Обложка
Tитульный лист
Отзывы
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЯТОМУ И ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЯМ
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
§2. Множества и элементарные операции над множествами
§3. Функция
§4. Некоторые дополнения
§1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел
§2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
§3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел
§4. Счетные и несчетные множества
III. ПРЕДЕЛ
§2. Предел функции
IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§2. Свойства непрерывных функций
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§2. Основные правила дифференцирования
§3. Основные теоремы дифференциального исчисления
§4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
§5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций
§6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания
§7. Первообразная
VI. ИНТЕГРАЛ
§2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
§3. Интеграл и производная
§4. Некоторые приложения интеграла
§5. Несобственный интеграл
VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§2. Предел и непрерывность функции многих переменных
VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§2. Дифференциал функции многих переменных
§3. Основные законы дифференцирования
§4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных
§5. Теорема о неявной функции
§6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
§7. Поверхность в R^m и теория условного зкстремума
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Дополнение 2. Начальные сведения о численных методах решения уравнений
Литература
Предметный указатель
Указатель имен
Text
                    В. А. Зорич
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АнАлиз
Часть І
Издание шестое, дополненное
Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования
Российской Федерации в качестве учебника для студентов
математических и физико-математических
тфакультетовлтспециальностей
высших учебных заведений
Москва
Издательство МЦНМО
2012


УДК 517 ББК 22.16 З86 Рецензенты: Отдел теории функций комплексного переменного Математического института им. В. А. Стеклова ІЅВЫ 978-5-94057-892-5 9 Российской Академии Наук. Заведующий отделом академик А. А. Гончар. Академик В. И . Арнольд. Зорич В. А З86 Математический анализ. Часть І. _ 6-е изд, до- полн.-М.: МЦНМО, 2012. -Х/ІП+702 с. Библ.: 55 назв. Илл.: 65. математики и ее приложений. 785940 ІЅВ1ї 978-5-94057-891-8 ІЅВ1ї 978-5-94057-892-5 (часть І) Университетский учебник для студентов физико-математических спе- циальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с рас- ширенной математической подготовкой, а также специалистам в области Предыдущее издание книги вышло в 2007 г. 578925 > ББК 22.16 ІЅВЫ 978_5_94057_891_8 ©В. А. Зорич, 2001, 2002, 2007, 2012 ІЅВ1ї 978-5-94057-892-5 (часть І) @МЦНМО, 2001, 2002, 2007, 2012 «Полная строгость изложения соединена с доступностью и полнотой, а также воспита- нием привычки иметь дело с реальными задачами естествознания.›› Из отзыва академика А. Н. Колмогорова о первом издании учебника
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к шестому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Х Предисловия к пятому и третьему изданиям . . . . . . . . . . . . . . . . . . ХІ Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ХІІ Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ХІУ Глава І. Некоторые общематематические понятия . . . . . . . . 1 Ё; 1. Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ь . . 1 1. Связки и скобки 2. Замечания о доказательствах 3. Не- которые специальные обозначения 4. Заключительные заме- чания Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ё2. Множества и элементарные операции над множествами . . _ . . 5 1. Понятие множества 2. Отношение включения 3. Про- стейшие операции над множествами Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ё3. Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1. Понятие функции (отображения) (13). 2. Простейшая класси- фикация отображений (18). 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения (20). 4. Функция как отношение. График функции (22). Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
ІУ ОГЛАВЛЕНИЕ 54. Некоторые дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1. Мощность множества (кардинальные числа) (29). 2. Об акси- оматике теории множеств (32). 3. Замечания о структуре ма- тематических высказываний и записи их на языке теории мно- жеств (34). Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Глава ІІ. Действительные (вещественные) числа . . . . . . . . . . 40 Ё 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действи- тельных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . 41 1. Определение множества действительных чисел (41). 2. Некото- рые общие алгебраические свойства действительных чисел (45). 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества (50). Ё2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами . . . . . . . . . . . . 52 1. Натуральные числа и принцип математической индукции (52). 2. Рациональные и иррациональные числа (56). 3. Принцип Ар- химеда (60). 4. Геометрическая интерпретация множества дей- ствительных чисел и вычислительные аспекты операций с дей- ствительными числами (62). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ЁЗ. Основные леммы, связанные с полнотой множества действи- тельных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши- Кантора) (81). 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега) (82). 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано- Вейерштрас- са) (83). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Ё4. Счетные и несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1. Счетнь1е множества (85). 2. Мощность континуума (87). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Глава ПІ. Предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _. 91 ё1. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . 92 1. Определения и примеры (92). 2. Свойства предела последова- тельности (94). 3. Вопросы существования предела последова- тельности (99). 4. Начальные сведения о рядах (110). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
ОГЛАВЛЕНИЕ У Ё2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 1. Определения и примеры (124). 2. Свойства предела функ- ции (130). 3. Общее определение предела функции (предел по базе) (148). 4. Вопросы существования предела функции (153). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Глава ІУ. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Ё 1. Основные определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1. Непрерывность функции в точке (175). 2. Точки разрыва (181). Ё2. Свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1. Локальные свойства (184). 2. Глобальные свойства непрерыв- ных функций (186). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Глава У. Дифференциальное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Ё1. Дифференцируемая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 1. Задача и наводящие соображения (202). 2. Функция, диф- ференцируемая в точке (208). 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала (211). 4. Роль системы ко- ординат (214). 5. Некоторые примеры (216). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Ё2. Основные правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . 224 1. Дифференцирование и арифметические операции (224). 2. Дифференцирование композиции функций (228). 3. Диффе- ренцирование обратной функции (232). 4. Таблица производ- ных основных элементарных функций (238). 5. Дифференциро- вание простейшей неявно заданной функции (238). 6. Производ- ные высших порядков (243). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Ё3. Основные теоремы дифференциального исчисления . . . . . . . _ 248 1. Лемма Ферма и теорема Ролля (248). 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении (251). 3. Формула Тейлора (255). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Ё4. Исследование функций методами дифференциального исчисле- ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 1. Условия монотонности функции (274). 2. Условия внутрен- него экстремума функции (276). 3. Условия выпук.лости функ- ции (282). 4. Правило Лопиталя (291). 5. Построение графика функции (293). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
/І ОГЛАВЛЕНИЕ ёб. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций . . 307 1. Комплексные числа (307). 2. Оходимость в С и ряды с ком- плексными членами (312). 3. Формула Эйлера и взаимосвязь эле- ментарных функций (317). 4. Представление функции степен- ным рядом, аналитичность (321). 5. Алгебраическая замкну- тость поля (С комплексных чисел (326). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ёб. Некоторые примеры использования дифференциального исчи- сления в задачах естествознания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Движение тела переменной массы (336). 2. Барометрическая формула (338). 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел (340). 4. Падение тел в атмосфере (343). 5. Еще раз о числе е и функции ехр а: (345). 6. Колебания (348). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ё7. Первообразная . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Первообразная и неопределенный интеграл (357). 2. Ос- новные общие приемы отыскания первообразной (359). 3. Пер- вообразные рациональных функций (366). 4. Первообраз- ные вида І В(соз:п,Ѕіпа:) (11: (371). 5. Первообразные вида ІН(аз,у(а:)) сіш (373). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава /І. Интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ Ё 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Задача и наводящие соображения (383). 2. Определение инте- грала Римана (385). 3. Множество интегрируемых функций (387) Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . Ё2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла . . . . . 1. Интеграл как линейная функция на пространстве 72[а, Ь] (404). 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирова- ния (405). 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, тео- ремы о среднем (408). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Интеграл и производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Интеграл и первообразная (418). 2. Формула Ньютона-Лейб- ница (421). 3. Интегрирование по частям в определенном инте- грале и формула Тейлора (422). 4. Замена переменной в инте- грале (425). 5. Некоторые примеры (427). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ОГЛАВЛЕНИЕ У Ё4. Некоторые приложения интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и инте- грал (436). 2. Длина пути (438). 3. Площадь криволинейной тра- пеции (446). 4. Объем тела вращения (447). 5. Работа и энер- гия (448). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 ё5. Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов (457). 2. Исследование сходимости несобственного интеграла (462). 3. Несобственные интегралы с несколькими осо- бенностями (469). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 Глава /П. Функции многих переменных, их предел и непре- рывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 ЁІ. Пространство К” и важнейшие классы его подмножеств _ . . . 477 1. Множество К и расстояние в нем (477). 2. Открытые и за- мкнутые множества в Вт (478). З. Компакты в Вт (482). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 Ё2. Предел и непрерывность функции многих переменных . . . . . . 484 1. Предел функции (484). 2. Непрерывность функции многих пе- ременных и свойства непрерывных функций (491). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 Глава /ІП. Дифференциальное исчисление функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 Ё 1. Векторная структура в Ш . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 1. Вт как векторное пространство (498). 2. Линейные отобра- жения Ь: К” -› К (499). 3. Норма в Вт (500). 4. Евклидова структура в Вт (502). Ё2. Дифференциал функции многих переменных . . . . . . . . . . . . 504 1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (504). 2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции (505). З. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби (509). 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке (509).
/'ІІІ ОГЛАВЛЕНИЕ ЁЗ. Основные законы дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . 511 1. Линейность операции дифференцирования (511). 2. Диффе- ренцирование композиции отображений (514). 3. Дифференци- рование обратного отображения (520). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 Ё 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественно- значных функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 1. Теорема о среднем (528). 2. Достаточное условие дифференци- руемости функции многих переменных (530). 3. Частные произ- водные высшего порядка (532). 4. Формула Тейлора (535). 5. Экс- тремумы функций многих переменных (537). 6. Некоторые гео- метрические образы, связанные с функциями многих перемен- ных (546). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 Ё5. Теорема о неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557 1. Постановка вопроса и наводящие соображения (557). 2. Про- стейший вариант теоремы о неявной функции (560). 3. Переход к случаю зависимости Р`(:::1,. . .,а:т,у) = О (564). 4. Теорема о неявной функции (567). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 ёб. Некоторые следствия теоремы о неявной функции . . . . . . . . . 577 1. Теорема об обратной функции (577). 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду (582). З. Зависи- мость функций (587). 4. Локальное разложение диффеоморфиз- ма в композицию простейших (589). 5. Лемма Морса (592). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 Ё7. Поверхность в К” и теория условного зкстремума . . . . . . . _ . 597 1. Поверхность размерности К в К” (598). 2. Касательное прост- ранство (603). 3. Условный экстремум (609). Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 Некоторые задачи ко.л.локвиумов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 Д о п о л н е н и е 1. Математический анализ (вводная лекция для первого курса) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
ОГЛАВЛЕНИЕ Д о п о л н е н и е 2. Начальные сведения о численных методах ре- шения уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Дополнение 3. Преобразование Лежандра (первое обсужде- ние) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 Дополнение 4. Интеграл Римана-Стилтьеса, дельта-функ- ция и идея обобщенных функций (начальные представле- ния) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 Д о п о л н е н и е 5. Теорема о неявной функции (альтернативное изложение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . Указатель имен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ От своего имени и от имени будущих читателей я благодарю всех, кто нашел возможность, живя в разных странах, сообщить в издательство или мне лично о погрешностях (опечатках, ошибках, пропусках), за- меченных в русском, английском, немецком или китайском изданиях этого учебника. Замечания учтены и соответствующая правка внесена в текст предлагаемого шестого русского издания. Как выяснилось, книга пригодилась и физикам _ очень этому рад. Во всяком случае я действительно стремился сопровождать формаль- ную теорию содержательнь1ми примерами ее применения как внутри математики, так и вне нее. Шестое издание содержит ряд дополнений, которые, возможно, бу- дут полезны студентам и преподавателям. Во-первь1х, это некоторые материалы реальных лекций (например записи двух вводных обзорных лекций первого и третьего семестров) и, во-вторых, это математиче- ские сведения (порой актуальные, например связь многомерной гео- метрии и теории вероятностей), примь1кающие к основному предмету учебника. Москва, 2011 год В. Зорич
ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЯТОМУ И ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЯМ В ПЯТОМ ИЗДЕЪНИИ ИСПРЕЪВЛЄНЬІ ЗЗМЄЧЄННЫЄ ПОГРЄШНОСТИ И СДЄЛ8.Н8. ЛО- КЗЛЬНЭЯ Пр3.ВК8. ТЄКСТ8, ЧЄТВЄРТОГО ИЗДЗНИЯ. Москва, 2006 год В. Зорич Эта часть І книги выходит вслед за выпущенной ранее тем же издатель- ством более продвинутой частью ІІ курса. Для единообразия и преем- ственности оформление текста приведено в соответствие с уже приня- тым в части ІІ. Рисунки выполнены заново. Исправлены замеченные опечатки, добавлены некоторые задачи, расширен список дополнитель- ной литературы. Более полные сведения о материале книги и некото- рых особенностях курса в целом даны ниже в предисловии к первому изданию. Москва, 2001 год В. Зорич
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ В этом, втором издании книги, наряду с попыткой устранить опечат- ки первого1), сделаны отдельные изменения изложения (в основном это касается вариантов доказательств отдельных теорем) и добавлены не- которые новые задачи, как правило, неформального характера. В пре- дисловии к первому изданию этого курса анализа уже дана его общая характеристика, указаны основные принципы и направленность изло- жения. Здесь я хотел бы сделать несколько практических замечаний, связанных с использованием книги в учебном процессе. Любым учебником обычно пользуются как студент, так и препода- ватель -каждый для своих целей. Сначала и тот, и другой заинтере- сованы иметь книгу, где, помимо формально необходимого минимума теории, имеются по возможности разнообразные содержательные при- меры ее использования, пояснения, исторический и научный коммента- рии, демонстрируются взаимосвязи, указываются перспективы разви- тия. Но в момент подготовки к экзамену студент желает видеть тот материал, который выносится на экзамен. Преподаватель точно так же, завершая подготовку курса, отбирает только тот материал, кото- рый может и должен быть изложен в отведенное курсу время. В этой связи следует иметь в виду, что текст данного учебника, конечно, заметно шире того конспекта лекций, на базе которого он на- писан. Что составило эту разницу? Во-первых, к конспекту добавлен, по существу, целый задачник, состоящий, не столько из упражнений, “Не следует огорчаться: вместо исправленных опечаток не сохранившегося набо- ра первого издания заведомо появится комплект новых опечаток, так оживляющих, по мнению Эйлера, чтение математического текста.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ ХІІІ сколько из содержательных задач естествознания или собственно мате- матики, примыкающих к соответствующим разделам теории, а иногда и существенно расширяющих их. Во-вторых, в книге, конечно, разобра- но много больше примеров, демонстрирующих теорию в действии, чем это удается сделать на лекциях. Наконец, в-третьих, ряд глав, пара- графов или отдельных пунктов сознательно написаны как дополнение к традиционному материалу. Об этом сказано в разделах «О введении» и «О вспомогательном материале» предисловия к первому изданию. Напомню также, что в предисловии к первому изданию я желал предостеречь и студента, и начинающего преподавателя от чрезмерно долгого сквозного изучения вводных формальных глав. Это заметно откладывает собственно анализ и сильно смещает акценты. Чтобы показать, что на деле остается в реальном лекционном курсе от этих формальных вводных глав, и чтобы в концентрированном виде изложить программу такого курса в целом, а также отметить возмож- ные ее вариации в зависимости от контингента слушателей, я в конце книги привожу некоторые задачи коллоквиумов, а также экзаменаци- онные вопросы последнего времени за первые два семестра, к которым относится эта часть І. По экзаменационным вопросам профессионал, конечно, увидит и по- рядок изложения, и степень развития в нем фундаментальных понятий и методов, и привлечение порой материала второй части учебника, ко- гда рассматриваемый в первой части вопрос уже доступен слушателям в более общем виде. В заключение хотел бы поблагодарить знакомых и незнакомых мне коллег и студентов за отзывы и конструктивные замечания к первому изданию курса. Особенно интересно и полезно мне было прочитать ре- цензии А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Разные по объему, форме и стилю, они в профессиональном плане имели так ободряюще много общего. Москва, 1997 год В. Зорич
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Создание Ньютоном и Лейбницем три столетия тому назад основ диф- ференциального и интегрального исчисления даже по нынешним мас- штабам представляется крупнейшим событием в истории науки вообще и математики в особенности. Математический анализ (в широком смысле слова) и алгебра, пе- реплетаясь, образовали теперь ту корневую систему, на которой дер- жится разветвленное дерево современной математики и через которую происходит его основной живительный контакт с внематематической сферой. Именно по этой причине основы анализа включаются как необ- ходимый элемент даже самых скромных представлений о так называе- мой высшей математике, и, вероятно, поэтому изложению основ анали- за посвящено большое количество книг, адресованных различным кру- гам читателей. Эта книга в первую очередь адресована математикам, желающим (как и должно) получить полноценные в логическом отношении доказа- тельства фундаментальных теорем, но вместе с тем интересующимся также их внематематической жизнью. Особенности настоящего курса, связанные с указанными обстоя- тельствами, сводятся в основном к следующему. По характеру изложения. В пределах каждой большой темы изложение, как правило, индуктивное, идущее порой от постановки за- дачи и наводящих эвристических соображений по ее решению к основ- ным понятиям и формализмам.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Х/ Подробное вначале, изложение становится все более сжатым по мере продвижения по курсу. Упор сделан на эффективном аппарате гладкого анализа. При изло- жении теории я (в меру своего понимания) стремился выделить наибо- лее существенные методы и факты и избежать искушения незначитель- ного усиления теорем ценой значительного усложнения доказательств. Изложение геометрично всюду, где это представлялось ценным для раскрытия существа дела. Основной текст снабжен довольно большим количеством примеров, а почти каждый параграф заканчивается набором задач, которые, на- деюсь, существенно дополняют даже теоретическую часть основного текста. Следуя великолепному опыту Полиа и Сеге, я часто старал- ся представить красивый математический или важный прикладной ре- зультат в виде серий доступных читателю задач. Расположение материала диктовалось не только архитектурой ма- тематики в смысле Бурбаки, но и положением анализа как составной части единого математического или, лучше сказать, естественно-мате- матического образования. По содержанию. Курс издается в двух книгах (части І и П). Настоящая первая часть содержит дифференциальное и интеграль- ное исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчи- сление функций многих переменных. В дифференциальном исчислении выделена роль дифференциала как линейного эталона для локального описания характера изменения переменной величины. Кроме многочисленных примеров использования дифференциального исчисления для исследования функциональных за- висимостей (монотонность, экстремумы), показана роль языка анализа в записи простейших дифференциальных уравнений _ математических моделей конкретных явлений и связанных с ними содержательных за- дач. Рассмотрен ряд таких задач (например, движение тела переменной массы, ядерный реактор, атмосферное давление, движение в сопроти- вляющейся среде), решение которых приводит к важнейшим элементар- ным функциям. Полнее использован комплексный язык, в частности, выведена формула Эйлера и показано единство основных элементар- ных функций. Интегральное исчисление сознательно изложено по возможности на наглядном материале в рамках интеграла Римана. Для большинства
Х/`І ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ приложений этого вполне хватает1). Указаны различные приложения интеграла, в том числе приводящие к несобственному интегралу (на- пример, работа выхода из поля тяготения и вторая космическая ско- рость) или к эллиптическим функциям (движение в поле тяжести при наличии связей, маятник). Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных до- вольно геометрично. В нем, например, рассмотрены такие важные и по- лезные следствия теоремы о неявной функции, как криволинейные ко- ординаты и локальное приведение к каноническому виду гладких ото- бражений (теорема о ранге) и функций (лемма Морса), а также теория условного зкстремума. Результаты, относящиеся к теории непрерывных функций и диф- ференциальному исчислению, подытожены и изложены в общем инва- риантном виде в двух главах, которые естественным образом примы- кают к дифференциальному исчислению вещественнозначных функций нескольких переменных. Эти две главы открывают вторую часть кур- са. Вторая книга, в которой, кроме того, изложено интегральное ис- числение функций многих переменных, доведенное до общей формулы Ньютона-Лейбница- Стокса, приобретает, таким образом, определен- ную целостность. Более полные сведения о второй книге мы поместим в предисловии к ней, а здесь добавим только, что кроме уже перечисленного матери- ала она содержит сведения о рядах функций (степенных рядах и рядах Фурье в том числе), об интегралах, зависящих от параметра (включая фундаментальное решение, свертку и преобразование Фурье), а так- же об асимптотических разложениях (они обычно мало представлены в учебной литературе). Остановимся теперь на некоторых частных вопросах. О введении. Вводного обзора предмета я не писал, поскольку большинство начинающих студентов уже имеют из школы первое пред- ставление о дифференциальном и интегральном исчислении и его при- ложениях, а на большее вступительный обзор вряд ли мог бы претен- довать. Вместо него я в первых двух главах довожу до определенной “Более «сильные» интегралы, как известно, требуют более кропотливых и вы- бивающихся из основного русла теоретико-множественных рассмотрений, мало что прибавляя к эффективному аппарату анализа, которьп`71 и должен быть освоен в пер- вую очередь.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Х/ІІ математической завершенности представления бывшего школьника о множестве, функции, об использовании логической символики, а также о теории действительного числа. Этот материал относится к формальным основаниям анализа и ад- ресован в первую очередь студенту-математику, который в какой-то момент захочет проследить логическую структуру базисных понятий и принципов, используемых в классическом анализе. Собственно мате- матический анализ в книге начинается с третьей главы, поэтому чита- тель, желающий по возможности скорее получить в руки эффективный аппарат и увидеть его приложения, при первом чтении вообще может начать с главы ІП, возвращаясь к более ранним страницам в случае, ес- ли что-то ему покажется неочевидным и вызовет вопрос, на который, надеюсь, я тоже обратил внимание и предусмотрительно дал ответ в первых главах. О рубрикации. Материал обеих книг разбит на главы, имею- щие сплошную нумерацию. Параграфы нумеруются в пределах каждой главы отдельно; подразделения параграфа нумеруются только в пре- делах этого параграфа. Теоремы, утверждения, леммы, определения и примеры для большей логической четкости выделяются, а для удобства ссылок нумеруются в пределах каждого параграфа. О вспомогательном материале. Несколько глав книги на- писаны как естественное окаймление классического анализа. Это, с од- ной стороны, уже упоминавшиеся главы І, ІІ, посвященные его фор- мально-математическим основаниям, а с другой стороны, главы ІХ, Х, Х7 второй части, дающие современный взгляд на теорию непре- рывности, дифференциальное и интегральное исчисление, а также гла- ва ХІХ, посвященная некоторым эффективным асимптотическим ме- тодам анализа. Вопрос о том, какая часть материала этих глав включается в лекци- онный курс, зависит от контингента слушателей и решается лектором, но некоторые вводимые здесь фундаментальные понятия обычно при- сутствуют в любом изложении предмета математикам. В заключение я хотел бы поблагодарить тех, чья дружеская и ква- лифицированная профессиональная помощь была мне дорога и полезна при работе над этой книгой. Предлагаемый курс довольно тщательно и во многих аспектах со- гласовывался с последующими современными университетскими мате- матическими курсами -такими, например, как дифференциальные
Х/ПІ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ уравнения, дифференциальная геометрия, теория функций комплексно- го переменного, функциональный анализ. В этом отношении мне были весьма полезны контакты И обсуждения с В. И. Арнольдом и, особен- но многочисленные, с С. П. Новиковым в период совместной работы в зкспериментальном потоке при отделении математики. Много советов я получил от Н. В. Ефимова, заведующего кафед- рой математического анализа механико-математического факульте- та МГУ. Я признателен также коллегам по кафедре и факультету за замеча- ния к ротапринтному изданию моих лекций. При работе над книгой ценными оказались предоставленные в мое распоряжение студенческие записи моих лекций последнего времени, за что я благодарен их владельцам. Я глубоко признателен официальным рецензентам издательства Л. Д. Кудрявцеву, В. П. Петренко, С. Б. Стечкину за конструктивные за- мечания, значительная часть которых учтена в предлагаемом читателю тексте. Москва, 1980 год В. Зорич
ГЛАВА І НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ Ё 1. Логическая символика 1. Связки и скобки. Язык этой книги, как и большинства мате- матических текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символов излагаемых теорий. Наряду с этими специальными символа- ми, которые будут вводиться по мере надобности, мы используем рас- пространенные символы математической логики -1, /, /, =>, <:> для обо- значения соответственно отрицания «не›› и связок «и», «или», «влечет», «равносильно» 1) . Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный инте- рес высказывания: Ь. «Если обозначения удобны для открытий . _ . , то поразительным образом сокращается работа мысли» (Г. Лейбниц2)). Р. «Математика --это искусство называть разные вещи одинаковы- ми именами» (А. Пуанкаре3)). ЦВ логике вместо символа А чаще используется символ &. Символ => импликации логики чаще пшпут в виде -›, а отношение равносильности-в виде <--› или <-›. Однако мы будем придерживаться указанной в тексте символики, чтобы не пере- гружать традиционный для анализа знак -› предельного перехода. 2)Г. В.Лейбниц (1646 - 1716) -выдающийся немецкий ученый, философ и мате- матик, которому наряду с Ньютоном принадлежит честь открытия основ анализа бесконечно малых. 3)А.Пуанкаре (1854- 1912) -французский математик, блестящий ум которого преобразовал многие разделы математики и достиг ее фундаментальных приложе- ний в математической физике.
2 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Є. «Великая книга природы написана языком математики» (Г. Галилейц). ТОГДЭ. В СООТВЄТСТВИИ С УКЗЗЗННЫМИ ОбОЗН&ЧЄНИЯМИІ Запись Означает Ь => Р Ь влечет Р Ь <=Ф Р Ь равносильно Р ((Ь => Р) / (тР)) => (-=Ь) Если Р следует из Ь и Р неверно, то Ь неверно -:((Ь <=> Є) / (Р <=> (1)) Є не равносильно ни Ь, ни Р Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избегая разговорного языка,-не всегда разумно. Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, со- ставленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же синтаксическую функцию, что и при записи алгебраических выра- жений. Как и в алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действий». Условимся с этой целью о следующем порядке при- оритета символов: -», /, /, =>, <=>. При таком соглашении выражение *А / В / С => В следует рас- шифровать как (((-А) / В) / С) => В, а соотношение А / В => С~ как (А/В)=>С', нонекакА/(В=>С'). Записи А => В, означающей, что А влечет В или, что то же самое, В следует из А, мы часто будем придавать другую словесную интер- претацию, говоря, что В есть необсиодимый признак или необагодимое условие А и, в свою очередь, А- достаточное условие или достаточ- ный признак В. Таким образом, соотношение А <=> В можно прочитать любым из следующих способов: А необходимо и достаточно для В; А тогда и только тогда, когда В; 1)Г. Галилей (1564 - 1642) -итальянский ученый, крупнеіїшшй естествоиспь1та- тель. Его труды легл:и в основу всех последующих физических представлений о про- странстве и времени. Отец современной физической науки.
ё1. ЛОГИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА 3 А, если и только если В; А равносильно В . Итак, запись А <=> В означает, что А влечет В и, одновременно, В влечет А. Употребление союза и в выражении А / В пояснений не требует. Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении А / В союз или неразделительнь1й, т. е. высказывание А / В считается верным, если истинно хотя бы одно из высказываний А, В. Например, пусть ш --- такое действительное число, что :с2 - 3:1:+2 = О. Тогда можно написать, что имеет место следующее соотношение: (1132-Зэ:+2=0)<=>(:с=1)/(а:=2). 2. Замечания о доказательствах. Типичное математическое утверждение имеет вид А => В, где А_посылка, а В -заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки А => С1 => => СП, => В следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо является уже доказанным утверждением1). В доказательствах мы будем придерживаться классического прави- ла вывода: если А истинно и А => В, то В тоже истинно. При доказательстве от противного мы будем использовать так- же принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание А / -«А (А или не А) считается истинным независимо от конкрет- ного содержания высказывания А. Следовательно, мы одновременно принимаем, что -1(-А) <=> А, т.е. повторное отрицание равносильно исходному высказыванию. З. Некоторые специальные обозначения. Для удобства чита- теля и сокращения текста начало и конец доказательства условимся отмечать знаками 4 и Ь соответственно. Усповимся также, когда это будет удобно, вводить определения по- средством специального символа := (равенство по определению), в ко- тором двоеточие ставится со стороны определяемого объекта. Например, запись Ь / ма» 4:1: == ,(;;;гд,0«›<:; во “Запись А=>В =>С будет употребляться как сокращение для (А=›В) / (В =>С').
4 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предполагается известным. Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определен- ных выражений. Например, запись 'П 2 х<с›А=щ == ао; во 2:1 вводит обозначение а([; Р,{) для стоящей слева суммы специального вида. 4. Заключительные замечания. Отметим, что мы здесь гово- рили, по существу, только об обозначениях, не анализируя формализм логических выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, дока- зуемости, выводимости, составляющих предмет исследования матема- тической логики. Как же строить математический анализ, если мы не имеем форма- лизации логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы всегда знаем 'или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный момент формализовать. Пояснением смысла последней фразы может служить известная притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда ее попросили объяснить, как именно она управляется со всеми своими конечностями. Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или простым и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнению сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с мно- гими понятиями математического анализа, важнейшие теоремы и ап- парат которого бь1ли открыты еще в ХУП-Х/ІП веках, но приобрели современный формализованный, однозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишь после создания теории пределов и необходимой для нее логически полноценной теории действительных чисел (ХІХ век). Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем в главе ІІ построение всего здания анализа. Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомить- ся с основными понятиями и эффективным аппаратом собственно диф- ференциального и интегрального исчисления могут начать сразу с главы ІП, возвращаясь к отдельным местам первых двух глав лишь по мере необходимости.
Ё2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 5 Упражнения Будем отмечать истинные высказывания символом 1, а ложные-симво- лом О. Тогда каждому из высказываний ЧА, А / В, А / В, А => В можно сопоставить так называемую таблицу истинности, которая указывает его истинность в зависимости от истинности высказываний А, В. Эти таблицы являются формальным определением логических операций -1, /, /, =>. Вот они: ъ-«Ф Фь-1 ;;|дд дед ЩІШШ Ш ЖЕ ЖЕ ІПЩ ІІ Ш 1. Проверьте, все ли в этих таблицах согласуется с вашим представлением о соответствующей логической операции. (Обратите, в частности, внимание на то, что если А ложно, то импликация А => В всегда истинна.) 2. Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и широко используемые в математических рассуждениях соотношения: (А/В)<=>-1А/-1В; (А/В)<=>пА/-ЧВ; А=>В)<=>(<В=>аА); ФВ)<=>тА/В; (А=>В)<=:›А/«В. 5583533, _]//5 _! Ь _! 52. Множества и элементарные операции над множествами 1. Понятие множества. С конца ХІХ-начала ХХ столетия наи- более универсальным языком математики стал язык теории множеств. Это проявилось даже в одном из определений математики как науки, изучающей различные структуры (отношения) на множествахї). ЦБ ур баки Н. Архитектура математики. В кн.: Б ур баки Н. Очерки по исто- рии математики. М.: ИЛ, 1963.
6 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое опреде- ленных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мы- сли» -так описал понятие «множество» Георг Канторц, основатель те- ории множеств. Описание Кантора, разумеется, нельзя назвать определением, по- скольку оно апеллирует к понятиям, быть может, более сложным (во всяком случае, не определенным ранее), чем само понятие множества. Цель этого описания-разъяснить понятие, связав его с другими. Основные предпосылки канторовской (или, как условно говорят, «наивной››) теории множеств сводятся к следующему: 1° множество может состоять из любых различимых объектов; 2° множество однозначно определяется набором составляющих его Объектов; З° любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают. Если 11:-объект, Р-свойство, Р(:1:) -обозначение того, что ап об- ладает свойством Р, то через {:1: | обозначают весь класс объ- ектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества. Множество, состоящее из элементов 1:1, . . _ ,:с,,,, обычно обозначают как {:1:1,. . . ,:1:,,,}. Там, где это не вызывает недоразумения, для сокра- щения записи мы позволяем себе обозначать одноэлементное множест- во {а} просто через а. Слова «класс», «семейство», «совокупность», «набор» в наивной тео- рии множеств употребляют как синонимы термина «множество». Следующие примеры демонстрируют применение зтой терминоло- ГИИІ множество букв «а» в слове «я››; множество жен Адама; набор из десяти цифр; семейство бобовых; множество песчинок на Земле; совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных ее точек; 1)Г. Кантор (1845 - 1918) -немецкий математик, создатель теории бесконечных множеств и родоначальник теоретико-множественного языка в математике.
(52. МНОЖЕОТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 7 семейство множеств; множество всех множеств. Различие в возможной степени определенности задания множества наводит на мысль, что множество _ не такое уж простое и безобидное понятие. И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто противоречиво. 4 Действительно, пусть для множества М запись Р(М) означает, что М не содержит себя в качестве своего элемента. Рассмотрим класс К = {М | Р(М множеств, обладающих свой- ством Р. Если К -множество, то либо верно, что Р(К), либо верно, что <Р(К Однако эта альтернатива для К невозможна. Действительно, Р(К) невозможно, ибо из определения К тогда бы следовало, что К содержит К, т. е. что верно <Р(К); с другой стороны, -Р(К) тоже невозможно, поскольку это означает, что К содержит К, а это проти- воречит определению К как класса тех множеств, которые сами себя не содержат. Следовательно, К -не множество. Ь Это классический парадокс Расселаї), один из тех парадоксов, к которым приводит наивное представление о множестве. В современной математической логике понятие множества подвер- гается (как мы видим, не без оснований) тщательному анализу. Одна- ко в такой анализ мы углубляться не станем. Отметим только, что в существующих аксиоматических теориях множество определяется как математический объект, обладающий определенным набором свойств. Описание этих свойств составляет аксиоматику. Ядром аксиомати- ки теории множеств является постулирование правил, по которым из множеств можно образовывать новые множества. В целом любая из су- ществующих аксиоматик такова, что она, с одной стороны, избавляет от известных противоречий наивной теории, а с другой-обеспечива- ет свободу оперирования с конкретными множествами, возникающими в различных отделах математики, и в первую очередь именно в мате- матическом анализе, понимаемом в широком смысле слова. ЦБ. Рассел (1872 - 1970) -английский логик, философ, социолог и общественный деятель.
8 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Ограничившись пока этими замечаниями относительно понятия множества, перейдем к описанию некоторых наиболее часто исполь- зуемых в анализе свойств множеств. Желающие подробнее ознакомиться с понятием множества могут просмотреть пункт 2 из Ё4 настоящей главы или обратиться к специ- альной литературе. 2. Отношение включения. Как уже отмечалось, объекты, соста- вляющие множество, принято называть элементами этого множест- ва. Мы будем стремиться обозначать множества прописными буква- ми латинского алфавита, а элементы множества-соответствующими строчными буквами; Высказывание «аг есть элемент множества Х» коротко обозначают символом 3: Є Х (или Х Э Ш), а его отрицание _ символом сс ўё Х (или Х Ё В записи высказываний о множествах часто используются логиче- ские операторы З («существует›› или «найдется››) и 7' («любой›› или «для любого››), называемые кванторами существования и всеобщности со- ответственно. Например, запись /11: Є А) <=> (ап Є В)) означает, что для любого объекта ап соотношения 11: Є А и сс Є В равносильны. Поскольку множе- ство вполне определяется своими элементами, указанное высказывание принято обозначать короткой записью А=В, читаемой «А равно В», обозначающей совпадение множеств А и В _ Таким образом, два множества равны, когда они состоят из одних и тех же элементов. Отрицание равенства обычно записывают в виде А 7€ В. Если любой элемент множества А является элементом множества В, то пишут А С В или В Э А и говорят, что множество А является под- множеством множества В, или что В содержит А, или что В включает в себя А. В связи с этим отношение А С В между множествами А, В называется отношением включения (рис. 1).
Ё2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 9 Итак, А С В (АСВ):=/а:((а:ЄА)=>(:сЄВ)). В Если А С В и А дё В, то будем говорить, что включение А С В строгое или что А-собственное подмножество В. М Используя приведенные определения, теперь можно Рис. 1_ заключить, что (А=В)<=>(АсВ)/(ВсА). Если М -множество, то любое свойство Р выделяет в М подмно- жество {Ш Є М І Р(Ш)} тех элементов М, которые обладают этим свойством. Например, очевидно, что М={$ЄМ|а:ЄМ}. С другой стороны, если в качестве Р взять свойство, которым не обла- дает ни один элемент множества М, например Р(а:) := (а: уё аг), то мы получим множество И={шЄМ|:п7ёа:}, называемое пустым подмножеством множества М. 3. Простейшие операции над множествами. Пусть А и В- подмножества множества М. | | | 1 В М :=г==гзаггг=;@:;;=1:;гг2Ь-д&:±і;›.:=г_є;~:г:г=:_ -5;;=;$Е;5$=3г34;3 ; ;› : І?-м 23; ;):Е=ї:ёу .€= - _. .. ;_;._._._д,., __,››. ___» г_;_;-_; _,3~;.5 -;= 3 _;_=_;_-_:<;-::~ ' вт ' ' Ж -< Ч-=г:-=: У. ,›і^ў2г=-'*>_<, ._ гг;-=_:; :і==;='ч::-='.г:='; ; ==;=›: ' 1 -'*;;$'~_:;_ _ ,ы›=_ =~<;д<$_д±-9 -_';,;;<дд$'__ _ :'5:г;>;`Ё=›«,;;--›<›;5_;. -' Ё __ _ ~ -зо* '- . 1» -_-16524 -.- _ -'мїс - .'$:-:' : ' .~ ›:«›!Ё~4*< `€-:'_<::-:~:- _ _ “ЗА М ,_ -У < _- _ -_-__». -›'×,›:-А*-_-,×<_<,,_› Щ.. .г.. -' _ :`Ё`<'›ъс::Ґ:/Ё ::-'-~›:::._ : _ »З _~':._.:_ )_-'-›.- '›:»/-'«-г:-ъ›>›:<«~›_ ~;- :›':_--~:›~1:-:-'-'-_› ~ -` ддїіїїдщд-;,:;;€Ё$5:% :_› :':їж;.ё›:_:-' -/-4,1;-д:-З; 3:;;:-- дьї-1 -1233; _:«›1,;,'*5д;:д<<;1:_-5гд;--:,: :< ›;г:-;-:3:_*;;:'› <-._:<- = *ї.їїя===-=' ›*;ё^_ $$'--::›ё=ё#=:*ъ:; _ є<›~:і› 1:=::'='_: :_'=:_.=Є:`:гг - ' ' - дк, - '- ›с>- *'-'» -'.,_- ,`- є - _».-'нд ~___ :;' 34 1€:__< МФ ~ .-«га-5::-5,2 Ё* з^ “ _ _ _ . гб» Га і `< Ё -_д_2`__ ъъї _ /___: 22д_;5›;5?%д -_ _- _ ~_ - __* - 5-_-=<__ 5-_». 157 ':-'-:-_д'д}:;›_ _: _. __ _: _-: .~.- _;_-:~_-_Ё _. _ ›3~_д;..< _,:-.<Ё€.=.:_ -г›і>=.-»> `.ї$ё'е:<ЁЁ:єг?;±«-її <= -_ ' =<#.›<~г=тг-є±:>г3<?-:._- ,;;=:=-:г;г=;зг:г: “ _ 'їЁ_їё:%;г:Ё;;;$;;,-'Є:ё=2 - *'ї_д;..'::.ї' _-_;:_:==:д:.:гід..г;ї .~ - ' - _ ' «Ш-__~:> _дэ;;<@;;=?г::_::'$г:г.~, '-=д;;_ё;=.1 :;.д;1'>}?;;;_;`;<;'»~д_›;± ' ,Ё ,_ І) . . __ _ <~.;°±=×-<.:-г;к×.±ї$}<<<-;=г>...=._є*<<›-#- .... ;_ _. 4,. __ ,, _:;›.--..ат-_›а<-=-.;-_=г~×' › _ -~__~›<~<~ К:---×--.< _-ме. . _.-4-и .~›-~ ?:,-›;.__ь:-›г~ -..:<-:: -2-~>$›=-=_':-:'<.-її*-_'-:~<' ЁЁ`ЁР»г'^*--?Ё?*°;;-1375. =<_'_$›'Є_гК~---;=;-_~=_-_ -_'-'-=ї-=еі:=-=::;ч--:$_'.>=*'_?%г?;;;:?_г;=.агг=;=;=±=.іг_'-гсгг: М М ь М М Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5.
10 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ а. Объединением множеств А и В называется множество АЫВ:={:вЄМ|(:сЄА)/(:пЄВ)}, состоящее из тех и только тех элементов множества М, которые содер- жатся хотя бы в одном из множеств А, В (рис. 2). Ь. Пересечение./и множеств А и В называется множество АПВ:={а:ЄМ|(:1:ЄА)/(:вЄВ)}, образованное теми и только теми элементами множества М, которые принадлежат одновременно множествам А и В (рис. 3). с. Разностью между множеством А и множеством В называется множество АВ:={:вЄМ|(:1:ЄА)/(ш9ЁВ)}, состоящее из тех элементов множества А, которые не содержатся в множестве В (рис. 4). Разность между множеством М и содержащимся в нем подмноже- ством А обычно называют дополнением А в М и обозначают через СМА или СА, когда из контекста ясно, в каком множестве ищется до- полнение к А (рис. 5). Пример. В качестве иллюстрации взаимодействия введенных по- нятий проверим следующие соотношения (так называемые правила де Морганац): СМ(/1 Ы В) = СМ/1 Ґ1 СМВ СМ(А Й В) = СМА Ш СМВ. /'/Ж [ЭР-* .././ 4 Докажем, например, первое из этих равенств: (аг Є СМ(АЫВ)) => (ап Є (АЫВ)) Ф Є А) / (аз => Ф (сс Є СМА) А (1: Є СМВ) => (Ш Є (СМА П СМВ)). Таким образом, установлено, что С'М(АЦВ) С (СМАПСМВ). (3) С другой стороны, ЦА. де Морган (1806 -- 1871) -шотландский математик.
Ё2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 11 (1: Є (СМА П СМВ)) => ((0: Є СМА) / (11: Є СМВ)) => => (($$А) ^ (1>$В)) => (тя (АЫВ)) Ф (ШЄ См(АЫВ)>, Т. Є. (СМ./1Ґ1СМВ)С СМ(АШВ). (4) Из (3) и (4) следует > (1. Прямое (декартово) произведение множеств. Для любых двух множеств А, В можно образовать новое множество-пару {А,В} = = {В,А}, элементами которого являются множества А и В и только они. Это множество состоит из двух элементов, если А уё В, и из одного элемента, если А = В . Указанное множество называют неупорядоченной парой множеств А, В, в отличие от упорядоченной пары (А,В), в которой элементы А, В наделены дополнительными признаками, выделяющими первый и второй элементы пары {А, В Равенство (А›В) : упорядоченных пар по определению означает, что А = С и В = В. В частности, если А 56 В, то (А,В) уё (В,А). Пусть теперь Х и У -произвольные множества. Множество Х×У=={(<т/)І(Ш€Х)^(у€У)}, образованное всеми упорядоченными парами (:с,у), первый член ко- торых есть элемент из Х, а второй член-элемент из У, называется прямым или декартовым произведением множеств Х и У (в таком порядке!). Из определения прямого произведения и сделанных выше замечаний об упорядоченной паре явствует, что, вообще говоря, Х × У 75 У × Х. Равенство имеет место, лишь если Х = У. В последнем случае вместо Х × Х пишут коротко Х 2. Прямое произведение называют также декартовым произведением в честь Декартаї), который независимо от Ферма” пришел через систему 1)Р. Декарт (1596 - 1650) -выдающийся французский философ, математик и фи- зик, внесший фундаментальный вклад в теорию научного мьшшения и познания. 2)П. Ферма (1601 -- 1665) ~~- замечательный французский математик, юрист по спе- циальности. Ферма стоял у истоков ряда областей современной математики: анализ, аналитическая геометрия, теория вероятностей, теория чисел.
12 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ координат к аналитическому языку геометрии. Известная всем система декартовых координат в плоскости превращает эту плоскость именно в прямое произведение двух числовых осей. На этом знакомом объекте наглядно проявляется зависимость декартова произведения от порядка сомножителей. Например, упорядоченным парам (0, 1) и (1, 0) отвечают различные точки плоскости. В упорядоченной паре 2 = (а:1,а:2), являющейся элементом прямого произведения 2 = Х 1 × Х2 множеств Х 1 и Х2, элемент 1:1 называется первой проєкциєй пары 2 и обозначается через рг1 2, а элемент 1:2 _ второй проєкцией пары 2: и обозначается через рг2 2:. Проекции упорядоченной пары по аналогии с терминологией анали- тической геометрии часто называют (первой и второй) координатами пары. Упражнения В задачах 1, 2, 3 через А, В, С обозначены подмножества некоторого множества М. 1. Проверьте соотношения (А С С) / (В С С) <=> ((АыВ) С С); (ОС А) А (ССВ) <=> (СС (АпВ)); СМЮМА) = А; (А С СМВ) <=> (В С СМА); (А С В) <=> (СМА 3 СМВ). 2. Покажите, что Аы(ВыС =(АыВ ыС=:АыВыС; (ВПО = (Ап пС=:АпВоС; (ВЫС =(АП Ы(АПС); щвпс = (Аов п(Аос). 3. Проверьте взаимосвязь (двойственность) операций объединения и пере- сечения: 8,) СМ(АШВ) = СМАЙСМВ; Ь) СМ(А Ґ) В) = ОМА Ш СМВ. 4. Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение 833853 $358, З:-їд>Ь> 33 ЕМ/ а) двух отрезков (прямоугольник); Ь) двух прямых (плоскость); с) прямой и окружности (цилиндрическая поверхность);
53. функция 2/3: 1: прямой и круга (цилиндр); вух окружностей (тор); ›-ь _/ окружности и круга (полноторие). 5. Множество А = {(:1:1,:в2) Є Х 2 | Ш1 = 1:2} называется диагональю денар- това квадрата Х 2 множества Х. Проиллюстрируйте геометрически диагонали множеств, полученных в пунктах а), Ь), е) задачи 4. 6. Покажите, что а) (Х×У=И)<=#(Х=И)/(У=И), аеслиХ×У7€И,то Ь) (А×ВсХ×У)е>(АсХ)/(ВсУ), с) (Х×У) (2×У)=(ХЫ2)×У, (1) (Х × У) (Х' × У') = (ХПХ') × (УПУ'). Здесь И -символ пустого множества, т.е. множества, не содержащего эле- ментов. 7. Сравнив соотношения задачи 3 с соотношениями а), Ь) из упражнения 2 к ё1, установите соответствие между логическими операциями -=, /, / на высказываниях и операциями С, П, Ы на множествах. 3С Ё 3. Функция 1. Понятие функции (отображения). Перейдем теперь к опи- санию фундаментального не только для математики понятия функци- ональной зависимости. Пусть Х и У-какие-то множества. Говорят, что имеется фунниил, определенная на Х со значениями в У, если в силу некоторого закона 1” каждому элементу 11: Є Х соот- ветствует элемент у Є У. В этом случае множество Х называется областью определения функции; символ а: его общего элемента” аргументом функции или не- зависимой неременной; соответствующий конкретному значению 1130 Є Є Х аргумента аз элемент уд Є У называют значением фунниии на эле- менте агд или значением функции при значении аргумента аз = 5120 и обозначают через 1 (120). При изменении аргумента а: Є Х значения у = = І Є У, вообще говоря, меняются в зависимости от значений 1:. По этой причине величину у = 1” часто называют зависимой пере- менной.
14 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Множество і(Х) == {у Є У І ЗШ ((Ш Є Х) ^ (11 = І(Ш)))} всех значений функции, которые она принимает на элементах множе- ства Х, будем называть множеством значений или областью значений фунниии. В зависимости от природы множеств Х, У термин «функция» в раз- личных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: отобра- жение, преобразование, морфизм, оператор, фунниионал. Отображе- ние -~- наиболее распространенный из них, и мы его тоже часто будем употреблять. Для функции (отображения) приняты следующие обозначения: ,Их-›У, Хі›У. Когда из контекста ясно, каковы область определения и область значений функции, используют также обозначения 11: 1-› 1 или у = = ](а*), а чаще обозначают функцию вообще одним лишь символом 1. Две функции І1, [2 считаются совпадающими или равными, если они имеют одну и ту же область определения Х и на любом элементе гс Є Х значения ]°1(:с), /2(а:) этих функций совпадают. В этом случае пишут Ґ 1 = ї 2- Если А С Х, а 1” : Х -› У-некоторая функция, то через 1” [А или 1” А обозначают функцию 9о: А -› У, совпадающую с 1 на множестве А. Точнее, ]'|А(:1:) := 9о(а:), если а: Є А. Функция 1* | А называется сужением или ограничением функции 1” на множество А, а функция 1” : Х -› У по отношению к функции ср = ЛА: А -› У называется распространением или продолжением функции ср на множество Х. Мы видим, что иногда приходится рассматривать функцию <р: А -› -› У, определенную на подмножестве А некоторого множества Х, при- чем область значений <р(А) функции 90 тоже может оказаться не совпа- дающим с У подмножеством множества У. В связи с этим для обозначе- ния любого множества Х, содержащего область определения функции, иногда используется термин область отправленил функции, а любое множество У, содержащее область значений функции, называют тогда областью ее прибытия. Итак, задание функции (отображения) предполагает указание трой- 1<И(Х,і,У)›гдЄ
53. функция 15 Х -- отображаемое множество, или область определения функции; У- множество, в которое идет отображение, или область прибытия функции; І- закон, по которому каждому элементу 11: Є Х сопоста- вляется определенный элемент у Є У. Наблюдаемая здесь несимметричность между Х и У отражает то, что отображение идет именно из Х в У. Рассмотрим некоторые примеры функций. Пример 1. Формулы І = 21гт и У = Ёп*/*З устанавливают функци- ональную зависимость длины окружности І и объема шара У от радиу- са 1. По смыслу каждая из этих формул задает свою функцию 1” : Щ -› -› Щ, определенную на множестве ПЦ положительных действительных чисел со значениями в том же множестве Пример 2. Пусть Х -- множество инерциальных систем коорди- нат, а с: Х -› 1К-- функция, состоящая в том, что каждой инерциаль- ной системе координат 11: Є Х сопоставляется измеренное относительно нее значение с(а:) скорости света в вакууме. Функция с: Х -› К посто- янна, т.е. при любом 1: Є Х она имеет одно и то же значение с (это фундаментальный экспериментальный факт). Пример 3. Отображение Є: ІК2 -› К2 (прямого произведения ІК2 = К × ІК = К, × КФ оси времени Кд и пространственной оси ІКШ) на себя же, задаваемое формулами а:'=:1:-ой, ±'=±, есть классическое преобразование Галилея для перехода от одной инер- циальной системы координат (аз, 15) к другой --- (:1:', Ґ), движущейся от- носительно первой со скоростью и. Той же цели служит отображение Ь: ІК2 -› ІК2, задаваемое соотно- шениями , сп - ті :в=_--ї, /1- ет* , *- (~ 13 съюе / Н
16 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Это _ известное (одномерное) преобразование Л орениац, играющее фундаментальную роль в специальной теории относительности; с- скорость света. Пример 4. Проектирование р1°1 : Х1 × Х2 -› Х1, задаваемое соот- ветствием Х 1 × Х2 Э (ас1,:1:2) ›Ё› 1131 Є Х 1, очевидно, является функцией. Аналогичным образом определяется вторая проекция рг2: Х 1 × Х2 -› _) Х2. Пример 5. Пусть Р(М) -множество всех подмножеств множе- ства М. Каждому множеству А Є 77(М) поставим в соответствие мно- жество СМА Є р(М), т. е. дополнение к А в М. Тогда получим отобра- жение СМ: 73(М) -› 'Р(М) множества 77(М) в себя. Пример 6. Пусть Е С М. Вещественнозначную функцию ХЕ : М -› К, определенную на множестве М условиями = 1, если а: Є Є Е) / = 0, если сс Є СМЕ), называют азарактеристииеской функцией множества Е. Пример 7. Пусть М (Х ;У) _множество отображений множест- ва Х в множество У, а 500 -фиксированнь1й элемент из Х. Любой функции 1” Є М (Х ;У) поставим в соответствие ее значение 1”(:1:0) Є Є У на элементе 3:0. Этим определяется функция Р: М (Х ;У) -› У. В частности, если У = К, т. е. если У есть множество действительных чисел, то каждой функции 1” : Х -› К функция Р : М (Х ;К) -› К ста- вит в соответствие число 1-7`(]°) = 1 (170). Таким образом, Р есть функ- ция, определенная на функциях. Для удобства такие функции называют функииона./вами. Пример 8. Пусть Г ~множество кривых, лежащих на поверхно- сти (например, земной) и соединяющих две ее фиксированные точки. Каждой кривой *у Є Г можно сопоставить ее длину. Тогда мы получим функцию Р: Г -› К, которую часто приходится рассматривать с целью отыскания кратчайшей линии или, как говорят, ееодезииеской линии между данными точками на поверхности. Пример 9. Рассмотрим множество М(1К;1К) всех вещественно- значных функций, определенных на всей числовой оси К. Фиксировав 1)Г. А. Лоренц (1853 ~ 1928) -выдающийся голландский физик-теоретик. Указан- ные преобразования Пуанкаре назвал в честь Лоренца, стимулировавшего исследова- ние симметрий уравнений Максвелла. Они существенно использованы Эйнштейном в сформулированной им в 1905 году специальной теории относительности.
Ё З. ФУНКЦИЯ 17 число а Є К, каждой функции 1 Є М (К К) поставим в соответствие функцию [Ц Є М(1К;1К), связанную с ней соотношением ],,,(:с) =1:(а: + а). Функцию ]а(ш) обычно называют сдвигом на а функции 1” Возника- ющее при этом отображение А: М(1К;1Р2.) -› М (ІК; К) называется опера- тором сдвига. Итак, оператор А определен на функциях и значениями его также являются функции: [(1 = А(/' Рассмотренный пример мог бы показаться искусственным, если бы мы на каждом шагу не видели реальные операторы. Так, любой радио- / Р ., приемник есть оператор І ›-› ], преобразующии электромагнитные сигналы ]` в звуковые ]`; любой из наших органов чувств является опе- ратором (преобразователем) со своими областью определения и обла- СТЬЮ ЗНЗЧЄНИИ. Пример 10. Положение частицы в пространстве определяется упорядоченной тройкой чисел (:1:, у, 2), называемой ее координатами в пространстве. Множество всех таких упорядоченных троек можно се- бе мыслить как прямое произведение ІК × К × К = КЗ трех числовых осей К При движении в каждый момент времени 15 частица находится в не- которой точке пространства КЗ с координатами ($(±), 3/(Ё), Таким образом, движение частицы можно интерпретировать как отображение 7: К -› КЗ, где 1К_ось времени, а КЗ -трехмерное пространство. Если система состоит из п частиц, то ее конфигурация задается положением каждой из частиц, т. е. упорядоченным набором (а:1, у1, 21; :1:2,у2, 22; . . . ;а:,,, уп, яд) из Зп чисел. Множество всех таких наборов на- зывается нонфигурационным пространством системы п частиц. Сле- довательно, конфигурационное пространство системы п частиц можно интерпретировать как прямое произведение КЗ × КЗ × × КЗ = КЗ п экземпляров пространства КЗ. Движению системы из п частиц отвечает отображение 7: ІК -› КЗ” оси времени в конфигурационное пространство системы. Пример 11. Потенциальная энергия П механической системы связана с взаимным расположением частиц системы, т. е. определяет- ся конфигурацией, которую имеет система. Пусть С) -множество ре- ально возможных конфигураций системы. Это некоторое подмноже- ство конфигурационного пространства системы. Каждому положению (1 Є 62 отвечает некоторое значение П ((1) потенциальной энергии систе-
18 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ мы. Таким образом, потенциальная энергия есть функция П : С2 -+ К, определенная на подмножестве С2 конфигурационного пространства со значениями в области Ш действительных чисел. Пример 12. Кинетическая энергия К системы п материальных частиц зависит от их скоростей. Полная механическая энергия систе- мы Е = К + П, т.е. сумма кинетической и потенциальной энергий, зависит, таким образом, как от конфигурации (1 системы, так и от набора о скоростей ее частиц. Как и конфигурация (1 частиц в прост- ранстве, набор о, состоящий из п трехмерных векторов, может быть задан упорядоченным набором из Зп чисел. Упорядоченные пары ((1, 11), отвечающие состояниям нашей системы, образуют подмножество Ф в прямом произведении КЗ × КЗ” = Кб, называемом фазовым прост- ранством системы п частиц (в отличие от конфигурационного про- странства Кзп). Полная энергия системы является, таким образом, функцией Е: Ф -› К, определенной на подмножестве Ф фазового пространст- ва Кб и принимающей значения в области К действительных чисел. В частности, если система замкнута, т. е. на нее не действуют внеш- ние силы, то по закону сохранения энергии в любой точке множест- ва Ф состояний системы функция Е будет иметь одно и то же значение Е0 Є К. 2. Простейшая классификация отображений. Когда функ- цию 1” : Х -› У называют отображением, значение 1” Є У, кото- рое она принимает на элементе 11: Є Х, обычно называют образом эле- мента аз. Образом множества А С Х при отображении І: Х -› У называют множество 1”(А)=-{у Є У І 311 ((21 Є А) ^ (у = і(Ш)))} тех элементов У, которые являются образами элементов множества А. Множество Г1(В) 1- {$ Є Х І і(1>) Є В} тех элементов Х, образы которых содержатся в В , называют прообра- зом (или полным прообразом) множества В С У (рис. 6). Про отображение 1” : Х -› У говорят, что оно сюръективно (или есть отображение Х на У), если І (Х) = У;
ёз. функция 19 ъ < > < Ё 1 ъ < > Ъ ъ Ъ __5_±_и ї Э ї _ 2 ' ' :_.;.;._.__:, ___ __- ----;-::;---~:› __ . _. _- _ _ ..1.;; :' _.. -- ,__ -- ,:;.;.___::,; 5._::.дд _ _- - У 1 -- я`“Ё5Е>: : 1- '- _ ;ггг;-Цїігёї_Ё:;эї-ёгідїігггі . -:ї'-' `.ї;:.і:› }:ї$:2€;1=:':{.ї.[. Ё:-3:-:-'›ўЁ-:-.д.-:}:- ..5і=›'=?з:э='->:”і=: ггїёї-г%ь=.=г.;:' =:Ѕ.›::г;-'=ї=г-їі:?г~: ..<зг; ::_-гъ 11.5;-ваз =.=; гг :, = -=г- ›=;:__:=_±' ~= / _ 1 я-:-.Ё_ї=,;';;ї' / / / ” {<:.-.~:.-'-- '.>1Г:':':ї:-.'%ї.1;:ї :-:--:':-:ї.>ї* ' 'ё.'Е=:Ь:;і.Е›-::=;;г>= - '~':5т==3ІЁ -. ±5.' 5.Ё;ї'.'- / / - -.-;-;,; ---- --_.,:›;-- дв - Рис. 6. инъентиено (или есть вложение, инъениил), если для любых эле- ментов 1131, Ш2 множества Х (1'(Ш1)= Ґ(Ш2))=>(<1ї1 = 002), т. е. различные элементы имеют различные образы; биентивно (или взаимно однозначно), если оно сюръективно и инъ- ективно одновременно. Если отображение 1” : Х -› У биективно, т.е. является взаимно од- нозначным соответствием между элементами множеств Х и У, то ес- тественно возникает отображение гдуэщ которое определяется следующим образом: если 1” = у, то 1” _1(у) = = гс, т. е. элементу у Є У ставится в соответствие тот элемент 11: Є Х, образом которого при отображении 1” является у. В силу сюръектив- ности 1 такой элемент 11: Є Х найдется, а ввиду инъективности 1 он единственный. Таким образом, отображение 1” 1 определено коррект- но. Это отображение называют обратным по отношению к исходному отображению І. Из построения обратного отображения видно, что [-1 : У -› Х само является биективным и что обратное к нему отображение ([1)_1 : Х -› У совпадает с І: Х -› У. Таким образом, свойство двух отображений быть обратными явля- ется взаимным: если І -1 -обратное для 1, то, в свою очередь, І _ обратное для ]_1.
20 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Заметим, что символ 1 _1(В ) прообраза множества В С У ассоции- руется с символом І 1 обратной функции, однако следует иметь в виду, что прообраз множества определен для любого отображения 1” : Х -› -› У, даже если оно не является биективным и, следовательно, не имеет обратного. 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения. Богатым источником новых функций, с одной стороны, и способом расчленения сложных функций на более простые-с другой, является операция композиции отображений. Если отображения 1 : Х -› У и 9: У -› 2 таковы, что одно из них (в нашем случае 9) определено на множестве значений другого ( 1 ), то можно построить новое отображение 9 о ]`: Х -> 2, значения которого на элементах множества Х определяются формулой (9 О і)(111) == 9(1”(Ш))- Построенное составное отображение 9 о 1” называют композицией отображения 1” и отображения 9 (в таком порядке!). Рисунок 7 иллюстрирует конструкцию композиции отображений 1 Иу- 90)” ,С 9 Рис. 7. С композицией отображений вы уже неоднократно встречались как в геометрии, рассматривая композицию движений плоскости или про- странства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, по- лученных композицией простейших элементарных функций.
Ё 3. ФУНКЦИЯ 21 Операцию композиции иногда приходится проводить несколько раз подряд, и в этой связи полезно отметить, что она ассоциативна, т. е. /1°(9°1)=(/1°9)°ї- < Действительно, /1 ° (9 <> 1)(Ш) = /1((9 <> і)(1=)) = д(9(1”(Ш)))= = (71 ° 9)(і($)) = ((71 ° 9) О і)(=г)- > Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения не- скольких чисел, позволяет опускать скобки, предписывающие порядок спаривания. Если в композиции [П о _ . . о [1 все члены одинаковы и равны 1, то ее обозначают коротко 1*. Хорошо известно, например, что корень квадратный из положитель- ного числа а, можно вычислить последовательными приближениями по формуле 1 а $п+1 = 5 ($п+ › п начиная с любого начального приближения то > 0. Это не что иное, как последовательное вычисление ]`(аз0), где 1” = Ё (Ш + Такая процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции на следующем шаге становится ее аргументом, называется итерацион- ным процессом. Итерационные процессы широко используются в мате- матике. Отметим также, что даже в том случае, когда обе композиции 9 о І и І о 9 определены, вообще говоря, 9°1”#1°9- Действительно, возьмем, например, двухэлементное множество {а,Ь} и отображения І: {а,,Ь} -› а, 9: {а,Ь} -› Ь. Тогда, очевидно, уоі: {а,Ь} -› Ь, в то время как іоу: {а,Ь} -› а. Отображение 1” : Х -› Х, сопоставляющее каждому элементу мно- жества Х его самого, т. е. из ›і› :1:, будем обозначать через ех и назы- вать тождєственным отображением множества Х. Лемма. (9 0 І = еХ) => (9 сюръективно) / (І инъєктивно).
22 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ <Действительно, если ]”:Х-›У,9:У-›Хи9о]=єХ:Х-›Х, Т° Х = еХ<Х› = (9 О г›<Х› = 9<і<Х›› с до/› и, значит, 9 сюръективно. Далее, если :1:1 Є Х и 1:2 Є Х, то ($175 1112) => (ЄХ(11ї1) Эд ЄХ(Ш2)) => ((9 ° Ґ)($1) (9 °Ґ)($2)) => =*›' (9(Ґ($1)) Эд 9(Ґ($2)) => (Ґ($1)?4 Ґ(172))› следовательно, 1” инъективно. > `Н× Через операцию композиции отображений можно описать взаимно обратные отображения. Утверждение. Отоброжения І: Х -› У, 9: У -› Х являются биєктивными и взаимно обратными в том и только в том случае, когдо9о]=єХ и]'о9=еу. 4 В силу леммы одновременное выполнение условий 9 0 1” = ЄХ и 1” 0 9 = ву гарантирует сюръективность и инъективность, т. е. биек- тивность каждого из отображений І, 9. Эти же условия показывают, что у = І в том и только в том случае, когда 11: = 9(у). Р Выше мы исходили из явного построения обратного отображения. Из доказанного утверждения следует, что мы могли бы дать менее на- глядное, но зато более симметричное определение взаимно обратных отображений как таких, которые удовлетворяют двум условиям: 9о 1” = = ЄХ и 1” о 9 = ву (см. в этой связи задачу 6 в конце параграфа). 4. Функция как отношение. График функции. В заключение вернемся вновь к самому понятию функции. Отметим, что оно претер- пело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в период 1673-1692 г. у Г. Лей- бница (правда, в некотором более узком смысле). В смысле, близком к современному, этот термин установился к 1698 г. в переписке Иоганна Бернуллиц с Лейбницем. 1)И. Бернулли (1667 - 1748) -один из ранних представителей знаменитого семей- ства швейцарских ученых Бернулли; аналитик, геометр, механик. Стоял у истоков вариационного исчисления. Дал первое систематическое изложение дифференциаль- ного и интегрального исчисления.
53. Функция 23 Описание функции, почти совпадающее с приведенным в начале параграфа, встречается уже у Эйлера (середина Х/ІІІ столетия). К на- чалу ХІХ века оно появляется уже в учебниках математики С. Лакруа,2) переведенных на русский язык. Активным сторонником такого пони- мания функции был Н. И. Лобачевскийз). Более того, Н. И. Лобачевский указал, что «обширный взгляд теории допускает существование зави- симости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе››3). Это и есть идея точного опреде- ления понятия функции, которое мы теперь собираемся изложить. Приведенное в начале параграфа описание понятия функции пред- ставляется весьма динамичным и отражающим суть дела. Однако с точки зрения современных канонов оно не может быть названо опреде- лением, ибо использует эквивалентное функции понятие соответствия. Для сведения читателя мы укажем здесь, каким образом дается опре- деление функции на языке теории множеств. (Интересно, что понятие отношения, к которому мы сейчас обратимся, и у Лейбница предше- ствовало понятию функции.) а. Отношение. Отношением 72 называют любое множество упо- рядоченных пар (аг, у). Множество Х первых элементов упорядоченных пар, составляю- щих 72, называют областью определения отношения 72, а множество У вторых элементов этих пар- областью значений отношения 72. Таким образом, отношение 72 можно интерпретировать как под- множество 72 прямого произведения Х × У. Если Х С Х ' и У С У', то, разумеется, 72 С Х × У С Х ' × У', поэтому одно и то же отношение МОЖЄТ З3.Д8.В8.ТЬСЯ КЕЪК ПОДМНОЖЄСТВО РЕІЗЛИЧНЫХ МНОЖЄСТВ. Любое множество, содержащее область определения отношения, на- зывают областью отправления этого отношения. Множество, содер- жащее область значений отношения, называют областью прибытия от- ношения. 2) С. Ф. Лакруа (1765 - 1843) _ французский математик и педагог (профессор Нор- мальной и Политехнической школ, член Парижской академии наук). 3)Н. И. Лобачевский (1792 ~ 1856) -великий русский ученый, которому, наряду с великим немецким естествоиспытателем К. Ф. Гауссом (1777- 1855) и выдающимся венгерским математиком Я. Бойяи (1802 - 1860), принадлежит честь открытия неев- клидовой геометрии, носящей его имя. 3)Лобачевский Н. И. Полное собр. соч. Т. 5. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. С.44.
24 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Вместо того чтобы писать (сс, у) Є 72, часто пишут аг 72 у и говорят, что 11: связано с у отношением 72. Если 72 С Х2, то говорят, что отношение 72 задано на Х. Рассмотрим несколько примеров. Пример 13. Диагональ А={(а,ь)еХ2|а,=ь} есть подмножество Х 2, задающее отношение равенства между элемен- тами множества Х. Действительно, а А Ь означает, что (а,Ь) Є А, т. е. а = Ь. Пример 14. Пусть Х -множество прямых в плоскости. Две прямые а Є Х и Ь Є Х будем считать находящимися в отно- шении 72 и будем писать а 72 Ь, если прямая Ь параллельна прямой а. Ясно, что тем самым в Х 2 выделяется множество 72 пар (а, Ь) таких, что а72Ь. Из курса геометрии известно, что отношение параллельности между прямыми обладает следующими свойствами: а 72 а (рефлексивность); а 72 Ь => Ь 72 а (симметричность); (а 72 Ь) А (Ь 72 с) =:› а 72 с (транзитивность). Любое отношение 72, обладающее перечисленными тремя свойства- ми, т. е. рефлексивноец, симметричное и транзитивное, принято назы- вать отношением энвивалентности. Отношение эквивалентности обо- значается специальным символом ~, который в этом случае ставится вместо буквы 72, обозначающей отношение. Итак, в случае отношения эквивалентности будем писать а ~ Ь вместо а 72 Ь и говорить, что а эквивалентно Ь. Пример 15. Пусть М -некоторое множество, а Х = 'Р(М) -со- вокупность всех его подмножеств. Для двух произвольных элементов а и Ь множества Х = 'Р(М), т.е. для двух подмножеств а и Ь мно- жества М, всегда выполнена одна из следующих трех возможностей: а содержится в Ь; Ь содержится в а; а не является подмножеством Ь и Ь не является подмножеством а. “Полезно для полноты отметить, что отношение 72 называется рефлексивным, если его область определения и область значений совпадают и для любого элемента а из области определения отношения 72 выполнено а 72 а.
Ё 3. ФУНКЦИЯ 25 Рассмотрим в качестве отношения 72 в Х 2 отношение включения для подмножеств Х, т. е. положим по определению а1аь;_(ась). Это отношение, очевидно, обладает следующими свойствами: а 72 а (рефлексивность); >> (а 72 Ь) (Ь 72 с) => а 72 с (транзитивность); (а 72 Ь) (Ь 72 а) =Ф а А Ь, т. е. а = Ь (антисимметричность). Отношение между парами элементов некоторого множества Х, об- ладающее указанными тремя свойствами, принято называть отноше- нием частичного порядка на множестве Х. Для отношения частичного порядка вместо а 72 Ь часто пишут а 4 Ь и говорят, что Ь следует за а. Если кроме отмеченных двух свойств, определяющих отношение ча- стичного порядка, выполнено условие, что `9'а 7'Ь ((а72Ь) / (Ь72а)), т. е. любые два элемента множества Х сравнимы, то отношение 72 на- зывается отношением порядка, а множество Х с определенным на нем отношением порядка называется линейно унорядоненным. Происхождение этого термина связано с наглядным образом число- вой прямой П2, на которой действует отношение а < Ь между любой парой вещественных чисел. Ь. Функция и график функции. Отношение 72 называется функ- циональным, если (ї1ї72?/1)^($721/2) => (91 = 3/2)- Функциональное отношение называют функцией. В частности, если Х и У _ два не обязательно различных множест- ва, то определенное на Х отношение 72 С Х × У между элементами гс из Х и у из У функционально, если для любого 11: Є Х существует и при- том единственный элемент у Є У, находящийся с 11: в рассматриваемом отношении, т. е. такой, для которого 11: 72 у. Такое функциональное отношение 72 С Х × У и есть отображение из Х в У, или функция из Х в У.
26 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Функции мы чаще всего будем обозначать символом 1. Если 1 _ функция, то вместо ш 1 у мы по-прежнему будем писать у = ]°(:1с) или 1: ›-іэ у, называя у = 1” значением функции 1 на элементе 1: или образом элемента 11: при отображении І. Сопоставление по «закону» [ элементу а: Є Х «соответствующего» элемента у Є У, о чем говорилось в исходном описании понятия функ- ции, как видим, состоит в том, что для каждого :1: Є Х указывается тот единственный элемент у Є У, что сс ]` у, т. е. (аду) Є /` С Х × У. Графиком функции 1” : Х -› У, понимаемой в смысле исходного опи- сания, называют подмножество Г прямого произведения Х × У, элемен- ты которого имеют вид (112, 1” Итак, Г= {(Ш,:ч) ЄХ×УІу=і(Ш)}- В новом описании понятия функции, когда мы ее задаем как под- множество І С Х × У, конечно, уже нет разницы между функцией и ее графиком. Мы указали на принципиальную возможность формального теоре- тико-множественного определения функции, сводящуюся по существу к отождествлению функции и ее графика. Однако мы не собираем- ся в дальнейшем ограничиваться только такой формой задания функ- ции. Функциональное отношение иногда удобно задать в аналитиче- ской форме, иногда таблицей значений, иногда словесным описанием процесса (алгоритма), позволяющего по данному Ш Є Х находить соот- ветствующий элемент у Є У. При каждом таком способе задания функ- ции имеет смысл вопрос о ее задании с помощью графика, что форму- лируют так: построить график функции. Задание числовых функций хорошим графическим изображением часто бывает полезно тем, что делает наглядным основные качественные особенности функциональ- ной зависимости. Для расчетов графики тоже можно использовать (но- мограммь1), но, как правило, в тех случаях, когда расчет не требует вы- сокой точности. Для точных расчетов используют табличное задание функции, а чаще-алгоритмическое, реализуемое в вычислительных машинах. Упражнения 1. Композиция 722 0 721 отношений 721 , 722 определяется следующим обра- зом: 722 0721 := {(:1:,г) | Ну (ап 721 у) / (у 722
Ё; 3. ФУНКЦИЯ 27 Вчастности, если 721 СХ×Уи722 СУ×2,то72=7220721 СХ×2, причем :в722:=Зу ((3/ЄУ) / (ш721?/)/ (у7222)). а) Пусть АХ - диагональ множества Х 2, а Ау _ диагональ множества У2. Покажите, что если отношения 721 С Х × У и 722 С У × Х таковы, что (722 0 721 = АХ) / (721 0 722 = Ау), то оба они функциональны и задают взаимно обратные отображения множеств Х, У. Ь) Пусть 72 С Х 2. Покажите, что условие транзитивности отношения 72 равносильно тому, что 72 о 72 С 72. с) Отношение 72' С У × Х называется транспонированным отношением 72 С Х × У, если (у72':1:) <=> Покажите, что антисимметричность отношения 72 С Х 2 равносильна усло- вию 72 П 72' С АХ. (1) Проверьте, что любые два элемента множества Х связаны (в том или ином порядке) отношением 72 С Х 2, если и только если 72 Ц 72' = Х 2. 2. Пусть І : Х -› У-отображение. Прообраз ]_1(у) С Х элемента у Є Є У называется слоем над у. а) Укажите слои для отображений рг1:Х1 ×Х2-›Х1, рг2:Х1 ×Х2-›Х2. Ь) Элемент 1171 Є Х будем считать связанным с элементом 1:2 Є Х отноше- нием 72 С Х2 и писать :1:1 72ш2, если ]'(:1:1) = }(а:2), т.е. если ат и 1:2 лежат в одном слое. Проверьте, что 72 есть отношение эквивалентности. с) Покажите, что слои отображения І : Х -› У не пересекаются, а объеди- нением слоев является все множество Х. (1) Проверьте, что любое отношение эквивалентности между элементами множества позволяет представить это множество в виде объединения непере- секающихся классов эквивалентных элементов. 3. Пусть І : Х -› У-отображение из Х в У. Покажите, что если А и В -подмножества Х, то 8) (А С В) => (і(-4) С і(-3)) 74* (А С В), Ь) (А 7* И) =>(і(/1) # И), С) і(/ЮВ) С і(«4)П1'(В), <ї) і(/ШВ) = і(А)Ыі(В); если А' и В' ~подмножества У, то Є) (А' С В') => (Г1(А') С 1°'1(В')), Ґ) Г1(А' Г) В') = Г1(А') П Г1(В'), 3) Г1(А' О В') = Г1(А') 0 Г1(В'); еслиУ ЭА' ЭВ', то
28 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Ь› г1<А' В'› = г1<А'› г1<В'›, і) Г1(СУА') = СхГ1(А'); для любого множества А С Х и любого множества В' С У 1) І-1(і(А)) Э А, 1<) І(і'1(В')) С В'- 4. Покажите, что отображение І : Х -› У а) сюръективно, если и только если для любого множества В' С У спра- ведливо _/(_Ґ1(В')) = В'; Ь) биективно, если и только если для любого множества А С Х и любого множества В' С У справедливо (г1<і<А>› = А) ^ (1<г1<В'>> = В'). 5. Проверьте зквивалентность следующих утверждений относительно ото- бражения / : Х -› У: а) І инъективно; Ь) ]`“1(_і(А)) = А для любого множества А С Х; _7°(А П В) = ]'(А) П _Ґ(В) для любой пары А, В подмножеств Х; _1'(А)П]`(В) = И<=>АПВ = И; ](АВ) = /(А) _ї(В), если Х Э А Э В. 6. а) Если отображения І: Х -› У и 9: У -+ Х таковы, что 9 о І = ех, где е Х -тождественное отображение множества Х, то 9 называется левым обратным отображением для /, а І -правым обратным для 9. Покажите, что, в отличие от единственного обратного отображения, может существовать много односторонних обратных отображений. Рассмотрите, например, отображения І : Х -› У и 9: У -› Х, где Х- однозлементное, а У _ двухзлементное множества, или отображения последо- вательностей 8,88, 1- 1? /'Ж /5 *Ё (:в1,...,:1:п,...) а,:в1,...,:вп,...), (у2,...,уп,...) 1,у2,...,уп,...). Ь) Пусть 1” : Х -› У и 9: У -› 2 -биективные отображения. Покажите, что отображение 9 0 І: Х -› 2 биективно и что (9 о ])“1 = ]'1 о91. с) Покажите, что для любых отображений І : Х -› У, 9: У -› 2 и любого множества С С 2 справедливо равенство (9 О :›*<с> = гчу-1<0›>. (1) Проверьте, что отображение Р: Х × У -› У × Х, задаваемое соответ- ствием (:в,у) ›-› (у,а:), биективно. Опишите взаимосвязь графиков взаимно обратных отображений І : Х -› У и [“1: У -› Х.
Ё4. НЕКОТОРЬІЕ ДОПОЛНЕНИЯ 29 7. а) Покажите, что при любом отображении 1*: Х -› У отображение Ё Р : Х -› Х × У, определяемое соответствием Щ ›_› (св, І является инъек- тивным. Ь) Пусть частица движется равномерно по окружности У; пусть Х -ось времени и из ~і› у-соответствие между моментом времени 1: Є Х и поло- жением у = І Є У частицы. Изобразите график функции І: Х -› У в Х × У. 8. а) Для каждого из разобранных в ЁЗ примеров 1- 12 выясните, является ли указанное в нем отображение сюръективнь1м, инъективным, биективным или оно не принадлежит ни одному из указанных классов. Ь) Закон Ома І = У/В связывает силу тока І в проводнике с напряже- нием У на концах проводника и сопротивлением В проводника. Укажите, отображение О: Х -› У каких множеств соответствует закону Ома. Под- множеством какого множества является отношение, отвечающее закону Ома? с) Найдите преобразования Є'”1, ІҐ1, обратные к преобразованиям Гали- лея и Лоренца. 9. а) Множество Ѕ С Х называется устойчивым относительно отображе- ния 1 : Х -› Х, если [(5) С Ѕ. Опишите множества, устойчивые относительно сдвига плоскости на данный лежащий в ней вектор. Ь) Множество І С Х называется инвориантным относительно отображе- ния 1” : Х -› Х, если І (І) = І. Опишите множества, инвариантные относи- тельно поворота плоскости вокруг фиксированной точки. с) Точка р Є Х называется неподвижной точкой отображения І : Х -+ Х, если ](р) = р. Проверьте, что любая композиция сдвига, вращения и гомотетии плоскости имеет неподвижную точку, если коэффициент гомоте- тии меньше единицы. (1) Считая преобразования Г алилея и преобразования Лоренца отображе- ниями плоскости на себя, при которых точка с координатами (13, Ъ) переходит в точку с координатами (:в' , Ґ), найдите инвариантные множества этих пре- образований. 10. Рассмотрим установив1пийся поток жидкости (т. е. скорость в каждой точке потока не меняется со временем). За время 13 частица, находящаяся в точке 11: потока, переместится в некоторую новую точку ]',(:в) пространст- ва. Возникающее отображение из ›-› [±(:1:) точек пространства, занимаемого потоком, зависит от времени і и называется првобразованиєм за время Ъ. По- Кд»ЖИТЄ› ЧТ0 ІЁ2 ° Ґц = Ґц ° Ґъг = Ґ±1+±2 И Ґ: ° Ґ-± = Ґо = ЄХ- Ё4. Некоторые дополнения 1. Мощность множества (кардинальные числа). Говорят, что множество Х равно./мощно множеству У, если существует биективное отображение Х на У, т. е. каждому элементу Ш Є Х сопоставляется элемент у Є У, причем различным элементам множества Х отвечают
30 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ различные элементы множества У и каждый элемент у Є У сопоставлен некоторому элементу множества Х. Описательно говоря, каждый элемент ат Є Х сидит на своем месте у Є У, все элементы Х сидят и свободных мест у Є У нет. Ясно, что введенное отношение Х 72 У является отношением энви- валентности, поэтому мы будем, как и договаривались, писать в этом случае Х ~ У вместо Х 72 У. Отношение равномощности разбивает совокупность всех множеств на классы эквивалентных между собой множеств. Множества одного класса эквивалентности имеют одинаковое количество элементов (рав- номощны), а разных - разное. Класс, которому принадлежит множество Х, называется мощно- стью множества Х, а также нардинолом или нардина./ъьным числом множества Х и обозначается символом сапі Х. Если Х ~ У, то пишут сагсі Х = сагсі У. Смысл этой конструкции в том, что она позволяет сравнивать коли- чества элементов множеств, не прибегая к промежуточному счету, т. е. к измерению количества путем сравнения с натуральным рядом чисел М = {1, 2, 3,... Последнее, как мы вскоре увидим, иногда принципи- ально невозможно. Говорят, что кардинальное число множества Х не больше карди- нального числа множества У, и пишут сагс1Х < сагд У, если Х равно- мощно некоторому подмножеству множества У. Итак, (сагс1Х < саг<1У):=(З2 С У | сагс1Х = сагсІ 2). Если Х С У, то ясно, что саг<1Х < сагсі У. Однако, оказывается, соотношение Х С У не мешает неравенству сагсї У < сагсі Х, даже если Х есть собственное подмножество У. Например, соответствие 1: ›-› йа есть биективное отображение промежутка -1 < Ш < 1 числовои оси К на всю эту ось. Возможность для множества быть равномощным своей части явля- ется характерным признаком бесконечных множеств, который Деде- киндї) даже предложил считать определением бесконечного множест- 1)Р. Дедекинд (1831 - 1916) _ немецкий математик-алгебраист, принявший актив- ное участие в развитии теории действительного числа. Впервые предложил аксио- матику множества натуральных чисел, называемую обычно аксиоматикой Пеано --~ по имени Дж. Пеано (1858 - 1932), итальянского математика, сформулировавшего ее несколько позже.
54. нвкотовыв дополнвния 31 ва. Таким образом, множество называется конечным (по Дедекинду), если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству; в противном случае оно называется бесконечным. Подобно тому, как отношение неравенства упорядочивает действи- тельные числа на числовои прямои, введенное отношение неравенства упорядочивает мощности или кардинальные числа множеств. А именно, можно доказать, что справедливы следующие свойства построенного отношения: 1° (саг<1Х < сагсі У) / (сагс1У < сагсі 2) => (саг<1Х < сагсі 2) (оче- виднож 2° (сагс1Х < сагсі У) / (сагс1У < сагсі Х) => (сагс1Х = сагсі У) (тео- рема Шрёдера - Бернштейнац ); З° `ч/Х `9'У (сагс1Х < сагсі У) / (сагс1У < сапї Х) (теорема Кантора). Таким образом, класс кардинальных чисел оказывается линейно упорядоченным. Говорят, что мощность множества Х меньше мощности множест- ва У, и пишут саг(1Х < сагсі У, если саг<1Х < саг(1У и в то же вре- мя саг<1Х аё сагсї У. Итак, (саг<1Х < саг<1У) := (сагс1Х < саг<іУ) / /` (саг(1Х # сагсі У). Пусть, как и прежде, И -- знак пустого множества, а 77(Х ) --- символ множества всех подмножеств множества Х. Имеет место следующая открытая Кантором Теорема. саг<:1Х < сагс179(Х). 4 Для пустого множества И утверждение очевидно, поэтому в даль- нейшем можно считать, что Х уё И. Поскольку 77(Х) содержит все одноэлементные подмножества Х, сагс1Х < саг(1'Р(Х). Для доказательства теоремы теперь достаточно установить, что сагс1Х 79 саг<1'Р(Х), если Х уё И. Пусть, вопреки утверждению, существует биективное отображение 1*: Х -› 'Р(Х). Рассмотрим множество А = {а: Є Х | 1: Є тех элементов а: Є Х, которые не содержатся в сопоставленном им множе- стве І Є 73(Х Поскольку А Є Р(Х), то найдется элемент а Є Х такой, что ]`(а) = А. Для элемента а Є Х невозможно ни соотноше- 1)Ф.Бернштейн (1878 - 1956) -немецкий математик, ученик Г. Кантора; Э. Шрё- дер (1841 -- 1902) -- немецкий математик.
32 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ние а Є А (по определению А), ни соотношение а Є А (опять-таки по определению А). Мы вступаем в противоречие с законом исключенного третьего. > Эта теорема, в частности, показывает, что если бесконечные мно- жества существуют, то и «бесконечности» бывают разные. 2. Об аксиоматике теории множеств. Цель настоящего пункта - дать интересующемуся читателю представление о системе аксиом, описываю- щих свойства математического объекта, называемого множеством, и проде- монстрировать простейшие следствия этих аксиом. 1° Аксиома объемности. Множества А и В равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы. Это означает, что мы отвлекаемся от всех прочих свойств объекта «мно- жество», кроме свойства иметь данные элементы. На практике это означает, что если мы желаем установить, что А = В, то мы должны проверить, что Чи: Є А) Ф=> (Ш Є 2° Аксиома выделения. Любому множеству А и свойству Р отве- нает множество В, элементы которого суть те и только те элементы множества А, которые обладают свойством Р. Короче, утверждается, что если А -множество, то и В = {а: Є А | - тоже множество. Эта аксиома очень часто используется в математических конструкциях, когда мы выделяем из множеств подмножества, состоящие из элементов, обла- дающих тем или иным свойством. Например, из аксиомы выделения следует, что существует пустое подмно- жество ИХ = {:с Є Х | 11: 7Є :1:} в любом множестве Х, а с учетом аксиомы объемности заключаем, что для любых множеств Х и У выполнено ИХ = Иу, т. е. пустое множество единственно. Его обозначают символом И. Из аксиомы выделения следует также, что если А и В -множества, то АВ = {а: Є А | т Є В} _тоже множество. В частности, если М -множество и А-его подмножество, то СМА-тоже множество. 3° Аксиома объединения. Для любого множества М множеств су- ществует множество ЦМ, называемое объединением множества М, со- столщее из теа: и только теш элементов, которые содержатся в элементаш множества М. Если вместо слов «множество множеств» сказать «семейство множеств», то аксиома объединения приобретает несколько более привычное звучание: существует множество, состоящее из элементов множеств семейства. Таким образом, объединение множества есть множество, причем а: Є ЫМ <=> ЗХ ((Х Є М) А (ш Є Х)).
5,4. НЕКОТОРЬІЕ ДОПОЛНЕНИЯ 33 Аксиома объединения с учетом аксиомы выделения позволяет определить пересечение множества М (семейства множеств) как множество (]м;={шеЫм|×/х((хем)=›(шех))}. 4° Аксиома пары. Для любыш множеств Х и У существует множе- ство 2 такое, что Х и У являются его единственными элементами. Множество 2 обозначается через {Х,У} и называется неупорядоченной парой множеств Х и У. Множество 2 состоит из одного элемента, если Х = У. Как мы уже отмечали, упорядоненная пара (Х, У) множеств отличается от неупорядоченной наличием какого-либо признака у одного из множеств пары. Например, (Х,У) := {{Х,Х},{Х, Итак, неупорядоченная пара позволяет ввести упорядоченную пару, а упо- рядоченная пара позволяет ввести прямое произведение множеств, если вос- пользоваться аксиомой выделения и следующей важной аксиомой. 5° Аксиома множества подмножеств. Для любого множества Х существует множество Р(Х), состоящее из теа: и только тел: элементов, которые являются подмножествами множества Х. Короче говоря, существует множество всех подмножеств данного множе- ства. Теперь можно проверить, что упорядоченные пары (:1:,у), где ш Є Х, а у Є У, действительно образуют множество Х × У := {рЄ 'Р(”Р(Х)Ы'Р(У)) |р= (а:,у) / (:в Є Х) / (у Є Аксиомы 1° -5° ограничивают возможность формирования новых мно- жеств. Так, в множестве 'Р(Х) по теореме Кантора (о том, что саг<їХ < < саг<іР(Х имеется элемент, не принадлежащий Х, поэтому «множества» всеаг множеств не существует. А ведь именно на этом «множестве» держится парадокс Рассела. Для того чтобы сформулировать следующую аксиому, введем понятие по- следователя Х + множества Х. Положим по определению Х + = Х Ы {Х Короче, к Х добавлено одноэлементное множество {Х Далее, множество назовем индуктивным, если оно содержит в качестве элемента пустое множество и последователь любого своего элемента. б° А к с и о м а б е с ко н е ч н о с т и. Индутстивные множества существуют. Аксиома бесконечности позволяет с учетом аксиом 1° -4° создать эталон- ную модель множества Щ; натуральных чисел (по фон Неймануц), определив 1)Дж. фон Нейман (1903 - 1957) _американский математик. Работы по функци- ональному анализу, математическим основаниям квантовой механики, топологиче- ским группам, теории игр, математической логике. Руководил созданием первых ЭВМ.
34 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ МО как пересечение индуктивных множеств, т. е. как наименьшее индуктивное множество. Элементами Що являются множества ®› ®+=И0{®}={И}› {®}+={И}0{{И}}›~ , которые и являются моделью того, что мы обозначаем символами 0, 1, 2, _ . . и называем на.туральными числами. 7° Аксиома подстановки. Пусть Т(а:,у) -такое высказывание (точнее, формула), что при любом то из множества Х существует и при- том единственный объект уд такой, что .7-`(а:0,у0) истинно. Тогда объек- ты у, длл каждого из которыа: существует элемент а: Є Х такой, что .7-`(а:,у) истинно, образуют множество. Этой аксиомой при построении анализа мы пользоваться не будем. Аксиомы 1° - 7° составляют аксиоматику теории множеств, известную как аксиоматика Цермело - Френкеляї) . К ней обычно добавляется еще одна, независимая от аксиом 1° - 7° и часто используемая в анализе 8° Аксиома выбора. Для любого семейства ненустыа: множеств су- ществует множество С такое, нто, каково бы ни было множество Х дан- ного семейства, множество Х П С состоит из одного элемента. Иными словами, из каждого множества семейства можно выбрать в точ- ности по одному представителю так, что выбранные элементы составят мно- жество С. Аксиома выбора, известная в математике как аксиома Цермело, вызвала горячие дискуссии специалистов. 3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств. В языке теории мно- жеств имеются два базисных или, как говорят, атомарных типа ма- тематических высказываний: утверждение я: Є А о том, что объект 11: есть элемент множества А, и утверждение А = В о том, что мно- жества А и В совпадают. (Впрочем, с учетом аксиомы объемности второе утверждение является комбинацией утверждений первого типа: (11: Є А) <=> (сс Є Сложное высказывание или сложная логическая формула строятся из атомарных посредством логических операторов- связок щ /, /, => и кванторов 7', Э с использованием скобок ( При этом формирование 1)Э. Цермело (1871 - 1953) _ немецкий математик; А. Френкель (1891 - 1965) - не- мецкий, затем израильский математик.
Ё4. НЕКОТОРЬІЕ ДОПОЛНЕНИЯ 35 сколь угодно сложного высказывания и его записи сводится к выпол- нению следующих элементарных логических операций: а) образование нового высказывания путем постановки отрицания перед некоторым высказь1ванием и заключение результата в скобки; Ь) образование нового высказывания путем постановки необходи- мой связки /, /, => между двумя высказываниями и заключение ре- зультата в скобки; с) образование высказывания «для любого объекта 11: выполнено свойство Р» (что записывают в виде /сс Р или высказывания «най- дется объект Ш, обладающий свойством Р» (что записывают в виде 3 из Р Например, громоздкая запись Эт (Р(=г) ^ М/ ((Р(:ч)) => (11 = Ш)))) означает, что найдется объект а:, обладающий свойством Р и такой, что если у -любой объект, обладающий свойством Р, то у = аг. Короче: су- ществует и притом единственный объект аз, обладающий свойством Р. Обычно это высказывание обозначают в виде 3!:в Р(:1:), и мы будем использовать такое сокращение. Для упрощения записи высказывания, как уже отмечалось, стара- ются опустить столько скобок, сколько это возможно без потери од- нозначного толкования записи. С этой целью кроме указанного ранее приоритета операторов в, /, /, => считают, что наиболее жестко сим- волы в формуле связываются знаками Є, =, затем Э, `</ и потом связками -1, /, /, =$. С учетом такого соглашения теперь можно было бы написать Э!а: Р(а:) := 3:1: / 7'у (Р(у) => у = Условимся также о следующих широко используемых сокращениях: (7':сЄХ) Р:-/ш(а:ЄХ=>Р(а:)), (ЁІШЄХ) Р:=З:1: (:1:ЄХ/Р(:1:)), (`</а:>а)Р:=`у':в(:вЄІК/ш>а=>Р(:1:)), (Е1:с>а)Р.-ЕІа:(:1:ЄІК/:1:>а/Р(:с)). Здесь К, как всегда, есть символ множества действительных чисел.
36 ГЛ. І. НЕКОТОРЬІЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ С учетом этих сокращений и правил а), Ь), с) построения сложного высказывания, например, можно будет дать однозначно трактуемую запись (%п*›пЪ[(а:)=А) := `9'є>0 Ё1б>0 Час Є К (0<|ш-а|<б=> -А| < Є) того, что число А является пределом функции ]` : К -› К в точке а Є К. Быть может, наиболее важным из всего сказанного в этом пара- графе являются для нас следующие правила построения отрицания к высказыванию, содержащему кванторы. Отрицание к высказыванию «для некоторого Ш истинно Р(51:)›› озна- чает, что «для любого 1: неверно Р(а:)››, а отрицание к высказыванию «для любого 11: истинно Р(:в)›› означает, что «найдется аз, что невер- но Р(а:)››. Итак, -Нас Р(:1:) <=>`9':1: -1Р(:1:), ЧК/11: Р(а:) <=> За: <Р(:с). Напомним также (см. упражнения к ЁІ), что -(Р А 62) <=> «Р / <С2, -1(Р / С2) <=> -»Р А <С2, -(Р=>с2)<=>Р/-162. На основании сказанного можно заключить, что, например, <((`9':1: > а) Р) <=> (За: > съ) -1Р. Написать в правой части последнего соотношения (За: < а) -1Р было бы, конечно, ошибочно. В самом деле, <((7':п>а) Р) := <(`у'а: (ЩЄІК/а:>а=>Р(а:)))<=Ф <=>Ё:1:-1(атЄ1К/а:>а=>Р(:1:))<=> <:>Е1а: ((:1:Є1К/:1з>а)/-=Р(а:))=:(ЕІа:>а) -›Р. Если учесть указанную выше структуру произвольного вь1сказь1ва- ния, то теперь с использованием построенных отрицаний простейших
Ё4. НЕКОТОРЬІЕ ДОПОЛНЕНИЯ 37 высказываний можно было бы построить отрицание любого конкрет- ного высказывания. Например, -(ітіі($)=А):>эг>о х/д>о ме Є1К (0<|а:-а,|<б/|](а:)-А|>є). Практическая важность правильного построения отрицания связа- на, в частности, с методом доказательства от противного, когда истин- ность некоторого утверждения Р извлекают из того, что утверждение -›Р ложно. Упражнения 1. а) Установите равномощность отрезка {:1: Є К | 0 < из < 1} и интервала {а: Є В | О < а: < 1} числовой прямой К как с помощью теоремы Шрёдера- Бернштейна, так и непосредственным предъявлением нужной биекции. Ь) Разберите следующее доказательство теоремы Шрёдера-Бернштейна,: (саг<1Х < сагсі У) / (саг<1У < сапі Х) => (саг<1Х = сагс1 У). 4 Достаточно доказать, что если множества Х, У, 2 таковы, что Х Э Э У Э 2 и саг<1Х = саг<і2, то саг<1Х = саг<1У. Пусть І: Х -› 2-биек- тивное отображение. Тогда биекция 9: Х -› У может быть задана, например, следующим образом: ( ) ](:в), если а: Є /(Х) ](У) для некоторого п Є Ы, Ш ї 9 1: В ПРОТИВНОМ СЛУЧЗЄ. Здесь І = 1” о . . _ о _[ -п-я итерация отображения І, а 11- множество нату- ральных чисел. Ь 2. а) Исходя из определения пары, проверьте, что данное в пункте 2 опре- деление прямого произведения Х × У множеств Х, У корректно, т. е. множест- во 79(79(Х) О 'Р(У)) содержит все упорядоченные пары (ат, у), в которых Ш Є Х и у Є У. Ь) Покажите, что всевозможные отображения І : Х -› У одного фиксиро- ванного множества Х в другое фиксированное множество У сами образуют множество М (Х, У). с) Проверьте, что если 72-множество упорядоченных пар (т. е. отноше- ние), то первые элементы пар, принадлежащих множеству 72 (как и вторые), сами образуют множество.
38 ГЛ. І. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 3. а) Используя аксиомы объемности, пары, выделения, объединения и бес- конечности, проверьте, что для элементов множества МО натуральных чисел по фон Нейману справедливы следующие утверждения: 1°:1:=у=>:с+=у+; 2° (Чт Є 1ї0)(Ш+ 74 И); З° :1:+=у+=>ш=у; 4° 0122 Є 11о)(=г 75 И => (311 Є 11о)(Ф =у+))- Ь) Используя то, что Щ; -индуктивное множество, покажите, что для любых его элементов а: и у (а они в свою очередь являются множествами) справедливы следующие соотношения: 1° сапіш < сапі а:+; 2° саг<1И < сагс1:в+; 3° сагсіаз < сапіу <=> сапі а:+ < сагсі у+; 4° сагсіаг < саг<1:1:+; 5° сапіа: < сагєіу => сагсі а:+ < сагсі у; 6° ш = у <=> сапїа: = сагсіу; 7° (:1:Су)/(:1:Эу). с) Покажите, что в любом подмножестве Х множества Щ; найдется та- кой (наименьший) элемент азт, что (7':1: Є Х) (сагсї авт < сагсі (В случае затруднений к этой задаче можно вернуться после прочтения главы П.) 4. Мы будем иметь дело только с множествами. Поскольку множество, состоящее из различных элементов, само может быть элементом другого мно- жества, логики все множества обычно обозначают строчными буквами. В на- стоящей задаче это очень удобно. а) Проверьте, что запись `9':вЕІу7'2(2Єу<=>3и›(2Є'и1/'шЄ:1:)) выражает аксиому объединения, по которой существует множество у -объ- единение множества сс. Ь) Укажите, какие аксиомы теории множеств представлены записями /а:7'у/2 ((2Єа:<=>2Єу)<=>а:=у), `0'а:7'уЕІ27'и(1›Є2<=>(т1=:в/т1=у)), `ч'а:ЕІу7'2: (2Єу<=>7'и(иЄ2=>иЄа:)), ЕІш(7'у (<ЕІ2(гЄу)=>уЄ:1:)/:/ш (и:Є:1:=> =>1'и(7'т1 ('иЄи<:>('и=ш/*иЄш))ЭиЄ:в))).
Ё4. НЕКОТОРЬІЕ ДОПОЛНЕНИЯ 39 с) Проверьте, что формула Нд (2 Є Ґ => (3$1 32/1($1 Є $^3/1 Є 3/^2 = 031,3/1)))) ^ /1а:1(т1 Є:в=>Эу1 32 (3/1 Єу/г=(:с1,у1)/2Є_1'))/ ^7'1121 7у1 `°/3/2 (321 322 (21 Є Ґ^22 Є Ґ/21 =(11ї1,3/1)^ / 22 = ($014/2)) => 3/1 = 3/2) последовательно накладывает на множество І три ограничения: І есть под- множество .т: × у; проекция 1” на сс совпадает с :1:; каждому элементу 1:1 из 11: отвечает ровно один элемент у1 из у такой, что (а:1,у1) Є І. Таким образом, перед нами определение отображения І : из -› у. Этот пример еще раз показывает, что формальная запись высказывания отнюдь не всегда бывает более короткой и прозрачной в сравнении с его за- писью на разговорном языке. Учитывая это обстоятельство, мы будем в даль- нейшем использовать логическую символику лишь в той мере, в какой она будет нам представляться полезной для достижения большей компактности или ясности изложения. 5. Пусть 1*: Х -+ У-отображение. Запишите логическое отрицание каж- дого из следующих высказываний: а) І сюръективно; Ь) І инъективно; с) І биективно. 6. Пусть Х и У-множества и І С Х × У. Запишите, что значит, что множество І не является функцией.
ГЛАВА ІІ двйствитвльныв (ввщвстввнныв) числА Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в дру- гой набор чисел, составляющий промежуточную или окончательную цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее при- ложениях занимают числовые функции. Они (точнее, так называемые дифференцируемые числовые функции) составляют главный объект ис- следования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зре- ния современной математики описание свойств этих функций, как вы уже могли почувствовать в школе и в чем вскоре убедитесь, невозможно без точного определения множества вещественных чисел, на котором эти функции действуют. Число в математике, как время в физике, известно каждому, но не- понятно лишь специалистам. Это одна из основных математических абстракций, которой, по-видимому, еще предстоит существенная эво- люция и рассказу о которой может быть посвящен самостоятельный насыщенный курс. Здесь же мы имеем в виду только свести воедино то, что читателю в основном известно о действительных числах из средней школы, выделив в виде аксиом фундаментальные и независимые свой- ства чисел. При этом наша цель состоит в том, чтобы дать точное, пригодное для последующего математического использования опреде- ление вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельного пе- рехода-основной неарифметической операции анализа.
51. АксиомАтикА и овойствА двйствитвльных Чисвл 41 Ё 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел 1. Определение множества действительных чисел Определение 1. Множество К называется множеством действи- тельныя: (вещественныаз) чисел, а его элементы_действительными (вещественными) числами, если выполнен следующий комплекс усло- вий, называемый аксиоматикой вещественных чисел: (І) Аксиомы сложения Определено отображение (операция сложения) +:К×1К-›ПЄ, сопоставляющее каждой упорядоченной паре (:1:, у) элементов 1:, у из К некоторый элемент 11: + у Є К, называемый сумм о й 41: и у. При этом выполнены следующие условия: 1+. Существует н е й тр а л ь н ы й элемент 0 (называемый в случае сложения нул ем) таной, что для любоео 1: Є К $+0=0+ш=л 2+. Для любоео элемента а: Є К имеется элемент -ат Є К, называ- емый противоположным н гс, такой, что а:+(-а:)=(-аг)+а:=0. 3+. Операция + ассоциативна, т. е. для любыа: элементов 113, у, 2 из ІК выполнено 1г+(у+2)=(<1=+у)+2~ 4+. Операция + коммутативна, т. в. для любыа: элементов 1*, у из К выполнено $+у=у+л Если на каком-то множестве Є определена операция, удовлетворя- ющая аксиомам 1+, 2+, З+, то говорят, что на Є задана структура группы или что Є есть группа. Если операцию называют вложением, то группу называют аддитивной. Если, кроме того, известно, что опе- рация коммутативна, т. е. выполнено условие 4+, то группу называют номмутативной или абелевойц. 1)Н.Х. Абель (1802 -1829) -замечательный норвежский математик, доказавпшй неразрецшмость в радикалах алгебраических уравнений, степени вьпце четвертой.
42 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА Итак, аксиомы 1+ -4+ говорят, Что ІК есть аддитивная абелева группа. (П) Аксиомы умножения Определено отображение (операция умножения) ~в×в+в, сопоставляющее каждой упорядоченной паре (:в,у) элементов аг, у из К некоторый элемент а: -у Є К, называемый пр о из в е де ни ем гс и у, причем так, что выполнены следующие условия: 1.. Существует нейтральный элемент 1 Є К 0 (называемый в случае умножения единиц ей) такой, что На: Є К 11:-1=1-а:=а:. 2.. Для любого элемента Ш Є 1К 0 имеется элемент а:'1 Є К, называемый обратным, такой, что 3:-а:`1 =:1:1-:1:= 1. З.. Операция о ассоциативна, т. е. для любыа: аз, у, 2 из К чйгд=ШчдИ~ 4.. Операция 0 коммутативна, т. е. для любыа: а:, у из К 1:-у=у-сс. Заметим, что по отношению к операции умножения множество ІЩ0, как можно проверить, является (мультипликативной) группой. (І,П) Связь сложения и умножения Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е. `</Ш, у, 2: Є К (сс + у)2 = 1132 + уг. Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равен- ство сохранится, если в обеих его частях поменять порядок множите- лей. Если на каком-то множестве Є действуют две операции, удовлетво- ряющие всем перечисленным аксиомам, то Є называется алгебраиче- еким полем или просто полем.
51. АкоиомАтикА и свойств». двйотвитвльньїх чиовл 43 (ІІІ) Аксиомы порядка Между элементами К имеется отношение <, т. е. для элементов св, у из ІК установлено, выполняется ли 11: < у или нет. При этом должны удовлетворяться следующие условия: 0<.`ї/ІІЗЄК 1< 2<-(:г<:ч)^( <Ё<Ё -(Ш<у)^( < Ѕ *жа мы ) (Ш= ( Н < у)- М Н .1ше1к< к/уєдц <у)/(у<а;). Отношение < в К называется отношением неравенства. Множество, между некоторыми элементами которого имеется отно- шение, удовлетворяющее аксиомам 0<, 1<, 2<, как известно, называют частично упорядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома З<, т.е. любые два элемента множества сравнимы, то множество называ- ется линейно унорядоченным. Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядо- чено отношением неравенства между его элементами. 3< (І,ІП) Связь сложения и порядка в К Если ап, у, 2 -элементы Ш, то (:с<у)=>(:1:+2<у+2). (ІІ,ІІІ) Связь умножения и порядка в К Если 113, у-элементы К, то (0<Ф)^(0<:</)=>(0<:г~у)- (ІУ) Аксиома полноты (непрерывности) Если Х и У _непустые подмножество К, обладающие тем свой- ством, что для любыш элементов сс Є Х и у Є У выполнено а: < у, то существует таное с Є К, что а: < < у для любыа: элементов ів Є Х и у Є У. СЗ Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то ни было множестве Е позволяет считать это множество конкретной реализацией или, как говорят, моделью действительньш: чисел. Это определение формально не предполагает никакой предваритель- ной информации о числах, и из него, «включив математическую мысль», опять-таки формально мы должны получить уже в качестве теорем
44 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА остальные свойства действительных чисел. По поводу этого аксиома- тического формализма хотелось бы сделать несколько неформальных замечаний. Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок, кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не пришли к рациональным чиелам; что вам неизвестно великое откры- тие древних о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его сто- роной и потому ее длина не может быть рациональным числом, т.е. нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процес- се измерений понятия «больше» («меньше››); что вы не иллюстрируете себе порядок, например, образом числовой прямой. Если бы всего это- го предварительно не было, то перечисленнь1й набор аксиом не только не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но, скорее, показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае произвольным плодом фантазии. Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возни- кают по крайней мере два вопроса. Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т.е. существует ли мно- жество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о нєпротиворечивости аксиоматики. Во-вторь1х, однозначно ли данная система аксиом определяет мате- матический объект, т. е., как сказали бы логики, категорично ли систе- ма аксиом. Однозначность здесь надо понимать следующим образом. Если лица А и В, независимо, построили свои модели, к примеру, чи- словых систем КА и КВ, удовлетворяющие аксиоматике, то между мно- жествами КА, КВ можно установить биективное соответствие, пусть І: КА -› КВ, сохраняющее арифметические операции и отношение по- рядка, т. е. 1”(Ш+у) = .1(Ш> +1”(у), 1“(Ш~у)=і(Ш)~і(у), гг <у<=>1'(Ш) < Лу)- С математической точки зрения КА и КВ в таком случае являются всего-навсего различными (совершенно равноправными) реализациями (моделями) действительных чисел (например, КА -бесконечные деся- тичные дроби, а КВ -точки на числовой прямой). Такие реализации
ЁІ. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 45 называются изоморфными, а отображение 1” -изоморфизмом. Резуль- таты математической деятельности относятся, таким образом, не к индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных моделей данной аксиоматики. Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы .и огра- ничимся только информативными ответами на них. Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиомати- ки всегда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл. І, Ё4, п. 2), можно построить множество натуральных, затем множест- во рациональных и, наконец, множество К всех действительных чисел, удовлетворяющее всем перечисленным свойствам. Вопрос о категоричности системы аксиом действительных чисел имеет положительный ответ. Желающие получат его самостоятельно, решив задачи 23, 24, помещенные в конце следующего параграфа. 2. Некоторые общие алгебраические свойства действитель- ных чисел. Покажем на примерах, как известные свойства чисел по- лучаются из приведенных аксиом. а. Следствия аксиом сложения 1° В множестве действительныш чисел имеется только один нуль. 4 Если 01 и 02 -_ нули в К, то по определению нуля 01:01-Ё*02=()2+()1=02. Р 2° В множестве действительныіг нисел у каждого элемента име- етсл единственный противоположный элемент. 4 Если 1:1 и 1:2 -элементы, противоположные 1: Є К, то Ш1=а:1+0=:1:1+(а:-|-1:2)=(:1:1+а:)+:1:2=0+:в2=:1:2. Ь Здесь мы использовали последовательно определение нуля, опреде- ление противоположного элемента, ассоциативность сложения, снова определение противоположного элемента и, наконец, снова определение нуля. 3° Уравнение а + а: = Ь в 1112. имеет и притом единственное решение 11: = Ь + (-а).
46 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА 4 Это вытекает из существования и единственности у каждого эле- мента а Є К противоположного ему элемента: (а+ш=Ь)<=>((а:+а,)+(-0,)=Ь+(-а))<=> <=>(:с+(а+(-а))=Ь+(-а)) (1:-І-0=Ь+(-а))<=> <=>(:1:=Ь+(-а)). > її Выражение Ь + (-а) записывают также в виде Ь - а. Этой более ко- роткой и привычной записи мы, как правило, и будем придерживаться. Ь. Следствия аксиом умножения 1° В множестве действительныа: чисел имеется только одна еди- нииа. 2° Для каждого числа а: 7Є 0 имеется только один обратный эле- мент а:1. З° Уравнение а- (1: = Ь при а Є К 0 имеет и притом единственное решение 11: = Ь - а1. Доказательства этих утверждений, разумеется, повторяют доказа- тельства соответствующих утверждений для сложения (с точностью до замены символа и названия операции), поэтому мы их опустим. с. Следствия аксиомы связи сложения и умножения. Привле- кая дополнительно аксиому (І, ІІ), связывающую сложение и умножение, получаем дальнейшие следствия. 1° Для любого Ш Є К 11:-0:0-:в=0. 4(а:-0:1:-(0-1-0)=а:~0+:1:-0)=>(:с~О=а:-0+(-(11:-0))=0).Ь Отсюда, между прочим, видно, что если 11: Є К О, то г1:_1 Є К 0. 2° (гс-у=0)=>(а:=0)/(у=0). 4 Если, например, у аё 0, то из единственности решения уравнения 1: - у = 0 относительно 1: находим а: = 0 - у`1 = 0. > 3° Для любого 11: Є ІК -гс = (-1) ~:в. 4 а:+(-1)-а: = (1+(-1))-а: = 0-11: = гс-0 = О, и утверждение следует из единственности противоположного элемента. >
51. АксиомАтикА и свойствА двйствитвльных чисвл 47 4° Для любого числа 11: Є ІК (-1)(-св) = гс. 4 Следует из З° и единственности элемента 1:, противополож- ного -ас. Ь 5° Для любого числа :в Є К (-а:)(-9:) = св - гс. < (-Ш)(-Ш) = ((-1) °Ш)(-Ш) = (Ш - (-1))(-Ш) = т((-1)(-Ш)) = 212-112- Мы последовательно воспользовались двумя предыдущими утвержде- ниями, а также коммутативностью и ассоциативностью умножения. Ь с1. Следствия аксиом порядка. Отметим сначала, что отношение а: < у (читается «аг меньше или равно у››) записывают также в виде у 2 11: («у больше или равно а:››); отношение а: < у при єс аё у записывают в виде Ш < у (Читается «аз меньше у››) или в виде у > из («у больше :с››) и называют строгим неравенством. 1° Для любьшз :1:,у Є К всегда имеет место в точности одно из соотношений: а:<у, а:=у, :п>у. 4 Это следует из приведенного определения строгого неравенства и аксиом 1< и 3<. Ь 2° Для любьш: чисел 1:, у, 2 из ІК (:г<у)^(:«/<2)==>(:г<2), (:в<у)/(у<2)=>(а:<2). 4 Приведем для примера доказательство последнего утверждения. По аксиоме 2< транзитивности отношения неравенства имеем (Ш<у)^(у<2)*×=>(1г<у)^(у<2)^(2/#2)=>(<1г<2)- Осталось проверить, что 11: 79 2. Но в противном случае (Ш<:ч)^(у<2)<=>(2<у)^(:ч<2)#>(2<у)^(з/<2)^(у#2)~ В силу аксиомы 1< отсюда следует (21 = 2) ^ (11 # 2) -противоречие. Ь
48 гл. 11. двйствитвльныв (ввщвстввнныв) числА е. Следствия аксиом связи порядка со сложением и умноже- нием. Если в дополнение к аксиомам сложения, умножения и порядка использовать аксиомь1 (І, ІІІ), (ІІ, ПІ), связывающие порядок с ариф- метическими операциями, то можно получить, например, следующие утверждения: 1° Для любьш: чисел 1:, у, 2, 'ш из В її? Ѕ < ЧЁЧЁ ) ) > > 81? // її, іііі ^”е? + М ( ( 62 ъг / .Ё 11 < Ё, іі Ё-Т -І- ъг а:+2 )<(у+2 -а: < 0), <у+Ш% <у+ш) 4 Проверим первое из этих утверждений. По определению строгого неравенства и аксиоме (І, ІІІ) имеем И<уР*@<у%ФИ+Ф%<@+д- Остается проверить, что сс + 2 54 у + 2. В самом деле, (Ю+2%=Ш+2Ю=%Ш=@НЧд-2=у+@-И%=Ш, что несовместимо с условием Ш < у. > 2° Если аз, у, 2 -числа из К, то (0<ш)/(0<у)=>(0<а:у), (а:<0)/(у<0)=>(0<а:у), (:1:<0)/(0<у)=>(;ву<0), (:в<у)/(0<г)=>(:гг<уг), (;в<у)/(г<0)=>(у2<шг). 4 Проверим первое из этих утверждений. По определению строгого неравенства и аксиоме (ІІ, ІІІ) (0<а:)/(0<у)=>(0<аз)/(0<у)=>(0<а:у).
51. АксиомАтикА и свойств». двйствитвльных чисвл 49 Кроме того, 0 # Шу, поскольку, как уже было показано, (<1г-у=0)=>(<г=0)/(у=0)- Проверим еще, например, и третье утверждение: (:в<0)/(0<у)=>(0<-Ш)/(0<у)=> =>(0<(-Ш>~у)=~(0<(- -2:):/И => (0 < (-1)~(Шу)) -(ггг/)) => (Шу <0>- › іі /5/5 АС Читателю предоставляется возможность доказать самостоятельно остальные соотношения, а также проверить, что если в одной из ско- бок левой части наших утверждений стоит нестрогое неравенство, то следствием его также будет нестрогое неравенство в правой части. 3° О < 1. 4 1 Є1К0, т.е. 0% 1. Если предположить, что 1 < О, то по только что доказанному (1<0)/(1<0)=>(0<1-1)=>(0<1). Но мы знаем, что для любой пары чисел 1:, у Є К реализуется и притом только одна из возможностей: ш < у, Ш = у, ат > у. Поскольку 0 уё 1, а предположение 1 < 0 ведет к несовместимому с ним соотношению О < 1, то остается единственная возможность, указанная в утверждении. > 4° (0<а:) =>(0<:1:1) и (0<а:)/(а:<у)=> (0<у1)/(у`1 <:п1). 4 Проверим первое из этих утверждений. Прежде всего, :в'1 5% 0. Предположив, что а:”1 < 0, получим (а:1<0)/(0<а:)=>(а:-:1:1<0)=:›(1<0). Это противоречие завершает доказательство. Ь Напомним, что числа, которые больше нуля, называются положи- тельными, а числа меньшие нуля- отрицательными. Таким образом, мы доказали, например, что единица- положитель- ное число, что произведение положительного и отрицательного чисел есть число отрицательное, а величина, обратная положительному чи- слу, также положительна.
50 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества Определение 2. Говорят, что множество Х С ІК ограничено свер- азу (снизу), если существует чис.ло с Є ІК такое, что ат < с (соответствен- но, с < 112) для любого сс Є Х. Число с в этом случае называют вертней (соответственно, нижней) границей множества Х или также мажорантой (минорантой) множе- ства Х . Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу, на- зывается ограниченным. Определение 4. Элемент а Є Х называется наибольшим или ман- сима./ъьньъм (наименьшим или минимальным) элементом множества Х С С К, если 1: < а (соответственно, а < аз) для любого элемента сс Є Х . Введем обозначения и заодно приведем формальную запись опреде- ления максимального и минимального элементов соответственно: (а=п1ахХ) :_ (аЄХ/7':1г€Х (а:<а)), (а=шіпХ) :_ (аЄХ/`9':сЄХ (а<:1:)). Наряду с обозначениями шахХ (читается «максимум Х ››) и шіпХ (читается «минимум Х ››), в том же смысле используются соответствен- но символы шаха: и шіп 1:. :1:ЄХ :вЄХ Из аксиомы 1< порядка сразу следует, что если в числовом множе- стве есть максимальный (минимальный) элемент, то он только один. Однако не во всяком, даже ограниченном, множестве имеется мак- симальный (минимальный) элемент. Например, множество Х = {:1: Є К | О < 11: < 1} имеет минимальный элемент, но, как легко проверить, не имеет максимального элемента. Определение 5. Наименьшее из чисел, ограничивающих множе- ство Х С К сверху, называется веразней гранью (или точной вершней границей) множества Х и обозначается Ѕир Х (читается «супремум Х ››) или Ѕпр сс. ` :1:ЄХ Это основное определение настоящего пункта. Итак, (з = Ѕ11рХ) := 7':1: Є Х < з) / (7'з' < з 3:12, Є Х (з' <
51. АксиомАтикА и свойств», двйствитвльных Чисвл 51 В первой скобке, стоящей справа от определяемого понятия, напи- сано, что з ограничивает Х сверху; вторая скобка говорит, что з _ минимальное из чисел, обладающих этим свойством. Точнее, вторая скобка утверждает, что любое число, меньшее з, уже не является верх- ней границей Х. Аналогично вводится понятие нижней грани (точной нижней гра- ницы) множества Х как наибольшей из нижних границ множества Х. Определение 6. (і = іпїХ) := Чт Є Х < аз) / (/1І' > і ЁІ:с' Є Х (ш' < Наряду с обозначением іпї Х (читается «инфимум Х ››) для нижней гра- ни Х употребляется также обозначение іп; аз. а:Є Таким образом, даны следующие определения: ЅирХ := п1іп{с Є ІК | `г/гс Є Х (ат < с)}, іпїХ := шах{с Є К | 7':с Є Х (с < Но выше мы говорили, что не всякое множество обладает мини- мальным или максимальным элементом, поэтому принятые определения верхней и нижней граней числового множества нуждаются в аргумен- тации, которую доставляет следующая Лемма (принцип верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверагу подмножество множества вещественньш: чисел имеет и при- том единственную верагнюю грань. 4 Поскольку единственность минимального элемента числового множества нам уже известна, необходимо лишь убедиться в существо- вании верхней грани. Пусть Х С К -данное подмножество, а У = {у Є ІК | `ї/Ш Є Х (а: < у)} --множество верхних границ Х. По условию, Х =,Є И и У уё И. Тогда в силу аксиомы полноты существует число с Є К такое, что 7':1: Є Х 7'у Є У (:с < с < у). Число с, таким образом, является мажо- рантой Х и минорантой У. Как мажоранта Х, число с является элемен- том У, но как миноранта У, число с является минимальным элементом множества У. Итак, с = п1іпУ = зпр Х. Ь КОНЄЧНО, ЗНЗЛОГИЧНО ДОКЕІЗЬІВЗЄТСЯ СУЩЄСТВОВЭНИЄ И ЄДИНСТВЄННОСТЬ НИЖНЄЙ Гр&НИ У ОГРЁЪНИЧЄННОГО СНИЗУ ЧИСЛОВОГО МНОЖЄСТВЕЪ, Т. Є. ИМЄЄТ МЄСТО
52 ГЛ. П. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Лемма. (Х не пусто и ограничено снизу) => (ЕП іпі`Х На доказательстве мы не останавливаемся. Теперь вернемся к множеству Х = {ш Є К | О < аг < 1}. В си- лу доказанной леммы оно должно иметь верхнюю грань. По самому определению множества Х и определению верхней грани очевидно, что Ѕ11рХ < 1. Для того чтобы доказать, что зирХ = 1, таким образом, необхо- димо проверить, что для любого числа (1 < 1 найдется число аг Є Х такое, что (1 < 0:, т.е., попросту, что между (1 и 1 есть еще числа. Это, конечно, легко доказать и независимо (например, показав, что (1 < 2_1(<1 + 1) < 1), но мы сейчас этого делать не станем, поскольку в следующем параграфе подобные вопросы будут обсуждаться последо- вательно и подробно. Что же касается нижней грани, то она всегда совпадает с минималь- ным элементом множества, если множество таковым обладает. Так что уже из этого соображения в рассматриваемом примере имеем іпї Х = 0. Другие, более содержательные примеры использования введенных здесь понятий встретятся уже в следующем параграфе. Ё2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами 1. Натуральные числа и принцип математической индук- ции а. Определение множества натуральных чисе.л. Числа вида 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1 и т. д. обозначают соответственно символами 1, 2, 3 и т. д. и называют натуральными числами. Принять такое определение может только тот, кто и без него имеет полное представление о натуральных числах, включая их запись, на- пример, в десятичной системе счисления. Продолжение какого-то процесса далеко не всегда бывает однознач- ным, поэтому вездесущее «и так далее» на самом деле требует уточне- ния, которое доставляет фундаментальный принцип математической индукции. Определение 1. Множество Х С К называется индуктивным, ес- ли вместе с каждым числом аг Є Х ему принадлежит также число ів + 1.
дв. вАжнвйшив клАссы двйствитвльньїх чисвл зз Например, К является индуктивным множеством; множество поло- жительных чисел также является индуктивным множеством. Пересечение Х = П Х а любого семейства индуктивных множеств аЄА Ха, если оно непусто, является индуктивным множеством. Действительно, тех: Цха =>(×/веА(«:еХа))=> аЄА =>(теА((ш+1)еха))в ($+1)є Пха=х. аЄА Теперь примем следующее Определение 2. Множеством натуральньш: чисел называется наи- меньшее индуктивное множество, содержащее 1, т. е. пересечение всех индуктивных множеств, содержащих число 1. Множество натуральных чисел обозначают символом М; его элемен- ты называются натуральными числами. С теоретико-множественной точки зрения, быть может, разумнее натуральные числа начинать с 0, т. е. вводить множество натуральных чисел как наименьшее индуктивное множество, содержащее 0, однако нам удобнее начинать нумерацию числом 1. Следующий фундаментальный и широко используемый принцип яв- ляется прямым следствием определения множества натуральных чисел. Ь. Принцип математической индукции Если подмножество Е множества натуральныа: чисел Ы таково, что 1 Є Е и вместе с числом ат Є Е множеству Е принадлежит число ш + 1, то Е = Ы. Итак, (ЕСМ)/(1ЄЕ)/(/:1:еЕ(а:еЕ=>(а:+1)еЕ))=>Е=1І. Проиллюстрируем этот принцип в действии, доказав с его помощью несколько полезных и постоянно в дальнейшем используемых свойств натуральных чисел. 1° Сумма и произведение натуральньш: чисел являются натураль- ными числами.
54 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА 4 Пусть т,п Є Ш; покажем, что (т + н) Є Щ. Обозначим через Е множество тех натуральных чисел п, для которых (т + н) Є Ш при любом т Є Щ. Тогда 1 Є Е, поскольку (т Є Ы) => ((т + 1) Є Ы) для любого т Є М. Если п Є Е, т.е. (т-І-п) Є Щ, то и (п+ 1) Є Е, так как (т + (п +1)) = ((т + п) + 1) Є М. По принципу индукции Е = М, и мы доказали, что сложение не выводит за пределы Щ. Аналогично, обозначив через Е множество тех натуральных чи- сел п, для которых (т - п) Є Щ при любом т Є Щ, находим, что 1 Є Е, так как т-1= т, и если н Є Е, т. е. т-п Є Ы, то т-(п+1)= тн+т есть сумма натуральных чисел, которая по доказанному принадлежит М. Та- ким образом, (н Є Е) Ф ((п+1) Є Е) и по принципу индукции Е = М Р 2° Покажем, что (п Є Ы) / (н аё 1) => - 1) Є Ш). 4 Рассмотрим множество Е натуральных чисел вида п - 1, где п- натуральное число, отличное от 1, и покажем, что Е = М. Поскольку 1 Є Ы, то 2 := (1 +1) Є М, а значит, 1 = (2 - 1) Є Е. ЕслитЄЕ, тот=п-1,гдепЄІї; тогдат+1 = (п+1)-1 и, поскольку (п + 1) Є Ы, имеем (т + 1) Є Е. По принципу индукции заключаем: Е = Ы. Ь 3° Для любого п Є Ш в множестве {:п Є М | п < :1:} есть минималь- ный элемент, причем п1іп{:1:ЄІї|н<ш}=н+1. 4 Покажем, что множество Е тех п Є Ы, для которых утверждение справедливо, совпадает с Ы Сначала проверим, что 1 Є Е, т. е. п1іп{а:ЄІї|1<:1:}=2. Это утверждение тоже будем проверять по принципу индукции. Пусть М={:вЄІї|(:1:=1)/(2<:1:)}. По определению М имеем 1 Є М. Далее, если 11: Є М, то либо св = 1 итогда :1:+1 = 2 Є М, либо2 < Щ, тогда2 < (:1:+1) иснова (гс-і-1) Є М. Таким образом, М = Ы и, значит, если (:1: чё 1) / (сс Є М), то 2 < гс, т. е. действительно п1іп{а: Є Ы | 1 < :с} = 2. Итак, 1 Є Е. Покажем теперь, что если п Є Е, то и (п + 1) Є Е.
52. в/-хжнвйшин клАссь1 двйствитвльньш чиовл 55 Заметим сначала, что, еслиа: Є {а: Є Ы | п-І-1 < а:}, то (Ш-1)=:</Є{з/Є1їІп<:ч}, ибо по доказанному все натуральные числа не меньше 1, поэтому (п +1 < 1:) => (1 < аг) => (ат 75 1), а тогда в силу утверждения 2° (а: - 1) = у Є Ш. Пусть теперьпЄЕ, т.е. п1іп{уЄІІ|п<у}=п+1. Тогдасс-12 2у>п+1иаз>п+2. Значит, (а:Є{а:ЄІї|п+1<:с})=±›(:с>п+2) и, следовательно, п1іп{:с Є М | п + 1 < а:} = п + 2, т. е. (п +1) Є Е. По принципу индукции Е = Ы, и утверждение 3° доказано. Ь В качестве прямых следствий доказанных утверждений 2° и 3° по- лучаем следующие свойства 4°, 5°, б° натуральных чисел: 4°(тЄїІ)/(пЄІї)/(п<т)=>(п+1<т). 5° Число (п +1) Є Ш непосредственно следует в Щ за натуральным числом п, т. е. нет натуральньш: чисел 1:, удовлетворлющиа: условию п<а:<п+1, еслипЄІї. 6° Если п Є Ы и п 56 1, то число (п - 1) Є Щ и (п - 1) непосред- ственно предшествует числу п в Ы, т. е. нет натуральньш: чисел аз, удовлетворяющие: условию п - 1 < св < п, если п Є Щ. 7° Покажем теперь, что в любом непустом подмножестве множе- ства натуральньш: чисел имеетсл минимальный элемент. 4 Пусть М С Ы. Если 1 Є М, то п1іпМ = 1, поскольку 7п Є М (1 < п)~ Пусть теперь 1 Є М, т.е. 1 Є Е = Щ М. В множестве Е должно найтись такое натуральное число п Є Е, что все натуральные числа, не превосходящие п, лежат в Е, а (п + 1) Є М. Если бы такого п не было, то множество Е С М, содержащее единицу, вместе с п Є Е содержа- ло бы и (п + 1) и по принципу индукции совпадало бы с Ы. Последнее невозможно, поскольку М Е = М 7% И. Найденное число (п + 1) Є М и будет минимальным в М, поскольку между п и п + 1, как мы видели, уже нет натуральных чисел. >
56 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА 2. Рациональные и иррациональные чис.ла а. Це.лые числа Определение З. Объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля на- зывается множеством 'цельшг чисел и обозначается символом 2. Поскольку, как уже было доказано, сложение и умножение натураль- ных чисел не выводят за пределы Ы, то эти же операции над целыми числами не выводят за пределы множества 2. 4 Действительно, если т, п Є 2, то либо одно из этих чисел равно нулю и тогда сумма т +п равна другому числу, т. е. (т+ п) Є 2, а про- изведение т - п = О Є 2, либо оба числа отличны от нуля. В последнем случае либо т,п Є Ш и тогда (т+п) Є Ш С 2 и Є Ш С 2, либо (-т), (-п) Є М и тогда т ~ п = ((-1)т)((-1)п) Є Ы, либо (-т),п Є Ы и тогда (-т, - п) Є М, т.е. т - п Є 2, либо, наконец, т, -п Є М и тогда (-т-п) Єїїисноват~'п,Є2. > Таким образом, Ж есть абелева группа по отношению к операции сложения. По отношению к операции умножения множество 2 и даже 2 О не является группой, поскольку числа, обратные целым, не лежат в Ж (кроме числа, обратного единице и минус единице). 4 Действительно, если т Є 2 и т уё 0, 1, то, считая сначала т Є М, имеем 0 < 1 < т и, поскольку т-т1 = 1 > 0, должно быть 0 < т'1 < 1 (см. в предыдущем параграфе следствия аксиом порядка). Таким обра- зом, т_1 $ 2. Случай, когда т~отрицательное целое число, отличное от -1, непосредственно сводится к уже разобранному. › В том случае, когда для чисел т,п Є Е число І: = т - п1 Є 2, т. е. когда т = /є-п, где /с Є 2, говорят, что целое число т делится на целое число п или кратно п, или что ть есть делитель т. Делимость целых чисел путем надлежащих изменений знаков, т. е. домножением на -1, если в этом есть необходимость, немедленно при- водится к делимости соответствующих натуральных чисел, в рамках которых она и изучается в арифметике. Напомним без доказательства так называемую основную теорему арифметики, которой при рассмотрении некоторых примеров мы будем пользоваться.
52. вАжнвйшив клАссь1 двйствитвльных чисвл 57 Число р Є Щ, р 56 1, называется простым, если в М у него нет дели- телей, отличных от 1 и р. Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число до- пускает и притом единственное (с точностью до порядка сомножи- те./гей) представление в виде произведения /п'=р1°~°р/са еде р1,. . . ,рд -простые числа. Числа. т, п Є 2 называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, отличных от 1 и -1. Из приведенной теоремы, в частности, видно, что если произведение т- п взаимно простых чисел т, п делится на простое число р, то одно из чисел т, п также делится на р. Ь. Рациональные числа Оп е еление 4. Числа ви а т ~ п1 г е т п Є 2 называются э Д › э рациональными. Множество рациональных чисел обозначается знаком (2. Таким образом, упорядоченная пара (т, п) целых чисел определяет рациональное число (1 = т - п1, если п ад 0. Число (1 = т- п1 записывают также в виде отношенияї) т и п или так называемой рациональной дроби Правила действий с рациональными числами, относящиеся к такой форме их представления дробями, изучавшиеся в школе, немедленно вы- текают из определения рационального числа и аксиом действительных чисел. В частности, «от умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля целое чис.ло величина дроби не изменяет- ся», т. е. дроби їх”-Ё и Ё представляют одно и то же рациональное число. В самом деле, поскольку (пІє)(/Г1п1) = 1, т. е. (п - Іс)_1 = ІГ1 -п1, то (тІє)(пІс)1 = (т/є)(/~з1п“1) = т - п1. Таким образом, различные упорядоченные пары (т, п) и (тІс,пІс) задают одно и то же рациональное число. Следовательно, после соот- ветствующих сокращений любое рациональное число можно задать упо- рядоченной парой взаимно простых целых чисел. 1)Обозначение <@ -по начальной букве англ. аиоізіепіз -отношение (от лат. с111оЬа-часть, приходя1цаяся на единицу чего-либо, и аиоіз -сколько).
58 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА С другой стороны, если пары (т1,н1) и (т2,п2) задают одно и то же рациональное число, т. е. т1-пї1 = т2 -1151, то т1*п,2 = т2п1, и если, например, т1 и п1 взаимно просты, то в силу упомянутого следствия основной теоремы арифметики п2 - пї1 = тд; - тї1 = /с Є Ж. Мы показали, таким образом, что две упорядоченные пары (т1, 11,1), (т2, 11,2) задают одно и то же рациональное число тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. существует число /с Є Ж такое, что, например, т2 = Іст1 и н2 = Ісщ. с. Иррациональные числа Определение 5. Действительные числа, не являющиеся рацио- нальными, называются ирраииональными. Классическим примером иррационального действительного числа является /2, т. е. число з Є К такое, что з > 0 и 52 = 2. Иррацио- нальность /2 в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Итак, проверим, во-первых, что существует положительное дей- ствительное число з Є К, квадрат которого равен двум, и, во-вторых, что 5 $ 4 Пусть Х и У - множества положительных действительных чисел такие, что `ї/0: Є Х (332 < 2), /у Є У (2 < у2). Поскольку 1 Є Х, а 2 Є У, то Х и У --непустые множества. Далее, поскольку для положительных Ш и у (11: < у) <=> (5132 < 3/2), то любой элемент ап Є Х меньше любого элемента у Є У. По аксиоме полноты существует число з Є Е такое, что сп < з < у для /сс Є Х и /у Є У. Покажем, что 32 = 2. 2 Если бы было 32 < 2, то, например, квадрат числа з+Ё-3-, большего Зз чем 5, был бы меньше 2. Действительно, ведь 1 Є Х, поэтому 12 < 52 < 2 и0<А=2-з2<1. Значит, 2 2 А (з+%) =з2+2-%+(%) <.з2+3-ї=з2+А=2. Следовательно, (3 + Є Х, что несовместимо с неравенством из < з для любого элемента из Є Х.
ёг. вАжнвйшив клАооы двйотвитвльньїх чисвл 59 2 Если бы было 2 < 32, то, например, квадрат числа з - 9% мень- шего чем 3, был бы больше 2. Действительно, ведь 2 Є У, поэтому 2<з2<22или0<А=з2-2<3 и 0<%<1. Отсюда А 2 2 А А 2 _., А 2 (3-Ё) -з -2-Ё-І-(Ё) >з -3-Ё-3 -А_2. и мы вступаем в противоречие с тем, что з ограничивает множество У снизу. Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность: 32 = 2. Покажем, наконец, что з Є @. Предположим, что з Є @, и пусть Ё -несократимое представление з. Тогда т2 = 2 - п2, следовательно, т2, а значит, и т делится на 2. Но если т = 2Іє, то 2/с2 = п2 и по той же причине п должно делиться на 2, что противоречит несократимости дроби > Сейчас мы трудились над тем, чтобы доказать существование ирра- циональных чисел. Вскоре мы увидим, что в некотором смысле почти все действительные числа иррациональны. Будет показано, что мощ- ность множества иррациональных чисел больше мощности множества всех рациональных чисел и совпадает с мощностью множества всех дей- ствительных чисел. Среди иррациональных чисел выделяют еще так называемые алге- браические иррациональности и трансцендентные числа. Вещественное число называется алгебраичвским, если оно является корнем некоторого алгебраического уравнения а0а:'+...+а,,_1:1:+а,,=0 с рациональными (или, что эквивалентно, с целыми) коэффициентами. В противном случае число называется трансцвндєнтным. Мы увидим, что мощность множества алгебраических чисел такая же, как мощность множества рациональных чисел, а мощность мно- жества трансцендентных чисел такая же, как мощность всех действи- тельных чисел; поэтому на первый взгляд кажутся парадоксальными и неестественными трудности в предъявлении конкретного трансцен- дентного числа, точнее, в доказательстве его трансцендентности.
60 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Так, например, только в 1882 г. было доказано, что классическое геометрическое число тг является трансцендентнымї), а одна из знаме- нитых проблем Гильберта2) состояла в том, чтобы доказать трансцен- дентность числа ад, где ск-алгебраическое, (а > 0) / (а уё 1), а В- алгебраическое иррациональное число (например, а = 2, В = З. Принцип Архимеда. Переходим к важному как в теоретиче- ском отношении, так и в плане конкретного использования чисел при измерениях и вь1числениях принципу Архимедаз). Мы докажем его, опи- раясь на аксиому полноты (точнее, на эквивалентную ей лемму о верх- ней грани). При другой аксиоматике множества действительных чисел этот фундаментальный принцип часто включают в список аксиом. Заметим, что утверждения, которые мы до сих пор доказывали о натуральных и целых числах, совершенно не использовали аксиому пол- ноты. Как будет видно из дальнейшего, принцип Архимеда, в сущности, отражает свойства натуральных и целых чисел, связанные с аксиомой полноты. С этих свойств мы и начнем. 1° В любом непустом ограниченном свершу подмножестве множе- ства натуральныш чисел имеется, максимальный элемент. 4 Если Е С М- рассматриваемое множество, то по лемме о верхней грани 3!$11рЕ' = з Є К. По определению верхней грани, в Е найдется натуральное число п Є Е, удовлетворяющее условию з - 1 < п < з. Тогда п = шах Е, поскольку все натуральные числа, которые больше п, не меньшеп+1, ап+1 > з. Ь 1)1г-число, равное в евклидовой геометрии отношению длины окружности к ее диаметру. Отсюда общепринятое с Х/ІІІ века после Эйлера обозначение этого чи- сла начальной буквой греческого слова лєрьсрёрєщ _ периферия (окружность). Транс- цендентность тг доказана немецким математиком Ф. Линдеманом (1852 -1939). Из трансцендентности тг, в частности, вытекает невозможность построения циркулем и линейкой отрезка длины тг (задача о спрямлении окружности), как и неразреши- мость этими средствами древней задачи о квадратуре круга. 2)Д. Гильберт (1862 - 1943) --выдающийся немецкий математик, сформулировав- ший в 1900 г. на Международном конгрессе математиков в Париже двадцать три относящиеся к различным областям математики проблемы, получившие впослед- ствии название «проблем Гильберта». Вопрос, о котором идет речь в тексте (седь- мая проблема Гильберта), был положительно решен в 1934 г. советским математиком А. О. Гельфондом (1906 - 1968) и немецким математиком Т. Шнайдером (1911 - 1989). 3)Архимед (287-212 гг. до н.з.) -гениальный греческий ученый, про которого один из основоположников анализа Лейбниц в свое время сказал: «Изучая труды Архимеда, перестаещь удивляться успехам современных математиков».
52. вАжнвйшив клАссы двйствитвльньїх чисвл в1 Следствия. 2° Множество натуральньив чисел не ограничено сверазу. 4 В противном случае существовало бы максимальное натуральное число. Ноп <п+1.> 3° В любом непустом ограниченном сверсву подмножестве множе- ства иельш: чисел имеется максимальный элемент. 4 Можно дословно повторить доказательство утверждения 1°, за- меняя Ії на И. Ь 4° В любом непустом ограниченном снизу подмножестве множе- ства иельш: чисел имеется минимальный элемент. 4 Можно, например, повторить доказательство утверждения 1°, за- меняя ІЧ на 2 и используя вместо леммы о верхней грани лемму о суще- ствовании нижней грани у ограниченного снизу числового множества. Можно также перейти к противоположным числам («поменять зна- ки››) и воспользоваться уже доказанным в 3°. Ь 5° Множество иельш: чисел не ограничено ни сверагу, ни снизу. 4 Вытекает из 3° и 4° или прямо из 2°. > Теперь сформулируем 6° Принцип Архимеда. Если фиксировать произвольное поло- жительное число /Ъ, то для любого действительного числа а: найдется и притом единственное целое число Іс такое, что (/є - 1)/1 < сс < /є/1,. 4 Поскольку Ж не ограничено сверху, множество {п Є 2 | Ё < п} - непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел. Тогда (см. 4°) в нем есть минимальный элемент /<:, т. е. (11: - 1) < 11://1, < < /є. Поскольку /2 > 0, эти неравенства зквивалентны приведенным в формулировке принципа Архимеда. Единственность /с Є 2, удовле- творяющего двум последним неравенствам, следует из единственности минимального элемента числового множества (см. ё1, п. 3). > Некоторые следствия: 7° Для любого положительного числа е существует натуральное число п такое, что 0 < % < е. 4 По принципу Архимеда найдется п Є 2 такое, что 1 < Є - п. По- скольку 0 < 1 и 0 < е, имеем0 < п. Таким образом, п Є їїи0 < % < е. >
62 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА 8° Если число 3: Є К таково, что О < сс и для любого п Є Щ вьтол- нено:1:<%-, тоа:=О. 4 Соотношение О < 11: невозможно в силу утверждения 7°. Ь 9° Для любьш: чисел а, Ь Є В таниаг, что а < Ь, найдетсл рациональ- ное число 1* Є @ таное, что а < 1 < Ь. 4 Учитывая 7°, подберем п Є М так, что 0 < % < Ь-а. По принципу Архимеда найдем такое число т Є 2, что -пёъїі < а < Тогда % < < Ь, ибо в противном случае мы имели бы 17% < а < Ь < 31,1, откуда следовало бы, что % 2 Ь - а. Таким образом, 1* = Ё Є ((2 и а < їД'- < Ь. Ь 10° Для любого числа 1: Є К существует и притом единственное иелое число І: Є 2 такое, что Іс < 1: < /с + 1. 4 Это непосредственно вытекает из принципа Архимеда. Ь Указанное число /є обозначается и называется иелой частью чи- сла 1:. Величина := ш - называется дробной частью числа 1:. Итак, сс = + {а:}, причем 2 0. 4. Геометрическая интерпретация множества действитель- ных чисел и вычислительные аспекты операций с действи- тельными числами а. Числова.я ось. По отношению к действительным числам часто используется образный геометрический язык, связанный с тем обстоя- тельством, что, как в общих чертах известно из школы, в силу аксиом геометрии между точками прямой П. и множеством ІК вещественных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие 1 : ІЬ -› К. Причем это соответствие связано с движениями прямой. А именно, ес- ли Т -параллельный перенос прямой ІЬ по себе, то существует число 15 Є К (зависящее только от Т) такое, что І = І + 15 для любой точки 1: Є ІЬ. Число І (113), соответствующее точке 11: Є П., называется ноординатой точки аз. Ввиду взаимной однозначности отображения І : П, -› К коор- динату точки часто называют просто точкой. Например, вместо фразы «отметим точку, координата которой 1», говорят «отметим точку 1». Прямую ІЬ при наличии указанного соответствия І: ІЬ -› К называют ноординатной осью, числовой осью или числовой прямой. Ввиду биек-
52. вАжнвйшив клАось1 двйствитвльных чисвл вз тивности 1” само множество К вещественных чисел также часто назы- вают числовой прямой, а его элементы-точками числовой прямой. Как отмечалось, биективное отображение 1” : ІЬ -› ІК, задающее на ІЬ координаты, таково, что при параллельном переносе Т координаты образов точек прямой ІІ, отличаются от координат самих точек на одну и ту же величину Ё Є К. Ввиду этого І полностью определяется указа- нием точки с координатой О и точки с координатой 1 или, короче, точки нуль, называемой началом координат, и точки 1. Отрезок, определя- емый этими точками, называется единичным отрезком. Направление, определяемое лучом с верцшной 0, содержащим точку 1, называется по- ложительным, а движение в этом направлении (от О к 1) -движением слева направо. В соответствии с этим соглашением 1 лежит правее 0, а 0-левее 1. При параллельном переносе Т, переводящем начало координат 2:0 в точку. :с1 = Т(:1:0) с координатой 1, координаты образов всех точек на единицу больше координат прообразов, поэтому мы находим точку 1:2 = Т(:1:1) с координатой 2, точку 5113 = Т(а:2) координатой 3, ..., точку :вп+1 = Т(:1:,,,) с координатой п + 1, а также точку а:_1 = Т_1(а:0) с координатой -1, , точку а:_,,_1 = Т`1(а:_,,) с координатой -п - 1. Таким образом, получаем все точки с целыми координатами т Є Е. Умея удваивать, утраивать, . . _ единичный отрезок, по теореме Фа- леса его же можно разбить на соответствующее число п конгрузнтных отрезков. Беря тот из них, одним концом которого является начало ко- ординат, для координаты 1: другого конца имеем уравнение п - 11: = 1, т. е. 11: = Отсюда находим все точки с рациональными координатами 11,1 Є <@. Но останутся еще точки ІЬ, ведь есть же отрезки, несоизмеримые с единичным. Каждая такая точка (как и любая другая точка прямой) разбивает прямую на два луча, на каждом из которых есть точки с целыми (рациональными) координатами (это следствие исходного гео- метрического принципа Архимеда). Таким образам, точка производит разбиение или, как говорят, сечение ((2 на два непустых множества Х и У, отвечающие рациональным точкам (точкам с рациональными ко- ординатами) левого и правого лучей. По аксиоме полноты найдется число с, разделяющее Х и У, т.е. аг < с < у для 7':1: Є Х и /у Є У. Поскольку Х ЫУ = <@, то Ѕ11рХ = з = і = іпї У, ибо в противном случае з < і и между з и і нашлось бы рациональное число, не лежащее ни в Х, ни в У. Таким образом, з = і = с. Это однозначно определенное число
64 ГЛ. П. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА с и ставится в соответствие указанной точке прямой. Описанное сопоставление точкам прямой их координат доставля- ет наглядную модель как отношению порядка в К (отсюда и термин «линейная упорядоченность››), так и аксиоме полноты, или непрерыв- ности К, которая на геометрическом языке означает, что в прямой ІЬ «нет дыр», разбивающих ее на два не имеющих общих точек куска (та- кое разбиение осуществляется некоторой точкой прямой ІЬ). Мы не станем вдаваться в дальнейшие детали конструкции отобра- жения 1” : ІЬ -› К, поскольку геометрическую интерпретацию множест- ва действительных чисел мы будем привлекать исключительно для на- глядности и для возможного подключения весьма полезной геометриче- ской интуиции читателя. Что же касается формальных доказательств, то, как и до сих пор, они будут опираться либо на тот набор фактов, который мы уже получили из аксиоматики действительных чисел, либо непосредственно на эту аксиоматику. Геометрический же язык мы будем использовать постоянно. Введем следующие обозначения и названия для перечисленных ниже числовых множеств: 2:. 3 _: д Н :={а: Є 1К| а < аг < Ь} -интервал ад; := {ш Є 1К| а < < Ь} -отрезок ад; :={:1: Є К | а < ат < Ь} -полуинтервал а,Ь, содержащий конец Ь; := {:1: Є К | а < гс < Ь} -полуинтервал аЬ, содержащий конец а. Определение 6. Интервалы, отрезки и полуинтервалы называ- ются числовыми промежутнами или просто промєжутками. Числа, определяющие промежуток, называются его концами. Величина Ь - а называется длиной промежутка аІ›. Если І -некото- рый промежуток, то длину его мы будем обозначать через |І| (проис- хождение такого обозначения вскоре станет понятным). Множества ]а,+оо[:= {:1: Є 1К|а < а:}, ]-оо,Ь[:={а: Є 1К|$ < Ь}, [а,+оо[:={а:Є1К|а,<а:}, ]-оо,Ь]:={а:Є1К|а:<Ь}, а также ]-оо,+оо[ := К, принято называть нєограниченными проме- жутками. В соответствии с таким употреблением символов +оо (читается «плюс бесконечность››) и -оо (читается «минус бесконечность››) для
52. вюкнвйшив клАооы двйотвитвльных чисвл вв обозначения неограниченности числового множества Х сверху (снизу), принято писать Ѕ11рХ = +оо (іпї Х = -оо). Определение 7. Интервал, содержащий точку а: Є К, будем на- зывать онрестностыо этой точки. В частности, при 5 > 0 интервал ]а: - 5, ап + б[ называется б-онрест- ностыо точки :1:. Его длина 26. Расстояние между числами 1:, у Є К измеряется длиной промежут- ка, концами которого они являются. Чтобы не разбираться при этом, «где лево, а где право», т. е. сс < у или у < ат, и чему равна длина, у - ат или 11: - у, можно использовать полезную функцию ат при 11: > 0, |а:| = О при сс = 0, -Ш при а: < 0, называемую модулем или абсолютной величиной числа. Определение 8. Расстолнием между ат, у Є Е называется вели- чина |:1: - у|. Расстояние неотрицательно и равно нулю только при совпадении сс и у; расстояние от 11: до у и от у до зи одно и то же, ибо |а: - у| = Іу - а:|; наконец, если 2 Є К, то |:с - у| < |а: - 2| + |2 - у|, т.е. имеет место так называемое неравенство треугольника. Неравенство треугольника следует из свойства абсолютной величи- ны числа, которое также называется неравенством треугольника (ибо получается из предыдущего при 2 = 0 и замене у на -у). А именно, для любьш: чисел аг, у справедливо неравенство ІШ+уІ < ІШІ + Іг/І, 'П,р'Ц/ЧЄМ РСЕЄЄНСТПЄО 6 'НЄМ 'ЦМЄЄТГЕ МЄСТП0 6 ТПО./И 'Ц ТПО./ЬЬ'К7О 6 'ПЪОМ СД]/ЧЄЄ, 7<Ґ02дО. Оба 'Ч'ЦС./ЬСЪ ЗС, у 'НЄО'ГП,р'Ц'ц(1.ТПЄ./ЪЬНЫ Ц./І/Ц НЄТЬО./ЪОЭІС'Ц/777,8./ЕЬНЫ. <Если0<:ви0<у,то0<:г+у, |:в+у|=а:+у, |:1:|=:с, |у|=уи равенство установлено. Еслиа: < 0 и у < 0, то :1:+у < 0, |а:+у| = -(:п+у) = -1:-у,= -1:, |у| = -у и опять равенство имеет место.
66 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА Пусть теперь одно из чисел отрицательно, а другое положительно, например, 11: < 0 < у. Тогда либо 11: < ап-1-у < 0, либо 0 < ш+у < у. В первом случае |:1:+у| < |а:|, во втором |ш+у| < |у|, т. е. в обоих случаях ІШ+г/І < ІШІ + І:/І~ > Используя принцип индукции, можно проверить, что |:1:1 +...+:с,-,,| < |:с1|+...+|:сп|, причем равенство имеет место, если и только если все числа 1121, . . . ,тп одновременно неотрицательны или одновременно неположительны. Число 9-Ъ-'ї-Ё часто называется серединой или центром промежутка с концами о, Ь, поскольку оно равноудалено от концов промежутка. В частности, точка а: Є К является центром своей 6-окрестности ]:1: - 6,11: + б[ и все точки 5-окрестности удалены от а: меньше чем на 6. Ь. Задание числа последовательностью приближений. Изме- ряя реальную физическую величину, мы получаем число, которое, как правило, меняется при повторном измерении, особенно если изменить инструмент или метод измерения. Таким образом, результатом изме- рения обычно является некоторое приближенное значение искомой ве- личины. Качество или точность измерения характеризуется, например, величиной возможного уклонения истинного значения величины от ее значения, полученного в результате измерения. При этом может слу- читься, что точное значение величины (если оно в принципе существу- ет) мы так никогда и не предъявим. Встав, однако, на более конструк- тивную позицию, можно (или следует) считать, что мы вполне зна- ем искомую величину, если в состоянии измерить ее с любой наперед заданной точностью. Такая позиция означает отождествление числа с последовательностьюц все более точных его приближений числами, по- лучаемь1ми при измерении. Но всякое измерение есть конечная сово- купность сравнений с некоторым эталоном или с соизмеримой с ним его частью, поэтому результат измерения должен выражаться нату- ральными, целыми или, более общо, рациональными числами. Значит, последовательностями рациональных чисел в принципе можно описать 1)Ес1ш п - номер измерения, а тп _ результат измерения, то соответствие п ›-+ азп есть не что иное, как функция _/ : Ы -› К натурального аргумента, т. е., по определе- нию, последовательность (в данном случае последовательность чисел). Подробному изучению числовых последовательностей посвящен Ё 1 гл. ІІІ.
52. вАжнвйшив клАссы двйствитвльных чисвл 67 все множество вещественных чисел, построив после должного анализа математическую копию или, лущце сказать, модель того, что делают с числами люди, не подозревающие об их аксиоматическом описании. А они вместо сложения и умножения неизвестных им измеряемых ве- личин складывают и умножают их приближенные значения (не всегда, правда, умея сказать, какое отношение имеет результат таких дей- ствий к тому, что получилось бы, если бы эти действия производились с точными значениями величин; ниже мы обсудим этот вопрос). Отождествив число с последовательностью его приближенных зна- чений, мы, таким образом, желая, например, сложить два чиела, долж- ны складывать последовательности их приближенных значений. Полу- чающуюся при этом новую последовательность чисел надо считать но- вым числом, называемым суммой первых двух. Но число ли это? Дели- катность вопроса состоит в том, что не каждая случайным образом по- строенная последовательность служит последовательностью сколь угодно точных приближений некоторой величины. То есть необходи- мо еще научиться по самой последовательности узнавать, представля- ет она некоторое чис.ло или нет. Другой вопрос, который возникает при попытке математического копирования операций с приближенны- ми числами, состоит в том, что разные последовательности могут быть последовательностями приближений одной и той же величины. Соотно- шение между последовательностями приближений, определяющими чи- сло, и самими числами примерно такое же, как между точкой на карте и указкой, которая указывает нам эту точку. Положение указки опре- деляет точку, но точка определяет положение только конца указки, не мешая взять указку по-другому, поудобнее. Этим вопросам дал точное описание и реализовал всю намеченную здесь в общих чертах программу построения модели вещественных чи- сел еще О. Коши1). Надо надеяться, что после изучения теории преде- лов вы будете в состоянии самостоятельно повторить эти конструкции Коши. Сказанное до сих пор, разумеется, не претендует на математиче- скую строгость. Цель этого неформального отступления -обратить внимание читателя на принципиальную возможность одновременного существования различных естественных моделей действительных чи- 1)О.Коши (1789-1857) -французский математик, один из наиболее активных творцов современного языка и аппарата классического анализа.
68 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА сел; я пытался также дать некоторое представление об отношении чи- сел к тому, что нас окружает, и пояснить фундаментальную роль нату- ральных и рациональных чисел; наконец, мне хотелось показать есте- ственность и необходимость приближенных вычислений. Последующая часть настоящего пункта посвящена используемым в дальнейшем и представляющим самостоятельный интерес простым, но важным оценкам погрешностей, возникающих при арифметических операциях над приближенными величинами. Переходим к точным формулировкам. Определение 9. Если из-точное значение некоторой величины, а Ё-известное приближенное значение той же величины, то числа А(Ё) := |а: - :ї:|, 5(53) := %%2 называются соответственно абсолютной и относительной погрешно- стью приближения 55. Относительная погрешность при Ё = О не опре- делена. Поскольку значение 11: неизвестно, значения А(:Ъ) и б также не- известны. Однако обычно бывают известны оценки сверху А(5й) < А, б(:Е) < 6 этих величин. В этом случае говорят, что абсолютная или относительная погрешность приближения 5: не превосходит А или 5 со- ответственно. На практике приходится иметь дело только с оценками погрешностей, поэтому сами величины А и 5 часто называют абсо- лютной и относительной погрешностями приближения, но мы этого делать не будем. Запись аг: = ЕЕ ± А означает, что 5: - А < < 55 + А. Например, гравитационная постоянная Є = (б,67259 ± 0,00085) - 1041 Н - м2/кг2, скорость света в вакууме с = 299792458 м / с (точно), постоянная Планка іъ = (6,62бО755 ± 0,0000040) - 10'34 Дж - с, заряд электрона е = (1,6021773З ± 0,00000049) - 10'19 Кл, масса покоя электрона те = (9,1093897 ± 0,0000054) - 10“31 кг. Основным показателем точности измерения является величина от- носительной погрешности приближения, обычно выражаемая в процен- тах. Н
5,2. в/ыжнвйшив клАссы двйствитнльных чисвл Так, в приведенных примерах относительные погрешности не пре- ВОСХОДЯТ СООТВЄТСТВЄННО 1з~1о-5; 0; 6.104; 31.10-8; 6.10-7 или, в процентах от результата измерения, 1з~1о-3%; 0%; 6-10-5%; 31.10-6%; 6.10-5%. Оценим теперь погрешности, возникающие при арифметических операциях с приближенными величинами. Утверждение. Если ІШ - 521 = А(<ї)› Іу - ўі = А(ў)› ТПО Щї +17) ==|(1= + 11)- (її +ў)| < Щї) + Щў щгв-~== --гг.~<дэА* ~А~ ^'- ~ у) ІШ у 1/ІІ І (1/)+Іг/І (=г)+А(Ш) Щи); (2) ЄС./ГЦ, КРОМЕ 772080, ТП А(:ї:) сс ЕЕ: азў-уаї у у 3/ Ё/ЁЧ .. .. А 2/#0, 2/#0 И д(у)=-П%і<1, О Ач А(:с)__ а: 5: ў ° :</ ў < |:г|А<@› +1ў|А<г=› 1 _ 112 1 - до) <Пусть:с=іЁ+а,у=ў+В. Тогда А(ї1+ў)=|(Ш+у)-(5д+ў)І=|<1+дІ < І01І+ІдІ=А(5їг)+А(ў Щід-ў) = Іту-їўі = |(1ї1+<1)(ў+д)-їўі = = |=ї=д+ў<1+@/3| < |ї|І5|+|ў||<1|+|а5| = = І5дІА(ў) + ІўІА(ї) + Щїї) ' Щў) _; і і ї _-її ї- ї- і і Ар Ак дч »Ч =<г+<›1›ў-<;д+в›$_' 1 '<<ї›|ш|+ш|1а|, 1 2 112 1+/на * гг 1-акт _ І51ІА(ў)+ІўІА(ї) 1 172 1 - д(ў)' )› (1) ), Р
70 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА Из полученных оценок абсолютных погрешностей вытекают следу- ющие оценки относительных погрешностей: І52 + ўі 7 д(1ї1~ў) < д(ї) +д(ў)+д(д5)'д(ў)› (2') 1) < (31) ~ 1 - 5 (127) На практике, при работе с достаточно хорошими приближениями, А(:Е) - А(ў) ш 0, б(:Ъ) - б(ў) ю 0, 1 - б(ў) т 1, поэтому пользуются со- ответствующими упрощенными, полезными, но формально неверными вариантами формул (2), (З), (2'), (3'): А(1ї1°ў) < |5д|А(ў) + Іў|А(1їг)› Ії=ІА(ў); ІўІА(=ї) д(=ї=+ў) < <>› /'Ж ЧЄН А Т < ~ э 5(Ё'ў) < 5(515) +5(ў)› д < дог) + яд). Формулы (3), (З') показывают, что надо избегать деления на близ- кие к нулю или довольно грубые приближения, когда ў или 1 -5(ў) малы по абсолютной величине. Формула (1') предостерегает от сложения приближенных величин, если они близки по абсолютной величине и противоположны по знаку, поскольку тогда |:ї: + ў| близко к нулю. Во всех этих случаях погрешности могут резко возрасти. Например, пусть ваш рост дважды измерили некоторым прибором. Точность измерения ±0,5 см. Перед вторым измерением вам под ноги подложили лист бумаги. Тем не менее может случиться, что результаты измерений будут такими: Н1 = (200 ± 0,5) см и Н2 = (199,8 ± 0,5) см соответственно. Таким образом, бессмысленно искать толщину бумаги в виде разно- сти Н2 - Н 1, из которой только следует, что толщина не больше 0,8 см, что, конечно, очень грубо отражает (если это вообще можно назвать «отражает››) истинное положение вещей.
52. вАжнвйшив клАсоь1 двйствитвльньш чиовл 71 Стоит, однако, обратить внимание и на другой, более оптимистич- ный вычислительный эффект, благодаря которому грубыми приборами удается провести сравнительно тонкие измерения. Например, если на том приборе, где только что измерили ваш рост, измерили высоту пач- ки в 1000 листов той же бумаги и получили результат (20 ± 0,5) см, то толщина одного листа (0,02±0,0005) см = (0,2±0,005) мм, что вытекает из формулы То есть с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,005 мм, толщина одного листа равна 0,2 мм. Относительная погрешность этого измерения не превышает 0,025 или 2,5%. Эту идею можно развить и предложить, например, способ выделе- ния слабого периодического сигнала из превышающих его случайных радиопомех, называемых обычно белым шумом. с. Позиционная система счисления. Выше говорилось о том, что каждое число можно задать последовательностью приближающих его рациональных чисел. Теперь напомним важный в вычислительном отношении метод, ко- торый позволяет единообразно для каждого действительного числа строить такую последовательность рациональных приближений. Этот метод ведет к позиционной системе счисления. Лемма. Если фиксировать число (1 > 1, то для любого положи- тельного числа а: Є К найдется и притом единственное целое число /є Є 2 такое, что Ч/<-1 < Ш < Чи. 4 Проверим сначала, что множество чисел вида од, із Є Щ, не огра- ничено сверху. В противном случае оно имело бы верхнюю грань з и по определению верхней грани нашлось бы натуральное число т Є М та- кое, что Ё < от < з. Но тогда з < с1т+1 и з-не верхняя грань нашего множества. Поскольку 1 < (1, то от < 9 при т < п, т, п Є 2, поэтому мы заод- но показали, что для любого числа с Є К найдется такое натуральное число П Є Ш, что при любом натуральном п > 1/` будет с < Ч. Отсюда вытекает, что для любого числа Є > 0 найдется число М Є Щ такое, что при всех натуральных т > М будет Ёп- < Є. Действительно, достаточно положить с = Ё, а ]/` = М; тогда Ё < от при т > М.
72 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Итак, множество целых чисел т Є 2, удовлетворяющих неравен- ству а: < от при 11: > 0, ограничено снизу. Тогда в нем есть минималь- ный элемент /с, который, очевидно, и будет искомым, так как для него Іє-1 Іс (1 < ап < (1 . Единственность такого целого числа /с следует из того, что если т, п Є Ж и, например, т < п, то т < п - 1, и поэтому если (1 > 1, то -1 чт < Ч - Действительно, из этого замечания видно, что неравенства є1'”'1 < -1 -1 < а: < от и 9” < ат < с1'', из которых следует 9 < аг < от, несо- вместны при т ;Ь п. Ь Воспользуемся этой леммой в следующей конструкции. Фиксируем (1 > 1 и возьмем произвольное положительное число а: Є К. По лемме найдем единственное число р Є И такое, что ар < 111 < <1р+1- (1) Определение 10. Число р, удовлетворяющее соотношению (1), называется порядком число 1: по основанию (1 или (при фиксирован- ном (1) просто порядком числа аз. По принципу Архимеда найдем единственное натуральное число ар Є М такое, что аРЧр < 1” < 04рЧр + Чр- (2) Учитывая (1), можно утверждать, что ар Є {1, . . . ,Ч - 1}. Все дальнейшие шаги нашего построения будут повторять тот шаг, который мы сейчас сделаем, исходя из соотношения Из соотношения (2) и принципа Архимеда следует, что существует и притом единственное число о<р_1 Є {0, 1, . . . ,(1 - 1} такое, что - -1 -1 %$+%ч$1<Ш<%$+%ч$ +$ - (Ю Если уже сделано п таких шагов и получено, что арор + а,,_1<1р_1 + . .. + огр_.,,(1р_ < < ш < огрор + ог,,_1с1р1+...+ а,,_п9р_ + (1р`',
52. вюкнвйшив клАссы двйствитвльных чисвл 73 то по принципу Архимеда найдется единственное число а,,_т,,_1 Є Є {0, 1, . . . ,(1 -1} такое, что - - -1 _ - -1 _ -1 $113 < арс1р+...+ар_пс1р +ар_п_1с1р +91” . Таким образом, указан алгоритм, по которому положительному чи- слу Ш однозначно ставится в соответствие последовательность чисел ог,,,огр_1,...,оєр_п,... из множества {0, 1,. . . ,(1-1} или, менее формаль- НО, ПОСЛЄДОВЗТЄЛЬНОСТЬ РЕЪЦИОНЭЛЬНЫХ ЧИСЄЛ 'Гп СПЄЦИЗЛЬНОГО ВИДЗД тп = огрцр + . . . + ар_т,,<1р`', (4) ПРИЧЄМ ТЕЪК, ЧТО «~,,<$<1~,,+%. (5) Ч Иными словами, мы строим всё лучшие приближения снизу и сверху для числа сс посредством специальной последовательности рациональ- ных чисел Символ ар . . _ а,,_,,... есть шифр всей последователь- ности Чтобы по нему можно было восстановить последователь- ность {тп}, необходимо как-то отметить величину р _ порядок числа 113. Условились при р 2 0 после ад ставить точку или запятую; при р < 0 слева от ар дописывать |р| нулей и после крайнего левого ставить точку или запятую (Напомним, что ар 79 0). Например, при (1 ; 10 123,45 ==1-102+2.1о1 +з.10°+4.1о-1 +5-10-2, о,0о12з =_ 1 . 10-3 + 2 - 1о'4 + з . 105; при (1 = 2 1ооо,оо1 == 1 . 23 +1 -2-3. Таким образом, значение цифры в символе ар . . . о:,,_п . . . зависит от позиции, которую она занимает по отношению к точке или запятой. После этого соглашения символ ар . . _ ао, . .. позволяет однозначно восстановить всю последовательность приближений. Из неравенств (5) видно (проверьте!), что двум различным числам сс, :1:' отвечают различные последовательности {тп}, {т*;,}, а значит, и разные символы о<р...ог0,..., ог;,...огЬ,...
74 гл. п. двйствитвльныв (ввщвстввнныв) числА Теперь решим вопрос, всякому ли символу вида ар . . . ад, . . . отвеча- ет некоторое число 1: Є К. Оказывается, нет. Заметим, что в силу описанного алгоритма последовательного по- лучения чисел ар_п Є {0, 1,. . . ,(1 - 1} не может случиться так, что все они, начиная с некоторого, будут одинаковы и равны (1 - 1. Действительно, если при п > /є тп : арЧр + ~ - - + ар-ІсЧр_К + (Ч _1)Чр_К_1+ ° ° ° + (Ч _1)Чр_п› т.е. т'п=Т';;+-'Ь-'-&- (6) ч”Р чР” то в силу (5) 'І;с+_Ь--Ь-<:1З<Т';с+-Ь. ч”” чР ч*“Р Тогда для любого п > І: 0 < 'Гіє + -Ь - (ІІ < -і-, ч”Р ч”” что, как мы знаем из доказанной выше леммы, невозможно. Полезно также отметить, что если среди чисел огр_ ;с_1, . . . ,о<,,_п хотя бы одно меньше (1 - 1, то вместо (6) можно написать, что 1 1 'Г'»г,,<'Ґ'1<;'*-Е-СЧ*-ї_:'І; или, что то же самое, 1~,,+д;,%<»г,,+2д%_,-. (7) Теперь мы в состоянии доказать, что любой символ ап . . . ад, . . . , со- ставленный из чисел ад Є {О, 1, . . . ,(1 - 1}, в котором как угодно далеко встречаются числа, отличные от (1 - 1, соответствует некоторому числу :в 2 О. В самом деле, по символу ар . . . ар_,, . .. построим последователь- ность {*г,,,} вида В силу того, что то < *г1 < < тп < ..., а также учитывая (6) и (7), имеем 1 1 1 'Г0<11<...<...<...<Тп+Ё<...<'ї`1+дїІ;<'І0+;;)-.
Ё2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЬІ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІХ ЧИСЕЛ 75 Знак строгого неравенства в последнем соотношении следует по- нимать так: любой элемент левой последовательности меньше любого элемента правой последовательности. Это вытекает из Если теперь взять 1: = Ѕир тп (= іпЁ('г,,,+с_Г(“_р))), то последователь- пЄЫ Є ность тп будет удовлетворять условиям (4), (5), т. е. символ ар . . . о<р_п . . отвечает найденному числу :1: Є К. Итак, каждому положительному числу 11: Є К мы взаимно однознач- но сопоставили символ вида ар . . . 040, . _ . , если р 2 0, или 0,0 . . . 0 ар . . ., |р| нулей если р < 0. Он называется 9-ичной позиционной записью числа аг; циф- ры, входящие в символ, называют знаками; позиции знаков относитель- но запятой называются разрлдами. Числу ш < 0 условимся сопоставлять взятый со знаком минус символ положительного числа -гс. Наконец, числу 0 отнесем символ 0,0 . . . 0 . . . Тем самым завершено построение позиционной (1-ичной системы за- писи дєйствительньш: чисел. Наиболее употребительными являются десятичная система (в оби- ходе) и по техническим причинам двоичная (в электронных вычисли- тельных Менее распространены, но также используются в элементах вычислительной техники троичная и восьмеричная системы. Формулы (4), (5) показывают, что если в (1-ичной записи числа :1: оставить только конечное число знаков (или, если угодно, заменить остальные знаки нулями), то абсолютная погрешность получающегося при этом приближения (4) числа аг не превысит единицы последнего сохраняемого разряда. Это наблюдение позволяет в соответствии с полученными в под- пункте Ь формулами оценивать погрешности, возникающие при ариф- метических операциях над числами в результате замены точных зна- чений чисел соответствующими приближенными значениями вида Последнее замечание имеет также определенную теоретическую ценность. А именно, если в соответствии с идеей подпункта Ь мы ото- ждествим вещественное число а: с его (1-ичной записью, то, научившись выполнять арифметические действия непосредственно над (1-ичными символами, мы построим новую модель действительных чисел, по-ви- димому, наиболее ценную с вычислительной точки зрения. Основные задачи, которые пришлось бы решать на этом пути, та- ковы.
76 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА Надо двум Ч-ичным символам поставить в соответствие новый сим- вол-сумму исходных. Он, естественно, строится постепенно, а имен- но, складывая все более точные рациональные приближения исходных чисел, будем получать соответствующие рациональные приближения их суммы. Пользуясь сделанным выше замечанием, можно показать, что по мере увеличения точности приближений слагаемых мы будем получать все больше таких (1-ичных знаков суммы, которые уже не ме- няются при последующем уточнении приближений. Тот же вопрос надо решать и относительно умножения. Другой, менее конструктивный путь перехода от рациональных чи- сел ко всем действительным числам принадлежит Дедекинду. Дедекинд отождествляет действительное число с сечением в мно- жестве @ рациональных чисел, т. е. с разбиением <@ на два не имеющих общих элементов множества А, В таких, что 7'а Є А їЬ Є В (а < Ь). При таком подходе к действительным числам принятая нами аксиома полноты (непрерывности) становится известной теоремой Дедекинда. По этой причине аксиому полноты в принятой нами форме часто на- зывают аксиомой Дедекинда. Итак, в настоящем параграфе выделены важнейшие классы чисел. Показана фундаментальная роль натуральных и рациональных чисел. Показано, как из принятой нами аксиоматики1) вытекают основные свойства этих чисел. Дано представление о различных моделях множе- ства действительных чисел. Обсуждены вычислительные аспекты тео- рии действительных чисел: оценки погрешностей при арифметических операциях с приближенными величинами; (1-ичная позиционная система счисления. Задачи и упражнения 1. Опираясь на принцип индукции, покажите, что а) сумма 1:1 + . . . + 112,, вещественных чисел определена независимо от рас- становки скобок, предписывающих порядок сложения; Ь) то же для произведения :в1 . . .а:п; с) |:с1+...+:вп| < |а:1|+...+|:1:т,|; (1) |а:1...а:,,| = 1) Почти в приведенном вьппе виде она была сформулирована на рубеже ХХ века Гильбертом; см., например, в кн.: Гильб ер т Д. Основания геометрии. М.: Гостех- издат, 1948. (Добавление /'І: О понятии числа.)
52. вАжнвйшив кллссы двйствитв.льнь1х чисвл 17 Є) ((т›ПЄЫ)^(т<п))=>((п-т)Єїї); Ґ) (1 + 513)” 2 1 + па: при а: > -1 и п Є Ы, причем равенство возможно либо при п = 1, либо при 11: = О (неравенство Берну./или); п_ п 'П п-1 'П/'П-1 п-22 'П/П-1' '2 п-1 п 5)(а+Ь) _.а +да ь+-їдг-їа Ь+...+і7ї$%а,Ь +ь (бином Ньютона). 2. а) Проверьте, что Ж и <@-индуктивные множества. Ь) Приведите примеры индуктивных множеств, отличных от М, 2, <@, К. 3. Покажите, что любое индуктивное множество не ограничено сверху. 4. а) Любое индуктивное множество бесконечно (т. е. равномощно своему подмножеству, отличному от него самого). Ь) Множество ЕП, = {а: Є Ш | а: < п} конечно (сагсї Еп обозначают через п). 5. а) Алгоритм Евклида. Пусть т, п Є Ы и т > п. Наибольший общий де- литель (НОД(т, п) = сі Є М) можно за конечное число шагов найти, пользуясь следующим алгоритмом Евклида последовательного деления с остатком: т=<11п+'/'1 (п <п), п=с121'1 +1*2 (Т2 <*г1), Т1 = Чз1'2 + 'Гз (Та < 1'2)› ть-1 = Ч/=+11'ь + 0, И 61 = Тдд. Ь) Если сі = НОД(т,п), то можно подобрать числа р, 11 Є Ё так, что рт + Чп = сі; в частности, если т, п взаимно просты, то рт + (111, = 1. 6. Попробуйте самостоятельно доказать основную теорему арифметики (формулировка в тексте Ё2, п. 2а). 7. Если произведение т - п натуральных чисел делится на простое число р, т.е. т -п = р- Іс, где І: Є М, то либо т, либо п делится на р. 8. Из основной теоремы арифметики следует, что множество простых чи- сел бесконечно. 9. Покажите, что если натуральное число п не имеет вида Іст, где Іє, т Є Щ, то уравнение шт = п не имеет рациональных корней. 10. Покажите, что запись рационального числа в любой (1-ичной системе счисления периодична, т. е., начиная с некоторого разряда, состоит из перио- дически повторяющейся группы цифр. 11. Иррациональное число а Є ІК назовем азорошо приближаемым рацио- нальными числами, если для любых натуральных чисел п, 1ї Є Ы существует рациональное число Ё такое, что а - Ё < і. Ч Ч НЧ а) Постройте пример хорошо приближаемого иррационального числа.
78 гл. п. двйствитвльньш (ввщвстввнныв) числА Ь) Докажите, что хорошо приближаемое иррациональное число не может быть алгебраическим, т. е. оно трансцендентно (теорема Лиувил./ья1)). 12. Зная, что по определению дроби -11 := т ~ п“1, где т Є 2, п Є Ш, вывести «правила» сложения, умножения, деления дробей, а также условие ра- венства двух дробей. 13. Проверьте, что рациональные числа (12 удовлетворяют всем аксиомам действительных чисел, кроме аксиомы полноты. 14. Принимая геометрическую модель множества действительных чи- сел -числовую ось, покажите, как в этой модели строить числа а + Ь, а - Ь, ад, %. 15. а) Проиллюстрируйте аксиому полноты на числовой оси. Ь) Докажите, что принцип верхней грани зквивалентен аксиоме полноты. 16. а) Если А С В С К, то ЅирА < зирВ, а іпі`А 2 іпїВ. Ь) Пусть1КЭХ7ЄИ и ІКЭУ;ЄИ.Если`9'а:ЄХ и 7'уЄУвыполнено ат < у, то Х ограничено сверху, У-снизу и Ѕир Х < іпї У. с) Если множества Х, У из Ь) таковы, что Х Ы У = К, то зирХ = іпї У. (1) Если Х, У -множества, определенные в с), то либо 3п1ахХ, либо 3 шіп У (теорема Дедекинда). е) (Продолжение.) Покажите, что теорема Дедекинда эквивалентна акси- оме полноты. 17. Пусть А + В -множество чисел вида а + Ь и А - В -множество чисел вида а › Ь, где а Є А С ІК и Ь Є В С К. Проверьте, всегда ли а) Ѕир(А + В) = Ѕир А + ЅирВ; Ь) вир(А - В) = зирА - зирВ. 18. Пусть -А есть множество чисел вида -а, где а Є А С К. Покажите, что Ѕир(-А) = - іпїА. 19. а) Покажите, что уравнение 9: = а при п Є Ы и а > О имеет положи- тельный корень (обозначаемый {'/Е или а1/ Ь) Проверьте, что при а > 0, Ь > 0 и п, т Є М Ё*/сЁ= Ё/д' Ё?/Б и К/:75= п°'{/Ё. с) ((11/) = (а')1/ =: ат/ и а1/-а,1/т = а1/+1/т. (1) (ат/)_1 = (а1)т/” =: а“т/. е) Покажите, что для любых 11, 1'2 Є <@ ат _а1~2 = а/г1+1-2 И (а1~1)т2 = а1~1«~2_ 20. а) Покажите, что отношение включения есть отношение частичной (но не полнойї) упорядоченности множеств. 1)Ж. Лиувил.ль (18О9- 1882) -французский математик; работы по комплексному анализу, геометрии, дифференциальным уравнениям, теории чисел, механике.
Ё2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЬІ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІХ ЧИСЕЛ 79 Ь) Пусть А, В, С-такие множества, что А С С, В С С, А В 55 И и ВА 7Є И. Частичный порядок в этой тройке введем, как в а). Укажите макси- мальный и минимальные элементы множества {А, В , С (Обратите внимание на неединственность!) 21. а) Покажите, что так же, как и множество ((2 рациональных чисел, множество Ё) чисел вида а + 1›/Ё, где а, Ь Є @, а п-фиксированное на- туральное число, не являющееся квадратом целого числа, есть упорядоченное поле, удовлетворяющее принципу Архимеда, но не удовлетворяющее аксиоме полноты. Ь) Проверьте, какие из аксиом действительных чисел не будут удовлетво- ряться для @(/Ё), если в <@(/Ё) оставить прежние арифметические операции, а отношение порядка ввести по правилу (а + Ь/Ё < а' + Ь' := ((1) < Ь')/ /((1) = Ь') А (а < а' Будет ли тогда для @(/Ё) выполнен принцип Архимеда? с) Упорядочите множество 1Р°[а:] многочленов с рациональными или дей- ствительными коэффициентами, считая Р,,,(:с) =а0+а1:1:+...+а,,,:в >- 0, если ат > 0. (1) Покажите, что множество <@(а:) всех рациональных дробей В _(І0+СЪ1Ш+...+СЪтЅВт тд- Ь0-І-Ь1іІ7+...+ЬпІВп с коэффициентами из <@ или из К после введения в нем порядка Н,,,,,, > 0, если %'ї > 0, и обычных арифметических операций становится упорядоченным, но не архимедовым полем. Это означает, что принцип Архимеда не может быть выведен из аксиом К, минуя аксиому полноты. 22. Пусть п Є Ш и п > 1. В множестве Е,, = {0, 1, _ . .,п} определим сум- му и произведение элементов как остаток от деления на п «обычной» суммы и произведения этих чисел в К. Множество Е,, с так определенными в нем операциями обозначают символом 2,., а) Покажите, что если п не простое число, то в 2,, есть такие отличные от нуля числа т, Іс, что т- І: = 0. (Такие числа называются двлитв./шми нуля.) Это значит, что из а - Ь = с- Ь даже при Ь ,Е 0 в 2,, не следует, что а = с. Ь) Покажите, что при простом р в 2,, отсутствуют делители нуля и 2,, есть поле. с) Покажите, что ни при каком простом р поле 2,, нельзя упорядочить так, чтобы этот порядок был согласован с арифметическими операциями 2,,. 23. Покажите, что если К и Ш -две модели множества действительных чисел, а І: К -› Ш -такое отображение, что }(а:+у) = ]'(.т:)+]'(у) и ]`(:1:-у) = = _1'(:с) ~ у) для любых Ш, у Є К, то: 21) І = 0'; Ь) І (1 = 1', если І ї 0', что мы дальше будем считать выполненным; с) ](т) = т', где т Є 2 и т' Є 2', причем отображение І: 2 -› 2' биективно и сохраняет порядок; /5** ы/-//`~
80 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА (1) = %, где т,п Є Е, п уё 0, т',п' Є 2', п' уё 0', ]°(т) = т', І = п'. Таким образом, І : <@ -› (Ш есть сохраняющая порядок биекция. е) І : К -› 1К' есть биективное, сохраняющее порядок отображение. 24. Опираясь на предыдущую задачу и аксиому полноты, покажите, что аксиоматика множества действительных чисел определяет его полностью с точностью до изоморфизма (до способа реализации), т.е. что если В и Ш _ два множества, удовлетворяющие аксиоматике, то существует взаимно одно- значное отображение ] : К -› 1К' , сохраняющее арифметические операции и П0рЯд0К= і(Ш+у) = і(Ш)+і(у)› і(11'у) = і(<В)~1°(у) И (Ш < 1/)*#>(1'(т)< і(у))- 25. В ЭВМ число 1: представляется в виде Іє $=±ЧрЕ92, 'П п=1 Ч А где р-порядок 1:, а М = 2 %~мантисса числа сс (Ё < М < 1). 1 пї При этом машина оперирует только с определенным диапазоном чисел: при (1 = 2 обычно |р| < 64, а 1:: = 35. Оцените этот диапазон в десятичной СИСТЄМЄ . 26. а) Напишите таблицу умножения (размера 6 × 6) для шестеричной СИСТЄМЬІ СЧИСЛЄНИЯ. Ь) Пользуясь результатом задачи а), перемножьте «столбиком» в шесте- ричной системе (зз2)6 Х (145),, И ПРОВЄРЬТЄ СВОИ ДЄЙСТВИЯ, ПОВТОРИВ ВЬІЧИСЛЄНИЯ В ДЄСЯТИЧНОЙ СИСТЄМЄ. с) Поделите «уголком›› (1301)6|(25)6 и проверьте свои действия, повторив вычисления в десятичной системе. (1) Проведите сложение «столбиком» + (4052)6 (3125)6 27. Запишите (100)10 в двоичной и троичной системах. 28. а) Покажите, что наряду с единственностью записи целого числа в виде опал-1 - - . <1о)з, где щ Є {0, 1, 2}, возможна и также единственна его запись в виде где В Є {-1,0,1}. (/811/811-1 ° ° ~ /В0)3›
ЁЗ. ОСНОВНЬІЕ ЛЕММЬІ, СВЯЗАННЬІЕ С ПОЛНОТОЙ К 81 Ь) Каково наибольшее число монет, из которых тремя взвешиваниями на чашечных весах можно выделить одну фальшивую, если известно только, что она отличается от остальных монет по весу? 29. Какое наименьшее количество вопросов с ответами «да» или «нет» надо задать, чтобы узнать любой из семизначных телефонных номеров? 30. а) Сколько различных чисел можно задать с помощью 20 десятичных знаков (например, два разряда по 10 возможных знаков в каждом)? Тот же вопрос для двоичной системы. В пользу экономичности какой из этих систем говорит сравнение результатов? Ь) Оцените количество различных чисел, которые можно записать, распо- лагая п знаками (1-ичной системы. (О тве т: 11”/Ч.) с) Нарисуйте график функции І = 113/“” над множеством натуральных значений аргумента и сравните экономичность различных систем счисления. 53. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел Здесь мы установим несколько простых полезных принципов, каж- дый из которых можно было бы положить в основу построения теории вещественных чисел в качестве аксиомы полнотыї). ЭТИ ПРИНЦИПЫ МЬІ НЗЗВЗЛИ ОСНОВНЬІМИ ЛЄММЕІМИ В СООТВЄТСТВИИ С их широким использованием во всевозможных доказательствах теорем анализа. 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши- Кантора) Определение 1. Функцию 1“:Ії -› Х натурального аргумента называют последовательностью или, полнее, последовательностыо элементов множества Х. Значение 1” функции І, соответствующее числу п Є Щ, часто обо- значают через тп и называют п-м членом последовательности. Определение 2. Пусть Х1,Х2,...,Х,,,... -последовательность каких-то множеств. Если Х1 Э Х2 Э Э ХП Э ..., т.е. Чи Є М (Хп Э Х,,+1), то говорят, что имеется последовательность вложенныаз множеств. Лемма (Коши-Кантор). Для любой последовательности І1 Э Э І2 Э Э Іп І) вложенньш: отрезков найдетсл тонна с Є К, принадлежащая всем этим отрезнам. 1)См. задачу 4 в конце параграфа.
82 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА Если, кроме того, известно, что для любого е > 0 в последова- тельности можно найти отрезок Ід, длина которого |І;,,| < е, то с - единственная общая точка всея: отрезков. 4 Заметим прежде всего, что для любых двух отрезков Іт = [ат, Ьт], Іп = [а,,,, оп] нашей последовательности имеет место ат < оп. Действи- тельно, в противном случае мы получили бы ап < оп < ат < от, т. е. отрезки Іт, Іп не имели бы общих точек, в то время как один из них (имеющий больший номер) должен содержаться в другом. Таким образом, для числовых множеств А = {ат | т Є ї1}, В = = {Ьп | п Є 1ї} выполнены условия аксиомы полноты, в силу которой найдется число с Є К такое, что 7'ат Є А, 7'Ьп Є В выполнено ат < с < < оп. В частности, ап < с < оп для любого п Є Ы. Но это и означает, что точка с принадлежит всем отрезкам Іп. Пусть теперь с1 и сд _ две точки, обладающие этим свойством. Если они различны и, например, с1 < с2, то при любом п Є Ы имеем ап < с1 < < с2 < Ь.,-,,, поэтому О < с2 - с1 < оп - ап и длина каждого отрезка нашей последовательности не может быть меньше положительной величины с2 - с1. Значит, если в последовательности есть отрезки сколь угодно малой длины, то общая точка у них единственная. > 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега) Определение 3. Говорят, что система Ѕ = {Х} множеств Х по- крывает множество У, если У С Ц Х ,(т.е. если любой элемент у Х ЄЅ множества У содержится по краинеи мере в одном из множеств Х си- стемы Ѕ Подмножество множества Ѕ = {Х}, являющегося системой мно- жеств, будем называть подсистемой системы Ѕ. Таким образом, под- система системы множеств сама является системой множеств того же типа. Лемма (Борель-Лебег1)). В любой системе интервалов, покры- вающей отрезок, имеется коненнал подсистема, покрывающал этот отрезок. 1) Э. Борель (1871 -- 1956), А. Лебег (1875 - 1941) -- известные французские матема- тики, специалисты в области теории функций.
ЁЗ. ОСНОВНЫЕ ЛЕММЬІ, СВЯЗАННЬІЕ С ПОЛНОТОЙ К 83 4 Пусть Ѕ = {П} -система интервалов П, покрывающая отрезок [а, Ь] = І 1. Если бы отрезок І1 не допускал покрытия конечным набором интервалов системы Ѕ, то, поделив І 1 пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим через І2, тоже не допускает конечного покрытия. С отрезком 12 проделаем ту же процедуру деления пополам, получим отрезок І3 и т. д. Таким образом, возникает последовательность І1 Э І2 Э Э Іп Э Э . _ . вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интер- валами системы Ѕ. Поскольку длина отрезка, полученного на п-м ша- ге, по построению равна |І.,,| = |І1| - 2_“, то в последовательности {І,,} есть отрезки сколь угодно малой длины (см. лемму из Ё2, п. 4с). По лемме о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам Іп, п Є Ы. Поскольку с Є І1 = [а,Ь], то найдется интервал ]ск,Б[ = П Є Ѕ системы Ѕ, содержащий точку с, т.е. св < с < В. Пусть Є = шіп{с - си, В - с}. Найдем в построенной последовательности та- кой отрезок Іп, что |Іп| < є. Поскольку с Є І.,, и |І,~,,| < Є, заключаем, что Іп С Ґ] = ]а, Щ. Но это противоречит тому, что отрезок Іп нельзя покрыть конечным набором интервалов системы. Ь 3. Лемма 0 предельной точке (принцип Больцано-Вейер- штрасса). Напомним, что окрестностью точки а: Є К мы назвали ин- тервал, содержащий эту точку; 6-окрестностью точки ш-интервал ]а: - 5,11: + 5 Определение 4. Точка р Є ІК называется предельной точкой мно- жества Х С К, если любая окрестность этой точки содержит бесконеч- ное подмножество множества Х. Это условие, очевидно, равносильно тому, что в любой окрестности точки р есть по крайней мере одна не совпадающая с р точка множе- ства Х. (Проверьте!) Приведем несколько примеров. Если Х = Є К | п Є ІІ}, то предельной для Х является только точка 0 Є К. Для интервала ]а, Ь[ предельной является каждая точка отрезка [а, Ь], и других предельных точек в этом случае нет. Для множества <@ рациональных чисел предельной является каждая точка К, ибо, как мы знаем, в любом интервале вещественных чисел имеются рациональные числа.
84 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА Лемма (Больцано-Вейерштрассц). Всякое бесноненное ограни- ченное нисловое множество имеет по крайней мере одну предельную тонну. 4 Пусть Х -данное подмножество К. Из определения ограничен- ности множества Х следует, что Х содержится в некотором отрезке [о, Ь] = І С К. Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка І является предельной для Х. Если бы это было не так, то каждая точка ш Є І имела бы ок- рестность Ґ/`(а:), в которой либо вообще нет точек множества Х, ли- бо их там конечное число. Совокупность {П таких окрестностей, построенных для каждой точки 1: Є І, образует покрытие отрезка І интервалами П(:1:), из которого по лемме о конечном покрытии можно извлечь конечную систему І/(:с1), . . . , П интервалов, покрывающую отрезок І. Но, поскольку Х С І, зта же система покрывает все мно- жество Х. Однако в каждом интервале П только конечное число точек множества Х, значит, и в их объединении тоже конечное число точек Х, т. е. Х -конечное множество. Полученное противоречие за- вершает доказательство. Ь Задачи и упражнения 1. Покажите, что а) если І -произвольная система вложенных отрезков, то Ѕ11р{аЄШі|[а,Ь]ЄІ}=а<,В=іпї{ЬЄ1К|[а,Ь]ЄІ} и [а,В]= П [а,Ь]; [а,Ь]ЄІ Ь) если І - система вложенных интервалов ]а, Ь[, то пересечение П ]а, Ь[ ]а,І›[ЄІ МОЖЄТ 0КаЗа›ТЬСЯ ПУСТЬІМ. Указание: ]ап, Ьп[ = ]0, % 2. Покажите, что а) из системы отрезков, покрывающей отрезок, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот отрезок; Ь) из системы интервалов, покрывающей интервал, не всегда можно вы- делить конечную подсистему, покрывающую этот интервал; с) из системы отрезков, покрывающей интервал, не всегда можно выделить конечную подсистему, покрывающую этот интервал. 1)Б.Больцано (1781 - 1848) -- чешский математик и философ; К. Вейерштрасс (1815 -- 1897) - немецкий математик, уделявцшй большое внимание логическому обо- снованию математического анализа.
Ё4. СЧЕТНЬІЕ И НЕСЧЕТНЬІЕ МНОЖЕСТВА 85 3. Покажите, что если вместо полного множества К всех вещественных чисел взять только множество <@ рациональных чисел, а под отрезком, интер- валом и окрестностью точки 1* Є <@ понимать соответствующие подмноже- ства @, то ни одна из доказаннь1х выше трех основных лемм не останется в силе. 4. Покажите, что если в качестве аксиомы полноты множества действи- тельных чисел взять а) принцип Больцано-Вейерштрасса или Ь) принцип Бореля-Лебега, то получится равносильная прежней система аксиом К. Указ ание. Из а) следует принцип Архимеда и аксиома полноты в преж- ней форме. с) Замена аксиомы полноты принципом Коши -- Кантора приводит к систе- ме аксиом, которая становится равносильной исходной, если кроме принципа Коши-Кантора постулировать также принцип Архимеда (см. задачу 21 пре- дыдущего параграфа). Ё4. Счетные и несчетные множества Сейчас мы сделаем небольшое, полезное для дальнейшего добавле- ние к тем сведениям о множествах, которые уже были изложены в гла- ве І. 1. Счетные множества Определение 1. Множество Х называется снетным, если оно равномощно множеству Щ натуральных чисел, т. е. сагс1Х = саг<1її. Утверждение. а) Бесконечное подмножество снетноео множе- ства снетно. Ь) Объединение множеств конечной или снетной системы счет- ньш: множество есть множество снетное. 4 а) Достаточно проверить, что всякое бесконечное подмножест- во Е множества Ы натуральных чисел равномощно Щ. Нужное биектив- ное отображение І : М -› Е построим следующим образом. В Е1 := Е имеется минимальный элемент, который мы сопоставим числу 1 Є Ы и обозначим е1 Є Е. Множество Е бесконечно, поэтому Е2 :_ Е е1 непу- сто. Минимальный элемент множества Е2 сопоставим числу 2 и назо- вем его е2 Є Е2. Затем рассмотрим Е3 := Е {е1,е2} и т. д. Поскольку Е -бесконечное множество, то построение не может оборваться ни на
86 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА каком шаге с номером п Є Ы, и, как следует из принципа индукции, таким способом каждому числу н Є Ы будет сопоставлено некоторое число еп Є Е. Построенное отображение І : Ы -› Е, очевидно, инъек- тивно. Остается проверить его сюръективность, т. е. что ]°(І1) = Е. Пусть е Є Е. Множество {н Є Щ | н < е} конечно, и тем более конечно его подмножество {п Є Е | п < е}. Пусть /с-число элементов в последнем множестве. Тогда по построению е = ед. Ь) Если Х 1, . . . ,Х.,,, . . . _ счетная система множеств, причем каждое множество Хт = {:1:},,, . . . ,а:%, . . . } само счетно, то поскольку мощность множества Х = Ц Хп, состоящего из элементов а:І';,, где т, п Є Щ, не пЄІІ меньше мощности каждого из множеств Хт, то Х -бесконечное мно- жество. Элемент а:}';., Є Хт можно отождествить с задающей его упоря- доченной парой (т, н) натуральных чисел. Тогда мощность Х не боль- ше мощности множества таких упорядоченных пар. Но отображение І: ІІ× М -› М, задаваемое формулой (т, н) 1 › (т + п _ 2);т + П _ 1) +т, как легко проверить, биективно (оно имеет наглядньш смысл: мы нуме- руем точки плоскости с координатами (т, п), последовательно переходя от точек одной диагонали, где т + н постоянно, к точкам следующей, где зта сумма на 1 больше). Таким образом, множество упорядоченных пар (т, н) натуральных чисел счетно. Но тогда саг<1Х < саг<1Ії и, поскольку Х -бесконечное множество, на основании доказанного в а) заключаем, что сагс1Х = = сагс1Ії. Р Из доказанного утверждения следует, что любое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно. Если про множество известно, что оно либо конечно, либо счетно, то говорят, что оно не более чем счетно (равносильная запись: сагс1Х < саг<:1ІІ). Мы можем, в частности, утверждать теперь, что объединение не более чем счетного семейства не более чем счетныш множеств само не более чем счетно. Следствия. 1) сагсії = са1°<:1ІІ. 2) сагсі ІҐ2 = саг(1ї1. Этот результат означает, что прямое произведение счетных мно- жеств счетно. 3) саг<і<@ = сагс1ї1, т. е. множество раиионольныш чисел счетно.
Ё4. СЧЕТНЬІЕ И НЕСЧЕТНЬІЕ МНОЖЕСТВА 87 4 Рациональное число Ё задается упорядоченной парой (т,п) це- лых чисел. Две пары (т, п), (т/, п') задают одно и то же рациональное число в том и только в том случае, когда они пропорциональны. Таким обра- зом, выбирая каждый раз для записи рационального числа единствен- ную пару (т,п) с минимальным возможным натуральным знаменате- лем п Є М, мы получим, что множество @ равномощно некоторому бесконечному подмножеству множества 2 × 2. Но са1'с122 = сагс1Ії и, значит, сагс1<@_= сагс1Ії. > 4) Множество олгебраичєскиа: чисел счетно. 4 Заметим сначала, что из равенства сагсі <@ × <@ = сагсі Ы по индук- ции получаем, что для любого Ё: Є Ы выполнено саг<і<@'° = сагс1ІІ. Элемент 1 Є @7“ есть упорядоченнь1й набор ('г1, . . . ,*г;,) /<: рациональ- ных чисел. Алгебраическое уравнение степени Іс с рациональными коэффициен- тами можно записать в приведенном виде тк + 'г1:с,“_1 + . . . + тд = 0, где коэффициент при старшей степени равен 1. Таким образом, различных алгебраических уравнений степени К столько же, сколько различных упорядоченных наборов (т1,. . . ,1*;,) рациональных чисел, т.е. счетное множество. Алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами (про- извольных степеней) тоже счетное множество как счетное объединение (по степеням) счетных множеств. У каждого такого уравнения лишь ко- нечное число корней, значит, множество алгебраических чисел не более чем счетно. Но оно бесконечно и, значит, счетно. Ь 2. Мощность континуума Определение 2. Множество К действительных чисел называют также числовым континуу./иом1), а его мощность -- мощностью кон- тинуума. Теорема (Кантор). сагс1Ш < саг<1ІК. Теорема утверждает, что бесконечное множество ІК имеет мощность большую, чем бесконечное множество Ы. 1)Сопі:іп1111п1 (/шт.) _ непрерывное, сплошное.
88 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЬІЕ) ЧИСЛА 4 Покажем, что уже множество точек отрезка [0, 1] несчетно. Предположим, что оно счетно, т.е. может быть записано в виде последовательности а:1,з:2,...,:1:,,,,... Возьмем точку :в1 и на отрезке [0, 1] = І0 фиксируем отрезок ненулевой длины, не содержащий точ- ку 1131. В отрезке І1 строим отрезок І2, не содержащий шг, и если уже построен отрезок Іп, то, поскольку |І,,| > 0, в нем строим отрезок І,,+1 так, что :вп+1 Є І,,+1 и |ІТ,,+1| > 0. По лемме о вложенных отрезках най- дется точка с, принадлежащая всем отрезкам 10,11, . . . ,Іп, . .. Но эта точка отрезка І0 = [0, 1] по построению не может совпадать ни с одной из точек последовательности :1:1,:1:2, . . . ,а:,,,, . . . > Следствия. 1) <@ дё К и существуют иррациональные числа. 2) Существуют трансцендентные числа, поскольку множество алгебраическиа: чисел счетно. (После решения задачи 3, помещенной в конце параграфа, читатель, наверное, захочет переиначить последнее утверждение и сформулиро- вать его так: «В множестве действительных чисел иногда встречаются также и алгебраические числа››.) Уже на заре теории множеств возник вопрос о том, существуют ли множества промежуточной мощности между счетными множествами и множествами мощности континуума, и было высказано предположение, называемое еипотезой континуума, что промежуточные мощности от- сутствуют. Вопрос оказался глубоко затрагивающим основания математики. Он был окончательно решен в 1963 г. современным американским мате- матиком П. Козном. Коэн доказал неразрешимость гипотезы контину- ума, показав, что и она сама, и ее отрицание порознь не противоречат принятой в теории множеств аксиоматике, а потому гипотеза конти- нуума не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках зтой ак- сиоматики, -ситуация, вполне аналогичная независимости пятого по- стулата Евклида о параллельных от остальных аксиом геометрии. Задачи и упражнения 1. Покажите, что множество всех действительных чисел равномощно мно- жеству точек интервала ]-1, 1[. 2. Установите непосредственно взаимно однозначное соответствие между а) точками двух интервалов; Ь) точками двух отрезков;
Ё4. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЬІЕ МНОЖЕСТВА 89 с) точками отрезка и интервала; (1) точками отрезка [0, 1] и множеством ІК. 3. Покажите, что а) любое бесконечное множество содержит счетное подмножество; Ь) множество четных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел; с) объединение бесконечного множества и не более чем счетного множе- ства имеет ту же мощность, что и исходное бесконечное множество; (1) множество иррациональных чисел имеет мощность континуума; е) множество трансцендентных чисел имеет мощность континуума. 4. Покажите, что а) множество {п1 < п2 < возрастающих последовательностей нату- ральных чисел равномощно множеству дробей вида 0,а1а2 . . . ; Ь) множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность кон- тинуума. 5 . Покажите, что а) множество 77(Х) подмножеств множества Х равномощно множеству всех функций на Х со значениями 0,1, т. е. множеству отображений І : Х -› -› {0,1}; Ь) для конечного множества Х из п элементов сагсі 17(Х) = 2; с) учитывая результаты задач 4Ь) и 5а), можно писать, что са1'<ҐР(Х) = = 2°а“1Х и, в частности, сагс1'Р(І1) = 2°а“Щ = сагсі К; (1) для любого множества Х саг<іХ < 2°а“*Х, в частности, п < 2 при любом п Є Щ. Указание. См. теорему Кантора в п. 1 Ё4, гл.І. 6. Пусть Х 1, . . . ,Хт --конечная система конечных множеств. Покажите, что 'ГП сапі Х,> = 2саг<іХ,1 - 2 1 1,1 _ 2 С&Г(1(Хі1 П + Е С8.Гд(Хі1 Ґ) Хі2 Ґ) _ і1<і2 і1<і2<і3 -...+(-1)т1саг<1(Х1п...пХ,.,,), причем суммирование ведется по всевозможным наборам индексов в пределах 1, . . . ,т, удовлетворяющих указанным под знаком суммы неравенствам.
90 ГЛ. ІІ. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЬІЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА 7. На отрезке [0, 1] С ІК изобразите множество чисел из Є [0,1], троичная запись которых ш = 0,а1а2а3 . . . , где щ Є {0, 1, 2}, обладает свойством: 3) 011 75 1; Ь) (011 9* 1) ^ (02 7* 1); с) 7'1І Є М (ад дё 1) (канторово множество). 8. (Продолжение задачи 7.) Покажите, что а) множество тех чисел ш Є [0, 1], троичная запись которых не содержит 1, равномощно множеству всех чисел, двоичное представление которых имеет ВИД 0›д1д2---З Ь) канторово множество равномощно множеству всех точек отрезка [0, 1].
ГЛАВА ІІІ ПРЕДЕЛ Обсуждая различные стороны понятия действительного числа, мы, в частности, отметили, что при измерении реальных физических ве- личин получаются последовательности их приближенных значений, с которыми затем и приходится работать. Такое положение дел немедленно вызывает по крайней мере три сле- дующих вопроса: 1) Какое отношение имеет полученная последовательность прибли- жений к измеряемой величине? Мы имеем в виду математическую сто- рону дела, т. е. мы хотим получить точную запись того, что вообще означает выражение «последовательность приближенных значений» и в какой мере такая последовательность описывает значение величины; однозначно ли это описание или одна и та же последовательность мо- жет отвечать разным значениям измеряемой величины. 2) Как связаны операции над приближенными значениями величин с теми же операциями над их точными значениями и чем характеризу- ются те операции, при выполнении которых допустима подмена точных значений величин приближенными? 3) Как по самой последовательности чисел определить, может ли она быть последовательностью сколь угодно точных приближений значения некоторой величины? Ответом на эти и близкие к ним вопросы служит понятие предела функции-одно из основных понятий анализа. Изложение теории предела мы начнем с рассмотрения предела функ- ций натурального аргумента (последовательностей) ввиду уже выяс- нившейся фундаментальной роли этих функций и потому, что на самом
92 ГЛ. ПІ. ПРЕДЕЛ деле все основные факты теории предела отчетливо видны уже в этой простейшей ситуации. Ё 1. Предел последовательности 1. Определения и примеры. Напомним следующее Определение 1. Функция 1” : Ы -› Х, областью определения ко- торой является множество натуральных чисел, называется последова- тельностью. Значения функции 1” называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое идет отображение, наделяя символ соответствующим индексом аргу- мента, гад := І Саму последовательность в связи с этим обозначают символом {:сп}, а также записывают в виде :т:1,:1:2, . . . ,а:.,.,, . .. и назы- вают последовательностыо в Х или последовательностью элементов множества Х. Элемент дсп называется п-м членом последовательности. Всюду дальше в ближайших параграфах будут рассматриваться только последовательности І: М -› К действительных чисел. Определение 2. Число А Є К называется пределом числовой по- следовательности {:лп}, если для любой окрестности ї/(А) точки А существует такой номер П (выбираемый в зависимости от 1/(А)), что все члены последовательности, номера которых больше ]ї, содержатся в указанной окрестности точки А. Ниже мы приведем формально-логическую запись этого определе- ния, но прежде укажем другую распространенную формулировку опре- деления предела числовой последовательности: Число А Є К называется пределом последовательности {а:.,,}, если для любого 5 > 0 существует номер ]ї такой, что при всех п > 1/ имеем Іатп - А| < г. Эквивалентность этих формулировок легко проверить (проверьте!), если заметить, что в любой окрестности 1/(А) точки А содержится некоторая е-окрестность этой же точки. Последняя формулировка определения предела означает, что, какую бы точность є > 0 мы ни задали, найдется номер .7ї такой, что абсо- лютная погрешность приближения числа А членами последовательно- сти меньше чем е, как только п > 1/`.
Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 93 Запишем теперь приведенные формулировки определения предела в логической символике, договорившись, что запись « Ііш азп = А» озна- 'П,_>ОО чает, что А-предел последовательности Итак, Дит тп = А)==-/1/(А) вы Є М т > А/ (тп є 1/(А))І 'П._›ОО И СООТВЄТСТВЄННО (пт ;1;,,=/1) ;=&/г>о эл/ен /п>11(|1: -А|<г). 77. ТЪ_›ОО Определение 3. Если Ііш шт, = А, то говорят, что последова- 77,-›ОО тельность сазодится к А или стремится к А и пишут єсп -› А при п -› оо. Последовательность, имеющая предел, называется сагодящєйся. По- следовательность, не имеющая предела, называется расшодящєйся. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 1. 1іш% = 0, так как 4%-ОГ = 1 < є при п > 1ї = п-›оо 'П = [1] 1) Є . Пример 2. 1іп1$=1 таккак $-1'=%<є прип> 'ҐІ,_›Х , > М = Пример 3. 1іп1(1+ = 1, так как ,(1 + - 1| = Ё < п-›оо 'П <є при п>]/`=[%]. Пример 4. Ііш = 0, так как ў-ОІ < -Ё < Є при п > 'П.'_›ї) > Ы = Пример 5. Ііш -% = 0, если |є1| > 1. 'П-›ОО Ч Проверим это по определению предела. Как было доказано в гл. ІІ, Ё2, п. 4с, для любого є > О можно найти число 1/` Є Ы такое, что ду < Є. Ч “[113]-целая часть числа гс; см. следствие 10° принципа Архимеда, гл. П, Ё2, п. 3.
94 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ Поскольку |(1| > 1, то для любого п > 17 будем иметь % - ОІ = Ё < Ч Ч < й < Є и определение предела удовлетворено. Ч Пример 6. Последовательность 1,2, %,4, %,6, -ё, . .. с п-м членом ссп = п(“1)п, п Є Щ, ~расходящаяся. Действительно, если А_предел последовательности, то, как следу- ет из определения предела, в любой окрестности А лежат все члены последовательности, за исключением, быть может, конечного их числа. Число А 75 0 не может быть пределом данной последовательности, ибо вне Є-окрестности А при є = Рё > 0 лежат все ч.лены нашей после- 1 1 Ш довательности вида її? для которых її < 2 . Число О тоже не может быть пределом этой последовательности, поскольку, например, вне единичной окрестности нуля, очевидно, тоже имеется бесконечно много членов нашей последовательности. Пример 7. Аналогично можно проверить, что последователь- ность 1, -1, +1, -1, . . ., для которой 1121,, = (-1), не имеет предела. 2. Свойства предела последовательности а. Общие свойства. Мы выделим в эту группу те свойства, кото- рыми обладают, как будет видно из дальнейшего, не только числовые последовательности, хотя здесь мы эти свойства будем рассматривать только для числовых последовательностей. Последовательность, принимающую только одно значение, будем на- зывать постоянной. Определение 4. Если существуют число А и номер 1/` такие, что агп = А при любом п > 1/`, то последовательность будем называть финально постоянной. Определение 5. Последовательность называется ограничен- ной, если существует число М такое, что < М при любом п Є Ш. Теорема 1. а) Финально постоянная последовательность сссо- дится. Ь) Любая онрестность предела последовательности содержит все члены последовательности, за исключением конечного из: числа. с) Последовательность не может иметь двуа: различньш: пределов. (1) Саодящаяся последовательность ограничена.
_ 51. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 95 4 а) Если азп = А при п > 1ї , то для любой окрестности /(А) точки А имеем азп Є ї/(А) при п > 1/', т.е. Ііш тп = А. 'П Х Ь) Утверждение непосредственно следует из определения предела последовательности. с) Это важнейший пункт теоремы. Пусть Ііш 113,, = А1 и Ііш 511,, = 'П-УОО 'ГІ,_><Х) = А2. Если А1 729 А2, то фиксируем непересекающиеся окрестности ї/(А1), ТОЧЄК А1, А2. В качестве таковых можно взять, например, 6-окрестности этих то- чек при 6 < ЁІА1 - А2|. По определению предела найдем числа 1ї1 и ]/2 так, что `</п > .7ї1 (тп Є У(А1)) и /п > П; (шт, Є У(А2)). Тогда при п > п1ах{1ї1,1ї2} получим ссп Є ї/(А1) П ї/(А2). Но это невозможно, поскольку 1/(А1) П /(А2) = И. (1) Пусть Ііш 113,, = А. Полагая в определении предела 5 = 1, найдем 'П-РОО номер 1/' такой, что /п > 1/ - А| < 1). Значит, при п > ]ї имеем |а:п| < |А| +1. Если теперь взять М > шах{|а:1|,...,|а:п|,|А| +1}, то получим, что 7'п > 1/` < Р Ь. Предельный переход и арифметические операции Определение 6. Если {:1:,,}, {у.,,} -две числовые последователь- ности, то их суммой, произведением и частным (в соответствии с об- щим определением суммы, произведения и частного функций) называ- ются соответственно последовательности {<и + ум, ни ~и,›}, . Частное, разумеется, определено лишь при уп # 0, п Є Ы. Теорема 2. Пусть {а:п}, {уп} -числовые последовательности. Если Ііш тп = А, Ііш уп = В, то 'П-УОО 'ҐЪ-*ПЭ 3*) +уп) = А+В3 Ь) Ііш азп-уп=А-В; 'П-РОО с) Ііш %=%, ес./ъиу,,,7Є0 (п=1,2,...) иВ;Є0. п-›оо ~ п 4 В качестве упражнения воспользуемся уже известными нам (см. гл. ІІ, Ё2, п. 4) оценками абсолютных погрешностей, возникающих при арифметических операциях с приближенными значениями величин.
96 гл. Ш. пввдвл Положим [А - :1:п| = А(шп), |В - у,,,| = А(уп). Тогда для случая а) имеем КА + В) _ (їп '+' уп)| Ё А(37п) + А(Ё/п)° Пусть задано число Є > 0. Поскольку Ііш тп = А, найдется но- 'П,_>ОО мер ]/ такой, что уп > .7/ < Є/2). Аналогично, поскольку ІЬЦ1 уп = В, найдется номер ]ї” такой, что 7'п > 1/`” (А(уп) < є/2). 'П Х Тогда при п > шах{]ї', 1ї”} будем иметь |(А + В) - (тп + уп)| < є, что в соответствии с определением предела доказывает утверждение а). Ь) Мы знаем, что |(А ' В) _ (3711 ' 3/п)І < |$п'А(уп) + |уп|А(ї77п) + А(д7п) ' А(уп)- По заданному є > 0 найдем числа 1/ и 1ї ” такие, что Ґ / - 5 `0'п > ]ї < ш1п<`1,__--3(|В'+1)1>), `</п > 1/' <А(у,,,) < п1іп<1, . Тогда при п > 17 = шах{1/,1/'”} будем иметь Ітпі < ІАІ + Щтп) < ІАІ +1, Іупі < ІВІ + Щи/П) < ІВІ + 1, А(:ст,,) - А(уп) < п1іп{1,Ё} -п1іп{1,Ё} < Ё. 3 3 3 Таким образом, при п > І7 |$п|А<уп> < <|А| +1› ~ Щід = 3, 1;/п1А<а:п› < <1В|+ 1› - тд-35 = 3, А<Шп› - щи) < Ё, позтому |АВ - :1:пуп| < є при п > 1/'.
ё1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ с) Воспользуемся оценкой В мы = П :сАу +3/Авг 'Ё_ї<|п|('п.) 1 уп ` 11% д(з/п), ]__ При заданном Є > 0 найдем числа 1/' и 1/' ” так, что В /п > ]/ < шіп{1, , 7'п > П (А(уп) < шіп { |В| є~В2 4 ” 16(|А| +1) І ІІ Тогда при п > п1ах{1ї ,]/` } будем иметь поэтому и, следовательно, Ітпі < І/1І+ А(Фп) < ІАІ +1, В В мы > пвп - /><уп› > пвп - Ё > 1 < 2 'Ё/п| ІВІ, _ А(Ъ/п) ІВІ/4 _ 1 ° < М) мы < 181/2 _ 2” 1 1- > 57 1 4 Є ~ В2 Є __А п < А +1 . . = _ 1 2 є|В| Є -А П <_--=-, уп (13) ІВІ 8 4 1 0<_--<2 1 д(з/П) <є при п>1/Ё Ь Ііщш В уп И
98 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ Замечание. Формулировка теоремы допускает и другой, менее конструктивный путь доказательства, вероятно, известный читателю по школьному курсу начал анализа. Мы напомним его, когда будем го- ворить о пределе произвольных функций. Но здесь, рассматривая пре- дел последовательности, нам хотелось обратить внимание на то, как именно по ограничениям на погрешность результата арифметической операции ищутся допустимые погрешности значений величин, над ко- торыми зта операция производится. с. Предельный переход и неравенства Теорема 3. а) Пусть {:1:п}, {у,,,} _ две сазодлщиесл последователь- ности, причем Ііш шт, = А, Ііш уп = В. Если А < В, то найдется ТЕ-йїї 'ҐЪ-'їх номер 1ї Є Щ такой, что при любом п > 1/' выполнено неравенство азп < уп. Ь) Пусть последовательности {а:,,,}, {уп}, таковы, что при любом п > 1ї Є Щ имеет место соотношение азп < уп < гл. Если при этом последовательности {а:т,,}, {2п} сшодлтсл к одному и тому же пределу, то последовательность {уп} также сшодитсл и к этому же пределу, 4 а) Возьмем число С такое, что А < С < В. По определению предела найдем числа 1ї' и 1ї так, чтобы при любом п > 1ї' иметь |:в,,-А| < С-Аиприлюбом п > 1/` иметь 'уп-В| < В-С. Тогда при п > 1/ = п1ах{1ї',]ї} получим шт, < А-і-(С-А) = С = В-(В-С) < уп. Ь) Пусть Ііш тп = Іігп 2,, = А. По е > 0 найдем числа 1ї' и 1ї” 'П,_'›СЮ 'ТЪ-йї так, чтобы при любом п > ]ї' иметь А - е < тп и при любом п > > 1/`” иметь гл < А + е. Тогда при п > 1ї = шах {,]/',]ї”} получим А-е<:с,,<у,,<:ап<А+еили|у,,-А|<е,т.е. А=1і›ш уп. > 'П ОО Следствие. Пусть Ііш азп = А и Ііш уп = В. 'П-'Ух 'Пи-*ОО Если существует номер 1ї такой, что при любом п > 1ї а) а:п>уд, тоА2В; Т, 2 уп, то А 2 В; > В, то А 2 В; 2 В, о А 2 В. 3:85 ННН 33 3 4 Рассуждая от противного, из пункта а) теоремы немедленно по- лучаем первые два утверждения. Третье и четвертое утверждения суть частные случаи первых двух, получающиеся при уп Е В . Ь
Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 99 Стоит заметить, что строгое неравенство в пределе может перейти в равенство. Например, % > 0 при любом п Є Ш, но Ііш % = 0. 'П,_›ОО 3. Вопросы существования предела последовательности а. Критерий Коши Определение 7. Последовательность называется фундамен- тальной (или последовательностью Кошиц), если для любого числа є > 0 найдется такой номер 1ї Є Ы, что из п > ]ї и т > 1/' следует |:ст - :1:,,,| < г. Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Чи- словая, последовательность сісодитсл тогда и только тогда, когда она фундаментальна. 4 Пусть Ііш 112,, = А. По числу Є > 0 найдем номер 1ї так, чтобы 'П_›ОО при п > 1ї иметь |а:,,-А| < Если теперь т > 1ї и п > ]7, то Іазт - а:,,,| < |а:т - А| + Іагп - А| < %+% = г и, таким образом, проверено, что сходящаяся последовательность фундаментальна. Пусть теперь {.т;,} -фундаментальная последовательность. По за- данному г > 0 найдем номер 1/` такой, что из т 2 1/' и Іс 2 ]ї следует Іазт - :с;,,| < Фиксировав т = 1/', получаем, что при любом І: > 17 Є Є І1З_;/-5-<.'І2;;<ІІ21ї~І-5, (1) но поскольку имеется всего конечное число членов последовательно- сти с номерами, не превосходящими 1ї , то мы доказали, что фун- даментальная последовательность ограничена. Для п Є М положим теперь ап := іпї тд, оп := зир сад. ЁЁЙ Ьўп Из этих определений видно, что ат, < а,,+1 < І›,,+1 < оп (поскольку при переходе к меньшему множеству нижняя грань не уменьшается, а верхняя не увеличивается). Последовательность вложенных отрезков [ат оп] имеет, по лемме о вложенных отрезках, общую точку А. 1)Последовате11ьности Коши ввел Больцано, пытавпшйся, не располагая точным понятием вещественного числа, доказать сходимость фундаментальной последова- тельности. Копш дал такое доказательство, приняв за очевидное принцип вложенных отрезков, обоснованный впоследствша Кантором.
100 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ Поскольку при любом п Є Ш Ь ап5; $;Ьп› апри/с>'п, ап = іпї 1:1, < тд < Ѕиратд = Ьп, КЗ К2п то при /є 2 п имеем |А-а:;,,| < Ьп -ап. (2) Но из (1) следует, что при п > 1/' гг , г :п1г-- < 1пїа:;,=а.,,<Ь,,,=Ѕ11ра:;,<а:1/+-, 3 /6217, 162,1 З поэтому при п > т 25 Сравнивая (2) и (З), находим, что при любом 1:: > 1ї |А - ІЩСІ < Є, и мы показали, что Ііш гад = А. Ь Ь-ню Пример 8. Последовательность (-1) (п = 1, 2, . . . ) не имеет пре- дела, поскольку она не является фундаментальной. Хотя это и очевид- но, но все же проведем формальную проверку. Отрицание утверждения, что последовательность фундаментальная, выглядит так: Зє>07'1їЄІї ЕІп>]/ ЕІт>1ї(|а:т-шп|>є), т. е. найдется є > 0 такое, что при любом 1/ Є Ш найдутся числа п, т, большие ]/, для которых |а:т - :1:п| 2 Є. В нашем случае достаточно положить є = 1. Тогда при любом 1ї Є М будем иметь |:1:,;+1 - а:1г+2| = |1-(-1)| = 2 >1= є. Пример 9. Пусть 1:1 = О, 1:2 = 0,041, 1:3 = 0,ог1ог2, , 113,», = 0,а1а2 . ..а,,, _. -некоторая последовательность конечных двоичных дробей, причем каждая следующая дробь получается дописыванием знака 0 или 1 к
Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 101 предыдущей. Покажем, что такая последовательность всегда сходится. Пусть т > п. Оценим разность шт - тп: _ _ ап+1 (І Ідїт < 1 п+1 1 т+1 1 1 (5) -(Ё) 1 ЕЕЁ-Р...-1-'%= 1 Ё <%. Таким образом, подобрав по заданному е > 0 число 1ї так, что Ё < < е для любых т > п > 1ї, получаем оценку |аст - :а,,,| < 5% < Ё < е, доказывающую фундаментальность последовательности Пример 10. Рассмотрим последовательность {:вп}, где 3711, 1 1 =1+-+...+-. 2 п Поскольку для любого п Є М - =-- -- п--=- |±›; <г| 1 + + 1 > 1 1 2 п п+1 п+п 2п 2, то в силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела. Ь. Критерий существования предела монотонной последо- ВЭТЄЛЬНОСТИ Определение 8. Последовательность называется возраста- ющей, если На Є Щ (:1:п < :1:п+1); неубывающей, если :/п Є М (тп < < :1:,,,+1); невозрастающей, если `Чп, Є Ш (тп 2 :с,,,+1); убывающей, если `</п Є Ш (тп > а:,,+1). Последовательности этих четырех типов называют монотоннымй последовательностлми. Определение 9. Последовательность называется ограничен- ной свершу, если существует число М такое, что `г/п Є Ш (азп < М Аналогично определяется последовательность, ограниченная снизу. Теорема 5 (Вейерштрасс). Для того чтобы неубывающал после- довательность имела предел, необазоднмо й достаточно, чтобы она была ограниченной сеерагу.
102 ГЛ. ПІ. ПРЕДЕЛ 4 То, что любая сходящаяся последовательность ограничена, было доказано при рассмотрении общих свойств предела последовательно- сти, поэтому интерес представляет только второе утверждение тео- ремы. По условию множество значений последовательности {:1:п} ограни- чено сверху, значит, оно имеет верхнюю грань 5 = Ѕир тп. пЄІІ По определению верхней грани, для любого Є > 0 найдется элемент ат Є такой, что з - Є < изд < з. Поскольку последовательность {:1:п} неубывающая, при любом п > П теперь получаем з - Є < 11: Ы < < азп < з, т.е. |з - шп| = з - тп < є. Таким образом, доказано, что Ііш гс,-,, = з. Ь 'П,_›ОО Разумеется, аналогичную теорему можно сформулировать и дока- зать для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу. В этом случае Ііш кпп = іпї азп. п-›оо п,ЄІІ Замечание. Ограниченность сверху (снизу) неубывающей (невоз- растающей) последовательности на самом деле, очевидно, равносильна ограниченности этой последовательности. Рассмотрим несколько полезных примеров. . П _ Пример 11. Іпп 7 - 0, если Ч > 1. п-›оо (1 4 Действительно, если тп = Ё,-, то а:п+1 = %ш.,-,,, п Є М Посколь- Куп1ьН;,-1%*=яє;(1+%)%=п1ьИ:о(1+%>~:ьП:,%=1~%=ё <1› то найдется номер Ы такой, что при п > ]7 будет -7% < 1. Таким образом, при п > 1/ будем иметь а:п+1 < азп, т.е. после члена 11: Ы наша последовательность монотонно убывает. Поскольку конечное число чле- нов последовательности, как видно из определения предела, не влияет на сходимость последовательности и ее предел, то достаточно теперь найти предел последовательности а:1;+1 > а:1/+2 > Члены последовательности положительны, т. е. последовательность ограничена снизу. Значит, она имеет предел. Пусть ап = Ііш тп. Из соотношения а:п+1 = %а:,«,, теперь следует 'П,_›ОО . . п+1 . п+1 . 1 11: = І1п1 (:1:п+1) = Іпп -і-азп = Іпп -- - Іпп тп = -:1:, откуда находим (1- Ё) из = О и а: = 0. >
51. пгвдвл поолвдоытвльности 103 Следствие 1. Ііш {*/Е: 1. 'П-УОО 4 При фиксированном Є > О по доказанному найдется 1ї Є Щ такое, что при п > 1/` будем иметь 1 < п < (1 + 6). Тогда при п > 17 получим 1 < {'/її < 1 + Є и, значит, действительно Іігп {'/Ё = 1. > 'П-›ї Следствие 2. Ііш {'/Ёі = 1 при любом а > 0. 'ПЁХ < Пусть а 2 1. Для любого Є > 0 найдем 1ї Є М так, что при п > ]7 1< 0, < (1 -І-5), и тогда при п > 1/' получаем 1 < {'/(Ё <1+є-:,т.е. дав, И =1« Если0<а,<1,то1<%и . . 1 1 11111 З/(Ё: Іпп = =1. › п-›оо п-›оо ,, 1 . п 1 /Ё ,$520 /1 п Пример 12. Ііш Ё- = 0; здесь (1-любое действительное число, 11,-)00 11,. пЄ1ї, п!:=1-2-...-п. 4 Если 9 = О, то утверждение очевидно. Далее, поскольку її: П! 'П = 1%-, то достаточно доказать утверждение для (1 > 0. Рассуждая в этом случае, как и в предыдущем, замечаем, что :с,~,,+1 = По- скольку множество натуральных чисел не ограничено сверху, найдется номер ]/` такой что при п > 1/` будет О < -9- < 1. Тогда при п > ” п+1 > _ї7 будем иметь :сп+1 < 13,, и, учитывая положительность членов по- следовательности, можно теперь гарантировать существование предела Ііш 12,, = :1:. Но тогда 'П,_›ОО э:= Ііш :1:,,,+1= 1іп1 і-а:,,,=1іп1 -і-~1іп1:с,,,=0›:с=0. Ь п-›оо п-›оо 77, -{›- 1 п-›оо 77, + 1 п-›оо с. Число е Пример 13. Докажем существование предела Ііш 1+ Е ТІ,-УОО Пределом в данном случае является число, обозначаемое после Эйле- 1 'П ра буквой є, столь же характерное для анализа, как для арифметики 1 или для геометрии л. К нему мы еще неоднократно будем возвращаться по очень разным поводам. Проверим сначала следующее неравенство: (1+ог)21+пог при пЄІї и ог>-1
104 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ (называемое иногда неравенством Я. Бернуллиц). 4 При п = 1 утверждение справедливо. Если оно справедливо для п Є Ы, то и для п + 1 тоже, поскольку тогда (1 +о:)+1 = (1 + ог)(1-|-04) 2 (1+сн)(1+па) = =1+(п+1)ое+па2>1+(п+1)а. По принципу индукции утверждение, таким образом, справедливо для любого п Є Ш. Из выкладки, кстати, видно, что при а уё 0 имеет место строгое неравенство. Ь п+1 Покажем теперь, что последовательность уп = (1 + убы- вающая. 4 Пусть п 2 2. її: уп (1+- Поскольку члены последовательности положительны, - 1 предел 11п1 (1+ Е) . 'П-›ОО Но тогда (ЪЪЁ) _ п2 п _ 1 1 П 1)п+1_(п2_1)п°п+1_ +77/2_1 'П Используя доказанное неравенство, находим, что п 'П, п+1 2 п п+1 =1. >1+ П П >1+1 / 11,2-1п+1 п существует п+ 1 Ііш (1-Ъ -) = Ііш (1+ _) (1+ -) = ТІ,-*ОО 'П, 'П-›ОО 'П, 'П Итак, Определение 1)Якоб Бернулли ( нитого семейства уч теории вероятностей 1іп1(1+-) ~1іп1-Т=1іп1(1+-) .> п-+оо 'п, п-›оо 1 + Я п-›оо п 10. ._ - 1 Є.- ІІҐП 'П-РОО 1654 - 1705) -швейцарский математик, представитель знаме- еных Бернулли; стоял у истоков вариационного исчисления и
Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 105 (1. Подпоследовательность и частичный предел последова- те.льности Определение 11. Если :1:1,а:2,...,:в,,,... -некоторая последова- тельность, а п1 < 11,2 < < нд, < -возрастающая последователь- ность натуральных чисел, то последовательность а:п,,а:,,,2, . . . ,:в,,,с, . .. называется подпоследовательностью последовательности Например, последовательность 1,3,5, . .. нечетнь1х натуральных чисел, взятых в их естественном порядке, является подпоследователь- ностью последовательности 1,2,3,... Но последовательность 3,1,5, 7,9, . .. уже не является подпоследовательностью последовательности 1,2,3, . .. Лемма 1 (Больцано-Вейерштрасс). Каждая ограниченная после- довательность действительньш: чисел содержит сагодящуюся подно- следовательность. 4 Пусть Е -множество значений ограниченной последовательно- сти Если Е конечно, то существуют по крайней мере одна точка св Є Е и последовательность п1 < п2 < номеров такие, что тп, = = тп, = = аз. Подпоследовательность {авп,6} постоянна и, значит, сходится. Если Е бесконечно, то по принципу Больцано -Вейерштрасса оно обладает по крайней мере одной предельной точкой аз. Поскольку 1: - предельная точка Е, можно выбрать п1 Є Ш так, что Іазп, - :в| < 1. Если нд, Є Щ уже выбрано так, что |а:,,,,,с - :в| < Ё, то, учитывая, что 1:- предельная точка Е, найдем п;,+1 Є М так, что пк < пдд И |:в.,,,є+, - :17| < < 1 Іс+ 1' Поскольку Ііш 1 = О построенная подпоследовательность сс /ь-›ьь 1* ' “ а:,,,2,...,:т:,,,,с,... сходится к :1:.› Определение 12. Условимся писать тп -› +оо и говорить, что последовательность стремится н плюс бесконечности, если для каждого числа с найдется номер 1/' Є Щ такой, что дсп > с при любом п > .7/`. Запишем это и два аналогичных определения в логических обозна- чениях: (азп-›+оо):=`ч'сЄІК 31їЄ1ї `ч'п>1ї(с<:г,.,,), (а:.,,-›-оо):=7'сЄ1К 3]/'ЕМ /п>1ї(:1:п<с),
106 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ (тп-›оо):=`</сЄ1К Э1/ЄІЧ 7'п>1/` В последних двух случаях говорят соответственно: последователь- ность стремитсл н минус бесконечности и последовательность {:а,,,} стремится н бесноненности. Заметим, что последовательность может быть неограниченной, но не стремиться ни к плюс, ни к минус, ни просто к бесконечности. На- пример, азп = п(1)п. Последовате.льности, стремящиеся к бесконечности, мы не причи- сляем к сходящимся. Легко видеть, что в соответствии с этими определениями можно дополнить только что доказанную лемму, сформулировав ее несколько иначе. Лемма 2. Из каждой последовательности действительньъш ни- сел можно извлечь сазодлщуюсл подпоследовательность или подпосле- довательность, стремлщуюсл н бесконечности. < Новым является только тот случай, когда последовательность не ограничена. Тогда по /є Є Щ будем выбирать пк Є М так, что > /с и пд < п;,+1. Получим подпоследовательность {а:,,,с}, которая стремится к бесконечности. > Пусть {з:;,} -- произвольная последовательность действительных чи- сел. Если она ограничена снизу, то можно рассмотреть (уже встречав- шуюся нам при доказательстве критерия Коши) последовательность іп = тд. Поскольку 11,, < іп+1 для любого п Є Ы, то либо последова- тельность имеет конечный предел Ііш іп = І, либо іп -› +оо. 'П,_›ОО Определение 13. Число І = Іітп іпї тд называется нижним пре- 'П,-›ОО 19271, делом последовательности {а:;,} и обозначается Ііш 1:1, или Іішіпїшд. . /с-›оо І°_*°° Если 1,, -› +оо, то принято говорить, что нижнии предел последо- вательности равен плюс бесконечности, и писать Ііш тд = -І-оо или К:-›оо Іішіпї тд = +оо. Если исходная последовательность {ш;,} не ограничена /с-›оо снизу, то при любом п Є Ы будем иметь іп = Ііпї тд, = -оо. В этом >п / случае говорят, что нижний предел последовательности равен минус бесконечности, и пишут Ііт жд = -оо или Іішіпїагд = -оо.
ЁІ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 107 кратко опред д М ВСЄХ ПЄРЄЧИСЛЄННЬІХ ВОЗМОЖНОСТЄЙ ЗЭЛИШЄМ ТЄПЄРЬ Итак, с учето последовательности {а:,с}: ЄЛЄНИЄ НИЖНЄГО ПРЄДЄЛЭ. Ііш тд := Ііш іпї изд. К_›(ю 7Ъ_›ХЁ>Т1, ассматривая последовательность 3,, = Ѕцр гид, прихо- Іс>п Аналогично, р , / им к определению верхнего р Опред Приведе Пример 14. тд- п едела последовательности еление 14. Ііш жд := Ііш Ѕирагд. А;_›00 п-›оо ,$211 м несколько примеров. _ (-1),“, /є Є М: ' -1пп1дг$д==1цпіпір<ц”==13п(-1):-д Іпп жд _ К_Юо п-›оо];>п п-›ооА;;д ° -птыщьц*=нт1=ъ Ііш тд = Іпп Ѕиразд _ 'П,'_›Ж) > 'П,_›ОО /С-ЮО -*°° кгп /<›,п Пример 15. аз;,,- -ьРт,кеМ “Щ” г пыЫ*”=пт0=а Цщ /є = 1п1 К_Юо п-›оо]<;>т;, п-›оо И /є(_1)к = Ііш Ѕир /с(`1)К = 1іп1(+оо) = +оо. д;_›оо п-›оо дед п-›оо 6 -/с,/ЄЄМ: Пример 1 . тд _ Цщ Іс=1ішіпі`/~с=1іш п=+оо, ,с_Юо п-›оо];;п п-›оо ЁГ1 Іє = Ііш Ѕиріє = 1іп1(+оо) = +оо. А;-›0о 'п,-›оо 192,” п-›оо _- (_1)Ь К Є М: Пример 17. :1:;с _ -1-, Ііш Іс-+оо 1: --1,5, если п=2т+1 -1* -4 Ц =1ішіпїц =1іш /С п-›ооІс2п Ё п-›оо _Ё{.Т, если П : 2т
108 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ 1 __ _1/С _1н -, если п=2т Ііш Ц = 1іп1 Ѕирц = Ііп1 п1 =0. К-*°° Ё *°°/«гл 1* **°° -_п+,, если п,=2т+1 Пример 18. тд = -/с2, К Є Щ: пт (-/8) = пт ті (-/8) = -во. І:-›оо п_›°° КЗ Пример 19. азд, = (-1)І°І<:, /с Є Щ: Щ (-1)”/С = пт тг(-1)~=ь = пт (-во) = -ьь, К__›оо 'П->ООІ:;>'п, 'ГІ.-›0О М (-1)*/< = пт т1р(-1)*/< = пт (+00) = +<×>. І;-›00 ТІ,->ОО Ьгп 'П-›ОО Чтобы разобраться в происхождении терминов «верхний» и «ниж- ний» пределы последовательности, введем следующее Определение 15. Число (или символ -оо или +00) называют на- стичным пределом последовательности, если в ней есть подпоследова- тельность, стремящаяся к этому числу. Утверждение 1. Нижний и верагний пределы ограниченной по- следовательности лвллютсл соответственно наименьшим и наиболь- шим из ее настинньш: пределовї). 4 Докажем это, например, для нижнего предела і = Ііш тд. Про 1::-›оо последовательность іп = іпї тд, нам известно, что она неубывающая и Ісўп Ііш 11,, = і Є К. Для чисел п Є Щ, используя определение нижней грани, П-+00 по индукции подберем числа /сп Є Ш так, что /сп < /<:,,,+1 и ідп Ѕ 1131,” < < ідп + (Взяв і1, найдем /с1; взяв і;,1+1, найдем /є2; и т.д.) Поскольку Ііш іп = Іітп + = і, то, опираясь на свойства предела, можем 'П,_›ОО 'П,_›ОО . О утверждать, что 11п1 аздп = 2. Мы доказали, что 1-частичныи предел 'П-›ОО последовательности Это наименьший частичный предел, посколь- ку для каждого Є > 0 найдется Число п Є Ы такое, что і - Є < іп, т.е. і-Є <1},,, ёёпїазд < тд прилюбом /с 2 п. 2п “При этом считаются принятыми естественные соотношения -оо < 2: < +оо между символами -оо, +00 и числами 11: Є К.
Ё1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 109 Неравенство і - е < азд при /с > п означает, что ни один частичный предел нашей последовательности не может быть меньше і- г. Но г > О произвольно, поэтому он также не может быть меньше і. Для верхнего предела доказательство, разумеется, аналогично про- веденному. > Заметим теперь, что если последовательность не ограничена снизу, то из нее можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к -оо. Но в этом случае и 1іп1 азд = -оо и можно условиться считать, что сно- І:-›оо ва нижнии предел есть наименьшии из частичных пределов. Верхнии предел при этом может быть конечным, и тогда по доказанному он является наибольшим из частичных пределов° он может быть и бес- 7 конечным. Если Ііш азд = +оо, то последовательность не ограничена Іс-›оо также и сверху и можно выделить подпоследовательность, стремящую- ся к +оо. Если же Ёіш агд = -оо, что тоже возможно, то это означает, ->ОО что Ѕир азд = зд -› -оо, т. е. и сама последовательность {:сд} стремится Ісўп к -оо, ибо зп 2 сад. Аналогично, если Ё агд = +оо, то асд -› +оо. І:-›оо Учитывая сказанное, можно, таким образом, заключить, что спра- ведливо Утверждение 1'. Для любой последовательности нижний пре- дел есть наименьший из ее настинньш: пределов, а верагний предел по- следовательности -наибольший из ее настиннькв пределов. Следствие 1. Последовательность имеет предел или стремит- сл к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае, когда нижний и вершний пределы последовательности совпадают. 4 Случай, когда Ііш тд = Ііш а:д = +оо, и случай, когда Ііш азд = Іс-›оо ,°_Ю° Ія:-+оо = Ёігп азд = -оо, уже разобраны выше, поэтому можно считать, что -УОО 1іп1 изд = 1іп1 азд = А Є К. Поскольку ід = іпї тд < азд < зпразд = зд ;С_›оо 16-›о0 /9217, 16271 и по условию 1іп1 ід = 1іп1 зд = А, то по свойствам предела также . ТІ›_>ОО 'ГЬ_›0О 11п1 тд = А. Ь 71,-›ОО Следствие 2. Последовательность сгсодитсл тогда и только то- гда, когда сагодитсл любая, ее подпоследовательность.
110 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ 4 Нижний и верхний пределы подпоследовательности заключены между нижним и верхним пределами самой последовате.льности. Если последовательность сходится, то ее нижний и верхний пределы совпа- дают. Тогда совпадают нижний и верхний пределы подпоследователь- ности, откуда вытекает ее сходимость, причем, разумеется, к пределу всей последовательности. Обратное утверждение очевидно, поскольку в качестве подпоследо- вательности можно взять саму последовательность. Ь Следствие 3. Лем./на Бо./ъьиано -Вейерштрасса как в узкой, так и в расширенной формулировке вытекает из утверждения 1 и утвер- ждения 1' соответственно. 4 Действительно, если последовательность {а:;,} ограничена, то точ- ки і = Ііш тд и з = 1іп1 изд конечны и по доказанному являются ча- д_›оо /С-›00 стичными пределами последовательности. Только при і = з последова- тельность имеет лишь одну предельную точку; при і < з их уже по крайней мере две. Если последовательность не ограничена с какой-то стороны, то су- ществует подпоследовательность, стремящаяся к соответствующей бес- конечности. Р Заключительные замечания. Мы выполнили (и даже с некото- рым превышением) все три пункта намеченной перед началом парагра- фа программы: дали точное определение предела последовательности, доказали единственность предела, выяснили связь операции предельно- го перехода со структурой множества действительных чисел, получили критерий сходимости последовательности. Теперь рассмотрим один специальный часто встречающийся и очень полезный вид последовательностей _ ряды. 4. Начальные сведения о рядах а. Сумма ряда и критерий Коши сходимости ряда. Пусть {а,п} --- последовательность действительных чисел. Напомним, что сум- Ч му ар + ир+1 + . . . + ад (р < (1) принято обозначать символом 2 ап. Мы п=р хотим теперь придать точный смысл выражению а1 + а2 + + ап + + ..., подразумевающему суммирование всех членов последовательно- сти {ап}.
ЁІ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 111 Определение 16. Выражение а1 + а2 + + ап + обознача- ОО ют символом 2 ап и обычно называют рядом или бесконечным рядом п-1 (чтобы подчеркнуть отличие его от суммы конечного числа слагае- мых). Определение 17. Элементы последовательности {а,,}, рассматри- ваемые как элементы ряда, называют членами ряда; элемент ап назы- вают п-м членом ряда. П Определение 18. Сумму зп = Еад называют частичной сум- /6:1 мой ряда или, когда желают указать ее номер, п-й частичной суммой рядаї). Определение 19. Если последовательность {з.,,} частичных сумм ряда сходится, то ряд называется сагодящимся. Если последователь- ность {зп} не имеет предела, то ряд называют рассводящимся. Определение 20. Предел Ііш 3,, = з последовательности частич- 'П,_›ОО ных сумм, если он существует, называется суммой ряда. Именно в этом смысле мы и будем в дальнейшем понимать запись ОО Ёа,,=з. п=1 Поскольку сходимость ряда равносильна сходимости последователь- ности его частичных сумм {зп}, то применением к {зп} критерия Коши сразу получается Теорема 6 (критерий Коши сходимости ряда). Ряд а1 +. . .+а,,,+. . . сазодится тогда и только тогда, когда для любого е > 0 найдется такое число 1/' Є Ы, что из т 2 п > 1ї следует Іап + . . . + ат| < е. Следствие 4. Если в ряде изменить только конечное число чле- нов, то нолучающийся при этом новый ряд будет сагодиться, если саго- дился исазодный ряд, и будет расшодиться, если исагодньъй ряд рассло- дился. “Таким образом, на самом деле под рядом мы подразумеваем упорядоченную пару 'П ({ап}, {з.,,,}) последовательностей, связанных соотношением `</п Є Ы (вт, = Е ад). 1с=1
112 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ 4 Для доказательства достаточно в критерии Коши считать чи- сло 1ї превышающим максимальный из номеров измененных членов ряда. Ь Следствие 5. Для того чтобы ряд а1 + + ап + сшодился, нєобагодимо, чтобы его члены стремились к ну./по при п -› оо, т. є. необазодимо Ііш ап = 0. 'П-УСХЭ < Достаточно положить в критерии т = п и воспользоваться опре- делением предела последовательности. Ь Вот другое доказательство: ап = зп - з,,_1 и, коль скоро Ііш 5,, = 'П-#00 = з, имеем 1іп1 ап = 1іп1(з.,, - з,,_1) = 1іп1 5,, - Ііш з,,_1 = з - з = 0. 'П-Ух 'П-*ОО 'П,_›ОО П-УСЮ Пример 20. Ряд 1 + (1 + 92 + . . . + 9 + . . . часто называют суммой бесконечной геометрической прогрессии. Исследуем его сходимость. Поскольку |с1| = |<1|, то при |с1| 2 1 будет |<1”| 2 1 и в этом случае не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Пусть теперь |(1| < 1. Тогда 1__ 'П $п=1+Ч+...+Ч°1=-і 1-Ч и Ііш эт, = ї-д, поскольку 1іп1 9 = 0, если |с1| < 1. п-›оо _ Ч п-›оо ОО Таким образом, ряд Е с11 сходится тогда и только тогда, когда п=1 |<1| < 1 и в этом случае его сумма равна ї-Ёд. Пример 21. Ряд 1 + Ё + . . . + -,Ё + . . . называется гармоническим, поскольку каждыи член этого ряда, начиная со второго, является сред- ним гармоническим соседних с ним членов (см. задачу 6 в конце этого параграфа). Члены ряда стремятся к нулю, но последовательность его частич- ных сумм ' 1 1 Ѕпї1+'-+...+_, 2 п как было показано с помощью критерия Коши в примере 10, расходится. Это означает в данном случае, что зп -› +оо при п -› оо. Итак, гармонический ряд расходится. Пример 22. Рассмотрим теперь следующий пример.
Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 113 Ряд 1 - 1 +1 - . . . + (-1)''+1 + . .. расходится, что видно и по после- довательности 1,0,1,0,... его частичных сумм, и по тому, что члены ряда не стремятся к нулю. Если расставить скобки и рассмотреть новый ряд (1-1)+(1-1)+..., членами которого являются суммы, заключенные в скобки, то этот но- вый ряд уже сходится, причем его сумма, очевидно, равна нулю. Если скобки расставить иначе и рассмотреть ряд 1+(-1+1)+(-1+1)+..., то получится сходящийся ряд с суммой, равной 1. Если в исходном ряде переставить все члены, равные -1, на две позиции вправо, то получим ряд 1+1-1+1-1+1-..., расставив в котором скобки, придем к ряду (1+1)+(-1+1)+(-1+1)+..., сумма которого равна двум. Эти наблюдения показывают, что привычные законы обращения с конечными суммами, вообще говоря, не распространяются на ряды. И все-таки есть важный тип рядов, с которыми, как это потом вы- яснится, можно обращаться так же, как с конечными суммами. Это так называемые абсолютно сходящиеся ряды. Именно с ними мы главным образом и будем работать. Ь. Абсолютная сходимость; теорема сравнения и ее след- ствия - Х Определение 21. Ряд Е ап называется абсолютно сходящимся, Оо п=1 если сходится ряд Е |а,,|. п=1 Поскольку |а,п+. . .+ат| < |а,,|+. . .+|ат|, из критерия Коши следует, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится. То, что обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, т. е. что абсолютная сходимость есть требование более сильное, чем просто сходимость ряда, можно продемонстрировать на примере.
114 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ Пример 23. Ряд 1 - 1 + Ё - Ё + Ё - Ё + ..., частичные суммы которого равны либо %, либо 0, сходится к нулю. Вместе с тем ряд из абсолютных величин его членов 1+1+1+1+1+1+ 2 2 3 3 расходится, что, как и для гармонического ряда, следует из критерия Коши: 1 1 1 1 _ + +...+ + - п+1 п+1 п+п п+п 1 1 1 =2(-_-І~...+:-)>2п-ї=1. п+1 п+п п+п Для того чтобы научиться отвечать на вопрос, сходится ли ряд аб- солютно или нет, достаточно научиться исследовать на сходимость ря- ды с неотрицательными членами. Имеет место Теорема 7 (критерий сходимости рядов с неотрицательными чле- нами). Ряд а1 +. . . -1-ап +. . . , члены которого - неотрииательные ни- сла, сагодится тогда и только тогда, когда последовательность его настинныа: сумм ограничена сверагу. 4 Это следует из определения сходимости ряда и критерия сходимо- сти неубывающей последовательности, каковой в данном случае являет- ся последовательность Ѕ1 < 32 < < 3,, < частичных сумм нашего ряда. Ь Из этого критерия вытекает следующая простая, но на практике очень полезная ОО ОО Теорема 8 (теорема сравнения). Пусть 2 ап, 2 оп -два ряда п=1 п=1 с неотрицательными членами. Если существует номер П Є Щ та- кой, нто при любом п > 1/ имеет место неравенство ап < оп, то из ОО Х сшодимости ряда 2 6,., вытекает сагодимость ряда Е ап, а из расто- п=1 п=1 Х Х димости ряда 2 ап вытекает расісодимость ряда Е оп. п=1 п=1 4 Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ря- да, можно без ограничения общности считать, что ап < оп для любого
Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 115 'П 'П ОО п Є Ш. Тогда Ад = Е ад < Е Ьд = Вп. Если ряд 2 дп сходится, 1с=1 /6:1 п=1 то последовательность {В.,,}, не убывая, стремится к пределу В. То- гда Ад < Вт, < В при любом п Є Ы и, следовательно, последователь- Ж ность {А,,} частичных сумм ряда 2 ап ограничена. В силу критерия 'П,=1 Оо сходимости ряда с неотрицательными членами (теорема 7) ряд 2 ап 'п.=1 сходится. Второе утверждение теоремы, рассуждая от противного, немедлен- но получаем из уже доказанного. Ь 1 1 1 О ііі і- ііі > Пример 24 Поскольку п(п+1) < П2 < (п_1)п при п , 2, по ОО ОО теореме сравнения заключаем, что ряды 2 -% и Е -% сходятся 1 'П П: : п(п+ 1) З ›-› или расходятся одновременно. Но последний ряд можно просуммировать непосредственно, заме- 'П 1 1 1 1 1 ТИВ, ЧТО ПП-Б = Е '_ ті И ПОЭТОМУ К; Ъїїб :ї 1 _ ЗНЁІЧИТ, ЁИ8 ЁИ8 зю ,_. = 1. Следовательно, ряд _ также является сходящимся. п(п + 1) = 00 2 Любопытно, что Е % = В дальнейшем это будет доказано. п=1 п Пример 25. Следует обратить внимание на то, что теорема срав- нения относится только к рядам с неотрицательными членами. Дей- ствительно, положим, например, ап = -п, а Ьп = 0, тогда ап < оп, ряд Х ОО 2 Ьп сходится, но ряд 2 ап расходится. п=1 п=1 Следствие 1 (мажорантный признак Вейерштрасса абсолютной Х Х сходимости ряда). Пусть 2 ап и 2 оп -два ряда. Пусть существу- п=1 п=1 ет номер 1/' Є Ы такой, что при любом п > 1/' имеет место соотно- шение |а,,| < оп. При этиа: условияа: для абсолютной сазодимости ряда Х Х 2 ап достаточно, чтобы ряд 261,, сагодился. п=1 п=1 Х 4 Деиствительно, по теореме сравнения тогда ряд 2 |ап| будет п=1 Ш) сходиться, что и означает абсолютную сходимость ряда 2 ап. Ь 'п,=1
116 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ Этот важный достаточный признак абсолютной сходимости часто формулируют кратко: если нлены ряда (по абсолютной величине) ма- жорируются членами сагодящегося числового ряда, то исазодный ряд сагодится абсолютно. Х . . Пример 26. Ряд 2 їёъ- абсолютно сходится, так как -Ё; < 'п=1 п Х 1 1 < Ё, а ряд 2 її, как мы выяснили в примере 24, сходится. н=1 Х Следствие 2 (признак Коши). Пусть 2 ап -данный ряд и а = 'п=1 = Ііш /|а,,|. Тогда справедливы следующие утверждения: П,-РОО СЮ а) если а < 1, то ряд 2 ап абсолютно сазодится; п=1 ї) Ь) если а > 1, то ряд 2 ап расшодится; п=1 с) существуют нан абсолютно сшодящиеся, так и расагодящиеся ряды, для ноторьш: а = 1. 4 а) Если а < 1, то можно выбрать число (1 Є К так, что а < (1 < 1. Фиксировав число (1, в соответствии с определением верхнего предела найдем номер 1/ Є Ы такой, что при н > 1ї выполнено 2/ |ап| < (1. Таким Х образом, при н > 1/` будем иметь |а,,,| < Ч” и, поскольку ряд 2 9 . п,:]_ СХ) при |с1| < 1 сходится, ряд 2 ап (по теореме сравнения или признаку п 1 Вейерштрасса) сходится абсолютно. Ь) Поскольку ое является частичным пределом последовательности {а,,,} (см. утверждение 1), то найдется подпоследовательность {ащ} такая, что Ііш ё/атс = а. Если а > 1, то найдется номер К Є Ш такой, Іє-›оо что при любом /є: > К будет |а«,»,,,с| > 1, тем самым необходимое условие СЮ сходимости (ап -› 0) для ряда 2 ап не выполнено и он расходится. п=1 °° 1 °° 1 с) Мы уже знаем, что ряд 2 - расходится, а ряд 21? сходится 11,: 17,: (абсолютно, так как = Вместе с тем Й '</Ё = Ііш % = 1 п, 11, 2 п-›оо п-›оо /Ё и Е 3/Ё-=1іп1,/і=1іш(1) =1.> п-›оо 11,2 п-›оо 112 п-+оо Й
Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 117 Пример 27. Исс.ледуем, при каких значениях сс Є К ряд ОО 2 (2 + <-1›› Ю 3 ›-1 сходится. _ ў ' - = Т: -- п = Подсчитаем а _ +( |2 +( 1) | Таким образом, при < Ё- ряд сходится и даже абсолютно, а при |:1:| > Ё ряд расходится. Случай = Ё требует специального рассмо- трения. В нашем примере оно элементарно, ибо при = Ё для четных 21: значений п имеем (2 + (-1)2'°) шт” = 32,” = 1 и ряд расходится, ПОСКОЛЬКУ ДЛЯ НЄГО НЄ ВЫПОЛНЄНО НЄОбХОДИМОЄ УСЛОВИЄ СХОДИМОСТИ. ОО Следствие 3 (признак Даламберац). Пусть для ряда 2 ап су- п=1 (1 ществует предел %'і = а. Тогда справедливая следующие ут- верждения: оо 8.) ЄС./Ш О! < 1, т0 ряд Е ад С$0дитС.Я 0,660./ІЮТП/НО; п=1 оо Ь) если о: > 1, то ряд 2 ап расшодится; п=1 с) существуют как абсолютно сагодящиеся, так и расагодящиеся ряды, для которыш а = 1. 4 а) Если а < 1, то найдется такое число 9, что а < (1 < 1; фикси- ровав (1 и учитывая свойства предела, найдем номер 1/' Є М такой, что (1 при любом п > 1ї будет % < (1. Поскольку конечное число членов не влияет на характер сходимости ряда, без ограничения общности будем (1 считать, что -2721 < (1 при любом п Є Ы. Поскольку 0/п+ 1 ап 02 ап+ 1 ап ап-1 01 01 ОО мы получаем, что |ат,,+1| < |а1| -41. Но ряд 2 |а1|с1' сходится (его 3 о-› Х сумма, очевидно, равна Ё), поэтому ряд Е ап абсолютно сходится. 'п.=1 ИЖ. Л. Даламбер (д'Аламбер) (1717 - 1783) -французский ученый, прежде всего механик, входивщий в группу философов-знциклопедистов_
118 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ Ь) Если а > 1, то, начиная с некоторого номера 1ї Є М, при любом (1 п > 1ї будем иметь %:`-Ё > 1, т. е. |а,,| < |ап+1|, и, следовательно, для ряда 2 ап не выполнено условие ап -› 0, необходимое для сходимости. 'п=1 с) Примерами в данном случае, как и в признаке Коши, могут слу- Х ОО 1 1 жить ряды 2 Е и 2 7. Ь п=1 п=1 77* Пример 28. Выясним, при каких значениях :1: Є К сходится ряд Х 1 Е НПЗ. п=1 ° При из = О он, очевидно, сходится и даже абсолютно. . а,,+1 _ . _ При ш 7Є 0 имеем ПІЬІЕО ап _ ПІЬІВО --тп + _ 0. Таким образом, этот ряд абсолютно сходится при любом значении :вЄ1Е.. Рассмотрим, наконец, еще один более специальный, но часто встре- чающийся класс рядов: ряды, члены которых образуют монотонную последовательность. Для таких рядов имеет место следующий необхо- димый и достаточный признак сходимости. Х Утверждение 2 (Коши). Если а1 2 аг 2 2 0, то ряд 2 ап 'п=1 Х сшодитсл тогда и только тогда, когда сазодитсл ряд Е 2'°а2ь = а1 + +2а2+40,4+80,8+... ,є:0 4 Поскольку 02 < 02 < 01, 204 < 0›з + 04 < 202, 408 < 0з+0в+07-І-118 < 404, 2па«2п+1 < а,2п+]_ + . . . + а2п+1 < 2па,2^п., то, складывая эти неравенства, получим 1 5 (5п+1 _ 01) Ѕ А2п+1 - 01 < 51»,
Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 119 где Ад = а1 +. . .+а,;,, Ѕп = а1 +2а2+. _ .+2а2п -частичные суммы рас- сматриваемых рядов. Последовательности {А;,} и {Ѕп} неубывающие, и потому из полученных неравенств можно заключить, что они либо одновременно ограничены, либо одновременно не ограничены сверху. Но по критерию сходимости рядов с неотрицательными членами отсю- да следует, что рассматриваемые два ряда действительно сходятся или расходятся одновременно. Ь Отсюда вытекает полезное ОО Следствие. Ряд 21% саюдится при р > 1 и расэзодитсл при пї р< 1.1) 4 Если р 2 0, то по доказанному наш ряд сходится или расходится вместе с рядом оо 1 оо Ь Іс _ 1-р 22 (2/:)Р _2(2 )* А:=0 Іс=0 а для сходимости последнего ряда необходимо и достаточно, чтобы было (1 = 21? < 1, т.е. р >1. ОО Если р < 0, то расходимость ряда 2: -% очевидна, поскольку в этом п=1 п случае все члены ряда больше 1. Ь Х Важность этого следствия состоит в том, что ряд 2 % часто слу- п=1 П жит основой для сравнения при исследовании сходимости рядов. с. Число е как сумма ряда. Заканчивая рассмотрение рядов, вер- немся еще раз к числу е и получим ряд, доставляющии уже довольно удобный способ вычисления є. Мы будем использовать формулу бинома Ньютона при разложении выражения (1 + . Те, кто не знаком с этой формулой из школы или не решил задачу 15) из гл. П, Ё2, могут, без потери связности изложе- ния, опустить настоящее добавление о числе є и вернуться к нему после формулы Тейлора, частным случаем которой можно считать формулу бинома Ньютона. 1) Формально в нашей книге мы пока. определили пр только для рациональных значений р, поэтому читатель тоже пока вправе понимать это утверждение только для тех р, для которых определено пр .
120 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ 72 Нам известно, что е = Ііш (1 + . П.-+00 По формуле бинома Ньютона 1+1_1+п1+п(п-1)1+ + п _ 1!п 2! п2 'п,(п-1)...(п-/с+1)1 1 + И п,с+ +пп 1 1 1 1 2 ×(1_ш)+.,_+;(1_±),_.(1-ш), 'П П. ТЬ 'П 'П Полагая (1+%) = єп и 1+1+%ї+...+% =з,,, таким образом, имеем еп < зи (п = 1,2,...). С другой стороны, при любом фиксированном /с и п 2 Аг, как видно ИЗ ТОГО ЖЄ РЗЗЛОЖЄНИЯ, ИМЄЄМ 1 1 1 1 Іє-1 1+1+-1-- +...+- 1-- 1-і <е.,,. 2! п Іс! п п При п -› оо левая часть этого неравенства стремится к зд, а пра- вая -к е, поэтому мы теперь можем заключить, что зд < е для любого Іс Є М. Но тогда из соотношения еп < зп < е при п -+ оо получаем, что Ііш зп = в. 'П-РОО В соответствии с определением суммы ряда мы теперь можем запи- сать е-1+1+1+ +1+ _ 1! 2! п! Это уже вполне пригодное для вычисления представление числа є. Оценим разность е - зп: о<в-3 ---Ь-+-4-+ - п_('п,+1)! (п+2)! 'П-
Ё 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 121 =ЄГ3Ы[1+пїЬ2+(п+2)1(п+з) < 1 1 1 [ <ї 1+ + +... = (п+1)! п+2 (п+22 › ] 1 1 п+2 1 = 1 =--т<_. (п+1)!1-гг-5 п!(п+1) п!п Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числа є числом зп не превосходила, например, 10_3, достаточно, чтобы было Ей < Этому условию удовлетворяет уже 36. Выпишем несколько первых десятичных знаков чис.ла є: е = 2,7182818284590 . . . Полученную оценку разности е-5,, можно записать в виде равенства 0 е=зп+-Ё-, где 0<є9,,,<1. п.п Из такого представления числа е немедленно следует его иррацио- нальность. В самом деле, если предположить, что е = Ё, где р,с1 Є Ы, то чис.ло с1!е должно быть целым, а вместе с тем 9 (11 (11 Ч! 04 (1!е=9!(з +-(д)=с1!+-+-+...+-+- Ч (119 1! 2! Ч! (1 и тогда число %ї тоже должно быть целым, что невозможно. Для сведения читателя отметим, что число е не только иррацио- нально, но даже трансцендентно. Задачи и упражнения 1. Покажите, что число а: Є ІК рационально тогда и только тогда, когда его запись в любой 11-ичной системе счисления периодична, т.е., начиная с некоторого разряда, состоит из периодически повторяющейся группы цифр. 2. Мяч, упав с высоты Іъ, подскакивает на высоту (111, где 11-постоянный коэффициент, 0 < (1 < 1. Найти время, за которое он окажется покоящимся на земле, и путь, который он к этому моменту пролетит. 3. На окружности отмечаются точки, получающиеся из некоторой фик- сированной ее точки поворотами окружности на всевозможные углы в п Є И радиан. Укажите все предельные точки построенного множества.
122 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ 4. Выражение 1 11,1 + 1 , 'П/2 + п 'П,3+ '. 1 1 пк-1 + - пк где щ Є М, называется конечной цепной или непрерывной дробью, а выражение 1 п1+-і-_Ґ ..|_ ї__ П/2 'ГЪ3+ - бесконечной цепной дробью. Дроби, получающиеся из цепной дроби при от- брасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, называют подазодя- щими дробями. Бесконечной цепной дроби в качестве значения сопоставляется предел последовательности ее подходящих дробей. Покажите, что: а) Каждое рациональное число 1%”-, где т,п Є Ы, может быть разложено и притом единственным способом в конечную цепную дробь т 1 + › п (11 Ч2-І- 1 1 Чп-1 + _ Чп считая, что 11,, 75 1 при п > 1. Указание. Числа (11, . . . ,с1,,, называемые неполными частными, получа- ются из алгоритма Евклида т=П'Ч1 +1`1, 'д»=7`1'Ч2+7'2› 1`1=1'2°Чз+1з› если его записать в виде т_ + 1 _ + 1 п Ч1 п!Т1 _`Ч1 Ч2+..
51. пгвдвл послвдовАтЕльности 123 Ь) Подходящие дроби В1 = (11, В2 = (11 + Ё, удовлетворяют неравен- СТВЗМ тп В1<В3<...<В2/9-1 <Е-<В21д<Е2д;._2<...<Е2. с) Числители Рд и знаменатели Од подходящих дробеи ВК формируются по закону Рь = Ри-1% + Ри-2, Р2 = 411112, Р1 = Ч1› О/С = 910-ІЧЁ + ОК-27 О2 : Ч2› 01 : (1) Разность соседних подходящих дробей вычисляется по формуле н н - (`1)к (/«> 1) Ь ,РІ 62/«С2/С-1 ° е) Каждая бесконечная цепная дробь имеет определенное значение. ї) Значение бесконечной цепной дроби иррационально. 1 + 5 1 8, _л 1 1, ___. 2 1 1 + -_- 1 + 11) Числа Фибоначчи 1,1, 2,3, 5,8, . . . (т.е. ип = ип_1 +и,,_2 и и1 = 11,2 = 1), получающиеся как знаменатели подходящих дробей в 5), задаются формулой и _ і 1 + /5 _ 1 _ ×/5 /5 2 2 ' і) Подходящие дроби Нд = 3% в 5) таковы, что - Ё / Сравните этот результат с утверждениями задачи 11, Ё2, гл. П. 5. Покажите, что а) при п 2 2 справедливо равенство 1+і+і+ +і+і-=з__Ь- -__ї_~ 1! 2! п! пїп 1-2-2! (п-1)п-п!, Х = _ 2 1 . Ь) Є 3 то (П + 1)(п + 2)(п + 2)1* с) для приближенного вычисления числа е значительно лучше формула ен 1+%+...+%+пїтанеисходнаяформулаен 1+%+...+% (оцените погрешности, посчитаите и сравните результат со значением є, приведенным на с. 121). 6. Если а и Ь _ положительные числа, а р _ произвольное отличное от нуля вещественное число, то средним порядка р чисел а и Ь называется величина Р + ЬР 1/Р Ѕ”(“*'”) 2 )
124 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ В частности, получаем при р = 1 среднее арифметическое, при р = 2- среднее квадратическое, при р = -1 -среднее гармоническое чисел а, Ь. а) Покажите, что среднее Ѕ,,(а,,Ь) любого порядка заключено между чи- слами а и Ь. Ь) Найдите пределы последовательностей {Ѕп(а, Ь)}, {Ѕ_п(а,, 7. Покажите, что если а > 0, то последовательность а:п+1 = Ё (изд + Ё) при любом а:1 > 0 сходится к арифметическому квадратному корню из а. Оцените скорость сходимости, т. е. величину абсолютной погрешности |:в,, - /Б| = |Ап| в зависимости от п. 8. Покажите, что а) Ѕ0(п) = 1°+...+п° =п, Ѕ1(п) =11 +...+п1 = 73%) = %п2+-п, Ѕ2(п) = 12 +...+п2 = (+1Ё,(2+1)= -из + Ёп” + Ё-П, 2 Ѕ3(п) = -П ї 1 = %п4 + ёпз + Ёі-п2, и вообще °3|,_вЁЭі- Ѕ;,(п) = а;,+1п'°'1 + _ . . + а1п + ао -многочлен от п степени І: + 1. - Ѕ п )_ 1 Ь)п1Ь“ёо7ЁЁ-И-г1т~ 52. Предел функции 1. Определения и примеры. Пусть Е-некоторое подмножест- во множества ІК действительных чисел и а-предельная точка множе- ства Е. Пусть І : Е -› К-вещественнозначная функция, определенная на Е. Мы хотим записать, что значит, что при приближении точки вв Є Е к а значения І (аг) функции І приближаются к некоторому числу А, ко- торое естественно назвать пределом значений функции ] или пределом функции І при аг, стремящемся к а. Определение 1. Будем (следуя Коши) говорить, что функция І : Е -› К стремится гс А при із, стремящемся к а, или что А является пределом функции І при ш, стремящемся гс а, если для любого числа є > О существует число 5 > 0 такое, что для любой точки из Є Е такой, что 0 < |а: - а| < б, выполнено соотношение |]` - А| < е.
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 125 В логической символике сформулированные условия запишутся в виде 1г>0 Э6>0 НШЄЕ (0<|а:-а|<б=>|і(:1:)-А|<є). Если А -предел функции І при ап, стремящемся по множеству Е к точке а, то пишут ]`(а:) -› А при а: -› съ, сс Є Е, или Ііш ](:1:) = А. а:-›а.,:1:ЄЕ Вместо символа св -› а, а: Є Е, мы, как правило, будем использовать более короткое обозначение Е Э сс -› а и вместо Ііш Е І будем :с-›а.,:сЄ писать а І = А. Пример 1. Пусть Е = К 0, ]'(а:) = асзіп Проверим, что . . 1 11ш 11: Ѕ1п - = 0. ЕЭа:-›0 117 Действительно, при заданном Є > 0 возьмем 5 = 5, тогда при О < . . 1 < < 5 = є, учитывая, что Іаз Ѕ1п% < |:с|, будем иметь ща: 51115 < є. Из этого примера, кстати, видно, что функция 1” : Е --› В может иметь предел при Е Э а: -› а, даже не будучи определенной в самой точке а. Как раз эта ситуация чаще всего имеет место при вычислении пределов и, если вы обратили внимание, это обстоятельство учтено в определении предела в виде неравенства 0 < |:с - а|. Напомним, что окрестностью точки 0, Є К мы назвали любой ин- тервал, содержащий эту точку. Определение 2. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена сама эта точка. Если І/`(а,) -обозначение окрестности точки а, то проколотую ок- О рестность этой точки будем обозначать символом П (а). Множества Ґ/'Е(а) := Е П П(а,), йЕ(а› == вт дм) будем называть соответственно окрестностью и проколотой окрест- ностью точки а в множестве Е. О Если а-предельная точка Е, то ПЕ(а) 79 И, какова бы ни была окрестность П(а).
126 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ О 6 г Если на минуту принять громоздкие символы ПЕ(а) и УК(А) для обозначения проколотои 5-окрестности точки а в множестве Е и є-окре- стности точки А в К, то приведенное выше так называемое «є - б-опре- деление» Коши предела функции можно переписать в виде (Е5даі<$› = А) == ×ж<А› гдў;<а› (т<д“Ь<а›› с 1/&<А>) . Эта запись говорит, что А является пределом функции 1” : Е -› К при аз, стремящемся к а по множеству Е, если для любой є-окрестно- О ~.~ 5 сти 1/ПЁ(А) точки А наидется проколотая 5-окрестность Ґ/`Е(а) точки а О в множестве Е, образ которой 1” (П Ёд(а)) при отображении І : Е -› ІК полностью содержится в окрестности 1/ПЁ(А). Учитывая, что в любой окрестности точки числовой оси содержится также некоторая симметричная окрестность (5-окрестность) этой же точки, мы теперь приходим к следующей форме записи определения предела, которую и будем считать основной. Определение 3. (Е;1;5а:<ш› = А) == щ<А› эд'Е<а› (1<дЕ<а›› с 1/М) . Итак, число А называется пределом функции 1” : Е -› К при аг, стре- мящемся по множеству Е к точке а (предельной для Е), если для любой окрестности точки А найдется проколотая окрестность точки а, в мно- жестве Е, образ которой при отображении І : Е -› К содержится в заданной окрестности точки А. Мы привели несколько формулировок определения предела функ- ции. Для числовых функций, когда а, А Є К, как мы видели, зти форму- лировки эквивалентны. Вместе с тем для разных целей бывает удобна то одна, то другая из них. Например, при численных оценках удоб- на исходная форма, указывающая допустимую величину отклонения Ш от а, при которой уклонение 1” от А не превысит заданной величины. А вот с точки зрения распространения понятия предела на более общие функции, определенные не на числовом множестве, наиболее удобной является последняя формулировка, которую мы и выделили. Из нее, кстати, видно, что мы сможем определить понятие предела отображе- ния 1” : Х -› У, если нам будет сказано, что такое окрестность точки в Х и в У, или, как говорят, если в Х и У будет задана топологил.
52. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 127 Рассмотрим еще некоторые, поясняющие основное определение при- меры. Пример 2. Функция 1 при :1:>0, з3пш= 0 при :с=0, -1 при а:<0 (читается «сигнум а:››1)) определена на всей числовой оси. Покажем, что у нее нет предела при ш, стремящемся к О. Это значит, что ×/А Є на эх/(А) ×1й(о) эт Є дю) (ль) 9: 1/(/1)), т. е., какое бы А (претендующее на то, чтобы быть пределом 551111: при 1: -+ 0) мы ни взяли, найдется такая окрестность /(А) точки А, что, О какую бы (малую) проколотую окрестность П(0) точки О ни взять, в О ней есть по крайней мере одна точка а: Є П(0), значение функции в которой не лежит в ї/(А). Поскольку функция 551111: принимает только значения -1, 0, 1, то ясно, что никакое число А, отличное от них, не может быть пределом функции, ибо оно имеет окрестность ї/(А), не содержащую ни одно из этих трех чисел. Если же А Є {-1,0,1}, то возьмем в качестве 1/(А) є-окрестность точки А при є = 1 / 2. В такую окрестность заведомо не могут попасть одновременно обе точки -1 и 1. Но, какую бы проколотую окрестность О П(0) точки 0 ни взять, в ней есть как положительные, так и отрица- тельные числа, т. е. есть и точки 1:, где = 1, и точки, где = -1. Значит, найдется точка ш Є ІС}(0) такая, что І $ /(А). Условимся, если функция І: Е -› ІК определена во всей проколотой О О О окрестности некоторой точки а Є К, т. е. когда ПЕ(а) = Пщ_(а) = П(а), вместо записи Е Э 11: -› а употреблять более короткую запись ат -› а. 1)Ѕі5ш1п1 (л.а.т.) -знак.
128 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ Пример 3. Покажем, что Ііпё | $511 а:| = 1. Ш-› Действительно, при аз Є ІК О имеем |Ѕ3п:в| = 1, т. е. функция посто- О янна и равна 1 в любой проколотой окрестности П(0) точки 0. Значит, О для любой окрестности 1/(1) получим ДП = 1 Є ї/(1). Обратите внимание, что хотя в данном случае функция [$511 а:| и определена в самой точке О и |з3п0| = 0, но это значение не имеет никакого влияния на величину рассматриваемого предела. Таким образом, не следует смешивать значение І (а) функции в точ- ке а с пределом Ііш 1” функции при св, стремящемся к а,. 213-УО, Пусть ІК_ и ПЦ - множества отрицательных и положительных чисел соответственно. Пример 4. В примере 2 мы видели, что предел К1іп1 0331151: не су- Эа:-› ществует. Замечая, однако, что ограничение $511 |К_ функции $511 на ІК_ есть постоянная функция, равная -1, а Ѕ3п|К+ есть постоянная, рав- ная 1, можно, как и в примере 3, показать, что Ііш 55111: = -1, Ііш Ѕ5п:с = 1, ]К_ЭІ13-У0 К+ЭІБ->0 т.е. ограничение одной и той же функции на различные множества может иметь различные пределы в одной и той же точке или даже не иметь его, как это было в примере 2. Пример 5. Развивая идею примера 2, можно аналогично пока- зать, что функция Ѕіпё не имеет предела при из -+ 0. гп^° З “Ё Действительно, в любой проколотой окрестност точки О все- 1 1 гда есть точки вида -7---_” 2 +21т и -7--ТГ 2 +27,/, где в которых функция принимает значения -1 и 1 соответственно. Но оба эти числа не могут одновременно содержаться в є-окрестности ї/(А) точки А Є Є К, если Є < 1. Значит, ни одно число А Є К не может быть пределом этой функции при 11: -+ 0. Пример 6. Если 1 Е_={$ЄК|Ш= , ПЄЫ}
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 129 И 1 Е+ {$ Є Іаї 1г/2+2тгп, п Є }, то, подобно рассмотренному в примере 4, получаем, что . . 1 . . 1 Іпп $111 - = -1 и 11п1 з1п- = 1. Е- Эт-›0 ЗС ' Е+Э:в-›0 СВ Между изученным в предыдущем параграфе понятием предела по- следовательности и введенным здесь понятием предела произвольной числовой функции имеется тесная связь, которую выражает следующее Утверждение 11). Соотношение Е1іп1 )°(а:) = А имеет место Эа:-›а тогда и только тогда, когда для любой последовательности {:а,,} то- чек азп Є.Е а, сшодлщейсл н а, последовательность {{(:1:п)} сазодитсл н А. 4 То, что а І = А) => (п1Ь1;1о І = А), сразу следует из определений. Действительно, если ЕІіп1 І = А, то для любой окрест- 9:1:-›а О ности ї/(А) точки А найдется проколотая окрестность І/Е(а) точки а О в Е такая, что для 11: Є І/'Е(а) имеем ]` Є 1/(А). Если последователь- ность точек множества Е а сходится к а, то найдется номер 1/' О такой, что при п > 1/` будет тп Є ПЕ(а) и, значит, ](а:п) Є ї/(А). На основании определения предела последовательности, таким образом, за- ключаем, что Ііш І = А. П-РОО Перейдем к доказательству обратного утверждения. Если А не явля- ется пределом при Е Э ап -+ а, то найдется окрестность ї/(А) та- кая, что при любом н Є Ы в %-окрестности точки а найдется точка 12,, Є Е а такая, что І Є Х/(А). Но это означает, что последо- вательность {]` не сходится к А, хотя последовательность стремится к а. Ь 1)Его иногда называют утверждением о равносильности определений предела по Коцш че ез ок естности и по Гейне че ез после овательности . д Э. Гейне (Хайне) (1821 - 1881) -немецкий математик.
130 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ 2. Свойства предела функции. Теперь установим ряд постоянно используемых свойств предела функции, многие из которых аналогич- ны уже доказанным свойствам предела последовательности и потому, в сущности, нам уже знакомы. Более того, на основании только что доказанного утверждения 1 многие важные свойства предела функции, очевидно, немедленно следуют из соответствующих свойств предела по- следовательности: единственность предела, арифметические свойства предела, предельный переход в неравенствах. Тем не менее мы вновь проведем все доказательства. В этом, как выяснится, есть определен- ный смысл. Мы хотим обратить внимание читателя на то, что для установления всех свойств предела функции требуются всего два свойства проколо- О тых окрестностей предельной точки множества: В1) І/`Е(а) 79 И, т.е. проколотая окрестность непуста, и В2) 7'йЬ(а) 7'д`Ъ(а) Ё.йЕ(а)(д`Е(а) С О С Пыа) П ПЪ(а)), т. е. в пересечении любой пары проколотых окрест- ностей содержится проколотая окрестность. Это наблюдение приведет нас к общему понятию предела функции и возможности в будущем ис- пользовать теорию предела уже не только для функций, определенных на числовых множествах. Чтобы изложение не было простым повторе- нием сказанного в Ё 1, мы используем здесь некоторые новые полезные приемы и понятия, которые не демонстрировались в Ё 1. а. Общие свойства предела функции. Сначала несколько опре- делений. Определение 4. Функцию І : Е -› К, принимающую только одно значение, будем, как и прежде, называть постоянной. Функция І : Е -› -› ІК называется финально постоянной при Е Э а: -› а, если она посто- О янна в некоторой проколотой окрестности ПЕ(а) точки а, предельной для множества Е. Определение 5. Функция /: Е -› К называется ограниченной, ограниченной сверагу, ограниченной снизу, если найдется число С Є К такое, что для любого 11: Є Е выполнено соответственно |]` < С, [(а:) < С, С < В случае, если первое, второе или третье из этих соотношений вы- О полнено лишь в некоторой проколотой окрестности ПЕ(а) точки а,
ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 131 функция І : Е -› К называется соответственно финально ограничен- ной при Е Э а: -› а, финально ограниченной сверагу при Е Э 11: -› а, финально ограниченной снизу при Е Э :в -› а. Пример 7. Функция І = зіп %+а: сов %, определенная этой фор- мулой при 11: ;Є 0, не является ограниченнои на области определения, но она финально ограничена при 11: -› 0. Пример 8. То же самое относится к функции 1” (ш) = а: на 1112. Теорема 1. а) (_/`: Е -› К при Е Э із -› а есть финально посто- янная А) => ( Ііш [(117) = А). ЕЭ:1:-›а Ь) (3 => Е -› В финально ограничена при Е Э Э а: -› а). С) < 11111 = /11) / < НІП = А2) Э (А1 = ЕЭ:в-+а ЕЭа:-›а 4 Утверждение а) о наличии предела у финально постоянной функ- ции и утверждение Ь) о финальной ограниченности функции, имеющей предел, вытекают прямо из соответствующих определений. Обратимся к доказательству единственности предела. Предположим, что А1 # А2. Возьмем тогда окрестности 1/(А1), ї/(А2) так, чтобы они не имели общих точек, т.е. 1/(А1) П ї/(А2) = И. По определению предела имеем Е;1да1<$› = А1 =› эйыо (х<дь<«»›› с 1/(Ад) , пт по = Аг =› эЫъ<«› (г<Ыъ<«›› с 1/(Аа) . ЕЭа:-›а Возьмем теперь проколотую окрестность Ґ}Е(а) точки а (предель- ной для Е) такую, что ПЕ(а) С І/Ъ(а) П ПЪ(а) (например, можно взять І/Е(а) = Пыа) П ПЪ(а), поскольку это пересечение тоже есть проколо- тая окрестность). Поскольку І/`Е(а) 79 И, берем а: Є Ґ}Е(а). Тогда [(113) Є 1/(А1)ГП/(А2), что невозможно, так как окрестности ї/(А1), 1/(А2) по построению не имеют общих точек. Ь
132 гл. 111. пгвдвл Ь. Предельный переход и арифметические операции Определение 6. Если две числовые функции І : Е -› К, 9: Е -› -› К имеют общую область определения Е, то их суммой, произведени- ем и частным называются соответственно функции, определенные на том же множестве следующими формулами: (і + 9)(Ш) == НФ) + 9(т), Н - а::=9 если у(а:);Є0 при ШЄЕ. Н (1 ~ 9›<<»› == до ло, ї [Ц (9)( ) < › Теорема 2. Пусть 1*: Е -› К и 9: Е -› К - две функции с общей областью определения. Если Е%іагп_ю[(аз) = А, Е%і:€п_ю9(:1с) = В, то ад Е%іа{2Ю(Ґ +9)(Ш) = А+-В; Ь) Е±іа{2›а(і ~ 9)(1=) = А ~ В; с) Е1іп1 )(а:)=%, еслиВ9Є0 иу(а:);Є0 при:1:ЄЕ. 9:1:-›а /' <ФІ'~›~ Эта теорема, как уже отмечалось в начале пункта 2, непосредствен- но вытекает из соответствующей теоремы о пределах последователь- ностей, если учесть утверждение, доказанное в пункте 1. Теорему можно получить также, повторив доказательство теоремы об арифметических свойствах предела последовательности. Все изме- нения в доказательстве, которые при этом придется провести, сведутся к тому, что всюду, где раньше мы выбирали «Ы Є М, начиная с кото- рого . . _ ››, нужно будет выбирать некоторую проколотую окрестность О ПЕ(а) точки а в множестве Е. Советуем читателю проверить это. Здесь же мы получим эту теорему из ее простейшего частного слу- чая, когда А = В = О (утверждение с) при этом, разумеется, не рас- сматривается) . Функцию І : Е -› ІК принято называть бесконечно малой при Е Э Э а: -› а, если Ііш ]°(а:) = 0. ЕЭ:1:-›а Утверждение 2. а) Если а: Е -› К и В: Е -› К -бесконечно малые функиии при Е Э 11: -› а, то из: сумма а + В: Е -› К -также бесконечно малая функция при Е Э 1: -› а.
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 133 Ь) Если а: Е -› К и В: Е -› К -бесконечно малые функции при Е Э ат -› а, то иа: произведение а - В: Е -› К -также бесконечно малая функция при Е Э а: -› а. с) Если а: Е -› К -бесконечно малал функция при Е Э а: -› а, а В: Е -› ІК -финально ограниченная функиил при Е Э ш -› а, то произведение сх ~ Б: Е -› В есть бесконечно малал функция при Е Э Э сс -› а. 4 а) Проверим, что (Е%іапіюа(:с) = 0) / (Е%іапіюВ(:1:) = 0) => (Е%іапіЮ(а + = 0) . Пусть задано число е > 0. По определению предела имеем 11 (Е%1даа(ь) = 0) (эйыа) на Є іўыа) (|а($›| < , (Е;1дал<$›= 0) (эйЪ<а› ×/Ш е йЪ<<»› (шо: < Э). 11 О О О Тогда для проколотой окрестности ПЕ(а) С Щ5(а) П Ґ/'Ъ(а) получаем Чт Є дат) І(<1 + д)(Ф)І = ІЩШ) + В(<1=)І < І01(1=)І + Ід(11)І < Є, т.е. проверено, что Ііш (а + В) = 0. ЕЭ:1:-›а Ь) Это утверждение есть частный случай утверждения с), поскольку всякая функция, имеющая предел, финально ограничена. с) Проверим, что (Е%1даа(а) = 0) А (ам Є не эйЕ(а) на Є йЕ(а) (|о(«;)| < м)) => => ( Ііш а(а:)Б(а:) = 0) . ЕЭ:в-›а Пусть задано е > 0. По определению предела имеем (Е%і;т_д›аа($) = 0) ±› (эйыа) на Є й<Е(а› (|а(а›| < .
134 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ О О О Тогда для проколотой окрестности ПЪ(а) С Пыа) П ПЕ(а) получаем И Є ЁЪЮ) І(а-д)(=г)І =Іа(=1›)д(=1>)І = І@(=г)ІІд(Ш)І < 173- ~ М = Є- Тем самым проверено, что Ііш а(:Ь')В(:1:) = 0. Ь ЕЭа:-›а Теперь сделаем следующее полезное Замечание. Е%іапіЮ1”(:1:)= А) :> = А+а(:в)) / (Е%іап1_юа(:1:) = 0) Иными словами, функция І : Е -› ІК стремится к А тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы А + а(а:), где а(:в) -бесконечно малая при Е Э а: -› а функция (уклонение 1” от А)1). Это непосредственно следует из определения предела, в силу кото- рого Е%1;пю[(:1:) = А <=> Е%1апію(]'($) - А) = 0. Приведем теперь доказательство теоремы об арифметических свой- ствах предела функции, основанное на этом замечании и установленных свойствах бесконечно малых функций. 4 а) Если Ііш [(ш) = А и Ііш 9(:1:) = В, то [(;с) = А+а(:с) и ЕЭа:-›а, ЕЭ:1:-›а у(:1:) = В + В(:1:), где а(а:) и В(:1:) -бесконечно малые при Е Э ш -› а. Т0гдг» (і+9)(111) = 1'($)+9(Ш) = А+0<(Ш)+В+д(Ш) = (А+В)+'У(Ш), где *у(:1:) = а(1:) + Шаг), как сумма бесконечно малых, есть бесконечно малая функция при Е Э а: -› а. Таким образом, Ііш (І + = А + В. ЕЭа:-›а Ь) Вновь представив ](а:) и у(:1;) в виде [(а:) = А-І-ог(ш) и 9(:1:) = В + + Шаг), имеем (1”~9)($) = 1'(11=)9(=г) = (А + <1(т))(В + ВШ) = А ~ В + ИФ), 1) Любопытная деталь: это почти очевидное, но очень полезное в вычислительном плане и важное в идейном отношении представление особо отмечалось французским математиком и механиком Лазаром Карно (1753 - 1823), революционным генералом и академиком, отцом родоначальника термодинамики Сади Карно (1796 - 1832).
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 135 где *у(:с) = А,8(:с) + Ва(а:) + а(а:)Б(а:) по свойствам бесконечно малых есть бесконечно малая функция при Е Э а: -› а. Таким образом, Ііш (І ~ 9)(:в) = А - В. ЕЭ:1:-›а с) Вновь запишем, что І(:с) = А + а(:в) и у(а:) = В + Щас), где Ііш а(а:) = 0, Ііш Шаг) = 0. Еэаз-›а ЕЭа:-›а О Поскольку В ;Є 0, существует проколотая окрестность І/'Е(а), в лю- бой точке которой < Іёі, и потому = |В + 2 |В| - - > Тогда в І/'Е(а) будем иметь также фл < їёї, т.е. функция Ё финально ограничена при Е Э 11: -› а. Теперь запишем _ ) А _ А + а _ 9) В В+д( 1 = аїў (В01($)+ Ад($)) = 'У(Ш)- (5 ЩЖ. ;) Е ШЬ ,-`ї': НН е~з'€~? Ш,_д/./ Соїь По свойствам бесконечно малых (с учетом доказанной финальной огра- ниченности функция *у(а:) есть бесконечно малая при Е Э сс -› а. Таким образом, доказано, что Ііт (Ё) = 14-. Ь Еэа:-›а 9 В с. Предельный переход и неравенства Теорема 3. а) Если функции І: Е -› К и 9: Е -› К таковы,нто Ііш [(12) = А, Ііш у(:1:) = В и А < В, то найдется проколотал ЕЭ:с-›а ЕЭа:-›а О окрестность І/Е(а) точки а в множестве Е, в любой точке которой выполнено неравенство ](а:) < Ь) Если между функциями ]`: Е -› К, 9: Е -› К и /2: Е -› ІК на множестве Е имеет место соотношение < 9(:1:) < /1(:1:) и если Е%і;п_ю[(:в) = Еёіёпю/ъ(а:) = С, то существует также предел 9(:1с) при Е Э а: -› а, причем Ііш 9(а:) = С. ЕЭ:в-›а 4 а) Возьмем число С такое, что А < С < В . По определению преде- О О ла найдем проколотые окрестности ПЪ (а) и ПЪ(а) точки а в множестве О О Е так, чтобы при 1: Є Пыа) иметь - А| < С - А и при Ш Є ПЪ(а) О иметь |у(а:) -В| < В - С. Тогда в любой проколотой окрестности Ґ/`Е(а),
136 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ О О содержащейся в Ґ/Ъ(а) П ПЪ(о), получим [(12)<А+(С'-А)=С'=В-(В-С)<9(а:). Ь) Если Ііш І = Ііш /ъ(:1:) = С, то по любому фиксированному ЕЭа:-›а ЕЭа:-›а О О е > О найдутся такие проколотые окрестности Пыа) и ПЪ(а) точки а О О в множестве Е, что при сс Є Ґ/Ъ(а) имеем С - є < ](а:) и при :в Є ПЪ(а) О имеем /ъ(а:) < С + е. Тогда в любой проколотой окрестности І/'Е(а), О О содержащейся в Пыа) П ПЪ(а,), будем иметь С - е < ]`(а:) < /1(:с) < С + е, т. е. - СІ < е, и, следовательно, Ііш 9( = ЕЭ:1:-›а Ё,// *і ФЗ, 1/А Следствие. Пусть Ііш 1” = А и Ііш у(а:) = В . Если в нено- ЕЭа:-›а, ЕЭа:-›а. торой проколотой окрестности І/Е(а,) точки а а) выполнено [(а:) > 9(:с), то А 2 В; ееэ: Ф 155* // Ё” выполнено ]'( ) 2 9(а:), то А 2 В; ыполнено 1” > В, то А В; выполнено І 2 В, то А 4 Рассуждая от противного, из утверждения а) теоремы 3 немедлен- но получаем утверждения а), Ь) доказываемого следствия. Утверждения с), (1) получаются из первых двух при 9(а:) 5 В. Ь (1. Два важных примера. Прежде чем переходить к дальнейшему изложению теории предела функции, продемонстрируем на двух важ- ных примерах использование уже доказанных теорем. Пример 9. Іпп -- = 1. а:-+0 (1: , зіпа: Ц Здесь мы будем апе.ллировать к школьному определению Ѕіпа: как ординаты точки, в которую переходит точка (1, 0) при повороте (с цен- тром в начале координат) на угол 11: (радиан). Полнота такого опреде- ления всецело зависит от того, насколько тщательно установлена связь между поворотами и действительными числами. Поскольку сама систе- ма действительных чисел в школе не была описана достаточно подроб- но, надо считать, что нам необходимо уточнить определение віпш (то же самое относится и к функции сов
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 137 В свое время мы это сделаем и обоснуем те рассуждения, которые сейчас будут опираться на наглядность. а) Покажем, что В = (созадзіп 1:) соЅ2ш<Ё<1 при 0<|:с|<ї. -С гс 2 А 4 Так как соЅ2 11: и 53;-Ё -четные функ- ции, то достаточно рассмотреть случаи 0 < < 1: < тг/2. Из рис.8 и определения соваг и Ѕіпат, сравнивая площади сектора <ІОСВ, РИс' 8' треугольника АОАВ и сектора <ІОАВ, имеем = (1›0) 1 ^ 1 1 Ѕ<д(;р = ё|ОС'| - |СВ| = ё(соЅ созєс) = -йа: соЅ2:с < 1 1 . 1 . < Ѕдддв = ё|ОА| - |ВС'| = 5-1~Ѕ1па: = ёзшаз < 1 ^ 1 1 < 540,45 = -ё|ОА| - |АВ| = 5 -1-11: = Разделив эти неравенства на ёсс, получаем то, что и утвержда- лось. Ь Ь) Из а) следует, что |Ѕіп:в| < при любом сс Є К, причем равенство имеет место только для а: = 0. 4 При 0 < < ^/г/2, как показано в а), имеем |Ѕіп:в| < Но |зіпа:| < 1, поэтому для 2 тг/2 > 1 также выполнено последнее неравенство. И только при а: = 0 имеем Ѕіпа: = а: = 0. Ь с) Из Ь) следует, что Ііш Ѕіпа: = 0. :в-›0 4 Поскольку 0 < |Ѕіп:1:| < и поскольку Ііггё = 0, на основа- $-Р нии теоремы о связи предела функции с неравенствами получаем, что Ііш |Ѕіпш| = 0, следовательно, Ііт Ѕіпа: = 0. Ь :с-›0 а:-›О (1) Теперь докажем, что Ііпё Ё? = 1. $_›
138 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ 4 Считая, что < тг / 2, в силу полученного в а) неравенства имеем , зіпа: 1-Ѕ1п2:1:< -- <1. из Но 1іп1(1 - зіп2 1:) = 1 - 1іп1Ѕіпа:~ Ііш Ѕіпа: = 1 - 0 = 1, значит, по :1:-›О а:-›0 а:-+0 теореме о предельном переходе в неравенствах можем заключить, что пт Ё;-2 = 1. › ш-›0 Пример 10. Определение показательной, лоеарифмической и степенной функций на основе теории предела. Мы продемонстриру- ем сейчас, чем и как можно было бы дополнить школьное определение показательной и логарифмической функций, если располагать теорией действительного числа и теорией предела. Для удобства ссылок и полноты картины проделаем всё с самого начала. а) Показательнал функция. Пусть а > 1. 1° Для п Є Ы полагаем по индукции а1 := а, а,+1 := а - а. Таким образом, на Ы возникает функция а, которая, как видно из определения, обладает свойством ат т-п п а * (1 еслит,пЄІІит>п. 2° Это свойство приводит к естественным определениям 1 ао := 1, а_ := 7 при п Є Ы, а после которых функция а” оказывается распространенной на множест- во 2 целых чисел и для любых т, п Є Ё ат - а = ат''. 3° В теории действительных чисел мы отметили, что для а > 0 и п Є Ы существует единственный арифметический корень п-й степени из а, т. е. число а: > О такое, что ш = а. Для него принято обозначе- ние а1/“_ Оно удобно, если мы желаем сохранить закон сложения пока- зателей: П а = а1 = ((11/11,) = 0,1/п,___а1/п = 01/п+...+1/п_
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 139 По той же причине естественно положить ат/ := (а1/ '”)т и аҐ1/ := = (а1/)_1 для п Є М и т Є 2. Если окажется, что а(”'°)/(М) = ат/'” для К Є 2, то можно считать, что мы определили а для т Є <@. 4° Для чисел О < сс, 0 < у по индукции проверяем, что для п Є М (11 < 11) 4* (тп < уп), поэтому, в частности, (Ш = 11) <=> (тп = уп)- 5° Это позволяет доказать правила действий с рациональными по- казателями, в частности, что а(т'°)/(пк) = ат/ при 1: Є 2 и ат1/1:1 _ атг/112 = ат1/п1+т2/11,2. 4 Действительно, а(т'°)/(пк) > 0 и ат/ > 0. Далее, поскольку (,,<т1=›/ки/«›)'° = ((а1/<«»1=›)“)Ь _; = (01/(11Ё))т,є.п,с = ((01/(пЁ))пК)т,с = ат* “ (ат/>*=((01/>>“*=с» то первое из проверяемых равенств в соответствии с 4° установлено. Аналогично, (атм .ат2/п2)1”” = (ти/п1)12. (Ст/~2)12 = :__ ((а1/п1)п1)т1п2 . ((01/п2)п2)т2'п1 = ат1п2 . ат2п1 : ат1п2+т2п1 И (ат1/П1+т2/'П«2)п1п2 = (а/(т1П2+т2П1)/(111П2))шт _; + = ((01/(п1п2))п1П2)т1П2 т2П1 : ат1п2+т2п1, поэтому второе равенство также доказано. >
140 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ Таким образом, мы определили а` для 1 Є (12, причем а, > 0 и для любых 'г1,т2 Є @ ат _ ат = а1'1+т2_ 6° Из 4° следует, что для т'1,т'2 Є <@ (Т1 < Т2) => (а1 < ат). 4 Поскольку (1 < а) <=> (1 < а1/) для п Є М, что сразу следует из 4°, то ((11/')т = ат/'' > 1 при п,т Є М, что опять-таки следует из 4°. Таким образом, при 1 < а для т > 0, г Є @ имеем ат > 1. Тогда при 'г1 < Т2 на основе 5° получаем ат = съ” ~а2_“ > ат* - 1 = а1. > 7° Покажем, что для то Є @ Ііш ат = а°. @Э1`-*То 4 Проверим, что ар -+ 1 при <@ Э р -› 0. Это следует из того, что при |р| < % имеем в силу б° а1/' < ар < а1/Щ Мы знаем, что а1/ -› 1 (и аҐ1/ -› 1 ) при п -› оо. Тогда стандарт- ным рассуждением проверяем, что для Є > 0 найдется б > 0 такое, что при |р| < 5 будет 1-є<а,1°<1+г. В качестве 6 можно взять %, если 1 - є < а1/ и а1/ < 1+ Є. Теперь докажем основное утверждение. По є > 0 подберем 6 так, что при |р| < 6 Есл или 1- єа`° < ар < 1 + єа“°. и теперь |1° - 'г0| < 5, то а°(1 - га'°) < ат = аТ° -а`Т° < а°(1 + єа'Т°), от-є<а'<॰+є. Ь
52. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 141 Итак, на ((2 определена функция ат со свойствами: а1=а>1; ат , ат : а'Г1-І-Т2; ат* < ат” при 'г1 < Т2; атї -› ат* при ((2 Э 11 -› гг. Продолжим ее на всю числовую ось следующим образом. 8° Пусть 11: Є К, з = Ѕир а и 12 = Фіпї ат. Ясно, что з, і Є ІК, так @Э1`<:1: 9`>$ ' как при Т1 < сс < гг имеем а“ < а`2. Покажем, что на самом деле з = і (и тогда эту величину мы обо- значим через 03” 4 По определению з и і, при 1°1 < гс < *гг имеем ат* < < '< 072. Со ы Тогда О < і - з < а,2 - а'1 = а1(а21 - 1) < з(а,`2'“ - 1). Но ар -› 1 при <@ Э р -› 0, поэтому для любого є > 0 найдется 6 > О такое, что при 0 < 1°2 - т1 < 5 будет а2““1 -1 < є/з. Тогда получим, что О < 11- з < Є, и, поскольку г > О произвольно, заключаем, что і = з. Ь Положим ат := з = і. 9° Покажем, что ат = Ііт ат. <@Эт-+11: 4 Учитывая 8°, для г: > 0 найдем т' < 11: так, что 5 - Є < ат/ < з = = ат, и т” так, что ат = і < ат < і+ є. Поскольку 'г' < 1* < т” влечет а/І < ат < ат, для всех 'г Є @, лежащих в интервале ]т°', г”[, будем тогда иметь ат-г<а,<а$+є. Ь Займемся теперь свойствами построенной функции а°” на К 10° Для :1:1,:с2 Є К при а > 1 (121 < 1122) => (ад < а,$2). 4 На интервале ]:1:1,:с2[ найдутся два рациональных числа Щ < Т2. Если 2:1 < т°1 < гг < 1:2, то по определению ат, данному в 8°, и свойствам функции аі” на <@ имеем ад < аЁ1 < от < ат. > 11° Для любых а:1,:п2 Є К верно ат -ат = а$1+$2.
142 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ 4 В силу известных нам оценок абсолютной погрешности произве- дения и свойства 9° можно утверждать, что для любого 5 > 0 найдется число б' > О такое, что при |:1:1 - т1| < б', |а:2 - *г2| < б' будет ад -ат - Ё <а1~а2 <а“”1-а$2+Е. 2 2 Уменьшая, если нужно, б', можно подобрать 5 < б' так, что при |а:1- т1| < 6, |:1:2 - 1°2| < б, т.е. при |(:в1 + :1:2) - (т'1 + т2)| < 25, будем ИМЄТЬ ТЗКЖЄ Є Є . а'Г1+1'2 _ 5 < а$1+Ф2 < а1'1+т2 + Но а1 -ат* = а`1+`2 для т1,т2 Є (І), значит, из полученных неравенств вытекает, что а“”1 ~а“”2 - є < а$1+$2 < от ~а$2 + є. Поскольку є > 0 произвольно, заключаем, что 12° Ііш а$ = а“”°. (Напомним, что «аз -+ а:0›› -принятое сокращение (Е-НБ0 для «К Э 17 -› а:д››.) 4 Проверим сначала, что Ііпё а“” = 1. По Є > 0 найдем п Є Ы так, что “Н 1-є <аҐ1/ <а,1/'Ъ < 1+г. Тогда в силу 10° при < 1/п будем иметь 1-г<аҐ1/<а”<а1/ < 1+г, т. е. проверено, что Ііш аі” = 1. а:-+0 Если теперь взять 6 > 0, чтобы при |:в - :1:0| < 6 было |а“*“”° - 1| < < ЄаҐ”°, то получим а$° - є < от = а$° (а”'$° -1) < аЁ° +є и тем самым проверено, что Ііпл аа* = а*”°. Ь ІІ:-Н120 13° Покажем что множеством значений пост оенной нкции 11: ›-› 7 ›-› 05” является множество Щ всех положительных действительных чисел.
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 143 4 Пусть 3,/0 Є ПЧ€_д_. Если 0, > 1, то, как нам известно, найдется число п Є Щ такое, что а < уо < а. В силу этого оба множества А={І17ЄК|(1,Ш<у0}И В={ШЄІК|у0<(Ь$} непусть1. Но поскольку (Ш1 < 1132) <=> (ад < ад) (при а > 1), то для любых чисел 1:1, Ш2 Є К таких, что $131 Є А и Ш2 Є В, имеем а:1 < 1132. Следовательно, к множествам А и В применима аксиома полноты, из которой следует существование числа 1130 такого, что 3:1 < то < а:2 для любых элементов 1121 Є А и 5132 Є В . Покажем, что а,$° = уо. Если бы было а$° < уо, то, поскольку а$°+1/ -› ато при п -› оо, нашлось бы число п Є Ы такое, что аЁ”°+1/' < 1/0. Получилось бы, что (ато + Є А, в то время как точка а:0 разделяет А и В. Значит, пред- положение а“”° < 3,/0 неверно. Аналогично проверяем, что неравенство ад* > уд тоже невозможно. По свойствам действительных чисел отсюда заключаем, что а“”° = уо. Ь 14° Мы пока считали, что а > 1. Но все построения можно было бы повторить и для О < а < 1. При этом условии О < ат < 1, если т > 0; поэтому в 6°, а затем окончательно в 10° теперь получим, что при 0 < а < 1 (:с1< :1с2) => (ад > ат). Итак, при а > 0, а 75 1 на множестве В действительных чисел мы по- строили действительнозначную функцию 1: ›-› ат со следующими свой- ствами: І-ЬС/О [Эі_^ ы×`/_/./ *9 Ё 9 Н Р-* : 51,; 1 ,ат : аі111+Ш2; “Е -+а“”° приз:-›:1:0; ад < ат) <=> (1:1 < Ш2), если а > 1, (ад > ад) <=> (а:1 < Ш2), если 0 < а <1; 5) множеством значений функции 11: 1-› от является множество Щ = = {у Є К | 0 < у} всех положительных чисел. Определение 7. Отображение 11: ›-› а,*” называется показатель- ной или энспонєнциальной функцией при основании а. Особенно часто встречается функция гс ›-› ет, когда а = е, которую нередко обознача- ют через ехрш. В связи с этим для обозначения функции а: Ь-› аї” также иногда используется символ ехра ат.
144 гл. 111. пввдвл Ь) Логарифминесная функция. Поскольку отображение ехра: ІК -› -› ІК_|_, как видно из свойств показательной функции, биективно, оно имеет обратное отображение. Определение 8. Отображение, обратное к ехра: К -› Щ, назь1- вается логарифминєсной фуннииєй при основании а (0 < а, 0, # 1) и обозначается символом 1о5а:1К+ -› К. Определение 9. При основании а = є логарифмическая функция, или логарифм, называется натуральным логарифмом и обозначается 1п;1щ-›н. Причина такой терминологии прояснится при другом, во многом да- же более естественном и прозрачном подходе к логарифмам, который мы изложим после построения основ дифференциального и интеграль- ного исчисления. По определению логарифма как функции, обратной зкспоненциаль- ной, имеем 7'ш Є К (1о5а(а5”) = из), Ну Є Щ (а10Ёа у : _ Из этого определения и свойств показательной функции, в частно- сти, получается, что в области ]К+ своего определения логарифм обла- дает следующими свойствами: дъооюг-^ Ъ Ъ Ъ Ъ Ё/&././О |-_д|±.д|-А оёаа, = 1; 0еа(у1 -112) = Іоеа, гл + 103,1 2/2; Оеау ->1<>еа,з/0 ПРИ Щ Э у -> уе Є Щ; (10еа 1/1 < 103,1 1/2) <=> (гл < 1/2), ЄСЛИ И > 1, (105, у1 >1о3ау2) <=> (у1 < у2), если О < а < 1; 5') множество значений функции 1050: Щ -› К совпадает с множе- ством К всех действительных чисел. 4 Из свойства 1) показательной функции и определения логарифма получаем 1' Из свойства 2) показательной функции получаем 2' Действительно, Пусть Ш1 =10еа 1/1 И 1:2 = 1080, 1/2. Тогда 1/1 = а““1, 1/2 = сб” И по 2) 1/1 -1/2 = = от -аж* = а“”1+$2, откуда 1о5а_(у1 ~ уг) = 1:1 + 1122. Аналогично, свойство 4) показательной функции влечет свойство 4' ) логарифмической.
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 145 Очевидно, 5) => 5'). Осталось доказать 3' В силу свойства 2') логарифма у 1% 1/ - Іояа уе =1<>за (і) , поэтому неравенства -Є <1о5ау - 1050, уо < Є равносильны соотношению -_ у 1050, (а, Є) = -Є <105а < Є =105а(а/5), которое по свойству 4') логарифма равносильно Є -а, <ї<а,Є при а>1, 3/0 аЄ<ї<аЄ при 0<а<1. 1/0 В любом случае мы получаем, что если у0४ < у < уоаг при а > 1 или Є _Є уоа, <у<у0а при0<а<1, то -Є < Іоёау - Іоёа уд < Є. Таким образом, проверено, что К+Эу1і›1{/10ЄК+105а у = 105,, уо. Ь На рис. 9 изображены графики функций ет, 10“”, 1111:, 10510 св =: 105 :1:, а на рис. 10_графики функций (ёуп, 0,112, 1051/Є 1:, 1о50,1 сс. Остановимся еще на одном свойстве логарифма, которым тоже час- то приходится пользоваться. Покажем, что для любого Ь > О и любого а Є К справедливо равен- ство б') 1о5а(Ь°) = 011050 Ь. 4 1° Равенство справедливо при 0: = п Є 11, ибо из свойства 2') логарифма по индукции получаем 1о3а(у1 . . . уп) = 1050, 3/1 + . . . +1о3а уп, значит, 105а(Ь) =105а Ь + . . . +103а Ь = п105а Ь.
146 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ 10” у Ра: 3 Є 2- / Іпсс 1 / І/ І Іоёюаз ///О 1 2 Є 3 СС / / Рис. 9. 2° 1о5а(Ь`1) = -1о5а Ь, ибо если И = 1050, Ь, то ь = О/3, ь-1 = ат” И 10%, (ь-1) = -дв. 3° Из 1° и 2° теперь заключаем, что для а Є Ж равенство 1о5,,(Ь°”) = = а1о5,, Ь справедливо. 4° 1о5,,(Ь1/) = -}ї1о3,, Ь при п Є Е. Действительно, Іоёа Ь = Іоёа (Ь1/'')п = 111056, (Ь1/71) . 5° Теперь можно проверить, что для любого рационального числа _ 'ГП а _ ї Є @ утверждение справедливо. В самом деле, %1о5а Ь = т1о5,, (Ь1/7*) =1о5,, (Ь1/уп = Іода (Ьт/7*) _ 6° Но если равенство Іода ЬТ = 1°1о5аЬ справедливо для любого т Є Є <@, то, устремляя т по @ к а, на основании свойства 3) показательной и свойства 3') логарифмической функций получаем, что если 1 достаточ- но близко к а, то Ь близко к Ьа и Іоёа Ь близко к 105,, Ьа. Это означает, что @%%~1т1ю1о5а Ь` = 105,, Ь°”.
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 147 0,1” у (1/ее , 1 Ґ / / / / / / О 1 а: 1030,, 1: Іо51/Є 11: Рис. 10. Но 1056, ЬТ = 1* Іоёа Ь, поэтому 1о5а Ь“ = 1іп1 Іода ЬТ = 1іп1 'г1о5а Ь = о:1о5а Ь. > <@Э1'-›а <@Э'г-›а Из доказанного свойства логарифма можно сделать вывод, что для любых ок, Б Є К и а > 0 имеет место равенство 6) (а“)д = ао*/3. 4 При а = 1 считаем, по определению, 10* = 1 для ск Є К. Таким образом, в этом случае равенство тривиально. Если же а 75 1, то по доказанному 1<›а<<а“*›”› = /г1<›а<а°› = л ~ <11«›а а = В - а =1<ва<а°”›, что в силу свойства 4') логарифма доказывает справедливость указан- ного равенства. > с) Степенная функция. Если считать 10 = 1, то при любом 1: > О и ог Є ІК мы определили величину ага (читается «аг в степени а››). Определение 10. Функция ат ›-› ага, определенная на множест- ве ПЧ%+ положительных чисел, называется степенной функцией, а число а называется показателем степени.
148 гл. 111. пввдвл Степенная функция, очевидно, является композицией показательной и логарифмической функций, точнее, та : аІо5а(а:°”) = ааіодаєс. На рис. 11 изображены графики функции у = ща при различных значениях показателя степени. 3/ _ 1: 1/2 _ 2 11: 1 113 Шз ,В1 1* ----- -- Ф д_ь _______ 8 Рис. 11. 3. Общее определение предела функции (предел по базе). Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколо- тых окрестностей, в которых были определены наши функции и кото- рые возникали в процессе доказательств, кроме свойств В1), В2), ука- занных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделе- ния следующего математического объекта. а. База; определение и основные примеры Определение 11. Совокупность В подмножеств В С Х множе- ства Х будем называть базой в множестве Х, если выполнены два условия: В1)/ВЄВ В2)9/В1ЄВ `9ІВ2ЄВ (ВСВ1ЙВ2). Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из той же совокупности. Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы.
52. пгвдвл функции 149 Обозначение базы Чтение обозначения Из каких множеств (элементов) состоит база Определение и обозна- чение элементов базы Ш-›СЪ 117-*ОО а:-›а,шЄЕ или ЕЭа:-›а или :с-›оо,а:Є или ЕЭ1:-›оо ИЛИ .Тї›ОО ЄЕ со-›а єв Е 11: стремится к а а: стремится к бесконечности 1: стремится к а по множест- ву Е :1: стремится к бесконечности по множест- ву Е База проколотых окрестностей точ- ки а Є К База окрестностей бесконечности База*) проколотых окрестностей точ- ки а в множестве Е База**) окрестнос- тей бесконечности в множестве Е й(а);= ={:1:ЄІК|а-б1< <:1с<а+б2Аа:7Єа}, гдеб1>0,б2>0 Ё/(оо):= ={а:Є1К|б<|:1:|}, гдебЄІК йда) == во йа) Ё/.Е(ОО) 2= Е Й І/'(00) )Предполагается, что а-предельная точка множества Е. **)Предполагается, что множество Е не ограничено. ЕслиЕ=Е2'={а:ЄПЄ|а:>а} (Е=Е;={а:ЄК|а:< < а}), то вместоа: -› а, со Є Епишута: -› а+0 (а: -› а-0) и говорят, что а: стремится н а справа или со стороны 66./ььшиа: значений (соответственно, слева или со стороны меньшая: значений). При а = О принята краткая запись 11: -› +0 (гс -› -0) вместо а: -› 0+0 (а: -› 0-0). Запись Е Э из -› а + 0 (Е Э 11: -› а - 0) будет употребляться вместо а: -› а, :1: Є ЕПЕІ (а: -› а, во Є ЕПЕЄ). Она означает, что а: стремится по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а. Если Е=Е:,={:вЄІК|с<:1:} (Е=Е;`о={шЄ1К|а:<с}), то вместо а: -› оо, Ш Є Е пишут а: -› +00 (11: -› -оо) и говорят, что
150 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ 1: стремится н плюс бесконечности (соответственно, н минус беско- ненности). Запись Е Э 11: -› +00 (Е Э а: -› -оо) будет употребляться вместо из-›оо,:сЄЕПЕ:о (11:-›оо,а:ЄЕПЕ;,). При Е = Щ вместо а: -› оо, 11: Є Ы мы (если это не ведет к недоразу- мению) будем, как это принято в теории предела последовательности, писать п -+ оо. Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью, что пересечение любых двух элементов базы само является элементом этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой осиї). Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть крат- кое обозначение того, что в математике называется «базисом филь- тра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная для анализа часть созданного современным французским математиком А. Картаном понятия предела по фильтру2). Ь. Предел функции по базе Определение 12. Пусть 1” : Х -› К-функция на множестве Х; В-база в Х. Число А Є К называется пределом функции І : Х -› К по базе В, если для любой окрестности ї/(А) точки А найдется элемент В Є В базы, образ которого 1” (В) содержится в окрестности ї/(А). Если А_предел функции І : Х -› К по базе В, то пишут Ііёп І = А. Повторим определение предела по базе в логической символике: (11Ё_пі($) 2 А) == /1/(А) вв е В (дв) С 1/(А)). Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значени- ями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного опре- деления: 1)Например, совокупность открытых (без граничной окружности) кругов, содер- жащих данную точку плоскости, является базой. Пересечение двух элементов базы не всегда круг, но всегда содержит круг из нашей совокупности. 2)Подробнее об этом см.: Бурбаки Н. Общая топология. М.: ИЛ, 1958.
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 151 (11ЁП;($)=А) ;=к/Є>о эвЄв ×/а±Єв(|;(1;)-А|<@). В этой формулировке вместо произвольной окрестности ї/(А) бе- рется симметричная (относительно точки А) окрестность (є-окрест- ность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрест- ности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же точки (проведите доказательство полностью!). Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В кон- кретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо уметь расшифровать общее определение и записать его для конкрет- ной базы. Так, ($Ёдї0;(Ш) =/1) ±_1Є>о эд>0 1а;Є]а-д,а[ (|і(1;)_А| <Є), ($л›131ооі($) = А) =_ ъ/Є > о за Є ле на < д (|;($) -А| < Є). Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрест- ности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответ- ствии с общим определением предела разумно принять следующие со- глашения: (11Ёп;<$› = 00) =_ Щ/(Оо) вв Є в (дв) Є х/(00)) или, что то же самое, «1іЁп;($) = Оо) ==к/Є > о эв Є в ×/1; Є В (Є < |;(1;)|), К В ) Х/ 1Ііп1[(а:)=+оо :-7'єЄІК ЁІВЄВ 7'а:ЄВ (є</'(а:)), (1іЁп;(Ш) = -Оо) =_ к/Є Є на вв Є В на Є В (;(1;)< Є). Обычно под є подразумевают малую величину. В приведенных опре- делениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми согла- щениями, например, можем записать ($Ё›111оо]”(:1:)=-оо).-7'є€1К ЁІЗЄІК `</:1:>б <є). Советуем читателю самостоятельно написать полное определение предела для различных баз в случае конечных (числовых) и бесконеч- ных пределов.
152 гл. 111. пввдвл Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы доказали в пункте 2 для специальной базы Е Э ап -› а, необходимо дать соответствующие определения: финально постоянной, финально ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций. Определение 13. Функция І: Х -› К называется финально по- стоянной при базе В, если существуют число А Є К и такой элемент В Є В базы, в любой точке єс Є В которого 1 = А. Определение 14. Функция І: Х -› К называется ограниченной при базе В или финально ограниченной при базе В, если существуют число с Є ІК и такой элемент В Є В базы, в любой точке гс Є В которого ІҐШІ < С- Определение 15. Функция І : Х -› В называется бесконечно ма- лой при базе В, если ІіЁп](а:) = 0. После этих определений и основного наблюдения о том, что для до- казательства теорем о пределах нужны только свойства В1) и В2) базы, можно считать, что все свойства предела, установленные в пункте 2, справедливы для пределов по любой базе. В частности, мы можем теперь говорить о пределе функции при Ш -› оо, или при а: -› -оо, или при 11: -› +оо. Кроме того, мы обеспечили себе возможность применения теории пределов и в том случае, когда функции будут определены не на число- вых множествах; в дальнейшем это окажется особенно ценным. К при- меру, длина кривой есть числовая функция, определенная на некотором классе кривых. Если мы знаем эту функцию на ломаных, то потом пре- дельным переходом определяем ее для более сложных кривых, например для окружности. В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они изба- вляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределах для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей ны- нешней терминологии, для каждого конкретного вида баз. Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по про- извольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции мы проведем в общем виде.
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 153 4. Вопросы существования предела функции а. Критерий Коши. Прежде чем формулировать критерий Коши, дадим следующее полезное Определение 16. Колебанием функции 1” : Х -› К на множестве Е С Х называется величина ш(1”; Е)° ЅИР Ії(=1г1) - і(Ш2)І, 171,1132ЄЕ т. е. верхняя грань модуля разности значений функции на всевозмож- ных парах точек 4131, 5132 Є Е. Примеры. 1 1 . Н ю І* іїд [Ф Ьїд ./ д>. Ш 12. ш(з:; [- 13. 14. 15. 16. ш(Ѕ5п:с Ґ ш(:1:; ]- шік 55111: ІО `ІІ Н Н 5-_-дгіп 9 9 [Э чо чсэ ,_:×3Ь_4 Ю Ю ›_д-/її пілії 9/;/Ю фл З. 3. ш(Ѕ511:с;[- ) Ґ 1 0. Теорема 4 (критерий Коши существования предела функции . Пусть Х -множество и В - база в Х. Функция І: Х -› К имеет предел но базе В е том и только е том случае, когда для любого числа Є > О найдется элемент В Є В базы, на котором колебание функции меньше е. Итак, ЁІ1іЁп/(17) <=>`9'є > 0 ЗВ Є В (ш(/;В) < Є). 4 Необходимость. Если 1іш](а:) = А, то для любого Є > О най- В дется элемент В базы В, в любой точке :1: которого І] - А| < е/3. Но тогда для любых :1с1, 5122 из В |і<«:1›- і<ш2>| < і<Ш1›- АІ + чт) - АІ < Ёє и, значит, ш(]°;В) < Є. Д о с т а т о ч н о с т ь. Докажем теперь основную часть критерия, утверждающую, что если для любого є > 0 найдется элемент В базы В, на котором ш( 1” ; В ) < е, то функция 1” имеет предел по базе В.
154 ГЛ. ПІ. ПРЕДЕЛ Придавая є последовательно значения 1, Ё, . . . , %, . . . , получим после- довательность В1,В2, . . . ,В,,, . . . элементов базы таких, что ш(_;”; ВП) < < 1 /п, п Є Ш. Поскольку Вт, 79 И, в каждом ВП можно взять по точке азп. Последовательность 1” (а:1), 1” (:1:2), . . . , І (тп), . .. фундаментальная. Дей- ствительно, Вп П Вт 75 И, и, взяв вспомогательную точку 11: Є Вт, П Вт, ПОЛУЧИМ, ЧТО |і(Шп)-і`(11т)| < |і(Шп)-і($)|+|ї(Ш)-і(Шт)І < 1/+1/т~ По доказанному для последовательностей критерию Коши, последова- тельность {](:1:,,), п Є її} имеет некоторый предел А. Из установлен- ного выше неравенства при т -› оо следует, что |/ - А| < 1/п, а отсюда, учитывая, что ш(];Вп) < 1/п, заключаем теперь, что если п > 1/' = [2/Є] + 1, то в любой точке из Є Вт, будет- А| < Є. Ь Замечание. Проведенное доказательство, как мы увидим позже, остается в силе для функций со значениями в любом так называемом полном пространстве У. Если же У = К, а этот случай нас сейчас в первую очередь и интересует, то при желании можно пользоваться той же идеей, что и в доказательстве достаточности критерия Коши для последовательностей. 4 Полагая тв = і1ё1Ё[(а:), М В = Ѕир 1” и замечая, что для любых 33 :1:ЄВ элементов В1,В2 базы В выполнено тд, < тВ,дВ2 < М ВЮВ2 < М 32, по аксиоме полноты найдем число А Є К, разделяющее числовые мно- жества {тВ} и {МВ}, где В Є В. Поскольку ш(/`;В) = МВ - тв, то теперь можно заключить, что как только ш( 1” ; В ) < є, так |} - А| < є в любой точке :1: Є В. > Пример 17. Покажем, что в случае, когда Х = Ы и В есть ба- за п -› оо, п Є Ы, доказанный общий критерий Коши существования предела функции совпадает с рассмотренным ранее критерием Коши существования предела последовательности. Действительно, элементом базы п -› оо, п Є Ш является множество В = ЫП Ґ/'(00) = {п Є Ы І п > .7ї} тех натуральных чисел 'гь Є Ш, которые больше некоторого числа 1/ Є К. Без ограничения общности можно считать, что 1ї Є Щ. Соотношение ш(1”;В) < Є в нашем случае означает, что 7'п1,п2 > 1ї имеем |](п1) - ](п2)| < Є. Таким образом, условие, что для любого Є > 0 найдется элемент В Є В базы, на котором колебание ш( 1” ;В) функции 1” меньше Є, для функции /: Ы -› Ш равносильно условию фундаментальности последо- вательности {]
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 155 Ь. Предел композиции функций Теорема 5 (о пределе композиции функций). Пусть У -множе- стео; Ву -база е У; 9: У -› ШЄ. -отображение, имеющее предел по базе Ву. Пусть Х -множество, ВХ _ база е Х и /: Х -+ У -такое ото- бражение Х е У, что для любого элемента Ву Є Ву базы Ву найдется элемент ВХ Є ВХ базы ВХ, образ ноторозо [(ВХ) содержится в Ву. При зтиіс условила: номпозииил 9 о 1” : Х -› К отображении І и 9 определена, имеет предел по базе ВХ и %Ё(ц(9 о = 122/п9(у). 4 Композиция 9 о 1” : Х -› ІК определена, поскольку 1” (Х) С У. Пусть 1Ёп19(у) = А. Покажем, что ІЁ]п1(9 о 1 = А. По заданной У Х окрестности 1/(А) точки А наидем элемент Ву Є Ву базы Ву такои, что у(Ву) С /(А). По условию найдется элемент ВХ Є ВХ базы ВХ такой, ЧТО 1”(Вх) С Вы/~ НО тогда» (9 О 1°)(Вх) = 9(і(Вх)) С 9(Ву) С ї/(А) и мы, таким образом, проверили, что А является пределом функции (901): Х _›ІКпо базе ВХ. Ь Пример 18. = ? Если положить 9(у) = Ё;/ії, а [(:с) = 7ав, то (9 0 = В на- шем случае У = ІК 0, Х = К. Поскольк Ііту у = Ііт Ёїї = 1, то У у-+0 у-›0 у для применения теоремы ,надо проверить, что, какой бы элемент базы у -› 0 мы ни взяли, найдется элемент базы сс -› О, образ которого при отображении ](аг) = 7:с содержится в указанном элементе базы у -› 0. |-4. О Элементами базы у -› 0 являются проколотые окрестности Пу(0) точ- ки 0 Є ІК. Элементами базы а: -› О также являются проколотые окрестности О О ПХ(0) точки 0 Є К. Пусть П;/(0) = {у Є 1К| а < у < В, у аё 0} (где ое, В Є К, причем ог < 0, В > 0) -произвольная проколотая окрестность О нуля в У. Если взять І/Х(0) = {а: Є К | % < гс < Ё, 11: аё 0}, то эта проколотая окрестность нуля в Х уже обладает тем свойством, что 1<йХ›<<›› = бы/<0› с душ). Условия теоремы выполнены, и теперь можно утверждать, что _ Ѕіп 7:1* _ Ѕіпу Іпп--= 11п1-_-=1. :в-›0 7113 у-›0 у
156 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ Пример 19. Функция 9(у) = |з5пу|, как мы уже видели (см. при- мер З), имеет предел Ііш |з5пу| = 1. у-›0 Функция у = І = агзіп -Ё, определенная при а: 75 0, также имеет предел 1іп%а:Ѕіп% = О (см. пример 1). (Е-> Однако функция (9 0 = '$511 (11: Ѕіп при за -› О не имеет предела. Действительно, в любой проколотой окрестности точки ас = 0 име- ются нули функции він %, поэтому функция И $511 (11: Ѕіп в любой та- кой окрестности принимает и значение 1, и значение 0 и по критерию Коши не может иметь предел при 1: -› 0. Не противоречит ли это доказанной теореме? Проверьте, как мы сделали это в предыдущем примере, выполнены ли здесь условия теоремы. Пример 20. Покажем, что . 1 Ф Іпп 1 + - = є. а:-›оо 3: 4 Пусть У=Ії, Ву-базап-›оо,пЄІІ; Х=1К,_={:сЄІК|а:>0},ВХ-базаа:-›+оо; І: Х -› У есть отображение 11: ›-1-+[а:], где -целая часть числа а: (т. е. наибольшее целое число, не превос- ходящее числа 1:). Тогда для любого элемента Ву = {п Є Ы | п > 1/'} базы п -› оо, п Є Ы, очевидно, найдется элемент ВХ = {:с Є К | св > 1/` +1} базы а: -› +оо, образ которого при отображении 11: -› содержится в Ву. п п п+1 Функции;/<п› = (1+ %) , 91<п› = (1+ -Ё) , ум) = (1+ %) , как нам уже известно, имеют своим пределом по базе п -› оо, п Є Щ ЧИСЛО Є. По теореме о пределе композиции функций можно утверждать, что тогда функции
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 157 <9 О 1›<:«:› = (1+ Ыш, (910 /›<ш› = (1+ Ё-)щ, гг: +1 [а:]+1 (92 О г›<Ш› = (1+ также имеют своим пределом по базе Ш -› +оо число е. Теперь остается заметить, что при :1: 2 1 и так как при сс -› -І-оо крайние члены стремятся к є, то по свойствам Ш предела (теорема З) получаем Ііш (1 + = е. 11:-›-І-оо Используя теорему о пределе композиции функции, покажем теперь, Ш что Ііш (1 + = є. Ш_› _ ОО Запишем 1 “” 1 Н) 1 '* Ііш 1+- = Ііш 1+-- =1іп1 1-- = гг-›-00 Ш (-1)-›-оо (-1) і-++оо Ъ . 1 Ё . 1 Ё-1 . 1 :±В-Іії1оо(1+Ё-1)_±Е-іІї1оо<1+Ё-1) ±ЁЗЕ1оо(1+Ё-1)- 1 Ъ-1 1 и =1іш 1-|--- =1іп1 1+- =є. і-›+оо Ё- 1 'и,-›+оо 'и, Написанные равенства с учетом произведенных замен и = 15 - 1 и 15 = -гс обосновываются с конца на основе теоремы о пределе компо- зиции функций. Действительно, только тогда, когда мы пришли к пре- 'Ц делу (1 + , существование которого уже доказано, теорема 'Ц ОО позволяет утверждать, что предыдущий предел тоже существует и ра- вен зтому. Тогда и стоящий перед ним предел существует, и конечным числом таких переходов придем к исходному пределу. Это довольно ти- пичный пример процедуры использования теоремы о пределе сложной функции при вычислений пределов. Итак, мы имеем . 1 Ё . 1 Ш Іпп 1 + - = е = Іпп 1 + - . гс-›-оо (1: 11:-›+оо 11;
158 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ 11 Отсюда следует, что 1іп1 (1 + = є. Ш-+00 Действительно, пусть задано число Є > 0. (В Поскольку Ііш (1 + = е, найдется число с1 Є К такое, что при ЅВ_›-ОО 1 Ш а:<с1будет|(1+5)і -е <г:. . Ґ “З ., Поскольку 11п1 1 1 + % = е, наидется число с2 Є К такое, что при 1:-›+оо Ш с2 <:1:будет К1+%3І -е Тогда при > с = п1ах{|с1|,|с2|} будем иметь (1 + - е| < гг. Тем самым проверено, что Ііш (1 + = е. Ь Ш-ЖЮ Пример 21. Ііт (1 + т5)1/Ё = е. ±-›0 4 После замены 1: = 1/і возвращаемся к пределу, рассмотренному в предыдущем примере. > Пример 22. пт ї=0, если <1>1. :с-›+оо Чи: 4 Мы знаем (см. Ё1, пример 11), что Ііт % = О, если (1 > 1. 77/-'›Х Ч Теперь, как и в примере 3, можно рассмотреть вспомогательное ото- бражение І: ПД -› Ы, осуществляемое функцией (целая часть Воспользовавшись неравенствами і.Ш<і<[=”1+_1. Ч Чт Час Ч[$]+1 Ч и учитывая, что по теореме о пределе сложной функции крайние члены стремятся к нулю при 11: -› +00, заключаем, что Ііш -Ё = 0. > сс-›-1-ос (117 Пример 23. 1о5 а: Іпп -Ь = 0. 11:-›+оо 51: 4 Пусть а > 1. Полагаем 15 = 105,, 1:, находим гс = а/1. По свойствам по- казательной и логарифмической функций (учитывая неограниченность
дв. пввдвл функции 159 а, п Є Ы) имеем (из -› +00) <=> (15 -+ +00). Используя теорему о пределе сложной функции и результат примера 22, получаем . 1 . 15 І1ш ї-Оёаш = 11п1 7 = 0. 11:-›-1-оо 51: Ъ-++оо а Если 0 < а < 1, то положим -15 =1о3а 1:, 11: = а“*. Тогда -› +оо) <=> <=> (15-› +00), и так как 1/а > 1, то снова _ 103,, ас _ -15 _ 15 Іпп -і-=І1п1 ї=- Іпп і-7:0. Ь а:-++оо 3: 1-›+оо а Ь-›+оо (1/а)' с. Предел монотонной функции. Рассмотрим теперь один част- ный, но весьма полезный класс числовых функций _ монотонные функ- ции. Определение 17. Функци.я 1” : Е -› К, определенная на числовом множестве Е С К, называется возрастающей на Е, если `ч':1:1,:п2 Є Е (1131 < 2:2 => ](:с1)< ]”(г1:2)); неубыеающей на Е, если `т/:в1,а:2 Є Е (:в1< 1:2 => [(1131) < ](а;2)); нееозрастающей на Е, если /:1:1,:Ь'2 Є Е (:1;1 < 4122 => /(1131) 2 ]`(:1:2)); убывающей на Е, если ї/ЅС1,ІІ72 Є Е ((171 < 332 => > Функции перечисленных типов называются монотонными на мно- жестве Е. Предположим, что числа (или символы -оо, -і-ос) 11 = іпїЕ и з = = Ѕ11рЕ являются предельными точками множества Е и 1” : Е -› Ку-Ш монотонная функция на Е. Имеет место следующая Теорема 6 (критерий существования предела монотонной функ- ции). Для того чтобы неубывающая на множестве Е функция І: Е -› -› К имела предел при а: -› з, а: Є Е, необагодимо и достаточно, чтобы она была ограничена свершу, а для того чтобы она имела предел при
160 ГЛ. ІП. ПРЕДЕЛ 11: -› і, а: Є Е, необазодимо и достаточно, чтобы оно было ограничено снизу. 4 Докажем теорему для предела Ііш ЕЭа:-›з Если этот предел существует, то, как и всякая функция, имеющая предел, функция І оказывается финально ограниченной при базе Е Э Э 11: -› з. Поскольку 1” -неубывающая на Е функция, отсюда следует, ограничена сверху. На самом деле можно утверждать даже, что І < Е1іп1 1” для любого 1: Є Е. Это будет видно из дальнейшего. 9:17-›з Перейдем к доказательству существования предела Е1іш 1” при Эт-›з Ад 81-З ./О /Аж условии ограниченности 1” сверху. Если 1” ограничена сверху, то существует верхняя грань значений, которые функция принимает на множестве Е. Пусть А = Ѕир по- :вЄЕ кажем, что Е1іш І (113) = А. По є > 0, на основании определения верхней Эт-›з грани множества, найдем точку под Є Е, для которой А - Є < [(300) < А. Тогда ввиду неубывания 1” на.Е получаем, что при 1130 < а: Є Е будет А - є < ](а:) < А. Но множество {а: Є Е | 1130 < :в}, очевидно, есть элемент базы 1: -› з, Ш Є Е (ибо з = Ѕир Таким образом, доказано, что 1іп1 ](:1:) = А. ЕЭ1:-›з Для предела Е1іш _ 1” (аз) все рассуждения аналогичны. В этом случае Эа:-›1 имеем = Ь (1. Сравнение асимптотического поведения функций. Этот пункт мы начнем поясняющими тему примерами. Пусть 1г(:1:) _ количество простых чисел, не превосходящих данного вещественного числа а: Є К. Имея возможность при любом фиксирован- ном 11: найти (хотя бы перебором) значение тг(:1:), мы тем не менее не в состоянии сразу ответить, например, на вопрос о том, как ведет себя функция тг(а:) при гс -› +оо или, что то же самое, каков асимптоти- ческий закон распределения простых чисел. От Евклида нам известно, что тг(а:) -› +оо при а: -› +оо, но доказать, что 1г(:1:) растет примерно как Ё, удалось только в ХІХ веке П. Л. Чебышёвуц. 1)П. Л. Чебьппёв (1821 - 1894) _ великий русский математик и механик, основатель большой математической школы в России.
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 161 Когда возникает вопрос об описании поведения функции вблизи некоторой точки (или бесконечности), в которой, как правило, сама функция не определена, говорят, что интересуются асимптотиной или асимптотическим поведением функции в окрестности этой точки. Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с по- мощью другой, более простой или более изученной функции, которая в окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью воспроизводит значения изучаемой функции. Так, 1г(:1:) при 11: -› +оо ведет себя как Ё; функция при а: -+ -› 0 ведет себя как постоянная функция, равная 1; говоря о поведении функции $122 +з:+Ѕіп% при а: -› оо, мы, ясно, скажем, что она в основном ведет себя как функция 5122, а при а: -› 0-как Ѕіп Дадим теперь точные определения некоторых элементарных поня- тий, относящихся к асимптотическому поведению функций. Этими по- нятиями мы будем систематически пользоваться уже на первом этапе изучения анализа. Определение 18. Условимся говорить, что некоторое свойство функций или соотношение между функциями выполнено финально при данной базе В, если найдется элемент В Є В базы, на котором оно имеет место. Именно в этом смысле мы до сих пор понимали финальное постоян- ство или финальную ограниченность функции при данной базе. В этом же смысле мы дальше будем говорить, например, о том, что финально выполнено соотношение 1” = 9(:1:)/1,(а:) между некоторыми функция- ми І, 9, /1. Эти функции могут даже иметь разные исходные области определения, но если мы интересуемся их асимптотическим поведением при базе В, то нам важно только, чтобы все они были определены на некотором элементе базы В. Определение 19. Говорят, что функция 1” есть бесконечно малая по сравнению с функцией 9 при базе В и пишут 1” Ё о(у) или 1” = = о(9) при В , если финально при базе В выполнено соотношение 1” = = а(:г) - у(:1:), где ен-функция, бесконечно малая при базе В. Пример 24. 3:2 = о(а:) при из -+ 0, так как 2:2 = а: - 1:. Пример 25. :1: = о(а:2) при а: -› оо, так как финально, когда уже 11: аё 0, 11: = -3% - 1:2.
162 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ Из этих примеров надо сделать вывод, что указание базы, при ко- торой / = о(9), совершенно необходимо. Обозначение 1” = о(9) читается « 1” есть о малое от 9». Из определения следует, в частности, что получающаяся при 5 Е 1 запись 1” Ё о(1) означает просто, что І есть бесконечно малая при базе В. Определение 20. Если 1” Ё о(9) и функция 9 сама есть бесконеч- но малая при базе В, то говорят, что 1 есть бесконечно малая более высокого по сравнению с 9 порядка при базе В. им .:1з_=-пиа: оо ть кнчн м'аяол П е 26 2 12 -› ес бесоеоал бее 11 высокого порядка по сравнению с бесконечно малой аз*1 = Определение 21. Функцию, стремящуюся к бесконечности при данной базе, называют бесконечно большой функцией или просто бес- конечно большой при данной базе. Определение 22. Если 1” и 9-бесконечно большие при базе В и 1 Ё о(9), то говорят, что 9 есть бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с І. Пример 27. %-›ооприа:-›0,дё-›оопри:1:-›0и%=о(Ё) 1 при а: -› 0, поэтому -% есть бесконечно большая более высокого порядка (13 по сравнению с % при а: -› 0. Вместе с тем при за -› оо функция 1:2 есть бесконечно большая более высокого порядка, чем 113. Не следует думать, что, выбрав степени а: для описания асимпто- тического поведения функций, мы сможем каждую бесконечно малую или бесконечно большую характеризовать некоторым числом п -ее степенью. Пример 28. Покажем, что при а > 1 и любом н Є 2 . Ш 11п1 _ = 0, 11:-›+оо 0,37 т.е. 113 = о(а$) при дп -› +оо. 4 Если п < 0, то утверждение очевидно. Если же п Є М, то, полагая _ ад _ 2: П 9 _ Є/Ё, имеем 9 > 1 и Ё _ ,поэтому
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 163 аз-›+оо 0,33 а:-›+оо Чт а:-Н-оо (137 :1:-++оо (137 11п1 - = 11п1 ) = 11ш - ~ . . . - 11111 - = 0. п Баз Мы воспользовались, по индукции, теоремой о пределе произведения и результатом примера 22. Ь Таким образом, при любом п Є 2 получаем ап = о(аЕ”) при 1: -+ -І-оо, если а > 1. Пример 29. Развивал предыдущий пример, покажем, что при а > > 1 и любом ск Є К Ша Ііш _ = 0, сс-›+оо 0,5” т.е. 1:” = о(а$) при ат -› +оо. 4 Действительно, возьмем число п Є М такое, что п > ог. Тогда при 11: > 1 получим ага 1: 0 < - < -. аї ад” Опираясь на свойства предела и результат предыдущего примера, по- (1 лучаем, что Ііш ї = 0. > т-›+оо 0,3: Пример 30. Покажем, что при а > 1 и любом а Є К -1/гс , СЪ Іпп __ = 0, К+ЭІБ-+0 Ша т.е. а1/5” = о(а:“) при а: -› 0,11: Є Щ. 4 Полагая в этом случае а: = -1/15, по теореме о пределе сложной функции, используя результат предыдущего примера, находим а-1/а: йа 1іп1 -ї: Ііш 7:0. Ь 1к+э:::-›0 сс” с-›+ооа Пример 31. Покажем, что при а > О 105 11: І1п1 -Ь = 0, :1:-›+оо 5120” т.е. при любом положительном показателе степени а имеем Іодааг = = о(:1:°“) при 1: -› +оо.
164 Ічъ1п.пРЕдвл 4 Если а > 1, то положим сс = а*/“. Тогда по свойствам показатель- ной функции и логарифма, опираясь на теорему о пределе композиции функций и результат примера 29, находим Ііш Ш=1іп1 Ш=і1іш і=0. а:-++оо 330” Ъ-›+оо 0,* аі-›+оо а* Если О < а < 1, то 1/а > 1 и после замены ат = а`*/0” получаем Ііш ш=1іш Ё:-і1іп1 і_д=0. > 11:-›+оо (130 Ё-›+оо (1,_± (141-›+оо (1/а) Пример 32. Покажем еще, что при любом ог > 0 а:°”1о3;а:1: = о(1) при ат -› 0, сс Є 1К+. 4 Нам нужно показать, что К Ііш а:°” 1056, сс = О при а > 0. Полагая +31?-›0 51: = 1/ 15, применяя теорему о пределе композиции функций и результат предыдущего примера, находим 1 1 15 1 Ъ пт а:<*1<›@;аа;= пт ЁЩЦЬ пт Ё2-=о. › щэш-›о ±з+<×› #1 ±-›+<×› га Определение 23. Условимся, что запись І Ё О(9) или І = О(9) при базе В (читается «І есть О большое от 9 при базе В››) будет озна- чать, что финально при базе В выполнено соотношение 1” = В9(:в), где И -финально ограниченная при базе В функция. В частности, запись 1” Ё О(1) означает, что функция І финально ограничена при базе В. Пример 33. + Ѕіпаг) 11: = О(:п) при 1: -› оо. Определение 24. Говорят, что функции 1” и 9 одного порядка при базе В и пишут 1” >< 9 при базе В, если одновременно І Ё О(9) И9Ё0ЧХ Пример 34. Функции (2 + Ѕіпа:)з: и 11: одного порядка при а: -+ оо, но (1 + Ѕіп:в):в и а: не являются функциями одного порядка при сс -› оо.
92. пввдвл функции 165 Условие, что функции І и 9 одного порядка при базе В, очевидно, равносильно тому, что найдутся числа с1 > 0, с2 > О и элемент В базы В такие, что на В имеют место соотношения С1І9(Ш)І < І1”(Ш)І < с2І9(<1г)І или, что то же самое, 3-1<@››<9<ш›| < іш<›:›|. С2 С1 Определение 25. Если между функциями І и 9 финально при базе В выполнено соотношение І = 7(а:)9(а:), где Ііёпц/(аг) = 1, то говорят, что при базе В функция 1” асимптотически ведет себя как функция 9 или, короче, что 1” эквивалентна 9 при базе В. Будем в этом случае писать 1 «Е 9 или І ~ 9 при базе В. Употребление термина «эквивалентна» оправдано тем, что /Ж Ч» 0:2 ё/“СГ > Ш? 493/СТ Ш2 “_ (32 З;/-×*~ Ко Ё/ 11 Ы /' Ч» ы %/ Ш2 З/ Действительно, соотношение 1” »Б 1” очевидно, в этом случае *у(а:) 5 _ - - 1 = 1. Далее, если 11Ёп7(:с) = 1, то 11ЁпЖЕ5 = 1 и 9(:в) = Здесь ,.`-2 шїа~ *Ь ГП`Н/Е? ве* надо только объяснить, почему можно считать, что 7 Если соотношение 1” = *у(:в)9(а:) имеет место на элементе а со- отношение % < < Ё-на элементе В2 Є В, то мы можем взять элемент В С В1 П В2, на котором будет выполнено и то и другое. Всю- ду вне В, если угодно, можно вообще считать, что *у(:с) Е 1. Таким образом, действительно ~ 9) => (9 ~ Наконец, если [(112) = *у1(а:)9(а:) на В1 Є В и 9(:1:) = *у2(а:)і1(:в) на В2 Є В, то на элементе В Є В базы В таком, что В С В1 П В2, оба эти соотношения выполнены одновременно, поэтому І = *у1(аз)*у2(а:)/1(:с) на В. Но 1іЁп*у1(:в)*у2(а:) = Ііёп *у1(:1:)-Ііёп *у2(:1:) = 1 и тем самым проверено, что І «Е /1.
166 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ Полезно заметить, что поскольку соотношение Ііёп = 1 равно- сц Н Ґ. сильно тому, что *у(:1:) = 1 + а(а:), где 1іЁпог( ) = 0, то соотношение І «Ё» 9 равносильно тому, что [(113) = 9(а:) -і-ог(:с) :1: = 9(а:) +о(9(а:)) при базе В. Мы видим, что относительная погрешность |а(:1:)| = І приближения функции с помощью функции у(:1:), эквивалентной 1” при базе В, есть величина бесконечно малая при базе В. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 35. 1:2 +:в = (1 + 1122 ~ 2:2 при а: -› оо. Абсолютная величина разности этих функций |(а:2 -і-сс) - а:2| = СТРЄМИТСЯ К бЄСКОНЄЧНОСТИ, ОДН3.КО ОТНОСИТЄЛЬНЗЯ ПОГРЄШНОСТЬ І-1% = СС = Ё замены функции 1122 + :1: на эквивалентную величину $132 стремится к нулю при а: -› оо. Пример 36. В начале этого пункта мы говорили о знаменитом асимптотическом законе распределения простых чисел. Теперь мы в состоянии записать его точную формулировку: 11: а: тг(а:)=--+0 -_ при ас-›оо. Іпас 11111: Пример 37. Поскольку Ііпё 5%'ї = 1, то Ѕіпа: ~ 1: при а: -› 0, что 13-› можно написать также в виде равенства Ѕіпа: = 11: + о(:1:) при 11: -› 0. Пример 38. Покажем, что 1п(1 + 1:) ~ а: при а: -+ О. 1 1 < пт -_-“( Н) =1іш1п(1 +ш)1/“= = 111 (1іт(1 +а:)1/т) =1п@ = 1. :с-›0 Ш а:-›0 а:-›0 Мы воспользовались в первом равенстве тем, что 1о9;а(Ь“) = о<1о5а Ь, а во втором тем, что Ііш Іоёаі = Іода, Ь = Іода (Пт 15). Ь 1-›І› 1-›Ь Итак, Іп(1 + 1:) = ІБ + о(а:) при аз -› 0. Пример 39. Покажем, что ет = 1 + 112 + о(а:) при а; -› О. 4 1' Єж _ 1 1' Ё 1 -_ = 1п1-і = . а:Ч›ҐЁ) 1: Ъ-›0 1І1(1 + Ё)
52. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 167 Мы сделали замену а: = Іп(1 +1€), ет - 1 = 15 и воспользовались тем, что е” -› ео = 1 при сс -› 0, причем еї” дё 1 при из 75 0. Таким образом, на основании теоремы о пределе композиции и результата предыдущего примера утверждение доказано. Ь Итак, еї”-1~шпри:1:-›0. Пример 40. Покажем, что (1 + 113)” = 1 + ош: + о(а:) при из -› 0. _ 1(1+)_ <1іш(1+:1:)°' 1:Ііше““ 5” 1_а1п(1+:1:): а:-›0 а: гс-›0 а1п(1 + гс) из _ ей-1 _ 1п(1-4-1:) = о:11п1-_-11п1 її- = ог. і-›О 1; а:-›0 (ІІ В зтой выкладке мы, предполагая а 7Є 0, сделали замену а Іп (1 +13) = = 13 и воспользовались результатами двух предыдущих примеров. Если же а = 0, то утверждение очевидно. Ь Таким образом, (1 + 12)” - 1 ~ сна: при св -› 0. При вычислении пределов иногда бывает полезно следующее простое Утверждение 3. Если 1” »Е 17: то 1іЁт1]`(а:)у(:с) = Ііёп если один из этиаг пределов существует. 4 Действительно, коль скоро І = 7(:с)ї и 1іЁп*у(:1:) = 1, то 11,91/<«›>у<ш› =11Ём<$›ї<Ш›9<ш› =11;;«×<$›-11дпї<Ш>9<Ш› = 11д1ї<«:›9<э:›- › Пример 41. 1, Іп сова: 1 Ґ 111 соЅ2 3: 1 1, 1п(1 - Ѕіп2 сс) пп _ = - 1п1 _і = - пп = 1:-›0 3111032 2 1:-+0 1132 2 а;-›0 1:2 1 1, -Ѕіп2:с 1 1, :с2 1 =- 1п1-:-=-- 1п1-=--. 2:в-›0 1172 2:1:-›0:В2 2 Мы воспользовались тем, что 111(1 + св) ~ а при а -› 0, Ѕіпа: ~ а: при ап-›0, дЁ~%прид-›0изіп2:1:~ш2при:1:-›0. Мы доказали, что в одночленах при вычислении пределов можно заменять функции на им зквивалентные при данной базе. Не следует распространять зто правило на суммы и разности функций. її Пример 42 2 ~ :1: при сс -› +оо, но 11: +.с Ііш :с2+:с-гс) 74 Ііш (гс-:1:)=0. а:-›+оо :1:-›+оо
168 гл. Ш. пввдвл В самом деле, . /-_-2 _ _ . 11: _ . 1 _і 1 +1 І)_а:ВҐ-іїіоо,/:І;2_}_а;_|_д1;_:в-Еіїіоо 1+і+1_2 `/ а: Отметим еще следующие широко используемые в анализе правила обращения с символами о(-), Утверждение 4. При данной базе 8) 00) + 00) = 00); (/) есть также О(]); 1) +00) = 00); 0) + 00) = 00); если9(а:)7$0, то =о(%%%) и =О(%%). Обратите внимание на особенности действий с символами о(-), О(~), вытекающие из смысла этих символов. Например, 2о(1) = о(1), или 00) + 00) = 00) (Х0ТЯ› Р›00бЩ<-> г0В0РЯ› 00) # 0), ИЛИ 00) = 00 )› НО О(1) 75 о(] Здесь знак равенства всюду имеет значение слова «есть». Сами символы о(~), обозначают не столько функцию, сколько ука- зание на характер ее асимптотического поведения, которым, кстати, обладают сразу многие функции, например, и 1 , и 21, и т. п. 35:35 ©і° 4 а) После сделанного уточнения утверждение а) перестает вы- глядеть неожиданнь1м. Первый символ о( 1 ) в нем означает некоторую функцию вида а1(:с) 1 (11), где Ііёп а1(:в) = 0. Второй символ о( 1 ), кото- рый можно (или нужно) было бы снабдить пометкой, отличающей его от первого, означает некоторую функцию вида о42(ш)/(из), где Ііёп а2(:1:) = = 0- Т0Гдд» СУ1(дї)1($)+С×2($)](17) = (0г1(ї”)+0г2(ї17))](ї17) = 0з($)1($),1`дЄ Ііёп а3(э:) = 0. Ь) Следует из того, что всякая функция, имеющая предел, является финально ограниченной. с) Следует из Ь) и (1). (1) Следует из того, что сумма финально ограниченных функций финально ограничена. Є) мб” = =°*<$>%% =°(%@%)~ 9 17 9 13 9 17 9 33 Аналогично проверяется и вторая часть утверждения е). Ь
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 169 ПОЛЬЗУЯСЬ ЭТИМИ Пра.ВИЛ3.МИ И ЭКВИВЕІЛЄНТНОСТЯМИ, ПОЛУЧЄННЬІМИ В примере 40, теперь можно следующим прямым методом искать предел из примера 42: Ііш (/:1:2-І-из-1:): Ііт 11: 1+--1 = ас-›+оо 11:-›+оо _ 1 1 1 _ 1 1 =11ш а: 1+- - - =11п1 -+:в-о - == 11:-›+оо 2 11: 11: 11:-›+оо 2 11: _ 1 1 І $і1Еі%×>(ё + (Ш) _ 5- Несколько позже мы докажем следующие важные соотношения, ко- торые уже сейчас стоит запомнить как таблицу умножения: /'$ І- ы./ї Ы:-Ь __/ 1 1 1 е$=1+-:п+-ш2+...+-аг''+... при 1126113, 1! 2! п! сова:-1-іа:2+іа:4+ +Щ$2К+ пиазёїії, _ 2! 4! (2/<)1 р Ѕіпа:= іш- і:1:3+...-і-Щ-ш2,°+1+... при ШЄІК, 1! 3! (2/~с+1)! 12 13 (_1)п_1п 1п(1+а:)=$--іас -І-5:1: +...+-Та-а: +... при |:с|<1, -1 (1+:1:)°”=1+%:1:-І-їС%Гі:1:2+...+ +а(ог-1)..7;/га-п-І-1) :1:'+... при |:1:|<1. Эти соотношения, с одной стороны, уже могут служить вычислитель- ными формулами, а с другой стороны, как будет видно, содержат в себе следующие асимптотические формулы, обобщающие формулы, по- лученные в примерах 37-40: 1 1 1 . ет:1+-э:+-а:2+...+-:1:+О(:п''+1) при 11:-›0, 1' 2' п' 1 1 -1* соЅ:1:=1-Ыа:2+21-їш4+...+%$:с2,°+О(:в2,“+2) при сс-›0,
170 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ 1 1 -1 К . зіпш = - + . .. + $2Ё+1+ О (а:2І“+3) при а: -› 0, 1 2 1 3 (_1)п_1 п п+1 1п(1+:с)=:1:--із: +53: +...+-ТП--гс +О(аг ) при Ш-›0, -1 (1+:1;)“=1+%а:+9і%#:1:2+...+ -1 - 1 +а(а ) пух п+ ):с+О(:1;+1) при :1:-›0. Эти формулы обычно являются наиболее эффективным средством при оть1скании пределов элементарных функций. При этом полезно +1 _ +1 _. _ _ иметь в виду, что О(:1:' ) _ шт -О(1) _ 1:7-а:~О(1) _ шт-о(1) _ о(:с”) при 51; -› О. Рассмотрим в заключение несколько примеров, показывающих эти формулы в работе. Пример 43. 1 1, аг-Ѕіп:с_1, $_($_ёї$3+О(Ш5))_Нш 1+О(2) _1 1:3 _ шт) 1:3 _ гс-›0 3! З: _ 31. - 2 7а:3+а:_ :9 Пример 44. І1і›п)1оа: <`/-_1+$3 соьіс) . Имеем приз:-›оо: 1173-і-:1т_1+іБ_2_ 1+1 1+1 _1_ 1+:1г3_1+:1:3_ Ш2 2:3 _ 1 1 1 1 1 = 1 ± 1_- о _- =1 _ о -, (нд Ы) Ы 7<;3+1: 1 1 1/7 1 1 1 / .= 1 _ о _ =1 - --, 1+:1:3 (+:в2+ +7 из 1123 1 1 1 1 соз;=1-2'ў+О(Е), откуда получаем 7/$3+$-соЅ1-9 1-і-О 3- пиа:-›оо 1 + $133 11: _ 14 3:2 1:3 р °
Ё2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 171 Таким образом, искомый предел равен 9 1 9 . 2 і_ __ = __ шІіЧ>І<>$ (14а:2 +О(:с3)) 14. Пример 45. Іпп -1+- =11шехр<$ Іп 1+- -1 = гс-›оо Є 51; а:-+оо к 1; . '2 1 = 11п1ехр<:с 1п<1+-)-а:}= ІІ!-›ОО Ш , Ґ 1 1 1 =$13”ІЁОЄХР <:'І72 _ 5? +0 -І13} = ' 1 1 = Ііш ехр< -- + О = е_1/2. сс-›оо ы 2 51; Задачи и упражнения 1. а) Докажите, что существует и притом единственная определенная на К функция, удовлетворяющая требованиям і(1)=а (0/>0, а#1), 1°(<Р1)°і($2)= і($1 + 102), _1°(а:)-›І(:с0) при из-›:п0. Ь) Докажите, что существует и притом единственная определенная на Щ функция, удовлетворяющая требованиям І(<1)=1 (а>0,а#1), Ґ($1)+ Ґ(Ш2) = 1°(Ш1 #12), ]'(:1:)-›](:1:0) при :1:0Є1К+ и 1К+ Эа:-›:1:0. Ук аз ан и е. Просмотрите еще раз конструкцию показательной и логариф- мической функций, разобранную в примере 10. 2. а) Установите взаимно однозначное соответствие ср: К -› Щ так, чтобы для любых 1:, у Є ПК было <р(:в + у) = <р(:1:) - <р(у), т. е. чтобы операции сложения в прообразе (в К) отвечала операция умножения в образе (в Наличие такого отображения означает, что группы (К, +) и , как алгебраические объекты одинаковы, или, как говорят, изоморфны. Ь) Докажите, что группы (К, +) и (ІК 0+, не изоморфны.
172 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ 3. Найдите пределы а) Ііш :1:“”; ш++0 Ь) пт ш1/Ф; ш++щ> ~ 10Ёа(1 +'$) с Іпп ---_-' )ш-П) Ш , (1 1іп1 __“$ _1. ):г+0 $ 4. Покажите, что 1 1 1+ё+...+Б=1пп+с+о(1) при п-›оо, где с-постоянная. (Число с = 0,57721 . _ . называется постоянной Эйлера.) Указ ание. Можно воспользоваться тем что 7 1 1 1 1 Іпї-=1п(1+-)=-+О(ї) при п-›оо. п п п п 5. Покажите, что ОО ОО а) если два ряда Е ап, 2 Ьп с положительными членами таковы, что 'п.=1 п=1 ап ~ Ь” при п -› оо, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно; Х Ь) ряд 2 Ѕіп Ё сходится только при р > 1. п=1 6. Покажите, что (Ю а) если ап 2 ап_|.1 > О при любом п Є Ы и ряд 2 ап сходится, то ап = п=1 =0(%) прип-›оо; ОО Ь) если Ьп = о то всегда можно построить сходящийся ряд 2 ап п=1 такой, что Ьп = о(а,п) при п -› оо; Х ОО с) если ряд Е ап с положительными членами сходится, то ряд 2 Ад, где п=1 п=1 ОО (Ё Ад = 2 ад - 2 ад, тоже сходится, причем ап = о(Ап) при п -› оо; Ь=п Ь=п+1 Х Ж (1) если ряд 2 ап с положительными членами расходится, то ряд 2 Ап, п=1 п=2 п п-1 где Ад = 2 ад - 2 ад, тоже расходится, причем Ад = о(ап) при п -› оо. /«=1 ь=1 Из с) и (1) следует, что никакой сходящийся (расходящийся) ряд не может служить универсальным эталоном для установления сходимости (расходимо- сти) других рядов путем сравнения с ним.
52. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 173 7. Покажите, что ОО а) ряд 2 111 ап, где ап > 0, п Є ІЧ, сходится тогда и только тогда, когда п=1 последовательность {Пп = 0,1 . . .ап} имеет отличный от нуля предел; ОО Ь) ряд 2 1п(1 + ап), где |оєп| < 1, абсолютно сходится тогда и только п=1 Х тогда, когда сходится абсолютно ряд 2 ап. п=1 Указание. См. задачу 5а). Х 8. Говорят, что бесконечное произведение П єд сходится, если последо- К=1 'П вательность чисел Пп = П єд имеет конечный, отличный от нуля предел П. Іс=1 ОО Тогда полагают П = П ед. 1с=1 Покажите, что Х а) если бесконечное произведение П еп сходится, то еп -› 1 при п -› оо; п=1 Х Ь) если 7'п Є Ы (єп > 0), то бесконечное произведение П ел сходится =1 (Ю 'П тогда и только тогда, когда сходится ряд 2 Іп еп; п=1 с) если єп = 1 + ап и все ап одного знака, то бесконечное произведение Х СЮ П (1 + ап) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд 2 ап. п=1 'п.=1 ОО 9. а) Найдите П (1 + :1:2_1). п=1 Х Ь) Найдите П соз % и докажите следующую формулу Виетаї): п=1 1г 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 /;'/ё+ё/;' ё+ё/ё+ё/;~~~ с) Найдите функцию [(:в), если і(0) = 1, ]'(2а:) = соЅ2:с-І(а:), ](:1:) -› _/'(0) при єв-› О. 1)Ф.Виет (1540 - 1603) -французский математик, один из создателей современ- ной алгебраической символики.
174 ГЛ. ІІІ. ПРЕДЕЛ Указание: ш = 2- 10. Покажите, что ОО а.) если 5% = 1 + ВП, п = 1,2, . . ., и ряд 2 Нд абсолютно сходится, то 'П ~ п=1 существует предел Ііп1 Ьп = Ь Є К; 7Е_›ОО Х Ь) если = 1+ % + ап, п = 1,2,..., причем ряд 2101,, абсолютно . п: сходится, то ап ~ % при п. -+ оо; П Х ОО с) если ряд 2 ап таков, что Ё = 1 + % + ап и ряд Е ап абсолютно п=1 п=1 ОО сходится, то ряд 2 ап абсолютно сходится при р > 1 и расходится при р < 1 п=1 (признак Гаусса абсолютной сагодимости ряда). 11. Покажите, что для любой последовательности {а,п} с положительными членами П Т- 1 + а Іпп (--Ё 2 е а 'П,_>ОО п и эта оценка неулучшаема.
ГЛАВА ІУ НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ Ё 1. Основные определения и примеры 1. Непрерывность функции в точке. Пусть 1” -вещественно- значная функция, определенная в некоторой окрестности точки а Є К. Описательно говоря, функция 1” непрерывно в точке а, если ее зна- чения ]` по мере приближения аргумента а: к точке а, приближаются к значению 1” (а) функции в самой точке а. Уточним теперь это описание понятия непрерывности функции в точке. Определение О. Функция 1” называется непрерывной в точке 0,, если для любой окрестности У(](а)) значения ]`(а) функции в точке 0, найдется такая окрестность П(а) точки а, образ которой при отобра- жении І содержится в У( 1” (а)). Приведем формально-логическую запись этого определения вместе с двумя его вариациями, часто используемыми в анализе: (І непрерывна в точке а) := (7'У(]'(а))и ЭП(а) (]`(П(а)) С 1/([(а)))), Не > 0 ЁІІ/(а) На: Є П(а,) - ](а,)| < Є), 7'е>0 ЕІб>0 7':1:Є1К(|:1:-а|<б=>|[(а:)-](а)|<е). Эквивалентность этих формулировок для вещественнозначных функций следует из того, что (как уже неоднократно отмечалось) лю- бая окрестность точки содержит некоторую симметричную окрест- ность этой точки. 7 Математический анализ. Часть І
176 ГЛ. І/`. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ Например, если по любой Є-окрестности УЄ([ (а)) точки І (а,) можно подобрать окрестность Ґ/'(а,) точки а так, что `</11: Є Ґ/'(а) -](а)| < < Є), т.е. ]`(І/'(а,)) С ї/Є(](а)), то и для любой окрестности У(](а)) тоже можно подобрать соответствующую окрестность точки а. Дей- ствительно, достаточно сначала взять УЄ(І(а)) С У( 1” (а)), а затем по ї/Є(ї(а)) Найт ї/`(@)- Т0гда 1°(Щ@)) С ї/Є(1(0›)) С У(і(@))- Таким образом, если функция непрерывна в точке а в смысле вто- рого из приведенных определений, то она непрерывна в ней и в смысле исходного определения. Обратное очевидно, поэтому зквивалентность первых двух формулировок проверена. Дальнейшую проверку оставляем читателю. Чтобы не отвлекаться от основного определяемого понятия непре- рывности функции в точке, мы сначала для простоты предположили, что функция 1” определена в целой окрестности точки а. Рассмотрим теперь общий случай. Пусть 1” : Е -› К-вещественнозначная функция, определенная на некотором множестве Е С К, и а,-точка области определения функ- ции. Определение 1. Функция І: Е -› ІК называется непрерывной в точке а Є Е, если для любой окрестности У(](а,)) значения 1” (а) функ- ции, принимаемого ею в точке 0,, найдется такая окрестность ПЕ(а,) точки а в множестве” Е, образ которой 1” (ПЕ(а)) содержится в У( 1 (а)). Итак, (І: Е -› К непрерывна в а Є Е) := = (×1У<г<<»›› эЫЕ<а› (Ш/Е<а›› с 1/<і<<»›››)_ Разумеется, определение 1 тоже можно записать в е-6-форме, рас- смотренной выше. Там, где нужны числовые оценки, это бывает полезно и даже необходимо. Запишем эти вариации определения 1: (І: Е -› К непрерывна в а Є Е) :_ = (`°'Є > 0 ЁШЬЖ0) `7'Ш Є Ґ/'Е(0«) (|Ґ($) _ Ґ(0)| < 5)), 1)Напомним, что ПЕ(а) = Е П І/(а).
Ё 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЬІ 177 ИЛИ (І: Е-НК непрерывнав СЬЄЕ) := =(`т/є>0 ЁІб>0 `#:1:ЄЕ (|а:-а,|<бэ|]`(а:)-[(а)|<є)). Обсудим теперь детально понятие непрерывности функции в точке. 1° Если а-изолированная, т. е. не предельная, точка множества Е, то найдется такая окрестность І/'(а) точки съ, в которой нет других точек множества Е, кроме самой точки а. В этом случае ПЕ(а) = а, и поэтому 1”(ПЕ(а)) = 1” (а) С У(1”(а)), какова бы ни была окрестность 1/(І (а)). Таким образом, в любой изолированной точке области опреде- ления функция, очевидно, непрерывна. Но это вырожденный случай. 2° Содержательная часть понятия непрерывности относится, таким образом, к тому случаю, когда а Є Е и а-предельная точка множест- ва Е. Из определения 1 видно, что (І: Е -› К непрерывна в а Є Е, где а -предельная точка Е) <=> е ( пт і<1=›= мл). ЕЭа:-›а, 4 В самом деле, если а-предельная точка Е, то определена база О Е Э 1: -› а проколоть1х окрестностей ПЕ(а) = ПЕ(а) а точки а. Если 1” непрерывна в точке а, то, найдя для окрестности У(1(а)) окрестность І/'Е(а,) такую, что 1” (І/'Е(а)) С У(](а)), мы одновременно будем иметь ](ПЕ(а)) С ї/(](а)) и в силу определения предела, таким образом, Ііш /(аз) = /(а). Еэаз-›а, Обратно, если известно, что Е1іп1 /' = ](а), то по окрестности Эа:-›а, У(1“(а)) найдем проколотую окрестность Ґ}Е(а) так, что ]`Е(а)) С С У(](а,)). Но поскольку [(а,) Є У(](а)), то тогдаи ]“(ПЕ(а)) С У(](а)). В силу определения 1 это означает, что функция /` непрерывна в точке аЄЕ.> 3° Поскольку соотношение Е1іп1 І = _1(а) можно переписать в Эа:-›а, форме ЕЭа:-›а, ЕЭ:1:-+а НП, ,«<,>=,( пт ,),|
178 ГЛ. ІУ. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ мы теперь приходим к полезному заключению, что непрерывные в точ- ке функции (операции) и только они перестановочнь1 с операцией пре- дельного перехода. Это означает, что то число 1” (а), которое получается при выполнении операции І над числом о, можно сколь угодно точно ап- проксимировать значениями, получаемыми при выполнении операции ]` над соответствующими заданной точности приближеннь1ми значения- МИ Ш ВЄЛИЧИНЬІ 0,. 4° Если заметить, что при а Є Е окрестности І/'Е(а,) точки а обра- зуют базу ВО, (независимо от того, является ли а предельной или изо- лированной точкой множества), то мы увидим, что само определение 1 непрерывности функции в точке а совпадает с определением того, что число І (а) - значение функции в точке а -является пределом функции 1” по этой базе, т.е. О, (І: Е -› К непрерывна в а Є Е) <=> (1}3п1](а:) = ](а)). 5° Заметим, однако, что если Іёш 1 существует, то, поскольку (1 а Є ПЕ(а) для любои окрестности ПЕ(а), этот предел неизбежно ока- зывается равным 1” (съ). Таким образом, непрерывность функции ]` : Е -› В в точке а Є Е равносильна существованию предела этой функции по базе Ва, окрест- ностей (но не проколотых окрестностей) ПЕ(а) точки а в Е. Итак, (І: Е -› К непрерывна в а Є Е) Ф (ЁІ1%п1](а:)) . О, б° В силу критерия Коши существования предела теперь можно ска- зать, что функция непрерывна в точке а Є Е тогда и только тогда, когда для любого є > 0 найдется окрестность ПЕ(а) точки а в Е такая, на которой колебание ш(1“;ПЕ(а)) функции меньше Є. Определение 2. Величина ш(]`;а) = бЁ›Іі10ш([;ПЁ(а)) (где ПЁ(а) есть 5-окрестность точки а в множестве Е) называется ко./ъебанием функции І: Е -› К в точке а. Формально символ ш( 1” ;Х ) уже занят, он обозначает колебание функции на множестве Х. Однако мы никогда не будем рассматри- вать колебание функции на множестве, состоящем из одной точки (это
51. ОСНОВНЬІЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЬІ 179 колебание, очевидно, равно нулю); поэтому символ ш( 1” ; а), где а-точ- ка, всегда будет обозначать то понятие колебания функции в точке, которое мы только что вве.ли определением 2. Колебание функции на подмножестве не превышает колебания функции на множестве, поэтому величина ш(]'; ПЁд(а,)) есть неубываю- щая функция от 5. Поскольку она неотрицательна, то либо она име- ет конечный предел при 5 -› +0, либо при любом 5 > 0 выполне- но ш([; І/Ё3(а)) = +оо. В последнем случае естественно полагают ш( 1” ; а) = +оо. 7° Используя определение 2, сказанное в 6° теперь можно резюми- ровать так: функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее колебание в этой точке равно нулю. Зафиксируем это: (І: Е -› К непрерывнав а Є Е) <=> (ш([;а) = 0). Определение 3. Функция І : Е -+ К называется непрерывной на множестве Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е. Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на множестве Е, условимся обозначать символом С'(Е;1К) или, короче, С Мы обсудили понятие непрерывности функции. Рассмотрим теперь некоторые примеры. Пример 1. Если 1 : Е -› К-постоянная функция, то 1 Є С Это утверждение очевидно, ибо 1” = с С ї/(с), какова бы ни была окрестность 1/(с) точки с Є ІК. Пример 2. Функция 1” = а: непрерывна на К. Действительно, для любой точки (сд Є К имеем |]` - 1” (:1:0)| = =|:1: - а:0| < Є, как только |а: - :г0| < 5 = є. Пример 3. Функция І = Ѕіпа: непрерывна на К. В самом деле, для любой точки $120 Є ІК имеем . _ $+Шо . 11-1130 |з1па:-з1па:0|= 2соз-ТЅ111--Г < _ 3:-Ш 11:-11: <2 $111-її <2 -79 =|:в-а:0|<е, как только |:1: - 1130] < 5 = є.
180 ГЛ. І/`. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ Мы воспользовались неравенством | Ѕіп :1:| < |а:|, доказанным в гл. ПІ, Ё2, п. 2с1, пример 9. Пример 4. Функция 1” = сов 11: непрерывна на К. Действительно, как и в предыдущем примере, для любой точки 1130 Є Є К имеем _ ап-І-0:0 , сс-ато |соЅ:1:-соЅ:в0| = -25111-ТЅ1п_Т . 517-330 <2 51117- <|а:-аг0|<є, как только |ш - :в0| < 5 = є. Пример 5. Функция /(аз) = ат непрерывна на К. Действительно, по свойству З) показательной функции (см. гл. ПІ, Ё2, п. 2(1, пример 10а) в любой точке Ш0 Є К имеем Ііш ат = а$° 17->:130 , что, как мы теперь знаем, равносильно непрерывности функции ат в ТОЧКЄ (170. Пример 6. Функция / = Іоёа а: непрерывна в любой точке 1130 Є Є ПД области определения ІЩ = {:п Є К | из > 0}. В самом деле, по свойству 3) логарифмической функции (см. гл. ІП, Ё2, п. 2<ї, пример 10Ь) в любой точке спо Є Щ имеем Ііш Іоёа а: = 105,, 1120, К+ЭІВ-ЖІ20 что равносильно непрерывности функции 1о5,, 1: в точке шо. Попробуем, кстати, по заданному є > О найти окрестность ПК+(:п0) точки то так, чтобы в любой точке Щ Є Пщ<_+(а:0) иметь |1о5аа: -1050, 1120] < є. Это неравенство равносильно соотношению 11: -є < Іода - < г. 5130 Пусть для определенности а > 1; тогда последнее соотношение равно- сильно условию ІІЗООҐЄ < Ш < 1206125.
ЁІ. ОСНОВНЬІЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЬІ 181 Интервал ]:с0а`Є,а:0аЄ[ и есть искомая окрестность точки шо. По- лезно обратить внимание на то, что эта окрестность зависит как от величины є, так и от самой точки шо, чего не наблюдалось в приме- рах 1~4. Пример 7. Любая последовательность 1 : Щ -› К есть функция, непрерывная на множестве М натуральных чисел, поскольку каждая точка множества Ш является его изолированной точкой. 2. Точки разрыва. Для того чтобы лучше освоиться с понятием непрерывности, выясним, что происходит с функцией в окрестности той точки, где она не является непрерывной. Определение 4. Если функция І : Е -› К не является непрерь1в- ной в некоторой точке множества Е, то эта точка называется точкой разрыва функции 1” . Построив отрицание к утверждению «функция І : Е -› К непрерь1в- на в точке а Є Е», мы получаем следующую запись определения того, что а-точка разрыва функции І: (0, Є Е -точка разрыва функции 1 ) := = (її/(1'(<1)) `їҐ1Е(<1) 311? Є Ґїв(0) “(11) ЄЁ У(ї(0))))- Иными словами, а Є Е -точка разрыва функции 1” : Е -› К, если найдется такая окрестность /(І (а)) значения 1” (съ) функции в точке 0,, что в любой окрестности ПЕ(а,) точки а, в множестве Е найдется точка 11: Є ПЕ(а), образ которой не содержится в 1/( 1” (а,)). В є- 6-форме это же определение выглядит так: Эє>0&/<Ѕ>0 3:1:єЕ (|:1:-а,|<6/|](а:)-](а)|>г). Рассмотрим примеры. Пример 8. Функция І = 551111: постоянна и, значит, непрерыв- на в окрестности любой точки а Є К, отличной от нуля. В любой же окрестности нуля ее колебание равно 2. Значит, О-точка разрыва функции 531117. Заметим, что функция имеет в точке О и предел сле- ва Ііш 551151: = -1, и предел справа Ііш 55119: = 1, но, во-первых, они а:-›-О а:-›+0 не совпадают между собой, а во-вторых, ни один из них не совпадает
182 ГЛ. ІУ. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ со значением 55110 = 0 функции в точке 0. Это прямая проверка того, что 0-точка разрыва функции. Пример 9. Функция І = |Ѕ5пас| имеет предел 1іпЁ)|Ѕ5пш| = 1 Ш_› при Ш -+ 0, но = |Ѕ3п0| = 0, поэтому Ііш ]'(а:) эё и О-точка а:-›0 разрыва функции. Заметим, однако, что в данном случае, изменяя значение функции в точке 0 и полагая его равным 1, мы получим функцию, непрерывную в точке 0, т. е. устраним разрыв. Определение 5. Если точка разрыва а Є Е функции І : Е -› К такова, что существует непрерывная функция 1” : Е -+ ІК такая, что 1” | Ща = ]|Еа, то съ называется точкой устранимого разрыва функции [: Е -› К. Таким образом, точка устранимого разрыва характеризуется тем, что существует предел Ііш ]` = А, но А дё ](а), и достаточно Е Эа:-›а ПОЛОЖИТЬ он как мы уже получим непрерывную в точке а функцию І : Е -+ К. Пример 10. Функция Ѕіпі при Ш 79 0, Ш І Д ) 0 при Щ = О разрывна в точке 0. При этом она даже не имеет предела при 1: -› -› 0, ибо, как было показано в гл. ІІІ, Ё2, п. 1, пример 5, не существует предела Іітп) Ѕіп График функции Ѕіп% изображен на рис. 12. (ІІ-› Примеры 8, 9 и 10 поясняют следующую терминологию. Определение 6. Точка съ Є Е называется точкой разрыва первого рода для функции 1” : Е -› К, если существуют пределыц ЕЭ;д,_0і<Ш› == на - 0›, +0і<«:› == ла + <››, 1)Если а,-точка разрыва, то а-предельная точка множества Е. Однако может случиться, что все точки множества Е в некоторой окрестности точки а, лежат по одну сторону от точки а. В этом случае рассматривается только один из указанных в определении пределов.
ё1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЬІ 183 13/ _! . . у=зіп1 1: . 0 у . 2 1 1 2 а: -ї -її ї 'тї . . . н_ -1 Рис. 12. но по крайней мере один из этих пределов не совпадает со значени- ем 1” (а) функции в точке а. Определение 7. Если а Є Е-точка разрыва функции 1” : Е -› -› К и в этой точке не существует по меньшей мере один из пределов, указанных в определении 6, то а называется точкой разрыва второго рода. Таким образом, имеется в виду, что всякая точка разрыва, не являю- щаяся точкой разрыва первого рода, является точкой разрыва второго рода. Приведем еще два классических примера. Пример 11. Функция 1, если гс Є , 1Э(:1:) = (Ф 0, если 1: Є 1К @, называется функцией Дириаз./ъеї). Эта функция разрывна во всех точках, причем, очевидно, все ее точки разрыва_второго рода, так как на любом интервале есть как рациональные, так и иррациональные числа. ЦП. Г. Дирихле (1805 - 1859) -- крупньп`71 немецкий математик-аналитик, занявцшй пост ординарного профессора Геттингенского университета после смерти К. Гаусса (1855).
184 ГЛ. І/. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ Пример 12. Рассмотрим функцию Римана” 7%, если 11: = Ё Є @, где Ё -несократимая дробь,п Є Ы, 0, если 1: Є 1К@. = Заметим, что, каковы бы ни были точка а Є К и ее ограниченная окрестность І/'(а) и каково бы ни было число ]ї Є Ш, в П(а) имеется только конечное число рациональных чисел -Ё, т Є Ж, н Є Ы, таких, что н < 1ї. Уменьшая окрестность, можно, таким образом, считать, что зна- менатели всех рациональных чисел, попадающих в нее (кроме, быть может, числа а, если а Є <@), уже больше чем 1/. Таким образом, в О любой точке єс Є П(а) < 1/П. Мы показали тем самым, что в любой точке 0, Є К @ Ііш 72(:1:) = 0. 113-Н1 Значит, функция Римана непрерывна в любой иррациональной точ- ке. В остальных точках, т. е. в точках 1: Є <@, функция разрывна, и все эти точки являются точками разрыва первого рода. 52. Свойства непрерывных функций 1. Локальные свойства. Лана./ъьными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения. Таким образом, сами локальные свойства характеризуют поведение функции в каком-то предельном отношении, когда аргумент функции стремится к исследуемой точке. Например, непрерывность функции в некоторой точке области определения, очевидно, есть локальное свой- ство функции. Укажем основные локальные свойства непрерывных функций. Теорема 1. Пусть І: Е -› К -функция, непрерывная в тонне а Є Е. Тогда справед./швы следующие утверждения: ЦБ. Ф. Риман (1826 - 1866) -выдающийся немецкий математик, фундаменталь- ные работы которого легли в основу целых областей современной геометрии и ана- лиза.
52. свойотвА нвпгвгывных функций 185 1° функция І ограничена в некоторой окрестности ПЕ(а) точки а; 2° если ]”(а) 75 0, то в некоторой окрестности І/Е(а) точки а все значения функции положительны или отрицательны вместе с 1” (а); 3° если функция 9: ПЕ(а) -› К определена в некоторой окрестно- сти точки а и, как и І: Е -› К, непрерывна в самой точке а, то функции: а) (І + от) == ї(:1:) + 902), Ь) (Ґ-9)( )== ПШ) °9(Ш), с) := Ёїаї-% (при условии, что 9(:1:) аё 0) определены в некоторой окрестности точки а и непрерывны в точ- ке а; 4° если функция 9: У -› В непрерывна в точке Ь Є У, а функция 1” такова, что І: Е -› У, ]”(а) = Ь и І непрерывна в точке а, то композиция (9 0 І) определена на Е и также непрерывна в точке а. Н 4 Для доказательства теоремы достаточно вспомнить (см. Ё 1), что непрерывность функции 1 или 9 в некоторой точке а области опреде- ления равносильна тому, что предел этой функции по базе ВО, окрест- ностей точки а существует и равен значению функции в самой точке а: 1іт1”(Ш) = Ла), 1іт9(Ш) = 9(@)~ Во, Во, Таким образом, утверждения 1°, 2°, З° теоремы 1 непосредственно вытекают из определения непрерывности функции в точке и соответ- ствующих свойств предела функции. В пояснении нуждается только то, что отношение % в самом деле определено в некоторой окрестности І/'Е(а) точки а. Но, по условию, у(а) ;& 0 и в силу утверждения 2° теоремы найдется окрестность І/'Е(а), в любой точке которой 9(а:) 74 0, т. е. ЁЗ определено в ЙЕ(а). Утверждение 4° теоремы 1 является следствием теоремы о пределе композиции, в силу которой 1},т(а Ф і)(Ш) =1Ё,то(у) = 901) = 9(1”(а)) = (9 <> і)(а), а Ь что равносильно непрерывности (9 о 1*) в точке а. Однако для применения теоремы о пределе композиции нужно про- верить, что для любого элемента І/у(Ь) базы Вд найдется элемент ПЕ(а) базы Ва такой, что ](ПЕ(а)) С П;/(Ь). Но в самом деле, если І/`у(Ь) = = У П І/`(Ь), то по определению непрерывности функции 1” : Е -› У в
186 ГЛ. І/`. НЕПРЕРЬІВНЬІЕ ФУНКЦИИ точке а для окрестности І/'(6) = П ( 1” (а)) найдется окрестность ПЕ(а) точки а в множестве Е такая, что [(ПЕ(а)) С І/'(]”(а)). Поскольку 1” действует из Е в У, то ]”(ПЕ(а)) С УПП([(а)) = П;/(Ь) и мы проверили законность применения теоремы о пределе композиции. Ь Пример 1. Алгебраический многочлен Р(а:) = адаї” + а1а:_1 + + _ . . + ап является функцией, непрерывной на К. Действительно, из пункта З° теоремы 1 по индукции следует, что сумма и произведение конечного числа непрерывных в некоторой точ- ке функций есть функция непрерывная в этой точке. Мы проверили в примерах 1 и 2 Ё 1, что постоянная функция и функции І = а: непре- рь1внь1 на К. Тогда на К непрерывны и функции азст = а - іс - - 3:, а следовательно, и полином т раз Пример 2. Рациональная функция В(:1:) = ЁЁ;-% -отношение по- линомов-непрерывна всюду, где она определена, т.е. где С2(:1:) 5% 0. Это следует из примера 1 и утверждения 3° теоремы 1. Пример 3. Композиция конечного числа непрерывных функций непрерывна в любой точке области своего определения. Это по ин- дукции вытекает из утверждения 4° теоремы 1. Например, функция еЅіП2(1“ І °°Ѕ*”|) непрерывна всюду на К, за исключением точек %(2/с + 1), /є Є 2, где она не определена. 2. Глобальные свойства непрерывных функций. Гяобаяьным свойством функции, описательно говоря, называется свойство, связан- ное со всей областью определения функции. Теорема 2 (теорема Больцано -Коши о промежуточном значе- Если функиия, непрерывная на отрезке, принимает на его кон- иаа: значения разньш: знаков, то на отрезке есть точка, в которой функция обращается в нуяь. В логической символике зта теорема имеет следующую запись1): (І Є 0[0››д]) ^ (і(@)°1”(Ь) < 0) => 30 Є [щд] (ЛС) = 0)~ 4 Делим отрезок [а, Ь] пополам. Если в точке деления функция не равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате 1) Напомним, что символ С обозначает совокупность всех функций, непрерыв- ных на множестве Е. В случае Е = [а,Ь] вместо С'([а,Ь]) часто пишут сокращенно С'[а,Ь].
Ё2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЬІВНЬІХ ФУНКЦИЙ 187 деления отрезков функция снова принимает значения разных знаков. С этим отрезком поступаем теперь так же, как и с исходным отрезком [а, Ь], т. е. делим его пополам, и продолжаем процесс дальше. Тогда мы либо на каком-то шаге попадем в точку с Є [а,Ь], где [(с) = 0, либо получим последовательность {Іп} вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю и на концах которых 1” принима- ет значения разных знаков. В последнем случае на основании леммы о вложенных отрезках найдется единственная точка с Є [а, Ь], общая для всех этих отрезков. По построению существуют две последовательно- сти и концов отрезков 1,, такие, что < 0, > О, Ііш :вҐ,, = Ііш сии = с. По своиствам предела и определению непрерыв- 'ТЪ_›Х п_›Х ности получаем Ііш = ]”(с) < 0, Ііш = [(с) 2 0. Таким П-*Х 'П,_'›Х образом, [(с) = 0. > Замечания к теореме 2. 1° Доказательство теоремы доставляет простейший алгоритм отыскания корня уравнения І = О на отрез- ке, в концах которого непрерывная функция имеет значения разных знаков. 2° Теорема 2, таким образом, утверждает, что при непрерывном из- менении нельзя перейти от положительных значений к отрицательным или наоборот, не приняв по дороге значения нуль. 3° К описательным высказываниям типа 2° следует относиться с ра- зумной осторожностью, поскольку в них обычно подразумевается боль- ше, чем высказывается. Рассмотрим, например, функцию, равную -1 на отрезке [0, 1] и равную 1 на отрезке [2,З]. Ясно, что эта функция непрерывна на области своего определения, принимает там значения разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Это замечание пока- зывает, что свойство непрерывной функции, выраженное теоремой 2, действительно проистекает от некоторого свойства ее области опреде- ления (которое, как впоследствии выяснится, состоит в том, что это множество должно быть связным). Следствие теоремы 2. Если функция ср непрерывна на интерва- ле и в наниа:-то точная: а и Ь интервала принимает значения <р(а) = А и <,о(Ь) = В, то для любого числа С, лежащего между А и В,