др <С nQ, р0, можно записать:
Rc = [(«О + Дл) (/>0 + Др)] Во/(поРо) = Яо + (Дп/rto + Др/Po) Ro = ^O + Д^2
(8.56)
Введем излучательное время жизни тизл соотношением тизл= &n/AR. Так как
величину Д7? с помощью соотношения (8.56) можно представить в виде: Д7? =
= Дп (1/п0 + 1/ро) то Для излучательного времени жизни можно записать:
^ИЗЛ= ^оРо/ № («о + Ро) ].
Тогда в собственном полупроводнике, так как п0 = р0 = п/, получим
= П//(27?О); = П//(2ТиЗЛ); в полупроводнике п-типа (По^>ро) соответственно
тизл= А)/Яо = тизл2Ро^п4> тизл> а в полупроводнике p-типа (р0 > п0) будем
иметь ТИЗЛ = = ТИЭЛ2"А > т иэл-
Таким образом, скорость излучательной рекомбинации и излучательное
время жизни зависят от концентрации носителей заряда в полупроводнике,
а так как концентрацию носителей можно в полупроводнике менять в весьма
широких пределах, то ни скорость излучательной рекомбинации, ни излучатель-
ное время жизни не характеризуют специфической излучательной способности
данного полупроводника, определяемой его внутренними параметрами. Поэтому
для характеристики эффективности излучательной рекомбинации вводится ве-
личина В — коэффициент излучательной рекомбинации, определяемый соотно-
шением В = Rq/п2-.
Размерность величины В дается следующим образом: [В] = [см3/с]. Типич-
ные значения В для некоторых полупроводников приведены в табл. 4 для 300 К.
Также можно ввести понятие сечения излучательной рекомбинации через
коэффициент излучательной рекомбинации В и среднюю тепловую скорость
носителей заряда (от) : СИЗл = B/{vT).
287
Таблица 4
Вещество AE, эВ n- IO14, cm"3 в. io-12, CM3-c-1 ИЗЛ ТИЗЛ’ MKC
Si 1,08 0,00015 0,002 4,6 4 2500
Ge 0,66 0,24 0,034 0,61 ч 150
GaSb 0,71 0,043 13 0,009 c 0,37
InAs 0,31 16 21 15 мкс 0,24
InSb 0,18 200 40 0,62 мкс 0,12
PbS 0,41 7,1 48 15 мкс 0,21
PbTe 0,32 40 52 2,4 мкс 0,19
PbSe 0,29 62 40 2,0 мкс 0,25
GaP 2,25 — 0,003 3000
Примечание. тизл, приведенное в последней графе, соответствует концен-
трации основных носителей 101’ см"*.
Проанализируем форму линии в спектре собственной межзонной
излучательной рекомбинации. В соответствии с принципом деталь-
ного равновесия, считая слабой частотную зависимость коэффи-
циента преломления п, из формулы (8.55) можно получить:
7? (v) — v2cc (v) e-hv/k*T. (8.57)
Для прямых разрешенных переходов в соответствии с форму-
лой (8.29) а ~ (/ту — ДЕ)1/2. Тогда форма линии межзонной излу-
чательной рекомбинации будет определяться произведением сте-
пенной (растущей) и экспоненциальной (спадающей) зависимостей.
Линия рекомбинационного излучения будет представлять собой
несимметричную кривую с максимумом. Значение энергии фотонов
в максимуме рекомбинационного излучения не соответствует шири-
не запрещенной зоны, как это ранее ошибочно полагалось. Ши-
рину запрещенной зоны можно определить при экстраполяции
к нулю длинноволнового края полосы межзонного рекомбинацион-
ного излучения, как показано на рис. 138, а.
Форму линии излучательной рекомбинации исследовали без
учета электронно-дырочного взаимодействия, которое сущест-
венно изменяет край полосы поглощения. Анализ спектров реком-
бинационного излучения с учетом экситонов и вообще электронно-
дырочного взаимодействия приводит к сложной структуре полосы
Рис. 138. Межзонная излу-
чательная рекомбинация в
прямозонном полупровод-
нике:
а — форма линии; б —
спектр рекомбинационного
излучения для германия;
1 — экспериментальная кри-
вая; 2 — кривая, полу-
ченная пересчетом с поправ-
кой на самопоглощение
288
собственного рекомбинационного излучения. Так как значения
коэффициента поглощения для экситонных линий с малыми значе-
ниями главного квантового числа (и = 1, 2) довольно высоки, то
с учетом соотношения (8.57) велика будет и интенсивность экси-
тонных линий (особенно с п = 1) в спектре собственной излуча-
тельной рекомбинации. Эксперимент, однако, показывает, что
интенсивность выходящего из образца рекомбинационного излуче-
ния больше вблизи края поглощения, чем в экситонной линии.
На рис. 138, б приведен спектр межзонного рекомбинационного
излучения для германия. Вблизи % = 1,5 мкм наблюдается экси-
тонный пик излучения, интенсивность которого меньше интенсив-
ности в собственной области. Этот эффект можно объяснить само-
поглощением излучения в среде кристалла. Экситонное излучение,
имеющее в точке его испускания большую интенсивность, чем
собственное, проходя через среду кристалла, до выхода из образца
претерпевает более сильное поглощение вследствие большего зна-
чения коэффициента поглощения в экситонной области спектра
поглощения. Если учесть эффект самопоглощения рекомбинацион-
ного излучения в образце, то вид спектра существенно изменится,
как это показано пунктиром на рис. 138, б, и интенсивность экси-
тонной линии (и = 1) будет выше интенсивности собственной по-
лосы рекомбинационного излучения.
Здесь следует заметить, что вид спектров экситонной излуча-
тельной рекомбинации существенно меняется при изменении тем-
пературы образца. Спектральные линии экситонов с повышением
температуры становятся шире вследствие увеличения кинетиче-
ской энергии движущихся экситонов. Однако это положение спра-
ведливо только для свободно движущихся экситонов. Такие экси-
тоны наблюдаются в очень чистых полупроводниках. Если же
в полупроводник введены примеси, то экситоны могут образовы-
вать с атомами примеси так называемые эксшпонно-примесные
комплексы. Связанный на примеси экситон локализован и не может
перемещаться по кристаллу. Поэтому линии излучения связанных
экситонов очень узкие, и ширина их не зависит от температуры.
Если изменять тип примеси, то энергии, соответствующие линии
экситонно-примесного комплекса, меняются. Например, для ком-
плекса экситон — нейтральный донор отношение энергии экси-
тонно-донорного комплекса Д£^_эКС к энергии донора \Ed изме-
няется в соответствии с отношением масс дырки и электрона в пре-
делах 0,055 < Д£^_экс/Д£^ <0,33. Нижний предел соответ-
ствует отношению масс т*р1гпп < 1, верхний предел — отношению
масс гпр1тп 1. Так, для кремния выведено эмпирическое пра-
вило Хейнса Д£^_экс/Д£^ =0,1. Для соединений ДПВУ1, где
отношение масс близко к 4, величина Д£^_экс/Д£^ = 0,3, а для
соединений Л111#7, где отношение масс порядка 10, величина
0,33.
Линии экситонно-примесных комплексов часто имеют фононные
повторения в спектре излучения, связанные с участием фононов или
10 Горбачев В. В., Спицына Л. Г.
289
их комбинаций в излучательном переходе электронов. На рис. 139
показан спектр фотолюминесценции CdS при температуре 1,6 К,
на’котором хорошо различима узкая линия /х связанного экситона
и ее различные фононные повторения, связанные с LO-, ТО-,
7\4-фононами и их комбинацией LO—ТА.
Наблюдение спектров излучения связанных экситонов в раз-
личным образом легированных полупроводниках может послу-
жить для определения энергетического положения уровней леги-
Рис. 139. ^Спектр фотолюминес-
ценции CdS. I, — бесфононная ли-
ния связанного экситона. =
= 0,0038 эВ; = 0,021 эВ;
ЛаьтО = 0,034 эВ
рующих примесей. К сожалению,
теория экситонно-примесных ком-
плексов развита пока только для
примесей с мелкими водородоподоб-
ными состояниями.
Мы уже указывали на возмож-
ность идентификации примесей по
спектрам примесного поглощения. Но
далеко не все примеси можно ввести
в полупроводник в концентрации,
достаточной для наблюдения примес-
ного поглощения. Ввиду малости ко-
эффициента поглощения в примесном
поглощении концентрация примесей
должна быть достаточной для полу-
чения отчетливых линий примесного
поглощения. Однако в излучательных
переходах можно изучать примесные
состояния даже при сравнительно не-
высокой концентрации примесей.
Рассмотрим форму линии примесной излучательной рекомби-
нации, что важно для определения энергетического положения
примесного состояния по спектрам рекомбинационного излучения.
Если имеются мелкие примесные состояния, то их удобнее интер-
претировать по излучательным переходам типа примесь — даль-
няя зона, а не примесь — ближняя зона. Как уже указывалось,
коэффициент примесного поглощения в этом случае соответствует
зависимости (8.37). Подставляя условие (8.37) в формулу (8.57)
для спектральной интенсивности рекомбинационного излучения
/ (v), получим
/ (v) ~ [hv - (ДЕ - АЕ/)]1/г ehv/k°T
fV2
{1 + [Ziv — (А^ — A^z)]}4’
где ДЕ/—энергетическое положение примесного состояния, от-
считанное от потолка валентной зоны, а форму линии определяют
два первых сомножителя: корневая зависимость и экспонента.
Форма спектральной линии примесной излучательной реком-
бинации аналогична представленной на рис. 138 для межзонной
излучательной рекомбинации с той разницей, что низкоэнергети-
ческий порог этой примесной полосы соответствует не энергии ДЕ,
290
как это было в межзонных переходах, а энергии ДЕ — ЛЕ,:
hvQ = \Е — NEt. Анализ показывает, что полуширина линии
примесного излучения (т. е. ширина на середине ее высоты) состав-
ляет величину ~1,8£07\ Таким образом, с понижением темпера-
туры линии примесного излучения сужаются. Так как вследствие
фононного излучения трудно точно определить положение низко-
энергетического порога hv0, то энергетическое положение примес-
ного уровня иногда определяют по максимуму примесной полосы.
Приведенная выше оценка полуширины линии показывает, что
ошибка в определении ДЕ, составляет при этом величину ~kQT и
будет тем меньше, чем ниже температура.
Если примеси присутствуют в полупроводнике с непрямыми
переходами, то так как примесные состояния обычно связаны
с экстремумами зон, описанные выше переходы примесь — даль-
няя зона будут также непрямыми. Межзонная излучательная ре-
комбинация, как и межзонное поглощение, в непрямозонных полу-
проводниках могут идти в основном только при участии фононов.
В непрямых переходах с участием примесей избыток или недоста-
ток импульса может компенсироваться локальными колебаниями
атома примеси, но может также компенсироваться и участием раз-
личных фононов решетки кристалла. Например, в спектре при-
месного излучения в кремнии, легированном бором, можно разли-
чить две полосы, одна из которых соответствует переходам элек-
тронов, из зоны проводимости на примесные уровни бора с уча-
стием ТА-фононов, а другая тем же переходам с участием ТО-фо-
нонов С ростом энергии ионизации примеси увеличивается энер-
гия связи электрона с примесным атомом и повышается вероят-
ность передачи избытка импульса электрона при непрямом пере-
ходе примесному атому, т. е. растет вероятность бесфононных при-
месных переходов. Доля излучательных переходов в таких бесфо-
нонных переходах очень велика (близка к 1), и было бы заманчиво
использовать такие переходы, повышая концентрацию примесей,
для получения интенсивного рекомбинационного излучения. Од-
нако растворимость известных примесей с нужной энергией иони-
зации, к сожалению, довольно низкая.
В широкозонных соединениях AnBVI и AmBv большой ин-
терес представляет широкая полоса излучения за краем поглоще-
ния, называемая краевым излучением. Исследование характери-
стик краевого излучения и его зависимости от типа и содержания
примесей в полупроводниках позволяет сделать заключение, что
в некоторых случаях оно хорошо описывается моделью излучения
донорно-акцепторных пар. Это излучение является процессом,
обратным поглощению света донорно-акцепторными парами, о ко-
тором говорилось в разделе 8.6. На рис. 126 приведен спектр фото-
люминесценции донорно-акцепторных пар в GaP.
Интенсивность излучательных примесей переходов зависит не
только от концентрации примесей, с помощью которой идут излуча-
тельные переходы, но и от заполнения этих и соседних с ними уров-
10*
291
ней примесных состояний в запрещенной зоне. Заполнение же при-
месных состояний определяется положением уровня Ферми в за-
прещенной зоне полупроводника. Регулируя положение уровня
Ферми введением дополнительных легирующих примесей или из-
менением температуры полупроводника, можно влиять на интен-
сивность примесных излучательных переходов. Процессы термо-
стимуляции и температурного гашения люминесценции, наблю-
даемые в ряде полупроводников, объясняются именно изменением
зарядного состояния уровней примеси, ответственных за люминес-
ценцию при изменении температуры за счет изменения положения
уровня Ферми. Исследование явления термостимулированной лю-
минесценции и температурного гашения люминесценции, а также
сходных с этими явлениями процессов оптического гашения люми-
несценции, когда примесные состояния перезаряжаются соответ-
ствующей подсветкой, дает обширную информацию об энергети-
ческом положении и сечениях захвата электронов и дырок для
различных примесных состояний в полупроводниках.
В исследовании излучения полупроводников и диэлектриков
исторически сложились два термина — люминесценция и реком-
бинационное излучение. Фото- и электролюминесценция кристал-
лов начали исследоваться значительно раньше, чем были заложены
основы физики и полупроводников. С развитием зонной теории
твердого тела и экспериментальным исследованием свойств полу-
проводников стало понятно, что и люминесценция кристаллов, и
излучательная рекомбинация в полупроводниках имеют общую
природу — переходы электронов в твердом теле из одного энерге-
тического состояния в другое с излучением световой энергии.
8.12. СПОНТАННОЕ И ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ЛАЗЕРЫ
Если переход электрона с уровня Е2 на уровень Ег совершается
под внешним воздействием, то такой переход называется вынужден-
ным. Если переход с уровня £2 на уровень Е± совершается без
внешнего воздействия, самопроизвольно, то такой переход назы-
вается спонтанным. Очевидно, согласно закону сохранения энер-
гии переходы, связанные с увеличением энергии электрона (напри-
мер, переходы при оптическом поглощении), могут быть только
вынужденными. Переходы же, связанные с понижением энергии
электрона (например, излучательные переходы), могут быть как
спонтанными, так и вынужденными. Таким образом, излучатель-
ная рекомбинация может быть как спонтанной, так и вынужден-
ной. Вынужденная рекомбинация может, например, происходить
под действием фотонов, энергия которых равна разности энергий
Е2 — Ег = hv (если Е2 — энергия электронов в зоне проводимости
а Е± —энергия в валентной зоне).
Плотность фотонов Q (v) в системе при температуре Т описы-
вается распределением Планка (8.54), которое мы уже приводили.
292
в связи с вычислением скорости равновесной излучательной ре-
комбинации в теории Шокли—Ван-Русбрека. Скорость генерации
пар G12 под действием излучения с энергией фотонов hv12 = Е2 —
— Е± записывается в виде:
G12 = А(1 - f2) Q (v12), (8.58)
где A12Q (v12) — вероятность переходов из состояния 1 в 2; Nr и
N2 — плотность состояний на уровнях 1 и 2; — функция рас-
пределения электронов для состояния 1.
Тогда величины N2 (1 — f2) — плотность электронов на
нижнем и дырок на верхнем уровне соответственно. Скорость ре-
комбинации можно записать в виде:
/?21 = Л21Л^2Л\ (1 - Л) Q (v12) + B21N2f2N, (1 - Л), (8.59)
где первый член характеризует вынужденную рекомбинацию,
которая зависит от имеющейся плотности фотонов Q (v12), а второй
член — спонтанную рекомбинацию, которая не зависит от имею-
щихся в системе фотонов и вероятность которой определяется
коэффициентом В21.
В состоянии термодинамического равновесия скорость гене-
рации равна скорости спонтанной рекомбинации, поэтому, прирав-
нивая выражения (8.58) и (8.59), получим
Л23 (v12) h ( 1 - f2) = (Vl2) + B211 [f2 (1 - fl)].
Обычно A21 = A12 (мы полагали факторы вырождения уровней
Е2 и Ег равными 1). Тогда получим (1 —f2)l [f2 (1 —Л)] =
= exp [(Е2 — E^/k^T]. Следовательно: A21Q (v12) {exp 1(£2 —
-EJ/koT] - 1} = B21.
Подставляя сюда выражение для плотности фотонов Q (v12)
из формулы (8.54), получим
^21 _ Г Е2 — Е1 _ -1 8лп3 (v12)2____________1
Л21 L Р k0T J с3 ehv12/k0T _ j *
Учитывая, что Е2 — Е± = hv12, и проводя сокращение, полу-
чим отношение коэффициентов спонтанного и вынужденного излу-
чений в виде В/А = 8лп3у2/с3.
Это отношение растет с частотой излучения, как v2, и тем больше,
чем больше показатель преломления й в полупроводнике. Отноше-
ние вероятностей этих процессов будет выражаться в виде:
^спонт (v)/[№BblH (v)] - B/[AQ (v)] = exp (hv/k0T) - 1.
При вынужденной рекомбинации излучается фотон той же
частоты, того же направления распространения и той же фазы, что
и фотон, вызывающий рекомбинацию. При спонтанной рекомбина-
ции излучаемые фотоны имеют случайное распределение волновых
векторов и фазы, но вследствие выбранных нами энергий началь-
ного и конечного состояний одинаковую энергию hv12. В состоянии
равновесия протекает преимущественно спонтанная рекомбинация.
Когда система не находится в состоянии равновесия, а возбуждена,
293
то растет скорость рекомбинации электронов, а. е. растет скорость
генерации фотонов и увеличивается среднее число фотонов в си-
стеме. С увеличением числа фотонов скорость вынужденной реком-
бинации будет возрастать, однако будет расти и поглощение фото-
нов в системе. Разберем, при каких условиях интенсивность вы-
нужденного излучения может превысить интенсивность поглоще-
ния. В конечном итоге это приведет к возрастанию интенсив-
ности монохроматического когерентного излучения и возникно-
вению лазерного излучения.
Рассмотрим соотношение между процессами вынужденного
Рис. 140. Инверсное запол-
нение зон полупроводника
в идеализированном случае
полного отсутствия погло-
щения в интервале энергии
АЕ < hv < АЕ 4- гп + ер:
1 — излучение; 2 — погло-
щение
излучения и поглощения в зависимости от заполнения верхнего и
нижнего -энергетических состояний. Пусть
процессы вынужденного излучения и по-
глощения происходят в прямозонном полу-
проводнике, распределение носителей в
зонах которого условно показано штри-
ховкой на рис. 140. Заштрихованные об-
ласти энергии соответствуют заполненным
состояниям. Из рассмотрения заполнения
состояний на рис. 140 можно сделать вывод
о невозможности поглощения в этой систе-
ме фотонов с энергиями в пределах АЕ с
< hv < Д£ + если сохраняется
указанное распределение электронов по
состояниям. Квантовомеханический расчет
показывает, что скорость вынужденной
рекомбинации будет превышать интенсив-
ность поглощения, если в системе +
+ > 2kQT. Такое распределение по со-
стояниям, когда заселенность верхних уровней энергии выше,
чем нижних, называется инверсным распределением, а соответст-
вующая заселенность уровней инверсной заселенностью. Таким
образом, одно из условий возрастания вынужденного излучения —
создание и поддержание инверсной заселенности состояния в по-
лупроводнике. В максимуме спектрального распределения будет
наибольшее число фотонов, и поэтому число вынужденных пе-
реходов на этой частоте будет сильнее возрастать, из-за чего су-
зятся линии и спектр излучения. Это возрастание интенсивности
излучения в максимуме спектра называется усилением. Если
интенсивность излучения растет сверхлинейно с уровнем воз-
буждения, то процесс называется сверхсвечением. Однако излу-
чение продолжает оставаться некогерентным, так как усиливаться
будет излучение всех фаз. Для создания когерентности излучения
необходимы особые условия в системе, выделяющие излучение с
определенной фазой, т. е. нужно поместить систему в резонатор,
в котором возможно образование стоячих волн для излучения
определенной длины волны. Резонатор представляет собой систему
двух параллельных отражающих плоскостей — зеркал, на рас-
294
стоянии I между которыми укладывается целое число полуволн
излучения. Это условие можно записать в виде: mX/(2n) = I (8.60),
где т — целое число; X — длина волны излучения; п — показа-
тель преломления; I — длина резонатора.
Это условие будет выполняться для некоторого набора длин
волн, которые будут определять моды колебаний, образующих
стоячие волны в резонаторе. Расстояние между модами будет за-
даваться условием: ДХ = X2/ [2Z (п — X dn/dk) ].
С увеличением уровня возбуждения интенсивность излучения
растет различным образом в зависимости от того, перейден или
нет так называемый порог возбужде-
ния. Порог возбуждения определяет
уровень возбуждения, ниже которого
излучение в основном спонтанное, а
выше излучение в основном вынуж-
денное, и интенсивность его резко
возрастает с дальнейшим ростом уров-
ня возбуждения. На рис. 141 приве-
дена зависимость интенсивности излу-
чения от уровня возбуждения для
случая, когда возбуждение произво-
Рис. 141. Мощность излучения по -
лупроводникового лазера в зави-
симости от уровня возбуждения:
/ — спонтанное; 2 — вынужденное
излучение
дится инжекцией при пропускании
прямого тока через р — п-переход.
Тогда мерой уровня возбуждения
можно принять плотность тока через
р — n-переход. Излучение выше по-
рога может не обладать когерентностью, и тогда оно будет сверх-
сечением, а не лазерным излучением. Степень когерентности бу-
дет определяться таким качеством резонатора, которое обеспечит
преимущественное усилие определенных мод излучения.
Полупроводниковые лазеры в зависимости от способа возбуж-
дения, выбранного для поддержания инверсной заселенности со-
стояний, можно классифицировать следующим образом: полупро-
водниковые квантовые генераторы с возбуждением инжекцией
в р — n-переходе; лазеры с оптическим возбуждением, в которых
накачка производится светом с подходящей длиной волны и высо-
кой интенсивности; лазеры с возбуждением электронным пучком.
8.13. ФОТОПРОВОДИМОСТЬ
Фотоэлектрическими эффектами называют такие эффекты в полу-
проводниках, когда освещение изменяет электрические свойства
полупроводника. В первую очередь речь будет идти об изменении
электропроводности полупроводника под действием освещения.
Это явление получило название фотопроводимости. Помимо этого
эффекта, в особых условиях, когда в освещаемом полупроводнике
каким-либо способом созданы некоторые неоднородности и, следо-
вательно, отличный от нуля градиент уровня Ферми, в полупро-
295
водниках возникают разнообразные фотовольтаические эффекты.
Общей чертой этих эффектов является создание в полупроводнике
э. д. с. под действием освещения. К числу важнейших среди них
относятся: фото-э. д. с. на р — n-переходе; э. д. с. Дембера; фото-
магнитная э. д. с., называемая иначе ФЭМ-эффектом (фотоэлек-
тромагнитным эффектом) Кикоина—Носкова, и некоторые другие
явления.
Все эти эффекты могут появляться в полупроводнике под дей-
ствием освещения при условии, что в кристалле происходит
фотоэлектрически активное поглощение света. Фотоэлектрически
активным мы будем считать такое поглощение света, которое изме-
няет концентрацию носителей заряда либо в некоторых случаях
изменяет подвижность носителей заряда.
Как мы знаем, концентрация носителей заряда может изме-
няться за счет собственной или примесной генерации. При фото-
электрических явлениях примесная или собственная генерация
осуществляется при освещении кристалла. Подвижность носителей
заряда*под действием света может меняться, когда при освещении
изменяется энергетическое состояние носителей заряда, изменяя
их эффективную массу (изменяя закон дисперсии), или изменяется
характер рассеяния носителей заряда, изменяя время релаксации.
Обычно широко исследуются и уже нашли применение в технике
фотоэлектрические явления, вызванные изменением концентрации
носителей заряда при освещении. Поэтому здесь мы остановимся
на некоторых особенностях именно этого класса фотоэлектриче-
ских явлений.
Изменение проводимости цод действием освещения при генера-
ции светом избыточных концентраций Д/г и электронов, и Др
дырок можно записать в виде величины Досв — световой прово-
димости'. Досв = е^^Д/г + ерррДр.
Если Д jGB > 0, то эффект называется положительным, а если
Дасв <0, то эффект называется отрицательным фоторезистив-
ным эффектом.
Проводимость, создаваемую равновесными носителями заряда
(в отсутствие освещения), мы будем называть темновой проводи-
мостью сгт: ог = eprt/i0 + Полная проводимость при осве-
щении о будет представлять собой сумму: o' = осв + егт (8.61).
Теоретическое описание явления фотопроводимости, таким
образом, требует определения временного и пространственного
распределения избыточной концентрации носителей заряда, кото-
рое, как мы установили ранее, можно найти, решая уравнения не-
прерывности для электронов и дырок при задании различных гра-
ничных и начальных условий. Самое общее решение уравнения
непрерывности невозможно, так как выбор конкретного выраже-
ния для скорости рекомбинации и скорость генерации будут опре-
деляться конкретными внешними условиями, интенсивностью и
длиной волны используемого освещения, действующими в кри-
сталле механизмами рекомбинации носителей заряда. Поэтому
296
в каждом конкретном случае необходимо решение своего уравне-
ния непрерывности.
Фотопроводимость можно изучать в разных условиях, но основ-
ными режимами являются: режим стационарной фотопроводимости
и режим кинетики фотопроводимости (т. е. ее временной зависи-
мости). Исследование спектральной зависимости фотопроводимо-
сти и ее изменение при изменении температуры и дополнительной
подсветки, а также исследование нарастания и спада фотопроводи-
мости представляют собой мощный инструмент исследования
структуры энергетических зон полупроводника, энергетического
положения глубоких и мелких примесных состояний, сечения их
фотоионизации и сечений захвата ими носителей заряда, времени
жизни носителей заряда и идентификации примесей в полупровод-
никах.
Спектральные характеристики фотопроводимости определяются
действующими в данном полупроводнике механизмами поглоще-
ния света и рекомбинации генерированных светом носителей. Фо-
тоэлектрически активными механизмами поглощения света будут
такие механизмы оптического поглощения, которые изменяют кон-
центрацию носителей заряда в зоне проводимости или в валентной
зоне или в той и другой зонах.
Зная основные механизмы поглощения света, мы моШем выде-
лить среди них фотоэлектрически активные механизмы: собствен-
ное и примесное поглощение, а также экситонное поглощение.
Экситонное поглощение само по себе не создает свободных носите-
лей заряда. Экситон^— нейтральная система и участвовать непо-
средственно* электропереносе не может. Но при дальнейшем теп-
ловом распаде экситона (напомним, что энергии связи экситонов
невысоки ~0,01 эВ) появляется пара носителей — электрон в зоне
проводимости и дырка в валентной зоне, которые могут давать
вклад в электропроводность.
Среди обсуждаемых механизмов поглощения света есть и такие,
которые приводят к изменению электропроводности полупровод-
ника путем изменения подвижности носителей заряда. Например,
селективное поглощение свободными дырками или электронами
обязательно изменяет их эффективную массу, внутризонное погло-
щение свободными носителями может привести к разогреву газа
свободных носителей и изменить время релаксации и т. д.
Количественная характеристика явления фотопроводимости —
фоточувствительность. Существует несколько способов опреде-
ления фоточувствительности, и поэтому имеет смысл остановиться
на этом подробнее.
Обычно под фоточувствительностью понимают фотопроводи-
мость на единицу интенсивности возбуждающегося излучения, т. е.
изменение электропроводности, отнесенное к интенсивности воз-
буждения. Величина, называемая удельной фоточувствитель-
ностью, имеет размерность [см/(Ом-Вт) ], получаемую умноже-
нием фотопроводимости на площадь пространства между электро-
297
дами и делением на мощность поглощенного излучения. Если фото-
проводимость линейно меняется при изменении напряжения или
интенсивности света, то удельная фоточувствительность не будет
зависеть от приложенного напряжения или интенсивности света.
Удельная фоточувствительность характеризует свойства данного
вещества. Покажем, что она пропорциональна времени жизни
носителей заряда и их подвижности.
Если скорость генерации равна G, то в условиях невысокого
уровня возбуждения и линейной рекомбинации избыточная кон-
центрация носителей заряда стационарна и равна: An = Grn;
Др = Стр, (8.62), где тп, хр—времена жизни электронов и дырок.
Подставляя выражения (8.62) в формулу (8.60), получим
Д<тсв = Ge (ц„т„ + |лрТр). (8.62а)
Известно, что скорость генерации определяется как число пар,
генерируемых в единицу времени в единице объема. Поэтому
G = iqa/0 (1 — /?), где /0 — интенсивность света, падающего на
единицу площади образца; R — коэффициент отражения; а —
коэффициент поглощения; т] — квантовый выход, определяющий
число пар, генерируемых при поглощении одного фотона.
Тогда определяем, как было указано выше, удельную фоточув-
ствительюость р соотношением Р = ДсгС115/(/о)полн, где S — пло-
щадь между электродами (фактически это освещаемая площадь
образца); (/0)ПОлн — полная интенсивность света, падающего на
всю освещаемую поверхность образца.
Подставляя выражение (8.60) в формулу (8.62а) и учитывая
условие (8.62) и то, что (/0)полн = Z0S, получим:
р = tjoc/q (1 /?) в (pnTrt ЦрТр) 5/(/0)полн —
= Т|оо (1 -7?)е(рптп + рртр).
Таким образом, удельная фоточувствительность р, называемая
также фотоответом, определяется важнейшими параметрами по-
лупроводника: временем жизни и подвижностью носителей заряда,
коэффициентами поглощения и отражения света в данной спек-
тральной области, квантовым выходом фотоионизации.
В инфракрасной технике для характеристики фоточувствитель-
ности фоторезистивных детекторов излучения используется вели-
чина, практически более важная, чем удельная фоточувствитель-
ность р. Эта величина равна мощности излучения, необходимой
для получения сигнала, равного шуму детектора. Фоторезистивный
детектор — приемник светового излучения, работа которого в из-
мерительной цепи основана на изменении сопротивления под дей-
ствием падающего на него излучения. Шум в цепи фотоприемника
вызывается различными контактными явлениями, флуктуациями
концентрации носителей и интенсивности падающего излучения,
а также флуктуациями теплового излучения окружающей среды.
При таком подходе термин «фоточувствительность» нередко свя-
зывается с отношением сигнал—шум.
298
Часто используется третий возможный способ определения
фоточувствительности фотопроводников как числа носителей,
проходящих между электродами в 1 с на каждый поглощенный
в 1 с фотон. Это отношение называется фотоэлектрическим усилием
К и определяется соотношением KGV = Ысв/е, где Д/св— при-
ращение тока под действием освещения; G — скорость световой
генерации; V — объем фотопроводника.
Генерация предполагается равномерной по объему, т. е. рас-
сматривается случай невысоких значений коэффициента погло-
щения а.
Усиление £ можно также выразить как отношение времени
жизни свободных носителей заряда к времени, которое требуется
для прохождения носителя между электродами (время дрейфа,
или время пролета): Д' = nn/tn + \ИР, где tn и tp —времена
пролета электронов и дырок.
Если разность потенциалов, приложенная между электродами
U = \ E\/L (где L —длина образца между электродами, а £ —
напряженность однородного электрического поля в образце), то
tn,p = L/(iin>p\E\) = L^n>pU).
Следовательно, выражение для усиления Д имеет вид:
= (U/L2) (т„щ + трр,р).
Выбор количественной характеристики фотопроводимости опре-
деляется задачей экспериментального исследования и используе-
мой схемой измерения фотопроводимости. Явление фотопроводи-
мости давно привлекает внимание и как мощный инструмент ис-
следования в физике полупроводников, и как явление, имеющее
широкое техническое применение. В этой области выполнено очень
большое число исследовательских работ и получен обширный экс-
периментальный материал, разнообразный как по исследовав-
шимся полупроводникам, так и по используемым методикам иссле-
дования фотопроводимости. Интерпретация многих физических
явлений в физике фотопроводимости еще недостаточно разработана
теоретически, однако следует заметить, что по исследованию фото-
проводимости получены сведения о различных свойствах зонной
структуры и примесных состояний, а также о характеристиках не-
равновесных явлений в полупроводниках.
В качестве примера на рис. 142 приведены спектры собствен-
ной фотопроводимости некоторых полупроводников. Видно, что
спектральная область собственной фоточувствительности опреде-
ляется шириной запрещенной зоны полупроводника. Длинно-
волновый край спектра фоточувствительности соответствует краю
собственного поглощения. Спад чувствительности на коротковол-
новом краю объясняется уменьшением скорости генерации* носи-
телей при большом коэффициенте поглощения фотонов в глубине
собственного поглощения.
299*
Рис. 142. Спектральные
кривые относительной фо-
точувствительности для не-
которых полупроводников
(кривые нормирования)
На рис. 143 приведены спектры фотопроводимости германия
с примесью золота. Этот пример очень интересен как иллюстрация
различного проявления одной и той же примеси в эффекте фото-
'/////////////, Ес
-----------------Ев3(Ес-0,05зВ)
------Еаг(Ес- 0,20 зВ)
------Eaj (Еу*0,16зВ)
------Ed (Еу+0,05зВ)
б
Рис. 143. Спектр относительной фо-
точувствительности, связанной с
четырьмя уровнями примеси золота
в германии (а) и система энергети-
ческих уровней примеси золота в
германии (б)
проводимости в зависимости от усло-
вий легирования другими примесями.
Примесные атомы золота в германии
имеют четыре состояния в запрещен-
ной зоне, энергетическая схема кото-
рых показана на рис. 143, б. Свойст-
ва образцов, не содержащих, кроме
золота, никаких примесей, при низ-
кой температуре должны определять-
ся образованием дырок в валентной
зоне при ионизации акцепторного
уровня Еа1 = Ev + 0,16эВ. Если же
присутствуют некоторые примеси III
группы, то происходит компенсация
донорного уровня Ed = Ev + 0,05 эВ
акцепторами III группы. Если кон-
центрация примесей III группы мень-
ше концентрации атомов золота, то
в результате захвата электронов из
валентной зоны на пустые донорные
уровни будут образовываться дырки.
Присутствие двух верхних акцептор-
ных уровней можно обнаружить в
фотопроводимости путем введения
примесей V группы. Электроны от
этих примесей (доноров) последова-
тельно заполняют акцепторные уров-
ни, благодаря чему станет возмож-
ным фотовозбуждение электронов с
верхних акцепторных уровней в зону
проводимости. Наибольшее примене-
300
ние нашел уровень Еа1 = Ev + 0,16 эВ. Край обусловленного
им спектра примесной фотопроводимости расположен при X =
= 9 мкм. На основе германия с золотом изготовляются различные
фотодетекторы для инфракрасной области спектра. В современ-
ной ИК-спектроскопии используется широкий класс фотоприемни-
ков из различных материалов, работающих на собственном и
примесном фоторезестивном эффекте. Приемники излучения мо-
гут быть сконструированы и на основе использования фотоволь-
таических явлений в полупроводниках.
8.14. ФОТОВОЛЬТАИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Как уже указывалось, фотовольтаические эффекты представляют
собой такие явления в полупроводниках, когда под действием
света возникает э. д. с. Свет создает избыточную концентрацию
носителей заряда. Общей чертой всех фотовольтаических эффек-
тов является то, что в кристалле возникают внутренние локальные
электрические поля, под действием которых движутся и накапли-
ваются генерированные светом носители, создавая объемный заряд
и, как следствие, фото-э. д. с.
Внутренние поля могут быть обусловлены неоднородным леги-
рованием полупроводника (например, в р — n-переходе), измене-
нием состава кристалла (случай гетероперехода), поверхностными
состояниями (например, барьеры Шоттки).
Рассмотрим подробнее возникновение фото-э. д. с. при освеще-
нии р — п-перехода. Ранее приводилась зонная диаграмма р — п-
перехода в состоянии термодинамического равновесия (см.
рис. 70, а) и его вольтамперная характеристика (см. рис. 71).
В состоянии термодинамического равновесия в р •— п-переходе
возникает потенциальный барьер и внутреннее электрическое поле
Это электрическое поле экранировано в объеме полупроводника и
не создает э. д. с. Если приложить к р — n-переходу прямое сме-
щение за счет внешнего источника э. д. с. (полярность внешнего
источника и полярность внутреннего поля р — n-перехода противо-
положны при прямом смещении), то потенциальный барьер пони-
зится и ток через р — п-переход будет экспоненциально расти
с напряжением. Здесь неравновесное состояние — протекание
тока / через р — п-переход — достигается приложением внешней
разности потенциалов V, и вольтамперная характеристика имеет
вид:
l=/s(e-eV^T- 1). (8.63)*
При этом, как указывалось ранее, значение V <0 соответ-
ствует прямому смещению.
Если никакого внешнего напряжения к р — n-переходу не
приложено, то в равновесном состоянии в области р — п-перехода
3011
протекают компенсирующие друг друга электрические токи элек-
тронов и дырок: диффузионный — за счет градиента концентра-
ции, заданного легированием, и дрейфовый — во внутреннем
поле потенциального барьера р — n-перехода. Результирующий
ток будет равен нулю. Пусть теперь полупроводник освещается
светом с энергией фотонов hv \Е, достаточной для собственной
генерации; тогда генерированные светом избыточные электронно-
дырочные пары будут дрейфовать в разные стороны в той области,
где существует внутреннее^поле р — n-перехода и таким образом,
будут разделяться’избыточные носители заряда. Разделяться бу-
дут не только пары, генерированные в пределах р — п-перехода,
но и большинство пар, находящихся не далее диффузионной длины
Рис. 144. Схема освещаемого р — п-
перехода
от р — n-перехода, так как вблизи
р — n-перехода создается градиент
концентрации избыточных носите-
лей заряда и неосновные избыточ-
ные носители будут диффундиро-
вать в р- и n-областях к р — п-
переходу и затягиваться его полем.
Поле р — n-перехода будет соби-
рать неосновные избыточные но-
сители заряда из слоев толщиной
основных носителей заряда
порядка диффузионной длины не-
по обе стороны от р — п-перехода
как это показано на рис. 144.
Таким образом, мы получили при освещении, что через р — п-
переход, помимо компенсирующих друг друга равновесных токов
электронов и дырок, потечет дополнительный ток избыточных носи-
телей заряда, генерированных светом. Условие протекания этого
тока можно описать тем же уравнением (8.63), однако в этом слу-
чае /ф и соответствующая ему разность потенциалов на р — п-пере-
ходе Уф получены не за счет внешнего источника э. д. с., а за счет
освещения:
;t = 7s(e-w-i).
(8.64)
Следовательно, освещенный р — n-переход является источни-
ком э. д. с. (более точно фото-э. д. с.). Разность потенциалов в
в разомкнутой цепи (напряжение холостого хода) будет равна Уф,
а если цепь замкнуть накоротко, то ток короткого замыкания
в цепи будет равен по величине /ф.
Можно грубо оценить величину тока короткого замыкания /ф, полагая, что
диффузионные длины неосновных носителей заряда много больше толщины слоев
объемного заряда р — n-перехода. Тогда /ф = е (Ln + Lp) GS, где S — пло-
щадь р — n-перехода; G — скорость генерации пар.
Таким образом, ток короткого замыкания должен линейно возрастать с уве-
личением интенсивности освещения (скорость генерации пропорциональна ин-
тенсивности освещения), а напряжение холостого хода в соответствии с фор-
302
мулой (8.64) должно при растущем токе /ф увеличиваться с интенсивностью осве-
щения по логарифмическому закону.
Если во внешней цепи освещаемого р — n-перехода (фотодиода) включить
сопротивление конечной величины, то фототок во внешней цепи будет меньше
тока короткого замыкания, соответственно уменьшится и фотонапряжение на
р — n-переходе. Тогда вольтамперная характеристика фотодиода с внешней
нагрузкой будет иметь вид: j — /ф — js (e~eV^k°T — 1). С ростом интенсивности
освещения фото-э. д. с. будет стремиться к насыщению, определяемому высотой
потенциального барьера р — n-перехода без освещения, которая в свою очередь
ограничена шириной запрещенной зоны полупроводника.
Фотодиод может использоваться как преобразователь световой
энергии в электрическую. Если фотодиод сконструирован для
преобразования световой энергии солнца в электрическую, то
его называют элементом солнечной батареи. Солнечную батарею
обычно собирают из многих отдельных элементов, соединяемых
параллельно и последовательно в виде блоков. Наиболее важный
показатель работы элемента солнечной батареи — к. п. д. преоб-
разования энергии и выходная мощность. С увеличением ширины
запрещенной зоны используемого в элементах батареи полупро-
водника растет максимальная фото-э. д. с. и уменьшается ток на-
сыщения /$, но повышается также и пороговая энергия фотонов,
генерирующих носители заряда, и уменьшается часть полезно
используемого спектра солнечного света. Поэтому существует не-
которая оптимальная величина ширины запрещенной зоны полу-
проводника в солнечной батарее, составляющая в космосе 1,6 эВ,
я на поверхности земли с учетом поглощения света атмосферой —
около 1,5 эВ. С учетом потерь на рекомбинацию (до 1/3 падающей
энергии) и потерь на отражение (~х/3 падающей энергии) макси-
мальный к. п. д. солнечной батареи при ДЕ в интервале значений
1 — 1,5 эВ мог бы достигать ~40 %. На кремнии достигнут к. п. д.
около 14 %. На материале с большей шириной запрещенной
зоны — арсениде галлия—11 %. Оптимальным материалом мог
бы быть теллурид кадмия, но уровень технологии его получения
и обработки пока менее совершенен, чем для арсенида галлия и
тем более для кремния.
Фотоэлементы ср — n-переходом нашли широкое применение
как фотодетекторы наряду с фотоприемниками на фоторезистивном
эффекте — фэтосопротивлениями. Фотоэлементы используются
также в так называемом’вентильном режиме с подачей на фото-
диод запирающего внешнего смещения, величина которого подо-
брана так, чтобы при освещении диод «отпирался», т. е. переходил
в проводящее состояние. Такое использование фотоэлементов
удобно в различных цепях автоматики.
Рассмотрим теперь объемные фотовольтаические эффекты:
возникновение фото-э. д. с. при неравномерной генерации —
фото-э. д. с. Дембера и возникновение фото-э. д. с. в магнитном
поле — ФЭМ-эффект Кикоина—Носкова.
Пусть полупроводник освещается сильно поглощаемым светом,
генерирующим электронно-дырочные пары. Генерация избыточ-
зоз
ных носителей будет неравномерной, спадая по экспоненциальному
закону в глубь образца в соответствии с законом Буггера—Лам-
берта, описывающим спад интенсивности поглощаемого света
с удалением от освещаемой поверхности. Благодаря созданному
градиенту избыточной концентрации носителей заряда будет про-
исходить их биполярная диффузия в глубь образца. Так как диффу-
зионные потоки электронов и дырок направлены в одну сторону,
то направления электрических токов электронов и дырок различны
и эти токи компенсировали бы друг друга полностью при одинако-
вых значениях коэффициентов диффузии электронов и дырок.
Однако вследствие того, что коэффициент диффузии у электронов
больше, чем у дырок, нарушаются условия электронейтральности
(дырки обгоняются электронами) и возникают объемные заряды,
приводящие к появлению электрического поля, направленного
вдоль распространения поглощаемого света. Мы уже указывали на
возникновение этого поля в разделе 4.10, посвященном биполярной
диффузии носителей заряда. Возникающая при этом э. д. с. назы-
вается э. д. с. Дембера. Величину э. д. с. Дембера можно найти,
если приравнять нулю полный ток в освещаемом полупроводнике,
состоящий из суммы диффузионных компонент, вызванных полем,
Дембера. Расчет показывает, что э. д. с. Дембера между точками
1 и 2 образца будет выражаться как Vg = kQT (pn — рр) х
X In (or2/tfi)/te (pn + Pp)] (8.65), где и п2 — электропроводно-
сти в точках 1 и 2 образца.
При малом уровне освещения: о2 = ai + = ai (1 +
+ Ao/nJ Ор Разлагая натуральный логарифм в формуле (8.65)
в ряд и ограничиваясь первым членом разложения, получим:
И? k0T — Цр) Дог/ [е (ц„ + цр) oj.
Таким образом, э. д. с. Дембера тем больше, чем больше раз-
ница в подвижностях электронов и дырок и чем меньше исходная
электропроводность кристалла. Уменьшение э. д. с. с ростом элек-
тропроводности полупроводника характерно не только для эф-
фекта Дембера, но и для т. э. д. с. и других объемных эффектов
в неоднородных полупроводниках. Это связано с тем, что проте-
кающий в условиях нарушения электронейтральности дрейфовый
-> ->
ток jd = gE равен диффузионному току, заданному неоднород-
ностью, созданной в кристалле. Тогда электрическое поле Е,
а значит, и э. д. с. соответствующего эффекта тем больше, чем
меньше электропроводность кристалла.
ФЭМ-эффект Кикоина—Носкова, так же как и эффект Дем-
бера, является объемным фотовольтаическим эффектом. Предста-
вим себе, что на образец, освещаемый с одной поверхности так же,
как при эффекте Дембера, действует магнитное поле, направлен-
ное перпендикулярно распространению света в кристалле. Тогда
диффузионные потоки избыточных электронов и дырок, движу-
щиеся в глубь образца вследствие градиента избыточной концен-
трации, созданной неоднородной генерацией светом, будут пово-
304
рачиваться магнитным полем к противоположным граням образца,
параллельным направлениям распространения света и магнитного
поля. Этот эффект аналогичен эффекту Холла, только в эффекте
Холла магнитное поле поворачивало дрейфовые потоки носителей
заряда, задаваемые внешним электрическим полем. Различие со-
стоит в том, что дрейфующие в разные стороны в эффекте Холла
электроны и дырки поворачивались магнитным полем к одной
грани образца, а в случае ФЭМ-эффекта диффузионные потоки
электронов и дырок направлены в одну сторону и магнитное поле
разворачивает их к разным граням образца.
ФЭМ-эффект в отличие от эффекта Дембера не связан с обяза-
тельной разницей подвижностей электронов и дырок, так как он
для электронов и дырок является эффектом суммарным, а не раз-
ностным.
ФЭМ-эффект может наблюдаться в области как собственного,
так и примесного поглощения. Исследуя спектральные характе-
ристики ФЭМ-эффекта, можно получить информацию о параметрах
зонной структуры и примесных состояний в полупроводнике.
ФЭМ-эффект определяется как объемным временем жизни носите-
лей заряда, так и скоростью поверхностной рекомбинации, и по-
этому этот эффект может быть использован для определения этих
параметров полупроводника даже в случае малых времен жизни.
Выражения э. д. с. ФЭМ-эффекта или тока короткого замыкания
в этом эффекте существенно различаются при задании различных
условий эксперимента, соотношения скорости поверхностей реком-
бинации, времени жизни носителей заряда, размеров образца,
уровня возбуждения, задаваемого интенсивностью генерирующего
носителя света, и т. д. Поэтому при использовании различ-
ных теоретических зависимостей для обработки полученных
экспериментальных результатов следует внимательно отнес-
тись к условиям применимости выбранных теоретических зависи-
мостей.
8.15. МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ И МЕТАЛЛАХ
Рассмотренный выше ФЭМ-эффект Кикоина—Носкова, вообще
говоря, является магнетооггт-ическим эффектом. Но обычно, когда
говорят о магнетооптических эффектах, как некотором классе
явлений, то имеют в виду магнетооптические явления в сильных
магнитных полях или специальные резонансные эффекты в силь-
ных магнитных полях.
Рассмотрим влияние сильного магнитного поля на состояния
равновесных электронов и дырок в полупроводниках. Начнем
с описания простой классической модели — описания явления
резонанса между частотой приложенного экспериментального поля
и частотой вращательного движения электрона, помещенного
11 Горбачев В. В., Спицына Л. Г.
305
ё постоянное магнитное поле. Электрон, движущийся со скоростью
v0, в постоянном магнитном поле испытывает действие силы Ло-
ренца =-’ е h0£l- Эта сила перпендикулярна как направлению
скорости п0, так и направлению вектора магнитной индукции В, и
благодаря ей электрон будет закручиваться в магнитном поле.
Если г — радиус окружности, а со — угловая скорость вращения
электрона, то линейная скорость его движения по круговой орбите
v0 = сог. Ускорение, направленное к центру окружности, будет
равно Vq/г = со2г. Центростремительная сила пи^г должна быть
равна по величине силе Лоренца ev0B. Тогда /исо2г = есогВ. Откуда
со = еВ/т.
Частота, определяемая этим условием, названа циклотронной
частотой, так как она определяет условие ускорения заряженных
частиц в циклотроне. В кристалле можно создать условия, анало-
гичные условиям в циклотроне.
Если поместить кристалл в постоянное магнитное поле и облу-
чать его высокочастотным электромагнитным излучением, частота
которого равна циклотронной частоте, то будет резонанс в погло-
щении энергии электромагнитного излучения. По частоте резо-
нансного поглощения можно установить циклотронную частоту
социкл = еВ/т*, по которой можно вычислить эффективную массу
носителей заряда /и*.
Заметим, что масса, вычисленная по циклотронной частоте,
совпадает с эффективной массой только в случае сферических
поверхностей постоянной энергии. Если поверхность постоянной
энергии — эллипсоид и компоненты тензора эффективной массы
по главным осям эллипсоида тхх, туу, mzz, то вычисленная по
циклотронной частоте эффективная масса /пцикл будет называться
циклотронной эффективной массой и задаваться соотношением
1//и^кл = cos2 aj(myymzz) + cos2 a2/(/nxx/n22) + cos2 a3/(m^m22),
где a19 a2, a3 — углы между направлением магнитного поля и осями
эллипсоида постоянной энергии.
По значениям т^ИКЛ, определенным при разных ориентациях
магнитной индукции к кристаллографическим осям, можно вы-
числить компоненты тензора эффективной [массы носителей
и восстановить форму и ориентацию поверхности постоян-
ной энергии и, следовательно, получить очень важную информа-
цию о форме закона дисперсии в разрешенных зонах энер-
гии.
Приведенные выше простые рассуждения основывались на классической
модели движения электрона. Точное квантовомеханическое рассмотрение движе-
ния электронов в кристалле, помещенном в магнитном поле, требует решения
уравнения Шредингера с гамильтонианом, включающим воздействие на электрон
магнитного поля. Будем считать, что постоянное магнитное поле направлено
вдоль оси г. Векторный потенциал А этого поля определим из условия В = rot А
и тогда Ах = Аг — 0; Ау = Вх (8.66).
306
Записывая обобщенный оператор импульса в магнитном поле в виде р +
+ еА, получим одноэлектронное уравнение Шредингера в приближении эффек-
тивной массы
- [(Р + Д)«/(2/п*)] i|> (г) = Еу Сг) (8.67)
или, подставляя в формулу (8.67) р = —получим
Й2 -> letiA -> р2Д2
--^rV4 (г) + = (8.68)
Теперь подставляя в формулу (8.68) выражение для векторного потенциала
(8.66), получим
Й2 2 ieftB дф е2В2
---й-*" V2xP-----х х2Ф = ^Ф- (8.69)
2/п* Y /п* ду 2т* т т \ /
Будем искать решение этого уравнения в виде:
Ф(х, У, z) = Х(х)ехр {i (kyy + k2z)}. (8.70)
Подставляя выражение (8.70) в формулу (8.69), получим уравнение для
функции X (х):
ft» d*X е*В* , М \ V \ V
2т* dx* 2т* \ еВ ) \ 2т* /
Это уравнение Шредингера для гармонического осциллятора, известное
в квантовой механике1. Угловая частота осциллятора представляет собой <оцикл=
= еВ!т* (8.71), а энергия Еп = (n+V2) Йа)ЦИкл+ й2Й2/(2/п*) (8.72), где п —
главное квантовое число.
Мы получили, что движение в плоскости ху квантовано. Уровни энергии,
определяемые условием (8.72), называются уровнями Ландау. Расстояние между
уровнями Ландау с квантовыми числами п и п + 1 будет соответствовать энер-
гии
ДЕ = Йсоцикл = ИеВ/т*. (8.73)
Таким образом, в сильных магнитных полях электроны в зоне
проводимости и дырки в валентной зоне уже не будут иметь квази-
непрерывного спектра.
Квазинепрерывный спектр в разрешенных зонах в магнитном
поле преобразуется в дискретные уровни Ландау, расстояние
между которыми определяется величиной магнитной индукции и
значением эффективной массы носителей заряда. Квантование
энергии в магнитном поле приводит к целому ряду резонансных
и магнетоосцилляционных явлений. Эффекты квантования можно
заметить экспериментально, если выполнено условие йсоцикл >
kQT (8.74), т. е. при достаточно низких температурах и доста-
точно сильных магнитных полях. Подставляя значение констант,
получим из формулы (8.74) с учетом условия (8.71): В (Т) >
>(/и*//и) 104Т (К).
1 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория. М.: Физматгиз, 1963, с. 492—495,
Ц* 307
При температуре жидкого гелия эффекты квантования в маг-
нитном поле могут быть обнаружены в магнитных полях с индук-
цией В > 4Т при /и* tn и В при т* = 0,1/и. Отсюда
ясно, что исследование магнетоосцилляционных и резонансных
эффектов возможно в условиях низких температур и с примене-
нием сильных магнитных полей.
Для подсчета концентраций носителей заряда в квантованной
магнитным полем разрешенной зоне требуется выражение функции
плотности состояний в магнитном поле, т. е. числа состояний,
приходящихся на единичный интервал изменения энергии. Расчет
Рис. 145. Закон дисперсии для электрона (а) и функция плотности
состояний (б) в сильном магнитном поле. Штрихпунктирной линией
показаны закон дисперсии и функция плотности состояний в отсутствие
магнитного поля
показывает, что функция плотности состояний в магнитном поле
gB (Е) может быть представлена без учета спина в виде:
лг
ёв (Е) = 2л [2т*/h^ (£-^цикл (« + '/J]-'1'- (8.75)
п=0
Поясним эту формулу, а также закон дисперсии (8.72) для
электронов в квантованной магнитным полем зоне проводимости
с помощью рис. 145.
Закон дисперсии электрона в магнитном поле (рис. 145, а)
представляет собой систему парабол. Ветвь закона дисперсии
с квантовым числом п = 0 приподнята над началом координат
(соответствующим дну зоны проводимости в отсутствие магнитного
поля) на энергию йсоцикл/2.
Для вычисления функции плотности состояний нужно найти
число состояний в интервале энергий dE. На рис. 145, а показано,
что в зависимости от значения энергии Е интервалу энергии dE
от Е до Е + dE будет соответствовать несколько интервалов из-
менения волнового вектора (для энергии 3/2йсоиикл < Ekz=o <
<5/2 й(оцикл N = 2). Функция плотности состояний (рис. 145, б)
в соответствии с уравнением (8.73) имеет вид суммы N гипербол
для каждой из ветвей закона дисперсии, и в окрестности энергии,
соответствующей уровню Ландау при k2 = 0, плотность состояний
обращается в бесконечность, т. е. функция носит 6-образный ха-
308
рактер. Можно показать, что число состояний в любом конечном
интервале энергии конечно. Важная особенность зонной структуры
полупроводника в магнитном поле — смещение экстремумов зон.
Дно зоны проводимости поднимается на йсоцикл/2 = ейВ/(2/Пп),
а дно валентной зоны опускается на йа)цИКЛ/2 = ehBI(^mp).
Квантование состояний в магнитном поле приводит к целому
ряду магнетооптических эффектов в межзонных, примесных и вну-
тризонных оптических переходах. Укажем на важнейшие из маг-
нетооптических явлений и приведем их ^краткую характерис-
тику.
1. Осцилляции собственного поглощения света в магнитном
поле — межзонное магнетопоглощение, обусловленное переходами
между уровнями Ландау валентной
зоны и зоны проводимости. При из-
менении частоты света коэффициент
поглощения при прямых переходах
будет осциллировать, если энергия
фотона больше энергии запрещенной
зоны. Максимумы в спектре погло-
щения будут соответствовать пере-
ходам между уровнями Ландау раз-
личных зон с правилом отбора Дп =
= 0. Такие осцилляции наблюдались
на германии, антимониде индия и
других полупроводниках. Если по-
строить зависимость положения пи-
ков осцилляций от величины маг-
Рис. 146. Зависимость положения
минимумов осцилляций в спектре
пропускания для InSb при 300 К
от магнитного поля. Первый уро-
вень Ландау с п = 0 расщеплен
спин-орбитальным взаимодействием
нитной индукции, то, экстраполируя
к значению В = 0, можно найти ширину запрещенной зоны. Это
один из самых точных методов ее определения. На рис. 146 показа-
но экспериментальное определение ширины запрещенной зоны InSb
по экстраполяции межзонного магнетопоглощения к В= 0. По на-
клону прямых (с 1) на рис. 146 можно определить приведен-
ную эффективную массу т?"1 = /п^"1 + /Ир’1 (8.76) и, зная одну
из масс тп или тр, найти другую.
Если переходы непрямые, то у спектра межзонного магнето-
поглощения будет вид ступенек, сильно размывающихся с темпера-
турой. Непрямое поглощение идет с участием фононов, и правило
отбора Дп = 0 уже не будет обязательно.
2. Примесное магнетопоглощение происходит при оптических
переходах электронов и дырок из основного состояния в возбуж-
денное (эффект Зеемана на примесных уровнях) и при переходах
между примесными состояниями и уровнями Ландау в разрешен-
ных зонах. Спектр магнетопоглощения также будет иметь осцил-
ляции, как при межзонных переходах. По расстоянию между пи-
ками осцилляций в спектре примесного магнетопоглощения можно
определить эффективную массу в разрешенной зоне, с которой
309
связаны переходы, тогда как межзонное магнетопоглощение дает
только приведенную эффективную массу т*.
3. Эффект Фарадея на свободных носителях и межзонный эф-
фект Фарадея определяются разностью оптических путей двух
круговых электромагнитных волн противоположной поляриза-
ции.
Обычно наблюдают этот эффект при прохождении плоскополя-
ризованной световой волны через кристалл, помещенный в по-
стоянное магнитное поле, параллельное направлению распростра-
нения волны. При этом плоскость поляризации света после про-
хождения через кристалл поворачивается на некоторый угол
0 = 12сп (со2 — о)цИКЛ) ], где d — толщина кри-
сталла.
Вблизи циклотронной частоты (оцикл угол 0 изменяет знак на
противоположный. Когда частоты велики (со социкл), то угол 0
обратно пропорционален квадрату частоты со и прямо пропорцио-
нален магнитному полю: 0 = е0^р^цикл/(2сйа)2) ~ Bn/(co2m*2).
Экспериментально полученная зависимость 0 (В) или 0 (со)
позволяет найти эффективную массу носителей заряда. Родствен-
ным эффекту Фарадея на свободных носителях является эффект
Фойгта, состоящий в возникновении двойного лучепреломления
в магнитном поле. Этот эффект изучается в условиях, когда маг-
нитное поле перпендикулярно направлению распространения света.
После прохождения через образец в магнитном поле линейно поля-
ризованный свет оказывается эллиптически поляризованным и
между составляющими электрического вектора Е" и Е' появляется
СДВИГ фаз б, КОТОрЫЙ МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ. ПрИ О) 0)цикл Для
сдвига фаз б справедливо соотношение б = е0о)рСОцИкл d/(2cn(o3) ~
~ В2/(со3/и*2).
Сопоставляя формулы (8.75) и (8.76), можно найти 6/0 =
= ^цикл/•
Исследуя эффект Фарадея и эффект Фойгта, можно непосред-
ственно определить эффективную массу носителей заряда.
Эффекты Фарадея и Фойгта могут наблюдаться и при межзон-
ных переходах. Интерпретация экспериментальных результатов
в этом случае несколько сложнее, чем для внутризонных перехо-
дов свободных носителей заряда. Как и в межзонном магнето-
поглощении, для межзонного эффекта Фарадея наблюдаются
осцилляции в зависимости от энергии фотонов при постоянном
магнитном поле.
Спектр магнетопоглощения для непрямых переходов ступен-
чатый, а в спектре осцилляций эффекта Фарадея имеются чередую-
щиеся максимумы, что дает преимущество в точности измере-
ний.
4. Магнетоплазменные явления — наблюдаются при взаимодей-
ствии света с частотой, близкой к плазменной частоте, с кристал-
лом, помещенным в постоянное магнитное поле. Проявления этого
класса явлений различны в зависимости от методики наблюдения,
31Q
Основные экспериментальные методики состоят в наблюдении
отражения света вблизи плазменной частоты от кристалла, поме-
щенного в магнитное поле, и в наблюдении вращения плоскости
поляризации света.
Как указывалось ранее, исследуя спектры плазменного отра-
жения без магнитного поля, мы получаем по определенному зна-
чению плазменной частоты сор, зная диэлектрическую проницае-
мость 80, отношение концентрации к эффективной массе п/т*.
Ошибка в определении эффективной массы /п* в этом случае в зна-
чительной мере зависит не от точности измерения плазменного
резонанса, а от точности холловских измерений для определения
величины концентрации носителей п и от взятого значения 80.
Если измерять плазменное отражение в постоянном магнитном
поле, то можно определить эффективную массу непосредственно
по сдвигу плазменного минимума, не зная значения концентрации
носителей заряда.
5. Магнетооптические явления в скрещенных электрическом и
магнитном полях позволяют наблюдать осцилляции поглощения
света для межзонных переходов. В случае прямых разрешенных
переходов максимумы осцилляций обычного магнетопоглощения
в магнитном поле при наложении перпендикулярного электриче-
ского поля смещаются в сторону меньших энергий и сдвиг равен
ДЕ = й До = с2£2 (т'п + т;)/(2В2).
Наблюдая осцилляции магнетопоглощения в скрещенных по-
лях, можно найти сумму т'п + /Ид, а наблюдая осцилляции только
в магнитном поле, можно найти приведенную эффективную массу
тг (8.76). Таким образом, совместное исследование этих эффектов
позволяет непосредственно определить т*п и /Ид. Заметим, что
такие эксперименты следует проводить при не слишком сильных
магнитных полях, чтобы выполнялось неравенство с2Е2 (mz* +
+ /nJ)/(2B2) < ДЕ, иначе может возникнуть эффект Франца—
Келдыша в магнитном поле.
К перечисленному классу магнетооптических явлений по об-
щей природе происхождения примыкают явления осцилляции
различных электрофизических свойств в сильных магнитных по-
лях, вызванные квантованием состояний в зонах при сильном маг-
нитном поле. Это и осцилляции де Гааза—Ван-Альфена в магнит-
ной восприимчивости свободных носителей, и осцилляции погло-
щения ультразвука в кристаллах, помещенных в магнитное поле,
и осцилляции т. э. д. с. в магнитном поле. Осцилляции типа
де Гааза—Ван-Альфена связаны с эффектами, зависящими от
термодинамического потенциала (магнитная восприимчивость,
т. э. д. с. и т. п.). Если осцилляции наблюдаются в вырожденных
кристаллах и обусловлены резким изменением плотности состоя-
ний при прохождении квантового уровня Ландау через уровень
Ферми при изменении величины магнитного поля, то такие осцил-
ляции называются осцилляциями Шубникова—де Гааза. Наблю-
дение осцилляций де Гааза—Ван-Альфена и Шубникова—Де Гааза
зп
позволяют получать информацию о динамических свойствах носи-
телей заряда в окрестности уровня Ферми, т. е. восстанавливать
форму поверхности Ферми металлов и вырожденных полупровод-
ников.
Глава 9. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
9.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСНОВНЫХ
ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Способ характеристики свойств кристалла зависит от того, какую цель ставит
перед собой исследователь. Если требуется определить, как реагирует кристалл
на различные внешние силовые воздействия (электрическое и магнитное поля,
давление, градиент температур, освещение и т. п.), то кристалл характеризуется
некоторыми параметрами — коэффициентами, устанавливающими соотношение
между величиной внешнего воздействия и интенсивностью определенного физи-
ческого процесса, вызванного в кристалле этим воздействием.
Следовательно, для описания свойств кристалла можно установить систему
параметров, характеризующих в нем различные физические эффекты.
Если выбрать систему параметров данного материала по принципу характе-
ристик многочисленных физических эффектов, то такая система будет включать
большое количество величин. Если даже ограничиться несколькими важней-
шими параметрами, выбор которых определяется конкретным применением мате-
риала, то экспериментальное измерение этих параметров не дает нам ответа на
вопросы, от чего же зависит различие их численных значений в разных мате-
риалах или в разных образцах одного и того же материала и как этими параме-
трами можно управлять.
Теория различных физических явлений в кристалле исходит из особой
группы параметров кристалла, характеризующих свойства кристаллической
решетки и системы подвижных носителей заряда в ней. Таким образом, природа
и особенности большого числа различных физических явлений объясняются
количественными соотношениями между сравнительно небольшим числом физи-
ческих параметров кристалла. Основные свойства системы носителей заряда
определяются параметрами их энергетической зонной структуры, которая в свою
очередь зависит от параметров кристаллической решетки, составляющих ее ато-
мов и характеристик межатомных связей, что определяет также энергетический
спектр фононов.
Как в группе параметров физических явлений в кристалле, так и в группе
физических параметров кристалла можно выделить те, которые определяются
собственными свойствами чистого кристалла, т. е. «фундаментальные параметры»,
и те, значения которых сильно зависят от концентрации и типа введенных в кри-
сталл примесей или собственных дефектов кристаллической решетки и характе-
ризуют качество кристалла, т. е. «характеристические параметры». Поэтому
принято классифицировать параметры в соответствии с этими двумя группами.
I. Фундаментальные параметры:
а) параметры кристаллической решетки: сингония, пространственная группа
и постоянные решетки кристалла;
б) параметры энергетической зонной структуры: расположение абсолютных
экстремумов валентной зоны и зоны проводимости, ширина запрещенной зоны
312
&Е (приводится обычно значение при Т = О К, т. е. ДЕ (0), и при комнатной
температуре, т. е. ДЕ |7=ЗС0/<'); параметры зависимости ширины запрещенной
зоны от температуры ДЕ (Т) = ДЕ0 + аТ, т. е. ДЕ() и dAEldT = а и от давле-
ния dkEldP-, компоненты тензора эффективной массы электронов пг* и дырок т*;
в) параметры системы носителей заряда: концентрация электронно-дыроч-
ных пар в собственном полупроводнике nt-, дрейфовые подвижности электро-
нов и дырок |ыр;
г) параметры физических явлений: удельное сопротивление собственного
полупроводника р/, относительная статическая диэлектрическая проницаемость 8,
удельная теплопроводность х, упругие постоянные Q/, пьезоэлектрические по-
стоянные d[j, оптический коэффициент поглощения а на фиксированной длине
волны в области края собственного поглощения, дебаевская температура 0р,
теплоемкость при постоянном давлении Ср и другие параметры.
II. Характеристические параметры:
а) основные параметры: тип и концентрация основных носителей заряда пп
и рр, удельное сопротивление р, диффузионная линия неосновных носителей
заряда Ln (электронов в материале p-типа) или Ер (дырок в п-типе);
б) дополнительные параметры: подвижность основных носителей заряда [in
или Цр, время жизни неосновных носителей заряда или тр, концентрация ле-
гирующих и важных остаточных примесей, плотность дислокаций, абсолютная
дифференциальная т. э. д. с. а, термодинамическая внешняя работа выхода Ф
и ряд других параметров;
в) параметры примесных состояний, тип и концентрация примесных состо-
яний доноров TVj и акцепторов 2Уа, центров рекомбинации или прилипания W/,
энергетическое положение локальных примесных состояний Ej, Еа и Et (обычно
указывается энергетическое положение уровня относительно экстремума бли-
жайшей разрешенной зоны, т. е. Ес или ЕД эффективное сечение захвата носи-
телей заряда на локальный уровень оп и ор.
Следует указать также группу параметров, знание которых необходимо
технологам для получения полупроводниковых материалов с заданными свой-
ствами и структур различных полупроводниковых приборов. К этой группе
относятся: температуры плавления и фазовых переходов, теплота различных
фазовых переходов, коэффициенты диффузии и распределения примесей, давление
паров вещества или его компонентов при фиксированной температуре и многие
другие важные параметры. Однако поскольку в основном параметры этой группы
имеют физико-химический характер, то далее методы их измерения не рассматри-
ваются.
Методы определения как фундаментальных, так и характеристических пара-
метров кристалла основаны на измерении кинетических коэффициентов различ-
ных физических явлений и их зависимости от температуры и других внешних
воздействий. Параметры кристалла рассчитываются по данным эксперимента на
основе некоторой физико-математической модели исследуемого явления. Числен-
ные значения таких экспериментальных параметров могут быть различными
в зависимости от метода их измерения. Конечно, различные методики могут
иметь разные погрешности измерения и иногда трудно полностью устранить
влияние каких-то паразитных сопутствующих измерению эффектов. Но дело не
только в точности измерений, а главным образом в том, что физическая интерпре-
тация параметров, измеренных разными методами, может быть различной.
Например, эффективная масса свободных носителей заряда, рассчитанная
из измерений т. э. д. с., —это эффективная масса плотности состояний m*dn =
= yrM2mAm2m3, а эффективная масса, найденная по измерениям оптического
поглощения свободными носителями заряда — это эффективная масса проводи-
мости пг*с = р/3 (пг^1 + т^1 + mj1)]"1. Ни тот, ни другой метод не позволяет
найти компоненты тензора эффективной массы, а лишь определяет различным
образом усредненные ее значения. Совпадение этих различных величин возможно
только в частном случае скалярной эффективной массы в однодолинной зоне
проводимости.
Оптический метод определения ширины запрещенной зоны по краю собствен-
ного поглощения и метод ее определения по температурной зависимости электро-
313
проводности или коэффициента Холла дают различные значения этого важней-
шего параметра, так как оптический метод дает значение ширины запрещенной
зоны, соответствующее температуре измерения спектра поглощения, а метод
термической активации электропроводности или эффекта Холла позволяет найти
не ширину запрещенной зоны, усредненную в интервале используемых темпе-
ратур, а только параметр &Е{}, т. е. значение ширины запрещенной зоны, ли-
нейно экстраполированное к Т = 0 (напомним, что вообще AF0 Ф &Е (0), так
как функция &Е (Т) нелинейна).
Измерение подвижности носителей заряда по методикам, основанным на галь-
ваномагнитных эффектах, дает значение холловской или дрейфовой подвижности
основных носителей заряда, а измерение подвижности в тех же самых образцах
по дрейфу пакета избыточной концентрации дает значение биполярной подвиж-
ности, которая в примесных полупроводниках практически равна дрейфовой
подвижности неосновных носителей заряда.
Данные о значении времени жизни носителей заряда, полученные по изме-
рениям фотопроводимости и ФЭМ-эффекта, будут различаться, так как эти мето-
дики дают различным образом усредненные значения времен жизни основных
и неосновных носителей заряда.
Приведенные примеры показывают, насколько важна роль хорошо развитой
теории физических явлений для интерпретации значений параметров полупро-
водников, полученных по различным методикам измерения. Значения фундамен-
тальных параметров для полупроводников, приводимые в справочных таблицах,
получены путем сопоставления и анализа различных методик измерения и срав-
нения их с теоретическими данными. Значения же характеристических параме-
тров, представляющих собой так называемые «паспортные» данные полупровод-
никового материала, измеряются по специально разработанным методикам,
удовлетворяющим утвержденным стандартным инструкциям, в которых пред-
ставлены требования к измерительной аппаратуре, технологии подготовки об-
разцов и условиям измерения, а также методикам обработки данных измерений.
В этой главе будут рассмотрены наиболее распространенные методы изме-
рения важнейших параметров полупроводников.
9.2. ИЗМЕРЕНИЕ УДЕЛЬНОЙ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОВОДИМОСТИ
Двухзондовый метод. Удельная электрическая проводимость численно равна на
основании закона Ома j = оЕ плотности тока в образце, находящемся в элект-
рическом поле единичной напряженности. Однако практически удобнее измерять
не плотность тока и напряженность электрического поля, а силу тока / и паде-
ние напряжения U на образце. Поэтому обычно приводят данные не об удельной
проводимости о, а об обратной ей величине — удельном электрическом сопро-
тивлении р= 1/о, которое можно рассчитать по формуле р= US/(Il) (9.1),
где / — сила тока в образце; S — площадь поперечного току сечения образца;
U — падение напряжения между точками образца, отстоящими на расстоянии I
друг от друга.
Формула (9.1) применима для образца правильной геометрической формы
с постоянным сечением, причем длина образца должна быть много больше его
поперечных размеров («нитевидный» образец). Обычно применяется образец
в виде вытянутого параллелепипеда. Схема двухзондового метода измерений
удельного сопротивления на постоянном токе приведена на рис. 147.
При измерении удельного сопротивления возникают следующие паразитные
эффекты, влияние которых необходимо устранить для получения правильных
результатов измерений:
а) высокое переходное сопротивление неомических запирающих контактов
зонд — полупроводник;
б) паразитная т. э. д. с., возникающая вдоль образца при протекании элек-
трического тока из-за неоднородного разогрева образца джоулевым теплом при
неоднородности образца или неодинаковости сопротивления токовых контактов 1
314
и 4, причем знак этой т. э. д. с. не зависит от направления электрического тока
через образец;
в) явления инжекции и экстракции неосновных носителей заряда в при-
контактных областях при прохождении тока через контакт, которые приводят
к изменению величины удельного сопротивления образца;
г) разогрев образца электрическим током также может изменить величину
его сопротивления (аналогичным может быть влияние освещения образца);
д) эффект Пельтье на неомических токовых контактах / и 4 приведет к до-
полнительному градиенту температур в образце и возникновению паразитной
т. э. д. с., знак которой будет изменяться на противоположный при изменении
направления тока в образце.
Для устранения первого из этих паразитных эффектов в двухзондовом ме-
тоде измерения удельного сопротивления применяется компенсационный метод
измерения падения напряжения U между
измерительными зондами. При этом^'ток че-
рез измерительные зонды не идет (это фик-
сирует нуль-гальванометр Г в схеме на
рис. 147) и нет падения напряжения на пе-
реходных сопротивлениях зонд — полупро-
водник, а разность потенциалов между
зондами 2 и 3 скомпенсирована равной по
величине и противоположной по знаку раз-
ностью потенциалов от потенциометра по-
стоянного тока. Паразитная т. э. д. с., знак
которой не зависит от направления тока через
образец, может быть исключена путем jipo-
ведения измерения разности потенциалов [72з
при двух противоположных направлениях
тока. Тогда = £/обр+ ^т.э.д.с и
= -i/обр + i/т.э.д.с, где и
— U2V— значения измеренных падений на-
пряжения между зондами при двух противо-^
положных направлениях тока; £/обр— паде-^
ние напряжения на сопротивление образца;;
UT э д с — паразитная т. э. д. с. Легко по-
казать, что Г/обр = - (- W + U&)/2.
Токовые контакты образца 1 и 4 обязательно должны быть омическими,
Рис. 147. Принципиальная схема
измерения удельного сопротивле-
ния двухзондовым методом:
/» 4 — токовые контакты; 2,3 —
измерительные зонды; Г — нуль-
гальванометр; ППТ — потенцио-
метр постоянного тока; ИТ — ис-
точник тока
тогда исключаются явления инжекции и экстракции в приконтактных областях
образца и эффект Пельтье, приводящий к дополнительной т. э. д. с., которую
нельзя было бы устранить, так как она изменяет знак вместе с величиной (7обр
при изменении направления тока через образец. Величина тока, проходящего
через образец, должна быть выбрана достаточно малой (обычно доли миллиам-
пера), чтобы практически исключить разогрев образца. Некоторое неудобство
измерения напряжения U компенсационным методом, связанное с процедурой
подбора компенсирующего напряжения, может быть устранено путем замены
компенсационной схемы на электронный милливольтметр с высоким входным
сопротивлением. Тогда при измерении напряжения электронным вольтметром
величина тока через измерительные зоны должна быть порядка чувствительности
нуль-гальванометра.
Основными недостатками двухзондового метода измерения удельного сопро-
тивления являются необходимость соблюдать правильную геометрическую форму
образца и требование омичности токовых контактов на торцах образца.
Четырехзондовый метод. Более универсальным и поэтому широко распро-
страненным является четырехзондовый метод измерения удельного сопротивле-
ния. Он не требует правильной формы образца: достаточно, если образец будет
иметь хотя бы одну плоскую поверхность, на которую устанавливаются четыре
зонда измерительной головки, из которых два являются токовыми контактами,
а два других служат для измерения падения напряжения на образце. Чаще всего
употребляются эквидистантные четырехзондовые головки с зондами, располо-
женными на одинаковом расстоянии один от другого по прямой линии. Подклю-
315
чение четырехзондовой головки к измерительной схеме показано на рис. 148.
Как и в двухзондовой схеме, измерение разности потенциалов между измеритель-
ными зондами и2з должно выполняться компенсационным методом для устра-
нения вклада паразитных контактных сопротивлений. Формула для расчета
удельного сопротивления в четырехзондовом методе может быть получена из
следующих соображений. Запишем закон Ома в форме Е = /р (9.2). Считая рас-
пределение потенциала в образце, на плоскую поверхность которого опущен
зонд, сферически симметричным, получим два соотношения: Е (г) = —dU/dr\
j (г) = //(2лг2) (9.3). Здесь г — расстояние от некоторой точки образца до точки
контакта с зондом, по которому течет ток силой /.
Подставляя (9.3) в (9.2) и интегрируя по ко-
ординате г, получим U (г) = /р/(2лг).
Просуммировав потенциалы, создаваемые зон-
дами 1 (с током I) и 4 (с током —/) в точках 2
и 5, и найдя разность потенциалов t/23, получим
i/23=(/p/2n) [sri - (s2+s3)-i-(s1 + s2)-1+^3х]>
Вводя обозначение s"^B= s]4 — (s2 + s3)-1 —
— (st + s2)“1 + sj1, получим для эквидистантной
(si = s2 = s3 = s) измерительной
s9KB= s и удельное сопротивление образца можно
рассчитать по формуле
р = 2ns[/23//14 (9.4).
Рис. 148. Принципиальная
схема четырехзондового ме-
тода измерения удельного
сопротивления
головки, что
Эта формула, полученная для полубесконеч-
ного образца, имеющего одну плоскую поверх-
ность, может быть применена с достаточной точно-
стью (ошибка <2 %), если расстояние до границы
образца (боковой или нижней поверхности) более
чем в 3 раза превышает расстояние между зонами
s. Для образцов меньших размеров следует вво-
дить в формулу (9.4) поправочный коэффициент, зависящий от геометрии
образца и расположения измерительной головки.
Для образцов в виде тонких пластин или слоев, нанесенных на подложку,
формула (9.4) может оказаться неприменимой, так как нарушается сферический
характер распределения потенциала в образце. Если толщина w бесконечной
тонкой пластины или слоя много меньше параметра измерительной головки s
(т. е. w/s <С 1), то распределение потенциала в образце имеет цилиндрический,
а не сферический характер и плотность тока, проходящего через боковую поверх-
ность цилиндра с радиусом г и толщиной w в однородной пластине, можно вы-
разить в виде / (r) = l/(2jtrw), а потенциал U (г) на расстоянии г от зонда
U (г) = —/р In г/(2лш) = /р/(2лад In г).
Вычисляя разность потенциалов [/23, создаваемую между измерительными
зондами 2 и 3 эквидистантной четырехзондовой головки с расположением зон-
дов по прямой линии, получим и2з = /цР In 2/(шл), откуда можно найти удель-
ное сопротивление пластины:
р = U23wn/(/и In 2) « 4,53^[/23//14. (9.5)
Формула (9.5) справедлива, если толщина пластины много меньше пара-
метра s измерительной четырехзондовой головки, а линейные размеры пластины
много больше параметра s. Если эти условия не выполняются, то можно исполь-
зовать формулу (9.5), вводя в нее поправочный коэффициент, зависящий от отно-
шения w/s. Определим области применимости формул (9.4) и (9.5) для расчета
316
удельного сопротивления образца (в форме пластины толщиной w)t сравнив ве-
личины поправочных коэффициентов /х (w/s) и /2 (^/s) в них:
p=-^L2nSf1(-^) (9.6); р =-^-4,53^а (-^)’ (9.7).
На рис. 149 для случая изолирующей нижней поверхности образца пред-
ставлены графики поправочных коэффициентов fa (w/s) и f2 (до/s), из анализа
которых следует, что при w/s ~ 1,4 (w/s) « f2 (w/s) ~ 0,8, и в этом случае
расчет, проведенный по формулам (9.4) и (9.5) без учета поправочных коэффи-
20 %. При w/s < 1,4 расчет удельного
по формуле (9.7), так как в этой
Рис. 149. График поправочных функ-
ций fi (w/s) и f2 (w/s) к формулам (9.6)
и (9.7)
е.
циентов, даст одинаковую погрешность
сопротивления предпочтительнее проводить
области функция f2 (w/s) меньше отли-
чается от единицы, чем /х (w/s). Уже для
w/s < 0,5 f2 (w/s) > 0,997, и приближен-
ный расчет по формуле (9.5) дает по-
грешность менее 1 %. Если же до/s > 1,4,
то удобнее использовать формулу (9.6);
при w/s > 3,333 fa (w/s) 0,978, т.
если положить функцию /1=1, что
равносильно использованию^формулы (9.4),
то погрешность будет менее 3 %.
В практике измерений удельного со-
противления образцы часто имеют форму
тонких дисков или тонких прямоуголь-
ных пластин, а также тонких слоев на
подложках такой формы. Если сохраняет-
ся цилиндрическая симметрия распре-
деления потенциала (w/s 1), то исполь-
зование формулы (9.5) для определения
удельного сопротивления образца в форме диска с диаметром d или прямоуголь-
ной пластины с длиной а и шириной b (а/b > 3) может привести к существен-
ным погрешностям за счет влияния торцовых границ образца. Так, для диска
при d/s = 10 и расположении четырехзондовой головки симметрично вблизи
центра диска погрешность при расчете р по формуле (9.5) составит примерно
8 %, а при d/s = 20 она составит 2 %. Для расположения зондов вдоль «длин-
ной» оси прямоугольной пластины при b/s = Ш'ил'1Г2(ГпоКрёшность составляет
соответственно'7 и~1;Т%7 - - - ------- - - - .............
Метод Ван-дер-Пау. Метод Ван-дер-Пау — метод измерения удельного
сопротивления тонких пластин или слоев на подложке произвольной формы
представляет собой модификацию применения формулы (9.5). Расположение кон-
тактов для тонкой пластины (толщина пластины w много меньше ее линейных
размеров) показано на рис. 150. Измеряются величины сопротивлений
#1 — ^1234 — ^2 — ^2341 — ^41/^23‘
Если сила тока при измерениях поддерживается постоянной /12 = /23 = /,
то удельное сопротивление образца можно найти по формуле
р = -^2 w f Ur) « W f Gr) ’ (9 8)
где функция f (Ri/R2) зависит только от отношения Rr/R2 и при Rr ~ R2 практи-
чески равна 1. График функции f (R1/R2) приведен на рис. 151. Если пластина
имеет форму диска или квадрата, то равенства сопротивлений 7?, и R2 можно
добиться симметричным расположением контактов (для диска — по концам пер-
пендикулярных диаметров, для квадрата — по серединам сторон или вершинам).
Такое симметричное расположение контактов соответствует эквидистантной
четырехзондовой головке, параметр которой равен четверти периметра образца,
317
т. е. по условию много больше толщины образца. Формула (9.8) приобретает
вид:
р ~ 4,53иЛ? ~ 4,53и>[/34//12
(9.9)
Формула (9.8), а значит, и (9.9) справедливы, если контакты к образцу вы-
полнены в виде пластинчатых ножей из тантала или карбида вольфрама, при-
жимаемых пружинами по всей толщине к торцовым поверхностям образца пер-
пендикулярно плоским поверхностям пластины. Если же контакты выполнены
на одной из плоских поверхностей
пластины, то в зависимости от их
формы и расположения от края плас-
ти н ы воз н и к ает _псгрШпистБ7Тр'имер ы
оценки которой приведены на рис. 152.
Рис. 151. График поправочной функции
f (Ri/Rt) к формуле (9.8)
Рис. 150. Расположение контактов (1—4)
к тонкой пластине по методу Ван-дер-1 ау
По методу Ван-дер-Пау созданы автоматические установки разбраковки на
партии пластин круглой, квадратной или прямоугольной формы с толщиной
80—1000 мкм и удельным сопротивлением 0,01—100 Ом-см.
Рис. 152 Оценка погрешности [(Ар/р), %] измерения удельного со-
противления в зависимости от геометрии контактов в методе Ван-дер-
Пау:
а - 0,77 (l/d)*; б - 3,09 (//d)2; в - 5,17 (//d)2
Однозондовый метод. В описанных выше методиках измерения р предпола-
галось, что материал образца однороден. В физических исследованиях и различ-
ных технологических процессах микроэлектроники возникает необходимость
измерения распределения удельного сопротивления в неоднородных образцах.
Четырехзондовый метод, имеющий общую погрешность измерений до 5 %, поз-
воляет найти усредненное значение удельного сопротивления в области образца
размерами ~5s. Улучшение разрешающей способности, таким образом, требует
уменьшения параметра s четырехзондовой головки, что вызывает значительное
увеличение погрешности измерений. Разрешающая способность при измерениях
р двухзондовым методом определяется расстоянием между зондами / и при той
же погрешности измерения может быть несколько лучше. Существует модифика-
ция двухзондового метода измерения — однозондовый метод, позволяющий
значительно уменьшить эффективную величину /. Принципиальная схема метода
движущегося зонда показана на рис. 153, а. Изменение напряжения между
движущимся зондом и одним из токовых контактов образца с сечением S при пере-
мещении зонда на расстояние Дх: Д(7 = /рДх/S.
318
Это соотношение, переходя к дифференциальной форме, можно записать
в виде dUldx = /р/S. При малой постоянной времени /?С-цепочки можно ток
через нее записать в виде
1С = С (dUJdt) = С (dUJdx) (dx/dt) = CIpv/S,
где v — скорость движения зонда по образцу.
Падение напряжения на сопротивлении R можно представить как t/Bbix W =
= RIC = RCIp (x}i(Sv).
Тогда распределение удельного сопротивления по длине образца можно
записать в виде:
Р « = t/вых (*) S/(IRCv) = t/вых « 5/(//эфф). (9.10)
Сравнение формул (9.10) и (9.1) показывает, что однозондовый метод изме-
рения удельного сопротивления эквивалентен двухзондовому с эффективным
расстоянием между зондами /Эфф = RCv, и, уменьшая величины R, С и у,
Рис. 153. Принципиальная (а) и структурная (б) схемы метода движущегося зонда:
1 — генератор переменного тока; 2 — катодный повторитель; 3 — детектор; 4 — уси-
литель; 5 — самописец'
можно добиться достаточной разрешающей способности метода. Разрешающая
способность зависит также от площади и качества контакта движущегося зонда
с образцом. Контакт выполняют с помощью катящегося по образцу стального
шарика. На рис. 153, б показана структурная схема для измерения распределе-
ния удельного сопротивления на переменном токе методом движущегося зонда.
Высокое входное сопротивление первого каскада измерительной схемы обеспе-
чивает достаточно малую величину тока через измерительный зонд для исклю-
чения вклада паразитного переходного сопротивления контакта зонд — полу-
проводник. Необходимый уровень чувствительности электронной схемы дости-
гается при условии, что время прохождения зондом пути, равного диаметру d
контакта, будет больше постоянной времени /?С-цепочки и самопишущего потен-
циометра, т. е. dlv> RC, тп.
Описанный метод позволяет получать автоматическую запись распределения
удельного сопротивления вдоль образца с погрешностью 5 % при удельном со-
противлении образца до 250 Ом-см.
Бесконтактные высокочастотные методы. Все зондовые методы измерения
удельного сопротивления применимы лишь к монокристаллическим образцам.
Для измерения удельного сопротивления поликристаллических образцов, прессо-
ванных порошков, расплавов, жидких полупроводников разработаны бескон-
тактные методы измерения, основанные на взаимодействии высокочастотного
. электромагнитного поля с проводящей средой измеряемого образца. Высокоча-
стотное поле проникает в образец с удельным сопротивлением р на толщину скин-
слоя б, определяемую формулой б = 1/Г2р/(ор), где со — частота электромаг-
нитного поля, а р — магнитная проницаемость образца.
Помещение образца в электромагнитное поле, создаваемое высокочастотным
контуром, содержащим емкость или индуктивность, или резонансным LC-конту-
ром, вызовет изменение добротности контура (добротность — это отношение
реактивного сопротивления контура к его активному сопротивлению), коррели-
рующее с величиной удельного сопротивления образца. Теоретические зависи-
319
мости, описывающие эту корреляцию, оказываются достаточно сложными, по-
этому для определения удельного сопротивления этим методом градуируют уста-
новку по эталонным образцам с известным удельным сопротивлением. Благодаря
тому что магнитная проницаемость почти всех полупроводниковых веществ
одинакова и равна единице, можно пользоваться общей градуировочной зависи-
мостью для различных исследуемых материалов. Достоинством высокочастотных
методов измерения является то, что не требуются электрические контакты к об-
разцу: полупроводниковый слиток может оставаться в защитной полиэтиленовой
упаковке, а исследуемый расплав — в ампуле.
По способу подключения образца в измерительный контур высокочастотные
бесконтактные методы измерения удельного сопротивления делятся на емко-
стные и индуктивные. В емкостном методе образец с тонкими диэлектрическими
прокладками помещается между обкладками конденсатора. Для образца в форме
пластин применяются плоские конденсаторы, а для стержней круглого сечения —
кольцевые захваты. В индуктивном методе образец в виде стержня помещают
в качестве сердечника в катушку индуктивности или прижимают измерительную
индуктивную катушку в виде незамкнутого торроида с ферритовым сердечником
к плоской поверхности образца. Индуктивные методы менее чувствительны для
высокоомных образцов. Типовая установка, работающая на частоте 35 МГц,
с комплектом накладных катушек диаметром 4—12 мм может измерять удельное
сопротивление в интервале 3-10“2—30 Ом-см с погрешностью 2,5 %. Емкостные
методы обладают более широким интервалом измерений. Установка с комплектом
сменных конденсаторов, работающая на частоте 20 МГц, измеряет удельное
сопротивление в диапазоне 10“4—103 Ом-см.
9.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ И ПОДВИЖНОСТИ
НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА И КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЕСЕЙ
ПО ДАННЫМ ХОЛЛОВСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Основные методики холловских измерений. Одной из самых распространенных
методик исследования полупроводниковых материалов, дающей возможность
определить их важнейшие параметры, являются холловские измерения. Теоре-
тическое описание эффекта Холла было дано в главе 7. Здесь мы остановимся
на главных особенностях методики измерения этого эффекта и на основных спо-
собах обработки данных холловских измерений.
Как известно, эффект Холла относится к гальваномагнитным явлениям
и состоит в появлении холловского электрического поля (измеряемого через
холловскую разность потенциалов Ux) в перпендикулярном направлении по
отношению к току и магнитной индукции при помещении образца с текущим го
нему электрическим током силой I в перпендикулярное току магнитное поле
с индукцией В. Наиболее удобной формой образца для холловских измерений
является форма прямоугольного параллелепипеда, так как эффект Холла попе-
речный. Разработаны также холловские измерения по методу Ван-дер-Пау,
позволяющие исследовать образцы в виде тонких пластин произвольной формы.
Практически удобнее, однако, применять круглые или квадратные пластины
с симметричным расположением контактов. Следует отметить значительно более
высокую погрешность измерений по методу Ван-дер-Пау по сравнению с изме-
рениями на образцах в виде параллелепипеда.
Э. д. с. Холла должна измеряться компенсационным методом, так как тео-
ретическая расчетная формула, связывающая величину Ux с током силы / и
магнитной индукцией В, выведена в предположении отсутствия протекания тока
через холловские зонды. Существует также методика определения электрических
параметров образца путем измерения тока Холла. Преимуществом ее является
возможность исследования поверхностной проводимости в высокоомных образцах
наряду с определением объемных характеристик образца. Однако эта методика
предъявляет более строгие требования к омичности холловских контактов, ч^м
методика измерения холловской разности потенциалов, вследствие чего мето-
дика э. д. с. Холла является более распространенной,
320
Остановимся на паразитных явлениях, сопутствующих измерениям хол-
ловской разности потенциалов. (Здесь совместно проявляются гальваномагнит-
ные, термомагнитные, термоэлектрические ^ контактные явления, а также кра-
евые эффекты, связанные с влиянием границ образца. Образец для холловских
измерений должен быть монокр.цсталллче_ским и однородным. Требования одно-
родности плотности электрического тока по образцу и однородности холлов-
ского поля достаточно хорошо удовлетворяются при соотношении размеров
образца I : а : b = 10:3:1, где / — размер параллелепипеда вдоль направле-
ния тока Ц а — расстояние между холловскими зондами; b — размер образца
вдоль магнитного поля. Контактные явления в измерениях холловской разности
потенциалов могут привести к изменению концентрации носителей заряда в при-
контактных областях образца вследствие искривления зон и явлений инжекции
и экстракции, а также к появлению эффекта Пельтье на токовых контактах и,
как следствие, паразитного градиента температур вдоль образца. Так как сде-
лать идеальные омические контакты
металл — полупроводник практически
очень трудно, то было применено
весьма остроумное решение — выпол-
нять контакты к образцу из материала
самого образца, что устраняет все кон-
тактные явления из объема паралле-
лепипеда. Это достигается примене-
нием образцов специальной формы с
фигурными контактными областями;
пример образца гантелеобразной фор-
мы приведен на рис. 154jТакие образ-
цы вырезаются из мойбкристалличе-
ских пластин методами ультразвуковой
гут служить для измерений э. д. с. Xoj
Рис. 154. Форма холловских образцов
с гантелеообразными контактами
резки. Пары контактов /—3 и 2—4 мо-
ла, а пары 1—2 или 3—4 для измере-
ний удельной проводимости двухзондовым методом, описанным в разделе 9.2.
Токовые контакты 5 и 6 выполняются омическими на торцах образца.
Эффекту Холла сопутствуют паразитные э. д. с. на холловских зондах за
счет с&льваномагнитнер? эффекта Эттингсгаузена^^, термомагнитного эффекта
Риги — Ледюка иПоперечного термомагнитного эффекта Нернста —
Эттингсгаузена U^_e. Дополнительная паразитная э. д. с. возникает при не-
эквипотенциальности холловских контактов — падение напряжения UOt соз-
даваемое током I вдоль образца на области образца между различными экви-
потенциальными поверхностями, к которым подведены холловские контакты.
К этой «омической» э. д. с. неэквипотенциальности добавляется т. э. д. с. 4/т.э.д.с
за счет паразитного градиента температур вдоль образца, причины которого об-
суждались в разделе 9.2. При большой подвижности основных носителей заряда
может быть существенным магниторезистивный эффект, дающий добавку к э. д. с.
неэквипотенциальности .
Таким образом, измеряемая между холловскими контактами э. д. с. t/изм
состоит из следующих слагаемых:
^измер = ^х + ^Е + ^_ь + ^-Е + ^о + ^т.э.Я.с + ^(В) Р-П)
(~/В) (~/В) (-V/TB) (-V/TB) (—/) (-V/T)
Под слагаемыми формулы (9.11) приведены соотношения их пропорциональ-
ности току и магнитной индукции: V/T — паразитный градиент температур по
длине образца. Эффекты Холла и Эттингсгаузена имеют одинаковую четность
своих зависимостей от / и В, а четность этих зависимостей для других слагаемых
отличается от эффекта Холла хотя бы для одной из зависимостей (/ или В).
Записав соотношение (9.11) для четырех различных полярностей тока и маг-
нитного поля: t/измер! (^+^+)> ^измерг (^ ^измерз (/ В ) и £7измер4 & )>
можно получить, что
= (^1 - У г + и* - UJ/4.
321
Эффект Эттингсгаузена не удается исключить, однако оценка показывает,
что в большинстве практических случаев вклад его весьма мал. Его можно оце-
нить по формуле U&Ux = Леос/7?х» гДе а — коэффициент т. э. д. с.; Ле — ко-
эффициент Эттингсгаузена, а 7?х — коэффициент Холла.
При монополярной примесной проводимости в невырожденном полупровод-
нике и рассеянии на акустических ({юнонах
Rx = Зл/(8е/г); Ае = 3nkQTpn/(16eK),
откуда U^JUx = &0Тае/г|и,л/(е2х) = &0Тао/(е2х). (9.12)
Здесь а — коэффициент полной теплопроводности, а не только ее электрон-
ной составляющей.
Формула (9.12) показывает, что вклад эффекта Эттингсгаузена весьма мал
(намного меньше 1 %), но растет с ростом электропроводности. Устранение этого
паразитного эффекта возможно при измерении эффекта Холла на переменном
токе с частотой, большей 50 Гц, когда поперечный градиент температур прак-
тически не успевает установиться. Заметим, что при наличии эффекта Пельтье
на неомических токовых контактах образца к измеряемой разности потенциалов
на холловских зондах прибавятся еще термомагнитные эффекты Пельтье —
Риги — Ледюка и Пельтье — Нерста — Эттингсгаузена,’которые буду! нри изме-
нении знаков электрического тока и магнитного поля нечетными, как эффект
Холла и эффект Эттингсгаузена, и поэтому не могут быть устранены при измере-
ниях на постоянных электрическом токе и магнитном поле.
Таким образом, холловские измерения на постоянном электрическом токе
и магнитном поле требуют проведения четырех измерений с изменением поляр-
ности тока и магнитного поля. Применение переменного тока, уменьшая вклад
паразитных градиентов температур, требует," однако, проведения не намного
меньшего числа измерений, а именно трех. Анализ показывает, что холловское
напряжение в случае применения переменного тока может быть найдено по фор-
муле
где значения измеренных на холловских зондах напряжений получаются при
условиях: 1) Ux при В = const; 2) U2 при В = —const; 3) t/3 при В — 0. Таким
образом, требуется проведение трех измерений. Аналогичных трех измерений
требует метод с применением переменного магнитного поля и постоянного тока.
Так называемый двухчастотный метод измерения эффекта Холла позволяет
определять холловское напряжение при проведении только одного измерения
и пригоден для автоматической записи температурной зависимости эффекта
Холла. В этом методе и ток через образец, и магнитное поле — переменные и
задаются на различных частотах соу и сов» а напряжение Холла может быть по-
лучено без паразитных эффектов на разностной или суммарной частоте (соу — сов
или соу + сов)- Измерения на разностной частоте оказываются предпочтительнее,
так как полезный сигнал легче отделить от паразитных сигналов с частотами,
кратными соу и сов-
Основную трудность как одночастотного, так и двухчастотного методов
измерения эффекта Холла создают электромагнитные наводки в цепи холлов-
ских зондов, требующие специального экранирования этой цепи. Экранирование
в свою очередь увеличивает входную емкость электронной схемы, измеряющей
переменное холловское напряжение, что приводит к шунтированию образца
и нарушает требование отсутствия электрического тока через холловские зонды.
Это привело к тому, что одночастотные методы практически не получили рас-
пространения. Двухчастотные методы, позволяющие автоматизировать запись
температурных холловских зависимостей, применяются более широко, однако
погрешность измерений на таких установках значительно превосходит погреш-
ность установок с постоянным током и полем при более высокой стоимости обо-
рудования и сложности работы.
Принципиальная схема установки для измерения коэффициента Холла
и удельного сопротивления на постоянных электрическом токе и магнитном поде
322
показана на рис. 155. Установка предназначена для измерения высокоомных
(р в интервале 103—1010Ом*см) и низкоомных (р < Ю3Ом-см) образцов. Источ-
ник тока должен обеспечивать режим генератора тока во всех диапазонах изме-
рения путем подбора соответствующего последовательного сопротивления. Изме-
рения напряжения на высокоомных образцах производятся с помощью электро-
метра, а на низкоомных — компенсационной схемой потенциометра с нуль-
гальванометром.
Рис. 155. Принципиальная схема установки для измерения коэффициента Холла и
удельного сопротивления на постоянных электрическом токе и магнитном поле:
— эталонный резистор; Э — электрометр; Г — нуль-гальванометр; ИТ — источник
тока; ППТ — потенциометр постоянного тока; Пи П3 — переключатели полярности
тока; П2 — переключатель рода работы; К — выключатель электрометра
Особенности методики обработки холловских измерений. Температурные
зависимости коэффициента Холла /?х (П и удельной электропроводности а (Т)
позволяют найти тип проводимости, концентрацию носителей заряда, холлов-
скую подвижность основных носителей заряда, отношение подвижностей элек-
тронов и дырок, термическую ширину
запрещенной зоны (точнее, параметр
AZ?o), термическую энергию активации
легирующих примесей, раздельную
концентрацию донорных и акцептор-
ных примесей в частично компенсиро-
ванном полупроводнике, g-фактор при-
месных состояний, а также определить
преобладающий механизм рассеяния
основных носителей заряда по темпе-
ратурной зависимости холловской
подвижности. Формулы, связывающие
коэффициент Холла /?х с концентра-
цией и подвижностью носителей заря-
да в области собственной, смешанной
и примесной проводимости, приведены
в главе 7. Способы графического пред-
ставления температурной зависимости
Рис. 156. Зависимость коэффициента Хол-
ла от температуры
10
концентрации носителей заряда для определения ширины запрещенной зоны,
энергетического положения примесных уровней и концентрации легирующей
примеси приведены в главе 3.
На рис. 156 показана часть температурной зависимости коэффициента Холла
для областей собственной и смешанной проводимости в образцах п- и р-типа.
Множитель Т3/2 в масштабе по оси ординат учитывает температурную зависимость
эффективного числа состояний в зоне проводимости и валентной зоне. Линейный
участок кривой в области собственной проводимости позволяет найти параметр
AF0 ширины запрещенной, зоны:
ДЕ0 = 2М In (/?x7”z0 Ю3/[А (103/Т)].
323
Отклонение от линейности в области высоких температур (малые значения
103/Т) может быть вызвано температурным вырождением собственного полупро-
водника (эффект легко заметен в материалах с узкой запрещенной зоной и малой
плотностью состояний в разрешенных зонах) или спецификой процессов рассе-
яния при высоких температурах в более широкозонных полупроводниках. На
линейном же участке температурная зависимость множителя (1 — Ь)/(1 + ^)>
входящего в выражение коэффициента Холла в собственном полупроводнике,
оказывается малосущественной по сравнению с более сильной экспоненциальной
зависимостью собственной концентрации. В области смешанной прпвдппмяптп
кривая зависимости для образца p-типа существенно отличается от кривой для
образца n-типа. В образцах p-типа наблюдается инверсия знака коэффициента
Холла. При больших значениях отношения подвижностей электронов и дырок,
b — точка инверсии приходится на область истощения акцепторной при-
меси, поэтому концентрация дырок остается практически постоянной, а кон-
центрация электронов растет с темпера-
турой, пропорционально (п = п^/р «
« л?/ЛП
I а)*
В области смешанной проводимости
при температурах выше температуры ин-
версии, но ниже температуры перехода
к собственной проводимости в выражении
для коэффициента Холла (7.87) при |ЛП^>|ЛР
главный вклад будет давать электронная
компонента и коэффициент Холла будет
приближенно равен 7?х ~ Л/(еп) «
« ~ е^Е^т
Тогда тангенс угла наклона кривой на
рис. 156 увеличивается по сравнению с об-
ластью собственной проводимости в 2 ра-
за. При не очень больших значениях ве-
Рис. 157. Зависимость температуры
Тщах* соответствующей максимуму по-
движности от концентрации ионов при-
меси германия п-типа
личины это суперлинейное отличие кривых для образцов p-типа от кривых
для n-типа выражено слабее. Для определения эмпирической формулы темпера-
турной зависимости холловской подвижности в виде р-х (Т) = р>хоТт (9.13)
строят зависимость 1g (/?ха) = f (1g Т). Если на этой зависимости имеется ли-
нейный участок, то тангенс его наклона к оси абсцисс составит ш =
= A 1g (Т?ха)/(А 1g 71), где m — степень температурной зависимости рх (Т)
в соответствии с (9.13). Величина рх0 может быть найдена по формуле (9.13)
при любой температуре Т в пределах линейного участка графика.
Энергетическое положение уровня легирующей примеси может быть найдено
в соответствии с (3.62) из построения графика In (/?х^3/4) = / (^) Для слабо-
компенсированного полупроводника: ^Ed,a = 2&0Д In (RxT^)l\A (1/7") ] или
в соответствии с (3.63) из построения графика In (RxT^2) = f (1/Г) Для сильно-
компенсированного полупроводника: ЬЕ(Ца = ln (RxT^2}l\A
* Степень компенсации может быть определена из совместного анализа гра-
фика In] 7?х | = / (l/T) в области истощения примесей и графика температурной
зависимости холловской подвижности. Функциональная зависимость темпера-
туры максимума подвижности от суммарной концентрации ионов примеси может
быть определена экспериментально путем прямых измерений на образцах с раз-
личным уровнем легирования, а для некоторых материалов (с малой долей ион-
ной связи) рассчитана теоретически. График такой зависимости для германия
приведен на рис. 157. Найдя из зависимости Rx (о) = f (Т) значение темпера-
туры Ттах, соответствующее максимуму значения рх= по графику рис. 157
определяем значение концентрации ионов Nj. Концентрация ионов примеси
в частично компенсированном полупроводнике равна сумме концентраций донор-
ной и акцепторной примесей Nd + Na- Разность концентраций Nd — Na (в об-
разце n-типа) равна эффективной концентрации доноров, определяемой по поло-
жению плато области истощения примесей на зависимости ln| R | = f (1/7").
Зная сумму и разность величин Nd и Na> можно найти отдельно значения Nd
324
и Na и степень компенсации образца К — NjNd- Рассуждения для образца
p-типа аналогичны.
При сравнительно больших концентрациях примеси температура Ттах мо-
жет выйти за пределы области примесь:ой проводимости, где формула рх =
= RxG неприменима. Считая основным механизмом рассеяния — рассеяние на
ионах примеси, можно из сопоставления экспериментального значения подвиж-
ности с ее значением в соответствии с формулами Конуэлла — Вайскопфа или
Брукса — Херринга найти полную концентрацию ионов Nj = + Na и произ-
вести, как выше указано, расчет и Na-
9.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИФФУЗИОННОЙ ДЛИНЫ
И ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ НЕОСНОВНЫХ НОСИТЕЛЕЙ
ЗАРЯДА
Методы измерения диффузионной длины и времени жизни делятся на стационар-
ные и нестационарные. В нестационарных методах исследуется временная зави-
симость избыточной концентрации носителей заряда или какой-либо величины,
пропорциональной избыточной концентрации (электро- и фотопроводимости,
тока коллектора и т. д.). При линей-
ной рекомбинации эта зависимость
следует экспоненциальному закону
Дп (/) = Дп (0) где т — среднее
время жизни. Из экспериментальной
кривой релаксации избыточной кон-
центрации илй соответственно вели-
чины, ей пропорциональной, постро-
енной в координатах In Дп = /(/),
можно найти величину времени жизни
по углу наклона линейного участка
этой зависимости. Скорость рекомбина-
ции электронно-дырочных пар опре-
деляется временем жизни неосновных
носителей заряда (раздел 4.5), и поэ-
Рис. 158. Структурная схема метода мо-
дуляции проводимости:
1 — образец; 2 — эмиттерный зонд; 3 —
держатель образца; 4 — ограничитель;
Г — генератор сдвоенных импульсов; У —
усилитель; О — осциллограф
тому время релаксации избыточной
концентрации электронно-дырочных пар, измеренное по каким-либо физическим
эффектам в образце, —это среднее время жизни неосновных носителей заряда.
К нестационарным методам относятся: метод модуляции проводимости, кине-
тика фотопроводимости (затухание фотопроводимости, фазовый и частотный
методы), кинетика ФЭМ-эффекта, метод движущегося светового зонда.
Стационарные методики основаны на сравнении экспериментально измерен-
ного коэффициента какого-либо физического явления с его теоретическим выра-
жением через время жизни или диффузионную длину (метод стационарной фото-
проводимости и ФЭМ-эффекта, метод тока короткого замыкания фотодиода, ме-
тод подвижного светового зонда). В стационарных методах для увеличения чув-
ствительности часто применяется модулированное возбуждение образца, вызы-
вающее появление избыточной концентрации носителей заряда. Однако для до-
стижения стационарного состояния длительность импульса возбуждения должна
быть много больше времени жизни носителей заряда.
Метод модуляции проводимости в точечном контакте позволяет измерять
время жизни неосновных носителей заряда т на слитках германия и кремния
с удельным сопротивлением 10-1—102 Ом-см. Интервал измеряемых с погреш-
ностью до 30 % значений т составляет 3—500 мкс. Принципиальная схема ме-
тода показана на рис. 158. Металлический зонд, создающий точечный инжекти-
рующий контакт, опускается на плоскую протравленную поверхность (торец,
или измерительная дорожка) слитка полупроводникового материала. Второй
контакт осуществляется держателем образца и имеет большую площадь. На зонд
(смещение в прямом направлении) подаются два прямоугольных импульса тока,
сдвинутых один относительно другого на время задержки /. Величина импульсов
325
напряжения на образце пропорциональна удельному сопротивлению приконтакт-
ной области образца. За время длительности импульсов происходит инжекция
неравновесных носителей заряда в приконтактную область образца и увеличение
за счет этого ее проводимости, что можно видеть по уменьшению высоты импульса
напряжения от его начала к концу. После окончания импульса в образце проис-
ходит рекомбинация избыточных электронов и дырок. Если второй импульс
подается через время задержки /, сравнимое со временем жизни т, то проводи-
мость образца за время задержки не успевает восстановиться до равновесного
значения и амплитуда второго импульса напряжения оказывается меньше, чем
первого. Можно показать, что разность амплитуд первого и второго импульсов
спадает по экспоненциальному закону в функции от времени задержки между
импульсами /, т. е. (Vj — У2) = const
Снимая осциллограмму импульсов напряжения на образце, можно по ко-
тангенсу линейного участка зависимости In (Ух—У2) = f (/) найти величину
времени жизни. В измерительной схеме применяется ограничение амплитуды
импульсов, которое, убирая ненужную для измерений нижнюю часть импульсов,
позволяет подобрать достаточно большой коэффициент усиления для получения
необходимого масштаба изображения импульсов на экране осциллографа. В схеме
применяется также блок формовки инжектирующего точечного контакта. Пре-
имуществом этого метода измерений является то, что он не использует коллек-
торный контакт, нелинейность которого искажает результаты измерений. Метод
менее других чувствителен к состоянию поверхности образца и удобен тем, что
дает информацию о свойствах локального объема образца вблизи точечного кон-
такта. Метод требует правильного подбора величины тока инжекции и достаточ-
ной длительности инжектирующего импульса. Достаточно глубокая модуляция
проводимости образца происходит за время не менее 1,5т. Измерение времени
жизни должно проводиться при дополнительной подсветке образца, снижающей
влияние процессов прилипания носителей заряда на скорость рекомбинации.
Измерение времени жизни по кинетике фотопроводимости. Эти методики,
получившие широкое распространение в практике измерений, имеют три основ-
ные разновидности: метод затухания фотопроводимости, фазовый и частотный
методы. Основаны они на том, что величина фотопроводимости пропорциональна
избыточной концентрации носителей заряда, возникающей в образце при осве-
щении. В разделе 4.4 на рис. 54 показана форма импульса избыточной коы*.
центрации при прямоугольной форме возбуждающих импульсов. Видно, что
и стацйонарное значениёфбтопрдводимости и форма переднего и заднего фронта
сигнала[фотопроводиМОСПГ сильно завис^т-тгг~“иремени жттЗшГ носителей заряда.
ФазовьпГ^частотный методы' ЙЗМёрения основаны на зависимости от времени
жизни переднего фронта импульса фотопроводимости. Метод затухания фото-
проводимости основан на анализе формы заднего фронта импульса. После выклю-
чения светового импульса фотопроводимость в образце, вообще говоря, спадает
по сложному закону, представляемому некоторым рядом слагаемых. Однако че-
рез время t ~ 2т эта зависимость определяется главным образом спадом по за-
кону е~*!\ откуда можно найти значение времени жизни т.
Типичная схема измерения времени жизни по спаду фотопроводимости пред-
ставлена на рис. 159. Модулятор М формирует прямоугольный импульс света,
попадающий через фильтр Ф и оптическую систему ОС на образец, включенный
в электрическую цепь. Проводимость образца под действием света возрастает,
и изменяется падение напряжения на нагрузочном сопротивлении 7?х> сигнал
с которого через усилитель подаете на'бСЦиЛлиграф. Д71я удобства определения
времени жизни вместо графического анализа осциллограммы применяется метод
сравнения со вспомогательной экспонентой, формируемой калиброванной /?С-це-
почкой, включенной в цепь малоинерционного вакуумного фотоэлемента^ ФЭ,
на который отводится часть падающего на образец света с помощью полупрозрач-
ного зеркала 3. Эта схема может быть приспособлена для измерения времени
жизни фазовым методом. В этом случае модулятор М должен создавать синусо-
ид ал Бную йбДулЯЦИЮ возбуждающего сигнала с частотой со. Сигнал фотопрово-
димости отстоит по фазе от возбуждающего сигнала на угол ср, величина которого
связана с величиной времени жизни т простым соотношением tg ср = сот. С по-
326
мощью осциллографа производят сравнение фаз сигнала фотопроводимости и
сигнала в цепи вспомогательного малоинерционного фотоэлемента, /?С-цепочка
при этом используется как фазовращательный элемент.
4 Частотный метод измерения времени жизни основан на том, что амплитуда
сигнала фотопроводимости при возрастании частоты и модуляции совпадает по
закону ~(1 -|- (о2т2)-1/2. При сот = 1 величина (1 со2т2)-1/2== К2/2 ~ 0,71.
Определив частоту со, при которой амплитуда сигнала составляет 0,71 от сигнала
стационарной фотопроводимости (практически от сигнала на малых частотах,
где сот 1), находят время жизни т. Типовая измерительная установка, осно-
ванная на фазовом методе, позволяет измерять время жизни в кремнии с удель-
ным сопротивлением свыше 100 Ом-см в диапазоне 50—3000 мкс.
Метод движущегося светового зонда также принадлежит к нестационарным
методикам. Его преимуществом является то, что он позволяет измерить незави-
симо время жизни носителей заряда т и диффузионную длину L, а также вы-
Рис. 159. Схема для определения времени жизни по кинетике фотопроводимости
числить по этим параметрам коэффициент диффузии D = А2/т и определить
по соотношению Эйнштейна величину подвижности ц = D (e/k0T). Величина
подвижности, определенная этим методом, носит название диффузионной по-
движности, а ее связь с дрейфовой и биполярной подвижностью можно получить
из сравнения формул (4.80) и (4.81).
Схема метода движущегося светового зонда представлена на рис. 160. Кол-
лекторный зонд устанавливается в некоторой точке на плоской поверхности
«нитевидного» образца, по которой совершает колебательные движения световой
луч. Зависимость тока коллектора от времени, определяемая величиной избы-
точной концентрации неосновных носителей заряда в области точечного кон-
такта, будет описываться двумя экспоненциальными законами вида const2,
где величины и 02 различны и соответствуют одна — случаю движения свето-
вого пятна к коллектору, а вторая — случаю движения светового пятна от кол-
лектора. Решение уравнения непрерывности дает выражение для величин 0х
и 02 через рекомбинационные параметры, и можно найти, что время жизни не-
основных носителей заряда выражается как т = 0х — 02, а диффузионная длина
L = иК010г» W v — скорость движения светового пятна относительно коллек-
тора. Величины 0Х и 02 определяются по осциллограмме, вид которой представлен
на рис. 160, б.
Этот метод позволяет найти и скорость поверхностной рекомбинации S,
если провести измерения диффузионной длины Lr и L2 на двух образцах разной
толщины dx и d2, но с одинаковой обработкой поверхности. Тогда S =
= {Ш^2/[2 (d2 -^)]}(Ц)'1 - Щ)’1-
Часто применяется более простой метод измерения диффузионной длины —
метод подвижного светового зонда, относящийся к классу стационарных методик
измерения. Метод основан на измерении пространственного распределения избы-
327
точных носителей заряда, описываемого экспоненциальной зависимостью Дп (г)=
= Дп (0) e~r!L, где L — диффузионная длина, а г — расстояние между свето-
вым пятном и коллекторным зондом. Более строгий анализ показывает, что экс-
поненциальный спад величины Дп (г) соответствует области r^>L, где возра-
стает величина погрешности измерений, и следует описывать эту зависимость
с помощью функций Ханкеля Дп (г) == Дп (0) H(rlL). Экспериментальная кри-
вая сравнивается с градуировочным семейством кривых Н = f (г), где величин?
Рис. 160. Метод движущегося светового зонда:
а — схема метода измерения; б — вид осциллограммы коллекторного тока
L — переменный параметр. Участок совмещения определяется в интервале зна-
чений alb>r>dl§, где а — длина, a d — ширина световой полоски. Схема
установки представлена на рис. 161. Модуляция освещения производится для
того, чтобы выделить из тока коллектора, пропорционального полной концентра-
Рис. 161. Принципиальная схема метода подвижного светового зонда:
ОС — линза; М — модулятор; У У — узкополосный измерительный уси-
литель; О — осциллограф; К — коллектор; Д — диафрагма; Б — батарея
ции неосновных носителей заряда, составляющую, пропорциональную их избы-
точной концентрации, создаваемой светом. Для регистрации применяются узко-
полосные измерительные усилители, настроенные на частоту модуляции света.
Частота модуляции должна быть достаточно малой, чтобы за время светового
импульса устанавливалось стационарное состояние (Тосп^т). Этот метод ши-
роко применяется для измерения диффузионной длины в слитках германия для
диапазона значений L = 0,1-*-5 мм.
Для измерения малых времен жизни используют методику совмещения
стационарного ФЭМ-эффекта и стационарной фотопроводимости в одной уста-
новке. Измерение тока короткого замыкания ФЭМ-эффекта и величины фото-
проводимости ДсУфп в одном образце (условие «толстого» образца и поверхностного
возбуждения) позволяет найти /^ф3эм^/(ДОфП) = BL/т, а при компенсации тока
короткого замыкания ФЭМ-эффекта током фотопроводимости = —/фп)
можно найти L = DBl/U. Здесь В — величина магнитной индукции в ФЭМ-эф-
328
фекте; U — постоянное напряжение на образце, задающее величину тока фото-
проводимости /фп при полной компенсации ФЭМ-эффекта; / — расстояние между
токовыми контактами образца. Схема измерительной установки этого метода
представлена на рис. 162. В этих измерениях очень важно устранить явление
прилипания, так как эффективные времена жизни, определяющие эффект фото-
проводимости и ФЭМ-эффект, различны:
Тфп = (Vp + г„Нп)/(Нр + н„); Чэм = (Vo + ТЛЖ + ₽о)-
Совпадение этих величин возможно только при условии = тр == т, т. е.
при равенстве Дп = Др, что обеспечивается отсутствием явлений прилипания.
Рис. 162. Схема метода стационарной фотопроводимости и ФЭМ-эффекта:
Mi — модулятор; М2 — монохроматор; О — осциллограф; ИТ — источник
тока; У — усилитель; Д — детектор; П — потенциометр
Заметим, что ФЭМ-эффект в области примесной проводимости определяется вре-
менем жизни неосновных носителей заряда (при п0 р0 тфэм = ^р)> а фото-
проводимость — некоторым усредненным временем жизни основных и неоснов-
ных носителей заряда.
9.5. ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Эти методы основаны на исследовании спектральной зависимости (или измерении
на фиксированной длине волны) поглощения или отражения света, фотопроводи-
мости, ФЭМ-эффекта, фото-э. д. с., рекомбинационного излучения, а также за-
висимостей этих спектров от внешних факторов — температуры, электрических
или магнитных полей, давления, уровня возбуждения. Оптические методы дают
наиболее точные сведения о параметрах зонной структуры и энергетическом
спектре примесных состояний, а также могут определять концентрацию свобод-
ных носителей заряда, их эффективную массу, оценивать концентрацию примесей
и различных сложных комплексов дефектов в полупроводниках.
Установка для исследования спектров поглощения или отражения света
состоит из источника света, монохроматора, исследуемого образца и фотоприем-
ника с регистрирующим устройством. Для увеличения чувствительности и авто-
матизации записи спектров применяется модулированное освещение. В установ-
ках для исследования фотопроводимости, ФЭМ-эффекта и фото-э. д. с. приемни-
ком излучения является сам образец. В установках для исследования рекомбина-
ционного излучения образец является источником излучения, и методики раз-
личаются по способу возбуждения образца: фотолюминесценция — при воз-
буждении светом, катодолюминесценция — при возбуждении пучком быстрых
электронов, электролюминесценция — при возбуждении сильным электрическим
полем или инжекцией электрическим током.
Источники излучения. Для определения спектра поглощения требуются
источники непрерывного спектра. Структура спектра источника зависит от ма-
329
териала и температуры излучателя. В качестве эталонного источника прини*
мается абсолютно черное тело, которым может служить отверстие в полости с тем*
пературой Т. Для спектра абсолютно черного тела справедливы следующие
закономерности: закон Стефана — Больцмана — Е = оГ4, где о = 5,67 х
X 10“б эрг с-1 см-2 К-4 — постоянная Стефана — Больцмана; закон Вина:
ХтахТ = 2898 мкм- К; закон Михельсона: Т“6 = corist-
В соответствии с этими законами используют для видимой области спектра
лампы накаливания. Излучение вольфрамовой лампы накаливания примерно
в 2 раза слабее излучения от черного тела при той же температуре. Используемый
диапазон температур 1500—3400 °C. В инфракрасном диапазоне используются
в качестве источников света штифт Глобара (силитовый стержень при t ~ 1500 °C)
или штифт Нернста (трубочка из окислов редкоземельных элементов при t ~
« 1400 °C). В далекой ИК-области (Л > 50 мкм) используются ртутная лампа
высокого давления в кварцевом баллоне или нагретая черненая платиновая лента.
Для ультрафиолетовой области спектра используются некоторые типы газо-
разрядных ламп или дуговых разрядов.
Приемники излучения выбираются, исходя из условий их работы в соответ-
ствии с их спектральной характеристикой, постоянной времени и чувствитель-
ностью. Спектральная характеристика определяется природой эффекта преобра-
зования световой энергии в электрическую или спектральной характеристикой
прозрачности защитных окон приемников. Тепловые приемники [термопары,
болометры, оптико-акустические приемники (ОАП) и др.] в принципе неселек-
тивны, достаточно чувствительны, но имеют сравнительно большую постоянную
времени. Приемники, основанные на внешнем или внутреннем фотоэффекте,
селективны. Для УФ-диапазона применяются термопары, фотоэлементы и фото-
умножители, газовые и кристаллические счетчики: для видимого диапазона —
некоторые типы тепловых приемников, но чаще высокочувствительные фото-
сопротивления, фотоэлементы и фотоумножители; в ИК-диапазоне — вакуумные
термоэлементы, болометры, термисторы, ОАП.
Монохроматор — прибор, позволяющий выделить и измерить необходимый
интервал длин волн светового излучения источника. Наиболее распространен-
ными являются призменные монохроматоры, использующие преломление и раз-
ложение в спектр света с помощью призм из различных материалов: кварц — для
видимого и УФ-диапазона; специальных тяжелых стекол и фтористого лития —
для видимого диапазона; КВг, NaCl, CsI —для ИК-диапазона. В наиболее со-
вершенных спектральных приборах диспергирующим элементом является отра-
жательная дифракционная решетка, позволяющая существенно увеличить раз-
решающую способность по сравнению с призменным монохроматором. В соответ-
ствии со способом регистрации спектральные приборы имеют названия: спектро-
граф — прибор для фотографической регистрации спектра; монохроматор —
прибор для выделения излучения в узком интервале длин волн АХ, для некото-
рого спектрального диапазона; спектрометры и спектрофотометры — приборы
для точных исследований спектров поглощения и отражения, снабженные фото-
приемниками с усилительной системой и системой автоматической записи спектра.
Одной из важнейших характеристик качества спектрального прибора является
обратная линейная дисперсия: L = tikld! — l/Di. Эта величина определяет ли-
нейное расстояние AZ в плоскости выходной щели монохроматора между цен-
трами монохроматических изображений входной щели, отстоящих на интервал
длин волн АХ. Для градуировки монохроматоров по длинам волн используются
специальные нормали — эталонные лампы с линейчатым спектром излучения
(криптоновые, кадмиевые, ртутные лампы, железная дуга и др.) или эталонные
пленки, растворы и газы с линейчатым спектром поглощения (полистирол, ди-
димовое стекло, пары воды, углекислый газ и т. п.).
Образцы для измерения спектров отражения и поглощения зеркально поли-
руются при механической или химико-механической обработке. Для исследова-
ния спектров рекомбинационного излучения применяются свежепротравленные
или свежесколотые поверхности. Для измерения спектров поглощения очень
важен вопрос о выборе толщины образца. Анализ формул для вычисления а
показывает, что изменение пропускания Т в 103 раз соответствует изменению
330
коэффициента поглощения а всего в 6 раз. Поэтому для измерения спектра по-
глощения в широком диапазоне значений а (для края собственного поглощения а
изменяется от 10“2 до 105см-1) требуется набор образцов с различными толщи-
нами d. Максимальный коэффициент поглощения атах> который можно измерить
для данной толщины пластины, определяется чувствительностью схемы фото-
приемника, а минимальное значение amin оценивают из соображений максимально
допустимой относительной погрешности, которую можно получить в виде
6a = fid + б* + 6Т) [ In (1 .
Например, для измерения спектра поглощения в диапазоне 10—104 см-1
необходимы три образца с толщинами 1 мм, 200 и 8,3 мкм, если Tmin — 0,01 %.
Методы обработки спектральных зависимостей и связь их с параметрами
полупроводников обзорно рассмотрены в главе 8 последовательно с рассмотре-
нием физики различных оптических эффектов. Так как часто спектральная зави-
симость какого-либо эффекта определяется совокупностью нескольких параме-
тров, подлежащих измерению в данном материале, то используют не одну изме-
рительную методику, а комплекс методик, в которых исследуемые параметры
входят в различных комбинациях. Такими комплексными методиками могут
быть, например, ФЭМ-эффект и фотопроводимость, эффект Фарадея — на сво-
бодных носителях заряда с изучением спектра поглощения света свободными
носителями заряда, эффект Бурштейна — Мосса и эффект Холла и т. п.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Фундаментальные параметры некоторых важнейших
-----------------------------------------------:----------—
Свойство Ge Si GaAs
Тип абсолютного Непрямой Непрямой Прямой
минимума Ес L [111] Д, 0,85 Ктах [100] Г (000)
М (зона проводи- 4 6 1
мости)
т*п/т0 /л/ = 1,58 т/ = 0,916 0,066
/л/ = 0,082 mt = 0,19 —
(1,26 К)
0,225 (300 К)
/лрл = 0,04 трл = 0,16 трл = 0,087
/Лрт = 0,34 трт = 0,49 трт = 0,475
Д£$о = 0,28 эВ ДЕзо = 0,038 эВ ^цикл = 0,36
0,56 V 1,08 0,07
Щр/ mQ 0,37 0,59 1,1 (т. э. д. с.)
ЬЕ, эВ:
ДЕ (300 К) 0,67 1,08 1,435 (295 К)
: £(оу 0,745 1<166 1,521 (10 К)
Е(Т) 0,785 — 4,2-10" 4Т 1,21 — 2,8-10"4Т 1522 5-8-10~4Га г ' 300
(>200 К) (>250 К) (100—500 К)
Nc, см"’ 1,04-Ю19 (Т/300)’/г 2,8 1019 (Т/300)’/* 1,7 1017 (Т/ЗОО)’7*
No, см"’ 6,10 -1018 (Т/300)’/* 1,02 -1019 (Т/300)’/* 7,0 1018 (Т/ЗОО)’7*
nz (300 К), см’8 2,37.10“ 1,2.10“ 1,2-10»
0,785
' ni (Т) 1,76 • 1016Т,/2е 2k°T 3,1 •ю26т,/* X —
1,206 -
Хе 2k'T
цл, см’/(В-с):
, Р-л (300 К) 3000 1350 8000
Рлх (D 4500 (Т/300)"1’6 1300 (Т/300) ~2 0 8500 (Т/300)"1,0
Ир, см2/(В-с):
Ир (300 К) 1900 480 400
Р-рх (Т) 3500 (Т/300)"2’33 500 (Т/300)"2’7 420 (Т/300)"2’1
а, мкВ/К 0,6—0,8 0,6—0,8 0,39 (л-тип)
х, Вт/(см-К) 0,6 0,9 1,55
0D, К 406 645 344
1 естатич > 16,3 11.7 13,1
332
полупроводников
ч GaP InSb CdS CdTe PbS
Непрямой Прямой Прямой Прямой Прямой
X [100] 1 г (000) Г (ООО) Г (ООО) [111]
з /' л 1 1 1 4
0,35 (100) 1 Ъ,013 (78 К) т,\ = 0,205 0,096 m и = 0,08 (4,2 К)
0,12 (000) — m. _ = 0,205 — 0,171 (300 К) т± = 0,105
(4,2 К) 0,188 (300 К)
0,35 0,44 [111] m\\c = 5 0,35 m || = 0,105
— 0,42 [НО] 11 п m±c = 7 — m± = 0,075
— 0,32 [100]
0,5 (р = 6 1017) 0,18 (р< 2-1019)
— 0,013 — — —
— 0,18 — — —
2,259 0,18 2,41 1,44 0,37 (0,41)
2,339 0,24 2,583'1 (4,2 К) 1,6 0,286 (4,2 К)
2,895 — 6,2 10"4Т2 0,26—2,2 10-4Т d АЕ _ dT ~ = -4,9- IO" 4 адЕ _ dT “ = _4,1.10" 4 d ДЕ dT “ = -4,0-10-1
(83—300 К)
Т+ 460
3,72• 101в (77—300 К) (77—394 К)
— — —
(Т/ЗОО)'/*
— 1,92 1018 — —
(Т/ЗОО)"^
2,73 — — 2-104
5,76-1014T’/jX —
0,258
у 2k0T
150 78 000 350 1050 (п = 1015) 614 (295 К)
ПО (Т/300)"1’5 78000 (Т/300)"1’6 350 (Т/300)"2’4 — 500 (Т/300)-215
120 750 15 / 80 620 (295 К)
75 (Т/300)"1’5 750 (Т/300)"2’1 — — 500 (Т/300)-215
1,0 —0,32 1,0(2 0,93 (р), —
(n = 2,7 • 1015) 0,58 (п)
1,1 0,42 — 0,2 2,5-IO"2
446 — 319 (80 К) 200 (80 К) 227 (200 К)
10 17,9 9,3 10,6 172 i
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
физических величин
Заряд электрона
Масса электрона
Радиус первой боровской орбиты
Скорость света
Число Авогадро
Постоянная Планка
Постоянная Больцмана
Тепловая энергия
Магнитная проницаемость вакуума
Длина волны кванта с энергией 1 эВ
Численные значения некоторых
е = 1,602-10"19 Кл
те = 9,108-10“ 31 кг
п0 = 0,529 10"10 м
с = 2,997-10® м/с
= 6,022-10аз моль"1
h = 6,62-10"34 Дж-с;
П = 1,054-10“34 Дж-с
k0 = 1,38-10-23 Дж/К
^о^зооК = 4,14-IO’21 Дж = 0,0257 эВ
Цо = 4л IO"7 Гн/м = 1,257 X
X 10"6 Гн/м
X =• 1,2396 мкм
Переводные коэффициенты
Концентрация л = 1 м"3 = 10"в см"3
Подвижность р = 1 м2/(В -с) = 104 см2/(В -с)
Коэффициент Холла = 1 М3/Кл = 10е см3/Кл
Удельное сопротивление р = 1 Ом-м = 10а Ом см
Напряженность электрического поля Е = 1 В/м = 102 В/см
Магнитная ^ндукция В = 1 Т = 104 Гс
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Значения интегралов Ферми
F./e(n) =
е4Л de
7е-^ +1
о
(приведенное в таблице значение нужно умножить на 10
в степени; указанной в скобках)
п (п) П Fi/2 (П) П (П)
—4,0 1,8199 (—2) —2,0 1,2930 (-1) 0,0 7,6515 (—1)
—3,9 2,0099 (—2) —1,9 1,4225 (—1) 0,1 8,2756 (—1)
—3,8 2,2195 (—2) —1,8 1,5642 (—1) 0,2 8,9388 (—1)
—3,7 2,4510 (—2) —1,7 1,7193 (—1) 0,3 9,6422 (—1)
—3,6 2,7063 (—2) —1,6 1,8889 (—1) 0,4 1,0387 (0
—3,5 2,9880 (—2) —1,5 2,0740 (—1) 0,5 1,1173 (0)
—3,4 3,2986 (—2) —1,4 2,2759 (—1) 0,6 1,2003 (0)
—3,3 3,6412 (—2) —1,3 2,4959 (—1) 0,7 1,2875 (0)
—3,2 4,0187 (—2) —1,2 2,7353 (—1) 0,8 1,3791 (0)
—3,1 4,4349 (—2) —1,1 2,9955 (—1) 0,9 1,4752 (0)
—3,0 4,8933 (—2) —1,0 3,2780 (—1) 1,0 1,5756(0)
—2,9 5,3984 (—2) —0,9 3,5841 (—1) 1,1 1,6806 (0)
—2,8 5,9545 (—2) —0,8 3,9154 (—1) 1,2 1,7900 (0)
—2,7 6,5665 (—2) —0,7 4,2733 (—1) 1,3 1,9038 (0)
—2,6 7,2398 (—2) —0,6 4,6595 (—1) 1,4 2,0221 (0)
—2,5 7,9804 (—2) —0,5 5,0754 (—1) 1,5 2,1449 (0)
—2,4 8,7944 (—2) —0,4 5,5224 (—1) 1,6 2,2720 (0)
—2,3 9,6887 (—2) —0,3 6,0022 (—1) 1,7 2,4035 (0)
—2,2 1,0671 (—1) —0,2 6,5161 (—1) 1,8 2,5393 (0)
—2,1 1,1748 (—1) —0,1 7,0654 (—1) 1,9 2,6794 (0)
Продолжение прйлож. 3
п /•'•/, 01) п f./2 (П) П
2,0 2,8237 (0) 3,7 5,8699 (0) 6,8 1,3703 (|-1)
2,1 2,9722 (0) 3,8 6,0806 (0) 7,0 1,4290 (| -1)
2,2 3,1249 (0) 3,9 6,2945 (0) 7,2 1,4886 (|-1)
2,3 3,2816 (0) 4,0 6,5115 (0) 7,4 1,5491 ( | 1)
2,4 3,4423 (0) 4,2 6,9548 (0) 7,6 ‘ 1,6104 ( | 1)
2,5 3,6070 (0) 4,4 7,4100 (0) 7,8 1,6725 ( |-1)
2,6 3,7755 (0) 4,6 7,8769 (0) 8,0 1,7355 (|-1)
2,7 3,9480 (0) 4,8 8,3550 (0) 8,2 1,7993 (| -1)
2,8 4,1241 (0) 5,0 8,8442 (0) 8,4 1,8639 (-1 1)
2,9 4,3040 (0) 5,2 9,3441 (0) 8,6 1,9293 ( | 1)
3,0 4,4876 (0) 5,4 9,8546 (0) 8,8 1,9954 ( | 1)
3,1 4,6747 (0) 5,6 1,0375 (+1) 9,0 2,0624 (|-1)
3,2 4,8653 (0) 5,8 1,0906 (+1) 9,2 2,1301 ( |-1)
3,3 5,0595 (0) 6,0 1,1447 (+1) 9,4 2,1986 (-Н)
3,4 5,2571 (0) 6,2 1,1997 (+1) 9,6 2,2678 (4-1)
3,5 5,4580 (0) 6,4 1,2556 (+1) 9,8 2,3378 (-1-1)
3,6 5,6623 (0) 6,6 1,3125 (+1) 10,0 2,4085 (+1)
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Ансельм А. И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1978. 615 с.
Аскеров Б. М. Кинетические эффекты в полупроводниках. М.: Наука,
1970. 303 с.
Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах: Пер. с англ.
М.: Мир, 1971. 470 с.
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976. 540 с.
Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников. М.:
Наука, 1977. 672 с.
Болтакс Б. И. Диффузия в полупроводниках. М.: Физматгиз, 1961. 462 с.
Брандт Н. Б., Чудинов С. М. М.: Изд-во МГУ, 1973. 332 с.
Вавилов В. С. Действие излучений на полупроводники. М.: Физматгиз,
1963. 264 с.
Займен Дж. Принципы теории твердого тела: Пер. с англ. М.: Мир, 1974.
416 с.
Зеегер К- Физика полупроводников: Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 615 с.
Киреев П. С. Физика полупроводников. М.: Высшая школа, 1975. 584 с.
\Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел: Пер. с англ. М.: Наука, 1967.
524 с.
Мотт Н., Дэвис Э. Электронные процессы в некристаллических веществах:
Пер. с англ. М.: Мир, 1971. 472 с.
Охотин А. С., Пушкарский A. С., Горбачев В. В. Теплофизические свой-
ства полупроводников. М.: Атомиздат, 1972. 200 с.
Панков Ж- Оптические процессы в полупроводниках: Пер. с англ. М.: Мир,
1973. 321 с.
Пикус Г. Е. Основы теории полупроводниковых приборов. М.—Л.: Наука,
1965. 482 с.
Ржаное А. В. Электронные процессы на поверхности полупроводников.
М.: Наука, 1971. 480 с.
Рывкин С. М. Фотоэлектрические явления в полупроводниках. М.: Физ-
матгиз, 1963. 494 с.
Уханов Ю. И. Оптические свойства полупроводников. М.: Наука, 1977.
366 с.
Федотов Я. А. Основы физики полупроводниковых приборов. М.: Совет-
ское радио, 1967. 592 с.
Фистуль В. И. Сильно легированные полупроводники. М.: Наука, 1967.
415 с.
Цидильковский И. М. Зонная теория полупроводников. М.: Наука, 1978.
328 с.