А. Киеелевъ.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ГЕОМЕТР1Я
ДЛЯ СРЕДНИХЪ УЧЕБНЫХЪ ЗАВЕДЕНШ.
Съ прилсжешемъ большого количества упражнетй и статьи: Глав-
Hbiiiiiie методы рЬшен1я геометрическихъ задачъ на построеше,
Iladauie двадцать третье.
Допущена Уч. Ком. М. Н. Пр. въ качеств^ руководства для соепнихъ
учебныхъ заведетй, мужскихъ и женскихъ („Журн. М. Н.П " 1913, апрель),
рекомендована Учебн. Ком. при Св. СинодЬ для употреблешя въ духов-
ныхъ семинар1яхъ въ качеств-в учебнаго пособ!я („Церк. Въд.а, 1893, № 32)^
ОДОбрена Деп. Торг. и Мануф. для коммерческихъ училищъ въ качеств-в
пособ1я (изв4щен1е отъ 30 мая 1898 г., № 14128). Рекомендована, какъ
РУКОВОДСТВО для кадетскихъ корпусовъ.
8
с
С
ее
Е.
Из дан i е Т- в а
ПОДЪ ФИРМОЙ
„В. В. Думновъ—наел. Бр. Салаевы^съ^
МОСКВА.
Типография П. П. Рябушинскаго, Страстной бул1варь, собственный домъ.
й Л I л
I 9
(\а>\ ч,\
"TV

Изъ предиелов1я къ первому издан!ю.
A892 г.).
ГлавгЛйпля особенности предлагаемого руководства геометрш со-
состоять въ отЬдующемъ.
1. Въ большинстве нашихъ учебниковъ геометрш поняйе о длине
окружности и вообще о кривой лиши принимается за элементарное,
не требующее никакихъ оговорокъ и разъяснетй, и выводъ, что длина
окружности есть предЬлъ периметровъ правильныхъ вписанныхъ и
описанныхъ многоугольниковъ, основывается на скрытомъ допущенш
или на не строго доказываемой теореме, что объемлющая лшпя
длиннее объемлемой. Въ предлагаемомъ руководстве, въ согласш
со многими авторитетами учебно-математической литературы, про-
проведено иное воззрите, которымъ признается, что понятие о длшгЬ
элементарно только въ прим'Ьненш къ прямой; но когда речь идетъ
о сравненш конечной кривой съ прямолинейнымъ отрезкомъ, тогда
(всл'Ьдствхе несовместимости элементовъ кривой съ элементами пря-
прямой) понят1е о длин* становится сложнымъ и требуетъ опредЪлешя *).
Сообразно этому взгляду мы не доказываемъ, а принимаемъ за опре-
дЬлеше, что длиною конечной кривой называется предЪлъ периметра
вписанной ломаной лиши, когда стороны ея стремятся къ нулю. Ко-
Конечно, въ среднихъ классахъ учебныхъ заведешй было бы затрудни-
затруднительно вполне обосновать это опред^лете, т.-е. доказать, что такой
предЬлъ существуетъ и что онъ не зависитъ отъ закона вписывашя
ломаной линш; но въ педагогическомъ отношенш, какъ намъ ка-
кажется, н-Ькоторые пробелы въ доказательств^ не скрываемые, впро-
чемъ, отъ учащихся) не им-Ьютъ такого вреднаго значен!я, какъ
неопределенность, неясность и сбивчивость бъ ^цонятаяхъ, а т^мъ
бол^е въ основныхъ. При повторен!и геометрш въ старшемъ классе
(озобенно въ реальныхъ училищахъ, где въ седьмомъ классе дола-
¦) Огсылаемъ i нтвр^сующихся этимъ вопросом!» къ статьb M. По*
и ружен к о «О длип'Ь», пом1зц1ен f>ft вь «ВвстникЬ опытноii
и элементарной математик^» AЫI г. Js&>6 122 и i*_G).

— IV —
гается обстоятельно пройти статью о пред'Ьлахъ) ученики не затруд-
затруднятся усвоить и необходимое обосноваше указаннаго опред'Ьлешя
(оно помещено нами въ мелкомъ шрифте),
ЗалгЬтимъ еще по тому же вопросу о длине, что, придерживаясь
«Началъ Эвклида» и лучшихъ современныхъ иностранныхъ учебни-
ковъ, мы не приписываемъ прямой лиши, какъ а к с i о м у,
свойства быть короче всякой другой лиши, проведенной между кон-
концами прямой, а доказываемъ эту истину въ гёхъ м-Ьстахъ курса, где
въ этомъ является надобность и возможность, сначала въ прим-Ьнеши
къ ломаной, а потомъ и къ кривой. И действительно, разъ мы стали
на ту точку зрешя, что длина кривой есть понят1е сложное, раз-
разрешающееся только при посредстве другого сложнаго понят—
о пределе, становится совершенно невозможнымъ принимать за оче-
очевидную истину такое предложеше, однимъ изъ терминовъ котораго
служить это вдвойне сложное поня™. Съ другой стороны, и нетъ"
логической необходимости въ предварительномъ призна-
нш принципа Архимеда, такъ какъ онъ вполне строго доказываетсд.
на ряду съ другими теоремами.
2. Въ согласш съ изложеннымъ взглядомъ на длину кривой линш,
мы полагаемъ также, что кривыя поверхности, вследств!е несовме-
несовместимости ихъ элементовъ съ элементами плоскости, не могутъ быть
непосредственно сравниваемы съ плоскими поверхностями; поэтому
мы не доказываемъ, что поверхность крутлаго тела есть пределъ
некоторой плоской поверхности, а принимаемъ это предложеше за
о пределен! е,
Заметимъ, что аналогичный вопросъ по отношенш къ площадямъ
криволинейныхъ фигуръ или по отношенш къ объемамъ, ограничен-
нымъ кривыми поверхностями, разрешается совсемъ иначе. Въ са-
момъ деле, мы совершенно ясно представляемъ себе, что площадь
круга больше площади вписаннаго многоугольника, какъ целое
больше своей части, и меньше площади описаннаго многоугольника,
какъ часть меньше целаго; и далее, что при неограниченйомъ удвоенш
числа сторонъ вписаннаго и описаннаго многоугольниковъ разность
между ихъ площадями стремится къ нулю; поэтому предложеше:
«площадь круга есть общШ пределъ площадей правильныхъ вписан-
ныхь и-описанныхъ. многоугольниковъ» должно быгь рассматриваемо
не к#къ оцределеше, а какъ теорема, подлежащая доказательсузу.
То же самое можно сказать юбъ объеме цилиндра, конуса и ша/ра.

— V —
3. Какъ известно, въ алгебре существуютъ статьи, которыя rie
могутъ быть стрэгч^обоснованы въ элементарномъ курсЬ, но безъ
которыхъ этотъ курсъ не обходится (напр., д-Ьйств1я надъ несоизме-
несоизмеримыми числами). Въ элементарной геометрш къ такого рода статьямъ
относится с по coj) ъ пределов ъ. Дня строгаго доказатель-
доказательства этого способа потребовалось бы ввести въ курсъ геометрш теорш
предЬловъ- почти въ такомъ размере, въ какомъ эта статья проходится
въ седьмомъ классЬ реальныхъ училищъ. Чтобы научно обосновать,
наприм'Ьръ, нахождеше предала формулы объема усеченной пирамиды
[\y=1/3H(B-fb+V^Bb)], следовало бы предварительно установить
теоремы о пределе суммы, произведешя и корня, а для этого, въ
свою очередь, пришлось бы ввести нЪкоторыя теоремы о безконечно-
малыхъ величинахъ.4 Само собою разумеется, что въ такомъ виде
статья о пределахъ не можетъ быть пройдена въ среднихъ классахъ
нашихъ учебныхъ заведешй. Съ другой стороны, обойтись совсЬмъ
безъ способа пред?ловъ въ элементарной геометрш невозможно.
По необходимости здесь приходится поступиться строгостью изло-
жешя въ пользу его краткости и доступности. Поэтому мы сочли за
лучшзе, доказавъ две известныя теоремы о пределахъ, указать
затемъ безъ доказательства основной принципъ способа преде ловъ,
состоящш въ томъ/ что равенство, верное при всевозможныхъ значе-
ягя&ъ переменныхъ, остается вбрнымь и тогда, когда вместо пере-
менныхъ подставимъ ихъ пределы.
4. Въ большинстве русскихъ о эигинальныхъ учебниковъ геометрш
теоремы о равзнётвЬ несоизмеримыхъ отношенш доказываются отъ
протявнагэ. Мы предпочли другой путь. Прежде чемь доказывать
равенство, необходимо точ|ю установить, что разумеется подъ этимъ
терминомъ. Если же поставимъ вопросъ, что такое равенство не-
соизмеримыхъ отношешй, то наиболее простой, ответъ на него будетъ
следуюпцй: HecoH3MipiiMHfl отношен1я считайся равными, если
равны ихъ приближенныя значен1я, вычисленныя ^произвольною,
но одинаковою точностью. Принявъ это предложен1е sjv определешё
равенства, мы не нуждаемся более въ косвенномъ и тТЦедомъ до-
доказательстве отъ противнаго; его всегда можно заменить'н^ямымъ
доказательствомъ, и йолее простымъ, и более яСнымъ.
5. Некоторыя статьи изложены въ предлагаемомъ руководстве,
какъ кажется, проще, чемъ въ распространенныхъ нашлхТ"учёбни-
кахъ. Таковы, напр., статьи: о параллельныхъ прямыхъ, объ отно-

- VI —
рительномъ полоясенш окружностей, о пропорщональныхт* лшпяхъ,
о правильныхъ многоугольникахъ, о нахождеши объема всякаго
параллелепипеда, о подобш многоутольниковъ и некоторый другы.
Сравнительная простота достигается н'Ькоторымъ изм1шешемъ въ рао
пред-клеши матер!ала, а иногда упрощешемъ пр'юмовъ доказательства.
Книга снабжена значительнымъ количествомъ упражнешй, состоя-
щихъ частш изъ нЪкоторыхъ, не вошедшихъ въ текстъ, но пред-
ставляющихъ интересъ теоремъ, а главнымъ образомъ изъ задачъ на
построеше и вычислеше. Въ концЪ илаииметрш мы поместили *) wb-
которыя задачи на вычислеше изъ «Сборника геометр и-
ч е с к и х ъ задачъ для повторительнаго курса
п л а н и м е т р i и» г. М. Попруженко. Эти задачи обладаютъ
прежде всего гЬмъ достоинствомъ, что онЬ содер.клтъ много чисто
геометрическаго матер!ала, а не представляютъ собою
только ариометическихъ или алгебраическпхъ упражненШ съ гео-
геометрическими данными. Въ концЪ курса, въ видЬ дополнешя, мы
сочли не липшимъ приложить небольшую статью о методахъ
.ptineHifl геометрическпхъзадачъ на построе-
н i е съ 1 р м-рами задачъ, рйшаемыхъ этими методами. Существую-
n;ie у насъ сборники подобнаго рода, устрашая учащихся своимъ
объемомъ, употребляются ими лишь въ рЪдкихъ случаяхъ. Мы изло-
изложили въ самомъ сжатомъ видЪ только главн^йппе методы и пом-ктлли
наиболее типичныя задачи.
СлЪдуя учебнымъ планамъ гимназ1й и реальныхъ училищъ, мы по-
М'Ьщаемъ основныя задачи на построен1е и вычислеше въ самомъ
тексгЬ книги непосредственно посл-Ь т-Ьхъ теоремъ, на которыхъ
основано ихъ р^шеше. Въ сокращенномъ вид'Ь мы указываемъ также
сущность приложешя алгебры къ геометрш и построен1е прост^й-
шихъ алгебраическихъ формулъ.
Считаемъ не липшимъ сделать следующее замЬчан1е. Съ точки
зр^шя строгой теор1и къ задачамъ на построеше возможно цристу-
пить только тогда, когда ученики усвоили основныя предложения объ
окружности. Но съ педагогической точки зр-Ьшя это едва ли было бы
удобно: отодвинуть практичесшя упражнешя такъ далеко отъ начала
курса значило бы сд-Ьлать начало геометрш, и безъ того трудное
для начинающихъ, еще болЪе сухимъ и тяжелымъ. Мы поступились
*) Съ еоглао1я соотавителя.

- VII -
строгостью въ пользу практическаго интереса и поместили основныя
задачи на йостроете тотчасъ после разсмотр-Ьшя свойствъ треуголь-
никовъ.
Книга напечатана двумя шрифтами: въ обыкновенномъ изложена
все то, ч?о должно быть пройдено "въ^среднихъ классахъ, въ мел*
комъ—то, что желательно дополнить при повторены геометрш въ
старшемъ классе.
Предиелов1е къ 21-iyiy издан!ю.
A912 г.).
21-е издаше «Элементарной геометр!и» значительно переработано
сравнительно съ издашями предыдущими.
Главн-Ьйпия измекея1я следуюцця (перечисляемъ ихъ въ порядки
отЬдовашя параграфовъ).
1°. Въ начали главы «Параллельныя прямыя», раньше опреде-
определен]^ такихъ прямыхъ, поставлена вспомогательная лемма (§ 73)
о взаимной связи изв-Ьстныхъ 5-и соотношешй между углами, обра-
образующимися при пересЬченш двухъ прямыхъ третьего. Предвари-
Предварительное установлеше этой связи, не представляя собой большой
трудности для учащагося, значительно облегчаетъ усвоеше даль-
дальнейшей теорш параллельныхъ прямыхъ. Изложеше самой этой Teopin
тоже отличается теперь отъ прежняго. Такъ, ран-Ье опред4лешя
параллелизма мы показываемъ (§ 74) возможность сущзствовашя
такихъ прямыхъ, которыя не пересекаются, сколько бы мы ихъ
ни продолжали; загЬмъ мы сначала указываемъ признаки
параллельности прямыхъ (§ 76), а уже пэтомъ излагаемъ, въ виде
обратной теоремы (§81), свойства параллельныхъ прямыхъ,
а не наоборотъ, какъ это делалось въ предыдущихъ издашяхъ. Иначе,
чймъ прежде (болйе общимъ способомъ) доказывается теорема (§ 77),
что «черезъ всякую точку, лежащую вне прямой, можно провести
параллельну!ю этой прямой»; излагаемый теперь пр1емъ доказатель-
доказательства даетъ больше возможности выяснить (§ 78) логическую потреб-
потребность въ известномъ постулате параллельныхъ прямыхъ (§ 79).
Признаки непараллельности прямыхъ (§ 83) изложены теперь ни-
нисколько подробнее, чемъ прежде.

— VIII -
Въ конце главы о параллелъныхъ прямыхъ мы поместили теперь
(мелкимъ шрифтомъ) добавлеше, могущее, какъ намъ кажется, за-
заинтересовать многихъ любознательныхъ учениковъ: «О постулате
нараллельныхъ лише»; въ этомъ добавленщ мы даемъ поня™ о
важной роли этого постулата, а также и о «не-Эвклидовыхъ» гео-
2°. Въ главе «Параллелограммы и трапецш» мы теперь излагазмъ
и тЬ теоремы, доказательство которыхъ въ предыдущихъ издашяхъ
предоставлялось самимъ учащимся; таковы, напр., обратныя теоремы:
«всяшй четыреугольникъ, котораго д!агонали делятся пополамъ,
есть параллелограммъ» (§ 101), «всяшй параллелограммъ, у котораго
д1агонали равны, есть прямоугольникъ» (§ 105), и т. п.
3°. Въ главе «Свойства касательной» более подробно и система-
уично^ чфмъ прежде, разсматривается относительное положеше пря-
прямой и окружности (§ 135), вслед cTBie чего дальнейшее изложеще
свойствъ касательной упрощается. Въ той же главе теперь мы по-
подробно излагаемъ (§ 142) доказательство (которое прежде предо-
предоставлялось самимъ ученикамъ) правильности решетя задачи о про-
веденш касательныхъ,. общихъ двумъ даннымъ окружностямъ,
4> Въ глав-Ь «ИзмгЬрен1е величинъ» несколько упрощено (§ 156)
доказательство теоремы о несоизмеримости основашя и боковой
стороны равнобедреннаго треугольника, у котораго уголъ при осно-
ваши равенъ 2/5d, а такше добавлена (мелкимъ шрифтомъ, § 157)
классическая теорема о несоизмеримости дигонали квадрата съ его
стороной.
5°. Въ книге III подоб1е треугольниковъ отделено отъ подоб1я
многоугольниковъ более, чемъ это делалось прежде, причемъ; рацее
определенШ подоб!я техъ и другихъ, предварительно устанавли-
устанавливается (въ леммахъ §§ 196 и 205), возможность существовашя техъ
фигуръ, о которыхъ будетъ затемъ говориться въ определешяхъ.
6°. Существенному измененш подверглось доказательство теоремы
Птоломея. Въ прежнихъ издашяхъ эта теорема (§ 215 прежнихъ
издашй) излагалась мелкимъ шрифтомъ, какъ следств!е изъ формулъ,
найденныхъ раньше, путемъ довольно сложныхъ вычислен^, для
диагоналей вписаннаго четыреугольника; теперь мы даемъ классиче-
классическое доказательство () 242) этой весьма важной теоремы и излагаемъ
.ее обыкновеннымъ шрифтомъ. Вычислеше же д!агоналей вписаннаго
четыреугольника (оставляя его въ мелкомъ шрифте) мы основы-

— IX —
ваемъ на теорем* Птоломея и на другой, добавленной теперь (§ 244),
объ отношенш д1агоналей такого четыреугольника.
Н*которымъ изм*нешямъ (и дополнешямъ) подверглись также тео-
теоремы о пропорщональныхъ лишяхъ въ круг* (§§ 246, 247, 248, 249).
7°. Несколько изм*нено изложеше опред*лешя длины окруж-
окружности и ея частей (§ 286) и упрощено доказательство теоремь1(§~288)г
что «длина дуги больше стягивающей ее хорды, но меньше всякой
ломаной линш, описанной около этой дуги и имеющей съ нею одни
и т* же концы».
8°. Существенно переделано теперь изложеше теоремы: «площадь
прямоугольника равна произведенш его основашя на высоту» (§ 305).
Въ предыдущихъ издашяхъ доказательство этой теоремы основы-
основывалось на двухъ предварительныхъ леммахъ объ отношен1и
площадей прямоугольниковъ, причемъ приходилось перемно-
перемножать между собою дв* пропорцш, сокращая посл*дуюшдй членъ.
одной пропорщи съ предыдущимъ членомъ другой, т.-е. приходилось
скрытымъ образомъ предполагать, что площади, представляющая
собою эти члены, уже выражены числами. Теперь мы
даемъ прямое, бол*е строгое и вм*ст* съ т*мъ бол*е ясное, доказа-
доказательство этой теоремы и только, какъ сл*дств!е изъ нея, выводимъ
(§ 306) заключеше объ отношенш площадей двухъ прямоугольниковъ.
9°. Въ начал* главы «Площади многоугольниковъ» мы поместили
зам*чаше (мелкимъ шрифтомъ, § 301), указывающее на важный
вопросъ, возникающей относительно основныхъ допущешй о пло-
щадяхъ, а также дали наглядное поняйе о томъ (§ 303), что сл-Ьдуетъ
разум-Ьть подъ числомъ, измЬряющимъ какую-нибудь
данную пл^ощадь въ квадратныхъ единицахъ.
10°. Въ н-Ькоторыхъ случаяхъ, не ограничиваясь сьбычнымъ до-
казательствомъ равновеликости фигуръ, мы дали дополнительное
зам^чаше о возможности разложен1я этихъ фигуръ на соот-
соответственно конгруентныя части (въ § 309—о превращены
параллелограммовъ, въ § 312—о превращеши треугольника въ прямо-
угольникъ и въ § 315—о превращены трапещи въ прямоугольникъ).
11°. Для большей наглядности мы привели третье доказатель-
доказательство теоремы Пиеагора (§ 321), показывающее, какъ разложить сумму
квадратовъ, построенныхъ на катетахъ, на ташя части, изъ кото-
рыхъ, перем-Ьщешемъ ихъ, можно образовать квадратъ, построенный
на гипотенуз*.

12°. Въ стереометрш, въ глав'Ь «Перпендикуляръ и наклонныя»,
ради большей систематичности, мы поместили теперь и ту теорему
(изъ точки, взятой в н i плоскости, можно опустить на эту
плоскость перпендикуляръ), которая въ предыдущихъ издашяхъ
отрывалась отъ родственной ей теоремы (изъ точки, взятой н а п.л о -
скости, можно возставить къ этой плоскости перпендикуляръ),
и доказывалась позже, въ конц'Ь главы о параллельныхъ прямыхъ.
13°. Известное предложеше о трехъ перпендикулярахъ, которое
прежде излагалось нами, какъ лемма (§ 321 прежнихъ изданш),
теперь поставлено въ вщгЬ самостоятельной теоремы въ концъ1 главы
о перпендикуляр^ и наклонныхъ (§ 359).
14°. Изложеше главы «Объемъ призмы и пирамиды» изменено
теперь въ соотвйтствш съ измйнетемъ главы о площадяхъ; такъ,
объемъ прямоугольнаго параллелепипеда находится непосредственно,
а не на основаши двухъ леммъ объ отношенш объемовъ, какъ это
делалось прежде.
Мы перечислили только главнМипя измйнешя, сд^лаиньш въ
21-мъ изданш. Есть много другихъ болйе мелкихъ отличш, введен-
ныхъ главнымъ образомъ съ 1гЬлъю достигнуть большей ясности
изложешя или большей точности въ формулировки определен!й и
теоремъ.
Кром'Ь того, частью съ ц'Ьлью выполнить всЬ требован1я офи-
щальныхъ программъ, а главнымъ образомъ съ 1гЬлью удовлетворить
любознательность учениковъ, мы ввели и некоторые новые параграфы
и даже Ц'Ьлыя главы; напр., о симметрш фигуръ (§§ 33, 102, 109, 264),
о постулат^ параллельныхъ линш (§§ 91—95), о признакахъ, не-
обходимыхъ и достаточныхъ (§ 187), о фигурахъ, подобно распо-
ложенныхъ (гомотет1я §§ 211—218), объ однородности уравненш,
получаемыхъ при р-Ьшеши геометрическихъ задачъ (§ 342), о по-
строеши корней квадратнаго уравнешя (§ 343), опредйлеше проэкщи
прямой на плоскость (§ 394) и некоторые друие.

Предиелов1е къ 22-му издан1ю.
Приступая %ъ 22-му издатю, мы тщательно просмотрели изло-
жеше предыдущаго издашя съ целью устранить все зам-Ьченныя
опечатки, а также и неточности, неясности или шероховатости слога.
При этомъ, для большей полноты или для достижешя большей ясно-
ясности и большей строгости изложешя, пришлось сделать нЪкоторыя
неболышя изм^нетя и добавлешя (последшя, главнымъ образомъ,
въ мелкомъ шрифте). Укажемъ главнейния изъ нихъ.
Къ § 35 сделана выноска, въ которой разъясняется, что конгруенщя
на плоскости различается двухъ родовъ: прямая и не-прямая.
Въ § 130 добавлены 2 слгЬдств1я, представляющая собою предло-
жешя, обратныя теореме 1° этого параграфа. Въ нихъ встречается
надобность при доказательстве теоремы 2° (обратной) § 138, введен-
введенной для обосновашя содержащагося въ § 258 построешя правильнаго
описаннаго многоугольника, стороны котораго параллельны сторо-
намъ правильнаго вписаннаго многоугольника.
Въ выноск-б къ § 224 указано иное отложеше прямыхъ а, в и с>
къ которымъ отыскивается 4-ая пропорциональная.
Равнымъ образомъ, въ выноске къ § 255, 3° указывается другой
способъ построешя 3-й пропорциональной.
Въ конце того же § 255 добавлена выноска, въ которой говорится
о невозможности решешя помощью циркуля и линейки задачи о б ъ
у двоен1и куба.
Въ § 301 добавлены два замечашя B° и 3°), въ которыхъ разъяс-
разъясняется, что равноведикость фигуръ можетъ быть двоякаго рода:
равновеликость «по разложенш» и равновеликость «по дополненш».
Къ § 433 добавлена выноска о томъ, что равновеликость двухъ
пирамидъ, имеющихъ равновелишя основашя и равныя высоты,
не можетъ быть сведена ни на равновеликость «по разложенш»,
ни на равновеликость «по дополиенш».
Изложеше §§ 299 и 300 («Основныя допущешя о площадяхъ») теперь
несколько более систематизировано; то же самое сделано и относи-
относительно изложешя соответствующихъ §§ 422 и 423 объ объемахъ.
Изменено изложеше конца § 429 съ целью подробнее, чемъ было
прежде, выяснить, что отрезокъ KS представляетъ собою высоту
параллелепипеда.
Весьма мнопе чертежи для 22-го издашя переделаны вновь съ
целью ихъ улучшешя.

— XII —
23-е* издаше существенно не отличается отъ издашя 22-го;
лишь въ немногихъ м^стахв несколько улучшено изложеше (напр.,
о перпендикуляр^ и наклонныхъ, §§ 59,1? 59,2 и 60), или сделаны
неболыщя добавлешя (напр., § 160,2 ,,0 пропорщи").

ВВЕДЕШЕ.
Математичесшя предложения.
1- Во всякой математической науки могутъ встретиться
сл'Ьдуюпця предложен1я:
Определения. Такъ называютъ предложешя, въ которыхъ
разъясняется, какой смыслъ придаютъ тому или другому вы-
ражешю или названш. .Наприм., въ ариеметикФ мы встрФ-
чаемъ опред'Ьлешя наименьшаго кратнаго, общаго наиболь-
шаго делителя, и т. п.
Аке1омы. Такъ называютъ истины, которыя, всл^дств1е
своей очевидности, принимаются безъ доказательства. Таковы,
напр., предложетя:
Если двФ величины равны порознь одной и той же третьей
величин*, то они равны и ^между собою.
Если къ равнымъ величинамъ придадймъ поровну, или отъ
равныхъ величинъ отнимемъ поровну, то равенство не нару-
нарушится.
Если къ неравнымъ величинамъ придадймъ поровну, или отъ
неравныхъ величинъ отнимемъ поровну, то смыслъ неравенства
не изменится, т.-ее большая величина останется большей.
Теоремы. Такъ называются предложешя, которыхъ истин-
истинность обнаруживается только поел* н^котораго разсужден!я
(доказательства). Прим'Ьромъ можетъ служить ариеметическая
истина: «если сумма цыфръ делится на 9, Td число' делится
на 9».
CjitACTBifl. Такъ называются предложешя,.которыя соста-
вляютъ непосредственный выводъ изъ аксюмы или теоремы.
Напр., изъ теоремы: «въ пропорщи произведен1е крайнихъ
членовъ равно произвёдешю среднихъ», выводится сл'Ьдствхе:
«крайтй членъ пропорщи равенъ произведен!ю среднихъ чле-
членовъ, деленному на другой крайни».

— 2 —
2. Составъ теоремы. Во всякой теореме можно раз-
различить две части: услов1е и заключеше. У с л о в i e выражаете
то, что предполагается даннымъ; заключен1е — то, что
требуется доказать. Напр., въ теореме: «если сумма цыфръ де-
делится на 9, то число делится на 9», услов1емъ служить первая
часть теоремы: «если сумма цыфръ делится на 9», а заклю-
заключен! емъ—вторая часть: «то число делится на 9»; другими
словами, намъ дано, что сумма цыфръ н^котораго числа де-
делится на 9, а требуется доказать, что въ въ такомъ случай и
само число делится на 9.
Услов1е и заключеше теоремы могутъ иногда состоять изъ
н'Ьсколькихъ отдел ьныхъ условШ и заключешй; напр., въ
теорем*: «если число делится на 2 и на 3, то оно
разделится на 6», услов!е состоитъ изъ двухъ частей: если число
делится на 2 и если число делится на 3.
Полезно заметить, что всякую теорему можно подробно вы-
выразить словами такъ, что ея услов1е будетъ начинаться сло-
вомъ «е с л и», а заключеше — словомъ «т о».
3. Обратная теорема. Теоремою, . обратною данной
теорем*, наз. такая, въ которой услов1емъ поставлено заклю-
заключеше или часть заключешя данной теоремы, а заключешемъ—
услов!е или часть услов1я данной теоремы» Напр., следующая
две теоремы обратны другъ-другу:
Если сумма цыфръ делится
на 9,
т о число делится на 9..
Если число делится на 9,
то сумма цыфръ делится
на 9.
Если одну изъ этихъ теоремъ назовемъ прямою, то дру-
другую сл^дуетъ назвать обратною.
Въ этомъ примири o6i теоремы, и прямая и обратная, ока-
оказываются верными. Но такъ бываетъ не всегда. Напр., теорема:*
«если каждое слагаемое делится на одно и то же число, то и
сумма разделится на то же число» — вЪрна, но неверно
обратное предложеше: «если сумма делится на какое-нибудь
чигло, то каждое слагаемое разделится на него».
4. Противоположная теорема. Теоремою, противо-
противоположною данной теорем*, наз. такая, которой yonoBie и за-
заключеше представляютъ отрицан1е услов1я и заключешя

— 3 —
данной теоремы. Напр., теоремтЬ: «если сумма цыфръ делится
на 9, то число делится на 9» соответствуете такая противопо-
противоположная: «если сумма цыфръ Н6 делится на 9, то число HG де-
делится на 9».
Й здг?сь должно заметить, что верность прямой теоремы
еще не служитъ признакомъ верности противоположной; напр.,
противоположное предложеше: «если каждое слагаемое н е де-
делится на одно и то же число, то и сумма н е разделится на это
число»,— не вйрно, тогда какъ прямое предложеше верно.
б. Зависимость между теоремами: прямой, обратной
И ПРОТИВОПОЛОЖНОЙ. Для лучшаго уяснешя этой зависимости
выразимъ теоремы сокращенно такъ:
1°. П р я м а я теорема: если есть Л, то есть и В.
2°. Обратная теорема: если есть В, то есть и А.
Б°. Противоположная прямой: если н'Ьтъ А, то
н'Ьтъ и В.
4°. Противоположная обратной: если нЪтъ В,
то нЪтъ и А.
Легко обнаружить, что предложешя первое и четвертое обра-
обратимы одно въ другое, равно какъ второе и третье. Действительно,
изъ предложешя: «если есть Л, то есть и В», непосредственно сл'Ьдуетъ:
«если нгЬтъ В, то н'Ьтъ и А» (такъ какъ если бы А было, то, согласно
первому предложешю, было бы и В); обратно, изъ предложешя: «если
Н'Ьтъ В, то н'Ьтъ и Л», выводимъ: «если есть Л, то есть и Б» (такъ какъ
если бы В не было, то не было бы и А). Совершенно такъ же убедимся,
что изъ второго предложешя сл^дуетъ третье, и иаэборотъ.
Поэтому, чтобы быть ув'Ьреннымъ въ верности всЬхъ четырехъ
теоремъ, н'Ьтъ надобности доказывать каждую изъ нихъ отдельно,
а достаточно ограничиться доказательствомъ только двухъ: прямой
и обратной или прямой и противоположной.
Прямая лишя, плоскость. Поня-rie о геометрш.
6. Геометрически фигуры. Всякая ограниченная
часть пространства называется геометрическимъ тФ-
л о м ъ.
Геометрическое гбло можно подразделять на части;
каждая часть геометрическаго т^ла есть также геометрическое
т'Ьло.
Граница грометрическаго гбла, т.-е. то, ч4мъ оно отделяется
отъ остального пространства, наз. поверхностью.

— 4 —
Поверхность можно подразделять на части; всякая часть,
поверхности есть также поверхность.
Граница поверхности называется ли Hi ей.
Линш можно также подразделять на части; каждая
часть лиши есть также лишя.
'Граница лиши называется точкой.
Геометрическое тело, поверхность, лишя и точка не суще-
существу етъ раздельно. Однако при помощи отвлечетя, мы можемъ
разсматривать поверхность независимо отъ геометрическаго
тела, линш—независимо отъ поверхности и точку—неза-
точку—независимо отъ лиши. При этомъ поверхность мы должны пред-
представлять ce6i не имеющею толщины, линш — не имеющею
ни толщины, ни ширины, и точку — не имеющею ни длины,
ни ширины, ни толщины.^
Всякая лишя содержитъ въ себе безчисленное множество
точекъ. Принято говорить, что эти точки л е ж а т ъ на ли-
линш, или что эта лишя проходитъ черезъ эти точки. Ихъ
можно разсматривать, какъ последовательныя положешя одной
и той же точки, движущейся вдоль этой линш. Поэтому можно
сказать, что лин!я есть следъ двйжен1я точки.
Если, напр., мы острее карандаша дветаемъ по бумаге, то следъ
этого движешя на бумаге есть приблизительно лишя; прибли-
приблизительно дотому, что острее карандаша не представляетъ собою
геометрической точки, вследств1е чего проведенная на бумаге
лишя имеетъ некоторую ширину (и даже толщину). Чемъ острее
очиненъ карандашъ, темъ более острее его приближается къ
геометрической точке и темъ более лишя, проведенная этимъ
карандашомъ, приближается къ геометрической линш.
Подобно этому поверхность можно разсматривать, какъ
следъ д'вижен1я л и н i и, двигающейся въ простран-
пространстве некоторымъ образомъ.
Совокупность какихъ бы то ни было точекъ, лиши, поверх-
поверхностей или телъ, расположенныхъ известнымъ образомъ въ
пространстве, называется вообще геометрической фигурой.
. 7. Геометр1я. Наука, разсматривающая свойства геоме-
трическихъ фигуръ, наз. геометр-i ей, что въ переводе съ

— б —
греческаго языка означаетъ землемгЬр1е. Такое назвате
этой науки дано было потому, что въ древнее время главною
целью геометрш было измереше разстоятй и площадей на
земной поверхности.
8. Въ самомъ начал* геометрш должно быть указано сле-
следующее общее свойство фигуръ:
Акс1ома пространства. Всякую геометрическую фи-
фигуру можно перенести изъ одного мЪста пространства въ
другое, не нарушая ни величины составляющихъ фигуру
частей, ни ихъ взаимнаго расположешя.
9. Прямая лишя. Всяюй знаетъ, что такое прямая
л и н i я, или просто прямая, представлете о которой намъ
даетъ туго натянутая нить. П о н я т i e о прямой эле-
элементарно, т.-е. оно не можетъ быть определено посред-
ствомъ другихъ более простыхъ понятШ.
На чертеже прямую изображаюсь въ виде тонкой черты,
проведенной отъ руки или помощью чертежной линейки.
Прямая лишя обладаетъ следующ ши очевидными свой-
свойствами:
AKCiOMbi прямой. 1°. Черезъ всян1я дв-Ь точки простран-
пространства можно провести прямую и притомъ только одну.
2°. Прямую можно продолжать безъ конца въ o6t стороны
отъ каждой ея точки.
Изъ первой акскмы сл^дуетъ:
Если дв^ прямыя наложены одна на другую такъ, что кашя-
нибудь дв*Ь точки одной прямой совпадаютъ съ двумя точками
другой прямой, то эти прямыя сливаются и во всЬхъ
остальныхъ точкахъ (потому что въ противномъ случай черезъ
двй точки можно было бы провести двЬ различныя прямыя,
что противоречите aKcioMi первой).
По той же причини дв* прямыя могутъ пересечься только
въ одной точк*.
Ю.Прямая конечная и безконечная. Если прямую
представляютъ цродолженною въ об* стороны безконечно, то ее
называюсь безконечною или неограниченною
прямой. ^Конечно, такую прямую изобразить на чертеже не-

— 6 —
возможно. Изображаюсь только какую-нибудь часть ея и
мысленно воображаютъ, что эта часть продолжена въ об^ сто-
стороны безконечно. Прямую обозначаютъ обыкновенно двумя
буквами, поставленными у двухъ какихъ-либо ея точекъ. Такъ
говорятъ «прямая АВ или ВА» (черт. 1).
А В Ci «D
Черт. 1. Черт. 2,
Часть прямой, ограниченная съ об^ихъ сторонъ, наз. о т р i з-
комъ прямой или конечною прямой; такая прямая
обозначается двумя буквами, поставленными у концовъ ея*
(отр'Ьзокъ CD, черт. 2). Отр'Ьзокъ прямой, соединяющей дв4
точки, наз. иногда разстоян1емъ между ними.
Иногда разсматриваютъ прямую, ограниченную только съ
одной стороны, напр., въ точкФ А (черт. 3). О такой прямой
А*-
Черт. 3.
говорятъ, что она исходитъ изъ точки А; ее называютъ
полупрямою (или л у ч е м ъ).
11. Равенство и неравенство конечныхъ пря-
мыхъ. Два отрезка прямой считаются равными, если они
могутъ быть наложены другъ на друга такъ, что совмЪщаются.
Положимъ, напр., что мы накладываемъ отр^зокъ^В на Отр'Ь-
Отр'Ьзокъ CD (черт. 4) такъ, чтобы точка А упала на С и чтобы пря-
прямая АВ пошла по CD; если при этомъ концы В и D совпадутъ,
то отрезки АВ и CD считаются равными; въ противномъ случай
отрезки будутъ неравны, при чемъ меныпимъ считается тотъ,
который составляетъ часть другого.
Чтобы на какой-нибудь прямой отложить Отр'Ьзокъ, равный
данному отрезку, употребляютъ ц и р к у л ь—приборъ, из-
известный учащемся изъ опыта,
12. Сумма конечныхъ прлмыхъ. Суммою Ht-
сколькихъ данныхъ отр^зковъ прямой наз. такой новый OTpt-
зокъ прямой, который составленъ изъ частей, соотв%тственно
равныхъ даннымъ отр%зкамъ. Положимъ, напр., требуется
найти сумму трехъ отрйзковь: ABi CD и EF (черт. 4). Для

— 7 —
этого на какой-нибудь прямой беремъ произвольную точку
М и откладываемъ отъ нея часть MN, равную АВ\ затбмъ
А»- «В С* «D Е'
М N Р Q
Черт. 4.
отъ точки N въ томъ же направленш откладываемъ часть NP,
равную CD, и часть PQ, равную EF. Отрйзокъ MQ будетъ
сумма данныхъ отр'Ьзковъ АВ, CD и EF, которые по отношенцо
къ этой суммФ называются слагаемыми. Подобнымъ образомъ
можно получить сумму какого угодно числа отр'Ьзковъ.
Сумма отр'Ьзковъ прямой обладаетъ свойствами всякой суммы;
такъ, она не зависитъ отъ порядка слагаемыхъ (п е р е м i ¦
стительное свойство) и не изменяется, если нФ-
которыя слагаемыя будутъ заменены ихъ суммою (сочета-
(сочетательное свойство). Напр., легко убедиться (черт. 4),
что
AB+CD+EF=CD+EF+AB=EF+AB+CD=...
и AB+CD+EF=AB+(CD+EF).
Изъ понят1я о суммФ выводятся понят1я о разности, произ-
веден1и и частномъ отр'Ьзковъ. Такъ, разность отр^зковъ
АВ и CD (е#ли AB^>CD) есть такой третш отр^зокъ, котораго
сумма съ CD образуетъ АВ; произведен1е отрезка
АВ на число 3 есть сумма трехъ отр'Ьзковъ, изъ которыхъ ка-
каждый равенъ АВ, частное отъ д'Ьлешя отрезка АВ на
число 3 есть третья часть АВ и т. п.
Мы принимаема за очевидную истину, что каждый отр'Ьзокъ
прямой можетъ быть подразд'Ьленъ (хотя бы только мысленно)
на 2, на 3, на 4 и т. д. равныя части.
13. Плоскость. Плоскостью наз. поверхность, обладающая
гЬмъ свойствомъ, что прямая, проходящая черезъ любыя двЪ
точки этой поверхности, лежитъ на ней всЪми остальными
своими точками. Положимъ, напр., мы желаемъ убедиться, бу-
будетъ ли плоскостью поверхность стола. Для этого беремъ хорошо
выверенную линейку и прикладываемъ ее краемъ въ различныхъ
паправлешяхъ къ поверхности стола такъ, чтобы катя-нибудь

— 8 ——
точки линейки лежали на этой поверхности. Если при
этомъ окажется, что, бъ какомъ бы направленш мы линейку
ни приложили, веб остальныя точки ея будутъ лежать на по-
верхности стола, то эта поверхность есть плоскость.
Существоваше плоскости въ пространств* принимается за
Укажемъ следующее свойство плоскости, которое мы при-
мемъ зд^сь безъ доказательства:
Всякую часть плоскости можно наложить Bctwin ея точками
на другое мЪсто этой или другой плоскости, при чемъ наклады-
накладываемую часть можно предварительно перевернуть другою сто-
стороною.
14. Разд'ЪлеЕйе геометрш. Геометр1я разделяется на
двй части: планиметр1я и стереометр1я. Первая
разсматриваетъ свойства такихъ фигуръ, которыхъ веб части
пом'Ьщаются на одной плоскости; вторая—свойства такихъ фи-
фигуръ, которыхъ не всЬ части пом'Ьщаются на одной плоскости.

ПЛАНИМЕТРШ.
КНИГА I.
ПРЯМАЯ ЛИН1Я.
Г Л А В А I. "
Угды.
Предварительныя понят'т.
16. Опред'Ьлетя. Фигура, образованная двумя поду-
прямыми (О А п ОВ, черт. 5), исходящими изъ одной точки,
вмгЬст4 съ частью плоскости, ограниченной ими, наз.
у г л о м ъ. Полупрямыя, образу- ф
юпця уголъ, наз. сторонами, д /
а точка, изъ которой они исхо-
дятъ,—в ершиною угла. Сто-
Стороны должно представлять себ*
продолженными отъ вершины без-
конечно.
• Уголъ обыкновенно обозначает-
ся тремя буквами, изъ которыхъ Черт. 5.
средняя ставится у вершины, а крайтя у какихъ-нибудь то-
чекъ сторонъ; напр., говорятъ: «уголъ АОВ или уголъ BOA»
(черт. 5). Н) можно обозначать уголъ и одною буквою, по-
поставленною у вершины, если при этой вершин^ н^тъ другихъ
угловъ. Мы иногда будемъ обозначать уголъ .цифрою, поста-
поставленною внутри угла, около вершины.
Слово «уголъ» на письма заменяется часто знакомь ^L*
Если изъ вершины угла (черт, б) проведемъ внутри его
(т.-е. въ той части плоскости, которая принадлежитъ углу)
кашя-нибудь прямыя ОТ), ОЕ..., то образовавппеся при этомъ
углы AOD, DOE, ЕОВ... разсматриваются, какъ части
угла АОВ.

— 10 —
16. Равенство и неравенство угловъ. Два угла
считаются равными, если при наложеши они могутъ coBMt-
ститься. Положимъ, напр., что мы накладываема уголъ АОВ
на уголъ AiOjBi (черт. 6) такъ, чтобы вершина О упала въ Оь
сторона ОВ пошла по 0^ и чтобы углы покрыли другъ друга.
в о,
в,
Черт. 6.
Если при этомъ сторона О А совместится съ О±АЪ то углы равны;
если же О А поидетъ внутри угла А-^О-уВ^ или внй его, то углы
не равны, при чемъ тотъ изъ нихъ будетъ меньше, который
составитъ часть другого угла.
17. Сумма угловъ. Суммою данныхъ угловъ наз. уголъ,
составленный изъ частей, соотв-Ьтственно равныхъ даннымъ
угламъ. Такъ, чтобы получить сумму угловъ АОВ и А101В1
(черт. 7), строятъ уголъ MNP, равный одному изъ данныхъ
угловъ, напр., АОВ, и къ нему пристраиваютъ уголъ PNQ,
равный другому данному углу А^В^ такъ, чтобы у обоихъ
угловъ оказалась общая вершина N и общая сторона NP и
чтобы углы были расположены по разныя стороны отъ общей
стороны NP. Полученный такимъ образомъ уголъ MNQ есть
сумма угловъ АОВ и A-iO-Ji^ Подобнымъ образомъ можетъ
быть составлена сумма трехъ и бол'Ье угловъ.
В
¦А О,
-А, N
Черт. 7.
Сумма угловъ, какъ и сумма отрйзковъ прямой A2), обла-

— 11
Б и с с е ктр и ее а .
Черт. 8.
угла (или равнодйля-
даетъ свойствами пере мостите л ьнымъ и со
четательнымъ.
Изъ поня^я о суммЪ угловъ выводятся понятля объ ихъ раз-
еости, произведении и частномъ.
Мы принимаемъ за очевид-
очевидную истину, что каждый уголъ
можетъ быть разд'Ьленъ (хотя бы
только мысленно) на 2, на 3,
на 4 и т. д. р а в н ы я части.
Зам'Ьтимъ, что полупрямая,де-
полупрямая,делящая уголъ пополамъ (черт. 8),
наз. биссектриссою этого
щею) *).
18. Зам1*чан1б 1-е. При нахожденш суммы угловъ могутъ
представиться некоторые особенные случаи, которые полезно раз-
смотрЪть особо.
1°. Можетъ случиться, что послъ1 сложетя н'Ьсколькихъ угловъ,
напр., трехъ: АОВ, БОС и COD
(черт. 9), сторона OD угла COD
составить продолжен1е
стороны О А угла ЛОВ. Мы по-
лучимъ тогда фигуру, образо-
образованную двумя полупрямыми (ОА
и О#), исходящими изъ одной
точки (О) и составляющими про-
должеше одна другой. Такую фи- Черт. 9.
гуру (BM'feCT'fe съ частью плоскости, расположенную по одну сторону пря-
прямой AD) принято тоже называть
угломъ (развернут ымъ,
или вы прямленным ъ).
2°. Можетъ случиться, что
посл'Ь сложешя Н'Ьсколькихъ уг-
угловъ, напр., пяти угловъ: АОВ,
ВОС, COD, DOE и ,ЕШ(черт. 10),
сторона ОА угла ЕОА совме-
совместится со стороной ОА угла АОВ.
Фигура, образованная таки-
такими совпавшими" полупрямыми
(вмъхгб со всею плоскостью,
расположенною кругомъ общей
вершины О) также называется
угломъ (п о л н ы м ъ).
*) Въ н-Ъкоторыхъ руководствахъ л шля эта наз. также биссекторомъ.

—. 1 О __
8°. Наконецъ, можетъ случиться, что, строя сумму угловъ, мы не
только заполнимъ всю плоскость кругомъ ихъ общей вершины,
но даже будемъ вынуждены налагать углы одинъ на другой, по-
покрывая плоскость вокругъ общей вершины во второй разъ, въ тре-
тШ разъ и т. д.
Въ этомъ случай поыят1е о сумм'Ь угловъ должно быть расширено
на основании сл'Ъдующихъ определений:
1°* ДвЪ суммы угловъ: a1-f-a2 + a3 + ---+flrn и &1 + &2 + &з + «--+&т счи-
считаются равными, если, строя ихъ указаннымъ путемъ, начиная отъ
одной и той же полупрямой ОЛ въ одномъ направленш вокругъ общей
вершины О, мы для каждой суммы, во-первыхъ, обойдемъ по плоскости
все пространство вокругъ точки О одинаковое число разъ и, во-вторыхъ,
посл'Ьдняя сторона угла ап совпадетъ съ последнею стороною угла Ьт.
2°. Если же эти услов1я не выполнены, суммы считаются неравными,
при чемъ та будетъ меньше, къ которой надо приложить еще некоторый
уголъ или несколько угловъ, чтобы получить вторую сумму.
19. Зам^чате 2-е. Когда двЪ полупрямыя исходятъ изъ
одной точки, то, строго говоря, онЪ образуютъ не одинъ уголъ, а два
угла. Возьмемъ, напр., черт. 5-й и вообразимъ, что полупрямая О А
вращается вокругъ О до совпадетя съ полупрямой ОВ. Это вращен1е
можетъ быть двоякое: или О А вращается по направлетю движения
часовой стрелки, или же, наоборотъ, противъ движетя часовой'
стрелки. Если обратимъ внимаше на часть плоскости, которую О А
проходитъ до совпадетя съ О В при первомъ вращенш, то будемъ
им'Ьть одинъ уголъ, образованный полупрямыми ОЛ и ОВ и содер-
жаций эту часть плоскости; если же обратимъ внимаше на часть пло-
бкости, проходимую О А до совпадетя съ О В при другомъ вращенш,
то получимъ другой уголъ, образованный т^ми же сторонами ОЛ и ОВ,
но содержаний эту другую часть плоскости. Эти два угла равны другъ
другу лишь въ томъ случай, когда полупрямыя ОЛ и ОВ составляюсь
одну прямую, т.-е. когда оба угла развернутые; въ остальныхъ слу-
чаяхъ углы эти не равны, но всегда въ сумм'Ь составляютъ полный
уголъ. Обыкновенно, говоря объ угл'Ь ЛОВ, разум-Ьють только тотъ
изъ двухъ угловъ, образованныхъ полупрямыми ОА и ОБ, который
меньше развернутаго угла.
Свойство прямого угла.
2О. Опред*лен1Я. Два угла (АОВ и ВОС, черт. 11 и
черт. 12) наз. смежными, если одна сторона у нихъ об-
общая, а дв^Ь друия стороны составляютъ про до лжете одна
другой.
Изъ этого опред'Ьлетя видно, что если возьмемъ произволь-
произвольный уголъ (напр., ЛОВ, черт. 11) и продолжимъ одну его сто-

— 13 —
рону (напр., АО) за вершину, то получишь другой уголъ (ВОС),
смежный со взятымъ угломъ.
В
О
Черт. 11. Черт. 12.
Общая сторона (ОБ) двухъ смежныхъ угловъ наз. наклон-
наклонною къ прямой (АС), на которой лежать друия стороны,
въ томъ случай, когда смежные углы не равны (черт. 11).
Общая сторона (ОБ) двухъ смежныхъ угловъ наз. п е р-
пендикуляромъ къ прямой, на которой лежать друпя
стороны, въ томъ случай, когда смежные углы равны (черт. 12).
Въ первомъ случай общая вершина (О) наз. основ а-
н i е м ъ наклонной, во второмъ случай — основан1емъ
перпендикуляра.
Говорятъ «возставить къ прямой перпендпкуляръ»,
если этотъ перпендикуляръ приходится проводить черезъ.точку,
взятую на прямой, и «опустить на прямую перпенди-
перпендикуляръ», если онъ проводится черезъ точку, взятую внй прямой.
Каждый изъ равныхъ смежныхъ угловъ
наз. прямымъ (черт. 12).
Что смежные углы могутъ быть равны, видно изъ слйдую-
щей теоремы.
21. Теорема. Изъ всякой точки прямой можно, по ту и
другую сторону отъ этой прямой, возставить къ ней перпенди-
перпендикуляръ и притомъ только одинъ.
Пусть дана какая-нибудь прямая АБ (черт. 13) и ha ней произ-
произвольная точка О. Требуется доказать, что: во 1) изъ этой точки
можно, по каждую сторону отъ прямой АБ, возставить къ АБ

— 14 —
пер'пендикуляръ, и во 2) этотъ перпендикуляръ можетъ быть
только одинъ (по каждую сторону отъ прямой).
1°. Проведемъ изъ точки О какую-нибудь полупрямую ОС.
Тогда образуются 2 смежныхъ угла: АОС и СОВ. Если слу-
случится, что углы эти равны другъ-другу, то тогда ихъ общая
сторона ОС будетъ перпендикуляромъ къ АВ; если же углы
АОС и СОВ окажутся неравными, то одинъ изъ нихъ долженъ
быть меньше другого. Пусть А ОС меньше СОВ. Тогда отъ 66 л ь-
шаго угла СОВ мы можемъ отделить часть СОВ, равную
углу АОС] после чего отъ
угла СОВ останется неко-
некоторый уголъ СОС\ Вообра-
зимъ, что этотъ уголъ раз-
дЪленъ пополамъ; пусть
биссектрисса будетъ некото-
некоторая полупрямая OD. Эта полу-
полупрямая и будетъ перпенди-
перпендикуляромъ къ АВ, такъ какъ
смежные углы AOD и DOB, состояние изъ соответственно рав-
ныхъ частей (AOC=CfOB и COD=DQC), равны между собою.
2°. Всякая другая полупрямая OBf, исходящая изъ точки
О и расположенная по ту же сторону отъ АВ, по которой ле-
житъ OD, не можетъ образовать съ АВ равныхъ смежныхъ
угловъ, такъ какъ AODf^>AOD, a D'OB<iDOB и, след., углы
AOD' и В'ОВ не могутъ быть равны. Такимъ образомъ, нельзя
возставить другого перпендикуляра къ АВ изъ точки О по ту
сторону отъ АВ, по какой лежитъ перпендикуляръ OD.
Точно такъ же убедимся, что по другую сторону отъ АВ
можно возставить изъ точки О перпендикуляръ къ АВ и при-
томъ только одинъ.
22. Теорема. Bet прямые углы равны между собою.
Пусть смежные углы при вершинахъ О и О' (черт. 14) пря-
прямые, т.-е. /_АОВ=/ВОС и /_АгОхВх=/_ВгОхСх. Требуется
доказать, что прямые углы первой пары равны прямымъ угламъ
второй пары.

— 15 —
Наложимъ фигуру АОВС на фигуру А^хВ^х такъ, чтобы
точка О упала на Оь полупрямая ОС пошла по ОгСг и чтобы
потупрямая ОВ упала по ту же сторону отъ АгСъ по которой
расположена О1В1. Тогда полупрямыя О А и ОгАг совместятся,
В
о
-с Аг
Черт. 14.
такъ какъ опЪ составляютъ продолжеше совпавшихъ полу-
прямыхъ ОС и ОхСх; полупрямая ОВ совпадетъ съ ОгВъ потому
что въ противномъ случай изъ одной точки Ог прямой АхСг
можно было бы, возставить къ ней, по одну и ту же сторону,
два перпендикуляра, что, по доказанному, невозможно. Если же
полупрямыя ОВ и ОХВ1 совпадутъ, то это значитъ,что J/mAOB=
=Z.A1O1B1 и ^/СОВ=СГ1О1В1, что и требовалось доказать.
Зам^чанге. Изъ доказанной теоремы слйдуетъ, что
прямой уголъ представляетъ собою постоянную вели-
величину (ее обыкновенно обозначаютъ знакомъ d, т.-е. началь-
начальною буквою французскаго слова droit, прямой). Всл'Ьд-
ств|е этого обыкновенно углы сравниваютъ по величин^ съ
прямымъ угломъ. Если уголъ меньше прямого (какъ уголъ
АОС, черт. 15), то его называютъ
острымъ, если же уголъ боль-
больше прямого (какъ уголъ AOD, черт.
15), то его называютъ т у п ы м ъ.
23. Доказательство нало-
жен!емъ. Пр1емъ, которымъ мы
доказывали предыдущую теорему,
наз. доказательствомъ по-
средствомъ наложен! я.
Черт. 15.
Мы приннмаемъ за очевидное, что наложеше одной пло-

— 16 —
ской фигуры на другую всегда можно выполнять въ такой по-
последовательности :
1°. Мы можемъ любую точку одной фигуры совместить
съ любою точкою другой фигуры; напр. (черт. 14), точку
О съ Ох.
2°. По совмещенш двухъ точекъ мы можемъ, вращая на-
накладываемую фигуру вокругъ совпавшей точки, совместить
въ обЗшхъ фигурахъ любыя две полупрямыя, исходящая
изъ совпавшихъ точекъ, напр. (черт. 14), ОС съ ОгСх\ тогда,
конечно,, совместятся и продолжешя этихъ полупрямыхъ,
ОА съ ОгАъ т.-е. совместятся прямыя АС и АгСъ проходяпця
черезъ точки О и Ох.
3°. По совмещенш двухъ точекъ и двухъ прямыхъ мы можемъ,
вращая накладываемую фигуру вокругъ совпавшей прямой,
какъ около оси, расположить эту фигуру или по ту, или по
другую сторону отъ совпавшей прямой. Напр. (черт. 14), по
совмещенш точекъ О и Ог и прямыхъ АС и АгСг^ мы можемъ
расположить фигуру АОВС или такъ, что полупрямая ОВ
пойдетъ кверху отъ OiCb или же такъ, что она пойДетъ книзу
отъ нея (въ последнемъ случае будетъ такъ называехМве при-
л-ожен1е фигуры).
После этого нашъ произволъ заканчивается; совпадутъ ли
друпя части фигуръ,—зависитъ отъ свойствъ самихъ фигуръ.
24. Черчен1е прямого угла. Прямой уголъ легко на-
начертить помощью прибора, называемаго наугольникомъ,
у котораго одинъ изъ трехъ угловъ делается прямымъ. Чтобы
начертить прямой уголъ при точк* С прямой АВ (черт. 16),
можно поступить такъ: приставимъ къ этой прямой линейку,
а къ линейке науголь-
Р никъ, какъ указано на
чертеже, и будемъ дви-
двигать наугольникъ вдоль
линейки до техъ поръ,
пока вершина пря-
прямого угла не совпа-
детъ съ точкой С.
-В Остается затемъ про-
провести по стороне пря-
Черт. 16. мого угла прямую CD.

— 17 —
Свойства смежныхъ и вертикальныхъ угловъ.
25. Теорема. Сумма двухъ смежныхъ угловъ равна двумъ
прямымъ.
Даны два смежныхъ угла: АОВ и ВОС (черт. 17); требуется
доказать, что АОВ+ВОС=d+d=2d
Возставивъ изъ точки О къ
прямой АС перпендикуляръ
OD, мы разобьемъ уголъ АОВ
на два угла АОВ и DOB.
Отнявъ отъ угла АОВ уголъ
DOB, мы получимъ прямой
уголъ AOD; прибавивъ къ А ъ
углу ВОС тотъ же уголъ Черт. 17.
DOB, мы получимъ тоже прямой уголъ; именно DOC. Но если
мы одно слагаемое уменыпимъ, а другое увеличимъ на одну
и ту же величину, то сумма не изменится; значитъ, сумма
АОВ+ВОС должна быть такая же, какъ и сумма AOD+DOC.
Но эта сумма равна d+d, т,-е. 2d; значитъ, и AOB+BOC=2d.
26.Сл*дств1я. 1°. Суммаугловъ (АОВ, ВОС, COD,
DOE, черт. 18), расположенныхъ вокругъ об-
общей вершины (О) по одну сторону прямой
Черт. 18.
Черт. 19.
(АЕ), равйа 2d, потому что эту сумму можно разсматривать
(согласно сочетательному свойству), какъ сумму двухъ смеж-
смежныхъ угловъ, напр., угловъ АОВ и ВОЕ, или угловъ А ОС и
СОЕ, и т. п.
А. Кяселевъ. Гекметр1я. «

— 18 —
2°. Сумма угловъ (АОВ, ВОС, COD, DOE, ЕОА,
черт. 19), расположенныхъ вокругъ общей
вершины (О) по об* стороны отъ какой-
нибудь прямой (DM), равна Ы, потому что, сложивъ
углы DOC, СОВ и ВОМ, расположенные по одну сторону отъ
прямой MD, мы получимъ въ сумм* Ы, и сложивъ углы МОЛ,
АОЕ и EOD, расположенные по другую сторону отъ MD, мы
въ сумм* еще получимъ 2d; значитъ, сумма вс*хъ этихъ угловъ
равна 2d+2d, т.-е. 4d.
27. Обратная теорема. Если сумма двухъ угловъ,
щихъ общую вершину и общую сторону и не покрывающихъ
другъ друга, равна двумъ- прямымъ, то таше углы—смежные,
т.-е. двЪ друпя стороны ихъ составляютъ продол жен ie одна
другой.
Пусть даны (черт. 20) два угла: АОВ и ВОС, имЗшнще общую
вершину О и общую сторону ОВ и не покрываюпце другъ друга;
пусть, кром* того, известно, что сумма ихъ равна 2d; требуется
доказать, что при этихъ услов1яхъ ОС есть продолжеше АО,
Допустимъ противное (про-
В тивоположное) тому, что тре-
требуется доказать, а именно до-
допустимъ, что ОС не есть про-
"D должеше АО. Посмотримъ, къ
Черт. 20. чему приведетъ насъ это пред-
положеше. Такъ какъ всякая прямая можетъ быть продол-
продолжена въ об* стороны, то и прямая АО можетъ быть продолжена
за точку О. Пусть это продолжете будетъ некоторая полу-
полупрямая 0D, которая, согласно нашему допущенш, не сливается
съ ОС. Тогда углы АОВ и B0D будутъ смежные и потому, по
доказанному прежде B5):
A0B+B0D=2d.
Съ другой стороны, согласно условно нашей теоремы:
A0B+B0C=2d.

1Q ___
Правыя чарти этихъ двухъ равенствъ равны, сл4д., равны
и л^вия (дв? величины, равныя порознь одной и той же третьей
величин^, равны между собою):
AOB+BOD-=AOB+BOC.
Отнявъ отъ равныхъ суммъ по одному и тому же углу АОВ,
мы должны получить равные остатки:
BOD=BOC.
Но это равенство невозможно, такъ какъ уголъ ВОС соста-
вляетъ часть угла BOD, а часть не можетъ равняться целому.
Если въ результат^ разсуждешя мы получаемъ невозмож-
невозможный (нелепый) выводъ, то это можетъ произойти или отъ того,
что мы неверно разсуждали, или отъ того, что наше разсу-
ждеше было основано на невозможномъ допущенш. Разсужде-
Hie наше было правильно; значитъ, причина нел'Ьпаго вывода
заключается въ невозможности допущешя, что ОС не есть про-
до лжете АО. Но если это предположеше невозможно, то остается
только одно: ОС есть продолжеше АО *); что и требовалось
доказать.
СхгЬдетв1%. Если изъ како й-н ибудь точкиО
прямой АВ (черт. 21) возставимъ къ ней, по
каждую ея сторону,
перпендикуля р ы ОС и
OD, то эти перпенди-
к у л.я ры образуютъ
одну прямую CD, потому
что сумма угловъ СОВ и BOD
равна 2d. A ——
28. Опред*лен1е. Пря-
Прямая CD (черт. 21), которой
части ОС и OD служатъ пер-
перпендикулярами къ другой пря-
прямой АВ, наз. п р я м о й, пер-
пендикулярной къ АВ.
Если прямая CD перпендикулярна къ прямой АВ, то и
обратно: АВ перпендикулярна къ CD, потому что части О А
*) Сл'Ьд., нашъ чертежъ сдЪланъ неправильно.

— 20 —
и ОВ служатъ также перпендикулярами къ CD. Поэтому пря-
мыя АВ и CD наз. взаимно перпендикулярными.
Что двй прямыя А В и CD взаимно перпендикулярны, вы-
ражаютъ письменно такъ:, AB±CD.
29. Доказательство отъ противнаго. Способъ,
которымъ мы доказали обратную теорему о смежныхъ углахъ
B7), наз. доказательствомъ отъ противна'го, или п р и-
веден1емъ къ нелепости (reductio ad absurdum).
Первое назваше этотъ способъ получилъ потому, что въ начала
разсуждешя делается предположеше, противное (про-
(противоположное) тому, что требуется доказать. Приведешемъ къ
нелепости онъ наз. вслЗгдстше того, 4что, разсуждая на осно-
ваши сд^ланнаго предположешя, мы приходимъ къ неле-
нелепому выводу (къ абсурду). Получеше такого вывода
заставляете насъ отвергнуть сделанное въ начала допущен1е
и принять то, которое требовалось доказать.
SO. ОпреД'ЬлеЕ^е. Два угла наз. вертикальными,
если стороны одного составляютъ продолжешя сторонъ другого.
Такъ, при пересЬченш двухъ прямыхъ АВ и CD (черт. 22)
образуется дв* пары вертикальныхъ угловъ: A0D и СОВ,
АОС и DOB.
SL Теорема. Два вертикальныхъ угла равны.
Пусть даны (черт. 22) два вертикальныхъ угла: A0D и СОВ;
другими словами, пусть дано, что ОВ есть
продолжеше О А и ОС есть продолжеше OD.
Требуется доказать, что AOD=COB.
\ Уголъ A0D, сложенный съ угломъ DOB,
составляет^ 2d (по свойству смежныхъ уг-
угловъ); уголъ СОВ, сложенный съ тймъ же
угломъ DOB, составляетъ также 2d (по тому же
свойству). Значить, каждый изъ угловъ A0D
-и СОВ равенъ одной и той же разности Ы—DOB]
поэтому углы эти равны.
Подобнымъ же образомъ докажемъ, что и
Черт. 22. AOC=DOB.
32.Теорема. Изъ всякой точки, взятой BHt прямой, можно
опустить на эту прямую перпендикуляръ и притомъ только одинъ.

— 21 —
Пусть дана какая-нибудь прямая АВ (черт. 23) и внй ея
точка М\ требуется доказать, что во 1) изъ этой точки можно
опустить на прямую АВ пер-
перпендикуляръ и во 2) что этотъ ,
перпендикуляръ можетъ быть * 0М
только одинъ.
g
1) Перегнемъ чертежъ по
прямой АВ такимъ образомъ,
чтобы верхняя его часть (со- д '
держащая точку М) упала на
нижнюю часть *). Тогда точка
М займетъ некоторое положе-
ше N. Отметивъ это положете,
приведемъ чертежъ въ преж- °до
Hifl видъ и затемъ черезъ точки •
М и N проведемъ прямую. До- Черт. 23.
кажемъ, что эта прямая перпендикулярна къ АВ. Для этого
перегнемъ чертежъ вторично по прямой АВ. Тогда точка М
снова совместится съ N, а точка С, въ которой пересекаются
прямыя MN и АВ, останется на месте; след., полупрямая СМ
пойдетъ по полупрямой CN, уголъ МСВ, совместится съ угломъ
BCN, а уголъ МОА совместится съ угломъ ACN\ значить,
смежные углы МСВ и BCN равны, а также равны и смежные
углы МСА и ACN. Такъ какъ каждый изъ равныхъ смежныхъ
угловъ наз. прямымъ, то все 4 угла, образовавшиеся при точке С,
будутъ прямые; значить, MN±.AB.
2) Докажемъ „теперь, что другого перпендикуляра черезъ
точку М къ прямой АВ провести нельзя. Предположит, про-
противное, т.-е. что черезъ М къ АВ можно провести, кроме MN,
еще какой-нибудь другой перпендикуляръ, напр., MD
(черт. 24).
*) Выражаясь бол^е точно, вообразимъ, что верхняя часть пло-
плоскости чертежа, вращаясь вокругъ прямой АВ, пришла въ совм;вщете
съ нижней частью этой плоскости.

— 22 —
Чтобы опровергнуть это допущеше, перегнемъ чертежъ снова
по прямой АВ. Тогда точка М по прежнему совместится съ 2V,
а точки J) и С останутся на
своихъ мФстахъ; сл^д., уголъ
MDB заиметь положете BDN.
Разогнувъ чертежъ, расмотримъ
линш MDN. Такъ какъ, по
предположение, MD J_ АВ, то
уголъ MDB долженъ быть пря-
мымъ, а потому и равный
ему уголъ BDN также дол-
долженъ быть прямымъ. Но тогда
мы будемъ им^ть два угла,
MDB и BDN, которые, имйя
общую вершину и общую сто-
сторону, составляютъ въ сумм* 2d;
Черт. 24. слйд., по доказанному раньше
B7), дв* ихъ стороны DM и DN должны составлять продолже-
Hie одна другой, и, значитъ, литя MDN должна оказаться
прямою. Но тогда черезъ точки М и N будутъ проходить 2 раз-
личныя прямыя лиши: одна MN, которую мы раньше провели,
я другая MDN, которую мы получили теперь. Такъ какъ это
невозможно (9), то нельзя допустить, чтобы черезъ точку М
къ прямой АВ можно было провести еще какой-нибудь иной
перпендикуляръ, кромй MN.
Чтобы опустить перпендикуляръ на прямую
изъ данной точки, можно пользоваться линейкой и науголь-
никомъ (см. черт. 16).
33. СиммеТрИЧНЫЯ ТОЧКИ. Если точки М и N (черт. 24) распо-
расположены по разныя стороны отъ прямой А В, на одномъ къ ней перпен-
перпендикуляр^ и на одинаковомъ разстоянш отъ основан1я этого перпен-
перпендикуляра, то так1я дв'Ь точки принято называть симметрич-
нымиотносительно оси АВ. Зд'всь слово «ось» применено
потому, что если мы часть плоскости, расположенную по одну сторону
отъ прямой АВ, станемъ вращать вокругъ этой прямой, какъ
вокругъ оси, до совм'Ьщетя ея съ частью плоскости, распо-
расположенною по другую сторону отъ АВ, то симметричныя точки М и N
совместятся.

— 23 —
УпраЖНвн1я. Доказать, что:
ЬБиссектриссыдвухъсмежныхъугловъ взаимно перпендикулярны.
2. Виссектриссы двухъ вертикальныхъ угловъ составляютъ про-
должеше одна другой.
3. Если при точк'Ь О прямой А В (черт. 22) построимъ по разныя
стороны отъ А В равные углы AOD и ВО С, то стороны йхъ 0D и ОС
составляютъ одну прямую (теорема, обратная теорем'Ь § 31-го).
4. Если изъ точки О (черт. 22) проведемъ полупрямыя О A, 0D, ОБ,
ОСтакъ, что ?AOC=?DOB и ?AOD= ? СОВ, то ОВесть продолжеше
О А и 0D продо лжете ОС,

— 24 —
ГЛАВА И.
Треугольники и многоугольники.
Поняп'е о многоугольники и треугольник^
34. Ломаная линия. Литя.наз. ломаною, когда она
состоитъ изъ отр^зковъ прямой, не расположенныхъ на одной
прямой (черт. 25 или 26). Эти отрезки наз. сторонами
ломаной, а вершины угловъ, образуемыхъ соседними отрез-
отрезками,—в ершинами ея. Ломаная лишя обозначается ря-
домъ буквъ, поставленныхъ у ея вершинъ и концовъ; напр.,
говорятъ: ломаная ABCDE (черт. 25 и 26).
В
Черт. 25.
Ломаную линш мы будемъ называть выпуклою, если
она вся расположена по одну сторону отъ к а ж д а г о со-
ставляющаго ее отрезка, продолженнаго неопределенно въ
обФ стороны. Такова, напр., литя, изображенная на черт.
25-мъ, тогда какъ ломаная чертежа 26-го не будетъ вы-
выпуклой.
Когда концы ломаной сходятся въ одну точку, то она наз.
замкнутой.
35. Многоугольникъ. Фигура, образованная замкну-
замкнутою ломаной литей (вмести съ частью плоскости, ограничен-
ограниченною этою ломаною), наз. многоугольникомъ (черт. 27).
Стороны этой ломаной наз. сторонами многоугольника,
углы, составленные каждыми двумя соседними сторонами,—
углами многоугольника, а ихъ вершины—в ершинами

— 25 —
его. Сама ломаная лишя, ограничивающая многоугольникъ,
наз. контуромъ его.
Многоугольникъ наз. выпуклымъ, если онъ ограниченъ
выпуклою ломаной лишей; таковъ, напр., многоуг. ABCDE,
изображенный на черт. 27 (многоуг. MNPQRS нельзя назвать
выпуклымъ).
м s
Черт. 27.
Всякая прямая (какъ AD, BE, MR..,), которая соединяетъ
вершины двухъ угловъ многоугольника, не прилежащихъ къ
одной сторон^, наз. д1агональю многоугольника.
. Сумма всЬхъ сторонъ многоугольника наз. пер и мет-.
ромъ его.
Два многоугольника, какъ вообще дв'Ь каюя-нибудь гео-
метричесюя фигуры, считаются равными, если они при
наложеши могутъ быть совмещены *).
Наименьшее число сторонъ въ многоугольник*—т р и. По
числу сторонъ многоугольникъ наз. треугольник о мъ,
четыреугольникомъ, пятиугольникомъ
и т. п.
*) Фигуры, могуцпя совместиться при наложении, наз. к о н г р у-
ентными, а самое совм^щеше —к онгруенц1ей. Разли-
чаютъ KOHrpyeHuiip прямую и непрямую. Прямою кон-
груенц1я наз. тогда, когда совм^щете можетъ быть выполнено посред-
ствомъ передвижен1я одной изъ конгруектныхъ фигуръ по плоскости,
въ которой фигуры лежатъ; если же для совм^гиетя фигуръ такого
передвижешя недостаточно, йо надо еще перевернуть одну
изъ фигуръ другою стороною, то конгруенщя наз. непрямою. Напр.,
тр-киэ изображенные на черт. 37-мъ, прямо конгруентны, а тр-ки.
ЛВС и А1В11С1 черт. 39-го непрямо конгруентны.

Для краткости слова: «многоугольшщъ», «треугольникъ»,
«четыреугольникъ» и т. п. мы часто будемъ писать такъ: мн-къ,
тр-къ, четыре-къ и т. п. Слово «треугольникъ» на письм'Ь иногда
заменяется также знакомъ Д.
36. Разд*лен1е треугольниковъ. Треугольники
разделяются или по сравнительной длин* ихъ сторонъ,или
по характеру ихъ угловъ. Относительно длины сторонъ они
бываютъ: разносторонн1е (черт. 28), когда всЬ сто-
стороны различной длины, равнобедренные (черт. 29),
когда двй стороны одинаковы, и равносторонн1е
(черт. 30),'когда всЬ стороны равны.
Относительно характера угловъ треугольники бываютъ:
остроугольные (черт. 28), когда всЬ углы острые,
Черт. 28. Черт. 29. Черт. 30.
прямоугольные (черт. 31), когда въ числи угловъ есть
прямой, и тупоугольные (черт. 32), когда въ числ*
угловъ есть тупой*).
Въ прямоугольномъ треугольник'Ь стороны, образующая пря-
КАТЕТЬ
Черт. 31. Черт. 32.
мой уголъ, наз. катетами, а сторона, лежащая противъ
прямого угла,—г ипотенуаой.
*) Возможность существования всехъ этихъ видовъ треугольника
легко показать теперь же, за исключешемъ треугольника равносто-
ронняго, существование котораго можно обнаружить только впо-
сл'Ьдств1и-

37. Главн*йш1я лин1и въ треугольник*. Одну
язъ сторонъ треугольника обыкновенно называютъ основа-
н i е м ъ, вершину противоположна™ угла — вершиною
тр-ка, а перпендикуляръ, опущенный изъ вершины на осно-
ван1е или на его продолжете, — высотою его. Такъ, если
въ тр-к* ABC (черт. 33 или 34) за основате взята сторона АС,
то В будетъ вершина, BD—высота тр-ка.
Въ равнобедренномъ тр-к* основашемъ называютъ обык-
обыкновенно ту сторону, которая не принадлежить къ равнымъ;
тогда вершина равнобедреннаго тр-ка будетъ вершина того
угла его, который образованъ равными сторонами.
Конечная прямая BE (черт. 33 и 34), соединяющая вершину
какого-нибудь угла тр-ка съ серединою противополож-
противоположной стороны, наз. среднею л и н i e й или м е д i а н о ю.
Конечная прямая BF (черт. 33 и 34), делящая какой-нибудь
уголъ тр-ка пополамъ, наз. равнод'Ьлящею угла тр-ка
или его биссектриссою (биссектрисса вообще не совпа-
f с JD
Черт, 34.
даетъ ни съ мед!аною, ни съ высотою). Во всякомъ тр-кЪ есть
три мед1аны, три биссектриссы и три высоты (опущенныя на
каждую изъ трехъ сторонъ).
Свойства равнобедреннаго треугольника.
38. Теорема. Въ равнобедренномъ треугольник биссе-
биссектрисса угла при вершин% служить одновременно и мед1аной, и
высотой.
Пусть тр-къ ABC (черт. 35) равнобедренный и прямая ВТ)
д'Ьлитъ пополамъ уголъ В при вершин* его. Требуется доказать,
что эта биссектрисса ВТ) есть также и мед1ана, и высота. Вообра-

зимъ, что AABD повернутъ вокругъ стороны BD, какъ около
оси, такъ, чтобы онъ упалъ на ABDC. Тогда, вслЪдстзпе ра-
равенства угловъ 1 и 2, сторона АВ упадетъ на ВС, а всл^дств1е
равенства этихъ сторонъ точка А совпа-
детъ съ С. Поэтому DA совместится
съ DC и уголъ 4 съ угломъ 3; значить,
DA=DC и ^/4=^/3. Изъ того> чт0
DA=DC, сл^дуетъ, что BD есть ме-
д1ана; изъ того, что углы 3 и 4 равны,
выходитъ, что эти углы прямые, и сл^д.,
BD есть высота тр-ка ABC.
39. Сл*детв1е 1-е. Такъкакъ,
ю доказанному, биссектрисса BD пред-
D v ставляетъ собою и мед1ану, и высоту, то
Черт. 35. можно сказать, что она есть таклсе
и перпендикуляръ къ основашю АС, возстановленный изъ его
середины D>
Такимъ образомъ, въ равнобедренномъ тр-кЪ ABC (черт. 35)
одна и та же прямая BD служитъ одновременно: 1) биссектрис-
биссектриссою угла при вершин*, 2) мед1аною, проведенною къ основанш,
3) высотою, Опущенною на основаше, и, наконецъ, 4) перпенди-
перпендикуляромъ къ основашю, возстановленнымъ изъ его середины.
Такъ какъ каждое изъ этихъ 4-хъ свойствъ вполн* опред^ляетъ
положен1е прямой BD, то существоваше одного изъ нихъ влечетъ
за собой всЬ остальныя. Напр., высота равнобедрен-
наго тр.е угольник а, служитъодновременно
бнссектриссою, мед1аною и перпендику-
перпендикуляромъ къ основан1ю въ его середин*.
Действительно, во-1-хъ, эта высота должна служить биссектрис-
биссектриссою, потому что въ противномъ случай, проведя такую бис-
сектриссу, мы имйли бы двй различныя высоты на одну и ту жу
сторону тр-ка, что невозможно. Во-2-хъ, эта высота, будучи
биссектриссою, должна быть, по доказанному, мед!аной и,
сл^д., перпендикуляромъ къ основанш въ его середин*.
4О, СлгЬдетв1е 2-е. Изъ того, что тр-ки ABD и BDC
(черт. 35) совмещаются всйми своими частями, сл^дуетъ, что
въ равнобедренномъ треугольник углы при основанш равны.

— 29 —
M
м1
41. П0НЯТ1е ОбЪ ОСИ СИММетр1и. Мы видЪли, что равнобедрен-
равнобедренный ?±АВС (черт. 36) делится биссектриссою BD на так1е 2 тр-ка (л-в-
вый и правый), которые вращешемъ вокругъ биссектриссы, какъ около
оси, могутъ быть совмещены другъ съ другомъ. Изъ этого можно
заключить, что какую бы точку на л'Ъвой половингв равнобедреннаго
тр-ка мы ни взяли, всегда можно на правой его половин'Ь найти другую
точку, симметричную первой относительно оси BD C3).
Возьмемъ, напр., на сторонЪ АВ какую-нибудь точку М. Опустимъ
изъ нея на BD перпендикуляръ МК и про-
должимъ его до пересЬчешя со стороною BG.
Мы получимъ тогда на этой сторонЪ
точку М\ симметричную точк'Ь М отно-
относительно оси BD. Действительно, если,
вращая /\ABD вокругъ BZ), мы его совм'в-
стимъ съ ДВС?), то при этомъ КМ пойдетъ
по КМ' (по равенству прямыхъ угловъ),
а сторона В А упадетъ на сторону ВС (по
равенству угловъ при точкЪ В); значитъ,
точка Му которая лежитъ и на КМ, и на ВА,
упадетъ въ точку М', которая лежитъ и
на КМ\ и на ВС. Отсюда видно, что
КМ —КМ'. Такимъ образомъ, точки М и М'
лежатъ по разныя стороны отъ биссектриссы BD, на одномъ къ ней
перпендикуляр^ и на равныхъ разстоянЛяхъ отъ основашя этого
перпендикуляра; значитъ, эти точки симметричны относительно оси В.
Если въ какой-нибудь геометрической фигура существуетъ прямая,
которая раздаляетъ эту фигуру на так1я 2 части, что любой точк^
на одной части соотв^тствуетъ на другой точка, симметричная отно-
относительно этой прямой, то такая прямая наз. осью симметр1и
этой фигуры.
В ъ р а в н~о бедренномъ треугольник^ б и с е к-
трисса угла при вершин-Ь есть его ось сим-
м е т р i и.
Въ геометрш мы будемъ иногда встречаться съ фигурами, имею-
имеющими одну или несколько осей симметрш.
Симметр1я относительно оси наз. часто «осевая симметр1я» (въ от-
лич1е отъ «центральной» симметрш, о которой говорится ниже, въ § 102).
Признаки равенства треугольниковъ.
42. Предварительный понятая. Такъ какъ рав-
равными треугольниками наз. тате, которые при наложенш
могутъ быть совмещены, то въ такихъ тр-кахъ равны вей с о о т-
вЪтствуюппе элементы ихъ, т.-е. стороны, углы,
высоты, мед1аны и биссектриссы.

— 30 —
Однако для того, чтобы утверждать равенство двухъ тре-
угольниковъ, не необходимо знать равенство в с •? х ъ
элементовъ ихъ; достаточно убедиться въ равенств* только
н*Ькоторыхъ изъ нихъ. Слйдуюпця теоремы излагаютъ три
главнФйпие признака равенства тр-ковъ.
43.Теоремы. Два треугольника равны:
1°, если две стороны и уголъ, заключенный между ними,
одного треугольника соответственно равны двумъ сторонамъ и
углу, заключенному между ними, другого треугольника;
или 2°, если два угла и прилежащая къ нимъ сторона одного
треугольника соответственно равны двумъ угламъ и прилежащей
къ нимъ стороне другого треугольника;
или 3°, если три стороны одного треугольника соответственно
равны тремъ сторонамъ другого треугольника.
" 1°. Пусть АВС и ^i-BiCi два тр^ка (черт. 37), у которыхъ:
А=А19 АС=АгСъ АВ=А1В1.
Требуется доказать, что эти тр-ки равны.
А
в
Черт. 37.
Наложимъ ААВС на АА&Сх такъ, чтобы точка А совпала
съ Аг и сторона АС пошла по АгСг *). Тогда всл4дств1е равен-
равенства этихъ сторонъ, точка С совместится съ Сг; всл^дстше ра-
равенства угловъ Аи Аг сторона АВ пойдетъ по АгВг, а вслйдствхе
равенства этихъ сторонъ точка В упадетъ въ Вг\ поэтому сто-
сторона СВ совместится съ CxBt (между двумя точками можно
провести только одну прямую), и треугольники совпадутъ;
зпачитъ, они равны.
*) Для выполнен!я указанныхъ въ этомъ траграф-Ь наложенШ
иногда приходится треугольникъ АВС перевернуть другою стороною.

— 31 —
2°. Пусть ЛВС и AJB-^C-i (черт. 38) два тр-ка, у которыхъ:
G-В=G11?1, C=Ci и JB=B1.
Требуется доказать, что эти тр-ки равны.
Наложимъ ААВС на АА^Сх такъ, чтобы точка С совпала
съ Сь и сторона СВ пошла по CxBlt Тогда, всл>6дств1е равен-
равенства этихъ сторонъ, точка В упадетъ въ Бь а всл|Ьдств1е ра-
в с,
Черт. 38.
венства угловъ В и Вг, С и Сг сторона ВА пойдетъ по ВгАх, и
сторона СА по СгАг. Такъ какъ дв* прямыя могутъ пересечься
только въ одной точки, то вершина А должна совпасть съ А±.
Такимъ образомъ, тр-ки cojeM^CTHTCH; значитъ, они равны.
Черт. 39.
3°. Пусть ABC и ^i-BiCi (черт. 39) два тр-ка, у которыхъ:
АВ=А1ВЪ ВС^В^ и С А =С1А1.
Требуется доказать, что эти тр-ки равны.
Доказывать этотъ признакъ равенства наложен1емъ,
какъ мы это делали для первыхъ двухъ признаковъ, было бы
неудобно, такъ какъ, не зная ничего о величин* угловъ, мы
не можемъ утверждать, что при совпаденш двухъ равныхъ

— 32 —
сторонъ совпадутъ и остальныя стороны. Вместо наложен1я
примйнимъ здйсь приложен1е.
Приложимъ АЛВС къ A^xBiCx такъ, чтобы у нихъ совме-
совместились равныя стороны АС и АгСг. Тогда /\АВС заиметъ по-
ложеше А^Вц. Соединивъ прямою точки Вг и Би, мы полу-
чимъ два равнобедренные тр-ка А^^ц и В^Вц съ общимъ
основашемъ В^В^, Но въ равнобедренномъ треугольники углы
приоснованшравныD0); сл*д., ^/1=^/2 ц ./3=^/4, а потому
J/tA1B1G1=j/.AiBuC^j/JB. Новъ такомъ случай данные тр-ки
должны быть равны, такъ какъ дв* стороны и уголъ, заключен-
заключенный между ними, одного тр-ка равны соответственно двумъ
сторонамъ и углу, заключенному между ними, другого треуголь-
треугольника.
Можетъ случиться, что прямая В1В11 не пересечется съ Ах Cls
а пойдетъ вн^ треугольниковъ (если сумма угловъ С и Си больше 2d),
или сольется съ лин!ей Вх С± Вп (если С + Ct = 2d). Доказательство
остается то же самое, съ тою только разницей, что углы Вх и В1Х
будутъ равны другъ другу, не какъ суммы равныхъ угловъ, а
какъ ихъ разности, (черт. 40), или какъ углы при основанш
равнобедр^ениаго тр-ка (черт. 41).
Черт. 40. . Черт. 41.
Зам^чаше. Въ равныхъ тр-кахъ противъ равныхъ сто-
сторонъ лежать равные углы и противъ равныхъ угловъ лежать
равныя стороны.
Соотношешя между углами и сторонами треугольника.
44. Опрел*JieHie. Уголъ, смежный съ какимъ-нибудь
угломъ треугольника (или многоугольника), наз. вн^шнимъ
угломъ этого треугольника (или многоугольника).

— 33 —
При каждомъ угл*Ь тр-ка (и мн-ка) можно построить по 2 рав-
н ы х ъ смежныхъ угла.
Напр., продолживъ сто-
стороны угла А (черт. 42)
тр-ка ABC за вершину,
мы получимъ два внйш-
нихъ угла BAD и САЕ,
которые равны между со-
собою, какъ углы верти-
вертикальные.
Въ отлич1е отъ вн^ш-
нихъ углы самого тр-ка
(или мн-ка) наз. вну-
внутренними. Черт. 42.
45. Теорема. Въ треугольник всяшй вн-Ьшн!й уголъ
больше каждаго внутренняя угла, не смежнаго съ нимъ.
Напр., докажемъ, что внйштй уголъ BCD тр-ка ABC (черт. 43)
больше каждаго изъ внутреннихъ угловъ А и В, не смежныхъ
съ этимъ внйшнимъ. Для этого черезъ средину Е стороны ВС
проведемъ мед1ану АЕп продолжимъ ее на длину EF, равную АЕ.
Соединимъ F съ С. Тр-ники ABE и EFC (покрытые штрихами)
равны, такъ какъ при точки Е они им^ютъ по равному углу,
заключенному между двумя соответственно равными сторонами.
Изъ равенства ихъ заключаемъ, что углы В и ECF, лежащее
противъ равныхъ сторонъ АЕ и EF, равны; но уголъ ECF, со-
составляя часть внЬшняго угла BCD, меньше его; сл'бд., и уголъ В
меньше BCD.
Продолживъ сторону ВС за
точку С, мы получимъ вн^штй
уголъ АСН, равный углу BCD.
Если изъ вершины В проведемъ
къ сторон* АС мед1ану.и продол-
продолжимъ ее на такую же длину за
сторону АС, то совершенно такъ
же докажемъ, что уголъ А мень-
меньше АСН, т.-е. меньше BCD.
А. Киселевъ. Геометр1я.
D

— 34
46. СлЪдств1е. Если въ треугольник одинъ уголъ прямой
или тупой, то два друпе угла острые.
В
С D A
Черт. 44.
Действительно, допустимъ, что какой-нибудь уголъ С тр-ка
ABC (черт. 44) будетъ прямой или тупой; тогда смежный съ нимъ
внйштй уголъ BCD долженъ быть прямой или острый; вслйд-
CTBie этого углы А и В, которые, по доказанному, меньше внйш-
няго угла, должны быть оба острые.
47. Теоремы. Во всякомъ треугольник^ 1°, противъ рав-
ныхъ сторонъ лежатъ равные углы; 2°, противъ большей сто-
стороны лежитъ болышй уголъ.
1*. Если двй стороны треугольника равны, то онъ равно-
равнобедренный; тогда углы, лежапце противъ этихъ сторонъ, должны
быть равны, какъ углы при основаши равнобедреннаго тре-
треугольника D0).
2°. Пусть въ ДАВС (черт. 45) сто-
сторона АВ больше ВС; требуется дока-
доказать, что ^/G больше ^/-4.
Отложимъ на бблыпей сторон* ВА
отъ вершины В часть BDy равную
меньшей сторон* ВС, и соединимъ В
съ С. Тогда получимъ равнобедрен-
равнобедренный ДДВС, у котораго углы при
Черт 45 основанш равны, т.-е. ?ВВС—
=^/mBCD. Но уголъ BDC, какъ вн-Ьш-
тй по отношенш къ /\ADC, больше угла А; следовательно, и
уголъ BCD больше А, а потому и подавно уголъ ВС А больше»
угла А; что и требовалось доказать.

— 35 —
48. СлЪдствш. 1°. Въ равностороннемъ треугольник Bet
углы равны;
2°, въ разностороннемъ треугольник н-Ьтъ равныхъ угловъ.
49. Обратныя теоремы. Во всякомъ треугольник
1°, противъ равныхъ угловъ лежатъ
равныя стороны; 2°, противъ ббль-
шаго угла лежитъ большая сторона.
1°. Пусть въ ААВС углы А ж С
равны (черт. 46); требуется дока-
доказать, что АВ=ВС.— Предполо-
жимъ противное, т.-е., что стороны
А В и ВС не равны. Тогда одна изъ А " t
этихъ сторонъ должна быть боль- Черт 46
ше другой, и, сл'Ьд., согласно
прямой теорем*, одинъ изъ угловъ А ж С долженъ быть больше
другого. Но это противоречите условно, что А=С\ значитъ,
нельзя допустить, что стороны АВ и ВС не равны; остается при-
принять, что АВ=ВС.
2°. Пусть въ тр-кй ABC (черт. 47) уголъ С больше угла А\
требуется доказать, что АВ?>ВС.—Предположимъ противное,
т.-е. что АВ не больше ВС. Тогда могутъ представиться
два случая: или АВ=ВС, или AB<CjBC. Въ первомъ случай,
согласно прямой теорем*, уголъ С былъ бы равенъ yfriy А,
во второмъ случай уголъ С былъ бы меньше А\ и то, и другое
противоречить условно; значитъ,
оба эти случая исключаются.
Остается одинъ возможный случай,
что АВ>ВС.
50. Сл4дств1я. 1°. Равноуголь-
Равноугольный треугольникъ есть и равносто-
равносторонней.
2°. Въ треугольник^ сторона, ле-
лежащая противъ тупого или прямого А' ' t
угла, бОЛЬШе ДРУГИХЪ СТОРОНЪ D6). Черт. 47.
51. Зам^чакйе объ обратныхъ теоремахъ.
Относительно равенства или неравенства двухъ сторонъ тре>
s*

— 36 —
угольника, напр., сторонъ АВ и ВС, могутъ представиться
только сл*дуюпце три возможные случая:
АВ^ВС, АВ>ВС, AB<BG.
Каждый изъ этихъ случаевъ исключаете собою веб осталь-
остальные; такъ, если им*етъ м*сто 1-й случай, что AB^Bd, то одно-
одновременно съ нимъ не могутъ существовать ни 2-й случай, ни 3-й.
Въ теорем* § 47 мы разсмотр*ли вс* эти случаи; оказалось, что
въ каждомъ изъ нйхъ получаются таше выводы относительно
равенства или неравенства противолежащихъ угловъ С в. А
(именно: С=А, С^>А, С<С.А), изъ которыхъ каждый исключаетъ
собою всЬ остальныя. И мы вид*ли D9), что обратныя предло-
жешя оказались верными, въ чемъ было легко убедиться дока-
зательствомъ отъ противнаго.
Вообще, если въ теорем*, или въ ряд* теоремъ, мы раземо-
тр*ли всевозможные взаимно исключающее слу-
случаи, которые могутъ представиться относительно величины
или расположешя н*которыхъ частей фигуры, при чемъ ока-
оказалось, что въ этихъ случаяхъ получаются различные вза-
взаимно исклй)чающ1е выводы относительно величины
или расположешя н*которыхъ другихъ частей фигуры, то мы мо-
жемъзаран*е (к priori)утверждать,что обратныя пред-
южен1я в4рны.
Впосл*дствш мы неоднократно будемъ встречаться съ этимъ
закономъ обратимости.
Сравнительная длина объемлющихъ и объемлемыхъ
ломаныхъ лиши.
52. Теорема. Въ треугольник каждая сторона меньше
суммы двухъ другихъ сторонъ.
Данъ тр-къ ABC (черт. 48); требуется доказать, что любая
сторона его, напр., сторона АС, меньше суммы двухъ другихъ
сторонъ.

— 37 —
Черт. 48.
Если сторона АС равна или меньше какой-нибудь иаъ двухъ
другихъ сторонъ, то тогда, очевидно,
АС<С.АВ+ВС. Значитъ, намъ надо
рассмотреть только тотъ случай, когда
АС есть наибольшая изъ трехъ
сторонъ.
Продолживъ сторону АВ, отло-
жимъ ВВ—ВС и проведемъ ВС.
Такъ какъ Д ВВС равнобедренный,
то j/B^j/BCB-, поэтому уголъ В
меньше угла ВС А, и сл'Ьд., въ
&АВС сторона АС меньше АВ D9), т.-е. AC<AB+BB. Зам*-
нивъ ВВ на ВС, получимъ:
АС<АВ+ВС.
С«ггЬдств1б. Если АС есть наибольшая изъ сторонъ•, то мы
мозкемъ отъ обЗшхъ частей выведеннаго неравенства отнять
по АВ или по ВС; тогда получимъ:
АС—АВ<ВС и АС—ВС<АВ.
Читая эти неравенства справа налево, видимъ, что каждая
изъ сторонъ ВС и АВ больше разности двухъ другихъ сторонъ;
такъ какъ это же можно, очевидно, сказать и о третьей, наиболь-
наибольшей сторон* АС, то заключаемъ:
въ треугольник каждая сторона больше разности двухъ дру-
другихъ сторонъ»
53. Теорема. 0ipt30Kb прямой, соединяюще flet камя-
нибудь точки, короче всякой ломаной, проведенной между этими
точками.
Пусть (черт. 49) АЕ есть отрйзокъ прямой, соединяющей
точки А и Е, а АВСВЕ какая-нибудь ломаная, проведенная
между т^ми же точками. Требуется доказать, что АЕ короче
суммы АВ+ВС+СВ+ВЕ.
Ооединивъ А съ С и D,
находимъ, согласно преды-
предыдущей
Черт. 49.
АЕ<АВ+ВЕ\
АВ<АС+СВ;
АС<АВ+ВС.

— 38 —
Сложимъ почленно эти неравенства и затФмъ отъ обЗшхъ
частей полученнаго неравенства отнимемъ по AD и АС; тогда
получимъ:
AE<AB+BC+CD+DE.
54. Опред'Ьлеше. Если между двумя точками А и D
(черт. 50) по одну сторону отъ прямой AD проведены татя дв$
ломаныя лиши, что одна изъ нихъ — ABCD — вся заключена
внутри , фигуры, образованной другою лишей — AEFGD —
съ отрйзкомъ прямой AD, то первая ломаная наз. о б ъ е м л е-
мой, а вторая объемлющей,
55. Теорема. Выпуклая ломаная короче всякой другой ло*
маной, объемлющей ее.
Пусть (черт. 50) ABCD есть вы-
п у к л а я C4) ломаная, a AEFGD
какая-нибудь другая ломаная (вы-
(выпуклая или невыпуклая — все.
равно), объемлющая первую; тре-
требуется доказать, что:
AB+BC+CD<AE+EF+
черт. 50. +FG+GD
Продолживъ стороны выпуклой лиши, какъ указано на чер-
, можемъ написать слйдуюпця неравенства E3):
АВ+ВН<АЕ+ЕН
BC+CK<BH+HF+FG+GK
CB<CK+KD.
Сложимъ почленно всЬ эти неравенства и загЬмъ отъ обЗшхъ
частей полученнаго неравенства отнимемъ вспомогательные
отрезки ВН и СК; далйе зам'Ьнимъ сумму EH+HF черезъ EF
и сумму GK+KD черезъ GD; тогда получимъ то неравенство,
которое требовалось доказать.
56. Теорема Если выпуклый многоугольникъ заключенъ
весь внутри какого-нибудь другого многоугольника, то пери-
метръ перваго меньше периметра второго.

— 39 —
Пусть ABCD (черт. 51) есть выпуклый многоуголь.
никъ, a LMNPQR какой-нибудь другой многоугольникъ
(выпуклый или невыпуклый),
внутри котораго заключенъ пер-
первый. Требуется доказать, что
АВ + ВС + CD + DA меньше
LM+MN+NP+PQ+QR+RL.
Продолживъ въ обоихъ напра-
влешяхъ одну какую-нибудь сто-
сторону AD выпуклаго мн-ка, при-
мЗшимъ къ ломанымъ лишямъ
ABCD и ATMNPQR8D, прове-
деннымъ между точками А и D,
теорему предыдущего параграфа:
АВ + ВС + CD < AT + TM + MN + NP+PQ+QR+RS+SD.
Оъ другой стороны, такъ какъ отрйзокъ ST короче лома-
ломаной SLT, то можемъ написать:
AT+AD+DS<TL+LS.
Сложимъ почленно эти два неравенства и отнимемъ отъ обоихъ
частей вспомогательные отрезки AT я DS\ загбмъ зам'Ьнимъ
сумму TL+TM черезъ LM и сумму LS+RS черезъ LR; тогда
получимъ то, что требовалось доказать.
67. 3aNrb4aHie. Дв-Ь предъ-
идущ1я теоремы перестаютъ
быть верными, если объемле-
мая ломаная или объемлемый
многоугольникъ не выпук-
выпуклые. Такъ, на черт. 52-мъ объ-
емлемая ломаная, проведенная
между точками А и В, можетъ
оказаться длиннее объемлю-
объемлющей, проведенной между й
же точками.
В
Черт.* 52.

— 40 —
Треугольники съ двумя соотв-Ьтетвенно равными сто-
сторонами.
58. Теоремы. 1°. Если двъ стороны одного треугольника
соотвътственно равны двумъ сторонамъ другого треугольника, а
углы,, заключенные между этими сторонами, йе равны, то про-
тивъ, ббльшаго изъ этихъ угловъ лежитъ ббльшая сторона.
2°. (Обратная). Если двъ стороны одного треугольника со-
соответственно равны двумъ сторонамъ другого треугольника, а
третьи стороны не равны, то противъ большей изъ этихъ сто-
ронъ лежитъ бблышй уголъ.
1°. Пусть въ тр-кахъ ABC и АХВХСХ (черт. 53) дано;
АС=~АХСХ, АВ=АХВ1; но АфАх.
Требуется доказать, что если А>А1} то и ВС>ВХСХ, а если-
А<1АХ, то и BC<iBCx.— Предположить, что А^>АХ. Нало-
В
Черт. 53.
жимъ А ЛВА.на Д ABC такъ, чтобы сторона АгСх совпала
съ АС. Такъ какъ, согласно предположение, А>АЪ то сто-
сторонаAyBi пойдетъ внутри угла А, и Д ^ВА займетъ неко-
некоторое положен!е АВиС (при чемъ верпшна Вп можетъ лежать
или вне Д ABC, какъ изображено на нашемъ чертежи*), или
внутри его, или', же на сторон* ВС; доказательство остается
одно и то же во всбхъ этихъ случаяхъ). Проведешь биссектриссу
угла ВАВп до пересЬчетя со стороною ВС въ точки D и эту
точку соединимъ прямою съ Ви; тогда получимъ два тр-ка ABD и
*) На чертеж* вместо буквы В„ ошибочно поставлена буква Ь.

— 41 —
DABn, которые равны, потому что у нихъ: AD общая сторона,
АВ=АВп по условно ъ/JSAT)=/JDAB1X, такъ какъ прямая AD
д'Ьлитъ пополамъ уголъ ВАВг1. Изъ равенства тр-ковъ слйдуетъ:
BD=DBn. Теперь изъ Д DCBn выводимъ: BnD+DC>BnC
E2), или (зам'Ьнивъ BUD на BD):
BD+DC>BnC, т.-е. ВСУВ^.
Если допустимъ, что А<^АХ, то такъ же докажемъ, что тогда
2°. Пусть въ т^хъ же треугольникахъ дано:
АВ=А1ВЪ АС=АгСъ но
Требуется доказать, что если ВС^ВхС^ то и А^>АЪ если
же ВС^ВхСх, то и А<^Аг.— Предположимъ, что Вб^В^;
докажемъ, что А^>Аг. Допустимъ противное, что А не больше Аг;
тогда могутъ представиться два случая: или А=Аг, или А<^Аг.
Въ первомъ случай тр-ки были бы равны и, слйд., сторона ВС
равнялась бы BjCi, что противоречить услов1ю;, во второмъ
случай сторона ВС, согласно теорем* 1°, была бы меньше ВгСъ
что также противор'Ьчитъ условш. Значитъ, оба эти случая
исключаются; остается одинъ возможный случай, что А^>Аг.
Если допустимъ, что ВС^ВхСх, то такъ же докажемъ, что
тогда и
ГЛАВА III.
Перпендикуляры и наклонныя.
59,1. Теорема. Перпендикуляръ, опущенный изъ точки напря-
напрямую, короче всякой наклонной, проведенной изъ той же точки на эту
прямую.
Пусть АВ (черт. 54) есть перпендикуляръ, опущенный
изъ точки А на прямую MN, и АС какая-нибудь наклонная,
проведенная изъ той же точки А къ прямой MN. Требуется
доказать, что АВ<^АС.— Въ Д ABC угойъ В прямой, а прс-
тивъ прямого угла лежитъ большая сторона E0 ,2°);
АС>АВ.

— 42 —
ЗамгЬчате. Когда говорятъ: «разстояше точки отъ пря-
мой», то разумФютъ разстояше, измеряемое по перпендику-
перпендикуляру, опущенному изъ этой точки на прямую.
59, 2. Теорема. Если изъ одной и той же точки, взятой BHt
прямой, проведены къ этой прямой перпендикуляръ и как'ш-
нибудь наклонныя, то:
1°, если основашя двухъ наклонныхъ одинаково удалены отъ
основашя перпендикуляра, то татя наклонныя равны;
2°, если основашя двухъ наклонныхъ не одинаково удалены
отъ основашя перпендикуляра, то та изъ наклонныхъ больше,
которой основаше дальше отстоитъ отъ основашя перпендикуляра.
1°. Пусть АС и АВ (черт. 54) будутъ дв'Ь ташя наклонныя,
проведенныя изъ точки А къ прямой MN, которыхъ основа-
шя С и D одинаково удалены отъ
основашя перпендикуляра АВ,
т.-е. СВ = ВВ\ требуется дока-
доказать, что АС=АВ./\Въ тр-кахъ
ABC и ABB есть общая сторона
АВ и сверхъ того BC=BD (по
условш) и /тАВС = ^АВВ
(какъ углы прямые); значитъ,
Че т 54 эти тр-ки равны, и потому
' AC=AD.
2°. Пусть АС и АЕ (черт. 54) будутъ дв'Ь татя наклонныя,
проведенныя изъ точки А къ прямой MN, которыхъ основашя
неодинаково удалены отъ основашя перпендикуляра АВ; напр.,
пусть ВЁ^>ВС; требуется доказать, что АЕ^>АС.—Отложимъ
BD=BC и проведемъ АВ. По доказанному выше, AD=AC.
Сравнимъ АЕ съ AD. Уголъ ABE есть вн^штй по отношетю
Д ADB и потому онъ больше прямого угла АВВ\ слЪц.^АВЕ
тупой; но въ Д противъ тупого угла должна лежать большая
сторона E0, 2°); значитъ,' АЁ>АВ и, сл^д., АЕ>АС.
вО. Обратная предложения. Въ предыдущей тео-
рем^ разсмотрФны всевозможные взаимно исключающее случаи
относительно равенства или неравенства разстояшй основашй
наклонныхъ отъ основашя перпендикуляра; при этомъ получи-
получились взаимно исключаюпце выводы относительно равенства или

— 43 —
неравенства наклонныхъ; всл?дстше этого обратныя предло-
жешя должны быть вйрны E1), а именно:
Если изъ одной и той же точки, взятой внЪ прямой (черт. 54),
проведены къ этой прямой перпендикуляръ и кашя-нибудь на-
наклонныя, то:
1°, если двЪ наклонныя равны, то ихъ основашя одинаково
удалены отъ основашя перпендикуляра;
2°, если д t наклонныя не равны, то основаше большей изъ
нихъ дальше отстоитъ отъ основашя перпендикуляра.
Предоставляемъ учащимся самимъ доказать эти предложешя
(способомъ отъ противнаго).
Равенство прямоугольныхъ треугольников!».
61. Такъ какъ въ прямоугольныхъ тр-кахъ углы, содер-
жапцеся между катетами, всегда равны, какъ прямые, то:
Прямоугольные треугольники равны:
1°, если катеты одного треугольника соответственно равны
катетамъ другого;
или 2°, если катетъ и прилежащш къ нету острый уголъ
одного треугольника равны соответственно катету и прилежа-
прилежащему къ нему острому углу другого треугольника.
Эти два признака не требуютъ особаго доказательства, такъ
какъ они представляютъ лишь частные случаи общихъ призна-
ковъ D3, 1° и 2°). Докажемъ еще два слйдуюпце признака, отно-
сяпцеся только къ прямоугольнымъ треугольникамъ.
62. Теоремы. Прямоугольные треугольники равны:
1°, если гипотенуза и
острый уголъ одноготре- В В<
угольника соотвЪтствен-
но равны гипотенуз* и
острому углу другого;
или 2°, если гипоте-
гипотенуза и катетъ одного
треугольника соответ-
соответственно равны гипоте-
нузЪ и катету другого.
1°. Пусть ЛВС и АгВ
у которыхъ:
Черт. об.
А (черт. 55) два прямоугольные тр-ка,
и А=*Аг; требуется доказать, что эти

— и —
тр-ки равны.— Наложимъ Л ABC на д А1В1С1 такъ, чтобы
у нихъ совместились равныя гипотенузы. Тогда по равенству
угловъ А и Аг катетъ АС пойдетъ по АгСг. При этомъ точка С
должна совместиться съ точкой Сь* потому что если предполо-
жимъ, что она упадетъ въ точку С2 или точку С3, то тогда катетъ
ВС занялъ бы положеше ВгС2 или ВгС3, что невозможно, такъ
какъ изъ одной точки Вг нельзя на прямую АХСХ отпустить два
перпендикуляра (В1С1 и ВгС2, или
G АГ
С,.
2°. Пусть (черт. 56)
въ прямоуг. тр-кахъ
дано: АВ = А1В1 и
ВС=В1С1; требуется
доказать, что тр-ки
равны. — Наложимъ
Д ABC на д A^Ci
такъ, чтобы у нихъ
совместились равные
катеты ВС и ВлСл.
Черт. 56.
Тогда, по равенству прямыхъ угловъ, С А пойдетъ по СхАг.
При этомъ гипотенуза АВ не можетъ не совместиться съ гипо-
гипотенузой АгВъ потому что если бы она заняла положеше А2Вг
или АгВъ то тогда мы имйли бы дв* равныя наклонныя {АгВг
и А2ВЪ или А1В1 и AzB-j), которыя не одинаково удалены отъ
основашя перпендикуляра, что невозможно E9, 2).
ГЛАВА IV.
Свойство перпендикуляра, проведенного къ прямой
черезъ ея середину, и свойство Оиссектриссы угла.
63. Теоремы. 1°. Если какая-нибудь точка одинаково уда-
удалена отъ концовъ отрЪзка прямой, то она лежитъ на перпенди-
куляр% къ этому отр%зну, проходящемъ черезъ его середину.
2°. Обратно: если какая-нибудь точка лежитъ на перпенди-
кулярЪ къ отр%зку прямой, проходящемъ черезъ его середину.
то она одинаково удалена отъ концовъ этого отрезка.

— 45 —
•
V
ч
0 \,
1°. Пусть точка М (черт. 57) одинаково удалена отъ концовъ
отр*зка прямой АВ, т.-е. пусть И4=МВ; требуется доказать,
что точка М лежитъ на перпендикуляр*, проведенномъ къ
прямой АВ черезъ ея середину. — Проведемъ биссектриссу
МО угла АМВ. Такъ какъ тр-къ АМВ равнобедренный, то эта
биссектрисса служить въ ней вы-
высотою и мед1аною C8); значитъ, точ-
точка М лежитъ на перпендикуляр* къ
прямой АВ} д*лящемъ ее пополамъ.
2°. Пусть ОМ (черт. 57) есть пер-
перпендикуляру проведенный къ отр*з-
ку АВ черезъ его середину, и М какая-
нибудь точка на немъ; требуется
доказать, что эта точка одинаково Черт. 57.
удалена отъ концовъ АВ, т.-е,. что МА=МВ. — Прямыя МА
и MB суть наклонныя къ АВ, одинаково удаленныя отъ осно-
ватя перпендикуляра МО; а татя наклонныя равны; сл*д.,
МА=МВ.
64. СлгЬдетв1е. Изъ двухъ доказанныхъ теоремъ, пря-
прямой и обратной, можно вывести сл*дств1е, что теоремы, п р о-
тивоположныя имъ, также в*рны D), т.-е. что (черт. 58):
если какая-нибудь точка
(М) н е одинаково удалена
отъ концовъ отр*зка прямой
(АВ), то она н е лежитъ
на перпендикуляр* (CD) къ
этому отр*зку, проведенномъ
черезъ- его середину (О);
если какая-нибудь точка .
н е лежитъ на перпендику-
перпендикуляр* къ отр*зку прямой,
проведенномъ черезъ его сере-
М
дину, то она не одинаково
удалена отъ концовъ этого
отрезка.
D
Черт. 58.
Предлагаема учащимся самимъ доказать эти противополож-
противоположный предложешя (разсуждетемъ отъ противнаго)..

— 46 —
65. Теоремы. 1°. Если какая-нибудь точка одинаково уда-
удалена отъ сторонъ угла, то она лежитъ на его биссектрисой.
2°. Обратно: если какая-нибудь точка лежитъ на биссектрисе*
угла, то она одинаково удалена отъ его сторонъ.
1°. Пусть точка М (черт. 59) одинаково удалена отъ сторонъ
угла ABC, т.-е. пусть перпендикуляры MF и ME, опущенные
изъ этой точки на стороны угла, равны; требуется доказать, что
точка М лежитъ на бис-
сектриссЬ угла ABC. —
Проведемъ прямую черезъ
В и М. Прямоугольные тре-
треугольники МВЕ и MBF
равны, такъ какъ у нихъ
общая гипотенуза и ка-
катеты ME, MF равны по
условш. Изъ равенства
ерт* " тр-ковъ сл'Ьдуетъ, что
^/mMBE=J/mMBF, т.-е. прямая MB есть биссектрисса угла ABC.
2°. Пусть BD (черт. 59) есть биссектрисса угла ABC, и М
какая-нибудь точка на ней; требуется доказать, что перпен-
перпендикуляры ME и MF, опущенные изъ этой точки на стороны
угла, равны.— Прямоугольные тр-ки МВЕ и MBF равны,
такъ какъ у нихъ общая гипотенуза, и углы МВЕ, MBF равны
по условш. Изъ равенства тр-ковъ сл'Ьдуетъ, что ME—MF *).
66. Cji^CTBie. Изъ двухъ доказанныхъ теоремъ, пря-
прямой и обратной, можно вывести слг6дств1е, что теоремы, п р о-
тивоположныя имъ
также в^рны, т.-е., что
(черт. 60):
если какая-нибудь точ-
точка (М) н е одинаково уда-
удалена отъ сторонъ угла
(ABC), то она н е лежитъ
на его биссектрисе* (BD);
если какая-нибудь точ-
Черт. 60.
*) Предлагаемъ оамимъ учащимся разсмотрЪть свойства точекъ,
одинаково удаленныхъ отъ п р о д о л ж е н i й сторонъ угла (за
вершину).

— 47 —
ка н е лежитъ на биссектрисе* угла, то она н е одинаково
удалена отъ сторонъ его.
67. Геометрическое м*сто. Геометрическимъ м$-
стомъ точекъ, обладающихъ нйкоторымъ свойствомъ, наз. такая
лишя, или поверхность, или совокупность лиши и поверхностей
(вообще такая фигура), которая содержитъ въ себ* веб точки,
обладаюпця этимъ свойствомъ, и не содержитъ ни одной точки,
не обладающей имъ.
Изъ теоремъ предыдущихъ параграфовъ слФдуетъ:
Геометрическое мЪсто точекъ, одинаково удаленныхъ отъ
двухъ данных* точекъ, есть перпендикуляръ, проведенный къ
отрЪзку прямой, соединяющему эти точки, чрезъ его середину.
Геометрическое мЪсто точекъ, одинаково удаленныхъ отъ
сторонъ угла, есть биссектрисса этого угла *).
ГЛАВА V.
Основный задачи на построеше.
68. IIOHflTie объ окружности. Теоремы, доказан-
ныя нами въ предыдущихъ главахъ, позволяюсь решать нй-
которыя задачи на построен1е. Зам'Ьтимъ, что въ эле-
элементарной геометрш разсматриваются только татя построения,
которыя могутъ быть выполнены помо-
помощью линейки и циркуля (упо-
треблеше наугольника и н'Ькоторыхъ
другихъ приборовъ хотя и допускается
ради сокращетя времени, но не
составляетъ необходимости). Посред-
ствомъ линейки проводятся прямыя
липш, посредствомъ циркуля чертится
окружность. Свойства этой лиши ерт* .
мы раземотримъ впосл'Ьдствш, теперь же ограничимся только
краткимъ поняпемъ о ней.
*) Предлагаемъ самимъ учащимся убедиться, что геометрическое
мЪсто точекъ, равнеотстоящихъ отъ двухъ пересЬкающихся прямыхъ,
состоитъ изъ двухъ прямыхъ, д'Ъляцшхъ пополамъ углы, образованные
пересЬкающимися прямыми.

— 48 —
Если дадимъ циркулю произвольное раетвореше и, поставивъ
его ножку съ остреемъ въ какую-нибудь точку О (черт. 61),
стапемъ вращать циркуль вокругъ этой точки, то другая его
ножка, снабженная карандашомъ или перемъ, опишетъ непре-
непрерывную линш, которой всЬ точки одинаково удалены отъ точки О.
Эта лишя наз. окружностью, а точка О — центромъ ея.
Прямыя О А, ОВ,ОС..:, соединяюпця центръ съ какими-нибудь
точками окружности, наз. рад1усами. Веб рад1усы одной
окружности равны между собою. Часть окружности, напр.,
АВ (черт. 61), наз. дугою.
69. Основныя задачи на построение. Укажемъ
рйшете слйдующихъ задачъ на построете.
Задача 1. Построить треугольникъ по
даннымъ его сторонамъ а, бис (черт. 62).
На какой-нибудь прямой MN откладываемъ часть СВ, рав-
равную одной изъ
данныхъ сто-
ронъ, напр. а.
Изъ точекъ С и
В, какъ цен-
тровъ, описы-
.. ч.ж » I. .. ВаеМЪ ДВ* Не"
М N болышя дуги,
Черт. 62. одну рад1усомъ,
равнымъ Ь, дру-
другую рад!усомъ, равнымъ с. Точку А, въ которой эти дуги пере-
пересекаются, соединяемъ .съ В и С. Треугольникъ ABC будетъ
Зам'ЬчаШе. Не всяк1е три отрезка прямой
могутъ служить сторонами треугольника;
для этого необходимо, чтобы болышй изъ нихъ былъ меньше
суммы двухъ остальныхъ E2).
Задача 2. н а даннойпрямой MN при данной

— 49
на ней точке О построить уголъ, равный
данном^ углу ABC (черт. 63).
А М-
Черт. 63.
Изъ вершины В, какъ центра, описываема» произвольнымъ
рад1усомъ между сторонами даннаго угла дугу EF\ затемъ,
не изменяя растворешя циркуля, переносимъ его острее въ
точку О и описываемъ дугу PQ. Далее, изъ точки Р, какъ центра,
описываемъ дугу аЪ рад1усомъ, равнымъ разстоянш между
точками Е и F. Наконецъ черезъ точки О и В (пересечете
двухъ дугъ) проводимъ прямую. Уголъ ВОР равенъ углу ABC,
потому что тр-ки ВОР и FBE, имеюпце соответственно равныя
стороны, равны.
Задача 3. Разделить
данный уголъ ABC п о-
пополамъ (черт. 64).
Изъ вершины В, какъ
центра, произвольнымъ рад1у-
сомъ опишемъ между сторо-
сторонами угла дугу BE. Затемъ,
взявъ произвольное раство-
реше циркуля, большее, однако
половины разстоятя между точ-
точками Е и D(см. замечаше къ за-
задаче 1-й), описываемъ этимъ растворешемъ изъ точекъ D и Е
неболышя дуги, которыя пересекались бы въ какой-нибудь
точке F. Проведя прямую BF, мы получимъ биссектриссу
угла ABC.—Для доказательства соединимъ прямыми точку
F съ D и Е\ тогда получимъ два тр-ка BEF и BDF, которые равцы,
такъ какъ у нихъ BF общая сторона, BD—BE и DF—EF по
построенш. Изъ равенства тр-ковъ ^гбдуетъ: Z.ABF=Z.CBF.
А. Киселевъ. Геометрия. 4

— 50 —
-В
Черт. 65.
Задача 4. и зъ данной точки С прямой АВ
возставить къ этой прямой перпендику-
перпендикуляр ъ (черт. 65).
Отложимъ на АВ по обе
стороны отъ данной точки С
равные отрезки (произвольной
длины) CD и СЕ. Изъ точекъ
Е и D однимъ и темъ же ра-
створешемъ циркуля (боль-
шимъ однако CD) опишемъ две
неболышя дуги, которыя пере-
пересекались бы въ некоторой точ-
точке F. Прямая, проведенная че-
черезъ точки С и F, будетъ искомымъ перпендикуляромъ.—Дей-
перпендикуляромъ.—Действительно, какъ видно изъ построешя, точка F одинаково
удалена отъ ВиЕ; след., она должна лежать на перпендику-
перпендикуляре, проведенномъ къ отрезку DE черезъ его середину F3);
но середина этого отрезка есть С, а черезъ С и F можно провести
только одну прямую; значитъ, DC1.DE.
Задача б.Изъ данной точки4опустить пер-
пендикуляръ н $ данную прямую ВС (черт. 66).
Изъ точки А, какъ центра, произвольнымъ растворешемъ цир-
циркуля (болыпимъ однако разстояшяотъ А до ВС) опишемъ такую
дугу, которая пересекалась бы съ ВС въ какихъ-нибудь двухъ точ-
кахъ D и Е. Затемъ изъ этихъ точекъ произвольнымъ, но однимъ
д ч и темъ же, растворетемъ
циркуля (болыпимъ однако
х/2 DE) проводимъ две не-
неболышя дуги, которыя пере-
пересекались бы между собою въ
J некоторой точке F. Прямая
AF будетъ искомымъ перпен-
перпендикуляромъ .—Действитель-
.—Действительно, какъ видно изъ построе-
шя, каждая изъ точекъ А и
F одинаково удалена отъ
D и Е\ а татя точки ле-
лежать на перпендикуляре,
проведенномъ къ отрезку DE черезъ его середину F3).
В
\J>
Черт.

— 61 -
Задача в. Провести перпендикуляръ къ
данной конечной прямой (АВ) черезъ ея
середину (черт. 67).
Изъ точекъ А к В произвольными но одинаковыми раство-
рен1емъ циркуля (бблыпимъ х/2 АВ)
описываемъ дв* дуги, которыя пере-
пересекались бы между собою въ н^кото-
рыхъ точкахъСи В. Прямая СВ будетъ
искомымъ перпендикуляромъ. — ДМ- .
ствительно, какъ видно изъ построешя, ! '
каждая изъ точекъ С и В одинаково
удалена отъ А и В; сл^д., эти точки
должны лежать на перепендикуляр'Ь,
цроведенномъ къ отрезу АВ черезъ
его середину F3). ЧеРт- 67-
Задача 7.Разделить пополамъ данную ко-
конечную прямую АВ (черт. 67).
Решается такъ же, какъ предыдущая задача.
7(Х Прим-Ьръ бол*е сложной задачи. При помощи
этихъ основныхъ задачъ можцо решать задачи бол'Ье сложныя.
Для примера р^шимь следующую задачу.
Задача. Построить треугольник ъ, зная его
основан1еЬ, уголъа, прилежащ1йкъ осно-
ван1ю, и сумму s двухъ боковыхъ сторонъ
(черт. 68).
Чтобы составить планъ решетя, дрёдцоложимъ, что задача
решена, т.-е. найденъ такой тр-никъ ABC, у котораго осно-
вате АС=Ъ, уголъ А=а и AB+BC=s. РазЬмотримъ теперь
полученный чертежъ. Сторону АС, равную Ь, и уголъ А, равный
а, мы построить умйемъ. Значить, остается найти на сторон^ AD
угла А такую точку В, чтобы сумма АВ+ВС равнялась s. Про-
долживъ АВ, отложимъ отрйзокъ АВ, равный s. Теперь вопросъ
приводится къ тому, чтобы на прямой АВ отыскать такую точку В,
которая была бы одинаково удалена отъ СиВ. Такая точка,
какъ мы знаемъ F3), должна лежать на перпендикуляр^, про-
веденномъ къ отрезку прямой С В черезъ его середину.
4

— 62 —
Этотъ перпендикуляръ мы построить умеемъ. Точка В най-
найдется въ пересечети перпендикуляра съ AD.
t / Итакъ, вотъ решете
7Г*1 задачи: строимъ (черт. 68)
*" * I ^-;';7 уголъ А, равный данному
углу а; на сторонахъ его
откладываемъ АС=Ъ и
AD=s. Черезъ середину
отрезка прямой DC про-
водимъ перпендикуляръ
ВЕ\ пересечете его съ
ч 68 ^А т.-е. точку В, соеди-
нимъ съ С Тр-нпкъ ABC
будетъ искомый, такъ какъ онъ удовлетворяем всемъ требова-
шямъ задачи: у него ЛG=Ь, Z.A=a и AB+BC=s, (потому что
BD=BC).
Разсматривая построете, мы замечаемъ, что задача возможна
не при всякихъ данныхъ. Действительно, если сумма s задана
слишкомъ малою сравнительно съ & то перпендикуляръ ЕВ
можетъ и не пересечь отрезка AD (или пересечетъ его продол-
жете за точку А или за точку D); въ этомъ случае задача ока-
окажется невозможной. И. независимо отъ построетя
можно видеть, что задача невозможна, если s<0>, или s—b,
потому что не можетъ быть такого треугольника, у котораго
сумма двухъ сторонъ была бы меньше или равна третьей стороне.
Въ томъ случае, когда задача возможна, она имеетъ только
одно решен! е, т.-е. существуетъ только одинъ тр-никъ,
удовлетворяющей требоватямъ задачи, такъ какъ пересечете
перпендикуляра BE съ прямой AD можетъ быть только въ одной
точке.
71. Зам1эЧан1е. Изъ приведенная примера видно, что
решете сложной задачи на построете состоитъ изъ следую-
щихъ четырехъ частей:
1°. Предположивъ, что задача решена, делаютъ отъ руки
приблизительный чертежъ искомой фигуры и затемъ, внима-
внимательно разсматривая начерченную фигуру, стремятся найти
тявдя зависимости между данными задачи и искомыми,, кото-

— 63 —
рыя позволили бы свести задачу на другая, изв^стныл ран^е.
Эта самая важная часть рЪшетя задачи,, имеющая цЪлью со-
составить п л а н ъ решетя, носитъ назваше анализа.
2°. Когда такимъ образомъ планъ решетя найденъ, выпол-
няютъ сообразно ему построен! е.
3°. Для проверки правильности плана доказываютъ
загЬмъ, на основанш извЪстныхъ теоремъ, что полученная
фигура удовлетворяетъ всЬмъ требоватямъ задачи. Эта часть
решетя называется синтезомъ.
4°. ЗатЪмъ задаются вопросомъ, при всякихъ ли данныхъ
задача возможна, допускаетъ ли она одно рЪшеше, или не-
несколько, и н^тъ ли въ задач^ какихъ-либо особенныхъ случаевъ,
когда построен1е упрощается, или, наоборотъ, усложняется.
Эта часть решетя наз. изслгЬдован1емъ задачи.
Когда задача весьма проста и не можетъ быть сомнЪшя отно-
относительно ея возможности, то обыкновенно анализъ и изслЪдо-
ваше опускаютъ, а указываюсь прямо построете и приводятъ
доказательство. Такъ мы делали, излагая pimeme первыхъ
7-ми задачъ этой главы; такъ же будемъ делать и впосл'Ьдствш,
когда намъ придется излагать решете несложныхъ задачъ.
УПРАЖНЕН1Я.
Доказать теоремы.
5. Въ равнобедренность треугольник^ дв'Ь мед1аны равны, дв'Ь
биссектриссы равны, дв'Ь высоты равны.
6. Если изъ середины каждой изъ равныхъ сторонъ равнобедрен-
наго тр-ка возставимъ перпендикуляры до пересЬчешя съ другою
изъ равныхъ сторон*, то эти перпендикуляры равны.
7. Перпендикуляры, возставленные къ двумъ сторонамъ угла
на равныхъ разстояшяхъ отъ вершины, пересекаются на биссектрисе^.
8. Прямая, перпендикулярная къ биссектриссЬ угла, отсЬкаетъ
отъ его сторонъ равные отрезки.
9. Мед1ан,а тр-ка меньше его полупериметра.
10. Мед1ана тр-ка меньше полусуммы сторонъ, между которыми
она заключается. У казан1е : продолжить мед1ану на разстояше,
равное ей, полученную точку соединить съ однимъ концомъ стороны,
къ которой проведена мед1ана, и раземотр^ть образовавшуюся фигуру.
10.а. Сумма мед1анъ тр-ка^ меньше периметра, но больше полу-
полупериметра.
11. Сумма разстояшй какой-нибудь точки, взятой внутри тр-ка,
отъ трехъ его вершинъ меньше периметра, но больше полупериметра.

* _ 54 —
11,а. Сумма д!агоналей четыреугольника меньше его периметра,
но больше полу периметра.
12. Доказать прямо, что всякая точка, не лежащая на перпенди-
перпендикуляре, проведенномъ къ отрезку прямой черезъ его середину, не
одинаково удалена отъ концовъ этого отрезка.
13. Доказать прямо, что всякая точка, не лежащая на биссектрисой
угла, не одинаково отстоитъ отъ сторонъ его.
13,а. Если на сторонахъ угла А отложимъ равныя длины АВ и АВи
загвмъ равныя длины АС и АСи то прямыя ВСг и ВгС пересекаются
на биссектрйссе угла А.
Задачи на построение.
14. Построить ёумму двухъ, трехъ и более данныхъ угловъ.
15. Построить разность двухъ угловъ.
16. По данной сумм^ и разности двухъ угловъ найти эти углы.
17. Разделить уголъ на 4, 8, 16 равныхъ частей.
18. Черезъ вершину даннаго угла провести вне его такую прямую,
которая со сторонами угла образовала бы равные углы.
19. ПостроитьД: а) по двумъ сторонамъ и углу между ними; Ь) по
стороне и двумъ прилежащимъ угламъ; с) по двумъ сторонамъ и углу,
лежащему противъ ббльшей изъ нихъ; d) по двумъ сторонамъ и
углу, лежащему противъ меньшей изъ нихъ (въ этомъ случае полу-
получаются два решен!я или ни одного).
20. Построить равнобедренный Д: а) по основашю и
боковой стороне; Ь) по основашю и прилежащему углу; с) по боковой
стороне и углу при вершине; d) по боковой, стороне и углу при осно-
вашие '
21. Построить прямоугольный Д: а) по двумъ катетамъ;
Ь) по катету и гипотенузе; с) по катету и прилежащему острому углу.
22. Построить р а,в н о б е д р е н н ы й Д: а) по высоте и боковой
стороне, Ь) по высоте и углу при вершине; с) по основатю и перпен-
перпендикуляру, опущенному изъ конца основатя на боковую сторону.
23. Построить прямоугольный Д по гипотенузе и острому углу.
24. Черезъ точку, данную внутри или вне угла, провести такую
прямую, которая отсекала бы отъ сторонъ угла равныя части.
25. По данной сумме и разности двухъ прямыхъ найти эти прямыя.
26. Разделить данную конечную прямую на 4, 8, 16 равныхъ
частей.
27. На данной прямой найти точку, одинаково удаленную отъ двухъ
данныхъ точекъ (вне прямой).
28. Найти точку равноотстоящую отъ трехъ вершинъД.
29. На прямой, пересекающей стороны угла, найти точку, оди-
одинаково удаленную отъ сторонъ этого угла.
30. Найти точку, одинаково удаленную отъ трехъ сторонъ Д.
31. На безконечной прямой АВ найти такую точку С, чтобы полу-
Прямыя СМ и CN, проведенныя изъ С черезъ данныя точки М и N,

— бб —
расположённый по одну сторону отъ АВ, составляли съ полупрямыми
С А и С В равные углы.
32. Построить прямоугольный Д по катету и суммЪ гипотенузы съ
другимъ катетомъ.
33. Построить Д по основашю, углу, прилежащему къ основашю,
и разности двухъ другихъ сторонъ (разсмотрЪть два случая: 1) когда
данъ м е н ь ш i й изъ двухъ угловъ, прилежащихъ къ основанш,
2) когда данъ б 6 л ь ш i й изъ нихъ).
34. Построить прямоугольный Д по катету и разности двухъ дру-
другихъ сторонъ.
ГЛАВА VI.
Параллельны я прямыя
Основныя теоремы.
72. Опред'ЬленХе. Когда катя-нибудь дв'Ь прямыя АВ и
CD (черт. 69) пересечены третьей прямой MN, то образова-
образовавшееся при этомъ углы получаютъ
попарно слйдуюпця назвашя:
соответственные углы:
1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;
внутренн1е накрестъ ле-
лежа щ i e углы: 3 и 5, 4 и 6;
в н ? ш н i e накрестъ лежа-
щ i e углы: 1 и 7, 2 и 8;
внутренн1е односто-
poHHie углы: Зи6,4и5;
в н ? ш н i e односторон- •**
Hie углы: 1 и 8, 2 и 7. ЧеРт- 69-
73. Лемма. *) Если между углами, образовавшимися при
пересЪченш двухъ прямыхъ третьего (черт. 69), существуетъ
какое-нибудь одно изъ слЪдующихъ 5-и соотношенш:
1°, соотв^ственные углы равны,
2°, внутренне накрестъ лежанье углы равны,
3°, BHtuiHie накрестъ лежащее углы равны,
4°, сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ равна 2d,
5°, сумма вн%шнихъ одностороннихъ угловъ равна 2d,
то существуютъ и ect остальныя изъ этихъ соотношенш.
Сначала докажемъ, что первое изъ указанныхъ соотно-
влечетъ за собою, какъ сл^дств1е, веб остальныя; посл'Ь
* *) Леммою наз. вспомогательная теорема, излагаемая только
для того, чтобы при ея помощи доказать послЪдуюцпя теоремы.

¦ — 56 —
этого до^ажемъ, что, обратно, каждое изъ этихъ остальныхъ
соотношений (т.-е. 2-е, 3-е, 4-е и 5-е) влечетъ за собою первое;
отсюда мы заключимъ, что каждое изъ указанныхъ соот-
ношешй влечетъ за собою вс* остальныя.
1) Пусть дано, что соответственные углы 2 и 6 равны между
собою (черт. 70); требуется доказать, что въ такомъ случай
будутъ им^ть м^сто и веб остальныя указанныя соотношешя.
Прежде всего покажемъ, что
равенство одной пары соотв^т-
ственныхъ угловъ, напр, угловъ
2 и 6, влечетъ за собою равен-
равенство и всбхъ остальныхъ паръ
соотв'Ьтственныхъ угловъ. Дей-
Действительно, Z 4 = Z 8, такъ
какъ первый изъ этихъ угловъ
равенъ углу 2, а второй—углу 6,
" какъ вертикальный; Z 1 = Z 5,
Черт. 70. такъ какъ эти уГЛЫ составляютъ
дополняя до 2d къ равнымъ угламъ 2 и 6; по той же причин*
Обращая теперь внимаше на внутренше накрестъ лежапце
углы, находимы Z.^ — /-%, какъ углы вертикальные; Z2=Z 6
по заданно; сл^д., ZA~/-§*
Если же Z-^ = /-§, то равны и внутренше накрестъ Лежа-
пце углы 3 и 5, какъ дополнетя до 2d къ равнымъ угламъ 4 и 6.
Обращая ьнимате на вн^ште накрестъ лежапце углы, нахо-
какъ углы вертикальные; ^=^/_2 по заданш;
Если же ^,2= ^8, то равны и друпе вн^ште односторон-
Hie углы 1 и 7, какъ дополнешя до Ы къ равнымъ угламъ 2 и 8.
Обращая внимате на внутренше односторонн1е углы, нахо-
находимы' ^3 +z^l2 ==2<i, такъ какъ эти углы смежные. ЗамЗшивъ
въ этой сумм* уголь 2 равнымъ ему умойть 6, по лучимы
Z.3+Z.6=2<!. Точно такъ же: Z4+Zl=2<!, Zl==Z5; сл*д.,
Обращая, наконецъ, внимаше на вн^ште односторонше
углы, совершенно такъ же, какъ это было сделано для внутрен-

— 57 —
нихъ одностороннихъ угловъ, докажемъ, что 4?m7+Z-2=2d и
Z8+Zl=2d.
2) Докажемъ теперь, что каждое изъ соотношешй: 2-е, 3-е,
4-е и 5-е влечетъ за собою соотношеше 1-е.
Пусть, напр., дано (черт. 70), что Z-%+Zj=2d\ требуется
доказать, что соответственные углы 2 и 6 равны. Действительно,
Z7-fZ6=2d, такъ какъ углы эти смежные; но Z.2+/L7=2d
по заданно; след., Z7+Zl6=Z2+Z.7. Отнявъ отъ этпхъ рав-
ныхъ суммъ по одному и тому же углу 7, получимъ /j>=Z-2.
Подобно этому докажемъ, что и любое иное изъ соотношешй:
2-е, 3-е, 4-е и 5-е влечетъ за собою соотношеше 1-е.
3) Теперь заключаемъ, что каждое изъ 5-ти указанныхъ соот-
ношетй влечетъ за собою все остальныя, такъ какъ каждое
влечетъ 1-е, а это влечетъ все остальныя.
74. Теорема. Два перпендикуляра къ одной и той же пря-
прямой не могутъ пересЪчься, сколько бы мы ихъ ни продолжали.
Пусть къ одной и той же пря- w
мой АВ (черт. 71) проведены два ,л
перпендикуляра CD и EF\ тре- / \
буется доказать, что эти пер- , f
пендикуляры не пересекаются,
сколько бы мы ихъ ни продол-
продолжали.
Предположимъ противное, т.-е
что прямыя CD и EF, будучи А 1 1 В
продолжены достаточно далеко,
пересекаются въ некоторой точ-
точке М (или М'). Тогда изъ этой
точки на прямую АВ были Лы
опущены 2 различные перпен-
перпендикуляра. Такъ какъ это невоз-
невозможно C2), то нельзя допустить,
чтобы перпендикуляры CD и EF
где-нибудь пересекались.
75. ОпредЪлейе. Две прямыя наз. парал-
параллельными, если, находясь въ одной пло-
плоскости, оне не пересекаются, сколько бы
ихъ ни продолжали.
с
Е
Чг
Черт. 71.

— 58 — .
Возможность существовашя паралелльныхъ прямыхъ обна-
обнаруживается предыдущей теоремой, которую теперь можно вы-
высказать такъ:
два перпендикуляра къ одной и той же прямой параллельны.
Параллельность прямыхъ обозначается письменно знакомъ
II , поставленнымъ между обозначетемъ прямыхъ; такъ, если
прямыя CD и EF параллельны, то пишутъ: CD\\ EF.
Предыдущая теорема, показывая возможность существо-
вашяпараллельныхъ прямыхъ, выражаетъ одинъ изъ п р и з н а-
ковъ параллельности (перпендикулярность къ од-
одной и той же прямой). Следующая теорема выражаетъ еще дру-
rie признаки параллельности.
76, Теорема. Если при пересЪченш двухъ прямыхъ какою-
нибудь третьею прямой окажется, что:
1°, соотЕГЬтственные углы равны;
или 2°, внутренше накрестъ лежащее углы равны,
или з°, BijtuiHie накрестъ лежащ'ю углы равны,
или 4°, сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ равна 2d,
или 5°, сумма вн-Ьшнихъ одностороннихъ угловъ равна 2d,
то первыя flBt прямыя параллельны.
Мы видели G3,) что если существуетъ какое-нибудь одно
изъ 5-ти хоотношешй, перечисленныхъ въ теорем*, то суще-
ствуютъ и всЬ остальпыя. Поэтому намъ достаточно обнару-
обнаружить, что прямыя А В и CD (черт. 72) параллельны при суще-
ствованш какого:нибудь одного изъ этихъ соотношешй. Пусть,
напр., дано, что соответственные углы 2 и 6 равны; требуется
доказать, что въ такомъ случай АВ II CD.—Предположимъ
противное, т.-е. что прямыя А В и CD не параллельны; тогда
1И эти прямыя пересЬ-
/кутся въ какойгни-
В ^ будь точк* Р, ле-
%%%%*-Р кащей напРав0 отъ
m.*m' MJV, или въ какой-
D нибудь точки Р', ле-
лежащей палево отъ
** MN. Если перес^че-
Черт. 72. Hie будетъ въ Р> то
образуется тр-къ, въ которомъ ^2 будетъ вн^шнимь, а ^6
внутреннимъ, не смежнымъ съ внйшнимь угломъ 2, и, значитъ,
Т

*-*— оУ —**¦
тогда Zl2 долженъ быть больше Z.6 D5), что противоречить
заданно; значить, пересечься въ какой-нибудь точк| Р, лежащей
направо отъ MN, прямыя АВ и CD не могутъ. Если преДполо-
жимъ, что пересечете будетъ въ точке Р', то тогда образуется
тр-къ, у котораго ZL4, равный Zl2, будетъ внутреннимъ, а /1б
внешнимъ, не смежнымъ съ внутреннимъ ^4; тогда Zjo долженъ
быть больше /Л и, след., больше 212, что противоречить зада-
заданш. Значить, прямыя АВ и CD не могутъ пересечься и въ точке,
лежащей налево отъ MN; след., эти прямыя нигде не пересе-
пересекаются, т.-е. ойе параллельны. * , ' .
77. Теорема. Черезъ всякую точку, лежащую внЪ прямой,
можно провести параллельную этой прямой.
Дана прямая АВ (черт. 73) и какая-нибудь точка С, лежащая
вне этой прямой; требуется доказать, что черезъ точку С можно
провести прямую, параллельную
АВ.—Черезъ какую-нибудь точку
D прямой АВ и черезъ точку С
проведемъ прямую CD. Эта- пря-
прямая образуете съ АВ некоторый
уголъ а. Построимъ при точке С
уголь Ъ, равный углу а, располо- А'
живъ его такъ, чтобы онъ оказался
соответственнымъ углу а. Тогда Черт 73
прямая СЕ будетъ параллельна
АВ, такъ какъ соответственные углы а и Ъ равны G6).
78. ЗамЪчаШе. Такъ какъ точку D на прямой АВ
(черт. 73) мы можемъ брать -произвольно, то построешй, по-
добныхъ указанному, можетъ быть
выполнено сколько угодно. При
этомъ возникаетъ вопросъ, бу- ^^^^^Jrjp-И" ?
деть ли при разныхъ построе-
тяхъ всегда получаться одна и
та же прямая СЕ, параллельная
АВ, или могутъ получаться и •
друпя прямыя, параллельныя • /Ъ
Черт. 74. /

— 60 —
Если, напр., вместо точки D мы возьмемъ точку D' (черт. 74)
и сдйлаемъ для с$кущей CD' такое же построеше, какое раньше
было сд^лаШо для сЬкущей CD ^т.-е. построимъ /Jb'=/ja,'),
то получится ли при этомъ та же прямая СЕ или окажется не-
некоторая новая прямая СЕ'? Вопросъ этотъ другими словами
можетъ бьшцвысказанъ такъ: черезъ точку С, взятую вн'Ь прямой
АВ, можно ли провести только одну прямую, параллельную АВ,
или нисколько? Отв'Ьтомъ на этотъ вопросъ служитъ'&гЬдующая
aKcioMa параллельныхъ линШ.
79. Дкс1ома параллельныхъ лин1й. Черезъ одну и
ту же точку нельзя провести двухъ различныхъ прямыхъ, па-
параллельныхъ одной и той же прямой.
Такъ, если (черт. 74) СЕ || АВ, то всякая другая прямая СЕ',
проведенная черезъ точку С, не можетъ быть параллельной АВ,
т.-е. она при продолженш пересечется съ АВ.
Доказательство этой не вполне очевидной истины оказы-
оказывается невозможны мъ; ее принимают^ безъ дока-
доказательства, какъ необходимое допущен1е или т р е б о-
ван1е (постулатъ — postulatum).
80. Сл*дств1я.1°. Если прямая (СЕ', черт. 74) nepect-
кается съ одной изъ параллельныхъ (СЕ), то она пересекается
и съ другой (АВ),
потому что въ противномъ случай черезъ одну и ту же
точку О проходили бы дв* различныя прямыя, параллельныя
АВ, что невозможно.
2°. Если каждая изъ двухъ прямыхъ А и В (черт. 75) па-
параллельна одной и той же третьей прямой (С), то онЪ парал-
параллельны между собою.
Действительно, если
д предположимъ, что пря-
**">jyj мыя А п В пересЬкаются
В г ч^»**^ въ некоторой точк'Ь М,
то тогда черезъ эту точку
^ проходили бы дв* различ-
Черт. 75. ныя прямыя, параллель-
ныя С, что невозможно.

1 — 61 —
8. Теорема, (обратная теорем* § 76). Если дв% парал-
лельныя прямыя (АВ и CD, черт. 76) перес%чены третьей пря-
прямой (MN), то:
1°, соотвЪтственные углы равны;
2°, внутренше накрестъ лежанье углы, равны;
з°, BHtumie накрестъ лежачее углы равны;
4°, сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ равна 2d;
5°, сумма вн-Ьшнихъ одностороннихъ угловъ равна 2d.
Достаточно доказать, что параллельность прямыхъ АВ и
GD влечетъ за собою какое-нибудь одно изъ 5-ти указанныхъ
соотношешй, потому что, какъ мы
видели G3), если существуетъ одно
изъ нихъ, то должны существо-
существовать и всЬ остальные.
Докажемъ, напр., что если АВ II CD,
то соответственные углы а и Ъ равны.
Предположимъ противное, т.-е.
что эти углы не равны (напр., пусть
<?>Ъ). Построивъ /^MEB^^/Jo, мы
нолучимъ тогда прямую АгВъ не Черт. 76.
сливающуюся съ АВгяу cji^r., будемъ
имйть 2 различныя прямыя, проходящ1я черезъ точку Е и парал-
лельныя одной и той же прямой CD (именно: АВ II CD согласно
условно,. теоремы и А1В1 \\ CD всл*дств1е равенства соотв^т-
ствейныхъ угловъ МЕВ± и Ь). Такъ какъ это противоречив
aKcioM* параллельныхъ лин1й, то наше предположеше, что
углы а и Ъ не равны, должна быть отброшено; остается при-
принять, что а=Ъ.
82. CjrfeACTBle. Перпендикуляръ къ одной изъ двухъ
параллельныхъ прямыхъ есть также перпендикуляръ и къ
другой.
Действительно если АВ II CD (черт. 77) и ME LAB, то, во 1,
ME, пересекаясь съ АВ, пересекается ж съ CD въ некоторой

— 62 —
6
гочке F (80,1°); во 2, соответственные углы а и Ъ равны. Но уголъ
а прямой; значитъ и уголъ Ъ прямой,
т.-е. МЪ%С1>.
83. Признаки непарал-
непараллельное™ црямыхъ. Изъ
двухъ теоремъ: прямой, выражаю-
выражающей признаки параллельности G6),
и ей обратной (81), можно вывести
заключеше, что противополо-
противоположи ы я теоремы также верны,
т.-е. что
если при пересЬченш двухъ пря-
что: 1°, соответственные углы н е
лежапце углы н е
Черт. 77.
мыхъ третьею окажется
равны, или 2°, внутренше накрестъ
или 2°
равны, и т. д., то прямыя не параллельны;
еслц две прямыя не параллельны, то при пересЬченш
пхъ третьею прямой: 1°, соответственные*?углы не равны,
2°, внутренше накрестъ лежапце углы не равны, и т.д.
Изъ этихъ признаковъ непараллельности (легко доказы-
ваемыхъ способомъ отъ противнаго) полезно обратить особое
внимаше на слгЬдующ1й:
если сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ {а и &,
черт. 78) не равна 2d, то прямыя (АВ и CD) при дозтаточномъ
продолженш пересекаются, такъ какъ если бы эти прямыя не
пересекались, то он* бы-
были бы параллельны, и
тогда сумма внутреннихъ
одностороннихъ угловъ
равнялась бы 2d (81), что
противоречить условш.
Это предложен1е (допол-
(дополненное утверждешемъ, что
Черт. 78.
прямыя пересекутся по ту
сторону .отъ секущей лиши, по которой сумма внутрепнихъ
одностороннихъ угловъ меньше 2d) было принято знамени-
тымъ греческимъ геометромъ Эвклидомъ (жившимъ въ
III веке до Р. X.) въ его «Началахъ» геометрш безъ доказа-
доказательства, какъ атома параллельныхъ литй, и потому оно

— 63 —
известно подъ именемъ постулата Эвклида. Въ на-
стоящее время предпочитаютъ принимать за такую акс1ому
болйе простую истину, а именно ту, которую мы изложили
раньше G9).
Укажемъ еще 2 слйдуюпце признака непараллельности,
которые понадобятся намъ
1°. Перпендикуляръ (АВ, черт. 79) и наклонная (CD) къ одной
и той же прямой (EF) пересекаются,
потому что сумма внутреннихъ одностороннихъ угловъ 1 и 2
не равны 2d.
л • ¦
Черт. 79.
Черт. 80.
2°. ДвЪ прямыя (АВ и CD, черт. 80), перпендикулярныя къ
двумъ пересдающимся прямымъ (FE и FG), пересЪкаются,
Действительно, если предположимъ противное, т.-е. что
АВ II CD, то прямая FD, будучи перпендикулярна къ одной
изъ параллельныхъ (къ CD), была бы перпендикулярна и къ
другой параллельной (къ АВ), и тогда изъ одной точки F къ
прямой АВ были бы проведены два перпендикуляра: FB и FD,
что невозможно.
84. Задача. Черезъ данную точку М про-
в е с т и прямую, параллельную данной пря-
прямой АВ (черт. 81).
Наиболее простое pfoneme этой задачи е&стоитъ въ сл'Ьдую-
щемъ: изъ точки М, какъ центра, описываемъ произвольнымъ
рад1усомъ дугу CD и изъ точки Q т^мъ же радтусомъ дугу

— 64 —
Затймъ, давъ циркулю раствореше, равное рйзстюянш отгь Е
до М, описываемъ изъ точки С небольшую дугу, которая пере-
сбк&лась бы съ CD въ некоторой
точки F. Прямая MF будетъ
параллельна АВ.—Для доказа-
доказательства проведемъ вспомога-
вспомогательную прямую МС; образо-
вавппеся при этомъ углы 1 и 2
равныпо построеншF9,зад.2);
Черт. 81. а если внутренше накрестъ ле-
жащ1е углы равны, то лиши параллельны:
Параллельныя прямыя весьма удобно проводятся также
помощью наугольника и линейки. Приставивъ наугольникъ
Черт. 82.
одною стороною (напр., гипотенузой) къ данной прямой АВ,
прикладываемъ къ другой его сторон^ (напр., къ длинному
катету) линейку;, загбмъ, придерживая рукой линейку въ этомъ
положеши, двигаютъ наугольникъ вдоль нея до тйхъ поръ/пока
сторона его, совпадавшая съ АВ, не пройдетъ черезъ точку М;
послФ чего проводятъ вдоль этой стороны прямую. Эта прямая
будетъ параллельна АВ, такъ какъ соответственные углы 1 и 2
равны.
Углы съ соотвЪтственно параллельными или перпенди-
перпендикулярными сторонами.
85. Теорема. Если стороны одного угла соотвЪтственно
параллельны сторонамъ другого угла, то таше углы или равны,
или въ cyMMt составляютъ два прямыхъ.

— C5 —
Черт. 83.
Разсмотримъ особо слф.;уюпце три случая (черт. 83);
1°. Пусть стороны угла 1 соответственно параллельны сто-
рэнамъ угла 2 и, сверхъ того, имйютъ одинаковое на-
п р а в л е н i e отъ вершины (на чертеж'Ь направлешя указаны
стрелками.)—Продолживъ одну изъ сторонъ угла 2 до пере-
сЬчешя съ непараллельной ей сто-
стороной угла 1, мы получимъ уголъ
3, равный и углу 1, и углу 2 (какъ
соответственные при параллель-
ныхъ), ел*/., Zll— Zl2.
2°. Пусть стороны угла 1 соот-
вЬтстБенно параллельны сторонамъ
угла 4, но иагЬютъ противопо-
противоположное н а п р а в л е н i e отъ вершины.—Продолживъ об*
стороны угла 4, мы получимъ уг. 2, который равенъ углу 1 (по до-
доказанному выше)пуглу 4 (какъ вертикальные); сл-Ьд., Z^4=^/l.
3°. Пусть, накопецъ, стороны угла 1 .соответственно парал-
1 лельны сторонамъ угла б пли, угла 6, при чемъ д в * изъ
этихъ сторонъ, пм* IQ тъ одинаковое на-
направлен! е, а дв* друг1я противополож-
противоположное. Продолживъ одну сторону угла 5 или угла 6, мы по-
получимъ уг. 2, который равенъ, по доказанному, углу 1; но
Z-Ь (или Zle)+Zl2==2d (по свойству смежныхъ угловъ); сл*д.,
и Z5 (или Ze)+Zl=2d.
Такимъ образомъ, углы съ параллельными сторонами ока-
оказываются равными, когда ихъ
стороны имЗгютъ или оди-
одинаковое, или про т-и -
воположное напра-
направлен i e отъ вершины; если же
это услов1е не выполнено, то
углы составляютъ въ сумм* 2d.
86. Теорема .Если сто-
стороны одного угла соотвЪтствен-
но перпендикулярны къ сторо-
сторонамъ другого угла, то таше
углы или равны, или въ сумнгЬ
составляютъ два прямы^ъ. Черт 84
А. Киселевъ. Геометрия.

— 66 —
Пусть уголъ А ВС, обозначенный цыфрою 1 (черт. 84), есть
одииъ изъ данныхъ угловъ. Проведемъ изъ его вершины дв*
вспомогательный прямыя: BDA-BC и БЕЛОВА. Образованный
ими уголъ 2 равенъ углу 1 по следующей причин*: углы DBC
и ЕВА равны, такъ какъ оба они прямые; отнявъ отъ каждаго
из1Г1шхъ по одному и тому же углу ЕВС, получимъ: Z2=zll.
Теперь вообразимъ, что намъ данъ гдй-нибудь такой уголъ 3
(или уг. 4, или уг. б, или уг. 6), у котораго стороны соответ-
соответственно'перпендикулярны къ сторонамъ угла 1. Тогда стороны
этого угла будутъ параллельны сторонамъ угла 2 (потому что
два перпендикуляра къ одной прямой параллельны); сл'Ьд.,
новый уголъ илп равенъ углу 2, или составляет!» съ нимъ въ
сумм^ 2d. Зам'Ьнивъ уголъ 2 равнымъ ему угломъ 1, получимъ
то, что требовалось доказать.
87. Зам*Ьчан1е. Если намъ заранее известно, что два
угла съ соответственно параллельными илп "и^И^шдикуляр-
ными сторонами оба- острые, или о б а тупые, то
можемъ утверждать, что таше углы равны, такъ какъ два
острыхъ или два тупыхъ угла не могутъ въ сумме составить 2d.
Сумма угловъ треугольника и многоугольника.
88. Теорема. Сумма угловъ всякаго треугольник а равна
двумъ прямымъ.
/ Пусть ABC (черт. 85) какой-нибудь треугольникъ; требуется
доказать, что сумма угловъ А, В и С равна 2d.
Продолживъ сторону АС
и проведя СЕ II АВ, най-
демъ: /„.A=/JECD (какъ
углы -соответственные при
параллельныхъ), Zl В =
Z.BCE (какъ углы накрестъ
., лежагще при параллель-
и ныхъ); сл^д.:
Черт. 85* ' Z.A+Z.B+Z.C= .
' 1=2Д B6).

— 67 —
СлгЬдетв1я. 1°. Внйштй уголъ треугольника равенъ
сумм* двухъ внутреннихъ угловъ, не смежныхъ съ нимъ
(такъ, ZlBCD=Zl4+ZlB).
2°. Если два угла одного треугольника соответственно равны
двумъ угламъ другого, то и третьи углы равны.
3°. Сумма двухъ острыхъ угловъ прямоугольнаго треуголь-
треугольника равна одному прямому углу.
4°. Въ равнобедренномъ прямоугольномъ тр-к* каждый острый
уголъ равенъ 1/2d.
5°. Въ равностороннемъ тр-к* каждый уголъ равенъ 2/3 d.
89. Теорема. Сумма~угловъ всякаго выпуклаго многоуголь-
многоугольника равна двумъ прямымъ, повтореннымъ столько разъ,
сколько въ многоугольник сторонъ безъ двухъ.
Взявъ внутри многоугольника
(черт. 86) произвольную точ-
точку О, соединимъ ее со всйми
вершинами. Тогда выпуклый
многоугольникъ разобьется на
столько тр-ковъ, сколько въ
немъ сторонъ. Сумма угловъ
каждаго тр-ка равна 2d; сл'Ьд.,
сумма угловъ вс?хъ тр-ковъ
равна 2dn, если п означаетъ Черт. 86.
число сторонъ многоугольника.
Эта величина, очевидно, превы-
шаетъ сумму угловъ многоугольника на сумму всбхъ т^хъ
угловъ, которые расположены вокругъ точки О; но эта сумма
равна 4d B6, 2°); слйд., сумма угловъ многоугольника равна
2dn—4d=2d (n—2).
СлгЬдетв1е. При данномъ sncnt сторонъ сумма угловъ
выпуклаго многоугольника есть величина постоянная. Такъ,
сумма угловъ во всякомъ выпукломъ четыреугольник* равна
2dD—2)—4d; въ пятиугольник|Ь=2йE—2)=6й; въ шеСтиуголь-
ник'Ь=2йF—2) =8d; и т. д.
9О. Теорема. Если изъ вершины каждаго угла выпуклаго
многоугольника проведемъ продолжение одной изъ сторонъ этого
угла, то сумма образовавшихся при этомъ вн~Ьшнихъ угловъ
5*

— 68 —
равна четыремъ прямымъ (независимо отъ числа сторонъ много-
многоугольника).
* Каждый изъ такихъ внйш-
нихъ угловъ (черт. 87) со-
ставляетъ дополнете до Ы
къ смежному съ нимъ вну-
внутреннему углу многоуголь-
многоугольника; сл'Ьд., если къ суммй
всбхъ внутреннихъ угловъ
придожимъ сумму всЬхъ
вн'Ьшнихъ угловъ, то полу-
чимъ 2dn (гдй п число сто-
' ронъ); но сумма внутреннихъ
ч-фг. 87. угловъ, какъ мы видели,
равна Ып—4d; сл'Ьд., сумма вн'Ьшнихъ угловъ равна:
СлЪдств1е. Въ выпукломъ многоугольник не можетъ
быть бол%е 3-хъ внутреннихъ острыхъ угловъ. Действительно,
если бы существовало 4 (или бол'Ье) внутреннихъ острыхъ угла,
то тогда бы было 4 (или бол^е) тупыхъ вн'Ьшнихъ угла, и по-
потому сумма .всЬхъ внЪшнихъ угловъ мн-ка была бы бол-Ье 4J,
что невозможно.
О постулагЬ параллельныхъ лиши.
91. Легко показать, что такъ называемый б-й поотулатъ
Э в к л и д а (указанный въ § 83 этой книги) и постулатъ, принятый
нами (§ 79) въ основате теорш параллельныхъ линШ (введенный
ваервые англШскимъ математикомъ Джономъ Плейферомъ
въ 1795 г.) обратимы одинъ въ друг ой, т.-е. изъ по-
етулата Плейфера можно вывести, какъ логическое слгвдств1еу посту-
постулатъ Эвклида (что и сделано въ этой книгЬ, § 83) и, обратно, изъ этого
постулата можно логически получить постулатъ Плейфера. Последнее
можно выполнить, напр., такъ:
Пусть черезъ точку Е (черт. 88), взятую внЪ прямой CD, проведены
как1я-нибудь 2 прямыя А В и А1В1; докажемъ, исходя изъ постулата
Эвклида, что эти прямыя не могутъ быть обЪ параллельны одной и
той же прямой CD.

— 69 —
Черт.
Для этого проведемъ черезъ Е какую-нибудь секущую прямую МN;
обозначимъ внутренте односторонне углы, образуемые этого секущею
съ прямыми CD и АВу буквами
а и Ъ, Тогда одно изъ двухъ: или «ж
сумма а-\-Ь не равна 2d, или она /
равна 2d. Въ первомъ случай
согласно постулату Эвклида,
прямая АВ должна пересечься
съ CD и, след., она не можетъ
быть параллельной CD; во вто-
ромъ случай сумма a-\-BtEN
окажется не равной 2d (такъ
какъ уголъ BXEN не равенъ
углу BEN); значитъ, тогда, со-
согласно тому же постулату, пря-
прямая А\ВХ должна пересечься
съ CD и, след., эта прямая
не можетъ Сыть параллельной
CD, Такимъ образомъ, одна
изъ прямыхъ АВ и АХВХ непременно окажется непараллельной пря-
прямой CD; след., черезъ одну точку нельзя провести двухъ различныхъ
прямыхъ, параллельныхъ одной и той же прямой.
92. Существуешь очень много и другихъ предложешй, также логи-
логически обратимыхъ съ постулатомъ Эвклида (и, след., ему логически
равносильныхъ). Укажемъ, напр., следуюцпя предложешя,
которыя некоторыми известными геометрами ставилиеь въ основан1е
Teopin параллельныхъ лин1й:
Существуетъ по крайней мере одинъ треугольникъ, у котораго
сумма угловъ равна 24 (французскШ математикъ Л е ж а н д-р ъ,
въ начале XIX столет1я).
Существустъ выпуклый четыреугольникъ (прямоугольникъ), у ко-
котораго все четыре угла прямые (французскш математикъ К л о д ъ
К л е р о, XVIII столет1е).
Существуетъ треугольникъ, подобный, но не равный,
треугольнику (итальянекШ математикъ С а к к е р и,
XVIII столет1я).
Черезъ всякую точку, взятую внутри угла, меньшаго 2dt можно
провести прямую, пересекающую об в стороны этого угла (немеук!й
математикъ Лоренуъ, конеиъ XVIII стол.); и друг1я.
Такъ какъ постулатъ Эвклида и все друте, равносильные ему,
не обладаютъ качествомъ очевидности, то весьма MHorie математики,
начиная съ древнихъ временъ и до конца первой четверти XIX стол!тя,
делали неоднократныя попыткич доказать поетуЛатъ Эвклида
(или какой-нибудь другой, ему равносильный), т.-с. вывести его-,
какъ логическое следств1е, изъ другихъ акс!омъ геометрХй. Все эти
пойытки оказались однако неудачными :въ каждомъ изътакихъ
другому
начало

— 70 —
зательствъ», после подробнаго разбора его, можно было всегда найти
какую-нибудь логическую ошибку.
93. Постоянныя неудачи въ поискахъ доказательствъ Эвклидова
постулата привели н'вкоторыхъ математиковъ къ мысли, что этотъ
постз?датъ (или ему равносильный) и не можетъ быть выведенъ изъ
другихъ аксюмъ геометрш, а представляётъ собою независимое отъ
нихъ самостоятельное допущеше о свойствахъ пространства. Впервые
эту мысль обстоятельно развилъ русскШ математикъ, профессора
Казанскаго университета, Н. И. Лобачевск1й A793—1856).
Въ своемъ сочиненш «Новыя начала геометр1и», появившемся въ
1836—1838 годахд», онъ обнародовалъ особую геометр1ю (названную
потомъ г е о м в'Т р i e й Лобачевскаг о), въ основате ко-
которой положены те же геометрическ1я аксюмы, на которыхъ основана
геометр1я Эвклида, за исключешемъ только его постулата параллель-
ныхъ лиши, вместо котораго ЛобачевекШ взялъ следующее допущеше:
черезъ точку, лежащую вне прямой, можно про-
провести безчисленное множество параллель-
ныхъ этой прямой;
Е именно, онъ допустилъ, что
если А В (черт. 89) есть прямая
и С какая-нибудь точка вн'Ь ея,
то при этой точке существуешь
некоторый уголъ DEC, обла-
даюцпй т'Ьмъ свойствомъ, что
А -——————.————• ц всякая прямая, проведенная
Черт. 89. черезъ С внутри этого угла
(напр., прямая CF), а также
и обЪ стороны его не пересекаются съ АВ, сколько бы ихъ ни про-
продолжали, тогДа какъ всякая прямая, проведенная черезъ С внЪ этого
угла, пересекается съ АВ. Понятно, что такое допущеше отрицаетъ
постулатъ Эвклида, такъ какъ при сушествованш этого угла
нельзя утверждать, что всяюя 2 прямыя пересекаются, коль скоро
оне съ секущей образу ютъ внутренше односторонн!е углы, которыхъ
сумма не равна двумъ прямымъ угламъ. Несмотря однако на это отри-
uame, геометр1я Лобачевскаго представляётъ собою такую же стройную
систему геометрическихъ теоремъ, какъ и геометр1я Эвклида (хотя,
конечно, теоремы геометр1и Лобачевскаго существенно отличаются
отъ теоремъ геометрш Эвклида); въ ней, какъ и въ геометрш Эвклида,
не встречается никакихъ логическихъ противоречШ ни теоремъ съ
акскшами, положенными въ основаше этой геометрш, ни однехъ
теоремъ съ другими теоремами. Между темъ, если бы постулатъ
Эвклида могъ быть доказанъ, т.-е. если бы онъ представлялъ собою
некоторое, хотя бы и очень отдаленное, логическое следств1е изъ
другихъ геометрическихъ акскшъ, то тогда о т р и ц а и i e этого
постулата, положенное въ основу геометрш вместе съ п р и н я-

— 71 —
т i е м ъ всвхъ другихъ акскшъ, непременно привело бы къ логи-
логически противор'вчивымъ слЪдств!ямъ. Отсутств1е такихъ противорЪчШ
въ геометр!и Лобачевскаго служить указатемъ на независимость 5-го
постулата Эвклида отъ прочихъ геометрическихъ аксЮмъ и, слЪд.,
на невозможность доказать его *).
94 Почти одновременно съ Лобачевскимъ, независимо отъ него,
ВенгерскШ математикъ Юаннъ Больэ A802—186Q) также
построилъ новую геометрш, исходя изъ того же допущешя, какъ и
ЛобачевскШ, что черезъ точку, взятую вн-в прямой, можно провести
безчисленное множество параллельныхъ этой прямой.
Позже ихъ н^меикШ математикъ Р и м а н ъ A826—1866) пока-
залъ возможность построешя еще особой, также лишенной противо-
рЪчш, геометрш (названной потомъ геометр1ей Римана),
въ которой вм-Ьото постулата Эвклида принимается допущеше, что
черезъ точку, взятую в ни прямой, нельзя
провести ни-одной параллельной этой пря-
прямой (другими словами, всв прямыя плоскости переев каются).
Bcb тЪ геометрш (какъ Лобачевскаго и Римана), въ которыхъ
въ основаше положено какое-нибудь допущеше о параллельныхъ
лишяхъ, не согласное съ постулатомъ Эвклида, носятъ общее назваше
не-Эвклидовыхъ геометрШ.
95. Приведемъ н-вкоторыя теоремы геометрш Лобачевскаго, рЪзко-
различаюцияся отъ соотвЪтствующихъ теоремъ геометрш Эвклида:
Два перпендикуляра къ одной и той же прямой, по м^рЪ удалешя
отъ этой прямой, расходятся неограниченно.
Сумма угловъ треугольника меньше 2d (въ геометрш Римана она
больше 2ф, при чемъ эта сумма не есть величина постоянная для
разныхъ треугольниковъ.
ЧЪмъ больше площадь треугольника, гвмъ больше сумма его
угловъ разнится отъ 2d.
•) Зам-втимъ, однако, что одно только отсутств!е противорЪчШ
въ геометр!и Лобачевскаго еще не служить доказательствомъ незави-
независимости Эвклидова постулата отъ другихъ аксЮмъ геометрш; в'Ьдь
всегда можно возразить, что это отсутств!е противореча есть только
случайное язлеше, происходящее, быть .можетъ, отъ того, что въ гео-
геометрш Лобачевскаго не сделано еще достаточная количества выво-
довъ что со временемъ, быть можетъ, и удастся кому-нибудь получить
такой логически выводъ въ этой геометрш, который окажется въ про-
тиворЪчш съ какимъ-нибудь другимъ выводомъ той же геометрш.
Подробная теоР1я этого вопроса (см. Э н ц и к л о п е д i я э л е м.
и я тематики Be б ер а и Вельштеина; т. II, кн. 1,
L 74идр) устанавливаете 1) что если бы въ геометрш Лобачев-
• скаго или въ какой-нибудь другой не-Эвклидовой геометрш оказалось
поотивоР*ч1ё, то и въ Эвклидовой геометрЫ было бы соотвЪтствутощее

72 —
Бели въ выпукломъ четыреугольник'Б 3 угла, прямые, то 4-й уголъ
острый (значитъ, въ этой геометрш прямоугольники невозможны).
Если углы одного тр-ка соответственно равны угламъ другого
тр-ка, то так1е тр-ки равны (сл'Ьд., въ геометрхи Лобачевскаго не суще-
ствуетъ подоб1я).
Геометрическое м'Ьсто точекъ плоскости, равностоящихъ отъ какой-
нибудь прямой этой плоскости, есть некоторая кривая литя.
ГЛАВА VII.
Параллелограммы и трапзщи*
I. ГлавнЪйиля свойства параллелограммовъ.
96. Определение. Четыреугольникъ, у котораго про-
противоположные стороны попарно
параллельны, наз. п а р а л ¦
L N лелограммомъ.
Такой четыреугольникъ
| q (ABCD, черт. 90) получится,
напр., если кашя-нибудь двй
параллельныя прямыя KL и
. g MN пересечь двумя другими
№ параллельными прямыми RS
и PQ.
Для краткости слово «парал-
Черт. 90. ^ .
у лелограммъ» мы часто будемъ
писать такъ: пар-мъ.
97. Теорема. Во всякомъ параллелограмм*:
1°, противоположные углы равны;
2°, сумма угловъ, прилежащихъ къ одной сторон*, равна
двумъ прямымъ.
Пусть ABCD (черт. 91) есть параллелограммъ, т.-е. АВ II CD
и ВС II АВ\ требуется доказать, что
1°, Z-A=?C и Z-B^/LD:
2°, Z4+Z?=2d, ZB+ZC-2d и т. д.
e; но 2) въ Эвклидовой геометрш противор'ЬчШ быть не
молсетъ. Отсюда, конечно, необходимо сл'Ьдуетъ, что постулатъ Эвклида
не представляетъ собою сл'Ьдствая другихъ акешмъ и потому онъ
подакялуемъ.

/ /тч
— 73 —
1°. Угли А и С равны, потому что стороны этихъ угловъ
соответственно параллельны и имйютъ противоположное на-
правлете отъ вершины (85). То же
самое можно сказать объ углахъ
В и .?>.
2°. Каждая изъ суммъ: А+В,
В+С, C+D и D+A равна 2d, по- д* 'D
тому что это суммы внутреннихъ Черт. yi.
одностороннихъ угловъ при параллельныхъ прямыхъ.
98. Теорема. Во всякомъ параллелограмм^ противополож-
ныя стороны равны.
Пусть фигура ABCD (черт. 92) есть параллелограммъ, т.-е.
АВ II CD и ВС II AD\ требуется доказать, что AB=CD и BC=AD.
Проведя д1агональ ВТ),
получимъ два тр-ника ABB
и BCD, которые равны, по-
потому что у нихъ: BD общая
сторона, Zll=Zl4 и Zl2=
Zl3 (какъ внутренше на-
крестъ лежащ1е при парал- Черт. 92.
лельныхъ прямыхъ). Изъ равенства тр-ковъ слъдуетъ: AB=CD
и AD^BC (въ равныхъ тр-кахъ противъ равныхъ угловъ ле-
жатъ равный стороны).
Замечание. Теорему эту можно выразить еще и такъ: от-
р%зки параллельныхъ, заключенные между параллельными,
равны.
99. Обратный теоремы. Если въ выпукломъ *) четыре-
угольникЪ:
*) Четыреугольникъ, какъ и всякШ многоугольникь C5), наз.
выпуклымъ, . если онъ ограничёиъ такою ломаною линией,
Черт. !J6.
которая вся расположена по одну сторону отъ каждаго изъ 4-хъ со-
ставляющихъ ее отр'Ьзковъ. Четыреугольники могутъ быть и не-
выпуклые, какъ, напр., т'Ь, которые изображены на черт. 96-мъ.

— 74
1°, противоположныя стороны попарно равньГ,
или 2°, ABt противоположный стороны jiaBHbi и параллельны,
то^такой четыреугольникъ есть -параллелограмма
1°. Пусть фигура ABCD (черт.93)
есть выпуклый четыреугольникъ,
у котораго:
AB=CD и BC=AD.
Требуется доказать, что эта
фигура—пара ллелограммъ, т ,-е.
черт. оз. АВ у CD и БС л ^я—Проведя д!а-
гональ ВТ), получимъ два тр-ка, которые равны, такъ какъ
у нихъ: BD общая сторона, AB=CD и BC—AD (по условно).
Изъ равенства ихъ сл^дуетъ: /Л=/Л и </.2=</.3 (въ равныхъ
тр-кахъ противъ равныхъ сторонъ лежатъ равные углы); вслгЬд-
CTBie этого АВ II CD и ВС II АВ (если внутренше накрестъ ле-
жанце углЬг равны, то прямыя параллельны).
2°. Пусть въ четыреугольник* (ABCD, черт. 94) дано усло-
в1емъ: BC=AD и ВС WAD.
Требуется
В
доказать, что
/ ABCD есть Псфаллелограммъ,
т.-е. что АВ II CD— Тре-
. угольйики ABD и BCD рав-
равны, потому что у нихъ: BD
общая сторона, BC—AD
'по условш) .и Zl2=zl3 (какъ внутренте накрестъ лежашде
углы при параллельныхъ ВС и AD и сЬкущей BD). Изъ ра-
равенства тр-ковъ сл'Ьдуетъ: Zll=Zl4; поэтому АВ \\ CD.
1ОО. Теорема. Во всякомъ napannenorpaiviMt д'шгонали
длятся паполамъ.
Пусть ABCD (черт. 95) есть параллелограммъ, а АС и BD
его Д1агонали; требуется дока-
доказать, что BO=OD и АО=-ОС.
Тр-ки ВОС и AOD (покрытые
на чертеж^ штрихами) равны,
потому что у нихъ: BC=AD
(какъ противоположныя стороны
95 . параллелограмма), zll=^2 и
5=zl4 (тсатсъ впутроптпе лп-

— 75 —
крестъ лежапце углы при параллельныхъ прямыхъ). Изъ ра-
равенства тр-ковъ слЪд^етъ: ОС—ОА и ОВ
101. Обратная теорема. Всякш четыреугольникъ, д1а-
гонали котораго дЪлятся пополамъ, есть параллелограммъ.
Пусть фигура ABCD (черт. 95) есть четыреугольникъ, у ко-
котораго: АО=ОС и BO=OD\ требуется доказать, что эта фи-
фигура—параллелограммъ.
Д AOD=ABOC, такъ какъ эти тр-ки им^ютъ по равному
углу (при вершшгЬ О), заключенному между соответственно
равными сторонами. Изъ ихъ равенства сл^дуетъ: ZLl=Zl2
и Zl3=Zl4 (въ, равныхъ тр-кахъ противъ равпыхъ сторонъ
лежатъ равные углы); но если внутренте накрестъ лежапце
углы равны, то прямыя параллельны G6); поэтому AD II ВС.
Такъ какъ изъ равенства гЬхъ же тр-ковъ сл^дуетъ еще, что
AD—BC, то фигура ABCD есть параллелограммъ (99, 2°).
102. Центръ 0ИМметр1и. Полезно зам-Ьтить еще следующее
свойство параллелограмма: если черезъ точку пересЪчзшя Д1агоналей парал-
параллелограмма (черезъ точку О, черт. 97)
проведешь какую-нибудь прямую (MN),
то зта прямая пересЪчетъ контуръ парал-
параллелограмма въ двухъ точкахъ (Р и Q),
симметричныхъ относительно точки пере-
с%чек1я д1агоналейу т.-е. въ 2-хъ такихъ
точкахъ, которыя, во 1, лежатъ по раз-
ныя 'стороны отъ точки О и, во 2, на
равныхъ разстояшяхъ отъ этой точки.
Действительно, тр-ки ОАР и OCQ
равны, такъ какъ у нихъ: АО=*ОС
(по свойству д1агоналей параллело-
параллелограмма), углы при общей вершин-^ О Черт. 97.
равны (какъ вертикальные) и ?\ = ?2
(какъ углы-внутренн1е накрестъ лежащ1е при параллельныхъ). Изъ
равенства этихъ тр-ковъ сл'ЬдуетъцОP — OQ.
Если въ какой-нибудь фигура существует* точка, обладающая
указанным* свойством*, то такая точка наз. центром* с и м-
м е т р i и этой фигуры; значит*, въ паралеллограмм-Ь
пересечен ie его д i а г о н а л е й есть центръ сим-
м е т р i и.
Симметрия относительно иентра паз. центральной
с н м м е т р i e ft.

— 76 —
2. Особыя формы параллелограммовъ: прямоугольнихъ,
ромбъ и квадратъ.
ЮЗ. Определение. Параллелограммъ, у котораго веб
углы прямые, паз. прямоугольником ъ.
Такой параллелограммъ можно, напр., получпть, если па сто-
ронахъ прямого угла А (черт. 98) отъ его вершпны отложимъ
произвольной длины отрезки АВ и АС и черезъ точки В л С
проведемъ прямыя BD и СЕ,
параллельиыя сторонамъ прямого
угла. Прямая Ш), пересекаясь
въ точки В съ прямой АВ, должна
пересечься и съ прямой СЕ, парал-
параллельной АВ (80, 1°) въ некоторой
точке F. Мы цолучимъ такимъ
образомъ параллелограммъ ABFC,
у котораго одинъ уголъ* именно А,
Черт. 98. есть ПрЯМОд п0 достроенш;, но
въ такомъ случае, по свойству угловъ параллелограмма (97),
и все остальные углы его должны быть прямые,, такъ какъ
уголъ при вершине F равенъ А, а, углы при В я С дополняють
А до 2d. , ¦
104. Теорема. Во всякомъ прямоугольник д1агонали равны.
. Пусть фигура ABCD (черт. 99)
С есть прямоугольникъ; требуется до-
доказать, что AC—BD.
Прямоугольные тр-ки ACT) д
ABD равны, потому что у бпхъ:
D AD общ1й катетъ и AB—CD (какъ
черт. 99. противадоложныя стороны паралле-
лограмма). Изъ равенства тр-ковъ следуетъ: AC*=BD.
105. Обратная теорема. Всякш параллелограммъ, у
котораго д1агонали равны, есть прямоугольникъ.
Пусть фигура ABCD (черт. 99) есть параллелограммъ, у ко-
котораго AC=BD] требуется доказать, что эта фигура—прямо-
фигура—прямоугольникъ.—Тр-ки ABD и ACD равны, такъ какъ у нихъ
АВ общая сторона, AC—BD (по условно) и AB=CD (по свои-
в

— 77 —
сгву противоположныхъ сторопъ параллелограмма). Изъ ихъ
равенства слйдуетъ: /JiAD=?ADC. Но сумма этпхъ 2-хъ
угловъ равна 2d (по свойству угловъ параллелограмма); сл'Ьд.,
каждый изъ нихъ есть d. Но тогда и углы В и С должны быть
прямые, и потому фигура ABCD есть прямоугольнпкъ.
106* Определение. Параллелограмму у котораго всЬ
стороны равны, наз. р о м б о м ъ.
Такой пар-мъ можно/ получить, если на стороиахъ пропз-
вольпаго угла А (черт. 100) отъ его вершины отложимъ равные
отрезки АВ и АС и черезъ у
точки В и С проведемъ / /
прямыя BD и СЕ, парал- Ьуг у^/ д
лельныя сторонамъ угла А.
Эти прямыя должны пере-
пересечься между собою (80,1°)
въ некоторой точки F. Мы
получимъ такпмъ образомъ
Пар—МЪ, у КОТОрагО ДВ-Ь Черт. 100.
смежныя стороцы АВ и АС •
равны по построешю. Но тогда, по свойству сторонъ пар—ма (98),
у пего всЬ 4 стороны окажутся равными, такъ какъ BF=AC
и CF=AB.
1О7 Теорема. Во всякомъ poM6t д'|агонали взаимно пер-
перпендикулярны.
Пусть ABCD (черт. 101) есть ромбъ, а АС и BD его д1аго-
нали; требуется доказать, что ACJ-BD.
Тр-ки АВЭ и ВОС равны, потому что у нихъ: ВО общая сто-
сторона, А В=ВС (такъ какъ у ро^ба вс/Ь
стороны равны) и АО=ОС (такъ какъ
д!агоналп всякаго параллелограмма д*-*
лятся пополамъ). Изъ равенства тр-ковъ
сл^дуетъ:
ЗамЪчан1б. Изъ равенства т'Ьхъ же тр-ковъ сл^дуетъ,
что Zl3=zl4, т.-е. что уголъ В делится д1агональю пополамъ.
Изъ равенствал тр-ковъ ВОС и COD (которое доказы -
вается такъ же, какъ и равенство тр-ковъ АВО и ВОС) ел*-

— 78
дуетъ, что уголъ С Делится д!агоналыо пополамъ; и т. д.
Значить, д1агонали ромба дЪлягй его углы пополамъ.
^1О8. Обратная теорема. Всякж параллелограммъ, у
котораго д!агонали взаимно перпендикулярны, есть ромбъ.
Пусть фигура ABCD (черт. 101) есть параллелограммъ, у ко-
котораго д1агонали АС и ВТ) перпейдикулярны; требуется до-
доказать, что эта фигура есть ромбъ, т.-е. что AB=BC=CD=DA.
Тр-ки АОВ и ВОС прямоугольные (по условш); у нихъ ка-
тетъ ОВ обпцй и катеты АО и ОС равны (такъ какъ д!агонали
всякаго параллелограмма делятся пополамъ). Значить, эти
тр-ки равны, и потому равны ихъ гипотенузы АВ и ВС, Но
AB=CD и BC=AD (по свойству протпвоположныхъ сторонъ
пар-ма); сл-Ьд., AB=BC-=CD=DA, т.-е. фигура ABCD есть
ромбъ.
1О9. ОСИ СИММетр1и ромба. Полезно заметить еще следую-
следующее свойство: каждая д1агона/.ь ромаа есть его ось симметрК
Такъ, д!агональ BD (черт. 102) есть ось
симметрш ромба ABCD, потому что^ вра-
вращая Д ABB вокругъ BD, мы можемъ сов-
совместить его съ Д BCD; вслгЬдств1е этого
любой точке М, взятой на одйой половине
контура ромба, соответствуетъ точка N на
другой половине контура, симметричная
относительно д1агонали BD C3). То же самое
можно сказать о д1агонали АС.
НО. Определение. Параллело-
Параллелограммъ, у котораго веб стороны равны
и всЬ углы прямые, наз. квадра-
Черт. 102. ТОМЪ,
Такой пар-мъ можно получить, если при построенш прямо-
прямоугольника A03) мы возьмемъ отрезки АВ и АС равными, или
если при построенш ромба A06) возьмемъ уголъ А прямой.
Такъ какъ квадратъ есть параллелограммъ,
прямоугольник ъ и ромбъ, то онъ соединяетъ въ
себй вс* свойства этихъ фигуръ; напр., относительно д1аго-
налей квадрата'можно сказать, что он*: 1) делятся пополамъ,
2) равны между собою, 3) взаимно перпендикулярны и 4) д*лятъ
углы квадрата пополамъ.

79 —
c-
м
—v
P
N
Q
D
В
Чеэт. 103.
3. Некоторый теоремы, основанныя на свойствахъ
параллелограмма,
111. Теорема. Параллельныя прямыя (АВя CD, черт. ЮЗ)
вездЪ одинаково удалены одна отъ другой; другими словами:
вз-Ь точки одной параллельной одинаковы удалены отъ дру-
другой параллельной*
Действительно, если изъ какихъ-нибудь двухъ точекъ М и N
прямой CD опустимъ на А В
перпендикуляры МР и NQ,
то эти перпендикуляры парал-
параллельны G4), и потому фигура
MNQP параллелограммъ; от-
отсюда сл^дуетъ (98), что МР=^
=JVQ,T.-e. точки Ми N одина-
одинаково удалены оть прямой АВ. ,
112. Теорема. Геометрическое мЪсто точекъ, удаленныхъ
отъ данной прямой на одно и то же разстояше и находящихся
по одну сторону отъ нея, есть Прямая, параллельная данной.
Пусть 'М и N (черт. 104) будутъ кашя-нибудь дв* точки,
находящаяся по одну сторону отъ прямой 4В и удаленныя
отъ нея на одно и то же разстояше га; тогда перпендикуляры
MF p NQ, опущенные изъ этихъ точекъ на АВ, равны т. Про-
ведемъ черезъ М и N пря-
прямую CD. Такъ какъ MF=NQ
и сверхъ того MF II NQ G4), то
фигура MNQF есть параллело-
грамъ (99, 2°); сл*д., CD II АВ.
Мы видимъ такимъ образомъ,
что всяшя 2 точки (какъ М и N),
которыя удалены отъ прямой АВ
на разстояше т и расположены по одну сторону отъ этой пря-
прямой, лежатъ на прямой, параллельной АВ и удаленной отъ АВ
на разстоягпе т. Такъ какъ такая прямая можетъ быть только
одна (по одйу сторону отъ АВ), именно CD, то мы должны за-
заключить, что вс* точгки, удаленныя отъ АВ на одно и
то же разстояшё га и расположенный по одну сторону отъ нея,
лежатъ на прямой CD, параллельной АВ. Обратно, всякая
л
А-
М
г
1
8
1U
Q
-В
Черт. 104.

— 80 —
точка й, взятая на этой прямой, отстоптъ отъ. АВ на столько же,
какъ и точки М и- N, т.-е. на данное разстояше т (III).
113. Теорема. Если на одной CTopoHt угла отложимъ
каше-нибудь равные между собою отрЪзки и черезъ ихъ концы
проведемъ параллельныя прямыя до пересЪчешя съ другой
стороной угла, то и на этой CTopoHt отложатся равные между
СОбОЮ 0Tpt3KH.
Пусть ABC (черт. 105) какой-нибудь уголъ и на его сторэнй ВС
отложены равные отрезки BD=DE=EF... Проведемъ черезъ
точки D, Е, F.:. пграллельныя прлмыя DM, EN, FP... до пере-
сЬчешя съ АВ; требуется доказать, что
BM=MN=NP...
Возьмемъ KaKie-нибудь два изъ этихъ отрЪзковъ, напр.,
MN и NP, и докажемъ, что они равны.
та р Для этого проведемъ
•А прямыя DK и EL,
параллельныя АВ. По-
Полученные при этомъ
тр-кп DKE и ELF рав-
вны, такъ какъ у нихъ:
DE=EF (по условно),
Z.KDE = 4-LEF и
Z.KED = E.LFE (какъ
углы соотв^тственгы з
при параллельныхъ прямыхъ). Изъ равенства этихъ тр-ковъ
слЪ'дуетъ: DK=EL. Но DK=MN и EL=NP (какъ противо-
противоположный стороны параллелограммовъ); значитъ, MN=NP.
Такъ же докажемъ
Вт^ > ;—j ) А равенство и другихъ
отр^зковъ стороны
АВ (для отрезка ВМ
мы должны взять
тр-къ BMD).
SBM'feHaHie. Тео-
Теорема не требуетъ,
чтобы равные отрез-
отрезки откладывались на
Черт. 105.
1OG.

— 81 —
стороне угла непременно отъ его вершины; они могутъ быть
отложены отъ произвольной точки стороны и даже могутъ раз-
разделяться какими-нибудь промежутками (черт. 106).
114. Задача. Данный отрезокъ прямой раз-
разделять на m равныхъ ча-стей.
Эта задача решается на основанш предыдущей теоремы.
Пусть АВ (черт. 107) дан- *• .,
ный отрезокъ прямой, кото- А к: 71 * 7^
рый требуется разделить, по- Чххч// / /
ложимъ, на 3 равныя части. Оччх / /
Изъ конца его А проводимъ ч^ /
прямую АС, образующую съ v»s /
АВ произвольный уголъ; от- rv^
кладываемъ на АС отъ точки v С
А три произвольной длины, Черт 107
но равные между собою, от-
отрезка: АВ, BE и EF: точку F соединяемъ съчВ; наконецъ,
изъ Е и В проводимъ прямыя EN и ВМ, параллельныя FB.
Тогда отрезокъ АВ, по доказанному, разделится въ точкахъ
М и N на три равныя части.
115. Теорема. Прямая, соединяющая середины двухъ сто-
ронъ треугольника, параллельна третьей его CTopoftt и равна
ея половинЪ.
Пусть BE (черт. 108) есть прямая, соединяющая середины
двухъ сторонъ треугольника ABC. Докажемъ сначала, что
ВЕ]\АС. Предположимъ противное,
т.-е. что прямая BE не парал-
параллельна АС. Проведемъ черезъ точку В
кпрямлю, параллельную АС G7). Эта
прямая, при нашемъ предположен^,
не можетъ быть BE; пусть это будетъ
некоторая прямая ВЕг. Такъ какъ
на стороне ВА угла В отложены
равные отрезки ВВ и ВА, и изъ ихъ
КОНЦОВЪ проведены КЪ ДРУГОЙ СТОрОНе Черт. 108.
угла В параллельныя прямыя ВЕХ
и АС, то на стороне ВС должны получиться равные отрезки (ИЗ);
значить, ВЕ1=Е1С, и потому точка Ех должна быть серединой
6

— 82 —
стороны ВС. Мы приходимъ, такимъ образомъ, къ нелепому
заключенш, что сторона ВС идгЬетъ 2 середины: точку Е по
условно и точку Ех согласно нашему выводу. Нелепость этого
заключешя заставляетъ насъ отбросить сделанное допущеше,
что БЕ не параллельна АС; значить, DE\\AC. Остается теперь
доказать, что ВЕ=г1гАС. Для этого изъ Е проведемъ EF II DA;
тогда фигура EDAF будетъ параллелограммъ и, сл?д., DE=AF.
Такъ какъ на сторон^ СВ угла С отложены равные отрезки
(СЕ=ЕВ) и изъ точекъ, разграничивающихъ эти отрезки, про-
проведены къ другой сторон^ параллельныя прямыя EF и ВА, то
CFFA * DE=l/2AC.
4. ОпредЪлеше и свойство трапецш.
1ГО. Опред'ЬлеШе. Выпуклый четыреугольыикъ, у
котораго кашя-нибудь двЪ противоположныя стороны парал-
параллельны, наз. трапещей.
Такой четыреугольникъ
можно получить, если между
двумя параллельными пря-
прямыми ВС и AD (черт. 109)
проведемъ двй кашя-нибудь
D сЬкупця прямыя АВ и CD.
Черт. юэ. Параллельныя стороны тра-
трапецш наз. ея основан1ями, непараллельныя—б о к а м и.
117. Теорема. Прямая, соединяющая середины боковъ тра-
трапецш , параллельна основашямъ трапецш и равна nonycywiMt ихъ.
Пусть прямая EF
(черт. 110) соеди-
няетъ середины бо-
ковыхъ сторонъ
трапецш ABCD;
требуется дока-
доказать, что EF || AD
Черт. ПО. (l
и, кромй того, что EF=1/2 (AD+BC).—Черезъ точки В и F
проведемъ прямую до пересбчетя съ продолжетемъ стороны AD

— 83 —
въ некоторой точки G. Тогда получимъ два тр-ка BCF nDFG,
которые равны, такъ какъ у нпхъ: CF=FD (по условно),
/LBFC^/lDFG (какъ углы вертикальные) и Z.BCF=Z.FDG
(какъ углы внутренше накрестъ лежащее при параллельныхъ
прямыхъ). Изъ равенства тр-ковъ сл'Ьдуетъ: BF=FG и BC=DG.
Теперь видимъ, что въ &ABG прямая EF, соединяешь середины
двухъ сторона; значить. A15), EFWAO и EF^/^AD+DG);
другими словами, EFWAD и EF=XI2 (AD+BC).
Зам'ЬчаШе. Прямая, соединяющая середиаы боковъ тра-
пецш, наз. ея среднею л и н i e й.
УПРАЖНЕН1Я.
Доказать теоремы.
37. Соединивъ последовательно середины сторонъ какого-нибудь
четыреугольника, получимъ параллелограммъ.
38. Въ прямоугольномъ Д мед1ана, проведенная къ гипотенузФ»,
равна ея половин'Ь. (У к а з а н i e: сл'Ьдуетъ продолжить мед1ану
на равное разстоян1е). " *
39. Обратно: если мед1ана равна половин'Ь стороны, къ которой
она проведена, то тр-никъ прямоугольный.
40. Въ прямоугольномъ Д мед1ана и высота, проведенныя къ гипо-
гипотенуз^, образуютъ уголъ, равный разности острыхъ угловъ Д.
41. Если въ прямоугольномъ Д одинъ острый уголъ равенъ 2/з ^>
то противолежафп! ему катетъ составляетъ половину гипотенузы.
42. Обратно: если катетъ вдвое меньше гипотенузы, то противо-
лежаф1й ему острый уголъ равенъ llzd.
44. Всякая прямая, проведенная внутри трапецш между ея осио-
ван1ями, делится среднею лин1ей пополамъ *).
46. Черезъ вершины угловъ Д проведены прямыя, параллельныя
противоположнымъ сторонамъ. Образованный ими Д въ 4 раза бол'Ьэ
даннаго; каждая сторона его въ 2 раза бол^е соответствующей стороны
дан наго Д.
*) Упражнешя подъ №№ 43 и 45 выпущены, такъ какъ содержаше
перваго изъ нихъ изложено теперь въ § 102, а второго—въ слгвдств1и
къ § 90.
6*

— 84 —
47. Въ равнобедренномъ Д сумма разстоятй каждой точки осно-
ватя отъ Ооковыхъ сторонъ есть величина постоянная, а именно
она равна высоте, опущенной на боковую сторону.
48. Ка,къ. изменится эта теорема, если взять точку на продолжеши
основатя?
48,а. Въ равностороннемъ Д сумма разстоянш всякой точки,
взятой внутри этого Д, до сторонъ его есть величина постоянная,
равная высоте Д.
49. Данъ квадратъ ABCD. На сторонахъ его отложены р а в н ы я
части: ААи ВВи ССг и DDX. Точки Аи Ви Съ Dx соединены после-
последовательно прямыми. Доказать, что A1B1C1D1 есть квадратъ.
49,а. Если середины сторонъ какого угодно четыреугольника взять
за вершины новаго четыреугольника, то (упр. 37) послЪдтй есть
параллелограммъ. Определить, при какихъ услов1яхъ этотъ пар-мь ,
будетъ: 1) прямоугольникомъ, 2) ромбомъ, 3) квадратомъ (решается
на основанш § 115).
Найти геометричешя
50.—серединъ всЬхъ прямыхъ, прбведенныхъ изъ данной точки
къ различнымъ точкамъ данной прямой.
51.—точекъ, равноототояцшхъ отъ двухъ параллельныхъ прямыхъ.
52.-=—-вершинъ тр-ковъ, имЪюцшхъ общее основан1е и равныя высоты.
Задачи на построеше.
53. Даны два угла Д; построить трет1й.
• 54. Данъ острый уголъ прямоугольнаго Д; построить другой
острый уголъ. , ¦¦
55. Провести прямую, параллельную данной прямой и находя
щуюся отъ нея на данномъ разстоянш.
56. Разделить пополамъ уголъ, вершина котораго не помещается
на чертеж-в.
57.. Черезъ данную точку провести прямую подъ даннымъ угломъ
къ данной прямой..
58. Черезъ данную точку провести прямую такъ, чтобы отрЪзокъ
ея, заключенный между двумя данными параллельными прямыми,
равнялся данной длине.
59. Между сторонами даннаго остраго угла поместить прямую
данной длины такъ, чтобы она была перпендикулярна къ одной сто-
стороне угла,
60. Между сторонами даннаго угла поместить прямую данной
длины такъ, чтобы она отсекала отъ сторонъ угла равныя части.
61. Построить прямоугольный Д по даннымъ острому углу и про-
противолежащему катету.
62. Построить Д по двумъ угламъ и стороне, лежащей противъ
одного изъ нихъ.

— 85 —
63. Построить равнобедренный Д по углу при
вершинЪ и основатю.
64. То же—по углу при основанш и высогб, опущенной на боковую
сторону.
65. То же—по боковой сторонЪ и высот*, опущенной на нее.
66. Построить, равностороннш Д по его высотв.
67. Разделить прямой уголъ на 3 равныя части (другими ело*
вами построить уголъ, равный 1/zd).
68. Построить Д по основатю, высотЪ и боковой сторонъч
69. То же—по основатю, высот-Ъ и углу при основаны.
70. То же—по углу и »двумъ высотамъ, опущеннымъ на стороны
этого угла.
71. То же—по сторон-Ь, суммъ1 двухъ другихъ сторонъ и высогЬ,
опущенной на одну изъ этихъ сторонъ.
72. То же—по двумъ угламъ и периметру.
73. То же—по высогЪ, периметру и углу при основанш.
74. Провести въ Д прямую, параллельную основанш, такъ, чтобы
она была равна сумм'Б отр'Ьзковъ боковыхъ сторонъ, считая отъ осно-
вашя.
75. Провести въ.Д'прямую, параллельную основатю, такъ, чтобы
верхнш отр'Ъзокъ одной боковой стороны равнялся нижнему отрезку
другой боковой стороны.
76. Построить многоугольникъ, равный данному (у к а з а н i е:
д1агоналями разбиваютъ данный мн-къ на тр-ки).
77. Построить четыреугольникъ по тремъ его
угламъ и двумъ сторонамъ, образу ющимъ, четвертый уголъ (указа-
Hie: надо найти 4-й уголъ).
78. То же—по тремъ сторонамъ и двумъ д1агоналямъ.
79. Построить параллелограммъ по двумъ не-
равнымъ сторонамъ и одной д1агонали.
80. То же—по сторонъ" и двумъ д1агоналямъ.
81. То же—по двумъ д1агоналямъ и углу между ними.
82. То же—по основатю, высот-в и д1агонали.
: 83. Построить прямоугольникъ по д1агонали и .углу
между д1агоналями.
84. Построить ромбъ по сторон^ и Д1агонали.
85. То же—по двумъ д1агоналямъ.
86. То же—по высот'Ь и д1агонали.
87. То же—по углу и д1агонали, проходящей черезъ этотъ уголъ.
88. То же—по д1агонали и противолежащему углу.
89. То же—по сумм'Б д1агоналей и углу, Образованному д1аго-
налью со стороною.
90. Построить квадратъ по данной дДагонали.
91. Построить Tpaneuiio по основатю, прилежащему
къ нему углу и двумъ непараллельнымъ сторонамъ (могутъ быть д&а
ръчдетя, одно и ни одного).

92. То же—по разности основашй, двумъ боковымъ сторонамъ
и одной д1агонали..
92,а. То же—по четыремъ сторонамъ (всегда ли задача возможна?).
93. То же—по основан!ю, высогв и двумъ д1агоналямъ (услов1е
возможности).
94. То же—по двумъ основашямъ и двумъ д1агоналямъ (услов1е
возможности).
95. Построить квадратъ по сумм'В стороны съ д1аго-
налью.
96. То же—по разности д1агонали и стороны.
97. Построить параллелограммъ по двумъ д1аго-
налямъ и высот^.
98. То же—п|) сторон-в, суммЪ д1агоналей и углу между ними.
99. Построить Дпо двумъ сторонамъ и мед1ан-в, проведенной
къ третьей сторонЪ.
100. То же—по основашю, высота и мед1ангв, проведенной къ боко-
боковой сторонЪ.
100,а. Построить прямоугольный Дпо гипотенуз^
и сумм-в катетовъ.
100,6. То же — по гипотенуз'Б и разности катетовъ.
КНИГА И.
ОКРУЖНОСТЬ.
ГЛАВА I.
и полонше окружности.
118. ОпреД'ЬленХя. Окружностью (черт. 111) называется
замкнутая плоская лишя, ьсЬ точки которой одинаково удалены
отъ одной и той же точки @), называемой центромъ.
'Прямыя @А, 0В, ОС...), соеди-
няюпця центръ съ точками окруж-
окружности, называются р а д i у-
с а м и.
Безконечная прямая (MJV), про-
ходящая черезъ кашя-нибудь дв^
точки окружности, называется
с Ъ& ущею.
Отр"Ьзокъ прямой (EF), соеди-
няющ1й дв* кашя-нибудь точки
Черт. т. окружности, наз. хордою.

— 87 —
Всякая хорда (AD), проходящая черезъ центръ, наз. д i a -
м е т р о м ъ.
Какая-нибудь часть окружности (напр., EmF) наз. дугою.
О хорд'Ь (EF), соединяющей концы какой-нибудь дуги, го-
ворятъ, что она стягиваетъ эту дугу.
Дуга обозначается иногда знакомъ w; напр., пишутъ
такъ: ^EmF.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, наз. кру-
кругом ъ.
Часть круга (напр., часть СОВ, покрытая на чертеж^ штри-
штрихами), ограниченная дугою и двумя радиусами, проведенными
къ концамъ дуги, наз. сектором ъ.
Часть круга (напр., часть EmF), ограниченная дугою и стя-
стягивающею ее хордою, наз. сегментом ъ.
Изъ этихъ определены сл^дуетъ:
1°, вс^ радиусы.одной окружности равны
между собою;
2°, BCHKifi д i а м е т р ъ равенъ с у м м t двухъ
рад1усовъ, и потому вей д i а м е т р ы одной
окружности равны между собою.
119. Точки внутри круга и точки вн* его.
Окружность раздЪляетъ веб точки плоскости, на которой она
проведена, на 3 слЪдуюпця области:
1) точки, которыхъ разстоятя отъ центра больше рад1уса;
такова, напр., точка М (черт. 112), для которой разстояте ОМ
бол-Ье рад!уса О А;
в
D
Черт. 112. Черт. 113.
2) точки, которыхъ разстоятя отъ центра равны рад1усу
(точки А,В,... черт. 112);

— 88 ™
3) точки, которыхъ разстояшя отъ центра меньше рад1уса;
такова, напр., точка N (черт. 112), для которой разстояше ON
меньше рад!уса ОБ.
Точки первой области лежатъ вне круга, точки второй
области лежатъ на окружности и точки третьей области
расположены внутри круга.
Сл4дуюпця предложешя мы принимаемъ за очевидныя:
1) отрЪзокъ прямой (и вообще всякой непрерывной линш),
соединяюпцй (черт. 113) какую-нибудь внутреннюю точку А
съ какою-нибудь внешнею точкою В, пересекаете г
где-нибудь съ* окружностью;
2) отр^зокъ прямой, соединяющей любыя 2 внутреншг
точки А я С (черт. 113), не пересекается съ окруж-
окружность ю;
3) отрезокъ прямой, соедппяющШ 2 внешшя точки, иногда
не пересекается (BD), иногда пересекается (DE) съ окруж
ностью.
120. Теорема. Прямая и окружность не могутъ ингЬтг
6onte двухъ общихъ точекъ.
Для доказательства предполс-
жимъ, что прямая MN (черт. 114)
имеетъ съ окружностью, которой
центръ находится въ точке О, три
обпця точки А, В и G. "Тогда
прямыя О А, ОВ, ОС должны быть
равны между собою, какъ ра-
д1усы, вследств1е чего тр-ки ОАЕ
и ОАС будутъ равнобедренные, и,
след., Z.1=Z.2 и Z.1=Z.3\ откуда: Z.2=Z.3\ но это невоз
можно, такъ какъ Zl2, будучи внешнимъ по отношенш ki
тр-нику ОВС, больше внутренняго, не Смежнаго съ нимъ,
угла 3 D5).
121. Сл*детв1е. Никакая часть окружности не можетъ
совм%ститься €Ъ прямой, потому что въ противномъ случае
окружность съ прямою имела бы более двухъ общихъ точекъ.
Лишя, которой никакая часть не можетъ, совместиться съ
прямой, наз. кривою ли н i e й. Значитъ, окруж-
окружность есть кривая л и н i я.

M'
_ 89 —
122. Теорема. Черезъ три точки, не лежащ'1Я на одной
прямой, можно провести окружность и притомъ только одну.
Черезъ три точки А, В и С (черт. 116), не лежапця на одной
прямой, только тогда можно провести окружность, если суще-
ствуетъ такая четвертая точка О, которая одинаково удалена
о^ъ точекъ А, В я С, Докажемъ, что такая точка существуете
и притомъ только одна.
Для этого примемъ во вни-
маше, что всякая точка,
одинаково удаленная оаъ
точекъ А ж В, должна ле-
лежать на перпендикуляр*
MN, проведенномъ къ сто-
сторон* АВ черезъ ея сере-
середину F3); точно также вся-
всякая точка», одинаково уда-
удаленная отъ точекъ В и С,
тт .' должна лежать на пер-
Черт. 115. * v _л
пендикуляр* PQ, ирове-
денномъ къ сторон* ВС черезъ ея середину. Значить, если суще-
существу етъ точка, одинаково удаленная отъ трехъ точекъ А, В, и Q
то она должна лежать заразъ и на MN, и на PQ, что возможно
только тогда, кргда она совпрдаетъ съ точкой пересбчетя этихъ
двухъ прямыхъ. Прямыя MN и PQ всегда пересека-
пересекаются (83, 2°), такъ какъ он* перпендикулярны къ пересекаю-
пересекающимся прямымъ АВ и ВС. Точка О ихъ пересбчетя и будетъ
точкой, одинаково удаленной отъ А, отъ В и отъ G; значить,
если примемъ эту точку за центръ, а за рад1усъ возьмемъ раз-
стояте О А (или ОБ, или ОС), то окружность пройдетъ черезъ
точки А, В и С, Такъ какъ прямыя MN и PQ могутъ пересечься
только въ одной точк*, то центръ этой окружности можетъ быть
только один ъ, и длина ея рад1уса можетъ быть только
одна; значить, искомая окружность — единственн а-я.
123. СлрЬдетв1е. Точка О (черт. 116), находясь на оди-
наковомъ разстоянш отъ А и отъ С, должна также лежать на
перпендикуляре RS, проведенномъ къ стороне АС черезъ ея
середину. Такимъ образомъ:

— 90 —
три перпендикуляра къ сторонамъ треугольника, проведен-
проведенные черезъ ихъ середины, пересекаются въ одной точкЪ.
124.Задача. Найти центръ
данной окружности
(черт. 116).
Взявъ на данной окружно-
окружности кашя-нибудь три точки
А, В ж С, проводятъ черезъ
нихъ двЪ хорды, напр., АВ и
CJ5, и черезъ середины этихъ
хордъ проводятъ къ нимъ пер-
перпендикуляры MN и PQ. Иско-
Искомый центръ, будучи одинаково
удаленъ отъ А, В и С, долженъ лежать и на MN, и на PQ\ слйд.,
онъ находится въ пересЬченш этихъ перпендикуляровъ, т.-е.
въ точки О.
Черт. 116.
ГЛАВА П.
Равенство и неравенство дугъ.
125. Теорема. Два круга одинаковаго рад!уса равны (черт. 117.)
Пусть О и Ох суть центры двухъ круговъ, которыхъ рад1усы
равны. Наложимъ кругъ О на
кругъ Ог такъ, чтобы ихъ центры
совпали. Тогда об'Ь окружно-
окружности совместятся, такъ какъ въ
противномъ случай ихъ точки
не одинаково отстояли бы отъ
центра и, сл^д., рад1усы были бы
неравны.
126. Зам'ЪчаШе. Вращая одинъ изъ совпавшихъ круговъ
вокругъ общаго центра, мы не нарушимъ ихъ совм^щетя: Изъ
этого сл^дуетъ, что дв'Ь части одной окружности
или двй части равныхъ окружностей мо-
гутъ быть наложены одна на другую такъ,
что всгЬ точки одной части окажутся лежа-
лежащими на другой. V / .
Черт. 117.

— 91 —
127. Опред'Ьлен1е. ДвгЬ дуги одинаковаго рад1уса счита
ются равными, если они при наложенш могутъ быть
щены. Положимъ, напр., что мы
накладываемъ дугу АВ (черт. 118)
на дугу CD такъ, чтобы точка А
упала въ точку С и дуга АВ по-
пошла по дугЬ CD (что возможно,
какъ мы видели въ предыдущемъ
зам^чанш); если при этомъ концы
В и D совпадутъ, tg^AB—^CD;
въ противномъ случай дуги
не равны, при чемъ та будетъ
меньше, которая составить только
часть другой.
Черт. 118.
Суммою н'Ьскодьких.ъ данныхъ дугъ одинаковаго рад1уса
наз. такая дуга того же рад1уса, которая составлена изъ частей,
соответственно равныхъ даннымъ дугамъ. Такъ, если отъ про-
произвольной точки М (черт. 118) окружности отложимъ часть MN,
равную АВ, и загбмъ отъ точки N въ томъ же направленш отло-.
жимъ часть NP, равную CD, то дуга МР будетъ суммой дугъ
АВ и CD. Подобно этому можно составить сумму трехъ и бол^е
дугъ.
Изъ понятзя о сумм* дугъ одного
и того же радиуса выводятся понят1я
объ ихъ разности, произве-
произведен^ и частно мъ въ томъ же
смысли, какъ и для отрйзковъ прямыхъ.
128. Теорема. Всякшд1аметръ д-Ь-
литъ окружность и кругъ пополамъ
(черт. 119).
Черт. 119.
Вообразимъ, что кругъ перегнутъ по
какому-нибудь д1аметру АВ такъ, чтобы часть его АтВ упала
на часть АпВ. Тогда веб точки дуги m совместятся съ точками
дуги п, потому что въ противномъ случай точки одной дуги
лежали бы ближе къ центру, ч-Ьмъ точки другой дуги, что не-
невозможно.

Такимъ образомъ, всякш д1аметръ разд^ляетъ окружность
на дв'Ь полуокружности, а кругъ—на два полу-
полукруга.
129. Зам"ЬчаН1е. Всякая хорда СВ(черт. 119), не проходя-
проходящая черезъ центръ, стягиваетъ двгЬ неравныя дуги; одну,
большую полуокружности, другую—меньшую ея. Когда гово-
рятъ: «дуга, стягиваемая хордой», то обыкновенно разумйютъ
ту изъ двухъ дугъ, которая меньше полуокружности.
130. Теоремы. 1°. Д1аметръ, перпендикулярный къ xopflt,
дЪлитъ эту хорду и o6t стягиваемыя
ею дуги пополамъ.
* 2°. Дуги, заключенныя между парал-
параллельными хордами, равны.
1°. Пусть д1аметръ АВ (черт. 120)
перпендикуляренъ къ хорд* CD и
EF \\ CD; требуется доказать, что:
1°. СК = KD^
2°.
Перегнемъ чертежъ по д1аметру АВ
гакъ, чтобы его Л'Ьвая часть упала на правую. Тогда л'Ьвая
полуокружность совместится съ правою полуокружностью,
перпендикуляръ КС пойдетъ, по KD и перпендикул^ръ LE
пойдетъ по LF. Изъ этого сл'Ьдуетъ, что точка С, представляющая
собою перес6чен1е полуокрулшости съ КС, упадетъ на Д а
точка Е, представляющая собою пересг6чен1е полуокрулшости
съ LE, упадетъ на F; поэтому:
1°. CK=KD;
2°
Сл*дств1Я. 1°. Д1аметръ (АВ), проведенный черезъ се-
середину хорды (CD), перпендикуляренъ къ этой хордЪ и flt-
литъ дугу, стягиваемую ею, пополамъ.
2°. Дгаметръ (АВ), проведенный черезъ середину дуги (CBD),
перпендикуляренъ къ хорд%, стягивающей эту дугу, и дЪлитъ
ее пополамъ.
Оба эти предложен!я (обратныя теорем^ 1°) легко доказы-
доказываются отъ противнаго.
Зэ.МгЬчан1е. Изложенное доказательство уб'Ьждаетъ насъ, что
каждый д1аметръкруга есть его ось симвдетр1и.

— 93 —
131. Задача. Разделить данную дугу
черт. 121) пополам ъ.
-Проведя хорду АВ, опускаемъ на
нее перпендикуляръ изъ центра и
продолжаемъ его до пересЬчешя съ
дугою. По доказанному въ преды-
предыдущей теорем^, дуга АВ разделится
этимъ перпендикуляромъ пополамъ.
Если же центръ неизв'Ьстенъ, тогда
къ хорд* АВ сл'Ьдуетъ провести пер-
перпендикуляръ черезъ ея середину Черт. 121.
(§ 69, задача 6).
ГЛАВА III.
Зависимость между дугами, хордами и разстоямями
хордъ отъ центра.
132. Теоремы, Въ одномъ Kpyrt или въ равныхъ кругахъ:
1°, если дуги равны, то стягивающ1я ихъ хорды равны и
одинаково удалены отъ центра;
2°, если дуги не равны и притомъ каждая меньше полуокруж-
полуокружности, то большая изъ нихъ стягивается большею хордою, и эта
большая хорда ближе къ центру.
1°. Пусть дуга АВ (черт. 122)
равна дугЬ CD; требуется доказать,
что хорды АВ и CD равны, а также
равны перпендикуляры ОЕ и OF,
опущенные изъ центра на хорды.
Повернемъ секторъ ОАВ вокругъ
центра О въ направленш, указанномъ
стрелкою, на столько, чтобырад1усъ
ОБ совпалъ съ ОС. Тогда дуга ВА
пойдетъ по дугб CD, и, вслг?дств1е
ихъ равенства, эти дуги совместятся.
Значптъ, хорда АВ совместится съ хордою CD (между двумя
точками можно провести только одну прямую) и перпендикуляръ

— 94 —
ОЕ совпадетъ съ OF (изъ одной точки можно опустить на прямую
только одинъ перпендикуляръ), т.-е. AB=CD и OE=OF.
2°. Пусть дуга АВ (черт. 123) меньше дуги CD, и притомъ
обй дуги меньше полуокружности; требуется доказать, что хорда
АВ меньше хорды CD, а перпендикуляръ ОЕ больше перпен-
перпендикуляра OF.—Отд'Ьлимъ на дуг6 CD
часть СК, равную АВ, и проведемъ
вспомогательную хорду СК, которая,
по доказанному, равна хордЪ АВ и
одинаково съ ней удалена отъ центра.
У тр-ковъ*) COD и СОК двЪ стороны
одного равны двумъ сторонамъ дру-
другого (какъ рад1усы), а углы, заклю-
заключенные между этими сторонами, не
равны; въ этомъ случай, какъ мы
Черт. 123. зназмъ E8), противъ болыпаго изъ
угловъ, т.-е. COD, должна лежать ббльшая сторона; значить,
CD>CK, и потому CD>AB.
Для доказательства того, что OE^>OF, проведемъ OL1.CK и
примемъ во внимаше, что, по доказанному, OE=OL; сл'Ьд.,
памъ достаточно сравнить OF съ OL. Въ прямоугольномъ тр-кЪ
OFM (покрытомъ на чертежи штрихами) гипотенуза ОМ больше
катета OF; но OL^>OM\ значить, и подавно, OL^>OF и потому
OE>OF.
Теорема, доказанная нами для одного круга, остается
верною и для р а в н ы х ъ круговъ, потому что тате круги
нич'бмъ, кромй своего положетя, другъ отъ друга не отли-
отличаются.
133.'Обратныя теоремы. Такъ какъ въ предыдущемъ
параграф*разсмотр'Ьны всевозможные взаимно исключающее слу-
случаи относительно сравнительной величины двухъ дугъ одного ра-
д!уса, при чемъ получились взаимно исключающее выводы относи-
относительно сравнительной величины хордъ и разстоянШ ихъ отъ цент-
центра,™ обратныя предложешя должны быть в^рны E1), а именно:
Въодномъ круги или въравныхъ кругахъ:
1°, равныя хорды стягиваютъ равны я
дуги и одинаково удалены отъ центра;
*) На чертеж-fe 123-мъ надо провести рад!усъ OD

— 95 —
2°, хорды, одинаково удаленны я отъ
центра равны и стягиваютъ равныя дуги;
3°, изъ двухъ неравны хъ хордъ большая
стягиваетъ большую дугу и ближе к ъ
центру;
4°, изъ двухъ хордъ, неодинаково уда-
удаленны хъ отъ центра, та, которая ближе
къ центру, бол'бе и стягиваетъ большую
Дугу.
Эти предложешя легко доказываются отъ противнаго. Напр.,
для доказательства перваго изъ нихъ разсуждаемъ такъ: если бы
данныя хорды стягивали неравныя дуги, то, сэгласно прямой
теорем^, он'Ь были бы не равны, что противоречить условно;
значитъ, равныя хорды должны стягивать равныя дуги, а если
дуги равны, то, согласно прямой теорем^, стягиваюпця ихъ
хорды одинаково удалены отъ центра.
134. Теорема. Д1аметръ есть ж и
большая изъ хордъ.
Если соединимъ съ центромъ О концы
какой-нибудь хорды, не проходящей
черезъ центръ, напр., хорды АВ (чер-
тежъ 124), то получимъ тр-къ АОВ,
въ которомъ одна сторона есть эта
хорда, а дв'Ь друпя—рад!усы. Но въ
тр-к'Ь каждая сторона Meirfee суммы
двухъ другихъ сторонъ; сл'Ьд,, хорда АВ
мен'Ье суммы двухъ рад1усовъ; тогда какъ всяшй д1аметръ CD
равенъ суммй двухъ рад!усовъ. Значитъ, д!аметръ больше
всякой хорды, не проходящей черезъ центръ. Но такъ какъ
д!аметръ есть тоже хорда, то можно сказать, что д1аметръ есть
наибольшая изъ хордъ.
ГЛАВА IV.
Свойства касательной.
135. Относительное положен!е прямой и
окружности. Мы видели A20), что прямая и окружность
не могутъ им^ть бол'Ье 2-хъобщихъточекъ. Посмотримъ теперь,
Черт. 124.

— 96 —
при какихъ услов1яхъ прямая съ окружностью можетъ ш.гЬть
2 обпця точки, 1 общую точку и ни одной общей точки. Раз-
смотримъ сл'Ьдуюпце 3 случая:
1°. Разстоян1е @G, черт. 125) центра (О) окруж-
окружности отъ прямой (АВ) больше р а д i у с а
этой окружности.
Тогда точка С прямой АВ.
V Г D удалена отъ центра О
А—^ ? /^—В больше, ч'Ьмъ на рад1усъ,
и потому лежитъвн'Ь круга.
Веб остальныя точки пря-
^ мой АВ удалены отъ О еще
бол'Ье, ч'Ьмъ точка С E9);
Черт. 125. v
значитъ, Bcb точки пря-
прямой АВ лежать вн^ круга,
и потому ата прямая не им'Ьетъ общихъ точекъ съ окружностью.
2°.Разстоян1е (ОС,черт. 125) центра (О) окруж-
окружности отъ прямой (АВ) меньше р а д i у с d
этой окружности. Въ этомъ случай точка С лежитъ
внутри круга. Но на прямой АВ, по об? стороны отъ точки С,
можно найти ташя точки ПиЕ, которыя удалены отъ О болйе,
ч'Ьмъ на рад1усъ *), и которыя, сл'Ьд., лежатъ вн^ круга. Но
тогда каждый изъ двухъ отрйзкоБъ: CD и СЕ, соединяя вну-
внутреннюю точку съ внешней, долженъ пересечься съ окруж-
окружностью. Сл-Ьд., въ этомъ случай прямая им'Ьетъ съ окружностью
2 обпця точки.
3°. Разстоян1е (ОС, черт. 125) центра (О) отъ
прямой (АВ) равно рад1усу. Тогда точка С при-
надлежитъ и прямой, и окружности; вей же остальныя точки
прямой удалены отъ О бол'Ье, ч'Ьмъ точка С E9), и потому, ле-
лежатъ внй круга. Значитъ, въ этомъ случай прямая и окруж-
окружность имйютъ только одну общую точку, именно,
точку С.
*) Если, напр., на прямой АВ отложимъ отъ точки С, по об-Ь сто-
стороны отъ нея, отрезки, равные рад1усу, то разстояте ихъ концовъ до
центра будутъ больше рад1уса, такъ какъ гипотенуза больше катета#

— 97 —
136. Опред*лен1е. Прямая (АВ, черт. 126), имею-
имеющая съ окружностью только одну общую
точку (С), наз. каратель-
карательною къ окружности; общая
точка наз. въ этомъ случай точкою
к а с а н i я.
137. Теоремы. 1°. Если прямая
перпендикулярна къ рад'|усу въ концЪ
его, лежащемъ на окружности, то
она есть касательная.
2° (обратная). Если прямая каса-
тельна къ окружности, то рад"|усъ,
проведенный въ точку касашя, пер-
пендикуляренъ къ ней.
Черт. 126
с.
-в
1°. Пусть О (черт. 127) есть центръ окружности, ОС какой-
нибудь, ея рад1усъ и АВ прямая, перпендикулярная къ ОС и
проходящая череэъ С; требуется дока-
доказать, что эта прямая есть касатель-
касательная,—Разстояте прямой АВ отъ цен-
центра О равно перлендикуляру ОС; но,
по условно, ОС есть рад1усъ; значить,
разстояте прямой АВ отъ центра О рав-
равно рад1усу; а въ этомъ случай, какъ мы
видели A35), прямая им-Ьетъ съ окруж-
Черт\ 127.
ностью только одну общую точку; сл'Ьд., АВ есть касательная.
2°. Пусть АВ (черт. 127) есть касательная и ОС рад!усъ,
проведенный въ точку касатя; требуется доказать, что ОС1.АВ.
Предположимъ противное, т.-е. что рад!усъ ОС не перпенди-
куляренъ къ АВ, а представляетъ собою наклонную къ этой
прямой. Въ такомъ случай какая-нибудь другая прямая, напр.
ОСЪ будетъ перпендикуляромъ, опущеннымъ изъ центра О на
касательную АВ C2). Такъ какъ перпендикуляръ короче на-
наклонной E9), то ОСХ<^ОС\ значить, тогда разстояте прямой АВ
отъ центра О, равное перпендикуляру ОСЪ будетъ меньше
рад1уса; а въ атомъ случай, какъ мы видели A35), прямая должна
им^ть съ окружностью 2 обпця точки, а не одну, какъ данная
А. Киселевъ. Геометр1я. . '

— 98 —
касательная АВ. Ол^д., нельзя допустить, что рад1усъ ОС не
перпендикуляренъ къ АВ; значитъ, ОСА^АВ.
138. Теоремы. 1°. Если каса-
касательная параллельна xopflt, то
она д-Ьлитъ въ точк% касашя дугу,
стягиваемую хордой, пополамъ.
Пусть прямая АВ (черт. 128)
касается окружности въ точк'Ь М
и параллельна хордй CD; тре-
требуется доказать, что
Че Проведя черезъ точку касашя
д1аметръ ЕМ, будемъ
ЕМ±АВ A37, 2°) и сл*д., EM±CD (82); поэтому ~СМ=
wIB A30, 1°).
2° (Обратная). Если касательная (АВ) проходить черезъ
середину дуги (CD), то она параллельна хорд*Ь, стягивающей
эту дугу.
Действительно, эта касательная перпендикулярна къ д1а-
метру (ЕМ), проведенному черезъ середину дуги, а такой Д1*а-
метръ перпендикуляренъ къ хорд* A30, сл-Ьд. 2°); но два перпен-
перпендикуляра къ одной и той же прямой должны быть параллельны.
139. Задача.. Черезъ данную точку провести
касательную къ данной окружности.
Если данная точка (напр., точка М> черт. 128) находится
на окружности, то проводятъ черезъ нее paдiycъ и
черезъ конецъ рад1уса перпендикулярную прямую. Эта прямая
и будетъ искомой касательной A37, 1°). Другой касательной
черезъ ту же точку окружности провести нельзя, такъ какъ
касательная должна быть перпендикулярна къ рад1усу въ
конц'б его, лежащемъ на окружности, а двухъ различныхъ
перпендикуляровъ къ одному и тому же рад1усу черезъ одну
и ту же точку провести нельзя.
, Разсмотримъ теперь случай, когда точка дана вн* круга.
Пусть требуется (черт. 129) провести къ окружности центра О
касательную черезъ точку А. Для этого изъ точки А, какъ
центра, опирываемъ дугу рад1усомъ AQ} а изъ точки О, какъ

— 99 —
центра, пересЬкаетъ эту дугу въ точкахъ В ж С растворетемъ
циркуля, равнымъ д1аметру даннаго круга. Проведя затймъ
хорды ОВ и ОС, соединимъ точку А съ точками В и Е, въ ко-
торыхъ эти хорды пересекаются съ данною окружностью. Пря-
мыя АВ и АЕ и будутъ касательными къ окружности О. Дей-
Действительно, изъ построешя видно, что тр-ки АОВ и AOG
равнобедренные (АО=АВ=АС) съ основашями
равными д1аметру круга О. Такъ
какъ ОВ и ОЕ суть рад1усы, а
рад1усъ равенъ половин^ д1а-
метра, то В есть середина ОВ,
а Е середина ОС; значитъ, пря-
мыя АВ и АЕ суть м е д i а н ы,
проведенныя къ основатямъ рав-
нобедренныхъ тр-ковъ, и потому
перпендикулярны къ этимъ осно-
основатямъ C9). Если же прямыя АВ
и АЕ перпендикулярны къ ра-
д1усамъ ОВ и ОЕ въ ихъ концахъ,
лежащихъ на окружности, то
касательныя.
ЗамЪчаше. Очевидно, что если данная точка лежитъ внутри
круга, то черезъ нее нельзя провести касательной.
140. CntflCTBie. Дв% касательныя, проведенныя изъ
одной точки къ окружности, равны и образуютъ равные углы
съ прямою, соединяющею эту точку съ центромъ
Такъ, АВ=АЕ и Z.0AB=Z.0AE (черт. 129), потому что
прямоугольные тр-ки АОВ и АОЕ, имйюпце общую гипоте-
гипотенузу АО ж равные катеты ОВ и
ОЕ (какъ рад1усы), равны. Е1 Е I
Само собою разумеется, что
зд^сь подъ словомъ «касательная»
разумеется собственно «отрйзокъ ДО--ft
касательной» отъ данной точки до
точки касатя.
141. Задача.Провести каса-
касательную къ данной окруж-
окружности параллельно данной
прямой АВ (черт. 130).
Черт. 129.
В
Черт. 130.

— 100 —
Черезъ центръ О проведемъ MCJLAB и черезъ точки D и D1#
въ котррыхъ этотъ перпендикуляръ пересекается съ окруж-
окружностью, проведемъ EF II АВ и E1F1II АВ. Искомыя касательныя
будутъ EF и .Ei-Pi. Действительно, такъ какъ МС±.АВ
и EF1HAB, а также и EXFX \\АВ, то EF±OD и EJF^OB^
а прямая, перпендикулярная къ рад1усу въ конц* его, лежа-
щемъ на окружности, есть касательная.
142. Задача. Къ двумъ окружностямъ про-
провести общую касательную (черт. 131).
1°. А н а л и з ъ. Предположимъ, что задача решена. Пусть
АВ будетъ общая касательная, А ж В точки касашя. Очевидно,
что если мы найдемъ одну изъ этихъ точекъ, напр., А, то за-
тЗшъ легко найдемъ и дру-
другую. Проведемъ рад1усы О А
и ОгВ. Эти рад1усы, будучи
перпендикулярны къ общей
касательной, параллельны
между собою; поэтому если
изъ 01 проведемъ ОгС II В А,
Черт. 131. то тр-къ ОСОг будетъ пря-
прямоугольный при верг
С; вслгЬдств1е этого, если опишемъ изъ О, какъ центра,
рад1усомъ ОС окружность, то она будетъ касаться прямой ОгС
въ точк^ С. Рад1усъ этой вспомогательной окружности извЗ*'-
стенъ: онъ равенъ ОА—СА—ОА—ОгВ, т.-е. онъ равенъ разности
рад1усовъ данныхъ окружностей.
Пос.троен1е. Обозначимъ рад1усъ ббльшаго круга че-
черезъ В и рад1усъ меныпаго черезъ г. Опишемъ изъ центра О
окружность рад1усомъ, равнымъ R—г; изъ Ог проводимъ къ
этой окружности касательную ОгС (способомъ, указаннымъ
въ предыдущей задач-б § 139)* черезъ точку касашя С проводимъ
рад1усъ ОС и продолжаемъ его до встр-бчи съ данною окруж-
окружностью въ точк'Ь А, Наконецъ, изъ А проводимъ AD парал-
параллельно СОг.
Доказательство (синтезъ). Такъ какъ ОгС, по по-
строен!ю", есть касательная въ точк'Ь С къ окружности рад!-
уса 00, то ОгС±ОС, и, значить, ОгС±ОА. Такъ какъ АВ II СОи
*) Если этэ возможно, т.-е. если центръ Oj окажется лежащимъ не внутри
круга, описаннаго рад1усомъ ОС=Д—г.

— 101 —
то и AD±0A и дотому AD есть касательная къ данной окруж-
окружности центра О A37). Остается доказать, что прямая AD ка-
касается также и другой данной окружности. Для этого изъ
центра Ог проведемъ OXB±^AD. Прямыя ОгВ и С А, будучи
перпендикулярны къ AD, должны быть параллельны; съ дру-
другой стороны, AD\\ ОХС\ сл?д., фигура ОгСАВ есть параллело-
граммъ; поэтому ОгВ=СА=ОА—ОС; но ОС—В—г; сл'Ьд.,
OXB=R—(й—r)=r. Значить, точка В принадлежите данной
окружности центра Оь и прямая ОХВ есть рад1усъ этой окруж-
окружности. Такимъ образомъ, прямая AD перпендикулярна къ
рад1усу ОгВ въ его конц'Ь, лежащемъ на окружности, а такая
прямая есть касательная.
Совершенно такимъ же способомъ мы можемъ построить
другую общую касательную АхВг (черт. 131). Прямыя АВ и
АгВг наз. внешними общими касательными.
Можно еще провести дв-fc внутренн1я касательныя
слЪдующимъ образомъ.
2°. Анализъ. Предположимъ, что задача решена (чер-
тежъ 132). Пусть АВ будетъ искомая касательная. Проведемъ
рад1усы О А и OJB въ точки касашя А и В. Эти рад1усы, будучи
оба перпендикулярны къ общей касательной, параллельны
между собою. Поэтому если изъ Ог проведемъ ОХС II В А и про-
должимъ О А до точки О, то ОС будетъ перпендикуляренъ къ ОгС\
всл|Ьдств1е этого окружность, описанная рад1усомъ ОС изъ
точки О, какъ центра, бу-
деть касаться прямой ОгС
въ точкЪ С. Рад1усъ этой
вспомогательной окруж-
окружности изв'Ьстенъ: онъ ра-
венъ ОА + АС = ОА +
ОгВ=В+г, т.-е. онъ ра-
венъ сумм* рад1усовъ
данныхъ окружностей. Черт. 132.
Построен1е. Изъ О, какъ центра, описываемъ окружность
рад1усомъ, равнымъ сумм-Ь R+r; изъ Ог проводимъ къ этой
окружности касательную ОХС*\ точку касатя С соединяемъ съ
*) Если эта возможно, т.-е. если центръ Ох окажзтся лежащнмъ не внутри
круга описаннаг) радьусомъ ОС=й+г.

— 102 ~-
О; наконецъ, черезъ точку А, въ которой ОС пересекается съ
данной окружностью, проводимъ AD II ОгС.
Доказательство (синтезъ) остается то же самое,
какъ я въ случай 1°.
Подобнымъ же рбразомъ можно построить другую внутрен-
внутреннюю касательную А^.
Зам*чан1е. He ко всякимъ двумъ окружностямъ можно
провести обпця касательныя; напр., если одна окружность
л ежить внутри другой, не имея съ ней ни одной общей точки,
то очевидно, что къ такимъ окружностямъ нельзя провести ни
внешнихъ, ни въутреннихъ общихъ касательныхъ; или, если
окружности пересекаются, то очевидно, что къ нимъ нельзя
провести внутреннихъ общихъ касательныхъ,
143. Общее опред*лен1е касательной. Пусть къ
окружности центра О (черт. 133) проведены черезъ точку А
касательная AT и какая-нибудь секущая AM. Станемъ вра-
вращать эту секущую вокругъ точки А такъ, чтобы другая точка
пересЬчешя В все ближе и ближе придвигалась къ А. Тогда
д ^ перпендикуляръ OD, опущен-
опущенный изъ центра на секущую,
будетъ все более и более при-
" j ближаться къ рад!усу О А, при-
/ чемъ уголъ AOD, равный поло-
вин-б угла ^405, можетъ сде-
сделаться меньше всякаго малаго
угла. Уголъ МАТ, образован-
образованный сЬкущею и касательною,
равенъ углу AOD (вслгЬдств1е
ихъ сторонъ); поэтому при неограни-
м
Черт. 133.
перпендикулярности
ченномъ приближенш точки В къ А уголъ МАТ также можетъ
быть сдЪланъ какъ угодно малъ. Это выражаютъ иными сло-
словами, такъ: касательная есть предельное по-
ложен1е, къ которому стремитсяс^кущая,
проведенная черезъ
точку касан1я, когда
вторая точка пере-
сгЬчен1я неограни-
неограниченно приближается
Ч рт. 134. къ точке касан1я.

— 103 —
Это свойство принимаюсь за опредг6лен1е каса-
касательной, когда р'Ьчь идетъ о какой угодно кривой. Такимъ
образомъ, касательною къ кривой АВ (черт. 134)
въ точки М на з. пред Ильное положе-Hie МТ,
къ которому стремится сЬкущая MN> когда
точка перес|6чен1я Р неограниченно при-
приближает с я к ъ М.
Определяемая такимъ образомъ касательная можетъ им'Ьть съ
кривою бол-fee одной общей точки (какъ это видно на черт. 134).
Г Л А В А V.
Относительное наложение окружностей,
144. ОпредгЬлен1е. Если дв-Ь окружности
имФютъ только одну общую точку, то го-
говорят ъ, что он4 касаются; если ж е -. д в гЬ
окружности им-Ьютъ дв'Ь общ1я точки, то
говорят ъ, что OHi пересекаются. '¦
Трехъ общихъ точекъ дв'Ь несливаюпцяся окружности им'Ьть
не могутъ, потому что въ противномъ случай черезъ три точки
можно было бы провести дв'Ь различныя окружности, что не-
невозможно A22). '
Вудемъ называть л и н i e й центровъ прямую,проходящую
черезъ центры двухъ окружностей (напр., прямую ООЪ черт. 136).
145. Теорема. Если двЪ окружности имЪютъ общую точку
по одну сторону отъ линш центровъ, то он% имЪютъ общую
точку и по другую сторону отъ этой линш, т.-е. ташя окруж-
окружности пересекаются.
Пусть (черт. 135) дв'Ь окружности им^ють общую точку А,
лежащую внй лиши центровъ
OOt\ требуется доказать, что
эти окружности икгЬютъ еще
общую точку по другую сто-
сторону отъ прямой ООг*
Опустимъ изъ А на прямую
OOi перпендикуляръ АВ и
продолжимъ его на разстояше
ВАЪ равное АВ. Докажемъ Черт# 135#
теперь, что точка А± принадлежить обФимъ окружностя^ъ.

— 104 —
Изъ построешя видно, что точки О и Ог лежать на перпенди-
перпендикуляра, проведенною, къ отрезку AAlt черезъ его середину.
Изъ этого сл'Ьдуетъ, что точка О одинаково удалена отъ А ж Ах
F3, 2°); то же можно сказать и о точки Ог\ значить, o6i окруж-
окружности, при продолжети ихъ, пройдутъ черезъ Аг. Такимъ
образомъ, окружности имЪютъ дв'Ь обпця точки: точку А (по уело-
Biro) и точку Аг (по доказанному); елфд., он* пересекаются.
14в. Cn'bACTBle. Общая хорда (ААЪ черт. 135) двухъ пере-
пересекающихся окружностей перпендикулярна къ линш центровъ
и дЪлится ею пополамъ.
147. Теорема, Если дв* окружности имЪютъ общую
точку на линш ихъ центровъ, то он* касаются.
Пусть общая точка А двухъ окружностей лежитъ на линш
центровъ 00Х (черт. 136 и 137). Требуется доказать, что ташя
окружности касаются, т.-е что он-fe не имЪютъ никакой другой
общей точки.—Окружности не могутъ им^ть другой общей
точки вн^ линш цеятровъ, потому что въ противномъ случа-б
он* им'Ьли бы еще третью общую точку по другую сторону
отъ линш центровъ A45) и, сл'Ьд., должны были бы слиться A22)
Они не могутъ имйть другой общей точки и на линш центровъ,
такъ какъ на этой прямой, очевидно, н^тъ другой точки, ко-
которая отъ обоихъ центровъ была бы удалена настолько же,
какъ и точка А. Сл'Ьд., окружности им^ють только одну общую
точку, т -е они касаются,
м м
N
Черт. 136. Черт. 137.
148. SaM^HaHie. Kacame двуХъ окружностей наз. в н •? ш -
н и м ъ, если они расположены одна вн? другой (черт 136),
и внутренними если одна изъ окружностей лежитъ
внутри другой (черт. 137).

— 105 —
149. Теорема, (обратная предыдущей). Если двЪ окруж-
окружности касаются, то точка касашя лежитъ на линш центровъ.
Пусть дв* окружности (черт. 136 и 137) касаются въ точки A,
т.-е им*Ьютъ только одну общую точку А\ требуется доказать,
что эта точка лежитъ на линш центровъ.—Точка А не можетъ
лежать ви-Ь лиши центровъ, потому что въ противномъ случай
окружности им^ли бы еще другую общую точку, что противо-
противоречить условш теоремы
150. QrrEACTBle. ДвЪ касательныя окружности имЪютъ
общую касательную въ точкЪ касашя, потому что если про-
ведемъ черезъ точку касатя прямую M*N (черт. 136 и 137),
перпендикулярную къ рад1усу О А, то эта прямая будетъ также
перпендикулярна и къ рад1усу ОгА*.
151. Различные случаи относительного поло-
жен1я двухъ окружностей > Обозначимъ рад1усы
двухъ окружностей буквами йи^и разстояше между ихъ
центрами буквою d. Разсмотримъ, какова зависимость между
этими величинами въ различныхъ
случаяхъ относительнаго положешя
двухъ окружностей. Этихъ случаевъ
можно указать сл'Ьдуюпце 5:
1°. Окружности лежатъ
одна вн^ другой, не ка-
касаясь (черт. 138); въ этомъ слу-
случай, очевидно, @>R+Ri-
2°. Окружности им'Ьютъ
внешнее касан1 еДчерт. 139);
тогда d=R+R^ такъ какъ точка
касатя лежитъ на линш центровъ.
3°. Окружности пересека-
пересекаются (черт. 140, 1° и 2°); то-
тогда d^R+Rift въ то же время
d^>R—йь потому что въ тр-кй
ОАОг сторона ООг, равная d,
меньше суммы, но больше раз-
разности двухъ другихъсторонъ,
равныхъ рад1усамъ R ж Rt.
Черт. 138.
Черт. 140.
*) Окружности, касающ1яся извнЪ, и1угЬютъ еще 2 облця внЪштя касателышя.

— 106 —
Окружности им?ютъ внутреннее ка-
с а н i e (черт. 141); въ этомъ случай
d<^R—Ru потому что точка касатя лежитъ
на линш центровъ.
Наконецъ, 5°, одна окружность
лежитъ внутри другой, не ка-
касаясь (черт. 142); тогда, очевидно,
d<^R—Rx и въ частномъ случай d=O, когда
центры обйихъ окружностей сливаются (ташя
окружности наз.к онцентрическими).
152. Обратныя
предложетя. такъ
какъ разсмотр-бнные
нами случаи располо-
жен1я двухъ окруж-
окружностей таковы, что ка-
каждый изъ нихъ исклю-
чаетъ собою всЬ осталь-
Черт. 142.
Черт. 141.
и СЛуЧая эти со-
сопровождаются такими соотношешями между разстоян1емъ
центровъ и величиною рад1усовъ, которые тоже взаимно другъ
друга исключаютъ, то обратныя предложетя должны быть
вйрны E1), а именно:
1° Если ^>В+Вг, то окружности располо-
расположены одна вн4 другой, не касаясь.
2° Если й=й+Еь то окружности касаются
и з в н -6. . . '
3°. Если d^R+Rx и въ то же время d^>R—Въ
то окружности пересекаются.
4°. Если d=R—Rt, то окружности касаются
извнутри.
5°. Если d^R—R^ то одна окружность ле-
лежитъ внутри другой, не касаясь.
ВсЬ эти предложетя легко доказываются отъ противнаго.

— 107 —
УПРАЖНЕН1Я:
Найти геометричешя мЪста;
101.—точекъ, изъ которыхъ касательныя, проведенныя къ данной
окружности, равны данной длинЪ.
102.—точекъ, изъ которыхъ данная окружность видна подъ даннымъ
угломъ (т.-е. двЪ касательныя, проведенныя изъ каждой точки къ
окружности, составляютъ между собою данный уголъ).
103.—центровъ окружностей, описанныхъ даннымъ рад1усомъ и
касающихся данной прямой.
104.—центровъ окружностей, касающихся данной окружности
въ данной точкЪ.
105.—центровъ окружностей, описанныхъ даннымъ рад1усомъ и
касающихся данной окружности (два случая: касаше внъчинее и ка-
caHie внутреннее).
106. Прямая данной длины движется параллельно самой себ'Ь такъ,
что одинъ ея конецъ скользитъ по окружности. Найти геометрическое
мъчуго, описанное другимъ концомъ.
107. Прямая данной длины движется такъ, что концы ея скользятъ
по сторонамъ прямого угла. Найти геометрическое м'Ьсто, описываемое
серединою этой прямой.
Доказать теоремы.
107,а. Въ круг-Ь центра О проведена хорда 1В и продолжена на
разстояте ВС, равное рад1усу. Черезъ точку С и центръ О проведена
свкущая С В (В вторая точка пересЬчетя съ окружностью). Доказать,
что уголъ АО В равенъ утроенному углу АС В.
108. Если черезъ центръ окружности и данную точку вн^ ея про-
ведемъ сЬкущую, то часть ея, заключенная между данною точкою
и ближайшею точкою пересЪчетя, есть наименьшее разстояте, а
часть, заключенная между данною точкою и другою точкою пересЬ-
чешя, есть наибольшее разстояте этой точки отъ окружности.
109. Кратчайшее разстояте между двумя окружностями, лежащими
одна Birb другой, есть отрЪзокъ лиши центровъ, заключенный между
окружностями.
110. Изъ всЬхъ хордъ, проведенныхъ въ окружности черезъ одну
точку, наименьшая есть та, которая перпендикулярна къ рад1усу,
проходящему черезъ эту точку.
111. Если черезъ точку пересвчетя двухъ окружностей будемъ
проводить свкуция, не продолжая ихъ за окружности, то наибольшая
изъ нихъ окажется та, которая параллельна линш центровъ.
112. Если къ двумъ окружностямъ, касающимся извн'Ь, провести
три обция касательныя, то внутренняя изъ нихъ дЪлитъ двЪ друтя
въ точкахъ, одинаково удаленныхъ отъ точекъ касатя.
113. Вс-в хорды данной длины, проведенныя въ данной окруж-
окружности, касаются некоторой другой окружности.

— 108 —
114. Если черезъ одну изъ точекъ пересЬчетя двухъ окружностей
проведемъ д1амегры въ каждой окружности, то прямая, соединяющая
концы ихъ, иройдетъ черезъ другую точку пересЪчешя.
114. а. Черезъ точку А окружности проведена хорда А В и затЪмъ
касательная въ точке В\ д1аметръ, перпендикулярный къ рад1усу О А,
встрЪчаетъ касательную и хорду соответственно въ точкахъ С и D.
Доказать, что BC^CD.
114,&. Къ двумъ окружностямъ центровъ О и 0и касающимся извне
въ точке А, проведена общая внешняя касательная ВС (В и С точки
касатя); доказать, что уголъ ВАС есть прямой.
Задачи на построение.
115. Разделить данную дугу на 4, 8, 16... равчыхъ частей.
116. По сумм^ и разности дугъ найти эти дуги.
117. Изъ данной точки, какъ центра, описать такую окружность,
которая разделила бы данную окружность пополамъ.
118. На данной прямой найти точку, наименее удаленную отъ
данной окружности.
119. Въ круге дана хорда. Провести другую хорду, которая де-
делилась бы первою пополамъ и составляла бы съ нею данный уголъ.
120. Черезъ данную въ круге точку провести хорду, которая де-
делилась бы этою точкою пополамъ.
121. Изъ точки, данной на стороне угла, описать окружность,
которая отъ другой стороны угла отсекала бы хорду данной длины.
122. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, которой центръ
лежалъ бы на стороне даннаго угла и которая отъ другой стороны
его отсекала бы хорду данной длины. .
123. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, которая касалась бы
данной прямой въ данной точке.
124. Описать окружность, касательную къ сторонамъ даннаго угла,
при чемъ одной изъ нихъ въ дайной точке.
125. Описать окружность, касающуюся трехъ сторонъ тр-ка.
126. Между двумя параллельными прямыми дана точка; провести
окружность, проходящую черезъ эту точку и касающуюся данныхъ
прямыхъ.
127. Провести къ данной окружности касательную подъ даннымъ
угломъ къ данной прямой.
128. Изъ точки, данной вне круга, провести къ нему секущую
такъ, чтобы ея внутренняя часть равнялась данной длине (изследо-
вать задачу).
129.. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, проходящую черезъ
данную точку и касательную къ данной прямой.
130. На данной прямой найти такую точку, чтобы касательныя,
проведенныя изъ нея къ данной окружности, были данной длины.
131. Построить Д, зная одинъ уголъ и две высоты, изъ которыхъ
одна проведена изъ вершины даннаго угла.

— 109 —
132. Даны дв-Ь окружности; провести къ нимъ секущую такъ,
чтобы внутренн1я части ея равнялись даннымъ прямымъ.
133. Даны дв-Ь точки; провести прямую такъ, чтобы перпендику-
перпендикуляры, опущенные на нее изъ этихъ точекъ, имрвли данныя длины.
134. Описать окружность, которая проходила бы черезъ данную
точку и касалась бы данной окружности въ данной точкЪ.
135. Описать окружность, которая касалась бы двухъ данныхъ
параллельныхъ прямыхъ и къ кругу, находящемуся между ними.
136. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, которая касалась бы
даннаго круга и проходила бы черезъ данную точку.
1Б7. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, которая касалась бы
данной прямой и даннаго круга.
138. Даннымъ рад1усомъ описать окружность, которая отъ сторонъ
даннаго угла отсЬкала бы хорды данной длины.
139. Описать окружность, касающуюся даннаго круга въ данной
тОчкЪ и данной прямой B рЪшетя).
140. Описать окружность, касающуюся данной прямой въ данной
точкЪ и даннаго круга B р-Ьшетя).
141. Описать окружность, касающуюся двухъ данныхъ круговъ
при чемъ одного изъ нихъ въ данной точкъ1 (разсмотрЪвъ три случая:
1, искомый кругъ лежитъ вн^ данныхъ; 2, одинъ изъ данныхъ круговъ
лежитъ внъ1 искомаго, другой внутри; 3, оба данныхъ круга лежатъ
внутри искомаго).
142. Описать окружность, касающуюся трехъ равныхъ круговъ
извн-Ь или внутри.
143. Въ даннный секторъ вписать окружность, касающуюся къ
рад1усамъ, ограничивающимъ секторъ, и къ дугЬ сектора.
144. Вписать въ данный кругъ три равные круга, которые каса-
касались бы попарно между собою и даннаго круга.
145. Черезъ точку внутри круга провести хорду такъ, чтобы раз-
разность ея отрЪзковъ равнялась данной длинЪ
146. Черезъ точку пересЬчетя двухъ окружностей провести се-
секущую такъ, чтобы часть ея, заключенная внутри окружностей,
равнялась данной длинъ1.
147. Изъ точки, данной вн^ круга, провести свкущую такъ, чтобы
внешняя ея часть равнялась внутренней.
ГЛАВА VI.
ИзмЪреме величина
153. Общая М'Ьра. Общею мйрою двухъ дан-
данныхъ отр'Ьзковъ прямой называется такой
третей отр'Ьзркъ прямой, который въ ка-
ждомъ изъ данныхъ содержится ц*Ьлое

— 110 —
число разъ безъ остатка. Такъ, если (черт. 143)
«* отр^зокъ AM содержится въ АВ и
А| | 1 [ [ (В въ CD Ц'Ьлое число разъ (напр.,
5 разъ въ АВ и 3 раза въ CD), то
р| 1 | [л AM есть общая м^ра АВ и CD.
Подобно этому, можетъ быть
Черт. 143. общая м4ра двухъ дугъ одина-
коваго рад1уса, двухъ угловъ и вообще двухъ значенш одной
и той же величины.
154. Нахождеше наибольшей общей м'Ьры.
Чтобы найти наибольшую общую м^ру двухъ отр'Ьзковъ
прямой, употребляютъ способъ последовательная
отложен1я, подобный тому п о -
_ _ _А_ _^ сл4довательному д i л е -
У* 1 1——^4 н i ю, какимъ въ ариеметикФ нахо-
дятъ общаго наибольшаго делителя
двухъ цйлыхъ чиселъ. Этотъ способъ
основывается на сл'Ьдующихъ пред-
Чэрт. 144. ложешяхъ:
. 1°. Если меньш1й изъ двухъ данныхъ
отр^зковъ (А я В, черт. 144) содержится въ
бблыпемъ ц-Ьлое число разъ безъ остатка,
то наиб, общая м^ра такихъ отр^зковъ
есть меньш1й изъ нихъ.
Пусть, напр., В содержится въ А ровно 3 раза; такъ какъ
прп этомъ, конечно, В содержится въ В ровно 1 раз#, то В есть
общая м$ра отр'Ьзковъ i и В; съ другой стороны, эта
мира есть и наибольшая, такъ какъ никакой отр'Ьзокъ,
болышй Б, не можетъ содержаться въ В безъ остатка.
2°. Если меньшей изъ двухъ данныхъ
отр'Ьзковъ (В, черт. 145) содержится въ боль-
шемъ (въ^1) ц4лое число разъ съ какимъ-
нибудь остаткомъ (й), т о
А наиб, общая м4ра этихъ
р-~~7~ | *рj отр'Ьзковъ должна быть
Tv вм^стЬ съ т4мъ и наиб,
общей м4рой меньшаго
о т р i з к а (В) и остатка (й).
Черт. 145. Пусть, напр., A=B+B+B+R.

— Ill —
Изъ этого равенства мы можемъ вывести сл'Ьдуюшдя два
заключешя:
1) Всяшй отр'Ьзокъ, содержащшся ц'Ьлое число разъ безъ
остатка въ В и въ R, содержится также беаъ остатка и въ А\
если, напр., какой-нибудь отр'Ьзокъ содержится въ В ровно
5 разъ ивъй содержится ровно 2 раза, то въ А онъ содержится
5+5+5+2, т.-е. 17 разъ безъ остатка.
2) Обратно: всяшй отр^зокъ, содержапцйся ц'Ьлое число
разъ безъ остатка въ А и въ В, содержится также ц'Ьлое число
разъ безъ остатка и въ Е; если, напр., какой-нибудь отр'Ьзокъ
содержится въ А ровно 17 разъ и въ В ровно 5 разъ, то въ той
части отрезка А, которая равна ЗВ, онъ содержится 15 разъ;
сл-Ьд., въ оставшейся части отрезка А, т.-е. въ R, онъ содер-
содержится 17—15, т.-е. 2 раза.
Такимъ образомъ у двухъ паръ отр'Ьзковъ:
Хи"в в"и"й
должны быть одни и гЬ же обпця м^ры; поэтому и наибольшая
общая мира у нихъ должна быть одна и та же.
Къ этимъ двумъ предложешямъ надо еще добавить следующую
акс1ому Архимеда (аксюму измЪрешя).:
3) Какъ бы великъ ни былъ 66льш1й отр'Ь-
з о к ъ (А) и какъ бы малъ ни былъ м е н ь ш i й отре-
отрезок ъ (В), всегда, откладывая меньш1й на ббл ь-
шемъ последовательно 1, 2, 3, и т. д. раза, мы
дойдемъ до того, что посл^ н^котораго т~& г о
отложен1я или не получится н и'к а к о г о ос-
остатка, или получится остаток ъ, м е н ь ш i й м е н ь-
шаго отрезка (Б).
Прим^нимъ эти предложешя къ нахожден1ю наиб, общей
миры данныхъ отр'Ьзковъ АВ и CD (черт. 146). Для этого на
бблыпемъ отр-Ьзк* откла- Е
дываемъ меньш1й (по- А| 1 1 I 1В
мощью циркуля) столько
разъ, сколько можно.
Если CD уложится въ АВ Черт. 146.
безъ остатка, то искомая м^ра, согласно предложенш 1-му,
й есть CD; если же этого не произойдете (какъ у насъ на чер-
тежй), то, согласно предложенш 2-му, вопросъ приведется
къ нахожденш наиб, общей м'Ьры двухъ меньшихъ отр'Ьзковъ,

— 112 —
именно CD и перваго остатка ЕВ. Чтобы найти ее, поступаемъ
по предыдущему, т.-е. откладываемъ ЕВ на CD столько разъ,
сколько можно. Если ЕВ уложится въ CD безъ остатка, то иско-
искомая мЗфа и будетъ ЕВ; если же этого пе произойдете (какъ
у насъ на чертеж*), то вопросъ приведется къ нахождешю
наиб, общей м^ры двухъ меныпихъ отргЬзковъ, именно ЕВ и
второго остатка FD. Если, продолжая этотъ пр1емъ дал'Ье, мы
дойдемъ до того, что поел* н^котораго отложешя уже не получит-
получится никакого остатка, то отрЪзокъ, который при этомъ от-
откладывали (посл'ЪднШ изъ остатковъ), и будетъ искомая мира.
Чтобы удобнее вычислить, сколько разъ найденная общая
наибольшая м^ра содержится въ данныхъ прямыхъ, выписы-
ваемъ рядъ равенствъ, получаемыхъ поел* каждаго отложешя.
Такъ, при пашемъ чертеж* мы будемъ им*ть:
Поел* 1-го отложешя АВ=3 CD+EB
> 2-го » CD=2 EB+FD
» 3-го » ЕВ=4: FD.
Переходя въ этихъ равенствахъ отъ нижняго къ верхнему,
последовательно находимъ:
FD; CD=D FD).2+FD=9 FD;
(д FD).3+4 FD=31 FD.
Подобно этому можно находить наиб, общую м*ру двухъ
дугъ одинаковаго рад1уса, двухъ угловъ и т. п.
Зам*Ьчаше* Найдя наибольшую общую м*ру,ч мы
можемъ загбмъ получить сколько угодно другихъ меньшихъ
общихъ м*ръ; стоитъ только брать 1/2, х/3, х/4 и т. д, наиболь-
наибольшей м^ры.
155. Соизмеримый и несоизмеримый длины.
Можетъ случиться, что при нахожденш общей м^ры мы ни-
никогда не дойдемъ до того, чтобы не получилось никакого остатка;
тогда данныя прямыя не будутъ имЪть общей м'Ьры.
Два отрезка прямой наз. соизмеримыми,
если они им^ютъ общую м^ру, и несоиз-
несоизмеримыми, когда такой миры не суще-
существ у е т ъ.
На практик*, н^тъ возможности убедиться въ существованш
несоизмеримыхъ отрйзковъ, потому что, продолжая посд*-.
довательное отложеше, мы всегда дойдемъ до столь малаго

— 113 —
остатка, который въ предшествующемъ остатки, повиди-
м'ому, укладывается ц'Ьлое число разъ. Выть можетъ, при
этомъ и долженъ былъ бы получиться некоторый остатокъ,
но по причин* неточности инструментовъ (циркуля) и несо-
несовершенства нашихъ органовъ чувствъ (зр'Ьтя) мы не въ со-
стоянш его заметить. Однако, можно доказать, что несоиз-
несоизмеримые отрезки существуютъ. Приведемъ наиболее простой
прим'Ъръ такихъ отрйзковъ.
156. Теорема. Если въ равнобедренномъ треугольник
уголъ при основаши равенъ 2/5d, то боковая сторона его несо-
несоизмерима съ основатель.
Пусть ABC равнобедренный тр-къ (черт. 147), у котораго
каждый изъ угловъ А и С равенъ 2/5 d; требуется доказать,
что боковая сторона АВ несоизмерима съ основатемъ АС.
Прежде всего опред'Ьлимъ, которая изъ этихъ сторонъ больше.
Для этого достаточно сравнить углы, противъ которыхъ лежатъ
эти стороны. Такъ какъ, по условно, Л=С=2/5 d, то B=2d—
Черт. 147.
; поэтому АС>АВ.
Теперь найдемъ, сколько
разъ въ АС можетъ уло-
уложиться АВ. Такъ какъ
АС<АВ+ВСяАВ=ВС,
то АС<С$АВ\ значить,
АВ въ АС можетъ уло-
уложиться только о д и и ъ
разъ съ нйкоторымъ
остаткомъ.
Такимъ образомъ, мы прежде всего зам^чаемь следующее
свойство: если въ равнобедренномъ треуголь-
треугольник* уголъ при основан1и равенъ 2/5d, то
боковая его сторона содержится въ осно-
ван1и только один-ъ разъ и притомъ съ
нйкоторымъ остаткомъ.
ЗамЪтивъ это, приступимъ теперь къ последовательному
отложенш. Отложимъ на АС часть АВ, равную АВ; тогда полу-
чимъ остатокъ DC^ который надо накладывать на АВ, или, что
все равно, на ВС. Чтобы узнать, сколько разъ ВС уложится
8

— 114 —
на ВС, соединимъ В съ В и разсмотримъ ДДВС Найдемъ его
углы. Такъ какъ &АВВ равнобедренный, то его углы ABB и
ABB равны; сл-Ьд., каждый изъ нихъ равенъ 1/2Bd—^l)=1/2Bd—
2/5d)=4/5d. Но уголъ ABC, какъ мы прежде нашли, равенъ
6/5d; сл-Ьд., Z.BBC=*lbd—4/5d=2/5d. Такимъ образомъ, въ тр-к-Ь
ВВС есть два равныхъ угла при ВС; сл-Ьд., онъ равнобедренный,
при чемъ каждый уголъ при его основанш ВС равенъ 2/5dL Всл'Ьд-
CTBie этого, по доказанному выше, боковая сторона его ВС
(или ВВ) уложится въ основанш ВС одинъ разъ съ н 4-
которымъ остаткомъ. Пусть этотъ остатокъ будетъ ЕС.
Соединивъ Е съ В, мы снова получимъ равнобедренный тр-къ
СВЕ, въ которомъ каждый уголъ при основанш СВ равенъ 2/5d.
Отложивъ ЕС (или BE) на ВС (отъ точки В), мы снова получимъ
равнобедренный тр-къ CEF, у котораго каждый уголъ при осно-
основанш СЕ равенъ 2/bd.
Такимъ' образомъ, мы постоянно будемъ приходить къ равно-
равнобедренному тр-ку (все меньшему и меньшему) съ углами при
основами, равными 2/5d\ сл-Ьд., мы никогда въ этомъ процесс*
не дойдемъ до конца. Значить, стороны АС и АВ
не могутъ им-Ьть общей миры.
167. Приведемъ еще сл'Ьдуюцпй прим'Ьръ несоизм'Ьримыхъ от-
Р'бзковъ прямой.
Теорема. Диагональ квадрата несоизмерима съ его стороною.
Такъ какъ д1агональ квадрата разд'вляетъ его на два равнобедрен-
ныхъ прямоугольныхъ тр-ка, то теорему эту можно высказать иными
словами такъ: гипотенуза рав-
нобедренаго прямоуголь-
наго треугольника несо-
несоизмерима съ его катетомъ.
Предварительно докажемъ следую-
следующее свойство такого тр-ка: если на ги-
гипотенузе (черт. 148) отложимъ часть AD,
равную катету, и проведемъ DE±_AC,
то образовавнийся при этомъ прямо-
прямоугольный тр-къ DEC б у-
детъ равнобедренный, а
отрЪзокъ BE катета ВС ока-
окажется равнымъ отрезку DC
гипотенузы. Чтобы убедиться въ Черт. 148.
этомъ, проведемъ прямую BD и разсмотримъ углы тр-ковъ DEC и
BED. Такъ какъ тр-къ ABC равнобедренный и прямоугольный, то
?\ =1/2d; вследств!е этого ?2 также равенъ 1/2d\ значить, /Л =^2,

— 115 —
и потому CD = DE. Въ тр-къ1 BED уголъ 3 равенъ. разности ^/ А ВС—
^/3==^—s/^d = 1/id. Равнымъ образомъ, ^o—^ADE—?ADB = d—Z/Ad
~xUd. Сл'Ьд., ?3=^/5 и потому BE — DE\ но DE = CD\ значитъ,
Bl$=zCD.
ЗамЪтивъ это свойство, станемъ отыскивать наибольшую общую
мЪру сторонъ АС и АВ. Такъ какъ АС<^АВ-{-ВС, т.-е. АС<2АВ,
то А В отложится на А С только 1 разъ, причемъ получится некоторый
остатокъ DC<c,AB. Теперь надо ототъ остатокъ откладывать на АВ,
или—что все равно—на ВС. Для этого проведемъ DE_[_AC. Тогда
по доказанному, BE —DC и, сл'Ьд., мы будемъ имЪть одно отложеше
остатка DC па, катетъ1 ВС. Остается теперь откладывать DC отъ точки
Е къ С столько разъ, сколько можно. Но прямоугольный тр-къ DEC,
какъ мы видели, есть равнобедренный; значитъ, процессъ нахождешя
общей мъ-ры гипотенузы АС и катета АВ даннаго равнобедренного
тр-ка переходитъ теперь въ процессъ нахождешя общей мЪры гипо-
гипотенузы ЕС и катета DC другого (меньшаго) равнобедреннаго тр-ка.
Въ свою очередь, этотъ процессъ также сведется къ нахождетю
общей мъ-ры гипотенузы и катета третьяго (еще меньшаго) равнобед-
реннаго тр-ка и т. д. б е з ъ конца. Значитъ, д1агональ квадрата
и сторона его не могутъ им'вть общей мъ'ры.
158. Понятае объ измЪренш. Чтобы составить ясное
представлете о данной длине, мы ее измеряемъ при помощи
другой, известной намъ, длины, напр., посредствомъ метра.
Эта известная длина, съ которой мы сравниваемъ друпя длины,
наз, единицей длины.
При измеренш могутъ представиться два различныхъ случая:
или измеряемая длина соизмерима съ единицей, или несоизме-
несоизмерима съ ней.
1°. Измерить длину, соизмеримую съ еди-
единицей, значитъ узнать, сколько разъ въ
ней содержится единица или какая-ни-
какая-нибудь доля единицы.
Пусть, напр., надо измерить (черт. 149) длину отрезка пря-
прямой А при помощи единицы В,
соизмеримой съ А. Тогда находятъ ..А...
ихъ общую меру и узнаютъ, сколько у'{~'х . . Г^у...
разъ она содержится въ В и А. ' "
Если общей мерой окажется сама КТ~VУч
единица, В то результата измеретя
ВЫраЗИТСЯ Ц е Л Ы М Ъ ЧИСЛОМЪ; таКЪ, Черт. 149.

— 116 —
когда В содержится въ А три раза, то длина А равна 3 един.
Если же общей мерой будетъ некоторая доля В, то результатъ
измерешя выразится дробнымъ числомъ; такъ, если
общая мира есть */4 доля В и она содержится въ А девять разъ
(какъ изображено на черт. 149), то длина А равна 9/4 единицы.
Число, получившееся после измерешя длины А, наз. м4-
р о го этой длины; о немъ принято говорить, что оно и з м 4-
р я е т ъ длину А въ единиц* В. Числа цЬлыя и дробныя наз.
соизмеримыми (или рац1ональными) чис-
числами.
2°. Когда измеряемая длина А несоизмерима съ единицею
длины В, тогда при помощи соизмеримыхъ чиселъ мы не можемъ
получить точнаго результат*, измйретя. Действительно,
если предположимъ, что мы нашли точную меру длины А, напр.,
m
йашли, что^.=В.— »то это значило бы, что 1/п доля В содер-
п
жится въ А ровно m разъ; тогда, значитъ, эта доля была бы
общею мерою А и В, тогда какъ мы разематриваемъ случай,
когда эти длины не соизмеримы.
Въ этомъ случае при помощи соизмеримыхъ чиселъ мы можемъ
находить только приближенные результаты из-
измерен! я, но съ какою угодно степенью
точности. Пусть, напр., мы желаемъ найти приближенную
меру длины А съ точностью до Ую- Это значитъ, что мы же-
желаемъ найти число, которое изме-
А ряло бы некоторую соизмеримую
I I I I I I I I I I I I I 1| длину, различающуюся отъ данной
о несоизмеримой длины А менее,
| 1 I 1 1 I 1 1 1 1 | чемъ на Vio Долю едини-
цы В. Для этого делимъ единицу
В на 10 равныхъ частей и одну такую
долю укладываемъ на А столько разъ, сколько можно. Пусть
окажется, что х/10 В содержится въ А 13 разъ (черт. 150), при
чемъ получается остатокъ, менышй 1/10 В. Тогда каждое изъ
чиселъ: 13/юи 14/ю можно принять, какъ приближенную
меру длины А, причемъ первое число будетъ съ недостаткомъ
(такъ какъ 13/10 В<С4), а второе—съ избыткомъ (такъ какъ
14/ю В>А).

— 117 —
Вообще, чтобы найти приближенный меры длины А съ точ-
точностью до 1/„ единицы, д-Ьлятъ единицу В на п равныхъ частей
и узнаютъ, сколько разъ 1/я доля единицы содержится въ А;
если она содержится более т разъ, но менее т+1 разъ *), то
m m+1
числа — и будутъ приблпженныя меры длины А съ точ-
п п
ностыо до х/п, первое—съ недостаткомъ, второе—съ избыткомъ.
Заметимъ, что этимъ нутемъ мы можемъ находить приближен-
приближенные результаты измерешя и тогда, когда измеряемая длина А
соизмерима съ единицей В; только въ этомъ случай мы, если
пожелаемъ, можемъ найти также и точный результатъ, тогда
какъ въ случай несоизмеримости такого результата при помощи
однихъ соизмеримыхъ чиселъ мы получить не можемъ.
За точную меру несоизмеримой длины А принимаютъ не-
некоторое несоизмеримое число, которое считается
болыпимъ всякаго соизмеримая числа, выражающаго прибли-
женныя меры длины А съ недостаткомъ, и меньшимъ вся-
всякаго соизмеримая числа, выражающаго приближенныя меры
длины А съ избыткомъ.
Сказанное объ измеренш длины прямой применимо къ изме-
ренш всякой иной величины, напр., дуги, угла и пр.
159. Отношение. Отношен1емъ одного от-
отрезка прямой (А) къ другому отрезку пря-
прямой (В) н а з. число, измеряющее первый
отрезокъ (А), когда второй (В) принятъ
за единицу.
Такъ, если отношеше А къ В есть число 23/4, то это значитъ,
что число 23/4 измеряетъ отрезокъ А, когда отрезокъ В принятъ
за единицу (другими словами—это значитъ, что В со-
содержится въ А 2 раза, причемъ получается остатокъ, равный 3/4В).
Можно также сказать, что отношен1емъ одного
отрезка прямой къ другому наз. число,
ва которое надо умножить второй отре-
отрезокъ, чтобы получить первый.
Такъ, если отношете А къ В есть число 23/4, то это значитъ,
что А=В . 23/4, т.-е. что А получится, если В повторимъ слага-
емымъ 2 раза и къ сумме еще добавимъ 3/4 В.
¦) что всегда возможно, согласно аксюм-в Архимода (стр. 111).

— 118 —
Е ели разематривается отношеше отрезка А къ отрезку В,
то А наз. предыдущимъ членомъ, а В последую-
щимъ членомъ.
Изъ опредйлетя следуетъ, что нахождеше отношешя от-
отрезковъ А я В сводится къ измерение А, когда отрйзокъ В
принятъ за единицу. Поэтому мы можемъ здесь повторить все то,
что раньше A58) говорили объ измеренш, а именно:
Если отрезки А к В соизмеримы, то отношеше ихъ есть
соизмеримое чрело, целое или дробное; если же эти отрезки
несоизмеримы,! то при помощи соизмеримыхъ чиселъ ихъ отно-
отношеше можетъ быть выражено только приближенно, но съ какою
угодно степенью точности. Такъ, если хотятъ найти отношеше
А къ В съ точностью до 1/10, то делятъ В на 10 равныхъ частей
(черт. 150) и узнаютъ наибольшее содержаше 1/10 В въ А; если
окажется, напр., что 1/10 В содержится въ А более 13, но менее
14 разъ, то числа 13/ю и 14/ю будутъ приближенныя
значен1я отношешя А къ В съ точностью до 1/10, первое—
съ недостаткомъ, а второе—съ избыткомъ.
Отношеше отрезковъ А къ В въ томъ случае, когда эти отрезки
несоизмеримы, наз. также несоизм4римымъ (такъ
какъ оно представляетъ собою несоизмеримое число).
Два отношешя считаются равными, если они предста-
вляютъ собою одно и то же число; такъ, если отношеше А къ
В равно 9/4 и отпошеше Аг къ Вх также равно 9/4, то эти
отношешя равны между собою.
Въ случае несоизмеримыхъ отношешй равенство между ними
узнается но следующему признаку.
Два несоизмеримыя отношен1я равны,
если ихъ приближенныя значен! я, взя-
тыя оба съ недостаткомъ, или оба съ из-
избыткомъ, и вычисленныя съ одинаковою
точностью, равны между собой при вся-
всякой степени точности*).
Сказанное объ отношеши двухъ отрезковъ прямой можно
повторить объ отношенш двухъ угловъ, двухъ дугъ одинаковаго
*) Какъ известно изъ алгебры (см. напр., § 200 Элем, алгебры А. Киселева)
этотъ признакъ есть признакъ равенства самихъ несоизмеримыхъ чиселъ.

— 119 —
рад1уса и вообще объ отношеши двухъ частныхъ значенШ любой
величины, доступной изм^ренш.
Напомнимъ, что равенство 2-хъ отношенШ наз. п р о п о р-
ц i e й.
16Ох. Свойство- отношешй. Если отрезки А ж В
(черт. 161) измерены при помощи одной и той же единицы С,
то отношение А къ В равно частному отъ
д i л е н i я числа, и з м i p я ю щ а г о А, на число,
измеряющее В. Пусть, t t t t
напр., отъ изм'Ьрешя отрезка А
единицею С получилось число ^ . | i
7/2, а отъ измйретя В тою же
единицею С получилось число с I ]
5/3. Тогда по опредЪлешю отно- Черт б1Ь
шен!я мы можемъ написать:
'6
Чтобы найти теперь отношеше А къ В, достаточно узнать,
на какое число сл-Ьдуетъ умножить 5/3 С, чтобы получить 7/2 С,
или—что все равно—на какое число надо умножить 5/3 (какой-
нибудь единицы), чтобы получить 7/2 (той же единицы). Такое
число находится д'Ълешемъ (согласно опредйленш этого д4й-
ств1я); значить:
7 б 21 1
отношеше А къ b-^- : -== - =-2 --.
Вообще, если, измЪривъ отрезки А я В при помощи одной
и той же единицы С, мы получимъ для А число т, а для В
число п, то, повторивъ предыдущая разсуждетя, найдемъ
(каковы бы ни Гыли числа т и п):
отношете А къ В=ш:п,

— 120 —
Всл|6дств1е этого отношеше А къ В принято обозначать по-
помощью знаковъ Д'блетя, а именно такъ:
А
А : В или — •
о
Зд-Ьсь подъ буквами А ж В, согласно указанному сейчасъ
свойству отношетя, можно разуметь и числа, изм'Ьряю-
пця отрезки А и В въ какой-нибудь одной и той же еди-
ниц'Ь С.
16О2. Пропорция. Равенство двухъ отношенш составляетъ
пропорфю. Если, напр., известно, что отношеше двухъ OTpij-
ковъ А ж В равно отношешю двухъ другихъ отр^зковь Аг и
Bi, то можно написать пропорцш:
А : В == Аг: Bv
А Аг
или - = ^.
Когда отрезки А, В, А1 и В± измерены при помощи од-
одной и той же единицы, то каждое изъ двухъ отношенш, со-
состав л яющихъ пропорцш, можно заменить отношешемъ чи-
селъ, измФряющихъ отрезки. Посл'Ь замены получится чи-
числовая процорц1я, обладающая всЬми т^ми свойствами
числовыхъ пропорщй, которыя были указаны въ ариеметик^ ц
алгебр'Ь, напр.;
въ пропорщй произведен1е крайнихъ членовъ равно произ-
веден1ю среднихъ;
въ пропорцш можно переставить средше члены, крайн1е
члены и средше съ крайними;
если въ пропорщй предыдущее члены равны, то равны и
последующее члены;
если въ пропорцш последующ!е члены равны, то равны и
предыдущее; и т. п.

— 121 —
ГЛАВА VII.
ИзмЪнеме угловъ помощью дугъ.
Центральный уголъ.
161. ОпредгЬлен1е. Уголъ (АОВ, черт. 152), обра-
образованный двумя рад1усами, н а з. централь-
центральны м ъ у г л о м ъ; о такомъ угли и дугЬ,
заключенной между его сторонами, гово-
рятъ, что они соотв'Ьтствуютъ
другъ другу.
162. Теорема. Въ одномъ Kpyrt или
въ равныхъ кругахъ:
1°, если центральные углы равны, то и
соотв~Ьтствующ1я имъ дуги равны;
2°, если центральные углы не равны, то
большему изъ нихъ соотвЪтствуетъ боль-
большая дуга.
Черт. 162.
Пусть (черт. 163) АОВ и COD два центральные угла, равные
или неравные. Повернемъ секторъ АОВ вокругъ центра въ
направленш, указанномъ стрелкою,
настолько, чтобы радусъ О А сов-
совместился съ ОС. Тогда: 1°, если
центральные углы равны, то рад1усъ
ОВ совпадаетъ съ OD и, сл^д., дуга
АВ совместится съ дугою CD\ зна-
значить, эти дуги будутъ равны; 2°,
если же центральные углы неравны,
то рад1усъ ОВ пойдетъ не по OD,
а по какому-нибудь иному напра- Черт. 153.
вленш, напр., по ОЕ или по OF; въ томъ и въ другомъ случаяхъ
большему углу, очевидно, соответствуете большая дуга.
Теорема, доказанная нами для одного круга, остается
для равныхъ кругов ъ, потому что тате

— 122 —
круги нич-Ьмъ, кроме своего положетя, другъ отъ друга не
отличаются.
163. Обратныя теоремы. Такъ какъ. различные
взаимно исключающее случаи относительно равенства и не-
неравенства двухъ центральныхъ угловъ сопровождаются взаимно
исключающими выводами относительно равенства и неравенства
соотв'Ьтствующихъ Дугъ, то обратныя предложетя должны
быть в^рны E1), а именно:
Въ одномъ Kpyrt Или въ равныхъ кругахъ:
1°, если дуги равны, то и соотв"Ьтствующ1е имъ центральные
углы, равны;
2°, если дуги не равны, то большей изъ нихъ соотвЪтствуетъ
ббльилй центральный уголъ.
Доказательство отъ противнаго (или наложешемъ) предо-
ставляемъ самимъ учащимся.
164. Теорема. Въ одномъ Kpyrt или въ равныхъ кругахъ
центральные углы относятся, какъ соотвЪтствующ1я имъ дуги.
Пусть (черт. 154) АОВ и COD два центральные угла; требуется
доказать, что
1°. Допустимъ сначала, что дуги
АВ и CD соизмеримы, т.-е. что они
ивйштъ общую м-Ьру. Положимъ,
что э,та общая мира содержится m
разъ въ дуг* АВ и п разъ въ' CD;
тогда
^ АВ: ^ CD=m : п [1].
Соединивъ точки д^летя дугъ съ
центромъ, мы раздйлимъ централь-
Черт. 154. ные углы на равныя части (потому
что равнымъ дугамъ хоотв^тствують
равные центральные углы). Такъ какъ этихъ частей будетъ m
въ угли АОВ и п въ угл^ COD, то
Z.AOB : ZjOOD=m : n [2].
Сравнивая пропорщи [1] и [2], замйчаемъ, что вторыя отно-
шешя у нихъ равны; сл^Ьд., равны и первыя отношешя, т.-е.
Z.AOB :

— 123 —
2°. Предположимъ теперь, что (черт. 155) дуги АВ и CD не-
несоизмеримы. Тогда и соответствующее имъ центральные углы
будутъ также несоизмеримы. Действительно, если бы эти углы
имели какую-нибудь общую ме-
меру, напр., уголъ EOF, то это
значило бы, что этотъ уголъ со-
содержится целое число разъ '
какъ въ угле АОВ, такъ
и въ угле COD; но тогда
дуга EF содержалась бы целое
число разъ какъ въ дуге АВ,
такъ и въ дуге CD, и, зна-
значить, дуги эти имели бы общую
меру, именно дугу EF, что про-
противоречить предположение. Та-
цръгь образомъ, въ разсматриваемомъ случае и отношеше угловъ,
и отношбше дугъ оба несоизмеримый. Чтобы доказать равенство
двухъ несоизмеримыхъ отпошешй, достаточно доказать равен-
равенство ихъ приближенныхъ значешй, вычисленныхъ съ произ-
произвольною, но одинаковою точностью A59). Найдемъ приближенное
значеше отношетя дугъ АВ и CD съ точностью до 1/п. Для этого
разделимъ CD на п равныхъ частей и одну часть отложимъ на
АВ столько' разъ, сколько можно. Пусть г/н доля CD содер-
содержится въ АВ более m разъ, но менее т+1 разъ; тогда
w АВ т
прибл. отношеше ^ ^ =-(съ нед.).
Соединивъ точки д^лешя дугъ съ центромъ, мы разделимъ
уголъ COD на п такихъ равныхъ частей, какихъ въ угле АОВ
содержится более т, но менее т+1; след.:
Z.AOB т
прибл. отношете , г,г,-гл='~ (съ НОД.)-
Сравнивая приближенный отношен1я угловъ и дугъ, видимъ,
что они равны при всякомъ щ а татя несоизмеримыя отно-
шен1я равны другъ другу.
166. Пропорщональныя величины. Две зависящ1я
другъ огё друга величины наз. пронорц1ональными,
.если зависимость между ними состоитъ въ следующемъ:

— 124: —
1°, каждому значешю одной величины соответствуешь не-
некоторое значете другой величины и притомъ только одно;
2°, отношеше двухъ какихъ бы то ни было значешй одной
величины равно отношенш соответствующихъ значенШ другой
величины.
Изъ предыдущихъ теоремъ следуетъ, что центральный
уголъ пропорц1оналенъ соответствующей
ему дуг*.
16в. Изм'Ьрете угловъ. Измерен1е угловъ сводится
на измереше соответствующихъ имъ дугъ следующимъ образомъ.
За единицу угловъ берутъ уголъ, составляющей х/90 часть
прямого угла; эту единицу называютъ угловымъ граду-
градусом ъ.
За единицу дугъ одинаковаго рад!уса берутъ такую дугу
того же рад!уса, которая соответствуете центральному углу,
Черт. 166.
равному угловому градусу. Такая дуга наз. дуговымъ
градусомъ. Такъ какъ прямому центральному углу соот-
ветствуетъ х/4 окружности, то угловому градусу соответствуешь
х/90 четверти окружности; значить, дуговой градусъ есть х/збо
целой окружности.
Пусть требуется (черт. 156) измерить какой-нибудь уголъ
АОВ, т.-е. найти отношеше этого угла къ угловому градусу.
Пусть этотъ градусъ будетъ уголъ MNP. Опишемъ изъ вершинъ
угловъ произвольными но одинаковымъ, рад1усомъ дуги CDrEF.
Тогда углы АОВ и MNP можно разсматривать, какъ углы цен-
центральные по отношенш къ темъ равнымъ окружностямъ,
которымъ принадлежать дуги CD и EF. Вследств!е этого A64):

— 126 —
Левое отношете этой пропорщи есть число, измеряющее уголъ
АОВ въ угловыхъ градусахъ A59); правое отношете есть число,
измеряющее дугу CD въ дуговыхъ градусахъ. След., эту про-
порщю можно высказать такъ:
Число, измеряющее центральный уголъ
въ угловыхъ градусахъ, равно числу, из-
измеряющему соответствующую дугу въ ду-
дуговыхъ градусахъ.
Для краткости эту фразу выражаютъ обыкновенно такъ:
Уголъизмеряется соответствующей ему
дугой.
При этомъ безразлично, какъ великъ взятый рад1усъ дугъ
EF и CD, лишь бы только онъ былъ одинаковъ для обеихъ
этихъ дугъ (только при этомъ условш углы пропорщональны
дугамъ).
167. Подразделен^ градуеовъ. Градусы угла или
дуг^ подразделяются на 60 равныхъ частей, называемыхъ
минутами (угловыми или дуговыми); минуту разделяютъ
на 60 равныхъ частей, называемыхъ секундами (угло-
(угловыми или дуговыми).
Изъ сказаннаго въ предыдущемъ параграфе следуетъ, что
въ угле содержится столько угловыхъ градусовъ, минутъ и
секундъ, сколько въ соответствующей ему дуге заключается
дуговыхъ градусовъ, минутъ и секундъ. Если, напр., въ дуге CD
(черт. 156) содержится 40 град. 25 мин. 13 секундъ (дуговыхъ),
то и въ угле АОВ заключается 40 град. 25 мин. 13 сек. (угловыхъ);
это выражаютъ сокращенно такъ:
обозначая значками (°), (') и (") соответственно градусы, ми-
минуты и секунды *).
168. Транепортиръ. Этотъ приборъ (черт. 157),
употребляемый для измерешя угловъ, представляетъ собою
полукругъ, котораго дуга разделена на 180 градусовъ. Чтобы
*) Употребительна также сотенная система мЪръ угловъ
и дугъ; до этой систем^ 'за градусъ дуги принимаютъ Yioo четверти
окружности (и, сл'Ьд., за градусъ угла берутъ 1/100 прямого угла),
минуту принимаютъ равной Vioo градуса, секунду—7гоо минуты.

— 126 —
N (#/ О/ Ум
измерить уголъ АОВ, накладываютъ на него приборъ такъ,
чтобы центръ полукруга
совпадалъ съ вершиною
угла, а рад1усъ ОМ сов-
совпадалъ со стороною АО.
Тогда число градусовъ, со-
содержащееся въ дуг*, за-
заключенной между сторо-
Черт. 157. нами угла АОВ, покажетъ
величину его. При помощи транспортира можно также начертить
уголъ, содержаний данное число градусовъ.
Конечно, на такомъ прибор* н'Ьтъ возможности отсчитывать
не только секунды, но и минуты; изм^реше и построете можно
выполнять только приблизительно.
169. Выражете вгЬкоторыхъ угловъ въ гра-
граду еахъ. Такъ какъ прямой уголъ содержитъ 90°, то:
1°, сумма угловъ всякаго тр-ка равна 180°;
2°, сумма острыхъ угловъ прямоугольнаго тр-ка равна 90°;
3°, каждый уголъ равносторонняго тр-ка равенъ 60°;
4°, сумма угловъ выпуклаго мн-ка (89), югЬющаго п сторонъ,
равна 180° (п—2);
5°, сумма вн'Ьшнихъ угловъ выпуклаго мн-ка (90) равна 360°.
Вписанный уголъ.
170. Опрел* лете. Угол ъ, образованный дву-
двумя хордами, исходящими изъ одной точки
окружности, наз. вписаннымъ углом ъ. Та-
ковъ, напр., уголъ ABC (черт. 159). О вписанномъ угл-Ь принято
говорить, что онъ опирается на дугу, заключенную
между его сторонами. Такъ, уголъ ABC (черт. 159) опирается
на дугу ABC.
171. Теорема. Вписанный уголъ измЪряется половиною
дуги, на которую онъ опирается.
Эту теорему надо понимать такъ: внисанный уголъ содержитъ
въ себ* столько угловыхъ градусовъ, минуть и секундъ, сколько
дуговыхъ градусовъ, минуть и секундъ заключается въ половин*
дуги, на которую онъ опирается.

127 —
При доказательстве теоремы разсмотримъ особо три случая:
1°. Ц е н т р ъ О (черт. 158) л е ж и т ъ
на сторон* вписаннаго угла
ABC. — Проведя рад1усъ АО, мы полу-
чимъ А АВО, въ которомъ ОА=ОВ (какъ
рад1усы) и, след., Z.ABO=Z.BAO. По
отношетю къ этому тр-ку уголъ АОС AV
есть внешний; поэтому онъ равенъ сумм*
угловъ АВО и В АО, или равенъ двойному
углу АВО\ значитъ, уголъ АВО равенъ
половине центральная угла АОС.
Но уголъ АОС изм'Ьряется дугою АС, т.-е. онъ содержитъ въ
себе столько угловыхъ градусовъ, минуть и секундъ, сколько
дуговыхъ градусовъ, минутъ и секундъ содержится въ дуге АС\
след., вписанный уголъ ABC измеряется половиною дуги АС.
2°. Центръ О лежитъ ме-
между сторонами вписан-
вписаннаго угла ABC (черт. 159).
Проведя д1аметръ BD, мы разде-
лимъ уголъ ABC на два угла, изъ
которыхъ, по доказанному въ пер-
вомъ случай, одинъ измеряется по-
половиною дуги AD, а другой—поло-
другой—половиною дуги CD\ след., уголъ ABC
измеряется суммою 1/2ADJr1l2DC, a
эта сумма равна xl2{AD+DC), т.-е. 1/2АС.
3°. Центръ О лежитъ вне вписаннаго
ABC (черт. 160).
Проведя д1аметръ BD, мы будемъ
иметь: "
Z.ABC=Z.ABD—Z.CBD.
Но углы ABB и CBD измеряются,
по доказанному, половинами дугъ
AD и СВ\ след., уголъ ABC изме-
измеряется разностью 1I2ADj^-112CD, а эта
разность равна 1/2DD—CD), т.-е.
угла

— 128 —
172. СлЪдствхе 1-е. Bet вписанные углы, опирающ1еся
на одну и ту же дугу, равны между
собою (черт. 161), потому что ка-
каждый изъ нихъ измеряется полови-
половиною одной и той же дуги. Если
величину одного изъ такихъ угловъ
обозначимъ а, то можно сказать, что
сегментъ АтВ (покрытый на чертежи
штрихами) вм^щаетъ въсеб'Ь
уголъ, равный а.
черт. 161. 1>73- СлгЬдетв1е2-е. Всякш впи-
вписанный уголъ, опирающшея на д!а-
метръ, есть прямой (черт. 162), потому что каждый такой
уголъ измеряется половиною полуокружности и, сл"Ьд., со-
держитъ 90°. \
Черт. 162. Черт. 163.
174. Задача. Построить прямоугольный тре-
угольникъ по гипотенуз^ АВ и катету АС
(черт. 162).
На гипотенуз^ АВ, какъ на д1аметрй, описываемъ полуокруж-
полуокружность и изъ конца А проводимъ хорду АС, равную данному
катету. Тр-никъ АСВ будетъ искомый A73).
Это построете можно, между прочимъ, применить въ томъ
случай, когда (черт. 163) изъ данной точки А тре-
требуется провести касательную къ данной
окружности О (см. § 139). Сединивъ А съ центромъ О,
д'Ьлимъ отр'Ьзокъ АО пополамъ и изъ полученной середины Ог
описываемъ окружность рад1усомъ ОгО\ черезъ А и точки В и Вь
въ которыхъ эта окружность пересекается съ данною окружно-
окружностью, проводимъ прямыя АВ и АВг. Эти прямыя и будутъ каса-

— 129 —
D
*ч
тельными A37, 1°), такъ какъ углы OB А и 0ВгА (вписанные
во вспомогательную окружность и опирающееся на ея д1аметръ)—
прямые, и, значить, АВА-ОВ и АВ^ОВ^
175. Задача. Изъ конца А (черт. 164) данной пря-
прямой АВ, не продолжая ея, возставить къ
ней перпендикуляр ъ.
Взявъ вн-Ь прямой произвольную
точку О, опишемъ изъ нея окружность
рад1усомъ, равнымъ разстоянш между
точками О и А; черезъ точку С, въ ко-
которой эта окружность пересекается съ »\ ¦** _
прямой АВ, проведемъ д1аметръ CD и V ^q
черезъ конецъ его В и точку А про- Черт. 164.
ведемъ прямую. Эта прямая, и есть
искомый перпендикуляръ, потому что уголъ А прямой, такъ какъ
онъ вписанный и опирается на д1аметръ.
Уголъ, котораго вершина лежитъ внутри или внЪ круга.
167. Теоремы. 1°. Уголъ {ABC, черт. 165), вершина кото-
котораго лежитъ внутри круга, измЪряется полусуммою двухъ дугъ
{АС и BE), изъ которыхъ одна заключена между его сторонами,
а другая—между продолжениями сторонъ.
2°. Уголъ {ABC, черт. 166), вершина котораго лежитъ BHt
круга и стороны пересекаются съ окружностью, изм%ряется
полуразностью двухъ дугъ {АС и ЕВ), заключенныхъ между
его сторонами.
Черт. 165. Черт. 166.
Проведя хорду АВ (на томъ и на другомъ чертежахъ), мы
получимъ тр-къ ABB (покрытый штрихами), относительно ко-
А. Киоелевъ. Геометр1я.

130
тораго разсматриваемый уголъ ABC служить вн'Ьшнимъ,
когда его вершина лежитъ внутри круга (черт. 165), и в н у-
треннимъ, когда его вершина лежитъ вне круга (черт. 166).
Поэтому
въ первомъ случай: Z.ABC=Z.ADC+Z.DAE;
во второмъ случай: Z-ABC=Z.ADC—Z-DAE.
Но углы ABC и DAE, какъ вписанные, измеряются поло-
половинами дугъ АС и ВЕ\ поэтому уголъ ABC измеряется: въ пер-
первомъ случай суммою 1/2AC+1I2DE, которая равна 1/2(AC+DE),
а во второмъ случае разностью 1/2^С'—1IJDE, которая равна
1/2(AC—DE).
177. СлгЬдетв1е. Геометрическое мЪсто точекъ, изъ кото-
рыхъ данный отрЪзокъ прямой виденъ подъ даннымъ угломъ
а, и которыя расположены по одну сторону отъ этого отрЪзка,
есть дуга сегмента, вм"Ьщающаго уголъ а и построеннаго на
данномъ 0Tpt3Kt.
Пусть М (черт. 167) будетъ одна изъ
точекъ, изъ которыхъ данный отрезокъ АВ
виденъ подъ угломъ а, т.-е. допустимъ, что
прямыя МА и MB образуютъ уголъ а.
Проведемъ черезъ три точки А, М и В
окружность. Тогда часть этой окружности,
именно дуга АтВ, будетъ искомымъ геоме-
трическимъ местомъ. Действительно, изъ
каждой точки этой дуги прямая АВ видна
подъ угломъ а, потому что все вписанные
углы, опирающееся на АВ, равны углу
АМВ, который есть а. Обратно: всякая
точка, напр., N, изъ которой прямая АВ
м
Черт. 167.
видна подъ угломъ а и которая расположена по ту же сторону
отъ АВ, какъ и точка М, должна находиться на дуге сегмента
АтВу потому что, если бы такая точка лежала внутри или вне
этого сегмента, то уголъ ANB не измерялся бы половиною
дуги АпВ A76, 1° и 2°) и, след., не былъ бы равенъ а.
По другую сторону отъ АВ существуютъ также точки, изъ
которыхъ эта прямая видна подъ угломъ a; oirb расположены

— 131 —
на дуге сегмента ЛрВ, равнаго сегменту АтВ, но расположен-
наго по противоположную сторону отъ АВ.
Уголъ, котораго одна или обЪ стороны касаются
окружности.
178. Теорема. Уголъ {ACD, чертежи 168 и 169), соста-
составленный касательной и хордой, измеряется половиною дуги,
заключенной внутри его.
о !•
-в
Черт. 163.
Предположимъ сначала, что хорда CD проходить черезъ
центръ О, т.-е. что эта хорда есть д1аметръ (черт. 168). Тогда
уголъ ACD—прямой A37, 2°) и, сл'Ьд., равенъ 90°. Но и половина
дуги CrrtD также равна 90°, такъ какъ целая дуга CmD, составляя
полуокружность, содержитъ 180°. Значитъ, теорема оправды-
оправдывается въ этомъ частномъ случае.
Теперь возьмемъ обпцй случай (черт. 169), когда хорда CD
не проходить черезъ центръ. Проведя тогда д1аметръ СЕ, мы
будемъ иметь:
Уголъ АСЕ, какъ составленный касательною и д1аметромъ,
измеряется, по доказанному, половиною дуга СтЕ\ уголъ DCE,
какъ вписанный, измеряется половиною дуги DE\ сл'Ьд., уголъ
ACD измеряется разностью г12СтЕ—1/2-DB, т.-е. половиною
дуги CmD.
Подобнымъ же образомъ можно доказать, что тупой
уголъ BCD (черт. 169), также составленный касательною
и хордой, измеряется половиною дуги CnED\ разница въ дока-
9*

132 —
зательстве будетъ только та, что этотъ уголъ надо разсматри-
вать не какъ разность, а какъ сумму прямого угла ВСЕ и
остраго ECD.
179. Теорема. Уголъ (ABC, черт. 170), составленный
касательной и сЪкущей, а также и уголъ (ЛВС, черт. 171),
составленный двумя касательными, изм%ряется полуразностью
двухъ дугъ, заключенныхъ между его сторонами.
Черт. 170.
Черт. 171.
Проведя (на томъ и на другомъ чертежахъ) хорду DE, мы по-
лучимъ ДВВЕ, относительно котораго уголъ СЕВ есть внйш-
тй; след.,
Но углы СЕВ и ВВЕ, по доказанному раньше, измеряются
половинами дугъ ЕтВ и EnF на первомъ чертеже и половинами
дугъ ЕтВ и ЕпВ на второмъ чертежи; поэтому уголъ В изме-
измеряется полуразностью этихъ дугъ.
18О. Задача. На даниомъ отрезке прямой
АВ построить сегмент ъ, вмещающей дан-
данный уголъ а (черт. 172).
А н а л и з ъ. Предположимъ, что задача решена; пусть
сегментъ АтВ будетъ такой, который вм^щаетъ въ себе уголъ а,
т.-е. такой, что всякш вписанный въ немъ уголъ АСВ равенъ а.
Проведемъ вспомогательную прямую EF, касательную къ ок-
окружности въ точке А. Тогда уголъ ВАЕ, составленный каса-
тельною и хордою, долженъ равняться вписанному углу АСВ,
такъ какъ и тотъ, и другой уголъ измеряются половиною дуги

— 133 —
АпВ. Примемъ теперь во внимаше, что центръ О окружности
долженъ лежать на^перпендику-
ляр'Ь DO, проведенномъ къ от-
отрезку АВ черезъ его середину,
и въ то же время онъ долженъ
лежать и на перпендикуляр* АО,
возставленномъ къ касательной АЕ
изъ точки касашя. Отсюда выво- г
димъ следующее построете.
Построен! е. При концЪ
отрезка АВ строимъ уголъ ВАЕ,
равный углу а; черезъ середину
АВ проводимъ перпендикуляръ DO
и изъ точки А возставляемъ пер-
Черт. 172.
пендикуляръ къ АЕ. Пересечете О этихъ двухъ перпендику-
ляровъ принимаемъ за центръ и рад1усомъ ОА описываемъ
окружность.
-Доказательство. Сегментъ АтВ будетъ искомый,
потому что всякш вписанный въ немъ уголъ измеряется поло-
половиною дуги АпВ, а половина этой дуги изм^ряетъ также и
уголъ ВАЕ=а.
ГЛАВА VIII.
Вписанные и описанные многоугольники.
181. Определения. Если веб вершины многоугольника
{ABCDE, черт. 173) лежать на окружности, то говорятъ, что
что этотъ мн-къ вписанъ въ
окружность, или что окруж-
окружность описана около него.
Если вс* стороны какого-нибудь
многоугольника (MNPQ) касаются
окружности, то говорятъ, что этотъ
мн-къ о п и с а н ъ около окруж-
окружности, или что окружность в п и
сана въ него.
Черт. 173.

— 134 —
182. Теоремы. 1°. Около всякаго треугольника можно
описать окружность и притомъ только одну.
2°. Во всякш треугольникъ можно вписать окружность и при-
притомъ только одну.
1°. Вершины А, В ж С всякаго тр-ка суть три точки, не ле-
жапця на одной прямой; а черезъ татя
точки, какъ мы видели A22), всегда
можно провести окружность и притомъ
только одну.
2°. Если возможна такая окружность,
которая касалась бы всЬхъ сторонъ
тр-ка ABC (черт. 174), то ея центръ
долженъ быть точкой, одинаково уда-
удаленной отъ этихъ сторонъ. Докажемъ,
что такая точка существуетъ. Геометри-
Геометрическое место точекъ, равно отстоящихъ
ерТ' * отъ сторонъ АВ и АС, есть биссектрисса
AM угла А F7); геометрическое место точекъ, равно отстоящихъ
отъ сторонъ В А и ВС, есть биссектрисса BN угла В. Эти две
. биссектриссы должны, очевидно, пересечься внутри треуголь-
треугольника, въ некоторой точк^ О. Эта точка и будетъ равно удаленной
отъ всбхъ сторонъ тр-ка, такъ какъ она находится на обоихъ
геометрическихъ мйстахъ. Итакъ, чтобы вписать кругъ въ тр-къ,
дйлимъ кате-нибудь два угла его, напр., А и В, пополамъ и
точку пересЬчетя биссектриссъ беремъ за центръ. За рад!усъ
возьмемъ одинъ изъ перпендикуляровъ OP, OQ, OR, опущен-
ныхъ изъ центра на стороны тр-ка. Окружность коснется сто-
рсщъ въ точкахъ Р, Q, й, такъ какъ стороны въ этихъ точкахъ
перпендикулярны къ рад1усамъ въ ихъ концахъ, лежащихъ
на окружности A37, 2°). Другой вписанной окружности не мо-
жетъ быть, такъ какъ двй биссектриссы пересекаются только
въ одной точке, а изъ одной точки на прямую можно опустить
только одинъ перпендикуляръ.
183. Сл'Ьдетв1е. Точка О (черт. 174), находясь на оди-
вдковомъ разстоянш отъ сторонъ АС и ВС, должна лежать на
биссектрисе^ угла С F5); след.,

— 136 —
Черт. 175.
биссектриссы трехъ угловъ треугольника сходятся въ одной
TOHKt.
184 ВнЪвпИСанНЫЯ ОКРУЖНОСТИ. Такъ называются окруж-
окружности (черт. 175), которыя касаются одной стороны тр-ка й про-
должен1й двухъ другихъ
сторонъ (он'Ь лежатъ в н Ъ
тр-ка, всл-Ьдств1е чего и по-
получили назваше в н Ъ в п и-
с а н н ы х ъ). Такихъ окруж-
окружностей ддя всякаго треуголь-
треугольника можетъ быть три. Чтобы
построить ихъ, проводятъ бис-
биссектриссы внЪшнихъ угловъ
тр-ка ABC и точки ихъ пере-
пересечен Ш берутъ за центры. Такъ,
центромъ окружности, вписан-
вписанной въ уголъ А, служитъ точка
О, т.-е. пересечете биссектриссъ
ВО и СО внЪшнихъ угловъ, не
смежныхъ съ А\ рад1усъ этой
окружности есть перпендикуляръ, опущенный изъ О на какую-либо
сторону треугольника.
185. Теоремы. Х°. Въ выпукломъ вписанномъ четыре-
угольник% сумма противоположныхъ угловъ равна двумъ пря-
мымъ.
2°. Обратно: Если въ выпукломъ четыреугольникъ сумма про-
противоположныхъ угловъ равна двумъ прямымъ, то около него
можно описать окружность.
1°. Пусть ABCD (черт. 176) есть впи-
вписанный выпуклый четыреугольникъ; тре- В
буется доказать, что
B+B=2d и A+C=2d.
Такъ какъ сумма всЬхъ 4-хъ угловъ
всякаго выпуклаяо четыреугольника рав-
равна 4d, то достаточно доказать только
одно изъ требуемыхъ райенствъ. Дока-
жемъ, напр., что B+D=2d— Углы В и D,
какъ вписанные, измеряются: первый—половиною дуги ABC,
второй—половиною дуги ABC; сл*д., сумма В+В измеряется
суммою дугъ 112АВС+112АВС; а эта сумма равна 112(АВС+АВС),
т.-е. равна половин^ окружности; значитъ, B+B—l80°=2d.

— 136 —
2°. Пусть ABDC (черт. 177) есть такой выпуклый четыре-
четыреугольникъ, у котораго B+D=2d и, след., A+C=2d.
Требуется доказать, что около такого четыреугольника можно
описать окружность.—Черезъ кашя-нибудь три его вершины,
напр., черезъ А, В и С, проведемъ
окружность (что всегда можно сделать).
Четвертая вершина D должна нахо-
находиться на этой окружности, потому
что въ противномъ случай вершина
угла D лежала бы или внутри круга,
или вне его, и тогда этотъ уголъ не
измерялся бы половиною дуги ABC
A76, 1° и 2°); поэтому сумма B+D не
измерялась бы полусуммою дугь ADC
и ABC, т.-е. сумма B+D не равнялась бы 2d, что противо-
противоречить условно.
186. ОгЬдетв1я. 1°. Изъ всЬхъ параллелограммовъ только
около прямоугольника (и, слЪд., около квадрата) можно описать
окружность.
2°. Около трапецш можно описать окружность только тогда,
когда она равнобочная.
187. SaM^naHie. Две изложенныя теоремы о вписан-
номъ четыреугольника (прямая и обратная) приводятъ насъ
къ следующему заключена: для того, чтобы около
выпуклаго четыреугольника можно бы-
было описать окружность, необходимо и достаточно
чтобы~сумма его противоположныхъ уг-
ловъ равнялась двумъ прямымъ. Действи-
Действительно, это услов!е необходимо, такъ какъ, согласно
теорем^ 1°, во всякомъ вйисанномъ выпукломъ четыреугольнике
сумма противоположныхъ"угловъ равна 2d, и след., безъ
этого услов1я не можетъ существовать вписанный вы-
выпуклый четыреугольникъ; въ то же время это услов1е и до-
достаточно, такъ какъ, согласно теореме 2°, если въ вы-
выпукломъ четыреугольнике сумма противоположныхъ угловъ
равна 2d, то около такого четыреугольника можно описать
окружность.
Заметимъ, что необходимость какого-нибудь признака еще
не означаетъ его достаточности, равно какъ достаточность

— 137 —
какого-нибудь признака еще не влечетъ за собою его необхо-
необходимости. Напр., для того, чтобы выпуклый четыреугольникъ
былъ ромбомъ, необходимо, чтобы его дьагонали были
взаимно перпендикулярны (если есть ромбъ, то д1агонали его
взаимно перпендикулярны; значить, безъ перпендикулярности
д1агоналей ромбъ не существуешь); однако этотъ признакъ не
достаточенъ: нельзя утверждать, что если д1агонали выпуклаго
Черт. 178.
Черт. 179.
четыреугольника взаимно перпендикулярны, то такой четыре-
четыреугольникъ непременно ромбъ (при перпендикулярности д1аго-
налей выпуклый четыреугольникъ можетъ и не быть ромбомъ,
черт. 178). Другой примерь: для того, чтобы двй дуги одной
и той же окружности были равны, достаточно, чтобы
они заключались между параллельными хордами; однако это
не необходимо, такъ какъ и безъ параллельности хордъ дуги
могутъ оказаться равными (дуги А В и CD, черт. 179).
Для того, чтобы быть ув^реннымь, что некоторый признакъ А
необходимъ и достаточенъ для существовашя н^котораго свой-
свойства В, надо отдельно доказать его необходимость (если есть В,
то есть и А) и его достаточность (если есть А, то есть и В),
188. Теорема. Въ описанномъ вы-
пукломъ четыреугольникъ суммы проти-
воположныхъ сторонъ равны.
Пусть ABGD (черт. 180) будетъ опи-
описанный выпуклый четыреугольникъ,
т.-е стороны его касаются окружности;
требуется доказать, что AB+CD=
BC-\-AD.—Обозначимъ точки касатя
черезъ М, N, Р к Q Такъ какъ
Черт. 180.

— 138 —
касательный, проведенныя изъ одной точки къ окружности,
равны A40), то AM=AQ, BM=BN, CN=GP и DP=DQ
AM+MB+GP+PD=AQ+BN+NG+QD,
т.-е. AB+CD=AD+BC
189. Обратная теорема. Если въ выпукломъ четыреугольникъ равны
суммы противоположныхъ сторонъ, то въ него можно вписать окружность.
Пусть ABCD такой выпуклый четыреугольникъ (черт. 181), въ ко-
торомъ:
Требуется доказать, что въ него можно вписать окружность.—Про-
J) до р ведемъ биссектриссы ВО и СО двухъ
угловъ В и С. Эти прямыя должны пере-
пересечься, потому что сумма угловъ NBO
и NCO меньше 2d (такъ какъ # + C<4d).
Точка пересвчешя биссектриссъ должна
быть одинаково удалена отъ сторонъ
АВ, ВС и CD; поэтому, если эту точку
возьмемъ за центръ, а за рад1усъ одинъ
изъ трехъ равныхъ перпендикуляровъ
ОМ, ON, OP, опущенныхъ изъ О на
Черт. 181. стороны угловъ В и С, то окружност
коснется сторонъ АВ, ВС и CD. Дока-
жемъ, что она коснется и четвертой стороны AD. Предположимъ про-
противное, т.-е. что 4-я сторона AD не касается проведенной окружности.
Тогда проведя изъ точки А касательную къ этой окружности, мы
должны получить некоторую прямую, не сливающуюся съ AD. Пусть
это будетъ прямая АЕ, расположенная ближе къ центру О, чгЬмъ AD.
Тогда получится описанный выпуклый четыреугольникъ
АВСЕ, въ которомъ, по доказанному выше, будемъ им'Ьть:
Но по условш:
Вычтя почленно первое равенство изъ второго, найдемъ:
AD— AE = CD— CE^DE,
т.-е. разность двухъ сторонъ Д ADE равна третьей сторонЪ DE, что
невозможно E2); значитъ, нельзя допустить, чтобы касательною къ
нашей окружности была какая-нибудь прямая АЕ, лежащая ближе
къ центру О, чЪмъ AD. Такъ же можно доказать, что касательною
не можетъ быть никакая прямая АЕг, лежащая дальше отъ центра,
ч'вмъ AD; значитъ, AD должна касаться окружности, т.-е. въ четыре-
четыреугольникъ ABCD можно вписать окружность.
19О. СлЪдствХе. Изъ всЪхъ параллелограмовъ только въ рембъ (и,
., въ квадратъ) можно вписать окружность.

— 139 —
191* ЗаМ'ЬчанХв. ДвЪ изложенныя теоремы объ описанномъ
четыреугольник'в (прямая и обратная) приводятъ насъ къ следующему
заключетю: для того, чтобы въ выпуклый четыре-
угольникъ можно было вписать окружность,
необходимо и достаточно чтобы у него были равны
суммы противоположи ыхъ сторон ъ.
ГЛАВА IX.
Четыре замечательный точки въ треугольник*.
192. Центръ описаннаго и центръ вписаннаго круга.
Мы вид-Ьли A23 и 183), что:
1°, три перпендикуляра къ сторонамъ треугольника, проведенные черезъ ихъ
середины, сходятся въ одной точкЪ, которая есть цснгръ описаннаго круга;
2°, три биссектриссы угловъ треугольника сходятся въ рдной точкЪ,
которая есть центръ вписаннаго круга.
Зам'Ътиадъ (учацпеся сами могутъ убедиться въ этомъ), что центръ
вписаннаго круга всегда лежитъ внутри тр-ка, а центръ описаннаго
круга лежитъ внутри тр-ка только въ томъ случай, когда тр-къ остро-
остроугольный; въ тупоугольномъ же тр-к'в онъ лежитъ вн'Ь его, а въ прямо-
угольномъ—на середин-в гипотенузы.
Сл'вдуюцпя 2 теоремы указываютъ еще 2 замЪчательныя точки
тр-ка: 3°, пересвчеше высотъ и 4°, пересЪчеше мед1анъ.
193. Теорема. Три высоты треугольника пересекаются въ одной точкЪ.
Черезъ каждую вершину тр-ка ABC (черт. 182) проведемъ прямую,
параллельную противоположной сторон^ его. Тогда получимъ вспо-
вспомогательный /\ A-iB^C^ къ сторо-
сторонамъ котораго высоты даннаго тр-ка
перпендикулярны. Такъ какъ
С1В = АС = ВА1 (какъ противопо-
ложныя стороны параллелограммо-
мовъ), то точка В есть середина
стороны А1С1. Подобно этому, убЪ-
димся,-^что С есть середина А1В1
и А—середина BXCX. Такимъ обра-
зомъ,высоты AD, BE н CF пер-
перпендикулярны къ сторонамъ тр-ка
А1В1С1 и проходятъ черезъ ихъ
середины; а так1е перпендикуляры,
какъ мы знаемъ, пересекаются въ одной точк'Ь.
Точка, въ которой пересекаются высоты треугольника, наз. о р т о- *
центром ъ, или точкою высотъ. Эта точка въ остро-
угольномъ тр-кЪ лежитъ внутри, въ тупоугольномъ—вн'Ь его, а въ
прямоугольномъ—въ вершин'Ь прямого угла.

— 140 —
194. Теорема. Три метаны треугольника пересекаются 1ъ одной точкЪ;
эта точка отсЬкаетъ отъ каждой мед1аны третью часть, считая отъ соответ-
соответствующей стороны.
Возьмемъ въ тр-ке ABC (черт. 183)
J как1я-нибудь две мед1аны, напр. АЕ
и BD, пересекаюцпяся въ точке О, и
докажемъ, что
Для этого, раздал ивъ О Аи О В пополамъ
въ точкахъ F и G, построимъ четыре-
угольникъ DEGF. Такъ какъ прямая FG
соединяютъ середины двухъ сторонъ
тр-ка АВО, то A15) FG Ц ABnFG=1/2AB.
Прямая DE также соединяетъ середины
двухъ сторонъ тр-ка ABC; поэтому: DE \\ AB и DE=1/2AB. Отсюда
выводимъ, что DE\\FG и DE = FG; след., четыреуг^льникъ DEGF
есть параллелограммъ (99, 2°), и потому OF = OE и OG = OD. Отсюда
сл'Ьдуетъ, что OE=1/ZAE и OD==1/3 BD. Если теперь возьмемъ третью
мед1ану съ одной изъ мед1анъ АЕ или ВВ, то также убедимся, что
точка ихъ пересвчешя отсвкаетъ отъ каждой изъ нихъ х/з часть, считая
отъ соответствующей стороны; значитъ, третья мед1ана должна пере-
пересечься съ мед1анами АЕ и BD въ одной и той же точке О.
Изъ физики известно, что пересечете мед!анъ тр-ка есть его
центръ тяжести; онъ всегда, лежитъ внутри тр-ка.
УПРАЖНЕНИЯ.
Доказать теоремы:
148. Если две окружности касаются, то всякая секущая, прове-
проведенная черезъ точку касатя, отсекаетъ отъ окружностей две противо-
лежация дуги одинаковаго числа градусовъ,
148. а. Отрезки двухъ равныхъ хордъ, пересекающихся въ одной
окружности, соответственно равны.
148,Ь. Две окружности пересекаются въ точкахъ А и В;, черезъ А
проведена секущая, пересекающая окружности въ точкахъ С и D;
доказать, что уголъ CBD есть величина постоянная для всякой се-
секущей.
149. Если черезъ точку касатя двухъ окружностей проведемъ
две секуцпя и концы ихъ соединимъ хордами, то эти хорды парал-
параллельны.
150. Если черезъ точку касатя двухъ окружностей проведемъ
внутри ихъ какую-либо секущую, то касательныя, проведенныя
черезъ концы этой секущей, параллельны.
151. Если основатя высотъ тр-ка соединимъ прямыми, то получимъ
новый тр-къ, для котораго высоты перваго тр-ка служатъ биссектрис-
сами.
151,а. На окружности, описанной около равносторонняго тр-ка

— 141 —
ABC, взята произвольная точка М; доказать, что одна изъ прямыхъ:
MA, MB, МС равна сумагв остальныхъ двухъ.
152. Если около тр-ка опишемъ окружность и изъ произвольной
точки ея опустимъ перпендикуляры на стороны тр-ка, то ихъ осно-
вашя лежатъ на одной прямой (прямая Симпсона).
Задачи на построеше.
153. На данной безконечной прямой найти точку, изъ которой
другая данная конечная прямая была бы видна подъ даннымъ угломъ.
154. Построить Д по основашю, углу при вершинЪ и высотв.
155. Къ дугв даннаго сектора провести такую касательную, чтобы
часть ея, заключенная между продолженными рад1усами (ограничи-
(ограничивающими секторъ), равнялась данной длинЪ (свести эту задачу на
предыдущую).
156. Построить Д по основашю, углу при вершин'Ь и мед1ангв>
проведенной къ основашю.
157. Даны по величин^ и положешю двЪ конечныя прямыя а и Ъ.
Найти такую точку, изъ которой прямая а была бы видна подъ даннымъ
угломъ о, и прямая Ъ подъ даннымъ угломъ р.
158. Въ тр-кЪ найти точку, изъ которой его стороны были бы видны
подъ равными углами (у к а з а н i е; обратить внимаше на то, что
'каждый изъ этихъ угловъ долженъ равняться A/3d).
159. Построить Д по углу при вершин'Ь, высотЪ и мед1ангв, прове-
проведенной къ основашю (у к а з а н i е: продолживъ мед1ану на равное
разстояте и соединивъ полученную точку съ концами основашя,
разсмотр'Ьть образовавшШся параллелограмъ).
160. Построить Д, въ которомъ даны: основаше, прилежаций къ
нему уголъ и уголъ, составленный мед1ан,ою, проведенною изъ вер-
вершины даннаго угла, со стороною, къ которой эта мед1ана проведена.
161. Построить параллелограммъ по' двумъ его д1агоналямъ и
одному углу.
162. Построить Д по основашю, углу при вершин'Ь и сумм'Ь или
разности двухъ другихъ сторонъ.
163. Построить четыреугольникъ по двумъ д1агоналямъ, двумъ
сосвднимъ сторонамъ и углу, образованному остальными двумя
сторонами.
164. Даны три точки А, В и С. Провести черезъ А такую прямую,
чтобы разстояше между перпендикулярами, опущенными на эту
прямую изъ точекъ В и^С, равнялась данной длинЪ.
165. Въ данный кругъ вписать Д, у котораго два угла даны.
166. Около даннаго круга описать Д, у котораго два угла даны.
167. Построить Д по рад1усу описаннаго круга, углу при вершин'Ь
и высотв.
168. Вписать въ данный кругъ Д, у котораго известны: сумма-
двухъ сторонъ и уголъ, противолежащШ одной изъ этихъ сторонъ.
169. Вписать въ данный кругъ четыреугольникъ, котораго сторона
и два угла, не прилежацие къ этой сторон'Ь, даны.
170. Въ данный ромбъ вписать кругъ.

— 142 —
171. Въ равностороннШДвписать три круга, которые попарно касают-
касаются другъ друга и изъ которыхъ каждый касается двухъ сторонъ тр-ка.
172. Построить четыреугольникъ, который можно было бы вписать
въ окружность, по тремъ его сторонамъ и одной д1агонали.
173. Построить ромбъ по даннымъ стороне и рад1усу вписаннаго круга
174. Около даннаго круга описать равнобедренный прямоугольный Д.
175. Построить равнобедренный Д по основанш и рад1усу впи-
вписаннаго круга.
176. Построить Д по основашю и двумъ мед1анамъ, исходящимъ
изъ концовъ основашя.
177. То же—по тремъ мед1анамъ.
178. Дана окружность и на ней три точки А, В и С Вписать въ эту
окружность такой Д, чтобы его биссектриссы, при продолженш,
встречали окружность въ точкахъ А, В и С.
179. Та же задача, съ заменою биссектриссъ тр-ка его высотами.
180. Дана окружность и на ней три точки М, N и Р, въ которыхъ
пересекаются съ окружностью (при продолженш) высота, биссектрисса
и мед1ана, исходяцпя изъ одной вершины вписаннаго тр-ка. По-
Построить этотъ Д.
181. На окружности даны две точки А и В. Изъ этихъ'точекъ про^
вести две параллельныя хорды, которыхъ сумма дана.
Задачи на вычислеше.
182. Вычислить вписанный уголъ, опираюцпйся на дугу, равную
Vi2 части окружности.
183. Кругъ раздЪленъ на два сегмента хордою, делящею окруж-
окружность на части въ отношети 5:7. Вычислить углы, которые вме-
вмещаются этими сегментами.
184. Две хорды пересекаются подъ угломъ въ 36°15/32//. Вы-
Вычислить въ градусахъ, минутахъ и секундахъ две дуги, заключенныя
между сторонами этого угла и ихъ продолжетями, если одна изъ
этихъ дугъ относится къ другой, какъ 3:2.
185. Уголъ, составленный двумя касательными, проведенными
изъ одной точки къ окружности, равенъ 25°15'. Вычислить дуги,
заключенныя между точками касашя.
186. Вычислить уголъ, составленный касательною и хордою, если
хорда дЪлитъ окружность на двй части, относяцпяся, какъ 3:7.
187. Дв'Ь окружности одинаковаго рад1ус^ пересекаются подъ
угломъ въ 2/zd\ определить въ градусахъ меньшую изъ дугъ, заклю-
заключающихся между точками пересЪчешя.
ripHMtqaHie. Угломъ двухъ пересекающихся дугъ наз-
уголъ, составленный двумя касательными, проведенными къ этимъ
дугамъ изъ точки пересЬчешя.
188. Изъ одного конца д1аметра проведена касательная, а изъ
другого секущая, которая съ касательною составляетъ уголъ въ
20°30/. Какъ велика меньшая изъ дугъ, заключенныхъ между каса-
касательною и секущею?

143 -
КНИГА III
ПОДОБНЫЯ ФИГУРЫ.
ГЛАВА I
Подобие треугольниковъ.
191. Сходственный стороны. Въ этой глав* намъ
придется разсматривать тате тр-ки пли мн-ки, у которыхъ
углы одного соответственно равны угламъ другого Условимся
въ такихъ случаяхъ называть «сходственными» тЪ
стороны этихъ тр-ковъ или мн-ковъ, которыя п р и л е ж а т ъ
къ равнымъ угламъ (въ тр-кахъ татя стороны и противо-
противолежа т ъ равнымъ угламъ)
196. Лемма. Прямая (DE, черт. 184), проведенная внутри
треугольника (ABC) параллельно его сторон% (AC), OTctKaeTb
отъ него другой треугольникъ (DBE), у котораго: 1°, углы
равны соотв"Ьтственно угламъ перваго треугольника и 2°, сто-
стороны пропорциональны сходственнымъ сторонамъ этого тре-
треугольника.
1° Углы тр-ковъ соответственно равны, такъ какъ уголъ В
у нихъ обпцй, a D=A и Е=С, какъ углы соответственные
при параллельныхъ DE и АС и
сЬкущихъ АВ и СВ.
2° Докажемъ теперь, что сто-
стороны тр-ка DBE пропорщональ-
ны сходственнымъ сторонамъ
тр-ка ABC, т -е что^
: А\\\\\\\\
AWWWWW
АВ ВС АС Л
Черт. 184.
С
Для этого разсмотримъ отдельно слйдуюпце два случая.
1°. Стороны АВ и DB им'Ьютъ общую м?ру.
Разд'Ьлпмъ АВ на части, равныя этой общей м-Ьр^. Тогда BD

— 144 —
разделится на ц^лое число такихъ частей. Пусть этихъ
частей содержится m въ ВВ и п въ АВ. Проведемъ изъ точекъ
раздала рядъ прямыхъ, параллельныхъ АС, и другой рядъ
прямыхъ, параллельныхъ ВС. Тогда BE и ВС разделятся на
равныя части A13), которыхъ будетъ т въ BE и п въ ВС. Точно
такъ же DE разделится на т равныхъ частей, а АС на п рав-
ныхъ частей, при чемъ части BE равны частямъ АС (какъ про-
тивоположныя стороны параллелограммов^.Теперь очевидно, что
BD m BE m BE m
T' ~вс==1~п"
В В ВЕВЕ
2°. Стороны АВ и ВВ не имеютъ общей
м*ры (черт. 185).
Тогда стороны ВС и BE, а также и стороны АС и BE, также
не имеютъ общей меры. Действительно, если допустимъ, что
стороны ВС и BE (или АС и BE)
имеютъ какую-нибудь общую
меру, то, разделивъ ВС (или АС)
на части, равныя этой общей мере,
и проведя черезъ точки раздела
/\\\\\\\\ РЯДЪ параллельныхъ прямыхъ,
¦^\\\\\\\\\ какъ эт0 мы Делали въ случае 1-мъ,
Д ^NNNNNNNVNN q мы этими прямыми разделимъ сто-
Черт 185 роны АВ и ВВ также на равныя
части; след., тогда эти прямыя бу-
дутъ иметь общую меру, что противоречите предположетю.
Значитъ, если стороны АВ и ВВ несоизмеримы, то каждЬе изъ
трехъ отношенш:
ВВ BE BE
и
будетъ несоизмеримое.
Найдемъ приближенное значеше каждаго изъ нихъ съ точ-
точностью до 1/п. Для этого разделимъ АВ на п равныхъ частей
и черезъ точки раздела проведемъ рядъ прямыхъ, параллель1

— 145 —
ныхъ АС, и другой рядъ прямыхъ, параллельныхъ ВС. Тогда
каждая дзъ сторонъ ВС и А С разделится также на п равныхъ
частей (ИЗ). Предположимъ, что 1/п доля АВ содержится въ BD
бол-Ье. m разъ: но менЪе т+1 разъ; тогда, какъ видно изъ чер-
чертежа, Vn Д°ля ВС содержится въ BE также бол-Ье т, но мен?е
т+1 разъ, и Vn Д°ля АС содержится въ DE болЪе т, но менЪе
т+1 разъ. Сл^д.:
BD m BE m BE m
прибл.отн. — = -; лрибл|отн.^=-;прибл.отн. ^= -
Отсюда сл^Ьдуетъ, что приближенныя отношен1я, вычисленныя
съ произвольною, но одинаковою точностью, всегда равны другъ
другу; а татя несоизмеримый отношетя мы условились счи-
считать равными A59); сл?д , и въ этомъ случа-Ь можемъ написать:
BBJBEJDE
197. Замучан!©. Доказанный рядъ равныхъ отпошешй
представляетъ собою три слгЬдующ1я пропорщи:
BD BE BD DE9 BE DE
!= bc4 ва= Тс9 ~жГ ас'
Применяя къ этимъ пропорщямъ свойства числовыхъ
пропорцШ, мы можемъ переставить въ нихъ средош члены:
BD_BA BD_BA BE ВС
ШГВС' Ш~АС' Ш~~АС'
Мы видимъ такимъ образомъ, что если в ъ треуголь-
никахъ стороны пропорц1ональны, то от-
HoineHie любыхъ двухъ сторонъ одного
треугольника равно о т н о ш е н i ю сход-
ственныхъсторонъ другоготреугольника.
198. Опред'ЬленХе. Два треугольн ик а н а з.
подобными, если углы одного соответ-
соответственно равны угламъ другого и стороны
одного пропорциональны сходственнымъ
сторонамъ другого.
А. Киселев*. Геометр!я. 10

— U6 —
Что таше тр-ки возможны, доказываешь лемма предыду-
щаго параграфа, которую теперь можно высказать такъ: прямая,
проведенная внутри треугольника параллельно какой-нибудь
его сторон*, отс%каетъ отъ него подобный треугольникъ.
199. Теоремы (выражаюпця три признака подоб!я тре-
угольниковъ). Два треугольника подобны:
1°, если два угла одного соответственно равны двумъ угламъ
другого;
или 2°, если дв% стороны одного пропорщональны двумъ
сторонамъ другого, и углы, лежанье между этими сторонами,
равны;
или 3°, если три стороны одного пропорциональны тремъ сто-
сторонамъ другого.
1°. Пусть ABC и АхВ^ (черт. 186) будутъ два тр-ка, у ко-
торыхъ:
А=Аи В=Вг и, сл-бд., С=Сг.
Требуется доказать, что тате тр-ки подобны.—Отложимъ
на 4.В часть BD, равную АгВх и проведемъ DE II АС.
Тогда получимъ вспомогательный тр-къ DBE который, со-
согласно предыду-
В щей лемм-Ь, по-
добенъ тр-ку ABC.
Съ другой стороны
А№Е= ААгВгСъ
потому что у нихъ:
BD^A^ (по ш/-
строешю), S^Bj
Черт. 186. (П0 УСЛОВ1Ю) И
В=Аг (потому что
D=*A и А=А1). Но если изъ двухъ равныхъ тр-ковъ одинъ
подобенъ третьему, то и другой ему подобенъ; слйд., Д A^Ci
подобенъ Д ABC.
2°. Пусть въ тр-кахъ ABC и А^Сх дано (черт. 187):
АВ ВС
В=В1 и . — |Д J

Требуется доказать, что таюе тр-ки подобны.—Отложимъ
снова часть ВВ, рав-
равную AJB^ и проведемъ
ВЕ=АС. Тогда полу- УМ В
чимъ вспомогательный лА
Д ВВЕ, подобный Д
ABC. Докажемъ, что
онъ равенъ Д^В^.
Изъ подоб!я тр-ковъ
ABC и ВВЕ слЪдуетъ: ЧеРт- 187.-
4?=i??=^L [2]
ВВ BE BE
Сравнивая этотъ рядъ равныхъ отношетй съ даннымъ ря-
домъ [1], замйчаемъ, что пёрвыя отношешя обоихъ рядовъ
одинаковы (ВВ=А1В1 по построение); следовательно, осталь-
ныя отношешя этихъ рядовъ также равны, т.-е.
ВС ВС
Но. если въ пропорцш предыдущее члены равны, то должны
быть равны и посл'Ьдуюпце члены; значить:
Теперь видимъ, что тр-ки ВВЕ и АфхСх имйють по рав-
равному углу (В^Вх), заключенному между равными сторонами;
значить, эти тр-ки равны. Но Д ВВЕ подобенъ Д АВС\ по-
поэтому и Д A*J5xCi подобенъ Д ABC.
3. Пусть въ тр-кахъ ABC и А1В1С1 (черт. 188) дано:
АВ _ВС_ _ АС Г11
Требуется доказать, что таше тр-ки подобны.—Сд'Ьлавъ по-
строеше такое же, какъ и прежде, докажемъ, что
=Д^41В1С1. Изъ по-
доб1я тр-ковъ ABC
и ВВЕ сд^дуетъ: ж \ «п
АВ ВС AC rft1 / ^ A
Черт. 186.
Сравнивая этотъ
рядъ съ даннымъ ря-

— 148 —
домъ [Ij, зам'Ьчаемъ, что первыя отношешя у нихъ равны;
сл^д., и остальныя отношешя равны, и потому
^ ~\ откуда:
= ; откуда:
Теперь видемъ, что тр-ки JDBE и A^B-fix им^ютъ по три со-
соответственно равныхъ стороны; значитъ, они равны. Но одинъ
изъ нихъ, именно DBE, подобенъ Д ABC; сл?д., и другой,
т.-е. AxB-iPx, подобенъ д ABC.
200. Зам*чан1е onpieM* доказательства. По-
Полезно обратить внимаше на то, что пр1емъ доказательства,
употребленный нами въ трехъ предыдущихъ теоремахъ, одинъ
и тотъ же, а именно: отложивъ на сторон^ большаго треуголь-
треугольника часть, равную сходственной сторон-Ь меныпаго, и проведя
прямую, параллельную другой сторон^, мы образуемъ вспо-
вспомогательный тр-къ, подобный бблыпему данному. Посл-Ь этого,
беря во внимаше услов1я доказываемой теоремы и свойства
подобныхъ тр-ковъ, мы обнаруживаемъ равенство вспомога-
тельнаго тр-ка меньшему данному и, наконецъ, заключаемъ
9 подобш данныхъ тр-ковъ.
201. Теоремы (выражающ1я еще 2 признака подоб1я
треу^ольниковъ). Два треугольника подобны:
1°, если стороны одного соотв%тственно параллельны сторо-
намъ другого;
или 2°, если стороны одного соотвЪтственно перпендикулярны
къ сторонамъ другого.
Будемъ вести разсуждеше независимо отъ чертежа, при чемъ
это разсуждеше отнесемъ одновременно къ обЪимъ теоремамъ.
Пусть стороны угловъ А, В, С н^котораго треугольника
соответственно параллельны или перпендикулярны сторонамъ
угловъ А±, Въ Сг другого треугольника.. ТогДа углы А и Ах
или равны другъ другу, или составляютъ въ суммЬ два прямыхъ
(85 и 86); то же самое можно сказать объ углахъ В и Вь С и Сг.
Чтобы доказать подоб1е данныхъ тр-ковъ, достаточно убе-
убедиться, что каше-нибудь два угла одного изъ нихъ равны со-

— 149 —
ответственно двумъ угламъ другого. Предположимъ, что этого
н-Ьтъ. Тогда могутъ представиться сл-Ьдуюпце два случая:
1°. У треугольниковъ н4тъ вовсе попарно
равны хъ угловъ.
Тогда: A+A1=2d\ B+B1^2d; C+C1=2d,
и, сл-Ьд., сумма угловъ обоихъ треугольниковъ равна 6dL Такъ
какъ это невозможно, то этотъ случай исключается.
2°. У треугольниковъ только одна пара
равныхъ угловъ; напр., пуст*» А=АХ. Тогда:
B+Bx=2d; C+C1=2d и,
и потому сумма всЬхъ угловъ обоихъ тр-ковъ больше 4d. Такъ
какъ это невозможно, то и этотъ случай исключается.
Остается одно возможное допущеше, что тр-ки им^ютъ дв-Ь
пары равныхъ угловъ; но тогда они подобны.
2О2. Теоремы (выражаюпця признаки подоб1я прямо-
угольныхъ треугольниковъ). Такъ какъ прямые углы всегда
равны другъ другу, то на основанш доказанныхъ признаковъ
подоб1я треугольниковъ вообще мы можемъ утверждать, что
прямоугольные тр-ки подобны:
1°, если острый уголъ одного треуголь-
треугольника равенъ острому углу другого тре-
треугольника,
или 2°, если катеты о^дного треугольника
пропорц1ональны катетамъ другого.
Укажемъ еще сл'Ъдующш признакъ подоб!я прямоуголь-
ныхъ тр-ковъ, требуюпцй особаго доказательства.
Теорема. Прямоугольные треугольники подобны, если
гипотенуза и катетъ одного пропорциональны гипотенузЪ и ка-
катету другого.
Пусть ABC и АхВхСх два тр-ка (черт. 189), у которыхъ углы В
и Вг прямые и
41-4^- т

— 150
Требуется доказать, что тате тр-ки подобны.—Для доказа-
доказательства употребимъ тотъ же npieMb, которымъ мы пользо-
пользовались ран*е B00). Отложимъ BD=A1B1 и проведемъ DE \\ АС.
Тогда получимъ
вспомогательный
Д DBE, подобный
Д ABC A96). До-
кажемъ, что онъ
, равенъ Д А^хС^
Изъ подоб1я трковъ
ABC и DBE ел*-
В
7
Черт. 189.
АВ
Ш'
АО
дуетъ:
[2]
Сравнивая эту пропорщю съ данной [1], находимъ, что пер-
выя отношешя ихъ одинаковы; сл^д., равны и вторыя отно-
шен1я, т.-е.
АС АС
A?S 0ТКуда:
Теперь видимъ, что тр-ки DBE и A^fix шгЬютъ по равной
гипотенуз'Ь и равному катету; сл'Ьд., они равны; а такъ какъ
одинъ изъ нихъ подобенъ д ABC, то и другой ему подобенъ.
2ОЗ. Теорема (выражающая свойство подобныхъ треу-
гольниковъ). Въ подобныхъ треугольникахъ сходственныя
стороны пропорц1ональны сходственнымъ высотамъ, т.-е. т!>мъ,
которыя опущены на сходственныя стороны.
Действительно, если тр-ки ABC и А1В1С1 (черт. 190)
подобны, то прямо-
прямоугольные тр-ки
BAD и BiAtDx
также подобны
{А=АХ и D=
поэтому:
BD АВ
Черт. 100.
BxDi~
ВС АС

— 151 —
Можно также доказать, что въ подобныхъ
тр-кахъ сходственны я стороны пропорциональны
сходственнымъ мед1анамъ, сходственнымъ 0ис-
сектриссамъ, рад1усамъ круговъ вписанныхъ
и paдiycaмъ круговъ описанныхъ.
2О4. Задача. На данной сторон* (АгСъ черт. 191)
построить тре-
треугольник ъ, подо б- /V \ /
ный. данному (ABC).
На данной сторон* стро-
имъ тр-къ, у котораго уголъ
Аг равенъ А и уголъ Сх
равенъ С. Этотъ тр-къ
подобенъ данному A99,1°).
CAT
Черт. 191,
ГЛАВА И.
Подойе многоугольниковъ.
2О5. Лемма. Если, разбив ъ многоуголь-
многоугольник ъ ABCDE... (черт. 192) на треугольники М,
N, Р,..., мы построимъ на какой-нибудь ко-
конечной прямой АгВг д Мг подобный Д itf,
зат'Ьмъ на сторон-Ь его Afix построимъ
подобный д N, дал'Ье на сторон* А^Вл по-
построимъ Д Ръ подобный ДР, и т. д., наблю-
наблюдая при этомъ, чтобы- подобные треуголь-
треугольники были одинаково расположены, то мы
получимъ такой мнсггоугольникъ AiBiCxD^x...
у котораго: 1°, уг-
углы соответствен-
соответственно равны угламъ
многоугольника
ABCDE... и 2°,сторо-
ны пропорц1ональ-
ны сходственнымъ
сторона.мъ этого
многоугольника. Черг. 192.
1°. Равенство угловъ мн-ковъ сл'Ьдуетъ изъ равенства угловъ
тр-ковъ; такъ, В=Вг и Е=ЕЪ какъ равные углы подобныхъ

— 162 —
тр-ковъ (М и Мъ Р и Рх), А=Аг, С=СЪ D=DX..., какъ суммы
угловъ, соответственно равныхъ другъ другу.
2°. Пропорциональность сторонъ мн-ковъ слйдуетъ изъ про-
пропорциональности сторонъ подобныхъ тр-ковъ. Действительно,
мы можемъ написать сл'Ьдуюнце ряды равныхъ отношенШ:
АВ ВС АС
Изъ подоб1я М и Мх —77 =-7-7, = -Т7Т ;
А1п1 п±Ь1 ЛхОх
AC CD AD
Изъ подойя N и Nx -Xj=c& = J?\
AD DE EA
Изъ подобш Р и Рг Х? = Щ=^
Разсматривая эти отношен1я, замечаемъ, что последнее отно-
шен1е 1-го ряда есть вместе съ темъ первое отношеше 2-го ряда,
а последнее отношеше 2-го ряда есть вместе съ темъ первое
отношеше 3-го ряда; отсюда заключаемъ, что все отношешя
этихъ трехъ рядовъ равны между собою. Возьмемъ изъ нихъ
только те, въ которыя входятъ стороны данныхъ многоуголь-
никовъ; тогда и получимъ лропорщональность сторонъ:
АВ ВС CD BE EA
. Изъ пропорщональности сторонъ двухъ мн-ковъ
совершенно такъ же, какъ это было сделано нами раньше для
тр-ковъ A97), можно вывести, что если въ мн-кахъ
стороны пропорциональны, то отношен1е
любыхъ двухъсторонъ одного мн-ка равно
OTHomeHiio. сходственны хъ сторонъ дру-
другого мн-ка.
2О6. Определение. Два одноименныхъ*)
многоугольника наз. подобными, если
углы одного равны соответственно угламъ
Другого и стороны одного пропорц1ональ-
ны сходственны мъ сторонамъ другого.
Что тате многоугольники возможны, показываетъ лемма
предыдущаго параграфа, которую можно теперь высказать
такъ: два многоугольника подобны, если они состоять изъ оди-
*) Напр., два пятиугольника, два шестиугольника и т. д., вообще
два многоугольника, имЪюцие одинаковое число угловъ.

— 163 —
наковаго числа подобныхъ и одинаково расположенныхъ тре-
угольниковъ.
- 2О7. ЗамЪчат^е. Для тр-ковъ, какъ мы видели A99),
равенство угловъ влечетъ за собою пропорциональность сто-
сторонъ и, обратно, пропорциональность сторонъ влечетъ за собою
равенство угловъ; всл'Ьдств1е этого для тр-ковъ одно равенство
угловъ или одна пропорциональность сторонъ служить достаточ-
нымъ признакомъ ихъ подоб1я. Для мн-ковъ же одного равенства
угловъ или одной пропорщональности сторонъ еще не достаточно
для ихъ подоб1я; напр., у квадрата и прямоугольника углы равны,
но стороны не пропорциональны, у квадрата же и ромба стороны
пропорциональны, а углы не равны.
Сл'Ьдуюнця 2 теоремы выражаютъ главнМппя свойства по-
подобныхъ многоугольником*
2О8. Теорема. Подобные многоугольники (ABCDE и
А^С^Е^ черт. 193) можно разложить на одинаковое число
подобныхъ и одинаково расположенныхъ треугольниковъ.
Подобные многоугольники можно разложить на подобные
тр-ки различными способами. Укажемъ одинъ изъ нихъ.—
Возьмемъ внутри мн-
ка ABCDE про-
произвольную ТОЧКУ О
и соединимъ ее со
всЬми вершинами.
Тогда мн-къ ABCDE
разобьется на столь-
столько треугольниковъ,
сколько въ немъ сто-
сторонъ. Возьмемъ одинъ изъ нихъ, напр., АОЕ, (покрытый на
чертеж'Ь штрихами), и на сходственной сторон^ А1Е1 другого
многоугольника построимъ углы O^iEi и OJE-^A^ соответ-
соответственно угламъ ОАЕ и ОЕА\ точку пересЬчетя Ох соединимъ
съ прочими вершинами мн-ка A1B1C1D1E1. Тогда и этотъ мн-къ
разобьется на то же число тр-ковъ. Докажемъ, что тр-ки перваго
многоугольника соответственно подобны тр-камъ второго много-
многоугольника. ААОЕ подобенъ ДЛ^Ех по построенш. Чтобы

— 154 —
доказать подоб1е сосЬднихъ тр-ковъ АВО и A^BxOl4 примемъ
во внимаше, что изъ подоб1я мн-ковъ, между прочимъ сл'Ьдуетъ:
ВА АЕ
"и изъ подоб1я тр-ковъ АОЕ и AyOyEi выводимъ:
АО АЕ
^ОАЕ^О^Е, и —Г— . [2]
Изъ равенствъ [1] и [2] сл'Ьдуетъ:
ВА АО
/_ВАО=?В1А1О1 и
Теперь видимъ, что тр-ки АВО и A^fix имеютъ по равному
углу, заключенному между пропорциональными сторонами; зна-
читъг+дци подобны.
Совершенно такъ же докажемъ подоб1е сл'Ьдующихъ тр-ковъ
ВСО и ВхСхОх, загЬмъ тр-ковъ COD и СХО^Х и т. п. При этомъ
очевидно, что подобные тр-ки въ обоихъ мн-кахъ одинаково
расположены.
SaMtnaHle. Точку О (черт. 193) мы можемъ взять и на
какой-нибудь сторон* мн-ка, и въ вершин* любого угла его
и даже вне мн-ка (въ последнемъ случае получатся тр-ки, частью
выступаюшде за контуръ мн-ка).
2О9. Теорема. Периметры подобныхъ многоугольниковъ
относятся, какъ сходственныя стороны.
Пусть мн-ки ABCDE и АхВхС^хЕх (черт. 193) подобны; тогда
по. определенно:
АВ ВС CD DE ЕА
Изъ алгебры известно, что если имйемъ рядъ равныхъ отно-
шенШ, то сумма всЬхъ предыдущихъ членовъ относится къ суммй
всЬхъ посл'Ьдующихъ, какъ какой-нибудь изъ я^едыдущихъ
членовъ относится къ своему последующему; поэтому:
AB+BC+CD+DE+EA АВ ВС

— 155 —
ПримЪръ. Если сторона одного многоугольника бол'Ье
сходственной стороны другого многоугольника, подобнаго ему,
въ 2 раза, 3 раза, 4 раза и т. д., то и периметръ перваго много-
многоугольника бол^е периметра второго въ 2 раза, 3 раза, 4 раза и т. д.
21О. Задача. На данной сторон* АгВг (черт. 192)
построить многоугольникъ,подобный дан-
данному многоугольнику ABCDE.
Разбивъ данный многоугольникъ на тр-кп М, N, Р, строятъ,
согласно лемм* § 205, на данной сторон* А1В1 тр-къ Мъ по-
подобный тр-ку М, загЬмъ на сторон* АХС±—тр-къ АГЬ подобный
тр-ку JV, п т. д., наблюдая при этомъ, чтобы тр-ки были одинаково
расположены въ об*ихъ фпгурахъ. Полученный такимъ обра-
зомъ мн-къ Аг Вг Сг Ох Ег подобенъ данному.
ГЛАВА III.
Фигуры, подобно расположенный.
211. ОпреД'Ьле^е. Пусть намъ дано: какая-нибудь фи-
фигура F (черт. 194), точка S, которую мы назовемъ центром ъ
подоб1я, , и отвлеченное число я, которое мы назовемъ о т н о-
ш е н ieMb по доб1я. Возьмемъ въ фигурЪ F произвольную
точку А и черезъ нее изъ центра подоб1я S проведемъ полупрямую SA.
Найдемъ на этой полупрямой
такую точку Alt чтобы отно-
шен1е SАх : SA было равно
числу к-(если к<1, то точка Аг
расположится между S и А,
какъ у насъ на чертёж'Ь,
если же О 1, то точка Ах бу-
детъ лежать за точкой А).
Возьмемъ какую-нибудь дру-
другую точку В фигуры F и сд-Ъ- Черт. 194.
лаемъ для нел то же построеше,
какое мы указали для Аи т.-е. черезъ В проведемъ изъ S полупрямую
и на ней найдемъ такую точку Ви чтобы отношете SBX : SB равнялось
тому же числу к. Вообразимъ теперь, что, не изменяя положешя
точки S и величины числа к, мы для каждой точки фигуры F находимъ
указаннымъ путемъ соответствующую точку; тогда геометрическое
м-всто вс-вхъ этихъ.точекъ составитъ н-Ькоторую новую фигуру F±.
Фигура Flt полученная такимъ образом ъ, на з.
фигурой, подобно расположенной съфигурой
F относительно центра лодоб1я S при дан.
номъ отношен1и п о доб1я к.

1 — 156 -
Полупрямыя 8AXi SB1...i проводимыя изъ центра подоб1я черезъ раз-
личныя точки фигуры F, наз. лучами по до б!я; точки Л и Alt
В и Bj и т. д. наз. сходственными точками фигуръ F и F±-
Изъ сказаннаго следу етъ, что если Fx есть фигура, подобно распо-
расположенная съ фигурой F относительно центра подоб1я S при отношенш
подоб1я я, то, обратно, F есть фигура, подобно расположенная съ фи-
фигурой Fx относительно того же центра подоб1я 8, но при отношенш
подоб1я равномъ не я, а обратному числу 1/к.
Подобно расположенную фигуру можно получить еще иначе.
Вместо того, чтобы точки Alt Вг... сходственныя съ точками ^4, В...
фигуры F, находить на лучахъ подоб1я (т.-е. по ту же сторону отъ центра
подоб1я #, по которую отъ него расположены точки Л, 5...), можно
брать ихъ на продолжен1яхъ лучей подоб1я, по другую сторону
отъ 8. Тогда мы получимъ фигуру F1X (черт. 194), которая тоже подобно
расположена съ фигурой F относительно центра подоб1я 8 при томъ
же отношенш подоб1я к. Для отлич1я первое изъ указанныхъ нами
подобш въ расположении наз. прямымъ, а второе—обратнымъ *).
212. Зам*Ёчан1е. Фигуры Fx и Fn (черт. 194) равны
между собою. Действительно, изъ равенствъ:
SAtl : SA — к и 8Аг : 8А — к
следуетъ: 8Alx=-SAi\ подобно этому SB^^SBy^ и т. д. Поэтому, если
секторъ SAB,.., содержацлй фигуру Ft повернемъ въ плоскости
вокругъ точки F на 180°, то точка А1 совместится съ Alu точка Вг
совместится съ Вц... и т. д.; значитъ, фигура ^совместится съ фи-
фигурой Fu.
213. Теорема. Фигура, подобно расположенная съ 0Tpt3K0Mb прямой
(АВ, черт. 1У5), есть так^.е OTptaoKb прямой (А1В1 или Аг1Вг1); этотъ
отр%зокъ параллеленъ первому и им* тъ съ нимъ одинаксвоэ направлен1е при
прямомъ подобЫ и €1роти,ополонное при обратномъ; OTHoneHie этого отр*зка
къ первому равно отноидешю подоб1я.
Будемъ говорить сна-
сначала только о прямомъ
подобш.
Найдемъ точки Ах и
В1у сходственныя съ
концами А и В дан-
наго отрезка; эти точки
должны лежать на лу-
лучахъ SA и SB и удо-
Черт. 195. влетворять равенствамъ
SAX : SA = SBX : SB —к, где к есть отношение подоб1я. Соединивъ
*) Подоб1е въ расположенш (прямое и обратное) наз. въ некоторыхъ
нашихъ руководствахъ (по образцу французскихъ) словомъ «г о м о т е-
т i я», и фигуры, подобно расположенныя, наз. тогда «гомотетичными».
Мы избегаемъ этихъ неблагозвучныхъ иностранныхъ названШ.

— 167 ~
Аг съ В± прямой, докажемъ, что A-fi-^W АВ и что АХВХ : АВ=к. Тр-ки
SAXBX и SAB подобны, такъ какъ они имЪютъ по равному углу (при
общей вершине $), заключенному между пропорциональными сто-
^ронами. Изъ ихъ подоб1я следуетъ, во 1, равенство угловъ и, след.,
параллельность сторонъ AXBX и АВ\ во 2, пропоруюнальность сто-
ронъ: АУВХ : AB=SAX : SA=n.
Теперь докажемъ, что полученный нами отрЪзокъ АХВХ есть фигура,
подобно расположенная съ отрЪзкомъ АВ. Для этого возьмемъ какую-
нибудь точку М на АВ и проведемъ лучъ 8М; пусть Мг б/детъ точка,
въ которой ототъ лучъ пересекается съ АхВг. Тр-ки SA1M1 и SAM
под( бны, такъ какъ углы одного равны соответственно угламъ другого
(вслгЬдств1е параллельности сторонъ АгВг и АВ). Изъ ихъ подоб1я
сл^дуетъ: SMX : SM = SAX : SA = к; значичъ, точка Мх есть точка,
сходственная съ М. Такимъ образомъ, какую бы точку М на АВ мы
ни взяли, сходственная ей точка Мх лежитъ на АХВХ. Вообразимъ
теперь, что точка М перемещается по АВ отъ А къ В\ тогда сходствен-
сходственная ей точка Мх будетъ перемещаться отъ Аг къ Ви оставаясь по-
постоянно на отрезке А1В1. Значитъ, этотъ отрезокъ и будетъ фигурой,
подобно расположенной съ АВ.
То же самое можно повторить и для обратнаго подоб1я. При этомъ
изъ чертежа непосредственно усматриваемъ, что направлеше отрезка
АХВ±, получающагося при прямомъ подобш, одинаково съ направле-
н1емъ АВ, а направление отрезка АХХВХХ, получающагося при обрат-
номъ подоб!и, противоположно направлетю АВ.
214. Теорема. Фигура, подобно расположенная съ многоугольникомъ
(ABCD, черт. 196) есть также многоугольникъ {A-lB1C1D1 илиАиВпСиОи);
этотъ многоугогьникъ подобенъ первому, при чемъ отношен!е сторонъ его
къ сходственнымъ сторонамъ перваго многоугольника равно отношен'ио подоб'ш.
Согласно доказанному выше B13), фигура, подобно расположенная
съ мн-комъ ABCD, должна быть образована такими отрезками пря-
Черт, 196.
мыхъ, которые параллельны сторонамъ даннаго мн-ка и находятся
къ нимъ въ отношенш, равномъ отношешю подоб1я; след., фи-
фигура A1B1C1D1 (и AXXBXXC1XDX1) есть мн-къ, у котораго стороны про-
порц1ональны сторонамъ даннаго мн-ка. Съ другой стороны, такъ
какъ отрезки АХВХ, В1С1... имгЬютъ одинаковое направлеше съ отрез-

— 168 —
ками ABt ВС,..., аотрЪзки A1XB1X, ВпСи,.... имЪютъ противоположное
направлеше съ отрезками АВ, ВС,..., то (85) углы мн-ковъ A1B1C1D1
и АцВ^СцВ^ равны соответственно угламъ мн-ка ABCD\ значитъ,
эти мн-ки подобны.
215. ЗаМ'ЪчаШе. Мы видимъ такимъ образомъ, что прямолинейный
фигуры, подобно расположенныя, оказываются вмЪстЪ съ тъ\мъ и
подобными B06). Поэтому фигуры эти наз. фигурами подобными
и подобно расположенными.
216. Теорема. Фигура, подобно расположенная съ окружн сетью (центра
О, черт. 197) есть также окружность; центръ (Ot или О1Х) этой окружности
лежитъ въ TOHKt, сходственной съ центромъ первой окружности; отношежэ
рад"|>са этой окружности къ рад|усу перзол гавно отношению подоб1я.
Пусть S есть центръ подоб1я и к отношеше подоб1я (на нашемъ
чертежЪ мы взя-
взяли й=У2)- Возь-
мемъ въ данной ок-
окружности произ-
вольный рад1усъ
О А и построимъ
отр'взокъ ОХАХ, по-
подобно расположен-
Черт. 197. ныйсъотр'ЬзкомъОЛ.
По доказанному раньше B13) О1А1\\ О A hOj^ : ОА = к, т.-е. О1А1 = ОА.к
= Rk, ели буквою R обозначимъ рад1усъ даннаго круга. Изъ посл'вд-
няго равенства видно, что длина ОгАх не изм-Ьняется при HSM-BHenin
положешя рад1уса О А. Поэтому если станемъ вращать этотъ рад1усъ
вокругъ центра О, то подобно расположенный отр'Ьзокъ О1А1 будетъ
вращаться вокругъ точки Ои при чемъ длина его не будетъ изменяться;
значитъ, точка ^опишетъ при этомъ окружность, которой центръ есть
Ог и рад1усъ й1} удовлетворяющ1й равенству: R1 = O1A1~OA.k — Rk.
Такъ же докажемъ, что теорема остается верной и при обратномъ
подоб1и (получается окружность центра Ои съ рад1усомъ ОпАп).
217. Теорема. Всяк я дв% окружности можно разематривать, какъ по*
добно расположенныя относительно н-Ькоторыхъ центровъ подоб'т.
в
Черт. 198,
Пусть (черт. 198) О и Ог будутъ центры двухъ окруленостей и R
и R1 ихъ рад1усы. Возьмемъ каше-нибудь рад1усы О А и О1А1, парал-

— 169 —
лельные между собою, и черезъ концы ихъ А и Ах проведемъ неогра-
неограниченную прямую. Пусть точка пересвчетя этой прямой съ лишей
центровъ будетъ S. Докажемъ, что эту точку можно разсматривать
какъ центръ прямого подоб1я данныхъ окрулхистей. Изъ построешя
видно, что
SO1_O1A1_ Пг
80~~!Та~~ К
Поэтому, если, взявъ за центръ прямого подоб1я точку S и за
отношете подоб1я число k=Rx : R, мы пастроимъ фигуру, подобно
расположенную съ окружностью О, то, согласно предыдущей теоремъ1,
эта фигура и будетъ окружность 0г. Значитъ, дв-в данныя окружности
суть фигуры?, подобно расположенныя относительно центра прямого
подоб1я S,
Такъ же убедимся, что если возьмемъ параллельные рад1усы О А
и 0гА1и которыхъ направлешя противоположны, и черезъ концы
ихъ А и Ац проведемъ прямую, то эта прямая пересвчетъ лишю
центровъ въ точк'в 8lt которую можно принять за центръ обратнаго
подоб1я данныхъ окружностей.
Если рад1усы R и Rx данныхъ окружностей будутъ равны, то пря-
прямая ААХ не пересвчетъ линш центровъ; въ этомъ случай не суще-
ствуетъ прямого подоб1я, а есть только обратное.
218. ЗамЪчаше. Вообразимъ, что лучъ подоб1я SA (черт. 198)
все болЪе и бол-ве отклоняется отъ лин1и центровъ. Тогда точки А и В,
въ которыхъ этотъ лучъ пересекается съ окружностью О, будутъ
все бол^е и бол^е сближаться между собою; при этомъ и сходственныя
имъ точки Аг и Вх будутъ также сближаться между собою, и въ тотъ
моментъ, когда точки А и В сольются въ одну точку М, точки Ах и Вх
также сольются въ одну точку Ми и тогда лучъ подоб1я сдвлается
общею внешнею касательною къ даннымъ окружностямъ. Такимъ
образомъ, общая внешняя касательная къ 2-мъ
окружностямъ (если она существуетъ) проходитъ
черезъ центръ S ихъ прямого подо б1я. Такъ же
можно разъяснить, что общая внутренняя касатель-
касательная къ 2-мъ окружностямъ (если она существуетъ)
проходитъ черезъ центръ Sx ихъ обратнаго
п о д о б i я. Добавлеше: «если она существуетъ» мы должны сделать
потому, что центры подоб1я 2-хъ окружностей существуютъ всегда
(по крайней м^рь1 обратнаго подоб1я), тогда какъ обция касательныя
существуютъ не всегда (см. зам^чан1е къ задач-в § 142).
Указанное свойство общихъ касательныхъ даетъ простой способъ
ихъ построешя. Найдя центры S и Sx прямого и обратнаго подоб1я
двухъ окружностей (посредствомъ проведен1я параллельныхъ ра-
д1усовъ ОА, 01А1 и 0хАп^ черт. 198), черезъ каждый изъ нихъ про-
водятъ касательныя къ одной изъ двухъ окружностей; эти касательныя
должны касаться и другой окружности.

— 160 —
ГЛАВА IV.
Некоторый теоремы о прспоршонзльныхъ лишяхъ.
219. Теорема. Стороны угла, пересЬкаемыя рядомъ па-
параллельныхъ прямыхъ, разсЬкаются ими на пропорцшнальныя
части.
Пусть стороны угла ABC (черт. 199) разсЬкаются рядомъ
параллельныхъ прямыхъ; DDi,
ЕЕЪ FFi... на части:
БД DE, EF (сторонаВС);
Ш)ь D1E1,EF1 (сторонаВС).
Требуется доказать, что части
одной стороны пропорщональ-
ны соотв'Ьтствующимъ частямъ
ругой стороны, т.-е. что:
BD __ DE _ EF
Ш^ "
Черт.199.
(или: BD : DE=BD± :
DE : EF=D1E1 : E^; и т. д.)
Проводя вспомогательные прямыя DM, EN..., параллель-
ныя В А, мы получимъ тр-кн BDDU DEM, EFN..., которые
вей подобны между собою, такъ какъ углы у нихъ соответ-
соответственно равны (всл'Ьдств1е параллельности прямыхъ). Изъ ихъ
подоб1я сл^дуетъ A97, зам'Ьчан1е):
BD
EF
DE
Ъ~М
Зам'Ьнивъ въ этомъ ряду равныхъ отношешй отр'Ьзокъ DM
на D1E1, отр'Ьзокъ EN на ЕгЕъ... (противоположныя стороны
параллелограммовъ равны), мы получимъ то, что требовалось
доказать.
220. GJTfeACTBie. Дв-Ьпрямыя {АВ и АгВъ черт. 200),
перес'Ькаемыя рядомъ параллельныхъ
прямыхъ {ССЪ DDi, -БЕх...), разсЬкаются ими
на пропорц1ональныя части.

161
Предположимъ сначала, что прямыя АВ и Л,ВТ т*р парал-
параллельны. Тогда он* обра-
зуютъ н*который уголъ.
Прим*няя къ этому углу
предыдущую теорему,, мо-
жемъ написать:
СВ _ BE __ EF _
\yJLJ-t U-iUj-i J-j-im1 \
(части сторонъ угла, при- Черт. 200.
мыкаюшдя къ его вершин*, мы отбрасываемъ).
Если теперь допустимъ, что АВ\\АХВЪ то пропорщональ-
ность частей этихъ прямыхъ не нарушается и въ этомъ случа*,.
такъ какъ тогда соотв*тственныя части не только пропорщо-
пропорщональны, но и равны (CD=CiDi, ВЕ—В^ и т: д.).
221. Обратная теорема. Если на сторонахъ угла рт-
ложимъ отъ вершины пропорц'юнальныя части, то прямыя,
соединяющ'ш соотвЪтственные концы ихъ, параллельны.
Пусть на сторонахъ угла ABC (черт. 201) отложены огь
вершины
на сторон* ВС части: ВВ, DE......
на сторон* В А части: ВВЪ DiEv..\
и пусть части одной стороны пропорщональны застймъ другой
стороны, т.-е.: - - -
ВВ BE
Требуется доказать, что прямыя ВВЪ ЕЕХ..Л пат)я.ттлельны.
Предположимъ, что эти пря-
прямыя непараллельны. Тогда,
проведя черезъ точку Е
прямую, параллельную ВВХ
G7), мы получимъ н*которую
линш, не сливающуюся съ
ЕЕХ\ пусть это будетъ прямая
ЕЕп. Согласно предыдущей
теорем*, мы будемъим*ть: Черт. 201.
ВВ BE . ВВ BE
Е1 Ен
—-= —- ; но но условш: ™ =
i$Dx U\&\\
11

— 162 —
D1Eil=ZIjBI, что при нашемъ предположенш невоз-
невозможно; значитъ, нельзя допустить, чтобы прямыя DDX и ЕЕг
быАж непараллельны; остается принять, что DDXII ЕЕг.
222. Теорема. ДвЪ параллельныя прямыя (MN и м^г,
черт. 202), ррес-Ькаемыя рядомъ прямыхъ {ОА, ОБ, ОС, ....),
исходящихъ\изъ одной и той же точки (О), разсЪкаются ими
на лропорфональныя части.
Требуете^доказать, что части: АВ, ВС, CD,... прямойMiVnpo-
порпдональны частямъ АгВъ
ВгСъ CjD^..прямой М^г.—
Изъ подоб1я тр-ковъ ОАВ и
ОАгВх A96), загбмъ тр-ковъ
ОВС и ОВ1С1 выводимъ:
АВ ВО ВО ВС
Откуда:
АВ
ВС
Черт. 202.
Подобнымъ же образомъ доказывается пропорщональность
и прочихъ частей.
223. Задача. Разделить отр'Ьзокъ прямой
АВ (черт. 203) на три части пропорционально
ряду Щ\^п:р, гд-Ь т, п и р суть данные
отрезки прямой, или данныя числа.
т Проведя неограниченную пря-
прямую АС подъ произвольнымъ
угломъ къ АВ, отложимъ на
ней отъ точки А части, равныя
! прямымъ m, n и р. Точку F,
составляющую конецъ р, соеди-
няемъ съ В и черезъ точки отло-
отложения проводимъ прямыя, па-
параллельныя BF. Тогда^В разде-
разделится въточкахъ2)иЕначасти,
Черт. 203» пропорщональныя т:п:р B19).
Если т, п и р'означаютъ кашя-нибудь числа, напр., 2, 5, 3,
то построеше выполняется такъ же, съ тою разницей, что на АС
откладываются отрезки, равные 2, б и 3 произвольнымъ едини-
цамъ длины.

163 —
Конечно, указанное построеше применимо къ дЪлешю не
только на 3 части, но и на какое угодно иное число частей.
224. Задача. Къ тремъ даннымъ отр'Ьзкамъ
прямой а, Ъ и с найти
ц1ональный (черт. 204),
т.-е. найти такой отр^зокъ
прямой ж, который удовле-
творялъ быпропорцш: а : Ъ =
=с : х.—На сторонахъ про-
извольнаго угла ABC откла-
дываемъ части: BD=a,BF=b,
DE=c. Соединивъ зат'Ьмъ D
и F, проводимъ EG \\ DF. От-
Отр'Ьзокъ FG будетъ искомый
B19) *).
226. Задача. На б е з к о-
нечной прямой MN'
(черт. 205) найти точки,
четвертый пропор-
Черт. 204.
которыхъ разстоян1я
отъдвухъ данныхъ точекъ in В этой пря-
прямой относились бы, какъ т : п (тип или данные
отрезки прямой, или данныя числа).
Черезъ А и В проводимъ каюя-нибудь дв'Ь параллельныя
прямыя и на нихъ откладываемъ АС=т и BD=BE=n (если
шип числа, напр., т=3, п—2, то мы возьмемъ отр^зокъ АС,
равный 3 какимъ-ни-
будь единицамъ дли-
длины, а отрезки BD и
BE, равные 2 такимъ
же единицамъ). За-
гЬмъ проведемъ пря-
прямыя черезъ точку С
и каждую изъ точекъ
Е и D. Очевидно, ка-
каковы бы ни были m и
п, прямая СЕ всегда
пересечется съ MN
205,
*) Отр'Ьзокъ с можно откладывать, такъ же какъ и а, отъ вершины
угла В\ тогда и отрЪзокъ х отложится тоже отъ этой вершины. При
такомъ построенш nponopniiTa : Ъ = с : х выводится изъ подоб1я тр-ковъ

— 164 —
въ некоторой точки F; прямая же CD пересечется съ MN только
въ томъ случай, если тфп, причемъ точка пересЬчешя G будетъ
лежать направо отъ В, если т^>п (какъ у насъ на чертежи),
или налево отъ А, если т<Сп. Докажемъ, что точки F и G удо-
влетворяютъ требованш задачи. Действительно, изъ подобья
треугольниковъ ACF и FBE, а зат^мъ изъ подоб!я тр-ковъ
ACG и BDG находимъ:
FA :FB=AC :ВЕ=т:п
GA : GB=AC : BD=m : п..
Кром-Ь этихъ двухъ точекъ на прямой MN нЪтъ ни одной точки
удовлетворяющей треСован1Ю задачи. Действительно, если точку F
(черт. 206) передвинемъ ближе къ Л, то FA уменьшится, a FB уве-
увеличится, потому стпошеше FА : FB уменьшится; если же точку F
N
Kir • ¦ г г г
Г 1а, v» Vjij
Черт. 206.
перем'Ьстимъ ближе къ В, то 2М увеличится, a F5 уменьшится, и
погэму отношете FA : FB увеличится. Значитъ, между А и В, кромЪ
точки F, не можетъ существовать никакой другой точки, разстоянля
которой отъ А и В относились бы между собою, какъ т : п.
Возьмемъ теперь какую-нибудь точку Gu лежащую между В и {?, и
допустимъ, что
GxA : GXB = GA : GB=s)n * w.
Чтобы доказать невозможность этой пропорцш, составимъ изъ
нея следующую производную пропорц1ю:
{GXA—GXB) : GXB=(GA—GB) : OB,
т.-е. 4В : GXB=AB : (?В;
Откуда получимъ: GXB = GB.
Такъ какъ это равенство невозможно, то значитъ, невозможна и
допущенная нами пропорщя, и потому нельзя допустить, чтобы между
А и G существовала какая-нибудь точка, удовлетворяющая требо-
вашямъ задачи. -Такъ же можно доказать, что никакая точка 6г2,
лежащая направо отъ С?, не-можетъ удовлетворить этимъ требовашямъ.
Наконецъ, если возьмемъ какую-нпбудь точку if, лежащую на»
л'Ъво отъ А, то для нея, очевидно, КА^КВ, и потому отношеше
ЦА : KB меньше \ иг сл'Ъд., оно не можетъ равняться отношению

— 165 —
ж : п, которое больше 1 при w>n (если m<n, то точка G будетъ
находиться налево отъ А9 а направо отъ В не будетъ ни одной точки,
удовлетворяющей задач-Ь).
1°. Когда пг=п, существуетъ только одна
точка (лежащая на середин^ между 4 и В), которая удовлетво-
удовлетворяете требованш задачи, такъ какъ разстояшя какой-нибудь
другой точки прямой MN отъ точекъ А и В не могутъ быть
равными.
2°. О точкахъ F и G, удовлетворяющихъ пропорцш
FA : FB=GA : GB=m : п, говорятъ, что они д'Ьлятъ въ дан-
номъ отношенш m : п отр^зокъ АВ (черт. 205) внутрен-
внутреннимъ и вн'Ьшнимъ образомъ (точкаFвнутреннимъ,
а точка G вн'Ьшнимъ); говорятъ также, что точки F ж G д'Ьлятъ
отрйзокъ АВ гармонически.
226. Теорема. Биссектрисса любого угла треугольника,
, какъ внутренняго, такъ и вн-Ьшняго, пересЬкаетъ противопо-
противоположную сторону или ея продолжете въ такой точкЪ, которой
pa3CT0flHifl ОТЪ КОНЦОВЪ ЭТОЙ СТОРОНЫ Пр0П0рЦ|0НаЛЬНЫ COOTBtT-
ственно другимъ сторонамъ треугольника.
Пусть (черт. 207) BD есть биссектрисса внутренняго, a BD1—
биссектрисса вн^шняго угла тр-ка ABC. Требуется доказать,
что точки В и Dx Д'Ьлятъ сторону АС внутреннимъ и вн'Ьшнимъ
образомъ на части, пропорщональныя сторонамъ В А и ВС,
т.-е., что:
oDABA o DXA BA
Черезъ вершину С проведемъ ЕЕХII АВ до пересЬчешя съ обеими
биссектриссами (80, 1°). Тр-кн ABB и ВЕС подобны (углы при В
равны, какъ вертикальные, уг. 1=уг. 5, какъ углы внутр.
накрестъ лежанце при параллельныхъ); точно такъ же подобны
тр-ки АВВг и СЕ^В^ Изъ подоб!я ихъ находимъ:
ВА_ВА ВХА__ В А
~BC~~EC [1]; В?~Ё №
Чтобы перейти отъ этихъ пропорцш къ тЗшъ, которыя требуется
доказать, достаточно убедиться, что ЕС=ВС и СЕг=ВС. Такъ

— 166 —
какъ уг. 2=уг. 1 (по условш) и уг. 5=уг. 1 (какъ внутренше
накрестъ лежащее при параллельныхъ), то уг. 2=уг. б, и потому
въ ДЕВС стороны ЕС и ВС равны; съ другой стороны, уг.
3=уг.4 (по условш) и уг.6=уг.4 (какъ углы внутр. накр. лежапце
при параллель-
параллельныхъ); значитъ уг.
3=уг. 6, и потому
въ ДВСЕг стороны
СЕг и ВС равны.
Зам'Ьнивъ теперь
въ пропорщяхъ [1 ]
и [2] отрезки ЕС
и СЕг на ВС, полу-
чимъ гё пропор-
щи, которыя тре-
требовалось доказать.
Численный прим'Ьръ. Пусть АВ=Ю, ВС=1 и
АG=6. Тогда биссектриссы BD и ВВг опред'Ьляютъ точки В и 2)ь
которыхъ разстоян1я отъ А у С можно найти изъ пропорцш:
DA 10 DXA 10
Черт. 207.
откуда:
т.-е.
значитъ:
DA+DC
DA
6
DA
60
DA~ri
DC
17
10
17
10
7 Z>!
DXA
и ¦¦ т
6
Т7 И Б,
С
)^
3
10
А =
7
G
60
"з
3
10'
= 20.
Зам1эЧан1е. Для биссектриссы вн-Ьшняго угла тр-ка теорема
не применима въ томъ случай, когда этотъ внйштй уголъ лежитъ
при вершин^ равнобедреннаго тр-ка. Действительно,
легко доказать, что въ этомъ случай (если АВ—ВС, черт. 207)
биссектрисса BDX параллельна АС.
227. Обратная теорема. Если прямая, исходящая изъ
вершины треугольника, пересЬкаетъ противоположную сторону
(или ея продолжеше) въ такой точк*Ь, которой разстояшя до
концовъ этой стороны пропорцшнальны соответственно двумъ

-- 167 —
другимъ сторонамъ, то она есть биссектрисса угла треуголь-
треугольника (внутренняго или внЪшняго).
Пусть DhBj (черт. 208) двЪ точки, удовлетворяюнця про-
порщямъ:
DABA В}АВА: ., V;,'
Требуется доказать, что прямыя BD и BDX д'Ьлятъ пополамъ:
первая внутреншй, а вторая вьгЬшнШ уголъ тр-ка ABC,
Проведя черезъ точку С прямую ЕЕг \\ АВ, найдемъ изъ по-
%об\я треугольниковъ: т ^
Ш_ВА D}A_BA. ," к ;: : >
Сравнивая пропорцш [3] съ [1] и [4] съ [2], находимъ: *>.-.. .
Поэтому въ тр-к* BJSC равны у!\лы 2 и 5, а въ треугольник^
ВЕгС равны углы 3 и 6; но уг. 5=уг. 1 (какъ внутренне накр.
лежащ1е при пар.) и уг. 6=уг. 4 (по той же причин'Ь);-сл'Ьд.,
уг. 2—уг. 1 и уг. 3=уг. 4, т.-е. BD и BD± суть биссектриссьь
228. Теорема. Геометрическое мЪето точекъ, которыхъ разстоятя отъ
двухъ данныхъ точекъ А и В находятся въ постоянномъ отношен!и m : п,
есть окружность, когда m не равно п, и прямая, когда тп=п.
Предположимъ сначала, что m не равно п. Тогда на безконечной
прямой, проходящей черезъ А и В (черт. 209), можно найти двЪ точки
принадлежащая искомому геометрическому мЪсту B25). Пусть это
будутъ точки С и С1э т.-е.
СА : С5==т : п и СХА : С^^т : п.

— 168 —
Предположимъ теперь, что существуетъ еще какая-нибудь точка М,
не лежащая на прямой АВ и удовлетворяющая пропорпш:
МА : МВ = т : п.
Проведя СМ и МС1у мы должны заключить B27), что первая изъ
©тихъ прямыхъ есть биссектрисса угла АМВУ а вторая—биссектрисса
угла BMN; всл-вдсг^е этого уголъ С MClt составленный изъ двухъ
половинъ с м е ж -
'N ныхъ угловъ, долженъ быть
прямой, а потому вершина
его- М лежитъ на окруж-
окружности, описанной на ССХ,
какъ на д1аметръ\ Такимъ
образомъ, мы дбказали, что
всякая точка М, принадле-
принадлежащая искомому геометри-
геометрическому м'всту, лежитъ на
окружности ССХ. Теперь
докажемъ обратное пред-
ложеше, т.:е., что всякая
Черт. 209.
точка этой окружности принадлежитъ геометрическому мвсту.
Пусть М есть произвольная точка этой окружности. Требуется
доказать, что МА : МВ = т : п. Проведя черезъ В прямую DE\\ AM,
(Тудемъ им-вть сл'Ъдуюцпя пропорцш:
МА : BD = C1A : СгВ = т : п; A)
МА : ВЕ= СА : СВ = т : п. B)
Откуда BD = BEti
т.-е. точка В есть середина прямой DE. Такъ какъ уголъ СМСХ впи-
вписанный и оцирается на д1аметръ, то онъ прямой; поэтому &DME
прямоугольный. Bcjr^CTBie этого, если середину В гипотенузы DE
примемъ 8а центръ и опишемъ окружность, то эта окружность пройдетъ
черезъ Ж;"значитъ, BD = MB. Подставивъ теперь въ продорщю A)
на М'Ьсто BD равную ей прямую MBt будемъ им'Ьть:
, МА: МВ = т : п.
Когда т~п, разсматриваемое геометрическое М'Ьсто, очевидно, обра-
обращается въ прямую, перпендикулярную къ отрезку АВ въ его середин*.
ЗаМ'ЪчанХе. Окружность, о которой говорится въ этой теоремъ,
известна подъ назван]емъ Аполлон'ювой окружности (Аполлон! й—
греческШ геометръ, живили за 2 вЪка до Р. Хр.).

— 169 —
Г Л А В А V. ¦ ,
Числовыя зависимости между элементами треуголь-
треугольника и нЪшорыхъ другихъ фигурь.
229. Теорема. Въ прямоугольномъ треугольник перпендику-
ляръ, опущенный изъ вершины прямого угла на гипотенузу,
есть средняя пропорцшнальная между от^зками гипотенузы,
а каждый катетъ есть средняя пропорцшнальная между гипо-
гипотенузой и прилежащимъ къ этому катету отрЪзкомъ.
Пусть AD (черт. 210) 'есть перпендикуляра*, опущенный изъ
вершины прямого угла А на гипотенузу ВС. Требуется доказать
слйдуюпця три пропорцш:
BD_A? ВС АВ ВС АС
AD
АВ DB*
AC DC
Первую пропорцш мы до-
докажемъ изъ подоб1я тр-ковъ
ABC и ADC, у которыхъ AD
общая сторона. Эти тр-ки по-
подобны, потому что острые углы,
обозначенные на чертежи одни-
одними и т$ми же цыфрами, равны
вслйдств1е перпендикулярности Черт. 210.
ихъ сторонъ (86, 87). Возьмемъ въ AABD г? стороны BD и AD,
которыя составляютъ первое отношеше доказываемой пропорцш;
сходственными сторонами въ /\ADC будутъ AD и DC\ поэтому:
BD : AD=AD : DC.
Вторую пропорцш докажемъ изъ подоб1я тр-ковъ ЛВС и
ABD, у которыхъ АВ общая сторона. Эти тр-ки подобны, потому
что они прямоугольные, и острый уголъ В у нихъ общШ. Въ
ААВС возьмемъ т? стороны ВС и АВ, которыя составлдють
первое отношеше доказываемой пропорцш; сходственными сто-
сторонами въ AABD будутъ АВ и BD\ поэтому:
BC:AB=AB:BD
Третью пропорцш докажемъ изъ подоб1я^гр-ковъ ABQ и ADC
у которыхъ АС общая сторона. Эти тр-ки подобны, цртоМу что
'ойи оба прямоугольные и имйють обпцй острый уголъ С Въ

— 170 —
АЛВС возьмемъ стороны ВС и АС] сходственными сторонами
въ &ADC будутъ АС и DC\ поэтому:
ВС : АС=АС : DC.
23О.-Сл'Ьдетв1е. Пусть А (черт. 211) есть произвольная
точка окружности, описанной на д1аметргЬ ВС. Соединивъ концы
д!аметра съ этою точкою, мы по-
лучимъ прямоугольный тр-къ ABC,
у котораго гицотенуза есть д1а-
метръ, а катеты суть хорды. При-
Применяя доказанную выше теорему къ
этому треугольнику, приходимъ
Черт. 211. къ следующему заключенно:
Перпендикуляръ, опущенный изъ какой-либо точки окружности
на д1аметръ, есть средняя пропорцтнальная между отрЪзками
д1аметра, а хорда, соединяющая ату точку съ концомъ д|'аметра,
есть средняя пропорцшнальная между д1аметромъ и прилежа-
щимъ къ хорд-fe отрЪзкомъ его.
231. Задача. Построит?» среднюю nponop.ijio-
нальнуюмеж.дудвумяконечными прямыми
а и Ъ.
.. Предыдущее сл/Ьдств1е позволяетъ решить эту задачу двоя-
кимъ путемъ.
1°. На произвольной прямой (черт. 212) откладываемъ
;, части АВ=а и ВС=Ъ\ на
АС, какъ на д1аметр?, описы-
ваемъ полуокружность; изъ В
возставляемъ до пересЬчетя
съ окружностью перпендику-
перпендикуляръ BD. Этотъ перпендику-
перпендикуляръ и есть искомая средняя про-
Черт. .212.
порщональная между АВ и ВС.
2°. На произвольной прямой (черт. 213) откладываемъ отъ
точки А части а и Ъ. На большей изъ
этихъ частей описываемъ полуокруж-
полуокружность. Проведя изъ конца меньшей
части перпендикуляръ къ АВ до
пересбчешя его съ окружностью въ
точки D, соединяемъ А съ D. Хорда
В
^ , Черт, 213.
АВ есть средняя пропорциональная между аи I.

— 171
232. Теорема. Если стороны прямоугольнаго треугольника
измЪрены одною единицею, то квадратъ числа, выражающаго
гипотенузу, равенъ сумм* квадратовъ чиселъ, выражающихъ
катеты.
Пусть ABC (черт.214)
есть прямоугольный тре-
угольникъ и AD пер-
пендикуляръ, опущен-
опущенный на гипотенузу изъ
вершины прямого угла.
Тогда, какъ было дока-
доказано B29),
ВС : АВ=АВ : BD
и ВС : АС=АС : DC.
Когда стороны даннаго треугольника и отрезки гипотенузы
выражены числами, то мы можемъ применить къ этимъ
пропорщямъ свойство числовыхъ пропорщй, по кото-
которому произведете среднихъ членовъ равно произведетю край-
нихъ:
АВ2=ВС . BD и АС2=ВС . DC.
Сложивъ эти два равенства, получимъ то, что требовалось
доказать:
AB2+AC2=BC(BD+BC)=BC . ВС=ВС2.
Эту теорему обыкновенно выражаютъ сокращенно такъ:
Квадратъ гипотенузы равенъ суммЪ квадратовъ катетовъ.
ПримЪръ. Положимъ, что катеты,измеренные какою-нибудь
линейною единицею, выражаются числами 3 и 4; тогда гипоте-
гипотенуза въ той же единиц* выразится числомъ ж, удовлетвс ряющимъ
уравнешю: ж2=32+42=^9+1|В=25; откуда: ж=1^25=5 *).".
233. Численный прим^не^я. Пусть а, Ь, с, Ь,Ъ' и с'
(зерт. 214) будутъ числа, выражаюпця въ одной и той же еди-
ниц* стороны, высоту и отрезки гипотенузы прямоугольнаго
гр-ка ABC. На основанш предыдущихъ теорэмъ мы можемъ
вывести слйдуюпия 5 уравненШ, связывающ!я эти 6 чиселъ:
с*=ас'; Ь2=аЪ'; Ь,2=Ъ'с'; '
*) См. ниже § 323 о «Пиеагоровыхъ» треугольникахъ.

— 172 —
Изъ этихъ уравненШ только перщя четыре самостоятельны,
а последнее состдвляетъ слЪдстте двухъ первыхъ; вслгЬдств1е
этого уравнешя поз?оля|отъ по даннымъ двудоъ изъ щестичиселъ
находить остальныя четыре.
Для примера положимъ, что намъ даны отрезки гипотенузы:
Ь'=5 метрамъ и с'=7 метр.; тогда:
а=Ъ'+с'=12; c=/oc7=Kl2 . 7=/"Й=9,16б... "
b=Vab'=Vl2 . 6=V60=7,745...
h=WP=VT7rГ =/"86=6,916...
234. Сл*детв1б. Квадраты катетовъ относятся между
собою, какъ прилежание 0Tpt3KM гипотенузы. Действительно,
изъ уравнен1й предыдущаго параграфа находимъ;
с2:Ь2=ас' :аЬ'=с' :Ъ\
235. Замйчаше. Въ посл'Ьдующихъ теоремахъ мы будамъ
сокращенно говорить: «квадратъ стороны» вместо: к в а д р.а%т>:ъ
числа, выражающаго сторону, или «произве-
ден1е прямыхъ» вместо: произведение чиселъ,вы-
ражающ И'3с.ъ п р я м ы я. При этомъ будемъ подразуме-
подразумевать, что прямыя измерены одною и тою же единицею,,.
236. Теорема. Во всякомъ треугольник квадратъ сто-
стороны, лежащей противъ остраго угла» равенъ суммЪ квадратовъ
двухъ другихъ сторонъ безъ удвоеннаго произведения какой-ни-
какой-нибудь изъ этихъ сторонъ на отр-Ьзокъ ея отъ вершины остраго
угла до высоты.
Пусть ВС есть сторона тр-ка ABC (черт. 215 или 216),* лежа-
лежащая противъ остраго угла А, и BD высота, опущенная на какую-
лй^о изъ остальных^ сторонъ, напр./на АС (или на продолжите
АС). Требуется доказать, что ' *
г , , ВС2=АВ2+АС2—2АС . AD.
Йзъ ирямоугрлгьнаго тр-ка BDCjвыводимъ:
BC*=BD2+DC2 . [1]

— 173 —
Определи мъ каждый жзъ квадратовъ BD2 и DC2, И&ъ прямо-
угольнаго тр-ка BAD находимъ величину BD\ а именно:
BD2^=AB2—AD2. [2]
: Черт, 215. Ti Черт. 216.
Оъ другой отороны:1^ ==AC—AD (черт. 215) или DC=AD—AC
(черт. 216). Ёъ обоихъ случаяхъ для DC2 получимъ одно и то же
выражете:
- ' • J)C2==(AC—AJ}J=AC2—2AC . AD+AD2):
DC2=(AD—ACJ=Ap2—2AD . АС+АС2
^Teiepb ^айенство [1] можно переписать такъ:
*=АВг—AD2-\-AC2—2AC . AD+AD*. ¦
L J*
Это равенство, послЬ уничтожешя подчеркнутыхъ членовъ
—AD2 и +AD2, и есть то самое, которое требовалось доказать.
ЗамЪчаже. Теорема эта остается верною и тогда, когда
уголь С прямой; тогда отрйзок^ CD обратится въ нуль, т.-е.
АС сд^й^тсй раиной AD, и мы будемъ им^ть:
ВС2=АВ2+АС2—2АС2=АВ2'-АС2,
что согласуется съ теоремою о квадратЬ гипотенузы B32).
237. Теорема. Въ тупоугольномъ треугольник квадратъ
стороны, лежащей противъ тупого утла, равенъ суммЪ квадра-
квадратовъ двухъ другихъ сторонъ, сложенной съ удеоеннымъ произ-
веден'|емъ какой-нибудь изъ этихъ сторонъ на 0Tpt30K-b ея
продолжетя отъ вершины тупого угла до высоты.

— 174 —
- Пусть, АВ есть сторона тр-ка ABC (черт. 217), лежащая про-
противъ тупого угла, С и BD—высота, опущенная на какую-либо
изъ остальныхъ сторонъ; требуется доказать, что
АВ2=АС2+ВС2+2АС . CD.
д Изъ прямоугольныхъ тр-ковъ ABD
и CBD выводимъ:
AB2=BD2+AD2; [l]
BD2=BC2—CD2. [2]
Но AD*={AC+CD)*=
=АС2+2АС . CD+CD2. [3]
^ Зам-Ьнивъ въ равенств* [1] BD2
Черт. 217. и AD2 ихъ вкражешями изъ ра-
венствъ [2] и [3], найдемъ:
AB2=BC2—CD2+AC2+2AC . CD+CD2.
Такъ какъ подчеркнутые члены—CD2 и +CD2 взаимно уничто-
уничтожаются, то это равенство и есть то, которое требовалось доказать.
238. CjrfeflCTBiei Изъ трехъ посл'Ьднихъ теоремъ выю-
димъ, что квадратъ стороны треугольника равенъ, меньше или
больше суммы квадратовъ другихъ сторонъ, смотря по тому,
будетъ ли противолежащШ уголъ прямой, острый или тупой;
отсюда сл'Ьдуетъ обратное предложеше E1):
Уголъ треугольника окажется прямымъ,
острымъ или тупым ъ, смотря по тому, бу-
будетъ ли, квадратъ противолежащей сто-
стороны равенъ, меньше или больше суммы
квадратовъ другихъ сторонъ.
ПримЪръ, Стороны тр-ка равны:
1) 5Г 3, 4. Такъ какъ 52=32+42, то уголъ, лежащШ противь
стороны 5, прямой.
2) 8, 4, 7. Такъ какъ 82<42+72, то уголъ, лежащШ противъ
стороны 8, острый.
3) 8, 4, 5, Такъ какъ 82>42+б2, то уголъ, лежапцй противъ -
стороны 8, тупой.

— 175 —
В
239. Теорема. Сумма квадратовъ д1агоналей параллело*
грамма равна сумм* квадратовъ его сторонъ.
Изъ вбрпшнъ В и С (черт. 218)
параллелограмма ABCD опу-
стимъ на основате АВ перпен-
перпендикуляры BE и CF. Тогда изъ
тр-ковъ ABD и ACD находимъ:
ВВ2=АВ2+АВ2—2АВ . АЕ\
AC2=AB2+CB2+2AD . DF.
Прямоугольные тр-ки ABE и DGF равны, такъ какъ они
им'Ьютъ по равной гипотенуз^ и равному острому углу; поэтому
AE=DF. Зам-Ьтивъ это, сложимъ два выведенный выше равен-
равенства; .тогда подчеркнутые члены взаимно уничтожатся; и мы
получимъ:
BD2+AC2=AB2+AD2+AD2+CD2=AB2+AD2+
+BC2+CD2.
240. Вычисление выеотъ треугольника по его
сторонамъ. Если в(рлины тр-ка обозначены большими бук-
буквами А, В и С, то численныя величины сторонъ этого тр-ка.
обыкновенно обозначаютъ соответственными малыми буквами
а, Ъ и с, причемъ буквою а обозначаютъ ту сторону, которая
лежитъ противъ угла А, буквою Ъ—ту сторону, которая лежитъ
противъ угла В, и т. д. Численную величину высоты тр-ка обык-
обыкновенно обозначаютъ буквою h (первая буква французскаго
Б
a
Черт. 219.
Черт. 220.
слова hauteu r—высота), сопровождаемою (внизу) одною
изъ малыхъ буквъ: а, Ъ и с. Такъ, высота, опущенная на сторону

— 176 —
d\ обозначается fia, высота, опущенная на сторону Ь, обозна-
обозначается Ъъ, и т. д.
Определишь ha (черт. 219 и 220) въ зависимости отъ сторонъ
тр-ка. Обозначать отрезки стороны а (продолженной въ случай
тупого угла С, черт. 220) такимъ образомъ: отр*зокъ ВТ), прп-
лежапцй къ сторон* с, черезъ с', а отр*зокъ DC, прилежащШ
къ сторон* Ь, черезъ Ь'. Пользуясь теоремою о квадрат* стороны
тр-|са, лежащей противъ остраго угла B36), можемъ написать:
Ъ*=а2+с2—2ас'.
Изъ этого уравнетя находимъ отр*зокъ с':
О 7~~ ~
2а
этого изъ тр-ка ABD опред'Ьляемъ высоту, какъ катетъ:
2a
Такимъ же дутемъ можно опред*лить въ зависимости отъ
сторонъ тр-ка численныя величины Ьь и Ье высотъ, опущенныхъ
ш стороны Ъ и'с. - j - •
241. Вычиелеше мед1анъ треугольника по его
еторонамъ. Численная величина мед1аны тр-ка обыкновенно
обозначается буквою т (начальной бук-
буквой слова median e—средняя), со-
сопровождаемою (внизу) одною изъ ма-
ленькихъ буквъ а, Ъ и с въ зависимости
отт> стороны тр-ка, къ которой прове-
проведена обозначаемая мед1ана. Опред*лимъ
величину та мед!аны, проведенной къ
сторон* а (черт. 221). Для этого про-
должимъ мед!ану на разстоян!е DE=AD
и соединимъ точку Е прямыми съ В л С.
Тогда мы получимъ параллелограммъ
А ВВС A01). Прим*нивъ къ нему теорему
о сумм* квадратовъ д!агоналей B39),
получимъ:
Черт. 221/-
а2+BтаJ=2Ъ2+2с2\ откуда: 4ть2=2Ъ2+2с2—а2
*) Ниже, въ § 313. будетъ дана бол'Ье простая фор^мула для высоты.

177
и, сл'Ьд.:
m.= -
Подобнымъ же образомъ можемъ найти величины га4 и т,
мед1анъ, проведенныхъ къ сторонамъ Ъ и с.
242. Теорема Птоломея. *) Произведете д1агоналей
вписаннаго выпуклаго четыреугольника равно сумм% произведе-
произведена противоположныхъ сторонъ его.
Пусть АС и ВВ суть д1агонали вписаннаго выпуклаго четыре-
четыреугольника (черт. 222); требуется доказать, что
АС . ВВ=АВ . СВ+ВС . AD,
гд? подъ обозначетями АС> BD и пр. разумеются числа,
измеряющ!я д!агонали и стороны въ одной и той же линейной
единиц"Ь.
С
Черт. 222. Черт. 222а.
Построимъ уголъ ВАЕ, равный углу ВАС (меньшему изъ
двухъ угяовъ, на которые уголъ А делится д!агональю АС)\
пусть Е будетъ точка пересЬчетя стороны этого угла съ д1аго-
налью ВВ. Тр-ки ABE и ABC (покрытые на чертеж* штрихами)
подобны, такъ какъ у нихъ углы В я С равны, какъ вписанные,
опираюпцеся на одну и ту же дугу АВ, а углы при общей вер-
шин'Ь А равны по построенш. Изъ подоб!я этихъ тр-ковъ выво-
выводимы
АВ : АС=ВЕ : CD; откуда: АС . ВЕ=АВ . СВ.
Разсмотримъ теперь другую пару тр-ковъ, а именно: ABC и
АЕВ (тр-ки эти на черт. 222,а покрыты штрихами). Они подобны,
*) К л а в д i й Птоломей известный астрономъ, живили
. въ Александрш во 2-мъ в-бк-б по Р. Хр.
А. Кнселевъ. Геометр1я.
12

— 178 —
такъ какъ у нихъ углы ВАС и ВАЕ равны, какъ суммы соот-
соответственно равныхъ угловъ, а углы АСБ и ABB равны, какъ
вписанные, опирающееся на одну и ту же дугу А В. Изъ ихъ
подоб!я сл*дуетъ:
ВС : ED=AC : AD; откуда АС . ЕВ^ВС . АВ.
Сложивъ полученныя два равенства, находимъ:
АС(ВЕ+ЕВ)=АВ . СВ+ВС .АВ,
т.-е. АС . ВВ=АВ . СВ+ВС . АВ.
Зам-Ъчаше. Подобнымъ же сбразомъ можно было бы до-
доказать, что если выпуклый четыреугольникъ не вписанный,
то въ немъ произведете д1агоналей меньше суммы произве-
произведений протввоположныхъ сторонъ; поэтому теорема, обратная
Птоломеевой, в*рна.
243. Задача. По даннымъ р а д i у с у В я двумъ
хордамъ а_иЬ окружности вычислить длину
третьей хорды, которая стягиваетъ дугу,
равную:
хордами
сумм* дугъ.
а и Ь, 2°
стягиваемыхъ
разности этихъ дугъ.
1°. Пусть хорда а (черт. 223) стя-
стягиваетъ дугу MN, а хорда Ъ—дугу
NP\ требуется вычислить хорду
МР = ж, которая стягиваетъ дугу
MNP, равную сумм* дугъ MN
и NP.—Проведя черезъ точку N, въ
которой сходятся данныя хорды
а и Ь, д!аметръ NQ, соединимъ Q
прямыми съ точками М и Р. Тогда
мы получимъ вписанный четыре-
четыреугольникъ, у котораго д1агоналями
служатъ: МР=х и NQ=2R. Тр-ки QMN и QNP прямоуголь-
прямоугольные, первый при вершин* М, второй—при вершин* Р A73);
поэтому:
Черт. 223.
Прим*нивъ теперь теорему Птоломея, получимъ уравнеше:
изъ котораго найдемъ х (разд*ливъ об* части уравнешя на 2R).

— 179 —
2°. Пусть хорда а (черт. 224) стягиваетъ дугу MN, а хорда
Ь—дугу NP; требуется вычислить хорду МР=ж, которая стя-
стягиваетъ дугу, равную разности дугъ MN и NP.
Проведя снова черезъ точку N,
въ которой сходятся 2 данныя хор-
хорды, д1аметръ NQ и соединивъ Q
съ М и Р, получимъ вписанный
четыреугольникъ. Изъ прямоуголь-
ныхъ тр-ковъ QMN и QPN находимъ:
)=V NQ2—MN2=V 4 Д2—a2,
и PQ=V NQ2—PN2=^±R2-b2. Черт. 224.
Прим'Ьнивъ теорему Птоломея, получимъ уравнете:
aV 4R2—Ь2= 2 Rx+bV 4 R2—a2,
изъ котораго опред'Ьлимъ ж.
Зам'6чан1е. Задачу эту можно высказать и такъ: п о
двумъ даннымъ сторонамъ а и Ъ треуголь-
треугольника и рад!усу R описанной около него
окружности вычислить третью сторону
этого треугольника. Задача эта вообще им^егь
2 рЗжешя, потому чтопрямыя а и Ъ могутъ быть отложены или
по разныя стороны отъ д!аметра NQ (черт. 223), или по одну и ту
же сторону отъ него (черт. 224). Если большая изъ двухъ данныхъ
сторонъ равна 2Й, то получается одно р-Ьшеше, а если эта сто-
сторона превосходитъ 2R, то задача невозможна.
244. Теорема. Отношеше Д1агоналей вписаннаго выпуклаго четыре*
угольника равно отношемю суммы произведена сторонъ, сходящихся въ кон-
цахъ первой д1агонали, въ суммЪ произведен1й сторонъ, сходящихся въ кон*
цахъ второй д1агонали.
Обозначимъ численныя величины сторонъ
вписаннаго выпуклаго четыреугольника ABCD
(черт. 225) буквами а, Ъ% с и d и его д1аго-
налей буквами,» у. Докажемъ, что
х ad-\-hc
у ab-\-cd
Тр-ки AFB и FDC (покрытые штрихами) по-
подобны, такъ какъ углы одного соответственно Черт. 225.
12*

„ 180 _
равны угламъ другого; по той же причин'в подобны и тр-ки ADF
и FBQ. Изъ ихъ подоб!я выводимъ:
а _ AF__ BF.
с ~ DF~~ СЕ' W
d _ DF_ AF
T~~CF~~~~BF' И
И«ъ втихъ пропоруШ находимъ:
сь d
Откуда: 4F = -f- (-?-• CF)=Tc GF
(id ( (id \
и, сл'Ьд.: ж= AC~AF-\- CF—-r-. CF + CF=\ т— + 1 ) CF.
ОС \ ОС J
ad-[-be Qp roi
be
Пользуясь гимн же равенствами [l] и [2J, получимъ:
=—. CF4-~r. CF=( г-т ). OF,.
с ' b \ с b J '
т.-е. V
Разд-вливъ равенство [3] на [4], получимъ ту nponopyiio, которую
требовалось доказать (be и CF сократятся).
245. Вычислен!е д!агоналей вписаннаго четыреуголь-
НИКа ПО его СТОронамъ. Пользуясь теоремой Птоломея и
теоремой объ отношенш д1агоналей вписаннаго четыреугольника, мы
легко можемъ вычислить отдельно каждую его д!агоналъ, если из-
в'Ъстны всЬ стороны. Такъ, для чертежа 225-го мы будемъ имЪть:
х ad-\-bc
^ -
Если эти 2 равенства почленно перемножимъ и зат'вмъ почленно
разд-влимъ, то получимъ (по извлечен!!! квадратнаго корня):
(ab + cd)
ali-t-cd ' У V ad + bc
Зам'Ътимъ для памяти, что въ числителе подкоренной величины
первый множитель есть сумма произведенШ противоположныхъ сто-
ронъ, а второй—сумма произведенШ сторонъ, сходяцлихся въ кониахъ
определяемой д1агонали, знаменатель же предста-
вляетъ сумму произведенШ сторонъ, сходяфихся въ кониахъ дру-
другой д i а г о н а л и *).
*) Въ предыдугиихъ издан1яхъ этой книги (до 21-го) для вычислешя
Д1агоналей вписаннаго четыреугольника указывался (въ § 214) иной
способъ, независимый отъ теоремы Птоломея и отъ теоремы объ отноше-
Hin д!агоналей, при чемъ эти дв-Ь теоремы разематривались, какъ прэ-
стыя слгбдств1я изъ формулъ, опред'Ьляюфихъ диагонали. Въ перерабо-

— 181 —
246. Теорема. Если черезъ точку, взятую внутри круга,
проведены какая-нибудь хорда и д1амётръ, то произведете от-
рЪзковъ хорды равно произведен^ отр%зковъ Д1аметра.
Пусть черезъ точку М (черт. 226)
проведена какая-нибудь хорда АВ и
д1аметръ CD; требуется доказать, что
МА . МВ=МС . MD.
Проведя 2 вспомогательные хор-
хорды АС и Ш), мы получимъ два тр-
ка АМС и MBD (покрытые на чер- ХЛТ~ " J"u
теж-fc штрихами), которые подобны, Р*Ч^ ^s'
такъ какъ у нихъ углы Ая В равны, ч 226
какъ вписанные, опираюнцеся на - *
одну и туже дугу ВС, и углы С я В равны какъ вписанные,
опирающееся на одну и ту же дугу AD. Изъ подоб1я ихъ вы-
выводимы
MA : MD=MC : MB; откуда: МА . МВ=МС . MD.
247. Сл*дств1е. Если черезъ точку (Му
черт. 386), взятую внутри круга, проведены
несколько хордъ (АВ, EF, KL.*.), то произве-
Д?ц1е отр-Ьзковъ каждой хорды есть число
постоянно ед>л я вс'Ьхъ этихъ хордъ, такъ какъ
щщ щщой хорды это произведете равно произведешю отр^з-
ко1Ъ ^а^етра CD, проходящаго черезъ взятую точку М.
8** ^р постоянное число равно квадрату рад1уса,
умньшенному на квадратъ разстоян1я
ваа?ой точки отъ центра.
Дф^ЯШ^ельно, обозначивъ рад1усъ круга черезъ В и раз-
стоян!ё МО (черт. 226) черезъ d, будемъ им-Ьты
MC^R—d, MD=R+d;
МА . МВ=МС .
танномъ 21-мъ изданш (и въ сл^дующихъ) въ числ* многихъ другнхъ
изм*нен1й, мы сочли полезнымъ изложить классическое доказательство
теоремы Птоломея, имеющей весьма большое самостоятельное зна-
чен1е; но тогда вычислеше д!агоналей всего удобнее основывать,
какъ это сделано въ текств, на теорем* Птоломея и теорем^ § 244,

— 182 —
248. Теорема. Если изъ точки, взятой вн% круга, прове-
проведены къ нему какая-нибудь секущая и касательная, то произве-
произведете секущей на ея внешнюю часть равно квадрату касатель-
касательной (предполагается, что сЬкущая ограничена второю точкою
пересЬчешя, а касательная—точкою касашя).
Пусть изъ.точки М (черт. 227), проведены какая-нибудь cfe-
кущая МА и касательная МС\ требуется доказать, что
МА . МВ=МС2.
Проведемъ вспомогательная
хорды АС и ВС; тогда полу-
чимъ два тр-ка MAG и МВС
(покрытые на чертежи штрихат
ми), которые подобны, потому
что у нихъ уголъ М обпцй, и
углы МСВ и CAB равны, такъ
какъ каждый изъ нихъ измеряется половиною дуги--ВС A78,
171). Возьмемъ въ A MAC стороны МА и МС\ сходственными
сторонами въ Д МВС будуть МС и МВ\ поэтому
Черт. 227.
Ожуда:
МА : МС=МС : MB.
МА . МВ=МС2.
249. Cn^ACTBie. 1°. Если изъ точки (ЛГДерт. 227),
взятой вне круга, проведены къ нему не-
несколько с^кущихъ (МА, MD, ME...), то п р о и з-
веден1е каждой секущей на ея в $ ЧШ:н ю ю
часть есть число постоянное для веб хъ
этихъ сЬкущихъ, такъ какъ для каждой сбкущей это
произведёте равно квадрату касательной (МС2), проведенной
черезъ точку М.
v 2°~. Это постоянвгое число равно квадрату раз-
стояндя взятой точки отъ центра, умель-
ше иному на квадра.тъ рад1уса.

— 183 —
Действительно, проведя рад1усъ ОС, получимъ прямоуголь-
ный треугольникъ МСО, изъ котораго находимъ:
МС2=МО2— CO2=d2—К2.
25О. Теорема. Произведете двухъ сторонъ треугольника
равно произведена д1аметра круга, описаннаго около этогЬ тре-
треугольника, на высоту его, опущенную на третью сторону.
Черт. 229.
Обозначивъ буквою R рад1усъ круга, описаннаго около тр-ка
ЛВС (черт. 228 и 229), докажемъ, что
J
Ьс=2й . V
Проведемъ д1аметръ AD и соединимъ D съ В. Тр-ки ABB и
АЕС подобны, потому что углы В и Е прямые и D=C, какъ углы
вписанные, опираюпцеся на одну и ту же дугу. Изъ подоб1я
выводимъ:
с : ha=2R : Ь; откуда: bc=2R . ha.
251. Теорема. Произведете двухъ сторонъ треугольника равно квад-
квадрату биссектриссы угла, заключеннаго между этими1 сторонами, сложенному
съ произведешемъ отр-Ьзковъ третьей стороны. - ;
Обозначивъ биссектриссу AD угла А ,(черт. 230) греческою бук-
буквою а, докажемъ, что bc=v2-\-BD . DC. Продолжимъ AD до пере-
с*чен1я с>.окружностью въ точки В (эта точка лежитъ въ серединЪ

— 184 —
дуги ВС, чакъ какъ углы ВАЕ и ЕАС равны). Тр-ки ABE и ADG
подобны, потому что углы при точк* А
равны по услов1ю и <7 = 2?, какъ углы впи-
вписанные, опираюцпеся на одну и ту же дугу.
Изъ подоб1я ихъ сл'вдуетъ:
с : * = АЕ : &, откуда &с=»а. АЕ
или bc=±a(a + DE)=a*+a . DE.
Но а . DE^BD . DC B47, Iе).
Поэтому bc=a2 + BD . DC. [2]
Черт. 230.
252. Вычислен^ Оиссектрисоъ треугольника по его
СТОРОНамъ. Изъ равенства [2J предыдуфаго параграфа выводимъ:
a*=bc—BD . DC.
Отрезки BD и DC можно найти изъ лропорцш BD : DC=*c : Ъ B26);
откуда:
BD + DC Ъ + с м BD+DC Ъ+с
Ъ
BD
и
Зам'Ьтивъ, что
с п DC
at получимъ:
Сл*д. ** =
Это выражен!© можно упростить, если обозначимъ периметръ тр-ка,
Т.-0. a+b+с, черезъ 2р; тогда Ъ+с—-&**%р—2*&=2(р—а) и
2
ГЛАВА VI,
[}шле о приложен:и алгебры къ геометрш.
253- Задача. Данный отрФзокъ прямой раз-
д^литьвъ средне мъи крайнемъотношен1и.
Эту задачу надо донимать такъ: разделить данный отр^зонъ
прямой на такт де4 адсти, чтобы ббльшая изъ низсь была сред-

— 186 —
нею пропорциональною между всЬмъ отрезкомъ и меньшею ея
частью.
Задача будетъ решена, если мы найдемъ одну изъ двухъ ча-
частей, на которыя требуется разделить данный отрЪзокъ. Будемъ
находить большую часть, т.-е. ту, которая должна быть сред-
среднею пропорциональною между всей лшией и мень-
меньшею ея частью. Предположимъ сначала, что речь идетъ не о по-
строенш этой части, а только объ ея в ы ч и с л е н i и. Тогда
задача решается алгебраически такъ: если число,
измеряющее въ какой-нибудь единице длину даннаго отрезка,
обозначимъ а, а число,измеряющее въ той же единице длину
большей его части, ж, то число, измеряющее длину другой части,
выразится а—х, и, согласно требование задачи, мы будемъ иметь
пропорцш:
а : х=х : (а—х)\
откуда: х2=а(а—х)
или х2+ах—а2=0.
Решивъ это квадратное уравнеше, находимъ:
Отбросивъ второе решете, какъ отрицательное *), возьмемъ
только первое положительное решете, которое удобнее пред-
представить такъ:
Покажемъ прежде всего, что величина хг меньше а.
*) Не трудно было бы показать, что абсолютная величина этого
отрицательнаго рЪшешя даетъ отв'Ьтъ на измененную задачу: дан-
данную прямую а продолжить на столько (на х),
чтобы продолжен1е было средней nponopnio-
нальной между а и а + х. Это будетъ тоже дЪлете даннаго
отрезка въ среднемъ и крайнемъ отношенш; оно наз. вн'Ьшнимъ
въ отличхе отъ внутрен н яго? разсматриваемаго въ тексгв.

— 186 —
Такъ какъ Q2g
^ TOj/ Q
отнявъ отъ обйихъ частей этого неравенства по а, найдемъ,
что xx<Cjol.
Отсюда заключаемъ, что задача всегда возможна и им'Ьетъ
только одйо р $ ш е н i е.
Если бы намъ удалось построить такую прямую, кото-
которой длина численно выражается найденной выше формулой,
то, нанеся эту длину на данную прямую, мы разделили бы ее
въ среднемъ и крайнемъ отношенш. Итакъ, вопросъ сводится
къ построен1ю найденной формулы.
Разсматривая отдельно выражеше | / (-) +а2, мы замЪ-
чаемъ, что оно представляетъ собою длину гипотенузы такого
прямоугольнаго тр-ка, у котораго одинъ катетъ равенъ a, a
другой а/2. Построивъ такой тр-къ, мы найдемъ прямую, вы-
выражаемую формулой "I / (-) +а2. Чтобы получить заЪ-Ьмъ
длину #1, достаточно изъ гипотенузы построеннаго треугольника
вычесть а/2.
Такимъ образомъ, построеше можно выполнить такъ:
д'Ьлимъ (черт. 231) данный отр'Ьзокъ АВ
пополамъ въ точки С Изъ конца В боз-
ставляемъ церпендикуляръ ВВ и отклады-
ваемъ на немъ ВВ=ВС. Соединивъ А съ В
прямою, получимъ прямоугольный тр-къ
ABB, у котораго катетъ АВ=а, а другой
катетъ ВВ—а/2. Сл-Ьд., его гипотенуза
АВ равна |/ /_ J -fa2.Чтобы вычесть изъ гипотенузы длину а/2,
опишемъ изъ D, какъ центра, дугу рад!усомъ ВВ=а/2. Тогда
отр'Ьзокъ АЕ будетъ равенъ |/ uj 2+a2 , т.-е. будетъ ра-
равенъ хг. Отложивъ АЕ на АВ (отъ А до G), получимъ точку G,

— 187 —
въ которой отрйзокъ АВ делится въ среднемъ и крайнемъ отно
шенш.
Зам1эЧан1е. Д-Ьлеше даннаго отрезка прямой въ среднемъ
и крайнемъ отношеши наз. также золотымъ д|6лен1емъ.
254. АлгебраическШ споеобъ р*шен1я гео-
метричеекихъ задачъ. Мы решили предложенную за-
задачу путемъ приложен1я алгебры къ геометрш.
Этотъ пр!емъ состоитъ въ слйдующемъ: сперва определяюсь,
какую прямую должно отыскать, чтобы можно было решить
задачу. Затймъ, обозначивъ численныя величины данныхъ
прямыхъ буквами а, Ь, с..., а искомой прямой—буквою ж,
составляютъ изъ условш задачи и изв'Ьстныхъ теоремъ урав-
неше, связывающее искомую прямую съ данными; полученное
уравнеше рйшаютъ по правиламъ алгебры. Найденную формулу
изсл'Ьдуютъ, т.-е. определяюсь, при всякихъ ли зада-
Н1яхъ это формула даетъ возможныя pimeHifl, или только при
н^бкоторыхъ, и получается ли .одно решете или нисколько.
ЗагЪмъ с т р о я т ъ формулу, т.-е. находятъ построетемъ
такую прямую, которой численная величина выражается этой
формулой.
Такимъ образомъ, алгебранчестй пр1емъ pimenifl геометри-
ческихъ задачъ состоитъ въ общемъ изъ сл'Ьдующихъ 4-хъ ча-
частей: 1°, составлен1е уравнен! я, 2°, pimeHie
его, 3°, изсл'Ьдован1е по #у ченной формулы
и 4°, построен1еея.
Иногда задача приводится къ отысканпо н'Ъсколькихъ пря-
прямыхъ лин1й. Тогда, обозначивъ численныя величины вхъ бук-
буквами ж, t/,..., стремятся составить столько уравнешй* сколько^
неизв'Ьстныхъ. ^
256. Построен1е прост*йшихъ Формулъ. Ука-
жемъ просгЬйппя формулы, которыя можно построить посред-
ствомъ циркуля и линейки; при этомъ будетъ прё!дЙЭД&ай»,
что буквы а, Ь, с... означаютъ величины данныхъ конечныхъ
прямыхъ, а х величину искомой. Не останавливаясь на такихъ
форму лахъ:
х=а+Ъ+с, ж=а—Ь, ж=2а, За...,
построеше которыхъ выполняется весьма просто, перейдем^
сложнымъ:

— 188 —
a a 2
1 . Формулы х=- -..?=;:а,... и т. п. строятся посред-
6 о о
ствомъ д^летя прямой а на равкня части F9,7; 114) и загЬмъ,
если нужно, повторешемъ одной части слагаемыхъ 2, 3... и т. д.
раза.
аЪ
2 . Формула х=— представляетъ собою четвертую
с
Яропорц:1ональную къ прямымъ с, а и Ь. Действи-
Действительно, изъ этого равенства выводимъ:
сх=аЪ, откуда с : а=Ъ : х.
Ол'Ьд., х найдется способомъ, указаннымъ нами B24) для
построещя 4-й пропорциональной.
а2
3°, Формула я=т" выражаетъ четвертую пропорщональную
къ црямымъ Ь, а и а, или какъ говорятъ, третью пропор-
пропорциональную къ прямымъ Ъ и а. Действительно, изъ дан-
наго равенства выводимъ:
Ья=а2; откуда Ъ : а=а : х.
Сл-Ьд., х найдется гЬмъ же способомъ, какими (Кюскивается
4-^1 шропорщональная (только прямую а придется откладывать
два раза) *).
4°. Формула x—Vdb выражаетъ среднюю пропор-
д!Ональпую между а и Ъ. Действительно, изъ нея выво-
#2=afe; откуда а : х=х : Ь.
х найдется епособомъ, указаннымъ раньше для по-
средней пропорщональной B31).
^, формула х=^У а2+Ь2 выражаетъ гипотенузу прямо-
тр-ка, у котораго катета суть а и Ь.
•> Можно также построить ж, основываясь на теорем* § 229: отло-
жимъ BD = a (см. черт. 210); проведемъ DAJ_BD; отложимъ DA — Ъ;
соединимъ В съ А прямой; проведемъ ACJ_AB. Тогда отр-взонъ DC
и будетъ искомая Лишя, такъ какъ BD :MA = D.A : DC. Если a<&,
то построенie можно выполнить еще иначе, при помощи полуокруж-
полуокружности <см. яертч 2Ц), приняйгь за ддаметръ ВС отр'Ьзокъ Ъ, а та. хорду В А
отр'Ьаокъ а; тогда искомая лин1я будетъ BJ>.

— 189 —
6°. Формула x—Vaz—Ъ2 представляетъ катетъ прямо-
угольнаго тр-ка, у котораго гипотенуза есть а, а другой катетъ Ь.
Построеше всего удобнее выполнить такъ, какъ указано
въ § 174.
Указанныя формулы можно считать основными. При
помощи ихъ строятся бол'Ье сложныя формулы. Напр.:
abed
7°. х=—7-- Разобьемъ дробь на множителей такъ:
чЯ
аЪ с d ab
х=— ' — • - и положимъ, что —=к. Тогда к найдемъ, какъ
4-ю пропорщональную къ е, а и Ъ. Найдя fc, будемъ имйть:
х=-' -• Положимъ, что у=1. Тогда I найдемъ, какъ 4-ю про-
I У I
порщональную къ лишямъ /, к и с. Найдя ?, будемъ им^ть
U
х=-; сл'Ьд., х есть 4-я пропорциональная къ д, I ж d.*
у
Подобнымъ образомъ строятся также и формулы вида:
аЪс.М ат
х= ,ъ, ,—гг или х= т^Л'
аЬ с ...к Ът 1
т.-е. ташя формулы, въ которыхъ числитель и знаменатель
представляютъ пройзведен1е линейныхь множителей
(буквъ, означающихъ лин!и), причемъ числитель содержитъ
этихъ множителей на одинъ больше, чЗшъ знаменатель.
8°. х=а\/ —. Подведя а подъ знакъ радикала, получимъ:
х= _
 V 3
Отсюда видимъ, что х есть средняя пропорциональная между
прямыми аи2/
9°. x=Va2+b2—c*+d*. Положимъ, что a2+b2=5=fc2. Тогда к
найдется, какъ гипотенуза прямоугольнаго тр-ка, у котораго
катеты суть а и Ь.Построивъ/с, положимъ, что k2+d2—l2. Тогда I
найдется, какъ гипотенуза прямоугольнаго тр-ка, у котораго
катеты суть к и d. Построивъ Z, будемъ им$ть: x=V 12—сг. СлФд.,
х есть катетъ такого тр-ка, у котораго гипотенуза Z, а другой
катетъ с.

— 190 —
10. ж==а2У а2±Ъс. Если положимъ, что Ьс=&2,то найдемъ fc,
какъ среднюю пропорщональную между Ъ и с. Тогда x=Va2±k2.
найдется, какъ было выше указано въ случаяхъ 5-мъ и 6-мъ.
11°. ж=к а4+Ь4. Положимъ, что
а4 а2 а а
а4=ЬУ, отсюда: i/=~=~ • - • - •
Изъ этого выражешя видно, что у найдется посредствомъ
троекратнаго построешя 4-й пропрощональной. Построивъ у,
будемъ им^ть:
Выражеше V Ъ(у+Ъ) представляетъ прямую, которая есть
средняя пропорциональная между Ъ и у+Ъ. Пусть эта пряная
будетъ к. Тогда x=\bk; значить, х найдется, какъ средняя
пропорциональная между Ъ и к.
Ограничимся этими примерами. Зам^тимъ, что подробное
разсмотр^ше способовъ построен!я алгебраическихъ формулъ
приводить къ следующему важному выводу:
помощью линейки и циркуля возможно строить только татя
алгебраичешя выражешя, которыя или вовсе не содержать ра-
дикаловъ, или же содержать только радикалы съ показате-
показателями 2, 4, 8..., т.-е. съ показателями, равными степени 2-хъ *).
УПРАЖНЕН1Я.
Доказать теоремы.
189. Прямая, проведенная черезъ середины основашй трапецш,
проходить черезъ точку пересЪчешя непараллельныхъ сторонъ и
черезъ точку пересЪчетя д!агоналей\
8
*) Напр., нельзя построить выражеше а;=|/2ау, т.-е.—другими
словами—нельзя только помощью циркуля и линейки решить зна-
знаменитую съ древнихъ временъ задачу объ удвоен1и дан-
наго куба (со стороною а).
Объ однородности уравнешй, получаемыхъ при р^шенш
геометрическихъ задачъ, а также о построенш корней квад-
ратнаго уравнен1я см. ниже, §§ 342, 343.

— 191 —
189а. Если въ тр-к'Ь изъ вершины угла, лежащаго между неравными
сторонами, проведены биссектрисса и медДана, то первая меньше
второй.
189&. Прямая, проходящая черезъ середину основашя равнобед-
реннаго тр-ка и ограниченная одною боковою стороною и продолже-
н1емъ другой боковой стороны, больше основан1я этого тр-ка.
190. Если два круга касаются извн'Ь, то часть внешней общей
касательной, ограниченная точками касашя, есть средняя пропор-
цшнальная между ддаметрами круговъ.
190а. Доказать, что если А, В и С суть три посл'Ьдовательныя точки
прямой и М какая-нибудь точка внЪ прямой, то существуетъ соотно-
шеше (теорема Стюарта):
. МА* . ВС+МС* . АВ— MB2 .АС=ВС . АВ .АС
(решается при помощи теоремъ §§ 236 и 237).
190&. При помощи этого соотношешя найти выражеше для биссек-
триссъ тр-ка въ зависимости отъ его сторонъ (на основанш § 226). ?
191. Сумма квадратовъ сторонъ треугольника равна утроенной
сумм'Ь квадратовъ разстояшй отъ точки пересЬчешя мед1анъ до вер-
шинъ треугольника (§ 239).
192. Если въ прямоугольный тр-къ ABC вписать квадратъ DEFG
такъ, чтобы сторона СЕ лежала на гипотенузЪ ВС, то эта сторона
есть средняя пропорцюнальная между отрезками гипотенузы BDn EC.
193. Если двЪ конечныя прямыя АВ и CD пересекаются (хотя бы
и при продолженш) въ точк'Ь Е такъ, что
ЕВ . ЕА = ЕС . ED,
то точки А, В, С и D лежатъ на одной окружности (эта теорема обратна
изложеннымъ въ §§ 247 и 249).
194. Дана окружность О и двй точки А и В внй круга. Черезъ
эти точки проведены нисколько окружностей, перес-вкающихъ
окружность О, или касающихся ея. Доказать, что всв хорды,
соединяюция точки пересЪчетя каждой • изъ этихъ окружно-
окружностей съ окружностью О, а также и обцпя касательныя, сходятся (при
продолженш) въ одной точк'Ь, лежащей на продолженш прямой АВ.
195. Основываясь, на этомъ, вывести способъ построешя такой
окружности, которая проходитъ черезъ 2 данныя точки А и В и ка-
касается данной окружности О.
196. Даны два KaKie-нибудь круга на плоскости. Если два рад4уоа
этихъ круговъ движутся, оставаясь постоянно параллельными, то
прямая, проходящая черезъ концы ихъ, пересЪкаетъ литю центровъ
всегда въ одной и той же точк'Ь (эта точка наз. центромъ по-
подо б i я двухъ круговъ).
197. МедДана тр-ка д'Ьлитъ пополамъ всв прямыя, проведенныя
внутри тр-ка параллельно той сторон'Ъ, относительно которой взята
мед1ана.

— 192 —
198. Даны три прямыя, исходяцпя изъ одной точки. Бели по одной
изъ нихъ движется какая-нибудь точка, то разстояшя ея отъ двухъ
другихъ прямыхъ сохраняютъ всегда одно и то же отношете.
199. Если дв'Ь окружности концентричесшя, то сумма квадратовъ
разстоятй всякой точки одной изъ нихъ отъ концовъ какого угодно
д1аметра другой есть величина постоянная (§ 239).
.200. Если изъ трехъ вершинъ тр-ка и изъ точки пересЪчетя его
мед1анъ опустимъ перпендикуляры на какую-нибудь внешнюю пря-
прямую, то посл^дтй изъ 4-хъ перпендикуляровъ равенъ третьей части
суммы первыхъ трехъ.
201. Если соединимъ прямыми основашя трехъ высотъ какого-
нибудь тр-ка, то образовавыпеся при этомъ 3 тр-ка у вершинъ даннаго
подобны ему. Вывести отсюда, что для тр-ка, имЪющаго сторонами
прямыя, соединяюцпя основатя высотъ даннаго тр-ка, эти высоты
служатъ биссектриссами.
202. Д1аметръ АВ данной окружности продолженъ за точку В.
Черезъ какую-нибудь точку С этого продолжетя проведена неопре-
неопределенная прямая CDJ^AB. Если произвольную точку М этого перпен-
перпендикуляра соединимъ съ А, то (обозначивъ черезъ Аг вторую точку
переевчетя съ окружностью этой прямой) произведете AM . ААг
есть величина постоянная.
Найти геометричеыпя шгЬста:
203.—серединъ зсЬхъ хордъ, проходящихъ черезъ данную точку
окружности.
204.—-точекъ, дЪляшихъ въ одномъ и томъ же отношенш т : п всЪ
хорды, проходяцпя черезъ данную точку окружности.
205.—точекъ, которыхъ .разстояшя отъ сторонъ даннаго угла
имЪютъ одно и то же отношеше т : п.
206.—точекъ, для которыхъ сумма квадратовъ разстояшй отъ двухь
данныхъ точекъ есть величина постоянная (§ 239).
207.—точекъ, для которыхъ разность квадратовъ разстоятй отъ
двухъ данныхъ точекъ есть величина постоянная.
208.—точекъ, изъ которыхъ касательныя, проведеннныя къ двумъ
даннымъ окр^жностямъ, равны (это геометрическое мъ*сто есть прямая,
перпендикулярная къ линш иентровъ; она назыв. радикаль-
радикального, осью двухъ круговъ).
209.—точекъ, дЪляцшхъ въ данномъ отношенш т : п вев прямыя,
соединякщля .точки окружности съ данною точкою О (лежащею внЪ
или внутри круга).
210. Даны дв^ извн'Ь касающ1яся окружности. Черезъ точху
касан1я А проводятъ въ окружностяхъ двЬ перпендикулярныя хорды
АВ и АС, Концы ихъ В и С соединяютъ прямой. Найти геометриче-
геометрическое мЪсто точекъ, дЪляцшхъ ВС въ данномъ отношенш т : п.

— 193 —
211. Данный уголъ вращается вокругъ своей вершины. На сторо-
нахъ его, отъ вершины, откладываютъ переменный длины, но кото-
рыхъ отношеше постоянно. Если конецъ одной стороны описываетъ
данную по положетю прямую, то какую лин1ю опишетъ другой
конецъ?
Задачи на построеше.
212. Черезъ точку, данную внутри или вне угла, провести прямую
такъ, чтобы части ея, заключенныя между этой точкой и сторонами
угла, имели данное отношеше т : п.
213. Найти въ треугольнике такую точку, чтобы перпендикуляры,
опущенные изъ нея на стороны, находились въ данномъ отношенш
т : п : р (см. упражнете 205).
214. Построить тр-къ по углу, одной изъ сторонъ, прилежащихъ
къ нему, и по отношетю этой стороны къ третьей стороне (сколько
решети?).
215. То же—по углу при вершине, основанпо и отношетю его
къ одной изъ боковыхъ сторонъ.
216. То же—по высота, углу при вершине и отношетю отр-взковъ
основашя.
217. То же—по углу при вершине, основатю и данной на основати
точке, черезъ которую проходитъ биссектрисса угла при вершине.
218. То же—по двумъ угламъ и сумме или разности основашя
съ высотою.
219. Построить равнобедренный тр-къ по углу при вершине и
сумме основатя съ высотою.
220. Вписать въ даннный кругъ тр-къ, у котораго даны: основате
и отношете двухъ другихъ сторонъ.
221. Вписать въ данный кругъ тр-къ, у котораго даны: основате
и мед1ана относительно одной изъ неизвестныхъ сторонъ (см. упраж-
упражнете 203).
222. Вписать квадратъ въ дачный сегментъ такъ, чтобы одна его
сторона лежала на хорде, а вершины противолежащихъ угловъ—
на дуге.
223. Вписать квадратъ въ данный тр-къ такъ, чтобы одна сторона
его лежала на основанш тр-ка, а вершины противолежащихъ угловъ
на боковыхъ сторонахъ тр-ка.
224. Въ данный треугольникъ вписать прямоугольникъ (см. пред.
задачу), у котораго стороны относились бы, какъ т : п.
225. Около даннаго квадрата описать тр-къ, подобный данному.
226. Дана окружность и на ней две точки А и В. Найти на этой
окружности третью точку С, чтобы разстоятя ея отъ А и В находи-
находились въ данномъ отношенш.
227. На данной прямой найти точку, которая одинаково была бы
удалена отъ другой данной прямой и данной точки.

— 194 —
228. Построить тр-къ по двумъ сторонамъ и биссектрисе^ угла
между ними (см. черт. 207. Сначала находимъ прямую DE изъ про-
порцш АВ : ЕС (т.-е. BC) = BD : DE; затЪмъ строимъДВСЕ;....).
229. Построить прямую ж, которая относилась бы къ данной пря-
прямой га, какъ а2 : Ъ2(а и Ъ данныя прямыя).
230. Найти внй даннаго круга такую точку, чтобы касательная,
проведенная изъ нея къ этой окружности, была вдвое мен'Ъе секущей,
проведенной изъ той же точки черезъ центръ (приложешемъ ал-
алгебры къ геометр in).
231. Черезъ данную впЪ круга точку провести такую сЬкуфую,
которая разделилась бы этою окружностью въ данномъ отношенш
(пргиложешемъ алг. къ геом.).
2S2. Построить тр-къ по тремъ его высотамъ hu h2 и hz. (Предвари-
(Предварительно изъ подоб1я прямоуг. тр-ковъ надо доказать> что высоты
обратно п р о п о р i,i i о и а л ь н ы соотв'Ьтствующимъ сторо-
сторонамъ. Если стороны, на которыя опущены высоты Ль h2 и hz, обозна-
чимъ соответственно черезъ 'хи х2 и ж3, то
хг : х2 = \2 : ^i
х2 : xz = hz : *t = l :-=V —
откуда: хг : х2 : xz = h2 : hx : -^~
Выражеше —;— есть четвертая пропорцюнальная къ hz, h2 и h-,.
nz
Построивъ ее (пусть это будетъ к), мы будемъ им^ть три прямыя:
й2, Ъ,г и к, которымъ искомыя стороны пропорциональны; значитъ,
тр-къ, им^юций эти прямыя сторонами, подобенъ искомому,
и потому вопросъ приводится къ построешю такого тр-ка, который,
будучи подобенъ данному имЪлъ бы данную высоту. Задача окажется
невозможной, если по тремъ прямымъ hu h2 и к нельзя построить
треугольникъ E2).
Задачи на вычислеше.
233. По данному основан 1ю а и высота h остроугольнаго тр-ка
вычислить сторону х квадрата, вписаннаго въ этотъ тр-къ такъ, чтобы
одна сторона квадрата лежала на основанш тр-ка, а дв^ вершины
квадрата—на боковыхъ сторонахъ тр-ка.
234. Стороны тр-ка суть 10 ф., 12 ф. и 17 ф. Вычислить отрезки
стороны, равной 17 ф., на которые она делится биссектриссою проти-
волежащаго угла. ¦
235. Перпендикуляръ, опущенный изъ вершины прямого угла
на гипотенузу, д^литъ ее на два отрезка тип. Вычислить катеты.
236. Вычислить высоту тр-ка, опущенную на сторону, равную 20,
если дв^ друтя стороны суть 12 и 15.
237. Вычислить мед1аны тр-ка, котораго стороны суть: а=5, Ь=1
и с=9,

— 195 —
238. Въ тр-кЪ ABC стороны суть: АБ=7, БС = 15 и АС=^Ю.
О пред'Ьлить, какого вида уголъ А, и вычислить высоту, опущенную
изъ вершины В.
239. Изъ точки внЪ круга проведены касательная а и свкущая.
Вычислить длину свкущей, зная, что отношете внешней ея части
къ внутренней равно ¦ т : п.
240. Къ двумъ кругамъ, которыхъ pa^iycbi суть R и г, а разстояте
между центрами d, проведена общая касательная. Определить вычис-
лен1емъ положен1е точки пересгЬчен1я этой касательной съ лишен
центровъ,во 1-хъ, когда эта точка лежитъ по одну сторону отъ пентровъ
во 2-хъ, когда она расположена между ними.
ГЛАВА VII.
Правильные многоугольники.
25в. Опред'Ьлешя. Ломаная лишя наз. правиль-
правильной, если она удовлетворяетъ сл'Ьдующимъ тремъ услов!ямъ:
А \
F
Черт. 232.
1°, отрезки прямыхъ, составляющее ее, равны; 2°, углы, со-
составленные каждыми двумя соседними отрезками, равны, и
3°, изъ каждыхъ трехъ посл'Ьдовательныхъ отртаковъ пер-
первый и третШ расположены по одну сторону отъ второго.
Таковы, напр., лиши ABGDE и FGHKL (черт. 232); но ло-
ломаную MNPQR нельзя назвать правильною, потому что она
не удовлетворяетъ третьему условш.
Правильная ломаная можетъ быть выпуклой C4),
какъ, напр., лишя ABGDE (ломаную FGHKL нельзя назвать
выпуклой).
Многоугольникъ наз. правильны мъ, если онъ огра-
ниченъ правильною ломаною лишей, т.-е. если онъ имйетъ
равныя стороны и равные углы. Таковы, напр., квадратъ, равно-
сторонн1й треугольникъ и мнопе друпе.

— 196 —
Многоугольникъ, изображенныйна чертежи 233-мъ, есть в ы-
п у к л ы й правильный пятиугольникъ; • многоугольникъ чер-
чертежа 234-го также правильный пятиугольникъ, но не выпуклый
Черт. 233. Черт. 234.
(такъ называемы звездчатый). Мы будемъ разсматривать
только выпуклые правильные мн-ки.
Последующая теоремы показываютъ, что построеше правиль-
ныхъ многоугольниковъ т^сно связано съ разд'Ьлетемъ окруж-
окружности на равныя части.
257. Теорема. Если окружность раздЪлена на нЪкоторое
число равныхъ частей (большее двухъ), то:
1°, соединивъ хордами каждыя двЪ сосЬдшя точки дЪлетя,
получимъ правильный многоугольникъ (вписанный);
2°, проведя черезъ Bet точки дЪлешя касательныя до взаим-
наго пересЪчешя, получимъ правильный многоугольникъ (опи-
(описанный).
В N
Черт. 235. Черт. 236.
Пусть окружность (черт. 235) разделена на нисколько рав-
равныхъ частей въ точкахъ Л, В, С..., и черезъ эти точки проведены
х^рды АВ, ВС... и касательныя MN, NP... Тогда:

— 197 —
1°. Вписанный много^голььикъ ABCDEF правильный, потому
что всё его стороны.р^вны (какъ хорды, стягиваюпця равныя
дуги) и веб углы равные (какъ вписанные, опирающееся на рав-
равныя дуги).
2°. Чтобы доказать правильность описаннаго многоугольника
MNPQRS, разсмотримъ тр-ки АМВ, BNC и т. д. У нихъ осно-
вашя АВ, ВС и т. д. равны; углы, прилежапце къ этимъ осно-
вашямъ, также равны, потому что каждый изъ нихъ им'Ьетъ
одинаковую миру (уголъ, составленный касательного и хордой,
измеряется половиною дуги, заключенной внутри его). Значитъ,
всЬ эти тр-ки равнобедренные и равны между собою, а потому
MN=NP... и M=N=... т.-е. мн-къ MNPQRS правильный.
258. Зам^чаше. Если возьмемъ середины дугъ АВ, ВС,
CD... (черт. 236), то получимъ точки, кото^ыя д*лятъ окруж-
окружность на столько же равныхъ частей, на сколько она разде-
разделена въ точкахъ А, В, С... Поэтому, если черезъ эти середины
проЕедемъ касательныя до взаимнаго пересЬчешя, то получимъ
также правильный описанный многоугольникъ; стороны этого
многоугольника параллельны сторонамъ вписаннаго мн-ка
ABCDEF A38, обратная теорема).
259. Теорема. Если многоугольникъ правильный, то
1°, около него можно описать окружность;
2°, въ него можно вписать окружность.
1°. Проведемъ окружность черезъ кашя-нибудь три сосЬдшя
вершины А, В ж С (черт. 237) правильнаго мн-ка ABCDE и
докажемъ, что она пройдетъ черезъ
следующую четвертую вершину D.
Опустимъ изъ центра О периенди-
куляръ ОК на хорду ВС и соединимъ
О съ А и D. Повернемъ четыреуголь-
никъ АВКО вокругъ стороны ОК
такъ, чтобы онъ упалъ на четыре-
угольникъ ODCK. Тогда KB пой-
детъ по КС (всл*дств1е равенства
прямыхъ угловъ при точкЪ К), точка ЧеРт- 237-
В упадетъ въ С (такъ какъ хорда ВС делится въ точки К попо-
ламъ), сторона В А пойдетъ по CD (вслгЬдств1е равенства угловъ

— 198 —
В и С) и, наконецъ, точка А упадетъ въ D (всл|Ьдств1е равенства
сторонъ В А и CD). Изъ этого сл'Ьдуетъ, что О А совместится
съ OD, и, значитъ, точки А ж D одинаково удалены отъ центра;
поэтому вершина D должна лежать на окружности, проходящей
черезъ А, В и С. Точно такъ же докажемъ, что эта окружность,
проходя черезъ три сосЪдшя вершины В, С и D, пройдетъ черезъ
следующую вершину Е и т. д.; значитъ, она пройдетъ черезъ
всЬ вершины мн-ка.
2°. Изъ доказаннаго слЪдуетъ, что стороны правильнаго мн-ка
всегда можно разсматривать, какъ равныя хорды одной окруж-
окружности; но татя хорды одинаково удалены отъ центра; значитъ,
веб перпендикуляры ОМ, OJV..., опущенные изъ О на стороны
многоугольника, равны между собою, и потому окружность,
описанная рад1усомъ ОМ изъ центра О, будетъ вписанной въ
мн-къ ABODE.
260. Сл'Ьдетв^. Изъ предыдущего видно, что двй окруж-
окружности: описанная около правильнаго мн-ка и вписанная въ него,
имЪютъ одинъ и тотъ же центръ. Такъ какъ этотъ общш центръ
одинаково удаленъ отъ всЬхъ вершинъ мн-ка, то онъ долженъ
лежать на перпендикуляр^, возставленномъ къ любой сторон^
изъ ея середины, а будучи одинаково удаленъ отъ сторонъ ка-
ждаго угла, онъ долженъ находиться на его биссектрисе^. По-
Поэтому, . . •
чтобы найти центръ окружности опи-
описанной около правильнаго мн-ка, или
вписанной въ него, достаточно опреде-
определить точку перес|Ьчен1я двухъ перпенди-
куляровъ, возставленныхъ къ сторонамъ
мн-ка изъ ихъ сер,единъ, или двухъ бис-
сектриесъ угловъ, или одного такого пер-
перпендикуляра съ биссектриссой.
261. Опред'ЬлеМя. Общш центръ окружностей: опи-
описанной около правильнаго мн-ка и вписанной въ него, наз.
центромъ этого мн-ка, радгусъ описанной окружности наз.
рад1усомъ мн-ка, а рад1усъ вписанной окружности—а п о-
е е м о ю его.
Уголъ, составленный двумя рад1усами, проведенными къ
концамъ какой-нибудь стороны правильнаго мн-ка, наз. цент-

— 199 —
ральнымъ угломъ. Такихъ угловъ въ мн-к* столько,
сколько сторонъ; веб они равны, какъ измеряющееся равными
дугами.
Такъ какъ сумма всЬхъ центральныхъ угловъ равна Ы или
360°, то каждый изъ нихъ равенъ Ы : п или 360° : п, если п
означаетъ число сторонъ мн-ка; такъ, центральный уголъ пра-
вильнаго 6-угольникаравенъ 360 : 6—60°,—правильнаго 8-уголь-
ника равенъ 360 : 8=45° и т. п.
262. Теорема. Правильные одноименные многоугольники
подобны, и стороны ихъ относятся, какъ рад'|усы или апооемы.
1°. Чтобы доказать подоб1е (черт. 238) правильныхъ одно-
именныхъ мн-ковъ ABGDEF и A1B1C1D1E1F1, достаточно обна-
обнаружить, что у нихъ углы равны и стороны пропорщональны.
Углы м-ковъ равны, такъ какъ каждый изъ нихъ содержитъ
180(п— 2)
одно и то же число градусовъ, и именно A69,4°), если п
означаетъ число сторонъ каждаго мн-ка. Такъ какъ АВ=ВС=
=CD=... и A1B1=B1C1=C1D1=..., то очевидно, что:
АВ ВС CD
AXBX B1C1 dDx
т.-е. у такихъ мн-ковъ стороны пропорщональны.
в
Черт. 238.
2°. Пусть О и Ог (черт. 238) будутъ центры данныхъ мн-ковъ,
ОА и ОхАг ихъ рад!усы, ОМ и О1М1—апоеемы. Тр-ки ОАВ и
О1А1В1 подобны, такъ какъ углы одного соответственно равны
угламъ другого. Изъ подоб1я ихъ сл^дуеъ B03):
АВ ОА ОМ

— 200 —
263. Сл'Ьдетв1е. Такъ какъ периметры подобныхъ
мн-ковъ относятся, какъ сходственныя стороны B09), то пери-
периметры правильныхъ одноименныхъ многоугольниковъ относятся,
какъ pafliycbi или апоеемы.
264. Симметр1я правильныхъ многоугольниковъ. Про-
ведемъ въ описанной окружности черезъ какую-нибудь вершину С
правильнаго мн-ка (черт. 239, левый) д1аметръС/У, который разделить
окружность и многоугольникъ на две части. Вообразимъ, что одна
изъ этихъ частей (напр., левая) повернута вокругъ д1аметра CN,
Л—у—]
Черт. 239.
какъ около оси, на столько, чтобы она упала на другую часть (на пра-
правую). Тогда одна полуокружность совместится съ другою полуокруж-
полуокружностью, дуга СВ совместится съ дугою CD (по равенству этихъ дугъ),
дуга В А совместится съ дугою DE (по той же причине) и т. д.; след.,
хорда ВС совпадетъ съ хордой CD, хорда АВ съ хордой DE и т. д.
Такимъ образомъ, д1аметръ оп ичс анной окружно-
окружности, проведенный черезъ какую-нибудь-вер-
шину правильнаго многоугольника, служитъ
осью симметр1и этого многоугольника (вслед-
CTBie чего каждая пара вершинъ, какъ В и Z), Аи ? и т. д., лежитъ
на одномъ перпендикуляре къ д1аметру CN, на равномъ отъ него
разстоянш).
Проведемъ еще въ описанной окружности д1аметръ MN (черт. 239,
правый), перпендикулярный къ какой-нибудь стороне CD правиль-
правильнаго мн-ка; этотъ д1аметръ тоже разделитъ окружность и многоуголь-
многоугольникъ на две части. Вращая одну изъ этихъ частей (левую), вокругъ
проведеннаго д1аметра до техъ поръ, пока она упадетъ на другую
часть (правую), мы такъ же убедимся, что одна часть мн-ка совме-
совместится съ другой частью. Значитъ, д1аметръ описанной
окружности, перпендикулярный къ сторо-
стороне правильнаго многоугольника, служитъ
его осью симметр1и (и, след., каждая пара вершинъ, какъ
В и Е, Аи F и т. д., лежитъ на одномъ перпендикуляре къ д1аметру
MN, на равномъ отъ него разстоянш).
Если число сторонъ мн-ка четное, то д1аметръ, проведенный
черезъ любую вершину мн-ка проходитъ также и черезъ противо-
противоположную вершину, и д1аметръ, перпендикулярный къ любой сто-

— 201 —
D
мн-ка, перпендикуляренъ также и къ противоположной сторонгЬ
его; если же число сторонъ нечетное, то д1аметръ, проходящШ
черезъ любую вершину, перпендикуляренъ къ противоположной
сторон'в, и обратно, д1аметръ, перпендикулярный къ любой сторонЪ,
проходить черезъ противоположную вершину. Отсюда сл'вдуетъ, что
во всякомъ правильному мн-к'в есть столько осей симметрш, сколько
въ немъ сторонъ. Напр., въ правильномъ " б-угольникЪ есть 6 осей
симметрш, именно: 3 оси, проходяцпя черезъ вершины, и 3 оси, пер-
пендикулярныя къ сторонамъ; въ пра-
правильномъ 5-угольник'в есть 5 осей сим-
симметрш; всв онЪ проходятъ черезъ вершины
угловъ и въ то же время перпендикулярны
къ сторонамъ.
Всякш правильный мн-къ ч е т н а г о
числа сторонъ им'Ьетъ еще центръ
симметр1и A02), совпадающШ съ цен-
тромъ мн-ка (черт. 240). Действительно,
всякая прямая KL, соединяющая 2 точки
контура такого мн-ка и проходящая черезъ
центръ О, делится этою точкою пополамъ,
какъ это видно изъ равенства тр-ковъ ОВК
и OEL (покрытыхъ на чертежЪ штрихами).
265. Задача. Вписать въ данный кругъ
ратъ и определить его сторону въ зависи-
зависимости отъ р а д i у с а.
1°. Предположимъ, что АВ (черт. 241)
есть сторона квадрата, вписаннаго въ
данный кругъ О. Тогда дуга АВ должна
равняться ги окружности и уголъ АОВ
долженъ быть прямой. Поэтому для
построешя вписаннаго квадрата (и
сл-Ьд., для разд^летя окружности
на 4 равныя части) достаточно провести
два перпендикулярныхъ д1аметра АС
и BD и концы ихъ соединить хордами.
Черт. 240.
D
Черт. 241.
Вписанный четыреугольникъ ABCD правильный, потому что
дуги АВ, ВС, CD и В А равны, какъ соответствующая равнымъ
центральнымъ угламъ.
2°. Изъ прямоугольнаго тр-ка АОВ находимъ:
АВ2=А02+В02, т.-е. АВ2=2А02-
откуда AB=A0V2.

— 202 —
Условимся всегда обозначать черезъ а численную величину
стороны правильнаго вписаннаго мн-ка, им'Ьющаго п сторонъ,
а черезъ R рад1усъ описаннаго круга; тогда выведенное равен-
равенство изобразится такъ:
266. Задача. Вписать въ данный кругъ пра-
правильный шестиугольникъ и определить его сто-
сторону въ зависимости отъ р а д i у с а.
Предположимъ, что .4В (черт. 242) есть сторона правильнаго
вписан, шестиугольника. Тогда дуга АВ должна быть х/в часть
окружности и, сл'Ьд., уголъ АОВ долженъ
содержать 60°. Такъ какъ тр-къ АОВ
равнобедренный (АО=ОВ), то углы А я В
равны и каждый изъ нихъ содержитъ по
Va A80°—60°), т.-е. тоже по 60°. Такимъ
образомъ, тр-къ АОВ оказывается равно-
угольнымъи, сл'Ьд., равностороннимъ, т.-е.
АВ=АО=ОВ. Итакъ, сторона правильнаго
вписаннаго шестиугольника равна рад'|усу,
A^ "Ъ
Черт. 242.
что, по принятому нами обозначенш, -можно выразить такъ:
Отсюда возникаетъ весьма простой способъ построешя пра-
правильнаго впис. шестиугольниками д'Ьлешя окружности на 6
равныхъ частей): давъ циркулю раствореше, равное рад1усу,
откладываютъ этимъ растворен1емъ по окружности, одна за
другою, равныя дуги и точки д'Ьлешя соединяютъ хордами.
267. Задача. Вписать въ данный кругъ пра-
правильный треугольникъ и определить его сто-
сторону въ зависимости отъ рад1уса.
1°. Чтобы разделить окружность на 3
равныя части (черт. 243), д^лять ее
сначала на 6 равныхъ частей (какъ ука-
указано въ предыдущей задач*) и зат'Ьмъ
соединяютъ по дв* части въ одну.
2°. Для опредЪлешя стороны АВ про-
ведемъ д1аметръ BD и хорду AD. Тр-къ
ABB прямоугольный при вершин^ А\
поэтому AB=VbD2—AD*. Но BD=2R

203
и AD=R (потому что дуга AD есть х/6 часть окружности и,
хорда АВ есть сторона правильнаго вписаннаго шестиугольника);
значитъ:
268. Задача. Вписать в ъ данный кругъ пра-
правильный десятиугсльникъ и определить его
сторону въ зависимости отъ р а д i у с а..
Предварительно докажемъ следующее свойство правильнаго
десятиугольника.
Пусть хорда АВ (черт. 244) есть сторона такого многоуголь-
многоугольника. Тогда уголъ АОВ равенъ 36°, а каждый изъ угловъ Аи В
содержитъ по 1/а A80°—36°), т.-е. по 72°. РаздЪлимъ уголъ А
пополамъ прямою АС. Каждый изъ угловъ, образовавшихся
при точк'Ь А, равенъ 36°; слЪд., тр-къ д . п
АСО, им^я два равные угла, есть равно- ~ ~
бедренный, т.-е. АС—СО.Ттр-кь ABC так-
также равнобедренный, потому что В=72°;
и С=180°—72°—36° =72°; слЪд., АВ-=
АС—СО. По свойству биссектриссы угла
тр-ка B26) можемъ написать:
АО :АВ=ОС:СВ [1]
Черт. 244.
Зам'Ьнивъ АО и АВ равными имъ прямыми ОВ и ОС, получимъ:
ОВ : ОС^ОС : СВ, [2]
т.-е. рад1усъ ОВ разд'Ьленъ въ точки С въ среднемъ и крайнемъ
отнощенш B53), при чемъ ОС есть его большая часть. Но ОС
равна сторон^ прав. впис. десятиугольника; значитъ:
сторона правильнаго вписаннаго де-
десятиугольника равна большей части
pafliyca, разд-Ьленнаго въ среднемъ
и крайнемъ отношеши.
Теперь задача решается легко:
1°. Д'Ьлятъ рад1усъ круга (напр.,
(Х4, черт. 245) въ среднемъ и
крайнемъ отношенш B53); загЪмъ,
давъ циркулю растворен1е, равное
Черт. 245.

— 204 —
большей части рад!уса, откладываютъ имъ по окружности дуги,
одна за другою, и точки д'Ьлешя соединяютъ хордами.
2°. Обозначивъ численную величину стороны правильнаго
вписаннаго 10-угольника черезъ #, мы можемъ пропроцш
[2] переписать такъ:
R : х=х : (В—а),
откуда * x2+Rx—R2=o.
Р'Ьшивъ это квадратное уравнеше, найдемъ:
269. Зам^ча^я. 1°. Формулы, выведенныя нами въ пре-
дыдущихъ задачахъ для а4, а6, а3, а10, позволяютъ вычис-
вычислить р а д i у с ъ описаннаго круга по данной
сторон* правильнаго многоугольника.
Такъ, изъ выражешя, опред'Ьляющаго а10, находимъ:
2а10 2а10
2°. Чтобы вписать въ данный кругъ правильный пятк-
угольнккъ, д'Ьлятъ окружность на 10 равныхъ частей (какъ
указано выше) и точки д'Ьлешя соединяютъ черезъ одну
хордами.
27О. Задача. Вписать въ данный кругъ
правильный пятиугольник ъ.
Чтобы найти г/15 окружности, достаточно изъ х/в ея части
вычесть Vio» какъ это видно изъ сл'Ьдующаго равенства:
1 1 5 3 2 1
Черт. 246.
Поэтому если хорда АВ (черт. 246)
равна рад1усу, а хорда АС—большей
части рад!уса, разд'Ьленнаго въ сред-
немъ и крайнемъ отношенш, то дуга
СВ должна быть х/15 окружности,
а хорда СВ—сторона прав. впис.
15-угольника.
Вычисление стороны С В можно вы-
выполнить, применяя теорему Птоломея
B42) къ четыреугольнику ACBD, въ ко-

— 205 —
BD — a3 (такъ какъ дуга BD равна 7з окружности).
Теорема Птоломея даетъ:
АВ . CD = AD . СВ+АС . BD,
т.-е. ЯУ 4K*—alo2=2R . a15 + a10as.
Подставивъ на м'Ьсто а10 и аъ ихъ выражешя, получимъ посл'Ь
упрощен1й:
al5= l В
271. Задача. По данному рад1усу круга и
сторон* правильнаго вписаннаго много-
многоугольника вычислить сторону правиль-
правильнаго одноименнаго описаннаго много-
многоугольника.
Пусть ABCD... есть прав, впи-
вписанный мн-къ, a MNP... одноимен-
одноименный прав, описанный B57). Такъ
какъ стороны правильныхъ одно-
именныхъ мн-ковъ относятся, какъ
ихъ рад1усы или апоеемы B62), то:
MN : АВ=-ОВ : (Ж
ОВ .АВ
Откуда:
Черт. 247.
ОВ .АВ
ОЕ
Обозначивъ численныя величины MN, АВ и ОБ соответ-
соответственно черезъ Ъп, ап ийи зам'Ьтивъ, что ВЕ=1/2 АВ, будемъ
им^ть:
л/ *-*
Прим'Ьръ. Вычислимъ сторону правильнаго описаннаго
10-угольника:
;_2Й

— 206
C— /б)(— б
(б+ ]/"б)E—
272. Зам"Ьчан1е. Формула, определяющая Ьп, позво-
ляетъ вычислить а„ по даннымъ Ь, иЕ. Для этого стоить только
решить уравнен1е, принимая а„ за HeHeBtcTHoe:
Л/ R2+ — ¦
273. Задача. Удвоитьчисло сторонъправиль-
наго вписаннаго многоугольника.
Въ этомъ сокращенномъ выражеши разумеется ссбс!венно
две задачи: 1°, по данному правильному впис. мн-ку п о-
строить другой правильный
мн-къ, вписанный въ ту же ок-
окружность и имеющШ вдвое более
сторонъ; 2°, вычислить сто-
сторону этого мн-ка по данной сто-
стороне перваго мн-ка и данному
рад1усу круга.
1°. Пусть А В (черт. 248) есть
сторона прав. впис. мн-ка, име-
ющаго п сторонъ и О центръ круга. Проведемъ ОС±.АВ и соеди-
нимъ А съ G. Дуга АВ делится въ точке С пойоламъ; след.,
хорда АС есть сторона прав. впис. мн-ка, имеющаго 2п сторонъ.
2°. Въ тр-ке АСО уголъ О всегда острый (такъ какъ дуга АСВ
всегда меньше полуокружности и, след., половина ея, дуга АС,
меньше четверти окружности); поэтому B36):
АС2=ОА2+ОС2—2ОС . OD.
т.-е. я2п2 =R2+R2—2R . OD=2R2—2R . OB.
Изъ прямоугольнаго тр-ка A0D определимъ катетъ OD:
у АО2—АВ2=

207 —
•У
Такова формула удвоежя числа сторонъ правильна™ вписан-
нако многоугольника *).
ПримгЬръ. Вычислимъ сторону прав. впие. 12-угольника:
2-u^ = y 2R*-
=у 2Й2-
-й2 V F= rY^
274. Насколько равныхъ частей можно де-
делить окр^ждреть помощью циркуля и линейки?
Применяя указанные въ предыдущихъ задачахъ способы, мы
можемъ помощью циркуля и линейки, делить окружность на
такое число равныхъ частей (и сл'Ьд., вписывать въ окруж-
окружность правильные многоугольники съ такимъ числомъ сторонъ),
которое заключается въ^^Ьдуюпщхъ рядахъ:
| 3, 3.2, 3.2.2...вообще 3.2м
4, 4.2, 4.2.2...вообще 2п
5, 5.2, 5.2.2...вообще 5.2П
. 15, 15.2, 15.2.2...вообще 3.5.2П
ГерманскШ математикъ Г а у с с ъ (умершш въ 1855 г.)
доказалъ, что посредствомъ циркуля и линейки, можно делить
окружностц на такое число равныхъ частей, которое, будучи
п р о с т ы м ъ, выражается формулою 2п+1. Напр., можно
разделить окружность на 17 равныхъ частей и на 257 равныхъ
частей, такъ какъ 17 и 257 суть простыя числа вида 2W+1
A7^=24+1, 257=28+1). Доказательство Гаусса выходитъ изъ
пред'Ьловъ элементарной математики.
Доказано также, что помощью линейки и циркуля окруж-
окружность можно делить на такое составное число равныхъ
*) Сложные радикалы, получаемые изъ формулы удвоешя, могутъ
, быть преобразованы въ сумму или* разность двухъ простыхъ ради-
каловъ (см. алгебра А. Киселева, § 238); напр., для а12
можно получить такое выражеше: a12 = V^'У^

— 208 —
частей, которое, разложенное на простыхъ множителей, не со-
держитъ никакихъ иныхъ множителей, кромЗз множителей
вида 2П-Ы при условш, что эти множители всЬ различны,
и множителя 2 въ какой угодно степени. Напр., въ окруж-
окружность помощью циркуля и линейки можно вписать правильный
170-угольникъ A70=2.5.17), но нельзя вписать правильный
9-угольникъ (хотя множитель 3 им^етъ видъ 2W+1, но въ состав^
9-и онъ повторяется).
На всякое иное число равныхъ частей окружность можетъ
быть разделена только приближенно.
275. Поетроен1е правильнаго многоугольника
по данной еторон'Ь. Для разлцчныхъ правильныхъ мяо-
гоугольниковъ существуютъ различные способы. Но можно
указать слФдующШ о б щ i и способъ. Чертятъ окружность
произвольнаго рад!уса и вписываютъ въ нее правильный мн-къ
съ такимъ числомъ сторонъ, которое должно быть у искомаго
мн-ка; зат'Ьмъ на данной сторон* строятъ мн-къ, подобный
описанному B10).
УПРАЖНЕН1Я.
241. Составить формулу для стороны правильнаго вписаннаго
24-угольника.
242. Составить формулы для сторонъ правильныхъ вписанныхъ
8-уголышка и 16-угольника.
243. Исходя изъ формулы удвоетя, определить сторону правиль-
правильнаго вписаннаго 5-угольника.
244. Составить формулы для сторонъ правильныхъ описанныхъ
треугольника и фестиугольника.
245. Доказать, „ что если въ прав, б-угольник^ проведемъ всб
д1агонали, то онЪ своими пересЪчешями образуютъ внутреннш прав.
5-угольникъ.
246. Пусть А В, ВС и CD будутъ три посл'вдовательныя стороны
правильнаго мн-ка, им^ющаго центръ въ О. Если продолжимъ сто-
стороны А В и CD до взаимнаго пересвчешя въ точк-в Е, то четыреуголь-
никъ О А ЕС можетъ быть вписанъ въ окружность.
247. Доказать, что: 1°, всякш вписанный равностороншй много-
угольникъ есть правильный; 2°, равноугольный вписанный мн-къ
есть правильный, когда число сторонъ его нечетное; 3°, всякШ опи-
описанный равноугольный мн-къ есть правильный; 4°, описанный равно-
стороннШ мн-къ есть правильный, когда число сторонъ его нечетное.

— 209 —
248. Доказать, что двЪ д1агонали правильнаго 5-угольника, не
исходяция изъ одной вершины, пересекаются въ среднемъ и край-
немъ отношенш.
249. На данной сторонЪ построить правильный 8-угольникъ.
250. На данной сторонЪ построить правильный 10-угольникъ.
251. Срезать отъ даннаго квадрата углы такъ, чтобы образовался
правильный 8-угольникъ.
252. Въ данный квадратъ вписать равностороншй тр-къ, помещая
одну изъ его вершинъ или въ вершинЪ квадрата, или въ серединЪ
какой-либо стороны.
253. Вписать въ равносторонтй тр-къ другой равностороншй
треугольникъ, котораго стороны были бы перпендикулярны къ сто-
ронамъ даннаго.
254. Построить углы: въ 18, въ 30, въ 75, въ 72 градуса.
КНИГА IV.
ВЫШЛЕН1Е ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И ЕЯ ЧАСТЕЙ.
ГЛАВА I.
Оснсвныя свойства предЪловъ-
27в. Величины поетоянныя и перем-Ьнныя.
Решая какой-либо вопросъ, въ который входятъ несколько
величинъ, мы иногда предполагаем!), что некоторыя изъ этихъ
величинъ сохраняютъ одно и то же неизменное значете, тогда
какъ друшя способны принимать безчисленное множество раз-
личныхъ значетр. Первыя величины наз. постоянными,
вторыя переменными. Такъ, разсматривая зависимость
между длиною хорды и ея разстояшемъ отъ центра, мы считаемъ
рад1усъ круга величиною постоянною, а длину хорды и ея раз-
стояте отъ центра—величинами переменными.
Впрочемъ, некоторыя величины являются постоянными не
потому, что мы ихъ такими предполагаемъ, а вследст^е своего
основного свойства; такова, напр., сумма угловъ тр-ка, которая
всегда равна 2d.
Если величины выражены числам и4 то постоян-
постоянной величине соответствуешь постоянное число,
а переменной величин гЬ—п временное число.

210 —
277. Перем-Ьнныя величины, стремяшдяся къ
нулю. Если переменная величина (и переменное число, из-
измеряющее ее), изменяясь, делается меньше любого даннаго
значетя, какъ бы мало это значеше ни было, и при дальнейшемъ
измененш постоянно остается меньше этого значешя, то гово-
рятъ, что эта переменная величина стремится къ нулю.
Напр., если черезъ какую-нибудь точку А окружности
(черт. 249) проведемъ касатель-
Ную МТ и секущую AM и
затемъ станемъ вращать се-
секущую вокругъ точки касашя
такъ, чтобы вторая точка пере-
сечешя В все ближе и ближе
придвигалась къ точке А, то
при этомъ уголъ ТАМ, соста-
составленный касательной) и секу-
щею, стремится къ нулю, по-
поЧерт. 249.
тому что, какъ мы это говорили прежде A43,) равный ему уголъ
A0D, составленный рад1усомъ АО и перпендикуляромъ OD на
хорду АВ, можетъ сделаться меньше любого даннаго угла,
напр, меньше угла въ 1', и, при дальнейшемъ сближенш точекъ
пересечетя, постоянно остается меньше этого угла.
Точно такъ же центральный уголъ правильнаго многоуголь-
многоугольника, котораго величина равна 4d/n, стремится къ нулю, если п,
т.-е. число сторонъ этого мн-ка, неограниченно возрастаетъ;
напр., при п=100 этотъ уголъ равенъ 0,04d, при п=1000 онъ
делается 0,004d и т. д.
278. Перем-Ьнныя величины, увеличиваюшдя-
ея безпред'Ьльно. Если переменная величина (и перемен-
переменное число, измеряющее ее), изменяясь, делается и остается
больше любого даннаго значетя, какъ бы велико это значеше
ни было,то говорятъ, что она увеличивается безпредельно
(или неограниченно) *).
*) Величина, увеличиваюцияся безпредЪльно, принято въ мате-
математик^ называть безконечно большими, а величины
стремяцпяся къ нулю, —б езконечно малыми. Въ этой
книгЪ мы не будемъ однако употреблять этихъ терминовъ для избЪ-
жатя некоторой неясности представлетя въ умЪ учащагося.

- 211 —
Напр., сумма угловъ выпуклаго многоугольника, равная
2d(n—2)=2dn—4d, при неограниченномъ возрасташи числа
сторонъ увеличивается безпред'Ьльно; такъ, при п=100 она
равна 196й, при п=1000 она делается 1996d и т. д.
279. Переменный величины, 0тремяпцяся къ
пределу. Иногда случается, что переменная величина, из-
изменяясь, стремится къ некоторому пределу.
Пред%ломъ перем-Ьнной величины наз. такая постоянная вели-
величина, къ которой переменная приближается такъ, что разность
между ними стремится къ нулю, т.-е. эта разность делается и
остается меньше любого даннаго значетя, какъ бы мало это
значеше ни было.
Приведемъ два примера переменныхъ величинъ, стремя-
стремящихся къ пределамъ.
Г
I
—А 1 В
1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 I 1 ill 1 1 1 1 1 I I I м
Черт. 250.
1°. Разсмотримъ (черт 250),процессъ изьгЬрешя какой-нибудь
длины А, несоизмеримой съ единицею В Чтобъ измерить такую
длину A58, 2°), мы делимъ В на п равныхъ частей и одну изъ
нихъ откладываемъ на А столько разъ, сколько можно. Тогда
мы получаемъ соизмеримую длину Аъ которая меньше А\ если же
отложимъ */п долю В еще одинъ разъ, то получимъ другую
соизмеримую длину А2, которая больше А; при этомъ каждая
изъ разностей А—Ах и А2—А меньше х/п Доли #• Предположимъ
теперь, что число п равныхъ частей, на которое мы делимъ В,
увеличивается неограниченно. Тогда длины Аг и А2 становятся
переменными, а длина А остается постоянной; такъ какъ г/п
доля В при достаточномъ увеличеши числа п можетъ быть сде-
сделана меньше любой данной длины (напр., меньше миллиметра)
и при дальнейшемъ увеличети п она постоянно остается меньше
этой малой длины, то можно сказать, что переменныя величины
Аг и А2 стремятся при этомъ къ общему пределу А.
Изъ этого примера мы видимъ, что переменная величина,
приближаясь къ своему пределу, дажетъ быть или меньше

— 212 —
его, или больше; такъ, длина Аг постоянно меньше, ч$мъ А,
а длина А2, наоборотъ, всегда больше А.
2*. Сумма всЬхъ внутреннихъ угловъ выпуклаго много-
многоугольника, имйющаго п сторонъ, выражается, какъ известно
(89), формулой 2d(n—2); поэтому величина одного угла пра-
бильнаго n-угольника равна:
Ы(п—2) Ып—Ы Ы
— =2а .
п п п
Предположимъ, что число сторонъ многоугольника, т.-е.
число п, неограниченно увеличивается; тогда, какъ видно изъ
приведенной формулы, величина угла мн-ка, оставаясь всегда
меньше 2d, все более и более приближается къ 2d такъ, что
Ы
разность между ними, равная —, делается и остается меньше
п
какого угодно угла. Поэтому можно сказать, что уголъ пра-
вильнаго мн-ка, при неограниченномъ увеличены числа его
сторонъ, им^етъ предйлъ 2d.
280. Зам^ча^е. Если переменная величина а, изме-
изменяясь, остается постоянно большей своего предала А, то ее
можно разсматривать, какъ сумму А-\-х\ если же переменная
величина а, изменяясь, остается постоянно меньшей своего
предала А, то ее можно разсматривать, какъ разность А—х\
и въ томъ, и въ другомъ случаяхъ х означаетъ некоторую по-
положительную величину, которая, согласно определешю
предела, стремится къ нулю, когда переменная величина а
стремится къ своему пределу А.
281. Теорема. Если две перемЪнныя величины, стремя-
щ1яся къ предЪламъ, при всгЬхъ своихъ послЪдовательныхъ
изменен1яхъ остаются равными между собою, то равны и ихъ
пределы.
Пусть а и Ъ две переменныя величины, а А ж В ихъ пределы;
положимъ, что при всехъ последовательныхъ изменен1яхъ
переменныя величины а и Ъ всегда равны между .собою; требуется
доказать, что въ такомъ случае и А=В.
¦ Предположимъ, что обе переменныя величины а и Ь, изме-
изменяясь, остаются постоянно меньпшми своихъ пределовъ. Тогда

— 213 —
можно принять, что а=А—х и Ъ=В—у, где х и у некоторый
положительныя величины, стремяпцяся къ нулю. Такъ какъ,
по условш, а=Ь, то можно написать:
А—х=В—у.
Докажемъ, что это равенство возможно только тогда, когда
А=В (и, след., х=у). Перенеся въ этомъ равенств* постоянны#
члены въ одну часть, а переменные въ другую, получимъ:
А—В=х—у.
Л^вая часть послЪдняго равенства, представляя собою раз-
разность между постоянными величинами, должна рав-
равняться или нулю (если А=В), или некоторой постоян-
постоянной величин'Ь. Правая часть того же равенства, представляя
собой разность между такими переменными величинами, ко-
торыя обе стремятся къ нулю, должна равняться
или нулю (если х~у), или некоторой переменной
величине, стремящейся къ нулю. Такъ какъ постоянная вели-
величина не можетъ равняться переменной величине, то написанное
равенство возможно только тогда, когда обе его части равны
нулю, т.-е. только тогда, когда А=В (и х=у).
Подобнымъ же образомъ можно доказать, что А=В и въ томъ
случае, когда переменныя а и Ъ остаются большими своихъ
пределовъ *). ^
282. Теорема. Если flBt переменныя величины, стремя-
щ'|яся къ пред'Ьламъ, при всЪхъ своихъ измЪнешяхъ сохраняютъ
одно и то же отношеше, то въ томъ же отношенш находятся и
ихъ пределы.
Пусть а и Ъ две переменныя величины, а Аш В ихъ пределы,
и положимъ, что при всехъ изменешяхъ величины а и Ь по-
постоянно удовлетворяютъ пропрщи:
а : Ъ—т : пу
где шип кашя-нибудь постоянныя дайныя числа. Требуется
доказать, что въ такомъ слуаче и
А : В=т : п.
*) и даже въ томъ случай, когда он*, изменяясь, делаются то
меньшими» то ббльшими своихъ пред'Ьловъ.

— 214 —
Предположимъ снова, что o6t переменный, изменяясь, оста-
остаются меньшими своихъ предаловъ; тогда можно принять, что
а=А—х и Ъ=В—у, гд^ вычитаемыя хну суть некоторый поло-
жительныя величины, стремяпцяся къ нулю. Подставивъ въ
данную пропорщю на м^сто а и Ъ равныя имъ разности А—х.
и В—у, получимъ:
(А—х) : (В—у)=т : п.
Откуда: (А—х) п={В—у) т,
т.-е. An—пх=Вт—ту.
Такъ какъ величины х и у стремятся къ О, то и произведе-
шя пх и ту стремятся къ О *); всл'Ьдств1е этого разности An—пх
и Вт—ту представляютъ собою перем^нныл величины, стремя-
шдяся къ пред'Ьламъ: первая разность—къ постоянной вели-
чинй An, а вторая разность—къ постоянной величин'Ь Вт.
Но если равны перем^нныя, стремяпцяся къ пред'Ьламъ, то
равны и ихъ пределы B81; значитъ:
An—Вт; откуда: А : В=т : п,
283. Основное начало способа предЪловъ.
Дв'Ь предыдущая теоремы составляютъ частные случаи сл'Ьдую-
щаго важнаго предложен1я, которое мы примемъ безъ доказа-
доказательства:
Если какое-либо равенство, содержащее перемЪнныя величины,
стремящ'шся къ пред^амъ, остается BtpHbiMb при Bctxb M3Mt-
нен'тхъ nepeMtHHbixb, то оно остается BtpHbiMb и тогда, когда
на MtcTO nepeMtHHbixb подставимъ ихъ пред^ы.
Это предложен!е слулштъ основан1емъ такъ называемому
способу пред^ловъ, которымъ иногда пользуются
для доказательства н'Ькоторыхъ геометрическихъ истинъ.
284. Понятие о способ* пред'Ьловъ. Этотъ спо-
собъ состоитъ въ сл'Ьдующемъ. Положимъ, что мы желаемъ
*) т.-е. каждое изъ этихъ произведетй делается (и остается) меньше
любого даннаго положительнаго числа, какъ бы мало это число ни
было; напр., произведете пх делается (и остается) меньше^ дроби
1-й миллшнной, такъ какъ число х, изменяясь, делается (и. остается)
меньше Vw миллюнной.

— 215 —
найти зависимость между некоторыми постоянными величи-
величинами А и В, и допустимъ, что эту зависимость трудно (или
даже невозможно) найти непосредственно. Тогда задаемся во-
просомъ: нельзя ли величины Аи В разсматривать, какъ пре-
пределы н'Ькоторыхъ перем'Ьнныхъ величинъ а и Ь, и если воз-
возможного какова зависимость между аи Ъ? Положимъ, оказалось,
что эта зависимость выражается равенствомъ:
а=ЗЬ2,
которое остается в'Ьрнымъ при всЬхъ изм'Ьнешяхъ а и Ь; въ
такомъ случай можемъ принять, что это равенство остается
в'Ьрнымъ и тогда, когда на место а и Ъ подставимъ ихъ пре-
пределы, т.-е., что и
Такимъ образомъ, зависимость между А и В мы найдемъ косвен-
нымъ путемъ, отыскавъ предварительно зависимость между
переменными.
Применеше этого способа мы вскоре увидимъ.
ГЛАВА II.
Вычислено длины окружности.
285. Предварительное разъяснеше. Конечную
прямую можно сравнивать съ другою конечною прямою, при-
принятою за единицу, вслгЬдств1е того, что прямыя линш при нало-
жеши совмещаются. Действительно, только по этой
причин^ мы можемъ совершенно точно установить, каше отрезьи
прямыхъ считать равными и неравными, что такое сумма от-
резковъ прямой, какой отр^зокъ более другого въ 2, 3, 4... раза
и т. п. Точно такъ же дуги окружностей одинаковаго
р а д i у с а можно сравнивать между собою вследств1е того,
что татя дуги при наложети совмещаются. Но известно, что
никакая часть окружности (или другой кривой) не можетъ
совместиться съ прямой A21); поэтому нельзя установить пу-

— 216 —
темъ наложешя, какой криволинейный отрйзокъ должно считать
равнымъ данному прямолинейному отрезку, а сл'Ьд., и то, какой
криволинейный отр^зокъ больше даннаго прямолинейнаго въ
2,3,4... раза. Такимъ образомъ, является необходимость опре-
определить, что мы разумЪемъ подъ длиною окруж-
окружности (или части ея), когда сравниваемъ ее съ прямолиней-
прямолинейными отрйзкомъ.
286. Определение длины окружности и ея
дуги. Впишемъ въ данную окружность (черт. 251) какой-
нибудь выпуклый многоугольникъ ABCDEF и найдемъ его
периметръ. Пусть это будетъ конечная
прямая Рх (черт. 252). Впишемъ въ ту же
окружность какой-нибудь другой вы-
пуклый мн-къ, у котораго стороны
были бы меньше (и, сл'Ьд., число сто-
ронъ больше), ч'Ьмъ у перваго мн-ка;
найдемъ его периметръ; пусть это бу-
будетъ прямая Р2 (черт. 252). Впишемъ
дал'Ье въ нашу окружность третШ мн-къ
Черт. 251.
(онъ не указанъ на чертежъ), у котораго
стороны были бы еще меньше (и, сл'Ьд., число сторонъ еще больше)
и найдемъ его периметръ; пусть это будетъ прямая Р3. Вообра-
Черт. 262.
зимъ теперь, что мы вписываешь въ данную окружность все
новые и новые мн-ки, у которыхъ стороны неограниченно умень-
уменьшаются, и каждый разъ находимъ ихъ периметры. Тогда мы
получимъ безконечный рядъ периметровъ Р,, Р2, Р3, Р4....

— 217 —
Можно доказать *), что эт.отъ рядъ стремится къ
определенному пределу (напр., къ длинй L,
черт. 252), не зависящему отъ того, по какому
закону мы уменьшаемъ стороны вписан-
ныхъ многоугольниковъ (и, сл-Ьд., увеличиваемъ
число ихъ сторонъ). Мы можемъ, напр., вписывать въ данную
окружность мн-ки по такому закону: сначала впишемъ квадратъ
(черт. 253); затЪмъ впишемъ правильный 8-угольникъ, далйе
правильный 16-угольникъ, потомъ 32-угольникъ и т. д., и т. д.,
все удваивая число сторонъ правильныхъ мн-ковъ. Можемъ
Черт. 253.
Черт. 254.
поступить и такъ: сначала впишемъ правильный 6-угольникъ
(черт. 254), зат/Ьмъ правильный 12-угольникъ, дал'Ье 24-уголь-
никъ ит. д., и т. д., все удваивая число сторонъ мн-ковъ. Мо-
Можемъ вписывать мн-ки и по какому угодно иному закону, при-
чемъ вписываемые мн-ки могутъ быть и неправильные. Всегда
окажется, что если только стороны вписаннаго выпуклаго мн-ка
неограниченно уменьшаются, то периметръ его
стремится къ*одному и тому же пределу, определенному для
данной окружности. Этотъ пред'Ьлъ принимаетсяч за длину
окружности. Такимъ образомъ: за длину окружности
принимаютъ предал ъ, къ которому стре-
митсяпериметръвписаннаговъэтуокруж-
ность выпуклаго многоугольника, когда
стороны его неограниченно уменьшаются.
•) Доказательство помещено ниже, въ § 298.

— 218 —
Черт. 255.
Подобно этому за длину дуги (АВ, черт. 255) окруж-
окружности (и вообще за длину какой-ни-
какой-нибудь конечной кривой) принимаютъ
пред'Ьлъ, къ которому стре-
стремится периметръ ломаной ли-
н1и, вписанной въ эту дугу и
имеющей съ нею одни и т'Ьже
концы, когда стороны этой ло-
ломаной неограниченно умень-
уменьшаются.
287. Сл1гдств1я- 1°. Равныя дуги и равный окружности имЪютъ одина-
ковыя длины.
Действительно, если дуги АВ и CD
(черт. 256) равны, то это значитъ, что оп-Ь
при наложенш совм-Ьщаются. Всл^дств1е
этого ломанныя линш, вписываемыя въ
нихъ, можно брать совершенно одинако-
одинаковыми. Но тогда периметры этихъ ломаныхъ
будутъ, конечно, стремиться къ одному
и тому же пределу; а этотъ предЪлъ, со-
согласно опред1злетю, и есть длина дуги
какъ АВ, такъ и CD.
То же самое можно повторить о равныхъ
окружностяхъ.
2°. Длина суммы дугъ равна суммЪ длинъ этихъ дугъ.
Если дуга А В С (черт. 257) есть сумма двухъ дугъ АВ и ВС, то мы
можемъ вписывать ломаную литю въ дугу ABC
такимъ образомъ, чтобы она всегда была со-
составлена изъ двухъ ломаныхъ, сходящихся
въ точкЪ Б; тогда одна изъ нихъ будетъ впи-
вписана въ дугу АВ, а другая въ дугу ВС. При
такомъ способ^ вписывашя, очевидно, пре-
д^лъ ( периметра ломаной, вписаной въ дугу
ABC, равенъ суммЪ предЪловъ периметровъ
ломаныхъ, вписанныхъ въ дуги АВ и ВС;
а это значитъ, что длина дуги ABC равна
сумм-й длинъ дугъ АВ и ВС.
Въ частности, напр., длина цЪлой окруж-
окружности, разложенной на несколько дугъ, равна
суммЪ длинъ всЪхъ этихъ дугъ.
288. Теорема. Длина дуги больше стягивающей ее хорды,
но меньше всякой ломаной линш, описанной около этой дуги
и имеющей съ нею одни и Tt же концы.
Черт. 256.

— 219 —
1°. Пусть АСВ (черт. 258) есть дуга окружности, а АВ стяги-
стягивающая ее хорда; требуется доказать, что длина дуги больше
этой хорды.—Предположимъ, что въ дугу АСВ мы вписываемъ
ломаныя линш по такому закону: первая ломаная пусть будетъ
какая угодно, напр., ломаная, со-
составленная изъ 2-хъ хордъ АС и СВ\
вторая ломаная пусть будетъ ADCEB, -
составленная изъ 4-хъ хордъ, при-
чемъ вершины первой ломаной, т.-е.
ТОЧКИ А, С Я В ПуСТЬ ВХОДЯТЪ также Черт. 258.
въ число вершинъ и второй ломаной.
Третья ломаная (не указана на чертеж'Ь) пусть будетъ такая,
которая составлена изъ 8-ми хордъ, причемъ вершины второй
ломаной, т.-е. точки A, D, С, Е и В, пусть входятъ также и; въ
число вершинъ третьей ломанной. Такимъ же образомъ вписы-
вписывается четвертая ломаная, загЬмъ пятая и т. д. безъ конца.
При такомъ закон'Ь вписывай!я периметръ ломаной, съ каждымъ
удвоешемъ числа ея сторонъ, будетъ все возрастать
(напр., AD+DC+CE+EB>AC+CB, такъ какъ AT)+D6>AC
и СЕ+ЕВ^>СВ); всл'Ьдств1е этого пред'Ьлъ, къ которому стре-
стремится этотъ лериметръ, долженъ быть больше периметра первой
ломаной, т.-е. суммы АС+СВ, и, значитъ, долженъ быть, и
подавно, больше хорды АВ E3). Но пред'Ьлъ, къ которому
стремится периметръ вписанной ломанной лиши принимается
за длину дуги АВ\ значитъ, эта длина больше хорды АВ.
2°. Пусть ломаная лин1я АСВ (черт. 259) описана около
дуги" ^4В и им'Ьетъ съ этою дугою одни и гЬ же концы А и В.;
требуется доказать, что длина дуги
меньше длины этой ломаной; дру-
другими словами, требуется доказать, что
пред'Ьлъ L, къ которому стремится
периметръ выпуклой ломаной.ли-нш ^ -ч«
вписанной въ дугу АВ, при неогра- ^
ниченномъ уменыпеши ея сторонъ, черт. 259.
меньше суммы АС+СВ, которую мы для краткости обозначимъ
одною буквою S. Длд доказательства возьмемъ вспомогательную
ломаную АпьпВ, которая получится, если мы ср'Ьжемъ уголъ С
кашшъ-нибудь отр-Ьзкомъ прямой rnni не пересЬкаю-

— 220 —
щимся съ дугою АВ (что всегда возможно, если ло-
ломаная АСВ описана, т.-е. составлена изъ касательныхъ).
Обозначимъ длину этбй вспомогательной ломаной буквою 8г.
Такъ какъ тп<СпьС+Сп, то Si<C.S. Докажемъ теперь, что п р е -
д4лъ L не можетъ быть больше 8г. Предпо-
ложимъ противное, т.-е. что L^>Slt Такъ какъ переменная
величина приближается къ своему пределу какъ угодно близко,
то периметръ вписанной въ дугу АВ ломаной линш, при до-
статочномъ уменыпенш ея сторонъ, можетъ приблизиться къ
своему пределу L настолько близко, что разность между L
и этимъ периметромъ сделается меньше постоянной разности
L—S±; тогда, значитъ, периметръ вписанной ломанной сделается
больше Si. Но это невозможно, такъ какъ всякая выпуклая
ломаная лишя, вписанная въ дугу АВ, есть объемлемая
по отношетю къ объемлющей ломаной АтпВ, и потому
первая должна быть меньше второй E5). Слйд., нельзя до-
допустить, что Tu^>Sx\ значитъ, L<Sf1 и такъ какъ fii<CS, то L<OS.
289. Замечание. Доказательство об^ихъ частей этой
теоремы остается въ полной сюгЬ и тогда, когда дуга, о которой
говорится въ теорем^, будетъ не дуга окружности, а часть ка-
какой-нибудь иной кривой, лишь бы только эта часть кривой
была выпуклая, т.-е. такая, которая расположена по одну
сторону отъ каждой своей касательной.
29СК С1гЬдств1е. Пусть въ данную окружность (черт. 260)
вписанъ какой-нибудь выпуклый многоугольникъ ABCD и
описанъ какой-нибудь многоугольникъ MNPQR. Такъ какъ
дуга АВ больше хорды АВ, дуга ВС
больше хорды ВС и т. д., то длина
окружности больше периметра вписаннаго
многоугольника, Оь другой стрроны, такъ
какъ дуга аЪ меньше описанной лома-
)р ной линш аМ+МЪ, дуга Ъс меньше
описанной ломаной линш bN+Nc
и т. д., то длина окружности меньше
периметра описаннаго многоугольника.
Черт. 260. Напр., длина окружности больше
периметра правильнаго вписаннаго шестиугольника и меньше

— 221 —
периметра описаннаго квадрата; значитъ, длина окружности
больше 6-ти рад1усовъ и меньше 8-ми р.ад1усовъ (такъ какъ
сторона правильнаго вписаннаго шестиугольника равна ра-
д1усу, а сторона описаннаго квадрата равна д1аметру).
Для бол'Ье точнаго вычислетя длины окружности въ за-
зависимости отъ рад1уса докажемъ следующую теорему.
291. Теорема. Длины окружностей относятся, какъ ихъ
pafliycbi или д1аметры.
Пусть R и их (черт. 261) будутъ рад1усы двухъ окружностей,
а С и Сг ихъ длины; требуется доказать; что
С : CX-=R : R1=2R :2RV
Впишемъ въ дан-
ныя окружности ка-
Kie-нибудь правиль-
правильные одноименные мно-
многоугольники (напри-
м'Ьръ, шестиуголь-
шестиугольники) и загЬмъ во-
образимъ, что число
Черт. 201.
ихъ сторонъ одновре-
одновременно неограниченно
удваивается (т.-е. вместо шестиугольниковъ берутся правиль-
правильные вписанные 12-угольники, загЬмъ 24-угольники, 48-уголь-
ники и т. д. безъ конца). Обозначимъ переменные периметры
этихъ многоугольниковъ черезъ р и рх. Тогда будемъ им^ть
пропорцш B63):
р : Pl=B : йх.
Но если перем^нныл величины сохраняютъ одно и то же отно-
шеше, то пределы ихъ находятся въ томъ же отношенш B82);
пределы же периметровъ р и рг суть длины окружностей С и Сх\
значитъ:'
С : d=E : Rv
Умноживъ оба члена второго отношешя на 2 (отчего отношете
не изменится), получимъ:
С : CX=2R : 2ЕХ.
292. Cn^CTBifl. 1°. Переставивъ въ последней пропорцш
средше члены, получимъ:
С : 2R=CX : 2ЙЬ

— 222 —
т.-е. отношеше одной окружности къ своему д1аметру равно
отношенш другой окружности къ своему д!аметру; другими
словами: отношеше окружности къ своему д!аметру есть число посто-
постоянное для Bctxb окружностей.
Это постоянное число принято обозначать греческою бук-
буквою % *).
2°. Зная рад1усъ и отношеше окружности къ своему д1а-
метру, т.-е. число тс, мы можемъ вычислит:- длину окружности
изъ равенства:
С : 2R=7Z\ откуда C±=2R.%=R.2tz,
т.-е. длина окружности равна произведена ея д1аметра на число
тг, или произведен^ ея рад!уса на удвоенное число-.
Чаще всего формулу для длины окружности пишутъ такъ:
293. Понятие о вычиеленш тс. Доказано, что отно-
шеше окружности къ д1аметру не можетъ быть выражено точно
ни итЬлымъ, ни дробнымъ числомъ **). Но можно найти при-
приближенное значете тг съ какою угодно точностью. Укажешь
одинъ изъ способовъ этого вычислетя.
Если рад1усъ примемъ за единицу длины, то длина окруж-
окружности выразится числомъ 2тг. Поэтому можно сказать, что тс
есть длина полу окружности единичнаго раду1са.
Чтобы вычислить полу окружность съ нЪкоторвщъ приближе-
шемъ, находятъ полу периметры правильныхъ вписанныхъ
мн-ковъ, которые получаютъ черезъ удвоен1е числа сторонъ ка-
какого-нибудь одного изъ нихъ, напр., шестиугольника. Для
*) Обозначеше это введено, по всей вероятности, въ XVII стол'Ътш.
Буква ^с (пи> есть начальная буква греческаго слова Trepicpepsia
(окружность).
**) Отношеше окружности къ д1аметру есть число не только не-
несоизмеримое, но и трансцендентное, т.-е. такое, ко-
которое не можетъ служить корнемъ никакого алгебраическаго
уравнен1я съ рациональными коэффищентами (впервые это
было доказано въ 1882 г. нЪмецкимъ математикомъ Ф. Линде-
м а н о м ъ). Отсюда можно вывести заключеше, что помощью цир-
кулл и линейки нельзя решить построен1емъ задачу о в ы п р я м л е-
н1и окружности, т.-е. нельзя построить такой отрЪзокъ
прямой, длина котораго въ точности равнялась бы длин'Ь данной
окружности.

— 223 —
этого предварительно находятъ длины сторонъ этихъ мн-ковъ,
а затЪмъ полупериметры. Обозначая, по принятому, черезъ а
сторону правильнаго вписаннаго мн-ка, им^Ьющаго п сторонъ,
будемъ им^ть:
Применяя формулу удвоешя, выведенную нами ранЪе B73):
a22n=2R2—2Й1
находимъ: а12=2—21 / 1 =2— V3=0,26795...
У - 4
Послй этого, пользуясь тою же формулою, последовательно
вычисляемъ:
Положимъ, что мы прекратили удвоеше на Эб-угольникЪ.
Чтобы получить его полупериметръ, надо сторону умножить
на 48. СдЗзлавъ вс? упрощешя и вычислешя, пайдемъ (обо-
(обозначая периметръ буквою р съ соотв'Ьтствующимъ знакомъ):
1
-р9в=3,Ш0319... *
Если полупериметръ 06-угольника примемъ за длину полу-
полуокружности, то, конечно, сдйлаемъ некоторую погрешность.
Чтобы судить о величин^ ея, вычислимъ еще полупериметръ
правильнаго описаннаго 96-угольника Для этого вос-
воспользуемся формулою, дающею выражеше для стороны описан-
описаннаго мн-ка по рад1усу и сторон^ вписаннаго B71):
. R^R Cfflfi
2 / 2
отсюда: -
48«96
2 f\_?JL*
4
Р96 означаетъ периметръ описаннаго 96-угольника. Под-

— 224 —
ставивъ на мйсто 1/2/р9в и а96 найденныя прежде числа и сдйлавъ
вычислешя, найдемъ:
1
-Р96 =3,1427146...
Полуокружность бол'Ье полупериметра вписаннаго, но меньше
полупериметра описаннаго 96-угольника B90); поэтому она
отличается отъ каждаго изъ этихъ полупериметровъ меньше,
чФмъ они разнятся между собою. Сравнивая два числа, найден-
найденныя для УгРэв и 72^96, зам'Ьчаемъ, что у нихъ одинаковы ц-Ьлыя,
десятыя и сотыя доли; сл'Ьд., разность между этими полупери-
полупериметрами меньше 7юо- Поэтому, если положимъ, что тс=3,14,
то получцмъ приближенное значен1е тс съ точностью до 0,01,
при чемъ это значеше будетъ с ъ недостаткомъ, такъ
какъ оно меньше 7гР9б и> сл'Ьд., подавно меньше полу»
окружности.
Если подобнымъ образомъ продолжимъ вычислеше до полу-
чешя полупериметра мн-ка о 6144 сторонахъ, то получимъ
следующее"число (съ недостаткомъ), точное до одной мюипонной:
592.
Для практическихъ ц'Ьлей достаточно запомнить три или
четыре цыфры этого числа, а въ случай особенной точности
можно довольствоваться такимъ приближеннымъ значешемъ
(съ избыткомъ) числа тс, выраженнымъ 5-ю цыфрами:
ти=3,1416.
Полезно также запомнить несколько цыфръ числа
1
-=0,318 3098...,
7U
часто встр^чающагося при вычислен1яхъ.
294. Архимедово и Мец1ево отношен!я. А р х и-
м е д ъ, знаменитый сиракузскШ геометръ, жившш въ III в^к*
до Р. Хр., нашелъ для тс весьма простое число 22/7, т.-е. 37?-
Это число несколько болФе тс и разнится отъ него мен^е, чФмъ
на 2 тысячныхъ.
Адр!анъ Мец1й, голландстй геометръ XVI столбя,
далъ для отношешя окружности къ д1аметру число 355/пз? ко"
торое превосходить точное значеше тс мен^е, ч'Ьмъ на пол у-

— 226 —
милл1онную ; его легко запомнить по следующему пра-
правилу: написавъ по 2 раза первыя три нечетныя цыфры:
113 | 355,
сл'Ьдуетъ послЪдтя три взять числителемъ, а первыя знамена-
телемъ.
Ученые поздн^йшаго времени, пользуясь упрощенными спо-
способами (которые указываются высшей математикой), вычислили тс
съ точностью, далеко превосходящею всяшя практичесшя тре-
бовашя (такъ, Ш е н к с ъ въ 1873 году нашелъ 707 десятич-
пыхъ знаковъ числа % *).
296. Длина дуги въ п°. Такъ какъ длина всей окруж-
ности есть 2тгй, то длина дуги въ 1° равна =—- **);
ЗЬО 1оО
сл'Ьд., длина 5 дуги, содержащей п°, выразится такъ:
5== 180 '
Если дуга выражена въминутахъ {п) или въ секундахъ (п")>
то длина ея определится формулами:
lb0.60'. Sn 180.60.60
*) Для запоминатя довольно длиннаго ряда цыфръ, выражающихъ
число те, можно пользоваться слЪдуюцшмъ французскимъ двустиш1емъ:
Que j*aime a f air e apprenjdre
Un nombre utile aux hommes!
или сл'вдующимъ русскимъ (придуманнымъ поюойнымъ преподавате-
лемъ Нижегородской гимназ!и Шенрокомъ):
Кто и шутя, и скоро пожелаетъ
Пи узнать число, ужъ 8наетъ1
Если, выписать въ рядъ числа буквъ, заключающихся въ каждомъ
слов'Ь втихъ фразъ, то получимъ для те приближенное число (съ из-
быткомъ) 3,1415926536, верное до одной половины десятибилл!онной.
*¦) Ц'влую окружность можно разсматривать, какъ сумму 860 дугъ,
равныхъ одному градусу; и такъ какъ длина суммы дугъ равна сумм'Ь
длинъ этихъ дугъ B87, 2°), то дуга въ 1° должна имЪть длину, въ
360 разъ меньшую длины utaoft окружности. Д'лштя дуги въ п° есть
сумма п дугъ въ Iе; поэтому она должна быть въ п разъ больше длины
дуги, въ 1°.

— 226 —
296. Задача 1-я. Вычислить съ точностью до
1 миллиметра рад1усъ такой окружности,
которой дуга, содержащая 81°21' 36", равна
0,452 метра.
Обративъ 81° 21' 36" въ секунды, получимъ число 292896.
%R . 292896
Изъ уравнешя: °>452=18() . 60. 60
0,452 . 180 . 60 . 60 1
находимъ: R= ^^ =- = 0,318 (метра).
Задача 2-я. Определить число г{>адусовъ
дуги, которой длина равна р а д i у с у.
Замйнивь въ формул*, определяющей длину дуги въ п°ъ
величину s на й, получимъ уравнете:
> ИЛЙ 1=i86;
180 1
откуда: п=— =180. .- =180 . 0,3183098 .
=57°,295764=57°17/44//,8.
Теорема, служащая основан1емъ для опред'ЬлеШя
длины окружности.
(См. § 286).
297. При доказательств^ этой теоремы, мы будемъ основываться
на сл'Ьдуюцшхъ почти очевидныхъ истинахъ:
1° Если переигЬнная величина, изменяясь, все увеличивается, но при этомъ
оста тся меньше нЪкоторой постоянной величины, то она им%етъ пред%лъ.
2° Если переигённая величина, изменяясь, все уменьшается, но при этомъ
остается большз н!которой постоянной величины, то она имЪетъ пред^лъ. *
3° Если разность дэухъ перем%нныхъ величинъ стремится къ нулю, и одна
у.эъ этихъ величинъ им%етъ предалъ, то другая имЪетъ тотъ же пред%лъ.
298. Теорема. Периметръ выпуклаго многоугольника, вписаннаго въ
окружность, стремится къ предъ^у, когда стороны этого многоугольника не.
ограниченно уменьшаются (и, сл'Ьд., число сторонъ неограниченно
увеличивается); предЪлъ этототъ не зависитъ отъ закона, по которому сто-
стороны многоугольника уменьшаются.
Пусть ABCDE (черт. 262) есть какой-нибудь выпуклый много-
угольникъ, вписанный въ данную окружность.

— 227
Проведемъ черезъ всЬ его вершины касательныя къ окружности
до взаимнаго пересЬчешя. Тогда получимъ описанный
мн-къ KLMNP. Условимся называть
такой описанный мн-къ соотв-Ьт-
ственнымъ для вписаннаго мн-ка
ABCDE.
Доказательство наше будетъ состоять
изъ сл-Ьдующихъ" трехъ частей:
1°. Пусть р есть периметръ какого
угодно вписаннаго, а Р периметръ со-
отв'Ьтственнаго описаннаго
мн-ка *). Докажемъ, что разность Р—р
стремится къ 0, когда стороны вписан-
вписаннаго мн-ка стремятся къ 0 по какому
угодно закону. Для этого предварительно
найдемъ пред'Ьлъ отношетя Р : р. Изъ вершинъ Kt L, M, JV... опу-
стимъ перпендикуляры на стороны вписаннаго многоугольника. Тогда
. A)
Изъ алгебры известно, **) что величина дроби:
PAL-\-LB-\-BM +
р~ Al + lB-\-?im +
заключается между меньшею и ббльшею изъ дробей:
AL LB ВМ
AV 1В' Вт'"" B)
Докажемъ, что при неограниченномъ уменыпенш сторонъ вписан-
вписаннаго многоугольника каждая изъ этихъ дробей стремится къ пре-
AL
д'Ьлу 1. Возьмемъ какую-нибудь одну изъ нихъ, напр. ~~Z7* Изъ пря-
моугольнаго тр—ка АЫ (черт. 262) мы усматриваема что
AL 1
Al = AL cos А; откуда -^=
Когда стороны вписаннаго многоугольника стремятся къ 0, уголъ А,
составленный касательною AL и хордою АВ, также стремится къ О
B77); сл'Ьд., cos А стремится при этомъ къ 1, и потому отношеше -jj
также им'Ьетъ пред'Ьломъ 1. Такъ какъ это разеуждеше можно при-
м'Ьнчть кэ всякому тр—ку чертежа 262-го, то, значитъ, каждая дробь
изъ ряда B) им'Ьетъ пред'Ьломъ 1.
Р
"Отсюда сл'Ьдуетъ, что и пред'Ьлъ отношетя - также равенъ 1.
*) Не должно смешивать эгихъ буквъ съ такими же, поставлен-
поставленными на черт. 262.
**) См., напр., «Элементарная алгебра» А. Кисе-
Киселе в а, § 264 (изд. 23-е и сл'Ьд.).
1. *

— 328 —
Доказавъ это, возьмемъ разность Р—р и представимъ ее такъ:
р
Отношеше — стремится, по доказанному, къ 1; след., разность
р (? А
— и—1 стремится къ 0; вслгЬдств1е этого и произведете р\ — ! )»
въ которомъ р есть величина конечная (такъ какъ периметръ любого
вписаннаго мн—ка всегда остается меньше периметра всякаго описан-
наго), также стремится къ 0; значить, то же самое можно сказать
о разности Р—р.
2°. Докажемъ теперь, что периметръ вписаннаго мн—ка стремится
къ пределу при следу ющемъ частномъ законе вписыватя.
Впишемъ въ кругъ правильный тр—къ; затвмъ удвоимъ число сто-
ронъ, т.-е. возьмемъ правильный вписанный 6-угольникъ; далее
удвоимъ опять число сторонъ, т.-е. возьмемъ правильный 12-уголь-
никъ; вообразимъ, что этотъ процессъ удвоешя идетъ безъ конца.
Тогда периметры такихъ вписанныхъ многоугольниковъ, увели-
увеличиваясь съ каждымъ удвоен1емъ, все будутъ воз-
возрастать, оставаясь однако меньше периметра любого описаннаго
мн—ка (напр., квадрата); вслгвдств1е этого периметръ вписаннаго
мн—ка, стороны котораго стремятся къ 0 по этому частному закону,
им'Ьетъ пред'влъ. Обозначимъ его черезъ Т. Тотъ же преде л ъ имеетъ*
и периметръ' соответствен наго описаннаго мн—ка, такъ какъ, по
доказанному, разность между этими периметрами стремится къ 0.
3°. Докажемъ, наконецъ, что къ тому же пределу Т стремится
периметръ вписаннаго мн—ка, стороны котораго уменьшаются по
какому угодно закону.
Пусть рг есть переменный периметръ вписаннаго мн—ка, котораго
стороны уменьшаются по произвольному закону, а р периметръ
вписаннаго мн—ка, стороны котораго уменьшаются по указанному
выше частному закону; положимъ еще, что Рг и Р будутъ периметры
соотвЪтственныхъ описанныхъ многоугольниковъ. По доказанному
въ части 1° этого изложен1я, разности:
Рг—рг и Р—р
стремятся къ 0. Поэтому и сумма ихъ должна стремиться къ 0. Но
эту сумму можно представить такъ:
Такъ какъ периметръ выпуклаго многоугольника меньше пери-
периметра всякаго другого многоугольника, объемлющаго его, то р-С Рг
и /?2<Р; сл^д., обе разности Рг—р и Р—р1 положительны; сумма же
поло.жительныхъ слагаемыхъ стремится къ 0 только тогда, когда
каждое слагаемое стремится къ 0; след., разности Рг—р и Р—рг
стремятся къ 0. Но величины р и Р имеютъ обций пределъ Г;
B97, 8°), величины рг и Pt имеютъ тотъ же пред^лъ Т.

— 229 —
Такимъ образомъ, пределъ периметра существуетъ и не зависитъ
отъ закона, по которому стороны вписаннаго мн—ка уменьшаются.
ЗаМ'Ьчаше. Применяя изложенное доказательство не къ целой
окружности, а къ какой-нибудь ея части, или вообще къ какой-
нибудь конечной выпуклой кривой (кривую не выпуклую
можно разбить на выпуклыя части), мы можемъ доказать эту теорему
по отношенш къ псрлметру ломаной лиши, вписанной въ эту конеч-
конечную кривую.
УПРАЖНЕН1Я.
255. Доказать, что въ двухъ кругахъ отношеше центральныхъ
угловъ, соотв'втствуюцшхъ дугамъ, им'вющимъ одинаковую длину
равно обратному отношешю рад1усовъ.
256. Какъ велика будетъ ошибка, если вместо полуокружности
восьмемъ сумму стороны правильнаго вписаннаго треугольника и
стороны вписаннаго квадрата?
257. На окружности взята точка А и черезъ нее проведены: д1а-
метръ АВЛ сторона правильнаго вписаннаго 6-угольника АС и каса-
касательная MN.- Изъ центра О опущенъ на АС перпендикуляръ и про-
долженъ до пересвчетя съ касательною въ точке Z). Отъ этой точки
отложена по касательной (черезъ точку А) прямая DE, равная 3 ра-
д1у.амъ. Точка Е соединена съ концомъ ддаметра В. Определить,
ьакъ велика погрешность, если прямую BE возьмемъ за длину полу-
полуокружности *).
258. На д1аметре данной полуокружности построены две равныя
полуокружности и въ ту часть плоскости, которая заключена между
тремя полуокружностями, вписанъ кругъ. Доказать, что д1аметръ
этого круга относится къ д1аметру равныхъ полуокружностей,
какъ 2 : 3.
259. Вычислить въ градусахъ, минутахъ и секундахъ дугу, равную
рад!усу (решете въ тексте, стр. 226).
260. Вычислить длину одного градуса земного экватора, принимая
рад1уръ земли въ 85.9 геогр. миль.
*) Доказано, что посрсдствомъ циркуля и линейки нетъ возмож-
возможности nociроить такую конечную прямую, которая въ точности равня-
равнялась бы длине окружности (задача о с п р я м'л е н i и окруж-
окружности невозможна, см. выноску къ § 293). Однако есть несколько
способовъ для приближеннаго спрямлен!я. Въ задачахъ 256 и 257
указаны два изъ этихъ способовъ. ПоследнШ изъ нихъ, принадле-
жащШ польскому 1езуиту Коханскому A683), замечателенъ
темъ, что можетъ быть выполненъ однимъ растворешемъ циркуля.

— 230 —
К Н И Г А V.
ИЗМЪРЕШЕ' ПЛОЩАДЕЙ.
ГЛАВА I.
Площади многоугольниковъ.
299. Основныя допущен1я о площадяхъ. Часть
плоскости, заключенная внутри многоугольника или другой
какой-нибудь плоской фигуры наз. площадью этой фи-
фигуры.
Площадь фигуры мы можемъ разсматривать, какъ вели-
величину особаго рода, если примемъ сл-Ьдуюпця допущешя:
1°. Равныя фигуры (т.-е. татя, которыя могутъ быть
совмещены при наложенш) им-Ьютъ равныя площади
независимо отъ ихъ положения въ про-
пространств •?.
2°. Площадь' какой-нибудь фигуры (напр.,
изображенной на черт. 263), с о-
стоящей изъ н-Ьсколь-
кихъ частей (М, N...), при-
принимается за сумму пло-
площадей этихъ частей.
ЗОО. СггЬдсгая. 1°. П§о-
ща дь фигуры большепло-
щади каждой ея части,
такъ какъ сумма положительныхъ
величинъ больше каждаго слагаемаго.
2°. Если фигура состоитъ изъ 2-хъ частей (черт. 263), то пло-
площадь каждой части разсматривается, какъ разность между
площадью ц^лой фигуры и площадью другой ея части.
3°- Если фигуры (напр., изображенныя на черт. 264) состоятъ
изъ одинаковаго числа частей (А, В...,), соответственно
другъ другу равныхъ, то площади такихъ фигуръ,
представляя собою суммы соответственно равныхъ слагаемыхъ,
считаются равными независимо отъ того, какъ расположены
эти части относительно другъ друга.
Черт, 263.

— 231
4°. Фигуры, площади которыхъ можно разсматривать, какъ
разности площа-
площадей равныхъ фигуръ,
им'Ьютъ одинаковая пло-
площади. Мы BCKOpt BCTpt-
тимъ такой случай C08).
Мы видимъ такимъ обра-
гомъ, что могутъ быть фи-
Черт. 264.
гуры, которыя нельзя на- F
звать равными (такъ какъ он'Ь не могутъ быть совмещены),
но которыя однако им'Ьютъ равныя площади; таковы, напр.,
прямоугольникъ, параллелограммъ и треугольникъ, изобра-
изображенные на черт. 264
Фигуры, ц м t ю щ i я равныя площади, назы-
называются равновеликими.
Равныя фигуры всегда равновелики, но равновелишя фигуры
не всегда равны.
ЗО1. Зам'ЬчаЙЯ. 1°. Относительно указанныхъ допущенш о пло-
щадяхъ возникаетъ слЪдуюций важный вопросъ. Положимъ, что,
разбивъ данную фигуру на некоторое число частей произвольной
формы, мы перем-Ьщаемъ эти части разнообразными способами (по-
(подобно тому, какъ на черт. 264-мъ перемещены части А и Б); мы будемъ
тогда получать различный новыя фигуры. Не можетъ ли при этомъ
получиться и такая фигура, которая, помещенная на начальную
фигуру или на какую-нибудь изъ образовавшихся изъ нея новыхъ
фигуръ, вся уместится внутри этой фигуры? Если бы это
случилось, то мы имели бы тогда две фигуры, которыя, съ одной сто-
стороны, состоя изъ одинаковаго числа попарно совмещающихся частей,
должны считаться равновеликими; а съ другой стороны, та изъ нихъ,
которая способна поместиться внутри другой и, такимъ образомъ, мо-
жетъ составить часть этой другой, должна считаться меньшей изъ двухъ.
Тогда указанныя допущешя о равенстве и неравенстве площадей теря-
теряли бы всякШ смыслъ, такъ какъ, согласно этимъ допущешямъ, две пло-
площади могли бы одновременно считаться и равными, и неравными.
.Впервые обратилъ внимате на этотъ вопросъ итал1анскШ мате-
матикъ Де-Цольтъ, который (въ 1881 г.) пытался доказать
(но неудачно), что много.угольникъ никогда не м о -
жетъ оказаться равновеликимъ своей части
(и, значитъ, предположенный нами случай невозможенъ). Это
предложен1е Де-Цольта принималось сначала, какъ
недоказуемый постулатъ равйовеликости, но затемъ
(въ конце XlX столет1я) оно было строго доказано (С. Ш а т у .

- 232 -
новскимъ, Гильбертомъ и др.). Мы опускаемъ эти
доказательства по причине ихъ сложности.
2°. Различаютъ равновеликость Двухъ ?юдовъ; одна изъ нихъ
указана въ отделенш 3° параграфа 300-го, другая—въ отдел еши 4°
того же параграфа. Первую можно назвать равновеликостью «п о
разложен! ю», вторую—равновеликоетью «по дополне-
н i ю». Действительно, равновеликость 1-го рода можетъ быть вы-
высказана такъ: две фигуры считаются равновели-
равновеликими, если о н е могутъ быть разложены на одийа-
ковое число частей, соответственно другъ
другу равных ъ, а равновеликость 2-го рода можетъ быть
выражена такъ: д в t фигуры считаются равнове-
равновеликими, если ихъ можно дополнип.ь равными
другъ другу фигурами такимъ образом ъ, что
образовавшаяся суммы представляютъ собою
тоже равныя фигуры. ПримЪромъ равновеликости по
разложен!ю служатъ фигуры, указанныя на черт. 204; какъ прим-Ь^ъ
равновеликости по дополнешю можно указать пар—мъ ABCD и
прям—къ AEFD черт. 270-го. Действительно, обе эти фигуры
даютъ одну и ту же Tpaneuiio AECD, если пар—мъ дополнимъ тр—комъ
АЕВ% а прям—къ дополнимъ тр—комъ DEC, равнымъ ДАЕВ.
Для прямолинейныхъ фигуръ доказано, что равновеликость по
дополнешю есть вместе съ темъ и равновеликость по разложенш.
Частный случай этой истины доказанъ нами въ § 309 помощью чер-
чертежа 273-го.
3°. Можно также доказать, что две фигуры, равно-
в е л и к i я одной и той же третьей фигуре, рав-
равновелики и между собою. Мы принимаемъ эту истину
безъ доказательства.
302. Единица площади. За единицу площади при из-
м^реши ихъ обыкновенно берутъ площадь такого квадрата,
у котораго сторона равна линейной единиц^; таковы, напр.,
квадратный метръ, квадратный арпшнъ и т. п.
Отношен1е двухъ квадратныхъ единицъ.
разныхъ назван1й
равно второй сте-
степени отношен1я тйхъ
линейныхъ единицъ,
которыя служатъ сто-
сторонами для этихъ
к в а д р а т н ы х ъ е д и н и ц ъ.
Такъ, отношете квадратной
сажени къ квадр. аршину
Черт. 265.

233 —
равно З2, т.-е. 9, что ясно видно изъ чертежа 26б-го, на кото-
ромъ менышй изъ двухъ квадратовъ изображаетъ квадратный
аршинъ, а СбтыпШ—квадратную сажень.
ЗОЗ. П0НЯТ1в О НИСЛ*, ИЗМГЬряЮЩвМЪ ПЛОЩадЬ. Пояснимъ
наглядно, что сл-Ьдуеть разуметь подъ числомъ, измеряю-
щимъ в ъ квадратныхъ единиуахъ 'данную
площадь.
Проведемъ две взаимно- ~
перпендикулярныя прямыя
А В и CD (черт. 266) и зат'вмъ
построимъ рядъ прямыхъ, па-
раллельныхъ АВ, и другой
рядъ прямыхъ, параллель-
ныхъ CD, причемъ разстоя-
шя между теми и другими
прямыми возьмемъ одинако-
одинаковыми, а именно равными
какой-нибудь линейной еди-
единице. Мы получимъ тогда
сеть квадратовъ, ?-
изъ которыхъ каждый пред-
ставляетъ собою квадратную
единицу. Вообразимъ, что на
EKi
Черт. 266.
такую сеть наложена та фи-
фигура, которой площадь мы
желаемъ измерить (напр., данный кругъ, какъ изображено на чер-
чертеже 266). Тогда по отношен!ю къ этой фигурй все квадраты сети
можно разделить на три рода: 1) вн-вште квадраты, которые распо-
расположены внй данной фигуры; 2) внутренше квадраты, которые лежать
внутри фигуры (они покрыты на чертеж^ двойными штрихами) и
3) гЬ квадраты, черезъ которые проходитъ контуръ фигуры и которые,
сл'вд., лежатъ частью внутри, частью вн-Ь данной фигуры (эти ква-
квадраты на чертежи покрыты простыми штрихами). Оставивъ безъ
вниманш вн-БШше квадраты, сосчитаемъ отдельно квадраты 2-го и-
квадраты 3-го рода. Пусть первыхъ окажется w, а вторыхъ п. Тогда,
очевидно, измеряемая площадь больше т, но меньше w-f-n квадр.
единицъ. Числа т и т + п будутъ въ этомъ случай приближен-
приближенный м 'в р ы данной площади, первое число съ недостаткомъ
а второе съ избыткомъ, причемъ погрешность меньше п квадр; ед.
(меньше суммы твхъ квадратовъ, которые покрыты на нашемъ чертеже
простыми штрихами).
Чтобы получить более точные результаты измерен1я, у п л о т •
н и м ъ нашу сеть квадратовъ, подразделивъ каждый изъ нихъ на
более мелте квадраты. Напр., разделимъ стороны квадратовъ на
10 равныхъ частей и черезъ точки раздела проведемъ рядъ прямыхъ,

234 —
параллельныхъ ABt и другой рядъ прямыхъ, параллельныхъ CD.
Мы разложимъ тогда каждый квадратъ сети на 100 мелкихъ квадра-,
товъ, изъ которыхъ каждый состав л яетъ Yioo часть квадратной еди-
единицы. Положимъ, что теперь всехъ внутреннихъ малыхъ квадратовъ
будетъ т\ а техъ, которые пересекаются контуромъ фигуры, пусть
т9
окажется п'. Тогда измеряемая площадь будетъ более т—:' но менее
т' + и'
•—гтчТч квадратной единицы. Эти числа Сг дуть новыя приближенныя
меры измеряемой площади, первое съ недостаткомъ, второе съ из-
п'
быткомъ, причемъ погрешность менее у^ квадр. един. Не трудно
убедиться, что эта погрешность окажется менее прежней погрешности.
Действительно, отъ каждаго изъ техъ квадратовъ чертежа 266-го,
которые покрыты простыми штрихами, отойдутъ теперь, во 1, те
части, которыя составлены малыми квадра-
квадратами, лежащими вне фигуры, и во 2, те
части, которыя составлены малыми квадра-
квадратами, лежащими внутри фигуры. Для ясности
мы на черт. 267-мъ изобразили въ увеличен-
иомъ виде одинъ изъ квадратовъ, покрытыхъ
на предыдущемъ чертеже простыми штрихами
(именно, квадратъ, обозначенный буквою к),
разделивъ его на 100 мелкихъ квадратовъ.
Мы теперь ясно видимъ, что полоса, соста-
Черт. ?67.
вленная изъ малыхъ квадратовъ, черезъ которые проходитъ контуръ
фигуры (покрытая на черт. 267 простыми штрихами), значительно
менее всего большого квадрата. Такъ какъ это справедливо для
каждаго квадрата чертежа 266-го, покрытаго простыми штрихами,
п'
то ясно, что погрешность, равная j^q квадр. ед., менее погрешности,
равной п квадр. с д.
Если подразделимъ квадратную единицу на части еще более
мелк1я, то, произведя указаннымъ путемъ измереше, мы получимъ
приближенныя меры площади еще съ меньшей погрешностью.
Иногда (напр., при измеренш площади прямоугольника, см. чер-
тежъ 268), поступая описаннымъ способомъ, мы можемъ получить
точную меру площади. Это будетъ тогда, когда контуръ дан-
данной фигуры представляетъ собою ломаную лишю, которой стороны
соцпадаютъ съ частями прямыхъ лиши, образующихъ сеть квадра-
квадратовъ; въ этомъ случае, след., не будетъ совсемъ квадратовъ, про-
резываемыхъ контуромъ фигуры. Тогда число квадратовъ, лежащихъ
^нутри фигуры, составитъ точную меру измеряемой площади^ Во всехъ
остальныхъ случаяхъ указанный пр1емъ измерешя даетъ только
приближенные результаты,- причемъ* погрешность можетъ быть сде-
сделана какъ угодно малой. ,

— 235 —
Представимъ себ-Ь, что какими-нибудь соображениями мы нашли
такое число Q (ц-Ьлое, дробное или несоизмеримое), которое оказы-
оказывается ббльшимъ всякаго приближеннаго результата измЪрещя,
взятаго съ недостаткомъ, и меньшимъ всякаго приближеннаго ре-
результата измЪрешя, взятаго съ избыткомъ; тогда такое число
можетчь быть принято за точную м ij p у изм^*
ряемой площади.
Доказано, что такое число существуетъ дл*я всякой площади и
что оно не зависитъ отъ положешя тЪхъ прямыхъ АВ и CD (черт. 266),
параллельно которымъ проводятся лиши свти. *) Число это обладаетъ
следующими двумя свойствами: при одной и той же ква-
квадратной единице 1) площадямъ равныхъ фи-
фигу р ъ (совмещающихся) соответствуютъ равны я
числа,, и 2) сумме площадей B99,2) соотв-Ьт*
ствуетъ сумма чисел ъ. Отсюда следуетъ, что ббльшей
площади соответствуетъ ббльшее число, равновеликимъ фигурамъ
соответствуютъ равныя числа, и т. п.
304. Основание и высота. Изм^рете площади только
въ рЪдкихъ случаяхъ могло бы быть выполнено йепосредствен-
нымъ наложешемъ квадратной единицы. Большею частью пло-
площади приходится измерять косвенно, посредствомъ измйретя
нйкоторыхъ литй фигуры.
Условимся одну изъ сторонъ треугольника или параллело-
параллелограмма называть основан1емъ этихъ фигуръ, а перпен-
дикуляръ, опущенный на эту сторону изъ вершины тр-ка или
изъ какой-нибудь точки противоположной стороны параллело-
параллелограмма, будемъ называть высотою.
Въ прямоугольник* за высоту можно взять сторону, перпен-
перпендикулярную къ той, которая принята за основаше.
Въ трапецш основащями называютъ об* параллельныя сто-
стороны, а высотою—обпцй перпендикуляръ между ними.
Основаше и высота прямоугольника наз. его изм'Ъре-*'
Hi я м и.
305. Теорема. Площадь прямоугольника равна произве-
дешю его основашя на высоту.
¦) См. W. Killing und Hovestad t—Handbuch de3
mathematischen Unterrichts, I Band. 1910.

— 236 —
Это краткое предложеше надо понимать такъ: число,
выражающее площадь прямоугольника
въ квадратныхъ единицах ъ, равно произ-
ведед1ю.чисел ъ, выражаю щи хъ основан!е
и высоту его въ соотв*тствующихъ линей-
ныхъ единицахъ
При доказательств* разсмотримъ особо сл*дуюпце три случая:
1°. Основан}е1высота, изм*ренныя одной
и той же единицей, выражаются ц*лыми
числами.
Пусть у даннаго прямоугольника (черт. 268) основаше равно
ц*лому числу Ъ линейныхъ единицъ, а высота—ц*лому числу h
т*хъ же единицъ. Разд*ливъ основаше
на Ъ и высоту на h равныхъ частей, про-
ведемъ черезъ точки разд*ла рядъ прямыхъ,
параллельныхъ высот*, и другой рядъ
прямыхъ, параллельныхъ основанш. Отъ
взаимнаго перес*чешя этихъ прямыхъ обра-
образуются н*которые четыреугольники. Возь-
мемъ какой-нибудь одинъ изъ нихъ, напр.,
6 четыреугольникъ к (покрытый на чертеж*
Черт. 268. штрихами). Такъ какъ стороны этого че-
гыреугольника, го построешю, параллельны соотв*тствующимъ
сторонамъ даннаго прямоугольника, то вс* углы его прямые;
значите, четыреугольникъ к есть прямоугольникъ. Оь другой
стороны каждая сторона этого прямоугольника равна разстоя-
нш между сос*дними параллельными прямыми, т.-е. равна одной
и той же линейной единиц*. Значите, прямоугольникъ к пред-
представляете собгАо квадратъ, а именно ту квадратную единицу,
которая соотв*тствуетъ взятой линейной единиц* (если, напр.,
основаше и высота были изм*рены линеьплми сантиметрами,
то квадрате к есть квадратный сантиметръ). Такъ какъ сказанное
объ одномъ четыреугольник* можете быть повторено о всякомъ
другомъ, то, зпачите, проведешемъ указанныхъ параллель-
параллельныхъ прямыхъ мы разбиваемъ всю площадь даннаго прямоуголь-
прямоугольника на квадратныя единицы. Найдемъ ихъ число. Очевидно, что
рядъ прямыхъ, параллельныхъ основание, разд*ляете прямо-
прямоугольникъ на столько равныхъ горизонтальныхъ полосъ, сколько
ш

— 237 —
въ высот* содержится линейныхъ единицъ, т.-е. на h равныхъ
иолосъ. Оъ другой стороны рядъ прямыхъ, параллельныхъ
высот*, разбиваетъ каждую горизонтальную полосу на столько
квадратныхъ единицъ, сколько въ основанш содержится линей-
линейныхъ единицъ т.-е. на Ъ квадратныхъ единицъ. Значитъ, вс*хъ
квадратныхъ единицъ окажется Ъ . h. Такимъ образомъ:
площадь прямоугольника =ЬА,
т.-е. она равна произведешю основашя на высоту.
2°. Основап1е и высота, изм*ренныя од-
одною и тою же единицею, выражаются
дробными числами.
Пусть у даннаго прямоугольника:
т р
основаше=— лин. ед.; высота=— той же ед.,
n q
причемъ мы не исключаемъ и тотъ случай, когда какая-нибудь
изъ этихъ дробей равна ц*лому числу.
Приведя дроби къ одипаковому знаменателю, получимъ:
mq рп
основате=—; высота =—\
nq nq
Примемъ l/nq долю линейной единицы за новую единицу длины.
Тогда мы можемъ сказать, что основаше содержись mq этщеь
новыхъ единицъ, а высота рп т*хъ же единицъ. Значитъ, по до-
доказанному въ случа* 1°, площадь прямоугольника равна
(mq) (рп) такихъ квадратныхъ единицъ, которыя соотв*тствуютъ
новой единиц* длины. Но эта квадр. единица составляетъ 1/(Я7J
часть квадр. единицы, соотв*тствующей прежней линейной
единиц* C02); значитъ, площадь прямоугольника равна:
1 , ч , ч mqpn тр т р
..(mq) (pn)=.
(nqJ n2q2 nq n q
3°. Основ a Hie.и высота (или только одно изъ этихъ
измйретй) несоизмеримы съ единицей длины
и, сл^д., выражаются десоизмериадыми
ч ц р л а ад и,

238 —
Пусть основаше АВ прямоугольника ABCD (черт. 269) вы-
выражается несоизм'Ьримымъ числомъ а и высота BD—несоизм'Ь-
римымъ числомъ р. Найдемъ при-
ближенныя значен!я этихъ чиселъ
съ точностью до 1/п. Для этого на
основанш АВ, начиная отъ точки А,
отложимъ г/п долю линейной еди-
единицы столько разъ, сколько можно.
Пусть окажется, что, отложивъ п
такихъ долей, мы получимъ отр-Ь-
зокъ АВг<^АВ, а отложивъ га+1 до-
долей, найдемъ отр-Ьзокъ АВ^>АВ.
га га+1
Черт. 269.
Тогда дроби—и
будутъ прибли-
п
женныя значешя числа а, первая съ
недостаткомъ, вторая съ избыткомъ. Положимъ дал-Ье, что отло-
отложивъ xjn долю линейной единицы на высот* AD (отъ точки А)
р разъ, мы получимъ AD^AD, а отложивъ р+1 разъ, найдемъ
р р+1
AD2^>AD; тогда дроби—и будутъ цриближенныя зна-
п и
чешя числа [3, первая съ недостаткомъ, вторая съ избыткомъ.По-
строимъ 2 вспомогательные прямоугольника AB^CJ)^ AB2C2D2.
У каждаго изъ нихъ основаше и высота выражается дробными
числами:
п п п п
Поэтому, согласно доказанному въ случай 2°г
в =™ 2-
п п
п т+1 р+1
площ.
площ.
п п
Такъ какъ площадь АВ^^ есть часть площади ABCD,
а эта последняя есть часть площади AB2C2D2, то
пл. AB-lCxD^jir. АВСЮ<^дл. AB2C2D2,
й потому^
^
, измйр. пл. АВСР<^
т+1 р+1
n

— 239 —
Это двойное неравенство остается вернымъ при всякомъ зна-
ченш гц т.-е. оно остается вернымъ, съ какою бы точностью мы
ни находили приближенныя значешя чиселъ аир. Значить,
мы можемъ сказать, что площадь ABCD должна выражаться
такимъ числомъ, которое больше произведения любыхъ прибли-
женныхъ значешй чиселъ аир, если эти значея1я взяты €ъ не-
достаткомъ, но меньше произведешя любыхъ ихъ приближен-
ныхъ значешй, если эти значешя взяты съ избыткомъ. Такое
число, какъ известно изъ алгебры, наз. произведен 1емъ
несоизмеримыхъ чиселъ а и р. След.:
площ. $
т.-е. она и въ этомъ случае равна произведенш основатя на
высоту.
Это разсуждеше вполне применимо и къ тому случаю, когда
только одно изъ измйрешй прямоугольника несоизмеримо
съ единицей длины.
ЗОв. CjrbACTBie. П л о щ а д и двухъ прямоуголь-
никовъ, им'Ьющихъ равныя основан1я, от-
относятся, какъ ихъ высоты, а площади
двухъ прямоугольников ъ, имйющихъ рав-
равныя высоты, относятся, какъ ихъ осно-
основа н i я.
Действительно, если Ь, h и Р будутъ основаше, высота и
площадь одного прямоугольника, а Ъг, Ъ^ ц Р1—основаше, вы-
высота и площадь другого прямоугольника, то, по доказанному:
Р=Ыг и Р^Ь^; след.: P:P1=bfc:b1fe1. Отсюда находимъ,
что если Ъ=ЪЪ то Р : Рг=Ж : Aj, а если A=7ib то Р : Рг=-Ъ : Ъг.
ЗО7. SaMtnaHie. Въ последующихъ теоремахъ мы будемъ
сокращенно гоЕоритъ: «площадь равна произведен1ю такихъ-то
-лин1й», разумея подъ этимъ, что число, выражающее площадь
въ квадратныхъ единицахъ, равно ироизведен!ю ч и с е л ъ.
выражающихъ так1я-то линш въ соответствующихъ линейныхъ
единицахъ.

— 240 —
308. Теорема» Площадь параллелограмма (ABCD,
черт. 270 и 271) равна произведен^ основашя на высоту.
Е
к
В
В
Черт. 270.
На основанш AD построимъ прямоугольникъ AEFD, у ко-
тораго сторона EF составляете продолжеше стороны ВС. До-
кажемъ, что площ. АВСБ^площ. AEFD.—Изъ чертежей усма-
трираемъ, что
площ. ABCD^nxoiH. AECD—шощ. АЕВ
и площ. AEFD^площ. AECD—площ. DFC.
Но прямоугольные тр-ки АЕВ и DFC равны, потому что
у нихъ: AE=DF и AB—DC (какъ противоположный стороны
параллелограммовъ). Значить, равны и площади этихъ тр-ковъ.
Поэтому площади ABCD и AEFD представляютъ собою раз-
разности соответственно равныхъ площ ад ей;
B^^CTBie этого C00, 4°):
. площ. ЛВС1)==ллощ. AEFD.
' Но пл. AEFD=bh\ сл^Д., и пл. ABCD—bh, причемъ Ъ можно
рассматривать, какъ основаше параллелограмма, и h, какъ
его высоту
Сл-Ьдств1е. Параллелограммы съ равными основаниями и
равными высотами равновелики.
ЗО9* Замучан! е, Параллело г р а м м ы, и м i ю ф i e
р а в н ы я осно в^а н1я и р а в н ы я высоты, могутъ
быть разложены на одинаковое число частей,
попарно другъ другу равныхъ (конгруэнт-
(конгруэнтны х ъ). Для доказательства разм'Ьстимъ параллелограммы такимъ
образом!», чтобы ихъ равныя основашя совпали. Тогда могутъ пред-

- 241 —
ставиться два случая: 1) когда верхтя стороны пар-мовъ им'Ьютъ
какую-нибудь общую часть (черт. 272), и 2) когда такой общей части
н'Ьтъ (черт. 273).
Е о
Разсмотримъ эти случаи отдельно.
1) Парал-мъ ABC В прямою АЕ разделяется на 2 части: Д ABE
и трапещя AECD; другой парал-мъ прямою CD разлагается на
Д DCF и ту же трапец1ю AECD. Такъ какъ Д ABE— Д DCF, то
значитъ, оба парал-ма составлены изъ попарно равныхъ частей.
2) Пусть К будетъ точка пересЬчетя сторонъ АЕ и DC. Отложимъ
на КС, начиная отъ К, части, равныя DK, столько разъ, сколько
можно (на нашемъ чертеж^ отрЪзокъ KD уложился на КС одинъ
разъ до точки L, причемъ получился остатокъ LC<DK). Черезъ
точки К и L проведемъ прямыя, параллельныя AD. Тогда пар-мъ
ABCD разложится на 3 пар-ма, изъ которыхъ два равны между собою;
пар-мъ AEFD также разложится на 3 пар-ма, изъ которыхъ два равны
между собою. Проведя д1агонали ML и NQ, загЬмъ PS \\ АЕ и OR \\ AB,
мы разд'Ьлимъ каждый изъ Данныхъ пар-мовъ на 6 частей; не трудно
видеть, что части, обозначенныя на чертеж'Ь одними и гЪми же
цыфрами, другъ другу равны.
31О Теорема. Площадь треуголь-
треугольника (ABC, черт. 274) равна половин%
произведешя основашя на высоту.
Проведемъ BE II АС и АЕ \\ ВС. Тогда
получимъ пераллелограммъ АЕВС, ко-
тораго площадь, до доказанному, рав-
равна Ыг. Но площадь /\АВС составляетъ
половину площади АЕВС; сл'Ьд.:
Е_
Черт. 274.
ПЛОЩ. А'ВС=—Ыь.

— 242
311. СлЪдств1я. 1°. Треугольники съ равными основашями
и равными высотами равновелики.
Если, напр., вершину В тр-ка
ЛВС (черт. 275) будемъ переме-
перемещать по прямой, параллельной
основашю АС, а основате оста-
вимъ то же самое, то площадь
тр-ка не будетъ изменяться.
2°. Площадь прямоугольнаго тре-
треугольника равна половинЪ произведешь его катетовъ, потому
что одинъ катетъ можно взять за основате,
а другой за высоту.
Изъ черт. 276 непосредственно видно, что
площадь такого тр-ка составляете половину
площади прямоугольника, имйющаго то же
основате и ту же высоту.
Черт. 276.
Площадь ромба равна половинЪ произведешь его fliaro-
налей. Действительно, если ABCD
(чер#. 277) есть ромбъ, то его д1аго-
нали взаимно перпендикулярны. По-
Поэтому:
пл. ААВС=г/2 АС . ОВ.
пл. ААСР=г/2 АС . ОТ).
пл. ABCD^U AC . (OB+OJ5)-
. вв.
4°. Площади треуголькиковъ относятся, какъ произведешя
основан|'й на высоты (множитель х\г сокращается).
312. Зам*Ьчан1в. ВсякИ! треуго лЧ> никъ разла-
разлагается на части, перемещен 1емъ которыхъ
можно образовать прямоугольнику им'Ью-
щ!й одинаковое съ треугольникомъ осно-
ван!е и высоту, вдвое меньшую высоты тре-
треугольника. Действительно, если въ тр-кЪ ЛВС (черт. 278)

— 243 —
черезъ середины D и Е двухъ сторонъ (образующихъ съ третьей
стороной острые углы) проведемъ прямую и на нее опустимъ перпен-
дикуляръ BF, то тр-къ ЛВС разобьется
этими прямыми на 3 части, обозначенныя
на чертеж^ иыфрами 1, 2 и 3. Повернувъ
часть 1-ую вокругъ точки D на 180°
(въ направленш, указанномъ стрелкой),
мы приведемъ ее въ положеше AKD;
подобнымъ же образомъ часть 2-ю мы
приведемъ въ положете GLE. Тогда
тр-къ ЛВС превратится въ прямоуголь-
никъ AKLC, у котораго основате то же
самое, что и у тр-ка, а высота вдвое
меньше высоты тр-ка.
313. Теорема. Площадь S треугольника въ зависимости
отъ его сторонъ а, Ъ и с выражается формулой:
к
Черт. 278.
р есть полупериметръ треугольника, т.-е.
Р=~(а+Ъ+с).
Пусть высота тр-ка ABC (черт. 279). опущенная на сторону
а, есть Ьа. Тогда:
_ 1
Чтобы найти высоту ha, возьмемъ
уравнете B36):
. ъ2=а2+сг—2ас
и опред'Ьлимъ нзъ него отр^зокъ с':
л ——-
2а.
Изъ треугольника ABB находимъ:
Ъа—Л/ с2—( I =-
У \ 2а 1 2а
Преобразуемъ подкоренную величину такъ:
BасJ—(а2+с2—Ь2J=Bас+а2+с2—Ъ2){2ас—а2—с2+Ь2) =
= [(а2+с2+2ас)—Ь2][Ь2—(а2+с2—2ас)]=
=(а+с+Ъ)(а+с—Ъ)(Ъ+а—с)(Ь—а+с).

— 244 —
Если положимъ, что а-\-Ъ-\-с—2р, то
а+с—Ъ =(а+Ъ +с)—2Ъ =2р—2Ъ =2(р— Ъ).
Подобно этому:
Ъ+а—с=2(р—с);
Ь+ с—а=2(р —а).
Поэтому подкоренную величину можно представить такъ:
16р(р—а)(р—Ъ)(р—с).
А«=ТГ v(p—a)(p—b)(p—c).
1 l/
Поэтому: S= -raha= у р(р—а)(р—Ъ)(р—с).
Частный случай. Площадь равносторонняго треуголь-
треугольника со стороною а выражается следующей формулой:
314* Задача. Вычислить площадь треугольни-
к а АВС (черт. 280) по двумъ сторонамъ АВ и АС
и углу А между ними.
Безъ помощи тригонометрш эта задача решается только для н*-
которыхъ частныхъ значенш угла А. Положимъ напр, что Л = 18°.
Тогда можно вычислить h въ зависимости отъ стороны АВ такимъ
образомъ: продолживъ BD на разстояше
DE = BD, соединимъ Е съ А. Тогда въ
равнобедренномъ тр-icfe ABE уголъ ВАЕ
равенъ 36°. Изъ этого заключаемъ, что BE,
т.-е. двойная высота, есть сторона правиль-
наго 10-угольника, вписаннаго въ кругъ,
котораго рад1усъ есть АВ. Поэтому BE
найдется по формул^, определяющей сто-
сторону прав, вписан. 10-угольника F8).
Опред'Ьливъ высоту, найдемъ зат-Ьмъ пло-
площадь тр-ка по формул^
S=~AC.h.
Черт. 280.
Подобно этому задача решается для ^1=30°, 45°, 60°

— 246 —
315. Теорема. Площадь трапецж равна произведена
полусуммы основанш на высоту.
В
Черт. 281
Черт. 232.
Проведя въ трапецш (черт. 281) ABCD д1агональ АС, мы
можемъ разсматривать ея площадь, какъ сумму площадей-Двухъ
тр-ковъ CAB и ABC. Поэтому
1 ' 1 1
площ. ABCD=—AB . h+^BC . h=—{AD-\-BC)h. .
316. Сл-Ьдств1е. Если MN (черт.. 281) есть средняя литя
трапецш, то, какъ известно A17):
MN=-(AD+BC).
Поэтому . площ. ABCD=MN . fe,
т.-о. площадь трапецш равна произведена средней лиши на
высоту.
.Это же молшо видеть и непосредственно изъ чертежа 282-го.
317. Теорема. Площадь всякаго описаннаго многоугольника
равна произведен^ периметра на половину рад1уса.
Соединивъ центръ О (черт. 283)
со всЬми вершинами описаннаго мно-
многоугольника, мы разд'Ьлимъ его на
треугольники, въ которыхъ за осно-
ван1я можно взять стороны много-
многоугольника, а за высоту—рад1усъ кру-
круга. Обозначивъ этотъ рад1усъ черезъ
й, будемъ. им^ть:
площ. АОВ—АВ .—Л;
площ. А0Е=АЕ — К; и т. д.
Черт. 283.

— 246 —
., площ. ABCDE=(AB+BC+CD+DE+EA) . -В=Р . - В,
буквою Р обозначенъ периметръ мн-ка.
318. OrEACTBle. Площадь правильна™ многоугольника
равна произведена периметра на половину апоеемы, потому
что всящй прав, многоугольникъ можно рассматривать, какъ
описанный около круга, у котораго рад1усъ есть апооема.
319. Задача. Превратить многоугольникъ
(ABCDE, черт. 284) въ равновеликШ треуголь-
треугольникъ.
Какою-нибудь д1агоналыо АС
отсбкаемъ отъ даннаго мн-ка
/\АВС. Черезъ ту вершину В
этого тр-ка, которая лежитъ про-
тивъ взятой ддагонали, прово-
kQ димъ прямую MNII АС. Зат'бмъ
продолжимъ одну изъ сторонъ
ЕА или DC, прилежащихъ къ
отсеченному тр-ку, до пересЬче-
р ' ' ндя съ прямою MN (на чертеж*
продолжена сторона ЕА). Точку пересЬчешя F соединимъ съ
С. Тр-ки СВА и CFA равновелики C11, 1°), такъ какъ у нихъ
общее основаше АС, а вершины Be F лежатъ на прямой, парал-
параллельной основанш. Если отъ даннаго многоугольника отдЗз-
лимъ тр-къ. СВА и вместо него приложимъ равновелиюй ему
тр-къ CFA, то величина площади не изменится; сл'Ьд., данный
многоугольникъ равновеликъ многоугольнику FCDE, у кото-
котораго, очевидно, число угловъ на 1 меньше, ч^мъ у даннаго мн-ка.
Такимъ же пргемомъ можно число угловъ полученнаго мн-ка
уменьшить еще на 1 и продолжать такое последовательное
уменыпеше до гЬхъ поръ, пока не получится треугольникъ
(FCG на нашемъ чертеж^).
320. Задача. Превратить данный многоуголь-
никъ въ равновелик^ квадратъ.
Сначала превращаютъ многоугольникъ въ равновелишй тре-
треугольникъ, а аагЬмъ этотъ треугольникъ въ квадратъ. Пусть
основаше и высота треугольника будутъ Ъ и Ь, а сторона иско-

— 247 —
маго квадрата х. Тогда площадь перваго равна 1/фк, а второго аг2;
с ли д.:
—b/i=x2, откуда — Ъ : х=ж : Ъ.
о 2
Изъ этой пропорщи видно, что х есть средняя пропорщональ-
ная между х/2 Ъ и Ь. Значить, сторону квадрата можно построить
способомъ, указаннымъ раньше B31) для нахождетя средней
пропорщональной.
Зам"Ьчан1е. Предварительное превращете даннаго мно-
многоугольника въ треугольникъ не всегда необходимо. Напр.,
если рЪчь идетъ о превращенш къ квадратъ данной трапецш,
то достаточно найти среднюю пропорщональную между высотою
трапецш и ея среднею лишею и на полученной прямой построить
квадратъ.
Г Л А В А П.
Теорема Пкеагора и оснсвакныя на ней зздачи.
321. Теорема. Сумма площадей квадратовъ, построенныхъ
на катетахъ прямоугольнаго треугольника, равна площади ква-
квадрата, построеннаго на гипотенузЪ.
Это предлоше^е, известное пэдъ назвашемъ теоремы Пи-
вагора (гречесьаго философа, жившаго въ VI в^к^ до Р. X.),
им^етъ многочисленныя доказательства. Приведемъ прост^й-
Ш1Я ИЗЪ НИХЪ.
Первое доказательство (Эвклида). Пусть ABC
(черт. 285) прямоугольный треугольникъ, a BDEA, AFGC и
ВСКН квадраты, построенные на его катетахъ и гипотенуз*;
требуется доказать, что сумма площадей двухъ первыхъ квадра-
квадратовъ равна площади третьяго квадрата.
Проведемъ АМХВС. Тогда квадратъ ВСКН разделится на
два прямоугольника. Докажемъ, что пр-къ BLMH равновеликъ
квадрату BDEA, а пр-къ LCKM равновеликъ квадрату AFGC.

— 248 —
Проведемъ вспомогательные прямыя DG и АН. Обратимъ вни-
маше на два тр-ка, покрытые
на чертеж* штрихами. Тр-къ
DGBy им*юпцй основан1е BD,
общее съ квадратомъ BDEA, а
высоту CN, равную высот* АВ
этого квадрата, равновеликъ по-
половин* его. Тр-къ АВН, им*ю-
ицй основан1е БЯ, общее съ
прямоугольникомъ BLMH, и вы-
высоту АР, равную высот* BL
этого прямоугольника, равно-
равновеликъ половин* его. Сравни-
Сравнивая эти два треугольника ме-
между собою, находимъ, что у
нихъ BD=BA и ВС=ВН
(какъ стор с ны ква; рата);
Черт. 285.
сверхъ того Z.DBC=^Z.ABH, такъ какъ каждый изъ этихъ
углокь состоитъ изъ общей части ABC и прямого угла. Значитъ,
тр-ки АВН и ВВС равны. Отсюда сл*дуетъ, что прямоуголь-
никъ BLMH равновеликъ квадрату BDEA.
Соединивъ G съ В и А съ К, мы совершенно такъ же докажемъ,
что прямоугольникъ LCKM равновеликъ квадрату AFGC.
Отсюда сл*дуетъ, что квадратъ ВСКН равновеликъ сумм* квад-
ратовъ BDEA и.AFGC.
Вт о р о е доказательство. Пусть а, Ъ и с озна-.
чаютъ числа, выражаюпця гипотенузу и катеты прямоугольнаго
треугольника въ одной и той же линейной единиц*. Тогда, какъ
мы вид*ли раньше B32), между этими числами существуетъ
такая зависимость:
Но а2, Ъ2 и с2 суть числа, нзм*ряю1щя площади квадра-
товъ, которыхъ стороны а, Ъ и с; поэтому изъ написаннаго ра-
равенства сл*дуетъ, что площадь квадрата, построеннаго на гипо-
гипотенуз*, равна сумм* площадей квадратовъ, построенныхъ на
катетахъ.

Третье доказательство. Существуешь много и такихъ
доказательству которыя показываютъ, на"как1я части надо разбить
квадраты, построенные на катетахъ, чтобы перемгЬщен1емъ атихъ-
частей образовать квадратъ, построенный, на гипотенуз^. Вотъ одно
изъ такихъ доказательству
, Обрзначимъ гипотенузу и ка-
катеты даннаго тр-ка соответ-
соответственно буквами а, Ъ и с. Отло-
живъ на какой-нибудь прямой
(черт. 286) АВ = Ь и ?С = с, по-
строимъ квадраты ADEB и
BFHC. Площадь образовавша-
гося 6-угольника ADEFHC
представляетъ собою сумму пло-
площадей квадратовъ, построен-
ныхъ на катета.хъ. Отложивъ
еще АК=с (и, сл1зд., КС = Ъ)У
проводимъ прямыя DK и КН,
которыя разложатъ шестиуголь-
никъ на три части, обозначен-
ныя на чертемсЬс цыфрами 1,2
и 3. Части 1-я и 3-я предста-
вляютъ собою прямоугольные тр-ки, равные данному. Повернемъ.
на 9О°- тр-къ 1-й вокругъ вершины D и тр-къ 3-й вокругъ вершины Я,
какъ указано стрелками. Тогда эти части займутъ так1я положешя,
при датэрыхъ он'Ь, вм'Ьст'Ь съ оставшейся частью 2>-й, образуютъ
квадратъ, построенный на- гипотенуз^ (предоставляемъ самимъ уча-
учащимся доказать это).
322. Задачи. 1°. Построить квадратъ, рав-
новеликгй сумм* двухъ данныхъ квадра-
квадратовъ.
Строимъ прямоугольный треугольникъ, у котораго кате-
катетами были бы стороны данныхъ квадратовъ. Квадратъ, построен-
построенный на гипотенуз* этого треугольника, равновеликъ с-у-м-м-i
данныхъ квадратовъ.
2°. Построить квадратъ, равновелик1й
разности двухъ данныхъ квадратовъ.
Строимъ. прямоугольный треугольникъ, у котораго гипоте-
гипотенузой была бы сторона бшыпаго изъ данныхъ квадратовъ, а
катетомъ сторона меныпаго квадрата. Квадратъ, построенный
на, другомъ катет* этого треугольника, равновеликъ разности
данныхъ квадратовъ.

— 260 —
3°. Построить квадрат ъ, кбтораго п л сь
щадь(относилась бы къ площади даннаго
квадрата, какъ т : п.
На произвольной прямой (черт. 287)
откладываемъ АВ=т и ВС=п и на
АС, какъ на д1аметр(?, описываемъ по-
полуокружность. Изъ точки В возста-
вляемъ перпендикуляръ BD до пере-
сЬчешя съ окружностью. Проведя хор-
хорды AD и DC, получимъ прямоугольный
тр-къ, у котораго B34):
AD2 : DC2=AB : ВС^пь: п.
На катет* DC этого треугольника отложимъ отрйзокъ DE,
равный сторон* даннаго квадрата, и проведемъ EF II С А. Прямая
DF есть сторона искомаго квадрата, потому что
DF AD /DF\2 /AD\*
откуда: )
DF2 : DE2=AD2 : DC2=m : n.
323. ТТиеагоровы треугольники. Такъ наз. прямоугольные
тр-ки, у которыхъ стороны, изм^ренныя одною и тою же единицей,
выражаются целыми числами. Такихъ тр-ковъ существуетъ
безчисленное множество. Прост'Ьйций изъ нихъ есть тотъ (известный
еще съ глубокой древности), у котораго стороны выражаются чис-
числами: 3, 4 и б C2+42=52). Доказано, что стороны пиеагоровыхъ
тр-ковъ могутъ быть выражены следующими общими формулами;
=2аЪ
катеты:
гипотенуза s =
а и Ъ суть произвольный ыелыя числа, лишь бы было
ГЛАВА III.
Отношеш'е площадей подооныхъ фигуръ.
324. Теорема. Площади двухъ треугольниковъ, имЪющихъ
по равному углу, относятся, какъ произведен1я сторонъ, за*
ключающихъ эти углы.

— 251 —
Пусть (черт. 288) въ тр-йахъ ABC и АхВхСх углы А и Аг равны.
Проведя высоты BD и BJ)^ будетъ имйть:
площ. ABC AC.BD АС ВТ)
Черт. 288.
Тр-ки ABB и АгВхВх подобны (А=Аг и B—Dx)\ поэтому отно-
шэше BD : ВхВх равно отпошенш АВ : АгВх\ замгЬнивъ первое
вторымъ, получимъ:
площ. ABC _ АС АВ _ АС.АВ
площ. АхВхСх АхСх АхВх Ax(^xmj^-i-^i
325. Зам'Ьчан1е.Предлагаемъ самимъучащимся доказать,
что если у двухъ треугольнпковъ ABC и А^Сц (черт. 288)
углы А и Аг не равны, nb составляютъ въ сумм* 2d,
то площади такихъ тр-ковъ также относятся, какъ произведешя'
сторонъ, заключающихъ углы А и Ах.
326. Теорема. Площади подобныхъ треугольниковъ или
многоугольниковъ относятся, какъ квадраты сходственныхъ
сторонъ.
1°. Если ABC и АхВхСх (черт. 288) два подобные треугольника,
то углы одного равны соответственно угламъ другого; пусть
А—Ах> В*=Вг и С=С1.Прим'Ьняя къ нимъ предыдущую теорему,
получимъ:
площ. ABC AB.AC _ АВ АС
Но изъ лодоб1я треугольниковъ сл^дуетъ:
АВ АС ВС

— 252.
Поэтому въ равенстаЬ [1] мы можемъ каждое изъ отношейй
АВ АС
А р и п заменить любымъ отношёшемъ ряда [2]; сл'бд.:
площ. ABC
площ.
. ABC _ / АВ \ 2_ /АС. \ 2__ / ВС \
. A1B1C~\^i^J ~\А1С1) ~\В1С1)
АВ2 АС2
АС^ 2
ВС2
2°. Если ABCDE и AJB^DiEx (черт. 289) два подобные
многоугольника, то ихъ можно, какъ мы видели B08), разло-
разложить яа одинаковое число подобныхъи одинаково располо-
С
Черт. 289.
женныхъ тр-ковъ. Пусть эти тр-ки будутъ: АВО и АхВгОх, AOE
и А^РхЕх и т. д. Согласно доказанному въ первой части этой
теоремы, мы получимъ пропорщю:
площ. АОВ / АВ \ * площ. ВОС / ВС \ *
площ. АгОхВх \ А\Вх) ' площ. BxOxCi \BxCi/
Но изъ иодоб1я многоугольниковъ сл^дуетъ:
АВ ВС CD
АгВг ВгС%
и потому:
Значить: -
/АВ\ 2= /JC_\ 2
CD
\AxbJ
площ. ^1ОВ площ.. ВОС площ. GOD
площ..
площ.
площ.

— 263 —
Откуда (по свойству равныхъ отношенШ):
пл. ^4ОВ+пл. ВОС +пл. COD +..._пл. ABCDE _
пл.Л1О1В1+пл.В1О1G1+пл.С1О1С1+...~пл. А^С^Е^АгВг
327. Сл*дств1е. Площади правильныхъ одноименныхъ
многоугояьниковъ относятся, какъ квадраты сторонъ, или ква-
квадраты р?д'|усовъ, или квадраты апоеемъ B62).
328. Задача. Разделить данный треуголь-
н и к ъ натравновеликихъ частей прямыми,
параллельными его сторон*.
Пусть, напр., требуется разделить тр-никъ ABC (черт. 290)
на 3 равновелишя части пря-
прямыми, пераллельными осно-
ванш АС. Предположимъ,
что задача решена, и что
искомыя прямыя будутъ BE
л FG. Очевидно, что если
мы найдемъ отрезки BE
и Вбг, то затймъ определятся
и прямыя DE и FG. Тр-ки
BDE, BFG и ВАС подобны;
поэтому:
площ. BDE BE2
^BE
Черт. 2С0.
плотц. BFG BG2
площ. ВАС ВС2 площ. ВАС
Но изъ требовашй задачи видно, что:
площ. BDE_ 1 площ. BFG_
площ. ВАС 3 площ. ВАС
BE2
2
3
Сдгбд.:
Откуда:
ВС2
1
Т
BG2
¦=— и
«'-/t'o-Yt
. ВС
и BG=
-^ВС.ВС.
Изъ этихъ выражешй видимъ, что BE есть средняя пропори
ц1анальная между ВС и а/3 ВС, а ВО есть средняя пропорщо-

— 264 —
нальная между ВС и 2/з ВС B55, 4). Поэтому построеше мозйно
выполнить такъ: разд'Ьлимъ ВС на три равныя части въ точйахъ
а и Ъ\ опвшемъ на ВС полуокружность; пзъ а и Ъ возставимъ
къ ВС перпендикуляры аН и ЪК. Хорды НВ и ВК будутъ иско-
искомыми среднщш пропорциональными: первая—между всЬмъ д1а-
метромъ ВС д его третьею частью Ва, вторая—между ВС и ВЬ,
т.-е. между ВС и 2/з ВС B30). Остается отложить эти хорды на
ВС отъ точки В; тогда получимъ искомыя точки Е и G.
Подобнымъ образомъ можно разделить тр-къ на какое угодно
иное число равновеликихъ частей.
ГЛАВА IV.
Площадь круга и его частей.
329. Лемма 1-я. При неограниченномъ удвоенш числа
сторонъ правильнаго многоугольника, вписаннаго въ окружность:
1°, сторона этого многоугольника стремится къ нулю;
2°, разность между рад|усомъ окружности и апоеемой много-
многоугольника стремится къ нулю.
1°. Обозначимъ периметръ правильнаго вписаннаго много-
многоугольника черезъ р, а число его сторонъ черезъ п; тогда длина
одной стороны этого многоугольника выразится дробью Р1п.
При неограниченномъ удвоепш числа сторонъ этого много-
многоугольника знаменатель дробп р/п будетъ возрастать безпред'Ьльно,
а числитель хотя и будетъ возрастать, но не безпред'Ьльно, такъ
какъ периметръ всякаго вписаннаго выпуклаго многоугольника
меньше периметра любого описаннаго многоугольника (нацр.,
меньше описаннаго квадрата) *). Если же въ дроби знаменатель
увеличивается безпред'Ьльно, а числитель хотя и увеличивается,
но остается меньше некоторой постоянной величины, то, какъ
известно изъ алгебры, эта дробь можетъ быть сделана менйе
*) Можно было, бы сказать, что периметръ р не увеличивается
безпред'Ьльно, потому что онъ остается всегда меньше длины окруж-
окружности; но основан1е, приведенное въ тексгЪ, удобнее, такъ какъ оно
не предполагаетъ предварительнаго установлен1я понят1я о длинЪ
окружности.

— 266 —
любой данной положительной величины; значить, при нерграни-
ченномъ удвоенш числа сторонъ вписаннаго правильнаго много-
многоугольника сторона его, равная дроби *7Л, стремится къ 0.
2°. Пусть АВ (черт. 291) есть сто-
сторона какого-нибудь правильнаго впи-
вписаннаго многоугольника, О А рад1усъ
и ОС ароеема. Изъ тр-ка О АС нахо-
димъ E2):
ОА—ОС<АС
или
ОА—ОС<-АВ,
В
т.-е. разность между радгусомъ и
апофемою меньше половины стороны Черт! 291.
правильнаго многоугольника. Но при
неограниченномъ удвоенш числа
сторонъ правильнаго вписаннаго многоугольника сторона его,
какъ мы видели, стремится къ нулю; поэтому разность между
рад1усомъ и апооемою и подавно стремится къ нулю.
23О. Лемма 2-я. Разность между площадью правильнаго
многоугольника, описаннаго около круга, и площадью правиль-
правильнаго одноименнаго многоугольника, вписаннаго въ тотъ же
кругъ, при неограниченномъ удвоенш числа сторонъ этихъ
многоугольниковъ, стремится къ нулю.
Впишемъ въ кругъ (черт. 292) и опишемъ около него по какому-
нибудь правильному мн-ку (на чертежи
изображены 6-угольншш).
Пусть В будетъ рад1усъ круга, а—
апооема вписаннаго мн-ка, q его пло-
площадь и Q—площадь описаннаго мн-ка.
Тогда C27):
/~\ . *г>2 . -.2
\J . u—=z±t I CLr »
Составимъ изъ этой пропорщи про-
производную (разность членовъ перваго
отношетя относится такъ къ предыду-
предыдущему члену этого отношетя, какъ*..):
Q—q_ В2—а2
Q R2
!>
Черт. 292

— 266 —
Откуда:
. (Q—q)R2=Q(R+a)(R—a).
При неограниченном^ удвоенш числа сторонъ многоуголь-
никовъ разность R—а, по доказанному въ предыдущей лемм*,
стремится къ нулю, сомножитель Q уменьшается *), а, сомно-
сомножитель R-\-a всегда остается меньше JR+JR; всл^дств1е этого
правая часть послйдняго равенства (сл-Ьд., и л'Ьвая еголасть),
при неограниченномъ удвоенш числа оторонъ мнтковъ, стремится
къ нулю. Но л'Ьвая часть равенства, представляя собою произ-
произведете, въ которомъ множитель В2—число постойнное, можеть
стремиться къ нулю только тогда, когда его множимое стремится
къ нулю; множимое же Q—q и есть разность площадей правиль-
ныхъ мйогоугольниковъ, описаннаго и вписаннаго.
331. ЗамЗэЧаше. Такимъ же путемъ мы можемъ доказать, что
разность между периметромъ- описаннаго и
периметромъ одлоименнаго вписаннаго пра-
вильнаго мн-ка, ,п :р и неограниченномъ удвое-
Hin числа ихъ сторонъ, стремится къ нулю.
Действительно, если Р и р будутъ периметры одноименныхъ правил ь-
т*ыхъ мн-ковъ, описаннаго и вписаннаго, то B63):
• , . Р : p = R : a.
Откуда: (Р—р)-. P = (R—a) : Д,
и, слЪд., (Р— р) R = (R—а) Р.
При неограниченномъ удвоенш ^числ'а сторонъ мн-ковъ правая
часть посл'Ьдняго равенства (сл^д., и его л^вая часть) стремится
к,ъ нулю, такъ какъ множимое R—а, по доказанному, стремится
къ нулю, а множитель Р уменьшается. Но л^вая часть равенства,
представляя собою произведете, въ которомъ множитель R—число
постоянное, можетъ стремиться къ нулчю только тогда, когда его
множимое стремится къ нулю;- а .множимое и есть разность пери-
метровъ Р и р. ;
332. Теорема. Площадь круга есть общш пред-Ьлъ площа-
площадей правидьныхъ вписанныхъ въ этотъ кругъ и описанныхъ
онвло него многоугольниковъ при неограниченномъ удвоен1и
числа ихъ сторонъ.
Пусть около круга, площадь котораго мы обозначимъ К,
описана. к^ой^нибудь правильный мн-къ и въ него вписанъ
*) такъ какъ при каждомъ удвоенш числа сторонъ правильнаго
описаннаго мн-ка отъ его угловъ срезываются небольиие тр-ки,
отчего, конечно, площадь мн-ка уменьшается.

— 257 —
одноименной правильный мн-къ (черт. 292). Обозначимъ пло-
площадь перваго Q, а площадь второго q. Если станемъ удваивать
число сторонъ этихъ мн-ковъ, то величины Q и q сделаются пере-
переменными-, тогда какъ величина К останется неизменной. Тре-
Требуется доказать, что при неограниченномъ удвоенш числа сто-
сторонъ мн-ковъ переменныя величины Q и q стремятся къ одному
и тому же пределу, именно къ площади К.
Очевидно, что, каково бы ни было число сторонъ мн-ковъ,
всегда (?>K^>q, и потому каждая изъ двухъ разностей: Q—К и
К—q всегда меньше разности Q—q. Но при неограниченномъ
удвоенш числа сторонъ мн-ковъ разность Q—д, согласно лемме
2-й, стремится къ нулю; сл^д., при этомъ каждая изъ меныпихъ
разностей: Q—К и К—q и подавно стремится къ нулю; а это,
согласно определенно предела, означаетъ, что
пред. Q=K и пред. q—K.
333. ЗаМ'Ьчаше* Можно также утверждать, что длина
окружности есть общ1 й пред'Ьлъ периметровъ
правильныхъ вписанныхъ въ эту окружность
и описанныхъ около нея многоугольниковъ
при неограниченномъ удвоен iH числа ихъ
сторонъ. Действительно, изъ того обстоятельства, что раз-
разность Р—р стремится къ нулю C31), надо заключить, что переменные
периметры Р и р могутъ стремиться только къ одному и тому же
пределу; но предвлъ р есть то, что принимается за длину окруж-
окружности; значитъ, и предЪлъ Р есть тоже длина окружности.
334. Теорема. Площадь круга равна произведена длины
окружности на половину pafliyca.
Пусть JR, К и С означаютъ рад1усъ, площадь и длину данной
окружности, a g, p и а—площадь, периметръ и аповему какого-
нибудь правильнаго вписаннаго многоугольника. Тогда можемъ
написать C18):
1
q=p.-a. [1]
Вообразимъ теперь, что число сторонъ вписаннаго многоуголь-
многоугольника неограниченно удваивается. Тогда величины g, p и а де-
делаются переменными, при чемъ первая им^етъ пред^ломъ пло-
площадь круга К, вторая—длину окружности С, а третья—рад1усъ
ея R. Такъ какъ при этомъ равенство [1] остается постоянно
А. Киселевъ. Геометр1я. 17

— 268 —
в'Ьрнымъ, то, согласно основному началу способа пред'Ьловъ
B83), оно останется в'Ьрнымъ и тогда, когда вместо пере-
мйнныхъ подставимъ ихъ пределы; поел* такой подстановки
получимъ:
335. СлгЬдетв1я. 1°. Площадь круга равна произведена
квадрата pafliyca на число я (отношеше окружности къ дааметру).
Действительно, подставивъ въ равенство [2] предыдущаго
параграфа на мйсто С произведете 2tzR B92, 2), получимъ:
2°. Площади круговъ относятся, какъ квадраты рад1усовъ или
д1аметровъ.
Действительно, если К и Кг будутъ площади двухъ круговъ,
a R и Вг ихъ pafliycbi, то
К %R2 R2 4Й2 BЙJ
Откуда: К^тгВ^2^ 1^2^Ш?=ЩъJ'
336. Задача I. Вычислить площадь круга,
окружность котораго равна 2 метрам ъ.
Для этого предварительно находимъ рад1усъ R изъ уравнешя:
1
2тгй=2; откуда Д=— =0,3183...
тс
Затймъ опред^ляемъ площадь круга:
K=7cR2=tz (-) =—=0,3183... квадр. метра.
\7U/ 7U
Задача 2. Превратить данный кругъ въ квад-
квадрат ъ (т.-е. построить квадратъ, равновелишй данному кругу).
Эта задача, известная подъ назвашемъ квадратуры
круга, не можетъ быть решена при помощи циркуля и ли-

— 259 —
нейки. Действительно, если обозначимъ черезъ х сторону иско-
маго квадрата, а черезъ В рад1усъ круга, то получимъ уравненге;
. х—ъВ2\ откуда: ъВ : х=х : В,
т.-е. х есть средняя пропорщональная между полуокружностью
и рад1усомъ. Сл*д., если известна прямая, которая равна длин*
полуокружности, то легко построить квадратъ, равновелитй
данному кругу, и обратно: если известна сторона квадрата,
равновеликаго кругу, то можно построить прямую, равную по
длин* полуокружности. Но доказано, что помощью циркуля
и линейки нельзя построить прямую, которая вт^ точности рав-
равнялась бы длин^ полуокружности (см. выноску въ задач* № 257,
стр. 229-я); сл-Ьд , нельзя въ точности решить задачу о превра-
щенш круга въ квадратъ. Приближенное же решете можно
выполнить, если предварительно найти приближенную длину
полуокружности и затймъ построить среднюю пропорщональную
между этою длиною и рад1усомъ.
337. Теорема. Площадь сектора равна произведен'!ю его
дуги на половину радиуса.
Пусть дуга АВ (черт. 293) сектора АОВ содержитъ п°. Оче-
Очевидно, что площадь сектора, котораго дуга
содержитъ 1°, составляетъ Vseo часть пло-
площади круга, т.-е. она равна
360
Ол^д., площадь 8 сектора, котораго дуга
содержитъ п°, равна
_%ВЧ__ъВп В Черт. 293.
360~~~~180 ' i'
Такъ какъ -¦— выражаетъ длину дуги А В, то, обозначивъ ее
черезъ s, получимъ:
5=5.— .
2

— 260 —
338. Ра.^ача. Вычислить площадь сегмента,
зная радiyсъ круга и число градусов ъ, за-
заключающееся въ дуг'Ъ сегмента.
Чтобы получить площадь сегмента ASB,
(черт. 294), достаточно изъ площади сектора
ЛОВ вычесть площадь тр-ка ЛОВ. Про-
Проведя ACJ_OB, будемъ им-Ьть:
площадь сектора — -qRs;
площадь тр-ка=2 ОВ.АС — -^R.AC.
Сл'Ьд., площ. сегмента =2- R(s—АС).
Черт. 294.
Такимъ образомъ, вопросъ приводится къ вычисленш высоты АС.
Геометрически (т.-е. безъ помощи тригонометрш) ее можно вычислить
только въ н'Ькоторыхъ частныхъ случаяхъ слЪдующимъ способомъ.
Продолживъ АС до пересЬчешя съ окружностью въ точки D, мы
увидимъ, что AC —CD и ^AB — ^BD; значитъ, АС есть половина
хорды, стягивающей дугу, вдвое большую дуги сегмента. Отсюда
заключаемъ, что если хорда, стягивающая двойную дугу, будетъ
сторона такого правильнаго вписаннаго многоугольника, для ко-
тораго мы знаемъ формулу его стороны, то высота АС определится
геометрически. Напр., пусть дуга сегмента содержитъ 60°. Тогда AD
есть сторона правильнаго вписаннаго треугольника; значитъ,
AC=1/2R}/rS. Дуга АВ въ этомъ случай равна х/6 окружности, т.-е.
7з* R; поэтому:
площ. сегмента = —#/?!?- П^ 8j= ~R2Btt—
Если хорда АВ есть сторона такого правильнаго
вписаннаго п—угольника, которую мы можемъ вычислить по данному
рад1усу, то площадь сегмента можно найти также и по следующей
формул'Ь:
пл. сегм
1/ \
. = •—[пл. круга—пл. прав. п-угольника1.
339. Теорема. Сумма площадей подобныхъ многоуголь-
многоугольниковъ (или круговъ), построенныхъ на катетахъ прямоуголь-
наго треугольника, равна площади подобнаго многоугольника
(или круга), построеннаго на гипотенуз^ если катеты и гипоте-
гипотенуза служатъ сходственными сторонами этихъ многоугольниковъ
(или д|'аметрами круговъ).
Пусть ф, В и S будутъ плрщади подобныхъ фигуръ (или кру-

— 261 —
говъ), построенныхъ на катетахъ и гипотенуз^ прямоугольнаго
тр-ка ABC (черт/ 295). Тогда C26, 335, 2°)
АВг
ВС2
S AC2' S AC2
Сложивъ эти равенства, найдемъ:
Q+R AB2+BC2.
S
АС2
Но АВ*+ВС2=АС2 B32;) поэтому:
Q+B=S. Черт 2J5.
34О, СлЪдств1е, Если на сторонахъ прямоуголь
наго треугольника ABC (черт. 296) построимъ
полукруги, расположивъ ихъ такъ, какъ ука-
указано на чертеж-Ь, то сумма площадей образо-
образовавшихся при этомъ фигуръ (луночекъ) М и N
равна площади треугольника.
Действительно, сумма полукруговъ,
построенныхъ на катетахъ, равна полу-
полукругу, построенному на гипотенуз'Ь;
если же отъ объ'ихъ частей этого равен-
равенства отнимемъ сумму сегментовъ 1-го
и 2-го, то получимъ:
М + ^ = площ. ABC.
Фигуры М и N изв'Ь тны подъ назва-
темъ Гиппократов ыхъ лу-
луночекъ. *)
Когда треугольникъ равнобедренный, то об'Ь луночки одинаковы
и каждая изъ нихъ равновелика половин'Ъ треугольника.
Черт. 296.
ГЛАВА V.
Состнсшешя кгжлу сторонами треугольника и рад!у-
са;и Еписакнаго и описаннаго кругсвъ.
341, По теоремЪ § 250 мы имЪемъ: bc=2Rhai гд'в Ъ и с суть
стороны треугольника, ha—высота, опущенная на третью сторону
треугольника, и R—рад1усъ описаннаго круга. Изъ этого равенства
выводимъ:
*) По имени греческаго геометра Гиппократа Xio с-
с к а г о, жившаго въ V B^Kis до Р. Хр.

2C2 —
Исключимъ изъ этой формулы высоту ha; для этого умножимъ
числителя и знаменателя дроби на а; тогда, зам'внивъ произведете Ьаа
удвоенною площадью треугольника (которую обозначимъ S)% по-
лучимъ:
4S 4Ур(р-а)(р~Ъ)(р-сУ
I
Черт. 297.
Чтобы найти рад1усъ г внутренняго впи- |
саннаго круга (черт. 297), примемъ во вни- 4
ман!е, что прямыя О А, ОВ и ОС раздЪляютъ
данный тр-къ на три тр-ка, у которыхъ
основашями служатъ стороны даннаго
тр-ка, а высотою—рад!усъ г. Поэтому:
Отсюда: fssie
v
Рад!усъ ра, вн'Ьвписаннаго круга (черт. 298), касающагося сто-
стороны а, можно определить изъ равенства:
пл. АВС=пл. АСО +
+пл. АВО—пл.
1
11
Т.-е. 8—2~ора т~7Г
Откуда:
2S
S
Ра ~~Ъ-\-с—а~2(р—а)~р- а
Подобно этому найдемъ:
8 S
Черт. 298. Р*~р=5 и 9с~"р^~с
Между четырьмя рад1усами г, ра, р&, и ре существуютъ н^которыл
зависимости. Укажемъ простейшую изъ нихъ:
с Зр—2р_ р
""¦ 8 8 '
ДОБАВЛЕН1Е.
Псстроен1е корней квадратнаго уравнена.
842. Объ однородности уравненШ, получае-
мыхъ при р*шен!и геометричеетихъ задачъ.
Просматривая воЬ ц'Ьлыя алгебраичесшя выражен1я, найден-

— 263 —
ныя въ геометрш для вычислетя различныхъ л и н i й, мы
зам'Ьчаемъ, что всЬ они одного изм-bpeHi я, т.-е. всЬ
содержать только одного буквеннаго множителя, выражающаго
длину некоторой линш. Таковы, напр., выражешя:
... для стороны вписаннаго квадрата;
для стороны прав. впис. треугольника;
.... для длины окружности круга; и т. п.
(въ последней формул* буква % означаетъ не линш, а отвлеченное
число 3,14...; поэтому она не вл1яетъ на изм-Ьрете выражетя).
Просматривая дал*е всЬ д-Ьлыя алгебраичестя выражетя,
найденныя въ геометрш для вычислетя площадей раз-
различныхъ фигуръ, мы зам'Ьчаемъ, что вс* они двухъ измо-
изморе н i й, т.-е. вс* .содержать по 2 буквенныхъ множителя,
выражающихъ длины н-Ькоторыхъ лин1й. Таковы, напр., выра-
жешя:
Ьк... для площади прямоугольника;
1
-bfe... для площади треугольника;
-^Кз... для площади равност. треугольника;
4
тсг2... для площади круга, и т. п.
(Подобно этому, какъ мы впосл'Ьдствш узнаемъ изъ стереомет-
рш, ц'Ьлыя алгебраичестя выражен1я, служащ1я для вычислетя
объемовъ, оказываются всЬ т р е х ъ изм-Ьретй, т.-е.
содержать въ себ*Ь по 3 буквенныхъ множителя, выражающихъ
ДЛИНЫ E^KOTOpblXb ЛИН1Й).
Зам^тивь это, примемъ во вниман1е, что всякое уравнете
есть равенство двухъ выражетй. Сл-Ьд., въ геометриче-
скомъ смысл* оно представляетъ собою или равенство линШ,
или равенство площадей (или равенство объемовъ), или же,
наконецъ, равенство отношетй. Когда уравнете, составленное
при рЗженш геометрической задачи, выражаетъ равенство
литй, об* его части должны быть одного изм'Ьретя; когда оно
выражаетъ равенство площадей, его части должны быть двухъ
изм^ренШ, и т. д. Сл'Ьд., во всЬхъ случаяхъ полученное уравне-
уравнете должно быть однородными Однородность не нарушится и

— 264 —
послФ преобразоватя уравнешя, какъ не трудно видеть, при-
нявъ во внимап1е все то, что известно намъ изъ алгебры о пре-
образоваши уравнешй.
Сказанное, впрочемъ, в^рно только при томъ условш, если
ни однаизъ л и н i й, входящихъвъуравнен1е
не принята за единицу. Въ противномъ случай одно-
однородность нарушается. Наприм'Ьръ, уравнеше ж2=тгг2, выражаю-
выражающее равенство между площадями искомаго квадрата и даннаго
круга, обращается въ неоднородное (х2=%), когда рад!усъ дан-
даннаго круга принятъ за 1.
343. Поетроен1е корней квадратнаго уравне-
уравнения. Изъ сказаннаго сл-Ьдуетъ, что если при р-Ьшенш какой-
нибудь геометрической задачи помощью алгебры мы получили
уравнеше (при чемъ ни одна изъ лиши, входящихъ въ уравнете,
не была принята за 1), то всЬ члены этого уравнешя должны
быть одинаковаго измйрешя. Поэтому, упростивъ квадратное
уравнеше, мы всегда приведемъ его къ такому виду: х2±рх±аЪ=о,
въ которомъ всЬ члены двухъ изм^решй (при чемъ буквы р, а и Ъ
выражаютъ данныя положительныя длины, а буква х—искомую
длпну, положительную или отрицательную). Если предвари-
предварительно построимъ B31) вспомогательную прямую q, представляю-
представляющую собою среднюю геометрическую прямыхъ а и Ъ (т.-е. по-
построимъ выражеше q=+Vab), то, замйнивъ въ уравненш
произведете аЪ на д2, мы приведемъ его къ такому виду:
Сочетая различными способами знаки + и — передъ членами
рх и д2, мы будемъ им4ть сл'Ьдуюпце 4 вида квадратныхъ урав-
нешй:
1°. x2—px+q2=o; 3°. x2+px+q2=o;
2°. х2—рх—З2=о; 4°: х2-\-рх—q2=o. —
Нетрудно видеть, что уравнешя 3° и 4° получаются соответ-
соответственно изъ уравнен1й 1° и 2° посредствомъ замены въ нихъ
х на —ж; 8начитъ, корни уравнешй 3° и 4° суть корни соотвйт-

— 266 —
ственно уравнешй 1° и 2°, только взятые съ противоположными
знаками. Поэтому намъ достаточно указать построеше корней
только уравнешй 1° и 2°.
1°. x2— px+a2=o: z=
Предположимъ сначала, что т>Я- Тогда выражете
2
,2
—q2 представляетъ собою катетъ такого прямоуголь-
наго тр-ка, у котораго гипотенуза есть р/2, а другой катетъ
равенъ д; вслг?дств1е этого построете всего проще можно вы-
выполнить такъ:
На какой-нибудь пря-
прямое АВ (черт. 299) беремъ
произвольную точку Си
возставляемъ изъ нея къ /
АВ перпендикуляръ, на ко- /
т'оромъ откладываемъ 'Д—-Л^ __^_, D
CD=q. Изъ точки D, какъ ^Зс~ '" ^
центра, рад1усомъ, рав- Черт 299
нымъ р\2, пересЬкаемъ
прямую АВ въ некоторой точк*Ь О; тогда, проведя прямую ОТ),
мы получимъ прямоугольный тр-къ ODC, у котораго
Остается теперь къ р/2 приложить ОС (тогда получимъ хг) и
отъ р/2 отнять ОС (тогда получнмъ х2). Для этого раствореьпемъ
циркуля, равнымъ OD=-Pj2, откладываемъ на прямой АВ, въ
об* стороны отъ точки О отрезки ОЕи OF; тогда ЕС=жхи CF=x2.
Если —=3, то ж1=Ж2=="г; если же —\з> т0 корни жх иж2
будутъ мнимые.

— 266 —
2, x*—px—q2—o
x.-e.
Въ этомъ случай корни всегда вещественные, при чемъ корень хг
положительный, а х2 отрицательный. Такъ какъ выражете
| / (—V +q2 представляетъ собою гипотенузу прямоугольнаго
тр-ка, у котораго катеты равны
р/2 и q, то построеше всего
проще можно выполнить такъ:
Возставивъ изъ точки С пер-
пендикуляръ къ АВ (черт. 300),
отложимъ на немъ CD=g;
на А В отложи мъ CO=?j2. Про-
Проведя прямую OD, мы получимъ
прямоугольный тр-къ OCD,
У котораго OD =
Черт. зоо.
( —) +92- Остается къ OD приложить р/2 (тогда полу-
получимъ хг) и отъ OD отнять р/г (тогда получимъ абсолютную велп-
чину х2).
УПРАЖНЕН1Я.
Доказать теоремы:
261. Въ параллелограмм^ разстоян!я какой-ниубдь точки д!агонали
отъ двухъ, прилежащихъ сторонъ обратно пропориюнальны этимъ
сторонамъ.
262, Плоцдадь TpaheyiH равна произведешю одной изъ непарал-
лельныхъ сторонъ на перпендикуляръ, опущенный изъ средины дру-
другой непараллельной стороны на первую.

— 267 —
263. Два четыреугольника равновелики, если у нихъ равны со-
соответственно д1агонали и уголъ между ними.
264. Если площади двухъ треугольниковъ, прилежацшхъ къ осно-
вашямъ трапецш и образуемыхъ пересвчешемъ ея д1агоналей, равны
соответственно р2 и q2, то площадь всей трапецш равна (р + #J-
265. Площадь правильнаго вписаннаго шестиугольника равна
3/4 площади правильнаго описаннаго шестиугольника.
266. Въ четыреугольнике ABCD черезъ середину д1агонали BD
проведена прямая, параллельная другой д1агонали АС\ эта прямая
пересвкаетъ сторону ID въ точке Е. Доказать, что прямая СЕ де-
делить четыреугольникъ пополамъ.
267. Если мед1аны треугольника взять за стороны другого тре-
треугольника, то площадь последняго равна 3Д площади перваго.
268. Въ круге съ центромъ О проведена хорда АВ. На рад1усе 0А%
какъ на д1аметре, описана окружность. Доказать, что площади
двухъ сегментовъ, отсекаемыхъ хордою АВ отъ обоихъ круговъ,
относятся, какъ 4:1.
Задачи на вычислеше.
269. Вычислить площадь прямоугольной трапеиЫ, у которой
одинъ изъ угловъ равенъ 60°, зная или оба основатя, или одно осно-
ван1е и высоту, или одно основате и боковую сторону, наклонную
къ основатю.
270. Вычислить площадь равносторонняго треугольника, зная его
высоту h.
271. Даны основатя трапецш В и Ъ и ея высота Я. Вычислить
высоту треугольника, образованнаго продолжетемъ непараллель-
ныхъ сторонъ трапеиш до взаимнаго пересечен1я.
272. Составить формулу для площади правильнаго вписаннаго
12тугольника въ зависимости отъ рад1уса круга.
273. Въ треугольникъ вписанъ другой треугольникъ, котораго
вершины делятъ пополамъ стороны перваго треугольника; въ другой
треугольникъ вписанъ подобнымъ же образомъ третШ тр-къ;. въ
третШ—четвертый и т. д. безъ конца. Найти пределъ суммы пло-
площадей этихъ треугольниковъ.
274. Въ данномъ треугольнике известны стороны а, Ъ и с. Изъ
серединъ этихъ сторонъ возставлены перпендикуляры ж, у и z до
взаимнаго пересечетя въ центре описаннаго круга. Найти въ за-
зависимости отъ а, Ъ и с величины ж, у и г и рад1усъ R описаннаго круга.
(У к а з а н i е: пользуясь теоремою Птоломея B42), можно вывести
уравнетя: bz + c?/ = a#, cx-\-az = bR, ay + bx—cR и ах+Ъу + сг~28,
где S есть площадь треугольника).
Задачи на построен'^.
. 275. Разделить треугольникъ прямыми, проходящими черезъ его
вершину, на три части, которыхъ площади относились бы, какъ
т ; п : у.

— 268 —
276. Разделить пополамъ т-къ прямою, проходящею черезъ дан-
данную точку его стороны.
277. Найти внутри тр-ка такую точку, чтобы прямыя, соединяюцпя
ее съ вершинами тр-ка, делили его на три равновелик1я части.
278.—то же—на три части въ отношенш 2:3:4 (или вообще
т : п : р).
279. Разделить параллелограммъ на три равновелик1я части пря-
прямыми, исходящими изъ вершины его.
2S0. Разд-Ьлить параллелограммъ на дв-fe части въ отношенЫ т : п
прямою, проходящею черезъ данную точку.
281. Разделить параллелограммъ на 3 равновелишя части пря-
прямыми, параллельными д1агонали.
282. Разделить площадь тр-ка въ среднемъ и крайнемъ отношен!и
прямою, параллельною основанш.
283. Разделить тр-къ на три равновелик1я части прямыми, пер-
перпендикулярными къ основашю.
284. Разделить кругъ на 2, на 3... равновелик1я части концетри-
ческими окружностями.
285. Разделить пополамъ трапещю прямою, параллельною осно-
вашямъ. (Указание: продолживъ непараллельныя стороны до
взаимнаго пересгЬчен1я, взять за неизвестную величину разстояше
конца искомой линш до вершины тр-ка; составить пропорцш, исходя
изъ площадей подобныхъ тр-ковъ...).
286. Данный прямоугольникъ превратить въ другой равновеликШ
прямоугольникъ съ даннымъ основашемъ.
287. Построить квадратъ, равновеликШ 2Д даннаго квадрата.
288. Превратить квадратъ въ равновеликШ прямоугольникъ, у ко-
тораго сумма s или разность d двухъ смежныхъ сторонъ дана.
289. Построить кругъ, равновеликШ кольцу, заключенному между
двумя данными концетрическими окружностями.
290. Построить тр-къ, подобный одному и равновеликШ другому
изъ двухъ данныхъ тр-ковъ.
291. Данный тр-къ превратить въ равновеликШ равностороннШ
(посредствомъ приложешя алгебры къ геометрш).
292. Въ данный кругъ вписать прямоугольникъ съ данною пло-
площадью w2 (посредствомъ приложешя алгебры къ геометрш).
293. Въ данный тр-къ вписать прямоугольникъ съ данною пло-
площадью тг (приложешемъ алгебры къ геометрш).
Числовыя з дчл на разные отделы планиметрм *).
294. Катеты прямоугольнаго тр-ка суть 3 ф. и 4 ф. Найти площадь
круга, котораго окружность проходить черезъ середину меныиаго
катета и касается гипотенузы въ ея середин'Б.
*) Взят>. изъ «Сборника геометрическихъ задачъ для
повторительнаго курса п л^, н и м е тр i и», составилъ М.
Попруженко, издатеЗ-е, исправленное и дополненное, Москва, 1905 г.

— 269 —
295. Точка касан1я окружности, вписанной въ прямоугольный
тр-къ, дЪлитъ гипотенузу на отрезки а и Ь. Найти площадь тр-ка.
296. Катеты прямоугольнаго тр-ка суть Ъ и с. Найти биссектриссу
прямого угла. г
297. Рад1усы двухъ концетрическихъ окружностей суть 15 см.
и 8 см. На продолженномъ д1аметре взята точка на разстоянш 17 см.
отъ общаго центра, и изъ нея проведены касательныя къ этимъ окруж-
ностямъ. Найти разстояше точекъ касатя. (У к а з а н i е: при-
применить теорему Птоломея).
298. Часть площади круга, заключенная между стороною вписан-
наго квадрата и параллельною ей стороною правильнаго вписаннаго
б-угольника, равна 1/12 (тг+З^З—6) Найти сторону квадрата, равно-
великаго данному кругу.
299. Въ ромбъ, который разделяется д1агональю на два равно-
сторонн1е тр-ка, вписанъ кругъ. Найти сторону ромба въ зависимости-
отъ рад1уса этого круга.
300. Въ тр-ке, котораго стороны суть 4 см., 5 см. и 6 см., прове-
проведены биссектриссы меньшаго угла и смежнаго съ нимъ вн-вшняго
угла. Найти отр-Ьзокъ противолежащей стороны, заключенный между
этими биссектриссами.
301. Въ равностороннемъ тр-ке со стороною а вписана окружность,
а изъ вершины тр-ка рад1усомъ, равнымъ половине его стороны,
описана другая окружность. Найти площадь, общую обоимъ кругамъ.
302. Въ треугольнике две стороны суть а и Ь. Найти третью сто-
сторону и площадь, если уголъ ^.ежду сторонами а и Ъ равенъ 45°; 60°;
150°; 120°; 75°; 135°.
303. Длины двухъ параллельныхъ хордъ круга суть 30 д. и 16 д.,
а разстояте между ними 7 д. Найти площадь круга.
304. Черезъ точку, удаленную отъ центра круга на длину д1а-
метра, проведена такая свкущая, которая делится окружностью
пополамъ. Найти длину свкущей, , ели рад1усъ круга равенъ ^6.
305. Въ кругв рад1уса R проведена хорда, стягивающая дугу
въ 108°. Найти ея длину.
306. На д1аметргв полукруга рад1уса R построенъ равностороннШ
тр-къ. Найти площадь той его части, которая лежитъ вн^ круга.
307. Найти рад1усъ окружности, касательной къ сторонамъ а и Ъ
треугольника, и иентръ которой лежитъ на третьей его сторон^ с.
308. Къ двумъ извне касающимся въ точке А окружностямъ,
рад1усы которыхъ суть 3 см. и 1 см., проведана внешняя касатель-
касательная ВС. Найти площадь фигуры ABC, ограниченной двумя дугами
и касательной.
809. Полуокружность рад1уса R разделена на три равныя'части
и точки делешя соединены съ концомъ д1аметра. Найти площадь,
ограниченную двумя хордами и заключенною между ними дугою.
310. Стороны тр-ка ABC продолжены въ одномъ направленш
(сторона А В за точку В, сторона ВС за точку С и сторона С А за

— 270 —
тючку Л).до точекъ А1у Вх и Съ такъ что ААХ~ЪАВ, ВВ1=ВВС и
СС1=8СА. Найти отношен!е площадей тр-ковъ ABC и А1В1С1.
311. Изъ вершины тр-ка проведена къ его основанш прямая,
делящая ocHOBaHie на два отрезка тип. Найти длину этой прямой,
если стороны тр-ка, прилежацпя къ отр'взкамъ тип, суть а и Ъ.
312. Кругъ рад1уса R обложенъ тремя равными кругами, касаю"
щимися даннаго и взаимно. Найти рад!усъ одного изъ этихъ круговъ.
313. Определить высоту башни, если известно, что нужно отойти
на а метровъ отъ ея основашя, чтобы башня была видна подъ угломъ
въ 30°.
314. По даннымъ хордамъ а и Ь, стягивающимъ две дуги въ круге
единичнаго рад1уса, найти хорду, стягивающую разность этихъ дугъ.
(У к а з а н i е: применить теорему Птоломея).
315. Прямая, параллельная основангямъ трапеуш, разделяетъ ее
на две части въ отношенш 7 : 2 (считая отъ ббльшаго основашя).
Найти длину этой прямой, если основашя трапещи суть 5 м. иЗм,
316. Изъ точки, делящей основаше тр-ка въ отношенш т : nt
проведены прямыя, параллельныя двумъ другимъ сторонамъ. Найти
отношеше площади каждой изъ частей, на которыя разд-влится тр-къ,
къ площади всего тр-ка.
317. Изъ некоторой точки внутри тр-ка на стороны его а, Ъ и с
опущены перпендикуляры р1э р2> Рз* Найти отношен1е площади тр-ка,
который образуется отъ соединен [я основанШ этихъ перпендикуляровъ,
къ площади даннаго тр-ка. (У к а з а н i е: см. § 325).
318. Вычислить д1агонали трапеиш по четыремъ ея сторонамъ а, Ъ,
с и d. (Указание: надо применить къ д1агонали теорему о ква-
драт^ стороны тр-ка).
319. Найти площадь трапеиш по четыремъ ея сторонамъ а, Ь, с и d.
320. На противоположныхъ сторонахъ квадрата построены внутри
его два равносторонше тр-ка. Пересвчеше сторонъ этихъ тр-ковъ
опредйляетъ некоторый четыреугольникъ. Найти его видъ, стороны,
углы и площадь, если сторона квадрата равна а.
321. Проведена окружность, касающаяся одной стороны прямого
угла и пересекающая другую сторону въ точкахъ, отстоящихъ отъ
вершины угла на 6 см. и 24 см. Вычислить рад1усъ этой окружности
и разстояше точки касашя отъ вершины угла.
322. Вычислить площадь тр-ка по двумъ сторонамъ а и Ъ и ме-
AiaHe m относительно третьей стороны.
323. На общей хорд* А В построены (по одну сторону отъ А В)
два сермента, изъ которыхъ одинъ вм^щаетъ уголъ 135°, а другой 120°.
Найти площадь Луночки, заключенной между дугами сегментовъ.
324. На радДусахъ квадранта (четверти круга) внутри его построены
два полукруга. Найти площадь той части квадранта, которая лежитъ
полукруговъ, если рад1усъ квадранта есть R.

— 271 —
325. Въ прямоугольномъ тр-кЪ А В С опущенъ перпендикуляръ AD
на гипотенузу ВС. Зная рад1усы гх и г2 окружностей, вписанныхъ
въ тр-ки ABD и ACD, найти рад1усъ г окружности, вписанной въ
треугольникъ ABC.
326. На окружности рад1уса R отложены отъ точки А (по обЪ
ея стороны) дв'Б дуги: АС—30° и АВ = вО°. Найти площадь тр-ка ABC.
СТЕРЕОМЕТРШ.
КНИГА I.
ПРЯМЫЯ ПЛОСКОСТИ.
Г Л А В А I.
Определение положена плоскости.
344. ОпредгЬлен1е. Плоскостью A3) ваз. поверхность,
обладающая гЬмъ свойствомъ, что прямая, проходящая .черезъ
дв^ произвольныя точки этой поверхности, лежитъ на
ней вс"Ьми остальными своими точками.
Возможность существовашя такой поверхности принимается
за акс1ому.
Стереометр1ей, какъ мы говорили во введенш A4),
наз. часть геометрш, въ которой разсматриваются свойства
такихъ фигуръ, которыхъ не всЬ части помещаются въ одной
плоскости.
345* Акс1омы ПЛОСКОСТИ. Укажемъ сл^дующгя свой-
свойства плоскости, которыя мы принимаемъ за очевидныя:
1°. Плоскость есть поверхность незамкнутая.
2°. Всякая плоскость д^литъ пространство на 2 части, изъ
которыхъ одна расположена по одну сторону отъ плоскости,
а другая по другую сторону отъ нея.
3°. Прямая, имеющая съ плоскостью только одну общую
точку, перес'Ькаетъ плоскость, т.-е. изъ части простран-
пространства, лежащей по одну сторону отъ плоскости, переходитъ въ
часть пространства, лежащую по другую ея сторону; такимъ
образомъ, дв-Ь полупрямыя, на которыя разделяется эта прямая
плоскостью, расположены по разныя стороны отъ плоскости.

— 272 —
V-
4°. Отр'Ьзокъ прямой, соединяющей двй точки пространства,
расположенныя по разныя стороны отъ плоскости, переев-
к а е т ъ эту плоскость, тогда какъ отрЪзокъ прямой, соеди-
няюпцй дв'Ь точки, расположенныя по одну сторону плоскости,
не пересЬкаетъ ее.
5°. Черезъ всякую прямую можно провести безчислен-
ное множество плоскостей.
6°. Всякая прямая, проведенная на плоскости, раздйляетъ
ее на дв'Ь части (называемыя полуплоскостями).
7°. Плоскость можно вращать вокругъ любой прямой, лежа-
лежащей на ней,причемъ каждую изъ частей, на которыя плоскость
делится этою прямою, можно заставить пройти черезъ всякую
точку простралства.
346. Изображение и обозначен!е плоскости.
Плоскость изображается на чертеж^
jr въ видЬ некоторой ея части, обык-
* ж N новенно въ формй параллелограмма
или прямоугольника (черт. 301). Обо-
Обозначается плоскость большею частью
одною или двумя буквами; такъ го-
ворятъ: плоскость Р, плоскость MN.
347. Теорема. Черезъ всяшя три точки (Л, В и С,
черт. 302), не лежанья на одной прямой, можно провести пло-
плоскость и притомъ только одну.
1°. Черезъ кашя-нибудь дв'Ь
изъ трехъ даииыхъ точекъ,
напр., черезъ А и В, проведемъ
прямую и черезъ нее—произ-
нее—произвольную плоскость. Станемъ вра-
вращать эту плоскость вокругъ пря-в
мой АВ\ вращая, мы можемъ
заставить ее пройти черезъ
точку С. Тогда будемъ имйть
плоскость, которая проходитъ черезъ три точки А, В и С.
Остается доказать, что такая плоскость можетъ быть только
одна.
2°. Предположимъ, что черезъ гЬ же три точки проведены
плоскости. Обозначит» одну черезъ Р, а другую черезъ Рг.
Черт. 301.

— 273 —
Докажемъ, что эти плоскости сливаются въ одну.—Предвари-
одну.—Предварительно заметим!), что прямыя АВ, ВС и АС, проходяпця черезъ
каждую пару данныхъ точекъ, принадлежать об1шмъ плоско-
стямъ, такъ какъ эти прямыя им'Ьютъ по двЪ общихъ точки и съ
плоскостью Р, и съ плоскостью Рг. Возьмемъ теперь на плоско-
плоскости Р какую-нибудь точку М и докажемъ, что эта точка при-
надлежитъ и другой плоскости Рг. Для этого на плоскости Р
черезъ точку М проведемъ какую-нибудь прямую MJD, пересе-
пересекающую АВ и АС въ н-Ькоторыхъ точкахъ Е и F. Такъ какъ пря-^
мыя АВ и АС принадлежать и другой плоскости Ръ то точки
ихъ Е и F также принадлежать этой плоскости» Всл|Ьдств1е
этого прямая MD, проходящая черезъ Е и JF, лежитъ вся въ
плоскости Рг (по определенно плоскости), а потому и ея точка
М лежитъ въ этой плоскости. Такимъ образомъ, всякая точка М
плоскости Р принадлежитъ и плоскости Рг: значить, эти пло-
плоскости сливаются.
348. СлгЬдетв1я. 1°. Черезъ прямую и точку BHt ея можно
провести плоскость и притомъ только одну, потому что точка
BHt прямой вмести съ какими-нибудь двумя точками этой пря-
прямой составляюсь три точки, черезъ которыя, по доказанному,
можно провести плоскость и притомъ одну.
2°. Черезъ двЪ пересЪкающ'шся прямыя можно провести пло-
плоскость и притомъ только одну, потому что, взявъ точку пере-
сЬч'етя и еще по одной точки на каждой прямой, мы будемъ
имйть три точки, черезъ которыя и т. д.
3°. Черезъ flBt параллельныя прямыя можно провести пло-
плоскость и притомъ только одну, потому что паралелльныя.пр^
мыя, по определенно, лежать въ одной плоскости; эта пло-^
скость единственная, такъ какъ черезъ одну изъ параллель-
ныхъ и какую-нибудк точку другой можно провести не бол^е
одной плоскости.
4°. Всякую часть плоскости можно наложить вс%ми ея точками
на другое м%сто этой или другой плоскости, при чемъ наклады-
накладываемую часть можно предварительно перевернуть другою сто-
стороною, потому что всегда возможно наложить одну плоскость
на другую такъ, чтобы у нихъ совпали катя-нибудь три точки,
не лежапця на одной прямой, а тогда совпадутъ и остальныя
точки.
18

— 274 —
349. Теорема. Если дв* плоскости имЪютъ общую точку,
то OHt им-Ьютъ и общую прямую, которая проходить черезъ
эту точку и по которой плоскости пересдаются.
Пусть плоскость Р (черт. 303) имеетъ точку А, общую съ1 дру-
другою плоскостью Q. Проведемъ на нлоскости Q черезъ точку А
кашя-нибудь две прямыя ВВ1 и ССг. Если бы случилось, что
одна изъ этихъ прямыхъ лежитъ и на плоскости Р, то плоскости
имели бы общую прямую. Предположимъ, что этого нетъ; тогда
обе эти прямыя пересекаютъ плоскость Р C45, 3°);
след., каждая изъ нихъ подразделится плоскостью Р на две
полупрямыя, расположенныя по разныя стороны отъ этой пло-
плоскости. Возьмемъ на полупрямыхъ
АС и АВ катя-нибудь точки D и Вг
и проведемъ прямую DDt. Эта прямая,
переходя изъ части пространства, ле-
жащаго надъ плоскостью Р, въ часть
пространства, лежащаго подъ пло-
/\ I Л скостыо Р, пересечется съ плоско-
|р / \ / /I стью Рвъ некоторой точке Е C45, 4°).
Такъ какъ, съ другой стороны, пря-
прямая DBX имеетъ съ плоскостью Q
две общихъ точки (D и jDx), to она
две общихъ точки (D и jDx), to она
"i принадлежить ей вся. Поэтому точка
Черт. зоз. jq ПрЯМОй j)^ также принадлежитъ
плоскости Q. Итакъ, плоскости Р и Q имеютъ две обпця точки
Ая Е; значитъ, оне имеютъ и общую прямую АЕ, проходящую
черезъ эти точки.
Что плоскости Р и Q пересекаются по прямой АЕ (а не каг
саются), следуетъ изъ того, что прямыя ВВг и ССЪ содержащаяся
въ плоскости Q, пересекаются съ Р.
350. Сл^детв1е. Пересчете двухъ плоскостей всегда
есть лрямая лин|'я.
Действительно, если плоскости пересекаются, то оне имеютъ
общую точку, но въ такомъ случае оне имеютъ и общую прямую.

— 276 —
Какой-нибудь еще общей точки, сверхъ точекъ этой прямой,
плоскости имйть не могутъ, такъ какъ въ противномъ случай
он* должны были бы слиться въ одну C48, 1°).
ГЛАВА II.
Перпендикуляръ нъ плоскости и наклонный къ ней.
361. Предварительное замечание, Возьмемъ ка-
какую-нибудь прямую АВ (черт. 304) и проведемъ чсрззъ нее
двй произвольныя плоскости Р и Q\
затЬмъ, взявъ на АВ какую-нибудь
точку С, проведемъ на плоскостяхъ
Р и Q черезъ эту точку прямыя:
CD±AB и СЕ±АВ. Черезъ дв-Ь пере-
сЬкаюпцяся прямыя CD и СЕ про-
проведемъ плоскость й. Мы получимъ
тогда такое расположеше прямой (АВ)
и плоскости (В), при которомъ эта
прямая, пересекаясь съ плоскостью,
оказывается перпендикулярной къ
двумъ прямымъ (къ CD и къ СЕ),
проведеннымъ на этой плоскости черезъ точку пересЬчетя.
Докажемъ теперь, что такое расположете прямой и плоскости
обладаетъ слФдующимъ важнымъ свойствомъ.
352. Теорема. Если прямая (ААг, черт. 305), пересекаю-
пересекающаяся съ плоскостью (Р), перпендикулярна къ двумъ прямымъ
(CD и EF), проведеннымъ на этой плоскости черезъ точку пере-
сЬчешя (Б), то она перпендикулярна и ко всякой третьей пря-
прямой (MN), проведенной на плоскости черезъ ту же точку пере-
с%чешя.
Черт. 304.
Отложимъ произвольной длины, но равные, отрезки В А и
ВАг и проведемъ на плоскости какую-нибудь прямую. DF,

— 276 —
которая пересекала бы прямыя CD, MN и EF. Точки пересЬ-
чзшя D, N п F соедйнийъ съ точками А и А\. Мы получимъ
тогда нисколько тр-ковъ. Разсмо-
тримъ ихъ въ такой последова-
последовательности. Сначала возьмемъ тр-ки
AFD и А^Т); они равны, такъ
какъ у нихъ: FD общая сторона,
AD=AtDt, какъ наклонныя къ
прямой ААЪ одинаково удален-
ныя отъ основатя перпендикуляра
BD; по той же причин^ AF=AXF.
Изъ равенства этихъ тр-ковъ ялй-
дуетъ, что Z.ADF=/iA1DF: Поел*
ч - а 5 этого йгрейдемъ кь тр-камъ ^jDi^
и AiDN\ они равны, такъ какъ
у нихъ;Я№ общая #горона, AD=AXD и Z-ADN^Z-A^N. Изъ
равенства ^этихъ тр-ковъ выводимъ, что AN^AxN. Теперь возь-
возьмемъ тр-ки ABNn AXBN; они равны, такъ какъ имйють соответ-
соответственно равныя стороны. Изъ ихъ равенства выводимъ, что
Z.AlSN=Z.A1BN; сл-Ьд., AA^-MN.
353. Опдед'Ьлен1е. Прямая наз. перпендикуляр-
перпендикулярною к ъ п л о с ко с т и, если она, пересекаясь съ этою пло-
плоскостью, образуетъ прямые углы со всеми прямыми,
проведенными на йлоскости черезъ точку пересечешя. Въ этомъ
случае говорятъ также, что плоскость перпендикулярна къ
прямой.
Прямая, пересекающаяся съ плоскостью, но не перпенди-
перпендикулярная къ ней, наз. наклонною. Точка пересечен]я
прямой съ плоскостью, наз.* основан1емъ перпендикуляра
или наклонной.
Воз