МІНІСТЕРСТВО
ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
М І НІСТЕРСТВО БУДІВНИUТВЛ,
J\РХПЕКТУРИ Ті\ ЖИТЛОВО-КОМУНАЛЬНОГО
ГО СГІОДJ\РСТВА УКРАЇНИ
ДЕРЖ АВНА АКАДЕМІЯ
ЖИТЛОВО -КОМУНАЛЬНОГО ГОСГІОДЛРСТВЛ
КАФЕДРА ФУНДАМЕНТАЛЬНИХ ДИСЦИПЛІН
Навчальний посібник
"ВИЩА МАТЕМАТИКА"
(частина І)
для студентів економічних спеціальностей та менеджменту
Київ 2005

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
МІНІСТЕРСТВО БУДІВНИЦТВА, АРХІТЕКТУРИ І
ЖИТЛОВО-КОМУНАЛЬНОГО ГОСПОДАРСТВА
ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ
ЖИТЛОВО-КОМУНАЛЬНОГО ГОСПОДАРСТВА
Кафедра фунда.JІtентш~ьних дисциплін
ВИЩА МАТЕМА ТИКА
Частина І
Навчальний посібник
Для студентів економічних спеціальностей та менеджменту
Київ- 2005

Удк 5] 7 (076)
ББК: 22.1я73
В55
Вища математика. Ч . І. Навчальний посібник. - К.: ДАЖКГ, 2005. -
100 с.
Уклада •1 Ма1шв і чко В.О., кандидат фіз.-мат. наук, доцент
Коротко викладено найважливіші теоретичні поняття курсу вищої
математики, рекомендовані типовою навчальною програмою Міністерства освіти
і науки України для студентів економічних спеціальностей та менеджменту,
наведено приклади розв'язування типових задач, запропоновано задачі для
самостійного розв'язування, подано список використаної літератури.
Пос і бник можна використовувати як для роботи під керівництвом
викладача, так і для самостійного вивчення курсу вищої математики.
Рецензенти: Ільєнко А.Б ., кандидат фіз.-мат. наук, ст. викладач;
Ткаченко Н.В., кандидат фіз.-мат. наук, доцент
Розглянуто і схвалено на засіданні кафедри фундаментальних дисциплін
І вересня 2005 року, протокол No 1
Рекомендовано до друку навчально-методичною радою Державної академії
житлово-комунального господарства 18 жовтня 2005 року, протокол No І
Відповідальний за випуск завідувач кафедри кандидат фіз.-мат. н аук доцент
Маловічко В .О.
2
© Маловічко В . О., 2005
© ДАЖКГ, 2005

ЗМІСТ
Вступ ............................. . .... . ...... ...... . . .. .. . .. .. ....... ... . .. . ......... . . . ......
5
Тема 1. Елементи лінійної алгебри.. . ............ . .. . ... . ..... . ..... ... . . . .. .. . ........ . 6
l. Матриці
.................... ................... ................................. .......
6
2. Визначники другого і третього порядків та їх властивості
...............
9
З. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця .
В изначник п-го порядку ................. .... .. . ... ..... ... ..... .. ... .. . .. ..... , .
10
4. Ранг матриці
.... ....................................................... .............
12
5. Обернена матриця
........... ......................................................
13
6.Системилінійнихрівнянь ..................... ..................................14
7. Матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь.... ... .. ... ..... . 15
8. Розв'язува1-1ня систем лінійних рівнянь за правилом Крамера .. .... .. . .. 16
9.Методи Гауссаі Жордана-Гаусса . ..... . ......... .. ...... . .... . ... ... .. ... .. . .. 19
1О. Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки (балансовий аналіз) . ... 22
Задачі до теми 1 ..... ......................... ...... ... ....... ..................... 26
Відповіді до задач теми І ......... .... ... .. .... ... ......... .......... ..... ... , . ..
29
Тема2.Елементивекторноїалгебритааналітичноїгеометрії ................ 30
1. Вектори
............... ..... .. ........ .. ............... .. .......................... ...
30
2.Лінійнідіїзвекторами .... ........ ............................... .................31
З. Проекція вектора на вісь. .. .. .. . . ....... . ... . ..... .. ...... . ...... . ... . ..... .. .. . . 32
4. Координати векторів ... . . ... . ........ . ... . ..... ... .. .... .. . .... .. ........ ._.. . .. .. .
33
5.Поняттяпроп-вимірнийпростір .............................................. 34
6. Лінійна залежність векторів. Розкладання вектора за базисом
..........
35
7. Скалярний добуток векторів
.... ......................... .. ....... ... .. .........
38
8. Векторний добуток векторів
...... ......... ........... ....... ....... ............
41
9. Мішанийдобутоквекторів....................................................... 43
10. Рівняння прямої на площин і
.......... ............. ..............................
44
11. Пло1цина в просторі
.............. ................ ........................... ......
49
12 . Рівняння прямої у просторі
............................................ ..........
54
з

ІЗ. Лінії другого порядку....................................... . ..................... 57
Задачідотеми2................................................................... 64
Відповіді до задач теми 2 ....... .. .. .......... ... ........ ........ ..... ..... .. .... 67
Тема3.Вступдоматематичногоаналізу .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .. . 69
І.Границячисловоїпослідовності.................:............... .......... ..... 69
2. Границя функції .. . .. .. . . .. , . ·............... ............... : .. . .. . .. . .. . .. .. .. .. ... .. 71
З. Нескінченно малі і нескінченно великі величини ... .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. . 72
4.Обчисленняграниць ... ..... .... .. ... .... .... .. ... .. .. .. .... .... .... ... .. ........ .. 73
5. Неперервність функції........................ .... ................. ... .... .. ...... 77
Задачідо теми3 ................................................................... 79
Відповідідозадачтеми3........................................................ 80
Тема 4. Диференціальне числення функцій однієї змінної .. . .... . .. .. .. . . . . .. . . 80
І. Похідна функції ... .. ....... ....... ..... ..... .......... .. ................... ... ..... 80
2. Правило Лопіталя
..................................................................
83
3. Геометричний зміст похідної........ . .......................................... 84
4.Диференціал .. ................. .......... ...... .................................... . 85
5. Зростання і спадання функцій. Екстремуми функцій........ .............. 86
6.Найбільшеінайменшезначенняфункції .. .. .. .. .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 88
7. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. . 90
8.Асимптотикривих ...... ... ........ ... ........................ ..................... 90
9. Побудова графіків функцій
............. ................ ..... ............... .....
91
10. Еластичність функції........ . ........ . ... .... .................. . ............... .. 94
Задачідотеми4................................................................... 96
Відповіді дозадач теми 4 ........................................................ 98
Список використаної літератури ..... ... ... ... ... ..... ............. .... ................ 99
4

ВСТУП
У сучасних умовах господарювання в різних галузях економіки й
управління все ширшого застосування набувають математичні методи, які дають
можливість вивчати на науковій основі як діяльність окремих підприємств, так і
загальні соціально-економічні процеси в суспільстві. Тому підготовка сучасного
спеціаліста з економічних дисциплін вимагає наявності в нього належних
математичних знань та вміння ефективно ними користуватися.
Курс вищої математики має не тільки важливе самостійне значення, але й
закладає теоретичну основу для подаrіьшого вивчення таких математичних
дисциплін, як "Теорія ймовірностей та математична статистика", "Математичне
програмування", "Дослідження операцій", "Економетрія".
У даному посібнику коротко викладено найважливіші теоретичні поняття
курсу вищої математики, рекомендовані типовою навчальною програмою
Міністерства освіти і науки України для студентів економічних спеціальностей та
менеджменту, наведено приклади розв'язування типових задач, вміщено багато
задач для самостійного розв'язання, подано список . використаної літератури.
Посібник можна використовувати як для роботи під керівництвом
викладача, так і для самостійного вивчення курсу вищої математики.
5

Тема 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ
1. МАТРИЦІ
Поняття "матриця" й оснований на ньому розділ математики - матрична
алгебра - мають дуже важливе значення ДJІЯ економістів. Пояснюється це тим, що
значна частина математичних моделей економічних об'єктів
записуєгься в досить простій і компактній матричній формі.
процесів
Матрицею розміру т х п називається прямокутна таблиця чисел aiJ,
складена з т рядків та п стовпців:
Якщо хочуть вказати розмір матриці А, то пишуть Атхп · Коротко матриці
позначають так: А= (au), або Атхп = (а;;)• Числа aiJ називаються елементами
матриці, причому і - номер рядка, j - номер стовпця.
Дві матриці однакового розміру А тхп = (aif) і Втхп = (bu) називаються
рівними, якщо в них рівні всі відповідні елементи: aiJ = bu.
Матриця А пхп, у якої число рядків дорівнює числу стовпців і дорівнює ll,
називаєть,;я квадратною матрицею п -го порядку.
Матриця, у якої всього один рядок, називається матрицею-рядком, а
матриця, у якої всього один стовпець, - матрицею-стовт4ем.
Елементи матриці au, у яких номер стовпця дорівнює номеру рядка,
називаються діагональними й утворюють головну діагональ матриці.
Якщо всі недіагональні елементи квадратної матриці дорівнюють нулю, то
така матриця називається діагональною.
Якщо у діагональної матриці n -ro порядку всі діагональні елементи
дорівнюють одиниці, то така матриця називається одиничною матрицею n -го
порядку і позначається буквою Е.
6

Матриця будь-якого розміру називається нульовою, або нуль-матрицею,
якщо всі її елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О.
Дії над матрицями
1. Множення матриці на число
Добутком матриці А тхп = ( а!і) на число а називається матриця
Втхп = (bu) = (аа;1)-
2. Додавання матриць
Сумою С = А+ В двох матриць однакового розміру Атхп = (au)
Втхп = (Ь;) називається матриця
стхп=(cu)=(au+bu)-
3. Віднімання матриць
Різницею С =А-В двох матриць однакового розміру Атхп = (aiJ)
Втхп = (bu) називається матриця
Стхп =(cu)=(a!i-biJ).
4. Множення матриць
Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість
стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.
Якщо матриця А узгоджена з матрицею В, то добутком С = АВ матриці
А,,,,,,= (aij) на матрицю впхk = (bu) називається така матриця cmxk = (cu),
кожний елемент якої сіі дорівнює сумі добутків елементів і -го рядка матриці А
на відповідні елементи j -го стовпця матриці В:
ciJ =a;1blJ +аі2Ь21 + ... +а;,,Ьщ, і=], 2, ... ,m;j=I, 2, ... ,k.
5. Транспонування матриць
Матриця Ат= (al) називається транспонованою до матриці А= (au), якщо
al· = ар. Інакше кажучи, щоб одержати матрицю Ат, треба в матриці
А рядки й
стовпці поміняти місцями. Наприклад:
7

⇒
Приклад 1.1. Знайти матрицю С = (2А + Вт )В, де
[
31-2]
А=5-1
-3,
432
[
52-3]
В=4-2О.
126
Розв'язання. При множенні матриці на число всі її елементи множаться на
це число. Тому
Щоб знайти матрицю Вт , транспоновану до матриці В, треба в матриці В
рядки й стовпці поміняти місцями:
Оскільки при відніманні матриць віднімаються всі їх відповідні елементи,
то:
Кількість стовпців матриці ЗА - В' дорівнює кількості рядків матриці А.
Тому ці матриці узгоджені і їх можна перемножити, користуючись правилом
множення матриць:
С = (2А+Вт)В = [:251 _: =
:][: -~
-~]=
610126
8

[
11-5+6-4 -3 -1
= 12·5 - 4·4-4 -1
5-5+6·4+10·1
[
76
Відповідь: С = 40
59
11·2+6 · ( - 2)-3·2
12•2-4•(-2)-4 •2
5 · 2+6·(-2)+10·2
[
764
=4024
59 18
4 -51]
24-60.
18 45
- 51]
-60 .
45
11·(-3)+6·0 - 3·6]
12·(-3)- 4-0-4·6 =
5·(-3)+6·0+10·6
2. ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО І ТРЕТЬОГО ПОРЯДКІВ
ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Визначником матриці другого порядку А = (аіі ) , або визначником
другого порядку називається число, яке обчислюється за формулою:
ІІІа11а12І
Л=А=
= аI1а22 -а2IаI2•
й21 й22
Визиачником матриці третього порядку А = (au), або визначником
третього порядку називається число, яке обчислюється за формулою:
й11 й12 й13
Л=ІА/= й21 й22 й23 =а11а22азз +й12й2зйз1+й1зй21йз2 -
й31 й32 й33
- аз1й22й13 - й21а 1 2йзз -а11йз2й2з·
Цю формулу легко запам'ятати, користуючись схемою, яка називається
правw,ом трикутників:
9

Властивості визначників
І. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється.
2. Якщо переставити місцями два рядки (стовпці) визначника, то визначник
змінить знак.
3. Якщо один із рядків (стовпців) визначника складається тільки з нулів, то такий
визначник дорівнює нулю.
4. Якщо визначник має два однакових рядки (стовпці), то він дорівнює нулю.
5. Спільний множник, що міститься в усіх елементах одного рядка (стовпця),
можна винести за знак визначника.
6. Якщо у визначнику елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, то визначник
дорівнює нулю.
7. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати
відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме
число.
3. РОЗКЛАД ВИЗНАЧНИКА ЗА ЕЛЕМЕНТАМИ РЯДКА
АБО СТОВПЦЯ. ВИЗНАЧНИК п-го ПОРЯДКУ
Нехай задано визначник третього порядку
а11 а12 а1з
Л= а21 а22 а23
а31 а32 а33
(1.1)
Мінором Mij елемента aij визначника називається визначник, який
утворюється з даного визначника викресленням і -го рядка і )-го стовпця.
Алгебраїчним доповненням Au елемента aij називається його мінор,
взятий зі знаком (-\)i+j, тобто Au=(-1)i+Jмu· Наприклад, для даного
визначника
Можна нарисувати таку схему:
10

де знаком "+" позначені місця тих елементів, для яких алгебраїчні доповнення й
мінори рівні між собою, а знаком "-" - місця тих елементів, для яких алгебраїчні
доповнення й мінори відрізняються знаком.
Теорема 1.1 . Визначник дорівнює сумі добутків елементів якого-иебуд,,
рядка (стовпця) на їхні ш,гебраічиі доповнення.
Наприклад, для визначника (1.1)
Л= а1,А11 + й12А12 + й1зА1з, Л= а,2А12 + а22А22 + й32Аз2·
Ці формули дають ще один спосіб обчислення визначника, який
називається розкладом визначника за елементами відповідного рядка або стовпця .
Приклад 1.2 . Обчислити визначник
З24
-2 5,
-647
розкладаючи його за елементами першого рядка.
Розв'яза11ия
~2 : =3 ·1-2 51-2·1] 51+4·1] -21=
47
-67
-64
-647
3
= 3·( -14 -20)-- 2·(7 + 30)+ 4· (4-12) =-208.
Відповідь: -208.
Теорема 1.2 . Сума добутків елеме11тів будь-якого рядка (стовпця) на
ш,гебраїчні доповне11ня відповідІІІL'< елементів іншого рядка (стовпця)
дорівнює нулю.
Теорема 1.1 дає змогу дати означення визначника будь-якого порядку. За
означенням визначник п -го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого
рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення .
11

4. РАНГ МАТРИЦІ
Нехай задано матрицю Атхп. Виділимо в цій матриці будь-які k рядків і
стільки ж стовпців, де k $ min (т, п).
Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині
виділених рядків і стовпців, називається міноро.11t k-го порядку матриці А
Рангом r(A) матриці А називається найбільший з порядків її мінорів,
відмінних від нуля.
З цього означення випливає, що:
1) ранг існує для будь-якої матриці Атхп• причому
О$ r(A) $ min(m,n);
2) r (А) =О тоді і лише тоді, коли матриця А =О;
З) для квадратної матриці п -го порядку r (А)= п тоді і лише тоді, коли матриця
А невироджена.
Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо І А І* О,
виродженою, якщо І А І= О.
Визначення рангу матриці перебором усіх мінорів потребує обчислення
великої кількості визначників. Простіший метод грунтується на тому, що ранг
матриці не зміниться, якщо над матрицею виконати так звані елементарні
перетворення, а саме:
І) переставити місцями два рядки (стовпці);
2) помножити кожний елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від
нуля множник;
З) додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи другого рядка
(стовпця), помножені на одне й те саме число.
!!uиклад1.3 . Визначити ранг матриці А=[- і
.
І
12
2О
І2
4З
55

Розв'язання
Виконуючи над матрицею А елементарні перетворення, маємо:
[
12о3][12о3][1-Іб
-9 о]
2І23
О-32-3
О15
О
-І43-2
Об3І
Об3І
І55І
О35-2
О15ІО
[
ІІ19ОО] [ІООІ19]
О15ІО
ОІО15
О-39ОІ
ОО-39•
о ооо
ооо
о
Знак "~" м1ж матрицями показує, що вони утворюються одна з одної
елементарними перетвореннями і тому мають один і той самий ранг.
Оскільки є відмінний від нуля мінор третього порядку
оо
О
О =І*О,
оо
а всі мінори четвертого порядку дорівнюють нулю, то r (А) =3 .
Відповідь: r(A)=3 .
5. ОБЕРНЕНА МАТРИЦЯ
Матриця А- 1 називається обернеиою до квадратної матриці А, якщо
АА-1 =л-1л =Е.
Теорема 1.3 . Для існування оберненої матриці необхідно і достатньо,
щоб матриця А була невиродженою (щоб J А І * О).
Якщо
а21 а22 ••• а2п
А=[
а,1 а12 ••• а1п]
~:.·, ~~~ ::: ~~:. '
13

то
ІА11 А2 1
Anl l
А-1=- !_ А12 А22
Ап2
ІАІ ...
,
А~п А2п
Апп
де А iJ - алгебраїчні доповнення елементів aiJ матриці А
6. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Система т лінійних рівнянь з п невідомими х1 , х2, ... , хп має вигляд :
!а11Х1+а12Х2 + •.• +а ~ пХп =Ь1,
~,:'і.~~~'~~······~·~''~:.~:,,
а,,,1Х1 І- a,,,zXz + ... + атп Х,, - Ьт.
(1.2)
Числа aiJ називаються коефіцієнтами, числа Ь; - вільними чле11ами
системи.
Сис,ема рівнянь називається однорідною, якщо всі її вільні члени
дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один із них відмінний від нуля.
Набір чисел (х~, х~ ,... , х~) називається розв'язком системи (1.2), яюцо при
підстановці цих чисел замість невідомих х1 , Xz, .. . , х11 усі рівняння системи
перетворяться у тотожності.
Система . рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один
розв'язок, і несуміс11ою, яюцо вона не має розв'язків.
Сумісна система називається виз11аче11ою, якщо вона має лише один
розв'язок, і 11евиз11аче11ою, якщо вона має б ільше, ніж один розв'язок.
Дві системи називаються рівносильними або еквівмептними, якщо вони
мають одну й ту ж множину розв'язків.
Якщо розглянуті в пункті 4 елементарні перетворення матриць виконувати
над рядками системи (1.2), то будемо діставати системи, еквівалентні системі
(1.2).
Систему (1.2) можна записати у матричній формі:
14

АХ=В,
де
При цьому А називають матрицею системи, або основною матрицею
системи, Х - матрицею невідомих, В -матрицею вільних членів. Матрицю
[а,, а,2 ••• а,п Ь,]
А= а21 а22 •·· а211 Ь2
ат, ат2 ••• а"т ьт
називають розширеною матрицею системи.
Вичерпну відповідь про розв'язність системи (1.2) дає нижчезазначена
теорема.
Теорема 1.4 (Кронекера-Капеллі). Система ліній11их рівня11ь суміс11а
тоді і лише тоді, коли ранг і1 основної матриці дорівнює рангу розширеної
матриці.
Якщо ранг основної матриці сумісної системи дорівнює числу невідомих
( r(A) =п), то система має єдиний розв'язок.
Якщо ранг основної матриці сумісної системи менший •шела невідомих
( г(А) <п), то система має безліч розв'язків.
7. МАТРИЧНИЙ МЕТОД РОЗВ'ЯЗАННЯ
СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Нехай задано систему п лінійних рівнянь з п невідомими
іа11х1 +а12-1⁄2 +... +а1".х;, =Ь1,
~~:~· ~ .~:.'.:. ~ .• .•
.•
.~ ~:: ~,: ь,,
а111Х1 ;-ап2-1⁄2 + .. . +ап" хп
-
Ьп.
Запишемо цю систему у матричній формі :
15
(] .3)

АХ=В.
(1.4)
Припустимо, що матриця системи невироджена, тобто І А І* О. Тоді існує
обернена матриця А- 1 .
Помножимо обидві частини рівності (1.4) на А- 1 зліва
А-1АХ=А-1В.
Враховуючи, що л- 1 А= Е і ЕХ== Х, запишемо розв'язок системи (І.З) у вигляді
Отже, щоб розв'язати систему рівнянь (1.3), коли матриця системи
невироджена, досить знайти матрицю, обернену до матриці системи, і помножm·и
її справа на матрицю вільних членів .
8. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
ЗА ПРАВИЛОМ КРАМЕРА
Нехай задано систему п лінійних рівнянь з п невідомими:
{
а,1х1 +а12-1⁄2 + ... +а1п·3⁄4 =ь, ,
~::~І ~.~:.'.~.'. ~ ·:, ..~~~, ~ ,Ь',
ап1Х1 +ап2-1⁄2 + ... +ап,,хп -Ь".
(1.5)
Визначник Л= І А І основної матриці системи (1.5) називається
визначником cucme.JІtu, або осrювиим визиачником cucme.JІtu.
Правило Крамера. Якщо основний визначник cucme.JІtu (1.5) не дорівнює
нулю, то cucme.JІta має єдиний розв'язок, який знаходиться за формула,чи:
і=І,2, ... ,п,
(І .б)
де Л; - допоміжний визначник, який одержується з основного визиачника Л
заміною його і-го стовпця стовпце.JІt вільних членів cucme.JІtu.
Формули (1.6) називаються формулами Крамера.
Приклад 1.4. Розв'язати систему лінійних рівнянь
16

!ХІ·-
Х2+2х3=5,
2х1+2х2- Хз =3,
Зх1 - 2х3 =-3
а) матричним методом; б) за правилом Крамера.
Розв'язання
а) Матричний метод. Запишемо дану систему рівнянь у матричній формі
АХ= В, де
-І2 ]
--
2'
Тоді
де л- 1 - матриця, обернена до матриці А.
Знайдемо визначник матриці А:
-І2
ІАІ=2 2-І=-4+3-12 -4=-l7;ie0.
3О-2
Матриця А невироджена, тому обернена матриця л-1 існує й знаходиться
за формулою:
Знайдемо алгебраїчні доповнення AiJ всіх елементів a ij ма1ри ці А.
1
2 -11
.4 11=
=-4,
О-2
А12= -1 2
-
11= 1,
З-2

I_J
А-І
ЗІ-І2 21=--3
-І
,
1
1 -\1
Азз=2 2=4.
Складемо обернену матрицю А- 1 = -
_І_ І-8 5 і знайдемо
[
-4
-2
-3]
17 -6
-34
розв'язок системи:
=- І\
І•5-8•3+5•(-3) = - /
7-34=2.
[
-4 ·5-2-3-3·(-3)]
[-17] [1]
-
б·5 - 3 ·3+4·(-3)
-
513
Отже, х1=\, х2=2, х3=3.
б) Правило Крамера. Оскільки
І-І2
Л=ІАІ= 2 2 -\ =-17?=0,
3О-2
то система має єдиний розв'язок.
Обчислимо допоміжні . визначники системи Л;, які одержуються з
основного визначника системи Л заміною його і-го стовпця стовпцем вільних
членів :
5-І 2
2 -І =-20-3+12-6=-17,
О-2
52
Л 2 = 2 3 -І =-6-15-12-18+20-3=-34,
З-3
-
2
18

І-І5
л.,=2 2 3=- 6
-
9-30
-
6=- 51.
3о-3
Розв'язок системи знайдемо за формулами Крамера:
Л2 -34
Х2 =-=--= 2
Л -17
Відповідь: (1; 2; З ) .
9. МЕТОДИ ГАУССА І ЖОРДАНА-ГАУССА
•~;
,. .'
Розв'язування систем лінійних рівнянь матричним методом і за правилом
Крамера має два суттєвих недоліки:
І) ці методи придатні лише ДІІЯ визначених систем, тобто для систем, що мають
єдиний розв' язок;
2) ці методи дуже трудомісткі.
Тому ці методи мають швидше теоретичний інтерес малопридатні дr1я
розв'язання реальних економічних задач, які часто зводяться до сис;rем із великою
кількістю рівнянь і невідомих.
Розв'язувати довільні сумісні системи т лінійні1х рівнянь з п невідомими
дозволяють методи Гаусса і Жордана-Гаусса. Суть методу Гаусса полягає в тому,
що шляхом елементарних перетворень систему приводять до вигляду, коли всі
елементи головної діагоналі основної матриці системи дорівнюють 1, а (:лементи
основної матриці, які знаходяться нижче її головної діагоналі, дорівнюют,, нулю.
Приклад 1.5 . Розв'язати систему рівнянь
методом Гаусса.
Розв'язання
1х1- х2+2х3=5,
2х1 +2х2 - х3 =3,
3х1 - 2х3 =-3
Виконуючи елементарні перетворення над рядками розширеної матриці
системи, дістанемо:
19

Оскільки основна А й розширена А матриці системи мають рівні ранги
r (А) = r (А) = 3 , то згідно з теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна. Крім
того, оскільки ранг ~(А) дорівнює числу невідомих, то розв'язок системи буде
ЄДИНИМ.
Останньому вигляду розширеної матриці відповідає така система:
578
Звідси х3=3, х2=4
·3-4
=
4=2, х1=2-2•3+5=І .
Відповідь: ( 1; 2; З ).
Від методу Гаусса метод Жордана-Гаусса відрізняється тим, що в ньому
шляхом елементарних перетворень роблять такими, що дорівнюють нулю не
тільки ті елементи основної матриці системи, які лежать нижче її головної
діагоналі, але й ті, які знаходяться вище головної діагоналі. Такий вигляд систем
дозволяє знайти усі невідомі.
Познайомимось з методом Жордана-Гаусса на конкретному прикладі,
причому будемо користуватися розробленою економістами технікою його
застосування з використанням розрахункових таблиць.
Приклад 1.6. Розв'язати систему рівнянь
Жордана-Гаусса.
!Х1 + 2Xz -5Х3 +4Х4 =7,
2х1 +5х2 -12х3 + 9х4 = 17,
-
х2+2х3- х4=-3.
20

Розв'язання
ХІ
Х2
Х3
Х4
ь,
k
1
2
-5
4
7
9
2
5 -12
9
17
21
о
-1
2
-1
-3
-3
1
2
-5
4
7
9
о
1
-2
1
3
3
о
-
1
2
-1
-3
-3
1
о
-
1
2
І
3
о
1
-2
1
3
3
о
о
о
о
о
о
Звідси видно, що основна й розширена матриці системи мають рівні ранги
r(A) =r(A) =2, а значить, згідно з теоремою Кронекера-Капеллі, система
сумісна. Знайдемо який-небудь мінор другого порядку, який не дорівнює нулю.
Найзручніше взяти мінор
,~
~І=І*О.
Мінор, який не дорівнює нулю і має порядок, що дорівнює рангу
r=r(A) = r(A), називають базисним мінором. Тому обраний нами мінор -
базисний.
Невідомі х1 , х2 , для яких елементи базисного мінору є коефіцієнтами,
називають базисними невідомими; інші невідомі х3 , х4 називають вільними .
Останній таблиці відповідає така система:
{х1-Хз+2х4=І, ~ {х1=х3-2х4+І,
Х2-2X:J+Х4=3
~=2Х3-Х4+3.
Вільним невідомим х3 , х4 можна надавати будь-які значення:
х3 = С1 , х4 = С2 , де С1 , С2 - довільні сталі. 01:же, одержуємо нескінченну
множину розв'язків системи:
21

Коли розв'язок залежить від будь-яких значень С1 та С2 , його називають
загш~ьни,,ч розв'язком відповідної системи.
Якщо покласти С1 =- С2 =О, то відповідний розв'язок називають базисним.
У дан ому прикладі базисним є такий розв'язок:
Якщо одній сталій надати значення 1, а іншим - О, то одержані розв'язки
називають фундаментальними. У даному прикладі є два фундаментальних
розв' язю1 :
Невід'ємний базисний розв'язок називають опорним.
Саме базисні, фундаментальні та опорні · розв' язки систем лінійних рівнянь
найчастіше використовують економісти.
10. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЄВА БАГАТОГАЛУЗЕВОЇ ЕКОНОМІКИ
(БАЛАНСОВИЙ АНАЛІЗ)
Метою балансового аналізу є відповідь на запитання, яке виникає в
макроекономіці та пов'язане з ефективністю ведення багатогалузевого
господарства: яким повинен бути обсяг виробництва кожної з п галузей, щоб
задовольняти потреби в продукції цієї галузі? При цьому кожна галузь виступає, з
одного боку, як виробник деякої продукції, а з іншого - як споживач продукції і
своєї, і виробленої іншими галузями .
Зв ' язок між галузями, як правило, відображається в таблицях
міжгалузевого балансу, а математична модель, яка дозволяє їх аналізувати,
розроблена в 1936 р. американським економістом В.Леонтьєвим.
22

Припустимо, що розглядаються п галузей промисловості, кожна з яких
виробляє свою продукцію. Частина продукції використовується дпя внутрішніх
потреб даної галузі та іншими галузями, а інша частина виготовлена для
кінцевого особистого й суспільного споживання.
Розглянемо процес виробництва за деякий період часу (наприклад за рік).
Введемо позначення:
Х; - загальний (валовий) обсяг продукції і-ї галузі (і= 1,2, ... , п);
xiJ - обсяг продукції і-ї галузі; що використовується j-ю галуззю в процесі
виробництва (і, j = 1,2, ... , п);
У; - обсяг кінцевого продукту і-ї галузі для невиробничого споживання.
Оскільки валовий обсяг продукції будь-якої і-ї галузі дорівнює сумарному
об'ємові продукції, яка використовується п галузями, та кінцевого продукту, то
п
X;=L>iJ+Y;, (i=l,2, ... ,n) .
(1.7)
J=I
Рівняння (І.7) називаються співвідношеннями бшzансу. Будемо
розглядати вартіс11ий міжгалузевий баланс, коли всі величини в (1.7) мають
вартісний вираз. .
Введемо коефіцієнт прямих витрат
xiJ
.
.
.
aiJ=- ,
(1,J=l,2, ... ,n),
хі
який показує витрати продукції і-ї галузі на виробництво одиниці продукції j-ї
галузі.
Можна вважати, що на деякому проміжку часу коефіцієнти aiJ будуть
сталими та залежними від технології виробництва. Це означає лінійну залежність
матеріальних витрат від валового випуску, тобто
унаслідок чого модель міжгалузевого балансу одержала назву лі11ійноl.
Тепер співвідношення балансу (1.7) матимуть вигляд:
23

п
Х; = 2>ifxJ + У;, (i=l,2, ... ,n).
j=I
Систему (1.8) можна записати у матричному вигляді:
Х=АХ+У,
(І .8)
(1.9)
де Х - вектор вш~ового випуску, У
-
вектор кінцевого продукту, А= (aif)
матриця прямих витрат (технологічна або структурна матриця).
Основне завдання мі:жгш,узевого бш~ансу полягає в тому, щоб знайти
такий вектор валового випуску Х, який при відомій матриці прямих витрат А
забезпечує заданий вектор кінцевого продукту У.
П~репишемо рівняння (1.9) у вигляді:
(Е-А)Х =У .
(І.ІО)
Звідси, якщо матриця (Е - А) невироджена, тобто І Е - А І* О, знайдемо
Х =(Е-А)- 1 У.
(1.11)
Матриця S = (Е -- А)- 1 називається матрицею повних витрат.
Матриця А г О називається продуктивною, якщо для будь-якого вектора
У г О існує розв' язок Х г О рівняння (1.1 О). В цьому випадку модель Леонтьєва
також називається продуктивною.
Існує декілька критеріїв продуктивності А. Один із них говорить про те, що
матриця А продуктивна, якщо максимум сум елементів її стовпців не перевищує
одиниці, причому хоча б для одного зі стовпців сума елементів строго менше
одиниці.
Приклад 1.7. У таблиці наведені дані про виконання балансу за звітний
період в умовних грошових одиницях:
Споживання
Кінцевий
Галузь
• Валовий
Паливна
Металургія
Хімічна
продукт
випуск
поомисловість
щ:іомисловість
Паливна
8
18
26
46
98
поомисловість
Металургія
12
8
32
80
132
Хімічна
7
25
15
57
104
поомисловість
24

Обчислити необхідний обсяг валового випуску кожної галузі, якщо кінцеве
споживання хімічної промисловості збільшити вдвічі, паливної - в 2,5 рази, а
металургії залишити без змін.
Розв'язання. Маємо
18
а 12 =-,:е0,14;
132
8
а 22 =-"" 0,06;
132
25
G32 = 132 ""0,19;
•
26
а 13 =-""0,25;
104
•32
аzз =-"='0,3;
104
15
G33 =-"" 0,14.
104
Матриця прямих затрат
[
0,08
А= 0,12
0,07
0,14 0,25]
0,06 0,3
0,19 0,14
має невід'ємні елементи і задовольняє критерій продуктивності:
max{0,08 + 0,12 + 0,07; 0,14 + 0,06 + 0,19; 0,25 + 0,3 + 0,14} = 0,69<1.
Знайдемо матрицю повних затрат:
[
0,92
S =(Е-А)- 1 =-
1- 0,12
0,645
0,07
0,14 0,25]
0,94 0,3
.
0,19 0,86
За формулою (1.11) знайдемо вектор валового випуску:
[
0,92 0,14 0,25][115] ( 225,6]
X=SY= -
1- 0,12 0,94 0,3 80
=
191 .
О 645
'
0,07 0,19 0,86 114
191,2
Оrже, валовий випуск паливної промисловості треба збільшити до 225,6
ум . од., металургії - до 191 ум. од., хімічної промисловості - до 191,2 ум. од.
25

Задачі до теми 1
( 2І) (І-1)
1"НехайА= _
23,В=24
. Знайти:
1)3А-В; 2)(А+2В?; 3)АВ-ВА; 4)АВ-ВтАт; 5)А3 .
2. Знайти добуток матриць:
[
2 3·]
[-1 з]
п·-І4;5)41•(-~
О-2
5О
3. Знайти матрицю D = АВС' + 2Е, де Е - одинична матриця:
2)А=(4
-]
І2)
23'·
•-[; н С=(О 2)·
І3'
З) А=(2 І -1)
О3.4'
в-[Л с-(2)- І •
4. Обчислити визначники за правилом трикутників розкладанням за
елементами якого-небудь рядка або стовпця:
213
3
-І
з-21
2
-3
1) -1
-2з2)52О·
'
З)124
4)-34-І.
о12
-22
-2
з-2
52І
26

5. Обчислити визначники:
оІз
з-4 з
з
з2
22о-2
-І2
4
5о
1)
·-2 '
2)
І,3)
-ІІ-ІІ.
І2І
-3
-І -2
-І2-222
2зо
2-І4з
2І
о
6. Визначити ранг матриці:
1) (:
2)(~ ~} 3)(~
~} 4)н
І
н
-ЗJ·
-І
4
-б'
2
б
{[ 6)[j
2-І
н[ІО 2
і]
І4І]
-Із
7)О2І
21З;
І2
-2
зз
ІЗІ
з-4
42-3
7. Розв'язати системи рівнянь матричним методом:
!ХІ-Х2+Х3=б,
3) 2х1 +х2 +3х3 =9,
4х1 +2х2 -х3 =-3;
!4х1 +2х2 -х3 =0,
5) 5х1-х2+2х3= -4,
х1 +3х2 -3х3 =2;
!4х1 +5х2+2х3=-:б,
7) 3х1--4х2+4х3= -2,
2х1+4х2+5х3=1;
2){3х1+4х2 =10,
2х1 -Х2 =-8;
!2х1+Зх2+4х3=1,
4) 3х1 -х2 -3х3 =7,
-х1+2х2+2х3= -4;
j7x1+5х2-3х3=5,
6) бх1- 3х2+2х~=~2,
2х1 +3х2 -х3 - 7,
12х1- 2х2+5х3=5,
8) 3х1-х2-4х3=2,
х1 +5х2 -І0х3 = 8.
27

8. Розв'язати матричні рівняння:
(23 -2)х=( 4 -8)·
l)
1
10-4'
2 (7 -5)х=(-1
-
26).
)6-З
З-21
'
4) [ ~ : -~]х=[-~
'; ~]-
_,
О3
О-56
9. Розв'язати системи рівнянь за правилом Крамера:
14х1 -5х2 +х3 = 2,
{2х1+5х2 =1,
2){2х1-5х2 =4.,
1)
З) х1 +2х2 +3х3 =7,
Зх1 +11х2 =- 2;
Зх1 -7х2 =7 ;
2х1- 3х2+х3=О;
ІХ1+3х2-2Х3 =2,
4) 2х1+4х2-х3= -1,
2х2+3х3= -1;
12х1 + 2х2 + х3:-2,
5) х1-х2+2х3-0,
3х1 - х2 +4х3 =-2;
{Зх1+2х2+2х3=О,
6) x1 +Xz-X3 =-3,
2х1+3х2=- 1.
10. Розв'язати системи рівнянь методом Гаусса:
12х1-х2+х3=1,
Іх1+2х2+х3=2,
1) х1+4хz - 5х3=З, 2) 2х1-Х2 - 2Хз=1,
3){2х1+х2+4хз=2,
4х1 +Зх2 +х3 =7;
х1+х2-х3=2;
4х1+3х2=3;
Іх1+2х2-2х3=3,
12х1 +х2 -х3 +2х4 =10,
14х1-9х2+3х3= - 5,
4) 2х1-Xz+2хз=7, 5) Х1+Х2+Х3+Х4=4,
6) зх,-7Х2+2х3-Х4 =-3,
])
3)
4х1 +3х2 -2х3 = 13; 5х1 +3х2 -х3 +5х4 = 24;
х1-2.Xz +х3+х4=-2.
11. Розв'язати системи рівнянь методом Жордана-Гаусса:
2Х1+Х2-Х3
-
Х4 =2,
3х1+2х2+2х3+х4=8,
х1 +х2 +Зх3 +2х4 =6,
2х1+2х2+6х3+4х4=12;
х1·- 2х2+х3+3х4+х5=1,
3х1+х2- х3+2х4+2х5=2,
2х1+3х2- 2х3-х4+х5=3,
х1-х2+3х3- 2х4+х5=О;
28
12х1 -3х2 +х3 +х4 =0,
3х1- 2х2- 2х3+2х4=1,
2)
3х1- х2- х3+2х4=4,
х1+х2-2х3+х4=2;

Відповіді до задач теми 1
1.1)( 5 4);2)(4
-8
5
-І
2) (о4) (о-2) (-б11)
11;3)8О;4)2О;5)-3411•
[
-3] [-7 8
2.1) 2;2)-2 7
13
2-4
9]
[1111]
І;3)(12); 4)(=: -~} 5) -5 8;
-
2
-
105
[
-2
-
І -3]
6)42б.
8412
З.І)(б 12); 2)(26
І5
24
50):3(1881)·
39')
-
2
4.1)-15; 2) 14; 3)-29 4)88.
5.1)-14; 2)-24; 3)8.
6.1) 1; 2)2; 3)2; 4)2; 5)3; 6)2; 7)4.
7.1)(3; 2); 2)(-2;4); 3)(1;-2;3); 4)(2;-1;0); 5)(-1;3;2); 6)(0;4;5);
7)(-2; О; 1); 8)(3; 3;)).
s.1)(: - ~ } 2)(~
-~} з)(_~ :} +:_;!]
9.1) (3; -1); 2) (7; 2); 3) (3; 2; О); 4) (-3; 1; -1); 5) (-3; 1; 2);
6)(-2; 1; 2)..
( llx3+1
) (-2х3+17 6х3-1 )
10.1)(І; 3; 2);2)0;3) --2
-;7х3+3;х3 ; 4)
5 ;-5-;х3 ;
5)(2х3-Х4+6;-З.~3-2; Х3; Х4) 6)(-3х3-9Х4-8; -Х3-4Х4-3; Х3; Х4),
11.1)(4х 3 +Зх4 -4;-7х3 -5х4 +10;х3 ;х 4 ); 2)(3;2;1;-1); З) 0;
4)(11х4 -9; 5х4 -4;-8х4 +8; х4 ).
29

Тема 2. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
ТА АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ
І.ВЕКТОРИ
Вектором називається напрямлений відрізок.
Вектори позначають символами а або АВ. При позначенні вектора двома
літерами перша літера вказує точку початку вектора, а
друга -- точку його кінця. Напрям вектора на рисунку
позначають стрілкою.
А
Відстань між початком вектора і його кінцем називають довжиною або
модулем вектора і позначають І а І або І АВ І ·
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним.
Вщаор, початок і кінець якого збі гаються, називається нульовим
позначається 5. Довжина нульового вектора дорівнює нулю, а напрям
невизначений.
Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій
або на паралельних прямих.
Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору.
Вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені
і мають рівні довжини.
В(:ктори називаються протилежними, якщо вони колінеарні, протилежно
напрямлені і мають рівні довжини.
Вектор, протилежний в ектору а, позначають через - а.
Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині
або у паралельних площинах.
зо

2. ЛІНІЙНІ ДІЇ З ВЕКТОРАМИ
До лінійних дій з векторами належать додавання віднімання векторів ,
множення вектора на число.
1. Сумою векторів іі і Б називається вектор іі +Б, початок якого
збігається з початком вектора а, а кінець - з кінцем
Б
.
іі +Ь
вектора Б за умови, що початок вектора Б збігається ~-
•
_
з кінцем ~зектора іі. Це правило додавання вектор1в
називають правилом трикутника.
Аналогічно, щоб побудувати суму кількох векторів, можна ці вектори
розташувати так, щоб початок кожного наступного вектора збігався з кінцем
попереднього. Тоді вектор, що сполучає початок
першого вектора з кінцем останнього, буде сумою
цих векторів.
Суму двох векторів можна знайти також за
правилом паралелограма.
2. Різницею іі - Б векторів а і Б називають суму вектора іі і вектора
-
Б,
протилежного вектору Б :
3. Добутком вектора а* О на число а* О називається вектор аа,
довжина якого дорівнює І а 11 а І , а напрям збігається з напрямом вектора іі, якщо
а>О,іпротилежниййому,якщоа <О.Якщоіі =Оабоа=О,тоаіі =О.
Властивості лінійних дій з векторами
1. а+Б=Б+а.
2. (а+Б)+с=а+сБ+с).
3. а(Ріі) = (ар )іі.
4. (а+р)а=аа+ра.
5. а(а+Б) =аіі +аБ.
31

3. ПРОЕКЦІЯ ВЕКТОРА НА ВІСЬ
Числовою віссю називають пряму, на якій визначено напрям, початок
відліку і одиницю масштабу.
Проекцією точки А на вісь и називається
основа А 1 перпендикуляра АА 1 , опущеного з
точки А на дану вісь.
Нехай у просторі задано вектор АВ і вісь и.
Позначимо через А 1, В I проекції на вісь и точок А і В:
в
І
І
І
І
І
І
І
------------.,
І
І
л,
І
І
І
и
и
Проекцією вектора АВ на вісь и називають довжину вектора А 1 В 1 , узяту
зі знаком"+", якщо напрям вектора А 1 В 1 збігається з напрямом осі и, та із
знаком"-" у протилежному випадку.
Проекцію вектора а на вісь и позначають так: при а. Якщо а = О, то
вважають, ЩО пр"а = О .
Позначимо через q> кут між вектором АВ і віссю и .
Властивості проекцій
1. Проекція вектора ёі на вісь и дорівнює добутку довжини вектора а на косинус
кута q> між вектором і віссю, тобто
2. Проекція суми векторів на одну вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь:
приса+Б+ё)=пр11а+приБ+пр"ё.
32

3. При множенні вектора а на число а його проекція також множиться на це
число:
4. КООРДИНАТИ ВЕКТОРІВ
Дві або три взаємно перпендикулярні числові осі зі спільним початком
відліку називають прямокутною декартовою системою координат
на площині або у просторі .
z
у
z'
'
'
у _______,М(.х; у)
',,._ , М(.х; у; z)
І
І
І
І
І
:
у
О,,__--...;--~--+
у
о
х
х
х
Проекції х, у, z точки М на осі координат називають координатами
точки м.
Проекції ах, ау, az вектора а на осі Ох, Оу, Oz називають
координатами вектора а. При цьому пишуть
а = (ах, ay,az)-
3 першої властивості проекцій випливає, що якщо вектор іі = (ах, аУ, а, )
утворює з осями координат кути а, р, у, то
ах =Jiijcosa, ау =Jajcosp, az =Jajcosy
або
а
а
а
cosa = 1а'1· cos,8= ,;,, cosr = ,;, •
Косинуси кутів а , 13, у називають напрямними косинусами вектора а.
З другої
третьої властивостей проекцій випливає, що якщо
33

Розглянемо вектор а= АВ, де А(х1, У1), В(х2, У2). 3 рисунка ВИДНО, що
АВ=(х2 -х1 , У2-У1),
ІаІ=.Jа/+а; .
Для простору останні формули
можна узагальнити так:
01:же, щоб знайти координати вектора, треба від координат його кінця
відняти відповідні координати його початку.
Зауважимо, що рівні вектори мають рівні координати.
Умова колінеарності векторів
Якщо вектори іі і Б колінеарні, то можна вважати, що вони лежать на
одній прямій, отже існує таке число а, що а = а Б, тобто ах = а Ьх,
аУ = а Ьу, а, = а Ь,. Звідси випливає, що
а_,-= ау = а,
ьхьуь,
Огже, вектори колінеарні тоді і лише тоді, коли їх координати
пропорційні.
5. ПОНЯТТЯ ПРО п-ВИМІРНИЙ ПРОСТІР
До цього часу вектори розглядалися лише з геометричної точки зору як
напрямлені відрізки на rmощині або у просторі. Проте часто, зокрема в
економічних дослідженнях, буває потрібним інший підхід до векторів як до
упорядкованої множини чисел.
Так, в одновимірному просторі R 1, тобто на числовій осі, кожному
34

вектору ставиться у відповідність одне число - координата вектора.
У двовимірному просторі R2 (на площині) кожному вектору ставиться у
відповідність упорядкована пара чисел (його координати), а у тривимірному
просторі R3 - упорядкована трійка чисел.
Узагальнюючи простори R 1 , R 2 , R3 , приходимо до п-вимірного простору
R,,, де п - довільне натуральне число.
Упорядкована множина п дійсних чисел а1, а 2 , ... , а"
називається п -
вимірним вектором і позначається іі =(а1 , а2 , ... а,,).
Два п -вимірні вектори вважаються рівними тоді і лише тоді, коли рівні Ух
координати.
Якшо іі=(а1 ,а2 , ...а,,), Ь =(Ь1 ,Ь2 ,...Ь,,),то
іі+Ь =(а1 +Ь1 ,••. ,а,, +Ь,,),
аіі =(аа1,•.• ,аа,,),
іі ·Ь =а1Ь1 + ... +а"Ь,,.
Множина всіх п -вимірних векторів називається п -вимірним простором і
позначається через R,, .
Простори R 1 , R 2 , R 3 є окремими випадками простору R,,. Їх можна
зображати геометрично. Для n>3 простори R" геометрично уявити вже не
можна, проте вони широко використовуються в економіці. Так, наприклад, деякий
набір товарів можна охарактеризувати вектором іі = (а 1 , а 2 , . .. а,,), а відповідні
ціни - вектором Ь =(Ь1 , Ь2 , ... Ь,,). Тоді загальна ціна всіх товарів дорівнює
р=іі •Ь =аIЬ1+...+а"Ь,,.
6. ЛІНІЙНА ЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ.
РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА ЗА БАЗИСОМ
Лінійною комбінацією векторів іі 1 , іі 2 , . .. , іі 111 з дійсними коефіцієнтам~
а 1, а 2, . .. , а 111 називається вектор
35

Якщо вектор записаний у вигляді лінійної комбінації деяких векторів, то
кажуть, що він розкладений за цими векторами.
Вектори іі1 , іі2 , ... , а,,, називаються лінійно залежними, якщо рівність
можлива за умови af +а~+ ... + а.~11 * О. Якщо ж ця рівність можлива лише при
а. 1 = а. 2 = ... = ат = О, то вектори називаються лінійно незшrежними.
Зазначимо без доведення, що максимальне число лінійно незалежних п -
вимірних векторів дорівнює п , причому п п -вимірних векторів будуть лінійно
незалежними тоді і л ише тоді, коли матриця, складена з координат цих векторів,
невироджена.
Базисом п-ви.мірного простору Rn називають будь-яку сукупність п
лінійно незалежних п -вимірних векторів.
Якщо вектори іі1 , іі2 , .. . , ііп утворюють базис в Rп, то будь-який інший
п -вимірний вектор Б можна розкласти за цим базисом, тобто записати у вигляді
Б=а1а1+а2а2+...+апап
.
При цьому числа а. 1 , а. 2 , ... ,а. 11 називаються координатами вектора Б у цьому
базисі.
Приклад 2.1. Довести, що вектори а1= (2;1;О), а2 =(1;- !;2),
іі 3 =(2;2;-1) утворюють базис, та знайти координати вектора Ь=(3;7;-7) у
цьому базисі.
Розв'язання. Оскільки матриця, складена з координат цих векторів
І2]
-12,
2-1
має визначник
Л=ІАІ=2+4+О-О+1-8= - 1*О,
36

то вектори а 1
,
а2
,
а 3 лінійно незалежні, а значить утворюють базис в R 3
•
Вектор Б також належить R 3. Тому його можна записати у вигляді
Користуючись тим, що рівні вектори мають рівні відповідні координати,
розпишемо цю векторну рівність покоординатна у вигляді системи:
!2а1+а2+2а3_==3,
а1
-
а2 +2а3
-
7,
2а2-а3= - 7.
Розв'яжемо цю систему за правилом Крамера.
2
2 =3-14+28-14+7-12 =-2,
-7
2-1
232
7 2=-14+0-14
-
0+3+28=3,
О-7
-
1
213
Л3= 1 -1 7 =14+0+6-0+7-28== ·-1,
О2-7
-
1
а3 ==-==1.
-1
Огже, розклад вектора Б за базисом а 1 , і'і 2 , і'і 3 такий:
Б=2а1-3а2+а3,
причому у цьому базисі вектор Б має координати ( 2; -3; 1).
Відповідь: (2; -3; 1).
Найпростіший базис тривимірного простору такий:
Т==(І,о,О), ]==(О,1,О), k=(О,О,1).
Наприклад, вектор а= (ах• аУ' а z) за базисом 7, ] , k можна розкласти так:
37

Тоді
АВ·АС
COS<p=І 11 І
АВ•АС
(-З) •4+(-З) ·(-4)+6·8 48 2
з[б-4..jб
12=з,
<р = arccos.3."" 48,2°.
з
в) Знайдемо координати вектора а= ЗАВ- 2АС , а також координати та
модуль вектора ВС.
а= з. (-З,-3, б)- 2· (4, -4, 8) =(-9, -9, 18) +(-8, 8, - 16) = (-11, -1, 2).
ВС=(5+2,-1-О,4-2)=(7,-1,2), ІвсІ= ✓ 7 2 +(-1) 2 +2 2 =fs4 =3[6.
Тоді
-,
,•,-,
·,-, ' +,
3[6
Відповідь: а) cosa=- [б, соs/3=-Д, cosy= [б; б) ,,::48,2°; в)-~.
6
6
3
З
Приклад 2.3 . Знайти вектор .х, якщо він перпендикулярний до вектора
а= (2; -!; 4) і до осі Оу, утворює гострий кут із віссю Ох, і j.x І= Js.
Розв'язання. Нехай і= (х; у; z). Оскільки вектор .х перпендикулярний до
осі Оу, то у= О . Вектор .х буде утворювати гострий кут із віссю Ох тоді і лише
тоді, коли х > О . Крім того,
x.lii <=> 2x-y+4z=0,
lxl=Js <=> x2+y2+=2=s.
Таким чином, маємо систему:
{
2x+4z=O,
x2+z2=5,
х>О,
розв'язавши яку, знайдемо х = 2, z = - 1.
Відповідь: і= (2; О;-1) .
40

то вектори а 1
,
а2
,
а 3 лінійно незалежні, а значить утворюють базис в R 3
•
Вектор Б також належить R3 . Тому його можна записати у вигляді
Користуючись тим, що рівні вектори мають рівні відповідні координати,
розпишемо цю векторну рівність покоординатно у вигляді системи:
!2а1+а2+2а3_= 3,
а1
-
а2+2а3
-
7,
2а2-а3=-7.
Розв'яжемо цю систему за правилом Крамера.
Л1=
Л2=
з
2
7 -1 2 =3-14+28-14+7-12 =-2,
-7
2-1
232
1 7 2 = -14+0-14-0+3+28=3,
о-7
-]
2
З
-1
7 =14+О+6-О+7-28= --1,
О2-7
-
1
а3=-=1.
-1
Огже, розклад вектора Б за базисом а 1, а 2 , а 3 такий:
причому у цьому базисі вектор Б має координати ( 2; -3; 1) .
Відповідь: (2; -3; 1).
Найпростіший базис тривимірного простору такий:
Т=(І,О,О), ]=(О,1,О), k=(О,О,1).
Наприклад, вектор а= (ах, аУ' az) за базисом 1, ], k можна розкласти так:
37

Доведемо це:
аJ+ау]+аzk=ахСІ,О,О)+ау(О,І,О)+аz<O,О,1)=(аХ'аУ'аz)=а.
7. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
СІ(алярти,t добутком векторів а і Б називається число, яке дорівнює
добуrку модулів цих векторів на косинус кута q> між ними, тобто
Алгебраїчні властивості скалярного добутку векторів
1. а·Ь=Ь·а.
2. а.сь +ё)=а.Б+а.ё.
3. (аіі)·Ь =а(іі·Ь).
4. а.а=а2=ІаІ2•
Геометричні властивості скалярного добутку векторів
1. а.~ь <=> а-Б= о (умова перпендикулярності двох векторів).
_
а-Б
4. пріjа = rьг
а-Б
5. cosq,= ІаІ [ь1
Теорема 2.1 . Якщо іі = (ах, ау, az ), Ь =(Ьх, Ьу, bz), то
а.jj=ахьх+ауьу+аzьz.
Доведення. Розкладемо вектори іі, Ь за векторами Т , ] , k:
38

Вектори і , ] , k колінеарні відповідно координатним осям Ох, Оу, Oz.
Тому вони попарно перпендикулярні і згідно з умовою перпендикулярності
векторів і]=іk =] k =О. Оскільки модулі векторів і , j, k дорівнюють 1, то
згідно з четвертою алгебраїчною властивістю векторів і 2 =] 2 = k 2 =1 .
Враховуючи це, маємо:
ab=(aJ + ay]+azk)(bJ +by]+b,k) =
--
--
-2
+azbxk і +a,byk}+a,b,k =ахЬх+ауЬу+а,Ь, .
Теорему доведено.
Приклад2.2. Данотриточки А(І;З; - 4),В(-2;О;2),С(5; - 1;4).Знайти:
а) напрямні косинуси вектора АВ; б) кут ср між векторами АВ і АС; в) проекцію
вектора а = ЗАВ- 2.АС на вектор ВС.
Тоді
Розв'язання
а) Знайдемо координати й модуль вектора АВ .
АВ=((-2)-1,0-3,2+4)=(-3,- 3,б),
jлвj= ✓(-3)2+(-3)2+6 2 = [54 =з..jб.
Напрямні косинуси вектора а= (ах, ау, а,) обчислюються за формулами:
а
cosР=1;1
.
-3
.[б
cos/3= Г7 = --,
Зv6 б
б) Обчислимо координати й модуль вектора АС :
АС= (5-1, -1-3, 4 + 4) =(4,-4, 8),
39
г.-
6v6
cosy=--= --.
з.j7, з

Тоді
rp =arccos.3."" 48,2° .
3
в) Знайдемо координати вектора іі = 3АВ-2АС , а також координати та
модуль вектора ВС.
а =3-(- 3, -3,6)-2-(4, -4,8)=(-9, -9,18)+(-8, 8, - 16)=с-11, -1,2).
вс=(5+2, - 1-0,4-2)=(7,- І,2), ІвсІ=✓12+(-1)2+22 =fs4 =3j6_
Тоді
Відповідь: а) cosa =- fi cos/J =- jj _ cosr = fi ·б) ,,,,48 2°· в) _І9jб.
6'
6'
3'
'
'
3
Приклад 2.3. Знайти вектор .х, якщо він перпендикулярний до вектора
іі=(2; - 1;4) ідо осі Оу, утворюєгострийкутізвіссю Ох, і j.x\=-Js.
Розв'язання. Нехай х =(х; у; z). Оскільки вектор х перпендикулярний до
осі Оу, то у = О. Вектор .х буде утворювати гострий кут із віссю Ох тоді і лише
тоді, коли х > О . Крім того,
.х..Lа <=> 2х-у+4z=О,
lxl= -fs <=> x2+y2+z2=s.
Таким чином, маємо систему:
{
2x+4z=0,
x2+z2=5,
х>о,
розв'язавши яку, знайдемо х = 2, z =-1.
Відповідь: х=(2;О;-1).
40

8. ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
Векторним добутком вектора а на вектор Б називається вектор
ё =ах Б, який визначається трьома умовами:
1) модуль вектора ё дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах а
і Б , віднесених до спільного початку, тобто
lёl=iai • lьj-sinq7, де QJ=(9,Б)-кутміжвекторамиёііЬ;
2) вектор ё перпендикулярний до кожного з векторів а і Б;
З) якщо ё * О, то вектори а, Б, ё утворюють праву трійку векторів.
Упорядкована трійка некомпланарних векторів а, Б, ё називається
правою, якщо з кінця вектора ё найкоротший перехід від вектора а до вектора Б
ё
Б
ь
а
а
ё
Права трійка векторів.
Ліва трійка векторів.
видно проти годинникової стрілки; у протилежному випадку трійка векторів а,
Б, ё називається лівою.
Векторний добуток векторів позначають ще й так: [а Б].
Властивості векторного добутку векторів
1. а □ Б~ахЬ=О (умова паралельності двох векторів).
2. ахБ =-Бха .
з. лахБ =ахлБ = л(ахБ).
4. (а+Б)хё=ахё+Бхё.
41

іjf
ахБ= ах ау а,
ьхьуbz
Доведеиня. Розкладемо вектори а, Ь за векторами Ї , ] , k :
a=a.J + a y ]+a,f,
Враховуючи співвідношення
маємо :
ЇхЇ=]х]=kхk=О, Їх]=k, ]хЇ=-k,
Їхk= -], kxi = ], ] xk=i, kх]= -Ї,
ахЬ =(aJ + ay] + a,k)x(bJ + by] + b,k)=
=ахЬх(Ї х Ї) + ахЬу(Ї х])+ахЬ,(Їхk)+ауьхОхЇ)+ауЬу(]х])+
+ауЬ,(]хk)+а,Ьx(kхі)+а,Ьy(kх])+аzb,(kхk)=
=(ayb, - a,b y )i -(axb,-a,bx)J+(axby-aybx)i =
Теорему доведено.
Прию1ад 2.4 . Знайти площу трикутника з вершинами в точках A(l; 2; О),
В(З; О; - 3), С(5; 2; б).
Розв'яза1111я. Площа трикутника АВС дорівнює половині площі
паралелограма, побудованого на векторах АВ і АС. Оскільки
АВ=(2; - 2; - З), АС=(4;0;6),
і
АВхАС= 2
4
42
Jf
-
2 -з =- 12Т-24J+вf,
Об

ТО
11- -, 1.J
2
2
2
SЬлвс=2 АВхАС =2 (-12) +(-24) +8 =14 .
Відповідь: 14-кв . од.
9. МІШАНИЙ ДОБУТОК .ВЕКТОРІВ
Мішаним добутком векторів а, Ь, ё називається число (ах Б) -ё
(векторний добуток вектора а .на вектор Ь множиться скалярно на вектор с ).
Властивості векторного добутку векторів
1. При циклічній перестановці множників мішаний добуток не змінюється:
(ахь)-с =<Б хс)-а = (ёха)-ь.
2. У мішаному добутку знаки векторно го й скалярного добутків можна міняти
місцями:
(дхЬ)•с =д- (Ьхс) .
Унаслідок цієї властивості мішані добутки (д х Ь) •с а · (Ь х ё) позначають
більш простим символом : а Ь ё .
3. Якщо а Б ё >а, то вектори а, Е, с утворюють праву трійку, а якшо а Б ё <О,
то ліву.
4. Модуль мішаного добутку а Б ё дорівнює об'єму паралелепіпеда,
побудованого на векторах ї:і, Б, ё, віднесених до спільного початку.
5. Вектори ї:і, Ь, ё компланарні тоді і . лише тоді, коли _а Б ё =О (умова
компланарності трьох векторів).
Теорема2.3. Якщо ї:і=(ах,ау ,аz), b = (bx,by,bz), ё=(сх,су,с,),то
ахауaz
аьё=ьх Ьу ь,
ехСус,
43

10. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНІ
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Нехай пряма перетинає вісь Оу в точці В(О; Ь) і утворює з віссю Ох кут
у
: М(х,у)
'
а (0 < а < 1t, а*~). Візьмемо на прямій
довільну точку М(х, у). Тоді з
:
:
'
'
'
---------------,4 N(x,b)
ь
:
х
х
прямокутного
знайдемо
трикутника
MN у-Ь
tga = --= --.
NB
х
MBN
Тангенс кута нахилу прямої до
осі Ох називають кутовим коефіцієнтом прямої і позначають буквою k:
k=tga. Тоді k=у-Ь,або
х
у= kx+b.
Рівняння (2.1) називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.
Загальне рівняння прямої
Теорема 2.2 . Будь-яке лінійне рівняння
Ах+Ву+С=О (А 2 +В 2 *О)
є рівнянням деякої прямої.
(2.1)
(2.2)
Рівняння (2.2) називають загш~ьним рівнянням прямої. Якщо В* О, то
рівняння (2.2) можна розв'язати відносно у:
АС
у=--х---.
в
в
Звідси випливає, що кутовий коефіцієнт прямої (2.2) дорівнює k = - ~ .
44

Кут між двома прямими
Нехай дві прямі мають кутові коефіцієнти k1 = tga 1 , k 2 = tga 2 •
Як видно з рисунка, кут q> між цими
прямими дорівнює q> =а2 - а1 . Звідси
або
З цієї формули легко одержати умови
паралельності й перпендикулярності двох прямих /1 і /2 :
Рівняння прямої, що проходить через задану
точку і має заданий кутовий коефіцієнт
Виведемо рівняння прямої, що проходить через точку М1 ( х1 ; у1 ) має
кутовий коефіцієнт k. Запишемо рівняння шуканої прямої у вигляді
y=kx+b.
(2.3)
Оскільки точка М1 лежить на цій прямій, то її координати задовольняють
рівняння (2.3):
(2.4)
Віднімаючи від рівняння (2.3) рівняння (2.4), одержимо рівняння шуканої прямої:
(2.5)
45

Рівняння прямоУ. що проходить через дві задані точки
В1іведемо рівняння прямої, яка проходить через точки М1 ( х1 ; у1 )
М2 (х2 ; у 2 ) . Оскільки пряма проходить через точку М1 , то її рівняння можна
записати у вигляді (2.5), де k - невідомий кутовий коефіцієнт цієї прямої.
Оскільки точка М2 лежить на цій прямій, то її координати задовольняють
рівняння (2.5):
Звідси знаходимо k = У2 - Yi і підставляємо в (2.5):
Х:2-Х1
Останнє рівняння зручно записати так:
Х-Х1
у- УІ
Xz-ХІ У2-УІ
Рівняння прямої у відрізках
Складемо рівняння прямої, яка відтинає на вісі Ох відрізок а* О, а на осі
Оу -відрізок Ь*О . Такапрямапроходитьчерездвіточки А(а;О) і В(О;Ь) . Тому
у
х
її рівняння має вигляд
або
х-а у-0
О-а Ь-0'
Врешті шукане рівняння запишемо у
вигляді
46

Відстань від точки до прямої
Під відстанню від точки М0 (х0 ; у0 ) до
прямої
Ах+Ву+С=О
розуміють довжину d перпендикуляра,
опущеного на цю пряму з точки М0 . Ця
довжина визначається за формулою:
d- ІАхо+вуо+СІ
-
.fі2+ в2
Приклад 2.5 . Дано вершини трикутника АВС: А(б; 3) , В(-2; 5), С(5; 10).
Знайти рівняння сторони ВС, медіани СМ, висоти BN, довжину СМ і BN, кут при
вершині В. Зробити рисунок у декартовій прямокутній системі координат.
Розв'язання. Зробимо рисунок у декартовій прямокутній системі
координат:
в
-2О 2
56
х
Знайдемо рівняння сторони ВС як рівняння прямої, що проходить через
задані точки В(-2; 5) і С(5; 1О).
ВС:
х+2
5+2
у-5
10-5'
5(х + 2) = 7(у-5),
5х-7у + 45 =О
(ВС).
47

Щоб знайти рівняння медіани СМ, обчислимо спочатку координати точки
М, враховуючи, що точка М є серединою відрізка АВ, та скористаємося рівнянням
прямої, яка проходить через дві задані точки С і М:
Тобто М(2; 4), С(5;ІО).Тоді
СМ:
х-2 у-4
=
5-2 10-4'
6(х-2)=3(у-4),
2х-у=О
(СМ).
Для знаходження рівняння висоти BN використаємо умову
перпендикулярності прямих АС і BN:
І
kвN= ---.
Оскільки
kAc
Ус-УА 10-3
kAc =.С......:...---'---'--'-= -- = - 7,
Хс-ХА 5- 6
І
тоkвN= -
7
Запишемо рівняння висоти BN як рівняння прямої, що проходить через
точку В( -2; 5), та має кутовий коефіцієнт kвN
BN:
1
у-5=7-(х+2),
7(у-5)=х+2,
х - 7у+37=0 (BN).
7
Довжину СМ знайдемо як відстань між двома точками С ( 5; 1О) і М ( 2; 4):
Довжину BN будемо шукати як відстань від точки В( -2; 5) до прямої АС.
Для цього спочатку знайдемо рівняння прямої АС.
48

АС:
х-6 у-3
5-6 = 10-3'
7(х-6)=-(у-3),
7х+у-45 =О
(АС).
Тоді
BN= 17·(-2)+1·5 -451 54 _ 27 ✓2
~
7so--5- ·
Для знаходження величини кута при вершині В обчислимо кутові
коефіцієнти прямих АВ і ВС:
Тоді
5
tg jj = ±-k=Ав~--k~в~с_ = + _- _4~--7~ = +!!_
І+kлв·kвс - 1
_..!_ _~
-23
47
Враховуючи, що кут Ів гострий, знаходимо:
-
27
tgB = 23'
-
27
а
В=arctg23~49,б.
Відповідь: ВС: 5х-7у+45=О; СМ: 2х-у=О;BN:х-7у+37=О; СМ=
3✓5; BN == 27j2-; В ~ 49,6°.
11. ПЛОЩИНА В ПРОСТОРІ
Загальне рівняння площини
Візьмемо на площині а дві точки M 0 (x0 ;y0 ;z0 ), M(x;y;z) і виберемо
будь-який вектор n=(A,B,C), що не дорівнює
нулю і є перпендикулярним до цієї площини.
Довільний такий вектор п називається
нор.,нальним вектором площини .
49

Оскільки вектори іі М0 М взаємно перпендикулярні, то їх скалярний
добуток дорівнює нулю:
~-М0М =(А, В, С)-(х-х0 , у- у0, z-z0 ) =О,
або
(2.6)
Рівняння (2.6) називається рівнянням площини, яка проходить через
задану точ1<.у МO(х0 ; у0 ; z0 ) перпендикулярно до вектора іі = (А, В, С).
Якщо в рівнянні (2.6) розкрити дужки і позначити D = -А х0 - В у0 - С z0
,
то одержимо загш,ьне рівняння площини
Ax+ By + Cz+D=0.
(2.7)
Отже, всяка площина в прямокутній декартовій системі координат
визначається рівнянням першого степеня. Можна показати, що справедливе й
обернене твердження: усяке . рівняння першого степеня виду (2. 7) в прямокутній
системі координат визначає площину.
Неповні рівняння площини
1. Якщо D = О, то рівняння (2 .7) має вигляд:
Ах+Ву+Сz=О.
Це рівняння задовольняють координати точки 0(0;0;0) . Тому воно визначає
площину, яка проходить через початок координат .
2. Якщо А= О, то рівняння (2.7) має вигляд :
By+Cz+D = 0.
Оскільки нормальний вектор цієї площини іі = (О, В, С) перпендикулярний до осі
Ох, то це рівняння визначає площину, паралельну осі Ох. Аналогічно площина
Ах+ Сz + D =О паралельна осі Оу, а площина Ах + Ву+ D =О паралельна осі
Oz.
3. Якщо А = В = О, то рівняння (2. 7) набирає вигляду:
Cz+D=0.
50

З випадку 2 випливає, що це рівняння визначає площину, яка паралельна осям Ох
і О у, тобто площину, паралельну площині хОу. Аналогічно площина В у+ D = О
паралельна гmощині xOz, а rшощина Ах+ D = О паралельна площині yOz.
Рівняння площини, що проходить через три задані точки
Рівняння площини, яка проходить через три точки M 1(x1 ;y1;z 1 ),
х-х,
у-у\ z-z,
Х2-Х1 У2-У1 Zz- Z1 =0.
(2.8)
Х3-ХІ Уз
-
.Yt Z3-Z1
Рівняння площини у відрізках
Нехай площина відтинає на осях координат відрізки а * О, Ь * О, с *О,
тобто проходить через точки А(а; О; О), В(О; Ь; О), С(О;О;с). Підставляючи
координати цих точок у рівняння (2.8) і розкриваючи визначник, дістанемо
або
х-ауz
-а ЬО =0,
-
аОс
хЬс-аЬс+zab+уас=О,
~+L+~=I.
аЬс
Рівняння (2.9) називається рівнянням 1Vlощини у відрізках.
Кут між двома площинами. Умови паралельності й
перпендикушшності двох площин
Кут q> між двома площинами
A1x+B1y+C1z +D1 =0, (а1)
A 2x+B2y+C2z+D2 = 0 (а 2 )
(2.9)
можна знайти як кут між їх нормальними векторами іі 1 =(А 1 ,В 1 ,С1 )
51

іі1 ·іі2
А1А2+В1В2+С1С2
cosq, = І іі1І І п2І =[АГ+в?+с12 [А;+в;+с;'
flриклад 2.6. Скласти рівняння площини, яка:
а) проходить через точку М0 (2;-3;-1) перпендикулярно до вектора іі =
= (7; З;- 2);
б) проходить через точку М0 (5;- 4; З) паралельно площині xOz;
в) проходить через точки М1 (1;0;-2), М2 (1;3;1), М3 (4;1; - 2).
Розв'язання
а) Рівняння площини, яка проходить через задану точку М0 (х 0 ; у0 ; z 0 )
перпендикулярно до вектора п= (А; В; С), має вигляд (2.6). Підставивши в це
рівняння координати точки М0 (2; - З;
-
1) і вектора іі = (7; З; - 2), дістанемо
або
7(х-2)+З(у+3)- 2(z+1)=О,
7x+3y - 2z - 7=0.
б) Загальне рівняння площини, яка паралельна площині xOz, має вигляд
By + D=0.
Підставивши в це рівняння координати точки МO( 5; - 4; З), знайдемо
співвідношення між коефіцієнтами В і D:
B·(-4)+D =0 ⇒ D=4B.
Шукане рівняння площини матиме вигляд В у+ 4В =О або
у+4=0 .
в) Рівняння площини, що проходить через три точки M 1(x 1;y1; z1 ),
M2(x2 ;y2;z2
),
M3(x3 ;y3;z3
),
має вигляд (2.8). Підставляючи в це рівняння
52

координати даних точок і, розкриваючи визначник, знайдемо:
х-1 у-О
1-1 3-0
z+2
х-1 у z+2
4-1
1+2 =0,
о
1-0
- 2+2
з
9у- 9(z + 2)- З(х- І)= О,
(х-1)-Зу+З(z+2)=0,
x-3y+3z+5 =0.
зЗ=0,
о
Відповіді: а) 7x+3y-2z-7=0; б) у+4=0; в) x-3y+3z+5=0.
Приклад 2.7 . Визначити, за яких значень параметрів а і Ь площини
а) 2x+ay+3z-I=0 і 4x-y -bz=0 паралельні;
б) 3x+2y+az=0 і x-y+2z+5=0 перпендикулярні.
Розв'язання
паралельні тоді і лише тоді, коли виконується умова
Звідси
2а
3
-=-=-
⇒
4-І-Ь
а=-0,5,Ь=-6 .
перпендикулярні тоді і лише тоді, коли виконується умова
А1А2+В1В2+С1С2=0.
Для даних площин ця умова має вигляд:
3-1+2·(-І)+а·2=0.
Розв'язуючи це рівняння, знайдемо а:
3-2+2а=О ⇒ а=-0,5.
Відповіді:а)а= -0,5,Ь = -6; б)а= -0,5.

12. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ У ПРОСТОРІ
Загальні рівняння прямої
Пряму в просторі можна задати як лінію перетину двох площин
{АІх+вІу+сІz+DІ=о,
A2x+B2y+C2z+D2=O
(2 .1О)
за умови, що ці площини не паралельні і не зливаються. Рівняння (2.10)
називаються загальними рівняннями прямоlу просторі.
Канонічні рівняння прямої
Кожний вектор, що не дорівнює нулю, який лежить на даній прямій або
паралельний до неї, називається напрямним вектором цієї прямої.
Нехай s= (т, п, р) - напрямний вектор
прямої, M 0(x0;y0;z0) - фіксована точка прямої,
М(х; у; z) - довільна точка прямої. Оскільки
вектори М0М = (х-х0,у-у0, z-::0) і s =(m,n,p)
колінеарні, то їх координати пропорційні:
т
п
р
(2.11)
Рівняння (2.11) називаються канонічними рівняннями прямоі·у просторі.
Звідси
Параметричні рівняння прямої
Позначимо через t кожне з рівних відношень у рівняннях (2.11 ):
х-Хо=у-Уо =z-zo=t.
т
п
р
rХ=Хо +mt,
~y=y0+nt,
lz=z0+pt.
(2 .12)
Рі вняння (2.12) називаються параметричними рівняннями прямої, яка
проходить через задану точку M 0 (x 0 ;y0;z0 ) паралельно вектору s=(т, п,р).
54

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
Складемо рівняння прямої, що проходить через точки M I (x1;y1;z I )
M 2 (x 2 ;y2 ;z2 ). Нехай M(x;y;z) -довільна точка прямої. З умови М1 М 11 М1 М2
дістанемо
Х-Х1 = у-уІ
=~
Х2-Х1 У2-уІ 22-Z1
Кут між двома прямими.
Умови паралельності й першендикулярності двох прямих
Кут q> між двома прямими
можна знайти як кут між їх напрямними векторами s1 = (т1 , п1 , р1 )
s2 =(т2 ,п2 ,р2 ),тобто
Приклад 2.8 . Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через
точку М0 (3; 2; - 4) паралельно:
а) осі Ох;
{
x=4-t
б) прямій у= 3+ 2;,
z=5-6t;
в) прямій,щопроходитьчерезточки М1 (3;2;2) і М2 (-1;3;4).
5:5

Розв'язання
а) Канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку M0 (x 0 ;y0 ;z0 )
паралельно до вектора s = (m, п,р), мають вигляд (2.11). Оскільки за напрямний
вектор осі Ох можна узяти вектор s = Т = (1; О; О), то шукані канонічні рівняння
матимуть вигляд :
x-3=y-2=z+4
І
О
О
б) Напрямний вектор прямої {::з\-;;, такий: s= (- 1; 2; - 6). Тому
z=5-61
шукані канонічні рівняння мають вигляд:
х-3 у-2 z+4
--=--=
-
-
!
-2
б
в) За напрямний вектор прямої, яка проходить через точки М 1 (3; 2; 2) і
М2 (-1;3; 4), можна узяти вектор s =М1 М2 = (- 4; 1; 2). Цей вектор s буде також
і напрямним вектором шуканої прямої. Тому канонічні рівняння шуканої прямої
будуть такими:
х-3 у-2 z+4
-
-=
--=--
-
4
І
2
х-3 у-2 z+4
х-3 у-2 z+4
Відповіді: а) - 1
-
=-
0-
=-
0-;б)-1
-
=~==-
6-;
х-3
в)-4=
у-2 z+4
-
-= --
!
2
56

13. ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Загальним рівнянням другого степеня називається рівняння
Ах2+Вху+Су2+Dх+Еу+F=О,
(2.13)
де А 2 + В 2 + С 2 * О. На площині хОу рівняння (2.13) може визначати лінії
другого порядку (коло, еліпс, гіперболу, параболу), а також дві пр~мі, одну пряму,
точку або не визначати жодної точки.
Ко:!!о
Колом називають геометричне місце точок площини рівновіддалених від
фіксованої точки - центра кола.
у
Виведемо рівняння кола радіуса R з центром у точці С(.хо; у0 ). Точка
х
М(х, у) лежатиме на колі тоді і лише тоді, коли
Підносячи обидві частини цього рівняння до
квадрата, одержимо рівняння
(2.14)
Якщо центр кола міститься в початку координат, то Хо = у0 = О і рівняння
(2.14) матиме вигляд:
х2+у2 =R2.
(2.15)
Рівняння (2.15) називається канонічним рівиянням кола.
Еліпс
Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней .
яких до двох даних точок (фокусів) є величина стала, більша ніж відстань між
фокусами.
Виведемо рівняння еліпса, фокуси якого F 1 F2 розташовані на осі Ох
симетрично відносно початку координат.
57

Відстань
між
фокусами позначимо через
2с. Тоді точки Fj і F2
матимуть
координати
А2(а;О) х (-с; О) (с;О). Нехай
М(х, у) - довільна точка
еліпса. Тоді
r2 =F2 M= ✓(x-c)2 +y2,
де r 1 , r2 - фокальні радіуси точки М. За означенням еліпса r1 + r 2 = 2а або
✓(х+с)2 +у2 + ✓(х-с)2 +у2 =2а.
Далі будемо спрощувати це рівняння:
.J(х-с)2+у2 =2а-✓(х+с)2 +у2,
х2-2хс+с2+у2 =4а2-4а✓(х+с)2+J +J +2хс+ J+у,
сх+а2 =а✓(х+ с)2 + у2,
с2х2 + 2а2сх+а4 =а2(х2+2сх+с2 +у2),
(а 2 -с2)х2 + а 2у2 =а2(а2 -с),
х2 у2
-2+-2--2=l.
а
а-с
Оскільки а> с, то величина а 2 - с 2 додатна. Позначимо її через Ь 2 . Тоді
одержимо рівняння
х2 У2
-+-
· -=1
а2ь2,
(2.16)
де Ь 2 =а 2 - с 2 . Рівняння (2.16) називається канонічни.м рівнянням еліпса.
58

Еліпс, який визначається рівнянням (2.16), симетричний відносно осей Ох,
Оу, а також відносно точки 0(0;0), яку називають центро;н еліпса. Еліпс
перетинає осі координат у точках Ai(-a; О), А 2 (а; О), В 1 (0; -Ь), В 2 (0; Ь). Ці
точки називають вершинами еліпса.
Величини А 1 А 2 = 2а й В 1 В 2 = 2Ь називають відповідно великою та малою
осями еліпса, а числа а і Ь - великою й мшzою півосями еліпса.
Величину
с
Є=-
а
називають ексцентриситето;н еліпса. Оскільки
О :5 с <а, то О :5 є< І. Ексцентриситет характеризує відхилення еліпса від кола.
Якщо є= О, то а = Ь і еліпс перетворюється у коло. Якщо є наближається до
одиниці, то еліпс усе більше розтягується вздовж осі Ох.
Приклад 2.9 . Встановити, що рівняння
4х 2 +9у 2 -8х+54у+49=0
визначає еліпс, і знайти його центр С, півосі, ексцентриситет. Зробити рисунок у
декартовій прямокутній системі координат.
Розв'язання. Виділяючи за змінними х та у повні квадрати, дістанемо
4(х2-2х+ 1)-4 + 9(у 2+ бу+ 9)-81 + 49 =О,
4(х-1)2 +9(у+З)2 = 36,
(х-1)2 + (у+ 3)2 =І.
9
4
Це рівняння визначає еліпс, центр якого знаходиться у точці С( І; - 3).
Півосі еліпса дорівнюють а= 3, Ь = 2. Оскільки c=.J а2 -Ь2 =.J 32-22 = ✓5, то
с .Js
ексцентриситет еліпса дорівнює є = - =
-
.
а3
59

Зробимо рисунок у декартовій прямокутній системі координат.
-2: -1
у
о
-І --
,
-2
'
'
'
'
'
2з4:
'
'
'
'
'
'
'
'
'
:с
І
_____
_
_
-з -- --~
--- -----------
,
'
-4
-5
-
Відповідь:С(І;- 3), а=3, Ь =2, в= ,Js.
з
Гіпербола
х
Гіперболою називасrься геометричне місце точок площини, абсолютна
величина різниці відстаней яких до двох даних точок (фокусів) є величина стала,
менша від відстані між фокусами.
Нехай фокуси гіперболи Fj і F2 розташовані на осі Ох симетрично
відносно початку координат. Відстань між фокусами Fj F2 позначимо через 2с, а
модуль різниці відстаней від довільної точки гіперболи М(х;у) до фокусів
позначимо через 2а. За означенням а< с. Точка М(х;у) лежить на гіперболі тоді
ілишетоді,колиIF1М - F2мІ=2а або
I.J(x+c)2 + у2 - . J(x-c)2 + у21 = 2а.
Спрощуючи це рівняння аналогічно тому, як це робили для еліпса,
дістанемо канонічне рівияння гіперболи:
х2 у2
---=І
а2 ь2
(2.17)
60

у
В2 (0;Ь)
---
--
х
де Ь2 =с2 - а2 . Ця гіпербола маєтакий вигляд:
Прямокутник зі сторонами 2а і 2Ь, показаний на рисунку, називається
основним прямокутником гіперболи.
Точки А 1 (-а; О), А 2 (а; О) нюиваються верzиинами гіперболи. Відрізок
А 1 А 2 і його довжину 2а називають дійсною віссю гіперболи, а відрізок В 1 В 2 і
його довжину 2Ь - уявною віссю. Величини а і Ь називають відповідно дійсною
й уявною півосями гіперболи .
•ь
.
ь
Прямі у= - х I у= - - х, які проходять через вершини основного
а
а
прямокутника, називаються асимптотами гіперболи. Точка 0(0;0), в якій
перетинаються асимптоти, називається центром гіперболи .
Число Е =3- . > І називається ексценриситетом гіперболи.
а
х2 у2
Гіпербола - - -
=-І
називається спряженою з гіперболою (2.17) (на
а2 ь2
рисунку вона показана пунктиром).
Приклад 2.10. Встановити, що рівняння
х 2 -4у 2 +4х-8у-4=0
визначає гіперболу, знайти її центр С, півосі, ексцентриситет, рівняння асимптот.
Зробити рисунок у декартовій прямокутній системі координат.
61

Розв'язання. Виділяючи повні квадрати за змінними х та у, одержимо
(х2 + 4х+4) - 4-4(/ +2у+ І)+ 4-4= О,
(х+2)2 - 4(у+І) 2 =4,
(х+2)2 (у+1)2 =І.
4
І
Це рівняння визначає гіперболу, центр якої знаходиться у точці
С(-2;-1) . Півосі гіперболи: а = 2, Ь =І . Ексцентриситет дорівнює
c=~ =.Ja2+b2=.J4+I= .js
а
а
2
2
Ь
І
Рівняння асимптот: у+ І = ±-(х+ 2), у+ 2 = ±-(х+ 2) або
а
2
х-2у=0 і х+2у+4=0.
Зробимо рисунок.
у
х
Відповідь: С(-2;-1), а= 2, Ь = \, с = .Js, х - 2у =О, х+2у+4=0 .
2
62

Парабола
Параболою називається геометричне місце точок площини, кожна з яких
знаходиться на однаковій відстані від даної точки (фокуса) і від даної прямої
(директриси) .
Фокус параболи позначають буквою F, а відстань від фокуса до
директриси - буквою р . Число р називають параметром параболи.
_f !_
2
Виведемо рівняння параболи, розташованої так, як на рисунку.
f!_
2
х
Точка К має координати ( - ~; у). Точка
М(х;у) лежатиме на параболі тоді і лише
тоді, коли FM = МК, або
звідки
у2 = 2рх.
(2.18)
Рівняння (2.18) називають канонічним
рівнянням параболи.
Парабола має одну вісь симетрії,
яку називають віссю параболи. Парабола
перетинає свою вісь в єдиній точці, яку називають вершиною параболи. Дамо
зображення інших парабол :
у
х
у2 =-2рх
у
--- --- '?-,1-"' --- --
х
___._...__ _
х2 =2ру
63
у
х
х2 =-2ру

Зауваження. Якщо лінія другого порядку описується рівнянням
F(x; у),=0 і має центр або вершину в точці 0(0;0), то лінія F(x-x0 ;y- у0 )=0
матиме центр або вершину в точці (х0 ; у0 ) .
Задачі до теми 2
1. Дано дві координати ах• а У вектора а=(ах; ау; а,) і його модуль І аІ.
Знайти його третю координату а z.
2)ах=І6, ау=15, ІаІ=25.
1
2. Дано вектори а= (2; - 4; 6) і Б= (І; 2;- 2). Знайти модуль вектора ё .
І)ё=2а-Б.
2) ё=за+Б.
3. Дано координати трьох вершин паралелограма ABCD. Обчислити
напрямні косинуси вектора BD.
1) А(З;-- 1),В(2;2),С( -2; 1).
2)А(3;З;9),В(1;2;З),С(З;4;9).
4. Дано три точки А, В, С. Знайти кут q, між векторами АВ та АС і
проекцію вектора іі на вектор ВС.
1) А (1; 2), В(З; 4), С (5; 2), а=2АВ+АС.
2) А(-1;-2; 1), В(2; 2; 1), C(S;-2; 9), а =АВ+2АС .
5. Знайти вектор х, якщо він:
1) колінеарний вектору а= (-1; 2; 1), має довжину 2../6 і утворює з віссю Oz
тупий кут;
64

де Ь2 = с2 - а2. Ця гіперболамаєтакийвигляд:
Прямокутник зі сторонами 2а і 2Ь, показаний на рисунку , називається
основним прямокутником гіперболи.
Точки А 1 (-а; О), А 2 (а; О) на.1иваються вершинами гіперболи. Відрізок
А I А 2 і його довжину 2а називають дійсною віссю гіперболи, а відрізок В I В 2 і
його довжину 2Ь - уявною віссю . Величини а і Ь називають відповідно дійсною
й уявною півосями гіперболи .
Прямі
•ь
.
ь
у= - х I у= - - х, які проходять через вершини основного
а
а
прямокутника, називаються асимптотами гіперболи. Точка 0(0;0), в якій
перетинаються асимптоти, називається центром гіперболи .
Число є=:!...> І називається ексценриситетом гіперболи.
а
х2 у2
Гіпербола - 2
-
-
2=-І
називається спряженою з гіперболою (2.17) (на
аЬ
рисунку вона показана пунктиром).
Приклад 2.10 . Встановити, що рівняння
х 2 - 4у 2 +4х-8у-4=0
визначає гіперболу, знайти її центр С, півосі, ексцентриситет, рівняння асимптот.
Зробити рисунок у декартовій прямокутній системі координат.
61

Зауваження. Якщо лінія другого порядку описується рівнянням
F(x; у)= О і має центр або вершину в точці 0(0;0), то лінія F (х -х0 ;у- у0 ) =О
матиме центр або вершину в точці (х0 ; у0 ).
Задачі до теми 2
1. Дано дві координати а,.., ау вектора а=(ах; ау; az) і його модуль Jaj.
Знайти його третю координату а z.
2. Дано вектори а = (2; - 4;6) і Ь = (1;2; - 2). Знайти модуль вектора ё.
1)ё=2а-Б.
2)ё=За+Б.
3. Дано координати трьох вершин паралелограма ABCD. Обчислити
напрямні косинуси вектора BD.
І) А(З;--1), В(2; 2),С( -2; 1).
2)А(3;З;9),В(1;2;З),С(З;4;9).
4. Дано три точки А, В, С. Знайти кут <р між векторами АВ та АС і
проекцію вектора а на вектор ВС.
1) А(1;2),В(3;4),С(5;2), іі = 2АВ+АС.
2) А(-1;-2;1),В(2; 2;1),С(5;-2;9), д=АВ+2АС.
5. Знайти вектор х, якщо він:
1) колінеарний вектору а= (-1; 2; 1), має довжину 2.../6 і утворює з віссю Oz
тупий кут;
64

2) перпендикулярний до векторів а= (І; 2; - З), Ь =(2; І; - 6) та задовольняє
умову Х·(Ї -]+2k)=5;
З) задовольняє умови х·(2Ї - J+3k)=I, х·(Зі + J+k)=3 і перпендикулярний до
осі Ох.
6. Довести, що вектори а; утворюють базис, та знайти координати вектора
Б у цьому базисі.
1) Zi1=(2; -1), Zі2=(З; 2.), b=(l; -4).
2) а1=(1; 2; З), а2=(2; 2; 1), й3=(-3; 2; -1), Ь=(-7; О; 2).
З) й1 =(3; -1; 1), а2 =(-1; 1; -2), й3 =(1; 2; -3), Ь=(-7;
-1; \).
7. Скласти рівняння прямої, яка проходить:
1) через дві точки А(З; 1) і В(-1; 4);
2) через точку А(7;-1) паралельно прямій х+ 2у+ 2 =О;
З) через точку А(-2;1) перпендикулярно до прямої 3х-2у+4=0;
4) через точку А(2;-1) під кутом 45° до прямої 4х+ 3у+ І= О .
8. Знайти значення параметра а , при якому:
І) точка А(4; - 3) лежить на прямій 3х-ау+ 5 =О;
2) прямі ах+2у-2=0 і 4х+ у=О паралельні;
3) прямі 2х-ау+3 =0 і 3х- у+ 2 = О перпендикулярні.
9. Знайти точку Q, симетричну до точки Р(2; 5) відносно прямої, що
проходить через точки А (1; 2) і В (5; 4).
10. Дано вершини трикутника А(-3; 1), В(-2; 8) і С(2; 2). Знайти рівняння
медіани АМі висоти BD, довжину АМ і BD, кут при вершині С. Зробити
рисунок в декартовій прямокутній системі координат.
65

11. Скласти рівняння площини, яка:
1) проходить через точку М0 (2; З; -1) перпендикулярно до вектора
п=(1; -2; З);
2) проходІПь через точку Мо(-2; 4; 1) паралельно площині хОу;
З)проходитьчерезточкиМ1 (0; 2; 1),М2 (1; - 1; О),Мз(2; 1; 1).
12. Визначити, за яких значень а і Ь площини
1) ax+2y-bz +5 = 0 7x - y+3z-2 =0 паралельні;
2) 2x+ay-3z+2 = 0 2х+ y+2z+5=0 перпендикулярні .
13. Знайти відстань між паралельними площинами
2x-y+2z+l=O
2x-y+2z+9 =0 .
14. Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку
Мо(1; -2; З) паралельно:
1)
2)
З)
4)
5)
вектору s = (З; 2; -1);
._х+3 у-І z+2
прямtи - 2
-
=-=з=-
4-;
осі Оу;
1Х= 2+3(,
прямій у=-3+2t,
z=5-5t;
прямій, що проходІПь через точки М1 (2; 1; 1) і М2 (3; З; 5) .
15. Визначити, який геометричний образ визначає кожне рівняння . Для
кола знайти uентр С і радіус R; для еліпса - uентр С, півосі, ексцентриситет; для
гіперболи - uентр С, півосі, ексцентриситет, рівняння асимптот; для параболи -
вершину А, параметр р, рівняння директриси. Зробити рисунок у декартові й
прямокутній системі координат:
66

З) 2х2+у2+4х+2=0;
4) х2+2ху+4х=О;
5)4х2+9у2-36=О;
6) х2+4у2-2х+8у+І=О;
7) 9х2 -25у 2 -225=0;
8) х2-4у2+2х-3=0;
9) у 2 -2х-4у+2=0;
10) у 2 +6х+2у+\9 = 0.
Відповіді до задач теми 2
1. 1)±3; 2)±12.
2. 1) -/305; 2) 9../5.
4. 1) ~, 2- .fi .; 2) arccos0,36, IS?,,/89
4
89
5.1)(2; -4; -:-2); 2)(З; О; 1); З)(О; 2; 1).
6. 1)(2; -1); 2)(2; -3; 1); З)(-1; 2; -2).
7. 1) Зх+4у-13=0; 2) х+2у - 5=0; З) 2х+Зу+І=0; 4) х+7у+5 = 0,
?х-у-15=0.
8.1)-І;;2)8;З)-б.
9. Q(4; І).
17../26
17
10. 4х-3у+І5=0, 5х+ у+2=0, 5,
-
1-3
-, arctg7 .
11.1) x-2y+3z+7=0; 2) z-1 = 0; 3) x+2y-5z+l=0.
67

12.1)а=-14,Ь=б; 2)а=2.
13. 8/3 .
14.1)~= -!_=y+~=z-l . 2)x - l = y + 2=z-3 . 3)xo-1=y+l2=z-O~'.
4)
3
2
-)'
2
-
3
4'
x-l
_y+2_z
-
3. 5)х-І=у+2_3-З_
3
2
-5'
І
2
4
15. 1) Коло, С( -2;3), R = 2; 2) рівняння не визначає геометричного образу;
З) точ ка (-1;0); 4)прямі х=О, х+2у + 4 = 0; 5)еліпс, С(О;О), а=3, Ь=2,
є=!;;6)еліпс, С(];-І),а=2, Ь=І, є=~; 7)гіпербола,С(О;О),а=5,
.Jз4
3
Ь=3 є=-- у=±-х·
'
5'
5'
.
fs
8) rшербола, С(-1;О), а=2, Ь =l, є=2 ,
І
у=±-х; 9) парабола, А(-1;2), р= І, х = -1,5; 10) парабола, А(-З;-1),
2
р=3,Х=-\,5.
68

Тема З. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
1. ГРАНИЦЯ числовоіі ПОСЛІДОВНОСТІ
Числовою послідовністю називається занумерована множина чисел,
розташованих у порядку зростання їх номерів:
або
{ап},п=І,2,З, ....
Послідовність, що складається зі скінченної множини чисел, називає-rься
скінченною, а послідовність, яка складається з нескінченної множини чисел, -
нескінченною. Ми будемо розглядати лише нескінченні послідовності.
Числова послідовність називається мопотонно зростаючою (спадною),
якщо кожний її член, починаючи з другого , більший (менший) від попереднього,
тобто
Числова послідовність називається обмеженою зверху, якщо вс і її члени
менші від деякого •шела М :
п=І,2,3, ... .
Числова послідовність називається обмеженою знизу, якщо всі її члени
більші від деякого числа т:
m<a,.,
11= 1,2,3, ... .
/
Числова послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена
зверху, ізнизу,тобто
п=І,2,3, ....
Число а називається границею числової послідовності {а 11 }, якщо для
довільного числа Е > О існує такий номер N = N(є), що для всіх номерів п> N
виконується нерівність
Остаиня нерівність еквівалентна подвійиій нерівності
Це означає, що число а" належить інтервалу (а - Е, а + є), який називається
69

а-є
а
а+є
х
є-околом точки а. Тому наведене означення границі можна сформулювати
інакше, надавши йому геометричної наочності: число а називається грапицею
числовоr послідовності {а п}, якщо в довільний є -окіл числа а попадають всі
члени послідовності, починаючи з деякого номера, який залежить від величини є.
Якшо число а є границею послідовності {а п}, то пишуть
Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, яка
не має границі, називається розбіжною.
Справедливі такі твердження:
І) числова послідовність не може мати більше ніж одну границю;
2) усяка монотонно зростаюча (спадна) і обмежена зверху (знизу) числова
послідовність збіжна.
Кажуть, що послідовність {а п} прямує до нескінченності, якшо для
довільного числа М > О існує такий номер N = N(М), що для всіх номерів п> N
виконується нерівність І апІ > М. При цьому пишуть
Властивості границь
Якшо існують і скінченні границі lim ап і lim Ьп , то
n➔co
n➔co
1. limсап=с\imап, де с=const,
n➔oo
n➔a:,
2. lim(ап±Ь,,)=limап±limЬп,
n➔co
n➔Ф
n➔co
3. limа,1•Ь,, =limа,,•limа,1,
п➔«>
n➔oo
n➔oo
\im а,,
4. lim а,,=~, якщо lim Ь,, * О.
n➔co Ьп \im Ь"
n➔co
n➔co
70

2. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ
Нехай функція у= f(x) визначена в деякому околі Х точки а, крім,
можливо, самої точки а .
Число А називають границею функції у = f(x) у точці а (або при
х ➔ а), якщо для довільного числа Е>О існує число б = б(є)>О таке, що для
всіх х є Х , які задовольняють нерівність
виконується нерівність
jf(x)-A\<є.
При цьому пишуть
lim /(х)= А
(3.1)
X➔Q
З геометричної точки зору запис (3.1) означає, що дпя всіх точок х, досить
близьких до точки а, відповідні значення функції у= f(x) як завгодно мало
відрізняються від числа А.
У наведеному означенні границі функції числа а
нескінченними. Тоді пишуть
lim f(x) = А,
lim f(x) = +оо
х➔ ...,,,
х➔а
А можуть бути
т.д.
Для кожного такого випадку наведене вище означення треба відповідним чином
змінити . Наприклад,
lim f(x) = +оо,
х➔ оо
якщо дпя довільного числа М > О існує число N = N(М) > О таке, що для всіх х,
які задовольняють нерівність jx j> N, виконується нерівність /(х) > М.
Наводити всіх таких означень не будемо.
До цього часу вважалося, що х ➔ а довільним чином, набуваючи значень
менших або більших від а . Проте в деяких випадках спосіб наближення х до а
суттєво впливає на значення границі., Тому вводять поняття односторонніх
границь.
71

Число А називаєгься границе!.() функції у= f(x) зліва (або лівою
границею) в точці а, якщо для довільного числа є>О існує число о=о(є)>О
таке, що для всіх х є Х, які задовольняють нерівність а - о < х < а, виконуєгься
нерівніст1, І f(x)- А І < в
. При цьому
пишуть
f(a-0)= lim f(x)=А.
х➔ а-О
Число А називаєгься границею функції у = f(x) справа (або правою
границею) в точці а, якщо для довільного числа є> О існує число о= о(є) > О
таке, що для всіх х є Х, які задовольняють нерівність а < х <а+ о, виконуєгься
нерівність Іf(x)-АІ<є
. При цьому пишуть
f(a+О)= lim /(х)=А.
х➔ а+О
Для того, щоб число А було границею функції у= f(x) при х ➔ а,
необхідно й достатньо , щоб односторонні границі /(а - 0) і /(а+ О) існували й
дорівнювали А.
Приклад3.1
У
y=f(x)
А2 -- --------1 ~
А, ----------V
а
х
f(a - 0)=А2,
f(a+O) = А1 •
Властивості границь функцій аналогічні властивостям границь
послідовностей .
3. НЕСКІНЧЕННО МАЛІ І НЕСКІНЧЕННО
ВЕЛИКІ ВЕЛИЧИНИ
Функція а (х) називаєгься нескінченно мwzою величиною (нескінченно
мwzою функцією) при х ➔ а, якщо
lim а(х)=О;
х➔а
72

функція /J (х) називається нескінченно великою величиною (иескінченно
великою функцією) при х ➔ а, якщо
lim /J(x) =оо
х➔а
(в цих означеннях а може дорівнювати оо, -оо, + оо або скінченому числу) .
Нескінченно малі при х ➔ а величини а 1 (х) і а 2 (х) називаються
еквівалентними при х ➔ а, якщо
lim ai(x) =І .
:на а2(х)
Еквівалентність позначають так: а 1 (х) - а 2 (х). Можна довести, що при х➔ О
І.sinх-х;
2. tgх-х;
З. arcsinx-x;
4. arctgx - х;
х2
5. 1-cosx-- ·
2,
х
8. log 0 (1+x)--;
lna
9. ln (l+x)-x;
10. (l+x)a -І-ах, а>О .
Перша з цих еквівалентностей означає, що
І. sinx 1
1m --=
х➔О Х
(цю формулу називають першою важ:ливою (чудовою) границею).
4. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ
У найпростіших випадках обчислення границі lim f(x) зводиться до
х➔а
підстановки у функцію f(x) граничного значення аргумента, наприклад
lim cos х = cos л:= - І . Проте часто така підстановка приводить до невизначених
x➔ J(
виразів, зокрема, таких :
73

1) невизначеність виду 00 (відношення двох нескінченно великих величин);
оо
)
.
о(.
.
2 невизначеюсть виду - вщношення двох несюнченно малих величин);
о
3) невизначеність виду О • оо (добуток нескінченно малої величини на
нескінченно велику);
4) невизначеність виду оо-оо (різниця двох нескінченно великих величин);
5) невизначеності виду о 0 , 00°, 1"'.
Операцію обчислення границі у цих випадках називають роз«риттям
невизначеності. Розглянемо деякі способи розкриття невизначеності.
1.
оо
Невизначеність виду - задана відношенням двох многочленів.
оо
Такі невизначеності можна розкривати за правилом:
!О, п<т,
.
а0хп+а1х"-1 +...+ап ао
\1m ----------- =
-,
п= т,
X➔<t>ЬOХ111+ЬІХm-l + ...+Ь111 ЬО
оо,
п> т.
Приклад 3.2 . Обчислити границі
3х+4
а) \im
2
,
х➔"' 2х +7х-9
б)lim 3х2+4 ;
х➔"' 2х2 +7х-9
3х3 +4
в) lim --,- -- --.
х➔"' 2х 2 +7х-9
Розв'язання. Користуючись правилом (3.2), легко знаходимо:
а) lim 3 х+ 4 ={.:::.}=о·
х➔"'2х2+7х-9 оо
'
б)Ііm 3х2+4 ={ оо }=і ;
х➔"' 2х2+7х-9 оо 2
•
3х3+4
{оо}
в) \1111 --,, - ---=
-
=ОО.
х➔"' 2х2+7х-9 оо
Відповіді: а) О; б) 3
2
в) оо.
74
(3.2)

2.н
:
о
.
.
евизначешсть виду - задана вщношенням двох многочлен1в.
о
Noиклад З.З. Обчислити границю
І. х2-4
Іm2
.
х➔-2 х +х-2
Розв'язання. Оскільки
lim (х 2 -4)=0,
lim (х 2 +х-2)=0,
х➔-2
х➔-2
о
то маємо невизначеність виду 0 Щоб її розкрити, розкладемо чисельник
знаменник на множники:
х 2 -4=(х+2)(х-2),
Скорочуючи на (х + 2), маємо
х 2 +х-2=(х+2)(х-І).
х2 -4
lim-2
---
х➔-2 х +х-2
в..4
ІДПОВІДЬ: - .
з
{ о} 1· (х+2)(х-2)
-
1m
О х➔-2 (х+2)(х-1)
.
х-2 -2-2 4
l1m --= --=-.
х➔-2 х-1 -2-1 З
Множник (х-а), через який чисельник і знаменник прямують до нуля,
називають критичним множником. Отже, щоб розкрити невизначеність виду .О.,о
задану відношенням двох многочленів, треба скоротити дріб на критичний
множник.
зн
.
о
.
.
.
евизначен1сть виду Oзадана 1рращональними виразами.
Приклад 3.4. Обчислити границю
І. Гх+"б-з
1m2
.
х➔З х -2х-3
Розв'язання. Для обчислення границі помножимо й поділимо дріб на
вираз, спряжений з чисельником, а потім розкладемо на множники знаменник і
чисельник і скоротимо на критичний множник:
75

1.
~ -3 {о} 1. , (~-3)(-.{х+б+3)
х~х 2 -2х-3 = О = п~(х-3)(х+І)(-.{х+6+3) =
\.
х+6-9
•
1.
І
= 1m-------=
= 1m----== ~-
х➔З(х -3)(х+ l)(.jx+6 +З) х- ➔ З(х+ 1)(,Jx+6 +3)
І
Відповідь:
24
1
-----.==~- =
--=
-
(З+ 1)(.j3+6 +3) 4-6 24
4н
.
о
.
евизначешсть виду
Oзадана тригонометричними виразами.
Такі невизначеності найчастіше розкривають, використовуючи еквівалентність
нескінченно малих величин.
Приклад 3.5 . Обчислити границю
.tg2Зх
lim--~---
x➔O sin 2х •arctg 6х
Розв'язання. При х ➔ О
tg3x - Зх, sin 2х - 2х, arctg6x - 6х.
Замінюючи нескінченно малі величини еквівалентними їм величинами, дістанемо:
lim .
tg 2Зх
= {~} = lim (3х)2 =і_
х➔Оsin2х •arctg6х
О х➔О2х•6х 4
з
Відповідь:
4
5. Не.визначеність виду 1"' розкривають за допомогою формули:
(
х
І
lim І +J..). = lim (І+ х); =е,
х➔ сх,
Х
х➔О
(е=2,718... -
ірраціональне число),
яку називають другою ва:нсливою (чудовою) границею.
Приклад 3.6 . Обчислити границю
І. х+
(5)
Зх+2
1m --
х➔«> х+З
76

Розв'язання. Використовуючи другу важливу границю, дістанемо
.
2(3х+ 2)
lim(x+S)зx+2 ={І"'}= Ііm[(1+-_3_)х;з]~ = lim е\":34 =е6.
х➔оо х+3 .
х➔оо
х+3
х➔ оо
Відповідь: е 6 •
5. НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ
Функція у= f(x) називається неперервною в точці х= а, якщо вона
визначена в деякому околі точки а і
lim f(x) = f(a).
Х➔й
Це означення містить три умови неперервності:
1) функція у= Л х) повинна бути визначеною в деякому околі точки х =а
(включаючи саму точку а);
2) повинні існувати скінченні границі зліва f(a-0) = lim л~
,\➔а-{)
справа
f(a+O)= Jim /(~;
.\'->(Ж)
3) повинна виконуватися умова f(a-0) = f(a+O) = j(a).
У тих точках, в яких не виконується хоча б одна з цих умов, функція має
.
.
розрив. Розрізняють точки розриву першого та другого роду.
Якщо існують скінченні односторонні границі f(a - О) і j(a +О) , причому
не всі три числа f(a -0), j(a +О), f(a) рівні між собою, то розрив у точці а
називають розривом першого роду, а точку х= а - точкою розриву першого
роду. Зокрема, якщо f(a-0)=f(a+0)*Лa), то розрив у точці а називається
усувним, а точка х= а називається точrшю усувного розриву. У цьому випадку
досить довизначити функцію лише в одній точці х =а, поклавши f(a) = f(a ±0),
щоб дістати функцію, неперервну в точці а. Величину
d=!Лa+0)-f(a-0)i
називають стрибком функці'І у точці х =а . Для усувного розриву d = О.
'
77

Якщо хоча б одна з односторонніх границь f(a--0), f(a+O) не існує або
дорівнює нескінченності, то розрив у точці х = а називається розривом другого
роду, а сама точка х = а - точкою розриву другого роду.
Приклад 3.7 . Функція у = f(x), графік якої зображено на рисунку,
х
в точці х1 має розрив першого роду усувний, в точці х2 - розрив першого роду
типу стрибка, в точці х3 - розрив другого роду.
Справедливе таке твердження: якщо функції /(х) і g(x) неперервні в точці
х = а, то в цій точці неперервні також функції
/(x)±g(x),
(остання за умови, що g(a) ct- О) .
/(х)· g(x),
/(х)
g(x)
Функція називається неперервною па інтервалі, якщо вона неперервна в
кожній точці цього інтервалу.
78

Задачі до теми 3
1. Обчислити границі:
І)
п+4
(n+I) 2 -,i2
Ііт--.
2)lim 2
n➔oo 2-п
//➔ОО п +2п+ 2
4) . Зп3+п
5) lim
V8n3+п2+І
l1m
2
п+8
п->оо 100n + 12
n➔oo
7) . fJ+4п
l1m
n➔oo !Оп+ І
8) . .j(п+l)(п+З)
l1m
n➔oo Зп+З
2. Обчислити границі:
]) 7х2-І
2)
х+І
lim--- .
lim-- .
Х➔ ОО Х+8
х➔2Х-2
4) х2-4
5) х3+2х2-х-2
lim-- .
lim
х4-І
х➔2 х-2
х➔І
7)
х-10
8) х-✓х
lim ~
•
lim---.
,нІО х-1-3
х➔ ІН-1
З. Обчислити границі;
1)
2х
1- cos2 х
\іт-.
2) lim
х-➔ О tgx
х➔ О xtgx
4)
arcsin2x
5)
\n(I + х3)
lim
.
lim
2
х➔ о ln(l-x)
х➔О xsin Зх
l-cosx
•22
8). sш.х
7)lim .
l1m
2•
х➔ О sm3x
.но ln(l-x )
4. Обчислити границі;
І
4) lim(2x+з);·
х➔ оо Зх-4
2) lim (1 + 3.)з,,
_\➔О:,
х
І
5) lim(1+х2)~.
х➔О
79
з) . (п-1)2п
\1m
3•
n➔oo (2n + І)
✓n3 +2n+10
6) lim
.
n➔ oo 2п-1
(пп+1)
9) Iim ----- п
n➔oo п+І п
З)
х2 -3х+2
lim 2
x➔l х +х-2
6) lim
- Jx+i-I
х+\
х➔ -1
9)
.Jх+ 4 - 2./х+ї
Ііт F-x 3✓х+Ї •
_,➔о 9-х- х+І
tg2 Х
З) lim
.
,но l-cos2x
6) lim
ln(1+4x)
arctgx
х➔О
arcsinx2
9)lim .
х➔ О s111 xtg2x
(
)4х-І
З) lim 2х+ І_
х➔оо 2х- 2
6) lim ( 2х+ з)х-2
х➔оо 2х+ l

І
8) lim( х+'2)~
Х➔ОО 2X- J
•
9) lim x(ln(x+З)-lnx).
х➔ +«>
І
І
10) lim (І+ 2 tg 2 х) sin 2 х. 11) lim (І+ tgбx) arcsinЗx.
х➔О
2
12) lim(cosx) 4 ctg х.
х➔О
х➔О
Відповіді до задач теми 3
1. 1)-1; 2)0; з){ 4)оо; 5)2; 6)00; 7)0; 8)1⁄2; 9) - 2.
І
З
1
І
9
2.1)оо;2)оо; З)-3;4)4; 5)2;6)2;7)6;8)3;9)20.
І
І
І
3. 1)2; 2) 1; З) 2; 4)-2; 5)9; 6)4; 7)0; 8)-4; 9)2.
4.1)ех;,; 2)е6;З)е6; 4)1; 5)1 6)е; 7)е-1; 8)1; 9)3; 10)е2; 11)е2;
12) е-2.
80

Тема 4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
1. ПОХІДНА ФУНКЦІЇ
Нехай функція у= /(х) визначена в деякому околі точки х . Надамо
зм і нній х приросту Л х так, щоб точка х+ Л х належала цьому околу. Внаслідок
цього значення функції зміниться на величину
Лу=j(x+Л.х)-f(x),
яка називається приростом функції у точці х.
Якщо існує границя
І. Лу 1. j(x+Лх)-f(x)
1m-
= 1m ------- ,
Лх➔О Лх Лх➔О
Лх
то її називають похідною функціі' у = f (х) у точці х і позначають одним із таких
символів :
dy
df
у', dx' у~, f'(x), dx·
Операція знаходження похідної називається диференціюванням. Якщо
функція має похідну в точці х, то вона називається диференційованою в ці й
точці .
1.
2.
3.
4.
5.
Правила диференціювання
Якщо и(х), 11 (х) - диференційовані функції, С
-
довільна стала, то
С'=О.
(и±v)' =и'±v'.
,
(иv) =u'v + uv'.
,
(-и) __u'v-uv' ,
V
v2
(v* О).
81

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(ха)' =аха-1,
,
(sin х) =cosx.
,
(cosx) = - sinx.
,
1
(tgx)
= cos2х
,
1
(ctgx)
= - sin2х•
,
(ах) =ах lna.
,
(ех) =ех.
Таблиуя,похідних
,
а)(!).=__!_,
х. х2
г:., 1
б) (vл) =--
2.,{х в)('Гх)' = п~\- .
п :.;_;х
,
І
8. (loga х) = --.
xlna
,
1
9. (lnx) =- .
х
.
,
І
10. (arcsшx) = Г:--Т .
vl-x-
,
1
11 . (arccosx) = -
Г:--Т .
\11- х~
,
1
12. (arctgx) =--
2..
І+х
,
1
13. (arcctgx) = --2
.
l+x
Приклад 4.1 . Знайти похідні у' функцій:
а) у= ✓х ; б) y=zarccos(lnx);
arcctgx
в) y+xlny=5;
Розв'язання
✓х
а) у= ---.
Користуючись правилом диференціювання частки
arcctgx
u'v - uv'
v2
і таблицею похідних, дістанемо :
, (✓х)' arcctgx- ✓x (arcctgx/
у=
(arcctgx) 2
-1 -arcctgx- ✓x(--1 -)
2✓х
l +x2
arcctg 2 х
=
(І+ x 2 )arcctgx + 2х
=2✓
x(l+x 2 )arcctg 2 х •
б) у= zarccos(Іnx). Функція у= f (х) називається складеною, якщо її можна
записати у вигляді у= F(rp(x)) При цьому и = rp( x) називають проміжним
аргументом.
82

Якщо функція и=tр(х) має похідну tp'(x) в точці х, а функція y=F(u)
має похідну F'(u) у відповідній точці и, то складена функція у= F(tp(x)) в цій
точці х має похідну у: = F'(u) · tp' (х), тобто похідна складеної функції дорівнює
добутку похідної даної функції по проміжному аргументу и на похідну
проміжного аргумента по х.
Це правило диференціювання складеної функції можна узаrапьнити на
ланцюжок із довільного скінченного числа диференційованих функцій.
Користуючись правилом диференціювання складеної функції й таблицею
похідних, дістанемо:
, _ 2arccos(!nx) І 2 [
1 ] 1_ 2arccos(Jnx) •ln 2
у-
.
n.
·-- -
.J1- In2х х
x.J1-Іn2х •
в) у+ xln у= 5. Функція задана у неявному вигляді. Щоб її
продиференціювати, треба взяти похідну по х від обох частин рівності у + х ln у =
= 5, вважаючи у функцією відх, і одержане рівняння розв'язати відносно у':
х
у'+ Iny+- у' = О,
у
,
ylny
у= ---.
х+У
Похідна неявної функції виражасrься через незапежну змінну х саму
функцію у.
r) у= (2х + 3)tgx. При знаходженні похідної показниково-степеневої
функції доцільно задану функцію спочатку прологарифмувати, а потім знайти
похідну як від неявної функції:
lny=ln(2x+3)1gx
lny =tgx• ln (2х+ 3),
1,
1 І(2 ,.,
1
-·у=--· n x+.,)+tgx•--· 2,
у cos2х
2х+3
у' =(In(2x+3) + 2tgx )· у,
cos2х
2х+3
,
(ln(2x+3) 2tgx) (2 3)tgx.
у= ---~+--
.
х+
.
cos2х
2х+3
(І+х2)arcctgx + 2х .
Відповіді: а)
2✓х(1+ х2)arcctg2х'
83
2arccos(lnx), \n 2
6)--==-·
х✓l-ln2х '

г) (Іn (2х0+З) + 2tgx )·(2x+З)tgx _
cos·· х
2х+3
2. ПРАВИЛОЛОПІТАЛЯ
Розглянемо відношення J(x) = и(х), де функції и(х) і v(x) визначені
v(x)
диференційовані в деякому околі точки х = а (крім, можливо, самої точки а).
Якщо при х ➔ а функція /(х) має невизначенk.-ть виду .О. або 00 , то розкрити її
о
оо
можна, користуючись таким правилом:
Теорема 4.1 (правило Лопіталя ). Границя віднотення двох иескінче11но
малих або нескінченно вш,иких фуню{ій дорівнює грающі відношення іх
похідних, якщо вона існує, тобто
lim и(х) = {.О. або ~} = lim и'(х).
х➔а v(x) О
оо х➔а v'(x)
!!Р.иклад 4.2 . Обчислити границі, користуючись правилом Лопіталя:
) І . ln(l+x)-x
а1mх
;
х➔О е -х-І
б) lim ----.
(І І'
.,нох2 sin2xJ
Розв 'язання
)І . ln{J+x)-x 3
Л.
а1m
.
астосовуючи правило ошталя, маємо:
х➔О ех-х-1
,
]
limln(l+х)-х =f.O.} =lim(ln(l+х)-~) =limІ+;-І lim
-х=
х➔О ех-х-I lO х➔О (ех-х-1) х➔О ех-1 х-►О(]+х)(ех-1)
= lim-=:_ = f.О.}= - lim х' ,
-
lim_!_ = -1;
х➔Оех-1 LO
х➔О(ех-1) х➔Оех
бІ•(І І)
) Іm -----,
х-►Ох2 sin2х
.
(І
І)
.
sin2х-х2 • sin2х-х2 {О}
\1m -·---
={оо-оо}= l1m ---- l1m
=
-
0=
х➔Ох2 sin2х
х➔О х2sin2х
х➔О х4
_
1. (sin2x- x2)
1
_
1. 2sinxcosx - 2x_ 1
.
sin2x-2x _{O}-
-
1m
,
-
1m ------ - 1m
-
-
-
х➔О (х4)
х➔О
4х3
х➔О 4х3
О
84

= lim (sin2х -;х)1 __ lim 2cos2х-2= lim cos2x-1 = {-°-1
=
х➔О (4х3)
х➔О 12х2
х➔О 6х2
ОJ
І
І . (cos2x-\) 1.
- 2sin2x _.!._
11.msin2x ___ _!_ _
=1m
,
= 1m ----
х➔О (6х2)
х➔О 12х • 3х➔О 2х
3
Відповіді: а) - І ; б) -1-
3. ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ
Візьмемо на кривій точки М0 і М
і проведемо січну М0 М. Коли точка М
буде рухатись вздовж кривої, ця січна
буде обертатись навколо точки М0 .
Дотичною до криво,· в точці М0
називається граничне положення М0 Т січної М0 М, коли точка М вздовж кривої
наближається до точки М0 .
у
:лу
І
І
І
-------,
Лх
1
І
І
І
х
Розглянемо графік функції
у= f(x). Нехай
М0(х0 ; уо),
М(х0 +Лх; у0 +Лу).
Позначимо
через q> кут між січною М0 М і
віссю Ох . З рисунка видно, що
Лу
tg<p = --
Лх
Якщо Лх-➔ О, то
М ➔ М0 і кут q> буде змінюватися.
Якщо існує границя Jim q> = а, то пряма М0 Т, що утворює з віссю Ох кут а,
Лх➔ О
буде дотичною до кривої у= f(x) у точці М0 .
тобто
tga= lim tgq>= lim Лу =f'(x0),
.
Лх ➔О
Лх➔О Лх
.
f'(x 0) = tga.
85

01Же, геометричний зміст похідної такий: похідна .f(Xo) дорівнює кутовому
'
коефіцієнту k = tga дотичної до кривої, проведеної у точці МO(х0 ; у0 ).
4. ДИФЕРЕНЦІАЛ
Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної і є одним із
найважливіших у математиці. Диференціал наближено дорівнює приросту
функції і пропорційний приросту аргументу .
Нехай функція у = f(x) диференційована в точці х, тобто в цій точці має
похідну
f'(x) = lim Лу
Лх➔О Лх
Тоді
Лу = f'(х)+ а(х), де lima(x) = O,
Лх
Лх➔О
звідки
Лу = f'(х)· Лх + а(х)-Лх.
Таким чином, приріст функції Лу дорівнює сумі двох доданків: /'(~)-Лх і
а(х) •Лх. Другий з цих доданків прямує до О при Лх ➔ О швидше ніж Лх. Тому
перший доданок f'(x) •Лх (якщо f'(x) *О) є головною частиною приросту Лу
функції у = /(х), лінійною відносно приросту арrумента Лх.
Диференціш1ом d у функції у= /(х) у точці х називається головна,
лінійна відносно Лх частина приросту функції у = /(Х) у цій точці:
dy = f'(x)-Лx.
Якщо у=х, то у'=х'=І, тому dу=dx=Лх, тобто диференціал dx
незалежної змінної х збігається з її приростом Лх . Це дозволяє диференціал d у
записати так:
dy =f'(x) -dx.
Остання формула дає змогу розглядати похідну як відношення
диференціала функції до диференціала незалежної змінної:
f'(x) =dy.
dx
86

5. ЗРОСТАННЯ І СПАДАННЯ ФУНКЦІЙ.
ЕКСТРЕМУМИ ФУНКЦІЙ
Теорема 4.2. 1) Якщо диференційована функція зростає на деякому
пролtіжку, то ії похідна на цьому проміжку невід'ємна.
2) Якщо фуню4ія має додатну похідну в кожній точці деякого
про.чіJІСку, то функція на цьому проміжку зростає.
Теорема 4.3. 1) Якщо диференційована функція спадає на деякому
проміжку, то ії похідна на t{ьому проміж:ку недодатна.
2) Якщо функція має від'єлtну похідну в кожній точці деякого
проміжку, то функція на цьому проміжку спадає.
Геометричне пояснення цих теорем досить просте, якщо пригадати, що
f'(x)=tga.
Функція f(x) в точці х= х1 має локш,ьний максимум, якщо
f(x1 + Л х) < f(x1 ) дr1я будь-яких Л х достатньо малих за абсолютною
величиною.
Функція f(x) в точці х = х2 має локш,ьиий міиімум., якщо
f(x2 +Лx)>f(x 2 ) дr1я будь-яких Лх достатньо малих за , абсолютною
величиною.
Максимуми й мінімуми функції називають екстрему.ча.чи, або
екстремШІЬІІІLflU зиачеииями фуикції.
Зауваження 4.1 . З означення екстремумів випливає, що функція,
визначена на проміжку, може досягати екстремальних значень тільки всередині
проміжку, але не на його кінцях.
Зауваження 4.2 . Не слід вважати, що максимум мінімум функції є
відповідно її найбільшим і найменшим значенням на проміжку.
Теорема Ферма (необхідна умова існування екстремуму). Якщо
дифереиційоваиа фуикція у= f(x) має в точці х= Хо максимум або мінімум,
то ії похідиа в цій точці дорівнює нулю: f'(x0) = О.
Зауваження 4.3. Якщо в деякій точці похідна функції дорівнює нулю, то
87

це ще не означає, що функція в цій точці обов'язково має екстремум, тобто
теорема Ферма дає тільки , необхідну умову існування екстремуму, але не
достатню. Наприклад, функція у== х3 екстремуму не має, хоча її похідна в точці
.х= О дорівнює нулю.
Зауваження 4.4 . У точ ках, в яких похідна функції не існує, функція може
мати максимум або мінімум, а може не мати ні того, ні іншого.
Значення аргументу, для яких похідна дорівнює нулю або не існує,
називаються критичними точками.
Зі сказаного вище випливає, що екстремальні значення функція може
приймати лише в критичних · точках, проте не в кожній критичній точці функція
приймає екстремальне значення.
Теорема 4.4 (достатня умова існування екстремуму). Нехай функ~сія
f(x) неперервна на деякому проміжку, що містить критичну точку Хо· Тоді
1) якщо при переході зліва направо через точку Хо похідна /'(х) змінює знак з
"+" na "-", то в точці Хо функція лtає максш,ум;
2) якщо при переході зліва направо через точку Хо похідна j'(x) змінює знак .1
"-" па "+", то в точці Хо функція має мінімум, тобто
{J'(x)> О, при х<х0 ,
⇒вточці-1⁄2
-
максимум;
f'(x)<O, при х> х 0
Гf'(х)<О, при х<х 0 ,
⇒ в точці Хо - мінімум.
L.f'(x) > О, при Х>Хо
6. НАЙБІЛЬШЕ І НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ
Зі сказаного вище випливає, що неперервна на відрізку [а; Ь] функція
у= j(x) може досягати своїх найбільших і найменших на цьому відрізку значень
лише на кінцях відрізка або в критичних точках, які належать інтервалу (а; Ь).
Тому, щоб знайти найбільші і найменші значення функції, яка неперервна на
відрізку [а; Ь] , треба:
1) знайти критичні точки функції, які належать інтервалу (а; Ь) ;
88

2) обчислити значення функції у знайдених критичних точках і в точках х = а ,
Х= Ь;
З) серед обчислених значень вибрати найбільші і найменші.
Приклад 4.3. Капітал в 1 млн. гривень може бути частково внесений у
банк під 20% річних, а частково інвестований у виробництво з ефективністю
100%. При інвестуванні у виробництво витрати задаються квадратичною
залежністю з коефіцієнтом пропорційності k =1, а прибуток оподатковується за
ставкою 25%. Визначити, яку частку капіталу найвигідніше інвестувати у
виробництво.
Розв'язання. Нехай х млн гривень інвестується у виробництво, а (J-x)
вноситься в банк під відсотки. Тоді внесений капітал через рік буде дорівнювати
(1-x)(l +~) =1,2-1,2х,
100
а інвестований капітал:
( 100)
х 1+ 100 ==2х.
Витрати становитимуть х 2 , прибуток від інвестування у виробництво
(2х--х 2 ), податок
Тому чистий прибуток становитиме:
2х-х 2 -О,25(2х-х 2 ) =О, 75(2х-х 2 ).
Загальна величина капіталу через рік становитиме:
А(х)=1,2-І,2х +О,75(2х- х2) =-0,75х2 +О,3х+1,2.
Для розв'язання задачі треба знайти найбільше значення фуІ:Ікції А(х) на
відрізку [О; 1]. Маємо:
А'(х) = -],5х + 0,3;
А'(х)=О при х=О,2;
А(О) = -0,75 -0 2 +0,3 · 0+1; 2=1,2;
89

А(О,2)= -0,75 ·0,22 +0,3 ·0,2,+ 1,2 =1,23;
тах А(х)=А(О,2)=1,23.
[О; І]
Отже, за даних умов найвигідніше інвестувати у виробництво 0,2 млн .
гривень.
Відповідь: 0,2 млн гривень .
7. ОПУКЛІСТЬ І ВГНУТІСТЬ КРИВИХ.
ТОЧКИ ПЕРЕГИНУ
Крива у = f(x) називається опуклою на деякому інтервалі, якшо всі її
точки, крім точки дотику, лежать нижче довільної її дотичної на цьому і нтервалі .
Крива у = f(x) називаєгься вгнутою на деякому інтервалі, якщо всі її
точки, крім точки дотику, лежать вище довільної її дотичної на цьому ііІтервалі .
Точка, яка відділяє опуклу частину кривої від угнутої, називаєгься точкою
перегину .
у
оа
ь
сх
На рисунку крива у = f(x) опукла на інтервалі (а; Ь), вгнута на інтервалі
(Ь; с) і точка В(Ь; /(Ь)) - точка перегину .
Теорема 4.5. Якщо в усіх точках інтервалу (а; Ь) f "(х) <О, то крива
у = /(х) на цьому інтервШІі опукла; якщо ж в усіх точках інтервалу (а; Ь)
f"(x) >О, то крива у = f(x) на цьому інтервалі вгнута.
Точки, в яких f"(x) = О або не існує, називаються критичиими точками
другого роду.
Теорема 4.6. Нехай х0 - критична точка другого роду функції у = f(x).
Якщо при переході через точку х0 похідна f"(x) змінює зиак, то точка
(x0 ;f(x0 )) єточкоюперегииукривої у = /(х ) .
90

8. АСИМПТОТИ КРИВИХ
Пряма / називається acUJІmmommo кривої, якщо відстань від змінної точки
М(х;у) кривої до прямої / прямує до нуля, коли точка М (х;у), рухаючись по
кривій, віддаляється на нескінченність.
Розрізняють вертикальні й невертикальні (похилі) асимптоти
(горизонтальні асимптоти розглядають як окремі випадки похилих асимптот).
Для існування похилої асимптоти х == х0 необхідно і достатньо, щоб хоча б
одна з границь lim f(x), lim f(x), Iim f(x) дорівнювала нескінч енності.
X-►Xu -0
x➔xu+O
х➔х0
Похилу асимптоту у == k х + Ь можна знайти, користуючись формулами:
k == \im f(x)
'
Ь == lim (j(x) - kx).
(4.1)
Х-►оо
Якщо хоча б одна з границь (4.1) не існує або дорівнює нескінченності, то крива
похилих асимптот не має.
Зауваження 4.5 . Асимптоти кривої при х ➔ +со і х ➔ -оо можуть бути
різні . У цьому випадку границі у формулах (4.1) потрібно обчислювати окремо
прих➔+ооіх➔-оо.
9. ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ
Дослідити функцію та побудувати їі графік можна за такою схемою:
І) знайти о,бласть визначення функції;
2) дослідити функцію на парність та непарність;
З) дослідити функцію на періодичність;
4) знайти (якщо це можливо) точки перетину графіка з координатними осями;
5) дослідити функцію на неперервність (знайти та дослідити точки розриву
функції);
6) знайти інтервали монотонності, точки локальних екстремумів та значення
функції в цих точках;
7) знайти інтервали опуклості, вгнутості, точки перегину;
8) знайти асимптоти графіка функції;
91

9) побудувати графік функції, враховуючи результати досліджень, проведених у
п. 1-8;
10) 3Найти область значень функції.
Якщо функція парна (або непарна), то достатньо побудувати її графік лише
для х~О, а потім відобразити його симетрично відносно осі Оу (або відносно
початку координат).
х
Приклад 4.4. Провести повне дослідження функції у= - - та
х2-І
побудувати її графік.
Розв'язання
І) Область визначення функції (позначаєгься D(y) ). Знамещ'!ик дробу
повинен бути відмінним від нуля, тому х2 - І *О, х * ±І,
D(y) =(-оо;- І) U(-1; 1) U (1; +оо).
2) Парність, непарність функції. Оскільки
-х
х
у(-х)= 2 =~-2-=-у(х),
(-х)-1 х-1
то дана функція непарна. Зазначимо, що графік непарної функції симетричний
відносно початку координат.
3) Періодичність функції. Функція неперіодична.
4) Точки перетину графіка функції з координатними OCR.Atu.
Ох: у=О,
Оу: х=О,
х
-2-=О,
х-І
х =О, (О; О).
(О; О).
5) Неперервність функції (треба знайти та дослідити точки розриву
функції).
Функція неперервна в усіх точках, які належать області визначення
функції, і має розриви в точках х =±І . Дослідимо характер розриву в
точках х= ±1.
х=-1:
92

І• х {-]}
1m -2
-
=
-
=-оо,
х~-1-Ох -І +о
х=- 1
--
точка розриву другого роду,
⇒
l1m --=
-
=+оо,
•
х {-]}
х--но х2 --1 -О
х=-1
-
вертикальна асимптота графіка.
х=І:
І•х{1}
1m --=
-
= -оо
х--,\-0 х2 -1 -О
'
х = l - точка розриву другого роду,
І•х{1}
un--
=
-
= +оо,
x--,J+Ox2 -1 +о
х = 1 - вертикальна асимптота графіка .
6) Монотонність, екстремуми, оnу1'Іlість, вгиутість точки перегину.
Знайдемо критичні точки 1-ro і 2-ro роду, тобто точки, в яких дорівнює
нулю або не існує відповідна перша чи друга похідна даної функції. Маємо
х2 - 1-2х2
(х2 - 1)2
х2+1
(х2-1)2 '
"
2х(х2 - 1)2-(х2 +1)2(х2 - 1)2х
У=-
(х2 _ 1)4
2х(х2- І}(х2-1-2х2- 2)
(x2-l)4
2х(х2 + 3)
(х2-1)з •
Похідні у' і у" не існують лише при х = ± І , тобто тільки в тих точках, які
не належать області визначення функції. Тому критичними точками будуть лише
ті точки, де п~хідні у' і у" дорівнюють нулю.
Оскільки у'* О , то критичних точок 1-ro роду немає. Похідна у" дорівнює
нулю при х= О, тому х = О - критична точка 2-ro роду.
Таким чином, у' зберігає сталий знак у кожному з інтервалів (--оо; -1),
(-1; 1), (І; +оо), ау" - у кожному з інтервалів (--оо; - І), (-1; О), (О; І), (І; +Ф).
Щоб визначити знаки похідних у', у" у кожному з указаних інтервалів,
достатньо визначити знаки похідних у якій-небудь точці кожного інтервалу.
Результати такого дослідження зручно звести в таблицю .
х
(--оо; -1)
(-1; О)
о
(О; 1)
(1; +СУ.>)
93

у'
-
у"
-
у
~п
7) Аси.чптоtJШ.
-
+
~u
Оскільки
_,
о
о
точка
пеоегинv
lim__х_=О
х➔ооХ2-1
,
горизонтальну асимптоту у = О , при х ➔ оо.
-
-
-
+
~п
~u
то графік функції має
8) За результатами досліджень побудуємо графік функціі·.
у
9) Область значень функції: Е (у)= (-оо;+ оо).
94

10. ЕЛАСТИЧНІСТЬ ФУНКЦІЇ
Еластичністю Ех(У) фупкціі· y=f(x) називасrься границя відношення
відносного лрироС1)' функції у до відносного прироС1)' її аргументу х, коли
Лх➔О:
І.(ЛуЛ;,}х1. Лу х
,
Ех(у)= 1m -:- =
-
1m -=-•у.
Лх➔Оух
уЛх➔ОЛх у
Еластичність функції показує наближено на скільки відсотків
зміниться значення функції у= f (х) при зміні її аргументу х на 1%.
Властивості еластичності функції
1. Ex(uv)=Ex(u)+Ex(u).
2. Ex(~)=Ex(u)-Ex(u),
І
3. Ех(у)=--.
Еу(х)
Еластичність функції застосовується, зокрема, при аналізі
співвідношення між попитом і ціною. Наприклад, еластичність Ep(q)
попиту q (кількості проданих виробів) відносно ціни р одного виробу
показує, на скільки відсотків зміниться попит при зміні ціни на 1%.
Якщо EP(q)<-1, попит називають еластичпим, при -1<Ep(q)<0 -
пее.ластичним, а при Ep(q)=-1 попит називають аденватпим вартості.
З'ясуємо, наприклад, як впливає еластичність попиту відносно ціни
на сукупний дохід D = pq при реалізації продукції. Вважаючи, що
q = q (р) - довільна диференційована функція, маємо
,
d(
dq(рdq)•())
D =- pq)=q+ p-=q І+-·- =q(l+E q .
Рdp
dp
qdp
Р
95

Якщо поп ит еластичний, то Ep(q ).< - 1, D~ <О, і дохід із збільшенням
ціни спадає; якщо ж попит нееластичний, то -l<Ep(q)<0, D~>0, і
дохід із збільшенням ціни зростає. ЯІ<що ж попит адекватний вартості
(Ep(q)=-1), то D~ =0 і дохід не змінюється.
Розглянемо тепер, як залежить дохід від попиту (кількості продан их
виробів).
D' =_E_(pq)=p+qdp =р(1+q. •dp)=р(1+Е (р))=р(І+-1-)
qdq
,
dq
рdq
q
.
Ep(q)
Якщо попит еластичний, то Ep(q)<-1, D~ >0 , і дохід із збільшенням
попиту зростає; якщо ж попит нееластичний, то - l<Ep(q)<0, D~ <0 і
дохід із збільшенням попиту спадає. Якщо ж попит адекватний вартості
( Ep(q) = - 1), то D~ =О, і дохід не змінюється.
Задачі до теми 4
1. Знайти похідні функцій.
х
4) у=-·-.
х+І
.7).
-
х2+І
у---.
х+І
2)у=xv-;s.
5) у=xsinx+cosx.
В) у=cosx+s~nx_
cosx - sшx
2. Знайти похідні функцій .
{) у=(1+Зх)2.
2) у=tg2х.
З) у = ex(sinx + cosx).
2
5
6) у=Зх-3-2х2+2х-4.
9)у= sinx .
І+cosx
4) y=ln✓l+2x.
1-2х
5) y=arctg2 Зх.
96
6) у=xarcsin~+✓9•- х2.
з

І
7) у= lncosx+-tg2 х.
2
11)у=(1+5х)3.
13) у=~(2-3х) 2 .
2х
15) у = arctg--2
.
1-х
19) у= е.,/Тnх.
10) y=cos(x+tgx).
12) у= \ncosx.
14) у = Іn(,Гх+і + ✓х).
І
16) у= zx.
І
18) у= cos-.
х
3. Знайти похідні другого порядку функцій.
2) у= е·'cosx.
3) у= lnsin х.
4) y=tgx.
5) у= cos2 х.
6) y=(x2 +\)arctgx.
7) у= acrtgx2.
4. Обчислити границі за правилом Лопіталя.
1)
.
е2х-І
2)
1-cosx
3)
е-"
\1m---
lim
J.
Ііm -.
x➔ 0arcsinx
х➔ О І-ех
х➔ +<» ХЗ
І . tgx-sinx
_І_
І. lnx
4) 1m
.
5) lim х(ех-\).
6) ІШ ---.
х➔ О xc-sinx
Х➔ СІJ
х➔ +О lnctgx
7) І . lncosx
Im--- .
х➔О х2
8) lim ~.
х➔оarctgх
9) lim lnx.
.
х➔+ооГх
10) lim І- х.
11) І. lnx
12) lim (2x-. ir)tgx.
Im-- .
х➔І Іnх
x➔ +octgx
"
х➔-
2
5. Знайти інтервали монотонності та екстремуми функції.
І4Із•2
1) у=-Х --Х -3Х +3.
4
3
22
2) у=-+х.
х
97

І4Із
2
3) у=---х +--х- +х +12.
4
4) у= х+-.
х
4
3
6. Знайти інтервали опуклості, угнутості й точки перегину кривої.
хз2
2) у=6 -х
.
4) y=lnx.
Відповіді до задач теми 4
3) 2excosx; 4) --1
-
2 ; 5) xcosx;
(х+ І)
5
3
2
6) -2х-2 -5х2 -8х-5; 7) х + 2х-І; 8)
2
;9)1.
(х+І) 2
(cosx-sinx) 2
l+cosx
2_ l) 6(1+3х); 2) 2sinx.
3)_І_. 4)_2_.
5) 6arctg3x.
cos3 х'
~•
І-4х2 '
1+9х2 '
6) arcsin}; 7) tg3 х; 8) 5xJn5•cos(5x); 9) 4sinxln2-cosx;
10) -sin(x+tgx)·(l+-\-); 11) 15(1+5х) 2 ; 12) -tgx; 13) ~;
cos х
3х-2
_!_
І
2
2хln2
✓х
1І
14) ----; 15)--2 ; 16) ----2
-; 17) е х; 18)-sin-·
2,Jx 2 +x
І+х
х
х2 х'
~
2
І
19) е
; 20) z!+Іn -"Іn2 - ~.
2х~
х
3. 1) е-х2 (4х- 2); 2) -2exsinx; 3) -- .-
12- ; 4) 2t~x; 5) -2cos2x;
Stn Х
COS Х
2х
2-6х4
1
6) 2arctgx+ --
2; 7)
42;8)1
•
І+х
(І+х)
vО+х2)з
І
4. 1)2; 2)-2; 3) + со;
І
4)3; 5)1; 6)-1; 7)- 2; 8)ln3; 9)0; 10) - 1;
11)0; 12) - 2.
5. 1) спадає на інтервалах (-оо; - 2), (О; З); зростає на інтервалах (-2; О), (3; +оо);
7
Ymin=Y(-2)= -
3, Ymin = y(З)= - 12,75, Ymax=y(0)=3; 2) спадає на
98

інтервалах (-оо;О), (0;1); зростає на інтервалі (l;+oo); Ymin = y(l) = З;
З) спадає на інтервалах (-1; О), (2; +оо); зростає на інтервалах (-оо; -1), (О; 2);
5
Ymax = у(- \) = \2ЇЇ'
2
Ymax = у(2) =143, Ymin = у(О) =12; 4) спадає на
інтервалах (- 2;0), (0;2); зростає на інтервалах (-оо; - 2), (2; + оо);
Ymax = у(-2) =-4, Ymi~ = у(2) = 4.
6. 1) опукла на (-оо;О), угнута на (О; + оо), точка пере гину (О;О); 2) опукла на
(-оо; 2), угнута на (2; + оо), точка перегину ( 2; - І} З) опукла на (-оо; 1),
угнута на (1; +оо), точка перегину (l; - 5); 4) опукла на (О; +оо).
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів . Вища
математика. - К.: НАУ, 1999.
2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. - К.: Вища школа, 1993.
З. Вища математика . Збірник задач. Навч. посібник І В.П.Дубовик, І.І. Юрик,
І.П.Вовкодав та ін . ; За ред. В.П.Дубовика, І. І. Юрика. - К.: Вища школа, 1999.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова ТЯ. ВьIсшая математика в упражнениях и
задачах. Ч. 1, 2. -
М.: Вь,сшая школа, 1971-1986.
5. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс вьюшей математики для
зкономических вузов. Ч. 1, 2. -
М.: Вь,сшая школа, 1982.
б. Вь1сшая математика для зкономистов І Под ред. Н.Ш.Кремера. - М.: ЮНИТИ,
2000.
7. Кудрявцев В.А., Демидович БЛ. Краткий курс вь1сшей математики.
-
М.: Наука,
1975.
8. Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика.
-
К.: Либідь, 1994..
9. Яблонский А.И. Вьюшая математика. Общий курс. :-- Минск: Вьюшая школа, 1993.
99

УДК 517 (076)
ББК 22.1я73
В55
Коректор
Редактор
Маловічко Володимир Опанасович
ВИЩА МА ТЕМА ТИКА
Частина І
Навчальний посібник
Риченда О.П.
Акуленко Т.І.
Комп'ютерний набір Маловічко В.О.
Підписано до друку 14.11 .2005 р. Формат 60 х 84/16.
Ум. друк. арк. ·12,S. Наклад 300 прим. Друк офсеnшй .
Зам. No 609.
Відділ оперативної полі.t-рафії ДАЖКГ,
01042, Київ, вул. Глазунова, 2/ 4.
100